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Full text of "Abhandlungen zur Methode der kleinsten Quadrate"

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THE LIBRARY 


OF 
IHE UNIVERSITY 


OF CALIFORNIA 


IN MEMORY OF 


Edward Bright 
































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Abhandlungen 


zur u EL GER 


Methode der kleinsten Quadrate 


von 


Carl Friedrich Gauss. 


In deutscher Sprache herausgegeben 


Dr. A. Börsch und Dr. P. Simon, 


Assistenten im Königl. Preussischen Geodätischen Institut. 


ne 


Berlin, 1887. 


Druck und Verlag von P, Stankiewiez’ Buchdruckerei, Beuthstr. 5, 





DARF 
ea 


MATH- 
S7TAT: 
MOERARY 


Vorwort. 


Die Herausgeber dieses Sammelwerkchens haben mich 
als denjenigen, auf dessen Anregung hin sie den Entschluss 
zu dem Unternehmen fassten, um einige einleitende Worte 
ersucht. Ich entspreche diesem Wunsche gern, da ich mit 
dem Erscheinen der vorliegenden Zusammenstellung von 
Gauss’ Schriften über die Methode der kleinsten Quadrate 
einen seit Jahren gehegten Wunsch erfüllt sehe, den Wunsch: 
es möge in deutscher Sprache etwas Aehnliches geschaffen 
werden, wie es schon vor 31 Jahren J. BERTRAND seinen 
Landsleuten durch eine französische Ausgabe der zum 
grössten Theil lateinisch geschriebenen grundlegenden 
Arbeiten von Gauss geboten hatte. Der gleiche Wunsch 
hat sich ohne Zweifel bei vielen und besonders bei den- 
jenigen unserer Landsleute geregt, die sich der BERTRAND- 
schen Sammlung bedienten, weil ihnen der Zugang zu den 
betreffenden Gauss’schen Originalarbeiten — selbst nach 
der Herausgabe von Gauss’ gesammelten Werken durch 
die Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 
— wenig bequem war. 

Seitdem Gauss im ersten Viertel dieses Jahrhunderts 
seine Darstellungen der Methode der kleinsten Quadrate 
veröffentlichte, ist allerdings eine umfangreiche Literatur 
über dieselbe entstanden, unter der sich keine geringe Menge 
von Lehrbüchern befindet. Es ist aber dennoch jedem, der 
zu klaren Begriffen gelangen will — auch wenn er nicht 
die Absicht hat, den ganzen Reichthum der Theorie kennen 


81458 


Iv Vorwort, 


zu lernen, sondern nur die Anwendung ins Auge fasst — 
zu rathen, Gauss’ Schriften nicht unstudiert zu lassen. Selbst 
bei nicht vollem Verständniss der schwierigeren Stellen 
wird dies von grossem Nutzen sein. 

Um aber das Verständniss der Theorie an der Hand 
von Beispielen zu erleichtern, ist in die Sammlung, welche sich 
übrigens in Auswahl und Reihenfolge der Schriften der von 
Bertrrann veranstalteten anschliesst, noch die Bestimmung 
des Breitenwnterschiedes zwischen Göttingen und Altona 
aufgenommen worden, eine Anwendung der Methode der 
kleinsten Quadrate, die in jeder Zeile den Meister erblicken 
lässt. | 
Ausserdem sind noch mehrere Selbstanzeigen, insbe- 
sondere diejenigen der beiden Theile der „Theoria Combi- 
nationis“ und des „Supplementum“ angeschlossen, indem sie 
mit dazu dienen, über den Gauss’schen Ideengang aufzu- 
klären. | 

Wie bei BErTRAnD ist auch hier die Uebersetzung der 
„T'heoria Combinationis“ an die Spitze gestellt, weil Gauss 
die daselbst gegebene Begründung der Methode der klein- 
sten Quadrate der älteren in der „Theoria motus corp. 
coelest.“ gegebenen vorzog. Wir besitzen hierüber drei 
Zeugnisse, erstens in einem Briefe an Exckz vom 23. August 
1831*), zweitens in einem solchen an Bzssen vom 28. Fe- 
bruar 1839**) unddrittens in einem Briefe an ScHuMAcHER 
vom 25. November 1844***), Das von Gauss an den ge- 
nannten Orten Gesagte ist jedoch für den Gegenstand, wie er 
selbst hervorhebt, keineswegs erschöpfend, weshalb ich mich 


*) Johann Franz Encke, Königl. Astronom u. Direktor der Sternwarte 


zu Berlin. Sein Leben und Wirken. Bearbeitet von seinem dankbaren Schüler 


Dr. ©. Bruhns. Leipzig, 1869, S. 237 und 238. 


**) Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel. Herausgegeben auf Veran- 
lassung der Königl. Preuss, Akademie der Wissenschaften. Leipzig, 1880, 8. 523. 


***) Briefwechsel zwischen C, F. Gauss und H.C. Schumacher. Heraus- | 


gegeben von C, A. F. Peters. IV. Band. Altona, 1862, 8. 371. 


| 
| 





Vorwort. | V 


mit dem Hinweis auf die Quellen begnüge. Ohne Frage em- 
pfiehlt sich die „Theoria Combinationis“ durch die grosse Ein- 
fachheit der Entwickelung aus dem leicht verständlichen Prin- 
cip, das mittlere zu befürchtende Fehlerquadrat der gesuchten 
Grössen (welches konsequent als der Durchschnittsbetrag 
des wahren Fehlerquadrats für unendlich viele gleichartige 
Fälle gebildet wird) zu einem Minimum zu machen. Gleich- 
wohl dürfte niemand, dem die Umstände es gestatten, unter- 
lassen, sich weiter umzuschauen und namentlich die ältere 
Gauss’sche Darstellungsweise auch kennen zu lernen, um 
so mehr als Gauss selbst, indem er nach dem oben er- 
wähnten Briefe an ScHumAacHER bei seinen Vorträgen auf 
einleitende praktische Beispiele immer zunächst die ältere 
Entwickelung und dann erst die Theoria Combinationis fol- 
gen liess, die erstere für sehr geeignet gehalten zu haben 
scheint, die Bedeutung der letzteren ins rechte Licht zu 


stellen. 
Zum Schlusse darf nicht unerwähnt bleiben, dass sich 


die Herausgeber dieses Buches vergewissert haben, keinerlei 
ältere Autor- und Verlagsrechte zu verletzen. Namentlich 
hatte der um die Herausgabe von Gauss’ Werken so ver- 
diente Herr Prof. Schere die Güte, dieses in Bezug auf 
die Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 
festzustellen. Das Interesse, welches er sowohl wie mehrere 
andere hervorragende Sachkenner dem Unternehmen ent- 
gegenbrachten, hat sehr dazu beigetragen, die Herausgeber 
mit Hingebung an ihre zweifellos verantwortliche Arbeit 
zu erfüllen. 


Berlin, Königl. Geodätisches Institut, Januar 1887. 


Helmert. 








Inhalts -Verzeiehniss. 


Seite. 

a ER III. 
I. Theorie der den kleinsten Fehlern untarkeästenen Combination der 

DIERRBRSBSOR 5 0. nn. EN 1 

IHRE TRBLE SS . 2°... a LE 1 

RE gl; se Kr ne a 28 


Ergänzung zur Theorie der den kleinsten Fehlern unter- 

worfenen Combination der Beobachtungen . . .... 54 
II. Aus der Theorie der Bewegung der Himmelskörper, welche in Kegel- 
schnitten die Sonne umlaufen. Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 
Bestimmung der Bahn, die beliebig viele Beobachtungen möglichst 

ee ur Be RER 92 
Ill. Aus der Untersuchung über die elliptischen Eimsents der Pallas aus 
den Oppositionen der Jahre 1803, 1804, 1805, 1807, 1808 und 1809. 

Artikel 10. bis 15... .. ... ee ee 118 

IV. Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen . . . . "120 
V, Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf eine Aufgabe der 


et. RE U 139 

VI. Chronometrische Längenbestimmungen . . . 2.2.22 2 22 2 2. 145 
VII. Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen den Sternwarten von 
Göttingen und Altona durch Beobachtungen am Ramsden’schen 

t ee en ee 152 

RR ee . 152 

u 6 Benbachteten BB . : . ... .........5 154 

en a a N 156 

En a Fe ee 161 

IV. Breitenbestimmung der Sternwarte Seeberg . . . . . 183 

1 Ra 127) Bee ee PP a 187 

ee a 190 

1) Theoria Combinationis observationum, pars prior . . . 190 

“D) .% N Re pars posterior. . 195 

3) Supplementum Theoriae Combinationis observationum . 200 

4) Theoria motus corporum coelestium (Auszug)... . . 204 

5) Disquisitio de elementis elliptieis Palladis (Auszug) . . 205 

eu se 207 


| 


Berichtigungen. 


S. 5, Zeile2 v.u. Statt Wahrscheinlickeiten ist zu setzen: Wahrscheinlichkeit 
S. 144, Zeile 8 v. u. Statt ”’ ist zu setzen: log’. 


I. 
Theorie 


der den kleinsten Fehlern unterworfenen 


Gombination der Beobachtungen. 


Erster Theil. 


(Der Königlichen Societät der Wissenschaften zu Göttingen überreicht 1821, 
Februar 15.) 


ig 


Beobachtungen, welche sich auf Grössenbestimmungen aus der 
‘Sinnenwelt beziehen, werden immer, so sorgfältig man auch ver- 
fahren mag, grösseren oder kleineren Fehlern unterworfen bleiben. 
Die Fehler der Beobachtungen sind im allgemeinen nicht einfache, 
sondern entspringen gleichzeitig mehreren Quellen, bei denen zwei 
‚Arten genau unterschieden werden müssen. _Gewisse Fehlerursachen 
»sind nämlich so beschaffen, dass ihr Einfluss auf jede Beobachtung von 
‘veränderlichen Umständen abhängt, die unter sich und mit der Be- 
‘obachtung selbst in keinem wesentlichen Zusammenhang stehen; die 
so entstehenden Fehler werden unregelmässige oder zufällige genannt; 
‚und insoweit jene Umstände der Rechnung nicht unterworfen werden 
"können, gilt dieses auch von den Fehlern selbst. Dahin gehören die 
‘von der Unvollkommenheit unserer Sinne herrührenden Fehler und 
‚solche, die von unregelmässigen äusseren Ursachen abhängen, z. B. von 
‘der durch das Wallen der Luft bewirkten Unsicherheit beim Sehen ; 
‚auch rechnen wir hierher manche, selbst den besten Instrumenten an- 
haftende Unvollkommenheiten, z. B. Ungleichförmigkeiten der inneren 
"Wandungen der Libellen, Mangel an absoluter Festigkeit u. s. w. 
"Dagegen haben andere Fehlerursachen bei sämmtlichen Beobach- 
“tungen derselben Art ihrer Natur nach entweder einen vollkommen 
‚ constanten Einfluss, oder doch einen solchen, dessen Grösse in gesetz- 
Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 1 
















Bei SER Combination der Beobachtungen. 


mässig bestimmter Weise allein von Umständen abhängt, welche _ 


mit der Beobachtung wesentlich verknüpft sind. Fehler dieser Art 
werden constante oder regelmässige genannt. 

Uebrigens ist es klar, dass diese Unterscheidung gewisser- 
maassen nur relativ ist und von dem weiteren oder engeren Sinne 
abhängt, in welchem man den Begriff von Beobachtungen derselben 
Art fassen will. So bringen z. B. unregelmässige Fehler der 
Theilung der Instrumente bei Winkelmessungen einen constanten 
Fehler hervor, wenn es sich nur um eine beliebig oft zu wiederho- 
lende Beobachtung desselben Winkels handelt, und wenn dabei immer 
dieselben fehlerhaften Theilstriche benutzt werden; während der 
aus derselben Quelle stammende Fehler als ein zufälliger an- 
gesehen werden kann, wenn man irgendwie Winkel von beliebiger 
Grösse zu messen hat, und eine Tafel, die für jeden Theilstrich 
den zugehörigen Fehler angiebt, nicht zu Gebote steht. 


2. 


Die Betrachtung der regelmässigen Fehler soll von unseren 
Untersuchungen ausdrücklich ausgeschlossen bleiben. Es ist näm- 
lich Sache des Beobachters, alle Ursachen, welche constante Fehler 
hervorzubringen vermögen, sorgfältig aufzusuchen und dieselben 


entweder abzustellen, oder wenigstens ihrer Wirkung und Grösse‘, 


nach auf das genaueste zu erforschen, um ihren Einfluss auf jede 
einzelne Beobachtung bestimmen und diese von jenem befreien zu 
können, so dass ein Ergebniss erzielt wird, als ob der Fehler über- 
haupt nicht vorhanden gewesen wäre. Ganz verschieden hiervon ist 
aber das Wesen der unregelmässigen Fehler, welche ihrer Natur 
nach der Rechnung nicht unterworfen werden können. Diese wird 
man daher in den Beobachtungen zwar dulden, ihren Einfluss aber 
auf die aus den Beobachtungen abzuleitenden Grössen durch eine 
geschickte Combination der ersteren möglichst abschwächen müssen. 


Dieser wichtigen Aufgabe ist die folgende Untersuchung gewidmet. 


3. 


Die Fehler in den Beobachtungen gleicher Art, welche einer 
bestimmten einfachen Ursache entspringen, sind der Natur der Sache 


ie" zul duale 2 442 3 la lt Di an GE = nu > 


nach in bestimmte Grenzen eingeschlossen, welche man zweifelsohne 
genan angeben könnte, wenn die Natur dieser Ursache selbst voll- 


ständig erkannt wäre. Die meisten Ursachen zufälliger Fehler 


Erster Theil. z 


sind so beschaffen, dass nach dem Gesetz der Stetigkeit alle zwischen 
jenen Grenzen enthaltenen Fehler für möglich gehalten werden 
müssen, und dass die vollständige Erkenntniss einer solchen Ursache 
zugleich lehren würde, ob alle diese Fehler mit gleicher oder un- 
gleicher Leichtigkeit begangen werden können, und, in letzterem 
Falle, eine wie grosse relative Wahrscheinlichkeit jedem Fehler 
beizulegen sei. Dasselbe gilt auch in Bezug auf den totalen Fehler, 
der sich aus mehreren einfachen Fehlern zusammensetzt, dass er 
nämlich zwischen bestimmten Grenzen eingeschlossen sein wird (von 
denen die eine der Summe aller oberen, die andere der Summe 
aller unteren Theilgrenzen gleich ist); alle Fehler zwischen diesen 
Grenzen werden zwar möglich sein, da sich indess jeder auf un- 
endlich viele verschiedene Weisen durch Zusammensetzung der Theil- 
fehler, welche selbst wieder mehr oder weniger wahrscheinlich sind, 
ergeben kann, so werden wir für den einen eine grössere, für den 
andern eine geringere Häufigkeit annehmen müssen, und es könnte 
unter der Voraussetzung, dass man die Gesetze der einfachen Fehler 
kennt, ein Gesetz der relativen Wahrscheinlichkeit aufgestellt werden, 
abgesehen von den analytischen Schwierigkeiten beim Zusammen- 
fassen aller Combinationen. 

Freilich giebt es auch gewisse Fehlerursachen, welche nicht 
nach dem Gesetz der Stetigkeit fortschreitende, sondern nur unstetige 
Fehler hervorbringen können, wie z. B. die Theilungsfehler der 
Instrumente (wenn man diese überhaupt zu den zufälligen Fehlern 
rechnen will); denn die Anzahl der Theilstriche an jedem bestimmten 
Instrument ist endlich. Dessen ungeachtet wird aber offenbar, 
wenn nur nicht alle Fehlerursachen unstetige Fehler erzeugen, die 
Gesammtheit aller möglichen Totalfehler eine nach dem Gesetz der 
Stetigkeit fortschreitende Reihe bilden, oder auch mehrere derartige 
getrennte Reihen, wenn es sich nämlich bei Anordnung aller 
möglichen unstetigen Fehler nach ihrer Grösse ergeben sollte, dass 
zufällig eine oder die andere Differenz zwischen zwei aufeinander 
folgenden Gliedern dieser Reihe grösser ist, als die Differenz 
zwischen den Grenzen derjenigen T'otalfehler, welche den stetigen 
Fehlern allein entstammen. In der Praxis wird aber der letztere 
Fall kaum jemals eintreten, wenn nicht etwa die Theilung an 
groben Fehlern leidet. 

4. 
Bezeichnet man mit (x) die relative Häufigkeit des Total- 
 fehlers » bei einer bestimmten Gattung von Beobachtungen, so 
1* 


4 Combination der Beobachtungen. 


wird wegen der Stetigkeit der Fehler die Wahrscheinlichkeit eines 
zwischen den unendlich nahen Grenzen x und = + dx liegenden 
Fehlers = (2) dx zu setzen sein. Es wird in der Praxis wohl 
immer so gut wie unmöglich sein, diese Funktion a priori anzu- 
geben; nichtsdestoweniger lassen sich mehrere allgemeine Eigen- 
schaften derselben feststellen, welche hier folgen sollen. Offenbar 
ist die Funktion p(z) insofern zu den unstetigen Funktionen zu rech- 
nen, als sie für alle Werthe des x, welche ausserhalb der Grenzen 
der möglichen Fehler liegen, — 0 sein muss; innerhalb dieser 
Grenzen wird sie aber überall einen positiven Werth annehmen 
(abgesehen von dem Fall, über den wir am Ende des vorigen Art. 
gesprochen haben). In den meisten Fällen wird man positive und 
negative Fehler von derselben Grösse als gleich häufig voraus- 
setzen dürfen, so dass 9(—x) — g(x) sein wird. Da ferner klei- 
nere Fehler leichter als grössere begangen werden, so wird im all- 
gemeinen p(x) für z — (0 seinen grössten Werth erhalten und be- 
ständig abnehmen, wenn x wächst. 

Allgemein giebt aber der Werth des vnz=absz2e=b 
genommenen Integrals /p(z) de die Wahrscheinlichkeit dafür an, 
dass irgend ein noch unbekannter Fehler zwischen den Grenzen a 
und 5 liegt. Der Werth dieses Integrals von der unteren Grenze 
aller möglichen Fehler bis zu ihrer oberen Grenze wird daher 
immer — 1 sein. Und da g(x) für alle ausserhalb dieser Grenzen 
liegenden Werthe des z immer — (0 ist, so ist offenbar auch 


der Werth des vn &= = — » bis = + © genommenen 
Integrals [p(z)dz immer —= 1. 


5. 


Wir betrachten ferner das Integral fx p(x) dx zwischen den- 
selben Grenzen, und setzen seinen Werth — %. Sind alle einfachen 
Fehlerursachen nun so beschaffen, dass kein Anlass vorhanden ist, 
zwei gleichen, aber mit entgegengesetzten Vorzeichen versehenen 
Fehlern verschiedene Häufigkeit beizulegen, so wird dasselbe auch 
für den totalen Fehler gelten, es ist also p(—x) — y(z), und 
deshalb nothwendig % = 0. Wir schliessen hieraus, dass, jedesmal 
wenn % nicht verschwindet, sondern etwa eine positive Grösse ist, 
nothwendig eine oder die andere Fehlerursache vorhanden sein müsse, | 
welche entweder nur positive Fehler, oder wenigstens häufiger po- | 
sitive als negative zu erzeugen vermöge. Diese Grösse 7; ‚ welche 





Erster Theil. 5 


in der That das Mittel aller möglichen Fehler oder der mittlere 
Werth der Grösse x ist, kann passend der constante Theil des 
Fehlers genannt werden. Uebrigens ist leicht zu beweisen, dass 
der constante Theil des totalen Fehlers gleich der Summe der 
constanten Theile derjenigen Fehler ist, welche aus den einzelnen 
einfachen Ursachen hervorgehen. Setzt man jetzt die Grösse % 
als bekannt voraus, subtrahirt dieselbe von jeder Beobachtung 
und bezeichnet den Fehler der so verbesserten Beobachtung mit 
x, die entsprechende Wahrscheinlichkeit aber mit p’(z’), so wird 
x = a —k, p(&) = p(®) und folglich 


Se pla)de’ = fepla) de —[kpla)daae—=k—k—=0, 


d. h. die Fehler der verbesserten Beobachtungen werden keinen 
constanten Theil haben, was auch an sich klar ist. 


6. 


Wie das Integral /xzY(x)dz, oder der mittlere Werth von x, 
das Fehlen oder Vorhandensein und die Grösse eines constanten 
Fehlers anzeigt, ebenso erscheint das vn = —obsxce= -+w 
ausgedehnte Integral 

Se pa) dx 


(oder der mittlere Werth des Quadrates x?) am geeignetsten, die Un- 
sicherheit von Beobachtungen allgemein zu definiren und zu messen, 
so dass bei zwei Beobachtungsgruppen, die sich hinsichtlich der Häu- 
figkeit der Fehler unterscheiden, diejenigen Beobachtungen für die 
genaueren zu halten sind, für welche das Integral /a’y(z)dx den 
‚kleineren Werth erhält. Wenn nun jemand einwenden würde, diese 
Festsetzung sei ohne zwingende Nothwendigkeit willkürlich ge- 
troffen, so stimmen wir gern zu. Enthält doch diese Frage der 
Natur der Sache nach etwas Unbestimmtes, welches nur durch ein 
in gewisser Hinsicht willkürliches Prineip bestimmt begrenzt werden 
kann. [Die Bestimmung einer Grösse durch eine einem grösseren 
oder kleineren Fehler unterworfene Beobachtung wird nicht un- 
passend mit einem Glücksspiel verglichen, in welchem man nur ver- 
lieren, aber nicht gewinnen kann, wobei also jeder zu befürchtende 
Fehler einem Verluste entspricht. Das Risiko eines solchen Spieles 
wird nach dem wahrscheinlichen Verlust geschätzt, d. h. nach der 
Summe der Produkte der einzelnen möglichen Verluste in die zu- 
gehörigen Wahrscheinlickeiten. Welchem Verluste man aber jeden 
einzelnen Beobachtungsfehle gleichsetzen soll, ist keineswegs an 


_ | IC nKe en 


6 Combination der Beobachtungen. 


sich klar: hängt doch vielmehr diese Bestimmung zum Theil von 
unserem Ermessen ab. Den Verlust dem Fehler selbst gleichzu- 
setzen, ist offenbar nicht erlaubt; würden nämlich positive Fehler 
wie Verluste behandelt, so müssten negative als Gewinne gelten. 
Die Grösse des Verlustes muss vielmehr durch eine solche Funktion 
des Fehlers ausgedrückt werden, die ihrer Natur nach immer positiv 
ist. Bei der unendlichen Mannigfaltigkeit derartiger Funktionen 
scheint die einfachste, welche diese Eigenschaft besitzt, vor den 
übrigen den Vorzug zu verdienen, und diese ist unstreitig das Qua- 
drat. Somit ergiebt sich das oben aufgestellte Princip. 

Laplace hat die Sache zwar auf eine ähnliche Weise be- 
trachtet, er hat aber den immer positiv genommenen Fehler selbst 
als Maass des Verlustes gewählt. Wenn wir jedoch nicht irren, so 
ist diese Festsetzung sicherlich nicht weniger willkürlich, als die 
__unsrige: \ob nämlich der doppelte Fehler für ebenso erträglich zu 
 Bälten“ ist, wie der einfache, zweimal wiederholte, oder für schlim- 
mer, und ob es daher angemessener ist, dem doppelten Fehler nur 
das doppelte Moment, oder ein grösseres beizulegen, ist eine Frage, 
die weder an sich klar, noch durch mathematische Beweise zu 
entscheiden, sondern allein dem freien Ermessen zu überlassen ist. 
Ausserdem kann man nicht leugnen, dass die in Rede stehende 
Festsetzung gegen die Stetigkeit verstösst: und gerade deshalb 
widerstrebt dieses Verfahren in höherem Grade der analytischen 
Behandlung, während die Resultate, zu welchen unser Princip 
führt, sich sowohl durch Einfachheit als auch durch Allgemeinheit 
ganz besonders auszeichnen. 


I: 

Wir setzen den Werth des von x = —o bs #—= + mw ge- 
nommenen Integrals fx" p(2) de = m’, und nennen die Grösse m den 
mittleren zu befürchtenden Fehler, oder einfach den mittleren Fehler 
der Beobachtungen, deren unbestimmte Fehler x die relative Wahr- 
scheinlichkeit (x) haben. Jene Bezeichnung werden wir nicht 
auf unmittelbare Beobachtungen beschränken, sondern auch auf alle 
aus Beobachtungen abgeleiteten Bestimmungen ausdehnen. Man 
muss sich indess sehr wohl davor hüten, den mittleren Fehler mit 
dem arithmetischen Mittel aller Fehler, von welchem im Art. 5 
die Rede war, zu verwechseln. 

Wo mehrere Gattungen von Beobachtungen oder mehrere aus 
Beobachtungen erhaltene Bestimmungen, denen nicht dieselbe Ge- 


Erster Theil, 7 


nauigkeit zukommt, zu vergleichen sind, verstehen wir unter dem 
relativen Gewicht derselben eine Grösse, die dem m’ umgekehrt 
proportional ist, während. die Genauigkeit einfach dem m umge- 
kehrt proportional genommen wird. Um demnach das Gewicht 
durch eine Zahl ausdrücken zu können, muss man das Gewicht einer 
gewissen Gattung von Beobachtungen als Einheit annelımen. 


8. 

Enthalten die Beobachtungsfehler einen constanten Theil, so 
wird durch seine Elimination der mittlere Fehler verringert, das 
Gewicht und die Genauigkeit vermehrt. Unter Beibehaltung der 
Bezeichnungen des Art. 5. erhält man, wenn m’ den mittleren Fehler 
der verbesserten Beobachtungen bedeutet, 

m” — fx" p(a') da’ = fla —h)’ Pla) de = Se’ pa) de 

— 2kfx p(a) de +h’fpla) de = m’ 2" + = m—h. 
Wenn man aber an Stelle des wahren constanten Theiles % eine 
andere Grösse Z von den Beobachtungen abgezogen hätte, so 
würde das Quadrat des neuen mittleren Fehlers = m’ —2kl +U 
= m” + (l —k)’ werden. 


B. 
Bezeichnet man mit A einen bestimmten Coefficienten und mit u 
den Werth des Integrals /p(x) de von x = — Am bis x = + Am, 


so wird u die Wahrscheinlichkeit dafür sein, dass der Fehler irgend 
einer Beobachtung (dem absoluten Werthe nach) kleiner als Am 
sei, dagegen 1 — u die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fehler 


grösser als Am sei. Wenn also der Werth u = e- dem Werth 


Am — e entspricht, so wird der Fehler ebenso leicht unterhalb o als 
oberhalb e liegen können, so dass g passend der wahrscheinliche 
- Fehler genannt werden kann. Die Beziehung zwischen den Grössen 
A und « hängt offenbar von der Natur der Funktion (x) ab, 
welche im allgemeinen unbekannt ist. Es wird deshalb die Mühe 
-. lohnen, jene Beziehung für einige besondere Fälle näher zu betrachten. 

I. Sind die Grenzen aller möglichen Fehler —a und +.a, und 
sind alle Fehler in diesen Grenzen gleich wahrscheinlich, so wird 
_ gp(x) in den Grenzen #» = — a und z= + a constant und folglich 


I, 1 
— ,„, sein. Hieraus ergiebt sich m = a V! undu=4 Vs lange 


A nicht grösser als VB ist; endlich wird e = m V: — 0,8660254 m, 


8 Combination der Beobachtungen. 


und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fehler nicht grösser als der 
mittlere Fehler werde, — vi — 0,5773508. 


II. Sind die Grenzen der möglichen Fehler, wie vorher, — «a 
und + a, und nimmt man an, dass die Wahrscheinlichkeit dieser 
Fehler vom Fehler 0 ab nach beiden Seiten in arithmetischer Pro- 
gression abnehme, so wird 


p(2) = "”, für die Werthe von © zwischen 0 und + a, 


p(2)=* Be: für die Werthe von z zwischen O0 und —a, 





sein. Es folgt hieraus m = a var N — ıV? 8, so lange 
3. zwischen 0 und Y6 liegt, und endlich A —= VY6 —V6— 6u, so 
lange « zwischen O0 und 1 liegt, und hieraus 

e = m(VY6—YV3) = 0,7174389 ı. 


Die Wahrscheinlichkeit eines den mittleren nicht übersteigenden 
Fehlers wird in diesem Falle 


ER | 
=) -1 = 0,6498299. 


x? 

III. Nehmen wir die Funktion (x) proportional zue M 

(was zwar in der Wirklichkeit nur sehr nahe richtig sein kann), 
so wird 





en 
9)=*t_" 
hYr 


sein müssen, wobei z den halben Kreisumfang für den Radius 1 
bezeichnet, woraus wir ferner ableiten 


mie v4 


(Siehe: Disquisitiones generales eirca seriem infinitam ete., art. 28.). 
Bezeichnet man ferner den Werth des von z = (0) an genommenen 


Integrals 
2 (tig 


fi). 


mit ©(z), so wird 


Erster Theil. 9 


Die folgende Tafel giebt einige Werthe dieser Grösse: 
A u 
0,6744897 0,5 
0,8416213 0,6 
1,0000000 0,6826895 
1,0364334 0,7 
1,2815517 0,8 
1,6448537 0,9 
2,5758293 0,99 
3,2918301 0,999 
3,8905940 0,9999 


0) 1 








10. 


Obgleich die Beziehung zwischen A und « von der Natur der 
Funktion (x) abhängt, so kann man doch einige allgemeine Eigen- 
schaften derselben feststellen. Wie nämlich diese Funktion auch 
beschaffen sei, so wird sicher, wenn sie nur die Eigenschaft hat, 
dass ihr Werth bei wachsendem absoluten Werthe von x immer ab- 
nimmt oder wenigstens nicht wächst, 

4 kleiner oder is oereeen nicht grösser als «V3 sein, wenn 

u kleiner als =, 
2 . g:, 
4 nicht grösser als — ——— sein, wenn z. grösser als — ist. 
3Yy1—u 3 
Für u — E fallen beide Grenzen zusammen, und A kann alsdann 
nicht grösser als V: sein. 

Um diesen merkwürdigen Lehrsatz zu beweisen, bezeichnen 
wir mit y den Werth des von z = — xzbisz = + z genommenen 
Integrals /gp(z)dz; y wird alsdann die Wahrscheinlichkeit dafür 
sein, dass irgend ein Fehler in den Grenzen — x und +» ent- 
halten ist. Ferner setzen wir 


= yy), dv) = vW)dy, dyly) = Wy) dy. 
Es wird demnach (0) = 0 sein, 2 





= 
woraus mit Rücksicht auf die Voraussetzung folgt, dass (y) von 
= 0 bis y = 1 beständig wächst oder wenigstens nirgends ab- 


10 | Combination der Beobachtungen. 


nimmt; oder, was dasselbe ist, dass der Werth von %”(y) immer 
positiv oder wenigstens nicht negativ ist. Ferner haben wir 


Alyyy) = Wly) dy + yW’(y) dy, und folglich 
yvW)—W() = SyWW)dy, 
wenn man die Integration mit y = 0 beginnen lässt. Der Werth 


des Ausdrucks yW(y) — W(y) wird deshalb immer eine positive 
oder wenigstens keine negative Grösse, und folglich 





LA) 
yY) | 
eine positive Grösse kleiner als 1 sein. Es sei f ihr Werth für y= u, 
also es sei, da man Y(u) = Am hat, 
Am Am 


= 1-——-—. oder Wu) = ——— : 
E ua) ME (1— fu 

Nach diesen Vorbereitungen betrachten wir folgende Funktion 
des y 

Am 
AdA-Fa (y—-uf), 

welche wir = F(y) setzen, wobei dF(y) = Fy)dy. Offenbar 
wird dann 


Fu) = G-NuR vu). 


Da nun wy) mit wachsendem „ immer wächst (oder wenigstens 
nicht abnimmt, was stets hinzuzudenken ist), und da F’(y) andererseits 
dky(y) —Fw)) 
dy 
für Werthe von y, welche grösser als « sind, positiv, für kleinere 
negativ sein. Hieraus ist leicht zu ersehen, dass w(y) — F (y) 
immer eine positive Grösse, und dass ferner Y(y) immer absolut 
grösser oder wenigstens nicht kleiner als F(y) ist, wenigstens so lange 
als der Werth von F(y) positiv ist, d.h. vony = ufbisy = |. 
Deshalb wird der Werth des Integrals /[F(y)] dy von y = uf bis 
y = 1 kleiner sein als der Werth des Integrals /]v (y)]’ dy in 
denselben Grenzen, und um so mehr auch kleiner als der Werth 
dieses Integrals von y = 0 bis y = 1, welches = m* ist. Der 
Werth des ersteren Integrals ergiebt sich aber 





constant ist, so wird die Differenz w(y) —F’(y) = 








Erster Theil, 11 
_mAl—uf) 
el) ’ 
woraus man entnimmt, dass 4°” kleiner sei als - re 52 ur ‚ wo die 
Grösse / zwischen 0 und 1 liegt. Der Werth des Bruches a a a 
dessen Differential, wenn / als Variable betrachtet wird, 
Ne 


ag = Bu + uf)df 


ist, nimmt ferner beständig ab, wenn / vom Werthe 0 bis zum Werthe 
1 steigt, sobald « kleiner ist als 5; der grösstmögliche Werth wird 


deshalb dem Werthe / — 0 entsprechen und folglich = 3u” werden, 
so dass in diesem Fall A sicher kleiner oder doch nicht grösser 


als «Y3 wird. W.z. b. w. Wenn hingegen u grösser als - ist 


so wird der grösste Werth jenes Bruches für 2 — 3u +uj = 0 
4 
Teeny 
und A kann also in diesem Falle nicht grösser als a sein. 


R 1— u 
u WW; z. b. w. 


eintreten, d.h. für f = 3 — n und zwar wird derselbe — 


So kann z.B. für u = . sicher A nicht grösser als v. 


werden, d. h. der wahrscheinliche Fehler kann die Grenze 0,8660254 m 
nicht übersteigen, welcher Werth für ihn im ersten Beispiel des 
Art. 9. gefunden wurde. Ferner schliesst man aus unserem Satze 


leicht, dass « nicht kleiner als ıV! sei, so lange A kleiner als 








V: ist, dass hingegen « nicht kleiner als 1 — . sein könne, wenn 


der Werth von A grösser als V: ist. 


. IE 


Da mehrere der später zu behandelnden Aufgaben auch mit dem 
Werth des Integrals /x' p(z) de im Zusammenhang stehen, so wird 
es die Mühe lohnen, denselben für einige specielle Fälle zu ermitteln. 
Wir bezeichnen den Werth dieses vn = = abs = +» 
genommenen Integrals mit »‘. 





12 Combination der Beobachtungen. 


Ir 1 ”. . . 
I. - Für (2) = - wird, wenn z zwischen — a und + a ein- 


2 
ED 
geschlossen ist, n' — ge=zgm. 
II. Für den zweiten Fall des Art. 9., wenn (x) — —- 
für Werthe von z zwischen 0 und # a ist, hat man »* — rn Be r ne. 
Ill. Im dritten Fall, wenn 
e 
L) mem: 
p( ) hVr ’ 


findet man, nach den in der oben angeführten Abhandlung erhaltenen 
Resultaten, »* — Eh — 3m. 


4 
Ausserdem lässt sich zeigen, dass der Werth von — nicht 


. 9 ” . . 
kleiner als „ sein kann, wenn nur die Voraussetzung des vorigen 
Art. erfüllt ist. 


12. 


Bezeichnen », x’, =” etc. allgemein Fehler von Beobachtun- 
gen derselben Art, die unabhängig von einander seien, und drückt 
ein vorgesetztes Zeichen p ihre relativen Wahrscheinlichkeiten aus, 
ist ferner y eine gegebene rationale Funktion der Variabeln z, x’, 
x” etc., dann wird das vielfache Integral 


Spa) pa’) pa”)....daedede”...., (I) 
erstreckt über alle Werthe der Variabeln x, x’, »” etc., für welche 
der Werth des y zwischen die gegebenen Grenzen 0 und n fällt, die 
Wahrscheinlichkeit dafür ausdrücken, dass der Werth des y irgend- 
wo zwischen O0 und n liegt. Offenbar wird dieses Integral eine 
Funktion von n sein, deren Difterential wir = W%(n)dn setzen, so 
dass das Integral selbst dem Integral /w(n) dny, von n = 0 ange- 
fangen, gleich ist. Alsdann wird das Zeichen ı(n) die relative 
Wahrscheinlichkeit eines jeden Werthes von y ausdrücken müssen. 
Da man » nun als eine Funktion der Variabeln y, ©’, x” etc. an- 
sehen kann, die mit /(y, ©, @”...) bezeichnet werden möge, so 
verwandelt sich das Integral (I) in 


/ pls, &, &” ..)] af, = ER, pa’) pa”)... dy da’ de” ..., 








Erster Theil. - 13 


wo y von y = OÖ bis y = n genommen werden muss, die übrigen 
Variablen aber über alle Werthe zu erstrecken sind, denen ein 
reeller Werth von /(y,’,®”...) entspricht. Hieraus schlienst man, 
dass 

vw) = [oLi@ a, a". NOT Ga) Kar)... dei er. 
wo die Integration, bei welcher y als constant betrachtet werden 
muss, über alle Werthe der Variabeln #’, »” etc. zu erstrecken ist, 
die für F(y, @,x®”...) einen reellen Werth ergeben, 


13. 
Um obige Integration wirklich auszuführen, müsste man die 
Funktion g kennen, welche im allgemeinen unbekannt ist. Selbst 
wenn aber auch die Funktion bekannt wäre, würde die Integration 


meistens die Kräfte der Analysis übersteigen. Deshalb werden wir 








zwar die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Werthe des y nicht an- 
geben können; anders aber wird es sich verhalten, wenn man nur 
den mittleren Werth des „, verlangt; derselbe ergiebt sich nämlich 
durch Integration von Sy v(y) dy über alle möglichen Werthe des y. 
Und da man offenbar für alle Werthe, welche y nicht annehmen 
kann — sei es der Natur der mit y bezeichneten Funktion wegen 
(z. B. bei y = x’ + 2° + x” + etc. für die negativen Werthe), sei 
es um der den Fehlern », #', x” ete. gesetzten bestimmten Grenzen 
willen —, ıu(y) = 0 setzen muss, so darf man mit demselben Rechte 
offenbar jene Integration über alle reellen Werthe von y erstrecken, 
also von y = —o»bisy= +. Nun ist aber das in den be- 
stimmten Grenzen von y = n bis y = n’ genommene Integral 
Sy v(y) dy gleich dem Integral 

fer in a 2°. 19 gle)gker). Ay da‘ dar... 
welches gleichfalls von y = n bis y = »’ und über alle Werthe 
der Variabeln =’, x” etc., denen ein reeller Werth yon Fo, &48) 2.) 
entspricht, zu Beärkan ist; oder, was dasselbe ist, auch gleich dem 
Werthe des Integrals 


Sy plz) pe’) pe”)... . de da’ de” ..., 
wenn bei dieser Integration für y sein Werth als Funktion von », =‘, 
2” etc. eingesetzt, und dieselbe über alle Werthe dieser Variabeln, 
welchen ein zwischen n und »’ liegender Werth des y entspricht, 
ausgedehnt wird. Hieraus folgen wir, dass das über alle Werthe 





14 Combination der Beobachtungen. 


des y, vn y=— co bisy= + ® ausgedehnte Integral /y u(y) dy 
aus der Integration von 


Sy px) pe’) pe”)... da da’ da”... 
erhalten wird, wenn man dieselbe über alle reellen Werthe von 


x, x, x” etc. erstreckt, demnach von za = —obse = +mw, 
von x = —obise = +oc etc. 
14. 


Besteht daher die Funktion y nur aus einer Summe von Gliedern 
von der Form 
Aust a” ..., 


so wird der Werth des über alle Werthe von y erstreckten Inte- 
grals /y W(y) dy, oder der mittlere Werth von y, einer Summe von 
Gliedern 
A x Se" pla) de x Se? pla’) da’ x fa”r pla’) de”... 

gleich sein, bei welchen die Integrationen vn z = —«& bis 
2 = +, von x = —o bis 2 = +mw etc. zu nehmen sind; 
oder, was dasselbe ist, gleich einer Summe von Gliedern, welche 
entstehen, wenn man für die einzelnen Potenzen =“, =’, «’r etc. 
ihre mittleren Werthe einsetzt. Die Richtigkeit dieses so wichtigen 
Lehrsatzes hätte auch leicht aus anderen Ueberlegungen gefolgert 
werden können. 


15. 


Wir wollen den im vorigen Art. aufgestellten Lehrsatz auf 
den speciellen Fall anwenden, dass 


=’ +2” +2” + etc. 

ae ee 

wo o die Anzahl der Glieder im Zähler bezeichnet. Den mittleren 
Werth des y finden wir hier ohne Weiteres — m’, indem wir dem 
Buchstaben m dieselbe Bedeutung wie oben geben. Der wahre 
Werth des y kann sich zwar in einem bestimmten Fall grösser oder 
kleiner als dieser mittlere ergeben, ebenso wie der wahre Werth 
eines einzelnen Gliedes z*; die Wahrscheinlichkeit aber, dass ein 
gelegentlicher Werth des y von dem mittleren m’ nicht wesentlich 
abweiche, wird sich stetig um so mehr der Gewissheit nähern, je 
mehr die Zahl o wächst. Um dieses noch klarer zu zeigen, werden 
wir, da wir die Wahrscheinlichkeit selbst nicht genau zu bestimmen 


u a 


Erster Theil. 15 


im Stande sind, den mittleren bei der Annahme y — m? zu be- 
fürchtenden Fehler suchen. Nach den im Art. 6. aufgestellten 
Principien wird dieser Fehler offenbar gleich der Quadratwurzel 
aus dem mittleren Werthe der Funktion 


(“ +2*+2” +ete. m) 


0 





sein; zur Auffindung desselben genügt die Bemerkung, dass der mitt- 
4 4 
lere Werth eines Gliedes von der Form Z gleich 5 ist (wo der Buch- 


stabe n dieselbe Bedeutung wie im Art. 11. hat), dass dagegen der 


c PR 


mittlere Werth eines Gliedes von der Form —- gleich Br ist; 


woraus unmittelbar der mittlere Werth jener Funktion 


n* — m* 


0 





folgt. 


Hieraus ersehen wir, dass, wenn nur eine hinlänglich grosse 
Anzahl von einander unabhängiger, zufälliger Fehler x, #', »” ete. 
vorhanden ist, aus ihnen ein angenäherter Werth des m mit grosser 
Sicherheit mittelst der Formel 


m V Ha tar ie, 


0 








> gefunden werden könne, und dass der mittlere bei dieser Bestim- 
_ mung zu befürchtende Fehler des Quadrates m’ 


n: — m“ 
> 6 


sei. Da indess diese letzte Formel die Grösse » enthält, so wird es 
genügen, falls es sich nur um die Erlangung einer ungefähren 
Vorstellung von dem Genauigkeitsgrade jener Bestimmung handelt, 
irgend eine specielle Form der Funktion 9 anzunehmen. Z. B. 
wird bei der dritten Annahme der Art. 9. und 11. dieser Fehler 













— my 2 . Wenn dies weniger befriedigt, so kann ein angenäherter 
Werth von »*‘ aus den Fehlern selbst mit Hülfe der Formel 


. #2" +2." + etc. 
© 





- abgeleitet werden. Im allgemeinen können wir aber versichern, dass 


16 Combination der Beobachtungen. 


für eine zweimal grössere Genauigkeit jener Bestimmung eine 
vierfache Anzahl von Fehlern erforderlich ist, oder dass das Ge- 
wicht der Bestimmung der Anzahl o selbst proportional ist. 

Auf ähnliche Weise wird man ferner, wenn die Beobachtungs- 
fehler einen constanten Theil besitzen, einen angenäherten Werth 
dieses Theils um so sicherer aus dem arithmetischen Mittel vieler 
Fehler ableiten können, je grösser deren Anzahl war. Und zwar 
wird der mittlere zu befürchtende Fehler dieser Bestimmung durch 


m: — 
0 


ausgedrückt, wenn % den constanten Theil selbst und m den mittleren 
Fehler der von dem constanten Theil noch nicht befreiten Beobach- 


m . 
— , wenn m den mittleren 


0 
Fehler der von dem constanten Theil freien Beobachtungen be- 


zeichnet. (Siehe Art. 8.) 





tungen ausdrückt; oder einfach durch 


16. 


In den Art. 12. bis 15. haben wir vorausgesetzt, dass die 
Fehler », x’, &” etc. sich auf dieselbe Gattung von Beobachtungen 
beziehen, so dass die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen durch 
dieselbe Funktion ausgedrückt werde. Augenscheinlich kann aber 
die allgemeine Untersuchung der Art. 12. bis 14. ebenso leicht auf 
den allgemeineren Fall ausgedehnt werden, wo die Wahrschein- 
lichkeiten der Fehler x, #’, «” etc. durch verschiedene Funktionen 
pa), Pla’), P’(x”) ete. ausgedrückt werden, d. h. wo sich jene 
Fehler auf Beobachtungen verschiedener Schärfe oder Unsicherheit 
beziehen. Nehmen wir an, «© sei der Fehler einer Beobachtung, 
deren mittlerer zu befürchtender Fehler = m ist; ebenso seien 
x, x” etc. die Fehler anderer Beobachtungen, deren mittlere zu 
befürchtende Fehler bezw. m’, m” etc. sind. Dann wird der 
mittlere Werth der Summe »° + 2” +2” + etc. gleich m’ + m” 
+ m” + etc. sein. Ist nun anderweit schon bekannt, dass die 
(Grössen m, m’, m” etc. in gegebenem Verhältniss zueinander stehen, 


also den Zahlen 1, «‘, «” etc. bezw. proportional sind, so wird 


der mittlere Werth des Ausdrucks 
a" +a® ra" tete. 
1+ u” + wW” + etc. 


— m’ sein. Setzen wir aber einen bestimmten Werth dieses Aus- 





2 20 Bibi u an A nd Ele ae 


Erster Theil. | 17 
























drucks, jenachdem der Zufall Fehler x, #°, &” etc. liefert, dem m’ 
gleich, so wird der mittlere Fehler, welcher dieser Bestimmung 
noch anhaftet, auf ähnliche Weise wie im vorhergehenden Art. 





_ In +» ae — m! — m — m” '— etc. 


1-+ u? +” + etc. 





gefunden, wo n’, n” etc. in Bezug auf die Beobachtungen, zu welchen 
die Fehler »’, x” etc. gehören, dieselbe Bedeutung haben sollen, 
wie »n in Bezug auf die erste Beobachtung. Wenn man nun die 
Zahlen n, n’, n” etc. den m, m’, m” etc. proportional annehmen darf, 
so wird jener mittlere zu befürchtende Fehler 








VY" — m‘ V1+u*+ u” + ete. 
1+u”+ uw” + ete. 





Diese Methode, einen angenäherten Werth von m zu bestim- 
men, ist aber nicht die zweckmässigste. Um dies desto deutlicher 
zu machen, betrachten wir den allgemeineren Ausdruck 


+ ar” + or” + etc. 
Een: + au + 066. 





dessen mittlerer Werth ebenfalls = m’ wird, wie man auch die 

Coefficienten @, «” etc. wählen möge. Der mittlere zu befürchtende 

Fehler aber wird, wenn man einen bestimmten Werth von y, je- 

nachdem der Zufall Fehler », =’, &” etc. liefert, gleich »’ annimmt, 
mit Hülfe der oben vorgetragenen Principien | 





_ m RR m*) 4 a” (n* — m“) & a”? (n”* EIER m”*) Hr ete. 
1+ «u? + a” + etc. 


‚gefunden. Damit dieser mittlere Fehler so klein als möglich wird, 





Re n“ —m' 2 
a BR, ‚4 ‚4 
DEN 
4 4 
Ei 8 ae 
a = Z 77: s 
N Mm 


überdies die Beziehung der Grössen n, »', n’ ar zu m, m’, m” etc. 
anderweit bekannt ist; fehlt aber diese genaue Kenntniss, so erscheint 
® Gauss, Methode der kleinsten Quadrate, 2 


= 


18 Combination der Beobachtungen. 


es wenigstens am sichersten*), sie zu einander proportional an- 
zunehmen (siehe Art. 11.), woraus man die Werthe erhält 
ee ar ME — m etc. , 

d. h. die Coeffiecienten «’, «” etc. müssen den relativen Gewichten 
der Beobachtungen, zu welchen die Fehler x’, =” etc. gehören, gleich 
gesetzt werden, nachdem man das Gewicht der Beobachtung, zu 
welcher der Fehler x gehört, als Einheit angenommen hat. Wenn 
hiernach, wie oben, o die Anzahl der vorhandenen Fehler bezeichnet, 
so wird der mittlere Werth des Ausdrucks 


+ ce? +02” + etc. 


107 





— m’, und der mittlere zu befürchtende Fehler, wenn wir einen 
zufällig bestimmten Werth dieses Ausdrucks als wahren Werth von 
m’ annehmen, ergiebt sich 





Fi Vn: + «®n* + «” n”* + etc. — om! 
was 0 





’ 


und folglich, wenn wir nur die », ”’, n” etc. den m, m’, m” etc. 
proportional annehmen dürfen, 


n* — m* 
= z vera 


welche Formel mit der. oben für den Fall von Beobachtungen der- 
selben Art gefundenen übereinstimmt. 





17: 


Wenn der Werth einer Grösse, die von einer anderen unbe- 
kannten Grösse abhängt, durch eine nicht völlig genaue Beobach- 
tung bestimmt ist, so wird der hieraus berechnete Werth der Un- 
bekannten auch einem Fehler unterworfen sein; es bleibt aber bei 
dieser Bestimmungsweise nichts der Willkür überlassen. Wenn 
aber mehrere von derselben Unbekannten abhängige Grössen durch 
nicht, völlig genaue Beobachtungen bestimmt sind, so kann man den 





*) Wir können uns nämlich die Kenntniss der Grössen w, u” ete. nur in 
dem einen Falle erlangt denken, wo der Natur der Sache nach Fehler x, «', 
x” ete., welche zu 1, w, u” etc. proportional sind, als gleich wahrscheinlich an- 
zunehmen sind, oder vielmehr, wo 


ga) = wy’ (Wr) = w’y” (ur) ete, 


E: Erster Theil. 19 


Werth der Unbekannten entweder aus irgend einer dieser Beobach- 
tungen ableiten, oder auch aus irgend einer Combination mehrerer 
Beobachtungen, was auf unendlich verschiedene -Weisen geschehen 
kann. Wenn nun auch der auf eine solche Weise erhaltene Werth 
der Unbekannten immer einem Fehler unterworfen bleibt, so wird 
doch bei der einen Combination ein grösserer, bei einer anderen ein 
kleinerer Fehler zu befürchten sein. Aehnlich wird es sich ver- 
halten, wenn mehrere Grössen, die von mehreren Unbekannten zu- 
gleich abhängen, beobachtet sind: jenachdem die Anzahl der 
Beobachtungen entweder der Anzahl der Unbekannten gleich, oder 
kleiner oder grösser als diese ist, wird die Aufgabe entweder be- 
stimmt oder unbestimmt oder überbestimmt sein (wenigstens im 
allgemeinen), und im dritten Fall wird man zur Bestimmung der 
Unbekannten die Beobachtungen auf unendlich verschiedene Weisen 
combiniren können. Aus dieser Mannigfaltigkeit der Combinationen 
diejenigen auszuwählen, welche der Sache am besten dienen, d. h. 
welche die mit den kleinsten Fehlern behafteten Werthe der Unbe- 
kannten liefern, ist unstreitig bei der Anwendung der Mathematik 
auf die Naturwissenschaften eine der wichtigsten Aufgaben. 

In der. „Theorie der Bewegung der Himmelskörper“ haben 

wir gezeigt, wie die wahrscheinlichsten Werthe der Unbekannten 
. abzuleiten sind, wenn das Gesetz für die Wahrscheinlichkeit der 
Beobachtungsfehler bekannt ist; und da dieses Gesetz seiner Natur 
nach in beinahe allen Fällen hypothetisch bleibt, so haben wir jene 
Theorie auf das plausibelste Gesetz angewendet, wobei die Wahr- 
scheinlichkeit eines Fehlers » der Exponentialgrösse e 
proportional genommen wird; und hieraus ist das Verfahren ent- 
standen, welches von uns schon lange und zwar besonders bei 
- astronomischen Rechnungen gebraucht wurde, und jetzt unter dem 
Namen der Methode der kleinsten Quadrate von den meisten Rech- 
_ nern angewandt wird. 
& Später zeigte Laplace, indem er die Sache anders angriff, dass 
gerade dieses Prineip, wie auch das Gesetz der Wahrscheinlichkeit 
- der Fehler beschaffen sei, allen anderen immer noch vorzuziehen sei, 
- wenn nur die Anzahl der Beobachtungen eine sehr grosse ist. Ist 
- jedoch die Anzahl der Beobachtungen eine mässige, so bleibt die 
Frage unentschieden, so dass bei Verwerfung unseres hypothetischen 
_ Gesetzes die Methode der kleinsten Quadrate nur deshalb vor an- 
_ deren empfohlen zu werden verdiente, weil sie zur Vereinfachung 
der Rechnungen am besten geeignet ist. 


















o% 


0 Combination der Beobachtungen. 


Wir hoffen deshalb, den Mathematikern einen Dienst zu 
erweisen, indem wir bei dieser neuen Behandlung des Gegen- 
standes zeigten, dass die Methode der kleinsten Quadrate die beste 
von allen Combinationen liefere, und zwar nicht angenähert, 
sondern unbedingt, welches auch das Wahrscheinlichkeitsgesetz für 
die Fehler, und welches auch die Anzahl der Beobachtungen sei, 
wenn man nur die Definition des mittleren Fehlers nicht im Sinne 
von Laplace, sondern so, wie es von uns in den Art. 5. und 6. 
geschehen ist, feststellt. 

Uebrigens muss hier ausdrücklich hervorgehoben werden, dass 
es sich in allen folgenden Untersuchungen nur um die unregel- 
mässigen und vom constanten Theil freien Fehler handelt, da es 
im Grunde zu einer vollkommenen Beobachtungskunst gehört, alle 
Ursachen constanter Fehler möglichst fernzuhalten. Was für Vor- 
theile aber ein Rechner, welcher solche Beobachtungen zu discu- 
tiren unternimmt, von denen man mit Recht argwöhnt, dass sie 
von constanten Fehlern nicht frei seien, aus der Wahrscheinlich- 
keitsrechnung selbst erlangen kann, darüber behalten wir uns 
vor, eine besondere Untersuchung bei einer anderen Gelegenheit 
zu veröffentlichen. 


18. 


Aufgabe. Es bezeichne U eine gegebene Funktion 
der unbekannten Grössen V, V’, V” etec.; man sucht den 
mittleren bei der Bestimmung des Werthes von U zu be- _ 
fürchtenden Fehler M, wenn für V, V’, V”ete. nicht ihre 
wahren Werthe, sondern diejenigen genommen werden, 
welche aus von einander unabhängigen und bezw. mit 
den mittleren Fehlern m, m’, m” etc. behafteten Beobach- 
tungen hervorgehen. 

Lösung. Es seien e, e’, e” etc. die Fehler der ERROR 
Werthe von V, V’, V” ete.; alsdann kann der aus ihnen folgende 
Fehler des Werthes von U durch die lineare Funktion 


de +Ne+Ne”+etc.=E 
ausgedrückt werden, wo A, 4, A’ etc. die Werthe der Differential- 


= 2 a ae etc. für die wahren Werthe der V, V’, 
V” ete. sind, wenn nur die Beobachtungen hinlänglich genau sind, 
um die Quadrate und Produkte der Fehler vernachlässigen zu dürfen. 
Hieraus folgt erstens, da ja die Beobachtungsfehler als von con- 


stanten 'Theilen frei angenommen werden, dass der mittlere Werth 


quotienten 


Erster Theil. 21 





von E gleich 0 sein müsse. Ferner wird der mittlere zu befürchtende 
Fehler des Werthes von U gleich der Quadratwurzel aus dem 
mittleren Werthe von E’ sein, oder M’ wird der mittlere Werth 
der Summe 


Ve + Me? + N?e” + etc. + 2AN ee! + 2N”ce” + 2UN”ee” + etc. 


sein. Der mittlere Werth von A’e ist aber A’m’, der mittlere 
Werth von A*e” ist — A”m” etc., endlich sind die mittleren Werthe 
der Produkte 2A4’ee’ etc. sämmtlich = 0. Hieraus schliessen wir also: 


EVEN EAN PEN 
REN 





M = YAm? E= Am”? + X”m”” + etc. 
Dieser Lösung wollen wir einige Anmerkungen beifügen. 


I. Insoweit man die Beobachtungsfehler als Grössen erster 
Ordnung ansieht und Grössen höherer Ordnung vernachlässigt, 
darf man in unserer Formel für 4, 4, 4” etc. auch diejenigen 


al 


IE RITTER TE SE EB a ni 
R Y er ne RE ie Pu Be RT 2: 
ES 3 


iz 


a a un a 


Werthe der Quotienten 2 etc. nehmen, welche aus den beobach- 


teten Werthen der Grössen V, V’, V” etc. hervorgehen. Wenn U 
eine lineare Funktion ist, so ist hierbei offenbar kein Unterschied 
vorhanden. 

. II. Will man an Stelle der mittleren Fehler der Beobach- 
- tungen lieber deren Gewichte einführen, so seien diese, auf eine 
willkürliche Einheit bezogen, bezw. p, p’, p” etc., und P sei das 
Gewicht der Bestimmung des sich aus den beobachteten Werthen 
der Grössen V, V’, V” etc. ergebenden Werthes von U. Wir er- 
halten dann 















3 II. Ist T eine andere gegebene Funktion der Grössen V, 
- V‘, V” etc, und ist für deren wahre Werthe 

: m, El 
E- RT A RENNEN A 6 
E so wird der Fehler in der aus den beobachteten Werthen von 
E v 1 a etc. erhaltenen Bestimmung des Werthes von T 


— ne +xe+xe+ete. = E, 
und der mittlere bei jener Bestimmung zu befürchtende Fehler 
| —= Y x’m’ + #"m? + x”"m”” + etc, 


= x” etc. , 





22 Combination der Beobachtungen. 


sein. Die Fehler E, E’ werden aber offenbar nicht mehr von einander 
unabhängig sein, und der mittlere Werth des Produktes EE’ wird, 
im Gegensatz zum mittleren Werthe des Produktes ee’, nicht — 0, 
sondern = xAm? + x’Xm” + #”A’m”” + etc. sein. 

IV. Man kann unsere Aufgabe auch auf den Fall ausdehnen, 
wo die Werthe der Grössen V, V’, V” etc. nicht unmittelbar aus 
den Beobachtungen gefunden, sondern irgendwie aus Combinationen 
der. Beobachtungen abgeleitet werden, wenn nur die Bestimmungen 
der einzelnen von einander unabhängig sind, d.h. auf verschiedenen 
Beobachtungen beruhen: sobald aber diese Bedingung nicht erfüllt 
ist, würde die Formel für M falsch werden. Wäre z. B. eine oder 
die andere zur Bestimmung des Werthes von V verwendete Beobach- 
tung auch zur Bestimmung des Werthes von V’ benutzt worden, 
so würden die Fehler e und e’ nicht mehr von einander unabhängig, 
und der mittlere Werth des Produkts ee’ deshalb auch nicht mehr —= 0 
sein. Wenn aber in einem solchen Fall der Zusammenhang der 
Grössen V und V’ mit den einfachen Beobachtungen, aus denen sie 
abgeleitet sind, genau bekannt ist, so wird man den mittleren 
Werth des Produktes ee’ nach der Anmerkung III. bestimmen, und 
so die Formel für M vervollständigen können. 


19. 


Es seien V, V’, V” ete. Funktionen der Unbekannten , y, 
z ete.; die Anzahl jener sei = r, die Anzahl der Unbekannten —= ge; 
wir nehmen an, durch Beobachtungen seien unmittelbar oder mittel- 
‚bar die Werthe der Funktionen V=L, V’=L, V”=TL” etc. 
gefunden, jedoch so, dass diese Bestimmungen unabhängig von ein- 
ander sind. Ist o grösser als r, so ist die Aufsuchung der Unbe- 
kannten offenbar eine unbestimmte Aufgabe; ist e gleich x, so 
können die einzelnen z, y, z etc. als Funktionen von V, V’, V”ete. 
- entweder dargestellt oder in dieser Form gedacht werden, so dass 
aus den beobachteten Werthen von diesen die Werthe von jenen 
gefunden werden können, worauf man mit Hülfe des vorigen Art. 
die diesen einzelnen Bestimmungen zukommende relative Genauig- 
keit berechnen kann; ist endlich-e kleiner als , so lassen sich die 
einzelnen z, y, z etc. auf unendlich verschiedene Weisen als Funk- 
tionen von V, V’, V” etc. darstellen, und man kann deshalb für jene 
auf unendlich verschiedene Weisen Werthe ableiten. Diese Be- 
stimmungen müssten nun völlig identisch sein, wenn den Beobachtun- 
gen absolute Genauigkeit zukäme; da dies indess nicht der Fall ist, 





e* 


Erster Theil. 23 


# so werden andere Weisen andere Werthe ergeben, und ebenso 
_ werden die aus verschiedenen Combinationen erhaltenen Bestim- 
4 mungen mit verschiedener Genauigkeit begabt sein. 

z Wenn übrigens im zweiten oder dritten Fall die Funktionen 
—  W,V, V” ete. so beschaffen wären, dass w — eg -+ 1 oder mehrere 


ER 





En 


unter ihnen als Funktionen der übrigen betrachtet werden könnten, 
so würde die Aufgabe in Bezug auf die letzteren Funktionen immer 


RE 


noch überbestimmt sein, in Bezug auf die Unbekannten x, y, z etc. 
3 aber unbestimmt; und man könnte die Werthe der letzteren selbst 
- dann nicht einmal bestimmen, wenn die Werthe der Funktionen 
VW, V, V” ete. völlig genau gegeben wären; diesen Fall werden 
4 wir aber von unseren Untersuchungen ausschliessen. 

©: Sobald V, V’, V” ete. nicht von vorn herein lineare Funktionen 


ihrer Variabeln sind, so kann man ihnen diese Form geben, indem 
man an Stelle der ursprünglichen Unbekannten deren Unterschiede 
gegen angenäherte Werthe, welche man als anderweit bekannt vor- 
aussetzen darf, einsetzt. Die mittleren in den Bestimmungen V = L, 
V=L, V”= NL’ etc. zu befürchtenden Fehler bezeichnen 
wir bezw. mit m, m’, m” etc., und die Gewichte der Bestimmun- 
gen mit », 9’, p” etc., so dass pm? — p’m” = p’m” = etc. ist. 
Wir setzen das Verhältniss der mittleren Fehler zu einander als 
bekannt voraus, so dass die Gewichte, von denen man eines be- 


liebig annehmen kann, ebenfalls bekannt sind. Endlich setzen wir 
V=-L)Yp =v, (V-IW)VP = v, (V’—LN)VYp” = v” ete. 


2. Dann wird sich die Sache offenbar ebenso verhalten, als wenn un- 
mittelbare Beobachtungen von gleicher Genauigkeit, deren mittlerer 
- Fehler also = mVYp = m Yp’ = m” Vp” ete. ist, oder denen das 
Gewicht — 1 beigelegt wird, auf 


ar 


Pe 
rc 


er 
ze 
2 
a 
DER 
Non 
> 


4 










eh, vet id Be 


geführt hätten. 


20. 


Aufgabe Wir bezeichnen mit v, v’, v” etc. die folgen- 
den linearen Funktionen der Variabeln z, y, z etc.: 


ae+by+tez+t etc. + | 


de+by-+cdz+ete. +7 (1) 
Wa +b"y+ cz + etc, +!” etc. 


® 


(4 


„ 


24 Combination der Beobachtungen. 


Es soll aus allen Systemen von Coefficienten x, x, x” etc., 
welche allgemein 

w+xv+rv” +ete = ce —k i 
geben, wo k eine bestimmte, d.h. von »,y,zete. unabhängige 
Grösse ist, das System ermittelt werden, für welches 


x» -+x° + x” -+etc. den kleinsten Werth erhält. 
Lösung. Wir setzen 


w-+ av’ + av” +ete. = $ 
bv + b’v’ + b”’v” + etc. 
co + cv + cv” + etc. 


ete. Dann sind auch &, n, { etc. lineare Funktionen von x, y, z etc., 
nämlich 


(2) 


II 


vBab + yEb? + zZbe + etc. + Zbl 
—= race + yzZbe + ze + ete. + Zel etc. 


| 


E = aLa? +yZab + zac + etc. + Zal 

n | (3) 
ü 

(wo Za’ die Summe a’ + a” + a” + etc. bezeichnet, und analog bei 
den übrigen); die Anzahl der &, n, { etc. ist hierbei der Anzahl der 


Variabeln x, y, z etc. gleich, nämlich = o. Man kann deshalb durch 
Elimination eine Gleichung folgender Art ableiten *): 


2 — A+[ea]& + [aß]n + [ay]C + ete., 


aus welcher durch Substitution der Werthe von &, n, & ete. nach 


(3) eine identische Gleichung hervorgehen muss. Wenn man folglich 
a.[oa] + b [aß] + e [ay] + ete. = a 


a’ [aa] +’ [&ß] + € [ey] + etc. = @ (4) 


a” [aa] +’ [aß] + ce" [ey] + ete. = a” etc. 


setzt, so wird nothwendig allgemein 


av + av" + av” +ete. = 2x —A. (5) 
Diese Gleichung zeigt, dass unter die Werthsysteme der Coeffici- 
enten x, x’, x” etc. sicher auch dieses: x = a, # = «’, «’ = a” etc. 


zu rechnen ist, ebenso dass für ein beliebiges System allgemein 
(«— a)v+ (X —a)v” + (x —a”)v”’ Het = A—k 
werden muss; eine Gleichung, welche die folgenden einschliesst: 


*) Der Grund, weshalb wir für die aus einer solchen Elimination hervor- 


gehenden Coefficienten gerade diese Bezeichnung ausgewählt haben, wird später 
einleuchten. 


{n dia due 


Erster Theil. 95 


(x —e)a-+ (x — @') a’ + (#” — a”) a” + etc. 


=o 
ke —a)b + (X — a)b’ + (x — a”)b” + etc. = 0 
(«—a)ce + (a — a)e + (x&” —a”)e” Fette. = ( etc. 


= Multipliciren wir diese Gleichungen bezw. mit [a««]|, [@#], [ay] ete. 
- und addiren, so erhalten wir wegen (4): 

(x —a) «+ (# — a) a’ + (x#” — a”) a” + etc. = 0 
oder, was dasselbe ist, 


+2” +x” + etc. 
= e+o®ro”reie. + (ke — eo) + (# — a)? + (x — a)’ + etc., 















: woraus folgt, dass die Summe x? + x” + x” -H- etc. den kleinsten 
n Werth erhält, wenn man x = «a, # =«, x” —= a” etc. setzt. Was 
& zu finden war. 

4 Dieser kleinste Werth selbst wird übrigens auf folgende Weise 
4 ermittelt. Die Gleichung (5) zeigt, dass 

: ca+ «a + aa” tete. = 1 

1 ab + ab + ad’ + ete. = 0 


ac + «ec + ac” + etc. = Vetc. 


ist. Multiplieirt man diese Gleichungen bezw. mit [ea], [aß], 
[ay] ete. und addirt, so erhält man unter Berücksichtigung der 
Gleichungen (4) sofort 


a +0? +0” + etc. —= [ee]. 


21. 
Wenn die Beobachtungen die (der Wahrheit sehr nahe kom- 
menden) Gleichungen v= 0, ”=0, v”=0 ete. geliefert haben, 
so muss man, um aus ihnen den Werth der Unbekannten » zu 
finden, eine solche Combination 


x + xv + x’v”’ + etc. = 0 

dieser Gleichungen aufsuchen, dass der Coefficient von x gleich 1 
- wird, und die übrigen Unbekannten y, z etc. eliminirt werden; 
- dieser Bestimmung wird nach Art. 18. das Gewicht 

n s © 
E;: + x? +%”° + etc. 
zu geben sein. Aus dem vorigen Art. folgt daher, die zweck- 
-  mässigste Bestimmung werde die sein, wenn man x= «a, x = d', 
x” — a” etc, setzt. Alsdann erhält x den Werth A; offenbar 





26 Combination der Beobachtungen. 


kann man denselben Werth (ohne Kenntniss der Multiplicatoren 
a, @, @” etc.) auch direkt durch Elimination aus den Gleichungen 
E=-0,17=(,{=0ete. ableiten. Das dieser Bestimmung zu 


ertheilende Gewicht wird = oder der mittlere bei ihr zu be- 


fürchtende Fehler wird 


— mVp [ea] — m’ Yp [ea] = m’ Yp’ [ea] ete. 


Be 
[ee] ' 


sein. 

Auf analoge Weise wird ferner die zweckmässigste Bestim- 
mung der übrigen Unbekannten y, z ete. für sie dieselben Werthe 
ergeben, welche durch Elimination aus den nämlichen Gleichun- 
sen ä&=0, rn =0, { = etc. hervorgehen. 


Bezeichnen wir die allgemeine Summe v0” +v” +v” + ete. 

oder, was dasselbe ist, 
»p(V— L)’ + pP (V’ — LY + pP’ (V”— L”) + etc. 

mit 2, so sind offenbar 28, 2n, 2{ etc. die partiellen Difterential- 
quotienten der Funktion 2, nämlich 
d2 d2 d2 
de’ 2 NT a: re 
( Y 2 
Demnach werden die Werthe der Unbekannten, welche aus der 
zweckmässigsten Combination der Beobachtungen hervorgehen, und 
welche man passend die plausibelsten Werthe nennen kann, mit denen 
identisch sein, die 2 zu einem Minimum machen. Nun drückt 
V —.L allgemein die Differenz des berechneten und des beobachteten 
Werthes aus. Die plausibelsten Werthe der Unbekannten werden des- 
halb dieselben sein, welche die Summe der mit den Gewichten 
der Beobachtungen multiplicirten Quadrate der Differenzen zwischen 
den beobachteten und berechneten Werthen der Grössen V, V’, V”ete. 
zu einem Minimum machen, ein Princip, welches wir in der „T'heoria 
Motus Oorporum Üoelestinm“ von einem ganz anderen Gesichtspunkte 
aus festgestellt hatten. Und wenn ausserdem die relative Genauig- 
keit der einzelnen Bestimmungen angegeben werden soll, so muss 
man die w, y, z etc. durch unbestimmte Elimination aus den Glei- 
chungen (3) in folgender Form ableiten: 


z2 = A+[eoo]& + [aß] + [ey] & + etc. 


PAS 


y=B+[ße]& + [ßß]n + [By] 5 + ete. (7) 
2=C+[y]5+lyPßln + [yr]S+ ete. 
ete., 


wonach die plausibelsten Werthe der Unbekannten », y, z etc. 





Erster Theil. 27 


bezw. A, B,.C etc., und die diesen Bestimmungen zukommenden 


u. -. 1 1 1 a, 
i (Gewichte (&a]’ [BB] ’ [mr] ete., oder die mittleren be denselben 





zu befürchtenden Fehler 


für#...... mVp [aa] = mVp’ [aa] = m’Vp” [ae] ete. 
weu....., mVp [BB] = m’VYp’ [B$] = mV p” [PB] ete. z 
Der. ;. mVp [yy] = m’Vp’ |yr] = m’Vp” [yy] ete. 
etc. 


sein werden, ein Resultat, welches mit dem in der „Theoria Motus 
Corporum Coelestinm“ abgeleiteten übereinstimmt. 


22. 
Wir wollen den allereinfachsten, zugleich aber auch häufigsten 


- Fall, dass nur eine einzige Unbekannte vorhanden ist, und V — z, 








V=2,V’=e etc. wird, in Kürze besonders behandeln. Es 
wird nämlich a = Yp, a = Vp’, a = Yp” etc, 1 = -—LYp, 
= — LVp, il” = —L’Vp” ete., und folglich 
E=(p+p+p”+ ete)®e— (pL+pL’+p’L’ + ete.). 
Hieraus weiter 
1 
p+p'-+p” + etc. 
pL+pU+pl’+ete. 
p+.pP+p" + ete. 





[ao] = 


A= 








E Wenn man demnach aus mehreren Beobachtungen von un- 
gleicher Genauigkeit, deren Gewichte bezw. p, p’, p” etc. sind, 


- den Werth einer und derselben Grösse ermittelt hat, und zwar aus 


-— der ersten — L, aus der zweiten = L/’, aus der dritten = L” etec., 
80 wird der plausibelste Werth derselben 
|  pL +pi’+p’L’ + etc. 
P+P+p" Het 
und das Gewicht dieser Bestimmung = p +p’+ p” + ete. sein. 





L. Sind alle Beobachtungen von gleicher Genauigkeit, so wird der 







plausibelste Werth 
|  L+U+1’+ete. 
sein, d. h. gleich dem arithmetischen Mittel der beobachteten Werthe, 
und das Gewicht dieser Bestimmung = ., wenn man das Gewicht 
_ der Beobachtungen als Einheit annimmt. 








Zweiter Theil. 
(Der Königlichen Soeietät der Wissenschaften überreicht 1823, Februar 2.) 


23. 


Es erübrigen noch mehrere Untersuchungen, welche die vor- 
hergehende Theorie sowohl erläutern als auch besonders erweitern 
sollen. 

Vor allen muss man nachforschen, ob das Geschäft der Elimi- 
nation, mittelst deren die Unbekannten », y, z etc. durch die &, n, 
£ etc. auszudrücken sind, immer ausführbar ist. Da die Anzahl 
jener der Anzahl dieser gleich ist, so wird, wie man aus der Theorie 
der Elimination bei linearen Gleichungen weiss, jene Elimination 
sicher möglich sein, wenn 5, n, { ete. von einander unabhängig 
sind, im anderen Falle unmöglich. Nehmen wir für den Augen- 
blick an, &, n, & etc. seien nicht von einander unabhängig, sondern 
es bestehe zwischen ihnen die identische Gleichung 


0 = F£E+Gn+Hö+ete. +K. 
Wir hätten dann 


Fra’ + Gab + HZac + etc. = 0 
Fzab + GZb? + Hzbe + etc. = 0 
FzZac + GZbe + He? + etc. = 0 


etc., und ferner | 
| Fzal + Gzbl + Hzel + etc. = —K. 
Setzt man alsdann 


aF+bG-+cH-+etc. 
«FE +bG+ecH-+ etc. 
a’F +b’G +c’H +etc. 


(1) 


IN A 
80 


etc., so folgt 


24 . 
a ne EL at aa m nen 


Zweiter Theil. 29 


a9 + «d9 +a’9’ +etc. = 
v0 + + 1’@" tete. = 0 
c9 + c9 +c"0’ + etc. — 
etc., und ausserdem 

I9 + 10 + 1’O0’ +etce. = —K. 


Multiplieirt man demnach die Gleichungen (1) bezw. mit ©, 9, Q" etc. 
und addirt, so erhält man 


0 = + 09? 9” + etc, 


eine Gleichung, welche offenbar nicht bestehen kann, wenn nicht 
gleichzeitig © = 0, @ = 0, ©’ = etc. wäre. Hieraus schliessen 
wir erstens, dass nothwendig K = 0 sein muss. Sodann zeigen 
die Gleichungen (1), dass die Funktionen v, v’, vo” etc. so beschaffen 
sind, dass ihre Werthe sich nicht ändern, wenn die Werthe der 
Grössen , y, z etc. um Grössen zu- oder abnehmen, welche bezw. den 
F, 6, H etc. proportional sind. Dasselbe wird offenbar von den 
Funktionen V, V’, V” etc. gelten. Die Voraussetzung kann also nicht 
statt haben, ausser in dem Falle, wenn es sogar schon unmöglich 
gewesen wäre, aus den genauen Werthen der Grössen V, V’, V” ete. 
die Werthe der Unbekannten x, y, z etc. zu bestimmen, d. h. wenn 
die Aufgabe ihrer Natur nach unbestimmt gewesen wäre, einen 
Fall, den wir von unserer Untersuchung ausgeschlossen haben. 


















24. 
Wir bezeichnen mit 8, $', $’ etc. Multiplicatoren, welche der 
Unbekannten y gegenüber dieselbe Rolle spielen, wie die «, «' «” etc. 
gegenüber dem »; es sei also 
a [Ba] + d [88] + e |$y] + ete. = P 
[Be] + [BR] + e[ßy] + etc. = P 
[Ba] + D’[BB] + e’[B7] + et. — B' 
etc, so dass allgemein wird 
E B+RßV+BvV”+eie. = y—B. 
a“ Ebenso seien 7, y, y” etc. analoge Multiplicatoren in Bezug auf die 
Unbekannte z, demnach 


al[ye] +5 [yßl+ elyyl + ete. = y 
a[ya] + b[yß] + eIyy] + ete. = 
a’{ya] + d’[yß] + e'Iyy] + ete. = r’ 
etc, so dass allgemein wird 


Ds 


30 Combination der Beobachtungen. 


yp+yVv+yvV”" tete = z2—C 
und so weiter. Ebenso wie wir im Art. 20. bereits fanden, dass 
Zoa = 1, Zab=0, Zac—=( etc, und ausserdem Zal = — A, 
so erhalten wir hiernach auch 
=Ba =0, 2b —=1, 2Zße=Oete. und Bl = —B 
ja =d, MI, ml md MY=—C 


u. Ss. w. Und gerade so, wie man im Art. 20. erhielt Za® — [««], 
wird auch 


ze — [Bßl, Zr — Iyyl ete. 
Wenn man ferner die Werthe der «, a‘, «” etc. (Art. 20. (4)) 
bezw. mit 8, 8°, %” etc. multiplieirt und addirt, so erhält man 
aß + aß’ + aß” + etc. = [aß] oder Zaß —= [af]. 
Multiplieirt man aber die Werthe von £, 8, ß” ete. bezw. mit 
a, a, «@’ etc. und addirt, so folgt ebenso 
aß + aß + a”ß” + etc. — [Ba], also [«#] = |Pße]. 


Es wird weiter auf analoge Weise gefunden 
[ey] = Iye] = Zey, [By] = Ir] = zPy ete. 


25. 


Ferner bezeichnen wir mit A, 4, A” etc. diejenigen Werthe 
der Funktionen », v’, v” etc., welche erhalten werden, wenn wir 
für », y, z ete. ihre plausibelsten Werthe A, B, © etc. einsetzen, also 


aAtbB+eC+tete+I —=4A 

«aA+bB+eC-+ete +7 

«A+bB+eC+ete.+”7= X 
etc.; wir setzen ausserdem 

”+HM+N”+etc.=M, 

so dass M der Werth der Funktion 2 ist, welcher den plausibelsten 
Werthen der Variabeln entspricht, mithin auch der kleinste Werth 
dieser Funktion, wie wir im Art.20. gezeigt haben. Hiernach wird 
ah + aW + al’ + etc. der Werth von &, welcher den Werthen 
ze =A,y=B, z=C ete. entspricht, und zugleich = 0 sein, 
d. h. wir erhalten 


| 
D 


Zu = 0, 
und es wird ebenso 





















oder 


Zweiter Theil. 31 


zb — 0, ZceA—Vete.; ausserdem Zei — 0, ZBA = 0, zyl — 0 
etc. Multiplieirt man endlich die Ausdrücke von A, X, 2” ete. 


4 bezw. mit A, A, A” etc. und addirt, so erhält man 


MHIV HUN +etc. = PH? +N”? + etc. oder 
23 =.M. 


26. 

Ersetzen wir in der Gleichung v» = ax + by +cz + ete. +1 
die ©, y, z etc. durch die Ausdrücke (7) des Art. 21., so folgt mit 
Hülfe von aus dem Vorhergehenden geläufigen Reduktionen 

v =af +Pn +yl +etc. +4 
und ebenso wird allgemein 
"vd =edE+Phn+Yyirete +4 
"at ntrStrete + 
ete. Multipliciren wir diese oder die Gleichungen (1) des Art. 20. 
bezw. mit A, 4, A” etc. und addiren, so sehen wir, dass allgemein ist 


w+AvV +Nv”+ete. =M. 


aT. 
Die Funktion 2 kann im allgemeinen in mehreren Formen 
dargestellt werden, welche zu entwickeln die Mühe lohnen wird. 


Und zwar erhält man zunächst aus den Gleichungen (1) des Art. 
20. durch Quadriren und Addiren unmittelbar 


2 — Ba? + yYEb° + Fe + etc. + 2uyZab + 2rztac + AyzZbe 
+ etc. + 2r2al + 2yzbl + 22Zcl + etc. + ZP 


als erste Form. 


Multiplieirt man dieselben Gleichungen bezw. mit vo, v, v” 


‘etc. und addirt, so erhält man 


2 = Er+ny+%+ etc. + lo + lv + 1’v” + etc. 


und hieraus, indem man für v, v', v” etc. die im vorhergehenden 
_ Art. gegebenen Ausdrücke einsetzt, 


2= ct my+Lz +etc. — AE—Bn— 0£— etc. +M 


2 = E@—A)+ny—B)+Lle@—C)+tete. +M 


E als zweite Form. 


32 Combination der Beobachtungen. 


Setzen wir in der zweiten Form für &—A,y—B, z—C 
etc. die Ausdrücke (7) des Art. 21., so erhalten wir die dritte Form 


2 = [ea] &® + [AB] a’ + [yy] + ete. + 2[ep] 57 
+ 2[ey] 5° + 2[ßy]n& + etc. + M. 
Diesen kann als werte Form die folgende hinzugefügt werden, 


welche sich aus der dritten und aus den Formeln des vorherge- 
henden Art. von selbst ergiebt, 


2—= w— + (wW"—A) + (w”— AN) + ete. + M, oder 
2—= M+Xr—A), 
welche Form die Bedingung des Minimums unmittelbar vor Augen 
führt. 
28. 


Es seien r, e’‘, e” etc. die Fehler, welche bei den Beobachtun- 
gen, de V=L, V’’ = L, V” = TL’ete. ergeben haben, began- 
gen sind; d. h. die wahren Werthe der Funktionen V, V’, V” ete. 
seien bezw. L—e, L’—e, L’— e’ etc, und folglich die wahren 
_ Werthe von v, v',v” etc. bezw. — eVp, — e’Vp’, — e”Vp” ete. Hier- 
mit wird der wahre Werth des x _ 

— A— oeYp — dep’ — a’e”Vp” etc., 
oder der bei der zweckmässigsten Bestimmung des Werthes von x 
begangene Fehler, den wir mit E(») bezeichnen wollen, ist 

— aeVp + «eVp’ + a’e’Yp” + ete. 
Analog wird der bei der zweckmässigsten Bestimmung des Werthes 
von x begangene Fehler, den wir mit E(y) bezeichnen werden, 

—= ßeVp + BeVp’ + B’e”Vp” + ete. 
Den mittleren Werth des Quadrates |E(z)]’ findet man 

| — mp( +a”+a”+etc) = m’p|ee], 
den mittleren Werth des Quadrates [E(y) ebenso = m’p [8] etec., 


wie wir schon oben zeigten. Nun kann man auch den mittleren 
Werth des Produktes E(x) E(y) angeben; derselbe wird nämlich 


—= m’p (aß + «aß + aß” + etc.) = m’p [ef] 
gefunden. Man kann dieses kurz auch so ausdrücken: Die mittleren 
Werthe der Quadrate |E(»), [E(y)] ete. sind bezw. den Pro- 


dukten aus 1 m’p in die partiellen Differentialquotienten zweiter 
Ordnung 


Zweiter Theil. 33 


2 a2 

F d dE* ’ dn? 

4 eich, und der mittlere Werth eiaen solchen Produktes, wie E(z) E(y), 

ist gleich dem Produkte aus — m? p in den Differentialquotienten 
’Q 

= En in? wenn man nämlich 2 als Funktion der Variabeln &, n, Z etc. 


betrachtet. 


etc. 


29. 


Es bezeichne / eine gegebene lineare Funktion der Grössen 
2, Y, z etc., es sei also 


t= je +gy+hz+ete.+k. 
Der aus den plausibelsten Werthen von x, y, z etc. hervorgehende 
Werth von £ wird demnach = JA + gB+hC + etc. + k sein, 
- den wir mit K bezeichnen wollen. Nimmt man diesen als wahren 
- Werth von t an, so wird ein Fehler begangen 


— fE(&) + gE(y) + hE(z) + ete., 
- der mit E(t) bezeichnet werden möge. Der mittlere Werth dieses 
Fehlers wird offenbar — 0, d. h. der Fehler wird von einem con- 


4 stanten Theil frei sein. Der mittlere Werth des Quadrates [E(i)]', 
d. h. der mittlere Werth der Summe 


FlE@)F + 279 E(@) E(y) + 21h E(z) Ele) + etc. 
+ SIE] + 27h E(y) E@) + ete. 
+ h’ [E(@z)]’ + ete. etec., 


4 wird aber nach den Ergebnissen des vorigen Art. gleich dem Pro- 
i _ dukte aus m’p in die Summe 
Fee] + 2/9 [eß] + 2/h [ey] + ete. 
+ g’[BB] + 2gh [$y] + ete. 
+ #Af[yy] + ete. etc. 


; _ oder gleich dem Produkte aus m’p in den Werth der Funktion 
- 2-—M sein, welcher durch die Substitutionen 


E=f,1272=9, | =heete. 


entsteht. Bezeichnen wir also diesen bestimmten Werth der Funk- 
tion @—M mit @, so wird der mittlere zu befürchtende Fehler, 
wenn wir an der Birhriung t—=K festhalten, — mVpw, oder das 















Gewicht dieser Bestimmung — = sein. 


Gauss, Methode der kleinsten Quadrate, 3 


RN 0 


34 Combination der Beobachtungen. 


Da allgemein 
2—M = («—A)5E+(Yy—B)n+(2—C)T + etc. 
ist, so muss w auch dem bestimmten Werthe des Ausdrucks 


@—AM/+YW—-BDg+E—Oh+ete,, 

d. h. dem bestimmten Werth von {—K gleich sein, welcher sich 

ergiebt, wenn man den Variabeln », y, z etc. diejenigen Werthe bei- 

legt, welche den Werthen /, g, h etc. der &, n, & etc. entsprechen. 
Endlich merken wir noch an, dass, wenn ? in der Form einer 

Funktion der &, n, { etc. allgemein dargestellt wird, der constante 

Theil derselben nothwendig —= K wird. Wenn also allgemein 


— FE+@n+Hö+ete. +K 
ist, so wird © = fF+9gG +AH + etc. 


30. 


Die Funktion 2 erlangt, wie wir oben gesehen haben, ihren 
absolut kleinsten Werth M, wenn man z=A,y=B, z= Cete, 
oder&=0,n=0, 5=Lete. setzt. Ist aber irgend einer 
dieser Grössen schon ein anderer Werth beigelegt, .BBz=A-+A, 
so kann 2 durch Aenderungen der Uebrigen einen relativ kleinsten 


Werth erlangen, welcher offenbar mit Hülfe der Gleichungen 
d2 d2 
= A775, TR gg I! ee 


erhalten wird. Es muss deshalb „ = 0, Ü = 0 etc. werden, und 
ferner, da ja 


= A+[eo]5+[eß]n +[ey]S + ete. ist, 5 = 


Zugleich wird man haben: 


a 
[eo] 


[eß] | [ey] \ 
Pertae ‚= 047 etc. 


Der relativ kleinste Werth des 2 wird aber 


= [ao] +M = MH 2 


Umgekehrt schliessen wir hieraus, dass, wenn der Werth des 2 
eine vorgeschriebene Grenze M + w° nicht überschreiten soll, als- 
dann auch der Werth des z nothwendig in den Grenzen A — u VIae] 
und A + uY[e«] liegen muss. Es verdient angemerkt zu werden, 


- 


Zweiter Theil. 35 


dass uV[e@] dem mittleren zu befürchtenden Fehler des plausibelsten 
'Werthes von z gleich wird, wenn man &« = mYp setzt, d. h. wenn 
MH gleich dem mittleren Fehler solcher Beobachtungen ist, welche 
das Gewicht 1 besitzen. 
Allgemeiner wollen wir den kleinsten Werth von 2 aufsuchen, 
welcher für einen gegebenen Werth von ? eintreten kann, wenn t£ 
_ wie im vorigen Art. die lineare Funktion fx + 9y-+hz + ete, + k 
bezeichnet, und ihr plausibelster Werth = K ist; jener vorge- 
_ schriebene Werth des 2 sei K-+ x. Aus der Theorie der Maxima 
‘ und Minima ist bekannt, dass die Lösung der Aufgabe aus den 
Gleichungen 











a2 _ gi 
de dx 

° a2 dt 
a 
a2 dt 
Be 97 te 















erhalten wird, d..h.as& = ©%, n= 9y, E = Ohetc., wenn 
man mit © einen zunächst unbestimmten Faktor bezeichnet. Wenn 
wir also, wie in dem vorhergehenden Art., allgemein 


t = F&+6Gn+Hö+ete.+K 


setzen, so haben wir 
K+x = o/F+9G+hH-+ etc) -+K, oder 


% 
e—-_-, 
177) 


wo @ in derselben Bedeutung wie im vorigen Art. zu nehmen ist. 
- Und da Q@— M im allgemeinen eine homogene Funktion zweiter Ord- 
- mung der Variabeln 5, 7, & etc. ist, so wird augenscheinlich ihr 
- Werth für &= 9%, n = 99, & = ©h ete. — ©, und folglich 
s der kleinste Werth, den 2 für = K-+x erhalten kann, gleich 


2 
M+0o =M+ — werden. Umgekehrt, wenn 42 irgend einen 


vorgeschriebenen Werth M + u’ nicht überschreiten soll, so muss der 
_ Werth von i nothwendig in den Grenzen K— uVYw und K-+ uVo 
enthalten sein, wo uY» dem mittleren bei der plausibelsten Bestim- 
mung von i zu befürchtenden Fehler gleich ist, wenn man « als den 
- mittleren Fehler der Beobachtungen annimmt, deren Gewicht — 1 ist. 
3*+ 


36 Combination der Beobachtungen. 


31. 


Wenn die Anzahl der Grössen #, y, z etc. etwas grösser ist, 
wird die numerische Bestimmung der Werthe A, B, C etc. aus den 
Gleichungen &= 0, n = (0, © = 0 etc. vermittelst der gewöhn- 
lichen Elimination ziemlich lästig sein. Deshalb haben wir in der 
Theorie der Bewegung der Himmelskörper, Art. 182., auf einen eigen- 
thümlichen Algorithmus hingewiesen, und denselben in der Unter- 
suchung über die elliptischen Elemente der Pallas (Comment. recent. 
Soc. Gotting. Vol. I) des weiteren entwickelt, durch welchen jene 
Arbeit, soweit es der Gegenstand erlaubt, thunlichst vereinfacht wird. 

Die Funktion 2 ist nämlich auf folgende Form 


[222 


Wr u 


u? u” 
DU Ta + GC tra97 + etc. +M 





zu bringen, wo die Divisoren W’, ®, €”, D” etc. bestimmte Grössen, 
w, wW, uw, w” etc. aber lineare Funktionen von x, y, z etc. sind, 
von denen indess die zweite « kein », die dritte «” kein » und 
kein y, die vierte «” kein x, y und z, und so weiter, enthält, wo- 
nach die letzte «”—-» nur noch von der letzten der Unbekannten 
x, y, z etc. abhängt; endlich sind die Coefficienten, mit denen x, 
y, z ete. bezw. in «, «, «” etc. multiplieirt sind, bezw. den MW, 
B, © etc. gleich. Alsdann hat man = 0, vv=(I, W"=(, 
w«” = 0 etc. zu setzen, um die Werthe der Unbekannten z, y, 2 
etc. in umgekehrter Reihenfolge so bequem wie möglich abzu- 
leiten. Es erscheint unnöthig, den Algorithmus selbst, durch welchen 
diese Transformation der Funktion 42 bewirkt wird, hier noch ein- 
mal zu wiederholen. 

Aber eine noch viel weitläufigere Rechnung erfordert die unbe- 
stimmte Elimination, mit deren Hülfe man die Gewichte jener Bestim- 
mungen aufzusuchen hat. Zwar das Gewicht der Bestimmung der letz- 
ten Unbekannten (welche allein in dem letzten «‘* —» vorkommt) wird 
nach dem, was in der „Theorie der Bewegung der Himmelskörper“ 
gelehrt ist, leicht gleich dem letzten Gliede in der Reihe der Divisoren 
AM, ®, © etc. gefunden; deshalb haben sich einige Rechner, um jene 
lästige Elimination zu umgehen, in Ermangelung anderer Hülfsmittel, 
dazu entschlossen, den öfter erwähnten Algorithmus mit veränderter 
Reihenfolge der Grössen x, y, z etc. zu wiederholen, indem sie nach 
und nach den einzelnen Unbekannten den letzten Platz anwiesen. Wir 
hoffen deshalb auf den Dank der Mathematiker, wenn wir zur Berech- 


Zweiter Theil. 37° 






nung der Gewichte der Bestimmungen eine neue, aus einer tieferen 
_ Analya der Beweisführung geschöpfte Methode, welche nichts mehr 
zu wünschen übrig zu lassen scheint, hier auseinander setzen. 


3. 
F Nehmen wir also an, es sei 
# : w = Wr +By+ Oz +etce. +! 


a By +Czr tete + (1) 
u = &’z2+ etc. + 
etc. 


3 Hieraus folgt im allgemeinen 
| 5dQ = &da + ndy + Ldz + ete. 


w dw = uw dw + no 


u + # + etc. 





A elargurt Bat ete.) 


ir 


+ (av + wit ete.) + u” (dz + etc.) Ayler 


woraus zu erschliessen 









& Si 
gr ru (2) 
s : etc. | 
_ Nehmen wir an, es ergäben sich hieraus die folgenden Formeln 
Mertıs 
“= Aö+Bn+: 
etc. 


Von Cm nen Differential der Gleichung 
7 = E@—A)+ny—B+L@—O)+etc+M 
SR wir nunmehr die Gleichung 
= 40 — Ede + ndy + Sdz + etc, 
und ne 





a, 


38 Combination der Beobachtungen. 


5d2 = («—A)dE+y—B)dn +@—O)dd + etc, 


welcher Ausdruck mit dem übereinstimmen muss, der sich aus (3) 
ergiebt, nämlich mit 


MAE+ (RUE + dm) + gr (AdE + B’ag + dt) + ee. 


Hieraus folgern wir 





2 = — Has rer + etc. +A 

ee nn tee +B (4) 
z = Er + et. + 0 

etc. 


Wenn man in diese Ausdrücke für w, w, «” etc. ihre aus (3) ent- 
nommenen Werthe einsetzt, so wird die unbestimmte Elimination 
erledigt sein. Und zwar erhält man zur Bestimmung der Ge- 
wichte 


= FT 
[ao] = 5 u 132 + 9” + etc. 
B” RB’? 
[8 ß ] aan) = + — &” + D’” + etc. (5) 
1 Dh 
lyr) = © + —, 37 + etc, 


etc., 


Formeln, deren Einfachheit nichts zu wünschen übrig lässt. Uebrigens 
ergeben sich auch für. die anderen Coefficienten [«#], [«y], [#y] etc. 
gleich einfache Formeln, welche wir indessen, da sie seltener ge- 
braucht werden, hier beizufügen unterlassen. 


33. 


Wegen der Bedeutung des Gegenstandes, und um Alles für die 
Rechnung bereit zu stellen, wollen wir auch die expliciten Formeln 
zur Bestimmung der Coefficienten A’, A”, A” etc., B”, B” etc. etc. 
hierherschreiben. Diese Rechnung kann auf eine doppelte Weise 
geführt werden, da dieselben Gleichungen sich ergeben müssen, ob 
man nun die aus (3) entnommenen Werthe der «°, w, «” ete. in (2) 
einsetzt, oder die Werthe der &, n, £ etc. aus (2) in (3). Die 
erste Rechnungsart liefert folgendes Formelsystem; 


Zweiter Theil, 39 






B F 

Br 

& » 2 

DR it wyA +A 0 

Q Ey : DH” 3 ni 
ge + Di A ar 71 & A + A EIER 0 


_ ete., woraus A’, A”, A” etc, gefunden werden, 


ytr=0 

D’ D” ” m ar 

Pi + 2% 174 B + B ge 0 
etc, woraus B”, B” etc. gefunden werden, 

D” MIR m 

wre 0 


ete., woraus ©” etc. gefunden werden. U. s. w. 
Die andere Rechnungsart ergiebt folgende Formeln: 


VI —=N(, 
woraus A’ erhalten wird, 


VA+VB+O = 
Da B’” -H & 


' woraus B” und A” erhalten werden, 


Jr A” + Da B” + & cr + D° Pan 
BB” +€CC0”+P% 
&” er + D’ ee 


woraus 0”, B”, A” erhalten werden. U. s. w. 

Beide Rechnungsarten sind ungefähr gleich bequem, wenn 
die Gewichte sämmtlicher Bestimmungen z, y, z etc. verlangt 
werden; wird aber nur eine oder die andere der Grössen |a«], 
- [88], [yy] ete. gesucht, so ist offenbar das erstere System weit 
vorzuziehen. 

E Uebrigens führt eine Combination der Gleichungen (1) mit (4) 
zu denselben Formeln und verhilft uns ausserdem zu einer doppelten 
= Berechnung der plausibelsten Werthe von A, B, C etc. selbst, 


> 


l 
ooo 





40 Combination der Beobachtungen. 











; u 5 vr 4 mr 
A 50 —A % —A G —A Sr — etc. 
w S ug = a” =“ 
B= , —B o —B a” etc. 
| U e gr” ” 
= ”" —C I” etc. 


etc. 


Die andere Rechnung ist mit der gewöhnlichen identisch, bei der 
—=0, W=(0, wW” = 0 etc. gesetzt ‚wird. 


34. 
Die Entwickelungen des Art. 32. sind indessen nur specielle 
Fälle eines allgemeineren Lehrsatzes, der folgendermaassen lautet: 
Lehrsatz. Es bezeichne ? folgende lineare Funktion 
der Variabeln «, y, z etc. 


t= je +gy+hz +ete.+%, 
welche sich als Funktion der Variabeln «, «, «’ etc. in 
der Form 
t=kKwW+kwW+ kW + etc. +K 
darstellt. Alsdann wird K der plausibelste Werth des 
t sein, und das Gewicht dieser Bestimmung 


1 
AR? + BE + E’%E”? + etc. 


Beweis. Der erste Theil des Lehrsatzes folgt aus dem Um- 
stande, dass der plausibelste Werth von t den Werthen « = 0, 
w = 0, w —= 0 etc. entsprechen muss. Zum Beweis des zweiten 
Theils bemerken wir, da 





5 d2 —= $dx + ndy + Idz +ete. und dt = fdx + gdy + hdz + ete. 


ist, dass für& = f, n= 9, 5 = h ete., unabhängig von den 
Werthen der Differentiale üi dz etc., 


= 2d 


sein muss. Daraus folgt aber, dass für dieselben Werthe 2 Br 
U 


= Mn 2 IR er du” + etc, = Kdw + kdu + k’du” + ete. 


k 


Zweiter Theil. 41 


wird. Auch erkennt man leicht, wenn d«, dy, dz ete. von einander 


- unabhängig sind, dass auch dw, dw, du” etc. von einander unab- 
- hängig sein müssen; woraus wir entnehmen, dass für&—=/f,n = g, 


ve — WR W= Bh, W = CR etc. 


ist. Folglich wird der Werth von 2, welcher zu denselben Werthen 


gehört, 
= WE’ + BR +C%”+ete.+M, 


woraus nach Art. 29. sofort die Richtigkeit unseres Lehrsatzes folgt. 





Wenn wir übrigens die Transformation der Funktion ? un- 
mittelbar, d. h. ohne Kenntniss der Substitutionen (4) des Art. 32., 
ausführen wollen, so stehen die Formeln zur Verfügung: 

I=3& 
g= BE +BE | 
h= ER +TCk +C%K” etc., 


woraus nach und nach die Coefficienten %°, %’, %” etc. bestimmt 


werden, und sich endlich ergiebt: 
K=k—YUR — UW — !%R” — etc. 


35. 


Einer besonderen Behandlung werth ist das folgende Problem, 
sowohl seiner praktischen Nützlichkeit, als seiner eleganten Lösung 
wegen: 

Die Aenderungen in den plausibelsten Werthen der 
Unbekannten, welche durch Hinzufügung einer neuen 
Gleichung bewirkt werden, ebenso wie die Gewichte der 
neuen Bestimmungen zu finden. 

Wir behalten die oben benutzten Bezeichnungen bei, so dass 
die auf das Gewicht —= 1 zurückgeführten, ursprünglichen Glei- 
chungen die folgenden sind: vo = 0, Yv = 0, v” = 0 etc., und die 


allgemeine Summe »’ + 0" + »” + etc. = 2 ist; ferner seien 
&, n, & etc. die partiellen Differentialquotienten 
32: AS. dd 


Ir’ day’ 2, 


und endlich möge aus der unbestimmten Elimination folgen: 


2 = A-+[oa]5+ [ef] +[ay]& + ete. 
v— B+ [aß] + [88]7 + [89] + ete. | iu 
2=C +L[er]& + [Bra + rl + ete. ( 
etc. 





42 Combination der Beobachtungen. 


Wir nehmen nun an, eine (sehr nahe richtige, auf die Gewichts- 
einheit bezogene) neue Gleichung ©* = 0 trete hinzu, und wir 
wollen nachforschen, wie gross die hieraus hervorgehenden Aende- 
rungen sowohl in den plausibelsten Werthen der Unbekannten 
A, B, C etc., als auch in den Coefficienten [aa], [«#] etc. seien. 


Wir setzen 


* * * 
om © ar. . 99 


’ Die 3 — [{* etc. 


’ Zdy et Pa 
und nehmen an, durch Elimination folge hieraus 
x = A* + [ao*] 5* + [@ß*] n7* + [ey*] &* + etc. 

Endlich sei 

vr = fet+gy+hz +ete.+k, 
und durch Einsetzung der Werthe für x, y, z etc. nach (1) folge hieraus 

= F&+Gn+Hö-+ete + K; 

sodann setze man 

F/+Gg9+Hh+ete. =. 


Offenbar wird K der plausibelste Werth der Funktion v* sein, 
wie er sich aus den ursprünglichen Gleichungen ergiebt, ohne Rück- 
sicht auf den Werth 0, welchen die hinzutretende Beobachtung 


geliefert hat, und En wird das Gewicht dieser Bestimmung sein. 
Wir haben nun 
*eirft, Hen+gr, = LC+m* ete. 
und deshalb 
F&* + G7* + Hi* tet. +K = v* + Ff+Gg + HR + etc.) 
oder 





. F&* + G7* + Hö* + etc. +K 
07. ‚ ARRPR ; 
Ebenso wird 
2 = A + [oa] &* + [8] 7* + [ey] &* + etc. 
— 2* (j[aa] + 9[aß] + Hey] + etc.) 
A + [ea] 5* + [aß] n* + [ey] &* + etc. — Fv* 
A + [aa] &* + [oß] 7* + [ey] &* + etc. 


EL Er (F&* + Gy* + H{* + etc. + K). 














Zweiter Theil. 43 


Hieraus schliessen wir demnach, dass 


FK 


N RER ne 
ae 1+w 


= der plausibelste Werth des » aus allen Beobachtungen sein wird; 
_ und da ferner 





m: 
[«a*] — [aa] — 1275 
so ist das Gewicht dieser Bestimmung 
1 
F? 
10) Toy 


- Auf dieselbe Weise wird ferner der auf allen Beobachtungen be- 


; ruhende plausibelste Werth des y gefunden 


GK 


WR. ano npkiii : unsenennitnibr 
ee 


: und das Gewicht dieser Bestimmung 


Ad 1 
-= Er 
[BP] — 110 





_ und so weiter. W. z. f. w. 


a 

Sr 
" 

23 


n 


r 
% 





j 
1 
| 
2 





Dieser Lösung mögen einige Bemerkungen beigefügt werden. 


I. Durch Einsetzung dieser neuen Werthe A*, B*, 0* etc. 
erhält die Funktion v* den plausibelsten Werth 


ee 


1 Und da nn 


K 
sk art trete 


ist, so ergiebt sich nach den Principien des Art. 29. das Gewicht 


dieser Bestimmung 
= 1+o 
-— Ff/+Gg+ Hh + etc. 


Dasselbe folgt unmittelbar aus der Anwendung der am Ende 





1 
=—+l 


4 des Art. 22. gegebenen Regel; die Gruppe der ursprünglichen 


44 Combination der Beobachtungen. 


Gleichungen würde nämlich die Bestimmung v* = K mit dem Ge- 
wicht z geliefert haben, sodann hätte die neue Beobachtung eine 


andere, von jener unabhängige Bestimmung v* = 0 mit dem Ge- 
wichte = 1 gegeben, und durch Combinirung beider würde die Be- 


stimmung »* = ———— mit dem Gewichte = = + 1 folgen. 
1 7% () 


.„ H. Hieraus folgt weiter, da für x = A*, y = B*, z = (* etc. 
auch &* —= 0, 7* = 0, {* = 0 etc. sein muss, dass für dieselben 


Werthe 
fK 2 gK hK 


ae ET „= SI = Fir, etc. 


wird, und ferner, da allgemein 
2—= $(&@-—-A)+ny—B+Lß@—CO)+ete.+M 
ist, | 


5. K? wK?° 


und endlich, weil ja allgemein 2* = 2 + v* ist, 
wK” K’ K’ 
re 
(+oy"Aroy aeg 
III. Vergleichen wir diese Ergebnisse mit den im Art. 30. 


vorgetragenen, so bemerken wir, dass hier der kleinste Werth der 
Funktion 2 derjenige ist, welchen sie für den bestimmten Werth 


der Funktion v»* = rar annehmen kann. 


36. 
Für das folgende, dem vorhergehenden ähnliche Problem: 
Die Aenderungen in den plausibelsten Werthen der 
Unbekannten, welche durch die Aenderung des Gewichts 
irgend einer der ursprünglichen Beobachtungen bewirkt 
werden, und ebenso die Gewichte der neuen Bestimmungen 
aufzusuchen. 


soll hier nur die Lösung Platz finden, während wir den Beweis, 
welcher nach Analogie des vorigen Art. leicht geführt wird, der 
Kürze halber unterdrücken. 

Nehmen wir an, es werde erst nach Vollendung der Rechnung 
bemerkt, dass man einer gewissen Beobachtung ein zu kleines oder 
zu grosses Gewicht beigelegt habe; z. B. habe man etwa der ersten, 


Zweiter Theil. Be. 


welche V = L gegeben hat, an Stelle des in der Rechnung ange- 
wandten Gewichtes p richtiger das Gewicht p* beizulegen. Alsdann 
wird es nicht nöthig sein, die ganze Rechnung zu wiederholen, 
- sondern es lassen sich bequemer aus nachfolgenden Formeln Correc- 
tionen berechnen. 

| Die verbesserten plausibelsten Werthe der Unbekannten werden 
folgende sein 





Re u es 












p + (p* —p) (aa + bß + ey + ete.) 
Fe ("—p) A 

p + (p*—p)(ae + bB + cy + etc.) 
gd (p* —p) y4 





(in 
| p-+ (p*—p) (aa + bBß + cy + etc.) 

etc., und die Gewichte dieser Bestimmungen werden gefunden, wenn 
man die Einheit bezw. durch 











7 = (»"—p) e 
; PATE ENGEL ME Wole) 
’ p + (p* —p) (aa + bB + ey + etc.) 
$ we Se 4 | 
bZ2 p + (p*—p) (aa +bß + cy + ete.) da 


dividirt. Diese Lösung begreift auch den Fall in sich, wo man 
nach vollendeter Rechnung bemerkt, dass eine der Beobachtungen 
gänzlich zu verwerfen sei, da dies dasselbe ist, als wenn man p* = 0 
setzt; und ebenso entspricht der Werth »* = » dem Fall, wo die 
Gleichung V = L, welche in der Rechnung als angenähert be- 
handelt worden war, in der That absolut genau ist. 

; Wenn übrigens zu den Gleichungen, welche der Rechnung zu 
4 Grunde gelegt sind, mehrere neue hinzukommen, oder wenn man 
- bemerkt, dass mehreren von ihnen irrige Gewichte beigelegt sind, 
- so würde die Berechnung der Correctionen zu verwickelt werden; 
- deshalb wird man in diesem Fall es vorziehen, die Rechnung von 
_ neuem zu beginnen. 

F 37. 

3 In den Art. 15., 16. haben wir eine Methode zu einer mög- 
- lichst angenäherten Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen 
gegeben*). Diese Methode setzt aber voraus, es seien die wirklich 





*) Eine Untersuchung über denselben Gegenstand, welchen wir in einer 





46 Combination der Beobachtungen. 


begangenen Fehler hinlänglich zahlreich und genau bekannt, 
eine Voraussetzung, welche streng genommen sehr selten, oder sagen 
wir lieber nie, zutreffen wird. Wenn aber wenigstens die Grössen, 
deren angenäherte Werthe durch Beobachtungen ermittelt wurden, 
nach einem bekannten Gesetz von einer oder mehreren unbekannten 
Grössen abhängen, so lassen sich die plausibelsten Werthe der letz- 
teren durch die Methode der kleinsten Quadrate bestimmen; und von 
den hieraus berechneten Werthen der Grössen, welche den Beobach- 
tungen unterworfen waren, wird vorausgesetzt, da sie nunmehr sehr 
wenig von den wahren Werthen abweichen, so dass ihre Unterschiede 
gegen die beobachteten Werthe mit um so grösserem Rechte als 
wahre Beobachtungsfehler behandelt werden dürften, je grösser ihre 
Anzahl gewesen ist. Dieses Verfahren haben alle Rechner befolgt, 
welche a posteriori die Genauigkeit von Beobachtungen in bestimmt 
vorliegenden Fällen zu schätzen unternahmen: offenbar ist dasselbe 
aber theoretisch fehlerhaft, und obwohl es in vielen Fällen für den 
praktischen Gebrauch genügen mag, kann es gleichwohl in anderen 
stark irre führen. Deshalb ist dieser Gegenstand im höchsten Grade 
einer schärferen Analyse werth. 

Wir werden bei dieser Untersuchung die vom Art. 19. ab 
angewandten Bezeichnungen beibehalten. Das eben erwähnte Ver- 
fahren behandelt die Grössen A, B, C etc. als wahre Werthe der 
x, y, z etc., und demnach die A, 4, A’ etc. als wahre Werthe der 
Funktionen vo, v‘, vo” etc. Wenn alle Beobachtungen gleiche Ge- 
nauigkeit besitzen, und ihr Gewicht > = p’ = p” etc. als Ein- 
heit angenommen wird, so bedeuten die Grössen A, 4’, A” etc. mit 
entgegengesetzten Vorzeichen bei jener Voraussetzung die Beobach- 
tungsfehler selbst, welche nach den Vorschriften des Art. 15. den 
mittleren Fehler m der Beobachtungen 


a V* +? HN" +ete. _ vr 
20 7U  VergE 


ergeben. Ist die Genauigkeit der Beobachtungen verschieden, so 
würden die Grössen — A, — 4, —4” etc. die Beobachtungsfehler 
multiplieirt mit den Quadratwurzeln aus den Gewichten darstellen, 








früheren Abhandlung (Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen. Zeit- 
schrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften. Bd. I, S. 185) veröffent- 
licht haben, war auf dieselbe Hypothese in Betreff des Charakters der Funktion, 
welche die Fehlerwahrscheinlichkeit ausdrückt, begründet, auf welcher wir auch 
in der „Theorie der Bewegung der Himmelskörper“ die Methode der kleinsten 
Quadrate aufgebaut hatten (s. Art. 9., III). 


Zweiter Theil. 47 


ER EN 
{ 


und die Vorschriften des Art. 16. würden zu der nämlichen Formel 
# y“ führen, welche schon den mittleren Fehler solcher Beobach- 


- tungen ausdrückt, denen das Gewicht = 1 beigelegt wird. Offenbar 
- würde aber eine strenge Rechnung erfordern, dass an Stelle der 
Grössen A, X, A” etc. die aus den wahren Werthen von x, y, z ete. 
sich ergebenden Werthe der Funktionen », v, »” etc. gebraucht 
_ werden, d. h. an Stelle von M der den wahren Werthen von x, 
y, 2 etc. entsprechende Werth der Funktion 2. Obgleich dieser nun 
nicht angegeben werden kann, sind wir dennoch sicher, dass er 
grösser als M sei (da M der kleinste mögliche Werth ist), den 
höchst unwahrscheinlichen Fall ausgenommen, dass die plausibelsten 
- Werthe der Unbekannten mit den wahren genau übereinstimmen. 
Im allgemeinen können wir also versichern, dass das gewöhnliche Ver- 
fahren einen gewiss zu kleinen mittleren Fehler ergiebt, oder dass 
_ den Beobachtungen eine allzugrosse Genauigkeit beigelegt wird. 
Wir wollen jetzt zusehen, was die strenge Theorie lehrt. 


2 


| 38, 


Vor allem muss man untersuchen, wie M von den wahren 
Beobachtungsfehlern abhängt. Diese bezeichnen wir, wie im Art. 28., 
mit e, e’, e” etc., und setzen der grösseren Einfachheit wegen 


’ 


eVp = &, eVYp = ®, e’VYp” = * etc. 
und ebenso 

mYp = mVp' = m’VYp” = ete. = u. 

Es seien ferner die wahren Werthe der x, y, z etc. bezw. 

A— a, B—y’, C— 2’ etc, und diesen mögen als Werthe der 5, 
2, E etc. bezw. entsprechen — 3%, —n’, — [" etc. Offenbar ent- 
- sprechen denselben als Werthe der v, v, v” etc. bezw. — 8, — €), 
— eg” etc., so dass man hat 


& — ace+ ae + ua”: + etc. 
7 = be + be + b’e’ + etc. 
= ce +cE!+c’e” + etc. 

etc., sowie 
a —= ae+ ae + a” + etc. 
yv = ße + Pe + Pe’ + etc. 
= ye +ryEe + y’e +ete. 








48 Combination der Beobachtungen, 


Endlich setzen wir 
= HEHE + etc, 


u Dr tut 


so dass 2° der Werth der Funktion 2 ist, welcher den wahren Ä 


Werthen der x, y, z etc. entspricht. Da man allgemein hat 
2 = M+@—A)E+YW— BR +l@— OT + ete., 


so wird hiernach 
.M = 9 — 28 — y’n’ — I — ete. 


sein. Hieraus folgt offenbar, dass M sich als homogene Funktion 
zweiten Grades der Fehler e, e‘, e” etc. entwickeln lässt, welche 
für verschiedene Werthe der Fehler grösser oder kleiner werden 
kann. So lange uns aber die Grösse der Fehler unbekannt bleibt, 
wird man diese Funktion bei der Untersuchung unbestimmt lassen, 
und vor allem ihren mittleren Werth nach den Principien der 
Wahrscheinlichkeitsrechnung zu bestimmen suchen. Diesen werden 
wir finden, wenn wir an Stelle der Quadrate e’, e”, e”” etc. bezw. 
m’, m”, m” etc. setzen, die Produkte ee’, ee”, ee” etc. aber über- 
haupt weglassen, oder, was dasselbe ist, wenn wir an Stelle eines 
jeden Quadrates &’, &”, &”” etc. «® schreiben und die Produkte ee‘, 
ee”, Ee” etc. vernachlässigen. Auf diese Weise entsteht aus dem 
Gliede 2° offenbar zu’; das Glied — x’&° geht in 


— (aa + da + a’a” + etc)" = — uw 


über, und analog geben die übrigen einzelnen Theile — u’, so dass 
der mittlere totale Werth = (r —.e) u” wird, wenn 7 die Anzahl 
der Beobachtungen und o die Anzahl der Unbekannten bezeichnet. 
Der wahre Werth des M kann zwar, je nach den zufälligen Fehlern, 
grösser oder kleiner als der mittlere werden, der Unterschied aber 
wird von um so geringerer Bedeutung sein, je grösser die Anzahl 


der Beobachtungen gewesen ist, so dass man als angenäherten 
Werth des u 


72 


— 
ER 





nehmen darf. Der Werth für «, welcher sich aus der im vorigen 


Art. besprochenen irrthümlichen Praxis ergiebt, muss deshalb im Ver- 


hältniss der Grösse Yrr — o zu Vrr vergrössert werden. 


Zweiter Theil. 49 





39. 


Um noch deutlicher zu zeigen, mit wie grossem Rechte man 
_ einen zufälligen Werth des M dem mittleren gleich setzen darf, 
_ muss man den mittleren zu befürchtenden Fehler suchen, wenn 





E =. — wu gesetzt wird. Jener mittlere Fehler ist gleich der 


4 Quadratwurzel aus dem mittleren Werthe der Grösse 
’ rn Er Nee u 4: 
’ 


BR 









der wir die Gestalt geben wollen 


e —ı( — Y’rd— =) 


TR 





E 


Fass 








— 8 — yn’— 20 — ete. — (m — eo) uw] — u‘; 


da der mittlere Werth des zweiten Gliedes = 0) wird, so 
4 _ verwandelt sich unsere Frage in die nach dem mittleren Werthe 
[ der Funktion 
; = (2! — Ei — yYn— zT — etc). 
- Ist dieser gefunden, und bezeichnet man ihn mit N, so wird der 
gesuchte mittlere Fehler 





FEB. N + 
ag) © 

Der Ausdruck 7 lässt sich offenbar als homogene Funktion 
$ entweder der Fehler e, e‘, e” etc. oder auch der Grössen e, €’, &” etc. 
| 4 entwickeln, und sein mittlerer Werth wird gefunden, wenn 
1. für die Biquadrate e‘, e*, e”* etc. ihre mittleren Werthe 
gesetzt werden, 
} 2. für die einzelnen Produkte aus je zwei Quadraten, wie 
ee, ee”, e*e” etc. die Produkte aus ihren mittleren Werthen, 
- nämlich m’m’”, m’m”’, m”m’” etc. gesetzt werden, 
E 3. die Bhrisen Glieder aber, welche entweder einen Faktor 
- von der Form e’e‘, oder von der Form e’e’e” enthalten, ganz fort- 
- gelassen werden. Die mittleren Werthe der Biquadrate e‘, e*, e”* etc. 
_ nehmen wir proportional den Biquadraten m‘, m“, m”* etc. an 
- (siehe Art. 16.), so dass sich jene zu diesen wie »* zu w* ver- 
_ halten, wo »* also den mittleren Werth der Biquadrate solcher 
- Beobachtungen bezeichnet, deren Gewicht — 1 ist. Demnach können 
_ die obigen Vorschriften auch so ausgedrückt werden: An Stelle der 
Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 4 





50 Combination der Beobachtungen. 


3 N 1 
' EN N 
er ul I 


einzelnen Biquadrate &, e“, e”* etc. ist »* zu schreiben, an Stelle 


der einzelnen Produkte aus je zwei Quadraten wie &’e”, ee”, 
es” etc. ist «* zu schreiben, alle übrigen Glieder aber, die Fak- 
toren wie &’e’ oder e’ee” oder ee’e’e” enthalten, sind wegzulassen. 


Hat man dieses genau begriffen, so findet man leicht: 


I. Der mittlere Werth des Quadrates Q°° ist zı»® + (r’ —r) u‘. 


II. Der mittlere Werth des Produktes &’2’&’ wird 
— aav' + (a + a’a” + etc.) u? 
oder, da aa + da +a”’a” + etc. = 1 ist, 
= aa — w) + u‘. 
Und da der mittlere Werth des Produktes &?z’&° ebenso 
= da (WR) + w 


wird, der mittlere Werth des Produktes e”’x’&’ aber 


APR 


= de "—u)+u 
ist u. Ss. w., so wird offenbar der mittlere Werth des Produktes 
(+ €* + 8” + etc.) =’&° oder von A°x’E° 

— y* ur u* + eu‘ 
sein. Denselben mittleren Werth haben die. Produkte 2°’, 
2°C etc. Folglich wird der mittlere Werth des Produktes 
(el (28° + y’n? + 2°C “n etc.) 

= e+tea@r— du. 

II. Damit die noch übrigen Entwickelungen nicht zu ver- 
wickelt werden, soll eine zweckmässige Bezeichnung eingeführt 
werden. Wir gebrauchen zu dem Zweck das Zeichen 2 in einem 
etwas weiteren Sinne, als dies oben vorübergehend geschehen ist, 
so dass es eine Summe bezeichnet, bestehend aus dem Gliede, dem 
es vorgesetzt, und allen ähnlichen aber nicht identischen Gliedern, 
welche aus ihm durch alle Permutationen der Beobachtungen ent- 
springen. Hiernach ist z. B. @&° = Zas, a’ = Za’e +2 Zau’ee.. 
Setzt man dann den mittleren Werth des Produktes «’’&” gliedweise 
zusammen, so erhält man erstens den mittleren Werth des Pro- 
duktes a’s’&'’ 

—= aa + a’ (a? + a” + etc.) u* 
— ad (# — ) + aa. 
Der mittlere Werth des Produktes «”e”&’* wird ebenso 











Zweiter Theil. 51 
— aa” (v — u‘) + a’u'za® u. s. w., und deshalb der mittlere 
- Werth des Produktes TER 
j = (v!— u) Zara? + u'Za?la?. 
4 Der mittlere Werth des Produktes a«’se’£’* wird weiter 
— 2 ac uauf, 
£ und der mittlere Werth des Produktes a«@”ee”£’? ebenso 
| — R-aa”aa”u‘ etc., 
4 _ woraus leicht zu schliessen ist, dass der mittlere Werth des Pro- 
duktes &*Lao’se’ sich 
—= Aw Zone a — ut[(Zac)? — Zara?) = ut (1 — Za?e?) 
 ergiebt. Wenn wir dies zusammenfassen, so erhalten wir den 
- mittleren Werth des Produktes x”? &°° 
pe (v — 3 u‘) Zara? +2 u + u! Za’Za?. 

IV. Ganz ähnlich findet man den mittleren Werth des Pro- 
duktes ’y’&n’ 
2 = "Yabaß + u*Zaab PB’ + wZabaß’ + Zap. 
Es ist aber 
Zaab’ß’ Zaa Zbß — Zaabp 


Tabea’ Zab Zaß — Zabaß 
Zaßb’a' — Zap ba — Zapbe, 


E woraus sich jener mittlere Werth, weil Zaa = 1, Zi =|1, 
E. ‚Zap _— 0, be —= 0 ist, 


— (vY — 3 u‘) Zabaß + u! (1 + Zab Zapf) 


NA 


; ergiebt. 
E. V. Da ferner der mittlere Werth des Produktes =’ 2’ I’ auf 
' dieselbe Weise 
2 | —= (#" — 3 u‘) Zacay + u (1 + Zac ay) 
E. wird, u. s. w., so ergiebt sich durch Summirung der mittlere Wertlı 
- des Produktes ="&° (2’5° + y'7’ + 2’ + ete.) 
4 — 30) Z[aa (aa + bB + cy + ete)] +@+ Du 

+ u (Za’ Za’ + Zab Zuß + Zac Zay + etc.) 
— (" — 30) E[aa (aa + bB + ey + ete)) + (+ Yu. 


FE) 





52 Combination der Beobachtungen. 


VI. _ Ferner wird auf dieselbe Weise der mittlere Werth des 
Produktes y’n? (z’&° + y’n’ + 2°C’ + etc.) gefunden 

— ! — 3u‘) Z[b (aa +b5P +cy+etc)) + +N) u, 
sodann der mittlere Werth des Produktes 2° (28° + y’n’ + 2° + etc.) 


—= (" — 3) E[ey(aa +++ etc) +E@+Nu 
u.s. w. Hieraus folgt durch Addition der mittlere Werth des 
Quadrates (2°8° + y’n’ + 2’ + etc.)” 
— (#Y — Zu‘) E[(aa + BB + cy + etc.)’] + (oe + 2o) u. 
. VI. Durch sorgfältige Addition aller Glieder ergiebt sich 
endlich 
N = (n — Re)” + (m — nm — no +4o + o°) u‘ 
+ (9 — Zu‘) Z[lae + dB + cy + etc.)’] 
= a) — u) +@R—o)w 
— (u! — Zu) jo — E[(aa + 5B + cy + ete.)’]}. 
Daher wird der mittlere zu befürchtende Fehler von u’, wenn die 
Formel 





angewendet wird, 











= —u du En ö 
Sy pe 2lae +08 +07 + ea) 


40. 


Die Grösse Z[(a« + b8 + ey + ete.)’], welche in den soeben 
gefundenen Ausdruck eingeht, kann zwar im allgemeinen nicht auf 
eine einfachere Form gebracht werden; nichtsdestoweniger lassen 
sich zwei Grenzen angeben, zwischen denen ihr Werth noth- 
wendig liegen muss. Erstens nämlich lässt sich aus den oben 
entwickelten Relationen leicht zeigen, dass 


(aa + 58 + cy + etc)’ + (aa’ + 5B’ + ey’ + etc.)’ 
+ (aa” +58” +07” + ete)' + ot. — aa + bB +07 + etc, 


woraus wir schliessen, dass a« +bß +cy + etc. eine positive - 


Grösse und kleiner (wenigstens nicht; grösser) als die Einheit ist. 
Dasselbe gilt von der Grösse a’ + b’®’ + c’y + ete., welche ja 
der Summe (da + 5B +c'y + etc.) + (aa + 5’ + c'y + etc.) 
+ (aa + b/B” + c’y’ + etc.)’ + etc. gleich gefunden wird; ebenso 


"N 


wird a’@” + b’8” + .c”y” + etc. kleiner als Eins sein, u.s. w. Hiernach 





2 de are ud ande Day 


Zweiter Theil. - 53 


ist Z[(a«@ + bP + cy + ete.)’| nothwendig kleiner als sr. Zweitens 
hat man Z(a@ +bß + cy-+ etc.) = eo, da ja Zaa = 1, ZIP —=1, 
2cy — 1 etc., woraus leicht geschlossen wird, dass die Summe der 


2 


Quadrate Zf(a« + bP + cy + ete.)’] grösser als 5 oder wenigstens 
nicht kleiner sei. Daher liegt das Glied 





Bu | 
pe x [(a« + DB + ey + ete.)?]} 
4.839 +2 4 
nothwendig zwischen den Grenzen — ee, ie BE, ‚oder, 
#2 ee 4 Dibgeeuuell "SEE 
5 — Zu 
° wenn wir weitere Grenzen vorziehen, zwischen — TEBAT: und 
m 0%. = 
+ ae a und hiernach das Quadrat des mittleren zu befürchtenden 
; 
“= i EEE ? — 4u! 
Fehlers für den Werth von «° — eG in den Grenzen un 
A i — — 


und Hoss so dass man jedwede Genauigkeit erreichen kann, wenn 


nur die Anzahl der Beobachtungen hinreichend gross gewesen ist. 

Es ist sehr bemerkenswerth, dass bei derjenigen Hypothese 

(Art. 9., III), auf welche die Theorie der kleinsten Quadrate früher 

begründet worden war, jenes Glied ganz wegfällt, und dass, ebenso 

‘ wie man zur Ermittelung eines angenäherten Werthes « des mitt- 
leren Fehlers der Beobachtungen in allen Fällen die Summe 


2-4 +4” tete. =M | 
so behandeln muss, als wenn sie die Summe von zz — o zufälligen 
- Fehlern wäre, gerade so bei jener Hypothese auch die Genauigkeit 
selbst dieser Bestimmung derjenigen gleich wird, welche nach den 
- Ergebnissen des Art. 15. der Bestimmung aus = — R wahren Feh- 
lern zukommt. 








u a id A se ut li anal a a 
. x . 


a ee ar u ae Zur in Bel nn: ua 





Ergänzung zur Theorie 


der den kleinsten Fehlern unterworfenen 


Gombination der Beobachtungen. 


(Der Königlichen Societät der Wissenschaften überreicht 1826, Sept. 16.) 


% 


In der Abhandlung über die Theorie der Combination der 
Beobachtungen, welche im 5. Bande der „Commentationes recentiores* 
abgedruckt ist, haben wir angenommen, die Grössen, deren Werthe 
durch nicht völlig genaue Beobachtungen gegeben sind, seien von 
gewissen unbekannten Elementen so abhängig, dass sie in Form 
von gegebenen Funktionen dieser Elemente dargestellt seien, und 
es komme hauptsächlich darauf an, diese Elemente so genau als 
möglich aus den Beobachtungen abzuleiten. 

In den meisten Fällen ist jene Annahme freilich unmittelbar zu- 
treffend. In anderen Fällen .aber tritt uns die Aufgabe in ein wenig 
anderer Gestalt entgegen, so dass es auf den ersten Anblick zwei- 
felhaft erscheint, wie man sie auf die verlangte Form zurückführen 
könne. Es kommt nämlich nicht selten vor, dass die Grössen, auf 
welche sich die Beobachtungen beziehen, noch nicht in der Form von 
Funktionen bestimmter Elemente ausgedrückt sind und auch nicht 
auf eine solche Form zurückführbar erscheinen, wenigstens nicht be- 
quem oder nicht ohne Umschweife; während andererseits die Natur 
des Gegenstandes gewisse Bedingungen liefert, denen die wahren 
Werthe der beobachteten Grössen in aller Strenge genügen müssen. 

Wenn man aber genauer zusieht, so bemerkt man leicht, dass 
dieser Fall sich von dem früheren in der That nicht wesentlich unter- 
scheidet, sondern auf ihn zurückgeführt werden kann. Bezeichnet 
man nämlich mit r die Anzahl der beobachteten Grössen, mit o 
aber die Anzahl der Bedingungsgleichungen, und wählt man von 
den ersteren nach Belieben = — o aus, so steht nichts im Wege, 










ua 


BERGE N ne 
er > 


a las una a EN an 222222. 22; 


TE 


ee a 





Bu di a a Tr ia a Be en en nlagın a Er ta ee a ek 


Wr 
Ba 





Ergänzung. 55 


gerade diese als Elemente anzunehmen und die übrigen, deren Anzahl 


o sein wird, mit Hülfe der Bedingungsgleichungen als Funktionen 
von jenen zu betrachten, wodurch die Aufgabe auf unsere Voraus- 
setzung zurückgeführt ist. 

Wenn nun aber auch dieser Weg in sehr vielen Fällen that- 
sächlich bequem genug zum Ziele führt, so lässt sich doch nicht 
leugnen, dass er nicht ganz natürlich ist, und dass es demnach die 
Mühe lohnt, die Aufgabe in dieser anderen Form gesondert zu be- 
handeln, und zwar um so mehr, als sie eine sehr elegante Lösung 
erlaubt. Ja man darf sogar sagen: Da diese neue Lösung zu kürzeren 
Rechnungen, als die Lösung der Aufgabe im früheren Zustande führt, 


wenn o kleiner als on ist, oder, was dasselbe ist, wenn die in der 
früheren Abhandlung mit o bezeichnete Anzahl der Elemente grösser 
als sn ist, so wird man die in der vorliegenden Abhandlung aus- 


einandergesetzte neue Lösung in diesem Fall auch dann noch der 
früheren vorzuziehen haben, wenn man die Bedingungsgleichungen 
aus der Natur des Problems ohne Umschweife wegschaffen kann. 


2. 

Wir bezeichnen mit v, v’, vo” etc. die Grössen, in der Anzahl 
ze, deren Werthe durch Beobachtung zu unserer Kenntniss kommen; 
es hänge nun eine unbekannte Grösse von jenen so ab, dass sie 
durch eine gegebene Funktion « derselben ausgedrückt sei; es seien 
ferner /, !', !” etc. die Werthe der Differentialquotienten 


du du du 

dv’ dv’ dv” 
welche den wahren Werthen der Grössen v, v’, v” etc. entsprechen. 
Ebenso wie nun durch Einsetzen dieser wahren Werthe in die 
Funktion « ihr wahrer Werth hervorgeht, so erhält man, wenn 
man für v, v’, v” ete. Werthe einsetzt, welche von den wahren 
bezw. um die Fehler e, e’‘, e” etc., unterschieden sind, einen fehler- 
haften Werth der Unbekannten, dessen Fehler 


= le+ le -+l’e” + etc. 


gesetzt werden kann, wenn nur, was wir stets annehmen, die 
Fehler e, e', e” etc. so klein sind, dass (für eine nicht lineare 
Funktion «) ihre Quadrate und Produkte vernachlässigt werden 


etc., 


dürfen. Obwohl nun die Grösse der Fehler e, e', e” etc. unbe- 
stimmt bleibt, kann man doch die einer solchen Bestimmung der 


56 Combination der Beobachtungen. 


Unbekannten anhaftende Unsicherheit allgemein schätzen, und zwar 
durch den mittleren bei einer solchen Bestimmung zu befürchtenden 
Fehler, der nach den Prineipien der früheren Abhandlung 





— Y I?m? + 1?m”? + 1m? + etc. 
wird, wenn m, m’, m” etc. die mittleren Fehler der Beobachtungen 


bezeichnen, oder wenn die einzelnen Beobachtungen mit derselben 
Unsicherheit behaftet sind, 


= mYi +1? +7” +ete. * 


Oftenbar darf man bei dieser Rechnung für /, 7‘, I” ete. mit gleichem 
Recht auch die Werthe der Differentialquotienten nehmen, welche 
den beobachteten Werthen der Grössen v, v, v” etc. entsprechen. 





3. 


Sind die Grössen », v’, v” etc. vollständig unabhängig von ein- 
ander, so kann die Unbekannte nur auf eine einzige Weise durch 


2 er reie 


sie bestimmt werden; es kann deshalb jene Unsicherheit alsdann auf | 


keine Weise weder vermieden noch verringert werden, und bei der 
Ableitung des Werthes der Unbekannten aus den Beobachtungen 
ist jede Willkür ausgeschlossen. 

Ganz anders verhält es sich aber, wenn zwischen den Grössen 
v, v', v” etc. eine gegenseitige Abhängigkeit besteht, welche wir 
durch o Bedingungsgleichungen _ 


E00. rd Zee 


ausgedrückt annehmen wollen, wo X, Y, Z etc. gegebene Funk- 
tionen der Variabeln v, v’, v” etc. bezeichnen. In diesem Falle 
kann man unsere Unbekannte auf unendlich viele verschiedene 
Weisen durch Combinationen der Grössen v, v’, v” etc. bestimmen, da 
man an Stelle der Funktion « offenbar irgend eine andere U an- 
nehmen kann, welche so beschaffen ist, dass U— u identisch ver- 
schwindet, wenon man X = 0, Y=(0, Z = ete. setzt. 

Bei der Anwendung auf einen bestimmten Fall würde sich 
so zwar kein Unterschied in Bezug auf den Werth der Unbekannten 
ergeben, wenn die Beobachtungen völlig genau wären; insofern diese 
aber Fehlern unterworfen sind, würde offenbar im allgemeinen 
jede einzelne Combination einen anderen Werth der Unbekannten 
hervorbringen. So erhalten wir an Stelle des Fehlers 


le + le +l'e’ + ete., 





Ergänzung. 57 


4 welcher der Funktion u zugehört hatte, für die Funktion U den Fehler 
3  Le+L’e®+L’e + etc., 


| _ wo die Werthe der Differentialquotienten en. : LE ete. 
4 dv dv’ ’ dv” 
bezw. mit L, L/, L” etc. bezeichnet sind. Obwohl wir nun die 


4 Fehler selbst nicht angeben können, so werden sich doch die 


- mittleren bei den verschiedenen Combinationen der Beobachtungen 
4 zu befürchtenden Fehler mit einander vergleichen lassen; und die 
- beste Combination wird die sein, bei der dieser mittlere Fehler so 
_ klein als möglich wird. Da dieser 





— YL?’m? + L?m”? + L”?m”? + etc. 
ist, so wird man darauf hinwirken müssen, dass die Summe 
3 L?’m?’ + L’?m’* + L’”m”” + etc. den kleinsten Werth erhält. 


4. 


; Da die unendliche Mannigfaltigkeit von Funktionen U, welche 
_ unter der im vorigen Art. angegebenen Bedingung an die Stelle von 
a treten können, hier nur insofern zu betrachten ist, als sich hier- 
_ aus verschiedene Werthsysteme der Coefficienten L, L/, L” etc. 
- ergeben, so muss man vor allem den Zusammenhang aufsuchen, 


- welcher zwischen sämmtlichen zulässigen Systemen statthaben muss. 


2 Bezeichnen wir die bestimmten Werthe der partiellen Differential- 
quotienten 


[2x dB AR ete 
dv’ dv’ dv” 
a dr er ei 
dv’ dv’ dv” ; 
dä dZ dZ 

etc. etc. 


E. do’ WW’ de" 
3 für den Fall, dass den v, v’, v” etc. ihre wahren Werthe beigelegt 
- werden, bezw. mit 

4 a, a’, a” etc. 

b, db’, b” etc. 

B | c,.c, c” etc. ett., 

2 so folgt, wenn man die », v‘, v” etc. solche Zuwachse dv, dv’, dv” etc. 
- annehmen lässt, durch welche X, Y, Z etc. nicht geändert werden 
und deshalb einzeln = 0 bleiben, d. h. welche den Gleichungen 





58 Combination der Beobachtungen. 


0 = adv + a’dv’ + a’dv” + etc. 
0 = bdv + b’dv’ + b’dv” + etc. 
0 = cdv + edv’ + c”dv” + etc. etc. 


genügen, dass sich auch «— U nicht ändern darf, und daher auch 
0 —= (!—L)dv + (! —L) dv + (” — L”) dv” + etc. 


werden wird. Hieraus schliesst man leicht, dass die Coefficienten 
L, L’, L” etc. in folgenden Formeln 


L =! + ae+ by+ cz + etc. 

U =!7!+de+by+ cz + etc. . 

I’ =N"+aa=+b’y+ cz + etc. etc. 
enthalten sein müssen, wo x, y, z etc. bestimmte Multiplicatoren 
bezeichnen. Umgekehrt leuchtet ein, wenn ein System von be- 
stimmten Multiplicatoren z, y, z etc. beliebig angenommen wird, 
dass man stets eine solche Funktion U angeben kann, welcher den 








obigen Gleichungen genügende Werthe von L, L’, L” ete. ent- 


sprechen, und welche der Bedingung des vorigen Art. gemäss die 
Funktion « ersetzen kann; ja dass man dies auf unendlich ver- 
schiedene Weisen erreichen kann. Der einfachste Fall wird der 
sein, dass man U = u+xzX + yY-+ zZ + etc. setzt; allgemeiner 
darf man setzen U= u+xzX-+yY +22 + etc. + uw, wow eine 
solche Funktion der Variabeln v, v’, v” etc. bezeichnet, welche für 
x=0, Y=0, Z = 0 etc. immer verschwindet, und deren 
Werth in dem betreffenden bestimmten Fall ein Maximum oder 
Minimum wird. Aber für unseren Zweck erwächst daraus Kein 
Unterschied. 


5. 


Es wird nunmehr leicht sein, den Multiplicatoren », y, z etc. 
solche Werthe zu geben, dass die Summe 


L?’m? + L’*m”” + L”’m’? + etc. 


den kleinsten Werth erhält. Offenbar ist hierzu eine vollkommene 
Kenntniss der mittleren Fehler m, m’, m” etc. nicht nothwendig, 
sondern es genügt ihr gegenseitiges Verhältniss. Wir führen des- 
halb an Stelle derselben die Gewichte der Beobachtungen p, p’, p” etc. 
ein, d. h. Zahlen, welche den Quadraten m?, m”, m”* etc. umge- 
kehrt proportional sind, wobei das Gewicht irgend einer Beobach- 
tung willkürlich gleich der Einheit angenommen wird. Die Grössen 








ee en > 


Ergänzung. 59 


2, y, z etc. müssen daher so bestimmt werden, dass das allgemeine 








3 Polynom 
(ax + by + cz + etc. + 1)? L (+ by+ecz+et. +: 
p p’ 
” „ a „, ‚N2 
were nd it 


' den kleinsten Werth erhält, was für die bestimmten Werthe =", 
_y’, x’ etc. der Fall sein möge. 


Führen wir die Bezeichnungen ein: 





2 2 „2 
a a a [aa] 


7 ar ete:: == 
Hr tete = 


a SA [ab] 








p p p 

ac ’e "N 

ur za — [ae] 

b? ’2 h”2 

Et 7 ae + etc. = [bb] 

b b’e’ 1 

ee Tre ai == [be] 
2 v2 ec"? 

et zit te. = [ec] 


etc., und ferner 











al al al’ 

ut ae 5 Eau TR etc. = al 
p $; pP & pP . lat) 
bl bV b’l’ 

— + +, ete. = |bl 
a Va a [b2] 
el el et: 

_— ; ; etc. = lcd 
BoTet, * [2] 
etc., 


so erfordert die Bedingung eines Minimum offenbar, dass wird 
0 = [aa] x’ + [ab] y’ + [ac] 2° + ete. + [al] 
0 = [ab] =° + [bb] y" + [de] =’ + ete. + [d2] | 
0 = [ac] #° + [be] y’ + [ee] 2’ + ete. + [el] { (1) 
etc. 





Sind die Grössen 2°, y’, z° etc. durch Elimination hieraus abgeleitet, 
so setze man 


60 Combination der Beobachtungen. 


aa +by’+cz’+ete.+l =L. 

a +by +c2’ +etc.+/’=L (2) 
dx’ + b”y° + c”z° + etc. +1” = Fr | 
etc, | 





Alsdann wird die zur Bestimmung unserer Unbekannten zweck- 
mässigste und der geringsten Unsicherheit unterworfene Funktion 
der Grössen », ©, v” etc. die sein, deren partielle Differentialquo- 
tienten in dem betreffenden bestimmten Fall bezw. die Werthe 
L, L’, L” etc. haben, und das Gewicht dieser Bestimmung, welches 
wir mit P bezeichnen wollen, wird 








1 
— 3) 
BESTE Pad Fop, ( 
— - + — + etc. 
p 7 p T p ® 
sein, oder 23 wird der Werth des oben angeführten Polynoms für 


P 
dasjenige Werthsystem der Grössen x, y, 2 etc. sein, welches den 


Gleichungen (1) Genüge leistet. 


6. 


Im vorhergehenden Art. lehrten wir diejenige Funktion U kennen, 
welche zur zweckmässigsten Bestimmung unserer Unbekannten ver- 
hilft; nun wollen wir sehen, welchen Werth die Unbekannte auf diese 
Weise erlangt. Es werde dieser Werth mit K bezeichnet, welcher 
demnach entsteht, wenn man in U die beobachteten Werthe der 
Grössen v, v, »” etc. einsetzt; für dieselbe Substitution erhalte die 
Funktion « den Werth %; endlich sei x der wahre Werth der Unbe- 
kannten, wie er also durch die Substitution der wahren Werthe der 
(srössen v, v’, v” etc. erhalten werden würde, wenn man eine solche 
in U oder « ausführen könnte. Hiernach wird mithin 


k=x+ le+ T!ed+ le’ +ete. 
K=x+Le+L’e +L’”e’ + etc. 
und ferner 
K=%k+(L-—-De+(U’—Ne+(l’”— Me’ + etc. 


Setzt man in dieser Gleichung für L—!, LU’ —/, L”— !” ete. ihre 
Werthe aus (2), und bezeichnet 


ae+ ade + ade +etc = WA 
be-+be + b’e’ etc. = B (4) 
ce B ce rn c’e” -r etc. — & ’ 


etc., so hat man 











ee 
ET ER 
TIEREN 
are dir: 
* we 


Are a ee 


Ergänzung. 61 


— k+X2° 4 By’ + 2° + etc. (5) 


- Die Werthe der Grössen X, ®, € ete. kann man nun freilich nach 


den Formeln (4) nicht berechnen, da die Fehler e, e', e” etc. un- 


bekannt bleiben; aber es ist von selber klar, dass jene nichts 


anderes sind, als die Werthe der Funktionen X, Y, Z.etc., welche 
sich ergeben, wenn man für v, v’, v’ etc. die beobachteten Werthe 


_ einsetzt. Sonach bildet das System der Gleichungen (1), (3), (5) 
E die vollständige Lösung unserer Aufgabe, da unsere am Ende des 
Art. 2. gegebenen Vorschriften über die Berechnung der Grössen 
 1,T7,1” etc. aus den beobachteten Werthen der Grössen », v, v” 
etc. offenbar mit gleichem Rechte auf die Berechnung der Grössen 
 a,a,.a” ete., b, d, b’ etc. ausgedehnt werden dürfen. 


| 1, 
An Stelle der Formel (3), welche das Gewicht der plausibel- 


sten Bestimmung ausdrückt, lassen sich noch einige andere finden, 
- welche zu entwickeln die Mühe lohnen wird. 


Zunächst bemerken wir, dass durch Multiplication der Gleichun- 


’ „ 


gen (2) bezw. mit ns jr Fe etc. und durch Addition erhalten wird 


Bir 


[aa] z° + [ab] y° + [ac] 2° + etc. + [al] = r u +, + —- + etc. 


Die linke Seite wird —= 0, die rechte bezeichnen wir der 


| Analogie gemäss mit [aL], und erhalten so 


[aL] = 0, und weiter ebenso [DL] = 0, [cL] = 0 ete. 


Ferner finden wir, wenn wir die Gleichungen (2) der Reihe 


„ 


nach mit ir = nz etc. multiplieiren und addiren 





+ ee ee 
und erhalten so einen zweiten Ausdruck für das Gewicht 
; 
4b +, + l ie ti. 


E® 
Multiplieiren wir endlich die Er (2) der Reihe nach 


62 Combination der Beobachtungen. 


SR OR 5 


mit By’ pe etc. und addiren, so gelangen wir zum dritten Aus 


druck für das Gewicht | 
er 1 
[al] &® + [bl] y’ + [el] 2° + ete. + [1] 


wenn wir nach Analogie der übrigen Bezeichnungen 





l’? l’2 


tn Fr 7 + ei. = [2] 





setzen. Hiernach gehen wir mit Hülfe der Gleichungen (1) leicht 
zum vierten Ausdruck über, den wir folgendermaassen schreiben: 


z = [Ü) — [ea] 2°: — [bb]y — [cc]2’* — etc. 


— 2[ab] z°y° — 2[ac] x°2° — 2[be] y’2’ — etc. 


8. 


Die allgemeine Lösung, die wir bis jetzt gaben, ist besonders 
auf den Fall eingerichtet, dass nur eine von den beobachteten 
Grössen abhängige Unbekannte zu bestimmen ist. Wenn aber die 
plausibelsten Werthe mehrerer von denselben Beobachtungen abhän- 
giger Unbekannten in Frage stehen, oder wenn es noch ungewiss 
ist, welche Unbekannten man vor allem aus den Beobachtungen 
ableiten soll, dann verfährt man mit ihnen besser auf eine andere 
Weise, welche wir nun entwickeln wollen. | 


Wir betrachten die Grössen z, y, z etc. als Variable und. 


setzen 
laala + [ab]y-+ [aelz + ete. = 
lab] + |bb]y + [bez +ete. = 7 (6) 
[ac|z + [bely + [ce]lz +ete. = & 


etc., und nehmen an, durch Elimination folge hieraus 


[ea]& + [eß]n + [ey] S + ete. = 
[de] 5 + [$#]n + [8715 + etc. = y (7) 
[re] & + [yßln + [yyl& + ete. = | 


etc. 


Vor allem ist hier zu bemerken, dass die symmetrisch stehen- 
den Coefficienten nothwendig einander gleich sind, also 





b“ 
B 





j 





Ergänzung. 63 


[da] = [«#] 
[ve] = [ey] 
[vß] = [Pr] 
etc., 


was sich zwar schon aus der allgemeinen Theorie der Elimination 
Hi aus linearen Gleichungen von selber ergiebt, ausserdem aber 
später auch noch einmal direkt von uns bewiesen werden soll. 
Wir erhalten also 


2° = — [ee] [al] — [&$] [1] — [ey] [el] — ete. 


y’ = — [ef] [al] — [8P] [d2] — [$y] [et] — ete. (8) 
2° = — [ey] [al] — [By] [8] — [yy] Te) — ete. 
etc. 


und hieraus, wenn wir 


[ea] A + [aß] 8 + [ey] & + etc. = A | 
[eß] A + [BP] ® + [By] © + etc. = B (9) 
[ey] A + [Pr] B + lyyY]& +etec. = C 
etc. setzen, 
K = k—A[al]l — B [bl] — € [el] — ete. 


oder, wenn wir ausserdem 


ee 
«A+bB+eC+ete = pe (10) 
aA + VB + CC + ete. = p’e’ | 
ete. setzen, | 
K=k—le — te! — le — etc. (11) 


9. 


Eine Vergleichung der Gleichungen (7) und (9) lehrt, dass 
die Hülfsgrössen A, B, C etc. diejenigen Werthe der Variabeln 
x, y, z etc. sind, welche den Werthen &= 4, n=8B T= € ete. 
der Variabeln &, n, & etc. entsprechen; woraus folgt, dass man 


[aa] A + [ab] B + [ac]C HF etc. = A 
[ab] A + [ad] B+ [be] C + etc. B (12) 
[ac] A + [ab] B + [ce] © + etc. & 
etc. erhält. Multiplicirt man also die Gleichungen (10) bezw. mit 
g re za 2 etc. und addirt, so erhält man 


| 


64 Combination der Beobachtungen. 
AU—= ae +aed+ ae + etc. % 
und analog weiter | (13) E 
BB —= be+be +b”’e’ + etc. [ 

GG = ce +ce +ce + etc. | 


ete. Da nun X der Werth der Funktion X ist, falls man für v, 
v', v” ete. die beobachteten Werthe einsetzt, so sieht man leicht, dass, 
wenn man an diese bezw. die Verbesserungen — e, — €’, — €” etc. 
anbringt, die Funktion X alsdann den Werth O erhalte, und dass 
die Funktionen Y, Z etc. alsdann ebenfalls zum Verschwinden ge- 
bracht werden. Auf dieselbe Weise schliesst man aus der Glei- 
chung (11), dass K der Werth der Funktion « ist, welcher sich durch 
die nämliche Substitution ergiebt. 

Das Anbringen der Verbesserungen — &, — €, —e” etc. an 
die Beobachtungen werden wir die Ausgleichung der Beobachtungen 
nennen, und offenbar werden wir zu dem folgenden sehr wichtigen 
Schluss geführt, dass die auf die vorgetragene Weise ausgegliche- 
nen Beobachtungen alle Bedingungsgleichungen genau erfüllen, und 
dass jede von den Beobachtungen irgendwie abhängige Grösse 
gerade den Werth erhält, welcher aus der zweckmässigsten Com- 
bination der ungeänderten Beobachtungen hervorgehen würde. Wenn 
es also auch unmöglich ist, die Fehler e,.e’‘, e” etc. selbst aus den 
Bedingungsgleichungen zu bestimmen, da ja deren Anzahl nicht 
ausreicht, so haben wir wenigstens plausibelste Fehler erlangt, 
welchen Namen wir den Grössen e, €, e’ etc. geben dürfen. 





10. 5 

Da wir die Anzahl der Beobachtungen grösser, als die An- 

zahl der Bedingungsgleichungen annehmen, so lassen sich ausser 
dem System der plausibelsten Verbesserungen — &, — e, — €” etc. 
unendlich viele andere finden, welche die Bedingungsgleichungen be- 
friedigen, und es ist der Mühe werth, zu untersuchen, wie diese 
sich zu jenen verhalten. Es sei also —E, — E‘, —E” etc. ein 
solches, von dem plausibelsten verschiedenes System, so haben wir 


aE +aE’+aE’+etc = A 
DE+DE+DVE’ +etce.. = B 
cE+cE+cE’+ete. = 6 
ete. Multiplieirt man diese Gleichungen bezw. mit A, B, C etc, 
und addirt, so erhält man mit Hülfe der Gleichungen (10) 


peE + peE + p’e’E’ +ete. = AN+BB + CC + etc. 











Ergänzung. 65 


Auf ganz ähnliche Weise liefern aber die Gleichungen (13) 
| pe? + pe? +p’e”" +etc. — AN+BB+CC-+ete. (14) 
Durch Combination dieser beiden Gleichungen leitet man leicht ab 


pE?’+ pE” + p’E”” + etc. 
= pr +p+pi”+ete +p(E— 9)’ +p(E— e) 
+ 2” (E’ — €”)? + etc. 
Die Summe pE? + »vE* + p’E’”? + etc. wird also nothwendig 
grösser sein als die Summe pe? + p’e? + p”e”” + etc., was man 
ausdrücken kann als 
Lehrsatz. Die Summe der mit den beziehentlichen 
Gewichten der Beobachtungen multiplicirten Quadrate 
von Verbesserungen, durch welche man die Beobach- 
tungen mit den Bedingungsgleichungen in Ueberein- 
stimmung zu bringen vermag, wird ein Minimum, wenn 
man die plausibelsten Verbesserungen anwendet. 
Dies ist eben das Princip der kleinsten Quadrate, aus welchem 
- auch die Gleichungen (12) und (10) leicht unmittelbar hätten abge- 
leitet werden können. Uebrigens liefert uns die Gleichung (14) 
für diese kleinste Summe, welche wir im Folgenden mit S bezeichnen 
werden, den Ausdruck WA + BB + CC + ete. 


2. 


Die Bestimmung der plausibelsten Fehler giebt, da sie von 
den Coefficienten /, !’, I” etc. unabhängig ist, offenbar die bequemste 
Vorbereitung zu jedwedem Gebrauch, für den man die Beobachtungen 
- verwenden will. Ausserdem ist es klar, dass man zu diesem Geschäft 
der unbestimmten Elimination oder der Kenntniss der Coefficienten 
[ea], [@ß] etc. nicht bedarf, und dass man nur die Hülfsgrössen 
A, B, C etc., welche wir im Folgenden die Oorrelaten der Bedin- 
gungsgleichungen X = 0, Y = 0, Z = O etc. nennen werden, 
aus den Gleichungen (12) durch bestimmte Elimination abzuleiten 
und in die Formeln (10) einzusetzen hat. 

Obwohl nun diese Methode thatsächlich nichts zu wünschen 
übrig lässt, wenn allein die plausibelsten Werthe der von den Beo- 
bachtungen abhängigen Grössen verlangt werden, so scheint es sich 
doch anders zu verhalten, wenn ausserdem das Gewicht irgend einer 
Bestimmung gewünscht wird, da hierzu, mag man nun diesen oder 

jenen der oben gegebenen vier Ausdrücke benutzen, die Kenntniss 
Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 1) 


66 Combination der Beobachtungen. 


der Grössen L, L/, L” ete., oder doch wenigstens die Kenntniss 
von @°, y°, 2° etc. nothwendig erscheint. Aus diesem Grunde wird 
es nützlich sein, das Eliminationsverfahren genauer zu untersuchen, 
wodurch sich uns auch ein leichterer Weg zur Auffindung der Ge- 
wichte erschliessen wird. 


12. 


Der Zusammenhang der in dieser Untersuchung vorkommen- 
den Grössen wird wesentlich durch die Einführung der allgemeinen 
Funktion zweiten Grades 


[aa]a’ + 2 [ab] ©y + 2 [ac] x2 + etc. 

+ [db] y° + 2 [be] yz + ete. + [ce] 2° + ete., 
welche wir mit T bezeichnen wollen, aufgehellt. Zunächst ist 
diese Funktion offenbar sofort gleich 

(ax +by-+ cz + etc.)’ . (aa + by + cz + etc.) 
p pv 
N (a + b"y +6 z + etc.) ee 








(15) 








Ferner ist offenbar 
T=a+m+rzö+tete. (16) 


und, wenn hier wiederum x, y, z etc. mit Hülfe der Gleichungen 
(7) durch &, n, & ete. ausgedrückt werden, 


T = [ea] & +2 [aß] &n + 2 [ey] 8% + etc. 
+ [BP] n? + 2 [Py] nd + ete. + [yy] © + ete. 


Die oben entwickelte Theorie enthält je zwei Systeme von 
bestimmten Werthen der Grössen x, y, z etc. und &, n, & etc.: dem 


ersten, in welchem z=x°, y = y’,z = z’ete.und$ = — [al], 
n—=— [bl], = — [el] ete. ist, entspricht der folgende Werth des T 
T=-mM-7, 


was entweder durch Vergleichung des dritten Ausdrucks für das 
Gewicht P mit der Gleichung (16) oder unmittelbar aus dem 
vierten Ausdrucke erhellt; dem zweiten, in welchem =A,y=B, 
z=lee.undä=N, n=8, S=6 etc. ist, entspricht der 
Werth T = S, wie sowohl aus den Formeln (10) und (15), als aus 
(14) und (16) klar ist. 








Ergänzung. Be; 


13. 


Unsere Hauptarbeit besteht nunmehr in einer ähnlichen Trans- 
formation der Funktion T, wie die, welche wir in der „Theorie der 
Bewegung der Himmelskörper“, Art. 182., und weitläufiger in der 
„Untersuchung über die elliptischen Elemente der Pallas“ vorgetra- 
gen haben. Wir setzen nämlich 











[8,1] —= [8] 121 | | 
“ [ab] [ae] 

[do, 1] = [be] — T® 

[64,1] = [ba] nn 

etc. 


(ac? _[be, 1}; (17) 


ee 
ac] [ad] [de, 1] [da, 1] 
deal ;. [06,1] 








[ed,2]) = led] 


etc. 

[ad] _[Da, 1° __[ed, 2] 
[aa] bb, 1] Ice, 2] 

etc. etc. Setzt man alsdann*) 
[dd,1]y + [de,1]2 + [dd, 1]w + etc. = 7’ 
[ec, 2] 2 + [ed, 2]w + etc. 
[dd, 3]w + etc. 
etc., dann wird 


SE &? n” E p"” ; 
| ter Taasa] re 


[dd,3] = [da] — 








| 


| 
808 


und die Abhängigkeit der Grössen n’, &’, @” etc. von 8, n, &, p etc. 
- wird durch folgende Gleichungen ausgedrückt: 





-*) Im Vorhergehenden konnten je drei, auf die drei ersten Bedingungs- 

- gleichungen bezügliche Buchstaben für die verschiedenen Grössensysteme genügen; 

- hier schien es aber gut, um das Gesetz des Algorithmus deutlicher zu zeigen, einen 

vierten hinzuzufügen; während nun in der natürlichen Ordnung auf die Buch- 

- staben a, 2, c; A,B, C; U, 8, © von selbst d, D, D folgt, fügten wir der Reihe 

x, y, 2, da das Alphabet versagte, das w und den &, n, $ das p an. 
‘ ‘ 5* 








68 Combination der Beobachtungen. 


Lab] 
% aa] S 
x [ae] (bc, 1] , 
L L aa Er (5,1) 


[ad], _ [6,1], _ ed, 2) 


ee Pe ee 
etc. 


& 








Hieraus werden nun alle für unseren Zweck nothwendigen For- 
meln leicht entnommen. Zur Bestimmung der Correlaten A, B, 
Ö etc. setzen wir nämlich 


Be [ab] 
MER 





., mM, Bi, 
” =6-,%- m? 1 SE 
in Bi, 











[aa] 8,1 2 | 
etc., und hiernach werden A, B, C, D etc. durch folgende For- 
meln, und zwar in umgekehrter Reihenfolge, indem man mit der 
letzten beginnt, erhalten: 


[aal]A+ J[ab]B+ J[a]JC+ [ad]D + etc. 
[d5,1]B + [dbe,1]C + [dd,1]D + etc. 
[ec,2]C + [ed,2]D + etc. 
[dd, 3]D + etc. 

etc. 

Für die Summe S aber erhalten wir die neue Formel 
2 ‚2 „2 m? 

“ > x ® + etc. (20) 


>= Taa] "(10 t Te,2 ' Tae, 


Wenn schliesslich das Gewicht P verlangt wird, welches der 
plausibelsten Bestimmung der durch die Funktion « ausgedrückten 
Grösse zu geben ist, so machen wir 


ee 


> 
“ 


(19) 


9 


m 


























2 [ab] [al] 

[bl, 1] ag [d2] [aa] 
ur [ae] [al] [dc, 1] [82,1] 

[el, 2] = [ed] — fan] in (5b, 1] (21) 
2 = [ad] [al] iR [7d,1][21, 1] Er [ed, 2] [el, 2] 

Be a Lu [aa] [db, 1] [ce, 2] 


etc., und erhalten alsdann 


Ergänzung. 69 


tz fair Mr fbl, Az Rei Pater, SP 
De a I a, 


Die Formeln (17) bis (22), deren Einfachheit nichts zu wünschen 
übrig zu lassen scheint, enthalten die in jeder Beziehung voll- 
ständige Lösung unserer Aufgabe. 











14. 


Nachdem wir die Hauptaufgaben gelöst haben, wollen wir 
noch einige Nebenfragen behandeln, welche auf diesen Gegenstand 
ein helleres Licht werfen werden. 

Zunächst muss man untersuchen, ob die Elimination, ver- 
mittelst deren &, y, z ete. aus Z, n, Z etc. abzuleiten sind, jemals 
unmöglich werden kann. Dies würde offenbar eintreten, wenn die 
Funktionen &. n, & etc. nicht von einander unabhängig wären. 
Nehmen wir daher für den Augenblick an, eine von ihnen werde 
durch die übrigen bereits bestimmt, so dass die identische Glei- 
chung stattfinde 





+ An ty retce = 0, 
wo «a, ß, y etc. bestimmte Zahlen bezeichnen. Es wird demnach 
al[aa] + B[ab] + yl[ac] + ete. = 0 
a@lab| + A [bb] + y[be] + etc. 0 
alac) + $ [be] + y [ce] + etc. 0 
etc.; setzen wir nun 
ca +ßb +yce +ete.=p®9 
ca’ + ßb’ +yc +ete. = p'®' 
aa” + Pb” En yc” 4 ete. — 20" 
etc., so folgt hieraus von selbst 
a9 + «9 + «’O’ + etc. = 0 
bO + b’O + b’0’ + etc. — 0 
c9 +. + .c’9’ +etc. = 0 


| 


etc., und ferner | 
p® + p’0? + p"9” + ete. = 0, 
eine Gleichung, welche, da alle p, p‘, p” etc. ihrer Natur nach 
positive Grössen sind, offenbar nicht bestehen kann, wenn nicht 
0 = 0, @ = 0, ©" = O etc. gewesen Ist. 
Nun betrachten wir die Werthe der vollständigen Differentiale 


70 Combination der Beobachtungen. 


dX, dY, dZ etc., welche denjenigen Werthen der Grössen v, v’, v” etc. 
entsprechen, auf welche sich die Beobachtungen beziehen. Diese 
Differentiale, nämlich 
adv + a dv’ + a dv” + etc. 
b dv + b’ dv’ + b” dv” + etc. 
edv + cd dv’ + c” dv” + etc. 
etc., werden dem Schlusse zufolge, zu dem wir eben geführt worden 
sind, so von einander abhängen, dass ihre Summe nach der beziehent- 
lichen Multiplication mit «@, f, y etc. identisch verschwinden muss, 
oder, was dasselbe ist, dass jedes einzelne von ihnen (wenigstens 
wenn der ihm entsprechende Faktor «, $, y etc. nicht verschwindet) 
von selbst verschwinden muss, sobald wie alle übrigen als verschwin- 
dend vorausgesetzt werden. Deshalb muss (mindestens) eine von den 
Bedingungsgleichungen X =0,Y = 0, Z = etc. überflüssig 
sein, da sie von selbst erfüllt wird, sobald den übrigen genügt ist. 
Wird übrigens die Sache genauer untersucht, so ist klar, dass 
dieser Schluss an und für sich nur für: einen unendlich kleinen Spiel- 
raum der Veränderlichkeit der Variabeln gilt. Es sind nämlich 
eigentlich zwei Fälle zu unterscheiden: erstens, wo eine der Bedin- 
gungsgleichungen X = 0, Y = 0, Z = O etc. unbedingt und all- 
gemein bereits in den übrigen enthalten ist, was man in jedem ein- 
zelnen Fall leicht wird vermeiden können; zweitens, wo so zu sagen 
zufällig für die bestimmten Werthe der Grössen v, v’, v” etc., auf 
welche sich die Beobachtungen beziehen, eine der Funktionen X, Y, 
Z etc., z. B. die erste X, einen grössten oder kleinsten (oder allge- 
meiner einen stationären) Werth erlangt in Hinblick auf alle Aen- 
derungen, welche wir den Grössen v, v’, vo” etc. geben können, ohne 
die Gleichungen Y=0, Z=0 etc. zu stören. Da aber in unserer 
Untersuchung die Veränderlichkeit der Grössen nur in so engen 
Grenzen betrachtet werden soll, dass sie als unendlich klein behandelt 
werden kann, so hat dieser zweite Fall (der in der Praxis kaum 
je vorkommt) dieselbe Wirkung wie der erste, nämlich dass eine 
der Bedingungsgleichungen als überflüssig zu verwerfen sein wird; 
wir können also sicher sein, wenn alle aufgenommenen Bedingungs- 
gleichungen in dem hier vorausgesetzten Sinne von einander unab- 
hängig sind, dass die Elimination nothwendigerweise möglich 
sein muss. Eine ausführlichere Untersuchung dieses Gegenstandes, 
deren er mehr seiner theoretischen Feinheit als seiner praktischen 


Nützlichkeit wegen würdig ist, müssen wir uns indessen für eine 
andere Gelegenheit vorbehalten. 


a Au 





Ergänzung. 71 


15. | 


In den Art. 37. u. ff. der früheren Abhandlung haben wir 
eine Methode gelehrt, wie man die Genauigkeit der Beobachtungen 
a posteriori so scharf wie möglich bestimmen kann. Wenn nämlich 
die angenäherten Werthe von 7. Grössen durch Beobachtungen von 
gleicher Genauigkeit gefunden worden sind und mit denjenigen 
Werthen verglichen werden, welche durch Rechnung aus den plausi- 
belsten Werthen der g Elemente hervorgehen, von denen jene abhängen, 
so muss man die Quadrate der Differenzen addiren, und diese Summe 
durch 7. — e dividiren, wonach der Quotient als angenäherter Werth ° 
des Quadrates des einer derartigen Beobachtungsgruppe anhaftenden 
mittleren Fehlers betrachtet werden kann. Sind die Beobachtungen 
von ungleicher Genauigkeit, so sind diese Vorschriften nur insofern 
abzuändern, als vor der Addition die Quadrate mit den Gewichten 
der Beobachtungen zu multiplieiren sind, worauf der sich so ergebende 
mittlere Fehler für Beobachtungen gilt, deren Gewicht als Einheit 
angenommen worden ist. 

In der vorliegenden Untersuchung stimmt nun jene Summe 
offenbar mit der Summe S, und die Differenz z# —o mit der An- 
zahl o der Bedingungsgleichungen überein, weshalb wir für den 
mittleren Fehler der Beobachtungen vom Gewichte = 1 den Aus- 


druck V: erhalten, eine Bestimmung, welche um so grösseres Ver- 


trauen verdient, je grösser die Anzahl o gewesen ist. 
Es wird aber die Mühe lohnen, dies auch unabhängig von 


’ der früheren Untersuchung festzustellen. Hierzu empfiehlt es sich, 


einige neue Bezeichnungen einzuführen. Es mögen nämlich den 


nachstehenden Werthen der Variabeln &, 7, £ etc. 


sea, 7=b 5= ce. 
folgende Werthe der », y, z etc. entsprechen 
.-—_nv—ß .:. = y%k,, 
so dass man erhält 
a[ec] + b[eß] + ce [ey] + ete. 


8 — alaß] + D [BA] + [Br] + ee. 
y = alay] + b[ßy] + e[yy] + etc. 


_  ete. Ebenso mögen den Werthen 


Eee, = b', C — ec etc. 





ll ae a ri ee DE u a 


72 Combination der Beobachtungen. 


die folgenden 
ee yeah er WM. 
entsprechen, und den 
Fed, ya X be. 
ebenso 
. =, y— Pf, 9_= y elc. 
und so weiter. 
Unter dieser Voraussetzung erhält man durch Combination 
der Gleichungen (4) und (9) 
A = oe + de + ae” + etc. 
B Be + Be + Pe” + etc. 
= ye+re+ re + etc. 
etc. Da nun S = AA + BB + CC + etc. ist, so wird offenbar 


S—= d(ae+ade+a’e”—+ etc.)(ae + «de + ae” + etc.) 
+ (be+ b’e +b”e” + etc.) (Be + Be + B”e” + etc.) 
+ (ce + de +0’e" + ete.)(ye + Ye + y’e’ + etc.) + etc. 


16. 


Das Anstellen von Beobachtungen, durch welche wir die mit 
den zufälligen Fehlern e, e’, e” etc. behafteten Werthe“der Grössen 
v, v, v” etc. erhalten, können wir als einen Versuch betrachten, 
welcher zwar nicht die Grösse der einzelnen begangenen Fehler 
zu zeigen vermag, wohl aber durch Anwendung der früher ausein- 
andergesetzten Vorschriften zu einem Werthe der Grösse S führt, 
welcher nach der eben gefundenen Formel eine gegebene Funktion 
jener Fehler ist. Bei einem solchen Versuch können gewiss bald 
grössere, bald kleinere zufällige Fehler begangen werden; je mehr 
Fehler aber vorhanden sind, um so grösser wird die Hoffnung sein, 
dass der Werth der Grösse S bei einem bestimmten Versuch von 
seinem mittleren Werth wenig abweichen werde. Es wird also haupt- 
sächlich darauf ankommen, den mittleren Werth der Grösse S fest- 
zustellen. Nach den in unserer früheren Abhandlung vorgetragenen 
Prineipien, welche hier nicht wiederholt zu werden brauchen, finden 
wir diesen mittleren Werth 


—= (aa +bP + cy + ete.) m? + (a’a’ + b’B’ + c’y + etc.) m” 
+ (a’a” + b"’B” + ey” + etc.) m” + etc. 
Bezeichnet man den mittleren Fehler der Beobachtungen vom Ge- 
wichte — 1 mit u, so dass also u” = pm’ = p’m” = p’m’” ete. ist, 
so kann der eben gefundene Ausdruck auf die Form 


Ergänzung. 13 


„ 


Fa u N Zu ++ ste) 


























p pP p 
cY -. 
ete.) ” + etc. 
+ +7 + ee.) + 
gebracht werden. Die Summe “ + = -H er + etc. wird aber 
— [aa] [a«] + [ab] [aß] + [ac] [ey] + ete. 
und deshalb = 1 gefunden, wie man aus der Verbindung der 
Gleichungen (6) und (7) leicht entnehmen kann. Ebenso wird 
ar + ya e. 2, et. :==:1 
p pP 
er |, 1 


ST + ee. = 
en. ® p 
U. S. W. 


Hiernach wird der mittlere Werth des S schliesslich —= ou’, 
und insofern man nun den zufälligen Werth des S als mittle- 


ren annehmen darf, wird u = v: sein. 


11. 


Ein wie grosses Vertrauen diese Bestimmung verdiene, muss man 
nach dem mittleren, bei ihr oder ihrem Quadrat zu befürchtenden 
Fehler entscheiden; der letztere wird die Quadratwurzel aus dem 
mittleren Werthe des Ausdrucks 


=") 
sein, dessen Entwicklung durch ähnliche Berechnungen wie die in 
_ den Art. 39. u. ff. der früheren Abhandlung vorgetragenen erlangt 
wird. Wir unterdrücken dieselben hier der Kürze halber und 
setzen nur die Formel selbst hierher. Der mittlere bei der Be- 


stimmung des Quadrates «’ zu befürchtende Fehler wird nämlich 
ausgedrückt durch 








wo »* den mittleren Werth der Biquadrate der Fehler vom Gewichte 
= 1, und N die Summe 


74 Combination der Beobachtungen. 


(a@ +bP + cy + etc.) + (da +’ + c’y + etc.) 
+ (a’«” + b”’8” + c”y” + ete.)’ + etc. 
bezeichnet. Diese Summe lässt sich im allgemeinen auf Keine 
einfachere Form bringen; auf ähnliche Weise aber wie im Art. 40. 
der früheren Abhandlung kann man zeigen, dass ihr Werth immer 


2 


zwischen den Grenzen r und - liegen muss. Bei derjenigen Hypothese, 


auf welche die Methode der kleinsten Quadrate ursprünglich be- 
gründet ‘worden war, fällt das Glied, welches diese Summe enthält, 
ganz fort, weil alsdann »’ = 3“ wird, worauf die Genauigkeit, 


welche dem nach der Formel re bestimmten mittleren Fehler ZU- 


kommt, dieselbe sein wird, als wenn derselbe aus o genau bekannten 
Fehlern nach den Art. 15. und 16. der früheren Abhandlung er- 
mittelt worden wäre. 


er 


Zur Ausgleichung der Beobachtungen ist, wie wir oben ge- 
sehen haben, zweierlei erforderlich: erstens die Ermittelung der 
Correlaten der Bedingungsgleichungen, d.h. der Zahlen A, B, C etec., 
welche den Gleichungen (12) Genüge leisten, zweitens das Ein- 
setzen dieser Zahlen in die Gleichungen (10). Die so erhaltene 
Ausgleichung kann man eine vollkommene oder vollständige nennen, 
um sie von einer wunvollkommenen oder unvollständigen zu unter- 
scheiden; mit diesem Namen werden wir nämlich die Resultate be- 
zeichnen, welche sich zwar aus denselben Gleichungen (10) ergeben, 
aber unter Zugrundelegung von-Werthen der Grössen A, B, © etc., 
welche den Gleichungen (12) nicht, d. h. nur einigen oder keiner, 
genügen. Solche Aenderungen der Beobachtungen aber, welche 
unter den Formeln (10) nicht enthalten sein können, sollen von 
der gegenwärtigen Untersuchung ausgeschlossen sein und auch den 
Namen Ausgleichung nicht erhalten. Da, sobald die Gleichungen (10) 
statt haben, die Gleichungen (13) mit den Gleichungen (12) völlig 
gleichbedeutend sind, kann man diesen Unterschied auch so fassen: 
Die vollständig ausgeglichenen Beobachtungen genügen allen Be- 
dingungsgleichungen X = 0, Y=0, Z=0 etc. die unvoll- 
ständig ausgeglichenen aber entweder keiner oder doch wenigstens 
nicht allen; die Ausgleichung, durch welche allen Bedingungsglei- 


chungen genügt wird, ist daher nothwendigerweise von selbst voll- 
ständig. 





Ergänzung, 75 


19. 


| Da nun aus dem Begriff einer Ausgleichung schon von selbst 
| folgt, dass die Summe zweier Ausgleichungen wieder eine Aus- 
- gleichung ergebe, so sieht man leicht, dass es einerlei ist, ob man 
- die Vorschriften zur Erlangung einer vollkommenen Ausgleichung 
- unmittelbar auf die ursprünglichen Beobachtungen, oder auf bereits 
- unvollständig ausgeglichene Beobachtungen anwendet. 

| Es mögen in der That — ©, — ©, — ©” etc. ein System 
- einer unvollständigen Ausgleichung bilden, welches aus den Formeln 





Op = A’fa +Bb +0 +ete. 

Op = Ada +BWV +0 + etc. MD 
O’p” = Aa” + B’b” + 0°e” + etc. 

etc. 





- hervorgehe. Da vorausgesetzt wird, dass die durch diese Aus- 
_ gleichungen geänderten Beobachtungen nicht allen Bedingungs- 
gleichungen genügen, so seien A*, B*, C* etc. die Werthe, welche 
X, Y, Z ete. durch Einsetzung jener erlangen. Man suche die 
- Zahlen A*, B*, C* etc., welche den Gleichungen 


A* = A*f[aa] + B* [ab] + C*[ac] + etc. 
B* — A* [ab] + B* [bb] + C* [be] + ete. 
6* — A* [ac] + B* [be] + C* [ce] + ete. 


etc. genügen; alsdann wird die vollständige Ausgleichung der auf 
jene Weise geänderten Beobachtungen durch neue Aenderungen 
——%,— x, — x” etc. bewirkt, wo x, x, x” etc. aus den Formeln 


x» = A*a +B*b +C*e + etc. 
xp’ A*a’ + B*b’ + C*e + etc. 
xp” = A*a” + B*b” + O*e” + ete. 
etc. zu berechnen sind. Wir wollen nun untersuchen, wie diese Ver- 
- besserungen mit der vollständigen Ausgleichung der ursprünglichen 
- Beobachtungen zusammenhängen. Zunächst ist klar, dass man hat 
A = A— a9 — «9 — d’9" — etc. 

B* — B— 9 — O9’ — 179" — etc. 

6* GE — c9 — ed — ce’ — etc. 

etc. Setzen wir in diesen Gleichungen für ©, ©, ©” etc. die 


 Werthe aus (I) und für A*, ®*, C* etc. die Werthe aus (II), so 
finden wir 


(I) 





(III) 


I 





76 | Combination der Beobachtungen. 


A — (A° + A*) [aa] + (B’ + B*) [ab] + (C° + C*) [ae] + etc. 

B = (A® + A*) [ab] + (B° + B*) [dd] + (C’? + CH) [be] + ete. 

& = (A° + A*) [ac] + (B? + B*) [be] + (C° + C*) [ee] + ete. 
etc., woraus folgt, dass die Correlaten, welche die Bedingungs- 
gleichungen (12) erfüllen, 

Le 2 +1, BB FI 8 = +0 
sind. Hiernach zeigen die Gleichungen (10), (I) und (III), dass 
92 Serie ne: 
ist, d. h. die Ausgleichung der Beobachtungen ergiebt sich gleich 
vollständig sowohl bei unmittelbarer, als auch bei mittelbarer, von 
einer unvollständigen Ausgleichung ausgehenden Rechnung. 


20. 


Wenn die Anzahl der Bedingungsgleichungen allzugross ist, 
kann die Bestimmung der Correlaten A, B, C etc. durch die 
direkte Elimination so weitschichtig werden, dass ihr die Geduld 
des Rechners nicht gewachsen ist; alsdann wird es häufig bequem 
sein können, die vollständige Ausgleichung durch successive An- 
näherungen 'mit Hülfe des im vorigen Art. enthaltenen Theorems zu 
ermitteln. Man theile die Bedingungsgleichungen in_zwei oder 
mehrere Gruppen, und suche zuerst die Ausgleichung, durch welche 
der ersten Gruppe von Gleichungen, unter Vernachlässigung der 
übrigen, genügt wird. Darauf behandele man die durch diese Aus- 
gleichung geänderten Beobachtungen so, dass allein den Gleichungen 
der zweiten Gruppe Rechnung getragen wird. Im allgemeinen wird 
durch das Anbringen des zweiten Systems von Ausgleichungen 
das Zusammenstimmen mit den Gleichungen der ersten Gruppe ge- 
stört werden; deshalb kehren wir, wenn nur zwei Gruppen ge- 
bildet sind, zu den Gleichungen der ersten Gruppe zurück, und be- 
stimmen ein drittes System, welches dieser Genüge leistet; darauf 
unterwerfen wir die dreimal verbesserten Beobachtungen einer 
vierten Ausgleichung, wo nur die Gleichungen der zweiten Gruppe 
berücksichtigt werden. So ‚werden wir, indem wir abwechselnd 
bald die erste, bald die zweite Gruppe berücksichtigen, fortwährend 
abnehmende Ausgleichungen erhalten, und war die Gruppentheilung 
geschickt getroffen, so werden wir nach wenigen Wiederholungen. 
zu festen Zahlen gelangen. Wurden mehr als zwei Gruppen gebildet, 
so verhält sich die Sache ähnlich; die einzelnen Gruppen kommen 
nach einander zur Berechnung, nach der letzten wieder die erste 





De See 














Ergänzung. 17 


u. s. w. Hier möge indess der Hinweis auf diese Methode genügen, 
deren Erfolg sicher sehr von einer geschickten Anwendung ab- 
hängen wird. 


21. 


Es erübrigt noch, dass wir den Beweis des im Art. 8. vor- 
ausgesetzen Hülfssatzes nachholen, wobei wir indess der Durchsiclı- 
tigkeit wegen andere hierzu mehr geeignete Bezeichnungen anwen- 
den wollen. 

Es seien also =°, &’, ©”, x” etc. Variable; und wir nehmen 
an, aus den Gleichungen 

Meter’ + na” + etc. 
na’ +nN ao +n”a’ 4 n”a” + ete = X’ 
aetn"e tn” +n®E” + etc. 
et tn ae" tn®r” + etc = X” 
etc. 


\ 
Pr 


| 
r 


folge durch Elimination 


N" X’ + N" X + N®X” + N®X” + etc. = 7° 
N"X°’ ı- N"X’ + N”X” +.N®’X”7 rete = 
N? X’ + N" X” + N?X’ + N?X” + etc = 
N” X° + N" X’ +N”X” + N®X” + etc. — 
etc. 


| 
SS 8 8 


Setzt man daher in die erste und zweite Gleichung des zweiten 
Systems die Werthe der Grössen X’, X’, X”, X” etc. aus dem 
ersten System ein, so erhalten wir 


= MM” +Hn®e’+n"a” + etc.) 
+N'!’ mM" +n'a+n”a’+n”a” + etc.) 
+ N" + a +n®2"+n®a” + etc.) 
+N Ma He +n®a’ + Rn” a” + etc.) + etc. 
und 
x — N” (n” x + m’ x + N x” -h n® x” E= etc.) 
+ N'! (n' x° + n"! x + n"” x” + n" x” 4- etc.) 
-+ N" (n” x + N x + N” x” + nm ee + etc.) 
+ N" +n x +n”x’ +n®a” + etc.) + etc. 


Da jede dieser beiden Gleichungen offenbar eine identische 
Gleichung sein muss, so darf man sowohl in die erste, als in die 
zweite beliebige bestimmte Werthe für =", &', ©”, x” etc. einsetzen, 
Wir setzen in die erste ein 


78 Combination der Beobachtungen. 


Ne N", a ENT N ih, 
in die zweite aber 
"Em = N, PN, 27 =.Nt, 
Alsdann folgt durch Subtraktion 
N Br N’! — (N” N! Nee N" N’) (n’' Sa n') 
+ (N” N IRRE N” N”) (n” TER n”) 
+ (N” N® BRE N N”) (mn Sarr n”) 
+ etc. 
—- (N! N" EEE N" N”) (n'” SER n”) 
+ (N N” BG N!! N”) (n'” GER n°') 
+ etc. 
ar (N” N’_N” N®) (n? ER n®) 
+ etc. etc., 


welche Gleichung auch so geschrieben werden kann 
N” — N" = Z[N“ N’? — N N] (ne? — nPe), 


wo durch «ß alle Combinationen von ungleichen Indices bezeichnet 
werden. 
Hieraus folgt, dass, wenn 


m — n., n” — n”, N — n, n"” — w, n"”° — n”, > — n”® ete. 


oder allgemein 
nf — nPe 
war, auch 
N" — En 
sein wird. Da nun die Reihenfolge der Variabeln in den gegebenen 
Gleichungen willkürlich ist, so wird offenbar unter jener Voraus- 


setzung allgemein 
NP == NPe, 


22. 

Da die in dieser Abhandlung dargelegte Methode vorzüglich 
eine häufige und bequeme Anwendung in den Rechnungen der 
höheren Geodäsie findet, so hoffen wir, unseren Lesern werde die 
Erläuterung der Vorschriften an einigen aus dieser entnommenen 
Beispielen nicht unlieb sein. 

Die Bedingungsgleichungen zwischen den Winkeln eines Sy- 
stems von Dreiecken sind hauptsächlich einer dreifachen Quelle 
zu entnehmen, 


Ergänzung. 79 


I. Die Summe der Horizontalwinkel, welche bei einem voll- 
ständigen Umlauf um denselben Scheitel den Horizont ausfüllen, 
muss vier Rechten gleich sein. 

II. Die Summe der drei Winkel in jedem Dreieck ist einer 
gegebenen Grösse gleich, da man, wenn das Dreieck auf einer 
krummen Oberfläche liegt, den Ueberschuss jener Summe über zwei 
Rechte so scharf berechnen kann, dass er für vollkommen genau 
gelten darf. 


III. Die dritte Quelle entspringt dem Verhältniss der Seiten 
in Dreiecken, welche eine geschlossene Kette bilden. Ist nämlich 


. eine Reihe von Dreiecken so mit einander verbunden, dass das 


zweite Dreieck eine Seite a mit dem ersten Dreieck, eine andere b mit 
dem dritten gemeinsam hat; ebenso habe das vierte Dreieck mit dem 
dritten die Seite c, mit dem fünften die Seite d gemeinsam; und 
so weiter bis zum letzten Dreieck, welches mit dem vorhergehen- 
den die Seite % und mit dem ersten wiederum die Seite ! gemeinsam 
habe, dann werden die Werthe der Quotienten 
N U 
Er N ee 3 
nach bekannten Methoden bezw. aus je zwei, den gemeinschaft- 
lichen Seiten gegenüberliegenden Winkeln auf einander folgen- 
der Dreiecke zu erhalten sein, und da das Produkt jener Brüche 
= 1 sein muss, so ergiebt sich hieraus eine Bedingungsgleichung 
zwischen den Sinus jener Winkel (welche bezw. um den dritten 
Theil des sphärischen oder sphäroidischen Excesses vermindert 
sind, wenn die Dreiecke auf einer krummen Oberfläche liegen). 
Uebrigens kommt es in complicirteren Dreiecksnetzen sehr 


häufig vor, dass Bedingungsgleichungen der zweiten oder dritten 


a Du te u ee nn a a Lin Du Ah ze a 29 22 Kürieee 


Art sich in grösserer Anzahl darbieten, als man beibehalten darf, 
weil nämlich ein Theil derselben in den übrigen schon enthalten ist. 
Dagegen wird der Fall seltener eintreten, wo man den Bedingungs- 
gleichungen der Zweiten Art ähnliche Gleichungen, die sich auf 
mehrseitige Figuren beziehen, beifügen muss, nämlich nur dann, 
wenn Polygone gebildet werden, welche nicht durch Messungen in 
Dreiecke getheilt sind. Ueber diese Dinge werden wir aber, weil es 
unserem gegenwärtigen Zweck zu fern liegt, bei einer anderen Ge- 
legenheit des weiteren reden. Indessen können wir die Bemerkung 
nicht mit Stillschweigen übergehen, dass unsere Theorie, wenn eine 
reinliche und strenge Anwendung gewünscht wird, - voraussetzt, es 


80 Combination der Beobachtungen. 


seien die mit v, v’, v” etc. bezeichneten Grössen wirklich und unmittel- 
bar beobachtet, oder so aus Beobachtungen abgeleitet, dass sie von 
einander unabhängig bleiben oder wenigstens als von einander un- 
abhängig betrachtet werden können. In der gewöhnlichen Praxis 
werden die Dreieckswinkel selbst beobachtet und können demnach für 
v, v’, v” ete. angenommen werden; wir dürfen aber nicht vergessen, 
falls das System zufällig ausserdem solche Dreiecke enthält, deren 
Winkel nicht unmittelbar beobachtet sind, sondern sich aus Summen 
oder Differenzen wirklich beobachteter Winkel ergeben, dass diese 
nicht unter die Zahl der beobachteten gerechnet, sondern in der Form 
ihrer Zusammensetzung bei den Rechnungen beibehalten werden 
müssen. Anders aber wird sich die Sache bei einer Beobachtungsweise 
verhalten, welche der von Struve (Astronomische Nachrichten, II, 
S. 431) befolgten ähnlich ist, bei der die Richtungen der einzelnen von 
demselben Scheitel ausgehenden Seiten durch Vergleichung mit einer 
und derselben willkürlichen Richtung erhalten werden. Dann sind 
nämlich gerade diese Winkel für v, v’, vo” etc. anzunehmen, wodurch 
sich alle Dreieckswinkel in Form von Differenzen darstellen, während 
die Bedingungsgleichungen der ersten Art, denen der Natur der 
Sache nach von selbst genügt wird, als überflüssig fortfallen. Die 
Beobachtungsweise, welche ich selbst bei der in den letzten Jahren 
ausgeführten Triangulation angewandt habe, unterscheidet sich zwar 
sowohl von der ersten, als von der zweiten Methode, kann jedoch 
in Bezug auf das Resultat der letzteren gleichgeachtet werden, so 
dass man bei den einzelnen Stationen die von einem gleichsam 
beliebigen Anfang aus gezählten Richtungen der von ihnen aus- 
gehenden Seiten für die Grössen », v’, v»” etc. annehmen darf. Wir 
werden nun zwei Beispiele ausarbeiten, von denen das eine der 
ersten, das andere der zweiten Weise entspricht. 


23. 


Das erste Beispiel entnehmen wir dem Werk® von de Krayenhofj, 
„Preeis historique des op6rations trigonom6triques faites en Hollande*, 
und zwar unterwerfen wir den Theil des Dreiecksnetzes einer Aus- 
gleichung, welcher zwischen den neun Punkten Harlingen, Sneek, 
Oldeholtpade, Ballum, Leeuwarden, Dockum, Drachten, Oosterwolde 
und Gröningen enthalten ist. Es werden zwischen diesen Punkten 
neun Dreiecke gebildet, welche in jenem Werke mit den Nummern 
121, 122, 123, 124, 125, 127, 128, 131, 132 bezeichnet sind, und 


ri Er er un RE 
vo er BL Sc 
; RE EEE 


Ergänzung. 


8 


_ deren Winkel (welche wir durch vorgesetzte Indices unterscheiden) 


nach der Tabelle, S. 77 bis 81, folgendermaassen beobachtet worden 


sind: 


Dreieck 121. 


mden.. .. 2,5, 50° 
2 Taewwarden -’- „82 
RHBNmir.. z44 0... 4b 
Dreieck 122. 

m HarIngon 0 4 51 
2 BR0OE EP, OR 70 
5. Leeuwarden . . . . 58 
Dreieck 123. 

6. Bneok:iri -nolleia 5 49 
7. Draschten „3 #433 42 
8. Leeuwarden . . .... 8 
Dreieck 124. 

DEREN 45 
10. Oldeholtpade . . . . 67 
EWR... 21,7. Er 66 
Dreieck 125. 

12: Drachteh )°; 4 88, 53 
13. Oldeholtpade . . . . 47 
14. Oosterwolde . . .. 78 
Dreieck 127. 

15. Leeuwarden . . . . 59 
16: Dockum .. 2m... 76 
11: Beam 22, 44 
Dreieck 128. 

18. Leeuwarden . . . . 72 
19. Drachtens . . ... 46 
RI: DoeRumi: 2.1, 61 
Dreieck 131. 

RE N RE 57 
ee 83 
23. Gröningen . . . . . 39 


Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 


58° 


47 
14 


15,238” 


15,351 
27,202 


39,717 
33,445 
48,707 


40,051 
59,382 
21,057 


7,492 
0,048 
56,513 


24,745 
52,580 
42,347 


0,645 
9,021 
51,040 


32,043 
27,163 
4,494 


55,292 
14,515 
52,397 


82 Combination der Beobachtungen. 


Dreieck 132. 


24. Oosterwolde . . . . 81° 54° 17,447” 
25. Gröningen . . . : 3l 52 46,094 
26. Drachten. :..1..:..:% 66 12 57,246. 


Die Betrachtung des Zusammenhangs zwischen diesen Drei- 
ecken zeigt, dass zwischen den 27 Winkeln, deren angenäherte Werthe 
durch Beobachtung bekannt geworden sind, 13 Bedingungsgleichungen 
bestehen, und zwar zwei der ersten, neun der zweiten und zwei der 
dritten Art. Es ist aber unnöthig, diese Gleichungen alle in ihrer 
geschlossenen Form hinzuschreiben, da für die Rechnungen nur die 
in der allgemeinen Theorie mit X, a, a’, a” etc.; B, b, b’, b” etc.; 
etc. bezeichneten Grössen verlangt werden; deshalb schreiben wiran 
‘deren Stelle sofort die oben mit (13) bezeichneten Gleichungen, 
welche jene Grössen vor Augen stellen; anstatt der Zeichen e, €‘, 
e” etc. setzen wir hier einfach (0), (1), (2) ete. 


Demnach entsprechen den beiden Bedingungsgleichungen erster 
Art die folgenden: 


V)+6& +8 +5) + (8) — — 2,1977 
(7) + 11) + (12) + (19) + (22) +26) = — 0,486. 


Die sphäroidischen Excesse der neun Dreiecke finden wir der 
Reihe nach: 1,749’; 1,147”; 1,243”; 1,698”; 0,873”; 1,167”; 1,104”; 
2,161”; 1,403”. Es entsteht daher als erste Bedingungsgleichung 
der zweiten Art die folgende*): v” + 0” + u” — 180° 0’ 1,749” — 0, 
und analog die übrigen. Hieraus erhalten wir die neun folgenden 
Gleichungen: 


()+A) +@ = — 3,98’ 
+) +6) = +0,72 
HM +8 = — 0,783 


M)+AY)+(M) = +2,35 
(12) + (13) + (14) = — 1,201 
(15) + (16) + (17) = — 0,461 
(18) + (19) + (20) = + 2,596 
(@1) + (22) + (23) = + 0,043 
(24) + (25) +(26) = — 0,616 . 


*) Wir ziehen es vor, die Indices in diesem Beispiel durch arabische 
Ziffern auszudrücken, 


en 


Ergänzung. 83 


Die Bedingungsgleichungen der dritten Art werden bequemer in 
logarithmischer Form aufgestellt; so heisst die erste 


log sin (v” —0,583”) —log sin (v0 —0,583”) —log sin (v” —0,382”) 
+log sin (v” — 0,382”) —log sin (v.” —0,414”) +log sin (v” —0,414”) 
—log sin (0"%— 0,389) + log sin (u? —0,389”) —log sin (v” — 0,368”) 
-+1log sin (vu — 0,368) = 0. 

Es erscheint überflüssig, die andere in geschlossener Form hinzu- 
schreiben. Diesen beiden Gleichungen entsprechen die folgenden, 
wo die einzelnen Coefficienten sich auf Mr siebente Stelle der 
Brigg’schen Logarithmen beziehen, 
17,068 (0) — 20,174 (2) — 16,993 (3) + 7,328 (4) — 17,976 (6) 
+ 22,672 (7) — 5,028 (16) + 21,780 (17) — 19,710 (19) 
+ 11,671 (20) = — 371 
17,976 (6) — 0,880 (8) — 20,617 (9) + 8,564 (10) — 19,082 (13) 
+ 4,375 (14) + 6,798 (18) — 11,671 (20) + 13,657 (21) 
— 25,620 (23) — 2,995 (24) + 33,854 (25) = + 370. 
Da kein Grund angegeben ist, weshalb wir den Beobachtungen 
ungleiche Gewichte beilegen sollten, so setzen wir p” = p"” = p” 
etc. = 1. Bezeichnen wir daher die Correlaten der Bedingungs- 
gleichungen in der Reihenfolge, in der wir die ihnen entsprechenden 
Gleichungen aufgestellt haben, mit A, B,C,D,E,F,G,H, I, K,L, 
M, N, so ergeben sich zur Bestimmung derselben folgende Gleichungen: 


— 219” =-5A+EC+D+E+H+I +5,917N 

—04356 =6B+E+F+G+I +K+TL + 2,962M 

— 3,958 = A+3C — 3,106 M 

+ 0,722 = A+3D-— 9,665 M 

0,7753 = A+B-+3E + 4,696 M + 17,096 N 

+2,355 = B+3F-— 12,053 N 

— 1201 = B+8G — 14,707N 

— 0,461 = A+3H-+ 16,752 M 

+2596 = A+B+31-— 8,089 M — 4,874 N 

+ 0,043 = B+3K— 11,963 N 

— 0,616 = B-+3L + 30,859 N 

— 871 = + 2,962 B — 3,106 € — 9,665 D + 4,696 E + 16,752 H 
— 8,0391 + 2902,27 M — 459,33 N 

+ 370 = + 5,917 A + 17,096 E— 12,053 F — 14,707 G 


— 4,8741 — 11,963 K + 30,859 L — 459,33 M 
+ 3385,96 N. 
6* 


84 Combination der Beobachtungen. . 
Hieraus erhalten wir durch Elimination 
A—= —0598 | H= + 0,659 
B= —0255 | I = + 1,050 
C= —1234  K= + 0,577 
D = + 0,086 L = —1,51 
E= —047 | M= —0,1097% 
F= +1351 |N= + 0,1%83. 
G= +01, | 


Endlich erhalten wir die plausibelsten Fehler aus den Formeln 


(0) = C + 17,068 M 
1) =A+C 
(2) = C — R0,174M 
(3) = D— 16,993 M 
etc., woraus wir die folgenden numerischen Werthe finden; zur Verglei- 


chung setzen wir (mit entgegengesetzten Vorzeichen) die von de Krayen- 
hoff an die Beobachtungen angebrachten Verbesserungen hinzu: 


; | de Kr. de Kr. 

(0) = — 3,108”) — 2,090” | (14) = + 0,795” | + 2,400” 
(1) = —1832 | + 0,116 | (15) = + 0,061 | + 1,273 
(2) = +0,981 | — 1,98 | (16) = + 1,211 | + 5,945 
8 = +192 | +17122 | IN) = — 17132 | — 7,674 
(4) = — 0,719 | +2,848 | (18) = + 1,265 | + 1,876 
(5) = — 0,512 | — 3,848 | (19) = + 2,959 | + 6,251 
(6) = + 3,648 | — 0,137 | (20) = — 1,628 | — 5,530 
() = — 3,221 | + 1,000 || 21) = +2,211 | + 3,486 
8 = — 1,180 | — 1,614 | (2) = + 0,322 | — 3,454 
(9) = — 1,116 0 (23) = — 2,489 0 

(10) = + 2,376 Wie 5,928 | (24) = — 1,709 |, + 0,400 
(11) = + 1,096 | — 3,570 | (25) = + 2,701 | + 2,054 
(12) = + 0,016 + 2,414 (26) = — 1,606 | — 3,077. 
(13) = — 2,013 | — 6,014 











Die Summe der Quadrate unserer Ausgleichungen findet man 
— 97,8845. Hieraus findet man den mittleren Fehler, insoweit, er 
aus den 27 beobachteten Winkeln abgeleitet werden kann, 


97,8845 L 
= = 210". 





Ergänzung. 85 


Die Summe der Quadrate der Aenderungen, welche de Krayen- 
hoff selbst an die beobachteten Winkel angebracht hat, wird 
— 341,4201 gefunden. 


24. 
Das zweite Beispiel liefern uns die Dreiecke zwischen- den 
fünf Punkten Falkenberg, Breithorn, Hauselberg, Wulfsode und 
Wilsede der Triangulation von Hannover. Beobachtet sind die 


Richtungen *): 
Auf der Station Falkenberg 
0. Wilsede . ‚187° 47’ 30,311” 
1. Wulfsode. . 7826: 9:.39,676 
2. Hauselberg . . .266 13 56,239 
3. Breithorn .274 14 43,634 
Auf der Station Breithorn 
4. Falkenberg. . . . . 9 33 40,755 
5. Hauselberg . . . . .122 51 23,054 
B.:Wusede . 3 .:.:.. ...150: 18:@35,100 
Auf der Station Hauselberg 
7. Falkenberg . . . . . 86 29 6,872 
SE Wilsele .:u:... .. .....154. 3920:9,624 
9. Wulfsode. . . .. . .189 2 56,376 
10. Breithorn . . . . .302 47 37,132 
Auf der Station Wulfsode 
11. Hauselberg . 9. .5.::36,593 
12. Falkenberg. . 45 27 33,556 
ia. Wilsele: .&, %: ...:- . 118 44 13,159 
Auf der Station Wilsede 
14. Falkenberg. ... . . 1: BEINOENGT 
15. Wulfsode. . . ... ..298 29 49,519 
16. Breithorn 330 3: 7,39 
17. Hauselberg. . . . . 334 25 26,746. 


*) Die Nullrichtungen, auf welche sich die einzelnen Richtungen be- 
ziehen, werden hier als willkürlich angesehen, obwohl sie thatsächlich mit den 
Meridianlinien der Stationen zusammenfallen. Die Beobachtungen werden seiner 
Zeit vollständig veröffentlicht werden; einstweilen findet man eine Figur in den 
„Astronomischen Nachrichten“, Bd. I, S. 441, 


86 | Combination der Beobachtungen. 


Aus diesen Beobachtungen lassen sich sieben Dreiecke bilden. 








Dreieck I. 
Ealkombärg =°..%, 0% 8° 0’: 47,395” 
Breithörn . 2... 28, 28 17 42,299 
Hanselberg: si; =» „3% 143 41 29,140 
Dreieck II. 
Paketen... . . 86 27 13,323 
Breiten... 20202; 55 44 54,345 
Wander en, 37 47 53,635 
Dreieck II. 
Falkenberg... .. . 41 4 16,563 
Beinsäbeig . 22... - 102 33 49,504 
Wumeis. ..... 05 36 21 56,963 
Dreieck IV. 
Falkenberg... . . . . 78 26 25,928 
Hanselberg ; U. . ».; 68 8 275 
Wilssde:. 3.2. .2; 33 25 34,281 
Dreieck V. | 
Falkenberg . ::!: ; . .:.837 2222::9,965 
Wulßibde:; Dre 5 73 16 39,603 
wilssde :: 2. 55 69 21 11,508 
Dreieck VI. 
Braitborn. .i. 00 27 27 12,046 
Hausslbeig. . .: . ... . 148 10 28,108 
Wusde i..256.2 5 4 22 19,354 
Dreieck VII. 
Fnmselberk -..\. . =, - 34 25 46,752 
Nusnde: .308.. 109 38 36,566 
Nude ı, .:, 2, 3b bb. 37,227; 


Es sind also sieben Bedingungsgleichungen zweiter Art vorhanden 
(die Bedingungsgleichungen erster Art fallen offenbar fort), zu 
deren Aufstellung vor allem die sphäroidischen Excesse der sieben 
Dreiecke zu ermitteln sind. Hierzu ist die Kenntniss der absoluten 
Grösse wenigstens einer Seite erforderlich; die Seite zwischen den 





Sr di "Tai Bi Bien cr ee Fe Er Er ykacie a sie a 
a 


Ergänzung. 87 


Punkten Wilsede und Wulfsode ist 22877,94 Meter lang. Hieraus 
ergeben sich die sphäroidischen Excesse der Dreiecke I...0,202”; 
2222,42 71 21,280 1771919, V..1,957- VI, 2.0,821°; 
vII...1,29”. | 

Wenn wir jetzt die Richtungen in der Reihenfolge, wie sie 
oben angeführt und durch Indices unterschieden sind, mit vo”, o”, 
v”, vo” etc. bezeichnen, so werden die Winkel des ersten Dreiecks 


vu) RR gt v®) wi vu”, 360° + y = v9, 
und deshalb die erste Bedingungsgleichung 
— v9 +09 — v9 +09 + v9 — v"® + 179° 59° 59,798” — 0. 


Ebenso liefern die übrigen Dreiecke die sechs anderen; eine geringe 
Achtsamkeit wird aber zeigen, dass diese sieben Gleichungen nicht 
von einander unabhängig sind, sondern dass die zweite identisch 
mit der Summe der ersten, vierten und sechsten, die Summe der 
dritten und fünften aber identisch mit der Summe der vierten und 
siebenten ist; deshalb lassen wir die zweite und fünfte unberück- 
sichtigt. An Stelle der übrigbleibenden Bedingungsgleichungen in ge- 
schlossener Form schreiben wir die entsprechenden Gleichungen des 
Systems (13), indem wir für die Zeichen e, e etc. hier (0), (1), 
(2) ete. benutzen, 


— 136 — -_)+9)—-) +6 +M — (0) 
+173 = -—D+ X —() +9) — dl) + (I2) 
+1,02 = -)+W—-M) +8 +19) — (7) 
— 0,813 = — 6) +) —(&) + (10) — (16) + (17) 
0,750 = + AD +9) — (15) + AN). 


Von Bedingungsgleichungen der dritten Art würden sich acht 
aus dem System der Dreiecke finden lassen, da man je drei der vier 
Dreiecke I, II, IV, VI und je drei von III, IV, V, VII zu diesem 
Zweck combiniren kann; eine geringe Aufmerksamkeit lehrt indess, 
dass zwei ausreichen, eine von jenen und eine von diesen, da die 
übrigen in ihnen und den früheren Bedingungsgleichungen schon 
enthalten sein müssen. Unsere sechste Bedingungsgleichung wird 
daher sein 


log sin (u — v»® — 0,067”) — log sin (0” — 0” — 0,067”) 
+ log sin (v"® — u” — 0,640”) — log sin (v” — vu” — 0,640”) 
+ log sin (#® — »% — 0,107”) — log sin (u? — v"® — 0,107) = 0 


und die siebente 


- 


88 Combination der Beobachtungen. 


log sin (v® — 0 — 0,419”) — log sin (0? — 0” — 0,419") 
+ log sin (0? — 0” — 0,640”) — log sin (u? — vu” — 0,640”) 
+ log sin (u? — 2? — 0,432”) — log sin (u? — v? — 0,432) = 0, 


und es entsprechen ihnen als Gleichungen des Systems (13) 


+25 — + 4,81(0) —153,88 (2) +149,57 (8) + 39,11 (4) 
— 79,64 (5) + 40,53 (6) + 31,90 (14) +275,39 (16) 
— 307,29 (17) 

- 83- . 4310) — 416) 050) + 36.114 
— 28,59 (12) — 7,52 (13) + 31,90 (14) + 29,06 (15) 


— 60,96 (17). 
Wenn wir nun den einzelnen Richtungen dieselbe Genauig- 
keit beilegen, indem wir 2” = p” = p” ete. = 1 setzen, und 


die Correlaten der sieben Bedingungsgleichungen in der obigen 
Reihenfolge mit A, B, C, D, E, F, @ bezeichnen, so werden die- 
selben aus den folgenden Gleichungen zu bestimmen sein: 


— 1,368 — +6A—2B— 20 —2D + 184,72F — 19,856 
+1773=—2A +6B +20 + 2E— 153,88F — 20,696 
+1042 = —2A +2B+ 60 —2D—2E + 181,00F + 108,406 
— 0,813 = — 2A —20+6D +2E-— 462,51F-— 60,966 
— 0,750 — + 2B —2C + 2D + 6E — 307,29F — 133,656 
+ 2% + 184,72A — 153,88B + 181,000 — 462,51D 
— 307,29E + 224868F + 16694,1G 
—3 = —-19,85A — 20,69B + 108,400 — 60,96D — 133,65 E 
+ 16694,1F + 8752,39. 


Hieraus leiten wir durch Elimination ab 


— 0,225 
+ 0,344 
— 0,088 
— 0,171 
— 0,323 
+ 0,000215915 
— 0,00547462. 


Die plausibelsten Fehler erhält man nunmehr aus den Formeln 


I | 


ou. oBuKoi..E:- 
Be ee 


() = —C+431F+ 4316 
(1) = -B-24,16G 
@) = —A+B+0-—153,88F + 19,85 


etc., woraus sich die numerischen Werthe ergeben 


ERTEILEN 


Ergänzung. 89 
(0) = + 0,065” (9) = + 0,021” 
Ad) = — 0212 (10) = + 0,054 
(2) = + 0,339 11) = — 0,219 
8) = — 0,193 (12) = + 0,501 
(4) = + 0,233 (13) = — 0,282 
(5) = — 0,071 (14) = — 0,256 
(6) = — 0,162 (15) = + 0,164 
(7) = — 0,481 (16) = + 0,230 
(8) = + 0,406 (17) = — 0,139. 





Die Summe der Quadrate dieser Fehler wird — 1,2288 gefunden; 
hieraus folgt der mittlere Fehler einer einzelnen Richtung, insoweit 
er aus den beobachteten 18 Richtungen abgeleitet werden kann, 

= ee — 0,4190”. 


25. 


Um auch den zweiten Theil unserer Theorie durch ein Beispiel 
zu erläutern, suchen wir die Genauigkeit auf, mit welcher die Seite 
Falkenberg—Breithorn aus der Seite Wilsede—Wulfsode mit Hülfe 
der ausgeglichenen Beobachtungen bestimmt wird. Die Funktion u, 
durch welche dieselbe in diesem Fall ausgedrückt wird, ist 


sin (v9 — v9 — 0,652”) sin (v9 — v9 — 0,814”) 
sin (u — v9) — 0,652”) sin (v9 — v9 — 0,814”) 
Der Werth derselben wird mit den verbesserten Werthen 
der Richtungen »(%, „© etc. gefunden 
— 26766,68". 

Die Differentiation jenes Ausdrucks liefert aber, wenn man 
sich die Differentiale do”, dv!) etc. in Secunden ausgedrückt denkt, 
du = 0,16991” (dv) — dv") + 0,08836” (dv) — do) 

— 0,038997 (dv? — dot?) + 0,16731” (dot) — dv). 


Hieraus findet man weiter 





u — 22877,94° x 


[al] = — 0,08836 
[öf] = + 0,13092 
[el] = — 0,00260 


[dl] = + 0,07895 


90 Combination der Beobachtungen. 


fell = + 0,03899 
(fl) = — 40,1815 
[gl] = + 10,9957 
[1] = + 0,18238. 


Man findet hiernach endlich mit Hülfe der oben entwickelten 
Methoden, wenn wir das Meter als lineare Längeneinheit annehmen, 
S — 0,08329, oder P = 12,006, 
woraus der mittlere im Werthe der Seite Falkenberg—Breithorn 
zu befürchtende Fehler —= 0,2886 m Meter ist (wo m der mittlere 
zu befürchtende Fehler der beobachteten Richtungen, und zwar 


in Sekunden ausgedrückt, ist), und folglich, wenn wir den oben er- 


mittelten Werth des m nehmen, 
= 0,.12209°, 


Uebrigens lehrt der Anblick des Systems der Dreiecke un- 
mittelbar, dass der Punkt Hauselberg darin ganz weggelassen 
werden kann, ohne dass der Zusammenhang zwischen den Seiten 


Wilsede— Wulfsode und Falkenberg—Breithorn gestört würde. 


Aber es wäre aus methodischen Grundsätzen nicht zu billigen, 
wollte man deshalb die auf den Punkt Hauselberg bezüglichen Be- 
bachtungen unterdrücken”), da sie doch sicher zur Erhöhung der 
Genauigkeit beitragen. Um deutlicher zu zeigen, wie gross die 
Zunahme der Genauigkeit hierdurch wird, wiederholen wir die 
Berechnung, indem wir Alles, was sich auf den Punkt Hauselberg 
bezieht, weglassen, wodurch von den oben gegebenen 18 Richtungen 
8 fortfallen, und die plausibelsten Fehler der übrigen folgender- 
maassen gefunden werden: 


(0) = + 0,827” | (12) = + 0,206” 





1) = —0206 | (183) = —.0,206 
8) = —0,121 | (di) = + 0,8297 
(4) = +0,121 | (15) = + 0,206 
6)= —0121 | (1) = +0121. 


Der Werth der Seite Falkenberg—Breithorn ergiebt sich dann 


*) Der grössere Theil dieser Beobachtungen war schon angestellt, ehe der 
Punkt Breithorn aufgefunden und in das System aufgenommen ward. 


a 


BETEN 


Ergänzung. 91: 


— 26766,63”, zwar wenig von dem oben gefundenen abweichend, 
die Berechnung des Gewichts liefert aber 


2 — 0,1082, oder P — 7,644 


und deshalb den mittleren zu befürchtenden Fehler = 0,36169 m Meter 
— 0,1515”. Es erhellt daher, dass durch Hinzunahme der auf 
Hauselberg bezüglichen Beobachtungen das Gewicht der Bestimmung 
der Seite Falkenberg—Breithorn im Verhältniss der Zahl 7,644 zu 
12,006, oder der Einheit zu 1,571 vermehrt ist. 





II. 


Aus der 


Theorie der Bewegung der Himmelskörper, 


welche in Kegelsehnitten die Sonne umlaufen. 
(1809). 


Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 


Bestimmung der Bahn, die beliebig viele Beobachtungen 
möglichst genau erfüllt. 


172. 


Wenn die astronomischen Beobachtungen und die übrigen 
Zahlenwerthe, auf denen die Berechnung der Bahnen beruht, sich 
einer absoluten Genauigkeit erfreuten, so würden sich auch die Ele- 
mente, mag man sie nun aus drei oder aus vier Beobachtungen 
abgeleitet haben, sofort völlig genau ergeben (wenigstens in- 
soweit man voraussetzt, dass die Bewegungen genau nach den 
Kepler’schen Gesetzen erfolgen), so dass man durch Hinzunahme 
immer neuer Beobachtungen nur eine Bestätigung und keine Ver- 
besserung erhalten könnte. Da nun aber in der That alle unsere 
Messungen und Beobachtungen nur Annäherungen an die Wahrheit 
sind, und dasselbe von allen auf ihnen beruhenden Rechnungen 
gelten muss, so wird das höchste Ziel aller, auf bestimmte Er- 
scheinungen sich beziehenden Rechnungen darin bestehen müssen, 
der Wahrheit möglichst nahe zu kommen. Dies kann aber nur 
durch eine zweckmässige Combination von mehr Beobachtungen 
geschehen, als deren zur Bestimmung der unbekannten Grössen un- 
bedingt erforderlich sind. Dies Geschäft wird man jedoch dann 
erst unternehmen können, wenn man bereits eine angenäherte 
Kenntniss der Bahn besitzt, welche alsdann so verbessert werden 
muss, dass sie alle Beobachtungen möglichst genau erfüllt. Wenn 
nun auch dieser Ausdruck etwas Unbestimmtes zu enthalten scheint, 








a e 


Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 93 


so werden doch im Folgenden Prineipien vorgetragen werden, ver- 


 mittelst deren die Aufgabe einer gesetzmässigen und methodischen 


Lösung unterworfen wird. 

Die höchste Genauigkeit zu erstreben, kann nur dann die 
Mühe lohnen, wenn an die zu bestimmende Bahn gleichsam die 
letzte Hand anzulegen ist. So lange man dagegen die Hoffnung 
hegt, dass bald neue Beobachtungen Anlass zu neuen Verbesserungen 
bieten werden, so empfiehlt es sich, je nach der Sachlage mehr 
oder weniger auf die äusserste Genauigkeit zu verzichten, wenn 


man hierdurch die Weitschichtigkeit der Rechnungen wesentlich 


verringern kann. Wir werden uns bemühen, für jeden der beiden 


| Fälle Rath zu schaften. 


173. 


Vor allem ist es von grösster Bedeutung, die einzelnen geo- 
centrischen Positionen des Himmelskörpers, welche man der be- 
betreffenden Bahn zu Grunde legen will, nicht aus vereinzelten 
Beobachtungen abzuleiten, sondern, wenn möglich, aus mehreren 
so combinirten, dass die zufällig begangenen Fehler sich gegen- 
seitig, so weit es geht, vernichtet haben. Solche Beobachtungen 
nämlich, welche nur um den Zwischenraum weniger Tage ausein- 
ander liegen — oder, nach Lage der Sache, sogar um einen 
Zwischenraum von 15 oder 20 Tagen — werden bei der Rechnung 


‚nicht als eben so viele, verschiedene Positionen zu verwenden sein, 


sondern es wird vielmehr aus ihnen eine einzige Position abge- 
leitet werden, welche unter allen gleichsam die mittlere ist und 
deshalb eine bei weitem grössere Genauigkeit gewährt, als die 
einzelnen, gesondert betrachteten Beobachtungen. Dies Verfahren 
stützt sich auf folgende Principien. 

Die aus den angenäherten Elementen berechneten geocentrischen 
Oerter des Himmelskörpers dürfen von den wahren Oertern nur wenig 
abweichen, und die Differenzen zwischen beiden dürfen nur sehr 
langsamen Aenderungen unterliegen, so dass sie im Verlaufe von 
wenigen Tagen nahezu wie Constanten behandelt, oder.dass wenigstens 
ihre Aenderungen als den Zeiten proportional angesehen werden 
können. Wären demnach die Beobachtungen völlig fehlerfrei, so 
würden die den Zeiten £, t, t”, t” etc. entsprechenden Differenzen 
zwischen den beobachteten und den aus den Elementen be- 
rechneten Oertern, d. h. die Differenzen der beobachteten und be- 
rechneten Längen und Breiten, oder Rectascensionen und Declina- 


94 Bewegung der Himmelskörper. 


tionen, entweder hinlänglich gleiche oder wenigstens gleichmässig 


und sehr langsam wachsende oder abnehmende Grössen sein. Es 


mögen z. B. jenen Zeiten die beobachteten Rectascensionen «a, @‘, 
a”, «” etc. entsprechen, berechnet aber seien «+0, «+0, 
a” + d”, @” + Öd”etc.; alsdann werden die Unterschiede 6, 6‘, d”, 0” etc. 
von den wahren Abweichungen der Elemente nur in so weit ver- 
schieden sein, als die Beobachtungen selbst fehlerhaft sind; darf 
man also jene Abweichungen für alle diese Beobachtungen als con- 
stant ansehen, so werden die Werthe d, 6’, Ö”, ö” etc. eben so viele 
verschiedene Bestimmungen derselben Grösse darstellen, als deren 
verbesserten Werth man deshalb das arithmetische Mittel aus jenen 
Bestimmungen annehmen darf, so lange wenigstens kein Grund 
vorliegt, eine oder die andere zu bevorzugen. Glaubt man aber, 
den einzelnen Beobachtungen nicht denselben Genauigkeitsgrad bei- 
legen zu dürfen, so nehme man an, dass der Genauigkeitsgrad bei 
den einzelnen bezw. den Zahlen e, e’, e”, e” etc. proportional zu 
schätzen sei, d. h. dass Fehler, welche diesen Zahlen umgekehrt 
proportional sind, bei den Beobachtungen gleich leicht hätten be- 
gangen werden können; dann wird nach den unten anzugebenden 
Prineipien der mittlere wahrscheinlichste Werth nicht mehr das 
einfache arithmetische Mittel, sondern 


1 ed + e?ö’ + ed” + ed” + etc. 
It ER ER I be 


sein. Setzt man nun diesen mittleren Werth = &, so wird man 
für die wahren Reetascensionen bezw. «@+0— A, «+d—A, 
a@"+60"— A, a” + 6” — A etc. annehmen dürfen, und dann wird es 
gleichgültig sein, welche man in der Rechnung benutzt. Wenn 
aber entweder die Beobachtungen durch einen allzugrossen Zeit- 
raum von einander getrennt sind, oder wenn hinlänglich angenäherte 
Elemente der Bahn noch nicht vorliegen, so dass man ihre Ab- 
weichungen nicht für alle Beobachtungen als constant ansehen darf, 
so ist leicht ersichtlich, dass hierdurch kein anderer Unterschied ent- 
steht, als dass die so gefundene mittlere Abweichung nicht sowohl 
für alle Beobachtungen gemeinsam zu gelten hat, sondern dass sie 
vielmehr auf eine gewisse mittlere Zeit zu beziehen ist, welche 
man aus den einzelnen Zeitmomenten ebenso ableiten muss, wie A 
aus den einzelnen Abweichungen, im allgemeinen also auf die Zeit 


et+e tt!’ +et" + et” + etc. 
e+e+e”+e” + etc, 








ei hi he aa ne ut 


a ERBE 
RR u We 
.d ‚ 


Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 95 


Will man daher die grösste Genauigkeit erlangen, so wird der 


 geocentrische Ort für dieselbe Zeit aus den Elementen zu berechnen 
und alsdann von dem mittleren Fehler A zu befreien sein, so dass 


eine möglichst genaue Position hervorgeht; zumeist wird es jedoch 


weitaus genügen, wenn man den mittleren Fehler auf die der 


mittleren Zeit nächste Beobachtung bezieht. Was wir hier von 
den Rectascensionen gesagt haben, gilt ebenso von den Declinatio- 


. nen, oder, wenn man lieber will, von den Längen und Breiten; es 


wird aber immer vortheilhafter sein, unmittelbar die aus den Ele- 
menten berechneten Rectascensionen und Declinationen mit den 
beobachteten zu vergleichen; so gewinnen wir nämlich nicht nur 
eine raschere Rechnung‘, besonders wenn wir die in den Art. 53. bis 
60. auseinandergesetzten Methoden benutzen, sondern jene Methode 
empfiehlt sich ausserdem aus dem Grunde, weil wir auch unvoll- 
ständige Beobachtungen gebrauchen können, und weil ausserdem, 
wenn wir Alles auf Längen und Breiten beziehen würden, zu be- 
fürchten wäre, dass eine Beobachtung, welche in Bezug auf Recta- 
scension richtig, in Bezug auf Declination schlecht angestellt ist 
(oder umgekehrt), in beiden Beziehungen verschlechtert und somit 
ganz unbrauchbar würde. — Uebrigens wird nach den bald zu 
entwickelnden Prineipien der dem so gefundenen Mittel beizulegende 
Grad der Genauigkeit = Ve + e” + e””-+ e””-+ etc. sein, so dass 
vier oder neun gleich genaue Beobachtungen erforderlich sind, wenn 
sich das Mittel der doppelten oder dreifachen Genauigkeit erfreuen 
soll, und so weiter. 





174. 


Wenn man die Bahn eines Himmelskörpers nach den in den 
vorhergehenden Abschnitten entwickelten Methoden aus drei oder 


‚vier derartigen geocentrischen Positionen bestimmt hat, welche selbst 


einzeln nach der Regel des vorhergehenden Art. aus mehreren 
Beobachtungen gebildet waren, so wird diese Bahn zwischen allen 
diesen Beobachtungen gleichsam die Mitte halten, und in den Diffe- 
renzen zwischen den beobachteten und berechneten Oertern wird keine 
Spur einer Regelmässigkeit übrig bleiben, welche sich durch Ver- 
besserung der Elemente beseitigen oder merklich abschwächen 
liesse. So lange nun der ganze Vorrath der Beobachtungen keinen 
allzugrossen Zeitraum umfasst, wird man auf diese Weise das er- 
wünschteste Zusammenstimmen der Elemente mit allen Beobach- 
tungen erreichen können, wenn man nur drei oder vier gleichsam 


96 Bewegung der Himmelskörper. 


normale Positionen geschickt auswählt. Bei der Bestimmung der 
Bahnen neuer Kometen oder Planeten, deren Beobachtungen ein Jahr 
noch nicht überschreiten, werden wir durch diese Methode meist so viel 
erreichen, als die Natur der Sache selbst erlaubt. Ist daher die zu 
bestimmende Bahn um einen beträchtlichen Winkel gegen die Ekliptik 
geneigt, so leite man sie im allgemeinen aus drei Beobachtungen 
ab, welche wir möglichst weit entfernt von einander wählen; wenn 
wir dabei aber zufällig auf einen der oben ausgeschlossenen Fälle 
(Art. 160. bis 162.) gerathen, oder wenn die Neigung der Bahn allzu- 
klein erscheint, so werden wir die Bestimmung aus vier Positionen 
vorziehen, welche wir ebenfalls so weit wie möglich von einander 
entfernt annehmen. 


Ist aber bereits eine längere, mehrere Jahre umfassende 


Beobachtungsreihe vorhanden, so wird man aus ihr mehrere Nor- 
malörter ableiten können, und man würde daher der grössten Ge- 
nauigkeit wenig Rechnung tragen, wollte man zur Bestimmung 
der Bahn nur drei oder vier Positionen aussuchen, und alle übrigen 
gänzlich vernachlässigen. Man wird sich vielmehr in einem solchen 
Falle, wenn man die höchste Genauigkeit erlangen will, Mühe geben, 
so viele ausgesuchte Positionen wie möglich zusammenzustellen und 
zu benutzen. Dann werden also mehr Daten vorhanden sein, als 


zur Bestimmung der Unbekannten erforderlich sind; alle diese ' 


Daten werden aber Fehlern, wenn auch nur kleinen, unterworfen 
sein, so dass es im allgemeinen unmöglich ist, allen völlig zu ge- 
nügen. Da nun kein Grund vorhanden ist, weshalb man aus diesen 
Daten diese oder jene sechs als absolut genau annehmen soll, son- 
dern da man vielmehr nach den Principien der Wahrscheinlichkeit 


bei allen ohne Unterschied grössere oder kleinere Fehler als gleich 


möglich voraussetzen muss, und da ferner im allgemeinen gerin- 
gere Fehler häufiger begangen werden als gröbere, so ist es offenbar, 
dass eine solche Bahn, welche zwar sechs Daten vollkommen be- 
friedigt, von den übrigen aber mehr oder weniger abweicht, für 
eine mit den Principien der Wahrscheinlichkeitsrechnung weniger 
übereinstimmende zu halten ist, als eine andere, welche zwar auch 
von jenen sechs Daten um ein Geringes unterschieden ist, desto 
besser aber mit den übrigen zusammenstimmt. Die Aufsuchung der 
Bahn, welche im strengen Sinn die grösste Wahrscheinlichkeit für 
sich hat, wird von der Kenntniss des Gesetzes abhängen, nach 
welchem die Wahrscheinlichkeit wachsender Fehler abnimmt; dieses 
Gesetz hängt aber von so vielen unbestimmten oder zweifelhaften — auch 


fg) 2 ya 


RER 


TEEN 


Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 97 


physiologischen — Erwägungen ab, welche der Rechnung nicht 
unterworfen werden können, dass man ein solches wohl kaum 
jemals in irgend einem Falle der praktischen Astronomie richtig 
anzugeben vermag. Nichtsdestoweniger wird die Aufsuchung 
des Zusammenhangs zwischen diesem Gesetz und der wahrschein- 
lichsten Bahn, welche wir nunmehr in grösster Allgemeinheit unter- 
nehmen wollen, keineswegs für eine unfruchtbare Speculation zu 
halten sein. 


175. 


Zu diesem Zweck steigen wir von unserer besonderen Auf- 
gabe zu einer ganz allgemeinen Untersuchung auf, welche sich bei 
jeder Anwendung der Mathematik auf naturwissenschaftliche Fragen 
sehr fruchtbar erweist. Es seien V, V’, V” ete. Funktionen der 
Unbekannten p, 9, r, s etc., « die Anzahl dieser Funktionen, » die 
Anzahl der Unbekannten; wir setzen voraus, als Werthe der 
Funktionen seien durch unmittelbare Beobachtungen V=M, V=M, 
V’” = M’” etc. gefunden worden. Im allgemeinen wird daher 
die Entwickelung der Werthe der Unbekannten sich als unbestimmte, 
bestimmte oder überbestimmte Aufgabe darstellen, jenachdem u <>», 
au = »v oder u> v ist”). Hier wird nur von dem letzten Fall die, 
Rede sein, in welchem offenbar eine genaue Darstellung sämmt- 
licher Beobachtungen nur dann möglich wäre, wenn letztere alle 
absolut fehlerfrei wären. Da dies aber in Wirklichkeit nicht statt- 
findet, so wird jedes Werthsystem der Unbekannten p, g, r, s etc. 
für möglich zu halten sein, aus welchem sich Werthe der Funktionen 
M—V, M — V’, M’— V’”ete. ergeben, welche nicht grösser sind 
als die Grenzen der Fehler, die bei jenen Beobachtungen begangen 
werden konnten, was jedoch keineswegs so zu verstehen ist, als 
ob diese einzelnen möglichen Systeme einen gleichen Grad von 
Wahrscheinlichkeit besässen. 

Wir nehmen zuerst an, es sei bei allen Beobachtungen die 
Sachlage derartig gewesen, dass kein Grund vorhanden ist, die eine 





*) Wenn im dritten Falle die Funktionen V, V’, V” ete. so beschaffen 
wären, dass man «-+1-— » von ihnen oder mehrere als Funktionen der 
übrigen ansehen könnte, so würde die Aufgabe in Bezug auf diese Funktionen 
immer noch überbestimmt, in Bezug auf die Grössen ?, q, r, s etc. aber unbe- 
stimmt sein; man würde nämlich ihre Werthe nicht einmal dann bestimmen 
können, wenn die Werthe der Funktionen V, V’, V” ete, absolut genau gegeben 
wären. Diesen Fall schliessen wir aber von unserer Untersuchung aus, 

Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 7 


98 Bewegung der Himmelskörper. 


für weniger genau als die andere zu erachten, oder dass man gleich 
grosse Fehler bei den einzelnen für gleich wahrscheinlich halten 
muss. Die Wahrscheinlichkeit, welche irgend einem Fehler A bei- 
zulegen ist, wird daher durch eine Funktion von A ausgedrückt, welche 
wir mit (A) bezeichnen wollen. Wenn man nun auch diese 
Funktion nicht genau angeben kann, so kann man doch wenig- 
stens versichern, dass ihr Werth ein Maximum für A = 0 werden 
müsse, dass er im allgemeinen für gleiche und entgegengesetzte 
Werthe von A der gleiche sei, und endlich, dass er verschwinde, 
wenn man für A den grössten Fehler oder einen noch grösseren 
Werth annimmt. Eigentlich ist deshalb y(A) zu der Gattung der 
unstetigen Funktionen zu rechnen, und wenn wir uns erlauben, 
zum praktischen Gebrauch an ihrer Stelle eine analytische Funktion 
einzuführen, so muss diese so beschaffen sein, dass sie von A = 0 
ab nach beiden Seiten gleichsam asymptotisch gegen 0 convergirt, so 
dass sie ausserhalb der betreffenden Grenze als wirklich verschwindend 
angesehen werden kann. Ferner wird die Wahrscheinlichkeit, dass 
der Fehler zwischen den Grenzen A und A -+dA liege, welche 
um die unendlich kleine Differenz dA von einander abstehen, durch 
p(A)dA auszudrücken sein; hiernach wird allgemein die Wahr- 
scheinlichkeit, dass der Fehler zwischen D und D’ liege, durch das 
von A = D bis A = D’ genommene Integral /p(A) dA darge- 
stellt. Nimmt man dieses Integral von dem grössten negativen 
Werthe bis zum grössten positiven Werthe von A, oder allge- 
meiner vn A= —o bis A= +m, so muss es nothwendig 
— 1 werden. 

Nehmen wir also an, irgend ein bestimmtes Werthsystem der 
Grössen p, q, r, s etc. sei gegeben, so wird die Wahrscheinlichkeit, 
dass für V aus der Beobachtung der Werth M hervorgehen werde, 
durch g(M — V) ausgedrückt, indem man in V für p, , r, s etc. 
ihre Werthe einsetzt; ebenso drücken g(M’ — V’), p(M”— V”) etc. 
die Wahrscheinlichkeiten aus, dass sich aus den Beobachtungen 
für die Funktionen V’, V” ete. die Werthe M’, M” etc. ergeben 
werden. Deshalb wird, wenn man nur alle Beobachtungen als von 
einander unabhängige Ergebnisse ansehen darf, das Produkt 


pM — V) p(M’ — V)y(M”— Mete. = 2 


die Erwartung oder die Wahrscheinlichkeit ausdrücken, dass alle 
diese Werthe gleichzeitig aus den Beobachtungen hervorgehen 
werden. 


ET FE“ 5 EREER 





Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 099 


176. 


So wie nun bei Annahme irgend welcher bestimmten Werthe 
der Unbekannten jedem System von Werthen der Funktionen V, V’, 
V” etc. vor Anstellung der Beobachtung eine bestimmte Wahr- 
scheinlichkeit zukommt, ebenso wird umgekehrt, nachdem aus 
den Beobachtungen bestimmte Werthe der Funktionen erhalten 
sind, für die einzelnen Werthsysteme der Unbekannten, aus welchen 
jene hervorgehen konnten, sich eine bestimmte Wahrscheinlichkeit er- 
geben; offenbar sind nämlich diejenigen Systeme für wahrschein- 
licher zu halten, bei welchen die Erwartung des erhaltenen Ergeb- 
nisses die grössere gewesen war. Die Schätzung dieser Wahr- 
scheinlichkeit stützt sich auf folgenden Lehrsatz: 


Wenn bei irgend einer zu Grunde gelegten Hypothese H die 
Wahrscheinlichkeit irgend eines bestimmten Ergebnisses E gleich h ist, 
bei Annahme einer anderen, die erstere ausschliessenden und an sich 
gleich wahrscheinlichen Hypothese H’ aber die Wahrscheinlichkeit des- 
selben Ergebnisses gleich h’ ist: dann behaupte ich, wenn das Ergebniss 
E wirklich eingetreten ist, dass die Wahrscheinlichkeit . dafür, dass 
H die richtige Hypothese gewesen, sich zur Wahrscheinlichkeit, dass 
H’ die richtige Hypothese gewesen, verhalte wie h zu h. 


Um dies zu beweisen, nehmen wir an, durch Unterscheidung 
aller Umstände, von denen es abhängt, ob H oder H’ oder eine 
andere Hypothese Platz greift, um das Ergebniss E oder ein anderes 
hervorzubringen, sei ein gewisses System der verschiedenen Fälle 
aufgestellt, welche einzeln für sich (d. h. so lange es ungewiss ist, 
ob das Ergebniss E oder ein anderes eintreten werde) als gleich 
wahrscheinlich betrachtet werden müssen, und diese Fälle seien so 
eingetheilt, 











: ; hen Modifica- 
dass unter ihnen ge- bei denen die Hypothese e- 3 en ri 
tionen, dass das Ergeb- 
funden werden statthaben muss ; } = 
niss eintreten muss 
m H E 
n H von E verschieden 
m H’ E 
n H’ von E verschieden 
m” von H und H’ verschieden E 
n” von H und H’ verschieden | von E verschieden. 




















7* 


100 Bewegung der Himmelskörper. 
m een MW 
nt’ mL 
Bekanntwerden des Ergebnisses die Wahrscheinlichkeit der Hypo- 

m+n 
these H = ET 
des Ergebnisses aber, wo die Fälle », », n” aus der Anzahl der 
möglichen ausscheiden, wird die Wahrscheinlichkeit derselben Hy- 


Dann wird h = sein; ferner war vor 








„, nach dem Bekanntwerden 





pothese —= = - sein; ebenso wird die Wahrscheinlichkeit 
m + m’ + m 

der Hypothese H’ vor und nach dem Ergebniss bezw. durch 
m + n m 








drückt: 
me Rp Aa Rp Zuge und a ausgedrückt; da nun 


den Hypothesen H und H’ vor dem Bekanntwerden des Ergebnisses 
dieselbe Wahrscheinlichkeit beigelegt ist, so wird also 
mtn=mM+n 
sein, woraus sich die Richtigkeit des Lehrsatzes von selbst ergiebt. 
So lange wir nun annehmen, dass ausser den Beobachtungen 
V=M, V’=M, V” = M” etc. keine anderen Daten zur Be- 
stimmung der Unbekannten vorhanden seien, und dass deshalb alle 
Werthsysteme dieser Unbekannten vor jenen Beobachtungen gleich 
wahrscheinlich gewesen seien, so wird offenbar die Wahrscheinlich- 
keit eines jeden bestimmten Systems nach jenen Beobachtungen 
dem 2 proportional sein. Dies ist so zu verstehen, dass die Wahr- 
scheinlichkeit dafür, dass die Werthe der Unbekannten bezw. 
zwischen den unendlich nahen Grenzen p undp + dp, qgundg +dg, 
r undr+dr, s und s-+.ds etc. liegen, durch A 2 dp dq dr ds... 
ausgedrückt werde, wo A eine von p, q, r, s etc. unabhängige, 


constante Grösse sein wird. Und zwar wird offenbar % der Werth 


des Integrals »** Ordnung [") Qdpdgdrds... sein, wenn man die 
einzelnen Variabeln p, g, r, s ete. von dem Werthe — oo bis zum 
Werthe + oo ausdehnt. 


| 177. 
Hieraus folgt schon von selbst, dass das wahrscheinlichste 
Werthsystem der Grössen p, g, r, s etc. dasjenige sein wird, bei 


welchem 2 den grössten Werth erlangt, und dass es deshalb aus 
den » Gleichungen 


a Be U le 
wi. = 


ur EL | n 


Zweites Buch. Dritter Abschnitt. FEN 101 2 


zu ermitteln ist. Diese Gleichungen nehmen, wenn man M— V=», 

N; ’ [4 „ „ ” dp (A N) 
M—V’=v, M—V” = vX etc. und SE = (A) setzt, 
folgende Form an: 


ro+T, IOEE = 90”) + ete. = 0 








George p(v’) (v”) + etc. =) 
2 y)+ (v") + etc. = 0 
dv dv’ 


590 t pw) + ir pw”) + etc. = 0 etc. 


Hieraus wird man also durch Elimination die völlig bestimmte 
Lösung der Aufgabe ableiten können, sobald nur die Natur der 
Funktion 9’ bekannt ist. Da diese aber a priori nicht definirt 
werden kann, so wollen wir die Sache von einer anderen Seite an- 
greifen, und nachforschen, auf welcher stillschweigend gleichsam als 
Grundlage angenommenen Funktion ein landläufiges Princip eigent- 
lich beruht, dessen Vortrefflichkeit allgemein anerkannt ist. Wie 
ein Axiom pflegt man nämlich die Hypothese zu behandeln, wenn 
irgend eine Grösse durch mehrere unmittelbare, unter gleichen 
Umständen und mit gleicher Sorgfalt angestellte Beobachtungen 
bestimmt worden ist, dass alsdann das arithmetische Mittel zwischen 
allen beobachteten Werthen, wenn auch nicht mit absoluter Strenge, 
so doch wenigstens sehr nahe den wahrscheinlichsten Werth gebe, so 
dass es immer das sicherste ist, an diesem festzuhalten. Setzen wir 
daher V = V’ = V” etc. = p, so wird allgemein 


P(M—p) + PM —p) + YPM’—p) + etc. — 0 
sein müssen, wenn für p der Werth „u + M’+ M” -+ etc.) ein- 


gesetzt wird, was für eine ganze positive Zahl « auch sein möge. 
Nimmt man also M’ = M” etc. = M—uN, so wird allgemein, 
d. h. für jeden ganzen positiven Werth von w, 


la —YN) = A—wWgp(—N) 


’ 
. . * * A * 
sein, woraus man leicht entnimmt, dass allgemein An eine COn- 


stante Grösse sein müsse, welche wir mit % bezeichnen wollen. Hieraus 
folgt logp(A) = 4%A° + Const., oder wenn wir die Basis der 


x 192 ER i ek Bewegung der Himmelskörper. 


hyperbolischen Logarithmen mit e bezeichnen, und Const. = log x 
setzen, 
1 kA? 
y(A) = xe : 
Ferner ist leicht einzusehen, dass % nothwendig negativ sein muss, 
damit 2 wirklich ein Maximum werden könne, weshalb wir 


ie 

5 k = h 
setzen; und da nach einem zuerst von Laplace gefundenen, eleganten 
Lehrsatz das vn A = —o» bis A = +» genommene Integral 


ferrras == hie 
h 


wird (wo sz den halben Kreisumfang für den Radius 1 bezeichnet), 
so wird unsere Funktion 


p(A) = za Be 
Vr 


178. 


Die soeben ermittelte Funktion kann zwar in aller Strenge 
die Wahrscheinlichkeiten der Fehler sicher nicht darstellen; denn 
da die möglichen Fehler immer in bestimmten Grenzen einge- 
schlossen sind, so müsste die Wahrscheinlichkeit grösserer Fehler 
sich immer — 0 ergeben, während unsere Formel immer einen 
endlichen Werth liefert. Jedoch ist dieser Mangel, mit dem jede 
analytische Funktion ihrer Natur nach behaftet sein muss, für 
alle praktischen Zwecke ohne alle Bedeutung, da, sobald nur erst 
hA einen beträchtlichen Werth erlangt hat, der Werth unserer 
Funktion so schnell abnimmt, dass man ihn sicher der Null gleich- 
kommend annehmen darf. Die Fehlergrenzen selbst mit völliger 
Strenge anzugeben, wird überdies die Natur der Sache niemals 
gestatten. 

Uebrigens wird man die Constante ) als das Maass für die 
Genauigkeit der Beobachtungen ansehen können. Wenn man näm- 
lich annimmt, die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers A werde in 
irgend einer Gruppe von Beobachtungen durch 


Amar, 
Vre 


in einer. anderen Gruppe von genaueren oder ungenaueren Beobach- 


Zweites Buch. Dritter Absehnitt. 103 


tungen aber durch 

Kummer 

Vr 
ausgedrückt, so wird die Erwartung, es sei bei irgend einer Beo- 
bachtung der ersteren Gruppe der Fehler in den Grenzen — d und 
+ d enthalten, durch das vn A= —dbis A= +6 genom- 


mene Integral 
RB —mar aA 
Vrr 


ausgedrückt, und ebenso wird die Erwartung, dass der Fehler irgend 
einer Beobachtung der letzteren Gruppe die Grenzen —d’ und 
+ 0’ nicht überschreite, durch dsvnA=—(O' bs A= +46 


genommene Integral 
? ’ 
MR ERARTA 
Vr 


ausgedrückt; beide Integrale werden aber offenbar einander gleich, 
sobald man Ad = h’ö’ hat. Wenn also z.B. W = 2% ist, so kann 
in der ersten Gruppe ebenso leicht ein doppelter Fehler begangen 
werden, wie in der zweiten ein einfacher, in welchem Falle man 
den letzteren Beobachtungen nach dem allgemeinen Sprachgebrauch 
die doppelte Genauigkeit zuschreibt. 


179. 


Nun werden wir Folgerungen aus diesem Gesetze ziehen. Da- 
mit das Produkt 
2 — hun ite -Pw+v”+v”+ete.) 


ein Maximum werde, muss offenbar die Summe »® +v”+»” + etc. 
ein Minimum werden. Das wahrscheinlichste Werthsystem der Un- 
bekannten p, 4, r, S etc. wird daher dasjenige sein, bei welchem die 
Quadrate der Differenzen zwischen den beobachteten und berechneten 
Werthen der Funktionen V, V’, V” etc. die kleinste Summe ergeben, 
wenn nur bei allen Beobachtungen der gleiche Grad von Genauigkeit 
vorausgesetzt werden darf. 

Dies Prineip, welches bei allen Anwendungen der Mathematik 
auf die Naturwissenschaften sehr häufig von Nutzen ist, muss überall 
mit demselben Recht als Axiom gelten, mit welchem das arith- 
metische Mittel zwischen mehreren beobachteten Werthen derselben 
Grösse als wahrscheinlichster Werth angenommen wird, 


104 | Bewegung der Himmelskörper. 


Auf Beobachtungen von ungleicher Genauigkeit kann unser 
Prineip jetzt ohne jede Mühe ausgedehnt werden. Wenn nämlich 
das Maass der Genauigkeit der Beobachtungen, vermittelst deren 
V=-M,V’=M, V” = M’etc. gefunden ist, bezw. durch h, A, 
h” ete. ausgedrückt wird, d.h. wenn man voraussetzt, dass Fehler, 
welche diesen Grössen umgekehrt proportional sind, bei jenen 
Beobachtungen gleich leicht begangen werden können, so wird dies 
offenbar auf dasselbe hinauskommen, als wenn durch Beobachtungen 
von gleicher Genauigkeit (deren Maass = 1 ist) die Werthe der 
Funktionen AV, WV’, h’V” etc. unmittelbar = AM, AM’, h’M” etc. 
gefunden worden wären; deshalb wird das wahrscheinlichste Werth- 
system für die Grössen p, g, r, s etc. dasjenige sein, bei welchem 
die Summe Ah?’o’ + h?v” + KV” + etc. d. h. bei welchem die Summe 
der Quadrate der Differenzen zwischen den wirklich beobachteten und 
den berechneten Werthen multiplieirt mit den ihren Genauigkeitsgrad 
messenden Zahlen ein Minimum wird. Hiernach ist es nicht ein- 
mal nothwendig, dass die Funktionen V, V’, V” ete. sich auf ho- 
mogene Grössen beziehen, sondern sie können auch heterogene (zZ. B. 
Bogen- und Zeitsecunden) darstellen, wenn man nur das Verhältniss 
der Fehler zu schätzen vermag, welche bei den einzelnen gleich 
leicht begangen werden konnten. 


180. 


Das in dem vorhergehenden Art. dargestellte Princip empfiehlt 
sich auch aus dem Grunde, weil die numerische Bestimmung der 
Unbekannten zu einem sehr bequemen Algorithmus führt, wenn die 
Funktionen V, V’, V” ete. lineare sind. Wir nehmen an, es sei 


M —V=»o = —m+ap +bga +er +ds +etc. 
M”—-V=-vV’=—m+ap +bg +cr +4+ds + etc. 
M”—V’=v."= —mM+ap+b’g+ e”r+d’s+ etc. 


etc., und setzen 


av + av’ + av” + etc. 
bv + b’v’ + b’v” + etc. 
cv + cv + cv’ + etc. 
dv + dv’ + d’v” + etc. 
etc. Dann werden die » Gleichungen des Art. 177., aus welchen 


die Werthe der Unbekannten zu bestimmen sind, offenbar folgende 
sein: 


nRborm 


Il ı 


P=0, Q0=10, R=%0,)8=0 ek, 


a 2 mut hl Pl u And Pak nn a u bikini 


Zweites Buch. Dritter Abschnitt, 105 


wenigstens wenn wir die Beobachtungen als gleich gut voraussetzen, 
auf welchen Fall nach den Anweisungen des vorigen Art. die 
übrigen zurückgeführt werden können. Es sind also eben so viele 
lineare Gleichungen vorhanden, als Unbekannte zu bestimmen sind, 
woraus deren Werthe durch die gewöhnliche Elimination abgeleitet 
werden. 

Wir wollen jetzt nachsehen, ob diese Elimination immer 
möglich ist, oder ob jemals die Lösung unbestimmt oder sogar un- 
möglich werden kann. Aus der Theorie der Elimination weiss 
man, dass der zweite oder dritte Fall dann eintreten werde, 
wenn aus den Gleichungen P=0, Q=0, R=0,S = etec,, 
bei Auslassung von einer derselben, eine Gleichung gebildet werden 
kann, die entweder mit der ausgelassenen identisch ist, oder ihr 
widerstreitet, oder was auf dasselbe hinaus kommt, wenn man eine 
lineare Funktion «P + $Q + yR + dS + etc. angeben kann, welche 
entweder identisch —= 0 ist, oder wenigstens keine einzige der Unbe- 
kannten 9, g, r, s etc. enthält. Wir nehmen also an, es werde 


aP+PQ-+yYR+öS-+ete. = x. 
Man erhält ohne weiteres die identische Gleichung 


Bm) +W+m)VY +” +m)v””+ete.=pP+4Q-+rR 
+ sS + etc. 

Wenn wir demnach annehmen, dass die Funktionen v, », »” etc. 
durch die Substitutionenp = aw, qg = ßa,r = ya, s = dr etc. 
bezw. in m + 4a, — m + 4a, — m’ + 4x etc. übergehen, so 
wird offenbar die identische Gleichung entstehen: 

(A? + 4° +2” + etc.) ©® — (Am + Am’ + Km” + etc.)z = xw, 
d. h. es wird 

ZEHN HN? +etc = 0, x +4Am+ Hm + X m’ + etc. = (0; 
hiernach wird aber nothwendigerweise A = 0, 4 = 0, X = 0 etc. 
und x = 0 sein müssen. Hieraus erhellt, dass alle Funktionen V, V’, 
V” etc. so beschaffen sind, dass sich ihre Werthe nicht ändern, 
wenn die Grössen »2, g, r, s etc. um beliebige Grössen zunehmen 
oder abnehmen, welche den Zahlen «, £, y, d etc. proportional 
sind; dass aber solche Fälle, in welchen die Bestimmung der Un- 
bekannten offenbar auch dann nicht einmal möglich wäre, wenn 
selbst die wahren Werthe der Funktionen V, V’, V” etc. gegeben 


‚sein würden, nicht hierher gehören, daran haben wir schon oben 


erinnert. 
Uebrigens lassen sich auf den hier betrachteten Fall alle 


106 Bewegung der Himmelskörper. 


übrigen, wo die Funktionen V, V’, V”ete. nicht linear sind, leicht 
zurückführen. Bezeichnen wir nämlich mit =, x, 0, o etc. ange- 
näherte Werthe der Unbekannten p, 9, r, s etc. (welche wir leicht 
ableiten können, indem wir von den «Gleichungen V=M, 
V’=M, V”= M’etc. zunächst nur v benutzen), und führen wir an 
Stelle der Unbekannten andere p»’, q, r’, s’ etc. ein, indem wir 
p=ntr, q=ı td, r=oH+rr, s= 0-+35 etc. setzen, 
so werden offenbar die Werthe dieser neuen Unbekannten so klein 
sein, dass man ihre Quadrate und Produkte vernachlässigen darf, 
wodurch die Gleichungen von selbst linear werden. Wenn aber 
alsdann nach beendigter Rechnung die Werthe der Unbekannten 
p, g, r, s etc. wider Erwarten sich so gross ergeben, dass die 
Vernachlässigung der Quadrate und Produkte nicht gefahrlos er- 
schiene, so wird eine Wiederholung derselben Operation (indem man 
an Stelle der zz, x, e, o etc. die verbesserten Werthe der p, g, 
r, s etc, nimmt) schnell Abhülfe schaffen. 


181. 


So oft demnach nur eine einzige Unbekannte » vorhanden 
ist, zu deren Bestimmung die Werthe der Funktionen ap-+n, 
ap-+n, a’p-+ n” etc. bezw. = M, M’, M” ete., und zwar durch 
gleich genaue Beobachtungen gefunden sind, so wird der wahr- 
scheinlichste Werth des p 

am + a’'m’ + a”’m” + etc. 
a +a”+a”-+ etc. 
sein, wenn man m, am’, m” etc. bezw. fürM —n, M’— », M”’— n” etc. 
schreibt. 

Um nun den Grad der Genauigkeit zu schätzen, die wir bei 
diesem Werthe anzunehmen haben, setzen wir voraus, die Wahr- 
scheinlichkeit eines Fehlers A bei den Beobachtungen werde durch 





iA 


h — MA? 
Te e 
ausgedrückt. Hiernach wird die Wahrscheinlichkeit, dass der 
wahre Werth des p gleich A + p’ sei, der Funktion 

e — * [(ap — m)? + (ap — m’)? + (a’p — m”)? + ete.] 
proportional sein, wenn man A + p’ für »p einsetzt. Der Exponent 
dieser Funktion kann auf die Form 


— 1 (a + a® + a? + ete)(p’—2pA + B) 











Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 107 


4 gebracht werden, wo B von » unabhängig ist; deshalb ws die 
- Funktion selbst zu 
e e-(a+a”+a” + etc) p” 


proportional sein. Offenbar ist also dem Werthe A derselbe Grad 
der Genauigkeit zuzuschreiben, als wenn er durch eine unmittelbare 
Beobachtung gefunden wäre, deren Genauigkeit sich zur Genauig- 
keit der ursprünglichen Beobachtungen verhält wie 








 hVa’+a”+a”+ etc. zu h, oder wie Va + a” + a” + etc. zul. 


182. 


| Der Untersuchung über den Grad der Genauigkeit, welchen 
man den Werthen der Unbekannten, wenn ihrer mehrere vorhanden 
sind, beilegen muss, ist eine genauere Betrachtung der Funktion 
o@+v?+v”+ete., die wir mit W bezeichnen wollen, vorauszu- 
- schicken. 

I. Setzen wir 


1 dW 
m =p—=A+rop+ Pg + yr+6ös- etec., 


und 





- so wird offenbar pP’ —=P, und da 


dAW dW Rp dy 


an ar 








i ist, so muss die Funktion W’ von » unabhängig sein. Der Coefficient 
a=a+ta?+a”-+ etc. wird offenbar immer eine positive 
- Grösse sein. 

Il. Setzen wir ebenso 


dW’ ; ; ; 
SR — g — ”+HPßg+yr+0öds--etc., 








Won — W”, 
so wird 
En ıdW p’ a ß dW” 
m. Sir = 


sein, wonach offenbar die Funktion W” von p und g unabhängig 


108 Bewegung der Himmelskörper. 


ee er 


sein wird. Dies würde nicht stattfinden, wenn # = 0 werden 


könnte. Offenbar ergiebt sich aber W’ aus ” +o”+v”-+F etc., 


indem man die Grösse p aus », v’, v” etc. mit Hülfe der Gleichung 
p = 0 eliminirt; sonach wird 8’ die Summe der Coefficienten von 
g’ in v, v0”, v” etc. nach jener Elimination sein; diese einzelnen 


Coeffieienten selbst sind aber Quadrate und können nicht alle zu- 
gleich verschwinden, abgesehen von dem oben ausgeschlossenen 
Fall, in welchem die Unbekannten unbestimmt bleiben. Es muss 
ß deshalb offenbar eine positive Grösse sein. 

III. Setzen wir ferner 


1 daW” ’ en ”„ „ „ 
Fe N" +y’r+0ö"s+ etc., 
und 
r? 
W” —- — w”, 
Y 
so wird 
war Vlsıt) 
Er R & P BR? 


und W” sowohl von p, als von g und r unabhängig sein. Dass 


übrigens der Coeffiecient y” nothwendig positiv ist, wird analog wie 
in II. bewiesen. Man sieht nämlich leicht ein, dass y” die Summe | 
der Coefficienten von r’ in v°, v”, v”” etc. ist, nachdem man die 
Grössen p und g mit Hülfe der Gleichungen p’ = 0, gy’ = 0 aus 


v, v, v” etc. eliminirt hat. 
IV. Auf dieselbe Weise wird, wenn wir 


1 aWw” ‚ m m Lidd m ” 
er =!" HE FR. BE WW. EW EZ 


setzen, 





0 ee 

Fa 

W”” von p, g, r, s unabhängig und 6’ eine positive Grösse sein. 
V. Man kann, wenn es ausser », q, r, s noch andere Unbe- 

kannte giebt, ebenso weiter “. so dass man endlich 


wo ps +4 {+5 u Fr + etc. + Const. 


erhält, wo alle Coefficienten «, = ‚yY', d” etc. positive Grössen sein 
werden. - 


B; 
mehr 


VI. Die Wahrscheinlichkeit irgend eines Systems von be- 
stimmten Werthen der Grössen p, q, r, s etc. ist nun der Funktion 





De ende 
RE FEN 


Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 109 


e"W proportional, so dass, wenn der Werth der Grösse p un- 


bestimmt bleibt, die Wahrscheinlichkeit eines Systems bestimmter 
_ Werthe der übrigen dem von p = —o bisp = + w ausge- 


dehnten Integral » 


7 —AW gy 


proportional sein wird, welches nach dem Theorem von Laplace 


1 1 


„1 ee er, ‚+ gm? + ete.| 


wird; es wird also die obige being der Funktion 


e-#W proportional sein. Wenn überdies q ebenso als Variable 


| angesehen wird, dann ist die Wahrscheinlichkeit eines Systems be- 


stimmter Werthe für », s ete. dm vng = —obisgq = +» 


genommenen Integral 


fer W ag 


- proportional, welches 


gr 5 u ee ‚82 + ete.| 


2 cz? e Y 


wird, oder proportional der Funktion e ” »’W, Wenn man auch r 


- als Variable behandelt, so wird ganz analog die Wahrscheinlichkeit 
- bestimmter Werthe der übrigen s etc. der Funktion e=*""W” pro- 
- portional sein, und so weiter. Wir wollen annehmen, die Anzahl 
- der Unbekannten steige bis auf vier; dann wird derselbe Schluss 
auch gelten, wenn sie grösser oder kleiner ist. Der wahrschein- 


m 


| lichste Werth von s wird hier = — —, sein, und die Wahrschein- 


5 


a ne Z  aud, > an 








d” 
lichkeit, dass derselbe sich von dem wahren um die Differenz o 
unterscheide, wird der Funktion e =” proportional sein, woraus 
wir schliessen, dass das Maass der jener Bestimmung beizulegenden 
relativen Genauigkeit durch YO” ausgedrückt wird, wenn das Maass 


der den ursprünglichen Beobachtungen beizulegenden Genauigkeit 
-—= 1 gesetzt wird. 


183. 
Durch .die Methode des vorhergehenden Art. wird das Ge- 


 nauigkeitsmaass nur für diejenige Unbekannte bequem ausgedrückt, 
der beim Geschäft der Elimination der letzte Platz angewiesen ist; 
_ um nun diese Unbequemlichkeit zu vermeiden, empfiehlt es sich, 


110 Bewegung der Himmelskörper. 


den Coeffieienten 6” auf andere Weise auszudrücken. Aus den ; 


Gleichungen 


Pise% 

= + 
R=r+bf+lp 

= 1457 Herten 


folgt, dass die p/, g\, r/, 5’ a P, @, R, S folgendermaassen aus- 
gedrückt werden können: 


?=P 

’=Qd+W 

r =R+BQ +WP 
!=S+ER+VYQA+HWP, 


so dass A, A, ®, W, B”, €” bestimmte Grössen sind. Es wird 
daher (wenn wir die Anzahl der Unbekannten auf vier einschränken) 


2% I” 
RE IPB 





Hieraus leiten wir folgenden Schluss ab. Die wahrscheinlichsten 
Werthe der Unbekannten p, 9, r, s ete., welche durch Elimination 
aus den Gleichungen P=0,Q=0,R=0,S =V etc. ab- 
zuleiten sind, werden affenbar, wenn man für den Augenblick P, 
Q, R, S ete. als Variable betrachtet, demselben Eliminationsver- 
fahren gemäss in linearer Form durch P, @, R, Sete. ausgedrückt, 
so dass man erhält 


p=1L +AP +BQ +CR +DS +ete. 

L’ +AP +B@ +CR +DS +ete. 

L”’ +A’P +B’@Q +CO’R +D’S + etc. 

L”’+A”P +B’”Q +C”R + D’S + ete. 
etc. 


l 


7 
r 
S 


l 


Hiernach werden die wahrscheinlichsten Werthe der p, q, r, s etc. 
offenbar bezw. L, L/, L”, L” etc. sein, und das diesen Bestim- 
mungen zuzuschreibende u, wird bezw. durch 


le PB’ ’ Vi ’ a 


ausgedrückt, wenn g Genauigkeit der ursprünglichen Beobach- 








: 


FERNER TH en ei 
$ $ 2 ER 


Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 111 


| tungen = 1 gesetzt ist. Was wir nämlich in Betreff der Bestim- 


ae ed war Lan ZiBau He EaEE DER Zn 








mung der Unbekannten s vorher gezeigt haben (bei welcher d’’ dem 


e entspricht), lässt sich durch blosse Permutation der Unbekann- 


ten auf alle übrigen übertragen. 


184. 


Um die vorhergehenden Untersuchungen an einem Beispiel 
zu erläutern, wollen wir annehmen, es sei durch Beobachtungen, 
bei denen man eine gleiche Genauigkeit voraussetzen darf, gefunden 


PH ,g Ar 3 
3p + 2qg — Dr 5 
P»+ q+tr=21, 
durch eine vierte aber, der nur die halbe Genauigkeit zuzuschreiben 


ist, habe sich ergeben 
—2p +69 +6r = 28. 


An Stelle der letzten Gleichung führen wir daher die folgende ein: 


— p+39g+43r = 14, 
und nehmen an, diese sei aus einer den früheren an Genauigkeit 


‚gleichen Beobachtung hervorgegangen. 


Hiernach wird 


P=27p+ 6g — 88 
n. q + dr —107, 


und hieraus durch Elimination 


19899 p — 49154 + 8S09P— 324Q+ 6R 
19899 4 — 70659 — 324 P + 14580 — 27R 
19899 r — 381211 + 6P— 27Q+369R. 


Die wahrscheinlichsten Werthe der Unbekannten werden daher 


p = 2,470 
q = 3,551 
11916 


sein, und die diesen Bestimmungen zuzuschreibende relative Ge- 


nauigkeit, wenn die Genauigkeit der ursprünglichen Beobachtungen 


 — 1 gesetzt ist, wird 


112 Bewegung der Himmelskörper. 


für P...V on = 4% 
3,69 


fr... VER — 7. 


=: 
”; 
MR 

N 


185. 


Der bisher behandelte Gegenstand könnte zu mehreren ele- 
ganten, analytischen Untersuchungen Veranlassung geben, bei denen 
wir uns jedoch hier nicht aufhalten wollen, um uns nicht zu weit 
von unserem Vorhaben zu entfernen. Aus demselben Grunde müssen 
wir uns die Auseinandersetzung der Kunstgriffe, durch welche die . 
numerische Rechnung auf einen schneller zum Ziele führenden Al- 
gorithmus gebracht werden kann, für eine andere Gelegenheit vor- 
behalten. Eine einzige Bemerkung wollen wir uns hier anzufügen 
gestatten. Falls die Anzahl der Funktionen oder der vorgelegten 
Gleichungen beträchtlich ist, wird die Rechnung deshalb haupt- 
sächlich ein wenig lästiger, weil die Coefficienten, mit welchen die 
ursprünglichen Gleichungen zu multipliciren sind, um P,Q, R, Setc. 
abzuleiten, meistens wenig bequeme Decimalbrüche enthalten. Wenn 
es in einem solchen Falle nicht die Mühe zu lohnen scheint, diese 
Multiplicationen mit Hülfe der Logarithmentafeln so genau wie mög- 
lich auszuführen, so wird es in den meisten Fällen ausreichen, an 
Stelle dieser Multiplicatoren andere für die Rechnung bequemere an- 
zuwenden, welche von jenen wenig verschieden sind. Diese Ver- 
nachlässigung kann keine merklichen Fehler erzeugen, abgesehen 
von dem einen Falle, wo sich das Genauigkeitsmaass für die Be- 
stimmung der Unbekannten viel geringer ergiebt, als die Genauig- 
keit der ursprünglichen Beobachtungen war. 


186. 


Uebrigens wird das Princip, dass die Quadrate der Differenzen 
zwischen den beobachteten und berechneten Grössen die allerkleinste 
Summe ergeben müssen, auch unabhängig von der Wahrscheinlich- 
keitsrechnung auf folgende Weise erwogen werden. können. 

Wenn die Anzahl der Unbekannten der Anzahl der beobach- 
teten und von ihnen abhängigen Grössen gleich ist, so kann man 
jene so bestimmen, dass diesen genau Genüge geschieht. Wenn 








Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 113 


aber jene Anzahl kleiner als diese ist, so kann man ein absolut 
genaues Zusammenstimmen nicht erlangen, insoweit sich die Beo- 
bachtungen nicht absoluter Genauigkeit erfreuen. In diesem Falle 
muss man sich daher Mühe geben, die möglichst beste Ueberein- 
stimmung herzustellen, oder die Differenzen so viel wie möglich zu 
verkleinern. Diese Forderung enthält aber ihrer Natur nach etwas Un- 
bestimmtes. Wenn nämlich auch ein Werthsystem der Unbekannten, 
welches alle Differenzen bezw. kleiner als ein anderes ergiebt, 
diesem letzteren zweifelsohne vorzuziehen ist, so bleibt nichtsdesto- 
weniger die Wahl zwischen zwei Systemen, von denen das eine 
für einige Beobachtungen eine bessere Uebereinstimmung erzeugt, 
das andere aber für andere, in gewisser Hinsicht unserem Ermessen 
überlassen, und es können offenbar unzählige Principien vorge- 
schlagen werden, durch welche die obige Bedingung erfüllt wird. 
Bezeichnet man die Differenzen zwischen den Beobachtungen und der 
Rechnung mit A, A’, A” etc., so wird der obigen Bedingung nicht 
nur genügt, wenn A? + A” + A” + etc. ein Minimum wird (was un- 
serem Prineip entspricht), sondern auch wenn A! + A” + A” + etc. 
oder A’ + A” + A” + etc. oder allgemein die Summe der Potenzen 
mit irgend einem beliebigen geraden Exponenten zu einem Mini- 
mum wird. Von allen diesen Prineipien ist aber das unsrige das 
einfachste, während wir bei den übrigen zu den verwickeltsten 
Rechnungen geführt werden. Uebrigens ist unser Princip, ‘dessen 
wir uns schon seit dem Jahre 1795 bedient haben, kürzlich auch 
von Legendre in dem Werke „Nouvelles möthodes pour. la deter- 
mination des orbites des comötes, Paris 1806“ aufgestellt worden, 
woselbst auch mehrere andere Eigenthümlichkeiten dieses Princips 
auseinandergesetzt sind, welche wir hier der Kürze wegen unter- 
drücken. 


Wenn wir eine Potenz mit einem unendlich grossen, geraden 


. Exponenten annehmen würden, so würden wir auf dasjenige System 


geführt werden, bei welchem die grössten Differenzen so klein wie 
möglich werden. 


Laplace bedient sich zur Auflösung linearer Gleichungen, 
deren Anzahl grösser ist als die Anzahl der unbekannten Grössen, 
eines anderen Prineips, welches seiner Zeit schon von Boscovich Vor- 
geschlagen war, dass nämlich die Differenzen selbst, aber alle positiv 
genommen, eine möglichst kleine Summe erzeugen sollen. Es lässt 
sich leicht zeigen, dass das System der Werthe der Unbekannten, 


Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 8 


114 Bewegung der Himmelskörper. 


welches aus diesem Princip allein ermittelt ist, nothwendig*) so 
vielen Gleichungen aus der Anzahl der vorgelegten genau genügen 
muss, als Unbekannte vorhanden sind, so dass die übrigen Gleichun- 
gen nur in so weit in Betracht kommen, als sie zur entscheidenden 
Wahl beitragen; wenn daher z. B. die Gleichung V = M zu der 
Anzahl derer gehört, welchen nicht genügt wird, so würde an dem 
System der nach jenem Princip gefundenen Werthe nichts geändert, 
wenn man auch an Stelle von M irgend einen anderen beliebigen 
Werth N beobachtet hätte, wenn nur die Differenzen M—n» und 
N—n, wo mit n der berechnete Werth bezeichnet ist, mit dem- 
selben Vorzeichen behaftet sind. Uebrigens regulirt Laplace jenes 
Prineip in gewisser Hinsicht durch Hinzufügung einer neuen Be- 
dingung: er fordert nämlich, dass die Summe der Differenzen selbst, 
ohne Aenderung der Vorzeichen, = 0 wird. Hierdurch wird be- 
wirkt, dass die Anzahl der genau dargestellten Gleichungen um 
eine Einheit kleiner wird als die Anzahl der unbekannten Grössen ; 
gleichwohl wird aber unsere obige Bemerkung immer noch statt- 
haben, wenn nur wenigstens zwei Unbekannte vorhanden waren. 


187. 


Nach diesen allgemeinen Untersuchungen wenden wir uns 
wieder zu unserem eigentlichen Vorhaben, um dessentwillen jene an- 
gestellt worden sind. Bevor wir zur möglichst genauen Bestim- 
mung der Bahn aus mehr Beobachtungen als den nothwendiger- 
weise erforderlichen schreiten können, muss schon eine angenäherte 
Bestimmung vorhanden sein, welche von allen gegebenen Beobach- 
tungen nicht allzuviel abweicht. Die Verbesserungen, welche an 
diese angenäherten Elemente noch anzubringen sind, um einen mög- 
lichst genauen Anschluss zu erreichen, sollen als die gesuchten 
Grössen der Aufgabe angesehen werden. Da man annehmen kann, 
dass diese sich so klein ergeben werden, dass die Quadrate und 
Produkte vernachlässigt werden dürfen, so werden die Aenderungen, 
welche die berechneten geocentrischen Oerter des Himmelskörpers 
hierdurch erlangen, nach den im zweiten Abschnitt des ersten 
Buches gegebenen Differentialformeln berechnet werden können. 
Die gemäss den gesuchten, verbesserten Elementen berechneten 





*) Abgesehen von besonderen Fällen, wo die Lösung in gewisser Beziehung 
unbestimmt bleibt. 


FTD SER 








Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 115 


Oerter werden daher durch lineare Funktionen der Verbesserungen 
der Elemente dargestellt, und die Vergleichung jener mit den beo- 
bachteten Oertern führt nach den oben auseinandergesetzten Principien 
zur Bestimmung der wahrscheinlichsten Werthe. Diese Operationen 
erfreuen sich einer so grossen Einfachheit, dass sie einer weiteren 
Erläuterung nicht bedürfen, und es ist von selbst einleuchtend, 
dass beliebig viele und beliebig weit von einander entfernte Beobach- 
tungen zur Benutzung herangezogen werden können. — Derselben 
Methode kann man sich auch zur Verbesserung der parabolischen 
Bahnen der Cometen bedienen, wenn zufällig eine längere Beobach- 
tungsreihe vorhanden ist, und die möglichst beste Uebereinstimmung 
verlangt wird. 


188. 


Die vorstehende Methode ist vorzüglich den Fällen angepasst, 
wo die höchste Genauigkeit gewünscht wird, sehr häufig aber treten 
Fälle ein, wo man ohne Bedenken ein wenig von jener aufgeben 
darf, wenn man auf diese Weise die Weitschichtigkeit der Rechnung 
wesentlich einschränken kann, hauptsächlich wenn die Beobachtungen 
noch keinen grossen Zeitraum einschliessen, und deshalb an eine sozu- 
sagen definitive Bestimmung der Bahn noch nicht gedacht wird. 
In solchen Fällen kann die nachfolgende Metliode mit bemerkens- 
werthem Vortheil in Benutzung genommen werden. 

Es mögen aus der ganzen Menge der Beobachtungen zwei 
vollständige Oerter L und L’ ausgewählt, und für die entsprechenden 
Zeiten aus den angenäherten ‚Elementen die Entfernungen des 
Himmelskörpers von der Erde berechnet werden. Darauf bilde man 
in Hinblick auf diese Entfernungen drei Hypothesen, indem man 
bei der ersten die berechneten Werthe beibehält, bei der zweiten 
Hypothese die erste Entfernung ändert und die zweite bei der dritten 
Hypothese; beide Aenderungen können nach Maassgabe der Un- 
sicherheit, welche man bei jenen Entfernungen als übrigbleibend 
voraussetzt, nach Belieben angenommen werden. (Gemäss diesen 
drei Hypothesen, welche wir in folgendem Schema darstellen, 





Hyp. I. |Hyp. I. /Hyp.IIl, 








\ 


| Dem ersten Orte entsprechende Entfernung“); D D+ 6 D 
Dem zweiten Orte entsprechende Entfernung| D’ |. D ,D’+6 























*) Noch bequemer wird es sein, an Stelle der Entfernungen selbst die 


| Logarithmen der eurtirten Distanzen zu benutzen, 8* 


116 Bewegung der Himmelskörper. 


werden nach den im ersten Buch auseinandergesetzten Methoden 
aus den beiden Oertern L und L’ drei Elementensysteme berechnet 
und darauf aus allen diesen die geocentrischen Oerter des Himmels- 
körpers, welche den Zeiten aller übrigen Beobachtungen entsprechen. 
Diese seien (indem man die einzelnen Längen und Breiten oder 
Rectascensionen und Declinationen besonders aufschreibt) 


im ersten System ....M, M,, M” etc. 
im zweiten System ... M+a, M’ +0’, M”-+ 0” etc. 
im dritten System ... M+P, M +, M” + ” etc. 
Ferner seien die beobach- 

teten Oerter bezw... N, N’, N” etc. 


Insoweit nun kleinen Aenderungen der Entfernungen D, D’ 
proportionale Aenderungen der einzelnen Elemente und der aus 
ihnen berechneten geocentrischen Oerter entsprechen, wird man vor- 
aussetzen dürfen, dass die aus einem vierten Elementensystem be- 
rechneten geocentrischen Oerter, welches auf die Entfernungen von 
der Erde D+xd, D’+y0’ begründet ist, bezw. M+ ax + $y, 
M’ + «x + P'y, M’+ «@’® + P”y etc. sein werden. Hieraus werden 
darauf nach den vorhergehenden Untersuchungen die Grössen x 
und x so bestimmt, dass jene Grössen bezw. mit N, N’, N” etc. 
möglichst gut übereinstimmen (indem man der relativen Genauigkeit 
der Beobachtungen Rechnung trägt). Das verbesserte Elementen- 
system selbst, wird entweder ebenso aus L, L’ und den Entfer- 
nungen D-+.2d, D’-+-yö’, oder nach bekannten Regeln aus den 
drei ersten Elementensystemen durch einfache Interpolation abge- 
leitet werden können. 


189. 


Diese Methode weicht von der vorhergehenden nur insofern 
ab, dass sie zwei geocentrische Oerter genau und darauf die 
übrigen so genau wie möglich darstellt, während nach der anderen 
Methode keine Beobachtung den übrigen vorgezogen wird, sondern 
die Fehler möglichst auf alle vertheilt werden. Die Methode des 
vorhergehenden Art. ist daher der früheren nur insofern hintan- 
zusetzen, als man dadurch, dass die Oerter L, L’ einen gewissen 
Theil der Fehler aufnehmen, die Fehler in den übrigen Oertern er- 
heblich verkleinern kann; meistens kann man sich jedoch durch 
eine zweckmässige Auswahl der Beobachtungen L, L’ leicht davor 
bewahren, dass dieser Unterschied von grosser Bedeutung werden 


a in 1° a re nn 





$ 
; 
3 
j 
% 
De 
F 
en 








Zweites Buch. Dritter Abschnitt, 117 


kann. Man muss sich nämlich Mühe geben, für L, L’ solche Be- 
obachtungen auszuwählen, welche sich nicht nur einer ausgesuchten 
Genauigkeit erfreuen, sondern auch so beschaffen sind, dass die 
aus ihnen und den Entfernungen abgeleiteten Elemente durch kleine 
Variationen der geocentrischen Positionen selbst nicht allzusehr 
beeinflusst werden. Man würde daher thöricht handeln, wenn man 
um einen geringen Zeitraum von einander entfernte Beobachtungen 
auswählen würde, oder solche, denen sehr nahe gegenüberliegende 
oder zusammenfallende heliocentrische Oerter entsprechen. 


III. 


Aus der 
Untersuchung über die elliptischen Elemente der Pallas 


aus den Oppositionen der Jahre 1803, 1804, 1809, 
1807, 1808 und 1809. 


(Der Königlichen Societät der Wissenschaften überreicht 1810, November 25.) 


Ich beabsichtige, die elliptischen Elemente zu ermitteln, 
welche nicht diesen oder jenen Oppositionen genau, sondern allen, 
welche bis jetzt beobachtet sind, möglichst nahe genügen. Die 
Methode, vermittelst deren man ein solches Geschäft erledigen 
kann, habe ich zwar schon in der „Theorie der Bewegung der 
Himmelskörper“, Art. 187., kurz beschrieben, da aber nicht nur 
der Gegenstand, welchen ich dort allgemein behandelt habe, in dem 
speciellen Falle, wo die beobachteten Oerter Oppositionen sind, ge- 
wisse Abkürzungen gestattet, sondern auch gewisse praktische 
Kunstgriffe, durch welche ich die Anwendung der Methode der 
kleinsten Quadrate schon lange zu einer bequemeren zu machen ge- 
wohnt bin, in jenem Werke nicht gegeben werden, so hoffe ich, dass 
es den Astronomen nicht unlieb sein wird, wenn ich diese Rech- 
nungen hier etwas weitläufiger wiedergebe. Da sich das ganze Ge- 
schäft um die Bestimmung von Verbesserungen dreht, die an ange- 
näherte Elemente anzubringen sind, von welchen angenommen wird, 














Elemente der Pallas, 119 


dass sie von allen beobachteten Oertern nicht sehr abweichen, so 


wird die ganze Arbeit in zwei Abschnitte zerfallen: erstens nämlich 
müssen die linearen Gleichungen gebildet werden, welche die ein- 
zelnen beobachteten Oerter liefern, sodann sind aus diesen Glei- 
chungen die zweckmässigsten Werthe der Unbekannten zu ermitteln. 


11. 


Nach den angenäherten Elementen sei 

L die mittlere Länge des Planeten für eine beliebige Epoche, 

t die Anzahl der verstrichenen Tage von der Epoche an 
bis zum Augenblick der Beobachtung, 

7 die mittlere tägliche siderische Bewegung in Secunden, 

IT die Länge des Perihels, 

e = sing die Excentrieität, 

a die grosse Halbaxe, 

r der Radius vector, 

v die wahre Anomalie, 

E die excentrische Anomalie, 

N die Länge des aufsteigenden Knotens, 

i die Neigung der Bahn, 

«a das Argument der Breite, 

4 die heliocentrische Länge, 

y die heliocentrische Breite, 

ß die geocentrische Breite, 

R die Entfernung der Erde von der Sonne. 


Beobachtet soll aber sein 


« die heliocentrische Länge, 
© die geocentrische Breite. 


Endlich bezeichne ich mit dL, d7, dII etc. Verbesserungen der 
Grössen L, 7, II etc. Es wird daher 


dL + td7 die Verbesserung der mittleren Länge, 
dL +td7 — dlI die Verbesserung der mittleren Anomalie, 


und deshalb nach den Art. 15. und 16. der „Theorie der Bewe- 
gung der Himmelskörper“ 





wet IA; +:d7 —dII) + = (@— ecosE— €) sinE dp 


Y 


dr = — da + atang psinv(dLh + td7 — dII)— acospcosvdp. 


120 


ea u LE 


Elemente der Pallas. 


Ferner wird die Verbesserung des Argumentes der Breite 
du = dd+dN—dN, 


und nach Art. 52. der „Theorie der Bewegung der Himmelskörper“ 
die Verbesserung der heliocentrischen Länge 


dA 


AN— tang 
Hieraus entnimmt man 


di = 


cos? 


yo (A— N) di > em. 


a’ COS P COS i 





r? cos? y 
ta? COS COS i 





r” cos’ y 


08% 


a? COS @ COS; 


) am 








+( 


Gos?’y 


r” cos’ y 


a COS% un 
Fr EEE RR 
Cosi 
+1 Jan 


— tang ycos (A— N)di. 


Da man ferner hat 











«37 = Const. 
rsin(®—y) = Rsinß 
tangy = tangisin (@«— N), 
so wird durch Differentiation 
LER T 1 
RR 5 | 
= + cotang (# — Y) - (dB — dy) = cotang f dß, oder 
dB — sin $ cos (d? — Day sin sin (#—7) „, 
sin y rsiny 
__ sin 2y 1: | 
dy = nd; di —z sin 2y cotang (e—N)AN, 


woraus man mit Hinzuziehung des oben entwickelten Werthes von 


dr entnimmt 


en Be nr A 
ß 27 





























Elemente der Pallas. 121 
.... 48in $sin ($? — y) tang psin v 
ndnee r sin y u 
E° “ sin # sin PP: atsin ß sin (?— y) tang p sin o\ı 
3 7siny r sin y nid 
asin $ sin (# — y) tang p sin v 
+ rsiny “u 
asin $ sin (? — yY) 608 p C08 v 
+ rsiny > 
2 sin $ cos (ß — y) cos y 
7 sin 23 = 


— sin ß cos (ß — y) cos y cotang (a — N)AN. 
Hiernach werden die Werthe der heliocentrischen Länge und der 


geocentrischen Breite aus den verbesserten Werthen der Elemente 
A+di, ß+df, und deshalb liefert jede Opposition zwei Gleichungen 


ii 
Naar 


12. 


Bei Anwendung dieser Vorschriften auf die im Art. 2. gege- 
benen sechs Oppositionen der Pallas erhalten wir, wenn wir die 
Rechnung auf das zweite der im Art. 3. skizzirten Elementensysteme 
begründen, die folgenden zwölf Gleichungen *): 





*) Um die Nachrechnung der Zahlenangaben zu ermöglichen, setzen wir die 
oben angeführten, beobachteten sechs Oppositionen aus Art. 2. und die Elemente II, 
aus Art. 3, hierher. 





Zeit der Opposition für den Tage von, Her Heliocentrische | Geocentrische 
ginn d, Jahres 


Meridian von Göttingen 1803 an Länge Breite 





1803 Juni 30. 0% 27” 32° | 181,019120 | 277° 39’ 24,0” | +46° 26’ 36,0” 
1804 Aug. 30. 4 58 27 608,207257 | 37 0 86,1 | +15 1 49,8 
1805 Nov. 29. 11 15 4 | 1064,468796 | 67 20 42,9 |—54 30 54,9 
1807 Mai 4. 14 37 41 | 1585,609502 | 223 37 27,7 |+442 11 25,6 
1808 Juli 26. 21 17 32 | 2034,887176 | 304 2 59,7 +37 43 583,7 
1809 Sept. 22. 16 10 20 | 2457,673843 | 359 40 44 |—7 2 101 




















II. Elliptische Elemente der Pallas aus den Oppositionen der Jahre 
1804, 1805, 1807 und 1808. 


EER der mittleren Länge 1803 für den Meridian von Göttingen 221° 34’ 56,7" 
Mittlere tägliche tropische Bewegung . . . » 2 vv vr nme. 770,4467" 


122 Elemente der Pallas. 


Aus der ersten Opposition, wo gefunden ist 
die berechnete Länge = 277° 36’ 20,07” 
und die geocentrische Breite = + 46° 26’ 29,19”: 
0 — — 183,93” + 0,79363 dL + 143,66 d7 + 0,39493 daII 
+ 0,95920 dp — 0,18856 dN + 0,17387 di 
0 = — 6,81” — 0,02658 dL + 46,71d7 + 0,02658 all 
— 0,20858 dp + 0,15946 AN + 1,25782 di. 


Aus der zweiten Opposition, wo 
die berechnete Länge = 337° 0’ 36,04” 
und die geocentrische Breite = + 15° 1’ 46,71”: 


0 = — 0,06” + 0,58880 dL + 358,1247 + 0,26208 dIT 
— 0,85234 dp + 0,4912 AN + O,17775 di 
0 = — 3,09” + 0,01318 dL+ 28,39 47 — 0,01318 all 


— 0,07861 dp + 0,9174 AN + 0,54365 di. 


Aus der dritten Opposition, wo 
die berechnete Länge = 67° 20’ 42,88” 
und die geocentrische Breite = — 54° 31’ 3,88”: 


0 = — 0,02” + 1,73436 dL + 1846,17 d7 — 0,54603 all 
— 2,05662 dp — 0,18833 AN — 0,17445 di 

0 = — 8,98” — 0,12606 dL— 227,42 47 + 0,12606 all 
— 0,38939 dp + 0,17176 AN — 1,35441 di. 


Aus der werten Opposition, wo 
die berechnete Länge = 223° 37 25,39” 
und die geocentrische Breite = + 42° 11’ 28,07”: 


0 = — 2,31” + 0,99584 dL + 1579,03 d7 + 0,06456 dIT 
+ 1,99545 dp — 0,06040 dN — 0,33750 di 

0 = + 2,47” —.0,08089 dL— 67,22 d7 + 0,08089 an 
— 0,09970 dp — 0,46359 AN + 1,22803 di. 


Aus der fünften Opposition, wo 
die berechnete Länge = 304° 2 59,71” 
und die geocentrische Breite = + 37° 44’ 31,82”: 


Jänge- es. Parihels:-1808 ---.: +... en eeieeee 121° 5’. 22,1" 


Länge des aufsteigenden Knotens 1803 . . . . 2.22... 172 28 46,8 
Deigung Bor DARM... ... 0,0000 ee 34 87 315 
Excentrieität (= sin [14° 10° 4,08")... . .» 2.222020. 0,2447624 
Logarithmus der grossen Halbaxe. . . 2.22 2 een na 0,4422276 , 


D. H, 











BA A nn EURER, a 








Elemente der Pallas. 123 


0 = + 0,01” + 0,65311 dL + 1329,09 47 + 0,38994 all 
— 0,08439 dp — 0,04305 AN -+ 0,34268 di 

0 — + 38,12” 0,00218dL+ 38,47 d7 -+ 0,00218 all 
— 0,18710 dp + 0,47301 4N — 1,14371 di. 


Aus der sechsten Opposition, wo 
die berechnete Länge = 359° 34’ 46,67” 
und die geocentrische Breite = — 7° 20’ 12,13”: 


0 = — 317,73” + 0,69957 dL + 1719,32 47 + 0,12913 alt 
— 1,38787 dp + 0,17130 40 — 0,08360 di 

0 = + 117,97” —0,01315 dL— 43,84 d7 + 0,01315 all 
+ 0,02929 dp + 1,02138 AN — 0,27187 di. 


Von diesen zwölf Gleichungen verwerfen wir aber die zehnte voll- 
ständig, da die beobachtete geocentrische Breite allzu unsicher ist. 


13. 


Da man die sechs Unbekannten dL, d7 etc. nicht so zu be- 
stimmen vermag, dass allen elf Gleichungen genau Genüge geschieht, 
d.h. dass die einzelnen Funktionen der Unbekannten, welche rechts 
stehen, gleichzeitig —= 0 werden, so wollen wir diejenigen Werthe 
ermitteln, durch welche die Quadrate dieser Funktionen die aller- 
kleinste Summe ergeben. Man sieht nämlich leicht ein, wenn allge- 
mein die folgenden linearen Funktionen der Unbekannten p, g, r, 
s, etc. vorgelegt sind: 


n tap +bq ter +ds + etc. 

n" +ap +bq +cr +ds +etc. 

"+ap+b’g +ec’r +d”s +etec. w” 

WW 1 a”p + b"q -H er = d”s + ete. ‚n 
etc., dass die Bedingungsgleichungen dafür, dass 


w+w’+w” +w”+etc. = 2 


Il 
SE- 


I 


ein Minimum wird, die folgenden sind: 


| 
2:2: 


aw + aw nu aw” 4 aw” + etc. 

bw + bw’ + b’w” -+ b”’w” - ete. 

cw + ew E= ce’ w” + ec” w” 1 etc. “ 

dw + d’w + d’w’ + d”w” + etc. 
etc. oder, wenn wir der Kürze wegen 


124 Elemente der Pallas. 


an + a’n’ + an” + a”n” + ete. mit [an] 
a@ +a?” +a” +a”” + etc. mit [aa] 
ab + ab’ + a’b” + a”b”’ + etc. mit [ab] 
etc. 

ö® +5? +0” +5” —+etc. mit [bb] 
be + b’c’ + b”c” + be” + etc. mit [be] 
etc. etc. 


bezeichnen, dass p, g, r, s etc. durch Elimination aus nachstehenden 
Gleichungen bestimmt werden müssen: 


[an] + [aa] p + [ab] qg + [ac]r + [ad] s + ete. 
[dn] + [ab] p + [bb] a + [de] r + [dd] s + etc. 
[en] + [ac] p + [be] a + [ce] r + [ed] s + ete. 
[dn] + [ad]p + [bd]a + [ed] r + [dd] s + ete. 


etc. 


Id 
oooo 


Wenn jedoch die Anzahl der Unbekannten p, 9, r, s etc. etwas 
grösser ist, so verursacht die Elimination eine sehr ausgedehnte 
und unangenehme Arbeit, welche wir auf nachfolgende Weise 
wesentlich abkürzen können. Ausser den Coefficienten [an], [aa], 
[ab] etc. (deren Anzahl — %(u’ + 3u) wird, wenn die Anzahl der 
Unbekannten —= u ist) nehme ich auch 


"+n®+n”?+n”+ etc. = [m] 
als berechnet an, worauf leicht zu ersehen ist, dass 


2 —= [nn] + 2[an] p + 2[bn] a + len] r + 2[dn] s + etc. 
+ [aa] 2° + 2[ab] p2g + 2[ae] pr + 2[ad] ps + etc. 
+ [bb] g’+ 2[be] gr + 2[bd] gs + ete. 
+ [ec] r’+ 2[ed] rs + ete. 
+ [dd] s+ ete. 
etc. 
wird. Bezeichnen wir daher 


lan] + [aa] p + [ab] ga + [ac]r + [ad] s + ete. mit A, 


8:0 
so sind offenbar diejenigen Glieder von m ‚ bei welchen der 
2 
Faktor » auftritt, einzeln in 2 enthalten, und deshalb muss 2 — - 


eine von p unabhängige Funktion sein, Setzen wir also 











Elemente der Pallas. 125 











m] = mi] 

[dm] er Li an 

Ion rel = fm. 1] 

fan = else} — [dn,1] ete. 

[62] u — [8,1] 

De el = [00,1] 

Ba — [bd,1] ete. ete., so ist 

ST a Hide 


+ [cs,1] "+ 2l[ed, 1] rs + etc. 
+ [dd,1] s’+ ete. 
etc., 
welche Funktion wir mit 2’ bezeichnen wollen. 


Wenn wir analog 
[dn, 1] + [dd, 1] + [de,1]r + [dBd,1]s + ete. = B 








2 
setzen, so wird 2’ — si eine von g unabhängige Funktion sein, 
? 
welche wir — 2” annehmen. Auf dieselbe Weise machen wir 
bn, 1]? 
mn = mM 
’ 
bn, 11[be,1 
et ei 1 in Zone. 
’ 
be, 1]° 
[ee, 11 — a = [ee, 2] 
ete. etc. und 


[en,2] + [ec,2]r + [ed,2]s + ete. = C, 


wonach 2” — eine auch von r unabhängige Funktion sein 


C 
Lee, 2] 
wird. In derselben Weise fahren wir fort, bis wir in der Reihe 


x 


126 Elemente der Pallas. 
2, 2, 2” etc. zu einem von allen Unbekannten unabhängigen 
Glied gelangen, welches [»», «] sein wird, wenn wir die Anzahl 
der Unbekannten », g, r, s etc. mit « bezeichnen. Wir erhalten also 
A® B°? ; Ry D?’ 
2 — ei + (56, i] + (c6,2] + (da, 3] + ete. + [nn, u]. 





Da nuın 2 = w’ + w” + w”” + ete. seiner Natur nach einen ne- 
gativen Werth nicht annehmen Kann, so lässt sich leicht zeigen, 
dass die Divisoren [aa], [bd, 1], [cc, 2], [dd, 3] ete. nothwendig 
positiv herauskommen müssen (der Kürze wegen will ich jedoch 
diese Auseinandersetzung hier nicht weitläufiger verfolgen). Hieraus 
folgt aber von selbst, dass sich der kleinste Werth von 42 ergiebt, 
wenn A=0,B=0,C=0(0,D = etc. wird. Aus diesen 
u Gleichungen müssen wir daher die Unbekannten p, g, r, s etc. 
bestimmen, was wir in umgekehrter Reihenfolge ‚sehr leicht aus- 
führen können, da offenbar die letzte Gleichung nur eine einzige 
Unbekannte enthält, die vorletzte zwei und so weiter. Diese Me- 
thode empfiehlt sich zugleich aus dem Grunde, weil dabei der 
kleinste Werth der Summe 2 von selbst bekannt wird, da er ja 
offenbar — [nn, u] ist. 


14. 


Diese Vorschriften wollen wir jetzt auf unser Beispiel an- 
wenden, wo », q, r, s etc. bezw. dL, d7, dII, dp, dN, di sind. 
Nach sorgfältig durchgeführter Rechnung fand ich die folgenden 
numerischen Werthe: 


Inn] = + 148848 [be] = — 49,06 Hieraus leitete ich 
[an] = — 371,09 [Bd] = — 3229,77 ferner ab 

Ibn] = — 580104 [be] = — 198,64 [nn, 1] = +125569 
[en] = — 113,45 Id] = — 143,05 [dn, 1] = — 138534 


[dn] = + 268,53 lee] = + 0,71917 [en, 1] = —119,31 
len] = + 94,26 led] = + 1,1332  [dn,1] = —125,18 


In] — 31,81 [ce] + 0,0640 [en, 1]= +72,52 
[aa] = + 5,91569 [ef] = + 026341 [n,1]= —43,22 
[ad] = + 7203,91 [dd]—= + 12,00340. [db, 1] = +2458225 
[ac] = — 0,09344 [de] = — 0,37137  [be, 1] +62,13 
[ad] = — 228516 [df] = — 0,11762 [bd,1] = —510,58 
[ae] = — 0,34664 [ee] = +2,28215  [be, 1]— +213,84 
[af] = — 0,1819 [ef] = — 0,86136 [bf, 1]= +73,45 
[6b] = + 10834225 [ff] = + 5,62456  [cc, 1]—= +0,71769 


(ed, 1] = +1,09773 
[ce, 1] = —0,05852 
[ef, 1] = +0,26054 


[dd,1] = +11,12064 


[de, 1] = —0,50528 
[df, 1] = —0,18790 
[ee, 1]= +2,26185 
[ef, 1] = —0,37202 
[/f, 1]= +5,61905 


Und hieraus auf ähn- 


liche Weise 
[nn, 2] = +117763 
[en, 2] = —115,81 
[dn, 2] = — 153,95 
[en, 2] = +84,57 
[‚n, 2] = —39,08 
[ee, 2] = +0,71612 


Elemente der Pallas, 


fed, 2] = +1,11063 
[ce, 2] = —0,06392 
[cf, 2] = +0,25868 


[da, 2) = +11,01463 


[de, 2] = —0,46088 
[df, 2] = —0,17265 
[ee, 2] = +2,24325 
lef, 2] = —0,37841 
L/f, 2]= +5,61686 


Hieraus ferner 
[nn, 3] = +99034 
[dn, 3] = + 25,66 
[en, 3] = +74,23 
[da, 3] = + 9,29213 
[de, 3] = —0,36175 
[df, 3] = —0,57384 


127 


lee, 3] = +2,23754 
[ef, 3) = — 0,35532 
[/f, 3) = + 5,52342 


Hieraus ebenso 
[nn, 4] = +98963 
len, 4) = + 75,23 


"[n, 4]= +4,33 


[ee, 4] = +2,22346 
ef, 4] = —0,37766 
[/f, 4] = +5,48798 
Hieraus 

Inn, 5] = +96418 
In,5]= +17,11 
‚ff, 5] = +5,42383 
*Und hieraus endlich 
Inn, 6] = +96364 . 


Wir haben daher zur Bestimmung der Unbekannten die sechs 


folgenden Gleichungen: 


+ 17,11” + 5,42383 di 
+ 75,23” + 2,22346 AN — 0,37766 di 

+ 25,66” + 9,29213 dp — 0,36175 AN — 0,57384 di 
-— 115,81” + 0,71612 dIT + 1,11063 do — 0,0632 N 


0 
0 
0 
0 


| 


+ 0,25868 di 


0 


0 


Al 


— 138534” 2458225 d7 + 
+ 23 HAN + 
— 371,09” + 5,91569 dL + 7203,91 d7 — 0,09344 All 


62,13 AIT — 510,58 dp 
73,45 di 


— 2,28516 dp — 0,34664 AN — 0,18194 di, 


woraus wir ableiten 


di= — 3,15” 
AN = — 3437 
de = — 429 
dr — +166,44” 
d7T —= + 0,054335” 
BE u 


Die verbesserten elliptischen Elemente, welche allen sechs 
Oppositionen möglichst nahe genügen, sind also folgende: 


128 Elemente der Pallas. 


Epoche der mittleren Länge 1803 für den Meridian 


von Göttingen . . .. . ran 22.221” 34° 53,64” 
Mittlere tägliche tropische Bewegung . . . . . 770,5010” 
Länge des Perihels 1803. . .. 2 2. ...2..% 121°; 88,59 
Länge des aufsteigenden Knotens 1803... . . . 172 28 12,43 
Neigung der Bahh : „u ur =... INS BR--97- 8,36 
Excentrieität (= sin [14° 9 59,79) . ... . - 0,2447424 
Logarithmus der grossen Halbaxe . . . .. . . 0,4422071. 

15. 


Setzen wir die soeben gefundenen Werthe der Verbesserungen 
dL, d7 etc. in die zwölf Gleichungen des Art. 12. ein, so erhalten 
wir die nachfolgenden Differenzen zwischen den beobachteten und be- 
rechneten Werthen der heliocentrischen Längen und der geo- 
centrischen Breiten: 











Bei d. Opposition Differenz 
des Jahres in Länge in Breite 
1803 —111,00” | — 8,31” 


1804 + 59,18 | — 86,67 
1805 + 19,92 | + 0,07 
1807 + 85,77 | + 25,01 
1808 +135,88 | + 28,72 
1809 — 216,54 | + 83,01 




















IV. 
Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen. 


(Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften, herausgegeben von 
B. von Lindenau und J. @. F. Bohnenberger. Band I, S. 185. Heft für März 
und April 1816.) 


L. 


Bei der Begründung der sogenannten Methode der kleinsten 
Quadrate wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit eines 
Beobachtungsfehlers A durch die Formel 


E« Eee 
Vz 
ausgedrückt wird, wo zz den halben Kreisumfang, e die Basis der 
hyperbolischen Logarithmen, auch % eine Constante bedeutet, die 
- man nach Art. 178. der T’heoria Motus Corporum Coelestium als das 
Maass der Genauigkeit der Beobachtungen ansehen kann. Bei An- 
- wendung der Methode der kleinsten Quadrate auf die Ausmittelung 
i der wahrscheinlichsten-Werthe derjenigen Grössen, von welchen die 
- Beobachtungen abhängen, braucht man den Werth der Grösse h 
- gar nicht zu kennen; auch das Verhältniss der Genauigkeit der 
Resultate zu der Genauigkeit der Beobachtungen ist von A unab- 
hängig. Inzwischen ist immer eine Kenntniss dieser Grösse selbst 
‘interessant und lehrreich, und ich will daher zeigen, wie man durch 
- die Beobachtungen selbst zu einer solchen Kenntniss gelangen mag. 


2. 
Ich lasse zuerst einige den Gegenstand erläuternde Bemerkun- 
- gen vorausgehen. Der Kürze wegen bezeichne ich den Werth des 
- Integrals 


Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 9 








130 Genauigkeit der Beobachtungen. 


De dt 
Vn ' 


von {= () an gerechnet, durch ©(t). Einige einzelne Werthe werden 
von dem Gange dieser Funktion eine Vorstellung geben. Man hat 





0,5000000 = @ (0,4769363) = ©® (e) 
0,6000000 = © (0,5951161) = © (1,247790o) 
0,7000000 = © (0,7328691) = © (1,536618) 
0,8000000 = © (0,9061939) — ® (1,9000320) 
0,8427008 = O(1) — © (2,096716e) 
0,9000000 — ®(1,1630872) — @ (2,438664 0) 
0,9900000 — ® (1,8213864) — © (3,818930 0) 
0,9990000 = © (2,3276754) — © (4,8804750) 


0,9999000 = © (2,7510654) —= © (5,768204 0) 
1 = O(o) | 
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler einer Beobachtung 


zwischen den Grenzen — A und + A liege, oder, ohne Rücksicht 
auf das Zeichen, nicht grösser als A sei, ist 


x pe — ha 4x 
ER — 
e Im 


wenn man das Integral vnz = —A bisz = +&A ausdehnt, 
oder doppelt so gross, wie dasselbe Integral von e=0bis@e = A 
genommen, mithin 





—= Oh). 


Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler nicht unter 8, sei, 


h 
1 


ist also — 9,. oder der Wahrscheinlichkeit des Gegentheils gleich: 


wir wollen diese Grösse „, den wahrscheinlichen Fehler nennen und 
mit » bezeichnen. Hingegen ist die Wahrscheinlichkeit, dass der 


Fehler über 2,438664 » hinausgehe, nur ne die Wahrscheinlichkeit, 
dass der Fehler über 3,818930 r steige, nur . u. S. W. 


3. 
Wir wollen nun annehmen, dass bei m wirklich angestellten 
Beobachtungen die Fehler «, #, y, d etc. begangen sind, und unter- 
suchen, was sich daraus in Beziehung auf den Werth von % und r 





Genauigkeit der Beobachtungen. 131 


schliessen lasse. Macht man zwei Voraussetzungen, indem man 
den wahren Werth von % entweder = H oder = H’ setzt, so ver- 
halten sich die Wahrscheinlichkeiten, mit welchen sich in denselben 
die Fehler «, ß, y, d etc. erwarten liessen, bezw. wie 
He He xpe TEPSXHe Er Xote. 

zuHe Fexme-HRxWe Hr xete., 

d. i. wie 
Hre — H? (a? +? +y?+ etc.) zu H” H’” (@® +? + y? + etc.) : 


In demselben Verhältnisse stehen folglich die Wahrscheinlichkeiten, 


; dass H oder H’ der wahre Werth von A war, nach dem Erfolge 
jener Fehler (7. 37. ©. ©. Art. 176.): oder die Wahrscheinlichkeit 








jedes Werthes von Ah ist der Grösse 
| he We + + y’ tete.) 
proportional. Der wahrscheinlichste Werth von A ist folglich der- 


jenige, für welchen diese Grösse ein Maximum wird, welchen man 
nach bekannten Regeln 








Mm 
IR Vs + ß?+y’ + ete.) 
findet. Der wahrscheinlichste Werth von r wird folglich 


Ve + B?-+y’ + etc.) 
° m 


TE ea 


m 














Dies Resultat ist allgemein, m mag gross oder klein sein. 


4. 


Man begreift leicht, dass man von dieser Bestimmung von A 
und » desto weniger berechtigt ist, viele Genauigkeit zu erwarten, 
je kleiner m ist. Entwickeln wir daher den Grad von Genauigkeit, 
welchen man dieser Bestimmung beizulegeu hat, für den Fall, wo 
m eine grosse Zahl ist. Wir bezeichnen den gefundenen wahr- 
scheinlichen Werth von A 








m 
Var re + y’ + etc.) 


132 Genauigkeit der Beobachtungen. 


Kürze halber mit H, und bemerken, dass die Wahrscheinlichkeit, 
H sei der wahre Werth von A, zu der Wahrscheinlichkeit, dass der 
wahre Werth = H +4 sei, sich verhält,' wie 
Eu Fr 
Hr: 22 





oder wie 
1m 1 ERS BEER Kerr I guellbr 8. 


3 mt aut Der 


Das zweite Glied wird gegen das erste nur dann noch merk- 


Bi, i 
lich sein, wenn — ein kleiner Bruch ist, daher wir uns erlauben 


H 
dürfen, anstatt des angegebenen Verhältnisses dieses zu gebrauchen 
| Am 
se. 0% 


Dies heisst nun eigentlich so viel: die Wahrscheinlichkeit, dass der 
wahre Werth von A zwischen H-+4 und H-+4A-+.di liege, ist 
sehr nahe 


wo K.eine Constante ist, die so bestimmt werden muss, dass das 
Integral 


IM 
f Ke Pa 
zwischen den zulässigen Grenzen von A genommen, — 1 werde. 


Statt solcher Grenzen ist es hier, wo wegen der Grösse von m 
offenbar 


unmerklich wird, sobald 2 aufhört ein kleiner Bruch zu sein, er- 


laubt, die Grenzen — © und -+ © zu nehmen, wodurch 


_ iym 

er 
wird. Mithin ist die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Werth 
von A zwischen H—4 und H +4 liege, 


— o(A m), 


VELEEREN 


EN 
en, 


Genauigkeit der Beobachtungen. 133 
also jene Wahrscheinlichkeit = 2, wenn 
A - i 
yYm = o0 1st. 


Es ist also eins gegen eins zu wetten, dass der wahre Werth 
von h 


zwischen H (1 —_ = und H (! + vn) 


Mm m 


- liegt, oder dass der wahre Werth von r 


zwischen — und 
kn gg 1 et 

F m 

falle, wenn wir durch R den im vorhergehenden Art. gefundenen 

wahrscheinlichsten Werth von r bezeichnen. Man kann diese Grenzen 


_ die wahrscheinlichen Grenzen der wahren Werthe von h und r nennen; 








offenbar dürfen wir für die wahrscheinlichen Grenzen des wahren 


 Werthes von r hier auch setzen 


R(1-—) und R(1 eh: 


m Vm 


5. 


Wir sind bei der vorhergehenden Untersuchung von dem Ge- 


- sichtspunkte ausgegangen, dass wir «, ß, y, Ö etc. als bestimmte 
- und gegebene Grössen betrachteten, und die Grösse der Wahr- 
- scheinlichkeit suchten, dass der wahre Werth von % oder » zwischen 
gewissen Grenzen liege. Man kann die Sache auch von einer an- 
- dern Seite betrachten, und unter der Voraussetzung, dass die Be- 


obachtungsfehler irgend einem bestimmten Wahrscheinlichkeitsge- 


- setze unterworfen sind, die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit 
‘ welcher erwartet werden kann, dass die Summe der Quadrate von 
- m Beobachtungsfehlern zwischen gewisse Grenzen falle. Diese Auf- 
gabe, unter der Bedingung, dass m eine grosse Zahl sei, ist bereits 
- von Laplace aufgelöset, ebenso wie diejenige, wo die Wahrschein- 
- lichkeit gesucht wird, dass die Summe von m Beobachtungsfehlern 
- selbst zwischen gewisse Grenzen falle. Man kann leicht diese Un- 
- tersuchung noch mehr generalisiren; ich begnüge mich, hier das 
- Resultat anzuzeigen. 


134 Genauigkeit der Beobachtungen. 


Es bezeichne g(x) die Wahrscheinlichkeit des Beobachtungs- 
fehlers x, so dass /p(z) de —= 1 wird, wenn man das Integral von 


© — — o bis ze = + mw ausdehnt. Zwischen denselben Grenzen 
wollen wir allgemein den Werth des Integrals 
Sy(®) x" dx 


durch K® bezeichnen. Es sei ferner S® die Summe 
"+ Br + + dr +ete., 

wo a, ß, y, Ö etc. unbestimmt m Beobachtungsfehler bedeuten; die 
Theile jener Summe sollen, auch für ein ungerades », alle positiv 
genommen werden. 

Sodann ist mK@) der wahrscheinlichste Werth von S® und 
die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Werth von S" zwischen 
die Grenzen mK" — A und mK® +4 falle, 








= o( 4 ) 
V2m (KK — K@°) 
Folglich sind die wahrscheinlichen Grenzen von S®) 


mK®" — og Y2m (K#") — K@’) 





"und 





mK® + 0 Y2m (KK) — KW"), 


Dieses Resultat gilt allgemein für jedes Gesetz der Beobachtungs- - 


fehler. Wenden wir es auf den Fall an, wo 





h — h?x? 
ea) = — 
y(2) Vm 
gesetzt wird, so finden wir 
Ko) — A! 
h"Vze 


die Charakteristik II in der Bedeutung der Disqwisitiones generales 
circa seriem infinitam (Comm. nov. soc. Gotting. T. IL.) genommen 
(M. 5. Art. 28. der angef. Abh.). Also 








1 1 1 
K — z ’ K = —— K” = K” = [m 
hYr'’ 20’ h’Vze 
1.3 12 1.3.5 123 
KIT as A Ga mn Vu — ; 





Genauigkeit der Beobachtungen. 135 


Es ist folglich der wahrscheinlichste Werth von S” 
i mIl$(n— 1) 
i h" Vor 


und die wahrscheinlichen Grenzen des wahren Werthes von S® 


mUzn—2Df, _ 2 (‚An —H-Vr 
h" Vre s Ve )) 


mIly(n — 1) | 2 (In — 3)-VYr 
| = 1 = ! -—1):. 
I" Voe 3 V | dIzm—1))' ) 
Setzt man also, wie oben, 
e 


-. =r, 


h 


; so dass r den wahrscheinlichen Beobachtungsfehler vorstellt, so ist 
- der wahrscheinlichste Werth von 


| /T goyz 
; 3 mIla3 (n— 1) 


- offenbar = r; und die wahrscheinlichen Grenzen des Werthes jener 


Grösse 
ee) 


ey) 


Es ist also auch eins gegen eins zu wetten, dass » zwischen 
den Grenzen 


V amiee ji -V (me) 
Ve ü) Ux3 V: (re Dr -1)) 


liege. Für n = 2 sind diese Grenzen 





’ 











und 























und 




















und 


























136 Genauigkeit der Beobachtungen, 


ganz mit den oben (Art. 4.) gefundenen übereinstimmend. Allge- 
mein hat man für ein gerades n die Grenzen 


“= gw 
eva) „a7 ET RE N 
5 1. e(C + en} 


















































m 135...n—)) 
und | 
ee Sa) 
ev), 1337 0 
e1/2 RP +DR+ 3). .2@n— 1); 
xjt+t se ee !) 
und für ein ungerades n folgende 
So yrr sr /E1IBT De al 
V m.123. nl? „(@26 any —2)| 
und 
S@)Yrr | e1/1 7135.7...(2n —1)r 
m. .4(n—1) 13 n (eu. ee 
6. 


Ich füge noch die numerischen Werthe für die einfachsten 
Fälle bei: 


Wahrscheinliche Grenzen von r 
1. 0,84534738 (1 +) 














II. 0,6744897 v- e- ( 1 








II. 0,5771897 Va (1+ ee 








IV. 0,5125017 V- - 


Von 


v. 0,4655532 Ve; a nn 


VI. 04294972 Ar „rar, 
Mm 





) 
2. „ar 
) 











Genauigkeit der Beobachtungen. 137 


Man sieht also auch hieraus, dass die Bestimmungsart II von 
allen die vortheilhafteste ist. Hundert Beobachtungsfehler, nach 
dieser Formel behandelt, geben nämlich ein eben so zuverlässiges 
Resultat, wie 


114nachI, 109nach III, 133 nachIV, 178 nach V, 251 nach VI. 


Inzwischen hat die Formel I den Vorzug der allerbequemsten 
Rechnung, und man mag sich daher derselben, da sie doch nicht 
viel weniger genau ist als II, immerhin bedienen, wenn man nicht 
die Summe der Quadrate der Fehler sonst schon kennt, oder zu 
kennen wünscht. 


T. 


Noch bequemer, obwohl beträchtlich weniger genau, ist fol- 
gendes Verfahren: Man ordne die sämmtlichen m Beobachtungs- 
fehler (absolut genommen) nach ihrer Grösse, und nenne den mit- 
telsten, wenn ihre Zahl ungerade ist, oder das arithmetische Mittel 
der zwei mittelsten bei gerader Anzahl, M. Es lässt sich zeigen, 
was aber an diesem Orte nicht weiter ausgeführt werden kann, 
dass bei einer grossen Anzahl von Beobachtungen r der wahrschein- 
lichste Werth von M ist, und dass die wahrscheinlichen Grenzen 


von M es a 
(1 V Z) und ‚(1 + EV) 


sind, oder die wahrscheinlichen Grenzen des Werthes von r 


M(1— EV) und M(1+ EV) 


oder in Zahlen 





M (1 je 0,7520974 ) 


Ym 


Dies Verfahren ist also nur wenig genauer, als die Anwen- 
dung der Formel VI, und man müsste 249 Beobachtungsfehler zu 
Rathe ziehen, um eben so weit zu reichen, wie mit 100 Beobach- 
tungsfehlern nach Formel II. 


8. 


Die Anwendung einiger von diesen Methoden auf die in Bode’s 
astronomischem Jahrbuche für 1818, S. 234, vorkommenden Fehler bei 


138 


Genauigkeit der Beobachtungen. 


48 Beobachtungen der geraden Aufsteigungen des Polarsterns von 


Bessel. gab 


S — 60,46”; 


= >, 
. III 
nach Art. 7 


eine Uebereinstimmung, wie sie kaum zu erwarten war. 


= 7094 
.... 1,001 
.. 1,045 


8”"=:110,000°;: 
Hieraus folgten die wahrscheinlichsten Werthe von r 
nach Formel I... 1,065”, wahrscheinl. Unsicherheit 


” 


8” — 250,341118”. 


+0,078” 
+0,070 
+0,072 
+0,113, 


Bessel 


giebt selbst 1,067”, und scheint daher der Formel I gemäss ge- 
rechnet zu haben. 





4 


a a a ce u 


Br 





V. 


Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf 
eine Aufgabe der praktischen Geometrie. 


(Auszug aus einem Schreiben an H. ©. Schumacher. Astronomische Nachrichten, 
Ba. I, S. 81. 1822.) 


Ihrem Wunsche zufolge schicke ich Ihnen die Vorschriften 
zur Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate auf die Auf- 
gabe der praktischen Geometrie: die Lage eines Punktes aus den 
an demselben gemessenen horizontalen Winkeln zwischen andern 
Punkten von genau bekannter Lage zu finden. Der Gegenstand 
ist zwar ganz elementarisch, und jeder, der den Geist der Methode 
der kleinsten Quadrate kennt, kann sich die Vorschriften leicht 
selbst entwickeln: inzwischen wird jene Aufgabe als eine der nütz- 
lichsten in der praktischen Geometrie auch wohl oft von solchen 
Personen benutzt werden können, die nicht ganz in jenem Falle 
sind, und denen daher die Mittheilung der Formeln nicht unlieb ist. 

Die Coordinaten eines der bekannten Punkte seien a, b, jene 
von Norden nach Süden, diese von Osten nach Westen positiv ge- 
zählt — ob die Abseissenlinie wahrer Meridian ist oder nicht, ist 
hier gleichgültig; ebenso x, y genäherte Coordinaten des zu be- 
stimmenden Punktes, und dx, dy deren noch unbekannte Ver- 
besserungen. Man bestimme @ und r nach den Formeln 

b—y aa 5b—y 


ng. P pe de cs sinp’ 











indem man in demjenigen Quadranten wählt, der r positiv macht, 
und setze noch 


206265” (b — y) — 206265” (a — x) 
Eugai 2 ’ ER EREN 2 r 


r r 








140 Eine Aufgabe der praktischen Geometrie, 


Dann ist das Azimuth des ersten Punktes vom zweiten aus ge- 
sehen (die Richtung der Abscissenlinie als 0 betrachtet) 


= p+tade+Pdy, 
wo die beiden letzten Theile in Secunden ausgedrückt sind. 

In Beziehung auf einen zweiten Punkt von bekannter Lage 
sollen 9, «', 8’, in Beziehung auf einen dritten @”, «”, 8” u. s. w. 
dasselbe bedeuten, was g, «, $ in Beziehung auf den ersten sind. 

Sind die Winkelmessungen an dem zu bestimmenden Orte auf 
einmal mit einem Theodolithen ohne Repetition gemacht, indem bei 
unverrücktem Instrument das Fernrohr nach der Reihe auf die ver- 
schiedenen bekannten Punkte geführt ist, so sollten, wenn A, 4, 
h” etc. die dabei abgelesenen Winkel bedeuten, die Ausdrücke 


op —h +ade+Pdy 

po —h +W@de + P'dy 

9” — h" + a’dae + P’dy etc. 
durch die Substitution der wahren Werthe von d= und dy alle 
einerlei Werth bekommen, wenn die Beobachtungen absolut genau 
wären, und wenn man also drei derselben unter sich gleich setzte, 
würde man durch Elimination die Werthe von dz und dy erhalten. 
Sind überhaupt nur drei bekannte Punkte beobachtet, so lässt sich 
auch nichts weiter thun; ist aber ihre Anzahl grösser, so werden 
die Fehler der Winkelmessungen am vollkommensten ausgeglichen, 
indem man alle obigen Ausdrücke addirt, die Summe mit der Anzahl 
dividirt, die Differenz zwischen diesem Quotienten und jedem ein- . 
zelnen Ausdruck —= 0 setzt, und diese Gleichungen nach der be- 
kannten Vorschrift der Methode der kleinsten Quadrate behandelt. 

Sind hingegen die Winkelmessungen unabhängig von einander 

gemacht, so giebt jede derselben sofort eine Gleichung zwischen 
den unbekannten Grössen dx und dy, und alle diese Gleichungen 
sind dann nach der Methode der kleinsten Quadrate zu combiniren, 
wobei man, wenn man will, auch noch auf die etwa ungleiche Zu- 
verlässigkeit der Winkel Rücksicht nehmen kann. Wäre also z. B. 
der Winkel zwischen dem ersten und zweiten Punkte = ;, zwischen 
dem zweiten und dritten = ;’ etc. gefunden, immer von der Linken 
zur Rechten gerechnet, so hätte man die Gleichungen 


pP —P-it+rla —a)de+(f —P)dy = 0 
P— P—i+le— a)de + (P’— B)dy = 0 
etc. Haben diese Winkelmessungen gleiche Zuverlässigkeit, so 


h 
2 








Eine Aufgabe der praktischen Geometrie. 141 


bildet man aus diesen Gleichungen zwei Normalgleichungen, die 
erste, indem man jene der Ordnung nach mit den respectiven Co- 
efficienten von de, d. i. die erste mit «— «a, die zweite mit 
a” — « etc. multiplicirt und alles addirt; die andere, indem man 
dasselbe durch Multiplication mit den Coefficienten von dy aus- 
führt und gleichfalls addirt. Ist hingegen die Winkelmessung von 
ungleicher Genauigkeit, und z. B. die erste auf «, die andere auf 
wu etc. Repetitionen gegründet, so müssen die Gleichungen beide- 
male vor der Addition auch erst noch mit diesen Zahlen u, w etc. 
bezw. multipliirt werden. Aus den so gefundenen beiden 
Normalgleichungen werden dann d= und dy durch Elimination ge- 
funden. (Diese Vorschriften sind nur um derer willen beigefügt, 
denen die Methode der kleinsten Quadrate noch unbekannt ist, und 
für die vielleicht auch die Erinnerung noch nöthig sein könnte, dass 
bei jenen Multiplicationen die algebraischen Zeichen von @ — « etc. 
sorgfältig beachtet werden müssen.) Endlich bemerke ich noch, 
dass hierbei »ur die Fehler der Winkelmessungen ausgeglichen 
werden sollen, indem die Coordinaten der bekannten Punkte als 
genau angesehen werden. 

Ich erläutere diese Vorschriften für den zweiten Fall noch 
an den mir von Ihnen mitgetheilten Winkelmessungen auf der 
Holkensbastion bei Copenhagen, obwohl, wie es scheint, die zuletzt 
angezeigte Voraussetzung dabei nicht genau genug statt findet; 
bei so kleinen Entfernungen haben kleine Unrichtigkeiten von 
einigen Zehntheilen eines Fusses in den gegebenen Coordinaten 
einen sehr viel grösseren Einfluss, als die Fehler in den Winkel- 
messungen, und man darf sich daher nicht wundern, dass nach 
möglichster Ausgleichung der Winkel Differenzen zurückbleiben, die 
viel grösser sind, als bei den Beobachtungen der Winkel als möglich 
angenommen werden kann. Für den gegenwärtigen Zweck, wo 
nur ein Rechnungsbeispiel gegeben werden soll, kann dies jedoch 
gleichgültig sein. 


Winkel auf Holkensbastion. 


Friedrichsberg— Petri. . . . » 13° 35’ 22,8” 
Petri—Erlösersthurm . . . . » 104 57 33,0 
Erlösersthurm—Friedrichsberg . 181 27 5,0 
Friedrichsberg—Frauenthurm . 80 37 10,8 
Frauenthurm—Friedrichsthurm . 101 11 50,8 
Friedrichsthurm—Friedrichsberg 178 11 15. 


142 Eine Aufgabe der praktischen Geometrie. 


. > « 
Ooordinaten, von der Copenhagener Sternwarte gerechnet, in 
Pariser Fuss. 


PatH. : 3,8, URL, 8 + 487,7. + 1007,7 
Frauenthurm . . . . + 710,0 + 6842 
Friedrichsberg . . . + 2430,6 + 8335,0 
Erlösersthurm . . . + 2940,0 — 3536,0 
Friedrichsthurm . . + 3059,83 — 22312. 


Als genäherte Coordinaten des Beobachtungsplatzes wurden an- 
genommen: 
x —= + 2836,44 9 = + 444,33. 
Und damit fanden sich die Azimuthe: 
1, 2.3 BR EA 166° 30° 42,56” + 19,92 dx + 83,04 dy 
Frauenthurm. . .173 33 50,54 + 10,80 d= + 95,78 dy 
Friedrichsberg . . 92 56 39,46 +26,07 de + 1,34 dy 
Erlösersthurm . .271 29 25,38 — 51,79 de — 1,35 dy 
Friedrichsthurm . 274 45 41,48 — 76,56 de — 6,38 dy. 


Der berechnete Winkel Friedrichsberg—Petri ist daher 
73° 34° 3,10” — 6,15 de + 81,70 dy, 
welches mit dem beobachteten verglichen die Gleichung 
— 79,70” — 6,15 de + 81,70 dy = 0 
giebt. Ebenso erhält man die fünf anderen Gleichungen 
+ 69,82” — 71,71de — 84,39 dy = 0 


+ 908 + 77,86de + 2,69dy = 0 
+ 0285 — 15,27 de + 94,44dy = 0 
+ 0,04 — 87,36 de — 102,16. dy = 0 
— 342 +10,63de+ T72dy=dO. 


Aus der Verbindung dieser sechs Gleichungen erhält man, indem 
man den Beobachtungen gleiche Zuverlässigkeit beilegt, die beiden 
Normalgleichungen 


+ 29640 de +14033 dy = + 4168” 
+ 14033 dx + 33219 dy = + 12383” , 


und hieraus die Werthe 
de = —0,05, dy = +0,40, 
oder die verbesserten Coordinaten der Holkensbastion 
+ 2836,39 und + 444,73. 





Eine Aufgabe der praktischen Geometrie, 143 


Die nach Substitution dieser Werthe von dz und dy zwischen 
den berechneten und beobachteten Winkeln zurückbleibenden Unter- 
schiede sind noch viel zu gross, um den Messungen zugeschrieben 
werden zu können, und beweisen, was oben bemerkt ist, dass die 
Coordinaten der bekannten Punkte nicht auf Zehntheile des Fusses 
zuverlässig waren, weshalb denn freilich auch die gefundene Ver- 
besserung selbst diesmal etwas zweifelhaft bleibt. 

Die bei dieser Rechnung zu Grunde gelegten genäherten 
Coordinaten der Holkensbastion waren durch die direkte Methode 
aus dem vierten und fünften der obigen Winkel berechnet. Ob- 
gleich diese direkte Methode als ein ziemlich erschöpfter Gegen- 
stand zu betrachten ist, so setze ich sie doch der Vollständigkeit 
wegen hier auch noch her, in derjenigen Gestalt, in welcher ich 
sie anzuwenden pflege. 

Es seien a, b die Coordinaten des ersten bekannten Punktes 
(man wählt denselben aus den drei bekannten nach Gefallen); die 
des zweiten seien in die Form 


a+RcosE, 5b+RsinE 
gebracht, und die des dritten in dieselbe 
a+RcosE, b+RsinE. 
Die gesuchten Coordinaten des Beobachtungspunktes bezeichne man 
durch 
a+tocose, b-+osine. 
Ferner sei der hier beobachtete Winkel zwischen dem ersten und 
zweiten Punkte = M, der zwischen dem ersten und dritten — M’; 
ich setze voraus, dass diese Winkel von der Linken zur Rechten 
genommen, und dass sie, falls sie so über 180° betragen haben, 
erst um 180° vermindert sind, oder was dasselbe ist, dass wenn 
ein Winkel in der verkehrten Ordnung unter 180° betrug, statt 
seiner das Complement zu 180° genommen ist*). Ich mache ferner 
B= nr Ware m 
mM "”"nw 
E-M=-NEF—-M=-N 
(wo nöthigenfalls vorher 360° addirt wird). 





*) Die Absicht davon ist, die folgenden Grössen n, n’.immer positiv zu 
- machen, und dadurch weniger Aufmerksamkeit auf die algebraischen Zeichen 
 nöthig zu haben, 


144 Eine Aufgabe der praktischen Geometrie. 


Dies vorausgesetzt, hat man die beiden Gleichungen 
e=nsin(—N), e = nvsin(—N), 


welche, wenn sie so geschrieben werden: 
W-- in (N), „= „in (@—N), 


unter die Aufgabe Theor. Mot. C. C. p. 82. gehören. Die eine 
der dort gegebenen Auflösungen führt zu folgender Regel: 

Ich nehme an, dass »’ grösser, wenigstens nicht kleiner als 
n ist, welches erlaubt ist, da es willkürlich ist, welchen Punkt man 
als den zweiten oder dritten betrachten will. Es sei 





n 
ee tang { 
tang 4 (N — N) 





tan AH — Ev. 
Sodann wird 
e=4N+N) +yY, 
und nachdem & gefunden ist, wird e durch eine der obigen Formeln, 
oder besser durch beide berechnet. 
In unserem Beispiele haben wir, den Frauenthurm als den 


ersten, Friedrichsberg vorläufig als den zweiten und den Friedrichs- 
thurm als den dritten Punkt betrachtet, 


a= +7100 5 = + 6842 


E ==: 11:.:39.33,827 BE == 300% DI 40.10 
log R = 3,8944205 log R’ = 3,5733549 

M = 99° 22° 50,20” M +: 107° 13° °90,80° 

(zufolge obiger Anm.) 

N’ 337. 56. 22.727 N = 207° 3% 54,97” 

logn = 3,9002650 \o9y —= 3,5817019. 
Da hier n>n‘, so vertauschen wir die Ordnung und setzen 

N = 207° 3% 54,97” N’ =337° 56° 42,72° 

log n = 3,5817019 log n’ = 3,9002650. 


Hiernächst findet sich ferner 
GC = 19 39% 3,87”, w = 80° 45’ 81,69%, e = 353° 33° 50,53” 


und loge = 3,3303990, und die Coordinaten der Holkensbastion 
+ 2836,441 und + 444,330, 





—t 





v1 


Chronometrische Längenbestimmungen. 


(Auszug aus einem Schreiben an H. ©. Schumacher. Astronomische Nachrichten, 
Bd. V, S. 227. 1826.) 


Es seien ©, ©, ©” etc. die Zeiten (zusammen an der Zahl.n), 
wo der Chronometer vor den Zeiten der Oerter, deren Längen z, 
x, ©” etc. sind, um die Unterschiede a, a’, a’ etc. voraus war. Die 
Angaben ©, ©, ©” etc. setze ich schon auf einen Ort reducirt 
voraus. Ist also der tägliche Gang des Chronometers = u, so 
würde man, wenn der Öhronometer vollkommen wäre, dien —1 
Gleichungen haben: 

a— AuU—ı = da — Ou—« =" — 'u— .” 


‚m ‚m 


= ("— "u—ı” = et. 


Damit diese Gleichungen zureichen, um die unbekannten Grössen 
u, 2, &, ©” etc. zu bestimmen, wird theils eine der Grössen x, 


©, ©” etc. als gegeben angesehen, theils vorausgesetzt, dass 


wenigstens an einem Orte zweimal beobachtet ist, also zwei der 
Grössen x, x’, x” etc. identisch sind. Falls nun nicht mehr als 
zwei identisch sind, wird die Aufgabe ganz bestimmt sein. Im 
entgegengesetzten Fall ist sie überbestimmt; und man: wird dann 
die unbekannten Grössen so bestimmen müssen, dass den »n —1 
Gleichungen 


0=a-a +(9 —O)u—x +2 
0 — a’ de . (9" Sie O)u N, + x” 
0 — ange a” + (9" — MN u— x” + x” etc. 


so genau wie möglich Genüge geleistet werde, da die immer statt- 

findenden Unvollkommenheiten aller Chronometer nicht verstatten 

werden, allen genau Genüge zu leisten. Offenbar aber darf diesen 
Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 10 


146 Chronometrische Längenbestimmungen. 


Gleichungen nicht gleiches Gewicht DEIBEIDON werden; denn in der 
That drücken die Grössen 


a— a +9 — O)u—ae + 
a — a” + (9 — 9) u— x’ + x” etc. 


bloss die Aggregate aller Abweichungen vom mittleren Gange aus, 
die der«Chronometer in den Zwischenzeiten © — ©, ©" — © etc. 
gehabt hat, und wenn von einem guten Chronometer die Rede ist, 
‘ dem man wirklich einen mittleren, keinen allmählich in einerlei 
Sinn zunehmenden Aenderungen unterworfenen Gang beilegen kann, 
so wird der mittlere zu befürchtende Werth eines solchen Aggre- 
gats der Quadratwurzel der Zwischenzeit proportional gesetzt 
werden müssen: 

Demzufolge wird man also den obigen Gleichungen, indem 
man sie den Vorschriften der Methode der kleinsten Quadrate ge- 
mäss behandelt, ungleiche Gewichte, die den Zwischenzeiten © — ©, 
9" — 9, ©” — ©’ etc. umgekehrt proportional sind, beilegen 
müssen. | 

Die Auflösung hat dann. keine Schwierigkeit, und man erhält 
sowohl die plausibelsten Werthe von u, 2, x’, &” etc. als ihre re- 
lative Zuverlässigkeit. Hierbei mache ich noch ein paar Bemer- 
kungen. 


1) Wenn die erste und letzte Beobachtung an einerlei Orte 
gemacht sind, so ist der plausibelste Werth von « genau derselbe, 
der bloss aus der Vergleichung der beiden äussersten Beobachtun- 
gen folgt. Die Rechnung wird dann ausserordentlich einfach, da 
es nach einem. leicht zu beweisenden Lehrsatz erlaubt ist, diesen 
plausibelsten Werth von « sogleich in den Gleichungen zu substi- 
tuiren, oder, was dasselbe ist, die sämmtlichen beobachteten Chro- 
nometerzeiten auf die eines Ineirten zu reduciren, dessen TRATEN 
—= (0) wäre. 


2) Hat man den Gleichungen schlechtweg die Gewichte 


1 1 
0 —-0’ 09 — © 
beigelegt, so liegt den Gewichten, welche man für die Endresul- 
tate der Längenbestimmungen findet, als Einheit die Genauigkeit 
zu Grunde, die man mit diesem Chronometer zu erwarten hätte, 
wenn man, bei bekanntem Gange, einen Längenunterschied nach 
einem Zeitintervall von einem Tage bestimmte (insofern die Zeiten 


etc. 





‘- Grössen, und m = V 


Chronometrische Längenbestimmungen. 147 


0, ©, ©" etc. in Tagen ausgedrückt sind). Allein damit man die 
Resultate verschiedemer Chronometer von ungleicher Güte ver- 
gleichen kann, muss noch ein Faktor hinzukommen, der von der 
Güte jedes einzelnen Chronometers abhängig ist. Diesen zu finden, 
setze man die Werthe der Grössen 

a —ıa +(9 —O)u—ae +. 

a’ Lach a” + 9" Zr ©') Eee x’ + x” 

a’ — a” + (0 — ON) u — x” + x” ete., 
indem man für u, @, ', x” etc. die gefundenen plausibelsten Werthe 
substituirt, 

2 A” be 


— A, N, A etc. und @—0© -r ER: [0% + RER 


Es sei ferner » die 5 der sämmtlichen unbekannt gewesenen 





FOR +ete =S. 





dann ist jener specifische Faktor 





n—v—1’ 
n—v—l1l 
S 
proportional. Man kann m als die mittlere zu befürchtende Ab- 
weichung vom mittleren Gange nach einem Tage Zwischenzeit an- 

sehen. 

3) Die obigen Vorschriften gelten für einen are der 
keine erhebliche progressive Abänderung seines Ganges zeigt. Wo 
das Gegentheil eintritt, kann man, insofern die Reihe der Beobaclı- 





EEE R z 1 
für jeden einzelnen Chronometer der Grösse oder 


tungen nicht übermässig lang ist, sich damit begnügen, eine der 








Zeit proportionirte Abänderung des täglichen Ganges anzunehmen, 
so dass noch eine unbekannte Grösse mehr einzuführen ist, und die 
Gleichungen diese Gestalt haben: 


=a—ı + (9 — O)u+ (0° - O')v— a +7 
0 = «a —.a’ +(9 —O)u+ (0 — O0*)v— a +2 
0 = a’ — a0” + (09”— 9)u + (0 — 0Y)v— a" +2” 
etc. 


3) Dieses noch weiter zu treiben, und also noch eine unbe- 
kannte Grösse mehr und Glieder der Form (© — ©°)w einzu- 
führen, möchte kaum rathsam sein. Chronometer, die starke ent- 
schiedene Abänderungen des mittleren Ganges zeigen, die aber 
selbst wieder unregelmässig sind, würde ich, neben anderen, lieber 
ganz ausschliessen, da ihre Resultate theils viel weniger genau 
werden, 'theils die Genauigkeit sich viel schwerer in Zahlen zur 

10* 


148 Chronomötrische Längenbestimmungen. 

Vergleichung angeben lässt. Ich halte mich daher hier bei der 
viel verwickelteren Theorie solcher Fälle’nicht auf, da in dem 
vorliegenden Fall das obige zureichend sein wird. 


4) Was die Auflösung der Gleichungen nach der Methode .der 
kleinsten Quadrate betrifft, so ist vielleicht nicht überflüssig in 
Erinnerung zu bringen, dass man in den meisten Fällen wohl thut, 
die unbekannten Grössen aus einem bekannten (möglichst genäherten) 
und einem unbekannten (also sehr kleinen) Theile zusammenzusetzen. 
Dieser Rath ist zwar theils sonst schon wiederholt "gegeben, theils 
ist der Vortheil dieser Manier von selbst einleuchtend, allein es 
schien gut, ihn wieder in Erinnerung zu bringen, da ich sehe, dass 
er so häufig vergessen wird, wodurch die numerischen Rechnungen 


unnöthigerweise erschwert, und Fehler leichter möglich werden. 
Von den 36 Chronometern habe ich folgende 5 berechnet. 








































Breguet Kessels Barraud 
Nr. 1. Nr. 4 3056. 1252. 904 
Greenwich, Juni 30. 3% 227 i— 8” 17,14°|+ 17 2,37° / 3 
Juli 25. 2 15 | 10 44,39 | 1 32,15 |+30” 59,75°| +50” 29,31°| +48” 29,20% 
98, 8.18.41. 11 069 1 36,96 | 30 50,07 | 50 39,69.) 48 40,2& 
Aug. 2. 1 15 | 11 3848) 1 4444 | 30 31,78 | 50 52,14 | 48+ 58,87 
„ 17.10 28 | 12 5940 | 2 624 | 29 35,69 | 51 38,66 | 49 57,83) 
„2. 7 27 | 138 47,98 | 2 15,84 | 29 1048 | 52 .245 | 50. 27,108 
Sept.10. 7 40 | 15 24,47 . 2 40,36 
Helgoland, Juli 3. 3 40 |—40 8,00 —30 26,84 3 
„ 2. 12 40 | 42 2,02 | 30 3,89 I— 0 20,34 |-18 48,39 |+16 -47,39 
Aug. 5. 148 | 43 18,11 | 29 4885| 1 10 | 19 26,77 | 17 37,50 
„11.13 9 | 48 85,77 | 9 3343| 1 3275| 19 4722| 18 130 
„ 30. 19 30 | 45 53,08 | 29 7,96 | 2 40,67 | 20 47,68 | 19 17,08 
Sept. 6. 3 6 | 46 31,56 | 28 58,94 | 3 455 | 21 6,56 | 19 43,80 
„7:84 | 46 38,72 | 28 56,71 | 
Altona, Aug. 6. 5 55 I—51 38,95 |—37 55,76 |— 9 28,50 +11 16,25 |+ 9 28,48 
„29.12 35 | 51 57,85 | 37 50,08 | 9.8881 | 11 27,76 |. 9 40,80 
„ 31. 9 57 | 54 10,33 | 37 21,30 | 10 56,68 | 123596 | 11 58 
Sept. 4.22 12 | 54 39,16 | 37 15,21 | 11 15,86 | 12 48,10 | 11 24,48 
Bremen, Aug.13. 0 2 |—47 50,65 |—833 16,49 — 5 23,37 +16 5,83 +14 21,86 
Ich setze die Rechnung für Breguet 3056 zur Probe her. Die 
Länge von Helgoland sei = 0, die von Greenwich —= — x, .die 


von Altona = + y; Bremen schliesse ich hier aus, da es ohnehin, 
weil nur einmal daselbst beobachtet ist, keine Controlle darbietet. 

Die Zeiten rechne ich von der ersten Vergleichung der eng- 
lischen Chronometer an (Greenwich, Jun. 30. 3" 22”). 


Chronometrische Längenbestimmungen. 149 


Ich finde so, indem ich einen fingirten BEROnOSnAleg vom 
Gange = 0 substituire, dessen Bun: 


9 
22,4 +  60,20° 
25,0 +1949,60 — x 
28,0 +190,837 — x 
32,9 +1950,29 — x 
35,9 + 59,08 
37,1 — 434,98 + 
40,4 — 433,49 + y 
42,4 + 59,88 
48,3 +199,60 — 
56,2 +1952,74 — a 
61,6 + 61,32 
62,2 °— 482,53 + 
66,8 — 434,98 + 
68,0 + 60,19. 
Die obigen Gleichungen fallen nun hier so aus, dass z und y 


gar nicht gemischt sind, wodurch die weitere Rechnung noch be- 
quemer wird. Wir haben nämlich für x vier Bestimmungen: 





+ 1889,40°; Gewicht _; — 0,98 





6 

200 >. en — 0,33 

+188972  , & — 0,17 

issue > en — 0,19 

. Also x = + 1890,36°; Gewicht == 1,07. 


Ebenso findet man 
y= +494,12°; Gewicht = 3,83. 


Substituirt man diese Werthe, so ist der Stand des fingirten Chro- 
nometers gegen Helgolander Zeit: 


4 2 
2,4) + 60,20° 2 
50| 594 s er 
2830| 6051 + Buy 
3229| 59,93 





150 Chronometrische Längenbestimmungen. 





DL FERRER 
32,9 | + 59,93° i 
3591 :: 5908 
i ; + 0,06 
37,1 59,14 1149 
40,4 60,63 075 
42,4 59,858 06 4 
48,3 59,24 E 941 4 
56,2 62,358 1.06 
61,6 61,32 22 027 
62,2 6159 9, 45 
66,8 59,14 r 1.05 
68,0 60,19 ; 
6,02 ä E 
Also S= 6,02, m = 1323: Hieraus der mittlere -zu befürch- 


tende Fehler bei &...0,75°, bei y...0,40°. 
Die sämmtlichen von mir berechneten 5 Chronometer geben: 








E. med. Gewicht. 
Breguet x —= 1890,36° 0,75° 1,78 
Kessels 1893,23 0,67 2,23 
Barraud 189,32 0,49 4,16 
Engl. 1 1892,39 0,43 5,41 

se 1892,52 0,35 816 
Mittel = = 189,35 21,74 
Breguet y = 494,12 0,40 6,25 
Kessels 493,89 0,36 7,12 
Barraud 493,67 0,26 14,79 
Engl. 1 493,98 0,29 11,89 
sk 494,16 0,24 17,36 
Mittel *y = 493,96 58,01 


Uebrigens ist zwar hier in die letzte Columne unter der Ueber- 


schrift Gewicht 





eeraen m.) gesetzt, also als Einheit die Genauig- 


keit verstanden, wo der mittlere zu befürchtende Fehler —= 1° ist, 
so dass also z. B. für Altona der mittlere zu befürchtende Fehler 
—— an — 0,13° wird; inzwischen wird es rathsamer sein, die 
Zahlen der letzten Columne bloss als Verhältnisszahlen zu betrach- 
ten, und die absolute Genauigkeit aus den Unterschieden der aus 











Chronometrische Längenbestimmungen. 151 


den einzelnen Chronometern für x und y% gefundenen Werthe von 
den Endresultaten abzuleiten. Inzwischen wird so die Genauigkeit 
des Endresultats noch immer etwas grösser scheinen, als sie wirklich 
ist, da die Zeitbestimmungen in Greenwich, Helgoland und Altona 
keine absolute Genauigkeit haben, und also offenbar, wenn die 
Anzahl der Chronometer auch noch so gross wäre, doch immer die 
aus jener Quelle entsprungenen Fehler in den Endresultaten nach- 
wirken müssen. 

Die Längenbestimmung von Bremen kann auf folgende Art 
gemacht werden. Setzt man die Länge —= z östlich von Helgoland, 
so. giebt die Vergleichung des Breguet’schen Chronometers den Stand 
des fingirten Uhronometers 





— 165,52° + z. 
Also 
aus der vorherg. Vergl. z = 225,40°; Gewicht = == DR 
en act.) Be er le e n 2 
225,24 0,9. 


Das Gewicht 0,9 ist noch mit en zu multipliciren, _ 
’ 


So geben die 5 Chronometer 


Gewicht. 
Breguet: | 225,24°| 1,5 
Kessels 225,84 1,9 
Barraud | 225,39 | 3,6 
Engl. 1 | 226,04 | 2,9 
siride 46294,86:| 4,8 
225,42 : 14,2. 


Allein die Länge von Bremen, die hiernach gegen Altona 268,54° 
westlich ausfällt, bleibt natürlich immer von der Zeitbestimmung 
in Bremen abhängig, und dieser Unterschied scheint mehrere Secun- 
den zu klein zu sein. Nach meinen Dreiecken ist der Ansgarius- 
thurm 273,51° in Zeit westlich von Göttingen, also Olbers’ Obser- 
vatorium 271,9°. 











VII 


Bestimmung des Breitenunterschiedes 
zwischen den Sternwarten von Göttingen und Altona 


durch Beobachtungen am Ramsden’schen Zenithsector. 
(1828). 


Einleitung. 


Durch die von mir in den Jahren 1821 bis 1824 durch das 
Königreich Hannover längs des Meridians von Göttingen geführte 
Dreieckskette sind die Sternwarten von Göttingen und Altona auf 
das genaueste trigonometrisch mit einander verbunden. Diese 
Messungen werden in Zukunft ausführlich bekannt gemacht werden: 
hier wird nur bemerkt, dass die absoluten Grössen auf der von 
‘ Herrn Prof. Schumacher in Holstein mit äusserster Schärfe ge- 
messenen Basis beruhen, mit welcher das Dreieckssystem durch 
die Seite Hamburg—Hohenhorn zusammenhängt; die Orientirung 
gründet sich auf die Beobachtungen am Göttinger Mittagsfernrohr, 
da die Sternwarte und das nördliche Meridianzeichen selbst Drei- 
eckspunkte sind. Die Sternwarten von Göttingen und Altona liegen 
durch ein merkwürdiges Spiel des Zufalls auf weniger als eine 
Hausbreite in einerlei Meridian. Obgleich die absoluten Polhöhen 
durch die Beobachtungen mit festen Meridianinstrumenten bestimmt 
sind, so war es doch wichtig, den Unterschied der Breiten noch 
auf eine andere Art mit einerlei Instrument zu bestimmen, und ich 
war so glücklich, dazu den trefflichen Ramsden’schen Zenithsector 
anwenden zu können, der bekanntlich zu ähnlichem Zweck bei der 
englischen Gradmessung gedient hat. Die damit im Frühjahr 1827 
von mir angestellten Beobachtungen und ihre Resultate sind der 
Hauptgegenstand dieser Schrift. 

Da die Beobachtungen mit- diesem Instrument, wenn viele 
Sterne in einer Reihe zu beobachten sind, nicht wohl ohne den 








Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 153 


Beistand eines geübten Gehülfen gemacht werden können, so hatte 
Herr Prof. Schumacher die Güte, den Herrn Ingenieur-Lieutenant 
v. Nehus, unter Genehmigung Sr. Majestät des Königs von Däne- 
mark, für die Beobachtungen an beiden Plätzen damit zu beauf- 
tragen. Dieser sehr geschickte Beobachter hat fortwährend die 
Ablesung der Mikrometerschraube und die Einstellung des Loth- 
fadens besörgt, während ich selbst die Antritte an die Meridian- 
fäden beobachtete, und den auf den Meridian senkrechten Faden 
auf die Sterne einstellte: nur in den beiden ersten Beobachtungs- 
nächten in Altona war jenes Geschäft von einem andern Gehülfen 
besorgt; allein diese Beobachtungen sind deshalb nicht mit aufge- 
nommen, zumal da die Erfahrung bestätigte, dass verschiedene 
Personen die Bisection der Punkte durch den Lothfaden ungleich 
schätzten. 
Das Instrument ist durch die ausführliche von Mudge gege- 
bene Beschreibung hinlänglich bekannt. In Göttingen konnte es 
in der Sternwarte selbst, unter dem östlichen Meridianspalt, auf- 
gestellt werden. In Altona war dies nicht thunlich; es wurde 
daher in dem Garten des Herrn Prof. Schumacher, in welchem die 
dortige Sternwarte selbst liegt, unter demselben Beobachtungszelte, 
welches Mudge in England gebraucht hat, aufgestellt. Die Soli- 
dität der Aufstellung, auf eingerammten Pfählen, liess nichts zu 
wünschen übrig: das Nivellement der Verticalaxe wurde täglich 
nachgesehen, und gewöhnlich fast nichts zu ändern gefunden; das- 
selbe gilt von der Horizontalaxe. 

Um die Ebene des Limbus in den Meridian zu bringen, wurde 
in Göttingen das südliche Meridianzeichen benutzt, welches zwar 
in dem Meridian des westlichen Spaltes steht, dessen Azimuth am 
Platze des Sectors sich aber mit grösster Schärfe berechnen liess. 
In Altona konnte ein ähnliches Mittel nicht angewandt werden; 
der Limbus wurde zuerst, mit Hülfe der Kenntniss der absoluten 
Zeit, vermittelst eines culminirenden Sterns sehr nahe in den Me- 
ridian gebracht; die Beobachtung mehrerer Sterne in der ganzen 
Ausdehnung des Limbus gab dann leicht die noch nöthige kleine 
Correction der Aufstellung. Da, wie schon erwähnt ist, von den 
am Sector eulminirenden Sternen in jeder Nacht auch die Antritte 
an die Meridianfäden beobachtet wurden, und die Rectascensionen 
der Sterne bekannt waren, so erhielt die richtige Aufstellung im 
Meridian dadurch eine fortwährende sichere Controlle, und nur 
einmal war eine unbedeutende Nachhülfe erforderlich. In der 


154 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 


Regel wurde von einer Nacht zur andern mit der Stellung des 
Limbus, östlich oder westlich, abgewechselt, und nur gegen den 
Schluss der Beobachtungen wurde, um die Anzahl der Beobacht- 
ungen auf beide Lagen ziemlich gleich zu vertheilen, von dieser 


Regel zuweilen abgewichen, und der Sector in einer Nacht ein- 


oder mehreremale umgewandt. 

Der Stand des Barometers und des inneren und äusseren 
Thermometers wurde in jeder Nacht wenigstens dreimal, zu Anfang, 
in der Mitte und am Schluss der Beobachtungen aufgezeichnet. 
Ebenso, nach dem Vorgang von Mudge, der Unterschied der 
Temperatur oben und unten am Sector, da deshalb der Limbus 
und der Radius in ungleichem Verhältnisse verändert werden. Dass 
übrigens jede andere durch die Einrichtung des Instruments vor- 
geschriebene Vorsicht sorgfältig beachtet ist, z. B. das Wasser- 


gefäss, in welches das Loth hängt, gehörig angefüllt zu erhalten, 


von der Mikrometerschraube, so viel thunlich, dieselben Gewinde 
spielen zu lassen u. dgl., ist wohl überflüssig, besonders zu bemerken. 
Die Einstellung des Lothfadens auf den oberen Punkt (das Centrum 
des Gradbogens) wurde bei der Beobachtung jedes Sternes von 
neuem unabhängig von der vorhergegangenen gemacht, und die 
Einstellung auf den nächsten Theilungspunkt (oder die beiden 
nächsten) wurde in der Regel mehreremale wiederholt, und aus 
den verschiedenen Ablesungen der Mikrometerschraube, die meistens 
auf wenige Decimaltheile der Secunde 'übereinstimmten, das Mittel 
genommen. 


l. Die beobachteten Sterne. 


Ich hatte zu Anfang 38 Sterne in schicklichen Lagen zur 
Beobachtung ausgewählt, denen ich gegen den Schluss der Beob- 
achtungen in Göttingen noch fünf andere beifügte, weil ich be- 
sorgte, dass durch ungünstiges Wetter der Schluss der Beobacht- 
ungen in Altona so weit verzögert werden könnte, dass ein be- 
trächtlicher Theil der ersten Sterne wegen der bei Tage eintre- 
tenden Culmination nicht oft genug würde beobachtet werden 
können. Diese Besorgniss bestätigte sich jedoch nur in geringem 
Grade, und nur ein einziger Stern ist in Altona bloss einseitig be- 
obachtet. Ich gebe hier die mittlere Stellung dieser Sterne auf 
den Anfang des Jahres 1827 reducirt: die Declinationen sind die 
Resultate, welche die Beobachtungen am Zenithsector selbst er- 
geben haben; die Rectascensionen, bei welchen für den gegen- 


% 


; 











Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 155 


wärtigen Zweck die allerschärfste Bestimmung unwesentlich ist, 
gründen sich meistens nur auf eine einmalige Beobachtung am 
Meridiankreise, deren Reduktion Herr von: Heiligenstein gefälligst 
berechnet hat. Der Bequemlichkeit wegen bezeichne ich die Sterne 
mit fortlaufenden Zahlen. No. 8, 13, 15 und 31 sind Doppelsterne; 
bei dem ersten ist immer der nachfolgende Stern, bei den beiden 
folgenden die Mitte eingestellt; bei No. 31 ist der Nebenstern so 
klein, dass er im Fernrohr des Sectors, selbst bei versuchsweise 
verdunkeltem Felde immer unsichtbar blieb, obgleich er von Herrn 
Prof. Schumacher im lichtstärkeren Fernrohr des Reichenbach’schen 
Meridiankreises sofort bemerkt wurde, ‘ohne dass uns damals be- 
kannt war, dass schon andere Astronomen diesen Doppelstern als 
solchen erkannt hatten. | 











Bezeichnung. G. Aufst. 1827. Declin. 1827. 
1| 24 Canum 13° 27° 22,39°| 49°. 54° 11,62” 
2| 83 Ursae 34 9,77 |. bb 83. 34,98 
3| n Ursae 40 42,86 | 50 10 46,20 
4| 86 Ursae 47 28,48 | 54 34 55,55 
5 — 50 45,55 | 55 2b 59,22 
6| P. 13. 289 55 19,44 | 46 35 39,14 
7\ 13 Bootis 14 1 49,03 | 50 16 43,44 
8 x DBootis seq. 7 16,93 | 52 36 7,47 
9| P. 14. 56 12. 5,9,\56 13 36,51 
10) © Bootis 19 18,40.) 52 39 12,05 
111 P. 14. 131 27 50,42 | 53 39. 33,02 
12| P. 14. 164 35 24,18 | 52 58 55,66 
13 | 39 Bootis med. 43 48,37 | 49 26 9,46 
14| P. 14. 235 50 38,71 | 50 20 22,49 
15 | 44 Bootis med. 58 5,30 | 48 19 52,47 
16 — 15 7.812149 13° 46,68 
i17P.. 10. 80 10 33,95 | 51 34 53,72 
18 —..., 15 0,5 | 52 35. 5,87 
19 _ 21 50,88 | 54 37 34,87 
20 _— 30 42,13 | 54 29 54,30 
21 — 38 9,07 | 52 54 37,09 
22 — 42 14,32 | 46 16 4,70 
23 —' 48 16,24 ' 56 20 27,00 




















156 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 











Bezeichnung. -G. Aufst. 1827. Deelin. 1827. 
24 — 15° 54” 10,23°| 50° 22° 39,41” 
25. © Draconis 58 3970159 1 47,14 
26 _ 16 4 24,06 | 50.38 13,12 
27| P. 16. 33 7 24,92 | 46 20 17,04 
= :7,40.50,. ° 11 34,31 | 53 40 13,41 
29 2 16. 219 | 52 27 11,06 
30 - 20 38,75 | 55 36 4,73 
3l e— I 26 34,90 | 45 58 5,85 
32| 16 Draconis . 32 042158 15 23,564 
33 = 31: 63,85 | 50 16 13,07 
34 == 42 151107 D 931,09 
35 — 45 2,26 | 46 56 48,53 
36 | P. 16. 253 49 21,51 | 46 49 22,01 
37| P. 16. 291 56 11,73 | 56 56 42,35 
38| P. 16. 310 17.0 1510 149 2 47,09 
391 :P. 17: 20 4 23,12 | 58 29 49,33 
40 P. 17. 38 8 1,46 | 56 52 21,74 
41 74 Herculis 15 28,30 | 46 24 52,90 
42| P. 17. 120 20 53,56] 57 10. 13,11 
43| # Draconis 26 31,90 | 52 25 57,91 




















‚14 Die Beobachtungen. 


Ein vollständiger Abdruck des Tagebuches in seiner ursprüng- 


lichen Gestalt, welcher die Stärke dieser Schrift mehr als verdoppelt 
haben würde, hat mir überflüssig geschienen: ich gebe daher die 
Beobachtungen sogleich nach den Sternen geordnet. 

Die erste Columne enthält die Zenithdistanzen, wie das In- 
strument sie gegeben hat, d. i. die blosse Reduktion der Ablesung. 
Nördliche Zenithdistanzen sind als positiv, südliche als negativ be- 
trachtet. 


Die zweite Columne giebt die Vereinigung der Refraction mit. 


der Wirkung der ungleichen Ausdehnung des Instruments wegen 
Ungleichheit der oberen und unteren Temperatur: die äussersten 
vorgekommenen Unterschiede waren + 1,2° Reaum. (das obere 


Thermometer höher), und —0,6°. Um ein reines Resultat zur . 


Beurtheilung der Uebereinstimmung der Beobachtungen unter sich 








| 


uch ii ee 


= 


4 


Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 157 


zu erhalten, habe ich die Mühe nicht gescheut, den Betrag für jede 
einzelne Beobachtung zu berechnen, wobei jedoch einige kleine sich 
leicht darbietende Rechnungsvortheile benutzt sind. 

Die dritte Columne enthält die Reduktion auf den mittleren 
Ort für den Anfang des Jahres wegen Aberration, Nutation und 
Praecession, wozu bei einigen Sternen noch die eigene Bewegung 
gesetzt ist; es ist nämlich die jährliche eigene Bewegung in De- 


. elination angenommen 


für 10... — 0,42” 
20. 2.08 
BE Se 


Bei den beiden ersten Sternen ist die eigene Bewegung längst ent- 
schieden; bei 37 zeigt sie sich durch Vergleichung mit Piazzi’s Be- 


‚stimmung so, dass, die Richtigkeit der letzteren vorausgesetzt, sie 


nicht bezweifelt werden kann*). Der Berechnung der Aberration, 
Nutation und Präcession liegen Baily’s schätzbare Tafeln zu Grunde, 
nach denen für jeden Stern eine Ephemeride von 10 zu 10 Tagen, 
unter Beihülfe der Hrn. v. Nehus und Petersen, berechnet, und in 
diese mit Berücksichtigung der zweiten Differenzen interpolirt 
wurde. 

Die vierte Columne enthält endlich die Summe der drei ersten, 
also die wahre nur noch mit dem Collimationsfehler behaftete Ze- 
nithdistanz für die mittlere Stellung zu Anfang des Jahres 1827, 
wie sie sich aus jeder einzelnen Beobachtung ergiebt. 





*) Die Richtigkeit von Piazzi’s Bestimmung dieses Sternes, auf 8 Beobacht- 
ungen gegründet, erhält durch die nahe Uebereinstimmung mit der Angabe der 
älteren Ausgabe seines Verzeichnisses von 1803, welche auf 6 Beobachtungen 
beruhte, eine Bestätigung; die genaue Grösse der eigenen Bewegung bleibt aber 
deswegen noch etwas ungewiss, weil das Jahr unbekannt ist, welches dem Mittel 
der Beobachtungen entspricht. Es ist merkwürdig, diese nicht unbeträchtliche 
eigene Bewegung bei einem Stern der 7. Grösse zu finden. Auch Nr. 11 scheint 
in dieser Beziehung die Aufmerksamkeit der Astronomen zu verdienen. 


158 


April 5. 
17. 


18. 
29. 


April 11. 
20. 

27. 

30. 

Mai 14. 


Juni 4, 


12.. 














Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 


#: 


—_ 1° 37 52,62” 


—1 3 


—3 35 


—3 38 


(24 Canum Venaticorum)*). 


Göttingen. -Limbus Ost. 






































— 1,66”| + 13,34” | — 137’ 40,94” 
47,75 | — 1,2 | + 10,12 39,25 
46,01 | — 161 | + 715 40,47 
44,57 | —1,61 | + 6,88 39,30 
Mittel aus 4 Beobachtungen —1 37 39,99 
Göttingen. Limbus West. 
43,60 | — 159 +11,75 | —1 37 33,44 
40,36 | — 162 | + 9,31 32,67 
3729 , —167 | + 7,41 31,55 
86,54 | —1,55 | + 6,62 31,77 
34,23 | — 1,60 | + 3,02 32,81 
Mittel aus 5 Beobachtungen — 1 37 32,45 
Altona. Limbus Ost. 
2977, —3,68 | — 153 |—3 38 34,98 
26,44 | — 3,58 | — 2,57 32,59 
28,52 | — 3,56 | — 2,73 34,81 
29,855 ı — 3,53 | — 3,03 36,41 
26,74 | — 3,44 | — 3,33 33,51 
Mittel aus 5 Beobachtungen —3 38 34,46 
Altona. Limbus West. | 
25,37 | — 3,69 | — 1,35 |—3 38 30,41 
25,44 | — 3,59 | — 1,89 30,92 
25,32 | — 3,60 | — 2,41 31,33 
26,07 | — 3,54 | — 2,89 32,50 

















Mittel aus 4 Beobachtungen — 3 38 31,29 


*) Die Resultate der Beobachtungen für die übrigen 42 Sterne-sind von 


Gauss selbst in derselben Form wie für 24 canum venaticorum gegeben, 


Da 


aber die Einzelresultate, speciell für den vorliegenden Zweck, ein besonderes In- 
teresse nicht mehr beanspruchen können, ihre Benutzung bei der Ableitung und 


Discussion der Endresultate auch fast gar nicht in Frage kommt, so haben wir: 


uns der Raumersparniss halber erlaubt, allein die Mittelwerthe der Zenithdistanzen 

-für die einzelnen Lagen des Limbus in Göttingen und Altona unter Angabe der 
Anzahl der einzelnen Beobachtungen in nachstehender Tabelle zusammenzustellen. 
D. H. 


aa a Ze a A 





a nun Du © 2 0. 
I Fun 
3 F 





























Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 159 
Lage Zenithdistanz Anzahl Zenithdistanz |Anzahl 
Nr. Stern. des in der in der 
Limb.| Göttingen. | Beob. Altona, Beob, 
2. | 83 Ursae majoris O0 144° 1’43,86”! 6 142° 0’ 49,04”| 6 
W |+4 1 50,74 7 +2 0 51,41 4 
3. | n Ursae majoris O0 \—1 21 5,00 6 ı—3 22 0,32 6 
W I|i-1 20 57,62 7 i—3 21 57,02 6 
4. | 86 Ursae majoris 0 I+3 83 3,52 6 |+1 2 10,52 6 
W |+3 3 11,04 6 +1 2 12,34 3 
d. — 0 I+3 54 7,57 6 — BERN 
W |+3 54 15,03 6 I+1 53 16,15 2 
6. | Piazzi 13. 289 0 I—4 56 11,92 6 I—6 57 8,63 2 
W 4 56 4,99 6 1-6 57 3,92 4 
‚7. | 13 Bootis 0 I—1 15 876| 6 |-3 16 246 | 6 
‚ W Ii-1 15 0,56 6 I—3 15 59,08 5 
8. | x Bootis sequ. O |+1 4 15,23 7 |—0 56 37,59 6 
W I+1 4 23,43 7 1-0 56 35,80 6 
9. | Piazzi 14. 56 0 |+4 41 4477| 7 |+2 40 5046 | 4 
i W I+4 41 52,26 6. +2 40 54,44 2 
10. | © Bootis O0 +1 7 19,66 7 1-0 53 33,07 6 
W .i+1 7 27,64 7 \—0 53 30,55 6 
11. | Piazzi 14. 131 0 |+2 7 41,46 6 I+0 6 47,92 ) 
W |4+2 7 47,83 7 +0 6 50,69 4 
12. | Piazzi 14. 164 ) +1 27 4,50 6 ı—0 33 49,36 ) 
 W +1 27 10,63 7 :I—0 33 47,62 4. 
13. | 39 Bootis med. 0 I—2 5 41,35 6 4 6 37,71 5 
Ww 0 34,40 6 I—4 6 33,62 5 
14. | Piazzi 14. 235 0 1 11 23879| 7 |—3 12 3362| 6 
Ww I-1 11 21,46 6 |—3 12 21,03 5 
15. | 44 Bootis med, O0 |—3 11 59,25 6 |I—5 12 53,39 6 
w I-3 11 51,50 | 6 |—5 12 50,68 | 5 
16. —_ 0 |—2 18 5,07 5 |—4 18 5919| 5 
w I-2 17 5808| 5 |-4 18 55,64 | 5 
17. | Piazzi 15. 39 O0 |i+0 3 1,98 7 |—1 57 51,14 6 
W i+0 3 9,04 7? I—1 57 49,67 5 
18. = 0O I+1 3 1396 | 6 1-0 57 38,86 | 6 
w [+1 3 21,22 7 |—0 57 37,51 5 
19. = 0 +3 5 43,51 5 i+1 4 4915| 6 
w |I+3 5 5085| 7 |+1 4 5191| 5 























160 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 
Lage | Zenithdistanz |Anzalil| Zenithdistanz Anzahl 
Nr. Stern. des in der in der 
Limb.| Göttingen. | Beob, Altona. Beob. 
». du 0 I+2°58'° 2,56“) 5 I+0°57’ 9,14) 6 
w +2 58 9881| 6 |+0 57 1082| 5 
21. = oO |+41 2 5,19] A I—-0 38 810| 6 
.W |+1 2 ©08| 6 |-o 38 558 | 6 
m. Ss 0 |I-5 15 4621| 4 |-7 16 2,67 | 6 
Ww |-5 15 0,01 | 6 |-7 16 36,74 | 6 
23, rs, oO |+4 a8 sa52| 5 |+2 a7 a1.B5| 6 
Ww +4 48 4351 | 6 |+2 47 43,9 | 6 
24. S 0 I-1:9 9234| 5 3 10 685| 6 
wer EEE 
25. | ® Draconis oO |+7 29 5543| 6 |+5 9 178| 6. 
w |+7 303201 6 |+5%9 3431| 6 
26. Ei 0 |-0 53 37,66| 6 |I-2 54 3276| 6 
w |-0 53 3058 | 6 |-2 54 31,4 | 6 
27. | Piazzi 16. 33 oO |I-5 1 3a78| 2 7 2 99| 5 
wW|-5 1390| 2 | 292 55| 3 
28. | Piazzi 16. 56 oO |+2 8 9219| 5 |+0 7811| 6 
w|i+2 8872| 6 |+0 7 3001| 6 
29. > 0: +0 55 1858| 3 I-1 5 3418| 6 
w |+0 55 2637| 3 1 5 31,8 | 6 
30. & 0 |+4 4 1232| 6 |+2 3 1870| 6 
w |+4 4 2131| 5 |+2 3 211] 6 
31. fe 0 5 3 46,4 | 6 |-7 34 4056 | 6 
Ww |-5 3 37,201 5 |-7 3 3710| 6 
32, | 16 Draconis 0O i+1 43 3210| 6 |-0 17 4155| 6 
w |i+1 43 1861| 6 |-0 17 39,9| 6 
33. 20 0:11 :15:987.92)-5 8 16.81.74. | 5 
Ww Ii-1 15 308 | 6 |-3 169,53 | 6 
3A. > 0 |+5 33 4568| 6 |43 32 51,385 | 6 
W |+5 33 54,80 | 6 |+3 32 54,68| 6 
35. > Oo I 35 8383| 5 I-6 35 57,04 | 5 
w i—-4 34 5600| 5 |-6 35 54,30 | 5 
36. | Piazzi 16. 253 oO | 2 9831| 6 |-6 3 a1 5 
W |-4 42 2113| 6 |-6 43 2161| 5 
37. | Piazzi 16. 291 0 |+5 24 5078| 6 |+3 383 5560| 5 
Ww- |+5 24 5873| 6 |+3 23.5942] 6 























R 
; 


























Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 161 
\ 
Lage | Zenithdistanz |Anzahl| Zenithdistanz Anzahl 
Nr. Stern. des in der in der 
Limb. | Göttingen. | Beob. Altona. Beob. 
38. | Piazzi 16. 310 0 1—2°29' 4,29") 6 |—4° 29’ 58,97”| 5 
W I-—2 28 57,26 6 I—4 29 55,84 5 
39. | Piazzi 17. 20 OÖ +6 57 58,55 1 +4 57 2,69 4 
W |+6 58 6,88 3 +4 57 5,60 4 
40. | Piazzi 17. 38 OO |+4+5 0 28,25 2 143 19 36,52 3 
w I+5 20 3833| 3 I+3 19 38,56 | 3 
| 41. | 74 Herculis 0 I—-5 6 58,39 2 7 7 53,30 5 
Bes | wi 6517| 3 |7 7 99|-5 
42. | Piazzi 17. 120 OO |+5 38 21,52 2 +3 37 26,27 5 
W I+5 38 29,20 2 +3 37 31,18 4 
43. | £ Draconis 0 I+0 54 5,81 2 I—1 6 47,62 5 
W I+0 54 14,61 2 - 6 45,60 5 
































IlI. Resultate. 


1. 


Die kunstloseste Combination der Beobachtungen zu einem 
Resultate für den Breitenunterschied der Beobachtungsplätze besteht 
darin, jeden Stern für sich zu betrachten. Ist, bei resp. östlicher 
und westlicher Lage des Limbus, die beobachtete Zenithdistanz in 
Göttingen a und a’, in Altona b und db’, so wird der Breitenunter- 
schied = (a +a)—4(b +5). Man bekommt daher so viele 
Resultate, als Sterne vollständig beobachtet sind; für unsere Beobacht- 
ungen 42, da nur Nr. 5, als in Altona einseitig beobachtet, ausfällt. 

Wären die Beobachtungen, auf welchen die Bestimmungen 
a, a, b, b’ beruhen für alle Sterne gleich zahlreich, so würden alle 
einzelnen Resultate für den Breitenunterschied für gleich zuver- 
lässig zu halten, und daher das einfache arithmetische Mittel das 
wahrscheinlichste Endresultat sein.° Bei unseren Beobachtungen 
findet jene Voraussetzung nicht statt, und es muss daher den Re- 
sultaten nach Maassgabe der Anzahl der Beobachtungen ein un- 
gleiches Gewicht beigelegt werden. 

Wenn man sich erlaubt, die Fehler aller einzelnen Beobacht- 
ungen als unabhängig von einander zu betrachten, das Gewicht 
einer einzelnen Beobachtung als Einheit annimmt, und die Anzahl 

Gauss, Methode der kleinsten Quadrate, 11 


162 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 


der Beobachtungen, welche zu den Bestimmungen a, a’, b, b’ con- 
currirt haben, durch «, «’, $, 8’, bezeichnet, so wird, nach bekannten 
Gründen, das Gewicht des Resultats 4a + 3a — 4b — }b’ durch 


4 
SR | 1 1 
ae er 


ausgedrückt werden. Unsere 42 Resultate mit ihren Gewichten 
sind hiernach folgende: 



































Stern. | Breitenunterschied. | Gewicht. | Stern. | Breitenunterschied. | Gewicht. 
1: 1::2%. 056,65” 1 644:5:28.1:72%.0° 56,45 185,71 
2 57,07 5,51 | 24 56,58 | 571 
3 57,36 622 | 3 56,71 " 6,00 
4 55,85 4,80 | 26 57,88 | 6,00 
6 | 57,81 3,69 | 27 5717 1 261 
7 56,11 5,71 | 28 5639 | 5,71 
8 56,03 6,46 | 29 55,51 | 4,00 
g 56,07 3,78 | 30 56,37 | 571 
10 55,46 646 | 31 5741 1571 
11 55,35 5,27 | 32 55,78 | 6,00 
12 56,05 | 597 | 33 56,31 | 5,45 
13 57,78 545 | 34 5719 | 6,00 
14 57,19 5,92 | 35 | 56,06 | 5,00 
15 56,65 5,71 36 57,48 5,45 
16 55,85 5,00 | 37 6724 :| 571. 
17 55,92 6,13 | 38 56,62 | 5,45 
18 55,78 5,92 39 58,51 2,18 
19 5640 | 5,64 | 40 55,75 | 2,67 
ea a 1 545 | 41 56,61 . | 3,24 
21 55,48 5,33 | 42 56,64 | 2,76 
22 56,59 | 5,33 | 48 56,82 | 2,86 














Das Mittel aus diesen 42 Bestimmungen, mit Rücksicht auf 
die Ungleichheit der Gewichte, findet sich 


2° 0’ 56,52” 
und das Gewicht dieses Resultats = 213,41. 





Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 163 


2. 


Wenn n verschiedene Bestimmungen einer Grösse die Werthe 
A, A’, A” etc. mit den Gewichten », »’, »” ete. gegeben haben, 
A* den mit Rücksicht auf die Gewichte genommenen Mittelwerth, 
und M die Summe 


p(A— A*)? + p’(A’— A*)? +9” (A’— A*) + etc. 


bedeuten, so wird in Folge des allgemeineren Lehrsatzes in der 
Theoria Combinationis Observationum, Art. 38., 


RR 
n—1 
einen genäherten Wertli des mittleren Fehlers einer Beobachtung 
derselben Art, deren Gewicht = 1 ist, geben. Die Anwendung 
dieser Vorschrift auf unseren Fall giebt M = 103,4126, und damit 
den mittleren Fehler einer Beobachtung 
103,41 
41 
Den mittleren in unserem Resultat für den Breitenunterschied 
zu befürchtenden Fehler erhält man, wenn man den mittleren Fehler 


einer Beobachtung mit der Quadratwurzel aus dem Gewicht jenes 
Resultats dividirt; aus obigem Werthe folgt er demnach = 0,1087”. 





3. 
Der Collimationsfehler des Instruments ergiebt sich aus den 
Beobachtungen eines jeden Sternes in Göttingen = 3 (a — a) mit 
dem Gewicht a und in Altona = }(b’ —b) mit dem Gewicht 


isßR... Folgende Tafel enthält diese Werthe. 























P+P 
Step, Öttingen. Altona. | Göttingen. | Altona. 
Coll. F.| Gew. Coll. F.| Gew. ‚Coll. F.| Gew. | Coll. F.| Gew. 
IN anead | | 
1| 3,77”| 8,89 1,58”) 8,89| 6 | 3,46” 12,00, 2,35”) 5,33 
2| 344 12,92| 1,19 | 9,60| 7 4,10 | 12,00 1,69 | 10,91 
3 | 3,69 12,92 1,65 '12,00| 8 4,10 | 14,00 0,90 | 12,00 
4 | 3,76 |12,00| 0,91 | 8,00] 9 3,75 12,92) 1,99 | 4,00 
5| 8,73 112,001 — | — | 10 8,99 | 14,00] 1,26 | 12,00 























11* 


164 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 





Göttingen. Altona. Göttingen. Altona. 


Stern. 
'Coll. F. | Gew. | Coll. F.| Gew. Coll.F.| Gew. |Coll.F.| Gew. 


| 


Stern. 





12 | 3,06 12,92) 0,87 | 8,89 | 29 | 3,89 | 6,00) 1,15 | 12,00 


14 | 8,67 |12,92\ 1,30 10,91] 31 | 4,52 |10,91| 1,73 | 12,00 
15 | 3,87 12,00 1,36 '10,91| 32 | 3,26 | 12,00) 1,13 | 12,00 
16 | 3,50 | 10,00 1,77 10,001 33 | 3,49 |10,91| 1,11 10,91 
17 | 3,53 |14,00| 0,74 |10,91| 34 | 4,58 | 12,00 | 1,66 | 12,00 
18 | 3,63 12,92 0,68 10,91| 35 | 3,61 | 10,00 1,37 | 10,00 
19 | 3,42 | 11,67 1,38 |10,91| 36 | 4,33 | 12,00 1,84 | 10,00 
20 \ 8,66 | 10,91 0,84 |10,91| 37 | 3,97 | 12,00 1,91 | 10,91 
21, 3,45 ı 9,60 1,26 |12,00| 38 | 3,52 | 12,00 | 1,56 | 10,00 
22, 3,10 , 9,60 2,96 |12,00| 39 | 4,16 | 3,00. 1,45 , 8,00 
23 | 4,49 110,91 1,42 |12,00| 40 | 5,04 | 4,80 1,02 | 6,00 
24 3,93 |10,91\ 1,21 |12,00| 41 | 3,46 | 4,80 1,75 | 10,00 
25 | 3,88 | 12,00 0,83 |12,00| 42 | 3,84 | 4,001 2,45 | 8,89 
26 ı 3,54 | 12,00 0,76 |12,00| 483 | 4,40 | 4,00 1,01 | 10,00 
27 | 4,44 | 4,00 1,97 | 7,50 















































Die Mittelwerthe sind folgende: 


Collimationsfehler in Göttingen . 3,75” mit dem Gewicht 455,17 
Collimationsfehler in Altona . . 1,40 mit dem Gewicht 432,18. 


Die Realität der Veränderung des Collimationsfehlers ist 
offenbar, und es leidet keinen Zweifel, dass dieselbe auf dem ob- 
wohl mit aller möglichen Vorsicht geleiteten Transport eingetreten ist. 


4. 


Obgleich man sich bei dem für den Breitenunterschied ge- 
fundenen Resultate vollkommen beruhigen kann, so ist es doch 
wenigstens in theoretischer Rücksicht nicht überflüssig zu bemerken, 
dass die im 1. Art. angewandte Combination der Beobachtungen 
noch nicht die möglich vortheilhafteste ist, insofern nicht an jedem 
Ort jeder Stern in der einen Lage des Sectors eben so oft beob- 
achtet ist, wie in der andern. In der That hat die Bestimmung 
der wahren Zenithdistanz in Göttingen durch die Formel $ (a + «) 


11 , 3,19”| 12,92 1,39”) 8,89] 28 | 3,97”| 10,91 | 0,95”| 12,00 | 


13 | 3,48 | 12,00) 2,04 |10,00| 30 | 4,54 | 10,91 | 1,70 |13,00| 


En nnd u a nn Din 





Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 165 


’ 


das Gewicht en wäre nun der Collimationsfehler in Göttingen 


genau bekannt und — /, so würde die Bestimmung der wahren 
Zenithdistanz daselbst durch die Formel 


e(a+f)te(@—f) 








a+ a 
ET hen dt einerd 
Te ie Be ET 


als nach der anderen Methode, so oft « und «@’ ungleich sind. Eben- 
so verhält es sich mit der wahren Zenithdistanz in Altona, und 
auf diese Art würden selbst einseitige Beobachtungen (wie die von 
Nr. 5) einen, wenn auch nur geringen, Beitrag zur Vergrösserung 
der Genauigkeit geben. Nun sind zwar die Collimationsfehler an 
beiden Plätzen nicht mit absoluter Schärfe bekannt: allein man 
überzeugt sich leicht, dass die Anwendung der für dieselben ge- 
fundenen Mittelwerthe das Gewicht nur ganz unbedeutend ver- 
mindert. 


5. 


Will man jedoch ein reines, den Forderungen der strengen 
Theorie ganz Genüge leistendes Resultat erhalten, so muss man 
die Bestimmung des Breitenunterschiedes, der Collimationsfehler, 
und der wahren Zenithdistanzen der einzelnen Sterne an dem einen 


Ort als ein Problem behandeln, wo diese unbekannten Grössen (in 


unserem Fall 46 an der Zahl) aus den sämmtlichen durch sie be- 
stimmten beobachteten Grössen (171) durch eben so viele Gleichungen 
abgeleitet werden müssen, indem diese nach den Vorschriften der 
Wahrscheinlichkeitsrechnung combinirt werden. Setzt man die 
Collimationsfehler in Göttingen und Altona —= / und g, den Breiten- 
unterschied — A, die wahre Zenithdistanz eines Sterns in Göttingen 
— %k, so hat man aus den Beobachtungen dieses Sternes die vier 
Gleichungen, mit den Gewichten «, «', ß, $': 


a=k—f 
da=k+f 
b=k—g—h 
”’=k+g—h 


Es ist kaum nöthig zu erinnern, dass es zur Erleichterung 


der Rechnung vortheilhafter ist, anstatt jener unbekannten Grössen, 


die noch erforderlichen Correctionen einzuführen, welche an die 


166 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 


schon sehr nahe bestimmten Werthe anzubringen sind; lassen wir 
die Zeichen f’, 9°, h’, k’ diese genäherten Werthe bedeuten, so 

mag man annehmen 
Ra +L I) He) HEFTE FEI HP VE SFR) 
5 e+a@+pß+P ® 

Bei Befolgung jener Vorschrift (welche man bei Anwendung 
der Methode der kleinsten Quadrate auf nur etwas zusammenge- 
setzte Fälle niemals aus den Augen setzen sollte) und dem Ge- 
brauch einer schicklichen indirekten Auflösungsmethode ver- 
wandelt sich eine Arbeit, die ohne jene und bei direkter Elimination 
unerträglich weitläufig ausfällt, in ein leichtes Spiel. 


6. 
Der Erfolg dieser Rechnung, welche ausführlich herzusetzen 
unnöthig wäre, ist, dass die früheren Bestimmungen gar keine 
merkliche Correction erhalten. Es findet sich die Verbesserung 


Ik’ 





des Breitenunterschiedes —= — 0,014”, die Verbesserung des Colli- 
mationsfehlers in Göttingen = + 0,012”, die Verbesserung des 
Collimationsfehlers in Altona = — 0,014”; folglich die neuen Be- 
stimmungen 

Breitenunterschied . . . . ... 2° 0’ 56,51”, Gewicht = 217,67 
Collimationsfehler in Göttingen. . . . 3,76 s 457,03 
Collimationsfehler in Altona . . . „ . 1,39 ö 437,64 . 


Die Veränderungen der nach der Vorschrift des vorhergehenden 
Artikels zu Grunde gelegten wahren Zenithdistanzen der einzelnen 
Sterne in Göttingen sind gleichfalls fast alle unter 0,01”. Die sich 
ergebenden Werthe hier anzuführen, wäre überflüssig, da es die- 
selben sind, aus welchen die oben mitgetheilten Declinationen der 
Sterne unter Voraussetzung der Polhöhe des Beobachtungsplatzes 
51° 31° 47,92” abgeleitet sind. Dagegen setzen wir die Unter- 
schiede hier her, welche nach Substitution der gefundenen Werthe 
in den 171 Gleichungen übrig bleiben. 





Unter- 
schied. 


Unter- 
schied. 


Unter- 
schied. 


Unter- 


Stern. schied. 


Stern. Stern. Stern. 


ı !+o0”| 2 | +056| 3 | zo] 4 | os 
+ 0,09 0,08 +0,34 0,85 
0,26 012 _. 0,70 +0,79 
1.013 0,53 0,18 0,17 



















































































Breitenunterschied zwischen Göttingen und- Altona. 167 
2 fee | soniea, [Stern | schien. |Sterm| achieg, [Stern | Ahlen 
5 | +0,09”| 14 | +0,40”| 23 | —0,80”| 32 | +0,14” |: 
; — 0,03 + 0,21 + 0,67 — 0,87 
1 Be — 0,29 — 0,03 + 0,63 
5 — 0,03 — 0,48 + 0,083 +0,11 
6 +0862| 15 | —004 | 24 | —0,17| 33 | + 0,19 
: + 0,03 + 0,19 + 0,18 — 0,35 
; 198 — 0,04 + 0,16 +0,41 
— 0,02 tt — 0,20 — 0,16 
71-052 1:16 1--0,07 | 25 | — 0,08 | 34 | — 0,48 
i + 0,16 — 0,60 + 0,22 +17 
— 0,08 — 0,05 + 0,46 0,62 
+ 0,52 + 0,72 — 0,67 — 0,07 
i 8 —056 | 17 | —0,06 | 26 | +0,90 | 35 | — 0,08 
+ 0,12 — 0,52 + 0,46 — 0,37 
} + 0,76 + 0,96 — 0,06 + 0,25 
— 0,23 — 0,35 #41;82 + 0,21 
| Ge 09 01 36 
— 0,09 — 0,49 a 1. | +1,02 
— 0,23 + 1,09 0m | — 0,47 
+ 0,97 — 0,34 + 0,46 | — 0,58 
10 !—071! 19 | +032 | 38 | +0,46 | 37 | +0,11 
023 — 0,36 — 0,53 | + 0,54 
+ 0,70 + 0,10 + 0,52 | — 0,93 
+ 0,44 + 0,08 — 0,36 +0,11 
11 1 +012 1 20 | = 0061 29 | --.0,80 | 38 | +0,80 
— 1,03 — 0,26 — 0,58 — 0,19 
+ 0,72 + 0,66 + 0,58 — 0,24 
+0,71 — 0,44 + 0,10 +0,11 
12105921:21 |-- 022 7.30 | —0,88.5:39 | +0,% 
087 — 0,85 + 0,74 LT 
+ 0,80 + 0,63 09 — 0,82 
— 0,24 + 0,37 + 0,42 — 0,69 
131 +087 | 22 | +0,77 | 31 | — 041 | 40 | — 181 
+ 0,30 — 0,55 + 0,75 
+ 1.86: — 1,55 — 0,59 + 0,60 
— 0,04 + 1,60 + 0,09 — 0,14 

















168 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 


” 





Unter- Unter- 


Unter- 
Stern. Schiad Stern. ee Stern. 


schied. 





41 | +0,9”| 42 | +0,09”| 43 | 0,42” 


























—0,21 +0,85 + 0,86 

— 0,38 — 1,02 + 0,29 

+ 0,35 +11 047 
T, 


Die Summe der Produkte aus den Quadraten dieser 171 Unter- 
schiede in die entsprechende Anzahl der Beobachtungen findet sich 
— 292,8249. Nach dem bereits angeführten Lehrsatz (Theoria 
Comb. Observ. Art. 38.) hat man als genäherten Werth des mittleren 
Fehlers einer einfachen Beobachtung die Quadratwurzel aus dem 
Bruch zu betrachten, dessen Zähler jene Summe, und der Nenner 
der Ueberschuss der Anzahl der verglichenen Beobachtungsdata 
über die Anzahl der nach der Methode der kleinsten Quadrate da- 
raus abgeleiteten unbekannten Grössen ist, in unserem Falle 
171— 46 = 125. Es findet sich hieraus jener mittlere Fehler 
— 1,5308”, wenig von dem im 2. Art. gefundenen verschieden. 
Der mittlere in dem Endresultate für den Breitenunterschied zu be- 
fürchtende Fehler würde demnach sein 


1,5308” 
= y217,67 








— 0,1038”. 


8. 


Bei den bisherigen Rechnungen ist vorausgesetzt, dass alle 
den verschiedenen Beobachtungen anhängenden Fehler als völlig 
unabhängig von einander oder als rein zufällig betrachtet werden 
können. Diese Voraussetzung aber ist offenbar nicht ganz richtig, 
indem alle « Beobachtungen, welche zu der Bestimmung eines «a 
coneurrirt haben, nach der Natur des Instrumentes sich auf einen 
und denselben Theilungspunkt beziehen, und also ausser den eigent- 
lichen rein zufälligen Beobachtungsfehlern noch den Fehler der 
Theilung bei diesem Punkte involviren. Dasselbe gilt von a’, b 
und 5’. Die Theilungsfehler sind ihrerseits unbekannte Grössen, 
die in Beziehung auf die einzelnen 171 Beobachtungsresultate auch 
als rein zufällig und von einander unabhängig betrachtet werden 


tändüee ya. 


Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 169 


mögen, da man die Fälle, wo verschiedene derselben sich auf einerlei 
Theilungspunkt bezogen haben, ihrer geringen Anzahl wegen igno- 
riren kann. Die Berücksichtigung dieses Umstandes macht. nun 
eine Modification obiger Rechnungen nothwendig, obwohl am Ende 
in praktischer Rücksicht die Resultate gar nicht geändert werden. 


Bezeichnet man den eigentlichen mittleren Beobachtungsfehler, 
der nur von zufälligen Ursachen mit Ausschluss der Theilungs- 
fehler herrührt, mit », und den mittleren Theilungsfehler mit «, 
so wird der vollständige mittlere Beobachtungsfehler — Ym?’-+ u‘ 
zu setzen sein, und der mittlere Fehler eines Mittels aus « Beob- 
achtungen, die sich auf einerlei Theilungspunkt beziehen, 


m“ ER 
a FD — 2 
. ru, 


oder wenn wir u” —= m’® setzen, 


ge 
a. v- +09. 
Insofern wir also das Gewicht einer Beobachtung, ohne 


Theilungsfehler, zur Einheit annehmen, wird das Gewicht von 
a nunmehr 





BER & 

.T+00 
- sein, und ebenso die Gewichte von a’, b, b’ bezw. 
_. a ß P 
1+«0’ 1+ß90’ 1+P0' 





Bei der ersteren Combinationsmethode wird man daher das 
- Gewicht des Resultates für den Breitenunterschied aus den Beob- 
achtungen eines Sternes, wenn man den vorigen Ausdruck 








= u 
1 1 1 SB 
Steh 
setzt, jetzt 
ER 2aide 
 1+p»® 


zu setzen, und nach Maassgabe dieser Gewichte aus den 42 Be- 
stimmungen das Mittel zu nehmen haben.- Bei der zweiten Com- 
binationsmethode hingegen hat man nur jeder der 171 Gleichungen 





170 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 


ein Gewicht beizulegen, welches durch eine der Formeln ee ö 
etc. bestimmt wird. 

Offenbar kann eine Veränderung des Endresultates selbst so- 
wohl, als des mittleren in demselben zu befürchtenden Fehlers nur 
dadurch eintreten, dass die neuen Gewichte den früheren nicht 
proportional sind. Bei der vorigen Methode waren nur die Re- 
sultate der zahlreicheren Beobachtungsreihen etwas zu viel bevor- 
zugt; die Berücksichtigung der Theilungsfehler bringt ihre Gewichte 
der Gleichheit näher, desto mehr, je grösser die Theilungsfehler 
vorausgesetzt werden, so dass bei Beobachtungen mit einem In- 
strumente, wo die Theilungsfehler die eigentlichen Beobachtungs- 
fehler sehr weit überwögen, man sich nur begnügen könnte, alle 
Bestimmungen als gleich zuverlässig zu betrachten. 


I. 


Die angezeigten Methoden haben also gar keine Schwierigkeit, 
sobald nur der Coefficient © bekannt ist. ‘Man kann zu einer ge- 
näherten Kenntniss desselben, auf welche es hier begreiflich nur 
ankommt, auf einem indirekten Wege gelangen. 

Wir bemerken zuvörderst, dass die Beobachtungen selbst ein 
Mittel darbieten, den eigentlichen mittleren Beobachtungsfehler m 
mit sehr grosser Zuverlässigkeit zu bestimmen. In der That macht 
sich derselbe unabhängig von dem Theilungsfehler in den Unter- 
schieden der einzelnen Werthe, aus denen jedes a (oder a’, b, Ö’) 
das Mittel ist, von einander oder von diesem Mittel, bemerkbar, 
und wenn « sehr gross wäre, so würde die Summe der Quadrate 
dieser Unterschiede der einzelnen Werthe von a vom Mittel als 
eine genäherte Bestimmung von (« — 1) m” anzusehen sein. Eine 
solche einzelne Bestimmung kann nun zwar in unserem Fall, wo « 

«nie grösser als 7 ist, von dem richtigen Werthe sehr abweichen; 


allein die Summe aller 171 partiellen Summen (für alle a, a,b, _ 


und für alle Sterne) muss nach den Grundsätzen der Wahrschein- 
lichkeitsrechnung von 


 Fa@—-D+F@—- H+r@—-D+F@— 1m, 


in unserem Fall von 728m’, wenig verschieden sein. Wir haben 
jene Summe der 171 partiellen Summen 


—= 844,50 


AR a BEL a EEE 4 „> 





u N 2 Ba21E > 2 aaa EN a Sn Bu En 


Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 171 


gefunden, woraus sich für m der sehr zuverlässige Werth 
= 1,0770” 


ergiebt, bedeutend kleiner als der im 2. und 7. Artikel gefundene. 
Es bestätigt sich also die Einwirkung der Theilungsfehler voll- 
kommen, um derentwillen die früher herausgebrachten Zahlen kein 
reines Resultat geben konnten, 


10. 


In Ermangelung einer direkten Kenntniss des mittleren Thei- 
lungsfehlers kann man nun © auf eine indirekte Art so bestimmen, 
dass beim Gebrauch der ersten Methode nach dem Verfahren des 
Art. 2., oder beim Gebrauch der zweiten Methode nach dem Ver- 
fahren des Art. 7., der mittlere Fehler einer Beobachtung, deren 
Gewicht als Einheit angenommen war, wiederum dem gefundenen 
Werthe von m gleich wird. 

Es hat indessen nicht belohnend genug geschienen, solche 
Versuche so lange zu wiederholen, bis eine vollkommene Ueberein- 
stimmung erreicht wäre. Vielmehr schien es hinreichend, nachdem 
durch anderweitige Betrachtungen erkannt war, dass der letzte 
Werth von © nur wenig von 0,2 verschieden ausfallen könnte, 
diesen Werth bloss der ersten Combinationsmethode unterzulegen, 
woraus sich dann ergeben hat 


Breitenunterschied . . . . . . = 2° 0 56,50” 
Gewicht dieser Bestimmung. . = 104,29 


Mittlerer Fehler einer Beobachtung, deren Gewicht 
die Einheit. .. .— 1,131”, 


und daher der mittlere in obigem Endresultate zu befürchtende 
Fehler 


= 0,1108”. 


Die Anwendung der zweiten Combinationsmethode, mit dem- 
selben Werthe von ©, würde vermuthlich eine noch nähere Ueber- 


-  einstimmung mit obigem Werthe von m hervorgebracht, das End- 


resultat für den Breitenunterschied vielleicht um 0,01” vermindert, 
das Gewicht dieser Bestimmung gewiss etwas weniges vergrössert 
haben; es wurde aber der Mühe nicht werth gehalten, deshalb 
diese Rechnung von neuem durchzuführen. Man kann sich also an 


172 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona, 


den gefundenen Breitenunterschied 2° 0’ 56,50” halten, und dessen 
Fehler als wahrscheinlich zwischen den Grenzen + 0,07” enthalten 
ansehen. 

11: 


Wenn wir den obigen Werth von © beibehalten, so ergiebt 


sich der mittlere Theilungsfehler = m Y® = 0,48”, daher der so- 
genannte wahrscheinliche Theilungsfehler der einzelnen Punkte 
— 0,32” gesetzt werden mag. Offenbar bezieht sich dies aber nur 
auf die unregelmässigen Theilungsfehler, oder auf die Abweichungen 
der einzelnen Punkte von einer fingirten sich diesen so genau wie 
möglich anschliessenden gleichförmigen Theilung, deren absolute 
Richtigkeit hierbei eigentlich gar nicht in Frage kommen Konnte. 
Oder mit anderen Worten, das gefundene Resultat für den Breiten- 
unterschied mit der ihm beigelegten Genauigkeit bezieht sich, streng 
genommen, nur auf mittlere Sectorgrade, und bleibt von der abso- 
luten Richtigkeit derselben abhängig. Dem Astronomen bietet das 
Instrument gar kein selbständiges Mittel dar, diese zu prüfen. 
Wenn man indessen erwägt, dass die Endpunkte des Bogens von 
dem Künstler mit äusserster Sorgfalt niedergelegt sind, und dass 
hier nur von einem kleinen Theile des ganzen Bogens die Rede 
ist, so wird man zugeben müssen, dass die Unsicherheit des ge- 
fundenen Breitenunterschiedes aus dieser Quelle nur um ein sehr 
Geringes vergrössert werden kann. Eine Controlle für die absolute 
Richtigkeit der Theilung geben übrigens auch die von mir am 
Reichenbach’schen Meridiankreise beobachteten Zenithdistanzen der- 
selben 43 Sterne, deren Unterschiede von den am Sector beobachteten, 
bei einer Anordnung nach den Declinationen, keine Spur von Regel- 
mässigkeit zeigen. 
12. 

Der Platz des Mittelpunkts des Sectors in Göttingen war 
1,060 Toisen nördlich und 7,595 Toisen östlich vom Centrum der 
Axe des Reichenbach’schen Meridiankreises; in Altona hingegen 
war der Mittelpunkt des Sectors 13,511 Toisen südlich und 2,578 
westlich vom Mittelpunkt des dortigen Meridiankreises. Die Re- 
duktion des Breitenunterschiedes der Sectorplätze auf den der 
Meridiankreise ist daher für Göttingen 0,07” und für Altona 0,85”, 
und folglich der Breitenunterschied der Sternwarten von Göttingen 
und Altona in Beziehung auf die Plätze der Reichenbach’schen 


Meridiankreise 
= DI. 


a re 











 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 173 


13. 


Die absolute Polhöhe, welche den oben gegebenen aus den 
Zenithdistanzen abgeleiteten Declinationen der Sterne zu Grunde 
gelegt ist, beruht auf 89 Beobachtungen des Nordsterns, am 
Reichenbach’schen Meridiankreise, in beiden Culminationen, direkt 
und von einer Wasserfläche reflectirt. Da die Beobachtungen von 
1824, welche den grössten Theil ausmachen, bisher noch nicht be- 
kannt gemacht sind, so stelle ich hier sämmtliche Beobachtungen 
zusammen, und bemerke nur, dass meistens die direkte Einstellung 
beim Antritt an den zweiten, vierten (mittelsten), und sechsten 
Faden, die Einstellung des refiectirten Bildes hingegen beim Antritt 
an den ersten, dritten, fünften und siebenten Faden gemacht ist. 
Von diesen auf die Culminationszeit reducirten Zenithdistanzen, 
ist hier das Mittel angegeben, welches bloss von der Refraction 
nach .Bessel’s Tafeln befreit ist, also Collimationsfehler und Wirkung 
der Biegung des Fernrohrs noch einschliesst. 


Zenithdistanzen des Nordsterns. 


1820. Kreis im Osten. 
Direct 319° 50’20,73” | 3 Beob. 
Reflectirt 20 5 3,94 |4 „ 
Direct 323 841,51 |1 ,„- 
Reflectirt 216 46 44,31 | 1 „ 
1824. Kreis im Osten. 
Bel 323 7 52,62 
Reflectirt 216 48 54,93 
ne 319 52 30,27 
Reflectirt 220 4 19,32 
ve 323 7 54,16 
Reflectirt 216 48 54,21 
res 319 52 30,03 


Mai 13. Untere Culm. | 





„ 13. Obere Culm. | 


Apr. 20. Obere Culm. 
n 21. Untere Culm. 
„ 21. Obere Culm. 


„ 25. Untere Culm Reflectirt 220 4 21,10 


Direct 8323 7 55,70 
Reflectirt 216 48 52,93 
Direct 323 7 55,40 
Reflectirt 216 48 52,22 


Direct 319 52 29,17 
Reflectirt 220 4 21,34 


„ 27. Obere Culm. 


„ 28. Obere Culm. 





He CO He CO > CO He CO He eV 


„ 29. Untere Culm. 


174 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 


Direet 319° 52’28,59” 
Reflectirt 220 4 22,62 


3 

4 
Direct 8323 75722 |3 
Reflectirt 216 48 51,66 | 4 
1824. Kreis in Westen. 
[ Direct 40 4 20,00 
| Refleetirt 139 52 27,15 
f Direct 36 48 49,32 
\ Reflectirt 143 7 57,68 
Direct 40 4 22,93 
Reflectirt 139 52 25,68 


Die Aenderungen der Declination des Nordsterns ergeben sich 
aus Bessel’s Tafeln wie folgt: 


Mai 1. Untere Culm. | 





„1. Obere Culm. | 


Mai 2. Untere Culm. 


„8. Obere Culm. 


He 00 Me CD He u 





»„ 9. Untere Culm. | 


1820 von der unteren Culmination des 13. Mai an gerechnet: 
Mai 13. Obere Culm. — 0,10”. 


1824 von der oberen Culmination des 20. April an gerechnet: 





April 21. U.C. | — 0,13” 
„. 21 0.C. | — 0,26 
ö ».2. D.C. |. —1,29 
»„ 27. 0.C. | — 2,04 
„28 0.0. | —2,32 
„29. U.C. | —2,45 
Mai 1. U.C. | — 2,93 
„1. 0.C. | —3,03 
„2. U.C. | — 3,14 
„8 0.0. | — 4,64 

4. IE ET, 

14. 


Bezeichnet man die Biegung des Fernrohrs, oder die Verän- 
derung der Lage der auf die Ebene des getheilten Kreises proji- 
eirten optischen Axe gegen die Eintheilung, vermöge der Einwir- 
kung der Schwere auf sämmtliche verbundenen Bestandtheile des 
Instruments, bei horizontaler Lage der optischen Axe durch /, bei 
verticaler durch g, und setzt voraus, dass diese Biegung der Schwer- 
kraft proportional ist (was bei der äusserst geringen Grösse der 
ganzen Wirkung unbedenklich scheint), so wird bei der Neigung 


RE U Re BER ED SR RS TEEN 








Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 175 


der optischen Axe z die Biegung durch f sinz + 9 608z ausgedrückt 
werden, so verstanden, dass wenn der Collimationsfehler — e und 
die abgelesene Zenithdistanz —= z ist, die wahre Zenithdistanz 


= z—e+/sin(@—e)+9008(2— e) 


sein wird. ‘Wäre das Fernrohr vollkommen symmetrisch, so würde 
g ganz wegfallen; allein da keine menschliche materielle Arbeit 
absolut vollkommen ist, und überdies die vollkommene Symmetrie 
schon durch die Balancirgewichte gewissermaassen gestört wird, 
so scheint es durchaus nicht ungereimt, die Möglichkeit eines ein 
oder ein paar Zehntheile einer Secunde betragenden Werthes von 
g zuzugeben, und wenn einmal die Rechnung auf einzelne Zehn- 
theile oder gar Hunderttheile der Secunde genau geführt wird, so 
würde es inconsequent sein, die Berücksichtigung des zweiten Theiles 
der Biegung, insofern sie möglich ist, zu unterlassen. 


15. 


Das Complement des halben Unterschiedes der direkt und 
durch Reflexion gemessenen Zenithdistanz zu 90° giebt die Zenith- 
distanz vom Collimationsfehler und von dem ersten Theile der 
Biegung befreit, also bloss noch den zweiten Theil der Biegung 
enthaltend, und zwar mit entgegengesetztem Zeichen, nachdem der 
Kreis im Osten oder Westen ist. Offenbar bezieht sich diese Zenith- 
distanz auf die Verticale an der Stelle, wo die optische Axe das 
Wassergefäss trifft, welche, für beide Culminationen des Nordsterns 
unmerklich verschieden, um 0,05” nördlicher ist als die Axe des 
Kreises. Diese Combination ist unserem Zwecke auch insofern an- 
gemessener, als man der Voraussetzung der Unveränderlichkeit des 
Collimationsfehlers während der ganzen Dauer der Beobachtungen 
von 1824 ausweicht. Das Gewicht jener Bestimmung wird, wenn 
man die Anzahl der direkten Beobachtungen = «, die der Re- 


flexionsbeobachtungen = £ setzt, = we 


obachtungsfehler als rein zufällig und von einander unabhängig 
betrachtet. 


‚ insofern man die Be- 





16. 
Bezeichnen wir nun mit 


p die Polhöhe an dem Platz des Wassergefässes 
ö die Declination des Nordsterns in der unteren Culmination 
des 13. Mai 1820 


176 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 


ö’ die Declination in der oberen Culmination des 20. April 
1824, 


so geben uns die Beobachtungen folgende Bestimmungen: 
für d + 9 — 0,765 g 


1820 Mai 13. . . 139° 52° 38,40”, Gewicht 6,86 
für d— p + 0,800 9 
1820 Mai 13... 36 49 1,50 , Gewicht 2,00 
für + 9 — 0,765 9 Der 
1824 Apr. 21. . .189 54 5,61 , Gewicht 6,86 
255,189 :56 - 876 en 
29....189: 54 : 6,86 26,88 
Mei 1...19 54 591 75688 
für ’— 9 +0,800g 
1824 Apr. 20... 36 50 31,15 ,„ Gewicht 2,67 
„21. 2-96 50:90 208 
„2... 36 50 30,65 ee. 
„38...36 50 8073 > N 
Mäi: 1x. 2: 3650 8025 < 6,86 
für +9 + 0,765 9 
18%4 Mai 2. ..139 54 6,71 , Gewicht 6,86 
009.0: % 6,86 
für ’— p — 0,800 g 
1824 Mai 8... 36 50 30,48 , Gewicht 6,86. 


Wir erhalten demnach zur Bestimmung der vier unbekannten 
Grössen d, 0’, g, g die sechs Gleichungen: 


ö +9 — 0,765 9 = 139’ 52° 38,40”, Gewicht 6,86 
öde —9+08004 = 36 49 1,50 j 2,00 
‘+9 — 0,7659 = 139 54 5,91 PER E 
ö’ —9+0,804 = 36 50 30,54 80,10 
‘+9 +07659 = 1389 54 6,43 a il 
ö’—9—0,8009 = 36 50 30,48 A 6,86, 


woraus sich durch die Methode der kleinsten ER *) folgende 
Werthe ergeben: 





*), Hier etwas bequemer nach dem Verfahren im Supplem, Theor, Comb, 
Observ. 


PATER 


TER 








Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona, 177 


d = 88° 20’ 50,33” 
‘= 88 2.1838 
9 = 51:31 :47,90 
= +0,17. 


Das Gewicht der Bestimmung von p wird hierbei = 60,8. 

Um für die Genauigkeit der Beobachtungen einigermaassen 
einen Maassstab zu haben, substituiren wir diese Werthe in die 
vierzehn Gleichungen, aus welchen die vorigen sechs zusammenge- 
zogen waren; es bleiben dann folgende Fehler übrig: 


| Gewicht der 


Fehler | Gleichung 
EB 1 Lac 6,86 
EB 2,00 
044 6,86 
+:0,29.: 6,86 
— 0,31 & 6,86 
+04: 6,86 
058 | 2,67 
70683: 6,86 
— 0,13 6,86 
RR Re 6,86 
0.20: 15, 6,86 
—040 | 6,86 
0,16: x: 6,86 
093: 6,86. 


Die Summe der Produkte der Quadrate .dieser Fehler in die 
Gewichte wird = 9,6184; also ein genäherter Werth für den 
mittleren Fehler einer Beobachtung 

_ 96184 
Fi 10 

Der mittlere in dem Endresultat für die Polhöhe zu befürch- 
tende Fehler, so weit er von unregelmässig wirkenden Ursachen 
herrührt, ist demnach 


— 0,981”. 





0,981” 

= yo08 

Etwas muss aber die Unsicherheit des Resultates allerdings 
grösser sein, da die Voraussetzung, dass sämmtliche Beobachtungs- 


Gauss, Metlıode der kleinsten Quadrate. 12 





= 0.120”. 


178 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 


fehler ohne Ordnung von einander unabhängig sind, nicht ganz 
richtig ist. Bei gleichnamigen Beobachtungen zu einer Culmination, 
und bei den gleichnamigen Culminationen an mehreren Tagen liegt 
nämlich nahe dasselbe Ablesungsresultat zu Grunde, und obgleich, 
bei der Ablesung durch Verniers, fast immer andere Theilstriche 
sprechend werden, deren unregelmässige Theilungsfehler also bei 
unserem Verfahren in dem mittleren Fehler einer Beobachtung 
0,981” mit eingeschlossen sind, so ist doch natürlich, dass in den 
verschiedenen Gegenden des Limbus gewisse ungleiche Durch- 
schnittsfehler vorherrschen müssen. Jedenfalls sind aber dieselben 
sehr klein. Im Jahre 1826 habe ich mit vier vortrefflichen Mi- 
kroskopen von Repsold 30 Theilstriche von 12 zu 12 Grad mit 
äusserster Sorgfalt geprüft, wobei jeder Theilstrich fast 200 mal, 
in abgeänderten Combinationen, eingestellt wurde. Das Resultat 
ist, dass das Mittel der Fehler von zwei diametral entgegengesetzten 
Theilstrichen, A und A + 180°, soweit noch einige Regelmässigkeit 
zu erkennen ist, durch die Formel 


— 1,23” cos (2 A -— 28° 28) — 0,22” cos (LA — 47° 56)) 


möglichst nahe dargestellt wird, dass die dann übrig bleibenden 
Fehler als regellos erscheinen, und die Quadratwurzel aus dem 
Mittel ihrer Quadrate —= 0,32” wird. Ich hatte mir vorgesetzt, 
diese Prüfung auf die doppelte Anzahl der Theilstriche auszudehnen;; 
allein bei der Geringfügigkeit der sich ergebenden Resultate scheint 
diese Untersuchung den grossen dazu erforderlichen Zeitaufwand 
nicht zu verdienen. Es bedarf keiner Erinnerung, dass der erste 
Theil des regelmässigen Fehlers — 1,23” cos (2A — 28° 28’) von 
selbst wegfällt, wenn, wie bei obigen Beobachtungen immer ge- 
schehen ist, alle vier Verniers abgelesen werden. Er enthält hin- 
gegen eine reelle Verbesserung, falls man die Theilung nur an zwei 
gegenüberliegenden Stellen abliest, wie ich gegenwärtig immer 
thue, seitdem ich mich mit bedeutendem Gewinn für die Feinheit 
der Ablesung, statt der Verniers zweier Repsold’scher Mikroskope 
bediene. | 
YA 

Zieht man vor, g = (0 vorauszusetzen, so fällt die Polhöhe 
um 0,07” kleiner aus, und das Gewicht dieser Bestimmung wird 
— 84,1. Anderweitige, an einem anderen Orte anzuführende Be- 


obachtungen scheinen übrigens den obigen Werth von g, dem 


Zeichen und auch sehr nahe der Grösse nach, zu bestätigen, reichen 


“ 


Nez 








Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona, 179 


aber noch nicht hin, über einen so delicaten Gegenstand zu ent- 
scheiden. 

Den Coefficienten / kann man aus vorliegenden Beobachtungen 
nicht bestimmen, ohne die Unveränderlichkeit des Collimationsfehlers 
während der Beobachtungen von 1824 vorauszusetzen. Erlaubt 
man sich diese Voraussetzung, so hat man 28 Gleichungen, deren 
gehörige Behandlung 


po — 51° 31’ 47,8% mit dem Gewicht 60,9 

f + 0,76 

9 + 0,23 
giebt. Da man gegenwärtig, durch Einstellen des Fernrohrs auf 
den Nadirpunkt, den Collimationsfehler jede Stunde mit bewunderns- 
würdiger Genauigkeit ohne Umlegen bestimmen kann*), so behalte 
ich mir weitere Prüfung dieses Gegenstandes vor. 


18. 
Mit Vorbehalt der durch künftige weitere Untersuchungen 
noch auszumittelnden Correction, die wohl schwerlich eine halbe 
Secunde erreichen kann, setze ich daher die Polhöhe 


in Göttingen 
für den Platz des Wassergefässes bei den 
Nordsternbeobachtungen . . . . . . 51° 31’ 47,90” 
für den Platz des Reichenbach’schen Meri- 
GEBETE, 20 0. ed 47,85 
für den Platz des Zenithsectors . . . . 47,92 


(welche letztere zur Reduktion der Declinationen der 
Zenithalsterne zu Grunde gelegt ist) 


in Altona 


für den Platz des Zenithsectors . . ... 53° 32° 44,42” 
für den Platz des Meridiankreises . . . 45,27. 


19. 
Nach der trigonometrischen Verbindung der Sternwarten von 
Göttingen und Altona liegt letztere 
115163,725 Toisen nördlich 
7,211 Toisen westlich 


*) Ich bediene mich dieses unschätzbaren Mittels, dessen Ausführbarkeit 
Bohnenberger zuerst gezeigt hat, seit zwei Jahren beständig. 





12* 


180 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 


von jener. Diese Zahlen beziehen sich auf die Plätze der Meridian- 
‚kreise; sie gründen sich auf den Werth der Dreiecksseite Hamburg 
— Hohenhorn 13841,815 Toisen, und diese auf die von Herrn Prof. 
Schumacher in Holstein im Jahre 1820 gemessene Basis. Da jedoch 
die Vergleichung der dabei gebrauchten Messstangen mit der Normal- 
toise noch nicht definitiv vollendet ist, so wird obige Entfernung 
in Zukunft noch in demselben Verhältniss abzuändern sein, wie die 
Basis selbst, welche Veränderung aber jedenfalls nur sehr gering 
sein kann. Der mittlere Breitengrad zwischen beiden Sternwarten 


ergiebt sich danach 
— 57127,2 Toisen, 


merklich grösser, als man nach den mittleren Werthen der in 
Frankreich und England gemessenen Grade hätte erwarten sollen. 


2O. 


Die hannoversche Gradmessung liefert also einen neuen Beitrag: 
zur Bestätigung der nicht mehr zu bezweifelnden Wahrheit, dass 
die Oberfläche der Erde keine ganz regelmässige Gestalt hat. Von 
dieser Unregelmässigkeit haben bereits die Anomalien bei den 
Theilen der französischen und der englischen Gradmessung Be- 
weise gegeben, noch stärkere die Anomalien bei den Polhöhen 
mehrerer Oerter in Italien. Bei der hannoverschen Gradmessung 
findet sich ausser der Anomalie zwischen Göttingen und Altona 
eine noch beträchtlich stärkere bei einem zwischenliegenden 
Dreieckspunkte, dem Brocken. Wenn man meine Dreiecke als auf 
der Oberfläche eines elliptischen Sphäroids liegend, dessen Dimen- 
sionen die von Walbeck aus der Gesammtheit der bisherigen Grad- 
messungen abgeleiteten sind, und welches nach unserer besten 
gegenwärtigen Kenntniss sich am vollkommensten an die wirkliche 


Gestalt im Ganzen anschliesst (Abplattung en der dreihun- 
’ 


dertsechzigste Theil des Erdmeridians —= 57009,758 Toisen), be- 
rechnet, und dabei von der Polhöhe von Göttingen = 51° 31’ 47,85” 
ausgeht, so findet sich die Breite 


des Brockens = 51° 48° 1,85” 
von Altona = 53 3 50,79. 


Während nun die astronomischen Beobachtungen die Polhöhe 
von Altona 5,52” kleiner gegeben haben, geben die von Herrn 
von Zach auf dem Brocken angestellten Beobachtungen die Polhöhe 








Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 181 


dieses Punktes 10” bis 11” grösser*), ein Unterschied, von dem doch 
jedenfalls nur ein kleiner Theil dem Instrumente und den in der 
Rechnung gebrauchten Declinationen zur Last fallen kann. Die 
Vergleichung des Breitenunterschiedes zwischen Altona und dem 
Brocken mit der Krümmung, welche dem sich der Erde im Ganzen 
am besten anschliessenden Sphäroid entspricht, würde daher eine 
Abweichung von 16” geben. 

Nach unserem Dafürhalten betrachtet man diesen Gegenstand 
aus einem falschen Gesichtspunkte, wenn man bei solchen Erschei- 
nungen immer nur von Localablenkungen der Lothlinie spricht, und 
sie also gleichsam nur als einzelne Ausnahmen ansieht. Was wir 
im geometrischen Sinn Oberfläche der Erde nennen, ist nichts 
anderes als diejenige Fläche, welche überall die Richtung der 
Schwere senkrecht schneidet, und von der die Oberfläche des Welt- 
meeres einen Theil ausmacht. Die Richtung der Schwere an jedem 
Punkte wird aber durch die Gestalt des festen Theils der Erde 
und seine ungleiche Dichtiekeit bestimmt, und an der äusseren 
Rinde der Erde, von der allein wir etwas wissen, zeigt sich diese 
Gestalt und Dichtigkeit als höchst unregelmässig; die Unregel- 
mässigkeit der Dichtigkeit mag sich leicht noch ziemlich tief unter 
die äussere Rinde erstrecken, und entzieht sich ganz unseren Be- 
rechnungen, zu welchen fast alle Data fehlen. Die geometrische 
Oberfläche ist das Produkt der Gesammtwirkung dieser ungleich 
vertheilten Elemente, und anstatt vorkommende unzweideutige Be- 
weise der Unregelmässigkeit befremdend zu finden, scheint es eher 
zu bewundern, dass sie nicht noch grösser ist. Wären die astro- 
nomischen Beobachtungen einer zehn- oder hundertmal grösseren 
Genauigkeit fähig, als sie gegenwärtig haben, so würden sie diese 
Unregelmässigkeit ohne Zweifel überall nachweisen. 

Bei dieser Lage der Sache hindert aber noch nichts, die Erde 
im Ganzen als ein Revolutionssphäroid zu betrachten, von dem die 
wirkliche (geometrische) Oberfläche überall bald in stärkeren, bald 
in schwächeren, bald in kürzeren, bald in längeren Undulationen 
abweicht. Wäre es möglich, die ganze Erde mit einem trigono- 
metrischen Netze gleichsam zu umspinnen, und die gegenseitige 
Lage aller Punkte dadurch zu berechnen, so würde das idealische 





*) Monatl. Corresp. B. X, S. 203. An einem Platze, der etwa 0,5” süd- 
licher liegt, als der Dreieckspunkt, fand dieser geschickte Beobachter aus 188 
Beobachtungen von « Aquilae 51° 48° 12,12”. Aus Sonnenbeobachtungen fand 
er 51° 48° 11,17”. 


182 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 


Revolutionssphäroid dasjenige sein, auf welchem berechnet die Rich- 
tungen der Verticalen die möglich beste Uebereinstimmung mit den 
astronomischen Beobachtungen gäben. Wenn man gleich von diesem 
unerreichbaren Ideale immer weit entfernt bleiben wird, so leidet 
es doch keinen Zweifel, dass die künftigen Jahrhunderte die ma- 
thematische Kenntniss der Erdfigur sehr viel werden weiter bringen 
können. Die Vervielfältigung der Gradmessungen ist aber eigent- 
lich nur der Anfang dazu, woraus nur einzelne Resultate für eine 
kleine Anzahl in isolirten Linien liegender Punkte hervorgehen ; 
wie viel ergiebiger wird aber die Ausbeute sein, wenn diejenigen 
trigonometrischen Operationen, welche mit ausgesuchten Hülfs- 
mitteln in verschiedenen Ländern ausgeführt sind, in Verknüpfung 
kommen und sich zu einem grossen System abrunden. Vielleicht 
ist die Aussicht nicht chimärisch, dass einst alle Sternwarten von 
Europa trigonometrisch unter einander verbunden sein werden, da 
schon jetzt solche Verbindungen von Schottland bis zum adriatischen 
Meere und von Formentera bis Fühnen vorhanden, wenngleich bis- 
her nur theilweise öffentlich bekannt gemacht sind. Möchte nur 
dieser letzte Umstand mehr als bisher geschehen, beachtet, und 
kostbare Materialien, die der wissenschaftlichen Welt angehören 
sollten, dieser nicht entzogen, oder gar der Gefahr des Unterganges 
preisgegeben werden! 


21. 

Ein nicht uninteressantes Resultat giebt noch die Vergleichung 
der aus den Sectorbeobachtungen hervorgegangenen Sterndeclina- 
tionen mit älteren Bestimmungen, wo solche vorhanden sind. Von 
unseren 43 Sternen finden sich 27 in Piazzi’s und 13 in Bessel’s 
Bradley’schem Catalog. Hier folgt die Vergleichung unserer Be- 
stimmungen (1827), mit den Bradley’schen (1755) und Piazzi’schen 
(1800), nach Bessel’s neuer Bestimmung der Präcession reducirt; 
positive Zeichen bedeuten eine nördlichere Stellung aus unserer 
Bestimmung. 


FREENET 


Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 












































183 
Bezeichnung. Bradley.| Piazzi. Bezeichnung. Bradley.| Piazzi. 
1 24 Canum + 0,2”’;+ 1,17]17| P. 15.39 — | 0,7 
2, 83 Ursae — 1,5 — 2,0 [25 © Draconis +23,5”’+ 8,6 
3 n Ursae — 2,4 — 2,3 |27| P. 16. 33 — 1 2,6 
4 86 Ursae — 5,4 — 0,8 128| P. 16.56 — 1 2,6 
6 P.13.289 — |— 1,3 [32|16 Draconis |+ 1,2 |— 3,7 
7| 13 Bootis + 1,4/+ 2,4 [36| P. 16. 253 — 21 
8 x Bootissg. | — 2,9 1— 2,2 |37| P. 16.291 — |+10,3 
9 P.14.56 — |— 0,4 [38 P. 16.310 — |— 4) 
10| © Bootis —30,6 —10,8 [39 P. 17.20 — |— 3,0 
11| P. 14. 131 — + 7,4 140| P. 17. 38 — |— 29 
12| P. 14. 164 — + 0,1 [41 74 Hereulis + 1,7/+ 0,7 
13) 39 Bootismed.. + 4,8/+ 2,7 142 P. 17. 120 — |— 21 
14 P. 14. 235 — |— 5,0 [43 $ Draconis |— 0,5 — 1,5 
15) 44 Bootismed. + 1,9 + 1,1 | 
| 
IV. Breitenbestimmung der Sternwarte Seeberg. 


Gleichzeitig mit meinen Beobachtungen in Göttingen und 
Altona wurden dieselben Sterne auf meine Aufforderung auch von 
Herrn Hansen, Director der Sternwarte Seeberg bei Gotha, an dem 
dortigen Ertel’schen zweifüssigen Meridiankreise beobachtet. Der 
sich daraus ergebende Breitenunterschied zwischen dieser und der 
Göttinger Sternwarte erhält ein noch erhöhtes Interesse durch den 
Umstand, dass erstere vermittelst einiger unter Leitung des Herrn 
Generallieutenants von Müffling gemessener Dreiecke mit dem han- 
noverschen Dreieckssystem verbunden ist. 

Der Kreis wurde während der Beobachtungen einigemal um- 
gelegt, allein die Bestimmung des Collimationsfehlers wurde unab- 
hängig davon jeden Tag, und meistens jeden Tag zweimal, durch 
Einstellung auf den Nadirpunkt gemacht, welches schon oben er- 
wähnte Verfahren Herr /ansen im Herbst 1826 auf hiesiger Stern- 
warte praktisch kennen gelernt hatte. Die Ablesung geschah nicht 
mit Verniers, sondern mit Mikroskopen. Folgende Uebersicht ent- 
hält die Hauptresultate dieser Beobachtungen, indem die erste 
Columne die Bezeichnung des Sterns, die zweite die Lage des 
Kreises, die dritte die Anzahl der Beobachtungen, die vierte die 
von mir auf den Anfang des Jahres 1827 reducirte Zenithdistanz 


184 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 


(nördliche mit positiven Zeichen), die fünfte die Breite, welche aus den 
oben, S. 155/156, mitgetheilten Declinationen sich ergiebt, darstellt: 











1| Ost 5 —1° 1’ 53,14”|50° 56’4,76"| 16 | Ost |5 | —1°42’ 19,87"|50° 56’ 6,55” 
West 4 52,80 4,42 West 5 17,05 3,73 
2| Ost 5144 37 29,41 5,57 117 | Ost 5/+0 38 48,22 5,50 
West 6 30,86 4,12 West! 5 48,79 | _ 4,93 
3| Ost |51—0 45 19,00 5,20 118 | Ost |5 +1 38 59,63 6,24 
West 7 17,70 3.90 West! 6 61,51 4,36 
4| Ost  6!+3 38 50,38 5,17 119 |West 2/+3 41 30,38 4,49 
West 6 51,05 4,50 |20| Ost |1,+3 33 50,19 4,11 
ö| Ost 16 |+4 29 54,35 4,87 West 1 47,87 6,43 
West! 6 54,30 4,92 |21| Ost |1/+1 58 31,74 5,35 
6| Ost 16 |—4 20 26,87 6,01 West! 1 32,90 4,19 
West) 4 25,92 5,06 122| Ost |1—4 39 61,37 6,07 
7| Ost |6|—0 39 22,12 5,56 West 1 58,90 3,60 
West 4 20,70 | 4,14 123 | Ost |1!+5 24 21,09 5,91 
8| Ost 15/+1 40 1,41 | 6,06 West 1 22,88 4,12 
West 4 3,24 | 4,23 |24 ‚West! 1/—0 33 26,54 5,95 
9| Ost 5'+5 17 29,69 6,82 125 West] 1 +8 5 40,64 6,50 
West 4 33,72 2,79 126 'West! 1—0 17 51,91 5,03 
10| Ost 5/+1 43 6,51 5,54 127 |West! 11—4 35 46,53 3,57 
West! 5 8,63 3,42 128 |West! 1/+2 44 9,48 3,93 
11| Ost |5/+2 43 27,76 5,26 129 |West! 11+1 31 5,78 5,28 
West! 4 28,89 4,13 | 30 |West! 2|+4 40 0,22 4,51 
12| Ost |5|+2 2 48,89 6,77 131 |West! 11—4 57 58,28 4,13 
West! 3 50,29 5,37 132 !West| 1i+2 18 59,76 3,88 
13 | Ost |5 |—1 29 56,73 6,19 133 |West| 11—0 39 51,61 5,28 
West! 5 56,64 6,10 134 |West! 1+6 9 34,85 2,94 
14| Ost |5 —0 35 42,51. 5,00 135 ‚West! 11—3 59 15,56 4,09 
West 3 42,84 5,33 136 |West| 2 1—4 6 42,83 4,84 
15 | Ost |5 —2 36 14,46 6,93 137 |West! 11+6 0 36,97 5,38 
West 4 12,88 5,35 138 |West! 1 1—1 53 16,75 3,84 



































Diese sechzig Resultate für die Breite haben nun freilich 
ungleiche Zuverlässigkeit; allein um die ihnen beizulegenden Ge- 
wichte ohne Willkür angeben zu können, müsste das Verhältniss des 
mittleren eigentlichen Beobachtungsfehlers zum mittleren Theilungs- 
fehler bekannt sein; ist dies Verhältniss wie 1 zu YO, so wird, 
wenn man die geringe den Declinationen noch anhängende Un- 
sicherheit nicht beachtet, 

N 


1+n® 
das Gewicht einer auf» Beobachtungen, die sich auf einerlei Theil- 
strich beziehen, beruhenden Bestimmung sein. 








Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 185 


Nimmt man statt dieses Gewichts schlechthin » an, so wird 

das Mittel aus den 206 Beobachtungen 
#30. Do: DI, 

Inzwischen lassen die Beobachtungen erkennen, dass die Thei- 
lungsfehler vergleichungsweise beträchtlich grösser sein müssen, als 
an dem Aamsden’schen Zenithsector, während die eigentlichen 
Beobachtungsfehler eher noch etwas kleiner sein mögen. Bei jenem 
Verfahren werden also die auf einer grösseren Anzahl von Beob- 
achtungen beruhenden Bestimmungen vor denen, welchen nur eine 
oder zwei zu Grunde liegen, viel zu sehr bevorzugt. 

Sobald man aber den Einfluss der Theilungsfehler berück- 
sichtigen will, darf auch nicht unbeachtet bleiben, dass die jedes- 
malige Bestimmung des Collimationsfehlers einen constanten von 
den Fehlern der dabei sprechenden Theilstriche abhängenden Theil 
involvirt. Es ist aber klar, dass derselbe auf die Polhöhe in ent- 
gegengesetztem Sinn wirkt, jenachdem der Kreis östlich oder west- 
lich sich befindet. Man wird daher die auf die verschiedenen Lagen 
‚des Kreises sich beziehenden Beobachtungen von einander trennen, 
aus jeder Reihe, mit Anwendung des Gewichts ara ö für jede Be- 
stimmung, das Mittel berechnen, und zuletzt aus diesen beiden 
Mitteln das einfache arithmetische Mittel nehmen müssen. 

In Ermangelung einer bestimmten Kenntniss von ©, ist diese 
Rechnung in den drei Hypothesen 9 = 0, 9 = 1, 9 =» ge- 
führt, woraus sich für die Polhöhe ergeben hat: 





9 —= 0 = 1 Q) = © 











Kreis Ost 50°.50° 0,70.* | 00° 56° 5,69” | 50°%°56. 5,71” 
Kreis West 4,62 4,65 4,65 

















Polhöhe 50° 56° 5,18” | 50° 56° 5,17” | 50° 56° 5,18” 








Man sieht also, dass die Berücksichtigung der strengeren 
Grundsätze das erste Resultat gar nicht merklich ändert, und dass 
man sich an die Zahl 50° 56’ 5,17” halten kann. 

Bei diesen Rechnungen ist auf die Biegung des Fernrohrs 
noch keine Rücksicht genommen. Nach Herrn Hansen’s Angabe 
ist dieselbe im Horizont — 1,00”, und zwar von der beobachteten 
Zenithdistanz abzuziehen, oder nach unserer Bezeichnung f = — 1,00", 


186 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 


Man sieht, dass bei Berücksichtigung dieser Biegung die Polhöhe 
aus den nördlich vom Zenith culminirenden Sternen etwas grösser, 
aus den südlichen kleiner ausfallen, und, weil jene etwas über- 
wiegen, das Mittelresultat um 0,02” vergrössert werden wird. Der 
zweite Theil der Biegung, oder die Biegung bei verticaler Stellung, 
kann, da alle hier vorkommenden Zenithdistanzen nur klein sind, 
als eine constante Veränderung des Collimationsfehlers betrachtet 
werden, und wird also bei unserem Verfahren gerade ebenso, wie 
die Theilungsfehler der bei der Bestimmung von jenem sprechenden 
Theilstriche, von selbst eliminirt. 

Wir haben demnach als Definitivwerth für die Polhöhe aus 
diesen Beobachtungen 

DU 50 0,19. | 

Die erwähnte trigonometrische Verbindung der beiden Stern- 
warten, nach den oben angeführten Dimensionen des Erdsphäroids 
berechnet, giebt den Breitenunterschied 


35° 41,86”, 


also mit der oben bestimmten Polhöhe von Göttingen, die der 


Seeberger Sternwarte 
== DU. 00: 0.8095 


Diese bezieht sich auf den Dreieckspunkt, nämlich das Centrum 
der Axe des Mittagsfernrohrs; das Centrum der Axe des Meridian- 
kreises liegt 1,168 Toisen, oder im Bogen 0,07” südlicher; die 
Polhöhe des letzteren Punktes ist also, aus Göttingen durch die 
trigonometrische Verbindung abgeleitet, 


— 50° 56° 5,92” 


oder 0,73” grösser, als aus den astronomischen Beobachtungen. 
Für den Längenunterschied folgt übrigens aus der trigono- 
metrischen Verbindung 47’ 9,20” im Bogen, oder 3” 8,61° in Zeit, 
sehr gut mit unserer Kenntniss aus astronomischen Beobachtungen 
übereinstimmend. Endlich folgt aus jenen Messungen das Azimuth 
der Dreiecksseite Seeberg—südliches Meridianzeichen bei Schwab- 
hausen 4,6” westlich, welches gleichfalls bei der nicht unbeträcht- 
lichen Anzahl der Zwischenpunkte, den Verschiedenheiten, die in 
den Angaben einiger Winkel der preussischen Messung vorkommen, 
und der Ungewissheit, ob der Dreieckspunkt sich genau im Meridian 
befand, wie eine gute Uebereinstimmung betrachtet werden kann. 











Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 187 


Zusatz zu Artikel 20., S. 180. 


Walbeck’s Bestimmung der Dimensionen des Erdsphäroids 
befindet sich in einer kleinen Abhandlung: De forma et magnitu- 
dine telluris, ex dimensis arcubus meridiani, definiendis, wovon aber 
nur die zwei ersten Bogen im Druck erschienen sind (Abo, 1819). 
Walbeck hat die peruanische, die beiden ostindischen, die franzö- 
sische, englische und die neuere lappländische Gradmessung dem 
Caleül unterworfen, und ist meines Wissens bisher der einzige, der 
dieses Geschäft nach richtigen willkürfreien Grundsätzen ausge- 
führt hat. Inzwischen hat er bei jeder einzelnen Gradmessung nur 
den ganzen Bogen, oder die an den Endpunkten beobachteten Pol- 
höhen, in Betracht gezogen, ohne die bei mehreren vorhandenen 
Zwischenpunkte zu berücksichtigen, und in der Rechnung ist er 
bei der ersten Potenz der Abplattung stehen geblieben. 

Ich habe deshalb den durch mehrere Arbeiten bereits vortheil- 
haft bekannten Herrn Dr. Schmidt unlängst zu einer neuen Be- 
rechnung dieser sämmtlichen Gradmessungen veranlasst, welche er 
während des Abdrucks der letzten Bogen gegenwärtiger Schrift 
vollendet hat. Er hat dabei sowohl die höheren Potenzen der 
Abplattung, als die an allen Zwischenpunkten beobachteten Pol- 
höhen mit berücksichtigt, auch die hannoversche Gradmessung 
hinzugezogen, und, nach dem oben, S. 181, angedeuteten Prineip, 
dasjenige Ellipsoid bestimmt, auf, welchem die astronomisch beob- 
achteten Polhöhen, um mit den geodätischen Messungen in voll- 
kommene Uebereinstimmung zu kommen, der möglich geringsten 
Abänderung bedürfen, d. i. wo die Summe der Quadrate der hierzu 
erforderlichen Abänderungen ein Minimum wird. Das Resultat 
dieser Rechnung ist: 

1 


Abplattung. . . - 998,30 
Dreihundertsechzigster Theil des Erdmeridians .57010,35 Toisen. 


Die beobachteten Polhöhen an den 25 Punkten der sieben 
Gradmessungen, und ihre kleinsten zur vollkommenen Ueberein- 
stimmung mit den gefundenen Erddimensionen erforderlichen Ab- 
änderungen stellt folgende Uebersicht dar: 


Peruanische Messung. 


Ta „.... .I—J3 #& 30,83” | + 2,05” 
Cotehesqui. . .,+0 2 31,82 — 2,05 


188 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 


Erste ostindische Messung. 
Trivandeporum . + 11° 44° 52,59” — 0,48”. 








Paudree. . . , 13 19 49,02 | + 0,47 
Zweite ostindische Messung. ; 
Pianss'..,:, s Ss 9 3839 | — 143° 
Putchapolliam . 10 59 48,93 | — 1,18 
Dodagoontah. . . 12 59 59,91 | + 3,37 
Namthabad ..| 3 6 064 1 —0,77 
Französische Messung. 
Formentera . . 33 39 56,11 | + 3,9 
Montjouy . . . 41 21 45,45 +2,81 
Barcellona. . . 41 22 47,16 | + 1,07 
Perpignan . . . 42 41 58,01 | — 3,67 
Carcassonne . . 43 12 54,31 | — 0,9% 
Bvauz:: .\', Sy 46 10 42,19 | — 6,14 
Pantheon . . . 48 50 48,94  — 0,17 
Dünkirchen .. 51 2 874 +3,12 





Englische Messung. 


Dunnose. . . 560 37 781.|—1,73 
Greenwich. . . 51 28 39,60 | + 1,00 
Blenheim . . 51 50 27,50 | + 3,02 





3 
H 

Arburyhill. . 2 62 13 27,79 |-+ 1,80 
0 


Clifton -. . . 53 27 31,59 | — 4,07 
Hannoversche Messung. 

Göttingen . . . | 51 31 47,85 | — 2,65 

Altona ....| 53 32 45,27 | + 2,66 
Schwedische Messung. 

Mallöra ...5..4::, 65 31 31,06 | +1,40 

Pahtavara.. ..| .67 8 5141 /—1,40. 





Die Zahlen der letzten Columne sind nun keineswegs wie 
Fehler der astronomischen Beobachtungen zu betrachten, sondern 
sie sind die algebraische Summe dieser Fehler und der Unregel- 
mässigkeiten der Richtung der Verticale. Wenn man diese Ge- 











Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 189 


sammtabweichungen nach denselben Regeln, wie die zufälligen 
Fehler, behandelt, so findet sich die mittlere Abweichung 3,18”, 
und damit der mittlere zu befürchtende Fehler 


in dem Nenner der Abplattung . . . . . . .12,5 Einheiten 
in dem Werthe des dreihundertsechzigsten 
Theiles des Erdmeridians. . . . . . . ... 5,0 Toisen. 


Den sogenannten wahrscheinlichen Fehler mag man also auf 
8 Einheiten bei dem Nenner der Abplattung, und auf 3 Toisen 
bei dem mittleren Breitengrade schätzen, und diese Fixirung unserer 
Begriffe über den Grad der Genauigkeit, welchen man der Be- 
stimmung der Dimensionen des Erdsphäroids durch alle bisherigen 
Breitengradmessungen zuzuschreiben berechtigt ist, hat man als 
ein wichtiges Resultat dieser verdienstlichen an einem anderen 
Orte ausführlich bekannt zu machenden Arbeit des Herrn Dr. 
Schmidt anzusehen. 


VIII. 
Anzeigen. 


Es 
(Göttingische gelehrte Anzeigen. 1821, Februar 26.) 


Am 15. Februar wurde der Königl. Societät vom Herrn Hof- 
rath Gauss eine Vorlesung übergeben, überschrieben 


Theoria Combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae, 
pars prior, 


die eine der wichtigsten Anwendungen der Wahrscheinlichkeits- 
rechnung zum Gegenstande hat.. Alle Beobachtungen, die sich auf 
Grössenbestimmungen aus der Sinnenwelt beziehen, können, mit 
welcher Genauigkeit und mit wie vortrefflichen Werkzeugen sie 
auch angestellt werden, nie absolute Genauigkeit haben; sie bleiben 
immer nur Näherungen, grösseren oder kleineren Fehlern ausge- 
setzt. Nicht von solchen Fehlern ist hier die Rede, deren Quellen 
genau bekannt sind, und deren Grösse bei bestimmten Beobachtun- 
gen jedesmal berechnet werden kann‘; denn da dergleichen Fehler 
bei den beobachteten Grössen in Abzug gebracht werden können 
und sollen, so ist es dasselbe, als ob sie gar nicht da wären. Ganz 
anders verhält es sich dagegen mit den als zufällig zu betrachten- 
den Fehlern, die aus der beschränkten Schärfe der Sinne, aus man- 
cherlei unvermeidlichen und keiner Regel folgenden Unvollkommen- 
heiten der Instrumente, und aus mancherlei regellos (wenigstens 
für uns) wirkenden Störungen durch äussere Umstände (z. B. das 
Wallen der Atmosphäre beim Selen, Mangel absoluter Festigkeit 
beim Aufstellen der Instrumente) herrühren. Diese zufälligen Fehler, 
die dem Caleül nicht unterworfen werden können, lassen sich nicht 
wegschaffen, und der Beobachter kann sie durch sorgfältige Auf- 
merksamkeit und durch Vervielfältigung der Beobachtungen nur 





EBEN RER ET NENNEN 





Anzeigen. 191 


vermindern: allein nachdem der Beobachter das seinige gethan hat, 
ist es an dem Geometer, die Unsicherheit der Beobachtungen und 
der durch Rechnung daraus abgeleiteten Grössen nach streng 
mathematischen Principien zu würdigen, und was das wichtigste 
ist, da, wo die mit den Beobachtungen zusammenhängenden Grössen 
aus denselben durch verschiedene Combinationen abgeleitet werden 
können, diejenige Art vorzuschreiben, wobei so wenig Unsicherheit 
als möglich zu befürchten bleibt. 

Obgleich die zufälligen Fehler als solche keinem Gesetze 
folgen, sondern ohne Ordnung in einer Beobachtung grösser, in 
einer anderen kleiner ausfallen, so ist doch gewiss, dass bei einer 
bestimmten Beobachtungsart, auch die Individualität des Beobachters 
und seiner Werkzeuge als bestimmt betrachtet, die aus jeder ein- 
fachen Fehlerquelle fliessenden Fehler nicht bloss in gewissen 
Grenzen eingeschlossen sind, sondern dass auch alle möglichen 
Fehler zwischen diesen Grenzen ihre bestimmte relative Wahr- 
scheinlichkeit haben, der zu Folge sie nach Maassgabe ihrer Grösse 
häufiger oder seltener za erwarten sind, und derjenige, der eine 
genaue und vollständige Einsicht in die Beschaffenheit einer solchen 
Fehlerquelle hätte, würde diese Grenzen und den Zusammenhang 
zwischen der Wahrscheinlichkeit der einzelnen Fehler und ihrer 
Grösse zu bestimmen im Stande sein, auf eine ähnliche Weise, wie 
sich bei Glücksspielen, so bald man ihre Regeln kennt, die Grenzen 
der möglichen Gewinne und Verluste, und deren relative Wahr- 
scheinlichkeiten berechnen lassen. Dasselbe gilt auch von dem aus 
dem Zusammenwirken der einfachen Fehlerquellen entspringenden 
Totalfehler. Auch sind diese Begriffe nicht auf unmittelbare Be- 
obachtungen beschränkt, sondern auch auf mittelbare aus Beob- 
achtungen abgeleitete Grössenbestimmungen anwendbar. In der 
Wirklichkeit werden uns freilich fast allemal die Mittel fehlen, 
das Gesetz der Wahrscheinlichkeiten der Fehler a priori anzugeben. 

Wie wir die Unzulässigkeit einer bestimmten Art von Be- 
obachtungen im allgemeinen abschätzen wollen, hängt zum Theil 
von unserer Willkür ab. Man kann dabei entweder bloss die Grösse 
der äussersten möglichen Fehler zum Maassstabe wählen, oder zu- 
gleich auf die grössere oder geringere Wahrscheinlichkeit der ein- 
zelnen möglichen Fehler mit Rücksicht nehmen. Das letztere scheint 
angemessener zu sein. Allein diese Berücksichtigung kann auf 
vielfache Weise geschehen. Man kann, wie es die Berechner bis- 
her gemacht haben, den sogenannten wahrscheinlichen (nicht wahr- 


192 Anzeigen. 


scheinlichsten) Fehler zum Maassstabe wählen, welches derjenige 
ist, über welchen hinaus alle möglichen Fehler zusammen noch 
eben so viele Wahrscheinlichkeit haben, wie alle diesseits liegenden 
zusammen; allein es wird weit vortheilhafter sein, zu diesem Zweck 
statt des wahrscheinlichen Fehlers den mittleren zu gebrauchen, 
vorausgesetzt, dass man diesen an sich noch schwankenden Begriff 
auf die rechte Art bestimmt. Man lege jedem Fehler ein von 
seiner Grösse abhängendes \Moment bei, multiplicire das Moment 
jedes möglichen Fehlers in dessen Wahrscheinlichkeit und addire 
die Produkte: der Fehler, dessen Moment diesem Aggregat gleich 
ist, wird als mittlerer betrachtet werden müssen. Allein welche 
Funktion der Grösse des Fehlers wir für dessen Moment wählen 
wollen, bleibt wieder unserer Willkür überlassen, wenn nur der 
Werth derselben immer positiv ist, und für grössere Fehler grösser 
als für kleinere. Der Verf. hat die einfachste Funktion dieser Art 
gewählt, nämlich das Quadrat; diese Wahl ist aber-noch mit man- 
chen anderen höchst wesentlichen Vortheilen verknüpft, die bei 
keiner anderen stattfinden. Denn sonst könnte auch jede andere 
Potenz mit geraden Exponenten gebraucht werden, und je grösser 
dieser Exponent gewählt würde, desto näher würde man dem 
Princip kommen, wo bloss die äussersten Fehler zum Maassstabe 
der Genauigkeit dienen. Gegen die Art, wie ein grosser Geometer 
den Begriff des mittleren Fehlers genommen hat, indem er die Mo- 
mente der Fehler diesen gleich setzt, wenn sie positiv sind, und 
die ihnen entgegengesetzten Grössen dafür gebraucht, wenn sie 
negativ sind, lässt sich bemerken, dass dabei gegen die mathema- 
tische Continuität angestossen wird, dass sie so gut wie jede andere 
auch willkürlich gewählt ist, dass die Resultate viel weniger ein- 
fach und genugthuend ausfallen, und dass es auch an sich schon 
natürlicher scheint, das Moment der Fehler in einem stärkeren 
Verhältniss, wie diese selbst, wachsen zu lassen, indem man sich 
gewiss lieber den einfachen Fehler zweimal, als den doppelten ein- 
mal gefallen lässt. | 

Diese Erläuterungen mussten vorangeschickt werden, wenn 
auch nur etwas von dem Inhalt der Untersuchung hier angeführt 
werden sollte, wovon die gegenwärtige Abhandlung die erste Ab- 
theilung ausmacht. 

Wenn die Grössen, deren Werthe durch Beobachtungen ge- 
funden sind, mit einer gleichen Anzahl unbekannter Grössen auf 
eine bekannte Art zusammenhängen, so lassen sich, allgemein zu 








Anzeigen. 193 


reden, die Werthe der unbekannten Grössen aus den Beobachtungen 
durch Rechnung ableiten. Freilich werden jene Werthe auch nur 
näherungsweise richtig sein, insofern die Beobachtungen es waren: 
allein die Wahrscheinlichkeitsrechnung hat nichts dabei zu thun, 
als die Unsicherheit jener Bestimmungen zu würdigen, indem sie 
die der Beobachtungen voraussetzt. Ist die Anzahl der unbekannten 
Grössen grösser als die der Beobachtungen, so lassen sich jene 
aus diesen noch gar nicht bestimmen. Allein wenn die Anzahl 
der unbekannten Grössen kleiner ist, als die der Beobachtungen, 
so ist die Aufgabe mehr als bestimmt: es sind dann unendlich 
viele Combinationen möglich, um aus den Beobachtungen die un- 
bekannten Grössen abzuleiten, die freilich alle zu einerlei Resultaten 
führen müssten, wenn die Beobachtungen absolute Genauigkeit 
hätten, aber unter den obwaltenden Umständen mehr oder weniger 
von einander abweichende Resultate hervorbringen. Aus dieser ins 
Unendliche gehenden Mannigfaltigkeit von Combinationen die zweck- 
mässigste auszuwählen, d. i. diejenige, wobei die Unsicherheit der 
Resultate die möglich kleinste wird, ist unstreitig eine der wich- 
tigsten Aufgaben bei der Anwendung der Mathematik auf die 
Naturwissenschaften. 

Der Verfasser gegenwärtiger Abhandlung, welcher im Jahre 
1797 diese Aufgabe nach den Grundsätzen der Wahrscheinlichkeits- 
rechnung zuerst untersuchte, fand bald, dass die Ausmittelung 
der wahrscheinlichsten Werthe der unbekannten Grössen unmöglich 
sei, wenn nicht die Funktion, die die Wahrscheinlichkeit der Fehler 
darstellt, bekannt ist. Insofern sie dies aber nicht ist, bleibt 
nichts übrig, als hypothetisch eine solche Funktion anzunehmen. 
Es schien ihm das natürlichste, zuerst den umgekehrten Weg ein- 
zuschlagen und die Funktion zu suchen, die zu Grunde gelegt 
werden muss, wenn eine allgemein als gut anerkannte Regel für 
den einfachsten aller Fälle daraus hervorgehen soll, die nämlich, 
dass das arithmetische Mittel aus mehreren für eine und dieselbe 
unbekannte Grösse durch Beobachtungen von gleicher Zuverlässig- 
keit gefundenen Werthen als der wahrscheinlichste betrachtet 
werden müsse. Es ergab sich daraus, dass die Wahrscheinlichkeit 
eines Fehlers x einer Exponentialgrösse von der Form en“ 
proportional angenommen werden müsse, und dass dann gerade die- 
jenige Methode, auf die er schon einige Jahre zuvor durch andere 
Betrachtungen gekommen war, allgemein nothwendig werde. Diese 

Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 13 


194 Anzeigen. 


Methode, welche er nachher besonders seit 1801 bei allerlei astro- 
nomischen Rechnungen fast täglich anzuwenden Gelegenheit hatte, 
und auf welche auch Legendre inzwischen gekommen war, ist jetzt 
unter dem Namen Methode der kleinsten Quadrate im allgemeinen 
Gebrauch, und ihre Begründung durch die Wahrscheinlichkeits- 
rechnung, sowie die Bestimmung der Genauigkeit der- Resultate 
selbst, nebst andern damit zusammenhängenden Untersuchungen 
sind in der T’heoria Motus Corporum Coelestium ausführlich ent- 
wickelt. 

Der Marquis de Laplace, welcher nachher diesen Gegenstand 
aus einem neuen Gesichtspunkte betrachtete, indem er nicht die 
wahrscheinlichsten Werthe der unbekannten Grössen suchte, sondern 
die zweckmässigste Combination der Beobachtungen, fand das 
merkwürdige Resultat, dass, wenn die Anzahl der Beobachtungen 
als unendlich gross betrachtet wird, die Methode der kleinsten 
Quadrate allemal und unabhängig von der Funktion, die die Wahr- 
scheinlichkeit der Fehler ausdrückt, die zweckmässigste Combi- 
nation sei. | 

Man sieht hieraus, dass beide Begründungsarten noch etwas 
zu wünschen übrig lassen. Die erstere ist ganz von der hypothe- 
tischen Form für die Wahrscheinlichkeit der Fehler abhängig, und 
sobald man diese verwirft, sind wirklich die durch die Methode 
der kleinsten Quadrate gefundenen Werthe der unbekannten Grössen 
nicht mehr die wahrscheinlichsten, eben so wenig wie die arithme- 
tischen Mittel in dem vorhin angeführten einfachsten aller Fälle. 
Die zweite Begründungsart lässt uns ganz im Dunkeln, was bei 
einer mässigen Anzahl von Beobachtungen zu thun sei. Die Me- 
thode der kleinsten Quadrate hat dann nicht mehr den Rang eines 
von der Wahrscheinlichkeitsrechnung gebotenen Gesetzes, sondern 
empfiehlt sich nur durch die Einfachheit der damit verknüpften 
Operationen. 

Der Verfasser, welcher in gegenwärtiger Abhandlung diese 
Untersuchung aufs neue vorgenommen hat, indem er von einem ähn- 
lichen Gesichtspunkte ausgeht, wie de Laplace, aber den Begriff des 
mittleren zu befürchtenden Fehlers auf eine andere, und wie ihm 
scheint, schon an und für sich natürlichere Art, feststellt, hofft, 
dass die Freunde der Mathematik mit Vergnügen sehen werden, 
wie die Methode der kleinsten Quadrate in ihrer neuen hier gege- 
benen Begründung allgemein als die zweckmässigste Combination 











Anzeigen. 195 


der Beobachtungen erscheint, nicht näherungsweise, sondern nach 
mathematischer Schärfe, die Funktion für die Wahrscheinlichkeit 
der Fehler sei, welche sie wolle, und die Anzahl der Beobachtungen 
möge gross oder klein sein. 

Mit dem Hauptgegenstande ist eine Menge anderer merkwür- 
diger Untersuchungen enge verbunden, deren Umfang aber den Ver- 
fasser nöthigte, die Entwickelung des grössten Theils derselben 
einer künftigen zweiten Vorlesung vorzubehalten. Von denjenigen, 
die schon in der gegenwärtigen ersten Abtheilung vorkommen, sei 
es uns erlaubt, hier nur ein Resultat anzuführen. Wenn die 
Funktion, welche die relative Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen 
Fehlers ausdrückt, unbekannt ist, so bleibt natürlich auch die 
Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler zwischen ge- 
gebene Grenzen falle, unmöglich: dessenungeachtet muss, wenn 
nur allemal grössere Fehler geringere (wenigstens nicht grössere) 
Wahrscheinlichkeit haben als kleinere, die Wahrscheinlichkeit, dass 
der Fehler zwischen die Grenzen — = und + x falle, nothwendig 


.. u . . : ” YA 1 . 
grösser (wenigstens nicht kleiner) sein, als u wenn z kleiner 


2 


ist als mV 3, Er EEG 


Ip’ wenn z grösser ist 


als mV, wobei m den bei den Beobachtungen zu befürchtenden 


mittleren Fehler bedeutet. Für z- = mV: fallen, wie man sieht, 


beide Ausdrücke zusammen. 


2. 
(Göttingische gelehrte Anzeigen. 1823, Februar 24.) 


Eine am 2. Febr. der Königl. Societät von Hrn. Hofr. Gauss 
überreichte Vorlesung, überschrieben: 


Theoria Combinationis observationum erroribus minimis obnozwiae, pars 
posterior, 


steht im unmittelbaren Zusammenhange mit einer früheren, wovon 

in diesen Blättern (1821, Februar 26.) eine Anzeige gegeben ist. 

Wir bringen darüber nur kurz in Erinnerung, dass ihr Zweck war, 

die sogenannte Methode der kleinsten Quadrate auf eine neue Art 

zu begründen, wobei diese Methode nicht näherungsweise, sondern 
13* 


196 Änzeigen. 


in mathematischer Schärfe, nicht mit der Beschränkung auf den 
Fall einer sehr grossen Anzahl von Beobachtungen, und nicht ab- 
hängig von einem hypothetischen Gesetze für die Wahrscheinlich- 
keit der Beobachtungsfehler, sondern in vollkommener Allgemein- 
heit, als die zweckmässigste Combinationsart der Beobachtungen 
erscheint. Der gegenwärtige zweite Theil der Untersuchung ent- 
hält nun eine weitere Ausführung dieser Lehre in einer Reihe von 
Lehrsätzen und Problemen, die damit in genauester Verbindung 
stehen. Es würde der Einrichtung dieser Blätter nicht angemessen 
sein, diesen Untersuchungen hier Schritt für Schritt zu folgen, 
auch unnöthig, da die Abhandlung selbst bereits unter der Presse 
ist. Wir begnügen uns daher, nur die Gegenstände von einigen 
dieser Untersuchungen, die sich leichter isolirt herausheben lassen, 
hier anzuführen. 

Die Werthe der unbekannten Grössen, welche der Methode 
der kleinsten Quadrate gemäss sind, und die man die sichersten 
Werthe nennen kann, werden vermittelst einer bestimmten Elimi- 
nation gefunden, und die diesen- Bestimmungen beizulegenden Ge- 
wichte vermittelst einer unbestimmten Elimination, wie dies schon 
aus der Theoria Motus Corporum Coelestium bekannt ist: auf eine 
neue Art wird hier a priori bewiesen, dass unter den obwaltenden 
Voraussetzungen diese Elimination allemal möglich ist. Zugleich 
wird eine merkwürdige Symmetrie unter den bei der unbestimmten 
Elimination hervorgehenden Coefficienten nachgewiesen. 

So leicht und klar sich diese Eliminationsgeschäfte im allge- 
meinen übersehen lassen, so ist doch nicht zu leugnen, dass die 
wirkliche numerische Ausführung, bei einer beträchtlichen Anzahl 
von unbekannten Grössen, beschwerlich wird. Was die bestimmte 
Elimination, die zur Ausmittelung der sichersten Werthe für die 
unbekannten Grössen zureicht, betrifft, so hat der Verfasser ein 
Verfahren, wodurch die wirkliche Rechnung, so viel es nur die 
Natur der Sache verträgt, abgekürzt wird, bereits in der T’heoria 
Motus Corporum Coelestium angedeutet, und in einer im ersten 
Bande der Commentt. Rec. Soc. R. Gott. befindlichen Abhandlung, 
Disquwisitio de elementis elliptieis Palladis, ausführlich entwickelt. 
Dieses Verfahren gewährt zugleich den Vortheil, dass das Gewicht 
der Bestimmung der einen unbekannten Grösse, welche man bei 
dem Geschäft als die letzte betrachtet hat, sich von selbst mit er- 
giebt. Da nun die Ordnung unter den unbekannten Grössen gänz- 











Anzeigen. 197 


lich willkürlich ist, und man also welche man will, als die letzte be- 
handeln kann, so ist dies Verfahren in allen Fällen zureichend, 
wo nur für eine der unbekannten Grössen das Gewicht mit ver- 
langt wird, und die beschwerliche unbestimmte Elimination wird 
dann umgangen. | 

Die seitdem bei den rechnenden Astronomen so allgemein ge- 
wordene Gewohnheit, die Methode der kleinsten Quadrate auf 
schwierige astronomische Rechnungen anzuwenden, wie auf die 
vollständige Bestimmung von Cometenbahnen, wobei die Anzahl 
der unbekannten Grössen bis auf sechs steigt, hat indess das Be- 
dürfniss, das Gewicht der sichersten Werthe aller unbekannten 
Grössen auf eine bequemere Art als durch die unbestimmte Elimi- 
nation zu finden, fühlbar gemacht, und da die Bemühungen einiger 
Geometer*) keinen Erfolg gehabt hatten, so hat man sich nur so 
geholfen, dass man den oben erwähnten Algorithmus so viele male 
mit veränderter Ordnung der unbekannten Grössen durchführte, 
als unbekannte Grössen waren, indem man jeder einmal den letzten 
Platz anwies. Es scheint uns jedoch, dass durch dieses kunstlose 
Verfahren in Vergleichung mit der unbestimmten Elimination in 
Rücksicht auf Kürze der Rechnung nichts gewonnen wird. Der 
Verfasser hat daher diesen wichtigen Gegenstand einer besonderen 
Untersuchung unterworfen, und einen neuen Algorithmus zur Be- 
stimmung der Gewichte der Werthe sämmtlicher unbekannten 
Grössen mitgetheilt, der alle Geschmeidigkeit und Kürze zu haben 
scheint, welcher die Sache ihrer Natur nach fähig ist. 

Der sicherste Werth einer Grösse, welche eine gegebene 
Funktion der unbekannten Grössen der Aufgabe ist, wird gefunden, 
indem man für letztere ihre durch die Methode der kleinsten 
Quadrate erhaltenen sichersten Werthe substituirt. Allein eine 
bisher noch nicht behandelte Aufgabe ist es, wie das jener Be- 
stimmung beizulegende Gewicht zu finden sei. Die hier gegebene 
Auflösung dieser Aufgabe verdient um so mehr von den rechnenden 
Astronomen beherzigt zu werden, da sich findet, dass mehrere der- 
selben dabei früher auf eine nicht richtige Art zu Werke ge- 
gangen sind. 

Die Summe der Quadrate der Unterschiede zwischen den un- 





*) z, B. Plana’s. Siehe Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissen- 
schaften, Band VI, S. 258. 


198 Anzeigen, 


mittelbar beobachteten Grössen, und denjenigen Werthen, welchen _ 
ihre Ausdrücke, als Funktionen der unbekannten Grössen, durch 
Substitution der sichersten Werthe für letztere erhalten (welche 
Quadrate, im Fall die Beobachtungen ungleiche Zuverlässigkeit 
haben, vor der Addition erst noch durch die respectiven Gewichte 
multiplicirt werden müssen) bildet bekanntlich ein absolutes Minimum. 
Sobald man daher einer der unbekannten Grössen einen Werth 
beilegt, der von dem sichersten verschieden ist, wird ein ähnliches 
Aggregat, wie man auch die übrigen unbekannten Grössen be- 
stimmen mag, allezeit grösser ausfallen, als das erwähnte Minimum. 
Allein die übrigen unbekannten Grössen werden sich nur auf eine 
Art so bestimmen lassen, dass die Vergrösserung des Aggregates 
so klein wie möglich, oder dass das Aggregat selbst ein relatives 
Minimum werde. Diese von dem Verfasser hier ausgeführte Unter- 
suchung führt zu einigen interessanten Wahrheiten, die über die 
ganze Lehre noch ein vielseitigeres Licht verbreiten. 

Es fügt sich zuweilen, dass man erst, nachdem man schon 
eine ausgedehnte Rechnung über eine Reihe von Beobachtungen 
in allen Theilen durchgeführt hat, Kenntniss von einer neuen Beob- 
achtung erhält, die man gern noch mit zugezogen hätte. Es kann 
in vielen Fällen erwünscht sein, wenn man nicht nöthig hat, des- 
halb die ganze Eliminationsarbeit von vorne wieder anzufangen, 
sondern im Stande. ist, die durch das Hinzukommen der neuen 
Beobachtung entstehende Modification in den sichersten Werthen 
und deren Gewichten zu finden. Der Verfasser hat daher diese 
Aufgabe hier besonders abgehandelt, ebenso wie die verwandte, 
wo man einer schon angewandten Beobachtung hintennach ein 
anderes Gewicht, als ihr beigelegt war, zu ertheilen sich veran- 
lasst sieht, und, ohne die Rechnung von vorne zu wiederholen, die 
Veränderungen der Endresultate zu erhalten wünscht. 

Wie der wahrscheinliche Fehler einer Beobachtungsgattung 
(als bisher üblicher Maassstab ihrer Unsicherheit) aus einer hin- 
länglichen Anzahl wirklicher Beobachtungsfehler näherungsweise 
zu finden sei, hatte der Verfasser in einer besonderen Abhandlung 
in der Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften 
(1816, März u. April) gezeigt: dieses Verfahren, sowie der Gebrauch 
des wahrscheinlichen Fehlers überhaupt, ist aber von der hypothe- 
tischen Form der Grösse der Wahrscheinlichkeit der einzelnen 
Fehler abhängig, und musste es sein. Im ersten Theile der gegen- 











Anzeigen. 199 


- wärtigen Abhandlung ist nun zwar gezeigt, wie aus denselben Datis 


der mittlere Fehler der Beobachtungen (als zweckmässiger Maassstab 
ihrer Ungenauigkeit) näherungsweise gefunden wird. Allein immer 
bleibt hierbei die Bedenklichkeit übrig, dass man nach aller Schärfe 
selten oder fast nie im Besitz der Kenntniss der wahren Grösse 
von einer Anzahl wirklicher Beobachtungsfehler sein kann. Bei 
der Ausübung hat man dafür bisher immer die Unterschiede zwischen 
dem, was die Beobachtungen ergeben haben, und den Resultaten 
der Rechnung nach den durch die Methode der kleinsten Quadrate 
gefundenen sichersten Werthen der unbekannten Grössen, wovon 
die Beobachtungen abhängen, zu Grunde gelegt. Allein da man 
nicht berechtigt ist, die sichersten Werthe für die wahren Werthe 
selbst zu halten, so überzeugt man sich leicht, dass man durch 
dieses Verfahren allemal den wahrscheinlichen und mittleren Fehler 
zu klein finden muss, und daher den Beobachtungen und den daraus 
gezogenen Resultaten eine grössere Genauigkeit beilegt, als sie 
wirklich besitzen. Freilich hat in dem Falle, wo die Anzalıl der 
Beobachtungen vielemale grösser ist als die der unbekannten Grössen, 
diese Unrichtigkeit wenig zu bedeuten; allein theils erfordert die 
Würde der Wissenschaft, dass man vollständig und bestimmt über- 
sehe, wieviel man hierdurch zu fehlen Gefahr läuft, theils sind 
auch wirklich öfters nach jenem fehlerhaften Verfahren Rechnungs- 
resultate in wichtigen Fällen aufgestellt, wo jene Voraussetzung 
nicht stattfand. Der Verfasser hat daher .diesen Gegenstand 
einer besonderen Untersuchung unterworfen, die zu einem sehr 
merkwürdigen höchst einfachen Resultate geführt hat. Man braucht 
nämlich den nach dem angezeigten fehlerhaften Verfahren gefun- 
denen mittleren Fehler, um ihn in den richtigen zu verwandeln, 
nur mit 


V nn -- 0 
I. 
zu multipliciren, wo sc die Anzahl der Beobachtungen und oe die 
Anzahl der unbekannten Grössen bedeutet. 

Die letzte Untersuchung betrifft noch die Ausmittelung des 
Grades von Genauigkeit, welcher dieser Bestimmung des mittleren 


Fehlers selbst beigelegt werden muss: die Resultate derselben 
müssen aber in der Abhandlung selbst nachgelesen werden. 


200 Anzeigen, 


3. 


(Göttingische gelehrte Anzeigen. 1826, September 25.) 


Am 16. September überreichte der Herr Hofr. Gauss der König]. 
Societät eine Vorlesung: 


Supplementum Theoriae combinationis observationum erroribus 
minimis obnoxiae. 

Bei allen früheren Arbeiten über die Anwendung der Wahrschein- 
lichkeitsrechnung auf die zweckmässigste Benutzung der Beob- 
achtungen, und namentlich auch in der Behandlung dieses Gegen- 
standes im fünften Bande der Commentationes recentiores, liegt in 
Beziehung auf die Form der Hauptaufgabe eine bestimmte Vor- 
aussetzung zu Grunde, die allerdings den meisten in der Aus- 
übung vorkommenden Fällen angemessen ist. Diese Voraussetzung 
besteht darin, dass die beobachteten Grössen auf eine bekannte 
Art von gewissen unbekannten Grössen (Elementen) abhängen, 
d. i. bekannte Funktionen dieser Elemente sind. Die Anzahl dieser 
Elemente muss, damit die Aufgabe überhaupt hierher gehöre, 
kleiner sein, als die Anzahl der beobachteten Grössen, also diese 
selbst abhängig von einander. 

Inzwischen sind doch auch die Fälle nicht selten, wo die ge- 
dachte Voraussetzung nicht unmittelbar stattfindet, d. i. wo die 
beobachteten Grössen noch nicht in der Form von bekannten Funk- 
tionen gewisser unbekannter Elemente gegeben sind, und wo man 
auch nicht sogleich sieht, wie jene sich in eine solche Form bringen 
lassen; wo hingegen zum Ersatz die gegenseitige Abhängigkeit der 
beobachteten Grössen (die natürlich auf irgend eine Weise gegeben 
sein muss) durch gewisse Bedingungsgleichungen gegeben ist, wel- 
chen die wahren Werthe von jenen, der Natur der Sache nach, 
nothwendig genau Genüge leisten müssen. Zwar sieht man bei 
näherer Betrachtung bald ein, dass dieser Fall von dem anderen 
nicht wesentlich, sondern bloss in der Form verschieden ist, und 
sich wirklich der Theorie nach leicht auf denselben zurückführen 
lässt: allein häufig bleibt dies doch ein unnatürlicher Umweg, der 
in der Anwendung viel beschwerlichere Rechnungen herbeiführt, 
als eine eigene der ursprünglichen Gestalt der Aufgabe besonders 
angemessene Auflösung. Diese ist daher der Gegenstand der gegen- 
wärtigen Abhandlung, und die Auflösung der Aufgabe, welche sie 
als ein selbständiges von der früheren Abhandlung unabhängiges 








\ 


Anzeigen. _ 201 


Ganze giebt, hat ihrerseits eine solche Geschmeidigkeit, dass es 
sogar in manchen Fällen vortheilhaft sein kann, sie selbst da an- 
zuwenden, wo die bei der älteren Methode zu Grunde liegende Vor- 
aussetzung schon von selbst erfüllt war. 

Die Hauptaufgabe stellt sich hier nun unter folgender Ge- 
stalt dar. Wenn von den Grössen v, v’‘, v” etc., zwischen welchen 
ein durch eine oder mehrere Bedingungsgleichungen gegebener 
Zusammenhang stattfindet, eine andere auf irgend eine Art ab- 
hängig ist, z. B. durch die Funktion « ausgedrückt werden kann, 
so wird eben dieselbe auch auf unendlich viele andere Arten aus 
jener bestimmt, oder durch unendlich viele andere Funktionen, statt 
u, ausgedrückt werden können, die aber natürlich alle einerlei 
Resultate geben, insofern die wahren Werthe von », v‘, v” etc., 
welche allen Bedingungsgleichungen Genüge leisten, substituirt 
werden. Hat man aber nur genäherte Werthe von », v’, ©” etc., 
wie sie Beobachtungen von beschränkter Genauigkeit immer nur 
liefern können, so können auch die daraus abgeleiteten Grössen auf 
keine absolute Richtigkeit Anspruch machen: die verschiedenen für 
« angewandten Funktionen werden, allgemein zu reden, ungleiche, 
aber was die Hauptsache ist, ungleich zuverlässige Resultate geben. 
Die Aufgabe ist nun, aus der unendlichen Mannigfaltigkeit von 
Funktionen, durch welche die unbekannte Grösse ausgedrückt 
werden kann, diejenige auszuwählen, bei deren Resultat die möglich 
kleinste Unzuverlässigkeit zu befürchten bleibt. 

Die Abhandlung giebt eigentlich zwei Auflösungen dieser Auf- 
gabe. Die erste Auflösung erreicht das Ziel auf dem kürzesten 
Wege, wenn wirklich nur eine unbekannte von den Beobachtungen 
auf eine vorgeschriebene Art abhängige Grösse abzuleiten ist. 
Allein die nähere Betrachtung dieser Auflösung führt zugleich auf 
das merkwürdige Theorem, dass man für die unbekannte Grösse 
genau denselben Werth, welcher aus der zweckmässigsten Combi- 
nation der Beobachtungen folgt, erhält, wenn man an die Beob- 
achtungen gewisse nach bestimmten Regeln berechnete Verän- 
derungen anbringt, und sie dann in irgend eine beliebige Funktion, 
welche die unbekannte Grösse ausdrückt, substituirt. Diese Ver- 
änderungen haben neben der Eigenschaft, dass sie allen Bedingungs- 
gleichungen Genüge leisten, noch die, dass unter allen denkbaren 
Systemen, welche dasselbe thun, die Summe ihrer Quadrate (inso- 
fern die Beobachtungen als gleich zuverlässig vorausgesetzt wurden) 


202 | | Anzeigen, 


die möglich kleinste ist. Man sieht also, dass hierdurch zugleich 
eine neue Begründung der Methode der kleinsten Quadrate gewonnen 
wird, und dass diese von der Funktion « ganz unabhängige Aus- 
gleichung der Beobachtungen eine zweite Auflösungsart abgiebt, 
die vor der ersten einen grossen Vorzug hat, wenn mehr als eine 
unbekannte Grösse aus den Beobachtungen auf die zweckmässigste 
Art abzuleiten ist: in der That werden die Beobachtungen dadurch 
zu jeder von ihnen zu machenden Anwendung fertig vorbereitet. 
Nur musste bei dieser zweiten Auflösung noch eine besondere An- 
leitung hinzukommen, den Grad der Genauigkeit, der bei jeder 
einzelnen Anwendung erreicht wird, zu bestimmen. Für dies alles 
enthält die Abhandlung vollständige und nach Möglichkeit: einfache 
Vorschriften, die natürlich hier keines Auszuges fähig sind. Eben- 
so wenig können wir hier in Beziehung auf die, nach der Ent- 
wickelung der Hauptaufgaben, noch ausgeführten anderweitigen 
Untersuchungen, welche mit dem Gegenstande in innigem Zusam- 
menhange stehen, uns in das Einzelne einlassen. Nur das eine 
merkwürdige Theorem führen wir hier an, dass die Vorschriften 
zur vollständigen Ausgleichung der Beobachtungen immer einerlei 
Resultat geben, sie mögen auf die ursprünglichen Beobachtungen 
selbst, oder auf die bereits einstweilen amvollständig ausgeglichenen 
Beobachtungen angewandt werden, insofern dieser Begriff in der 
in der Abhandlung näher bestimmten Bedeutung genommen wird, 
unter welcher, als specieller Fall, derjenige begriffen ist, wo mit 
den Beobachtungen schon eine zwar vorschriftsmässig ausgeführte, 
aber nur einen Theil der Bedingungsgleichungen berücksichtigende 
Ausgleichung vorgenommen war. 

Den letzten Theil der Abhandlung machen ein paar mit Sorg- 
falt ausgearbeitete Beispiele der Anwendung der Methode aus, die 
theils von den geodätischen Messungen des Generals von Krayenhoff, 
theils von der vom Verfasser selbst im Königreich Hannover aus- 
geführten Triangulirung entlehnt sind, und die dazu dienen können, 
sowohl die Anwendung dieser Theorie mehr zu erläutern, als auch 
manche dergleichen Messungen betreffende Umstände überhaupt in 
ein helleres Licht zu stellen. 

Die trigonometrischen Messungen gehören ganz besonders in 
das Feld, wo die Wahrscheinlichkeitsrechnung Anwendung findet, 
und namentlich in derjenigen Form Anwendung findet, die in der 
gegenwärtigen Abhandlung entwickelt ist. Gerade hier ist es 














Anzeigen, 203 


Regel, dass mehr beobachtet wird, als unumgänglich nöthig ist, 
und dass so die Messungen einander vielfältig controlliren. Nur 
durch die Benutzung der strengen Grundsätze der Wahrscheinlich- 
keitsrechnung kann man von diesem Umstande den Vortheil ganz 
ziehen, der sich davon ziehen lässt, und den Resultaten die grösste 
Genauigkeit geben, deren sie fähig sind. Ausserdem aber geben 
jene Grundsätze zugleich das Mittel, die Genauigkeit der Messun- 
gen selbst, und die Zulässigkeit der darauf gegründeten Resultate 
zu bestimmen. Endlich dienen sie dazu, bei der Anordnung des 
Dreieckssystems, aus mehreren, unter denen man vielleicht die Wahl 
hat, das zweckmässigste auszuwählen. Und alles dieses nach festen 
sicheren Regeln, mit Ausschliessung aller Willkürlichkeiten. Allein 
sowohl die sichere Würdigung, als die vollkommenste Benutzung 
der Messungen ist nur dann möglich, wenn sie in reiner Autenthi- 
cität und Vollständigkeit vorliegen, und es wäre daher sehr zu 
‚wünschen, dass alle grösseren auf besondere Genauigkeit Anspruch 
machenden Messungen dieser Art immer mit aller nöthigen Aus- 
führlichkeit bekannt gemacht werden möchten. Nur zu gewöhnlich 
ist das Gegentheil, wo nur Endresultate für die einzelnen gemesse- 
- nen Winkel mitgetheilt werden. Wenn solche Endresultate nach 
richtigen Grundsätzen gebildet werden, indem man .durchaus alle 
einzelnen Beobachtungsreihen, die nicht einen durchaus unstatt- 
haften Fehler gewiss enthalten, dazu concurriren lässt, so ist der 
Nachtheil freilich lange nicht so gross, als wenn man etwa nur 
diejenigen Reihen beibehält, die am besten zu den nahe liegenden 
Prüfungsmitteln passen, welche die Summen der Winkel jedes Drei- 
ecks und die Summen der Horizontalwinkel um jeden Punkt herum 
darbieten. Wo dies durchaus verwerfliche Verfahren angewandt 
ist, sei es aus Unbekanntschaft mit den wahren Grundsätzen einer 
richtigen Theorie, oder aus dem geheimen Wunsche, den Messungen 
das Ansehen grösserer Genauigkeit zu geben, geht der Maassstab 
zu einer gerechten Würdigung der Beobachtungen und der aus 
ihnen abzuleitenden Resultate verloren; die gewöhnliche Prüfung 
nach den Winkelsummen in den einzelnen Dreiecken und bei den 
Punkten, wo die gemessenen Winkel den ganzen Horizont um- 
fassen, scheint dann eine Genauigkeit der Messungen zu beweisen, 
von der sie vielleicht sehr weit entfernt sind, und wenn andere 
Prüfungsmittel, durch die Seitenverhältnisse in geschlossenen Poly- 
gonen oder durch Diagonalrichtungen, vorhanden sind, werden diese 


204 Anzeigen, 


die Gewissheit des Daseins von viel grösseren Fehlern verrathen. 
Umgekehrt aber, wenn die zuletzt erwähnte Voraussetzung statt- 
findet, und das Ausgleichen der Beobachtungen in Beziehung auf 
die Prüfungsmittel ohne die sicheren Vorschriften der Wahrschein- 
lichkeitsrechnung versucht ist, wo es immer ein Herumtappen im 
Dunkeln bleiben muss, und grössere, oft viel grössere, Correctionen 
herbeiführt, als nöthig sind, kann leicht dadurch ein zu ungünstiges 
Urtheil über die Messungen veranlasst werden. Diese Bemerkungen 
zeigen die Wichtigkeit sowohl einer hinlänglich ausführlichen Be- 
kanntmachung, als einer auf strenge Prineipien gegründeten mathe- 
matischen Combination der geodätischen Messungen: sie gelten aber 
offenbar mehr oder weniger bei Beobachtungen jeder Art, astrono- 
mischen, physikalischen u. s. w., die sich auf das Quantitative be- 
ziehen, insofern die Mannigfaltigkeit der dabei stattfindenden Um- 
stände zu wechselseitigen Controllen Mittel darbietet. 


4. 


(@öttingische gelehrte Anzeigen. 1809, Junius 17.) 


T'heoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium. 
Auctore Carolo Frid. @auss. Hamburgi, 1809. Sumtibus Frid. Perthes et 
J. H. Besser. XII S. Vorrede, 228 S. Text und 20 S. Tabellen nebst einer 
Kupfertafel. gr. Quart. 


Zu der schärferen Ausfeilung der Elemente eines Himmels- 
körpers hat man nicht die möglich kleinste Zahl von Beobachtun- 
gen, sondern so viele, als nur zu Gebote stehen, anzuwenden. Wie 
man sich dabei zu verhalten habe, lehrt der dritte Abschnitt. Hier 
war der Ort, die Haupt-Momente von einer für jede Anwendung 
der Mathematik auf die Körperwelt höchst wichtigen Frage zu 
entwickeln, wie Beobachtungen und Messungen, die bei der Un- 
vollkommenheit unserer Sinne und Werkzeuge unvermeidlich immer 
mit Fehlern, wenn auch noch so geringen, behaftet sind, am zweck- 
mässigsten zur Festsetzung von Resultaten zu combiniren sind. 
Die Grundsätze, welche hier ausgeführt werden, und welche von 
dem Verfasser schon seit 14 Jahren angewandt, und von dem- 
selben schon vor geraumer Zeit mehreren seiner astronomischen 
Freunde mitgetheilt waren, führen zu derjenigen Methode, welche 
auch Legendre in seinem Werke: Nouwvelles methodes pour la deter- 


- 


nn 


Anzeigen. 205 


mination des orbites des cometes, vor einigen Jahren unter dem 
Namen Methode des moindres carres aufgestellt hat: die Begrün- 
dung der Methode, welche von dem Verfasser gegeben wird, ist 
diesem ganz eigenthümlich. Eine weitere Ausführung hat man 
von demselben in der Folge zu erwarten. 


5. 


(Göttingische gelehrte Anzeigen. 1810, December 13.) 


Am 25. November übergab Herr Prof. Gauss der Königl. 
Societät der Wissenschaften eine Vorlesung: 


Disquisitio de elementis elliptieis Palladis ex oppositionibus 
annorum 1803, 1804, 1805, 1807, 1808, 1809. 


Die Berechnung des vierten Systems von Elementen ist nach 
den Grundsätzen geführt, die in dem 3. Abschnitt des 2. Buches 
der Theoria motus corporum coelestium entwickelt sind, und die 
vorliegende Abhandlung giebt auch hierzu mehrere Zusätze, 
die hoffentlich den Astronomen nicht unwillkommen sein werden. 
Zuerst eine bequeme Berechnung der Differential-Aenderungen der 
heliocentrischen Länge und der geocentrischen Breite aus den Diffe- 
rential-Aenderungen der einzelnen Elemente. Sodann ein eigenes Ver- 
fahren, die unbekannten Grössen dem oben erwähnten Grundsatze 
gemäss zu bestimmen. Sind nämlich w, w’, ww” etc. die vorgege- 
benen linearen Funktionen der unbekannten Grössen p, q, r etc., und 
soll das Aggregat w* + w” + w’”” + etc. ein Kleinstes werden, so erhält 
man leicht so viele lineare Gleichungen, als unbekannte Grössey sind, 
aus denen diese durch Elimination bestimmt werden müssen. Diese 
Elimination ist aber, wenn die Anzahl der unbekannten Grössen 
etwas beträchtlich ist, eine äusserst beschwerliche Arbeit, und zwar 
deswegen, weil jede der Gleichungen alle unbekannten Grössen 
enthält. Herr Prof. Gauss hat diese Arbeit sehr bedeutend ab- 
gekürzt; denn obgleich er die Auflösung auch auf so viele lineare 
Gleichungen, als unbekannte Grössen sind, zurückführt, so sind 
diese Gleichungen so beschaffen, dass nur die erste alle unbekannten 
Grössen enthält, aber die zweite von p, die dritte von p und g, 
die vierte von p, q und r frei ist u. s. w., daher die Bestimmung der 


206 Anzeigen. 


unbekannten Grössen in der umgekehrten Ordnung nur noch wenige 
Mühe macht. Ausserdem hat diese Methode noch den Vortheil, 
dass man den kleinsten Werth von 20” + w” + w”” + etc. im voraus 
angeben, und so die Vergleichung desselben mit dem nachher be- 
rechneten, wenn in ze, zo’, ww” etc. die für die unbekannten Grössen 
gefundenen Werthe substituirt werden, zu einer Controlle der 
Rechnung benutzt werden kann. 





Bemerkungen. 


Zu S. 24 bis 27. Die nicht vorhandene Gleichungsnummer (6) fehlt auch in der 
Originalausgabe ebenso wie in dem Abdruck der T’heoria Combinationis 
in Gauss’ Werken, Band IV. 

Zu 8, 92. Obwohl eine deutsche Uebersetzung der T’heoria motus corporum coe- 
lestium von C. Haase bereits seit 20 Jahren vorliegt, haben wir der Con- 
formität wegen den aufgenommenen dritten Abschnitt des zweiten Buches 
nochmals übersetzt und darauf erst eine Vergleichung mit Haase’s Ueber- 
tragung vorgenommen, 

Zu S. 99. Nach Gauss’ Werken, Band VII, S. 288/289, findet sich bei Art. 176. 
die handschriftliche Aufzeichnung von Gauss: 

Hätten die Hypothesen H, H’ an sich (d. i. vor dem 
Eintreten von E oder. vor erlangter Kenntniss von diesem 
Eintreten) ungleiche Wahrscheinlichkeiten u, w' gehabt, so 
wird man ihnen, nach der Erscheinung von E, Wahrschein- 
lichkeiten beilegen müssen, die den Produkten uh, wh’ pro- 
portional sind. 

Zu S. 102. In Bezug auf das Integral 

+ © y % 
— h?2 12 
em ar =- 
— 

macht Gauss in v, Zach’s Monatlicher Correspondenz, Band XXI, S. 280, 

folgende Bemerkung: 

Dass Euler schon das Theorem gefunden hat, woraus der 
schöne, von mir Laplace beigelegte Lehrsatz, sehr leicht 
abgeleitet werden kann, fiel mir selbst schon früher ein, 
als aber die Stelle, Art. 177., schon abgedruckt war; ich 
wollte es aber nicht unter die Errata setzen, weil Zaplace 
wenigstens das obige Theorem doch erst in der dort ge- 


brauchten Form aufgestellt hat. 
Vergl. auch Gauss’ Werke, Band VII, S. 280 und S. 289/290, 


208 


Bemerkungen. 


Zu 8. 134, Zeile 3v.o. Nach Gauss’ Werken, Band IV, S. 144, findet sich neben 


Zu 8. 148. Die Chronometerbeobachtungen sind 1824 bei Gelegenheit der von der 


Zu 8, 


dem Satz: 


‚Zwischen denselben Grenzen wollen wir allgemein den 
Werth des Integrals 


Sy(z)a” de 
durch K® bezeichnen, 
die handschriftliche Berichtigung: 
Oder vielmehr, das Integral /y(x)a”dz zwischen den 
Grenzen 2 = O bis x = © soll durch = Ko bezeichnet 


werden. 


englischen Admiralität veranstalteten Expedition zur chronometrischen 
Bestimmung der Längenunterschiede zwischen Altona, Bremen, Helgoland 
und Greenwich ausgeführt worden. Näheres, auch in Betreff der Re- 
duktion der von Gauss nicht berechneten Chronometer, siehe in den Astro- 
nomischen Nachrichten, Band V, 8. 225. 

166, Zeile 16 v.o. In der Originalausgabe des Breitenunterschiedes u. s. w, 
steht — 0,012” an Stelle von + 0,012”. Die Nachrechnung hat aber die 
Richtigkeit des + Zeichens ergeben, in Uebereinstimmung mit den Zahlen- 
werthen 3,75” (8. 164, Zeile 14 v. u.) und 3,76” (8. 166, Zeile 20 v. o.). 


Ausserdem sind von uns, zumeist in Folge der fast überall durchgeführten 


Controll- oder Nachrechnungen, noch einige andere Druckfehler aufgedeckt worden, 
welche unmittelbar im Text verbessert sind. 


Einige Abweichungen gegen die Originale haben wir uns nur insofern 


erlaubt, als veraltete Schreibweisen im Texte sowohl wie in den Formeln dem 
gegenwärtigen Gebrauche gemäss verändert sind, indem z. B. y(x) statt px, 
x” statt zx u. 8. w. gesetzt wurde. 


Die Herausgeber. 








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. This book is due on the last date stamped below, or 
on the date to which renewed. 


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