Acta Mathematica

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A ^o-;

ACTA

MATHEMATICA

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ACTA MATHEMATICA

ZKITSCHRIFT JOURNAL

11ERAU8QE0EBEN UEDIiQE

VON PAIl

G. MITTAG -IjEFPLER

11

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BERLIN iW-1888. P^^K^^

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REDACTION

SVERIGE:

A. V. Bäcklund, Lund.
H. Th. Dauo, Upsala.

H. Gyldén, Stockholm.

SOPHIE K0WALEV8KI, D

A. Lindstedt, »

G. Mittag-Leppler, i>

NORGE:

C. A. Bjebknes, Christiania.
O. J. Broch, d

S. Lie, Leipzig.

L. Sylow, Fredrikshald.

DANMARK:

L. LoBENZ, Kjöbenhavn.

J. Petersen, i>

H. G. Zeuthen, i»

FINLAND:
L. Lindelöp, Helsingfors.

••••• •••••

•• •• •

DEMONSTRATION D'UN

THÉORÉME GENERAL SUR LES FONCTIONS UNIFORMES

LIÉES PAR UNE RELATION ALGÉBRIQUE.

Extrait d*une lettre adressée å M. Mittag-Leffler

PAR

EMILE PICARD

å PARIS.

Le théoréme que je me propose de démontrer peut étre énoncé de
la maniére suivante.

Si entré deux fonctions analytiques uniformes d'une variable eidste
une relation algébrique de genre supérieur å Tunité, ces fonctions ne
pourront avoir de point singulier essentiel isolé.

Je posséde de cette proposition deux demonstrations essentiellement
dififércntes. La premiére, qui s^appuie sur la théorie des fonctions fuch-
siennes, ne sera ä tres peu prés que la reproduction de celle que j'ai
donnée, il y a quelques années, dans le Bulletin des sciences ma-
thématiques 7^ (1883), p. 107 — 116, pour une proposition moins gé-
nérale en apparence, mais identique au fond ä celle que je viens d'énon-
cer. Quant a la seconde, j'en ai seulement autrefois indiquc le principe
dans un cas particulier, et c'est a une ingenieuse remarque de M. Huu-
wiTZ que je dois d'avoir pu la pousser jusqu'au bout.

Premiére demonstration*

1. Mon point de départ est dans la proposition suivante qui resulta
des recherches de M. Poincaré sur les fonctions fuchsiennes {Mémoire

Ada malktmalic», 11. Imprimé le 20 Novembre 1887. \

^ \-\^«

2 Emile Picard.

sur les groupes des ^nations linéaires, Acta Mathematica tome 4).
X et y étant lies par la relation algébrique

(O f{x,y) = o

de genre au moins egal a deux, on peut trouver une équation linéaire
du second ordre

(oii (p est rationnelle en x et y) n'ayant d^autres points singuliers que
les points analytiques (a; = a , y = 6) , points singuliers de Téquation ( i ),
et jouissant des propriétés suivantes. Si Ton prend deux intégrales con-
venables a>j et a)^, Téquation

— = w

donne pour x une fonction fuchsienne de w, fonction qui n'est définie
que pour les valeurs de w, dans lesquelles le coefficient de i est positif.
De pluSj dans le voisinage d'un point analytique {x = ajy = b) (6 faisant

partie d'un systéme circulaire de p racines), le quotient' — sera fonction

1
uniforme de {x — ay , et enfiny aucune des substitutions du groupe de

Téquation linéaire n*est parabolique.

La fonction u de o?, que nous venons de définir, a pour chaque

valeur de x une infinité de déterminations; quel que soit Xy toutes ces

déterminations ont des valeurs finies, et, dans ces expressions mises sous

la forme ordinaire des quantités complexes, le coefficient de i est toujours

positif et dififérent de zéro. u désignant Tune dentre elles, toutes les

autres sont données par la formule

Au + B
Cu + D

ou Ay B y C et D sont réels, avec AD — BC = i.

La substitution {A y B y C y D) est une substitution du groupe fuch-
sien défini plus haut. Ce groupe, comme je Tai dit, ne renferme pas de
substitutions paraboliques.

DéoiODStratioD (1'ud théorémc géoöral sur les fonctions uDiformeB. 3

2. Ces resultats étant admisy soient

X = P{z), y = Q{z)

*

deux fonctions analytiques, nniformes dans le voisinage d'un point a, que
nous allons supposer étre, pour ces fonctions, un point singulier essentiel
isolé. Je suppose qu'entre x et y existe une relation algébrique

f{x ,y) = o

de genre egal ou supérieur a deux.

J'envisage la fonction w de rr, définie plus haut; je remplace dans
cette fonction x par P{z); u devient une fonction de Zj dont nous allons
faire Tétude, dans le voisinage de a, c'est-a-dire ä Tintérieur d'un certain
cercle C décrit du point a comme centre, cercle a Tintérieur duquel les
fonctions P{z) et Q{z) sont uniformes et ont le seul point singulier
essentiel a/

Dans le voisinage de toute valeur de Zy k laquelle ne correspond

pas un systéme de valeurs de rr et y qui donnent un point singulier de

la relation algébrique, la fonction u est évidemment uniforme. Soit

maintenant z =.z^ une valeur de z pour laquelle on ait x = a', y = é',

cette derniére faisant partie d*un systéme circulaire de p racines; Téqua-

tion P{z) = a' admettra la racine z = z^ a un degré de multiplicité

multiple de pj puisque la valeur de y tirée de lequation (i) doit étre

une fonction uniforme de z. Or u{x) étant dans le voisinage dea; = a'

i

fonction uniforme de {x — a')'', sera par suite une fonction uniforme de
z dans le voisinage de z^, Nous concluons de la que u est une fonction
uniforme de Zy dans tout contour simple, situé ä Tintérieur de C et ne
comprenant pas le point a.

Nous allons maintenant rechercher la forme de u dans le voisinage
du point a. Soit pour un point du cercle C une détermination u de
la fonction u{z); quand z fait un tour complet autour du point a dans
le sens positif, x = P{z) décrit dans son plan une courbe également
fermée, et par conséquent la nouvelle détermination de «* a la forme

Au + B
Cu + D'

4 Emile Picard.

cette substitution étant une des substitutions du groupe dont il a été
parlé précédemment, et deux cas vont étre a distinguer, suivant que
cette substitution est hyperbolique ou elliptique.

3. Supposons d^abord que la substitution (^,J5,(7,D) soit hy-
perbolique. On a alors {A + I^Y > 4- On peut alors, comme il est
bien connu, trouver cinq quantités reelles a , ^ j j- y å et A, telles que

— —hr- se reproduise multiplié par k apres un tour complet de z autour

du point a,

k est d'ailleurs une constante positive différente de Tunité; de-
signons par /jl son logarithme arithraétique. Le quotient

reprend par suite la méme valeur apres un tour complet, et Ton peut

écrire

la fonction ip{z) étant unifonne dans le cercle C; (p{^z\ n*aura dans ce
domaine d'autre point singulier que le point a, car le dénominateur
X '\' du ne peut jamais devenir nul, puisque j ^t d sont réels. De plus
ip{z) ne s'annulera jamais, puisque a + ^a ne peut s'annuler; par suite,

le quotient ^-j-l est uniforme et continu dans C ä Texception de a.

On peut alors écrire

= • • • + ttAv» + Z^ +Ä + B{z—a) + ...,

<p{z) ' ' ' ' (« — a)" * ,z — a

serie double procédant suivant les puissances croissantes de ^ — a. En
intégrant, on voit de suite que A^ doit étre un entier m positif ou né-
gatif, puisque f>{z) est uniforme; on a donc

f{z) étant uniforme dans C et continue a Texception du point a. En
resumé, nous obtenons

DémoDstratioD d'uD théoréme general sur Ics foDCtioDs uDiformes. 5

/*

y + ån ^ '

Or le coefficient de i dana le premier membre a un signe invariable,
puisque dans u le coefficient de i est toujours positif ; nous allons montrer
que le coefficient de % dans le second niembre ne peut avoir un signe
constant; écrivons a cet effet

Si dans cette expression le coefficient de é a toujours le méme signe,
le signe + pour fixer les idées, le coefficient de i dans

i:^^ '^^''^'^' — '') ^ M

devra rester compris entré 2Ä';r et (2Ä; + i)^? c'est-ä-dire entré dcux li-
mites fixes.
Posons

(åi + "') ^''S (^ - «) + M = f^ + iF.

Il est tout d'abord evident que, si m n'est pas nul, V ne peut
rester entré deux limites fixes, car une rotation autour du point a aug-
mente V de 2mr.

Supposons donc m = o; Tégalité précédente pourra s'écrire

T / v , 2;ri -/ s 2;rF , 2TdU

ou

A(«)

{z — a)ef' =e ^ e ^ .

Mais le module du second membre reste compris entré deux li-
mites déterminées, tandis que le premier peut devenir aussi petit que
Ton veut, que f{z) soit continue ou non au point z = a.

Il résulte de la contradiction que nous venons de rencontrer que
la substitution {A y B , C y D) ne peut étre hyperbolique.

4. Supposons maintenant que la substitution soit elliptique. Nous
avons dans ce cas

{Ä + Dy < 4.

6 Emile Picard.

On pourra encore trouver quatre quantités a , ^ , /^ , <? et k telles
que ^ se reproduise iiiultiplé par k apres un tour de z autour de

a; mais ici ces quantités ne sont plus reelles. On a pour déterminer le
rapport åe y k d Téquation du second degré

B(r + {D — Ä)dr — Cf = o,

«-

et pareillement

B(i^ + (/) — Äjfia — Ca' = o;

-j et ^ sont donc racines de Téquation du second degré

B + {D — Ä)x — Cx' = o,

dont les racines sont imaginaires, puisque

(J +!))'< 4 et AD—BC=i.

Nous prendrons pour -^ la racine dans laquelle le coefficient de i

est négatif, et par suite dans ^ le coefficient de i sera positif.

Quant au multiplicateur Ä, il est nécessairement une racine de
Tunité, sans quoi le groupe dont fait partie la substitution (J, B,(7,D)

ne serait pas un groupe discontinu; nous poserons donc k = e "" , m et
h étant positifs et premiers entré eux.
Ceci pose, considérons le quotient

m

}^ + du ^ ^

ce quotient sera une fonction uniforine dans le domaine C.
Ecrivons donc

^^ = (.-«)"{.(.).

D'aprés ce que nous avons dit plus haut, le coefficient de i dans

Y O.

— ^ est' négatif, tandis qu*il est positif dans — -^. Le dénominateur
y '\' 8u ne peut donc 8'annuler, puisque dans u le coefficient de i est

Demonstration d^un théoréme general sur les fonctions uniformes. 7

toujours positif; il y a plus, le module du premier membre reste toujours
inférieur ä une limite qu'il serait facile d'assigner. On en conclut que
le point z = a ne peut étre un point singulier essentiel pour f^{z). Ge
point est donc un p61e ou un point ordinaire pour la fonction jp; dans
ces conditions, Texpression

m

n étant plus' grand que i et m étant premier ä n, ne peut que tendre
vers zéro ou augmenter indéfiniment quand z tend vers a; la seconde
supposition étant, d'aprés ce qui précéde, inadmissible, cette expression
a la valeur zéro pour z = a. Nous arrivons donc ä cette conclusion:
De quelque maniére que z tende vers le point a, la fonction u

tend vers — -^ . Or, pour u = — ^ , la fonction f uchsienne x de Uj dé-

finie par la relation (n*' 1)

£0

posséde une valeur parfaitement déterminée; donc, de quelque maniére
que z tende vers a, la fonction a; = P(^) tend vers une valeur déter-
minée, ce qui est en contradiction avec Thypothése que le point a est
un point singulier essentiel de P{z).

La substitution {A , B ^ C j D) ne peut donc étre elliptique; or,
comme le groupe ne renferme que des substitutions elliptiques et hyper-
boliques, il ne nous reste plus qu'a supposer que la fonction u de ^ est
uniforme dans le voisinage de a.

6. L' examen de ce cas sera bien facile. On aurait alors

u = A{z) + B{z\

ou

A{z) = A^ + A^{z — a) + ...,

^ ^ z — a (z — ar

• • • •

B{z) doit étre nuUe, sinon le coefficient de i dans la fonction u aurait
un signe variable. On a donc

w = J, + M^ — «) + M^ — ay + ....

8 Emile Picard.

Dans la constante J^, le coefficient de i doit étre différent de zéro
et positif; il ne peut, en effet, étre nul, car alors le coefficient de i dans
u serait le méme que dans

A^{z — a) + Ä^(z — «)' + ...,

et ce dernier dans le voisinage de ^ = a n'a évidemment pas un signe
constant.

On voit donc que, quand z tend vers a, u tend vers une valeur
A^ dans laquelle le coefficient de i est différent de zéro et positif. En
raisonnant comme plus haut, nous en concluons que, pour ^ = a, la
fonction P{z) a une valeur parfaitement déterrainée.

Il est maintenant bien aisé de conclure. Nous sommes en effet, par
ce qui précéde, conduit a cette conclusion que le point a ne peut étre
un point singulier essentiel de P{z) et Q{z). Cest donc bien, comme
on voit, le théoréme énoncé au debut qui se trouve ainsi démontré
d'une maniére complétement rigoureuse. On peut encore dire, ce qui
reviendra au méme, que:

Si entré deux fonctions analytiques uniformes ayant un point singulier
essentiel isolé, existe une relation algébrique, le gefire de cette relation ne
peut dépasser un.

Secande demon siraUio^i»

6. Nous allons maintenant donner une seconde demonstration du
méme théoréme, sans rien emprunter ä la théorie des fonctions fuchsi-
ennes. A cet effet, nous supposerons d'abord que la relation f{x , y) = o
soit hyperelliptique; nous pourrons alors nous placer dans Thypothése ou
cette relation a précisément la fot^me

1/ = {x — b,){x — b,)...{x — &„);

&i , 63 , • . . , 6» sont n constantes différentes et n est supérieur ä quatre.
Nous supposons, comme plus haut, que Ton puisse poser

x = P{z), y=Q{z)

P et Q étant des fonctions analytiques, uniformes dans le voisinage d'un
point a, qui sera pour ces fonctions un point singulier essentiel isolé.

Demonstration d un théorömo general sur los fonctions uniformes. 9

Il est clair que les équations

P{z) = h, P{z) = h„ . . . , P{z) = K,

n auront dans le cercle C que des racines d'un degré pair de multiplicité.
Ceci pose, formons le quotient

dP

dz

V(P - \tr - \\p - h,){P - 6j

ce sera une fonction R{z\ uniforrne dans le cercle C, et continue sauf
au point a qui pourra étre pour clle un point singulier essentiel. Nous
pouvons donc écrire

p

dP

J v(P-fc.)...{P-/0

= fB{z)dz = S{z) + A log {z — a)

m

S[z) désignant une fonction uniforrne dans C, et continue sauf au point
a, qui pourra etre pour elle un point singulier essentiel; A rcprésente
une constante, et 27riA est évidemment une somme de multiples de pc-
riodes de Tintégrale elliptique.

On conclut de lä que P(^) est une fonction doublement périodique
(f de S{z) + -41og(^ — a), soit

P{2) = if[S{z) + AWr[z^a)\

Je vais maintenant montrer que P{z) ayant cette fornie, Téquation

(I) P{z) = b

oii h est difiFérent de &i , ö^ , ^3 , ^4 ne peut avoir dans C toutes ses ra-
cines d'un degré pair de multiplicité. Remarquons d'abord que la dé-
rivée de ^{u) considérée comme fonction de w ne sannule que quand ^
prend une des valeurs b^^b^j b^ ou b^; il en résulte que si z = z^ est
une racine d'un certain degré de multiplicité de Téquation (i), elle sera
racine du méme degré de multiplicité de Téquation:

S{z) + A log {z — a) = S{z,) + A log {z^ — a).

Acta mathtmatiea. 11. Imprimé le 3 Décembr« 1887. 2

10 Emilo Picard.

Si (lonc nons désignons par u^ et u^ les racines de Téquation jr(w) = 6
dans un parallélogramme de périodes (a> , a>'), toutes les équations

S{z) + A log {z — a) = u^ +

(2)

S{z) + ^ log (il — a) = w, +

f ^ .f

10) + mo)
lOD + ^*'<w

oii m et ih' sont des entiers quelconquep, devront avoir dans (7 toutes
leurs racines d'un degré pair de multiplicité.
Considérons maintenant la fonction

S(t)
A

(å{z) = {z — a)e

cest une fonction uniforme dans C, et continue sauf au point a qui est
pour el le un point singulier essentiel. Les équations

n auront dans G que des racines d'un degré pair de multiplicité, car ces

équations sont identiques aux équations (2), puisque, comme nous Tavons

dit, on a

27tiA = aa> + y9ö>'

OL oX [i étant des éntiers. De plus, ces équations sont en norabre infini;
nous avons donc une fonction é(^) uniforme dans C, continue sauf au
point singulier essentiel a, et telle que pour une infinUé de valeurs de A,

Téquation

Q{z) = h

a dans C toutes ses racines de degré pair de multiplicité. Cest a la
demonstration de Timpossibilité de ce fait que nous sommps ramené.

En considérant quatre des valeurs possibles de h, et en raisonnant
sur ö, comme nous avons raisonné plus haut sur P, on montrera que
jTj désignant une fonction doublement périodique, on a:

(3) ö^(^) = F,[5,(^) + Alog(^-a)]

S^[z) étant une fonction de méme nature que S et ö.

Or Videntité (3) est inadmissihle. Car soit X + mw^ + m'oD[ une serie
de poles de la fonction j^^, dont a>' et od[ désignent les périodes; les
équations

(4) 6'j(^) + w4j log {z — a) = X J^ mwy + m'o)[

DéoioDStratioD dun théoréme general sur Ics foDCtioos uniformes. ^ 11

auront certaineinent des racines dans le cercle C, car ces équations re-
viennent aux équations:

8i(x) X + tni0i + m'cu'i

{z — a)e~^ = e ^>

(en se rappelant la relation nécessaire 2;r/^i = a^w^ + y9iö>I).

Le second membre a une infinité de valeurs quand on donne aux
enticrs m et m' toutes les valeurs entiéres possibles. Or si Ton considére
la fonction:

{z — a)e^»

elle prend une infinité de fois dans le voisinage de a toute valeur donnée,
deux exceptions seulenient étant possibles, d'aprés une proposition géné-
rale que j^ii donnée autrefois sur les valeurs d'une fonction unifonne
dans le voisinage d'un point singulier essentiel/ Pour une racine de
Téquation (4), §{z) sera infini, ce qui est en contradiction avec le fait
que §{z) doit étre continue pour tous les points de Ca Texception seule-
ment de a.

Le théoréme est ainsi coniplétement démontré pour les courbes hy-
perelliptiques.

7. Il a été supposé, dans ce qui précéde, que la relation entré x
et y était hyperelliptique. Mes tentatives, pour passer au cas general,
navaient pas été couronnées de succés, mais on peut cepcndant acliever
la demonstration, en restant dans le ménie ordre dMdées, grace a une
remarque fort intéressante que m'a communiquée M. A. Hurwitz dans
une lettre déja ancienne.

Soit f{x , y) = o, la relation que Ton ne suppose pas hyperelliptique,
et pour laquello on a par conséquent p > 2, A Téquation précédente,
le savant géométre associc une relation

fii^ ' ?/i) = o de genre p = 2

jouissant des propriétés suivantes: les points de ramification de la fonc-
tion algébrique y^ de x sont tous compris parmi les points de ramifica-
tion de la fonction algébrique y de x (on suppose, pour plus de simpli-
cité, et comme il est •])ermis, que tous les points de ramification de la

* Mémoire sur les fonctions entiéres (Annalcs de Pécolc normale supéricurc
de Paris, 1880).

12 ' Eiuilc Picard.

foiictictn donnent seulement des cycles de deux racines), et dans le voi-
sinage de tout point analytique {x , //) la fonction y^ peut étre considérée
comme une fonction uniforine du point {x^y). Uéquation /^(^ , //,) peut
d^ailleurs étre déterniinée d'une infinitc de maniores, comme le montre
la considération de la surface de Kiemann correspondant a f{x , y) = o.
Substituons maintenant dans cette fonction y^ de x

X = P{z),

y^ va devenir une fonction de z, uniforme et continuc dans le voisinage
de tout point du cercle C, autre que le point a; quand z fera un tour
autour du point «, y^ pourra ne pas retrouver la méme valeur, mais
comme y^ \\\\ qu'un nombre limite do valeurs, on est assuré qu'apros un
certain nombre de tours, soit m , yj reprendra sa valeur initiale. Or posrms

A il Z

X sera une fonction uniforme de z' dans le voisinage de z' = o, et y^ sera
pareillement une fonction uniforme de cette méme variable; nous avons
donc deux fonctions x et y^ de /, uniformes dans le voisinage de z'=o
qui est pour elles un point singulier essentiel isolé, et liées par la relation

dont le genre est egal a deux. Cette conclusion est inadmissible d'apres
ce que nous avons dit d'une maniere générale des relations hyperellip-
tiques. Le théoréme est donc, cette fois, établi sans aucune restriction.

8. Des deux demonstrations precédentes, la seconde ne faisant pas
appel a la thcorie des fonctions fuchsiennes a évidemment un caractere
plus élémentaire. El le est cependant beaucoup plus artificielle, et il me
parait plus naturel, pour démontrer Timpossibilité en question, de s^adres-
ser précisément aux fonctions uniformes réalisant cette expression des
coordonnees d'une courbe algebrique a Taide d'un paramctre. Les fonc-
tions fuchsiennes se justifient en quelque sorte ainsi elles mémes; je
veux dire qu'on peut tenir pour certain, d^apres le théoréme qui fait
Tobjet de cet artide, qu'il est impossible d^obtenir des fonctions uni-
formes plus simples que celles de M. Poincahé pour exprimer les coor-
donnees d'une courbe algebrique de genre quelconque.

Paris, le ii Octobre 1887.

13

EINE VERALLGEMEINERUNG DER DEKADISCHEN SCHREIBWEISE

NtBST

FUNCTIONENTHEORETISCHER ANWENDUNG

VON

EMIL STRAUSS

in FRANKFURT »/M.

Bekaiintlich lassen sich vide Sätze iiber ganze rationale Fiinctionen
auch auf ganze transcendente Functionen ttbertragen. Man könnte daher
verniutlien, dass dies auch bei dem folgenden Satze der Fall ist:

»Wenn eine ganze rationale Function mit rationalcn Coefficienten för
eine Wurzel einer irreductibeln algebraischen Gleichung verschwindct, so
versclnvindet sie fttr scimmtliche Wurzeln derselben.»

Wttrde sich dieses Theorem auch auf ganze transcendente Func-
tionen (d. h. Functionen, die durch beständig convergente Potenzreihen
darstellbar sind,) ausdehnen lassen, so wJlre damit ein einfacher Beweis
fCir die Transcendenz von tt erbracht. Dieser Satz ist indessen nicht
richtig und * es soll in den folgenden Zeilen eine ganze transcendente
Function mit rationalcn Coefficienten construirt werden, welche zwar för
eine Wurzel, nicht aber zugleich för die anderen Wurzeln einer irre-
ductibeln algebraischen Gleichung verschwindct. Es ist dies auf mannig-
faltige Weise möglich, am bequenisten wohl mit Benutzung der im fol-
genden zu entwickelnden Darstellung einer beliebigen Grösse, einer Dar-
stellung, die sich als Verallgemeinerung der dekadischen Schreibweise
auffassen lässt.

Acta mathrmatica. II. Iiiif rimö le 3 Dccctubre 1887.

14

Eiuil Strauss.

I.

Es sei gegeben eiiie unendliche Keihe von Grössen

und zwar möge sein:

6*1 y 6*3 ,

} ^v 7

c, =

I

I

•-«.'

6'., =

«,«,

6* =

a. /A . . , ttv

• ■ •

^l'^i

wo die Grössen

Otj , Otj j . . .

irgend welche ganze positive Zahlen ausser o und i bedeuten. Es lässt
sich dann jede positive, rationale odcr irrationale Grösse w, die kleiner
ist als I, in der Form darstcllen:

O) = a^c^ + a./^ + a^c^ + . . . ,

wo öj , öj , ... ganze Zahlen bedeuten, die den Ungleichungen genögen

^1 < Äp

"o ^* ^-i > • • • •

Um diesen Satz zu beweisen genögt es die Methode anzugeben, wie die
Grössen a gefunden werden, wenn die Grössen a gegeben sind.
Man setze

r

(0.(2)

[a,ft>] = «]

[a^^M^] = a,

[a,o\ .,] == a,

a^(D

Ctx = O)

0L.iO'i (1,2 = €0.2

a^€o.,,.i — a

v = <o.

Dabei bedeutet [x] die grösste gAnze Zahl, welche nicht grösser ist als x]
es sind deninach die Grössen (Oi , (o^ j . . . ^ (o^, samrntlich echte Brttehe,
es sei denn, dass eine derselben und mithin alle folgenden verschwinden.
In dem letzteren Falle ist die Darstellung eine endliche, sonst ist sie un-
endlich. Die Grössen a genQgen ferner der geforderten Bedingung

(ly < a^.

Eine VorallgemeiDcruDg der dekadisohen Schreibweisc Dobst AnweDdang. 15

Die Darstellung liefert einen convergenten Åusdruck; deim es ist

a^ a^a^ a, öj . . . öy = a, a//, tfitfs . . . a,

also

Endlich ist zu ^eigen, dass

(3) limro, -^-^_ . . . ^!^1 = o.

Multiplicirt man die v ersten von den Gleichungen (2) der Reihe nach mit

I I I
— j j • • . ,

und addirt dann, so erhält man

ttj tt^a, ttiA, . . . tty 6fia, . . . tfy ai^s ... a

y

woraus die Glcichung (3) sich ergiebt. Damit ist der in Rede stehende
Satz erwiesen.

Es seien noch, wiewohl ftir unseren nachstén Zweck unnöthig, die
folgenden Bemerkungen zu dieser Darstellungsweise einer Zahl, welche
eine Verallgemcinerung der dekadisohen Schreibweise repräsentirt, hin-
zugefttgt.

i^ Wenn von irgend einem Index ab jede Grösse a den höchsten
Werth hat, den sie haben känn, so lässt sich statt dieser Darstellung
eine endliche geben.

Denn es sei

O) <= a^c^ + a^c^ + . . . + (itC^ + (a^+i — i)c^^i + {a^^^ — \)Cj,^^ + . . . ;
nun ist aber

OD

y«=l

also

(O = a^c^ + rt,c, + . . . + at_iCi_i + («» + \)c^.

16 Emil Strausä.

Dieses ist eine endliche Darstellung und wenn a^ + i < a^, so ist dle-
selbe auch von der gewtinschten Form; wo nicht, so muss sein

also

{a, + i)c, = c,^,.

Mithin ist die noch körzere Darstellung möglich

Dieses ist nun die gewtinschte Form, wenn a^.i + i.<a4_i; wo nicht,
so verfährt man wie eben. Schliesslich muss man auf diese Wcise zum
Ziele gelangen, da ö> < i vorausgesetzt wird und die Ungleichung statt-
findet

(«i + 0^1 £ I-

2^ Abgesehen von dem eben erwähnten Falle giebt es flir eine
Grösse (o stets nur eine Darstellung in der gewttnscliten Form, nämlich
die oben gelehrte.

Denn wenn w sich in zweierlei Weise darstellen liesse:

und

^1^1 I ^^2^2 "T • • • I ^k^k "T ^4r+l^*-fl + . • . = 6* ,

SO seien die ersten beiden von einander verschiedenen Grössen a die-
jenigen mit dem Index fc + i, während die vorangehendcn tibereinstim-
men mogen und zwar sei

dann ist

(4) s > a,Ci + a^Cr, + . . . + a^c, + (a;^i + i)c,+i.

Da wir voraussetzen, dass keine der Darstellungeri zu den oben erwähnten
gehöre, d. h. zu denen, bei welchen von irgend einem Index ab jedes a
um I kleiner ist als das entsprechende a, so ist

d. h. < c,^i,

Eine Verallgonieincrung der dekadischen Schreibwcise ncbst AnwcDdiing. 1

al SO

(5) «' < «I^i + öjc, + . . . + o',c, + (a;+, + i)c,+i;

durch ycrgleichung von (4) und (5) ergiebt sich

s > s'.

IL

Wir wollen jetzt mit Hilfe dieser Verallgemeinerung der dekadischen
Schreibwcise einer Zahl cine ganze transcendeiite Function bilden, die
zwar för eine, nicht aber fttr jede Wurzel einer irreductibeln Gleichung
verschwindet.

Als die irreductible Gleichung wahlen wir die Gleichung:

»

kx^ — 1=0,

wo k eine positive ganze, nicht quadratische Zahl bedeutet. Es sei ferner

(O eine beliebige irrationale Grösse, welche nur die beiden Ungleichungen

befriedigt:

(O < I und (Oyjk < i.

Wir entwickeln dann die beiden Grössen w und WyjTc auf die in I
gezeigte Weise; dabei soll sein

«! = Ä, Oj = 2kj • • • > «v = ^kj . . .

also

Die Entwicklungen seien:

wo

Oy < vA, h^ < vk.

Aeta mathrmatirn. 11. Imprimé le 2 Déccmbre 1887. o

18 Emil Strauss.

Betrachten wir jetzt die beiden Potenzreihen

F(x) ^^x' +^x'+ ...+ ^x"^ + ...

I I I *

BO sind diese beständig convergent; denn setzt man statt der Grössen a
und b ihre oberen Grenzen, so erhält man nöch immer eine beständig
convergente Reihe, nämlicjh die Rcihe fOr Å-rrV*.
Nun ist

Setzt man daher endlich

H{x) = F{x)'^xO{x),
so ist

a{+^l) = o, h{->/1) = 20,.

Demnach hat die ganze transcendente Function B.{x\ welche rationale
Cöefficienten besitzt, die Eigenschaft zwar fQr eine Wurzel der obigen
irreductibeln Gleichung zu verschwinden, nicht aber fQr die andere.

19

NOTE SUR LA FONCTION

" Uittx

PAB

M. LERCH

å VINOHBADT.

Soit X une quantité dont la partie imaginaire est positive ou nulle,
w une quantité reelle positive et moindre que Tunité et soit $ une quan«
tité dont la partie reelle est supérieure a Tunité. En representant par
{w + k)' la quantité e»^8<«'+*>, oii le logarithme est pris en sens arithmé-
tique, considérons la somme

convergente pour chaque valeur de 5, si la partie imaginaire de x est
supérieure ä zéro, et ne convergente que pour les valeurs de $ dont la
partie reelle est positive, si x est une quantité reelle.
En se rappelant de la formule connue

OD

yg-<-+*)v-'rf^ =

IX')

(w + ky

nous aurona

00 00

r{s)si{w jXjs) = 52/^"""*^'"*'"^^"^^^-

Aetm mthemmttem, 11. Imprimé U 3 Décembre 1887.

20 M. Lcrch.

ör on peut démontrcr aisément Tégalité suivante

i_A A «/ Ä^W

—'Ijzix)

I JrcO

et il s'cnsuit la formule

OD

o

En appliquant un raisonnement du a Riemann * et employé dans une
excellente communication de M. Hurwitz ^ nous ferons voir quc la serie
(i) est une fonction transcendante entiére de s et nous développerons une
relation qui nous semble meriter d'étre signalée.
Considérons Tintégrale

(3) K{w,x, S) =J ^_^,,,,,,

(00,0, 00)

prise le long d'un contour fermé (coay9/-aoo) enveloppant Torigine au
moyen d'un cercle a^a du rayon a iie cont^nant ni ä son intérieur ni
ä sa périphérie aucun des points 2;r/(a; + v), (p = o , + i , + 2 , + 3 , . . .).
Nous avons représenté, dans cette intégrale, par sf^^ la quantité
^*-i)ig«^ la partie imaginaire de Igz étant supposée ou nullc ou positive
et non supérieure a 2;r, de sorte que la fonction z'^^ est continue dans
tout le plan des z a Texception des points de la coupure (o . . . co) ou
elle est discontinue de la maniére qu'on peut exprimer par les formules

le logarithme y étant pris en sens arithmétique. Nous avons évidem-
ment

a QO

^ re--'z'-^dz r e-'z'-^ dz ,,..,),,, fe-^z^-^dz ,

/ I — e^rrtx-z ■" / I — ^^nix-z • ^ / i g2r/x-*

« (fl/Sya) a

* Cber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegébenen Grösse (Monatsber. der
Preuss. Akad. der WisBensch. 1859).

' Zeitschrift fUr Mathem. uud Physik t. 27, 1882.

Notc sur la fonction S^{iv ^ a;, s). 21

et én hous rappelant de ce que

/e-^'z'-^ dz

1

a
(afya)

nous auroris

K = 2 /V"' sin 7rsr{s)lk{tv , x , &•),

et puisqu'oii a

/•(ä)/Xi-5) = -,'^

siQ;r8

il s'ensuit la formule

(4) Si{w,x,s) = e-'''r\\ — s) ^ K{;w ,x,s).

27n

L'intégraie K donnée par la formule (3) existe évidemment pour
chaque valeur finie de s et on démontre aisément qu^elle est une fonc-
tion transcendante entiére de cette variable. Cette intégrale de vant s*an-
nuler, d'aprés le théoréme de Cauchy, pour 5=1,2,3,... et la
fonction f(i — s) ne devenant infinie que pour ces valeurs-ci, il suit de la
formule (4) que ^{w ^ x j s) est elle-méme une fonction transcendante
entiére de S] c. q. f. d.

La fonction sous le signe f dans la formule (3) ne devient infinie

que pour z = 27ri{x + p), (^ = o , + i , + 2 , + 3 , . . .). Soit C„ le cercle
du centrc 27rix et du rayon 7r{2n + i), cercle qui ne contient a sa péri-
phérie aucun des infinis de la dite fonction, et représentons par ?l^ le con-
tour composé du contour {Å^afijroiK) ^^ du cercle C^ parcouru dans le sens
rétrograde, X^ désignant Tintersection du cercle C^ ävec Taxe réel. Ce
contour ?l^ limite une aire finie simplement connexe qui ne contient

d'autres infinis de la fonction sous le signe f dans la formule (3) que
les sui vants:

Z = (^X -{^ U). (v-0, ±1, Jt-i, ±3...., ±n)

Cela étant, le théoréme de Cauchy nous donne

22 * 31. Lorch.

en désignant par [2m{x + A;)}'"^ la quantité e^^-D^g^^rtcx+i)^ j^ partie iina-
ginaire du logarithme étant supposée ou nulle ou positive et non supé-
rieure ä 2;r.

La quantité w étant reelle, positive et moindre que Tunité la fonction

e~""Ä* e^^''^^'z'

l — ^inix-t g< — ^2jtix

sera moindre en valeur absolue qu*une certaine quantité finie pour chaque
valeur de js appartenant ä la circonférence C,, et si nous supposons que
la partie reelle de s est negative, cette fonction-la devient infiniment petite
pour.les valeurs indéfiniinent croissantes de w, de sorte que nous aurons

et par conséqucnt

00,0 , 00 •

de sorto que la formule (a) nous donne

— 2k7nui

(5) K{w ,x,s) = - 2;r/V--- X ji^ric^T^--' "

Il est perniis de supposer que la partie reelle de x est entré les limites
^(o... i); dans ce oas nous aurons

Or on a, d'aprés les conventions faites plus haut:

jri ,

{ 27ri{x + k)]'-' = (2;r)^-'6' {x + Ä)^-',

-^(i-)

{— 2m{\ —x + k)]'-' = {27ry-'e ' {i — x + k)'",

Notc sur la foDCtion St(w ^ a;, «). 23

de sorte que la formule {5) devient

{Q^jrtwx

(50 ^K{w,x,s)

N0U8 n'avon8 défini la fonction if que pour les valeurs reelles et po-
sitives de w. Représentons par [u*'] la quantité e*'^*'*, la partie imagi-
naire de \gu devant étre contenue entré les limites ( — m . . . m), de sorte
que la fonction [u"] se ra continue et uniforme dans le plan des u affecté
de la coupure ( — 00 ... o) le long de laquelle celle-la est discontinue,
et posons d'une maniére générale

• ^Iknix

D'aprés cette convention nous aurons

{x + ky-' = [ix + Ä)^-'], {1—X + ky-' = e'^^'-'^[{i — x + ky-']

et la formule (5') deviendra

i^^KiwX

-K{WyXyS)

(27r)

= e ^ Si{x , — tv , I — s) + e ^ Ä(i — x ytv y i — 5)
ou, 'd'aprés (4), en changeant 5 en i — s:
(6) Si{w j Xy i — s)

r{8)

{27:y

e '^ 'Si{X y—WyS)+e'^ 'Ä(I — X y W y s)

Cette formule devient une relation concréte en supposant que la partie
imaginaire de x est supérieure a zéro, que w est une quantité reelle

24 M. Lcrch.

entré les limites (o . . . i) et que la partie reelle de s est positive; si
elle fait partie de Tintervalle (o... i), la méme chose aura lieu aussi
dans \e, oas ou la valeur de x est reelle. En exprimant les fonctions ff
par les intégrales K au moyen de la formule (4) on obtient une rela-
tion entré les trois intégrales

K{w , a; , I — 5), K{x , — tv y s), K{\ — x yW ^ s).

Remarquons encore que pour 5 = o la formule (5) nous donne d'apres
une digression facile

5-r = — : lim 7 ' ,

11=3 00

*-— «

formule qui a été donnée par M. Kroneckeu dans les Sitzungsberichte
der Preuss. Akad. der Wissensch. (Avril 1883 et Juillet 1885).

25

Ober die integrale des VIELKÖRPER-PROBLEMS'

VON

H. BRUNS

in LKIPZIO.

I.

1. Die bis jetzt bekannten Integrale des Vielkörper-Problems, riMn-
lich die Schwerpunkts- und Flächen-Sätze und der Satz von der leben-
digen Kraft, besitzen die gemeinsame Eigenschaft, dass sie die Coordinaten
und die Geschwindigkeits-Componenten nur in algebraischen Verbindungen
enthalten. Dieser Umstand, sowie die Vergeblichkeit der bisherigen Be-
mtthungen zur Auffindung weiterer Integrale legen die Vermuthung nahe,
dass der Kreis der algebraischen Integrale mit den genannten abgeschlos-
sen sei. Es soll deshalb hier die Aufgabe behandelt werden, alle alge-
braischen, die Zeit nicht explicite enthaltenden Integrale aufzusiichen.
Das Ergebniss ist, wie hier gleich bemerkt werden soll, negativer Art,
d. h. die noch fehlenden Integrale sind sämmtlich transcendent.

Es seien iK j x^ y y^ , z^ (a = i , 2 , . . . , w ) die Mässen und die Coor-
dinaten der materiellen Punkte, r^ die Distanz der Mässen m„ , m^ ,

t^=S

fa/i

die Kräftefunction för den Fall des NEWTON'schen Gravitationsgesetzes,
dami können wir die Bewegungsgleichungen in der Form

/.\ dXa ^ dXa I dU

^ ^ dt dt m-a dXa

' Mit GeDehmiguDg des Yerfassers abgcdruckt aus den Berichten der Königl.
SächsiBcheD Gosellschaft der Wissenschaften 1887: Math. Cl. I— 39, 55—82.

Aeta ntathffnaUca. 11. Imprimé le 19 Noyembre 1887. 4

26 H. Bnins.

schreiben. Wir beschräiiken uns, wie bereits angedeutet, auf die von t
freien Integrale und bezeichnen, wie ttblich, als Integral einen aus den
X y X y . . . gebildeten Ausdruck jp , dessen Ableitung nach t unter Beröck-
sichtigung der Differentialgleichungen (i) identisch verschwindet, der also
der Bedingung

(2) o==V?^x« + ..-.+V4^.-^ + ...

a '* a

génögt. Ausserdem werden wir mit Ausdrttcken ip zu thun haben, welche
die Bedingung (2) zwar nicht identisch befriedigen, wohl aber in Folge
der Bedingung jr = o. Derartige AusdrQcke wollen wir, in Ermangelung
einer anderen Bezeichnungsweise, kurz »Integralgleichungen» nennen. Solche
Ausdrttcke entstehen z. B. durch Verbindung und Umformung von Glei-
chungen, welche Bestandtheile einer allgemeinen, particulären öder singu-
lären Lösung der vorgelegten Differentialgleichungen sind. Im vorliegen-
den Falle haben wir diese verschiedenen Möglichkeiten nicht naher zu
untersuchen; wir können deslialb auch davon absehen, dass das vorgelegte
Problem tiberhaupt keine singularen Lösungen besitzt.

Zur Abkttrzung des Ausdruckes wollen wir noch festsetzen, dass die
Zeichen S und cR benutzt werden sollen, wenn es sich nur darum handelt,
anzuzeigen, dass eine Grösse eine ganze Function öder eine rationale
Function ist, ohne dass es dabei auf die besondere Form derselben weiter
ankommt.

2. Bei der Aufsuchung der algebraischen Integrale des Systems
(i) wollen wir zunächst ein etwas allgemeineres System von Differential-
gleichungen zu Grunde legen, und erst spater auf das System (i) zurtick-
gehen. Es seien die 2m Variablen :zJi , . . . , o?^; 2/1 , . . ., y^ als Functionen von
t durch das Gleichungssystem

definirt, wo die A^ algebraische Functionen der 0^1 , . . . , rc^ ohne t be-
deuten. Diese algebraischen Functionen können wir uns immer dargestellt
denken als rationale Functionen der x und einer einzigen algebraischen
Irrationalität 5, welche als Wurzel einer irreductiblen Gleichung

(4) F{s , a;. , . . . , .r^) = s« + 5,s"-' +'... + Ä. = o

tJber die lotegrale des Vielkörper- Problems. 27

definirt ist, in der 8^ = ^{x). Wir werden vorlftufig bezöglich der
j^i j . . . j Ä^j F nur folgende zwei Einschränkungen festsetzen. Erstlich
soll F eine ganze homogene Function (vom n^° Grade) der Variablen 8
und Xj ohne willkHrliche, in den A^ nicht vorkommende Constanten, be-
deuten; zweitens sollen die A homogene Functionen der x , s und zwar
von einer geraden Ordnung 2^ sein. Beide Einschrftnkungen treffen för
unser specielles Problem (i) zu. Setzt man namlich

(5) s=rr,^„

und ^chafift man die Quadratwurzeln, als welche sich die r darstellen,
fort, so erhftlt man fttr s in der That eine Gleichung der vorausgesetzten
Art. Ferner werden die Ableitungen der Kräftefunction in (i) homogene
rationale Functionen von den x ^y y z und von 5, und zwar von der Ord-
nung — 2, indem sich jedes r rational durch diese Variablen ausdrticken
lässt. Um sich hiervon zu öberzeugen, hat man nur nöthig, in (5) alle
Quadratwurzeln bis auf eine fortzuschaffen.

Ein algebraisch von den x , y abhängiges Integral ^ der Gleichungen
(3) lässt sich nun immer definiren als Wurzel einer gewissen Gleichung

(6) f ^B,ip'-' + ... + B, = o,

in welcher B^ = åi(x j y) ist, und von der wir voraussetzen dttrfen, dass
sie nicht in Factoren von ähnlicher Beschaffenheit zerlegbar sei. Die
Differentiation nach t liefert

(7) ^A^-. + ...+<a=o.

Verschwinden in dieser Gleichung sämmtliche Coefficienten, so sind die B
rational aus den x , y zusammengesetzte Integrale, also ^ eine algebraische
Verbindung rationaler Integrale. Verschwinden die Ableitungen der B
nicht, so nehmen sie die Form ål{x , y j s) an, und die Gleichungen (6)
und (7) besitzen eine gemeinsame Wurzel, d. h. die Gleichung (6) wird
reductibel, wenn man den Variablen x , // die Irrationalitat 8 Dadjungirt».
Beide Gleichungen besitzen also einen gemeinsamen Theiler

(8) f + C\y^-' + . . . + c;, [C\ = ^{x ,y,z)l

28 H. BruDs.

welcher nicht in Factoren von ahnlicher Form zerlegbar ist und der ver-
schwindet, wenn ftlr ip das betrachtete algebraische Integral substituirt
wird. Die Wiederholung derselben Schlussweise ftthrt zu der Bedingung

welche wegen der Irreductibilität von (8) nicht änders erfnUt sein känn,
als wenn die Ableitungen der C sämmtlich verschwinden. Die C sind
daher Integrale von der Form äl(j;,y,5). Zusammenfassend können wir
also sägen: die gesuchten algebraischen Integrale lassen sich immer als
algebraische Verbindungen von Integralen der Form ^{x , y y s) darstellen.

3. Es sei nun ^ ein Integral von der Form ^{Xji/yS). Denken
wir uns dasselbe als Quotienten zweier Polynome von der Form S(a;,y,5)
geschrieben, so können die Coefficienten in Zahler und Nenner ausser den
in den Differentialgleichungen auftretenden Constanten noch irgend welche
Parameter a^ , a^ , . . . enthalten, denen beliebige constante Werthe beige-
legt werden dttrfen, ohne dass ^ aufhört Integral zu sein. Wir wollen
zeigen, dass ein solches Integral sich allemal als rationale Verbindung
von parameterfreien Integralen derselben Art darstellen lässt. Zu dem
Ende denken wir uns einen Quotienten ^' zweier Polynome D und E
angesetzt, welche genau dieselben Terme wie Zahler und Nenner von ^,
aber mit unbestimmten Coefficienten D^ , Dj, , . . . , resp. E^ y E^ , . . . ent-
halten.

Die Forderung, dass ^' ein Integral sein soU, ffthrt zu der Bedingung

welche, vollständig entwickelt, eine gewisse Anzalil von Gleichungen liefert,
die in Bezug auf die Coefficienten D, , Dj, , . . . , JBj* , JS^^ , . . . bilinear sind.
Diese Gleichungen sind mit einander verträglich, denn sie werden durch
die Coefficienten von ^ erföllt; andererseits sind die D^ , D,, ..., ^j, JS,,...
nicht vollständig durch jene Gleichungen bestimmt, wenn ^ die Parameter
öj , a^ , . . . enthalt. Die allgemeinste Art und Weise, der Bedingung (9)
durch den Quotienten ^' zu genttgen, besteht nun darin, dass die D^D^,...,
jBj , JSj , . . . gewissen Ausdrtlcken gleichgesetzt werden, welche in rationaler
Weise i) eine gewisse Anzahl von Parametern 61,63,...; 2) eine einzige

t)ber die Integrale des Vielkörper-Problems. 29

algebraisch von den Parametern b abhängige Grösse c enthalten. Die
Grösse c können wir uns definirt denken als Wurzel einer irreductiblen
Gleichung

(lo) ^ + c, c*~^ + . . . + c^ = o,

in welcher die c^y c^, . . . die Form ål[b) besitzen. Aus dem auf diese
Art gewonnenen Integral ^' wird ^ erhalten, wenn man ftlr die b gewisse
Verbindungen der Parameter a einsetzt Femer lässt sich jede an f>'
ausftihrbare Umformung öder Zerlegung auch an ^ ausfDhren, so dass
wir uns auf die Untersuchung von jp' beschrftnken dttrfen. Wir denken
uns nun f)' auf die Form

— 1

gebracht, wo die F gleich Ä(a?,y,5,6) sind. Dieser Ausdruck känn
wegen der Irreductibilität von (lo) nicht änders ein Integral sein, als
wenn die F^j F^, ... Integrale sind, d. h, man känn jedes Integral von der
Form ^{x , y y s), welches die Parameter in nicht rationaler Weise enthftlt,
als ein Aggregat von Integralen der Form ^{x j y , s j b) darstellen/

4. Es sei jetzt ^ ein Integral von der Form ^{Xjy,Sjb). Wir
greifen einen der Parameter heraus — derselbe werde b genannt — und
betrachten ^ als Function von b. Wenn <p öder der reciproke Werth
von ^ die Form Q {b) besitzen, so sind offenbar die Coefficienten der ein-
zelnen Potenzen von b m ^ öder dem reciproken Ausdrucke Integrale,
welche den Parameter b nicht enthalten. Wenn weder f), noch der re-
ciproke Werth von ^ nach b ganz rational sind, so schreiben wir jp in
der Form H:K, wo H und K die Form §{b) besitzen. Zerlegen Avir
dann ^ in den nach b ganzen Theil jpj und in den echtgebrochenen Theil
<p^j so sind, wie man sofort durch Entwickelung von ^ nach fallenden
Potenzen von b erkennt, ^^ und ^^ Integrale, und zwar sind auch die
Coefficienten der einzelnen Potenzen von b in ^^ Integrale. Den reci-
proken Werth von ^^ , welcher unecht gebrochen ist, zerlegen wir wieder

* Wenn die DifferentialgleichuDgen gewisse Parameter ^i > <^, ^ • • • ? welche nicht in
der Gleichung fUr 8 vorkommen, in rationaler Weise enthalten, so lässt sich auf ähnliche
Weise zeigen, dass Integrale, in denen die e algebraisch vorkommen, sich auf solche von
der Form ^(^j , e, , . . .) reduciren lassen. Derartige Parameter sind z. B. bcim Vielkörper-
problem durch die Mässen gegeben.

30 H. Bruns.

in den ganzen rationalen Tbeil (p^ und in den echt gebrochenen ^, , dann
sind ip^ und ^, ebenfalls Integrale. Setzt man dieses Verfahren, welches
schliesslich von selbst abbricht, bis an's Ende fort, so gelangt man zu
der Kettenbruchdarstellung

j^ = jr, + I : jPj + 1 : jTj + • • • »

wo die ip^ ganze Functionen der h bedeuten, deren Coefficienten Integrale
ohne den Parameter h sind. Durch Wiedereinrichtung des Kettenbruches
erh&lt man dann ip als Quotienten z^veier ganzen Functionen von fi, deren
Coefficienten von h freie Integrale der Form ^(a; , y , 5) sind.

Durch Wiederholung dieses Verfahrens erkennt man, dass jedes In-
tegral von der Form ^(a; , y , s), welches gewisse Parameter J^ , 6^ , . . .
in rationaler Weise enthält, allemal aus einer Anzahl parameterfreier In-
tegrale in ganz öder gebrochen linearer Form zusammengesetzt werden
känn. Dieser Satz föhrt in Verbindung mit den Clber die DiflFerential-
gleichungen (3) gemachten Voraussetz ungen sofort zu einer för das Fol-
gende wichtigen Consequenz. Es sei ä eine beliebige constante Zahl; man
ersetze in den Differentialgleichungen die Grössen x , t und entsprechend
s , y durch

wo JV die in § 2 angegebene Bedeutung besitzt, dann hebt sich die Grösse
k aus den Differentialgleichungen heraus, und es geht deswegen jedes
Integral ip durch diese Substitution wiederum in ein Integral Qber, wel-
ches jedoch jetzt im AUgemeinen den Parameter k enthält. Es sei nun
ip ein parameterfreies Integral von der Form ^(a?,y,s), welches durch
die angegebene Substitution in ip' öbergehen möge. Wir schreiben jr in
der Form 3)S(rr,y,5) dividirt durch S'(a; , y , s)j>, dann nimmt jeder Tenn
in Z&hler und Nenner nach der Substitution wieder die ursprOngliche
Gestalt an, jedoch mit einer bestimmten Potenz von k multiplicirt, deren
Exponenten wir als die Dimension des betreflFenden Terms bezeichnen.
Schreiben wir nun Zähler und Nenner von ip' in der Form

L = L^k^ -h L^k^-^ 4. . . . + i^,
M = M,k' + M^k'^' + . . . + Jlf^,

tJher die Integrale des Vielkörper-Problems. 31

SO umfassen die Coefficienten L^ , M^ immer nur Terme gleicher Dimen-
sion. Diese Coefficienten mUssen nun durch Multiplication mit einem und
demselben Factor in Integrale ttbergehen, und man erkennt Icicht, dass
man för diesen Multiplicator den reciproken Werth irgend eines der
Coefficienten z. B. i : L^ wahlen darf. Wir erhalten dann p linear zu-
sammengesetzt aus Integralen der Form 3)ö(rr , y, 5) dividirt durch S'(a; , y, s)j>j
deren Zahler und Nenner nur Terme von gleicher Dimension enthalten.
Solche Integrale sollen i>homogen in den Dimensionen» öder, wenn kein
Missverständniss zu beförchten ist, schlechtweg homogen heissen.

6. Es sei jetzt ^ ein homogenes Integral von der Form 9i{x , y y s),
welches wir uns in die Gestalt ^{x ^ y ^ s):§'{x , y y $) gebracht denken.
Da ein von den y freier Ausdruck nicht der Bedingung

dtp

dt-''

identisch genögen känn, wenn er nicht gleichzeitig von den x frei ist, so
muss wenigstens eine der Variabeln y in ^ vorkommen. Es sei dies y^ .
Wir denken uns Zähler und Nenner von ^ nach y^ in Linearfactoren zer-
legt, setzen also an

^i O F = Qivi — ViTdh — v,Y(2/i — vJ • • • ^

wo die a , y9 , 7- , . . . ganze positive öder negative Zahlen, die rj rationale
öder algebraische Functionen der Variabeln x , y , $ unter Ausschluss von
y^ bedeuten und Q eine rationale Function derselben Variablen ist. Da
f> Integral ist, so erhalten wir

^ dlogf ^ dlogQ ^ a / dy^ d^^X

dt dt "^ ^y, — 7;, V di dt,) *

Zur Umformung dieses Ausdruckes woUen wir för den Augenblick die
Zeit ty so w«it sie in den Variablen Xyy y s unter Ausschluss von x^ und
y^ vorkommt, mit r bezeichnen, dann ist

dlogQ _ a log Q dlogQ

dt dx. ^' "^ dr '

32 H. Brons,

also

Da nun y^ iii dieser Gleichung nur insofcrn vorkommt, al» es explicite
hingeschrieben ist, so folgt

^'^ dt dr ^^dx, "•

Zur weiteren Verwendung dieser Relation, welche ofiPenbar in Bezug auf
r^^ eine partielie Diflferentialgleichung darstellt, denken wir uns jetzt Zähler
und Nenner des betrachteten Integrals jr, statt in Linearfactoren, so weit
als möglich in die einfachsten Factoren zerlegt, welche noch die Form
S(y) resp. SHx y s) besitzen. Die von einander verschiedenen Theiler, wel-
che die Variablen y wirklich enthalten, mogen mit ^'i > c^, ? • • • bezeichnet
werden, so dass wir ansetzen können

wo die A , /i , . . . ganze positive öder negative Zahlen bedeuten und T die
Form $l{x y s) besitzt. Die Wurzeln rj in (i i) werden dann erhalten, wenn
man diejenigen ^, welche y, enthalten, gleich Null setzt und nach Vi
auflöst. Es sei ^^{y^) ein solcher Theiler, welcher die in (12) benutzte
Wurzel 7j^ liefert. Dann erhAlt man aus der Identitat

(13) i^i(7i) = o

die Gleichungen

33?, dxa dxa' dfj, dy /i dy/ V/? -2, »,....«;

Beachtet man nun noch die Differentialgleichungen (3), so geht (i2)suc-
cessive ttber in

(;>=«, 3 m)

(■4) A »+s:.v.^ +£<; + ,* = o.

t)ber die Int^grale des Vielkörper-Probloms. 83

Die linke Seite der letzteren Gleichung ist offenbar nichts anderes, als
der vollständig entwickelte Ausdruck för

• dt '

vorausgesetzt, dass fUr y^ ttberall die aus (13) sich ergebende Wurzel tj^
geschrieben wird. Hiernach ist also ^iCyJ eine Integra Igleich ung, denn
die Ableitung von ip^ nach t verschwindet nach (14) wenn nicht identisch,
so doch sicher in Folge der Gleichung

Derselbe Schluss gilt offenbar fttr die Hbrigen Theiler ^. Angenommen
nun man könnte beweisen, dass jeder der Theiler ^jj^jj... durch Multi-
plication mit einem Factor von der Form 3l{XyS) in ein Integral fijf^^,. .
verwandelt werden känn, so wtirde daraus folgen, dass jedes homogenes
Integral ^ sich auf die Form

bringen Iftsst, wo die homogenen Integrale f^i,f^2''" ^^® Form ö(y) resp.
ål{x y s) besitzen, und der Factor [7, welcher höchstens die x^s enthalten
känn, sich auf eine Constante reducirt, weil er der Bedingung

dU

-di = ''

genttgen muss. Ferner wQrde damit die Aufgabe, alle algebraischen In-
tegrale der vorgelegten Differentialgleichungen zu finden, auf die andere
zurllckgeftihrt sein, alle homogenen Integrale der Form S(y) resp. ^{x^s)
zu ermitteln. Wir werden nun zeigen, dass eine solche Reduction der
homogenen Integralgleichungen ^1,^3,..., auf die uns die Untersuchung
geftthrt hat, unter den hier gemachten Voraussetzungen in der That im-
mer möglich ist.

6. Es sei ip eine homogene Integralgleichung der Form ö(y) resp.
^{x , 5), welche sich nicht in Theiler von ähnlicher Gestalt, die die y wirk-
lich enthalten, zerlegen lässt. Der vollständig entwickelte Ausdruck fOr
die Ableitung von ip nach t besitzt eine öhnliche Gestalt wie ^, nur dnss

Acta mathematUm. 11. Imprimé le 19 Notembre 1887. 5

84 H. Braiis.

der Grad in Bezug auf die y um eine Einheit höher ist alg in ^. Diese
Ableitung muss verschwinden, wenn ^ verschwindet, muss also wegen
der vorausgesetzten Irreductibilität von (p durch ip selber theilbar sein,
80 dass wir ansetzen können

wo O) in Bezug auf die y ganz linear und ebenso wie ^ in den Dimen«
sionen homogen ist. Schreiben wir

O)

= ö>. + ^yaO}a,

SO sind die 0)^,01^,... homogene rationale Functionen von den x^s. Sub-
stituirt man ferner fttr die Variabeln a; , < , 5 , y wie fröher

80 ergibt sich, dass die Dimension von w ungerade ist. Ferner sind die
Dimensionen der co^, öij , . . . gerade, die der y ungerade, es muss also in
to das Glied w^ fehlen, d. h. w ist in Bezug auf die y homogen linear.
Dieser Umstand ist för die folgende Beweisftthrung von wesentlicher Be-
deutung und biidet den Grund, weshalb wir in den Differentialgleichungen
(3) die A als homogene Functionen gerader Ordnung in Bezug auf die
X , s vorausgesetzt haben. Es wäre möglich, dass diese Einschränkung bei
einem andern Beweisgange sich als unnöthig herausstellt, Ich gehe auf
diese Frage nicht näher ein, weil sie fOr unser eigentliches Ziel, nämlich
die Aufsuchung der algebraischen Integrale des Eingangs aufgestcllten
Vielkörper-Problems, unerheblich ist.

Es werde ^ als Polynom der y geschrieben; sein Grad in Bezug auf
diese Variabeln sei p, und es werde angesetzt

<P = <Po + ^i + '- y

wo die ^Q9 ^i 9 ... die Terme vom Grade jp , p — i , . . . zusammenfassen.
Mit Rttcksicht auf das Vorhergehende ist dann

(.5) ^».'é-^.-' —z*.'-^-.

tJher die Integrale des Vielkörper-Problems. 85

80 dass es ftir die Untersuchung von w lediglich auf das Anfangsglied
^^ ankommt. Die Coefficienten a>„ in cd hftngen auf einfache Weige mit
gewissen Coefficienten in ip^ ausammen. Man ordne ^^ nach einem der
darin vorkommenden y — sägen wir y^ — und getze an

<po = V,y\ + V,yr' + . . . + n,
wo die V ganze Functionen der tibrigen y sind, dann folgt aus (15)

Sind a ya'y . . . die Coefficienten des Polynoms F^, so ist, da die Relation
(16) fttr beliebige y bestehen muss,

da 9a' ,

^=«^i» äi; = «^i^ etc;

wir können also allireniein ansetzen

a log aa

wo die a^ gewisse Coefficienten in ^^ bedeuten.

Als Vorbereitung fttr das Folgende betrachten wir zunächst den Fall,
wo die Coefficienten in ^^ sämmtlich von der Irrationalitet s frei sind.
Es sei ;f eine Function der a; , y, ganz homogen nach den y, rational
homogen nach den x, welche der Bedingung

(1 7)

V^ 3 log ha

genttgen, wo die 6« gewisse Coefficienten des nach den y geordneten Aus-
druckes ^ bedeuten. Man denke sich sämmtliche Coefficienten in ;f auf
den kleinsten gemeinsamen Nenner M gebracht und den etwa vorhan-
denen gemeinsamen grössten Theiler L aller Coefficientenzähler aufgesucht,
dann ist

X =TX

36 H. BruDs.

em Ausdruck von der Form ^{Xj"y)y welcher keinen von den y unab*
hangigen Theiler der Form S{x) besitzt. Ferner wird

wo die b'^ gewisse Coefficienten in / bedeuten. Es sei nun Q ein ir-
reductibler Theiler von ft^, welcher die Variable x^ wirklich enthält, dann
tritt in r' ein Glied der Form

VadQ
Q dXa

auf, welches sich, so länge specielle Werthsysteme der y ausgeschlossen
bleiben, nicht gegen andere Glieder in r' fortheben känn. Der Ausdruck
f wird also sicher unendlich ftlr alle endlichen Werthsysteme der Xj ftir
welche Q verschwindet. Es mtisste also, da för ehdliche x die linke Seite
von (i 8) sicher endlich bleibt, wider die Voraussetzung, ;f' durch ^ theil-
bar sein. Der Coefficient é^ ist daher von x^ unabhängig, d. h. f ist
gleich NuU und

a

woraus folgt, dass sich / als eine ganze rationale Verbindung der Aus-
drftcke

ohne x^ darstellen Iftsst.
7. Zu der Relation

(.5) Zv'^ - " =Ty-'-^-

zurtickkehrend, wollen wir den Satz beweisen, dass der Ausdruck

^(o„dx

a^'^a

t)ber die lotegrale des Vielkörper-Problems. 37

ein totales Differential ist, dass also die sogenannten Integrabilitätsbe-
dingungen

dWa dw^ 3M0g /aa\

gammtlich erfttllt siiid. Zu dem Ende wollen wir in ip^ die Grössen
ys j • • • j ^m gleich Null setzen, jedoch, um Unbestimmtheiten zu vermeiden,
folgenderraassen vorgehen. Wenn ^^ durch eine Potenz von y^ theilbar
ist, so unterdrttcken wir diesen Theiler, welcher för die Gleichung (15)
bedeutungslos ist, und bezeichnen ^0 niit ^o,m- Darauf setzen wir y^
gleich Null und bezeichnen den Ausdruck, in welchem ^o,m hierdurch
ttbergeht mit ^o,m-i« Derselbe genögt der Gleichung

(a — 1,2 m— 1)

Hierauf unterdröcken wir in ^o,rn-i die etwa als Theiler auftretende Po-
tenz von y^_i und setzen y^_i gleich Null, wodurch wir zu dem Aus-
drucke ^o.m-2 gelangen, u. s. w. Gelangt man auf diese Weise, bevor
auch ^3 gleich Null gesetzt wird, för j^^,* zu einem Monom von der Form

80 känn offenbar in cd fttr die Coefficienten aj , aj , . . . , a^ der eine Coef-
ficient C gesetzt werden, und es 'sind die zu den aus rTi , . . . , a?^ gebildeten
Variablenpaaren gehörigen Integrabilitatsbedingungen von selbst erföllt.
Wir haben deshalb nur noch den ungtinstigsten Fall zu verfolgen, dass
man nämlich, nachdem auch y^ beseitigt ist, mit Unterdrttckung der ein-
flusslosen Potenztheiler zu einem ip^^ von der Form

gelangt, in welchem q mindestens gleich Eins und die Endcoefficienten
c^ und Cq von Null verschieden sind. Dieses ip^^ gentigt der Bedingung

7 Va 2~x ^Va^a^t (a-1,3)

a

wo m

9 lofiT a<

38 H. BruDS.

för die Coefficienten a, , a, offenbar c^ uiid c^ zu iiehmcn sind. Die ge-
fundenen Relationen formen wir um in

c. ^_i . . c.

^ 3 log ^' 3 log /c^\

2. ^^ -^:^ - ^» 1^ IcJ •

Die Coefficienten von ip' können nun die Irrationalität s enthalten. Igt
dies der Fall, so gilt die Gleichung (19) för alle Wurzelwerthe Si, 5, , ..., 5»,
welche s annehmen känn. Summiren wir die den einzelnen Wurzeln ent-
sprechenden Gleichungen (19) und setzen

80 sind 9^ und C homogen rational nach den x; ferner ist

' aiog** 'aiogC

^r^ o log y o 10g o

1 " «

Der Ausdruck ^' ist also eine Function von derselben Beschaflfenheit, wie
die vorhin mit ;f bezeichnete. Bedeutet // den kleinsten gemeinsamen
Nenner der Coefficienten in V', so ist HV^* eine Function der Form 6(iP,y),
welche keinen von den y unabhftngigen Theiler der Form é(a;) besitzt
und der Bedingung

genögt. Es ist also, abgesehen von einem constanten Coefficienten

t)ber die Integrale des Vielkörper-Problems. 39

Hieraus folgt sofort

Co «! "^ \xj

Ä C-:) - °-

Damit sind offenbar die IntegrabilitÄtsbedingungen allgemein bewiesen,
und wir haben ferner ftir das ursprftngliche ^^ die Relation

wo die. q^ ganze positive Zahlen, die Null eingeschlossen bedeuten. Ferner
erkennt inan hieraus, dass

ist, dass also die Integralgleichung^ durch den Multiplicator

in ein Integral yerwandelt wird. W. z. b. w.

Es sei jetzt f das zu ^ gehörige Integral. Wir spalten dasselbe
ähnlich wie ^, setzen also an

f = f^o + f^i + • • • .

wo ^^ sich von ip^ durch den integrirenden Multiplicator unterscheidet
und der Bedingung

1^4^ = °

genOgt. Wir wollen nun zeigen, dass f^ sich als eine ganze rationale
Function der m — i Verbindungen

ohne opj darstellen Iftsst. Zur Vereinfachung des Beweises schicken wir
folgende Bemerkung vorauf.

40 H. Bruns.

8. Angenoinmen man hatte in dem ursprönglichen System von
Differentialgleichungen

"df "" ^«' ~dt ^ ^"(^1 > ^3> • • •)

statt der Variabeln x^y andere Variable f,iy durch die lineare Substitution

OTa = ^Ca^^^y Va = ^V.^;?

eingefiihrt, in der die c feste Zahlen mit nicht verschwindender Deter-
minante bedeuten, so wörde dadurch an den ftber die Differentialglei-
chungen und die IrrationalitUt s gemachten Voraussetzungen nichts geändert
worden sein; es wtlrde also auch die ganze bisherige Untersuchung ohne
Weiteres ftlr das transformirte System gtiltig bleiben. Insbesonderé wtirde
der Satz, dass die hier untersuchten Integralgleichmigen durch einen Mul-
tiplicator von der Form ^(rr , s) in Integrale tibergehen, wenn er vor der
Transformation gilt, auch nach derselben gelten und umgekehrt. Diese
Bemerkung benutzen wir in folgender Weise. , Die Discriminante A der
Gleichung ftir s ist eine homogene ganze rationale Function der x vom
G rade

n{n — i) = /i.

Die Discriminante A' der transformirten Gleichung fQr s geht aus A
hervor, wenn man statt der x die f einftihrt. Bei passender Wahl der
Substitutionscoefficient^n c lässt sich nun stets erreichen, dass in A' die
Glieder mit

fti fil Mk

S 1 > S2 j • • • j Vm

wirklich vorkommen. Es ist deshalb keine wesentliche Einschränkung
der Allgemeinheit, wenn wir annehmen, dass bereits in der ursprQnglichen
Discriminante A die Glieder mit

U^I , ^3 , . . . , J.'^

wirklich vorkommen, da diese Eigenschaft, wenn sie ursprönglich nicht
vorhanden ist, durch eine vor Beginn der ganzen Untersuchung vor-
genommene Transformation stets herbeigeftihrt werden känn.

tJber die Integrale des Vielkörpcr-Problems. 41

Wir denken uns nun in der Gleichung fttr 5 den Variablen rr, , . . . , a;^
irgend welche endliche Werthe, dem x^ dagegen einen ausserordentlich
grossen Werth beigelegt, dann lässt sich jede Wurzel s nach fallenden
Potenzen von x^ in eine Reihe entwickeln, welche unter den gemachten
Voraussetzungen die Form

S = (TX^ + å, +^ + ^, + ...

besitzt. Hierin ist a die Wurzel einer Gleichung

^+ j^^-i + ... + j^ = o,

welche keine mehrfachen Wurzeln besitzt und deren Coefficienten nur von
den in der ursprftnglichen Gleichung ftlr s auftretenden Constanten, aber
nicht von den x abhängen. Die ttbrigen Coefficienten ö*^ , (Tj , . . . besitzen
die Gestalt Sl^tr) resp. S{x^y . . . y xj).

Ftlhrt man jetzt statt der Variablen x neue Variable p durch die
lineare Substitution

P\ — ^1 > P% — ^2 1 ^ ^ • • • > Pm — ^'m •'^i ^

ein, so erhält man das Glied mit p{ in der Discriminante, wenn man an
Stolle der x^j . . . ^x^ resp.

„ ^ J/t ^ Vm

Pl9 Pl.. 9 • • • 9 Pi

schreibt. Der Coefficient von p{ in der Discriminante wird also, so länge
specielle Werthsysteme der y ausgeschlossen werden, von Null verschieden
sein. Infolge dessen lässt sich fftr grosse Werthe von p^ und endliche
Werthe der i>2 > • • • > JPm ^ic Irrationalitat s nach fallenden Potenzen von
Pj in die Reihe

ri Fl

entwickeln, wo p eine von den p unabhangige Irrationalitat, p^jp^jp^y.
dagegen ganze rationale Functionen der p 9 P2 j - - > j Pm bedeuten.

Aeta mathemmtiem, 11. Imprlmé U 80 Noyembre ]8t7. Q

42 H. Bruna.

Dies vorausgegchickt betrachten wir wieder den Anfangsterm ^^ in
dem Integral j?. Derselbe stellt sich, wenn er die Irrationalität 8 wirklich
enthalt, zunächst dar in der Form

muss aber in Wirkiichkeit von p^ frei sein. Entwickelt man nun 8 und
darauf j?^ nach fallenden Potenzen von p^ , so muss diese Reihe sich auf
den einen von p^ freien Term reduciren, welcher nach den vorausgehen-
den Bemerkungen die Variablen p^^ * » » j Pm ^^^ i" rationaler Weise ent-
hftlt, d. h. y^ enthält auch die x nur in rationaler Weise und ist in
Wirkiichkeit frei von s. Hieraus folgt weiter, wenn man die in § 6 tiber
die AusdrOcke ^ ^^^ X' gemachten Bemerkungen beachtet, dass f^ eine
ganze Function der x ist.

9. Fassen wir die Resultate, zu denen wir bisher gelangt sind, zu-
sammen, so können wir folgende Sätze aussprechen.

Gegeben ist das System von Differeiitialgleichungen

dXa dVa A

in welchem die A als homogene rationale Functionen von der geraden
Ordnung 2^ aus den x und einer gewissen Irrationalitat s zusammen-
gesetzt sind. Die Grösse 8 ist Wurzel einer irreductiblen Gleichung

5V+S,5-^ + ... + .9„ = o,

deren linke Seite eine ganze homogene Function der s , x von der n-ten
Ordnung biidet. Wenn das vorgelegte System von DifFerentialgleichungen
algebraische, von t freie Integrale besitzt, so lassen sich dieselben allemal
darstellen als algebraische Functionen eines öder mehrerer Integrale f?,
welche folgende Eigenschaften besitzen:

i) Jedes ip ist eine ganze rationale Function der y, eine rationale
Function der x und s.

2) ip ist ineden Dimensionen homogen, d. h, wenn man fQr die
X j 8 j y resp. setzt

xk\ sk\ tjk'^'\ (A = Constante),

tTber die Intcgralo des Vielkörper- Problems. 43

80 nimmt <p wieder die urspröngliche Gestalt an, jedoch versehen mit
einer gewissen Potenz von k als Factor.

3) Bedeutet (p^ das Aggregat der Glieder in ^, welche in Bezug auf
die y.von der höchsten Ordnung sind, so sind, wenn ip^ nach den y ge-
ordnet wird, die Coefficienten ganze rationale Functionen der x ohne ge-
meinsainen Theiler.

4) Der Ausdruck ip^ gcnögt der Bedingung

»

enthält also die x nur in den Verbindungen

y\Xg^ ^a^l* (a-3,8,...,m)

Nachdem wir bis zu diesem Punkte gelangt sind, brechen wir die
allgemeine Untersuchung ab und wenden uns wieder zu dem Vielkörper-
Problem zuriick, welches ja den Ausgangspunkt bildete, und welches, wie
bereits bemerkt, einen speciellen Fall der hier betrachteten Diflferential-
gleichungcn repräsentirt.

10. Es seien

W«, ^a, Va, K («-l. 2, ...,«)

die Mässen und die Coordinaten der einzelnen materieilen Punkte in dem
betrachteten Vielkörper-Problem,

die Geschwindigkeitscomponenten, r^ die Distanz der beiden Mässen in^ , m^,
dann haben wir

dZa y dZa pi V^ ^, g;? ^a

44 H. BruDS.

wo bci den Summationen, ebcnso wie weiterhin, zu beachten ist, dass
Glieder mit r^ iiicht vorkommen dörfcn. Es sei j? ein homogenes In-
tegral von der Form

§(X,r,Z) resp. ^{x,y,z),

welches in Bezug auf die X, Y ^ Z vom Grade p ist; ferner setzc man

f^ = J^o + Fl + • • • '

wo die f^o > f^i > • • • ^^® Aggregate der Glieder bedeuten, welche in den
X , y , Z von den Ordnungen p^ p — i , . . . sind; endlich bezeichne man
die Zeit <, je nachdem sie in den Coordinaten öder in den Geschwindig-
keiten vorkommt, mit u resp. t;, ftlhre also die Opera tionssymbole

ein, dann niuss scin

(22) -5^ = o, ^o+I^«=o.

Diese beiden Bedingungen werden sich als för unseren Zweck ausreichend
crweisen. Die erste Bedingung besagt, dass j?^ die x ^y j z nur ganz ra-
tional in den Verbindungen

fa = ^a^\ — XiX^y ga = Va^l — ^1 ^aJ K = ^a^l X^Z^

enthalt, d. h, wenn man statt der x y y ^ z in ^^ die Ausdrftcke

fa 1^ -^a Qa i ^a "-a i^ ^a

^a = ^ "T ^1 ^> ^o X^ "T" ^1 ^5 ^o X^ ' ^1 X^

cinsetzt, so verwandelt sich ^^ in eine Function der Grössen

/a >•••>/« 5 ffl } * ' • } ffnj '*l ? • • • ) '^n 5

welche von x^ frei ist, und abgesehen davon, dass eine Potenz von Xj

t)bcr dic lotcgralc des Vicikörpcr Problems. 45

als Nenner vorkornmen kanir, die X, F, Z nur ganz rational enthält.
lin Folgenden werden wir voraussetzen, dass ff^ bereits durch die fjff,h
ausgedrtlckt sei.

Bilden wir jetzt die Ableitung von p^ nach t;, so enthalten die ein-
zelnen Glieder im Nenner die dritte Potenz eines r^^, sind aber im Ubri-
gen rational aus den verschiedenen Variabeln zusammengesetzt Bilden
wir ferner die verschiedenen Irrationalitaten, welche einschliesslich der r^
selber dadurch entstehen, dass man je zwei, je drei u. s. w. verschiedenc
r^ mit einander multiplicirt, und bezeichnet man diese Irrationalitäten
in irgend einer Reihenfolge mit yOjjyOj,..., so lässt sich jr, stets auf die
Gestalt

^2 =^20 +11^

bringen, wo die ip^^ j F21 ' • • • rational aus den x ^y j z ^ X ^ Y j Z zusam-
mengesetzt sind. Mit ROcksicht auf (22) folgt daraus^ dass

au

ist, und dass ferner der Ausdruck

3 /y2a\

9u\/) /

du \p

allcmal verschwindet, wenn die Irrationa litat p sich nicht auf ein einzigcs
r^ reducirt. Ftihrt man ferner in ^, statt der x ^y , z die fy g yh ein,
wobei möglicherweise x^ sich nicht aus ^^ fortheben wird, so geht die
partielle Ableitung von ^^ nach u tlber in

a^.

X.

a», 1

Ersetzt man ebenso in der Ableitung von ^^ nach v die urspriUiglichen
Variablen durch die f^ g y h y X y Y , Z und x^y und integrirt nach x^y
indem alle ttbrigen Grössen als constant angesehen werden, so darf dic
Integration keine logarithmischen, sondern nur algebraische Glieder liefern.
Dieser Umstand wird uns gestatten, die Verbindungen der /*, ^, A, aus
welchen sich f^ zusammensetzt, vollständig zu bestimmen.

46 H. BruDs.

11. Zur AbkQrzung der Ausdrucksweise wollen wir festsetzen^ dass
die Indices a , y9 , . . . die Werthe i , 2 , . . . , n, dagegen die Indices A , /x , . . .
nur die Werthe 2 , 3 , . . . , n annehmen sollen. Wir suchen nun diejenigen
Glieder in der Ableitung von ^^ nach v auf, welche die dritte Potenz
von Tix resp. Tx^, im Nenner enthalten. Die Ableitung von j?^ besitzt zu-
nächst die Gestalt

Die Glieder, welche rf, im Nenner enthalten, werden, mit Fortlassung des
Nenners, und wenn wir der KOrze halber das Zeichen S einfflhren, um
eine Summation tlber die drei Ooordinatenaxen anzudcuten,

m.

9f,
9f/

-^ (y.x, - x,y,) + ^ (^1% - x,z,) + m,{x, - x,)'£ [g (x, ^•)]
Abnlich werden die zu Tx^ gehörigen Tcrme

Föhrt man hierin auch fftr die ausserhalb jr^ vorkommenden XyjfjZ
die Grössen oc^ y fy ff 9 h ein, so rattssen die Terme, welche das Quadrat
von x^ enthalten, verschwinden, weil sonst die oben erwahnte Inte-

t)ber die Integrale des Vielkörper-Problems.

47

gration nach x^ auf logarithmische Glieder ftthren wQrde. Es inuss also
sein

+

'».(^. - x,)i [S (x- 1)] + "'^^ S [(^' - ^.) t]

o - S [ä - X,)(„4.

m>

9^

)]

Die vorstehenden Bedingungen, in welchen die Indices A , fi alle zulässigcn
Werthe anzunehmen haben, können wir jetzt als lineare partielle Dif-
ferentialgleichungen mit den unabhängigen Variablen fy g yh und mit
der abhangigen Variablen j?^ ansehen. Die Coefficienten sind von den
fyQyh unabhängig und deshalb bei der Aufsuchung der allgemeinen
Lösung als Constanten anzusehen. Um die allgemeine Lösung aufzustellen,
genttgt ira vorliegenden Falle die Kenntniss einer gewissen Anzahl von
Particularlösungen, welche die fy g yh homogen linear enthalten. Fnnf
solcher Lösungen werden durch die bekannten Integrale des Vielkörper-
Problems geliefert; es wird sich zeigen, dass damit die gemeinsamen
Lösungen des oben angesetzten Systems erschöpft sind.
Es werde gesetzt

2^m«rr^ = i, ^m^y^ = My Tm^z^ = Nj

dann erhalten wir, wenn die Buchstaben a ^ b ^ c ganz willkttrliche Gros-
sen bedeuten, zunächst drei Particularlösungen A' , J5', C durch die eine
zusammenfassende Gleichung

a L L'

(W + bB' + cC =

b M M'

c N N*

Diese drei Lösungen sind jedoch nicht unabhängig von einander, weil
zwischen ihnen die Relation

L'A' + M'F + N*C = o

48

H. Brans.

besteht. Drei weitere Lösungen A ^ B y C erhalten wir in ähnlicher Weise
durch die zusammenfassende Gleichung

a' A + b'B + c'C =^

m.

a' x^ X^

h' Va Ta

c' z, Z,

wo die a'yb'yC' ebenfalls willkQrliche Zahlen bedeuten. Dass in der That
die -4,-4',... Lösungen sind, lasst sich auch ohne Rechnung durch fol-
gende t^berlegung nachweisen. Die -4,-4',... sind nämlich nichts anderes
als die Flächenintegrale und drei aus den Schwerpunktsfttzen zusammen-
gesetzte Integrale, und zwar homogene Integrale von der hier untersuchten
Beschaffenheit, bei denen öberdies das j? sich auf den Anfangsterm jr^
reducirt. Es inQssen also die hier för ^^ aufgestellten Bedingungen von
selbst eVftlllt sein.

Dröckt inan jetzt die -4,-4',... durch die fy g yh aus, so erhält
man zunächst

•<»

X^{aA'-\-hB' + cC')==

a, o +2)mi/i, L'

X^{a'A + b'B + c'C) = w,

fl' o -X,

c' Ä, Z^

+2

m

k

d \ Z,

Wir untersuchen nun, ob aus diesen Gleichungen sich die Grössen

9v Kj fv 9^^ K

durch die -4,-4', ... und die ttbrigen fyffyh ausdrftcken lassen. Nun
sind in den Ausdröcken fDr

XjjB', -XjC, X^Ay X^By X^C

die Coefficienten der fQnf Grössen

w^i.<7,, wjjÄp w?/,, m^ff^y in^h.

tiber die lotegrate des Viclknrper-Problems.

40

durch nachstehende Zeilen gegeben

o

+ //, -N',

o,

+ L',

-L',

O,

+ M',

— L',

O,

+ ^x.

-Y,,

o ,

+ z„

-Y,,

o ,

+ x„

-z.,

o ,

+ x„

-X:,

o,

+ Y.^

-X,r

o ,

und es kommt jetzt darauf an, zu zeigen, dass die aus diesen Zeilen ge-
bildete Deterrpinante nicht identisch verschwindet. Berechnet man die-
sel be, so erhärlt man

L'{X, - X.)

1/ X

1

r, M' 1^,

Z, N' Z^

die Grössen ^'j , . . . , A^ lassen sich also in der That durch die -4 , . . .
und die tlbrigen f^g^h ausdröcken. Infolge dessen dttrfen wir bei der
Aufsuchung etwaiger weiterer Particularlösungen voraussetzen, dass die-
selben von den 5^1 , . . . , ä^ unabhängig sind.

12. Die noch aufzusuchenden Particularlösungen bezeichnen wir
mit X ^^d setzen fest, dass die Indices ^ , r , ... nur die Werthe 3,4,
. . . , n annehmen sollen. Die gesuchten Lösungen miissen den Differen-
tialgleichungen gentlgen, welche aus denen fQr ^^ dadurch entstehen, dass
man fQr ^^ die Grösse ^ schreibt, ferner die Ableitungen von ;f nach
den 5^1 , . . . , Äj gleich NuU setzt und die FäUe A , // = 2 von den Fallen
X , /i = (T trennt. Auf diese Weise erhalt man zunftchst das System

(23)

(24)

(25)
(26)

°=?[S(^'I)]'

o = «,(x. - x,)S[S(x, I)] + .«. x.S((x - X,) I)

3/V

*"'!)]

Åcta mathematica. 11. Imprimé le 20 Noveinbre )687.

50

H. BruDS.

Au8 (23) und (24) folgt

(27)

o

= S((^^ - ^.) I)

und hieraus in Verbindung mit (25) die zusammenfassende Gleichung

(28)

"i+^i+^a

==K

a,X,

-X,,

X,

A,r.

-Yr,

Y,

c, Z,

-z,,

z.

— r.

in welcher k^ einen vorlftufig unbestimmten Proportionalitätsfactor be-
deutet. Bezeichnen wir den Werth, welchen die Determinante in (28) för

a = X^ — ^r»

j;,

c = Z.

z.

annimmty mit D, so erhält man mit einer kleinen Umformung

D = X„ — A^ , A, , X^ I + I X^ , X- , Xi — Xj |,

wo von den Determinanten nur die erste Zeile angesetzt ist. Durch Ver-
tauschung der Indices a und r ändert also D nur sein Vorzeichen. In-
folge dessen erhalten wir aus (28) die beiden Gleichungen

S((^--^')|)=*-°'

S(»-X,)|) = t,.B,

also mit Beröcksichtigung von (26) *

d. h. es ist

{m^k^ — m^k^) D = o,

wo I einen von dem Index a unabhangigen Factor bedeutet. Hiermit
liefert die Gleichung (28) weiter

S(^r^) = l^^h I ^r > ^1 , ^2

Cber die lotegrale des Vielkörper-Probicms. 51

woraus, weim man nach r summirt, mit ROcksicht auf (23)

o = / ■ 2 Wr X^ , Xi , X2 1

folgt Es verschwinden also Z, die k und infolge dessen auch die sflmmt-
lichen Ableitungen von ;f, d. h. es existiren ausser den bereits angege-
benen fönf Particularlösungen keine weiteren, und es enthalt jr^ die Va-
riablen x ,y j z nur in den Verbindungen

A, B, C, A , F, C.

Eliminirt man also z. B. y^ jZ^ jX^,y^ , z^ mittelst der Ausdröcke A , A'^ ...
aus fp^, so fallen alle tibrigen x^yjZ von selbst heraus. Bei dieser Eli-
mination nimmt ^^ die Form Q{Aj A' , . . .) an, dagegen känn ^^ auf-
hören eine ganze Function der X, y , Z zu sein. Wir woUen nun zeigen,
dass sich <p^ immer auf die Form

S(^, B,C,A',B', 6^X, r,z)

bringen lässt.

18. Da bei der Elimination von ^j , . . . , ^, aus ^^ die öbrigen
X j y y z von selbst fortfallen, so känn man die Elimination in der Weise
bewirken, dass man sowohl in ^^ als auch in J5', C, ^, J5, C die schliess-
lich fortfallenden Variablen von vornherein gleich Null setzt, å\e y^, ..., z^
durch die B', ... ausdrQckt und die so geAVonnenen Ausdröcke in das
vercinfachte ^^ substituirt. Nun sind die Grössen

w'i?/p wij^fj, m^x^y rn^y^, in^z^

in R y C y A j B , C mit Coefficienten verbunden, die durch nachstehende
Zeilen gegeben sind

o, +Z', —N'y o, +L'y

— L'y O, +M'y —Vy O,

+ Z,y — r„ o , +Z,, —Y^y

O , + X,, — ^2, o , + Xj,

— X,, o , + Y^y — ^2^ ^ y

52

H. Bnins.

welche, wie wir bereits fröher gesehen haben, zu der Determinanfe

E=L'{X,-X,)

X, X^ L'
Z^ Z, N'

föhren. Der umgeforintc durch die jy, C, -4 , -B , C dargestcHlte Aus-
druck von f^ kömite also eine Potenz von E ini Nenner haben, oder
die Gestalt

besitzen. Diese Form ist nun von der Art und Weise, wie die Elimina-
tion iin Einzelnen ausgeffthrt wird, unabhängig. Hatte man die Elimina*
tion mittelst der Variablen

Vv h^ ^

8 » y 8 ' ^8

bewirkt, so wOrde man im Nenner von ip^ statt des vorstehenden E ein
anderes

erhalten haben. Nun haben E und E' nur den Theiler i' gemeinsam,
woraus Avir schliessen, dass die Obrigen Theilier von E oder E' in dem
Ausdrucke von (p^ sich gegen entsprechende Theiler des Zählers fort-
heben, so dass nur eine Potenz von 1/ im Nenner von ip^ verbleiben känn.
Hatte man statt der Variablen y^ , ^j > ^2 > ^a > ^3 ^^® Variablen
^1 > -s^j , a;^ , y,,, z^ und statt JB', C die Ausdrtlcke (7, A bei der Elimina-
tion benutzt, so wHrde man fQr tp^ einen Ausdruck von der Form

g(6%^',^, J5, C,X, y,Z):(M'y

statt des frttheren

S{B\CyA,ByC\ X, Y, Z):{Ly

erhalten haben. Auf analoge Art könnte man noch zu einer dritten

Darstellung

^, = §{A', B', A, B, C, X, Y, Z):{N')'

gelangen. Um nun zu zeigen, dass diese Nenner immer durch passende

Cber die Intcgrale des Vielkörper-Problems. 53

Uinformung von jp^ beseitigt werden können, haben wir nur den Fall
in's Auge zu fassen, wo keine der drci Zahlen g , r , 5 gleich NuU ist.
Zunachst schicken wir die Bemerkung voraus, dass abgesehen von
der Relation

(29) Ä'L' + B'M' + C'N' = o

die Äy A y . . . von einander unabhängig sind, d. b. es existirt zwischen
den Ä j A* j . . , keine weitere Relation

= PA+ QB + BC + FA' + q B' + RC%

in welcher die Coefficienten P y P* , . . . von den x j y y z unabhängig sind.
Infolge dessen darf inan in jr^ die Variablen

A A' Y V 7

^X y • • • y jCm. y • • • y .XV \ y • » • y -^19***7 ^^1 9 * * *

alg Grössen ansehen, welche, abgesehen von der einen Einschränkung (29),
völlig willkdrlich gewählt werden können. Es sei nun auf irgend eine
Art för ^^ die Darstellung

<P, = H{A'y B'y C,AyByCyL\M\N\X,yY^yZ^y...y X^y F^^Zj^Z')-

gefunden worden, wo in ^^ die X^ , Y^yZ^ durch die L'yM'yN' und
die öbrigen X, Z, Z ausgedröckt zu denken sind, dann känn, so länge
die a; , y , i2? , X , y , Z, endliche Werthe besitzen, ^^ nicht unendlich
werden. Ordnen wir nun jj>^ nach fallenden Potenzen von Z', «etzen
also an

WO die H^, H^ , ... ganze Functionen der vorkorniiienden Grössen bedeuten,
so muss, sobald L' verschwindet, sobald also

B'M' + C'N' = o

ist, der Ausdruck H^ verschAvinden, wie auch die Werthe der tlbrigen
darin vorkommenden Grössen beschaffen sein mogen. Es muss also H^
durch

B'M' + C'N'

54 H. BruDs.

theilbar sein, d. h. man hat identisch

H.^iRM' + C'N')H,,,

wo HQ^ wiederum eine ganze Function der darin vorkommenden Grössen
ist. Infolge dessen wird

,^ — ^1 ~ ^^ ot I ^^ I

ro — j*m-l I r'«»-> !"••••

Wcndet man auf diese Darstellung dieselbe Schlussweise an, u. s. w.,
so gelangt man schliesslich dahin, den Nenner von ^^ ganz zu beseitigen,
d. h. ^Q ist immer als eine ganze Function der Grössen

•

A j B j C f Ä'j B' j (^ j Xi , y, , Zj , . . . , X^ , ¥„ j Z^
darstellbar.

14. Um nun die Verbindungen der X, Z, Z zu ermitteln, welche
in ^^ vorkommen, bilden wir in

dV du

zunächst das erstc Glied rechts. Dasselbe hat die Gestalt

WO

und die Ableitungen von ^^ sich nur auf die explicite vorkommenden
X, Yj Z beziehen, weil die A y B j C ^ A' , B' j C den Bedingungen

dA dC

— = o, .... — = o

genttgen. Ftthrt man in dem Quotienten

statt der x^y^z die f^g,h und x^ als Variable ein, so muss die Inte-
gration desselben nach x^ den mit dem Factor — X^ versehenen Term
in jj>3 liefern, welcher r^^ im Nenner hat, und der im Obrigen eine ganze
Function der XjY^Z ist. Nun ist

fdx{Px + Q){ax' + 2hx + c)'^ = {Vx + W){ax' + 2bx + c)~^ ,

tJber die Integrale des Vielkörper-Problems.

55

wenn zwischen den von x unabhängigen Grössen P ^ Q j a yh ^ c j Vj W
die Relationen

B = h^ — acy

DV=bP—Qa,

DW=cP—Qb,

D{Vx + W) = P{bx + c) — Q[ax + h) .

stattfinden. Mit Rftcksicht hierauf setzen wir an

X„ — ^ Xa X.

a

fi

fa — fs =

X.

ni

"3X

ni

'afi J
fafi J

■?

HXa

— -^aJ>

r% = ax\ + 2hx^ + c,

aZ? = SX'^, hX\ = SX^U cX\ = S/:^,

0^, = Px, + (?,

(oic, + 6)X, = Sx^a;,^, (ix, + c)X, = ^f^x^,

{b' - ac)X\ = {Sx^x^y - {SXI,) . (Sxi;) = E,

Er^ fdx.fy = X?

P aXi + b
Q bxi + c

= FX,,

FX. =

^^a^ ^a,3 ^^o^ ^aS

^fa^^afi ^fa^OC

F =

«^

56 H. Braos.

Der Ausdruck

F

EVa^

ist, Avie bereits erwähnt, derjenige Term in jr,,, welcher r^^ als Nenner
enthält; es muss also der Quotient F:E eine ganze Function der X, F, Z
sein. Da nun F und E ganze Functionen der a; , X , . . . sind, und da
E als Function der a; , X , . . . betrachtet irreductibel ist, so muss der
Quotient F:E auch eine ganze Function der x^y^z sein.

Um die Vorstellung zu fixiren, nehmen wir för den Augenblick an,
dass die Indices a y ^ m F und E auf die Werthe 3,4,... beschränkt
seien. Weiter denken wir uns in F und E die x ^y ^ z zunÄchst durch
^iö f^ 9 j^ u^d rTj, und dann die Grössen g^ , h^ y f^f ff^y K durch die
A y B j C j B' y C und die ftbrigen fyffyh ausgedröckt. Durch diese
linearen Transformationen wird an der Theilbarkeit von F durch E
nichts geändert. Der Ausdruck för E enthält dann nur die Variablen
faj ffaf Kj ffi} fffi 9 ^fiy während F sich zunächst als eine ganze homogene
Function zweiten Grades derselben fyffyh und von x^ darstellt, deren
Coefficienten die x yy y z nur in den Verbindungen A y A' , . . . enthalten.
Setzen wir demgemäss an

F = Fox] + F,x, + F,y

80 mössen F^y F^y F^ einzeln durch E theilbar sein. Nun sind die F^
"und F^y wenn sie vorkommen, in Bezug auf die /),,... J Ä^ von der ersten,
resp. nullten Ordnung, woraus wir schliessen, dass sie in Wirklichkeit
identisch verschwinden, dass also F sich auf den Term F^ reducirt, und

dass infolge dessen

dF

— =0

au

ist. Föhrt man nun die Differentiation nach u aus, so erhält man

(Sx^4 J . (SX2,) = {%X,^A^){Sx^,x^),

und hieraus

{^fa,Ä^) . {^K) .= ,(SX^^<^)(SX^/'J.

N

Die vorstehende partielle DiflFepentialgleichung för <p^ känn nun, da die

tJber (lie Integralc des Vielkörper-Problcms. 57

Ä^ > • . v ^^^ faj ' ' • j ^^ nicht enthalten, iiicht änders bestehen, als wenn
die mit den fyffjh multiplicirten Glieder links und rechts einzeln ein-
ander gleich sind, d. h. es ist

^a? -^0,9 Za^ oXa^Xa^

Zu diesein System von Diflferentialgleichungen, welche aus GrQnden der
Symmetrie aiich nöch gelten, wenn die Indices a , /9 die Werthe i öder
2 annehmen, gehören zunächst die vier Particularlösungen

(ae1,2, ...,fi)

T = l'Lm^{Xl+ Yl + Zl).

Es fragt sich nun, ob noch andere geraeinsame Particularlösungen exi-
stiren können. Die Integration der Gleichunnr

o o

la/9 ^aJS

XaJ9 i 0/9

ist durch die drei Particularlösungen Z', Jf', T voUständig erschöpft,
d. h. die weiteren noch aufzusuchenden Particularlösungen dftrfen als
unabhängig von X„ , X^ , F^ , Y^ vorausgesetzt werden. Dies ftihrt zu-
nächst zu der Gleichung

Ca^ = O,

welcher die Lösung N' genögt. Infolge dessen können die noch etwa
fehlenden Lösungen als unabhängig auch von Z^ , Z^ vorausgesetzt werden.
Es muss also, wenn noch weitere Lösungen, die von den gefundenen un-
abhängig sind, existiren, durch einen von X^ , Y^ , Z^ unabhangigen Aus-
druck ^^ das System

■"ay • -^ay -^a'/ • -^ ay ^ay ' ^ay

oder

3f. .X -'Po-.r

-^^•:Z.

3Xy «'' ar/ "''

dZy "''

befriedigt werden können, was oflFenbar nicht möglich ist, wenn ^^ die

Aeta mathemätica. 11. Imprimé le 39 NoTombre 1887. g

58 H. BruDS.

-Xy, Yyj Z^ wirklich enthalt. Wir schliessen hieraus, dass der Ausdruck
ip^ die Variablen X, F, Z nur in vier von den x^y^z unabhängigen
Verbindungen, namlich Z', Jf ', N'^ T enthält. Eliminirt man also aus

j., = g(^ , B , C, ^', F, C, X, , r, , z, , . . . , X, , r, , z,)

vier der X, r, ..., z. B. X^ , F^ , Z^ , X, mittelst der AusdrOcke Z', JM', N\ T,
so mQssen die tlbrigen X , F , Z von selbst herausfallen. Man erkennt
leicht, dass dann ^^ die Gestalt

jr, =3i{A,B,C, A', B', C\V,M\N\ T)

annimmt, avo 3i eine ganze Function der darin vorkommenden Grössen
bedeutet. Hiermit sind wir im Wesentlichen an das Ziel gelangt. Ist
närnlich

die Kräftefunction, so sind die Ausdröcke

A, B, C,A\B\ C\L',M',N\ T— U
homogene Integrale von der hier untersuchten Art. Der Ausdruck

J = 3l{A,B,...,M\N\T—U)

ist ein ebensolches Integral, welches entwickelt und nach den X , Y j Z
geordnet, mit dem hier untersuchten Integral ^ in den Gliedern höchster
Ordnung, närnlich in dem Anfangsterm jp, tibereinstimmt. Die Diflferenz

^' = ^ — J

ist wiederum ein Integral von derselben Art wie ^, nur dass die Ord-
nung in Bezug auf die X j Y ^ Z in j^' um wenigstens eine Einheit nie-
driger ist, als in ^. Es lässt sich also von deVn vorgelegten Integral ^
stets ein aus den bekannten Integralen zusammengesetztes Integral in der
Weise abspalten, dass das tlbrig bleibende Integral nach den X^Y^Z
von niedrigerer Ordnung ist als ^. Wiederholt man diese Abspaltung,
so gelangt man schliesslich zu einem Integral, welches die X , Y , Z
nicht enthfilt, welches sich deshalb auf eine Constante reducirt.

tJher die Integrale des Vielkörper-Problems. 59

Hiermit haben wir den 3^tz gewonnen:

Bei dem Yielkörper-Problem ist der Kreis der algebraisch aus den
Coordinaten und Geschwindigkeiten zusammengesetzten und von t freien
Integrale vollständig mit den bekannten Integralen, nämlich den Scliwer-<
pimktsätzen, den Flächensätzen und dem Satze von der lebendigen Kraft
abgeschlossen.

1 5. Aus dem gefundenen Ergebniss lassen sich sofort einige weitere
Folgerungen ziehen. Wir ffthren ein

m«X>= ^u7 ^h Yu = 7«? ^K^a = Ca

und schreiben deingemäss die lebendige Kraft in der Form

ferner setzen wir, wenn XJ wieder die Kräftefunction bedeutet,

T— Z7=iy,
dann haben die Bewegungsgleichungen die Gestalt

åxa aff d^a dH

T" >

dt d?a di dXa

y etc.

Diese Gleichungen transformiren wir, indem wir statt der a?,^, ... neue
Variable

Pl J • • • i Pdnf ?1 > • '

y brsn

durch die Gleichungen

^« — 'a>. ' ^« — ^1/ ' ^ — ^r~ '

a«Ca a^a dZa

_a7

m

einföhren, wo V irgend einen aus den Grössen x , y , z , p zusammenge-
setzten Ausdruck bedeutet. Die transformirten Gleichungen Averden dann
bekanntlich

dqa_dH dpn _ dH

di dpa^ di dqa^

60 H. BruDS.

wo // (lurcli (lie q , p ausgedröckt zu denken ist. Wir wollen eine der-
artige Transformation för das Drei kör per-Problem wirklich durchföhren;
för das Vielkörper-Problem gcstaltet sich die Rechnung nicht wcsentlich
änders.

Die den ^ , ly , C correspondirenden Variablen sollen mit ^,^4, .. .,|)g,
die den x^y j z entsprechenden mit ? , ?i , • . . , Jg bezeichnet werden. Ferner
soU die transformirende Function V in Bezug auf die p homogen linear
sein, woraus sofort folgt, dass man ansetzen känn

V^ pq + p,q, + ... +p,q,, '

wo för die q bestimmte Functionen der x ^y j z gesetzt zu denken sind.
Der Körze halber möge das Zeichen S eine Summatlon dber die drei
Coordinatenaxen, das Zeichen 2^ eine cyclische Summation tiber die In-
dices*i ,2,3 bedeuten. Dies voraiisgeschickt setzen wir zunächst an

q\ = ^{x^ — x,)\ q\ = S(^3 — ^^\ q\ = S(iz^i — x^)\

d. h. die q^ y q^j q^ sind die Distanzen der drei Körper von einander.
Weiter sollen sein

q^ = Tm^x,, q, = Tm,y,, q^ = Tm^z,.

Endlich bilden wir mit den neun willkörlich gew«lhlten Constanten

«iJ hy ^ly «3> hy ^3» ^»y Ky ^»>
zwischen denen die Relationen

Sa^ = Hb^ = Scj = o,
stattfinden soUcn, die AusdrQcke

q = [Ta^{x^ + i!/^)]:q^,

tFbcr die lotegralo des Viclkörper-Problcms.

01

dann haben wir die Transfonnationsojleichunn^en

7i = 7.(^1 —y.,)+^(ifi — >f,) — p "'~ '"^ + pA + Pi»h f

It 23

+ i^6^i

+ 2>«wij ,

Die 2> ergeben sich hieraus als lineare Functionen der $ , rj j Cj init Coef^
ficienten, Avelche algebraisch von den x , y y z abhangen. Aus diesen
Gleichungen folgern wir zunächst

d. h. die p j q mit den Indices 6,7,8 sind, von constanten Factoren
äbgesehen, gleich den Geschwindigkeiten und den Coordinaten des Schwer-
punktes. Weiter bilden wir die complexe Vcrbindung der beiden ersten
Flächensätze

X

I X, f,

i Vx Vi

o e, C,

= i'«2:c,(y, — ix^) + q^p^ —g^p^ + i{g„Pt —g^Pi)

und den dritten Flächensatz

r

X

C,

1 "»I

yi Vi

= iPigi +p,go—p»g:

\

62

H. Bruna.

Der Ausdruck fQr H endlich setzt sich zusammen aus den drei Gliedern

fl' == Vf^'Va* *"' "*" "» I V^' ^' ^' "^ ^' ~ ^'

F.

+ Z ^^{^K - ^?) + i'*?*^ f;K - ^y) -^(«, - ^<?)

f^,

In den transformirten Diflferentialgleichungen

dqa^dH

dt dpa

di

dU

3?a

(a«0, 1, ...,8)

spaltet sich jetzt zunächst das System

dqa

dt

dH

/#/

3Pa

dpa

dt

Ha

(a-=6,7,8)

ab, dessen Integration die Schwerpunktsätze liefert. Nehmen wir den
Schwerpunkt als Coordinatenanfang, so haben wir die p , q mit den In-
dices 6,7,8 einfach gleich Null zu setzen, und erhalten das System

zwölfter Ordnung

% = ^. (»• + «'■).

dpa

dt

— — {H' + H"). (« = 0,1....,5)

^Pa

Wählt man ferner die invariable Ebene als a:y-Ebene, so ist p^ gleich Null
zu setzen. Infolge dessen reducirt sich das System zAVölftep Ordnung auf
ein System zehnter Ordnung mit den Variablen i> ,..., i?4 ,?,..., ^4
und auf eine Quadratur zur Bestimmung von q^. Das letztgenannte
System hat die Form

dqa
dt

'^Pa

dt

dqa

(a = 0. 1,...,4)

'Cbcr dio Integrale des Viclkörper-Problems.

63

und giebt, da B.' die Variablen p^ und q^ nur zu dem ProduCte p^q^
verbunden enthalt, in Folge der Gleichungen

dt ~ 9(iJ,?,)

^4

»ff

/ *

^(P.gJ^>

die Relation

welche sich vorhersehen liess, da ip^g^^ unter den gemachten Voraus-
setzungen das dritte Flächenintegral ist. Von dem System zehnter Ord-
nung spaltet sich also das System achter Ordnung

dqa _ dB'

dt dpa

dpa _
dt ~

dJT

dqa

(a-.0,l,«,S)

ab, wo m H' an Stelle von p^q^ eine Constante zu schreiben ist, die
wir mit k bezeichnen wollen. Die beiden tibrig bleibenden Gleichungen
liefern dann den Ausdruck för

log

Pa

durch eine Quadratur.

16. Um das System achter Ordnung noch weiter zu reduciren,
schreiben wir

wo H^ und E^ ofFenbar von p frei sind. Ferner eetzen wir an

L=p + -^— = p + K = o,

1

und können dann die Gleichungen zunächst in der Form

dpa dL dL

dqa dL dL

ITt '^~dfJdW'

dt

dqa • dH'

schreiben, wo nach Ausföhrung der partiellen Differentiationen för W
Wieder der ursprtingliche Ausdruck gesetzt zu denken ist. Wegen der
Relation

dt

dH'

C4

H. Brans.

folgt aber för a == i , i , 3

dqa_dK
dq dpa

dq

dK

Ha

För das vorstehende System sechstcr Ordnung ist der in K auftretende
Ausdruck H' ein Integral, wir dOrfen alsö för H' eine Constante — A
schreiben und haben dainit das Problem auf die Integration eines Systems
sechster Ordnung und die Quadratur

dp_ aJT

dq dq

zurttckgeftihrt.

Eine weitere Reduction als auf dieses System sechster Ordnung,
welches schon mehrfach, wenn auch in abweichender Gestalt, abgeleitet
worden ist, lässt sich, wie aus den Untersuchungen von Herrn Lie öber
Gruppen (Mathem. Annalen, Bd. 8) hcrvorgeht, an der Hand der
bisher bekannten Integrale nicht erreichen. Der vollständige Ausdruck
ftlr K hat die Gestalt

K =

H.

^>=i:a?^

A = («i — K9)

a, — fc.gr a, — b^q

m.

m.

, etc,

m>.

m.

etc.

J5, = k{a^ — \q)

Es l&sst sich jetzt unschwer zeigen, dass unser System sechster Ord-
nung keine algebraischen Integrale besitzt. Angenommen es existirte ein
algebraisch aus den p , q zusammengesetztes Integral, dann ergiebt sich
zunächst, weil K eine rationale Function der p , g ist, die in § 2 be-

tJher die iDtegralc des Vielkörper-Problems. 65

nutzte Schlussweise, dass dieses Integral sich als eine algebraische Ver-
bindung von Integralen darstellen lässt, welche die p , q nur rational ent-
halten. Ftlr die rationalen Integrale ferner zeigt die in § 3 benutzte
Methode der unbestimraten Coefficienten, dass in diesen Integralen die in
K anftretenden Constanten, nämlich die m.y a , b , c j k ^ h nur in alge-
braischen Verbindungen vorkommen können. Setzt man nun in einem sol-
chen rationalen Integral ftlr die p , q ihre Ausdrtlcke durch die ursprOng-
lichen Variablen a? , y , ^ , f , ly , C und ferner f Qr die Constanten k und
hy welche ja algebraische Integrale bedeuten, ebenfalls ihre Ausdrticke
durch die ursprttnglichen Variablen, so gelangt man zu einem Integrale
des Dreikörper-Problems, welchcs die Coordinaten und die Geschwindig-
keiten nur algebraisch enthält. Ein derartiges Integral reducirt sich aber
allemal, wenn njan den Schwerpunkt als Coordinatenanfang und die in-
variable Ebene als xy-Eheue wählt, auf eine algebraische Function von
A und k allein, womit ofifenbar die Nichtexistenz algebraischer Integrale
för das System sechster Ordnung bewiesen ist.

Bei den bisher mittelst der HAMiLTON-JACOBi'schen Methoden er-
ledigten Problemen der analytischen Mechanik beruht die Lösung im
Allgemeinen darauf, dass man, nöthigenfalls durch eine passende Trans-
formation, eine sogenannte Trennung der Variablen herbeifohrt. Dieses
Princip lässt sich etwas allgemeiner, als es bei Jacobi geschieht, folgen-
dermassen formuliren. Gegeben ist das kanonische System

(«=1,2, ....r.)

dq dpa dq dq^

II = ({q.q^y ... , q^,p^, . . . , p„);

die Variablen lassen sich trennen, wenn zwischen den Variablen q^».,qnj
P\ j ' ' ' j Pn^ einer neuen Variablen p und gewissen Parametern Cj , r^ , . . .
Gleichungen von der Form

/ . //,(p , y ,(:,, c^ ,...) = o, H^ip^ , q^, t\ , ^2 ,...) = o, etc.

aufgestellt werden können, welche. folgenden Bedingungen genttgen: i° die
Anzahl der Gleichungen und der Parameter c ist gleich der Anzahl der
Variablenpaare p y q \ p^ >(/!;•••; 2^ jede Gleichung enthält nur ein Va-
riablenpaar; 3° eliminirt man mittelst der angegebenen Gleichungen aus
dem Ausdrucke

Aeta mathematica. 11. Imprimé le 9 Décembre 1887. 9

06 H. Brun».

je eine Componente eines Paares, so fallen dki anderen Compoiienten von
selbst heraus, d. h. der genannte Ausdruck verwandelt sich in eine von
den /) , q freie Function der Parameter c. Aus diesen Eigenschaften folgt
dann weiter, dass, wenn man die Gleichungen H^ , H^, . . . nach den c
auflöst, die fOr die c sicli ergebenden AnsdrHcke Integrale des vorgelegten
Problems sind.

A US diesen Bemerkungen lUsst sich das Ergebniss ableiten, dass es
nicht möglich ist, bei nnserem System sechster Ordnung eine Trennnng
der Variablen dnrch rein algebraisclie Bertlhrungstransformationen, d. h.
Transtbrmationen, bei welchen die kanonisclie Form der DifFerential-
gleichungen erhalten bloibt, herbeizuftthren. Bei einer algebraischen Trans-
formation nämlich verwandelt sich Ii in eine algebraische Fiinction der
heuen Variablen. Wenn nun in diesem Falle eine Trennung nach den
neuen Variablen möglich ist, so lassen sich die Parameter c stets so wRhlen,
dass die Zusatzgleichungen

7/j = o, 7/j = o, ...

die Variablen und die Parameter mir algeV)raisch enthalten. Man wlirde
hiermit^auf algebraische Integrale des Systems sechster Ordnung geftihrt.
Darnach sind also die Transformationen, welche die Trennung der Va-
riablen gestatten, nothwendiger Weise transcendent, ebenso wie die noch
fehlenden Integrale.

Durch die vorstehenden Betrachtungen ist nun allerdings noch nicht
die Möglichkeit ausgeschlossen, dass man nicht auf algebraischem Wege
wenigstens zu einem neuen Integrale gelangen könnte. Diese Frage ist
im Wesentlichen gleichbedeutend mit der andern: existiren Integrale,
welche durch Quadraturen (ibér algebraische A usdrftcke der p^g ent-
stehen? Die Erledigung dieser Frage, zu welcher man nach Erschöpfung
des Gebietes der algebraischen Integrale auch noch durch Uberlegungen
ganz anderer Art hingedrängt wird, wUrde auf dem hier eingeschlagenen
Wege als der nächste nothwendige Schritt erscheinen, bevor man den
Versuch macht, in den Differentialgleichungen selbst Fingerzeige bozög-
lich der för das Problem angomessenen transcendenten Transformationen
aufzusuchen.

tTber die lutcgralc des VielkörperProblems. 67

II.

17. In der voraiigehendcn Abtheilung luibe ich gezeigt, dass bei
dem Vielkörper-Problem die Gesammtheit der von der Zeit t freien, al-
gebraischen Integrale erhalten wird, wenn man aus den neun bekannten
Integralen dieser Art alle möo^lichen alorebraischen Verbindungen biidet.
Als Ergänzung hierzu wollen wir nun noch den Fall behandeln, dass
ein Integral ausser den Coordinaten und Geschwindigkeiten auch noch
die Variable t algebraisch enthält, wie dies ja bei den Schwerpunkts-
Integralen eintreten känn. Zu dem Ende denken wir uns das System

von Diflferentialgleich ungen vorgelegt, in welcliem die f rationale Func-
tionen der x und einer einzigen, algebraisch von den x abhangenden Ir-
rationalität s bedeuten, wahrend t weder in den /', noch in 5 explicite
vorkommt. Dieses System ist otfenbar noch allgemeiner, als das in § 2
zu Grunde gelegte. Ist nun ^ ein algebraisch von den Variablen x , t
abhängendes Integral, so zeigt man zunächst durch die frliher benutzten
Uberlegungen, dass sich ^ algebraisch aus Integralen von der Form
^{x , s , t) zusammensetzen lässt. Wir nehmen deshalb an, dass ^ von
vornherein die Gestalt Sl{x/Sjt) besitze, denken uns dann ^ als Quo-
tienten zweier Polynome von der Form §(x , s , t) geschrieben, und in
Zähler und Nenner die Linearfactoren von der Form

aufgesucht, in denen die /^ , /^ , . . . algebraische und von t freie Func-
tionen der x sind. Biidet man jetzt die vollständige logarithmische Ab-
leitung von ^ nach t und beachtet, dass in den Differentialgleichungen

6S H. Bruns.

t nicht explicite vorkommt, so erkennt man, dass die angegebencn Li-
nearfactoren sämmtlich Integrale sind, und dass ferner der nach Unter-
drtickung dieser Factoren in ^ Obrigbleibende Bestandtheil von der Form
ål{x j s) ebenfalls Integral ist. Die versehiedenen in t linearen Integrale
unterscheiden sieh von einander um algebraische und von t freie Integrale.
Hiernach ist zur Aufstellung aller Integrale der betrachteten Art nur
erforderlich zu kennen i° alle algebraischen und von t freien Integrale,
2° ein einziges von t abhängiges Integral der Form t — t^. Beim Viel-
körper-Problem ist deshalb das Gebiet aller algebraischen Integrale durch
die bekannten zehn völlig erschöpft.

18. Am Schlusse der ersten Abtheilung waren Betrachtungen
O ber die Frage angestellt worden, wie weit es inöglich sei, durch alge-
braische Transformationen der Lösung des Vielkörper-Problems näher zu
kommen. In dem Nachstehenden soll dieser Gegenstand weiter verfolgt
werden, wobei wir uns einstweilen auf das Dreikörper-Problem beschrän-
ken. Um später den Gedankengang nicht zu unterbrechen, sollen zu-
nächst gewisse Nebenuntersuchungen vorweg erledigt werden.

In § 15 waren die Bewegungsgleichungen durch Benutzung der
Schwerpunkts- und Flächensätze auf ein System achter Ordnung

fl

dua dH' dp„ dW

dt dpa dt dqa

reducirt worden, in welchem die Variablen nur noch von der Configura-
tion des Körpersystems abhängen. Die Gleichungen enthalten ausser den
vier Paaren abhängiger Variablen jP , ? , . . . an Constanten die drei Mässen
m^y die Grösse k und die sechs Grössen a„ , b^. Die Grösse ik ist der
constante Werth des dritten Flachenintegrals, wenn die invariable Ebene
als Fundamentalebene gewählt wird; die Constanten «« , &« konnten in-
nerhalb der Einschränkungen

(31) «2*3 — «8*2 = «3*i — «i*8 = ^*i^ — ^A = 1

willkttrlich gewählt werden. Biidet man mittelst der transformirenden
Function

V = rq +^l:r^ql, («-i,3.3)

Obcr die Intcgrale dÄ Vielkörper-Problems.

(lie Substitutionsgleich ungen

aus denen

P ^

Pa =

dV

dV

dq '

s — -— ,

dr

dV

dV

^^ '

^a ^.. ?

^a

69

(«-l,3,»)

r = p

S = q

^a =

' 3
5« = - (7a

folgt, 80 werden die Be wegungsgleich ungen

dt dVa

dr

a

9H'

dt

ds

a

(a-0, 1,3,3;

Im Folgenden werden wir, je nach Umständen, das System der jp , q
öder r , s benutzen, jedoch för das eine Paar /• , s die ursprttngliche Be-
zeichnung p,q beibehalten. Ferner soll wie fröher das Zeichen 51 ohne
Summationsbuchstaben eine cyclische Suinmation Uber die Indices 1,2,3
bedeuten. Dies festgesetzt stellen wir zuerst die weiterhin benutzten Ab-
kftrzungen und lielationen zusanimen. Es sei

D=^>V„

iy = Z

v — V!i±Zi

m.

L^ = CD' — CD,

A =■• («i — ^?)(

a, — 6,5 «, — 6,3

TO.

TO,

)

, etc.

Mo = 2:af^/„, M, =.Xitfi«r„, M, ='XJIf,.r„,

a

3 — "^-'^"■aa^a

70

H. BruDS.

Jf.. =

etc.

3f„=-«,(i:i— M-6.(^'-:^), etc.

3/„ =

i,(^ — ^), etc.

Ht, = m^ + HJ, + /Mj, »«.

W,H<j»H,,

»H = — * ,

/*1

= V-'''^

/^i

/i,/£, — /i,/X, = W« ,

«(

7 — = m.

Ftir die M , L besteheri, wenn /J , Z*, , /g drei willkttrliche Zahlen bedeuten,
die zusamineiifassende Determinanten-Relationeii

lAa, -^-'^la, M^a\ = /^O^

L

in.

/; , M,, , itfoa I = Ati H ^ '

/;,iHo„,jf,J=/i,£A

/; , L,« , itf ^ J = — mZ/;a,«, ,

/; , L,, , 3i,. I = mYt\{a^b^ + agftj + /i, JI ^ '

/a > -^la ) ^la

-ml:f^b,b,-fi,^^.

Ober die lotegrale de* Vielk«rper-Problem8. 71

Ferner ist noch

a a

4M,.M,.-i.f..A/„-^-(;i-^ + i-)', etc.
4(^o,>^, + ilf.,i^^„) - 2^f.,^^u - - 2(;^ + ^)i^ + i^) + 4»«, etc.

* «f I ' I v

Die letzte Relation lehrt, dass der Ausdruck Ä,, als Function von
g , Tj , r^ , 1*3 betrachtet, irreductibel ist. Setzen wir endlich noch an

rB,.-,_*r.-,K-s,,)(i-i)

//, = i, + kL^ — hqM, — r,

80 ist der zur Bildung der Differentialgleichnngon etfordorliche Ausdruck

H' gegeben durch '

IV = pH, ^- II,,

Die mit H' gebildeten Bewegungsgleichungen wollen wir kurz als das
System achter Ordnung bezeichnen. Der Ausdruck H' ist die DiflFerenz
Dlebendige Kraft minus Krftftefunction», Bezeichnet man den constanten
Werth dieser Differenz wie frtther mit — h und setzt

so erhAlt man das von p und t freie »System sechster Ordnung»

dq djta dq dqa

72 . .. H. Braoa.

FOgt man hierzu die Gleichung

dt „

SO erhält man das »System siebenter OrdnungD, welches sich ans dem 8.
Ordnung dadurch ergiebt, dass man mittelst des Integrals der lebendigen
Kraft die Variable j} fortschaflft und q an Stelle von t als unabhangige
Variable einftihrt. Umgekehrt känn man von dem System 7. Ordnung
zu dem 8. Ordnung dadurch gelangen, dass man an Stelle der Constante
Il die Variable ^ durch die Gleichung

i>/7, + ^^ + * ^ o
einföhrt.

19. Die in W und Ä* auftretendeii Constanten r/ , ä konnten inner»
halb der obeii erwähnten Einschränk ungen völlig beliebig gewahlt werden,
und man hatte z. B. ohne die Allgemeinheit der Untersuchung zu beein-
trftchtigen das specielle -Werthsystem

rtj = I , r/, = o, ^3 = — I
6j o, 6^ = I , ft^ = — I

zu Grunde legen können. Der Symmetrie halber wollen wir jedoch die
a y b unbestimmt lassen, und zeigen, wie sich die fttr zwei verschiedene
Werthsysteme der a , b geltenden DiflFerentialgleichungen in einander ttber-
ftthren lassen. Es seien a . b . c , d vier willktirliche, nar der Einschränk-

ung

(ui — hc = i

. ■ * • -

unterworfene Constanten. . Man setze an

t

dann ist

a\b'^ — ^^1 />i = I , etc,

d. h. die a', fc'. gentigen denselben Bedingungen wie die ursprönglichen
a , 6. Ferner sei

aq + h

Ober die Integrale des Viclkörper-Probloms. 73

wo j' eine neue anstått q in das System 7. Ordnung einzuftihrende un-
abhftngige Variable bedeutet; dann ist

«« — Kq = K — Kg') : {^q' + ^^>

i:B.r, - kc(cq' + 0)11, = kTr, {a[ - b[g')C^- - ^).

Schreibt nian also in K anstått q nnd anstått der a , h resp. q' und a', i',
so erhalt man för den so entstehenden Ausdruck K' die Relationen

(n/ + dy c q' + d'

K = K\cq' + r/)' + l'c{cq' + d).
Beachtet man nun noch die Gleichung

(1q ^^(h]':{(q' + f/)^

so erkennt man leioht, dass das System 7. Ordnung nach Einfohrang
von q' die Form

dqa 3 A" dpa ^Ä^' di ^ „,

dq dpa dq dqa dq

annimmt.

Von den acht Variablen 2^ j Q besitzen drei, namlich q^yq^^q^^y eine
einfache geometrischo Bedeutung, indem sie die gegenseitigen Distanzen
der drei Körper darstellen. Wir wollen nun auch fOr die öbrigen Va-
riablen den Zusammenhang mit den ursprftnglichen Bestimmungsstticken,
nämlich den Coordinaten und Geschwindigkeiten aufsuchen. Es seien
X, Y, Z und X', Y j Z' die auf den Schwerpunkt und auf ein beliebig
gerichtetes Axensystem bezogenon Coordinaten und Geschwindigkeiten,
ferner x ^y ^ z und x' , ?/ , z' die analogen Grössen, wenn die invariable

Åfta mathfmatiea. 11. Imprimé le 14 Déoembre 1887. 10

H. Bruns.

Ebene als a^^-Ebene gewfthlt wird. Bedeuten k\ , k^ , h\ die cotistanten
Werthe der drei Flächensatze fttr das erste Axensystem, so ist

k

I' r

7 7'

'*\ =52^'^.

u

z.. z:

a '"a

X. x:.

X. x:.

a ' ~<i

k., — 7 m„

/.1 + ^1 + /4 + /^'-o.

Die X , y , z hangon mit den X , V, Z durch eine orthogonnie Substitu-

tion der Form

.r - (I X -{- h ]' -{• c Z,

1/ -- n' X + I' V + (•' Z,
z ■- <i"X + //'I'+ <"Z,

zusainineu, fQr welclie die Keltition

1 : a" : //' : c" ■ - ik : /•, : /\, : /.•

gilt. Nun war

a a

andererseits iät

x + hj^ X{a + Ui') + !•(/> + ///) + Z{c + k'),
k\a — ia'){x + i}/) ^ X{k' + /.-) + V{k,k, + kh) + Z{kJ.; - kk,),

folglich

'y = <?oi:'/o5'

wenn

(Joi =

7«2

= r«j,x„(Ä:' + k]) + y.,{k,k, + kk,) + z„(A-,Ä-, - kk,)\,

a

--^ HbJyX^ik' + kV) + y^k.k, + A-/-,) + Z„(/.-,A-:, - kk,)\

a

gesetzt wird. Hiermit ist offenbar der gesuehte Zusainmeiihaiig fftr q
tjeffehen.

Wber die Intcgralc dej» Vielkörpor-Problcms. 75

Um den analogeii Zusamtnenhang fl\r die 2^ nachzuweisen, benutzen
wir die Differentialgleichungen

dereii Auflösung nach den r und iiach p die gesuchteii Beziehungen liefert.
Zur AbkQrzung setzen wir

5; -= Z^i — 26\„ S'^ + S:, = 26^, etc,

a:, = Z^, — 2A^, A'. + A'^ = 2.4,, etc,

7?; = S5, — 2/i„, /i; + «;-2ö„ etc.,

-= 2 2.6^2^3

Ssf

•S"2

A ist oflfenbar das 4-fache Quadrat des von den drei Körpern ge-
bildeten Dreiecks. Weitcr sei

= 2?- AF,, .

= r T AF

76 H. Bruns.

danii wird

f =m(2C" + Ä),

§= ^' + !>'*: - 2C,-. + A\p + 2?;,

^.^-^^lA§-4C'Ag+2^fr. + 2Tr„

2 A ciC , ,t«A . ds,
:77 + 5 -^— 2A-77

mm, at dt dt

= ?^ + 4C'A/-, + 2p{s[ i\ - A^i) + 2 (s; r, - ab;).

m,

Hiernach siiid /; und 2^a Hnear durch die Ableitungcn . der q , (/« aus-

gedrttckt; die Coefticienten in diesen linearen Ausdrlicken besitzen den

gemeinsainen Nenner

CA W, .

E» iHjag hier noch beuicrkt werdeu, dass die Grössen

!7 y (Ja I P,Pa,k , k^ , A,

wenn sie durch die ursprtinglichen Variablen X,X',... ausgedrttckt
werden, homogen im Sinne des § 4 sind. Infolge dessen bleiben die drei
reducirten Systeme von Differentialgleichuugen, nämlich das System 6., 7^
8. Ordnung, ungeftndert, wenn jede darin vorkommende Grösse mit der
ihrer Dimension entsprechenden Potenz eines constanten Proportionalitats-
Factors multiplicirt wird.

20. Als nächste Aufgabe behandeln wir die Aufsuchung der zu
dem System 7. Ordnung gehörigen Integralgleichungen von der Form

(jfber die Intcgrale des Vielkörper-Problcms. 77

Dass wenigstens eine solche Integralgleichung, n&mlich die Bedingung
fttr die Bewegung der drei Körper in einer Ebene, vorhanden ist, lässt
sich von vornherein unschwer diirch geometrische tJberlegungen zeigen;
es kommt jedoch wesentlich darauf an nachzuweisen, dass nur diese eine
cxistirt. Es sei ip eine irreductible ganze Function der acht V^ariablen
i f^l j fja} Pa\ schreibt man

n—nan v- _2iEl±1A

so sind in K Zähler und Nenner von der Form ^{p y q) uiid man er-
kennt, dass der Ausdruck

dip

dq dq

5(r ^ / dip dK 2f dK\ df I
ag' ' Z^ V aj« dpa ^Pa Ha) ^t Jf,

a

durch Multiplication mit {q^H^Y ebenfalls die Gestalt S{p , q) annimmt.
Wenn also ^ eine Integralgleichung ist, so muss

sein, Wenn t \\\ ip wirklich vorkoramt, so können wir schreiben

wo y mindestens gleich Eins ist. Biidet man, indem fttr den Augenblick
t als unabhängige Variable genommen wird, die vollständige Ableitung
von ip nach f, so ist diese nach / hOchstens vom Grade v, d. li, die lo-
garithmische Ableitung frei von t, Hieraus ergeben sich, wenn

gesetzt wird, die Bedingungen

i^=a,'P,, <+§=^a,'P.,

also

^+S© = o,

d. h. es wftre

■^0

78 H. Brun8. ,

ein Integral des Systems 7. Ordnuiig. Da ein Integral dieser Form fiir
dic relativen Bewegungeii der drei Kör^^er, wie wir wissen, nicht existirt,
so schliessen wir, dass t in ^ nicht vorkommt.

Durch die bereit^ niehrfach benutzte Betrjaclitungsweise zeifft man
ferner, dass die Coefficienten in ^ sich alleraai darstelleti lassen niQssen
als algebraische Functionen der in den DiflFerentialgleich ungen auftreten-
den Constanten m^ a jh ^ k , k und eventuell gewisser, ausserdem noch
auftretender constanter Parameter. Mit Rttcksicht hierauf denken wir uns
die Coefficienten in ^ dargestellt als rationale Functionen jener Constanten
und einer algebraisch von denselben abhängenden Irrationalität /', welche
als Wurzel einer gewissen irreductiblen Gleichung definirt ist. Die Be-
dingung

gilt dann fttr alle Wurzel werthe I\ Bilden wir jetzt die Summe Uber
die den einzelnen /' entsprechenden Bedingungen, so erhalten wir

(32) (^4^.) -4- = ^' ^

wo das Product der einzelnen jr und H die Summe der einzelnen w
bedeutet. Die und 12 sind dann von der Irrationalität /' frei und wir
können uns auf die Aufsuchung der Integralgleichungen von der Form
beschranken, da man von rUckwärts durch Zerlegung in Factoren
zu den jr gelangt. Die Hinzuftigung öder Unterdrtlckung constnnter Fac-
toren ist auf das Bestehen der Bedingung (32) offenbar ohne Einfluss;
wir dttrfen deshalb ^ als eine ganze Function nicht bloss der Variablen
}),(], sondern auch der Constanten m , a j b , h , k und der etwa auftre-
tenden constanten Parameter c^ , c., , . . . voraussetzen und ferner annehmen,
dass keine von den Variablen j) , q freien Theiler der Form

S{m, a, b, //, k, c\j c^ , . . .)
besitze. Der Ausdruck ii ist dann sicher von der Form

Wir woUen nun zunächst zeigen, dass parameterfrei ist. Wenn

Ober dic Intograle des Vielkörper-Problems. 79

näinlich eiiieri Parameter — sägen wir c — enthält, so denkeii wir
uns (p nach c geordnet iind

geschriebon. Da Q in c vom Grade Null ist, so erhalten wir

--VlJ^i) — ,1^ — ,1,^ ~ . ..,

d. h. der Quotient zweier 0^ ist ein rational aus den p , q gebildetes In-
tegral des Systems 7. Ordnung, reducirt sich also, da solche Integrale
nicht existiren, auf eine Constänte. Infolge dessen könnte ein Parameter
c m nur in einem von den Variablen p , q freien Theiler enthalten
sein. Da solche Theiler von vornherein unterdrttckt werden sollten, so
ist parameterfrei und deswegen auch homogen in den Dimensionen.

Der Ausdruck känn den Theiler q^H^ enthalten. Ffthren wir,
wenn u , v zwei Functionen der Variablen p , q bedeuten, das bekannte
Operationssymbol ^

/ v \r^ /^n 2v du dv \

ein, so wird

h

(i.H,yi^^> = '/.//, ^"J + c.if. , ?.'/. + ».*).

Hiernach können wir uns in den etwa vorkommenden Theiler q^H^
unterdröckt denken, ohne dass dadurch an der Bedingung (52) etwas
Wesentliches geändert wird. Dies festgesetzt fnhren wir jetzt in und
ii anstått // die Variable p durch die Gleichung

// -- — pJI, — //,

ein. Beide Ausdrficke bleiben dabei in Bezug auf (/,jo,^« ganz rational,
können dagegen in Bezug auf die q^ Nenner enthalten, welche jedoch nur
Potenzen der q^ als Theiler besitzen. Gehen wir, entsprechend der ge-
machten Substitution, von dem System 7. Onlnung auf das 8. Ord-

80 H. Brons.

Dung äber und fohren t als unabhängige Variable eiD, so können wir
schreiben

dt

wo Q'y da nicht den Theiler q^H^ besitzt, im Nenner sicher nur Po-
tenzen der q^ als Theiler enthält. Ftthren wir weiter fQr dle p ihre in
§ 19 gegebenen linearen Ausdrticke durch die

dq dsa
di ' 'dt

ein, so werden und ii' ganze Fnnctionen diescr Ableitungen nnd ent-
halten in den Nennern als Theiler nur Potenzen von //^, C, A und W^.
Ftthrt man endlich statt der y , . . . ihre Ausdrftcke durch die rechtwink-
ligen, auf den Schwerpunkt und ein willkörlich gerichtetes Axensystem
bezogenen Coordinaten und Geschwindigkeiten X , X\ . . . ein, und denkt
sich aueh die in q vorkommenden Grössen k^^k^,k\j sowie die durch
die Gleichunsf

Z/r? + k' - o

'n

bestinimte Quadratwurzel k durch die X, X', . . . ausgedrUckt, so wird
eine Integralgleichung der ursprftnglichen Bewogungsgleichungen, welche
die Form

besitzt, im Nenner jedoch die Geschwindigkeiten nur in don vier Verbind-
ungen k^ , k enthalt. Das Gleiche gilt von der Form des Ausdruckes H'.
Es werde jetzt mit 0, das Product derjenigen Theiler im Zahler
von bezeichnet, welche sich, als Functionen der X', . . . betrachtet,
nicht durch die k^ , k allein ausdrOcken lassen, und es sei

^•'.j »

dann ist ii.^ genau von derselben Form wie fi' und dassolbe gilt wegen

Q ..-^ (y o

auch von ä^. Weiter erkennt man, dass wegen der ttber 0^ gemachten
Festsetzungen fj^ in Wirklichkeit im Nenner nur Potenzen der g^ als

t)ber dic Intcgrale des Vielkörper- Problems. 81

Theiler enthalten känn; ^, ist also, wenn es sich nicht etwa anf eine
Constante reducirt, eine Integralgleichung för die BeAvegung relativ uin
den SchAverpunkt. Schreibt man mit Rttcksicht auf die IrrationalitAt Ä-

0,, nnd 0^^ =§(X,X',...,^yJ,
glä,, und (/,M2,, =Ö(X,X', ...,0,

so ist, da die Bedingung

dt

för beide Vorzeichen von /r gilt,

'^((/>?,-/.'<P?,) = 2fi.,.

Das Product

(33) (K +^*,J(<Pn ■-/••<«*.,)

ist also eine homoti^ene Iritc«;nil":leichun"; von der frlUier behandelten Art
und ist deshalb, da es sich hier nur um die relative Bewegnng hiindolt,
in der Form

darstollbar. Eliminirt man also in dem Producto [iö) mittelst der Glei-
ch un oren

o

und der Ausdriicke fur die h'„ , k sieben von den neun Grössen X', P, Z\
so mttssen die beiden anderen von selbst mit herausfallen; dies ist aber
nicht änders möglich, als wenn jeder der beiden Factoren jencs Productes
einzeln durch die angegebene Elimination von sammtlichen X', 1'', Z'
jjleichzeitior befroit wird. Hiernach känn also die jjesuchte Inteo^ralorlei-
chung 0, wenn man wieder auf die Variabeln des Systems 7. Ordnung
^urHckgeht, nur die vier Variabeln q enthalten öder muss m.. a. W. frei
von den p^ sem.

Aeta mathematica 11 Iniprlmé le 14 D^cembre 1887. \\

82 H. BruDS.

21. Unsere Aufgabe ist jetzt darauf zurOckgeftthrt, eine von den
p^ freie Lösung der Fonn ^{g y Qa) zu der Bedingung

zu siichen. ZunRchst ist

- ('/. ">)' ^- + '/; ".(i"g* . w. + '') - '/! W + '')(i"g* ■ ■",)•

Diese Gleichnng zeigt, dass Ii in den p^ höchstens vom zAveiten und in
den q^ höchstens voni vierten Grade ist. Wir spalten H nach der Ord-
nung der einzelnen Gliedor in Beziig auf die p,,^ in die drei Bestandtheile

ii = iO^ + Oi, 4- (0,^ ,

Avo der Index die Ordnung nach den p angiebt, und fCihren statt der
p^ die )\ durch die Rehitionen

ein. Hiermit werden o), und co^ nnch den q^ höchstens vom 5^*", resp.
6^*" Grade. Weiter Avird, wenn nian entwi{;kelt,

o,, =-. Uq\ //. (log 0,L,- vil/,) - bj\ (L. — c/3/,)(log 0,11,),
(O, - (7,//.)'^^ + 7!/A(log (f. , /:,) _ rjl L,{\og , 7/,).
Avobei zu beachten ist, dass das Symbol (ji , v) auch in der Form

^ /ail dV dV dH\

geschrieben werden kanii. Bei der Integration der drei Bedingungen fOr
<!> wollen wir der besseren I'ber8icht halber folgende Abktirzungen und
Relationen benutzen:

tTber die lotegralc des Vielkörper-Problema. 88

(C7,M,) =o, (£,.¥.)= o, (l'',i»/o)= /^,. (6^,ilfJ==-/i,,

(C,ilf,)=o, (E,3/,) = -/i.,, (F,^/.)= o, {0,M,)= fi,,

{C\M,)=o, {E,M,)= /i,, (F,3fJ = -/i,, {0,M,)= o,

{C\H,) = o, {E,H,) =-f,^q^fj,^q\ {F,1Q = ,i,-,i,fi\ (G, IQ ^-ft, +/V/,
{C,L,)^m,{E,L,)= o, {l'\L,)= /i,, {G,L,) =—/jl,,

{C,L,) - 2mC,

{E, />,) = —/i, C + ED' + 6'Z«, «,»•,,

(F , /.,) =-- 2/i, C + FD' — 2C'Z«,&, /•, ,

{G ,Q = - ,i,C + GD' + cTb.bj, ,

g = £ + i*'!? + Gq'

= Zs,(ff, — 6//)(«3 — b^q),

{Q , M,) = /i, — /i//,

((y,//j= o,.

■

{Q,L,—qM,) = o,

{Q, L,) = Qiy + Z(«, - ^y)'(CV. -^)

dq ^ dq

Die erste von den drei Bedingungen fiir (P niinnit mit der AbkQrzung

qJU-h)=V, F= (y„)

die Gestalt

84 H. Brun».

an. Da inOglicherweise durcli V theilbar ist, so setzen wir an

mit dem Ziisatzc, dass V'' nicht durch V tlieilbar sein soll. Wir erhalten
dann

Die linke Seite dieser Gleichung känn, entwickelt, im Nenner nicht den

Thciler V enthalten, folglich ist der Zähler der rochten Seite durch V

theilbar, also die rechte Seite in den (/« höchstens vom ersten Grade, so
dass wir anseteen dttrfen

wo die Coefficienten rechts nur noch von q abhängen. Ftthrt man in
diese partielie Differentialgleichung an Stelle der q^ die Variablen q^ , C
und Q ein, so wird ^

4 a log 'A , x^

. wo bei den Quadra turen q^ und q^ durch q^j O y Q ausgedriickt zu denken
sind. Die erste Quadratur fQhrt auf elliptische Integrale, welche in log ^
nicht vorkommen dttrfen, d. h. es ist w^q gleich Null. Die drei anderen
Quadraturen fQhren auf Logarithmen und lassen sich, wie leicht verificirt
werden känn, in der Form

^.<T. log(4|= + -^), A,a, log(-^ + -^X

schreiben, wo die (t wegen der BeschafFenheit von 'r nothwendiger Weise
ganze Zahlen sind. Setzt man nun

log //.• = £ ^^log(^ + ^) + f(^,C, Q),

Ny/ii, V-^s^

tJhcr die Integrale des Vidkörper Problems. 85

80 ergiebt die Substitution in die DifiFerentialgleichung die Relationen

(T,

yJAa

d. h. entgegen den fOr o) bestehenden Voraussetzungen irrationale Aus-
drttcke. Die a und (o^a mtissen deshalb verschwinden und es ist V^ als
Function der drei Grössen q yC^ Q allein darstellbar. Setzt man nun in
dem ursprttnglichen Ausdrucke far V an Stelle von q^ und q^ ihre Aus-
drftcke durch q^ , C y Qj so muss g, von selbst herausfallen; entwickelt
man ^ndererseits q^^q^ und dann Y'' nach fallenden Potenzen von g'j, so
erkennt man, dass <P' die Gestalt é(C, Q) besitzt, also in der ursprttng-
lichen Gestalt nur die Quadrate der q^ enthielt. Mit Rttcksicht hierauf
känn nian zunächst schreiben

¥='å{q,E,l\G).

Eliminirt man hieraus abwechselnd eincs der drei Paare FG , GE , EF
mittelst der drei Gleichungen

jB/i, + F[i^ + Gfx, = — C,

E +Fq + Gq' = Q,

80 muss die dritte Grössc E öder F öder G jedesmal von selbst. mit
herausfallen. Als Nenner können bei den drei so entstehenden Formen
frtr *P' nur Potenzen von

auftreten. Diese Nenner mttssen jedoch, da sie keine gemeinsamen Theiler
besitzen, sich in Wirklichkeit jedesmal fortheben, d. h. es ist

V/= S{q,C\ Q), = r.V'.

22. Mit dem gefundenen Ausdrucke ftir <P' gehen wir jetzt in die
zweitc der aufgestellten Bedingungen ein und erhalten zunächst

o,, = ^V,(F. A - qM,) - {L, - <,M,){V, i/J}

+ k]\H,{log1-, L, - qM,) - (/., - qM,){\og1", H,)\.
Die erste, V enthaltende Klämmer {} ist nicht durch Ftheilbar, wie man

86

H. Bruns.

schon durch Betrachtung der Glieder erkennt, welchc die in V vorkom-
mende Grösse h enthalten. Da andererseits die Ubrigen Glieder der
Differentialgleichung V nicht im Nenner enthalten können, so muss die
genannte Klammergrösse in Wirklichkeit fehlen, d, h. p gleich NuU sein,
also

Hiermit geht die Differentialgleichung tiber in

(O,

lcq\ H, dC

3 lo^' ^ /^, T

'i'^,)+'-^iv,r.,-,M,)

= m

alog^

Die linke Seite niuss von q^ unabhängig werden, sobald man för g^ und
g, ihre Ausdrttcke durch q^ , 6\, Q einftthrt. Entwickelt man nun Avie
vorhin wieder nach fallenden Potenzen von y^ so känn, da io^ nach den
q^ höchstens vom fftnften Grade ist, ttberhaupt kein von q^ freies Glied
auftreten, d. h. es wird

a \og'0

o =

dC

0=S{q , Q).

Hiermit gehen wir jetzt in die dritte Differentialgleichung ein, wobei
zu beachten ist, dass \n q theils explicite, theils implicite, nämlich in
Qj vorkommt, und schreiben demgemäss

Ö>2 = i^jj^l)

a log ö^ a log dF

"T

iq

dQ 9q

+ ^JIH,'-^{Q,L,)

9Q

— f„ TT ^» 3 log <'* I „* 1/ 3 log *

!)• +

iq

Q-

Der Quotient (o^ : ql muss, wenn wieder die q^ , C , Q eingeftthrt
werden, von q^ frei Averden. Entwickelt man nach fallenden Potenzen
von (/j , so wird, wie man erkennt, das von q^ freie Glied auch frei von
C und Qj d. h. der Quotient ist nur von q und den r„ abhängig. An-
dererseits ist o)^ durch H^ theilbar, wir dttrfen also schreiben

a

Oha = ^('/).

To, r _ // g'og^ I 9logtf> /n> I 3g. \

Cbcr die lotegrale des Vielkiirper-Problemg. 87

Diese Gleichung zerfallt sofort in die drei andern

w,

au8 denen wir

. . 9logrf> *"» *"• *'''

TT » ^'

V^^ Wj «,(/

bilden. Hiernach besteht 0^ aus einer Potenz von (?, multiplicirt mit
einer Fnnction von q allein. Setzen wir demgemass

so wird

d\o<iW . / i . i . (lA

. d lo«rW , / I , I , dA,\

Denkt man sich W nach (7 in Linearfactoren zerlegt, so muss jedef
derselben, da die A^ und w^a die Form §{q) besiteen, Theiler von A^^A^yA^
sein. Da nun die A^ keinen gemeinsamen Theiler besitzen, so reducirt
sich W auf eine Constante und es wird

Passen wir die bisherige Untersuchung zusammen und beaehten, dass
Q irreductibel ist, so gelangen wir zu dem Resultat, dass die Bedingung

nur die beidcn irreductiblen Lösungen

zulässt. V^on diesen liefert nur Q éine wirklicho Integralgleichung, ent-
sprechend der Relation

88 H. Bruna.

während q^H^ nur als Integralgleichung erscheint, wenn q als unabhangige
Varlable gCAvählt wird, wie aus der Relation

hervorgeht, deren rechte Seite, wie man sich leicht Uberzeugt, nicht durch
H^ theilbar ist.

Die geometrische Bedeutung des Verschwindens von Q lasst sich leicht
angeben. Aus der Form des Ausdruckes fttr q durch die auf die in-
variable Ebene bezogenen Coordinaten x , ;/ folgt namlich, dass q sich
algebraisch durch die Seiten des Dreiecks ausdrticken lässt, welches die
Projectionen der drei Körper auf die invariable Ebene mit einander bilden.
Bewegen sich nun die drei Körper in einer Ebene, d. h. also in der in-
variablen Ebene des Systems, so fallen die drei Seiten des genannten
Dreiecks mit den q^ zusammen, und man erhalt durch Rationalmachen
der so zwischen den q , q^ entstehenden Gleichung genan die Bedingung
^ = o. Dieselbe besagt also, dass die drei Körper sich in einer Ebene
bewegen.

23. Am Schlusse der orsten Abtheilung war als nächster Schritt
in dem hier bei der Untersuchung tvber die Integrale des Vielkörper-
Problems befolgten Gedankengange die Bcantwortung der Frage bezeichnet
worden, ob Integrale existiren, welche durch Quadratur ttber algebraische
Ausdrftcke gebildet sind. Wir fragen also jetzt, indem wir wieder das
System 7. Ordtiung zu Grunde legen, ob ein Integral der Form

existirt, in welchem der Ausdruck unter dem Integralzeichen ein totales
Differential und die 3(<) , &(g) , . . . algebraische Functionen der acht ^

V^ariablen < , g , . . . sind. Ausdrttcke dieser Art können wir fttglich als
ABELsche Quadraturen und, wenn sie ein Integral unserer Differential-
gleichungen liefern, als ABEi/sche Integrale des vorgelegten Problems
bezeichnen. Dje nothwendige und hinreichende Bedingung daftir, dass die
Quadratur ein Integral liefert, ist mit Rttcksicht auf die Beziehung

K ~ 9li

tFber dic Intcgralc des Vielkörpcr-Problcnis. 89

durch (las idehtische Verschwinden des Ausdruckes

gegebeii.

Die B{t) , . . . denken wir uns dargestellt als rationale Functionen
der Variablen und einer einzigen, dureh eine irreductible Gleichung de-
finirten Irrationalität j^. Weiter denken Avir uns in den 3(/) , . . . die
Irrationalität aus den Nennern fortgesehafiFt und die Zäliler nach j' auf
den niedrigsten Grad gebracht. Dann beweist man durch die wiederholt
angewandte Bet rach tungs wcisc, dass in den 3(0» ••• u'^^ ^^ der Gleichung
i\\v y die Constanten der Differentialgleichungen, näinlich m,ajbjhjky
sowic die etwa auftretenden constanten Parameter nur algebraisch auf-
treten, dass ferncr ^ als parameterfrei und infolge dessen auch als ho-
mogen in den Dimensionen vorausgesetzt Averden darf. Dies festgestellt,
gehen wir jetzt dazu Uber, das Verhaltcn von jr an den Stellen zu unter-
suchcn, wo jr, als Function einer der Variablen betrachtet, einen Pol
(Unendlichkeit.*ipunkt) öder einen Verzweigungspunkt öder beides zugleich
besitzt.

Es seien o-,^'^,... die acht Variablen, in willkrtrlicher Reihenfolge
geordnet. Man ontwickle 3(^(t) nach stcigenden Potenzen von a — r, wo
r einen constanten Werth öder auch eine algebraische Function der
ö-j , /Tj , ... bedeutet, dann enthält die Entwickelung, von besonderen
Werthen der (irösse r abgesehen, im Allgemeinen nur ganze positive Po-
tenzen. Wir wollcn jedoch die möglichen Grenzfälle sogleich mit bertick-
sichtigen' und denken uns die Reihe fttr ^{(t) als nicht nur ganze posi-
tive, sondern auch gebrochene und eine endliche Anzahl von negativen
Potenzen enthaltend. Die Coefficienten sind algebraische Functionen der
<Tj , (Tj , . . . und, so länge specielle Werthsysteme der (x^ , ^^ , . . . ausge-
schlossen bleiben, so beschaffen, dass die Reihe, ohne Zerstörung der Con-
vergenz, nach den ö-j , ^^ , . . . differentiirt werden känn. Die fttr S^a) ge-
wonnene Reihe integriren wir gliederweise nach a in der Art, dass man,
abgesehen von dem etwa vorkommenden logarithmischen Gliede, wiederum
eine nach a — r fortschreitende Reihe, jedoch ohne constant^s Glied, erhalt.
Diese neue Reihe, einschliesslich des logarithmischen Gliedes, heisse ^(<t),

Acta mathematien. II. Imprimé I0 14 Déoembre 1887. \2

90 H. Bruus.

daim darf sich ^{a) von ^ nur um einen von (t unabluingigen Aiisdruck
unterscheiden. Biidet man

y-M^)] = ^M-X[''^-

und denkt sich 3(^J ebenfalls nach tr — r entwickelt, so erkennt man,
dass der Coefficient des logarithmischen Gliedes von (t^ und ebenso von
(T^y , . . unabhängig, also constant sein muss, und dass die rechte Seitc sicli
auf eine algebraische Function von o-j , . . . reducirt. ScÖreiben wir also

so ist y' durch eine ABEi/sche Quadratur gegeben.

Die vorstehend gewonnene ReihenentAvickelung fur jr werde jetzt fol-
gendermassen gespalten. Man vereinige zunächst zu einem Ausdrucke f{fT)^
alle ganzen Potenzen nebst dem logarithmischen Gliede und dem Term
jr'. Aus dem nur gebrochene Potenzen enthaltenden Keste greifen wir das
niedrigste Glied heraus und vereinigen damit zu einem Ausdrucke jr(/7)j
alle Gliecjer, deren Exponent sich von dem des nicdrigsten Gliedes um
ganze Zahlen unterscheidet. Aus dem dann noch verbleibcnden Keste
spalten wir in gleicher Weise ein f{(T)^y^{tr).^, ... ab, bis alle Glieder
erschöpft sind, was nach einer endlichen Zahl von Spaltungen der Fall ist.
Wir haben dann

? = f^(^)o + r(^)i + ... .

Diesen Ausdruck diflferentiiren wir vollständig nach y, wobei wir uns den
Ausdruck fttr K ebenfalls nach Potenzen von a — r entwickelt denken.
Letztere Entwickelung enthält nur ganze Potenzen, und negative nur dann,
wenn fttr tr = t der Ausdruck y^//j verschwindet. Die vollstRndig cnt-
wickelte Ableitung erscheint zunächst ebenfalls als Potenzreihe und man
erkennt sofort, dass die aus den Ausdruck f^(ö')^, , fr((7), , . . . entspringen-
den Reihen einzeln fttr sich verschwinden mttssen, dass also die j^(<t)^ , ...
einzeln fttr sich Integrale sind, und zwar Abel sche Integrale, da sie sich
linear mit constanten Coefficienten aus den verschiedenen Zweigen zusam-
mensetzen lassen, welche die Function jr an der Stelle a =^ t besitzt.
Weiter erkennt man, wenn die verlangte Ditferentiation und Entwickelung
an den Anfangsgliedern der einzeinen ^(<t) ausgeftthrt wird, dass in d{a)
negative öder gebrochene Potenzen höchstens dann auftreten können, wenn

Ober die iDtegrale des Vielkörper-Problems. 91

entweder K negative Potenzen enthalt, also fOr ö" = r der Ausdruck q^H^
verschwindet, öder wenn die Entwiekelung von

kein von a — r freics Glied enthält, wenn also diese Ableitung fOjp 0"= t
verschwindet, d. h. a — r elne Integralgleichung ist. Hiernach erhalten
wir also fttr den Ausdruck ^{(t), wenn derselbe als Function von a be-
trachtet wird, alle im Endlichen liegenden Pole und Verzweigungspunkte
durch die beiden Bedingungen

Geht man, um das Verhalten von f ftlr sehr grosse Werthe von (t
VA\ ermitteln, von der Entwiekelung des Ausdruckes ^{o) nach fallenden
Potenzen von a ans, so känn man genan so wie vorhin ein y{a) bilden,
dies durch Hinzufttgen einer AnEi/schen Quadratur (p'{a) zu fp erganzen
und dann in die Bestandtheile f (^)o > J^(<^)i ^ ••• spalten, welche einzeln
wiederum Integralc sind. Differentiirt man dann vollstftndig nach g, so
ergibt sich, dass positive öder gebrochene Potenzen öder ein logarith-
misches Glied in ^ sicher nicht auftreten,- wenn die Ausdrttcke

nach a entwickelt, die Form

3A'

dK

dK

m

9

39«'

dPa

A A A

a'

+

a'

+ 5

+

• • •

besitzen. Diese besondero Jprm findet statt, wenn tr die Variable g vertritt.
24. Nachdem wir die vorstehenden Siltze gewonnen haben, nehmen
wir die &(/t) einzeln vor. Es wird sich dabei zeigen, dass dieselben
sämmtlich rationale Functionen der Variablen sein mOssen. Wir begin-
nen mit 9(/). Da die Variable t in den beiden Bedingungen

7,7/, = o, Q=^o

nicht auftritt, so folgt, dass 3(/) fCir endliche Werthe von t weder ver*
zweigt ist noch unendlich wird, also die Form Ö(/) besitzt. Hieraus folgt
ftir f> die Form

92 H. Bruns.

und ferner

dl\ „ dt , dP,

-j^^o, «nrf^+-rf^' = o, etc.

woraus wir Jlhnlich wie in § 20 schliessen, dass n gleich Null ist, d. h.
^ die Variable t öberhaupt nicht enthält. Wahlen wir ferner ftVr a die
Variabla p^y so folgt, da Q die p^ nicht enthält, dass 9(p,) im Endlichen
nur einen Verzweigungspunkt resp. Pol besitzen känn, nanilich

Hiernach ist 3{p^) ein Aggregat aus einer endlichen Zahl von Potenzen

der DifFerenz p^ — j^oy ^^^ f^O^Ji > r(i^)3 > • • • wtirden dann, Avenn sie
vorkämen, auf algebraische Integrale ftthren, mOssen also in Wirklichkeit
fehlen, d. h. jj? niuss sich auf jr(ö')^ reduciren. Hieraus folgt, dass 3(^J
eine rationale Function von p^ ist, deren Nenner nur die Theiler /?, — p^^
besitzt. Das Integral jr besitzt also die Form

äi{p^) + r log {p^ — pj, r ^r-. Constantc^

Hiermit ergibt sich, dass sämintliche ^{(t) rationale Functionen von ;;,
und ebenso yon p^ und p,^ sind, deren Nenner nur Theiler von der Form
q^H^ besitzen. F^ttr ^ ergibt sich daraus die Form

wo P eine Constante, P^ eine von den p^ freie AnEi/sche Quadratur und
P^ einen von den p^ rational, von den g , g^ algebraisch abhängenden Aus-
druck bedeutct. Aus der vorstehenden Form ergibt sich, dass S^{g) als
Function von g betrachtet, als Verzweigungspunkte, nur die beiden aus

8Jch ergebenden Stel len ff^ , ff^ besitzt, während die beidoh ans

folgenden Stellen //g , //^ nur als Polo, auftreten können; die Stelle9 = cx)
iirt, wie oben bemerkt wurdo, weder Verzweigungspunkt noch Pol. Setzt
man

7 — </.

7 - 9i

= w, ^{q)<f(J = Sf(w)^///,

Ober dic Integrale des Vielkörper-Problcms. 93

SO sind die Verzweigungspunkte von 3{n) durch u = o, u = co, und
die ausserdem noch vorhandenen Pole Wg , w^ durch

^3 — r/. r/4 — f/i

bestimmt. Multiplieirt man nun &{u) mit solchen ganzen Potenzen von
u — W3 resp. ti — u^, dass das Product an den Stollen ?/., , W4 nicht mehr
uiiendlich wird, so ist diesos Product als ein endliches Aggregat von
Gliedern der Form cu'' darstellbar, wo die v» rationalc Zahlen bedeuten.
Setzt man daher

wo Å eine passend g(?wä.hlte ganze Zahl ist, so besitzt^3(?») die Gestalt
cil(r) und enthJllt im Nenner als Theiler nur v und die aus

entspringenden linearen Theiler, welche mit

v — if.^^ , v — u.^^ , . . . , ^' — W41 , v — u^^ , . . .

bezeichnet werden sollen. Die Integration nach v liefert jr in der Form

^r -^ c logr + Te,, log(r — //,,) + Tr,^ log(r — ?/,,) + T, + l\.

Hierin sind die c Constanten, I\ von der Form c/l(r) und U.^ eine von
v freie ABEi/sche Quadratur. Vergleichen wir diese Form mit oben ge-
gebenen, nRmlich

SO folgt, dass die mit den Coefficienten r,. , C4. versehenen Logarithmen
nur aus der Zerleojunor des Terms

PW^qJI, = 7'lo-{.y^M,(r/-r/,)(7-.<7jj

entspringen können, dass also die c^, , c^^ srimmtlich einander gleich sind.
Hieraus folgt, dass sich (f in der Form

(f = e, \og{f/ — r/,) + e, log(7 — .^2) + e, \ocrqJI, + U\ + U',

schreiben lässt, wo fur die e , W dieselben Eigenschaften gelten, wie fttr
die c, IL Stellt man nun, von der zuletzt gefundenen Form filr jr aus-
gehend, die Entwickelung von <f nach Potenzen von (j — g^ öder q — //,

94 H. Bruns.

auf, 80 erkennt man, dass die J^(?)i > ^^(9)2 > • • • nur ans gewissen in U[
vorkommenden Bestandtheilen entspringen können, also, wenn sie vorkftmen,
rein algebraisch sein mnsston. Hiernach reducirt sich p in beiden Fallen
auf den Bestandtheil ^{(j)q, d. h. S^{q) und damit sind dio ftbrigen 3 von
der Form äl((/).

Der Ausdrnck ^{g^) ist in q und den p^ rational, känn also, als
Funetion von g^ betrachtet, im Endlichen nur Verzweigungspunkte be-
sitzen, welche von den Variablen g , />,, unabliÄngig sind. Da solche nicht
existiren, so ist c)(y,) von der Form cÄ(r/j). Das Gleiche gilt ffir alle an-
deren 3 und ebenso ftir die Variablen g^y g.^. Hiermit haben wir, wenn
Avir zusammenfassen, das Resultat gewonnon, dass in dem gesuchten Abei/-
schen Integral, falls dassolbc existirt, die B(g) , . . . sämmtlieh die Gestalt
cR(y , q^ , p,^) besitzen, dass ferner dio Nennor als Theiler nur die Aus-
drtirke (/^//j und Q besitzen, dass also ^ in der Form

F =- äl(r/ , g,, , p^) + c' logy,7/, + r" log Q

darst(^llbar ist. Da die EntAvickelung von ^^ nach fallenden Potenzen von
g kein logarithmisehos Glied besitzt, so ist

& + 6" ^. O,

■

SO dass wir aueh schreibon kynnen

26. Die Untersurliung hat uns jetzt zu der Frage geföhrt, ob das
System 7. Ordnung ein Integral von der F^orm

besitzt, in welchem, wenn jr sich nioht auf eine Constanto rcduciren soll,
der Factor c von Null verschieden sein muss, also gleich Eins gesetzt
werden darf. Bezeichnen Avir die beiden Bestandtheile von ^ der KUrze
halbor mit jr^ und jr.^, so darf der rationale Term jTj als algebraisch aus
den Constanten m , a,h ,k y h gebildet vorausgesetzt werden. Bringt man
nämlich jr, zunllchst auf die Form cR(w? , a , h y k Jf , T), wo /' eine von
den w , . . . abhangende Irrationalität bedeutet, und stellt dann ^^ in
der Form

fl =fio + F,i''+ ^'xJ^ + ...

Cber die lutograle des Vielkörpcr-Problenis. 95

uiiter möglichster Herabdrttckung des Grades in Bezug auf /' dar, so
uitissen die f^n > f 13 > • • . sich auf Constanten reducireii. Man darf deshalb
die mit F raultiplicirten Terme unterdrttcken öder jr^ als rational aus den
m,(iybykyh gebildet voraussetzen. Dies festgestellt ftthren wir an Stelle
von h die Variable 2^ durch die Gleichung

o = A + pJf^ + 7/,

ein, und crhalten dann jr^ in der Form

91 {2) , fj , p,, , yj,

während jr in ein Integral des Systems 8. Ordnung t\bergeht.

In dem System 8. Ordnung lilsst sich nun die allgemeine Lösung
durch Reihen, welche nach ganzen positiven Potenzen von t fortschreiten,
darstellen, indcm man die 2) , 7 nach dem TAVLOKVchen Satze mit HCilfc
der Diflferentialtirleichunoren entwickelt. Dicse Reihen converf]jiren inner-
halb eines hestimmten Hereiches filr t, sobald man festsetzt, dass ftlr
t = o die Variablen endliche, und im Besondern . die 7,^ von NuU vcr-
schiedene Werthe besitzen. Substituirt man diese Reihenentwickcluncjen in
den Zähler Z und den Nenner N von jr, und ebenso in q^H^ und Q,
so erhä-lt man ilhnliche Potenzreihen. Die Coefficienten sind sjlmmtlich
nach den ^; , fj , 2^a g^^^z rational, nach den r/,, dagegen rational, jcdocli so,
dass in den Nennern als Theiler nur die (/,, auftreten. Der so entstehende
Ausdruck

' I 1 ^A^^l

L [Qcr ^* _L

N ^ ^ v

muss nun von t unabhängig sein, wie man auch innerhalb der ange-
gebenen Kinschränkungen die Anfangs>vcrthe der Variablen variiren mag.
Lassen wir nun diese Anfangswerthe so variiren, dass fj^JJ\ fttr t = o
den Werth NuU annimmt, so können in den vier Reihenentwickelungen
nicht sämmtliciie Coefficienten verschwinden, da y^//,, ^vie wir wissen,
nicht Integralgleichung des Systems 8. Ordnung ist. Setzt man ausser-
dem fest, dass fnr die gewllhlten Anfangswerthe Q nicht verschwindet,
so entspringt, wenn man ^^ und fr^ ^^^^h Potenzen voo t entwickelt, aus
jr^ ein Glied von der Form

n logtj {n > o), .

I

9() H. Bruns.

welches sich nicht fortheben känn. Die Annahme, dass ein Integral der
hier betrachteten Form existire, ftthrt also auf einen Widfirspruch öder
m. a. W. es existiren zu dem System 7. Ordnung keinc AiiET/schen Inte-
grale, und ebenso auch nicht zu dem System 8. Ordnung.

Bei den vorstehenden Entwickelungen waren wir von einer beson-
deren Form der Bewegungsgleich ungen fttr das Dreikörper-Problem aus-
gegangen, nilmlich dem hier benutzten System 7. Ordnung. Da jedoch
ein AnELsches Integral durch eine algebraische Transformation der V^a-
riablen wiederum in ein AuELsches Integral tlbergeht, so giit das ge-
fundene negative Resultat flir alle Formen der Bewegungsgleichungen,
welche aus den ursprunglichen durch rein algebraisclic Uniformungen ent-
stehen. Das gefundene Resultat gilt ferner auch fiir das Vieikörper-
Problcm. Reducirt nuui nilmlich beim Vielkörper-Problem die Ordnung
des Systems ähnlich wie bei dem Dreikörper-Problem durch Benutzung
der bekanntcn Integralc, so erlullt man algebraische Differentialgleichungen.
Existirt zu diesen ein AbelscIics Integral, so cnthält der Ausdruck, (iber
welchen die Quadratur auszufCihrcn ist, die Mässen nur in algebraischer
Weise; man miisste also unter ullen Umstllnden durch das Verschwinden-
lasscn einer odcr mehrerer Mässen zu einem AuEi/schcn Integral ii\v das
Dreikörper-Problem gelangen, was nicht sein darf.

Die vorstehend hergeleiteten negativen Ergebnisse enthalten, wie mir
scheint, eine hinreichende Erklärung fur die Thatsache, dass man bei der
Aufsuchung neuer Integralc des Dreikörper-Problems seither nicht iiber
den bereits vor einem Jahrhundert erreichten Ståndpunkt hinausgelangt ist.

Berichtigung.

8eitc 64, Zeilc 2 v. u. ist »sich» zu strcichcn.

O'

ZUR THEORIE DER

MEHRWERTHIGEN, MEHRFACH LINEÄR VERKNUPFTEN FUNCTIONEN

VON

KARL HEUN

in MCNCHEN.

Durch clie tlefsinnigen Forschungen des Herrn Poixcaué iat dic
Theorie der lincaren Differontialgleichunffen auf ebenso sichere Grund-
lagen gestiitzt worden, wie die Theorie der elliptischen Functionen durch
die Arbeiten von Abel und Jacohi. Wie die Thetafunctionen das Um-
kchrungsproblem far die elliptischen Integrale lösen, so erlauben die
Functionen des Herrn Poincahé (Acta Mathematica, Bd. i, p. 193)
das analoffe Problem im Gebicte der lineilren Difterentialorleichun<yen zu
behandeln. Wir beschäftigen uns jedoch im Folgenden nicht mit den
eindeutigen Functionen mit lineären Transformationen in sich, sondern mit
den mehrdeutigen Functionen, dercn PeriodicitUt durch lineäre homogcne
Substitutionen bestimmt ist. Die nachstehende Untersuchung schliesst
sich insbesondere an die viertc Abhandlung Poincaués (d. Zcitschr., Bd.
4, p. 201) an. Andererseits steht sic in cnger Beziehung zu einer be-
kannten posthumen Abhandlung Riemanns (Werke, p. 357) namontlich
in Betreff der methodischen Gesichtspunkte. Die Rosultate, zu welchen wir
gelangt sind, werden insbesondere dazu dienen können die Theorie der
P()iNCAKÉ'schen sogen. Zetafunctionen cinst weiter auszubilden. (Man
vergl. d. Zeitschr., Bd. 5, p. 212.)

1. Wir betrachten im Folgenden eine mehrdeutige Function einer
unabhängigen Veranderlichen x, welche auf einer unendlich-blättrigen
RiEMANN^schen Kugelfiiiche mit / endlichen Verzweigungspunkten ^1,^3,....
Si imd dem Unendlichkeitspunkte f,^i eine eindeutige Function des Örtes

Aetn mathematica. 11. Imprimé le IS .Tanvior 188S \\\

98

Karl HeuD.

ist, derart, dass zwischen je j) + i Zweigen eine lineäre homogene Rela-
tion mit bestimmten constanten Coefficienten besteht. Eine solche Func-
tion soll, insoweit sie durch diese Fest^etzungen determinirt ist, eine p-fach
lineär verknupfte heissen. Ist nun cB^ (i = i , 2 , . . . , t + o die homogene linelire
Substitution, welche das Verbal ten der zum Punkte f, gehörigen, willktkr-
lich angenommenen, Zweiggruppe (j/j, , ^2» > • • • > ^pt) bei einmaliger positi-
ver Umkreisung des Punktes fi ausdrttckt, dann ist bekanntlich

(O

c6j.|.j . Wj . . . COo . cöj = I .

Setzt man ferner in ttblicher Weise

oBj = Bi .

'W\^^ , o , . . . , o

o

9 ^\ >

o

und

o

B.

tv\

ip)

.Bl

— 1

(i-l, 2, ...,<— !,(+!, ...,< + l)

B7'= I

dann ist das Verhalten cines bestimmten Zweiges ?/j,i (^llj;;;:;r-|.i) bestimmt
durch die Gleichung:

log »!>(**)

!hi = (^ - fi)"^^. M^ - Cl)

wo 0pi{x — fi) eine im Punkte $^ eindeutige, stetige und nicht verschwin-
dende Function bedeutet. Die Wurzeln w\^^ (p = 1.2, . . . , iO der zum Punkte
fi gehörigen determinirenden Gleichung wollen wir als von einander ver-
schieden betrachten.

Nun ist aber, wenp wir den Hblichen Initialzweig von logir mit
Logaj bezeichnen

logtv^^^ = Log?r|^^ + 2mr^-~ i

folglich

(W

log Wi

2n\l — i

= Api + m

Zar Thcoric dor mchnrcrthigco, mchrfach lincär vcrkoUpftcn Functionea.

wenu Xfi durch die Gleichung:

99

(2)

LogtV^^^ = iKyJ—l .-Api

definirt ist.

Wir bezeichnen iiun alle Functionen (//), deren Periodicitat in Bezug
auf dieselben Verzweigungspuiikte durch dieselhen erzeugenden Substitu-
tioiien ^i , ^3 , . . . , Sj definirt ist als zurselben Art (= »espéce» in der
Terminologie des Herrn Poincaué) gehörige.

För zwei Systeme (y), welche von derselben Art sind, unterscheiden
sich demnach die correspondirenden Verzweigungsindices (A) um ganze
Zahlen [m).

Zwischen je /> -f ^ Functionen derselben Art: i/^^ , y^^^ , . . . , ^^^ be-
steht eine fundamentale Relation, deren Form sich durch Betrachtung der
folgenden identisch vcrschwindenden Determinante ergiebt

y^t 9 !/pt 9

' * • J Ifpi J

yiP)

• • • > !/pt

yl?^ , yi:^ ,

• • • > l/l( J

yiP)

y.r , y^!^ ,

• • • > !/'2i J

• • • ; !/it

./O) .,,(1)

!/pt j Upt j

yi^o)
• • • > ifpt J

• • • > i/pi

Nimmt nian die Unterdcterminanten in Bezug auf die erste Horizontal-
reihe, dann erhält man eine homogene lineäre Gleichung von der Form:

(3)

A!"j . <> + A!" . .<> + . . . + Al"' . //,f> = o. (^zl:l:::u^

Die Entwicklung von Af"^^ besteht aus einem Aggregat von Produkten
von je p Faetoren, von denen jeder in dem Bereich des Punktes S, die
Form hat

Der erste Term in der expliciten Gestalt der Determinante A^"^ heisst also:
Die nachstfolgenden Terme ergeben sich aus diesem ersten, indem der

100 Karl Hcun.

Exponent von {x — ^ $) durcli die Summe allcr ttbrigcn inöglichen Per-
mutationen zu je p der p^ Indices /^f^ ersetzt und jede der so entsti^n-
denen Potenzen mit einer 0-Function multiplicirt wird. Diese Exponen-
tensummen können sowohl positive als negative Werthe haben. Diejenige
Summe, welche von allén tlbrigen um eine positive ganze Zahl öber-
troffen wird, soll durcli El'"^ bezeichnet werden. Es ist also

M

AH = (a; — e,)^i '.(^;'J(.^_fJ.

Da nun

A!'"« = Det. Ii, . A!'"'

80 ist auch

AW = (j;-f-)*i'".</>f"*i(x-c,).

Folglich ist

eine ganze rationale Function von x vom G rade

- [£["> + Ei"'^ + . . . + Elt\l

m

welche wir mit F^ bezeichnen wollen. Es ist

11» (i) ^

wo unter 2^2)^"^ die Summe aller auf clas System (//*') bezogenen In-
dicesdifferenzen zu verstehen ist. Die rechte Seite dieser Gleichung darf
also nicht > o werden. Die Gleichung (3) nimmt nach dem Vorstehenden
die Form an:

n

^V . {X - e.)^'" • {^ - e.)^' ...{X- $/"' . K

eI" /„ *n£['I ,^ ^xE»."

+ C-(^-0^'-(^-C,)^'-.-(-*^-f,)'''. -?', + . ••

!"' /.. *N£l."J /. *xEt"l

...+!^,':K{x- f,)^' . {X - c,)^"' ...{X- f r- . K = o.

Zur Tlieoric der mehrwcrthigcD, luehrfach lincär vcrkntipflcn Functionen. 101

Da (lie Differenzen der Grössen E\^^ , E[*J , . . . , El''^ ganze Zahlen sind,
go lässt sich die Gleichung auf die Form bringen:

(4) H,{x) . y;? + H,{x) . y,V + . . . + H,{x) . y^f = o.

Die Grössen Hq{x) , H^{x) , . . . , B'j,{x) sind ganze rationale Functionen

von bekannten Graden. Die Gleichung (4) enthält den RiEMANN^schcn Satz:

DZwischen je |) + i Elementen eines Systems p-iach lineär ver-

knttpfter Functionen derselbeu Art besteht einc lineäre homogene

Relation, deren Coefficienten ganze rationale Coefficienten der un-

abhangigen Veranderlichen sind.»

Wir haben diesen bekannten Satz hier reproducirt, weil uns die an-
gewendete Bezeichnung eine körzere Darstellung der folgenden Unter-
suchungen erlaubt.

2. Da alle Derivirten einer p-fach lineär verknöpften Function
dieselbe Periodicität besitzen, wie die primitive Function, so sind sie aucli
alle mit der letzteren von derselben Art. Bei jeder Differentiation er-
niedern sich die Verzweigungsindices um eine Einheit. In der Gleichung
(4) sind demnach eine gewisse Anzahl von Differentialgleichungen mehrerer
abhängiger Veränderlichen enthalten.

Wir wollen nur den Fall untersuchen, in welchem die p + i Func-
tionen derselben Art, zwischen denen eine Gleichung (4) bestehen muss.

die folgenden seien:

dy d^ 'y

dz d^ z

Z , -3— j • • • >

Aisdann heisst die RiEMAXN'sche Fundanientalgleichung:

■v

fl Z fl * Si

+ Gq , Z -i- Gr\ '^ h . . . -f" Gr—\ • ~ "r~i •

^ ^ * tia; I ;r 1 ^^.T-i

Die Grössen El"^^ der vorigen Nummer wollen wir jetztin zwei
Gruppen El'**'^ und J5Jf'^«^ theilen, welche beziehungéweise den Functionen

102

Karl HcuD.

F und G eutsprcchen sollcii. Dic Grössen El'^'^ und iJ['^^ ergeben sich

aus der Betrachtuiig der Deterininaiite:

o

Ih

dy

Pi

C»rM|

ypi

i y

rf"^i?pi

iff-1

JJT — J

rf* ' •••' ,U'^ ' •••' d^P-" ' "•» ' rf* ' ••" Ax^ ' •••' d^->

^"'yw

> • • • j

dcc'"* dx

rf*"*«ii

fff-i

d" 2, i

5 , ,;i. > • • • » , r-i

d«"^

rfy2i rf""' ym

!/2i J .j^ > • • • y

' dx

dx

■ • • • •

dx

rTT-l

Zp — n

dz

/>»

dx

dx

fy,

, . . . ,

dx

/'-^ ' ^^'* ' dx ' '"

ITT— I

d z^x

'•••'■rf7=^

« «^

rf^^Äfpi

rf«"«

dx'

Bedenkt man iiuii dass

rf"' yyx

rf *^»i

rf*'"*

= {x — fi)^pi-"'' . (D^'"^\x — ^i),

= {x — fi)^»>i+''pi-'"« . ö^'''*>(a; — fj)

(i-1,2 O

dann findct man zunächst

(p)

+ 3>i--;r(T-i)

(i-=J,S O

während

i?lt',' = !:;,.<+, + {o + I + 2 + . .. + (Ä, - i) + (A^ + I) + ... + 0^ — ?r)}

+ ®.+. +J;r(z-i)

da X — ^^4., = - zu nehmen ist.

Zur Theorie der mehrwerthigeo, mchrfach lioeär verkotiprtcn FuoctioDeo. 103

Die Grössen ®i bestimmen sich folgendermassen. Man nimint aus dem
Schema:

O.

I.

. . . Cf>2*

• • •

TT— I.

I.

^?li

o\

• • • ^^li

• • •

o\

2.

^•ii

<?2i

• • • ^2i

• • •

^2i

/>•

(Jpx

^p\

• • • ^/)i

• • •

^;>i

je ;r Elemente aus verschiedenen Vertikal- und Horizontalreihen, was auf
I . 2 . 3 . . . j) Arten möglich ist und addirt dieselben. Aus der Reihe
der so entstehenden Summen:

,C(i) ,C(3) ,C(i.2...;>)

Oj , Oi , . . . , Oi

ist ®i diejenige, welche von allen ftbrigen uin positive Grössen ftbertroffen
wird. Ferner findet man fnr i= 1,2,..., i den Ausdruck:

E[-l = f^,,-i(p-;r)(2,-;r+i)
4. cw-i^.) _ { o + , + 2 + ... + (&, — i) + (ö>, + i) + ... + (r_,)}

"lind

+ ®l;i +{0+ I + 2 + ... + (Ä,— i) + (Ä, + i).+ ... + (;r— i)}.

Um die Grössen ®[*^*^ zu bestimmen lasse man in dem obigen p . tt-
gliedrigen Schema die mit lo^ bezeichnete Verticalreihe aus und biide
die Summen aus je r — i Elementen (dpi)y welche verschiedenen Vertikal-
und Horizontalreihen angehören. Alsdann ist diejenige Summe, welche
von den tlbrigen (för ein festes i) um positive Grössen tibertroflFen wird,
die mit 3)[*^ bezeichnete Grösse,

104

Karl ITeun.

Unf?ere Differentialgleichung nimmt jetzt die Form an:

.%

3),

{x — ^,y\{x—^,)-^\..{x — $,)

.®.

F„[Ä-D-(p-;r)(--i)(i-i)].j

-+^(a.).F,[A-7)-(2>-r)(;r-i)(i-i)-(i-i)]|

dx*

+

(I)

+

+ {i{>{x)Y-F,_^{h -D-{p- ;r)(-- i)(t- i)_(;,-;r)(/- i)]
+ (o; - ^0®^*'. (a: - f/'"L (o: - ^,)®''! G^, [Ä - 7)''i - (2> - ;r)(r- I )(» - I )] ^

d'-^

(2a;

p-r

+ (rr-A0®^(rr-?,f''..(.'r-O®"'ö,[A-l)f''-{(i,-7r)(;r-i)+i}(»-i)]g

+
+

onL--!] cr\[»f-il ^["~'J

+ {x-$f' 'i^-^f' ...(^-e.r .ö._,[Ä-ö"'-"-|(p--)(;r-i

)

+ (T~OK»-0]£ä=o,

wo zur Abklirzung gesetzt ist:

(5)

^,(x) = (.T -f,)Cr -*,)... (rr-^,)

t+l P

vir) — I Vi — O —

(O (P>

Dw = Z3>['"'i ; D = r®i.

(1)

vO

Zur Theorie der mebrwerthigen, mehrfach lioeär vcrkDttpften Functionen. 105

Die Grade der ganzen rationalen Functionen Fq j Fu ..,, F^„] O^j Öj , ...,
(?^__i sind in den beigefögten Klammern angegeben. Die Grössen

h — D — (jp — 7:)n{i — i)

h — Z)^P^ — \{p — ;r)(;r — i) + p}(i — i) (p-o.i,a,...,7r-i)

dörfen nicht negativ sein, wodurch den Indicesdifferenzen d^x gewisse Be-
dingungen auferlegt werden.

3. Die Formel (I) ist besonders bemerkenswerth wenn ;r = i an-
genommen wird, da alsdann die Derivirten von z herausfallen. Es
werden ferner die Grössen ©["^»^ zu Null. ®i wird in der Reihe <?,i,
Jji > . . • j dp\ enthalten sein und zwar ist es diejenige Grösse, welche von
den tlbrigen um positive Zahlen öbertroffen wird. Man erhält also die
einfache Gieichung:

(II) o^ix- ^f\{x - ef' ...{x- e,f'lF,.y + <^.i?,.g + . . .

Fp = i''p[Ä-D-p(é-i)]

mit der Bedingung:

h — D — {p— i){i — i) > o.

Setzt man endlich in der Gieichung (I) den Index tt der Null gleich,
dann resultirt die Differentialgleichung p^' Ordnung fttr die Function y:

(A) o = F,[h + p{i- i)]y + <p.I\[h + (j,_ i)(.i_ i)]|+ .. .
denn es ist

®j = ®2 = . . . = ®^^j = O

also auch /) = o,

Åela mathematiea. 11. Imprimé le IH Janvler 1888. 14

106

Karl Heun.

Ftlr Ä = O erhält man die bekannte FucHS^sche Form der Differen-
tialgleichung:

(A')

o = FMi - i)].y + ^.F.[(2, - i)(é - i)].^ + . . .

dx

+ ^^....;,,[,_,].^+r.g.

In diesem Falle ist

(a)

(t) (p)

Die Gleichung (A') lässt sich noch weiter vereinfaehen. Es ist nemlich

^11 > ^12 y • • • 1 A, i » ^M,< + 1

y

^21 J ^22 ? • • • ? ^2, i y ^2,H 1

^/>1 > ^/>2 J • • • ) ^/),i > ^/),/ + l

= (a; — f ,)-'• • (^ — f.)'' . . . (./^ - 0-" • ?/

y y y y

y y X' y

^p\ J ^p2 9 • • • » ^p,i ^ ^P,i+l

wenn ^i , s^ , . . . , e< ganz beliebige Grössen sind iind zwischen den Indices
^i und AJi die Relationen bestehen:

(i-1,2 o

Api — Åpi B\

i

r

Man känn also jede Function y auf eine andere znruckftthren, fttr welclic
i Indices in i verschiedenen Verticalreihen tvillkiirliche Werthe erhalten.
Wir können daher insbesondere setzen:

(6)

^11 + ^i + • • • + Kl = ^i

(i«i,a....,0

Zur Thoorie der mehrwerthigen, mehrfaoh lineär verkntipfteD FuDCtiooen. 107

wo die Grössen t^i , w, , . . . , n^ beliebige ganze Zahlen sein sollen. Dann ist

Det. éBj == iv\'\i(/;'^ . . . w[''^ == e""^" = i . o-i,» o

Wegen der Gleichung (a) ist aber

i

^.i+i + -^»,.+1 + • • • + K.i+i = ^^p(p — 0(* — o — X^i.

^ (1)

Folglich ist auch Det^^^j = i.

Die zur Gleichung (A') gehörende determinirende Gleichung heisst
för den Verzweigungspunkt fj (i = i , 2 , . ; . , o :

l\ + F^.ipW + l\,iP'\\{\ — i) + . . .

+ Fp_^,(p''-\X{X— i)...(A — !>+ 2) + ^'^A(A— i)...{X — p+ =

wo in Fo,Fi,...,F^_i, so wie in ^' = -^ das Argument rc = fi zu setzen ist.
Fp^i ist in Bezug auf fi vom Grade i — i, wir können also setzen:

^p-i = i7o + ^ifi + • • • + 9i^i^\ '•

Da der Coefficient von A''"^ in der determinirenden Gleichung gleich — Z^A^

sein muss, so erhalten wir die folgenden lineÄren Gleichungen zur Be-
stimmung der Grössen 5^0 > 5^1 > • • • ? Qi-x*

(t = l, 3, ...,<)

t

Das Glied i'«-i[i — i] — rir fällt also aus der Differentialgleichung (A')
aus, wenn wir setzen:

Wj = w, = . . . = w, = ^i^(i) — i).

p

Das System, fttr welches ZAp» = -i^i^ — ^) ^^*> wollen wir im Folgenden

ein Dreducirtes)) nennen.

4. Die Existenz der Functionen y, insofern sie der Gleichung (A')

108 Karl Heun.

genOgen, ist von Herrn Fuchs in aller Strenge nachgewiesen. Wenn
wir alflo ein allgemeineres System (^), welches der Gleichung:

o = G,[k + p{i— i)]z + </>.G,[k -hip— i)(i- 0]d^+ • • •
genilgt, wo

fC ^= —"- Jm^ Zm^ ö^\ %

(1) (P) ^

durch ein Hauptsystem analytisch ausdröcken können, dann ist die Exi-
stenz von z ebenfalls ausser Zweifel. Der Zusammenhang beider Sy-
steme ist aber gegeben durch die Gleichung:

z = {x- ef\{x — Sf' ...{x — sf^

Po.y + ^.^..|+.

_l_ J,'-' p ^^-^

wo Pp (p = o, I , . . .,p— I) eine ganze rationale Function vom Grade:
— D- — p(é — i) ist Aus der letzteren Gleichung erkennt nian unmit-
telbar, dass die Wurzeln der Gleichung Gp[lc] = o nicht Unstetigkeits-
punkte der Functionen z sein können. Da die Coefficienten der Function
Gp\k] zur Festlegung eines Individuums dienen können, so wollen wir
dieselben die DindividuellenD Parameter der Function z nennen.

Bisher sind die Functionen Po , P^ , . . . , P^_i in der Reductionsformel
nur dem Grade nach bekannt. Die Coefficienten in denselben bleiben
also zu bestimmen. Die natftrlichste Methode zur Bestimmung derselben
besteht darin, die Thatsache zur analytischen Formulirung zu bringen,
dass zu z dieselben DerzeugendenD Substitutionen gehören wie zu y. Allein
dieser Weg hat betrftchtliche Schwierigkeiten, da diese erzeugenden Sub-
stitutionen von der Wahl der Initialzweige abhangen, während die »defi-
nirendeuD Elemente der mehrfach lineär verknftpften Functionen die in-
dependenten Invarianten jener Substitutionen sind. Um diese Schwierig-
keiten zu vermeiden, machen wir die Annahme, die Functionen z seien,
ebenso wie die Functionen y, durch ihre Dififerentialgleichung Ddeterminirt».

Zur Theorie der mehrwerthigen, mehrfach lineär verknUpfteD Functioneo.

109

Dass dies der Full ist, lässt sich auch streng beweisen, indem man den
FuCHs'schen Existenzbeweis, nur ganz unbédeutend modificirt, auf die
Differentialgleichung der z anwendet. Wir werden im Folgenden vor-
aussetzen, dies sei geschehen.

Man känn stets aunehmen die Indices des Systems {z) seien so be-
schaffen, dass 3>i = S)^ = ...== ®^ = o sei. Denn ist dies thatsächlich
nicht der Fall, dann können wir (nach N° 3), ohne die Allgemeinheit zu
beschranken, die Function z stets auf eine solche mit veränderten Indices
zurtickfilhren, för welche diese Bedingungen erfullt sind, Alsdann känn
man aber tlber die Grössen t?i,<^_i , ^2,<+i > • • • > ^p.<+i nicht mehr verftlgen.
Jedenfalls muss D = 3>,^.i negativ sein. Wir setzen daher D = — m.
Die Reductionsgleichung nimmt dann die folgende Form an

(7)

z = P,[fn-\.y + ^.P.[m _ (i _ i)].| + . . .

Aug dieser Gleichung entwickele man die Grössen:

^t ^

d'z

dx

2>

• • •

f

dx""

und elirninire mit Holfe der Dififerentialgleichung, alle Derivirten von y,
welche die [p — i)'* Qbersteigen. Auf diese Weise erhalt man Augdröcke
von der Form:

(8)

I

dz

dy

p-\

^JZ =«ii-y + «n-S^±+ ••• + axfV^-

.-, d^-y

dx

dx

P-i

nd'z , , dy , , ... d' 'w

dx'

dx'

Bezeichnet man den Grad einer ganzen Function Fx mit FFx, dann

(8')

110 Karl HeuD.

lassen sich die Grade der ganzen Functionen «ii, ^n, ..., «;,;, in folgender
Weise darstellen:

/a,i = m + i — I, /ai2 = m, ..., /«,^, = m — {p — 2)(t — i)
7^21 = wi + 2 {i— i), 7^22 = m + /— I , . . . , 7^2^, = m — {p— 3)(/— i),
7i/8i = w«+3(i— Oj /«32 = wi+2(i— i), ..., /aj^^ = m—{p—4){i — i)

A;,i = w+i>(i— i), 7a^2 = wi+(^j— i)(i— i), ..., /rt^,^ = m + i— i.

Man ftthre nun die Grössen <p-j-y (p^-i-t, • • • j 0^ — nnd ^ in die Difife-
rentialgleichung von z ein, dann erhält man:

o = (PoG^o + a,,G, J^.,.+ a^,G,)y + (P, (?, + a^2 G, + ... + «,,'(?,,) ^ ^f + ...

+ {F,_,G, + a,,(y, + . . . + a,,G,)ilj^'-'j^,.

Dieser Ausdruck ist aber eine homogene lineftre DiflFerentialgleichung
[p — i)*^" Ordnung fur die Function y. Wörde die»Function y dieser
Gleichung genögeij, so mösste zwischen je p Zweigen so wohl als zwischen
je p + I ZAveigen derselben eine lineäre homogene Relation niit con-
stanten Coefficienten bestelien, was ofifenbar unmöglich ist. Desshalb
muss diese Gleichung identisch NuU sein d. h, es mössen för jeden
Werth von x die Gleichungen bestehen

PiGo + ^126^1 + • • • + %iGp = o.

Pp^i(^a + ^ipGi + • • • + «rP^/> = O-

Diese Gleichungen sind in Bezdg auf a;, der Reihe nach, von dem Grade
m + k + p{i— i) , m + k + {p — i)(i — i) , . . . j m + k + {i— i).

Zur Theorie der mehrwerthigen, nichrfach lincär vérlcDtlpfteD FunctioneD. 111

Sie liefern also irn Ganzen p{m + /c + O + "PiP + 0(^ — ^) Bedingungs-
gleichungen för die Coefficienten in den ganzen rationalen Functionen

Von diesen Gleichungen sind aber nur p{m + ^* + ^ + O — i von ein-
ander unabhängig, während die ttbrigen

^-p[p{i— i) — {i+ 0} + i

Gleichungen identisch erftillt sind.^

AI9 unbekannte Grössen haben wir anzusehen:

erstens p{k + i) + ^PiP + 0(^ — O
Coefficienten in den Functionen Go , ö, , . . . , Gp__^ ,

zweitens p{rn + i) p{p — i)(/ — i) — i

Coefficienten in den Functionen Po> -Pi> •••> -Pp-i- Diese Unbekannten er-
geben sich selbstverständlich nicht eindeutiff aus den als von einander un-
abhängig bezeichneten Gleichungen, da die letzteren in keinem Falle li-
neär sind.

Die Grössen r,,ra,...,r^ in dem Ausdruck ö^[Ä;] = (a; — r,)(a; — r2)...(a;— r^),
welche wir als Dindividuelle» Parameter des Systems (z) bezeichnet haben,
sind bei dieser Reduction tils »Data» anzusehen und sind der Natur der Auf-
gabe gemäss, keiner Beschränkung unterworfen.

Die Parameter der DifFerentialgleichung eines Hauptsystems zerfallen
in zwei Gruppen: in solche, welche durch die Bedingungen der Verzwei-
gung bestimmt sind, deren Anzahl p{i + i) — i ist, und die tibrigen.

Jene {p — i)

-p{i— i)— i

Parameter, welche auch nach Angabe des

Indicessystems unbestimmt bleiben, wollen wir die Dcharacteristischen» Pa-
rameter der Gleichung nennen. Das allgemeine System [z) besitzt ebenso-
viele characteristische Parameter, die wir aber nicht gerade als »bestimmte
Coefficienten» aufzufassen brauchen.

* Iq dem besonderen Falle p == 2, i = 2, sind alle auf die obige Art erhalteDen
OleiehunKcn von oinandcr unabliängig. Dcnn es ist —y\l>(i — O — ('• + 0}+ ' = O.

112

Karl HcuD.

Wir können jetzt das Resultat der vorstehenden Untersuchung in
dem folgenden Satze aussprechen:

5)Ein mehrfach lineär verkntipft€S Functionensystem mit einer
beliebigen Anzahl beliebiger ))individueller Parameteo lässt sich gtets
auf eine endliche Anzahl von »HauptsystemenD derselben Art mit vor-
gegebenen DcharacteristischenD Parametern reduciren. Die Dcharacte-
ristischenD Parameter des zu reducirenden Systems können nicht will-
ktirlich angenommen werden, sondern mössen einem gewissen Sy-
steme simultaner nicht lineärer algebraischer Gleichungen gentigen.»

6. Will man nicht gerade auf ein Hauptsystem mit vorgegébenen
characteristischen Parametern reduciren, dann känn man sich einer ein-
facheren Methode bedienen, welche im Folgenden angedeutet werden soll.
Sind nemlich yu , y^i , . . . , Vpx einerseits und ^n , ^21 , . . . , Zj,^ andererseits
von einander unabhangige Zweigsysteme der Functionen y und z dann ist

dzxi

dz

3i

'21 ;

dx '

dz

>i

rP-i

«ii

dx

d'-'

r-i

«2i

dx

P-i

d^y

Y\

'* ' rf* ' • • • ' dx'-'

= GÅl^ I .

^^^' dx '

^«^' dx '

d"-'

yn

dx

P-\

d

p-i

//2i

dx

p-i

d"^'

Vpi

Infolge der Gleichungen (8) der vorigen Nummer erhalt man also die
einfache Bedingungsgleichung:

(9)

a

11

P P

, a

12

• > «ip

^21 > ^22 > • • • > ^2p

^/»-l.l } ^p 1,2 > • • • > ^'p-l,

= GÅk]

Zar Theorie der mehrwertbigen, mehrfach lineär vcrkDUpften Functionen. lid

Diese Gleichung, welche in Bezug auf x vom Grade pm ist, muss iden-
tisch för alle x erfQllt sein. Sie liefert also pm + i simultane Glei-
chungen. Aus diesen bestimmen sich:

I»n+p—{p{p—i){i—i)
Coefficienten in den Functionen P, , P, , . . . , P._i , und

(^,-1)

ip(.; _ i) _ I

characteristische Parameter des Systems (y), da dieselben von einander
unabhftngig. sind.

In dem Falle der hypergeometrischen Functionen (^Ij) wird die Zahl

(p-i)

-p{i — i) — I zu NuU. Die Diflferentialgleichung des Haupt-

systems ist dann:

(x'-x)g + [(« + /?+ i)^-r]rl! + «./?.y - o.

Die Indices sind also so gewählt, dass y = F{a , ^ y y , x) der Differen-
tialgleichung genögt. Nach der Qblichen Bezeichnung ist

y = y

o,

CO

a

r^r

P^P

Das zu reducirende System z sei gegeben durch die Characteristik

z ^=^ z

o

oo

o,

a

I —r^r — ^ — h?

n

n

so dass also k = 2n. Die Gleichung (9) heisst jetzt:

^oM,

P,[n-i]

^('^-M^^^'''^'^>-''^)^^<>^''^+éc^''^^

= G[2n].

Aeta mmthtmmtiem. 11. Imprimé le 10 Janyier 1888.

15

114

Karl Heun.

Wir wollen nur den speciellen Fall Ä = 2 weiter verfolgen. Alsdann sei:
PJi] = a + bx; P,[o] = c; Gja] = p + qx + x\

f

Die Coefficienten a^h^c bestimmen sich also aus den Gleichungen:

(10)

Setzt man

aa + [y — i)ac = jp,
hb — {fx + p)bc + oL^cc = I.

^-^•i^r— 0^ = ^3»

ft— ^(a + ^)c = 3\,

— {a + b) — -{r — a — fl)c=^x^, .
dann nehmen die Gleichungen (lo) die folgende symmetrische Form an:

x]-{a — py{x,+x,+x,y=i.
-[a+ p — rYix, +x^ +x,y=p + q+ I.

X

Die Quadrate der neuen Unbekannten x^^ x^yX^ bestimmen sich aus
Gleichungen vierten Grades. (Man vergl. Riemann, Werke, pag. 306.)
Der Fall k = i lässt sich in ganz ähnlicher Weise behandeln.

6. Wir sind jetzt im Stande die Coefficienten der Functionetf
Hf^x , HiX , . . . , HpX in der RiEMANN^schen Fundamentalrelation:

00

H0X.1/'' + H.x.y^'^ + ... + H.x.i/'^ = o

zu bestimmen. Wir denken uns zunächst die Indices in den einzelnen
Functionen y^^^ , y^^ , . . . , ^^^ derartig transformirt, dass bei der nach-
folgenden Reduction auf ein Hauptsystem (y) die Grössen'®i , S), , ...,^<
gleich Null gesetzt werden können, wie wir oben angenommen haben.
Dadurch treten an die Stelle von y^^^ , y^^^ , . . . , y ''^ andere ebenfalls
zur sel ben Art gehörige Functionen rj^^^ , rj^^^ , . . . , rj^^\ welche sich von

Zur Theorie der mchrwerthigon, mehrfach lincär verkntlpften Funotionen. 115

den ursprtinglichen nur um rationale Factoren unterscheiden. Die Re-
ductionsgleichungen haben also die Form:

(12)

iy

dy

d»

d''-'y

p-i

dx

d'''y

dx

P-\

yir^ _ 2J(.)^.y ^ R[P>X.^ + . . . + B^AX.

d

p-y

dx

p-i

In diesen Gleichungen sind die Functionen Rx in mehrdeutiger Weise
vollständig bestimmt. Sie enthalten in ihren Coefficienten implicite die
willktlrlich angenommenen DcharacteristischenD Parameter k^ , k^ j . . . , k^
der Function (y), wo zur Abktirzung

P = {P— O 2^(*~ ^

)-.]

gesetzt ist.

Eliminirt man nun aus den p + i Gleichungen (12) die Grössen

dy

d^^-^y

dx

p-i

dann erhält man eine Relation von der Form der Gleichung (11).

Die DcharacteristischenD Parameter der Functionen y^®^ , y^ , . . . , y^
sind hierbei nattirlich nicht willkttrlich, sondern vielmehr Functionen der
Parameter k^ j k^, ...jk^. Die Mannigfaltigkeit der Relationen (11), welche
zu denselben erzeugenden Substitutionen gehören, ist daher von der Di-
mension q.p^ wenn p die obige Bedeutung hat und q eine bestimmte
endliche Zahl bezeichnet.

Die explicite Darstellung der Coefficienten in den Functionen H Xy
H^x j . . . y Hj,x ist nur in den einfachsten Fallen möglich. Dieser Um-
stand beeinträchtigt jedoch unsere Theorie keineswegs, da die Schwierig-

116 Karl Heun.

kciten im Gebiete der Algebra liegen. Wir können also die Aufgabe,
welche wir uns gestellt haben als 3>im Allgemeinenx) erledigt betrachteri.
Dass eine eingehende Untersuchung der bei unserem Verfahren auftre-
tenden Systeme algebraischer Gleichungen för die Theorie der Functionen-
systeme derselben Ärt von grosser Wichtigkeit sein wQrde, ist selbstver-
ständlich.

7. Zum Schluss will ich noch den Zusammenhang darlegen, welcher
zwischen den independenten Invarianten der erzeugenden Substitutionen
einer mehrfach lineär verknftpften Function und ihren 2>individuellenB
Parametern besteht. Fttr ein Dreducirtesj) System ^ nimmt Herr Poincarb
(Aeta Mathematica, Bd. 4, p. 205) (jp^ — i)(i — i) independente In-
varianten an, d. h. ebensoviele als die erzeugenden Substitutionen inde-
pendente Coefficienten enthalten. Die Periodicität der p-fach lineär ver-
knOpften Functionen wird nemlich bestimmt:

erstens durch pH Coefficienten in den Substitutionen

cOi , CO2 , . . . , cO^_i , cO^^j , . . . , oOf^i

zweitens durch p Coefficienten in der Substitution S,.

Von den ersten pH Coefficienten können jedoch p beliebige gleich Eins
gesetzt werden, da irgend welche p Initialzweige willkftrliche Factoren
erhalten können. Ferner sind die pH insoweit unbestimmten Coeffici-
enten infolge der Gleichung (i) [N° 1] noch p^ — i von einander unab-
hangigen Bedingungen unterworfen. Beachtet man endlich noch die Glei-
chungen :

Det.é6, = DetéBj = . . . = DetS, .= i

dann bleiben [p^ — i)(i — i) Coefficienten unbestimmt.

Denken wir uns nun eine allgemeine jp-fach lineär verknftpfte Func-
tion z durch ein Hauptsystem mit vorgegebenen Dcharacteristischen» Pa-

* Man beachte, dads den BediDguDgen Det. cB^ = Det. ^^ = . . . = Det. cB< noch

ausfällt, obwohl diese dcD SubstitutioDeD auferlcgte BedinguDgen die Zahl der iodependen-
ten Inyarianien wesentlich beeinflussen. (Man vergl. Acta Mathematica, Bd. 4^ p. 202.)

er "t/
keineswegs eine Differential gleichung entspreohen mus8, in welcher das Olied Fp^i, ^ ^

Zur Theorie der mchrwerthigen, mcbrfach lineär verkDttpften FuDCtiooen. 117

rametern ausgedrttckt und darauf jenea Hauptsystem in ein »reducirtesj)
Qbergeföhrt, dann ist die Function z wesentlich determinirt

erstens durch (p — i) -p(^ — O — i Dcharacteristische» Parameter,

zwéitens durch p{i + O — (f + O Parameter, welche durch die Be-
dingungen der Verzweigung bestimmt sind,

drittens durch i endlicbe Verzweigungspunkte,

viertens durch k Dindividuelle» Parameter.

Von den i endlichen Verzweigungspunkten känn man zweien die will-
kClrlichen Zahlwerthe o und i beilegen, so dass nur i — 2 allgemein
bleiben.

Damit jene

allgemeinen Bestimmungsstticke den {p^ — i)(i — i) independenten In-
varianten entsprechen, muss

k =

lp(j)— i)— i ji_[^i^(p -f i) — 3J

sein. Es ist also

far p = 2 die Zahl A; = o fcir jeden Werth von t;

ftlr jP = 3 die Zahl k = 2% — 3 ;
f ttr |) = 4 die Zahl fc = 51 — 7 ; etc.

Allgemein gilt der Satz:

dSoUcu die Definitionen der mehrfach lineär verknöpften Func-
tionen durch die independenten Invarianten der erzeugenden Sub-
stitutionen einerseits und ihre Differentialgleichung andererseits
äquivalent sein (d. h. gleichviele von einander unabhängige Bestim-
mungsstticke enthalten), dann muss man den betreffenden Functionen
im Allgemeinen eine gewisse Anzahl Dindividueller» Parameter zu-

118 Karl Heun.

ertheilen, es sei denn dass die Differentialgleichung von der zweiten
Ordnung wäre.^

Einen ganz analogen Satz hat Herr Poincaré (Acta Mathematica^
Bd. 4, p. 219) aufgestellt. Nur treten dort an Stelle der Dindividuéllen»
Parameter j)ausserwesentlich singuläre Punkte» (points a apparence sin-
guliére). Dieser Unterschied könnte, in gewisscm Sinne^ irrelevant er-
scheinen, da die individuellen Parameter stets als ausserwesentlich singu-
lÄre Stellen aufzufassen sind. Man beachte jedoch, dass das Umgekehrte,
im AUgemeinen, keineswegs statthaft ist

Einbeck 21. Aug. 1887.

119

EINE EIGENSCHAFT DER PRIMZAHL 107

TON

K. SCHWEEING

in C0E8FELD.

In meinem Aufsatze €her gewisse trinomische komplexe Zahlen ' habe
ich auf die Primzahl 107 als för eine Frage der Zahlentheorie Dzur Un-
tersuchung einladendD hingewiesen. Ich bin nunmehr in der Lage, die
dort (Seite 84, russnote) gemachten Mitteilungen zu vervollstÄndigén und
mit Htilfe des ganzen Ergebnisses die Frage :

3)Ist es immer raöglich, die von Jacobi mit (a , xY bezeichneten Kreig-
teilungsausdrticke als Produkte konjugirter ^-Funktionen darzugtellen?]^

durch ein zweites Beispiel in vemeinendem Sinne zu beantworten.

Nimmt man als primitive Wurzel 2, so erhalten wir die folgenden 18
Zahlen: ■

I -f- a + a' fQr r = 4, 31, 47, 50*.
ferner:

1 +a — a*^ för r= 43, 50, 35, 30, 32, 17, 17, 38,

41, 7» 51, 47» 22;
endlich:

2 + a,

deren Normen unter der Voraussetzung a" = i zu bilden sind. Zu-
nachst tritt r= 17 zweimal auf; dann ist nach Formel 25 obiger Ab-
handlung:

iV(i + a + «"*) = 2V(i + a + o*), N{i + — 0*') = JV(i + a — a'),

' Diese Zeitschrift, Bd. lO, S. $7 ff-

Aeta matftematUa. 11. Imprtmé 1« 19 Janrier 1888.

120

K ScbweriDg.

För die öbrigen erhalt man:

iV(i+a + a*) =107.181579
N{i +a + a*^) = 107-118297

N{i +a
N{i +a
N{i +a
N{i +a

Endlich

— 0=107.243589

— a'')= 107.73459

— a^^)= 107.107.1061

— «'')= 107.27773

— a'')= 107.27773

-^(i + a + a ) = 107.76003

N{i +a
N{i +a
N{i +a

a*')= 107.151051
ot") = 107.246769
ot") = 107.107.7103
ot^«) = 107. 191 119

iV(i+a — a') =107.107.3181

N{2 + a) = 3- 107-28059810762433.

Die Gleichheit der Normen N{i -^ a — a^') = N{i +a — a*') ist be-
merkenflwert, da die Zahlen 4 1 und 5 1 verschiedenen Gruppen (obige
Abhandl. S. 69) nämlich /i = 4 und /i = 2 angehören.

In der oben erwÄhnten Fussnote heisst es durch einen Druckfehler
I + a — a* statt i + a + a*, wie oben angegeben.

Ich benutze die Gelegenheit zu der ferneren Mitteilung Clber die
Normen N{g + « — »^"'"O? wo a^ = i, A reelle Primzahl und /i eine be-
liebige ganze Zahl ist. In den zahlreichen von mir berechneten Bci-
spielen war der Koefficient jeder geraden Potenz von z^ also der Koeffi-
cient von z^j z^j z^j u. s. w. stets entweder Null öder eine positive ZahL

Iip September 1887.

121

ON THE DIVISION OF SPACE WITH MINIMUM PARTITIONAL AREA

BY

Sir WILLIAM THOMSON

In GLÄSOOW.

1. This problem is sol ved in foam, and the solution is interestingly
seen in the raultitude of film-enclosed cells obtained by blowing air
through a tube into the raiddle of a soap-solution in a large open vessel.
I have been led to it by endeavours to understand, and to illustrate,
Green'8 theory of ))extraneou8 pressureD which gives, for light traversing
a crystal, Fresnel's wave-surface, with Fresnel's supposition (strongly
supported as it is by Stokes and Rayleigh) of velocity of propagatioh
dependent, not on the distor tion-normal, b ut on the line of vibration:
It has been admirably illustrated, and some elements towards its solu-
tion beautifuUy realized in a manner convenient for study and instruction,
by Plateau, in the first volume of his Statique des Liquides soumis aux
seules Forces Moléculaires.

2. The general mathematical solution, as is well known, is that
every interface between cells must have constant curvature * throughout,
and that wherc three or more interfaces meet in a curve or straight line
their tangent-planes through any point of the line of meeting intersect
at angles such that equal forces in these planes, perpendicular to their
line of intersection, balance. The minimax problem would allow any

^ By »curvatnre]) of a surfacc I mean sum of curvAtures in mutually perpendicular
normal sections at any point; not Oauss^s »curvatura integral, which is the product.of
the curvature in the two pprinoipal normal sectionsp, or sections of greatest and least
curvature. (See Thomson and Taff^s Natural Philosophy, part i. §§ 130, 136.)

Aet» mathemutiea, 11. Imprimé le 16 Féyrier 1888. 16

122 Sir William Thomson.

number of interfaces to meet in a line; but for a pure minimum it is
obvious' that not more than three can meet in a line, and that therefore,
in the realization by the soap-film, the equilibrium is necessarily unstable
if four or more surfaces meet in a line. This theoretical conclusion is
amply confirmed by observation, as we see at every intersection of films,
whether interfacial in the interiör of groups of soap-bubbles, large or
small, or at the outer bounding-surface of a group, never more than
three films, but, wherever there is intersection, always just three fiims,
meeting in a line. The theoretical conclusion as to the angles for stable
equilibrium (or pure minimum solution of the mathematical problem)
therefore becomes, simply, that every angle of meeting of film-surfaces
is exactly I20^

3. The rhombic dodecahedron is a polyhedron of plane sides between
which every angle of meeting is 120**; and space can be filled with (or
divided into) equal and similar rhombic dodecahedrons. Hence it might
seem that the rhombic dodecahedron is the solution of our problem for
the case of all the cells equal in volume, and every part of the boundary
of the group either infinitely distant from the place considered, or so
adjusted as not to interfere with the homogeneousness of the interiör
distribution of cells. Certainly the rhombic dodecahedron is a solution
of the minimaXj or equUihrium-problem ; and certain it is that no other

•

plane-sided polyhedron can be a solution.

4. But it has seemed to me, on purely theoretical consideration,
that the tetrahedral angles of the rhombic dodecahedron,* giving, when

^ The rhombic dodecahedron has siz tetrahedral angles and eight trihedral angles.
At each tetrahedral angle the plane faces cut one another successively at 120^, while
each is perpendicular to the one remote from it; and the angle between saooessive edges

is cos""^-, or 70*32'. The obtuse angles (109*28') of the rhombs meet in the trihedral

angles of the solid figure. The whole figure may be regarded as composed of siz square
pyramids, each with its al temate slant faces perpendicular to one another, plaoed on siz
sqaares forming the sides of a cube. The long diagonal of each rhombic face thus made
up of two sides of pyramids conterminous in the short diagonal, is ^ times the short
diagonal.

Od the DivisioD of Space witb Minimum Partitional Area. 123

space is divided into such figures, twelve plane films meeting in a point
(as twelve planes from the twelve edges of a cube meeting in the centre
of the cube) are essentially unstable, That it is so is proved experi-
mentally by Plateau (vol. i. § 182, fig. 71) in his well-known beautiful
experiment with his cubie skeleton frame dipped in soap-solution and
taken out. His fig. 71 is reproduced here in fig. i. Instead of twelve
plane films stretched inwards from the twelve edges and meeting in the
centre of the cube, it shows twelve films, of which eight are slightly
curved and four are plane,* stretched from the twelwe edges to a small
central plane quadrilateral film with equal curved edges and four angles
each of 109** 28'. Each of the plane films is an isosceles triangle with
two equal curved sides meeting at a corner of the central curvilinear
square in a plane perpendicular to its plane. It is in the plane through
an edge and the centre of the cube. The angles of this plane curvi-
linear triangle are respectively 109** 28', at the point of meeting of the
two curvilinear sides : and each of the two others half of this, or 5 4° 44'.

6. I find that by blowing gently upon the Plateau cube into any
one of the square apertures through which the little central quadrilateral
film is seen as a line, this film is caused to contract. If I stop blowing
before this line contracts to a point, the film springs back to its primi-
tive size and shape. If I blow still very gently but for a little more
time, the quadrilateral contracts to a line, and the twelve films meeting
in it immediately draw out a fresh little quadrilateral film similar to the
former, but in a plane perpendicular to its plane and to the direction of
the blast. Thus, again and again, may the films be transformed so as
to render the little central curvilinear square parallel to one or other of
the three pairs of square apertures of the cubic frame. Thus we see
that the twelve plane films meeting in the centre of the cube is a con-
figuration of unstable equilibrium which may be fallen from in three
diflferent ways.

6. Suppose now space to be filled with equal and similar ideal

* I see it inadverteotly stated by Plateau that all the twelve films are Dlcgöro
men t courbées».

124

Sir William Thomson.

Fig. I.

rhombic dodecahedrons. Draw the short diagonal of every rhombic face,
and fix a real Avire (infinitely thin and perfectly stiff) along each. This
fills space with Platbau cubic frames. Fix now, ideally, a very Biiiall
rigid globe at each of the points of space occupied by tetrahedral angles
of the dodecahedrons, and let the faces of the dodecahedrons be realized
by soap-films. They will be in stable equilibrium, because of the little

fixed globes; and the equilibrium would be stable
without the rigid diagonals which we require only
to help the imagination in what follows. Let an
exceedingly small force, like gravity/ act on all
the films everywhere perpendicularly to one set of
parallel faces of the cubes. If this force is small
enough it will not tear away the films from the
globes; it will only produce a very slight bending
from the plane rhombic shape #f each film. Now
annul the little globes. The films will instantly
jump (each set of twelve which meet in a point)
into the Plate au configuration (fig. i ), with the
little curve-edged square in the plane perpendicular
to the determining force, which may now be an-
nulled, as we no longer require it The rigid edges
of the cubes may also be now annulled, as we
have done with them also; because each is (as we
sec by symmetry) puUed with equal forces in opposite directions, and
therefore is not required for the equilibrium, and it is clear that the
equilibrium is stable without them.^

' To do for every point of meeting of twelve films wbat is done by blowing in the
experiment of g 5*

' Tbe corresponding twodimensional problem is mucb more easily imagined; and
may probably be realized by aid of moderately simple appliances.

Between a level surface of soap-solution and a borizontal plate of glass fized at a
centimetre or two above it, imagine vertical film- parti tions to be placed along the sides of
the sqnares indicated in the drawing (fig. 2) : these will rest in stable equilibrium if thick
enough wires are fixed vertically through the corners of the squares. Now draw away
these wires downwards into the liquid: the equilibrium in the square formation becomes
unstable, and the films instantly run into the hezagonal formation shown in the diagram;

Oq tbe Division of Spaoe with Minimum Partitional Area. 125

7. We have now space divided into equal and fiimilar tetrakaide-
cahedral cells by the soap-film; each bounded by

i) Two small plane quadrilaterals parallel to one another;

2) Four large plane quadrilaterals in planes perpendicular to the
diagonals of the small ones;

3) Eight non-plane hexagons, each with two edges common with the
small quadrilaterals, and four edges coirunon with the large quadrilaterals.

provided the square of glass is furnished with vertical walls (for which slips of wood are
<;onvenicnt), as shown in plan by the black börder of the diagram. These walls are ne-
cessary to maintain the inequality of pull in different directions whioh the inequality of
the sides of the hexagons implies. By inspection of the diagram we see that the pull is

Fig. 2.

jf/a por unit area on either of the pair of vertical walls which are perpendicular to the
short sides of the hexagons; and on either of the otber pair of walls 2 cos 30^ X Tla\
where T denotes the pull of the film per unit breadth, and a the side of a square in the
original formation. Henoe the ratio of the pulls per unit of area in the two principal
directions is as i to 1732.

126 Sir William Thomson.

The films seen in the Plateau cube show one complete small qua-
drilateral, four halves of four of the large quadrilaterals, and eight
halves of eight of the hexagons, belonging to six contiguous cells; all
mathematically correct in every part (supposing the film and the cube-
frame to be infinitely thin). Thus we see all the elements required for
an exact construction of the complete tetrakaidecahedron. By making
a clay model of what we actually see, we have only to complete a
symmetrical figure by symmetrically completing each half-quadrilateral
and each half-hexagon, and putting the twelve properly together, with
the complete small quadrilateral, and another like it as the far side of
the 14-faced figure. We thus have a correct solid model.

8. Consider now a cubic portion of space containing a large number
of such cells, and of course a large, but a comparatively small, number
of partial cells next the boundary. Wherever the boundary is cut by
film, fix stifif wire; and remove all the film from outside, leaving the
cubic space divided stably into cells by films held out against their
tension by the wire network thus fixed in the faces of the cube. If
the cu'be is chosen with its six faces parallel to the three pairs of qua-
drilateral films, it is clear that the resultant of the whole pull of film
on each face will be perpendicular to the face, and that the resultant
puUs on the two pairs of faces parallel to pairs of the greater quadri-
laterals are equal to one another and less than the resultant pull on the
pair of faces parallel to the smaller quadrilaterals. Let now the last-
mentioned pair of faces of the cube be allowed to yield to the pull
inwards, while the other two pairs are dragged outwards against the
pulls on them, so as to keep the enclosed volume unchanged; and let
the wirework fixture on the faces be properly altered, shrunk on two
pairs of faces, and extended on the other pair of faces, of the cube,
which now becomes a square cage with distance between floor and ceiling
less than the side of the square. Let the exact configuration of the wire
every where be always so adjusted that the cells throughout the interiör
remain, in their altered configuration, equal and similar to one another.
We may thus diminish, and if we please annul, the differencc of pull
per unit area on the three pairs of sides of the cage. The respective
shrinkage-ratio and extension-ratio, to exactly equalize the pulls per unit

On the Division of Space with Minimum Parti tional Area. 127

area on the three principal planes, (and therefore on all planes), are
2"^ , 2i , 2é, as is easily seen from what foUows.

9. While the equalization of pulls in the three principal directions
is thus produced, work is done by the film on the moving wire-work of
the cage, and the total area of film is diminished by an amount equal
to TT/T, if W denote the whole work done, and T the pull of the
film per unit breadth. The change of shape of the cage being supposed
to be performed infinitely slowly, so that the film is always in equi-
libr^um throughout, the total area is at each instant a minimum, subject
to the conditions

i) That the volume of each cell is the giv^ amount;

2] That every part of the wire has area edged Jby it; and

3) That no portion of area has any free edge.

10. Consider now the figure of the cell (still of course a tetra-
kaidecahedron) when the pulls in the three principal directions are equa-
lized, as described in § 8. It must be perfectly isotropic in respect to
these three directions. Hence the pair of small quadrilaterals must have
become enlarged to equality with the two pairs of large ones, which
must have become smaller in the deformational process described in § 8.
Of each hexagon three edges coincide with edges of quadrilateral faces
of one cell; and each of the three others coincides with edges of three
of the quadrilaterals of one of the contiguous cells. Hence the 36 edges
of the isotropic tetrakaidecahedron are equal and similar plane arcs;
each of course symmetrical about its middle point. Every angle of
meeting of edges is essentially 109*^ 28' (to make trihedral angles between
tangent planes of the films meeting at 1 20®). Symmetry shows that the
quadrilaterals are still plane figures; and therefore, as each angle of each
of them is 109® 28', the change of direction from end to end of each
arc-edge is 19° 28'. Hence each would be simply a cil^cular are of 19® 28',
if its curvature were equal throughout; and it seems from the complete
mathematical investigation of §§ 16, 17, 18 below, that it is nearly so,
but not exactly so even to a first approximation.

Of the three films which meet in each edge, in thre^ adjacent cells,
one is quadrilateral and two are hexagonal.

128

Sir William Thomson.

il. By symmetry we see that there are three straight lines in
each (non-plane) hexagonal film, being its three long diagonals; and that
these three lines, and therefore the six angular points of the hexagon,
are all in one plane. The arcs coraposing its edges are not in this plane,
but in planes making, as we shall see (§ 12), angles of 54^44' with it.
For three edges of each hexagon, the planes of the arcs bisect the angle
of 109^28' between the planes of the six corners of contiguous hexagons ;
and for the other three edges are inclined on the outside of its plane
of corners, at angles equal to the supplements of the angles of 125^16'
between its plane of corners and the planes of contiguous quadrilaterals.

12. The planes of corners of the eight hexagons- constitute the
faces of an octahedron which we see, by symmetry, must be a regular
octahedron (eight equilateral triangles in planes inclined 109® 28' at every
common edge). Hence these planes, and the planes of the six quadri-
laterals, constitute a plane-faced tetrakaidecahedron obtained by truncating
the six corners * of a regular octahedron each to such a depth as to
reduce its eight original (equilateral triangulär) faces to equilateral equi-
angular hexagons. An orthogonal projection of this figure is shown in
fig. 3. It is to be remarked that space can be filled with such figures.
For brevity we shall call it a plane-faced isotropic tetrakaidecahedron.

Fig. 3.

Fig. 4.

13. Given a ^lodel of the plane-faced isotropic tetrakaidecahedron,
it is easy to construct approximately a model of the minimal tetrakaid&'
cakedron, thus: — Place on each of the six square faces a thin plane
disk having the proper curved arcs of 19^28' for its edges. . Draw the

^ This figure (but with probably indefinite cxtents of the trubcation) is given in
books on mineralogy as rcpresenting a natural crystal of red oxide of copper.

On the Division of Space with Minimum Partitional Area. 129

three long diagonals of each hexagonal face, Fill up by little pieces of
wood, properly cut, the three sectors of 60° from the centre to the
overhanging edges of the adjacent quadrilaterals. Hollow out symmetri-
cally the other three sectors, and the thing is done. The result is shown
in orthogonal projection, so far as the edges are concerned, in fig. 4;
and as the orthogonal projections are equal and similar on three planes
at right angles to one another, this diagram suffices to allow a perspec-
tive drawing from any point of view to be made by »descriptive geo-
metry».

1 4. No shading could show satisfaetorily the delicate curvature of
the hexagonal faces, though it may be fairly well seen on the solid
model made as described in § 12. But it is shown beautifully, and il-
lustra ted in great perfection, by making a skeleton model of 36 wire
ares for the 36 edges of the complete figure, and dipping it in soap so-
lution to fill the faces with film, which is easily done for all the faces
but one. The curvature of the hexagonal film on the two sides of the
plane of its six long diagonals is beautifully shown by reflected light.
I have made these 36 arcs by cutting two circles, 6 inches diameter, of
stiff wire, each into 18 parts of 20° (near enough to 19° 28'). It is easy
to put them together in proper positions and solder the corners, by aid
of simple devices for holding the ends of the three arcs together in proper
positions during the soldering. The circular curvature of the arcs is not
raathematically correct, but the error due to it is, no doubt, hardly per-
ceptible to the eye.

16. But the true form of the curved edges of the quadrilateral
plane films, and of the non-plane surfaces of the hexagonal films, may
be shown with mathematical exactness by taking, instead of Plateau's
skeleton cube, a skeleton square cage with four parallel edges each 4
centimetres long: and the other eight, constituting the edges of two squares,
each ^'2 times as long, or 5*66 centim. Dipped in soap-solution and taken
out it always unambiguously gives the central quadrilateral in the plane
perpendicular to the four short edges. It shows with mathematical ac-
curacy (if we suppose the wire edges infinitely thin) a complete quadri-
lateral, four half -quadrilaterals, and four half-hexagons of the minimal

Ada mathematiea. 11. Imprimé le 11 Février 1888. 17

130

Sir William Thomson.

tetrakaidecahedron. The two principal views are represented in figs. 5

and 6.

Fig. s. Fig. 6.

16. The mathematical problem of calculating the forms of the
planc arc-edges, nnd of the curved surface of the hexagonal faces, is
easily carried out to any degree of approximation that may be desired;

Fig. 7.

On tlie DivisioD of Spaco with MioiiDum Partitional Area. 131

though it would be very laborious, and not worth the trouble, to do
so further than a tirst approximation, as given in § 17 below. But first
let US State the rigorous mathematical problem; which b^^ symmetry
becomes narrowed to the consideration of a 60° sector BCB' of our non-
plane hexagon, bounded bj^ straight lines CB , CB' and a slightly curved
edge BEB'j in a plane, Qy through BB'y inclined to the plane BCB' at
an angle of tari"^y/2^, or 54° 44'. The plane of the curved edge I call
Qy because it is the plane of the contiguous quadrilateral. The mathe-
matical problem to be sol ved is to find the surface of zero curvature edged
hy BGB' and cutting at 120° tlie plane Q all along tJie intersectional curve
(fig. 7). It is obvious that this problem is determinate and has only
one solution. Taking CÄ for axis of X] and z perpendicular to the plane
BOB': and regarding ^ as a function of ir,y, to be determined for finding
the form of the surface, we have, as the analytical expression of the
conditions

/ v d*z / dz^\ dz dz d^z d^z / dz^\

^^^ d^V '^df)~ ^did^d^'^d^V '^d^J ^ ^'

and

(2)

d^ ^X-i/ /7_^ /2\ _£

^dx'^dy'J \V 3 dz\3/~2

when z = {a — x) yT.

1 7. The required surface deviates so little from the plane BCB'
that we get a good approximation to its shape by neglecting dz^/dx^,
dz/dx.dz/di/y and dz^/dy*^ in (i) and (2), which thus become

(3) V'z = o,
and

(4) £ = ^-vl= '^94734, when :r=:a--|,

V' denoting {d/dxY + {d/dyy. The general solution of (3), in polar co-
ordinates (r , f>) for the plane {x , y), is

(5) S {A cos 7nf> + B sin mf>) r"* ,

\

132 Sir William Thomson.

where A , J5, and 7n are arbitrary constants. The symmetry of our
problem requires B = o, and m = 3.(2^ + i), where i is any integer.
We shall not take more than two terms. It seems not probable that
advantage could be gaincd by taking more than two, unless we also
fall back on the rigorous equations (i) and (2), keeping dz^/dx^ &c, in
the account, which would require each coefficient -4 to be not rigorously
constant but a function of r. At all events we satisfy ourselves with
the approximation yielded by two terms, and assume

(6) z = Ar^ cos 3f + Ar^ cosgj^

with two coefficients A ^ A! to be determined so as to satisfy (4) for two
points of the ciirved edge, which, for simplicity, we shall take as its
middle, J5J(^ = o); and end, ^(^^==30°). Now remark that, as ^ is small,
even at J5J, where it is greatest, we have, in (4), o? = a or r = asecf?.
Thus, and substituting for dzjdx its expression in polar (r , ip) coordinates,
which is

, . dz dz dz ,

we find, from (4) with (6),

(8) (by case f = o) A + 2>a^A' = •0315780"%

(9) (and by case y = 30°) A -a^A' = '031578 .-.a""';

9 - -' 2

whence

I 9

A' = — - ^ ^ X -031578. «"' = — 9 X -0001735. a-*

= — -001561 .a~%
A = i^3— ^) X -031578.0-^=: 209 X -0001735. a-'

= •03626. a""';

and for required equation of the surface we have (taking a = 1 for
brevity)

(lo)

On the DivisioD of Space with Minimnm Partitional Area. 133

z = -0362 6. r^ co8 3^ — '001561 r* cosgj^
= -03626 .r'(cos3^ — '043 . r^ cosgjr).

18. To lind the equation of the curved edge BERy take, as in (4),

(ii) X = i == I — c, where f denotes -=.

v/2 v^z

Substituting in this, for £?, its value by (10), with. for r its approximate
value secfp, we find

(12) f = ^=(03626 sec'^ cos3f — '001561 sec^j^ cosgjr)

as the equation of the orthogonal projection of the edge, on the plane
BCB% with

(13) AN=y = tsinf>; and NP=$,

The diagram was drawn to represent this projection roughly, as a cir-
cular are, the projection on BCB' of the circular are of 20® in the plane
Qy which, before making the mathematical investigation, I had taken as
the form of the arc-edges of the plane quadrilaterals. This would give
1/35 of CAj for the sagitta, AE-y which we now see is somcAvhat too
great. The equation (12), with y = o, gives for the sagitta

(14) ^J5 = -0245 X C^,

or, say, 1/41 of CA. The curvature of the projection at any point is
to be found by expressing sec'j^cos3^ and sec*^cos9f? in terms of
y = tanj^ and taking d^/dy^ of the result

By taking yJJ/2 instead of yjlij2 in (12), we have the equation of
the are itself in the plane Q.

19. To judge of the accuracy of our approximation, let us find
the greatest inclination of the surface to the plane BCB'. For the tangent
of the inclination at (r , f>) we have

(15) {^. + :^f= •ioSS.r\i ~ 2 X •i29.r*cos6jP + -ijqV")*.

134

Sir William Thomson.

The greatest values of this will be found at the ciirved bounding edge,
for which r = secjr. Thus we find

(1 6)

dz'

\dr^ ^ r* dtp'/

0948, and therefore inclination = 5^25' at ^

•1894, »

»

»

= 10'' 44' at B.

Hence we see tbat the inaccuracy due to neglecting the square of
the tangent of the inclination in the mathematical work cannot be large.
The exact value of the inclination at E is tan'"'( — y2^) — 120% or 5® 16',
which is less by 9' than its value by (16).

» <

135

SUR UN MODE DE TRANSFORMATION DES SURFACES MINIMA

PAR

E. GOURSAT

h PARIS.

1. En interprétant géométriquement les formules de Mongb, M.
Sophus Lie a rattaché la théorie des surfaces minima a celle des courbes
dont les tangentes vont rencontrer le cercle de Tinfini, et auxquelles il
a donné le nom de courbes minimal Bornons-nous d'abord, pour plus de
netteté, aux surfaces reelles; il résulte des recherches de M. Lie que la
surface minima reelle la plus générale peut étre considérée comme le
lieu du milieu d^une corde qui joint un point quelconque d'une courbe
minima a un point quelconque de la courbe conjuguée.

Soient

(i) X = A{t), Y=B{t), Z=C(t)

les équations d'une courbe minima F, Ä{t) , B{t) , C{t) désignant trois
fonctions du paramétre variable t qui vérifient la relation

dA^ + dB' + dC' = o.

Les coordonnées d'un point réd de la surface minima reelle correspondante
S seront données par les formules

(2) y = SlB{t),

z == ÄC(<),

' S. Lie. Beiträge zur Theorie der Minimaljlächev : I. Projectivische Uhtersuch-
ungen iiher algebraische Minimalflächen (Mathematische Annalen, t. 14, p. 33M 1878).
— II. Metrische Untersuchungen iiher algebraische Minimalflächen (méme recueil t. 15,
p. 465; 1879).

Acta mthtmatiea, 11. Imprimé U 11 FéTrier 1888.

\

136* E. Goursat.

le Signe SI indiquant que Ton prend seulement la partie reelle d'une
quantité imaginaire; comme t est une variable complexe, les coordonnées
X y y y z dépendent bien, comme cela doit étre, de deux paramétres réels.
Imaginons maintenant que Ton applique a la courbe mim'ma F une
transformation qui la change en une nouvelle courbe minima; a cette
nouvelle courbe correspondra une autre surface minima reelle dont les
relations avec la premiére surface seront plus ou moins simples, suivant
le mode de transformation adopté. Or, parmi les transformations qui
changent une courbe minima en une autre courbe minima, il n'en est
pas de plus simples que les transformations homographiques qui con-
servent le cercle de Tinfini. Toute transformation de cette nature est
équivalente, comme on sait, ä une combinaison des trois operations sui-
vantes: i** une translation; 2° une transformation homothétique a p61e
réel et a module réel ou imaginaire; 3° un déplacement autour d'un
point réel. Si on imprime a la courbe F une translation dont les com-
posantes suivant les axes soient hjk,lj les coordonnées XyffyZ de la
surface S seront augmentées respectivement des quantités

Slh y Sik y SU y

et la surface aura subi elle-méme une translation. La seconde opera-
tion a été étudiée en détail; elle donne les surfaces homothétiques des
surfaces associees a la premiére.* En ce qui concerne les rotations, il y
a lieu de distinguer les rotations reelles des rotations imaginaires. Si
on applique a une courbe minima une rotation reelle, il est facile de
démontrer que la surface minima reelle correspondante subit la méme
rotation. Il ne reste donc plus qu'a étudier les surfaces que Ton obtient
en appliquant a une méme courbe minima des rotations imaginaires, et
je ne connais sur ce sujet que quelques indications données par M. Lie
dans le second Mémoire déja cité.' Le present travail est consacré å
Tétude de ce mode de transformation. Je supposerai toujours qu'on a
pris pour origine des coordonnées le point réel autour duquel s'effectue
le déplacement.

* Darboux, Legons sur la théorie générale des surfaces^ t, 1, p. 322 et 457; 1887,
' Mathematische ADoalen, t. 15, p. 475-

a

+

iy9

I

+

r

I

-r

«

— '

i/9

a

i^

I

+

r

Sur un mode de transformatioD des surfaces minima. 137

2. Rappelons d'abord la representation analytique des rotations
qui a son origine dans les travaux de Riemann et qui a été développée
complétement par M. Klein. Soient a , y9 , ;- les coordonnées rectangu-
laires d'un point de la sphére

(3) a^+^'+.;-^= i;

on emploie, pour fixer la position de ee point sur la sphére, un nouveau
systéme de coordonnées défini de la maniére suivante. La sphére étant
une surface du second ordre, on sait que par chaque point passent deux
génératrices rectilignes. Ces deux systémes de génératrices sont déter-
minés respectivement par les équations

■ " = w,

(4)

I

I — Y a + ifi v

nous prendrons n et v pour nouvelles coordonnées du point (a , y9 , ;-) de
la sphére. Quand on décrit une génératrice rectiligne, une de ces coor-
données conserve une valeur constante. Des formules (4) on tire in-
versement:

, . I — UV ^ ,\ + UV u + v

Cela pose, on sait que tout déplacement de la sphére autour de
son centre est caractérisé par une certaine substitution linéaire effectuée
simultanément sur u et sur t;, ^

,,. mu. + n mv. + n

(6) u = — ~- , v = — '-—— .

Cherchons s'il existe des points réels de la sphére qui viennent colncider
apres la rotation avec des points réels. Reraarquons pour cela que, si

un point de coordonnées (w , v) est réel, u et sont conjuguées et ré-

ciproquement; cela résulte immédiatement des formules (4) et (5). De

* Voir, par exemple, Darboux, Legons sur la théorie générale des surfaces. Cha-
pitre 3, p. 30.

Aetit matheinatica. 11. Imprimé le 27 Janvier 1888. 18

138 E. Oourf»at,

mérne, pour que le point de coordonnées (//, , v^) soit réel, il faut et il

I • •

.suffit que i(^ et soient conjuguées. On anra donc a la fois, en sup-

posant que le point réel {u, v) vienne coKncider avec un point réel {u^ , v^\

uv^ - — I,

Vq et (v^)q désignant les imaginaires conjuguées de v et de v^. Remplacons
dans la seconde relation w^ et {v^)^ par leurs valeurs; t\ vient

Gette relation sécrit, en rempla^ant v^ par

I
u

(n — qu)(n^u + q^)

ou

o,

(7) {P^^h + a%W + {qq, + pp^ — mm^ — nn^)u — {p,m + q^v) =- o.

Pour que la rotation considorée soit réello, il faut évidemment que cette
équation (7) se réduise a une identité; on aura alors

n m q p

et les formules (6) pourront s'écrire

(8) // = , v = ' ^

'»h -" ''o^'i '^% — »'o''^

m^ et n^ étant conjuguées de m et de w. Cette forme particuliére de
substitution, qui con vient aux rotations reelles, ne dépend que de trois
paramétres réels arbitraires, coinme le déplacement réel le plus general
autour de Toriginc, tandis que la substitution (6) et le déplacement ima-
ginaire le plus general autour de Torigine dépendent de six paramétres
réels arbitraires.

Supposons niaintenant que Toquation (7) ne se réduise pas a une

Sur uo luodc de transformation des surfaccs minima. 139

identité. Gette équation possédera deux raciiies distinctes ti' , w" et il est
aisé de vérifier que ces racines satisfont a la relation

m'm;' = — i .

Les valeurs correspondantes de v seront

«' = — 1=»",

les deux poiiits réels de coordoniiées (w' , %i") , (w", ti') sont diamétralement
opposés, comiiie on s'en assure aussitot a Tinspection des formules (5).
No US pouvoiis donc énoncer le théoreme suivaiit: *

Dans tönt déplacement imaginaire autour de rorigine, il existe un dia-
niétre réel et un seiU qui vlent cofncider avec ten autre diamétre réél,

Soit AA le diamétre réel qui vient colncider avec un autre diamétre
réel BB'. Faisons suivre ee déplacement d'une rotation reelle 11 amenant
BB' sur AA'\ nous aurons un nouveau déplacement qui ne clningcra pas
le diamétre AA'j c'est-a-dire une rotation imaginaire autour de cet axe.
Si a ce nouveau déplacement nous ajoutons la rotation jB""^ inverse de la
rotation /?, nous retrouvons évidemment le déplacement primitif. 11 suit
de lä que toutc rotation imaginaire est équivalente å tme suite de deux rota-
tions: 1° une rotation imaginaire atitotir d-tm axe réel; 2° une rotation reelle,

On pourrait aussi décomposer la rotation imaginaire d*une autre
fa^on, en mettant la premiére la rotation reelle composante. Enfin, on
démontre de la méme nianiére le théoreme suivant que je me borne a
énoncer: Toute rotation imaginaire est équivalente ä une suite de trois rota-
tions: 1*^ une rotation reelle; 2° utie rotation imaginaire autour d'un axe
réel choisi arbitrairement ; 3° une nouvelle rotation reelle.

eJ. Nous emploierons dans ce qui suit la forme particuliére donnée
aux formules de Monge par M. Weiehstuass; je vais rappeler en quel-
ques inots comment on parvient a cette forme, en partant des idées de
M. S. Lie, Puisque les tangentes a une courbe iTiinima rencontrent le
cercle imaginaire de Tintini, le plan tangent h la surface développable

HO

£. Goursat.

formée par ces tangentes sera lui-méme tangent au cercle de Tinfini.
Prenons Téquation de ce plan sous la forme

(9)

(i — u^)X + i(i + w')r + 2uZ + 4f{u) = o,

u désignant le paramétre variable et f{u) une fonction quelconque de ce
paramétre. On aura pour les coordonnées d*un point de Taréte cle re-
broussement les expressions suivantes

(lO)

X = (i — U^)f"{u) + 2uf'{u) — 2f{u), .

Y = f(i + u^)f"{u) — 2mf'{u) + 2if{u),

Z = 2Uf"{u) — 2r{u\

qui péuvent encore 8'écrire, en posant f"'{u) = ^{u),

(lOO

Y = fi{i + u')^(u)du,
Z = f2Ux^{u)du'j

on obtiendra donC les näppes reelles de la surface minima reelle la plus
générale en posant *

(II)

z = ^j2U%{u)dUy

fj(w) désignant une fonction analytique quelconque de w. Rappelons
encore que la variable u est, dans le systéme employé par Riemann,
l'affixe du point de la sphére qui est Timage sphérique du point de la
surface minima répondant a cette valeur de u,

Imaginons que Ton imprime un déplacement autour de Torigine ä
la courbe minima feprésentée par les équations (lo) et (lo'). Qiie de-
viennent les fonctions f{u) , t?(w)? La réponse ä cette question se trouve
dans Touvrage déjä cité de M. Darboux (p. 304). J'ai donhé aussi une

* Weierstrass, Monatsberichte der Borlincr Akademic, p. 612, 855; 1866.

ävLT UD mode de trtfnsformation des surfaees miDima. , 141

raéthode un peu dififérente de celle- de M. Darboux pour traiter la méme
questioDy dans un Mémoire Sur les surfaees qui admettent tous les plans
de symétrie dun des polyédres réguliers} Il est vrai que je supposais les
rotations reelles, mais la méthode reste la méme pour les rotations ima-
ginaires. Voici le resultat auquel on est conduit; soit

mv + n

u = — -

pv + q

la substitution linéaire qui correspond ä ce déplacement, et soient g [v)
et ®{v) les fonctions qui remplacent f[u) et ^{u). On a

oii

^ = mj — np.

Supposons d'abord que Ton applique ä la courbe F un déplacement
réel; la surface minima reelle correspondante subira le méme déplace-
ment. J'ai admis cette proposition conime évidente dans le Mémoire que
je viens de citer; mais il est bien facile de la demon trer en toute rigueur.
Soit /' la courbe minima représentée par les équations (i) et soit 1\ la
courbe minima qui s'en déduit par une rotation reelle autour de Torigine.
Cette courbe 1\ sera représentée par des équations de la forme

X, = aX + hY + cZ,
Y^ = a'X+ h'Y+ dZ,
Zj = a"X+ V'Y -^-d^Z,

a ^ b y c ^ a'j etc. étant les coefficients d'une substitution orthogonale, qui
par hypothése sont tous rééls. La surface minima reelle S^ que Ton
déduit de I\ sera donnée par les équations

x^ == ax, =- a^X + h^Y + cSlZ,
y^ = éRF, = a'SlX + 6'mr + CÄZ,

z^ = az, = a"ax + 6"Är + c"az,

' AiiDales de rEcole Normale supérieure, 3^°^® serie, t. 4, p. 25 1; 1887.

142 E. Goursat.

ou encore

Xj = rtu; + ^// + ^^^

!/i = ci'x + b'f/ + c'z,

ces forinules iiiettent en cvidence le resultat annoncé. Nous pouvons
donc énoncer le théoréme suivant:

Si on remplace dans les formules (ii) 3^(w) par

^/ mu + n U mm^ + iinj*

m^ et Hq désiynant les Imagimiires conjtiyuées de m et d^ n, les nouvdles
formules représentent la méme surface minima rapportée a des axes differents.

4. Il ne nouö reste plus qu a étudier Teffet d'un déplacement iiria-
ginaire appliqué a la courbe minima. l)'aprés les propositions combinéii»
des paragraphes 2 et 3, nous pouvons méme nous borner a considérer
Teffet d'une rotation autour d'un diamétre réel de la sphé^e. Suppo^ons
que nous ayons • pris ce diamétre pour axe des Z] alors la substitution
correspondante a eette rotation scra de la formc

u = ke^^'11^ ,

k ei étant réels (on peut méme supposer k > o). Cette rotation peut
encore étre décomposée en deux: i** une rotation reelle d'un angle O
autour de Oz\ 2° une rotation imaginaire caractérisée par la substitution

u = kii^ ,

ces deux rotations pouvant d'ailleurs étre effectuées dans Tordre qu'on
voudra. Comme la rotation reelle ne fait que déplacer la surface mi-
nima, nous n'avons en définitive qu'a examiner la rotation imaginaire
définie par la substitution

a = Ä'Wj,

ou k est réel et diflférent de + i.

Soient a > /5 , /- ; a^ , /Sj , ;'j les coordonnées rectilignes de deux posi-

Sur un mode de transforniation des surfaces minima. 143

tions correspondantes du méme point avant et apres le déplacement. On
a d'une maniére générale

*

ocj = aa + a' [i + «"r>
y9^ = &0C + Vp + h"r.

a j h y c j a' y . . . étant les coefficients d'une substitution orthogonale dont
on trouvera les valeurs en fonction de in , n j p j q a la page 34 de
Touvrage de M. Dakboux. Dans le oas actuel, ces valeurs 8'obtiennent
bien aisément. On a en effet, d'aprés les formules (5),

I —n^v, ^ i{i + ^^ i;J u, + v,

ou, en rempla9ant w^ par 7. et v^ par 7,

fc' — wv ^ i(k* + uv) u + v ^

^ k(n — v)' '^ k{u — v) ' ^ n — v'

éliminons w et v entré ces équations et les équations (5), il vient:

.1 + A-* . A-» — I _

Les coefficients a , h y c , a' y . . . auront par conséquent les valeurs sui-

vantes :

I + fe* , .fe*— I

7 ; fe ^ 7 ' I + fe 7 ,,

2k ' 2fr '

r = O, r' = O, c" = I.

Appliquons la rotation précédento a la courbo nunima /'reprcsentée par

144

E. Goursat.

les équations (i); nous obtenons une nouvelle courbe minima F^ repre-
sentée par les équations:

X,^-'-±^A{t)

'•-iF^W'

Y, =i^2^A{t) + '-4^B{t),

2k

2k

|Z, = C{t).

Soient S et S^ les surfaces minima reelles qui correspondent respective-
ment aux courbes /' et f^, S^ la surface adjointe a S\ désignons par

^ 9 y 9 ^ I ^i j l/i j ^1 j ^0 y Vo ^ ^0 ^^^ coordonnées de trois points correspon-
dants de ces trois surfaces, c'est-a-dire de trois points qui correspondent
a une méme valeur de /. Les coordonnées d'un point réel de la surface
adjointe S^ sont données, corame on sait, par les formules

(12)

X, = SliA{t), !f, = mB{t), z, = ^iC{t)',

on aura pour expressions des coordonnées d'un point de <S,

I +ft'

^' ~ 2fc

§lA{f)

[.»

2k

SliB{t),

V,=='-^^B{t) + !^c%A(t),

2k

2k

Z^ = §lC{f).

Entré ces derniéres formules et les formules (2) et (12) éliminons

SlA{t) , SlB{t) , SlC{t) , SliA{t) , SliB{t) , åliC{t);

on arrive aux expressions suivantes pour les coordonnées d'un point de
la surface 5, :

(13)

'X =

1 + fe' fe'— I

2fe ^ 2fc •^»'

I + fe' , fe* — I

^1 = -:w:-y + ■

2 fe

. ^Y * *

Sur UD mode de transformatioD des surfaces minima.

Si h est positif, ce qu'on peut toujours supposer, on posera k
les formules pourront s'écrire

145

é^y et

(H)

rCj = rr cosh fr — y^ sinh ^y
y^ = y cosh ^ + ^o ^^^'^ f^'

Il me parait intéressant de faire remarquer Tanalogie curieuse que pré-
sentent ces formules avec les formules qui définissent une rotation, dans
le sens ordinaire du mot, autour de Taxe des z. Cette analogie est
d'ailleurs purement formelle.

On arrive rapidement au ynéme resultat au moyen des formules de
M. Weierstrass. Si la courbe minima F a pour fonction caractéristique
3^(w), la courbe l\ aura pour fonction caractéristique k^f^{ku) et les trois
surfaces S y S^ , S^ seront données respectivement par les groupes de for-
mules ci-dessous:

x =Slf{i —u'')^{u)dUy

S y = Slfi{i + u')^{u)duy

z = ^J2u^{u)du;

X, = Slp{i —u^)^u)du'y
'^olyo =äl/-(i +u')^{u)duy

S.

^0 ~ ^^f2iu^{u)du]

x^ = älf{i —vyc'^{kv)dv,

Des (leux premiers groupes on tire

älf i^{u)du =

« — .Vo

Sif u'^{u)du = —

x + y,

äljij^(ii)du =

_«, + y

Ä/m'5(«)rf« = ^ — ^;

Af ta mathfmatira. 11. Imprimé le 38 .TunTlor 1888.

19

146 E. Goursat.

les expressions des coordonnées rr, , y^ , z^ peuvent encore 8'écrire, en
posant /r^; = ?^,

y^ = mfi^{ti)du + '^Slfiu'^{u)du,

z^ = älf2u^{u)dUy

et, en éliminant les intégrales, on retronve précisément les formules (13).
Pour abréger le langage, je dirai que la surface S^ est une surface
dérivée de S; j'appellerai Taxe réel autour duquel seffectue la rotation
de la courbe minima r axe de dérivation et la constante reelle k para-
métre de dérivation. Si on se donne la surface S^ Taxe et le paramétre
de dérivation, la surface dérivée *S\ n'est pas entiérement dcterminée; on
sait en effet que la surface adjointe d'uné surface minima donnée n'est
pas complétement définie de position. Cette surface peut^subir une trans-
lation quelconque ou étre remplacée par sa symétrique relativement a
Torigine des coordonnées. Lorsquc la surface S^ subit une translation,
les formules (14) nous montrent qu'il en est de méme de la surface S^.
^^ ^\ > ^0 ' -^0 changent de signe, cela revient a changer lo signe de <f
dans ces formules. On voit de méine que, si Taxe de dérivation se
déplacc parallélement a lui-méme, la surface S^ subit aussi une transla-
tion. Par conséquent, si on fait abstraction d'une translation quelcotique,
les surfaces dérivées d'une surface minima donnée dépendent de trois
constantes reelles seulement, le paramétre de dérivation et les deux con-
stantes reelles qui détenninent la direction de Taxe de dérivation.

5. Considérons le groupe des transformations homographiques qui
conservent lo cercle de Tinfini; les coefficients d'une transformation de
ce groupe dépendent de quatorze paramétres réels arbitraires. Ces trans-
formations appliquées a une méme courbe minima donnoront naissance ii
un(» infinité de surfaces minima reelles; nous dirons que ces surfaces
appartiennent a une mémo famille. Il est aisé de comptcr les paramétres
dont dépendent les surfaces d'une meme famille. Nous avons d'abord
les six constantes reelles provcnant du déplacement réel le plus general;
nous avons ensuite les trois paramétres réels dont dépendent les surfaces

Sur un mode de transTormation des surfaccs luiDima. 147

dérivées. Enfin, quand on passc d'une surface minima a une surface
homothétique d'une surface associée a la premiére, ou introduit encore
deux paramétres réels. Cela nous fait en tout onze paramétres réels, au
lieu de quatorze dont dépend la transformation homographique la plus
générale qui conserve le cercle de Tinfini. On se rend compte de cette
différence en remarquant quMl existe unc iniinité do transformations ho-
mographiques, dépendant de trois constantes reelles, que Ton peut ap-
pliquer a une courbe minima Fy sans changer la surface minima cor-
respondante: ce sont les translations dont les composantes suivant les
axes sont complétement imaginaires.

La fonction caractéristique de M. Weiehistkass 5(w) restant la mémc
pour une surface minima quand on lui fait subir une translation quel-
conque, il est naturel de faire abstraction d'un déplacement de ce genre;
cest ce que nous ferons désormais. Alors les surfaces minima d'une
méme famille ne dépendront plus que de linit paramétres réels. Les
fonctions caractéristiques seront comprises dans la forme générale

A , m , n , p , q étant des constantes quelconques. Parmi ce groupe de
surfaces il y a lieu de distinguer des sous-groupes trés-importants formés
par les surfaces dérivées de Tune d^elles, déplacées en outre d'une fa9on
arbitraire. Par exemple, si une surface a pour fonction caractéristique
(^(w), les fonctions caractéristiques du sous-groupe auquel elle appartient
seront de la forme

(mq — npY ^ /mu + n
{pu + qY '^ \ pu + q

Il peut arriver ({ue les surfaces d'uiic mémc famille ne dépendent pas
de huit paramétres distincts; c'est une question qui scra examinée en
détail plus loin.

Appelons deformation Topération par laquelle on passé d'une surface
minima a une surface minima associée, et dilatation Vopération par laquelle
on passé d'une surface a une surface homothétique. Pour passer d'une
surface minima a une surface homothétique ou a une surface associée on
uiultiplie la fonction caractéristique par un facteur réel a ou par un facteur

148

K. Goursat.

de la forme e^*, 6 étant réel; j'appellerai a le paramétre de dilatation et
d le paramétre de deformation. Il est clair qiie la dilatation, la deforma-
tion et la dérivation sont trois operations coramutatives. En particulier,
toute Burface associée a une surface dérivée de S est identique ä la sur-
face dérivée de la surface associée ä Ä, les paramétres de dérivation et
de deformation restant les mémes dans les deux cas.

6. Je me propose d'étudier dans ce paragraphe les principales
propriétés de la surface dérivée 6\ représentée par les équations (14),

(14)

on en ti re

Or on a^

x^ = X cosh ^ — y^ sinh jr ,
y^ =: y cosh ip '\' x^ sinli jr,

Z^ = Z]

dX'^ = dx cosh jr — dy^ sinh jr ,
dy^ = dy cosh jr + dx^ sinh ^,

dz^ = dz.

dx^ = pdz — ydy , dy^ = ydx — adz , dz^ = ady — ftdx ,

a , ^ j j- étant les cosinus directeurs d'une direction convenable sur la
normale a la surface S. Kempla^»ons dans les formules précédcntes dx^
et dy^ par leurs valeurs; il vient

(15)

dx^ = [cosh p — j' sinh ^\dx -{■ a sinh f^dZj
dy^ = [cosh f — y sinh ^]dy + P sinh ^dz^
dz^ = dz.

Si on suppose dz = o, dx^ et dy^ sont proportionnels k dx et k dy.
Par conséquent, les sections des deux surfaces S et S^ par un méme plan
perpendiculaire å Vaxe de dérivation se correspondent point par point de foQon

* ScHWARZ, Miscellen ans dent Oebiete der Minimalflächen (Journal fttr Mathe-
matik^ t. 80, p. 280; 1875).

Sur un mode de traDsforiuation des surfaces minima. 140

que les tangentes aux deux sections aux points correspondants soient pa-
ralléles.

Soient ds et ds^ les elements linéaircs des deux surfaces, dA et dÄ^
les elements superficiels. On a

ds\ = dx\ + dy\ + dz\ = jcosh ^ — y sinh ^Y[dx'^ + dij^)
+ [ I + (ot^ + P^) sinh^f?] dz^ + 2 sinh ji? [cosh ^ — y sinh (f]{pLdx + (idy)dz\

en rempla^ant ot^ + /^^ P^^' ^ — f^ ^ oidx -{' jidy par — ;^rfif et en réduisant,

on trouve

rfsj = cosh fr — y sinh ^J ^efo^;

comme ;• est inférieur ä Tunité, cosh^ — ^ sinh jr est toujours positif et
on a en valeur absolue

(16) ds^ = (cosh jr — y sinh ^)ds.

Ainsi, les deux surfaces S et S^ sont appliquées conformément Vune sur
Tautre par le nwde de correspondance qui vient d'étre établL En d autres
termes, deux courbes quclconques tracées sur S se coupent sous le méinc
angle que leurs images sur la surface Sy On déduit de la formule (16)
la relation suivante entré les elements superficiels

(17) dÄ^ = (cosh fr — yÄnYi^ydA,

Soient a^ , y5j , y^^ les cosinus directeurs de la normale ii la surface S^ ;
en exprimant que Ton a identiquement

a^dx^ + M^ + y^dz^ = o,
on trouve aiséuient

«i A r, ± i

a P y cosh f — sinh tp cosh <p — y sinh ip
et par suite

(18)

^ ^ «

^ -" cosh <p — y sinh f

Ä - ±

cosh ip — y sinh f '

y cosh ip — sinh ip

' * cosh jp — ;' sinh f '

150 E. Gouwat.

Inversement on aura

(1 8')

a = +

cosh ^ + Ti sinh f
il

' — cosh f + Yl siuh (p '
Y^ cosh <p + sinh ^

cosh ff + Ti siiili ?
Si OL j p j T vérifient une relation linéairc tellc que

/a + my9 + JJT + i^ = ^>

I y m j n , p étant des constantes, ol^, P^, Ti vérifient une relation de méme
forme et inversement. Par conséquent, toute courhe de la surface S dont
Vimage sphérique est un cercle a pour transfonnée stir la surface *S\ une
courhe jouissant de la niénie propriété, et réciproquement.

En particulier, si t ^s* constant, il en sera de méme de Ti- Donc
les méridiens et les paralléles de la surface S ont respectivement pour
images les méridiens et les paralléles de la surface S^. Nous appelons
avec MiNDiNG méridiens d'une surface les courbes pour lesquelles la nor-
male ä la surface est parallélc a un plan vcrtical fixe, et paralléles les
courbes pour lesquelles la normale fait un angle constant avec le plan
horizontal.

Des valéurs trouvées plus haut pout a^ , ^^ , Ti ^^ déduit la relation

da^dx^ + ^Pi^Vi + ^Tx^^i = ± (^^»^^^ + dftdy + dTdz)

dont Tinterprétation est immédiate. Supposons en effet ({ue le point
X y y , z décrive une ligne asymptotique de S; on aura

dadx + dfldy + dydz = o

«

et par suite

doL^dx^ + ^'/5,^i/i + dT^dz^ =o,

de sorte que le point x^ , //^ , ^, décrira aussi une ligne asymptotique de
Äj. Comme les lignes de courbure des deux surfaces coupent les lignes
asymptotiques sous un angle de 45° et que les aitgles se conservent dans
la transformation, on peut énoncer le théoréme suivant:

Sur un mode de transformation des surfaces minima. 151

Les Uffties de courbure ef les Ugnes asymjytotiqties de S ont respective-
inent pour transformées les lignes de courbure et les Ugnes asymptotiqt^s
de å;.

Si la surface 8 admet une ligne de courbure plane, la transformée
de cette courbe sur lä surface S^ sera encore ligne de courbure de Sp
et son image sphérique sera encore un cercle. EUe sera donc aussi une
ligne de courbure plane. De raéme si la surface S admet une ligne
asymptotique hélicoldale, Timage sphérique de cette courbe sera un petit
cercle, et sa transformée sera une ligne asymptotique hélicoUdale de 5,.
Donc:

Toute ligne de courbure plane de la surface S se change en une ligne
de courbure plane de S^, et toute ligne asymptotique hélicoidale se change en
une ligne asymptotique hélicoidale,

Supposons que la surface S soit algébrique; il en sera de méme de
la surface 8^. D'ailleurs il est clair qu'une transformation homographique,
qui conserve le cercle de Tinfini, appliquée a une courbe minima, ne
change pas Tordre de la développable formée par les tangentes ä cette
courbe ni la multiplicité du cercle de Tinfini sur cette développable.
On a donc le théoréme suivant, qui est vrai pour toutes les surfaces
d'une möme famille et qui a étc énoncé par M. Lie.^

Etant données deux surfaces minima d'une méme famille, si aucune nest
surface double ou si toutes les deux sont surfaces doubles, elles sont de méme
classe. Si une seule est surface double, sa classe est la moitié de celle de Vautre.

Il n'existe pas de loi aussi simple en ce qui concerne Tordre de
deux surfaces. Considérons par exemple une courbe minima F d^ordre
m ayant un ou plusieurs points communs a Tinfini avec sa conjuguée
Fq] lordre de la surface minima correspondante sera inférieur å m^. Il
est clair qu'en appliquant ä la courbe F un déplacement imaginaire
quelconque la nouvelle courbe l\ n^aura plus, en general, de point com-
mun a Tinfini avec sa conjuguée, et Tordre de la nouvelle surface mi-
nima sera bien egal a w^^

7. La plupart des propriétés qui viennent d'étre démontrées 8'établis-
sent aussi tres aisément au moyen des formules de M. Weierstrass. Afin

* Mathematische Anoalen, t. 15, p. 476.

152

E. Goursat.

de n^avoir ä considérer quc des substitutions ' linéaires homogénes, nous
adopterons un nouveau systéme de formules, dues également a Tillustre
géométre et qui ont étc employées aussi par M. Darboux.* Dans les
formules (ii) faisons un changement de variable et introduisons les no-
tations nouvelles

0{t)

u =

my

%{u)du = —ilP{t)dt;

les équations de la surface minima ^^ prendront la formo suivante:

(19)

x = afi[G\t) — H\t)]df,
y = ^f \G\t) + H\t)]dt,
z = ^f2iG{t)H{f)dt.

L'éléinent linéaire sera donné par la formule

(20)

ds' = 4[0{t)GM + H{t)HMYdtdt„

Gq{Q et //o(^o) ^tant les imaginaires conjuguées de G{t) et de H{t);
Téquation diflférentielle des lignes asymptotiques deviendra

(21)

m{HG' — GH')dr = o

et celle des lignes de courbure sera de méme

(22)

éK{HG' — GH')dt^ = o.

Considérons maintenant une autre surface minima 5, donnée par les
équations

ix,=Slfi[G\{t)-H\{t)]dt,

(23)

ou on a

!,,=iR.f[G\{f.) + Hm'U,
z, = ^f2iG^{t)n^{t)dt,

G,{f) = aG{t) + bH{f) ,
H,{t) = cG{t) + dH{t),

* Legons sur la ihéorie géuvrale des surfaces, p. 453-

Sur un mode de traDsformation des surfaces minima. 153

a y b y C , d désignant quatfe constantes telles que ad — be ne soit pas nul.
Toutes les surfaces minima ainsi obtenues appartiennent a une méme
famille; ces surfaces dépendent bien, comme on voit, de huit paramétres
réels. Po ur avoir le sous-groupe formé par les surfaces dérivées de la
surface (19), déplacées d'une fa9on quelconque, il suffit de supposer

ad — &c = I .

Enfin, si la seconde surface se déduit de la premiére par un simple dé-
placement, les formules de substitution anront la forme particuliére
suivante

v4

ö,(0 = ^,6'(0-.;^^(0,

m^ et n^ étant les imaginaires conjuguées de m et de w, et <? le discri-
minant mm^ + wn^-

Prenons le cas general ou ad — be est egal a Tunité, et faisons
correspondre les points des deux surfaces S et S^ qui répondent a une
méme valeur de <. On aura

H,G[ — G,H\ = HG' — GH'-,

(Voii on déduit que les équations différentielles des lignes asymptotiques
et des lignes de courbure sont les mémes pour les deux surfaces. En
comparant de mcme la formule (20) a la formule analogue pour la se-
conde surface on voit que le rapport j- ne dépend que de /.

Les formules qui précédent permettent de démontrer tres simplement
la proposition que voici: si Ton considére sur une surface minima un
point non singulier, le point correspondant sur toute autre surface de la
méme famille sera également un point non singulier; si le premier point
est un point de ramification d ordre n — 2, il en est de méme du second.

Supposons qu'on ait pris Taxe des z paralléle a la normale a la
surface S au point considére, de fa^on que la valeur de u soit nulle
pour ce point. On pourra toujours choisir la variable t de fa^on qu'elle

Acto mtithematiea. 11. Imprimé le 8 FtWrfer 1F88. 20

154 R. Goursat.

soit nulle aussi pour w = o et que dans le' voisinage de rorigine les
fonctions H{t) , G{t) aient respectivement les formes suivantes ^

Jr{t) = P{t),
G{t) = r->P,(0,

P{t) et P^{t) representant des series ordonnées suivant les puissances po-
sitives de t et ne s'annulant pas pour < = o, et n un nombre entier
positif au moins egal a 2. Cela pose, considérons une surface de la
niéme famille représentée par les équations (23) oii on a pris

G^{t) = aG{t) + bH{t),
H^(^t) = cG{t) -^ dH{t);

faisons subir a cette nouvelle surface un déplacement, ce qui revient a
remplacer dans les formules (23) G^ et H^ par les nouvelles fonctions
ö, et H^,

v o v'^ V'^ V"

\o sjö \jo yo

En prenant w et w de fa9on que mb — nd = o, les fonctions G^{t) et
IJ^{t) auront dans le voisinage de Torigine la méme forme que les fonc-
tions G [t) et H{t)\ d'oii résulte la proposition annoncée.

8. Revenons a la surface S^ représentée par les équations (14); si
dans ces équations on fait varier le paramétre <py le point {x^ , yj décrit
une branche de Thyperbole ayant pour équation

(^1^0 + .vi?/o)' — {^iv — jfi^y = (•'^•^0 + w/o)\

qui se réduit a une droite si Ton a xx^ + yy^ = o. Par suite, lorsqu'on
fait varier f> de — co a + ^>^ > tous les points de la surface variable
Sj décrivent des hyperboles ayant leurs centres sur Taxe des is. Mais il

* Darboux, Legons sur la théorie générale des sur/aces^ p. 461.

Sur un mode de transformation des surfaces minima. 155

est a remarquer qu*il ny a qu unc branche de Thyperbole qui soit
décrite; pour avoir la seconde branche il faudrait domier au paramétre
k qui'figure dans les formules (13) des valeurs negatives.

On est ainsi conduit a se poser la question suivante. Etant données
dans un méme plan perpendiculaire ä Taxe des z deux courbes quelconques
C^C^y peut-on choisir la surface minima S passant par C de fa9on que
Tune de ses dérivées passé par la courbe 6\? Les propriétés obtenues
plus haut permettent de répondre par Taffirmative. En eflfet, faisons
correspondre les points des deux courbes C, 6\ oii les tangentes sont pa-
ralléles, et donnons-nous le paramétre f. Soient x^y^x^^y^ les coor-
données de deux points correspondants sur les courbes C y C^ y da , da^ les
elements d'arcs correspondants, de telle sorte que Ton ait

dx dy da

Des formules (14) nous tirons

^ ^ y, ^ y cosh if ^ ^^ ^ da^ ^^

® sinh <p ^ ® sinh y>

, -^ — cosh ip

X cosli (P — X, , ^ da

^^ ^mh<p ^^ smhp

posons encore

On en tire

äxl + dyl + dzl = dx^ + dy\

dz^ = da\i — r\ ^0 ~ /^'^ ~ r^^^'

ou

r ^

-5-^ — cosh w
da

sinh ^

Choisissons le paramétre ^ de fa^on que j- soit inférieur ä Tunité; nous
déterminons une courbe gauche C^ décrite par le point de coordonnées

^0 > 2/0 5 -^0 ' ^^^^^ V^^ ^^^ ^^^^ correspondants des deux courbes C , C^
sont égaux et les elements correspondants orthogonaux, d'aprés la relä-

15(5 E. Göursat.

tion dxdx^ + dydn^ = o. Il existe doiic une surface minima passant
par la courbe C et telle que la courbe correspondante sur la surface
adjointe soit précisément C^. Dans les formules qui donnent cetfe sur-
face il n entré qu'une seule quadrature provenant de Téquation qui donne
z^. Si on applique a cette surface S les formules (14); on reconnait par
un calcul inverse du précédent que la surface dérivée S^ passé par la
courbe C^. ^

Considérons en particulier une surface S admettant la courbe j^lane
C pour ligne de courbure; y étant constant le long de cette courbe, le

rapport —i sera constant d'aprés la formule (16) et par suite les sections

des surfaces dérivées par le plan de la courbe C seront des courbes ho-
mothétiques ä la premiére. D'autre part, les formules (18) nous montrent
que Y^ sera constant aussi le long de la courbe 6\. On a donc le
théoréme suivant:

Si une surface minima S adniet une ligne de courbure plane C, les
surfaces dérivées de S avec tm axe de dérivation perpendiculaire au plan de
cette courbe sont coupées par ce plan suivant des lignes de courbure homo-
thétiques ä la courbe C.

Ainsi on peut faire dériver les surfaces qui admettent une ligne de
courbure plane des surfaces qui admettent pour ligne géodésique une
ligne homothétique ä celle-lå.' Pour donncr une application de cette
propriété, considérons Talysséide et un axe de dérivation perpendiculaire
a un plan méridien; les surfaces dérivées admettront une chainette pour
ligne de courbure plane. Or, comme la dérivation change les lignes de
courbure planes en lignes de courbure planes, les nouvelles surfaces
auront encore toutes leurs lignes de courbure planes. Ce sont les sur-
faces trouvées par M. O. Bonnet.^ Nous voyons que cette seule pro-
priété d*une surface minima d*admettre pour ligne de courbure une
chainette permet d'affirmer que toutes les autrcs lignes de, courbure de
la surface sont également des courbes planes.

Si une surface minima admet une ligne de courbure plane C, les
surfaces associées coupent un cylindre ayant pour section droite une
courbe semblable a C suivant une ligne géodésique et sous un angle

* Voir S. Lie, Mathematischc ÄDaalcDi t. 15, p. 477«
' Comptes rendus, t. 41, p. IO57; 1855.

Sur UD mode de transformation des surfaccs minima. 157

constant. Le théoréme qui précéde rapproché de la remarque faite a la
fin du paragraphe 5 nous donne ce nouveau théoréme:

Si une surface minima coupe un cylindre suivant une ligne géodésique
et sous un angle constant^ les surfaces dérivées avec un axe de dérivation
paralléle aux génératrices du cylindre coupent un cylindre homothétique au
premier suivant une ligne géodésique et sous un angle constant.^

En particulier, on peut faire dériver les surfaces qui admettent une
ligne asymptotique hélicoXdale des surfaces qui passent par une ligne droite.

9. Ix)rsqu'une surface minima passé par une droite reelle, on sait
que cette droite est un axe de symétrie pour la surface, et de méme
lorsqu une surface minima admet une ligne géodésique plane, le plan de
cette ligne est un plan de symétrie pour la surface. Ces théorémes
peuvent étre généralisés au moyen des surfaces dérivées.

Considérons une surface minima S ayant une ligne de courbure
plane G dans le plan des xy; soient

les équations de cette courbe, (t Tarc compté a partir d'un point fixe et
(O Tangle constant sous lequel la surface coupe le plan des xy. La
courbe correspondante ä C sur la surface adjointe S^ sera une hélice
tracée sur un cylindre ayant pour section droite une courbe homothétique

a C que Ton aurait fait tourner de - autour de .rorigine; soient

x^ = — y cos o> , i/o "= ^ ^^s (O, Zq =^ (T sin w
les équations de cette courbe. Posons

I -f cos (O

I — cos w '
on en tire

, I + cos'öi . , 2 cosö;
cosh if == i- , smh <p =

cos* 10

Le paramétre ^ étant choisi de cette fa9on, considérons la surface S^

' Voir S. Lie, Mathematischc Annalen, t. 15, p. 477.

158 E. Gouraat.

représentée par les équations (14); pour tout point de la courbc C on
aura, d'aprés les valeurs de x^ , y^y

X, = X, y^ =y, z^= o,

c'e8t-ä-dire que la surface dérivée S^ passera également par la courbe C
D*autre part, les formules (18) nous donnent, pour les cosinus directeurs
de la normale ä la nouvelle surface le long de la courbe 6',

a, = a, ^j = y9, Y^ = — cosft>;

nous voyons que les plans tangents aux deux surfaces S et S^ en un
méme point de la courbe C sont symétriques par rapport au plan des
xy. Imaginons maintenant que Ton prenne la surface symétrique de.Äj
par rapport au plan des xy^ la nouvelle surface ainsi obtenue S\ passera
encore par la courbe C et aura le méme plan tangent que la surface S
tout le long de cette courbe. Donc, d'aprés une proposition bien connuc
de la théorie des surfaces minima, les surfaces 8 et S[ colncident. Ainsi :

Lorsquune surface minima S admet une ligne de courhure plane située
dans un plan Pj si on prend la dérivée de la portion de surface située dun
cöté du plan P avec un axe de dérivation perpendiculaire ä ce plan et un
paramétre convenable^ puis la surface symétrique de cette dérivée par rapport
au plan P, on retrouve la portion de la surface primitive S située de Vautre
cöté de ce plan.

Cette proposition comprend évidemment comme cas particulier le
théoréme rappelé plus-haut sur les surfaces ä lignes géodésiques planes.
On fait ainsi correspondre les sections des deux näppes de la surface 8
équidistantes du plan P et les points de ces deux sections ou les tan-
gentes sont paralléles. Il est aisé de trouver comment sont disposés sur
la sphére les images sphériques de deux points correspondants M j M
de la surface 8, Soient a , ^ , ^^ ; a' , y^ , ;'' les cosinus directeurs des deux
normales aux points M et M\ Au moyen des formules (18), nous ob-
tenons les relations:

, a sin 'o;

I + cos*<:e; — 2) cos lo

' I + cos Vo — 2y cos CO '

, 2 cos CO — ^(l + COS*Ö>) ,

' I 4- COS'ö> — 2y cos €0

Sur UD mode de traDsformation des surfaces miniina. 159

ces relations expriment, il est aisé de le vérifier, que la droite qui joint
les deux points ni{a ^ /i ^ f) et m'{a',fi'yf) de la sphére va couper Taxe

Oz en un point Q de coordonnées (x = y = o,z^=^ j . Ce point Q

est précisément le p61e du petit cercle de la sphére qui est l'image sphé-
rique de la ligne de courbure plane C. On peut done dire que les images
sphériques des deux points M y M' sont symétriques par rapport au petit
cercle qui est Timage sphérique de la ligne de courbure plane considérée.
J'appelle points symétriques par rapport ä un petit cercle deux points tels
que la droite qui les joint va passer par le p61e du plan de ce cercle.
On a un théoréme analogue au précédent pour les surfaces minima
qui admettent une ligne asymptotique hélicoldale. Soient x j y y z les
coordonnées d'un point de cette hélice, w Tangle de la tangente a Thélice
avec le plan horizontal; la courbe correspondante sur la surface adjointe
se ra une courbe plane représentée par les formules

y .. ^

" 008 €0 ^^ COS (O

Cela pose, prenons pour le paramétre k qui figure dans les formules (13)
la yaleur negative

I + CO8 fO

I — COS (O

les formules (14) seront remplacées par les sui vantes

1 + COsVo . 2 COS €0
I + COsVcl 2 COS 01

^^ ~~ J sinVo *® 8in*ft; '

z^ = z,

et on aura de méme pour les cosinus directeurs de la normale a la nouvelle

surface

— a sin'ö>

^ I + COS^iO — 27* COS w '

^ — y9sin'ft;

' * I + cosVo — 2^co8ri;'

^(l + COSVi;) — 2 COBfO

'^ I + C09*«l — 27*008^

160 E. Goursat.

Si on applique ces forniules a un point de Thélice on aura

^1 = ^j ^1 = Vy \ = ^^

ttj = — a, ^1 = — y9, ^i = — cosft>;

par conséquent la nouvelle surface passé encore par cette hélice et elle
admet le méme plan tangent que la premiére tout le long de cette
courbe. Donc les deux surfaces se confondént. Ainsi, lorsqu^une surface
minima reelle admet une ligne asymptotique hélicoidalej les deux näppes de
la surface se déduisent Vune de Vautre par une dérixmtion convenahle, Vaxe
de dérivation étant paralléle aux génératrices du cylindre, Les points cor-
respondants sont dans un méme plan perpendiculaire aux génératrices du
cylindre et les tangentes a la section de la surface par ce plan aux points
correspondants sont paralléles. Les images sphériques de ces deux points
sont encore symétriques par rapport au petit cercle qui est Timage sphé-
rique de la ligne hélicoldale.

10. Nous allons appliquer les considérations qui précédent ä quel-
ques surfaces minima. Prenons d^abord la surface du neuviéme ordre
dTiNNEPEK, que Ton obtient en supposant que la fonction xS{u) se réduit
ä une constante reelle; toute surface de la méme famille aura une fonc-
tion caractéristique de la forme

(m + n^uy

Ces surfaces dépendent par conséquent de quatre constantes reelles seiile-
ment. Il est aisé de reconnaitre que toutes ces surfaces sont semblables
a la surface primitive. En effet, faisons subir a la surface minima ayant
pour fonction caractéristique la fonction précédente le déplacement qui
correspond a la substitution linéaire

mv + n
u = — ;

la fonction caractéristique de la surface minima dans sa nouvelle position
se réduira a une constante ae*', a et b étant réels. La surface est donc
homothétique a une surface associée a la surface d'ENNEPER, et on sait

Sur un mode de transforniation des surfaocs niiDima.

161

Oll

«^y9,

que cette derniére est superposable a ses associées. Du reste, on se rend
compte de ce fait a priori, si on remarque que la surface d'ENNEPER est
la seule surface minima algébrique a lignes de courbure planes et que,
dans une dérivation, les lignes de courbure planes se changent en lignes
de courbure planes.

Considérons en second lieu la famille de surfaces minima a laquelle
appartient Talysséide. Si on prend pour axe des z Taxe de Talysséide,

la fonction caractéristique sera -5; toute autre surface de la méme fa-
mille aura une fonction caractéristique de la forme

A

un des facteurs u — a , w — y9 pouvant se réduire a Tunité. Ces surfaces
dépendent donc de six paramétres arbitraires réels. D'une maniére gé-
nérale, on peut dire que cette famille se cotnpose des surfaces minima,
non dlgébriqueii, a lignes de courbure planes, et des surfaces associées a
celles-lä. Pour obtenir les surfaces dérivées de Talysséide, supposons
Taxe de dérivation perpendiculaire a un plan méridien et prenons cet
axe pour axe des z. Les expressions des coordonnées, d'un point de Talys-
séide auront la forme suivante:

X = öf/i,

y = a cos X cosh /x ,

z =^ a sin A cosh/i, *

X et fÅ étant les paramétres des lignes de courbure. On aura de méme

pour la surface adjointe

X, =- aXj

y^ = a sinAsinh/i,

z^ = — a cos A sinh/i.

Appliquons ä cette surface les fonnules générales (14); nous trouvons
pour les coordonnées d'un point de la surface dérivée

x^ = a/i cosh ff — a sin X e\nh fi ginh fp,
y^ = a cos A cosh/i cosh ^ + aX sinh j?,
z^ = a sin A cosh /£ ;

Acta mathematiem, 11. Imprimé le 8 Férrler 1888.

21

162 E. Ooureat.

si on di vise par acoshjr et qu'on pose tghfj = Ä, ces formules devien-
nent:

;r, = /i — h sin ^ sinh/i,
;?/j = cos P. cosh /i + Ä A ,
^1 = v' I — Ä* sin A coshyu.

Il est aisé de reconnaitre qu^elles sont équivalentes aux formules données
par M. Darboux (Joc. cif. p. 315). Le plan tangent a pour équation

X sinh/i — Y cobX + Z\ cosh/£

= Ä sin A — hX coB X + fi sinh/x — cosh/£.

D'une maniére générale, proposons-nous de déterminer toutes Icb familles
de surfaces minima qui dépendent de moins de huit paramétres réels.
Cela revient a chercher les fonctions g(w) telles que les fonetions

A _ /mu

^ / mu + n \

{pu + ^) " \pti + q

qui paraissent dépendre de quatre constantes complexes, ne dépendent en
réalité que d'un moindre nombre de constantes. S'il en est ainsi, la
fonction précédente sera identique a elle-méme pour une infinité de va-
leurs des paramétres A , m ^ n j p , q, formant une auite continue. En
particulier on pourra prendre pour ces paramétres des fonctions continues
d'une variable t telles que Ton ait identiquement

{pu

et nous supposerons de plus, pour fixer les idées, que pour la valeur

< = o, on a

A =^ m = g = 1, n = p = o..

Egalons a zéro la dérivée de la fonction précédente par rapport au pa-

Sur un mode de transformation des surfaces minima. 163

ramétre t; il vient, en désignant par A' , m',n' , p', q' les dérivées de
Ä,m,n,p,q

A'{pu + 3) — 4Aip'u + q)

(p« + gr)' "\j>« + q

A

+ l^^Y [(»«'« + »^OCP" + 9)- {fnu + n){p'u + q')] g' (^^) = o.

Cette relation est satisfaite identiquement si on a

ou

A'
AA

—

3'
9

—

m

=

n'
n

A^

V

q

m

n

—

.-

j

a)

Px

g.

»«,

«.

A^ , Wj , Wj , i?i , ^1 étant les valeurs des paramétres pour une valeur par-
ticuliére t^ de la variable t. Ce resultat était evident a priori d'aprés
rhomogénéité de la fonction caractéristique. Laissant de cöté ce cas
singulier, faisons t = o dans la relation précédente; nous voyons que la
fonction xS{u) doit satisfaire a une équation différentielle de la forme

^'{u) 4au + b ^

?5f(u) "^ aii*+ en + d

a , b y C , d étant des constantes indépendant^s de u. L'intégration ne pré-
sente aucune difficulté. Nous distinguerons plusieurs cas:
I ^. Soit a ^ o ; si Téquation

au^ + cw + rf = o

a deux racines distinctes a , ^, Téquation pourra s'écrire

mn) k_ k + 4 _ Q^

3f(t*) u — au — /?

et on en tire

164 E. Goursat.

2^ Soit a ^ o; 81 Téquation au^ + cu -^^ cl = o a une racine double
a, on aura .

On en ti re

(B) 3(„)=^e^;

3^ Soit a = o , 6c ^ o. On aura

et par suite

(C) i5(») = t'(« - «r;

4". Soit a = o,c = o,i^o. L'équation différentiellc devient

3'(«)

B(«)
et on en tire

= k,

(D) 5(«) = CV;

5**. Soit a = o ; 6 = o. On aura

(E) 3;(«) = <^'-

Il est visible que les foruies (C) et (E) ne sont que des cas particuliers
de la forme (A)

qui caractérise la famille de surfaces minima dont fait partie la surface
ayant pour fonction caraetéristique

cette derniére surface est applicable, comme on sait, sur une surface de
revolution ou sur une surface spirale. Comme cette surface est super-
posable ou semblable a ses associées, il était certain a priori que la fa-
mille de surfaces minima dont elle fait partie ne pourrait dépendre de

Sur UD mode de transformation des surfaces minima. 165

huit paramétres réels arbitraires. Si k est quelconque, le nombre de ces
paramétres sera egal ä 6; il 8'abaisse ju8qu'a 4 pour la surface (I^Ennepkr.
Les formes (B) et (D) sont ellesméines des cas particuliers de la
forme suivante

mtt+n

cette fonction 3f(w) ne dépend que de trois constantes coniplexes. EUe
reprend en effet la méme valeur si on reraplace w , n , jp , g par

km -f- ^kpLk , kn + ^kqLk , kjp , kq,

k étant une constante quelconque. Si on fait subir a la surface minima
qui a pour fonction caractéristique la fonction précédente un déplacement
réel convenable, il est facile de démontrer qu on peut la raraener a avoir
pour fonction caractéristique une fonction de la forme

a f b j c étant réels.

1 1. Imaginons que nous ayons 'pris un axe de dérivation quelconque
passant par Torigine, faisant avec les axes de coordonnées des angles de
cosinus «< , ^o Ci et soit ^< le paramétre de dérivation. Les formules (16)
et (17) deviennent

(16') (ISi = [cosli jTj — {iiiOL + b^jS + Cif) sinh jrJf/6-,

(17') (lAi = [cosh ^i — (a^a + b^fi + c,f) sinh ^J^rf^.

Supposons que nous ayons pris cinq surfaces dérivées d'une méme surface
5, avec des axes et des paramétres de dérivation quelconques. Entré les
cinq formules analogues a la formule (16') nous pourrons éliminer a,^,
X j ds\ par suite, entré les longueurs des arcs correspondants de ces cinq
surfaces il existe une relation linéaire et homogéne ä coefficients constants.
Il peut arriver d'ailleurs qu'on ait une relation de cette espéce en prenant
moins de cinq surfaces. Considérons par exemple quatre surfaces dé-
rivées d'une méme surface par rapport af quatre axes situés dans un
méme plan que nous prendrons pour plan des xz; les formules analogues
a la formule (16') ne contiendront plus que a et ^^ et, en éliminant a^y

166

E. Goarsat.

ct ds ori aum une relation linéaire et homogcne entrc les longueurs des
arcs correspondants de ces quatre surfaces.

PrenoDS encore trois surfaoeB dérivées de la premiére suirant un
méme axe, que nous prendrons pour axe des z; on aura les trcns relations

ds^ = [coshjTj •: — ;'8inh^j]rf5,

On en déduit

ds^ = [coshj^jj — j^smh^ylds,
(fog --= [cosh^, — j-Bmh^^^ds.

sinh(jr, —^^)ds^ + s\u\i{f^ — ¥i)ds^ + sinh(jri — ^^)ds^ = o

et par suite

^1 «nh (^, — j?,) + s, sinh (jr, — jr J + 5, sinh (jr^ — ^,) - o.

On verra de inéme, en partant de la formule (i7')5 qu'il existe une re-
lation linéaire et homogéne ä coefficients constants entré les aires cor-
respondantes: i° de dix surfaces dérivées, lorsque les axes et les para-
métres de dérivation sont quelconaues; 2® de sept surfaces, lorsque les
axes sont dans un méme plan; 3° de quatre surfaces dérivées suivant
un méme axe.

13. La plupart des considérations précédentes 8'appliquent, avec
quelques changements, aux surfaces minima imaginaires. Soient Fj F^
deux courbes minima quelconques représentées par les équations

X= 2A{t\
F Y= 2B{t),

Z = 2C{t)y

X, = 2^,(r),

/; Y, = 2B,{r),

Z, =2C\(r),

et soit S la surface minima, en general iinaginaire, qui est le licu des
milieux des cordes joignant un point de /* å un point de F^, surface re-
préseiitée par les équations

Le =^ AiO + 4,iT),

.9 y = B{t) + B,{t),

z = C'(0 + C\(r).

Sur un mode de transforaiitioii des surfaces minima.

1Ö7

SuppoAons que Ton applique a la courbe F une transformation hoino*

graphique confiervant le cercle de Finfini, et uné autre traneformatioD de

méme nature a la courbe I\. On obtient deux autres courbes minima
p» p.

X' =20(0,
/" Y' = 2^(0, /'

Z= 26(0,

(X;= 2d,(r).
Y{ = 2Ä,(r),

Iz; = 2e,{r),

et une nouvelle surface minima S' représentée par les équations

S'

Nous venons d'étudier le cas o\\ les deux courbes /', F^ sont imaginaires
conjuguécs et oii on applique a ces deux courbes des déplacements ima-
ginaires conjugués. Considérons niaintenant le cas general; nous aU
lons voir que les coordotmées éCun point de la surface S' sexpriment linéaire-
ment au moyen des coordonnées de deux poinfs correspondants de la surface
S et de la surface adjointe S^,

On a pour expressions des coordonnées d'un point de S^

«o ^

T, = i[A{t) - A,iz)l
y, =t[B(/)-B.(r)],

et par suite

X — ix, = 2A{t\ X + ix, = 2^j(r),

y — Wo = ^W\ y + Wo = 2Bj(r),

z — iz^ = 2C{t\ z + iz^ ^ 2C\(r).

D'ailleurs 3i{t) , IB(/) , (?(f) sont des fonctions linéaires ä coefficients con-
stants de A{t) , B{f) , ^(0? ^^ méme £l,(r) , c6j(r) , ^^(r) sont des fonc-
tions linéaires a coefficients constante de -^,(r) , Bj(r) , Cj(r). Par suite
x' f y' , z' s'exprimeront linéairement au moyen de x y y j z y x^ ^ y^ y z^.

168 E. Goursat.

Je suppose maintenant que les dcux transforinations appliquées aux
courbes T, F^ se réduisent a deux déplacements indépendants Tun de
Tautre. Faisons correspondre les points des deux surfaces 8 , S* qui ré-
pondent aux mémes valeurs de t et de r; alors les lignes de courbure et
les lignes asymptotiqms se correspondent respectivetnent sur ces deux surfaces.
On le démantre facilement en prenant les équations de ces surfaces sous
la forme générale qui précéde. Désignons pour abréger par A'y Ry C",
A"y F', C"; A[,B[, C[ , A[' , B[' , C;' les dérivées de A , B , C; A, y B,, C\
prises par rapport a / et a r respectivemeut. Des relations

^,3 + B'' + C = o,

on tire

A' A" + B'B'' rf CC = o

A B' C

BO" — C B" CA" — AV" A' B" ~ RA

n

posont;

7^/^ _ ^'^^"~ ^^^'1 — fi'C'" — 6" 7? " _ GA" — A C

Soient

a b r
a' h' ef
a" b" c"

les coefficients d'une substitution orthogonale de déterminant + i ; des
égalités précédentes on tire

j., . {a'b"-h'a"XA'B"- B' A") + {b'c"- c'b"XB'C"- C'B") + (c'a"- a'f")(C'^"- A'C")
^^"^ aA' + bB' + cC'

■ (a' A' + b'B' + e'C\a"A" + b" B" + c"G-') - ja" A' + b" B' + c"C')(a'A" + VB" + c' C")
~ aA+bB-^^-cC

On voit donc que I{t) est un invariant relativement a toute substitution
orthogonale de déterminant + i eflfectuée stir les fonctions A , B , C.
De méme, Bi on pose

,, . A\B': — B\Ä ' B\C'- — C'X _ C[A[' — A[G ['
i^'"^" o; A[ ~ B\

Sar un mode de transformatioQ de8 surfaecs minima.

160

i,(r) sera un invariant relativement ä toute substitution orthogonale de
déterminant + i eiFectuée sur les fonctions A^^B^yC^. On sait que
Téquation diiFérentielle des lignes asymptotiques de la surface S est

A'

A"

A

E

B"

B[

dt' +

C

C"

C[

B[ B' B['

dz' = o,

ou, en développant et en supprimant le facteur commun A'A['^B'B[ + CC[j
De meme Téquation différentielle des lignes de courbure sera

dx dy dz

u v

w

= o

du dv dw

oii

u = B'C[ — aB\, v = C'A[ — A'C[, w = A'B\ — B'A\',

en développant et réduisant les termes semblables, il vient pour cette
équation

I{t)dt^ + /,(r)rfr' = o:

Puisque /(<),/j(r) sont des invariants relativement ä toute substitution
orthogonale de déterminant + i , on voit aussitöt que ces équations sont
les mémes pour les deux surfaces ä et 5": d'ou résulte la proposition
générale énoncée plus haut.

Ce théoréme se démontre aussi tres simplement au moyen des formules
de M. Weierstrass. Regardons les deux courbes minima /', F^ comme
les arétes de rebroussement des deux développables enveloppes des plans

(i — w^)X+ /(i + w')F+ 2wZ + 4/'(m) =o,

1(1 — wJ)X -i(i + wj)r + 2u,Z+ 4f,{u,) = o;

Actm mathematieu. 11. Tmprlmé le IG Févricr 1R88.

22

170

E. Ooar/)at.

la surface minima S sera représentée par les équations

ou

Les lignes de courbure et les lignes asymptotiquos seront données par
les équations différentielles

?i{u)(lu' + ?i,{u,)du] = o.

Si on snppose maintenant que les courbes Fy I\ subissent des déplace-
ments, les fonctions x?(w) , ifi(Wi) sont remplacéos par des fonctions ®(r),
®j(t)j) de la forme suivante

^ \pv + q/ (pv + qy

m (.„ \ — et / wt,«, + ii, \(t».g. —«,/),)*

et les équations diflFérentielles des lignes de courbure et des lignes asymp-
totiques deviennent respectivenient

ig{v)dv'' — ®,{v,)dv\ = o,

ces équations sont identiques aux premiéres oii Ton aurait fait le change-
ment de variables

u =

mv + »^

Nous voyons de plus que, si on connalt Timage sphéHque d*une ligne
de la premiére surface, pour avoirTimage sphérique de la ligne corres-

Sur UD mode de traosformatioD des surfaccs mioima. 171

pondantc de la seconde surface, il. suffit de faire la transformation pré-
cédente. Une telle transformation change les cercles en cercles; par suite
toute ligne de courbure plane se change en une ligne de courbure plane
et toute ligne asymptotique hélicoldale en une ligne asymptotique hé-
licoldale.

Pour donnor un exemple de la transformation générale qui précéde,
reprenons la surface représentée par les équations (14) [§ 6]. Rien n'em-
péclie de supposer que la surface S d'oii Ton part est imaginaire ainsi
que le paramétre k; les propositions qui ont été démontrées sont encore
vraies dans ce cas. La surface S étant considérée comme le lieu des mi-
lieux des cordes qui joignent un point d'une courbe minima F a un
point d'une autre courbe minima l\y on obtiendra la nouvelle surface
minima représentée par les équations (14) en faisant subir aux deux
courbes l^T^ des rotations égales et de sens contraires autour de Taxe
Oz. ele dirai encore que la nouvelle surface est dérivée de la premiére.

13. Nouö avons vu au paragraplie 6 que deux surfäces minima dé-
rivées T une de Tautre jouissaient de la propriété sui vante. Si on considére
les sections de ces deux surfäces par un méme plan perpendiculaire ä
Taxe de dérivation et qu'on fasse correspondre les points de ces deux
sections oii les tangentes sont paralléles, on obtient un mode de corres-
pondance entré les deux surfäces tel que Tangle de deux courbes quel-
conques tracées sur Tune d'elles est egal a Fangle des courbes corres-
pondantes sur Tautre surface. On exprime ce fait en disant que les
deux surfäces sont appliquées conformément Tune sur Fautre. Cette pro-
priété appartient aussi aux surfäces de revolution. Soit Oz Taxe de la

surface et

réquation de la méridicnne dans le plan des xz; Télément linéaire sera
donné par la formule

ds' = <p\z)dw'' + [i + f'\z)'\dz\

<o désignant Tangle d'un plan méridien avec le plan xOz. Soit maintenant

X == (}){z)

172 E. Goursat.

la méridienne d'une autre surface de revolution, dont rélément linéaire
sera donné par la formule

ds] = (P\z)(f(o' + [i + f\^)](I^'.

Faisons correspondre les points des deux surfaces qui répondent aux rnémes
valeurs de ^ et de ö>; pour que ces deux surfaces soient appliquées con-

formément Tune sur Tautre, il faut et il suffit que le rapport -p ne

dépende que de (o et de ^, c'est-a-dire que Ton ait

•

La premiére surface étant donnéc, on coniiaitra la fonction ^ et on aura
pour déterminer ^ une équation différentielle du premier ordre admettant
f comme intégrale particuliére. Il est aisé dMnterpréter la relation (24);
soient C , C les deux méridiennes du plan xOz , ilf et 3f' deux points de
ces courbes situés sur une méme paralléle MM'P a l'axe Ox. La for-
mule (24) exprime précisément que la projection de MP sur la normale
MN a la courbe C est égale a la projection de M'P sur la normale
M'N' a la courbe C".

Supposons en particulier que la premiére surface soit un cylindre
de revolution; alors ^(^) = a et Téquation (24) devient

,+rw=öi).

L'intégrale générale est

e' +e- J;

elle représente des chainettes égales tangentes a la droite a; = a, qui est
alors une intégrale singuliére. Ceci nous conduit a quelques propriétés
curieuses de Talysséide. Si on considére Talysséide et le cylindre cir-
conscrit suivant le cercle de gorge et qu'on fasse correspondre les points
des deux surfaces situés sur une méme droite perpendiculaire a Oz et
rencontrant cet axe, les angles se conservent dans ce mode de corres-
pondance. Les lignes asymptotiques -de Talysséide ont pour transformées

Sur un mode de transformation dos surfaces minima. 173

des hélices inclinées a 45® sur les génératrices du cylindre, de sorte que
ces lignes asymptotiques sont ä rintersection de Talysséide ét des hélicoldes
ayant Oz pour axe et égaux ä Thélicolde adjoint.

Si on développe ensuite la surface du cylindre sur un plan, on ob-
tiendra une carte de la surface de Talysscide dans laquelle les lignes de
courbure seront représentées par deux faisceaux rectangulaires de droites
paralléles.

1 4. Nous sommes ainsi ainenés a Texamen de la question suivante
de Géornétrie, par lequel je vais terminer. Etant données deux surfaces
quelconques Ä, 8^^ on prend les sections des deux surfaces par un plan
variable paralléle a un plan fixe, et on fait correspondre les points de
ces deux sections oii les tangentes sont paralléles: dans quels cas obtient-
on une application conforme des deux surfaces Tune sur Tautre par ce
mode de correspondance?

Je prends le plan fixe pour plan des ocy et j'appelle x ^y ^ z\ x^ ^y^^, z
les coordonnées de deux points correspondants des deux surfaces; ces
coordonnées sont supposées exprimées en fonction de deux variables in-
dépendantes a , y9. D'aprés Ténoncé du probléme, on aura d'abord la
relation

(25) (lx\ + dy\ + dz^ = k{dx^ + dy"" + dz^

D'autre part, le plan tangent a la premiére surface aura pour équation

+(^-<r:i-ES)=°.

et le coefficient angulaire de la trace de ce plan sur le plan des xy sera

dy dz dz dy
da 9/9 da 9/L?

dX dz dz dX '

da dfi da dfi

174

E. Goursat.

et on aura une expression toute pareille pour le plan tangent ä la se-
conde surface. On en tire une nouvelle équation de condition

\da a/? da 3/9/ \

dZ dX,

dad^

dx
lä

/3l/j dZ dZ 9e/, \ /dZ dx dxdz\

\aa 9/9 däl^)\dadfi ääajs/

ou, en développant,

(26)

\dfJ \d^ dfi 3/9 9/9/ "• \a/9/ [da da da da )

"•" a«a/9La« d^ "^ da a^ da dfi da a/9J

Il 8'agit de trouver cinq fonctions oo ^ y , x^ , y^ j z des variables a et ^
vérifiant les relations (25) et (26). Imåginons que nous ayons pris pour
variables a et ^ les paramétres des lignes de longueur nulle de la pre-
miére surface. L'équation (25) pourra étre reinplacée par les relations
ci-dessous

(=7)

(28)

0*+.(r!y+(E)'-.

Posons

d'oh

- _ « + "0

^ 2 '

^' 2 '

. V. M

U — X + }1J,

v — ^1 + 'y,,

u^ -X ty,

«o - ^1 »yr

Sur UD mode de transforiDatioD des aurfaces minima.

Des relations (27) et (28) on tire

(29)

du dU^ dV dVQ /^^\'

da da da da \da/

~ d^^ ^~\dfi) •

dudU^

On satisfait aux équations (29) de la fa9on la plus générale en prenant:

(30)

dV ^^, du

da • da

dV^ . 9t4*

(30')

da

da

o ^—iw^'^0

^ et oi étant deux nouvelles fonctions de a et de y9, Si on remplace
^ I ?/ 5 ^1 > .Vi P^^ leurs valenrs dans Téquation de condition (26), elle
devient, apres quelques réduetions faciles,

' L

dZ dz du dU^

äääj9"^ a^ "äa

iif—to)

+ e '

dZ dZ j^dud

dfiT^'^ da~dp

o.

On peut satisfairc ä cette équation de deux maniéres: i® en prenant
ö> + {T = o; 2** en posant

^*(f-«) __

dZ dz du dUf^

däd^^^d^Jä

dz dZ , du dU^

dädfi'^dä'dfi

Cette derniére solution est lUusoire; en effet, on vérifie aisément, en
tenant coinpte des équations (29), que Ton aurait

du dz

du dz

dädfi

et les équations (30) nous donneraient

dvdl\ dvdV^

dal^ a^aö""" ^'

a^a^ dvdz

17G

E. Goursat.

de sorte que le point x^^y^^z décrirait, non pas une surface, inais une
courbe, qui serait forcément une courbe minima. Il est aisé de 8'ex-
pliquer la prcsence de cette solution étrangére. En effet, si on a une
surface quelconque S et une courbe minima quelconque F et qu'on fasse
correspondre tous les points de la surface 8 situés dans un plan paral-
léle au plan xOy au point unique de la courbe F situé dans ce plan, il
est evident que la relation (25) sera satisfaite puisque on .aura

rf^I + (¥\ + (^^ = o.

D'autre part les quantités

^x^ dz

9aj. dz

da 9/9 dj9 da '

da dii 3/9 da

sont identiquement nulles et la relation (26) est vérifiée égaleinent.

Nous voyons par conséquent que, pour avoir une véritable solution,
il nous faudra prendre

et les relations (30) et (30') pourront s^écrire

(31)

dv

da

. du

da

dv

la/9-

I du
1d~^'

(31')

I du.

X da '

A '''-

9/9

Ecrivons les conditions d'intégrabilité

d^v _ . d^u ,dXdu_i d^u
dadfi ~ dadfi "*" dfidä "" Å dad/i

I dÅ du

J^Vadfi'

3\ ^ ^d\^ dj.du.

1 a V

I dX du.

dad^ dad^ ' dad^ Xdad^ l^d^da

on en tire les relations

(32)

i«3^"^ ä^9«

9Mj a; , 3 9«o 9^
da dji'^ 9/9 9a

= A(1-

= A(i

.,v 9V

Sur UD mode de transformation des surfaces minima.

177

qui ne contiennent plus que les coordonnées u^u^ de la premiére surface.
Ces équations admettent toujours les deux solutions A = + i. Les sur-
faces S^ que Ton obtient ainsi se déduisent de la surface S par une trans-
lation paralléle au plan des xy ou par une rotation de 1 80° autour d'un
axe perpendiculaire ä ce plan. Ces solutions étaient d'ailleurs évidentes
a priori.

On aper9oit immédiatement un autre cas particulier ou les équations
(32) admettent une infinité d'intégrales: c'est celui ou la surface S est
une surface minima. On a en effet dans ce cas

dadfi

= 0,

dadfi '

et on satisfait aux équations (32) en prenant pour A une constante quel-
conque. Des équations (31) on tire alors

dadfi dad^ '

ce qui nous montre que la seconde surface sera aussi une surface minima.
Si on poursuit le calcul, ce qui n'offre aucune difficulté, on reconnalt
que la surface S^ est précisément une surface dérivée de 8 avec Oz pour
axe de dérivation. .

Prenons maintenant le cas general; les équations (32) peuvent se
simplifier un peu en prenant pour nouvelle inconnue X^ = p. Elles de-
viennent, en les multipliant par 2A,

du dp . du 3/> / \

da dfi"^ ^ dfi da

= 2/>(l

si on résout par rapport a — , -^ , on trouve

(33)

['

2 dU^ du du Q du'} dp ,

J^da dad^\d^~^^^ ^

= 2p{l —/>)[/>

d^U du^ du 9 v

dad/i dj3 d^dad^

[3 du. du du. du-] dp f vf

Aeta mmtkematiea, 11. Imprimé le 11 Février 1888.

9 't/o du 3 'ti dU^

^ dad^dä dadfi~dä

1

23

178

E. Goursat.

Ecartons le cas ou on aurait une solution en prenant

du du^ 9u du^

o;

on aurait alors

et la surface S^ serait un cylindre ayant ses génératrices paralléles a Oz.
Ge cas sera examiné plus loin.

Si Ton veut qu'il y ait une infinité de surfaces 5^^ correspondant ä
une surface donnée S, la condition d'intégrabilité du systéme (33)

d\

devra étre satisfaite identiquement. Le calcul un peu long n'offre aucune
difficulté et on est conduit aux conditions suivantes:

(34)

(35)

^[lög^"]=ä^[logä^]

da^fi

a* r

a«a^

[^°gä|] =ä^[l°g|^°]

(36)

du~ I

du 3*u

3u. 3 V

\ d,9 ) da a^

(37)

du 3*u ~l

pä^ I

da J

Des relations (34) et (35) on tire

{38)

':j=k«)^(/»)|.

Sur UD mode de traDsformation des surfaces minima. 179

jp(a) et ^i(a) ne dépendant que de a, ^(/5) et ^i(^) ne dépendant que
de ^. Si on porte ces valeurs ^^ g-^ > 9^ ^^^^ l^s formules (29) et

qu on élimine ^ ^ , on voit que la fonction z doit vérifier une équation
aux dcrivées partielies de la forme

dont Vintégrale générale est

z = F[0{a) + ni^)],
en posant:

Comme les variables a et y9 peuvent toujours étre remplacées par deux
nouvelles variables ne dépendant respectivement que de chacune des pre-
miéres, rien n'empéche de supposer que Ton a pris pour variables les
fonctions 0{oi) , V^{P) elles-mémes. Alors la coordonnée z aura pour ex-
pression

(39) z = F{oi + /9).

On déduit de la une conséquence importante; puisque les lignes

a + ^ = Const.j a — /i = Const,

förment sur la surface deux systéraes orthogonaux et isothermes, nous

voyons que les sections de la surface S par des plans paralléles au plan

des xy förment un systéme isofherme.

Soit

f{a + /9) = - [F(a + y9)]';

les formules (29) deviennent

(40) l'^=SS= =/■(»+«•

180

E. Ooursat.

On en déduit

du

au,

du

da a,J

et les formules (38) deviennent:

(41)

att,
a«

13/9

J^(«)^(/5)|

= fHV^W

3u
3a

Combinées avec les formules (40), elles donnent

(42)

awaw

da d,9

X«)i^(/?)'

Des relations (40) on tire

a'«

ax r(« + ^)

a» a/? a»

aa

a«

3/?

av

on peut satisfaire a cette relation de deux maniéres: i*' en prenant

da du
d^^d^'

mais on aurait aussi ;r-^=r7r et la surface S se réduirait ä une courbe;

aa op

2° en posant

a + /9) dad^ !^

L3/;

Sur un mode de traDsfortnation des surfaccs miDima.! 181

La premiérc des équations (42) nous donne aussi

du "^ du f{a+fi) ipifi)'
da dfi

Ajoutons membre a membre les équations précédentes; il vient

Par conséquent ^ sera de la forme
on aura de méme

du n^(a + fi)

da ^ ( « )

les fonctions tv , tt^ vérifiant la condition

7r{a + fl).7r,{a + lil) = f{a + ^).
On en tire encoré

^'u ^ nXa + /9) ^ ;r;(«+ /9) .
dadfi ^(/?) ^(a) '

si les fonctions t: , n^ sont des constantes, cette condition est satisfaite
identiqueinent, et on retombe sur le cas déja considéré des surfaces mi-
nima. S'il en est autrement, il faudra que le rapport y^ ne dépende
que de a + y9, et par suite que

1 (f^\ = 1 / y(«) \

c'est-a-dire que Ton ait

182
ou

E. Goursat.

9M ^
ip{a)

La valeur commune des rapports précédents sera forcéinent une constante
indépendante de a et de ^, et on aura

= m

m;

on en tire

f(«) =

ae

ma

^(^) = 6e— /*,

a et ft désignant deux nouvelles constantes, et finalement on obtient les
formules

(43)

ä;i = ä^ '^'(« + /*)'

du 1

;-^ = ie'"M« + /^);

du.

(44)

da

du

= ae'"'7r{a + /9),
2= 6e-"^ffj(« + 13),

ou

Jr(« + /9).?ri(« + ff)=f{a + ff).

Les relations (40) et (41) sont satisfaites et les conditions d'intégrabilité
des deux systémes (43) et (44) se reduisent a une scule

On vérifie facileraent que les autres conditions d'intégrabilité du systeme
(33) sont vérifiées identiquement.

Pour interpreter géométriquement les relations (43) formons Véqua-
tion du plan tangent å la surface S

A{X — x) + B{Y — y) + C{Z — z) = o.

Sar un mode de transformation des surfaccs minima. 183

On aura

j dydz dz dy i dz F^U^ ^^ du du 914^'!

_ dz dx ax dz I dz rdu du^ du •'MoH

= i ai [(1 «"''-««"")'f(« +/?)+ (ic-"''- ^ «— );r,(« +/9)],

^^ 3« 5// dy dx i /du du^ du du^

da 3/3 da djj

i rb

dx I /dudu^ du du A

d^^ 2\d^'d^~d^^)

= \ r^e-'"^-+>^>;r?(a + ^) —\e^'^^^'7:\a. + y9)l

On en tire

+ 8;r(« + ^);r,(a + /?)]•

Q

Nous voyons que C et -4^ + B^ et par suite , ne dépendent

que de a + y9 ou, ce qui revient au méme, de z. Par conséquent, le
plan tangent a la surface le long d*une section par un plan paralléle au
plan xOy coupe ce plan sous un angle constant. La surface admet une
serie de lignes de courbure situées dans des plans paralléles; c'est donc
une surface moulure.

m

15. Ce point étant démontré, il est commode pour achever le
calcul d'employer un autre systéme de variables indépendantes. Choisis-
sons conime variables la coordonnée z et l'angle a que fait avec Ox la
trace du plan tangent sur le plan des ooy. Uintersection du plan tangent
au point M de coordonnées x^y^z avec le plan Z=z aura pour équation

Xcosa + i^fiina = F{a , z);

184

E. Goursat.

les coordonnées du point M serent donnces par les deux équations

X cos a + y sin a = F{a , z\

dF'

X sin a + y cos a = y '

on en tire

dF

X = COS aF(a , ^) — sin a y >

dF

y = sin aF(a j z) + cos a y ;

dx = — 8ina[F(a , z) + ^Jrfa + [cosa|^— sina^Jrf^,
dy = cos a\F{a , ^) + |^rfa + [sin a ^ + cos a |^] dz,

a«F-i2

rf5^= rfa;^ + rfy^ + dz' = \F{ai , z) + ^^ da'

Sur une surface moulure, les lignes

ot = Const.y

Gonsf.

förment un systéme orthogonal. On doit donc avoir

d^F _

et par suite F{a , z) devra étre de la forme

F{a,z) = f{a) + ^{2).
L'expre8sion de rfs' devient

ds' = [/•(«) + r(«) + f'(^)]'rfa» + [i + ^'{zy]dz\
Pour que les courbes e = Const. förment un systéme isotherme, il faudra

Sur UD mode de transformatioD des surfaces minima. 185

évidemmeiit que le coefficient de rfa' soit le produit d'une fonctiori de a
par une fonction de z. Or cela ne peut arriver que dans deux oas:
1°. Si on a /"(a) + /""(öt) = a; on aura alorg

/*(«) = a + C cos a + C^ sin a

et la trace du plan tangent sur le plan Z = ^ aura pour équation

{X — C)cosa + (F — (7) sin a = f (^r),

en réunissant la constante a a ^{z). Gette trace est constamment tangente
ä un cercle de rayon ^{z) ayant son centre au point x =^ C ^ y ^= C
La surface est done une surface de revolution autonr de la parallele a
Oz représentée par ces deux équations. Imaginons que nous ayons pris
cette droite pour Taxe Oz lui-méme; on pourra supposer dans ce qui
précéde f{a) = o. Considérons ensuite une autre surface dont Télément
linéaire est donné par la formule

ds\ = [/;(«) + /r'(«) + j^iW]'*?»' + [i + v\{eyW',

le rapport -p ne dépendra que de a et de ;er si on a

Pour que cette relation puisse avoir lieu, il faut évidemment que

se réduise a une constante; on en déduira comme tout-a-1'heure que la
seconde surface est une surface de revolution autour d'une droite paral-
lele a Oz. Si on améne Taxe de cette surface ä colncider avec Oz^ on
pourra prendre /'j(a) = o, et on retombe sur la relation déja obtenue
directement

2®. Les courbes z=Const. förment encore un systéme isotherme
si f>{z) est constant, c*est-a-dire si la surface considérée est un cylindre
ayant ses génératrices paralléles a Oz. On démontre aisément que la

Aelm mathemmtitm, 11. Imprimé le < Ifari 1888. 24

186 E. Ooursat.

seconde surface dévra étre un cylindre egal au premier a moins que le
cylindre ne soit de revolution, cas qui a déja été considéré.

En définitive, il ny a pas d^autres surfaces jouissant de la propriété
géométrique en question que les surfaces minima et les surfaces de re-
volution.

Les principaux resultats de ce travail ont été resumés dans une
note présentée å TAcadémie des Sciences le 24 Octobre 1887 (Coraptes
rendus, t. 105, p. 743).

Paris, Novembre 1887.

187

Ober die entwicklung complexer grössen

IN KETTENBROCHE

VON

A. HURWITZ

in KÖNIGSBBBQ >/Fr.

Es möge {S) ein System von Zahlen bezeichnen, welches die Eigen-
schaft besitzt, dass die Summe, die Diflferenz und das Produkt irgend
zweier Zahlen des Systems wieder Zahlen des Systems sind.^ Wenn die
complezen Grössen in der tiblichen Weise durch die Punkte einer Ebene
dargestellt werden, so wird den Zahlen von {S) ein gewisses System von
Punkten entsprechen. Ich nehnie an, das System (S) sei so beschaflfen,
dass von diesen Punkten in jedem endlichen Gebiete der Ebene nur eine
endliche Anzahl liegt. Daraus folgt, dass ausser der Null keine andere
Zahl von {S) existirt, deren absoluter Betrag kleiner als i ist. Denn
die Potenzen dieser Zahl wtirden s&mratlich Zahlen von (8) sein und im
Innern des um den Nullpunkt mit dem Radius i beschriebenen Kreises
liegen. Eine letzte Voraussetzung, die ich in Betreff des Systems (S)
mache» ist die, dass die Zahl i dem Systeme angehört.

Von einer Grösse x^ ausgehend biide ich nun die Gleichungskette:

^H — ^n I ^ > • • •

X

»+1

^ Eine Theorie soloher Zahlsysteme ist in den bekaDDten Arbeiten von EIbonecker
und Dedekind, vonugsweise f(ir den Fall algebraischer Zahlen, entwiokelt. Vgl. insbeson-
dere das XI. Supplement zu DiRicm^ET^s Vorlesungen tlber Zahlentheorie. Dritte Auflage.

Åcta mmtlUmatiea. 11. Imprimé 1« 6 Man 1888.

laS A. Hurwitz.

wo a^ , Äj , a, , . . . , a« , . . . irgend welche Zahlen des Systems (S) be-
deuten. Ich nehme an, dass sich die Gleichungskette (i) in'8 Unendliche
fortsetzt, und dass alle auftretenden Grössen x^jX^,... sowie die Zahlen
a^ , öj , ... endliche Werthe besitzen. Die Elimination von rr^ , a?, , . . . , rr„
aus den ersten n + i Gleich ungen (i) ergiebt die Darstellung von x^ in
Form eines Kettenbruches, welchen ich mit

(2) ^0 = (^0 » ^1 » «3 » • • • » ^« » ^" + 1)

bezeichnen will und tiber welchen ich folgende Voraussetzungen mache:
(V) Wenn der n** Nåherungshruch mit

(3) f^ = («o » «i ^ «2 » • • • ^ ««)

hezeichnety und

gesetet wird, $0 sei der ahsolute Betrag von 0^ fär alle Werthe von n kleiner
(ds eine endliche Grösse p^ dagegen wachse der ahsolute Betrag von q^ mit
zunehmendem n Hber alle Grenzen.

Falls alle diese Voraussetzungen zutreffen, lässt sich Folgendes er-
schliessen:

Erstens; Der in*s Unendliche fortgesetzte Kettenbruch

convergirt und sein Werth ist x^. Denn der Gleichung (4) zufolge wird

die Differenz x^ — — unendlich klein, wenn n tlber alle Grenzen wächst.

Zweitens; Die Grösse x^ känn nicht gleich dem Quotienten zweier

Zahlen r , s des Systems {8) sein. Angenommen nämlich es sei rr^ = - ,

o
60 folgt

rqn — spn^——'
Mit wachsendem n wird daher rq^ — sp^ dem absoluten Betrage nach

Ober die Eotwickluog oomplezer OrösseD in KettcnbrUche.

189

unendlich klein. Wählt man nun n so gross, dass dieser absolute Betrag
kleiner ist als i, so muss

rqn — spn = o

sein, weil o die einzige Zahl des Systems (S) ist, deren absoluter Betrag
kleiner ist als i. Es ist also

Der Vergleich dieser Gleichung mit (2) ergiebt x^^y^ = co, was der An-
nahme alle Grössen x^j x^j . . . seien endlich widerstreitet.

Drittens: GenUgt die Grösse x^ einer quadratischen Gleichung j deren
Coeffidenten ZaJden des Systems (S) sind, so kommen in der unendlichen
Beihe

X^ y X^ f X^ y . , . y X„ j . • .

nur eine endliche Amdhl verschiedener Grössen vor.

Ich entwickle, um den Beweis dieses Satzes zu föhren, zunächst
einige Htklfsformeln. - Bekanntlich ist

(5)

X — j ,

woraus, in ROcksicht auf die Relation

(6)
folgt:

P.Qn-l — 9nPn-l = (" O" \

(7)

X — ^
• a

(-1)'

I

(- ^ f)

X,

pk-\ __

3«-i

(- O"-*

il

Vergleicht man diese Formeln mit der Gleichung (4), so ergiebt sich

(8)

^•+« + j. - 0, '

190 A. Hurwits.

Paher ist der absolute Betrag sowohl von

a?n+i+^, wie» von -1-4.^»

Zn+l J«-l

stets grösser als ^o' = - , wo die Grösse p' von Null vergchieden ist. Sei

nun

(9) Ax^ + Bx + C=o
die Gleichung, welcher x^ gen tigt; sei ferner

(10) B' — 4AC=D.

Dann ist ic,+„ der Gleichung (5) zufolge, Wurzel der Gleichung

A{PnX' + Pn-^y + B{p^X' + Pn-l){qnX' + g»_,) + Ci^^X' + y,_,)' = O,

welche in geordneter Form

(ii) A'x" + ffx' + c = o

lauten möge. Hier bezeichnen Ä',B^, C Zahlen des Systems {S), und
es ist

(12) 5" — 4^'C' = i).

Bezeichnet nun y,+, die zweite Wurzel von (ii), so ist die Grösse

die zweite Wurzel der Gleichung (9). Diese zweite Wurzel- y^ ist von

der ersten Wurzel x^ verschieden, weil andernfalls y^ = a;^ = — — der

Quotient zweier Zahlen des Systems {8) sein wtlrde, was, wie oben gezeigt
wurde, nicht sein känn. Aus (13) folgt:

~qny +Pn qn — qly^ + pnq

t)ber die Entwioklang complczer Orössen in KctteDbrttche. 191

åder, wenn p^ mit Httlfe von (4) eliminirt wird: ^

(u) yn+i = -^' +

(- I)-l

?»» ' S^n («0 — J/o) — ^n

Da nun x^ — y^ eine von Null verschiedene Grösse ist, die von n unab-
h&ngig ist, so werden in den Gleichungen

(15) y.-H. = -^ + s., J-=-J^+s:

die Grössen e, und si mit wachsenden Werthen von n unendlich klein.
Die recbten Seiten der Gleichungen

.--.- = (.- + .-)-<

sind daher, wenn n eine bestimmte Grenzé öberschreitet, dem absoluten
Betrage nach grösser als />", wo />" eine um beliebig wenig kleiner als p'
angenommene Grösse bedeutet.

Durch Auflösung der Gleichung (11) findet man aber

und also ist, von einem bestimmten Werthe von n ab,

Folglich können -4', C" und B' = v^I> + 4il'C', sowie

_---b;_± v/ö

* FUr den Fall der EntwiokluDg reeller Grössen in K^ttenbrttohe, deren TheilnenDer
gewöhnliche reelle positive ganze Zahlen sind, hat Herr Hermite diese Oleiohung zum
Beweise der periodischeD Entwicklung quadratischer Irrationalitäten yerwendet. (Bulletin
dos Sciences . mathématiques, 2°*®. serie, t. 9, pag. II.)

192

A. Hurwitz.

von diesem Werthe von n ab, nur noch eine endliche Anzahl verschie-
dener Werthe annehmen. Es sind also in der That, wie behauptet wurde,
in der Reihe

nur eine endliche Anzahl verschiedener GröSRen vorhanden.

Indem ich mich nunmehr den Anwendungen der entwickelten Sätze
auf besondere Zahlensysteme {S) zuwende, bemerke ich vorab noch Fol-
gendes: Die Voraussetzungen (V) sind sicher erföUt, wenn der absolute

Betrag von -^ beständig grösser als i und der absolute Betrag von —

beständig kleiner als k ist, wo k eine positive Zahl kleiner als i be-
zeichnet. In der That wächst dann der absolute Betrag von g^, der Un-
gleichung |^«|>|g«_i| zufolge, mit n Clber alle Grenzen, und es ist
wegen (8),

t

>

9«
3—1

I

> I

Ä-,

also der absolute Betrag von 0^ best&ndig kleiner als ;

I.
(S) ist dos System der complexen ganxen ZdMtn m + ni.

»

Es sei ic = w + tt; eine beliebige complexe GrOsse. Ich setze

a; = a + («*' + *0)
wo die complexe ganze Zahl a so bestimmt werden soll, dass

< u' < - und < i;' < -

2 == 2 2=2

wird. Auf diese Weise wird jeder complexen Grösse x eine bestimmte
complexe ganze Zahl a zugeordnet. Biidet man nun, von irgend einer
Grösse x^ ausgehend, die Gleichungskette

(i6) rr^=a, +~,

_ , I
x^ — ^1 ' ^ * • • • > ^1

ö, +

*ii+i

tJher die Eotwioklung complezer QrOsaen in Kettenbrtlche. IdS

wobei allgemein a, diejenige complexe ganze Zahl bezeichnet, welche der
Grösse x, zugeordnet ist, so ist zuiiächst

(•7)

mvi-

Der Beweis der Ungleichung j?, | >!?,_! | ist nicht ganz einfach; er

erfordert eine genauere Untersuchung der Zahlenreihe «j , a, , Behufs

dieaer Unterauchung zerlege ich die Zahlenebene durch die Geraden

in unendlich viele Quadrate. Dann wird jeder Grösse u + f« diejenige
complexe ganze Zahl zugeordnet aein, welche den Mittelpunkt des die

4

0/1

N*>

Sw

H"

'"'/

1^

-ii

\ /

W^

-^

\\'

A

"'/^

4.

-/
i'ti

■^
-."-»

^pÄ

O

Grösfle n -^^ tv enthaltenden Quadrates biidet, wobei von den Rftndem
des einzelnen Quadrates nur diejenigen zu dem Quadrate rechnen, welche
man vom Mittelpunkte aus nach der Richtung der abnehmenden u, bez.
v erblickt. Da x^ — o„ in dem Quadrate mit dera Mittelpunkte o liegt,
80 wird a;, = dem Raume R angehören, welcher ausserhalb der

Kreise (1) > (O . ( — 0»( — O liegt.' Hier habe ich, wie in der Folge
stets, mit (a) denjenigen Kreis bezeichnet, welcher den Radiue 1 und den

' Die Begreoiang tod B ist in Figur I. aohuf ges«ioliDet.

194

A. Hnrwitz.

y

Punkt a zum Mittelpunkt hat. Wie x^ werden auch rr, , ajj , . . . in den
Raum 7t fallen, und daher können die Zahlen a^ , a, , Oj , . . . keinen der
Werthe o, + i,+i, — i, — i, annehmen. Aber die Zahlenreihe a^,
a, , a, , . . . unterliegt ferner noch gewissen Beschränk ungen, welche gich
auf die Aufeinanderfolge der Zahlen beziehen. Sei beispielsweise

a^ = 2 + i.

Dann muss x^ sowohl dem Raume B, als auch dem Quadrate mit dem

— — nicht in

Mittelpunkte 2 + i angehören. Folglich känn a?^^i ==

denjenigen Råum eintreten, welcher aus -R von dem Kreise ( — i + O
ausgeschnitten wird. Daher ist die Folge a« = 2 + i; ö«+i = — i + t
unmöglich. Man erkennt sofort, dass solche Beschrftnkungen in der Auf-
einanderfolge der Zahlen a immer und nur dann bei der Zahl a^
beginnen werden, wenn das Quadrat mit dem Mittelpunkte a^ von der
Begrenzung des Raumes B durchschnitten wird. Fftr den vorliegenden
Zweck genttgt es von den Zahlfolgen a^ , a^^x > • • • di^ folgenden als un-
möglich zu constatiren, was an der Hand von Fig. i. ohne Schwierigkeit
geschieht.

Tabelle unmöglicher Zahlfolgen.

a»

0«+l

«-.+»

1

1

««+8

I.

2,2», 1+»,

-2+i,-

- I +2t

I+»

!

II.

2,2», I+»

2 + 2/

1

1

1

III.

2 + /, I +2i

— 2 + 2»

I+»

1

IV.

— 2,2», I +»

2+2»

1

v.

— 2 + / , — I +21

2 + il

2 + 2/

i+i

Wenn ferner a„ = 2 -f * öder 1 + 2/ ist, und die folgenden Zahlen

. . , ö^„+3*_i haben abwechselnd die Werthe — 2 + 2* und

^n+l > ^»+3 >

2 + 21, SO känn a^j^^^ nicht gleich i +i sein; ebenso wenn a^= — 2-|-?*
öder — I -f 2i ist und die folgenden Zahlen a^+j , a^^, t • • • ? ^11+2* haben
abwechselnd die Werthe 2 -|- 2% und — 2 + 2é, so känn a»+,*+i nicht
gleich I + / sein. Die einfachsten Fftlle hierfftr sind in der Tabelle
unter III. und V. aufgenommen.

Ober die Entwioklung complezer Orössen in KetteDbrtiche. 195

Dies vorausgeschickt gehe ich nun zum Beweise der Ungleichung
I 2» I > 1 9n-i I tlber. Ich setze

^n — I

dann ist, der Gleichung g„ = a^Qn^i + ?»i-2 zufolge:

(19) *! = a„ A, = «, + r ' • • • ' K = (^n +

• • •

und es ist zu bcweisen, dass best&ndig

(20) (ft.|>i

ist, öder dass der Punkt k^ beständig ausserhalb des Kreises (o) liegt.
Dies triflft nun ftir k^ offenbar zu; ich will annehmen, dass ft, ,ä;5, ..»,ä;„_i
der Ungleichung (20) genDgen, dagegen k,^ iiicht mehr und werde zeigen,

dass diese Annahme auf einen Widerspruch fQhrt. Da k^ = a^ + - —

im Innern des Kreises (a„) liegt, so inuss a„ einen der Werthe i + i,
I — t, — I +i, — I — i besitzen ; denn in allén anderen Fftllen wHrde
k^ ausserhalb des Kreises (o) fallen, also der absolute Betrag von k^
grösser als i sein. Ich betrachte nun nur den Fall a^ = i -f i, da die
drei ttbrigen Falle eine ganz analoge Behandlung gestatten.

Da Ä^ = a. + - — im Innern der beiden Kreise (o)' und (i + *)

liegt (den Rand des ersteren Kreises eingeschlossen, was durch das an (o)

gesetzte Komma angedeutet werde) so fftllt 7 — in das Innere der Kreise

«n— 1

1 "

(o) und ( — I — i)'; ^ folglich k^^^ = a^_i + i — in das Aussere des Kreises

(o) und in das Innere von ( — i + i)'. Daher känn a^^i nur einen der
Werthe — 2 , — 2 + *> — i + 2t, 2i, — i -f-*> — 2 + 2e besitzen;

denn in allén tlbrigen F&llen wird der Kreis (a»>-i), welcher a^_.i + i —

in sich aufnimmt, nicht in das Innere des Kreises ( — i + »)' ^intreten.
Von jenen Werthen ist aber, der aufgestellten Tabelle zufolge, nur der

letzte zul&ssig. Es muss also a„_i = — 2 + 21 sein. Da nun a„_, + j —

Ä»— 2

' Die betreffenden Gebiete sind in der Figur i. sobrafl^t.

196 A. Hurwitz.

im Inhern der beiden Kreise ( — '- 2 + 2i) und (— i + t)' ^ Uegt, so folgt
weiter, dass k^_^ = a^_^ + t — ausserhalb des Kreises (o) und im Innern

des Kreises (i + *)' l^^g*> ^^^ hieraus, wieder mit Rtlcksicht auf die Ta-
belle, a,_2 = 2 + 2i. So fortfahrend erkennt man, dass die Zahlen
<^n I ^n-i ? • • • die Werthe haben mössen :

a^= i +ij a^-i = — 2 + 2i, a.., = 2 + 2e,
««-8 = — 2 + 2i, a^^4 = 2 + 2i,

• • • •

Biidet man aber mit diesen Zahlen die Grössen Äj , Ä, , Aj , . . . , ä;„_, , so
zeigt sich, dass sie sämmtlich in den unendlichen, von den Kreisen
(i + i) > (i — i) j ( — I + O » ( — ^ — O begrenzten Raum fallen. Daher
wird I A, I > I sein, was der Annahme widerstreitet. In ganz entsprechen-
der Weise ergiebt sich ein Widerspruch, we^pn man voraussetzt a, habe
einen der Werthe i — i, — i +^j — ^ — ^•

Hiermit ist ausser Zweifel gesetzt, dass | k^ \ beständig grösser als i ,
also stets

ist. Auf Grund der vorausgeschickten allgemeinen Entwicklungen känn
man nunmehr offenbar den folgenden Satz aussprechen:

Man enttoickle eine héliehige complexe Grösse x^ in einen Kettenbrtich,
indem man

• • •

«, * * ». ' ' «s

setzt, wo die ganze complexe ZaM a„ immer so bestimmt ist, dass sowohl
der reelle Bestandtheil, wie atich der Factor von i in der Differenz x^ — a^

zwischen und + - liegt, Dann wird dieser Kettenhruch 1° stets gegen

den Werth x^ conver giren, 2° immer und nur dann abbrecheny wenn x^ eine
complexe rationale ZaM ist, und 3® stets periodisch werden, wenn x^ einer
Gleichung zweiten Grades mit ganzzahligen complexen Coefficienten genUgt,
ohne Wurzel einer eben solchen Gleichung ersten Grades zu sein.

Das betreffende Gebiet ist in der Figur i. eohraffirt.

Ober die EDtwicklung oomplezer Grösaen in KetteDbrtlohe. 197

Ich brauche kaum besonders hervorzuheben, dass auf diesen Sätz
die Theorie der qaadratischen Formen im Gebiete der complexen ganzen
Zahlen gegrtlndet werden känn, dass insbesondere aus ihm ohne Weiteres
die Lösung der PBLL^schen Gleichung

m.

folgt, unter D eine gegebene nichtquadratische, unter t und u zu bestim-
mende complexe ganze Zahlen verstanden.^

Ausser der hier betrachteten giebt es ttbrigens noch andere Ketten-
bruchentwickl ungen im Gebiete der complexen ganzen Zahlen m -{- ni,
för welche der obige Satz ebenfalls gilt, worauf ich indessen an dieser
Stelle nicht eingehen will.

IL
(S) ist das System der complexen gcnueen ZtiMen ti» + n/>

(, = =i±y^).

Ich verbinde den Punkt o mit den umliegenden Punkten i , i 4- />,
/>, — I, — I — p , — p und errichte in den Mitten der Verbindungs-
linien die Lothe. Diese bilden ein regul&res Sechseck mit dem Mittel-
punkte o. (Vgl. Fig. 2.) Von den Randpunkten rechne ich nur die
links von der Axe der rein imaginären Zahlen liegenden zu dem Sechs-
eck. Wird in entsprechender Weise um jeden Punkt w + ^/> ein solches
Sechseck construirt, so tlberdeckt die Gesammtheit der letzteren die com-
plexe Zahlenebene einfach und Itlckenlos. Einer beliebigen complexen
Grösse x ordne ich nun diejenige ganze Zahl iw + w/> zu, welche den

' Vgl. die AndeatuDg in Dirichlet^s AbhandluDg: Becherches sur les formts qua-
dratiques ä coeffidents et ä indéterminées complexes. Cb£LLe's Journal, Bd. 24, pag. 336.

' Der Euclidische Algorithmus] fQr die Zahlen m + np^ welchen Herr Bachmank
in seinem Buohe: die Lehre von der Kreistheilung pag. 189 benutzt, ergiebt eine andere
Kettenbruchentwicklung wie die, welche ich im Texte definire. Die erstere Entwicklung
legt eine Eintheilung der Ebene in Reohteoke zu-Grunde, deren Mittelpunkte die ganzen
Zahlen m + np sind, deren Seiten den Axen der reellen bez* rein imaginilren Zahlen

parallel laufen and bes. die Längen I und -J^ beaiUen.

2

Mittelpunkt des die GrOsse x aufnehmenden Sechsecks biidet Um eine
beliebige GrOsse x^ in einen Kettenbruch zu entwickeln setze ich

(21) a!^ = Oj + — , a;, = fl, H — , X, = öj H — , ■ ■ • >

wobei allgemein o, die der Grösse x„ zugeordnete Zahl bezeicbnet. Da
— in das um den Nutlpunkt abgegrenzte Sechseck ftllt, so gitt die Un-
gleichung

(") Ii|£v4-

Um zu beweisen, dass der absolute Betrag von k„ = -^ stets grösser ist

als I , bemerfce ich zunftchst, dass x, = in den ausserhalb der

Kreise (1) , (i + /o) , (/>) , ( — 1) , ( — i — p) , { — p) liegenden Raum B,
ftllt.' Hieraua folgt, dass die Zahlen a, , Oj.a, , ... keinen der Werthe

Fig. 2.

0,1,1 -\-p , p , — I , — 1 — p , — p annehmen können. Die Begrenzung
des Raumes B durchsetzt, wie aus der Figur 2. ersichtlich ist, zwolf

' Die Begreiuaag von R ist io Fig. 2. aclurf geseichnet.

t)ber die EDtwicklung oomplexer Qrössen in Kettenbrttohe. 19.9

S^chsecke. Daher giebt es wieder bestimmte Reihenfolgen der Zableii
^n y ^«+i y ^n+j > • • • ? welche in der Gleichungskettc (21) nicht vorkommen
kOnnen. Ftir den vorliegenden Zweck genttgt es zu bemerken, dass die
Zfthl. a„+i nicht den Werth 2 +/? erhalten känn, wenn a„ einen der Werthe
— 2 f p — I , 2yo besitzt. Angenoinmen nun in der Reihe der Grössen

(23) *j = a^ + ~, *, = «3 + r ' • • • ' *« = «« +

(wo k^ = CO , Äj = aj sei k^ die erste deren absoluter Betrag nicht grösser
ist als I. Da a„ + t — ^^ Innern des Kreises (aj Hegt, so känn a„ nur
einen der Werthe

2+/0, I + 2^,/>— I, — 2— yO, — I.— 2/>,— yO+ I

haben. Ich knttpfe die weitere Betrachtung an die Annahme

da die Qbrigen fttnf Fälle auf ganz entsprechende Art erledigt werden
können. Ist «„= 2 +/o> so liegt Ä„ im Innern der Kreise (o)' und (2 +p)j
Avobei wieder das Komma bedeutet, dass der Rand des betrefifenden

Kreises mitzurechnen ist. Daher liegt t; — = ä» — a„ im Innern der

Kreise (o) und ( — 2 — p)', folglich k^^ 1 ausserhalb des Kreises (o) und
im Innern öder auf dem Rande desjenigen Kreises, welcher tlber der
Strecke — i . . . p als Durchmesser beschrieben ist. Da nun

kn—\ = ^n-l "T

im Innern von (rtn-i) li^gt> so muss a„_i einen der Werthe — 2,/> — i y 2p
besitzen. Dies ist aber unmöglich, da dann die auf a„_i folgende Zahl

a^ nicht gleich 2 + /O sein könnte. Da somit die Annahme | ä;„ | =

sei <^ I auf einen Widerspruch ftlhrt, so gilt die Ungleichung

(24) \9n\>\ 9n^l I

ftir jeden Werth von n. Aus (22) und (24) folgen nun mit Httlfe der

g«-i

200 A. Hurwitz.

oben bewiesenen allgeraeinen Sätze wieder die fundamentalen Eigenschat-
ten der hier betrachteten Kettenbruchentwicklung:

Die Entwicklung einer complexen Grösse ergiebt stets einen convergenten
Kettenhruch, wdcher dann mid nur dann ahhrichtj wenn die entwickdte Grösse
der Quotient zweier ganzen ZaJiIen m + np ist, und wélcher periodisch wird,
wenn die entioickelte Grösse einer irreductibdn quadratischen Gleichung ge-
nUgt, deren Coefficienten cmiplexe ganze Zahlen der Form m + np sind,

Dieser Satz känn wiederuin als Fundament dienen fttr die Theorie
der quadratischen Formen im Gebiete der complexen ganzen Zahlen,
welche aus dritten Einheitswurzeln zusammengesetzt sind.

Königsberg yPr. d§n 29. November 1887.

201

SUR LES GROUPES TRANSITIFS

DONT LE DEGRÉ EST LE CARRÉ D'UN NOMBRE PREMIER

PAR

L. SYLOW

h FRBDERIKSHALD.

Si Tordre d'un groupe est divisible par une puissance d'un nombre
premier, telle que jp*", mais non divisible par j^)*""*"^, cet ordre est, comme
on le sait, de la forme p^n^np + i); le groupe en contient un autre de
Tordre |)*";r; celui-ci contient a son tour un troisiéme groupe, de Tordre
I?"*, auquel toutes ses substitutions sont permutables; enfin le nombre des
groupes de Tordre jp*" contenus dans le premier groupe est wjp + i* La
détermination compléte de ce dernier nombre, dans les divers cas qui
peuvent se presenter, serait évidemment d'une grande importance pour
la théorie des substitutions; malheureusement elle parait étre d*une ex-
treme difficulté. Mais il sera possible de trouver des resultats plus ou
moins intéressants sur la forme du nombre n par rapport aux modules
2? , p*, p% . . . ; ä cet effet on n'aura qu'a poursuivre le raisonnement qui
m'a servi pour la demonstration du théoréme cité (Mathematische
Annalen, t. 6). Pour faire un premier pas dans cette direction, je me
propose, dans le travail present, de considérer le cas le plus simple,
celui des groupes transitifs du degré p^.

Je désignerai par G un groupe transitif du degré jp', par O son
ordre, que je supposerai divisible par p*^^^y mais non divisible par jp****"';
le nombre a pourra donc avoir les valeurs 0,1,2,...,/) — i. Je
désignerai de plus par / un groupe de Tord re /^"^^ contenu dans (?, et
par H le plus grand groupe contenu dans G dont les substitutions soient

Arta mathematica 11. Imprimé le 3fi Férrier 1888. 20

202

L. Sylow.

perinutables a /. L'ordre du groupe H sera dcnoté par i>"^^.;r, ou par
conséquent tt est premier a jp; on aura donc

= if^^7:[np + i).

Je déterminerai dans un premier paragraphe la forme de I, dans
un deuxiéme celle de JST; dans les deux paragraphes suivants je m'oc-
cuperai du nombre w; enfin dans le dernier je ferai des resultats trouvés
quelques applications, qui se présentent au premier coup d*oeil.

§ 1. Déter^mination du groupe I.

1. D^aprés le lemme de Cauchy le groupe syraétrique du degré
p^ contient un certain nombre de groupes de Tordre j;'"^^, tous isomorphes
entré eux. Notre groupe 1 est contenu dans un de ces groupes de Cauchy,
et en disposant convenablement des indices, nous pouvons choisir ce der-
nier comme nous voudrons. En désignant les elements par le symbole

w

X,|/>

les indices x ^i y étant pris suivant le module jp, nous pouvons donc
supposer que les substitutions de / soient contenues dans Texpression

p-\

X o; + a^ + öf,y + a^\f + . . . + a^_^y

y y + ^

qui d'ailleurs peut étre remplacée par cette autre

^ ^ + ^0 + ^iV + %{y\ + ^3(^)3 + • • • + ^p-i{y)p-i

y y + ^

oii, pour abréger, on a fait

(!/).■ =

y(y — ')(y — 2)---(y — 1 + O
1 . 2 . 3 ... t

En posant

U =

X x + a^ + a^y + a,(y), + . . . + a,_^{y\_^
y y + I

Sur Ics groupcs transitifs doDt le dcgrö est le carrd duD Dombre premier. 203

on trouve

11"^ =

m— 1

L

O

X a; + »m, +0, {(y+«»),— (j/),} +...+ aj,_.\{tf+m\_, — iff\_i } + «,_, r,(y + r),_,

y i/ + M»

Si Ton fait w = p, on a, pour i<p — i,

(y + »»)( — lfi = <> i^nod p),

et

m-l

?r(»/ + r)„.i=i,

donc

^7" =

re aj + «,_,

Ainsi Tordre de 4a substitution U est egal a ^J ou a ^' suivant que o^^j
est congru a zéro, ou non.

Panni ces substitutions toutes celles qui ne changent pas Tindice y,

sont échangeables entré elles. En faisant

S

a^ X + f{y)

y y

T =

y y + I

on trouve

(i) T'ST=^

y y I

TST-' =

.y y

d'ou

(2)

s-'r-'5r= T''STS-'

X X

■y y

[f{y)-f(if-i)]\

(3)

S-^TST-' = TST-'S-' =

(4)

5-'2'5 =

y y

X x-\- f{ij + i) — /"(y) + ^(y)

y y + 1

204 L. Sylow.

2. Le groupe G étant transitif, / le sera également (voir le Mé-
moire cité plus haut, n° 4); donc I contient des substitutions de chacune
des formes 5 et T du numéro précédent. Or, si y9 désigne le plus grand
degré des fonctions f{y)j les formules (2) et (3) font voir que le groupe
/ contient aussi des substitutions dans lesquelles les fonctions f{y) sont
des degres y9 — i , ^ — 2 , . . . , i , o. On en peut conclure qu'on a y9 = a,
et qu'en faisant

d, = \x,y X + y' ,y\y

toutes les substitutions de / sont contenues dans lexpression -

d*ailleurs • les substitutions d^ peuvent étre reinplacées par les suivantes

»,^\x ,y rr -f (y), , y | .

Si Ton désigne, pour un moment, par gi le groupe dérivé des substitu-
tions ^0 > ^i > • • • > ^i? ^t P^^ Ii celui qui dérive des substitutions de 5^, et
de T, on voit (équat. (2) et (3)) que les substitutions de /< sont échan-
geables entré elles ä des substitutions de gi_i prés. Donc si Ton a a = o,
toutes les substitutions de /« sont échangeables entré elles; si a > o, les
^« sont les seules substitutions de I^ qui soient échangeables a toutes
les autres.

Transformons maintenant le groupe / par la substitution

U= \x,y X + (p{y),y .
Les substitutions di , åi conservent leurs fonnes, au contraire on a

U-'TU=\x,y X + ^{y) + <liy + i) — ^(y/),y+ i |.
Or, si en développant suivant les fonctions (y)<, on a

F(y) = «o + ^iV + ^Åy\ + • • • + %-^{y)p-t + «p-i(y);,-i,

on peut faire

^(y + O — ^{y) = — K + «iy + ^ÅvX + • • • + ^p-2(«/)p-Jj

Sur les groupea traDsitifs dont le dcgré est le carré dun Dombre premier. 205

ce qui donne

U-'TU= \x,y x + a^^,{y\., , t/ + i | = r .

Si inaintenant a^_i est dififérent de zéro, transformons de nouveau par la

substitution

V =\Xyy b:jp,y\,

qui évidemraent est permutable au groupe g^; on trouve

r-'rV=^- \x,y x + a^,h{y\^, , y + i | = r'^

donc en faisant a^^^h=: i (raod|)), on a

T' = \x,y x + {y\._,,y+ i j.

Par un choix convenable des indices, la substitution T peut donc étre
réduite a Tune des deux formes suivantes

t = \x,y x,y+\\y t = \x,y a; + (y)^i , y + i |.

On voit que, pour ol < p — i , on a deux espéces de groupes de Tordre
jp""*"'*, qui dififérent seulement par la fonne de la substitutlon t\ dans la
premiére espéce toutes les substitutions sont de Tordre jp; dans la seconde,
celles qui ne font pas varier Tindice y sont de Tordre jp, les autres de
Tordre jp*. Quand 0L=p — i, les deux oas ne donnent qu'un seul groupe,
puisque le groupe g^^x contient la substitution

Tous les groupes d'ordre p^ contenus dans G étant isomorphes, cette clas-
sification peut aussi étre appliquée aux groupes du degré p^ en general;
nous coraprendrons dans la premiére espéce les cas oii a = p — i .
Des équations (i) on déduit les suivantes:

(5) t''»,t = »,''»^' . . . »r^»i. f»it'' = ».-!*.,

(6) r'd,t = dfere^^'^^ . . . eri^e,, td.t-' = e^ff^^^ . . . d\^A^

En considérant les groupes de la seconde espéce, il est quelquefois

206 L. Sylow.

coinmode d'employer un seul indice, pris suivant le inodule p*. A cet

efiFét on peut faire

xp +y = 5 (mod f),

en ayant soin de remplacer toujours y par le plus petit nombre positif
qui lui est congru (inodj)); on trouvc ainsi

t~^^ c+ i!,

f ==0, = », = \^ e + iH'

Evidemment le groupe I est non-primitif, les elements qui répondent
ä une méme valeur de y formant un systéme; de plus si a > o, les
elements ne peuvent étre répartis en systemes que de cette maniére,
comme on le voit aisément.

Un groupe d'ordre jp**"^^ contenu dans G est complétement détenniné,
quand on connait les substitutions qui sont échangeables a toutes les
autres, et qu'on connait de plus de quelle maniére les systemes sont per-
mutés entré eux. Supposons, en efifet, que le groupe /', contenu dans
Gj contienne la substitution dl = \x ^y x + a yy\ échangeable ä toutes
les autres, et que celles ci déplacent les systemes conformément a la sub-
stitution \y y + b\ Evidemment les substitutions de J' sont coniprises

dans Texpression

T :=-\xyy X + ^{y),y + b[.

Or G, contenant T et t, contient T.t~^y substitution qui peut étre écrite
sous la forme suivante

Tt-'' = \x,y x + F{y) ,y\ = S.

Si maintenant S n'était pas contenu dans /, le groupe qui dérive de S

a

et des substitutions de I serait d'un ordre p'^'^^'^ oii m > 2; donc Sy et
par suite T, font partie de J, c'est-a-dire que /' colncide avec /. En
particulier, si G appartient a la seconde espéce, 1' est complétement dé-
terminé par une substitution quelconque de Vordre p^.

Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré dun Dombre premier. 207

§ 2. Détei^mination du grotipe JET.

3. Considérons d^abord les groupes de la premiére espéce, en ex-
cluant préalablement les cas ou a = o. Les d^ étant les seules substitu-
tions de I échangeables a toutes les autres, une substitution S de H doit
transformer Oq en ÖJ; par suite on doit avoir

S=\xjy ax + jp(y), ^,{y)\j

ip et ^, dénotant des fonctions entiéres du degré jp — i au plua. La
transformée de t par S doit étre une substitution de /, ce qui donne
les conditions sui vantes:

fi(.v+ O — Fi(//)^^

(mod y).

La seconde congruence donne

en remettant cette valeur dans la premiére et développant suivant les
fonctions (y)^ on a un resultat de la forme sui vante

9hi + O - 9{y) ^ *i + Ky + K{y\ + . . . + K{y\.

d'ou

,p{y) = <p{o) + V.y + h\{y\ + K{y\ + • • • + &;(»/).+,.

Donc toute substitution de H est comprise dans Texpression

X ax + &o + ^xV + %''+ • . . + *«+,?/'^* I
y cy + d

par conséquent elle est le produit d'une substitution de 1 par une autre
de la forme suivante:

«

T=\x,y ax + bf^\cy\.

Evidemment les substitutions T förment un groupe, que nous désignerons
par //'.

I •

208

L. Sylow.

Quand a = p — i, on a i = o; nous démontrerons maintenant que,
sans nuire a la généralité, on peut supposer ft = o, méme si a<p — i.
En supposant c'^'^^=a (modp) on trouve

2^m __

X c^^^^+^^rr + mk^^^-^^^+^y-»-^

y c~y

et en faisant m egal au plus petit exposant pour lequel c*"= i {modp)

rpm

x,y X + m-if^\y

Or, si Ton n^avait pas & = o, la substitution T'" serait de Tordre p, et
par conséquent Tordre de H serait divisible par p*"^^; cela étant contre
Thypothése, on conclut que si dans une substitution T de H' on a

on a en mérae temps

o — c"+^ = o,

ft = o.

Supposons maintenant que H' contienne les deux substitutions

T=\x,y ax + hf^\cy

^1 =\^yy ^1^ + hy"^\<^,y\\

on trouve

T-'T,T.1Y =

X X -{'

y y

ab\ — (i\h + hc\

a+l

6iC

a + 1

rtjC

« + l

?/

,a + l

Cette substitution, qui est étrangére ä /, doit étre identique, car autre-
ment son ordre serait jp, ce qui est impossible; done on a

(7)

&i _

a + l — a

flj — C\ a C

+1 (modp).

Cela pose, transformons le groupe H par la substitution

U=:\x,y x + iY^\y\,
qui est permutable ä I; on trouve

U-'TU =\x,y ax + [b — r{a — c'' ••')]y«+' , cy

Sur lc8 groupes traDsitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 209

donc en faisant

_ b

a — c
on a

U-^TU= \x,y ax , öf/\;

de plus la congruence (7) fait voir que les transformées de toutes les

autres substitutions de H' prennent la mérae forme.

Il est donc démontré que, pour les groupes de la premiére espéce,

a étant > o, on peut supposer le groupe H' formé de substitutions de

la forme

' rr , y ax, cy

lordre de H' est donc -^ — ^, celui de H est jf^^^^^—z — -, le nombre

h ^ h

h étant un diviseur de (jp — l)^

4. Passons aux groupes de la seconde espéce. Quand a = o, le
groupe I contient seulement les puissances de la substitution

*

t = \^ S+ i\ (modp^),

par suite toute substitution de // est le produit d'une substitution de /
par une substitution de la forme j f , a^|, ou a est premier a p, et ap-
partient a un exposant qui est ptremier ä p. Donc en désignant par d
une racine primitive du module jp', les valeurs de a sont de la forme
f?'^, par conséquent Tordre de H est egal a

h '
h étant un diviseur de p — i .

En general toute substitution U de H doit vérifier Téquation

tU= US,

S étant une substitution de /. En faisant

on a aiiisi la condition siiivante:

f (f + i) — ^{^) = m, + p\m,^{5) + w»,(f f)' + . . .' + iKi^SY] (mod p').

Aela mathematiea. 11. Imprlmé le 27 Février *188R. 27

210 L. Sylöw.

On en tire

ff(c+ i) — jff(e) = )w, (modp),
d'ou

f (S) = m^$ + (f (o) (mod 2>).

En remettant ce resultat dans la congruence primitive, elle prend la forme

j,(f + i) — ^(f) = M, + |>{n,f + n,^' + . . . + n^^\ (mod j;^,

Comme nous avons supposé a < jf> — i , on en tire

ip[^) = «e + J + |,(a,^« + «,^= + . . . + «„+,e'+0 (»nod p').

Donc toute substitution de B. est le produit d'une substitution de / par
une substitution de la forme suivante

Ces substitutions förment un groupe K\ En supposant

n" = I (mod j^),
on a

si Ton fait m egal au plus petit exposant pour lequel a"* = i + ph, il vient

'm

C c + /)(Ä4 + &>/m'"-'r^O|;

on en conclut que & = o, car autrement T"' serait de Tordre p sans étre
contenu dans /. Ainsi la congruence

a" =:. I (mod^))
entraine celle-ci

h = o (mod jm).

Or je dis que le groupe H ne peut contenir qu'une seule substitution
pour chaque valeur de a. En effet, sil contient

T= c «c + i>ftf^M et T, = |c a$ + pb,e^'\,

Sur les groupes traDsitifs doDt le degré est le carré dun nombre premier. 211

il contient aussi

T-^Z

Ä«f 1

qui, étant de Tordre p^ doit étre eontenu dans J; donc on a Jj = 6 (mod^),
T= 7;.

Par conséquent les valeurs du nombre a sont les puissances d'une
certaine valeur primitive; donc les substitutions de H' sont les puissances
de Tunc d'elles, T^; soit

En transformant H par la substitution

I nest pas changé, et Von a

Or, si b^ nest pas congru a zéro (niodjp), a^ — ^o"^* ne Test pas non
plus; nous pouvons donc faire

r

K

«o — ao

7+T (>nod^).

ce qui donnc

r-'i\u^-

On peut donc supposer que les substitutions de H' soient de la fornie
I f af I ; d'autre part toutes les substitutions de cette forme contenues
dans G appartiennent a H\ Si a > p, faisons a = a' + ^"i^? oii «' < p;
on a

c af = : f a'f .

a

c ^-^P^^

et comine le dernier facteur appartient a i, on peut remplacer a par a'.

Donc Tordre de Ä' est ^ — , celui de H est - — ^ -, h étant un

k h

diviseur de p — i ♦

212

L. Sylow.

Il est facilc d'exprimer les substitutions de H par deux indices
pris suivant le inodule p. En effet, ayant

r=|f ac| (modp'),

et faisant

ay^rj {mod p), 7>o, rj<p,

et désignant enfin par E{7n) le plus grand nombre entier contenu dans
la fraction w, on a

donc

J =

a$ — apx + <^y

- apx + pE{^f) + r,

. a. + E{f)

. a.+ E(^)

y yj

y ay

(mod p).

6. Il nous reste a considérer le cas oii le groupe 1 ne contient
que les p^ substitutions

Le groupe H dérive évidemment des substitutions de I et de celles dun
certain groupe H' d'ordre ;r, dont les substitutions sont de la forme

x,y ouv + ^y, j-x + åy .

Inversement H renferme toutes les substitutions linéaires de G. Il faut
donc trouver tous les groupes contenus dans le groupe linéaire horao-
géne a deux indices dont les ordres sont premiers k p. La resolution
de ce probléme, beaucoup plus compliqué que celui que nous avons
traité, peut étre tirée de la détermination des groupes finis, contenus
dans le groupe linéaire infini a deux variables, faite par M. Jordan
dans son Mémoire sur les éqrmtions différentielles linéaires å intégrale algé-
brique (Journal fl\r Mathematik, Bd. 84).^ En effet, Tanalyse de

' Ainsi M. Giebster s'cd est servi dans son énumeration des groupes partiols
copieous daD8 le gronpc linéaire fractioDDaire k un indice (Inauguraldissertation, Leipzig
l88l).

Snr les gronpes transitifs dont le degré est le oarré d'uD Dombrc premier. 213

M. Jordan repose entiérement sur la circonstancc qu'un groupe fini ne
peut contenir aucune substitution de la forme

Xyy ol{x + Åy)j ay|,

Å étant différent de zéro, son ordre ne pouvant étre fini; pareilleraent,
dans notre. probléme, Tordre d'une substitution de cette forme est toujours
un multiple de p; elle ne peut donc appartenir ä H\ En lisant la
déduction de M. Jordan, on voit aiséraent qu'on obtient toutes les formes
du groupe JST', en rempla9ant les variables x et y par des indices pris
suivant le module py et changeant les équations de condition auxquelles
doivent satisfaire les constantes, en des congruences (mod p). Dans Vénu-
mération sui vante les indices f , rj son t ou réels, ou des nombres imagi-
naires et conjugués de la forme a-^-bs, e étant racine d'une congruence
irréductible du second degré; ils sont réels ou imaginaires en méme
temps que les multiplicateurs de la premiére substitution, désignée par
A et donnée sous forme canonique. Nous appellerons, avec M. Jordan,
substitutions de la premiére espoce celles qui, mises sous forme canonique,
multiplient les indices par des nombres diiférents, substitutions de la
seconde espéce celles qui multiplient les deux indices par un méme
nombre, nécessairement réel, et nous dénoterons ces derniéres en écrivant
simplement le multiplicateur, par exemple

• «• = I c , ^ r(c , «3y I , — I = I f , ly — c , — rj
Fremier type. Les substitutions sont de la forme

A = \^ , Tj aS y hrj |.

Deuxiéme type. Le groupe dérive d'un groupe de premier type com-
biné avec une substitution de la forme

Troisiénie type (type tétraécfrique). Le groupe dérive des substitutions

-4 = I c, ^ *c,

tr^

, oii i^ + I :!£: o (mod p)y

B = \Syr! rrjyS^ly oii r5+i=o,

C =

c wii-^(e— ny)
V »*-T-(— ^^ + 7)

, m étant réel,

214 L. Sylow.

et d'un certain nombre de substitutions de la seconde espéce. Parini
celles-ci se trouvent toujours A^ = B^ = — i , C = — w*. L'ordre du
groupe est egal a 1201, o) étant Tord re du groupe formé des substitu-
tions de la seconde espéce contenues dans H'. Le groupe alterné entré
quatre lettres ol , [i , y ^ d est isomorphe a W. En désignant par le signe
^ qu*une substitution de W correspond a une substitution entré oLy^yj^yå,
on a

On doit eVidemmcnt omettre ce type quand 2? = 3.

Quatriéme type (type octaédrigue). Les groupes de ce type dérivent
d'un groupe du troisicme type et d'une substitution de la forma

oii e^ = fiy /'étant réel. Dans lexpression de la substitution C on peut
toujours faire m= i. Le groupe symétrique entré 4 lettres est isomorphe

ä //'; on a

aD ~ {ari3d) , aBD -- {j-O),

L'ordre du groupe est 24a); par conséquent il doit étre omis quand /? = 3.
Cinquieme type (type icosaédrlqué). Le groupe dérive de substitutions
de la seconde espéce et des trois substitutions sui vantes:

Ä^-=\$,rj d5yd-'y)\y ou ^^^ = 0,

7^ = 1 c , ^ rjy , 5c I , oii rs 4-1=0,

C-

et oii par conséquent

A' + /£' + 1=0.

Le groupe contient toujours la substitution JB' = C' = — i ; son ordre
est egal ä 6oai, w ayant la méme signification que plus haut; il n'existe
que pour les nombres p de la forme lOÄ + i. Le groupe alterné entré
cinq lettres a , fi , y , å , s est isomorphe au groupe icosaédrique; on a

äA - {ai3rös) , aB - {/is){xå) , aC - {^d){rs) , aA'C - [afir)-

Sur Ics groupcs traDsitifs dont le dcgré est le carré d ud Dombre premier. 215

Le groupe H' appartient donc toujours a Tune de ces cinq types,
et il peut étre réduit a Tune des formes canoniques ci-dessus par une
transformation linéaire, qui est reelle ou imaginaire en méme temps que
les indices c et ly. S'ils sont réels, on peut simplement changer ^ et ly
en X et y, puisque toute substitution linéaire et reelle est permutable au
groupe /. Au contraire, si c et ^ sont imaginaires, et qu'on veuille
conserver / sous sa forme reelle, il faut réduire A^B^C^D ä des formes
reelles, ce qui ne présente pas de diflRculté. Mais comme, dans la suite,
nous pourrons nous servir des formes canoniques méme sils sont imagi-
naires, nous oraettrons ces calculs.

§ 3. Sur le nomln^e n.

■

6. Le groupe G contient np + i groupes de rordrei)*"^^ que nous

désignerons par

III I

En les transformant tous par les substitutions de 7^, on obtient un groupe

de substitutions entré les /^, isomorphe a /^. Si Ton réunit en systémes

ceux qui sont permutés entré eux d'une maniére transitive, le nombre

des groupes contenus dans chaque systéme est une puissance de jp, I^

seul formant un systéme du degré i. On a donc une équation de la

forme suivante:

np = n^p'' + n^p'"» + n,jp'*» + . . .

•

les nombres r^ , r^ , ^3 , . . . étant tous égaux oii supérieurs ä i . Suppo*
sons que /, fasse partie d'un systéme du degré p**»; /j est évidemment
permutable aux substitutions d'un groupe K de Tordre p*+^""'*» contenu
dans I^. Le groupe K sera aussi contenu dans J^; en effet, si le nombre
des substitutions communes ä ij et a X est egal a j>«+2-r,-i^ |g groupe
dérivé des substitutions de I^ et de K aura pour ordre p"^^"^', d'ou Ton
conclut que s = 0, lordre de G n'étant pas divisible par p""^^. Inverse-
ment, si les substitutions communes a /^ et a I^ förment un gf^oupe de
Tordre ^"^*~''», I^ fait évidemment partie d'un systéme du degré p"^.
Spécialement, si r^ = i, /, appartient a un systéme du degré jp; or JST
étant dans ce cas permutable aux substitutions de 7^, il sera contenu

216 L. Sylow.

dans tous les groupes du systéme, et sera permutable a leurs substitutions.
Donc, si l*on désigne par K^ , K^ ^ . . . , K^ les groupes de Tordre p""^^
contenus dans ö, Tun quelconque d'entre eux, K,,, sera contenu dans les
groupes d'un nombre n^ de systémes, et Ton aura

np = n,p + n^i) + • • • + n^P + n*p\

les nombres w^ , w^ , . . . , n„^ pouvant étre nuls, tous ou en partie. Pour
discuter cette équation nous distinguerons dans la suite plusieurs cas, qui
diflferent par Tespéce du groupe et par la valeur de a.

7. Commen9ons par les groupes de la premiére espéce ou a = o.
Les groupes JK,, sont en nombre i> + ij chacun d'eux contenant les puis-
sances d'une seule substitution

S=\x,ij X + (1,1/ + h
nous ferons Tindice r congru au rapport - . Supposons que K^, soit con-

a -

a

tenu dans les groupes des n^ premiers systémes, savoir les groupes
ij,/^,..., /„j^, et soit G^ le groupe formé des substitutions de G qui
sont échangeables a S. Les substitutions de chacun des groupes Zétant
échangeables entré elles, G\ contient 7^ , I^ j . . . , 7^^^, mais il ne contient
aucun des groupes /„,;,+i . . . 7„;,. Par conséquent son ordre est p^7r^{n^p+ 1),
TT^ étant Tordre du groupe B[ qui contient les substitutions de H' échan-
geables a S. De plus, Kf, étant intransitif, G^ est non-primitif, ses sub-

a

stitutions rempla9ant les elements de chaque cycle de S par les elements
d'un méme cycle. Il existe donc un groupe G\ du degré pj isomorphe
a (tj, et Ton voit aisément que son ordre sera

P7r,{nj) +0^

ce qui réduit tres considérablement les valeurs que peuvent avoir n^ et
;r, . Notamment on sait, en vertu de deux théorémes de M. E. Mathiei'
(Journal de Liouvillk, année i86i, p. 310) qu'on ne peut avoir 7rj = i,
sans avoir n^ = o, et qu'on a également w^ = o, si tt^ = 2 , jp = 4Ä + 3«

Sur les groupcs (ransitifs, dont le degré est le earré dun iiombre premier. 217

Rccherchons donc quelles sont les substitutions cle H' qiii peuvent
etre échangeables a une substitution de I^. Soit

T =\x,y dx + ^y jYX + d{i\

une substitution de fl', et supposons que, réduite a sa forme canonique,
elle dcvienne

on salt que s^ et s^ sont les racines de la congruence

5^ — (a + fi)s + oiö — Pt—^ {vcioA }))j
Ct qu'on peut faire

$ = (.<?, — <?).?■ + /9(/, yj = {s^ — f7).r + /ii/.

m

Exprimant S par les nouveaux indices on a

o II

A = {s^ — ö)a + /3h, ^= GS ~ 'd^ + l^^y
et Ton trouve

Pour que T soit permutable au groupe Ä^, il faut que T'KST= S^, dVju

{s^ — m)A = o, (5, — m)B~ o (mod p).

Donc si T n'appartient pas a la seconde espoce, il faut avoir

s^—niy B = o, ou 5j ZE m , A=zO.

Le nombre w étant réel par definition, on a le resultat suivant: parmi
les substitutions de la premiére espéce de H' celles seulement qui sont
réductibles a des formes canoniques reelles, peuvent étre permutables a
un groupe d^ordre p contenu dans I^ ; inversement, chaeune de ces sub-
stitutions est permutable a deux groupes, savoir

K,u^ et iiC,_„,

et n'est pas permutable aux autres.

Åtta mathematita. 11. Tmprlmé U 9 Whx* 1888. 2H

218 Ii. Sylow.

Si T doit étre écrhangeable a S, il faut de plus que run de ses
multiplicateurs soit congru a i; en supposant 5^ = i, on a

I — a — d + s^ =o;
alors T est échangeable aux suhstitutions dn groupe

et il est en outre permutable au groupe J5f,)_i.

~r

Soit maintenant T une substitution de //' de la premiére espece et
échangeable a S\ réduite a sa forme canonique elle sera

et Ton aura

Ä=|e,, f + ^,7

Les substitutions de //' permutables au groupe Kj, ont la forme suivante

a

T' = [f ,5y m^f + ny,m,5yj;
mais on trouve

T-^TT.T-^ =

8,m,

ce qui montre qu'on doit avoir r-~o (mödjj). Il 8'ensuit que toutes ces
substitutions sont échangeables entré elles. En particulier les substitu-
tions de H* échangeables a S sont Jes puissances d'une seule d^entre
elles; soit 2' cette substitution. De plus toute substitution de H' per-
mutable a Kl, est le produit d'une puissance de T par une puissance

a

d'une seule substitution

Les substitutions de G qui sont permufcibles a Ki, förment un groupe

a

G^j qui contient T^ et les substitutions de Cr^, mais ne contient aucun
des groupes /„,p+i , /„,^^2 > • • • • P^^ conséquent son ordre est egal ä
p^TT^TT^in^p + O» ^^^ '^2 ^^^ Texposant de la plus petite puissance de a^

Sur Ics groupcs transitifs dont le dcgré est le carré duD Dombrc premier. 219

congrue a i. Le groupe G^ est iion-primitif, tout comme G^\ donc il
cxiste un groupe öJ du degrc J9, isomorphe a G,/^ Tord re de ce groupe
est évidemment

Tri désignant Texposant de la plus petite puissance de h^ congrue a une
puissance de s,^. Si ;r2 > i, cela donne une nouvelle réduction des valeurs
de Wj.

8. Supposons que H' soit du premier type, et supposons que ses
substitutions soient ramenées a la forme canonique

\^ jyj «f , i^y I .

Si maintenant c et ^y sont imaginaires, a et & ne peuvent etre réels sans
étre congrus (modjp), donc, outre la substitution identique, aucune sub-
Btitution de H' n'est échangeable a une substitution de /^. Par suite
les nombres n^ , n^ , . . . sont nuls, et Tordre de G est de la forrne

I 0=i;V(«y+i),

t: étant un diviseur de p^ — i .

Si au contraire ^ ei i^ sont réels, il est pennis de les remplacer par
X et ?/. Parnii les groupes d'ordre p^ contenus dans /^, il n'y a que
deux, savoir K^ et K^ , dont les substitutions sont échangeables a des
substitutions non identiques de H\ Soit o^ Tordre du groupe contenu
dans H' dont les substitutions sont de la forme

et (?^ Tordre de celui dont les substitutions sont de la forme

on aura

^ ^ j>

D'aprés les numéros 6 et 7, on a

O = p'7r{u'p'' + n^p + n^p + i),

220 L. Sylow.

t: étaiit un diviseur de {p — I)^ Le nombre

pf),o,{n^p + i)
doit étre lordre d'uii groupe du degré ^>, conteimnt un autre de Tordre

på,{nj) + i);
pareillement

pfJA{n^p + O

est Tordre d'un groupe du degré p, contenant un autre du degré

pS,{n^p + i).

•

On a n^ =o si <?, = !, et n^ = o si d,^= i; quand p est de la forme
4'* + 3> on a inéme w, ---o si <?j = 2, et n^=o si c?^ = 2. Les sub-
stitutions de H' étant toutes permutables aux groupes Ko,K^y Tordre
des groupes que nous avons désignés par G^ est/?V(WiP+ i). Il sensuit
que w'^ + Wj est divisible par n^p + i, et n'p + n^ divisible par w^^^^- i.

9. Considérons le cas oii //' appartient au deuxiéme type. La
nioitié des substitutions de //' ont la forrae

TT

et förment un groui)e R" de Tordre - ; les autres sont de la forme

Supposons en premier lien (jue f et tj soient réels; ils peuvent alors étre

remplacés par x et y, sans ehanger la forme du groupe 7^. Nous écrirons

done

S= \x y y ax j bf/\, T = x ^y cy , dx\.

Puisque H" contient la substitution 2'''^ST=\x j y bx , ay I, les valeurs
de a et de b sont les mémes; el les sont donc les puissances d*une seule
d'entre elles. Nous conserveront la lettre a pour designer eette valeur,
en la supposant racine primitive de la congruence

fz

I (mod p).

Sur les gruupe» transitifä doDt le dcgrc est le carré d ud uoiubre itreuiier. 221

Le groupe //" en eontieiit un autre donc les substitutions ne font pas
varier Tindice X] ce groupe est fonné des puissances d'unc seule sub-
stitutioii

on peut supposer quc ff soit un diviseur de <?; en faisant

Tordre du groupe dont nous parlons est (7^, De plus i/" contient une
substitution de la forine suivante:

^' = X ,!f ax, a'i/\;

évidennnent toutes ses substitutions sont contenues dans Texpression j?"y"*,
et Tordre de //" est egal a <?J^, d'ou

7r= 2o\o .
D'autre coté //" dérive aussi des substitutions

fTi = T''ipT= \x,y (fx , y '\ if\ = T-\r^T= x^y a'x ,ay\.

En ex])riniant que jrj peut étre égalé ä ip"^(p"'\ on obtient la congruence

t^ — I = o (mod ff\

Les seules substitutions de //" échangeables a des substitutions non iden-
tiques de I^ sont donc les puissances de ip et de f^,, qui sont échan-
geables respectivement aux substitutions des groupes K^ et K^ . Or, en
supposant que G contienne n^i) + i groupes d'ordre /)^ dont les substi-
tutions sont échangeables ä celles de K^, on en déduit, en les transfor-
niant par 1\ un nombre egal qui ont leurs substitutions échangeables a
celles de K^. Toutes les substitutions de //" sont permutables aux
groupes Kq,K^\ le nombre des substitutions qu^elles produisent entré
les cycles de chaque groupe est évidemment egal ä å.

Voyons maintenant dans quels cas une substitution de la forme T
est échangeable a des substitutions de I^. En réduisant T a sa. forme
canonique, on trouve

222 L. Sylow.

il faiit (lonc que cd~ i (mod ^;), donc

Oii obtient toutes les substitutions de J/' de cette fonne, en multipliant
Tune d elles par les substitutions de i/" dont les déterminants sont congrus
a I. Ce sont los substitutions

X , y if!"^^x , a' '"'*// 1,

ou Ton a fait

< + I = ö\r, ff = dj.

et par suite

a^a>

O == OiO^O^, TT = 20^0^0^,

å^ et T étant premiers entré eux. Le nombre h peut avoir les valeurs
o , I , 2 , . . . , ((?j(?2 — i). Donc, si /Z' contient une substitution de la
forme \x,i/ c//,c"^j?|, il en contient un nombre de d^ö^.

Tellc que nous Tavons déterminée, la substitution T est échangcable
aux substitutions du groupe J5f^-i, c'est-a-dire aux puissances de

outre la substitution identique, elle est la seule substitution de 7/' qui
posséde cette propriété. Or, si G contient un groupe G^ de Tordre
2)^. 2(njj2>+ 0> ^^"^ ^^® substitutions sont échangeables a celles de K,,ij
on en peut conclure Texistence d'un autre ayant ses substitutions échan-
geables ä celles de Ä^^-i, pourvu que G contienne une substitution qui
transforme K^-i en -ff,.,.., . Sans une connaissance plus intime du groupe
G, nous ne pouvons chercher cette substitution que dans H". Les sub-
stitutions de cclui-ci transforment K^-i en K^ii^-i, le nombre fx pouvant
étre égalé a un multiple quelconque du plus grand commun diviseur de
^2^3 et t — I. Or on a vu que å^d^ divise t^ — i, et que d^ est le plus
grand commun diviseur de å^d.^ et < + i, donc d^ divise t — i. En
désignant le plus grand commun diviseur de d^d^ et t — i par

f divisera t — i et ^ + i ; on a donc ^ = i ou ^ = 2.

/

Sur Ics groupes transitiPs dont le dogré est le carrd d un nombre premier^ 223

Ouand s = I , IC^i peut étre transformé en tout a ut re groupe cl'orclre
p qui a ses substitutions échangeables a une substitution de la fonne T;
donc tous les groupes G^ correspondants sont de Tordre i>^2(n^p+i).
Quand au contraire e = 2 , Ä^_, ne peut étre transformé qu'en JKc-i„2h;
donc la moitié des groupes G^ sont de Tordre p^.2{n^p + i), les autres
pouvant étre d'un ordre dififérent, p^'2{n^p + i).

Le groupe iT^i est permutable aux substitutions du groupe d'ordre
2å^å^e qui dérive de T et des substitutions de la seconde espéce de H".
Ces substitutions produisent, entré les cycles de K^ i un groupe dont
Tordre est egal a 2d^d^s ou seulement a ^,^3^, suivant que åyå^e est
impair ou pair. En effet, la substitution — i . T ne déplace pas les
cycles de K^i.

On posséde maintenant les données nécessaires pour appliquer les
resultats du numéro 7. On a, si s = i

= p^7:{n'p^ + 2n^p + d^d^n^p + i),

et, si s = 2,

O =pV(n'29' + 2WJ) + ^ n^p + ?»^ n^p + i^

Les noinbres n^ sont compatibles avec Texistcnce d'un groupe du degré
p et de Tordre i>7:i7r2(Wfi^ + i), contenant un second groupe de Tordre
P^ii^hP + O- Pour /= I on a

M ^^1 » ^2 ^2^^3 5

pour 1 = 2 ou 3

Tit — 2,

^2 =

suivant que fJ^d^e est pair ou impair. En particulier on a n^ = o si
= 1, ou si ^j = 2 avec p = 4/f + 3; on a n^ = »3 = o si p = 4A + 3?

d.

ot toutes les fois* que G ne contient pas de substitution de la forme
i -^ j ?/ ^!/ > ^"^-^ I- Eniin G contient des groupes des ordres

71

P\{^hP + O y P^' ^^A^(^hP + O et p\ 2(J^f7.^s{f7,p + l).

224 . L. Sylow.

Considérons en second heu le ens ou f , jy soiit imnginiiires. Lcs
substitutions de H' de la fonne S soiit les puissaiices d'une seule d'entre
elles, que iious désignerons par

en supposant a racine primitive de la congruence

^"*r^ I (niodjf;);

elles förment un groupe //" de Tordre - . Le nombre m est un diviseur

de ^^ — I ; en supposant

jf)^ — I = wi . m'y
on peut faire

j étant une racine primitive de la congruence

-2?^'"^ = I (mod ii),
Eli posant

f7^ et ^3 étant premiers entré eux, on a

Outro la substitution identique, aucune substitution de //" n est échan-
geable a une substitution de /^; en eflfet les multiplicateurs rt'',r/''^ sont
imaginaires ou éocaux. Parmi les autres substitutions de //' les

seules sont échangeables aux substitutions d'un groupe K; comme crjjC'^^
sont des nombres conjugués, on a c'*+^iei. On obtient toutes les sub-
stitutions de H' de cette forme en multipliant Tune d'elles par les sub-
stitutions de //" a déterminant i, c'est-a-dire par les

Par suite ou //' ne contient aucune substitution de la forme

Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'uD nombre premier. 225

ou il en contient å^, savoir les

(a) \S, rj a**»ciy , ar^c'^ f | .

En transformant T par iS""', on trouve

or on peut rendre o*'~^*' ou o*^*' congru ä

a'

Mit

OU h est un entier quelconque, e désignant le plus grand commun di-
viseur de å^ et d^\ on a e = 2 si d^ et d^ sont pairs, e = i dans les
autres oas. Done si e = i, les e?^ substitutions (a) peuvent étre trans-
formées les unes dans les autres par les substitutions de J?'; au contraire,
si e = 2, on en peut déduire la moitié de la substitution T, Tautre
moitié de a^^T. Dans le premier cas tous les groupes O^ qui répondent
aux diverses substitutions (a) ont le inéme ordre p^'2{n^p + ^)> ^^^s 1®
second la moitié des groupes G^ sont de ^ordre\p^ 2 (nj/) + i), les autres
pouvant avoir un ordre dififérent p^*2{n^p + i)«

Enfin le groupe formé des substitutions de H' qui sont permutables
au groupe Ä^-» dérive de T et des substitutions de la seconde espéce
contenues dans H" savoir les

f , Tj a' c, a' 71

Tordre de ce groupe est done 2d^t\ il produit entré les cycles de K^x un
groupe dont Tordre est 2d^B ou ö^e suivant que d^B est impair ou pair.

En vertu du numéro 7, on peut maintenant faire les conclusions
suivantes:

Si e = I , on a

O = p^7r{n'p^ + ^i^iJP + 1)5

si e = 2,

il existe des groupes du degré p des ordres

p.2{n^p + i),p.2(n,p + i)

Arta mathematiea. 11. Imprimé le O Mara 1888. 29

226 L. Sylow.

contenus dans d'autres groupes, dont leg ordres sont respectivement

p.2d^6{n^p + i) y p. 2å^e{n^p + i), si å^e est impair,
ou

On a Wj == n, = o, quand |) est de la forme 4^+31^* quand le groupe
O ne contient pas de substitution de la forme

Eniin le groupe O en contient d'autres des ordres

p\ 2d^e{n^p + i),p\ 2d^e{n^p + i).

10. Quand H' est tétraédrique, le nombre p est > 3. Les sub-
stitutions de H' sont les

a,aA,aB, a AB , aC\ (W^CA , aB 'G'B , aB^^A^^CAB,

les lettres ayant la méme signification qu'au numéro 5. Les substitu-
tions aA sont permutables aux groupes K^^K^, pourvu que ^ et rj
soient réels. Cela exige que — i soit résidu quadratique de p, c'est-a-
dire que p soit de la forme 4Ä + ^« Or si H' contient la substitution
i ou I f , ly if , ?oy |, il contient i A et — iA, qui sont échangeables respec-
tivement aux substitutions des groupes K^ et Kq. Comme on a

B'-'iAB = — iA,

les deux groupes G^ qui correspondent a JKo et a K^ sont les trans-
formés Fun de Tautre; ils sont donc d'un méme ordre |?*. 2 (n^i? + i)-
En transformant + iA par C et C^, on en déduit + i-B , + i AB; donc
G contient six groupes de Tespéce que nous avons désignée par (zj, tous
de lordre p^> 2{n^p -{- i). Les groupes G[ du degré p qui y corres-
pondent ont pour ordre p*2{n^p'\- i). Les groupes G^ qui répondent
aux six groupes G^ sont évidemment de Fordre p^.2(o{n^p + i); mais
comme la substitution i A ne permute pas les cycles de K^^ Fordre des
groupes öJ sera p.a){n^p + i).

Sur les groupes traositifs dont le degré est le carré d^nn nombre premier. 227

Le déterminant de la substitution aC étant »'w', sa congruence ca-
ractéristique est

ams + a m^ = o (mod jp),

d'oii

f ± v — 3
5 = am — -

Pour que la forme canoDique de aC soit reelle, il faut done que p soit
de la forme ^h -{• i. On trouve ainsi

a(7 =

A»/

^»'y

ani l±!tll ^ , am i-I^vbJ- ,' | .

La condition relative au nombre p étant remplie, aC est permutable a
deux des groupes JST, que nous désignerons par K' ^ K'\ Les substitu-
tions aC" sont les seules permutables ä ces groupes; en effet, dans le cas
contraire, H' contiendrait un groupe d'un ordre au moins egal a 6ö>, ä
substitutions échangeables entré elles (n° 7); par conséquent il existerait,
entré quatre lettres, un groupe de Tordre 6 ou 12, contenant exclusive-
ment des substitutions échangeables entré elles, ce qui est absurde. Or,

si Ton a

m 2

la substitution aC est échangeable aux substitutions de K'\ si

m 2

elle est échangeable ä celles de K'\ Dans le premier cas H' contient

la substitution m ' "^ ^"^ ^ , dans le second m ^ ~ v~ 3 . g»ii contient Tune

2 2

et Tautre, il contient leur produit m^ et, en vertu du n® 5, w% et par
suite m, c'est-a-dire qu'on peut faire m=i. Soient, pour abréger, C
et C" les substitutions qui répondent aux deux valeurs de a:

C =

^\i ^'. -

1+/

'-<

C" =

f'.v -

• — v— 3 «

f^V

C" n'e8t pas la transformée de C par une substitution de i/'; c'e8t ce

228 L. Sylow.

qu'on voit sans calcul, en se souvenant de la correspondance qui a lien
entré les substitutions de H' et cellcs du groupe alterné entré quatre
lettres. L'ordre du groupe ö,, fornié par les substitutions de G échan-
geables ä celles de K'^ peut évidemment étre exprimé par p'. 3(n3p'+ i);
celui de G[ est donc p . 3 {n^p +0' ^^ groupe G^ est de Tordre
I?*. 3ö>(nj2) + O* ^^ ^^^ substitutions communes a G^ et H' sont les
aC; s'il s'en trouve parmi elles qui ne permutent pas les cycles de K'j
ce ne peut étre que les puissances de C"; cette circonstance ne se pré-
sente donc que dans le cas oii Ton peut faire w = i. Par suit€ Tordre
du groupe öj sera pcD{n^p + i) si w = i; mais il sera p*Z(o{n^p + i)
dans le cas contraire. Quant aux groupes analogues qui répondent a
K"j il suffit de remplacer n^ par une autre lettre n^ Des substitutions
C, C" on déduit, en les transformant par A , B y AB, six autres substi-
tutions, échangeables respeclivement aux substitutions de six autres des
groupes Kr' Donc on a quatre groupes de Tespéce G^ qui sont de
Tordre p^-3{n^P + i), et quatre de Tordre p^3{n^p + O-

De ce qui précéde on tire les conclusions suivantes:

L'ordre de G est déterminé par la formule

^0 = Jp^ i2a){n'p^ + 6n^p + 4W,p + PhP + O-

On a Wj =0; quand p est de la forme 12Ä+ 7 on 12A+ 11,

et quand H' ne contient pas la subst itu tion i,

n^ = Wj^ = o, quand p est de la forme 12Ä + 5 ou 12A -f ii>
n^ = o, quand G ne contient pas la substitution m — ±-1ZL1^

n^ = o, quand G ne contient pas la substitution m ^ — 5.

Les nombres n^ sont compatibles avec Texistence d'un groupe du degré
p et de Tordre l> . ;ri . ;ri (n^^^ + i), contenant un groupe de Tordre

P-^i(^rl^*+ 1)5 P^^r r = I on a ;r, = 2, ;rj = -; pour r = 2 et r = 3,

on a ;rj = 3, et, si H! contient la substitution w, 7:'^=^-'^ dans le cas
contraire on a 71!.^^= <o. Enfin G contient des groupes des ordres

. |)». 2ä>(n,p + i) , /)■••. 3ä>(n,p + i) , f. S<o{n,p + i).

Sar les groupes transitifs dont le degré est le oarré d^un nombro premier. 229

11. Quand H' est octaédrique, on a aussi i? > 3. Les substitu.
tions de H' sont: les substitutions d'un groupe tétraédrique o\x Ton a
m = I, les 6ö> transformées des aB^ les 6ö> transformées des aBD. On
connait déja les groupes K^ qui sont permutables aux substitutions té-
traédriques, et Von connait les substitutions tétraédriques qui sont échan-
geables aux substitutions de ces groupes; mais évidemment on ne peut
employer immédiatement ee qui a été dit sur Tordre des groupes Q^y Ö{,
Ö2 , G'^ qui s'y rapportent.

Les substitutions aB ou | f , ^ (le^ , aeirj \ sont permutables aux
groupes Kq et K^ , comme le sont les aA , pourvu que 2> = 4Ä. -f i ; ^^
efifet e est réel en méme temps que f . Donc le groupe ö, correspondant
a K^ est de Tordre p^,2{n^p + i), si H' contient la substitution i, mais
ne contient pas e. Si H' contient e il contient aussi i; en efifet B^A se
réduit ä eH\ dans ce cas Tordre de G^ est p^ . /^{n^p ■-{- i). Le groupe
G^ est de Tordre p^.A<^{n^p + i); G'^ est de Tordre p(o{n^p + i), quand
H' contient e, mais de Tordre p,2a){t\p -{- i) dans le cas contraire^
c/est ce qu'on voit en remarquant que la substitution e~^'r^B ne permute
pas les cycles de K^.

On a vu, au numéro précédent, que les substitutions aC sont per-
mutables aux deux groupes K' j K"\ évidemment elles sont les seules
substitutions de JEf' permutables a ces groupes. Dans le cas qui nous
occupe, les groupes X', K"j ainsi que les substitutions C'"", C"% se trans-
forment Tun dans Tautre au moyen de la substitution

F=ABB.

En effet, dans le groupe symétrique entré les lettres ol j p y y y d, qui est
isomorphe ä H% la substitution {a^j) correspond a C , (ay9) a F, donc
F^^CF et C^ correspondent a (ayfl) d'ou

F 'CF = aC;

comme d'ailleurs C a son déterminant congru ä i, on doit avoir

F-'CF = + i.C\
d'ou

230 L. Sylow.

or, comme on a C* = — i , on en conclut qu'il faut prendre le signe
inférieur, donc

I "~~ 1/ 7
En faisant, pour un moment, a = — - , on a

aC=C', - C = C",

a

F-'C'F =—aC*=^-,C' = C",

F-'C"F = — i C» = a'C* = C".

a

Ainsi, dans le resultat final, les deux termes au coefficient 4 qui se pré-

sentent dans le cas 011 H est tétraédrique, se réunissent ici en un seul

terme au coefficient 8. Les ordres des groupes Öj , CrJ , Ö, , ÖJ sont

évidemment les mémes que dans le cas précédent en supposant m = i.

On a

aBD = I f , ly areyj , asei^ [;

la congruence caractéristique de cette substitution étant

(T* + a^eH = o (mod p)j

elle se réduit a la forme canonique

Pour que ^ , yf soient réels, il faut que tsj—i le soit. En supposant
p = 4A + I, e est réel; par conséquent il faut que — i soit résidu qua-
dratique de |?, c'est-a-dire que p doit étre de la forme 8A' + i- A cette
condition aBD est permutable ä deux des groupes Ä^., que nous dé-
signerons par K"\ K""; d'autre cöté on voit que les a et aBD sont les
seules substitutions de H' permutables ä ces groupes. Si maintenant H'
contient la substitution e^/— i-, on peut faire

. I

Sur les groQpes traDsitifs dont le åegré est le cårré d*UD nombre premier. 231

on obtient ainsi les deux substitutions

échangeables respectivement aux substitutions de K"' et de K"". D^ailleurs
ces substitutions sont les transformées Tune de Tautre, car en effet on a

A-^BDA^—BD;

K"" est donc la transfonnée de K'" par A. Il s^ensuit qu'en transfor-
mant le groupe O^ correspondant a K'" par les substitutions de JGT', on
obtient douze groupes G^; tous de Tordre i?'. 2(»j|?+ i). Les groupes
(?J , öj , öj ont respectivement pour ordre p. 2{n^p + ^) 9 p^» 2a;(»3p+ i),
pa>{n^p + i), comine on le voit aisément.

Quand i? = 4A + 3, le nombre n^ est nécessairement nul; en eflfet
la supposition contraire entrainerait Texistence d'un groupe du degré p
et de Tordre p . 2 {nj> + i ). ^

On a donc le resultat suivant:

O = p^. 24a; . {n'p^ + 6n^p + Sn^p + 1 2n^p + i);

Wj = o, quand p = 24Ä +7,11,19, 23, et quand H' ne contient

pas la substitution i;
n^ = o, quand p = 24A + 5 , 1 1 , 17 , 23, et quand H' ne contient

pas la substitution ^ ^ ;

W3 = o, quand p = 24A + 5 , 7 , 1 1 , 13 , 19 , 23, et quand H' ne
contient pas la substitution e yj — % .

Les nombres n^ admettent Texistence d'un groupe du degré p et de
Tordre p7ri7r^i{nrP + i), contenant un autre de Tordre p7ri{nrP + i), oii
les nombres tti y 7c\ sont déterminés de la maniére suivante:

pour r = I , on a ;rj = 4 , ;rj = - , ou ;ri = 2 , ttJ == ö>, suivant que

B.' contient e ou non.

r=2, ;r, ==3, ^» = 7»

»•=3. ^1 = 2, 'Ij^j'

232 L. Sylow.

Enfin le groupe G contieut des groupes des ordres i

p\ 40){n^p + i)yp\ 30}{n^p + i) , p\ 2a){n^p + i).

12. Quand H' est icosaédrique, le riombre p est de Tune des
formes ioä + i , ioä — i. Par une anälyse toute semblablie a la pré-
cédente on trouve:

0=p^.6oa){n'p^ + i2n^p -f 20n^p + 3on^p + i),

oii

»j == o, quand p = 6oh + 19 , 29 , 49 ^ 59, et quand H' ne contient
pas la substitution 0]

Wj = o, quand p = 6oh +11, 29, 41, 5 9, et quand H' ne contient
pas la substitution ■ ^'~ ^ ;

^3 "^ ^> quand p = 60Ä + 1 1 , 19 , 31 , 59, et quand H' ne contient
pas la substitution i.

Le nombre n^ admet Texistence d*un groupe du degré p et de Tordre
|)ai(n^jp+ i), cbntenant un autre de Tordre p7ri{n^p-{- 1), ou pour r= 1,2,3,
le nombre tt^ est respectivement egal ä .5 , 3 , 2. Le groupe G contient

des groupes des ordres p^. 5(0 {n^p + i) , ^^ 3^{%P + O > J?^- ^^i^^P + O*
On remarque que dans les cas ou H' est de Tune des trois types
polyédriques, les coefficients qui, dans Texpression de O, multiplient les
ter mes en n^Pf sont les nombres des sommets, des faces et des arétes des
polyédres correspondants.

18. Le cas ou G est de la seconde espéce, a étant nul, est facile
k traiter. En efFet, I^ ne contient que les puissances de la substitution

t = \xytj X + {y)^_., , «/ + I

par conséquent il ne contient qu'un seul groupe K de Tordre p, qui est
formé des substitutions

r^^ x,y X + a,y\.

En suppbsant K contenu dans n^ des groupes /^, il existera un groupe
G[ du degré p et de Tordre pn^iji^p + i), ou le nombre 7:^ est Tordre

Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'an nombre premier. 233

du groupe renfermant les substitutions de H' échangeables ä f. Or, les
substitutions de H' étant toutes de la forme

+ ^(f ) •

x,y ax -\- J^\jj . «y

on a évidemment 7t^ = i^ d'ou n^ = o. Donc Tordre de G est exprimé

par la formule

0=jpV(ny + i).

14. De ce qui est dit aux numéros précédents on peut conclure
que, si a = o et ;r = I , on a n = o. En effet, sous cette hypothése le
groupe G est de Tordre p^{n'p^ + i)> ®* contient n'p^ + i groupes de
Tord re p'. Deux quelconques de ces groupes n'ayant en commun que
la substitution identique, le nombre des substitutions des ordres p et p^
est egal ä (p' — 0(^1^^ + i); ces substitutions déplacent tous les elements.
Les substitutions qui ne déplacent pas un element donné quelconque w^y
sont en nombre w'p^+ i; par conséquent elles colncident avec les n^p^-^-i
substitutions dont Tordre est premier a p^ en d^autres termes, ces der-
niéres ne déplacent aucun element. Donc n' = n =^ o.

On a ainsi le théoréme suivant, analogue au premier des théorémes
de M. Mathieu, cités plus haut:

Tout groupe transitif G du degré p^ contient un groupe transitif F
d'ordre p^\ si G ne contient pas de groupe plus general dont les sub-
stitutions sont permutables ä /', G collncide avec F.

16. Soit maintenant a= i, et supposons que G soit de la premiére
espéce. Un groupe K de Tordre p^ contenu dans I^ et I^ pourrait étre
transitif ou intransitif. Si K est in transitif il est formé des substitutions
0^0i^\ une substitution T de J^, étrangére ä K, transformera 6^ ^n dl^
car évidemment d^ et ses puissances sont les seules substitutions de K
qui déplacent tous les elements. Par conséquent T aura la forme suivante:

T=\x,y ax + fpi(y) , f^^Cy) |.
De plus T transformera di en ff*d\y ce qui donne

r=

Xyy ax + fi(y),^y-

c

Acta muthtmatiM. 11. Imprimé le 12 Mars 1888. 00

234 L. Sylow.

Pour que cette substitution soit de Tordre p, il fa ut que

a = c=i (mod 2?);

mais alors T serait contenu dans 7^, ce qui est absurde. Donc le groupe
K ne peut étre intransitif.

Si Ii est transitif, il dérive de deux substitutions échangeables entré
elles, S et T, dont Tune fait varier Tindice y\ on peut donc supposer

mais on trouve

donc d est egal a zéro. Par conséquent il est permis de faire

S = 6\t^ T = 6q,

Or JTj dérive des trois substitutions Oq y 0[ , t' analogues respectivement
ä 0Qy O^y ty et Ton voit que ÖJ, qui est échangeable a d[ et a t'y ne peut
étre étrangére a Ä"; en efFet, dans ce cas, les jp' substitutions de 7^ se-
raient échangeables entré elles, ce qui est absurde. De plus, ÖJ ne peut
étre une puissance de ö^, car alors 7j, étant entiérement déterminé par
Oq et Sy se confondrait avec 7^. Donc on peut supposer

Ces substitutions déterrainent complétement I^\ d^ailleurs, aux p valeurs
qu'on peut donner au nombre a répondent p groupes de Tordre p^, tous
contenant K et contenus dans ö; en effet on a

11 en résulte que le groupe G contient un groupe G^j dont les substitu-
tions sont permutables a Ky et dont Tordre est egal a

-n! étant un diviseur de ;r. D'autre part, G ne contient d'autres groupes
de la niéme espéce que G^ ; c^est ce que nous démontrerons, en faisant

Sur Ics groupes transitifs dont le degré est le carrö d'uD nooibre proiuicr. 235

voir qu'on a nécessairement ft = o. Pour siinplifier les calculs, intro-
duisonSy au lieu de o:; , le nombre

f = ^ — Ky)r

On trouve

^0 = <'== c,y f + i,y

0.

^yf/ S + yyl/\j

La substitution 6[ doit étre échangeable ä ÖJ, en ne faisant pas varicr
Vindice f ; elle doit en outre satisfaire a la relation

donc elle aura la forme suivante

0[= c,y e,y + f + a

Ainsi le groupe (r^, contenant les deux substitutions

f,y c + y,y

c,y f ,y + c

contiendra toute substitution linéaire et homogéne par rapport aux in-
dices f , y dont le déterminant est congru ä i (mod p) (voir le Tratte
des substitutions de M. Jordan, n° 121), entré autres celle-ci

^^y ^'^y-^y

^'yy ''^ + ^'—^y — ^'^^y'^'-y

011 r peut avoir toute valeur non congrue a zéro. Or cette substitution
appartient évidemraent au groupe H\ donc comme nous avons supposé
que les substitutions de ce groupe soient contenues dans Texpression

^jy (^^ + py + ry^y + ^V

il faut qu on ait 6 = 0, comme nous Tavons annoncé. On a vu en méme
temps que le groupe H contient toutes les substitutions

x,y rxy^y

comme d^ailleurs toutes les substitutions de H sont pormutables a K, on

236 L. Sylow.

a t:' = 7t. L'ordre de G^ est donc O' = |? V(p + i), celui de G est
O z= p^7r(n'p^ + P + 0> ^^ bien, puisque O est divisible par (7,

• o = p'7r{p+ o^y + O-

Le resultat final se résiime donc comme il suit:

Si a = 1, et que G soit de la premiére espéce, on a ou

o = p'7r{ny + i),
ir étant un diviseur de (p — i)', ou

;ri = ^ étant le nombre des substitutions de la forme | a; , y öfic , y |

contenues dans (?. Quand la premiére formule a lieu, G ne contient
d'autres substitutions linéaires que celles de H. En efFet, si la substitu-
tion linéaire S est étrangére a H et, par suite, non permutable a /^,, le
groupe Jj, transformé de I^ par S, contiendra le groupe (tf© > 0> ^^ V^^
est contre Thypothése, si S appartient k G.

16. Passons au cas oii G est de la seconde espéce, a étant egal.
ä I. D'abord on voit, comme au numéro précédent, qu'un groupe K
de Tordre p^, contenu dans 7^^ et 7^, ne peut étre intransitif. SiiTétait
transitif, il serait formé des puissances d'une seule substitution

mais alors I^ et 7^, étant complétement déterminés par la substitution
t\ se confondraient, ce qui est contre Thypothése. Ainsi deux des groupes
1^ ne peuvent contenir un méme groupe d'ordre ^^. Donc

0=|)V(n'i)^+ i),

;r étant un diviseur de ^ — i .

17. Dans les cas ou a > i, deux quelconques des groupes 7^, par
exemple 7^ et 7^, ne peuvent contenir un méme groupe transitif dont
Tordre surpasse 'p^. En effet ce dernier groupe contiendrait nécessaire-

Sur Ics groupes transitifs dont le åegré est le carrd dun noiubre premier. 237

ment tf^ , tf^ et une substitution de la forme tfJ'»#J^ . . . å^t; öv ces sub-
stitutions déterrninent complétement le groupe de l'ordre i?**"*"' qui les
contient, de sorte que I^ et 7j se confondraient. Donc si I^ et 7^ con-
tiehnent un inéme groupe K de Tordre p""^^, celui-ci est intransitif, et
par suite il dérive des substitutions #o > *i > • • • > *a- Cherchons les sub-
stitutions qui sont permutables a iT. '

Nous designens par c© , Ci , . . . , Cp_i les cycles de #^, de sorte que
Cy soit une substitution qui permute circulaireraent les elements dont le
second indice est congru a y, et qu'on ait

Si maintenant U désigne une substitution permutable k K ^ U transformera
chaque substitution c^ en une puissance d'une autre, par exemple c^ en
c^fy\; donc on a

Or, comme K est permutable ä f, et contient la substitution
il contient en general la suivante

^« • W+1 • W+3 • • • ^p—a+s—l *^s •

Evidemment K dérive des substitutions Sq , 5i , . . . , Sp^i ; donc pour que
U soit permutable ä if, il est nécessaire et il suffit que U transforme
chacune des substitutions S, en une substitution T de JST, laquelle, comme
S,y est composée de p — a cycles. Les substitutions de K ayant la forme

x,y x + F{y),y\,

oix F{y) est une fonction entiére de y du degré a, on trouve les sub-
stitutions T en déterminant la fonction F{y) de maniére qu'elle s'annule
pour a valeurs incongrues par rapport au module p. Soit yo>yi> -jya-i
ces valeurs; on aura

F{y) = Mijf — y^)(if — yj . . . (y — y^_,),

238 L. Sylow.

M étant une constaiite, et

Comme d^ailleurs K conticnt toutes ces substitutions, on peut énoncer le
critérium de la nianiére sui vante: il faut et il suffit que U transfonne
les substitutions T les unes dans les autres. Or on a

done il faut que

= M'[,[>{y) - <p{yo)my) - ^(y.)] • • • [^(y) - ^(^a-.)] (»"od^,),

ou bien, en posant -zr^=N,

(7) f(y)^N [^(y ) - </'Mmy)- ^(y.)] • • • [^(y) - ^(y ^l (,„^d p).
^" ^ ' (y — j/oKy — yi>--'(y — y«-i) ^

Quand a=jp — i, cette congruence ne dit rien, puisque on ne peut
donner a y d'autre valeur que yp_i, sans annuler le numérateur et le
dénominateur. Et, en effet, toute substitution de la fonne

est dans ce cas perinutable a JST, qui contient toutes les substitutions Cy.
Quand a=p — 2, on peut faire y = y^__^j et y = y^_^* on trouve
ainsi, en vertu du théoréme de Wilson,

Vp-i — Vp-i ^ivp-i) — <f'(yr-2) ' yp-2 — ifp-i (/^(ifp-i) — <^'(yp-i) '

d'oii

f(i/p-i) = f{yp-2)j

comme d^ailleurs y^^j et y^_2 sont arbitraires, on conclut que f{y) est
constant. Donc si a=p — 2 , on a

U=\x,y ax + f^{y),ip{y)\.

En effet, A' dérive des substitutions c^.C^lu ou bien des Cy . c~^ lesquelles
par V sont transformées en cj^yj.c^y^).

Sur les groupes traDsitif» doDt le degré est le carré åxxu nombre premier. 239

Supposons maintenant a < p — 2,a>o, et par conséquent i> > 3.
En faisant dans la congruence (7) successivement y = y^^ ^ y = y^^^^ et
divisant les resultats, on a

[^(yp~2) - </iyo)] Wyp-i) - </<yi )]•• [v%p-2) - <P(ya-d] ' (y^-i - yoXy^-i - y, )-(yp-i - y«-i)*

Cette congruence, linéaire en y^ et ^(^o)» P®^* ^re mise sous la forrae
suivante

(9) «*w-|^*-

Or on peut évidemment remplacer y^ par chacun des nombres y«, ya+i, ..,
y;,-8> 8ä,ns au tre changement; de plus la congruence (9) est aussi satisfaite
en rempla9ant y^ par y^^i ou par y^_2, puisque par la (8) est satisfaite
identiquement. Donc on a

(-) «») -It^

pour 2/ = yo > y« j y«+i j • • • > yp-i; l^ nombre de ces valeurs, p — a + i,
est au moins egal a 4.

En traitant y^ comme on a traité y^, on tire de (8) une nouvelle
congruence

Hy)

G'y + ly '

qui a lieu pour les valeurs suivantes de y:

Vi 9 Va f Pa+l > • • • ) y?— I •

Donc on a

Ay + B _ Ay + V
Oy + D-Cy + D'

pour les valeurs y^ , ya+i > • • • > Vp-n doQ* 1® nombre est egal ou supérieur
a 3, donc cette congruence est identique, c'est-a-dire que la congruence
(10) est satisfaite par y = y^. On démontre de la méme maniére qu'elle

240 L. Sylow.

est satisfaite par ty = y, , ^g , . . . , y^_^ . Donc enfin elle est satisfaite par
toute valeur de y\ comme d^ailleurs (p{y) ne peut étre infini, ni eonstant,
on conclut que

C = o, ip{y) = cy + d.

En reportant cette valeur dans (8), il vient

.Vp-i et yp_, étant arbitraires, cela veut dire que f{y) est une constante.

Donc on a

U=^\x,y arr + /;(y),cy + rf|.

Par ce resultat on est en mesure de traiter en méme temps tous les cas
oiia>i,a<jp — 2. En effet la substitution U ne peut étre de Tordre
p o\x p^ que si a = c=i (modjp), mais alors U est contenue dans I^.
Par suite ce groupe n'a aucun groupe de Tordre p"^^^ en commun avec
un autre des groupes i^. On peut donc conclure que, si a> i ya<p — 2,

on a

0=p-^^7r{n'p^ + i).

Quand p> 3 f 0L = p — 2, on sait que I^ ne peut avoir qu'un seul
groupe K en commun avec d^autres groupes 7^. En désignant par
n^p + I le nombre des groupes I^ qui contiennent K, on a

0=pP7r{n,p+ i)(ny + i),

oii p''7r{n^p + i) est Tordre du groupe (?j, formé de celles des substitu-
tions de G qui sont permutables a K. Comme ces substitutions rempla-
cent les elements d'un méme cycle par ceux d'un autre cycle, il existe
un groupe G[ du degré p, isomorphe ä Gj, et de Tordre

pTT.in^p + i),

TTj désignant le nombre des valeurs que prend la constante b dans les

expressions \x ^y ax,by\oii

des substitutions

x,y bx + e(^'j , by

de H'. En eflFet, les seules substitutions de G^ qui ne permutent pas les
cycles Cy sont leB \x j y ci^ + fi{y) 9 y \^ Parmi les substitutions de G^j
celles qui sont de Tordre p ou p^ ont la forme \x,y « + /l(y)> ^(y) j,

Sur les groupes transitifs don t le degré est le carré d^un Dombre premier. 241

et sont par conséquent échangeables a 5^ ; donc G^ contient un groupe
G^ dont les substitutions sont échangeables a tf^, et dont Fordre est
p^7r^{n^p + O ' ^3 désignant le noinbre des substitutions de G qui sont
de la forme \x y y .t , % |. Par suite G[ contient un groupe de Tordre

P^Å^iP + O-

Particuliérement, si G est de la seconde espéce, on a r^ = i, d'ou n^ =o;

donc

= pp^{ny + i).

On verra plus loin qu'on a n' = o dans tous les cas oh a=^p — ^ ,P > 3'
Si a=p — I , on a

et Ton sait, coniine dans le cas précédent, que G contient un groupe
non primitif G, de Tordre p^'^^7i{n^p + i). Il existe bien un groupe G{
du degré p^ isomorphe ä G^, mais conime celui-ci peut contenir des sub-
stitutions de la forme \x , y xf{y) + f^{y) , y !, qui, quoique étrangéres
a -ET, ne déplacent pas les cycles c^j Tordre de G[ n'est pas générale-
ment un multiple de p{n^p + O-

§ 4. Conséquences tlrées de 1<i pri/miHvUé mi de l4t nim^primitivUé

des grmipes.

18. Il résulte des travaux de M. Jordan (Journal fttr Mathe-
matik, Bd. 79, et Bulletin de la Soc. Math., t. 1) que, pour les plus
grandes valeurs de a, le groupe G ne peut étre primitif, quand il ne
contient pas le groupe alterné. En effet, d'aprés une formule du pre-
mier des Mémoires cités (p. 256), le degré n d'un groupe primitif, ne
contenant pas le groupe alterné, mais contenant une substitution de l'ordre
p '^ q cycles, doit vérifier Tinégalité

n < q{p + q) logg + ^^^^Ul + p m ^q^

ou Ton a supposé q > 2] si q = 2 on a

n<2p+i,

Aeta mathémattca. 11. Iroprlm^ le '2\ Ayrll 1RK8. 3]

242 L. Sylow.

et 9,1 q = ly

n <p + 2.

Daris notre cas on a n = p^; comme le groupe contient la substitution
&a, qui est composée de j; — a cycles de p lettres, on peut faire q=p — a.
En supposant a=p — i, on a q= i; donc, ayant p^ >p •{• 2, \e groupe
G ne peut étre primitif, sans contenir le groupe alterné. En faisant
a = /) — 2, on a q =2; il faudra donc que p^<2p'\- 3, d'ou ;)==^3;
donc si a.^=p — 2, le groupe ne peut étre primitif excepté pour p= 3.
Pour les autres valeurs de g, on trouve que le groupe ne peut étre
primitif, quand on a

+ ,-(7log?\/i +TZ--T7i^. + zi^- + Z7^

\o<rq 4{^ogqy q\ogq q(}ogqy (qlogqy

Quand q > 7, le radical est inférieur a 2, de sorte que rinégalit43 pré-
cédente peut étre remplacée par celle-ci:

p>lq\ogq +lgr +1.

En calculant, pour chaque valeur de (7, la limite de p^ on en déduit
celle que a ne peut dépasser, quand le groupe est primitif sans contenir
le groupe alterné. Voici les resultats pour les premiéres valeurs de p.

p

lim (0)

P

lim (a)

P

lim (a)

3

I

13

8

29

20

5

2

17

1 1

31

22

7

4

19

12

37

27

1 1

7

23

15

41

30.

Dans le Mémoire inséré au Bulletin de la Société Mathématique
M. Jordan a donné, pour les valeurs de q infcrieures a 6, une limite
plus resserrée, savoir

w <l>g + g + i,

en supposant p > q* On en tire, en faisant n = jp^,

p = q + I.

Sur les groupes transitifs don t le degré est le carré d'uD nombre premier. 243

Il s^ensuit que, lorsque 7> = 5 et p = -j, la vraie limite de a est i.
Ainsi, p étant > 3, (t ne peut étre primitif quand a == p — 3.

Quand par les raisons qui viennent d'étre exposées, ou par d'autres,
on sait que le groupe G est non-primitif, la distribution des elements
en systéines est une de celles qu'admet le groupe J^. En particulier, si
a > o, les systémes sont formés par les elements qui répondent ä une
méme valeur du second indice.

Les groupes non-primitifs méritent une étude spéciale, non seule-
ment parce que, dans certains oas, ils sont les seuls possibles, mais aussi
parce qu'un groupe primitif peut en contenir un autre qui ne Test pas,
et que la connaissance de ce dernier peut étre utile ä Tétude du premier.

19. Supposons que G soit non-primitif, les elements se groupant
en p systémes, 2'o, I^i , . . . , i^p-i, ou I^ contient les elements pour lesquels
le second indice est congru ä rj. Soit F le groupe contenant les sub-
stitutions de G qui ne déplacent pas les systémes, et désignons de plus
par j'^ le groupe partiel entré les elements Wo,ij > ^1,1? » • • • > ^p-1,17 qu'on
obtient par les substitutions de F. Tous ces groupes ^^^ sont du méme
ordre, et se déduisent de Tun d'entre eux, en le transformant par les
substitutions de G. Nous désignerons Tordre de ^'^ par

pTT^imp + i),
TTj étant le nombre des substitutions de la forme

I ^ ^^iv) I

contenues dans j-^. Soit enfin j'^ le groupe dérivé de | oj o; + i | et de
ses transformées par les substitutions de /'; /'^ sera contenu dans y^^ et
permutable a ses substitutions; son ordre sera

P7r[{mp +1),

7r\ étant un diviseur de tt^.

r contient la substitution tf^, qui ne déplace que les elements des
p — a derniers systémes; mais il ne contient pas de substitution de Tordre
Pj qui en déplace moins. Il est méme facile de démontrer, qu'aucune
substitution de F, quel que soit son ordre, laisse immobiles les elements

244 L. Sylow.

de pluä de a systémes. En effet, supposons que la sub^stitution S ne
déplace que les elements de m systémes, et faisons

Si désignant une substitution entré les elements du systéme 1\. En
transformant S successivement par toutes les substitutions de Fy on a
une serie de substitutions:

o = S^ , Sf, , , • Sf j

Or le groupe qui dérive des 5^ , 5'^ , 5^' , • • • > étant permutable aux sub-
stitutions du groupe primitif j-^j est nécessairement transitif ; donc il con-
tient une substitution de Tordre jp, et par suite le groupe f^. En mul-
tipliant un certain nombre des substitutions 5, S', 5*', . . . , on peut donc
trouver une nouvelle substitution

Si = (7„ . (Ti, » . . (Tfy

ou Tordre de (t^ ost egal k p. En élevant S, a une puissance convenable,

on a une substitution de Tordre p, ne dépla9ant que les elements de m

systémes au plus, donc

ni >^p — a,

ce qui justifie notre assertion.

En faisant S= ?9«, le groupe J« dérivant de S y S' , iS", .. . aura
évidemment pour ordre p7:[{mp +0- "^^ maintenant ;r5 > i, ce groupe
contient une substitution <f qui transforme ^« en i9^, r étant différent de
Tunité. Or, en supposant a > o, /' contient la substitution

et par conséquent celles-ci

__lft Ka)a_i Ka+Dfl,..! Kp— l)<x— 1

9-' K-xfK-i = c:z\,

Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré dun nombre premier. 245

dont la derniére ne déplace que les elements de 2'«_,; donc il fftut que
a = /? — I.

Il est donc déinontré que pour a> o , a < p — i, on a nécessaire-
ment rj = i, et par suite, m = o. Dans tous ces cas F ne peut donc
contenir d'autres substitutions d'ordre p que les produits des cj*, c'est-a*
dire les substitutions f^'^;'B[' . . . >9^'^. Les substitutions de G sont évidem-
ment pennutables ä /*, et par suite au groupe (*o > *i > • • • > ^o); or il a
été détnontré, au numéro 17, que si a>o,a<^ — 2, les seules sub-
stitutions de cette espéce qui puissent étre contenues dans ö, sont celles
de H. Donc, si le groupe G est non-primitif, a étant > o et <p — 2,
il se confond avec -ff, et par suite on a

O = p-^^TT.

La méme chose a encore lieu si p = ^ , a = p — 2 = i, comme on le
voit aiséinent.

Quand j>>3,ot=/> — 2, les substitutions de G doivent avoir la

forme

x,y ax + f\y) , ^(y)|;

il faut donc que le nombre n' de la formule du numéro 17 soit nul.

Si a = p — I , le groupe J« se confond avec /j,_i . Le groupe F
en contient un äutre f de Tordre [p7r[{mp + 0]''» ^^ ^ "^ contient évi-
demment pas d^autres substitutions de Tordre p que celles de /^'; par
suite Tordre de F sera

p''7r[''7r['{mp +0"»

ou 7r[7:'i = TTi est le nombre des substitutions de la forme \x,y ax,y
contenues dans G, Donc enfin on a

O = p''^^7r\''7rY7r^{mp + lYin^p + i),

n^ étant le nombre des valeurs que prend la constante b dans Tex-
pression \x , y ax,by\ des substitutions de H. Chacun des nombres

P7r{7r{'{mp + i) , p7c'i{mp + i) , pz,{in^p + i)

est Tordre d'un groupe du degré p.

246 L Sj^low.

20. Reprenons maintenant les groupes primitifs ou a > o, a < j; — 3.
Nous désignons par /^ le groupe intransitif de Tordre p"^^ contenu dans
/„., et par c^ , ^m > ^*m > • • • > ^If"^^ l^s cycles de la substitution 0^\ qui
est échangeable a toutes le* substitutions de 7^. Ainsi chaque substitu-
tion de /^ est un produit de puissances d'un certain nombre des é^,

CoiTiinen9ons par les groupes de la premiére espéce, en recherchant
si I^ et Zj peuvent contenir un méme groupe K de Tordre p'^. Si K
était intransitif, il serait contenu dans Iq et I\ . Or nous allons démontrer
que, quelle que soit Tespéce de ö, les groupes 7^ et 1[ ne peuvent avoir
de substitution commune.

En effet, une substitution commune a 7^ et a I[ est le produit d'un
nombre de cycles au moins egal a p — a. Donc panni les cycles de 7o
il y a certainement p — a qui se confondent avec p — a cycles de 7J ,
et qui seront désignés par

t/o 9 fy Q 1 • • • 9 ^0 <

les lettres de ces cycles förment autant de systémes communes a 7^ et 7,.
D'autre part les systémes de 7^ ne peuvent pas tous se confondre avec
ceux de 7^. En effet, sil en était ainsi, le groupe qui dérive des sub-
stitutions de 7^ et de 7^ serait de Tordre p'^^'^7:!{^mp + i), m étant diffé-
rent de zéro, et il serait non-primitif, ce qui est impossible (n° 19). On
peut donc supposer que le cycle c^ contienne les lettres

Cj celles-ci

ou

^1 ) ^3 ) • • > ^;>>

^1 > ^3 > • • ' > ^r— g? ^1 > ^1 » • • • > ^1 )

p — Q>^y (7>i;

car évidemment c^ contient plus d'une lettre de Tun au moins des sy-
stémes de I Q. Le groupe Iq contient une substitution S^ qui déplace les
lettres de ^ — a systémes choisis arbitrairement; on peut donc supposer
que Sq déplace Wj , ^/^ , . . . , a^ et les lettres de p — a — i des cycles
4"^ , c^^'^^\ . . . , c\/'~'^\ En désignant généralement par C\^ un produit de
puissances d'un certain nombre de ces derniers cycles, on a

^0 = ^0 • ^0'

Sur les groupes transitifs dont le degré est lo carré duD Dombrc premier. 247

De mérae I[ coiitient une substitution

o, = c. • O..

Si maintenant q> i, soit c[ la puissance de c, qui remplace ^^^"^^ par
b[^^'^^; la substitution

ne déplace pas b[^'^\ mais elle déplace nécessairement une au moins des
lettres &i , fej , . . . , b[^'~'^\ Si elle en déplace plus d'une, on déduit de la
méme maniére une nouvelle substitution qui en déplace moins, et ainsi
de suite, juRqu'a ce qu'on soit parvenu ä une substitution dont le pre--
mier cycle contient p — i des lettres a, par exemple a^ , ag , . . . , a^,
avec une seule des b\^\ Par conséquent il est pennis de supposer q = i.
Cela pose, soit T une substitution de 1'^ qui, en laissant a^ , a ^ , . . . , a^
immobiles, permute ftj circulairement avec jp — i autres lettres 6^ , 6g ,..., &^ .
En transformant S^ successivement par les jj; — i puissances de jT, on
obtient les substitutions

oii Ci est une substitution circulaire des lettres o^ ^ a^ , . . , ^ a^ , />^. Le
groupe {S^ , 5j , . . . , S^) permute les lettres o^ , a^ , ., i^ a^, b^ , b^ j ,..ybp
d'une maniére p + i fois transitive; par conséquent il contient une sub-
stitution V qui échange entré eux a^ et a^, en laissant o^ , a^ , , , . , a^
immobiles. Comme nous n'avons fait aucun usage de Tordre des lettres
Uy il est permis de supposer

d'ou

V-'S^ F = (rf^ , r?3 , a, , a, , . . . , aJC;.

Donc le groupe G contient la substitution V^^SqV.S^^^ qui se réduit ä
{(i^a^%), donc il est non-primitif, symétrique ou alterné. Cela étant
contre Thypothésc, Iq et I[ n'ont pas de substitution commune.

Le groupe K ne peut donc étre intransitif. S'il est transitif, il
dérive de deux substitutions échangeables entré elles:

248

L. Sylow.

Le groiipe 7j contient une substitution #i échangenble a toutes Ics autres;
comme il n^existe pas de groupe du degré ^;^ et de Tordre p^^ contenant
exclusivement des substitutions échangeables entré elles, fl', est contenu
dans K'j done on peut faire

Le groupe /, est complétetnent déterminé par les substitutions fl^ et
t' == i9^. En le transformant par la substitution

on a un nouveau groupe, déterminé par les substitutions

h-'a:,h^^C''''C^'''

• • • '^« -I '^a ' J

fi-U'fi == A

o

Parmi les groupcs qu'on obtient de cette maniére, ceux qui répondent
a une méme combinaison de valeurs de i?, , r/j^ , . . . , a^ ont en commun
avec I^ un méme groupe d'ordre 2>^. Le nombre de ces derniers groupes
est hp^~^, et le nombre des groupes 7, , /^ , . . . qui les contiennent est
Ap", h étant le nombre des valeurs que peut avoir tn„. Pour le dé-
terminer, supposons que I^ soit défini par les substitutions

et faisons

^ = x — m,{y\^,\

on trouve

»r = \^yy f + {y)r , y

< = \^jy ^ — ^a{y)a,y + i
t' = $yy f + I ,y|.

Comme nous supposons a > o, les groupes I^ et 7^ contiennent respec-
tivement les deux substitutions

f,y S + y,y

^,y f,2/ + ^L

done ö, contenant les deux, contient toutes les substitutions linéaires et

Sur Ics groapes transitifs doDt le degré est le carré d^uD nombre premier. 249

homogénes en c et y dont les déterminants sont congrus a i (mod p),
entré autres la suivante

r

ou

X , y rx — m„

r{f/U^ - (f )

\* /a+l

I

Or, cette aubstitution, étant permutable a J^, appartient h Hy donc le

coefficient de y*"^^ dans le développement de w«

savoir

mair'"'^^— i)

'«"■-(')„,••

r«+'.2 . 3 . . . (a + I) '

est divisible par p; comme r peut avoir toute valeur non congrue a

zéro, on doit avoir w„ = o (modjj), a moins que a ne soit egal kp — 3.

Comme nous supposons a < p — 3, nous avons donc // = o ou ä = i,

et dans le demier cas nous savons que G contient les j; — i substitutions

a?,y rx.^y

et généralement toute substitution de la forme

X ax + by + c

y dx + ey + f
ou ae — bd=i (modjj); ces substitutions förment un groupe d'ordre

On a vu, au commencement du numéro 17, que deux des groupes
/ ne peuvent contenir un méme groupe transitif dont le degré surpasse
p^. En vertu de ce qui a été dit au numéro 6, on peut donc préciser
comme il suit Texpression de Tordre de ö:

Quand a> o , a <p — 3, et O est de la premiére espéce, son ordre
est exprimé par Tune des formules suivantes:

O = p»+'ff(ny+' + i),

O = p"+V(ny+' + p" + i)-

Dans le cas de la premiére formule, O ne contient d'autres substitutions
linéaires que celles de H; c'est ce qu'on voit de la méme maniére que
pour a=i (n*' 15). Dans la seconde formule le nombre n'jp*+^ + !>** + i
est divisible par p -{- i] en eSet, on voit facilement que le nombre des

Aef msth9m»tie: 11. Imprimé le 23 AtHI 1888.

32

250 L. Sylow.

groupes d'ordre p^, conteniis chacun dans p + i des groupes /^, est egal

a .

P + I

Quand G est de la seconde espéce, deux qiielconques des groupes
I^ ne peuvent avoir d'autre substitution commune que Tidentique; car
s'il8 en avaient, ils contiendraient une inéme substitution de Tordre p,
laquelle appartiendrait a Jq et a /{; mais on a vu, au commencement
de ce numéro, que cela est iinpossible. Donc si G est de la seconde
espéce, a étant > i, et <j9 — 3, on a comme pour a = i,

O = p^^^^TTiny^^ + i).

21. Recherchons de quelle maniére un groupe priinitif du degré
p^ peut étre composé. Nous désignerons par H le groupe que nous avons
plus haut appelé H\ en gardant du reste les notations précédentes. Le
groupe primitif dont il est question dérive des substitutions des groupes
7o , /j , . . . , i„p et Hy ce que nous exprimerons en écrivant

^ = (-'o > -M j • • • > Aip > -" ) 5

son ordre est

O = p''.^^ 7r{np + i).

Supposons que G contienne un groupe G\ permutable a ses substitutions
et, par suite, transitif. Dénotons les groupes contenus dans (?', ainsi que
leurs ordres, en accentuant les lettres relatives aux groupes correspondants
contenus dans (?; on a

O' = /+V(w'2? + i).

•

On sait que chacun des groupes I^ est contenu dans un des J^; nous
allons démontrer que I^ est permutable aux. substitutions de chaque
groupe Ir qui le contient. En transforniant. les I'^ successivement par
toutes les substitutions de J^, on obtient un groupe entré les i^, dont
Tordre est une puissance de p; comme leur nombre est n'p + i, Tun

Sur les groupes transitifs doDt le degré est le carré åvLU nombre premier. 251

au inoins d'entre eux, par exemple ZJ, est invariable par ces transforma-
tions; Par conséquent JJ est contenu dans 7^, car autrement le groupe
(Jo, 7J) serait de Tordre ^j^+^nn^ ^^ q^j gg^ absurde. De plus on a a = a'
ou a = a' + I ; ^n effet, si a > a' + i , on aurait

en transformant ce groupe par #«, on aurait le suivant

qui différe de Iqj ce qui est impossible. Il faut done que a = a' ou
«='«'+!, et dans les deux cas Iq est évidemment permutable aux
substitutions de chacun des groupes I^ qui le contient.

Premier cas, a = a'. Comme II est identique au groupe I^ qui le
contient, on a évidemment n' = n^

O' =p^-^W{np + i).

Le gfoupe H' est contenu dans H et permutable a ses substitutions, car
le groupe transformé de IT par une substitution de H est contenu dans
H et G'j et par conséquent il ne peut étre que H'.

Inversement, si G', ayant pour ordre p''^'^ Tjf {np + i), est contenu dans
Gy et si, en outre, -EP est permutable aux substitutions de Hy G' est per-
mutable ä celles de ö; c'est ce qu'on voit presque immédiatement en re-
marquant qu'on a G = {G', H). Si Ton excepte les groupes de la preraiére
espéce oii a = o, la condition relative au groupe H' peut étre omise, .
puisque les substitutions de H sont échangeables entré elles. D^ailleurs,
si G' n'est pas nécessairement permutiible aux substitutions de ö, le
groupe (ZJ , i{ , . . . , r„p)y contenu dans G% Test toujours.

Les facteurs de composition de G sont donc: i**, les facteurs de com-

position du groupe — , 2**, ceux de G' (voir, pour la notation, le Mé-

moire de M. Jordan: Sur la limite de transitivitéj § 2, Bulletin de la
Société Mathématique, 't. 1). Si Ton excepte le cas oii, a étant egal

a zéro, H est icösaédrique, les facteurs qui naissent du groupe -—^ sont

des nombres premiers. Quand H est icösaédrique, J5P peut Tétre aussi,
et daijs ce cas les facteurs de composition qui précédent ceux de G'

252 L. Sylow.

sont encore des nombres premiers; si non, W ne contient que des sub-
stitutions de la forme \x ^y ax y ay\,

Second caSy a = a' + i. Chacun des groupes I^ ne peut contenir
qu'un seul des groupes 1^. En effet si Iq et I[ étaient contenus dans
/^, on aurait

^0 = (*o > *i 1 '• • • > *a-i > *ro»

donc G' contiendrait ^^t et #^<, et par suite ^^""•, ce qui est contre
Thypothése. Or, on a vu que deux des groupes I^ ne peuvent contenir
un mérae groupe transitif de Tordre p**"^* que dans le seul cas oii a*= i,
G est de la premiére espéce et oii Ton a

Donc, si Ton fait abstraction de ce cas, il fa ut que n = n',

O' = p^-^^TT^inp + i)..

Comme G' est permutable aux substitutions de J^,, le groupe G en con-
tient un autre G" de Tordre p'''^^7r\np + i); d'aprés ce qui précéde G"
est permutable aux substitutions de (t, et évidemment G' est permutable
a celles de (?"; donc les facteurs de composition de G sont: i**, les di-
viseurs premiers de -^, 2°, le nombre p^ 3**, les facteurs de composition

de G\

Si le groupe G' est lui-méme composé, la serie des décompositions
est arrétée, au plus tärd, quand on est parvenu ä un groupe de Tordre
p^TCrinp + i), ou TTr est un nombre premier. En eflfet on ne rencontrera
pas le cas qui a été excepté, comme le font voir les expressions de O
trouvées au numéro précédent. Donc, ä part rexception signalée, le
nombre n a la propriété de se conserver dans le cours des décompositions.
Un groupe dont Tordre est exprimé par la formule

O = 2?*+';r(ny+^ + p'' + i),

a étaiit supérieur a i, n entré jamais dans ce cas. On aurait en effet
O' == p''^W{n'p'^'^^ + p"" + O» ^* P^^ conséquent G' ne contiendrait d'autres

Sur les groupes traositifd dont le degré est le carrd d^uo oouibre premier. 253-

substitutions linéaires que celles de H'; mais d'autre c6té il contiendrait
nécessairement la substitution \x j y a; , y + a; | (n*' 20), ce qui est une
contradiction.

Considérons enfin le oas d'exception. On a

O = p'7r{p + i){ny + i), O' = i)V(n'/) + i).

Désignons par f le groupe dordre p^7r{p + i) formé des substitutions
linéaires de G, et soient I^ ^ I^ ^ . . . , I^ les groupes d'ordre p^ contenus
dans r. On a vu que T un des groupes IJ , /J , . . . , T^^, est contenu dans
J^,, et que, par suite, il a la forme (tf o > ^T^)} donc G' contient la substitu-
tion Ä^. Dans un autre des groupes J^ les substitutions échangeables ä
toutes les autres sont les <"*; on peut donc conclure que & contient t.
Donc parmi les groupes I^, se trouve le suivant: (#o, <) = /J, qui est
contenu dans les p + i groupes J^ , J^ , . . . , Ip. D'autre part JJ, étant
permutable aux substitutions de tout groupe I^ qui le contient, ne peut
étre contenu dans aucun des groupes /^^, . . . Inp* Il s'ensuit que chacun
des /^ est contenu dans p + i des /^. Donc on a

a = p^TT^iny + i).

Quand p = 3, il n'existe d'autres groupes du genre que nous considérons,
que ceux ou n^ = o, c'est-a-dire ceux qui sont contenus dans le groupe
linéaire. Pour les autres valeurs de p, le groupe J qui renferme les
substitutions linéaires et homogénes dont le déterminant est congru ä
I (mod^?), et qui est contenu dans G, a pour facteurs de composition

^-^ -. et 2. Les substitutions de J sont permutables a /J et par

suite a H'. On en peut conclure que -EP ne contient que des substitu-
tions de la forme \x , y ax , a// 1 . En effet toute substitution de H'
peut étre écrite sous la forme ST^ ou S appartient a J, et ou T a la
forme \x ^ y ax jy\. Or comme J contient la substitution

9 =

^yV rx,-y

IT contiendra ^"^ SfT et par suite (p~^Sip . S~^; cette substitution, faisant
partie d'un groupe contenu dans J et permutable a ses substitutions,
ne peut étre que iou|a;,^ — x y -^ y\, Mais la derniére alternative

254 L. Sylow.

ne peut avoir lieu pour toutes les valeurs de r, comme on le voit aise-
ment; pour les autres il faut done que ip~^Sip = S\ inais alors S est ca-
nonique en x et y, donc

S =

^ ^y ^^^-^y

Par conséquent les substitutions de i/' sont de la forine

U=\x,y ax, by\;
mais, puisque J contient la substitution tfj , //' contient la suivante

i9r^ m, . U-' =

. b — a

^^y ^H — —y^y

a

ce qui exige que i = a (rnod/>).

Les premiers groupes composants de G sont ceux de -7c,\ or ce groupe

est isoinorphe au groupe contenant les substitutions linéaires et homo-
génes de G. Donc, si Ton suppose que H contienne des substitutions.
dönt le déterininant est non résidu quadratique de jp, et qu'on désigne
par TtfTi!' le nombre des substitutions de H qui ont la forme \x^y aXyay\

les facteurs de composition de G seront: 2 , —- , les facteurs pre-

miers de -n!'^ les facteurs de composition de G\ et Ton aura

t: = 2;r';r"(j; — r i).

Si au contraire H ne contient que des substitutions dont les déter-
minants sont résidus, le premier facteur (2) doit étre omis, et Ton aura
T= r';r"(;) — i). Le nombre w n'a pas ici la propriété d'étre conservé
en passant du groupe (? au groupe G*\ mais cette propriété appartient
toujours au nombre jV, défini par Téquation

O ^ p'^P{Np + i),

P désignant Tordre du groupe formé de celles des substitutions de G
qui sont linéaires en re et ?/ ou en ^ (mod jp^), suivant Tespéce du groupe.

22. Voici une autre conséquence de ce qui précéde, qui sans avoir
beaucoup d'importance, presentera peut-étre quelque intérét, vu qu'on ne

Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'uD nombre premier. 255

connalt qu'un tres petit nombre de cas oii Ton peut reconnaitre la ré-
solubilité d'un groupe de son ordre seul:

Tout groupe dont Tordre est p^q ou |) V^ P et ? étant des nombres
premiers inégaux, est résoluble.

Soit G un groupe de Tordre p^q\ il en contient un autre jET, de
Tordre q. Désignons par y^ une fonction rationnelle des elements,' in-
variable par les substitutions de JST, mais variable par toute autre sub-
stitution; cette fonction prend, par les substitutions de (t, un nombre jp*
de valeurs différentes, jy^, , i/j , . . . , ?/p,_i . 5Jn opérant dans ces fonctions
les substitutions de ö, on a un groupe G' entré les y, lequel est tran-
sitif et isomorphe ä G. L' ordre de G' est p^ ou p^q. Dans le premier
cas H est permutable aux substitutions de ö; comme les facteurs de
composition de G' sont p , p, ceux de G sont p y p , q* Si Tord re de G'
«8t p^q, ce groupe en contient un autre /' de Tordre j)'; en désignant
par p^TT Tordre du groupe qui contient les substitutions de G' permutables
ä /', on a une équation de la forme

p^^q— p^7r{np + i).

Or, on ne peut avoir r — i , puisque alors n serait nul, donc il faut que
;r = g' , w = o; c'est-a-dire que les Substitutions de G' sont toutes per-
mutables a /'; par conséquent les facteurs de composition de & qui
sont en méme temps ceux de ö, sont q^p^p» Dans les deux cas G
est donc résoluble.

Si Tordre de G est i)^q^, on obtient comme plus haut un groupe
G' du degré p^ isomorphe a G; son ordre est p^^p^q ou p^q^. Dans les
deux premiers cas G' est résoluble, et par suite aussi G. Dans le troi-
siéme on a, comme ci-dessus, une équation de la forme

pY = p^ninp + i),

et Ton peut supposer q > p. Or on ne peut avoir r= i, donc il faudrait
que q divisåt tv; mais tt est un diviseur de (p— ^Yip + i)> nombre dont
aucun diviseur premier ne surpasse p, a moins que p ne soit egal ä 2.
Mais cette supposition est inadmissible, puisque Tordre d'un groupe du
quatriéme degré est un diviseur de 24. Ainsi le troisiéme cas peut étre
évité. Le théoréme est donc démontré.

258 L. Sylow.

22. La détermination du groupe que nous avons désigné pnr H
permet de resserrer un peu, dans quelques cas apéciaux, la limite de
transitivité des groupes, assignée par M. Jordan dans son Mémoire sur
ce sujet, inséré au Bulletin de la Société Mathématique, t. 1. En
effet, si dans le théoréme III du Mémoire cité, on fait m = 2 , n = o,
on démontre, en suivant le raisonnement de M. Jordan, que si un groupe
du degré p^q + ^% ^u 9 < P y 9 <^9 est plus de k fois transitif sans
contenir le groupe alterné, k ne pourra surpasser 5, si le norabre pre-
mier p est de Tune des foripés lOÄ + i; il ne pourra surpasser 4, si p
est egal ä 5 ou quil soit de Tune des formes 10Ä + 3. Les mémes
régles sont encore valables, quand le degré estpq-^-ky ou q <k , g <p^.
Si Ton fait q = i, et qu'on suppose en méme temps que Tord re du
groupe partiel qui laisse k -{- i elements immobiles, soit divisible par p,
k ne peut méme dépasser 2. C*est la une proposition analogue a Télé-
gant théoréme I du Mémoire de M. Jordan, et elle se démontre de la
méme maniére.

257

SUR UN MODE DE TRANSFORMATION DES SURFACES MINIMA.

(SecondMémoire)

PAR

E. GOURSAT

å PARIS.

1. Le probléme traité dans le travail précédent ^ conduit a exa-
miner une question plus généralc. Soient

(O

'^1 = f{^jyj^'y(^'o^yoy^\

trois fonctions de six variables indépendantes x , y ^ z f x^, y^y z^. Sup-
posons que x^y^z désignent leö coofdonnées d'uh point d'une surfaco
minima quelconque S, et x^, y^ j z^ les coordohnées du point correspondant
de la surface adjointe S^. Le point de coordonnées x^yy^^z^ décrira
une certaine surface 8^. Quelles sont les fonctions /*, ^, ^ les plus géné-
rales, telles que la surface 8^ soit aussi une surface minima, quelle qué soit
la surface minima 8? '

On a vu dans le travail précédent qu'on peut satisfaire ä cette
condition en prenant pour /*, ^ , ^ des fonctions linéaires convenablement
choisies de x , y j z y x^y y^ y z^. Les propriétés connues des surfaccs mi-
nima conduisent sans difficulté a la forme générale des fonctions /*, ^, ^.

2. Soit m un point quelconque de Tespace de coordonnées a, 6, c,
m^ un autre point de coordonnées a^ , 6^ , c^, P et P^, deux plans paral-

' Voir Acta mathematica, t. 11, p. 135*

Aeta mathetnatfca. 11. Iraprimé Ig 29 Mars 1888. 33

258

E. Ooursat.

léles passant par ces deux pointp, a,/9,/' les cosinus directeurs de la
normale ä ce plan. Considérons une surface minima S passant au point
m et tången te en ce point au plan P; comme on peut déplacer la sur-
face adjointe S^ parallélement a elle-méme, nous pouvons supposer que
le point correspondant a m sur 8^ est précisément le point m^. Les
forraules (i) feront correspondre au point m un point m^ dont les coor-
données a^ , 6^ , c, ne dépendront que des coordonnées des deux points m
et m^. Des formules (i) on déduit

(2)

dx, =

%i =

dz. =

dx

K

^y

dz

IL

n

n

d^ +£^y + :rJ^ +^^^'0 +^^yo +^^^0'

dx

dz

dip

d(p

dip

iTrfx + '^dy + ^rf. + g-rf.r, + g-%. + ^^^0 .

3^

dx

^

^

d^'

dz

dip

dit

A

^ rfo; + H rfi/ + H ^^ + g; rf^o + i^ %o + ir ^^0 ;

3^

or 6n a^

dx^ = pdz — ydijy dy^ = j-dx — adZj dz^ = ady — /idXy

et, si on remplace dx^ , dy^ , dz^ dans les formules précédentes, on volt
que les cosinus directeurs de la normale ä la surface décrite par le point
x^ j y^j ^1 ^^ dépendent que de x ^y j z y x^j y^j z^ j aj ^ y j-- Par consé-
quent, si Ton considére toutes les surfaces minima S tangentes a un plan
P en un point déterminé m, telles que le point correspondant au point
m sur la surface adjointe S^ soit un point déterminé w^, toutes les sur-
faces S^ définies par les formules (i) sont tangentes a un plan déterminé
Pj en un point fixe m^.

Cela ppsé, soit F une courbe minima quelconque représentée par
les équations

(3)

{X = A{t),

* SoHWARZ, Miscellen aus dem Gébiete der Mivimalftächen (JonrnalfUr Mathe-
matik, t. 80, p. 28o; 1875).

Sur un mode de transformatioQ des surfuccs rainima. 259

oii Ä{t) j B[t) , C{t) désignent trois fonctions d'une méme variable t

vérifiant la relation

(lA' + dB^ + dC' = o;

soit Fq une seconde courbe minima représentée par les équations

X, == iA{t) ■}. X,
(4) Y, = iB{t) + /.,

oii X j /i j u sont trois constantes quelconques. Par la courbe F faisons
passer une surface minima quelconque S et soit J la développable
circonscrite ä 5 le long de T; cettc développable se réduit, comme on
sait, å un cöne ayant son sommet en un point du cercle de Tinfini. La
surface adjointe S^ n'e8t pas complétement définie de position; on peut
la transporter parallélement a elle-méme ou la remplacer par sa symé-
trique relativement a un point de Tespace. On reconnait aisément qu'on
peut, sans restreindre la généralité, la faire passer par la courbe I^y de
fa9on que les points des deux courbes Fy F^j qui correspondent a une
meme valeur de tj se correspondent aussi sur les surfaces Ä, S^,

A la surface S les formules (i) font correspondrc une surface 8^
qui, par hypothése, doit étre une surface minima. A la courbe F, ces
formules font correspondrc une certaine courbe C représentée par les
équations

(5)

fX, = f[A{t),B(t),C{t);iA{t) + }.,iB{t)+,x,iC{i) + p] = F{X,Y,Z),

Y, = ^[A{t),B{t),C\t)yiA{t) + }.,iB{t)+fi,iC{t) + ^ = 0{X, Y,Z),

[Z, = ^[A{t),B{t),C\t);iA{t) + k,iB{t)+,x,iC{t)^-u] = nX,Y,Z)i

soit Jj la développable circonscrite ä S^ le long de la courbe C. La
courbe G et la développable J^ resteront les mémes, on vient de le
voir, si les courbes T, F^ et la développable J restent les mémes. Or
il existe une infinité de surfaces minima S inscrites dans la dévelop-
pable J le long de la courbe C, et on peut toujours supposer que les
surfaces adjointes passent par la courbe 7^^,. On voit donc qu'il doit
exister une infinité de surfaces minima S^ inscrites dans la développable

200 E. Ooursat.

Jj le long de la courbe C. Or cela ne pcut avoir lieu que si cette
courbe C est elle-méme une courbe minima.' Si on remarque mainté-
nant qu'on peut repeter le raisonnement qui précéde en partant d'une
surface minima quelconque et d'une courbe minima quelconque située
sur cette surface, ou est conduit aux conclusions suivantes. Si les for-
mules (i) font correspondre a une surface minima quelconque S une
nouvelle surface minima S^\

i^ toute caurbe minima F de S a pour träns formée une courbe minima
I\ de S^ ; 2^ on peut déduire la courbe f^ de la courbe F par des for^
mules de transformation (5), qui font correspondre un point,ä un point et
qui changent toute courbe minima en une nouvelle courbe minima.

3. D*aprés cela, voici comment on obtiendra la transformation la
plus générale satisfaisant aux conditions de Ténoncé. Soit 8 une surface
minima quelconque, S^ une surface minima qui lui correspond par une
transformation de cette nature. La surface S peut étre considérée comme
le lieu du milieu d'une corde joignant un point d'une courbe minima
Z' a un point d'une autre courbe minima P. La surface S^ peut étre
engendrée de la méme fa^on au moyen de deux courbes minima Fi , 77-
Soit jr une courbe minima de 8 homothétique k F et j-^ la. courbe mi-
nima qui lui correspond sur S^; cette courbe j-^ sera homothétique a
Tune des courbes Fi , /7, ä la courbe F^ par exemple. Il résulte alors
de ce qui précéde que Ton pourra passer de la courbe /^ a la courbe
77 au moyen d'une transformation qui fait correspondre un point a un
point et a toute courbe minima une nouvelle courbe minima. La courbe
77 se déduira de F' par une transformation de méme nature.

Prenons, par conséquent, deux courbes minima quelconques Fy /",
représentées par les équations

Y = B{t);

Z = C{t),

\X' = A'{r),

Y' = ir{T),

\Z = C\z),

* Darboux, Légons sur la théorie générale des sur/aces^ t. 1, p. 396.

Sur un mode de traDsformatioD des surfaccs oiiDixDa.

261

et soient S , S^ les deux surfaces minima, adjointcs Tune de Tautrc,
données par les équations

S

y

Ä

\2% = A{t) ■\- A {x),

2y = B{t) + B' {t),

[2Z = C{t)+ C(t),

i ix, = i[A{t) - A'{t)1
2y. = i[B(0-B'(r)],
2z, =i[C{t)-CiT)l

d'ou Ton tire iiiversenient

A{t) = X — tx
B{t)=y-

C'(0 = ^-'<

0>

A\t) = X + ix^,
C\t) = z + iz,.

Appliquons ä chacune des eourbes F , F' une de ces transformations dont
il vient d'étre question, qui font correspondre un point ä un point et
qui changent les eourbes minima en eourbes minima. On obtient deux
autres eourbes minima F, , r\'«

X, = F[Ä{t) , B{t) , C{t)l

I\ Y,= (P[A{t) , B(t) , C{t)l

. Z. = n^t) , B{t) , C{t)l

X[ = F'[A'{t) , Rir) , Oir)],
r; Y{ == 0'[A'{t) , B'{r) , C{t)1

et une surface minima 6*

2^1 = Xj + -XJ,

s, 2y, = r, + rj,
.2z, = z, + z;.

262 E. Ooursat.

Si on remplace dans ces formules A{t) , B{t) , C{t) ; ä\t) j B\t) , C'{t)
par leurs valeurs en fonction de x ^y j z\ x^^ y^j z^ et si on divise par
2 les coordonnées x^yy^jZ^j on aboutit aux formules suivantes pour re-
presenter la surface S^

(6)

Ces formules sont bicn de la forme (i) et, d'aprés ce qu*on vient de
voir, ce sont les plus générales qui satisfassent aux conditions du pro-
bléme proposé.

4. Nous sommes done amenés a rechercher les transformations de
Tespace qui font correspondre un point ä un point et qui changent toute
courbe minima en une nouvelle courbe minima. Soicnt

(7)

(X. =F(X,Y,Z),

r, = 0{x,Y,z),

IZ, = 'l'\X,Y,Z)

les formules qui définissent une transformation de cette espéce; la somme
dX\ -\- dY\ '\- dZl est égale a une forme quadratique homogéne de
dX , dY y dZ dont les coeflficiénts ne dépendent que de X, F, Z. Mais,
puisqu*on doit avoir

rfX? + rfrj + rfZ? = o

toutes les fois que l'on a

dX' + rfF' + dZ' = o,

il faut évidemment que Ton ait identiquement

(8) dX\ + rfFJ + dZ\ = A(rfi' + rfP + dZ%

X ne dépendant que de X, y, Z. On connait toutes les transforma-

Sar un mode de traosformatioD des surfaces minima.

263

tions de la forme (7) qui satisfont a cette condition.* EUes résultent de
la combinaison de transformations par rayons vecteurs réciproques avec un
déplacement, et dépendent de dix paramétres arbitraires. Ces transfor-
mations peuvent étre définies d'une maniére elegante, si l^on emploie
les coordonnées pentasphériques; elles résultent alors d'une substitution
orthogonale ä cinq variables effectuée sur ces coordonnées. Il n'y a
aucune difficulté ä déduire de la Texpression générale des fonctions
FyFj 0j ^% W j W qui figurent dans les forinules (6) et par suite
des fonctions fj^j(p des formules (i). Il est ä remarquer que, si la
surface primitive S est reelle, les formules (i) donneront une iniinité de
nouvelles surfaces qui seront toutes reelles, pourvu qu'on applique aux
deux courbes F , F' des transformations imaginaires conjuguées.

6. Supposons que les transformations appliquées aux deux courbes
minima F j F' se réduisent a une inversion par rapport a une sphére de
rayon R ayant pour centre Torigine des coordonnées. Les formules (7)
deviennent ici

(9)

Y. =

Z. =

JJ'X

X'

+ r' + z"

B»r

X'

+ 7' + Z"

v»

1 xrt 1 f/1 '

et les formules (6) nous donnent

(10)

x^ = Ux + Vx^j
z^ = IJz + Vz^,

* Liouvn.LE, Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1*'® serie, t. 13, p.
220 et t. 16, p. 103.

Darboux, Ménwire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des sysiémes oriho-
gonaux. Annales de rRcole Normale, t. 7; 1878.

204

E. Qoursat.

en posant, pour simplifier Técriture,

('0

u^

v =

(«? + y* + z* — xl-yl — zy + 4{xx, + yy^ + ««.)*'

• I • ■ ■ -I

(x' + yy+ z'r^xl — yl-^ zl)* + 4(««, + yy, + zz,y

Ces formules mettent en évidence la propriété suivante: les trois points

de coordonnées (ii^, y , -8^) , (^p , y© ? ^o) > (^i » ^i > ^i) ^^"* ^^^^ ^^ méme
plan passant par Torigine. La transformation qui prccédie a déja été

éniployée pär M. Lie.

265

UNTERSUCHUNGEN OBER DIE NORMEN KOMPLEXER ZAHLEN

VON

K. SCHWERING •

in G0E8FBLD.

Wenn a^ = i, A Primzahl und a nicht reell ist, so heisst der Aus-
druck

a^a + a^a^ + ^tga^ + . . . + a^-ia^^S

wo a, , a^ , flTg , . . . , ÖA-i reelle ganze Zahlen bedeuten, eine aus A^*° Ein-
heitswiirzéln gehUdete komplexe ZahL Unter der Norm einer solchen kom-
plexen Zahl versteht man das Produkt

r

Die Berechnung einer solchen Norm ist bei zahlentheoretischen Unter-
suchungefi insofern eine Sache von grund legender Bedeutung, als die Norm
allein Auskunft öber die wesentlichen Eigenschaften einer komplexen Zahl
geben känn. Es war daher unbedingt geboten, in erheblichem Umfange
Normenberechnungen durchzuftlhren und die Ergebnisse in Tafeln zusam-
men zu stellen. Solche Tafeln hat Herr C. G. Reuschle mit grosser
Sorgfalt berechnet, und die Akademie der Wissenschaften in Berlin hat
den Druck auf ihre Kosten herstellen lassen. Ist hiermit dem prak-
tischen Bedtlrfnisse abgeholfen, so bleibt gleichwohl för die Theorie die
ebenso intercssante als schwierige Aufgabe zu lösen, den wirklichen Aus-
druck der Norm näher zu untersuchen. Schon Herr Reuschle selbst
hat in dieser Richtung Wege gezeigt. In einer kleinen Gelegenheits-
schrift Entwicklung von Produkten konjugirter Faktoren, Stuttgart 1874,
finden sich beachtenswerte Angaben tiber die Bildung der Norm. Ins-
besondere biidet er die von ihm sogenannte kuhische Norniform und ver-

Åcta fnathematiea. 11. Imprimé le 10 Avrll 1888. 34

266 K. Scbwering.

wendet sie för Primzahlen des eiöten Tausend. Wenn nun meine eigenen
Untersuchungen einen ganz anderen, und wie ich glaube, zweckent-
sprechenderen Gäng genommen haben, so verdanke ich dies dem glQck-
lichen Umstande. dass mir die Aufgabe der Norrnenberechnung bei einem
besonders geeigneten Ausgangspunkte entgegentrat. Ich wurde nämlich
durch eine von Herrn Kronecker gestellte Frage veranlasst, die Normen
trinomischer komplexer Zahlen zu untersuchen und kam so zu dem
Bd. 10 S. 79 (diese Zeitschrift) stehenden Ausdrucke. So blieben meine
Rechnungen in ziemlich weitem Umfange wirklich ausftlhrbar und ich
sah mich in den Stånd gesetzt, flir die von wir gewählte Form alle
Fragen nach Anzahl und Bildung der auftretenden Glieder vollst&ndig
beantworten zu können.

1. Fangen wir mit einem Beispiele an. Wir suchen die Norm

«

N{z + aa + ha? + ca-'); a^ = i.

Zu diesem Zweckc bilden wir

(i) P[z) = {z + a + b + c)N{z + aa + 6a* + ca').

Dann hat die Gleichung P{is) = o die A Wurzeln:

Zr = — (aa** + ha^'' + ^a""")- (r=o,i,2,...,Ä-i)

Suchen wir zunächst die Potenzsummen diescr Wurzeln zu bestimmen.
FQr jede komplexe Zahl

jr(a) = «o + ^i« + ^2»^ + • • • + «Ä.-ia^~*
erhält man

(2) jf(i) + jr(a) + {r(a') + . . . + jr(ct^-') = ?M,.
Dies soll kUnftig durch

(3) 2:f^(a) = X%

kurz ausgedrtlckt werden. Bezeichnen wir nun die Summe der ä**° Po-
tenzen kurz durch ä^, so ist:

(4) ^^A = ^ + ^ + . . . + ^Li = 2:(— iy{aa'' + ba"- + ca^^f.

Untcrsuchungcn Ubcr dic Normen komplcxer ZahIcD. 267

Entwickeln wir nun rechts nach dem pohjnomischen Lehrsatze, so liaben
wir nur diejenigen Glieder zu berftcksichtigen, welche wir oben mit a^
bezeichneten, alsö die Glieder von der Form

.A

^ ^ ^k\l\m

wo kyl,m den Bedingungen gentlgen mtissen:

Ä + (?/ + em = o (mod A),

(5)

Wir sehen hier die verallgemeinerte Form derjenigen Kongruenzen vor
uns, welche zuerst E. Kummer bei Zerlegung der ^-Funktionen in Fak-
toren bemerkt hat. Ganz allgemein können wir diese Kongruenzen so
erklaren:

a^rr, + a^x.^ + . . . + a^x^ =: o (mod A),
^1 + ^3 + • •• + ^m < ^•

(6)

Die ai , aj , . . . , a^ sind gegébene positive öder negative ganze Zahlcn, die
Unbekannten x^ ^ x^ ^ . . . y x^ dtirfen nur positive ganze Zahlen sein. Diese
Kongruenzen bilden einen Hauptgegenstand unserer Untersuchungen und
mogen kurz als KuMMEUSche Kongruenzen m*" Ordnung bezeichnet werden.
FQr alle durch die KuMMEiische Kongruenz 3**' Ordnung (5) be-
stimmten Wertegruppen k y I j m finden wir

(7) ** = '^S(-')*-fiå;;i«**'^"-

k. I, m I |_ I

A US diesen 5^ sind die Koeflficienten p^ durch die WARiNGsche Formel
zu gewinnen. Obwohl diese Formel in der erwähnten Abhandlung S. 62
bereits von uns abgeleitet worden ist, können wir nicht umhin, diese Ab-
leitung hier noch einmal in gedrangter Körze zu wiederholen. Es soU
namlich eine, wie es scheint, nicht umvesentliche Erweiterung dieser be-
kannten algebraischen Formel angeschlossen werden.
Es ist

,„g(._,,) = ,„g._i.,,_i.i..,;_... -i.i.^-....

268

K. Schworiog.

Dahcr

logP = Alog^— ^.5j— i.i.5.

Nun erscheinen aber unsere Sf^y wie Gleichung (7) zeigt, wieder als
Summen und zwar aus Summanden von der obigen Form. Demnach
wird

(8)

P= z

Ä(-l)*^->.

\±Zl a»6'c«

'Hö" ''.-\i\- '*

Ftir jede Wertgruppe kylyniy welche der KuMMEiischen Kongruenz (5)
gen tigt, hat man also die Reihe zu bilden:

+ ---+n(-0

fh-\-t

^ — I a*6'c

m

k I

m

(r-1,2,3, ...)

Die so entstehenden Reihen sind zu multipliziren und das Produkt noch
mit z^ zu vervielfachen. Alle Potenzen mit negativem Exponenten von
z fallen weg. Bei dieser Entwicklung spiélen also die Wertverbindunffen,
welche den KuMMERschen Kongnienzen genugen, diesélbe JRollCj welche bei der
gewöhnlicken WARiNGSchen Entwicklung den Potenzsummen zufällt. Hierin
besteht die oben angekilndigte Erwciterung der WAKiNGschen Formel,
Man ist nun irastande, eine Reihe wichtiger Bemerkungen zu unserer Ent-
wicklung zu machen.

I.) Eine Auflösung der KuMMERSchen Kongruenz lautet

A; = o, Z = o,

m = A.

För diese Wertverbindung erhalt P laut Formel (8) den Beitrag c\
Ebenso entstehen aus A = o, Z = A, m = o und k = X^ I = o, m = o
die Beiträge b^ und a\ k = Oyl = o, m = o liefert z^.

2.) Ausser den vier Gliedern z^ j a^ , b^ y c^ haben alle in P auf-
tretenden Summanden den Faktor A.

3.) Man känn die in (5) auftretende Ungleichung ersetzen durch

k + I + m < A.
Denn ftlr A + ^ + '^^ = ^ erhalten wir in P die von z freien Glieder,

{a + b + c)N{aa + ba^ + ca%

Untcrsuchungcu Uber die Normen komplcz^r Zahlcn. 269

welche als Norm einer trinomisclien Zahl (einer Zahl niedrigerer Ordnung)
ftir erledigt gelten könneii.

Die vorstehenden Untersuchungen sind zwar nur ftlr die viergliedrige
Zahl z + aa -{- ha^ + ^a' durchgefQhrt. AUein es ist klar, dass die ge-
zogenen Schlttsse mit geringer Anderung dllgemeine Géltung erhalten.

Wir verzichten also darauf, die Faktoren unserer Norm nach Perioden
zusammenzufassen. Anders wird der praktische Rechner verfahren. Er
wird mit Reuschle z. B. för A = yn + i zunächst m Faktoren zu einem
Produkte -^^^o +-^i7i ^-^a^a vereinigen und dann die Norm dieser Zahl
nehmen. Leider scheinen aber die Gesetze, nach denen sich die Zahlen
Aq, A^, A^ bilden, durchaus nicht einfach zu sein. Ja, es ist sogar von
grossem Vorteil, den Faktor ^ + a + & + c zur Norm hinzuzufögen. Ist
so in P der mit A multiplicirte Teil bercchnet, so weiss man, dass der-
selbe för jede komplexe Einlmt von der Form ^ + «« + bca^ + ca* ver-
schwinden muss, wenn a = b = c = z==+_i ist. Und statt der Gleichung

a^"^ + a^"' + ••• + «+ i = o

haben wir die einfachere

a = I .

2. Wir stellen uns jetzt die Frage: Wieviel Glieder enthält der ent-
wickelte Ausdruck:

(9) («i + «2 + • . • + «m)^^(«ia + a^a'' +'... + a^af)?

Wir werden diese Frage wieder fttr die viergliedrige Zahl in (i) beant-
worten. Die Antwort wird in einer Form gegeben werden, welche sich
alsbald verallgemeinern lässt. In dem entwickelten Produkte

{z + a + b + c)N{z + (fOL + bfjT + ca')

kommen soviel wesentlich verschiedene Glieder vor als die KuMMEKSche
Kongruenz (5) Lösungen enthält. Darunter befinden sich aber die sämt-
lichen Glieder des Produkts nächstniedrigerer Ordnung, nämlich die-
jenigen, filr welche ^ = o, also fc + i + m = A ist. Daher finden wir
die Zahl, um welche die Gliederzahl des Produkts aus vier Elementen

270 K. Schweriog.

die Gliederzahl des Produkts nachstniedrigerer Ordnung tlbertriflt, wenn
wir die Anzahl der Lösungen der Kongruenz

(lo) k + dl + sm = o (mod A)

bestimmen, fttr welche ist -

k + I + m < Å.

Wir betrachten die Funktion f>{z , x) von der Form:

/ \ / \ * ^ *

x^z

Dann ist

k, I, m

Die Reihe ist konvergent, wenn die drei Grössen xz , x^z , x^z ibrem ab-
soluten Betragc nach jede kleincr als Eins sind. Ersetzen wir x durch
a , a', a', . . . , a^ und addiren die so entstandenen Reihen, so wird rechts
jede Potenz von x in Wegfall kommen, fttr welche die Kongruenz (lo)
nicht erftiUt ist. Jede Lösung k j I , m derselben liefert dagegen den
Beitrag A. So erhält man

(12) ^f (-^j a) = AZr/;^.^\

a

Hier bezeichnet a^ die Anzahl der Lösungen der Kongruenz (10), welche

die Eigenschaft Jmben, dass ihre Summe h ist;

* . •

(13) k -^r I + m = h.
Setzen wir andererseits

(14) 4^{^^) = (w — ^)(w — ^^){u — X-),
so ist

*• I . X^" I «2i

(15) if.{z , x) — ^,/(^^- j _ ^^ + ^'(^,)j- , _ ^,5^ + ^>^.^,y , _

Als Koefficient von ^ erscheint daber jetzt:

jgA + 2 j^«Ä + 2J /p(Af2f

«^«

Uotersuchungen ttber die Normen komplexcr Zablen. 271

Wenn wir nun h alle Werte von NuU bis A — i durchlaufen lassen und
dann öber alle Werte o? = a , a' , . . . , a^ summiren, endlich das Resultat
durch A dividiren, so erhalten wir zufolge (12) die Anzahl der Lösungen
der Kongruenz (10). Schliessen wir zunachst den Betrag der Summe för
a; == a* = I aus. Dann sind zwei Zahlen h! und Ä" immer so wählbar,
dass man erhält

(A' + 2)(?= (Ä" + 2)s = (A + 2) (mod A).
Hierdurch äber verwandelt sich der Ausdruck (16) in

^.+2

rA'(a) + iP\a^) + 4^\a^)

Der Klammerausdruck ist, wie • die Entwicklunff von -7-7— v nach fallenden

Potenzen von u zeigt, identisch NuU. Mithin liefert die Summirung tlber
die komplexen a zur Summe der Koefficienten a^ keinen Beitrag. Es
bleibt also noch der Beitrag, den x = i liefert, zu bestimmen. Dieser
ist zusammengesetzt aus samtlichen Koefficienten von 1^ in ^(js , i).
Nun ist

n^^ O-^TTT^-Z. Til — ^

und die Summe aller Zahlen ^ von h = o bis A = A — i

1.2

beträfft -^^ -. Trennen wir A ab, so ist die sesuchte Zahl

° I .2 . 3 ' °

^^ . Um soviel Ubertrifft die Anzahl der Glieder des entwickelten

2 . 3

Produkts P aus vier Elementen die Anzahl der Glieder des Produkts
nachstniedrigerer OrdnUng. Durch ganz analoge Schltisse findet man,
dass das Produkt P fftr funf Elemente dasjenige för vier um

a + i){Å + 2){i + 3)
2.3.4

tibertrifft u. s. w. Hiernach erhalten wir das Endergebnis:
Das atcs m Elementen zusammengesetzte Produkt

^' = (^1 + ^2 + . . • + 0^(^ia + ^ja"^ + • • • + ^mof)

272 K. SohweriDg.

enthdlt

(..\ _ o , / -h 1 , (>^+ \){k + 2)- (k^ l)U -h 2)...(^ + m — 2)

(17) /y- 2 +_— + — - -t- ... + - -2. 3... („,„,)

verschiedene Glieder.

So ist far ; = 1 1

m = 2 , 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

.9 = 2 , 8 , 34, 125 , 398 , 1 126, 2894, 6872 , 15270.

3. Im vorhergehenden Paragraphen haben wir die Anzahl der ver-

schiedenen Glieder des entwickelten Produkts P kennen gelernt. Wir

suchen jetzt die Bescliaffenheit dieser Glieder nilher zu bestimmen. Wenn

die komplexe Zahl, deren P gesucht wird, aus vier Elementen besteht,

also

z '\' aoL + ba!^ + ca%

so känn man f rågen: Wieviel Glieder a^Vc^^z"" kommen in P vor, hei denen
die Zahlen k y I , m , n sämtlich von NuU verschieden sind? Diese Frage ist
nicht ohne Bedeutung. Denn ihre Beantwortnng gibt zu erkennen, wieviel
Koefficienten in P wirklich neu zu berechnen sind; ist nämlich eine der
4 Zahlen k , I ^ m , n Null, so känn man den betreffenden Koefficienten
durch die Berechnung des P einer trinomischen Zahl finden. Und
Gleiches gilt allgemein. För die Berechnung des P einer aus m Ele-
menten bestehenden Zahl sind nur diejenigen Lösungen der KiiMMEiischen
Kongruenz von Bedeutung, welche von Null verschieden sind.

Wir lösen die Aufgabe zunächst för m = 4 und dehnen dann die
Lösung durch ein Verfahren weiter aus, welches dem im vorigen Para-
graphen analog ist.

Ftir das P einer vierelementigen komplexen Zahl haben wir die 4
Glieder z^ + a^ + b^ + é , Verschwindet eins der Elemente, so entsteht

eine trinomische Zahl, es erscheinen also Glieder von der Form

' 2

cfVz''. Im ganzen zeigen also 4. Glieder diese Form. Endlich

UotcrflachaDgeD ttber die Normen komplexer Zablen. 273

bleiben die Glieder von dem gesuchten Typus, x an der Zahl. Daher
mit Röcksicht anf (17)

' ^ 2 * ^ ' 2 ' 2.3

Hieraus folgt durch leichte Rechnung:

(/ — i)(/ — 2) ;. — I

.r =

2.3

Zur Verallgemeinerung unseres Ergebnisses greifen wir auf die Funktion
f^{js , x) zurHck. För das entwickelte Produkt P der fttnfelementigen
komplexen Zahl

z + aa + ha!' + ca' + da!'

fftllt die Frage: »Wie gross ist die Anzahl der Glieder vom Typus
a^h^(f'(r'z^?y> genau zusammen mit der folgenden: »Wie gross ist die An-
zahl der Lösungen der KuMMERschen Kongruenz

k + ^?^ + ^w* + »'>^ = o (mod ?,),
k + 1 + m + n < Å,

wenn keine der Zahlen A; , / , an , n verschwinden darf?»
Bilden wir die Funktion:

XZ 9S^Z x^z x^z

I — XZ I — ^Z I — X^Z I — «*.

SO wird jetzt der Koefficient von ;8r*, wenn

i}^{n) -- {u — x)[u — x"){h — xr){u — x^).

^]4'Ur + »V

jjj/i-i ^(Ä-i)^ a;^''-!)* fr(A-i>M

Fftr Ä = I , 2 , 3 wird der Klammerausdruck identisch NuU. Lassen wir
auch h = A zu, so durchlaufen die Exponenten von x wieder völlige Rest-
systeme mod Å, können also zur Summe Null zusammengefasst werden^ wie
fröher. Bestimmt man den Heitrag för ir = i, so findet man ihn aus

— zY ^ 1.2.^

(I —zy

Aetm mmtkfmmtiwm. II. ImprinA le 17 AttII 1888. 35

274 K. Sohweriog.

analog wie frQher zu ^. Aber die8e Zahl ist noch um

o 2.3.4

diejeiiige zu vermindern, welche der anfangs ausgeschlossenen Annahme

Ä = A entspricht. Diese Annahme besagt aber, dass ajbjCyd einen von

Null verschiedenen, e den Exponenten Null haben soll. Die Anzahl

dieser Fälle haben wir oben bestimmt; es ist die Anzahl der analogen

Glieder in dem P, welches ein Element weniger enthftlt. Die fönfele-

mentige Zahl liefert also in dem entwickelten Produkte eine Anzahl

Glieder

(/->l)(^-2)(/-3) {Å^l){Å^-2) Å^l

' 2.3.4 2.3 "*" 2 '

f

welche alle 5 Elemente enthalten. So findet man allgemein:
In dem entwickelten Produkte

P = {a, + a^+ ... + aJ)N{a,a + a^a^ + . . . + a^o!") ^
kommen f^ Olieder voVy welche alle m Elemente enthalten, wo

^ ^ /m - 2.3...(m— i) 2...(rw — 2) "r--— 2

Far das Produkt aus A — ^. i Elementen

K + öj + . . . + «A-i)-^(«ia + «««' + . . . + «A-ia^^')
erhält man daher die bemerkenswerten Beziehungen:

^.^ I (;— \Xk — 2) k—\ _

'*" ^ 2 2.3 2

Ebenso findet man

/a-2 = ^—
und allgemein

(19) /a->v = /*.+ !•

Nun sind wir imstande, in einem gegebenen P„ die Anzahl und die Fotw
der Glieder genauer anzugeben. In P« finden sich f^ Glieder, in denen
koin Element fehlt, m.f,„_^ Glieder, in denen ein Element fehlt.

Glieder, in denen zwei Elemente fehlen, u. s. w.

Untersuchungen Ubcr dic Normen komplczcr Zahlcu. 275

So hat man fttr / = 7 in dem Produktc F.

6

6 . 3 Glieder, welche 5 Elemehte ent halten, = 1 8

15-2

»

})

4

»

))

30

20.3

y>

))

3

j>

))

60

6

T)

D

I

»

))

6

Im Ganzen 1 1 4

Diese Zahl liefert auch Formel (17).

Fttr A == 1 1 hat man in dem voUstandigen Produkte

10. 5 Glieder, welche 9 Elemente enthalten, = 50

45.10

D

D

8

)>

))

450

120. 20

Ji

V

7

)>

)>

2400

210.22

»

»

6

»

»

4620

252. 20

»

»

5

))

)»

5040

210. 10

1>

))

4

);

)>

2100

120. 5

))

»

3

)>

)»

600

10. I

J)

D

I

)>

))

10

Im Ganzen 15270 Glieder.

Stellen wir nun noch die LehrscUze zusammen, welche fOr die Kummek-
schen Kongruenzen im vorstehenden als richtig gefundcn worden sind.

I .) Sei

«i X, + a^x^ + . . . + ((„x,^ ~ o (mod A),

.r, + »^2 "I • • • I" •*'m < ^1

eine KuMMERSche Kongruenz w^" Ordnung, so erhält man, wenn alle
positiven ganzzahligen Lösungen einschliesslich o und A zugelassen werden,

/ + I , , M + I )(/ + 2) . . . (/ 4- m — i )

<7 = 2 H h • • • H

2 . 3 . . . w

Wertsysteme x^ ^ x^ ^ . . . y x^.

2.) Werden aber o und A nicht zugelassen imd soll sein

^l + ^3 + • • • + ^m < ^'

276 K. Schweriog.

SO erhält man nur

. (Å— 1){Å — 2). . ,{X — m + i) {Å — i){Å — 2) . . .{ä — m + 2) . , Å— i

' 2.3...m 2 . 3 . . . (w — i) ' — 2

Wertsysteme.

3.) Werden Lösungen r,. = zugelassen, wird aber die Bedingung
gestelit

^'1 "T ^2 I • • • I ^w "^ ^9

so betragt die Anzahl der Lösungen

(; + iXÅ -f 2).. .(/ + m— I)
2 . 3 . . . m

4.) Werden Lösungen x^ = o ausgeschlossen, aber die Sumuie gleich
A zugelassen, so beträgt die Anzahl der Lösungen

(/ - i)(^ — 2) . . . (^ — m + I)

2 . 3 . . . W

5.) Sind zwei KuMMERsche Kongruenzen gegeben

a,ic, + ^2^-2 + • • • + ^m-^m "^ O (mod A),

:r, -f" •''2 "T • • • I '^m ^ A,
/^i^i + ^2^/2 + • • • + Kl/n = o (mod A),

//. + 2/2 + ... + Z/„ < A,

unter Ausschluss der Lösungen x^ = o y y^ =^ o, so ist die Anzahl der
Wertgruppen der x genau gleich derjenigen der y, wenn m ^ n = ?, — i.

Beispiel, A = 7.

rr, + 2a;, = o (mod 7) ; y, + 2//,^ + 3^/3 + 4//^ = o (mod 7)

^i + '^2 < 7 l/i + ^2 + ^3 + !/4 < 7

•''i = 5.3,1 //, = 1,2,1

X, = I , 2 , 3 ;y^ = I , I , 3

»/s = J » 2 , I

y* = 2 , 1 , I

UDtorsuchungcii Ubcr dic Noroicn kotuplcxer Zahlcn. 277

Die vertikal unter eitiauder steliendeii Zahlen gehöreii zusaiiiiiien. Lassen
wir aber die Null lösungen und die Summe =A= 7 zu, so hat die
zweite Kongruenz noch folgende Wertsystenie:

//: -^ 1,3,5,0,2,4,1,3,1,0,0,0,0,1,1,1,2,0,0,1,

.'/.; ^ 3 . 2 , I , 2 , I , o , o , o , I , o , 3 , 2 , I , 2 , I , o , o , o , I , o,
//, =--0,0,0, I , I , 1,2,0,0, I , I ,3,5,0,2,4, 1,3, 1,0,
y^ =0,0,0,0,0,0,0, I, I, 1,3,2, I ,4,3,2,4,3,4,5,

y, =0, I, o, 2, I, o, 2, 2, 3, 4, 4, 3, 2, o, I, 2, 3, 0,0,0,1,2,1,
yi= 4, 2, I, o, o, o, 2, 4, 2, 1,0, o, o, 2, 5, 3, I, 5, 3, I, 3, 1,1,
y, =2, 3,4,4, 3f 2, o, o, I, o, 2, I, o, 2, I, 2, 3, o, o, o. I, 2, I,
y, =0,0, o, o. I, 2, 2, I, I, 2, I, 2, 3, I, o, o, o, I, 2, 3, I, 1,2.

Dies sind 43 Lösungen, zu denen noch die 5 sclbstverstftndlichen mit 4
bez. 3 Unbekannten = o treten. Im* ganzen 48. Es ist

,8,8.9,8.9.10 , , , o

2 + - + — ^ + -T^T—r = 2 + 4 + 1 2 + 30 = 48.
2 2.3 2.3.4

Lassen wir dagegen Null lösung zu, die Suinrac = 7 = A aber nicht, so

zählen wir 29 und die selbstverst&ndliche y^ ^= 1/^ =^ y^ — y^ = o, im

. 8 .9. 10
ganzen 30 = — .

Verbieten wir endlich Null lösungen, lassen aber die Summe 7 zu,

so erhalten wir 5 = ^ . Diese s Lösungen sind

2.3-4

y, = 1 , 3 . I j 2 , I,

^a = I , 2 , 3, I , I,

^3 = 2 , 1 , I , 2 , I,

!/4 = 3 » I > I . 1 » 2.

Unsere Sfttze werden also sämtlich bestStigt.

Da KuMMER die Kongruenzen mit 0wei Unbekannten, welche wir

278 K. SchworiDg.

vorhin allgeiiiein untersucht haben (mit m Unbekamiten), bei der Fak-
torenzerlegung der ^-Funktionen bemerkte, «o könnte der Gedanke ent-
stehen, dass durch analoge Schlftsse sich aus der Verallgemeinerung der
Kongruenzen eine Verallgemeinerung der ^-Funktionen ergeben werde.
Meine Bemöhungen in dieser Richtung haben mich aber nur zu Pro-
dukten der (p gelangen lassen, sind also nicht von Erfolg gewesen.

4. Bisher haben w\v Untersuchungen Hber Form und Zahl der im
entwickelten Produkt F auftretenden Glieder angestellt. Wir wcnden uns
jetzt der Koefficientenbestimmung zu. Wir geben dem Produkte, welches
wir auch kurz Normprodukt nennen werden, die Form

(20) p = (^z + a + b + c)N{z + aoL + ha' + ra-')

= ^^ + a' + // + c^ + XLKa'y&^2\

Wenn wir frtther von vierelenientigen Zahlen ausgingen, so verfolgten wir
dabei wesentlich äussere Zwecke. Wir hatten mit einiger Einbusse an
Durchsichtigkéit des Vortrags gleich die allgemeine Form mit m Elementen
wfthlen können. Jetzt liegt die Sache änders. Die von jetzt ab vorzu-
tragenden Entwicklungen können nur fttr viei'elementige Normprodukte
Geltung beanspruchen.

Die Zahlform z + aa + ba^ + col^ känn im ganzen ^

verschiedene Gestalten aufweisen. Denn d und e dftrfen alle verschiedenen
Paare von 2 Zahlen aus der Reihe 2 , 3 , . . . , A — 2 sein. Aber diese
verschiedenen Paare föhren nicht immer zu verschiedenen Normen. Be-
zeichnen wir nach dem Vorgange vieler Mathematiker den numerus sodus
von d öder diejenige ganze Zahl d'y welche die Eigenschaft hat, dass

dd" = i (mod A) wird, kurz durch ^, so ist:

N{z + aa + hfi' + ca') = N{z + aa* + 6a + ca^) = N{z + aa* + ba' + ca).

Kennt man also die zum Paare d , e gehörige Norm, so erh&lt man durch
Vertauschung von b mit a, a mit b die zum Paare ^, -r gehörende Norm
U. 8, w.

UoterBuobuDgeo ttber dia Normen komplezer Zahleo.

279

Es ist aber auch

N{z + aa + ho? + ca') = N{za-' + a + ba^-' + ca'"*)

== N{a + za + ba'^' + ca''').

So sirid wir zum Paare i — ^ , i — e gelangt. Es gelingt, durch An-
Wehdung derselben SchlUsse, im ganzen 12 Paare anzugeben, welche zu
It Normen fohren^ die durch die Berechnung einer einzigen aus ibnen
gewotinen werden und, wie wir sägen werden, eine Periode bilden,
Diese 12 Paare sind die folgenden:

(2.)

I — t — £ \ . /e — 1) s— I , . / s fJIlö\.

id- I

d

e o — s

)■

Die Art dieser Zusaminenstellung erhellt aus Folgendein. Wir nennen
diejenige SubstitiUion, welche das Paar {d , s) in (- , -) Oberfnhrt tt>,

ebenso diejenige, welche (^,s) in ( _ » _ j ttberftthrt ;f; dann ge-
winnt das Schema (21) die folgende Gestalt:

(22)

I , (O

(O,

X , xo> , X^ '

3 3 9 3

Die Zusammenstellung ;^a> hezcichnet, dass zuerst die Substitution x ""<!
dann (o vorgenommen worden soll. Wir hemerken die Gleichungen:

(23)

co' = I,

r= »•

280 K. Schwenog.

Ferner bemerken wir, dass durch die Substitution wj^to^^io^ dag Paar
{d , e) in {s , d) umgewandelt wird. Daher sehen wir, dass im ganzen
24 Wertepaare orhalten werden und mehr können nicht vorhanden seiv.
Denn die Zahlform z -{- aa -{- bod' + ca^ liefcrt durch Vertaiischung der
4 Elemeiite z , a , b , c Dberhaupt 24 verschiedene Darstellungen und jede
diéser Darstellungen können wir durch Division mit einer geeigneten
Potenz von a und nachfolgende Vertauschung von a gegen eine andere
geeignete Potenz von a in die Form z '\- na ••{- bof + ca^ setzen.

Aber die Perioden der Paare {d , s) brauchen nirht 1 2-gliedrig zu
sein. »Sie können weniger Glieder enthålten.

I.) Wenden wir uns zunachst der Substitution y^ zu und nehinen
an, dass sie keine Veränderung bewirkt. Dann erhalten wir zur Be-
stimmung derjenigen [d , s), welche solche Perioden Hefern, die Kon-
gruenzen :

(mod /).

^> = , £ EU -

I — £

Hieraus folgt sofort (i — e)' + i ~o (mod A), und wenn wir setzen

(24) i9' + I =0 (mod;),
dann erhalten wir dio dreigliedrige Periode:

(25) (--«, .-*);(l4^\i^^);(l +Ä,Ä).

Wir bemerken, dass die Summe der Arguraente bei dem zweiten Paare,
die Differenz bei dem ersten und dritten der Einheit kongrucnt ist. Also
ist die Differenz der Argumente bei zwei Paaren der Einheit kongruent
2.) Nehmen wir an, ^ bewirke Veränderung, aber y^ nirht. Dann
gelangen wir zu den Kongruenzen

(mod A),

å '"'

— e

" a £'

^ d £

woraus folgt

(26) s — d~ I (mod X).

UntersuchangeD ttber die Normen komplexcr ZahleD. 281

Hieraus folgt die sechsgliedrige Periode:

(27)

(s- I , s); (i , I - i) , (. +^ , ^);
, (t^, ' ' + r^) ; (i -y^,,j^) ; (2 - s, r - e).

Auch hier haben wir, und zwar genau viermal, den Fall vor uns, dass
die Differenz der Argumente die Einheit ergibt. Nur viermal, denn bei
den andern ist die Summe der Einheit kongruent.

3.) Es bleibt die Annahme zu erledigen, dass w keine Veränderung
bewirken soll. Dann folgt

(28) d==s\ £'= I (mod A).

Es ergibt sich eine viergliedrige Periode, nftmlich

(29) (rzri'-^')' (-^'ri.-7i)'(^-^'' '-^)-

Oben fanden wir, dass bei der dreigliedrigen Periode stets zwei Argumenten-
paare, bei der sechsgliedrigen stets vier Paare entstehen, deren Differenz die
Einheit ist. Umgekehrt lasst sich zeigen, dass aus der Annahme e = ^ -j- i
immer ein dreigliedriger öder ein sechsgliedriger Cyklus sich ergeben muss.
Mithin kommt weder in einem zwölfgliedrigen noch in einem mergliedrigen
Cyklus ein Argumentenpaar von der Form (^, <? + O vor.

Nun ist es leicht, die Anzahl der Perioden, d. h, die Anzahl der
wesentlich verschiedenen vierelementigen Normen anzugeben.

I.) Sei A = I2W -|- I. Die Kongruenzen *' + 1=0 und s*= i
(mod A) können beide erftlUt werden. Die Zahlenpaare (e?,(?+ i), deren

A — 3 vorhanden sind, verteilen sich in den einen dreigliedrigen und

(;[ 2)(Å 3)

3w — I sechsgliedrige Cyklen. Da ^ —= (6n — i)(i2n — i)

Zahlenpaare vorhanden sind, so mössen 3^(2^ — \) zwölfgliMrigeY^vxoÅ^w
vorhanden sein. Im ganzen sind 6n' -|- i verschiedene Normen zu be-
rechnen.

2.) Sei A= I2n+ 5- Der viergliedrige Cyklus fehlt, der d/rei-
gliedrige ist vorhanden. Wir erhalten n(6n + i) zwölfgliedrigej ^n sechs-
gliedrige Cyklen, im ganzen 6n' + 4n + i verschiedene Normen.

Aeta matfumatiea, 11. Imprimé le 31 åtHI 1888. ^Q

282

K. Schweriog.

3.) A = 1 2w + /• Der viergliedrige Cyklus ist vorhandeu, der drei-
gliedrige fehlt. Es existiren 3w(2w+ O zwölfgliedrige, 3n+ i sech^gliedrige
Cyklen, 6n^ + 6w + 2 verschiedene Normen.

4.) A= i2n+ !!• Die Ausnahmecyklen fehlen, man hat nur
6n' + 7n + 2 zwölfgliedrige, ^n + 2 sechsgliedrige Cyklen, im ganzen
6w^ + low + 4 verschiedene Normen.

Versteht man unter E[a) diejenige ganze Zahl, welche nicht grösser
als a ist, so ist in den drei erst^n Fallen die Anzahl der verschiedenen

Normen i + E , im Falle i2n + 11 aber E ^ "~ ' .

'24 ' 24

Zahlenbeispiele.

I.) A =5.
Es entsteht nur ein Cyklus, der dreigliedrige

(2 , 3) , (2 , 4) , (4 , 3).

Es ist nur eine Norm zu berechnen.

2.) Å = 7.
Es entstehen zwei Cyklen, daruntcr noch kein zwölfgliedriger.

I- (2,4);

(2 , 5) ; (3 1 6) ; (6 , 4).

2- (2 , 3) ; (5 , 3) ; (5 . 4);

(3 , 4) ; (2 , 6) ; (6 , 5).

Es sind also ewei Normen zu berechnen:

N{z + ffa + ia' + ca*) und N{z + aa + fto* + ca').

3.) A= II.
Es entstehen 4 Cyklen, 2 sechsgliedrige, 2 zwölfgliedrige.

I.

2 , 3) ; (4 , 8) ; (7 » 6) ;

5, 6); (2 , 10); (10, 9).

2 , 4); (3. 6); (2, 6);
7, 4); (3, lo); (10, 8);
7, 2); (6,9); (5,8);
10, 6); (2, 9); (5, 10);

2- (3 » 4); (3 > 9); (5, 4);
(7 , 8) ; (7 , 5) ; (9 , 8).

4. (2, 8); (7, 3); (4, 6);
(3. 8); (7, 10); (10, 4);

(3, 5); (9, 5); (9, 4);

(8, 6); (2, 5); (9, 7).

UntersuchuDgen Ubcr dic Normen komplexcr Zahlen. 28S

Es sind 4 Normen zu berechnen. Wir w&hlein ftir dieselbén die kleinst-
möglichen Zahlenpaare, also

N{z + «a + ha^ + ca\ N{z + aa + ba' + ca'),
N{z + aa + ba^ + ca% N{z + aa + 6a' + ca').

4.) A= 13.
Hier erhalten wir 7 verschiedene Normen, deren d , e wir angeben

0"= 2 , 3 , 3 , 3,2,2,2,

e = 3»4j9,ii,4»5j6.

(2 , 3) und (3 , 4) haben sechsgliedrige, (3 , 9) einen viergliedrigen, (3 , 11)
einen dreigliedrigen, die tlbrigen haben zwölfgliedrige Cyklen.

5.) A ='17.

Wir finden 1 1 verschiedene Normen, deren d , e wir angeben

ö^ =2, 3, 5, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4,
5 = 3.4.6,5,4,5,6,7,5,7,6.

Die drei ersten geben sechsgliedrige Cyklen, (4 , 5) den dreigliedrigen,
die andern zwölfgliedrige Cyklen.

5. Schreiten wir jetzt zur Bestimmung der Koefficienten selbst.
Betrachten wir zunächst dos Normprodukt mit dreigliedrigem Cyklus.
Wir haben dem Normprodukte die Form erteilt:

{z + a + b + c)N{z + rta + ba^ + ca*+')

= z^ + a^ + b^ + c^ + XTKa^Vc^^z^; *' + 1=0 (mod A).

Ausser dem Faktor z + aa + ba^ + ca^"^^ ist vorhanden

z + aa"" + ba""' + ca*'+* = z + aa!' + ha-' + ca^"',

öder nach Multiplikation mit a b + za + ca^ + aa^'^^. Daher erleidet
unsere Norm keine Veränderung, wenn man die Vertauschung anwendet
und wiederholt, welche z in b, a in ^, 6 in c und c in a tiberföhrt.

284

K. Schwering.

Daher haben die Glieder b'';^c^if und a!'Vc'*'z'' u. s. w. gleichen Koefii-
cienten. Man känn dies symbolisch so schreiben:

k I m n

m n I k

I k n m

n m k I

K,

wo den an erster Stel le geschrlebene Exponent dem a, der zweite dem
ö, der dritte dem c, der vierte dem z zukommt.

Es ist

k + M + {»+ \)m = o (mod A),

A + / + m < A.

kylyni können nicht gleich sein^ da # -f- i=o folgen wftrde; also sind
die aufgeschriebenen Exponentengruppen wesentlich verschieden. Die im
allgemeinen vorhandenen

(^~i)(x + 7)

Å+ 1 {Å + 1){Å + 2)

2 -4

2 2.3

4 =

Koefficienten schränken sich auf den 4^° Teil ein, auf — we-

^ ' 24

sentlich verschiedene.

Beispiel A=i3;^=5,£ = 6,

k-

3»

2,

I ,

5,

3,

8,

1 -

2 ,

I ,

0,

3»

I ,

1,

m

0,

I »

2,

I ,

3,

0,

n =

8,

9,

10,

4,

6,

4,

6,

4,
o,
3,

4,
2,
2,
5,

o,
4.
7,

K= +2,-3, + I ,

22,

19, + 1,— » , + 5> + 32, + 4-

Zum besseren Verstftndnis woUen wir das zugehörige Normprodukt kurz
andeuten :

{z -\- a + b + c)N{a + ao + ba" + ca')

= ^»3 + a" + ft" + c'' + 13 \2{aVz'' + ^''c»^'' + a''b*c' + c^c';?»)
— 3(a'k^'' + ab'cz^ + ai^c'^ + a%c^z) + . . .j.

UntersuchaDgeD Ubet* die Normeo komplexer Zahleo. 285

Wendei) wir uns jetzt zu den Normen mit viergliedrigem Cyklus,
Hier baben wir die Form erteilt:

{z + a + b + c)N{z + aa +'ba^ + cot^)

=. ^^ ^ a' + b' + c' + XEKz^^a^b^c''] d' = i (mod X).

Ausser dem Faktor z + aa + ba^ -}- ca^ ist aucb vorbanden

z + aa^ + ba^ + ca.

Unsere Norm crleidet keine Veranderung, wenn man a , i , c cyklisch
vertauscht. Öder in unserer symbolischen Scbreibweise

k I m n

I m k n > Ky

m k I n ,
wo

k -]- ål + o^m = o (mod jl),

k •{• I -}- m~< Å.

k , I j m können gleich sein, da i + ^ + ^' = o zutrifft. Scheiden wir
die zugehörigen Exponentengruppen aus

. _ Å- i

K — I, 2, . . . , - J

1 — >t— I

t — I, 2, • • • > J

X—i

fW = I, 2.

• • •

' 3 '
n = X — 3, A — 6, ..., I,

so verteilen sich die tibrigen in Gruppen von je drei, welche dénselben

KoejBficienten K aufweisen. Im ganzen sind ~ verschiedene

K zu berecbnen.

28(j

K. Schwcring.

Beispiel: A = 19 ; ^ = 7.

k

Z

m

n

K

&

Z

m

n

K

A;

i

m

n

K

12

I

6

3

5

n

6

10

3

I

12

6

1

5

3

II

— 7

6

10

3

22

12

I

6

3

5

II

10

6

3

■

8

I

10

13

2

I

3

6

3

I

9

I

8

10

I

2

I

13

3

— 10

3

I

6

9

30

I

8

10

I

13

2

3

I

6

3

9

16

2

I

9

8

1

I

8

7

4

2

16

I

I

8

I

9

— 9

7

8

4

30

2

16

I

I

9

8

8

7

4

I

7

II

10

4

10

2

3

4

7

II

I

— I

4

10

14

2

3

10

4

-50

XI

I

7

10

4

3

10

2

4

14

3

2

6

4

9

6

I

4

8

3

2

14

2

4

9

6

17

I

4

6

8

-56

2

14

3

9

6

4

4

6

I

8

5

2

12

9

I

2

7

.5

7

2

5

5

2

12

3

I

2

9

7

— 17

7

2

5

5

-56

2

5

12

2

9

I

7

2

5

7

5

3

4

II

I

8

3

6

2

8

5

3

3

4

II

3

I

3

3

6

8

2

21

5

3

8

3

61

11

3

4

I

6

8

3

2

3

8

5

3

13

4

2

I

II

5

2

4

2

7

6

4

13

2

7

11

5

I

2

— 21

2

7

4

6

99

4

13

2

5

I

II

2

7

4

2

6

I

I

I

16

2

2

2

2

13

23

3

3

3

10

98

4

4

4

7

86

5

5

5

4

— lOI

6

6

6

I

-83

Zum Verständnis:

(;? + a + i + c)N{z + aa + ba' + ca'')
= z^^ + a^^ + é^« + c^' + i9\6i{aVc'z^ + a'6V'^' + a'b^c'z^) + ...].

Ftir a=i = c = ^= i finden wir, tlbereinstimm^nd mit der Rbuschle-

schen Tafel JV(i + a + «' + «'') =11'.

Untersuchen wir jetzt die Normen mit secJisgliedrigem CykliAS. Hier
haben wir die Form erteilt:

UDterauchnngen ttber die Normen koniplexer Zahlen.

287

(^ _|- fl! -f. fe -{-c)N{z + aa + ia" + ca"+') = / + rt* -f // + r* + XEKa^Vc"/',

A + <?/ + (<? + i)m = o (mod A),

Ä + / + f» < A.

Statt der obigen Kongruenz kOnnen wir setzeo

(30)

Ä + ^ + ^(' + ^^*) = O (mod A).

Aus dieser Kongruenz folgt aber, da k -{- 1 -{- m + n = X,

(31)

I + n + d{k + n) = o' (mod A).

Jeder Exponentengruppe k , I y m ^ n entspricht also eine andere /, Ä;, w, m
öder a*6'c™^" und dlfd^z"^ haben gleichen KoeflRcienten. Man braucht also

nur ^ verschiedene K wirklich zu berechnen.

12

Wenn wir in unserer Norm setzen ^ = i , c = aé, so verwandelt
sich das Normprodukt in

(i + a)(i + é)iV^(i + aa)(i + 6a^ = i + a^- + 6^ + a^fe\

Die öbrigen Glieder fallen fort. Hieraus folgen beachtenswerte Glei-
chungen. Denn es ist 5^ÄV"^"*ft'+'" = o. Da zu jedem k + m die Kon-
gruenz (30) das zugehörige I •\' m eindeutig bestimmt, so haben wir den
Lehrsatz:

Die Summe der K, fUr welche k '\' m einen festen Wert hat, ist NtM,
Sind die K unmittelbar ^uszurechnen, so haben sie den Wert:

(-0'

k + m + I — I

m

Daher die för beliebige p , q gtiltige Formel :

(32)

(P + 0(l> + 2) . . . (j> + 3 — I) J>(JJ + I) . . . (|J + 2 — 2)

3-1

(l> — i)i> . • ■ (f> + g — 3) . (j) — g + iXp — g + 2) . . . (p — I)

~j" ~ — "" • • . T, j ■ s= yj.

g — 2

7.. B. p = lo , g = 4:

II. 12. 13 10. II. 129. 10. 11 8.9.10 7.8.9

1.2.3.4 I. 2. 3. I ''"1.2. I. 2 I. I. 2. s"*"!. 2. 3.4"

Beispiel eines Normprodukts. Jl= 13,0=3, £=4.

k

(

T

n

£

k

1

m

«

K

i

'

m

«

fi:

/.-

t

n,

n

Ä'

s

3

9

- ,

4
.1

3

4

6

45

+ 5

"

-

+ t

5
3

3

— 44

I

9

.1

5

<

6.

+ 3

6

S

+ 3

4

;

+ 'S

■

S

+ I

6

ä

5

-7

3

S
4

-«

S
7

;

- I

i

3

+ 6

7

3

7

4

+ 4

7

4

— 5

s

3

+ 3

3

2
3

7

-,.

9

9

3

-.

4

4

3

+ 49

^

i

6

6
5

+ 3

Zur Bestatigung unseres Léhrsaizes haben wir:
Ä + m = 10, SA" = i — 1=0,

7. 4 — 7 + 3 == o.

4, 5 — 10 + 6— r = o,

I, I — 1=0,

", 3 -t- 2— 5.=-o,

8, 49— 22 + 3 — I + 15 — 44 = o.

Endlich betrachten wir dle Normen mit ewölfgliedrigem Cyhlua.
Hier mössen wir die allgemeine Form bestehen lassen, dörfen aber
annehmen, dass e > d. Die KuMMEBsche Kongruenz

k + Öl -\- sm = o (mod A),

jt + /+ ?»< A,

UDtersuchungen ttber die Normen komplexcr Zahlen. 289

können wir in eine Reihe Gleichung&n verwandeln. Diese Gleichuiigen
bilden zwei Systeme, wie folgt.

I. System. II. System.

k + dl + em = A, (e — i)Ä; + {e — d)l + sw = (s — i)A.

k + dl + em = 2A, (s — i)A- + {e — f})l + en = {e — 2)A,

k + ål + em = {e — i)A, (s — i)Ä; + (s — (f)l + sw = A.

Diejenigen Å;,/,m, welche der ersten Gleichung des ersten Systems an-
gehören, liefern K, welche direkt berechnet werden können. Man findet

(33) ^=(-ir

/4 m - 1

k + I + m — I

k \l \m

Ebenso die k yl y ny welche der letzten Gleichung des zweiten Systems
angehören. Man findet

(33a) 7f=(-ir'-^-'

k + I + n — I

k \l

n

Ist e im Verhaltniss zu å gross, so wird man sich mit Vorteil des zweiten
Systems bedienen. Denn die letzte Zeile desselben sagt aus, da

•e — d <^e — I <£, dass

{e — \)k + {e — d)l + en>{k + l + n){e — d)y

also

X

k + 1 + n <

e — d

Mithin gibt eine Gruppe KyK, ni^ der r**° Zeile (von unten) des zweiten
Systems mit einer Gruppe der 5^° Zeile zusammen k^ + K 9 K + Lj
m^ + m, eine Gruppe der r + s^"" Zeile, weil

K + K + K + L + w^. + m, < ^^^^ < A,
so länge r -{- s kleiner eds e — å ist,

o Aeta mathtmatita, 11. Imprimé le 18 Ayril 1888. 37

290 K. Schwering.

lin ganzen hat man 4 Kongruenzen, von denen man ausgehen känn,
namlich

A + ^^ + ^^'* = o

(34)

(s — i)Ä- + {s — d)l + sn^o

{() — i)/ + (s — i)m + (A — i)n =

(A — ^7 + i)* + (s — ö>w + (A — o> = o

(mod A) .

Jede derselben känn man mit einer willkftrlichen ganzen Zahl miilti-
pliciren. Durch diese Operation wird die Anzahl der Gleichungen ver-
mehrt öder vermindert, welche die Kongruenz ersetzen. Eine Vermehrung
derselben lässt die Art der Gruppenzusammensetzung aus kleineren A,i,w
deutlicher hervortreten, schädigt aber die iJbersichtlichkeit. Es ist zweck-
massig, zunächst alle 4 Kongruenzen zu bilden und als Gleichungen mit
den rechten Seiten A , 2A , 3A bezttglich ihrer nicht zusammengesetzten
Lösungen zu untersuchen.

Man känn fragen, in wieviel Normprodukteny zur Primzahl A, die
Exponentengruppe k y I y m y n auftritt. Passen wir in der Kongruenz

k -{- dl + sm = o (mod A)

die Zahlen k , I y m als gegeben, r? , s als gesucht auf ; zu jedem

rJ=2,3,...,A — I

gehört ein festbestimmtes e und nur e ~ i ist unter diesen zu ver-
werfen. Also känn man im ganzen A — 3 Zahlenpaare e , d angeben,
welche Normprodukte der gesuchten Art liefern. Bilden wir nun alle
diese Normprodukte, bilden wir ferner die 24 Vertauschungen der k , Z,
m,n und berechnen in allén 2 4 (A — 3) Norm produkten die zugehörigen
Ky so können wir den Satz aussprechen:

Alle eben besprochenen K sind mod A kongruent.

Die Zahlen K bestehen gemass Gleichung (8) aus einem unmittelbar
zu berechnenden Teile und aus Teilen, welche dadurch entstehen, dass
drei der k\ I y m y n aus kleineren Gruppenzahlen durch Addition zusam-
mengesetzt sind. Findet keine Zusammensetzung stritt, so fehlen diese

UotersuchuDgeD Ubcr die Normen komplcxer ZahlcD. 291

Teile gänzlich. För unsern Satz sind diese Teile auch vöUig gleichgQltig.
Denn sie haben den Faktor A mindestens in erster Potenz. Unser Satz
ist also bewiesen, wenn die Teile, welche unmittelbar berechnet werden
können, kongruent sind. Dies zeigen wir fUr die Vertauschung Ä;,/,n,tM.
Die betreffenden Ausdrticke stehen (33) und (33 a). Es muss also sein,
(Ä + ^ + ^ + ^ = -A),

1/ — n — I \Å — m — I

(35) (- 0"-iTiTy5=^(- 0-' |^|,|^ ('nod X).

Nun ist:

(— i)" . |_w = (A — i)(A — 2) ... (A — w) I

[ (mod A),

(— i)"». \m= (A — i)(A — 2) ... (A — m) I

und daraus folgt die Richtigkeit der Kongruenz (35). Jedes berechnetc
Normprodukt liefert Zahlenbeispiele zu diesem bemerkenswerten Satze. Es
ist auffallend, dass die Kongruenz oft zur Oleichheit wird. Diese Gleich-
heit ergab sich uns bei den nicht zwölfgliedrigen Cyklen för einige be-
stimmte Vertauschungen als notwendig.

6. Jetzt wollen wir in eiijigen besonderen Fallen die Berechnung
von Normprodukten vollstÄndig ausföhren.
' Als erstes Beispiel wählen wir

{z + a-^-h + r)N[z + r/a + ba'' + ca').

Hier gelten die Bestimniungen

Ä: + 2/ + 3'm = o (mod A),
Ä; + ^ + ^ < ^•
Die Kongruenz ersetzen wir durch die beiden Gleichungen:

A; + 2Z + 3m = A, Ä- + 2/ + 3w = 2A.

Die letztere können wir wieder durch I -{- 2k + j^n =^ X ersetzen. Somit
haben wir, wie bei den sechsgliedrigen Normen öberhaupt, die zulässige
Vertauschung k , I und w , n. Das Normprodukt känn ohne Rechnung
niedergeschrieben werden. Sei

Ä = ^' + Z + //i, k = k — 2/ — 3//i, M = / -j- 2m.

292
Dann lat:

(36)

{! + a + b + c)N(z + aa + ha' + ca')

^/ + é + b^ + if+>-Y.^-^)'

Zahlenbeispiel: k = 13 , ^ = 2 , £

Ii Ii

- {a^Uc^z' + a'i/c''s"').

i

i

m

n

K

k

-7]

m

«

ff ^

i

t«

^

K

A

-A

m

«

ff

°

4

a

4

.

^

6

6
6

6

4
' 3

3
4

5

-35

7
3

3

7

3

3

-,.

S

3

.

4
3

6

«5

5

S

S

1

-ai

S

8

3

- 9

S

7

- .

3

6

30

S

4

4
5

4

■4

9

2

9

3

7

-.0

4

3
6

5

6

1

1
é

4

28

10

ö
10

^

\

7

3

-.0

s

3

5

- 7

7

7

4

4

■;

^;

ö

Da 1 + a + o' + a* eine Einheit, so ist die Summe der K Null.
Im vorigen Normprodukte, Seite 288, hatten die Vertauschungen 3,2, 1,7
uhd 2,3,7, ' denselben Koefficienten — 10 wie die hier auftretenden.
Man erkennt darin eine Bestatigung unseres im vorigen Paragraphen be-
wiesenen Léhrsatees.

Als zweites Beispiel wahlen wir

(^ + a + & + c)N{z + aa + ia* + t«*).

Hier wfthlen wir die drei Gleichungen:

Ä -f 2/ + 4Wi = X,

3A + 2/ + 4» = 2X,

3* + a/ + 4w = X.

Ferner bilden wir

A " ■>£(- ■)•

= s^a*h'd^

UDtersuchungCD Uber die Normen komplexcr ZahlcD.

fttr alle k , I y m der ersten Gleichung;

A = A^c- o

/ — tn — I

ml z^^a^Vc"^

k I

n

fttr alle k^ljU der zweiten Gleichung;

--^ , ^ I ^ — m — i

h_\l\n

fttr alle Ä , Z , w der dritten Gleichung.
Dann ist:

(37)

(2f + a + 6 + c)JV^(^ + aa + 6a' + ca*)
= / + a^ + i,A + ^A ^ j^ ^ ^^ ^ ^^ ^lc-^A\.

Fttr (? = 2 , £ = 5 bilden wir

---v I ^ — n — i

k I

mit der Bedingung A; + 2Z + 5Wi = A.

Ferner die drei Summen B^y B^^ B^ nach dem Schema

— — ^ \ X — vn — I . ,

fe 2

n

mit der Bedingung

Dann wird

4*^ + 3^ + 5»» = i"^-

293

(38)

{z + a-\-b + c)N{z + aa + ia' + ca')

9

K. SchncriDS.

Als Zahlcnbeisjiiele nehmen wir

I .) ; = I 3 , r? = 2 ,

1

m

71

K

pl

71

™

„

Ä

it

(

™

n'

K

'

1

m

n

K

3

4
5
6

3

a

3
4

5

3

4

s

6

S

>4

- 7
8

3

4

4

9

8
7

3

7
6
7
8
9

- 5 '
3

6

5

— 7

4
6

4
6
8

7
6
S

4

S
4
3

3

17

- 9
S

-i6

- 7

*

i

o
3

5
5
5
6
6
7
8
9
8
9

6

4
3

3

4
-3

3.) ;=[},*= 2 , ä = 6.

A

6

1

a

10

4

s

I

I

ä

16

1

5

— 7

10

2

3

i

- 18

3

3

s

8

4

14

2

9

I

— 3

4

2

10

5

2

s

— 8

3

— 11

4

ä

6

1

- 6

7

1

s

— I

2

7

4

8

2

I

1

6

6

II

o

I

— i

1

6

3

— 9

I

I

3

ö

*>

5

I

»

4

S

i

■9

a

4

A

s

7

— I

I

1

- 10

6

4

1

— II

1

7

- 5

i

4

7

4

1

6

6

8

,1

-i

3

6

5

2

8

3

1

°

'

5

- '

°

4

3

6

'

4

— 9

^

■

S

"

6

k

'

m

n

Ä

k

1

m

«

K

i

'

m

»

K

.

i

m

n

K

UnteranohuDgeD Uber di« Nonnaa komptexer Zahl«D. 2l>&

Der VoUstandigkeit wegen mag noch das letztc der 7 selbsfRndJgen
viereleinentigen Normprodukte zur Primzahl 1 3 argegeben werden.

k

1

m

»

K

7

1

™

ft

K

Jt

1

ra

"'

K

4

4

8
8

8

■

3
9

5
7

3
9

s

7

9

-'

8
3

1

3
a

7

^

5

4
.1

4
3

5

t,

3

6
6

6

5

3
6

5

4

2

ä
4

17

8

3

8

'

5
6

6

5

3

[

^

7

2

;

3

4

3

4

18

Hier iat Å— 1 3 , d = 4 , s = 6. Bei weiterer Ausrechnung ergab sicb:
iV{i + a + a* + o") = 3", Ar{i — a + a* + ««) = 313.

N(—i ^a+a' + a') = N{i +«_«' + «")- 131, .

JV(i +a + «*~0 = 3*.

Vergleicht man die K mit den bei A = 19 berechneten, ao scheinen die-
selben noch manche andere Gesetzmassigkeiten zu befolgen; auf die wir
jcdoch nur mit dieser Hindeutung verweisen. '

Endlich mag der Ausdruck dee vollstftndigen Normproduktes ftir
/ = 7 hier Platz finden. Wir schreiben denselben in abgekOrzter Form
, folgendermasser :

(«i + fl, + fls + öl + Oe + af)N{aia + a,a' + «««' + o^a* + OjO* +'o«a*)

= f I + 7tii'*a'*3'^4''» 4* Srtirt^fljojffj — sa^ägflga^n* — ^alala^a^ — ZOs^^tOla]

— 3rt,fl,oJflJ + 2ffl*fl,fl»04 — o,fl|o|oJ — aJrtioS — o5«s<*4 — <ti'A^i — dtola^

+ 2«*«5oJ + 20jrtJaJ + a\ala^ + a^fl^a^ + (1,0^0, + nJojfljS.

' ZfthlreicKe BestHtignDgen uaaeres Lehrsatzes (Seite 290) leigeo die vontehendeD
Beispiele anf åea ersteo Blick.

296 K. Schwering.

Jedes niedergeschriebene Glied vertritt 6 Glieder, welche aus deraselben
durch Multiplikation der Indices mit i ,2,3,4,5,6 hervorgehen. So
vertritt aia^a^ die folgende Summe:

Dieses vollständige Normprodukt wurde berechnet aus einem fönfelementigen.
Die Rechnuno^ selbst war mit Htllfe unserer Sätze ttber Anzahl und Bau
der Glieder eine ttberraschend einfache zu nennen.

Coesfeld im Februar 1888.

297

DEMONSTRATION DU THÉORÉME FONDAMENTAL DE GALOIS

DANS LA THÉORIE

DE LA RESOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS

PAR

J. T. SÖDERBERG

å UPSALA.

1. Dans les quelques pages suivantes je me propose de presenter
une demonstration nouvelle et tres simple de Timportant théoréme de
Galois sur Texistence du groupe de substitutions appelé groupe cCune
équation algébrique. Elle a été publice en suédois dans ma thése inaugu-
rale Dedukfion af nödvändiga och tillräckliga vilkoret för möjligheten af al-
gehraiska eqvat toners solution med radikaler ^ Upsal a' Universitets Ars-
skrift, 1886. Je la présente ici avec de légéres modifications.

2. Avant d'en commencer Texposition nous aurons ä nous ex-
pliquer sur le sens particulier que nous attribuerons a certaines expres-
sions. Nous conviendrons de regarder, avec Galois, comme rationnelle
toute quantité qui peut s'exprimer par une fonction rationnelle aux
coefFicients commensurables a l'unité de certaines quantités données a
priori et que nous regarderons comme connues. Pour qu*une fonction
soit appelée rationnelle nous entendrons que tous les coefficients en soient
rationnelles.

Si une fonction rationnelle des quantités

reste invariable par les substitutions d'un certain groupe, méme en sup-

Aeta mathematiea, 11. Imprimé le 9 Mal 1888. 3A

298 J. T. Söderberg.

posant r^, , a^, , . . . , r^ _, des variables indépendantes, nous diroriR que la
forme de la fonction reste invariable par ces substitutions. Et nous di-
stinguerons soigneusement ce oas de Tautre, oii,

étant les racines d'une équation donnée

^" + Pi^'"'' + i?i^""' + . . . + Pn^i^ + Pn = o

a coefficients rationnels, ce n^est que la valeur de la fonction qui reste
invariable par certaines substitutions.

3. En partant des propositions établies par Lagrange dans son ce-
lebre Mémoire Reflexions sur la resolution algéhrique des équations, Section
IV, il est facile d'établir le théoréme suivant:

Si y et V sont deux fonctions rationneUes des racines oTq^x^, . .. ,r^_^
d'une équation algéhrique donnée, et que la valeur de y reste invariable par
touies les substitutions qui ne changent pas la valeur de V, la fonction y
peut s'exprimer en fonction rationnelie de F.

En effet, Lagrange a démontré la proposition suivante:

Si z et V sont deux fonctimts rationneUes des racines x^jX^, . . . , r^_i
d'une équation algéhrique, si i , .s, , . . . , s^_^ sont les substitutions qui yie
changent pas la forme de la fonction V, si les mémes substitutions hiissent
aussi invariable la foi^me de la fonction z, si enfin i , ^, , . . . , /t,_, sont des
substitutions tellement choisies que le tableau

I , /?!, »*?2> • • • > ^*— 1 >
^M ^I ^M ^2 ^M • • • » ^k- 1 ^1 >
^2 > 1 ^2 > 2 ^2 J • • • 1 ^k 1 ^2 y

donne toutes les substitutions différentes qui ne cluingent pas la valeur de F,

Demonstration du théoréme fondatuental de Galois. 299

la moijenne arithmétique des foncfions gui résultent de z en faisant les sub-
stitutions i , ^i , . . . , ^f_i, sera expnmable en fonction rationndle de V.

Or, il est facile de 8'assurer que notre proposition est une conséquence

immédiate de celle de Lagkange. D'abord, la moyenne arithmétique des

fonctions qu'on obtient de y par les substitutions i , 5| , . . . , Si,_^ , est une

fonction nouvelle Zj dont la forme reste invariable par ces substitutions.

De plus, si Ton forme la moyenne arithmétique des fonctions résultant

de z par les substitutions i , rrj , . . . , ^i_.i , on aura le méme resultat

qu'en prenant la moyenne arithmétique de toutes les fonctions qur s'ob-

tiennent de y en faisant les substitutions du tableau ci-dessus. Mais il

suit de notre hypothése que toutes ces fonctions, et par conséquent Icur

moyenne arithmétique, sont égales ay. Donc, en appliquant a la fonction

z le théoréme de Lagiiange, on voit que y s exprime en fonction ration-

nelle de F.

c. q. f. d.

4. Supposons que

V V V

soient toutes les formes différentes dont la valeur est égale a la valeur
donnée V^ quon puisse faire acquérir a la fonction V en faisant toutes
les substitutions possibles. Considérons toutes les substitutions dont Teffet
est de remplacer le systéme des formes

V V V

par un autre qui ne contient pas de forme nouvelle; il est evident que
ces substitutions förment un groupe. Nous dirons que ce groupe appar-
tient a la valeur F^ de la fonction F. Les substitutions de ce groupe
sont, par conséquent, celles qui laissent invariable la valeur de chacune

des fonctions

V V V

Il est facile maintenant de modifier la proposition citée plus haut de la
maniére sui vante:

Si y est une fonction rationnelle des racines Xq , x^ , . . . , x^_i dont la
valeur nest pas changée par les substitutions du groupe appartenant å une

300 J. T. Söderberg.

valeur donnée de la fonction F, on peut exjrrimer y en fonction ration-
nelle de V.

En efifet, on peut choisir les quantités rationnclles

de maniére que la valeur de la fonction

ne reste invariable que par les substitutions qui laissent iuvariable la
valeur de chacune des fonctions F^^ , F, , . . . , F,_i. Donc y est fonction
rationnelle de Q et, par conséquent, de F, puisque toutes les fonctions
^0 > ^1 > • • • > ^i-i ö^t 1^ méme valeur F.

5. Avant d'aborder la demonstration du théorénie fondameutal de
Galois, nous établirons eucore le point suivant. Admettons que U Qt V
soient les valeurs données de deux fonctions rationnclles des racines
X'o , Xi , , . . y Xn_x II est facile alors de former une autre fonction ra-
tionnelle R des mémes racines, telle que le groupe appartenant ä une
valeur donnée de R soit formé par les substitutions commuues aux deux
groupes qui appartiennent aux valeurs données des deux fonctions U et
F. En effet, supposons que

soient les différentes formee de la premiére fonction dont la valeur est

Uj et que

V V V

aient une signification analogue pour la fonction F. Considérons une
fonction rationnelle de la forme

R=-hUo + lhU, + ... + h,_, U,_, + KV, + k,V, + ... + kj_,Vj_,,

oii nous supposerons que les coefFicients h et k soient des quantités ra-
tionnclles. Toutes les formes diverses que peut acquérir la fonction iJ
par les substitutions, seront représentées par la formule

ho Ua. + Ä, (J\ + . . . + /'.-, Ua^. + ko v,. + k, V^,^ + ... + Äv_iF^^,,

Demonstration du théoréroe fondamcntal de öalois. 301

ou U^^ . . . L^«,_, et F^^ . . . F,^., son t des formes quelconques que peuvent
acquérir les fonctions U et V par les substitutions. Il est clair que nous
pouvons choisir les coefticients Ä et A;, de maniére que la valeur de cha-
cune de ces formes soit diflféreute de la valeur donuée, ä moius que
toutes les fonctions U„ . . . ?X., , n'aient la valeur U et les fonctions

ai—i

F, . . . Fj, , la valeur F.

Mais alors B est une fonction comme celle dont nous avons annoncé
Texistence. Les fonctions L\ . . . £/"«,_, ayant toutes la valeur Uy et les
fonctions F^^ . . . F^^^ la valeur F, on a

/« = (Äo + . . . + /',-,) U+{k, + ... + kj^,) V.

6. Il est facile a present d'établir le théoréme de Galois, dont
voici Ténoncé:

Si une équation algéhrique vHa pas de racines égaies, il y a toujours
un groupe de substitutions — et il vHy en a quun — qui jouit de la double
propriété suivante:

1° toute fonction rationnelle des racines dont la valeur est rationnelle,
reste invariahle par les substitutions du groupe;

2° réciproquement, toute fonction rationnelle des racines dont la valeur ^
n^est pas changée pur les substitutions du groupe, s*exprime rationndlement
par les quantités connues.

Ce groupe a été appélé par Galois le groupe de Véquation.

Considérons Tensemble des groupes qui appartiennent ä des valeurs
données des fonctions rationnelles de Xq , x^ , , . , , x^^^ exprimables ra-
tionnellement par les quantités connues. Parmi ces groupes, il y en aura
un dont Tordre est moindre ou egal a celui de tout autre groupe. Soit
G ce groupe; je dis quMl jouit de la double propriété dont il slagit.

En effet, soient F un quelconque des groupes considérés, / le groupe
des substitutions communes a 6^ et a /', cy et iJ les fonctions ration-
nelles des racines auxquelles correspondent les groupes G et F; il y aura
{if 5) une fonction rationnelle des racines, dont le groupe appartenant a
une valeur donnée sera précisémcnt I, De plus, cette fonction s'expri-
mant en fonction rationnelle et linéaire de ö> et i2, il faut que sa valeur
soit rationnelle. L'ordre de I ne peut donc étre inférieur a celui de (?,

302 J. T. Söderberg.

d'ou il suit que ces deux groupes sont identiques, et que, par conséqucnt,
les substitutions de G font toutes partie du groupe V.

La premiére partie du théoréme de Galois se trouve done établie.

La demonstration de la seconde partie est immédiate. En eflfet (n° 4)
toute fonction rationnelle des racines dont la valeur reste invariable par
les substitutions de (?, sexprime rationnellement par w et, en conséquence,
par les quantités connues.

Il ne nous reste plus qu'a démontrer que le groupe d'une équation
est unique. S'il n'en était pas ainsi, soit H un autre groupe jouissant
coinme G des propriétés du groupe de Téquation. Comme au n° 4, nous
pouvons former une fonction rationnelle w^ dont la valeur reste invariable
par les substitutions de (?, mais est changée par toute autre substitut! on.
Gette fonction s'expriniant rationnellement par les quantités connues, sa
valeur reste invariable par les substitutions du groupe Ä, qui par con-
séquent est contenu dans G.

Mais d*un autre c6té, les racines étant inégales, nous pouvons aussi,
par un procédé bien connu (voir p. ex. Jordan, Traité des substitutionSj
pag. 255), trouver une fonction rationnelle (o^ dont non seulement la
valeur, mais la forme méme reste invariable par les substitutions de H
et dont la valeur est changée par toute autre substitution. Par suite de
notre hypothése cette fonction est une quantité rationnelle et par consé-
qucnt il faut que sa valeur soit invariable par leS substitutions de G.
Ces substitutions appartiennent donc aussi au groupe jfiT, et par consé-
qucnt les groupes G et H sont identiques, ce qui achéve la demonstration
du théoréme de Galois.

INI ous avons le douloureux devoir d'annoncer å nos lecteurs la mört de
notre collaborateur

H.-Th. Daug,

déc^dé å Upsala, le 23 mars dernier.

Daug était né le 24 avril 1828 å Gothembourg; en i85'6 il de vint
docent pour les mathématiques å TUniversité d^Upsala, docteur en phi-
losophie en 1857, professeur extraordinaire en 1863, et professeur ordi-
naire en 1867. De 1858 å 1867 il avait presque sans interruption rem-
placé Malmsten. Il a été élu membre de la Société des Sciences d'Upsala
en 1862^ de TAcadémie des Sciences de Stockholm en 1875, de la Société
des Sciences et Lettres de Gothembourg en 1878.

Les travaux mathématiques de Daug se rapportent principalement
aux applications de Tanalyse å la géométrie. Ses nombreux éléves qui
appartiennent å toute la Suéde lui portaient la plus sincére affection et
conserveront avec reconnaissance le souvenir de son enseignement.

MITTÅ G-LEFFLER.

303

Ober die bewegung eines schweren punctes

aue einer rotationsfläche

VON

OTTO STAUDE

In DORPAT.

Einleitu/ng.

FUr eine Gruppe von Dififerentialgleichungeii der Bewegung eines
Systems materieller Puncte hat JaCobi ^ die Integrale in der allgemeinen
Form:

angegeben. Hier bedeuten g^ , g^ die beiden unabh&ngigen Variabeln,
durch welche Ort und Lage des Punctsystems bestimmbar sein sollen,
bedeuten h , Ar , a , ^ Integrationsconstanten, p^ , p^ gewisse Functionen von
7i , y^ , Ä , ^• und endlich t die Zeit Wenn mit der Auffindung dieser
Gleichungen die Integration der Differentialgleichungen der Bewegung als
solche vollståndig erledigt ist, so bleibt das Umkehrproblem der Integrale
tibrig, d. h. die Darstellung der Variabeln 7, , y,, beziehungsweise ge-
gebener Functionen derselben, durch die Zeit t. Diese Aufgabe scheint
selbst för die einfachen Fftlle noch nicht allgemein behandelt worden zu
sein, wo die Integralgleichungen die Variabeln g^ , g^ separirt enthalten,
also a und )(? + ^ je einer Summe zweier einfacher Integrale gleich werden.

' Vgl. Varlesungen iiber Dynamik^ hcrausjf^egeben vod Clebsch, S. i/S) S 5^5*

Åctu mathtmmtiem. 11 Imprtmé It 2 Mfti 1888.

304 Otto Staiide.

Auf Integralgleich ungen, bei denen eine solche Vereinfachnng eintritt,
ftlhrt die Bewegung eines schwereti Functes auf einer Botationsfläche mit ver-
ticdler Symmetrieaxe. Das Umkehrproblem der Integrale der Bewegungs-
dififerentialgleichungen känn in diesem Falle nur bei einer beschränkten^
Zahl von Rotationsflachen als Beispiel för die Anwendung der dliptischen
Functionen behandelt werden;^ för andere ftthrt es zwar auf hyperellip-
tische Integrale/ aber nicht auf ein JACOBfsches Umkehrproblem, welches
mittels der hyperelliptischen Functionen lösbar wäre. Es darf daher die

^ Es giebt 5 Kotationsflächen, daniDter die Kugel, den Kcgel und das Rotations-
paraboloid^ bei denen das Umkehrproblem nur elliptische Integrale enthält, nach Kobb,
Sur le mouvement d'un point materiel sur une surface de revolution, Acta mathematica,
Bd. 10, S. 89, 1887.

' Bei der Kugel hat das Problem wiederholt ausfUhrliche Behandlung mittels der
elliptischen Functionen erfahren, zuerst wohl durch Tissot, Mouvement d*un point materiel
pesant sur une sphére, Liouville^s Journal de mathématiques, I. Serie, Bd. 17,
S. 88, 1852*, vgl. die späteren Darslellungen bei Schellbach, Die Lehre von den ellip-
tischen Integralen und den Thetafunctionen^ Berlin, 1864; Durége, Theorie der elliptischen
Functionen, Leipzig, 1878; Geelmuyden, Den koniske Pendelbevcegelse, Archiv for
Mathematik og Naturvidenskab, Bd. 5, S. 307, 1881; u. a. Die eine Coordinate
(z in der Bezeichnung des § 3 ^^^ obigen Teztes) des bewegten Punctes auf der Kugel
wird« unmittelbar eine elliptische Function der Zeit. Die Darstellung der anderen Coor-
dinate {f in der Bezeichnung d. a. O.) durch die Zeit kommt auf die Darstellung der
elliptischen Integrale 3* Gattung durch Thetafunctionen zurilck. Auf wesentlich anderem
Wege als die genannten Autoren, nämlich unter Vermittlung der LAME^schen Differential-
gleichung, gelangt Hermite, Sur quelques applications de la théorie des fonctions elliptiques,
Comptes rendus, Bd. 93, S. 922, Paris, 1 881, zur Entwicklung der 2. Coordinate,
bezUglich einer Exponentialfunction derselben. Die gleiche Vermittlung nimmt die Me-
thode von Dillner, Sur VintégraHon des équations différentielles du pendule conique, Nova
acta societatis scientiarum Upsaliensis, 3. Serie, Bd. 12, 1883, in Anspruch.

tJber Kegel und Paraboloid liegen verschiedene Bearbeitungen im Sinne der Tissot'-
schen Entwicklungen auf Grund der Theorie der elliptischen Functionen vor, vgl. Ber-
tram, Beitrag zur Kenntniss von der Bewegung eines schweren Functes auf Botationsflächen
mit verticaler Åxe, Archiv der Mathematik und Physik, Th. 59, S. 193, 1876;
E. V0S8, Bewegung eines schweren Punctes auf der Fläche eines geraden Kegels und eines
Botationsparaholoids, Schwerin, 1878 (1872); ZCge, Bewegung eines schweren Punctes
auf einem Botationsparaholoids Archiv der Mathematik und Physik, Th. 70,
S. 58, 1884.

• Vom Geschlecht p = 2 fttr das Botationsellipsoid, vgl. Schleiermacher, tJher
åxe Bewegung ^nes schweren Punctes auf dem verlängerten Botationsellipsoid^ Erlangen, o. J.;
vom Geschlecht J> ^ 3 filr den Kreisring, vgl. § lO des vorliegenden Textes.

Bewegung eines ^chweren Punctes auf einer RotatioDHfläche. 305

Frage nach der allgemeinen Lösung des Umkehrprohlems fur alle Rotations-
flächen gerechtfertigt erscheinen, zu welcher die vorliegende Abhandlung
einen Beitrag zu geben beabsichtigt.

Die Untersuchung iiinfasst alle Rotationsflächen, die von einer Hori-
zontalebene in nicht mehr als 2 Parallelkreisen geschnitten werden, unter
näher angegebenen Voraussetzungen (§ 3, § 8) und fttlirt zu zwei Haupt-
resultaten. Das erste derselben besteht in dem Nachweis einer von der ge-
gehenen Rotationsfläche unabhängigen Rotathnsfldche 3. Ordnung (§ 5), welche
in der Vertlieilung ihrer Schnittcurven mit der gegehenen Rotationsfluche den
Charakter der Bewegung eines schweren Punctes auf dieser bestimmt und im
Besonderen die Stabilität öder Instabilität der Bewegung entscheidet. ^
Dem anderen Hauptresultate zufolge sind fur die heiden Normalformen
(§ 4> § 9) J^^^^ stabilen Bewegung eines schtveren Punctes auf einer Rota-
tionsfläche die Coordinaten des Punctes bedingt periodische Functionen der
Zeit, welche durch zweifach unendliche trigonometrische Reihen darstell-
bar sind. Hierbei ist noch hervorzulicben, dass eine durch ihre Differen-
tialgleichungen i. Ordnung definirte Bewegung der betrachteten Art,
ahnlich wie eine algebraische Curve, aus mehreren Zweigen bestehen känn,
von denen zwei benachbarte unter Vermittlung von singulären Bewegungs-
formen (§ 6) — etwa einer Curve mit Doppelpunct öder isolirtem Punct
entsprechend — auch in einen einzigen Zweig verschmelzen könncn. Auf
specielle Beispiele zur Erläuterung dieser allgemeinen Resultate ist nur
in Ktirze (§ 7, § 10) eingegangen worden.

Was die analytische Darstellung der Coordinaten des bewegten Punctes
angeht, so ist dieselbe eine Anwendung einer allgemeinen, frtther ^ von
mir betrachteten Gattung von Umkehrfunctionen, auf welche ich hier nur
verweise, um bei einer anderen Gelegenheit den analytischen Charakter
dieser bedingt periodischen Functionen för alle reellen und auch ftir einen
beschränkten Bereich complexer Werthe der Zeit t darzuthun. Die Haupt-
satze ttber jene Umkehrfunctionen sind in einer ftir den vorliegenden
Zweck erforderlichen Form ihren Anwendungen vorausgeschickt (§ 1, § 2).

* Vgl. die hiermit verwaodtCD GesichtspuDcte der Untersuchungen von Bohlin,
Dber die Bedeutung des Princips der lebendigen Kra/i fiir die Frage von der Stahilität
dynamischer Sysieme, Acta mathcmatica, Bd. 10, S. 109, 1887.

' Vgl. Mathematische ADoalen. Bd. 29, S. 468.

Ada inathematiea, 11. Imprimé le 3 Mal 1088. 39

306

Otto Staude.

§ 1. t)ber eine Gattung bedingt periodischer Fnnctionen.

Die anzuwendenden Sätze beziehen sich alle auf das Umkehrproblem:

(O

T.,

O

««

'2

t

unter verschiedenen Voraussetzungen ttber die darin auftretenden Func-
tionen.

I. Unter F^^^x-^ , (« , y9 = 1,2), sind zuerst gegebene Functionen
von Xij zu verstehen, welche för je^^zwei Werthe x^ = a^ und :rj = ft^ ver-
schwinden. Setzt man mit RUcksicht daraiif:

(2)

' F^Å^^f) = {x^ — n;){h^ — .-r,j)/;,j(^^).

80 sollen fafi{x^) in den Intervallen

(3)

ao < Xo < ho

eindentige und stetige Functionen von x^ (eventuell von x^ und

w',9 = y

a?^ — «/9

>;9 — «^

)

sein, daselbst einen beständig positiven reellen Werth besitzen und weder
o noch 00 werden. Ferner sollen die Functionen ga^{x^ in den Inter-
vallen (3) eindeutige und stetige Functionen von x^ (ev. von x^^ und

Wa = v 7^ '-\ sein, die daselbst ihr Vorzeichen niemals wechseln und

niemals 00 werden. Endlich soll die Deterniinant«:

(4)

för alle den Ungleichungen (3) genögenden Werthepaare z^ beständig po-

BeweguDg eine.s schFeren PuDctes auf eioer Rotatio nsfläche. 307

. sitiv und von o verschieden sein. Die doppeltgestrichenen Wurzelzeichen
bedeuten die positiven Werthe der Quadratwurzeln.

Alsdann ist eine gegebene eindeutige Function E{x^ , x^) der oberen
Integralgrenzen x^ , x^ und der Wurzelf unctionen yjx^ — a^^ , \h^ — x^^ ,
welche för alle den Ungleichungen (3) gentigenden Werthepaare x^ , x^
endlich und stetig ist, eine för alle reellen Werthe von t eindeutige,
endliche und stetige, sowie bedingt periodische Function von t. Dieselbe
känn durch eine för alle reellen Werthe t gleichmässig convergente
Reihe, die zweifach unendliche FouRiER'sche Reihe, dargestellt tirerden.
Die Periodicitätseigenschaft bezieht sich auf die Constanten:

(5) -«. = / '^

a/9(«^)

^^

fti

,i ""»i

ev. a>«^5

\ v v

Während namlich die Function E{x^ , x^ iin Allgeiiieinen nicht periodisch
ist, wird sie, ^ falls mit irgend zwei positiven öder negativen, von o ver-
schiedenen ganzen Zahlen m^ , m, die Bedingung

(6) o = 4^*1 ft>,, + 4^w,a>i2

erföUt ist, eine periodische Function von t mit der Periode

(7) T = 4>^iö>ai + 4W3a>,,.

Enthalt E{x^ , x^ die Wurzelfunctionen sjxfi — a^ , yjb^i — x^^ ^^^r theilweise

öder nur in gewissen Verbindungen öder gar nicht, so tritt in (6) und (7)

2m^ an Stelle von ^m^ öder 2m^ an Stelle von j^m^ öder beides zugleich.

Der Beweis dieses Satzes ist a. a. O. von mir gegeben worden; der

* Auf die becUngte Periodicität der hyperelliptischen Functionen zweier Variabler,
wenn beide Variable lineare FuDctioneD einer dritten sind, hat C. Neumann aufmerksam
gemacht, De problemate quodam mechanico, quod ad primam integralium ultraellipticorum
classem revocatur, Journal fttr Mathematik, Bd. 56, S. 46.

308 Otto Staude.

Satz komrrit im Folgenden zur Anwendung ohne die in Klainrnerii bei-
gefftgten Eventualiteten, welche nur zur Ableitung des unter II folgenden
Resultates dienen sollen.

II. Cber die Functionen t\^{xi) , ^ai(^i) bleiben die Voraussetzungen
unter I bestehen; dagegen sollen die Functionen F^^{x2) nicht, wie dort,
2 NuUpuncte haben, sondern vielmelir för keincn reellen Werth von x^
verschwinden. Setzt man im Besonderen:

(8) • KÅ.^.)-={^-^yuoo,),

so sollcn fa^i-^a) fti»" '^lle reellen Werthe von x^j einschlicsslich x,^ = + co,
eindeutige und stetlge Functionen von x^ sein, einen beständig positiven
reellen Werth besitzen und weder o noch co werden. Ferner sollen
in gleichem Umfange die Functionen ga^{x^) eindeutig und stetig sein,
niemals ihr Vorzeichen wechseln und nicmals co werden. Die Voraus-
setzung iiber I){x^ , x^) in (4) bleibt entsprechend beibehalten. Die un-
teré Grenze a^ in dem Ansatz (i) soU jetzt durch o ersetzt werden.

Unter diesen. Voraussetzungen ist ebenfalls eine gegebene eindeutige
Functlon E{x^jX^) der oberen Integralgrenzen x^ , x^ in (i) und der
Wurzelfunctionen ^ix^ — a^ , yjh^ --^> welche f(\r alle den Ungleichungen
a^ <x^ <b^, — 00 <x^ < + CO gentlgende Werthepaare x^ , x^ endlich
und stetig ist, eine fQr alle reellen Werthe von t eindeutige, endliche und
stetige, sowie bedingt periodische F^unction von t, die wie oben dargestellt
werden känn.

Auch die Periodicitritseigenschaften drticken sich wieder durch die
Formeln (6) und (7) aus, nur hat (o^^ j^^^t den Werth:

+00

(q\ — i f^M^y^j^i

— 00

Der Beweis dieses Satzes II, der a. a. O. noch nicht angegeben
wurde, känn dadurch geftlhrt werden, dass man die Voraussetzungen des
Satzes auf die dem Satze I zu Grunde liegenden rcducirt. Dies geschieht
durch die Substitution:

J n , J f/., ■ « t*o ^^ ^n •

' ''. — .V. •'' I + xi 5 >

BewcguDg cioes schweren Puoctcs auf eiuer Rotationsflächc. 309

Es wird dann:

x-i xt y.

){h — y^)\jUÅx^

o

wo das Vorzeichen der Wurzel aus fai{x^) ohne Beschränkung positiv ge-
nommen werden känn. Da nun, während x^ alle Werthe von — co bis
+ CO durchläuft, y^ immer zwischen a, und b^ oscillirt, und da somit
nach den Voraussetzungen unter II die Functionen ffai{x2) und fa^ix^)

mit x^ = Vr^nr"^ ^^^^ ^^^^ ^^^ Ungleichung (^i<}/i<b.^ entsprechenden

Werthe von y^ eindeutige, endliche und stetige Functionen von y ^' ~ ^*

sind, die letztere ttberdies positiv und von o verschieden, die erstere von
einerlei Vorzeichen bleiben, so liegt nach der geschehenen Substitution
wieder der Fall I mit y^ fftr x^ vor, und zwar treten hierbei die dort
in Klammern beigefögten Eventualitäten ein.

III. Die beiden Sätze I und II gelten auch dann noch, wenn iden-
tisch g^ii^i) ^ ^ ^^*> unter den entsprechend specialisirten Bedingungen
ihrer allgemeinen Formen. Jedoch ist dann die Function E{x^), wenn
sie von x^ allein abhängt, eine unbedingt periodische Function von t mit
der Periode

(lO) T = 2Ö>22,

die durch eine einfach unendliche trigonometrische Reihe von gleich-
mässiger Convergenz dargestellt wird.^

% 2. t)ber Grenzfälle bedi/ngt pertodischer Functionen.

IV. Ist unter sonst gleichen Voraussetzungen, wie unter I, a^ = i^,
so ergiebt eine einfache Grenzbetrachtung mit Benutzung der eben ci-

* Nach Weierstrass, Ober eine Gaitung reell periodischer Functionen, Monats-
bcriohte der Berliner Akademie, 1 866.

310 Otto Staude.

tirteii Untersucliun^ von Weiehsthass, dass x^ = a^, uiid E{x^ , a^) eine
uubedingt periodische Fuiiction von t wird, mit der Periodc:

(ii) 2(0 = 2 j —^^

bezöglich 4a>, wenn in E(x^,a.^) auch die Wurzelfunctionen yj'^^~l^^j
yjb^ — x^ vorkommen; hierin ist:

(12) A=^Ä, ^,=M^.

V. Wenn die Function ^02(^2) nicht nur ein, sondern zwei Paare
aufeinander folgender Nullpuncte x^ = a^j b^ und x^ = a'^j &J besitzt
(02 < &2 < ^2 < K)y so können die Bedingungen des Satzes I fftr die beiden
Intervalle (^^ ^^n ^ ^2 ^"^ ^'^ ^^2 ^ K unabhangig von einander erfuUt
sein. Wenn man daher die untere Grenze a, in den Integralen (i) ein-
mal belässt und einmal durch a'^ ersetzt, erhält man entsprechend 2 ver-
schiedene Gruppen bedingt periodischer Functionen E{x^ , x^.

VI. Wird nun aber unter den Voraussetzungen des Satzes V:
^2 = aj, so nehmen die Umkehrfunctionen einen wesentlich neuen Cha-
rakter an, da die Integrale mit der Variablen x^ in (i) för x^ = b^ lo-
garithmisch 00 werden. Dann bleiben zwar die Functionen E[x^ , x^
för alle reellen Werthe von t eindeutige, endliche und stetige Functionen
von t^ verlieren aber ihre frUheren Periodicitätseigenschaften. Im Be-
sonderen känn die Function x^ den Werth h^ fftr keinen endlichen Werth
von t erreichen. Unter der ferneren Voraussetzung g^^i.^^) = o (wie
unter III) nähert sich x^ dem Werthe b^ mit unbegrenzt wachsendem t
asymptotisch.

S 3. Gleichungen der Bewegung aiif etner Jtotatiotisfläche

mit einfachen Horizmitalschnitten.

Die Gleichung einer Rotationsfläche, bezogen auf ein rechtwinkliges
Coordinat«nsystem mit vertical abwärts laufender ^-Axe sei:

(i) x' + if-=f\z).

BewegQDg eines schwereo Panctes aaf eincr Rotationsfläche. 31 1

Die Function f{z) soll innerhalb eincs gewissen Intervalles

. (2) A<z<B

mit nfther zu bestimmenden Grenzen A , B eine eindeutige und Rtetige
Function der reellen Variabeln z^ sowie von positivem reellen, von o
und 00 verschiedenen Werthe sein; sie soll ferner innerhalb desselben
Umfanges einen bestirnmten, nicht cx) werdenden i. DifFerentialquotienten
f\z) besitzen.

Indem mit ^ der Winkel zwischen der Meridianebene eines Punctes
der Rotationsfläche und der ^rr-Ebene des Coordinatensystems bezeichnet
wird, können die Coordinaten x^y^z des Punctes durch die Formeln:

(3) a? = /*(^).cosjp, y = f{z).^\r\(f, z = z

als Functionen von z und ^ dargestellt werden. Da der Winkel ^ in
seiner Veränderlichkeit unbeschränkt bleibt, brauchen nur positive Werthe
von f{z) in Betracht gezogen zu werden. Durch die Formeln (3) wird
die Lage des Punctes x y y , z der Flache innerhalb des Raumes zwischen
den beiden Horizontalebenen z = A und z = B eindeutig bestimmt. In
demselben Raume wird die Rotationsfläche von jeder Horizontalebene in
einem und nur einem Parallelkreise geschnitten {einfache Horizontalschnitte)
und hat sie auch mit der ^-Axe keinen Punct gemein; in den Grenzen
z = A und z = B können die tlber f{z) und f\z) gemachten Voraus-
setzungen durchbrochen werden; es känn hier auch f{z) = o sowie
f\z) = (X) sein, also die Fläche sich um die ^-Axe in einer Spitze öder
mit horizontaler Tangentialebene zusammenschliessen.
An Stelle von ^ wird fernerhin noch die Variable

(4) v = sin^^

eingeftlhrt.

Die Differentialglcichungen i. Ordnung der Bewegung eines schweren
Punctes m von der Masse i auf der Rotationsfläche lauten bekanntlich:

^^^ ^ f{z)sj2{qz -f h)r{z)~k'' yj2(gz + h) f\z) ^ P '

Dabei ist g die Beschleunigung der Schwere, h die Constante der le-

312 Otto Staude.

>

bendigen Kraft und k die doppelte Flächengeschwindigkeit der auf die
Horizontalebene projicirten Bewegung; k wird von o verschieden voraus-
gesetzt und känn ohne Bescliränkung als positiv angenomrnen werden.

Die Abliangigkcit der Coordinåten x , y , z des Punctes m von der
Zeit t filidet hiernach ihron Ausdruck in den 5 Gleichungen:

(6) ;r = f{z) . ^'i — v, y = f{z) . vw, z = z,

(7)

_ / ' ^" _ . C: Hl

1 + f'\z).dz

^rr. O,

{gz + h)f\z)-k-

t

f

f(z)s/i +r{z).dz ^^

y^l2(yz + h)f\z)-k'

welche nur eine andere Form der Gleichungen (3) und (5) sind und die
Form des allgemeinen Umkehrproblems der obigen Einleitung haben.
Bei der nber f\z) gemachten Voraussetzung ist es, so langc z in dem
Intervalle (2) bleibt, keine Beschränkung, wenn die Quadratwurzel aus
I + f'^{^) positiv angenommen wird, was durch die doppelten Striche
bezeichnet ist. Die Werthe z = 2^ und t' = o , y/ 1 — v = 1 sollen die dem
Zeitpunct t = o entsprechenden Anfangswerthe sein (vgl. § 5).

% 4. Kormälform der stahilen Bewegnng auf etner Rotatio^nsfläche

mit einfachen Horts^ntalschnitten*

Innerhalb des in (2) bezeichnet^n Intervalles sind die Functionen

eindeutig und stetig, positiv und von o und co verschieden. Setzt man
daher voraus — eine Voraussetzung, die in § 5 naher zu erörtern ist — ,
dass die Function:

(8) R{z)= 2{gz + h)f\z) — k'

Bewcgung eines schweren Panctes auf einer Rotationsfläche.

313

die Form habe:

(9)

R{2) = {2 — 2^){2^ —2)r{z),

wo mit Aupschluss der Gleichheit:

(lo) •

A <z^ <z^ <B,

und wo r(2) för das Intervall:

(II)

^oS^^^i

positiv und von o verschieden ist, so erftlUen die Gleichungen (6) und
(7) alle Bedingungen des Satzes § 2, I in der besonderen Form § 2, .III.
Man hat in die allgemeinen Sätze des § 2 neben den bereits angegebenen
Functionen g^^ und g^^ die Functionen:

5^11

I

2'

g,, = o, F,, = F,, = v{i - v\ F,, = F„ = R{z)

und die Constanten:

^1 =0, b^ = I, a^ =^„

K =-^x

einzuföhren. Die Periodicitatsconstanten erhalten die Werthe:

(12)

0>,, -

-,/

*1

åv

n

2^/i;(i — y)

a>,„ =

(«). da

o

o»,, = o,

O)

33

rnz)>jr+j\z)dz

Während daher z eine eindeutige, unbedingt periodische Function von t
ist mit der Perioder

2*= 2ö>,„

iiela mathematiea. 11. Imprimé le 3 Mni 1896.

33

40

314 Otto Staude.

sind X , // eindeutige, bediiigt periodische Functionen von t^ welche unter
der Bedingung: ^

die Periode

4mj^+ 2m^M^^ = o

T = 2m^a)^^

erhalten. Die Function z ist durch eine einfach, die Functionen x , y
durcK zweifacli unendliche trigonometrische Reihen darzustellen, die för
alle reellen Werthe von t gleichmässig convergiren.

Die Bewegung des Punctes m ist auf die zwischen den beiden Pa-
rallelkreisen 2 "= z^ und z ^= z^ gelegene Zone beschränkt und schreitet
in der Längsdiniension derselben immer in gleichem Sinne fort, indem

die' Flächengeschwindigkeit -k der auf die Horizontalebene projicirten

Bewegunor constant bleibt. Dabei bertthrt die Bahncurve des Punctes m
periodisch abwechselnd den obern und untern die Zone begrenzenden
Parallelkreis, weshalb diese letzteren Wendekrem der betrachteten Be-
wegung genannt werden mogen.

Die Wendekreise z = z^ und z = z^ sind durch die beiden in (^)
vorausgesetzten NuUpuncte der Function R{z) bestimmt, öber deren
Existenzfrage der § 5 weiteren Aufschluss geben soll.

% 6. I>ie jRotatiansfläche der Wendekreise der Bewegung.

Denkt man sich die Constanten h und -k der lebendigen Kraft und

der Flächengeschwindigkeit in der Horizontalebene gegeben, so bleibt, ftir
die durch die Differentialgleichungen (5) definirte Bewegung, noch der
Anfangsort z = z^ , ^ = ^^ des bewegten Punctes m willkörlich. Bei
der Symmetrie der Rotationsfläche känn, wie in (7) geschehen, ohne Ein-
schrankung der Allgemeinkeit ff^, = o gesetzt werden, während fttr z^

^ Vgl. die UntersucbuDgCD von Darboux Uber die Bedingung gesohlossener Bahnen
eines Punctes auf einer Rotationsfläche in der Abbandlung: Etude d^une question relative
au mouvement d*un point sur wne surface de revolution ^ Bulletin de lasociété ma-
thématique de France^ Bd. 5, S. lOO, 1877.

BewoguDg eines schwcrcn Panctes auf ciner RotatioDsflächo. 315

entweder, wie in (7) mit Rticksicht auf (9), ein Nullpunct von R{z) öder
auch ein anderer Werth gesetzt werden darf, der einem von der Bewe-
gung iiberhaupt getroffenen Parallelkreis entspricht.

Da namlich nach (5) von den Coordinaten des Anfangsortes z^ , f^
und den Constanten h y k die Coordinaten / = ^J , ^' = j^i der Anfangs-
geschwindigkeit mittels der Gleich ungen:

^ ^^ ' "'[r+n^o)in^o)' ^'""Ao

abhängen, so muss z = z^ der Bedingung:
(14) • R{z)>^o

gentlgen. Diese Bedingung bestimmt innerhalb der Grenzen A < z < B
die bei gegebenem h und k fttr den Punct m erreichbaren Parallelkreise
der Rotationsflftche, während alle der Bedingung nicht entsprechende
Stellen unerreichbar bleiben.

In einer Halbmeridianebene nehme man ein Coordinatensystem mit
den Axen r , ^ an, wo z die bereits eingefilhrte, der Richtung der Schwere
folgende 2f-Axe und r die Durchschnittslinie der Halbmeridianebene mit
der horizontalen ir2/-Ebene des bisherigen Coordinatensystems sei. Die
Gleichung der Durchschnittslinie der Rotationsfläche mit der Halbmeridian-
ebene ist:

(.15) r = f{z),

wo r nur positive Wertlie anniinmt. Man känn nun die Gleichung:

(16) R{z)^o,

auf deren Wurzeln es ankoramt, als Resultat der Elimination von r aus
der Gleichung (15) und der Gleichung

h

ansehen, wo nach Voraussetzung ä; > o ist. Demnach sind die Null-
puncte der Function R{z) die jef-Coordinaten der Durchschnittspuncte der
beiden Curven (15) und (17). Dies von der Halbmeridianebene mit
v = yv~+ p auf den Raum ttbertragen, giebt den Satz:

316 Otto Staude.

Die Wendekreise der Bewegung des Punctes m auf der Rotationsfläcfie
§ 3, 1 sind die Schnittkreise der letzteren mit der Rotationsfläclie 3. Ordnung:

(18) x' + y'= ^'

2{gz + h)

Zur Discussioii dieser Rotationsflächc (Ä , Ä), welche durch die Para-
meter h , k charakterisirt ist, bedarf es nur der Betrachtung der Halb-
meridiancurve (17), die einen Zweig einer Curve 3. Ordnung darstellt.
Der andere, den negativen Werthen der Quadratwurzel entsprechend, ist
filr den vorliegenden Zweck ersichtlich ohne Belang. Die Curve (17)
befindet sich in der Halbebene r , z ganz unterhalb der horizontalen Ge-
raden z = , welche eine Asyinptote der Curve ist Eine zweite

Asymptote der Curve ist die verticale ;ef-Axe. Die Curve besteht aus
einem einzigen, horizontal vom Unendlichen ber und vertical in's Unend-

liche hinablaufenden Zuge, der jede unterhalb des Niveau's z = die

Halbebene r , z durchziehende horizontale öder verticale Gerade einmal

(Jlv

und nur einmal trifft. Da ferner in dem betrachteten Umfange j- < o

und -1-5 > o, so nimmt bei wachsendem z die horizontale Coordinate der

Curve von co bis o beständig ab, und bewegt sich der Winkel a der
abwärts laufenden Curventangente gegen die horizontale r-Axe (vgl. Fig. i)

beständig abnehmend von ;r bis -. Es ist tlberdies ftir alle unterhalb

der Curve (auf der concaven Seite derselben) gelegenen Puncte r , z der

Halbmeridianebene:

k
r> , ^,

v/2 {gz + h)

för alle oberhalb der Curve und unterhalb der Geraden z = ge-

legenen umgekehrt.

Die Systeme von Curven, welche bei vcränderlichem k und constan-
tem h öder bei vcränderlichem h und constantem k entstehen, sind leicht
zu ttbersehen. Denn der Veränderung von h bei festem k entspricht eine
blose Verschiebung der Curve in der Richtung der ^-Axe. Will man

BcwcgUDg eiucs schwercn PuDCtes auf ciner Rotationsflftche. 317

•dagegen aus der Curve (A , k) die Curve (A , k') erhalteii, so hraucht inan
nur die horizontalen Coordinaten r der ersteren mit ä':ä zu multipliciren
(Systeine der letzteren Art vgL Fig. 2 und Fig. 3).

Lasst man jetzt die Curve (Ä , k) um die z-Axe rotiren, so beschreibt
sie die Rotationsfläche {h ^ k)^ welche sich trichterförmig nach oben gegen

die Ebene ^ =^ öfFnet und nacH unten immer enger um die z-Axe

zusaminenschliesst. Fttr alle Punete unterhalb dieser Fläche ist

2(j[,z + hy^' + y')-k'>o

und fttr alle Punete oberhalb derselben dicsseits und jenseits der Ebene
z = umgekehrt. Daraus folgt aber weiter:

m

Fur einen Parallélkreis der gegebenen Rotationsfläclie

x' + y' = f\z)

ist

E{z) > o , = o öder < o,

jenacMem derselbe unterhalb, auf öder oberhalb der Rotationsfläche (A , k) liegt.

Die Rotationsfläche (A , k\ welche, unabhängig von der gegebenen Ro-
tationsfläche, nur von den Constanten der Schwerkraft (^), der lebendi-

gen Kraft (A) und der horizontalen Flächengeschwindigkeit \-k\ abhängt,

trennt also einerseits die fttr die Bewegung erreichbaren und unerreich-
baren Punete der gegebenen Rotationsfläche und bestimmt andererseits
in ihren innerhalb des Rauraes A < z <B gelegenen Schnittcurven mit
dieser die möglichen Wendekreise der Bewegung.

Mit (j = o geht sie in einen verticalen Kreiscylinder, verbunden mit

der Ebene ^ = 00 tlber; mit A = o in die >Axe und die Ebene z =

9

S 6. Formen der Bewegung auf elner Motationsfläche

mit einfachen Horizontalschnitten*

Verbindet man dieses Resultat mit der in § 4 tlber R[z) gemachten
Voraussetzung (9), so ttbersieht man, wenn dieselbe mit ihren Folgen

318 Otto Staude.

besteht. und weiin nicht. Soll iiamlich eine den DifferentialgleichUngen
(5) entsprechende Bewegung innerhalb des Intervalles (2) ttberhaupt mög-
lich sein, so darf die gegeberie Rotfitionsfläche in dem letzteren nicht
ganz oberhalb der Rotationsflächc (A , k) liegen, ohne dieselbe zu treffen.
Dagegen :

I. Rofft die gegebene Rotationsfldche innerhalb des Intervalles Ä<z<B
mit einer Zane in den Baum unterhalb der JRotativnsfläche (Ji , k) hineitij
und ist diese Zone von 2 Parallelkreisen, ^ = ^0 ^^^^'* oben und z = z^ nach
unten, begrenzt, in denen sich beide RotationsfUichen schneideny ohne sich zu
beruhreny so findet in dieser Zone eine den Differentialgleichungen (5) ef*/-
sprecliende, bedingt periodische Bewegung des Punctes m mit den Wendekreisen
z = Zq und z == z^ statt,

Es liegt die in § 4 behandelte Normalform der Bewegung vor; denn
den einfachen Schnittkreisen der beiden Flächcn entsprechen einfache Null-
puncte z = Zq , z^ der Function R{z\ zwischen denen nach § 5 die Func-
tion R{z) positiv und von o verschieden ist, während r{z) (vgl. § 4, 9)
zwischen und in den Grenzen 'z = z^ j Zy^ diese Eigenschaften besitzt.

II. Reicht die gegebene Rotationsfläche innerhalb der Grenzen A<z <B
mit mehreren solchen Zonen unter die Rotationsfläche {h , k) herab, . so besteht
die den Differentialgleichungen (5) entsprechende Bewegung aus mehreren
bedingt periodischen Zweigen.

Jeder dieser Zweige ist von der erwähnten Normalform des § 4, wie
aus § 2, V unmittelbar hervorgeht.

III. Fallen die beiden Wendekreise eines solchen bedingt periodischen
Zweiges der Bewegung zusammeny so géht die entsprechende bedingt periodische
Bewegung in eine unbedingt periodische Bewegung uber.

Dieselbe erfolgt dem Satze § 2, IV entsprechend, auf einem Pa-
rallelkreise z = z^ der Rotationsfläche mit constanter Geschwindigkeit.
Diese periodische Bewegung ist stabil^ da ihre Bahn beiderseits von un-
erreichbaren Theilen der Rotationsfläche begrenzt ist. För die ^Periode
der Bewegung ergiebt die allgemcine Formel § 2, 1 1 :

Or-

(•9) T = --i^r{z,).

BeweguDg oines schweren Puoctcs auP einer Rotationsfläche. 319

Dieser Ausdruck lässt sich noch änders darstellen. Denii die Annahme
i? = ^^ , / = o reducirt die Gleichungen § 5, 1 3 auf :

(20) B{z^) = 0, k = f\z,).ifl

Da aber bei dem Zusammenfall der beiden Wendekreise z^ und z^ nach
§ 4, 9 auch

(20) R\z,) = o,

80 können mittels dieser 3 Gleichungen (20) h , k und tp^ durch z^ aus-
gedrQckt werden. Man erhält dabei för k den Werth:

* = A^o)\/-.9

/Kl

Es wird daher nach (19) die Umlaufszeit der hings des Parallelkreises z = z^
statt findenden periodischen Beivegung:

(21) T= 27r\/—

rMTM

Mit f[z)=^s!o^ — z* und f{z) = - ^'a* — z' liefert diese Formel die be-

rt

kannten Perioden der Bcwegung längs eines Parallelkreises z = z^ der
Kugel und des Rotationsellipsoides:

\ g a\ g

IV. Fallen zwei nächstfolgende Wendekreise zweier verschiedener bedingt
periodischer Zweige der Bewegung ztisammeny .so entsteJd durch dus Ztisam-
menfliessen der letzteren eine asymptotische Bewegung.

Die Bahncurve des Punctes m flacht sich nach § 2, VI bei Annä-
herung an den kritischen Parallelkreis, der aus dem Zusammenfall der
beiden Wendekreise hervorgeht, derart ab, dass sie, während sie der

' Vgl. ScHELL, Theorie der Bewegung und der Kräfte, Bd. 1, S. 425. (2. Aufl.)
' Vgl. Foucault, Remarques concemant le mauvement d'un point oscillant circulaire-
mevt sur une surface de revolution du second or dre, Comptes rendus, Bd. 61, S. 5^5^
Paris 1865; und Sur une modificaiion du modérateur de Watt, ebd. S. 278.

320 Otto Slaude.

Richtung des letzteren folgend, in iminer neuen Windungen die Rota-
tionsfläche umkreist, sich dem kritischen Parallelkreis asymptotisch nähert.
Auf diese Weise wird die im kritischen Parallelkreis mögliche Verzweigung
der Bahncurve umgängen. ^ Bringt man aber den Punct m zu Anfang
der Bewegung in diesen Parallelkreis hinein, so wird er ihn umgekehrt
nach keiner endlichen Zeit verlassen können, sondern ihn mit constanter
Geschwindigkeit umkreisen. Die so entstehende unbedingt periodische Be-
wegung unterscheidet sich aber von der vorhin als stabil bezeichneten
dadurch, dass sie nur im Jahilen Gleichgewicht steht. Ihre Periode ist
dieselbe, wie die vorhin unter (21) angegebene. Die Grenzfälle III und
IV der bedingt periödischen Bewegung setzen eine Beruhrung zwischen
der gegehenen Rotat tons fläche und der Rotationsfläche {h , k) tungs eines Pa-
rathlkreises yoraus. Solche Bertthrungen können, da die Flache (Ä , k)
sich nach unten zu beständig gegen die \2f-Axe verengt, nur auf solchen
Zonen der gegebenen Fläche auftreten, wo das gleiche stattfindet; dem
entsprechend giebt die Formel (21), da f{z) allgemein positiv voraus-
gesetzt wurde, nur fur negatives f^z^) einen reellen Werth. Ist längs einer
solchen Zone mit negativem f{z) die gegebenc Rotationsfläche positiv ge-
krtimmt, so känn sie die Rotationsfläche (ä , k) niemals von unten be-
röhren, also nur der Grenzfall der stabil periödischen Bewegung eintreten.
Ist sie dagegen negativ gekrttmmt, wie die Rotationsfläche (Ä , k) selbst,
so sind beide Grenzfälle, die stabil und die labil periodische Bewegung
möglich (vgl. § 10).

V. Analoge Grenzfälle bedingt periodischer Bewegungen, wie die
eben unter III und IV beschriebenen, finden sich bei der Coincidenz von
mehr als zwei Schnittkreisen der gegebenen Rotationsfläche mit der Rota-
tionsfläche (h , k) ein, deren Discussion kein weiteres Interesse beanspruchen
dttrfte. Jedoch soU noch des vollständigen Zusammenfalles der beiden Ro-
tations fläcken , also der Voraussetzung

gedacht werden. Wenn der Punct m an einer beliebigen Stelle dieser

* Deno nach Kirchhoff, Vorleswngan iiher mathematische Physik, I. Vorl., § 2,
sind dio Coordinaten x , y ^ z des bewcgten Punctes ftir die Dauer der Bewegung ein-
werthigo Functionen der Zeit.

BeweguDg eines schweren Punctes auf einer Rotatioosfläche. 321

Rotationsfläche in horizontaler Richtung mit der Flachengeschwindigkeit k
seine Bewegung beginnt, so verbleibt er immer in dem anfenglichen Pa-
rallelkreis. Es liegt eine periodische Bewegung vor, deren Gleichgewichts-
zustand ein indifferenter ist.

Diese Eigenschaft föhrt auf folgende mechanische Definition des einem
gegebenen h und einem verftnderlichen k entsprechenden Systems von Ro-
tationsflächen (Ä , ä), wie es bereits im § 5 erwfthnt wurde:

Wenn von einer heliehigen Stelle irgend eines Parallelkreises z == z^
einer Botationsfläche des Systems ein schwerer Punct in der Richtung der
Tangente des Parallelkreises mit derjenigen Geschwindigkeit ausgeMy die er

durch den freien Fall vom Niveau z = bis zum Niveau des Parallet-

9

kreises z = z^ erhållen haben wUrde^ so bewegt er sich beständig in diesem
Parcdlelkreis.

Denn die Differentialgleichung der in die y^-Ebene fallenden Me-
ridiancurve einer Rotationsfläche, auf welcher ein schwerer Punct immer
einen Parallelkreis beschreibt, wenn er in einem beliebigen Niveau z von
einer beliebigen Stelle der Fläche mit der als Function von z gegebenen
und in die Richtung des Parallelkreises z fallenden Geschwindigkeit
p = u(^z) ausgeht, ist: ^

Die Integration dieser Differentialgleichung mit )^\z) = 2 (9^ + '0> g^^bt
aber, unter k die Integrationsconstante verstanden, das in Rede stehende

System :

k

y = = «

s]2{gz + k)

VI. Neben den unter I — V betrachteten und in verschiedenem Sinne
stabilen Bewegungszweigen können auch instabile Zweige vorhanden sein,
wenn nämlich eine Zone der gegebenen Rotationsfläche, die unter die

* Vgl. Jullien, Problémes de mécanique rationnelle, Bd. 1, S. 401, Paris 1855;
Uber die Tendenz dieser Frage auch De St.Germain, Des surfaces sur lesquelles un point
peut se 'inouvoir suivant une ceriaine loi, Liouville^s Journal de mathématiques,
3. Serie, Bd. 2, S. 325, 1876.

Aeta mathetnatica, 11. Imprimé le 9 Mai 1888. 41

322 Otto Staude.

Fläche (Ä , k) herabreicht, innerhalb des Intervalles A < z < B nur ein-
seitig begrenzt ist. Auf diese Zweige soll an dieser Stelle nicht iiäher
eingegangen werden.

Mit ff = o ergeben sich aus den Sätzén I — VI die verschiedenen
Farmen der geodutischeiii Bewegimg eines Punctes auf einer Rotationsfl&che,
mit Ausschluss der Bewegung in einem Meridiane.

Wie die Bestimmung des Intervalles A < z < B iHv eine gegebene
Rotationsflache gedacht ist, wird aus den folgenden Beispielen leicht er-
sichtlich sein.

§ 7. Beispiele van Bewegungen atif Itotationsflächen mit einfachen

HorizontalschnUten .

Um die bekannten Beispiele von Bewegungen eines schweren Punctes
auf einer Rotationsflache unter die allgemeine Theorie unterzuordnen, mag
zuerst die Kugélfläche erwahnt werden. Es ist hier:

wo unter a der Radius der Kugel verstanden wird. Die Grenzen A und
B des § 3, 2 können A = — a und B ^= ■\- a genommen werden, worauf
f[z) allén Bedingungen des § 3 entspricht. Die Rotationsflache (ä,^)
schneidet, wenn tiberhaupt eine Bewegung stattfindet, die Kugel in 2
Parallelkreisen z = z^y z^ (vgl. Fig. i), die auch zu einer Bertthrungscurve
beider Flachen zusammenrQcken können, jedoch nach § 6 nur auf der
unteren Halbkugel. Während daher im Allgemeinen die Bewegung aus
^einem einzigen bedingt periodischen Zweige besteht, wird sie im Grenzfalle
stabil periodisch.

Im Wesentlichen dieselben Verbältnisse wiederholen sich bei allén
gescJdossenen Rotationsflächen mit einfaclien HorizontalschnUten, wenn sie
zwischen ihren beiden Schnittpuncten mit der Rotationsaxe öberall den
Bedingungen des § 3 entsprechen und, in der verticalen Halbebene yZj
der Winkel der absteigenden Tången te der Halbmeridiancurve der Rota-
tionsflache gegen die Richtung der Halbaxe y, beständig wachsend von
o bis TT sich bewegt. Da nämlich der Winkel der absteigenden Tangente
der Halbmeridiancurve der Rotationsflache {h , k) gegen die Richtung der

'BeweguDg eincs schweren Panctes auf oiner Rotationsfläohe. 323

Halbaxe y beständig abnehineiid von tt bis - sich bewegt (nach § 5),

80 können die beiden Meridiancurven sich nicht mehr als zweimal schnei-
den; sie mössen sich aber, wenn ttberhaupt, auch wenigstens in 2 ge-
trennten oder zusammenfallenden Puncten treffen.

Bei dem Rotationskegd mit verticaler Axe ist ftir den oberen Halb-
kegel, dessen aufsteigende Seitenlinie mit der ^-Axe den stumpfen Winkel
j- biidet:

f{z) =tg^.2f.
h

Man känn A = , jB = o nehmen, indem man h als positiv voraus-

setzt. Kleinere Werthe von js sind unerreichbar, sodass die Annahme

h
A = keine Beschränkung enthalt. Der obere Halbkegel wird von

der Rotationsfläche (ä , Ä), wenn ttberhaupt, in 2 Parallelkreisen ^ = ^i , ^J
(vgl. Fig. i) geschnitten, die eventuell auch zusammenfallen. Auf den
unteren Halbkegel ttbergehend, hatte man

f{z) = —tgr.z

und A == o y B = oo zu nehmen. Es findet sich dann nur ein Schnitt-
kreis z = z'^ zwischen Halbkegel und Rotationsfläche {h , k) und liegt
daher ein instabiler Zweig der Bewegung vor (vgl. § 6, VI).

Im Wesentlichen ebenso, wie der nach oben offene Halbkegel, ver-
halten sich alle unten gescMossenen und oben offenen Rotatiomflächen mit

einfachen HorizontalschnUten, wenn sie zwischen dem Niveau ^ = und

ihrem tiefer liegenden Schnittpunct mit der Rotationsaxe öberall den
Bedingungen des § 3 genttgen und der Winkel der absteigenden Tangente
der Halbmeridiancurve gegen die Richtung der Halbaxe y beständig*
wachsend von einem zwischen o und tt gelegenen Anfangswerthe bis tu
sich bewegt. Sie werden, wenn ttberhaupt, von der Rotationsfläche (A , k)

unterhalb des Niveau'8 z = in zwei getrennten oder zusammenfallen-
den Puncten geschnitten.

Ein Beispiel för den Fall, wo zwei hedingt periodische Zweige der
Bewegung möglich sind, bietet die durch Rotation der Fusspunctcurve
einer Ellipse

324 Otto Staude.

entstehende Fläche unter der Voraussetzung:

2a' < b\

Die Gleichung der HalbiDeridiancurve ist:

y = f{z) = V(a* — 2«*) + sa* + 4(6« — a«)«'.

Die Function erftlUt innerhalb der Grenzen A = — b und A=+b alle
Bedingungen des § 3. Bei geeigneter Wahl der Constanten h werden
dann mit stetiger Abnahme der Constanten k der Reihe nach folgende
Formen der Bewegung auftreten.

Solange die Fläche {h , k) die gegebene Fläche in 2 Parallelkreisen
z — Zq und z = z^ schneidet, die respective in der Nähe von z = — b
und z = + b liegen (vgl. Fig. 2, i) besteht die Bewegung aus einem
einzigen bedingt periodischen Zweige (Normalform des § 4). Sobald zu
den beiden Schnittkreisen z = z^ und z =^ z^ noch eine Bertlhrung beider
Flächen in einem zwischen jenen liegenden Parallélkreis z ^=^ z^ ^= z^ tritt,
liegt die in § 6, IV betrachtete asymptotische Bewegung vor, die auch
als labil periodische Bewegung längs des letztgenannten Parallelkreises
betrachtet werden känn. Indem weiterhin die beiden Flächen in 4 Pa-
rallelkreisen z = z^y z = z^ j z =^ z^j z = z^ sich schneiden (vgl. Fig. 2, 2)
zerfällt die Bewegung in 2 bedingt periodische Zweige auf den Zonen
Zq < z < z^ und z^ < z < z^, Beim Zusammenfall von z^ und z^ wird
sodann der obere Zweig stabil periodisch. Weiterhin verschwindet er ganz,
und es bleibt (vgl. Fig. 2, 3) nur inehr ein bedingt periodischer Zweig
mit den Wendekreisen z =^ z^ und z =^ z^ tlbrig, der seinerseits in eine
stabil periodische Bewegung ttbergeht, wenn die beiden Wendekreise zu-
gammenröcken.

§ 8. Oleichungen der Bewegung auf etner JRotatiansjflUche mU

zweifaehen HorizontalschnUten.

Die Gleichung einer Rotationsfläche sei mit Bezug auf dasselbe Co-
ordinatensystem, wie in § 3, wiederum:

(I) x' + y' = /'W

Bew«guDg eines schweren PuDctes auf einer Rotat ionsfläche. S25

jedoch 8oll die Function f[z) die Form haben:

(23) f{^) = P{^) + sjqi^f

und soll fdr jeden Werth von z in dem Intervalle

(24) a<z<h

m

2 im Allgemeinen verschiedene positive reelle Werthe haben, die nur an
den beiden Grenzen z = a und z = b des Intervalles zusammenfallen.
Diese Eigenschaft von f{z) soll dadurch bedingt sein, dass die Function
q{z) die Form hat:

(25) g{z) = (^ — a){b — z)r{zl

und dass die Functionen p{z) und r{z) ftlr alle der Ungleichung (24)
entsprechenden Werthe von z eindeutige und stetige Functionen der reellen
Variabeln z sind und einen positiven reellen, von o und cxd verschiedenen
Werth besitzen. Auch sollen diese Functionen in demselben Umfange
einen bestimmten, nicht co werdenden i. Differentialquotienten p'{z) und
q\z) besitzen. Endlich soll in dem betrachteten Intervalle:

(26) p{z) > yjq{z)

sein. Die Rotationsflache ist dann eine gescUossene Ringfläche^ welche von
jeder Horizontalebene zwischen z =^ a und z =^ h xn 2 getrennten Pa-
rallelkreisen geschnitten und von den Ebenen z ^= a und z = b selbst
längs eines solchen beröhrt wird.

Die Differentialgleichungen (5) ftir die Bewegung eines schweren
Punctes m auf der Fläche haben jetzt in dem Intervalle a <z <b insofem
einen andern Charakter wie fröher in dem Intervall § 3, 2, als f\z)
nicht mehr eindeutig und f{z) nicht mehr ttberall von co verschieden
ist. Sie können aber auf eine der fröheren analoge Form gebracht
werden durch die Substitution

a+ba—b

(27) ^ = -—- + — —-cosw;

es wird dann:

a. — b . . , d — 6 .

V3(«) = \J{z — a)(b — z)yJr{z) = -— sint^. ^r(»), dz = — — - Hmudu

\

826 Otto Suude.

Dieses Abhängigkeitsverhältniss zwischeii den Variabeln z und u ist derart,
dass, wfthrend u alle möglichen reellen Werthe durchläuft, z immer
zwischen a und h oscillirt. Es ist daher bei den gemachten Voraus-
setzungen :

(28) /•(^) = p(^_- + _~co8wj _8inwy/r(^^~ + ^-co8wj==2'(u)

eine eindeutige und stetige Function von w, die immer positiv und von
o und cx) verschieden ist. Ferner wird:

^29) 1+/ \Z) (^g_a)(b-z)r(e) (a — o)(6 — «) '

Vo G{u) för alle reellen Werthe von u nicht nur eindeutig und stetig,
sondcrn auch positiv und von o und co verschieden ist. Da nftmlich

(30) ■ Gin) = [ I + rV)]{z - a){b -•- z),

SO ist fttr alle Werthe von w, ftir die a < z < b j G{u) positiv und von
o verschieden; fttr solche Werthe von u aber, ftir die z = a^b wird, ist

G{u) = i 'l^

^ ^ 4 r{z)

m

ebenfallfi positiv und von o verschieden. Da ferner ftir a <z <b weder
r{z) verschwindet noch q{^) y p\js!) 9 q'{z) 00 werden können, so ist nach

(29) G{u) ftir alle reellen Werthe von u endlich.

Wenn aber G{u) diese Eigenschaften hat, so wird in dem Differential:

yjl + f\z)dz = yjG{u)du

der Coefficient von du bei stetiger Bewegung von u niemals sein Vor-
zeichen wechseln und känn daher ohne Beschränkung demselben sein po-
sitiver Werth beigelegt werden.

Hiernach nehmen die analytischen Gleichungen der Bewegung des
Punctes m auf der Ringfläche zunftchst folgende unentwickelte Form an;

Bewegung eines sohweren Panctes »af einer Rotationsfläohe.

327

(31) X = F{u).yji — vj y = F{u).yjv,

a + b , a — fe

z = — 1 cosw,

(32)

v u

J 2yjv{l —v) J

k)JG{u)du __

= o,

r F{u)s[(^u).du _
J VäÖÖ ~ '

wonn:

(33) R{u) = 2{gz+h)f\z)-k'=2^g{^-±^ + '^^

Man känn tiberdies ftir u in den Gleichungen (31) und (32) auch
die Variable w einföhren, indem man setzt:

(34)

C08W =

I — w

I + w

t9

sinw =

2w

I + w

IJ

, 2dw

du = — 5 ,

I + w

worauf F{u) , 0{u) , R{u) eindeutige Functionen von w werden, etwa
F^{w) y G^{w) , B^{tv) und die Gleichungen (31) und (32) die Gestalt an-
nehmen:

(31') x= F^{w).y/i-vy y = F,{w).yja, z=^^^ + ^

w

2 \ + W*

(32')

IT

/ ' dv r 2kyjG,

J 2 Vt' (I —V) J {I + w*)F,

2ky/G,{w)dv) _

(w)v'/?,(w)

O,

o

«t

n

2F^{w)y/G~{w)dw •_

(I +w*)^R^{w)

= ti

Uq und Wq sind die der Zeit t = o entflprechenden Anfangswerthe von
u und tv.

Auf analoge Form wörden sich die Be wegungsgleich ungen för die
nach oben offenen und nach unten geschlossenen Ringfiächen mit theils
zweifachen theila einfachen Horizontalschnitten bringen lassen; jedoch

828 Otto Staude.

bietet diese Untersuchung nichts wesentlich verschiedenes von der eben
gefahrten dar.

§ 9. I>ie beiden Nornnalfomien der stahilen Bewegung anf einer
Rotations/läche mit zweifachen HorizmitalschnUten.

In den Formeln (31) sind x^y^z för alle reellen Werthe von u
und alle v zwischen o und i eindeutige Functionen von u , ^/v , \!i — y;
ferner gilt in demselben Umfange von den Functionen:

I _hyjQ\u)

in (32), dass sie eindeutig und endlich sind und ihr Vorzeichen niemals
wechseln. Hat nun die Function B{u) zwei Nullpuncte w^ und w^, sodass
B{u) = {u — Uq){^i — u)r{u) in dem Intervalle zwischen w^ und ti^ po-
sitiv und von o verschieden ist, so ist auch die Determinante:

2 }jr(u)

in diesem Intervalle von o verschieden und constanten Vorzeichens. Es
sind daher, wie frtiher, x , y eindeutige, bedingt periodische Functionen
und z eine eindeutige periodische Function von t. Die Bewegung ent-
spricht der Normalform des § 4.

Wird dagegen It{u) = Ri{^) ^^^ keinen reellen Werth von tv gleich
o und ist ftir alle Werthe von w positiv und endlich, so bieten die
Formeln (31') und (32') den Fall des Umkehrproblems § 1, II dar mit:

+00

ä>,, =^, (O

_ 1 / 2kiJG^(w)dw

2J (I + w')y,iRj^

(w)

00

== _ I iJ '—1 Ll '_ .

32

Oi^i = O, O)^^ — - . =^..-.

)

— ao

Bewegung eines schwcren Pnnctcs auf eincr Rotationsflächc. 329

Es wird daher wieder z eine periodische Functiori von t mit der Periode
T = 2(o^^ und X , y bedingt periodische Functionen, die unter der Be-
dingung:

die Periode T = im^o)^^ bekommen. Geometrisch känn indessen die
entsprechende Bewegung als eine zweite Normalform der Bewegung eines
schweren Punctes auf einer Rotationsfläche betrachtet werden, welche sich
von jener des § 4 durch das Fehlen der Wendekreise unterscheidet. Der
Punet macht volle Umlftufe um die Ringfläche sowohl im Sinne der Pa-
rallel- als im Sinne der geschlossenen Halbmeridiancurven.

Die Untersuchung der Form der Bewegung des Punctes reducirt sich
nach dem Vorstehen^en wiederum auf die Aufsuchung der Nullpuncte
der Function:

also der Schnittkreise der gegebenen Rotationsfläche mit der Rotations-
fläche (Ä , k) des § 5. Es gelt^n also unmittelbar die Sfttze.

I. Bagt die gegebene ringförmige Rotationsfläche mit einer Zone in den
Raum unterhalb der Rotationsfldche {h , k) hinein und ist diese Zone von zwei
Parallelkreisen begrenzty in dsnen sich die heiden Rotationsflächen schneiden,
ohne sich zu beruhren, so findet in dieser Zone eine den Diffe7'entialgl€i'
chungen (5) entsprechende bedingt periodische Bewegung des Punctes m statt.

Auch hier können mehrere bedingt periodische Zweige der Bewegung
vorhanden sein und die frtiher (§ 6) erwähnten Grenzfälle der stabil und
labil periodischen Bewegung auftreten.

II. Liegt die gegebene ringfm^mige Rotationsfläche ganz tmterhalb dei^
Rotationsfläche {hjk) ohne mit^ihr einen Punct gemein zu haben, so ist die
den Differentidlgleichungen (5) entsprechende Bewegung eine bedingt periodische
Bewegung ohne Wendekreise mit zweierlei vollen Umläufen.

•

In diesem Falle besteht die Bewegung naturgemäss nur aus einem
Zweige. Der Obergang von dieser Fm'm der bedingt periodischen Bewegung
zu einer solchen mit Wendekreisen findet unter Vermittlung einer asymp*
totischen Bewegung statt, wenn die Ringfläche ganz unterhalb der Fläche
(A , Ä) liegt, aber dieselbe in einem Parullelkreis berfthrt.

Åcta tnathematica. U. Imprimé U 28 Mai 1888. 42

330 Otto Suude.

§ 10. Beispiel des Kreisrlnges.

Fttr die llingfläche:

(ir' + I,' + z' + a' — hy = 4a\.v' + ?/')
sind die in § 8 mit f{z) , p^z) j q[z) , r[z) bezeichncten Functionen
f{z) = a + yVir^, p{z) = a, q{z) -= {z + h){b — z\ r{z) = i

und die dortigen Constanten a, i durch — h,h zu ersetzen. Die Be-

dingung (26) wird:

a> b.

Die Gleichungen der Bewegung lauten, wenn man statt des in § 8 ein-
geffthrten u noch t: — 21 setzt:

X = (a -\- h sin u)^i — ?;, 7/ = {a + b ^\u f()\-v, z •^- b eosw;

u

/dv , / khdu
— = + / . ^ O,
2y^i;(l — v) J (a + hmnn)\'R(v)

u.

u

/b {a + h 8in^^

i?(w) = 2(/>// cosw + ^)(^* + ^ sin w)^ — Ä•^

Die Werthe ^<. = o , - , ;r , — entsprechen bezttglich dem tiefsten, dem

Hussersten, dem höchsten und dem innersten Parallelkreis der Ringflache,
sodass der i. und 2. Quadrant in Bezug auf u die positiv, der 3. und 4.
die negativ gekrömmten Theile der Fläche umfasst.

Durch die Substitution (34) werden die Tntegrale mit der Variabeln
n auf die algebraische Form gebracht; sie sind kyperélliptisch vom Ge-
schlecht p = 3.

Die Discussion der Schnittcurven der Ringfläche mit der Rotations-
flilche (Ä , k) ergiebt nun ohne Schwierigkeit: Wenn die RingflJlohe von

Bewegung eines schweren Punctes auf ciner Rotationsflächc. 331

der Rotationsfläche (It , k) geschnitten wird, was ftlr — bg < h < bg irnmer
stattfiiidet nnd auch fttr h> bg (dem Falle h < — bg entspricht keine
Bewegung) noch stattfinden känn, so giebt es jedenfalls unerreichbare
Theile der Ringflache. Es sind entweder 2 öder 4 Wendekreise vorhanden
und besteht daher die Bewegung aus einem öder zwei Zweigen, welche
bedingt periodische Bewegungen von der Normalform des § 4 sind.

Wenn dagegen die Ringflache ganz unterhalb der Rotationsfläche
(Ä , k) verläuft, so liegt die zweite Normalform der bedingt periodischen
Bewegungen vor und macht der Punct m volle Umläufe im Sinne der
Parallelkreise sowohl, wie im Sinne der Meridiankreise der Ringflache.

Wenn das Zerfallen der Bewegung in 2 Zweige möglich ist (wie

z. B. ftir die der Fig. 3 zu Grunde gelegte Annahme a = byj2 ,h= - -^),

80 gestaltet sich der Ubergang der einzelnen Formen ineinander folgender-
maassen :

Zuerst wenn die Ringflache ganz unterhalb der Rotationsfläche (A, k)
liegt, (vgl. Fig. 3, i) findet die bedifigt periodische Bewegung ohne Wende-
kreise statt. Sobald alsdann die letztere Fläche die unter ihr liegende
Ringflache in einem Parallelkreise des 3. Quadranten bertthrt, löst sich
die Bewegung in eine asymptotische Form auf, die dem fraglichen Pa-
rallelkreis immer näher kommt, ohne ihn je zu erreichen. Bei weiterer
Abnahme von k schneidet die Fläche (/? , k) bereits eine Zone unerreich-
barer Puncte aus der Ringflache aus, während die Bewegung auf der
andern, unterhalb der Fläche {1i , k) gelegenen Zone bedingt periodisch mit
2 Wendekreisen ist. Weiterhin bertihrt die Fläche (ä , U)y während sie
noch immer den Ring in 2 Parallelkreisen schneidet, denselben gleich-
zeitig in einem 3. Parallelkreis der bisher der Bewegung zugänglichen
Zone, sodass die Bewegung sich abermals in eine asymptotische auflöst,
Bei 4 Schnittkreisen der beiden Flächen zerfällt hierauf die Bewegung in
zwei bedingt periodische Zweige mit je 2 Wendekreisen. Die Zone des
einen Zweiges liegt ganz im 3. Quadranten, die des anderen greift tlber
den I. Quadranten herum und nähert sich beiderseits der ersteren Zone.
Bei abnehmendem k fallen die beiden Wendekreise der ganz im 3. Qua-
dranten belegenen Zone zusammen (vgl. Fig. 3, 2) und die Bewegung
besteht aus einem stabil periodischen und einem bedingt periodischen Zweige.
Der erstcre verschwindet alsdann und es bleibt, indem nur mehr zwei

332 Otto Staudc.

Schnittkrcise der beidcii Flftchen vorliegeii nur ein hedinyt periodischer
Zweig (vgl. Fig. 3, 3), dessen beide Wendekreise fiich mehr und mehr von
verschiedenen Seiten her gegen den i. Quadranten hinziehen. In diesem
fallen sie schliesslich zusiiinnien und eine stabil periodische Durchlaufung
des betreffenden Parallelkreises, in welchein die Rotationsfläche (Ä , k)
den ganz oberlialb liegenden Ring bertthrt, erscheint als letzte Grenzform
der Bewegung.

Dorpat, im Februar 1888.

ACTA MATHKNLVriGA.Vl.

333

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN

(Zweite Abhandlung*)

VON

H. WEBER

in MABBURG.

Nach längerer Unterbrechunoc setze ich meine in dieser Zeitschrift
begoniicnen Publicatioiien aus der Theorie der elliptischen Functioiien
fort. Ich beginne mit einigen Betrachtungen ttber die allgemeine Trans-
forinationstheorie, besonders die Modulargleichungen, welche den Zweck
haben, die Formeln dieser Theorie unter einem gemeinsamen Gesichts-
punkt zu betrachten und dieselben teils zu erweitern, teils zu verehi-
fachen. Diese Untersuchungen bertthren sich mit den Arbeiten, die in
den letzten Jahren von F. Klein und einigen seiner Schttler veröffentlicht
sind.* Im zweiten Teile der vorliegenden Arbeit werden diese Formeln
angewandt auf die Berechnung der aus der complexen Multiplication ent*
springenden algebraischen Zahlen (der sogenannten singulären Moduln),
mit Anwendung verschiedenartiger Methoden. Einige dieser algebraischen
Zahlen finden sich in den einschlagenden Arbeiten von HERMrrE^ Joubeut/

* Acta Mathcmatica, Bd, 6, S. 329. Die mit I bezcichnotcn Citatc bczichcn
sich auf diese Abhandlung.

* Man vgl. die sehr daukcnswertcD Obersichten, die F. Klein in den Berichtcn
der Sächsischen Gesellschaft d. Wissensch. (2 März 1885) und in den Mathc-
matischeu Annalen (Bd. 26) Uber diese Untersuchungen und ihrcn Zusammenhahg ge-
gcbcn hat. Von besonderem Interesse war mir die Dissertation -von £. W. Fiedler, die
im Jahr 1 885 der phil. Facultät der Universität Leipzig vorgelegt wurde, in welcher sich
viclb der von mir benutzten Formeln wenn auch in anderer Form finden.

' Hermite, sur la theorie des équations tnodulaires^ Paris 1859.

* JouBERT, Comptes ren dus 1860, t. 50.

Åcta mathematica, 11. Imprimé It 38 Mal 1888.

334 H. Weber.

KiiONECKEU. ^ Die von mir angewandten Methoden, die alle bisher be-
kannten FJille uriifassen, vermehren dies Material bedeutend und geben die
Resultate meist in ilberraschend einfacher Gestalt. Die Reehnungen lassen
sich auf denselben Wegen nocli wciter fortsetzen. Bezttglich diescr Reeh-
nungen bemerke icli noch, dass dieselben, mit Ausnahme der in § 8 behan-
delten Fälle, nicht wie bei Hermitk und Kkoneckek auf numerischen
Reehnungen, sondern auf algebraischen Umfonnungen beruhen, dass aber
trotzdem vielfach die nuinerisehe Rechnung, die bei der enormen Con-
vergenz der in Betracht koinmenden Reihen sehr leicht ist, teils zur Con-
trolle der Richtigkeit, teils zur leiehteren Auffindung rationaler Factoren
mit Nutzen angewandt wird.

I. ABSCHNITT.
Zar Transformationstheorie.

§ 1. Einfahrung der Functiwren /(w) ^ f^{co) , f^{co).

In der Abhandlung I, § 6, habe ich als absolute Invariante eines
Systems doppelt periodischer Functionen mit den Perioden i , w die
Function

eingeffihrt, dcren Entwicklung nach steigenden Potenzen von q den fol-
ffenden Anfanfj^ hat

(2) J{(o) = q^\\ + 7447' +.••)•

Ilierin ist, wenn w das Periodenverhältniss bedeutet

Von derjenigen Function, wclche Dedekind (Journal fiir Mathematik,
Bd. 83) die Valeiiz von w nennt, die mit der von F. Klein als absolute

^ Kronecker, Monatsbcrichtc der Bcrlincr Akadcmic, 26 Juoi 1862.

Zur Theorie der elliptischeo FuDCtioDen.

Invariaiite J{(o) bezeichneten Function tibereinstimmt, unterscheidet sie
sich durch einen Zahlenfactor, so dass j{w) = 27 . 64 J(ö>) ist. Der Grund,
der mich zu dieser Abweichung von der sonst schon gebräuchlichen Be-
zeichnung, zu der ich mich ungern entschloss, bewog, war der, dass die der
complexen Multiplication entsprechenden singulären Werte vony(öi) ^aw;2f6
algebraische Zahlen sind, was för J{(o) nicht der Fall ist. Derselbe Um-
stand hat mich auch zu den folgenden Einftthrungen bewogen, welche
sich tibrigens auch sonst als zweckm^ssig erweisen.

An Stelle der Invarianten g^ , g^ (I, § 6) benutze ich die von ihnen
durch Zahlenfactoren verschiedenen Functionen

rM = 2>ljA9M = vJW =?"«(! + 248?'-+ ...),

(3)

r,{a)) = SAffM = vi;- — 27.64= q-^ii —492?' +...),

und an Stelle der HfiRMiTF/schen Functionen ^{cd) , <p{a)) , /{w) (I, § 4)
sollen drei Functionen f{o))jf^{(i)),f^{co) eingeftthrt werden, welche mit
denselben in folgendem Zusammenhang stehen:

f{<o) = -7-T- = rr=
(4) ^^^'^^=^i^ = ^'V k

Diesc drei Functionen lassen sich in folgender Weise durch die Function
iy(ö>) darstellen:

/I + (0\

f{(o) = e

rj{(o)

336 H. Weber.

Ftthrt man hier das unendliche Product

(6) ,(6>) = ry^n(l-fy-)

1.»

ein, 80 erhlllt man

1 ,»

(7) /;(r«)=ry-"n(i -</--').

1 .«

woraus die Reihen:

(8) /•,(ft,) = (7^^(i_(7_./ + r/-./ + r/— ry' + 2gr'_2(/» + 2?"'-2y"+...),

/;(ö,) = V2(Z^(i + r/+r/+2r?''+2<?*+37"'+...). '

Zwischen den drei Functionen f{a}),f^{a)),f^{a)) bestehen die aus (4)
sich ergebenden beiden Relationen

(9) f{<o)f,{a>)fM = v'i-,

(10) f{o>y = f,{a>y. + f,{a>)\ .

Die Invariante y^J^io) lasst* sich durch /"(ö)) in der Weise auwlrttcken

(ii) r2(ö>) = — y—^

so dass f ^ — /\" , — fl die Wurzeln der cubischen Gleichung

x^ — Tj^[o)) — 16 =
sind, deren Discriminante å^j-^^cof ist, woraus

(12) rA^)-\\f^<»i' + A(<")'M^r + f>nfM'-a^)'\

Zur Theorie der elliptischen FuDctionen. 337

Mittels der Formeln (5) erh&lt man (nach I, § 5, 7, 8) die zur Trans-
formation erster und zweiter Ordnung gehörigen Fundamentelformeln

n

f{o>+ i) = e «/;(ö>),

ri

('3) /;(a>+ i)=e "/"(ö)),

jrt

/;(a, + I) = e'Y,(ö>)-

f{-T^ = M,

(14) A(-^) = /;(«>).

(15)

s '

«»)'-(lTi) = v-

Ich ftlhre noch die Formeln fOr die allgemeine lineare Transformation
der Functionen /", /J , /^ an, die man aus den bekannten Hermite schen
Formeln ft\r die Transformation der Functionen ^ j ^ 9 X ^^hält, die sich
aber auch (wie in I, § 5 angedeutet) leicht mittels der Transformation der
Function iy(ö>) aus (5) herleiten lassen.^ Ich gebe diese Formeln tabel-
larisch, indem in der ersten Colonne die nach dem Modul 2 reducierten

* Vgh MoLiEN, Dber gewisse in der Theorie der elliptischen Functionen auftretende
Einheitsiourzeln. Berichte der Säohs. Gesellsch. d. Wissensch., 1885.

Actm mathémmtiea. 11. Imprimé It 26 Mal 1881. 43

338

H. Weber.

Transformationszahlen a , fi , j' j d Rtehen wonach sechs mögliche Fftlle zu
unterscheiden sind.

(1 6)

a

a:)

Co)

c;)

c;)

i o'
I I

Cl)

f

m

3 * fi/O)

B

6

A*")

-Hl)

?^(a/9+r«)

e

/;(«,)

-K-.)

-?^«.^+w)

/;('«')

s

e

/.(Ä»)

-G)

*-jiafi+)i)

e

fM

0)

3<r

e

/'(-„)<'""''/•»

-a)

/.(«)

— i»«

» "fifo)

pe « ^ f(€o)

(?)e>/;w

(?)

Sfr

«

/-.(ö»)

pe 8 /"(fl»)

/>«

_!1?^

« '^/•H

— />

(/*\ 8*'^ a
?).--".»

2iit

(17)

yo = e

(o^+oy+^Ä-a^)

FOr (lie lineare Transformation von y^ , y^ erhält man

(i8)

^«(^) = (-0"^^'^-r».

Als Ergänzung der Sfttze am Schluss von Abhandlung I, § 7, ergiebt
sich noch als unmittelbare Folgerung jener Sätze (n® i)

I.) Wenn eine Function von ö>, als Function von ä* Hberall einen
algebraischen Character hat, und durch die beiden Substitutionen

(ö>,ö> + 2), [o),—^

iingeändert bl^bt, so ist sie eine rationale Function von f{wy^.

Zur Theorie der elliptisoheo FaDctioDen. 339

2.) Bleibt eine solche Function ungeändert durch die SubstUtUiotien

(o) , (O + 2r) y (w , —i)

worin r ein TeUer von 2 4 und rr j = 2 4 ist, so ist sie eine rationale Func-
tion von f{o))\

Denn bezeichnen wir eine solche Function mit f>(ö>) und setzen

so ist nach i.) ftlr jedes ganzzahlige s

/'(öi)"»{f>(öi) + s^{{o + 2) + e^f>{a} + 4) + . . . + e''"*f?[öi + 2(r — i)]j
eine rationale Function von /1(ö>)'*.

§ 2. Die Transformation n''" Graces.

Ist n eine beliebige positive ganze Zahl und

(i) n ^= (id

irgend eine Zerlegung derselben in zwei Factoren, ferner c eine nach dem
Modul a genommene Zahl, so dass a ^ d ^c keinen gemeinschaftlichen
Teiler haben, so sind die Grössen

• , ( c + dta \

deren Anzahl, wenn ^ die sämmtlichen in n aufgehenden von einander
verschiedenen Primzahlen durchläuft

(3) ^ >'=«nO+^)

ist, die Wurzeln einer Gleichung y^** Grades, deren Coöfficienten rationale
Functionen von j{(o) sind, der Invariantengleichung (I, § 16).

340 H. Weber.

Diese Thatsaclie ergiebt sicli sehr einfach aus der Bemerkung, dags
durch die Substitutionen

(4) (;;°) = (<».<» + 1).

die p Grössen (x) nur unter einander vertauscht werden. Es ist näinlich

weiin

(7) c' =^ c + d — Aa,

und

wenn

(9)

aa' + (ic' = o, ^d' = Uy

fil' + (?c' = — rf, dd' = c.

Hiernach ist d' als grösster gemeinschaftlicher Teiler von a und c, und
dadurch wegen a'd' = n auch a' bestimmt, und dann ergiebt sich c' aus
der Congruenz

(10) cc' = — dd' (inodn).

Aus (9) folgt sodann

ad = — c', pd' = a, ^d = a',

(ii)

— j^ = cc' + dd\ (W = c,

und d ist der grösste gemeinschaftliche Teiler von a', c'. "

Bieraus schliesst man, dass die Grössen (2) durch die Substitutionen
(4), (5) nur unter einander vertauscht, und die symmetrischen Functionen

Zur Theorie det elliptisohen FunctioneD. 341

(lerselben nicht geftndert werden. Letztere sind daher rationale Func-
tionen von J{a}) w. z. b. w.

Die Invariantengleichung ist irreducibel in dem Sinne, dass sie sich
nicht in Factoren niedrigeren Grades zerlegen lässt, deren Coéfficienten
rationale Functionen von /{cd) sind, wle man am einfachsten aus der fol-
genden Zusammensetzung von Transformationen n*" Ordnung erkennt.

Man bestimme bei gegebenen a , c , c? die Zahl x so, dass

a = ax + c^ fi = d

ohne gemeinschaftlichen Teiler sind, und dann /- , <J so dass

ad — jSj- = I .
Es ist dann

('^) \o]n)[r\fi)^\dr-c3lafj)\c]dr

und daraus folgt, dass -durch die Substitution

welche y(ö>) ungeändert lässt, /{nco) in

(c + dQ)\

ttbergeht. Wenn also eine rationale Function von u undy(ö>) för u=j{na})
verschwindet, so verschwindet dieselbe auch fOr die sämmtlichen Grössen
(2), und da letztere von einander verschieden sind, so ist damit die Irre-
ducibilität bewiesen.

Wenn nun irgend ein System von y Functionen von w vorliegt, ent-
sprechend den v Zahlensystemen a ^ c ^ dj die wir, da bei festgehaltenem
n durch a die Zahl d mitbestimmt ist, mit

a^c

bezeichnen, welche ebenso wie die Functionen (2) durch die Substitutionen
(4), (5) in (p^ ^ permutiert werden, so sind dies gleichfalls die Wurzeln
einer Gleichung y**° Grades, welche rational von j{a)) abhangt, und es

lässt sich 0^^^ rational durch

j(^--^) ^^^ K<^)

342 H. Weber!

ausdrttcken. Ijetztercs folgt in bekannter Weise daraus, dass fttr jedcs
ganzzahlige r die Summe

durch die Substitutionen (4), (5) uiigeändert bleibt, und daher eine ra-
tionale Function von j{(o) ist.

Die Werte von 0„^ sind entweder alle von einander verschieden
und dann ist die betreflfende Gleichung irreducibel, öder sie zerfallen in
Gruppen von gleich viel unter einander gleichen.

Indem wir diese Transformationsprincipien auf die Functionen fjf^^f^
anwenden, setzen wir n als ungerade voraus, und nehmen was alsdann

freisteht

*

(13) 6' =: o (mod 1 6),
und wenn n nicht durch 3 teilbar ist

(14) c = o (mod 48)

an, was natttrlich aucli fttr die aus (7), (10) bestimmten Zablen &
gelten soll.

Wird zur Abkttrzung

f{Q)) = w, /;(to) = Wj, /;(ö>) = M„

(^5) /c + d(o\ (2\ (c + da}\ /2\ (c + dw\

gesetzt, so erhält man mit Benutzung der linearen Transformationsformeln
§ 1 (16), wenn man auf die Anderungen des Zahlensystems ayd^Cj wie
sie durch (7), (9), (10) characterisiert sind, in der Bezeichnung keine Rtlck-
sicht nimmt, folgende zusammengehörige Vertauschungen:

ö> ; w , w, , Wj ; v , i;, , v,,
(16) • ~7o ' " ' ^2 , Wj ; ^v , pv^ , pv,,

ö> + I ; C '-^^Mj , e ^*u j c"w, ; tre ^^ v^ , tre ^* 1; , ae^^ v^,

Zur Theorie der elliptischen FuDodonen. 343

worin p , a dritte Einheitswurzeln sind, welche, falls n nicht durch 3
teilbar ist, den Wert i hdben.^

Hieraus schliessen wir nun durch eine Wiederholung der letzten Sub-
stitution (16), gestötzt auf den Satz am Schlusge des § 1, dass die drei
Reihen von je y Grössen

Ort K'-^).ey.c^").aw^'-i

■

falls n nicht durch 3 teilbar ist, die Wurzeln je einer Gleichung y**°
Grades sind, deren Coöfficienten rational von ({cd) resp. fi{(o) , f^{(o) ab-
hängen. Ist der Transformationsgrad n aber durch 3 teilbar* so komrat
diese Eigenschaft den Cuben der Grössen (17) zu. Ebenso ergiebt sich,
wenn r ein Di visor von 24 ist, eine solche Gleichung för

/c + dcoy

deren Coöflficienten rational von f{€oy abhängen. Diese Gleichungen wollen
wir die ScHLÄFLi'schen Modulargleichungen nennen. (Schläfli, Journal
fttr Mathematik, Bd. 72.)

§ 3. Princip zu/r AufstelMing van Tra/nsformatii^nsgleiéhungen.

Wir betrachten im Folgenden, immer unter Voraussetzung eines un-
geraden n, rationalc Functionen 0^,. der sechs Grössen

welche durch die Substitutionen

(2) (ö>, — ^) , (w,ö> + i)

in einander tlbergehen, und demnach Wurzeln von Transformationsglei-
chungen sind, welche rational von i{(o) abhängen.

Diese Gleichungen sind, wie oben gezeigt, entweder irreducibel öder
Potenzen von irreducibeln Gleichungen.

Sind die 0^^^ ganze rationale Functionen der Grössen (i) öder ent-
halten sie im Nenner nur Potenzen dieser Grössen (i), so wird keine von

344 H. Weber.

•i

ihnen fQr einen endlichen Wert von i{o)) unendlich, und dieselben sind
also ganze algébraische Functionen von /(to), d. h. wenn in der Trans-
formationsgleichung, deren Wurzeln die 0^,. sind, der Coéfficient der
höchsten Potenz der Unbekannten = i ist, so sind die ttbrigen Coöffi-
cienten dieser Gleichung ganze rationale Functionen von /(ö>).

Richtet man nun die Functionen 0^^^ durch geeignete Bestimniung
gewisser Constanten so ein, dass sie fttr q = o endlich bleiben, so werden
dieselben auch ftlr ein unendliches i{(o) alle endlich bleiben, die CoéflR-
cienten jener Gleichung werden mithin constant und die Functionen 0^,.
selbst sind •alle einer und dersdben Constanten gleich.

Auf diese Weise ist inan dann zur Aufstellung einer Transforma-
tionsgleichung gelangt, wenn auch nicht in expliciter Form.

Bezftglich der Bildung solcher Functionen 0^,. gelten die folgenden
Bemerkungen.

I.) Hat man zwei dieser Functionen (P, die wir in der Folge immer
mit A , B bezeichnen, so ist jede ganze rationale Function von A , B
ebenfalls eine solche Function 0, und man känn die gesuchte Modular-
gleichung in Gestalt einer rationalen Gleichung zwischen ^ , B aufstellen.
Denn da A^B algébraische Functionen von einer Variablen, y(ö>), sind,
so lässt sich durch Elimination von j{o)) immer eine solche Gleichung
zwischen A , B herleiten. Damit aber diese Gleichung eine wirkliche
Transformationsgleichung, nicht eine Identität sei, ist selbst verständlich
erforderlich, dass aus den Functionen A , B sich nicht die sämmtlichen
Variablen (i), wenn man sie als unabhängig öder nur durch die zwischen
den Functionen fjf^^f^ bestehenden Relationen verbunden betrachtet,
eliminieren lassen.

2.) Wenn n keinen quadratischen Teiler hat, so hat man nur daför
zu sorgen, dass die Functionen 0^ ^ fttr {/ = o endlich bleiben, denn
daraus folgt durch Vermehrung von o) um eine ganze Zahl die Endlich-
keit der ftbrigen.

3.) Ist n eine Primzahl, und hat die Function 0„ , die Eigenschaft
durch Vertauschung von

f{w), f,{a>), aoy)

mit

./c + d(o \ /2\ ^ /c + dco\ /2 v . A^ + ilo} \

Zur Theorie der clliptisohcn Functionen. 345

ungeändert zu bleiben, so genOgt der Nachweis der Endlichkeit von 0,0^
woraus durch Vertauschung von co mit coin die Endlichkeit von 0^ ^
und daraus nach i. die der ttbrigen folgt.

4.) Es ist nicht immer erforderlich, dass die in n° i.) erwähnten
Functionensysteme A , B durch die Substitutionen (2) vollständig un-
geändert bleiben. Dieselben können auch Einheitswurzeln als Factoren
annehmen, wenn nur solche Producte A^B^ benutzt werden, in welchen
diese Einheitswurzeln dieselben sind. Man erhalt alsdann ein Functionen-
system 0„,. in der Form

welches die Eigenschaft hat, dass eine Potenz desselben ^urch die Sub-
stitutionen (2) ungeftndert bleibt, worauf man die obigen Schlftsse un-
geändert anwenden känn. Die weiter unten folgenden Beispiele werden
dies Verfahren klar legen.

§ 4. Die SchläflV schen Modulargleichungen.

Wenn die Transformationsgleichung, welcher die Functionen 0^,.
gentlgen, nicht von y(ö>), sondern von f{(o) rational abhangen, wie bei
den ScHLÄFLi'schen Modulargleichungen, so ist das im vorigen Paragraphen
entwickelte Princip nicht unmittelbar anwendbar. Wenn es in diesem
Falle auch gelungen ist, die Functionen 0„^ so zu bestimmen, dass sie
fttr g = o endlich bleiben, so folgt daraus noch nicht, dass die Coöflfi-
cienten der Transformationsgleichung ftlr 0^,, constant sind, da dieselben
eine Potenz von f{o}) im Nenner enthalten können. Man känn aber
durch einen kleinen Zusatz auch in diesem Fall unser Princip anwendbar
machen. Es geht nftmlich (nach § 1, 15) durch die Transformation zweiter
Ordnung

C) (" ■ TttI)

f{(o) m y/2:f{w) tlber. Wenn man daher die Functionen 0^^^ so be-

stimmt, dass sie durch die Vertauschung (i) nur un ter einander ver-
iter* mathematiea. 11. Imprimé le 28 Mal 1R8R. 44

34« H. Weber.

tauscht werden, so haben die Coéfficienten der Transformationsgleichung,
deren Wurzeln diese sind, die Eigenschaft, durch die Vertauschung

sich nicht zu änder n, und sind also ffame rationale Functionen von

Bleiben diese nun för (/ = o, also för f{a)) = co endlich, so mtlssen sie
constant sein und allés ist wie in dem vorigen Fall.

Um Functionen 0^,, wie die hier geforderten zu bilden, suchen wir
zunächst fOr ein gegebenes Zahlensystem a y c j d die Zahlen a , ^(9 , /* , <?,
a'y c\ (V 80 zu bestimmen, dass

(3) (:;^)(-;:;)=C;0(-;:;)(^::.).

(4) aå — ^=i.

Dieser Ansatz fohrt zu den Gleichungen

a = c'{a + /9) + a'(a — fi), a = d'{a + /5),

(5)

c — d = c'(r + å) + a'{r — å), c + d = d'{r + <?)•

Hierdurch ist zunftchst d' bestimint als der grösste gemeinschaftliche Teiler
von a und c -\- d, und aus « = a'd' ergiebt sich c'.
Man erhält dann aus (5)

« -U Ä — " « ft(J' — c')

a + p-j, a — /?- ,

(6)

woraus fdr c' die beiden Congruenzen folgen:

(7) c'-^=c — r/, c',7==« (modo')f

■

welche mit einander vertraglich sind und c' nach dem modul a' voU-
ständig bestimmen. Ausserdem soll, wie immer, c' durch i6, und wenn
n nicht durch 3 teilbar ist, durch 48 teilbar sein.

Zur Thcoric dor elliptiächcn Functiuiieu. 347

Aus (len Formeln (6) ergiebt sich, dass entweder a , d gerade, y9 , j'
ungerade öder a , d ungerade, y9 , y gerade sind, und im ersten Fall
^ = n (mod 8), im zweiten j-d = n (mod 8), ferner in beiden Fallen
a^ — j'd = o (mod i6), und wenn n nicht durch 3 teilbar ist,

OL^ + aj- + pd — a/9V = o (mod 2).

Hiernach ergeben sich nacb § 1 (16) folgende zusammengehörige
Vertauschungen

f{a>), f[^),

(^) €0— I _V2_ /2\ v/2

worin, wic oben, p eine dritte Einheitswurzel bedeutet, welche, falls n
nicht durch 3 teilbar ist, den Wert i hat.

Definieren wir hiernach die beiden Functionen

/ /c + d<o\\ " I ' t\co) \ "

(9)

worin r , s ganze Zahlen sind, so ergiebt sich, wenn r, als Divisor von
24 so bestimmt wird, dass

(n — i)rrj =0, (w + 1)5/', =0 (mod 12),

nach § 2 (16), das folgende System von Vertauschungen, (wobei auf die
Änderungen der Zahlen a , c , rf nicht Rtlcksicht genommen ist)

öl, Ay B,

— -, A, n,

(O

^ ^ ^ + 2'-,, (-1) '* A, (-1) •' I?,

W I

Ö; + l'

G)'^. ©'''•

348 H. Webcr.

und diese Functionen sind also zur Anwendung des im vorigen Para-
graphen dargelegten Princips geeignet.

Ist n eine Primzahl so genOgt nach den Bemerkungen des vorigen
Paragraphen die Betrachtung des Falles a = i, fOr welchen man die
Entwicklungen hat

Die Wahl der Zahlen r , 5 ist an sich willktlrlich. Fftr kleinere Zahlen
r , s wird man im Allgemeinen einfachere Resultate zu erwarten haben.
Indessen ist die zweckmassigste Wahl nicht s = i , r = i, sondern die,
bei welcher

(n — i)r (w + i)«

24 * 24 '

welches die Exponenten der liöchsten Potenz von q~^ in den Entwick-
lungen (ii) sind, Brttche mit demselben Nenner, und zugleich r,s mög-
lichst klein werdeii. Eine andere Wahl wttrde gewisse Potenzerhebungen
nötig machen. Ausserdem mtissen, fttr ein durch 3 teilbares n, auch
r , s durch 3 teilbar sein.

Um die Anwendung des Princips im einfachsten Fall etwas ausfQhr-
licher darzulegen, sei n = 3, also r = 6 , 5 = 3, und

^ = ? — 5? + • • • , B = 9 — 5? — . . • ,
woraus, da -4 — B keine negativen Potenzen von q enthftit:

A — B = o

als Modulargleichung folgt.

Auf diese Weise findet man folgende Formeln, worin

gesetzt ist.

Zur Tlicoric der clliptisohcn FuDctionrn. 349

^ — B = O.

3.. 3 4 .

»»s- ^ = (;)■+(;)". B-»'"

tt'i;"

B = o.

n = 7,

B + 7 = 0.

n — II.

^ -(;)■+(;)' ''-""-

UV

^ — B* + B» + 2JS = o.

^' + 6^* + Ä' — 20A — B = o.

\r/ \M/ tt t;

J." — B^ + i7^B— 34^' + 34B + 116^ + 440 = o.

8

„=,9. ^ = 0)+(n', B = «V

wV

^^ — B» + i9^B' — 95il'B+ 109^^*+ 128B— 128^ = o.'

^ Die bei Berechnung dieser Formeln beDutztcD ReiheneDtwickluDgeD, die man behufs
Yerification derselben nar einzuBetzen hat, sind, soweit sie gebrauoht werden, folgende:

n = 3. ^ = B = ^""*(i ^S^f . ..)

n = 5. A = B = }"*(! ~2q , . .)

B = q'\l + llgr. . .)
n=ii. i4 = ^""'(r — 65^ + 2igV . .)

B = q''\l— q+ 2^'...)
n=i3. ^ = g^^Cl + 22»— 2g'....)

l? = j~ä(i +63 + i5j«+ 263»...)

350 H. Webcr.

Aus diesetn ersten System leitet man cin zweites und drittes her
fOr die Functionen /j , ^^ , indem man w durch w + i und darauf 01
durch — I : öl ersetzt (§ 2, 1 3). Diese beiden Systemc haben dieselbc
Form, nur dass einmal

das andere mal

zu setzen ist.

II. » = 3. ^, = (^)-_ (£.)•, /,,=„;„!+-L,

^, + 1^, = O.

» = 5. J,=('^)"-(^)", B,-.y.+^.:

A, + B, = o.

n= 7.

w = II.

A^ — jBj — 7 = 0.

2

u^v^ '

^1 + 5» + i?J — 2^, == o.

n=i3. ^ =:!ii_!!i, B, = Mt«? + -*^-.;

' », M, 111 ^»„»

^I — 6A\ + A]+ 2oAi + B, = o.

n = 17. ^ = 2~'(i — 33 + 63' — I3gr» + 253* — 393» + jöq* . . .)

B = q-\i + 42 + 62' + 8j» + 172* + 28?» + 54g' . • )

n = 19. A = q~^(l —2q + 3j' — 53' + llq* — I3J» + 24j* — 283' . . .)

B = q~^{l + 3q + Sq' + 4?' + 92* + 4?' + 392* — 272' • • •)•

y

Zar Theorie der elliptisohen FunctioDeo. 351

^! — ^ — 17-4,5. — 34^? — 34B, + I i6i4, + 440 = o.

8

«=,9. ^,=(»^)'-(i)', B, = „M +

wjvj'

^; + BJ — iQ^iBJ + 95^?^! — lOQ^J + i28Bj — i 28^^ = o.

% 5. IWe irrationnlsn Modnlnrgleieh'kM/ngen.

Noch einfacher gestaltet sich die Anwendung unReres Princips (§ 2)
bei den folgenden Annahmen.
Wir seteen wie pben

so dass sich aus § 2 (16) die Vertauschungen ergeben

(2) —il' «*^» v^«' ^1^^^

Nimmt man also

(3) . n + \ =0 (mod 8)
an und setzt:

2A = uv + (— i) « (WjVj + w,t;J,

n+l

(4) ^ = uvu^v^ + wvWjt;^ + ( — i) * u^v^u^v^

w-H

- — + — + (-!) " -,

352 H. Weber.

80 gehen aus (2) die Vertauschungen hervor

Wy Af By

(5)

(O

A, B,

ö>+ I, e '' A, e '' B.

Unter der Voraussetzung dass n eine Primzahl ist, hat man also nach
§ 3 aus A , B ganze rationale Functionen zusammenzusetzen, welche
unter der Annahme a= i ,rf=tn,c = o för g = o nicht unendlich
werden, welche nur solche Glieder -4*J9* enthalten, in welchen (n4- 0(* — *)
bei der Division mit 24 einen und denselben Rest lassen, und diese Func-
tionen Constanten gleich zu setzen, deren Wert sich aus g == o ergiebt.
Auf diese Weise erhalt man durch sehr einfache Réchnung ^

n == 7, A = Of

w = 23, ^ = I,

(6) w = 3i, (A'— By — A = o,

n = ^Tj A^ — A — B = 2,

n = yi, A^ — 4^^ + 2A — B = i.

Ist n eine zusammengesetzte Zahl, so bestehen gleichfalls solche Glei-
chungen zwischen A und By zu deren Ableitung aber nicht die Be-
trachtung des einen Transformationsfalles (a = i) ausreicht; xmd die
demgemass auch wenigér einfach ausfallen. Wir fohren nur die Formel an:

(7) n= 15, A'-'AB+ i =0.

* Man benutzt dazu die fUr n > y richtigOD EDtwicklungen

uv = q ^^{i + q + q* + q^ + q'^ + q^ + q' + 2q' . . ,)
u^v/=q 2* (I ^q — q* + q* -- g'' + q^ — q' + 2q\ . ,)
If.V, = 2q >» (I + jr* +^* + 2q' + 2ry* +.. . .).

Zar Theorie der elHptischen Punctionen. 35^

Fftr grössere zusammengesetzte Zahlen werden sich weiterhin einfachere
Formeln ergeben.

Ist n = 3 (mod 8) so aind den Modulargleichungen die Punctionen

A A = u^v^ — t{\v\ — ulvL
(8)

zu Grunde zu legen, fttr welche sich die Vertausch ungen ergeben

(9)

(O,

A,

I

A,

12

fl).T/

+ 1,

e

" A.

B,
B,

e 'B,

und man findet wie oben

n = 3, A = o,

(lo) ^/ = 1 1, A ^ ij

n = 19, A"" — tA^ — Ji = o.

Ist n = I (mod 4) so muss man, um zu analogen Resultaten zu
kommen

8^ = u*v* — u\v\ — utv^,

B = u^v*u]v\ + u^v^tdr^ — n\v\n\i'\

setzen, was aber nur fttr den ersten Fall n = 5 zu einer einfachen
Formel ftthrt

(ii) n =5, A = i.'

^ Die ID diesem Paragrapben eothalteocD Formeln finden sich teils io der io der
EinleituDg erwähnteo DiBsertation von E. Fiedler, andere, wie die fUr n = 47 , 71 lassen
sich aus den dortigen, niinder einfachen herleitcn.

Aeta mathimatiea. 11. Imprlmé le 4 Juin 1888. 45

354

H. Wcbcr.

g 6. ZtisafnmengeHetzte Transfovmatio^isgvade.

Tst 11 oine zusainmengesetzte (ungerade) Zahl und

(O

n = n'n"

eine Zerlegiing der^elbeii in zwei Factoreii w' , w" die zu einnnder relativ
prim sind, so gehört zu jeder Transformation n^^^ Grades

(2)

c ; ^)

je eino und nur oine Trnnsformation der Grade w',w"

(3)

. ft , o \ c* ^ \

(4)

welche durch folgende Bedingungen bestimmt sind

ad = II , n'd' -^ n', n"d" = n",
rtVf" = a, d'd" = rf,

Nach (4) sind d' , d" bestimmt. als dio grössten gemeinschaftlichen Teiler
von rf , «' und von rf , n". Biidet man die zusammengesetzten Trans-
formationen

/«,o\/ o. i\ _ /«./9\/a, ,o\

(5)

/rT.',0\/ O, I\ _ /«',^'\/«;,0\

/«",o\/ o, i\_/«",/r >/«;', o \
\c\d")\~i^of-\Y\ff-)\c;,d-;P

I . 0\ / a , 0\

(6)

/n\ 0\/l , 0\ / I ,OwV)f\ 0\

'a\ O \ / 1 , O

c , a

I , o \ /a", o

Zur Theorie der elliptischeo FuDctiooen. 355

SO ergiebt sich aus den Formeln (6) bis (ii) § 2 leicht, dass auch die
Transformationen

w C: : ;) . C: : .y . C;' : y

und

^^^ ('•, ,' d) ' (.•; ! d') ' [c/, d",

sich nach den Formeln (4) entsprechenV und daraus schliesst man wie
in § 2 dass die Invarianten

. (c + d'co\ . /c" + d"€0\

feroer

' Fttr die ZuBammensetzuDgCD (5) ergiebt sich nämlich naoh { 2 dass

t2| der grösste gemeiosame Teiler von a und c,

d » D » » a, 9 Cj,

d'i n » 1» » a' » c',

d' » ' )) D » al 1» Ci^

cc^ = — dd^ (mod «), o'ci = — d' d[ (mod n ),

c

. <^ -7 = — t/, (mod a)
d

und da nach (4)

(' = d"c (mod a) und a -= a'a", d =■ d'd" ist

c
c' -j;= — d^ (mod «') odcr cc^ ^^ — d'd^ (mod n'),

(v

also

c'('\ — ^1 t'i) = o (mod n')

und

a'(<-| — rf'i t*!) == O (mod n'),

weil Cl und ej duroh d' teilbar sind. Da nun d[ der grösste gemeinsohaftliohc Teiler von
a', c' und ti' = dia[ ist, so folgt hieraus, in Obereinstimmung mit (4)

Cj = d'iCi (mod a^).

Fttr die Zusammensetzung (6) ergiebt sich das Glcichc noch einfacher aus den Congru-
enzen (8 2, 7)

o, ~c + d (mod a), oi = c' + t/' (mod a'), d^c^ = c,, (mod a ).

356

H. Weber.

rational ausdrUckbar sind durch

YXxx die Anwendung auf die Functionen f ^ f\y f^ '\^t noch eine Be-
merkung beizufögen, welche sich auf den Fall bezieht, dass n durch 3
teilbar ist. In diesein Fall ist von den beiden Zahlen w' , n" eine,
nehnien wir an n", durch 3 teilbar. Es känn also dann c' durch 48
teilbar vorausgesetzt werden und die Zusamniengehörigkeit zweier Zahlen
c , c" soll noch naher dadurch bestimint werden, dass an Stelle der letzten
Congruenz (4) die folgende tritt: '

(9) (Ve" = c (mod 3«").

Ist diese Congruenz, wie in (4) angenommen ist, fftr den Modul a" be-
friedigt, 80 känn man dieselbe ft\r den Modul 3a" befriedigen, indeni
man zu c" ein Vielfaches von a" hinzufttgt.

Unter dieser Voraussetzung ergeben sich fftr die in den Transforma-
tionen (5), (6) vorkommenden Zahlen a , y9 , ^^ , <? , A nach § 2 (9), (7) noch
folgende Congruenzen:

(10) r = r"«'^; ^ ^ = ^'d'd\ I

X~n'X" (mod 3).

Wenden wir nun die Bezeichnung t* , t; in demselben Sinne an wie
in (15) § 2 und geben den Buchstaben v\ v'* die entsprechende Bedeutung
fllY* die Zahlen n' , n'\ welche v för die Zahl n hat. (wobei jedoch stets die
Zusammengehörigkeit nach den Congruenzen (4), (9) aufrecht erhalten bleibt)
so erhalt man die folgenden einander ent^prechenden Vertauschungen :

(I)

I

(O

(n)

(O + I

(i)

I

o»

CO + I

H

U

u.

il.

TI

1 ^

V

V

ti ni

w.

«i,

m

•»4 TO

o

nni

'TT

IK

V

v:.

n m

V.

ti

V

1 \ 9

nipi

V

/>* t'"

n Kl

v.

flV,

riTri

ae '* v

v

II

/)"i.r

v

a'

/>»',

HJtX

v

v.

II

*i ?

n 7n

n T<

y, , 6 " v' , e " vi ; «7" e ■" vi' , </ e " i;" , <t^ c '■' vj' ,

Zur Theorie der elHptischen Funotionen. 357

worin p , a dritte Einheitswurzeln sind, welche, falls n nicht durch 3
teilbar ist, den Wert i haben.

Auf Grund dieser Betrachtungen können wir auf zweierlei Arten zur
Bildung von Modulargleichungen fttr zusarnmengesetzte Transformationg-
grade gelangen.

I .) ht

(12) (n' + i)(/r + i) = 8;u = o (mod 8),

80 setzen wir

2A=U+{-inU, + U,),

'"^ B= UL\ + UU, + (- ^'U,U^'

Fttr die letzteren Functionen ergeben sich dann aus (11) die einander
entsprechenden Vertauschungen :

ö>, A^ JÖ,*

(15) ö,' /> ^, P ^y

Sind die in (15) vorkommenden dritten Einheitewurzeln = i, was eintritt,
wenn n durch 3 nicht teilbar und wenigstens einer seiner Factoren den
Rest 2 hat, öder wenn n" durch 3 teilbar, n' den Rest 2 hat, so ist
jede rationale Function von A , B Wurzel einer Invariantengleichung.
In den anderen Fallen kommt dieselbe Eigenschaft dem Cubus einer
solchen rationalen Function von A y B zu, bei welcher die DifiFerenzen
der Exponenten von A und B in allén Gliedern bei der Teilung mit 3
denselben Rest lassen.

Nach § 3 haben wir also solche ganze rationale Functionen von A , B
zu bilden, deren s&mmtliche Werte för g = o endlich bleiben, und diesc
Oonstanten gleich zu setzen. Sind aber w' , n*' zwei Primzahlen, so gen tigt
es auch hier, wenn der erste von diesen Werten, derjenige, fOr welchen

U = f{io)f{n'w)f{n''(o)f{n'n''io)

358 H. Weber.

ist, keine negativen Potenzen von q enthält, weil man aus diesem die
tibrigen ableiten känn, indeni man w ersetzt durch

(16)

O) (O (O

n n u

und dann w noch um ganze Zahlen vermelirt.

Durch 8ehr cinfache Rechnung ergebcn sich die folgenden Beispiele:

n -- 15, A = I,

ri = 21, {A'— ny — A = 0,

(17) '* = 33, A' — n — A = 4.

;* = 35, A^ — Ii — A = 2.

n = 55, A' — Ii — 4.1' — ^+4 = 0.

2.) Ist

(18) (/*' — i)(w" — 1) = 8/iEEO (mod 8),

so setzen wir

(19)

svofftr sich wieder die Vertauschungen ergeben

(Oy A, Ii,

(20) — -, y-"'^, /"'/^,

2 't TI 2'X,TI

ft> + I, ^'-"e ' .4, (T'*-*e ' Ii.

Auf diose Functionen lässt sich dasselbe Verfahren anwenden wie auf die
in I.) betrachteten, wenn man noch die Beschränkung hinzufögt, dass
man nur symmetrische Functionen von A , B, d. h. rationale Functionen
von AB , A + B benutzt, weil nur dann aus dem einen Wert einer solchen

Ziir Thoorie der olliptisclien Functioncn. " 359

Function die sammtlicheii ftbrigen durch die Vertauschungen (16) hervor-
gehen. Hier ergeben sich die folgenden Beispiele

II = 15, AI', + 1=0,
(21) « = 35. 2{A -^ B) - AB = 5,

n = 39, 2{A + B) — AB=z.

Auch wenn n mehr als zwei Primfactoren enthftlt, behalten diese
SchlOsse mit den nötigen Modificationen ihre Gttltigkeit. Ich fflhre daa
Beispiel n = 105 an, fOr welches man zu setzen hat:

^ f{i<o)f{.Sio)f{7«>)f{^oSo> ) ■ f,{3'o)f,(S( o)f,(7<o)n(i05«')
f{o,)f{\So,)f{2Uo-)ais<») "•" /■.(«)/".(iS'«')Ä(2iw)/;(35«)

|. /;(3a>)/;(5«>)A.(7^«*)/;('05<«')

■'"/,(«)/;(i5w)/.(2i«)/;(35«)'

„ ^ f{m)t\ll(o)f{2uo)l\l^<o ) f\((o)f\iiS«')fÅ2Uo)f,(ys <o)
' f(l<o)f(':><»)f{j<o)f{\0^w) "^ m<o)US«>)Mto)f,(lO^<o)

■ f,{«»)U^S<o)a2Uo)t\{ZS<o)

"^ m<'>)m<'>)M«>)a\o^«>) '

M = 105;

^ »/?' — 4(^ + 7?) ' + 1 o^ 7?(J + 7?) + 4(^ + 7?)» +. I Oi4 7?+ 1 4(^ + 7?) + 5 = O.

II. ABSOHNITT.
Anwendnngen anf die complexe Hnltiplication.

S 7. jyie Mngtilären We/i*te t'on /(w).

Wir setzen nun in die Function f{(o) fdr w einen der complexiBn
Multiplieation entspreehenden singulären Wert, d. h. die Wurzel éiner
quadratischen granzzahligen Gleichnng mit negativer Determinante

(i) Ao)' + 2Ba) + C = o,

860 H. Weber.

wenn {A , B ^ C) eine eigentlich primitive quadratische Form der Deter-
minantjB — m, also Aj 2J?, C ohne gemeinsamen Teiler und

(2) AC—B'' = m.
Nach der Abhandlung I, § 18, ist alsdann

(3) ./(«>)= j^.

eine ganze algebraische Zahl, welche unge&ndert bleibt, wenn die Glei-
chung (i) durch eine ftquivalente ersetzt wird, nftmlich die Wurzel einer
ganzzahligen Gleichung

(4) H{n) = o,

deren Grad gleich ist der Anzahl h der Glassen eigentlich primitiver
quadratischer Formen der Determinante — m.

Es soll nun nachgewiesen werden, dass bei passender Auswahl dss Be-
präsentanten der Classe (i) dieselbe EigenscMfl den Grössen f{o)y*, und
wenn m durch 3 nicM feilhar ist aiwh f{(oy mkommf.

Die sAmmtlichen einander äquivalenten Gleichungen (i), die einer
Formenclasse entsprechen, zerfallen nach folgenden Kennzeichen in drei
Unterabteilungen

I. ^ = 1 , B = o, C= ij

(5) m~i (mod 2). II. A = iy B=i, C=o, (mod 2j

III. A=o, B=i, C- i;

I. A = i, B=i, r7=i,

(6) m^o (mod 2). II. -4 = 1, JB = o, C = o, (mod 2)

III. ^=0, B = o, C=i.

Nehmen wir an, (i) gehöre zur ersten dieser Unterabteilungen, so bleibt
diese Eigenschaft erhalten, wenn w ersetzt wird durch

y + 0(0

Zur Theorie der clHptischen Functioneo. 3iJl

falls

(7) . (;:l)-a::i.(-':;;)(-^'=)

w&hrend falls

(i) aus der Abteilung I in den beiden ersten Fallen nach II, in den
beiden letzten nach III gelangt.

Die Function f{(oy^ bleibt aber gleichfalls ungeUndert durch die
Substitutionen (7), wfthrend sie durch die Substitutionen (8) resp. in
— f,{o>Y\ — f,{a>Y' ttbergeht.

Es ist nun frtther bewiesen (§2 und Abh. I, § 16), dass die v» Grössen

(9) f{^)'-

wenn r ein Teiler von 24, der, falls n = ad durch 3 teilbar ist, selbst
durch 3 teilbar sein niuss, (bei variablem a>) die Wurzelti einer Trans-
fonnationsffleichung v»^®" Grades sind

(10) <K tX-^)^ f{o>y

= o.

und hierin wollen wir r = 8, und wenn n durch 3 teilbar ist = 24
annehmen.
Damit

X = f[coY

dio Gleichung

(ii) 0„{x,'X)^O

befriedige, ist notwendig und hinreichond, dass wenigstens fttr cine der
v» Grössen (9) die Bedingung erftlllt sei

Aeta matkematiea, U. Troprlmé le 4 Juin 1R8B. 46

3G2 II. Weber.

und daftlr ist erforderlich uiid hinreichend (Abh. I, § 6), dass die Zahlen
a , i3 j y , d sich so bestimmen lassen, dass

dass (nach § 1, 16)

(■4) C;'I)-(é:r) "■''••- -(_?;:) (-'^)-

dass ferner, wenn r = 8 ist,

(15) ^/5 + ot^ + po — oifi^^r -- o (mod 3).

Gentigt nun o) der ((iindratischon Gleichung (i) so ergiebt sich durcli Ver-
gleichung mit (13), wenn r oinen iinbestimmten ganzzahligen Faetor be-
deutet:

ic — )'(( = C.v ,
*x(l + /5r — tia — 2 Br.

Sotzt man also noch

— OL(f + j3r — f}a = 2//,
so folgt:

I3d = yl.r, I3r — f)a = Bx + y,

OLC — ya = (\r^ ad — Bx — //,

(16) n = nix'^ + ?/^-

Nimmt man n , A nhne gemeinsumen Teiler an, so muss d = 1 sein,
und man erhält

ot = Bx — v, y9 = Ax,

(17)

^/^ rr- — Cr -f- <"(/?J' — y)y nr) = ^^^.r — Bx — y

woraus man ersieht, dass x^y ohne gemeinsamen Teiler sind; t\brigens
können bei gegebenem m die Zahlen UjX.y der Bedingung (16) gemäss
beli(*big sein. .

Zur Theorie der elliptischen FunctioDen. 363

Wir iiiachen nun, jc nach dem Verhaltcn von m gegen den Modul 6
die folgendcn Annahmen, worin sich die Werte von x , y als notwendig
ergeben :

m = o, n ■==- m + 9 = 3 (>"<>^l 6), x= i, !/— ± 3y

m := 3, n== m = 3 (mod 6), ;r =- i , y -- o,

w = I , n = m •\' 16 ^ — I (mod 6), x^= i, // = ± 4^

m~2y n = m'\' 9 iz — i (mod 6), x=^i, y=+3i

m = 4, n -- m + i = — i (mod 6), o: = i , Z/ = ± 1 5

m = 5, 71 = m = — I (mod 6), rr = i , y = o.

Hieraus erkennt man, dass nar unter der Voraussetzimg (5), (6) I die
Zahlen (17) der Bedingung (14) (und zwar der zweitcn) gen (igen.
Da also hiernach von den drei Wurzeln der öleichung (3)

/(«,) = (jiiiii^

h

eine und nur eine der Gleichung (11) (fur r = 24) genOgt, so folgt,
wenn wir des kftrzeren Ausdrucks halber den in Abhandlung I, § 18,
eingeftthrten Namen y>Classeninvariantey) von /(ö>) auf jede rationale Func-
tiofi von j{(o) (Ibertragen, durch welche auch./(ö>) rational darstellbar ist:

f{(oy* Ist ebie Glasseninvarmnte.

Ist m durch 3 unteilbar, so crhält, nachdem (5), (6) I festgesetzt ist,
f{(oy durch die lineare Transformation (tti,ft>+ 2A) noch drei verschiedenc
Werte, welche wenn Ä durch 3 nicht teilbar vorausgesetzt wird, dadurch
unterschieden werden können, dass

(18) 7iEEO, I , 2 (mod 3);

von diesen genttgt aber mir der der ersten Annahme entsprechende Wert der
Bedingung (11).

Es genttgt also von den drei Wurzeln der Gleichung

364 H. Weber.

eine und nur eine der Gleichung (i i) (fQr r = 8), und daraus folgt:
Isf m nicht durch 3 teilbary so ist f{o)y eine Classeninvariante,

Beispiele, wie sie weiter unten folgen, lehren dass in vielen Fftllen
dieselbe Eigenschaft nocli riiedrigeren Potenzen' von f'{(o) zukomnit.*

Die Hauptform der Deterininante — ?/f , (1 , o , m) gehört nur bei
ungeradeni m in die Unterabteilung I und daher wird nur in diesem
Fall f{yi'ZZm)^ öder {{sj— mf Classeninvariante sein. Bei geradem m ge-
hört (1 , I , m + O öder (i , 3 , w* + 9) zu I und in diesem Fall sind
also die Classeninvariantén

oder

f{z + v'— "^O*" = — /i(v— »'O**'

g 8. Die Classeninvariante TÅ^)-

Aus den soeben bewiesenen Eigenschaften der Zahlen /'(co) folgt,
dass, wenn m nicht durch 3 teilbar ist, auch

(I) ;-^(a>)=-----^^.--

eine Classeninvariante ist, wenn an der Voraussetzung des vorigen Paragra-
phen, dass B — o (mod 3) sei, festgehalten wird. Es lässt sich dies auch
auf demselben VVege direct beweisen, da auch zwischen den Functionen

(2) r4^-V^).r.i(^)

falls n durch 3 nicht teilbar und c durch 3 teilbar ist, eine Trans-
formationsgleichung besteht.

Dieser directe Weg ist deshalb wichtig, weil er sich auch auf die
Classen der zweiten Art anwenden lässt. Genttgt nämlich ö> einer Glei-
chung zweiter Art

(3) Aoi' + Ba> + C'=o,

^ Es lässt sich ähnlich wie oben zeigen, dass, wenn m nioht durch 8 teilbar ist,
f(ioy oder /'((oY^ ClasseninvariaDtc ist.

Zur Thcorie der clliptiscUcD FunotioneD. 3(>5

woriii B ungerade ist, so wird

(4) r.C-^) - r,{<o)

dann und nur danii erfftllt sein, weiin

r. + dio Y + fi<^o

(5) -- — =^-r^-' nd — pr=^

(6) a,3 + aj--\- åo — aSy = O (mod 3).

Setzt man also, wie obeii

a = ^-{Bx—y), [i = Ax,

w ; fiy — — (Jx + - c{Bx — y), nd = cAx {Bx + tj),

4w = mx'^ + //^

nimmt A durch 3 unteilbar an und setzt

wenn /m= + i (mod 3), n =^ m + 4— — ^ (imjd 3), x = 2, // = ± 4,
wenn m= — i (mod 3), n = m = — i (mod 3), x = 2y // = o,

so folgt wieder, dass die Bedingung (6) nur unter der Voraussetzung

B = o (mod 3)

befriedigt ist, woraus man wie oben schliesst, dass j^^^i^o) einer ganz-
zahligen Gleichung genttgt, deren Grad h' gleich ist der Anzahl der
Formenclassen zweiter Art der Dcterminante — m, da diese Eigenschaft
näch Abh. I, § 18, fttr ^.^{(oy feststeht.

Diese Bemerkung ftthrt uns zur Aufstellung von Classengleichungen
in einigen interessanten Fallen.

Die Determinanten

— 1 1 , — 19 , — 43 , — 67 , ~ 163

haben die Eigenschaft, dass för jede derselben eine Classe der zweiten und
drei Glassen der ersten Art existieren, dass also die Classeninvarianten

366 H. Weber.

zweiter Art, Y^{(o)y rationale ganze Zahlen sind.* Indeni >vir die beiden
ersten — 1 1 , — 19 eiiier anderen Betrachtuiig vorbehalten, siichen wir
diese ganzen Zahlen för m = 43 , 67 , 163 zu bestimmen. AVir haben also

ZU berechnen.

Hermite hat in der oben citierten Arbeit i>Sur la théorie des équations
niodulairesy> dieselbe Bctrachtung auf die von ihm mit a bezeichnete Grössc
angewandt, welche nach unserer Bezeichnung mit

-8 .. i~ 3 + \i—m

— 2 \r,

(tbereinstimmt, und aus seinem Resultat ft^r m = 43 folgt:

(8) -r»( ~^V~^ ) = 960 = 64. 15."

Fftr die beiden grösseren Zahlen m = 67, m = 163 lässt sich die Rech-
nung in einfachster Weise aus der Entwicklung § 2 (3) ftthren, indem
man mit voUstllndig hinreichender Genauigkeit

/— 3 + v— "*\ -T-

setzen und diese Zahl mit siebenstelligen Logarithmen berechnen känn.''
Man erhält

(9) -r.(-^^—^)^ 5280 = 32.3.5.11^

(10) -r.( "^"^3""'^^ )= 640320 = 2^5.3.667.

Die Einfachheit dieser Resultate zeigt sich aber crst, wenn man zu den
Functionen f{a)) ttbergeht, wobei es keinen wesentlichen Unterschied macht,
ob man Formen erster öder zweiter Art zu Grunde legt.

;

' Nach der auf Inductiou gegrUndeteo Vermutliuog von Gauöh (Disq. Ar. art. 303)
Aind diese 5 DetcnuiuanteD die einzigen, welchen diese Eigenschaft zukommt.

' Auch fUr m = 43 crgiebt dies Verfahren den Wert 959 ,98... also wie oben 960.

Zur Theorie der elliptischen Functionen. 367

l)ie cubische Gleichung

ji^ — rMv ~ i6 = o

hat nftmlich nach § 1 (ii) die Wurzeln

f{coy,-av>Y,-f,{coy.

Es ist aber nach § 1, (15), (13)

_ /•! — 3 + v — «»\''_ «6

/•(v -^0" '
und wenn daher

(ii) r =- /-(yZr;;^

gesetzt wird, so ist x^ Wurzel der cubischen Gleichung

und zwar dic einzige reelle positive Wurzel dieser Gleichung.

Die Gleichung (12) lässt sich aber nun fttr die Werte (8), (9), (10) von
Y^ in acht rationale Factoren (in Bezug auf ic) spalten und man erhält so:

m — 43, x'^ — 2x — 2 =0, Discriminante — 4-43,

(13) in = 67, x^ — 2x^ — 2x — 2 =0/ Discriminante — 4.67,
m = 163, x^ — 6x^ + 4^ — 2=0, Discriminante — 4. 163.

Wir woUen die Resultate der beiden letzten Paragraphen noch auf
ein andéres Beispicl anwenden, welches ebenfalls eine gewisse allgemeinere
Bedeutung hat, auf die Determinante — 58. Fttr diese Determinante
existiren zwei Geschlechter quadratischer Formen und in jedem Geschlecht
eine Classe. Nach Abhandlung i, § 21 lilsst sich also jede Classeninva-
riante fttr diese Determinante rational durch y/29 ausdrttcken.^

^ Diese Gleichung lässt sich aach leicht auf algebraisohem Wego aus der Modulär-
gleichung fUr den Transformationsgrad 7 1 herleiten.

* Dass \29, nicht \2 zu adjungieren ist, zeigt die dortige Formel (17)1 in welcher
m = 2 , m" = 29 zu setzen ist. Da in der Teilgleichung i nicht vorkommen känn, so
muss zuglcieh \ 2 hcraus fallen.

n68 H. Weber.

Niinmt inan als Reprftsentanten der beiden Glassen (i . o , 58),
(2,0, 29), 80 kommen diese in den Gruppen II , III (§ 7, 6) vor so dass

A(v-i8)% /;(iv^)'

als die beiden Classeninvarianten zu betrachten sind. Es ist daher

(14) /, _ « , ..

(15) o' — 29^^16 (§ 1, 15)

lind a , h sind ganze (positive ^) Zahlen.
A US (14) folgt aber

2«=/-,(\-s«r + /;QN-5«)

wonach der Wert von 2n unt hinlangliohor Gnnauigkeit durrli dns erste
Glied der Entwicklung

dargesti^lt ist. Fis ergiebt sich so

a=- 2.727, />:.=. 2. 135

also

/;(v^^^)' - ^{7^7 + '35 v2^9)

' Aus der Formel (T, g 7, 2)

cl k* = 7:hK.^'k''\ho
folgt, dsBR wenn — i(o reell ist, fr* mit wachsendem — i(0 abnimmt. Es ist also

. ,. ,. (i —2k'){\—PI/')

positiv, also f^((o) > fjfo) sobald — Uo > I und da f.iojY* = 2V,'*:Ä'* niit wachsendem
- io) wäohst währcnd f^i ojY* = 2V,*:Ä'^ abnimmt. so ist /\{w) > /i("^'0 •^<^^»a^*l — '''^

den Wert Uberschritten hat. fUr welchen ^(w) = /i("^'^) ^^^ *^- ^*- ^®" ^^^"^^ ^^'

Zur Thcorio dor elliptischen Functionen. 3C0

woraus sich die vierte Wurzel zieheii lässt:

(i 6) v2/;(v=l8)' = 5 + v^.

§ 9. Berechnunii von Clnsseninvarianten ans (ler Transformation

erster und ziveitev Ordnunn.

Wir benutzeii nun die Principien des ersten Abschnitte zur Berech-

nuug von Classeninvarianten, und gehen dabei aus von den Formeln des § 1.

Man erhalt zunächst för m = i und m = 3 die beiden Gleichungen

I I

W = , O) =--

(O ' (O + \

worAUS nach (13), (14), (9), (10) § 1 folgt

und naeh § 1 (15)

(3) /(n-3) = v2.

Aus der Transformation 2^**^ Ordnung erhfllt man die Falle w; = 2 , m == 7:

2 2

O) = , O) — ; — ,

(O (O + I

(4) «' = 2 , /; (^ zri) =^ ; i ,

(5) «,^7, r(v~7) = v2. /•P-^^^)^''

und durcli eine zw(»imalige Anwendung w= 15. Setzt man namlicOi

2 ' 2 ' (O^

(6) /-(v -"^)/.('»)^"" = V2

Acto mathematiea. 11. Imprimé !• 13 Jiiio 1888. 47

370 H. Weber.

80 folgt

TI

24

24

Eliininiert man aus lotzfcrein System f{a)) , /',(a>) , /*(-) , /",(-) • /i'-)
mittels § 1, (9), (10), so ergiebt sich

r + 47/r + I -o
und daraus nach (6)

(7) wi ^15; /'(v- Ti) ' — v 2 ( ^ + v 5)-

Beachtet man, dass von den drei F^unctionen f^ j fi , /? nach § 1, (9), (10),
zwei durch die dritte mit Hilfe einer quadratischen Gleichung ausgedrtkckt
werden, so lasst sich aus einer bekannten Classeninvariante fOr die De-
terminante — m die ftir die Determinante — 4m herleiten, indem man
sich, je nachdem m göra de öder nngerade ist, einer der beiden Formeln
bedient:

(9) 2f^{2<oy=r{my\f{<oy' + v/i..;)" ^^^|.

Auf diese Weise findet man auR (i), (4), (5), (7) die folgenden Re-
sultate:

(10) m-^4, /; (v-~4)* -^ 8.

(ii) »h=i6, /i(v-T6)'' = 8;i(i + vi)'.

(12) ■,« = 8, /;(s/^8)* = 8(i +V2).

(13) H/^-32. /;(v_3i)"- 8;r,

a;' — 8(1 + v'i)»rr — 2(1+ ^i) = o.

Zur Thoorie der clliptischen Functionen. 371

(14) /» = 1 2 , /; (v - T^)' = 2 ;i ( I + v 3).

(15) m = 28, /-.(v'-^)* == 2 v 2(3 + s/7).

- 3r

(16) m = 60, f,{yJ^^6S)' = V2 V2(i + s 5)'(2 + v3)(v5 + V'3).

% 10. Amvendunfi der SclUäfli^schen Modularnleichnngen
zur Berechniing von Clunseninvarianten.

Die SciiLÄFLfschen Modulargleichungeii lassen sich in verschiedener
Weise zur Aufstellung von Classeninvarianten benutzen. Das nächst-
liegende ist, dass man einen der bereits bekannten Werte von /"(y/— m)
öder /i (v^— m) för u öder u^ in diese Gleichungen einsetzt, wodurch man
eine Gleichung fQr f{\ — mn^) öder f^{yj—mn^) erhält, die man nocli von
ftberflftssigen Factoren, die sich leicht flnden lassen, zu befreien hat.

Auf diese Weise ergiebt sich

(O ■ >^^ = 9, A>/=^)' = ;2(i +v/3).

(2) ni = 25, /•(>/=^) = C 2 '(i + vS)-

(3) ^* = 49, v 2/'(V~ 49) = iT,

^^ — (i + sl~7)x +1=0.

(4) m = 18, /;(v-^)^ = t2(2 + v'6).

(5) «* = 50, ti-2 Yl (>/=7^) = ^^^ + ;;?^ '

a?^ — 2x^ + 3^ — 4 = 0. Discr. — 4. 50. ^

^ Die ClasscDgleichuDg ist hier vom 6^° Grade und lässt sich durch AdjunctioD
voD v5 in zwei cubisdie Factoren zerlegen*, die man aus obiger Formel leicht durch Eli-
minatioD ableiten känn. Dass hier, wie in mehrercn der folgenden Beispiele die dassen-
invariante rational dargestellt ist durch \ 5 und die (einzige reelle) Wurzel einer rationalen
cubisohen Gleichung ist eine Eigenttimlichkeit^ die mit der Abel schen Natur der Glassen-
gleichungen zusammenhängt, worauf ich bei einer nächsten Gelegenheit zurUckzukommen
hoflFe. Diese rationalen cubischen Gleichungen entsprcchen den GAiWschen Periodeq-
Gleichungcq in der I^reisteiluni^.

372 H. Wcbor.

(6) 'm - 27, /■(v~27)' = 2j-,

;r" — 3.c' — ^x — 1 =0. Discr. — 4.27.

(7) '» ^ 75, vä^v'- 75) = ^,

.r' — 23;' — 2.C — 4 = 4v'5.'^>

(8) >« = 36, /•,(^/_36)=' = ^8Jr,

•c* — 4.r — 2 ^= 2y/3(j; + i),

(9) iu — 100, r = v^/^ivv— loo)»

./•'' — X — 1 = y 5(;r + i).

(10) m = 63, Av- 63)-' = v2^^,

^* — 8.r^ + .i- + > = o-
^-j{x' — x + i) = vsC^' +3^— O-

(i i) m = 175, Av— 175) = v2'^'

.c' — 4.r' + X + I,
2j?^ — i^jy^ -\- X — 3 = v 5 (2-^''' — ^^ + O-

Werin man sodann in den ScHLÄFLi^schen Modulargleichungen fttr
den ti}'^^ Transforniationsgrad co = yj—'^ setzt, so wird

*

/■(«>) = /•©= /(v- h)

und man hat u = v und mithin A = 2 zu sotzcii. Auch hier findet
man leicht dic abzusondernden Factoren.

(12) »» = 5, /"(v- 5)' = I + vi-

(13) »» = II, /■(v— ii) = a;,

x" — 2.r' -j- 2a; — 2=0. Discr. — 4 . 1 1.

(14) m = 13, f{\—'^y =- 3 + yfi-

Zur Thcoric der clliptischcn Fttuctiuncn. 373

(15) «t=i7, /'(v- «7)' = v'2^.

^ + i = L+_N::iZ.

« 2

(16) ' m = 19, Av— T9) = ^'j

.r'^ — 2.r — 2 =0. Discr. — 4.19.

Eiii drittes Verfahreii, clie SciiLÄFLi'sclieii Gleichungen iniserer Auf-
gabe nutzbar zu inachei), ist (las folgende:

Sctzen wir in der zuni Transforraatiowsgrad n gehörigen Modular-
gleichuDg fflr to die Wurzel der quadratischen Gleichuiig

(17) 2iO^^ + 2riO + /i = o,

worin r eine ganze Zahl bedeutet, /also

(18) 2(0 + 2r = '-

^ ^ OJ

u

J

,«^ .

(19) m = 2n — r^,

so ist (nach § 1, 15)

rm

(20) f,{w)f^{2o) + 2r) = e '* v2

also niich (i8)

(21) /•,(«')/;(") ^v^e""^.

rm
Ii

(22)

/;(ö>) = y , *• ungerade,

Av — w»)

är

-7T7=-\ ' '■ gerade.

374 H. Webcr.

Demiiach hat man in dem zweiten System § 4 :5U setzen

rm

(23) ?*,t), =C y2C " ,

rm

— »j4 rjri

(24) M, = ^^— > v^ =e " ;r,

je nuchdem r und damit zugleich m ungerade öder gerade ist.
Nach (19) ergeben sich för m folgende Werte

n = 5, ;>i = 10 , 9 , 6,1,

M =7, m n= 14, 13 , 10, 5,

« = 1 1 , »» = 22,21,18,13,6,

»=13, MJ = 26, 25 , 22 , 17 , 10, I,

»=17, /« = 34, 33 , 30. 25, 18, 9,

» t= 19, w = 38 , 37 , 34 , 29 , 22 , 13 , 2.

Wir leiten aus dieser Quelle nur die Formeln för die in dem Obigen
noch nichtenthaltenen Fftlle her, wobei åk', schon bekannten öder mehr-
fach auftretenden Werte zur Erleichterung der Auffindung der Factorcn
dienen.

(25) m =-- 6, /;(v-6)* = 4 + 2v2,

(26) >« = 10, v'2/;(v'— 10)' =1 + v5-

(27) m = 14, /■,(v-i4)' = v'2-c,

(28) m = 2 1, 2/-(v=Tr)" = (, 3" + v7)'(3 + v7)'-

(29) m =22, f^{sl-22y = V2(l + v 2).

Zur Xheorie der olliptischen Functionen. 375

(30) m = 26, /".(v -16)' = x+ -§^ .

;r' — 2ir* + .r — 4 = 0. Discr. — 16. 26.

(31) »» = 30, /Kv-ä^)"-- 2vi(3 + vT6)(2 + v'])-

(32) m = 33, V2/*(v'=l3)'' = (3 + \'Ti){^ + V3)'-

(33) '» = 34. /".(v-^)* = v'2^-

' « 2

(34) m = 29, /"(v/— 29)* = 2T,

23:' — gr" — 8x — 5 = yj2g{cr- + i)'.

(35) «» =-- 37» /"(v -It)* = 12 + 2^/J^.

(36) »» = 38, /;(v~P)* = \'2X,

[x' — Sr* + i6.r — 8) = v2(8.t» — 8r + 6).

Die gefundenen Resultate lassen sich' wieder mit der Transformation
zweiter Ordnung verbinden, und man erhalt so z. B. noch aus (i 2), (14), (25)

{37) »' = 20, /;(v— 20)* = 2yir,

5 ' + v'5 / I \
.r' = — ^y' (2.T + i).

(38) m = 52, /KylT^i)* = 2via;,

(39) . m = 24, /;(v=l^" = 2»(i + vi)'(2 + v3)'(v2 + v3")'-

Endlich lassen sich auch noch zwej der ScHLÄFLi'schen Modular-
gleichungen mit einander combinieren und durch Elimination neue Re-
sultate horleitcn. Wir gehen zwei versehiedene Beispielc der Conibination

376 H. Weber.

der Modiilargleichungen ftir den 5*^" und den 11^*" Transformationsgrad
mit sich selbst, wodurch wir die Classeninvarianten ftir die Determinanten
— 41 , — 105 erhalten, von denen die erste zwei Geschlechter mit je
vier Glassen, die zweite acht Geschlechter mit je einer Classe hat, und
welche beide als erste ihrer Art von Interesse sind. .
Nehmen wir zunächst

(40) iOft>^ + 6a> + 5 = o, iOft> = — 3 + v — 41?

^.(f)

^Ws<.> + .)| = e-?^^.

Hiernach ergeben sich aus der Modulargleichung fttr den 5'*" Grad (§ 4, II)
zwei Gloich ungen, die sich mit Benutzung der Bezeichnung

Uri Hrr i

so schreiben lassen:

S 7/ /

v \ ^ ■

Durch Addition und Subtraction erhalt man hieraus zwei Gleichungen,
welche nach Beseitigung des Factors f — tj (der zu den Determinanten
— I , — 25 gehört) nur noch von c + ^y und ^rj abhUngen.
Die Elimination von f + 5y liefert, wenn wir

vicjy = v ir = /'(v— 41)', r + - - ^
setzen, die Gleichung

o = ^" — gz^ + 20Z* + 6i\ — I gz'^ — lyz — 6

. (^^ _ 4, _ 3)(^^ _ 5^:" + 3^^ + ^, + 2).

Der erste Factor, der als zur Determinante — 49 gehörig, von vorn herein
})ekannt ist, wird abgr^worfen, und <\vv zweite liefert die gesuehte Glei-

Zur Thcorie der elliptiachen Functioneo. 377

chung, welche in Bezug auf x vom 8^° Grade ist, und aich durch Ad-
jiinction von y'41 zerlegen Iftssfe Man erhJllt so

(41) m = 4i, 2^' — 5;8? + 7 = y'4T(^— i).
Es genöge zweitens w der Gleichung

(42) I ift>* + 8ft> + I f = o,

also

iiö) + 8-— , ii(o = — 4 + J -■ 105.

Demnach, wenn

f{\'- 105} = ^

gesetzt wird

und diese beiden Grössen slnd, wenn u = f{w) ist, Wurzeln der Modular-
gleichung fOr den ii^*"" Transformationsgrad. (§ 4, I.)
Setzt man tix = ^ , x:u = 7j so folgt

2e «

^ = -('?'' + i). B = e*^^

SO dass man durch Benutzung beider Zeichen för ^ , tj zwei Gleichungen
erhält. Durch Eliinination von A und Fortheben des Factors

^+1

findet sich

e^ +^-24(^+1) + 92=0,

woraus

r\2

f = (^ + v'3)(3 + v'5) - i^^tmL±iii

FOr jj findet man sodann

," + ^'=660+ 168 v'T?,

7

Aeta mnthematica, 11. Imprlmé It 6 Juillet 1888. 48

378 H. Weber.

•\vorau8 leicht folgt:

(43) m = 105, 64s/i/'(v'-l^)" =-- (I + v'3")'(' + v's)''(V3 + ^'Ws + v7)-

Die Richtigkeit der Vorzeichen ergiebt sich dnrch die Vergleichung der
numerischen Werte. '

gli. Anwendung der irratianalen Modvlargletchtingen
zvr Berechvung von Classeninvartunten.

m

Genau in derselben Weise lassen sich die in § 5, § 6 abgeleiteten
irrationalen Förmen der Modulargloichungen anwenden und fohren zuin
Teil in ausserordentlich einfacher Weise zum Ziele. Wenn wir zunRchst
in den Formeln (4) ^ b w = y'— n setzen, so wird

w+l /- n+1

2A = fiioy + (-!)' ^^-f„ B = 2 ,r2f{<0) + (- I)

öder ftir

^=-' + (-'^\ ^==4^M:iziil

X X

und dies ist in die Formeln (6) § 5 einzusetzen. För »=31 erhält man
zuna^hst eine Gleichung 3**" Grades in x^, ans der sich durch. Faetoren-
zerfallung eine einfachere fOr x selbst* herleiten lässt. Bei n = 47 , w = 7 1
hat man bezOgl. die Factoren x , {x + i)* abzusondern und findet so:

(i) M=23, f{yJ~23) = y/2Xj x' — X—l=0.

(2) W = 3I,. f{y/—^i)=.yj2Xy x^ — x''—i=o.

(3) n=r.47, /W— 47) = v^2:rj x^* — x^—2x^—2x—i=o.

(4) w=7i,. f{yiZIJi)=yj2Xj x"* — 2x^' — x^' + x^ + x^+x^ — rr— 1=0.

Ebenso lässt sich auch das dritte Verfahren des vorigen Paragraphen
hier anwenden, indem man von den Fonneln (17), (18), (19) Gebrauch
macht. Man erhält aber dann nicht unmittelbar Gleichuntren fttr eine

Zur Theorie der elliptischcn Functioneo. 379

der Functionen f selbst, sondern Relationen zwischen inehreren dcrselben,
aus denen die einfachen Glcichungen erst durch Eliniination herzustellen
»ind. Aus der för w = 23 gftltigcn Modulargleichung erhält nian so z. B.,
wenn a> der Gleichung gentlgt:

«

2ft>^ + 2rft> + 23 = o,

f{Q})f{2a) + 2r) — /;(o>)/;(2w + 2r) -= 2 + ^2c"" '\

und die Rechnung fUr r == o , r = i , r = 2 ergicbt

2v(2A(v/-^)« - (2^2 + s/7M + V'7)'-

/'(^ir^)- = 8(2 + v/5r(4 + v/Tir.

JO

In ähnlicher Weise findet man aus der Modulargleichung fdr n= 19
(§ 5, 10) einc einfachere Form der Darstellung fttr ^1 = 38. Setzt man

(5;

m = 42,

(6)

m -=45.

(7)

m = 46,

4^ = /w-38)v(\/— -'5)'-/;(v/-i8)vi(\/-^)'- 2

«o crgiebt sich

A = Xy B = Sx + 6

und, nach Absonderung des Factors a;' + a? + 3:

(8) j;^ — x'^ — 2x — 2=0, Discr. — 4.38,

w&hrend ^^(y/— 38)' sich so durch rr ausdrllckcn lässt:

(9) yj^m^-is)' = ^ + 1 - V2 ^ . •

Es sollen endlich noch fftr m = 35 , 39 , 55 die Modulargleichungen
(17), (21), § 6, vcrwendet werden. Setzen wir

^ = fis'- 35). ^' = fW~/)^ ^•^' - y

■:— = Z.

XJC

* Man vgl. die Anmerkuog zu § 10 (5).

380 H. Weber.

SO ergiebt sich aus (17), (21)

(10) (f — 2y^ — 4 — 0. Discr. — 16.35.

(i 1) z'^ + z^ — 5^ — 7 = 0. Discr. — 4. 35-

Die zweite dieser Gleichungen geht in die erste Ober durch die Sub-
stitution

(12) y = z'—2>y

wodurch, da die Gleichungen beide nur eine reelle Wurzel haben, y ra-
tional durch z ausgedrttckt ist.
Ebenso ist

(13) 2(^+ i) = //^

wonach man nach Adjunction von ^1 auch x' rational durch y aus-
drtlcken känn:

4/(v'-^)=y-^+^.'

Fttr m = 39 ergiebt die Gleichung (21) § 6, wenn

^ = /{v'-39). ^' = /(\/Tr)' ^^-i^r"' ^'^'-y

gesetzt wird, nach Abwerfung des Factors z -{• 2
(,5) ,»_^_3==o, z=^'-±^.

Die Gleichung för xx' erhält man aus der Transformation 3'"' Ordnung:
(§ 4, I, mit Benutzung von 15)

^" + *"• , 8

woraus

!/ = 4(3 + \lTi)-

* Aus dem 71^*° TransformatioDSgrad crbält man dircct fUr iC = /*(\— 35) die Glei-
chung x^ — 2 = (I + v5)(«' — ^\

Zur Theorie der elliptischcD FuDCtioneo.

Setzt man schlicsslich

(1 6)

fi>J-W = v'2-^^

so ergiebt äich ftlr x die quadratUchc Gleichung:

381

('7)

x*-^^(.«;+i) = o.

För m = 55 setzen wir

Av'^)/-(V/^) = -

und erhalten aus (17), §6

2z Z »

= 2' — 8^' — I 2z''' — 4^* + 32^* + Soxt' + 1 6z'' — 96i! — 64

= (^i _ 2^ _ 4)(^» _ 2y{f' + 2/^ + 4^ + 4).

Der letzte Factor (der zur Deterrninante — 1 1 gehört) hat hier keine
positive Wurzel, und da z'^ nicht = 2 ist, so niuss

2Z 4 = 0, Z = I + y/$

sein. Setzt nian

(1-8)

^2 X = /•(V- 55), v/"2 ^' = /( V^-T^)

SO liefert noch die Transformation fttnfter Ordnung

^« + ^'« = 41+i9iS

und daraus

i5' + ^"= 2 + ^s,

X — X =^ 1

also

(19)

2 < + \/5
^ — X — — -

382 H. Weber.

§ 12, Dle Maltiplicatorgletchungen.

m

In der Abhandlung T, § 15, sind aus dem Teilungsproblem der ellip-
tischen Functiorien zwei Arten von Transfonnationsgleichungen abgeleitct,
die sich dadurch unterscheiden, dass die Wurzeln der einen aus geraden,
dic der anderen aus ungeraden elliptischen Functioncn der Periodenteile
zusammengesetzt sind. Die ersten heissen ModulargJeichungen, die anderen
Multiplicatorgleichungen.

Die letzteren gestalten eine wesentliche Vereinfachung ini Falle eines
quadratischen Transforinationsgrades. ^ Diese Multiplicatorgleichungen,
welche in umfassender Weise von Kiepeut studiert sind,^ zeigen in ihren
Zahlencoöfficienten nicht die Einfachheit wie die ScnLÄFLi'6chen öder die
irrationalen ModulargUichungen, so dass diese fttr die practischen Rech-
nungen, die sich auf die cornplexe Multiplication beziehen, geeigneter
sind. Nur in dem Fall eines quadratischen Transformationsgrades ist in
Vergleich zur Höhe des Transformationsgrades die Einfachheit der Multi-
plicatorgleichung eine genftgcnde um mit Vorteil hier verwandt zu werdcn.
Ich gehe hier um so lieber auf das Beispiel des 25*®° Transformations-
grades ein, weil dasselbe eine unmittelbare Anwendung der allgemeinen
Methode liefert, durch welche ich im § 21 der Abhandlung I die Zer-
fäUung der Classengleichungen in Factoren nachgewiesen habe.

Nach § 16 der Abhandlung I sind die v Grössen

falls arf = w eine durch 2 und 3 nicht teilbarc Quadratzahl, ceeo (mod 24)
und e der grösste gemeinschaftliche Teiler von a , d ist, die Wurzeln

* Diese Vcrcinfacliuog der MultiplicatorgleichuDg im Fallc eines quadratischen Trans-
formationsgrades hat zucrst Joubert nachgewiesen: Sur les équations, qui se rencontrent
dans la théorie de la transformation des fon ettans elliptiques^ Paris 1876.

' Besonders in der Ahhandlung Vher die Travs forntation der ellipiisrhen Funcfionen,
Mathematische Annalen, Bd. 26.

Zur Theorie der elliptUcheD FunotioneD. 383

einer* Gleichung v^*° Grades, welche ratioiml \ouj{a)) abhäiigt. 1st w = 25
so lässt sich dieser Gleichung die folgende einfache Form geben ^

X

wenn zur AbkQrzunp

(3) X==f" + 5t* + 15'' + 25^'+ 25

= t

{t+^)'+5{t+}) + 5

gesetzt wird.

Es sei nun r eine ungerade Zahl und w Wurzel der quadratisehen
Gleichung (zweiter Art)

(4) • 'ö>' + ro) + 25 -- o,

(5) CO = , m = 100 — r',

so ist, wenn c aus der Congruenz

(6) r = r (mod 25), c — r = — 25)' (mod 24)

bestimmt wird,

c + io c — r i

^7/ 25 ~~ 25 (O

und es wird daher för den Wert (5) von o) eine Wurzel der Gleichung (2)

/c — r I \

TA I ^^.

worin die y/ — %w mit positivem reellen Teil zu nehmen ist. (Abh. I, § 5.)

* Vgl. T. Oferster, Noiiz iiher Modulär gleichuti gen hei zusammengeseiztefn Travs-
Jormationsgrad, Math. Annaleo, Bd. 14 UDd Kiepert 1. c.

384 H. Webcr.

Wir betrachten die Wcrte f = 1,3,7 ^^^ erhalten

I -^

r=i, »H -- 99, f==2^ "(S + ^Vn)'

»• = 3, «f. = 9 I , t = ^- {yjTs — iyjj),

I -- _

r=7, «» = 5i, t = -e '{y/\7 — is/3)

und hiernach Iftsst aich aus (2) /(o») berechnen, welchea fOr r =• 3 ein
• Cubus wird.

Auf diese Weise berechnet man 7/ieiiilich einfach die folgenden Zahlen

r,{ ^V" ^' ) = -48(227 + 63^13),

(9) y(--^^-^^5ij __ 214.27(6263 + i5i9v^T7),

y( ~ ' 2 ~ ^ ) = — 2 "(459 1 8043 1 6 + 799330532 v/33)-

Von diesen Werten gelangt man zu den viel einfacheren Gleichungen för
die Grössen f{yj — t») in derselben' Weise wie in § 8.
Es ist nämlich nach § 1

'A 2 /~f(j-

rri
U

fiyj^^

9 .

^n 2 r An/=^)"

Setzt man also fflr r = 3

80 ergiebt sich fQr x die Gleichung

(10) rV -\- rMx'' — 16' = o;

und wenn man fOr r = 7 , i

Zur Theorie der elliptischcD FuDctionen. 385

setzt, SO folgt för diese beiden FäUe:

(i i) x'' — [3 — 2-'j{io)]x'' + 3< — I = o

und in (ip) und (i i) hat man fQr y^{o)) und j{o)) die Werte (9) ein-
zusetzen. Jede dieser Gleichungen lässt sich aber successive in zwei in
Bezug auf x* y x^ , x rationale cubische Gleichungen zerfällen wie man
leicht findet und noch leichter nachträglich verificiert. Man erhalt so
die Classengleichunojen:

x^ — (4 + \l'rj)x'^ — X — 1=0.

m = 91, /'(v/— 91) = Xy
x^ — 2x^ — (i + v^T3).r — 2 =p.

w = 99, f{y/—99y = 2iC,

§ 12. Zusammenstellung.

Zur bequemeren Ubersicht sollen hier noch einmal die die comploxe
Multiplication betreflfenden Resultate zusammengestellt werden, und zwar
geordnet nach der von Gauss gegebenen Einteilung (Disq. ar. art. 303;
vgl. auch die in Bd. 2 von Gauss Werken aus dem Nachlass herausge-
gebene Tafel der Classenzahlen), so dass die römische Ziffer die Anzahl
der Genera, die arabische Ziflfer die Anzahl der in einem Genus enthalte-
nen Glassen q^iadratischer Formen von der Determinante — m angiebt.
Die FäUe m = 40 , 48 , 72 , 88 , 112, 232, die nach den Formeln (8), (9),
§ 9, aus den Fallen m = 10 , 12 , 18 , 22 , 28 , 58 leicht zu berechnen
sind, welchen die Classification IV, i zukommt, sind hier rioch beigefögt.
Es ist bemerkenswert, dass die FäUe I, i; T, 3; II, i erschöpft sind,
wenigstens wenn die von Gauss (Disq. ar. 1. c.) auf eine weitgehende
Induction gegrtindete VermUthung richtig ist.^

* Vgl. auch JoUBERT, C om p t ca rendus, t. 60, 1860.

Arta mathematica. 11. Imprimé le 10 Juillct 1888. 49

38G

I, I.

I, 3-

/•(v'=7T) =

/•(>P43) =

Av/=67) =

I. 5- Av^— 47) = \/2a;,

I» 7- AV— 71) = N/äa;,

H. Weber.

AV-

- V'2"»

/;(v^

= ;/i,

AV=^

= ">f2,

fÅ>F^

V'8,

AV- 7)

== v^2.

a;,

a;»-

- 2x^ + 2rr —

rr,

x'-

- 2rr — 2 =

v/2 a;,

x'-

-o; — I 0,

2a;,

x'-

- 3^^ — 3^ —

y/ia;.

x'-

- rr' — I — 0,

a;,

x'-

- 2X — 2 — 0.

a;,

x'-

- 2X'^ 2X —

a;,

x'-

- 6rr' + 4^^ —

c.

x" X-

^ 20?' — 2rr

2=0,

I = o,

2 = 0,

2=0.

I = o.

X

2x* — a;* + X* + x' + a;* — x

1=0.

II, I. a^=jy = I +V5,

4 + 2^/2,
8(1 + >/2),

;/2(l + V3),

/;(v/=ii)* = 2^i(i +V3),
An/=td' = 3 + v^.

AV^^' = V2(' +V5).

v

Zur Thcorie der eliiptischcn Functionen.

387

/;(n/=T8)' = *v/2(2 + v'6),
/;(/=l8)^ = 2^2(3+^7),

Av/^^^' = 2 (6 + V37),
v'2/'i(V=78)' = 5 + v^.

f{\l—^7? = \l2X,

fi{\l—2o)* = 2y/2a;,

/;(vcr3i)« = sx,
/I (v'— 34)' = V2aj,

/;(V=l6)' = ^8a;,

^ +- = I + ^2,

;e 2

^' = ■^(2^+0,

o;

re

— 8(1 +y/2yx—2{l +^i) = 0,

, I 3 +\fi7

"r 1 — ~ 9

X^ — ^—2 = 2yll{x + l),

X

_ L+^(. + O,

f^{^—46y = v/2a;,

">+-= 3 + v'2,

•G

öder

f{yj— 49)' = ^2^;,

tj~2f{sl—49) = ^»

/KV— 52)* = 2y/ix,

/■(v'— 55) = ^2 3;,

f{^'^^y = )/sx,

V2/'i(v'— 'oo) = a;,

iC +-= 2 + v'?

•C

a? + -= I + v/7.

^'-2(4 + v/n):«;-^^^ = 0,

a;

X f

sl7{x^ — x + i) = v^sC** + Zx— i),
3;' — X — I = y/5 (a; + i).

888 H. Webcr.

oder

f,{^-W = v'2^> x'-x' = ^^^{x + I),

/■(y/— 29)* = 2a;, 2a;' — 9a;' — 8a; — 5 = v^(a; + i)',

4/-(V=^5) =^* + ^. a;'-2a;»-4 = o,

oder

Av'^^^ = ^. a;' — 2 = (i + v/5)(ic' — x),

/; (v/="38)* = ^2 a;, .-c' — Sx^+i6x — S=s/2 (8a;' — Sa; + 6),
oder

^2 ACv'— 38)-' = a; + I — Vi ^^ , a;' — x' — 2a;— 2 =0,

V^^ACv/- 5Ö) = a; + -^^, a;" — 2a;* + 3a; — 4 = o,

Ju ■*""" 1

oder

v/2/*(v/— 75) = X, ' X^ — 2X^ 2X 4 = 4^/50;,

fi^—gi) = Xj X^ 2X^ X 2 = ^ijXy

f{\r^99)^ = 2^, X^ —l2iX^—/^X—l = y[ii{2X^ + X\

fiyj - '75) = v^2a;, 2x^ — i\x^ + x — 3 = sjli^x^ — a^ + O-

Il 4. AV/-4-T)' = V2., (. + y-'-^^ (. + -:) + ^ = o.

IV, I. 2/-(v/^^)" = (^/3" + v'7")'(3 + ^7)\

■fM-W = 2"(i + v/i)'(2 + v'3)'(Vi + v/3')',

Zur Theorie Jor clliptischen FuDctioDcn. 389

V'2A>^^33)* = (3 + v'TT)(i + n/3)',
/•,(v/=^« = Vi(i + Vl)'(i + N/i)'(3V2 + 2^5"),
2 v'i/;(V=4i)' = (2 N/i + V7)(V3 + V7)S

/•.(v^:^' = 8;/2(i + V3)(V2 + V3)'(i + V^',
A(n/=^65)" = 4v^(i + V5)'(2 + v'3)'(V3 + V5)S
/;(V=^)" = 128(2 + V6)^(i + V"2)»(2 + VS)*.

IV, I. /;(v/~88)« = 4(1 + n/^'(3 + /rT)'(7v^ + 3/n),

/;(v/=^TT^)« = 8v/i(3 + V^(i + V2)*(2V2 + V^',

fÅy^^l^' = 2(5 + n/^)'(i + N^)'(99 + i3V58>
VIIi; I. Vi-^Av/^lfH?)" = (. + Vi)"(i + V5)'(V3" + v'7)'(V5 + v/7)-

. Marburg in April i888.

Berichtig ungen .

Das Theorcin 2.) Seite 339 muss als unrichtig wcgfallcn. Auf die
Resultate ist dieser Irrtuin ohnc Eiiifiuss. Aus der Tafel (i6) Seite 342
schliesst man, allein auf das Theorem i.) § 1 gestiUzt, dass die Grössen
t;:w**, öder wenn n durch 3 teilbar ist, deren Cuben, Wurzeln einer
Transformationsgleichung sind, deren Coöfficienten rational aus u^^ ab-
hängen. Die Sclilttsse auf Seite 347 werden nur in soweit beröhrt, als r^ = \

390 H. Weber. •

und r und s daher so bcstimnit werden mttsscn, dass (w — i)r,(n+ 1)5
durch 1 2 teilbar sind, wie cs auf Seite 348 fF. wirklich geschehcn ist
Seite 371. Formel (2) ist zu lescn

Formel (3) zweite Zeilc

x^ — (i + yjT)x +2=0.
Seite 375. Formel (30)

/

391

BEMERKUNG OBER DIEJENIGEN FLÄCKEN

BEI DENEN DIE

DIFFERENZ DER HAUPTKROMMUNGSRADIEN CONSTANT IST

«

VON

R. v. LILIENTHAL

in BONN.

Irn 69^° Bände des Journals för Mathematik hat Herr Wein-
GARTEN den Satz aufgestellt und bewiesen, dass die dem Hauptkröm-
mungshalbmesser p^ entsprechenden Krömmungsmittelpunktsflächen der-
jenigen FlUchen, bei denen der Hauptkrttmmungshalbmesser p^ durch die-
selbe Function von p^ ausgedrOckt wird, sammtlich auf eine unter ihnen
befindliche Rotationsfläche abwickelbar sind. Speciell sind die Krom-
mungsmittelpunktsflachen der Minimalflächen auf die Rotationsfläche jeder
Kettenlinienevolute abwickelbar.

Der letzteren Bemerkung lässt sich die folgende an die Seite stellen.
Die dem Hauptkrömmungshalbmesser p^ entsprechenden Krömmungs-
mittelpunktsflftchen sämmtlicher Flächen, bei denen p^ — p^ constant ist,
sind auf die Rotationsflftche der Tractrix abwickelbar und besitzen somit
ein constantes negatives Krömmungsmass. Dasselbe hat den Werth

— I

wenn p^ — p^ = c. Die Rotationsflache der Tractrix selbst ist ErOiy-
mungsmittelpunktsflftche von einer Rotationsflache, die sich durch geeig-
nete Bestimmung der willktthrlichen Constanten aus den Formeln des
Herrn Lipschitz (Acta Mathematica, Bd. 10, S. 136, (16)) ergiebt.

Aeta mathematica. 11. Imprlmé le 10 Jnillet 1888.

392

R. v. LilicDthal.

Es sei zunächst gestattet den allgemeinen Satz des Herrn Weingar-
TEN mit den Mitteln zu beweisen, die im 30**° Bände der Matheina-
tischen Annalen, p. i u. folg. entwickelt sind. Man erhält för das
Quadrat des Linearelements ds^ der zu p^ gehörenden Krömmungsrnittel-
punktsfläche die Gleichung:

dsl = {pi — PaYly/T sin adp + y^''N sin {a — ^)dgY + dp] .

Unter der Voraussetzung

Pi = fiPi)

lasst sich nun, wenn p^ als unabhängige Variable genouimen und gleich
p gesetzt wird, ein Factor X in der Weise bestimmen, dass

m

ein voUständiges Differential wird.

Die hierzu erforderliche DifFerentialgleichung nimmt unter Bertick-
sichtigung der Beziehung (1. c, p. 10, (6)):

{Pi — P%)

dq dp

dq ^

^_Pt ,19
9/

-yjNs\n{(T fi)

die Form an:

^2 ' dÅ

^ {Pl — Pi) ^^ si" ^ — ^ iPl —P^)>J^ si" (^ — 9)

+ -^ÅyjT&intr — ^XyjN&ir\{(T — ^) = o.

dq

ai>

Wird nun A bios als Function von p = p^ betrachtet, so folgt:

X = e

, J Pi-pi

+ Const.

imd man känn setzen:

{pi — Pi)[y/i' si" ^^fp + V^ 811^ (^ — 9)^9] = ^f9i 9

Obcr Flächen, bei denen die Differeiiz der HauptkrUmniungsradien constant ist. 39<^

SO dass:

ds] =. e ^' ''~'' dq] + d/r,

wird, woraus die Behauptung des Herrn WEiNOAirrEN unmittelbar erhellt.
Nimmt inan nun im betrachteten Fallo p^ — p^ {^leich c nnd schreibt
statt g^ wieder q^ so ergiebt sich:

Vi

ds] = e ' dq- + dp] .

Wir suchen jetzt diejenigo RotationsflAche auf, bei welclier das Quadrat
des Linearolements die letztgefundene Form hat. Sind

c = /^ cos r/, 7 -= ;> ?^iii y . C = A/O

die Coordinaten einer Rotationsflllche, ds das Lineareleinent der letzteren,
so wird:

Daher sind p nnd f[p) so als Fnnctionen von p^ 7M bestiininen, dass:

wird.

Nimmt man

p ■= e' ,

so folgt:

f(p)

= \ c^ — e' — p^ + r log [c — V r^ — e' /,

und:

^ 7—. e'' (*os 7 , ly -:^ ^ ' sin <7 ,

^-^ y r' — e~''' — p^ + rloglr — V r' — e").
Diese Gloichunojen zei<jen, (biss wir es mit der Umdrehungsflache

der Tractrix zu thun haben. Das Krummnngsmass dieser Flflche ist -

,icta mathfniatiea. 11. Iiuprinié le 11 Aoftt 18ft8. 5(|

304 R. v. Lilienthal.

Bezeichnen wir mit x , y , z die Coordinaten einer Flftche, för welche
die in Rede stehende Rotationsfladie eiiie Evolute ist, so finden sich
XjtfjZ leicht mit Htllfe eines von Herrn Weixgarten in Journal ftkr
Mathematik, Bd. 62, S. 62 aufgestellten Formelsystems in der Form:

^ = — : — y c — e' — />j + r log \r — y c — e' K
Diese Rotationsflache, bei der nun

Avird, ist unter den von Herrn Lipschitz (Acta Mathematiea, Bd. 10,
S. 136, (16)) ungegebenen Kotationsflachen mit der genannten Eigenschaft
enthalten, wa.s sich mit Hulfe der Siibstitution:

I '-* I

¥ = qj Aw h = -f , log - + sj( = _ I

sofort ergiebt.

Mtlnster 7w. den i September 1887.

>^

395

SUR UINTÉGRATION ALGÉBRIffUE
DES DIFFÉRENTIELLES ALGÉBRIQUES

PAB

J. PTASZYCKI

å 8:t PÉTER8B0URG.

1. Le travail actuel a pour objet la solution du probléme suivant:

Expmner Vintégrcäe fydx , y étant Uée ä jo par une équation idgébrique,

au moyen d'une fonction algébrique de x ou sassurer que cette itUégnde nest
pas algébrique. f

Le premier pas vers la resolution de ce probléme a fait Abel, en
démontrant que, si Tintégrale jydx est une fonction algébrique de re,

elle s'exprime rationellement au moyen de x et de y.

En s'appuyant sur cette proposition, Liouville a résolu compléte-
ment le probléme (Journal de TEcole Polytechniquc, 22* cahier;
Journal de Mathématiques, t. 3).

Depuis, plusieurs autres géométres ont étudié la question. Je citerai
Briot et BouQUET {Théorie des fonctions elUptiques); MM. Zeuthen (Comptes
rendus, 1880), Raffy (Annales de TEcole normale, 1883; 1885)
et HuMBERT (Acta mathematica, 1887).

Toutes les solutions du probléme, proposées jusqu^ä present, raménent
la question a la recherche de quelques polynomes entiers par la méthode
des coefficients indéterminés.

Ici je vais établir un théoréme qui permet de résoudre la question

Acta mathematica. U- Imprimé )e U Ao0t 1888*

396

J. Ptaszycki.

par une voic dittérente.^ Ce théorcine fournit aussi un iiouveau moyen
de suivre la inéthode des coefficients indéterinincs.

2. Théoréme. Soit P tm pohjnome entier en x; z une fondion de x,
définie par féquation irrédudihle ä coefficients entiers

Soient Zi , z^j - ^ - . z„ les n déteiminations de la fonction z; J le discriminant
de réfjnation en z, Soit enfin

OH I) est un pohjnome entier, E un polynome entier qui na pas de facteurs
linéaires nudtiples.

Si tintéyrale I -jjdx est alyébrique, on peut poser

A'„ + X,z + X,z' + . . . + Xn^iz- '

I

dx =

1'

.... j

y , Xo , -Xi , . . . , X„ ., étant des iMlynomes entiers en x, définis de la ma-
niere stdvante:

1® Y est le produit da polyyiöme D par le plus y rand com mun diviseur

dP
du polymme F et de sa dérivée y;-;

2*" X^, , X, , . . . , A''^.*, satisfont aux équations:

x,=

Y

i »',

1 2.,

zi''

,fl- 1

-1

• • • <C •)

. 11 = 0, l,*i, ..., n— 1)

•' i — 1

I

jjdx

J 1-1

,u - 1

^ Ed 1 88 1, j ai traité la questiou de eette manicrc. pour ud6 classe assez étcndue
de foDctioDs algébriqucs, dans oiou Mémoire intitulé Sur Viviégration som fonne finie
(S:t Pétersbourg). Dans le cas oi!i la fonction y est égale å la racine d^une fonction ra-
tionnelle, cettc ox^thodc se réduit au procédé de M. Tchébycheff. Je dois å 1 obligeantc
communication de Tillustrc géomötrc la connaissancc de son procédé. Maintenant au sujet
dudit procédé on peut consulter Cours professé ä la Faculté des Sciences de Paris par
M. Hermite (2*»"*» ed.; p. 20).

Sur 1 integration algébrique des différentiellcs algébriqucs.

3. Demonstration. Soit / -j^dx riiitcgrule algébrique.

t/
sera de la forine (n° i)

397

L'intégrale

(O

/ 1 dr — :^ 4- ^^ v 4- :L r' 4- 4. r^\ :' •/' >

I ,j CeU. y~ 7f- yr /• T^ yr .• T^ • • • T^ »r "^ >

X^j y^; Xj , Fj ; . . . désignant des polynoiiies entiers en X] oii peut tjup-

X-

poser que la fraetioii y- soit irréductible.

Oii tire de Tégalité (i) les n cquations

v

\' I \- »-I I • • • I \- *I 9

t.

/ 5i //r = ^y 4- ^ ^ -4- 4- ^^^^ ^" '^

/ :!:? ./ ,. — . :z« 4_ _ j > 4- O- *'"' -» »

Remarquons que ces équatious uionirent que Tintégrale

(2)

/ ^7 ^' «^ '

(i--.l,«,3,...,n)

sera représeiitce, dans le voisinage de chaque point «, par une serie or-
donnée suivant les puissances croissantes de x — a; au coinnieneement de
la serie il n'y a qu'un nonibre liniité de ternies a exposants négatifs.

En résolvant nos équations par rapport aux coefficients y^ , ^
on obtient la formule

j •

(3)

- Ji -i- 1 / ^»//r -»-f > yi -1

I ^.

<&,! t , » Z

;--' /*jrfx- ^r

1 -n-l

• • • '^n

U^O, t,'.», ....«- 1)

• •

398 J. Pia«zycki.

Nous allonfi maintenaiit niettre cetto formule sous uiie autre forine.

Dans ce but, je remarque que les elements du déterminant qui
ligure dans la formule (3), excepté ceux de la i-iéme colonne, restent
finis pour toutes les valeurs finies de x, Quant a Télément (2) de la
i-ieme colonne, on sait que les seules valeurs finies de x qui puissent le
rendre infini sont les racines du polynönie F, Soit

P = {x — a,Y'{x — a.,Y^ . . . {x — UjY'.

On voit sans peine que pour x = a Tintégrale (2) sera iinie ou intini-
ment grande d'un ordre egal au plus ä celui de ^_t'

Le déterminant considéré se réduit done ä

(X — a J«i-» (m — a^y^-^ . . .(x — a/y -»

f[x) étiint une fonction qui reste finie pour toutés les valeurs finies de
X, Rappelons que le radical yj qui figure dans la formule (3) est egal
ä Z>y']B, 011 E désigne un polynöme qui n'a pas de facteurs linéaires
multiplcs.

D'aprés cela, de la formule (3) on déduit que

^^i D.{x - a^)"i-^{x — a,)"*-! . . . {x — <i/r-> . y^E

On en conclut, en ayant égard aux propriétés des fonctions X, , F, ,
f{x) , E, que le polynöme Y, doit diviser le polynöme

y - /; . {x — a.Y''' {x — a,Y'-' • • • {'^ — ^hY'~' •

Par conséquent, dans Tégalité (1) on peut poser

^ y^ == y; (i«o,i,3,...,n-i)

ce qui demon tre la premiere partie du théoréme.

Portant la valeur de Yi dans la formule (3), on obtient Texpression
du polynöme X, qui établit la seconde partie du théoréme énoncé.

4. Application. En vortu de notre théoréme, on peut procéder de
de la maniére sui vante pour résoudre le probléme proposé (n*^ 1).

Sur 1 integration algébrir|iic des difTureDtipllps algébri(|iic(>.

399

On met la fonction a intégrer // sous la fonne p et le discriminant

de réquation en z sous la fonne d = D^E.

On fonne le produit du polynöme 7) par le plus grand commun

dP
diviseur du polyjiöme P et de sa dérivée -y- ; on déterminera ainsi le

polynöme 1'.

Puis, on développe suivant les puiasances déeroissant<?8 de x les n
expressions

I z

1 *i

r z

.M-l

■ • •

2 1—1 i i 7 Ml H 1

2 H • • • ** 2 I 'tT ^**^ ^'^ • • • Ä«

z z

, «x,0. 1,3,...,M- 1)

dans lesquelles ^j , ^^ > • • • ? -^^^ désignent les w déterminations de z\ les
parties entiéres dans los développements fourniront respectivement les
polynömes X^ , X, , . . . , X„_i .

Les coefficients de ces polynönies contiendront, en general, n oon-
stantes inconnues ^i , ^2 , . . . , ^„; Cf. roprésente la oonstante arbitraire de

Tintégrale / ^åx

L'une de ces constantes peut (Ure choisie arbitrairement; on déter-
minera les autres par la condition que Tégalité

d
dx

I

1 ,/,. _ ^

+ x,z + x^z' + ... + X, .iz-n ^ ^

doit avoir lieu identiquement.

Les constantes ^j , Cg , . . . , c„ étant dét^nninées, la fonction

X, + A> + ... + Xn-^z^-'

presentera la valeur do Tintégrale / -pdx. Si ces constantes ne satisfopt

400 J. Pmszyeki.

pas a la condition iiidiquéo, ou concluera que notre intégrale irest pas
algébrique.

Remarque. Il peut arriver que rimposRibilité de Tintégration algé-
brique se manifeste avant que nos operations soient nienées a bout.

TjMntégrale / p-rfo' n*ost pas algébrique: i° si le développement d(* la

fonction -^ contient un terme en .r~^ (n° 3); 2^ si, dans le développement

do Texpression qui fournit le polyn6nie X^, les puissances fractionnairos
et positives de x ne s^evanouissent pour aucune valeur de f, , ^2 , . . . , r^.

5. La seconde partie de notre théoréme indique encore lo moyen
suivant de déterminer les polynömes Xo , X, , . . . , X„_^.

A Taide de Texpression de X,, on calcule les limites supérieures dos
degres de ces polynömes et Ton cherche ensuite a déterminer leurs ooefll-
cients de maniére a vérifier Tégalité du n° 4.

Remarque. Si Ton suit cette seconde mnrcfie, on n'siura a effeofuor
que les seules operations arithmotiquos pour résoudre le problomo pro-
posé (n° 1).

» ^

401

Prix Oscar II

Mémolres présentés au concours.

Le concours pour le prix fondé par S. M. le roi Oscar II a été
dos le i' jiiin de cette année. Nous mentionnoiis ci-aprés et dans Vordre
ou ils sont parvenus, les uiemoires destlnés au concours qui ont été
adressés au Rédacteur en chef de ce journal, a Stockholm:

1. Mémoire sur Véqnatian trinome de degré impair x"" + x = r.

Kpigraphc: Lcs trois Dombrcs harmoniques élétuentaircs

sont 2, 3 et 5.

2. Nuova Teoria dei Masslmi e Minimi degli Integvali definitL

Epigraphc: OpinioDum commenia delct dics; Daturae judicia

confirmat.

(Cic. Nat. D.)

3. Allgemelne Entwicklung der Functionen.

Epigruphe: Sich selbst zu loben ist ein Fehler,

Doch jcder thuts, der etwas Gutcs thut.

(Weatöstlicher Divan von Göthe.)

L'auteur y a joint une traduction fran^aise:
DAvéloppement general des fonctions

avoc Tépigraphe: Tu ne fais pas bien en te louant toi-mOme

Mais tu te loucs toi-memo en faisant bien.

(Daprfes Goethe.)

4. Les Fonctions Pseudo- et Ilyper-IiernoulUennes et leurs premiéres
applications. — Contribution élémentaire a rintégratlon des équations dif-
férentielles.

Epigraphe: Vcnient qui sine offensa, sine gratia, judiecnt.

(Senöque.)

te

5. IJlter die Beweg ungen in einem Sgsfem von Massepunhten mit Kraften
der Form r .

r

Epigraphe: \\::hioQ o AnynQ zt^q åh^HstaQ £^'j.

(Euripides.)

Acta malh^matira. 11. Tmprlmé le 17 Aoöt lK88. 51

402 Prix Oscar II. — Mémoires présentés au concours.

6. Integration des équations simultanées aux dérivées partiélles du
premier ordre d'un nombre quelconque de fonctions de plusieurs variables
indépendantes.

Épigraphe: Aooipe jossis

carmina cepta tuis.

7. t7ber die Integration der Differentialgleichungen, wdche die Be-
wegungen eines Systems von Puncten bestimmen.

Épigraphe: Nur schrittweise gelaDgt man zum Ziel.

Avec une traduction fran9aise, intitulée:

Sur V integration des équations différentielles qui déterminent les mouve-
ments d'un systéme de points matériels,

et portant Tépigraphe: Pour parvenir au sommet, il faut marchcr pas å pas.

8. Sur les intégrales de fonctions ä multiplicateurs et leur applikation
au développement des fonctions abéliennes en series trigonométriques.

Épigraphe: Nous devons Tunique science
Que Thomme puisse conquérir
Aux chercheurs don t la patienoe
En a laissé les fruit-s mClrir.

(Sully-Prudhomme, Le Bonheur.)

Avec un Supplement.

9. Sur le Probléme des trois Corps et les Équations de la Dynamique.

Épigraphe: Nunquam prasscriptos transibunt sidera fines.

10. Sur le Probléme des trois Corps.

Épigraphe: — — — — — — Coelumque tueri

Jussit et erectos ad sidera tollero vultus.

(Ovide.)

11. Vber die Bewegung der Himmelskörper im widerstéhenden Mittel.

Épigraphe: Per aspera ad astra.

12. Becherches s^ur la formule sommatoire d' Euler.

Épigraphe: Utinam ne nimis erraverim.

Juin 1888.

MITTAG-LEPPLER.

INHALTSYERZEICHNISS. — TABLE DES MATIÉRES.

BAND 11. — 1887-1888. — TOME 11.

Selte. Pag«8.

BBUNS, H. t)ber die Integrale des Vielkörper-Problems 25 — 96

OOUBSAT, É. Sur un mode de transformation des surfaces

minima 135 — 186

OOUBSATy É. Sur un mode de transformation des surfaces mi-
nima (second mémoire) 257 — 264

HEUN, Z. Zur Theorie der mehrwerthigen, mehrfach liueär

verkniipften Functionen * 97—118

HUBWITZ, A. tJber die Entwicklung complexer Grössen in

Kettenbriiche * 187—200

LEBOH, M. Note sur la fonetion ^(w ..x . s) ^ J r- ... 19 — 24

LILIENTHAL9 B. v. Bemerkung iiber diejenigen Flächen bei

denen die Differenz der Hauptkriimmungsradien eonstant ist 381 — 394

PIOABD, B. Demonstration d'un théoréme générale sur les
fonctions uniformes liées par une relation algébrique 1 — 12

PTASZYOKI, J. Sur Tintégration algébrique des différentielles
algébriques 395—400

SOHWEBING, Z. Eine Eigenschaft der Primzahl 107 119—120

SOHWEBING, Z. Untersuchungen iiber die Normen komplexer
Zalilen 205-296

lohaltsvorzoichDiss. — Table des matiére.s.

Selte. ragoi.

STAUDB, O. ti ber die Bewegung eines schweren Punctes auf
einer Botatiousiläche. Hicrzu einft FigureutAfel '. 303 — 332

STBAUSS, E. Eine Verallgemeinerung der deka,disclien Schreib-
weise nebst functionentheorctischer Aiiwendimg 13 — 18

SYLOW, L. Sur les groupes transitifs dont le degré est le
carré d'uii nombre premier 201 — 256

SÖDEBBEBG, J. T. Demonstration du tliéoréme fondamental
de Galois dans la théorie de la resolution algébrique des équaticms 297 — 302

THOMSON, SIR W. On the division of space witli minimum
partitional area ; 121 — 134

WEBEB, H. Zur Thcorie der elliptischen Functionen (zweite
AbLandlung) 333-300

Prix Oscar TI. — Memoires presentes au concours 401 — 402

OORREOTION.

Torne 10, page 381, ligne 2, au lien de 1810 lire 1815.