Full text of "Acta Mathematica"

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ACTA 



MATHEMATICA 



ACTA MATHEMATICA 



ZEITSCHRIFT JOURNAL 

HEBAUSGEGEBEN BÉDIGÉ 



VON PAR 



G. MITTAG-LEFFLER 



16 



STOCKHOLM 

F. A G. BEIJER. 

BEELIN 1892-93. * PAKIS 

MAYER A MCLLER. A. HERMANN. 

MAVKOiiArKKaTBAMit öl. C£NTRAL-TRYCKERIET, STOCKUOUK. 8 hos i>k la sohhomxb. 






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EEDACTION 





SVERIGE: 




A. 


V. Bäcklund, 


Lund. 


H 


Gyldén, 


Stockholm. 


A. 


Lindstedt, 


» 


G. 


Mn-rAO-LEPFLEE, 


]> 


E. 


Phbagméns 

NOEGE: 


D 



C. A. Bjebknes, Christiania. 

S. Lie, Leipzig. 

L. Sylow, Fredrikshald. 

DANMARK: 

J. Petersen, Kjöbenhavn. 

H. G. Zeuthen, d 

FINLAND: 
L. Lindelöp, Helsingfors. 



INHÄLTSYERZEICHNISS. — TABLE DES MATIÉRES. 

BAND 16. — 1892 — 1893. ~ TOME 16. 



» 



Soite. Pages. 

FOLIE, P. Expression coinpléte et signification véritable de 
la nutation initiale. Demonstration qui en résulte de la fluidité in- 
térieure du globe. Conséquences analytiques de celle-ci dans les 
formules de 1'astronomie 365 — 384 

KOBB, GUSTAF. Sur les maxima et les minima des intégrales 
doubles 65—140 

von KOCH, HELGE. Sur les déterminants infinis et les équa- 
tions différentielles linéaires 217 — 295 

von LILIENTHAL, R. Zur Theorie des Kriimmungsmaasses der 
Flächen 143—152 

LOHNSTEIN, TH. Notiz iiber eine Methode zur numerischen 
Umkehrung gewisser Transcendenten 141 — 142 

MITTAG-LEPPLBR, G. Sophie Kovalevsky. Notice biographique 385 — 392 

FINCHEBLE, 8. Sur la generation des systémes récurreuts au 
moyen d^une équation linéaire difFérentielle 341 — 363 

POINCARÉ, H. Sur la polarisation par diffraction 297—339 

VOLTERRA, VITO. Sur les vibrations lumineuses dans les 

milieux biréfriugents 153 — 215 

• 
ZORAWSKI, KASIMIR. tlber Bieguugsinvarianten. Eine An- 

wendung der Lie^schen Gruppentheorie 1 — 64 



"?> V^ Ci^ 



ERRATA. 

Page 220, li^e 26, au lieu de i»,*=±(m4-i),...,±(w+p)] Ksez 

[<»±(m + l),..., ±(m+p), * = — im+»,...,+(TO+p^; i- — m, ...,+m, *= '±«.m+l), ..., ±(m + /»)J. 

Page 223, ligne 22, lisez D'„,^ — D„,. 

i> 228, formule (h), ajoutez le terme Sa^p. 

j) 239, formule (h), ajoutez le terme S'.^ ^app. 

t> 242, ligne 15, au lieu de an lisez au. 

j) 270, ligne 1, au lieu de ne secoupepas soi-méme lisez enibrasae Vorigine 

une seule fots, 
» 271, ligne 17, au lieu de yr.vr lisez ^r.i. 
j> 281, ligne 3, au lieu de uu-i lisez uv 

> 293, seconde formule, au lieu de pi<...<p* lisez /»i<P2-i<..<r»-*+i. 
» 294, demiére formiile, et page 295, premiére formule, au lieu de p 

lisez p — I. 



tlBER BIEGUNGSINVARIANTEN. 

EINE ANWENDUNG DER LIE'SCHEN G RU PPENTH EORI E 

VON 

KASrMlR ZORAWSKI 

au8 WARSCIIAU. 



Biegungsinvar tanten werden wir solche Functionen des Örtes in einer 
FUlche tiennen, welche bei jeder Bieo;ung der FUlche in jedem Örte ihren 
ursprönglichen Zahlenwert behalten.^ Das GAUSsische Krömmungsniass, 
die BELTKAMi'schen Parameter und Minding's geodätische KrQmmung z. B. 
sind Biegungsin varianten. Sie sind von den genannten Mathematikern 
schon lilngst aufgestellt worden. Im Jahre 1884 skizzierte Herr Lie eiue 
Methode zur Borechnuno; aller möc]rlichen Bieojunorsinvarianten.'^ In der 
vorliegenden Arbeit teile ich dasjenige mit, wns mir auf diesem Wege in 
Bezug auf die Theorie der Biegungsin varianten zu erreichen gel ungen ist. 

Es war ebon Herr Lie selbst, welcher mich dieses Problem zu be- 
handeln veranlasste. Er richtete meine Aufmerksamkeit hauptsHchlich 
darauf, dass es wichtig wäre, die Anzahl der Biegungsinvarianten ver- 
schiedener Ordnungen zu kennen.^ Derngemass biidet die Abz^hlung der 

' Dicso Bcnonnuni? ist von Herrn Wetngarten eingcfUhrt worden (Journal f. r. 
u. ang. Matb., Bd. 94, S. 182). Herr Weingarten nenut aber Biegungsinvarianten nur 
diejonigen Functionen, weicbe wir später (N^ 1 3) als Gaussiscbc Biegungsinvarianten bc- 
zeicbnen. Ks schoint nilmlieb zweckmässig, ftir allo DifFcrentialinvarianten einer uncnd- 
licben Gruppe, die wir im Folgcnden (N° 4) definieren werden, den gemeinsamen Namcn 
5>BiegungsinvariantenD einzufubren. 

' Matboin. Annal., Bd. 24, S. 574— -575- 

' Es bandelt sicb nattlrlicb um die Anzabl der nnahhängigcn Biegungsinvarianten, 
wobei zu beraerken ist, dass je N Biegungsinvarianten, etwa /,, I^^ ,.,^ Ty^ dann und nur 
daun von einander unabbUngig sind, wenn keine IdentitHb von der Form F(/, , /,, . .., /jv) = O 
besteht. 

Ada matlifmatica 10. ImprimP lo 10 dAcombre ISOl. \ 



2 Kasimir Zorawski. 

Biegungsinvarianten den Hauptiiilialt ineiner Arbeit. Doch beschäftige 
ich rnich in den zwei letzten Paragraphen auch init der Berechnung der 
Biegungsinvarianten durch Integration von gewissen vollständigen Syste- 
men. Ich darf hier bemerken, dass Herr Lie, als ich inich mit diesem 
Probleme zu beschaftigen anfing, mir die Resultate einer nicht gedruckten 
Arbeit von seinein Schttler Herrn Haktmann mitteilte, in der nach der 
Lip/schen Methode die bekannten Biegungsinvarianten aufgestellt werden. 
Diese Rechnungen findet man bei mir im § VI; es schien mir aber bc- 
quemer, dieselben etwas änders durchzuftthren, als es Herr Hautmann 
gethan. 

Auf die gcometrische Bedeutung der Biegungsinvarianten gehe ich 
nicht ein. 

Den Herren Lie und Engel erlaube ich mir hiermit fQr Ihre wohl- 
wollende Unterstlitzung ineinen besten Dank auszusprechen. 



g 1. Elnige Hillfssätze. 

Es scheint mir zweckmftssig und sogar nötig zu sein, den nachste- 
henden Untersuchungen einige Hftlfssätze vorauszuschicken, um später die 
Discussion meines Problems nicht unterbrechen zu mt\ssen. 

I . Zuerst ftthre ich ein Theorem an, auf welchem die ganze Theorie 
der Differentialinvarianten der unendlichen continuierlichen Gruppen basiert. 

Theorem I. Bezeichnet 



Ay=I.?.(.•,.)^^+l:,,.c(•^.)g; 



die allgemeinste infinitesimale Transformation einer unendlichen continuier- 
lichen Transformationsgruppe in den VeränderlicJien x^ , x^ , ..., r„; z^ , ^^ , ..., 
z„^j und betrachtet 7nan die z,, als beliebig ivählbare Functionen der Xi, so 
werden auch die Differentialquotienten der z,^ nach den x^ transformiert. 



Ober BieguDgsinvarianteD. 3 

Bezeichnet man ini AUgemeinen: 

und berechnet die Incremente aller genannten Differentialquotienten von der 
er sten bis etwa zur iV^""" Ordfiung, so biidet: 

x^-'v= xf+ zcr-^ix , ^ , ^^.,v..J^r^^— ' 

</^i ♦/?.:+... + /?ii)^'«i + a2 4-. .. + ««) 

m;o (/ie lefzte Summe alle Glieder enthält, ivelche allén Differentialquotienten 
der Zj, nach der Xi von der ersten bis zur JV**" Ordnung entsprecheny die 
allgemeinsfe infinitesimale Transformation einer unendlichen continuierlichen 
Transformationsgruppey wélche man N^* erweUerte Gruppe zu nennen pflegt.^ 

Dieses Theorem benutzte Herr Lie in seiner Theorie der Difterential- 
invariaiiten,' ohne es ausdrilcklich zu forinulieren und zu beweisen. Herr 
Lie teilte mir mit, dass er dieses Theorem bewicsen und den Beweis in 
nächster Zeit veröffentlichen werde. Dem nach ghiube ich, dieses Theorem 
benutzen zu dttrfen. 

2. Jetzt werden wir ein Theorem aus der Theorie der Transforma- 
tionsgruppen beweisen, welches trotz seiner speziellen Voraussetzungen uns 
im Folgenden gute Dienste leisten wird. Dieses Theorem lautet folgender- 
massen : 

Theorem II. Besitzt die allgemeinste infinitesimale Transformation einer 
unendlichen continuierlichen Transformationsgruppe in den Ver änderi ichen 

^1 , • . • , ^« ; y, , . • . , i/m (ii^ Form: 

p + r 



^ Dioser Satz ist analog dem GDtsprcchendoD* Satzc aus der Theorie der endlicheQ 
coDtinuierlicheD TransformatioDsgruppen. Siche: Sornus Lie, Theorie der Transforfnations- 
ffruppen. Erster Abschnitt. Unter Mitwirkung von Dr. F. Engel bearbeitet. Leipzig, 
Teubner. 1 888. S. 547i Theorem 94. Die Formuliérung des Theorems I ist eine etwas 
abweichende von der des Theorems 94. 

' SoPmis Lie, Mat hem. Ann., Bd. 24: Uber Differenti^dinvanmiten, S. 564 ff. 



2 Kasimir Zorawski. 

Biegungsinvarianten den Hauptinhalt meiner Arbeit. Doch besclulftige 
ich mich in den zwei letzten Paragraplien auch mit der Berechnung der 
Biegungsinvarianten durch Integration von gewissen vollstilndigen Syste- 
men. Ich darf hier bemerken, dass Herr Lie, als ich mich mit diesem 
Probleme zu beschäftigen anfing, mir die Resultate einer nicht gedruckten 
Arbeit von seinem SchQler Herrn Hartmann mitteilte, in der nach der 
LiE^schen Methode die bekannten Biefjunt^sinvarianten aufcestellt werden. 
Diese Rechnungen findet man bei mir im § VI; es schien mir aber be- 
quemer, dieselben etwas änders durchzuföhren, als es Herr Hartmann 
gethan. 

Auf die gcometrische Bedeutung der Biegungsinvarianten gehe ich 
nicht ein. 

Den Herren Lie und Eng el erlaube ich mir hiermit fttr Ihre wohl- 
wollende UnterstQtzung meinen besten Dank auszusprechen. 



§ I. Einige Hillfssätze. 

Es scheint mir zweckmässig und sogar nötig zu sein, den nachste- 
henden Untersuchungen einige Hölfssätze vorauszuschicken, um später die 
Discussion meines Problems nicht unterbrechen zu mtissen. 

I . Zuerst fiihre ich ein Theorem an, auf welchem die ganze Theorie 
der Differentialinvarianten der unendlichen continuierlichen Gruppen basiert. 

Theorem I. Bezeiclmet 

H \ v- .,. _^^/■ 



X/ = i:.«'-.')£. + I.,«'-.')|; 



die allgemeinste infinitesimale Transformation einer unendlichen continuier- 
lichen Transformationsgriippe in den Veränderlichen x^ , x^ , ..., x„\ z^ , z^, ..., 
z,„, und befrachtet man die z^, als heliebig wählbare Functionen der rr<, so 
werden auch die Differentialqiiotienten der z„ nach den Xi transformiert. 



Ober BieguDgsiovarianteD. 3 

Bezeichnet man im AUgemehien: 

^ a,^ ö, ^ an a,a,...fl« 

und berechfiet die Incremente aller genannteyi Differentialquotienten von der 
er st en bis etxva zur iV^*"" Ordnung, so biidet: 

X'^'/-= Xf+ ZCr^-Crr , z , ^,.,,,...,jr-^^, 

wo die letzte Samme alle Glieder enthälty welche allén Differentialquotienten 
der z„ nach der x^ von der ersten bis zur N^"" Ordnung entsprechenj die 
aJlgemeinste infinitesimale Transformation einer unendlichen continuierlichen 
Träns formationsgruppey tvelche man N^^ erweiterte Gruppe zu nennen pflegt.^ 

Dieses Theorem benutzte Herr Lie in seiner Theorie der Differential- 
invarianten,^ ohne cs ausdrticklich zu forinulieren und zu beweisen. Herr 
Lie teilte mir mit, dass er dieses Tlieorem bewicsen und den Beweis in 
nächster Zeit veröffentlichen werde. Dem nach glaube ich, dieses Theorem 
benutzen zu dUrfen. 

2. Jetzt werden wir ein Theorem aus der Theorie der Transforma- 
tionsgruppen beweisen, welches trotz seiner speziellen Voraussetzungen uns 
im Folgenden gute Dienste leisten wird. Dieses Theorem lautet folgender- 
massen: 

Theorem II. Besitzt die allgemeinste infinitesimale Transformation einer 
unendlichen continuierlichen Transformationsgruppe in den Veränderlichen 

^1 > • . • , ^« ; y, , . . . , Z/m die Form: 

/'fr 



^ Dioser Satz ist analog dem cntspreohenden' Satzc aus der Theorie der endlichen 
ooDtinuierlicheD Transformationsgruppcn. Siche: Sophus Lie, Tlieorie der Träns formations- 
gruppen. Erster Abschnitt. Unter Mitwirkung von Dr. F. Enoel bearbeitet. Leipzig, 
Teubner. 1888. S. 547, Theorem 94. Die Formuliérung des Theorems I ist eine etwas 
abweichende von der des Theorems 94. 

' Sophus Lie, Mathem. Ann., Bd. 24: Uber Differentialinvarianten. S. 564 ff. 



4 Kasimir Zorawski. 

WO 



"* df 

1 •'* 

gegehene Ansdriiclce sind und die Ci- 9^'^^^ wiUkurliche Functimien ihrer Argu- 
mente hezeichnen, so bilden die infinifesimalen Träns formationen: 

eine höchstens r-gliedrige endliche continuierliche Gruiype. 

Je zwei unabhiVngige infinitesimale Transforrnationen der Schar (i), 
etwa 

zf ^. z, c z, f und z-f = r,. <:; z, r 

solleii durch die Operation {ZZ) eine infinitesimale Transformation der- 
selben Scliar ergeben/ Nun haben wir: 






{ZZ-) ^ Z,z,.i[cz,.(c) - c;z,(c)]z,/-+ cc(z.Zx)}- 



Weil aber Zj^f fttr Ä; == i , 2 , . . . , p nur die Veränderliche x^ und för 
/; = ^> -|- I , . . . , p + ^ nur die Veränderliche y< enthält, so folgt: 



p p 



(zz) = i:,2:,{[cz..(c) - ■:^z,{Q]zj+ c.c;(z,z,)} 

/» + ! 1 Pi-1 />+! 

Da nun dieser Ausdruck einem Ausdrucke von der Form: 
identisch gleieh sein soll, so mttssen die Glieder, welche Z^f und die 



* Sophus Lie, Uber Differential invarianten, S. 553- und ChristiaDia Viden- 
skabsj^elskabs Forhaudlinger 1883, Uber unendliche continuierliche Gruppen^ S. 4. 



c ber Biegungsinvariauton. 5 

Glieder, welclie Z^f enthalten, in beideii Ausdrucken identisch gleicli sein. 
Das ist dann und nur dann der. Fall, wenn 

p + r 

;>+l 

Ferner bangen die Z, nur .von den VerFlnderlichen y^ ab; es mössen also 
die Functionen 0),^^ constautc Werte haben, welche wir wie gewöhnlich 
mit 6'/,v bezeichnen. 

Folglich: • 

;h 1 
und damit ist unscr Satz bewiesen. 

3. In diesen einleitenden Bemcrkungen sollen noch zwei einfache 
Sätze Platz finden, welche wir dazu benntzen, um die Unabhängigkeit 
von gewissen linearen homogenen partiellen Differentiulgleichungen i 
Ordnung mit einer abhängigen Variablen nachzuwcisen. 

Satz I: Sind die q Gleiclmngen: 



ter 



^kf = 2l»^*«(^l > • • • J ^'«) ^- == O (*^1,2, . ,9) 



von einander unabhänffig, so sind die q Gleichungen: 



m 



s^f 



wo die C iviUkilrlich wählbarc Functionen ihrer Argumente hezeichnenj ebeU' 
falls von einander unahliängig, 

Nach Voraussetzung känn nllmlich der Identität: 

;iriC^i > • . • ) ^•„)^i/'+ • • • + x,k'^i ? • • • ^ j\)'^/^ o 

nur durch die Werte: 

Xi = /j = •■ • = ;ir, = o 



6 Kasimir Zorawski. 

Gentige geleistet werden. Besteht andererseits die Identität: 

SO mu83 auch diejenige bestehen, welche wir aus dieser durch die An- 
nahme: 

erhalten. Es muss also die Identitet: 

gelten, welche augenscheiiilich niir durch die Werte: 

Xi = x^ --- '- = X^ = ^ 

befriedigt sein känn; damit ist der Satz bewiesen. 
Satz II: Sind die q- Gleichungen: 



n 



n 



XJ=^ ^ .c*i(^i ' • • • ' •^'<) iT. = o (t.',»....,,) 



1 

von einander tmabhängigj so sind die q + p Gleichungen: 



m 



a/* 



ZJ =■-= XJ + y^^^ C/i(^i j • • • j ^« ; ^1 > - • • j o ^ = o? a-i,2.....v) 



M70 die Cia wwrf C^ willkurlich wäldbare Fimctionen iJirer Argumente hezeich- 
nen, dann und nur dann von einander unabhängig, wenn die p Gleichungen: 

von einander unahhängig sind, 

Setzen wir nämlich in der Identität: 

X\ V^l > • • • ' ^w 5 -2^1 ? • ♦ • > ^m) ^1/ I • • • I X<i \'^^ J • • • > ''^n ) ^1 ) • • • ? ^m) ^qf I ' * 

• • • I >|f7 + ,ov'l ? • • • > '^n ? '^l ) • • • > ^iii) ^q+pf ^^^ ^ 

?/"- = ^^ = . . = ?^ = o 



Ober BiegUDgsin varianten. 7 

SO erhalten wir die Identität: 

^i(j^, , . . . , rr„ ; ^, , . . . , z^) Åif -\- ... -j- XqK^^ f • • • > ^m ) ^i ) • • • j ^mj^qt "^^ o> 
welche nach Voraiissetzung nur durch die Werte: 

befriedigt werden känn. Es ergiebt sich also die Identität: 

welche augenscheinlich nur dann durch keine anderen Werte als die: 

Xl-^l "^ ^9 + 2 = . . . = ^q^p = O 

befriedigt wird, wenn die Gleichungen: 

Z,f = o ('-« + ! «4-/>) 

von einander unabhangig sind. Damit ist der Satz bewiesen. 



% II. Unendliche Grtippe des Problems. Erweiterte Gruppen» 

Jetzt werden wir nach Herrn Lie^s Vorgang * unser Problem analy- 
tisch forinulieren. 

4. Es seien: 

(i) j) = i){x , ?/), q = q{x, y), r = r{x , ?/), 

wo X , y willktirliche Parameter bezeichnen, die Gleichungen einer Flftche 
in Cartesischen Coordinaten p , q ^ r. 

Das Quadrat des Linienelementes auf der Flftche (i), nftmlich: 

ds' = dp' + (Jq^ + dr'' 
känn man nach Gauss ^ in der Form: 
(2) ds^ = FaIx"" + 2Fdxdy + Gdif 

- I - ~~ — ■ 

' Sophus Lie. Vher Differentialinvananien, S. 574- 

* Gauss. Diaquisiiiones generales circa superficies ennxis» 



8 Ka!«imir Zorawski. 

schreiben, wo: 



\dx) "^ \d.r) ** \a.r/ ' dvdif'^d.rdif'^d:edif' 






) 



Flihren wir in (2) neue VerJlnderliche: 

(a) ;r' =- X(.r , ?/), //' = r(;r , ?/) 

ein, wo X , Y pranz willkttrliche Fiinctionen von x , ?/ bezeichnen. Das 
Linienelenient erhJllt dann die neue Form: 

ds'' = F/(W + 2P(ix'd!/ + G'df/\ 

wo 'E'y F, G' gewisse Functionen, welclie man leicht berechnen känn, etwa: 

O?) E' = Ri^x.y.E, F, G), F = S{x , ;, , E , F, G), 

G' r=. l\x,y. E,F. G) 

der Veränderliehen x^y , E^F ^G sind. Es ist leicht naeliznweisen, dass 

die Schar der Transformatiohen (a) und {fi) der Veranderlichen x^y.E^F^G 

eine iinendliclie Gnippe biidet. 

Transforrniert man nllmlieh vermöge einer willkurliehen, aher be- 

stimmten Transformation unserer Sehar die Variablen x ^y, Ey F, G in 

x^ , ;/j , J?, , 7*\ , öj, so bekommt man aus dem Linienelemente (2) das 

Linienelenient: 

rfe' -- E,dx\ + 2F,dx,dy, + G.dyl 

Nimmt man ferner anstått der Veranderlicheil x^ , //, , E^ , F, , G^ neue 
^2 ? ?/'2 j -^2 ' ''2 ' ^2' welebe wieder mit den eben genannten durc-h eine 
willkrtrliche, al)er bestimmte Transformation unserer Schar verknttpft sind, 
so erhJllt man die Form: 

ds'^ — E^dx?2 4" 2F.,dx^dy.2 + G^^dyl. 

Es ist nun unmittelbar klar, dass man, um von der Form (2) zu dieser 
dritten Form des Linienelementes zu gelangen, d. h. um von den Ver- 
llnderlichen r , ?/ , 7?, F ^ G unmittelbar zu den .r^ , //.^ , E^^ 7* ^ , G,^ ilber- 



Obcr Riegungsinvariaotcn. 9 

zugeheuy netwendig eiue Trunsformation unsercr Schar benutzeu muss. 
Je zwei aufeinandér folgende Transformationen unserer Schar gind also 
immer einer gewissen einzigeii Transformation dieser Schar aequivalent, 
d. h. unsere Schar biidet eine unendliche Gruppe. Bei dieser Gruppe 
bleibt das Linicnelement invariant^ es nitissen also ihre Differentialin* 
varianten Biegungsinvarianten sein. Wir werden mit infinitesimalen Trans- 
formationen operieren. 

Setzen wir also voraus, dass die Verftnderliche x^y ganz willkörliche 
Incremente: 

(3) åx = ^{x,y)åty åy = rj{Xjy)dt 

erhalten, dass also ^ , rj ganz willkörliche Functionen von x , y bezeichnen. 
Formuliert man analytisch die Bedingung, dass das Linienelement bei un- 
serer Gruppe unverändert bleibt, so erhält man: 

f)Edx'' + 2dFdxdy + dGdy'' + 2\{Edx + Fdy)[^^^dx + $^^dy) 

+ {Fdx + Gdy){rj,,dx + yi,,dy)\dt =- o, 

wo wir för die partiellen DiflFerentialquotlenten die im Theorem I ein- 
geföhrte Bezeichnung benutzen. Weil aber dx , dy hier vollkommen wilU 
körlich sind, so ergeben sich folgende Incremente för E j F ^ G: 

(4) Uf=- {F^,, + E^,, + ö^,, + Fyj,,yjt, 

åG = — 2{F^^^ + G7jJdf. 

Die dllgemeinste infinitesimale Transformation unserer Gruppe lautet also: 

^f= ^1 +"!%,- '(^^'o + ^''o) Ä- (^^'-o + ^^o' + ^'?- + ^''yo-^S' 

Die Berechnung der Biegungsinvarianten kommt somit zuruck auf die Be- 
rechnung der Diffei^entiaUnvarianten dieser unendlichen Grtippe. 

Um diesfi vorzunehmen, wollen wir unsere Gruppe erweitern: 

Acta mathematiea. IC. Imprlni^ le 22 déceinhre 1S9I. 2 



10 - Kasimir Zorawski. 

i) in bezug auf die Differentialquotienten von E j F j G- nach x , y; 

2) in bezug auf die Differentialquotienten von willktlrlichwählbaren 
Fuhctionen <p^[x ^y) ^ <p\x ^y) y . . . ^ f'^{x ^ y)y welche augenscheinlich bei 
allén Transformationen der Gruppe ihren Zahlenwert nicht verandern, 
uiid endlich 

3) in bezug auf die Differentialquotienten von y nach o? , y als Func- 
tion von x betrachtet. Uin diese Erweiterungen durchzuftthren, woUen 
wir im Folgenden einige Httlfsformeln entwickeln, 

5. Setzen wir voraus, dass der Zuwachs einer gewissen Function 
([^{x^y) bekannt ist, und versuchen wir die Zuwtlcbse allcr ihrer Diffe- 
rentialquotienten nach x und y zu berechnenl Wohl zu bemerken ist, 
dass wir ftir die partiellen Differentialquotienten stets die im Theorem I 
eingeffthrte Bezeichnung benutzen werden, also im Falle der Functionen 
von zwei VerUnderlichen die Bezeichnung: 

a*+* <I>{x , y) _ 

För jede Function ^{x^^y) haben wir nun: 

(a) dip — (p^^dx — 4>^^(hj = o, 

Beröcksichtigt man alsdann, dass: " 

und variiert (a) unter der Voraussetzung, dass rr , y die Incremente (3) 
annehmen, so erhält man: 

Weil aber diese Gleichung bei allén Werten von dx , dy bestehen soll, so 
ergiebt sicH: 



tJher BieguDgsinvarianteD. 11 

Setzt man in der ersten dieser Formeln ^,^ anstått ^% so gelangt man 
zur Formel: 

« • I 

und in analoger Weise ergiebt sich: 

Man sicht leicht, dass man allgcmein erh&lt: 



•o .i . , 1 



wo /^, die gewöhnliche Bezeichnung der BinomialcoeflFicienten ist. Die 
letzte Formel soll durch vollständige Induction verificiert werden. Setzt 
man namlich in (c) ^j^ statt ^, so ergiebt sich vetmöge der ersten 
Formel (b): 



< 



Durch einfache Operationen mit Benutzung der Formel i^, + /,,_i f= (* + i)^ 
er häl t man schliesslich : 






woraus die Richtigkeit der Formel (c) folgt. 

Wenn wir die Formel (c) mit der ersten Formel (b) verglcichen, so 
sehen wir, dass die zweiten Indices in beiden Formeln dieselben sind; der 

erste Index bei ~ ist in (c) um i — i grösser als in . (b), und unter der 

Summe sind in (c) bei ^ die ersten Indices um i — /i und bei f und tj 
um fi — 1 grösser als in (b). Demnach erhaltcn wir in analoger Weise 
aus der zweiten Formel (b) die Formel: 



12 Kastniir Zorawski. 

Setzt inan in (d) ^<o 0*11 Stelle von ^, bo ergieht sich: 






wo nach (c): 



\ ^f /oi"" \3t)ik T'' ^''0' '''^^^*-''^^'^--'^''' "^ i'''"'».*-''^'^/**')» 



also ist die allgemeinste Formel: 



/ k 



wo die Striche an den Suinmcnzeichen bedeuten, dass dic Indices /i und 
u nicht gleichzeitig beide gleich Null sein dörfen. 

6. Setzen wir jetzt: 

(1) ^ ~^ ^»0 + '^^ ^01 + ^ ^10 + ^ 9oi' 

wo />^^/?^^ ^t'**, éT*^* gewisse Functionen der Verändcrlichen x^y bezeichnen, 
so haben wir: 

und ferner: 
oder: 



i+i ;t 






O 1 



' A '^ ^"^ V^*'-U'^<-M-»'-l-l^/ti' ' ^<— /t,X— v+l^/iv)' 



Wenn wir jetzt annehmen, dass alle Coefficienten i^ und k^^ ftir welche 
p von o , I , . . . , / und q von o , !,.,.,& verschieden, Null sind, so 
können wir schreiben: 



Ober BiegungsiDvariiioteti. 



13 



d4Uk 



<fi *+i 






Wohl zu beachten ist hierbei, dass ?^ und k^ fttr / = A=^ = g = o 
gleich I sind. 

7. Versucheii wir nunmehr aus den bekanntcn Incrementen (3) von 
X , ^ die Incremente der Differentialquotienten y nach x zu bestiminen! 
Wir können hier die Formel (e) benutzen; weil {tf als Function von x 
betrachtet) y , ^{x^y) , yj{x , y) Functionen einer einzigen Verändcrlichen 
X sind, so werden in der Formel (c), ^ = y gesetzt, alle partiellen Diffe- 
rentialquotienten nach y verschwinden und alle partiellen Differential- 
quotienten nach X sich in totale nach x verwandeln. 

Demnach haben wir: 



(h) 



dt dx' 4-* *^ dx^ 



Die Berechnung dieser Incremente kommt also zurtkck auf die Bercchnuug 
der totalcn Differentialquotienten einer Function C{^ , y) nach x, wö 1/ 
eine gewisse Function von x ist. Wir haben unmittelbar: 



(i) 



( dC 
dx 


— r 


, +y'Ci,, 
















dx* 


-/' 


'^01 + ^0 


+ 


2/^n+yX' 








/ 




dx' 


• • • • 


• 


• 


• • • 


+ 3/ 

• • 


• 




ar 

• • 



Obwohl die Aufgabe, eine allgemeine Formel abzuleiten, gelöst ist/ ist 
diese Formel doch so compliciert, dass andere Formeln, welche wir aus 
dieser ableiten könnten, fOr eine weitere Betrachtung ungeeignet wären. 



* F. Bessel: Uber die Entunckdung der höhereti DifferetUiale zusammengesetxier 
und implicieter Futwtionen. Diss. Jena 1872. 



14 



Kasimip Z?>raw8ki. 



Fttr unsere Zwccke wird es genttgen, dic ersteii Formeln der Reihe (i) 
zu kemien. Mit Hulfe der Formeln (i) haben wir: 

^ I" = 'y.o + ^7oi — /(fl o + y'foi)r 



(6) 



- y%, + ^y%^ ■\- y'%,), 



dt 






^ — «'" 



- 3rf,o - (4yy" + 3y''')co. - iy'%,- 9yy'f„ 



6yv"e„ 



Man sieht aber leicht, dass im Allgeineinen das Increment -^ dic Form: 



åt 



(7) 



8y(l) ' '-" 



^ = L; ?'.[i/;.(i/', . . . , /")?,„ + h^y', . . . , y^'>)7.v] 



dt 



o o 



hat, wo die gj,^ und h'^ gewisse ganze Functionen ihrer Argumepte be- 
zeichnen. 

8. Wir werden zuerst die Formel (g) auf die Functionen EyFjG 
anwenden. Aus den Formeln (4) erkennt man, was för Werte die Func- 
tionen /?^®, /?®\ ^^®, éT^^ hier erhalten, und zwar bekommen wir folgende 
Incremente: 



St 



(8) 



o o 






dt 



i^\ *4-l 









^+1 *fl 

o o 






t)ber BleguDgsinvarianteD. 15 

Niinmt man alle Differentialquotieiiten bis zur n**° Ordnung inclusive, go 
ergiebt sich eine erweiterte Gruppe: 

welche wir als Gaussische n^^ erweiterte Gruppe bezeichnen werden. 

Niinmt man eine Reihe von Fnnctionon jr\ J^^ . . . , jr™ der Ver- 
ftnderlichen .r , y, so hat man: 

T7~ =^ O) (««" 1,2, ...,»») 

■ 

es ergeben sich also die Incremente ihrer DiflfcTOntialquotienten unmittel- 
bar ans der Formel (e). Wir erhalten nämlich: 

Demnach bilden wir die erweiterte Gruppe: 

(M) «s'-'/-=*-Y+x.i,i.?5-,' 

welche wir Beltramische n** erweiterte Ch^uppe nennen werden. 

Die Incremente von y',//", . . . , ?/"^ sind in der Formel (7) gegeben. 
Die infinitesimale Transformation: 

ist auch die allgemeinste infinitesimale Transformation einer unendlichen 
Gruppe, welche wir als Mindingsche n^ erweiterte Gruppe bezeichnen 
werden. 

Endlich die Gruppe: 



(.3) a'-Y-»-Y+l:.i,L¥*,^+i/r^ 



o o 



Hl ^9ik V' ^ ^y^'^ 



wollen wir allgemeine n^ erweiterte Gruppe nennen. 

Nach dem Theorem I sind (9), (11), (12), (13) wirklich allgemeinste 
infinitesimale Trnnsformationen von gewissen unendlichen continuierlichen 
Gruppen. 



16 



Kasimir éorawski. 



g III. An»ahl der Qau8»Uchen BiegungHnvarianten^ 

Die Differentialinvarianten der Gruppe (5) ergeben sich als Lösungen 
gewisser Systeme linearer horaogener partieller Differentialgleich ungen i***" 
Ordnung mit einer abhangigen Variablen. Diese Systeme erhftlt man, 
indem man alle Coefficienten der willkörlichen Functionen: c> yj und 

^jLvj^uv i^^ (9)» (^Oj (^2)' (^3) gleich NuU setzt. Hierbei ist zunachst zu 
beachten, dass: 



n 
^^^' 



^y 



= o, 



woraus folgt, dass die Differentialinvarianten unserer Gruppe explicite von 
X , y unabhängig sind. Wir brauchen nun nur noch diejenigen Glei- 
chungen zu beachten, welche wir aus den Coefficienten von ^^,^ , yj^^^ er- 
halten. 



9. Wir beginnen mit der Gau^sischen Gruppe (9). Setzt man in 
(9) die Ausdröcke (8) ein, so ergiebt sich folgendes System von partiellen 
Differentialgleichungen : 



(«) ^Jf=Ti^l i^i,-. + h)KE,-,..,-,^^ 



(14) 



n n— < 



fi^\ v— I 



n 



+ [(^ + 0/»*^v^<-/x + l,*-y + ifiK-\^i-iK,k-v^\\ 



IL 



ik 



+ *,u2/Py_i/',_,j;t_^^.| + Ay6rj_^^|4_J 



n n—i 



i^^=i:s; 



fi—\ v— 1 



ky\^'^fi-l'^U'-fi-\^}tk-v + ^fiJ^i—fi,k-v+\J 



IL 



= o. 



as 



ik 



"f" LV(^ »" ^)v-^i-htt-V^\ i ^>i_lÄ^v^/-;t + l,*_J 



n 



dFi 



ik 



+ l^(2APy_, + ft».)Cy|_,^J^_y+l^g 






Wir haben die unteren Grenzen der Summation nach i und k gleich 
jjL — I und v — I gesetzt, weil die, zu kleineren Werten von 1 und k 



Ober BieguDgsiDvarianteD. 



17 



gehörigen Glieder der Summen gleich NuU sind. Die Striche an den 
Summenzeichen bedeuten, dass nicht gleichzeitig i = /i — i und A = v — i 
sein soll, weil die zu diesein Wertpaar i , k gehörigen Glieder der Summen 
verschwinden. ^u = v =# o soll bedeuten, dass /j. und v nicht gleichzeitig 
Null sein können. 

Den Gleichungen §J,"Y = o känn man eine bequemere Form geben. 
Vertauschen wir nämlich in ^^^f gleichzeitig die Indices /j mit v, und i 

H n — k 

mit k und beachten, dass die Summation SI S* durch die Summation 

v-l /t-1 

n n-i 

S< Si ersetzt werden känn, so ergeben sich an Stelle der Gleichungen 

•/» — 1 v— 1 

^<^Jf= o die folgenden: 



n— < 



(i4)(/?) 



/*-! y— 1 



(2^|_l + V^i' ^*-M— /* + ! 



dG 



ki 



+ [{t + l),ik^r t^^^i^ji^i + V^*'-i^*-v+i,<-/J 



J/1 



i< 



+ ifX^ky^l-^k-v-k^-i.i-H + Äv^*-v.<-ju-n) 



dÉ 



ki 



//i = 0,l,...,ii + l \ 
^« i v = 0,l,...,ii + l-/i I 



Wir haben also den Satz: 



Satz III: Hat man alle Gleichungen §^"^f = o auf gest ellt , so känn man 
die Gleichungen Si!lY= o ohne tveiteres angeben. Aus jeder Gleichnng 
&^^ f = o ergieht sich nämlich die entsprechende Gleichung ^l^^f=o durch 
gleichzeitige Vertauschung einerseits der Buchstahen E und G, änder er seits 
dei' Indices von E , F , G. 

Dieser Satz ist von praktischer Wichtigkeit fOr die Aufstellung ge- 
nannter Gleichungen bei gegebenen Werten von n. 

I o. Wenn die Gleichungen (i4)(a) und (ft) aufgestellt sind, so hat 
man, um die Gleichungen éJf/^Y= o und §^j;+^Y= o zu berechnen, erstens 
zu den Ausdröcken S^^Jfund S^^Ygewisse Glieder hinzuzufttgen und zweitens 
eine gewisse Anzahl von neuen Gleichungen zu bilden. Es ist nämlich 
leicht nachzuweisen, dass sich fttr fi = Oyi, ..., w + i ; J^ = o ? ^ > -j^^ + i — fi' 
öJf/^Y von SJ^^Y ^iir durch solche additive Glieder unterscheidet, welche 
wir dadurch erhaltcn, dass wir in den Oliedern, die in öJ."Y nnter dem 

Äeta matfi^matiea. 16. Iinpriiu6 le 28 décenihre 1891. 3 



18 Kasimir Zorawski. 

Summenzeichen stehen, A = n + i — i setzen und nach i von ja — i bis 
n + I summieren.^ Das Entsprechende gilt för SjJl^^Y. Was die anderen 
Gleichungen anbetriflFt, so känn man die Gleichungen gJ;^+'Y=o ftlr 
yr£ = o,i,...,n + 2; v = n + 2 — fi dadurch erhalten, dass inan in den 
Gliedern, welche in &^Jf unter dem Summenzeichen stehen, A: = w + ^ — ^• 
setzt und nach i von /x — i bis n + i summiert.^ Die entsprechenden 
Gleichungen §^^"+'Y=o werden natörlich in derselben Weise aus den 
Gleichungen @lff = o gebildet. Andererseits können wir auch zur Auf- 
stellung der Gleichungen §^JJ+'Y= o den Satz III benutzen. 

Wenn wir also jetzt annehmen, dass &^^f und ^^J^^ identisch Null 
sind, sobald [x -\' v = n + 2 ist, so ergiebt sich: 



* Man bemerke, dass erstens jedes Glied der Summe, ftir welohes i öder h negativ 
ausf^llt^ gleich Null ist und zweitens die untere Orenze der Summation stets kleiner, als 
die obere ist. Bezeichnet man also mit a^ allés, was unter dem Zeichen der Summe 
steht, so känn man schreiben: 



«+l n+l— i n + 1 



fl — 1 v — 1 /* — 1 

n n—i —1 n+l 

/i—\ v— 1 v—\ /t— 1 



worauB folgt: 



n+l nfl— < n n—i n + l 

Z< Z* att = S< T,kaa + S<a,,„4.i_<, 

/t— 1 v— 1 fl— I y— 1 fi—\ 

was eben bewieson werden sollte. 

* In ähnlicher Weise haben wir: 

n + l n + l— < «+2— /4 n + l— /x n—fi O 

Z< Z* a^ = Zi- a j,;t + Z* a jt + Z* a^+,,^ + . . . + Z* «„ + ,,*; 

/*— 1 n + l— /« n + l— /t '^ n+l-jEt ' n + l—/* '^ ' n + l— /x ' 

weil aber nicht gleichzeitig i = /i — I und k = n + l — /i sein können, so ergiebt sich : 

n+l « + l-f n + l 

fl-\ W + 1— ft r- / r ^_j 

was eben zu beweisen war. 



Cber BiegungBinvarianten. 



19 



('5) 



«+i 



^f 






+ «,.(«+ I — 0.-1 ■Ei-ft.+a-i- J 



»/■ 



3^<,ii+i— « 



+ *^[2(« + I — i).-li''(_;.,,4.2-«-, 



»/• 



+ (n + I ~ iXö<-,.+).«+i-<-v]^ 



9ö/,«+i_i 



= o, 



«+i 



a/" 



+ [(* + 0/.(» + J — «)y-''»+l-i-w,i-/i+l 

3/* 



a/* 






= O. 



//*-o,i n^-a \ 

I v=0, l,...,f« + 3 -/* I 



II. Wir wollen jetzt diejenigen Gleicliungen (15) nalier betrachten, 
in welchen v = n4-2 — /i ist. Wir kOnnen die Gleichungen öJ/|^^2_,y=o 
folgendermassen schreiben: 



n + l 






/*-l 



(2*/x_l + '7i)(W +1 2)„^.2_/<-fci-,tfi,/i_<_i^^T 



3^ 



3^\,ii+i— < 



?/■ 



•'•*• fjii + l — i 



¥ 



+ i^[2(n + I — i), + l_,.F,_^,„_J + (» + I — »)« + »-;. Q'<-;. + 1.;.-,-l] g^^ ^ ^_^ 



= o 



</«-0,l n+J) 



20 



Kaäimir Zoraw^ki. 



und analog dic Gleichungen SlV?-.!./»/^ == ^- ^^^^ ^^^^^^ uninittelbar, dass 
in den Gleicliungen ^^l'J^^\_^J = o i nur die Werte /i — i und /z erhållen 
känn; bei i > /i verschwinden alle Glieder unter dem Sumnienzeichen. 
Föhrt man dic Summation aus, so ergiebt sich: 



(.6) 






n 



4- F — 



n 



3^V-l.«+2-/i ^^'/4- 1,11 + -i-;* 



4- E — 



3/" 



9^V.»4 I-/» 



+ 2b'-, 



n 



3«,'.. 



n-\-\-jx 



= O, 



g(«+i) f ^ 2(7 ?^^ I- F ^-^ ^ G ^-^ 



4- 2F — 



H 



dEn-\-l-fi,fx 



= O. 



(/4"0,l,...,n + 2) 



Wohl zu beachten ist, dass fttr /x = o und /i == n + 2 die Glieder mit 
negativen Indices ausgelassen werden miissen. 

Die Gleichungen &,l^^^l\_^f = o und éJ"+^3_^/ = o können wir in der 
Form: 



E . 



H 



-4-2 , 






\^^/t,« + l--/t ^^V— l.« + 2-.'V • \<^'*/x-l,» + 2 /t 



H 



d(^H,n\-l-itJ 



= O 



angeben. Weil die Determinante EG — F* von NuU verscliiedcn ist, so 
erhalt man die Gleichungen: 



(160 



?/■ 



+ 2-iT 



H 



^^\n-\-\-tx 5fcV-l.«+2-/« 



= O, 



(;i-0,l,.. .,« + ?) 



^r 



+ 2;r77 



V 



5^/x- l,n + 2— /t 3^/i.n + l-/t 



O, 



Avelche den Gleichungen (i6) äquivalent sind. Schreibt man alle diese 
Gleichungen der Reihe nach auf: 



Ober Bief^ungsiovariaoleD. 



21 



(1 6") 



3/' 


O, 




'f +2 'f - 
dt In 3fco,n + l 


O, 


3/' , V 


dt\^n-i 5^1»^ 

• 


O, 


a/" »/• _ ^ 




O, 


9A' +29/'-°' 




o, 


J. +2../ =0, 
9r„i 9lT»+i,o 




o, 


9^11+1,0 



so sicht mail, dass sie för alle iiiöglichoii Werthe von n von einander 
unabhängig sind. Also sind auöli alle Gleichungen (16) von einander 
unabhängig. Dieses Resultat erlaubt uns einen Satz aufzustellen, welcher 
die Frage, ob die Gleichungen (14) von einander unabhilngig sind öder 
nicht, zu entscheiden gestattet. Bezeichnet man namlich im Allgemeinon 
die Gleichungen, welche alle Diflferentialinvarianten bis zur n**" Ordnung 
definieren, als Gleichungen der n^^ erweiterten Gruppe, und wendet man 
den Satz II auf das System (15) an, so gewinnt man den folgenden Satz: 

Satz IV: Sind alle Gleichungen der n*'" erweiterten Gaussisclien Gruppe 
von einander unabJuingig, so sind auch alle Gleichungen der [n + 0**^" ^''" 
weiterten Gaussischen Ghruppe von einander tmabJiungig. 

Mit Htllfe der Gleichungen (16') känn man den Gleichungen (15), 
fttr welche /i = o , i , . . . , n + i ; v = o ,*i , . . . , ** + i — /i, eine an- 
dere Form geben. Aus den Gleichungen (16') ergiebt sich nämlicli: 



df 



5/' 



H 



n 



^Ei^n+l—i 



2 dFi^]^n—i 



9Ö<,»+1— < 



2 3F<-,i,„^2.-j 



(i »o, !,...,») 



(i-=l,2,...,fi-f 1) 



Berttcksichtigt man, dass diejenigen Diflferentialquotienten, fttr welche ein 



22 



Kasimir Zorawski. 



Index negativ ausfällt, identisch Null sind, so känn man die erhaltenen 
Werte in öJ^^/^Y einsetzen. Es ergiebt sich: 



é<:^'Y = ^%'f- \ i;,[2(i- 1),_, + (* - i)j(» + 2 - o,ij?<-..«+,-.-. 



»/• 



;* 



n + l 



+ II<[(^ + 0/.(^ + I — O.^V,x^1.n+l-f-K + *;.(^* + 1 — Ow-l-£^<-;.,H + 3-<-v] 



/i-l 









/t-3 



^^\,«+l— < 



Als Grenzen der Sunnnation känn man hier ttberall /i — i und n nehmen. 

9/* 

In der That: weil 2(;u — 2),,_, + (/i — 2)^, = o, --^ — = o nach (16") 



aF 



«+i,o 



und 



^f 



„ == o> so sind die zu i =r- u — i,n+ i,w+2 gehörigen 

9rw+3,— 1 

Glieder unter dem ersten Summenzeichen identisch Null; da ferner 

9^11+1,0 



= o, so ist das zu e = w + ' gehörige Glied unter dem zweiten 



Summenzeichen gleich Null; endlich verschwindet noch das zu i = /i — 2 
gehörige Glied unter dem dritten Summenzeichen, da {[i — 1)^^ ^ o ist. 
Demnach können wir das System (15) in der Form: 



+ («+ 0/.(« — 0.(^''.- ,.+i,.+i-( 






. \ 

,H — t -v J 



H 



3^(,H+l — < 



= o, 



(17)' 



+ 2-l-v,^-/i 



/A* = 0,1,...,« + l \ 



3/" 



+ 2 



»/■ 



^F/tiH+i—ii 9É(^— i,ii+»-/i 



= O, 



3/" 



+ 2r7T 



3/ 



9-rn + l— fi,/x 3G'„^2_;t,jn— 1 



= O 



04=«0, l,...,n+2) 



* Diese Gleiohungen siDd die etwas aDders geschriebeDen Gleiohungen (l6). 



t^ber BieguDggiDvariaoteD. 



28 



schreiben. Man muss hier beachten, dass alle Glieder, bei welchen ein 
Index von E, F oder G negativ ausfallt, gleich Null zu nehmen sind. 

12. Nach dem Satze IV komint die Frage, ob die Gleichungen der 
erweiterten Gaussischen Gruppe von bestinimter Ordnung alle von einander 
unabhängig sind oder nicht, auf die Untersuchung der Gleichungen zurtlck, 
welche die Differentialinvarianten der niedrigsten Ordnungen definieren. 
Hat man bewiesen, dass alle Gleichungen einer bestimmten, etwa der p*®" 
erweiterten Gruppe von einander unabhängig sind, so gilt das auch för 
jede Ordnung, welche grösser als jp ist. 

Aus den Formeln (14), (a) und (y9) erhält man fttr n = o\ 



(«.) 






FOr die Grössen ;foi > >fio > >fio > >foi' welche die Identität: 



(Ä) 



XoA^f + X^o^xof + XiAof + XoÄJ = O 



befriedigen sollen, erhalten wir drei lineare homogene Gleichungen: 



(r«) 



FXo^ + ^^01 = O, 



au8 welchen folgt: 



(^,) 



^10 



E 


_F 


_ 


7^ 


qXoi^ 


X\o qXov 


^01 


ö^foi 



Es existiert demnach eine, aber auch nur eine Identitet {[i^). Es ergiebt 
sich also, dass die Gleiclmngen (a^) drei unahhängige enthalten. 



*i t I 



24 



Kasimir. Zorawski. 



Benutzt man ferner die Gleichungen (15), so erhält man: 

i5!,V/-= ö«,/-+ E,,^ + (F,o + i;,) J^ + (2/''n, + r^,«) J^ 



(«,) 



+ E 



01 



2f 



10 



aF 



+ 2F,„ 



7. JL 



10 



96 



01 



o, 



10 



9l»^,o 9'', o 9ft,, 



+ ^01 \L- + 2F0, -|h = O, 



a/" 
a/- 



01 



sVoY =-■ 



af; 



afj 



»/• 



01 



v 



L. 9/" 



^10/"+ ^J^oi:ny- +^oi^-h iJ^io^+ 2^103^ 



01 



01 



10 



10 



3/" 



iViT == 



+ ^.0 rrf = O, 



ä.,^ + ^«,.5^, + P,.,-^ + 3«., 5^ + 2 K, ^ 



+ E. 



01 



JL 



= o. 



«"^ = ^-^ + ^^-1., = °. 



Wo/ tr^y^^ + 2^ gg^^ O, 



^H^2E^^+F^L^E^ + 2F^^ 



= O, 



10 



10 



w= 2^.'^ + F j:-'+ r? J- + 2fS = o. 



aö 



10 



dF 



10 



a* 



01 



af; 



01 



go)/-= 20 — 4- 7^— = o 



Wir vérsnchen dio firössen so zu bestimmen, dass die Idontitat: 



(Ä) ;r«i^oV/' + . . . + ;fniöiV/'+ ;fo2ÖäY + • • • + x^.^'iif= o 



trber BicguDgsinvariaoteD. 



25 



besteht. Man sieht ohne weiteres, dass ;foi ' • • • ' >foi ^^^ Werte (d^) haben 
mtissen. För die anderen j( erhalten wir folgende Gleichungen: 



(n) 



z 



EXo.+ J'Xn+GXu-^Fx,, + f{.{Fro + EJG-EG,,-FF,,] = o, 

^Fxo, + 2Gx„ +f [(2F,, + (?JÖ-3Öo.^T = o, 



(^,. + Ex,, + Fx,,-\-Fx,,-^[{F,, + GJE-GE,,-FF,,] = o, 



O 



'I 



2%. + 2^^,o-g^[(2^;. +^0.)^- 3^,0^1=0. 



Aus diesen Gl.eichungen ergiebt sich: 



X 



(«^) 



■ * 

^" = 2Q(gG-y') {^('^^»o - GE,,) - F{4EF,, - iFEJ], 



G{GE,, - 2EF,, + FE,,% 



- 2F(öi:,, + EG,,)\, 



Xo^ = 2tf(/Q-f") {^^(^^o' + ö^>.0- 2(^ö + F')F,, 



^ 

(EG — *") 

iieto fnathenuUiea. 16. Imprimé le 2 jan?ler 1692. 



26 



Kasimir Zorawski. 



Wir schliesgen hieraus, dass es elne und nur eine Identitat (^,) giebt 
und dass also die Gleichungen (aj 9 unahhängige entliaUen. 

Bilden wir jetzt die Gleichungen der zweiten erweiterten Gaiissischen 
Grupps nach dem Schema (17), so erhalten wir: 



(O 



^.',Y=o, 



■10/ = o, 



3/" 



n 



^'^V-{E,,-2i\, + Gj^- =0, s<v/--(r?,,-2F„ + Ejj- =0, 



af 



11 



dF 



11 






i-iV/- + 1 G,, ^- = o, 



il?/*- G 



10 



9F.. 



O, 



öiV/-+ (i^'„ -l^.o)^^ = O, iUY+ (f,. -1f„ 



3 A 



9/" 

r = O, 



11 



J/ 



= o 



•'^ SO 



df . Jf_ _ 

9F.. "*■ dE. ~ °' 



11 



OS 



9*'.. 3G„==°' 



a£7„ 



= 0, 



IL 

90 



= 0, 



11 



3/" 



9(? 



= O. 



os 



Multipliciert man die linken Seiten dieser Gleichungen mit gewissen un- 
bekannten Multiplicatoren, addiert die erhaltenen Ausdröcke und setzt 
die Summe gleich Null, so sieht man ohne weiteres, dass alle Multiplica- 
toren der acht letzten Gleichungen gleich Null seiri mössen. Ubrigens 
zerfallt die aufgestellte Identitat in die Identitat (^j) und in die Identitat: 



+ \o.ä 



20 



Ka^^ — G^ä^^ + ('^oi " ^ ö^io);f,o + (^,0 " ^ ^^01)^02 = O. 



Sind die Gleichungen (a^) nicht alle von einander unabhangig, so niiissen 
die Werte {d^) und (rjj diese Identitat befriedigen. Und es lasst sich in 
der That leicht verificieren, dass dies der Fall ist Demnach enthalten 
die Gleiclmngen (a,) nur 1 7 unahhängige. Hatten wir also andererseits die 
Gleichungen (a^) in der Form: 



(«0 



ö;!Y = o, ii^Y = o 



//t = 0,l,2,3 \ 
\v = rt,l,...,8--u/ 



tJher BieguDgsinvariaDten. 

genommen/ so wärc dic Identität: 

(A) j^oi^tV/" + . • . + ^o,CY + xo^^^^f + . • . + /o,si'3Y = o 



27 



durch die Wcrtc (o',), (^,) uiid 



• • • 



> >|f08 ^^OSJIfoi 



befriedigt worden, wobci wir dic Coefficienten a und 7«, wie aus dem 
Folgenden zu schen ist, nicht aufzustcllen brauchcii. 

eJetzt wcrdcn wir dic Gleichungen der 3**^" erwciterten Gaussischen 
Gruppe nach (17) aufstelleri. Es ergiebt sich: 



dt' 



la 



^/-\{G,, - 2l\, + fJ,3)Jl = o, 



3f 



ti 



n 



n 



&r.\f (£ 2F 4- Cr V ' -lE ->¥ 4- G )—L. = o 



^f-{0,o 



2F + E ) — " (G — -^F 4- E ) -^ = o 



1/" 

af 



^02/ "T ^ -c/jj ^^, "2^^ af' ~ "' ^'-^o^ ' 2 ^1 af' '2 02 af' "" ' 



af' 

*" la 






^^^Y + ,-^,oJ- = ^' 



3/" 



-'•1 / — ^ift ~r, T ~ •-''a t -.-,- ^^^ O, 



• 

28 Kasimir Zorawski. 






»8o7 1- \^-^0. 2 >• 


J9h\,-^' «o./-r\^^„- 


i^o.;^!,.^^--' 




3/" , 3/" 






3*'.. ^ 3Ö.. ' 3^,. 




• 


df df 
dE °' 96 °- 





Multipliciert man die Unken Seiten dieser Gleichungen mit gewissen un- 
bestimmten Multiplicatoren, addiert die Produkte und setzt die" Suinme 
gleich NuU, so sieht man sogleich, dass alle Multiplicatoren der letzten 
I o Gleichungen gleich NuU zu setzen sind. Und ausserdem zerfäUt die 
erhaltene Identität in die Identität (y9,) und in die beiden folgenden: 

+ i-E^n/o, + i ö',^,. - 2(j;„ -F,,+l G,,^Xu - (^uXu 
+ (^., -^ö=„);^„ -{g,, - 3F„ + f £.,)/„ +Ie,,x,, - -E^,./,, 

-l{G,r-^Fx. + EJx,,-{G,,-2F,,+E,,)x,,-l{E,,-2F,, + GJx.o 

+ I GuX,0 + I E^oXo^ - 2(0^,0 - -f n + i -^O»)/!! - -^11^11 



Cber BieguDgsiDvarianten. 29 

» 

Man sieht aber leicht, dass die Identitat (y?^) und die beiden letzten Iden- 
titäten nur dann befriedigt sein können, wenn man alle ;f gleich Null 
setzt. In der That: weil alle j^ von den Differentialquotienten 3**' Ord- 
nung der JEJ , F jG unabhangig sind, so niftssen in den beiden letzten 
Identitäten die CoeflRcienten der genannten DiflFerentialquotienten 3^"^ Ord- 
nung von selbst verschwinden. Es muss also insbesondere der Coefficient 
von E^^ in der ersten Identitat verschwinden, d. h. es muss ;f^j =0 sein; 
es mössen also auch alle ^ gleich o werden. Daraus folgt, dass die Glei- 
chungen der 3^° erweiterten Gaussischen Gruppe alle von einander unab- 
hangig sind. 

13. Nach dem Theorem II bilden die infinitesimalen Transforma- 
tionen : 

eine endliche- continuierliche Transforraationsgruppe, denn nach dem The- 
orem I ist jede Erweit^rung einer unendlichen continuierlichen Trans- 
formationsgruppe ebenfalls eine unendliche continuierliche Transformations- 
gruppe. Also bilden die Gleichungen (14), (a) und (yS) ftlr jeden Wert 
von n ein vollständiges System. 

Far n = o erhalten wir die 4 Gleichungen (a^) welche drei unab- 
hängige Veränderliche enthalt^n. Von diesen Gleichungen sind 3 unab- 
^hangig, woraus folgt, dass sie keine Lösung zulassen. Nennt man die 
Lösungen von (14), welche Differentialquotienten von EyFjG bis zur 
n'**" Ordnung incl. enthalten, Gaussische Biegungsinvarianten n**' Ordnung, 
so sieht man, dass es keine Gaussische Biegungsinvariante o*®' Ordnung 
giebt. 

Ftlr n = I ergeben sich die Gleichungen (aj und unter ihnen sind 
9 unabhangig; die Anzahl der unabhängigen Veränderlichen ist ebenfalls 
9, es giebt alsö keine Gaussische Biegungsinvariante i^' Ordnung. 

Ftir n = 2 haben wir unter (a^) 1 7 unabhangige Gleichungen bei 
18 unabhängigen Veränderlichen. Es existiert also eine Gaussische Bie- 
gungsinvariante 2^^ Ordnung. 

Ftir n= 3 ist die Anzahl der Gleichungen gleich 28; sie sind alle 
unabhangig und die Anzahl der unabhängigen Veränderlichen ist gleich 
30. Wir haben also 2 unabhangige Lösungen, deren eine die Gaussische 



30 Kasimir Zorawski. 

• 

Biegungsinvariante 2**' Ordnung ist; die zweite ist die einzige Gaussische 
Biegungsinvariarite 3**' Ordnung. 

Nach dem Satze IV sind mit Bezug auf das för n = 3 erhaltene 
Resultat die Gleiclmngen jeder n^"" erweiterten Gäussischen Gruppe fur n > 3 
alle von einander unahMngig. Die Anzahl dieser Gleichungen ist gleich der 
Anzahl aller Differentialquotienten von 5{xy) und yj{xy) nach x^y bis 
zur (n + 1)^®° Ordnung incl. Sie ist also gleich: 

2 [2 + 3 + • . • + (« + 2)] = (« + i)(n + 4); 

weil aber die Anzahl aller Differentialquotienten von E j F y G bis zur 
n**° Ordnung incl. und der Functionen selber, welche alle hier die RoUe 
der unabhängigen Veränderlichen spielen, gleich 

3[i + 2 + . . . + (n + i)] == |(n + i)(n + 2) 

ist, so ist die Anzahl der unabhängigen Lösungen der Gleichungen der 
^ten erweiterten Gäussischen Gruppe gleich: 

I (w + i)(n + 2) — {n+ i)[n + 4) = i(w — 2)(w + i). 

Die Anzahl der Lösungen för die (n — i)*® erweiterte Gaussische Gruppe 
ist dementsprechend gleich -[n — 3)^, also ist die Anzahl der Gäussischen 
Biegungsinvarianten n**' Ordnung gleich: 

\{n~ 2){n + i)_l(n_3)/^ = n— i. 

Fassen wir alle diese Kesultate zusaminen, so ergiebt sich folgendes 
Thcorem : 

Theorem III. Die Gäussischen Bieyunysihvananten werden als Lösungen / 
der voU ständig en Systeme: 



Cber BiegangsioTariaDten. 



31 



n n— < 



^."v=i;i; 



/t— 1 v— 1 



dO 



% n—i 



li-\ y— 1 



= O, 



n 



^^^i^f—L^iZ^k ( ^ ^/'- 1 + h) ^v ^*- v,t-/. + 1 ^^ 



"T L\^ i" 0/*"^>"^*— y,f— ft+l + V^»'-l "^*-»'-Hl.<-;»J äp~ 



+ ?yi ( 2 Äv-l-fjfc-M-l- !,<-;» + Ä*^ i/* _„,<_;*+ 1) 



3B 



A< 



/;» = p,l,...,n+l \ 

= O ( »'=0,1,. ..»»»+1-;* ) 



definiert. Es gieht keine Gaussischen Bieffungsinvarianten o*®"^ und i**' Orr?- 
nuHff. Die Anzahl der Gaussischen Bieffungsinvarianten 2^ Ordnung ist 
gleich i, 3**"" Ordnung gleich i und allgemein n^^ Ordnung, wo n> i ist, 
gleich n — i . 



§ IV. Anzahl der nhrigen B iegungsin varianten. 

14. Nach den Formeln (10) und (11) sind die Gleichungen der n 
erweiterten Beltramischen Gruppe: 



m n n—i 






= O, 



/* 



m n fl — i 



wo die unteren Grenzen der Summation nach i und Ä: gleich fx und u 
genoinmen sind, weil die zu kleineren Werten von i und k gehörigen 
Glieder augenscheinlich immer verschwinden. Den Gleichungen ^j^Y=o 
känn man nach denselben Betrachtiingen, wie sie in N** 9 angestellt 
wurden, eine andere Form geben, so dass sich als Gleichungen der n**° 
erweiterten Beltramischen Gruppe die folgenden ergeben: 



32 



Kosimir Zorawski. 



(i8) 



m n n — i 



1 a . ^^it 



= O, 



TO n fl — i 



cö(w) f 



= 6r'v+£.£.r*i.Ä-.fU.-.+.^4 = o. (^i'-'"-'') 



Demnach können wir analog dem Satze III den folgenden Satz aufstellen: 

Satz V: Hat man alle Gleichiingen SB^"Y = o aufgestelU, so känn man 
die Gieichungen ^l^f= o ohne weiteres angehen. Aus jeder Gleichung 
^5,"Y= o ergiebt sich ndmlich die entsprechende Gleichung SijY=o durch 
gleichzeitige Vertauschung einerseits der Buchsfaben E und G, andererseits 
der Indices von E y F y G , ^^y ^^ , . . . y j^*". 

Benutzt man ferner die Uberlegungen im N° lo, welche hier wegen 
der AUgemeinheit der Bemerkungen i und 2 angewendet werden können, 
80 känn man die Gieichungen der (n + 0^^ erweiterten Beltramischen 
Gruppe folgendermassen schreiben: 



(19) 



m n+l 



H 






1 ;* 



K''v= K'f+ {Kv-^%-''n 



TO n + l 



+12. £«*"(" + ' — i).f*f,-,_M-,.+i 



9/" 



t /• 



3f«+l-<,< 



= O, 



( 



> = 0,l,...,»i • 
v = 0, 1, ...,n-fi \ 



(«) 






TO n + l 






9/" 






m n-l 1 



+ Z»Z<V(^ + ^ — i)„+i_,jr;._,,,_,.+, 



Man sieht aber unmittelbar, dass die Gieichungen: 



5ff 


,« + ! 


—i 




^> 






9/* 






0. 


- 












+ 1- 


*,* 






...,»i + i) 
...,»i+i) 



t^ber BieguDgsinTarianteD. 



33 



auf die Form: 



(20) 



m 



«S^"i/+l-;. f = Ö/Hi+l-,./" + 2^ , FlO — ; 



n 



9jP/.,»+i-/i 



= O, 



m 



^n^-l-,i,fif — ®n-\-l-,i,fif + ^«f^01 "~7 



3/' 



5fii + i-ft,tt 



= O, 



gebracht werden können. 

15. Die Formeln (7) und (12) erlauben uns die Gleichungen der 
Mindingschen n**° erweiterten Gruppe ohne weiteres aufzustellen: 



(21) 






(;i = 0,l,...,»» \ 
l*"0, l,...,M-/t I 



Hier känn man aber einen zu den Sätzen III und V analogen Satz nicht 
aufstellen. Hat man die Gleichungen der n*®'' erweiterten Mindingschen 
Gruppe aufgestellt, so ergeben sich die Gleichungen der (n + i)***" er- 
weiterten Mindingschen Gruppe folgendermassen : 



• 



(22) 






(«) 



9/" 



9J/ 



(ii+i) 



O, 



9/" 



, S)»C<.-+,'2^^/'= §i"ii-^./— ÄJ+U;. i7(^) = O- <^=»-' -+'> 



ay< 



16. Geht man cndlich zu der aUgemeinen erweiterten n**" Gruppe 
(13) tkber, so ergeben sich folgende Gleichungen, welche ihre Differential- 
invarianten definieren: 

Ääa malkematica. 16. Imprimé le 4 JanWer 1893. . 5 



34 Kasiniir Zorawski. 



(23) 



"' " ""' n ^ , 9f 






m n n-* » ^/* 



1 /* 



//* = 0,l,...,fi \ 



Sind die Gleichungen der Allgemeinen n*®° erweiterten Gruppe aufgestellt, 
so ergeben sich die Gleichungen der (n + 0"° Gruppe folgendermassen: 

a;;i+'Y = 'SI^:Y+ (ö^vY- ^rV) 
äir'Y= ä<»Y + (it;Y- §r'Y) 

/.'* = 0,l,...,n ' 
I >'-0,l,...,n— /x 



(24) 



(«) 



m ^ 



17. In N** 1 1 haben wir bewiesen, dass die Gleichungen: 

alle von einander unabhängig sind. Nach dem Satze I sind also alle 
Gleichungen (19 a), alle Gleichungen (22 a) und endlich alle (24 a) von 
einander unabhRngig. Daraus folgt also nach dem Satze II, dass alle 
Gleichungen (19) von einander unabhängig sind, sobald alle Gleichungen 
(18) von einander unabhängig sind, dass alle Gleichungen (22) von ein- 
ander unabhängig sind, sobald alle (21) von einander unabhängig sind und 
endlich, dass alle (24) von einander unabhängig sind, sobald alle (23) von 
einander unabhängig sind. Demnach können wir folgenden Satz aufstellen: 

Satz VI: Sind die Gleichungen der n^"^" erweiterten Beltramischen, 



Cber BieguDgsinvariaDteD. 3S 

Mindififfschen öder dllgoneinen Gruppe cUle ^von einander unahhängigj sa sind 
auch die Gleichungen der {n + i )^° erweiterten resp. Beltramischen, Mindirig- 
schen öder allgemeinen Gmppe alle von einander unabhängig. 

18. Nimmt man in den Gleichungen der Beltramischen erweiterten 
Gruppe m = I an und berechnet die Gleichungen der ersten erweiterten 
Beltramischen Gruppe, so érgiebt sich: 






sind diese Gleichungen nicht alle von einander unabhängig, so muss die 
Identität: 

durch die Werte (<?^) (N*^ 12) befriedigt werden, ohnc dass /^, identisch 
verschwindet. Es muss also gelten: 

daraus folgt aber, dass j^^^ = o sein muss, dass also obige 4 Gleichungen 
von einander unabhängig sind. 

Nach dem Satze I sind die Gleichungen der ersten . erweiterten Bel- 
tramischen Gruppe för ein beliebiges m alle von einander unabhängig; 
also sind nach dem Satze VI die Gleichungen jeder erweiterten Beltra- 
mischen Gruppe alle von einander unabhängig. Nach den Theoremen I und 
Il bilden diese Gleichungen stets vollständige Systeme; demnach känn 
man die Anzahl der Lösungen bercchnen. 

Die Anzahl det Gleichungen der w^° erweiterten Beltramischen Gruppe 
ist n{n + 3), die Anzahl der unabhängigen Veränderliehen : 

ln{n+ i) + m[2 + 3 +... + („ + i)] = | „(«+.,) + ,„!i.(!^_ll ; 



36 Kasimir Zorawski. 

demnach ist die Anzahl der unabhängigen Lösungen der Gleichungen der 
^ten erweiterten Beltramischen Gruppe: 

^ (^^ — 3) , ^ n{n + 3) . 

2 ' 2 

die Gleichungen der (n — i)*®° Gruppe besitzen ferner 

(n— l)(n — 4) . ^, (n— iXn + 2) 

2 * 2 

unabhängige Lösungen, welche augenscheinlieh auch die Gleichungen der 
n*®° Gruppe gestatten. Die Gleichungen der n^° Gruppe ergeben also: 

w(n — 3) , w(n + 3) (n — l)(n — 4) (n — lYn + 2) , / , \ 

-^^ ^ + m-^^— ^— ^ — ^^ ^ — m- ^ ^ =n — 2 +m(n+i) 

2 ' 2 2 2 • \ • / 

neue Lösungen; nur in diesen Lösungen werden die DifiFerentialquotienten 
(n — i)*" Ordnung von EjFj G und die Differentialquotienten n**' Ord- 
nung von ^\ ^^, . . . , ^"^ auftreten. Einige von diesen Lösungen sind 
Gaussische Biegungsin varianten (n — i)*" Ordnung; andere, welche ausser 
den Functionen E y F y G und ihren Ableitungen noch die Ableitungen 
von ^^, ^ ',..., ^'^ enthalten, werden wir als Bdtramische Biegungstnvari- 
anten n^' Ordnung bezeichnen, weil in ihnen die höchste Ordnung der 
Differentialquotienten von ^\ ^*, . . . , ^'^ eben die n^ ist. 
Man sieht also: es giebt 

2m — I Beltramische Biegungsinvarianten 1**' Ordnung, 
3m Beltramische Biegungsinvarianten 2^^ Ordnung, 

4m Beltramische Biegungsinvarianten 3**' Ordnung, 

5m + I Beltramische Biegungsinvarianten 4**' Ordnung, 
(n + i)^ Beltramische Biegungsinvarianten n^' Ordnung, wo n> 4 ist 
Diese Zahlen ergeben sich dadurch, dass wir von der Zahl n — 2 + *w(n+ i) 
die Anzahl der Gaussischen Biegungsinvarianten (n — i)*®' Ordning sub- 
trahieren. 

Die Anzahl aller Beltramischen Biegungsinvarianten von der i**° bis 
zur n*®° Ordnung incl. ist för n > 3 gleich: 

Ti (it "4" ^ J 

(2m — i) + 3w + 4m + (5m + i) + 6m + 7^>* + .-. + (w + i)m = -^ —m. 



Cber BieguDgsiD varianten. 37 

Bilden wir för n > 3 die n^ erweiterte Beltramische Gruppe, welche nur 

eine einzige der Functionen fp^, ^^, ..., ^"^ enthält, so definiert sie ^ ' 

unabhängige Beltramische Biegungsin varianten, welche nattirlich von einer 
einzigen der Functionen, f \ ^*, . . . , fp*" abhangig sind. Wenn wir jetzt 
in diese Biegungsin varianten statt der frttheren Function etwa statt ^^ ^ 
alle anderen Functionen ^\ ^^, . . . , (p''"^ , (p''^^ , . . . , jp"* der Reihe nach 

einsetzen, so erhalten wir mit den frttheren zusammen im Ganzen -^ — — 



m 

2 



unabhangige Beltramische Biegungsinvarianten, d. h. alle Beltramischen 
Biegungsinvarianten, welche unsere n^ erweiterte Beltramische Gruppe (11) 
definiert. Dieses Resultat aber, dass man namlich die Gruppe bloss auf 
eine einzige Function jp zu erweitern braucht, gilt nur dann, wenn n> 3 ist. 
Ist n = I und erweitert man die Gruppe auf eine einzige Function 
fp"", so ergiebt sich eine einzige Biegungsin variante, etwa A^"; fttgen wir 
hier die zweite Function jp"" hinzu, so erhalten wir 3 Biegungsinvarianten, 
von denen A^*' und A^*" augenscheinlich zwei sind; die dritte, welche 
von beiden Functionen y" und jp*" abhängen muss, werden wir mit ^(jp^O 
bezeichnen. Stellt man nun die erste erweiterte Beltramische Gruppe mit 
allén Functionen jp', jp^, . . . , jp*" auf, so ergeben sich folgende Biegungs- 
invarianten: 

1°: Ap\ Afp% ... , Afp"*, 

welche augenscheinlich alle von einander unabhängig sind; weil ihre An- 
zahl gleich 2m — i ist, so sind es alle Beltramischen Biegungsinvarianten, 
welche die erste erweiterte Beltramische Gruppe definiert. Wir könnten 
nach dem Schema 0{(pY) ^oqYv mehrere Biegungsinvarianten ableiten; 
sie können aber nur eine Folge sein von den in den Reihen 1° und 2° 
angegebenen Biegungsinvarianten. 

Es giebt 3 Biegungsinvarianten 2*®' Ordnung mit einer einzigen 
Function fp*". Setzt man in diesen Biegungsinvarianten statt jp"" nach- 
einander alle Functionen fp\ jp^, . . . , ^""^ , ^"^^ , . • . , f "*, so ergeben sich 
alle 3W Beltramischen Biegungsinvarianten 2^" Ordnung. In derselben 
Weise werden alle 4m Beltramischen Biegungsinvarianten 3**" Ordnung 
aus den 4 Biegungsinvarianten mit einer einzigen Function (p" gebildet. 



38 Kasimir Zorawski. 

Was die Biegungsinvarianten 4**' Ordnung anbetrifft, so existiereii 
6 solcher Biegungsinvarianten rait einer cinzigen Function (p"". Aus diesen 
känn man in der angegebenen Weise 6/w won einander unabhangige Bie- 
gungsinvarianten 4**' Ordnung ableiten. Weil aber nur 5m + i uhter 
ihnen von den Biegungsinvarianten niedrigerer Ordnungcn unabhangig 
sind, so können die m — i ttbrigen nur eine Folge der 2 Gaussischen 
Biegungsinvarianten (eine von 2*" und eine von 3*" Ordnung) uhd der 
14W Beltramischen Biegungsinvarianten [(2m — i) i**', 3m 2% 4m 3**"^, urid 
5m + I 4**' Ordnung] sein. Uingekehrt also kommen wir zum Schlusse, 
dass die in der Reihe 2° markierten Biegungsinvarianten nur eine Folge 
der 2 Gaussischen Biegungsinvarianten (eine von 2**"' und eine von .3*^' 
Ordnung) und der 14W Beltramischen (w i *'*'', yin 2^', 4m 3*®' und 6wi 
4**' Ordnung) sind, deren jede nur eine einzige Function (p" enthält. 

Alle diese Resultate können wir in das folgende Theorem zusammen- 
fassen : 

Theorem IV. Alle lidtramisclien Biegungsinvarianten können aus den 
Lösungen der voUständigen Systemet 

/XV ' ' 

(/t-0,l,...,n \ 
v = 0,1,.. .,11-/1 i 

abgéleitet werden. Diese Gleichungen ergeben i Beltramische Biegungsin- 
variante i^' Ordnung, 3 — 2**' Ordnung^ 4 — 3**^' Ordnung, 6 — 4^' Orrf- 
nung und (n + i) — w^' Ordnung, wenn m>4 ist. Setzt man in diesen 
Biegungsinvarianten der Reihe nach ip = jp^ jr'', . . . , fp*", so hekommt man 
die GesammtJieit aller Beltramischen Biegungsinvarianten. Jede andere Bd- 
tramische Biegungsinvariante ist eine Function einer gewissen Anzahl dieser 
Beltramischen und einer gewissen Anzahl der Gaussischen Biegungsinvarianten, 
Insbesondere existieren m — i Beltramische Biegungsinvarianten erster Ord- 
nufiff, welche die- F&rm: 



Cber BieguDgsiDvariaoteD. 39 

hesitzen und Functionen der Gatissischen Biegungsinvarianten bis zur 3**° 
Ordnung incL und der genannten Beltramischen Biegungsinvarianten bis zur 
4^*" Ordnung incL sind. 

19. Jetzt gehen wir zur Betrachtung der Gleichungen (21) der 
Mindingschen n**° erweiterten Gruppe tiber. Benutzt man die erste der 
Formeln (6), so ergeben sfeh folgende Gleichungen der i**** erweiterten 
Mindingschen Gruppe: 

fVoY=c?|+.F|- 1 = 0. 

-"toi I — ^^ 3Q^ ^ 3p ^ dy' 

å 

Sind diese Gleichungen nicht alle von einander unabhangig, so muss die 
Identitet: 

durch die Werte [åo) (N° 12) befriedigt werden, ohne dass ;f^j identisch 
verschwindet. Diese Identität giebt aber: 

{E + 2Fy' + Gy")x,, = o, 

wöraus folgt: ;f^j = o; also sind die Gleichungen alle von einander un- 
abhangig. Nach dem Satze VI sind also alle Gleichungen Jeder erweiterten 
Mindingschen Gruppe von einander unabliängig. Demnach sind wir im 
Stande, die Anzahl ihrer Lösungen zu berechnen. 

Die Anzahl der Gleichungen der w^° erweiterten Mindingschen Gruppe 

ist »(n + 3), die Anzahl der unabhängigen Veränderlichen : -n{n + + ^5 

•r (11 _ 5 ) 

demnach ist die Anzahl der unabhängigen Lösungen gleich —•\-n. 



40 Kasimir Zorawski. 

Die Gleichungen der (n — i)***" Gruppe besitzen ferner +n — i 

unabhangige Lösungen, welche augenscheinlich auch die Gleichungen der 
n^*" Gruppe gestatten. Die Gleichungen der n^° Gruppe ergeben also 
n — I neue Lösungen; nur in diesem Lösungen werden die Differential- 
quotienten (n — i)^' Ordnung von E^F^G und die Ableitung ^"^ auf- 
treten, Einige dieser Lösungen sind uns als Gaussische Biegungsinvari- 
anten bekannt. Andere, welche ausser den Functionen E j F ^ G und 
ihren DifiFerentialquotienten noch die Ableitungen y' , y", . . . , ^"^ ent- 
halten, wollen wir Mindingsche Biegungsinvarianten n^^ Ordnung nennen. 
Zieht man also von der Zahl n — i die Anzahl der Gaussischen Bie- 
gungsinvarianten (w — i)**' Ordnung ab, so erhält man die Anzahl der 
Mindingschen Biegungsinvarianten n**' Ordnung. Also ergiebt sich fol- 
gendes Theorem: 

Theorem V. Bie Mindingschen Biegungsinvarianten werden als Lö- 
sungen der voHsfändigen Systenie von der Form: 



9it«/- = érv-l:,/7LCy', . . . , y'') ^ = o, 



(M=«, 1 n 
y=0, l,,..,fi— / 



wo die g\^ und hl„ gewisse game Functionen ilirer Argumente hezeichnen, de- 
finiert. Es giebt kehie Mindingsche Biegungsinvariante i*®"^ Ordnung. Die 
Anzahl der Mindingschen Biegungsinvarianten 2^" Ordnung ist gleich i, s*®"" 
gleich i , 4**' gleich 2 und Uberhaupt n^% wo n> 4. isty gleich i . 

20. Stellen wir jetzt die gewonnenen Resultate in der folgenden 
Tabelle zusammen: 



Cber BieguDgsinTarianteD. 



41 



OrdnuDg 


Anzahl der Biegungsinvarianten 


Gansnsche 


Beltramische 


Mindingsche 


Sämmtliche . 


I 
2 

3 

4 

5 
6 


O 
O 
I 

I 

3 
4 


m 

3»» 
4m 

6m 

6m 




I 
I 

2 
I 
I 


• 

m 
3W + I 
4m + 2 
6m + 3 
6m + 4 

7»^^ + 5 


n 


n — 2 


(n + i)m 


I 


(n + 0*^ + ^ — ^ 


Samme bis 

zur n**" Ord- 

nang incl. 


n(n — 3) 

2 


va 

2 


n 


^(♦* + 3)_ . n(n— I) 

m i 

2 2 



In dieser Tabelle haben wir der Bequemlichkeit wegen die ursprOng- 
lich als Gaussische Biegungsinvarianten n**' Ordnung definierten Biegungs- 
invarianten (N^ 13) als solche (n + 1)^' Ordnung angefQhrt Dies ist 
durch die Definitionen (11) und (12) der Beltramischen und Mindingschen 
Gruppe verursacht. Die ersten 4 Zeilen der Tabelle entziehen sich der 
allgemeinen Formel för die Ordnung n erstens deswegen, weil die Glei- 
chungen der 3 ersten Gaussischen Gruppen nicht alle von einander un- 
abhängig sind, zweitens weil wir als grundlegende Beltramische Biegungs- 
invarianten diejenigen angenommen haben, welche nur eine der Func- 
tionen j^\ j^ ',..., f"* enthalten. 

Es ist unmittelbar klar, dass die Gleiclmngen jeder allgemdnen er- 
weiterten Gruppe alle von einander unahhängig sind. Ftir die n^ erweiterte 

Gruppe haben wir w(n + 3) Gleichungen und -n(n-f- i)-|-m - -f n 

^ 2 

unabhUngige Veränderlichc; also ist die Anzahl der unabhängigen Lö- 

♦l(^ + 3) I ^(^ O T X 1 ^ 1 T i^l • 1 

sunden -^^ — : — — m -\ — ^-^^ . 1st also n > 3, so geben die Gleichungen 



2 • 2 

Åeta mathematioa, 16. Imprimé le 6 JaD?Ier 1892. 



6 



42 Kasimir Zorawski. 

der n**° erweiterten allgemeinen Gruppe keine neuen Biegungsinvarianten. 
Alle Lösungen dieser Gleichungen sind nur Functionen der Gaussischen 
Biegungsinvarianten bis zur (n — i)***" Ordnung incl. und der Beltra- 
mischen und Mindingschen bis zur n**° Ordnung incl. Das gilt aber nur 

fQr n > 3. 

Die Anzahl der Lösungen von Gleichungen der n**^ erweiterten all- 
gemeinen Gruppe, welche die Gleichungen der (n — i)**° Gruppe nicht 
gestatten, ist: (n + i)m -{-n— i . Ftlr n = i erhalten wir 2m Lösungen, 
fQr n = 2 3m + i> för w = 3 4^+2 und fttr n = 4 5^ + 3. Ausser 
den in den Reihen 1° und 2° aufgeftthrten Biegungsinvarianten 1'" Ord- 
nung erhalten wir also noch eine Biegungsinvariante, welche von y' ab- 
hangen muss. Vorausgesetzt, dass die allgemeine erste erweiterte Gruppe 
nur eine Function f?" enthält, sehen wir, dass sie 2 Biegungsinvarianten 
jter Ordnung definiert; eine von diesen Biegungsinvarianten ist Af^"\ die 
andere muss von y' abhängen. Wir woUen sie mit /(fV) bezeichnen. 
£s ist klar, dass alle Biegungsinvarianten: 

(a) %V),Z(j.y),...,7(j.'"y') 

den Gleichungen der ersten erweiterten allgemeinen Gruppe genftgen 
mttssen, sobald diese auf alle Functionen j^\ j^ ',..., j?™ erweitert ist. 
Weil aber diese Gleichungen gerade 2 m unabhängige Lösungen zulassen, 
so missen die Biegungsinvarianten: 

Functionen von Biegungsinvarianten: 



(/9) 



A^* , («'-!, 2,...,m) 

ö(jr*jr*') und lif^^y') («'=i,2,...,»-i,«+i,...,m) 



sein. Ferner sind alle in der Tabelle angegebenen Biegungsinvarianten 
2^^ und 3^' Ordnung von den in der Reihe (^) angeftthrten Biegungs- 
invarianten I**' Ordnung unabhängig. Dies gilt aber nicht von den 
6m -t- 3 Biegungsinvarianten 4**'' Ordnung. Nur 5w -|- 3 von ihnen sind 
neue Biegungsinvarianten; die m tlbrigen sind Functionen der in der Reihe 
[P) aufgezählten Biegungsinvarianten i^"^ Ordnung, der 3m -|- i Biegungs- 



tJher BieguDgsiDvariaDtcD. 43 

invarianten 2**', 4W + 2 3**^^ und 5^ + 3 . 4**' Ordnung. Umgekehrt also 
kommen wir zu dem Schluss, dass die Biegungsinvarianten : 

^(F'F*) ^^^ -^{^''y') («'-l,2,...,«-l,«+l m) 

Functionen der in der Tabellc aufgeftlhrten Biegungsinvarianten i**', 2*®', 
S**"" und 4**' Ordnung sind. Das gewonnene Resultat bezieht sich auf 
alle Biegungsinvarianten : 

%V),%V), ••.,%"/). 

Was die Biegungsinvarianten Ö(f9*f>*) anbetriflft, so haben wir fttr sie in 
N® 18 bereits einen noch bestimmteren Satz bewiesen. 

Unsere jetzt erhaltenen. Resultate können wir folgendermassen zu- 
sammenfassen : , * 

Theorem VI. Die allgeineine erwdterte Gruppe giébt ausser den Gaus- 
sischetij Beltramischen und Mindingscheyi Biegungsinvarianten keine neuen Bie* 
g ungsinvarianten. Jede Biegungsinvariante, welche gleichzeitig von E ^ F ^ G 
und deren Differentialquotienten, von den Differentialquotienten der Functionen 
jf \ j^ *,..,, ^"^ und von den Äbleitungen y\ y", . . . alihångtj ist nur eine Function 
einer gewissen AnzaM von Gaussischen, Beltramischen und Mindingschen Bie- 
gungsinvarianten, Insbesondere existieren Biegungsinvarianten 1^' Ordnung 
von der Form: 

%y),7(j.V),...,%»y'), 

welche Functionen einiger, in den fruheren Theoremen angegehenen, grund- 
legenden Biegungsinvarianten und zwar Gaussischer 2*®' und 3^ Ordnung 
und Beltramischer und Mindingscher von der i*®° his mr 4^*" Ordnung 
incL sind. 

Damit schliesse ich den ersten Teil meiner Arbeit; ich muss aber 
hier hervorheben, dass meine Betrachtungen noch eine gewisse Willkttr- 
lichkeit enthalten: man brauchte als wesentliche, grundlegende Biegungs- 
invarianten nicht eben diejenigen zu bezeichnen, welche ich als solche 
angenommen habe. Doch schien niir meine Annahme vom theoretischen 
Standpunkte aus die naturgemässe sein, weil sie den Umstand besonders 
betont, dass die Beltramischen erweiterten Gruppen nur in Bezug auf eim 
einzige Function <p erweitert zu werden brauchen. 



44 Kasimir Zorawski. 



% Y. Dher die Berechnv/ng der Biegu/ngsinvarianten im Allgemetnen* 

Wir haben gesehen, dass man alle Biegungsinvarianten durch Inte- 
gration gewisser voUstandiger Systeme berechnen känn. In diesem Para- 
graphen habe ich die Absicht zu untersuchen, wie sich diese voUständigen 
Systeme in möglichst bequemer Weise integrieren lassen, 

Diesen Betrachtungen muss ich einige allgemeine Sätze vorausschicken. 

21. Nach der JacöbiscÄen Methode lassen sich nicht nur die Ja- 
cobischen Systeme integrieren; man känn namlich, wenn man die Glei- 
chungen des Systems nicht in einer beliebigen, sondern in einer gewissen 
bestimmten Reihenfolge integriert, die Jacobische Methode auch auf all- 
gemeinere vollständige Systeme anwenden. Und zwar können wir fol- 
genden Satz angeben: 

Satz VII: Ein q-gliedriges vollständiges System: 

df df df 

dessen Poissonsche Äusdrucke: . 



*— i 



{x,x,) = T. a>,„{x, ^x,,..., x„)x,r ' a:?:5::;:;l-i) 

sindj braucht man nicht auf ein Jacobisches System zuräckzufuhren ; es lässt 
sich vielmehr in der Beihenfolge: 

unmittelbar integrieren. 



' Sind hier die wtia vod den x. , x^ , . . . , Xn unabhäDgig, so bilden die infinitesi- 
målen Transformationen X^f eine ^-gliedrige Gruppe, deren Betrachtung man im LiE^schen 
Lehrbuchc: T^ieorie der Träns formationsgruj)pen, Erster Abschnitt. Kapitel 28. findet. 



'Ober BiegungBiovariaoteD. 45 

Dieser Sate bedarf eigentlich keines Beweiseg, denn es ist völUg. klar, 
dass wenn xp eine gemeinsame Lösung der GleichuDgen: 

Z/= o, ^/= o, . • . , Xt_J= o 

ist, X*(fp) ebenfalls eine gemeinsame Lösung dieser Gleichungen vorstellt. 

Satz YUI: Mn q-gliedriges vollståndiges Systern: 

9 

■ 

(«) X/=o, x,/-=o, ..., x,_,/-=o, ' r/=o, 

dessen Paissonsche Ausdrucke: 



1—1 






^mr^; /e25^j 5/cA ^tircA die Ännahme: 



{^ ^J = 



Uv)' 



tvo (p eine gemeinsame Lösung der Gleichungen: 

XJ= o, X^(= o, . . . , X^_J= o, 

dber keine Lösung der Gleichung Y^f = o ist,^ auf ein System: 

XJ=Oj -X/=o, . . . , Xj=o 

van der Beschaffenheit: 

{x,x,) = T, a>„,xj a:?:;::;::U. 

zuiUckfuhren. 

Der Beweis ist séhr einfach. Nimmt man an, dass: 

(X,X,) = X^X.if)-] - X,[X^{f)] = T»<o„.X.f+ <o,„XJ, c...» ,-i> 



*-l 



' Es musa wenigstoDS eino solche Funotion ^ geben. AngeDommen, dass alle Lö- 
sungen dep Gleichungen Xif =^ O (i = I , 2\, . . . , gr — i) auch die Gleichung Y^f =^ O 
befriedigten, so kommen wir zum Schlusse, dass das System (a) n — 3+ I unabhängige 
Lösungen besitzt, was unmöglich ist. 



46 Kasimir Zorawuki. 

und setzt man in dicsen Identitäten /* = j^ , so versch winden alle Glieder 
ausser (o^i^X^fy denn es ist Xi[<p) = o und X^[ip) = i. Es ergiebt sich 
also: cDgiq = o; und damit ist der Satz bewiesen. 

Dieser Satz lehrt andererseits, dass man das System (a) in der bezeich- 
neten Reihenfolge ohne die Transformation (fl) integrieren känn; alsdann 
werden zwar die Coefficienten der Differentialquotienten von f genommen 
nach den Lösungen der Gleichungen Xtf= o (/ = i , 2 , . . ., g — i), in 
Y^f= o nicht nur von diesen Lösungen abhängen^ sondern noch von anderen 
Veränderlichen , diese werden aber hier nur als ein allén Gliedern gemein- 
samer Multiplicator vorkommen und deshalb sich voUständig wegheben. 
In der Praxis ist es aber bequemer, die Transformation {fl) anzuwenden. 

22. Die linken Seiten der Gleichungen der voUständigen Systeme, 
welche die Biegungsinvarianten definieren, sind gewisse infinitesimale Trans- 
formationen, welche stets endliche continuierliche Gruppen bilden. Die 
Frage also nach den Poissonschen AusdrQcken der Gleichungen unserer voU- 
ständigen Systeme, reduciert sich auf die Frage, welche Zusammensetzung 
die betreflfenden endlichen Gruppen besitzen. Um darauf die Antwort zu 
geben, sehe ich mich veranlasst, wieder zwei allgemeine Sätze aufzustellen. 

Satz IX: Bestéhen fur die q-gliedrige endliche continuierliche Gruppe: 



X^f = '^^^ti{Xi , ojj , . . . , a;„) ^- (*=i,8,...,g) 



die Relationen: 



7 



^ (x,x,) = r.c«.x.A 0:?:^: ::;:?-,) 



und erzeugen die infinitesimalen Träns formationen: 



eben falls eine continuierliche Gruppe, so bestéhen fur diese Gruppe die Bela- 
tionen: 

{z.zi) = i,c,„zj a:?:?:::::l-,) 

oder, änders gesagt, so sind beide Gmppen gleichzusammengesetzt. 



Ober BidgUDgsiD varianten. 47 

löt nämlich: . 

(z,z,)=i.c;,,z,A a:?J;::;f-i) . 

80 ergeben sich, wenn man die Diflferentialquotienten ^ in diesen Iden- 
titaten gleich o setzt, die Relationen: 

{x,x,) = i,c',„xj, C:!:;;::::l-i) . 

woraus folgt, dass notwendig ci„ = c^tg ist, und damit ist der Satz be- 
wiesen. 

Satz X: Bilden die infinitesimalen Träns formationen: 

m 

** df ^ 

^i/'= 5l,f*<(^l > ^2 > • • • » ^n)^^ + ^kff C* = 1,2. ...,<?) 

1 * 

tvo 

Ztf= 2^iCki{^i > • • • > ^» ; ^i j • • • > o 37 (*-i,2,...,y) 

i5<, einö q-gliedrige continuierliche Gruppe, und känn er stens die Relation: 

12ketZJ= o, 

wo die ejt numerische Constanten bezeichnen, nur dann bestehen, wenn aJU 
ej, gleich NtUl sind, und bestehen zweitens die Relationen: 

{z,z,) = i.c„.z.f, 0:?:5:::::f-.) 

WO die Cng ebenfalls numerische Constanten sind, so ist die Zusammensetmng 
unserer Gruppe: 

Nimmt man nämlich an, dass: 



48 



Kuimir Zorawski. 



wo c'„, ^ c„t , und setzt man in diesen Identitäten alle Dififerentialquotienten 



K. 



= O, so ergiebt sich: 



(z,z,) = 2:.cz.A 






Wären die Constanten ej^ nicht alle gleich Null, so wäre denkbar, dass 
man diese Relationen auf die frtlhere Form bringen könnte, weil das 
aber nicht der Fall ist, so ist unsere Annahme falsch und der : Satz be- 

wipsen. 

' ' ' ■ • . ■ ■ 

23. Jetzt wollen wir versuchen, ob wir den Satz X auf die Glei- 
ehungen der n**° erweiterten Gaussischen Gruppe anwenden können. Aus 
den Gleichungen (14) erhalten wir, indem wir dort j; = A + i — fi setzen 
und in derselben Wei^e verfahren, wie wir es bereits in N® 10 gethan: 



(25) 



wo: 






a=0,l,...,n \ 
»0,1, ...,A + 1/ 



df 



• 



df 



3F,.n-i 



+ V[2(« — Oil-,.^«-A,«-<-A+A + (»> — i)x + l-pQi-^+\,,~,-l-l+.a] 



df 



3Ö,,,_i 






(n «)i4.i_^(2t^_,y,_^^., ,,_,_;i_,^.^ + «^A_;,,n_,_;i+^) 



df 



+ [*/.(** * + 0A+I-M^<-/..«-«-i4-;. + V-l(" OA + I-,.Ö',_;. + i,,_«_i-i+J 



9/- 



3f 



3n-« 



Der Bequemlichkeit wegen werde ich alle diejenigen von den Gleichungen 

(25), ftir welche X denselben Werth besitzt, Gleichungen Å^"" Classe nennen^ 

Wir sehen, *dass in den Ausdrttcken F^^^^i^^^f und rJ.^ji+i-^^/^die Ord- 

nung der Dififerentialquotienten von Ej Fy G^ nach welchen /* differentiiert 



/ 



? 



• I 



tlber BiegUDgsiDvariaDteD. 49 

wird, (iberall die n" ist Ferner kommen solche DifFerentialquofienten 
von f in den AusdrQcken '^^^^l\-^f und iilr+L;,/" augenscheinlich nicht 
vor; auch die CoeflTicienten der Differentialquotienten von f sind in diesen 
AusdrQcken von den Differentialquotienten «"' Ordnung der E , F , G 
unabhangig. Demnach sind die infinitesimaien Transformationen SplJ+j-j,/" 
und Sj'ui„^/" von derselben Art wie die Transformationen X^fm unserem 
Satze X. Die Rolle der Veranderlichen 2, spielen hier die Differential- 
quotienten n*" Ordnung von E , F , G; die Rolle der Veranderlichen Xf 
fällt den Differentialquotienten niedrigerer Ordnungen von E, F, G zu. 
Nun versuchen wir nachzuweisen, daes die Identität: 

(26) pi:'{e,,.n:i^.,f -\- -e„j'i::ui-,J) = o, . 

wo Cj,,, und Cj^ numerische Constanten bezeichnen, nur dann möglich ist, 
wenn alle e^^ und Cj^ gleichzeitig verschwinden; Wir bemerken namlich, 
dasB die Coefficienten der Differentialquotienten von fin allén: /^"i+i^p/^und 
7^*1+1-;./^ lineare honiogene Functionen der Differentialquotienten von E,F, 
G sind; die Ordnung aller dieser Differentialquotienten ist n — ^, also för 
jede Clasae constant, und von den Ordnungen dioscr Differentialquotienten 
in jeder andcren Classe verschieden. Weil aber unsere Identität nur bci 
constanten Werten von e^,, und c^^ bestehen soU, so ist das nur dann 
möglich, wenn die « + i Identitäten: 

(26') h{e,,J):U,./-^ ii,Jti..-,-/) - ° a^o,,......, 

bestehen. Betrachfen wir gleichzeitig zwei Glassen X und Å', wo Å' < X 
ist! Die Ordnung der Differentialquotienten von E, F , G, welche in die 
Coefficienten der Differentialquotienten von f eingehen, ist « — Å resp. 
n — >', Weil aber » — Å.' > n — Å ist, so ist die Anzahl dieser Diffe- 
rentialquotienten von E , F, G fUr die Classe A' grOsser als fQr die Classe 
Å. Känn also die letzte Identität för die Classe Å nur in der Weise be- 
stehen, dass alle e^^ und ij„ verschwinden, so känn ihr Auftreten fQr die 
Classe X' nur in derselben Weise möglich sein. Weil aber nach unseren 
Entwickelungen in N° 1 1 das Bestehen einer solchen Identität för Å = n 
I fiogar dann, wenn e^^ und é„,, keine Constanten sein sollen, notwendig das 
iVerschwinden dieser GrOssen verlangt, so kommen wir zum Schlusse, dass 



50 Kasimir Zorawski. 

in der Identit&t (26) alle ö;^^ und ex^, gleich Null sind.^ Also reduciert 
sich nach dem Satze X die Untersuchung der Zusammensetzung der end- 
lichen Gruppe, welche als infinitesimale Transformationen die Unken Seiten 



^ Dooh scbeint dieser BeweiB nicht gaDz streng zu sein; desfaalb wollon wir einen 
aoderen angeben. Soll unsere Identität (26') beeteben, so mttesen die CoefFioienten der 
DiffereutialquotieDten yod f alle identiscb Null worden. InsbosoDdere giebt der CoefFioieDt 

3/- . 



von 






o 



(n — i');t+i— /i ist immer dann und nur dann von Null verscbieden, wenn {k+ l—/i)^{n—i') 
ist; im Grenzfalle Å + I — fi =^ n — i' bekommen wir O^ = I (N° 6). Also erstrcckt 
sicb die Summation nacb (i von X + i — (7^ — i) bis k + i . Demnacb können wir die 
frttbere Gleicbung folgendermassen scbreiben: 

.^^\f^ A } + ei,Ä+i-(n-o(2tA-(n-0 + ti+ l-(«-i))^ii-A,0 

A +2 — {Jt — %) 

+ eA,A^l-(n-<')(2iA-(»-i')i^n--A,0 + iA+ l-(n-0-®n-A-l,l) = O. 

Der Ausdruck ii_(„_<') vcrscbwindct nur dann, wenn i' — {n — X) > i\ wenn also w — ^<0, 
was unmöglich ist; demnacb känn weder der Coefficicnt von eA,AH 1— (n— o nocb der Coeffi- 
cient von ca,a+i— (»— O verschwinden. Weil ferner En—x,o und Fn—x,o untcr dem Summen- 
zeicben nicbt auftreten können, so erbält man: 

eA,A+l-(n-0 ~ eA,A4l-(ii-i') = O. 

Diesos Resultat gilt aber nur dann, wenn Å — (n — = ^ ist; also ergiebt sich: 

ÖAl = exi = Cas = ex« = . . . = ÖA,A+1 = ÖA,A+1 = o, (A»0,l,...,n) 

Es bandelt sicb also nur darum, zu beweisen, dass ^ao = ^Ao == O (Å =: O , I , . . . ^ n) ist. 
Seizt- man in der Identität (a) t' = ;< = O, so ergiebt sich: 

öaoWa+i JPi,n-A-l + éAoWA+lSo,„-A = O, 

wo wir mit dem Multiplicator wa+i dividieren dUrfen, ausser wenn ^ = n ist, wo??a-h=0 
ist; wir erhalten also cao = ^Ao = O (^ = O , I , . , . , n — I). Weil aber alle 6„^ und 
^n/i gleich Null sein miissen, so erhalten wir: 

ÖAO = ^AO = O. (A = o, !,...,«) 

Damii ist aber unsere Bebauptung bewiesen. 



Ober BieguogainyarumteD. 51 

der Gleichungcn (25) besitzt, auf die Ableitung der Poissonschen Symbole 
far die Ausdrttcke /^^Li,/ und l<:},,,^,f. 

In dieseh Ausdriicken wird f immer nach den Differentialquotienten 
w'*' Ordnung von EjFyG differentiiert; weil aber diese Differential- 
quotienten in den Coefficienten der Differentialquotienten von f ftir die 
Glassen i , 2 , . . . , n nirgends vorkoramen, so schliessen wir unraittelbar, 
dass: ,. , , 

/X =1,2, ...,« \ 

//M») /^'(w) \ ri /ai-0,1,...,A+i\ 

\' /i',A' + l-/*' > ' /*,A + 1-/*; <Jj I A-l,2,...,n I 

\/i = 0,l,...,A+l/ 

wo T' entweder F öder aber 7' bezeichnet. Weil ferner nur fiir die 
Classe o die Coefficienten der Differentialquotienten von f die Differential- 
quotienten w^' Ordnung der i", Fy G cnthalten, haben wir: 

WO [l''f!,o\i-fif] cinen linearen homogencn Ausdruck mit constanten Coeffi- 
cienten der Ausdrttcke Pf nuUter Classe bezeichnet. Erinnert man sich 
endlicb, dass die Coefficienten der Differentialquotienten von f in den 
/ Y A^' Classe lineare und homogene Functionen der Differentialquotienten 
{n — A)^"" Ordnung von Ey F. G sind, so resultiert notwendig: 

Wenn wir jetzt den Satz X in Anwendung bringen, so ergiebt sich 
folgendes: 

i) Die infinitesi målen Transformationen : 

s^Tl+i-,/ und §n+i_,/ C:i'i"";+i) 

bilden eine endliche continuierliche Gruppe mit lauter vertauschbaren 
Transformationen; 2) die infinitesimalen Transformationen: ö^"Y, SioY> 
SiiY, §\l\f bilden eine 4-gliedrige continuierliche Gruppe; 3) die Pois- 
sonschen Ausdrttcke jeder dieser infinitesimalen Transformationen mit jedcr 
infinitesimalen Transformation, welche der Classe A angehört (A= 1,2,..., n) 
können nur von den infinitesunalen Transformationen dieser Classe A ab- 
hängen. 

Die Zusammensetzung der 4-gliedrigen Gruppe mttssen wir aber genau 
berechnen. Nach dem Satze IX reduciert sich diese Rechnung auf die 



52 Kasimir Zorawski. 

Berechnung der Zusammensetzung der Grupper ^^^f y ^i^f y %if j ^lof 
(N** 12 (cHq)). Fttrht man diese Rechnung wirklich aus, so gelangt man 
zu folgendem Resultate: 



(27) 



V^IO > ^01 ^ ^01/ ^10 /> v 10 > ^01/ ^01 /> 



Zuerst also bilden dic Gleichungen der n***" erweiterten Gruppe aller 
Glassen ausser der Classe o zusammcngenommen ein Jacobisches System. 
Demnach känn man diese Gleichungen ohne irgend welche Transforma- 
tionen und in einer beliebigen Reihenfolge integriercn. Setzt man nun 
die erhaltenen Lösungen in irgend eine der Gleichungen: 

(2 7') S[\V = o, §[l^f = o, §%^f = o, §<1>/^ = o 

statt der urspriinglichen Veränderlichen ein, so erhalt man nach der be- 
wiesenen Eigenschaft 3) eine Gleichung, welche die ursprUnglichen Ver- 
änderlichen nicht enthalt. Nun aber giebt es, wie die Formeln (27) zeigen, 
keine. Reihenfolge der Gleichungen (27'), welche die im Satz VII ange- 
gebene Eigenschaft besitzt. Andererseits giebt es aber 4 Reihenfolgen der 
Gleichungen (27'), namlich: 

I "> é<;,Y = o, é<"oY = o, iiiY = o, |(;V' = o, 
2'«g<",Y=o, ISY=o, g',"«Y=o, §<."«Y=o, 
3'«'§(-Y=o, é<"oY=o, i<oiY=o, g^lV^o, 

4'« §(;)/' = o, §'or/-= o, §roY= o, &o''^f= o, 

• 

welche specielle Fälle des Systems des Satzes VIII sind. Hat man also 
die Gleichungen der' höheren Glassen integriert, so känn man die tibrigen 
Gleichungen der Classe o in einer der 4 angegebenen Reihenfolgen auf 
die im Satze VIII angegebene Weise integrieren. 

Es ist dabei ganz evident, dass diese Resultate, welche wir för die 
Gestalt (14) öder (25) der Gleichungen der n^° erweiterten Gaussischen 
Gruppe bewiesen haben, sich auch auf die Gestalt .(17) dieser Gleichungen 
beziehen. 



Ober BieguDgsinvarianteo. 53 

Ferner känn man alle diese Ergebnisse auf die Gleichungen der 
Beltramischen (i8), Mindingschen (2'i) und allgemeinen (23) n*®° erwei- 
terten Gruppe ausdehnen. Setzt man namlich dort tlberall p = X-{' 1 — /i, 
teilt die Gleichungen in Glassen ein (wobei zu bemerken ist, dass hier 
nur n verschiedene Glassen vorhanden sind, da A nur gleich o, i,...,n — i 
sein känn) und benutzt den Satz IX, so ergeben sich unsere frttheren 
Resultate auch fttr diese vollständigen Systeine ohne Weiteres. 

Um ein allgemeines Theorem aufstellen zu können, setzen wir statt 
der Buchstaben ö,^,91t,d aberall §; mit anderen Worten: 

bezeichnen wir mit: 

^'») f r» ^"^ f n /A = 0,i,...,n— 1\ 

entweder die Gleichungen der (n — 1)**° erweiterten Gaussischen öder der 
n^®° Beltramischen, Mindingschen öder allgemeinen erweiterten Gruppe, so 
haben-wir: 

Theorem VII. Um das vöUständige System: 

g(n) f — ^ ain) f — ^ /A = 0,l,...,n-1\ 

nach der Jacobischen Methode zu integriereny integriert man zuerst in be- 
liebiger Beihenfolge die Gleichungen aller Classen ausser der Classe o. Diese 
Gleichungen aber integriert man weiter in einer der 4 Eeihenfolgen: 

I »• §i-)/- = o, ^."oY = o,. ^oiY = o, J^ = O, 



2f §^;>f = o, Sfff = o, ^."„>/- = o, ^^ = o, 

3" §<;>/• = o, &T«Y = o, w:>f = o, ^L = o, 

öoi {(P) 

wo uberall eine gemeinsame Lösung aller schon integrierfeny aber kein 
Lösung der letzten Gleichung bezeichnet 



5^ -Kasimir Zorjtvrski. 



% VI. Bereohnung ebniger Biegwn^Hfwa/rianten nieärigster 

Ordminffen. 

Hier stelle ich einige Biegungsinvarianten auf, iiidem ich das Theorem 
VII in AnwenduDg bringe. Man könnte eigentlich diese Rechnungen ohne 
Benutzung des Theoreins VII voUständig durchftihren; doch gcheint mir 
die dort angegebene Integrationsweise hier die bequemste zu sein. Ferner 
meine ich, dass es keinen Zweck hat, alle diese einfachen, obwohl langen 
Rechnungen hier anzugeben; vielmehr werde ich raich auf die Angabe 
der Resultate und einiger speziellen Bemerkungen beschränken. 

24. Die Gaussische Biegungsinvariante niedrigster Ordnung ist von 
2^' Ordnung. Man bekomint äe durch Integration des Systems: (N° 12 (otj)) 



01 01 ^01 



^^10 a/p ^^^loae ' 



10 ^ 10 



4) ^1-^+ ^^14+ ^o,a|^ + (^'.. + G,,)^ + (2F.. + EJ^ 



10 * 10 10 



+ Go^^+^K.^=0, 



01 ""01 



2) 2E^-^ A- F^-^+ 2E -^ + F -^A- xE -^4- 2F ^ 



01 * 01 "^lO * 10 



^10 '^ 11 

■A 2G^-L 4. ir^^ + 2(? ^A-F -^A- \G -^ + 2F ^ 

+ E,, y- - ((?,. - 2F„ + i;,) J^ = o, 

'^^Ol 11 



t)ber BiegangBinvariaateD. 



55 



(Classe I.) 






dF 



01 



aö 



01 



odF 



= o, 



11 



Gä-+^Fä-+-Go^ä-=o. 



dF 



10 



dE ' 2 <>* dF 

'^-'lo "^ -^ 11 









= O, 



aö * ^ dF * ^ dF 
^10 -^ 10 -^ 01 



dE 



01 



a/'^ 



= 0, 



11 



^^as.. ^^ ^ dF,, + r " 2 'oJ a*'„ ' 



(Classe 2.) ^+2^ = 0, 

^ 11 '-'08 



a/- , df 



Wir haben in N® 12 bewiesen, dass von den 10 ersten Gleich ungen 
nur 9 von einander unabhangig sind; demnach können wir eine dieser 
Gleichungen bei der Integration weglassen. Dieser Umstand erlaubt uns, 
das System ohne Weiteres auf ein System des Satzes VII zurtlckfQhren; 
zu dem Zwecke lassen wir dio Gleichung 4) weg. Indem wir zuerst die 
Gleichungen der Classe 2, dann der Classe i und schliesslich die Glei- 
chungen i), 2), 3) nach einander integrieren, bekommen wir die einzige 
Lösung : 

+ F{E,oG,, — E,,G,, -^ 2E,,F,, + ^F,,F,, — 2F,,G,,) 
+ G{Ey,G,,-2E,,F,, + n,)-2{EG—F%E,,-2Fn+G,,)\. 

Das ist das Gaussische Krummungsmass, deren Invarianz bei der Biegung 
der Flftche Gauss in Disquisitiones generales circa superficies curvas (XI, 
XII) bewiesen hat. Nach der Gaussischen Schreibweise haben wir: 



56 Kasimir Zorawski. 



j^rdEdG dEdG dEdP dFdF dFdG-i 

lPP 2 9. ^'JP dq dq "^ ^ dj) dq dp dp | 

wo K das Kröinmungsmass bezeichnet. 

25. Jetzt wollen wir gleichzeitig die Biegungsin varianten Af>y ö(fr^), 
und I{yy% deren Existenz wir. in N° 18 und 20 bewiesen haben, wirklich 
aufistellen. Zu dera Zwecke werden wir die Gleichungen der ersten er- 
weiterten allgemeinen Gruppe integrieren, indem wir in (23) m = 2, 
^^ = ^ und ^* = ^ annehmen. Wir haben die Gleichungen: 

') . '^^^E + ^S + ^- ä^ + S^.o I; + y'a^, = o, 

Integriert man diese ]^ Gleichuugen in der Reihcnfolge i), 2), 3), 4), so 
ergeben sich folgende Lösungen: 

* Ey?. — 2F5P0.JP.0 + Gy! , a /. _ E<}>1, — 2F<p,^ii^, + ö^?,, 

^f Eö - *" ""' ^^~ EG - *" ' 

« , _ Eyo,^„ — y(yoi^i« + y,o^^„) + Gy.p^',» ^, > _ fm + ?/>oi ' 1 

^ Die Gleichungen i), 2\ 3) haben 5 gemeinsame Lösungen: 

' Ve' ' V*^' ' yjE{EG-F')' * yjE(EG-F*)' ' y-yjEG-F^' 



tfber Biegungsinvarianten. 57 

Un8ere Function B{ipip) ergiebt sich als Folge der Lösungen A^, A{^ 
und Vj?^; wir haben nilmlich: 

Indem wir also Afr , A^^ und 9 [(fil)) als wesentliche Biegungsinvarianten 
betrachten, so wird Vfr^' eine Folge von ihnen, also unwesentlich. Die 
Biegungsinvarianten Afp , 9{^(ff) und Vj?^ sind von Herrn Beltrami in 
Bicerche di analisi applicäta alla Geometria (XIV) (Giornale di Mate- 
matiche, Bä^nde II und III) aufgestellt worden. Herr Beltrami be- 
rechnet natörlich diese Ausdrttcke in einer ganz anderen Weise, als es 
hier geschehen ist. A^ nennt er Differefitialparafneter i*" Ordnung, 

In N** 1 8 haben wir bewiesen, dass wenn mehrere invariante Func- 
tionen ^ auftreten, einige von den Ausdrticken nur Folgen der ftbrigen 
und der Parameter A sind. Nehmen wir drei Functionen: ^ , <f) , o, so 
haben wir: 

^^ = EG - F^ ' ^^ EG - F' ' 

Eal, — 2Fa,t<r,„ + Gol 



Aff = 



EG — F* 



^^ ^ y/KO _ f" ^^' y/EG — F* ^^'^ ^KG-F^ 

Zwischen diesen 6 Grössen soll eine Identität bestehen. Wenn wir aus 



Verfkhrt man, wie im Thcorem V angedeutet ist, so crhsit man ans 4) <}>c Oleichnng: 

Sf df df df , df 

welohe achltesslich folgende 4 unabhängige Lösungen giebt: 

(Ji<py') ist keine neue Biegungsinyariante; man sieht leicht, dass sie mit dem Ansdrucke 

(t 

identiscb ist, den Herr Darboux mit ~- bezeichnet. Lecon.^ sur la ihéorie géiiérale des 
s^irfaces, Troisiéme partic, p. 1 95-) 

Aeta mathmnÖHea, IG. Inprimé le 19 Janrier 1892. 3 



58 Kasimir Zorawski. 

den zwei letzten Gleichungen ^^^ und j?^^ bestimmen und diese Wérte 
in die ersten der sechs Gleichungen einsetzen, so ergiebt sich ohne Schwie- 
rigkeit die Identitat: 

NatUrlich werden wir, wenn mehr als 3 invariante Functionen auftreten, 
mehrere solche Identitäten aufstellen können. Diese Identitat controlliert 
unscre frUhere Behauptung. 

In derselben Weise ergiebt sich ans den Entwicklungen in N® 20, 
dass zwischen: 

Af , A^; , fi{^^) , 7(jr//) , !{./>,,') 

eine Identitat bestehen muss. In der That, wir haben: 

, _^. ,, _ (E + ZY)y.,-(F+gy>,, 
^ ^ ^^^ y/EG — F* s/fe' + 2Fy- + Gy'* ' 

und es ist leicht zu verificieren, dass 

ist; es besteht also die Identitat: 

Wir mössen hier noch hervorheben, dass man die in Rede stehenden 
Biegungsinvarianten gewöhnlich in anderer Form schreibt, als wir es gethan 

haben, man setzt nämlich statt <r,n » (r«, bez. x^,x^; för uns war die 

ktlrzere Schreibweise bequemer. 

26. Wir gehen jetzt zur Berechnung der Beltramischen Biegungs- 
invarianten 2*" Ordnung mit einer Function jr ttber. 

Aus (18) ergeben sich dafiir folgende Gleichungen: 



tfber BteguogsiDvariaDloD. 



59 



O 



.M . -.-L^^f 



^'ä?+^^0+^'.oa£; 



'f + (/''.o + Kd^^f- + (2F,, + GJi^i- 



01 N 






+ -^1.3^-+ ^-^»oäl^ + F.o^ + 2f„ å^ + f,.^ = O, 



^f.i 



^iP.i 



^fii 



dl Cr — + 2F— + (? -^4- (F 4- G )— -\- I2F A- E \ "^ 



• w 1 w 

4- G — 4- 2F — 4- (p — 4- 2c -^f- 4. c> -^ = o 



afc' 



'^ * '^01 "* 01 ^'lO '■ K 

a/" df df df 



'V 



-A 2f;^ + i*'^ 4. 2G --^ + F ^ + -XG -^ + 2F -^^ 



./ »/• 



a/- 



a/- 



+ ^0, m;, + ^0. ä^- + ^'. a"^ + =^«» 



^ 
^y'.. 



= o, 



(Classe 1.) 






ajp 



10 



dE 



10 



^i^»., 



2^V;f - + i'i^ + ^^'ä^ + 2^' J"-- + i^.o å"- = o, 



a/v'... "^ aF.. "'" ä>„ ' "* a6?„ ' '"'"a^,, 



ui 



01 



10 



10 



^alL + F-^-^ G^+ 2F^.+ <p ^ = 



11 






Ich integriere zuerst die Gleichungen der Classe i ; dann die Glei- 
chungen der Classe o in der Reihenfolge i), 2), 3), 4). Bezeichnet man : 



60 Kasiinir Zorawski. 

6 = 2{EG - i.'V„ - G.oi^^o. - i^F.o) - i^^.C^F.o - i-Vo.). 

8o bekommt man folgende Lösungen des Systems: 

■_■ ge — 2Fb + Ga 
•■•^ "" 2{Ea — Fy ' 

A,, a<^ — fe' 1 



^ Die Orössen a , 6 , c siad Lösungen der Gleichungeo der Classc i und ergebco 
sich ohoo Schwicrigkeit. Ftthrt man diese lotegrale a , 6 , c in die QleiohnngeD l), 2)^ 
3)1 4) ein, 80 erhält man' das System : 

2) 2E— + F— + <p ^ — 1- 4a — + ^6 — + 2c — = o. 

3) 2«a-ö+*'é + ^-a;t. + ^'^é + 3^3^ + 409;: = o, 

Die GleichuDgcn i), 2), 3) ergeben sehr leicht die Lösungen: 

^fi« ^ %oi ~ *Vio ^ ac — 6' 

^* v/^^ ^* siE(EG^F^' ^' {EG -Fy' 

a • _ Eh — Fa 

setzt man diese Lösungen in 4) ein, so findet man erstens^ dass 7^3 = AsV ^^^^ Biegungs- 

dr df df i , a/- 

invariante ist, zweitens die Gleichung: 7-^5 ^i ^ h 27-^ — +-(^8 + ^ — ^4)^ = O- 

^1 Tt w 4 Ta • r» 



t)ber BiegangsiDvariaoteD. 



61 



und endlich die Biegungsinvariante i**' Ordnung A^. Setzt man in A,f? 
die AusdrUcke a y b y c ein, und ordnet man die Glieder zweckmftssig, so 
ergiebt sich ohne ScHwierigkeit: 



^.F = /y^^-y,x» i(^y-io — /^Vn + 6-^05^,0 — ^'^ioFuOn/A^^C/ - 



i,'i 



2 yjEG — f 



= (6-'i;.o + EG,, - 2FI\,){G^,, ~ FjPo.) 



+ (A>„ — i'V„ + i^if,, — i^;,jfoi)v£ö - F' 



(i^öo, + 6'i-o,- 2FF,,){Ef,, — /V.,)); 



2 v^BG — F' 



daraus i*esultiert aber unmittelbar: 



A,fc = 



y/EG — F* 



V V^G — F* A» "^ V v^Fö - F» A, 



Das ist der Beltramische Differentialparameter 2*" Ordnung; in gewöhii' 
licher Weise geschrieben lautet er: 



A-jp = 



yjEG—B"^"' \y/EG 



-, 3f p 5f 



£!?_/,^!?« 



_ f» / "•" do \ ^EG — F' / 



wo die Veranderlichen x , y durch u , v ersetzt sind. 

2 y. Endlich gehen wir zur Berechnung der Mindingschen Biegungs- 



Daraos ergiebt sioh: l) die LösuDg: ^^ = y* + l'^; 2) die Oleichung: 

^ '^Tt T' + rl , 

welohe sioh vermöge der Sabstitution Y» + t\ = z auf eine lineare bringen Ittsat und di* 

n + r\ + rl 



Lösung A,^ 



2r. 



-— ergiebt, und endlich 3) die Gleichung: 



2dr, 



+ 



dn 



^:= =0, 



\JdL<p — r* v'r,(2A,f — r*) — r» 

woraus wir die Biegungflinvariante A«f = ^TiTtTi + (j*? — AKt* — Ajf) bekomöien. 



62 



Kasimir Zorawski. 



invariantc 2^' Ordnung ttber. Nach (6) und (21) ergeben sich f(\r diese 
Biegungsinvariante folgende Gleich ungen: 



o ^'å + ^F%, + E,, ^ + (F.. + ^0 J J^ + {^F.. + ^^.) '^ 



dF 



dG 



odE 



01 



01 



3G 



01 



+ ^'.0 ä^ + 2^,0 al; + y'% + 3yy'|. = o, 



4) ^--a-p + ^-'''Ä + ^o^ al- + (^''o. + G^o)^ + (2^,, + K.)s^ 






df df 



-J- G — ^ 2F — : ^ = o 



') ^^'1 + ^'1+ ^^0. äl^ + F,,jf-+iE,,^+rF- 'f- 



d¥ 



dP 



+ ^^«^ö- + y'£•+^^"£=•^' 



» - . 



9!/' 



9'/' 



3) 



.a/"' . ^r^s/" 



z'» Zl I x'"/_ I ^ /" » ^/ I 17» __L_. JU if^ '' JL.0V ' L^ 

"^aö ' a> » JO ar» t" ^loair -"^ ^^01 a/; "^ '^^oi ä^r 



dr 



.^f ..,M 



+ Kxm- — y'^— y"j7' = O' 



10 



»y 



'.'/ 



(Ciassc I.) 



3/- 



.. ^f , ..z^f. 



£r^ + 2Fd-- + i/"5^,.= o, 



3f 



01 



aö 



01 



y 



' a*', + ae.. a.v" °' 



01 



Ul 



dF 



10 



30 



10 



'/ 



2G 



df 



■, ^f , ^ 9/" 



. 3/- 






^l + ^^^t + ""^^ + '^''^-^ - '^'¥' ^ °' 



^^'aX + ^"a^(; + ^ ¥' = °' 






01 



01 



t^bor BiegangsinvariaDton. * 63 

Ich integriere zuerst alle G leich ungen det Classe i, dann die Glei- 
chungen der Classe o in der Reihénfolge i), 2), 3), 4). Es ergiebt sich 
die Biegungsinvariante: 



y/EG 



- FiyjE + 2Fy' + Gy'y\\ '2 2 '»/ 



+ [eg,, + FF,, - \ FE,, - 1 GE\,y -(gE,, + FF,, - 1 FG,,- \ EG.^ 



[gF,, — \ GG,, —\FG,^y'' + {EG - F^j" 



1 



Dieser Ausdruck ist die von Minding (Crelles Journal, Band 6: Be- 
merkufiff Hber die Ahwickelung krummer Linien von Flåchen) berechnete 
geodätische KrUmmung. Ordnet man hier die Glieder zweckmässig und 
setzt statt .T,// bez. p^q, so bekommt man den Mindingschen Ausdruck: 

P y]E0--F^{yjEdp*^2Fdpdq-\-adq'')% \2 ^i^. dp "^ 2dq ' J 2 \' 

+ [lEdG-\G.lE + Fi^^d^-'^d, +|d,-!^dp)]d,d, 

. . ' 1 

+ {EO — F')(dpd\ ^ dqd^p) 



^ Der Ansdruck, welcher in Klammern { j steht, ist die eiozige gemeiosame Lösung 
der Gleichnngen der Classe I. Bezeichnet man diesen Ausdrnck init c und setEt man ihn 
in i)^ 2), 3)^ 4) ein, so ergiebt sich das System: 

•) ^I+^^|- + ?'"|'+3.VV|'=0, 2) 2E?^+f|+j,'| + 4c|=0. 

E + Fy' 
Die Gleichungen i), 2), 3) ergeben awei gemeinsame Lösungen: a = —— - ' — : und 

cE*f* / « ^f Jf 

fi = .«/n^ F»ir;i; demnach nimmt die Oleichung 4) die Form: (l + « );r^ + 3«/^:^ =0 

y *{EG — F ) ca cfl 

B c 

an und liefert das Integral C = -rrrr = ■ — , . • — j > ■ , . 

(I + «')/^ y^EG — F^{s!E + 2Fy + Ö«/'*) 



64 * Kasimir Zorawski. 

28. Oie Berechnung der Biegungsin varianten durch Integration voU- 
stAndiger Systemc ist aber sehr umständlich. Es giebt zwar ein anderes 
Mittel: hat man namlich eine gewisse Biegungsinvariante, welche in- 
variante Functionen enthält, und setzt man in diese Biegungsinvariante 
statt dieser invarianten Functionen ebenfalls Biegungsinvarianten ein, so 
bekommt man offenbar auch eine Biegungsinvariante von höherer Ordnung 
als diejenigen, welche zu ihrer Bferechnung gebraucht wurden. Dies hat 
schon Herr Beltrami bemerkt in Bezug auf seine Syrabole Afr, ö(^^), A^jr. 
Diese Methode der Berechnung von Biegungsinvarianten wird aber nur 
dänn mit vollständigem Rechte gebraucht werden können, wenn man 
weiss, wie man diese Operationen dirigieren muss, um cdle wesentlichen 
Biegungsinvarianten zu erhalten. Mir ist es nicht gelungen, irgend ein 
Resultat in dieser Richtung zu gewinnen. 

Ich habe vielmehr im Allgemeinen nur den folgenden Satz anzu- 
merken: 

DSetzt man in einer Gaussischen Biegungsinvariante statt E^ , F^^ , G^ 
bez. Gu , Fii j Ej^ und in einer Beltramisohen statt -E',* , F^ , G^ , (^1* bez. 
Gtt , F^i , E^i j fl^y so bekommt man wieder eine Gaussische resp. Beltra- 
mische Biegungsinvariante.)) 

Dieser Satz ist eine unmittelbare Folge der S&tze III und V. Die 
in den letzten Artikeln berechneten Gaussischen und Beltramischen Bie- 
gungsinvarianten gehen bei solcher Vertauschung in sich selbst Uber. 

För die Mindingschen und allgemeinen Biegungsinvarianten gilt ein 
analoger Satz offenbar nicht. 

Göttingen, im März 1891. 



65 



SUR LES MAXIMA ET LES MINIMA 
DES INTÉGRALES DOUBLES 

GUSTAF KOBB 

å STOCKHOLM. 



Dans ses le9ons sur le Galcul -des Variations M. .Weierstrass a ex- 
posé une nouvelle méthode pour la recherche des maxima et des mi* 
nima des intégrales simples, qui est aussi elegante que rigoureuse. Dans 
ce mémoire j'ai youlu essayer d'appliquer cette méthode aux intégralesi, 
doubles, en me fondant siir les admirables travaux de M. Picard, con- 
cernant la théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre.: 
Je me borne comme M. Weierstrass ä considérer le oas ou la fonction 
sous les Signes sommes ne contient que des dérivées du premier ordre. 

Il sera facile de voir que la méthode que je vais exposer peut étre 
étendiie aux ihtégröles multiples. 

XJne méthode analogue a aussi été employée par M. Schwakz dans' 
ses beatix travaux sur les surfaces minima. ^ 



* tJher ein die Flächeyi kleinsten FlächenifiJialts hetreffendes Problem der Variations' 
rechnung vod H. A. Schwarz. Ge», Abhand. I Band. 



Äola fHothematiea. 16. Imprimé le 8 J&nirier 1892. 9 



66 OusUf Kobb. 



I Partie. 

Sur la premié^^e variation» 



Soit 



F{x,y,z, X', y\ ^, %'', y", z'') 
une fonction régulaire des 9 variables x ^y ^ z 

qui, par rapport aux 6 derniéres variables, soit bien définie pour toutes 
valeurs reelles et, par rapport aux 3 premiéres, au moins pour des valeurs 
entré certaines limites. 

Cousidérons Tintégrale double 

rintégration étant étendue a tous les points dans Tintérieur d'une certaine 

courbe fermée 

F{u jv) = 

et supposons donnée une succession de valeurs de x^y^z sur cette courbe, 
nous nous proposons de déterininer o; , y , js; comme des fonctions uniformes 
de u et t;, de maniére que cette intégrale soit un maximum ou un mi* 
nimum, et que x^y^z prennent sur la courbe des limites les valeurs données. 

Nous pouvons aussi formuler notre question de la maniére sui vante: 

»Determinez une surface 

X = ic(w, v), y = y{uyv), z = z{u,v) 

de fa9on que 1'intégrale (i) étendue sur cette surface, en cas d'un maxi- 
mum, soit plus grande, et en cas d'un minimum, soit plus petite que la 
méme intégrale, étendue sur toute autre surface ayant les mémes limites, 
et qui n'est qu'une variation infiniment petite de celle-la.D 



Sar les maxima et laa minima des intégrales doubles. J&7 

Nous disons avec M. Weierstrass que deux surfaces sont de» va« 
riations infiniment petites Tune de l'autre, si ä cbaque point de la pre- 
miére correspond un seul point de Tautre, et vice-versa^ et si la distance 
entré deux points correspondants est infiniment petite. 

De cette demiére forme de notre probléme nous pouvons déduire 
une propriété iinportante de la fonction F. Nous observons que la va- 
leur de Tintégrale (i) dépend seulement de la forme de la surface et pas 
du tout de la maniére dont nous nous sommes servis pour exprimcr les 
coordonnées x ^y ^ z. 

Supposons que u et v soient des fonctions uniformes de u^ et v^ et 
aussi que u^ et v^ soient des fonctions uniformes de u et v\ si nous 
rempla9ons les variables u et v par w, et Vp Fintégrale (i) doit con- 
server la méme valeur. Ainsi en appellant C la courbe 

et (7 celle, que devient C en remp^a9ant u et v par u^ et v^ on doit avoir 
(2) JfF{x yy,z,x\ y\ /, x'\ y'% ^") dudv 

c 



ou 


« 


m 






9* 

an, 


V' ^^ 








• 


9z 

3», 



La relation la plus générale entrc u et t; et u^ et v^ serait 

u = ku^+ k,v, + {u^ , v,\ + ... 

kl^—kJ>o 
v = lu, + l^v, + (W|,t^,)3 + ... 

mais il suffit de considérer les termes linéaires. 

Il faut maintenant exprimer x\ y\ z\ x"y y", z" par x[ , y[ , z\ , x['y yj', z\' . 
On a 

x\ - hc, ^ {kl, - k,J)-' 

V^ = Ku + XVy 



68 Gustaf Kobb. 

et par conséquent 

etcet. 

CoDsidérons maintenant le premier membre de (2) comme fonctibn 
de Uj et Vj, nous aurons 

I = (A/; _ k\l)ffF{x ,y,z,x\ y', /, re", y", ^'Orfe^.rft;, 
ou en exprimant o;', y', ;2f', a;", y", ^i" par a^J , y| , ^I , ^i', yl'» ^I' 

et, par conséquent, en vertu de (2) 

ffF{x ,y,e,x[,y[,z[,x[',y[', z'i)duidvi 

* * c' 

Pour que cette égalité ait lieu, 'A faut et il sufBt que les elements des 
deux intégrales deviennent égaux. Ainsi en supprimant les accents 

(3) {xX, — x,X)F{x ,y,z,x', y\ z\ x'\ y'\ z") 

= F{x , y , ZjX^x' + kc'\ . . . , x^x' + xx" ,...). 

Cette relation doit avoir lieu pour toutes les valeurs de A, Aj, x, x^, qui 

remplissent la condition 

xAj — XjA^ o. 

Supposons donc 

Aj = I + 7^, Xi = ep 
A =i r, X = i -{• s 



Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. 



69 



et développons les deux membres de (3) suivant des puissances de ?|Ti,s,f|, 
nous aurons en égalant les coeflficients de r, rj,s,ej les relations importantes 

^ , dP . , dF . , dF ; 



(4) 



,,aF , „aF , ,,aF 

a» ' '^ a^ * aa ' 

aF '^F dF 

dx ^ dy dz ^ 

a« * "^ ay a« 



Ces relations joueront un réle capital dans toute la théoriesui vante. 

Reprenons Tétude de Tintégrale ( i ) et cherchons la variation, que 
subit sa valeur, si nous étendons Fintégration sur un^ nouvelle surfaq^ 
4éterminée par les coordonnées 

...... ■...-.■ •• 

oii nous supposons d'abord f , ^ , C des fonctions régulaires des variables 
u et v. La différence entré les deux valeurs de Tintégrale devient 

AI=jJ^F(x + $,y + 7],0 + C.x'+^^^,...,x'^^ 



F{x,y,z,x\yr,si\x'\y'\z") 



dudv 



et la premiére variation 



dl 



rri^^Aj.^^' , aF^ . aFaf , ai^'af , . , , 



^y 



dx du dx dV 



On a ensuite les identités 



du\ dx) ~ dx aw * au W/ 



dv Vdx') dx' dv'^ ^dv [dx") 



etcet. 



70 



Oastaf Kobb. 



Alors en intégrant par partie, nous aurons 

/ / I n^ IP s /3 iP\ ^ /'n jp \~} P/i TP ^ /^ jp\ /i /^ jv \ T 



+F 



L9« 



^^Ct)-^;!?)]^"'''' 



+ 






eft^ 



Dans la derniére intégrale, ^integration est effectuée le long du 
contour C. Nous avons supposé que les limites de Tintégrale (i), ainsi 
que les valeurs de fl? , y , ;? aux limites soient determrnées. Donc les varia- 
tions s^annulent aux limites; Frntégrale simple disparalt, et la premiére 
variation se réduit a Frntégrale double. 

Nous allons transformer celle-ci, mais dans ce but, il faut étudicr 
les équations (4). 

En différentiant ces équations par rapport a aj'yY x"y"z" nous aurons: 






dx 



^^F 



, d^P 



— ^' ^ '^ ' + y' ^ '^ . + ^ 



^z^x 



o = X 



// 



d^F 



dydx 



d^F 

dzdx' 



dx' '^^"dydx '^ ^ 



, d^F 

dzdX 



dxdx' ^ dydx' dzdx\ 



„ a*F dF 
+ a7' 



dF 

dx 



— ; = a; 



d^F 



d^F 



d^F 



o — 



dx'dX ^ dy'dX dz'dX 

d*F d^F 9'jP 



o = X 



d'F 

dx'dx 



+ y 



, d^F 
dy'dx 



, a»F 



dF 



9ar a»; a»; 



, a«jP , , a'*' . , d^F 



Sur les maxima et les juioiiaa das intégrales doubles. 



71 



(6) 



d^F d*P d*F 

a*F a'F 3'F 

9aj ay ^ ay ' dzdy 

a«jp a«jp a»/?» ^f 

aajay ^ ayay a^ay ay 

aF „ a*F , „ a*F , ,, a"F 

ay a» ay ^ ay ay a« ay 



o = a; 



a'F 

aa5'ay' 



.,, 3'^ 



, d^F 



+ y"^ +^'rf- 



^y 



a« ay 



o = 



o = 



aF 



^ 3aj'ay' "^ ^ ay'ay' "^ ^ a^^ay' "^ ^y' ' 

, a«F , , a«F , , ^^F 

^ ^"^ ' + y ^m + ^ rrr-^ > 

asB ay ay a# ay 

^^p d^p ,a*F 

a» a« ay az az 

a*F a'F * d*F 



o = 



„ d^F , „ a'F . „d'F 

a«a» ^ ayax? 



az* 



o = a; 



// 



d'F 



a«F 



a'F 



aF 



aa;a« * ^ aya» ' a» a» a* 



a«' "" ^ aaj'a«' "^ ^ ay'a»' "^ ^ az'a«' ' 

a» a» * ^ djf dz a» ' 

^ a«F , , a*F , , a*F , aF 



?2' 



Oustof - Kob^. 



Entré ces 24 équations on peut d'abord éliminer les dérivées de F du 
premier ordre; il reste 18 équations, qui se partagent en trois groupes 
de 6 équations entré les dérivées du second ordre. 



(7) 



o = 



9»^ a*!?» a»jp 



„ a^ ,, a'F ,, a'F 
dx\'^^ dydx "^ ^ azW ' 



o = 



, aV . , a»F . , a'!?' 
a« a^ * ^ ay * dzdy . 



o = 






a'F 






// 



a'F 



* _ t 



dy dz dy 

^ dxdZ *dydZ dz 



jt 



O = 



O = 



, d^F , d^F _, , d^F 

, a'F , , a*l^ , . d^F^ 
aaj ay * ^ ay * - dzdy ^ 



= X 



n 



d^F 



dx 



h +y" 



d^F 



• — » 



dy dx 



+ /' 



a*F 
a?'aaj' * 



a'F a^P 9*F 



dx dy 



o = 



d^F , d*F d*F 

a» a« "^ ay aa? • a;? , 



= 0; 






r+ y 



* 



dz'dy'' ' 



+ ^ 



,,3'J' 



dz 



T» 



*F \ ■ , -d^F ■ J yF , 9'F \ _ 

syV "*■ ^^ 3y'3y' "^ ^ Va^^a/ "^ a^ay' / " °' 



a'i?' ^F 

,3a)"9y' 3a: 



Va* a« * aa; a« / * '^ \a// a^ dydz / ' a^ a« 



2a; 



// 



+ 



d*F 



dy dx 



-) + ^" 



d^F , d^F 



'dzdX 



dx'dx ' ^ \ai/.'a«' 
,,/ a'/^' , aV \' „ a'F , ,,/ d'F " , 

\aa; ay * dx dy / dy dy * \dz dy * 



a^: aj; 



a*F 

dz'dnf' 



= 0, 



= o. 



o? 



// 



/ d*F 9*F \ , 



„, 3'J' ■ 3'.F 
,3j/'3«' 3y"3« 



+ 



2Z 



^F 

dz\dz' 



= O. 



On observe, que les coeflficients de ces systémes sont les mémes; seule- 
ment les dérivées sont différentes. Il suffit donc de résoudre le premier 
systéme pour que les autres sen déduisent immédiatement 



Sar les maxima et les minima des intégrales doubles. 



73 



Considérons ainsi les 6 premiéres équations^ et éliminons entre^eux 
les dérivées 

d*F d*F' d*F 

dX* dy* dz'*' 



On aura 



{Z'T" - Z"X') ^ + W 



yf'z') 



y"x') 



9*F 

dxdz 



= o. 



f i 



dydx 



'■Mw 



o, 



= o 



On voit aisément que ces équations soiit satisfaites en posant 



dxdy' ^ 



dydz ' 



dzdX ^ 



y' y" 


si si' 


/ ^" 


X' X" 


si si' 


x' x" 


a;' a;" 


yf r 


x' X" 


y' y" 


y' y" 


si z" 



oii jPj est un certain facteur commun. En substituant les valéurs de 
. , et —rr-^ dans la premiére des équations (7), nous aurons 



,d*F 



F. 



# 


si z" 


y' y" 


m § 


X' X" 


y' y" 


y 






+ ^ 








wx' x" 


si. z" 




v r 


si si' 



ou 



'« ^ 1 



dx 



y' y" 



^ z 



// 



D^une maniére analoguef nous trou verons 






et 



9»F 



dz 



't 



Ada malhematiea. 16. IniprimC le 11 janvier 1892. 



10 



74 



Gustaf Kobb. 



Ayant ainsi résolu les équations (7), nous abordons le systéme de tres 
importantes formules 



(8) 






a'F 



3y 



9*F 



- = F 



; = F. 



d*F 



d*F 



F. 



F. 



= F. 



a V 



— = F. 



dxdX 

dydif' 

^ dzdz' 



- F. 



= F. 



y' 


y" 


;?' 


«" 


/ 


/' 


a;' 


X" 


a;' 


x" 


y' 


y" 


y' 


y" 


/ 


/' 


/ 


^' 


x' 


xr 


X' 


X" 


y' 


y" 


y' 


y" 


/ 


z" 


.?' 


z" 


a;' 


x" 


a;' 


x" 


y' 


r 



«ET 



a'i< 



dxdy 



d'F 

dydz 

d'F 

dzdX 



= F. 



= R 



= F. 



d'F 





dx''dy'' 




d^F 




dy^dz" 




d*F 




dz''dx' 


d'F 


dy dx 


dx'dy' 


d^F 
dy'dz 


d*F 
Sz'dy 


d*F 


d*F 



= F. 



= F. 



= F. 



= 2F. 



2F. 



dz dx dX dz 



= 2F. 



y' 


y" 


z! /' 


^ 


e" 


x' x" 


z' 


z" 


X' X" 


x' 


X" 


y' y" 


x' 


x" 


y' y" 


y' 


y" 


z' z" 


y' 


y" 


z" z" 


/ 


fi' 


X' X" 


/ 


z" 


X' X" 


X' 


x" 


y' y" 


X' 


X" 


y' y" 


y" 


y" 


/ z" 


y' 


y" 


z' /' 


/ 


z" 


X' X" 


z' 


z" 


X' X" 


x' 


X" 


y' y" 


x' 


x" 


y' y" 


y' 


y" 


/ z" 



F et JPj sont d^autres facteurs communs. 

Reprenons inaintenant notre intégrale double (5) et étudions Tex- 

pression 

dF d_ /dF\ ^ /dF\ 

dX du \dx/ dV \dx'/' 



De la preiniére des équations (4) nous tirons, en différentiant par rapport a x, 



dF , d^F , , d'F , , d^F 
dx dxdx ^ dydx 



dzdx 



Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. 

ensuite on a, en éffcctuant les différentiations, 

d /dF\ a V , i a'F , . aV , , d*Fdx , . aV dy' 
aiiVaic/ aica» dxdy^ a«'a« a*'*ait aa;'ay' aw 



75 



, d^F dz , a'F dx , a'i^' a//' , aV a2?' 



a^Z^a^; az^ dxdx du dxdy du dxdz dU 



a /a^\ ___ 



aa;''aaj a«'ay *^ dx'dz dx'dx dv dx''dy' dv 



d^F a^' aj^ aaj' a*/<^ a//" aV a«] 
a«'a«' ai; a«''ay aaj^ay' ay a«'a«'' ay 



Suivant les definitions des quantités 



on a évidcminent 









x\ 


y',z' 


, X", y", 


2" 








dx' 

du 




dx 

dv 


> 


du 






dz' 

9u 




dz 

dv 



Ainsi 



a^ 

dx 



' _a /dF\ d_ /dj^\ I 

du \dz) dv \dx') j 



•^ \dx dy dy dx) ' \dx 



Jd^F 5'^\f, .// ^*^ 



a;9 a^r aa; 



\ ^ ,, a*i^ „ a*/'' ,, d\ 



dz 



d*Fdx d^F dy d^F dz^ d^F dx" d^F dy' d^F dz 

dX^dU dxdy du dXdZ dU dx'^dv dJC^dy' dV dx'dz'' dV 



+ 2 



d^F dx 



dxdx 



dv \dy dx dx dy / dv \ 



d^F , aVAa^' 
+ 



dz dx dx dz 



\dz 

~)dv 



Maintenant nous employons les formules (8) et substituons les valcurs 

a*F ^^F 
cie ~ r; « ~ 7~ T" erc» 
a.c * aic dy 



76 



Gustaf Kobb. 



On aura donc, 



dF d 

dx du 



/dF\ d_ /dF\ 1 

\dz') dv \dx') I 



^ \dxdy dydx) \dxdz dzdxj ^ 



a«p a'j?» d^F 



dx dx 



dx dy 



dx d? 



+ 



if' y"|L riy' y" 



3« j^ 



«' «" 






du 



+ i' 




.'/ 



y 3«' 



jf 






au 



9u 



+ 



+ 



^' z" 



X' X" 



z' z" 



X' X" 






3V 
dv 



+ 



+ 



y' y" I *«J 

a;' a;" I a^-l 

y' y" I ^^ J 



OJ 

y' 



On peut montrer que la premiére partie de cette expression est aussi 
divisible par 



,// 



y y 

z' z" 



En ce but, nous diflférentions les équations (4) par rapport a x ^ y y z. 
Noug aurons donc 



dF , d^F 

— =^ X — . — 

dx dx dx 



dF d'F d'F d^F 

dy dxdy ^ '^.. ^-. 



(9)^ 



dF 
dz 



d*F d*F d^F 



dF 

dx 



T— = rr 



dxdZ 



dx'dx 



dF 



Ji 



d^F 



— — A»' 

dy dxdy 



dF 

T- =X 



\dz 



d^F 

dx''dz 



+ y' 


dydx 


+ y 


d*F 


+ y' 


d*F 

dydz 


+ y" 


d^F 

dy'dx 


+ y" 


d^F 

^y^^y 


JU ti" 


d^F 



, d*F 



Jf 



d^F 



^ dzdx dx dx 



+ z" 



dz dg 



d^F 

dzdx ' 



+ Z 



dz'dy ' 



d^F 



dy dz 



dz''dZ ' 



.'/ 



d^F 



O ^= X' , 
dzdy dxdy 



0= a: 



d^F 

dxdZ 



+ y 



+ y 



+r 



d*F 

dydx 

d*F 

dydy 

d*F 
dydz 



+ z" 



dzdx 



+ ^":r^ 



d^F 



+ z" 



dzdy 
d^F 

dzdZ 



O = 



d^F , , d^F , , d*F 



dx dx 



dy dx 



dZ dx 



O = 



a*F 9*2^ »•f 

dx dy ^ dy dy dz dy 



d^F d*F d^F 



9a; ais; 



9y 90 



dz dz 



Sur les maxima et les mioima dea intégrales doubles. 77 

Entré les 6 premiéres équations nous élimmons 

9'jP d*F d*F 
dxdz * dy^y. * 9»'3a 

en multipliant la premiére par x" et en retranchant la seconde multipliée 
par x'i ensuite, la troisiéme par y" et la quatriéme par y'; et enfin, la 
cinquiéme par z" et la sixiéme par z'r Ainsi 



et en ajoutant ces équations . ■■ , 

(^o) -r 9^+^ iF+' ä7j 

* \ ^ ^ ^\dzdy dydzj 

On aura aussi de la 7""**, 9**°"" et 1 1 **"**' des équations (9) 

dF dF dF 

[d*F d*F d*F 1 

aa 3a 3a aa; ' "^ 3a dy J 

et ainsi de la 8'*"", lo'*"» et i2""» 

[d*F d^F d^F 1 

^"3-iT. + ^"3vry + ^"3rFj 

[3*F ,^ a*F „ d^F "1 ,r ;; 9'F ;„ d*F ,, d*F "I 

^ a7?y "^ ^ sTäi "^ ^" 379iJ "*■ ^1 3^'9^ "^ ^ 373^ + ^' 3?3^ J' 



78 



Gustaf Kobb. 



Considérons enfin les expressions 



y 



J d^F 



,dx'dy dy 



,/a'F 



dydZ dZ 



■9x) ^ \dxdz dzd») ^ ^ Zxdx ^ ^ 









,/3'jF a'F\ , „ d*F , „ 9*F . „ 9*F 






dz dx ^ 9z 9y 



En inultipliant la premiére par x', la seconde par y" et la troisiéme par 
/, nou8 aurons en les ajoutant et en tenant cpmpte ä l'équation (12). 

Ax' + By' + C/ = 

et d'une nianiére analogue en vertu des équations (10) et (11) 



Ax" + By" + Cg" = o 



d'ou suit immédiatement 



A = G^ 



y' y" 

/ g!' 



B= G, 



^ z" 



x' x" 



C= G. 



X' X" 



y' y" 



et par conséquent 



(13) 



dF 

dx 



_a /dF 

du 



\dx') dv \dx/ 



/ -.»/ 



y y 



t jti 



z z 



Gy-^F, 




y 



n 



Jt 



dx 

— + 

du ' 



z' z" 



X' X" 



+ F, 




.'/ 



y \9x 



jf 



av 



+ 



{\y' v" 

Y\z z 



dx , 



z' z" 



x' x" 



z' z" 



X' X" 



dV 



+ 



X 

y 



dV 



+ 



X 

y 



dy , \^ ^ \dz \ 

du \ y' y" du I 
' ^" I ?i1 

' y" ^^ 

' X" I di\ I 



Sur IcB maxima et les minima des intégrales doubles. 

D^aprés le mémc procédé, formons les expressions 



79 



dF 

du 

dF 

dz 



a_ /aF\ 

du \dy) 



d_ /9F\ 

dv\d7) 




d_ /aF\ 
dv \dz)' 



Alors nous trouverons que la quantité entré les { } reste la méme, cé 
qui était a attendre, parce que cette quantité est invariable par la sub- 
stitution circulaire 

Cest seulement le premier facteur qui est changé en 



^ 


/' 


et 


X 


X" 


X' 


x" 


• 
• 


y' 


y" 



Nous introduisons maintenant la notation 



(14) G = 



G, 



.\\y y a£^ 
A\y' y" 



y' y" 

z' si' 


a.' 

3m ^ 


«' z" 
x' x" 


3.- 

dv * 


z' /' 
x' x" 


dv ' 


ai; ^ 


z' z" 
x' x" 


dv * 



// 



3y I a;' a; 

att + I y' y" 



/ ^ff 



X X 

y' y 



II 



y y 




X X \ Zz 
.n I ä 




du 



• • 



et nous aurons ainsi 



(15) 



aF d_ 

dz du 



/d_F\ a_ /aF \ _ 

\ä«7 av \dx) "" 



aF a /aF\ d_ /dF\ _ 

dy du \dy') dv \dyj "" 



aF d^ 

dz dtl 



/dF\ d^ /aF\ 

\dz) dv \ä7/ 



y' 


y" 


z' 


/' 


ä' 


z" 


X' 


x" 


X' 


x" 


yr 


y" 



G, 



G, 



G. 



80 



Ottstaf Kobb. 



En substituant ces expressions . dans la formule (5) celle-ci devient 



<?/ = 



JJ LK ^" 



■ 


a' z" 




e + 


X' X" 


^ + 



X X \ I 

y' r I J 



dudv. 



Telle est la forme définitive, que nous pouvons donner ä la premiére 
variation. 

Parmi toutes les variations, que la surface peut subir, ils s'en trou- 
vent certainement de. la forme 

oii ^ijyju Cl sont des fonctions arbitråires et k un constnnt également 
arbitraire. Dans ce cas, la variation totale A/ de Tintégrale (i) prend 
la forme 



(16) A/ = 



'"PK: 



" 




2* z" 




" 


e, + 


X' X" 


Vx + 



■' X" I 1 



X 

y' y 



-f- IC \» • • • j j -p • • • . 



Nous pouvons toujours choisir k si petite afih que le signe du second 
membre ne dépende que du signe du premier terme et du signe du Ä; 
or si A/ conserve toujours le méme signe indépendant de ä, il faut que 



Tintégrale double soit nulle 



Kirr: 



f. + 



z' «" 



x' x" 



Vx + 



x' X" I '1 



y y 



ou en introduisant une notation, qui sera conservée 



w = 



y y" 

z' z" 



e + 



z' z" 



X' X" 



V + 



X' X" 



y' y" 



(17) 



fjGwdudv = o. 



Considérons maintenant une intégrale double 



\\<p[^ , v)^{u , v)dudv 



Sur ](*A maxima et les miniuia des inU^grales doubloR. 81 

étendue sur tous les points dans Tintérieur de la courbe' fermée 

f{u , v) = o. 

• 

Il n'e8t pas nécessaire que la liinite soit une seule courbe; elle peut aussi 
étre composée de plusieurs parties. Supposons que jr et ^ soient des 
foDctioDs continues et cherchons les conditions nécessaires^ pour que Tinté- 
grale (17) soit nulle, si ^»(w,?>) est complétemont arbitraire. 
Il est evident que Ton doit avoir 

jr(w, v) = o. 

pour tous les points dans 1'intérieur de la courbe 

f{u , v) = o, 

car dans Tautre cas, nous pourrions choisir le signe de ^(w , v) egal au 
signe de ^{u , v\ de sorte que Tintégrale devienne une somme des quan- 
tités positives, qui ne soit pas nulle. Il est facile de voir, que cette 
condition existe encore, si la fonction ^(w , v) 8'annulc aux limites. En 
eflfet posons 



f?^{u,v) = f{u,v) jr(t/, v). 



Alors rintégrale devient 



JfrÅ^,v)i/>^{u,v) = 0, 



d*ou nous trouvons 

Fi(«* , t;) = o 

pour tous les points intérieurs. Mais de cette équation et de l'équation 

^,{h, v) = f{u, t;)jr(«/, r) 
il s*en suit que 

et parce que f(u , v) est supposée continue, que Téquation subsist^e méme 
aux limites. 

Äeta mathtmatiea. 16. Iniprimé le 2S JauTier 1892. 11 



82 . ' . • - Gu8taf Kobb. 

Nous appliquons ces cbnsidératiöns a Tintégrale 

(17) JTOwdudv = o. 

Ici w est la fonction arbitraire, parce que elle renferme les variations 
f,iy,C O au cöntraire est indépendante des variations. Apres lä. 
théoréme récemraent démontré nous trouverons 

(18) G=o ■ 
pour tous les points situés dajis Tintérieur et sur la courbe 

qui forrne les lirnites de l'intégrale. . 
La condition 

G= o 

nous donne une équation aux dérivées partielles du second ordre, dé- 
terroinant les surfaces^ qui peuvent rendre rintégrale double (i) un ma- 
ximum ou un minimum. 

Il nous reste a étudier les Solutions de cette équation, et ä voir 
si elles donnent un signe invariable a la variation totale 

AI 

mais avant de faire ces recherches nous devons nous rendre compte des 
restrictions, que nous avons faites pour transformer Tintégrale ål. 
Nous avons employé dans ce but Tidentité 



du 



\ dxj dx d^ ^ ^ du \dx I 



que nous avons integrée pour parvenir a la förme (5). Mais, méme pour 
des variations continues, nous sommes obligés de supposer que les variables 



^,y , ^, iZ?',yS z\x",%f, z" 



gont cohtinues. Supposons également que x^y^z soient continues, mais que 
x\y' j z' , x'\y" j z" cessent de Tétre et, par conséquent, quHl existe des 



Sur les maxiiDa et les minitua des intégrales doublc^. 



83 




lignes de discontinuité sur la surface. Soit AB une 

telle ligne et tra9on8 autx)ur de AB un certain con- 

tour fermé CD sur la surface de fa9on que dans Tin- 

térieur de ce contour il n^existe pas d'autre ligne de 

discontinuité. Maintenant nous pouvons faire varier 

la surface de maniére que la partie au dehors dé CD 

ne soit pas changée. Ensuite nous partageons Tinté- 

gralé (i) en deux parties; dans Tune Tintégration est étendue sur la partie 

ABD de la surface, dans Tautre sur la partie ABC. Dans chaque partie 

la surface est réguliére et nous pouvons, par conséquent, effectuer la 

transformation de Pintégrale a la forme (5). Ainsi: 

dI=JfGwdudv + ffGwdudv +Jh +fHy 



ABD 



[BD. 



A BD A ACBA 



Mais il est evident, que Ton doit avoir 

pour toute partie réguliére de la surface. 

Ensuite, les variations f,iy,C s'annulent au contour CD. Alors 
dl se réduit ä 



+ 



^^=/^+/^=/(^ 



H), 



AB 



AB 



si nous désignons par H et H les valeurs de H aux deux c6tés de la 
ligne de discontinuité. 



(?/ = 





dF\ /dF\ \ dv 




+ 




dF\ 



dv 
ds 



+ 



-Cl)-) 

//a^\ /dF\ \dv 





dF\ /9F\ \dif\ 



dF\ /dF\ 




ds étant Télément de Tarc. 



84 Gustof Kobb. 

Par les iiiémus considérations qu'au para vant nous trouverons, pour quc 

dI=o 

que suivant la ligne de discontinuité 

L WA Wv J ds Lv^A w)-} di -' ""' 

ou en d'autres möts, que les quantités 

dFdv dF du dFdv dF du dFdv dF du 



(«9) 



dx ds dx" ds ' dy ds dy" ds ^ dz ds dz' ds 



doivcnt rester toujours continues suivant chaque courbe tracée sur la 
surface, pour que Tintégrale (i) puisse étre un maximum ou un mi- 
nimum. 

Nous avons trouvé comme condition nécessaire ä Texistence d'un 
maximum ou d'un minimum, que la surface ou au moins chaque partie 
réguliére de la surface, doit satisfaire a 1 equatiön aux dérivées partielles 

G = o. 

Il faut, maintenanty étudier les solutions de cette équation et distinguer 
celles, qui pour toute variation possible donnent a Ai un signe invariable. 



Sur les maxima cl les minima des intégraics doublcs. 85 



II Partie. 

Sur Véquatian G = o. 
Etant donnée une équation aux dérivées partielies du second ordre 

,w' d» dZ d*Z d*Z d*z\ 

on peut se demander s'il peut se presenter qu'une intégrale de cette 
équation soit déterminée seulement par la condition de passer par un 
certain contour fermé de Tespace. L'équation de Laplace 

a'« , d*z 

dz* ^ dy* 

en donne Texeinpley mais est elle la seule? M. Picakd ^ a résolu cette 
question pour les équations linéaires, et il a donné des criteriums avec 
lesquels on peut, d^avance, sans avoir intégré Téquation proposée, juger 
s'il existe ou non une seule intégrale passant par le contour. 

En nous appuyant sur les resultats de M. Picabd nous allons étudier 
la méme question pour les équations non linéaires. Nous nous bornerons, 
pourtant, aux équations qui sont linéaires par rapport aux dérivées du 
second ordre. Soit 

Téquation proposée. A ^ B et C sont aussi des fonctions de u , v ^ x 

dx dx ^ . 
— , -- . Soit 

du dV 

deux intégrales de cette équation qui passent par le contour donné^ on 
a, évidemment, -^ 

(2) A0 = 0{x + S)— <l>{x) = o. 



' Journal de Math. 4 serie, tome 6, pag. 145. Sur la tkéorit des éqfmiums 
aux dérivées partidles et la méthode des approximations successives. 



86 Gustaf Kobb. 

Considérons Tintégrale double 

(3) jT^ [^(^ + f) — <t>{^)]dudv. 

L'intégration est étenduc sur tous les points dans rintéricur de la courbe 

fermée 

f(u , v) = o, 

qui est la projection dans le plan {u , v) du contour donné. En vertu 
de (2) Tintégrale double (3) est nulle. On voit ensuite, immédiatementy 
que f s'annulle sur la courbe 

f{u,v) = b. '■ 

Développons, maintenant, la différence (2) suivant la formule de Taylor. 
On aura, en s'arrétant aux termes du second ordre 

(4) 0{^ + ^— <P{x) 

o\x -Hj renferme les termes du second ordre. Oömme est linéaire par 
rapport aux dérivées du seéond ordre, il n'y a pas de termes de la forme 



/m' (d^y (^_!iy 



Alors, on peut écrire 

oii Tx et r^ sont les trois quantités f > r- j — et les Axfi sont des fonctions 

linéaires de f et de ses dérivées du premier et du second ordre. 

Nous substituons . la valeur donnée par (4) de la différence (2) dans 
Tintégrale (3) et intégrons par partie les termes 

en observant que f s'annulle aux limites. Par cette integration par 
partie les termes sous les signes sommes, qui proviennent des termes du 



Sur les maxinta et les niinima cles intégrales doubles. 87 

preilåter ord re' de lä diflFérence (4) devieniient aussi une forme quadra- 
tfqué des vwiables Ti , z), ;. ; . ?.:-:. 

mais, oii les Axf, sont indépendantes de f et de ses dérivées. Uintégrale 
double (3) prend ainsi la forme 

(5) /{^[^A, + A[,]T,T,]dudv = o. . 

Supposons que 

' . ' X = ic{u ,1') 

soit unq intégrale de Téquation ( i ). Substituons . cette valeur dans lefs 
"coefficientg A^f^ et A[^. Alors, si la forme . quadratique - 



H=TA 



Xfi ^A ^/i 



dans la region considérée du plan est une forme définie, on peut toujours 
fixer des limites supérieures de $ et de ses dérivées du premier est- dU 
second ordre, de fa9on que la forme quadratique 

» • • 

sera aussi une forme définie. Mais^si la forme sous les signes sonime^ 
est définie, Téquation (5) est impossible, sauf pour 

af d$ • 
Tj = r^ = Tj = o ou f = — = ~ = o. 

f 

Cela veut dire, que Ton peut entourer le contour donné d'une aire telle 
que dans cette aire il n'existe pas d'autre8 intégrales de Féquation (i), 
qui passent par le contour donné, et qui différent tres peu de Tintégrale 
déja Irouvée. Aiiisi pour démöntrer Texistence d'une telle aire, il suffit 
d^étåblir, que la forme quadratique 

H= ^Ai^T^r^ 

qui provient des termes du premier ordre de lä diflférence 

A(P= (P(ic + f)— 0{x) 

soit une forme défirtie. 



88 Gusmf Kobb. 

Ces resultats peuvent, facilement^ étre étendus a une équation du 
second ordre avec un nombre quelconque de variables dépendantes et 
indépendanteSy ainsi qu'a un systéine d'équations. Supposons, par exemple, 
qu'il s*agisse du systéme: 

^,(^ . V , ^) = o, 0^[x , y , -?) = o, 0^{x ,y,z)=- o. 

Alors, on considére Tintégrale double 

ff[S^<P, + r]A0, + C/^0^\dudv = o. 

Il y a, pourtant, une simplification importante^ qu'on doit observer. 
Nous avons supposé Texistence d'un certain systéme d'intégrales 

X = x{u y v)y y = y{u , v), z = ^{u , v) 

et nous voulons savoir s^il existe un autre 

qui passé par le méme contour.* Mais alors, il n'est pas nécessaire que 
les trois fonctions f , ly et C soient indépendantes. En effet, cela revient, 
au fond, ä }a question de faire correspondre ä une surface primitive 
une autre, qui en est infiniment voisine. Cela peut se faire d'une in- 
finité de maniéres, mais, si la surface primitive est régulaire il suffit, 
évidemment, de poser 

f = a/, rj = bly C= cl 

T)u a jh jCy sont des cosinus directeurs de la normale de la surface pri- 
mitive au point (o? , y , z)» Alors, la quantité sous les signes sommes 
devient une forme quadratique de I et de ses premiéres dérivées, sur 
laquelle nous pouvons employer notre méthode précédente, 
Nous allons employer ces principes sur notre équation 

mais, il vaut mieux considérer le systéme équivalent I (15) 



Sur 1q8 maxima et les- minima des intégrales doubles. Sd 



^ ~ dx du \dx) dv \dx') ~ ^' 
^ ~dy du \dyj dv \ay7 "^ ?' 



^ _ aF d^ /dF\ 2. /?^\ _ 

dZ du \dt / dv Xdl' / 



t 



Notre intégrale double sera alors 

/{f Ar, + ly Ar, + CA^ \duclv 
ou, en nous bornant aux termes linéaires, 

(6) jff^lW + 7^A + Cår,}dudv. 

En vertu de la forme spéciale des coe£Ficients des dérivées du second 
ordre on peut aussi intégrer par partie les termes de JT,, qui contiennent 
les secondes dérivées de ^ jTj et C- Les fonctions A'^^, ne contiennent pas 
donc ces dérivées et, par conséquent, il suffit de fixer des limites supé- 
rieures de ^ , ly , C et de leurs premiéres dérivées seulement. 

Pour montrer eela il sufiGt de considérer les termes de la forme 

djd^ djjd^ ^^^ 

du du* * dv dv* ^ 

car les autres termes sont immédiatement intégrables. On a 

d*Fd*x d*F d*y 

^ dX*dU* dxdy du* 

et, par conséquent 

^ dydX*dU du* dX*dy' dU dU* 



• • i 



• • • 



ou 



Ar ^ g'^, g p?9^\ 



De la méme maniére on peut traiter tous les termes de cette forme. 
On voit donc qu^ils sont intégrables. 

Äcta maihenuUiea, 16. Imprimft le 2 ftrrier 1892. 12 



90 



' Gustaf Kt>bb; 



s"» 



11 8'agit ensuite de former Texpression - 
Dans ee but partons des formules données I (15) 



On aura' 



y 


y"\ 


^ 


z" 


2' 


«" 


X' 


X" 


x' 


X" 


y' 


y"\ 



a* aM\a«/ dv\dx ) *' 



ö=^ 






d_ /dF' 



du \dy / .' .dV 



m- '-'• 



G = 



dF 

de 



,1 



f > • 



• ^ 



?'' 


y" 


«' 


z" 


/ 


z" 


X' 


x" 


X' 


x" 


y' 


y" 



JÖ + T? 



åG + 8 



ÖG Ar d 



y' 


y" 


^' 


/' 

^ 


z'- 


if" 


x' 


X" 


■X' 


x" 


t 


y". 



G=dl\, 



G - år,. 



G = dr,. 



En multipliant la p^e^liére équation par f, la^conde par jy, la troisiéme 
par C et en les ajoutant on trouvera, parcé que 

G =^0 





y' y" 




^r' if" 




te' X" 


f 


«7 %/ 


+ 7 


# f / 


+ c 


i il 




/ 2 




X X 


• ■ - 


y- y\ \ 



öG = 5dr, + :yoT, + öJr, 



ou en employant la notation déja introduite 

wdG = ^<yri + ^«?r, -i- c^r,. 






Sur los maxima et los miDima des intégralos doubles. dl 

Galculons en rexpression 



f I 

' 9«;; ^ av' "^ ayi; ^ aw" * dz[[ ^ dv^ ~ dz[i ^ dudv "^ ae/i, ^ dudv "*" a«n ^wav 



ou on a 



a* - M a«' 



' — " _ ^^ — ^*' 

*' * ay du 



ctcet. 



Le ealeul des coeffieients de cette expression se fait facilement; seule- 
meiitii faut observer que 



_d_ r_a /^^\"| _^ a*F ^ /a'F\ 

aa;' [du W/ J "^ «'«^« ^ 5w Wv 

ay l^aiÄ Va*/ j; dxdy du \dzdy ) 



etcet. 



inais que 



a ra /aF\-j _. a / a'F \ 
ay Lav \a« / J av \dx'dx ) 

' \jv \a«7 J ""au \aa;'^i/ 7 



a 



etcet. 



92 Gustof Kobb. 

On trouvera ainsi 



+ 



MF = f— — ~ (—) — - ( ^'^ "115' 

1 La»' at*\aa;'aa;/ at;\a»''a«/J^ 

[dxdy zu\dzdy) dv\dx'dy)y^'^\dxd9 du \a»>«/ äv \äZäi/ j^^ 

"*" L ^w Wv 3v \aaj'aaj7j^aw "^ L ^^^ W^» / 31^ \a«'vj^at; 
4. r ^*^ _ 3'^ ^ / a'y \ ^ / a'jP \1&3? 

Laajay' aa;'ay du\dzdy/ dv\dx''dy'Jj du 

JL r ^*^ _ ^'-^ _?. / ^*F \ a^ / d*F \-| ^aC 

Lasca»' a«'ajc au\a»'a»'/ av xaaf^aÄ/j au 

, r a'f __ a'f ^ / d^F \ a^ / d^F \1^^ 

L^^y' aaj^ay du\dxdy/ dv\dx''dy'/j dv 

r aV aV a / a'i^ \ a / a'jP Nl^ ^C 

Laara»' dx'dZ du\dxdz'/ dV\dX^dZ/J dV 

I * ■ * 

"a»'* au* dxdy^du* dxdz du* dx"*^ dv* dx''dy dv* dx'dz'^dv* 

/ aV ^'^ \g ^^ / a*y ^'^ \ g ^'^ 

\ay'aa?' dx'dy' ) dudV \dz''dX dx'dZ ) dudv* 



d'F ^ d'$ 

dxdx' dud^ 



Multiplions les deux membres par dud/o et intégrons par partie les termes 
qui contiennent les dérivéed du second ordre. On a, parce que f , ly et 
C 8*annulent aux limites 



Sur les maxima et \eé miiiiiBa ekes intégraloB doables. 9S 

JJ dxdx dudV JJ \9xdx dVdU dv\dxdx / du\ 



'If\^ 



dX dx'dy I dudV 



dudv 



-ffU 



^ du \dy''dx ^ d»'djf'J dv 



dX 9x'dy/ dudv 



dudv 



etcet. 



En traitant de la méme maniére les deux autres expressions 



Tjå 



dy du\dy) dv\dyyy 



Cå 



dj^ _a /dF\ ^ /dj\i 

dZ du\dZ/ dv\dg/\ 



et en les ajoutant a la premiére, noos aurons enfin 



(7) 



fftoåGdudv 



~JJ |l^*' du\dxdx) dv\dxdx)y "*" Uy' du\dy'dy) dv\dy'dy)}'^ 






d^F 
dxdy 

d^F 

dxdz 

d^F 

djfd9 



, rd*F d^ r d^F \ d / ^'^ \1^a 

^[dM^ duXdadsi) dv\d9'd»)y 

r / d*F d^F \ d^ /j^ 

du \dxdy ' dydxj • dv \9aj' 



d^F d*F 



dy dy dx 



)> 



du [dxdz "*" dzdx) dv \dx'dz "^ dz''dx)y^ 

d / d^F d^F \ d / d^F d^F \-i ^ 

9tt \ay'^« 3«'3y/ ^v \dy'dz "*" a«'ay/ J^^ 



3y'9» 



+r— - 



d^F 

dx 



ay dv \dx'dy' / J ai* "*" L 



dx dy dy dx 



d*F_ 
d^ 



d^F 
dx'dy 

d^F 

dxdz 



d / a'F \-[ 9^ 
au \ay'a«/j'9i* 

L (JlILX\s:Vl 4- r ^'^ a'jP , _a^ / a'jP \"| af 
au \a«'ay'/ J av Laaj^ay ay^aa; aw \ay'a«/J'av 

ae; \aaj'a/ / J au "*" \dxdz dzdx dv \dz'dx / J Si* 



94 



!. 



aastaf Kobb. 



.■■ ( 



, r 'a^ 9«F - a / ;a'F y-j^ac , r 



5'F 



a'F ...a / d^F 



dX dZ . ,dZ dX. . dtlr \dz dX 



m 



+[ 



9*F 



9*F 



Sz dy jiy 9i 



9v \di/' dz J.y 9u "•" Idydz' , ,dzdy ä» \9a'3y7j; 9H 



n; 



+[^" 



5y 



a'F ^ / 'a'F \-| aC . r a'j^ ^ a*i?^ ^ /_lj?l_\lr?2 
ay'aa aw \3y'5« / J' 3u L^y'^^ ai'a</ au \dz'dy' J ] dv 



, a»F/af\' , a'i^ af 

-•I r; I — 1+2 — ; ; 

dX ' \dU/ dX dy du 



11/ -L 3'i^ ^^^^ .I, ^'P/^?\' a*F ayaC 

-.-. "T ^j.'3^' 9|4au ay* \dU/ - dydz dudU 



du 



dX 



I M 



a^/a^y a^/afy d^F d$dij d^F d$dC d^F /a^y 

d^F drjdC d^F /dCy d^F af dé / d^F d^F \/d$ a^ af aiyx 
ay'a«' ay av a«'' Vai;/ • aaj'a«' ^uaw • \^y'^»' T' dx'dy'J\du^v di^^dul 



"*" \a/a«' "*" dx'dz )\dudv "^ ay 



^€K\ , a'F a^yaiy 

aiv dy dy' du du 



. \ 



• ' . 4. /^'^ •/ d'F\ /d7j,di: ijdjv , ^'; 3'^ dCdC 

\dz'dy' dy'dZ )\dudV dVduJ dzdz" dudV 



äudv 



Transformons cette intégrale: En premier lieu on a, évidemraent, les iden- 
tités suivantes 



° " 2JJ \dv \?x9y' ^ 9y'9x) du ^^^^ 9u \3«'9y' "'" Jy^') 3l> y^\ 

... . , 

I 

-i ff\l. fJlEi j. _?1L\ 1 c^n —I ( ^'^ - 1 _!Z:\ ' /»A^> 

2JJ \dv \dx'9z ■•■ a?'aa!' / 5>M^*^^ 9u \9z'.9z '^ 3a'»*7>^ ^ 



m 



dudVy 



dudVj 



duäv. 



En äjoutant ces identités ä notre intégrale (7), les termesrenfermant les 
produite des variations avec leurs dérivées prennent une formé plus gym- 
métrique, savoir ' 



Sur les maxima et \é9 tö^nimtk des intégrales doubles. ,95 

Layaa? aaj'ay 2 av \aj;'ay' ay^aa?/ J ' au ' 

• • • ■ ' . 

• • • ■ , 

r a'2^ a*F , J _d / .9*F ; a'F \-i aiy 
Lay'aaj aa5'ay 2 au \aj5'ay' ai/'aaj / J av 



* r » 



r a'f a*y i a / a*F ' ^'^' \1 ?i 
Lay''aa? a;9'ay T" 2 au. \a;c'ay' d}^'dx/ }' dv 






etcet» 



Il faut, maintenanty calculer les expressions •:.'.- 1 j 

I a / aV,' ' a V' v . x a / a'^1 . a V \ ^ ^ 



• •• 



et, dans ce but, nous partons des quatre équations suivantes, qui se 

trouvent partni les équations I (6) 

•' • ' . * ... — 

dF a'F d*F d^F 

a^_ , d*F , d^F ^ d^F 

,dF „ d!F , „ d^F , ,, a V 



a» - ' a» a«' ** ^ dy^seT- * , " aVa^" 

"•' •'* «« *« 



. "dx . - ..; dzdz r. dydx aa^»^ 

Multiplions la premiére par + z\ la seconde par — z'\ la troisiéme — /, 
la quatriéme par + ^'' :,et . ajoiitons. ' . Nbus^ t^^^ 

* • * *• . ■- ■ « 

(dF dF\ , v a*F r X d^F '. 

ou en introduisant les notations 

y V — y' V = "« i • z'x'[ ^ ;?' V; =ä y9, y/' — rr'y = ;-, 

a»2fj . -^ V \ ,'aF , ' ndF 



.1 I VF '^ F \ \^F 

^^ ^ .\aaj ay ayaA?/- ^ jaa: ' 



äa; 



•'• ■ 



9« 



HuåUt Kobb. 



En différentiant (8) par rapport a v 



1 d_ /j^F 

2 av \dx 



^F d^F \ 

'dy' dy'dx/ 



z' 



dv 



\dx) '^^ dv WJ "^ dx dv 



+ 



dF d»[ 

dx' dv 



Ida / 9*jF a'jF \ 

2 dv \d»'dy' dy'dX ) 



or les valeurs de o: , j/ et j? satisfont ä Téquation 



dF 2 /a: 

dX du \dX 



_a /dF 
dv 



© = "• 



par conséquent 



ainsi 






= ^' — —z"—(— 



I a / d^F 



a*p 



5 /9F\ , ^Fdt 



dy 9y dz 



A =;?"- + / - (^A\—e"- (-) +^--+ ^ 

'/ aa? au \aaj 7 du \dX/ dX dv dx' 



dF Zj^ 
dv 



I da / d^F 



' 2 av V 



"^ ' 



dx dy dy 



d^F \ 
y'dx/' 



Parmi les formules I (6) et I (9) on trouve les sui vantes 



(9) 



f 9F 
9x "~ 

O s= 



»»Jr» , , «'F , , 9*F 



9xdz 



X 



n 



9*F 

9s'9a; 



+ y 



9y9z 

„9*F_ 
9y9z 



+ «" 



9t9z 



9*F 

9z'9x 



_,, 9*F . „ 9*F . „ 9'^ 
'^ 9a!'9a!' "^ ^ 9y'9x "*" * 9»'9«' ' 



■ I 



9F_ 
9x 






. 9*F 
9iB'9«' 



, 9*F 



, 9*P 



y 9y-9x * 9«'9a;' ' 



O = 



, 9*F . , 9*F , j 9'.F 

a« ■ * ^ dydx ' a» a« 



.0 = 



te 



#/ 



9»!?' 



.„ 9*F 



„ 9*1?' 



9»'» "^ ^ 9y'9a!' "^ 9»9« 



Sur Ics maxima et lc8 uimima des intégralcs doublef). 97 

On a cnsnite 

dx' dX dy' dy' dz' dZ 

du dV * du dV ^ dU dV 

dV 

En différentiant directement — . par rapport a u et v, on a on vertn des 



dx 
relations (9) 

2 dv \dx'dy' dy'dx' ) 



[d*F d^F d*F 1 r d^F d*F d^F 1 

" dxdx ' dydx ~ dzdx J L ^^^^ dydx "^ dzdx\ 

"*" |a«'a«' * dxdy ^ "^ dxdz '^ dx*dv * dxdy dv ' 



9a; 9j? du 



, d^F dx' , a'F 9y' , d^F dz'-\ dz r ,d-F , , d^F , , d^F -] 

4" — '1 — T — 4" f ' — 4" — > ■ I «— ~ — I ^ — p- 4» f/ — ^ — - »x^ z , — T I 

dxdx' dv dxdy" dv dxdz' dv \ 3y L ^* * 3x9»/ 3a;'3«' | 

9«iP ^ a«2r ^ a»^ a'Faa;' , a*F dy' , a*F a^' 



,,r 5 -^ / . 3^ # I ^^ ^ I a-i^aa; , d'F dy , 
|a«'aa? ^ dxdy^ ~ dxdz ^ dx'*du dxdy' du^ 



dx dz du 



~ dxix' du ~ dxdy' du ~ dx dg' du ]~ du\^ dx'*~'^ dxdyi ~ dxdz] 

_L ?i r.r" J'Z_ a. «" ^'-^ . y> Jl£_'\ _ !i' f^r' -L'^ O. «' -!!^ _L y Jll-1 
"^ ai> I aa;'aa; "^ '^ 3.v"a« "^ a3'3a!' I dv I 9«'3-e * 9t/ dx "•" ^ a«'9a; J 

2 9» \9«'5y dy'dx' ) 

Lay a* dxdy\ dX-\ du du, du d\l ] 

' dxdy \ du ' '' du '' du du I 

, d*F ( ,dx' , „d» ,dz' „dx'\ 
j^ / , d£ dz_ _ a/ _ a./'\ __ i^ a« /j^ _ a'f \ 

"^ 3.v'3a;' V* 3r ' '' au "' dv " dv ) 2 dv \dx'd)i' dii'dx / 

Aeta mathematu-a. Wx. Iniprltnf* Ip -1 TAvrior 1802. |;) 



98 



Gustaf Knbb. 



ou en tenant compte des vnleurs de a et jS 






dx 



2 dV \dx'dy' dy'dx'/ 

'F-\ d^Fdfi ^'^ ^^ M ^*^ ^^^ 

dijj dx*dll dxdy dU 



0*F \ da 



dxdx dV 



I / a'F a'F \ da 

2 \dx'dy dy'dx'/ dv ' 



maia suivant I (8) 



d'F 



't 



dx 



a'F 

dx'dX 






d^F 



+ 



a'F 

dxdy 
d'F 



dx dy dy dx 






et par conséquent 



i d / d'F d'F \ ^ a'F d^F . jp / ?/?_^M i ^r/ ?^_ ^!f^\ 

2aw\aa;'ai/ dy'dx') dydx dxdy ' \ a?* ' du) ^\ ay ' dv)* 



De la inéme maniére, on trouvera 



(TO) 



d^F 



d'F 



f I a / a'F d*F \ r d'F _ d'F n 

\aa;'ay' dy'dx) 1.^2/'^* a^''ayj 



2 aw vax dy dy dx 



dx dy 



a>9^ 



äy 



dv/ 



I a / a'F a*i?' 

2 dv \dx'dz' dz 



'dx') " 



a^ 
a^a» 



dx 



dz ^ ^\ du 



da\ 



+ ^3(« 



av 



a«\ 
di)' 



i^/ a'F 



a»F 



2du\dx''dZ dz'dx' 



r a*F 

ydzdX 



+ F, 



8 



1 a / a*F 

2 ay \ai/'a«' 



.dy dz 



yF_\ 

dz''dy ) 



d^F 



dz dy dy dz 






d^F 

dx 

da 
än 






It 

du. 



+ ^. (/r^ 



dl 

dv. 



\ d / d^F 



2 du \dy dz 



Hz^y } 1 3/31/ 3y'3»J ^ »\'3y '31)/ 



Sur Ics luaxima et lc8 uiioiiiia des intégraics duubles. 



09 



Nous introduisons maintenant ces valeurs dans les coefficieiits de notrc 
intégrale (7) en einployant les abréviations 





* 9v' 


P -du' 


S" ^^ 
P dv 


etcv.t. 


^ 9u' 


^ dv' 


n' = '' 

"^ du' 




etcet. 



Les termes contenant les dérivées des variations peuvent étre écrits de la 
maniére suivante, si nous nous servons des formules I (8) 

U=- [F,{a^ -^a') + F,{aj3-' - fioé')]^' 

+ lF,{a^ -/9«') + i^;(«/S"-y9a")K 

- [F,(ay9" - /?«") + F,{a^ - y9a')]^" 

+ [^^(ct/?" - y9a") + F,(a§; -/9a')]^r 

+ [^,(«r' - K) + F^W - r«")]Cf 

+ \F.{<^f -r«") + ^3(«r' -r«')]^f' 

- [^i(/9)^ - m + ^"',(/5r" - r/?")K' 

- \F.W - rn + FM - r?M" 

+ {FM' - rn + FM - mw 

+ F,(«'f " + /9V" + r'C"' + 2ay9rY' + 2«r^'<r" + 2/9)Ty"C") 

On voit immédiatement, que les trois demiers termes sont 

+ 27';(af + ,'?'?' -i- K')(«--' + N' + r^O- 



100 Gustaf Kobb. 

Xous allons eiisuite former Texpression 



"-»'-■O+^-.O + ^^^.iflr: 



ou u; a la mémc signitication qu'auparavant savoir 

tv = a^ + I37J + rCy 



alori 



^ = af + prj' + r^' + «'f +P^ + r'C, 





et cnsuite 



j';(^) = i';(ar+/97?"+rr)'+ 2F,(ar+/ft7"+rn(«"e + ,r^ + fC) 

+ 2i';(«r' + yfty" + rC")(«'c + y5'7 + r'0 
+ 2F,(a'f + yS'7 + r'0(«"^ + /9"7 + ;^'0. 

■ + 2F,(af + /?)?' + rC')(«f" + h" + rC") 

+ ^?'{2L\aa" + 2F,«ct'] + ■qri'\?l\^^' + 2F,/9y9'] + Cr"[2F,;7" + 2F,r(''\ 

m 

+ ei?'[2F,/9«' + 2F.y9a"]+ 5yf [2F,a/9' + 2i';a^"] 
+ ?7i"[2l'\i3a"+ 2l<\(ia'] + r^f [22';a;5'+ 2l<\a^] 



Sur Igs maxima et Ics minima des iotégralcs doublcs. 101 

+ $:'[2F,ru' + 2F,ra"] + Ce[2F,ar' + 2i'>r"] 
+ $r[2F,r<i" + 2F,ra' ] + C$"[2F,af' + 2F^af ] 

+ v:'[^F,r^ -\-2F,r^'] + :ri'[2F,^f + 2F,^'] 

+ ^r[2F,r^' + 2F,r/r] + CVt^^W + 2i<;/9;''] 
+ ir[F,r" + !'>'"' + 2F,r'r"] 

+ ^[2F,a'jr + 2ii>"/9" + 22?',(a'/9" + a-y^)] 
+ K[2F,aY + 2F,a"r" + 2if',(«y' + a"r')] 

+ ri:[2F,^r' + 2i';n" + ^^Wr" + n')\ 

FormoDS niaititcnant la difiérence 

W— U. 

On trouve que dans cettc difiérence les coeflicients de ^' et de jyc*, de fC' 
et de C^f etcet. dcviennent égaux et, par conséquent, que la difiérence 
peut 8'écrire 



* 

4- [F. f„ («r) + F., 1 (a,)] £ {^q + [F, 1 (a,) + F, £ («r)J f„ m 



102 



Gustaf Kobb. 



En intégrant par partie on aura 



JfiW— U)dudv 
=jJ*jl{^>'*+i^,«"H2F3a'«"-^Ji'>«'+i'>a")-|;(/'>a"+F,a«')] 

+ :r[F,r"+F,r + 2F,r'r"^^-{F,rr' +F,rf')-l,{F,rr"+F,rr')] 

+ ^^2F, a'ir + 2 F,a"fi" + 2F, («'/?' + ay)- ^ [F, {a^ + «'/?) + F,{a(f' + «"/?)] 

+K[2F,«y + 2i'>Y'+ 2i'',(«y'+ «"r')-^[i^\(V + «V) +*;(«r"+«"r)] 

- f„ PU«r" + «"r) + ^3(«r' + «'r)]] 



+5yC[2F,/9'r'+ 2F,y5'y'+ 2F,(y9'/'+yf y)- i-ji';(y9r'+/9'r) +^;(iV'+/3'V^^ 



-i[^;09r" + /5"r) + ^" 



9v 



';(^' + /5'r)]]| 



dudv. 



N0U6 iiitroduisons inaintenant les notations 



(12) 



^ = é(^i«' + ^>") + i.(^»«" + ^'>'), 



3w 



9v 



^ = i. (^>/5' + ^./5") + .^ (V + ^'3/5'), 



9h 



av 



(^ = .^(^\r' + J';r") + hXFr + i'» 



dit 



at; 



Alors on trouve, apres avoir effectué les différentiations 

ff{W— V)dudv 



Sar les niixiiDa et let ojiDimm de9 intégrale» doubles. 



103 



et, par conséquent, 



ffVM.=ff\F, {^)'+ F,{^]-+ .F, !--!_- + ,.^, + ,.„^ + o^ 



Mais 



+ $r,{A^ + Ba) + S;{Ar + Ca) + ,:(/?,- + 0,9) 

ffUdudv 



liudv. 



est la partie de Tintégrale (7), qui contient les dérivées des variations. 
En introduisant les notations suivantes notre intégrale double (7) peut 
s'écrire 

^»» " 9z^ du \9xdx) "^dv \dz'dx) + ^«' 

L = ?^ — 1 (^\ ~ 1 (^ \ + B9 

" "^ 9y' aw \dydy/ dv \dy'dy/ ' ' 

" a^" au \a«'a» / dv \dz'dz ) •" ' ' 

a*F I a / a*F a*F \ ^ ^ / ^'^ ^*^^ \ ' / 
'» ~ äiäy 2 äVi Va^ay "^ dydx) 2 äi W'3y 3.v^/ ' 2 '^ ' ' ^'' 

""2 au \9aj>« a»'aj;/ 2 ai? \a«'^« a»""äx/ "^ 2 ^ '^ "^ ^^* 



(13)^ 



L,. = 



aorai/ 

a*F 
a;raz 



" a«/a3 2att\ai/a« * dzdy) 2ay \ay a« ' a» a?// ' 2^ ' ' ^^' 



+ 2inf7 + 22/,3fC+ 2L,3i7C 



du (i v. 



Gette forme de Tintégrale (7) se simplifie encore. Nous pouvons démontrer 
que, les coefficients L ont la forme 



A« = ^4öt/9, Aa = ^4^rj 



z 



93 



^;ä-, 



ou F^ est un certain facteur commun. 



104 



Gustaf Kobb. 



Pour démontrer ccla il suffit évidemment de démontrer que les 
coefFicients L satisfont au systéme suivant des équations linéaires 



(14) 



{ x'L,, + y'X„ + yL„ = o, 
x-'L, , + y"L^ , + z"L, 3 = o, 

= o, 
= 0, 



'»'As + y'Aj + l^I^ii 



Cest le méme systéme que nous avons déja résolu et dont la solution 
se trouve pärm i les formules I (8). 

Pour déduire ces équations par exemple la premiére, partons des 
deux équations 

dF , ^*F , , d'F , , a»F 



dx 



dxdx 



dydx 



dzdx 



0= 'i!^4- '^!*!-4- ' ^'^ 

dx'dx dy''dx dz'dx 

qui se trouvent parmi les formules I (9). Différentions la premiére par 
rapport a w, la seconde par rapport a v et ajoutons. On trouve 

dx* dxdy dxdz dxdx 9ti dxdy' du dxdz du dxdx" du 



2j;3y' du dxSz 



+ 



d^F dx 



dxdx du 



d^dy^ d^d^ ^.^(^HX ^,i/i!^\ , ^^l/i!^\ 

^ ay'?jj au ^ a«'aaj au ^ ay \aa;'a^7 ^ ^ av \dy'dxj ^ dv \dz'dxj 



d^F dx d*F dy' d^F dz 

dx'dxdu dy'dxdv dzdxdj) 



En observant que 



dx' 

ä7 



dx 
ä7' 



dy' dy' 



du 



dv 



d_z_ 

du 



dz' 

ev 



Sar le» maxima ot los minima d^i^s inu^|mU\ik UoubK^s. ttW 

on aura 



• dw \dxdx/ ar Va-raj-.' J ^ ^^ | ao-ay an \av ax ' ar \ay W ' 



fa*F a / a'F 



+ ^ 






Les coefficients de y' et g' péuvent s'éorire 

^ ^^ ajjay au \äy'a*/ ar \ay'aW " a^ay i a^i Va»/ a^- ' ar ay ' 

I a / a'F a*f \ , j^ /_1jL_ ^*^' \ o. * ^ / ^^**' _ ^'''' \ 

. 2 dv \dy'dx * ajj'ai/ / ' 2 a»t \ a«'aj/ aya^ / - ?«• \3*'5,v ay" a^» /* 



a*F 

aa-a^ 



a»f \a»'aj;/ ai» \ä2:'a^ ' a.i*a* 2 au \ar a.r ' a.r ar ' 



i a^ / d^F d^F \ , j ^ / a*y , a*/»* \ 4. " ^ / *^'*' ^'^' \ 

2 ay \a^'a« "*" a«'a«/ ' 2 aw \a«'a« äzajr / "*" 2 ai» \dx'i'M '" a«"aW' 

Panni les forinules (10) nous trouvons les relations Buivante« 

a» ay ay a* ^ ^ ' / / • s \ / / / 2 ar \ajj a// ay o^ / 

a* ay ay a^; '^ '^ ' ^ ^^ ' ' ^ 2af/ \a^ ay . ay dj» / 

DifFérentions la premiére par rapport a w, lu floconde par rapport k v 
et ajoutons 

1 ( ?!?_ _ _^^\ 4- 1 (JUL^ ^'^' \ 

du\dx'dy dijdxj dv\dx'di/ djf'dx/ 

En effectuant les difFérentiations on aura 

Äeta mathematira. 10. Iiuprioié Itr 10 //-vrii-r IhOi. | j 



100 Tfustaf Kobb. 

Ainsi avec les notations (12) 



du \dX dlf dy 

On trouvera de la raéme raaniére 



y dx/ dv \a.r dy dy d.e ' ' 



1 (1:1. _ 11^) + '. {% _ 1;^.) = cot - Ar. 

duXdxdz dzdx/ dV \d.r dz dz dxj ' 

En snbstituant ces valeurs dans les exprossions (15) notre équation Ii- 
néaire prend la for me 

^^ ^ ^\dx^ du\dxdx) dv\dx'dx) 

' '{dxdy 2du\dydx * dxdy/ 2dv\dy dx ' dxdyj '2^ * \\ 

' "" I dXdZ 2 du \dzdX ' dxdz) 2dv \dz''dX """ dx'dzj "^ 2 ^ "^ ^^ | 

Ensuite on a Tidentito 

^'oL + 1/^ + ^y = o 

ou de méme 

Ax'a + Ay'p + Az'r = o. 

En ajontant cette identité a Téquation (16) on aura 

jaVF d /d*F\ d_ / d^F \ . 

I 3«* du\dx'dX/ dv\dx''dx) 

' '[dxdy 2dn\dydx ' dxdy I 2dv\dy dx ' dxdyJ * 2^ ' *\ 

+ ,f_!^ _11 (riL + lX)-i^(-^^^) + lica + Jr) 

' [dxdz 2du\dzdx ' aa-a^/ 2ay\a«a.c ' a-ra^/ ' 2^ ' ''' 



== o 



ou apres les notations (13) 

xL^^ + y'L^^ + z'L^^ = o. 

D'une maniere tout a fait analogue, on peut déduire les autres équa- 
tions (14). 



Sur les niaxitua ot les miDiiiia des intcgraics doublcs. 



107 



Alors 






= F,m;*. 



En substituant ce resultat dans Texpression de 

jj IV') G du (I v 
cette intégrale double prend la forme tres simple 

(, ;) /.„-6-*.. =ff\F, (5^)'+ F, (5 ■+ .F. -- + F. 






du dv . 



Les coefficients h\ , i*^, , Fg , F^ sont des fonctions connues de x , y , z et 
de leurs dérivées, mais ils ne dépendent point des variations c > ^ > C 
Supposons que nous ayons intégré Téquation 



G = o 



par les fonctions 



X = x{Uy V\ y =y{u, v), Z = z(u , v) 

et que la surface représentée par ces équations jiasse par les limites 
données. En substituant ces valeurs de x ^ y y z dans les coefficients F^ , 
jPj , 2^3 , F^ ces derniers deviennent des fonctions de w et t;. 

Il slagit de trouver si pour ces valeurs de x , y ^ z la forme qua- 
dratique sous les signes sorames de (17) 



F (^-"'V+ F (-y+ 2F - - + F w' 



est une forme définie. 

Cette expression peut s'écrirc 



I 



( 






ml'^y+i\i<w 



Maintenant nous pouvons suivre la marche indiquee par M. Picard dans 
son niémoire déja cité. 



108 



Gustaf Kobb. 



(i8) 



On voit iinmédiatement, que la forme est définie, si 

F,F, — Fl>o, 
F,F,>o. 



La premiére de ces conditions est nécessaire. 

Dans le cas, ou la seconde n'est pas remplie, il peut pourtant se 
presenter que la forme peut étre transformée d*une telle fa9on, quelle 
sera définie. 

En effet, on a, quelles que soient les fonctions reelles et continues 
B et Bj de u et Vy 



ff\ 






du 



dv 



dudv = o, 



rintégration étant étendue sur tous les points dans Tintérieur du contour 
donné C. En ajoutant cette identité a Tintégrale (17) nous aurons 

jf.,oä«,.=ff\F,(^^y+ F,{^y+ .>■.?!•!-:+ .B.'£+ .syj^ 






du dv. 



La forme entré les crochets sera définie si Ton -a 

F,F, — ^>o 

et ensuite s'il est possible de déterminer B et JB, de fa9on que 

/dB . dB 



(^9) F, 



{F,F, - Fl)(^£ + ^-l; + F^ - F,B\ + 2F,B,B- F,B' 



> o. 



M. PiCAHD a montré que cela est toujours possible si le contour 
est sufifisamment petit. Si 

F,F,>o. 



on peut évidemment poser 



B = B. = o 



et on retombe ainsi aux conditions (18). 



Sur les maxima et lo8 minima des iDtégrales doubles. 

Si ce8 conditions sont remplies, Téquation 



109 



jfwdGdudv = o 



n'a pas d'autre solution que 



w -= o 



ou 



y y 



// 



jt 





z' z" 




%• X" 


7 


X' X" 


+ <r 


y' y" 



= o. 



Cela veut dire, que la projection a la normale de la surface donnée de 
la distanee au point correspondant de la surface variée est nulle, ou que 
la surface variée coincide avec la surface donnée. 

Les conditions (19) remplies, d'aprés le théoréme déraontré au com- 
inencement de ce chapitre, il est tQUJours possible de construire une aire 
autour du contour donné dans Tespace, de fa9on que dans cette aire il 
n'existe pas d'autres intégrales de Téquation 

6? = o, 

qui passent par le contour donné et dont les variations des dérivées du 

premier ordre des coordonnées des points correspondants sont infiniinent 

petites. 

Dans ce sens nous disons qu*il n^existe qu'une seule surface, donnée 

par réquation 

ö = 0, 

qui passé par le contour donné, ou bien que Tintégrale trouvée est 

unique. 

Nous pouvons en tirer une conséquence extrémement importante. 

Les quantités 

¥ F F F 

sont des fonctions continues de Xyi/ ,z et de leurs dérivées. Par conséquent, 
si les conditions (19) sont remplies pour la surface primitive, elle le sont 
aussi pour toute autre surface qui différe tres peu de celle-la. Ainsi on 
peut construire autour de la surface primitive une aire telle que les 
conditions (19) soient remplies pour chaque surface dans Tintérieur de 



110 Gustaf Kobb. 

cette aire qui différe tres peu de la surface primitive. Prenons ensuite 
dans cette aire un contour fermé complétement arbitraire. Alors nous 
pouvons énoncer le théoréme suivant: 

))S'il existe une surface ou une intégralc de Téquation 

G = o 

qui passé par ce contour, et si, en outre, la surface est située tout a fait 
dans Taire susdite et dififére tres peu de la surface primitive, il n'en 
existe qu'une seule.» 

Nous verrons plus tärd Textréme importance de ce resultat. 

Il est facile de voir qu'il est nécessaire pour Texistence d'un maxi- 
mum ou d'un minimum que la forme cjuadratique sous les signes sommes 
de (17) soit une forme définie. En effet, nous avons pour des variations 
spéciales. 

AI = kdl + ^d'I + y-åU + .. . , 

— I— 

ou 

(JI = fj Gwdudv 
et, par conséquent, 

dU =Jf{wdG + (Mw)du(lv =- ffwdGdudv 

en vertu de Téquation 

G = 0. 
Ainsi 

(20) ^^ ^V> ff^^^^^^^^^^ + r ^'^ + . . . . 

On pourrait toujours choisir k si petite que le signe de A/ soit le méme 
que le signe de 

JjwdGdudv 

et pour que cette intégrale conserve toujours le méme signe, il est ab- 
solument indispensable que la forme sous les signes sommes soit définie. 
Par conséquent, c'est une condition nécessaire si non suffisante pour 
Texistence d'un maximum ou d'un minimum. 



Sur les maxima et les minima des intégrales doublos. 

Il nous reste raaintenant k étudier la condition ( 1 9) 



111 



F. 



{f\ F, -F^(^^ + ^^ + F,)- F, 7?? + 2 F, B, B - F, B' 



> o. 



Posons 



(21) 



(F.F,- F?)(?| + ^- + F,)-F,in + 2F,B,B-F,B 



= (F,F,-7'1)£, 

oii e est un constant, qui a le méme signe que F^, Il s'agit de résoudre 
cette équation aux dérivées partiélles. Dåns ce biit posons ensuite 



7? = 



( 



r y 



V 



On aura donc 



aZ?_£aF_]r ar; 

du ~ // dn (''du ' 



dv 



f dTj V"' dv 



et Téquation (21) prend la forme 



(22) 



{F,F,-Fl) 






1 3F' „ _ _V 9U 



V 9V 



V*9u I/' aw 



n 1- 2 /^ r — =0 



Puis nous déterminons V et V de facon que 



(^.^'-^)(Fl^ + ^3^i— ^,;^=o. 



(■i*,rj i^j) ^., ^ _ + i*3 ,, ,,, 



dv 



U V 



F. 



V 



1 y 



o, 



d'ou résulte 



(23) 



V = 



V 



v = — u 



F^dU F^9U' 
U du "*" U' dv 



v' dv "^ LJ 9u 



> 



112 



Oustaf Kobb. 



Alors Téquation (22) se réduit a 



Udn "^ C/' av "*■ * 



— £ = O 



ou 



(24) 



1 9 

IJiu 









C7' 



« l/' aw "^ 8 f;a« 



]| 



+ i'. 



e = O. 



S'il est possiblc de trouver deux intégrales U et P <le cette équation, 
qui ne sannulent pas dans Tintérieur de la courbe fermée 

f{u , v) == o, 

nous avons aussi trouvé deux fonctions B et B, qui renrplissent les con- 
ditions (19). 

Il existe sur la surface des courbes, au dehors des quelles cesse né- 
cessairement la propriété maximale ou minimale. Pour les trouver, posons 
dans Téquation (24) 

U= IV = f/j, £ = 0. 

On aura donc 

Soit [7j une intégrale de cette équation, telle que la courbe 

I7i = o 
soit fermée; alors elle se ra une des courbes cherchées. En effet, soit 

f{u,v):= o 

un contour situé tout a fait dans Tintérieur de la courbe 

Fl = o 

on peut toujours trouver des fonctions B et B, pour lesquelles les con- 
ditions (19) sont remplies. Il suffit de poser dans Téquation (24) 



Sar les maxima et Us minima des iot^Sgrales doobles. 



113 



on a donc 



dl' . r. dl- 



d Tnr, dl ,^ dl 



3 
dv 



"' :4' + ^. r^] + (P.-^)v- 



O. 



Pour des valeurs tres petites de s, il existe certainement une intégrale 
U de cette équation, qui différe tres peu de Tintégrale U^ de Téquation 
(25) et qui, par conséquent, ne s*annulle pas dans Tintérieur de la courbe 



f{u , v) = o. 



On peut donc poser 






V 



ou v et V sont déterminées par (23) en faisant U' = U et la condi- 

tion (19) sera remplie. 

Il ne peut exister une autre intégrale U[ de Téquation (25), telle 

que la courbe 

TJ[ = 

soit située tout ä fait dans l'intérieur de la courbe 

U^ = o. 

Supposons qu'il en existe une, on a nécessairement 



J^i-å[-. 



3P; 



+ F: 



dV[ 



3 



-1 - f f ^- 



31/; 



+ F. 



^ dv * ^ ^ du 



S^]+^.f'i 



dudv = o 



Uf 



et en intégrant par partie, en observant que U[ s'annulle aux limites 



iri-.a'+ 



^ du dv 



^'Kii)'+ 



(Judv'= o. 



tr, 



La courbe 



lP, = o 



est située dans Tintérieur de la courbe 



U. = o. 

Äeta mathemaliea 16. IiupHroé* le 2 mnr^ 1892. 



15 



114 



Gustaf Kobb. 



On peut donc trouver des fonctions B et B^, telles que la condition (19) 
sera reinplie. Mais alors la forme quadratique sous les signes sommes 
sera définie, d'ou résulte nécessairement 



f7; = o, 



— - = o, 
du ' 



dv 



= o 



dans rintérieur du contour considéré. L^intégrale U[ est identiquement 
nuUe. 

De Tautre c6té, si la courbe 

JJ, =0 
est située tout a fait dans Tintérieur du contour donné 



il est facile de voir qu'il ne peut exister ni un maximu?n ni un mi- 
nimum pour Tintégrale considérée. 

En effet, considérons la formule (20) 



k' 



Jc' 



AT = ^fftvdGåudr +}-d'I + . . . . 



On a 



Sf^^^Gäuä.=Jj\F,i:^y -'-^^ -^— ■ ^- 






dudv. 



Comme w 8'annulle aux limites, on aura, en intégrant par partie 



(jwdGdudv 



JJ i du ' a« ^ =" 3w I ar I » ar ^ =" a» J ^ ^ * 



l)w 



10 dudv 



Posons 



+ ijfw^dudv. 



(27) 



a 



f ?!i' + F ^'" 
' a« ^3 dv 






Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. 



115 



Pour des valeurs tres petites de i, il existe certainement uiie intégrale 

de cette équation qui différe tres peu de Tintégrale U^ de Téquation 

(25). Alors la courbe 

tv = o 

est aussi située dans rintérieur de la courbe 

f{u , v). 



Ainsi, en prenant pour w cette intégrale de 1 équation (2 7), et en variant 
la surface seulement dans Tintérieur de la courbe 



IV = o, 



nous aurons 



et 



JTwåGdudv = iffw^dudv 
AI = ^^ (]\v'dudv +^d'I+ ... 



inais, pour des valeurs assez petites de A*, le signe du second mernbre 

dépend du signe de Z, qui est arbitraire. 

On peut donc varier la surface de fa9on que la variation totale 

A/ prend des signes iifférents et, par conséquent, Tintégrale I ne peut 

pas étre ni un maximum ni un minimum. 

Ainsi les courbes 

U, = o 

jouent pour les intégrales doubles le méme r61e que les points conjugués 
de Jacobi et de M. Weierstrass pour les intégrales simples. 

Il reste a intégrer Téquation (25). 

Nous avons trouvé 

ffivdGdudv 



JJ I 5« L • 9u ^ ••• 3« I 31' L ■ 






+ -f> 



wdiido, 



d'ou on peut conclure 



„^/; 1 [v V" 4. /r !!f I _ 1 A' !i? 4. /.• ^"' I 4. /' ic 



116 



Gustaf Kobb. 



Il est facile de vérifier cela, en faisant les calculs précédents d'une ma- 
niére un peu différente. 

Si Ton a trouvé Tintégrale générale de Téquation 

on peut, par conséquent, intégrer Téquation (25), qui inaintenant se 

réduit ä 

dG= o, 

en suivant la • ménie marche que Jacobi et M. Weierstrass, quand il 
sagit dHntégrer Téquation correspondante dans la théorie des intégrales 
simples. 



III Partie. 

Sur la foncUan S. 

Nous allons donner encore une condition pour Texistence d'un maxi- 
mum ou d'un minimum qui servira aussi a distinguer un maximum d'un 
minimum. Apres cela nous démontrerons que, si toutes ces conditions 
sont remplies, Tintégrale I (i) étendue sur la surface donnée par Téquation 

G = 

sera dans le oas d'un maximum, plus grande, ou d*un minimum plus 
petite, que la méme intégrale étendue sur toute autre surface réguliére 
ou irréguliére passant par le méme contour et différant tres peu de la 

surface primitive. Nous appelons chaque surface qui 

est une intégrale de Téquation 

6' = o 

une surface G. Sur la surface (r, qui passé par le 
contour donné C, nous tra9ons un certain contour 
fermé K et nous supposons que la tangente de ce 




Sur ]o8 maxima et les minima dips intégralcs doubles. 117 

contour ne change jamais brusqueinent sa direction. Par ce contour K 
noud faisons passer. une surface réguliére quelconque JT et sur cette 
surface F nous tra9on8 un autre contour K aussi régulier, tres voisin 
du contour Kj et qui ne le coupe pas. Supposons qu*il existe une sur- 
face O qui passé par le contour K. Par conséquent, le contour K n'est 
pas tout a fait arbitraire, mais il existe toujours une infinité de contours 
K qui ont la propriété deraandée. Cette nouvelle surface G nous Tap- 
pelons (jj. 

Considérons Tintégrale I (i) étendue sur la partie extérieure du 
contour K de la surface (?, sur la partie de la surface Fy qui est située 
entré les contours K et K et sur la surface G^. Cette intégrale que 
nous appelons T peut étre considérée comme une variation de Tintégrale 
/ étendue sur toute la surface G. 

Il faut alors pour Texistence d'un maximum ou d'un minimum, que 
la différence 

r — I 

conserve toujours un signe invariable, quels que soient les contours K et 
K et la surface /'. 

Formons maintenant la différence 

r — I. 

On voit, immédiatement, que Ton a . 

l' — I =ffFdudv —ffFdudv +ffFdudv 

et comme K' est tres voisin de JST, on a selon la formule I (5), en tenant 
compte de I (15) 



(I) i'-i 



'A\du 



K 

+ ffFdudv + ( )» + • • • • 



118 Gustaf Kobb. 



Mais, dans la premiére intégrale double Tintégration est étendue sur une 
surface G: alors cette intégrale s'annulle et nous aurons 

(2) / _ /= / IL,--, + rj-, + C-,\dv-\S^ + yj-. + C-^Jrfe. 

+ffFdudv + ( ), + .... 

Nous allons transformer cette expression dans une fonne plus simple. 

Supposons, que A' (fig. i) soit le point du contour K'^ qui corres- 
pond au point A du contour K et projetons la distance AA sur le plan 
tangent de la surface F dans le point A. En appelant I la longeur de 
la projection et a y b j Cj ses cosinus directeurs, on aura 



(3) 



( f = a/ + (/), + . . . , 

3? = W + (0. + • • • . 

[C=cl + {l\ + . . . . 



La projection de AA' fait avec la ^angente de K en A un certain angle 
(O. Ensuit.e nous appelons 

cosa , cos/9' , cos/ 

les cosinus directeurs de la tången te de Ä en -4, 

cosa , cosy9 , cosj- 

les cosinus directeurs de la normale de la surface G ei\ A, 

cosä , cosy? , cosp 

les mémes quantités pour la surface /', 

cosa", cosy9", cosp' 

les cosinus directeurs de la normale de Jl en A, qui est située dans la 
surface /', ds Télément de Tarc du contour K, et 



Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. 



119 



les valeurs de 



dx dy dz dx dy dz 
du ' du ' du ' 9i; ' 9y ' dv 



pour les deux surfaces G et F. On a donc 



(4) 



cosa = 



COSa = 



C08 a = .r' k X — =-- X [- x' — j 

ds ds ds ds 



^ ,dU . „dV -,dU , '„dV 

cosyy = ?/ - + r ^ = y'^ + r ^ » 



ds 



ds 



ds 



, ,du . „dV -,du . -„dV 



> m 



y y 

• a 

z z 



cosyS = 



z z 

X X 



A» = 



V' II" 
z' z" 



+ 



y y' 

i' ä" 



C08/9 



^' ^" 



a;' X" 



z z 
X x' 



+ 



A' = 



n 



y y 



z' z" 



3 



+ 



z' z" 



X' X" 



+ 



C08/- = 



T' X" " 



y y 



n 



x' x" 



~y' y" 



X X 

y y 



v y 

COS;- = * _ 



X x' 



cosa" = C0B/?C08/-' COS^' COS;-, 008/?" = C08 ;- COS «' — CQSf COSa, 

cos^" = cosä cosy?' — cosa' cos^. 

Enfin on a pour les cosinus directeurs de la projection de AA' sur le 
plan tangente les expréssions 



(5) 



a = cos O) cos a' + ^^^ ö> cos ä", 
b = cosö) cosy?' + sinö) cosy9", 
c == cosö) cos;^' + sin ö> cosp'. 



120 - Gustaf Kobb. 

L'intégrale double 

ffFdudv 

est étendue sur la partie de la surface F qui est située entré leg deux 
contours K et K' qui sont tres voisins. Alors on peut transformer Tinté- 
grale double en une intégrale simple prise le long du contour K. On 
a donc 

dudv = C'^'' + (/), + . . .)ds 
et par conséquent 

(6) JTFdudv = yV'_^i^ + (,)^ + . . . 

en désignant par F, ce que devient F en rempla9ant x\y\z\x'\y'\z" 
par i', iy', ä', «", i/", «"• Ensuite nous introduisons les valeurs de 6 , ly , C 
tirées de (3) et (5) dans Tintégrale (2). On aura 

(7) ^ /_/=j z|cosa)[(cosa'g+cos^'g;+ cosr'^^^^ 



(9F r«3F 3F\ 9t4 






+ sina>[(cosa'^ + cos^"-. + cos/'^j~ 

— ( cosa - . + co8y7 —^ + cosr -- I — \ds 
\ a* ^ ' ay ' a« / a« j | 

J Ä ^ ^' 

Gette expression se simplifie beaucoup. D'abord on peut montrer que 
le coeffieient de cosö) dans la premiére intégrale 8'annulle identiquement. 
En introduisant les valeurs 

cosa' =x- + X'-, cosyy = y' - + ,/"-, cos^' = z' - + z'-, 



1 



Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. 



121 



on aura 



(8) cosa --, 4-cosiy --7 +coBr'-^ cosa — ; +cosi9' — 7 4-cosr -^ ) — 

^ ^ \ aaj '^^If ' dz / ds \ dx f^ dy ' dz / dg 

m 



dF dF 



':-?)(:-;T-(-^'S:+^":-i 



dF „dF\ 9udv 



\ dudv 

/ da da^ 



mais on a I (4) 



^ 32'' aF 3F 

a» "^ a.v dz 

„dF . ^aJP , ,,ai^ 

dx ^ ^ dy d9 

dF dF dF 

a* ay dz 

-^ dF dF dF 

dx' ' ^ dy" dz' ' 



En vertu de ces relations, on voit qué Texpression considérée (8) s^annuUe. 
Alors on peut écrire 'Véquation (7) 



(9) 



1-1=1 (c08«"^-^ + COBy9"-. + C08,'^j^ 



-( 



K 



-„dF , -„dF , -,,aF\ ai* , F 
cosa ^ + cosyj ^ + cos/'-.) -- + -^ 



l%\na)ds 4- (O2 + • • • • 



Pour la fonction entré les crochets sous le signe somme nous introduisons 
la notation 

i9{X ,y , z ,x,y , Z^yX , t/ , Z , x. y,z,x ,y , z ) 

é 

ou comrne abréviation 



(10) 



^ / - dF - dF - dF\ dv 

S - (cosa"!-. + cosg'^ + cosv"^ 

\ dx ' dV ' dz / 



^y 



dz / d» 



-( 



dF , „ dF 

J[c(a mathttmatica. IG. Iraprimé le 2 uiarM 1892. 



,/-- . /, -- . -i,dF\ du , I-' 

cos a" — + ^osy9 ' ^~. + eos /' 3 - ) ^ + = 



IG 







122 Oustaf Kobb. 

Nous aurons donc 

(i i) r — I= fSl sin (ods + (/), + . . . . 

A' 

Pour que Tintégrale / étendue sur la surface G soit un vrai maximum 
ou un vrai minimum, il faut, que la difiFérence 

r — i 

conserve toujours un signe invariable, quelle que soit la surface sur laquelle 
nous avons étendue Tintégrale i', c est ä dire, le signé — pour un maxi- 
mum et le signe + pour un minimum. 

Mais nous pouvons toujours choisir / si petite, que le signe du second 
membre de (ii) ne dépende que du signe de son premier terme. Donc 
il est nécessaire que Tintégrale 

(12) f SI sin (ods 

conserve toujours le méme signe pour chaque contour K et pour chaque 
surface I\ Mais alors il faut, que la fonction S conserve toujours le 
méme signe, car si S peut changer son signe le long du contour Kj il 
existe certainement une partie de la surface G, oii S est positive et une 
autre, ou S est negative. Donc, en choisissant le contour K dans Tune 
ou Tautre de ces parties, nous pouvons donner des signes différents ä 
Tintégrale (12). On peut, évidemment, toujours supposer 

/ sin (ods > o. 

Il peut se presenter que la fonction S s'annulle, mais alors, il faut 
qu'elle ne change pas son signe. 

Apres ces considérations, nous pouvons énoncer le resultat suivant. 

»Pour que Tintégrale double 

JfF{x ,y,z,x\ y\ z\ x'\ y", z")dudv 
étendue sur la surface donnée par Téquation 



s 

I 



Sur les maxima et le» miDima des intégrales doubles. 123 

soit un maximum^ il faut que la fonction 

pour chaquc point de la surface et pour chaque systéine de valeur^ de 

~t ~f ~t "// ~tt ~tt 

xy y j Zf X y y y z 

I 

ne soit jamais positive, et pour que Tintégrale soit un minimum il faut 

que la méme fonction S ne soit jamais negative.i> 

Nous allons transformer la fonction S 

I 

, / - aF - dF - dF\dV 

é = cos OL —. + cos yj" --/ + cos r" — ^ ) — 



/ - dF - dF - dF\ du 



Dans ce but partons des deux équations I (4) 

^, ,dF,,dF.,dF 
dx ^ -^ dy * dz 

dF dF dF ■'•''.' ^ 

a» ' "^ 3y ' aa 

Multiplions la premiére par x", la seconde par — x' et ajoutons 

Fx" = - {xy— x"y')^. +■ {z'x" — z"x')y^.. 

Enauite la premiére par y" et la seconde pa^ — %j' 

et enfin, la premiére par ^' et la seconde par — z' 

Fz" = — {z'x" — z"x') g + (j/z" — y"z') ?|! • 



I 
1 



124 



GusUf Kobb. 



On aura ainsi le systéme 



(13) 



Fx" = 



Fy - 



Fz" = 



; y* y" 


dF 


X' X" 


' X' X" 


■dz 


y' y" 


x' x" 

y' y" 


9F 

dx 


y' y" 

z' z" 


' y" y" 


dF 


z' /' 


z z 


^y 


X X 



dF 
^' 

dF 
dz 

dF 



dx 



~ • 



En permutant x' avec x"j xf avec x' etcet. on aura un autrc systéme 



(•4) 



Fx' = 



Fy' = - 



Fz' = — 



z' z" 

X' x" 


dF 
dz + 


x' x" 

y' y" 


dF 
dx "•" 


y' y" 

z' z" 


dF 



X X \zF 

y' y" ! ^''' ' 
y' y" i dF 

Z' Z' i 3« ■ ' 



-/' 



Z Z dF 



r^' 



X 



ff 



dx 



Multiplions les équations (f3) par - , les équations (14) par — et ajoutons 

les deux premiéres équations dans les systémes, ensuite les deux secondes 
et enfin, les deux troisiémes, nous aurons, en tenant compte des valeurs 
de cosa', cosy?', cos/-', 



(•5) 



t' COS Ot' r^ 



Fcos/y =- 



F cos f = 



/ 


/' 


dF 


X' 


X" 


dz 


\ 


z" 


dF ■ 


X' 


x" 


dz . 


X' 


x" 


dF 


y' 


y" 


dx 



X X \dF \ du 

y' y"]^]'^' 

x' x" I aF~| du 
y- y" V h« 



." 



y y \dF \dv 

z* z 



'* ^dz ds 



X X 



y y 

y' y 



n 



z 3 



y y 

Z Z 



tt 



dF 
di" 

dF 
dF 



./' 



y y dF du 



ji 



dz I dB 



z z \dF \dv 



X X 



" 'aaj I a« 



-»/ 



^ Z \dF \du 



♦ • 



Sur les maxima et len minima des intégrales doubles. 



125 



Multiplions la premiére par cosa', la seconde par cosy?', la troisiéine par 
008/-' et ajoutons les équations nous aurons, en vertu des relations, 



/ -.// 



y y 



t ^n 



z z 



= A cosoe, 



z' z" 



X' x" 



A C08y9, 



X' x" 



y' y" 



= A cos/-. 



2 . / 



COS Ot' + C08 y?' + COS^' = I, 



i'' = A (cos /9. COS Y —7 COS ;- COS ^) r-^ + (cos /- cos a' — cos a cos Y) --, 



^V 



+ (cos a cos^ — cos^ cos a ) — . — 



— A 



(cosy9 cos f — cos y cos p) —, + ((;os y cos a' — cos a cos f) - 



dx 



dr 1 du 
+ (cos a cos^' -T- cosyS cos a j r-^ r- • 



En changeant x\ y\ z\ x*\ //", z*' en «', i/', «', ^c", 2/'S «" nous aurons, entiii, 
en tenant compte de (4) 



F = 



n'^F 



n^F 



~„^F\ 3h 



( COS a" -tt; + cos /?" -rrr + COS r" -:=t — 

V a« ' 3V ' dZ / ds 






Substituons cette valcur de ^ dans Texpression de é', nous aurons 
la formule symmétrique 



(16) é' = [ 



\a» 



-3-7) + ^^^^^'' (aT-ay) + ^"^^ laT-aTjJa-; 

_ ?^'\ 4- eo8"'Y— — — VI- 

^y ) ^^^^ W a^e/JaÄ 



It 

s 



-h»"(S-:T)+-?-f 



En employant les notations 

< = a;" + /z(i" — X"), ■' y'; =r + fi {y" - y"), K' = '" + t^Q" - n 

et en appelant F^ , Ff^ , fY . J?'^' ce que deviennent F, F^ , F, , i'; si l'on a 



k 



Templacé x', y', /, x", t/", z" par -x,\^ , ifj, , e[ , .t,V 1 1/',' , ^',' . on aura suivant 
une formule connue du Calcul Drflférentiel: 






3j:„3e„ 



3-«.i3«,. a!B„3j/„ 3«,,3*,.i 1 



■'■■) + -!^&'-y) + ^.^p-'') 



3j/^ 3iB,, 
9F 3F /*| 3'F^ .., ,. , S'F^ ,-, ,, , 3'^,. / , ,, 



+ ^-4r (je" — a;") + —^A-, {y" — y') + —r-hr {z 
3i/^3iB,, 5y.«5yu ^Un^i/t 



.") 



3f 3f 

8ä" aie" 



+ -^ÄP". 






32^ ay „ Sjp 3e„ 



3a:u a«n 3«,, 3a.> 



3a!,, 3a;,.3yp 



8? 3F C\ 3'^;. , , .,> , 3'F, ^, „„ , 3'F, -, 

3» SJ J |3j,3«, ' 3j,„3j/' " 3v,2./ 



,(."-^'0+^'4G"-y)+rÄC 

3y;. '" ''- 



3p 9*' /'l 9V'„ ,-, ,, , Z'F„ ,-, ,. , SV; 



32p 9«^, 37^ 9jfp 




Sur les mftziuia et len minima dm int«|;ra)eii doublon. 

Tntroduisons ensuite ces valeurs dans Texpression {ib) 



(■7) 



— )/")(cos, 

+ W' ~g")\COfia" 



»,/' +. CHW;-' ",.) 

3^. 3y., S-»";, Sfn . 






9^.. Jf, 3.V, 3i., 3».. ; / P" 

r \ Sr,; 3i/,, 3J-., 9»„9^p/ 

+ W — .V)(cnsa" - , -,- + <-o8/9" -.-; + vmy ,— ^r) 

. C08j9^ , '. + COH;- ., I ,, 






, s**^" r -.,'/'• .^sii -»^-.. ..\*"'l 

+ s«5,;; 1 ™''^ (' - ^-^ > F. - ™ «■ (" - ■" '.7 J 

, 3'^'h t -../-. .\3'* -»/-.. "i'*'/ 




128 



Gofiiaf Kobb. 



Pour simplifier cette expression on observe, d'abord9 que les coefficients 

de —7— Ar, et „ ^ , sont égaux. En eflfet, en les retranchant Tun de 

Fautre on aura 



co8^"(i' - X') ^^ - C08 ä"(y" - tr) '^^ - C08 a%' - y') ^^ + C08 ^'(?'- rr") ^^ 



ds 



-jj-,du . -,-9 v ,3u „9v\ 



suivant le8 relations (4). 



d'F,, 



Par le niéme procédé on trouvera que les coeflficients de — 7— At- et 



dz^ dZf, 



„ ^ , sont égaux, ainsi que les coefficients de — j-— et — 77-^. On a 
donc 

+ Ife [«»«'(•"'-■•'■' r: —?■ v - o ^"] 

= - — 7— ^ + -77-^ C085" («' — a;')r (x" — a; ')r- 



+ co8«"[(i;'-,')?i"-(^"-.o:-"j] 



et deux expressions analogues pour les autres dérivées. 
Ensuite avec les notations 





.< 


t: . 




< 


< 




K 


K 


a,, = 


. 




' A ~ 






r,.. = . 








< 


z'; 






< 




y'. 


y': 



Sar les maxima et let mtDina des intégrales doables. 



129 



on a apres I (8) 



Q 



x")[coaa"^l^+ C08^'-?Ä + C08f"-?Äl 
I. 9x^9 tfn diff, dz^dt/i^J 



xF - d*Fu - d*Fu - d*F, 



= F<^'[(i"— rr") «, + {y"-y")P, + (ä"-/')r.J[«« co8«" + /9, co8^' + r, co8P'] 



ét de la méme maniére* 



-„ 3*^; 



-.. 3'F„ 



(i' — a;')rco8«" ^f + co8;9" -^^ + co8^"4^1 

I- 9«,« ^tfpidx^ 3»„aa!„J 



-,. »»JP» 



+ {y — 3^)^08 ä" -^r + C08^' — ^^ + COS ^ 

L 3a!;.3y/i 3.Vm 



— ' — ~ 
+ Cz'-- /)rC0sä" -!-^ + C08^'-^^ + COs}"^f\ 

= F</*>[(i' - rc') a, + & - ?/)Ä + {'z — z') r,][oi, C08 «" + /^, cog^5" + r, ^^^ r '] 



et enfin 



a'F, 









^ ds 






(i* 



-x'')?;']co8«" 



(?'- 



OHJ-r" 



« < 






+ C08 



'■\9-in'^-Q"-'rm 






Ada matkemalim. 16. Imprimé le 5 inar» 1R92. 



17 



130 



Gustaf Kobb. 






— - -t •» 



du 



[(-' _ .^')«.^ + (7/ _ y')^^ + (-' _ ^')^j 



a* 



av 






Par conséquent, on aura 



(i8) <§^-- /[a^cos«'^Hy9,.cos,?' + ;^,oo8p'']|[i''<''>[(i''-.r>^^ 

O 

- Fn(i' - «;')«.. + (y' - ?/')/5.. + (? - ^Or-H ^' 
- [i^{"T(* - ^'K + (y' - yV. + G' - ^%] 



dfi. 



- Fn(i" - x")a, + {y" - y")p, + (?' - /')rJl H 
Cette forme peut se simplifier encore. On a 

a,, cosä" + /9,. cosyj" + ^„ cos^' 
cos«", X' + fi(^x— X') , X" + fi{x" — xr) 

cos/9" , y' + //G' — y') , y" + /i(y" — .v") = />• 

cosP' , / + ;u(? — ;?') , /' + pi{7' — a") : 
En multipliant la second colonne par — et en ajoutant la troisiéme 

dv 

multipliée par -- , on trouve en vertu des relations (4) 



I COSa", cosa', X"+fi{x' — x") i 



ds 



J) = ;- ; cosy9", 008^5', y"+/i(y"_y") 

cos/', cos^', z" +fiCz"—z") 



Sur les maxima et les minima dos intégraleB doublcs. 



131 



mais I) 8'annulle identiquement pour jm = i. Donc, 



ff 



cosa , cosa , X 



ti I 



3« 



D = (i —/i) -- I cos/?", cosy?, y" 



9u 



cos/', C08;-', z 



I» I 



a« 



= — (rr" cos a + y" co8/9 + -?" cos ;-)(! — /i) ~ 



9 te 



Nous introduisons maintenant les notations 



(•9) 



i -./ ..// 



' z' z" 



u y _ 



a;' X" 



I 



^/ 



/O = 



.' ^.»t 



J9 ' 



X I 



y' y" 



o;' X" 



y y ' _ \ z z 

"TV + « 



/ ^.n 



= X' 






y v 



z z 



fl 



+ y' 



»t 



^" i I l„ I + y" 

i z z '■ 



~ t 


~n 


.( 


'-I 


~n '■ 


z 


Z 




X 


X 


~t 


~ fl 


+ / . 


~i 


1 


X 


X 


1 


y 


y ! 


~ t 


~n 




~9 


~n 


z 


Z 




X 


X 


~f 


-II 


+ z" 


~9 


~" i 


X 


X 




y 


y \ 



Avec ces notations les relations 



cos a' cos a + cos ff cos /? + cos X cos y 



cos a' cos a + cos p cos y9 + cos x cos y = 



= o, 
o 



» ' -_!. 



peuvent secrire 



(20) 



d'ou suit 



/? ^ + /^ ^ - ^' 



ds 



ds 



, du . „ dV 



(21) 



"/ ^11 



»' _' 



p/> — /> p 



= O. 



Nous aurons ainsi 



D = 



_ p 



('-'')E= 



t(- 



v ds 



182 GuBtaf Kobb. 

et de la méme maniére 

(.r' - x')a, + G' -y')p, + (? - z')r, = p' +/i{p' -p'), 

(-"_..a;>')«.. + (7,"-y")/5, + (^"-Or,. = yo"+7*(io"-/>")- 
Alors, la fonction S deviendra 

o 

+ nyifi" + mCp" - p")] I (I - /^w- 

Oii a ensuite si F^/'^ , hY^ et l'Y^ sont des valeurs moyennes 

O 

o 
1 

|'i^r|^V' + /i(p" -/>")] +;^"(>' +/*G»' -/>')]](! -i^)<¥ 



= ^ i^i''^C^'/'" + p'p" + /»'>')• 



On trouve aussi 



Ainsi, en posant 



nous aurons 



A 
et, enfin 

(22) & = ^{FpV — 2Ff Vt" + ¥f'x"\ 

Pour que <S conserve toujours un signe invariable, il faiit et il suffit que 

(23) 1^^' — l^f >i^ < o. 



Sur les maxima et les minima des intégralcs doubles. 



133 



Nous avoDS ainsi retrouvé une condition analogue ä II (i8) mais plus 
générale que celle-ci. On voit maintenant pourquoi la considération de 
la seconde variation D'est pas sufiFisante pour distinguer un maximum ou 
un minimum. 

Supposons donc que la condition (23) soit remplie, il reste a étudier 
le cas, ou la fonetion S s'annulle identiquement. Cela se présente seule- 
ment, si l'on a le long du contour K toujours 



^t 



f = o, 



r" 



o. 



Comme les deux fact^urs p et p + 2/y' ainsi que ^" et p" + 2/>" sont 
proportionels, en vertu des relations (20), il suffit a poser 



// 



t' 


zss 


X 


• 


AA 


— » 




X 



AA AA 



y v 

't n 

Z Z 



n 



, W_ z z z _ 

Ä a" ' i x" i AÄ 



X 


X 


y 




X 


' Ii 
X 



V ~z" I AÄ ; «' x" I A Ä I y' y" 



O, 



= Ö 



ou 



v 



-T- COS a + -^ COS ;9 + -T- COS y = O, 

A A A 



On aura donc 



A A A ' 



= o. 



C08 a = k cos a, coSy9 = k cos^, cos ^ = k cos /-, 



mais 



,3 - 



cos « + C0S'/9 + cos';- = I, 

cos^a + cos^yS + cos^;- = i 



et, par conséquent, 



(24) 



cos a = cos a, C08/9 = C08/9, COS;- = cos;^. 



Dans ce cas la surface F est tangente a la surface G. le long du contour K. 

Supposons ensuite que les conditions II (19) soient satisfaites et que 

la fonetion S pour chaque courbc sur la surface G conserve un signe 



134 Gustaf Kobb. 

invariable. Alors dans • une certaine aire autour de la surface 6r, il 
n^existe pour chaque contour arbitraire qu'une seule surface ö^, qui 
satisfait ä réquation 

G = o 

et qui différe tres peu de la surface , primitive G. 

Prenons dans cette aire un contour K^ tres voisin du contour K. 
Faisons passer par le contour K^ une surface G^ et formons la fonction 
S pour le contour K^, 

Lå fonction S a toujours le méme signe pour le contour K et 
s'annulle pour 

cosä = cosa, cos/? = cos/9, cos^ = cos;', 

mais sans changer son signe. Alors si le contour iT, est suffisaniment 
voisin du contour K , S gardera le méme signe pour le contour K^. 
Ainsi, en resserrant, s'il le faut, notre aire, el le a les propriétés suivantes. 
i) S'il existe dans cette aire une surface satisfaisante a Téquation 

G = o 

9 

et qui passé par un contour donné, il n'en existe qu'une seule, qui différe 
tres peu de la surface primitive. 

2) La fonction S a toujours le méme signe et sannullc sans le 
changer. 

On peut se demander, si dans Taire considérée la fonction S peut 
s'annuler toujours sur une certaine surface, qui passé par le contour pri- 
mitif C, et indépendante du contour d'intégration K (fig. i). On voit 
que cela n'est possible que pour 

cos^ = cosa, cosy9 = cosy9, cos;^ = cos;'. 

Dans ce cas la surface serait toujours tangente aux surfaces G, et, par 
conséquent, elle serait Tenveloppe de ces surfaces. Mais, on voit immé- 
diatement que cette enveloppe ne peut pas étre située dans Taire con- 
sidérée, car dans cette aire, il ne peut exister un contour qui est le lieu 
d'intersection de deux surfaces G infiniment voisines les unes des autres, 
et de la surface primitive. 




Sur los maxima et les minima des intégrales doubles. 135 

Maintenant nous allons démontrer que s'il existe une telle aire -4, 
rintégrale I (i) otendue sur la surface donnée par réquatioii 

G = o, 

dans le cas d'un maximum est plus grande, et dans le cas d'un mini- 
mum plus petite que la meme int<3grale étendue sur toute autre surface 
réguliére ou irréguliére, qui ost située dans Taire A et qui passé par le 
contour donné C. 

Imaginons d^abord une surface réguliére /'passant 
par le contour C et située dans Taire A. Sur la sur- 
face f nous tra9ons un certain contour Kj de fa9on 
qu'il existe une surface G dans Taire -4, qui passé 
par Ky et qui diifére tres peu de la surface primitive 
Gy et, ensuite, un autre K\ qui a les mémes propri- 
étés et qui est tres voisin de K. * 

Considérons Tintégrale /, étendue d'abord sur la partie de r au 

dehors de K\ puis sur la surface ö, qui passé par K'. La somme de 

ces deux integral es soit: 

S{Q + dH) 

si nous appelons H la partie de la surface F dans Fintérieur de K et 
dä la partie entré K et K. De méme, Tintégrale I étendue sur la partie 
au dehors de A" et sur la surface 6', qui passé par K soit 

S{ii). 
On aura donc 

K' 

S{Q + dQ) — S{ii) =JfFdu(lv —ffFdudv —ffFdudv. 

Dans les deux premiéres intégrales Tintégration est étendue sur des sur- 
faces Gj dans la derniére sur la surface /' entré K et K\ 

On voit facilement que le second membre n^est autre chose que 

— jSl sin (ods + ( . ^ . . )2 + • • • 



ainsi 



(25) S{Q + dii) — S{ii) = —fSl sin (ods + {....), 

K 



136 Gastaf Kobb. 

et comme S a toujonrs le méme signe 

(26) fSl sin wds — S^J I sm wds = S^da, 

si S^ est une valeur moyenne. Par coiiséquent 



et 



S{Q + dQ) - Sia) = - S^dQ + (....), + ... 






/«0 



(27) • -aV --"'"•• 

Supposons donc qu'il s^agisse cVun maximum; alors 

• 6« < o 

et, par conséquent, S{ii) croit toujours avec ä et atteint sa plus grande 
valeur quand K atteint le contour primitif C, Mais alors 



et d'autre part 



Fdu (Iv 



=p 



5. = UFdudv, 



» « 



oii dans les deux intégrales Tintégration est étendue jusqu'au contour C, 
Par conséquent 



(28) jfPdudv >ffFdudv. 

(f r 



C. Q. F. I) 



Nous avions supposé que la surface F fiit réguliére, mais, il est facile 
de voir, que Tinégalité (28) subsiste encore, si la surface /" est composée 
d'un nombre fini de surfaces réguliéres. 

En eflfet, pour former la fonction S nous avons supposé que les 
deux contours K et K sont réguliers. Mais, cela n'est pas indispensable, 
ils peuvent bien étre composés d'un nombre fini de parties réguliéres. 



Sur los maxima et Ics minima des intégrales doublcs. 137 

Il suffit de partager Tintégrale dans un certain noinbre d^autres et donner 
a Tangle o) des valeurs différentes dans chaque intégrale. Åinsi pour 
une telle surface F Téquation (25) devient 

n 

8{ä + dä) — S{ä) = —^fS^^l.^smw,ds^, + C. . . .)^ + . . . . 

Dans chaque intégrale les fonctions sous le signe soinme sont continues. 
Alors, si S^£^ est une valeur moyenne 

n 

S{e + dS) — SiS) = — V <^r fl, 8in <o„ds, + (....),+... 

Jmmaä I» 



/i=l ^/* 



mais 



^ y /,^ sin (o^ds^, = 3i?, 



il en résulte que 



,i-i */* 






dä 

* 

d'ou suit que Tinégalité (28) subsiste encore 



JfFdudv >ffFdudv 



Dans le oas d'un minimum on a 

S>o 
et donc, évidemment 

JfFdudv <ffFdudv. 

Supposons, enfin, que la surface Tsoit tout a fait irréguliére. Alors, 
en general, Tintégrale 

jTFdudv 

Aäa nuähematiea. 16. Imprimé le G a?ril 1893. Ig 



138 Gustaf Kobb. 

n'a pas • de sens. Dans le cas, ou Tintégrale conserve un sens nous pouvons 
toujours construire une surface polyédre P tres voisine de la surface F 
et telle que 

(29) jjFdudv —fFdudv < å 

ou d est une quantité arbitraire, dont on peut choisir la valeur absalue 
si petite que Ton veut Maintenant nous construisons autour de la surface 
r une air^ -4', qui est située dans Tintérieur de -4, niais, de telle sorte 
qu'au moins une partie de la surface G soit au dehors de Taire A'. 
Pour chaque surface polyédre dans Taire A' nous aurons (28) 

jTFdudv — ffFdudv > o 

s'il 8'agit d'un maximum. Gette diflférence, n'étant jamais zéro, a, certaine- 
ment, dans A' une limite inférieure. Alors, en choisissant une quantité 
positive h plus petite que cette limite, nous aurons 

(30) ffFdudv —ffFdudv > h 

pour chaque surface /'' dans Taire A\ Fixons maintenant 

(31) \å\<h 

et choisissons /'' telle que (29) soit remplie. 
Alors il s'en suit de (29) et (30) 

ffFdudv > ffFdudv + h — d 



G r 



et en ver tu de (31) 

ffFdudv > ffFdudv. 

a r 

Dans ce séul cas le raisonnement serait en défaut, si la surface F 
dans chacun de ses points était infiniment voisine de la surface Gy car, 
alors, il serait impossible de construire Taire A\ 

Examinons un peu le principe de cette demonstration pour nous 



Sur les maxima et les minima des intégrales donbles. 189 

rendre compte du resultat, auquel nous soinmes parvenus. Elle repose 
sur le fait que la fonction 

S(i2) 

est complétement définie, quand nous avons fixé le contour K. Mais 
elle Test seulement, si nous nous bornons a considérer les surfaces G qui 
passent par K et qui diflférent tres peu de la surface primitive G. Gela 
veut dire que non seulement les valeurs des coordonnées dans les points 
correspondants mais aussi les valeurs de leurs premiéres dérivées sont tres 
voisines. Avec cette restriction S(i2) est complétement définie et, en 
faisant croitre Q, nous arrivons toujours a la méme limite, a savoir, 

ffFdudv. 
o 

Nous faisons, enfin, un resumé des resultats obtenus: 
DPour que Tintégrale double, 

JfF{x ,y,z,x\y',z\ x"y y", z")dudv, 

v 

oii F remplit les relations I (4), soit un maximum ou un minimum, si 
rintégration est étendue sur la surface 

X = x{u, V)y y = y{u y v), z = Z[u , v), 

il faut 

i) que x,y,0 satisfassent a Téquation I (18) 

G = o, 

2) qu'elles satisfassent aux conditions II (19) 

F,F, — Fl>o, 



F, 



{F,F, - Fl)(^^ + ^ + F,) - F,B' + 2F^BB, - F,D] 



>o, 



3) quelles donnent a la fonction S définie par III (10) un signe 
invariable, savoir, le signe — pour un maximum et le signe + pour 
un minimum. 

Si ces conditions sont remplies, en nous bornant ä considérer telles 
variations, oii non seulement les variations des coordonnées mais aussi 



140 Gustaf Kobb. 

les variations de leurs premiéres dérivées sont infiniment petites, nous 
avons démontré que Tintégrale double, étendue sur la surface 

dans le cas d'un maximum est plus grande et dans le cas d*un minimum 
plus petite, que la méme intégrale étendue sur toute autre surface ré- 
guliére ou irréguliére, qui passé par le méme contour et qui nVst qu*une 
variation infiniment petite de celle-la.» 



141 



NOTIZ OBER EINE METHODE ZUR 
NUMERISCHEN UMKEHRUNG GEWISSER TRANSCENDENTEN 

VON 

TH. LOHNSTEIN 

in BBRLIN. 



Herr C. Runqe hat im 15. Bände dieser Zeitschrift (S. 221) eine 
Methode zur numerischen Umkehrung der Exponential, Kreis- und elHp- 
tischen Functionen entwickelt, die, wie er glaubte (vgl. Nachschrift der 
betreffenden Abhandlung) bisher nur in dem Spezialfall der Berechnung 
von n bereits frtlher angewendet worden wäre. Ich erlaube mir zu be- 
merken. dass die Methode bereits sehr alt, wenn auch in neuerer Zeit 
vergessen worden ist und dass sie im wesentlichen auf die Benutzung 
der sogenannten Stirlingschen Interpolationsreihe hinauslftuft. Es muss 
Herrn C. Runge das Verdienst gelassen werden, diese von ihm unab- 
hängig aufgefundene Methode in ausserordentlich durchsichtiger und ele- 
ganter Weise begrtlndet zu haben; Herr Karl Schellbach aber war es, 
der in seinem Werke Die Lehre von den elliptischen Integralen und den 
Thetafunctionen (Berlin 1 864, bei Reimer) diese Art der Berechnung zuerst 
auf die elliptischen Integrale angewandt hat, ohne allerdings wie Herr 
RuNGB den Grad der erlangten Annäherung allgemein festzustellen. Man 
erkennt leicht, dass die Formel (1) des § 159 in dem genannten Werke, 
wenn man sie bei einem endlichen Gliede abbricht, vollständig mit dem 
Resultate von Herrn Runge tlbereinkommt, nur dass sie sich auf die 

Äda nuUhematka. 16. Imprimé le 6 avril 1892. 



142 Th. LohDsteiD. 

iterirte r-Theilung des Arguinentes bezieht, während Herr Runge sich 
von vornherein auf die — practisch in der That nur in Betracht kom- 
mende — Zweitheilunji^ beschränkt hat. Die etwas schwerfalliffe Dar- 
stellung SciiELLBACUS mag es verschulden, dass auch nach ihm die in 
Rede stehende Berechnungsmethode der Auftnerksanikeit der meisten Ma- 
theinatiker bisher entgangen zu sein scheint. 



143 



ZUR THEORIE DES KROMMUNGSMAASSES DER FLÄCKEN 



VON 



E. VON LILIENTHAL 

in mDnster i/W. 

Im 14***^ Bände der Acta mathematica, S. 95 ff., föhrt Herr Ca- 
SORATI ein neues Krömmungsmaass ein, dag er dem GAUSS^schen an die 
Seite stellt. Indem ich die Beantwortung der Frage, welches von beiden 
vorzugsweise den Namen »KrQmmungsmaassD verdiene, dahingestellt sein 
lasse, glaube ich die Wichtigkeit des CASOUATi*schen Satzes darin erkennen 
zu dttrfen, dass er einen, unabhängig von der analytischen Darstellung 
der Fläche, ausdrtlckbaren Begriff, somit etwas för die Krtlmmung der 
Flache Characteristisches liefert. In diesem Sinne haben dann auch ana- 
loge Begriffe mit derselben Eigenschaft Interesse, die sich in Bezug auf 
das CASORATi'sche Krömmungsmaass ähnlich bilden lassen, wie ich dies 
beztlglich des GAUSs'schen in meiner Arbeit tJber eine besondere Art von 
StraMensystemen (Mathematische Annalen, Bd 31, S. 86) gethan habe. 
Um den folgenden Entwickelungen grössere Einheitlichkeit zu geben, werde 
ich die gedachten Resultate auf einfachere und directere Weise, wie am 
angeföhrten Örte, herleiten und sodann mit denselben Mrtteln dem Ca- 
S0RATi*schen Satze analoge Sätze begrttnden. 

Die Coordinaten x y y , z der Punkte einer Fläche, welche weder eine 
Kugel noch abwickelbar sei, betrachten wir als reguläre Functionen der 
unabhängigen Variablen p und q. Die Hauptkrömmungsradien seien p^ 
und p^] die Richtungscosinus der Tangenten der zu p^ resp. p^ gehören- 
den Krtimmungslinien mogen mit A^ , B^ , 6\ resp. A^, B^, G^ bezeichnet 
werden. Da jede durch den betrachteten Punkt {x^y^z) gehende Flftchen- 
tangente in derselben Ebene liegt, wie die Tangenten der KrOmmungs- 

Åeta maihunatiea. 16. Imprimé le 6 avril 1893. 



144 R. voD Lilienthal. 

linien, raögsen Darstellungen der Differentiale dx j dy y dz von folgender 

Form existiren: 

dx = Ä^K^ + A^K^, 

dy = B,K, + B,K,, 

dz = C\K, + C,K^, 

wo K^ und K^ lineare Formen von dp und dq bedeuten. Um dieselben 
zu bestimmen fahren wir die Winkel (t und f ein mittelst der Gleich- 
ungen : 

^Lcosa=A,-+B,-+C,-, 

,— • j dX , -Tk dY , ^ dZ 



dq ^ ^ dq ^ ^ dq 



jNcos{c — ^) = A^z- +B^— +C^—j 



Nimmt man: 



Ani, - f) = A,'^ + B,'^ + C,ll 

Hier bedeuten X, Y , Z die Richtungscosinus der Normalen der Flache 
und ausserdem ist gesetzt: 

i=zr|)* ^=2:(|5)'. 

Äj = yjL cos (rdp + y/N cos {a — f)dq, 
H^ = yjL sin adp + yjN sin {a — jr)rfy, 

dX = A,H^ +A^H^, 
dY=B,H, +B,H^, 
dZ = C\H^ + C^H^. 

Hieraus ersieht man, dass sowohl H^ = o wie K^ = o die Gleichung der 
zu yOj, und iTj = o wie K^ = o die Gleichung der zu p^ gehörenden 
KrUmmungslinien ist. Daher können sich H^ und K^, ebenso ff^ und 
K^ nur durch von dp und dq unabhängige Factoren unterscheiden. Um 



80 entsteht: 



Zur Theorie des KrUmmuDgsmaasses der FltlchcD. 145 

dieselben zu finden, bemerken wir, dass der Krömmungsradius eines Nor- 
raalschnitts der Flache gegenwartig durch die Gleichung: 

= ^? + ^ 

bestimmt wird, welche för K^ = o den Werth p^j fttr Ä^ = o den Werth 
p^ von p liefern muss. Daher ergiebt sich: 

und hieraus: 

dy = — B,p,H^— B^p^H^, 
dz = — C^p^H^ — C^p^H^. 

Im Folgenden haben wir ahnliche Darstellungen der Differentiale 
dA^ y dA^ etc. nöthig. Um diese zu erhalten, projiciren wir die Gerade, 

deren Richtungscosinus -4, -{-—^H^, B^ ^""äH^^» ' ^i "^ "s^ '^a ^*"^' 
und welche durch den Punl^ mit den Coordinaten x — p^A^H^^y — p^B^H^y 
z — p^^^JJ^ göhtj auf die Tangentialebene. Die Projection schneidet die 
Gerade {A^ , B^ , CJ in einem Punkte, dessen Abscisse in Bezug auf den 
Punkt {x , y y z) JR, sei. Man hat dann: 



£^ 



ddA,' 



und ähnlich ergiebt sich: 

B, = & ' 



r^. 



la; 



iJi und B, sind die geodfttischen Krnmmungsradien der Krömmungf?linien. 
Aus den Gleichungen: 

Ada mathenuUiea. 16. Iinprini{> le 13 avril 1892. 19 



146 R. von Lilienthal. 

folgt: 



T^- — -* "ET ■«»> 



aff, B, » 



und aus den Gleichungen: 






folgt: 



idA^ 



— A El 

aff, ~ »B, 



Man erhält somit: 



dB 



da 






und analog: 

■ 1 

dC,=^^C,ff,-{^C,+z)H,. 

Demselben Werthsystem p , q entspricht ein Element — O — der Fläche 
{^yyy^)j Gin Element — P^ — der Kugel (X, Y, Z), ein Element — P^ — 
der Kugel {A^ , JBj , CJ und ein Element — P^ — der Kugel {A^ , B^ , C,). 

P 
Die entwickelten Formeln zeigen nun, dass das Verhältniss -^ durch den 

I P 

absoluten Werth von , das Verhältniss -pr durch den absoluten Werth 

I P I 

von — fr-, das Verhältniss ~ durch den absoluten Werth von —5- dar- 



gestellt wird. Sowie nun Gauss den Ausdruck — - als das Krttmmungs- 
maass der Fläche bezeichnet, känn man die Ausdröcke — ^r und — : 



!*•! ri^^t 



Zur Theorie dos KrttmmuDgsmaasses der FlächcD. 147 

als die Maasse der tangentialen öder geodatischen Ha uptkrQmin ungen der 
Flache ansehen. Die Verschiedenheit der Vorzeichen bezieht sich dann 
auf die Art und Weise, wie die Krömraungslinien einer Schaar längs 
einer Krömmungslinie der anderen Schaar gelagert sind, und diese Lagerung 
bestimmt sich durch die Angabe, dass die Tangenten der ersten Schaar 
sich auf der einen öder anderen Seite der betrachteten Linie der zweiten 
Schaar treffen, eine Unterscheidung, welche hinfällig wird, wenn die der 
ersten Schaar entsprechende KrUinmungsmittelpunktsfiäche abwickelbar ist. 
Gehen wir nun zu dem von Herrn Casorati aufgestellten Krtlm- 
raungsinaass tlber. Man denke sich um den betrachteten Flftchenpunkt 
P einen unendlich kieinen Kreis beschrieben, dessen als constant betrach- 
teter Radius das Linearelement ds ist, dessen Flacheninhalt somit durch 
Tcds^ gegeben wird. Jedem Radius dieses Kreises entspricht eine Nach- 
barnormale, und wenn man den Winkel t, den eine solche mit der Nor- 
malen in P biidet, von P aus auf dem entsprechenden Radius aufträgt, 
so entsteht eine neue geschlossene Fläche, deren Flächeninhalt: 

2jr 



/'■* 



ist, wo a den Winkel des radius vector mit einer festen, sonst beliebigen 
Tangentialrichtung bedeutet. Herr Casouati bezeichnet nun das Verhalt- 
niss des letzteren Flächeninhalts zum ersteren als Krtlmmungsmaass, so- 
dass fftr dasselbe sich der Ausdruck: 



27t J ds* 



2ir 

da 



ergiebt, öder da: r' = dX' + dY' + dZ': 



In 



2n J ds* 



Rechnet man den Winkel a von der Curve H^ = o aus, so wird: 

iO, ff, . Pi^t 

cos a = — 9 — - 9 sm a = — y^— ^ > 

ds ds 



148 R. von Lilienthal. 

und för jenes Krömmungsinaass, das mit C bezeichnet werde, ergiebt sich; 



2 \p\ pV 



Man känn nun, um zu ahnlichen Ausdröcken zu gelangen, an Stelle 
von T andere Winkel nehnien, die ebenfalls mit ds unendlich klein von der 
eraten Ordliung sind. 

Zunächst bietet sich der Winkel dar, den die Tangenten zweier be- 
nachbarter KrOmmungslinien derselben Schaar mit einander bilden. 

Setzen wir: 



2;r 2r 



,, I rdA'{ + dB', + dCl j ,, I l'dA* + dBl + dC' 

^' = 2^ j d? ''«' ^' = rj d? ''« ' 

o o 

so liefert eine einfache Kechnung die Werthe: 

Betrachtet man ferner die Radien des oben erwähnten unendlich 
kleinen Kreises als die Anfangselemente einer sich von P aus nach allén 
Seiten tiber die Fläche hinerstreckenden Curvenschaar, so entsprechen den 
Endpunkten jedes Radius zwei benachbarte den betreffenden Fortschreitungs- 
richtungen conjugierte Tangenten, die sich unter dem Winkel o) schneiden 
mogen. Es frägt sich, • welchen Werth alsdann der Ausdruck 

2ir 



K = — C— 

27rJ d«* 



da 



o 



besitzt. För den Winkel cd erhalt man die Gleichung: (S. Mathema- 
tische Annalen, Bd. 31, S. 88) 



,.,-Pijj -Pin H,^/^, - E,dH, 



woselbst der Ausdruck H^dH^ — H^dll^ durch das Gesetz, welches die 
gewahlte Curvenschaar beherrscht, bestimmt wird. 

Es seien zunächst die fraglichen Curven solche, deren conjugirte Tan- 
genten mit den Tangenten der Krttmmungslinien constante Winkel bilden. 



Zur Theorie des KrUmmaDgsmaasses der Flächen. 149 

Dann ist: 

H^dH^ — H^dH, = o 

und, falls hier der Werth von K mit K^ bezeichnet wird, folgt: 

Man hat daher den SsAz: 

C + 2K, = G^ + C\. 

Zweitens legen wir den in Kede stehenden Curven die Bedingung 
auf, isogonale Trajectorien der Krammungslinien zu sein. Dann bilden 
ihre Tangenten mit denen der KrUmmungslinien constante Winkel und 
dies liefert die Differentialgleichung: 

PxPx 

Es werde nun: 

gesetzt. Aus den Integrabilitätsbedingungen der Differentiale dx ,dy , dz 



folgt dann: 



, _ ipi — Pt)Pi 

'la — P~ ' 



B. 



Pil — B^ 



Dadurch nimmt die Gleichung fQr to die Form an: 



<o = 



H? + Ht 



". \ ^1 Pi/ 



+ (^-^^^f)H,H\-^H 



3 



Bei der Berechnung von K treten 7 bestimmte Integrale auf, von denen 
3 NuU sind. Bei den ttbrigen 4 Integralen macht sich der Umstand 



150 R. voD Lilienthal. 

bemerkbar, dass sie verschiedene AusdrUcke erhalten, je nachdem die 
Fläche im GAUss'schen Sinne positiv öder negativ gekrömmt ist. 

Man erhalt bei positivem Werth des Produkts p^p^ die Gleichungen: 

1) 






> 



2ff 






B> 



3 T 






Sä- 






und aus diesen ergeben sich die bei negativem />,/>, statthabenden Gleich- 
ungen durch Ersetzten von />, durch — />,. 

Bezeichnen wir nun den Werth von K mit K^ öder £,, je nachdem 
P\Pi positiv öder negativ ist, so erhalten wir: 



K _ ' 



Rl "^ b; 



■^ 1?^. ■*" V. "*" />! "^ /»J '' 






_i L /Mil P'i"" \ 

'^(P^-P^y\ P\ P\ )' 



Zur Theorie des KrttmmuDgsmaasses der Flächen. 151 

Endlich mogen die betrachteten Curven die Eigenschaft haben, geo- 
dfttische Linien zu sein. Die Gleichung der letzteren ist: (Mathema- 
tische Annalen, Bd. 31, S. 92) 

H,H,{p,dp, - p,dp,) + p,p,{H,dH, -H,dH,) + d8'(^H,-^H,)=o, 
und dies liefert för cd die Gleichung: 

"^ p,p,{H\ + Hl) 

Nennen wir den hier auftretenden Werth von Ä', je nachdem p^p^ positiv 
öder negativ ist, Ä, öder ÄJ, so folgt: 

r 

+ Pnpl — 2pnPnP\pl — 2pitp„p,p\ + pUp]], 

K = a . .(^^_^y {(/>?«/>» — plipM — I !/>,/>» + pl) 
+ Pupl — ^PnPi\P\p\ + ^P\iPnp\pt — Pnp\\' 

Wenn von den beiden HauptkrQmmungsradien der einé eine Func- 
tion des anderen ist, was durch die Gleichung: 

bezeichnet werden möge, so finden die Beziehungen statt: 

- _ P*^Px —Pt) 

''" - i?,/- v.) ' 

„ _ p,iPi—Pt)f'(p i) 

Pil w 



152 

Dies liefert: 



R. VOD Lilienthal. 



K ^ ' 



JillfÅPl + pX +/>?(2 — 



(/>. —Pi)f'(p,)V 



)] 



' 2(/>, -/,,) 






K'== 



■t 



2 (/>,—/>,) 






-^{pÅPi —p^Y — PÅ-iPi —Pif'{pi)Y] 



Speciell för Miniinalflächen ergiebt sich: 
Santiago de Chile, September 1890. 



153 



SUR LES VIBRATIONS LUMINEUSES DANS LES MILIEUX BIRÉFRINGENTS 



PAB 



VITO VOLTEREA 

k PI8E. 



Introdtictian. 

I. Lame a consacré la 22*"* et la 23*°** de ses le9on8 sur la 
tliéorie mathématique de l'élasticité a des recherches sur la possibilité 
d'un seul centre d'ébranlement dans la propagation de la lumiére dans 
les milieux biréfringents. Il observe que ])lors d'une seule onde pro- 
gressive produite ä Torigine des coordonnées, centre unique d'ébranlementy 
un point M dont les coordonnées sont {XyjffZ) sera agité a deux époques 
différentes 

^ ^ 2q 



X ^\/ ^ + V^^'-4g ft^ 



ou 



2q 



R = Sx\ P = Sa'x\ Q = l'a%b' + c')x\ g =. a'b'c\ 



a fb f c, étant les axes d'élasticité. 

»Si le centre d'ébranlement exécute une suite indéfinie de vibrations^ 
le déplacement y sera représenté par les projections 



(O 



Ada mathématiea. 16. Imprimé le 26 arril 1892. 



X^ COS 27r ^ ' + Xj 008 27r * , 

7, COS ^^—^' + ^2 CÖ8 ^^"~i~"* ' 
Z, COS 27r ^ * + Z, COS 2;r ' 



20 



m 



154 



Vito Volterra. 



(Xj, Fj, Zj) et (Xj , Tj, Zj) étant des fonctions de {x^y^z) qui devront 
donner pour (a; = o, y = o, ;? = o) 

X. + X, = x„, r, + r, = r., z, + z, = z^.y> 

Par suite Lame 8'e8t proposé de chercher les intégrales des équations 



(2) 



a — { — 

dZ \dZ 



d 
dz 



dx) 



dx \dX 



dW 

dx 



z / dz\ 

dx \dy 



^ — C 



dy I dy \dz 



dz) 

dv\ 
dx) 

dw\ 



d^u 

d\ 



dt' ' 

d^w 

di^ 



qui ont la forme (i). 

Par un calcul fort laborieux, conduit avec une grande habileté, il 
atteint le but de déterminer les fonctions inconnues Xj, Fj,Zj;Xj, F,,Z,. 

Lame observe que ces fonctions sont indéterminces le long des pa- 
ralléles aux axcs optiques conduites par 1'origine et sont infinies a l'origine. 

En rempla9ant dans les formules (i) les fonctions 



2n{i — Å,) 

COS -zr , 



cos 



27r{l — ;,) 



par 



FÅi + ^i) + f .(< - ^). F^{i + K) + <P.{i - K\ 



F^ , ^^j F^y jr, étant des fonctions arbitraires, u j v , w restent toujours 
des intégrales des équatiohs (2). 
Donc on a que 



(3) ■ v= r. {F,{t + ;,) + jf,(/ - A.)} + Y,{F,{t + A,) + p,{t - A,)}. 



• / 



vérifient les équations de Lame. 



%., 



Sur les vibratioDS lumiDeuses dans les milieux biréfringeDts. 155 

2. Les vibrations lumineuses dans un milieu isotrope dépendent de 
Téquation différentielle 

dont on a Tintégrale 

011 



r = slx' + y' + z' 

et 1^% fp sont des fonctions arbitraires. Gette intégrale présente une 
analogie avec les intégrales (3) et comme elles, devient infinie ä Torigine. 

Il est connu qu'on peut déduire Tintégrale générale de Téquation (4) 
sous la forme donnée par Poisson, en partaht de Tintégralc (5) et en suppo- 
sant vérifié a priori le principe de Huygiiens. Cest par Ik que M. Poin- 
CARB démontre dans ses le9ons d'optique la vérité du principe de Huyghens. 
On peut maintenant se poser la questionr Qu'est-ce qu'on trouve en appli* 
quant le inéme procédé, lorsqu'on part des intégrales (3) et qu'on suppose 
vérifié le principe de Huyghens? Nous avons montré dans Tarticle 5 de 
ce mémoire, qu'on tire de la les fonctions que M°* Kowalbvski a données 
comme intégrales générales des équations de Lame. Si l'on pourrait vé- 
rifier que les formules trouvées de cette fayon satisfont les équations de 
Lame on aurait justifié Temploi du principe de Huyghens. 

Mais nous avons montré dans Tarticle 5 que cette vérification n*est 
pas possible. D'ou ressort ce resultat qui a premiére vuc semble bien 
singulier? 

3. Pour trouver le noeud de la question, il faut avoir devant les 
yeux la surface des ondes oii l'on ait dessiné les systémes des lignes 
spbériques et elliptiques qui förment les coordonnées curvilignes consi- 
dérées par M. Weber. (Voir artide 3.) 

Prenons comme fait M. Weber 

X = bsn{u^y k) dn(w3 , /i), .3 _ a* — b' 

y =acn(w,,Ä;)cn(w3,;t£), , .. . 

^ = adn (w, , Ä) sn (W3 , /i), f^ ""6" a' — c"* 



156 



Vito Voltorra. 



* * « 

Voici ce qu'on verrait en regardant la nappc éxtérieure de la surface 
des ondes du cöté des y positives.^ 




Voici au contraire ce qu'on verrait en regardant la méme näppe du 
cöté des y negatives. 




Ces iigures montrerit que u^ est discontinue le long des lignes u^ = JT, 



Wj = — K. 



Prenons niaintenant les premiers termes des intégrales (3). Notis 
avons trouvé dans ce raémoire (artide 4) ces intégrales par un procédé tout 
ä fait different de celui suivi par Lame. Les expressions sous lesquelles 
résultent les quantités X^ , F^ , Z, sont 



(6) 



ft^h sn t/, sn t/, en te. 



en t/, sn n, dn u^ 



dn w, en w, dn «, 



' 4£C et 4L sont les périodes reelles correspondantes aux modules h ^ u. 



Sur lea vibrations lumitiemses dans les milieuz biréfriDgents. 157 

oii 

et li^ remplace le paramétre X^^ de Lame. 

Ces expressions sont telles, qu'en prenant garde aux figures que 
nous avons dessinées^ on voit bien aisément que X^ , Z^ sont des fonctions 
polydromes des coordonnées x y y y z des points de Tespace. Pareillernent 
on a que X^ , Z, sont des fonctions polydromes. Cette propriété ne 
8'aper9oit guére au premier abord, lorsqu'on examine ces quantités sous 
la fonne que leur avait donnée Lame. 

C*est pourquoi il s*était trompé lorsqu'il avait cru qu'elles pouvaient 
représenter les vibrations lumineuses provenantes d'un ccntre d'ébranlement. 

Ce sont les mémes fonctions (6) qui paralssent dans le mémoire de 
M"* KowALEVSKi. Lorsqu'on s'aper9oit qu'elles sont polydromes, on voit 
aussi que la méthode découverte par M. Weierstrass pour Tintégration 
des équations linéaires aux dérivées partielles ne peut pas étre appliquée 
pour intégrer les équations de Lame en se servant des coordonnées de 
M. Weber. 

4. Le premier artide de ce mémoire est consacré a la transformation 
des équations de Toptique de Lame en coordonnées curvilignes. 

J'applique les formules trouvées au cas particulier des coordonnées 
de M. Weber. De cette fa9on je trouve, par un procédé* bien plus court 
que celui suivi par Lame les intégrales (3) sous la forme que je viens 
d'indiquer. La discussion de ces intégrales est faite dans Tarticle 5. Dans 
Tarticle suivant je trouve un théoréme analogue ä celui de Green et 
j'y applique la méthode employée par Kirchhoff pour généraliser le 
principe de Huyghens. Enfin les derniers artides sont consacrés a trouver 
les intégrales générales des équations de Toptique en partant des inté- 
grales de Lame et en prenant garde ä leur polydromie. 

' Ce procédé ne différe pas esseDtiellemeDt de la méthode suivie par M. Brux 
'dans nn mémoire [Matli. Ann., l®' YoL] qae j'ai coddu seulement apres avoir rédigé 
mon trayail. 



158 



Vito Volterrs. 



Art. i. Tranafor mcUion des équations de Lame en coördonnéea 

curvUignes. 

I. Soient UfVfW les composantes du déplacement d'un point {Xjy^z) 
d'un milieu élastiquc homogéne. 
En posant 

,j^ dV dW 

dz dy 



(O 



T^ dW du 

dX dz 

dy dx 



les composantes des rotations des elements du milieu, seront données par 



-U, -F, -W. 

Prenons les axes coordonnées x ^ y j z paralléles aux directions des axes 

d^élasticité, et soient 

a > b > c 

les axes d*élasticité. 

On écrira les équations de Lame de la maniére suivante ^ 



( d^u 



(2) 



dl' 

d*o 
di^ 

d^w 

[ di^ 



= c 



^dW 
dy 



^dll 
a — 
dz 



dx 



a 



.dW 

* ■ 

dx 

^dJJ 



Ces équations peuvent s'obtenir en annullant la variation d'une intégrale. 
En effet, si Ton pose 



(3) 



2T79 



.ai/T/a 



P = «»£/' + b'V' + c'W', 



^ Lame, Lejons sur rélasticité, dix-septiémc Ie9on. 



Snr lea Tibnitioos lamineuses dans les miiieuz biréfringents. 



159 



(4) 



(5) 



^=(:7)V(^T+(^^)' 



t, 8 



P)dSdt, 



t^ , /j étant un intervalle arbitraire de Tespace, on aura 



dl 



=//[:■? 



dåu ^^ dvdåu , dwddw 



t. s 






^^^\ A. b^v(— — — ] + c^Wi^^^ ^^^ 



dy/ 



\dX dZ / 



\ dy dx 



)i] 



dSdt. 



Sopposons que les variations du,åv,åw soient nulles aux limites des inté- 
grales. Par des integrations par partie on déduit de Téquation précédente 



ål 






'. s 



+ 



*"(^-»'iJ+«':7)]''*'«- 



On tire de lä les équations (2) en posant 



dl = o. 



2. Considérons maintenant un systéme de coordbnnées curvilignes 
«,,«,,«,. Soit 

ds^ = Hi^du] + H^qdul + H^idu] + 2H^^du^dUi + 2H^^dUidui + 2H^^du^du^ 



le carré de Télément linéaire. 
Posons 



2)' = 



d{x^y , z) 



-"11 > -"u > -"is 
-"21 > -"33 ^ ''''23. 

-"si > ""82 ' -"88 



160 



Vito Volterra. 



Désignons par t^ j t^, t^ les tangentes aux lignes 

u^ = const., W3 = const.; 



W3 = const, Uj = const.; 
Wj = const., Wj = const. 

Les composantes des déplacements des ppints du milieu dans les directions 
'1 > '3 > ^8 étant v^jV^fV^y on aura 



u 



v, dX v, dX 



. . . . . v. dX . V^ dX . 

' ' ' ' ' ' yJB,,^u, v^ff.,ae/, Vffs.au, 



vffit5«i vfft.9«. Vff„9«i 
Si Ton pose 



(6) 



v. 



Pi = -/é=' P« = 1^ ' Pf =-■ -^=' 



V^u 



v'ff.. 



>/^.. 



on trouvera 



(7) 



dX , ^X , dX 



90 , 3^ , dz 



Par un théoréine bien connu on peut toujours trouver trois fonctions 



telles que 



(8) 



u 



^^Mj ^» 



dÅ . du 

dX dX 



dÅ , du 

^ = Z- + ^T' 

a^ . du 
tv =^— + pf, 

dz dz 



Sur les vibrations lumineuses dans les milieux biréfringente. 161 

d'ou 



d(y,z)^ d(z,x)^ d{x,yy 



On aura donc 



jj ^ d{fx , y) d{u^, u^) dj/ji, v) d(u^ , u^) d{/i , w) d[u^ , ti,) 
d(t*, , «3) d(y , z) d{u^ , ttj d(ij , z) d(u^ . w,) d{y , z) 

I d(/H , u) dX I d{fi,)^) dX I fl(/Å , v) dX 



D d(M, , u,) » ' Z> d(M, , M,) » ' Z> <i(«, , u,) » 



De méme on trouve 



Tr= V(«:^(^i^ .08^ N^^(Ai^ C08 V + #;;^,COS/,Z. 
D d(M, ,«,) ' Z) d(w, ,«,) ' D d(M, ,«,) » 

Cest pourquoi les composantes des rotations des elements du inilieu dans 
les directions t^, t^, t^, seront données par 

2 1 2 D d(«, .«,)' 

I V ^ i4Eii ÉiiiiA. 

2 » 2 d(«,,«.)' 

2 ' 2 D d(«., , M,)' • 

On tire des équations (8) et (7) 



(9) 






i ''•"1 ""^l """I ""^l 



dk . du dx . dy . dz „ , TT t TT 

dl , dpt dx . dy . dz „ t TT I rr 

Äeta mathmatiea. 16. Impriiné le 37 ayril 1892. 21 



162 Vito Volterra. 

d'0U 






et par suite 



J D \at/3 duj' 
3 D \ati, aw,/ 



Posons 



C"' '''=:k.' -^''Ä' '''"Ä' 

On aura pour les rotations des formules parfaitement analogues aux 
équations (7) que nous avons établies pour les déplacements: 

CO ''=^.&,+^.E-.+^.S-- 

W= P, Sr + n S- + ^. " 



awj ^ ai*, * du 



9 



3. Nous nous proposons maintenant d'exprimer les quantités T et 
P par les fonctions p^ y p^, p, ; Pj , P, , P^- Il est bien facile de déduire 
des équations (7) 



Sur les vibratioDB lumineuBes dans les milieux biréfringcDts. 



163 



De méme, en posant 






K. = 



^..=«-©'+<.)'+o.(^_)- 



K.. =a 



'33 



3 dX dX 

3w, 3t*3 



, j2 5y ^.y 



5u, 5Wj 



+ c^ — — y 



9w, 3^3 



K, =a 



^ dX dX ,2 ^y ^y t 3 ^^ ^^ 



81 



^la =« 



au, 3iij 



2 9a; 9;i; 
9Wj 3u, 



+ *' 



+ i' 



8jt, 3«, 



+ C 



3^3 3ttj 



dy du , o 90 92; 
du^ 9m, 9i/, 9^3 



on trouve 



P=a»t;^+ b'V'' + e^W' 



4. On peut iiiaintenant transformer les équations de Lame en coor- 
données curvilignes. 
En effety on aura 



+ 



^P»^(ff 'Pi 1 u ^P 



n 



SI 9* + •"«» 5f 



9^ 



^ »» 9t ) dt 



^Px 3^?i I !£« !^ I ^i'. 5^f 



9t 



dt dt 



dt dt 



\dP={K,,P, + K,,P, + K,,T,)dP, + {K,,P, + Ä„P, + K,,P,)dP, 



et en posant 



(12) 



+ {K,,P, + /r3,P, + K,,P,)dP, 



164 

on trouvera 



Vito Volterra. 



2 



Par suite 






(13) 



o^I = s^-fdtf{T— P) Diiu^dujdu, 



t. s 



II 

-hf 



D 












du^dUjdUy 



Les variations ^^^ , dg, , åq^ étant nulles aux limites des intégrales, 
l'équation précédente peut étre remplacée par 



o/ = 



C dt flrJo TT)''^' ^^^* 4- '*^«"1 4- «V [T)^'^' '^' -U '*^' 1 



.s 



+ <??: 



»v. 



p^ 



3tt, 3?t 



^11 



Donc, si ål = o, on aura, 



fD 



(14) 



»V, 3<?» 3g, 



ai« 


3m, 


3«, 


3 V, 
di* 


30. 

3u, 


3<?, 
3u, 


»•i'. 


30. 


30. 



dt* du, du. 



Voila les équations de Lam£ transformées en coordonnées curvilignes. 

5. Nous donnerons ici quelques formules dont nous nous servirons 
dans les artides suivants. 



Sur les vibrations lumioeuses dans los milieuz biréfriDgCDts. 

Les équatioDs (9) résolues par rapport ä u,VfWy donnent 



165 



(15) 






dx 



du 



dx 



dn^ 



dx 



du. 



^=-<ii^ + 9,^ + gsj^> 



dU^ 



du. 



l«' = ?i^ + ?»^ + ? 



du, 



dZ ' "^dZ ' ^ dZ 



Ajoutons les équations (12) apres les avoir multipliées par — ^ , — -* , — - . 
On trouvera 



dx 



dx 



dx 






dx 



dx 






d'ou 



L / aw, * av, ^ awj J 



(1 6') 

De méme on aura 

(16") 



(16'") 



a'U=Q,'^+Q,'^+Q,'-^ 



dx 



dx 



b'V = 



c'W = 






6. N0U8 venons de transformer les équations de Lame eii suivant 
la méthode ordinaire, c'est a dirc en reconduisant la question par les 
principes du calcul des variations a la transformation d'une intégrale. 
On peut faire la transformation par un autre procédé tres-simple que je 
vais exposer en peu de möts. 



166 



Vito Volterra. 



Soit a une surface quelconque dont le bord est formé par la ligne s 
et soit n la normale a cette surface. Désignons par A et /i des coor- 
données curvilignes des points de la surface. En mukipliant les équa- 
tions (i), (2) par 

cos nxa(T = ~ — ■ «/«//, 



QO^nijda = JJ-. — Ut Ad Hy 



cos 



s fizda = -TT-, — -[ dkdii 
d(Å,fi) ' 



et en intégrant sur toute la surface a^ on trouve par le théoréme de 
Stokes 



(■7) 



=j{udx + vdy + wdz), 






i) , d\z , x) 



+ 



dCx, y) 1 ,. . 



=f{a^Udx + b'Vdij + g' Wdz). 



Si nous posons 



^ - ^^ aw. + ^^ aw. ^ ^» du. 






IF 



> a«., "•" « att, "^ ' a«3 ' 



M = 



9x , dx , dx 

1^1 ^ + i^2 ^ + ^3 - 



v 



du. 



3y 



3m. 



3y 



= Pi^ + Pi^ + 2h 



du^ ' ' ^ dU^ 



du. 



du, 



tv = 



dz , dZ , dz 



du. 



awg 



3 



au. 



Sur les vibrations luminouses daos les milienz biréfringento. 



il est evident qu*on trouve 






u . : : + v ^fp — ( -{-to 



d{X.fi) ' d{Å./jt) 



d{X,ti) 



d(u, , M,) 



d(u, . «,)• 



:* P d(;,/.) ^^» d{Å,f,) ^P-' d(X,fi)'j 



167 



Examinons' les deux fornies quadratiques 

2f = u' ■}- v' -\- W^ 

= H,iP\ + Ä(5i)^ + H^tpl + 2HnPiPz + 2Hi^p,pi + ^JlxiPiP-t, 



= Ä-hP? + Ä"„P» + Ä33i1 + 2Ä„P,Ps + 2jSr„P,P. + 2Ä„P,P,. 

Par des théoréraes bien connus on aura 

du * dV ^ dW dp^ ^Ps ?i^3 



3^ 

a 



Z; + aF^ ^ dW ^ ~ dP ' ^ dP ^ ^ aR 3- . 

1 t 3 



Par suite, en posant 

9f 



3P. 



= 9i 



Si'. 



9 -i, 



IL 



3» 



9^ 

dP 



d^ 






dy 



= <?. 



on trouvera 



udx + v% + ^^^-2? = q^du^ + (Za^Wj + q^du^ , 



a^f^^a: + ft^Frfy + c'Wdz = (?,r/^/j + Q,du^ + Q,du^^ 



168 



Vito Volterra. 



On pourra donc substituer aux équations (17) les deux équations 

a 

t 

dTj ^1^. ^^;r + ^' -ditt + ^' T/(t7f r'^''^ 

s 

De ces équations, par le théoréme de Stokes découlent tout de suite les 
équations (i o) et (14). 



Art. 2. Les équations de Lame et leiirs équations conjuguées. 

I. La transformation des équations de Lame en coordonnées curvi- 
lignes nous a conduit aux équations 



(O 



Posons 



on aura 



D '/ = 



a?/,+i 3«,+2 



dt' 
g i == a.HuP.. 



dt' 



= — m 



« j 



(i-1,2,3) 



Par conséquent, si 



2;//„w, = n, 



Sur les vibrations luiuiaeuMB dans les milieux biréfringents. 



169 



on trouvera 



9V_ 

dt' 






1} 



(l'ou 






En rempla9ant P, 
d^équations 



par 3f,, et Q, par JV, on pourra écrire le systéme 



(2) 






9n 



*+i 



9tl,+ l 3«*4.3 



n, = I,H,,m,, 



ni 






iNr,=.i:,2i:,,3f,. 






(i=l,2,3) 



2. Lorsqu^on connalt un systéme d^intégrales 

des équations (i) on aura tout de suite des intégrales des équations (2). 
Il suffit pour cela de prendre 



{M,= P., 



(3) 



1 w. = 






N. = <?., ■ 



liéciproquement a toute intégrale des équations (2) correspond' une inte- 
grale du systéme (i). En effet en prenant* 



(4) 



IVt — »'v 



p. = - 



a'M. 



dl 



i ' 



9, = w. 



Q, = - 2\ä;, 






on aura que ces fonctions satisfont äux équations (i). 

Ada maOumoHe: 16. laprimt le 27 tnil 1892. 



22 



170 y-ito Yolterra. 

3. On peut maintenant poser la question: 
A quelles intégrales 

des équations (i) correspondent des intégrales 

du systéme (2) telles quc les relations (4) soient vérifiées? 
Il est facile de démontrer qu'il suffit de la condition 



9 »i. 3?/, 3Uj, 



pour que les équations (4) soient satisfaites. 

En effet, il ressort de (5) que Ton pourra poser 






d'ou déeoulent les équations (4). De méine a tout systéme dMntégrales 



m, , w, , M,, N, 



des équations (2) telles que 



a(Z>Af ,) 3(Z)M ,) a(Z)M3) 
W au, ' au, ' at/. 



= o 



corréspond un systéme d*ihtégrales des équations (i) lié au précédént 
par les relations (3). * 

4. Il est aisé de démontrer que si Téquation (5) est vérifiée les 
vibrations sont transversales. 
En eflfet soit 

- a;», ay a« ., r 



> ■ ^ 



Sur les yibratioDB lumineoseB dans les milieuz biröfringeots. 171 

En multipliant cette quantité par une fonction A indéterminée et en 
intégrant sur un espace S quelconque on trouve 

fxedxdydz = j (w^ + t;^ + u;~)rfS, 
A étant nulle au contour de Tespace 5.* Mais 



Par suite 



dX , dÅ , dÅ dÅ , dÅ , dX 



3 



Puisque A est indéterminée^ on déduit 



D'ou 



= 



I P(^i^i) , ^(^i>.) . ^(^iO 



^ 1 n(up,) d(vp,) d(up,n 
Dl du, "^ ati. "^ au, J 



5. Nous appellerons les équations (2) les équations conjuguées aux 
équations de Lame. Il est connu que les équations de Lame se rap- 
portent a Thypothése de Neumann. Cest a dire pour trouver ces équa- 
tions il faut supposer que les vibrations des particules du milieu élastique 
ont lieu dans le plan de polarisation. Fhesnel au contraire a supposé 
que la direction des vibrations soit normale au plan de polarisation. Il 
serait aisé de voir que les équations (2) sont les équations du mouve- 
ment dans Thypothése de Fresnel. Il sufifit pour cela de supposer que 
^ffn-Sfi , \/H«ikr, , ^fläts-^a représentent les composantes des déplacements 
dans les directions ^j , <, > <,. 



172 Vito Volterra. 



Art. 3. Les coordonnées de Weber* Tranaformations des équations 

de Lame en coordonnées de Weher. 

I. M. Wbber a déraontré.que si Ton a. 

X =r 6 sn (Wj , k) dn (Wg , //), 
(i) y = a en (w, , A) CD (W3 , //), 

z = aåii{u^jk) sn [u^ , /i), 



ou 



;J _ g' — 6' j ^an« — c» 

on obtient par 1'éliiniDatioD de u^^ u^j 

/2\ ? I v I ? r 

\'') x^ + y^ + z" — a' ^ «' + y« + 2* — 6» "^ *« + y' + «• — c' *~ ' 

qui est Téquation de la surface des ondes. ^ 

Au lieu de 

sn (w, , Ä:) , en (t^, , *) , dn {u^ , A), 

sn(w3 , //) , cn(w3 , //) , dn(w3 , /i) 

nous écrirons, pour simplifier, 

snWg , cnWj , dnw^, 
snt*3 , enwj , dnw,, 

en supprimant les modules (A , /i) suffisamment rappelés par les indices des 
arguments u^ , ^3, Soit å^K la période reelle eorrespondant au module 
Ä; 4L la méme période eorrespondant au module /£. 

En donnant ä u^ toutes les valeurs reelles eomprises entré — JT et 
Ä" et a t*3 ton tes les valeurs reelles eomprises entré — 2X et 2X, on 
obtient par les formules (i) tous les points de la näppe extérieure de 
la surfaee des ondes qu'on appellera ef. 

* Journal de Orelle. T. 84, pago 353. 



Sur les vibratioDS lumiDeuffes dans les milieuz biréfriDgents. 173 

2. Examinons maintenant comment sont disposées les lignes 



Wj == const, W3 = const. 



sur a. 



Conduisons par Torigine les j^aralléles T^ , T^ aux axes optiques. 
Elles découpent le plan xz en quatre parties qui contiennent rcspectivc- 
ment les parties positives et negatives des axes x^z. Nous les désignerons 
par w^, (o_^j cD.y (o_,. 

En faisant w, = — if , on trouve 

X ^ — 6 dn t*3, !/ = o, z = b/jL sn ti^. 

Cette ligne est la partie de Tintersection du plan xz avec a comprise 
dans cy_j.. De inéme on voit que la ligne u^ = K est la partie de la 
méme intersection comprise dans cy^. Les lignes 

• 

u^ = — Lj W3 = L 

sont les parties de Tintersection de a' avec le plan xz comprises dans 
a>_, et a>^. 

Ajoutons les éq nations (i) apres en avoir élevé les deux membres 
å carré. On obtient 

(3) x' + !/' + ^' = (i' — {a' — b') sn' u^. 

• 

LMntersection de a avec la sphére (3) est formée de deux courbes situées 
des deux cötés du plan yz. Si la courbe qui est du c6té des x positives 
correspond a w^ = a^, on aura 

K > (^3 > o. 

L'autre courbe correspondra alors a 



W3 = — ttj. 



De méme on trouve 



(4) a'x' + by + cV = a'[b' — {b' — O 8n^t*3]. 



174 Vito Volterra. 

Considérons les deux plans xz , xy. Ils partagent Tespacc en quatre 
parties qiie nous désignerons par 

en mettant en évidence le signe des coordonnées y , j2f de leurs pointe. 

Uintersection de Tellipsolde (4).avec ef est forraée de deux courbes 
qui sont situées des deux c6tés du plan xy et dont chacune est coupée 
par le plan xz. 

On pourra donc considérer les quatre parties X^/, i>_y,,, ^y,-zj -^-y,-« 
de cette intersection qui sont contenues dans les quatre parties (5) de 
Tespace. 

Si Ly^^ cdrrespond a w, = a,, on aura 



-^ ^ «8 ^ ^ 



et 



X_y , correspondra a u^ = 2L — ^3, 
iry^_, correspondra a u^ = — »3, 
L__y^^, correspondra ä Wg = 2ly + ^3. 

On tire de la que u^ considérée comme fonction des points de la surface 
o' est continue, tandis que u^ est discontinue le long des lignes u^— — Ä", 
Wj = K, La somme des valeurs de u^ des deux c6tés de ces lignes est 
toujours égale k 2L. u^ est aussi discontinue le long de la partie A de 
rintersection du plan xy avec (/ qui est du cöté des y negatives. La 
différence des valeurs de u^ le long de la ligne A est constante et égale 
ä 4L. 

Par conséquent les fonctions elliptiques 

(6) snWj , cnu^ j ånu^ , snWg , dnWg 

seront continues sur la surface a. mais 

cn«*3 

sera discontinue le long des lignes ti^ = K , u^ = — K. Ses valeurs sur 
les deux cotés de ces lignes seront égales et de signe contraire. 



Sur les yibratioDS lumipeiuefl 4ftQt les milieux biréfriDgenis. 175 

3. Poaons maintenant 



\n i y ^ ^^i ^^^2 cnWj, . (8) 



Les surfaces 



00 > t^i ^ o, 
K>u,> — K, 
2L > w, > — 2Z/. 



Wj = const. 



seront les näppes extérieures d'un systéme de surfaces des ondes concen- 
triques et homothétiques. Les surfaces 

u^ = const, W3 = const. 

seront des cönes dont le sommet est k 1'origine, et dont les directrices 
sont les lignes u^ = const., u^ = const., que nous avons déja exarainées 
sur la surface a. Les fonctions elliptiques (6), considérées comme fonc- 
tions des points de Tespace, seront continues, tandis ique en u^ sera dis- 
continue le long des parties ö>, , ö>_<p du plan xz, 

4. A tout*8ysteme de valeurs de x^xfjZ (excépté si y = o) corres- 
pond un seul systérae de valeurs pour u^jU^j u^ qui satisfont aux con- 
ditions (7), (8). On appellera ces valeurs les coordonnées de Weber du 
point X j y j z. 

De méme si on a deux points A^ =? (rr, , j/, , z^) et A^ = {x,^ , 1/^ , z^) 
nous poserons ' 

x^ — 00^ = a?, y^—Vi — Vj ^2 — -2^1 = ^• 

Le systéme des valeurs de w, , w, , u^ qui vérifient les conditions (7), (8) 
seront les coordonnées de Weber du point A^ par rapport au point A^. 
Il est aisé de voir que les coordonnées de Weber du point A^ par 
rapport au point A^j seront 

si fl, > o, et 



w, , —u^ , 2L + W3, 



81 fl, < O. 



176 



Vito Volterra. " 



Calculons le carré de rélément linéaire de Tespace en fonctions des 
coordonnées u^fU^fU^ 

On trouve par un calcul tres simple 



iB.. = 



(9) 



11 



Ä.» = 



22 



H.. = 



88 



K. = 



12 



a cn^Wj + ^ sn^^Wj, 

ul[{a' — b') sn- w, dn'u^ + b' — b'k' sn' u^ 
aVi[i — Ä^sn^Wj — fi^ sn^u^ + {fi^ + k^ - 
Wj(6^ — a^) snWj en i/j dn w^? 



i) sn^Mj sn^Wj], 



^23 = ^31 = O' 



d'ou 



1) = 



-"U > -"12 ' ^13 

•^21 ^ 22 ' 28 

TT Tf TT 

"^31 ' 32 ' 33 



i 



= a^buW^i — k!^ sn^Wj, — (i^ ^^^ % + (/^' + *^ — O sn^i^^ sn^wj. 

5. Pour étåblir les équations de Lame en coordonnées de Weber, 
il suffit de calculer.les quantités K^,. 
On obtient 



(10) 



K^^ = aVii\[i — Ä;^sn^^, — /i^sn^Wg + (//^ + Ä:^ — i)8n^w, sn^Wg], 
Ägg = aX[(fc' — c^) sn^/g d n ^ 1/ g + (^- — c'A' sn^/, — o V' sn' Wg], 



ii:.. - 



23 



K,, = o. 



En posant 



(ii) a = i — V sw*^ u^— fx^ sn^z/g + (/i' + A:^ — i) sn^w^ sn^r^, 



on au ra 



(12) 



H,, = a'u] A , J> = ffl'K A , Ä'„ = a'b'u] A 



(13) 



Sur les yibratioDS lutDineuses dans les milieuz biréfringeDta. 177 

6. Si au lieu des équations (7) on pose les équations 

X = ou, m{n^ , Jt)dn{n^ , fc), ' 
y = c~u^ en (tij , fj) en {7f^ , Ä), 
^ z = ftiij dn (wg , /i) sn (w., , Ä), 



ou 



jj c»/>* — a« -5 c* — /> 



s 



on obtient tous les points de Tespace en donnant a v^ , u^ , u^ toutes 
les valeurs reelles, telles que 



(14) 



CO > wj > o, 

K>u^> — K, 

I 2Z >^7eg > — 2L, 



4K et 4Z étant les périodes reelles correspondantes aux modules it , ^. 
Les surfaces u = const. sont les näppes intérieures d'un systéme de surfaces 
des ondes concentriques et honiothétiques, auxquelles appartient la surface 
(2). Les surfaces tT, = const., u, = const. sont des cönes dont le somniet 
est a Torigine et dont les directrices sont des lignes sphériques et ellip- 
tiques de ces näppes. 

11 est facUe de vérifier que, si les conditions (13), (14), sont reinplies, 

snifj , cntij , dnwj , sn^ig , duu^ 

sont des fonctions continues des points de Tespace, tandis que 

en v^ 

est discontinue le long des parties o)^ , ö>_^, du plan xzj puisque cette 
quantité prend des valeurs égales et de signes contraires sur les deux 
c6tés de ces surfaces'. 

A tout systéme de valeurs de x , y j z (exceptc si // = o) correspond 
un scul systéme de valeurs de v^ , v^ , 1/3 qui vérifient les conditions (13), 
(14). Nous appellerons ces valeurs les coordonnées de Webeh de la 2^* 
espéce du point Ä ~ {x , // , z). En posant 

X = X^ — rj, y = y^—y^, z = Z^— Z^, 

Aeta mathematiea. IG. Iinprinié le 34) avril 1892. 23 



178 Vi to Volterra. 

^1 > ^j > ^i seront les coordonnées de Weber de la 2^^ espéce du point 

A^ = (.r, , y, , z^) par rapport au point A^ = (a;, , y^ , z^). 

7. Pour transformer les équations de Lame en coordonnées lij , ii^ , w,, 
il suflfit de calciUer les quantités Hf,, K^, par rapport a ces variables. 
Nous les désignerons par H^, , Kf,. En posant 

(15) A— I — P &r\\,^ — /i^snSTg + {p + k^ — i)sn%',^ sn'^*^ 
on trouve 

(16) ff.^2 = ^VmÄj D = c^bu]~£y K^^ = c^b^v]'K, 

(17) n,, = H31 =^,3 =^12 =0. 



Art. 4. i6« intégrales de Lame. 

I. On peut trouver bien facilement deux intégrales des équations 
de Lame, apres les avoir transforinées en coordonnées de Weber. 

Exaininons d'abord ce qu'on trouve en prenant les coordonnées de 
Weber de premiére espéce. 

Les équations de Lame seront vérifiées par les valeurs 

JPi =0, p^ = o. 

En effet en rappellant les équations (i) du 2^""® artide et les équations 
(9) de Tarticle précédent, on trouve , 

ö", = o» <y, = o. 'y, = H^iPi, 

^^ ~ ö a«. ' ^^~ D du, ^3 — "' 

'«'• ~ 'D du/ ^-^ ~ D du, ~ '^du.,' ^' ~ ~ I) 9m/ 



Sur les Tibratioos lamineuses dans les milieaz biréfringents. 

Par suite les équations de Lame se réduisent aux suivantes 



179 



(O 



3*2. 



= !-[— --il i^il — 6 — li- 



K,, H, 



3 rK,,9g, 



du I D 9u,J a«, L D aifj 



dt* 






iw, L" 






] 



Supposons 5^3 fonction de t et de Wj seulement. Les deux premiéres 
équations (i) seront satisfaites; la troisieme deviendra 



dt* du\ 



dont rintégrale générale est 



fy ip étant deux fonctions arbitraires. On a donc Tintégrale suivante 
des équations de Lame 



(2) 



?, = O, 



Vx = °, 



y, = Oi 



% = f{i + «*.) + f (< - ".)» 



1»» = o» i^a = ä^;;^ t^^ + w.) + f^(< — «i)]. 



<;?i = o, Q, = b{f{t + «,) - f(t — M,)], 



<;>, = o, 



^3= o 



oii A a la valeur (ii), art. 3. 

2. En rappelant les équations (15) du premier artide on trouve 



(3) 



w = ^'[A< + «.) + f(< -«.)], 






180 



Vito Voltcrra. 



Des équations (7) du méme artide, on déduit aussi les expressions équi- 
valentes 

fi^b sn v^ sn v^ en v^ 



(4) 



u = 



a\ A 



[nt + u,) + ^{t-u^)i 



cii I/, sn ?/ dn ?/, ^ ... , \ , /. xn 

V = = ? '- [f{t + u,) + ^{f — wj], 



?e; = 



dn n g en 1*3 du v. 



[/•(^ + t^J + j^(<-/^J]. 



Enfin les équations (16) et (11) du premier artide conduisent aux for- 
mules suivantes 



(5) 



b du 



^^=:.,^[/"(^ + ".)-f'(^-«.)] 



a^dx 



en v^ dn u^ dn ?<, ^ , . ,. ., 



a^/^ A 



I 3f/ 



^=6'a7t^'(^ + «.)-J^'(<-".)J 



snw, dn« cnw, r,,,. , ^ ,,, ., 



a6wj A 



w= 



^'^[ni + ir,)-f{t 



«l)] 



Ä' an v cii M, sn m, p , . ,, ., 



a6tfj A 



3. Considérons maintenant les coordonnées de Weber de la seconde 
espéce. Le procédé par lequel on est parvenu aux intégrales (2) peut 
étre appliqué ä ces coordonnées. On trouve ainsi Tintégrale suivante 



1/1 



Pi 



= o, .y, =0, ^3 = /'{t + 1/ J + y{t — « J, 



= O, 



i'2 ■-= o, 



i'3 



3. -7 3 



(6) 



c'/z; A 



[7(^ + «.) + ^(^ -«.)]. 



Q, = o, Q^ = h[f'{t + M,) — ^'(< — «i)]. 



l\ 



o, 



p. = 



» ..»;..,« 



7" et «i étant des fonctions arbitraires. 



m + ;^,)--^'{t-n,)i 



Q^ =0, 



p» =0, 



Sur les vibrations lumiaeuses dans los uiilieux biréfringents. 

On en ti re 



181 



(7) 



(8) 



U = 



''-[/•(< + «.) + f ('-«.)] 



dx 



'"•'•''°''^'"-^[?(^ + ».) + f ('-".)]. 



CMj A 



v 



''-[?{( + n,) + -^{t-u,)] 



^y 









= ;rrÄ< + ".) + ?(<-".)] 



92 



77^= — UV + "J + VV — «i)j» 



f^ = 






a^dx 



ic^ 9n t\ en ^7, s n 1^3 ^-w v - . - .^ 



^ I 30 



»^ = -..-r[A'(< + ^'i)-f(^-^0] 



feay 



7-— If V H- ^u) — 9v — w,}J> 

c(?«, A 



W = 



^'é[fV + v,)-^\t-u,)] 



c^dz 



en <7, dn i\ dn ^ 3 p-,, - . -,. -v-, 

ert, A 

4. Nous avons vu (art. 2) qu'a toute intégrale des équations de 
Lam£ correspond une intégrale des équations corijuguées liée ä la précc- 
dente par les équations (3) du 2*""® article. 

On aura donc, en partant des formules (2), (6), les deux intégrales 
suivantes des équations conjuguées ä celles de Lam£: 



(9) 



M[ = o, M, =-. ^,-i,- y>{t + u,)+x(i - ". )]. ^3 = o, 



-V. = o, 

Wtj = o, 



I 



K=o, 



m^ = o, 



m = 



[^'(< + «.)-/(< -".)]. 



n. 



n, =0, n, = <p'{t + M.) — xV — ",)' 



182 Vito Volterr». 

M, = O, M,= --'-= [^t + «,) + x{t — «,)], jtf, = O, 



(lO) 



N, = o, N,== b[;j,{t + ,■;.,) + x{t — ä,)], N, = o, 

m, = o, w, = o, w, = — ^= [^'(< + «,) —X'{t — M,)], 

?ii = O, r?., = O, wg = ^'(< + «j) — j(\t — wj). 



<p y X ^4' ^X étant des fonctions arbitraires. 

De mérae on sait que des intégrales précédentes on pourrait déduire 
des intégrales des équations de Lame. Mais il est aisé de voir qu'en 
partant des formules (9), (10) on ne trouverait pas de nou velies intégrales, 
car on reviendrait aux formules (2), (6). 

5. Nous reinarquerons enfin que les intégrales des équations de 
Lame que nous venons de trouver vérifient la condition (5) de Tarticle 
2 et par suite correspondent a des vibrations traiisversales. 

6. On peut maintenant se poser la question. Est-ce qu'on peut 
trouver d'autres intégrales des équations de Lame de la forme 



(lO 






oii u,, , t\^ , w^ ; u^ , Vj , w^^ sont indépendantes de t et f{a) est une fonction 
arbitraire, tandis que ^(a) est une fonction arbitraire ou dépend d'une 
maniére quelconque de f{a)? 

Si (ii) est une intégrale des équations de Lame, on döit trouver 
par la substitution dans les équations dififérentielles, trois équations de 
la forme ^ 

AJ+ B,^ + AJ' + By + A/" + By = o 
oii A^ , B^ , A^ , B^ , A^ , B, sont des quantités qui ne dépendcnt pas de t. 



Sur led vibrations lumineuses daas les milieux biréfringeDts. 



183 



Il est aisé de se persuader que ces coefficients doivent étre nuls. 
En effet si eela n^arrivait pas, on aurait 



f , 


9 


r , 


9 


f" , 


9 


Ti It 


9 


f\\ 


9 


r , 


9 



II 



III 



IV 



v 



, f , 


9' , 


f" , 


9" 


, f" , 


9" . 


Till 


9'" 


Till 


9'" > 


r , 


F" 


TIV 


9'' . 


t' , 


f 


, r , 


f . 


r , 


J.V. 


, r , 


f > 


^Yll 


jp^" 



= o. 



Posons ^ + Wi = a , < + til = y9, on aura f = f{a) , jr =^ fp(/9) et Ton pourra 
regarder a et y9 comme des variables indépendantes. Mais f est une fonction 
arbitrairey par suite le déterminant 






9 


9 


9 


9' 


9 


9 


9" 


J 


9 



II 



ni 



III 



VI 



devrait étre nuL Donc f> ne serait une fonction arbitraire ni dépendrait de f. 
On ti re de la que 



(12) 






et (i 2') 






doivent former deux intégrales des équations de Lame. En prenant les 
coordonnées de Weber de la preraiére espéce, ä l'intégrale (12) doit corres- 
pondre Tintégrale suivante des éqyations transformées 

Pi = PiJ{t + «i), 

, P* = P*af{i + «l)» 

oii Pi„ , j),a , Pia sont des quantités qui ne dépendent pas de t. En re- 
marquant que 



184 

on trouve 



Vito Volter». 



i 9, = {Hi^Pla + H»Pia)f = Itafy 



9 i = H„p^J 



fP.=4 



I /Sjja 

D Vaw. 



duj' 



= ^s./; 



== i'.»/", 






q»a 



P. =4 



D \aw. 



■*■ Sal fy I > 



Ä. 



<?, = (^u^,« + K,,P^)f-^K,,g,S = Q^af—^gJ', 



Q, = K„Pj^f + j^ K^giaf 



<?3 = (Ä„Pi, + K„P^)f-^K,,g,J' = Q,J—^^^q,ar, 



o, 



o. 



Puisque f est une fonction arbitraire, il faudra égaler a zéro les coeffi- 
cients de f", f\ f. 

Par suite on aura 

Qia = o, q^^ == o, q^^ = const. 

On revient donc aux intégrales qu'on a déjä trouvées. 

De raéme on aurait un resultat tout ä fait semblable, en partant 
des intégrales (12'). 

Il n'y a donc que les intégrales que nous avons trouvées dans les 
paragraphes précédents de cet article qui aient la forme (11). 



Sor les vibrations InmiDenses dans les milieux biréfringents. 



185 



Art. 5. PropHétéa dea intégralea de Lame. 

I . En se rappelant la discussion que nous avons faite dans Tarticle 
3, il est aisé de voir que la deuxiéme des fonctions (4) (voir Vart. pré- 
cédent) est une fonction continue des points de Tespace, tandis que la 
premiére et la troisiéme de ces fonctions sont discontinues le long des 
surfaces 01, et öi_,. 

Substituons dans les seconds membres des équations (4) aux quan- 
tités w, , Wj , W3 Icurs expressions en fonction de x ^y , z et regardons t 
comme une quantité constante. On trouvera 

w = f i(^ , y , ^), t? = ip^{x ,y yz\ w = ^^{x ,y ,z). 

D'aprés ce que nous venons de dire, ^^ sera une fonction monodrome, 
mais ^j et ^3 seront polydromes. Si Ton part d'un point quelconque et 
qu'on prenne les valeurs de ^j et jr, qui se suivent avec continuité en 
parcourant une ligne qui entoure un axe optique, on rcvient au point 
de départ avec les valeurs initiales changées de signe. 

Gette propriété est coramune aussi, aux fonctions F, « , 1^, F de Tarticle 
précédent, considérées comme fonctions de x , y ^ z. 

Au contraire, U, WjVy Uy W sont des fonctions monodromes. 

Puisque w^ = o ä Torigine, les douze fonctions w , r , t(^ , ?/ , v , w 
U y V y W f U ,y y Wf deviendront infinies pour x = y = z = o. 

Les mémes fonctions deviennent indéterminées dans les points des 
paralléles aux axes optiqucs T^T^ conduites par lorigine. 

Posons 



x^x^ — x,y y = y^—y^, 



Z — Zn "' z, • 



On aura 






Aela mathåmatiea. 16. Imprimé le 13 juin 1892 



^,) = 



24 



186 Vito Volterra. 

Méme u yv jw changent de signe par la permutation de x^^y^^ g^ avec 
x^j Vi j ^r ^^ coiitraire U j V ^ W\Tl yV yW^ ne changent pas en 
effectuant cette permutation. 

2. Lame avait trouvé par un procédé tout ä fait diflférent les inté- 
grales (4) et (6) dans lesquelles on suppose 

/•(a) = O, /•(a) = o, f^(a) = C08^, ^{a) = -^— ^ 

Ne s'étant pas aper9u de la polydromie de ces intégrales, il croyait 
qu'ölles pouvaient représenter les vibrations lumineuses produites par un 
centre d'ébranlement situé ä Torigine. 

D'aprés la discussion que nous venons de faire il est evident que cela 
n'est pas vrai. Des vibrations lumineuses correspondant aux formules 
(4) et (6) ne pourraient étre produites que par une couche de centres 
d'ébranlenients situés sur les surfaces (Og et öi_, ou cw, et öi_,, ou sur 
toute autre surface qui coupe Tespacc de sorte qu'on doive nécessaire- 
ment la rencontrer lorsqu'on tourne autour des droites Tj , T,. 

3. Mais envisageons pour un instant la question au point de vue 
de Lame, en supposant que ses conclusions soient vraies. On peut alors, 
en partant de ses intégrales, procéder de la méme fa9on qu'a suivie 
M. PoiNCARÉ pour trouver Tintégrale générale de Téquation 

Rappelons que M. Poincaké part de Tintégrale — ^ ^,ou r=^a;"+y"+»', 

et qu'il cherche a quoi le conduit Tapplication du principe de Hutghens. 
Supposons qu'a Torigine des temps toutes les molécules du milieu 
soient ébranlées. Soit Ct la surface des ondes dont le centre est le point 
^0 ' ^0 > ^0 ®* ^^^ paramétres sont at , bt , et. Dans Tintervalle de temps 
qui découle entré Finstant t et Tinstant < + rfi, le point x^yy^j z^ aura 
re9u, selon le principe de Huyghens, les ébranlements provenant de tous 



* Le^ns sur la théorie malhématique de la lumiére, pago 87. 



Sur les vibrttions lumiDeuses dans leB milieux biréfringento. 187 

les points compris entré les surfaces a^ et ö-^+di. En suivant done les idées 
de Lame sur le centre d'ébranlement, on pourrait représenter par 

j^ C A**^ sn w sn tt, en M. ^, , , • \ jo 

^^=J —' ^^^ '^K +^.^0 +2/>^o +^)^5 



s 



, / dn a, ena, dna. -=■/ , - , - , -\j— 

+ / — ==- — -F{x^ +xjy, + y,z, + z)dSy 



8 



j /* en V- sn u, dn tt, y^/ , , , xjo 

"^^J ~i^ — ^'^'> + a; , y, + y » ^0 + ^)<^5 

8 

J cfljA 

,^ C cin ti, en w, dn M, ^/ , , • \ j o 

^^ j — '^^ — ^^' + ^ , yo + y . 'Sf, + ^)^5 

, c u*b sn fl, sn a. en fl, -., , - , - , -v ,- 

J c fliA 



8 



les variations des composantes du déplacement du point x^^y^yZ^, qui 
ont lieu dans Tintervalle de temps dt. Il suffit pour cela de supposer 

1®) que 8 soit la partie de Tespace coinprise entré les näppes ex- 
térieures des deux surfaces des ondes ^^ et at^rdty ^^ S la partie comprise 
entré les näppes intérieures des mémes surfaces, 

2**) que Xq + X f y^ + y > ^o '^ ^ soient les coordonnées des points de 
S et Xq + X 9 y^ + y y Zq + 'z celles des points de S, 

3*^) que Wj , u^ , u^ soient les coordonnées de la i^"* espéce de Web er 
du point x^yy^y z^ par rapport au point x^ + x y y^ + V j ^o + ^; ^t q"^ 
Wx j ttj , «8 soient les coordonnées de Weber de la 2^® espéce du point 
^0 ' yo » ^0 P« rapport au point x^ + x y y^ -f ^ , z^ + ;, 

4*^) enfin que les fonctions F{x yy y z) y ^(« , ^ , ä) ne dépendent que 
de l'état initial du milieu. 



188 Vito Volterra. 

Mais 



donc 



dS = Ddu^du^du^ = a^bu\ Adu^du^du^y 
ds = Vdu^du^d^^ = c^hu\~^du^du^du^j 

du^ = dxii = dty 



hdi 



+ f J f (In M, en ttj dn Mj F(a;, + i , ^o + y > -^^o + ^du^du^ , 



^rfl "" ^» "" V ~ " ^" "» ^" "i> ^" "a '''(^o + ^ » ^0 + y ' ^0 + z)du,du^ 

a' 

+ ^/— C cn Mj 811 Mg dn «3 F(a:o + ^ , ^o + 1/ > -2?^ + l)du^du^, 
J^iJ = /O3 = V O <ln «, cn M3 dn m, /-'(a;, + a; , y, + y , ^„ + z)du^du^ 

o 

— f 
<r 

Puisque les équations de Lame sont linéaires, les formules précédcntes 
devraient donner des intégrales de ces équations. 

On obtient ainsi les mémes formules de M°** KowalevskIw^ Mais il 
est aisé de se persuader que les fonctions qu'on vient de trouvcr ne sont 
pas des intégrales des équations de Lame. 

En effet on voit qu'en faisant < = o, les fonctions Pi j p^ y Pij 

—^ j -Jf j -^ f s'annulent. Mais si on a un systéme d'intégrales des équa- 
tions de Lame qui s'aiinulent avec Icurs dérivées par rapport ä ty pour 
< = o, clles seraient toujours nulles, ce qui n'a pas lieu pour Piyp^yp^* 
Ge resultat n'a rien de contradictoire et s'explique parfaitement, en 
se rappelant qu'on a trouvé les formules précédentes en supposant justes 
les idées de Lame, tandis qu'on a prouvé le contraire. 

^ Aota mathematioa, tome 6. 



Sur les vibratioDS luiniDeuses dans 1q8 milieux biréfriDgoDts. 189 



Art. 6. GénéralistUion du tMoréme de Green. Application de la 

ttiéthode de Kirchhoff. 

I. Désignoiiä par 

(i) p., q., p., q. ; p: , q:, p:, ?; 

deux syötéines d'intégrales des équations de Lamjs. (Voir article 2, formule (i).) 
On aura 

Multiplions cette équation par du^du^du^ et intégrons ä un espace S 
limité par un contour a. Supposons que les fonctions (i), soient finies, 
continues et monodroines dans Tespace S. 

Si u fV est un systéme de coordonnées de la surface ^, on obtient 

(') /E,Z.^"(S-'i':-:l'i'.)''« 

s 



^ 1/1' d(Ur+t , Ur) r\, ^(Ur>«r+i/| I , , 

*' I v^+» -d{^v) — ^^+^ -d(r^ i I ^^^^ 



d{u,v) I 



-/s,[«'(fe' -fe) - <^:-'m)Y^'"''*''- 



La derniére intégrale est nuUe. En efifet on a 



s 

^^jTXQrK - QrPr]dS = fTX.{K.P.P'r " K„F,P;)dS = O. 



^»•^^ d(n,t;) ^^+^ d(n , t;) 



190 Vito Volterra. 

Par suite Téquation (2) peut étre remplacée par Tautre 

8 

2. Pareillement supposons que 

(4) K f w», , jv; , w, ; Jtf; , w; , isr; , n; 

soient deux intégrales des équations conjuguées a cellcs de Lame (voir 
article 2, formule (2)). Si les fonctions (4) sont finies continues et mono- 
dromes dans Tespace ^ on a 

(5) é/i-i.^'.('i^--'#^'h 



s 



=/x,[- 



d{Ur^q , Ur ) d(Ur, Ur-t-l) 



Les formules (3) et (5) peuvent étre considérées comme une géiiéralisation 
du théoréme de Green. 

3. Prenons inaintenant pour ligncs coordonnées les coordonnées de 
Webeh de la premicre espéce et posoiis 

la premiére des intégrales de Lame que nous avons trouvée dans Tar- 
ticle 4 (voir formule (2)). 

Afin que ces fonctions soient finies et continues dans Tespace Sy il 
faut exclure Torigine et les surfaces co^ , co^^. 



Sur les vibrations lamineuseB dans les milieax biréfringeDts. 191 

Soit > une surface qui renferme rorigine. Conduisons deux cönes 

u^ = K — e, u, = — K + e («>o) 

qu'on appellei^ a, , dt, et la näppe extérieure o) de la surface des ondes 
Uy = e'. 

Quelque petites que soient les quantités e , e\ les fonctions p,' , P,' , 
Q^s9 9»} rempliront toujours les conditions suffisantes pour Tapplication de 
la formule (3) dans Tespace S^ renferme entré ö", a^ , a, , 01. La surface 
^j qui liraite S^ sera formée de quatre parties, qui appartiennent respec- 
tivement ä ^^ a, , a, , co et qu'on désignera par ^', aj , aj , cd'. La for- 
mule (3) peut étre appliquée en rempla9ant 8 par 8^^ et a par a^. Les 
lignes u , v seront les coordonnées curvilignes de la surface ^, . Con- 
sidérons sur la ligne u = const, la direction dans laquelle v croit. On 
Tappellera la direction positive de la ligne u = const. De méme con- 
sidérons la direction dans laquelle u crott comme direction positive de 
la ligne v = const Alors en regardant la surface du cöté extérieur a 
Tespace 8^ on devra faire tourner la direction positive de la ligne v = const. 
d'un angle < ;r, dans le sens des aiguilles d'une montre, pour la faire 
coincider avec la direction positive de la ligne u = const. D^aprés cela 
on peut choisir pour coordonnées curvilignes v = const., u = const., sur 
le cöne a^ les lignes u^ = const, w, = const. de cette surface, et sur le 
cöne a, les lignes w, = const., u^ = const De méme sur la surface 10 
on choisira les lignes u^ = const., u^ = const. pour les lignes coordonnées 
v fU. Donc, en posant pour simplicité d'écriture 

on aura 

■fFQ.du.du, +fFQ,du,du, —f{FQ, — hF,q,)du,du,. 

• _ • ' 

a| Of o» 




192 Vito Volterra. 

Q^ est une fonction de u^ j u^j u^j t. Pour mettre cela en évidence nous 
écrirons Q^ {u^ > w, , e*j 1 1). Par suite 

2L N, 

fFQ,du,du, r=fdujFQ,{u, ,K—e,u,\ t)du, 

ou la liniite supérieure w, de la premiére intégrale est la coordonnée u^ 
du point oh la génératrice u^ = const. du cöne a, rencontre la surface a. 
De méme 

fFQ,du,du, =fdujFQ,{u, ,~K+£,u,\ f)du,. 
On aura aussi 

K-s 2L 

=fduJ{FQ,{s', u, , «, I O — bF,q^{s\ «, , w, j t)\du,. 

-A'+c -2L 

Faisons tendre s' vers zéro. En prenant garde que 

lim <?,(£', Wj, ^3 10 = o, 
lim g3(e', w, , Wg |/) = o 

on obtient 

lim J{FQ, - hF,q,)du,du, = o. 

* ** CO 

Supposons que méme t tende vers zéro. 

Alors le cöne a[ tend vers une double couche qui couvre la partie 
a, de öl, comprise entré Torigine et la surface a. Pareillement le cöne 
a[ tend vers une double couche qui couvre la partie a_, de öi_, comprise 
entré Torigine et la surface a. On trouvera 

lim jFQ^dti^du^ =Jdu^jFQ^{u^ , K , u^\t)du^y 



i =-0 



3L v. 



lim fFQ,du,du, =fdiijFQ^{u^ , — Ä^ 7^, | /)rfw,. 



5"® o,' -2L 

e'-0 ^ 



Sur les vibrations lumineuses dans les milieux biréfriDgents. 

Mais par la continuité de Q^ le long des surfaces ö>^, a>_,, on aura 



193 



81 w, > o 



Q^{u, , — K , u^\t) = Q,{u^ y — K , 2L — u, \ /), 



81 tij < O 



Q,{u^ , X, w; I O = Q,{u, , X, — 2L — 1#3 I /), 
Q,{u, , — K,u,\t) = Q,{u, , — Ä% — 2L — U, I 0. 



Par conséquent 



-L «, 



O K, 



fduJFQ^iu, ,K,u,\ t)du, =fdujFQ^{u, , K, u, \ t)du„ 



— 2L O 



-L O 



fdnJpQ^iu^ ,K,u,\ t)du, =:fdujFQ,{u, , K, u, \ t)du, 

LO 



d'ou 



L N| 



lim jFQ^du^åu^ = 2jdu^jFQ^{u^ , Ä", Wg | /) du^ = iJPQ^du^dUy 



e»0 

£-0 



«l 



-L O 



a* 



De méme 



L u, 



lim fFQ^du^du, = 2fdu^fFQ^{u^ , — Ä' , h J 0^'«, = zfFQ^du^du^. 



J=rO 

e'=.0 



~L O 



</-, 



La formule (6) de vi en t 
(7) 



i-,bjn„[i''^;-F,v;\is 




jp\Q ^K_L^) Q ^K'-"-!) 



■^^^ ti(u , v) 



d{u , v) 



+ fti^, 



Qi 






d{n , 1') 



d (i« , v) M 



rfwi/t; 



— 2fFQ^du,du^ + 2fFQ^du,du,. 



as 



a-. 



Jefa ma/A^mafica. 16. Irapriroé le 22 juin 1892. 



25 



194 



4. Prenons ' 



Vi to Volterr». 



f («) = O, 

f{a)=^e-'"" 



et intégrons la formule précédente par rapport a t entré le temps négatif, 
t^ et le temps positif /,. 

On trouve, par une integration par parties, 



dp 




H,Af{t-\-uy-^-r{t + u,)pAds 



di 




f{t + w.) 



Q d{u^ , ii,) _ Q d(w, , u,) 



d (m , v) 



d(u , v) 



'^ * ^^\dt d(u,v) dt d(u , V) \ \ 

fbf{t + U,) g,^:!^-g,^p^\dudvj 

.c Jiti 

— 2jdtjf{t + Ui)Qiduidu^ + ^f^tffip + u^QxdUy^du^ 



tx a-m 



Si nous faisons croltre fi indéfiniment, la formule précédente ä la 
limite devient 

(8) /öi(w, , Ä% «*3 1 — u,)du^du^ —fQi{Ui , — Ä", Wg I — u^)du^du^ 



a» 



a-m 



\ I Q^i^x , ^2 , Wg I — W,)-ij^i^_ Q^{u, , W, , W3 I — ^x) 



d(Vs , ^,) 
d(u , v) 



+ bXs{Ui,U^j Ur 



^^ d{u,v) ^^^ iJ 2» s| 1/ ^(14^) 



dudv 



* Voir KiROHHOFP, Z?/r Theorie der Lichistrahlen, Wied. Ann. Bd. 18. 

KiRCHHOFP, Vorlesungen iiber Math. Optik, page 24. 

Nous avoDS employé ici le mémc procédé suivi par Kirchhoff pour tronver sa for- 



Sur les vibrations lumiDeuBes dans les milieux biréfriDgents. 195 

ou 

^1 ~ 9< ' X^ ~ dt ' 

5. Par le méme procédé, en partant de la formule (5) et en se 
servant des coordonnées de Wbber de la premiére espéce et des intégrales 
(9) de Tarticle 4, on trouve 



a» a-m 



1/(1/ I vd(w. , n^) , , • I v d(v^ , tt,' 

- I lon. (u. , w, , w, — u.)-^ — ^ bnMi, , W- , W- — u.) -j-^ — ^ 






6?2ie^t; 



ou 



^' ^ dt ' ^^ ~ dt ' 

On peut trouver des formules tout a fait semblables^ en faisant usage 
des coordonnées de Webek de la seconde espéce et des intégrales (6), (10) 
que nous avons trouvées dans Tarticle 4. 

6. Supposons que la surface a soit la näppe extérieure de la surface 

des ondes dont Téquation est 

Wj = t. 

La formule (8) dans ce cas, deviendra 

L t L t 

(10) fdu,fQ,{u, , iSC, W3 I ~ u^)du, —fdujQ^{u^ ^—K,u^\ — u^)du^ 

—I, o —I» o 

= l f^^zf{QÅ^ , w, , w, I — O + bx,{t , w, , «*3 I — t)\du^. 

7. Les formules (8), (9) ont une analogle avec celle que Kirchhoff 
a donnée comme une généralisation du principe de Huyghens. 

mulo, mais on pourrait aussi atteindrc le but par une aatre méthodc semblablc k cclle 
déoouverte par M. Beltrami (voir Rendiconti del R. Is ti tu to Lombardo, S. 2, 
Vol. 22, Fasc. 10) ponr demon trer la formule de Kirchhoff. 



196 Vito Volterra. 



Art. 7. Nouvelles intégrales des équations de Lame. 

I. En prenant dans les équations (4) de rarticle 4 

^ = o 

et en désignant par ^^(po ytf y z) , il>^[x y y y z) y ^^^^ ^ y i z) les coefficients 
de la fonction arbitraire, on pourra écrire ces formules de la maniére 
suivante 

Substituons a; — f , ^ — ^ ä la place de x , z; on obtiendra 



I <p^{x — ^,y,z — 



C)f{t + «.). 



Désignons par iS^y , iS.^ les deux parties de Tespace dans lesquelles y > o, 
y < o. Il est aisé de voir que les fonctions (i) sont finics continues et 
monodromes dans 5^^^ et dans S_^. Elles deviennent infinies dans le 
point f, o, C et la premiere et la troisiéme sont discontinues sur le pldLU xz. 

2. Supposons que f dépende des deux variables $ , C; c'e8t ä dire 
qu'elle soit une fonction arbitraire'^de < + w, , ^ , C- En multipliant par 
d^dC, et en intégrant, on obtiendra les trois fonctions 

u' =fil>,{x — ^,y,z — C)f{u, +t,S, :)d^dC, 

V =f4\{x — ^,y,z — c)f{u, + ^ e , :)dsdc, 

w' =/^,(a; — $,y,2- :)f{u, +t,$, C)d$dC. 



Sur les vibrations lumioeuses daos les milieux biréfringents. 



197 



EUes constituent un systéine d'intégrales deg équations de Lame. Elles 
n'oiit pas de discontinuités dans les deux parties de Tespace 8^^ et S_^j 
inais sont discontinues sur le plan xz. 

En partant des intégrales (7) de Tarticle 4 on trouve évidemment 
une intégralé parfaiteinent analogue a celle que nous venons d'obtenir 
et que Ton peut écrire 

^'*' =/^i(^ — ^»y^-^f — o?G*, + ^ f , c)d&iCj 

^' =f^zi^ — ^yPy^ — C)f{u, + ^ f , C)d$dC. 

On peut donc conclure: u^yU^yU^j étant les coordonnées de Weber de 
la premiére espéce du point x^y^z par rapport au point f,o,C, et 
t*i , tij , tij les coordonnées de Webek de la seconde espéce du premier point 
par rapport au second, on aura les intégrales suivantes des équations 
de Lame 

/a^b sn w, sn w, en tt, ^ . , ^ ' ^v ,^ ,^ 

~ ^XÄ^ ^^^ + ^1 . f . Od^dC 



(2) 



+ 



J cfl, A 

r en M, sn W3 dn m, >.. t, f'\Jt, 1^ 

/dn «, en M, dn M3 ... , ^ -,v j^ jjir 



u; 



J Ca, A 



^^7(< + it,,f,0^^frfC 



oii /*(< + Wj , f , O > ?'(' + w, , f , O sont deux fonctions arbitraires. Les 
intégrales (2) seront finies continues et monodromes en S^^ et S_^ et 
serent discontinues sur le plan xz. 



198 



Vito Volterra. 



3. Il est bien aisé d*obtenir les rotations ?7, F, W correspondant 
aux déplaceraents (2) (voir artide i). Il suffit pour cela d'appliquer 
les formules (5) et (8) de Tarticle 4. On trouve ainsi 



(7) 



^j Ten M- dn «, dn ?t, a ^, . , ^ ^\j*j^ 



+ 






T-r r sn te, dn v^ en w, ^ -,, , ^ ;i,v ^* j» 



+ 






4. Voyons maintenant les valeurs qu'on trouve pour les quantités 
UyVyWy t/, Vy W lorsqu'on 8'approche indéfininient aux points du plan 
xz. Indiquons par le symbole 

lim 

la limite qu*on obtient lorsqu'on s*approche d'un point du plan xz du 
c6té S^y et par 

lim 

la limite qu'on trouve en 8'approchant du méme point du c6t€ 5Ly 
Conduisons par un point quelconque du plan xz dcux droites paralléles 
aux axes optiques. Le plan xz sera partagé en quatre parties ^ly^^^^ij^^ 



Sur les vibratioDB lamiDeaBes dans les milieux biréfriDgents. 



199 



qu'on peut faire colncider par une simple translation avec w^, y o)^,, 
a>_, , a>_,. Nous représenterons par 

/ 

la somme ou la différence de deux intégrales étendues aux deux parties 
du plan xz qu^on a indiquées par ^/^ , ^^. 

RemarquoDS que la coordonnée u^ de la i*" espéce de Weber d*un 
point du plan xz par rapport ä un autre point du raéme plan peut étre 
donnée par u^ ou par + 2L — u^. (Voir artide 3.) Convenons ma- 
intenant de prendre, lorsque les deux points sont sur le plan xzy 

L>u^> — L. 

De méme convenons de prendre la coordonnée v^ de la seconde espéce 
relative ä deux points du plan xz, telle que 

L ^ Wj ^ — L - 

Cela pose, il est bien aisé de déduire des formules (2) les équations 
suivantes 



(4) 



lim u = — lim u = fbfi Buu^f{t + w^ , f , (^)du^du^ 



y-.-0 



ffg— 04 



+ Jb dn 1*3 f{t + -wj , f , C)duydu.^ 



ff,+<^ 



lim v = lim v = f^f{t + ^1 1 f > C)du^du^ 



y — o 



<y,— tfg 



+ fb?{i + n,,$,0^v,d-u„ 



a^ — c 



lim w = — lim w = fb dnu^f{t + Wj , f , C)du^du, 



y O 



öi+a* 



+ fb^ sn W3 f{t -f ti, , f , C)d^idu^ • 



a, -(T, 



200 



Vito Volterra. 



Pareillement on obtient les limites de UjVjW lorsqu^on 8'approche 
du plan xz. On a 



(5) 



lim U = 

»-+0 



lim W 

»■=+0 



lim U =- I - dn u, -f{t + «, , f , Cjdu^du^ 



»1 l-Oj 



+ J ^8n«,|^^7(< + M, , e, C)du^(tu^,. 



a^—fft 



lim F - - 


- lim V - / 


y-+o • 


y--o J 




<r.j-c^ 



+ I lifi^ + «, . f . Od^idu^, 



t/ 



= lim TT = / - stiu -f{t + Wj , f , C)(fu (iu, 

v — o J ^ ^^ 



ai-a^ 



"6, - 9- 



+ /-tln«,^^?(^ + «,)<'«,'*" 



a* 



fli+rt4 



5. Enfin nous remarquerons que les intégrales des équations de 
Lame que nous avons trouvées (formules (2)) vérifient la condition 



du , dV , dW 

= o, 

dX dy dZ 



cest a dire elles correspondent a des vibrations transversales du milieu 
élastique. 

Cela ressort de Tobservation que nous avons faite dans le § 5 de 
Tarticle 4. 



Sur Ics vibrations luiuincuscs dans les niilicux biréfritigents. 



201 



Art. 8. Integration des éqtiations de Voptique. 

I. Si les vibrations du milieu élastique sont transversales il faut 
adjoindre aux équations (2) du 1®' artide Téquation 



(O 



9m , 9u , dw 
= O. 

dX dy dZ 



On peut alors éliminer la fonction v et Ton trouve les deux équations 



dt' 



-a.^„+(..-„.,l('-"-!^) 



Soient tö j a un systéine d'intégrales des équations 



(2) 



f a^ 

9<' 



= c^A© + (c' 



= a'A«7 + {b 



^ dz \dx dz I 



a )— . 

' 9a; \9x 9z / 



Il suffit de prendre 



(3) 



9/S 

91/ ' 






9^(; 


9£r 


da 




^—. — 


tv — — 


9a; 


dz' 


3y 



pour obtenir un systéme dMntégrales des équations (2) du premier ar- 
tide qui satisfont a la condition (i) posée ci-dessus. 

Réciproquement, démontrons qu'a tout systéme d'intégrales u,v , w 
des équations de Lame, qui vérifie la condition (i), correspondent deux 
fonctions fi> , <t qui satisfont aux équations (2) et qui sont liées ä w, r, u; 
par les relations (3). 

En effet, u ^ v j w, étant données, prenons deux fonctions fiJj , ^, 
telles que 



(4) 



u = 



dO), 



V = 



9fi>j d(T^ 



Aeta mathematiea. 16. Imprimé le 29 Juin 1892. 



9a; 



dz 



w — 



djr, 

^y 



26 



202 Vi to Volterra. 

On pourra ajouter ä fijj et a^ deux fonctions fi>,(a:, z) , (r^{x j z) qui 
remplissent la condition 

— -A ^ = o 

dZ dZ 

sans que les relations (4) soient altérées. 
Cest pourquoi, en posant 

^8 = ^1 + ^2> ^8 = ^1 + ^2> 

on aura 

U= — -j V = ' -, M;«r— ». 

dy dx dz dy 

En substituant les valeurs (4) dans les équations de Lame, on trouvera 

l[^-c'Aa>.-(c.-«.)l(,^-:i)] = o, 



Par suite 



?^ + ?2 = o. 

3» dz 

Mais il est toujours possible de prendre S, , ö»,, telles que 

'^._,.A«>.-(.._*.,i(^-i..)=-,(...), 



Sar les vibrations luojiDcascs dans les milieux biréfringents. 203 

Donc on aura que S, , tx^ rempliront les équations (2) ce qu'il fallait 
démontrer. 

2. D^aprés cela on conclut qu'il suffit d'intégrer le systéme (2) 
pour intégrer les équations de Toptique. Appliquons les fonnules (2) 
de Tarticle précédent. On aura que 



(5) 



u = u' + u" =fMt + u, , f , C)dSdC+fij{t + u,,S, :)d$dCy 
v^v' + v" =fMt + u, , f , C)d$dC+f;p,-f{t + u,,S, C)d^dC 



formeront un systéme d'intégrales des équations (2). 
Méme 

du dW 

dy ' dy 

seront des intégrales des équations (2). Pour calculer ces quantités, re* 
marquons que Ton a 

dy dX 

dy dz 



ou 



dV d{v + v') dV d{v + v') 



9 



dX dX dz dz 



Mais 






Or il est aisé de voir que 



9^, 9^j 3tt, 

dx ^ d$ ^ dx af 



9Wj 



204 Vito Volterra. 

Par suite 



En supposant f continue et nulle pour f , ^ infinies, on aura, par une 
integration par parties 

(6) '-^ = /i^,/-é(< + «. . ^ CK^C 

Un calcul tout a fait analogue nous conduit aux équations 

(6') '^ = /^,7K< + «,,e,0'^f<«C 

(7) ^' = /^,/-c(< + «,,f,0^^<, 

(7') ^=/;&,7c(< + «.,f,orf^^r. 

Dans les forniules précédentes on a désigné par 

les dérivées partielies des fonctions f y~f par rapport ä f , C calculées en 
regardant, Wj , f , C comme des variables indépendantes. 
On aura donc 



(8) 






Par Taddition des expressions (5) avec les expressions (8) dans lesquelles 
on ait remplacé les fonctions arbitraires /" et / par les autres fonctions 
arbitraires g ,g, on trouvera les intégrales suivantes des équations (2) 



(9) 



Sur Ic8 vibrations lumincuscs dans les uilieuz biréfriDgcDts. 



205 



© = I [— '^ sn «, cn uj{t + w, , ^ , C) 



+ 



fe' 9 

— ysnw, cntt, -^(< + «, , f ,C) 

]SI1 1/> 






a^ 



cn 



dna. 



«3 snt,3^^(^ + wj , f , ^)];7x ^^^^ 



^ = 




dnw, cnw3/'(^ + Wj , f , C) _ ^^^«^ ^^» |.^(^ + ^^^ , f , ^) 



a ar 



cn w, sn W3^J(^ + Wi , f , C)] ^^ ^f tiC 



+ 




^ sn «., cn t43/*(< + wi , f , C) 



V 



- a 



+ ^ 8n ttj cnt/j -^g{t + u^,^j(:) 



cn M« dn 



U^ Ull t«, 



]SI1 fl 



3. Il suffit maintenant de se rappeler que 



a'tt 



I ra'i* 



I rd'% 



3'tt n3 w / 5 ,«v a*ti;n 
— i — 6 —T — (c — o ) — K 



a*w I ra'ti; 



_ ^ r 



aaj' 



3 a^^ I /'/ 2 2\ ^*^ 1 

^ a^' "*" ^ ^ ''aa-a^J 



po ur calculer les dérivées 



dy ' ay 



206 



Vito Volterra. 



En supposant que les dérivées f) jf*^ , f^y Äc > ^o ^c > ^é > ffc s^i^"* continues 
dérivables et s'annullent pour f , <7 infinies, on trouvera par des inte- 
grations par parties 



a® / r k* ^ j -, 1 en u, sn w, ' 

dy J i b ^" »'^J au, A 



(lo) 



/.'6 



+ ^[- a '"^« '"^3^^^" - ^ •^^' - *'^^') 



(c'-Odnt.,dnt.3i^^]^ 



d^dC 



+ 




- dn Wj/*/ — sn 



— ,"| en a, dn a. 



cfljA 



+ 1 [dn tJ, dn u,{g'/ - C^gi' - b'g',') 



+ (^ — ^ ) V ®" ^» ^" ^3?K — = 

^ J cÄ, A 



rffrf:, 







i , ^, ^,"1 en ti, dnw, 
- dn Wj /^; — sn w,/ J ir-^ 



+ i, [dn «, dn M3O7;' — i.Vf' - a VcO 
^(é'-a>n..sn«,,^]^ 



+ 




-r sn «,/•« — dn uj^ — =— 

LO J cfl. A 



ca, A 



/i«6 



+ ^ [~~ V ^" **» ^" ~» (?'" — " 1/f 



o d^ — a ar ; 



+ 



{b^-a^)dnu,dnu,g'^^ 



d^dZ 



o\x g\' y gy , g'^ , etc. sont les dérivées partielies du 2* ordre de la fonction 
g par rapport aux variables t , $ ^ C9 en supposant w, , f , C des variables 
indépendantes. 



Sur les vibrations lumineuses dans les milieuz biréfringcnts. 



207 



4. II est aisé maintenant de déterminer les limites de Sj . a . — , — 
^ ' ' d!f ' dy 

lorsqu^on 8'approche indéfiniment aux points du plan xz. On a (voir 
artide 7, § 4) 

(ii) lim ffi = / ("»nu^gl + hgijdu^du^ + bdnujdu^dv^ 



(13) 



+ 



/ [^+ bftsnujdu^du^ + (-dntt,^; + Ä3fj<i^,<^,J 



+ / [± i dn Uffdu^duj — (bg^ + - sn »,^;j rfM,rfu,J 
+ / |^+ bfisnujdu^du^ + y-dDu,g', — bg'fjd^^dZ,j, 

(12) lim a = I \( — -dnu^g', + bg^jdu^du^ ± bji Bnu,fdi^^d^^^ 

+ / [± Jdnw,/«w,rf«, + \ — ^mu,g',-\- bg'z^du^d[^^ 



+ 



+ 



/ |^± Ä dn ujdu^du^ + (| sn «,^; — bg'^ d^^ rfii, J, 



't 



""oS^/IG"''"'^' "^ *^^?"»'''*« 






c» — 6* - 



Ä/<8nM,gf^J<^,d!i, 



'"" - ft Ve') - ^V^* * dn «,^^]<««A, 



+ r-dntt,7; + J7^jrfi,(«i, 



208 Vito Voltcrra. 



+ 



/ I [c "^*'^'' "^ */'f]'^"i^"i 



(.4) .^lT.S^/l[~« '^""'^' "^ ^f'^^''^^'''' 



+ r| ± ^, [i dn uM' — h*g',' - o Ve') + V(*' - «*) 8" ^M^^x 
•t 

+ ^ {bj, sn «,G;' — 6«^^' — a'g'^) - (i' — a«)6 dn «,3;^]<«7.^rf;«, 



cfi^. 



a 



+ r|±^.[ftdnu,(<7;' - 6Vf' - «Vc') - ¥iP' - a') sn «,^^] i«, rf«*. 



^A 



+ [!s^^«Ä' — ¥c]^^,^j 



5. On peut conclure que les fonctions (9) remplissent les conditions 
suivantes: 

I®) Elles sont finies monodromes et continues pour toutes les valeurs 
de X y z et pour y > o. 

2®) Elles satisfont aux équations diflférentielles (2). 

3**) Les valeurs de ces fonctions et de leurs dérivées par rapport a y, 
pour y = o dépendent de quatre fonctions arbitraires fyjyffyg de trois 
variables indépendantes. 



Sor les vibrations lumiDeuseB dans les milieux biréfringents. 209 

Pour prouver tout a fait rigoureusement qu'on a trouvé ainsi les 
intégrales générales, il faudrait démontrer que les valeurs de Sj et de a 
et de leurs dérivées par rapport k y pour y — o sont arbitraires. Pquf 
qu'il n'y ait pas d'ambigulté, nous faisons noter que lorsque nous avons 
parlé dans Tintroduction d'intégrales généraleö, nous avons entendu les 
intégrales qui satisfont aux trois conditions précédentes. 



Art. 9. ApplicaHan omx équations de Vélectrodynamiqvs. 

I. L'expérience montre que les cristaux transparents peuvent étre 
regardés approximativement comme des corps isotropes pour le magnétisme. 
Dans la théorie électromagnétique de la lumiére on prouve que les^ 
équations de Télectrodynamique dans. le oas d'un inilieu qui n'est pas 
conducteur et qui est électriquement anisotrope et magnétiqueinent iso- 
trope se réduisent aux équations de Lamé.^ 

Il est tout a fait aisé de montrer que Ton peut appliquer les re- 
sultats que nous avons trouvés aux équations de Télectrodynamique pour 
un inilieu qui n^est pas conducteur, méme s'il n'est pas isotrope pour le 
magnétisme, pourvu que Ton suppose, comme fait M. Hertz, que les 
axes de symétrie de Ténergie électrique colfncident entré eux. 

Partons des équations (20 a), (20 b) données par M. Hertz dans son 
mémoire sur les équations de Télectrodynamique pour les corps en repos * 



(la) 





9Z dY 

9y "Sz 




ax 3Z 

3z 3* ' 




ar a.Y 

dx dy 



■ Voir VoLKMANN, VoHesutigen fiber die Theorie des Lichtes, § 56. 

* Gttttiogor Nachr. v. 19 März 1890. Wiedemanns Ado., T. 40. p. 577. 

ÄUa mathåmaiiM. 16. iMpriné le 30 juillei 1892. 27 



210 



(Ib) 



Vito Volterra. 




\ . 9X 9M 

"^^i 9t dz 


9N 

9y 


dT 9N 


9L 

9a 


j 9Z 9L 


9M 

9» 



auxquelles il faut ajouter 



(2 a) 



9Tj , alf , 9N 



9e 



9y 



9z 



(2 b) 



9X 



9T 



9Z 



+ s,:r-+ e. — =o. 



^ 9x * 9y ' ' 9z 



PoSODS 



^X=X', yJ]I,Y=Y', y/]I,Z=.Z', 



fh\lMi»L = tfe, fl^yl/JLtftiM == V, /i,yJfltfl,N = W, 



on aura 



yJfi,^ = X, y]n^yj=y, yJlXt^=Z 



.du dZ 

dt dr] 


9T 
9C ' 


, dv dX 

dt dC 


9Z 

9$ ' 


.dw _dT 

dt ~~ d$ 


9X 


dX 

• 


dv dW 
dZ dTj' 




dW du 


A »^ 
Aff' ti lå — 


du dv 



Sar les TibnitiooB lamioenses daos les milieox biréfriogeots. 211 

Bempla9on8 

par 

I I I 

T n* "?• 

Les égalités précédentes deviendront 

äi^ - " 9C^ ~ Sy ' 

9*w ,,»F ,3l7 

^ ^W du 

W=— — — 

d7j af 
et Fégalité (2 a) pourra s^écrire 

Par conséquent on trouve les équations de Lame. 

2. Examinons maintenant un cas plus general. Supposons que le 
corps soit conducteur et les axes de symétrie par rapport ä la conduc- 
tibilité colncident avec ceux relatives aux énergies électrique et magné- 



212 



Vito Yolierra. 



tique. En prenant les lignes x^y^z paralléles ä ces axes, les équationsr 
(7 a)> (7 ^) du inéinoire de M. Hertz, pourront s ecrire 



(3 a) 



A ^^' 


iZ 


dY 


A ^^1 


3a 


dZ 


A 9^ 
A il 


dY 


dX 



dt dX dy 



(3 b) 



A ^^ I A 11 tv V'\ '^' ^^ 



^ ^r , ., /v VA »^ ^Tj 

^®» är "•" 4?r^'*,(I^— Y') -- 



Ae. 



9Z 

9t 



dX 'iZ 



■dL dM 



+ .rrA^Z - Z') = - - ^^ 



Posons 



e^y/e^e^X = u, ^^V^s^i ^= ^.> ^z^^i^^^ = ^j 



yjs, L = L% yje, M=M\ s/e,N = N\ 



yje^^ = x, sle^rj — y, y/e^C=^, 



12 ' 



^Va^a^i = 



I 



A2 * 



4^7 = *i' 4^7 = K^ 4^7 = *i' 



Sur les yibrations lumineasefl dans les milieux biréfriogeDto. 



213 



on trouvera par le méme procédé que nous avons suivi dans le para- 
graphe précédent 



(4 a) 



d^U , , du' -LH^V 



dt 



a »v 



dv 



di 



r+Kzr=(^ 



dl 



dW 

af 



a 



^dW 

3C 



\) 



d^w , , dw ^dU ,-aF 



dt 



n 



(4 b) 



971 


9v 


9C' 


TT 9u 


au; 


V — - 


"af 


TTT- dv 


9u 


W— , - 




af 


»7 



Supposons 



/v. — /C„ — — K^ — /C • 



Posons 

«* = /"(O «i (f > 'y » 0. 
f. = AO f.v(f , 5? » O» . 

W = f{t)w,{^ j 7] , C), 

ttj , Vj , M?j, étant des fonctions indépendantes de t. 

En substituant ces valeurs dans les équations (4 a), (4 b) on trouvera 






214 



Vito Voltem. 



(sa) 



O = 



o = 






»7 






O = ««;, + a' -r-^ — b * 



3, 



^' 



(5 b) 



TT _^«'. '"i 






TT =^ 

' 9$ 



9w, 
9f 



9m, 



• A » 



ou a est une quantite constante. 

Ménic les équations de Lame se réduisent a la forme précédente 
en posant 



u = a^^^^w 



i> 



v = e^^^'v 



i> 



w = e^^^Wy 



Particularisons les fonctions arbitraires qui paraissent dans les intégrales 
de Lame en prenant 

f{x) = f{x) = e>f^% 



on trouvera, apres avoir divisé par e^"**', des intégrales des équations 
{5^)f (5 b) ^* P*^ 1^ ö^ aura des intégrales des équations (4 a), (4 b). 
On pourra appliquer évidemment le méine procédé aux intégrales trou- 



Sar les yibrations lamioeuBes dans les milieax biréfriogeots. 215 

vées dans Fart 8, et par une méthode bien connue on obtiendra ainsi 
rintégration des équations (4a)y (4^)- 

Lés resultats qu*on a trouvés dans les artides précédents peuvent donc 
8'étendre aisément aux équations de l'électrodynamique lorsque les rapports 
^1 ' ^s ' K ^^^^ egaux. 



217 



SUR LES DÉTERMINANTS INFINIS 
ET LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 

HELGE VON KOCH 

å STOCKHOLM. 

* 

Dans une note réceiite,^ j'ai appelé Vatten tion sur le parti qu'on peut 
tirer des déterminants infinis poiir la théorie générale des équations diflfé- 
rentielles linéaires et, particuliérement, pour la resolution du problcme 
suivant. Etant donnée une équation difFérentielle linéaire homogéne dont 
les coefficients sont holomorphes a Tintérieur d'un certain anneau circu- 
lairé: obtenir pour ce domaine un systcme fondamental d'intégrales sous 
la forme analytique qui, d'aprés les recherches de M. Fuchs,* caraetérise 
toujours les intégrales a Tintérieur d'une telle partie du plan. 

Grace aux travaux de MM. Fuchs, Hamburgeh, Picard et Mittag- 
Leffler,^ on possede des raéthodes pour résoudre implicitement le pro- 
bléme, c'est-a-dire, on peut trouver certaines formules analytiques qui 
donnent les intégrales pour le domaine considéré sous une forme qui est, 
toutefois, essentiellement diflférente de celle signalée primitivement par 
M. Fuchs. 



* Sur une application des détenninants infinis u la throrie de^ équations di/fcren- 
tidles linéaires, Acta mathcmatica, t. 15- 

' Fuchs, Zur Theorie der linearen Differeniialgleichnngen mit vernnderlichen Coeffi- 
cienteu. Journal fUr Mat hematik, t. 66. 

' Fuchs, Journal fUr Matheraatik, t. 75; Hamburger, Journal fUr Matlie- 
matik, t. 83; Picard, Comptes rendus des séanees de 1 acadomie des scicnccs 
de Paris, Mars 1879; Mittao-Leffi^er, Acta mathematica, t. 15. 

Aeta mathematica. 16. Imprimé le 5 mai 1892. 28 



218 Helge von Koch. 

Le probléme direct, qui consiste a obtenir les intégrales sous leur 
forme explicite, a été lobjet de recherches nombreuses, panni lesquelles 
il convient de rappeler lei cellcs de M. Fuchs déjä citées et celles de 
M. Thomé.^ Ces auteurs ne se sont pourtant occupés que de certains cas 
particuliers. De plus, on sait que les recherches profondes et extréme- 
ment remarquables qu'a publiées M. Roincaré ^ au sujet des intégrales 
irréguliéres, n'ont pas eu pour but d*obtenir actuellernent ces intégrales, 
mais de les représenter asymptotiquement au moyen de certaines series 
divergentes. 

Dans la note citée, j'ai indiqué comment on pourrait traiter le pro- 
bléme d'une nianiére générale a Taide des déterminants infinis, mais je 
n*ai donné la solution définitive que sous certaines restrictions. Dans 
le mémoire present, le probléme sera résolu dans toute sa généralité. 
Pour atteindre ce but, il faut d'abord s'occuper un peu de la théorie des 
déterminants infinis. En effet, cette théorie nouvelle dont Tintroduction 
dans Tanalyse est due a MM. Hill ^ et Poincai^é,* na pas encore, a ce 
qu'il parait, captivé Tattention des géométres tant qu'elle le mérite et, 
naturellement, il doit rester bien des lacunes ä combler et beaucoup de 
théorémes a établir. Dans ce qui suit nous nous bornerons a développer 
(I, § i) ce qui parait nécessaire pour pouvoir appliquer Tinstrument 
nouveau d'une maniére absolument rigoureuse au probléme que nous nous 
sommes proposé. 

Le § 2 contient une application des déterminants infinis ä la resolu- 
tion de certains systéines d'équations linéaires ou le nombre des inconnus 
de méme que celui des équations est infini. 

Dans la partie II se trouvent les appliquations qui se rapportent k 
la théorie des équations différentielles linéaires. 

* Thomé, Zur Théorie der linearen Differentialgleichungeny Journal fttr Mathe- 
matik, t. 74 ^^ suiv. 

^ PoiNCARÉ, Sur les iniéfjrales irréguliéres des éqiCaiions linéaires, Acta mathe- 
matica, t. 8. Voir aussi: S%ir les cqualions liriéatres atix différentielles ordinuires et aux 
différences finies, American Journal of Mathematics, t. 7. 

■' ITiLL, Ou ihe part of ihe motion of Ihe lunar perigee which f.9 a fundioti of the 
mean uiolious of the s^un and moon, Cambridge, Wilson 1877; Acta mathematica, t. 8. 

* PoiNCARl^, Sur Irs déterminants d^ordre infini. Bulletin de la Sociétémathé- 
matique de France, t. 14. 



Sur les détermioants infioiB ot les équations différenticlles linéaires. 219 



I. 

§ 1. Sur quelques propriétés des déterminants infinis. 

I. Soit -4,4 (i , Ä = — oo . . + co) une suite doubleinent infinie de 
norabres donnés et désignons par 



•^m — \Aik\i,k^-m..-\- 



m 



le déterminant des quantités A^ (i ^ k = — m , , + m); 81, pour des valeurs 
indéfiniment croissantes de m, la quaritité D^ a une liinite déterminée D, 
on dit que le déterminant iniini 



[^<J<,*= 



oe..-}- 30 



est convergent et a D pour valeur. Dans le cas ou la limite D n'existe 
pas, le déterminant en question sera dit divergent. En d^autres termes, 
le déterminant infini • 

est convergent, si a chaque quantité positive d correspond un nombre positif 
entier n' tel qu'on ait ^ 

pour toute valeur de n supérieure ä n' et pour des valeurs quelconques 
de rentier positif p; le déterminant est divergent, si un tel nombre «' 
n^existe pas. 

Convenons d'adopter les dénominations suivantes. La diagonale prin- 
cipale du déterminant I) est Tensemble des elements An {i = — co . . + oo); 
la ligne i est constituée par les elements A^ (^ = — co . . + co) et la 
colonne k par les elements A^^ {i = — co . . + co). Un élémeut quel- 
conque A^ s'appellera element diagm\al ou non-diagonal suivant qu'on a i = A 
ou i^k. Enfin, Télément A^^ sera nommé Vorigine du déterminant con- 
sidéré: c^est celui des elements diagonaux qui appartient a la fois aux 
deux diagonales de chacun des déterminants D^. 



220 Helge von Koch. 

Il est clair quV>n peut former avec les elements A^^ une infinité de 
déterminants infinis ayant les mémes diagonales principales mais des ori- 
gines différeiites; rien he permet d'afi'irmer a priori qu'ils sont convergents 
^ou divergents en méme temps ou, 8'ils convergenjt, que leurs valeurs sont 
les mémes. Un déterminant infini n'aura done en general aucun sens 
déterminé que quand on connait sa diagonale principale et son origine. 

2. Soit donné un déterminant infini D; pour que D converge, il 
suffit que le produit des elements diagonaux converge absolument et que 
la somme des elements non-diagonaux converge absolument. 

Posons, en effet, A^t = a^^ (pour i ^ k) et J,^ = i 4- a^^^ par hypo- 
thése, la serie 

est convergente, d^oii Ton conclut immédiatement qu'il en est de méme 
du produit 

Formons les produits m 

p„. = n (i +^ r «,,); p,„ = n (i + t \ «« d-, 

si, dans le développement deP^, on remplace certains termes par zéro et 
change les signes de certains autres termes, on obtiendra D^; par consé- 
quent, ä chaque terme dans le développement de D^ correspond un terme 
dans le développement de P„, de telle maniére que celui-ci n'est jamais 
plus petit que la valeur absolue de celui-lä; de plus, en rempla9ant cer- 
taines quantités a,^ par zéro, certains termes sannulleront dans les dé- 
veloppements de Dm+p et Pm^p et, parmi les termes de P^+p qui s'évanoui8- 
sent, on trouvera évidemment ceux qui correspondent aux termes aunullés 
de D^^p; or, en rempla(;ant les quantités a^^ [/, Ä:= ± (/» + i), . ., + (w + p)] 
par zéro, Z)„,^^ et P,„+;, deviennent égaux a D^ et P„^ de sortc que, dans 
CG cas, D^^p — D„, et 7^,+;, — Pm represen ten t respectivement les termes 
de Dm+p et Pm+p q^^ s'annullent. Par conséquent, on a 

i n I> I < ;> p 



Sur les détermiDaDte infiois et les équations diflFér/ntielles linéaires. 221 

En vertu de la convergence du produit p, oit peut faire correspondre 
a chaque quantité positive d un entier positif n' tel qu'on ait, pour n > n' 
et pour des valeurs quelconques de Tentier positif p. 



n-^p 



p,<d .-. D„ —DA<d, 



ce qu'il fallait démontrer. 

Pour le oas oii les elements diagonaux sont tous égaux a Tunité, ce 
théoréme est dii å M. Poincaré (Bulletin de la Société mathéma- 
tique de France, t. 14, p. 77). 

L'étude des déterminants infinis dont les élément^s remplissent les 
conditions énoncées plus haut et dont la convergence vient d'étre établie, 
sera Tobjet principal des pages suivantes. Nous convenons de dire que 
ces déterminants sont de la forme normale. 

3. Dans le n** i nous avons défini un déterminant convergent comme 
la limite D vers laquelle tendent les déterminants D^ pour des valeurs 
indéfiniment croissantes de m. Dans le cas des déterminants de la forme 
normale, on voit facilement qujm mode de generation plus general con- 
duit au méme resultat. Désigi^is par D^ „ le déterminant [-4,^]<4„_„. .^^ 
et par p„ „ le produit 



+ m +111 



P„.„= n(i + r |a«|); 

si p désigne le plus grand des nombres m et », il est clair que tous les 
ternies de D,^ ,, se trouvent dans le développement de Dj,p et que chaque 
terme de P^,„ est aussi un terme de P^,,, d'ou il suit, en raisonnant comme 
plus haut^ que 

n 7) < p p • 

or, pour des valours indéfiniment croissantes de pi et de w, les quantités 
^P,P , P«,„ tendent vers la méme limite P; donc Dp^ et D^ „ tendent vers 
une limite commune et, comme D^^ désigne le méme déterminant que 
nous avons désigne auparavant par D^, cette limite est égale a 2). Donc, 
pour définir le déterminant D, on peut faire usage des déterminants X)^„ 
tout aussi bien que des déterminants 2>^ du n** i. 



222 Helge von Koch. 

Appliquons ce resultat a un cas particulier. Soit X un entier quel- 
conque, mais déterminé, et posons, pour un moment, 

les deux suites inänies 

(A) A, , Aj, A,,.., A„,, .. 

auront la méme limite D; or nous savons, d^aprés le n° i, que la suite 

(D) définit le détenninant [^J/,* » .+ » et que (A) définit le déterminant 

[-^A+u+J<,*k=_oD.-f» cest-ä-dire celui qu'on obtient en choisissant 1'élément 
Aix pour origine dans la table des elements A^^. Par conséquent, dans 
un déterminant de la forme normale, on peut prendre un element dia- 
gonal quelconque pour origine: la valeur du déterminant reste toujours 

« 

la méme. 

4. Un déterminant de la forme normale reste convergent si Ton 
remplace les elements d*une ligne quelconque par une suite de quantités 
qui sont toutes plus petites en valeur ^nifclue qu'un nombre 4)ositif donné. 

Rempla^ons, par exemple, les elements de la ligne numérotée o: 



• • -^Of—m ' • -"00 • • -"0,111 • • 



par des quantités 



vérifiant l'inégalité 



f^-M • • f^O 



"m 



[Ir\ </i, /i > O, 



et soient D^ et D' ce que deviennent D^ et I). Désignons de plus par 
P',n ^^ P' les produits obtenus en supprimant dans P^ et P le facteur 
correspondant a Tindice o; on voit immédiatement qu'aucun terme de D'^ 
ne peut étre plus grand en valeur absolue que le terme correspondant 
du développement de //P^ et, en raisonnant comme dans le n** 2, on obtient 

ce qui démontre la proposition énoncée. 



Sur les détcnuioaDts infinis et les éqnations différentielles lioéaires. 



223 



Ce théorérne, démontré par M. Poincaré pour le cas ou tous les 
elements de la diagonale principale sont égaux a i , peut facilement étre 
généralisé. En se servant d'un mode de demonstration parfaitement ana- 
logue au précédent, on peut prouver qu'un déterminant de la. forme 
normale reste convergent si Ton remplace les elements d'un nombre quel- 
conquc de lignes ou de colonnes par des quantités qui sont, en valeur 
absolue, inférieures a une quantité donnée. 



•K. 



"' 5. En conservant les notations du numéro précédent, il est clair 
qci^on a: 

En effet, les inégalités ou égalités 

subsistent pour toutes les valeurs de m et, pour des valeurs indéfiniment 
eroissantes de m , D„ et D'^ ont pour limites D et I)'. 

6. Si Ton change, dans un déterminant de la forme normale, Tune 
dans Tautre deux lignes ou deux colonnes, le déterminant change de 
signe; il est nul, si deux lignes ou deux colonnes sont identiques. 

En efifet, soient D' et D^ ce que deviennent D et D^ en changeant 
Tune dans Tautre deux lignes quelconques; on peut toujours choisir m 
assez grand pour que ces lignes appartiennent toutes deux au détermi- 
nant D„. On a donc 



Or, en fixant arbitrairement une quantité positive d aussi petite qu'on 
veut, on peut trouver un entier n' tel que, pour n > w', 

par conséquent on aura, en choisissant n suffisamment grand, 

D + i)'| = ID — i). + Z>' — Z>:1 < !i> — DJ + I7>' — D: < 2d, 



ce qui conduit ä Tégalité 



D = — D 



224 



Helge von Kooh. 



La seconde partie du théoréme énoncé est une conséquence immé- 
diate de cette. égalité. 

7. IjC développement d'un déterminant de la forme normale peut 
étre présenté sous beaucoup de formes difFérentes. 
a) Partons de Tidentité 

Aj^+i = Aj + (A, — A,) + . . + (A2„,+i — A,J 



011 



posons 



A2r+1 — \/^ik}i,i'^-r.. + rJ ^2r — L-^aJ^Jr^— (r- l)..+r 5 



A2r+1 A2r = ^2r+\y ^Qr ^2r—l = ^ ir 



^2r + l — 



^—r,-r ■"— r,-r+l • • -^ 



A 



— r 



-^r,-r+l 



—r,r 



-^— r-f 1,- r -^- r+l,"rfl •• -^-r+l.r 



.. ^ 



r,r 



V,, = 



-"— r+1,— r + l • • -"— r + l,r- 1 -"— r+l,r 



-"r— 1, — r + 1 \ • • -",■ l,r— 1 -^r— l,r 



-^r,— r+1 • • '"r,r— 1 



a 



r.r 



et faisons croitre m au dela de toute limite. Si I) est la valeur du dé- 
terminant donné, on aura 



(a) 



D = V, + v; + . . + v^ + . . . 



La serie du second membre est convergente, puisque A.^^^^ et Aj^ ont la 
méme limite I) (n° 3); elle ost aussi ahsohime)it convergente, ce quon voit 
en la comparant a la serie ä termes positifs *^ 



0^0 



p = n, + (n, — n,) + . . + {n„. — n,„_,) + . . , 



s 



Sur les détermioaDts infiDis et Ics équations difTérenticlles linéaires. 225 

OU • • ' 

-fr «,+ r -fr +r 

n„+, = II(i 4-"^ |««!); n,, = n (i + r io«|) 

et en remarquant que 






b) Chaque expression 11^ — ir^_j peut s écrire comme une somine de 
termés positifs dont aucun n'est plus petit que le terme correspondant du 
développement de V^. Si donc on écrit, de la maniére ordinaire, le dé- 
terminant V^ comme une somme d^ |_!!^'= -5f termea et quon remplace 
ensuite chacun de ces termes par sa valeur absolue, la serie (a) restera 
encore convergente. En d'autre8 termes, si Ton a 



la serie double ^ 

est absolument convergente. 

c) On peut conclure de la que le déterminant D peut se mettre 
sous la forme \ 

W X/ = Z^ X • • -A.^^^^^ . . ilo^o • • -^m.m, • • ^ 

les termea indiqués par le signe zJ s'obtenant en ^gg^ant de toutes 
les maniéres possibles les premiers (ou seconds) indices du terme principal: 

Å A A ^ 

et en attribuant a chaque terme ainsi obtenu le signe + ou le signe — 
suivant la parité ou Timparité du norabre des transpositions nécessaires 
pour pjMser du terme principal au terme considéré. 

Ejy effet, chaque terme du développement (c) n'est qu'une combinaison 
de c^ains termes du développement (b); ce dernier étant absolument 
convergent, Texpression du second membre de (c) aura une valeur déter- 
minée et absolument indépendante de Tordre des termes. Et comme, de 
plus, chaque terme du développement (b) se présente aussi dans le déve- 
loppement (c), régalité (c) se trouve démontrée. 

Ada mtUhimaHea, 16. Imprimé le 6 mai 1892*. 29 



226 Helge von Kooh. 

d) Chaque terme du développement (c) contient comme facteur un 
element et un seul d'une ligne ou d^une colonne quelconque. Par cppsé- 
quent, le déterminant D peut s'écrire comme une expression linéaire et 
homogéne des elements d'une ligne ou d'une colonne quelconque. Si, par 
exemple, nous voulons le développer suivant les elements de la ligne 
numérotée i, le coefificient de An 8'obtiendra en tannullant, dans le déter- 
minant D, tous les elements de cette ligne excepté A^y qui doit étre 
remplacé par Tunité. Désignons par 



^'^j ^« = S = G) = «** 



le déterminant ainsi obtenu, de sorte qu'on ait 
(d) , D = T^AaOia' 

Les déterminants any auxquels nous donnerons le nom de mineurs ou sous- 
déterminants du premier ordre, satisfont d'ailleurs aux relations suivantes 



(d') o = Tj^Aj^aaj 



CÄO 



qui découlent immédiatement du théoréme (6). Des considérations ana- 
logues conduiraient aux égalités 

D = Z^iAi„aay 

O = Y^ i Anan. ('=2s*) 

Il est clair que le mineur aa peut, outre de la maniére déjä indi- 
quée, s'obtenir aussi en supprimant dans D la ligne i et la colonne A, 
et en attribuant au déterminant résultant le signe ( — i)'""*. En efFet, 
on n'a qu'a se rappeler que les deux modes de generation con^isent a 
des resultats identiques dans le cas des déterminants finis et a raisonner 
ensuite comme dans le n° 3. « 

e) Le déterminant I) étant linéaire par rapport aux elements de 
chacune de deux lignes quelconques i et m, si Ton veut le développer 
suivant ces elements, le coefficient de A^A^^ 8'obtiendra en rempla9ant 
les elements A^ , -4^„ par Tunité et les autres elements des lignes t et tw 



Sur los déterminaDts infiois et los équatioos différeotielles lioéaires. 



227 



par zéro. Jjq détcrmiiiant aiiisi obteim sappellera uii mineur du deuxiéme 
ordre et sera désignc par Tune ou 1'autre des notations 



adj 



J« A 



in 



mn 



d'A 



dAitdAnm 



/i m\ 



il est facile de voir qu on a 



a'Z) 



d'D 



dAindAjnk 



dAitdAmn 



=(::)=-( 



k n^ 



doii Ton conclut que 



(ej 



-=££ 



k<n 






^tnk 



mn 



\k J' 



f) Plus généraleinent, si Ton désigne par 



adj 



-^<l*l • • -^'l*r 



^irki ' • ^irkr 



^ Wj . . ir\ 

■~ Uj . . kj 



le déterininant obtenu en rempla9ant dans I) chacun des elements 
Af^i^ . . Af^t^ par Tunité et tout autre element des lignes ij . . t^ ou des 
colonnes k^ . . k^ par zéro, on aura * 

(f) 



J^m^k^ ^^k^ • • jL^kr 



ti<kt<..<kr 



Ai^t^ . . Af^ji^ 



(*1 • • *r\ 
k. ..kJ' 



Le déterininant 






sera n«mmé un mineur ou sous-déterminant de Vordre r\ on peut Tobtenir, 
comme il est facile de le voir, en supprimant dans 1) les lignes \ . . ir 
et les colonnes k^ . . k^ et en attribuant au resultat le signe 



/ jy'|-*l)+.. + ('r-*r)^ 



228 



Holge voo Kooh. 



En resumé, un déterminant D de la forme normale peut étre dé- 
veloppé suivant les déterminants formés par les elements appartenant a 
une combinaison quelconque de lignes ou de colonnes. On voit facilement 
qu'il ne faut pas nécessairement que le nombre de ces lignes ou de ces 
colonnes soit fini. Le théoréme de Laplace sur le développement des 
déterminants ordinaires peut done étre généralisé de maniére a embrasser 
complétement le oas des déterminants infinis de la forme normale. 

g) Il est clair que le déterminant D peut étre développé suivant les 
elements d^une ligne et d'une colonne quelconque. Prenons, par exemple, 
la ligne o et la colonne o. Le coefficient de A^^ est a^^ fet celui de 



\o k) Vo */' 



ce qui nous peniiet cl'écrire 



(g) 



•i* 



(*,!:« ± 1,.. i «) 



h) Enfin, on peut développer le déterminant D de maniére ä mettre 
en évidence les dimensions de ses termes successives par rapport aux quan- 
tités a,4. En effet, on peut démontrer d'une maniére absqlument analogue 
il celle employée pour le cas des déterminants finis, que Tégalité suivante 
a lieu: 



{!>) 



^=■+2 



Opp «,, 



a„ o„ 



+ 




(App %q (i pr 



Ofqp (^qq 0,qr 



d d d 

%.¥f.p Wf^ %.*f.^ 



+ .., 



les indices }>,?,/",.. parcourant tous les nombrcs entiers positifs et néga- 
tifs qui satisfont äux conditions ^ 



p <q <r < 



• • t 



8. De cettc derniérc formule ou de la formule (c) on peut tirer 
une conséquence importante. On voit en effet que la valeur de D n'e8t 
pas altéréc par des déplacements quelconques entré les lignes et entré 



Sar los détermiDaDts iDfiois et les öquatioDS différonticllos liDÖaires. 229 

les colonnes, pourvu toutefois quc ces changements soient tels que les 
elements diagonaux et les elements non-diagonaux restent rcspectivement 
diagonaux et nonAliagonaux. 

Pour cette raisqj nous dirons que les déterminants de la forme nor- 
male sont absdv^mem coTivergenta. 

9. ' JEtant donné un déterminant D de la forme normale, si Ton 
remplace les elements d'une ligne quelconque par des quantités /i^ dont 
les valeurs absolues n'excédent pas un nombre positif donné, le nouveau 
déterminant D' jouira des m'émes propriétés que Tancien et pourra, en 
particulier, étre développé suivant les quantités /i^. 

Rempla9on8, par exemple, les elements de la ligne o par des quan- 
tités fit vérifiant Tinégalité 



et soient A^ et V^, ce que deviennent respectivement les déterminants A„ 
et V«, du n*" 7. Soient de plus p' et nj„ les produits obt^nus en suppri- 

mant dans P et n„ le facteur correspondant a la ligne o. Dans la serie 

convergente 

00 

chaque terme fi{U'^ — n«_i) est une somme de termes positifs dont aucun 
n'est plus petit que la valeur absolue du terme correspondant dans le 
développement du déterminant 

M 

V = A' — A' , = ZV'>, 
d'ou Ton conclut que la serie double du second membre de Tégalité 

converge absolument. On voit par la que la ligne o dans le détermi- 
nant D' joue le méme röle que toutes les autres lignes et que, par consé- 
quent, les théorcmes des numéros précédents subsistent sans aucune altéra- 
tion pour les déterminants de la forme D'. , 



230 Helge von Kocb. 

Un raisonnénient aiialogue s'applique au cas ou ron remplace 
les elements d'un nombre quelconque de lignes ou de colonnes par des 
quantités inférieures en valeur absolue a un nombre positif donné. 

10. Dans un déterminant Z) de la forme normale, rempla9on8 les 
elements d*une certaine ligne, par exemple la ligne o, par des series 
finies ou infinies /i^, 

telles qu'on ait 

ja désignant un nombre positif donné. Le nouveau déterminant s'écrira 
ainsi: 

^k^Ok/^k = f^^Okf^kX = ^x(^k^Okf^kx)j 

c'est-ä-dirc commc une somme d'un nombre fini ou infini de détermi- 

■ 

nants infinis. 

11. Soit D un déterminant de la forme normale; soient Cx une 
suite de quantités dont les valeurs absolues restent inférieures ä un 
nombre donné. Si l'on suppose c^ = o et qu on remplace les elements Aq^ 
de la ligne o par les quantités 

-^0* = ^Ok "h ^X^X^Xky 

le nouveau déterminant D' pourra étre mis sous la forme 

D' = Ta^^Aot = -D + ^xCx . ^k(^okAk = D 
et ne diflférera pas, par conséquent, de D. 

12. Soient deux déterminants de la forme normale: 
si Ton déiinit des quantités C^ par la formule 



Sar les détermiDants iifiois et les éqaations différentielles lioéaires. 



231 



le déterminant infini 



C' = [^a]/,*= 



00.. + 00 



sera de la forme normale et Ton aura: 



AB = C. 



Posons, en effet, 



-^ik — ^ikf 



liik = K\ 



(t^*) 



-4,< = I + a,,, i?,, = I + h,r, 



par hypothése, les series 



8^ = TXk I (Xik ; 8^ = Z,r J h^j, 



sont eonvergentes. Or, en posant 



on a 



Gik = Ca {i^k)y C„= I + Cu 

Cik = «« + *« + ^j^uKy 
Ch = a« + bit + ^jC^ijK 



i 



ce 



qui, en vertu de la convergence des series S^ y Sf, et 

m 

^ab = ^LkJ, I S K y 



suffit pour démontrer la convergence de la serie S|c,4|. Par conséquent, 
le déterminant C est de la forme normale. 

Pour mettre en évidence Fexactitude de Tégalite AB = C, il suffirait 
d'adopter un mode de demonstration analogue a celui employé dans la 
théorie ordinaire; mais il parait plus simple de procéder de la maniére 
suivante. 

Posons 



+ OT 



flit = T ^i) ^kj^ ^.k = c, t — /if^; 



j=-^m 



J„=[A], /?„ = [i?«], C':-=[jx>,], (L^[('n] (•.»-".••+») 



232 



Helge von Koob. • 



le déterminant C„ peut étre expritné de la maniére suivante comrae 
une somme de 2m + 2 déterininants: 

^m = (/^O,— m • • fk,m) "T" v/A),~m • • /A),m- -I ^0»i} "T \JM,-m • • fk,m-t^O,m—\^Om) H" • • 
• • 1 \/^,— m^O,— m+l^),--m+2 • • ^Om) "T" (^0,— m^O,— m+1 • • ^Om) J 

les lignes numérotées o des déterininants respectifs étant seules représentées. 
Or, dans chacun de c^es détcrminants, tons les mineurs correspondant aux 
elements v^ sont, pöur des valeurs quelconques de Tentier m, inférieurs 
en valeur absolue au produit 



+ 0D 



+ 0D 



f~ — 00 ' k- — 00 



Par conséquent, en remarquant que 



^m — [fh—tn • • /^,m/ J 



on aura 



+m -fm 



mais, en choisissant m suffisamment grand, le second membre de cette 
inégalité deviendra aussi petit qu'on veut; c'est ce qui arrive, en efifet, 
pour le second membre de Tinégalité 



•fm -fm 



00 -I-m 



Ir«i— m rs=— m /..m+i — m 

Donc, en se donnant une quantité positive quelconque dy on peut 
déterminer Tentier m' de telle maniére que, pour m > w', les valeurs 
absolues 



A — A 



m 



9 B — J?OT » C^ — C'-, , 



C'm C'^ 



soient toutes plus petites que å. Soit Q une quantité positive suffisam* 
ment grande; on aura 



AB — A,M 



m "'m 



A„.ft«, + <in,Ji,n + %.,^. \<fJQ + '?', 



C— c':!<2o% 



Sur les déterminaDts iDfinis et les équatioDS différentielles linéaires. 

ce qui, d^aprés le théoréme de multiplication des déterminants finis: 



233 



'^m^m — ^^m> 



conduit a écrire 



AB—C\ <f}{Q + å+ 2) 



ou enfin 



AB=G. 

13. Soit D = [-^a]/,i =»..+ • u^ déterminant infini de la forme nor- 
male; pi Ton désigne par a^ ses mineurs du premier ordre, on a 



(«) 



a 



'1*1 



• • 



«<,*r 



a 



Irix 



«fr*r 



\k^ . . k) ' 



tj . . i,; k^ . .k^ désignant des entiers quelconques. 

En partant du théoréme de multiplication démontré dans le numéro 
précédent, la demonstration de ce théoréme devient identique a celle de 
la théorie ordinaire ^ et pourra étre omi^e. En revanche, nous allons 
établir quelques autres formules qui se rattachent a celle-lä et dont nous 
aurons besoin dans la suite. 



Vy • • 



»r 



Rappelons d*abord que, f j désignant toujours le mineur ob- 

tenu en rempla9ant dans D les elements Ai^j,^ . . A^^j^^ par Tunité et les 
autres element* des lignes \ . . % ou des colonnes k^ . .k^ par zéro, ce 
déterminant sera nul si deux i ou deux k sont égaux et changera de 
Signe si deux i ou deux k se changent Tun dans Vautre. 
Cela pose, formons la serie double: 

cette serie est absolument convergente, car les quantités 



£. I O 



'mA 



(ma — oe..-f-aD) 



* Voir p. ex. Baltzer, Theorie und Åmvendung der DelemUnanten, 5^® Aufl., p. 63. 

Åeta nuUksmatiea, IG. Itnpriiné le 7 niaf 1892. 30 



234 



Helge voD Koch. 



sont toutes plus petites en valeur absolue qu'un certain nombre positif, 
et la serie 



I 



m 



m 



i,/C. • • fCf. h' 



converge absolument puisquelle n'est autre chose que le développeinent 



il. 



du dét^rminant obtenu en reTnpla9ant dans le déterminant ( ' 

chaque element de la colonne k par Tunité. 
On a donc le drpit d'écrire 



«=i 



%r nv 



m 



kfP. • • n-f. K - 



2' G) 



-^»lA 



= z. G) z. Q ••;:>.= 



mais 



(/5) 



et 



-ZQ^-^ = 



/), si w t= i 



o, si w ^ i 



(r) 






» 



1 



• »r 



kÄ*. • • K>^ 



, si A ^ Ä-; 



'-; 



'l • • 'i/— 1 ^w ^ 



V— 1 •'V 'v+1 • • ^> 



.n-j • • /r^_ .J IV fVyj.1 • • Ä/^ 



, si A = Ä-/, 



o y SI A •>> a' ^ A*, y • • j AJp . 



On ä donc d'ane part 



S = 



\A/. • • Kj, K:' 



d 'autre part 



.9 =(*)(': "'Vi:! 

Na" -na". • . a'^' , w — i 



' \/ 'l • • ''v— 1 % ^w+1 • • ^r 



(y-l..r) 



"1 '»'•v ^^'i • •. "v— 1 *^' ^'w4-l '. • " r ' 



Sur les déterminaDts iofiois et' Ics équatioDs .différcDtielles lioéaircB. 235 

ce qui entraine Tidentité sui vante: 

En particulier, si i est egal ä Tun des indices i^ . . i,., par exemple 

• • • 

i=^i^j le déterminant ( ^ ) s'évanouit et Ton a: 



• • 



^^ \k)\ . . kj \kj\k k^.. kj ^ "^ \kj\k^ . . k,_^ k) ' 

De plus, en remarquant que les colonnes peuvent étre regardées 
comme des lignes et vic6-verså, on obtient Tidentité 

w QG--::)=tc)(r-;:-':.'r--^:)+(r-i:> 

N/C/ v/v. . . h'/ y.l Vft/ \/Vj . • /«y_i A^ »»^yf-l • • f^r ^'^\ • • "r '^^ 

I 

qui, pour k = k^^ prend la forme 

^^ ^ \Ä/ U, . . &,/ Vä/ U, Ä, . . V "^ " "^ U/Uj . . Ä:,_, k) * 

14. Jusqu ici nous n'avon8 étudié les propriétés des déterminants infinis 
que sous la supposition que ces déterminants fussent de la forme normale. 
Il est faeile de voir qu'on peut ramener a ce oas une classe plus géné- 
rale de déterminants infinis. Supposons, en effet, que les quantités A^^ 
satisfassent aux conditions suivantes: 1° le produit JliAn converge ab- 
solument; 2° il existe une suite de quantités Xj^ {k = — co . . -f co) telle 
que la serie double 

converge absolument Je dis que le déterminant infini 

converge et jouit des mémes propriétés qu'un déterminant de la forme 
normale. 



236 Helgo von Koch. 

En effet, posons 

^ _ j *< 

et formons le déterminant infini 

ce déterminant étant de la forrne normale, on peut lui appliquer la for- 
mule (b) (ii° 7); désignons par V„, et V^^ ce que deviennent V„ et V„,^ 
en rempla9ant les A^f. par les Aa\ on aura 

ö = V, + V, + . . + V, + . . 



•a • f 



or on voit aisement que 

V = V V , = V . 

^ m ^ m ' ^ mk ^ mk ? 

m et k désignant des entiers quelconques. Par conséquenty le détermi- 
nant D converge, a la méme valeur que D et peut, de plus, étre repré- 
senté par la formule sui vante: 

^= V, + V, + .. + V, + .. 

=^ ^m^k^ mk* 

« 

En prenant cette formule pour point de départ, on voit, tout a fait 
comme dans le cas des déterminants de la forme normale, que les théo- 
rémes du if 7 ainsi que ceux des n""* 8, 12 et 13 sappliquent aussi au 
cas du déterminant D. Au contraire, le théoréme du n° 9 subit la 
légére modification que voici. 

Rempla9ons dans le déterminant D les elements de la ligne i: 



Hk 



par des quantités 



Xi 
/^k = f^k— (**-oo..+ od) 



Sur les déterminaDtH infinis et les dquatioos diffdreotielles linéaires. 237 

dont les valeurs absolues sont inférieures a un nombre donné, et soit If 
le nouveau déterminant; on pourra écrire 

or, en vertu des remarques du n° 9, et d^aprés ce qui vient d'étre dé- 
montré, il est clair que la valeur de 1)' ne change pas si Ton multiplie 

les elements de chaque ligne i par - et ceux de chaque colonne k par 

a;^; en d'autres termes, si lon désigne par D' le déterminant obtenu en 
rempla9ant dans D les elements de la ligne i par les quantites /£^, on aura 



ly = ö' = r./i. 



ai<i>' 



Le théoréme suivant se trouve donc démontré. 

Soit un déterminant dont les elements A^^, satisfont aux conditions 
énoncées plus haut; si Ton remplace les elements d'une ligne i quelconque: 

par des quantites 

telles que les valeurs absolues des quantites 

- «< 

n'excédent pas toutc limite, le nouveau déterminant convergera et pourra 
étre développé suivant les quantites [i^ de la maniére ordinaire. 
Par exemple, sil existe une quantité x telle que la serie 

converge absolument, on peut prendre 

flJ^ = iC (* = — oo..+ <») 

et, en rempla9ant dans le déterminant D les elements A^^ de la ligne i 
par les quantites /i^ = a;*, on voit que le nouveau déterminant s'exprime 



238 Helge von Kocb. 

comme une serie ordonnée suivant les puissances de x^ dont les coefiicieiitB 
sont les inineurs du premier ordre appartenant ä ladite ligne. 

• 

1 5. Avant de terminer ce paragraphe, il convient de dire quelques 
möts sur les déterminaiits infinis dont les elements sont des fonctions 
analytiques d'une variable indépendante p. 

Soit 

un déterminant infini oii les A^^{p) sont de telles fonctions, et posons, 
comme plus haut, 

soit T un certain continuum dans le plan représentatif de la variable p 
en dedans et sur la limite duquel les fonctions A^^ sont finics et continues. 
Nous dirons que le déterminant D est uniformément convérgent dans le 
domaine T si, apres avoir fixé arbitrairement la quantité positive (?, on 
peut trouver un entier positif n' tel que Ton ait 

9 

des que n > n', pour des valeurs quelconques de Tentier positif p et pour 
toute valeur de p en dedans ou sur la limite de T. 

Cela pose, si le déterminant D converge uniformément dans T, il 
représente dans ce domaine une branche uniforme d'une certainc fonction 
analytique. 

En effet, la serie du second inembre de Tégalitc 

Z) = Z), + (D, - /) J + . . + (An - i>.-l) + . . 

converge uniformément en dedans de T. 

Supposons maintenant que les fonctions -4,^(/>) satisfassent a la condi- 
tion suivante: si Ton pose A,k{p) = (hk{p) > Aii{p) = i + ^ii{p)j ^^ serie 
double 



Sur les déterminaDts lofiDis et les éqaations différentielles linéaires. 239 

converge uniformément dans T.^ Il est clair d'abord que le déterminant 
D flera de la forme normale pour chaque poiiit p de T. De plus, il est 
facile de voir qu'il convergera uniformément en dedans de ce domaine. 
En effet, le développement ((a), n° 7) est uniformément convergent puis- 
que IMnégalité (a") a lieu pour toute valeur de p appartenant a T et que 
le développement (a') de P converge uniformément en dedans de ce domaine. 
Mais le développement (a) n'est pas le seul dont la convergence est 
uniforme; cette propriété appartient ä tous los autres dévcloppements du 
n^ 7. Considérons d'abord la formule (d). Puisque tous les mineurs du 
déterminant D{p) sont plus petits en valeur absolue qu'un certain nombre 
positif et que la serie 

m 

converge uniformément dans Tintérieur de T, il en sera de méme de la 
serie 

Tk\Aa[p)(Xit{p)\ 

et par smta de 

^k^itipWip) = I>{p)' 

La méme chose se démontre d'une maniére analogue pour les dé- 
vcloppements (e), (f) et (g), et il ne reste qu'a examiner la formule (h). 
Écrivons cette formule ainsi qu'il suit: 

(h) 2) = I + S" -f S"' + . . + S^"^ + . . 



+ 00 4-00 

* Uoe serie double ^f- ^y^iPuM oti les ^»v sont des fonctions fioics et contiDues d'uD 

00' ' '^ 

nombfe quolconque de variables, laqaclle coDVcrgc pour chaque point d'un certain domaioc 
T, sera dite uniformément couvergeote dans ce domaine^ si h chaque quantité positive d 
correspondeot deuz entiers m\ n\ tels que Ton ait 



00 



dés que tn > m', w >> w' et pour chaque point en dedans ou sur la limite de T, De 
méme, pour le cas des series d'ordrc de multiplicitö 3^ 4-) c^^- '^ous adoptcrons des defini- 
tions analogues. 



240 
oii 



Helge von Koch. 



S"=V 



Pi7 



Opp flp^ 



«W «« 



S'" = 



=x 



r.^.'- 



^PP ^P<l ^pr 



a,p «^, a,r 



^rp (^rq f^rr 



posons, pour un moment, 



+ 00 



its — 00 



«« — <»..+ ») 



et développons le produit p = II<(i + ui) de la maniére suivante: 



(b) 



ou 



p = I + z' + r" + s'" + • . + r'"' + ■ . 



I 

il est clair d'abord que 

1 5" I < 2:", I s"' I < T"'» • . I s^"*^ I < 5:^"\ • • 

et que, par conséquent, il suflFit pour notre but de démontrer que la gérie 
(h) converge uniformément. Si, ä cet eflfet, nous écrivons p sous la forme 



(H) 



P = Pl + (P, —/>,) + . + {Pm — Pm-l) + • . 



OU 



+ r 



Ptr+i = n (i + u,), pt, = ^ n_ (i + «,), 



fm- -r 



+ r 

n 



nous savons que la serie ^^[p^ — Pm-\) converge uniformément en de- 
dans de T. Donc, a chaque quantité positive d correspond un entier n' 
tel que Ton ait 



OD 



^ (Pm — Pm-d < o" 



m»n 



des que w > n' et pour toute valeur de p en dedans de T. Or Texpres- 
sion p^ — p„_i se compose de termes positifs forniés en multipliant cer- 



Sur les détermiDaots iDfinis et les éqttations différenticlles linéairos. 



241 



taines des quantités «<, le degré de ces termes par rapport aux Ui étant 
au plus egal km. Done tous les termes de Texpression 



zr^^s 



m^n 



c*e8t-a-dire tous les termes de P dont le degré par rapport aux u^ excöde 
» --— I , se trouvent aussi dans la somme 



^{Pm Pm-l)^ 



in'=n 



d'ou Ton voit que 



oo 



r r^"^ < <?; 



m^n 



done la serie (h) et a fortiori la serie (h) convergent uniformément ä Tin- 
térieur de T. 

Mais il y a plus: toutes les series 5^"*^ qui composent la serie (h) 
convergent aussi uniformément en dedans de T. Pour le voir, démontrons 
d'abord que chaque serie S^*"^ converge uniformément La serie 



Ml <Mi <" </^ 



s*obtieht en rempla9ant certains termes de 



/** 



par zéro; cette derniére serie qui n'est autre chose que le produit 

est évidemment uniformément convergente puisque la serie ST.w^ converge 
uniformément; il en est done de méme de 2 "* . Or on a 



valeur absolue de 



^/'i«i • • ^/*i.". 



• • • 



/'•/»I ' ' *'/'«/*« 



<n,u,^ ..u,,: 



7'i ^I't 



done la serie S^"*^ est uniformément convergente en dedans de 1\ 

Ada mathematica. 16. Iroprlroé le 10 roai 1892. 



31 



242 



Beige yoD Koch. 



1^6, Supposons, comme dans le numéro précédent, que les fonctions 
An^ soient telles que la serie double S^S^] 0,4(^0) [ converge uniformément 
en dedans de T. Soient /i^ une si^ite de constantes ou de fonctions qui 
sont toutes, pour chaque point p de T, inférieures en valeur absolue a 
un nombre donné. Si Ton remplace dans D les elements A^ d'une ligne 
i quelconquc par ces quantités /i^, on sait d'aprés le rf 9 que le déter- 
ininant nouveau converge dans ce domaine et peut étre représenté par 
la serie ^ 

démontrons que cette serie converge uniformément en dedans de T. Puis- 
que le mineur a^ s'obtient en rempla9ant dans D Télément -4^ par 
Tunité et les autres elements de la colonne k par zéro, il est clair que 
dans ce déterminant Télément diagonal de la ligne k est nul et que, par 
conséquent, on a, d'aprés le n"* 5, 



a 



ik 



< P . Z J aa 



pour tout point p du domaine T. Or la serie Sr^Sr;^!^^! étnnt uni- 
formément convergente dans ce domaine, il en sera de méme de STjtla,*!; 
donc la serie ^j^/i^aft est a fortiori uniformément convergente en dedans de T. 



17. Supposons maintenant qu'il existe une suite de quantités o;^^ qui 
rendent la serie double 



I,S. <■■-(»)% 



uniformément convergente en dedans de T. Dans ce cas, le déterminant 



D [-4<Jk]<,Jt=-0D..+ 



00 



appartient ä la classe étudiée dans le n° 14; tous les développements en 
serie dont il a été question dans le n" 7 sont donc valables a Tintérieur de 
T et il est facile de voir, d'aprés les n*'" 14 et 15, que ces développe- 
ments convergent uniformément en dedans de ce domaine. 



18. Si Ton remplace dans D les elements d'une ligne i quelconque 



par des quantités p^ telles que les valeurs absolues 



f^k 






{k = — CO . . + co) 



Sur les détermiDaots infinis ot Ics équatioos différeotiellcs linéaireB. 243 

sont toutes plus petites qu'un nombre donné, on gait (n° 14) que le dé- 
terminant ainsi obtenu est représenté par la serie S/ijia,^ et que cette 
serie converge pour chaque point p de T. Comnie dans le n° 16, on dé- 
montre aisément que cette serie converge tmiformément en dedans de T. 

19. Revenons au cas ou la serie STjST^Ia^^l converge uniforméinent 
dans T et proposons-nous de former la dérivée du déterminant D. Il est 
clair d*abord que la serie double 

est absolument et uniformément convergente a rintéricur de T; en effet, 
puisque ces propriétés appartiennent ä STiS^a^jt, elles appartiendront aussi 

a 51<5lifc~7^' ^* ^^^ *'* ^^^^ pour toutes valeurs de /> en dedans ou sur 

la limite de T, inférieurs en valeur absolue a un ccrtain nombre positif. 
Ceci pose, je dis qu'ä- Tintérieur de T la serie S représenté la dérivée 
de D. En effet, en conservant les mémes notations qu'auparavant, on 
peut exprimer D par la serie 

qui converge uniformément dans T; il suit de la qu*on peut écrire 



<^P "^P TTi^ "^P "^P / 

et que la serie du second membre de cette égalité converge uniformé- 
ment. Donc, en choisissant arbitrairement une quantité positive o, on peut 
déterminer n' de telle maniére que 



dD dD 



n 



dp dp 



<å, 



dés que n > n' et pour toutes valeur§ de p en dedans ou sur la limite de T. 
D'un autre c6té, en désignant par a^^ les mineurs du premier ordre 
du déterminant D„, on a 



+ n +n 



dp ~ L. l^ «'* dp • 



244 
Posons 



Helge yon Koch. 



+« +»« 



«.=r s 



«/* 



dA 



ik 



i=2~-n k=—n 



dp ' 



8=S^ + E^; 



puisquc S converge uniformément, on peut déterminer n" de sortc que 
rinégalité n > w" entraine cclle-ci: 



S—S, <f) 



pour toute valeur p de T. 
Or on a 



dDn^ 

dp 



+ » +n 



- -s; = £ £ wr - ««) 



<«— n i=— n 



djAit 

dp 



et Ton peut trouver une quantité /i telle que les inégalités 



^ik «/* 



</i(F— P„) 



aient lieu partout a Tintérieur de T. Donc il existe un entier n'" tel 

qu*on ait 

dDn 



dp 



— s. 



<() 



pour n > n"' et deg qiie p se trouve en dedans ou sur la lirnite de T. 
Par fiuite on a 



f-5 

dp 



ou enfin, pour tout le doinaine T, 



< 3^' 



Tp ~~ l^iL^k^^^li^ 



en introduisant une notation employée plus haut, cettt? égalité prend la 

forme 

dD vr^ v^ aö dAa 



dp 



= S<£. 



^Aik dp ' 



généralisation d'une formule bien connue de la théorie des déterminants 
finis. 



Sur les déterminantA iDfinis et les équations différentielles linéaires. 245 



% 2. Sur la résoltUian des systétnes infinis tVéquatlons linéaires. 

m 

20. Posons 
et supposons que le déterminant 



soit de la forme normale. Proposons-nous de trouver toutes les valeurs 
des inconnus Xj^ {k = — co . . + co) qui satisfoiit aux égalités 

(1) Ui = o (C — OD. +«) 

et qui ont, de plus, la propriété de ne pas dépasser en valeur absolue 
chaque nombre fini: 

(1') 1^*1 ^X« (4=,_0D..+ 0D) 

Supposons d'abord D 4= o . Pour toutes les valeurs des x^ qui satis- 
font ä (r), on a 

U désignant un nombre positif fini. Donc la serie 



«=z.i.Ö^"^' 



converge absolument et Ton peut écrire 



«=I,(>. = I,-^-S.Q^.. 



d'ou: 



(3) a;,.D = £,Q«, = o, 



246 
c'e8t-a-dire 



Holge von Koch. 



X, 



o; 



(i -—00..+ ») 



en d^autres termes, le systéme (i, i') n'a aucune solution. Donc: 

Pour gtie le systénw ( i , i ') ait une solution, U faut que le déterminant 
D soit egal å zéro. 

Supposons D = o. A vant d'examiner ce cas de plus prés, il faut 
établir quelques propositions préliihinaires. 



Formons le mineur ( j et designens par ( — m . . + m) 

le produit obtenu en supprimant dans le produit 



p = n,(i + r|a«i) 



\ 



du déterminant ( 



j de méme que du produit ( — m . . + m) 



les facteurs qui correspondent k i = — m . . + w. Dans le développement 

- m . . + m 

• m . , + m> 

se trouve le terme + i > et aucun termc du développement de celui-la 
n'cst plus grand en valeur absolue que le tcrme correspondant du dé- 
veloppement de celui-ci. Donc on a: 



(4) 



m . . •\' m 
m . . + m 



) 



< ( — m . . + m) — I 



Choisissons arbitrairement une quantité positive d plus pctite que Tunité; 
il existe un cntier positif m' tel que, pour m > /w', le second membre de 
(4) est plus petit que d. Pour de telles valeurs de m on aura par 

conséquent 

— m . . + w 

— m . . + m 



(5) 



* i-<^< 



:) 



< I + o^i 



donc le mineur ( ) est certainement différent de zéro et il 



-f m'> 



existe dans la suite 



c 






) 



(m-i0,1,3,..) 



un premier mineur qui n'est pas nul. 



Sur los déterminaots iofiDis et les équations différentielles linéaires. 247 

Il est donc possible de déterminer les indices i^ . . i/^ k^ .. k^ en fa9op 

(4 4 \ 

* * '^ j ne soit] pas nul; de plus, si r> i, nous sup- 

poserons que ces indices soient choisis de maniére que les mineurs 

( * * ) d'ordre inférieur a r et formés en prenant pour i^.. t^ et Xi.. x^ 

\x^ . . xj 

respectivement toutes les combinaisons possibles des nombres \ . . i^ et 
k^ . . k^f soient tous égaux a zéro. 

Cela pose, si r > i , t(ms les mineurs de D d'ordre i sont nuls. 
En effet, puisque D est nul, Tidentité (((?), n° 13) prend la forme 

/i\ /ij .. ir\ _^ /i \/h • • ^-1 K i+i •• ^\ 

\rC/ ^A/. • • fCf./ ^„| N/fy/ \fP. . . fiy I rC n'yA.1 • • /ty.' 

d'oii Ton voit que les mineurs suivants: 



(i)=° 



(f=»l..'r; k'rr—ab..-\-<») 



et, par suite, le second membre de Tégalité ((s), n"* 13): 
8'évanouissent pour i ^ k = — co . . + cx) ; donc on a 



(<,* = -»..+ oo) 



Des raisonnements analogues suffisent pour démontrer qu'aussi les 
mineurs d'ordre 2 , 3 , . . r — i sont tous nuls. 

Appliquons ces resultats aux probléme que nous avons en vue et 

• • 

considérons le cas general ou Tordre r du mineur ( ^ '^ j est quel- 
conque. D'abord on voit facilement que les équations 

% = 0, M^=0, .. «,, = O 



248 Helge yot Kodi. 

j3ont superflues, c'est-a-dire qu'elle8 8ont une conséquence des autres équa- 
tions Ui = o du systérae considéré. Soit en efifet % Tun des indices i^ ..%; 
puisque la serie double 

• ■ • • 

est absolument convergente, on a: 

• ••• «••• 

>/f- • • /r„ I n'„ '*'y+l • • *^r \ ' ' v I '*y '^v-\-\ • • ^r 



or la serie 



• • • • 



mA 



est identiquement nulle si A^ä;^ , Ä, , . . A;^; elle est nuUe aussi si X est 
egal a run des nombres k^y k^y . . K puisqu^elle représente, dans ce oas, 
un certain mineur d'ordre r — i . Done: 



■ • • • 

^ A •• *y-l ^ ^y+1 • ^r\ 



dans cette égalité le coefficient de u^^ n'est pas nul^ mais les coefficients 
des quantités w^, . • Wf^_iWf^.i • • % sont tous nuls. Donc chaque égalité 
u^ = o (i^ = I , 2 , . . r) sera satisfaite si les inconnus rémpHssent celles 
des équations w< = o oii Tindice i < ij , i, , . . eV- 
La serie double 



«=i.i,G •:*.:)-- 



est absolument convergente et, si les inconnus x^ satisfont aux équations 
t^j == o, on a S = o\ de la et en vertu des identités ((/*), rf 13) on conclut 
que les relations suivantes doivent avoir lieu entré les inconnus: 






+ *) 



Sar les détermiDaDts infiDis et les éqaatioDs différentielles liuéaires. 249 

Cea relations qui sont nécessaires sont d'ailleur8 suffisantes puisque 
toutes les series 






mk 



(m — — 0D..+ 00) 



sont nnllés. Donc: ^ 

Satt D un déterminant infini de la forme normale; apres un cerfain 
rang m' qu^on peut toujours déterminery fous les mineurs dans la suite 

(m-0,l,«,..) 



\ — m . , 4- m/ 



sont différents de zéro et Von peut, par conséquent, toujours trouver un mineur 

/i . . ?V\ 
drordre fini qui nest pas nul; si D est nul, si \ ) est différent de 

\k^ . . k/ 

zéro et si, de plus, les indices f, . . i/, *^i • • ^r sont tels qtie les mineurs 






ordre u = i , 2 , . . r — i , formés en prenant pour i^ . . i^ et 



Xj . . x^ respectivement toutes les combinaisons possibles des nombres i^ . . i^ 
et k^ . . Äv , sont égaux ä zéro^ tous les mineurs d* ordre i , 2 , . . r — i 
sont ntds. 

Soit (i) un systéme infini ctéquations linéaires dont le déterminant D 
est de la forme normale et a la valeur nulle, et déterminons les nombres 
r ji^ . . irjky . . k^ de ladite manier e; si Von assujettit les inconnus å la 
condition de ne pas dépasser en valeur absolue toute limite finie, les équations 
w, = o , w^^ = o , . . w,^ = o seront superflues, les inconnus x^^ , x^,^ , . . ^*, 
resteront indéterminés et les autres x^ se présenteront nécessairement par 
la formule (6) comme des fonctions linéaires homogénes de r^^, x^^^ . , x^^. 

Pour le oas d'un systéme infini d'équations linéaires non-homogénes: 

011 les quantités c^ sont plus petites en valeur absolue qu'un nombre 
donnéy on pourrait, par des considérations analogues, facilement établir 
un théorérae correspondant. 



Äola matk$maiica, 16. Imprimé le 11 mai 1892. 32 



250 Helgo von Koch. 



IL 

g 3. S^kur les intégrales des équations dijférentielles linéaires. 

2 1. Considérons une équation différentielle linéaire homogéne d'ordre n 

(O ny) ^^2 + ^»£3 + • • + ^-(^)y = ° 

oii les coefficients P^{x) , P^{x) , . . Pn{x) sont des fonetions holomorphes 
a Tintérieur d'un certain anneau circulaire dont le centre coincide avec 
Torigine du plan des x et dont les rayons R et R' satisfont aux inégalités 

(2) R<i <R\ 

Représentons les fonetions Pr{x) ä Tintérieur de Tanneau {RR) par 
des series de Laurent: 

+ 00 

(3) Pr{'^) =, ^ a;A^^ (r=2,8,..n) 



X= 00 



nous avons vu, dans la note citée plus haut, que, pour qu'une serie de la 
forme 

4-00 



A=— 00 



représente une intégrale de l'équation (i), il faut que p et g^ satisfassent 
aux équations en njmbré infini: 



4- » 



(4) 6f„.(/>) - <p{/j + m)g,„ + Z' A^^g^ = o (A=Em,m— ..+ «> 



A = — 00 



ou 



<p{p) = pip— o ••(/^ — ^^+ iy+/o(/>— \)..{fi — n + 3)a>.-2 + •• + «»,- 



Sur les déterminaDts iofinis et les équAtioDS différeatielles )iné«ire». 251 

et, en étudiant les propriétés du déterminant iniini 

(5) i2(/«) = [vU..— ..-. 
oii 

nous sommes parvenus a former un systénie fondaniental d'intégrales de 
réquation considérée. Toutefois, comme nous Tavons déja fait reinarquer, 
cette solution ne s'est présentée que sous certaines restrictions. Pour nous 
affranchir complétement de ces restrictions, qui provenaient principalemont 
de ce que les exposants des intégrales peu\*ent etro, dans certains cas« 
des points singuliers pour la fonction ä{p)^ il convient d*introduire un 
Douveau déterminant D{p) qui se comporte régulieremont pour toute va- 
leur finie de la variable />. 

Désignons par ^j ,/>,,. . />, les racines de Téquation 

(6) fp{p) = o 
de sorte qu'on ait 

posons 

et multiplions les équations G„,[f)) == o par les facteurs respectlfs h^[f})\ 
le systéme nouveau: 

(7) Äm(/0) G^{p) = o, (m— ...f «) 

qui est évidemment équivalent ä Tancien puisque les h„Xp) ^^^ deviennont 
ni nuls ni infinis en dedans d*un domaine fini quelconque, prend, en posant 

la forme 

(7') . TXmx{p)9x = 0. ^m.-=c..+ oc) 

A*" — 06 



252 



Helge TOD Koch. 



(8) 



Le déterininant de ce systéme infini: 

^ip) = 1>«]m=-«..+ 



OD 



est de la forme normale a Tintérieur de to ut domaine fini; en effet, si 
Ton pose 



de sorte que 



XmX — —7 Kn\P)j ;|f0A — -^OA 



m' 



et qu'on assujettisse la variable ^ = w -}- ^^ a lö» condition de rester en 
dedans d'un domaine fini 1\ il existe un nombre positif h plus grand 
que les valeurs que prennent les fonctions | h'^{p) \ en dedans de ce do- 
maine; on peut donc écrire 



Xmk 



<h 



Wl' 



(w^O) 



or, en se servant du méme mode de demonstration que précédemment 
(Sur une application des déterminants infinis etc. p. 56) il est facile d'établir 
que la serie double 

k 



2^m 2^ k 



m' 



(m^O ; A^m) 



converge et converge uniforniément en dedans de T; la méme chose ayant 
lieu pour la serie Sa|-4o;i|, il en sera de méme de 



z z; 

*^m A 



\Xmk 



(A^m) 



De plus, puisqu'on a 



mm 



(P) = (i + 



p—p 



m 



'-]e 



P—P\ 
m 



('+'-^) 



P—Pn 

m 



il est clair que la serie 



+ 00 

^ \Xmm{p)— I 



m = — 00 



converge uniformément a Tintérieur de T. Donc le déterminant D{p) 
est de la forme normale, converge uniformément en dedans de tout 



Sur les déterminaDts infiDis et les éqaations différentielles lineaires. 253 

domaine fini et represen te, par coiiséquent, une fonction entiére de p 
(voir § ly xf 15). 

Pour trouver la relation qui lie les déterininants I){p) et i^(/>), 
forinons le produit 



+ 00 



Q{p). n xUp); 



fn = — OD 



puisque le second facteur est un produit absolument convergent, le re- 
sultat de la multiplication s'obtiendra en niultipliant — pour chaque 
indice m — Jes elements de la lignc m par le facteur Xmmip)' On aura 
done 

(9) Q{P) n Xn.Åp) = Mm=-,..+ o= = T){p) 



m«: — OB 



ou, en posant 



+ OD n 



(10) n r.«(/') = n'-^— = n(^), 

m ca — OB -A. .A, TT 






(11) D{p) = IL{p)il{p). 

Dans la note citée, nous avons dit, sans insister sur la demonstration, que 
la fonction ^{p) est périodique et de période i; il est facile maintenant 
d'en donner la preuve rigoureuse. En eflfet, puisqu'on a 

si Ton remplace dans Tégalité 

^ip) = Mr,t— 00.. + - 

p par /> + I , on aura 

dans cette égalité, le second membre est le déterminant obtenu en choisis- 
sant Télément ipi\{p) pour origine dans la table des elements (pik{p)'i ce 
déterminant ayant la méme valeur que celui qu'on obtient en choisissant 
^oo{p) pour origine (voir § i, n° 3), on aura 

(12) Qip + i) ^ ii{p). 



254 Helge vod Koch. 

Donc, la fonction ii{p) étant périodique de période i, on voit par 
la formule (ii) que lon a 

(13) D{fl+ i)^ (- iYD{p), Dip + 2) = D{p) 

et que, par conséquent, D{p) est périodique et de période i ou de pé- 
riode 2 suivant la parité ou Timparité de Tentier n. 
Puisqu^on a 

(14) lim ii{p) = I 



v= ± » 



il faut, en comptant un pöle ou un zéro autant de fois quindique son 
ordre de niultiplicité, que le nombre des pöles incongruents ^ de ii{p) 
soit egal au nombre des zéros incongruents; donc le nombre des zéros 
incongruents de D{p) est egal a n. En désignant un systéme de zéros 
incongruents de cette fonction par p ^ p^y > - p^'*\ on pourra écrire 



y = l 



pour déterminer la constante C, remarquons que les égalités (10), (11), 
(14) nous donnent 

ce qui montre que la différence ^p^""^ — ^p^ est nécessairement un nombre 
entier; en choisissant le systéme p\ p* ^ . . /^^"^ de maniére a donner ä cet 
entier la valeur nulle^ C prendla valeur i et Ton a 

(15) D(^) = n«i^7-^")i^. 



.^l 



^ Daos cc qui suit, dous dirODS que deux quautités complexcs quelconques i4 et £ 
80Dt incongruenUs si leur difif<SrcDco ucst ni nuUe ni égale ä un nombre entier; dans le 
oas contraire, A ni B seront dites congruefnies. 



Sar les déterminants iDfinia et les équations différentielleB linéaires. 255 

De plus, puisque le coefiTicient de />"~* dans ^{p) est egal a 
-n{n — i), la valeur de S/>^ et par suite aussi de S/>^''\ est un 



2 

nombre entier: 



(i6) Z^w = r^,= in(n-i). 



22. Soit maintenant x un point quelconque a Tintérieur de Tanneau 
circulaire {BR) et posons 

il est facile de voir que la serie S^S^IJ^^a! conve^gera uniformément 
par rapport a /? en dedans de tout domaine fini (ef. loc. cit. p. 6i) et 
que, par suite, les théorémes des n°* 17, 18 sont applicables au cas qui 
nous occupe. En particulier, nous pouvons dire que: 

si, dans le déterminant D{p) ou dans un de ses mineurs, on remplace 
les elements d'une ligne quelconque par les puissances x^, le déterminant ainsi 
ohtenu pourra s^écrire comme une serie ordonnée selon ces puissances; et 
cette serie, convergeant par rapport a x en dedans de {RR), convergera par 
rapport å p absolument et uniformément a Vintérieur de tout domaine fini. 



23. Désignons par 



0-C'J)-- 



les mineurs d'ordre 1,2,.. du déterminant B^p) de sorte que, d'une 
maniére générale, 






représente le mineur d'ordre i^ qui sobtient en rempla9ant dans Jy{p) 
chacun des elements /.^^^ . . j^^^j^^ par Tunité et les autres elements des 
lignes i\ . . ?-^ ou des colonnes ä'^ . . A:; P^r zéro. 



256 Helge von Koch. 

Soit />' un zéro quelconque de D{p); d'aprés ce que nous avons vu 
(§ 2), il existe toujours un mineur qui ne 8'annulle pas pour p = p'. 
Supposons donc que, pour p = p\ le mineur 



\k . . kj 



soit dififérent de zéro, Formons les mineurs suivants: 






c'e8t-a-dire tous ceux des mineurs d'ordre i , 2 , . . r dont les indices e et 
X sont des nombres dans les suites respectives i, . . ?V et t, . . k^, Pour 
abréger le language, désignons par M Tensemble de ces mineurs, par 
M^*\ j(f2)^ j(f(s)^ jgg ensembles de ceux des mineurs M dont Tordre 

est respectivement egal a 1,2,3... Nous supposerons que les indices 

• • 

il . . i,., k^ . . Äv soient choisis de maniére que ( '^ ) soit le seul des 

\Ä-i . . k,/ 

mineurs M qui ne s annulle pas pour p = p\ 

Si r = I , c'est-a-dire s'il existe un mineur du premier ordre qui ne 

s'annulle pas, on n'aura pas besoin d'aller plus loin; mais supposons r > i. 

Soit {p — p'Y la plus haute puissance de p — p' qui divise^ ^{p)'^ soient 

{p-pT, (p-pT, •• (p-pT-' 

» 

les plus hautes puissances de p — p* qui divisent respectivement tous les 
mineurs MS^^^ tous les mineurs 3f^^\ . . tous les mineurs ilf^'^"'^ 

On a nécessairement p> p^\ en effet, si Ton avait p <p^y on pour* 
rait conclure de Tidentité ((e), n"* 13) que les mineurs suivants 



6 



(<— .0D..+ oo;*-|:,..^) 



' Soient &(/>), fJ{p) de\iT fonctions entiéres; nous dirons qne 0(p) est divisible 
par B (o) ou que ff(/o) divise G(p) si le quotient 0(p) : H(p) est une foDction entiére. 



Sar les déterminants infiois et \es équatiöns différoDtielles liDéaircs. 257 

et par suite, en vertu de Tidentité ((^), n"* 13), que tous les mineurs du 
premier ordre seraient divisibles par {p — />')'*; ce qui est impossible, 
puisque (p — p'Y~^ est la plus haute puissänce de p-^ p' qui divise le 
premier membre de Tégalité 






_ V V l^\^ 

- Z^i Z^k y dp • 



Par le raisonnement précédent on voit d^ailleurs que tous les mineurs 
du premier ordre sont divisibles par la puissänce {p — p'^^ au moins. 
On a /ij >/£,. En efFet, il existe parmi les mineurs MP""^ au moins 

un qui est divisible par la puissänce [p — p^^ au plus; soit ( M ce 

mineur. Si l'on avait l^Y^l^it ^^ appliquant au déterminant ( M et a 
ses mineurs les relations du n" 13, on verrait que les mineurs suivants 

m 

/*1 *\ /<— oo..+ oo\ 

c'est-ä-dire tous les mineurs de ( M du premier ordre, seraient divisibles 

par (p — py^y ce qui n'est pas possible. 

On voit en méme temps que fous les mineurs de /) du deuxiéine 
ordre sont divisibles par {p — />')•*' au moins. 

De plus, parmi les mineurs suivants: 



( 



h ^ 



k k/ \t-ll-^r) 

il existe au moins un qui n'est pas divisible par une puissänce de p — />' 

■ /OL y9\ 
plus élevée que la /jtj*^™®. En effet, soit ( ) celui des mineurs M^^^ 

pour lequel Tordre de multiplicité de lii racinc // est précisément egal 
a /ij,; supposons que /iJ et p^ soiont les exposants des plus hautes puis- 

ÅcUi mathsmatiea. 16. Imprlmé le 11 roai 1892. 33 



258 Helge von Kooh. 



sances de p — p' qui divisent respectivement les mineurs ( i, ) ^* (i j) • 
Soit d'abord /iJ</4'; dans les identités 

ge o =(:)(; v oc O 

par (/O — /f?')'*' ^" moins, mais ( \ par (^ — />')'*« au plus; donc ( j 

et f j sont divisibles par p — /?' au moins '/i, 4-/4 — /^ fois. Or le 
premier membre de Tidentité 

\h)\x k) ^ \kj\x kj "^ \kj\x kj 

étant, au plus, divisible /i, + /I2 fois par p — p% on en conclut quMl n'est 
pas possible que les mineurs 

\x Ä:/ • \k, xl \x kJ % xf 

soient tous deux divisibles par une puissance plus élevée que {p — p'Y^. 
Si Ton suppose en second lieu th^t^'} ^^ voit par un raisonnement ana- 
logue, qu'nu moins un des mineurs 

('• '') et, Ö «) 

est, au pins, divisiblo par {p — //)''». Donc notre assertion se trouve tou- 
jour» jnstifiée. ^ 



Sur led détormiDantii iofiais et les cquations diffdrcDticllcs linéaircs. 259 

Supposons, en vertu de ce rédultat^ que les indices ti . . »V ^^ ^\ • • K 



• • 



soient rangés dans un ordre tel que le niineur ( ^ ^ ) soit divisible par 

p — p' précisément /i^ fois. D'une maniére parfaiteinent analogue ä la 
précédente, on pourra ^^^nontrer que fi^> fx^ et qu'il existe panni les 
mineurs suivants: 



• • 



\k^ Ä, k) 






au moius un pour lequel p' est une racine d'ordre de niultiplicité pré- 

• • • 

^ ' ^ j soit cc niincur et lon 

fC. A/-, tCn ' 



1 '"a '-3 



coutinuera ainsi de proche en proche jusqu'a ce qu'on arrive au inineur 



/*1 •• *r-l\ 



Il est facile de voir qu'on a /i > r; en ettet, tous les niineurs d'ordre 
Y — I prenant, pour p = p\ la valeur nuUe, tous les inineurs d'ordre 
r — 2 s'annulleront d'ordre 2 au nioins, tous ceux d'ordre r — 3 s anul- 
leront d ordre 3 au moins, . . . , tous ceux d'ordre i s'annulleront d*ordre 
r — I au moins; donc p' est pour I?(^) une racine multiple d'ordre r 
au moins, c^est-a-dire on a ii>^r. 

De plus, puisque le second membre de Tidentité 



C.)C.) 



- (L :o »(") 



<k, k 



ne 8 annulle que d'ordre /i + P^ > tandis que le premier dcvicnt nul d'ordre 
2/I1 au moins, on a nécessairement 2pi <p + /i^ ou, ce qui revient au 
méme, 



2G0 



Helgo von Koch. 



ct de niénic, puisquc le second membre de 



\L kJ\k.kJ 



'K K 



\h kJ\K kj 



\L K kj\kj 



1 K K 



ne 8'annulle que d'ordre //i + /^a et que le premier deviciit nul d'ordre 
2/t, au moins, on doit avoir 2/t, < /i^ + fi^ ou 



/^i 



/h^M2—/^3^ 



et ainsi de suite. 

Doiic, nous somines parvcnus au théoréiiie suivant: 

Soit p* une racine multiple cCordre fi de D{p), il existe toujours un 
mineur d^ordre /i qui ne devient pas nul; soit 



/il • • ^ \ 



un mineur d'ordre r (/• < p) qui ne sévanouit pas pour p = p et supposons 
que les indices i^ . . i^ , A:, . . k^ soient clioisis de telle maniére que tom les 
autres mineurs M sannullent pour p = p; soient 

les exposants des plus haules puissances de p — p qui divisent tous les mi- 
neurs M^^\ tous les mineurs M^'^\ . . tous les mineurs M^""^^ : pi , /ij , . . pr_i 
seront les exposants des plus hautes puissances de p — p qui divisent tous 
les mineurs du premier ordre, tous les mineurs du deuxiéme ordre, . . tous 
les mineurs d' ordre r — i ; on aura 

/Jt > /Ui > . . > pr-\ 



/i — /M>/^l—/h > • • > /ir-l 



' Sar les dötorminanU iDfiDis ot les équatioDS différontiellcs linéftircs. 261 

et Von pourra, de plus, toujours ranjger les itidkes ii . . i^ et ki . . k^ dans un 
ordre tel que p' soit pour les mineurs respectifs: 






une racifie d* ordre de mtdtiplicité /ii , /x» , . . /i^^p 

Nous donncrons désormais aux déterminants 

)- • • • • 

/Il l^ \ /Il . . Ir 

le nom de mineurs caractéristiques et aux nombres /ty /ii y . . /i^_i le nom 
de fwmbres caractéristiques correspondant ä la racine p\ 

Il résulte de cette definition et des théorémes précédents que les 
nombres caractéristiques correspondant a une racine quelconque sont en- 
tiérement déterminés, quand bien méme on pourrait trouver plusieurs 
systémes de déterminants caractéristiques. 

Pour trouver actuellement le mineur caractéristique y '^ ) > '^ 

sulfit d'examiner un certain nombre fini de mineurs. En effet, apres avoir 

déterminé, par la méthode donnée dans le § 2, un entier m' tel que le mineur 

m' . . + m'\ , ,, , , 

ne sannulle pas pour o = p\ les nombres ij .. 1^, A^j .. k^ 
m' . . + wV 

se trouveront dans la suite — m' . . + ^^*' ^t Ton n'aura qu'a envisager 

ceux des mineurs d^ordre 1,2,.. 2m' + i qui se définissent par des 

nombres dans cette suite. 



( 



24. Les théorémes précédents nous donnent le nioycn dobtenir dans 
le cas general les intégrales de Téquation différentiellc (i). 
Pour que la serie 



262 Helgo von Kocb. 

représcnte a Tintérieur de raiineau circulaire (BR) uiie intégrale de (i), 
il ne faut pas seuleinent que les ffx satisfassent aux équations 

iiiais au8si, puisque par hypothése le point i est situé ä rintérieur de 
{RB')j que les valeurs absolues des ffx ne dépassent pas toute liinite finie; 
en d'autres termes, on doit avoir , 

(17') \ffx\<Gy (A--0...4.00) 

G désignant un nombre positif fini. 

Or nous avons vu que le déteriuinant D{p) du systéme (17) est de 
la forme normale pour toute valeur finie de />'; pour trouver les valeurs 
des ffx nous pouvons, par conscquent, avoir recours aux théorénies du § 2. 

Pour que le systéme (17, 17') ait une solution, il faut que la valeur 
du déterminant 

soit imlle. 

Premier oas: p est une racine simple de D{p). Parmi les mineurs 
du premier ordre, il existe au moins un qui irest pas nul pour p = p''^ 

est ce mineur et qu'on pose 



" C) 



C',)'"('''=G)'''» 



les quuntités ffx{p') représenteront la solution du systéme (17), Tinconnu 
fftXp') restera indétcrminé; et la serie ^xffk{p')^'''^^9 convergeant en dedans 
de {RR) {if 22) et netant point identiquement nuUc, representera une 
intégrale de Téquation (i). 

Second oas; p' est une racine multiple d'ordre p (jx> i) de I){p). 

Soient 



• • 






Sur les déterminants infinis e4 Its éqoatioos différentielles linéaires. 263 

un Bystéme de mineurs caractéristiques et 

les nombres caractéristiques correspondant k la racine p\ En introduisant, 
pour abréger, les notations suivantes 

on a: 

La solution du systeme (17) est donnée par les relations 
/il " ir\ ^ /»i h " ir\ , , /il • • ^-1 ir\ 

(As= — Q0..-)-Q0) 

le signe i indiquant les valeurs que prennent les mineurs pour p = p\ et 
ffk^y ffkty \' fftr désignant des constantes ai^itraires. La serie ^j.gx^'^^ ^^^^^ 
obtcnue converge a Tintérieur de {RR); en eflfet, cette serie est une somnie 
de déterminants infinis qui s'obtiennent en rempla^ant dans certains mineurs 
les elements de certaines lignes par les puissances de x. 

Donc, cette serie représente une intégrale de (i) et, puisquelle con» 
tient r constantes arbitraires, il existe r intégrales linéairement indépen* 
dantes de (i) de la forme 



x^ 



^{^) + %{^[ 



Texpression entre les crochets désignant une serie procédant selon les 
puissances entiéres positives et negatives de x et convergeant en dedans 
de {RR). Donc, dans le cas particulier oii r = ft, le nombre des inté- 
grales ainsi obtenues est egal a Tordre de multiplicité de la racine p\ 
Considérons le cas general: r <fi. Posons 



9\x{p) = Cii(j, 






y,{x,p) = Z Pn{p)r'^', 



264 Helge von Koch. 

Cii désignant une constante arbitraire; en rempla9ant y par yi{x , p) dans 
Texpregsion P(y), on trouve 



ou 



^M ='<pip-^ ^)9iM + ^lA„ign{p) 



= f^jy:^xX<nx{p)sin{fi); 



en remarquant qu'on a 



sC)/-= 



D{ff)j si w = il 
o , si m ^ il 



cette égalité prend la forme 



puiRque les fonctions h^{/f)) n'ont pas de zéros, on voit quc p' est une 
racine inultiple d ordre jul du second niembre. On en conclut que les 
fonctions 

^(y. (^ » fl)) . ^ ^(y. (^ . /«)) , • • 3^. ^C?/. (^ . fl)) 

OU, ce qui revient au méme, 

8*évanoui8sent pour /> = />'; en d'autres termes, si lon pose 

les fonctions yi{x , p') , y\{x,p') , . . 'ift~^\x^ p) satisferont a Téquation (i). 



« 

Sur les détcrminants infiois et les éqaatioDS différenttelles liDéaircs. 



265 



Si ^j = o, on au ra gxtXp') 4= o et les // integral es que nous avons 
obtenues ne seront pas identiquenient nuUes. Si /i, > o, les fonctions 
yi{XiP') , y'i{x^p')j .. t/i"*" 'X^ , /o') seront identiquement égales a zéro mais 
j/t^^Xjp) ne s'évanouira pas identiquement pour p = p\ 

La serie yi{Xjp) étant par rapport ä p uniforméinent convergente 
en dedans de tout domaine fini (n** 22), on obtiendra ses dérivées succés- 
sives en la diflférentiant terme par terme; et les series ainsi obtenues 
convergeront aussi uniformément en dedans de tout domaine fini. Donc, 
en effectuant les diflférentiations, on trouve que les series 



(I') 



+00 



y... = X ^u''(/'')^'''^' 



A--» 



+ » 






y..v. = i! [^x-'\p') +^.9^r''>(/>')iogx + . -. 



A = -oo 



• • + (/^- ')--^^ - ^-^ff<^\p-){iogx)''-^y 



+ A 



représentent a Tintérieur de (BÄ') certaines intégrales de lequation (i). 
y,i n'e8t pas identiquement nulle et, dans chaque intégrale tfi^ (i <)^<Ui), 
la plus haute puissance de löga;, (logir)''"^, se trouve multipliée par ^ii 
et par un nombre entier qui n'est pas nul; donc ces intégrales yii,.Vi.2> 
. . ffi^^ sont linéairement indépendantes. 

Soient C51 , Cm deux constantes arbitraires et posons 



• • 



•^"(^^ = '^^ G 1) + '- il A ) ' 



+ • 



Ada maihmatiM, 16. Imprimé le 13 mai 1893. 



34 



266 



Helge von Koch. 



pui8qu'on a identiquement 



• ■ 



^'\X U^"" 



-Q), .\m = i, 



• • 



■ • 



^^Ä:. A/'^"" 



O , 81 W ^ »1 , «2 






> ^' 



O , 81 m ^ ij , «3 



on obtiendra, en posant 

«.(/«) = - c. Q) + c„ Q , 
ridentité sui vante: 

En remarquant que le second membre de eette égalité 8'annuUe d'ordre 
/ij au moins pour p = p', tandi8 que ij^{x , />) ne 8*annulle que d'ordre /x^j 
et en rai8onnant comme tout a Theure, on voit que les série8 



./>+'«—'»• 



(I") 



As3 — OD 
+ 00 






+ A 






(fl, — I)..(/^, + I) 



représentent v.^ intégrales linéairement indépendante8. 



Sur les détermioante infinis et les équations différentielles Hnéaires. 



267 



Jusqu ici nous avons obtenu v^ intégrales: y,.i , y, , , . . y^^^ et Vj inte- 
grales: y^.i i y^.i > • • V^.^j ^^ procédant de la méme maniére, nous obtien- 
drons successivement Vj , v^ , . . intégrales. Enfin, soient Cru c^^y • . c^ 
r constantes arbitraires et posons 



, . /h h " h \ , . /*i • • h-\ ^\ 



3 



+ • 



vMjP) =,5: grxip)^'^^; 



A = -QO 



en tenant compte de ce que chaque serie de la forme 



• • 






(«-l,2,..r) 



est identiquement nulle si m < ^i . . /^ , niais egal a un certain mineur 
d'ordre r — i si m est egal a Tun des indiees ii . , i^, on obtient 

o\\ Gi^{p) y GiJ^p) , .. GfXp) désignent des fonctions linéaires a coefficients 
constants de certains mineurs d'ordre r — i ; et puisque, pour tous ces 
mineurs, p est une racine multiple d'ordre fi^Ji au moins, tandis que 

y " '^ j ne s'annulle pas, on arrive, en raisonnant comme plus haut, 

au resultat que les series 



(n 



+ 00 






+ 00 



^r., = ^ [ffrxip') + ffrxipVogX]^"'' 



A--» 



A = -oo •- l_ 

••+^rA(/>')(l0g:c)'"-'-']^'-'* 



représentent v, intégrales linéairement indépendantes. 



268 Helgo von Kooh. 

En resumé, nous avons obtenu V| -|- p, + . . + J^r = /i intégrales par- 
tagées entré r sous-groupes: 

ifk.i 1 yk.2 , • • yt.vu (*-i,2...r) 

et telles que les v^ intégrales du Ä**"® sous-groupe sont linéairement indé- 
pendantes. Pour que toutes les ji intégrales soient linéairement indépen- 
dantes, il suöit de fixer les valeurs des constantes arbitraires comme il suit: 

Cj,^ 4= o; C;n = C;t2 = • • = Cu-i = o. (t-i,«.-.r) 

En efFet, dans ces conditions, on voit d'abord que les intégrales 

y\,\ > y^.\ > • • yr.i 

9 

sont linéairement indépendantes; car, si Ton avait une relation linéaire 
homogéne a coefficients constants: 

les égalités suivantes devraient, entré autres, avoir lieu: 

^)[z/i..]*, + K^\}Ji.^k^ + • . 4- -fi^.D/r.l]*, = O, 

(I8) 



\Hy.\\k, désignant le coefiFicient de sf''*' dans la serie y^.i; et puiBqu'on a 

I = o pour s < y, 
[ =^ o pour s = v, 



Sur les détermioaDts iufiois et les dquations diflfércDtielles linéaires. 269 

de sorte que le déterminant du systémc (i8) est diflférent de zéro, ce 
systéme ne saurait étre satisfait que pour 

Ä\ == Aj = . . = K^ = o. 

De plus, dans chacune des [x intégrales que nous avons obtenues, le 
coefficient de la plus haute puissance de \ogx est egal a Tune des inté- 
grales yi.i j Vi.x } • • Vr.i inultipliée par un facteur constant; donc toute fonc- 
tion linéaire homogéne des /£ intégrales j/^.,: 

peut 8'écrire comine bne fonction entiére rationnelle de log o; dans laquelle 
le coefiPicient de la plus haute puissance de löga; est linéaire et homogéne 
par rapport aux fonctions y^x y i/i.i > • • yr.u or on sait qu'une fonction u de 
cette nature ne saurait étre identiquement nulle a moins que tous ses 
coefficients ne soient identiquement nuls. Donc, le coefficient de la plus 
haute puissance de log re devant étre identiquement nul, il fa ut donner a 
certaines des constantes K^^ la valeur nulle; dans la forme nou velie que 
prend la fonction w, le coefficient de la plus haute puissance de löga; 
devient, comme il est facile de le voir, linéaire et homogéne par rapport 
aux fonctions y^ , y^.i > • • l/r.u ce qui nous oblige a remplacer de nouveau 
certaines constantes K^^, par zéro, etc. 

Donc, a la racine multiple d'ordre /i correspondent /jl intégrales 
linéairement indépendantes: y^^ . . y, „/, la méme chose ayant lieu pour 
chaque racine de D{p) et le nombre des zéros incongruents (en tenant 
compte de leur ordre de multiplicité) étant egal a n, on volt qu'on ob- 
tient par cette méthode n intégrales linéairement indépendantes, ou, en 
d'autres termes, un systéme fonda mental d'intégrales de lequation difFé- 
rentielle proposée. 

Comme nous avons vu, les intégrales correspondant a une racine 
multiple p se partagent entré un certain nombre de sous-groupes. Voyons 
maintenant comment se comportent les intégrales d'un de ces sous-groupes 
lorsque la variable indépendante décrit a Tintérieur du domaine {RR) 
un chemin fermé quelconque. Désignons par y la valeur qu'aquiert une 
fonction y de x apres que x a décrit complétement et une seule fois un 
chemin X, qui est contenu tout entier en dedans du domaine {RR) et 



270 



Helge von Koch. 



qui ne se coupe pas soi-méme. Pour abréger, désignons par yji, rjt j • > rjv 
les intégrales appartenant ä un sous-groupe de v elements; par les formules 
(I) on voit immédiatement qu'on aura: 



(19) 



7i = «"7i 

^, = w'{j'nVl + Vi) 



v» = ö''(rKi'7i + • • + r«'-\V'-i + v>)> 

ou <m' = e'"''' et ou les coefficients j-„^ sont certains multiples de la quan- 
tité 27n ou de ses puissances, lesquels seraient faciles ä déterininer; en 
d'autre8 termes, les intégrales Vi >Vi> " V' subiront une substitution linéaire 
de la forine: 



(20) 



(O 



Q) J'219 (O 



En resumé, les resultats sui vants se trouvent établis: 

Soit (i) une équation différentidle linéaire dont les coefficients sont des 
fonclions qui, ä Vintérieur de Vanneau clrculaire {BB')y peuvent étre repre- 
sentées par des series convergentes procédant sélon les puissances entiéres, 
positives et negatives y de x; soient (3) ces series et formons le déterminant 
infini D{p); soient p\ p\ * > p^^^ p racines incongruentes de D{p) d'ordre de 
multiplicité s', 5", . . s'''\ et soit s' + 5" + . . + s^^^ = n; il existe n intégrales 
linéairement indépendantes de V équation ( i ) qui, å Vintérieur du domaine {RB') , 
se partagent entré p groupes contenant respectivement s' y s" ^ . . s^^^ intégrales 
et appartenant respectivement aux racines p\ p'\ ^ ^ p^^\ 

Soit p Xune desdites racines et s' — /i son ordre de multiplicité; 
soient 

les nombres caractéristiques correspondant å la racine p' et 



/ii\ /il h\ /h •• ir\ 



Sur les détermioanta infinis et los éqaations différentiellea lioéaires. 271 

un systéme de mineurs caractéristiques ; les intégrales appart enant å la racine 
p se partageront entré r sous-groupes contenant respectivement fi — /ii , 
fXi — /i, , . . /£^, intégrales et se représenteront analytiquement par les formuUs 
(r, I", . . Y''^); ces formules font voir, de plus, que les intégrales d^un sous- 
groupe quelconque subissent une mhstitution linéaire de la forme (20) lorsque 
la variable indépendante décrit le chemin L a Vintérietir du domaine (RR). 

Si /Il = o, on doit avoir aussi fx^ — fi^ = . . = n^_^ = o ou, ce qui 
est la méme chose, J^j = /i , v^ = Vj = . . = v^ = o. Dans ce cas, et dans 
ce cas seulement, toutes les intégrales correspondant a la racine p' appar- 
tiendront a un seul sous-groupe. Donc: 

Pour que les intégrales correspondant ä la racine p' förment un seul 
sous-groupe, U faut et il suffit quil existe un mineur du premier ordre qui 
ne s'annulle pas pour p =" p' ou, en d'autres termes, que p, soit le seul 
nombre caractéristique correspondant ä cette racine, 

Parmi les intégrales appartenant a la racine />': 

il n'y en a que r,'8avoir, ViAyV^AJ - - Vr.vr qui ne contiennent pas de 
logarithmes; donc, pour que les logarithines disparaissent de toutes les p 
intégrales, il faut et il suffit que Ton ait r = /i; mais puisquon a 

J^l > J^2 > • • > J^r» V, + J^2 + . . + V, = Pj 

Tégalité r = p entraine les relations suivantes: 



Px= p — I, pui = p— 2, .. /i,. ^r= p — r + I = I ; 



donc: 



Pour que les p intégrales appartenant ä la racine p' ne contiennent 
pas de logarithmes, ou, ce qui rement au méme, pour quil existe une inte- 
grale de la forme 



?/ = r''[5p(:r) + 5p, Q] 



272 Helge von Kooh. 

contenant jul constantes arbitraires, il faut et il suffä q%(e les nomhres carac- 
téristiques correspmidant ä p aient les valeurs: 

/i , /i I , fJL — 2 , . . I . 

25. Dans ce qui précéde, iious avons supposé que réquation dif- 
férentielle proposée soit, par un changement convenable de variable indé- 
pendante, ramenée a une fonne telle que les rayons de Tanneau circulaire 
(RR) remplissent les conditions 

(21) R< I <R; 

il est facile de voir que cette supposition n'est pas nécessaire. Soit, en 
eflfet, 

(22) ^;^+ QM'^U+'' + Qn{:r)y = o 
réquation donnée et supposons que les développements 

+ 00 

soient valables k l'intérieur de Tanneau circulaire (ii, i?,'), i?, et B[ dé' 
Bignant des nombres positifs quelconqucs; soit JR, < R[ et posons 



R 



=-\/^, "^' = \/f' K^y/liji[, a,, = y9.,Ä:'+^ 



il est clair que les series 



A = GO 



convergeront en dedans de Tanneau circulaire {RR) et qu'on a R < 1 < R'; 
donc, en conservant les notations du n° 21, nous savons que la serie 
^m^lXm^ converge absolumcnt et unifonnément ä Tintérieur de tout 
domaine fini. Or, en désignant par )(„,x ce que devient )(„,x ^^ écrivant 
partout ^ au lieu de a, on aura 



y(f w»A A »wA ' yjf mm /mm ? 



Sur Ics déterminants infinis ot les équations différcntielles linc^airos. 273 

par conséquent (n" 17), le détermiriant infini 

■ 

converjre absolujuent et uniforincment \\ Tintérieur de tönt domaine fini 
et Ton a 

D{p) =-- D{p). 

De plus, d'aprés len" 22 nous savons que la serie ^m^l\Xmk^"'~^\ ^^n- 
verge par rapport a x en dedans du doninine {RB')', donc S,^^^!^,,,;^'""' j 
converge en dedans du domaine {R^R[). Donc, en rempla^ant dans 5(/)) 
les elements d'une ligne quelconque par les puissances de r, on obtient 
un déterminant qui, par rapport a :r, converge en dedans de [ItiR[) et, 
par rapport a />, en dedans de tout domaine fini (n"" 14). 

De la méme maniére, on voit qu'aussi les autres resultats obtenus 
subsistent si Ton remplace partout les a par les y9. Donc les théorémes 
préeédents subsistent pour le cas ou les rayons de Tanneau circulaire con- 
sidéré ne satisfont pas a la condition (21). 

26. Pour appliquer ce qui précéde a un exemple facile, considérons 
le cas particulier et bien connu oii les P,.(.^), dans lo voisinage du point 
X = o, se présentent sous la forme 



P,{x) =- T ''^,{x); (/-2,3..M 



dans ce cas on a: 



aV-2 = a3.A-« =--.. = a„,A--n == O. ^^ - ^' 2- -> 



d'ou : 



</'n{p) = O» /a(/>) = O (pour k > O, 



^(/>) - [i^.]...-...4. - I ^ ^(/>) - [/4.. -.... . ^y]«"^/^^-^^^^ 



v 1 



Arta ^Hothsmatifia. Ki. riii|iriiiiA le \:i. inai \H\i'2. ,*)fi 



274 Helgo von Koch. 

Il est clair (Valmrd qu'on anm identiquement 



f j = o ponr 1: < /; 



plus généraloment, en dépijjnaiit par }^ , ^ , . . K ^^ ^\ » ^'2 , . . h\ des entiers 
queloonqnes remplissant los inéjralif^s 



l\\ ^ A'.» ^ . . ^ n^ j 



on anra identiqueTnent 






en effct, on parvient a cette identité en appliqnant an oas eonsidéré le 
théoréme généralisé de Laplace (n** 7). 

Par la, en se rappelant la formc donnée aux intcgrales dans le n" 24, 
on retrouve le théorfeme de M. Fucns: toutes les intograles sont réguJures 
dans le voisinage dn point .7: = o. 

Séparons les racines de <f[p) en gronpes tels que chacnn d'eux com- 
prenne, et comprenne seulement, tontes celles des racines dont les diffé- 
rences réoiproques soient ou nnlles on entieres. Soient />i , />2 , . . p,, les 
racines de Tun de ces gronpes, rangées dans un ordre tel que Ton ait 

a<h< ..<L 
a , h y , . I désijTnaiit ('fM'faiiiS nombres entiers et pnsitifs. Il est clair qno. 



Sur \cs détcrniiuuntä infiiiis cl los oiiuatiuns diflfcrcoucllcs liiiéuirus. 



275 



panni los foiictions jr(/> + m) {nt -^ o , + i , + 2 , . .), il uy a ([ua Ics 
suivant^s: 

(|ui s'aiiiiullent pour p =/>i. Ou iHi conclut que le miiieur 



o a b . . I 



/O rt «; . . (\ n(/>) 



est, pour p ^ pif différeiit de zéro. Doiic, pour trouvor les luineurs ca- 
ractéristiques correspoiidant a la racine //, on un qu'ä exaiiiiiier eeux des 



iiiineurs 



\Xi . . xj 



dont les indices ^i . . r, et /i . . x,, sont des nouibres dans 



la suite o, a, &,../. Done, a fortiori, il suftit d^exaniiiier les iiiineurs 
dont les indiees i et x sont contenus dans la suite 0,1,2,../. 
Posons 



A --^ 



: ^00 /oi 

I 



i /'•> Xn 



X^i ; 

I 

I 
Xu 



Xu 



et désigiions, dune maniére géncrale, par 



-Al • • /Ty 



le niineur de A d'ordre y qui sobtient er» reinpla\*ant dans A eliaeun 
des elements ;fr,x, • • /.^x^ Y^^ Tunité et tout autre element des lignes^, ..^, 
ou des eolonnes x^^. .x,, par zéro. 

Dans le eas particulier dont il slagit, on a (n"" 7, (f)): 



\xx . . xJ 






n(/>) 



^00/fii • • ^// ' 



276 



Helge von Koeh. 



inincurs du dctenninaiit fini A. Supposons que le mineur 



les i et les x étaiit des noinhres (juclconques dans la suite o, i, .. / et 
v étant au plus egal a /. Doiie, pour trouver les iiidices qui défiuisseut 
les inineurs caractéristiques correspondaut a /;,, il suffit d^envisager les 

ti .. /, 

kl • . A', 

soit diffcreiit de zéro pour p = pi] soit (/> — />,)'» la plus haute puissiuiee 
de p — jTjy qui divise tous les iiiineurs de A d'ordre i, {/f — />i)''* la plus 
haute puissance de p — />, qui divise tous les luineurs de A d'ordre 2 , 
et ainsi de suite. Les iioiiibres /i , /i| , /ij , -/i, 1 seront les noiubres ca- 
ractéristiques (!orrespondnnt a la raciue />, , et il sera toujours possible de 
ranger les indices /j . . /^ et k\ . . Ä> dans un ordre tel que 



soient respectivenient les plus liautes puissances de p — p^ qui divisent 
les inineurs suivants 



k 



h h 






i, . 


• ',-1 


kl k, 2 


> 


• • 


k, . 


• /'V -I 



Donc 



\kj ' U-, /•,/ ' ' * \Ä:, . . /.-,/ 



förment un systcme de inineurs caractéristiques correspondant h la ra- 
cine />j. Par lä la separation des intégrales en sous-groupes se trouve 
enticreinent eiFectuée. 

Ajoutons quelques reinarques. Les entiers i^ . . i^ et k^ . . Av étant 
certains nombres dans la suite 0, 1 , . . /, on sait que chaque déterininant 
de la forine 



( 



Ix . . 'v-l 'v 'v fl • • 'p \ 



(P^r) 



est identiquement nul si A < o. Ceci pose, les forinules (I'), (I"), . . (P^) 
(n" 24) inettent innnédiateinent en évidence qu'il existe r intégrales linéaire- 



Sur Ics détcrtuiDants infinis et le» dquatious diflfcrcoticllcs lioéaires. 



277 



rnent indépendantes qui, dans le voisinuge du poiiit x — o, so présentent 
sous la forme 

je dis qu il existc purini ccs intégralcs au iiioius une poiir laquelle 011 a 



O o =0x 



. = Ui-x = o, 



!/i H= o. 



En effet, les indices e, . . ^ , k\ . . A^ pcuvent ctre choisis de la maniére 
suivante. Soit /, le plus petit des nombrcs o, i , . . / tel quil existe dans 
la suite 



k 



(*-o,i,. /) 



au nioins un niincur pour lequel />' est une racine préciscnicnt d'ordre /i,; 



soit 



'1 
kx 



le premier niineur dans cettc suite qui satisfait a cette condition. 



Soit i^ le plus petit des nonibres o , i , . . Z t<3l qu'il existc dans la suite 



k^ k 



a«o,i,..o 



au nioins un niineur pour lequel /;, est une raeine préeiséinent d*ordre /ij,; 

le preirder niineur qui satisfait a cette condition, et con- 



soit 






tinuons ainsi de proche en proclie. Parmi les nombres k^jk^j,. k,, ob- 
tenus par cette métliode, il existe un qui est egal a Z; en effet, si ces 

nombres etaient tous plus petits que /, le mineur ' ne saurait 

étre différent de zéro pour p ^=^ p^. Soit donc k^ -- I {u <r)j le mineur 
ti . . ty 



Ä»! . • n/j 



sera le premier dans la suite 






(* = 0,I,. /) 



278 Helge voD Kocli. 

qui, pour p -^ p^^ dcvieiit iml préciscmeiit d^ordre /i/, doiic riiitégrale 
dcsigiiée par y^^^ dans le ri'' 24 se presentera nécessaireiiient sous la forme 

et la proposition se trouve démontrée. 
Soient 



' „'/ 



a , a , . 



les nonibres a , ^ — a , . . , rangés par ordre de grandeur dccroissante; 
puisquil existe un niineur du premier ordre qui, pour p = p^y ne ö'an- 
nulle que d ordre p — a', on doit avoir: /i, <p — a'; et de niénie, puis- 
quil existe un niineur du deuxiéine ordre ne 8'annullant que d ordre 
/i — 7! — a", on a /i, <p — 7! — a", et ainsi de suit^: Or, nous savons 
que, pour que les intégrales appartenant a la racine p^ ne contiennent 
point de logarithmes, il fa ut et il suffit que Ton ait 

r = p, p — p^ = /ij —p,^=..= /i,_i = I ; 

donc, pour que des logarithines n'apparaltront pas, il faut qu'on ait 
a' = I , c est-a-dire 

OL = jS — OL = j* — /9 = ..=/i — A=i; 

en d'autres t<5rnies, des logarithnies apparaitront toujours dans certaiues 
intégrales si la fonction jr(/>) a des racines niultiples. 

Enfin, voyons quelle est la condition pour que les intégrales appar- 
tenant a la racine p^ förment un seul sous-groupe. Cette condition est, 

nous le savons :/i, =0; or il est clair que tous ceux des mineurs ( J 

dont rindicc k > i > o, sévanouissent ^our p = p^y puisque, dans chacun 

d*cux, Télément jr^^ entré comme facteur; et, panni les mineurs ( j ou 

o <k <l, ( j est le seul qui peut étre ditférent de zéro, puisque, dans 
tous les autrcs, rélément ^n entré comme facteur; donc, pour que les 



Snr los déterminantfl infiois et Ica ^^quations difFtTcnticllcR Hndaircs. 



279 



intégralefl appart«nant a la racine p^ förment un fteul Rous-groupe, il 
faut et il snffit quo le mineiir ( ), ou, ro qni revient au m^^me, lo déter- 
minant suivant: 



//-i.o //- 1,1 
/'O Xn 



soit, pour p = Pxj différent de zéro. * 



Xi-\,i i 

Xn--i 



% 4. Sur les Inv^ariantH des équatlons differentieUes Hnéaires. 

27. Voyons d'abord comment so rattachont les resultats préeédeiits 
a la théorie ordinaire des équations différcntielles linoairos. Soient i/j, 
?/2 > • • ?/n i*" systémo fondamental dMntégrales de Téquation (i); si rr décrit 
le chemin L, cos intéfifrales subiront une substition linéairo de la forine 



Pn\ pHi • • Pnn 

et Téquation fondametit^ile do M. Fuciis relativo a Tannoau cireulaire 



{BR) prendra la formo 



(23) 



F(a,) 



Pw — ö> Pu 



• • P\n 



Pn 



y9o2 — O) . . p^„ 



Ui 



'n2 



• • pnn 



O) 



^- O 



* Cf. FroHS, Zur TJtPorie der linmren Di/ferrntialpkwh ungen mit veimiderHchen 
Coeffine^iten, Journal fllr Mathcmatik^ t. 68; FROiiKNirs, Cher die Intpf/ration de?- 
lineare^i Differenfialgleirhungen durrh Ueihrn, momc journal, t. 'jO, 



280 Helge von Kooh. 

Clierchons la relation entré cette fonction F{(o) et. le déterininant 
Z)(/>) étudié dans le paragraphe précédent. En posant 

Tégalité (15) (n"* 21) devient 

J)(/>) . K. e^-'' = {io — a/){o) — (o'') ..{(O — o/**^), 

»{n—D ^ n(n—\) 

K=^{2:Tiye ^ %- (— i) « {27Tl)\ 

Or, en choisissant pour y^ , //n , . . y„ le systéme fondamental obtenu dans 
le n" 24, on a, d'apres les fornmles (19), 

(24) F{q}) = (ö>' — ft>)(ft>" — Q}) .. (f//"> — O)), 

d^ou 

(25) F(ro)=--(— i)» AV^^^ />(/>). 

Cette formule est la relation cherchée; elle fait voir, en particulior, 
qiie les égalités Fie?""-') = o et i)(/>) — o ont les méiiies racines, ce qu'on 
aurait pu prévoir. 

Le déterminant de la substitution linéaire que subit un systéme 
fondamenfcil d'intégrales en faisant parcourir a x le cheinin L est, couiine 
on sait, indépendant du ehoix de systéme fondamental; or en choisissant 
celui obtenu dans le n" 24, le déterminant substitutionnel devient egal au 
produit 



w' co" . , w^""' ^ e^""'-'''' 



dont la valeur est i (voir formule 16, n" 22). Donc, si x parcourt le 
chemin L , n intégrales linéairement indépendantes subiront toujours une 
substitution linéaire dont le déterminant est egal a Tunité. 

Soient j/i , 7/0 , . . ij^ les intégrales appartcnant a T un des sous-groupes 
r. I", . . Y''\ Il est facile de voir (^ren nMnplacant chaque intégrale ;/„ 
par une rertiiiiie fonction linéaire homogéne et a coeffieients eonstants de 



Sur les déterminanU infinis ot les équations difFércntielles linéaircs. 281 

yi » ya » • • .Vm> ^^ obtient uii sous-groupe d'intégrales W| , Wj > • • ^K tell^s 
qu'on ait^ 

donc il exi&te un systérne fohdamental d'intégrales pour lequel les coeflFi- 
cients substitutionnels /9,^ prennent les valeurs 



(26) 



ftit = o, si k > ?; y9,|. = o, si A- < / — i ; 



Ceci pose, on déniontre aisément qne les diviseurs éiémentaires^ du 
détermihant F{a)), relatifs au fåcteur a>' — cd, sont les suivants: 

• {(o' — wY' , (ö>' — (oY* , . . (ft>' — ö;)"'; 

en eflfet, en désignant par les symboles 






les mineurs dWdre i; de F{q}) et en introduisant les valeurs (26) des 
constantes y?,^, on voit que tous les mineurs du premier ordre sont divi- 
sibles par w' — oj fXi fois au moins, mais que le mineur suivant: 






est divisible par ay' — w précisémenf /ii fois; on voit de plus que tous les 



* Cf. Hamburg ER, Bemerhung vher dU Fonn der Iniegrale dei- linearen Differential- 
gleiehungen mit reränderlirhen Coefficienten, Journal fUr Mathcmatik, t. 76. 

' Weierstrass, Zur Tfieorie dei' hilinearen vnd qnadratischen Formen, Monats- 
berichte der Akadeniic der Wissenflchaften zu Berlin^ 1868. 

Aela mtUhemaHea. 10. Iinprimé le 13 inai 1892. 36 



282 Helge yod Kooh. 

mineurs du deuxiéme ordre sont divisibles par cw' — w fi^ fois au moins, 
mais que le suivant: 






((O — €0y^((0 — (OY^ 

est divisible précisément jul.^ fois; et ainsi de suite. 

Or on sait que les diviseurs élémentaires du déterminant F{€o) sont 
absolument indépendants du choix de systéme fondamental dHntégrales. 
Donc, le systéme fondamental dMntégrales obtenu dans le § 3 se divise en 
sous-groupes de la maniére prévue par la théorie ordinaire.^ 

28. Par la formule (25) on voit que Tétude de Téquation fonda- 
mentale de M. FucHS se raméne a Tétude du déterminant infini D{p). 
Dans le n° 2 1 nous avons vu que ce déterminant est une fonction entiére 
de f) si les series Pr{^) convérgent a Tintérieur d'un anneau circulaire 
{RR) remplissant la condition (2); et dans le n° 25 nous avons étendu ce 
théoréme au cas general oii les P,.(ir) convergent a Tintérieur d*un anneau 
circulaire quelconque. Il reste ä rechercher maintenant quel est le caractere 
de la fonction I){p) par rapport aux paramétres a,.x. 

Considérons d'abord le cas ou la condition (2) se trouve satisfaite^ 
et commen<jons par Tétude du déterminant i2{p)- Si toutes les racines 
Pi > P'2 1 ' ' Pn ^G ^ip) s^^^* ineongruentes, nous avons vu (note citée p. 59) 
que ce déterminant peut ctre représenté par la formule 

n 

OU les Mx sont certaines constantes qui vérifient la relation 

n 

Z -Sf. = O. 



^ Outre la nolQ de M. Hamburuer, vuir: Stk^kei^eroer, Zur Theofie dtr linearen 
Differeniialghich ungen (Akad. AntrittsHchrift), Leipzig, Teubncr, 1 88 1; Casorati, Sur 
la dlMindion des integralen en soxts-gi'oupesy Couptes reodus des séaoces de Taca- 
dcmic des sciencos de Paris, Jauvicr 1 881. 



Sur leB détcrmiDaoU infinis et les éqaations différentielles liDéaires. 



283 



Considérons maintenant le cas general oii /?i , jOj , . . pn (>*' <^ w) sont 
les racines incongruentes de ip{^p)\ soit Si le nombre des racines de ip{p) 
congruentes ^^ px\ on aura 

5, + .S + •• + ^V = ^2. 

Le point p = p^ étant pour ii(/>) un pöle d'ordre de multiplicité au 
plus egal a ^;^, on pourra écrire, dans un certain voisinage de ce point, 

done ii{p) se représente par la formule suivante: 

(27) ii{p)= I + ^\M,nQ0t{p—p,)7: + ^3/,,^r-(7rcot(^ — />,);r) 

ou les 3/;^ et les M^j sont certaines combinaisons de certains déterininants 
infinis. En particulier, on a nécessairement entré les M^ la relation 
suivante: 



(27') 



ZiT/i = o. 



A«l 



Il sagit d'étudier le caractere de ces constantes par rapport aux para- 
métres de l'équation différentielle proposée. 

Vu que les elements diagonaux du détcrminant !2[p) sont tous égaux 
a Tunité, en appliquant la formule (h) (n° 7) a ce déterminant, on aura: 



« 



00 



(28) 

oii: 






m-3 



r- 



o 



S^fir* " • VpxP* 



(29) 



(Km) V (i(m) 



/»l-vP» 



(l(n.) 



^V.n O 



V^r^r- 



^^i»./»! <^/>-r. • • O 



les indices Pi ^ » Pm parcourant tous les entiers qui satisfont aux conditions: 



Px<P2<"< P 



m ' 



284 Helge von Koch. 

Soit, dans le plan des p ^ B unc aire finie ou infinie située entré deux 
droites verticales et telle qu'aucuiie des racines des fouetions y{p + m) 
ne se trouve dans son intérieur ou sur sa limitc; la serie ^^^^ipi^ étAut 
uniformément convergente en dedans de B (voir: Sur une applica- 
tion des déteruiinants infinis etc. p. 57), il en sera de iiiénie de la serie 
^m) ^^^o j^^. ^Qj^Q cette serie représente une fonction analytique uniforme 
de /jj lioloinorphe en dedans de tout doniaine tel que B. Cette fonction 
est de plus périodique et de période 1 ; en efFet, en changeant p en p ^ i , 
^A,,(/>) devient f^ + ,,*^.l(/>) de sorte que Qj:;%^ devient iZ;^;,..;,.^^ ce qui ne 
peut altérer la valeur de fi^'"\ Enfin, pour la fonction périodique i^"'^ p^ 
est un pöle d'ordre de niultiplicité au plus egal a s^. Donc Äi""^ pourra 
8'écrire comme une fonction linéaire des fonctions 7:cot{p — pi)7r et des 
dérivées de ces fonctions jusqu'a celle d'ordre Sx_i (P. = i , 2, .. w'); dans 
cette expression, le ternie constant est nul, puisque, pour des valeurs in- 
définiment croissantes de la partie imaginaire de p , i/*"^ prend la valeur 
nul le. Ecrivons donc: 

(30) fl<"> =£ FiJ/rVcotCo -^,)jr + £ My»>^(;r cot(/, -^,),t)|, 

t 

I^ déterminant i^.^!;»- étant de degré m par rapport aux fonctions 
<rnt (* < ^) ®^ ^^^ fonctions étant linéaires et homogénes par rapport aux 
parainétres 

il est clair que les itf^"^ peuvent étrc exprimés par des series procédant 
selon les puissances et les produits de degrc m par rapport a ces para- 
inétres. 

Ces series sont absolunient convergentes et dans celle qui représente 
Mxl!\ chaque coefficiefU peut sexprimer comme une fonction entiére ration- 
nelle de 

(32) TT y />/ , , 7rC0t(pi p^)7r (^-l,..A-l,Ä-H,..ii*) 

dans laqnelle les coeffkienls sont des nombres rationnels. 



Sar Ics détcrminaots iDfiois et les équatioDs différeDtielles linéaires. 285 

Aiin détablir ce théoréine, démontrpns d'abord la proposition auxi- 
liaire que voici. Soient fx{p) , fi{p) , • . fk{p) ^ fonctions entiéres ration- 
nelles de p de degrc N — 2 au plus dans Icsquelles les coefficients sont 
des entiers; soient F^{p) , F'i{p) j .. F^{p) k fonctions entiéres rationnelles 
en />^de degré iV, dans chacune desquelles le coeflficient de la plus haute 
puissance de p est egal a i, et supposons que ces derniéres fonctions 
ne 8'annullent que pour certaines valeurs de p congruentes aux p^, 
(A = 1,2,.. «'); soient enfin ^i , i/j , . . q t k entiers positifs. La serie 
multiple 

,irj\(p + Pr) ^\ip + v.) ' ' ^Vr + iH) 

dans laquelle les p^ . . p^ parcourent tous les entiers remplissant les con- 
ditions 

P^<Pa — Q,i , Pa —%+ 1 , • • Pa + Qn Cx^L^..,.- 1 ; .« = 1,*.. A) 

sera une fonction périodique de p représentable par une expression de la 
forme sui vante: 

(33) 52 ^A^rcot (/> — />a)^ + 52 ^A.^^,GTC0t (/> — p,)7r) 

A=l I v=l P 

Sj^ désignant Tordre de multiplicité du pole p^ et K,,, une fonction entiére 
rationnelle des quantités (32) dans laquelle les coeftlcients sont des nombres 
rationnels. 

Cette proposition est évidente dans le cas oii /•; = i ; en effet, S se 
réduit dans ce cas a une serie simple qui converge absoluinent et uni- 
formément en dedans de JB et qui ne change pas de valeur en rempla<,^ant 
p par /? + 1 ; donc cette serie représente une fonction de la forine (3 3) ; 
et coinnie, de plus, il ny a qu\in nonibre fini de ternies de S qui de- 
viennent infinis pour p = piy en développant S selon les puissances en- 
tiéres, positives et negatives, de p — p^, les coefficients seront des fonc- 
tions entiéres rationnelles, a coefficients rationnels, de p, et de 

I 

^yJ = l,..A-l,A + l,. w; 

pk — p^ 



i 



286 Helge von Koch. 

Gonsidérons le cas general. Evidemraent on pourra écrire 

/.j,\ <? _ V /"'(P + Vy) V f*^"^ ^«) V /'*^+ ^*) • u 

(34) ^-^|r^7;)-^Fr^-^)--2.fr^li;)-^' 



Px • ^ * ' i^ ' ^ * /»fc 



Pi 9 Pi i * ' Pk parcouraiit indépendaininent Tun de Tautre tous les entiers 
positifs et négatifs et U désignant une exprcssion linéaire et homogéne, 
a coefficients entiérs, de certaines series multiples de la méme forme 
que S mais d'ordre de multiplicité inférieur k k. Or le premier terme 
du second ineinbre de (34) étant le produit de certaines expressions de 
la forme (33), S '\' II sera aussi une telle expression. Donc, si la pro- 
position est vraie pour k = i,2,..x — i, elle subsiste pour k = x; or 
elle est vraie pour ä == 1 , donc elle est toujours vraie. 

Arrivons ä la demonstration du théoréme énoncé plus haut. Rap- 
pelons d'abord (n° 7) que la serie i?'"^ est absolument convergente par 
rapport aux elements ^,4, c'e8t-a-dire qu'elle reste convergente méme en 
rempla9anty dans le développement de chacun des déterminant i^^?!»-' 
chaque terme par sa valeur absolue; on a donc le droit de ranger les 
termes de ia"""^ dans un ordre quelconque. Ecrivons i})^t sous la forme 

(35) i«.. = ^T^-|^'*.(' - «•) + '^l^* ».0 -*) + •■ + ;^, BAl-k) 

H^{i — k) , H^{i — k) y . . H^{i — k) désignant certaines fonctions entiéres 
rationnelleSy a coefficients entiers, de i- — A: et de a^, ^_2, a3i_.4_3, .. a^,,_^_„ 
(voir: Sur une application des déterminants infinis etc. p. 56). La serie 
i/*"^ pourra s écrire comme une serie absolument convergente ordonnée 
selon les puissances et les produits des fonctions H^{i — k) y B^{i — Ä),.. 
II^{i — A); en effet, en désignant par ~^p^,, ce que devient ^,^ en rempla- 
^ant, dans Texpression du second membre de (35), chaque terme par sa 
valeur absolue, la serie ^i^\~^f,^ sera convergente. 

D'aprés la formule (29), Ll^'*"^ peut étre regardé comme la somme 
d'une infinité de termes de la forme 



c ''- 



PaiPa^ . . Pa^ étant une permutÄtion des nombres PiP^ . . p^ et e désignant, 



Sur lefl détermioaDia infiDiB et lea éqaatioDB diiTérentielles lioéaires. 287 

suivant les cas, + * o^ — ^ • Donc i?*"^ peut étre regardé comme la 
somine de termes de la forme 

Px > . Ptn désignant des nombres dans la suite 2 , 3 , . . i». 

Soient A, , Ä^a > • • ^'m w* entiers diflférents de zéro qui vérifient Tégalité 



*'i + *a + • • + *"«. = o, 



et posons 



(36) l)i — Pa, = Ay. > P^ — Pu, = *r. J • • Pn.—Pa^= K ' 

Ti • • r« désignant une permutation des nombres i , 2 , . . wi. Il est clair 
que Texpression 

(37) H,XK)H,XKy-H,Åkr.) 

ne contient que les paramétres suivants 

donc Tensemble de ceux des termes de i?"*^ qui, outre les ot2,„o , of3,_8 , . . 
«„,_,, ne contiennent que les paramétres (38), s'écrira comme la somme 
d'un certain nombre fini de series de la forme 

K désignant Texpression (37) et p^ . . p„^ parcourant toutes les valeurs 
remplissant les égalités (36) et la eondition 

P\ < Pi '< • • < Pmy 

donc, d'aprés le lemme démontré tout a Theure, ledit ensemble de termes 
prendra la forme (33), dans laquelle K^^ désigne une fonotion entiére ra- 
tionnelle, ii coefFicients rationnels, des qnantités (32) et des paramétres 
(31). Donc la proposition se trouve déinontrée. 



288 Helge von Kbch. 

29. D'apréé les formules (11) et (28) on a 

(39) n{p) = U{p)-\-iU{f,)ä^''\ 



' f 



m'=2 



Puisqiie 



+ 0C 



Tlip) = U Xn^ÅP)^ 



m oc 



\ -.PllP^ / \ P~P« / , \ w/> w(it~l) 



en développant II(/>) suivant les puissances croissantes de />, il est clair 
que les coefificients de la serie ainsi obtenue sont des fonctions entiéres de 

(40) aj,„2 > »s-s > • • ««,-«; 

dans ces fonctions, les coefficients sont des polynömes en ;r, dont les coeffi- 
cients sont des nombres rationnéls. 

En vertu de Tégalité X^t = ?(p '^ ^^'nt9 1^ fonction HC/O^*"^ s'écrira 
ainsi : 

(41) n(,>)if»'>=^ n(/o_._.^,„,^_^ 

Pl..Pm/iPlPl • * A,P^Pm 

B^^lp^ désignant ce que devient l^^?;- ^^ renipla9ant les ^' par les x • Or 
nous savons que la serie ^^^[xmi ®s* ^^^ fonction entiére de p\ en 
Técrivant coinme une serie ordonnée suivant les puissances croissantes 
de py les coefficients dans cette serie auront la forme de series absolu- 
inent convergentes ordonnées suivant les parametres a^^; ^^ plus, si lon 
écrit la fonction entiére: 

n(^>) 



Xp\ p\ ' • Xp»^ r-. 



comme une serie £ ordonnée suivant les puissances de />, les coeffi- 
cients seront des fonctions entiéres des päramétres (40) telles que, si 
Ton remplace dans chacune dellos chaque termo par sa* valeur ab- 
solue, la serie 2^ restera encore convergente. Donc, la serie du second 
menibre de (41) s'écrira oommo uno serie ordonnée suivant les puissances 



Sar los déterminanta iofiois et Ics équations diiférentielles linéairos. 289 

de p dans laquelle chaque coefiTicient est une serie absolument conver- 
gente, ordonnée suivant les puissancea des paramétres oe^.; par rapport a 
cenx des a,^ ou &^ — ?, les terines de ces series seront de dégrc w, 
puisque le déterminant DJ,*^;,. est de degré m par rapport aiix /^ et 
que les -^^^ ('<^0 sont linéaires et homogénes par rapport auxdits para- 
métres. 

Or la serie £„II(/>)iy''^ est, par rapport ä />, nniforrnéinent con- 
vergent<) a Tintérieur de tout domaine fini (ef. n" 15); donc J5(/r/) 
prendra la forme d'iine serie entiere en p dont les coefficients sont des 
series absolument convergentes, procédant selon les puissanccs des para- 
métres fXrX> 

Je dis que, dans ces series, chaque coefficient s^exprime comme une 
fonction entiére rationnelle de ;r ou les coefficients sont des nombres 
ratiannels. Il suffit évidemmcnt de le dcmontrer pour le cas ou les 
racines />i ,/>2 , . . />« de ^{p) sont incongruentes; en effet, deux ou plu- 
sieurs de ces racines ne seront congruentes que quand les paramotros (40) 
satisfont a certaines conditions; or, les autres paramétres a^^ ctant regar- 
dés comme des constantes, D{p) sera une serie entiére toujours conver- 
gente par rapport, a ceux-la; donc, si la proposition est vraie dans le 
cas general oii ces paramétres ne satisfont a aucunes relations, olle sera 
toujours vraie. 

Les racines />i . />2 , . . />„ étant supposées incongruentes, si lon éorit 
ÄJ*"^ comme une serie ordonnée selon les paramétres (31), chaque coeffi- 
cient dans cette serie se mettra sous la forme 



K{p) =YKy,7rcot{/)~p;)7:. 

Kx désignant \\r\o fonction entiére rationnelle, a coefficients rationnels, des 
quantités 

(42) TTn Px9 > ^^Oi{pi, P,i)^''f f,?=l.. A-l.A+l,..») 

il est clair d'ailleurs que K^ se change en A', si p^ se ohsuigc en p„. 

La fonction Jl{p) K{p) est une fonction entiére do />; si on hi déve- 
loppe selon les puissanccs croissantes do p, chaque (!Ooffici(»nt dans co 

Arta matkematifa. IC. rmpriIn^ lo 14 mai 1892. HT 



290 Helge vod Kooh. 

développemeiit sera une fonction entiére rationnelle en ;r, dont les coefPi- 
cients seront des fonctions entiéres rationnelles, ä coeflficients rationnels, 
des quantités (42) et de plus, en les considérant comme fonctions de 
• Pi i P2 j ' ' Pnj symétriques par rapport ä ceff variables. Or nous savons 
que 1lI{p)K{p) est une fonction entiére de p et de /Oi , /Oj , . . /o„; donc, 
en développant cette fonction selon les puissances croissantes dc/o, chaque 
coefFicient s écrira comme une serie entiére, toujours convérgente et sy- 
raétrique par rapport a />! , />2 , . . ^o„, dans laquelle les coefficients seront 
entiers et rationnels, a coefFicient^ rationnels, par rapport au nombre tt; 
chaque serie de cette forine peut étre exprimée comme une serie entiére 
toujours convérgente par rapport aux paramétres (40) dans laquelle 
chacun des coefficients est entier et rationnel, a coefficients rationnels, 
par rapport a tt; donc la demonstration se trouve achevée. 

Pour arriver a ce resultat, nous avons supposé la condition (2) satis- 
faite; il est clair qu'on peut Tétendre immédiatement au cas general en 
se servant de la méthode employée dans le jf 25. Donc nous pouvons 
énoncer ce théoréme: 

Si les dévdoppenients (3) des fonctions Pr{(x^) convergent en dedans 
d'un anneau circnlaire quelconque, le déterminant infini JD{p) peut s'écrire 
comme une serie entiére toujours convérgente de p; chaque coefficient de cette 
serie se représente par une serie absolument convérgente procédant selon les 
puissances et les produits des paramétres a^x! dans chacune de ces series, les 
coefficients sont des polynomes en n dont les coefficients sont des nombres 
ratiofinds. 

30. M. PoiNCAHÉ a doimé le nom dHmmriants de l'équation (i), 
relatifs a Tanneau circulaire {ItB')^ aux coefficients I^, dans le développe- 
ment du déterminant F{q}) de M. Fucns: 

(oii le terme indépendant de o) ost egal a Tunité, d'aprés ce qui a été 
démontro dans le n° 27). Le probléme de représentor analytiquement ces 
invariants a oto résolu, comnn» on sait, dans des cas asscz étendus par 



Sur les détermiDants infiois et les équationH différeDticlIcs linéaircs. 291 

MM. FucHs^ ct Hambuhgek' et, dans le. cas general, par MM. Poincakb^ 
et Mittag-Leffler*. Les expressions analytiques qui ont été einployées 
par ces auteurs pour représenter les /^, contiennent certains paramétres 
dont les invariants eux-mémes sont absolurnent indépendants; Teniploi des 
déterminants infinis conduit aisément a des expressions plus simples, li- 
bérées de tout element arbitraire. 

En effet, posons F{a)) = f{p)\ d'aprés la formule (25), on voit que 
les quantités /"(o) , /"'(o) , . . /^'•^(o), divisées par (2 jr/)", scxprinient comme 
des fonctions linéaires honiogénes de B{p) , 1^(0) , . . D^^^^ip) dans lesquellcs 
les coefficients sont des expressions entiéres rationnelles, a coefticients ra- 
tionnels, en ni. Done, en posant p -— o dans les formules 

F{w) = f{p), F(a>) = r(yo)£, .. 

..,F<«>(o,) = r(/>)(£)" + .. + w£, 

on obtient F{i) ^ F\\) ^ . . F^''\i) sous la mémc fornie. 
Or on a 

I — - 

et les P^'^(p) peuvent sécrire comme des fonctions linéaires liomogenes, 
a coefficients rationnels, de i^(i) , -P(i) , . . i^^^O» donc: 

Les invariants de Véquation (i), rélatifs ä Vanneau circulaire {RR% 
peuvent toujours s'exprimer comme des fonctions linéaires homogénes de 

* FucHS, tJher die Darsiellung det' Funciianen complexei' Variabeln, insbesonderc der 
Iniegrale linearer LHfferentialgleichungen, Journal fUr Math erna tik, t. 75. 

' Hamburoer, i^er ein Princip xur Darstdlung des VerhaltefUi niehrdeutigcr FioiC' 
tionen einer coniplexen Variabeln, insbesondere der Iniegrale li^iearer Differentialgleichungen 
in der Umgebung singulärer Punkte, Jourual fUr Mathcmatik, t. 83. 

' PoiNCARÉ, Sur les groupes des équations linéaires, Acta mathcmatica^ t. 4: 
voir aussi: Vogt, Sur les invariants fondamentaux des équations différentielks linéairea du 
seoond ordre, thése, Paris 1889. 

* Mittaq-Leffler, Sur la representation analijtiqne des inté.grales et des invariants 
d'une équation différentielle linéaire et homogéne, Acta raathcmatica, t. I5- 



292 Uclgc vou Koch. 

/>(o) , /)'(o) , . . I/^^o); dam chacune (le ces fonclions, les coefficiefits sont 
des polynåmes en ttI dont les coefficients sont des nonibres rationnds; 

et, d'aprés ce que nous avons démontré plus haut: 

chacune des quantités D{o) , Z>'(o) , . . 2>"^(o) peut s^écrire comme une 
serie absolument convergente ordonnée selon les paramétres a^)^ dans laquelle 
les coefficients sont des polynåmes en tv; et, dans ces polynåmes, les coefficients 
sont des fwmbres ratiannels. 



31. Appliquons ces géncralités a un exemple. Soit 

Téquation différenticUe proposce; on aura idcntiquciiieiit 

^^^ = o s\ k > i + i y ^it = s\ k < i — I 

(44) 

Premier cas: 1 — 4/9 irest le carré d'aucuu ciitier. Les dcux ru- 
ciiics />j , /j,^ de ^{/j) seront iiicoiigrucntes: 



2 



/\ = ö ' /^ ' 



doiic ii{/j) preiidra la forme 



ii{p) =^ 1 + 3fj;rcot(/> — />i)'T + 3L^7rcol{/f — /j^)7r 



ou, en vcrtii de Tégalité M^ + ^2 ~ ^> 



sill 2^, TT 



^' ' COS2p^Jt — C08 2^ff 



Sur.lcs ddiermiDaDts infiuiH et les dqaatioDH diflfdrcnticllcs lincaireH. 293 

Pour calculer 3f^, faisons usugc de la méthodc eniployéc duns le ii° 28. 
D'apré8 (29), en écrivant ii{p) sous la forme 

la scric iJ'"^ sera identiquemcnt nuUe pour toute valeur impnire de m\ 
et en posant, pour abréger les formules, F{p) = y(p)^{p + i), ou aura: 

En representant ii^"^ par une expression de la forme sui vante: 

C08 2p^ t: — COS 2p7r 

nous savons que la constantc -5f{^*^ peut étre exprimée coninic une Ibnc- 
tion entiére rationncUe, a coefticients rationnels, de 

OU, ce qui revient au ménie, de 

bornerons-nous ä calculer M^^^ et M^^K 

Panni Ica fonctions F{p -f- w*) (»1 = 0,+ i , . .), F{p) et /»'(/^ — 1) 
sont les seules qui »'annuUent pour p == p^ ; donc le résidu de la fonc- 
tion il?'\ relatif au p6le />j , aura la valeur: 



^^■'=-«'-[Ffe + ^''ö^--T 



).)• 



Pour trouvcr la valeur de ilfl*', écrivorw i/*' sous la fonue 

ii-*)=UrA-\v L__T— i vf - .' - r_v ' 

v*' / 2 L -^ Pip + w)J 2 L. I //'(p + m)\ ^ /-'(/> + »O F(p + m — I 



294 



Helge voD Kooh. 



pour abréger, désignons par le synibole R{A) le résidu, relatif au p61e/?j, 
d*une fonction quelconque -4; posons 



G 



[Z^ F(p + m)\ ' 2- If(p + m)\ ' ^ ^t\p + m) F(p + w + i) 



oii obtiendra aisétiicnt 



B{H) = 



*"'(/».) *">, - O 



R{K) = 



[*>.)]' [*>.->)] 



+ 



»> 



2- [^0». - I)]' [/"'(/,,)]• 



de plus, puisquc {ajfG = [ii'"]*, on a: 

(«r)'Ä(ö) = — 2 [ilf\*']*;rcot2^,;r, 
et la quantité W*^ se trouve déterininée par la formule 

iif5^> = («rr[li?(ö)-li?(Ä)-i2(A:)' 

Ces quaiitités une fois calculées, le résidu M^ 8*obtiendra par la formule 

Second oas: i — 4^ est le carré d'un eiitier p. I^s deux raciues 
/ji f P2 dö f{p) scront congruentes: 



Pi = 



I -|> 



i02 



_ i+j> 



Doiic, en vcrtu des forinules (27) et (27'), la fonction ii{p) pourra 8'écrirc 



Sur les détermiDante infiDis et les équations diflférGDtielles linéaires. 295 

cCaprés ce qiie nous avons Vu dans le n° 28, chacune des fonctions i<j^"' 
prcndra la forme 



sin (f> + '^) ::) 



3f}i*^ désignant le produit de («/')* par un polynöine en r a coefTKnents 
rationnels. Donc M^ se representera pnr une serie de la forme 

JH„ = R,oir + 2?.(ot;f + ., + R^iarY + . . 

oii les R^ sont des polynömes en tt dont les coefFicients sont des nonibres 
rationnels. 

Dans tous les deux cas, le détenninant D{p) s*obtiendra pnr la 
formule 



éi »K. 



Ajoutons que les formules précédentes mettent en évidence ee fa it 
que les invariants de l'équation (43), considérés conime fonctions des 
paramétres ot , /9 , ;*, ne dépendent que de p et du produit ny. 



Une partie des recherches qui ont fait Tobjet de ce mémoire, a été 
publiée auparavant dans les Comptes rendus de TAcadémie des 
Sciences de Suéde' (öfversigt af Kongl. Vetenskaps- Akademiens 
Förhandlingar, 1890). 



I ■■ 



1^ 



\ 



I 

I 



^ 

k 

i 




Ijuitiyok »' V. WoH«r«ta*m t, d. i. 0«nr. Bfciokhofm. 



297 



SUR LA POLARISATION PAR DIFFRACTION 

PAK 

H. POINCARÉ 

å PARIS. 



I. 

On sait ä quelles discussions a donné lieu la question de savoir si 
la vibration luinineuse est perpendiculaire' au plan de polarisation comine 
le veut Fbesnel, ou paralléle comme le pense Neumann. Une disculssion 
de niéme nature a été soulevée depuis que la théorie électromagnétique 
seinble, aux yeux de beaucoup de savants, devoir remplacer la théorie 
élastique. On s^est demandé si la force électrique est perpendiculaire au 
plan de polarisation et la force magnétique paralléle a ce plan, ou si 
c'ei8t le contraire. Cette seconde question semble aujourd*hui a peu 
prés résolue et on est d'accord pour admettre la premiére hypotliése. 
Mais si Ton cbnserve la théorie élastique, la question de la direction de 
la vibration lumineuse reste sans solution certaine. 

On a espéré quelque temps trouver cette solution dans Tétude des 
phénoménes de polarisation par diffraction. Une application, que je crois 
erronée, du principe de Huyghens avait fait croire a presque tous les 
physiciens que le plan perpendiculaire a la vibration devait par la diffrac- 
tion, se rapprocher du plan de diffraction. Khypothése de Fresnel 
serait donc vérifiée si le plan de polarisation se rapprochait du plan de 
diffraction. 

Les resultats des expériences furent contradictoires, ce qu'on expliqqa 
par lä complexité des phénoménes; il se produit sur les réseaux, une 
reflexion ou une réfraction, dont les effets viennent compliquer ou méme 
masqtier Taction exercée par la diffraction sur le plan de polarisation. 

Ada malfumatiea. 16. Imprinié le 20 jiiillet 1892. 3g 



298 H. Poincaré. 

Je crois que ce n'e8t pas la la principale cause de Tinsuccés de ces ten- 
tatives. Le principe de Huyghens a donné lieu a de nombreuses objec- 
tions et elles n'ont été cornplétement réfutées que par Kirchhoff qui a 
donné a ce principe sa forme définitive. Sous cette forine, ce principe 
est une conséquence des équations fondamentales. Or, ces équations sont 
les méines pour le vecteur qui dans le langage de la théorie électro- 
magnétique s'appellerait force électrique et pour celui qui s'appellerait 
force magnétique. Le principe de Huyghens est donc vrai pour Tun et 
Tautre vecteur. Si donc Tapplication qu'on en a voulu faire était legitime, 
elle le serait pour les deux vecteurs, et non pas seulement pour celui 
qui représente en grandeur, direction et sens la vibration lumineuse. Les 
plans normaux a ces deux vecteurs devraient donc Tun et Tautre se 
rapprocher du plan de diflfraction, ce qui est impossible puisque ces deux 
plans normaux sont rectangulaires. Cela seul devrait suflfire pour nous 
avertir de TinsufFisance de la théorie adoptée; mais une analyse plus 
compléte confirme cette premiére impression; pour faire passer le principe 
de Huyghens de la forme que lui donne Kirchhoff a celle que lui 
donnait Fresnel il faut négliger certains termcs. Cela était legitime 
dans les cas ou Fresnel Ta fait, cela ne Test plus si le réseau est tres 
serré et la déviation grande ce qui est nécessaire pour qu^Qn puisse ob- 
server la rotation du plan de polarisation. On doit donc renoncer a tout 
espoir de résoudre de cette maniére la question de savoir si la vibration 
lumineuse est perpendiculaire ou paralléle au plan de polarisation, ou ce 
qui revient au méme si elle est représentée par le vecteur que la théorie 
électromagnétique appelle force électrique ou par celui qu'elle appelle 
force magnétique. 

On n'en était pas cncore tout a fait convaincu quand M. Fizeau 
publia dans le tome 52 des Comptes rendus de TAcadémie des 
Sciences les resultats d'un grand nombre d'expériences intéressantes sur 
certains phénoménes trés-curieux. L'illustre physicien observa en effet 
que la lumiére réfléchie réguliérement ou irréguliérement sur des stries 
tres fines tracées a la surface d'un métal, de niéme que la lumiére 
transmise a travers une fente tres fine a parois métalliques, présente une 
polarisation souvent notable et tantöt perpendiculaire, tantöt paralléle ä 
la direction des stries ou de la fente. Dans le mémoire que je viens de 
citer il donna une explication générale de ces phénoménes, qu'il attribua 



Sar la polariMtion par diffraotioD. 299 

a Tinterférence des rayons réfléchies avec ceux qui n'ont pas subi de 
reflexion. J^avertis tout de suite que le present travail n'est que la dé- 
veloppement analytique dans un oas tres particulier de rexplication de 
M. FiZBAU. Une vingtaine d^années apres M. Gouy a observé des phé- 
noinénes de polarisation par diffraction qui se rattachent évidemment aux 
précédents, mais qui sont beaucoup moins complexes et il est arrivé ainsi 
a formuler plusieurs lois simples dont je rappellerai plus loin Ténoncé. 
Ses recherches sont décrites en détail dans le Torne 8, 6*^ serie des An- 
nales de physique et de chimie et dans les Comptes rendus de 
TAcademie des sciences (12 mars 1883, 1884 et 1885). Les ex- 
périences ont été tout récemment reprises et complétées par M. Hurmuzescu 
(Comptes rendus, 1®' semestre 1892). 

Cest a Texplieation des phénoménes observés par M. Gouy que je 
consacrerai exclusivement ce qui va suivre; mais bien que les circonstances 
soient beaucoup moins compliquées que dans les expériences de M. Fizeau, 
je ne pouvais songer a aborder le probléme dans toute sa généralité et 
j*ai dA me restreindre ä un cas extrémement particulier; me bornant 
ensuite dans les deux paragraphes V et VI a indiquer par des aper9us 
plus ou moins grossiers, dans quel sens les diverses circonstances que 
j*avais d'abord négligées pouvait modifier les resultats. J*ai Tintention 
d'y revenir plus tärd dans une seconde partie de ce travail et d'étudier 
Tinfluence de ces circonstances par une analyse plus compléte et plus 



ngoureuse. 



J'aurais méme a peine osé publier des resultats aussi incomplets si 
je ny avais été encouragé par la phrase suivante qui se trouve dans le 
mémoire de M. Fizeau cité plus haut: Dtout au plus peut-on espérer qu'en 
appliquant le calcul a quelques cas théoriques plus simples, on arriverait 
a des déductions rigoureuses qui pourraient éclairer la questionj). 

J'ai trouvé plus commode d'employer le langage de la théorie 
électromagnétique; mais il ne fa ut pas 8'y tromper; il ne fa ut pas croire 
que les faits s'expliquent dans la théorie de Maxwell et ne s'expliquent 
pas dans la théorie élastique. Les équations sont exactement les mémes 
dans les deux théories et si T une rend bien compte des faits il en est 
cert^inement de méme de Tautre. 

J'ai désigné par X, Z, Z les coraposantes de la force électrique 
qui d'aprés Fuesnel représente en grandeur direction et sens la vibration 



300 H. Poincaré. 

lumineuse; j*ai désigné a rexemple de Maxwell par a,/?,/* les coiii- 
posantes de la force magnétiquc qui d'aprés Neumann représenterait cette 
inéme vibration. 

Dans toutes les applications que j*ai faites, j'ai pris pour axe des z 
la direction de celle de ces deux forccs que je considérais. Deux des 
composantes sont alors nulles et j'ai pu employer les lettres a et y9 pour 
représenter d*autres quantités. 

Si la luniiére est honiogéne on a: 

ou 

Z^ partie reelle (Z^ — iZ, ) c*'" , 

Z est ainsi la partie reelle d'une exponentielle irnaginaire, et cette ex- 
ponentielle comme il est aisé de le voir satisfait aux mémes éc^uations 
que Z. 

Pour cette raison, il mc sera quelquefois commode, comme on le fait 
souvent, de designer par Z, non pas la force électrique, c'est a dire la 
partie reelle de rexponentielle, mais rcxponentielle elle-méme. Afin 
d'éviter toute confusion je previens tout de suite que dans les §§ III et 
IV c'est la partie reelle de rexponentielle que je désigne par Z et que 
dans les §§ V et VI c'est Texponentielle irnaginaire elle-méme. De méme 
pour y, 

J'emploierai aussi une notation qui est souvent usitée. Soit S une 
surface quelconque, M un point de cette surface, MN la normale a cette 
surface JW un point de cette normale infiniment voisin de M\ je dé- 
signerai par dn la longueur MM\ Soit ensuite F{x , y , ^) une fonction 
quelconque; F^ la valeur de cette fonction au point M, Je désignerai 
par 



dF 
dn 



K + '^ dn 



dF 

la valeur de cette menic fonction au point itf', et le rapport j- s'ap- 

pellera la dcrivée de la fonction F estimée suivant la normale a la 
surface S. 



Sur la polarisatioD par diffractioA. 301 



ir. 

Rappelons d'abord succiiicteiiient Ics resultats obtenus par M. Gouy 
et qu'il s'agit d'expliquer. Ce physicien se sert d'un écran métallique 
forrné d'une sorte de biseau tres aigu, et il concentre la lumiére a Taide 
d'une lentille sur Taréte de ce biseau. Il observe ensuite la lumiére 
diffractée a Taide d'un microscope de faiblc grossissement pointé sur cette 
méme aréte. 

Dans ces conditions la lumiére diffractée est sensible dans une di- 
rection quelconque et on peut observer des rayons qui ont subi des dé- 
viations considérables pouvant aller jusqu'a 160°. M. Gouy a découvert 
de la sorte les lois sui vantes: 

l^ A rintérieur de Tombre géoniétrique, la lumiére est polarisée 
perpendiculairement au plan de diffraction. Cette polarisation est d'autant 
plus marquée qu^on se rapproche davantage de l'écran, c'est' ä dire que 
la déviation est plus grande, et peut devenir presque complete. 

2**. A Textérieur de Tombre géométrique la lumiére est polarisée 
au contraire dans le plan de diffraction. La polarisation nulle quand la 
déviation est tres petite, atteint son maximum vers 30** ou 40**; dans de 
bonnes conditions el le peut étre alors presque complete; el le décroit 
ensuite lentement, mais elle est encore notable pour une déviation de 1 60°. 

3°. Pour une méme déviation, la lumiére diffractée est maximum 
quand le faisceau incident et le faisceau diffracté font des angles égaux 
avec Técran. 

4°. Quand les bords sont tres tranchants et que la lumiére incidente 
est naturelle, la quantité de lumiére diffractée est la méme pour une méme 
déviation que cette déviation ait lieu vers Tintérieur ou vers Textérieur. 

5^ A rintérieur de Tombre géométrique, la lumiére polarisée per- 
pendiculairement au plan de diffraction est en general fortement colorée 
tandis que la lumiére polarisée dans le plan de diffraction reste blanche. 

6^ Si la lumiére incidente et polarisée dans un plan oblique au 
plan de diffraction on peut la décomposer en deux composantes; Tune 
polarisée dans le plan de diffraction et Tautre perpendiculairement a ce 



302 H. Poiooaré. 

plan; et ces deux composantes éprouvent dans la diffraction une diffé- 
rence de niarche qui croit avec la déviation (a Tintérieur de Tombre 

géométrique) reste bien inférieure a - si le tranchant est tres fin, mais 

peut approcher de - avec des bords arrondis; c'est la coinposante polarisée 

dans le plan de diffraction (c'est a dire la composante blanche et faible) 
qui prend Tavance. 

A Tcxtérieur de Tombre géométrique cette différence de marche est 
de méme sens que celle que produirait la reflexion mais plus petite ä 
déviation égale. 

~ Tels sont les faits dont nous avons a rendre compte; il ne serait 
pas facile de mettre en équations toutes les données d'un probléme aussi 
complexe et de les résoudre ensuite, si Ton ne cherchait ä diviser la 
diflficulté. 

Je traiterai donc d*abord une question beaucoup plus simple. 

Je supposerai que les ondes incidentes sont cylindriques, les généra- 
trices du cy Undre étant paralléles au tranchant du biseau; il en résulte 
alors évidemment quMl en sera de méme des ondes diffractées. On réaliserait 
ce cas en concentrant Ja lumiére sur le bord de Técran non plus avec 
une lentille sphérique, mais avec une lentille cylindrique. Supposons 
alors qu*on prenne le bord de Técran comme axe des z\ les diverses 
quantités que nous aurons a considérer, c'est a dire les composantes du 
déplacement d'une molécule d'éther dans la théorie élastique ou les com- 
posantes de la force électrique ou de la force magnétique dans la théorie 
électromagnétique) seront alors des fonctions de re, de y et du temps ^, 
mais ne dépendront pas de z. 

Si la lurniére incidente est polarisée dans le plan de diflfraction, il 
en sera de méme de la lumiére diffractée, et comme la force électrique 
est perpendiculaire au plan de polarisation, elle devra étre paralléle ä 
Taxe des z. Appelons alors Z cette force électrique, elle devra satisfaire 
a Téquation: 

V désignant la vitesse de la lumiére. L*intensité de la lumiére est pro- 
portionnelle a Z' et il est facile de déduire de la connaissance de la 



Sur la polarisation par diflfraotion. 303 

fonction Z, celle des composantes de la force magnétique a et (i\ la 
troisiéme composante y de cette force magnétique est toujours nulle. 

SuppoBons maintenant au contraire que la lumiére incidente soit 
polarisée perpendiculairement au plan de diffraction et qu'il en soit par 
conséquent de méme de la lumiére diffractée. Comme la force magné- 
tique est paralléle au plan de polarisation, elle sera pamlléle ä Taxe des 
z. Si nous la désignons par y ^^^^ satisfera a Téquation: 

\dx^'^ dyV dt'' 
rintensité de la lumiére sera proportionnelle a z*^; et la connaissance 
de y entralnera celle des composantes X et Z de la force électrique; la 
troisiéme composante Z étant toujours nulle. 

La seconde simplification que j'introduirai étonnera sans doute davan- 
tage. Peut étre plus d'un lecteur ne la trouvera-t-il legitime qu'aprés 
avoir lu le § V. On sait que vis a vis des oscillations hertziennes tous 
les métaux se comportent absolument de la méme maniére et par consé- 
quent de la méme fa9on que des conducteurs parfaits. En d^autres 
termes, au moins avec la precision assez faible que comportent les ex- 
périences, les lignes de force électrique aboutissent normalement ä la 
surface des conducteurs. Au contraire vis ä vis des oscillations lumineuses 
il n'en est plus rigoureusement de méme, Tétude de la reflexion mé- 
tallique nous Tapprend; la condition des métaux n'est plus tout a fait 
la méme que celle d'un conducteur parfait; mais elle sen rapproche 
d'autant plus que le pouvoir réflecteur est plus grand. 

Eh bien, nous supposerons que notre écran se comporte camme un 
conducteur parfait, c*est a dire que les lignes de force électrique aboutis- 
sent normalement a la surface. Comment cette condition s'exprime-t-elle 
analytiquement? 

Si la lumiére est polarisée dans le plan de diffraction, la force 
électrique est paralléle ä Taxe des z, paralléle par conséquent a la surface 
de récran qui est un cy Undre dont les génératriccs sont paralléles ä cet 
axe; cette force n*a donc pas de composante normale a cette surface et 
comme d'aprés Thypothése que nous venons de faire elle ne doit pas avoir 
non plus de composante tangentielle, elle dolt étre nulle. On aura donc 

Z=o 
ä la surface de l'écran. 



3Ö4 H. Poinoaré. 

Si au contraire la lumiére est polarisée perpendiculairement öu plan 
de diffraction, la force niagnétique j' est paralléle a Taxe des ^. Gon- 
sidérons un point de la surface de Técran que nous prendrons pour un 
instatit comme origine des coordonnées, pendant que Taxe des x sera la 
tangente a la section droite de Técran cylindrique et Taxe des y la nor- 
male å cette section. Les dérivées par rapport au teinps de la force 
électrique seront ä un facteur constant prés: 

^ — ^ o. 

dy ' dx ^ ' 

La premiére de ces composantes devra étre nulle, c'est ä dire que la 
dérivée de /- estimée suivant la normale ä Técran devra étre nulle. Nous 
écrirons donc, en renon9ant aux axes particuliers que nous avions choisis 
pour un instent 

-^= o 

dn 

Gette égalité aura lieu en tous les points de la surface de Técran, et on 
en voit aisément la signification. Si M est un point de cette surface, 
j' la valcur de la force magnétique en ce point, si M' est un point in- 
finiment voisin, tel que MM' soit normale a la surface la valeur de la 
force magnétique au point M' sera 

r + "^^ MM\ 

' dn 

Gomme troisiéme simplification je supposerai que le tranchant du biseau 
est parfait c'est ä dire que la surface de Técran se réduit ä deux plans 
qui se coupent suivant Taxe des z, sous un angle tres aigu. 

Je simplifierai encore le probléme en supposant que cet angle est 
infiniment petit. Enfin je supposerai que la lentille cylindrique qui con- 
centre la lumiére sur le bord de Técran est parfaitement aplanétique et 
que sa ligne focale coKncide rigoureusement avec Taxe des z, 

Réduit ä ces termes, le probléme est facile ä résoudre et on peut 
déjä rendre compte des particularités les plus importantes découvertés par 
M. GouY. Néanmoins on pourrait croire que les hypothéses tres parti- 
culiéres que je viens de faire jouent un röle essentiel et que les resultats 



Sur la polarisation par diffraction. 305 

seraient profondément modifiés si on les abandonnait. Ces hypothéses, je 
le rappelle sont au nombre de 5: 

1^ Uangle du biseau est infiiiiment petit. 
Le tranchant du biseau est parfait. 
L*écraii se comporte comme un condueteur parfait. 
La lentille convergente a sa ligne focale sur Taxe des z. 
Gette lentille est cylindrique. 
Un examen plus approfondi est donc indispensable. Je vais par 
conséquent procéder de la fa9on suivante. 

. Je traiterai d'abord le probléme complétement en admettant ces cinq 
hypothéses puis je les abandonnerai successivement et je verrai quelles 
modifications j'introduis ainsi dans les resultats. 

Je les abandonnerai d'ailleurs dans Vordre oii je viens de les énoncer 
en dernier lieu. 



2" 

5^ 



III. 

Rappelons d'abord les propriétés des fonctions de Bessel qui nous 
seront utiles dans la suite. Soit: 



Jn{^) — ^nli(,^ + I) [^ 2,2n "^ 



x' 



2.2n 2.4.2n.2n + 2 



, . 1 

2.4.6.2n.2H + 2.2n + 4 J' 

oii n est un nombre entier, fractionnaire ou méme incomniensurable. 
On sait que Jn^""" est une fonction entiére de x et que J„ satisfait a 
Téquation dififérentielle 

La fonction J„ n'est généralement pas réductible a des fonctions plus 

^eto maJ^hmaiioa» 16. Imprimé le 20 aoOt 1892. 39 



306 H. Poiocaré. 



simples; il y a pourtant un cas oii il en est ainsi, c est quand 2n est un 
entier impair; il vient alors: 

On voit ainsi que J^ est un polynöme entier en cosrr, sinrr et -p« 

V* 

J'aurai besoin aussi de la valeur asyniptotique de Jn{x) pour x tres 
grand. Gette valeur est: 



A / 2 I mz Ti\ 

\l — cos (a: . 



Cela pose supposons d'abord la luniiére polarisée dans le plan de diffraction. 
Notre équation s'écrit alors: 

V^i— 4- ^\ — — 
\d«' dyV "~ dt* ' 

Si nous supposons que la lumiére soit homogéne, c*est a dire que noug ayons 

Z = Z^ cospt + Zj sinpty 
Zq et Zj ne dépendant que de x et de y, il viendra: 



81 nous posons: 





d*Z 
dt* 




-P'Z; 






a 





P 

V 




d'Z 
dx* 


d'Z 

+ dy* 


+ 


a'Z- 


o. 



notre équation devient: 

La longueur d'onde est alors égale a — . 

Passons aux coordonnées polaires en posant: 



Sar la polarisation par diffraction. 307 

réquation deviendra: 

(3) d^ + ^^+^d^' + «^=°- 

Si Fécran est un biseau parfait, les équations des deux plans qui limitent 
cet écran seront de la forme: 

Si nous supposons comme nous venons de le faire que Tangle du biseau 
est infiniment petit, ces équations pourront s'écrire: 

öl = o, ■ öl = 2;r. 

ta 

Nous ferons varier 01 de o a 2;r; pour 01 = o et pour 01 = 2;r, Z devra 

étre nul; mais -r- pourra éprouver une discontinuité quand on franchira 

Técran qui se trouve ici réduit a un plan. Au contraire s'il n*y avait 
pas d'écran, Z ne serait pas assujetti a s*annuler pour 01 = o, mais ce 
serait une fonction périodique de 01 de période 2;r, qui serait continue 
ainsi que sa dérivée. Coniment ces conditions se traduisent elles analy- 
tiquement. 

S'il ny avait pas d'écran, on pourrait écrire, en vertu de la for- 
mule de FouRiER 



(4) Z = ZP„ coswöi + ZP; si 



sm nöi 



n étant un entier, P^ et P^ des fonctions de p. Mais avec un écran 
nous devrons remplacer cette formule par la suivante: 



nio 

sm — 



(5) z=52^.8i 

n étant un entier et i\ une fonction åe p et de t. Le développement 
(5) ne doit pas contenir de cosinus parce que Z doit s annuler pour 01 = o 
et pour öl = 2;r. En revanche le développement (4) ne doit pas contenir 

de fonctions trigonométriques de — (n impair) parce que Z et -t- doivent 

étre continues. 



308 H. Poiooaré. 

Adoptons donc le développement (5) et substituong le dans Téqua- 



no) 



tion (3); nous aurons en égalant ä o le coefficient de sin — : 
d'ou puisque P„ doit rester fini pour /? = o: 



Ä^ étant une fonction de t. On a donc: 



71(0 



^=S^„^nM8in 

2 

ou en rempla^ant les fonctions de Bessel par leur valeur approehée, ce 
qui est permis des que ap est tres grand, c est ä dire des que p est 
beaucoup plus grand que la longueur d'onde: 



(6) Z=£Av/^cos(oy>--tJ;r)sin!^ 



Rappelons que A^ doit étre linéaire et homogéne en Qo&pt et sin^^f. 

Pour pousser plus loin cette étude, nous devons distinguer les di- 
verses sortes de faisceaux lumineux dont la superposition produit le 
inouvement de Téther représcnté par Téquation (6). 

Panni ces faisceaux il y en a un qui se rapproche du bord de 
Técran c'est a dire de Taxe des z, c'est le faisceau incident; les autres 
s'en éloignent; ä savoir, le faisceau transmis directement, le faisceau 
réfléchi et le faisceaux diffractés. Le premier se rapprochant de Técran, 
son équation peut 8'écrire: 

Z = ^cos(a,o + pt + Ä), 

h étant une constante qui doit ctre indépendante de co, si on suppose 
comme il ny a peu dMnconvénient a le faire que la phase est la mérae 
en tous les points du faisceau. Nous pourrons alors choisir Torigine du 



Sar la polarisatioo par diffractioD. 



309 



temps de fa9on que cette constante soit égale ä , ce qui nous per- 

mettra d'écrire: 



(7) 



^ = V £ r^» ^^^^ («/»-;+ i^o ''"^ 



0} 



les B^ étant des constantes. 

Les autres faisceaux qui s'éloignent de Técran doivent avoir une 
équation de la forme: 

Z = -^^^7- cos I «/> pt) + '-^^ sm ( a/? ^f 

cc qui peut sécrire éncore: 



(8) 






Le second membre de (6) doit étre la somme des seconds membres de 
(7) et de (8). Si nous identifions en égalant les coefficients de 



/ ;r\ . na) , • / ^\ • 

cos I ap 1 sin — et sin(a/> 1 sm 



na) 



nous obtiendrons: 



d'oii : 



(9) 



A^ cos — = 
4 



. nn 



B^ cos pt + Cn COS pt — D„ sinjpf , 



An sin — = — B^ sin pt + (7„ sin pt + Z)„ cosjpi, 
4 



SI w = o 

si n = I 

si w= 2 

si n = 3 



mod 4, 






C'„ 


I>- 0, 


I>n, 


C'„ 0, 


-c?„ 


•D„-o, 


-^«, 


C7.-0. 



310 H. Poinoaré. 

Cest le faisceau incident qui nous est donné, nous connaissons donc B^] 
les équations (9) nous permettent alors de calculer C„ et D^ et nous 
font ainsi connaitre tous les elements des faisceaux direct, réfléchi et 
dififractés. 

Il est curieux de voir ce que donne ce méme calcul quand on 
Tapplique au cas 011 il n'y a pas d'écran. On a alors pour le raouve- 
raent total: 

(6') Z = ^{Al cosWö> + A\ sinnQ})J„{ap) 

= ^{Al cosno) + A\ sinwö>) y — cos (ap -\, 

pour le faisceau incident: 

(7') Z = y -^^cos (ap — ^+ ptyBl cos no) + B\&\nna)) = f{fi j cd y t) 
et pour Tensemblc des faisceaux transmis: 

(8') ^ = V"^^^^^!^ — ~ — i>H(^n coswö> + Clsinno)) 

L'identification faite absolument de la méine maniére que plus haut nous 
donne alors: 





si n — 




Cl = Bl 


c\- 


Bl, 


D« = Di = 0, 


(9') 




mod 2, 










» ^ 


n — I 




Cl=^-Bl, 


c\- 


Bn, 


d: - d: - 



doii: 

f^ip , O) j t) = f{p , (O + TT , — t) 

ce qui veut dire en somme qu*il n'y a pas d*autre faisceau transmis que 
le faisceau direct, c'est a dire qu'il n'y a ni reflexion, ni dififraction. 

Revenons au cas 011 il y a un écran et cherchons ä interpreter les 
équations (9). Supposons que le faisceau incident soit contenu entré les 
deux plans cm = a , cm = /9 et qu'entre ces deux plans son intensité soit 
constante, ou plutot ne dépende que de p. Soit ensuite: 



f{a,)=^B„si 



na) 
Sin — 



Sur la polarisatioD par diffractioD. 311 

Alors f{Q}) sera nulle, quand to ne sera pas compris entré a et ^, et 
sera constante égale ä i par cxemple, quand io sera compris entré a et 
p. Si Ton observe alors que f{a)) change de signe avec (o et est une 
fonction périodique de période 4;r, on en conclura: 

f{o)) = + I si 4Ä;r + a < cm < 4Ä7r + y9; A entier, 
f{a)) = — I si 4Å-;r — jS < w < 4k7r — a; k entier, 
f(a)) = o pour les autres valeurs de w. 

Soit ensuite: 

/. / \ v^T* • f{M) + f(o} + 27r) 

f,{a>) = llB^^smnio = ^ — ? 

on voit que /i(ö>) a pour période 2;r et est égale ä 

4" - si ft) est compris entré 2k7r + a et 2k7t + fiy 

si ft) est compris entré 2Ä*r — y9 et 2Å-;r — a, 

o pour les autres valeurs de oi. 

Posons de méme: 

Uv^) =2^^2»+i8in — ^ — (O = ^ 

Il résulte de cette definition: 

i^ que /;(ft)) = —UKo) + 2;r), 

2** que /i(ö>) est égale ä 

+ - si öl est compris entré 
4/r;r + a et 4fc;r + /9 ou entré (4Ä: + 2)n — ^ et (4Ä; + 2)7r — a, 

si öl est compris entré 

4/r;r — /9 et 4Ä;;r — a ou entré (4* + 2)7r + « et (4Ä: + 2)7r + y9, 

o pour les autres valeurs de m. 



312 H. Poincaré. 

Posons alors: 

TT / v . , sill $(0 , sin 50; , 

-jr(fti) = sino) +—f- +—J- + ... 

de telle sorte que ^{(o) soit égale ä 

+ - pour io compris entré 2/r7r et (2Ä; + 0^> 



2 
I 



pour O) compris entré (2 A + i);r et (2Ä; + 2);r 



on aura alors 



Posons maintenant: 

(10) 

Véquation (6) qui exprime le mouvement total de Téther pourra 8'écrire 
(11) Z\/^=f,{a>)co,(ap-l+pt) 

+ ^ ^{io) cos ^ap —^— ptj + ^^{(o) s\n (ap —^— ptj. 
La premiére équation (10) nous montre que 

et par conséquent est égale a 

+ - pour (O compris entré ;r + a et tt -{- ^ (faisceau direct), 

pour O) compris entré ;r — fi et tt — a (faisceau réfléchi), 

o pour les autres valeurs de o) {(o variant de o ä 2;r). 

On voit ainsi que dans le second membre de (11), le premier terme 
correspond au faisceau incident, le second aux faisceaux direct et ré- 



Sar la polarisation par diffraotioD. 



813 



fléchi et que le troisiéme terme qui reste correspondra aux faisceaux 
diffractés. 

Nous sommes donc amenés a calculer la fonction ^^{(o); car Tin- 
tengité de la lumiére dififractée sera proportionnelle au carré de cette 
fonction. 

Rappelons le développement connu: 



I + e'*" c'"* . e^'"* . e*'*" 



- loo* 

2 o I — e<« I ' 3 ■ 5 



= -+ -T- + — +... . 



En égalant leg parties imaginaires on trouve: 



TT 



/i / v sm (O , sm 3a; , 



et en égalant les parties reelles 



2 log 



cotg- 



cos O) cos 3ö; cos $0) 

i I H ;: + • • • 



I 



5 



n 



Changeant 01 en öi + - , il vient: 



ölog 



cotg ('I + 1) 



sin 61 , sin 3a; sin 5ai , 

— + . . . 

13 5 



GU enfin 



^jp,(a,) = ilog tg(j + ^) 



sm O) sm ^(o -^ sm $€o 

— — ^ J— 



en sorte que pour passer de ^{(o) a ^^{(o) il suffit de changer le signe 
du coefficient de sin(4W+ 3)0). 

Il en résulte qu'on passera de ^( Va ^J j en changeant 

le sis^ne du coefficient de sin^ -o) ou de cos- -cd. 

o 22 

De méme pour passer de ^(a>) ä ^3(0)), il suffit de changer le signe 
du coefficient de sin^^ -o). Or, on a: 



f,M = K^) - K^O + <'^- '') - K"-f^ - ") 



2 / ' \ 2 

^eto ma/A#ma/ioa. 16. Imprimé le 2U aoOt 1892. 



40 



314 H. Poincaré. 

On aura par conséquent: 



^w)- ,.{--) - f , C^O + ^'. (^' - ') - ^. (^° - ') 



ou enfin: 



(12) 9-''.(ö')=^log 



, fti — a + t: . (0 + 3 — 7: 
tg . tg 

4 4 

tg - ± -.tg 

4 4 



Telle est rexpression de la racine carrée de Tintensité de la lumiére 
diffractée. Une chose nous frappera d'abord; c est que cette expression 
peut devenlr infinie. EUe le devient en effet pour les valeurs suivantes 
de ft), 

ft) = a + ;r, ö>=y9+r, o) =■ t: — a, w = tt — y9, 

'i 

c'est a dire sur les bords du faisceau direct et du faisceau réfléchi. Cette 
circoTistance pourrait d*abord provoquer des doutes. 

En premier lieu au point de vue pureraent analytique; nous avons 
été amenés ä plusieurs reprises a supposer que la fonction Z restait finie; 
et si a la fin du calcul, nous trouvons un resultat contradictoire avec 
cette hypothése, on peut se demander si tout notre échafaudage de raisonne- 
inents ne s'écroule pas; on sera rassuré si Ton observe que Téquation 
(ii) n'est qu'approchée et qu*on Tobtient en rempla9ant les fonctions de 
Bessel par leur valeur approchée; or cela nest permis que si p est 
infini; pour toutes les valeurs finies de /?, Texpression exaete de Z de- 
ineure finie. 

Ensuite au point de vue physique, ce resultat n'est pas conforme 
aux observations. Il est vrai que comme on observe ä Taide d'un mi- 
croscope, l'objectif de ce microscope a forcément une certaine ouverture 
et serait vu de Taxe des z sous une angle fini; de sorte que la racine 
carrée de Tintensité observée, n'est pas ^^{(o), mais: 

a», 

Or cette intégrale est évidemment toujours finie; la différence o)^ — to^ 



Sur la polarisatioD par diffraotion. 315 

était relativement assez grande, dans les expériences de M. Gouy elle était 
égale a p — a. 

Mais cette explication est insuflfisante, cc resultat paradoxal tient aux 
hypothéses extremes que nous avons faites; nous nous en rendrons mieux 
compte dans les paragraphes suivants, quand nous abandonnerons successive- 
ment ces hypothéses. Mais des niaintenant je puis mettre en évidence 
Tcfifet d*une d'entre elles. Nous avons admis que Tintensité du faisceau 
incident était constante pour w compris entré a et y9 et était nulle quand 
öl n'était pas compris entré ces limites. Il en résultait que f{(o) était 
une fonction discontinue; c'est ce qui n'arrivera pas dans la réalité; or 
il est aisé de voir par une analyse toute pareillc ä celle qui précéde 
et sur laquelle nous reviendrons a la fin de ce paragraphe que si f{(o) 

est continu, ^^i^) ^^* ^"^• 

Ne nous arrétons donc pas pour le moment a cette difficuité; et 
appliquons la méme méthode au cas ou la lumiére est polarisée dans un 
plan perpendiculaire au plan de diffråction. Nous devons alors satisfaire 
a Téquation: 

Sur le bord de Técran, c^est ä dire pour 

(O = o. Q) = 27r 



on devra avoir: 



dr ^ 
d{o 



de sorte que j- sera de la forme: 



-i^. 



COS — 

2 



P^ ctant fonction de p et de t. On verrait comme plus haut que: 



2 



A^ dépendant seulement de t\ d*oii Téquation approchée analogue a (6) 



(«") r=i:xv/4o„.( 



COS ( ap ^ — 7t) COS 



316 H. Poincaré. 

Les équations (7) et (8) qui donnent Texpression de la lumiére incidente 
et celle des lumiéres transmise directement, réfléchie et diffractée seront 

encore vraies ici avec cette différence que Z sera remplacé par y et sin — 

par cos — 

On aura donc: 



(n r =2:c.v/^coseco,!L» + £i,y_i.d„9eo.iL- 



en posant pour abréger: 



8 = ap pt. 



En identifiant le second membre de (6") avec la som me des seconds 
membres de (7") et de (8") nous retrouverons les équations (9) qui sont 
donc encore vraies dans le cas qui nous occupe maintenant. 
Posons encore 

f{<^) =Il^«cos^. 

La fonction f{o)) aura pour période 4^, elle ne changera pas quaud w 

se changera en — oyy d'autre part ses valeurs entré o et 2;r sont connues, 

elle est égale a i quand o) varie de a a y5 et ä o pour les valeurs de 

ö> comprises entré o et 27r et non comprises entré a et y9. Nous aurons 

donc: 

f[^o))= I pour (O compris entré 

/[kn + a et /[kn + p ou entré ^kn — p et /^kTT — a, 
f(^a)) = o pour les autres valeurs de co, 
Soit maintenant: 



8ur la polarisation par diffractioD. 317 

il est clair que Ton aura: 

f^{a)) = - pour O) compris entré 
^kn + a et /(kn + y9 ou entré /^kn — y9 et 4Ä tt — a, 

fj^w) = pour O) compris entré 

(4Ä;+2);r+a et (4A+2);r+y9 ou entré (4A'+2);r — [i et (4A:+2);r — ^, 

f^[a)) = o pour les autres valeurs de ö>. 
Cela peut s'exprimer par Téquation sui vante: 

Soit, comnie plus haut: 

^^{cd) =^\c^cos— = ^B^„{ — i)'*cosnö>, 

Nous aurons dans Texpression compléte de y un terme en f{a)) corres- 
pondant au faisceau incident, un terme en <p^{oy) correspondant aux 
faisceaux direct et réfléchi, un terme en <p^[(o) correspondant aux faisceaux 
dififractés. On voit d'abord que: 

Quant a (p^{o>) on Tobtiendra en partant de f^{o>) et en changeant le 

signe du coefficient de cos (o. 

On trouvera ainsi: 



318 

ou bien enfin: 



<PM = TI log 



2ff 



H. Poincaré. 




«-rti •■fr 




*S 4 -^^ 4 


. lO—^+K, to + fl — 

4 4 



Tellc est Texpression de la racine carrée de Tintensité de la lumiere 
dififractée. On voit que cette expression irest pas la méme suivant que 
la luiniére est polarisée dans le plan de dififraction ou perpendiculaire- 
ment a ce plan. Par conséquent si la linniére incidente est naturelle, 
la lumiere diffractée sera polarisée. 

Pour simplifier la discussion, supposons que a soit tres peu différent 
de y5 et négligeons les termes en {p — a)^; il viendra pour les deux ex- 
pressions de ^^{(o)\ 



et 



4;r 



cos 



w 



a 



/9 — a 

47t 



I 



cos 



(O + a 



cos 



(O — a 



+ 



I 



cos 



(O + a 



(polarisation paralléle au plan 
de diffraction), 



(polarisation perpendiculaire au 
plan de diffraction). 



Les circonstances de la polarisation dépendront donc de la valeur du 
rapport: 




io '\- a O) — a 
cos cos 



(O + a (O — a 
cos h cos 



Plus ce rapport séloignera de i, plus la polarisation sera intense. S*il 
est plus grand que i, le plan de polarisation sera paralléle au plan de 
diffraction; s'il est plus petit que i ces deux plans seront perpendiculaires. 
La condition pour que le rapport soit plus grand que i, c'est que 
Q) soit compris entré a + ;r et tt — a, c'est a dire que le rayon diffracté 
soit compris entré le faisceau direct et le faisceau réfléchi. On aura donc: 



Sur la polarisation par di£fraction. 319 

entré Técran et le faisceaux direct (diflfraction intérieure) de la lu- 
miére polarisée perpendiculairement au plan de diffraction; 

entré le faisceau direct et le faisceau réfléchi (diffraction extérieure) 
de la luiniére polarisée parallélement au plan de diffraction. 

Ces resultats sont conformes a Tobservation ; les expériences n'ont 
pas porté sur le troisiéme cas oii (o serait compris entré o et tt — a. 

Pour ft> = 2r, le rapport s'annule, la polarisation est donc compléte 
ce qui est encore conforine a Tobservation. Pour cd = tTj le rapport 
devient infini et la polarisation devrait encore étre compléte; il est pro- 
bable que le mélange des rayons réfléchis sur le bords qui sont toujours 
arrondis, s'oppose ä ce qu'on puisse Tobserver. 

M. GouY a observé que Tintensité totale de la lumiére diffractée est 
maximum a déviation égale quand les axes optiques du colliniateur et 
du microscope font des angles égaux avec Técran. Notre formule donne 
un resultat contraire, Tintensité totale qui est proportionnelle a: 

■ + ■ 



CCS CCS* 

2 2 

est au contraire minimum quand les conditions que je viens d'énoncer 
sont remplies c'est a dire quand 

Nous chercherons plus loin, quand nous abandonnerons successivement 
nos hypothéses simples, ä expliquer cette divergence. Il ne sera pas 
inutile néanmoins de voir ce que deviennent nos formules quand on 
suppose ö> + a = 2;r. J'appellerai d la déviation (o — a — tt qui sera 
positive ä Tintérieure. 

Je trouve alors que la racine carrce de Tintensité de la lumiére 
diffractée est proportionnelle a 



. d 

sin - 
2 



si le plan de polarisation est paralléle au plan de diffraction et a 

' +1 



sm- 

2 



si ces deux plnns sont perpendiculaires. 



320 



H. Poincaré. 



Uintensité totale sera proportion nelle ä 



1 + 



sm*- 

2 



Elle ne change donc pas qiiand on change d en — d, ce qui est con- 
forme a Tune des lois de M. Gouy, celle que nous avons énoncée plus 
haut sous le n° 4. 

Nous rendrons donc compte déja des principales circonstances ob- 
servées par M. Gouy; mais en revanche il en est d'autres qui échappent 
a notre explication comme la coloration des rayons diffractées et la 
différence de marche entré les deux composantes (lois énoncées plus haut 
sous les n**" 5 et 6). Nous verrons dans les paragraphes suivants si nous 
pouvons en rendre compte. 

J'ai dit plus haut que si la fonction f{(o) était continue, la fonction 
^J^(o) ne deviendrait pas infinie; il est aisé de sen assurer, on trouve 
en effet si f[o}) est nul pour ö> = 2;r et si Ton suppose par exemple 
que le plan de polarisation soit paralléle au plan de diflfraction: 



a^iit 



<PÅ<^)=i I /•'(«) log 



a«0 



te 



to — a + ;r 



w + a — TT 



tg 



da. 



Il est clair que si fX(o) est fini, cette intégrale ne pourra devenir infinie* 



IV. 

Voyons maintenant comment les resultats précédents sont inodifiés 
quand on ne suppose plus que Tangle du biseau soit infiniment petit 
Soit 

Ö> = o, (O ^= ÅTT 



les deux plans qui liniitent le biseau. 



Sur la polariiafcion par diffraction. 321 

Supposons d'abord que le plan de polarisation soit paralléle au plan 
de diffraction Z qui doit s'annuler pour oi = o et pour w ^= Xtt sera de 
la forme: 

X ^ 

r 

en se bornant a la valeur approchée on retrouvera Téquation 

(6) Z=£A\/^co8(<v,-?-^)8in'-^. 

Soit 



W ^ = V^4S«-'=°"(^-i + »')""T 



réquation du faisceau incident et 

9 

(8) Z = y/^ S^in y [C„ cos [ap —""^ — pt^ + D, sin (ap — ^— P«) J 

celle des faisceaux qui s^éloignent de Técran. On trouvera par un calcul 
tout pareil a celui du paragraphe précédent: 

Ä^ cos— = B^ Qo%pt + C^ cos pt — D^ sin pt^ 
A„Bm — = — B^ sin pt + C. sin pt + D^ cospt 



d'ou les équations 



(9) 



, = cos - B^ , 



I>- — sin — B^. 



• • • 



Il est aisé de voir qu'en y faiaant A = 2, on retrouve les équattöns (9) 
du paragraphe précédent. 

L'équation (8) devient alofs: 

Ada mathemaiiea. 16. Imprimé le 6 septembre 1892. 4X 



322 



H; Poincafé. ' 



SiDQUS posbns alors coriimé dans le paragriiphe précédént:, 

9 

I 



•f 



I . • • . • ■ i » 



f{^) -=^B^E\n 



fonction proportionnelle a la racine carrée de Tintensité du faisceau in- 
cident, nous aurons a calculer les fonctions 

^i(ö>) =2L5„eo8-j siny , 

<PÅ^) =2L5nSm-siny , 

et Tintensité de la luiniére transmise soit directement, soit par reflexion, 
soit par diffraction sera proportionnelle ä: 

Remarquons d'abord que la fonction f{o}) est périodique de période 2A;r, 
q1i'elle change designe avec ö>, et qu'elle Qsti égale a. o q\iand o) varie 
de o a a ou de ^ a A;r; et égale a i quand o) varie de a a y9. La 
fonction f{o}) et par co.nséquent. lea coefficients B^ sont entlérenient.dé- 
tenninés. Considérons alors la^ fonction suivante ,rj{z), de. Ja variable 
irnaginaire z; soit: 

La fonction 7j{z) est évidemment égale a: 






ia 

T 



) 



t • . f 



On vérifie en eflfet que la partic irnaginaire de 

féfiift bién égale. a /*(öi:); je désignérai par f^{w)'\9, parjtie .'réélfe qnii e^ 
évidemment égale ä ' ' ' ' • ^ :.!. 



fÅ^) =-Tr'ög 



n 



w — a , <o + a 

sm — : — . sm 



2k 



2X 



. 10 — y9 . ö> + jff 

sm > ■ ■■ . sm 



2X 



2Å 



= 2;^5,cos — . 



!i 



Sur la polarisation 'par di£fraction. 



323 



Il vient ensuite: 



2^j(ft>) =^5, sin 



. n(ö> -f n) 



+ £5. 



. n(öi — ;r) 



sm 



= f{(o + tt) + f{o} — tt) 



ce qui montre que le terme (p^{(o) corrcspond encore aux faisceaux direct 
et réfléchi a siavoir le terme f{a) + tt) au faisceau direct et le terme 
f{a) — tt) au faisceau réfléchi. Quant au terme (p^{(o) il representera 
comme dans le paragraphe précédent les faisceaux diffractés; étudions le 
de plus prés. 
}l vient: 



2^,(ö>) =^B^cos 



n{(o — tt) 



+llB, 



C08 — - — = /;(ö> — ff) — /;(ö) + TT) 



ou: 



(10) ^,(a))--log 



sm : . sin : . sm :^ — - . sm 



2X 



2Å 



2Å 



2å 



sin :^ . sin — : — . sm -: r^ . sm - 



2Å 



2Å 



2X 



2k 



On retrouverait la formule du paragraphe précédent en faisant A = 2! 
Si nous supposons que la différence, ^ — a soit infiniment petite, cette 
formule se simplifie un peu et on voit que (p^{(o) est egal a un facteur 
constant prés ä: 



(I o 



I 



I 



OJ + TT — a . O) — 7t — a 
— rsm-T- 



sm 



2Å 



2Å 



sm r-H; sin T— 



2Å 



2Å 



Je ferai observer que les expressions (lö) et (11) sannulent pour oi = o 
et pour O) =.A;r, c'est ä dlre sur le bord de Técran; c'est le resultat 
auquel nous étions déja parvenus dans le paragraphe précédent. 

L^expression peut d'ailleurs s'écrire au facteur constunt 2 prés: 



I 



I 



7t O) — a 

COS - — COS r 



n o; + a 

COS - — COS ~ 



So U3, cette forme on voit aisément que les seules valeurs de 01 pour 
lesquelles cette expression puisse s^annuler sont: 






CO = o et 0; = Xtt. 



824 U. Poinoaré. 



Passons inaiutenant au cas oii la lumiére est polarisée ; perp6ndiculc^ire« 
ment au plan de diflfraction; oii doit alors avoir: 



dto 



pour ö> = o et pour (o = ått; il en résulte que jr sera de la fornie: 

la partie de f qui correspond au faisceau incident, sera si p est assez grand: 

W r-Iv/5B.cos(.,-r + ^)cos"-f • 

et Téquation des faisceaux qui 8'éloignent de Técran sera: 

?■ = V^ r^- «o«T "«« ('V'-;- 1'^ -t)' 

Si alors nous posens, comme plus haut: 

^Å^) =2^^nC0SyC0Sy , ^^{(o) = 2^ B„ SlU y COS y , 

la racine carrée de Tintensité de la lumiére sera proportionnelle a 

f{o}) pour le faisceau incident, 
^,(ö>) pour les faisceaux direct et réfléchi, 
^^{(o) pour les faisceaux diffractés. 

On trouve d'ailleurs: 

ce qui montre que les propriétés des faisceaux direct et réfléchi sont les 
mémes que dans le cas précédent. 
Reste ä étudier (p^{(o). 



Sur U polarinlioD par diffraotion. 



325 



Si 1IOU8 posons comtne plus haut: 



il viendra: 



7l{z) = ZJ5,0-, 






\z — 6^)[z — e V 



nÅ 



t«tf 



car pour 2? = e* la partie reelle de rj{z) doit étre égale ä /(ft>), c est ä 
dire ä -f i pour w coinpris entré a et ^ ou entré — ^ et — a , et a o 
pour toutes les autres valeurs de cd depuis — Xtt, jusqu^a + Att. 
On aura alors: 



m- 



f{w) + if,{a>) 



en posant 



/•,(">) 



- log 

TT ^ 



. O) — a . öl + y9 
sm r- . sm 



2X 



2X 



. (O — y9 . (O + a 
sm r-^ . sm 



2Å 



2Å 






Dautre part: 



2^.(0,) =£5,8inr^(^)-£5.sin!^(^ = f,{<o + ;r) - f,{<o - ^) 



d'ou enfin: 



— I 



^^i^) =-":zr^^S 



2n 



. w — n—a . w + n—B , (o — n+S . co-^n-^a 
sm : . sm 1^ — - . sm ^ . sm 



2Å 



2Å 



2Å 



2Å 



. (o + 7T—a . (o — n—ä . ro + ;r+y9 . (o—n-^a 
sm 1^ — . sm : — - . sm ^ — - . sm 



2X 



2X 



2X 



2X 



En faisant A = 2 on retrouve la formule du paragraphe précédent; si 
nous supposons fi — a tres . petit, cette formule se simplifie un peu et 
Ton trouve que ^^{<o) est egal ä un facteur constant prés a: 



I 



+ 



I 



7t CO — a ' TT , io -^ a 

COS - — C08 7 COS T + CCS — - — 

A A A A 



326 



• H. JPoincaré. 



Les ci rcoiistances 
rapport: 



de la polarisation dépepdent alors de lavaleur du 



CCS — ; CO» — i — 



O) — a 10 -{■ a Tt 

C08 h C08 2 COS -r 



Ce rapport s'annule pour ^£> = o et pour o) = Xn) il est plus j)etit que 
I pour ft> > a + ;r c'est a dire dans le cas de la diffraction intérieure; 
il est plus grand que i pour (o conipris entré n — a et ;r -f a c*est a 
dire dans le cas de la diffraction extérieure. 

Les resultats sont donc absolument les mémes que ceux du para- 
graphe précédent; nous rendrons compte des lois les plus importantes de 
la diffraction, inais il y a quelques circonstances que nous ne poiivons 
encore expliquer; c'est donc seulenient dans les paragraphes suivants que 
nous pouvons espérer en trouver la clef. 



v. 

Nous aurons maintenant a tenir compte de ce fait que Técran n'est 
pas fornié d'un conducteur parfait, mais d'un iiiétal et que la force 
électrique n'est par conséquent pas rigoureusement normale a la surface 
de cet écran. 

Supposons d^abord que la lumiére soit polarisée dans le plan de 
diffraction et voyons quelles sont les équations auxqucjlles nous devrons 
satisfaire. 

Dans Tair, c'est ä dire de a> = o K w =^ k?:, nous aurons: 



(O 



d'Z ^ idZ ^ I d'Z . „^ 

i -7 + -, + —,-1-^1+ OL Z = o. 
dp pdp p^ d(o 



Pour pouvoir appliquer les formules de la reflexion . métallique, nous 
emploierons la méthode des exponentielles imaginaires. Par hypothése, 
la lumiére étant homogéne Z sera de la fornie: 

Zq C08 pt + ^i sin/;^ 



Sur la polariaatioD par diffractioo. 327 

ce sera donc la partie reelle de */ ' 

{z^.-izy.. ., 

Gette quantité complexe satisfait aux mémes équations que Z. Cest 
elle que nous appellerons Z, quitte ii ne conserver ä la fin du calcul 
que la partie reell ei 

Dans le métal c'est a dire de cd = Xtt k ö> = 2;r, on aura: 

T 

^ étant une constante complexe. 

D'atttre part Z et ^ doivent étre continues quand on passé du 

ihétal a Tair et féciproquement, c'est a dire que les valeurs de ces deux 
quantités pour (o = ått — s doivent tres peu différer des valeurs de ces 
deux quantités pour ö> = A;r + - ^t que leurs valeurs pour o) = 27r — s 
doivent tres peu différer de leurs valeurs pour cd = + s. 

Tel est le résulta,t auquel cönduisent töutes les théories de la re- 
flexion métallique qué nöus n'avons pas a discuter ici. Le probléme 
♦auftsiposé est treA eompli(^ué, ihais une circoiistance permet de le simp- 
lifier; c'est que la lumiére est éteinte a une profondeur excessivement 
faible au dessous de la surface du inétal. Il en résulte que dans Tin- 
térieur du métal, Z doit étre représentée par une somme d exponentielles 
011 Texposant est la distance du point considéré a la surface du métal, 
multipliée par un coefficient tres grand et négatif. Pour mieux nous en 
nandre compte, rappelons ce qui se passé dans le cas simple et bien 
connu de la reflexion d'une onde plane sur une surface métallique plane. 
n convient pour celia de revenir aux coordonnées rectangulaires, en prenant 
par exemple la surface du métal comme plan des ijz, et le plan de po- 
larisation coincidaht avec le plan dMncidence comme plan des xy. Nos 
équations dévreiinent alors: 

• ^ 

- ' . 77^ +^ +ol'^Z = o dans Tair 

. * V-¥+ -t4 + 0^Z = o dans le métal, 

et a Iti surface de separation Z et -t- devront étre continues. 



328 H. Poinoaré. 

Soit ip Tangle d'incidence; il viendra: 



d'oii: 



j = — a ms^ipZ 



-j-i + a^ cos'f?Z = o dans l'air, 

-T-^ + (y9' — a' fiin'^)Z = o dans le métal. 
Si donc nous faisons pour abréger: 

en choisissant le signe de d de telle fa9on quc la partie reelle de d fioit 
positive, nous devrons avoir dans le métal: 

comme la lumiére doit s'éteindre des que % a une valeur positive sen- 
sible (en supposant par exemple que le métal soit du c6té des x positifs 
et Tair du cöté des x négatifs) la premiére fonction de y, fiy) doit étre 
nuUe et il restera: 

z = /;(y)^-" 

d'ou : 

(3) t'- »'^- 

Comme Z et ^^ sont continues, eette méme relation (3) devra étre encore 

ax ^ ' 

vraie dans lair dans le voisinage du plan de separation o; = o. Telle 
est lit oondition aux limites a laquelle nous avons a satisfiaire. 

Pour un métal parfaitement conducteur, ^ et par conséquent d sont 
tres grands et la relation (3) se réduit a Z — o, c^est a dire a la relation 
que nous avons admise dans le § III, 

Passons maintenant au cas oii le plan de polarisation est perpendi- 
culaire au plan d'incidenee et ou par conséquent la force magnétique f 
est paralléle a Taxe des z\ nous retrouvons alors les deux équations: 



Sur la polarisation par diffraction. 320 

d'oii nous pourrons déduire encore que Ton a dans le métal 
et 

dr 

Seulement ici les conditions aux limites ne sont plus les mémes; j- doit 

dr , 
étre continu, inais il n'est pas de méme de -^-; si Ton considére deux 

points tres voisins de la surface de separation et de part et d^autre de 

dr 
cctte surface, les valeurs de -7^ en ces deux points, dans Tair et dans 

le métal seront entré elles corame a' est a y9^. Nous aurons donc dans 
Tair et dans le voisinage du plan x = o: 

. . dy a'S 

(4) T^=^-T^' 

Si le métal est parfaitenient condueteur et y9 tres-grand, cette condition se 
réduit a 

dr dr 

-y-= O ou -j^ = o 
ax an 

qui est celle que nous avons adoptée au § III. 

Ces formules sont celles de la reflexion métallique; toutes les théories 
de cette reflexion, entré lesquelles nous n^avons pas a choisir, conduisent 
a des équations qui n*en diflférent que par quelques ternies tres petits que 
nous pouvons négliger. Mais nous allons faire de ces formules un usnge 
différent de celui qu'on en fait d'ordinaire. On s'en sert en effet pour 
comparer le rayon réfléchi au rayon incident. Soit par exemple, en 
supposant le rayon polarisé dans le plan d'incidence, 

(5) Z = partie reelle de ^e'(«»Jnfj'-«<'08yx+ro 

Téquation du rayon incident et 

(6) Z= partie reelle de 5e»(«»Jnv'v+«cos,.r+po 

celle du rayon réfléchi. Le rapport — est une quantité imaginaire dont 

Aeta niathfnMtiea, I'"». Iraprlmft 1« 10 »optembre 1892. 42 



330 H. Poincaré. 

le carré du module représente le pouvoir réflecteur et dont Targument 
représente la différence de phase entré le rayon réfléchi et le rayon in- 
cident. En substituant dans Téquation (3) et reraarquant que la valeur 
totale de Z dans Tair doit étre la sotnme des deux expressions (5) et (6) 
nous trouvons: 

(7) i[A — B)a cosjr = d{A + B). 

En faisant le mérae calcul dans le cas 011 le rayon est polarisé perpen- 
diculairement au plan d'ineidence, c' est a dire en faisant la substitution 
non plus dans Téquation (3), mais dans réquation (4) nous trouvons: 

(8) %{A — J5)/9' cos^ = d(i{A'\- B). 

On se sert ordinairement des équations (7) et (8) pour calculer le rapport 

i> 

- ; nous allons au contraire nous en servir pour étudier le rapport 

A + B 

L*étude de rj nous fera ainsi connaitre le rapport des amplitudes de la 
vibration totale en un point du plan des yz, et de la vibration partielle 
que Ton aurait en ce mérae point si le rayon incident existait seul; elle 
nous fera connaitre également la différence de phase de ces deux vibra- 
tions; en d^autres termos elle nous renseignera sur les circonstances de 
rinterférence du rayon réfléchi avec le rayon incident. 

Dans le cas extreme des métaux parfaitement conducteurs auxquels 
nous nous étions restreints dans les deux paragraphes précédents, ^ est 
infiniment grand et les deux équations (7) et (8) se réduisent respective- 

ment a 

A + B = o, A— B = o. 



On a alors dans les deux cas 



B 
A 



= I 



ce qui veut dire que si le rayon incident est naturel, il en sera de mérae 
du rayon réfléchi. 



Sur la polarisation par diffractioD. 831 

Au contraire on a: 



A + B 



= o dans le premier oas 



et 

A + B 



= 2 dans le second cas 



de sorte que si Ton fait interférer les deux rayons et que Ton étudie la 
vibration dans le plan des yz lui-méme, le rayon résultant de cette inter- 
férence sera complétement polarisé. 

M. FiZEAU, dans le mémoire que nous avons cité plus haut, a déja 
fait remarquer que deux rayons naturels peuvent par leur interférence 
produire un rayon polarisé, et c' est ainsi qu il expliquait les phénoménes 
qu*il avait découverts et qui ont, comrae nous Tavons dit, les plus grands 
rapports avec ceux dont nous nous occupons. 

Dans les deux paragraphes préeédents, nous avons vu que dans le 
voisinage immédiat de la surface métallique la polarisation est compléte; 
et cela tient, comme on pourra s*en assurer en revoyant le calcul, a ce 
que nous avons supposé que sur cette surface méine la valeur totale de 
Z est nulle. Cette valeur totale est égale k Ä -{- B dans le cas simple 
que nous .venons de traiter et qui est celui de la reflexion d'une onde 
plane. On voit ainsi une analogie qui pourrait échapper au lecteur in- 
attentif, mais qui n'en est pas moins profonde entré Tanalyse des deux 
paragraphes préeédents et Texplication de M. Fizeau, fondée sur ce fait 
que rinterférence des deux rayons produit une polarisation beaucoup 
plus compléte que la simple reflexion. 

Revenons au cas des métaux ordinaires a pouvoir réflecteur con- 

siderable pour lesquels ^ est tres grand, sans étre infini. Appelons rj et 

A + B . , 
fj les valeurs du rapport — -, — tirées respectivement des équations (7) 

et (8). Il viendra: 

2ta CO8 (p , 2ia cos ip 

' tacoaw + o ' . oa 



332 H. Poiiicaré. 



LMntensité de la polarisation, c'est a dire le rapport des intensités des 
deux composantes principales, est mesurée par le rapport 



il 
7' 



Ce rapport sous une iucidence voisine de Tincidence rasante peut devenir 



éjral a 



a' 



c'est a dire plus grand que la 4® puissance du coefficient 



d'absorption. 

Ajoutons que Targument de tj varie plus rapidernent avec ^ que 
celui de 17'; et rappelons que cet argument de rj représente la différence 
de phase entré la vibration résultant de rinterférence des rayons incident 
et réfléchi et la vibration incidente. 

Dans les expériences de M. Gouy, on se trouvc placé dans des con- 
ditions bien différentes puisque non-seulement Tonde incidente n*est pas 
plane, mais que la surface réfiéchissante qui est celle du tranchant, loin 
d'étre plane a un rayon de courbure tres petit. 

On con9oit néanmoins que les choses doivent se passer ä peu prés 
de méme. En effet ce qu'il y a d'essentiel dans notre raisonneraent sub- 

siste. Si la force électrique Z est paralléle a Taxe des ;? , Z et y- sont 

jy 

continus (j'appelle -^ coinine je Vai expliqué a la fin du § I la dérivée 

de Z estimée suivant la normale a la surface réfiéchissante).- Mais 
comme la lumiére doit s'éteindre tres rapidement dans Tintérieur du 

dZ 

métal, le rapport de -1- a Z doit étre tres grand, dans le métal et par 

conséquent dans Tair; par conséquent Z est tres petit. 

Si au contraire c'e8t la force magnétiquc y qui est paralléle a Taxe 

dY dy 

des Zy Y est encore continu, mais -^ ne Test plus. La valeur de -3- dans 
Tair est ä celle de -^ dans le métal comme a' est a yS^ Le rapport de 

dr 

J- a Y est encore tres grand dans le métal et du méme ordre de grandeur 
que y9; mais dans Tair ce rapport est au contraire tres petit et du méme 

ordre de grandeur que -^ (quantité qui est petite si on prcnd une unité 

P 



Sur la polarisation par diffraction. 333 

dr 

de longueur comparable a la longueur d*onde) et par conséquent j- est 

tres petit. 

Je me contenterai de cet aper^u et ne tenterai pas d'évaluation 
numérique. Je me bornerai a dire que Ton doit se rapprocher des con- 
ditions de Tineidente rasante. 

Commcnt maintenant vont varier dans les deux oas Z et /^ a une 
distance finie de la surface métallique. Cest ce que va nous apprendre, 
Tapplication du principe de Huyghens ?ous la formc que lui a donnée 

KiRCHHOFF. 

Soit S la surface de Técran, S' celle d'un cylindre de revolution 
ayant pour axe Taxe des z et un rayon tres grand. Soit dw' un element 
quelconque d'une de ces deux surfaces, x'y y'y z' les coordonnées du centre 
de gravité de cet element. Soit x , y y z un point intérieur au volume 
limité par les deux surfaces S et S' et situé par conséquent dans Tair. 
Soit r la distance des deux points x^y^z et x\y\z\ Soit: 



9 = 



^-iar 



Nous avons vu qu'en supposant la lumiére homogéne la force électrique 
sera de la forme 

Zq cospt + Zj smpt = partie reelle (Z^ — iZ^)e*^^. 

Nous poserons: 



ipt 



Z={Z,-iZ,)e 

de sorte que ce que nous désignerons par la lettre Z ce sera non pas la 
force électrique elle-mémc, mais une exponentielle imaginaire dont cette 
force électrique sera la partie reelle. 

De méme dans le cas o\x la force magnétique est paralléle a Taxe 
des z, cette force est la partie reelle d'une exponentielle de la forme 

et nous poserons: 

Nous conserverons les lettres Z et f sans accent pour représenter les 



334 H. PoiDcaré. 

valeurs de ces fonctions au point x,y , z, et nous désignerons par Z' et 
f les valeurs de ces fonctions au point o?', y', z\ Les notations 

d^ dZ' dy 
dn ^ dn ' dn 

représenteront les dérivécs de jr , Z' et f éstimécs suivant la normale 
a réléinent d(o'. 

Le principe de Huyghens-Kiuchuoff nous donne alors: 

(9) 



4irr= / f 




dn 



-i/h'- 



Les intégrales doivent étre étendues aux deux surfaces S et S\ 

On voit aisément: 

I** que Tintégrale prise le long de S' ne dépend que du faisceau 
incident, et nullement des divers faisceaux divergents, ni par conséquent 
de la forme et de la nature de Técran. 

2^ que Tintégrale prise le long des portions de Técran qui ne sont 
pas tres voisines du tranchant est négligeable. 

Tout dépend donc de la valeur de Tintégrale prise le long des 
portions de S tres voisines du tranchant. 

Observons que a, avec nos unités habituelles de longueur est tres 
grand de sorte que Texponentielle c""'"' qui entré en facteur dans ^ varie 
tres rapidement. 

La quantité sous le signe f est donc de la forme 



t—iar 



F, 



F étant une fonction de Xy y et z qui varie beaucoup moins rapidement 
que cette exponentielle. Nous pouvons adopter pour définir la position 
du point x\y\z* sur la surface S tel systéme de coordonnées que nous 
voulons; nous prcndrons par exemple la distance r de ce point au point 
X jy y z et la différence 

^ — ^' = C 



Sur la polarisation par diffraotioo. 335 

et nous aiirons: 

d(o' = MdrdCf 

M étant une fonction de r et de C qui n'est pas tres grande non plus 
que ses dérivées. I/intégration par parties nous donne alors 



+il--^«c. 



La présence de a au dénominateur nous montre quelle est la condition 
pour que notre intégrale ne soit pas négligeable. C*est que F soit tres 
grand de Tordre de a. 

Or fp est fini, tandis que -p est de Tordre de a. Le rapport de 

j- h Z' est de Tordre de /9. Le rapport des deux termes 

dZ' X ^/^ 

^ dn dn 

est donc de Tordre de -. Si le pouvoir réflecteur du métal est tres grand, 
ce rapport - est tres grand et tout se passé coniTne si Z' était nul. 

D'autre part le rapport de -^^ h. f est de Tord re de -^ . Le rapport 

des deux termes 

dy ,d^ 

^ dn ' dn 

est donc de Tordre de - c'est a dire tres petit si le métal est tres ré- 

fléchissant. 

Ainsi tout se passera a peu prés comme si Ton avait 

Z' = ^=o. 

dn 

Or c'est la Thypothése que nous avons faite dans les §§ III et IV. Nous 
avons le droit d'en conclure que la polarisation sera dans le méme sens 
que dans le oas ou nous nous étions placés dans ces deux paragraphes. 



336 H. PoiDcaré. 

I/aper9u qui précéde est beaucoup trop grossier pour me permettre 
une comparaison numérique méme approchée. Toutefois il semble que 
la polarisation observée est notablement plus forte que celle a laquelle 
conduiraient les valeurs de p ordinairement adoptées, bien que, la phase 
de Z variant plus rapidement que celle de f d'un point a Tautre du 
tranchant, on puisse supposer que les différents termes de Tintégrale 



/ 



an 



se détruisent par une sorte d*interférence, ce qui expliquerait au moins 
en partie Tintensité de la polarisation. Au surplus notre analyse est 
beaucoup trop irnparfaite pour que de cette divergence on ait le droit 
de rien conclure contre les hypothéses d^oii nous sommes partis, et qui 
sont généralement adraises. Quoi qu'il en soit, on voit que nous nous 
rapprocherons d'autant plus des conditions des deux paragraphes précé- 
dents que le pouvoir réflecteur du métal sera plus considérable. La 
polarisation sera donc plus marquée pour les couleurs pour lesquelles 
ce pouvoir réflecteur est le plus grand, c'est ä dire pour les couleurs 
qu'affecte la lumiére réfléchie par ce métal. Cest sans doute pour cette 
raison que dans la composante la plus forte celle qui est polarisée per- 
pendiculairement au plan de diffraction ce sont ces couleurs qui domi- 
nent. Il semble au contraire que dans la composante la plus faible, 

les couleurs complémentaires (pour lesquelles - est moins grand et pour 

lesquelles par conséquent la polarisation devrait étre moins compléte) 
devraient dominer a leur tour. Ce n'est pas tout a fait ce qui a été 
observé puisque cette composante parait blanchc. Peut étre une cause 
secondaire vient-elle neutraliser cette coloration complémentaire de la 
composante faible et accentuer au contraire la coloration de la composante 
forte, cest que les rayons qui dominent dans cette seconde composante 
sont en general de grande longucur d'onde et par conséquent plus 
diffrangibles que les autres. Tout cela nest encore qu'un aper9U bien 
insufifisant et bien des détails restent inexpliqués. 



Sur la polarisation par diffraotion. 337 



Je me propose maintenant de tenir compte de ee fait que le tranchänt 
du biseau n^est pas parfait, de telle fa9on que la surface S de Técran 
se compose de deux faces planes raccordées par une sorte de cylindre 
de rayon tres petit. 

Si nous supposons de nouveau ^ infini et le métal parfaitement con- 
ducteur, de fa9on a ne pas accumuler toutes les difficultés a la fois, 
nous devrons avoir le long de la surface S 

an 

de sorte que les équations de HuYOHENS-KiRcnnoFF se réduiront ä: 
(lo) 47rZ=j^^d(o', 



(■■) -*n=r£ 



fdw\ 



En effet les intégrales des équations (9) du paragraphe précédent doivent 

étre prises le long des surfaces S et S\ Le long de la surface S' elles 

sont^ ainsi que nous lavons vu, les mémes que s'il n'y avait p^s d'écran. 

Elles sont donc nulles, sauf a Tintérieur du faisceau directement transmis, 

et en dehors duquel nous nous supposerons placés. Le long de /S, les 

dr 
termes en Z- et en -j^ sont nuls. Les équations (9) peuvent donc étre 

remplacées par les équations (10) et (11). 

Soit alorö ^ Tangle que fait la normale a la surface S avec le 
rayon Vecteur qui joint le point x^y^z au point x\y'yZ'y il viendra: 

dip dip • •. 
-j^ =±= -j^ COS é . 
än dr V . 

Si le point x'yi/,z' est voisin du tranchänt mais situé cependant sur les 
faces planes du biseau, et si le point x , y , z est voisin de la surface /S, 

Åeia maihenuUiea, 16. Iiuprimé le 5 octobre 1892 43 



338 H. Poincaré. 

c'est a dire si la déviation est grande et dirigée vers rintcrieur de Tombre 
géométrique; Tangle (p différera peu de 90** et cos^ sera petit. Donc 

■p sera petit. Il en résulte que les parties de Vintégrale du 2^ membre 

de (ii) qui auront le plus d'influence sur la valeur de ;r, seront celles 
qui appartiennent a la portion cylindrique du tranchant. Il n'en sera 
pas de ménie pour 1'intégrale du 2^ membre de (10). 

Peut-étre peut-on 8'expliquer de cette maniére que la cpmposante la 
plus forte et la plus colorée, soit plus affeetée que Tautre par les irré- 
gularitcs que ce tranchant peut presenter. 

Mais le fait que le tranchant est plus ou moins arrondi peut avoir 
encore une autre influence dont Jious nous rendrons grossiéreraent compte 
de la fa9on sui vante: 

Représentons nous la surface de Técran comme prismatique et formée 
par exemple par les deux faces du biseau AB et Cl) et par une trés- 
petite face plane BG faisant des angles égaux avec -4 B et CD. 

Si la largeur de la face BC était nuUe, nous retomberions sur le 
cas du § IV et la polarisation qui serait présque compléte pour de 
grandes déviations, serait moins grande pour les déviations médiocres que 
ne rindique Tobservation. 

Si la largeur de la face BC était tres grande par rapport a la 
longueur d'onde on devrait se considérer comme étant en présence d'un 
biseau tres ouvert BCD et on pourrait encore appliquer les formules du 
§ IV. La polarisation serait compléte quand le rayon diffracté serait 
paralléle a BC c'ést a dir^ pour une déviation relativement faible, et 
pour des déviations plus grandes, il n'y aurait plus du tout de lumiére 
diffractée. 

Si la largeur de la face BC est petite sans étre nulle, (ce qui se 
rapproche du cas qui est effectivement réalisé) on trouverait sails doute 
des resultats intermédiaires; est ce pour cette raison qu'on obserVe pour 
des déviations médiocres, moins de lumiére et une polarisation plus in- 
tense que no Tindiqueraient les formules du § IV? Ce qui tendrait ä 
le faire croire, c'est que la polarisation croit d'autant plus vite avec la 
déviation que le tjanchant du biseau est plus arrondi. 

Nous avons dit plus haut que d'aprés Tobservation la lumiére 
diflractée est maximum a déviation égale quand le rayon incident et le 



Sur la polarisation par diffractioD. 339 

ruyon diffracté font des angles égaux avec récran. L'explication doit 
probableiiient, comme le fait tres bien observer M. Gour, étre cherchée 
aussi dans la courbure du tranchant. 

Les paragraphes V et VI oii le probléme abordé est beaucoup plus 
complexe que celui qui a été traité dans les paragraphes III et IV ne 
contiennent que des aper9us qui peuvent grossiérement nous faire prévoir 
le sens de certains phénoménes, inais qui sont dénués de toute precision. 
Une analyse plus rigoureuse serait donc nécessaire. Ce sera Tobjet de 
la seconde partie de ce travail. 



341 



SUR LA GENERATION DE SYSTEMES RÉCURRENTS 

AU MOYEN D'UNE ÉQUATION LINÉAIRE DIFFÉRENTIELLE 

S. PINCHERLE 

4 BOLOQNE. 



t • 



Le present inémoire a pour objet principal la détermination du dé- 
veloppement d*une fonction donhée en serie ordonnée suivant les fonctions 
d*un systéme récurrent dont on connait réchelle de relation; mais pour 
arriver a ce resultat, je dois toucher ä plusieurs autres questions, dont 
j'essaie de donner une idée dans le resumé qui suit. 

Supposons donnée une équation linéaire récurren te entré |) + i 
quantités qui dépendent d'un indice n; les coefficients de cette équation 
Soient des polynömes entiers en n, du degré m. Une solution quelconque 
de cette équation aura pour fonction génératrice (au sens de Laplace) 
une intégrale d'une équation diflférentielle linéaire d^ordre w, dont le 
second membre sera, en general, un polynöme entiér contenant m con- 
stantes arbitraires. A chaque détermination de ces gonstantes correspond 
une solution particuliére de Téquation récurrente. En particulier, il 
existe une détermination spéciale des constantes, pour laquelle le systéme 
récurrent admet une serie génératrice convergente dans un cercle qui est 
le plus grand possible: j*appelle ce systéme Y intégrale distinguée de Téqua- 
tion récurrente, et par une méthode fondée sur la transformation que 
j*appelle de Heine, je détermine cette intégrale distinguée. A coté de 
Téquation récurrente donnée il s*en présente une seconde que j'appelle 
inverse de la premiércj et dont les intégrales ont, avec celles de Téqua- 

Äcta mathematka, 16. Iraprimé le O octobre 1893. 



342 S. Pinchcrlc. 

tion donnée, des relations remarquables. Supposons inaintenaiit que, dans 
les coefficients de Téquation récurrente, il entré un paramétre x au 
premier degré; les intégrales de cette équation, ainsi que celles de son 
inverse, seront des fonctions de ce paramétre, et Ton demande 8'il est 
possible, en general, de développer une fonction analytique donnée en 
serie ordonnée selon les fonctions de ce systémc. On peut répondre 
affirmativement a cette demande; de plus, on arrive aisément a former 
les coefficients du développement en question et a en donner les conditions 
de convergence, au moyen de Tintégrale distinguée de Téquation inversé. 
Je me permets d'insister sur Timportance que me semble presenter 
le concept d^intégrale distinguée d'une équation linéaire aux différences. 
Ce concept n'est autre, en effet, que la généralisation de cclui de la 
fraction continue; car si Ton considére Téquation récurrente du second 
ordre 

et si p'n , p'^' sont les deux intégrales particuliéres distinctes pour lesquelles 



jf ^ .-" 



Po = ^ Pi = «ir jPo = O, 2?i == I, 

Tintégrale générale a la forme 

Pn =¥n + /JtPn'; 

or, si Ton détermine A et // en sorte qiie la séric Sjp„a;* converge dans 
le cercle le plus grand possible, p^ est Vintégrdle distinguée de Téquation 
récurrente, et en méme temps le rapport — jxiX des constantes corres- 
pondantes est précisément la valeur de la fraction continue dont la réduitc 

n**°* est ^. Le développement que j'obliens dans ce mémoire peut donc 
p» 

étre regardé comme la généralisation du développement d'une fonction 
donnée en serie ordonnée suivant les dénominateurs des réduites d'une 
fraction continue algébrique donnée^ développement qu'a donné Heine,* 
sans toutefois en faire connaitre les conditions de convergence. 

Pour rhistorique de la question que je traite dans ce travail, jc 
dois ajouter que c' est M. Poincaké qui, le premier, a reconnu les diffé- 

* Ilandbtwh der KiigelfuncUonen, Zweite Auflago, Bd. i, p. 293. 



Sur la généra(ioD de systömca récurrcnts. 343 

rentes maniéres d'aller a Tinfini des intégrales d'une équation aux diflFé- 
rences dont les coefficients sont des polynömes en n,' et c'e8t son travail 
qui in'a suggéré Tidée d'entreprendre la recherche de Tintégrale distinguée, 
que cot auteur doit sans doute avoir entrevue. 



Équation linéaire aux différencea finies. 

I. Je prends conime point de départ une équation différentielle 
linéaire d'ordre m, ä coefficients polynömes et de la forme: 

(i) Y. (^0.*^" + ^^J'-' + . . . + «.-.*)<*^ = <'Ä(0» 

ou r et // sont des nombres entiers positifs et oii R{t) est un polyn6ine 
entier de degré r — i. Pour abréger, j'indiquerai par A Topération 
exécutée sur J7 dans le premier membre, en sorte que Téquation (i) 
pourra s^écrire 

Je suppose les coefficients a^^ et a^^ essentiellement différents de zéro. 
En méme temps, je considere l'équation aux différences finies ou 
équation récurrente d'ordre r 

OU Ton a pose 

avec 

Ä = o , I , 2 , 3 , . . . , r, 

et 

(n)t = n{n — i)(w — 2) . . . (n — k + i), 

et j'appelle Téquation (i) équation génératrice de Téquation (2). 

- - - - -■ . ■ - -■■■■- -. ■ . 

' Sur les équations Ihiéaires aux difféi'entiell€8 etc. American Journal of 
Mathematics, Vol. 7i P- 4Ö« 



344 S. Piochorlé. 

2. En don nan t des valeurs arbitraires ä r consécutives des quantités 
p^f par exeinj)le a 

Pfi rPfi^X i ' ' ' } jP/i + r— 1> 

on détermine, au moyen de Téquation (2), le systéme de ces quantités 
depuis p^^r jusqu'a Tinfini, en supposant, comme nous le ferons désormais, 
que Féquation 

(3) <^r{n) = o . 

n'ait pas de racines entiéres. Chaque systéme récurrent jp„ ainsi détermine 
sera une intégrale particuliére de Téquation (2), et au moyen de r inté- 
grales partictiliéres 

P\.n 9 Pi.n > • • • > Pr.n 

telles que le déterminant 

^ X Pl./i>P'2.p.^i • • • l^i-./i + r-l • 

soit différent de zéro, toute autre intégrale pourra s^exprimer par la 
formule 

Pn ==^ ^iPl.n I" ^P2.n + • • • + KPr.n} 

oii les quantités Ai , A2 ^ • • • > A, sont indépendantes de Tindiqe w. 

3. Indiquons par U la serie 



00 



Uit)=Ypj'' 



11" fl 



et par U'j U"f .•. , t/'^*"^ ... ses dérivées. Selon une locution tres employée 
jadis en analyse, notamment par Laplace, cette serie pourra s'appeler 
la fonction génératrice du systéme p^,. 

En multipliant le polyn6me a^{n) par p„-i./,r+* et en sommant depuis 
n '-= (x jusqu'ä Tinfini, on obtient Texpression 

• • ..... 

Si donc on multiplie Téquation (2) par r^**, et si Ton somme ensuite 



Sur la géoération do ^ystémcs récurrents. 345 

depuis Tndice /i jusqu^ä Finfini, on obtient en appliquant rexpression 
précédente et en ordonnant convenablement: 

m 

(4) ?„(«••»'' + «••*''■"' + . . . + «.»)<* f^**' 

r 



A-1 



Nous obtenons ainsi une équation de la forme (i), ce qui jugtifie le notn 
que nous lui avons donné de génératrice de Téquation (2), puisque toute 
intégrale de Téquation (2) a pour fonction génératrice une intégrale de 
(i); et Ton voit que, réciproquement, toute intégrale de cette derniére 
équation développable en serie de puissances de t, est la fonction généra- 
trice d'une intégrale de (2). 

Le second membre de Téquation (4) dépend linéairement des in- 
déterminées Pj^ , p^^^i , • • . , P^i+r-i» »on degré d'indétermii}ation est donc le 
méme que celui du systéme /)^. On peut dailleurs voir que si Ton se 
donne le second membre de Téquation (i) sous la forme 

B{t) = 6,r-^ + 6,r-' + ... + b, 

et que Ton identifie cette équation avec la (4), on a 

(5) K = (fkifJ^ — Ä)P^ + «A + l(/£ — Ä)p^^i + . . . + a-rifi — Ä)P;,fr-A, 

(A»l,9,8, ...,r) 

d'ou Ton peut déduire sans ambiguité les valeurs de jp^^jP^^+i , ..., /^A*+r-i- 
En efifet, le déterminant du systeme (5) n'est autre que 

a^i/A— i)a,{fi—2)...a,{/i — r), 

lequel n'est pas nul, d'aprés rhypothése que Téquation (3) n'a pas de 
racines entiéres. 



4. Considérons maintenant Téquation linéaire sans second membre 

(6) AU=o 

dont les points singuliers sont, outre < = o et t = co, les racines de 
Téquation 

(7) «•.«<' + «..,<'-* + a,.«r-» + . . . + flr.« = o, 

Åda tnathåmoHea. 16. Iroprimfi le 14 octobre 1802. 44 



34G S. PiDoberle. 

racines que j'indiquerai par a^ , a^ , . . . , a^, en supposant 

OCj I ^ I <X^ I ^ I Oty I . . . ^ I ^r I • 

L'équation déterminante de (6) par rapport au point singulier / = o est 

a,[p — r) = o; 

or, cette équation n'ayant pas de racines entiéres, il s^ensuit que Féqua- 
tion sans second meinbre (6) nadmet pas d'intégrale développable en 
serie de puissances entiéres de la variable dans un doniaine du point 
t = o. Par conséquent, Téquation a second membre (i) aura une seule 
intégfale particuliére développable en une serie de cette forme 

U = Ypj' 

dans le domaine du point < = o, dont le rayon de convergence sera 
Tun des modulés | «j | , | a, | , . . . , | «;. | , et en general le plus petit. On 
a donc, suivant une notation souvent employée: 

I 



«,'" 



et méme 

limf?±i = l, 

ou Ton doit supposer en general i = i . Il peut cependant se faire que 
par un choix convenable des arbitraires p^, , p^^^^ , . . . , JP;e+r-i (ou par un 
choix convenable de 22(/), ce qui revient au inéme) on puisse avöir 
t > I et méme i = r. Lorsque ce dernier cas se présente, la serie 
S/?„<" est convergente dans le cercle le plus grand possible et je dis 
alors que le systéme p^ correspondant est Vintégrale distinguée de l'équa- 
tion (2). Nous verrons bientöt comment on peut demon trer Texistence 
de cette intégrale et la déterminer. 



La tr€m8fomiatian de Heine. 

5. Avant d'aller plus loin, il nous faut étudier une operation 
fonctionnclle sous forme d'intégra]e définie, qui nous sera tres utile par 



Sur la génératioD de systémes récurreDts. 347 

la suite. Soit f{t) une fonction analytique, apte ä rintégratioii le long 
d'arie ligne c. Je dis que Ton opére sur cette fonction la transformation 
de Heine ^ lorsqu'on en déduit une nouvelle fonction f>{u) par la position 



(c) 



En indiquant par H Topération ainsi exécutée sur /"(/), Tégalité précé- 
dente pourra donc s'écrire 

cette operation est évidemment distributive. 

6. Prenons comme chemin c une ligne qui venant de Tinfini dans 
une certaine direction, y retourne dans le méme 

direction, comme dans la figure ci-contre, et suppo- ^^ j}^ 

sons que la fonction f{t) soit infinie d'un ordre '^~~ 

fini p (positif, nul ou négatif) pour t = co, en sorte que Ton puisse 
déterminer un nombre entier et positif /i tel que Ton ait 

p—fJL = —r — Sy 
ou r est un entier donné positif et e une quantité positive. L^expression 






fW\ 



est alors évidemment convergente. 



7. On a, en posant 

j.(u) = u"H(p^) 
que 



F(«)=//-(0(d:;i -,--?.-... -^>, 



(O 



^ A oauso de Tusagc qu^en a fait ce géométre dans le oas ofk f(t) est Tintégrale 
d^uDC équatioD linéairc du deuziéme ordre. (V. Handbuch der Kugdfunctionen, Bd. I, 
p. 389 et Journal de Crelle, t. oo: Uber die Lame' schen Functionen verschiedener 
Ordnungen,) 



348 S. Piuoherle. 



d'oii, en dérivant par rapport ä u et en intégrant par parties^ en remar- 
quant de plus que la partie aux limites est nulle^ il vient: 

et en appliquant de nouveau la dérivation par rapport a w et Tintégra- 
tion par parties, on trouve quel que soit k: 

(9) -^;;;nT-= ^^Ui=r/- 



8. Soit maintenant Tintégrale 



Hr\t)i''^'-^) =/^^f^ 



dt 

r 



(c) 



qui est aussi convergente, d'apré8 le choix de /i, pour h<r. .Eile peut 
8'écrire identiqueraent 

(O (c) 

Cette derniére intégrale n'est autre, d'aprés la formule (9), que 



y^^\u)u 



*+A-/*. 



quant a la premiére, c est une fonction rationnelle et entiére de u, du 
degré h — i , dont les coefiPicients sont les intégrales, toutes convergentes 

ff^''\t)t^^^-^'dt. (i^»0,1.2 A-1) 

(c) 

En intégrant k fois successives par parties et en remarquant a chaque 
fois que la partie aux limites est nuUe d'aprés le choix de /z, on a 

(c) (O 



Sur la géoératioD de systémes récurrents. 349 

d'ou il résulte enfin 



h-\ 



(lo) ^(r«(/)<*+* ") = f<*>( «)»*+*-" + r(/£— I —g\u''-<'''ff{t)f-"dt. 



CO 



Cette formule nous exprime les propriétés fondamentales de Topération H. 



Applications de la transfcynmation de Heine. 

9. Reprenons Téquation homogéne (6), et supposons que a< soit une 
racine simple de Téquation (7), en sorte que Véquation déterminante 
relative au point a, ii'aura qu'une racine non entiére. D'apré8 la théorie 
bien connue de M. Fuchs, on n'aura alors qu'une intégrale particuliére 
qui, apres une rotation autour du point a^, se reproduit multipliée par 
une constante différente de Tunité; soit U^ cette intégrale que Ton dira 
correspondante au point a^. 

Décrivons maintenant la ligne c indiquée au § 6 en sorte que partant 
de Tinfini dans la direction du rayon qui joint Torigine au point a,, elle 
décrive un contour qui embrasse le point a< et revienne ensuite a Tinfini 
suivant la méme direction, sans contenir aucun autre point singulier de 
Téquation (6); soit c^ la ligne ainsi parcourue. Les intégrales de Téqua- 
tion (6) sont toutes, pour t = cx), infinies d'un ordre nécessairement fini; 
en effet, l'équation déterminante relative au point t = 00 est 

«o.«io(/>— i)...(iO — m + .i) + ao.«_,^(^— !)...(/> — m+ 2) + ... + ao.o = o, 

et Ton a supposé flfo.m essentiellement dififérent de zéro. 

Soit donc pi Tordre d'infini de Tintégrale f/i pour f = co; nous 
pourrons appliquer a cette intégrale divisée par t^ la transformation de 
Heine, pourvu que nous prenions Tentier /£ assez grand pour que Ton ait 

p^ — fjL = —r—ej 

e étant une quantité positive; cherchons donc quel est le resultat de cette 
operation en prenant pour chemin d'intégration la ligne c^ que nous venons 
de définir. Nous poserons pour cela: 

(^0 ^^^""^ = ""' J tHT^)' 



350 8. Pincherle. 



Or, coinme ropération H est distributivc, en appliquant cette operation 
a (6), divisée préalableraent par i^, on a 



m r 



Z i;a,_».,Ä"(^+*-''C7<*>) = o 
qui, par rapplication des formules (g) et (lo), devient 

c'e8t la une équation de la forme (i) dont jri(w), donnée par la formule 
(ii), est une intégrale. 

I o. Les int^grales définies qui figurent au paragraphe précédent 
son t toutes convergentes, d'aprés le choix de /£. Posons: 

(13) Pi.-g=fUit''^"'dt\ (i.-1.1.8,...,r) 

(Cl) 

les coefficients des puissances de u dans le second membre de Téquation 
(i 2) seront des fonctions linéaires des quantités p,^., , p^_^ ? • • • > Pfx-rj ^t 
Ton voit facilement en ordonnant le second niembre de (12) suivant les 
puissances de w, que cette équation prcnd la forme: 

(14) A5^,(w) 

r 
= — W" 2;«'~*{Oo(/« — %.-A + Ol (/* — %,.-» + 1 + ••• + «A-l()« — Ä)P;.-lj. 

1 1 . L'expression (11) est développable en une serie de puissances 
entiéres et positives de w, pour toutes les valeurs de u dont le module 
est inférieur au module minimum de t le long du chemin d'intégration. 
Mais comme ce chemin est aussi rapproché de a< qu'on le veut, on peut 
dire que le développement en serie de jp<(w) converge dans un cercle de 
centre w = o et dont le rayon difiFére de | a< | d'aussi peu qu'on le veut. 
Nous indiquons ce fait par la notation 





^^ -^ «. • 


quand on pose 


OD 


(•5) 


ipXu) = ^PnW; 



n^li 



Sur la generation de systémes récurrents. 351 

Or, on a 

(i6) Pn=fu,r^-'dt', 



(f«) 



ce systeme p^ obéit donc a la relation récurrente (2), cl'oii il résulte (§ 4) 

é 

que le cercle de convergence de (15) est préciséraent la^l. 

Tandis que Ton définit ainsi p^ au moyen de la formule (16), pour 
les valeurs de Tindice depuis n = /x jusqu'ä Tinfini, la formule (13) dé- 
finit encore p^ pour les valeurs de Tindice depuis /i — r jusqua /i — i. 
Mais si l'on substitue dans Téquation (12) la serie de puissances (15) qui 
représente ^<(w), il résulte du calcul développé au § 3 que le second 
membre de Téquation difiFérentielle (12) est de la forme (v. éq. (4)) 

r 

Cette forme devant étre identique avec le second membre de Téquation 
(14), on obtient, en identifiant les coefficien^s: 

ao(/£ — Ä)p^_Ä + a,{fi — h)p^^^^, + . . . + a,_.,{fi — h)p^_, 

+ a^ifJL — h)p^ + . . . + a^{fi — h)p^^^_f, = o; (»=i,2,8,...,r) 

e'est lä réquation récurrente (2), qui se trouve donc vérifiée non seule- 
ment pour les valeurs de Tindice depuis n — /i jusqu'a n = oo,- mais 
encore pour les valeurs depuis n = /i — r jusqu'ä n = /i — i. L'inté- 
grale p^ de Téquation (2) est donc parfaitement déterminée par les r 
valeurs (13). 

12. La méthode indiquée dans ce qui précede nous permet de dé- 
terminer r intégrales de Téquation (2), en donnant ä Tindice i les valeurs 
I , 2 , . . . , r. Si les modules des racines a, sont tous différents, chacune 
des r series p^ aura un cercle de convergence difiFérent, et en posant 

ou les constantes Åj , A<^j j . . , ^ Å^ (pour lesquelles on peut faire abstrac- 
tion d'un multiplicateur commun) donnent une varieté co'""', la serie ^< 
converge dans le cercle de rayon |aj|. Les coefficients P^ du développé- 



352 S. Pincherle. 

ment de ip^ en serie nous donnent donc une intégrale de Téquation (2) 
telle que 

(17) ^ ' 



" ' fii r 



et nous venons de voir que les intégrales de Téquation (2) qui vérifient 
cette condition (17) constituent une varieté oo'*"*. Le mérne raisonne- 
ment montre donc qu'il ny a en general, (e'e8t-a-dire lorsqu'il n'y a 
q«'une racine simple de Téquation (7) dont le module ait la valeur maxima 
a,.|) qu'une seule intégrale de Téquation (2) telle que 



(^70 P^ ' 



n I^^lH^ 



c'est la Tintégrale distinguée, que nous représenterons par 5>„; la fonction 
génératrice est 

(Cr) 

et Ton a 

(16') cD. =fU^{t)t~'"~\U. (i.»/x-l./i-r+l,...,oc) 

La convergence de ces intégrales résulte de la fa^on dont on a choisi 
Texposant /£. 

* ^ 

1 3. Lorsque la racine non entiére de Téquation détenninante relative 
au point a^ a sa partie reelle plus grande que — i, il est clair qu'on 
peut substituer a Tintégrale définie prise le long du chemin c„ Tintégrale, 
qui n'en dififére que par un facteur, prise de a, a Tinfini selon le prolonge- 
ment du rayon qui joint Torigine au point a^. Dans ce cas, les formules 
(ii) et (16) peuvent étre remplacées respectivement par 



oc 



/ N n C Uiit)dt 



et 

ae 



Pn =fiW.)r'-'df. 



ai 



8ar la generation de systémes réourrents. 353 



Z^éqtuUion récurrente inverse. 

14. Ghangeons dans Téquation aux différences (2), le polyn6me 
af^{n) en a^{n — h) et p^^,, en (/^_^; nous obtenons ainsi une nouvelle 
équation aux différences: 

(18) a,(n — r)(/,^,+a,_,(n — r+i)(7„_,^,+...+fli(^— Oyn-i+flo(w)yn=o. 

Nous dirons que cette équation est Vinverse de Téquation (2). Si Ton 
répéte sur Téquation (18) Topération qui a servi a passer de (2) a (18), 
on trouve Téquation inverse de (18); or le calcul, fort simple, montre 
immédiatement que cette nouvelle équation ne différe aucunement de 
Téquation (2), sauf le changement de Tindice n en w + ^• 

15. Il est facile de former Téquation différentielle génératrice de 
Téquation (18). A cet effet, mettons-la sous la méme forme que Téquation 
(2), c'est-ä-dire changeons w en « + r: il vient ainsi 

r 

Z (o,_».,(« + rL + o,-*.«_i(» + rL_, + .. . + a,_^_.^{n + r\ + av_».«)<7„» = o; 
mais on peut poser 

oii les coefficients ^r-h.k s® calculent tres aisément au moyen d'une for- 
mule bien connue, tout-ä-fait analogue a celle de Taylor et applicable 
aux fonctions entiéres ordonnées suivant les factorielles (w + ^)*- H 
importe de remarquer que 

et 

L'équation (18) qui 8'écrit maintenant 

r 
Åda mathematica. 16. Imprimé le 38 octobre 1892. 45 



354 S. Pincherle. 



a la méme forme que Téquation (2), et on peut donc immédiateraent 
en déduire Téquation différentielle génératrice, comme on Ta vu au § i. 
Cette éq nation diflFérentielle est 

(19) É ^""rJ' + K-x.f.t^-' + . . . + ao.,)<* ^ = fB{t). 

16. De la remarque que a^^ = a^^\ il résulte que le coefficient de 
imyim) jj^jjg i»équation (19) est 

qui, égalé a zéro, donne les points singuliers autres que ^ = o et ^ = oo 
de cette équation (19). Or Téquatlon algébrique que Ton obtient ainsi 
n'est autre que la réciproque de (7); les points singuliers en question 
sont donc en ordre de modules non décroissants : 



j > • • • » 

ar «r-l Äj 



En outre, de la remarque que aoj^ = a^^y il suit que 1 équation dé- 
terminante de ( 1 9), relative au point t = o, est précisément 1 équation 
déterminante de (i) relative au point t = 00, tandis que Téquation dé-^ 
terminante de (19) pour i = co ne difiFére de celle de (i) pour < — 9 
que par le changement de p en p -{- r. 

17. Pour les integral es de Téquation récurrente (18), on a en general 

lini?^^=;^a^. 

Exceptionnellement, c'est-a-dire pour certaines*intégrales particuliéres, 
il pourra se faire que cette lirnite ait un inodule moindre ^t précisément 
le module d*une autre des racines de (7). Les paragraphes précédents 
nous donnent une méthode pour déterminer ces intégrales, et en particulier 
Tintégrale distinguée, pour laquelle 



Sur la generation de systémes récurrents. 855 



Applicationa. 

1 8. Supposons r= I. Alors Téquation (i) prend la forme 



m 



d}U 



le rapport de deux coefficients consécutifs dans le développement en serie 
de son intégrale est une fonction rationnelle de 1'indice n. Cest la le 
type hypergéoraétrique généralisé de M. Goursat. 

19. Supposons maintenant r = 2. Uéquation aux différences (2) 
prend alors la forme 

que nous écrirons pour abréger: 

Déterminons maintenant deux intégrales de cette équation par les 
conditions 



(c) 



puis considérons la fraction continue: 



(d) 



<^/t 



C, + 5/^^> 






C/i+2 + . . 



On voit aisément que sa réduite est, en general, ^ , ou jj„ et p'^ son t 

déterminées précisément par les conditions initiales (c). 

Il slagit de rechercher si cette fraction continue est convergente, et 
d*en trouver la valeur. Cette recherche peut se faire comrne il suit. 



356 S. Pinoherle. 

a) Je commence par remarquer que toute intégrale de Téquation (b) 
peut s'écrire 

ou A et /£ sont des constantes. • On en tire 

Vn Vn 

et si la limite de P„: jpi est nuUe pour n = co, il en resultera précisément 

/T— _^^ 

^"- r 

h) D^aprés cette remarque, on voit que la recherche de la valeur 
de a colncide avec la recherche des valeurs des constantes A , /£, pour les- 
quelles la limite de P„:2>n ^t nuUe. 

Reprenons pour cela Téquation (i) qui a actuelleraent la forme 

(e) Al^=£(«,<' + b,t + cy^= l'^B{t), 

et poson^ 

aJ' + hj + c„ = {t — a){t -fl), \f\ > |a|. 

On voit alors, si U est Tintégrale correspondante au point /9 äe Téquation 
AU = o, que 



f \ r Udt 



(O 



est rintégrale de l'équation (e) prise sous la forme 

= — M"{a(/i — i)m©,._, + a{fi — 2)cD^_, + b{/t — i)S^_,} 



« 



ou 



rifdt c Udt 

(c) (c) 



Sur la géDÖraticm de systémcs récurrents. 357 

c) Cela pose, rappelons que 1'intégrale ^{u) est développable en une 
serie de puissances entiéres et positives de u , Scöftt*", oii ö>« est Tintégrale 
distinguée de Téquation (b) puisque U est Tintégrale correspondante au 
point singulier de plus grand module de Téquation A U= o. On peut poser 

et Ton sait que la limite de fi>^ : p'^ est nuUe pour n = co. On a en 
outre, a cause des (c), 

. rudi C V dt 

(C) (c) 

d'oii il suit enfin 

fut-fdt 

(c) 

formule qui transforme une fraction continue dont les elements sont des 
fonctions rationnelles de Tindice en un quotient dintégrales définies, et 
qui renferme comme cas particulier le développement en fraction continue 
que Gauss a fait connaitre pour le quotient de deux fonctions hyper- 
géométriques contigues. 



Sysiémes récurrents de fonctions. 

20. Nous avons supposé jusqu'ici que les coefficients de Véquation 
(i) soient des const/antes. Regardons raaintenant ces mémes coefficients 
comme dépendant d'un certain nombre de paramétres rr^ , a?, , .. ., 0:^ dont 
ils soient des fonctions analytiques. En indiquant par [rr] un systéme 
déterminé de valeurs de ces paramétres, on pourra dire, pour abréger le 
langage, que [a?] est un point de Thyperespace S^ a 2j dimensions défini 
par le systéme des j paramétres complexes x^ j x^j , . . , Xj. 

En considérant alors 1'équation (7), on voit que ses racines seront 
aussi des fonctions analytiques des paramétres x. Les points [x] pour 
lesquels deux de ces racines ont méme module förment un hyperespace 
S' a 2j — I dimensions contenu dans Ä^; si Ton prend un point [x^^ 



358 8. Pincherre. 

de S^j qui n^appartient pas a Ä', pour tout point d'un domaine de [rc^] 
suffisamment restreint, on pourra ordonner les racines de (7) selon le ur 
module croissant 



«i 



< a„ < . . . < a^ ; 



d'apré8 les resultats des paragraphes précédeiits, on a un systéme oo*^* 
d'intégrales p^ de Téquation aux différences (2) pour lesquelles 

et en particulier une unique intégrale (intégrale distiuguée) pour laquelle 
cette limite est a,. Pour tous les points du domaine considérée de rr^, 
la limite du rapport de cette intégrale distinguée ä une intégrale quel- 
conque de Féquation (2) est nuUe pour n = co; dans le oas particulier 
oii Téquation récurrente est du deuxiéme ordre, cette intégrale distinguée 
constitue le systéme des restes de la fraction continue dont les numéra- 
teurs et dénominateurs des réduites satisfont a la méme équation. Je n'en 
dirai pas davantage sur le cas general ou les coefficients de (2) sont des 
fonctions analytiques quelconques des paramétres, et je m'arréterai plutöt a 
rhypothése particuliére qui suit, et qui est la plus intéressante, parcequ'elle 
ofifre la généralisation des fractions continues algébriques ordinaires. 

2 1 . Dans cette hypothése, je supposerai que les coefficients de Téqua- 
tion (2) dépendent d'un seul paramétre x et en outre que ce paramétre 
entré au premier degré dans les coefficients, excepté dans a©.* et a^^ que 
je regarderai comme indépendants de x. L'équation dififérentielle (i) 
pourra alors s'écrire: 

(20) ^ [ffoj^r + (a,.t — a;ft,.i)r~' + •• • + (Or_i.t — xK-ui)i + Or.J<* -jtf = o,. 

et réquation (2) deviendra: 

(21) Or(«)i>. + r + (Or-l(«) — aJ*r_l(«))i>, + r-l + ••• 

+ (rti(w) — a;i,(M))Äfi + «o(«)i'» = O- - 



D^aprés le § 14, nous savons écrire l'équation inverse de Téquatiön (2r);. 
en y changeant le paramétre x en Zy cette équation sera: 



Sar la- generation de systémes récurrents. 359 

(22) a,{n — r)q„_r + K-i(» — »* + i) — zb,_^(n — r + i))^,_r+i + • • • 

+ (o,(« — I) — zby{n — i))y,_i + Oo(«)??» = o- 

Nous allons étudier un systéme récurrent dp fonctions défini par Téqua- 
tion (2j). 

Développetnent d^une fanction en serie ordofinée suiva/nt 
les polynåmes d^v/n systéme réctirrent. 

22. Déterminons une intégrale particuliére de réquation (21) par les 
conditions que p^ soit egal ä Tunité et que pour une valeur negative de 
Tindice n les p^ soient nulles: indiquons par P^{x) ce systéme particulier. 
Uéquation (21) montre que P„(rr) sera un polynöme entier en x, de degré 
précisément egal a w. Nous avons ainsi défini un systéme récurrent tres 
general de polynömes de degré egal a leur indice; c'est le systéme dont 
réchelle de relation (éq. 2 1) a ses coefficients linéaires en x et rationnels en n. 

Je dis maintenant qu il est possible d'obténir le développement d'une 
fonction analytique quelconque de x en serie ordonnée suivant les poly- 
nömes d'un tel systéme et d'en donner les conditions de convergence; 
nous allons nous occuper de cette question. ' 

A cet effet, écrivons Téquation (21) pour toutes les valeurs de n 
depuis n = — r + i jusqu^ä Finfini, et multiplions respectivement par g^; 
en sommant ces équations et en ordonnant par rapport aux indices crois- 
sants de P„, on a, abstraction faite de la convergence dont les conditions 
se rönt données plus loin: 

+ Pi[a,{— r + i)g^r+i + «r-i(— r + 2)q_,^^ + . • . + »0(1)?,} 
+ 

= x[P^[b,_,{— r + i)y_,+i + K-.2{— r + 2)g_,+2 + . . . + ^(— 0?-i} 
+ Pi{6,_,(— r + 2)q_,^^ + K_^{— r + 3)?-r+8 + • • • + *i(o)?o} 
+ 



360 S. Pinohcrle. 

Beinarquons inaintenant que Ics quantités q^ satisfont a l'équation 
récurrente (22), que nous supposerons vérifiée ä partir des valeurs de 
Tindice n = o , n = i, pour lesquelles on a: 

«r(— r)q_r + (<lr-l(— »• + I) — ZK-Å— v + l))?_r+l+ • • • 

+ (o,(— I) — z\K— i))?-i + o,(o)go = o, 

«r(— »• + l)<?-r+l + («r-l(— f + 2) — ÄrÖ,_, (— r + 2))j_,+, + . . . 

+ (a,(o) — ^ft,(o))y, + a„(i)g, = o; 
d*ou il suit que le premier membre de Tégalité précédente pourra 8'écrire 

Po{-a,(-r)(7_,+ir(6,_,(— r+ i)(7_,+, + 6,_,(-r+2)g'_,+,+..+J,(- !)?_,)} 

+ zT^\K-A— »" + 2)?-r+, + K-'i{— r + 3)?_.+3 + . . . + *,(o)g,} 
+ . . . ■ 

et par conséquent cette égalité elle-méme devient: 



CO 



-PoOr(— »•)?-r(Ä') = {z — x) D P„(a;){J,_,(n — r + i)g'._,+,(5) 



IlerO 



Mais -Pj — ^ P***, hypotbése, d'ou il résulte enfin, puisque o^( — r) = o^j; 

00 

(23) = TT ^{K-\{^ >* + 0?n-r+l(^) + • . • 

+ 6.(«— i)y«_i(i^)jP»(4 

23. Nous avons établi formellement ce développement; il s'agit 
maintenant d'en rechercher les conditions de coiivergence. Pour cela, 
Téquation (7) prend actuellement la forme 

continuons å indiquer par a^ öa racine de module minimum. A chaque 



Sur la géDÖratioQ de systémes récurrento. 361 

valeur de x correspond une valeur et une seule de [aj, laquelle n'est 
infinie pour aucune valeur de x et ne peut méme dépasser la valeur 



I ^ "O.m 

et qui est nulle pour a? = oo et pour cette valeur de x seulement. 

Indiquons par C^ le lieu des points du plan x pour lesquels on 
a |ai(a?)| = p^ p étant une quantité positive quelconque plus petite que 
p^. Ge lieu est une portion de la courbe analytique qui, dans le plan 
des Xy correspond au cercle |/| =/> du plan des t. Tout point du plan 
X non situé sur la courbe C^ appartient, soit a Tensemble des points pour 
lesquelles on a |aj(rr)| > ^ et que j'indiquerai par E^j soit a Tenseinble des 
points pour lesquels on a |aj(a?)| <^, et que j*indiquerai par JB^. Uen- 
semble E^ se réduit a zéro pour p= p^\ pour toute valeur de ^ <yo^, Ep est 
une aire (connexe ou non) finie, tandis que E'^ est une aire infinie; on ne 
peut passer de Tune ä Tautre sans tra verser C^, qui est donc une courbe 
fermée ou composée de plusieurs courbes fermées. Deux courbes C?,.,6V, 
ou p' est plus grand que py ne peuvent se couper, et comrne C^, est 
tout entiére dans le cliamp E^y on peut dire qu'elle est intérieure a C^, 

24. Tandis que nous avons parfaitement déterminé le systéme de 
polynömes P„(a;) qui figure dans le second membre du développement 
(23), par les conditions 

nous n^avons pas eneore déterminé y„(^), qui est jusqu*ici une intégrale 
quelconque de Téquätion (22). Nous allons ä present déterminer cett€ 
intégrale en fixant que le systéme Qni^) soit Vintégrale distinguée de 
Véquation récurrente (22); nous Tindiquerons par (?„(-?) et nous avons, 
ainsi qu'on Ta vu (§ 16), 

lim%±iifi=ot(A 



nacao 



Cela pose, prenons une courbe Cp quelconque {p > p^)y et soit x un 
point quelconque du champ Epy z un point quelconque du champ E*p\ 
on aura pour de telles valeurs de rr et de ;?: 

l«iWI<l«i(^)!- 

Åfia malihifmaXica* 16. Imprfroö le IC d^cembre 1892. 4Q 



362 S. PiDoherle. 



Je dis que pour ces valeurs de x et de z^ la serie (23) est convergente. 
Elle se compose, en eflfet, de la som me de r — i series de la forme 



CO 



(23') '^b,{n — h)Q,_,{z)P„{x); <*->.« --i) 



« = 



or, en for mänt le rapport d'un ter me au précédent dans cette serie, il 
vient: 

, . hH{n+ l—h)Qn + l-H(z)Pn+l{x) , 

^^^ h{n~h)Qn^H{z)Pn(x) 

mais bf^{n) étant un polynöme de degré m en n, le rapport 

bf^{n -{■ I — h) : bf^{n — A) 
tend ä Tunité pour w = 00; quant a Q„ et P„, on a 

lim %l(l) = . U\ lim ?^!^±1^ = -±- ; 

n=« Qn{z) "1^^^' , = « P,(X) a,{xy 

la limite du rapport (24) est donc pour les valeurs considérées de x et de 
Zy plus petite que Tunité en valeur absolue, et par conséquent chacune 
des series (23') et par suite aussi la serie (23) est absolument convergente. 
Elle Test de plus uniformément dans le champ E^ par rapport k x, {\e 
contour C^ exclus) ainsi que cela résulte de la demonstration donnée aux 
§§ 9 et 10 de mon mémoire: Sui sistemi di funzioni analitiche e le serie 
formate coi medesimi,^ et dans le champ E'p par rapport a z. 

25. Il est maintenant facile de déterminer le développement d'une 
fonction analytique donnée f[x) en une serie de polynömes P«(rc). Il 
suftit en eflfet que cette fonction soit donnée a Tintérieur de Tun des 
champs désignés par E^y pour que Ton puisse lui appliquer le théoréme 
de Cauchy; on a alors 

)dz 

X 



r(^) = i, P-B 



z étant prise le long d'une courbe C^^ pour p^ < p et par conséquent 



* Annali di Matematica, S. 2, T. 12, 1884. 



Sur la generation de systémes réourrenta. 363 

tout entiére a 1'intérieur de E^. Le développement de en serie 

(23) étant uniforméinent convergent, on peut intégrer la série terme a 
terme, et il vient: 



00 



(25) M = ^A^Å-r), 



»»o 



oii 



N0U8 avons ainsi obtenu le développement d'une fonction analytique 
donnée en une série ordonnée suivant les polyn6mes d'un systéme ré- 
current dont (21) est Téchelle de relation, et nous avons trouvé les con- 
ditions de convergence de ce développement, toutes les fois que l'échelle 
de relation est d'ordre fini et que ses coefificients sont des fonctions ra- 
tionnelles par rapport a Tindice et linéaires par rapport a la variable, 
et qu'en outre a^^ est di£férent de zéro. 

Bologne, 30 juin 1891. 



365 



EXPRESSION COMPLÉTE ET SIGNIFICATION VÉRITABLE 

DE LA NUTATION INITIALE. 

DEMONSTRATION QUI EN RÉSULTE DE LA FLUIDITÉ INTÉRIEURE DU GLOBE. 
CONSÉQUENCES ANALYTIQUES DE CELLE-CI DANS LES FORMULES DE L'ASTRONOMIE. 

PAB 

P. FOLIE 

å BRUXELLES. 

Il est une question d^analyse que toiis les géométres qui se sont 
occupés de Tétude du mouvement de rotation de la terre ont correcte- 
inent traitée depuis Euler, Laplace, Bessel, Poisson, Serret, etc., mais 
que les astronomes avaient négligée pendant longtemps. 

C est celle de la nutation qui provient des constantes arbitraires que 
rintégration introduit dans les équations du mouvement de rotation de 
la terre, nutation qui serait nulle dans le cas seulement oii la terre 
aurait tourné primitivemen t autour d'un axe principaL 

Bessel le premier, W. StrTjve ensuite, ont commencé ä se préoccuper 
de cette question au point de vue astronomique. 

Et Peters a tres exactement déterminé deux des constantes de cette 
nutation, au moyen de la serie de ses observations sur la hauteur du 
p61e a Poulkova pendant les années 1841 — 1844. Plusieurs autres astro- 
nomes, parmi lesquels il faut citer surtout Nyrén, Downing et, tout 
récemment, van de Sande Backhuyzen, ont réussi a déterminer égale- 
ment ces constantes avec une assez grande exactitude. 

Seulement, depuis que la question de cette nutation, qu'on appellc 
quelquefois eulérienne, et que j*appellerai initiale parce qu'elle dépend des 
conditions initiales du mouvement de rotation de la terre, est entrée dans 

Aeia mathtmaHea, 16. Impiimé le 16 d6cembre 1892. 



366 F. Folie. 

le domaine pratique, il est arrivé que les astronomes ne se sont plus pré- 
occupés du caractere diurne attribué par tous les géométres a cette 
nutatioiiy et que quelques-uns ont méme été jusqu^ä con tester ce caractere. 

Il se manifcste cependant d'une maniére tellement évidente dans les 
formules, que l'on a quelque peine a concevoir que des astronomes-géo- 
métres aient pu l'oublier; aucun astronome méme n*a songé a profiter 
du caractere diurne de cette nutation pour en déterminer les constantes, 
ce qui est cependant la voie la plus simple et la plus stire, comme nous 
le verrons. 

Laplace avait signalé tres nettement ce caractere dans les termes 
suivants : 

On voit que, si G (coefificient de la nutation initiale) était sensible, 
on le reconnaUraU par les variations journaliéres de la hauteur du påle. 

Cest Oppolzer qui a, le premier, contredit cette assertion du grand 
géométre, en mettant en lumiére, du méme coup, la raison pour laquelle 
les astronomes ont oublié le caractere diurne de la nutation initiale dans 
les déterminations quMls ont faites de celle-ci. 

Apres en avoir donné correctement les formules, Tastronome viennois 
détermine la position de Taxe instantané de rotation par rapport au petit 
axe de Tellipsolde terrestre, et conclut, tres correctement aussi, en ces 
termes: dOu voit donc que l'axe instantané de rotation décrit, autour de 
Taxe de la terre, une surface conique dont Tangle d*ouverture f^ est 
détermine par 

sm ^0 = — -^ 



ö>o 



le sens de la rotation est celui de la terre, puisque fx est positif ; la 

revolution est compléte apres un temps = — . Pour /i, on a pose pré- 

cédemment: 

G— A 

de sorte que, n representant la vitesse angulaire de rotation de la terre, 
/i dépend essentiellement de 1h différence qui existe entré le rapport des 
moments d^inertie {C:Ä) et Tunité. Dans la suite de nos recherches, 



ExpressioD oompléte et signifioation véritable de la nutatioD initiale. 367 

nou8 aurons roccasion de déduire ces coefilcieiits des observations (comp. 
p. 182); le rayon étant pris comme uiiité, on trouve: 

[X = 0.02061 41, 
et pour la durée d*un tour 

— = 304 . 80 jours solaires moyens.» 

Apres avoir parlé des déterminations de Peters, Nyrén et Downing, 
il ajoute: DCependant, il découle de recherches antérieures sur les la- 
titudes que, méme dans le cas ou f^ et t^^ atteindraient de grandes 
valeurs, il n*en résulterait encore pour les latitudes que des variations 
périodiques d'une période d^environ 10 mois.D* 

Il n'y aurait rien ä objecter å cette afGrmation (puisque Oppolzer 
entend par latitude Tinclinaison de la verticale sur le plan perpendi- 
culaire a l'axe instantané de rotation ') si elle ne semblait écrite pour 
contredire celle de Laplace que j*ai citée ci-dessus. 

Et c'est bien dans ce sens que Tönt entendu plusieurs astronomes. 

M. Rad AU a été jusqu'ä dire que »Fexpression de Laplace ne devait 
pas étre prise au pied de la lettre»,' et Tisserand lui-méme a fait 
siennes les objections de M. Radau contre ma maniére de voir, qui est 
absolument celle de Laplace.^ 

Cest a Toccasion de mes recherches sur la nutation diume que j'ai 
été amené ä m'occuper de la nutation initiale. La période de la premiére 
est de 12*, celle de la seconde, de 24* presque exactement. 

Il est irapossible de déterminer la premiére si Ton ne connait la 
seconde; mais celle-ci, au contraire, peut aisément se déterminer indé- 
pendamment de la premiére, comme on va le voir par Texpression méme 
des formules auxquelles conduit Tintégration des équations du mouve- 
ment .de rotation de la terre. 

En désignant par A y B ^ G ses moments d'inertie principaux écrits 
dans Tordre ascendant, par O Tinclinaison de Taxe de C, que j'appellerai 



* Oppolzer, Tratte de la déterminaiion des oibites, träd. Pasquier, p. 151. 

' 1. c, p. 150. 

' Bulletin astroDomique. 1890. 



368 F. Folie. 

axe géographique, sur Taxe de Técliptique fixe, ou celle de Téquateur 
géographique sur Técliptique fixe, par 5, le sinus de cette inclinaison, 
par X Tangle que rintersection de ces deux plans fait avec Taxe vernal 
fixe, par ^ Tangle que Taxe de A fait avec cette méme intersection, le 
dernier angle ^ étant compté dans le sens du mouvement de rotation, 
Tautre, A, en sens inverse, j'ai déduit des équations du mouvement de 
rotation de la terre, en adraettant d'abord que la vitesse angulaire n 
autour de Taxe géographique est constante: 



Ae = —r 



sin {nU + jr -f /9 J — 7:^ sin {ntt — fr + Ä) 



+- gy { cos 2fr2*j + sin 2^S^ ] + NI[ , 



s,AÅ = —r 



cos{nU + f + /9o) + J^x^^^(^^^ — J^ + Ä) 



+ ^{cos 2f?S^ — sin 2^2*,} + NF^ + P* 

Dans ces expressions, j' et ^^ sont les constantes arbitraires; rj, N, p 
des constantes dont il est superflu que nous donnions ici Texpression 
compléte; il suffit que nous sachions qu'elles dépendent des moments 

d'inertie de la terre. t et x represen tent respectivement \/^ — '^ — \ ^ — 

V AB 

et -^ — ~ Jm R\^ — Tous les géométres ayant supposé A = By ont 

omis les termes en x. 

Les symboles 1\ , 1] , I^ > ^J désignent des fonctions déterminées, 
les deux premiers, des cosinus, les deux autres, des sinus des argu- 
ments Q> y ö f (O etc. 

f> est egal a wf + i, t désignant le temps sidéral de Tobservation, 
L la longitude orientale du premier méridien, passant par Taxe du mo- 
ment A, 

nit +'{^ + /^o P®^* ^^^^ se remplacer par n(i + 0^ +^ + Ä> V^^ 
nous écrirons simplemen t It -{- p, 

Nous aurons ultérieurement de graves réserves a faire quant ä la 
Constance du facteur Ny lorsqu'au lieu du mouvement de rotation de la 
terre, considérée comme un corps solide, nous nous occuperons de celui 



Expression compléte et sigDificatioD véritable de la nutation initiale. «SGO 

de son' écorce^ eii supposant quelle se ineut plus ou7 molns librement. 
sur la partie superficielle fluide du noyau. ■. , ■ I 

Avant d'aller plus loin, insistons sur la signification géomjétrique 
des formules précédentes. 

Elles se rapportent, comme il vient d'étre dit, a l'axe (axe du monde 
de Laplace) et a Téquatear géographiques, et non a Taxe et a Téqua- 
teur instantanés. 

Ce dernier axe se déplace a la surface de la terre pendant une 
période qui, nous le verrons, est de 336.5 jours, et non de 305. 

• Le rnéridien astronomiqtie est donc variftble, jcomme Bessel^ ra déja 
fait remarquer, tandis que le rnéridien géographique est fixe. 

Mais ce nest pas un rnéridien variable qui peut servir a définir 
1'heure, ni Tascension droite. 

Nous supposerons donc Tascension droite. et la déclinajson rapport ées 
a 1'équateur géographique. La hauteur du p61e sera aussi, pour nous 
comme pour Laplace, celle du p61e géographique; et, lorsque nous em- 
ploierons le terme de latitude^ nous y ajouterons, pour éviter toute am- 
phibologie, le qualificatif astronomiquey attribuant ainsi a la latitude, le 
sens que lui a donné Oppolzer. ' '' " 

* \ DisGutons maiptenant les équations que nous venons de poser. 

On y voit clairement indiqués quatre mouvéments esséntiellement 
différents de Täxe du monde: . ' ^ ; 

le premier uniforme, provenant de *lei bonstånte p, et' appelé pré- 
cession; les.trois au tres périodiques, appelés nutation d*.une maniére gé- 
nérale. 

J'ai nommé ci-dessus ntUation- initiaie \é premierade ées niouvements, 
dont la période est presque exactement de i jour sidéral. 

J'ai nommé nutation diurne le second, dont la période est de 7^ jour 
sidéral, et nutation annuélle enfin le troisiéme, qui sé compose en réalité 
d'un grand nombre de mouvéments doi^t les périodes sont d^'un an, ou 
d'une fraction plus ou moins grande de Tannée, et peuvent méme aller 
ju8qu'ä 18 ans. 

Faisant abstraction de la précession, nou^ ällons rechercher cömment 
ott pourra le mieux déterminer leö trqis njitationis qui ; yie^nent d'étre dé- 
finies.. . , • :- . •'-•,.■'*; ..••..... 

Le mouvement de Téquateur, dA a ces trois nutations, a pour effet 

Äeta mathemoHca. 16. Imprimé le 17 décembre 1892. 47 



370 F. Folie. 

de produire des variations oorrespondantes dans Tascension droite et la 
déclinaison des étoiles. 

On sait que ces variations se déduisent des précédentes au moyen 
des formules: 

da f . , . . ^y. dX , ^d0 

^ = (cot£ + sin a tgö>i ^ — cosa tgrf^ ; 

då dX , . d0 

Afin de ne pas sortir de notre sujet, nous supposerons ici que Ton 
peut se borner a intégrer en écrivant simplement 

Aa = (cot e + sii^ a tg <^)^i AA — cos a tg d^Oj 

A<> == cos a5j 2\A + sin aAö, 

ce qui est^ en e£Fet, d'une rigueur absolunient suffisante en pratique 
quant a la nutation initiale, sur laquelle nous portons spécialement notre 
attention, 

Uincorrection de ce procédé dMntégration, en ce qui concerne les 
termes annuels^ disparaltra dans la suite de cette exposition, parce que 
ces termes 8'élimineront. 

On pourra donc écrire la nutation corapléte en asccnsion droite et 
en déclinaison, en négligeant provisoirement les termes en x: 

Aa = ;-{co8atg(?sin(7f + y9) — ^(cote + sin a tg (?) cos (Jif + /?)} 
+ 7{(cot e + sin atgrf)(cps 2^1^ — sin 2^1^) 

— cos a tg(J(cos 2^2', + sin 2 j^2j)} 
+ JSr{(cot s + sin a tg d) 2*; — cos a tg (?2; }, 

A(?= — yco& {It + ji — a) + 7{cosa(cos 2f?2*2 — sin 2j^2^,) 

+ sin a (cos 2^2', + sin 2^2,)} 
+ iV{cosa2J + sina2;}. 

Nous pouvons profiter du caractére diume de la nutation initiale, 
pour en déterminer les constantes, abstraction faite de toute erreur de 
réduction. 



ExpressioD oompléte o t sigDificatioii véritable de la Dutation initiale. 371 

CommeD9oiift par le procédé dont Peters et Downing ont fait usage 
pour déterminer celleg de la variation de la latitude astronomique, qui 
sont, au fondy les mémes que celles de la nutation initiale. 

En désignant par cette latitude, par d la déclinaison apparente 

d'une étoile rapportée ä Téquateur astronomiqm, par Z la distance zénitale 

observée^ corrigée de la réfraction, ces aatronoines ont écrit, pour le oas 

d*un passage supérieur 

Z,= — d 

et pour le cas d'un passage inférieur 

i8o^ — Z, = (P + (?, 

et ils ont considéré la latitude astronomique comme une quantité variable 
déterminée, en fonction de la hauteur 0^ du pöle par 

<^= <^o + rcos(mf +y5). 

Cette maniére de voir est absolument correcte; mais elle a le tort 
de masquer complétement le caractére diurne de la nutation initiale, et 
elle explique que plusieurs astronomes aient pu nier ce caractére; elle 
présente, de plus, ce grave inconvénient théorique qu'il n^existe pas de 
formules correctes propres a déterminer la déclinaison rapportée a Téqua- 
teur astronomique. Celles de la mécanique céleste sont relatives, on vient 
de le voir, ä Téquateur géographique. 

Oppolzer a bien démontré que Von peut, sans erreur sensible, 
appliquer ces formules a Téquateur astronomique. 

Mais, trop exclusiveraent pénétré de cette idée juste que c'est autour 
de Taxe instantané que tourne la terre, et non autour de Faxe géographique 
(axe du monde* de Laplace), il a perdu de vue que c'est le méridien 
géographique seul qui peut servir a définir Theure et Tascension droite. 

Pour étre tout a fait logique, il eAt dA chercher ä définir celles-ci 
au moyen de la notion du méridien astronomique passant par Taxe in- 
stantané. 

Mais alors il se fi^t aperfu que sa definition de Theure sidérale ne 
concordait plus avec celle des astronomes, et Teiit certainement aban- 
donnée. Car il ne se serait certes pas contenté de dire que les variations 
du méridien astronomique d'un jour a Tautre sont tellement faibles qu'on 
peut les négliger sans erreur sensible. 



372 F. Folie. 

Dé négligence en négligence, que deviendrait doinc Texactitude ma- 
thématique qué Ton est en dröit d*exiger, autant qu'elle peut étre atteinte, 
des formules <le la luécanique céleste, de celles surtout qui sont relatives 
k rinvariabilité du jour ftidéral? 

Or les formules- employées par töus les géométrés, raéme les plus 

» 

récents, Oppolzbr seul excepté, et relatives a l'équateur et au méridieti 
géographiques, sont absoluinent correctes. 

Si Von m'objecte, pour justifier Oppolzer, qu'elles ne sont pas appli- 
cables aux observations astronomiqueö, puisque celles-ci sont souvent 
faites dans le raéridien astronomique, je n'ai qu*une chose a répondre; 
c' est que les astronomes qui procédent ainsi ont tort, et que les seules 
observations qui puissent conduire a des resultats corrects par Temploi 
de formules correctes sont celles faites dans le méridien géographique, 
qui, étant fixe, peut étre déterrainé une fois pour toutes par une bonne 
serie d'observations, et est le seul qui puisse définir et donner exacte- 
ment Theure sidéralé. 

Donc, puisqué las formules de la nutation se rapportent a l'axe du 
raonde, et non a Taxe instantané de rotation, on doit écrire, d'une ma- 
"niére absolument rigoureuse, en appelant å^ la déclinaison de Tétoile 
TÄpportée a la position moyenne de léquateur géographique pour Tinstant 
de Tobservation, dans le cas d'un passage supérieur, puisqu'alors nt = a 
et It + p—a = nU + p: 

Z, = (Po — 3^ + r^os{nU + p) 

— ly {(cot s + sFn a tg (?)(co8 2ipll^ — sin 2^1^) 

— cosatg<y(cos2jc>2'j + si^^ 2^2*2)} 

— iV^{(col e + sinator^)!;; — cosatgrfi;}; 

et, dans le cas d'un passage inférieur, pour lequel nf = ;r + «• 

180^ — Z, = (P, + ö\. + r cos(m< + y^ 

+ 7{(cot£+ sin a tg (?)(cos 2(pl^ — sin 2jp2\) — cosatg(?(cos 252? 2\ +sin 2ipl^)] 

4- -^{(cote + sina tg(?)22 — cosatg(?2J}. 

Au sujet des termes de la nutation diurne, nous ferons remarquer 
d*abord que, puisqu^ils ont pour argument principal 2^, la variation de 



Ezpression oompléte et signifioatioD véritable de la Dutation ioitiale. 373 

cet argument, d*un passage supérieur au passage inférieur consécutif, ou 
vice versa, est sans conséquence, puisquMl aura augmenté de 2;r. 

Et quant aux autres arguments, soit de la nutation, soit de Taberra- 
tion, on peut admettre, sans erreur sensible, qu'ils n'ont pas subi de 
variation d'un passage k Tautre; on pourra, du reste, efifectuer rigoureuse- 
ment le ealeul pour les étoiles voisines du pöle; mais nous pouvons passer 
sur ce détail. 

Oela pose, si Ton fait la demi''Somme des deux équations précédentes, 
on obtient simplement 

Posant 00 = <^o + ^> ^0 désignant la hauteur du p61e adoptée, z 

Z Z- 

sa correction; et — + 90° — ^i = ''j o^ ^^^a 



ou, en faisant 



r = z + j-cos {nit 4- y9), 
r = ^ 4" y cosnit — X sinw^^, 



équations d'ou Ton pourra déduire, au moyen d'une serie d'observation8 
de passages supérieurs et inférieurs consécutifs, les inconnues z^y^Xy 
donc ;• et ^, indépendamment de totäe erreur de réduction et méme de po- 
sition de Vétaile. 

Nous indiquerons ultérieurement quelques resultats que cette mé- 
thode nous a fournis. 

Mais auparavant, il importe de montrer qu'on peut avantageusement 
faire usage également du caractére diurne de la nutation initiale, pour 
déterminer ses constantes au moyen des ascensions droites des étoiles, 
procédé dont il n'avait pas encore été fait usage. 

Nous pourrons nous borner ici a considérer les seuls ter mes de la 
nutation initiale, le raisonnement que nous avons fait précédemment 
quant ä tous les autres termes de réduction au lieu apparent étant 
applicable également dans ce cas-ci. 

A Tascension droite apparente, telle que les astronomes la calculent 



374 F. Folie. 

habituellement en négligeant la nutation initiale, il faut donc ajouter 
pour un passage supérieur, 

Adt, = ;'[cos a tg åsm {nit + a + ff) — (cot e + sin a tg (?) cos {nit + a + y9) } 

= /'{tg S sin {nU + fl) — cot e cos {mt + a + /5)} ; 

et, pour un passage inférieur, puisque It augmente de ni 

Aat = — ;-{tg d sin {nit + /3) - — cot s cos {nit + a + jSf)]. 

Comme les autres termes de réduction sont égaux, ä tres peu prés, 
pour deux passages consécutifs, il existera, du chef de la nutation initiale, 
entré les ascensions droites observées ä ces deux passages, une diflférence * 

A'a = + 2;'Cot£{tge tg5sin(firf + fl) — cos(wrf + a + ^}- 

On prendra le signe + ou le signe — , selon que le premier pas- 
sage observé sera supérieur ou inférieur, 

Faisant 27- cot e sin^ = Xy 2;'Cot£ cosyS = y, et désignant par r le 
facteur tg e tg ^, on aura 

+ A^a = wjrcosm^ + sm{nit + a)} + v[TBinnU — cos(wrf + a)} =gu-\'hv. 

Cette équation, appliquée ä une serie d'observations de deux passages 
supérieur et inférieur consécutifs, permettra de déterminer u et v, d'ou 
;• et /9. 

C*e8t par cette application aux series des ascensions droites de la 
Polaire observées par Struve a Dorpat que j'ai commencé mes déter- 
rainations. 

J'ai dit ci-dessus qu'elles ont été faites a Toccasion de mes recherches 
sur la nutation diurne. 

Celle-ci, dont je crois avoir démontré Texistence (Annuaire de 
Tobservatoire de Bruxelles pour 1890) n*est possible que si la terre 
se compose d'une écorce solide se mouvant plus ou moins librement sur 
un noyau fluide, au moins a sa surface. 



^ Afio d'abréger, nous avons négligé ici les 12^ dont lo t de la seconde observa- 
tion différe do celui de la premiére, ce qui est sans conséquence. Il est fort aisé, dn 
reste, do tcnir compto do cette différenoe. 



Ezpression compléte et sigoification véritable de la nutation initiale. 375 

Telle était donc, pour moi, la constitution de la terre. 

Mais alorsy c'e8t du mouvement de Técorce, et non du mouvement 
du globe, que le géométre doit s*occuper; et les moments d'inertie Ay B, C 
9ont ceux de la premiére, non ceuxdu second. 

Or dans les mouvements å tres longue period e, Técorce et le noyau 
sont solidaires, comme Ta démontré M. Konkar.^ 

Mais pour tous les autres termes, il n'en est plus ainsi. 

Le mouvement de Técorce 8'effectuant en une période qui ne différe 

que de — environ de celle du mouvement du noyau, il en résulté 

un mouvement relatif de celle*lä sur celui-ci d'une période de 300 jours 
environ. 

Mais, pour une période d'aussi courte durée, on ne peut pas calculer 
A y B f C pour Técorce comme pour le noyau. 

Aussi avais-je déjä émis des doutes dans le volume de TAnnuaire 
cité ci dessus, p. 300, sur Texactitude de la période de 305 jours calculée, 
par les astronomes, dans Thypothése d'une terre solide. 

Afin de me mettre, autant que possible, a Tabri de Terreur probable 
sur la période, c*est a dire sur la valeur de niy qui doit étre connue 
pour pouvoir résoudre les équations, j'ai pris trois series d'observations 
faites pendant les mois de mars, avril et mai seulement des années 
1823—24—25. 

EUes ont fourni des resultats fort satisfaisants qui me confirméretit 
dans mes doutes sur Texactitude de la période de 305 jours, ä laquelle 
correspondrait un accroissement annuel de fi egal a 428^, tandis que je 
trouvais un accroissement supérieur d'assez peu k 360^ 

Une serie analogue d 'observations de Preuss, en 1838, a corroboré 
ces doutes, et m'a pennis d'établir la véritable valeur de Taccroissement 
annuel de fi, qui est de 390^5, ce qui répond a une période de 336.5 
jours moyens. 

Fait surprenant, ce nouvel accroissement faisait merveilleusement 
concorder entré elles les déterminations de y9 faites par Peters, Nyrén 



* Ronkar, Sur Vinfluence du frottenient et des actions mutuelles intérieures dans 
les mouvements périodiques d*un systéme, t. 2 des Mémoires couronnés, publiés par 
TAoadémie royale de Belgique. 1 888. 



376 F. Folie. 

et DowNiNG au moyen de tres longues series d^observations, tandis que 
toutes ces valeurs étaient discordantes si Ton partait de raccroissement 
universellement adinis de 428°. 

Mes valeurs de la constante j- (o". 08 en moyenne) concordaient 
également fort bien avec celles qui avaient été trouvées par Peters, 
DowNiNG, Nyrén et Backhuyzen au moyen des variations de la latitude 
astronomique. 

Mais, comme il ne s'agissait pas ici seulement de la solution d'une 
question astronomique plus ou moins importante, mais de la solution de 
cette question autrement grave: la terre est-elle solide, ou hon? je ne 
me suis pas borné aux déterrainations précédentes; j'ai appliqué égale- 
ment, aux couples d^observations de la latitude faites par Peters, les 
formules exposées ci-dessus. 

Voici les resultats que m'ont fournies différentes series, le centiéme 
de seconde étant pris pour unité. 

i^ avril — ^juin 1842 
2° juillet — sept, y> 

.3° mars — avril 1843 
4** sept. — déc. y> 

5° mars — mai 1844 

Comme Tatigle /9 ne varie pas suffisammenit dans Tétendue d'une 
méme serie pour. qu'on puisse le déterminer d^iine maniére satisfaisante 
au moyen de ceUe-ci, nous combinerons la premiére serie, (la plus longue) 
avec chacune des autres, en supposant que Tangle ^ subisse raccroisse- 
ment annuel que nous avphs déterminé de 390^5.. ^ 

Si Ton désigne par i? et y les valeurs des inconnues, trouvées par 
Tune quelconque des series 2° — 5^, et ramenées au i*' avril 1842, par. 
Ä Taccroissement de Tangle yS de cette premiére origine a celle de la 
serie considérée, par x^ , y„ les valeurs pour cette derniére origine, on^ 
aura tres simplement 

X = x„ cos A — y„ sin ^ , 
ff = x^smA + y^cosA. 





X 


y 


Poids 


)r. i*"^ avril 


— 48^8 


49.2 


60 


3) i" juillet 


154 


— 354 


51 


» I*' mars 


— 35-^' 


33.1 


32 


D I*"" sept. 


— 108.7 


75.9 


22 


)) I®' avril 


41.0 


— »5-5 


17 



Ezpression complöte et sigDification véritable de la nutatioo initiale. 377 

L'application de ces équations a chacunes des series 2^ — 5° a doiiné 

X 



2° 334 



3° -33.8 



o 



4 123.2 



,0 



y 


poic 


19-3 


51 


34.2 


32 


48.9 


22 


28.3 


17 



5 33-4 

Et de ces valeurs, combinées respectivement avec les valeurs 

i*^ — 48.8 49.2 60 



on tire enfiu, en calculant maintenant y9 par tgy9 = -: 



1 1-3 


35-5 


III 


342''.7 


— 43-6 


44.0 


92 


315 -2 


6.66 


22.9 


82 


353-4 


— 30.6 


44.6 


. 77 


325 -S- 



On voit, dans la concordance des valeurs de ^ entré elles, la con- 
firination de Texactitude et de la Constance de la période que nous avons 
assignée ä la nutation initiale. 

A peine est-il besoin d'ajouter que Tapplication de la période de 
305 jours, ou de Taccroisseinent annuel correspondant de 428*^, eiit conduit 
ä des resultats absolument discordants. 

Les précédents s'écartent encore quelque peu de celui que Peters 
a déduit de Tensemble de ses observations. Mais il faut considérer que 
les series que nous avons employées sont peu nombreuses, que la dé- 
termination des latitudes est bien moins propre que celle des ascen- 
sions droites ä la déterniination d'une quantité aussi faible que la nuta- 
tion initiale, que celle-ci enfin n'est pas encore connue d'une maniére 
compléte, comme il sera dit ci-dessous. 

Les series des observations consécutives de Gyldén et de Nyrén 
étaient beaucoup moins nombreuses encore. Aussi n'ont-elles pas donné 
un resultat satisfaisant, quant a la détermination de Tangle j9. Par 
contre, la combinaison de tous leurs couples d'observations nous a conduit 
a une valeur de y égale a o".09, qui différe bien peu de celle que nous 
avons trouvée par les observations des passages de la Polaire de Struve. 

Äcta moMamottM. 16. Imprimé le 23 Janvier 1893. 47* 



378 F. Folie. 



Comparons maintcnant les meilleures déteriniiiations qui ont été faites 
de Tangle y9 aux resultats que fournit Tapplication de notre période. 
Ces valeurs sont naturellement toutes ramenées a Poulkova. 



OrigiDe Observations Autorité observée calculée O — C 

I"' janv. 1824 Polaire (Dorpat) F. F. 151^2 

y> 1842 Latitude (Poulkova) Peteus 341^6 340*^.2 i°.4 

5) 1850 Pr. vert. (Poulkova) Nyrén 224° 224^2 — 0*^.2 

D 1872 Latitude (Greenw.) Dovvning 175*^.2 175^2 o^o 

On peut donc actuellement considérer deux des constantes de la 
nutation initiale comme exactement déterminées. Ces constantes sont 

Y = o".o8; yS = 4"" (1890.0 Poulkova). 

Et, de plus, la non-solidité de la terre est dérnontrée. 

Ces resultats ont été établis, comme on vient de le voir, grace 
surtout au caractére diurne de c'ette nutation, qui avait été laissé dans 
Toubli par les astronomes, et qui a permis de la déterminer indépendam- 
ment de toutes les erreurs de réduction. 

Tout n'est pas dit encore, toutefois, sur la nutation initiale. Et il 
est tres possible que mes recherches ultérieures sur ce sujet me conduisent 
a démontrer ä priori Texistence de la nutation diurne. 

Jusqu'ici elle ne peut étre considérée que comme tres probable. 

La fluidité intérieure superficielle du globe n'entraine, en eflfet, la 

nécessité de la nutation diurne que si — -r, — est assez différent de zéro 

pour récorce, fait qu'on ne pourrait aflfirmer. 

Mais si Ton peut le démontrer autrement que par la détermination 
méme des constantes de la nutation diurne, Texistence de celle-ci sera 
prouvée a priori. Or, comme je Tai dit ci-dessus, il existe dans Tex- 
pression de la nutation initiale un second terme, qui a été négligé par 
tous les astronomes, et que j*ai commencé par négliger moi-méme, quoiqu'il 
fio^ure dans mes formules comme dans celles de Laplace.^ 

* Voici la note que j'ai insérde h ce sujet dans luon Traité des réductions stellaires: 
Dans la pratique, ou est astreint ä poser x = O, vu rignorance od Ton se trouve quant 
k la valeur do U — A ^ qui est cert^iDemcnt tros petite. 



Expression compléte et signifioation véritable de la nutation initiale. 379 

Cest a la négligence de ce terme, me suis-je dit, que sont dues 
peut étre les discordances que j'ai signalées ci-dessus dans les resultats 
déduits des series d^observations de Peters, de Gyldén et de Nyrén. 

Et je me propose de rechercher ultérieurcment si ces discordances 
ne disparaitront . pas en faisant usage de Texpression compléte de la nu- 
tation initiale, au lieu de se borner ä n'en considérer que le premier terme. 

Si Ton désigne par I et m les vitesses angulaires de Técorce terrestre 
autour des axes des moments Ä et B, les parties de ces vitesses qui 
proviennent des conditions initiales du mouvement seront 

I -= a^ cos {mt + y9, ), 



m 



= ^^1 Vsi^^^^^^^^ + ^i)' 



n étant la vitesse angulaire autour de Taxe de C, supposée constante, t, 
a et b representant respectivement y — j C — A et C — JS. 

Bornons-nous ä considérer ici la variation qui en résulte en obliquité: 

de 



dt 



= — I cos^ + m sinj^, 



ou ^ est w< + L, et L la longitude du premier méridien, passant par 

Taxe du moment A\ nous trouverons, en posant l/^r = i -{- x\ 

V Bo 

de 



di='~''^ 



(i +'^ sin (ntt + «^ + /9i + X) — ^ sin {nU — «<+/9, — L) 



La présence de nt montre que -z- change de signe d'un passage 

supérieur au passage inférieur consécutif dans le méridien géographique. 

Occupons-nous donc seulement du passage supérieur; nous ferons 

nt = aj et, de plus, ^^ + L = p, d'ou y9^ — L = JS — 2L, ce qui donnera 



de 



I + - ) sin {yitt + a + /9) — - sin {nd — a + ft — 2L) 



On n'a fait usage jusqu'ici que du premier terme de cette expression, 
en négligeant x. 

Mais X est-il négligeable? 



380 F. Folie. 

No US ne le pensons pas. 

Le développeinent de son expression donne 



d'ou 



A{C — A) = B{C — B)[i + 2X + x'\, 
{B — Ä){B + A — q^ 2B{C-B)x(^i + ^), 



et 



^2/ G — 



B — A 

2X1 I + - 1 =-. g 



— ^1 



Or, nous ne pensons pas que la fraction -^ = soit insensible, pour 

récorce terrestre surtout. 

Si elle ne Test pas, il y a lieu de rechercher quel e^t le second 
terme de la nutation initiale, dont aucun astronome ne 8'est occupé. 

Et si Tobservation donne, pour ce second terme, une valeur appré- 
ciable, peut-étre alors les discordances signalées ci-dessus disparaitront- 
elles, mais surtout Texistence de la nutation diurne sera prouvée a priori. 

Les coefficients ^ et -AT de la nutation diurne et de la nutation an- 
nuelle qui figurent ci-dessus, p. 368, sont entré eux dans le rapport 

rj ^ (B- AXB -f ^ - C) 

N {B + AXB — A + C)' 

ou, puisque 

(B — A){B +A-C) = 2B{C - Z?)x(i + 0, 

dans le rapport 



N \ 2/ {B + A){C + B — A) 

Si donc 2xf I + -) est appréciable dans la nutation initiale, ~ le 

sera également. 

Et, comme le mouvement de Técorce est beaucoup plus indépendant 
de celui du noyau dans la nutation diurne que dans la nutation initiale, 
la preiniére sera sensible si x Test dans la seconde. 

A ceci ne se bornent pas les conséquences analytiques de la fluidité 
intérieure du globe. 



EzpressioQ compléte et sigDifioation véritable de la Dutatioo ioitiale. 381 

Et Ton va voir de combien de points, restes jusqu^ici obscurs, rend 
compte cette circonstance, dont aucun géométre ne s'était encore occupé. 

Mais auparavant, il est nécessaire que nous exposions d'abord, d'une 
maniére un peu plus détaillée que nous ne Tavons fait ci-dessus, les re- 
sultats auxquels Tanalyse est arrivée dans Tétude des mouvements pério- 
diques d'un systéine' de points matériels soumis a des forces extérieures 
en méme temps qu'au frotteinent et aux actions mutuelles de ces points 
les uns sur les autres. 

Ces resultats, établis par M. Ronkar/ sont les sui vants: 

Dans un semblable systéme, 

i*^ les mouvements ä tres longue période s'efifectuent comme si tous 
les points étaient solidaires; 

2° les mouvements a tres courte période, comme si tous ces points 
étaient indépendants les uns des autres; 

3° dans les mouvements a période intermédiaire, il n'y a ni indé- 
pendance ni solidarité absolues entré les différents points du systéme.^ 

Appliquons ces resultats au globe terrestre supposé constitué d'un 
noyau solide recouvert d'une couche fluide, et celle-ci d'une écorce égale- 
ment solide. 

La précession, qui est un mouvement a tres longue période, s'effec- 
tuera comme si la terre était solide; c'est-a-dire que les moments d'inertie 
A j B y Cj qui entrent dans Texpression de sa constante, seront ceux de 
la terre entiére. 

La nutation diurne, dont la période est d'un demi jour sidéral seule- 
ment, 8'effectuera a peu prés comme si Técorce était indépendante du 
noyau; c'est-a-dire que les moments -4j , -Bj , G^ qui entrent dans Tex- 
pression de sa constante, seront ceux de Técorce solide. Quant a la nu- 
tation initiale, la question doit étre examinée de plus prés. 

Cette nutation consiste en un mouvement de Taxe géographique du 

' Ronkar Sur Vinfluence du frottemeni et des actions mutuelles intérieure^ dans le^ 
mouvements périodiques d'un systéme, t. 2 des Mdmoires couroDDés, publids par TAcad. 
roy. de Belgique. 1 888. 

* Ce point capital est corroboré par la kaute autorité de Sir W. Tiiomson, qui a dit: 

pEq la supposaut rigide, récorce entrainerait complétemcnt Ic noyau dans les oscilla- 

tioDS k loDgues pdriodes, telles que la précession; mais les nutations k courte période 

(ootamment celles de six mois et de quatorzo jours) seraient fort altérécs si non déna- 

turées.» (Tisserand, Méc. Cél. t. 2, p. 480.) 



^82 F. Folie. 



nionde, cornposé de deux parties dont les périodes sont respectivement 



27t , 2^- 

et - 



n(l + t) n{l — e) 

En méme tenips donc que la terre efFectue son mouvement de rota- 

tion autour de Taxe instantané en unc période égale a — , Taxe géogra- 

phique a un double mouvement dont les périodes différent tres peu de 
celle-ci. Il en résulte cliaque jour un faible déplacement du pole gcogra- 
phique par rapport au p61e instantané; ou, puisque le pöle géogra phique 
peut étre considéré comme fixe sur la terre, on peut dire que le pöle 
instantané se déplace autour de celui-ci, et nous avons vu que Tobserva- 
tion assigne a ce mouvement une période de 336.5 jours moyens. 

Telle est donc, en réalité, la période du mouvement relatif de 
Técorce sur le noyau dans la nutation initiale, quoique la période du 
mouvement absolu qu'elle produit soit d'un jour sidéral environ. 

Cette période de 336.5 jours approchc tres fort de celle des termes 
de la nutation qui dépendent de la simple longitude du soleil. 

Tous les astronomes et géométres, möme dans les Traités les plus 
récents, Tönt calculée dans Thypothése d'une terre solide, et Tönt donnée 

^ TT Å Å 

comme égale a — — = 305 jours sidéraux, en adoptant pour -^ 

la valeur qui résulte des constantes de la précession et de la nutation. 

Or, comme nous Tavons dit ci-dessus, si dans le mouvement de pré- 
cession et peut-étre dans celui qui dépend du noeud de la Lune, Técorce 
peut étre considérée comrhe solidaire avec le noyau, il n'en est pas de 

méme dans les mouvements ä période intermédiaire. 

Ä B' 

Pour ces derniers les valeurs -7 , — sont intermédiaires entré les 

valeurs 7^ , -r, trouvées pour la terre entiére et les valeurs ^ , -p^ appli- 

Oj Oj 

cables a Técorce seule, c'est-a-dire aux mouvements a tres courte période, 
comme la nutation diurne. 

L'observation m'a démontré que, dans le mouvement relatif d'une 

. , , A 

période de 11 mois produit par la nutation initiale, —. -,= 336.5 

o — A. 

jours moyens = 337-4 jours sidéraux. On a donc 

C— A C— A 305 C —A 

A A 337.4 ^ A 



ExpressioQ coiuplötc et signification véritablc de la nutation initiale. 383 

Or ce coefficient — -z — , que nous avons représenté ci-dessus par N, 

figure dans tous les termes de la procession et de la nutation. Pour la 
premiere il peut se calculer en rapportant A et G a la terre entiéro, et 
nous admettrons qu'il en est de méme pour le second. 

Mais nous venons de voir qu'il n'en est plus de méme pour des 
termes d'une période de 1 1 mois; a plus forte raison pour ceux d'une 
période de 6 mois, d'un mois et moins encore. 

Tous les termes solaires et lunaires de la nutation, que les astronomes 

ont calculés au moyen de la valeur — - — rapportée a la terre solide, 

sont donc fautifs. 

Il nest pas possible actuellement a la théorie de déterminer dans 

quel rapport — — — doit étre modifié pour ces différents termes, et cest 

a Tobservation que s'impose cette recherche excessivement laborieuse. 

S'il est permis de conclure par analogie, le coefficient des termes an- 
nuels de la nutation devra étre réduit de o.i de sa valeur; mais quant 
aux termes en 2O, Ij^ réduction sera peut etre encore plus considérable. 

Tirons maintenant quelques conséquences frappantes des prémisses 
que nous venons de poser. 

Rappelons d'abord que les astronomes n'ont encore tenu aucun compte, 
dans leurs réductions, de la nutation initiale, dont la période est, pour 
les observations méridiennes, de 336.5 jours moyens, c'est-a-dire approche 
d'assez prés de Tannée; 

qu'ils ont employé un coefficient fautif pour les termes solaires de 
la nutation (en laissant ici de cöté les erreurs sur les termes lunaires, 
et en admettant quelles se compensent dans une longue serie d^obser- 
vations) ; 

qu'ils n'ont tenu aucun compte de la nutation diurne, qui renferme 
également des termes solaires appréciables. 

Quelle confiance avoir, des lors, dans les déterminations de la con- 
stante de Taberration? Quoi d'étonnant si Ton ne trouve pas, dans ces 
déterminations, la concordance quMl serait permis d^attendre d^observations 
et de réductions bien faites, et si elles ont conduit presque toutes ä des 
paralla xes negatives? 

Tout est donc a reprendre a nouveau en astronomie: la théorie du 



384 F. Folie. 

monveinent de rotation de Vécorce terrestre en tenant compte du frotte- 
ment et des réactions intérieures du noyau, et les formules de rotation 
qui en découlent. 

La théorie n'en sera pas faite avant quelques années; ^ et les ob- 
servations, réduites selon les principes que nous venons d^exposer, dans 
Vhypothése de la fluidité intérieure du globe, pourront conduire plus t^t 
ä des resultats satisfaisants. 

EUes nous ont déja démontré cette fluidité intérieure en opposant a 
la période théorique de 305 jours, calculée dans Thypothése de la solidit^ 
du globe, une période de 336.5 jours,^ et elles ont, par la méme, établi, 
avec une probabilité tres grande, Texistence de la nutation diurne. 

Elles me conduiront peut étre tres prochainement a la demonstration 
a priori de cette existence par celle d'un second terme de la nutation 
initiale, négligé par tous les astronomes, parce qu'ils ont fait B = A. 

Et il nous sera pennis de regretter que, dans les traités méme les 
plus récents, on ait omis d'examiner au moins, d'une maniére approfondie, 
Tinfluence que Thypothése de la fluidité intérieure du globe pourrait 
avoir sur les coefficients des termes de la nutation, malgré les travaux 
que nous avons publiés sur ce sujet,' et qu'on ait méme cru pouvoir 
contester Texistence de la nutation diurne, en en calculant le coefficient 
comme si la terre était solide! 

Bruxelles, 23 juin 1891. 

' Cette qucstioD vient d etre mise au coDcours par rAcadémie de Bcigique. 
* Des rccherches subséquentes m^ont coDduit ä admettre une période de 39^ jours, 
qui sécarte davantagc encore de la valeur théorique. 

^ Théorie des mouvements diurtie, annuel et séculaire de V oxe du monde, 1888. 

Traité des réductions stellaires. 1888. 

Annuaires de Tobservatoire royal de Bruxelles. 1888 — 1891» 

Bulletin de rAcadémie royale de Belgique. 1885 — 1891. 

Astronomische Nachrichten. 1889 — 1890. 

Bulletin Astronomique. 1890. 



m^ 



SOPHIE KOVALEVSKY. 

Notice biographique 

G. MITTAG-LEPPLER. 

Sopbie CoFvin-Kroukovflky naquit a Mosoou, le ^ janvier 1850.^ 
En septembre 1868 elle épouaa Woldemar Eovalevskyy plus tärd pa- 
léontologue distinguéy et au printemps suivant, se rendit avec lui a Hei- 
delberg. Lä elle suivit assidi^iment les cours pendant troia semestres 
eutierSy en étudiant les matbématiques et la physique sous la direction 
de Kirchhoff, de Eönigsberger, de du Bois-Keymond et de Helmholt?. 
Des r&ge de quinze ans, elle s^était adonnéa avec passioq ä Tétudp deg 
matbématiques; aussi, ä son arrivée ä Heidelberg, les elements de la 
géométrie et du oalcul iqfiqitésim^l lui ét^ient-ils depuis longten^ps fa- 
miliers, En ootobre 1870 elle jie rendit ä Berlin, oii elje passa, — s^ijf 
de courten absenoes motivées par des vpyages en France — quatre an- 
nées entiéres i^ étudier les matbématiques sous la direction spéciale de 
Weierstrasa. 

Dans le courant de Tété de 1874 Sopbie Eovalevsky fut promue, 
par la faculté de pbilo^opbie da Göttingue, au grade de docteur en pbi- 
losopbie, m absentia et s^ns ei^amen oral. Comme tbése, elle avait pré- 
senté son mémoire Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen, publié 

^ Gette date est fournie par son acte de Daissanoe doDt uDe oopie, déjiyrée p^r 
le ooQvUtoire d^ Jfoscou le ^ tév^mr 1 85 1, 9 i^té retrouvée parfui les papiefs de la 
défuDte. 

Ääa mathtmaHea, 16. Imprimft le 12 Janvier 18d8. 4S 



386 G. Mittag-Leffler. 

dans le journal de Crelle, toine 80. Mais en outre, elle avait présenté 
k la faculté deux autres travaux, Tun, t)ber die Bedtiction einer bestimmten 
Klasse Äbd'scher Integrale 3^° Banges auf dliptische Integraley publié plus 
tärd dans ce journal, tome 4; Tautre: Zusätze und Bemerkungen zu La- 
place^s XJntei^suchung uber die Gestalt der Saturnsringe, publié dans les 
Ästronomische Nachrichten, tome 3. 

Apres sa promotion elle retourna en Russie. Le ^ octobre 1878 
elle y donna le jour ä une fille qui lui a survécu. En mars 1883 Wol- 
deniar Kovalevsky mourut a Moscou dans de tragiques circonstances. 
Elle se trouvait alors a Paris: en apprenant la mört de son mari, et 
les circonstances qui Tavaient accompagnée, elle tomba målade et flotta, 
un mois durant, entré la vie et la mört. 

Vers la fin de juin, remise enfin de sa maladie, elle alla rejoindre 
å Berlin son fidéle ami et professeur, Weierstrass. Elle reprit avec 
ardeur ses travaux de mathématiqués et termina les recherches qu'elle 
a publiées sous le titre: Cber die Brechung des lAchtes in cristallinischen 
Mitteln, ce journal, tome 6. Dans le present tome de cette publication, 
M. Vitö Volterra a repris cette méme question: il a montré que les 
fonctions données par Sophie Kovalevsky comme intégrales générales des 
équations différentielles de Lame, ne satisfont pas a ces équations, et il 
a donné les raisons de ce fait. 

Quelques années avant la mört de son mari, Sophie Kovalevsky avait 
exprimé le désir de se vouer k lenseignement public et de professer dans 
une université. Ayant eu connaissance de son souhait et partageant 
depuis longtemps la haute opinion qu'avait M. Weierstrass sur le talent 
exceptionnel de son éléve, j'avais pendant Tautomne de 1880 formé lé 
projet de faire nommer Sophie Kovalevsky mon docent (professeur agrégé) 
a Tuniversité de Helsingfors, oii j'oecupais alors la chaire de mathé- 
matiqués. Ce projet échoua; mais lorsquau printemps de 1881 je fus 
appelé a Tuniversité nouvelle fondée a Stockholm, j'entamai immédiate- 
ment des négociations avec les autorités universitaires, dans le but de 
faire designer M*"^ Kovalevsky comme mon professeur agrégé, si elle y 
consentait. 

Pour elle-méme, les principales difiRcultés qui s'étaient öpposées 
jusqu'alors a la realisation de son désir, venaient de disparaitre a la mört 



Sopbie Kovalevsky. Notioe biographique. 387 

de son inari. Par une lettre du 5 aoAt 1883, M. Weierstrass m'annon9a 
qu'elle était disposée a faire un cours de mathématiques a Stockholm, 
mais que, pour commencer, elle ne voulait donner a ce cours aucun ca- 
ractére de publicité. En décembre 1883 Sophie Kovalevsky arriva a 
Stockholm, et pendant le semestre de printemps de 1884, devant un 
auditoire restreint, mais attentif, elle exposa, en langue allemande, la 
théorie des équations aux dérivées partielles. Grace au succés de ce 
cours, ainsi qu'a l'impression produite sur les cercles intelligents de Stock- 
holm par la personnalité sympathique et geniale de la conférenciére, il 
me fut possible de procurer des fonds suflGsants pour faire nommer Sophie 
Kovalevsky professeur d^analyse supérieure a Tuniversité de Stockholm, 
pour une période de cinq ans. Malgré le peu de temps quelle avait 
vécu en Suéde, elle possédait déja assez notre langue pour pouvoir en- 
seigner en suédois des son debut comme professeur a Tuniversité. 

Avant Texpiration de la période quinquennale, Sophie Kovalevsky 
remporta a Tlnstitut de France le prix Bordin pour son travail Sur le 
probléme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fiooe (ce journal, 
tome 1 2 et Mémoires presentas par divers savants å VAcadémie des sciences 
de V Institut national de France, tome 31). 

Gette circonstance facilita mes eflforts pour réunir les fonds néces- 
saires a Tétablissement définitif de la chaire d'analyse supérieure a Tuni- 
versité de Stockholm. Ce fut au printemps de 1889 que notre uni- 
versité put s'assurer des services continués de Sophie Kovalevsky en la 
nommant professeur å vie. 

Ce ne devait pas étre pour longtemps. 

Sophie Kovalevsky avait passé ses vacances de Thiver 1890 — 91 
dans le Midi, au littoral méditerranéen de la France. Pendant le voyage 
de retour elle eut un refroidissement, et le 6 février 1891, apres avoir 
fait dans la matinée sa premiére le9on de Tannée, elle fut contrainte de 
8'aliter, pour ne plus se lever. Elle expira le 10 février, au matin, 
d'une pleurésie violente, qui était vraisemblablement une forme de Tin- 
fluenza, et qui, des le debut, défia tout Tärt des médecins. 

Il est superflu de retracer aux lecteurs de cette revue Toeuvre ma- 
thématique de Sophie Kovalevsky. On trouvera ci-dessous une liste 



388 Ö. MilUg-Leffler. 

cöhipléte de ses ouvfages scientifiques ainsi que des cours qu'élle a piiö- 
fessés k Tuniversité de Stockholm. 

La phototypie placée en téte de ce numéro a été exécutée a Stock^ 
liolm, d^aprés une photographie datant de Tannée 1887, époque a laquelle 
Sophie Kovalevsky était arrivée a Tapogée de sa carriére de mathémia- 
ticien, de professeur et de savant. 

Comme mathématicien, Sophie Kovalevsky appartietit entiéretnent k 
Técole de Weierstrass. Elle était pleine d^enthousiasme et de foi pour 
les idées de son maltre, ce vénérable vieillard qui a survécu k la tnort 
de son éléve bien aimée. Elle voulait, par ses propres travaux mathé- 
matiques et par de nouvelles découvertes, prouver la portée et Tétendtife 
de la doctrine de Weierstrass. Comme pfofesseur, elle s'effor9ait, avec 
Ull zéle véritablement contagieux, d'exposer la pensée fondamentale de 
cette doctrine a laquelle elle attribuait la plus grande importance, mérae 
pour la solution des problem es les plus essentiels de la vie. Oonfitam^ 
menl et avec une joie manifeste, elle communiquait Textraordinaire ri- 
chesse de son savoir et les profonds aper9us de son esprit divinateur k 
öeux de ses éléves qui montraient senlement la force et le vouloir de 
pulser a cette source. Personnellement, elle était extrémement simple. 
Elle joignait, a une instruction étendue dans les différentes branches de 
la Science humaine, 1'intelligence sAre, vive et sympathique de ce qu'il 
y a de personnel chez chacun de nous: aussi plus d'un homme, plus d*uné 
femme, et non des moins remarquables, lui ont, sous Tinfluence de cet 
intérét qu'elle inspirait, et presque des la premiére rencontre, confessé 
leurs sentiments et leurs pensées les plus intimes, les espérances et les 
doutes du chercheur, la faiblesse cachée de nouvelles doctrines, les raisons 
sur lesquelles se fondaient de futures attentes, comme du reste on lui a 
confié bien des fois les réves de félicité et la douleur cansée par des dé- 
ceptions du coeur. Ces qualités qu'elle a apportées dans la cartiére 
du professorat font comprendre sur quel fondeföient reposaient ses t^lft- 
tions avec ses éléves. 

Plus que les autres sciences, les mathématiqués exigent de c€fu:x qui 
sont appelés a augmenter par de nouvelles conquétes le domaine du savoir, 



Sopbie Kovalevs^y. Notice biographique. 369 

une imagination puissante. La clarté de la pensée n'a jamais, ä elle ö0ute, 
fait de découvertes. La meilleure oeuvre du raathématicien est de Tärt, 
un art élevé, parfait, hardi comme les réves les plus secrets de Tima- 
gination, clair et limpide coinme la pensée abstraite. Le génie mathé- 
matique et le génie artistique se touchent, et il faudrait méme ex- 
pliquer pourquoi ces deux sortes de génies se développent si rarement 
chez le méme homme. Sophie Kovalevsky avait des sa jeunesse hésité 
entré les mathématiques et la littérature. Déja elle avait publié des 
esquisses littéraires et collaboré sous Tanonyme a quelques oeuvres. Pen- 
dant la période de fatigue qui suivit la publication de son travail sur 
le probléme de la rotation, elle eut envie de produire une oeuvre litté- 
raire qui fut originale et de yaleur durable, et elle fit paraltre en 1889 
ä Noöl, en suédois et en danois, le livré La vie russe, les soeurs Bajevsky. 
Une rédaction un peu différente fut publiée en russe. Cest une descrip- 
tion de la maison paternelle et de sa propre jeunesse. La critique litte- 
raire de la Russie et des pays scandinaves fut unanime a déclarer que 
Sophie Kovalevsky avait égalé par le style et la pensée les meilleurs 
écrivains de la littérature russe. Ce succés et la joie de trouver le 
chemin des coeurs — apres n'avoir pu parler qu ä un petit nombre dans 
ses travaux de mathématiques — déterminérent Sophie a se vouer plus 
sérieusement a la littérature, et elle le fit avec ce zéle bnilant qu'elle 
portait en toutes choses. Elle commen9a divers ouvrages, mais un seul 
put étre terminé et pourra étre publié ä Taide des courtes indications 
qu'elle a données quelques jours avant sa mört. Cest un roman qui 
paraitra en différentes langues, une étude psychologique sur la Russie 
contemporaine, que des connaisseurs ont déclarée tout-a-fait remarquable. 

La mört n'a pas seulement anéanti un avenir littéraire qui semblait 
plein d'extraordinaires promesses; elle a interrompu dififérents travaux de 
mathématiques, et notamment la conclusion de Tétude sur le probléme 
de la rotation. 

Sophie Kovalevsky gardera une place eminente dans Thistoire des 
mathématiques, et son oeuvre posthume qui doit bientöt paraitre, con- 
servera son nom dans Thistoire de la littérature. Mais ce n'est peut-étre 
ni comme mathématicien ni comme littérateur qu'il sied d'apprécier et 



390 G. Mittag-Leffler. 

de juger avant tout cette femme de tant d'esprit et d'originalité; comme 
personnalité, elle était encore plus reinarquable qu'on ne pourrait le croire 
d^aprés ses travaux. Tous ceux qui Tönt connue et approchée, å quelque 
cercle, a -quelque partie du monde qu^ils appartiennent, resteront constam- 
ment sous la vivante et forte impression que produisit sa personne. 

Octobre 1892. 



391 



Liste des publications scientifiques de Sophie Kovalevsky et de 
ses cours professés ä runiversité de Stockholm. 

Publications scientifiques. 

1. Zur Theorie der partiellen DifiFerentialgleichungen. 

{Inaugural-Disseriation, 1874; Journal fur die reine und angeivandie Matheniatik, 
t. 80, p. 1—32, Berlin 1875.) 

2. tTber die Reduction einer bestimmten Klasse AbeVBcher Intégrale 

3^*" Ranges auf elliptische Intégrale. 

(Acta matfiematica, t. 4, p. 393—414, Stockholm 1884.) 

3. Om ljusets fortplantning uti ett kristalliniskt medium. 

{Öfversigt af Kongl. Vetenskaps- Akademiens FörhatMingar, t. 41, p. 119 — 121, 
Stockholm 1884.) 

4. Sur la propägation de la lumiére dans un milieu cristallisé. 

{Comptes rendus des séances de Vacadémie des sciences, t. 98, p. 356 — 357, 
Paris 1884.) 

5. Uber die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln. 

{Ada maihematica, t. 6, p. 249—304, Stockholm 1883.) 

6. Zusätze und Bemerkungen zu Laplace's Untersuchung tiber die 

Gestalt der Saturnsringe. 
{Astronamiscke Nachrichten, t. 111, p. 37—48, Kiel 1885.) 

7. Sur le probléme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe. 

(Acta mathematica, t. 12, p. 177—232, Stockholm 1889.) 

8. Sur une propriété du systérae d'équations difFérentielles qui définit 

la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe. 
{Acta matheniatica, t. 14, p. 81—93, Stockholm 1890.) 

9. Mémoire sur im cas particulier du probléme de la rotation d'un 

corps pesant autour d'un point fixe, ou Tintégration s'effectue a 
Taide de fonctions ultraelliptiques du temps. 

(Mémoires présentés par divers savants å Vacadémie des sciences de Vinstitut na- 
tional de France, t. 31, p. 1—62, Paris 1890.) 

10. Sur un théT)réme de M. Bruns. 

{Acta mathematica, t. 15, p. 45 — 52, Stockholm 1891.) 



9»S1 



Oours professés ä runiversité de Stockholm. 
, I. Théorie des équations aux dérivées partielies. 

(Automne do 1884.) 

2. Théorie des fonctions algébriques d^aprés M. Weierstrass. 

(Printemps de 1885.) 

3. Algébre élémentaire. 

(Printemps de 1885.) 

4. Théorie des fonctions abéliennes d'aprés M. Weierstrass. 

(Depuis rautomnc de 1885 jusqu^au printemps de 1887.) 

5. Théorie des fonctions potentielles. 

(Printemps de 1886.) 

6. Théorie du mouvement d'un corps solide. 

(Automne de 1886 et printemps de 1887.) 

7. Sur les courbes définies par les équations différentielles, d'aprés 

M. Poincaré. 

(Automne de 1887 et printemps de 1888.) 

8. Théorie des fonctions Ö, d^aprés M. Weierstrass. 

(Printemps de 1888.) 

9. Applications de la théorie des fonctions elliptiques. 

(Automne de 1888.) 

10. Théorie des fonctions elliptiques d'aprés M. Weierstrass. 

(Automne de 1889.) 

1 1 . Théorie des équations aux dérivées partielles. 

(Printemps de 1890.) 

I 2. Application de Tanalyse a la théorie des nombres entiers. 

(Automne de 1890.) 



To avoid fine. this book should be retumcd or. 
or before the date last stamped below 



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