Full text of "Acta mathematica"

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ACTA 
MATHEMATICA 





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ACTA MATHEMATICA 


ZEITSCHRIFT JOURNAL 


HERAUSGEGEBEN REDIGE 


VON PAR 


G. MITTAG-LEFFLER 


STOCKHOLM 
F. & G. BEIJER. 
BERLIN io: PARIS 
ov‘. 
MAYER & MULLER. —— 1. HERMANN. 


MARKGRAFENSTRASSE 51, CENTRAL-TRYCKERIET, STOCKHOLM. 


REDACTION 


SVERIGE: 


A. V. BickLun, Lund. 
A. LiNDsTEDT, Stockholm. 
G. MrrrAG-LEFFLER, » 


E. PunRAGMÉN, » 
NORGE: 
C. A. Bsrerxnes, Christiania. 
Erriwa Horst, » 
S. Lie, Leipzig. 
L. Svrow, Fredrikshald. 
DANMARK: 


J. PETERSEN, Kjöbenhavn. 


H. G. ZEUTHEN, » 


FINLAND: 


L. LiwpELór, Helsingfors. 


OSCARI II 
SUECLE ET NORVEGLE REGI AUGUSTISSIMO 


POÆTE SPIRITU CELSO NON MINUS QUAM MOLLI SUAVITATE MIRANDO 
ORATORI ELOQUENTIA DIVINA VI ET DULCEDINE GRATA CLARISSIMO 
MULTIS MUSARUM ARTIBUS PERITISSIMO 
ATQUE OMNI ERUDITIONIS LAUDE PER ORBEM CELEBERRIMO 
HOMINI CUI NIHIL HUMANI ALIENUM 
QUI QUIDQUID MAGNI BONIQUE EST 
MENTIS ACIE COGITATUM, SAGACITATE SPIRITUS INVENTUM 
SAPIENTER PROTEGIT ET PROMOVET 


AD FESTUM TRIUMPHALE 
IN MEMORIAM LÆTISSIMAM VIGINTI QUINQUE ANNORUM 
PER QUOS FELICITER ET GLORIOSE REGNAVIT 
CELEBRANDUM 


PRIMUM TERTLE DECADIS HORUM ACTORUM VOLUMEN 
' QUA SUMMIS EIUS AUSPICIIS ET SUBSIDIIS EFFICACIBUS 
IN LUCEM PROLATA 
PROGRESSUS SUOS IN TOTO DOCTORUM ORBE PROSPEROS 
HUIC PRAESIDIO PERPETUO 
HUIC AUXILIO SEMPER PRESENTI 
DEBENT 


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EDITOR 





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INHALTSVERZEICHNISS. — TABLE DES MATIERES. 


BAND 21. — 1897. — TOME 21. 


£ x* * * * £5» * 
AUTONNE, LEON. Sur les póles des fonctions uniformes à 
plusieurs variables indépendantes 2... esa nno ane 


BOREL, EMILE. Sur les séries de omior soe nez 
ZA GE Perodie Ori... sueur ee. en 


KANTOR, S. 
keine Fundamentaleurven 1. Art besitzen.......................… 


Theorie der Transformationen im R,, welche 


KLUYVER, J. C. A special case of Dirichlet's problem for 


FO EEE RER VE Eom 260 a er OE PLE EA NE a ni Se ver 
MEPPPAG-EEFFEEH,. G. : Wélérstrass eroi rr eee reno nnnm ran rn ose 


d'OCAGNE, MAURICE. Théorie des équations représentables 
par trois systèmes linéaires de points cotés... 


POINCARÉ, H. Sur une forme nouvelle des équations du 
DOUCIE DETUR D CE DR TONS DERE 


POINCARÉ, H. Sur les rapports de l'analyse pure et de la 
physque maibómaligne "22,141. M PER sens 


VAHLEN, K. TH. Der Fundamentalsatz der Algebra und die 
Auflósung der Gleichungen durch Quadratwurzeln 


Inhaltsverzeicbniss der zwanzig ersten Bände nebst Namen- 
register der Bünde 11 bis 20. — Table des matiéres contenues dans 
les vingt premiers volumes suivie d'une table générale par noms 
d'auteurs des volumes 11 —20 


Seite. Pages. 


249 — 264 
245—248 


99— 242 










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THEORIE DER TRANSFORMATIONEN 
IM /,, WELCHE KEINE FUNDAMENTALCURVEN ı. ART BESITZEN 
UND IHRER ENDLICHEN GRUPPEN 
VON 
S. KANTOR 


‚We have first raised a dust and then 

complain, that we cannot see. BERKELEY. 

Bei der Begründung einer allgemeinen Theorie der periodischen Trans- 
formationen und ihrer endlichen Gruppen im R, und im R, begegnet 
man so vielen neuen Erscheinungen und hat sich so viele neue Gesichts- 
punkte zu schaffen, die mit dem beschränkten Felde der Ebene und den 
auf sie bezüelichen Theorieen nicht von selbst erscheinen, dass es schon 
darum nützlich ist, vorher einige besondere Klassen zu betrachten. Das 
wird noch nützlicher dadurch, dass diese Klassen in der allgemeinen Theo- 
rie als Bestandtheil erscheinen und hiemit also nur ein Stück ohnehin 
unumgänglicher Arbeit anticipirt ist. So weiss man, dass in der Ebene 
die birationalen Transformationen die Eigenschaft haben, sich aus ele- 
ınentaren Transformationen 2. Ordnung, Q7. zusammensetzen zu lassen. 
Wie ich schon früher hervorgehoben, kann @° entweder durch die (SC)’ 
oder durch die cubische Reciprokaltransformation x;x! — c auf den A, 
(und später auf R,) verallgemeinert werden, weshalb sich beim Eingange 
in die Theorie der Periodieität jene Transformationen darbieten, welche 
entweder nur aus (SC)? oder nur aus Reciprokaltransformationen zusam- 
mengesetzt sind. Die ersteren habe ich im American Journal of Ma- 
thematies 1896 abgethan,' die anderen. von welchen ich hier handle, 


' Theorie derjenigen Transformationen im R,, welche sich aus quadratischen zu- 


sammensetxen lassen, Vol. 18. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 2 février 1897. 1 





2 S. Kantor. 


sind dadurch von erhöhtem Interesse, dass sie die im Titel genannte 
Eigenschaft besitzen (8:3) 

Ich erledige diese Classe von Transformationen mit Bezug auf ihre 
periodischen Characteristiken und deren Construction sowie auf ihre end- 
lichen Gruppen und deren Construction.” Vorher gebe ich im I. Theile 
die allgemeinen Eigenschaften ihrer Fundamentalsysteme, welche bisher 
überhaupt nicht in Rede kamen." . 

Es besteht eine noch allgemeinere gleichartige Theorie im f,, von 
welcher sich zeigen wird, dass sie die ganze Theorie der ebenen biratio- 
nalen Transformationen als speciellen Fall enthält. 


I. FHELE 


Die Theorie der Fundamentalsysteme. 


§ 1. Eigenschaften der Fundamentalsysteme, welche durch Zu- 
sammensetzung von Reciprokaltransformationen entstehen. 


Es soll der Vereinfachung der Sprechweise wegen die Voraussetzung 


gemacht werden, dass wenn S,, S, Fundamentalsysteme der einen, 5), 5j 


jene der 2. Transformation sind, niemals eine Fundamentaleurve 2. Art 


von S, mit einer von $5; coincidire, ohne dass die sie bestimmenden Fun- 


, 


damentalpunkte von S, mit jenen von 5; coincidiren. Ferner soll bei 


der Zusammensetzung niemals eine Fundamentaleurve von S, mit einem 


2 
Fundamentalpunkte von 5j incident sein. 


! Es dst ferner eine besondere Absicht dieser Arbeit, zum ersten Male auf den 
Vortheil hinzuweisen. den es bietet, statt der homaloidalen Flächensysteme die homaloidalen 
Curvensysteme auch im À, zur Definition einer Transformation zu verwenden. 

* Die Arbeit schliesst sieh also aueh an mein Buch: Theorie der endlichen Gruppen 
von eindeutigen Transformationen in der Ebene (Berlin, Mayer & Müller, 1895) an. 

Es möge bemerkt sein, dass die Reeiprokaltransformation allein als »p-reciproke 
Transformation» bei S. Lie in einer kurzen Note der Göttinger Nachrichten (1871) zu 


elementareren Zwecken angewendet vorkomnit. 





Trausformationen in R,, welche keine Fundamentaleurven 1. Art besitzen. 2 


Theorem I. Ein Fundamentalsystem, das nur durch Wiederholung oder 
Zusammensetzung mehrerer (a,, b)? entsteht, besitzt keine Fundementalcurven 
1: At. 


Eine solche Transformation S entspreche dem Satze und werde mit 
(a;, b)? zusammengesetzt zu SS'. Das Fundamentalsystem von SS’ ist 
unter dem transformirten Fundamentalsysteme S, und unter b, zu suchen. 
Einer Fundamentalcurve von (SS’), entspricht also in Sj entweder eine 
Fundamentaleurve ci von S$; oder eine von S, und dieser entspricht in 
(SS), bezüglich eine gewöhnliche Curve von S, oder eine Fundamental- 
curve von S$,. In beiden Fällen ist die Curve von (S55, eine Funda- 
mentaleurve 2. Art. 

Anmerkung. Wenn jedoch c durch einen Fundamentalpunkt b von 
S, hindurchgeht, dann entspricht wohl der cj eine Fundamentalcurve und 
gleichzeitig die dem 5 entsprechende Fundamentalfläche 4, aber dies ist 
eigentlich so aufzufassen, dass sich die homaloidalen Flächen von 5; längs 


, 


c, berühren und dass der c 


» 
=) 
2 


eigentlich die Curve ¢,, den co! Strahlbüscheln 
von Nachbarpunkten an cj (längs den homaloidalen Flächen) die A ent- 
spricht. A bildet also eine Absonderungsfläche nur für jene Flächen des 
Raumes mit 8, welche längs der Curve cj alle homaloidalen Flächen 
berühren. Die erste der gemachten Einschränkungen bedeutet also doch 
nur, dass homaloidale Flächensysteme mit Berührung längs Curven (bei 
variabeler Berührungsebene) ausgeschlossen sind. 


Theorem I. Die homaloidalen Systeme dieser Transformationen haben 
nur solche. Fundamentaleurven gemeinsam, welche eine nothwendige Folge der 
Vielfachheiten in den Fundamentalpunkten sind. 


Gilt das Theorem ‘fiir S, so gilt es auch für S.(«, 5), denn die 
Kanten 4,4, sind nothwendig durch die Punkte 6; gemäss meiner Ab- 
handlung über die (a;, 5)? und würde es für eine der übrigen Fundamen- 
taleurven behufs des Enthaltenseins einer weiteren Bedingung bedürfen, 
welche ausserhalb der 5; und der transformirten Fundamentalpunkte sich 
befindet, so würde dies auch auf S sich übertragen. Für (a, 0)" gilt 


aber das Theorem, also auch für S. 


Theorem II. Die Verwandlung von Ordnung und Singularitdten der 
M, geschieht nach der linearen Substitution 








4 S. Kantor. 


n’ = mn —a,r, — Gi —...— 4,4, — Ci — — CU) 
eh : h - (1) (1) 
am = bn —a,,%, — Anl —...— Gt, — GY, — 0€. us 


eae 47e : (a) pe) 

I) vi = bn —a,z,-—a4z,-—...— a, x, — ey, —...— 62s, 
, | pos D Ly : : 

y = d; LT, — G52. —-.- — a1; 2, —€Cun9 — + Chi) 

VA E d, N a‘ Ti exo aca To CE D RE ay? Le Cy) Un CUS Coc Ye , 


wo n die Ordnung, x, .... 2, die Vielfachheiten in den Fundamentalpunkten, 
HS -:. 5 92 die Vielfachheitszahlen in den Fundamentalcurven sind. 


Setzt man 4 1; % =... = =N —.1..— 0, "80 folet; dassım die 


1 
Ordnung der Transformationen, 5;..... 5, di, ..., d; die Vielfachheiten 


c? 


der homaloidalen Flächen in den s Fundamentalpunkten und den Fun- 


dainentalcurven sind. Setzt man »- 0, 24, = — 1, 3,— ... — 1, — O, 
Us 0, so folgt, dass 8,,4,,.:., 045, 00 ,.-.., af) Ordnung und, Viel- 


fachheiten der Fundamentalflächen A, in Fundamentalpunkten und Fun- 
damentaleurven sind. Von den Coefficienten c;, c? , c, kann erst später 
gesprochen werden. 

Definitionen. Die Substitutionen des Theoremes III sollen die voll- 
ständigen Substitutionen 1) heissen. Wenn aber, was zulässig ist, die 
Glieder mit y unberücksichtiget bleiben, und also die Zeilen für jj, ..., y; 
ganz wegfallen, so bleiben lineare Substitutionen, welche die unvollstän- 
digen Substitutionen (oder unvollständigen fundamentalen Substitutionen) 
I) heissen sollen. Von diesen letzteren wird meistens die Rede sein. 


Theorem IV. Alle Fundamentalsysteme, welche durch Zusammensetzung 
von (a, b)? entstehen, haben ungerade Ordnung und gerade Vielfachheiten. 


Denn der Zusammensetzung zweier Transformationen entspricht nach 
den Erklärungen für die Ebene’ die Zusammensetzung der zugehörigen 
Substitutionen I), sei es der vollständigen, sei es der unvollständigen. 
Wenn aber das Theorem für zwei unvollständige Substitutionen 1) gilt, 





? Cf. Crelles Journal. Bd. 114, p. 59. Durch Verweisung auf diese Definition 


der Zusammensetzung kann ich die nachfolgenden Beweise sehr kurz fassen. 





Transformationen in /t,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. T 


so gilt es auch für die Composition, weil der +. Coefficient. aus einem 
Producte zweier ungerader Zahlen durch Addition gerader Producte ent- 
steht, und analog die Coefficienten #, oder d,. Für die Reciprokaltrans- 


formationen gilt es aber ersichtlich. 


Theorem V. Die unvollständigen Substitutionen 1) veproduciren die 
Formen 


(1) a A T 


(2) AN — 255, 
] 
sind also stets Hermite'sche Substitutionen. 


Denn die componirenden Transformationen (a, , b,)" reproduciren die- 
selben, indem man nur jedesmal die e — 4 Punkte, welche nicht Funda- 
mentalpunkte sind, als gewöhnliche Punkte transformirt voraussetzt, und 


folelich auch das Gesammtresultat. 


Theorem VI. Die vollständigen Substitutionen 1) reproduciren die Formen 
v— Set X. 
] 


lum d o 5, 
1 


Hier ist die 2. Summe über alle Fundamentaleurven des Fundaimen- 
talsystemies erstreckt. Die componirenden (a;, b)? reproduciren (3) und 
da die Fundamentaleurven von 1) sich aus denen der Elemente oder 


ihren Transformirten zusammensetzen, so bleiben die (3) invariant. 


Theorem VII. Die Substitutionen 1) lassen den Singularitätencompler 


n—=45, v,—...—92,— 28 und. aber auch m — 28, X, ...— Y,—8 ungeändert. 


Denn inan kann sich die componirenden (a,, 5)" mit ihren Funda- 
mentalsystemen in dieselbe Mj verlegt denken, welche durch die ein- 
zelnen, also auch durch die Gesammttransformation invariant bleiben wird. 


! Sehon in der Ebene können die beiden bekannten Gleichungen durch Zusammensetzung 


aus den (J^ beweisen werden. Bezüglieh (3) ef. die Note I) am Ende der Abhandlung. 





5 S. Kantor. 
Corollar. In den Substitutionen 1) gelten die Relationen 
2d, — a) Far... 4- a. 
Denn eine M?, welche die y, Null hat, muss auch die y, Null liefern. 


Theorem VII. Wenn ein Fundamentalpunkt 2a-fach für die homaloi- 
dalen Flächen ist, entspricht ihm im anderen Raume eine Absonderungsfläche 
der Ordnung a. 

Es ınöge für eine Transformation S gelten. Wird S mit (a, b)' 
;usammengesetzt, so erhält man für die Fundamentalpunkte, welche Trans- 
formirte aus S, sind, dieselbe Vielfachheit und dieselbe Ordnung -der 


Absonderungsflache wie für S, für b,b,6,b, aber erhält man nach ı) 


r= 2n — nn — %— 2, für die: Vielfachheit und, da die Ebene a,b,a, 
. Vise CC US e y, » . : 
in eine Fläche der Ordnung a —7 —7 — 7 transformirt wird (da das 


Theorem für S gelten soll), ist dies die Ordnung der Absonderungsfläche, 
welche Zahl wirklich die Hälfte von x! ist. 


! 


Theorem IX. Die Transformationen haben stets in beiden Räumen 
yleich hohe Ordnung. 


Das Theorem gelte für 5 und werde S mit (a;, bj)? zusammengesetzt. 


Dann entsteht 2’ = 3n — ax, —x,—r,—z, in Si und aber in S, entsteht 
2 1 3 4 2 1 


durch Umsetzung. von M$(aja;a;«;) unter Voraussetzung der Giltigkeit 


von V. die Ordnung 3» — 22 —23-— 


Theorem X. Die Transformationen haben stets in beiden Räumen gleich 
viele Fundamentalpunkte. 


Durch Zusammensetzung mit 5’ = (a,, b,)" entsteht eine Transforma- 
tion, welche die Transformirten der Fundamentalpunkte von 5, und die 
diesen conjugirten in S, (welche nicht zu «;-Punkten gehören) zu Funda- 
inentalpunkten hat, was gleiche Anzahlen sind; ferner entweder 4 weitere 
Fundamentalpunkte in (SS”)} und (SS’), oder es geht in (SS’), ein Fun- 
damentalpunkt dadurch verloren, dass 7, + 7,-+2,,= 2» ist. Dann ist 
aber auch der Transformirte von 4; aus 5, nach S, kein Fundamental- 


punkt, sodass thatsächlich die Anzahl dieselbe bleibt. 








Transformationen in A,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. í 


Theorem XI Die Anzahl der Fundamentaleurven 2. Art ist mindestens 


C22 


a pas 1). wenn a die Anzahl der Fundamentalpunkte ist. 


Gilt das Theorem für S und wird init -(a;, hj)" componirt, so ent- 
stehen resp. o+1,0+2,0+3,0+4 Fundamentalpunkte und aber 
die Anzahl der Fundarnentaleurven wächst resp. um 3 oder 6. 


Theorem XII Die Anzahlen der Fundamentaleurven sind in beiden 
Räumen dieselben. 


Wird S mit S’ = (a, b)’ zusammengesetzt, so erhält man 1,2,3.4 
Fundamentalpunkte mehr und eine Fundamentaleurve geht jedesmal nur 
dann verloren, wenn sie mit einer Kante des Tetraeders, a;a,, überein- 
stimmt. 

Das "Theorem folgt übrigens auch daraus, dass eben jede Funda- 
mentaleurve einer bestimmten anderen entspricht und wenn zwei unendlich 
nahe rücken, auch die entsprechenden unendlich nahe rücken. 


Theorem XII. Die Ordnungen der Fundamentaleurven von R, sind 
gleich den Vielfachheiten der Fundamentaleurven von R.,' ihre Summe ist 


3 (m — 1). 


Dieses Theorem ist algebraischer Natur. Wenn eine Ebene eine 
Fundamentaleurve in %k Punkten schneidet, so geht die homaloidale Fläche 
k-fach durch die entsprechende Fundamentaleurve hindurch. 


Theorem XIV. Die Summe der Ordnungen der o Absonderungsflächen 


: hye 7] 
ist 2(m — 1) und die Summe ihrer Quadrate ist 


Die ersten Coefficienten der «+ 1 ersten Zeilen in ı) sind die Ord- 
nung m und die doppelten Ordnungen der Absonderungsflächen und durch 
Einsetzung der unvollständigen IT) in die Formen (2) entsteht das Theorem. 


Theorem XV. Die Summe der Vielfachheiten einer und derselben Fun- 
damentalfläche in allen o Fundamentalpunkten ist 4a,—1 und die Summe 
ihrer Quadrate ist 2a? + 1. 


* Corollar. Auch*die Fundamentalflichen haben die Eigenschaft. nur solehe Fun- 


damentaleurven zu enthalten, welehe eine nuthwendige Folge ihrer singulären Punkte sind. 





SI = S. Kantor. 


Denn die Coefficienten in der i. Colonne von 1) sind Ordnung und 
Vielfachheiten einer Fundamentalfläche und die Einsetzung in (2) lehrt 
das Theorem. Ein 2. Beweis wird wie bei vorhergehenden Theoremen 
durch die Zusammensetzung aus (a; , 5j)* geliefert. 


Theorem XVI. Die Summe der Vielfachheiten, mit welchen alle vor- 
handenen Fundamentalflächen durch einen und denselben a;-fachen Funda- 


. B Y 7 . a; 
mentalpunkt gehen, ist 2a,—1 und die Summe ihrer Quadrate ist — + 
> 


Es gelte für S. Wird mit S’ = (a, b)" componirt, so bleiben nur 
die Glieder für diejenigen Fundamentalflächen, in deren zugeordnete Fun- 
damentalpunkte kein a fällt, bestehen, diese sowie die anderen sind aber 


als 24,— x, — x, -—- x, auszudrücken, daher die Summe 2234 — Xv, — Xr, — Xr 


an? 


und da Ya nach Voraussetzung von XIV 2(m — 1), so folgt 
4 (m — 1) — Xr, — Xv, — Er, 
und wieder wegen Voraussetzung 


Alm — 1) —2X, —2X,— 2X, + 3 —4m — 2X, —2X, — 2X, — 1. 


Die Vielfachheit der transforınirten homaloidalen Flächen im Punkte 2; ist 
am — X, — X, — X,, so dass das Theorem wirklich 4 — 2X,— 2X, — 2X, — I 
verlangt. 

Die Summe der Quadrate der transformirten Vielfachheiten ist 


3 (24 — 2, — 2, — 7,)! = 42a? — 4Xaz,— 4 Xar, — 42uX,, + Say Er; + 2x, 
Ait, Xs 


Xicig 
uum Sn Mi arces - 4Xac, — 4Xar, — 42a, 





— 2(m* — 1) + 


wegen Voraussetzung des Theoremes für S. Für X«x, wird in XVII der 


Werth 





m : 
mA, bewiesen, also kommt 


2(m’—ı)+ À — 2m(X, + X, + X,,). 





» 


Nun ist das Quadrat der transformirten Vielfachheit (2m — X, — X,— X,)* 
und das Theorem verlangt also, dass [(2m — X, — X; — X,)' — 1]:2 der 
vorigen Summe gleich sei, was der Fall ist. 





Transformationen in R,, welehe keine Fundamentaleurven 1, Art besitzen. Jg 


Theorem XVIL Die Summe der Producte aus den Ordnungen der Fun- 
damentalflichen in ihre Vielfachheit, mit welcher sie durch einen festen Fun- 


damentalpunkt gehen, über alle F'undamentalflüchen erstreckt, ist _ in X;, wenn 


X; 


i 


die Vielfuchheit der homaloidalen Flächen im Punkte ist. 


Es gelte für S. Wird mit S’ = (a, /)* componirt, so wird die trans- 
formirte Summe sein 


' Ji DR E TS un ER: Sir V 
A (34; T; J k Ti aH 1:3 32 UY nk 4 illuc [ E aS = a ax 7 Hm Um , 


wenn die Durchgänge y sich auf einen Fundamentalpunkt beziehen, in den 


kein Punkt a; 


1 


X ib anre [ ub 
verlegt wird. Nun ist wegen S die Yay, — mY, und 


TX Rs . . I NZ Y y ' 7 XJ EA 
wegen XVIII das übrige gleich = (IN), Dar, EX ER LXX EL 


aber es ist der Werth des Theorems für das transformirte System gleich 


(unc DAS ec 


r 


)Y,, sodass die Richtigkeit in die Augen fällt. 


m 


Theorem XVIIL Für zwei feste Fundamentalpunkte ist die Summe der 
Producte der Vielfachheiten in ihmen, erstreckt über alle Fundamentalflächen, 


4 I —À = E a er 5 . YE. . 
gleich 2E. wo X,, Y, die Vielfachheiten der homaloidalen Flächen in 


diesen beiden Punkten sind. 


Es gelte für S. Wird mit S’ = (a, b)" componirt, so ist die trans- 
formirte Summe X(2a, — x, — v, — v,)(28, — Yi — Wi —y,,) und also wegen 
Voraussetzung und wegen XIV gleich 2 (m? — 1) —m(X, + X; + X) 


(EVE Y,) + (X, 4X 4- X,(Y;3- V4 Y,)+ 2 während der trans. 


. r ry . I r f r r r 
formirte Werth des Theoremes ist = (2m — X,—X,— X, )(2m — Y, — Y,— Y,), 


was mit dem vorigen Werthe übereinstimmt» Dies, wenn beide Punkte 
mit Punkten a, coincidiren. Wenn nur ein Punkt der beiden genann- 


U 


ten mit «a; coincidirt, so ist die transformirte Summe vom Werthe 


Lt 
(2, —, — a —%,)y, und y, hat denselben Werth wie für 5,, die 
Ausrechnung beweist auch hier das Theorem. Stimmt keiner der zwei 


Fundamentalpunkte mit a; überein, so ändert sich die Summe für 5 
gar nicht. 


YL 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 2 février 1897. 2 








10 S. Kantor. 


Theorem XIX. Die Summe der Vielfachheiten einer homaloidalen Fläche 
in allen Fundamentaleurven 2. Art oder auch die Summe der Ordnungen 
aller Fundamentalcurven 2. Art ist 3(m — 1). 


Die Form (3) muss durch die Substitutionen 1) ungeändert bleiben. 
Der Coefficient von » ist ı1(m — 1) — 23b—2Xb;, der wegen XIV 
3(m — 1) — Xb,, muss aber wegen der Invarianz Null sein. 


Theorem XX. Die Summe der Cuben der Zahlen aus XIX weniger der 
Summe der Cuben der Vielfachheiten, welche die homaloidalen Flächen in den 
Fundamentalpunkten haben, ist 1 —n“. 


Der Beweis wird durch Einsetzung in (3) geliefert. 


Theorem XXI Die Summe der Vielfachheiten einer F'undamentalfláche 
a. Ordnung in den Fundamentaleurven, durch welche sie hindurchgeht ist 3a,.' 
Es gelte für S. (a,b)” liefert dann Ordnung (3a — r, — t, — x, — r,) 
der Fundamentalflache. Die Summe der freien Curven bleibt 3«, die 


Summe der 6 Kanten liefert (a — x, — x,) + ... + (a — x, — x) 
= 6a — 37, — 31, — 32, — 31,, also die ganze Summe 9a — 32, — 32, 
— 3, 3%,, was gleich dem Dreifachen der neuen Ordnung ist. 


Theorem XXIL Die Summe der Vielfachheiten, mit welchen alle vor- 
handenen Fundamentalcurven durch einen bestimmten Fundamentalpunkt hin- 
durchgehen, ist 3a;, wenn 2a, die Vielfachheit des Fundamentalpunktes ist. 


Dies ist eine Folge von XXI. Denn wenn eine Fundamentalcurve c 
durch einen Fundamentalpunkt a,-fach geht, so enthält die dem Punkte 
entsprechende Fundamentalfläche die der c entsprechende Fundamental- 
eurve c in der Vielfachheit a,. 


Theorem XXIII. Die Summe der Vielfachheiten, mit welchen eine be- 
stimmte Fundamentaleurve y. Ordnung durch die Fundamentalpunkte hindurch- 
geht, welche sie enthält, ist av. 


Die Summe der Ordnungen der Fundamentaleurven. durch welche eine Funda- 
mentalfläche hindurchgeht, hängt nicht allein von der Ordnung a; ab. Ebenso die Summe 
der homaioidalen Vielfachheiten aller vorhandenen Fundamentalcurven. welche durch einen 
bestimmten Fundamentalpunkt hindurchgehen. 





Transformationen in Ji. welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen, 11 


Es gelte für S. Die Zusammensetzung mit S’ = (a, b) gibt die 


Ordnung » = 3» — x, x, x, 2x, der Fundamentaleurve und die- 
selben Vielfachheiten in den freien Fundamentalpunkten, in den neuen 
aber y — a, — à, — X, daher die Gesammtsumme wegen Voraussetzung 
a cults Tra Mi (v i Loo E La) "I (v | Bere eat, a 


+ (»— x, — x, — 2%) = 6» — 4x, — 4v, — 40, — 4x, was 2y' ist. 


Theorem XXIV. Die Summe der Quadrate der Vielfachheiten, mit 

welchen eine bestimmte Fundamentalcurve v. Ordnung durch die Fundamen- 
2 

: iy t= <3 

talpunkte hindurchgeht, ist ~~ 2, 


Die Summe der Quadrate der freien Fundamentalpunkte ist 


y +3 
? 


“2 


die Summe der neuen ist 


hu 
L(y RUE a A 73m ad +30 3m Or (a, 4 mE, +) 


- 9, + 3 ' I .. 
und also die Gesammtsumme ? nene 1 237 6927, während 
ye ya ye) az 


Theorem XXV. Die Summe der Vielfachheiten, mit welchen alle Fun- 
damentalflächen durch eine bestimmte Fundamentaleurve der homaloidalen 


y? 2 


. a . . . E 7 3) l 
Vielfachheit » hindurchgehen, ist 2v, die Quadratsumme ——— . 


Das Theorem ist eine Folge von XXIII und XXIV mittelst Um- 
setzung in den zweiten Raum. 

Definition. Ich bezeichne als homaloidale Curven das System der 
Curven, welche den Geraden des À, durch die Transformation entsprechen. 
Sie gehen durch die Fundamentalpunkte mit den halben Vielfachheiten 


von deren homaloidalen Vielfachheiten. ? 


‘ Über die Summe der homaloidalen Vielfaehheiten aller Fundamentalpuukte, welche 
in einer bestimmten Fundamentaleurve enthalten sind, lässt sieh kein "Theorem geben. 
Man sollte eigentlich von zweierlei homaloidalen Vielfachheiten der Fundamental- 


punkte sprechen, nämlich der für die M, und der für die .M,. 








12 S. Kantor. 


Theorem XXVI. Für die homaloidalen Curven ist die Summe der Viel- 
fachheiten in den Fundamentalpunkten 2m — 2 und die Summe der Quadrate 
m^ — 1 


dieser Zahlen ist 
Der Beweis ist genau derselbe wie in XXIII, XXIV. Das Theorem 
wird für uns von der grössten Wichtigkeit werden. 


Theorem XXVIL Für die Verwandlung der Ordnung n, Vielfachheiten 
x, in den Fundamentalpunkten und Anzahl y, der Stützpunkte auf die Fun- 
damentalcurven für die Curven M, des R, geschieht nach. den linearen Sub- 


stitutionen ; 
m = mn — 20,1, — 20,3, — ... — 24,1. —, Ji — ...— », Yes 
Li = bn— dl Q4rs—...— QE, — Vi —.. — Ye Ves 
IT) 5 : 
Vi, = b, — Qt — Q4£6—...— A X») — — 2,4, 
Yi =). | (4 D, rta) 


Hier soll y; sich auf die der y, entsprechende Fundamentalcurve be- 
ziehen. 

Wird n — 1, r, —...— r,— 0, y; = 0o gesetzt, so erhält man »' = m, 
r = b, es sind also die 5, die Vielfachheiten der homaloidalen Curven 
in den Fundamentalpunkten und diese sind nach dem allgemeinen Theoreme 
gleich den Ordnungen der Fundamentalflächen des 2. Raumes, also den 


halben Vielfachheiten der Fundamentalpunkte für die homaloidalen Flächen. 


Theorem XXVIII. Die Summe aus den Producten der Ordnung in das 
Quadrat der Vielfachheit erstreckt über alle Fundamentaleurven ist m (m — H. 


Denn. schneidet man mit einer Ebene das homaloidale System in 
Curven der Ordnung m, so erhält man für diese in jedem Schnittpunkte 
mit einer v-fachen Curve ». Ordnung einen »’-fachen Punkt, also » solcher, 
daher 2.2” = m’ — m. Dieses System betreffen ist zu bemerken, dass 


' NUTT : ; ; ^ y.v (v + 1). mem + 
es kein unabhängiges sein wird, indem N TAE à 


^ 


I 3 


werden kann. 





Transformationen in /Z/,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. LS 


Theorem XXIX. Die unvollständigen Substitutionen M) lassen ungeändert 
die Formen 


(4) | n? — 227°, 


(5) na. 22 


(sind also Hermite'sche Substitutionen), sowie die Singularitätencomplexe n = 45, 
D à 8 odeen— 0S, D, — 25 oder n — 108, À — $, 9; — 28. 


1 


Unter unvollständigen Substitutionen II sind jene verstanden, welche 
durch Weelassung der y in den ersten «+ 1 Zeilen und der letzten a’ 
Zeilen entstehen, was widerspruchsfrei geschehen kann. Der Beweis des 
Theoremes geschieht dann durch Zusammensetzung aus den clementaren 
(a, b)?*. indem auch diese Substitutionen II sich genau entsprechend den 
Transformationen zusainmensetzen, wenn immer für jeden neuen Funda- 
mentalpunkt eine neue Variable eingeführt wird. Für (a,b) ist das 
Theorem bewiesen worden. Für n = 6s, y; = 2s ist die Invarianz auch 
direct leicht beweisbar. Trifft nämlich eine Curve eine Fundamentalcurve 
2 mal, so sondert sich die conjugirte ab und die entsprechende Curve triftt 


überdies diese zweimal, trifft sie alle, so sondert sich 6(m — ı) ab. 


Theorem XXX. Wenn eine Transformation ein Flächensystem n.x,,.... 7, 
in sich transformirt, transformirt sie auch das Flächensystem n—4,2, — 1. 
..4,— Y in sich und wenn sie ein Curvensystem n, y,,...3,; Di»... Ve 


in sich transformirt, transformirt sie auch das Curvensystem n — 10, x, — 1, 


I! Ye a 2 de se Oy 2 2 t Sich. 


Folgt aus der Transformation eines linearen Polynomes in cin solches 
dureh I. und II. und aus XXIX. Das Theorem ist hier rein arıthmetisch; 
es ist nur aus der Definition von I) und II) als linearer Substitutionen, 
welche durch Zusammensetzung der elementaren Substitutionen für (a,b) 


entstehen, gewonnen. 


Theorem XXXI. Die Form 
(6) AC + 1 )(n EE 2)(n ENS) =a Ss Sa (a + 1)(@ + 2) + Xy (u* S ef 1)] 


bleibt ungeändert durch die Transformation mit den Substitutionen I. 








14 S. Kantor. 


Diese Form lässt sich nämlich direct aus den Formen (2) und (3) 
linear zusammensetzen. Mit Hilfe von XIV., XV., XIX. wird bewiesen, 
dass diese Form (6) für die homaloidalen Flächen den Werth 3 annimmt 
und sie drückt wirklich für die Flächen die Dimension gemäss der all- 
gemeinen Formel aus, Ebenso lehrt (6), dass für eine Fundamental- 
flache die Dimension Null ist, u. zw. auf Grund dessen, dass auch sie 
nur Fundamenfaleurven als nothwendige enthält. 


6 6 


Theorem XXXII. Die Form nn — Lex — Zyy bleibt ungeändert, wenn 
1 1 
man auf die zwei Variabelnreihen bezüglich die Substitutionen Y), Il) anwendet. 
Diese Form drückt die Zahl der freien Schnittpunkte einer Fläche 
des Systemes 4,r,,...,07,,4,,....), mit einer Curve des Systemes 


Nik deris bs oui Oe. QUE 


Theorem XXXIIL Die Substitutionen Y) lassen auch ungeändert die Form 


Ip er, I Ei: 
| + rin + 2 + 3) — Xn + Lan — 29 + 5])n — ; (2m + 1, 
Ir,(z; + 1); + 2) + 4,4; + 1)(3%, — 2y; + 2)4,- 


Hier bezeichnen »,, p; Ordnung und Classe einer Fundamentalcurve 
und 44 die Vielfachheit, mit welcher sie durch den mit x, bezeichneten 
Fundamentalpunkt hindurchgeht. Die Form ist jene, welche Noruer 
Ann. di Mat., Ser. 2*, Tome V. für die Dimension eines Flächensystemes 


mit singulären Punkten und Curven ausspricht. ? 





* Nörner, Sulle curve multiple delle superficie algebriche. Ann. di Mat., S. 2*. T. 5. 


* Die Substitutionen I) lassen auch die trilineare Form ungeündert, welche die Anzahl 
der Sehnittpunkte von drei Flächen w,ae.y: wv, a’, y's n",*',' ausdrückt. Sie ist 
eigentlich quadrilinear, da die v; selbst auch transformirt werden müssen (die v; sind die 
m; in NórHERs Formel) Aus jener entsteht eine invariante eubisehe Form mit einer 
Variabelnreihe, indem n= w' — n". x — x' = x", y — w = y" gesetzt wird, der Rang 
des Flüchensystems n , x. y. 

Ich muss aber hervorheben, dass in dieser ganzen Arbeit von keinem einzigen der 
Nöther schen Resultate Verwendung geschieht, denn XXXI. leitet sieh ohne sie her und 
XXXIII. habe ich nur der Vollstándigkeit wegen für den Leser hingeschrieben. 

Ja. wegen ihrer besehrünkten Giltigkeit ist ihre Anwendbarkeit vielleicht unmöglich. 





Trausformationen in J|, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 15 


Theorem XXXIV. Die vollständigen wie unvollständigen linearen Sul- 
stitutionen I., II. haben die Determinante — 1. 


Auch dieses folgt aus der Zusammensetzung der Transformationen 
dureh elementare eubische veciprokaltransformationen. 


Theorem XXXV.  Verimindert man die Vielfachheit a, einer Fundamen- 
talfläche a,. Ordnung A, im Punkte a, um 1, so wird die neue Fläche in 
eine Fläche a,. Ordnung transformirt, welche aus A, durch Verminderung 
der Vielfachheit in a: um 1 entsteht. 


Die Curven in A bilden ein hoinaloidales System mit den in A ent- 
haltenen Fundamentalpunkten als in derselben Vielfachheit genommenen 
Punkten, welche sie für die A besitzen und sind entstanden durch den 
Schnitt mit den um die Fundarmentalfläche A verminderten homaloidalen 
Flächen, welche nämlich den Ebenen durch @ entsprechen. Als Funda- 
mentaleurven fungiren auf A die in A enthaltenen Fundamentaleurven 
der Transformation. 

Die ebenen Schnitte der Fundamentalflächen sind von variableın Ge- 
schlechte und es sind also auch die Osculationskegel der homaloidalen 
Flächen in den Fundamentalpunkten von variableın Geschlechte. 


Theorem XXXVI. Wenn eine Fundamentalfläche A, a,. Ordnung durch 
einen Fundamentalpunkt x,, a,-fach hindurchgeht, so geht die dem x, ent- 
durch den Punkt x! ebenfalls a,-fach. 


^ 


sprechende Fläche A; 


Die Nachbarpunkte im Osculationskegel von A, im x, entsprechen 
den Nachbarpunkten von x; im Osculationskegel von A, und dieses Ent- 
sprechen ist collinear. 

Es gelten noch die folgenden Theoreme: 


‘Theorem XXXVII. Wenn eine Fundamentalfläche durch zwei Fundamen- 
talpunkte der Ordnungen a, und a,, wo a; > a,, mit den Vielfachheiten e 
und a,, geht, so ist a, > Ay. 

Theorem XXXVIII. Wenn eine Fundamentalcurve durch zwei Fundamen- 
talpunkte der Ordnungen a; und a, wo a, ud, mit den Vielfachheiten 
Yin» Vu geht, so ist v4, > v.- 








16 S. Kantor. 


Theorem XXXIX. Wenn durch denselben Fundamentalpunkt zwei Fun- 
damentalflächen der Ordnungen a;,a, wo a; > a,, mit den Vielfachheiten 
@,; ; @, gehen, so ist a; > a. 

Theorem XL. Wenn durch denselben Fundamentalpunkt zwei Funda- 
mentalcurven der Vielfachheiten v;,v, gehen, wo v»; > w, mit den Vielfach- 
heiten »,; , »,,, SO ist vu; > vy. 

Theorem XLL Wenn für 4 Fundamentalpunkte die Summe der Ord- 
nungen d; + a, + a, + a, 22m, so ist auch für jede Fundamentalfläche a. 
Ordnung, welche durch sie mit den Vielfachheiten a,;, «4, 0, , On geht, 
(5 + An + a + U. 2 20. 

Theorem XLII. Jn den Theoremen XXXVII. bis XL. ist überdies stets 
d; — 4, >40 — Oy, di — Ya > De — Jn tu Oy pe DB Meme 

Theorem XLIIL Die Fundamentalpunkte theilen sich in jedem der beiden 
Räume in Griippchen gleicher Vielfachheit und die in diesen Grüppchen ent- 
haltenen Anzahlen von Punkten sind in beiden Räumen dieselben. 

Theorem XLIV. Jedes Grüppchen des einen Raumes entspricht einem 
bestimmten Grüppchen des anderen Raumes, so nämlich, dass die Absonderungs- 
fläche eines Fundamentalpunktes in dem Grüppchen in allen Fundamental- 
punkten des correspondirenden Grüppchens gleiche Vielfachheiten besitzt mit 
Ausnahme eines einzigen Fundamentalpunktes. 

Theorem XLV. Die Differenz unter den beiden im vorigen Theoreme 
genannten Vielfachheiten. ist = + 1. 


ihr 


Die letzten 3 Theoreme können durch Zusammensetzung aus elemen- 
taren (a, b)" bewiesen werden. 


8 2. Eigenschaften der Fundamentalsysteme ohne Fundamental- 
curven 1. Art. 


Theorem XLVI. Werden zwei solche Transformationen S, S' zusammen- 
gesetzt, so erhält man eine Transformation derselben Definition. 


Das Fundamentalsystem (SS’), setzt sich aus den durch S’ trans- 
formirten freien Fundamentalgebilden von S in 5, und aus den Funda- 
mentalgebilden von 5, zusammen, enthält also nur Fundamentalcurven 
2. Art. Nur wenn eine Fundamentalcurve von S, mit einem Fundamen- 





Transformationen in R,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. LT 


talpunkte von S{ coincidirt, kann der Curve eine Fläche entsprechen, aber 
dies ist doch immer so, dass der Curve eigentlich eine Curve und nur 
der gleichzeitigen Berührung der Flächen längs jener Curve die Funda- 
mentalfläche entspricht. 

Diese Transformationen bilden also eine in sich geschlossene un- 


endliche Gruppe. 


Theorem XLVII. Die Anzahl der Fundamentalpunkte ist in beiden 
Räumen dieselbe. 


Die Postulation der Ein-Eindeutigkeit reicht zum Beweise hin. Denn 
in Folge deren müssen lineare Substitutionen unter den Ordnungen x 
und Vielfachheiten x in den Fundamentalpunkten bestehen, welche die- 
selben in beiderlei Sinne ohne Unbestimmtheit finden lassen, wozu die 
Gleichheit der Variabelnzahl in beiden Räumen Bedingung ist. 


Theorem XLVIIL Für die Transformationen gilt mm’ — 1 = Xa; A;= Xa; A;, 
wenn m, m’ die beiden Ordnungen, a;, a! die Vielfachheiten der Fundamen- 
talpunkte in R,, Ri, A;, A; die Ordnungen der entsprechenden Fundamen- 
talflächen sind. 


Ein Ebenenbüschel in Z, und das entsprechende- Flächenbüschel in 
R; liefern (die Coincidenz von R,, R; zeitweilig vorausgesetzt) eine Fläche 
(m’ + 1). Ordnung, Ort der Punkte, die mit ihren Transformirten Gerade 
über die Axe des Büschels liefern. Die Fläche geht a;-fach durch die 
Fundamentalpunkte von AR} und transformirt sich in die analoge Fläche 
des R,, sodass besteht (m + 1)m— La;A; — m + 1. 

Corollar. Die homaloidalen Curven im A, gehen A;,-fach durch die 
a;-fachen Fundamentalpunkte und treffen die Fundamentalcurven nicht 
in variablen Punkten. 


Theorem XLIX. Eine Fläche 4. O., welche in allen Fundamentalpunkten 
von R, Doppelpunkte hätte, würde in eine eben solche Fläche des Ri ver- 
wandelt werden. 


Die Jacobi’sche Fläche hat die Ordnung 4(» — 1) und es ist also 
2X'A; = 4(n — 1), 23 A; = 4(n' — 1), weil die einem Fundamentalpunkte 
entsprechende Fläche bekanntlich zweimal zählt. Also 24, = 2(n’ — 1), 
und 4n’ — 224, = 4. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 28 avril 1897. 








18 S. Kantor. 


Corollar. Eine Fläche 2. Ordnung, welche durch alle Fundamental- 
punkte von A, einfach geht, wird in eine eben solche Fläche des R; ver- 
wandelt. 


Theorem L. Die Transformation muss in beiden Systemen von gleicher 
Ordnung sein. 


Ich benütze das vorstehende Corollar und denke mir eine Fläche 2. 
Ordnung durch alle Fundamentalpunkte. Unter den Punkten der beiden 
so einander entsprechenden M° entsteht dann eine birationale Verwandt- 
schaft, in welcher den ebenen Schnitten die Schnitte mit den homaloidalen 
Flächen entsprechen. Diese Verwandtschaft muss, da sie stereographisch 
auf die Ebene projicirt werden kann, in beiden Systemen gleicher Ordnung 
sein, also auch die beiderseitigen homaloidalen Flächen, n = w'. 


Theorem LI. Einem k-fachen Fundamentalpunkte entspricht eine Ab- 
sonderungsfläche der Ordnung = alle Fundamentalpunkte haben also gerade 
Vielfachheit. 

Denn der Fundamentalpunkt wird auch %-fach für die Verwandtschaft 
unter den Punkten der M; und in dieser entspricht ihm eine Curve der- 


selben Ordnung k. Diese Curve ist aber der Schnitt von 7M; mit der 
zum Punkte gehörigen Absonderungsfläche im Raume und diese ist also 


k 
von der Ordnung 2; 


Theorem LII Die Ordnung der Transformation ist stets ungerade und 
ze e 3n? "ry 

Denn nach XLVIII. 4? — 1 = 224?, also n° — 22 A? + 1. 

Für jede birationale Transformation im A, gilt der Satz: Durch die 


Fundamentaleurven 2. Art gehen die homaloidalen Flàchen stets nur in 
Folge der Fundamentaleurven 1. Art. Also gilt: 


Theorem LIIL Die Fundamentalcurven 2. Art sind Curven, welche durch 


die singulären Punkte allein vollständig bestimmt sind. Ebenso: 


' Das Gewagte dieses Beweises will ich nicht verhüllen. Man vergleiche hiezu die 
1. Note auf p. IIO meines Buches über Gruppen, Mayer & Müller, Berlin 1895. 





Transformationen in A,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 19 
3 


Theorem LIV. Die homaloidalen Flächen sind Flächen, welche vermöge 
der singulären Punkte allein das Geschlecht p=o haben und durch die Fun- 
damentalcurven 2: Art nur mit solchen Vielfachheiten gehen, welche eine noth- 
wendige Consequenz der Vielfachheiten in den Fundamentalpunkten sind. 

Theorem LV. Die homaloidalen Curven sind rationale Curven, welche 
ihren rationalen Caracter sowie ihre Unbestimmtheit u = 4 nur durch ihre 
Vielfachheit in den Fundamentalpunkten erhalten. 





. . Es ist überhaupt sowohl im À, als im À, bei jeder einzelnen Trans- 
formation das grösste Gewicht darauf zu legen, auf welche Art die ho- 
maloidalen Curven ihren rationalen Character erhalten, ebenso die ho- 
maloidalen .M,, M,,..., M. 

| Bekanntlich kann eine Curve im Raume singuläre Punkte annehmen, 
ohne dass sich die Anzahl ihrer scheinbaren Doppelpunkte ändert. Ich 
möchte daher jeder Raumcurve eine gewisse primitive Curve zuweisen, 
welche gar keine vielfachen Punkte besitzt, aber dieselbe Anzahl schein- 
barer Doppelpunkte und aus welcher also jene numerisch durch Aufnahme 
vielfacher Punkte entsteht. Ich schliesse nun in dem gegenwärtigen Falle 
das ausserordentlich wichtige Theorem, welches in der Anmerkung zu 
LXI. einen strengeren Beweis erfährt: | 


Theorem LVI. Die homaloidalen Curven aller Transformationen gegen- 
wärtiger Art sind solche Curven, welche ohne die Vielfachheiten in den Fun- 
damentalpunkten das für Curven ihrer Ordnung überhaupt mögliche Maximal- 
geschlecht haben. 


Das heisst, ihre primitiven Curven sind Curven maximalen Ge- 
schlechtes. — Ich benütze jedoch LVI. und LVII. nirgends. 


Theorem LVII. Für die homaloidalen Curven gilt 


ee d 





= 


RR Ved T 
Hiebei ist [| der ganze Quotient der Division (v — 1):2, und 


a, sind die singulären Punkte der Curven, » die Ordnung. In der That 


hat ein a,-facher Punkt auch im R, für das Geschlecht der Curve den 


Werth von ee‘) Doppelpunkten und nach einem Theoreme von 








20 S. Kantor. 


: — 1] 4. ; : 
HALPHEX ist [| die Maximalzahl von scheinbaren Doppelpunkten 


- 


einer Curve v. Ordnung, also jene Differenz das Maximalgeschlecht, welches 
nach LV., LVI. durch die a,-fachen Punkte absorbirt werden muss. 


Theorem LVIIL Die Summe und die Summe der (Quadrate der Viel- 
fachheiten, mit welchen sämmtliche vorhandenen Fundamentalflächen durch einen 
bestimmten 2a;-fachen Fundamentalpunkt gehen, ist 4a; — 1 und 2a; + 1. 


Ich verwende wieder die invariante Fläche 2. Ordnung und projicire 
die birationale Verwandtschaft in derselben stereographisch auf die Ebene. 
Dann erscheinen den 24;-fachen Fundamentalpunkten des À, entsprechend 
auch in der Ebene 2a,-fache Fundamentalpunkte, hinzu treten noch die 
Schnittpunkte der Ebene mit den beiden Erzeugenden des Centrums als 
m-fache Fundamentalpunkte, während die Ordnung in der Ebene 2m wird. 


- 


Es ist also nach den Gleichungen in der Ebene? Fa, + 2a; = 3(2a;) — 1, 
wo die a; dieselben Durchgänge wie im R,, also die Zahlen des Theoremes 
sind, und weil die beiden hinzukommenden Fundamentalcurven durch 
jeden Punkt mit dessen halber Vielfachheit gehen. * 


Für die Summe der Quadrate folgt ebenso Xa; + 2a; = (2a,)’+ 1, 
+ 9 9 2a; À 
also Xa; = 24? + 1 = zx d- qo 


© C. R. Bd. 70. — Das Theorem LVIL, dessen von LVI. unabhängiger Beweis 
in der Anmerkung nach LXI. geliefert wird, steht ebenso wie LVI. mit einer Behauptung 
HALPHEN s über Raumeurven in n? 22 des Chap. II. seiner Preisschrift über die alge- 
braischen Raumeurven (Journal de l'École polyt. Cah. LI.) in nur scheinbarem Wi- 
derspruche. Die betreffende Behauptung scheint mir übrigens unrichtig. 

* Crelles Journal, Bd. 114, p. 57. 

? Diese Fundamentaleurven sind die stereographischen Projectionen der den beiden 
Erzeugenden in der Verwandtschaft auf M? entsprechender Curven m. Ordnung, welche 
nach der allgemeinen "Theorie als homaloidale Curven durch einen a;-fachen Punkt A;-fach 


gehen, also nach LI. — fach. 


* Das Gewagte des Beweises mittelst M; wird sehr gemildert, wenn man bedenkt, 
dass auch eine Fläche 4. O., welche doppelt durch die Fundamentalpunkte geht, dadurch 
abbildbar werden kann, dass sie einen 3-fachen Punkt erhält und allgemeiner, dass man 
für hinreichend grosses s stets wird eine Fläche der Ordnung 2s finden können, welche 
durch die sämmtlichen Fundamentalpunkte s-fach geht und ausserhalb derselben einen 
2s — 1)-fachen Punkt besitzt, also ein Monoid. In diesem Monoide (oder unter den beiden 





Trausformationen in R,, welche keine Fundamentaleurven 1. Art besitzen. 21 


Theorem LIX. Die Summe und die Summe der Quadrate der Vielfach- 
heiten, mit welchen eine bestimmte Fundamentalfläche a,. Ordnung durch die 
Fundamentalpunkte hindurchgeht, welche sie enthält, sind 40; — 1 und 2a? + 1. 


Die stereographische Abbildung der JZ? liefert von der Ebene aus 
die Gleichungen Xa,; + 20; — 3(2a,)— 1, weil die Fundamentalcurven die 
Projectionen der Schnitte von JZ? mit den Fundamentalflächen sind, welche 
jede Erzeugende in a; Punkten treffen und die Ordnung der Fundamen- 
taleurve also 2a, wird. Ebenso für die Quadrate. 


Theorem LX. Wird durch eine dieser Transformationen ein Flächen- 
system in ein anderes verwandelt, so wird auch das adjungirte Flächensystem 
ın das adjungirte verwandelt. 


Die Singularitäten, welche die adjungirten Flächen in den Funda- 
mentaleurven 2. Art haben können, bedürfen einer genauen allgemeinen 
Untersuchung, kommen aber hier nicht in Betracht, da sie auf die Ver- 
wandlung durch die Transformation nur dadurch Einfluss haben könnten, 
dass sie die Vielfachheit der adjungirten Fläche in den Fundamental- 
punkten beeinflussen. Dies ist aber nach dem Theoreme LIIL nicht 
möglich. Der adjungirte Singularitatencomplex ist also n— 4, 0%; — 2 
und nach XLIX. in »'— 4, z; — 2 verwandelt. 


Theorem LXI. Für die homaloidalen Curven git Xa = 2(v — 1), 
23a? — y?— 1. 


Denn die Curve geht, weil sie einer Geraden entspricht, gemiss LI. 
- E . : 
und LIT. durch einen k-fachen Fundamentalpunkt „fach und es ist aber 


a, wegen XLIX. und LIL $a,= 2(m-—— 1) 23a? =m?—1, und nach 
L. ist die Ordnung » gleich der der homaloidalen Flächen. 

Anmerkung. Andererseits kann man diese Relationen aus LVII. 
folgern, wenn man das Theorem LXII. hinzunimmt. Lässt man aber den 
hier gegebenen Beweis und seine Voraussetzungen gelten, was sogar besser 


ist, so kann man aus den beiden Relationen die Relation des Theoremes 


entsprechenden) entsteht dann eine birationale Verwandtschaft, welche sich dureh Projection 
aus den (2s — I)-fachen Punkten in eine ebene birationale Transformation überträgt. 








22 S. Kantor. 


LVII. herleiten und aus diesem dann auf LVI. schliessen, welches wich- 
tige Theorem dann bewiesen ist, ohne auf allgemeine Transformations- 
relationen sich zu stützen. 

Corollar. Sowohl die homaloidalen Curven als die Fundamentalcurven 
sind von der Art, dass sie unbeschadet ihrer Natur in Flächen 2. O. ent- 
halten sein können. 


Theorem LXII. Wenn eine homaloidale Curve gegenwärtiger Art in 
einer M2? enthalten ist, so sind co! mit denselben Singularitäten in der M; 
enthalten. 


Denn die stereographische Projection liefert Curven mit denselben 


m — 1 
-fachen und 





Vielfachheiten und zwei 7 fachen Punkten oder einen 


I 


: m ; : 
einem -fachen und zwar, da hier m ungerade, den 2. Fall. Es ist 





also die Dimension 





wn AMD a erate EUR E 
gemäss XLIX. und LII. 

Es folgt dies auch ohne die Relationen LII. Die Summe der Viel- 
fachheiten ist 2m — 2, damit also eine durch die Fundamentalpunkte ge- 
hende M3 die Curve enthalte, bedarf es dreier Bedingungen, die Dimension 
aller Curven ist aber 4, also bleibt in 77; die Dimension 1. 


Theorem LXIIL Wenn eine Fundamentalfläche A;, die zu x, gehört, 
a,,-fach durch x, geht, so geht die Fundsmentalfläche A,, welche zu x; gehört, 
a,-fach durch x.. 


Folgt ebenfalls aus der Projection der invarianten JZ; und der ent- 
sprechenden Eigenschaft der birationalen Transformationen in der Ebene. 
Auf demselben Wege ergeben sich noch die Theoreme: 

In jeder solchen Transformation des Raumes theilen sich die Funda- 
mentalpunkte jedes Systemes in Grüppchen gleicher Vielfachheit und die 
Anzahlen der in diesen Grüppchen enthaltenen Punkte sind in beiden 
Systemen dieselben. 

Jedes Grüppchen ist einem bestimmten Grüppchen des zweiten Raumes 
coordinirt, so zwar, dass die Absonderungsfläche eines Fundamentalpunktes 





Transformationen in R,. welehe keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 23 


3» 


in jedem Fundamentalpunkte des coordinirten Grüppchens dieselbe Viel- 
fachheit hat mit Ausnahme eines einzigen und die Differenz der Viel- 
fachheiten ist = + 1. 

Auch die Theoreme XXXVII. bis XL. lassen sich mittelst der M; 
beweisen. 


8 3. Identität der Transformationen der S ı und 2. 


Theorem LXIV. Für die homaloidalen Curven der Transformationen des 
$ 2 ist stets, wenn a, ,a,,@,,a@, die 4 höchsten Fundamentalpunkte sind, 


ea... 4 Fa > m, 


Ich denke mir die homaloidale Curve in einer M enthalten, was 
bei dem arithmetischen Character gegenwärtiger Sätze keine Einschränk- 
ung und aber nach dem Corollare zu LXI. möglich ist. Es wird also 
nach LXII. folgen, dass die M? der Curven co' enthält. Die stereogra- 
phische Projection verwandelt diese in ein Büschel von Curven der Ord- 
nung m mit zwei vielfachen Punkten — à „u WG Wit). d Denn vui 


“= 


fachen Punkten, welche Curven p = o haben. Ein solches Büschel ist 
nach bekannten Theoremen stets auf niedere Ordnung zu bringen durch 
Anwendung einer Q’, welche die drei höchsten Basispunkte besitzt. Es 
muss also entweder a, + a, + «, > m sein, womit aber das Theorem, 
u. zw. stärker als gewünscht, bewiesen wäre, oder es muss wenigstens 


m + I m — I 5 er : : 
Mate bg pm. Denn wären auch nur zwei Punkte a gleich 


m — I T : : 
EU so müsste d, + a, + a, > m sein, da nicht a, — Q, —...— 0, — I 


sein kann. Es muss also der Fall supponirt werden, dass dem Nö- 
ther’schen Theorem nur durch jene Ungleichheit genügt wird, was aber 
auch der ungünstigste ist. Gleichzeitig können wir von nun ab die Vor- 


m — I 
aussetzung d,, 4,, ..., 4, > —,; — machen. 


Durch Anwendung von Q* mit jenen 3 Hauptpunkten folgt dann 


à - ^ ., m dI À 
ein Büschel von Curven der Ordnung m — a, mit —7— — a, -fachem, 








24 * S. Kantor. 


m — I j 
——— — a,-fachem Punkte und a,,a,,...,a,-fachen Punkten. Dieses 
Büschel muss nun weiter reducirbar sein, es muss also die Summe der 


drei höchsten Basispunkte > m — a, sein. 


= m + I m — I \ 
Wäre nun Fa) En E i +a,>m —a, so wäre 


: | = 
a, >a,, was nicht sein soll. Es muss also a, sera = * oder a, +4, Soa 


m — 1 M—I . 
sein, und aber ebenso nach a, > —7— — a, oder a, + a, > —7— sein. 








Es bleibt die Transposition durch (2 — à) +a, +a, >m—a, womit 
" ‘ 1 m-FI 
a, + a, > verknüpft ist. Die Voraussetzung, dass auch —— — a, 


nicht unter den höchsten sei, führt aber zu a, + a, +4, > m — à,, was 
das Theorem liefern wiirde. 


: m + I = : 
Bemerken wir nun aber, dass a, > — — ji sein muss. Denn wenn 
k : : m? — 1 
ale a; gleich sind, gilt nach $ 2 sa = 2(m — 1), sa? = —7— also 
m + I E ^ = : 
a= ATI Dies ist aber nach bekannten arithmetischen Grundsätzen . 
das Minimum. Nach der Relation a, + a, > ™—" plebe also nur noch 


2 m + I 
zu beweisen, dass auch a, > ———. 


Wird die vorletzt genannte Transposition wirklich ausgeführt, so 
entsteht ein Büschel von Curven p =o der Ordnung 


m + I URI 
2(m — a,) — (+ a) —ü, cU De 
; - m — 1 m —1 mn — 1 
und mit den Fundamentalpunkten ——— — 4, , ——— — a,, —— — a 
2 I 2 A 2 2j 
m — a, — a, — 0,,0,,..., 4,, Wovon der erstere vom vorherigen Büschel 


als unverwendet übrig ist, und wo die Punkte nicht in der Reihenfolge 


LE! SEN! 


der Grösse stehen. Transformirt man nun mit eg cd er ge 
? 


m-— I 
2 





I 
—a,, so entsteht 3m — I — 2a, — 24, — 24, — 3 (39 — 3) 4- a, 4- a, 4- a, 





or 


Transformationen in R,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 2: 


3m + 1 à 
ea ST) dal; also keine Verringerung, während. das Büschel 

: m —1 m — 1 
reauciroar sen muss Auch“ ———— 0, — —— — a, | 'h — 4. 0 — d 
2 2 2 8) 1 2 2 


können nicht die 3 höchsten Basispunkte sein, weil sie die transponirte 
Ordnung 3m — 1 — 2a, — 2a, — 2a, — 2m + 1 + 2a, + 2a, +a, — m — a, 
liefern, also wieder keine Verringerung. Es muss also jedenfalls a, mit 
verwendet werden, also a, muss unter den drei höchsten Fundamental- 
punkten sein. Es möge nun a, grösser sein als einer der vorhergehenden 
Basispunkte. Ist a, >m—a,—a,—a,, so folgt sofort m>a, +a, Tas + 


qu. e. d. Ist a, »——-—a, so folgt “<a, +a, also a,+a, P S dai 


T E : m— 1 i 
wenigstens, aber es ist auch nach obigem a, + a, = Tenth E. 


also durch Addition dieser beiden Beziehungen a, +a,+a,+a,=m+ 1 


wenigstens. Damit ist denn der ungünstigste Fall erledigt, da unter 


à m —I 5 4 
den vier dem a, vorausgehenden Zahlen — 7 0 (oder sicher immer 


“= 


unter den drei ersten Zahlen) die kleinste ist. 


Aber der hiemit gelieferte Beweis ist allgemein, da die Hinzunahme 


. . . "UL T 
der M; keine andere Bedeutung hat, als der Hinzunahme eines ep ae 


: m + I : 
fachen und eines —72- fachen Punktes, welche nach dem in Anmerkung 


nach LXI. bewiesenen Theoreme LVI. (oder LVIL) vorhanden sind, ein 
geometrisches Substrat zu liefern. 

Der Beweis gilt nun aber auch ohne Rücksicht auf imei ich nahe 
Lage von Fundamentalpunkten, denn da das Theorem über die ebenen 
Curvenbüschel, aus dem sich der Beweis entwickelt, ohne diese Ein- 
schránkung gilt, und jene Lage sich in keiner anderen Weise bei der 
Projection geltend macht, so übertràgt sich die Allgemeinheit auf den Raum. 


Theorem LXV. Die homaloidalen Curven der Transf. des S 2 lassen 
sich stets durch Anwendung cubischer Reciprokaltransformationen (a, b)* in 
das Geradensystem verwandeln. 


Denn verwendet man die 4 höchsten Fundamentalpunkte a, , a, , 4, , a, 
für eine (a, 5)*, so wird 3m — 2(a, + a, + a, + a,) < 3m — 2m d. h. 
« m werden und die Ordnung ist vermindert. Die neu erhaltenen 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 29 avril 1897. 4 








26 S. Kantor. 


Curven sind aber wieder von derselben Art, da ja sie gleichfalls wieder 
als homaloidale Curven in einer Transformation dieser Classe erscheinen, 
und gestatten also neuerdings Anwendung von LXIV. und (a, 5). So 
fortgesetzt wird m bis auf 3 und dann auf ı reducirt werden. 


Theorem LXVI. Die Transformationen ohne Fundamentalcurven 1. Art 
sind aus cubischen Reciprokaltransformationen zusammensetzbar. 


Überträgt man nämlich das System der homaloidalen Curven und 
setzt gleichzeitig (a, b)* mit der gegebenen Transformation zusammen, so 
wird die neue Transformation die übertragenen Curven zu homaloidalen 
haben, also selbst ebenfalls von niedrigerer Ordnung sein, und man. wird 
successive bis zu einer (a, b)* selbst gelangen können. | 

Hiemit ist die Identität der Transformationen der $$ ı und 2 nach- 
gewiesen. Der Beweis des Theoremes hätte auch direct für die homaloi- 
dalen Flächen geführt werden können und sogar ganz abgesehen davon, 
dass mit der Relation a +a,+a,+a,>m gleichzeitig für die 4höchsten 
Singularitäten 2a, , 2a,, 2a,, 2a, der homaloidalen Flächen die Relation 
(2a,) + (2a,) + (2a,) + (2a,)> 2m gefunden ist. Man kann nämlich 
sogar direct eine invariante M} benützen, die birationale Verwandtschaft - 
in derselben durch stereographische Projection abbilden, und wird hierbei 
ein Netz von Curven p — o der Ordnung 2m erhalten, welche 2a,,..., 2a,- 
fache und zwei m-fache Punkte haben, weil die M7 jede Erzeugende durch 
O in m Punkten treffen. In der That ist die Dimension 


= 2m (20 + 3) — 5 X2a,(24, +1)—2 zm(n + 1) = 3, 


wovon noch der Transformirte von O, resp. diese Projection zu subtra- 
hiren ist, so dass oo? bleibt. Auf dieses Netz ist dann das Schlussver- 
fahren anzuwenden, womit ich LXIV. bewiesen habe. 


§ 4. Einige specielle Transformationen gegenwärtiger Art. 


Theorem LXVII. Wenn ein Fundamentalsystem der Ordnung m einen 
Fundamentalpunkt der Ordnung m — ı enthält, so sind die Vielfachheiten 





to 


Transformationen in R,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 27 
der übrigen Fundamentalpunkte die Doppelten der eines ebenen Fundamental- 

: m+ I 
systemes der Ordnung ———. 


€ 


6 2 oO A 
m —I m I 
Denn aus Pg — 2m — 2 und 2 02 = folet La, = 3 ( E- — Qs 
1 ^ 1 2 = 2 2 


2 
X — (I Segen 


I 
: 3 Jug. ex d, 

Die Fundainentaleurven 2. Art für ein solches System sind die Ge- 
raden, welche a, mit a,,..., «, verbinden, dann die Curven, welche aus 
denjenigen der erwähnten ebenen Verwandtschaft so abgeleitet werden, 
dass man den Curven ». Ordnung Curven 2» — 1. Ordnung substituirt, 
welche in @,,...,&, dieselben Vielfachheiten wie jene und in x, die 
Vielfachheit » — 1 haben. Diese Fundamentaleurven sind für die M7 
einfach und sind jenen Geraden genau dem Entsprechen in der Ebene 
(unter den x; und ihren Fundamentaleurven) gemäss zugeordnet. Die 
Gesammtanzahl ist also 2(s — 1). 

Die Fundamentalflächen sind den Punkten z,,..., x, entsprechend 
Kegel mit der Spitze in x, und aufstehend über den Fundamentalcurven 
des (fingirten) ebenen Systemes, und dem x, entsprechend, eine Fläche 


m —- I . OU . 
——— . Ordnung mit x, =, welche ausserdem durch z,,..., x, mit 
den Vielfachheiten a,,..., a, geht. 

Wenn 2a, = 2a, — m — 1, so ist also 24, =... — 24, = 2, die Fun- 


damentaleurven sind zweimal o—- 2 Geraden aus z,, r, nach %,, ..., v,, 


2 
die Gerade v,v, und die Curve m — 2. Ordnung durch v; ‘a "2, ...7,. 
Die Transformation verwandelt das Ebenenbüschel durch a,x, in das 
Ebenerbüschel durch zjz; und zwar mit quadratischen Verwandtschaften 


unier den Ebenenpaaren.' 


Theorem LYVII. Die e:ızigen Fundamentalsysteme mit a, =... = 4, 
sind (1 » 1,1, a (4; 4, A, 4n (8.79797 3) Sy STS" 


1 Die irreduetible einfache Fundamentaleurve I. Art, welche bei der allgemeinen 
dyoidalen Transformation mit quadratisch verwandten Ebenen auftritt, ist also hier in obiger 
Weise zerfallen und dadurch in die 2. Art übergegangen, dass sich der Character I. Art 


auf einzelne Punkte in ihr zusammengezogen hat. 








28 S. Kantor. 


Aus XLIX. und LH. folgt oa = 2(m— 1), 204 = m! — 1, a= an , 








— iss welches ganz wird für c= 4,6,7 und m — 3,7, 15. 
Diese Fundamentalsysteme sollen als Q*, Q*, Q bezeichnet werden, während 
T* immer die Potenz einer Transformation bezeichnen soll. 

Die Fundamentaleurven für @Q sind die 15 Geraden z;z, einfach 
und die (x,...a,) dreifach, für Q" die 21 Geraden z;z, einfach und die 
7 Curven (z;z;,,... 2;,,)" dreifach. Die Fundamentalflächen für Q' sind 
Kegel (xjz,,,... 2;,,)' und für Q' Flächen 4. Ordnung (zizj,...22,,)*. 


Theorem LXIX. Unter den  Transformationen mit nicht mehr als 6 
Punkten kann keine höhere als 7., mit nicht mehr als 7 keine höhere als 
15. Ordnung sein. 


Die Fundamentalflächen sind nämlich nur Ebene durch 3 Punkte, 
quadratischer Kegel, M3 mit 4 Doppelpunkten und 3 einfachen, Mi mit 
ı dreifachen und 6 Doppelpunkten. Wegen LXVIII. und Miniinumsätzen 
hat jede Transformation höherer als 7., 15. O. einen höheren also 4- 
oder 8-fachen Fundamentalpunkt. 


Theorem LXX. Die Fundamentalsysteme mit weniger als 8 Punkten 
sind (1 ‚I,I, 1)‘, (4,4,2,2,2, 2), (6,4,4 22h, 024547454) 45 
(8,4,4,4,4,4,4), (6,6,6,4, Ain, 2^ (85.6 ‚10306, 1108 To 
(8,8,8,6,6,6,6)* (8,8,8,8,8,8, 8)" Die Anzahl der Funda- 
mentalsysteme mit einer Anzahl o > 7 Fundamentalpunkten ist unendlich. 


Die ersten Fundamentalsysteme gewinnt man leicht mit Anwendung 
des Theoremes LXVI. Zum Beweise des 2. Theiles des Th. genügt es, 
die cubische Characteristik (a,b,),(«,b,), (a,d,) b, in bj in...b = a, für 
h> 3 zu verwenden. Denn nach der Theorie dieser Transformationen 
(s. Am. J. 1896) ist sie für > 3 aperiodisch und liefert also unendlich 
viele Fundamentalsysteme, welche keine anderen als diese Fundamental- 
punkte haben und von denen keines unendlich oft wiederkehren kann, 


ohne Periodicität zu bewirken. 





Transformationen in A,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 29 


be PHBEL 
Theorie der periodischen Characteristiken. Äquivalenz mit 
den Typen. 


§ 1. Allgemeine Sätze über Characteristiken und die linearen 
Substitutionen I) und Il). 


Das Problem der Zusammensetzung führt nun sofort zum Probleme 
der Periodicität. Hier eben erweisen sich die Fundamentalsysteme des I. 
Theiles als die genaue Verallgemeinerung der birationalen Transforma- 
tionen der Ebene. Damit nämlich Reduction der Ordnung bis auf Eins 
durch successive Anwendung (7") eintreten könne, reicht das Princip der 
Verkettung der Fundamentalpunkte vollkommen aus. Damit also die 
Characteristik, d. i. die- Gesammtheit der Fundamentalgebilde und ihrer 
Transformirten, Periodicität liefere, ist nothwendig, dass die Fundamental- 
punkte 5, von A; mit den a, von À, verkettet oder coincident sind. Für 
die Verminderung der Ordnung ist die Verkettung der Fundamentalcurve 
2. Art gleichgiltig. Die Fälle, wo /; mit Fundamentalcurven e; incident 
sind, ohne in Fundamentalpunkte überzugehen, können also nicht perio- 
disch sein. Um die entsprechenden Substitutionen I) und II) zu schreiben 
(characterisirt hat man also w' dem », die x’ den x und die y den y 
zuzuweisen und die z',z, die y’,y je unter einander zu verketten.' 
Rein arithmetisch ist die Verkettung der y',y von jener der a’, x ganz 
unabhängig und hier zweigt sich abermals eine neue arithmetische Unter- 
suchungsrichtung von dem geometrischen Gebiete ab. Jedoch gilt in 


Folge des Theoremes LIII: 


Theorem I. Durch die Coincidenzen und Verkettungen der F'undamen- 
talpunkte sind die Coincidenzen und Verkettungen der Fundamentalcurven 


! Rein arithmetisch ist es sogar möglich, auch die z' mit den y, die y mit den 
æ zu verketten. Die Schreibung der Substitutionen I) und II) für diesen Fall kann mög- 


licher Weise zu neuen Classen ganzzahliger periodischer linearer Substitutionen führen. 





30 S. Kantor. 


(2. Art) vollständig bestimmt. Die Characteristik ist schon periodisch, wenn 
auch nur die unvollständigen Substitutionen 1) periodisch sind. 


Es folgt also daraus auch die Periodicitát des vollständigen Sub- 
stitutionen I) und II). Das Theorem (von FroBgxius) über die Periodicitat 
einer linearen Substitution überträgt sich auch hierher." Die characterisirten 
Substitutionen I) oder II) sind periodisch, wenn die characteristische Func- 
tion einfache Elementartheiler und nur Einheitswurzeln zu Wurzeln hat. 

Corollar. Sobald die Zahl o < 8, kann die Periodicitit keinen Index 
> 30 haben (Crelles Journal, Bd. 114, p. 50). Auf Grund der Theo- 
reme XLII. bis XLV. und dann Ende von $ 2 kann auch die Directrix- 
substitution einer Characteristik definirt werden. Man lasst in einer pri- 
mitiven Characteristik (d. i. nur mit Verkettungen) auf einen Punkt a, 
jenen folgen, der dem mit jenem coincidenten nach XLIV. conjugirt ist. 
In der derivirten Characteristik (d. i. mit Verkettungen) setzt man den 
Cyclus genau durch die Verkettungen der Characteristik fort und schliesst 
ihn wie bei der primitiven. 

Die wichtigen Theoreme XXV. bis XXXIX. auf p. 62 bis 64 cit. 
Abh. gelten genau auch hier, wobei nur in XXXIX. statt Transforma- 
tionen von Jonquiéres die Transformationen dieser Abh. I. Th. $ 4 
LXXXVII. a. E. zu setzen sind und in XXXII. statt 2,3 hier. 3, 4. 


Theorem II. Jede Characteristik mit weniger als 8 Punkten liefert ein 
endliches Tableau successiver Transformationen und ist periodisch. 


Denn nach I. $ 4. gibt es nur eine endliche Anzahl von Funda- 
mentalsystemen, welche nur in eine endliche Anzahl Characteristiken über 
die 7 Punkte vertheilt werden können und keine Characteristik kann 
sich in derselben Vertheilung über die 7 Punkte wiederholen, da sonst 
(cf. cit. Abh.) die Characteristik sich schon früher mit der Collineation 
hätte endigen müssen. 


Theorem III. Die involutorischen Characteristiken (a,b,) von Q* und Q" 
sind vertauschbar mit allen Characteristiken von 6, resp. 7 Punkten. 


Jede (a, 5)’, welche die 4 Punkte über den 6, 7 Punkten besitzt, 
verwandelt die Transformation in eine Transformation derselben Art, 


! Für die Ebene von mir angegeben Crelles Journal Bd. 114, p. 61. 





Transformationen in R,, welche keine Fundamentaleurven 1, Art besitzen. 9d 


also auch jede aus (a, 5) zusammengesetzte Characteristik über den 6, 7 
Punkten. 

Die Theoreme L. bis LIV. cit. Abh. gelten auch hier, ebenso auch 
Th. LV., LVI. In der Deutung von LVI. (l. c.) tritt jedoch hier eine 
Änderung ein. Die Zahl m— a, —...—a, ist eine Invariante der 
unvollständigen Substitutionen D, die Anzahl der Doppelpunkte im 2, 
ist jedoch hier 2m + 2 — v, wo » die Verringerung durch uneigentliche 
Doppelpunkte ist und diese Anzahl ist bei Erhaltung der Zahl o der 
Characteristikpunkte (d. i. der Variabelnzahl der Substitution) gewiss in- 
variant. Es muss also die Differenz 


2p (Gy) >. ru, ) 


invariant sein u. zw. wie Beispiele lehren, constant und weiter gleich 
Null. Dies beweist das 


Theorem IV. Die Incidenz eines Fundamentalpunktes a, gegenwärtiger 
Transformationen mit der ihm entsprechenden Absonderungsfläche, welche a;,- 
fach durch den dem a,- coincidenten I lii QU b, hindurchgeht, ab- 
sorbirt (uneigentlich) 2a;, Doppelpunkte. 


Die 1. Invariante der Substitution 1.) ist also die Hälfte der Anzahl 
der eigentlichen Doppelpunkte, noch vermindert um 1. 

Die Theoreme LXIV. bis LXXVIII. der cit. Abh. gelten mit geringen 
Abänderungen auch hier. An die Stelle von LIX. bis LXIII. 1. c. treten 
Theoreme, welche erst nach Ausspruch des Aquivalenztheoremes in § 5 
bewiesen und angegeben werden sollen. 


Theorem V. Die characteristischen Functionen der Substitutionen Y) und 
II) sind für jede Characteristik einander gleich. 


Man beweist es, indem man die Reduction auf die Typen durchführt, 
für jeden einzelnen Typus den Beweis führt und dann bemerkt, dass die 
allgemeinen Typen durch Hinzufügung von Cyclen entstehen, welche in 
beide Functionen gleiche Factoren liefern. 


Theorem VI. Wenn eine Characteristik gegenwärtiger Fundamentalsysteme 
periodisch ist, sind alle Wiederholungen, welche denselben Index haben, mit 
ihr durch eben solche Transpositionen dquivalent. 





32 S. Kantor. 


Auch dies wird für die einzelnen Typen des II. Th. $ 5 bewiesen 
und von dort aus auf die äquivalenten nicht typischen Characteristiken 
geschlossen, weil aus P^7*P = T folgt P^(Q^" TQ) P = QT. 


Theorem VII. Wenn die Anzahl der Factoren (x — 1) der characte- 
ristischen Function > als der Rang der Characteristik plus 1, ist die Charak- 
teristik einer der SS 3, 4 dquivalent. 


§ 2. Die anallagmatischen Curvensysteme und die Reductibilität 
auf die Typen. j 


I. Beweis. 


Theorem VIII. Jede periodische Characteristik besitzt unendlich viele in- 
variante Singularitätencomplexe n,x,,..., x, beliebig hohen Geschlechtes p. 


Denn da es sich hier nur um Characteristiken handelt, so kann man 
die Gesammtheit der transformirten Curven einer Geraden stets in solcher 
Lage befindlich denken, dass dieselbe als reductible Raumcurve gelten 
kann, was die Erfüllung zweier Ungleichheiten erfordert. Seien n,,...,n, 
die Partialordnungen, h,,..., h, die Partialanzahlen der scheinbaren Dop- 
pelpunkte, 5; die Anzahlen der gemeinsamen Treffgeraden dieser Theile, 
so muss wegen der Projection auf eine Ebene, n =n, +...+n,, 
2 (h, +h, +... Eh, + ER) S (n— 1)(n— 3) sein und da 25; (n; —1)(n;— 2), 
ist 22h, < En; — 3£n; + 20 und also, wenn in den letzten Formeln die 
Gleichheit gilt, 


(2) 2Xk, < 2 Xn;n, — 2 (o — 1). 


Andererseits ist 4(Xh,-F Xk;) > (n— 1)" und da 4h; 2 (m — ry, ist 
4Xh, > Xn; — 2Xn; + c, also, wenn in der letzten Formeln Gleichheit 
gilt, sicher 


(3) 42k, > 2Xn,n, — (e — 1). 
Das Geschlecht p der Gesammtcurve ist e dm MM Xh, — Xk;, also 


2p = Ln,n, — (p— 1) -- Ep; — Xk;, daher 2p = 2p, + nn, — (o — 1) — Lh, 





Transformationen in R,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen, 33 
und im Falle der Giltigkeit der vorhergehenden beiden Formeln, d. i. 
sicher dann, wenn p; — o, | 


(4) 2p = Inn, — (o — 1) — Ik, 


1 


stets positiv. Dieser Fall p; = o tritt ein, wenn man die Transformirten 
einer rationalen Curve summirt und es kann unter Erfüllung von (2) und 
(3) der Werth von (4) willkürlich gross gemacht werden. Übrigens können 
(2) und (3) auch mit p; Zo erfüllt werden. 


Theorem IX. Wenn eine Transformation gegenwärtiger Art einen 
Complex m,x,,...,x, in sich transformirt, transformirt sie auch n — 4, 
Y,— lp... — 1 in sich. 


Denn dieser ist die lineare Combination aus jenem und aus 4,1,..., I. 
Der 2. kann der adjungirte Complex des 1. genannt werden. Man kann 
nun von irgend einem Complexe ausgehend die Reihe der successive ad- 
jungirten Curvensingularitätencomplexe bilden. 


Theorem X. Für jeden Singularitätencomplex, welcher durch eine der 
gegenwärtigen Characteristiken anallagmatisch ist, ohne Fundamentalcurven 2. 
Art zu schneiden, kann man numerisch voraussetzen, dass die Curve ohne 
jene Singularitäten das Maximalgeschlecht besitze. 


Denn nach Annahme von x,,..., x, hängt das Geschlecht nur von 
der Anzahl À der scheinbaren Doppelpunkte ab, welche aber auf die Cha- 
racteristik ohne Einfluss ist, schon darum, weil man die Curve wegen der 
Invarianz der M? (Th. XLIX.) in einer solchen enthalten voraussetzen 
kann, in einer solchen M? aber M} des Maximalgeschlechtes enthalten 
sind und vermóge der Schnitte mit den Erzeugenden wieder in solche 
verwandelt werden. Für die »Transformationen» wird jedoch ein eigener, 
genauerer Beweis zu suchen sein. Die Voraussetzung des Maximalge- 
schlechtes soll nun hinfort immer gemacht werden. 


Theorem XI. Dann ist die Zahl u des adjungirten Singularitütencom- 
plexes gleich der Zahl p — 1 des vorhergegangenen Complexes. 





D | ., (n— 2)? tlt) Der er : 
as p dieser Curve ist y57 aen Y; _—, as uw des adjungir- 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 10 juin 1897. 5 








34 S. Kantor. 


ten Complexes muss definirt werden wie oben für die homaloidalen Curven 
als die Dimension einer in einer Mj enthaltenen Curve n,n,...,t. 


" : : ; n(n n/n ilar Ehe 
Nun ist diese Dimension suni 20% (5 + 1) 2 —> ae. für 


n — 4, x, — 1 gebildet (n? — 4n — 2Xr,(r, — 1)):4 und aber das vorher- 


gehende p ist wie soeben (n? — 4n + 4 — 2 Xr(v, — 1):4. 

Anmerkung. Diese willkürliche Zuschreibung einer Zahl w, welche 
jedoch die wichtige Eigenschaft hat, endlich constant abzunehmen, ist 
einem àhnlichen Vorgange zu vergleichen, welcher bereits in der Theorie 
der r-dimensionalen quadratischen Transformationen in Amer. J. 1896 
aufgetreten ist. 


Theorem XII. Wenn die Curven des adjungirten Singularitätencomplexes 
zerfallen, so kann dies nur so geschehen, dass die Bestandtheile mehrere 
Curven eines linearen co*-Systemes sind oder eine feste Curve und ein in 
einem linearen Systeme variirender Bestandtheil. 


er Beweis wird ähnlich wie in Acta Math. Bd. 19, p. 119. 

Ich bilde nun für irgend ein invariantes Curvensystem von hin- 
reichend hohem p das adjungirte System, für dieses abermals und setze 
sofort, indem ich, wenn der Fall XII. eintritt, die Verminderung nur auf 
den variablen Bestandtheil anwende. Das Verfahren wird jedoch auf. 
gehalten, wenn man zu p — o kommt und schon für p— 1 wird w =o 
und der adjungirte Complex kónnte dann auch als Fundamentalcomplex 
(Fundamentaleurve) in die Transformation eintreten. Für diese Fälle 
sorgen die folgenden Theoreme. 


Theorem XIII. 'enn ein Curvensystem nur in Folge vielfacher Punkte 
in der Characteristik p =o und die obige Zahl u = 2 hat, ist es durch 
Reciprokaltransformationen übertragbar in die Geraden eines Stralenbündels. 


Es gelten die Formeln [(n — 2)? — 2Xr,(y, — 1)] =0,1,2,3 und 
[n(n + 3) — n(n + 1):2 — Jr (x, + 1)]:2 = — ı, woraus folgt Yr, — 2n ' 


und Xr =" + 2. Mittelst dieser kann man noch wie in I. Th. $ 3. 


' Die Formeln des Textes sind unter der Voraussetzung von geradem n gegeben. 
Ganz entsprechende Formeln entstehen für ungerades n mit der Bedingung, dass die Er- 


— I n+ 
und 








n 
zeugenden in Punkten getroffen werden. 





Transformationen in R,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 35 


LXIV. die Reduction bis auf » = 1 durchführen, wenn man beachtet, 
dass in diesen noch Bruchtheile mit dem Nenner 4 enhalten sein können. 


Theorem XIV. Wenn ein Curvensystem nur in Folge vielfacher Punkte 
in der Characteristik p =o und w= 3 hat, ist es durch Reciprokaltrans- 
formationen in Raumcurven 3. O. durch 3 feste Punkte oder für u = 4 in 
die Geraden des Raumes oder in die Kegelschnitte durch 2 feste Punkte 
übertragbar. 


Denn es können ebenso wie in L, LXIV. und hier XIII. zwei Formeln 
aufgeschrieben werden, aus welchen x, + x, + x, + x, > 2” folgt und man 
muss fiir % — 4 das in § 3. vernachlässigte Kegelschnittsystem hier auf- 
nehmen. Für # = 3 gibt es kein anderes: durch Punkte allein bestimm- 
bares System. 


Theorem XV. Wenn eine Characteristik gegenwärtiger Art ein Geraden- 
bündel in sich verwandelt, ist sie eine Transformation des I. Th. § 4. mit 
(ay ocn. 


Denn der Scheitel des Bündels muss ein (m — 1)-facher Fundamen- 
talpunkt für beide Räume sein, nach I. Th. $ r. 


Theorem XVI. Wenn eine Characteristik ein Curvensystem p —0, u= 2 
der Art des I. Th. in sich verwandelt, ist sie birational äquivalent einer Cha- 
racteristik mit (ag. bi). 

Das Curvensystem werde durch Transpositionen des I. Theiles in ein 
Geradenbündel übertragen, dann wird gleichzeitig die Characteristik in 
eine mit invariantem Geradenbiindel transponirt, worauf dann XV. an- 


wendbar ist. 


Theorem XVII. Wenn eine Characteristik alle C, durch 3 feste Punkte 
unter einander verwandelt, ist sie eine cubische Transformation mit (a, a), 
(& 4x) , (aa,), wo i,k,l=1,2,3. 


Denn nur für diese ist die Summe der Ordnungen von drei Funda- 


mentalpunkten 3 (m — 1). 


Theorem XVIII. Wenn eine Characteristik einen Complex p = 0, u = 3 
in sich transformirt, ist sie äquivalent einer cubischen Characteristik aus XVII. 








36 S. Kantor. 
Man wendet XIV. an und auf das erhaltene C,-system XVII. 


Theorem XIX. Wenn eine Characteristik einen Complex p = 0, u = 4 
in sich transformirt, ist sie entweder einer Collineation oder einer Charac- 
teristik (a! bg (az bP") oder einer Characteristik (a} by ^) birational 
äquivalent. 


Man wendet XIV. an und das Lemma, dass eine Characteristik, 
welche die Kegelschnitte durch 2 Punkte a, , a, unter einander verwandelt, 
entweder die eine oder die andere des Theoremes sein muss. 


Theorem XX. Jedes Curvensystem der Art des I. Theiles, welche p — 1, 
u=2,3,4 hat, kann durch successive Reciprokaltransformationen in ein 
System von Curven 4. O. 1. Art durch 8, 6, 5 Punkte übergeführt werden 
oder für w- 2 in ein System von Curven 4s. Ordnung mit 8 s-fachen Punkten. 


Die beiden Formeln 


(n — 2)* x, LG — 1) Sen 


2 4 
n(n + 3) n(n + 2) Lt x) 
EZ er SES RON xard 
2 
liefern Xi = “= 4, St; = 2n — u. Aus diesen kann mittelst desselben 


Verfahrens, dass ich oben fiir die rationalen Curven eingeschlagen und 
unter Benützung der bekannten Sätze über die Systeme elliptischer Curven 
in der Ebene die Relation r, + x, +2, +2, > 2n abgeleitet werden, in- 
solange n > 4 oder 1,Zr;- 


Theorem XXI. Wenn eine Characteristik gegenwärtiger Art ein Curven- 
system p= 1, U=2,3,4 in sich transformirt, so ist sie einer Trans- 
5 


formation mit 8, 7,6, 5 Punkten in der Characteristik birational dquivalent. 


Denn es gilt wegen Ya; = 4(m — 1) das Lemma, dass eine Charac- 
teristik, welche ein ©”, co’, co* System von C, p — 1 in sich trans- 
formirt, ausser diesen festen Punkten keine Fundamentalpunkte, also auch 


! Auch hier sind nur die Formeln für gerades n gegeben. Neben diesen stellen 
sich entsprechende für ungerades m. 





Transformationen in H,. welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 37 


keine Characteristikpunkte haben kann. Wenn also nach Anwendung von 
XX. das C,-System erreicht ist, muss auch die Characteristik mit weniger 
als 9 Punkten erlangt sein. 


Theorem XXI. Eine periodische Characteristik mit 8 Punkten muss 
stets entweder einer monoidalen oder einer dyoidalen oder einer Characteristik 
mit o <S Punkten äquivalent sein. 


Denn wenn sie keinen anallagmatischen Complex mit p = o gestattet, 
so muss man durch die Anwendung der Verminderung auf die invarianten 
Complexe mit höherem p stets auf Complexe mit p — ı gelangen. Ein 
zweiter Complex p= 1, 4 = 2 kann aber nicht da sein, da man durch 
Transpositionen, welche nur Fundamentalpunkte unter den 8 Punkten be- 
nützen, auf C, p — 1 kommen müsste, wobei die schon vorhandenen C, 
p — 1 ebenfalls erhalten blieben, was unvereinbar ist. jp — I, # — 1 er- 
fordert aber successive p — ı und diese führen sofort zur Existenz von 
nur p — 1, was mit der Periodieität gemäss VIII. unvereinbar ist. Aus 
dem 2. Gliede des Schlusses wird also w= 3 gefolgert. 

Für die Transformationen kann der Beweis anders geführt werden. 


Theorem XXIII. Jede periodische Characteristik eines Fundamental- 
systemes gegenwärtiger Art ist durch Reciprokaltranspositionen dquivalent 
entweder: 

1. Einer Collineation, oder 

2. Einer Characteristik mit (aj bp), oder 

3. Einer Characteristik mit (a1 b (az DE"), oder 

4. Hiner Characteristik mit o < 8 Punkten. 


Zum Beweise dieses Haupttheoremes verwende ich nun das oben 
nach XII. erwähnte Princip der Verminderung der adjungirten Complexe. 
Ich gehe von einem Complexe aus, dessen # gemäss Theorem VIII. be- 
reits- als > 2 vorausgesetzt werden kann, da die Curven des Systemes 
doch den ganzen AZ, mindestens einfach erfüllen müssen und bilde die 
Reihe der successiven adjungirten Complexe. Nach LX. des I. Theiles 
müssen auch diese durch die Characteristik anallagmatisch sein. Entweder 
kann die Reihe bis n = 1, 2, 3, 4 fortgesetzt werden, dann ist die Cha- 
racteristik von selbst eine von denen des Theoremes. Oder man wird 








38 S. Kantor. 


durch einen Complex p = o, u> 1 aufgehalten; dann wendet man die 
Theoreme XVI, XVIIL, XIX. an. Oder man wird durch p = 1 auf- 
gehalten, wo man wieder # > 1 voraussetzen mag; dann wendet man 
XXI. an, vervollständigt durch XXII. 


II. Beweis. 


Es werden wieder die invarianten Curvensysteme benützt. Nur wird 
die Existenz der rationalen oder elliptischen Curvensysteme als Folge der 
Periodicität auf andere Art hergeleitet. 


Theorem XXIV. Jede Characteristik gegenwärtiger Fundamentalsysteme 
kann man sich widerspruchslos in einer invarianten M enthalten denken. 


Denn die stereographische Projection liefert eine ebene Characteristik 
von Fundamentalsystemen, welche durch Zusammensetzung von nur Funda- 
mentalsystemen (ee; bib bi bia) wo e,, e, die Schnittpunkte mit den Er- 
zeugenden des Centrums sind, gewonnen werden. Alle diese Characteri- 
stiken mit denselben e,,e, geben eine geschlossene Gruppe und liefern 
durch Rückprojection auf die Mj eine Characteristik fraglicher Art. 

Corollar I. Die Theorie gegenwärtiger Characteristiken sowie ihrer 
endlichen Gruppen kann als identisch mit der Theorie der eben be- 
schriebenen ebenen Characteristiken bei gemeinsamen e,,e, angesehen 
werden. 

Corollar II. Jede Characteristik aus XXIV. kann widerspruchslos 
als in einer C, mit Spitze oder einer zerfallenden C,, welche invariant 
seien, enthalten angesehen werden. 


Theorem XXV. Jede periodische Characteristik gegenwärtiger Fundamen- 
talsysteme besitzt entweder ein invariantes Curvensystem (Singularitätencomplex) 
p =o und Dimension > 1 oder ein invariantes Curvensystem (Singularitäten- 
complex) p — 1 und Dimension > 1. 


Denn die als invariant vorausgesetzte M5 gibt durch stereographische 
Projection eine ebene periodische Transformation, welche also auch, als 
Characteristik aufgefasst, einen invarianten Complex gestattet, der ent- 
weder p — o oder p — 1 hat, gewiss aber «> o, wofür der Bildung des _ 
u zufolge die räumliche Dimension > ı geschrieben werde. 





Transformationen in A,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 30 


Von dem Theoreme XXV. gelangt man durch meine oben hergelei- 
teten Hilfstheoreme eben wieder zum Haupttheoreme XXIII. 

Anmerkung. Es könnte im Anschlusse an XXIV. ein anderer Beweis 
versucht werden, wenn in der Ebene bewiesen werden könnte, dass die 
Characteristiken der im Beweise zu XXIV. genannten Art durch Funda- 
mentalsysteme (e} eb} b}b;b}a)" mit gemeinsamen e, , e 


, auf Typen trans- 


ponirt werden können. 


III. Beweis. 


Theorem XXVI. Jede periodische Characteristik besitzt unendlich viele 
von beliebig hohem EF ldachen- 


a6 


invariante Singularitätencomplexe m, v,,...,0 
geschlechte p. ; 


Die Formel für die Zahl p wird aus der Nóther'schen Formel (Ann. 
di Mat. ser. 2, t. 5) durch ein Zusatzglied erhalten, das wegen der 
ausgezeichneten Curven, welche die Fläche in den Fundamentalcurven 2. 
Art besitzen kann, gewonnen wird. Dieses Glied ist hier gewiss positiv 
und seine Weglassung verstärkt nur den zu liefernden Beweis. Dann bleibt 
aber eine in » und x, cubische Formel, welche für die Argumente 
nb... tn, a +... + x nach bekannten arithmetischen Sätzen einen 
Werth annimmt, der > als die Summe ihrer Werthe für die Argumente 
m2, ..., as mua... 295... In Folge dessen kann man aus einem 


Singularitàtencomplexe nebst seinen sämmtlichen Transformirten successive 
Singularitätencomplexe von stets wachsendem p herstellen. 


Theorem XXVII. Wenn der adjungirte Singularitdtencomplex n — 4, 
2 —2,...,0,—2' zu einer zerfallenden Iläche gehört, so zerfällt diese 
entweder in eine feste Fläche und einen in einem linearen Systeme variablen 
Bestandtheil oder in mehrere Flächen eines und desselben linearen Systemes. 


Der Beweis wird genau wie für die Ebene in Acta Math. t. 19, p. 
119 geliefert. 


Theorem XXVIII. Wenn für einen invarianten Singularitdtencomplex 
NM, Lise. die Zahl p<o, u > 1 wird, so können die Singularitäten- 


1 Hier für Flächen bedarf es keiner neuen Definition des adjungirten Complexes, 


es ist die Clebsch—Zeuthen—Nöther’sche, die schon im I. Tbeile erwähnt würde. 








40 S. Kantor. 


complexe n,1,,...,1, der diesen Fällen gegenseitig gemeinsamen Schnitt- 
curven nur p — 0, I haben. 


Die zu diesen Curven adjungirten Flächen sind der Ordnung 2» — 4 
und gehen (2a; — 2)-fach durch die Punkte der Characteristik. Sie sind 
ebenfalls invariant und schneiden auf den Curven die bekannte G5, 
aus. Nun gibt es keine Flächen » — 4, x, — 2; in Folge dessen auch 
keine an — 2, z; — ı und mithin auch keine 2(» — 2), 2(x, — 1), wie 
aus den Formeln für p zu beweisen ist. Die Curven können also keine 
Reihe G besitzen und müssen p=o, 1 haben. 


Theorem XXIX. Die hier möglichen invarianten Complexe n, 2,,.:., U,5 
welche p < o haben, ohne zu zerfallen, sind durch Reciprokaltransformationen 
überführbar in Kegelflächensysteme mit gemeinsamer Spitze. 


Denn die rationalen Curven, in denen sie sich schneiden, müssen 
stets ein Büschel bilden (sodass also die Schnitteurve stets in mehrere 
Bestandtheile zerfällt), weil ein Netz von rationalen Curven auf einer der 
Flächen sofort deren Abbildbarkeit, also p =o für sie bedingen würde. 
Die elliptischen Curven schliessen sich aber aus wegen des Reductions- 
theoremes aus XX., weil mit diesen 8 Punkten Flächen von p<o nicht 
gebildet werden können (als Orter von je co! elliptischen C,,aj . . . aj). 
Auf das oco? System von Curven mit p — o kann dann das Reductions- 
theorem angewendet werden. 


Theorem XXX. Wenn eine Characteristik gegenwärtiger Art einen 
Flächensingularitätencomplex n,%,,...,@, mit p=0, u > o invariant. lässt, 
lässt sie stets auch einen Curvensingularitätencomplee p=0, u> 1 oder 
p = 1 invariant. 


Denn da die Flächen eines Büschels im Systeme p = o haben, sind 
sie abbildbar und indem man die unter zweien hervorgerufene Verwandt- 
schaft in die Ebene abbildet, schliesst man aus den Theoremen für diese 
hier, dass es stets ein rational distinctes, in ein ganz analoges übergeführtes 
Curvensystem p — o oder p — 1 geben muss. Da aber für alle Flächen 
des Büschels die abbildenden Punkte und Linien in derselben Weise 
vertheilt sind (obwohl nicht eben dieselben sein müssen), so werden diese 
Curvenbüschel insgesammt ein Curvensystem «> 2 geben. 





Transformationen in Ä,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 4] 


r, ein 


e? 


Zur Vollendung des Beweises für XXIII. bliebe nun noch übrig 
Aquivalenztheorem für die Flächensysteme n, x, , ..., x, zu suchen, welche 
p=1, u>o besitzen. Es ist hier nöthig, eine Beschränkung einzuführen. 

Die Nother’sche Formel gilt für die homaloidalen Systeme, welche 
hier auftreten, deswegen nicht, weil die hier so zahlreich und wesentlich 
erscheinenden Fundamentalcurven 2. Art als »mitbedingte Curven» zuweilen 
einen Zusatz von Gliedern erforderlich machen. Aus demselben Grunde 
gilt sie nicht für alle invarianten Flächensysteme, die hier auftreten. Fest- 
zuhalten ist jedoch, dass wenn ein Flächensystem nur solche gemeinsame 
Curven hat, welche eine nothwendige Folge seiner singulären Punkte sind, 
auch das adjungirte Flächensystem nur durch solche gemeinsame Curven 
geht, welche eine nothwendige Folge seiner singulären Punkte sind. 

Dieser Zusatz, welcher also ausdrückt, dass die Durchgänge einer 
Fläche durch die Punkte 4, ,...,a, nicht unabhängig sein müssen, ist 
aber jedenfalls hier positiv. Seine Weglassung reducirt daher die Dimen- 
sionszahl, resp. das Geschlecht p. 

Ich erlaube mir nun den Kunstgriff, in der Reihe der successiven 
adjungirten Systeme jedesmal nur (n + 1)(n +2)(n +3) — Xz, (v; + 1)(x, + 2) 
zu berechnen, welcher Standpunkt auch dadurch erreichbar wäre, dass 
man nur invariante Flächensysteme sich dächte, welche in keiner Weise 
durch Fundamentaleurven 2. Art hindurchgehen. Ob es aber solche gibt, 
müsste erst bewiesen werden, da die durch Summation der Transformirten 
einer Fläche gewonnenen diese Eigenschaft nicht haben. Dann spreche 
ich also aus: 


Theorem XXXI. Alle Flächensingularitätencomplexe n, x,,..., &,, welche 
das so berechnete p gleich 1 und u (entsprechend berechnet) > o haben, sind 
durch Reciprokaltransformationen übertragbar in n — 25,0, =..=1,=—Ss. 


Denn man kann mittelst der Theorie der Maxima und Minima bewei- 
sen, dass für jene Complexe, solange sie nicht diese typische Form haben, 
L, ze v, d- v, 4- c, 2 2n. Nämlich bei geradem x wird der obige Com- 
plex, bei ungeradem der entsprechend gebildete unter allen, welche gleiche 
p," liefern, die kleinsten x; haben. Hier ist aber r,-F 7,4- 2, 4- T, — 2n. 
für die aber, welche ungleiche xz; haben, wird diese Summe stets grös- 
ser sein. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 10 juin 1897. 6 








42 S. Kantor. 


Theorem XXXII. Eine Characteristik, welche das Flächensystem n= 28, 
v,—s in sich verwandeln soll, kann ausserhalb dieser Punkte keine Punkte 
besitzen. 


Denn erst, wenn die Fläche in allen Fundamentalpunkten s-fache 
Punkte hat, wird » = m.2s — Xs = 2s nach Th. XIV. des I. Theiles. 


Theorem XXXIIL Eine Characteristik, welche nur die invarianten Sin- 
qularitätencomplexe n= 28, «,=8 besitzt, kann für o> 8 nicht periodisch sein. 


Denn für «= 5,6,7,8 werden die Zahlen p nach oben berechnet 


38° + gs? + 128 25° + 6s? + IOs s° + 35° + 88 : 
UT gen» TWum gni. smit) wi, gun) 
und für ¢ = 9 bereits negativ, sodass dem Th. XXVI. nicht entsprochen 
würde. Aber auch für o = 8 ist die Existenz der invarianten Singula- 
ritätencomplexe nur scheinbar. Für die Transformationen soll es später 
(III. Th.) bewiesen werden, für die Characteristiken kann man zunächst die 
Existenz von nur Curvensingularitatencomplexen mit » — 45, Y; — ...— Ya — 5 
folgern und hieraus die Aperiodicitat mittelst der invarianten M3.’ 
Habe ich nun diese Hilfssätze ” vorausgeschickt, so gelange ich zum 
Haupttheoreme XXIII, indem ich auf die Flächensysteme eines p, das 
nicht o oder r ist, die Verminderung durch Adjunction anwende. Komme 
ich dabei zu einem Zerfallen, benütze ich XXVIL, komme ich zu p > o 
so benütze ich XXVIII, komme ich zu p = o, so benütze ich XXX. 
oder die letzte Anmerkung unter dem Texte, komme ich zu p — 1 (unter 
dem gemachten Vorbehalte), so benütze ich XXXL, komme ich zu keinem 
dieser Hindernisse, kann also das Princip fortgesetzt anwenden, so komme 





2 


1 Die Schnitteurven der Flächen M3'(a#%) sind n= 4s, Y; — s und da sie 


vom Maximalgeschlechte sind, so ist ihr Geschlecht unter Rücksicht auf die x; gleich 


(* -- 5. ge Lnd D 4 


3 a I. Diese Curven, das ist also überhaupt alle invarianten 


Curven, sind elliptisch, womit dem Th. VII. widersprochen wäre. 





? Teh bin im Th. XXX. auf meine obigen Theoreme über Curvensysteme über- 
gegangen, aber es ist hier auch leicht möglich, p — O so zu behandeln wie ich in XXXI. 
p — behandle und es finden sich als Typen Systeme von Ebenen, M°, M$ und M; mit 
Doppelpunkten. Solche Typen existiren aber für allgemeine Flächensysteme nieht. 





Transformationen in f,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 43 


ich von selbst zu Ebenen, >, M; oder Mj und eine gewiss einfache 
Discussion lässt in den für diese anallagmatischen Transformationen jene 
des Theoremes XXIII. erkennen. 


IV. Beweis. 


Derselbe entspricht der für die ebenen Transformationen von mir in 
Crelles Journal, Bd. 114 gegebenen III. Methode. Es wird der Rang 
der zu einer Characteristik gehörigen linearen Substitutionen 1) definirt. 
Es werden äquimultiple Characteristiken als solche definirt, welche nur 
Singularitätencomplexe m, ‚x, invariant lassen. Es wird haupt- 
sächlich bewiesen: 


12 


Theorem XXXIV. Wenn in einer Characteristik ein Singularitäten- 
complex invariant ist, welcher nicht äquimultipel ist, so kann man durch 
Particularisirung des in ihm enthaltenen Parameters stets einen Complex 
p — 0, u>.o erreichen, oder einen, der sich zu einem solchen ergänzen lässt. 


Man beweist ferner, dass eine Fläche mit p — o, w — o (allein in 
Folge der Singularitäten in den Characteristikpunkten) als Fundamental- 
fläche einer gegenwärtigen Transformation benützt werden kann und hat 
dann das Theorem bewiesen (als Umformung von XXXIV): 


Theorem XXXV. Line nicht äquimultiple periodische Characteristik kann 
entweder einer Collineation, oder einer Transformation (a? bi) oder einer 
Transformation (a by (az ^ bf") oder emer mit o <8 Fundamental- 
punkten birational dquivalent gemacht werden. 


Dies ist im Wesen das Haupttheorem XXIII. 

Es kann endlich entsprechend der II. Methode in Cr. J. Bd. 114 
noch ein V. Beweis gegeben werden, indem man trachtet, überhaupt eine 
arithmetische Formel für den Periodicitätsindex (beziehungsweise Ausdruck 
für die Aperiodieität) einer gesetzmässig gebildeten Characteristik aufzu- 
stellen durch successive Bildung immer allgemeinerer Classen von Funda- 
mentalsystemen. Hiezu ist es gut, die Substitutionen I) und II) als De- 
finitionen zu verwenden. 








44 S. Kantor. 


8 3. Die Characteristiken der Fundamentalsysteme mit ai ^ , by 


(I. Th. § 4). 


Theorem XXXVI. Die Characteristik mit (a, b,) ist periodisch und mit 
demselben Index, sobald die von den übrigen Punkten gebildete Characteristik 
Ch, , in der Ebene genommen periodisch ist und umgekehrt. 


Denn indem man für beide Characteristiken die Substitutionen I) auf- 
schreibt, beweist man durch eine einfache Umformung der Determinante, 
dass die erste ch. F. gleich der zweiten mal (rz — 1) ist. Auch durch 
das Tableau der successiven Transformationen erhellt dasselbe. 


Theorem XXXVI. Zwei Characteristiken Ch, mit (a, b,) sind äquivalent, 
wenn die Characteristiken Ch,_, dquivalent sind. 


Denn ist @ eine Transposition, welche die beiden Ch,_, äquivalent 
macht, so liefert die Transposition ((a,b,)”~° Q^" auf die erste Ch, ange- 
wandt, eine Transformation (a,b), wo Ch, mit jener der zweiten Ch, 
übereinstimmt, also diese Ch, selbst. 

Corollar I. Wenn Ch, , der Collineation äquivalent ist, ist es auch Ch,.* 

Corollar II. Wenn Ch, in der Punktezahl reductibel sein soll, so 
muss Ch, es sein und umgekehrt. 

Corollar III. Es gibt so viele typische Characteristiken mit (a, b,), 
als es typische Characteristiken überhaupt in der Ebene gibt. Hieraus 
folgt: 


' Zufolge dem in I. Th. $ 4 Gesagten beginnen die fundamentalen Substitutionen 
I) und II) für die gegenwärtigen Fundamentalsystemen wie folgt; wenn mit x, 2’, r, 1 die 
Vielfachheiten in a, b bezeichnet werden: 


7 — 














v= mm — € — A, X, — 04 €, — «5 v= mn —(m 4 I)Y — 20, 1, 24, Lo ue 
; m— 3 , m—TI m— 3 
ze’ =(m— I)n— L—G, %,—G, u, T= n— L— a, t= u u 
2 2 2 
J , 
z,— 2b, — be -—4Xw,—G49,—-. GH On -—-..0. a Su 


e 


2b,n = bye — 04,9, — 04429, nu, T= b,n zu b,x — AL Malo 





Transformationen in R,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 45 


Theorem XXXVIII. Die typischen Charaeteristiken mit (ai! bi) sind 
48 isolirte, welche durch Verbindung von (al bi") mit den 48 isolirten 
Typen B,;..., X, der Ebene erhalten werden und die Classen (aj — bi"), 
(ar Of 


Corollar I. Die Characteristiken (aj 07-7) , 0; in....(D})"= aj, sind 
periodisch für alle Werte von h, und der Index ist das kleinste Multiplum 


aller Zahlen h; + 1. 


Corollar II. Wenn Ch,_, äquimultipel ist, so hat Ch, nur die anallag- 


matischen Singularitätencomplexe n,n— 35,5,...5.' und m,n— 38,8,..-8- 


1 Obzwar für das Typenproblem nicht erforderlich, mögen über die Fundamental- 
systeme des $ 3 noch folgende Theoreme mitgetheilt sein: 


Theorem XXXVIII'. /st A die char. Function der fundamentalen linearen Sub- 
stitution für die aus den w,,..., 4%, gebildete ebene Characteristik Chr-ı, Au die 1. 
Interdeterminante, so ist die char. Function für b, in a,, Ch; y (oder x in x, Chz—1): 


= (9 (A(t + 2p). + Aulp -F » + o) 


Es sind die fundamentalen Substitutionen vorbereitet zur Berechnung von 9 diese: 


m —1. 
pu = mir — ———— à — 04, Wal —... 5 
2 
; domm P tte 
EN A PET. d — Ur — Um — ey 
A 
pz = a 
V NP Mp ve ae — Ay — Aya, —... 


woraus dureh einfache Umformung der obige Werth entsteht. 


Theorem XXXVIII'. Die Characteristiken b, in a,, Ch; 3, wo Chz-. einer der 48 
Typen aus der Ebene ist, sind aperiodisch, sobald die Gesammtxahl der Punkte > 7 isl. 


Ich beweise nämlich, dass nicht invariante Curven jedes Geschlechtes p da sind. 
Das Maximalgeschlecht der invarianten Curve n, 1 — 335, 3,.... 3 ist nämlich 


(n — 2 eet a LI 1) 1.5 Ma er) * — 3n° + Z(16 + o)3* + 14n5+ 45 
4 2 2 4 


und es muss 581 33 sein, sodass die Einsetzung des günstigsten Werthes n = 33 








46 S. Kantor. 


* * LA — —1 — IL 
8 4. Die Characteristiken von aj ', az"; by", by. 


Theorem XXXIX. Die Characteristiken (a, b,) , (a, RE b; in ... b; Zen 
können in der Ordnung reducirt werden, wenn nicht alle i,=i sind. 


0 


Die entsprechende Transposition für (a,b,), (a,,0,),... ist möglich 
zufolge Theorem XXXVII. und ändert sich aber nicht durch die Ver- 
tauschung von a, ,a,. 


Theorem XL. Die Characteristik (a, b,), (a,b,), b; in ... 0 — a; hat 
den Index 2N, wo N das kleinste Multiplum aller Zahlen h; + 1. 


Denn Collineation tritt nach 2N Anwendungen ein wegen XXXVIII. 
und das involutorische Paar a, , a, ist verschwunden. 


Theorem XLI. Die Characteristiken (a, b,), b, in a,, (a;b;) sind aperiodisch 
für m> 17, (ab,), b, in b; in a,, (a,b) für m s. 


Denn der bezügliche Satz ist Preisschrift IV. $ 7 XII. bewiesen und 
wie in der Th. der cub. Transf. gilt, dass wenn Ch(a,, ...; 6 .) re- 
ductibel ist, auch (a,b,)Ch(a,,...,6,,...) reductibel ist. 

Für m — 5 sind periodisch die den cubischen ebenen Characteristiken 
init (a,b), (ab,) entsprechenden, für m — 7 nur (a,b), i=3,...,8 und 
(8,5), Saas LOU, A ar ds. 


325** 


AK Ex 22 2 — 38" 3 — 
iz also für c — 8 den Werth EE : welcher 


nur für 8 — I den Werth 1 annimmt. 


liefert 





Es sind also nur zu untersuchen I. die cubischen Transformationen b, in a, 2. die 
Transformationen 5. Ordnung, welche aber ebenfalls eigentlich unter die Fundamentalsysteme 
des $ 4 gehört. 

Die übrigen Characteristiken des Fundamentalsystemes a@”—! können dadurch erhalten 
werden, dass in einer ebenen Characteristik eine Coincidenz (a; ;) in zwei Theile ge- 
spalten wird durch Einfügung der beiden Punkte a,b, nämlich in (a,b), (@ß;). Die 
linearen Substitutionen II) lehren dann, dass n — 33 — 5$, also n — 48, r — 8 sein muss; 
die Characteristik ist äquimultipel, wenn die ebene Characteristik es war. Es können also 
nur die ebenen Characteristiken mit 6 Punktem rüumliche periodische Ch. liefern. 

Macht man aber diesen Ersetzungsprocess an einer nicht typischen Characteristik, 
so kann dennoch die räumliche Characteristik typisch werden. 





Transformationen in Ä,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 47 

Theorem XLII. Die Characteristiken b, in a,, b, in a,, (a,b) sind 

aperiodisch für m > 3, doch (a, b,), b, in bi in ay, (a,b); (a, b,), b 
(a;b) für m> 5. 


j ma, 


Aus den linearen Substitutionen ' folgt für das Geschlecht der in- 
varianten Curven, wenn man mit o die Anzahl der Punkte im Cyelus 
von a, bezeichnet, 

(neca HEN Lnd BE [e = 2) (n—2)28— >] 
| 4 2 2 4 2 
wo 8 die Vielfachheit in den (a,b) ist; wird nun das Maximum dieses 
Werthes bestimmt, so ergibt sich, dass es für die Werthe m des Theoremes 


nicht > 1 werden kann. 


Theorem XLIIL Die Characteristiken (a,b,)(a,b,)(a,b,)(a,b,)(a;b) und 
(a, b,)(a,b,)(a,d,)(a,b,) sind äquimultipel und daher aperiodisch für m > s. 


Für die 1. z. B. hat man 





el 15— 9 HILL N 
pu mec bue m Ute Euri i , 
DEL TL il m — 3 
— a —— I —— — ay — 
Oo 4 UV an d E iir DAI 
r i tS) 758 van te EL; 


woraus 1 = p = x, — x, — r. Ebenso für die 2. Characteristik. 


* Die fundamentalen linearen Substitutionen I) und II) für die Fundamentalsysteme 


des $ 4 beginnen: 








A m — I m — I 
n= mm 7 ———— ii —y—- nu —2,—..., 
2 2 i x 
A m — 3 m — I 
I) p = (m — 1)n — u ET 
m — 1 m — 3 
y = (m — I)n — - mer BSE — ; 
"= m. —(m-—-i)r—(m-—1) — 21, — 21, —..., 
"OE. ri m —.3 m — I 
In geram m Mr C d Da E 
, om —I m —I m — 1 
eS n—- — D— n— n— 








AS S. Kantor. 


Theorem XLIV. Wenn in einer Characteristik mit lauter Coincidenzen die 
Punkte a,b, , a,b, in zwei Cyclen mit mindestens einer Ordnung 7 2 oder 
in einen Cyclus > 4 eintreten, so ist dieselbe reductibel auf niederen: Grad. 


Die ‘Transposition (a,b,a,b,)” leistet dies jedesmal. Ist ein Cyclus 
von der Ordnung 3, so entsteht in der neuen Characterstik d, in bj in a, 
mit (b,a,)(b,a,), was aperiodisch ist für m > 3, oder wenn ein Cyclus mit 
Ordnung > 3 vorkommt, b, in a,, b; in a,, wo à auch 3 sein kann. 
Auch diese Characteristik ist aperiodisch für m > 3. Indem man dies 
übrigens nur für à = 3 voraussetzt (direct beweist), kann man successive 
die Ordnung des Cyclus von 4 auf 5,6,... erhöhen und muss bei 
jedem einzelnen Sehritte beweisen, dass für die betreffende Ordnung des 
Cyclus die nicht erweiterte Characteristik aperiodisch ist für m > 5, die 
wie zuletzt erweiterte — 6, in a,, b; in a, — aperiodisch ist schon für 
m > 3. Hiemit wird vereint, dass die Erweiterungen aperiodischer Cha- 
racteristiken es a fortiori sind und dass Characteristiken mit («,b,) statt 
(a;b) als letztem Theile selben Index wie diese haben. So kommt das 
allgemeine 


Theorem XLV. Für m > 5 sind alle Characteristiken dieses Fundamen- 
talsystemes aperiodisch mit Ausnahme der Characteristiken (a, b,)(a,0,) oder 
(ab) ..., welche im Typentheoreme auftreten. 


§ 5. Die periodischen Characteristiken mit 6,7 Punkten. 


Es sind die 9 Fundamentalsysteme aus Th. LXX. der Reihe nach 
zu untersuchen. Die cubische Transformation habe ich im American 
Journal Bd. 19 (Theorie der periodischen cubischen Transformationen, Cap. 
IT) erledigt; ich gelange also zu 


IL 0 = (LULU). 


Als nicht reductibel auf Q erweisen sich die folgenden Charac- 
teristiken: 1. 5, in a,, (a,b,), (a,d,) , (a,b,) , (a,b,), (a,b,), 2. 6, imva,, 
(a,b,) d (a,b,) , (a, b.) ? (a,b,) 9 (a,b,); 3: b, in UE (a, b,) ) (a;b,), 4- (b, a,), 
(a,b,), (a,b,) ? (a,b,) ’ (a,b,) , (ab), 5: (b, a) ’ (a, b,) ’ b, in sy (a,b,) , (a,5;), 
(a,b,), 6. b; in (5 (a, b.) , (a,b,) , (a,b,) ’ (a,b,) ’ (a,0,), 7: (a,b,), (a,5,), 








Transformationen in R,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 49 


(a,5,) , (a,b,), (a,5,),-(a,b,), 8. (a,b,) , (a,b), (a,b,), (a,b,), (a,b,),b,ina,, 
p in. 8, ,(a,b,), (ab), (a,b. Em 0 Y. Yo: (b,a,), (a,5,) , (a,b, ), 


aun oun a, TE UA), (a,5,) , (a,b,) , (a,b,) , (a,b,) , (a,b,), 


4 5 
12. (a,5,) , (a,5,) , (a,b ài b, in a,,(a,b,), (a,b), 13. (ab), (a,b,) , (a,b,), 
(a,5,), (ab), b, in a, 


Theorem XLVI. Die Characteristiken n. 7, 11 haben die Indices ANA 
und sind typisch. 


Die 7" sind resp. = 44.125202 (2, 24:2, 2s A, ANS (4,2, 2,45 2,2) 5 CY 
und (2 »>4,2,4,2 na @ ‚2,2, ey 2, 4,2,2, a)", (). den ty- 
pischen gsm beweisen die Transpositionen. 


- 


Theorem XLVIL Die Characteristiken 1. 2. 4. 6. 12. sind équivalent 
mit Characteristiken des $3. 


(a,a,4,a,)° liefert jeweilen in dem neuen Raume (A! Bj) gemäss $ 3. 
Theorem XLVIIL n. 3. ist reductibel auf. 6 Punkte. 


Denn die Ebene a,b,a, ist invariant und wird mit (—)? über a b,a,z 
 transponirt, so wird z in dem neuen Raume invariant. 


Theorem XLIX. Die Characteristiken n. 10. und 5. sind äquivalent und 
vom Index 10. 


BASE tend lie. ma 15: (05,02 ,4,2, 223,20, (40, 4,65 4, .2,,%,.2);, 
nek 64. 4. 4) (3:048,:8:060. Gl ay, 6). (8 1.8/4 Bc, 8, by je 
(4 , 6 iA; 8, 6: GER ET SA QE e (2:6,2,6445 4,4), 
XN ETE su ica 


Theorem L. n. 8. und m. 13. sind vom Index 8. und typisch. n. 9. 
ist Äquivalent n. 8. 


Deum 9. sends (21, 4,25 4,2, 2,.),42,4,2,4,4,6,2 
(on Orne Ou 0) ON 6 0, EBEN, ($,6,8,6,6,6, 8}, 
(Ae eee oa 2 402,212), (0). — (a,a,a,a,)‘ reducirt 'h. 
9. aufm." 


Die Beweise sind jedesmal nach meiner Theorie Crelles Journal Bd. 114 zu 


vervollständigen. 


- 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 17 juin 1897. 








50 S. Kantor. 
Die typischen Caracteristiken der Ordnung 5 sind also: 


(a,b,), (a,b,), (a,b,), (a,b,), (a,5,) , (a,d,) Index 4, 


( 2 1) 6 6 
(a, b.) , (a,b,), (a,b,), (a,0,) , (a,b,), (a,5,) X nb, 
(a, b.) , (a, 5.) , (a,b,),(a,b,),(a,b,), b, in a, ptm 
(a, 5,) , (a,b,), (a,b,), (a,b,), (a,b,), b, i P X 
(ax) 5 (ab), (ab), (Gb), (ab), 8, ine, >» 16. 


IL Q'— (feataiai 22 uy. 


(fd,d,d.)* liefert (f° dd? 47)? und reducirt also alle Characteristiken 
mit (ff')(d;d;) oder (d;f’)(fd;). 
(fd,d,b,)* liefert (f'd?djd?b? 57) reducirt also die übrigen mit 
Ausnahme von 
I. (d, f") , (fb;) , (d, bs) , (d, bi) , (b, ds) , (b, d;) , (b, di), 
2. (b, f") , (fbi) , (di 05) , (dd), (d, 55) , (b, ds) , (b, d). 


Theorem LL n. 1. ist vom Index 6 und typisch, n. 2. vom Index 4 
und typisch. 


Die T° von x md: (6,2,2,2, 3,4, 4), (6,44, 5, 6.6, 8) 
(4,4,8,6,6,6,6)',(4,8,6,4,6,6,6)",(4,6,4,4,2,2,2)',(.)'. Die 
T" von n. 2. sind (6, 2, 2,4, 2, 4, 4)’, (8, 6, 8, 6, 6, 6, 8)", (2, 6, 4, 4, 4, 2, 2, (.)". 


IV. DW 
(d;d,d,d,)' reducirt stets mit Ausnahme von 
n. I. (d;d;), es D 
n. 2. '(d;d;).d, in d,, i= WAS. E 
Theorem LIL n. 2. ist vom Index 6 und typisch. 


Die 7" sind (4,4,4,4,4,4,.),(4,4,4,4,4,8,4), (8,8,8,8,8, 8, 8)", 
(4545454545 4585 (4,4,4,454,-,4)% ()” 





Transformationen in R_. welche keine Fundamentaleurren I. Art besitzen 51 


V. Q — (Md... diy. 








(hd,d,d,)* liefert (5d; djd;d?d?dzy, reducirt also, wenn (d,À). 


(hd). (d,d;), (d, d;) stattfindet, was immer eintritt. 
VL = (Ark). 
(f,f,f,d,) liefert (d)d7*f7?/72/7d?f und reducirt daher stets, wie 
eine Discussion der Coincidenzen beweist. 
VIL = (riri. 


(hf,f,f,) liefert (4*f f;f;f?d)d7j reducirt also stets, da auch im 
Falle (hd;). (d,i’) stets (hf;f,f,)" so gewählt werden kann, dass zwei f”* 
eintreten. 


VIL  Q* = (BAGS). 
(h, h, h, f,)? liefert (hhh ft? 12 1:11). reducirt stets. 
IX. Q^ = (hi hihi h le). 


(h, h,h,h,)* reducirt stets mit Ausnahme von (h;h;), i= 1,...,7- 
Indem diese Resultate zusammengesetzt und in das Theorem XXIII. 
eingeführt werden, entsteht das Haupttheorem: 


Theorem LIII Alle periodischen Characteristiken von Fundamental- 
systemen ohne Fundamentalcurven 1. Art sind birational äquivalent entweder: 


1. einer homographischen Vertauschung unter einer Anzahl Punkten. 
2. einer Characteristik mit (a""2*-') und typischem ternären Reste. 
3. einer Characteristik mit (a; "53 ).(bj ^ a$ ), b; in ... b — a;. 

4. (a, b,).(a,b,),(a,b,),(a,b,), 3. Ordnung Index 4. 
5. (a,b,),(a,b,),(a,b,), b, in a,, 2 » » 6. 
6. (a,b,),(a,b.),(a,b,), b, in b; in ay, z » » IO. 
7. (a,b,),(a,b,),(a,b,), b, in b; in bj ina, 3. » » 18. 
8. (a,b,),(a,b,), b, in a,, b, in a,, = » » $8 
9. (a,b,),(a,b,), b, in a,, b, in b; in a, 3. » » 14. 
10. (a,b,), b, in a,, b, in a,, 5, in a, 3- » » 30. 
Du. (a, 5,), (a,b,), (a,5,) , (a,5,) , (a, 5, ) (46%), 5- » » 4 





52 S. Kantor. 
12. (a,b,),(a,b,),(a,b,),(a,b,), (a,b,), (a,5,), 5. Ordnung Index 4. 
13. (a,5,),(a,b,),(a,b,),(a,b,),(a,bd,), b, in a,, 5. » Et 
14. (a,b,),(a,b,),(a,b,),(a,b,).(a,b,), b, na, 5 » PERS, 
15. (a,b,),(a,b,),(a,b,),(a,b,),(a,b,), b, in a, 5 » bep 
16. (d; d;), {== Tse. 0) 7 » » 2. 
17. (d; d;), d, in oe XU He » » 6. 
18. (d, f ^), (f 95), (d 5), (ds bi), (b, d;), (b, d), (b, di), 7. » Das cb, 
19. (b, f^), (bi), (d, b5) , (d, d;), (d, 55), (b, d;), (b, a1), 7. » RT: qui 
20. (fib t= 1,..57 L5. » ys Ver 


III. TH EIE, 


Die periodischen Transformationen. Construction der Typen. 





8 1. Reduction auf die Typen. 


In den III ersten Beweisen des II. Theiles $ 2. kann die Reihenfolge 
der Theoreme auch für wirklich existirende Transformationen ausgesprochen 
werden. Insbesondere gilt die Existenz des invarianten oo*-Systemes ra- 
tionaler oder elliptischer Curven. Über die Theoreme der Äquivalenz 
letzterer ist jedoch dieselbe Einschränkung zu machen, von welcher ich 
noch in umfangreicherer Geltung zu sprechen haben werde, dass sie nàm- 
lich beim Ubergange vom Arithinetischen zum Algebraischen nur insofern 
gelten, als die 4 höchsten Fundamentalpunkte, welche zur Verminderung 
der Ordnung nöthig sind, thatsächlich von den übrigen trennbare sind, 
also gewiss wohl dann, wenn überhaupt alle Punkte rational bekannt sind. 

Indessen kann auf folgende Weise die allgemeine Giltigkeit des Äqui- 
valenztheoremes für die Transformationen erschlossen werden. Wenn in 
einer existirenden periodischen Transformation mehrere Punkte der Cha- 
racteristik gemeinsam durch eine algebraische Gleichung gegeben sein 
sollen, so müssen diese Punkte sicherlich für die Characteristik dieselbe 
Bedeutung haben. Ich behaupte: 





Transformationen in R,, welche keine Fundamentaleurven 1. Art besitzen, 53 


Lemma. Wie immer man einen der 19 Typen des III. Theiles 
durch eine Transposition überträgt, es werden stets in ‘der erhaltenen 
Transformation die zur Transposition nöthigen Punkte sich so gegen die 
Characteristik verhalten, dass sie in Folge dessen von den übrigen rational 
trennbar sein müssen. 

Der ausführliche Beweis dieser Angabe wird geführt, indem man 
die 19 Typen Q einzeln durchgeht und auf jeden die algebraische Trans- 
position. P anwendet mit Berücksichtigung der wesentlich verschiedenen 
Lagen, welche die Fundamentalpunkte von P zu der Characteristik Q 
haben kónnen. Auf Grund des Lemmas kann nun ausgesprochen werden: 


Theorem I. Alle periodischen Transformationen ohne Fundamentalcurven 
1. Art sind Äquivalent entweder: 

1. einer Collineation. 

2. einer Transformation mit (a"-'b"-') nebst einer Characteristik der 
a;,b,, welche zu den 27 construirbaren ebenen Typen gehört (Cr. Journal 
Bd. 114). 

3. einer Transformation mit (a bi) , (a2 Bear) Hein 

4. einer Transformation mit (a2 02) , (at bj), b; in ... 0^ = a. 

5. einer. Transformation. mit weniger als 8 Fundamentalpunkten. 


8 2. Drei Constructionsmethoden. Die Transformationen mit 
(ai! ge 


1. Wenn eine abbildbare Fläche durch Q invariant ist,! so erhält sie 
eine Verwandlung ihrer Punkte unter sich aufgeprägt, deren Abbildung 
auf die Ebene aus der Natur von Q bestimmbar ist. Umgekehrt liefert 
diese a priori construirte Transformation in der Ebene die Verwandtschaft 
in der Fläche und diese bestimmt die Raumtransformation ©. In dieser 
Art sollen hauptsächlich die M? und die M? mit a angewendet werden. 

"Auf Grund des in meiner Abhandlung über die cubische Reeipro- 
kaltransformation * gegebenen Theoremes kann ich aussprechen: 


' Dies ist meine in den Acta Mathematica, Bd. 19 angewendete Methode aus 


Comptes Rendus 1885, 5 janvier. 
* Ame Jowen. of Math. XIX. 








54 S. Kantor. 


Theorem Il. Die Theorie der gegenwärtigen Characteristiken ist auch 
in Hinsicht auf Aquivalenz identisch mit der Theorie jener ebenen Charac- 
teristiken 5. Ordnung, welche zwei Paare Fundamentalpunkte (e, ej)(e; e?) oder 
(e, e3)(e, ei) gemeinsam coincident haben, und der aus diesen zusammengesetzten. 


Ich denke mir nämlich durch die sämmtlichen o (auch > 9) Punkte 
der Characteristik eine Fläche 2. Ordnung gehend, welche in sich trans- 
formirt wird und kann dann die Projection der in M5 entstehenden Ver- 
wandlung aus einem Punkte vornehmen. 

2. Die Parameterdarstellung der durch Q bed a Curven ! bietet 
eine 2. Methode. Um die Anwendung Fucus’scher Functionen oder auch 
die von CrgsscHu der Raumeurve adjungirten Integrale zu vermeiden; be- 
ziehe man My? eindeutig auf eine ebene Curve C,. Die Reihe J} auf 
M", in welcher die À, des À, schneiden, gibt als Bild eine Reihe J? auf 
C,. Wenn es nun möglich ist,. eine Matrix 


n 
Wo,0,,...,0,, 


— 04 ,045,...,€0,, 


—— ns ns...» dr 


eines Fundamentalsystemes von oben J. Theil zu finden, durch welches 
M7 im sich transtormirt wird, so sei 10 +... = d= m ut) 
das ABeL'sche Theorem für eine Gruppe von Ja auf C,, und also = K; die 
rechte Seite des Schnittpunkttheorems für eine Gruppe, die Bild einer 
Schnittes von M; mit My ist, ferner 49 ,..., 4% die Integralsummen 
in den Punkt a;-tupeln, welche bezüglich den e resp. a, ..., 4 ,...,@- 
fachen Punkten von M auf C, entsprechen. Dann lässt sich von Con- 
gruenz 3) auf p. 139 der Acta Math. Bd. 19 an die dortige Rechnung 
genau hieher übertragen und führt zu pe Congruenzen unter den po 
(Grössen A, wie l. e. 6). Auch die Rechnung auf p. 141 ist übertragbar 


' Auch schon für die Flächen konnte statt der geometrisehan Abbildung die Para- 


meterberechnung für die Transformation verwendet werden, sogar für Flächen p > 0; 
doch ist wenigstens für # > 3die Parameterdarstellung der M3 noch zu wenig vorge- 
schritten. 





Transformationen in R,, welche keine Fundamentaleurven 1. Art besitzen. 55 


und liefert eine Relation unter den Wurzeln der Weprr’schen Gleichung 
für principale Transformation der 4 und meiner Determinante A eei 

3. Besonders wichtig sind auch hier die Berechnungen von Characteri- 
stiken, welche eine M1 mit Spitze und Schnittpunkttheorem U,+..+u,=0o 
in sich transformiren oder eine M1 mit p=1. Der Calcul ist wenlg von 


Acta Math. Bd. 19, p. 135— 137 verschieden und liefert insbesondere: 


Theorem III. Die Determinante, welche über die Existenz einer Charac- 
teristik des II. Theiles auf M1 mit Spitze entscheidet, ist bis auf einen Factor 
x —1 proportional der Determinante für die fundamentale Substitution der 
Characteristik. Wenn eine M mit Spitze invariant ist, trägt sie denselben 
Index wie der Index der ganzen räumlichen Transformation. 


4. Es sollen nun die Transformationen mit (a b)""' behandelt werden. 


Theorem IV. Wenn eine isolirte typische Characteristik aus II. Th. 
LIII. n. 1 existirt, enthält sie stets eine invariante M?, die nicht zerfällt. 


M; könnte nur in zwei Ebenen durch (ab) zerfallen, aber keiner der 
27 ebenen Typen gestattet ein invariantes Geradenpaar. © ist bezüglich 
7,8,9. 

Die Geraden durch (ab) werden unter einander, und also die beiden 
Erzeugenden der M; durch © in sich transformirt oder vertauscht. Daher 
kann wie folgt endgiltig construirt werden: Durch zwei Doppelpunkte 
f,f, oder ein Paar involutorischer Punkte it, eines ebenen Typus ziehe 
man M, und projicire aus dem Schnittpunkte O zweier Erzeugenden 
durch ff, oder ii, den Typus auf M3, dann entsteht dort die Charac- 
teristik des räumlichen Typus 3., 5. bis 33. Ordnung und mit O als (a,b,). 

Wie in $ ro des Cap. II. meiner Abhandlung aus dem Am. Journ. ' 
folgt nun, dass für die 7-punktigen Typen Q der Index des Mj-Netzes 
derjenige Index ist, mit welchem die involutorischen Paare der XLIII,, 
welche über @ und einem seiner Doppelpunkte construirt ist, durch Q 
unter einander transformirt werden. Ferner habe ich dort die Varietäten 
für die Transformationen 3. Ordnung bereits gegeben. 


"Am. Journ. of Math. 1897: Theorie der periodischen cubischen Transforma- 


tionen im TS 








56 S. Kantor. 


Theorem V. Für (a,b), I, und (a,b,), A, gibt es 3, 2 Varietäten, für 
(a, b,) ’ le; (a, b,) ? VE (a, b,) ’ 2% (a, b,) ’ 0, ; (a, b,) ? P (a, b,) ? UE 
(a,b), A; (n5), E; (a5), E; (a5), E; (65); 2,5 (5), Ws 


(a, 5,) Bs (BLIEB LIN SP (abl) PENSER ET 


3 


Dy | 25-5 523.9 99 253 4E Varietäten. 


Diese hängen von dem Vorhandensein des f,f,- oder i,i,-Paares im 
ebenen Typus ab und über ihre M} wird aus den in der Preisschrift 
beschriebenen invarianten C, heraus entschieden." 


Theorem VI. Auf einer Curve Mi mit Spitze, für welche Eu — a, das 
Schnittpunkttheorem, hat man nur die für .eine ebene C$ in Acta Math. 
Bd. 19, p. 136 berechneten Parameter der bis wb, mit (a, b,) zu verbinden, 
um die Characteristik im R, zu haben. 


Hierbei ist (a, b,) aus.den Gleichungen 


Ie JT (m—1i)a +...+4,)b, = ma, 


m —1 
2 i? 





D Ü 3 
rA (m — 5)^ +... + ab, = 


].rprre Karate Bine 9 "rey mr Colisée let's) Te Aerie gas Re prorre 


zu berechnen, wo die für die Fundamentalfläche von a, ...«, geltenden 
nicht aufgeschrieben sind. Die letzten o dieser Gleichungen stimmen aber 
im Wesen mit den für die Ebene geltenden überein. 

Dasselbe Theorem gilt für eine invariante Curve M1 p — I, wenn 
auf derselben als Schnittpunkttheorem Zu = 4, genommen wird. 

5. Die 3. Methode wird im V. Theile $$ 4, 5, 6 angewendet werden. 


8 3. Die typischen Transformationen mit (aj |b?) , (a? by) 


oder (ay by 7), (az bi"). 


Theorem VII. Jede Transformation (a,b,), (a,b,), b; im...) = a; 
(i — 3,...,m— ı) ist mit einer als invariant vorausgesetzten M construirbar. 





' Cf. wegen der Typenbenennung Cr. Journal, Bd. 114. 





Transformationen in R,, welche keine Fundamentalenrven I. Art besitzen. 57 


Denn indem man die erste Methode des vorigen Paragraphen an- 
wendet, kann man immer zwei Doppelpunkte ff, in der. Ebene finden, 
welche mit (a,5,) daselbst nicht alineirt sind. Construirt man über ihnen 
die M3, so erhàlt man die Transformation. 

Wenn h=1, gibt es eine 2. Varietät Man kann dann ein mit 
(aa nicht alineirtes Paar ii, in der Ebene finden, über diesem die Er- 
zeugenden von M; errichten und construiren. 


Theorem VIII. Jede Transformation aus VII. ist auch mit einer als 
invariant vorausgesetzten M+ mit Spitze construirbar. 
Ich habe Preisschrift IV, $ 7, bewiesen, dass jede Jonquipres’sche 


> gts À N ’ : i 1 
Transformation (ab) mit invarianter Cj construirbar ist; hienach kann VI. 
angewendet werden. 


) % 3j ) = h 
Theorem IX. Die Transformationen (a,b,),(a,b,),(a,b,), b; in ... b — a, 
ET Me 1) sind nur mit einer invarianten M; construirbar, welche 
ein Kegel ist, wenn h > 1. 


Denn in der ebenen Transformation kann man für h > 1 weder ii, 
noch ein Paar ff, finden ohne Alineation mit (ab), weil aa, schon ein 
Doppelstral ist. Auf dem 2. Doppelstrale wird es einen Doppelpunkt 
geben, der mit seinem seitlichen, unendlich nahen Doppelpunkte als f, f, 
genommen werden kann. 

Für À — 1 gibt es eine Varietàt mit Hyperboloid, wo die Erzeugenden 
durch (a,6,) involutorisch vertauscht werden. Für die Mj gilt VIII. 
auch hier.” 


Theorem X. Die allgemeinste Form der Transformationen (a,b,) , (a,b,) 
kann mittelst einer invarianten M3(aj | 05) construirt werden. 


Denn z, —m—1, x, =N—I, $, — 1,...,2, — 1 ist anallagmatisch 


n—1 —1 


und in dem linearen Systeme aller solcher M°, welche aj“, a 
alle Punkte der Characteristik enthalten, wird es stets eine invariante 
M; geben, welche nicht zerfállt. Dann wird wie für M; construirt. 
Eine Gerade der Ebene wird von a, aus in eine M7a} ' projicirt, diese 


und 


1 Die Transformation (a,b,), (a,b,) existirt, wenn (a,b,), (a,b) vorhanden und 
m > 3, nicht mit invarianter M3. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 17 juin 1897. 8 








58 S. Kantor. 
SEDES 

im eine Met PTE dureh. s," verwandelt und diese von a, her- 
abprojicirt. Hieraus: Man construire in der Ebene die Transformation 
Q = (ab), ..., nehme in einer Geraden über (aa zwei Punkte a,a, als 
n — 1-fache Punkte einer M3; und sorge dafür, dass die Geraden der- 
selben, welche von (a,5,) ausgehen, die Ebene in einem oder mehreren 
Cyclen der Transformation schneiden. Dann liefert die Q projicirt auf 
M eine Verwandlung, welche die Raumtransformation vollkommen be- 
stimmt. 


; n... b a, sowie 
(a,5,), (a,b,), b; in :..5; — a; (£— 4,...,a), (a,b,) existirt stels mit einer 
invarianten M3. 


Theorem XI. Die Transformation (a,b,),(a,b,), b; 


Beweis wie für m = 3 in Am. Journal of Math. 1897. Die Pro- 
jection aus einem gewöhnlichen Doppelpunkte O auf M3 liefert 


ler unt ee Coo Ne ee eee ers ; e A die 3b 
deren Transposition durch (e,e,e,)” gibt 


1. 2-8 
(E, in E,, (E, E) , (E, E) , (Eg Ej), ...)77. 


Wenn h2 1r, muss also EH} = E,, EH; =F, sein. Die Construction .ist 
vollendet mit jener einer ebenen Transformation von Jonquiéres, ihrer 
Transposition und der Errichtung einer M5. Für die 2. Transformation 
erhält man (E,E;), also falls nicht E,, E, unendlich nahe sind, noth- 
wendig auch (E,Ej. E,E, in unendlicher Nähe bedeutet aber die Kegel- 
flache. Für h-— 1 ist eine 2. Varietät mit E, = E; E, = E; zulässig, 
wie |, c. 


Theorem XII. Die allgemeinste Form von (a,b,), (a,b,) kann mittelst 
einer invarianten M;(a} "a; ') construirt werden. 


Denn wie in X. kann man stets eine solche M? für hinreichend 


grosses n finden. Eine Gerade der Ebene wird dann von a, aus in eine 
] "e m--l m—1 
Mi(aj?) projicirt, diese in M7?*" 5; a uM? aj verwandelt und diese 








m-—1 1 
: ; : SE TEE 1-1 ie 
von a, aus in eine M,’ (us d: ) herabprojieirt, welche ausser durch 
die Punkte b,...6, durch weitere 2n — 2 Punkte geht, die Schnittpunkte 





Transforwationen in R,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 59 


der Bildebene mit den durch a, gehenden einfachen Geraden der M7. 


1 
Es entsteht eine Jonquiéres'sche Transformation mit (ab) und 22 — 2 Co- 
incidenzen (bei unbestimmter Directrixsubstitution) und Verkettungen der 
b;...b, und a,...a, gemäss den räumlichen. Wegen der Projectivität 
unter den Ebenen durch a,a, folgt, dass die Directrixsubstitution für die 
Coincidenzen aus Cyclen der Ordnung (h + 1) und etwa 1, 2(e,e/) be- 
stehen muss, also 227 —2 —0,1,2 mod (+ 1). Nimmt man eine solche 
Transformation in der Ebene an, in einer Geraden durch (ab) zwei Punkte 
4, ,d,, so kann die räumliche Transformation hieraus construirt werden.’ 


§ 4. Construction der Typen 5. bis 15. Ordnung. 
Theorem XIII. Sind a,a,a,a,a,a, , b, b, b. b, 


einer Transformation aj0;, ab}, a;0;, so besteht die Collineation a, in b, 


a, in b,. a, in b; und reciprok. 


b,b, die Fundamentalsysteme 


Aus (a,a,a,a, , @,0,0,0;)*. («aa a4 , 0,0,0,0,)! folgt (aja$a;a,a;4;, 


6:6.0.0,0-0,), WO a,,a, in a, ,a durch 7, und a;,a, in 5,, b, durch T, 
übergehen. Nach einem Theoreme aus A m. Journal XIX. besteht die 
Colhnueatien afin 4j, a, 1n 45, atime, ia 1002, d, in 44, 4,1m 4; und 
dieeancere a m 0, 4, in D, 0;- in 0e, a; in 5, a, ih b, a, in à, 
woraus durch Composition folgt a, in b,, a, in b,, a, in b,, a, in b,, 
a, in b, a, in b, . Hierin liegt auch der Beweis für die Umkehrung. 

LIII. n? ro. erfordert nach XIII, dass a,a,, a,a, zwei involutorische 
Paare a,,«, zwei Doppelpunkte einer Raumeollineation seien, welche, da 
die 6 Punkte unabhängig sein inüssen, eine geschaarte Involution sein 
muss.  7' entsteht durch Zusammensetzung von (a,b,) (i = 1 ... 6) mit dieser 
Collineation. Ist Mi mit Spitze invariant, so folgt aus a, +a, +4, 4- aa; = 
und a, +a, + 4, + aa, — f, a, = a,, aber mit Coincidenz von a, , a, würde 
die Collineation «,«, , a,a, in einer Ebene verlangen. In Mj mit w + i>; 
ist die Transformation dagegen construirbar, a,,@, werden die Doppel- 
punkte der Correspondenz w' + iw—r. 


1 Wenn an (a,b,) oder an (a,b,),(a,b,) simmtliche übrigen Fundamentalpunkte 
unendlieh nahe rücken, kann die Transformation auch einen Index haben, der cin Viel- 


faches vom Index der Characteristik ist. 








60 S. Kantor. 


T^ transformirt jede Ebene von 6,0, in sich und hat in jeder 4 
Doppelpunkte, deren Ort als Durchschnitt zweier Kegel 3. Ordnung (mit 
den Scheiteln a,,a,, weil die ternäre involutorische Q? unter den Ge- 
raden von a, eine Mj als Doppelpunktsort hat), eine Curve 8. Ordnung 
durch a?...a; ist. Diese M} ist Ort von oo! involutorischen Paaren für 
T. Es gibt invariant 4 Curven Jj, welche aus Mj; und Mi bestehen, 
zwei, deren MW; durch a,, zwei, wo sie durch a, gehen. Zwei invariante 
AT} sind harmonisch. 

LIV. n? 11. erfordert nach XIIL, dass a,a,a,a, ein Quadrupel einer 
Collineation Index 4 und a,,a, zwei Doppelpunkte derselben sind. 7 
entsteht durch Zusammensetzung der Transformation (a;b;) mit dieser 
Collineation. Invariant sind die 4 zerfallenden J}: a,a,a, + a,a,a,, 
aa, a, + Q,a,a, , a,a,a, + AAA, , 44,4, + a,a,a,. In der That lehrt die 
Parameterrechnung von vorhin, dass JZ} mit Spitze nicht möglich ist, 
aber hier auch, dass Mj; mit wu’ + iw=; nicht möglich ist. 

T° transformirt die Ebenen von 6,5, mit Involution unter einander, 
die beiden Doppelebenen enthalten acht Bestandtheile der invarianten Ji. 


LIII. n° 12. Theorem XIV. Die Characteristik (a,b,), (a,b,) , (a,b,), 
(a,b,) , (a, b.) , (a,b,) ist nicht constructibel. 


Mj mit Spitze kann nicht invariant sein, da a, ein Doppelpunkt auf 
IT; sein müsste, aber die Spitze nicht sein kann, also der 8. Basispunkt 
d, des durch die 7 Punkte bestimmten Netzes wäre, was ebenfalls zu 
Widerspruch führt. Invariante zerfallende JZ{ ist nicht möglich zu com- 
biniren. Es müssten also 3 harmonische 47° invariant sein, auf jeder a, 
ein Doppelpunkt und 4, der 2. Doppelpunkt sein. Aber die Characteristik 
besitzt 10 uneigentliche Doppelpunkte, daher zwei eigentliche, von denen 
d, nur einer, der andere in einer invarianten M wäre. Übrigens lehrt 
auch die Parameterrechnung für w'-Fiw-r die Unmöglichkeit. Denn 
aus i(— a, — a, — a,) — (a, + a, 4- a,) zy und a, + a, + a, — ia, + p zo 
folgt a, +b,=(i— 1); und symmetrisch auch 6, + a4,=(i—1)7, also 
b cs. 


LIII. n° 13. Theorem XV. Die Characteristik (a,b,) , (a,b,), (a,b,), 
(a,b,), (a,b,), b, in a, existirt nicht. 





Transformationen in KE, , welche keine Fundamentaleurven 1. Art besitzen. 61 


Mi mit Spitze führt wie soeben zu Paradoxem, ebenso u’ + iu=y. 
Es gibt aber, wie eine Discussion beweist, nicht 6 invariante zerfallende Jj. 


LIV. n° 14. Theorem XVI. Die Characteristik (a,b,), (a,b,) , (a,b,), 
(a,b,) , (a,b,), a, in a, existirt nicht. 


Die 7 Punkte bestimmen ein Netz von M, dessen 8. Basispunkt ein 
Doppelpunkt d, von T ist M mit Spitze kann nicht invariant sein, 
weil «,,«, coincidiren müssten. Zerfallende MZ; erfordern mindestens 
Alineation von Punkten, welche sich aus den successiven Fundamental- 
systemen als unmöglich erweist. 

LVIL n? rs. erfordert keine Bedingung für das Bestehen. 


LVI n^-16- Theorem XVII. Die Characterisük (d;d;) 1 — Y. ,-.., 
d. in a, ist nicht existent. 


on 


Sie besitzt 20 uneigentliche Doppelpunkte, also mehr als 2m + 2, 
daher oo!, deren Ortscurve wegen der Aquimultiplicitàt durch b, , a, 


gienge, während diese nicht als Doppelpunkte fungiren können. 


LII n? 17. Theorem XVII. Die Characteristik (d,f") , (fb;) , (d.b;), 
(d,b;) , (bd;) , (b,d;) , (bd) ewistirt nicht. 


Es sind 16 uneigentliche Doppelpunkte vorhanden. Der 8. Basis- 
punkt d, ist ein Doppelpunkt und kann, wie eine Discussion beweist, nicht 
unendlich nahe an einen der 7 Punkte rücken. Es wären also oo' Dop- 
pelpunkte und co! invariante M1 vorhanden, welche wegen (b,d;) , (b,d;), 
(b,d;) (Parameterrechnung gibt 5, — 5, = b,) nicht Spitze haben und nicht 
w“—esu=y tragen kann. w’+eu=7 kann sie nicht tragen, weil sie d, 
und einen willkürlichen der co! Doppelpunkte, also zwei enthalten müsste. 
Ferner können co! zerfallende Mj ersichtlich nicht invariant sein. 


LIIL n° 18. Theorem XIX. Die Characteristik (b, f"), (f 51), (d, 05), (d, d;), 
(d, 02) , (b,d;) , (b, di) existirt nicht. 


Uneigentlicher Doppelpunkte gibt es r4, von den 2 eigentlichen ist 
einer der 8. Basispunkt des invarianten Netzes, der andere reicht für 
die drei invarianten Mt nicht aus. Überdies lehrt die Parameterrechnung 
in den Mi mit «+ iu=y und mit Spitze die Behauptung. 








' 62 S. Kantor. 


LIT. n° 19 erfordert keine Bedingung unter den 7 Punkten zum 
Bestehen. Sie entsteht, wie ich im Am. Journal 1897 bewiesen, durch 
die J$(aj...a;), indem alle M, welche durch einen Raumpunkt P, gehen, 
auch noch durch einen bestimmten haumpunkt P; gehen. P,P; ist die 
Verwandtschaft r5. Ordnung. 


Theorem XX. Alle periodischen Transformationen mit einem der gegen- 
wärtigen Fundamentalsysteme sind durch Reciprokaltransformationen dquivalent 
zu machen mit einer der folgenden Transformationen: 

1. einer Collineation, 

2. einer Transformation mit (a 0"), unter dessen Stralen einer der 
28 ebenen constructibeln Typen herrscht, — ^ j 

3. einer Transformation mit (a bi"), (a; 05 ), b; in ... b; = aj, wo 
1 oder 2 der h Null sein kónnen, aber alle übrigen unter einander gleich sind, 

4. einer Transformation mit (ay 05"), (as bi"), b; in ... b; = a; mit 
dem in 3. über die h Gesagten, 


5. (a,b,), (a,b,) , (a,,) aa 3. Ordnung Index 4m 
6. (a,b,) , (a,b,) , (a,b,), b, in a, 2. » D rude 
7. (a,b,) , (a,b,), (a,b,), b, in bj in a,, =? » » 10 
8. (a,b,) , (a,b,) , (a, A Dun dn D 1n 0, 3. » re} 
9. (a,b,), (a,b,), 5, ig; 0, Ange, din d, “3: » »' T4 
10. (a,b,) , (a,b,) , (a, i). (a,b,), (a,b,) , (a,b,) 5. » lk 
Lm (a,b, ): een ? M b,) , (a,b,) ? (a, b,) ? (a,5,), 5 2 > 4 
12, (di) tee 310, ip » jor. 22 
13. (h; hj) t= ns LE; » » 





Transformationen in A,, welehe keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 63 


IV. THEIL. 


Theorie der endlichen Gruppen von Characteristiken. 


Die Analogie gegenwärtiger Fundamentalsysteme mit den gesammten 
birationalen Fundamentalsystemen der Ebene erweist sich besonders auch 
hier und ich werde mich mit Bezug auf mein schon eitirtes Buch ' worin 
jene Theorie endgiltig begründet ist, kurz fassen, ebenso im V. Theile. 


§ 1. Das Aquivalenztheorem. 


Es wird "wie im TIL Theil d. Abh. und wie im Buche I. Th. $ 2 
bewiesen, dass invariante Singularitätencomplexe existiren, auf diese die 
Verminderung der adjungirten Functionen (Complexe) angewandt und 
werden dann die Äquivalenztheoreme über die Curvensysteme mit p=o, I 
zur Geltung gebracht und wird erhalten: 


Theorem I. Jede endliche Gruppe von Characteristiken gegenwärtiger 
Fundamentalsysteme ist durch Reciprokaltransformationen dquivalent einer der 
folgenden typischen Gruppen: 

1. Gruppen von Collineationen (Vertauschungen über gewöhnlichen 
Punkten). | 

2. Gruppen mit gemeinsamem (a"— b"): monoidale Gruppe. 

3. Gruppen mit (ay 05), (as bi") gemeinsam: dyoidale Gruppe. 

4. Gruppen cubischer Characteristiken mit 3 gemeinsamen Fundamen- 
talpunkten in Coincidenz (ab), (a,b,) , (a,b), (i,k,1=1,2,3).* 

5. Gruppen cubischer Characteristiken mit 4 gemeinsamen coincidirenden 
Fundamentalpunkten (a,b;) , (a,b,) , (a,b,) , (a,b,). 

6. Gruppen cubischer Characteristiken über 5 gemeinsamen Punkten. 

7. Gruppen über 6 festen Characteristikpunkten. 

8. Gruppen über 7 festen Characteristikpunkten. 


* Berlin, Mayer & Müller, 1895. 
* Cf. hier folgend $ 3. 





64 S. Kantor. 


§ 2. Die monoidalen und dyoidalen Gruppen. 


Eine Gruppe mit gemeinsamem Punkte (a”"'b*) ist endlich, wenn 
die übrigen Fundamentalpunkte nach I. Theil $ 4 eine ternäre endliche 
Gruppe constituiren, die Restgruppe jener. Da nach I. Theil XXXVII. 
zwei Gruppen mit (a"~'b"~') äquivalent sind, wenn ihre Restgruppen äqui- 
valent sind, so folgt, orthanallagmatisch statt monoidal setzend: 


Theorem Il. Jede endliche orthanallagmatische Gruppe ist entweder dqui- 
valent einer Gruppe von Collineationen oder einer dyoidalen Gruppe mit 
(abi), (ag 0$) gemeinsam oder einer Gruppe, deren Restgruppe einer 


meiner Typen M,, M,, M,, M,, M,, M, ' oder eine von deren typischen 
Untergruppen ist. 


Als Invarianten der Gruppe kann man die Invarianten (das cit. Buch 
I. Th. $ 3) der Restgruppe bezeichnen und die holoedrisch isomorphen 
Gruppen an ihnen bilden. Bei fest angenommenen (a,b,),(a,b,) gibt es 
über gegebenen N einfachen Punkten eine endliche Totalgruppe von dyoi- 
dalen Characteristiken und für die Untersuchung dieser und ihrer Unter- 
gruppen gilt genau der $ 6 meines cit. Buches I. Theil, also auch die 
noch umfassendere Totalgruppe von Substitutionen 2. Art (p. 31). 


Theorem III. Bei festen (a,b,), (a,b,) gibt es über einer gegebenen Anzahl 
N einfacher Punkte eine endliche Totalgruppe dyoidaler Characteristiken, welche 
aus der ebenen Gruppe des cit. § © durch Composition mit der Substitution 
(a,b,),(a,b,),(a) (i — 1...N) gefunden wird. 


Um Untergruppen umzuwandeln, hat man einzelne oder alle Basis- 
Characteristiken einer Untergruppe aus der Ebene (oder von (a,0,), (a,b,)) 
zu verdoppeln, indem man bezügliche Characteristiken mit (a,b,), (a,b,) 
hinzufügt. Oder: 


Theorem IV. Die Gruppen mit (a,b,),(a,b,) sind zusammengesetzt wie 
die Gruppen mit (a,b,),(a,b,) über N + 1 Punkten, deren einer in den Sub- 
stitutionen 2. Art intransitiv (l. c.) gehalten wird. 


* Das cit. Buch: I. Theil $8 4, 5, 8. 





Transformationen in R,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 65 


§ 3. Die typischen Gruppen über 3, 4, 5, 6, 7 Punkten. 


Die Gruppe n. 4. des Th. I. kann in eine Gruppe von Collineationen 
übertragen werden, indem man (a,a,a,d)® anwendet, wo 4 einen willkürlich 
genommenen Doppelpunkt für alle Characteristiken bezeichnet. ! 


Theorem V. Die Basis der Gruppe m? s sind (a,b,)...(a,b,) und die 
Collineationen a, in a, in a, in à, in a; a 
Die Gruppe enthält 48 Characteristiken. 


| ma, m d,, d, mM a,,a, m a, . 


Diese Totalgruppe enthält noch typische Untergruppen, das Wort 
»typisch» im Sinne gegenwärtiger Theorie genommen. 

Corollar. Die Gruppe ist holoedrisch isomorph einer Gruppe von 
Vertauschungen unter 8 Buchstaben. Die Punkte a, und die Ebenen 
a;,a,a, werden nämlich unter einander vertauscht. 


Theorem VI. Die Gruppe n° 5 ist keiner der vorhergehenden Gruppen 
birational Äquivalent. 


Die entsprechend gebaute Gruppe M, in der Ebene war reductibel, 
weil es ein in sich transformirtes Netz homaloidaler C, gab. Das System 


müsste im À, äquimultipel in a, ... a, sein, also 3m — 4s = m, m gerade, 


während die homaloidalen 747 stets ungerades m haben. (I. Th. § 1.) 


Theorem VII. Die Totalgruppe von Characteristiken über 5 Punkten ist 
holoedrisch isomorph der symmetrischen Gruppe aller Vertauschungen unter 
6- Buchstaben. 


Die 3 ersten Beweise ayf p. 20 meines Buches lassen sich auch hier 
geben, entsprechend verallgemeinert. Also z. B. (3. Bew.) die Charac- 
teristiken vertauschen die 6 linearen Curvensysteme, welche sind: die 
Geraden durch a, ,a,,a,,a,,a, resp. und die Jj (a, ,...,a;), unter ein- 


! In einer willkürlichen Gruppe von Permutationen kann man ein bestimmtes Ele- 
ment I als Vertreter der Ebene a,a,a, annehmen und jedesmal Vorgünger und Nach- 
. * LI Li o 
folger als a,,b,, um das Bild einer Gruppencharacteristik n° 3 zu haben. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 21 juin 1897. 9 








66 S. Kantor. 


ander und durch eine der 720 Vertauschungen ' unter ihnen ist die Cha- 
rakteristik auch vollkommen und eindeutig bestimmt. 

Corollar. Die Gruppe wird construirt, indem die Gruppe der Ver- 
tauschungen von a, ...a, (Collineationen) mit den 5 cubischen Charac- 
teristiken (a;b) d in d, wo d einer der 5 a, ist, combinirt wird. 


Theorem VII. Die Gruppe n° 5 ist keiner der vorhergehenden Gruppen 
birational äquivalent. 


Die entsprechend gebaute Gruppe (M,) in der Ebene war reductibel. 
Für R, wird die Irreductibilität wie in Th. V. bewiesen. 


Theorem IX. Die Totalgruppe von Characteristiken über 6 Punkten ent- 
hält 2.4°.5°.6° Characteristiken. 


Sie entstehen, indem die r5 cubischen Ch. (a;b), d,, d, die 15 Cha- 
racteristiken 5. Ordnung (a;5) und (d;d;), mit der Collineationsgruppe 
über 6 Punkten componirt werden, also 





Theorem X. Die Totalgruppe m? 7 ist isomorph zur Gruppe von Sub- 
stitutionen, welche die Kummersche Configuration ungeändert lassen, aber mit 
Meriedrie des Grades 2. 


Die Gruppe ist holoedrisch isomorph zur Gruppe von Vertauschungen, 
hervorgebracht unter diesen 32 Elementen: den 6 Punkten, den 20 Ebenen 
a,;a,a, und den 6 Quadrikegeln aja;,,...a;,; oder dem oo’-Systeme von 
M}, den 15 a EE von Miajaza;a@,, den 15 oo?-Systemen von 
AMiajaja;a;,0;a,, dem oo?Systeme Mjat...aj. Diese sondern sich in 16 
Paare, so au je zwei eines Paares sich zu aj...a; summiren. Sie 
können nun den 16 Punkten einer Kummerschen Fläche entsprechend 
gemacht werden, etwa durch (ideelle) Anw endung der bekannten Reyeschen 

2-deutigen Transformation (Crelles Journal Bd. 86). 

Bedingung für eine Vertauschung unter den 32 Elementen, damit 

sie durch eine Characteristik hervorgerufen sei, ist einzig die, dass 2 Ele- 


* Bildet man, was ja sehr nahe liegt, durch die M$, welche a, ...«, enthalten, 
die ebenen Schnitte einer M; im R, ab, so wird diese ersichtlich 10 Doppelpunkte 
haben und es gilt für sie das Theorem; Eine M; mit 10 Doppelpunkten im R, wird durch 
720 Collineationen des R, in sich selbst transformirl, welehes Theorem neu sein dürfte. 





Transformationen in R,, welche keine Fundawentaleurven I. Art besitzen. 67 


mente, welche sich in einer Fundamentalcurve 2. Art (resp. wenn 2 
Punkte, gar nicht) oder in einer Curve mit p — o, u = 2 (siehe Beweis 
zu Theorem VI.) oder in einer Curve mit p — o, u = 4 schneiden, wieder 
in 2 Elemente gleichen gegenseitigen Verhaltens übergeführt werden. ' 

Bildet man nun die 16 Sextupel unter den 16 Elementarpaaren, 
welche den conischen Sextupeln der Kummerschen Configuration ent- 
sprechen, so überblickt man, dass die eben beschriebene Bedingung das 
Erhaltenbleiben dieser Sextupelvertheilung zur Folge hat, mit ihm iden- 
tisch ist. 

Corollar I. In der Isomorphie entsprechen jeder Substitution der 
Kummerschen Configuration zwei Characteristiken, von denen die eine 
durch Zusammensetzung mit [(d;d/)]' aus der anderen entsteht. 


Corollar II. Die Totalgruppe n° 7 enthält [(d,d;) als mit allen 
Characteristiken vertauschbare Characteristik. 


Corollar III. Die Gruppe der Kummerschen Configuration ist zu 
keiner Gruppe von einem Grade < 16 holoedrisch isomorph, und da sie 
einfach ist, auch nicht meriedrisch. 


Theorem XI. Die Totalgruppe der Characteristiken über 7 Punkten ist 
endlich und enthält 17.436 Characteristiken. 


Die Endlichkeit ist sicher, da es mit 7 Punkten nur endlich viele 
Fundamentalsysteme und aus diesen nur endlich viele Characteristiken 
gibt. Es gibt 35 cubische, 105 von 5. Ordnung, 7 von 7., 70 andere 
von 7., 7 von 9., 70 andere von 9., 105 von II., 35 von I3., I von 15. 
Ordnung, also 436 Fundamentalsysteme. 


Theorem XII. Die Gruppe n° 8 ist holoedrisch isomorph einer Gruppe 
von Vertauschungen unter 126 Elementen, welche 63 Paare der Imprimiti- 
vität besitzt. 


Denn die 7 Punkte a,...a,, die 35 Ebenen a;a,a,, die 42 Quadri- 
kegel a4;,,...0;,,, die 35 Miazara;a,a,a,a,, die 7 M;a;a;...a, werden 


! In der Ebene war diese Bedingung so formulirt, dass die fundamentalen linearen 


etr 


Substitutionen die Form F,, = nn’ — xx ungeündert lassen mussten. Cf. mein Buch 3 








68 S. Kantor. 


unter einander transformirt, aber so, dass die Paare, welche sich zu 
(a; ... a5)” summiren, erhalten bleiben. 


Theorem XII. Die Totalgruppe n° 8 ist keiner Gruppe unter weniger 
als 126 Buchstaben holoedrisch isomorph. 


Die einzigen Invarianten der Gruppe sind die Singularitätencomplexe 
der Flächen mit gegebenem p, w (in Folge der Singularitäten in a, ... a, 
allein) und die niedrigste Anzahl ist eben die im Theoreme XI. gebildete 
Anzahl für p — o, u =o. 

Wendet man auf den Raum ZA, die im V. Theil $ 5 beschriebene 
2, 1-deutige Transposition an, so werden den Vertauschungen der Flächen 
mit p —0, u=o Vertauschungen gewisser Berührungsebenen einer merk- 
würdigen Übergangsflüche 12. Ordnung mit 9-fachem Punkte (und 3 an 
ihm unendlich nahen) entsprechend gemacht. Die gegenwärtige Gruppe 
steht also gewiss mit einem Zweitheilungsprobleme gewisser überall end- 
licher Doppelintegrale, wie sie nach Jacogı von NórugR kurz erwähnt 
worden sind (Math. Ann. Bd. 2), in Verbindung. 

Aber die Gruppe unter 63 Elementen hat gewiss auch zu den Abel- 
schen Integralen p — 3 Beziehung. Dafür spricht die Existenz der Ja- 
cobischen Curve 6. Ordnung mit p — 3 des Netzes der M3(a,,...,a,).’ 


' Theorem XIII’. Die Gruppe M, in Substitutionen enthält 36 nicht ähnliche Sub- 
stitutionen. Dieselben sind: 11 Collineationen; (a,b,), (a,b,), (a,b,), (@,b,), mit 2,,2,; 
5 andere mit (a,b,);(a,b,).(a,b,),(a,b,),(a,b,), 1, ,1,; 2 andere mit (a,b,),(a,b,);(a,b,), 
(a,b,), (a,b,),(a,b,),d,,d, oder 7,,7,; (a,b,),(a,b,), (a,b,), b, in a, mit d, ; (a,b,), (a,b,), 
b; in'a,, b, in a,;5’(a,5,),(a,b,),(a,b,), b, in“, in a,; (a,b,),(a,b,), b. inb; in as 
(a,b,); (a,b,), b, in a,, b, in a,,(a,b,); (a,b,),(a,b,),(a,b,), b, in b; in a,; (a,b,), 
(a,b,),(a,b,), b, in b; in a,; (a,b,),(a,b,),(a,b,), b, in b; in a,; (a,b,),(a,b,),(a,b,), 
(a,b,),(a,b,),(a,b,) oder dies mit (a,b,),(a,b,); zwei Typen 5. O. Index 4; 3 mit (a,b,), 
I mit (a,b,),(a,b,); Typus 7. ©. (d;d;). 

Theorem XIII”. Die Gruppe M, in Substitutionen enthält 64 nicht ähnliche Substi- 
tutionen. Dieselben sind: 14 Collineationen; Q°:(a;b;) mit Tripel; (a,b,), (a,b,),(a,b,), 
(a,b,) mit d,,d,,d, oder d,,i,i, oder Tripel; 5 andere mit (a,b,),(@,b,); 4 andere 
mit (a,b,);(a,b,),(a,b,),(a,b,),(a,b,) ebenso 5 andere mit (a,b,),(a,b,);(a,b,), (@,b,), 
(a,b,),(a,b,) ebenso; (a,b,),(a,b,),(a,b,),(a,b,) mit Tripel; (a,b,),(»,b,),(a,b,), b, in a, 
mit d,,d, oder PEL (a, b,), (a,b,), (a,b,), b, in a, mit % 2%; (a,b,), (a,b,), (a,b.) b, 
in b, in b; in a,, 5 Typen; Q°: 1 mit (a,b,), 2 Typen Index 4, 2 Typen Index 8, 1 
Typus Index 10; 2 mit (a,b,),(a,b,) 2 mit (a,b,),(a,b,); @’: 4 Typen Indices 6, 4, 2, 
6, 1 mit (a,b); Q'*: 1 Typus Index 2. 





Transformationen in H.. welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 69 


N. THEIL. 


Theorie der endlichen Gruppen von Transformationen ohne 
Fundamentalcurven ı. Art. 


§ 1. Das Aquivalenztheorem. 


Um Raum zu sparen, erwähne ich kurz, dass sich die IV Beweise 
des $ 1, II. Theiles hieher für die Gruppen existirender Transformationen 
adaptiren lassen, wie es fiir die Ebene in meinem Buche geschehen ist 
und liefern. 


Theorem I. Jede endliche Gruppe von Transformationen gegenwärtiger 
Fundamentalsysteme lässt sich durch | Reciprokaltransformationen | áquivalent 
machen einem der folgenden Typen: 

1. einer Gruppe von Collineationen, 

2. emer Gruppe von Transformationen mit gemeinsamem | (a b"), 


3. einer Gruppe von Transformationen mit gemeinsamen (a\ by"), 
Cale) | 


4. einer Gruppe cubischer Transformationen mit zwei coincidenten Haupt- 
punktetripeln, 

5. einer Gruppe cubischer Transformationen mit gemeinsamen Haupt- 
punktequadrupel, | 

6. der Gruppe von 720 Transformationen über 5 festen Punkten oder 
einer Untergruppe, 

7. einer Gruppe von Transformationen über 6 festen Punkten, 

8. einer Gruppe von Transformationen über 7 festen Punkten. 


Hier ist die Gruppe n° 4 über 3 Punkten typisch, weil man für die 
r + : , . a vs Fest = . f 1: à ale li vd S beti 
Transformationen nicht mehr wie für die fundamentalen linearen Substitu- 
tionen einen allen gemeinsamen Doppelpunkt willkürlich annehmen kann. 

Die Gruppen von Collineationen im Z, (Classe n^ 1) hat C. JonpAN 
nicht vollständig bestimint. 





70 S. Kantor. 


§ 2. Die orthanallagmatischen und dyoidalen Gruppen. 
Aus II. Theil $ 3 folgt: 


Theorem IL Jede endliche Gruppe von Transformationen mit gemein- 
samen (a"""b"") ist dquivalent entweder: 1. einer Gruppe von Collineationen 
oder 2. einer Gruppe mit (a 0; ),(a? b; ) oder 3. einer Gruppe mit 
(a”'0""), deren Restgruppe eine der von mir entdeckten ternären 34 Gruppen 
mit 7,8 Punkten (XXVIII. bis LXI. der Tafel in meinem Buche) ist. 


Die Gruppen, wo die Restgruppe einer der Typen XV. bis XXVIL 
meiner Tafel ist, sind nicht vollständig, sondern lassen sich ohne Än- 
derung ihrer Figur zu Gruppen der Art n° 7 und n° 8 des obigen 
Theoremes I. ergänzen (durch Verbindung [(h;%;)]”), ebenso wo die Rest- 
gruppe XII, XIIL, XIV. jener Tafel ist, erscheint die Gruppe sofort als 
Untergruppe einer Gruppe der Arten n? 4., n° 5., n? 6. des Theoremes I. 


Theorem III. Die 34 isolirten Typen von Gruppen mit (a 0") sind 
construirbar mit einer invarianten irreductibeln M} oder einer MT. 


Denn die Characteristik der Gruppe enthält für XXVIII. bis LXI. 
der Tafel 7 oder 8 Punkte, also für den R, 8 oder 9 Punkte. Dass 
ein invariantes Ebenenpaar nicht möglich ist, beweist die Discussion von 
XLIL bis LXI. Die Discussion von XXVIII. bis XLI. beweist, dass die 
invariante M? nicht zerfallen kann, ausgenommen bei den cyclischen 
Gruppen, welche aber wiederum stets eine invariante JZ} besitzen. 


Theorem IV. Jede dyoidale Gruppe mit (aj by"), (af 07) oder mit 
(og), (a by) ist construirbar wenigstens in der particulären Form, 
wo eine invariante M existirt, sofern die Ebenen durch a,a, nach einer 
der 5 binären Gruppen projicirt werden. 

Der Beweis folgt aus III. Theil $ 3 Theorem VII. und aus dem 
Theoreme für die Ebene (l. c. p. 47). 

Theorem V. Die allgemeine dyoidale Gruppe mit (a) bp) , (a) 07) 
oder mit (a7 by"), (ay bp) ist mit einer invarianten M5 (aj? a5?) con- 
struirbar. 





Transformationen in R,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. TÉ 


Die Construction ist genaue Nachbildung der von mir oben im III. 
Theile $ 3, Theoreme X., XI. gegebenen. 


§ 3. Die typischen Gruppen über 3, 4, 5, 6 Punkten. 


Gruppen n° 4. a) Werden die Ebenenbüschel a,a, , v,a, , «,«, jedes 
in sich transformirt, so genügt es, in ihnen drei Gruppen willkürlich 
anzunehmen, dieselben durch Isomorphieen unter einander zu beziehen 
und je drei zusammengehörige Projectivitäten zu einer Reciprokaltrans- 
formation zu combiniren, wobei die a, , b, von selbst entstehen. f) Werden 
die Ebenenbüschel a,a,,a,a, vertauscht, a a, erhalten, so hat man in einer 
Gruppe der Art a) aus der ganzen Gruppe oder aus der Untergruppe 
diejenigen Q^, welche in a,a,,a,a, ähnliche Projectivitäten haben, durch 
Einfügung einer (noch auf oo’ Arten variabeln) Projectivität von a,a, 
nach a,a, zu einer Q°: (a,b,), (a,b,),(a,b,) zu ergänzen. y) Werden die 
Ebenenbüschel a,a, ,a,a, , aa, cyclisch vertauscht, so müssen die zu er- 
günzenden Q^ in a) drei ähnliche Projectivitäten besitzen. 9) Werden 
beide Processe aus f) und y) angewendet, so entsteht eine Gruppe, durch 
welche die drei Ebenenbüschel in allen 6 Arten vertauscht werden. 

Gruppen n° 5. Je nachdem die 4 Stralbündel a, ,a,,a,,«a, unter 
einander vertauscht werden, entstehen verschiedene Classen. Es gibt 8 
verschiedene Gruppen von Vertauschungen unter 4 Buchstaben und wie 
in der Ebene (cf. mein Buch 49—51) wird bewiesen: 

Jede dieser 8 Classen von n° 5 wird construirt, indem man eine 
Transformation (a,b,) mit einer endlichen Gruppe von Collineationen, die 
a, zu Doppelpunkten haben und mit je ı Collineation combinirt, welche 
unter den a, die Substitutionen der Characteristik hervorbringen. 

Gruppe n° 6. Da alle Characteristiken über 4 Punkten construirbar 
sind, so stimmt die Gruppe mit der Characteristikengruppe überein und 
enthält auch nur 720 Transformationen. 


Gruppe n° 7. Theorem VI. Über 6 willkürlichen Punkten des R, gibt 
es eine Gruppe von 32 (involutorischen) Transformationen, welche auch in 
jeder anderen über irgend 6 besonderen Punkten bestehenden Gruppe als aus- 
gezeichnete Untergruppe enthalten ist. 





72 S. Kantor. 


Diese Transformationen sind r5[(a;5)]? mit je einem involutorischen 
Paare im 5. und 6. Punkte, r5[(a;5)], die [(d;d;)]|] und die Identität. 
Dass sie ausgezeichnet ist, folgt, weil eine Transformation, welche den 6 
Punkten keine Bedingung auferlegt, durch jede andere Transformation über 
den 6 Punkten in eine eben solche Transformation übertragen werden muss. 


Theorem VII. Jede vollständige Gruppe über 6 Punkten ist abhängig 
von und vollständig bestimmt durch eine etwaige Gruppe von Collineationen, 
welche unter den 6 Punkten im Raume bestehen. 


Denn die Collineation, welche unter den Hauptpunktepaaren einer 
[a4;, 5;]* und zwei gewöhnlichen Punktepaaren pp’, qq’ herrscht," absorbirt hier 
alle 6 Punkte, ebenso gewiss die Collineation des Theoremes XIII. im III. 
Theil und wenn T — [d;d;| eine Directrixsubstitution verschieden von der 
Identität hat, muss diese als Collineation wirklich unter den 6 Punkten 
bestehen, da 7" diese Collineation selbst ist. 


Theorem VII. Wenn drei Punkte in einer Geraden sind, ist die Gruppe 
übertragbar in eine Gruppe von Collineationen und wenn 4 Punkte in einer 
Ebene, ist sie dyoidal. 


Denn die JZ; durch die Gerade und die übrigen 3 Punkte bilden 
ein homaloidales System und die M?, welche in jene Ebene und eine 
variable Ebene durch die übrigen beiden Punkte zerfallen, müssen unter 
einander transformirt werden. 


Theorem IX. Es gibt also 7 typische Gruppen über 6 Punkten. 


Denn nun sind die 6 Punkte in einer Raumcurve 3. Ordnung, welche 
durch die Collineationsgruppe aus VII. in sich transformirt wird, also eine 
binäre Gruppe trägt, deren es unter 6 Punkten nur 7 verschiedene gibt: 
ı. die Identität allein, 2. drei Paare einer Involution, 3. die Doppelpunkte 
und zwei involutorische Paare einer Involution, 4. ein Cyclus und ein 
Doppelpunkt einer Projectivität des Index 5, 5. die Gruppe über der 
Form 7, 6. ein Cyclus vom Index 6, 7. zwei willkürliche Tripel einer 
Projectivität des Index 3. 

Corollar. Die Ordnungen dieser Gruppen sind bezüglich 32, 2.32, 
4.32,5-.32,24.32,9.32,3.32. 

* Am. Journ. of Math. Vol. 19, 





. . 4 : : E 
Transformationen in E, , welehe keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 13 


§ 4. Die Anwendung der Kummer’schen Fläche. 


Herr Reye und nach ihm W. Sraut haben für die Untersuchung 
der Strahlencongruenzen 2. O. und Cl. eine (1 , 2)-deutige Verwandtschaft 
untersucht, welche den Ebenen des Raumes Z; die M3 durch 6 feste 
Punkte p,...p, in R,, den Punkten der hierbei entstehenden Kummer- 
schen Fläche K, in E; die Punkte der Kernfläche 4, in R,, den 16 Dop- 
pelpunkten von K, die r5 Geraden p,p, und die Mi(p,...p,) und den 
16 Doppelebenen die 6 Punkte p; und die ro Ebenenpaare (p; pipi, p, p.p.) 
entsprechen macht. 

Ist nun über 6 Punkten eine gegenwartiger Characteristiken con- 
struirt, so transformirt sie die co^ JZ} durch p,...p, unter einander, also 
auch die Punktepaare, in denen sie sich schneiden, und wird also durch 
die Reyesche Abbildung in eine Collineation des Rj übertragen, welche, 
da in A, die ®, invariant war, die K, in sich transformiren wird. Da 
durch die eindeutige Correspondenz in 46, die haumtransformation be- 


stimmt ist, folgt: 


Theorem X. Die Gruppen über 6 Punkten können durch (1 , 2)-deutige 
Abbildung aus den Collineationsgruppen gewonnen werden, welche eine Kum- 
mer’sche Fläche in sich transformiren. 


Ich habe im Am. Journ. 1897 ! die aussergewöhnlichen Collineations- 
gruppen bestimmt, welche eine K, reproduciren ‚und bewiesen, dass sie 
nur von dem projectiven Character einer der 16 conischen Sextupel ab- 
hängen, woraus wieder das Theorem VII. geschlossen wird, ebenso VIII. 
Am selben Orte habe ich auch die Characteristiken angegeben, in welche 


sich die einzelnen Collineationen umsetzen. 


85. Die Gruppen über 7 Punkten durch Anwendung zweier 
neuen (1 — 2)-deutigen Transformationen. 


1. Alle M!p=ı durch 7 Punkte p,...p, gehen durch einen 8. 
Punkt a,. An diese co? Curven knüpft sich eine ganze Reihe von Trans- 


! Meine Note: »Über Collineationsgruppen an Kummer schen Flächen». 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 6 septembre 1897. 10 





74 S. Kantor. 


formationen, indem man nach dem Verfahren für die Ebene’ auf jeder 
M: oder unter je zwei Mi gleichen Moduls eine eindeutig zu bestim- 
mende eindeutige Correspondenz einriehtet. Insbesondere (l. c. Th. 117.): 
»Wird auf jeder Ji die Correspondenz « + u= 7 mit a, als Doppelpunkt 
bestimmt, so entsteht (8,..., 8)” mit p,...p, als 8-fachen Fundamen- 
talpunkten und M$(pipia...pi« als Fundamentalflachen». (l c. Th. 
118) »Die (8,..., 8)? transformirt die M5j(pi...p;) unter einander, jede 
in sich». »Der Ort der Doppelpunkte von (8,..., 8)? ist eine M$(pi... p) 
welche die 28 Geraden p;p, (i,k — 1...7) einfach und die Kegelspitzen- 
curve des Netzes JMi(p;...p;) als einfache Curve enthält, D,.» 

Eine (1; 2)-deutige Beziehung von À, nach AR; kann nun durch ein 
lineares oo’-System M; abgeleitet werden, welche durch 3 fernere ein- 
fache Punktepaare 9,91, 9:93, 9595 gehen. »(l. c. 120.) In der Trans- 
formation, welche 4. O. in À, und 16. O. in A; und den Ebenen von 
R; die M$(pi...piqi...qs) entsprechen macht, entspricht der D, eine 
Fläche Z,, der 12. O., welche einen 9-fachen Punkt A besitzt, an den 3 
andere in 3 verschiedenen Richtungen unendlich nahe gerückt sind und 
nach diesen Richtungen drei 6-fache Gerade durch A hat:» »Durch diese 
Transposition werden die Gruppen über p,...p, in Gruppen birationaler 
Transformationen 4. O. (Q*) übertragen, welche in jenen Geraden 3 dop- 
pelte Fundamentalgeraden und sonst 3 einfache Fundamentalpunkte be- 
sitzen.» Also: 


Theorem XI. Die 7-punktigen Gruppen (n° 8) des Th. I. werden ge- 
funden, indem man die Gruppen erwähnter Q*, welche die Z,, reproduciren, 
durch die 2 — ı-deutige Transposition überträgt. 


2. Eine einfachere Transposition ist die folgende. 


Lemma. Die M$j(aj...a2), welche durch den Schnitt A} einer unter 
2471 1 


ihnen mit einer festen M(a, ... a.) hindurchgehen, bilden ein lineares co*- 
System. | 


Die Jacobiana derselben ist wieder jene D, (wie überhaupt aller im 
oo°-Systeme enthaltenen oo*-Systeme). Wird nun unter den Ebenen von 
RH; und diesen oco? M3% eine Collineation hergestellt, so hat man eine 





1 


Acta Math. Bd. 19, $ 12. B. 





Transformationen in R,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 75 


I — 2-deutige Transformationen von Ri nach R,, die von den Ordnungen 
4,8 in R,, R, ist und welche die D, nur in eine Z, mit einem 3-fachen 
Punkte A überträgt. Der Osculationskegel des 3-fachen Punktes ent- 
spricht dem Schnitte der D, mit der festen M?. In der Transposition 
entsprechen den a,...a, Flächen 2. O., der A® eine Ebene. Den Trans- 
formationen über a,...a, als Cha racteristikpunkten entsprechen quadra- 
tische Transformationen Q? in Ri, weil eine willkürliche W;(ai . .. a7) in 
A einer M; entspricht. Den M3(a,...a,) entsprechen in R/ Ebenen des 
Bündels um A, und da jene, also auch diese unter einander transformirt 
werden, ist A der. Fundamentalpunkt von Q*. Der Fundamentalkegel- 
schnitt geht an A: unendlich nahe. 


Theorem XIII. Die 7-punktigen Gruppen (n° 8) des Th. I. werden ge- 
funden, indem man die Gruppen quadratischer Transformationen, welche die 
Z,(A*) reprodueiren, durch die 2 — 1-deutige Transposition überträgt. 


In dieser Form ist das Problem nun so einfach wie es nach der 
Methode meines Buches das parallele in der Ebene ist. ' 


§ 6. Andere Methoden für die 7-punktigen Gruppen. 


1. Die Mj(aj...a;) bilden einen À, in dem eine endliche Gruppe 
von Collineationen entsteht. In diesem bilden die Mi, welche durch d; 
sehen, und zwar von selbst zweifach, einen R,, der invariant sein muss, 
daher jede Gruppe auch einen Punkt invariant lässt; also: ? 


Theorem XIII. Jede Gruppe über 7 Punkten lässt eine Mi(a?... a?) 
invariant. 


Jener R, ist gleichzeitig repräsentirender Raum derjenigen M, 

9 * C» - 

welche sich als quadratische Functionen der JZ} darstellen lassen. In 

dem À, ist eine invariante JZ}, die doppelt gezählten M?, und eine in 
variante JZ{, die Paare von M; überhaupt. 


* Acta Math. Bd. 19, p. 160—168 und das cit. Buch. TIT. Th. 
? Cit. Buch. If. Th. 8 2. 


YP 








76 S. Kantor. 


2. (Gegenüber meinen vorhergehenden 3 Methoden gebe ich als die- 
jenige Methode, welche am wenigsten neue Untersuchung erfordert, die 
folgende. 


Theorem XIV. Jede Transformation einer Gruppe über (a,...;) muss 
die Kegelspitzencurve L, des Netzes M3(a,...a;) in sich transformiren und 
ist ihrerseits durch die Correspondenz in dieser Curve zweideutig bestimmt. 


Der 2. Theil des Satzes folgt daraus, dass die von den 7/j auf der 
L, ausgeschnittene Involution Gj, in sich transformirt wird und durch 
eine Schnittpunktgruppe g,, derselben die JZ; des Netzes bestimmt ist. 

Ferner habe ich Am. Journ. 1897: bewiesen: »Wenn eine Kegel- 
spitzencurve L, eine eindeutige Correspondenz enthält, so ist dieselbe in 
einer Collineation enthalten.» 

Die Kegelspitzencurve kann aber auch auf eine L, abgebildet werden 
und es handelt sich also um die Collineationsgruppen, welche eine L, 
in der Ebene reproduciren können. Diese habe ich in Acta Math. Bd. 
19, p. 157 und meinem Buche p. 89 endgiltig abgeleitet. Es handelt 
sich also, zu einer L, eine auf sie eindeutig bezogene Kegelspitzencurve 
zu construiren. Dies geschieht durch die Abbildung einer JZ}. Man 
nimmt auf der L, 6 Punkte derart, dass ihr auf der M3, welche sich 
mittelst dieser 6 Punkte abbildet, eine Kegelspitzencurve c, entspricht. 
Dies ist nach einem Theoreme von mir der Fall, wenn ! die 6 Punkte die 
Berührungspunkte der Z, mit einer Curve 3. O. sind. Da es nun 14 ver- 
schiedene L, mit Gruppen von Correspondenzen gegeben hat (l. c.), so folgt: 


Theorem XV. Es gibt 14 verschiedene vollständige Gruppen von Trans- 
formationen ohne Fundamentalcurven 1. Art über 7 Punkten. Die Lage der 
7 Punkte bestimmt sich jedesmal mit Hilfe einer ebenen dy ems. 

Meine bisherigen Resultate zusammengefasst liefern jetzt: 

Theorem XVI. ‚Jede endliche Gruppe von Transformationen ohne Fun- 
damentaleurven 1. Art ist dquivalent einem der folgenden Typen: 

I. einer Gruppe von Collineationen des R,, 

II. bis XXXV. einer Gruppe von Transformationen mit gemeinsamem 
(a*"b"), wo die Restgruppe einer meiner ebenen Typen XXVIII. bis LXV. ist, 


* Am. Journ. of Mathem. 1897, Theorie der period. cubischen Transformationen 
im R,, Cap. L, Theorem VIII. 





4 


Transformationen in À,, welche keine Fundamentaleurven I. Art besitzen. 


XXXVI. bis. XL. einer Gruppe von Transformationen mit gemeinsamen 
(ay D), (ay 027), wo die Ebenen durch aa, zu einer der 5 binären 
Gruppen zusammentreten (eingeschlossen die Gruppen höherer Homologieen 
dyoidaler Natur), 

XLI. bis XLV. einer Gruppe von Transformationen mit gemeinsamen 
(ar 0g "),(a 0] ), wo die. Ebenen durch a,a, zu einer der s binüren 
Gruppen zusammentreten, 

XLVI. einer Gruppe cubischer Transformationen mit drei gemeinsamen 
Hauptpunktcoincidenzen, die nur cyclisch vertauscht werden, 

XLVII. einer Gruppe cubischer Transformationen mit drei gemeinsamen 
Hauptpunktcoincidenzen, die auf alle Arten vertauscht werden, 

XLVIII. bis L. einer Gruppe cubischer Transformationen mit vier ge- 
meinsamen Hauptpunkteoincidenzen, die nur cyclisch oder nach der Tetraeder- 
gruppe oder nach der Octaedergruppe permutirt werden, 

LI. einer Gruppe von 720 Transformationen über 5 festen Punkten 


TEN, 
LII. einer Gruppe über 6 Punkten, welche willkürlich sind r= 32, 
LIII. welche drei Paare einer collinearen Involution sind, rm gas 
LIV. welche zwei Tripel einer cyclischen Collineation sind, r= 96, 


LV. welche die Doppelpunkte und 2 Paare einer Involution sind, r = 128, 

LIVI. welche ein Cyclus vom Index 6 einer Collineation sind, r = 192, 

LVII. oder ein Doppelpunkt und ein Cyclus vom Index 5, r= 160, 

LVIII. welche eine Form T in einer M3 sind, = 768: 

LIX. bis LXXI. einer aus 14 Gruppen über je 7 Punkten, r= 18, 
23 Pon EL Oe? 67,06 032: 3 32:302: 065416, 8, 4, 2. 


Von diesen kónnen die ersten 50 als typische Classen, die übrigen 
21 als isolirte Gruppentypen bezeichnet werden. 

Anmerkung. Der grösste Theil dieser Gruppen bleibt (während die ein- 
zelnen Typen durch Projectionen in dyoidale Gruppen übergeführt werden) 
auch: in der allgemeinen Theorie der Gruppen birationaler Transformationen 
im A, typisch, d. h., wenn zur Transposition nicht nur Transformationen 
gegenwärtiger Art, sondern birationale Transformationen überhaupt ver- 
wendet werden. 


Calais, London, Auer, 1896. 











78 S. Kantor. 


Berichtigung. 


In Folge eines von mir nicht verschuldeten Versehens während des Druckes kann ich eine 
notwendige Correction der Form 3) des Textes erst hier nachtragen. Die cubische Form 3) ist nicht 
invariant durch die Substitution 1) (überhaupt durch keine anderen als welche die Variabeln unter 
einander vertauschen). 

Dagegen können allerdings andere irreductibele cubische Formen durch Combination der qua- 
dratischen und linearen Formen gewonnen werden. Zu den letzteren ist die Form 3n — Xy, hinzu- 
zufügen. . 

Ausserdem bleibt für jede Substitution 1) eine cubische Form invariant, welche aber nicht für 
alle in gleicher Weise aufgeschrieben werden kann. Denn da für die einzelne (a; ; b)? die Form 


n° — andy, — Xx* + 320 + u) ya — 2Xy& re 


invariant bleiben soll (Amer. J., T. 19), so wird fiir jede Transformation, welche sich aus solchen 
zusammengesetzt, eine Form 


(3) n? — Xx? + 32L;yi — 22y: 


wo die LL; gewisse von der Transformation abhängige lineare Functionen von n,x; sind, invariant 
bleiben. 

Die Tragweite dieser Resultate mag man daran ermessen, dass bisher überhaupt die ganz- 
zahligen Transformationen nur von ternären und quaternüren Formen untersucht worden sind, nämlich 
durch Herrn Poincaré (Journ. de l'Ecole Polyt. 1880). Die obige Form 3) liefert cubische Formen 
von irgend wie hoher Anzahl Variabeln und sofort eine ganzzahlige Substitution, welche sie in sich 
transformirt. 

Die Wichtigkeit dieses Resultates wird noch dadurch erhöht, dass man über e Fundamental- 
punkten (¢ > 7) unendlich viele Transformationen gegenwärtiger Art construiren kann. Stellt man 
nun zu jeder meine fundamentale lineare Substitution und zwar zunächst nur die unvollständige auf, 
so erhält man eine merkwürdige discontinuirliche Gruppe ganzzahliger linearer Substitutionen in 
a + I homogenen Variabeln. Man erwäge, dass bisher überhaupt nur discontinuirliche Gruppen von 
Substitutionen in 3 Variabeln aufgestellt worden. 

Schreibt man aber die vollständigen linearen Substitutionen 1) oder 2), so erhält man Gruppen 
von einer Art, wie sie überhaupt bisher noch nicht angetroffen worden sind. Durch die Zusammen- 
setzung der Transformationen über den c Fundamentalpunkten wird sich nämlich die Anzahl der 
Fundamentalcurven 2. Art und damit die Anzahl der Variabeln in den Substitutionen 1) fortwährend 
vermehren, und man erhält daher eine discontinuirliche Gruppe in einer unendlichen Anzahl von 
Variabeln. Dem entsprechend erhält man auch eine isomorphe Gruppe von Permutationen, welche 
durch diese Gruppe hervorgerufen werden, unter unendlich vielen Elementen, nämlich den « Punkten 
und allen M? y = o, u = o, welche sich über diesen « Punkten construiren lassen. 

Eine weitere Correctur ist in Folge der vorigen zu p. 13 anzugehen. Zu der dortigen Form 
muss 32L,yi — 3Xyi addirt werden. Jedoch sind die Zeilen 2 bis 7 p. 14 dann nicht auf diese 
neue (wirklich invariante) Form zu beziehen, sondern auf die alte Form, die aber eben aus dem in 
diesen Zeilen enthaltenen Grunde nicht invariant sein muss. 


Dit 





Aled il ade ESI B AGO 


VON 


G. MITTAG-LEFFLER. 


Am Freitag den 19. Februar starb in Berlin in seinem 82°“ Lebens- 
jahre Kart THEODOR WEIERSTRASS. 

In einer seiner Abhandlungen spricht Weierstrass die Überzeugung 
aus, dass die von ihm erhaltenen Resultate »wenigstens diejenigen Mathe- 
matiker interessiren werden, welchen es Befriedigung gewährt, wenn es 
gelingt irgend ein Kapitel der Wissenschaft zu einem wirklichen Abschlusse 
zu bringen». 

Mit diesen schlichten Worten hat Weierstrass selbst seine ganze Thätig- 
keit charakterisirt und das Ziel bezeichnet, das er in allen seinen Arbeiten 
anstrebte. Die Geschichte der Mathematik wird es auch bestätigen, dass 
bis jetzt kein Mathematiker in höherem Grade und grösserem Umfange 
als er das Ziel erreicht hat, »ganze Kapitel der Wissenschaft zu wirklichen 
Abschlusse zu bringen». Mit unübertroffener Klarheit und Schärfe der 
Beweisführung hat Weierstrass in der Theorie der analytischen Functionen 
die mannigfaltigen Sätze der Analysis zu einem abgeschlossenen, einheit- 
lichen Ganzen vereinigt. Aus Anlass der vielen functionentheoretischen 
Jugendarbeiten, welche ihm zur Prüfung vorgelegt wurden, äusserte sich 
Weierstrass einmal dem Verfasser dieser Zeilen gegenüber etwa in folgenden 
Worten: 

»Eine gute Functionentheorie zu schaften ist nicht die Sache eines 
Anfängers, mag dieser auch noch so begabt sein. Zuerst muss man alles 
bekannte analytische Material vollständig beherrschen und sich Klarheit 
verschafft haben über alle, auch die verwickelsten, Verhältnisse, denen 


Acta mathematica. 91. Imprimé le 6 septembre 1897, 





80 G. Mittag-Leffler. 


man begegnet ist oder welche man sich vorzustellen vermag. Erst dann 
darf mann denken, eine Functionentheorie zu schaffen, welche alles be- 
herrscht und erklärt. Ein solches Unternehmen kann daher der Natur 
der Sache nach nur die Krönung eines mathematischen Lebenswerkes sein.» 

Indessen wird jeder, der aufmerksam die ersten Abhandlungen von 
Weierstrass durchliest, sogleich erkennen, dass Weierstrass selbst schon mit 
30 Jahren in vollständigem und sicherem Besitz der wesentlichsten Grund- 
gedanken in der functionentheoretischen Auffassung war, welche er seit- 
dem ununterbrochen in den verschiedensten Richtungen vollendet und be- 
reichert hat. Diese Thatsache ist nicht schwer zu erklären. Bezeichnet 
doch die unablässige, intensive Arbeit an. der Lösung des Problemes der 
Abel’schen Functionen — des allgemeinsten und verwickelsten Problemes 
der Functionentheorie, das bis jetzt seine Lösung gefunden hat — den 
Ausgangspunkt von Weierstrass’ wissenschaftlicher Laufbahn. Die innere 
Beschaffenheit dieses Problemes und die Art der Begabung von Weierstrass 
führten diesen mit Nothwendigkeit dazu, festen Grund in der scharfen 
Fixirung des Begriffes der analytischen Function zu suchen. Er äussert 
sich hierüber selbst in seiner Akademischen Antrittsrede: »Freilich wäre 
es thöricht gewesen, wenn ich an die Lösung eines solchen Problems auch 
nur hätte denken wollen, ohne mich durch ein gründliches Studium der 
vorhandenen Hülfsmittel und durch Beschäftigung mit minder schweren 
Aufgaben dazu vorbereitet zu haben. So sind Jahre verflossen, ehe ich 
an die eigentliche Arbeit gehen konnte etc.» Unter den mannigfachen 
Aufgaben, deren Lösung die umfangreichen und tiefgehenden Arbeiten 
Weierstrass’ gewidmet sind, wird man es doch stets als Weierstrass’ liebstes 
Problem bezeichnen müssen, der Theorie der Abel’schen Functionen den- 
selben Grad von Abschluss und Vollendung zu geben, wie der Theorie 
der elliptischen Funetionen, und somit auch dieses »Kapitel der Wissenschaft 
zu einem wirklichen Abschluss zu bringen». Auch hat ihn dieses Problem 
vor allen anderen dazu geführt, die tiefliegendsten, verborgensten Geheim- 
nisse der Theorie der allgemeinen analytischen Functionen immer mehr 
zu durchdringen. 

Die stete Beschäftigung mit solch’ tiefen und schweren Aufgaben 
verlieh Weierstrass bei seinem Genie und Scharfsinn eine Überlegenheit 
über andere Zeitgenossen, welche einst in einem Kreise von Mathematikern, 
die um ihn versammelt waren, mit folgenden Worten charakterisirt wurde: 





Weierstrass. Si 


»Weierstrass hat doch ‘etwas übermenschliches an sich. Man kann ihm nie 
etwas neues erzählen. Er weiss alles schon im voraus.» 

Aber, wenn Weierstrass auch »alles im voraus wusste», so können 
doch seine in allen Ländern verbreiteten Schüler mit Rührung und Dank- 
barkeit bezeugen, dass er diese Kenntnisse stets nur zur Belehrung, Auf- 
klärung und wissenschaftlichen Unterstützung verwendete, niemals aber 
dazu, andere zu beschämen oder seine Überlegenheit fühlen zu lassen. 
Und die wenigen, welche das Glück gehabt haben, ihm aus eigenen oder 
anderen Untersuchungen etwas erzählen zu können, das er nicht wusste 
oder doch wenigstens nur ahnte, werden nie vergessen, mit welch’ leb- 
haftem Interesse und mit welch’ unbedingtem Anerkennen er solche Mit- 
theilungen aufnahm. | 

Bekanntlich war Weierstrass selbst kaum  Jemandes persönlicher 
Schüler gewesen. Der Mathematiker aber, dessen Schriften auf seine Ent- 
wicklung den grössten Einfluss gehabt haben, ist Abel. Einer der ersten 
Schüler von Weierstrass in Berlin, der ihn im Anfang seiner wissenschaft- 
lichen Lehrthätigkeit am genauesten gekannt hat, sagte mir: »Ich kann 
mir Weierstrass nicht anders denken, als mit den Werken Abels in der 
Hand und stets auf Abel hinweisend» »Lesen Sie Abel», war sein erster 
und letzter Rath. Seiner Bewunderung für Abel, der er bei den ver- 
schiedensten Anlässen Ausdruck gab, blieb immer dieselbe. »So lange die 
Kultur nur besteht, wird Abel die Bewunderung der Kenner immer er- 
regen.» -— »Abel ist einer der Glücklichen, die etwas ewig bleibendes ge- 


c 


leistet haben.» So äusserte sich Weierstrass bei Gelegenheit des 400-jährigen 


Jubilàums der Universitát Upsala. 

Dass Cauchy auf den Entwicklungsgang von Weierstrass keinen tiefer- 
gehenden Einfluss gehabt hat, ist mehrfach hervorgehoben worden. Weier- 
strass selbst hat bei der Feier seines 80"*" Geburtstages erzählt, dass er 
mit den analytischen Arbeiten Cauchy’s erst in einer späten Periode seines 
Lebens Bekanntschaft gemacht habe. Auf den Gymnasien zu Deutsch- 
Krone und Braunsberg war man zu der Zeit, als Weierstrass den Grund 
seiner künftigen Grösse legte, nur sehr unvollkommen mit mathematischer 
Litteratur versehen und die eigenen Mittel Weierstrass’ erlaubten ihm nur, 
das allernöthigste anzuschaffen. 

Indessen muss das Verhältniss der Weierstrass'schen Functionentheorie 
zur Cauchy'schen und zu der aus. dieser entsprungenen Riemann'schen viel 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 6 septembre 1897. rg! 





82 G. Mittag-Leffler. 


tiefer aufgefasst werden, als nur von jenem Gesichtspunkte aus. Raum 
und Zeit verbieten mir leider hierauf näher einzugehen und mich über- 
haupt ausführlich an dieser Stelle über Weierstrass’ wissenschaftliches 
Lebenswerk zu verbreiten, so verlockend dies auch für mich wäre. Denn 
die grosse und edle wissenschaftliche Persönlichkeit Weierstrass’, seine 
Stellung in der Wissenschaft, seine grossartige Lehrthätigkeit und deren 
Früchte zu schildern — das ist eine ebenso hohe wie schwere Aufgabe, 
die naturgemäss viel Zeit und viele Vorbereitungen erfordert. Indessen 
werden wir für eine spätere ausführliche Würdigung des grossen Gelehrten 
in dieser Zeitschrift Sorge tragen, die es sich von jeher als höchste Auf- 
gabe gestellt hat, in Weierstrass’ Geiste zu arbeiten, und die in ihm einen 
ihrer treuesten Freunde und kräftigsten Förderer verloren hat. Wir er- 
innern in dieser Hinsicht an seine lebhafte Theilnahme bei der Preisfrage, 
welche bei Gelegenheit des 60% Geburtstages seiner Majestät des Königs 
Oscar ausgeschrieben wurde. Auch besitzen wir noch viele andere Beweise 
für das Gesagte und denken daran, dieselben vielleicht später einmal zu 
veröffentlichen. 

Im 7" Bande dieser Zeitschrift findet man ein Bildniss von Weier- 
strass, angefertigt nach einer am 70°" Geburtstage Weierstrass’ auf- 
genommenen Photographie. Wir hoffen später auch eine Reproduction des 
Porträts veröffentlichen zu können, welches Voigtländer aus Anlass des 
So“ Geburtstages von Weierstrass gemalt hat. 





SUR UNE FORME NOUVELLE 
DES EQUATIONS DU PROBLEME DES TROIS CORPS 


PAR 


H. POINCARE 


a PARIS. 


Soient A,B,C les trois corps; solent X, , 1,, x, les coordonnées du 


point A; 2,,®,, 2, celles du-point B; x, , %,,x, celles du point C. 
Pour plus de symétrie dans les notations, je désignerai indifféremment 


la masse du corps A par m,, m,, m,; et de méme la masse du corps B 


PE 


par m,,m, ou m,; et celle du corps C par m,, m, ou m,. 


8 


Je poserai 
y, = m Es 
Yi TE i dt 
de telle facon que par exemple y, ,%, et y, soient les composantes de la 
quantité de mouvement du corps A. 
La force vive T sera alors 
ae mi ah Yi 
doi dus, 


— 2mi' 


/ 


D’autre part, si l’on choisit les unités de telle facon que la constante 
de Gauss soit égale à 1, la fonction des forces U s'écrira 


m,m, , m,m, , mm, 


AB AC id Bo 





E 


Si nous posons F = T — U; la fonction  dépendra des x et des y 
et les équations du mouvement pourront se mettre sous la forme canonique 


do — dF dyi — "CAE (121,2 9) 


(1) Ke ar . da 


Acta mathematica. 21. Imprim& le 6 septembre 1897. 





84 H. Poinearé. 


Supposons maintenant que lon change de variables et soient 
V; , Yi (i=1,2,...,9) 


les 18 variables nouvelles. Quelle est la condition pour qu'aprés ce change- 
ment de variables les equations conservent la forme canonique? 


La condition nécessaire et suffisante Cest que 


soit une différentielle exacte. 


Si cette condition est remplie, les équations deviendront 


dr,  dF dy; dF 


fe = V = — rie 
(1 dt dy; dt da; 

Examinons en particulier le cas où les x; sont des fonctions linéaires 
des x, 


La condition précédente peut alors s’enoncer d'une autre manicre: 


et les y! des fonctions linéaires des y;. 


la condition nécessaire et suffisante pour que la forme canonique des 
équations ne soit pas altérée, c'est qu'on ait identiquement 


(2) LY; %; T 2y;x;. 


Faisons une hypothèse plus particulière encore et supposons: 
1° Que 

dépendent seulement de #,,%,,% 
dépendent seulement de %,,4%,,4%% 
Le » Ter T dépendent seulement de  7,,4,, % 
Yi ; Y:, Y. dépendent seulement de y,, y,, y; 
Ys ,Y5, Ys, dépendent seulement de %,,%; , Ys 
Jie» Js dépendent seulement de %,, %s , Ya; 


2° Que les relations linéaires qui lient 2, %;,%% à 9%, %,% et 
celles qui lient x,,4%,2% à %,,%,,%, soient les mêmes que celles qui 
lent, 25, 2,5: a 502352, 3 

3° Que de méme les relations linéaires qui lient y;, y;, ys à Ya, Js» Ys 
et celles qui lient y;, 45, ys à Js, Js» Yo Soient les mêmes que celles qui 


, 


* , 1 A] 
lient yi, yi , y; à Yrs Ya» In» 


Sur une forme nouvelle des équations du probléme des trois corps. 85 


Cette troisieme hypothése est d'ailleurs une conséquence nécessaire 
des deux premieres et de l'identité (2). 
Dans ces conditions, l'identité (2) peut étre remplacée par la suivante 


(2°) Wii + ia + Yi = Yi + AT. + gym. 


Si en effet l'identité (2’) a lieu, on en déduira une seconde en aug- 
mentant tous les indices d'une unité et une troisieme en augmentant en- 
‘core une fois tous les indices d'une unité. La somme de ces trois identités 
ne sera autre chose que l'identité (2). 

Mais ce n'est pas tout: nous avons supposé que x, x, , æ, sont liés à 
La » Te Los par les mêmes relations que 21,2, 2; à 9,,2,,2,, et y, Ye, 4% 


lies à y, Y:, Ys par les mêmes relations que yi , y; , y; à yi, Ya, Yr 
L'identité (2’) subsister 


^N 


ı done quand on y changera 


, 


x 1! m» m E, = LA EY 
445, X4, X25 X1, Ua, 125 Vis Ya os Vs 5 Vis Ya Vi 


en 


M Sr TUN , D ES = , / , 
vs , Ve ) Lo , T3 ) Le » Vo , Yo , Y; , Ys , Yo Ys ? Ye - 


e 


On aura donc 
Ys Xs ae Ys Te Sr Ys Xo = Yıkz + Yz%g 5 Ys Xs 
et de méme 
Yale + ys + Yay = Was + YoXs + Vs. 
et en retranchant 
1/393 — Yan + sts — YoXs + Ya Lo — Yog 
= ists — Yale + Mss — YoXs + Ves — YoXs. 


. Or le second membre n'est autre chose que le premier moment de 
rotation du systéme, qui doit étre constant en vertu de l'équation des aires. 
On voit que l'expression de ce moment de rotation en fonction des x’ et 
des y a la méme forme que son expression en fonction des æ et des y. 


La forme de l'équation des aires n'est done pas altérée par notre change- 
ment de variables. 





86 H. Poinearé. 


Premier exemple. — Nous satisferons a l'identité (2’) en faisant 


, , ° 
Yi = Yi: Ya = Yas IL, = %, UL, 7% = Li; Lg u, T4, 


y; =U + yd Wu. 


Ce changement de variables, dont nous ferons un fréquent usage 
dans la suite et que nous appellerons le changement (a), a une significa- 
tion géométrique, trés simple. 

Les variables nouvelles x], 73,..., x, sont les coordonnées relatives 
des points A et B par rapport a des axes mobiles passant par le point C. 

Les variables x7 2 rcs > sont les composantes des vitesses absolues 

1 2 6 


de ces deux points À et B. 





Un second exemple qui ne différe pas essentiellement du premier est 
le suivant 


m,z, + M,X, + m,z, 


, LA a 
i = Ti — 925 m. = M —— Xr z 
; : i s # M, + M, + M, 


as 


m,y; 
m, + m, +m,’ 


zy; 
m, +m, +m,’ 


Y = Y — Ya = Yi — y; Yi + Ya + %- 


J'ai dit que ce second changement de variables ne diffère pas essen- 
tellement du premier, voici pourquoi: 

On ne restreint pas la généralité en supposant que le centre de 
gravité du systeme est fixe, c’est-a-dire que 


% TY, + y =O. 


Si l'on fait cette hypothèse, les valeurs de 21, 7,41, Yi, y; sont les 
mêmes dans les deux systèmes; les valeurs de x; seules different; mais 
cette difference n'a rien d'essentiel. La fonction F dépend en effet des 
differences des coordonnées des trois points À, B,C. Elle dépend donc 
de z; = z, — x, et de x, = x, — z,; mais elle ne‘ dépend pas de x. 


‘ 





Troisieme exemple. — Avec le troisieme exemple je retombe sur un 
changement de variables connu et que j’appellerai le changement (f). 








Sur une forme nouvelle des équations du probléme des trois corps. 87 


Solent 


a an — Mi, ni i — Mr, i, — Ms — Mn 


trois coefficients constants analogues aux masses. On voit que, pour con- 
server la symetrie des notations, je represente indifferemment le premier 
de ces coefficients par m,,m, ou m; de méme que j'avais représenté in- 
différemment la masse du corps A par m 


Soit 


py m, OU 25, . 


‚da; 


Ma 
di } ’ dt 


Dans ces conditions, les y; sont liés aux y, 


par les inémes relations 
que les m;x; aux m;,x, et les identités (2) et (2" peuvent étre remplacées 
par les suivantes 


(3) Amo — mp. 
(3^) mix, + mie” + ma? = ma + m, + mm. 


L'identité (3) nous montre en outre que la force vive T, exprimée 
en fonction des nouvelles variables, s'écrira 


2 '9 


T= Y (SS) — NS = 





— 2 

Ainsi, non seulement avec le changement de variables (3) la forme 
canonique des équations n'est pas altérée de méme que la forme des 
integrales des aires, mais il en est de méme de la forme de l'équation 
des forces vives. 

Il reste à voir comment on pourra satisfaire à l'identité (3). Cela 
peut se faire d'une infinité de maniéres. Voici celle qui est ordinairement 
usitée et que nous adopterons. 

Soit G le centre de 
Ar eto. 


Nous appellerons x; , x, x, les coordonnées du point G; 2,7, ¢ celles 


gravite des trois corps; D celui des deux corps 


du point D et nous poserons 





88 H. Poincaré. 


de telle sorte que x;, x; , v; solent les coordonnées du point A par rapport 
a des axes mobiles passant par le point C; et z,, #5, x; celles du point 
D par rapport à des axes mobiles passant par le point D. 

Nous poserons d'ailleurs 


m, m. 


m,(m, + m). 
m, tom, 


m, => —— pi, — m m Mr. 
+m, +m, +m,’ pa M re 


mi 
Les propriétés du changement de variables (7) ainsi défini ont été étudiées 
par M. Rapau (Annales de l'Ecole Normale, 1° série, tome 5). 

Les deux changements de variables (4) et (8) ont d'ailleurs en com- 
mun la propriété de ne pas altérer la forme canonique des équations, 
ni la forme des intégrales des aires; de plus, ils permettent d'abaisser de 
9 à 6 le nombre des degrés de li'erté. à; 

En effet, dans l'un et l'autre cas, la fonction F ne dépend que des 
y' et des six premieres variables x’; mais elle est indépendante de x}, x} 
et x. D'autre part, on ne restreint pas la généralité en supposant le 
centre. de gravité fixe, ce qui entraine les égalités 


Si l'on annule donc y;, y;, y;, F ne dépend plus que des douze variables 





v; et y; (0 = 1,2,...,6) et les équations (1) peuvent s'écrire 
(1^ dz, dF dy; dF AURAS. 
En — — AEEENÉ t=1,2)...) 
) dt dy; dt da; 


avec six degrés de liberté seulement. 


Methode usuelle. 


Malgré les avantages que présente le changement (5) et bien qu'il 
soit connu depuis longtemps, on sait qu'il n'est pas le plus usité dans 
la pratique. On lui préfere d'ordinaire un changement de variables que 








Sur une forme nouvelle des équations du probléme des trois corps. 89 


jappellerai le changement (r) et dont les propriétés sont loin d'étre aussi 
élégantes. On pose 


Mm, = MM) tm tm; YU = Hi + Hi + Sam 


mx. = Mails + mv, + om; 


Di = X,— 4 Uy — Ly — Me, =. — Lo) 
Aree. )^ d ; RN 5 
qd, = UuU—%:; PME La; Le — X. — Lo) 
m; == nm,., di=1,2,..,,6) 
da; 
, , Le | 
4! = M. —. (i=1,2,...,9) 
Yi 1 dt 


On voit que 7, 2%, sont les coordonnées du centre de gravite G; que 
Di, Do Le Ta 7; , X, sont, comme dans le changement (a), les coordonnées 
relatives des points A et B par rapport à des axes mobiles passant par 
le point C. Mais les variables 


Yi 
a 14-1 MV or e NES 
nmi 


au lieu de représenter, comme dans le changement (a) les composantes 
des vitesses absolues des points A et D, représentent les composantes des 
vitesses relatives de ces deux points par rapport aux axes mobiles. 

Il est aisé de voir que le changement (7) ne satisfait pas aux iden- 
tités (2), (2), (3) et (3); il ne conservera donc ni la forme canonique des 
équations, ni la forme des integrales des aires. 

Supposons cependant que le centre de gravité soit fixe; de telle sorte 
que 9; = y, = yy = 0; on sait que les équations pourront se mettre sous 
la forme suivante, que l'on pourrait appeler semi-canonique: 





dx,  dF, dy: . dF, (i—1,2,3) 

dt — dy, mE dx. - 
(4) 

da; > dF, dy; OM dF, (i=4,5,6) 

a dy. di da,’ M 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 20 juillet 1897. 12 





90 H. Poincare. 


m; m; mm, 


m ye — J — hae 
is 2m; U AC BC X BO (1% + 9% + %%), 





F,— Y 3. — U— PEL o tage nr + + aja). 

On voit en quoi les douze équations (4) different des équations canoniques. 
La fonction qui joue le rôle de la fonction F n'est pas la méme 

dans ces douze équations; elle est égale à F\ dans six d'entre elles et à 

F, dans les six autres. C'est ce que l'on exprime quelquefois en disant 

que la fonétion perturbatrice n'est pas la méme pour les deux planètes, 


Elimination des nœuds. 


Ce qu'on doit appeler l'orbite osculatrice du point A ou du point B 
n'est pas la méme chose suivant que lon adopte le changement (a) ou 
lun des changements (5) ou (7). 

Dans l'hypothèse (4), le plan de l'orbite de A passe par la droite AC 
et par la vitesse absolue du point A et le plan de l'orbite de B passe 
par la droite BC et par la vitesse absolue du point B (je suppose tou- 
jours le centre de gravité fixe). 

Dans l'hypothèse (9) le plan de l'orbite de A passe par la droite 
AC et par la vitesse relative du point A par rapport à C; le plan de 
l'orbite de B passe par la droite BD et par la vitesse relative du point 
B par rapport à D. 

Dans lhypothése (7) le plan de l'orbite de A passe par la droite 
AC et par la vitesse relative du point A par rapport à C; le plan de 
lorbite de B passe par la droite BC et par la vitesse relative du point 
B par rapport à C. 

Nous avons vu que les changements (a) et (2) conservent la forme 
des intégrales des aires, mais il n'en est pas de méme du changement (7). 
Il en résulte une importante propriété des orbites. 

Dans l'hypothèse (4x) comme dans lhypothése (8), lintersection des 
plans des deux orbites est dans le plan invariable, mais il n'en est plus 
de méme dans l'hypothése (7). 





Sur une forme nouvelle des équations du probléme des trois corps. 91 


Ill semble que tous ces avantages auraient du faire substituer le 
changement (9) au changement (y). Si on ne l'a pas fait, c'est sans 
doute parce que le développement de la fonction perturbatrice est un peu 
plus compliqué dans l'hypothèse (8). C’est pour cette raison que je crois 
devoir attirer l'attention sur le changement (4) qui n'a pas encore été 
proposé, qui nallère ni la forme canonique des équations, ni la forme des 
intégrales des aires et qui conduit à un développement de la fonction per- 
turbatrice tout aussi simple que le changement (8). C'est ce dont nous nous 
rendrons mieux compte en comparant dans les trois cas la forme du 
développement. 


Mouvement elliptique. 


Soit une masse mobile m attirée par une masse fixe M située a 
lorigine, son mouvement sera képlérien. 

Soient @,e,7,/,g + 0, et 0 le demi grand axe, l'excentricité, l'in- 
clinaison, l'anomalie moyenne, la longitude du périhélie et celle du nœud. 
Soit 

L = Ja, Ga Ser, 0 = Gost. 


Nous pouvons exprimer les trois coordonnées x, , r, , x, de la masse mobile 
m en fonction des six variables, L, 6G, 0,/,9g,60; écrivons donc 
Vi = ei(L L0 L8 0, 9 0). GINE 
Posons d'autre part, en appelant » le moyen mouvement, 


Li lei mw M deg; 
dx, — im, NM VM dy; 


di € Ju I2 qi 








Les fonctions c, jouissent de deux propriétés qui nous seront utiles dans 
la suite; elles satisfont d'abord à l'intégrale des forces vives 


ay’ mM _ "S mM 
2m \/ 3x3 HE LES Faas 





D'autre part, l'expression 
Zydx = my M(Ldl + Gdg + 040) 


est une différentielle exacte. 





e 
bo 


H. Poinearé. 


Emploi des variables kepleriennes. 


Considérons les variables x! et y; (i — 1, 2,..., 6) définies par l'un 
des trois changements (4),(/) ou (7); nous allons faire un nouveau 
changement de variables en remplacant ces douze variables par douze 


variables nouvelles 
L,.G.,.8, 1, Gy 0; 


L’, G^, 9, l, ^ 0. 


Ces douze variables nouvelles seront définies de la maniére suivante; 
nous poserons 


M = 9(L,G, 0,1, g, 0) 


A, B dg (k=1,2,3) 
Ye — T? di 
(5) | | 
X, Otel the Eg ELT. g^ 0') 
g dg. (k=4,5,6) 





[57m a 


Les douze variables définies par ces équations (5) pourront s'appeler 
variables képlériennes, ou bien éléments osculateurs des deux corps A et Db. 

Il importe de remarquer que ces éléments osculateurs ne sont pas 
les mêmes selon qu’on adopte le changement (4) ou l’un des changements 
(8) ou (y). J’ajouterai même que, si l'on adopte l'un de ces changements, 
le changement (a) par exemple, la définition des elements osculateurs 
dépend encore du choix des deux constantes f et f', choix que nous 
ferons dans la suite de façon à simplifier les équations autant que possible. 

Dans tous les cas, les expressions | 


y,dz, + y,dx, + y;dx; — B(Ldl + Gdg + 6d6) 
vide, + ydaz + y, do; — f (L'dl' + G'dg' + 6'd6") 


sont des différentielles exactes, de sorte qu'aprés ce nouveau changement 
de variables, les équations du mouvement conserveront la forme canonique 
dans les hypothèses (a) et (f) et la forme semi-canonique dans lhypo- 
these (7). 





Sur une forme nouvelle des équations du probléme des trois corps. 93 


Dans les hypotheses (a) et (9) les équations s’écriront 








d dF dh, .— dF 
| db BARES uw am 
dl’ arp aL — dF 


a Pais. gp ee 





(6) | 


Dans l'hypothèse (7) elles s'écriront 











a dF, — dL _ 4er, 
(6^) | di AdL’ ado. Babes 
| DER upon 
Bt = gb di--— gd 


Aux quatre équations (6), comme aux quatre équations (6^, il faut 
adjoindre celles qu'on en déduirait en changeant L,l, L’,l’ en G,9, G', g’ 
et celles qu'on en déduirait en changeant L,/!, L',l' en 0,6, 60,0. 

— D'autre part, on aura 

















go bur pg M 
19 79 TE ux LH. 

: vas Tx + 23° 2L 

Ya -E ys ES cn Die A TS He 
2 Va == x. ra Le 2L"? 


Forme de la fonction perturbatrice. 
Nous distinguerons dans la fonction F quatre parties et nous poserons 


F—fh hfc. 


Dans le cas (7), ou au lieu d'une seule fonction F on a à considérer 


les deux fonctions F, et F, 


F, =f, faerie Ier fa 
Pe Ti fx hs + fl: 


» hous poserons 


Le premier terme f, (ou f;) sera le premier terme képlérien; f, sera 
le second terme képlérien, f, 


turbatrice, f, sera la partie complémentaire de la fonction perturbatrice. 


sera la partie principale de la fonction per- 


94 


H. Poinearé. 


1° Dans l'hypothèse (a), nous aurons 


Fo qM T= §| 4 NM oe |. 


2m, 2m, 














2m, 
Le signe S représente une sommation s'étendant aux trois axes des 
coordonnées, et je puis écrire également 
ys Yı 3/114 
T SI ; 
2m, = 2m, + m, J)? 
en posant, pour abréger, 
m — Mm, mi MM, 
I m+m,’ * md m 
1 7 4 7 
Je poserai 
42 49 
1 m, m Y4 m, m 
20.0 IN 1 BE "=— J 5 eee ny 
f, 2m, AG fs 2m, DE 
: mm, — UNA 
f,-————. j; à 
: AB m, 
Si nous prenons 
___M,m, B= m,m, 








/ ? 
ym, + m. 


vm, + m,’ 
les equations (7) donneront 


BE — m, m, 
=, f 


2° Dans l'hypothèse (B), nous avons 


T= 8 (35, .. 2), 


2m, ' 2m, 





^t nous poserons 





: 19 19 
f= ST mm, AR ee 
I / D E73 7 
1 2m, AC: ? 2 2m, BD’ 
f= DIN j^ — EMIT OA, 
TE AR 


BD Bot 





Sur une forme nouvelle des équations du probléme des trois corps. 95 


En prenant 





MM, ; — m,(m, + m.) 
= SS? B= Vmimm, = m, j 
vm, + m, m, + m, + m, 


il viendra 











E m,m, __— ™,m, 
f, EI f, 2. 
3° Dans l'hypothése (7), nous poserons 
y;  m(m, + m.) 
En 8, EE 
2m, AC 
: S ys — m,(m, + m,) 
ff EM 
2m, BC 
; m, m m, m : EN 
fi = f; = — AB? f, — Bee mi fa = AG Sy a. 


En prenant 


BP = m, Vm, +m,, F = mM,Vm, + m,, 
il viendra 


— m, (m, + m,) 


" x — m,(m, + m.) 
h=h= 2L? , fy = fo = (n, : 


A 2p À 








Première approximation. Nous regarderons: la masse m, comme 
finie et les masses m, et m, comme trés petites du premier ordre. Dans 
ces conditions 8 et #’ sont du premier ordre, f, et /, sont du premier 
ordre; f, et f; (comme fj) sont du second ordre. On remarquera d'abord 


hh fs fs sont 
B P B [0] 


les mêmes dans les trois hypotheses (a), (8) et (7); à ce degré d'ap- 


qu’aux quantites pres du second ordre, les valeurs de 


proximation, les équations differentielles auxquelles conduisent les trois 
hypothèses ne différent que par les termes qui dépendent des dérivées de f,. 
Soit 
D = Sain, = dits + mu + su. 


La fonction d sera une fonction des douze variables képlériennes dont le 
développement est connu et d’ailleurs relativement aisé a obtenir. 





96 H. Poincaré. 


Si l'on observe d'autre part que 





__ 8 da, aes 1 da 
Mana’ ao ma 
OS ge ee eee a, 
rar. a FR 


on aura done: 


Dans l'hypothése (a) 











RESI: Lu Lia 
4 m;L,L, dal 2 
exactement; 
Dans l’hypothese (/) 
— mm, dé 
m T wg dl? 


aux quantités pres du troisiéme ordre; 


Dans l'hypothése (7) 


2 
.— mm, vy 














a ADS 
exactement; 

— m,m, dd 

: L* dl? 
exactement. 


Tous ces développements de f, et de f, se déduisent immédiatement 
les uns des autres. A ce degré d'approximation, les trois méthodes sont 
équivalentes au point de vue de la facilité du développement de la fonc- 
tion perturbatrice. 

D'autre part, si l'on ne tient compte que des perturbations du pre- 
nier ordre, on n'est pas gene par le fait que les équations (4) ne sont 
pas canoniques. Donc, à ce premier degré d’approximation, les trois mé- 
thodes se valent. 


Deuxiéme approximation. Mais il n'en est plus de méme si l'on 
veut tenir compte des perturbations du second ordre; la forme non ca- 
nonique des équations (4) devient alors un grave inconvénient; d'un autre 
cóté, le développement de la fonction perturbatrice auquel il n'y a rien 





Sur une forme nouvelle des équations du probléme des trois corps. 97 


à changer dans les hypotheses (a) et (7) devient trés compliqué dans 
l'hypothèse (8). Le changement de variables (4) que je propose prend 
alors un avantage marqué. 

Il a toutefois son inconvénient propre, plus apparent que réel, au 
point de vue de l'oseulation. Supposons que l'on veuille calculer la posi- 
tion de la planéte A, par exemple, à l'aide des éléments osculateurs, à 
l’époque t. Si l'on définit ces éléments osculateurs comme on le fait 
dans les hypotheses (5) et (7), les coordonnées ainsi calculées sont exactes 
à l’époque £, et pour l'époque ¢ + =, l'erreur est de l'ordre de e’s. Si 
on les définit comme dans l’hypothese (x), les coordonnées sont encore 
exactes pour l'époque ¢; mais pour lépoque ¢ + e, l'erreur est de l'ordre 
de e. I ne faut pas s'exagérer cependant l'importance de cet incon- 
vénient. Si s est comparable à la durée de révolution, l'erreur est du 
méme ordre de grandeur que celle qui est due aux perturbations; elle 
est du méme ordre dans tous les cas. Si & est trés petit par rapport 
à la durée de révolution, la correction est extrémement faible et de plus 
trés facile. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 20 juillet 1897. 13 


















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PERIODIC ORBITS 


BY 


G. IE VAR WIN 


of CAMBRIDGE. 


§ 1. Introduction. 


The existing methods of treating the Problem of the three Bodies 
are only applicable to the determination, by approximation, of the path 
of the third body when the attraction of the first. largely preponderates 
over that of the second. A general solution of the problem is accord- 
ingly not to be obtained by these methods. 

In the Lunar and Planetary theories-it has always been found ne- 
cessary to specify the motion of the perturbed body by reference to a 
standard curve or intermediate orbit, of which the properties are fully 
known. The degree of success attained by any of these methods has 
always depended on the aptness of the chosen intermediate orbit for the 
object in view. It is probable that future efforts will resemble their 
precursors in the use of standard curves of reference. 

M' G. W. His papers on the Lunar Theory’ mark an epoch 
in the history of the subject. His substitution of the Variational Curve 
for the ellipse as the intermediate orbit is not only of primary impor- 
tance in the Lunar Theory itself, but has pointed the way towards new 
fields of research. 

The variational curve may be described as the distortion of the 
moon’s circular orbit by the solar attraction. It is one of that class 


! American Journal of Mathematics, Vol. 1 pp. 5—29, 129—147, 245—260 
and Acta Mathematica, T. 8 pp. 1— 36. 
Acta mathematica. 21 Imprimé le 20 juillet 1897. 





100 G. H. Darwin. 


of periodie solutions of the Problem of the three Bodies which forms 
the subject of the present paper. 

Of these solutions M. Poincare writes: 

»Voici un fait que je n'ai pu démontrer rigoureusement, mais qui 
mme parait pourtant trés vraisemblable.» 

»Etant données des équations de la forme définie dans le n? 13 et 
une solution particuliére de ces équations, on peut toujours trouver une 
solution périodique (dont la période peut, il est vrai, étre trés longue), 
telle que la différence entre les deux solutions soit aussi petite qu'on le 
veut, pendant un temps aussi long qu'on le veut. D'ailleurs, ce qui 
nous rend ces solutions périodiques si précieuses, c'est qu'elles sont, pour 
ainsi dire, la seule brèche par où nous puissions essayer de pénétrer dans 
une place jusqu'ici réputée inabordable.» ! 

He tells us that he has been led to distinguish three kinds of 
periodie solutions. In those of the first kind the inclinations vanish and 
the eccentricities are very small; in those of the second kind the inclina- 
tions vanish and the eccentricities are finite; and in those of the third 
kind the inclinations do not vanish. ? 

If I understand this classification correctly the periodic orbits, con- 
sidered in this paper, belong to the first kind, for they arise when the 
perturbed body has infinitely small mass, and when the two others re- 
volve about one another in circles. 

M. PorxcaAnRÉ remarks that there is a quadruple infinity of periodic 
solutions, for there are four arbitrary constants viz. the period of the 
infinitesimal body, the constant of energy, the moment of conjunction, 
and the longitude of conjunction." For the purpose of the present in- 
vestigation this quadruple infinity may however be reduced to a single 
infinity, for the moment and longitude of conjunction need not be con- 
sidered; and the scale on which we draw the circular orbit of the second 
body round the first is immaterial. Thus we are only left with the 
constant of relative energy of the motion of the infinitesimal body as a 
single. arbitrary. 

‘Mécanique Céleste, T. 1, p. 82. 


» » Ty 1,1P.,97, and, Bull: 3À str... I, Wap, 05. 
^ » » T. 4, p. 7308 





Periodie Orbits. 101 


Notwithstanding the great interest attaching to periodic orbits, no 
suggestion has, up to the present time, been made by any writer for a 
general method of determining them. As far as I can see, the search 
resolves itself into the discussion of particular cases by numerical pro- 
cesses, and such a search necessarily involves a prodigious amount of 
work. It is not for me to say whether the enormous labour I have 
undertaken was justifiable in the first instance; but I may remark that 
I have been led on, by the interest of my results, step by step, to 
investigate more and again more cases. Now that so much has been 
attained I cannot but think that the conclusions will prove of interest 
both to astronomers and to mathematicians. 

In conducting extensive arithmetical operations, it would be natural 
to avail oneself of the skill of professional computers. But unfortunately 
the trained computer, who is also a mathematician, is rare. I have thus 
found myself compelled to forego the advantage of the rapidity and 
accuracy of the computer, for the higher qualities of mathematical 
knowledge and judgment. | 

In my earlier work I received the greatest assistance from M* J. W. 
F. ALLNUTT; his early death has deprived me of a friend and of an 
assistant, whose zeal and care were not to be easily surpassed. Since 
his death M* J. I. Craie (of Emmanuel College) and M* M. J. Berry 
(of Trinity College) have rendered and are rendering valuable help. 1 
have besides done a great deal of computing myself. ' 

The reader will see that the figures have been admirably rendered 
by M' Epwin Wicsox of Cambridge, and I only regret that it has not 
seemed expedient to give them on a larger scale. 

The first part of the paper is devoted to the mathematical methods 
employed, the second part contains the discussion of the results, and the 
tables of numerical results are relegated to an Appendix. 


! About two thirds of the expense of these computations have been met by grants 
from the Government Grant and Donation Funds of the Royal Society. 








102 G. H. Darwin. 


PART. I. 


8 2. Equations of motion. 


The particular ease of the problem of the three bodies, considered 
in this paper, is where the mass of the third body is infinitesimal com- 
pared with that of either of the two others which revolve about one 
another in circles, and where the whole motion takes place in one plane. 

For the sake of brevity the largest body will be called the Sun, 
the planet which moves round it will be called Jove, and the third 
body will be called the planet or the satellite, as the case may be. 

Jove J, of unit mass, moves round the Sun S, of mass v, in a 
circle of unit radius SJ, and the orbit to be considered is that of an 
infinitesimal body P moving in the plane of Jove's orbit. 

Let S be the origin of rectangular axes; let SJ be the x axis, and 
let the y axis be such that a rotation from x to y is consentaneous with 
the orbital motion of J. Let 2, y be the heliocentric coordinates of P 
so that z— 1,7 are the jovicentric coordinates referred to the same x 
axis and a parallel y axis. 

Let r denote SP, and 0 the angle JSP; let p denote JP, and let 
the angle SJP be 180°— 9. Thus r, 0 are the polar heliocentric co- 


? 


ordinates, and p , the polar jovicentric coordinates of P. 
Let » denote Jove's orbital angular velocity, so that in accordance 
with Kerter’s law 
n? = y + 1. 


The equations of motion of a particle referred to axes rotating with 
angular velocity w, under the influence of forces whose potential is U, are 


d (dX 
Tum 


d /dY A, 'd X 
di dt + oX) "2-09 (or) a 
where ¢ is the time. 
Now in the present problem, if the origin be taken at the centre 
of inertia of the Sun and Jove with SJ for the X axis, the coordinates 








Periodie Orbits. 103 


of P are m r=. @ Also the potential function is + -. 
M, 


Hence the equations of motion are 





d’x dy I Per fyes I 
apo gy o re eur: 
nn (Wd eei 
Im ei x =, (+): 
But 7? =2’?+y’, p? — (2 — 1)? -- y. Hence if we put 
eae UN T Bg y 
(1) 20— (1 + *) + (o +), 
the equations of motion may be written 
d*x d dy a2 
2 dt? un oam" 
(1) NOY eee 
d*y ED C9 
et db aye 


where n° — y + 1. 
Let the second of (1) be multiplied by A dr? and the third by 2 


let the two be added together and integrated, and we have ligo 
integral 


(2) : v - (5) + (44) =28-¢, 


where C is a constant, and V denotes the velocity of P relatively to 
the rotating axes. | 
Let s be the are of the planet’s relative orbit measured from any 
fixed point, and let g be the inclination to the x axis of the outward 
normal of the orbit. Then 
dz * dy 


\ 
—  — sın — =cos¢, 
di ?; di £ 





! It is perhaps worth noting that 22 may be written in the form 


v(r — y + >) at (p — "(1 +") + 3(v + 1). 





104 G. H. Darwin. 


Hence if P be the component of inward effective force, 


Ei uu Lo poma 
(3) —— S, COBY pono 


Therefore 
09 dy , 99 dx 
> ae VE Fer en SEE 
Ese 0æ dt dy dt 
Now if À denotes the radius of curvature at the point x,y, of the 
relative orbit of P, 
d’yde  d’ædy 


quee ge og a 


R 


dz\* dy\* 2 
a) + (ai) | 
On substituting for the second differentials from (1), we have 

V® oQde  99dy dæ\ ? dy\° 
a esee ee FR E | 
Hence by means of (2) and (3) 
(4) a asa ik 
If the value of 2 in (1) be substituted in (3) we easily find 


i (5 —7) cos (p — 6) + (ar) cos (p — 9), 


rails) + (+20 


Thus the curvature at any point of the orbit is expressible in terms of 
the coordinates and of the direction of the normal. If s,,¢,,%.¥ > t, 
be the initial values of the same quantities, it is clear that 








Periodie Orbits. 105 
"ds 

Q IL l RO 

= — J sin g ds, 


b 
Y=Y, + feose ds, 
Lj 


n(t — t,) = E ds. 


Also the polar coordinates of P relatively to axes fixed in space with 
heliocentric origin are r, 0 4- n(f—1,), and with jovicentrie origin are 
p, o A n(t— 1). 

Hence the determination of æ and y involves in each case two inte- 
grations, and another integration is necessary to find the time, and the 
orbit in space. 


8 3. Partition of relative space according to the value of the 
relative energy.’ 


It may be easily shown that the function 2 arises from three 
sources, and that it is the sum of the rotation potential, the potential 
of the Sun and the disturbing function for motion relatively to the Sun. 
Hence 2 is the potential of the system, inclusive of the rotation po- 
tential. Thus the equation V* = 22—C may be called the equation 
of relative energy. 

' — For a real motion of the planet V? must be positive, and therefore 
22 must be greater than C. Accordingly the planet can never cross 
the curve represented by 24 — C, and if this curve has a closed branch 


' A somewhat similar investigation is contained in a paper by M. BonriN, Acta 
Math. T. 10, p. 109 (1887). The author takes the Sun as a fixed centre, which is 
equivalent to taking the Sun's mass as very large eompared with that of Jove; he thus 
fails to obtain the function 2 in the symmetrical form used above. 

Acta mathematica. 21. Imprimé le 21 juillet 1897. 14 





106 G. H. Darwin. 


with P inside, it must always remain inside; or if P be outside, it must 
always remain so. 

This is M" Hırr’s result in his celebrated memoir! on the Lunar 
Theory, save that the value of 2 used here has not been reduced to 
an approximate form. 

We shall now proceed to a consideration of the family of curves 
20 — C. That is to say we shall find, for a given value of C, the locus 
of points for which the three bodies may move for an instant as parts 
of a single rigid body. We are clearly at the same time finding the 
curves of constant velocity relatively to the moving axes for other 
values of C. 

For any given value of p, the values of r are the roots of the 
cubic equation i 

2 s 2 
"pocos pts. 
If C' be written for the value of the right hand of this equation, the 


cubic becomes 
r? — C'r -- 2 — 0. 


The solution is 





I A UE 
yr — 2\/-C’cosa, where cos 3a — — 0’ * 27. 
3 : 


In order that « may be a real angle, such a value of must be assumed 


that C’ may be greater than 3, or p M less than C — 3». The lim- 
Y p 


iting form of this last inequality is 9° += — C — 3», a cubic of the 
x P 


same form as before. Hence it follows that C — 3» must be greater 
than 3. Thus the minimum value of C is 3(» + 1). 
With C greater than 3(» + 1), let # be the smallest positive angle 


NE - E 
such that cos35 — C' *\/27. Then f$ is clearly less than 30°, and the 
three roots of the cubic are 





2 v: C'cos(60? + ff), —2 V: C' cos B. 


“Amer. Journ. of Math. Vol. I, pp. 5—29. 











Periodic Orbits. 107 


The third of these roots is essentially negative, and may be omitted as 
not corresponding to a geometrical solution. But the first two roots are 
positive and will give a real geometrical meaning to the solution provided 
thatiifi o>, | 

tog EU 


E re 
and if oe L, 
JESUS eut 


N deer] a 


In some cases there are two solutions, in others one and in others none. 
By the solution of a number of cubie equations I have found a 
number of values of r, which satisfy 249 — C, and have thus traced 
the curves in Fig. 1, to the consideration of which I shall return below. 
Some idea of the nature of the family of curves may be derived 
from general considerations; for when r and p are small the equation 


. : 2y 2 . . : 
approximates to — +-—=(, and the curves are like the equipotentials 
; T p 


due to two attractive particles of masses 2» and 2. 

Thus for large values of C they are closed ovals round S and J, 
the one round S being the larger. As C declines the ovals swell and 
coalesce into a figure-of-8, which then assumes the form of an hour-glass 
with a gradually thickening neck. 

When on the other hand r and po are large the equation approxi- 
mates to vr? + o? — C, and this represents an oval enclosing both S and 
J, which decreases in size as C decreases. 

It is thus clear by general reasoning that for large values of C the 
curve consists of two closed branches round S and J respectively, and 
of a third closed branch round both S and J. The spaces within which 
the velocity of the planet is real are inside of either of the smaller ovals, 
and outside of the larger one. Since the larger oval shrinks and the 
hour-glass swells, as C declines, a stage will be reached when the two 
curves meet and coalesce. This first occurs at the end of the small 
bulb of the hour-glass which encloses J. The curve is then shaped 
like a horse-shoe, but is narrow. at the toe and broad at the two points. 








108 G. H. Darwin. 


For still smaller values of C, the horse-shoe narrows to nothing 
at the toe, and breaks into two elongated pieces. These elongated pieces, 
one on each side of SJ, then shrink quickly in length and slowly in 
breadth, until they contract to two points when C reaches its minimum. 

This sketch of the sequence of changes shows that there are four 
critical stages in the history of the curves, 

(a) when the internal ovals coalesce to a figure-of-8; 

(3) when the small end of the hour-glass coalesces with the ex- 

ternal oval; 

(7) when the horse-shoe breaks; 

(0) when the halves of the broken shoe shrink to points. 

The points of coalescence and rupture in (a), (8), (7) are obviously 
on the line SJ (produced either way), and the points in (9) are symme- 
trically situated on each side of SJ. 

We must now consider the physical meaning of the critical points, 
and show how to determine their positions. 

Iu the first three cases the condition which enables us to find the critical 
point is that a certain equation derived from 2 29— C shall have equal roots. 

(a) The coalescence into a figure-of-8 must occur between S and J; 
hence 7 — 1 — p, and 249 — C becomes 


2 





\ 2 : 2 2 ’ 
(6) »| (ep) + lp ee. 


08 
This equation must have equal roots. Accordingly by differentiation we 
find that must satisfy, 

y I 


= 


O, 
Ne) 


or 


we er 2)o + (Vo eee ey 


a quintic equation from which p may be found. 
This equation may be put in the form, 





+ MÀ. 





Periodie Orbits. 109 


When the Sun is large compared with Jove » is large, and 9 is ob- 
viously small, and we have approximately 


; 2 I 

| ee 
whence | 
I 


(7) p= 


(av 38) 4 
If this value of p.be substituted in (6) we obtain the approximate result 


(8) Be la). 


m 


In this paper the value adopted for » is 10, and the approximate formule 


(7) and (8) give 
—#20779, y — 71221, C — 40-0693. 


The correct results derived from the quintie equation and from the full 
formula for C are 


- (9) p — 28249, Ener, NO 49 x82. 


Thus for even so small a value of » as 10, the approximation is near 
the truth, and for such cases as actually oceur in the solar system it 
would be accurate enough for every purpose. 


: 2 : ; 99 
The formula from which p has been derived is equivalent to ar rh 


20 vf Le 
and since y — o, we have also un Hence the point is one of zero 
y 


effective force at which the planet may revolve without motion rela- 
tively to the Sun and Jove. 

This position of conjunction between the two larger bodies is ob- 
viously one of dynamical instability. 

(8) The coalescence of the hour-glass with the external oval must 
occur at a point in SJ produced beyond J; hence r= 1 +», and 
22 = C becomes 


Ba creer =o 





110 G. H. Darwin. 


This equation must have equal roots, and o must satisfy 


»(1 Tg) i gor rio 


or 
Brett ae — p^ 20 10. 
This quintic equation may be written in the form 
neds) 
Grieg) ID EIRE 
iP DE FUR 


With the same approximation as in (a) 


(10) paco ne Fr 


2y 


EURE ON 





(11) C= 31 — + 3(3» + 1). 


When » is 10, the approximate formulæ (10), (11) give 
= "35612, y —— p eis: C= 35.7700, 

The correct results derived from the quintic equation are 

(12) pes GOO, OE E 247200: U — 0 S700: 


The approximation is not so good as in (a), but in such cases as actually 
occur in the solar system the formule (10), (11) would lead to a high 
degree of accuracy. 

This second critical point is another one at which the planet may 
revolve without motion relatively to the Sun and Jove, and such a motion 
is dynamically unstable. 

(p The thinning of the toe of the horse-shoe to nothing must occur 
at a point in JS produced beyond 5S; hence p=r+1, and 20 — C 
becomes 





128 


M hee, 
ate. “re 








Periodie Orbits. 111 


This equation must have equal roots, and r must satisfy 


1 — 
(+ 1) . 


(r—;;) +(r +1) — 


or 
(» + 1)r* + (2v +3)" + (» + 3)? —»(r? + 2r + 1) — 6, 


a quintie for finding r. 
If we put r — 1 — £, the equation becomes 


(» 4-1) — (7» +8) E+ (10» + 25)&* — (24» +37) + (12» + 26)£— 7 — o. 


This equation may be solved by approximation, and the first approxima- 
tion, which is all that I shall consider, gives 


(13) {ey y= 





Thus the approximate solution is r — 1 — 


We also find 
(14) C —»(1—2£-F £4 2-rF25-42 28^.) p 4— 48 E RB Coe 


= 37+ 5—ZEt (see. 


If we take only the term in & in (14), and put » — 10 the approximate 
result is | 


= 95205, p = 1'95205, C = 34°9012. 


The exact solution derived from the quintic equation is 


(15) r= "94603, p= 1'94693, C= 34'9054. 


With large values of » the first approximation would give nearly accurate 
results. This critical point is another one at which the three bodies may 
move round without relative ons but as before the motion is dyna- 
mically unstable. | 





112 G. H. Darwin. 
(2) The fourth and last critical position occurs when C is a minimum. 
s er aC 9C 
Now C is a minimum when co UM 
T. 0 
i 


C=3v+ 3. We arrived above at this minimum value of C from another 


— Os ÿwhence r — I, #— 1, and 


point of view. 

If an equilateral triangle be drawn on SJ, its vertex is at this 
fourth critical point; and since this vertex may be on either the positive 
or negative side of SJ, there are two points of this kind. 

It is well known that there is an exact solution of the problem of 
three bodies in which they stand at the corners of an equilateral tri- 
angle, which revolves with a uniform angular velocity. The motion is 
stable in this case. 

Thus all the five critical points correspond with particular exact 
solutions of the problem, and of these solutions three are unstable and 
the symmetrical pair is stable. 

Fig. 1 represents the critical curves of the family 22 = C, for the 
case y — 10. The points in the curves were determined, as explained 
above, by the solution of a number of cubic equations. I have only 
drawn the critical curves, because the addition of other members of the 
family would merely complicate the figure. 

An important classification of orbits may be derived from this 
figure. When C is greater than 40'1821 the third body must be either 
a superior planet moving outside of the large oval, or an inferior planet 
moving inside of the larger internal oval, or a satellite moving inside 
the smaller internal oval; and it can never exchange one of these parts 
for either of the other two. The limiting case C= 40:1821 gives su- 
perior limits to the radii vectores of inferior planets and of satellites, 
which cannot sever their connections with their primaries. 

When © is less than 40:1821 but greater than 38:8760, the third 
body may be a superior planet, or an inferior planet or satellite, or a body 
which moves in an orbit which partakes of the two latter characteristics; 
but it can never pass from the first condition to any of the latter ones. 

When C is less than 38:8760 and greater than 34:9054, the body 
may move anywhere save inside of a region shaped like a horse-shoe. 
The distinction between the two sorts of planetary motion and the motion 
as a satellite ceases to exist, and if the body is started in any one of 





Periodic Orbits. . 113 


| these three ways it is possible for it to exchange the characteristics of 
its motion for either of the two other modes. 

When C is less than 349054 and greater than 33, the forbidden 

region consists of two strangely shaped portions of space on each side of 5J. 

Lastly when C is equal to 33, than which it cannot be less, the 

forbidden regions have shrunk to a pair of infinitely small closed curves 

enclosing the third angles of a pair of equilateral triangles erected on 


SJ as a base. 


J) 


SL-OF 





Fig.t 


8 4. A certain partition of space according to the nature of 
the curvature of the orbit. 


It appears from (4) of $ 2 that the curvature of an orbit is given by 


E 92 99 . 
— = P—2nV, where P= — 5, 6089 5, sin c. 
a : d 





R 


Now if V, denotes any constant velocity, the equation 22 — C + V? 
defines a curve of constant velocity; it is one of the family of curves 
considered in $ 3. We have seen that this family consists of a large 
oval enclosing two smaller ones, or of curves arising from the coalescence 
of ovals. In the mathematical sense of the term the »interior» of the 
curve of constant velocity consists of the space inside of either of the 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 26 juillet 1897. 15 


114 G. H. Darwin. 


smaller ovals or outside of the large one, or of the corresponding spaces 
when there is coalescence of ovals. It is a convenient and ordinary 
convention that when the circuit of a closed curve is described in a 
positive direction, the »interior» of the curve is on the left-hand side. 
According to this convention the meaning of the »inward» normal of one 
of these curves of constant velocity is clear, for it is directed towards 
the »interior». Similarly the inward normal of an orbit-is towards the 
left-hand side, as the body moves along its path. 


It is clear then that P is the component of effective force estimated 

along the inward normal of the orbit. Also if T be the resultant effec- 

2 \ 2 

tive force T° = (=) = (=) ; and if y be the angle between 7 and the 
inward normal to the orbit, P — T'cos y. | 


Hence 
2 


V E 
a — T cosy — 2nV. 


If we consider curvature as a quantity which may range from infinite 
positive to infinite negative, it- may be stated that of all the orbits 
passing through a given point the curvature is greatest for that orbit 
which is tangential to the curve of constant velocity, when the motion 
takes place in a positive direction along that curve. 


If y lies between +y,, where cosy, = = the orbit has positive 


curvature; if y = +y,, there is a point of contrary flexure in the orbit; 
and if y lies outside of the limits + y,, the curvature is negative. 








Periodie Orbits. 115 


If however 7 be less than 2nV, there are no orbits, passing through 
the point under consideration, which have positive curvature. Hence the 
equation T = 2nV defines a family of curves which separate the regions 
in which the curvature of orbits is necessarily negative, from those in 
which it may be positive. 

Since 


2 2 Q 90^. ^? 
fa E eyes 35205 d Bane Ing Gey dod] 
the equation T= 2nV becomes, 

Pr) E) + 2(5—r)(— a) cos 4) 
Yr 7 ut p 
= 46 +)» (+2) + (07 +2) —e}, 
Since 2rp cos (9 — d = r° + o! — 1, it may be written 


PIS I c En ; 
(16) P ") + (4-2 — 3°) 


i i 


+f (4-1) (5-1) + 0°—1)— 4o? +) - 8( +7) |+4ee+ e 


This equation is reducible to the sextic equation, 
(16) p" s(» + 1)r* + vr] 
+ p*[3»(» + 1) r* — (40 + 4C — »)r* + (107? + 95) r* — vr — y?] 
+ p*[(9v + 10)r*— vr] + e»r(1 — r?)(1— ?) — r* = o. 
It may also be written as a sextic in r, by interchanging r and 9 and 
by writing ! for y and C for C. 
i y y 


It would require a great deal of computation to trace the curves 
represented by (16), and for the present I have not thought it worth 
while to undertake the task. 

When however we adopt M' Hırr's approximate value for the po- 
tential 2, the equation becomes so much simpler that it may be worth 
while to consider it further. 


116 G. H. Darwin. 


If m,a,n be the mass, distance from Sun and orbital angular ve- 
locity of Jove, the expression for 2 reduces to 


5 BER PR RN 
ee a) + 5n'a. 


The last term is constant, so that if C be replaced by C,, where 
C, = C— 3n'a?, we may omit the last term in 2 and use C, in place of C. 
Now taking units of length and time such that m — 1, » — 1; also 
writing £ — (r— a), x —y; we have 


(17) blot PARA CEP 


a8). ' \an p 


9QV* , /a2\? 2 I 
r=-(2)+(2)=3(3-,)® +5. 
(c) bloc ets Ae 

Hence the equation (16) becomes | 


3(3 = EE: = 4C E Aa c,), 


or 
£2 2 E Y 2 =) 
— | = — pe —— |]. 
(ug e(t) it SE mer; 


Since €=pcosd, the polar equation to the curve is 


2 I 
Fe tuns) 
R A ins ( C, AAC, e* 
(18) cos” d = SUUS SON 


M' Hinr's curve 29 — C, gives 





(19) 4 or 
| cos? =: ( —z). 
3 3 


lt is clear that the two curves present similar characteristics, but the 
former is the more complicated one. ! | 





Periodic Orbits. 117 





The asymptotes of (18) are £— +2 ve C, ^ whilst those of (19) 


are €= + VE 0). 


Again to find where the curves cut the positive half of the axis of 
7, we put €=0, p =» and find that (18) becomes 

re m dr 
(20) 7j Gs 7 == 4C, Kt Oo, 
whilst (19) becomes simply » — T 
The condition that (20) shall have equal roots is = 2 or 


2 


E. ie Bat 6, — 2__-_, and therefore C = 
: 3 7 47 


42 


RES 


The quartic for 7 has two real roots if €, is less than I or 


d 23 
18899, but no real roots if it is greater than this value. 
It is easy to show that when the roots are real, one is greater than 





and the other less than A . 
It follows that if C, is greater than 1°8899 the curve does not cut 
the axis of 7, but if less it does so twice. 

To find the critical values of C, in the case of M° Hırr's curve 
(19), we put (as in $ 3) x — o and therefore p = &, and we then find 
the condition that the equation shall have equal roots. 


Now with o — £, (19) becomes 


2 PE 
= 3% 36 
| 2 4 
This has equal roots when § = T Hence €, = 3£° + == 2 — 43209, 


3° 

If C, be greater than 4°3267 the curve consists of an internal oval and 
of two asymptotic branches. With smaller values of C, the oval has 
coalesced with the two external branches. 

Following the same procedure with our curve (18), we have to 
find when 

2 4 Ro 
e( 8) -$(6— it i9) 


has equal roots. 








118 G. H. Darwin. 


The condition is that 35^ — 7£° + 2 = o, and the solutions are £?— 2, 


mee. 
SG FUR 
Now 
3 2 2 I 
ser + 
em el Red 
 Henee when 
o Qe C Se 39 ET :86 i. 
e rcc ue» MT X 93; 





1 
8.95 
and when 


4 
=", 0,—3 = 43267. 


Thus there are three critical values of C,, viz: C, = 1:8899, which 
separates the curves which do from those which do not intersect the. 
axis of 7; C, = 3:8693 when two branches coalesce; and Cy = 4,3267 
when two branches again coalesce. The last is also a critical value of 
C, in the case of M* Hırr's curve. 

It would seem then that if these curves were traced for the values 
C,=1°5,3,4,5 a good idea might be obtained of their character, but 
I have not yet undertaken the task. 


§ 5. Formule of interpolation and quadrature. 


The object of this paper is to search for periodic orbits, but no 
general method has been as yet discovered by which they may be traced. 
I have therefore been compelled to employ a laborious method of tracing 
orbits by quadratures, and of finding the periodic orbits by trial. The 
formule of integration used in this process will now be exhibited. 

According to the usual notation of the calculus of finite differences, 
4, i$ to denote a function of x, and the operators E and A are de- 
fined by 
Hy, — Au, = U,4,;— U, —(E— ı)u,. 

d 
It is obvious that E =e”, where e is the base of Napierian logarithms, 
and that E*u, = u,. 








Periodie Orbits. 119 


In most of the work, as it presents itself in this investigation, the series 


Bl ivalues 12.94, ., €, 1, €, are known, but #,,1,%,::,... arefas yet 
unknown. 
Now 

E=1ı+A=(1—- AE')" 

and 
2 z. MEAN —1\— 

u, = Eu = (1— AE") *u,, 

so that 


a(#+1) 
ER 


Az cm A'E-"+...)u, 


In the course of the work occasion will arise for finding uli by inter- 


D X = + 2A E" + —— 


polation; putting then z = —; in (21), we have 
Q2) w- 


(1 CC A! Att Apr 3 A4g-a 7 AB...) 
2 8 16 128 256 = 


In a subsequent section the two following well-known formulæ of inter- 
q LLC g 
polation will be of service, 


(23) „+2 za + am) 4 Zar 








ee > (A + AME) at... lu, 
(23) «m [resa + = (A*+ ATE-) 
I 
z(r—1)| e— - 
À ei ni og (AE + A EI Je o* 


Of these formule the first is the better when the interpolated value of 


; I I 
u, lies between x = 3 and «= + zi and the second is the better when 


it lies between x = + and x = + ji 








120 G. H. Darwin. 
In order to obtain a formula of integration we require to prove that 


1 
= > (We ar 
r=0 j ^" 





where v? denotes the factorial e(v — 1)...(v — r 4- 1). 
This is easily proved as follows: — 
1 


v log (1—e) 1 ET 
JG — a) de =| A dm = wi |= log (1 Er | 


0 


But 


If the last two forms of this integral be equated to one another, we 
obtain the required formula. 
Now 
ghe cop AR 
and therefore 


d 
FE = — log (1 = KE, 


Hence 
1 


dw (r) 
Lar M = Eys Ze met 


0 


If the definite integrals on the right hand side be evaluated, we find 





dz = (A7E— 2— AB" — 2 A!E?— 79 we 
0 728 
4 863 5m-5 
— A!E^ — goo A EC Jo — uw) 


Since A^! contains an arbitrary constant we may choose 


T 1 1 I 
(24) A My 5s Au. An EP ES Ws d... 








Periodie Orbits. 121 


and we then have as our formula of integration, 





n 
- ] ‘ 
(24) Ji u. A ur u al m ACC. 
0 _ PA u 2 
DO E 3 | 863 : 
as ies UNE lu ZI 
720 a 160 a Un 60480 A un; 


This is the most convenient formula of integration when only the inte- 
gral from n to o is wanted, and the integrals from » — 1 to o, n — 2 
to O, etc. are not also wanted. But in the greater part of the work the 
intermediate integrals are also required. Now on applying the operator 
A to (24), we have 

n+1 


I Be ARE 19 
(25) fi p10 = Wu Au,— 7A Un — 7; À in, An. 


n 


If this be added to the integral from n to o we have the integral from 
n + 1 to o. | | 

I have found that a table of integration may be conveniently 
arranged as follows: 

Let us suppose that the integral from #— 1 to Oo has been already 
found, and that the integral from » to o is required; write w, and its difte- 


à : ) I 
rences Aw, ,, A*w, ,, A’u,_, in vertical column; below write eta hey 


12 
multiply the last sum by the common difference Az, and the result is 


the integral from » to »— 1; add to this the integral from n— 1 to o, 
and the result is the required integral from » to zero. 

Thus each integration requires 13 lines of a vertical column, and 
the successive columns follow one another, headed by the value of the 
independent variable to which it applies. | 

A similar schedule would apply when the formula (24) is used; 
but when the initial value of A’ has been so chosen as to AS the 
vanishing of the integral from o to o, the final value of AT’ is to be 
found by adding to it the successive ws, so that the intermediate columns 


need not be written down. 
Acta mathematica. 21. Imprimé le 29 juillet 1897. 16 


21 Een 
—— A!u, ,, ——A*u,_,, and add them together; add «, to the last: 
24 2 ; 








122 G. H. Darwin. 


When the successive values of w depend on their precursors, it is 
necessary at the first stage to take Aw small, because in the first inte- 
gration it is only possible to take the first difference into account. At 
the second stage the second difference may be included and at the third 
the third difference. 

But in almost every case I begin integration with such a value of 
the independent variable (say x — o), that we either have w, an even 
function of æ, or an odd function of x; in the first case w, — u_,, in 
the second 4,-— — « ,. Both these cases present special advantages for 
the commencement of integration, for in the first integration we may 
take second differences into account. "Thus when «, is an even function, 
the second difference involved in the table of integration from 1 to o is 
2Au,; and when w, is an odd function it is zero. In both cases third 


differences may be included in the second integration. 


It is of course desirable to use the largest value of the increment 
of the independent variable consistent with adequate accuracy. If at any 
stage of the work it appears by the smallness of the second and third 
differences involved in the integrals, that longer steps may safely be 
employed, it is easy to double the value of Az, by forming a new 
difference table with omission of alternate entries amongst the values 
already computed. Thus if the change is to be made at the stage 
where z — 5», the new difference table will be formed from uu, ,,w, 5, 


u.; and thereafter Az will have double its previous value. 


n5 

When on the other hand it appears by the growth of the second 
and third differences that Az is becoming too large, Az can be halved, 
and the new difference table must be formed by interpolation. The 


formula (22) enables us to find w, ; from w,, w, 4, t 93... with suffi- 
2 
cient accuracy for the purpose of obtaining the differences of Ws gs Un) 


U,_1 » Une The process of halving the value of Az is therefore similar 


Hn-— 
2 


to that of doubling it. 

In some of the curves which I have to trace there are sharp bends 
or quasi-cusps, and in these cases the process is very tedious. It is 
sometimes necessary to repeatedly halve the increments of the independent 
variable, which is the are s of the curve. Thus if (s) denotes the func- 
tion of the are to be integrated, and if s be the value of the are at 





ns 


Periodie Orbits. 123 
the point where the curvature begins to increase with great rapidity, 
and if 9 be the previous increment of arc; then in integrating (s) from 


9t ; {y 
s to s+-0, the difference table is to be formed from (s — 9), (s — - à) ; 
er 


Dim 


(s), the middle one of these three being an interpolated value. At the 


next step (s) has to be integrated from s + -9 to s +26, and the dif- 
2 4 


D | = 


J . » . : / J I \ L 

ference table is formed from (s), (s+ 19) ; (s+ 5°), the middle term 
being again an interpolation. This process may clearly be employed over 
and over aguin. In some of the curves traced the increment of are has 
been 32 times less in one part than in another. 


But the chief difficulty about these quasi-cusps arises when they are 
past, and when it is time to double the arc again. For the fact that 
the earlier values of the function to be used in the more open ranked 
difference tables are thrown back nearly to the cusp or even beyond it, 
makes the higher differences very large. Now the correctness of the 
formula of integration depends on the correctness of the hypothesis that 
an algebraic curve will give a good approximation to actuality. But 
in the neighbourhood of a quasi-cusp, and with increasing ares this is 
fur from correct. I have found then that in these cases of doubling 
the are, a better result is obtained in the first and second integration 
by only including the second difference in the table of integration. 


If we are tracing one member of a family of curves which are 
widely spaced throughout the greater part of their courses, but in one 
region are closely crowded into quasi-cusps, it is difficult to follow one 
member of the family through the crowded region, and on emerging 
from the region we shall probably find ourselves tracing a closely 
neighbouring member, and not the original one. I have applied the 
method to trace the curve drawn by a point attached to a circle at nine- 
tenths of its radius from the centre, as the circle rolls along a straight 
line. After the passage of the quasi-cusp I found that I was no longer 
exactly pursuing the correct line; nevertheless on a figure of the size 
of this page the difference between the two lines would be barely discern- 
ible. But the orbits which it is my object to trace do not quite resemble 
this case, since their cusps do not lie crowded together in one region 








124 G. H. Darwin. 


of space. I believe therefore that these cases have been treated with 
substantial accuracy. 7 

Another procedure has however been occasionally employed which 
I shall explain in § 7. 


§ 6. On the method of tracing a curve from its curvature. 


It will be supposed that the curve to be traced is symmetrical 
with respect to the x axis, and starts at right angles to it so that 
L=2,, y=O0, 9—0, s=o. This is not a necessary condition for the 
use of the method, but it appears from $ 5 that the start is thus 
rendered somewhat easier than would be the case otherwise. The curva- 
ture at each point of the curve is supposed to be a known function of 
the coordinates x,y of the point, and of the direction of the normal 


defined by the angle c. 


The first step is to compute the initial curvature g it is then 
: 0 

necessary to choose such a value for the increment of arc és as will give 
the requisite degree of accuracy. 

I have found that it is well to take, as a rule, ds of such a size that 
N 
Os pp 
z;- shall not be greater than about 8°; but later, when all the differences 
in the tables of integration have come into use, I allow the increments 
of ç to increase to about 12°. 

It is obvious that the curvature is even, when considered as a 
function of s. When nothing further is known of the nature of the 
curve, it is necessary to assume that the curvature is constant throughout 


the first arc ds, but it is often possible to make a conjecture that the 
: I j 
curvature at the end of the arc ds will be say. By the formula 
"E 


of integration with first and second differences we then compute ¢ = e, 
at the end of the arc, by the first of equations (5) in $ 2. 

With this value of e we find sing, ,cose,, and observing that 
sing, — O, co8g, — I, we compute x, ,%, by means of the second and 
third of (5), using first and second differences. 





e 


Periodie Orbits. 125 


We next compute with these values of «,y, and if it agrees 


R, 
with the conjecture the work is done; and if not so, the work is repeated 
until there is agreement between the initial and final values of the 
curvature. 

After the first arc, a second is computed, and higher differences are 
introduced into the tables of integration. .We thus proceed by steps 
along the curve. 

The approximation to the final result is usually so rapid, that in 
the recalculation it commonly suffices to note the changes in the last 
significant figure of the numbers involved in the original computation, 
without rewriting the whole. 

The correction of the tables of integration is also very simple; for 
suppose that the first assumed value of the function to be integrated is w, 
and that the second approximation shows that it should have been # + du; 
then all the differences in the column of the table have to be augmented 


by du, and therefore the integral has to be augmented by 
I \ 
(mo dos 
2 


If we stop with third differences, this gives the simple rule that the 
integral is to augmented by g Ow 08. 


It has been shown in $ 5 how the chosen arc ds is to be increased or 
diminished according to the requirements of the case. 

This method is the numerical counterpart of the graphical process 
described by Lord Kzrviw in his Popular Lectures,’ but it is very much 


more accurate, and when the formula for the curvature is complex it is 


hardly if at all more laborious. In the present investigation it would have 
been far more troublesome to use the graphical method, with such care 
as to attain the requisite accuracy, than to follow the numerical method. 


y. 
In order to trace orbits I first computed auxiliary tables of r^ +=; 


and of log (5—) for r « 1, and, of log ma for r2 1; the tables 





Popular Lectures. vol. I, 2™ ed. DD: 31—42; Phil. Mag. vol. 34, 1892, pp. 
443 — 448. 


126 G. H. Darwin. 


extend from r=o to 1:5 at intervals of ‘001, but they will ultimately 
require further extension. 

The following schedule shows the arrangement for the computation 
of the curvature at any point. The table has been arranged so as to be 
as compact as possible, and is not in strictly logical order; for the cal- 
culation of V? should follow that of r,, but is entered at the foot 
of the first column. It will be observed that the calculation is in ac- 
cordance with the formula (4) of $ 2. 

L denotes logarithm and C denotes cologarithm; » the sun's mass 
is taken as 10, and L 2» = ‘8217, being L 2/11, a constant. The brackets 
indicate that the numbers so marked are to be added together. 


Schedule for computation of curvature. 


























e 2 — I 
2 y 
| Ly Ly 
lC C(z — 1) 
L tan 6 Ltang 
Ü ó 
Pans emp 
| L sec # | L sec d 
wer (Tate = 1) 
Li Lo 
1 p 
I 
Ed coe 
Lv eos (p — 0) L cos (p — 9) 
oy CF 
La Lb 
a [CV 
b IL2n 
2 2", 
(( +2) n 
= 2 2n 
| FA UM 
V?+C la + b 
y: ES 
R 





Periodie Orbits. 127 


The formule + = y cosec #, o = y cosec d are used, when the values 
of # or d show that these are the better forms. 

The tables of integration are kept on separate sheets in the forıns 
indicated in § 5. 

As the computation proceeds I keep tables of differences of x , y. 
£,r,p,V°’, and this check has been of immense advantage in deu 
ting errors. 

The auxiliary tables of logarithms are computed to s figures, but 
the last figure is not always correct to unity, and the fifth figure is prin- 
cipally of use in order to make correct interpolation possible. 

The conversion of & from circular measure to degrees and the values 
of sing and cose are obtained from Bottomley’s four-figured table. 

Most of the work has been done with these tables, but as it appears 
that the principal source of error lies in the determination of r and p, 
five-figured logarithms have generally been used in this part of the 
work, and the values of @ and & are written down to o''1 

In those parts of an orbit in which V? becomes small I have often 


ceased to use the auxiliary table for (+2); for since the auxiliary 
z : 


table of this function only contains four decimal places and since » is 
10, it follows that only three places are obtainable from the table, and 
of course there may be an error of unity or even of 2 in the last 
significant figure of V”. 

In order to test the method, I computed an | unperturbed elliptic 


2 I 


orbit by means of the curvature. The formule were =. 
1 


I P ' end ! 
E^pyr where P=7c0(p — 6), and the initial values were z, — 5, 
9g. —'0) 9, -— 0, $,—9. 

The curve described should be the ellipse of semiaxes 10 and 5,3, 


and x,y ought to satisfy the equation 


y + 5\° (2) =: 
| 10 ) T 5 V3 


I take the square root of the left hand side of this equation, with 
computed æ,y, as one measure of the error of position in the ellipse. 











128 G. H. Darwin. 


4 
24 





Again if tany = y ought to be identical with ¢; hence y — € 


z4-5' 
measures the error of the direction of motion. 


Lastly the area conserved h is 5/3 or 2:7386; but it is also 


Vr cos (p — 9), if the computation gives perfect results. Hence h — Vreos(g— 6) 
measures the error in the equable description of areas. The semi-period 
should be zy1000 or 99'346. 

The computations were made partly with five-figured and partly with 
four-figured logarithms, and the process followed the lines of iny other 
work very closely. 

The following table exhibits the results together with the errors. 
It will be observed that when s = 24 there is a sudden increase in the 


second column of errors but I have not been able to detect the arithme- 


tical mistake which is probably responsible for it. The accordance still 
remains so close, that it appeared to be a waste of time to work any 


longer at this example. 


Computed positions in an ellipse described under the action of a 


central force. 





em (tg h— Vrcos(e — 0) 


[aper 
PS 
el, 
o|+ 
e 
Sr 


8 x y 2 Zo 

o 5:0000 "0000 rele My o''o + ‘00000 ‘0000 
I 49337 '9971I 7e 37 +0'3 + 00002 ‘0000 
2 47364 1:9768 15° 8 +0'8 + ‘00005 —‘O001 
3 44137 2:9227 22 29' +0°3 + ‘00004 — 0001 
4 3:9749 3:8205 292.35 —0'3 + ‘00004 — 0002 
5 34304 476586 302423, 0 ‘o + 00004 —"0001 
6 27925 54281 429 +0'I + 00004 — 0001 
8 12843 67363 ER Si +0'2 — 00002 + 0001 
10 — “4567 77147 662,20; +1'0 — 00001 +'0002 
12 — 23497 a dpa 36 +0'6 ‘00000 + 0003 
14 — 43259 "6407 39 +01 — 00001 ‘0000 
16 — 63225 8°5845 go> S5. +0°4 + 00003 ‘0000 
18 — 82787 8.1823 106? 43' +0'6 c 'OOOIO + '0003 
20 —10°1305 7°4349 Oy Oe +0°8 +'00012 +'0003 
22 — 118051 673481 1282 47. +1°O + 00001 + ‘0004 
2 pe . . S I 19 , . e . 
RE ee o ior 
26 14° . o ! . . . 
2 — 14'2740 3'2456 155° 0 —o's +°00027 + 0001 
2 —14:6385 2:3151 162° 15' —0'5 + 00023 + 0003 
28 — 148808 13456 169° 43 —0'5 + ‘00021 +'0003 
3 se : 8 “€ 6 I , —0 -6 . . 
Ee o 0 vr Wen EE 
29:3546 | —15:0020 ‘0000 180% 1. +1'0 





Periodie Orbits. 129 | 


The last line-in the above table was found by interpolation. 

The computed values of the semiaxes of the ellipse (both involving 
interpolations) were found to be 10°0010 and ‘86604; their correct values 
are 10°0000 and :866026. The computed semiperiod (requiring another 
integration and interpolation) was found to be 99°346, agreeing with the 
correct value to the last place of decimals. 


Considering that a considerable part of the computation was done 
with four-figured tables, the accuracy shown in this table is surprising. 

This calculation is exactly comparable with the best of my calcu- 
lations of orbits, but there has been from time to time a good deal of 
variety in my procedure. My object has been throughout to cover a 
wide field with adequate accuracy rather than a far smaller one with 
scrupulous exactness, for economy of labour is of the greatest importance 
in so heavy a piece of work. I shall in the appendix generally indicate 
which are the more exact and which the less exact computations. I do 
not think it would in any case have been possible in the figures to show 
the difference between an exactly computed and a roughly computed 
curve, because the lines would be almost or quite indistinguishable on 
the scale of the plates of figures. This however might not be quite true 
of the orbits which have very sharp bends in them. 


S 7. Development in powers of the time; the form of cusps. 


In a few cases the quasi-cusps of orbits have been computed by 
means of series; the mode of development will therefore now be eon- 
sidered. 

If for brevity we write 
2n — m Bu NI 
— nm, dp zt 


the equations of motion (1) become 


du i 92 dv Y 92 
— = NV =— et — 
(26) dt Ae. «dé ov 
Acia mathematica. 20. Imprimé le 29 juillet 1897. 17 


130 G. H. Darwin. 


Now let | 
d'u 9 div 9 = 
TE ae oa a where i is O, I, 


DEF er 


Then total differentiation of a function of &,y,t or of æ,y,u,v is ex- 


pressed in terms of partial differentials as follows 


9 T) 
It is obvious that 5; B; ,,, and s performed on a function of z, y, 


but not of u,v, is ME D. 
If we TH uc AR (26) repeatedly with respect to the time, we > have 











(27) d'au 5 div (5 i90 dirty a au (De 
7 dpa a Ta) an — de ^ dt dy" 

20 TR | 
Now x and C are functions of x,y only, and not also of w, v; therefore 
in the last terms of these equations, 

[ when i= 1 S — D 
, dt 0? 
; d 
when i= 2, (5) = = D, + Dj, 


(5) =D. + 3D,D, + Di, 





(27) when 2— 3, 3i 
when i=4, (5) =D, + 4D,D, + 3Di + 6D,D, + Di, 
and so forth. 


The function & consists of two parts, one being a function of r, the 
other of o; if in the latter part we write & — (z— 1), 9 — y, 


Qa v a) IU Y) LS 


The partial differentials of 9 with respect to z,y may be regarded also 
as consisting of two parts viz. of the partial differentials with respect to 





wt f$ 


Periodie Orbits. 131 


I | D d 
z,y of z" (x y) de: and of the partial differentials with respect to 


n I ! 
Cy OF AS + 7”) Lr These two parts may be considered separately, 


since, except as regard the factor v, the one is the exact counterpart of 
the other. 


. itd I 
The partial differentials of ve‘ + y”) disappear after the first two 


y . . . 
orders, and those of „ are exactly those functions which occur in the 


theory of spherical harmonic analysis. 








Thus 
~~ — ^ cof, = — Sain 6; 
21 =4 (3 cos 0— 1) x7 = + sin cos, 
os = (3 sin? 9 — 1); 
= - = 7 (3 cos 0 — 5 cos? 6), ies = = > (sin 0 — 5 sin 0 cos? 6), 
E —= (cos — 5 cos 0 sin? 6), Mr (3 sin 0 — 5 sin‘ 6); 


and so forth. 

It thus appears that the calculation of the successive differentials 
of u,v with regard to the time is easy, although laborious. These diffe- 
rentials, when appropriately divided by the factorials of 1,2,3,4 etc. 
are the successive coefficients of the powers of the time in the develop- 
ments of æ,y. If the series for z,y be differentiated, we obtain those 
for u,v. 

The Jacobian integral is useful as a control to the applicability of 
the series; for the square of the velocity corresponding to any position 
computed from the series for x and y should agree with the value of 
u”+v” as computed from the series for w und v. 

The computation of an orbit by series is however so tedious, that 
I have made very little use of this method. 








133 G. H, Darwin. 


I have also obtained a less extended development for x, y in terms 
of powers of the are of the orbit, but the formule are so cumbrous as 
to be of little service. 

The development in powers of the time becomes much less laborious 
if we start from a point in the curve of zero velocity, and in this case 
the symbols D, may be replaced by their full expressions in terms of the 
partial differentials of 2. But is does not seem worth while to give 
these special forms, except as regard the first two terms. 

If we have initially =x,, y=y,, u=0,v=o, D, and all its 
powers vanish, and ‘ 





du 29 dv 2 29 
dt PM dt ee dy’ 
d’u SM 29 d'v | Re 92 
dt? ay? dt? x 


Hence as far as the cube of the time, 





1,499 , 01,4, 02 
E er ae d et TM 
y — y, ponte 


These may be written 





92 2, 1 
on) Ke Uc 3 s mT”, 
2 99 I1 
(v To) + (y n se T*, 





um L (80V (ay? 
where T° = (=) + e) : 


By elimination of ¢, and substitution of 2n for m, we obtain the 
equation to the cusp, 


29 927° 92 927° 
8n?] (x = %) 57 - 9—9);. | PT en), un. / 


The cusp is therefore a semicubical parabola, with the tangent at the 
cusp normal to the curve 29 = C. | 





Bep 


Periodie Orbits. 133 


8 S. Variation of orbit. 


The object of this paper is not only to discover periodic orbits but 
also to consider their stability. 

Now the stability of a periodic orbit is determinable by discovering 
whether the motion is oscillatory or not, when the path varies by in- 
finitely little from that of the periodic orbit. The variation of an orbit 
may be of two kinds, for the constant of relative energy may be varied, 
or the planet may be displaced from the periodic orbit. 

Suppose that the constant C undergoes a small variation and be- 
comes C +0C; then there must be a periodic orbit, corresponding to 
C+ 0C, which differs by very little from that corresponding to C. 

- Now if a planet be moving in a periodic orbit, and if C suddenly 
becomes C+ 8C, we may henceforth refer the motion to the varied 
periodie orbit, and may consider the constant of relative energy as 
C+ dC and invariable. The periodic orbit of reference then varies per 
saltum, but the instantaneous position of the planet is unvaried, and 
therefore the planet is now displaced from its orbit of reference. Hence 
the result of a variation of C will virtually be determined by regarding 
C as constant, and by supposing the planet to be displaced from the 
periodie orbit. This subject is considered in the present section. 

The whole of the following investigation is founded on the work 
of M' Hirt,’ but it is presented in a different form. 

If the Jacobian integral (2) be differentiated with respect to the 


: ; : da N dy : 

time, and if the equations er Vsing, = Vcose be used in the 
t 

result, we obtain 


dV : 92 29 
(28) re +- cos om 


Again if the first of the equations of motion (1) be multiplied by 


On the part of the motion of the moom's perigee etc. Acta Mathem. Vol. 8, 
pp. 1I— 36. i 








134 G. H. Darwin. 


— cose, and the second by — sing, and if the two be added together, 
the result may be written 


d 1 90 . ed 
sg 4; (V sing) — sing 7 (Vcosg) + 2nV = d ra 


Completing the differentiations on the left-hand side, we have 


do 20 2 
(29) r(& + 2n) = —cosp,_ —sing =. 


Let s be the arc of the orbit, and p the are of an orthogonal frajectory 
of the orbit, estimated in the direction of the outward normal of the 


orbit; then 


° 2 

2 = —sing = COS T 

BE Ga, nos Pe 
(30) : 3 

et sin 4p — 

°p ? Ox T ? oy 


Accordingly (28), (29) and the Jacobian integral become 


( | Y o9 
deg” 
(30) 7 (de )=-> 
V (5t + 2n ap" 
V? = 22— © 


The equations (30) are equivalent to (1) and (2). 
Now suppose that z,; are the coordinates of a point on an orbit, 


and that x + 0x, y + dy are the coordinates of a point on an adjacent 
orbit. Then if we put 


üp-— odxcosg + dysing, 
djs = — dx sing + dy cos e, 
dp, ds are the distances, measured along the outward normal and along 


the are of the unvaried orbit, from the original point x,y to the ae 


point «+ dx, y + oy. 
If, with x, y as origin, rectangular axes be drawn along the outward 


normal and along the arc of the unvaried orbit, we may regard dp, ds 





: 


Periodie Orbit. 135 
as the coordinates of the new re E Suis to the old one. The new 
axes rotate with angular velocity ^f tu n, the first term representing the 


angular velocity of the normal ds the second that of our original axes 
of 2 and y. 

The well-known formule for the component accelerations of a point 
along two directions, which instantaneously coincide with a pair of ro- 
tating rectangular axes by reference to which the position of the point 
is determined, give the accelerations 


"s „ dós (dp dy 
NE d n) EL VE a n) — 0s - Es , along the normal 





N À ddp (« Lo t : 
een as (ze = n) + 2 a (CE 4 n) + öp=— WP? along the tangent. 


These are the accelerations of the new point relatively to the old, esti- 
mated along lines fixed in space which coincide instantaneously with the 
normal and tangent of the unvaried orbit. 

The function 2 includes the potential of the rotation n of the original 


axes of x and y. Hence Wes is the true potential of the forces 


under which the body moves in the unvaried orbit, and 


2 H6 i. 9 I 
— (2— Ze’), (2— wv) 
op 2 ds 2 


are the components of force in the unvaried orbit along the normal and 





along the are. 
Therefore the excess of the forces in the varied orbit above those 


in the unvaried orbit are 


2 2 


an + 05 ?_\(@Q—!n?r?\ and (a E + 0) (2: nr) 
Res op? : TUE 2 : P ands as 2 


. . . . re) tt) . * 
Now by considering the meaning (30) of the operations LY it is 





easy to prove that 














136 G. H. Darwin. 


Hence the excess of the forces in the varied orbit above those in the 
unvaried orbit are 





along the normal and along the arc of the unvaried orbit. 

But these are necessarily equal to the accelerations (31) of which 
they are the cause. Then transferring —mn?dp, — n?ós to the left hand 
sides of the equations, we have 








TAN v. E^ de ; dos (de: . ay 
qp op + of» — (5 +n) |- 2 (3 pau) — 085% 

















BE Ogee à FOND 
= Pope ik opes 
(32) d* | d d dàp /d d* 
^ ^ c top [a : ^ D 
az O8 + as| n° — ( ab n) | + E (3E + n) + Dae 
20 . 99 
i Papas Tot eae | 


These are the equations of motion in the varied orbit. 
The variation of the last of (30), the Jacobian integral, gives 





d 29 . 29 
(33) Val aped 055. 


Now gV is the tangential velocity of the point «+ dx, y + dy in the 
varied orbit, relatively to the original point x ,y. But as we only want 
to consider a velocity relatively to the axes of z and y, which themselves 
rotate with angular velocity 5», our p,s axes must be regarded as 


: : : ip . | 
rotating with angular velocity B2 instead of = +n. 


Accordingly 
Sy d ^ D 
(34) 0 = 4,05 FIT 


Ths. , : 3 dedóz , dy doy 
[his may also be proved by putting POV — ec 


stituting for the differentials in terms of dp, ds,V,¢. 


and by sub- 





Periodie Orbits. 


137 
The formula (34) enables us to get rid of dV in (33) but we may 
also get rid of = and by means of the equations of motion (30). 
Thus the variation of the a integral leads to 
Y(z Os + op) = — v (2e + an p + TE ds. 


‘Therefore 


d [do I dV 
7,08 20p( 5 — n) — Fan Us 


(35) 


ra) + 2m +) = 


The equations (35) are two forms of the varied Jacobian inteeral 


€ 1 D . 
A great simplication of the equations of motion (32) is possible by 
reference to the unvaried motion 


Let us suppose then that dp, 2s are no longer displacements to a 
varied orbit, but are the actual displacements occurring in time X in 
the unvaried orbit. Thus dp =o, às — Vot 

The equations (32) then give 





dV (dg ee. 9'0 
—2 (atn nV; mn 
36 

) 3 d’V 


dg Xa 9*0 
iP + Vlr — (E n) |=} 
The first of (36) may be written 











d*y 0° 2 dV /de 
— + = —_ — n 
dee Tape) DV nr p 
[hese two terms, multiplied by ds, occur in the first of (32), which 
"may therefore be written 
d*àp ARP de u ]—2 E 
» x ap| m — (SE + na) | ET (e hs n) 


/ > 9:0 | 
T = = CE + n) ED, AES. 


Acia mathematica. 21. Imprimé le 9 août 1897 


18 








138 G. H. Darwin. 


The terms in this which involve ds may now be eliminated by the first 
of (35), and we have 





d*dp 2 de 13598 

ae torn en) ui +») ri dim x 
If then we put 

d E 02 
(37) 8—w b (SE n) mr 
we have ; - 
d'àp eh 
| qe + 8?» — o, 

(37) 


d /0sY- op (de un 
Is) epe) 0 
The differential equation for dp is M: His well-known result. 
We have now to consider the ER ie the function 6. 


Let us write gp aia eat, ae = FE then addin peut to each 
= ^ 9x ! ay? op! 5 op’ 


| = c 
side of the second of (36), we Md 


1 d’V e 9*0 2 
parte (tn) + = V 
so that 
: 2:0 d n ra) (T 
“a Eva + Ta) — 
Substituting in (37), 


6 = 2n? —V°2+ (E -— n) + a (Faz) + (Fn): 


d x Ré. Rus 
If we put u—z-4- yt, $—x — yt, 47D, where «= /— 1, it is easy 





to show that Du = Ve, Ds = — Ve“, and 
2 2 J^ 2 : 
ULLAM Ire UE. 3k (= rer 
dt Du Ds Vat Du Ds 


M: Hırr's form for the function 60 follows as once from these trans- 
formations. 





Periodic Orbits. | 
Another form for 6, deducible directly from (37) 
d Ei n fau qu s 190. 

0—n hd Q (= oy!) cos 2g EIU sin 2g + (4 on n) : 





whence 





8 9. Change of independent variable from time to arc of orbit 


For the purpose of future developments it is now necessary to 
change the independent variable from the time ¢ to the arc s 
Let 


(38) 


1 
| 0q = 0pV*. 
Then 


d*àp d d , e^ (y 3090 I 
di ua ra (r ds | VE )- 























Mia 
v.i TED UR E rm 
Epid uS pu ( ay u) 
ds? 2 1 ds y? ds 
But ; 
us (A m)- cim d (5) i ER (a) Be 
ds \pids, dt ‘y? dt / 2y? dt y? lt 
x 3 (=) n dV 
oy: ds id 
Hence 
| d*àp "E: 3 d'Oq 3 (=) S dq d°} 
dt? ds? AV? ds 8 dt? 
Also 
Où 
Hop = ae 


139 





ny m - A ne, TE 2 pe “ 
DP MEL EE. "etr an uoc AERA ae 
L M . $ . "s s n v ; ^ wr CHE 
| ; ULTRI Di EE,” 


140 G. H. Darwin. 


If these two be added together, and divided by yi, we obtain 


4 





d*à 
x =: V'àq 0, 
(39) where 
43 dcs cc Lu MA 
=> aie 2V* dt? C 
It remains to obtain the expression for the function V : 
Since : | 
= = and n?=y+1, 
4 V > 3°2 
A@=yt +3(q+") NO 


Now from the first of (30) and the second of (36), 





av _ 20 

ds X du 
1 dy V a me 
ral RR Tam 


Then by substitution in the second of (39), 


— — m — — 4. 


LATUM AU IE 








4 Ms | op” zo 
Also 
2:0: 7.22970" u 13°Q 
apt} oa a ee 


Now 29 — »(r* — 2) + (2° t) and 





9*0 y I 
as CH Ue oe + oe cos 8 + 008g, 
9°9 3v i 3 
2/905] dos + UE cos &, 
9*0 


eee ae re “sin? or 3 sin? g. 





Periodie Orbits. 141 














Hence 
V72= 20+ 1) +5 to 
and 
oon oO a9 x du. yap 
ap? DE Ge + A AN ere sah ANC 
E f y QM Neg 2 
xai sh, Leg mer COR (p — 8) + = cos* (p — d) 
Therefore 
(40) Pax (s + t) ass | = cos? — 8) + — cos? ( — 4) = E^ | 
2AR Y] aye a Bie eae cre 
Also since 
dV 02 Ain ee een _ 29 
ds 98 —— ? or P ay’ 
dV y fi AP py AM 
(40) Vus var) sin (e — 6) + 7 Ge) sin (p — 4). 


This completes the formula for V in terms of the coordinates, the velocity, 
the curvature and of c. 

It may be useful to obtain the expressions for ds and d¢ in terms 
of the new independent variable s. 

The second of (37) may be written down at once, namely 


d /ds 20q (1 n 
(a1) ar) +7) 


\ / 





Also it is clear from geometrical considerations that 


: d: Os 

CG. == a op + R , 
whence 
; i bos pddge ee ws ds 
(42) Pandit Es wx vas) | TR: 





142 G. H. Darwin. 


8 10. The solution of the differential equation for öq. 


The function ¥ has a definite value at each point of a periodic 
orbit whose complete arc is S. Therefore ¥ is a function of the arc s 
of the orbit, measured from any point therein, and when s has increased 
from zero to S, V has returned to its initial value. Also since a 
periodic orbit is symmetrical with respect to the a-axis, V' is an even 
function of the are s, when s is measured from an orthogonal intersec- 
tion of the orbit with the x-axis. If the periodic orbit only goes once 
round S or J, or round both, all the intersections with the z-axis are 
necessarily orthogonal I call such an orbit simply periodie, but the 
term must have its meaning extended so as to embrace the possibility 
of loops. But when there are loops all the intersections with the x-axis 
are not necessarily orthogonal, and if the orbit is only periodic after 
several revolutions some of the intersections cannot be orthogonal. 

With the understanding that s is measured from an orthogonal inter- 
section with the z-axis, ¥ is an even function of s and is expressible 
by the Fourier series 


ATS 


= + 245, cos À + 24, cos 5 +.... 





Now multiply the differential equation (39) for dq by Ln write o for 


78 rs bale 
7^, and put 9 — — V, and we have 
^N T 


dis 5 
(43) agi Od + Dog = o. 


= 0, + 20, cos 20 + 20, cos 40 +... 


If then we write (= €^, 


(44) | (cz) à, = ay, 





Periodic Orbits. 143 


where 0 — 2,0,77, the summation being taken from j= + to 
j= — co, and 4 , being equal to ®,. 
Let us assume as the solution of (44) 
dq = Z;[(b; + e_;) cos(c + 27)e + (bj —e_,) ÿ — 1 sin (c + 27e], 
= 2,[8,0°°" + eC ***]. 
The equation (44) must be separately satisfied for the terms involving b 
and for those involving e; hence we need only regard one series of terms. 


On substituting in (44) the assumed expression for 0g, and equating 
to zero the coefficients of.the several powers of £, we have 


b,(c+ 39)" = 2,b6,_;®,,' 
written 2» extenso this is 
CAT xu b; ,0, — b, , 0D, — b,[(e 2))! TES ®,] el. b, 0, == re D, Fe So O. 


There are an infinite number of equations like the above, but the in- 
finity must be regarded as an odd number. 
If from these equations the )'s be eliminated, we have an infinite 


determinantal equation for determining c. If we write 


the equation is 


Io! "m FE 
0, 19; , M = O. 


Sse COCO Ue 4^". ue ats wd A ins ela à « 6 © | 


This is the same in form as M' Hırr's determinantal equation. 


! The equation of condition for the e's is easily shown to be 
e —; (c + 2)) = à; ®_;; 


and since ®; = @_;, this is exactly the same as that for the b's save that e_, cor- 


responds with b;. 


144 . G. H. Darwin. 


As much has been written on the subject, it is unnecessary to 
reproduce the arguments by which it may be shown that if . 


[/] = D, — 47^, X 
and 

025,8 

eal Xu 

®, XML à 
(45) A= Secs [o] - Ic. fo] d ; 

D, ®, 

[t m] 


the solution of the determinantal equation is given by 
à | 


I I 
E perte Me ee 
(45) sin“. zc = Asin zy &,. 


8 11. On the stability or instability of an orbit. 


When c is real, 9g is expressible by a series of sines and cosines 
of multiples of the arc. Since V is an even function of the are, it is 
expressible by a series of.cosines of the same form as that for 9; hence 
dp, which is equal to VE 04, is expressible in a series, similar in form 
to that for dg. | 

But dp denotes normal displacement from the periodic orbit, and 
therefore the motion in the varied orbit is oscillatory with reference to 
the periodic orbit. In other words the periodic orbit is stable. 

If c, be any one value of c, all its infinite values are comprised 
in the formula +c, +2i, where i is an integer. It is however con- 


venient to choose one value of c as fundamental. When the choice has. 


been made we may refer to the terms in the series for gg of which the 
argument is c, as the principal terms, although it does not appear to 
be necessary that these terms should have the largest coefficients: In 





Se St te oe PD ZI eer era 


Periodie Orbits. 145 


fact since two arbitrary constants are involved in the specification of a 
definite variation of orbit, it is probable that the terms, which are nu- 
merically the most important in one variation, will not be so in another. 

If the body be considered as moving in an elliptie orbit, it will 
be at its pericentre or apocentre, when dp is a negative or positive 
maximum, respectively. The principal terms of dq, and therefore also 
CHS | 
Si 
principal term is also the most important, the body has passed through 


of dp, have the argument co or hence if we may assume that the 


wf 


X d. ; ; S 
a complete anomalistic circuit when s has increased from zero to 2—. 
€ 


Since S is the synodie arc in the relative orbit, 5¢ is the ratio of the 


anomalistic to the synodie arc, both arcs being measured on the orbit 
as drawn with reference to the moving axes. 
Now I propose to adopt as a convention that the fundamental value 


of c shall be that value which lies nearest to v 0, , where 4, denotes the 


0 ? 


: : ^ ] * I B 
mean value of ®. This convention certainly attributes to gc a physical 


meaning, which is correct in all those cases which have any resemblance 
to the motion of an actual satellite in the solar system. I shall accordingly 
use the value of c which lies nearest to /®, as fundamental. 

We have just arrived at a physical meaning for c by considering 
the principal term in the series; now in so doing we were in effect 
considering only the mean motion of the body with reference to the 


Der: "V 
moving axes; therefore „eis also the ratio of the synodic to the anomalistic 


period.” 
If 7 denotes the synodie period, the mean motion of the body 


. 3 i4 . 27 . dw 
referred to axes fixed in space is qr and if "s denotes the 
{ 


mean .angular velocity of the pericentre with reference to axes fixed in 





! It may be observed that when V is constant (as is the ease when we only 
consider mean motion) V?% = 60, and M" Hits equation for dp becomes identical with 
the present one for dy. It is well to remark that what I denote by e is 2c of M* Hirrs 
notation. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 23 aoüt 1897, 19 





146 G. H. Darwin. 


space, the mean motion of the body with reference to the pericentre is 


27 | dw 





T ae - Then, since angular velocities vary inversely as periods, 
27 daw 
I m dt. 
SY c-r — , where n"=»v-+ı. 
2 2z 
"m 
Therefore 


(46) 





M' Hrnr's e is equal to one half of my c, and accordingly the first of 
(46) is identical with the formula from which M* Hinr derives »a part 
of the motion of the lunar perigee».' 


N : : ; do 
The angular velocity of regression of the pericentre being N— Fey 


it follows from (46) that an(s¢— 1) is the amount of that regression 


with respect to the moving axes in the synodic period. 
Whilst the pericentre regredes with reference to the moving axes, 
it advances with reference to fixed axes; the advance in the synodic 


f 


. . r I . . . . 
period is nT — 2z( 56 — 3 and in the sidereal period the advance is 





27 
In the numerical treatment of stable periodie orbits I tabulate the 


1 I I 
apparent regression 27 BF Wl: and the actual advance nT — 27 ort 


= I 


2 à 
in the synodic period; also 27] 1 —- | the advance in the sidereal. 


period. 





!' Acta Mathem. vol. 8. 


LOO DEP AE u P AE Sc s u un Atri, V ye iir m uns a na 





| 
| 
| 





Periodic Orbits. 147 


Let us now consider the case where ¢ is imaginary, so that the 
motion is no longer oscillatory with respect to the periodic orbit, and 
the periodic orbit is unstable. 

The form of (45) shows that c becomes imaginary either when 


Asin*-z/@, is negative, or when it is greater than unity; this function 


will therefore be described below as the criterion of stability. 

If 4$, were negative it would indicate that the mean force of 
restitution towards the periodic orbit was negative. Hence it seems ob- 
vious that the body would then depart from the periodic orbit, which 
would therefore be unstable. If however A were negative as well as 
Q,, it would seem as if it were possible to have a real value for c; 
but it is not easy to see how this condition could lead to a stable orbit. 

I have not yet come on any case where ®, is negative and ac- 
cordingly that condition is left out of consideration for the present. We 
are left then with the two conditions, A negative or A sin? zy D, greater 
than unity; these lead to two kinds of instability. 

In instability of the first kind A is negative; for reasons which 
will appear below, I shall call this »even instability». 

In this case let us put 


A sin? TM D, Lp. 


D | es 


j jd 
so that (45) becomes sin2zc = + Dy—1. 
The sine in this case is hyperbolic, and if we write € — 2; +k / — t. 
sir . . > a I 
where ; is an integer, the equation for k becomes sinh - zk = + D. 


Since the values of c occur in pairs, equal in magnitude and opposite 
in sign, it is only necessary to consider the upper sign and the result 
may be written 

| A SUED EE D: 
(47) or 
| +- 


I shall return in $ 12 to the form of solution adapted to the case of 
yeven instability». 





148 G. H. Darwin. 
Turning to the instability of the second kind, which I shall call 


»uneven instability», we have 
. 2 I . 2 I 2 
sin^-zc = Asin’-z/®, = D”, 
2 2 
where D* is greater than unity, so that c is imaginary. 
The sine in this case also becomes a hyperbolic function, and if 
we write c = 2i+ t +ky/— 1, where i is an integer, we have 


SA "E. I 
sin - zc = (—)' cosh - zk, 
2 2 
a hyperbolie cosine. 
Hence 


‘cosh - zk = + D. 


I 
Taking only the upper sign as before, this may be written 


| d" — (D! — 1) E D, 
(48) or 
| = = log, [v(D?— 1) + D]. 


I shall return in $ 12 to the form of solution adapted to the case of 
»uneven instability», but I wish now to consider the nature of the transi- 
tions from instability to stability. 

Suppose that we are considering a family of periodie orbits, the 
members of which are determined by the continuous increase or decrease 


: Dey 
of the constant C of relative energy; and let us suppose that A sin*- VD,» 


being at first negative, increases and reaches the value zero. At the 
moment of the transition of this function from negative to positive, there 
is transition from even instability to stability. If on the other hand 
this function were positive and less than unity, and were to increase up 
to and beyond unity there would be a transition from stability to uneven 
instability. 

In all the cases of stability which I have investigated, except one,' 
the fundamental value of c lies between 2 and 3, and the apparent 





' The orbit in question is C = 40°0, z, = 1'0334; see Appendix. 





Periodie Orbits. 149 


regression of pericentre in the synodic period, namely am — 1), lies 
between o and 180°, these extreme values corresponding with transitional 
stages. 

It will now conduce to brevity to regard c as lying between 2 
and 3, instead of regarding it as a multiple-valued quantity. 

If we refer back to the form of solution assumed for the equation 
(44) we see that when c = 2, the solution is 
278 


oq fl (5, nF ci) 7 (b, "IDE AUN Di + 63) cos — 


S 


27:8 
7 y 
0 


+ (b, — 6, —6., 4 e)y— 1 sing 


and that when c = 3, it is 


àp— — (bea bs e)cos T + (by + eds 6)c087 


p | S 


a Kr : A 2. 326 
+ (b, —e_,—b, + e,) Wee I sin S + (by -— €, = DE, + es) Vie i sm “a .. 


In the first case it is clear that when s= S, dq has gone through a complete 
period and has returned to its initial value; but in the second case whilst 
öq is equal in value, it is opposite in sign to what it was at first. 

Consider then the first case where c = 2, and suppose that the body 
is displaced from the periodic orbit along the normal, at a conjunction. 
Then the body starts moving at right angles to the line of syzygies, 
and when s=S it has again returned to the same point, and is again 
moving at right angles to the line of syzygies. 

Hence it follows that we have found a new periodic orbit differing 
by infinitely little from the original one. Thus the original orbit is a 
double solution of the problem, and the interpretation to be put on the 
result c = 2 is, that we have found a periodic orbit which is a member 
of two distinct families. 


EN , * 1 q 
The A sin’-z/®, corresponding to our family of orbits has been 


- 


supposed to be increasing from a negative to a positive value; at the 
instant of transition the same function for the other family must also be 
passing through the value zero. 





150 G. H. Darwin. 


If C be the value of the constant of relative energy for the critical 
orbit which gives c = 2, there must be two orbits, infinitely near to one 
another, for which the constant is C — dC. 

If the orbits were classified according to values of the parameter 


A sin z y &,, instead of according to values of C, these two families 
would have to be regarded as a single family, and the critical stage 
would be that in which C reached a maximum or minimum value. 

But when the classification 1s according to values of C, we say that 
there are two families which coalesce at the critical value of C; it is 
also clear that, as the orbit we were following was unstable up to this 
critical value, the other must have been stable. | 

An interesting example of this will be found below, where the fa- 
milies of orbits B and C spring from a single orbit. 

Now reverting 


agaln to the question of the transition from instability 


ays | 41 
to stability, let us suppose that as the constant C varies, A sin’-_z/®,, 


being at first greater than unity, diminishes, passes through the value 
unity and continues diminishing. Then the orbit was at first unstable 
with uneven instability and € of the form 3+ /—1; it becomes stable 
at the critical stage with c less than 3. But there is now no real double 
solution at the moment of transition and no coalescence of families.! It 
is probable that there is coalescence with another family of imaginary 
orbits at this crisis, but I do not discuss this, since I am not looking at 
the subject from the point of view of the theory of differential equations. 
Accordingly in our figures of orbits there will be nothing to mark the 
transition from uneven instability to stability, and it will only be by 
the consideration of the function A sin? zy that we shall be aware 
of the change. 

The conclusions arrived at in this section seem to accord with those 
of M. Poixcaré in his Mécanique Céleste, who remarks that periodic 
orbits will disappear in pairs. 








* When I explained the results at which I have arrived to M. PoINCARÉ, he 
suggested that there may be coalescence between a doubly periodic orbit and a singly 
periodic one, when the two circuits of the former become identical with one another and 


with the latter. 





Periodie Orbits. . 151 


It is clear from this discussion that uneven instability can never 
graduate directly into even instability, but the transition must take place 
through a range of stability. 

But this last conclusion must not be held to be contradictory of a very 
remarkable method of transition, of which we shall find an example below. 

Suppose we have two independent orbits in either of which the body 
may move, and that as the constant of energy varies these two orbits 
approach until they have a common tangent. ‘Then when the constant 
of energy varies still further, we shall find only a single orbit replacing 
the two independent ones. Now we shall see reason to suppose that two 
independent orbits one of which is evenly unstable, and the other un- 
evenly unstable may fuse together so as to form an evenly unstable 
orbit. In this case we have, in some sense, a direct transition from 
uneven instability to even instability, without the interposition of stability. 
An example of this will be noted in § 18, where we shall find the satellite 
A fusing its orbit with the oscillatory orbit a and forming a figure-of-8 
orbit. 


§ 12. Modulus of instability, and form of solution. 


The cases of instability will now be considered. 
When the instability is of the first or even kind, we have 
€ — 2i + /—1, and 
| e^ = /D’+1)+D, 
(49) | 
| a RE TEE 


seg Tue cd 
where D' = — Asin^- zy 9. 


The solution of (44) was 


dq = X;[(b; + e_;) eos (c + 27)o + (b; 





e_)y— 1 sin(e + 27)o]. 
Now if we take the integer i involved in the expression for ¢ as zero, 

cos(¢ + 2/)o= coshka cos 27a — |—- 1 sinhkesin 2/a, 

ÿ— r sin (c + 2j)o = — sinh ko cos 2e + /— 1 cosh kasin 2je. 


Therefore when the sign of summation only runs from co to o, instead 


c 





152 G. H. Darwin. 


of to — co, and when 5, and e, are supposed to be the halves of their values 
when the summation ran from + co to — co, the solution may be written 


üq — 2 Icosh ke[(b; + e_; + b_; + e) cos 2j + (bj — e. — b_,+ e) — 18in 270] 
+ sinh ke[— /—1 (b; + e_; — 0.  — e)sin 2/0 — (b;—e_;+b_,-- 6) cos 2jo]]. 
Putting 
b; + b_;= B;, e 4-6 = E, 
00.5 Hof 1s Cag By m Ep T, : 


and writing the hyperbolic functions as exponentials, we have 


o) og = Xle“(E;cos 270 + e;sin 2jo) + €^" (B;cos 276 — sin 2jo)j.. 
5 t j j j j 


By means of (49) this may be written 
: i aute 
(50) üq = Zip? + 1) + D)* (E,cos 270 + e;sin 2jo) 


2c 


+ (VCD? + 1) — D)* (B;cos 2jo — [sin 2/0) l. 


In (50) it is not safe to assume that the most important term is that 
for which = 0; indeed this will usually not be the case. All that we 
know is that the series contains sines and cosines of even multiples of c, 
that one set of terms increases without limit and that the other set di- 
minishes. 

In the numerical treatment of unstable periodie orbits it will be 
well to have a modulus of the degree of instability; and these considera- 
tions afford a convenient means of obtaining such a modulus. 

This modulus may be taken to be the number of synodic revolu- 
tions in which the augmenting factor doubles its initial value; that is to 


say we are to put 
20 


e =[\(D + 1) + D] = 


Therefore 
PED se. log y2 ge 
(5%) S 7. log[y(b* + 1) + D] 


This is the modulus of instability, when it is of the even kind, 





Periodie Orbits. | 153 


A consideration of the form of the series for dg shows that it in- 
creases without limit, and that the planet or satellite crosses and re- 
crosses the periodie orbit an even number of times in a single circuit; 
it is on this account that I have called this »even instability». 

When the instability is of the second or uneven kind, we have 
c= 2i1-+1+k /—1, or if we take à as zero, c — 1 + k/— 1; also 


(52) | e = D + \(D?—1), 
52 
| "= D—\(D?—1), 


where D’’= A sin* zy, 
2 
Then 
cos(¢ + 27)o —  cos(27 + 1)e cosh ke — y — 1 sin(27 + 1)e sinh £e, 
y— r.sin (c + 2/)e = — cos (2j + 1)e sinh ke + y— 1 sin (27 + 1)ecosh ko. 


And the solution, expressed with singly infinite summation and with the 
proper change in the meanings of b, and e,, is 


gg — © {cosh ko[(b; + bj + € ; + G41) cos (27 + 1)o 
+ (b;— b_j;_. — ej + G41) y— 1 sin (27 + 1) 0] 
+ sinh ke[— V— 1 (bj — b; , + e j— G41) sin(2j + 1)o 
— (b; + b; , — e ;— G41) cos (27 + I)o] l. 
Putting 
b+ b6j51= D, ee. = E, 


— Ss aS Cha — €. Ne 
ze b ja on By I» e_; GES “iV I, 
and writing the hyperbolic functions as exponentials, we have 


(2) dy I je”(E, cos(27 + 1)o + g;sin (27 + 1)0) 
+ e^" (B; cos(2/ + 1)e— f, sin (27 + 1)0)\. 


Acta mathematica. 20. Imprimé le 3 septembre 1597. 20 





154 G. H. Darwin. 


By means of (52) this may be written 

(53) | 0g = Z\(D + (D? — 1))* (E; cos (27 + 1)o + e; sin (2j + 1)0) 
+ (D — J(D? — 1))* (B; cos(2j + 1)o— f, sin (27 + 1)o)}. 
In this case again the terms for which j — o are not usually the z 
most important ones, but we see that the series contains sines and cosines 
of odd multiples of o; and that one set of terms increases without limit 
and that the other diminishes. As in the first sort of instability, a 
convenient modulus is the number of synodie revolutions in which 
the amplitude of the increasing oscillation doubles its initial value; that 
is to say we put 


Therefore 

ER CN 
(54) S x lee LD Di 1)’ 
where | 


ot 
D? = A sin*- zy 9. 


This is the modulus of instability, when it is of the uneven kind. A 
consideration of the principal term has shown us that there is an oscil- 
lation, whose amplitude increases without limit. The planet or satellite 
crosses and recrosses the periodic orbit an odd number of times in a 
single circuit, making ever increasing excursions on each side; it is on 
this account that I have called this »uneven instability». 

It is interesting to consider the form which the equations of con- 
dition assume in the two sorts of instability. 

In the case of even instability we have c — ky— 1, and the equa- 
tions for the determination of the /'s are given by 


(55) b;(c XE 27) c P5 D, 


= b, D, + 2b, 9; ; + Lib; Du. 





Periodie Orbits. | 155 
We now have 
25; — B+ Bj y — 1, 20_; = B,— Bj — 1, 


2b,(c+ 27) = (4! —h’) B; — 4AJkf + V — 1[47RB; + (47? — hk’) 5]. 


Then noting that A, is necessarily zero, and equating to zero the real 
and imaginary parts of the equation of condition (55), we have 


| (47 ak) B,— 47k8; = D, 0; + 2, B(®;;+ Dix), 
(56) x 


In the case of 7 —o, the second equation is identically true, and the 
first becomes 


(55) —K'B, = B, 0, + 2 2B; 0. 


It is easy to show that if we take / as negative, we are led to the 
same equations; thus it is only necessary to consider the case of 7 po- 
sitive. 

These equations suffice to determine all the B’s and fs in terms 
of one of them, say B,, which is an arbitrary constant of the solution. 

We have already seen that the equations of condition for e ; are 
exactly the same as those for D. Hence bearing in mind the definitions 
of E, and ej; we see that the equations of condition for Z,,s; are 
the same as those for BB eben -sincese, — 0, E; , ¢ are the same 
multiples of E, as B;,f; are of B,. Thus E, is the second arbitrary 
constant of the solution. 

Suppose that we put B, = 1, and solve the equations finding B; = 4;. 


B;= 4, then the general solution is 


Now turn to the case of uneven instability where c = 1 + ky— 1; 
the equation of condition may be written 


(58) bc + 27)! = X60; i4 X auus 





156 G. H. Darwin. 


where 
2bj— B;-pBj/— 1, 2,1 =B—Av—h 
2b,(c + 27)* = [(27 + 1)? —k*] B; — 2 (27 + 1)&f; 
+ i427 + DEB; + (27 + 1) #8). 


Then equating to zero the real and imaginary parts of the equation of 
condition (58), 


[(27 + 1)’ — &] B, —2 (27 + 1)kf, E 2, B0, , de Dis 
(59) : | 
2(25 + DEB + [ai + 1 — 5 = Lif G1 95). 


It is easy to show that it is only necessary to consider the positive 
values of /. 

These equations suffice to determine all the B’s and fs in terms 
of B,, which is one of the arbitrary constants of the solution. 

From the definitions of E,, ¢; it is easy to see that the equations 
of condition are the same as (59), and that E;,¢; are the same multiples 
of E,, (the second arbitrary constant) that B;, ff, are of B,. 

Suppose that (59) are solved with B,= 1, and that we find B;— /,, 
B; — À;.then the general solution is 


(60) ^ "= 2 [Ee (Ajcos (27 + 1)o + À;sin (27 + 1)0) 
+ Be "(4;cos (2j + 1)e — À;sin (27 + 1)o)]. 


It follows therefore that when X has been found from the infinite de- 
terminant the solutions for the varied orbit are expressible by means of 
two arbitrary constants in both kinds of instability. Such solutions would 
of course only express the true motion for a short time. 

I have actually applied this method to one of the unstable periodic 
orbits which was computed, but as the work leads to no' useful conclusion 
I shall not give the details of it. 





Periodie Orbits. 157 


§ 13. Numerical determination of stability. 


When a periodic orbit has been found by quadratures, it is not 
obvious by mere inspection whether it is stable or not, and we must 
consider the numerical processes requisite to obtain an answer to the 
question. 

The points which are determined by quadratures in a periodic orbit 
do not divide the are S into a number of equal parts. The distance 
along the arc from the first orthogonal crossing of the x axis to the 


: NN: ; 
second orthogonal crossing is 255 this may be determined by inter- 


polation, for we may find what value of s makes y vanish. 
In general there are two orbits computed, which differ from exact 


periodicity in opposite directions.by small amounts. The arc - S, measured 


from the first orthogonal crossing to the. second, which is not exactly 
orthogonal, is determined in each of these cases. The subsequent pro- 
ceedings are then carried out in duplicate, and the final step is an inter- 
polation between the two results to obtain the result for the exactly 
periodic orbit. In many cases however the computed orbit differs from 
a truly periodic one by an amount which is so small, that it may be at- 
tributed to the errors inherent to the method of calculation. In such cases 
the duplicate computation is unnecessary, and since the operations on the 
approximately periodic orbits are exactly like those on the truly periodie 
ones, we may henceforth speak as if the true orbit had been found. 

The next step is the computation of ® corresponding to each 
computed point of the orbit. In order to take advantage of the work 
already carried out in the quadratures, I arrange the computation of ® 
in the following form: 


158 G. H. Darwin. 


Computation of ®. 











e —0 g—9 
L2 Lp 
LE PER Lp° 
I à I 
L(5—*) | V) 
Ly sin (¢ — 0) eo 
Cr? Suy $ 
La Lb 

I 
F E 

n 
In. = 
dV 3% 
Vds c? 

I 
dVA? ras 
LI Lu d 

> Van) 
db RES 
Ly cos? (p — 0) L cos’ (p — d) 
C7? AG Vx 
|^ or or: 
rar. Le 
à MEN 
le Yn 
B »» T 
| z |; 4-8 
Ke 7 IUT AE 





Lo à 


As before L, C stand for logarithm and cologarithm, and the brackets 


indicate additions. 
It would be tedious to find the Fourier's series for ® from its computed 


values, and it is best to find interpolated values of ® at exact sub- 





multiples of the are 8. 


Periodie Orbits. 


159 


I therefore interpolate ® at the points for which 


EDI 2 2 

the arc is —S,—S... Lugd 
24413. 24 

made by one of the formule (23). 


ı3 values in all. These interpolations are 


The next step is the harmonic analysis of these 13 values of 6, 
which is an even function of the arc. 

The analysis may be conveniently arranged in a schedule of the 
following form. 


Harmonic analysis of an even function of which 24 values 

















te Owe Cine du ide given. 

i ii ii iv v vi 
i—ü Mes, Min M M x ii M M x ili 
a, dis aa (a) * 1 a I a I a 
a Oy te (2) 05 0,3 gi 9,3 —6, = 0,7 
d, dio Th 8, gr 1 ETAT 20 B 
al, a, a,—a, (0) o, RE — 0,0 9, 0,0 
a a a,—a, (e) 1 € I € I £ 
a, a, tea (JR 6,6 8. e,  —6, — 5€ 
a, ca O Oo O O O Oo O 
SumOto6 Sum 2: 10212 24 Sum 24 Sum 24 Sum 

Sum O to 6 103: D. D, 


Sum O to I2 


2 X Sum O to 12 6,=2s8in15°= 51706 
11 I - À : | —2s go—I: IA2 
(a, +4,.) p — [a — 2s 4- 0, (, — à— €) 6, 2 MD 414 
24 | Sum + o,=2sin60°=1'7321 
$, (see iit) Ban gs 10379 
vii viii IX (X 
i+il Last 4 of vii reversed vii — viii vii + viii 
a,+4,, a,+4, (a, +4,,)—(a,+4,) 9) (a, + 4,5) +(% t a) (A) 
a,+4,, a.+4a, (a, +4,,)—(4, +a,) (8) (a, +4,,) (4, T4) (x) 
a,+4,, a,+a, (a, +a,,)—(4,+4,) (x) (a, +49) + (a, +4,) (v) 
. 4,+4, a, +4, o (a, +a,) +(a,+4,) (9) 
a,+4, 4 | 
a, +4, 0, = BER Pe $,— TAU FEN 
a, +4, = 
I ver 
i= arr 24 $,— 24 (A—4)—G — p). 
(see ix) (see x) 





160 G. H. Darwin. 


If we write 0 = 20 = =, the function @ is equal to 


D, + 20, cos 0 + 2 0, cos 20 +... + 20, cos 86. 


In order to test the accuracy of the work and the convergency of the 
series, it is well to compute the values of several of the a’s directly 
from the harmonic expansion. For this purpose we have 


= d, -- 2(0, + 0, + 0, + 0) x 2(0, + 9, + 0, + 0), 


1 = $, + Q,— 0,20, — 0, torn — y 





= D, — 260, 4- 20, t o, (0, — D, — D, + D), 





| 4. 


|a. 


a = D, + 2(9, + D,) — 2(9, + D). 


— D, — D, — D, + 20, — D, + (0, — 20, + , + 9.), 


It may be remarked that if the harmonic expansion of @ is con- 
vergent, the determinant from which the stability is determinable is also 
convergent. 

But if the representation of ® by the harmonic expansion up to 
the 8 harmonic is very imperfect, it is necessary to give up the attempt 
to determine the stability numerically. In such cases however it is nearly 
always possible to see that the orbit is unstable, although it may mot 
sometimes be so easy to perceive whether the instability is even or 
uneven. 

We next have to calculate the several members of the determinant 
A by the formula 

D: 
d,—4ÿ 
This is the entry for the j row above or below the centre of the 
determinant, and it is the i member to the right and to the left of the 
leading diagonal, all the members on the diagonal being unity. The 





Periodie Orbits. | 161 


values of 4, computed by the preceding analysis suffice to enable us to 
write down 17 columns and rows of A. The method of computing A 
will be considered in the next section. 


§ 14. The calculation of a determinant of many columns and rows. 


The following transformation contains the principle by which the 
number of columns and rows of a determinant may be diminished by unity 











a, a 
I, = - - , 
Kt cR T ee 1 d 
; a a 
E M UE co ee CON ME MC 
A = = d a, = a 
ER à & 3 
€, —6,— , 0, — 0, 3 
| I a Pus 
| (22 a 
D dpt ng 
2 Eg 9 la 
L2 a a, 
1 2 3 
CC CT OR 
2 na a? 





c : e a 
Now if we write 5; — b, — b, 3, and so on, and then extract the 
a 


1 


factor 03, another column and row may be removed, and the process 
may be repeated until the determinant is reduced to a single member, 


say z,; then 
A ue. ca. 


If the determinant is convergent and if the rows and columns be removed 
in proper succession, the factors tend to unity. 

by interchanges of columns and rows any member of a determi- 
nant may be brought to stand at a corner, but if the number of inter- 
changes is odd the sign of the determinant is changed. 

It is not therefore necessary to work from a corner, as in the above 
example, but any column and any row may be chosen for elimination. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 3 septembre 1897. 21 








162 G. H. Darwin. 


The member which stands at the intersection of the chosen column and 
row may be called the centre of elimination. Then if the centre of 
"elimination be at an odd or even number of moves from a corner, the 
sign of the whole is or is not changed. 

In the determinants which arise in this investigation the centre of 
elimination is always taken on the diagonal, and thus no change of sign 
is introduced. 

Let us suppose that the determinant to be evaluated is a symme- 
trical one, and that the columns and rows are numbered, as in the 
following example: 

—2 —1 olii 2 
CNET qe, 0, E, TS 





X QU SIE ce E 14% 


Let (— 1, — 1) be the first centre of elimination, and (1, 1) the 
second; then if the double elimination be carried out and algebraic re- 
ductions effected, it will be found that the result is 





?"(1 — x) 





D RR = 2 


Where 
: IER eh zt Di£s 277/0065 Op Cy or Cod brosse ERAC + Ce) 
Fe EOS Abb eS 
b 
, bie, + b,c, (b, ik b,)(e, Th cs) , a,(b, ar b ) 
ly = €, Hlc bi , a; HE at 
B eu 2 
B 
dio RM 








Periodie Orbits. | 163 


If the determinant is convergent, with an odd number of columns and 
rows, (0,0) is the heart of the determinant; if the elimination proceeds 
away from the heart, at any stage of the process the approximation 
consists of the product of all the factors extracted, multiplied by (o , 0), 
the heart of the remaining determinant. 

Thus in the above example after one double elimination the ap- 
proximation is 


4 b: 209b. N 
2 3228 E ira ing 
Bal ova) ee 


This is in fact the full expression for the determinant 











I have found it most convenient in practice first to extract a squared 
factor, such as B^ (thus reducing (— 1 , — 1) and (1, 1) to unity), and 
bi 
BA 
This process cannot of course be applied with advantage, when the 


work is algebraical, but some process of the kind seems to be practi- 


afterwards to extract a single factor, such as 1 — 


cally necessary, when the approximate numerical. value is to be found 
of a determinant of a large number of columns and rows. 

It will be noticed that after each pair of eliminations the primitive 
symmetry is restored; but the work misht equally well be arranged 
otherwise. For we might first eliminate from the centre (0,0), which 
would not affect the symmetry, and we might then take the pair (— 1, —1) 
and (1,1). This variation of procedure would afford a valuable check on 
the arithmetic. 

Where the outer fringe of the determinant obviously has but little 
influence on the final result, and where we are in any case going to use 
all the members in the original determinant, I have found it best to 
begin from the outside. In such a case four or five columns and rows 
may, as it were, be shelled off the outside, with scarcely any alteration 
of the central entries. 


164 G. H. Darwin. 


The actual numerical work of evaluating a determinant may be 
arranged as follows: 


The number of decimal places to be retained is first fixed on. A paper 
is then marked with a gridiron of columns and rows, numbered from 
zero at the centre upwards and downwards. Each square should be 
large enough to contain four or five rows of figures. The original de- 
terminant is then written in the squares, the numbers being put as near 
the top of each square as possible. I have found it convenient to omit 
decimal points, and to express the numbers in units of the last decimal 


place retained. In most of my work, where only a rough result was - 


required, I have adopted three places of decimals; thus the unit in which 
the entries are expressed is ‘001, and the diagonal members are all 
written as 1000. 


The pair of symmetrical diagonal members, which is to form the first 
pair of centres, is then chosen. As stated above, I have in my later 
work usually worked from the outside. In the first pair of eliminations 
these diagonals are already unity, but this is not so subsequently, and 
we first reduce them to unity by dividing the rows on which they stand 
by their values, and by extracting a squared factor. 

It will be found convenient to run a red line through the column 
and row to be removed. If the red lines be regarded as coordinate 
axes, the row being z and the column y, any member of the determinant 
may be specified by its x and y. If the member of the determinant 
whose coordinates are x ,y be a; and if the member whose coordinates 
are 2,0 be D; and if the member whose coordinates are 0, y be c; 
then the number which has to be substituted for a is a—be. 

In other words each number on the horizontal red line has to be 
multiplied by each number on the vertical red line, and the products 
have to be subtracted from the numbers which stand at the remote 
corners of the rectangles. 

In effecting this process I form a separate table of the subtrahends, 


and write down the differences immediately under the numbers which 
they displace. 


After the first elimination, which has rendered the determinant un- 
symmetrical, a single factor corresponding to the other chosen diagonal 








Periodie Orbits. | 165 


member is extracted, its row is correspondingly altered, red lines are 
drawn to mark the column and row to be removed, and the similar 
process is repeated. The symmetry of the determinant should now be 
restored, but any pair of numbers which should agree are arrived at by 
different numerical processes. 

The restoration of symmetry affords a very valuable check on arith- 
metical processes which I have found it singularly diffieult to work 
correctly. 

As only a limited number of decimal places are employed there is 
often a discrepancy of unity in the last significant figure between two 
numbers which ought to agree. It is sometimes possible to determine 
by inspection which of the two numbers is arrived at by the less risky 
series of operations, and I then adopt that number to represent both 
entries. But where there is no obvious reason for choosing one result 
more than the other, I choose one or other at hasard, and restore the 
perfect symmetry. 

The process of elimination is continued until the determinant is 
reduced to (0,0), but in the last two or three stages it is well to in- 
crease the number of decimals retained. 

If at any stage the factor to be extracted becomes small, the whole 
row to which it belongs becomes large, and the symmetry may perhaps 
be seriously affected. In this case it is well not to choose this pair of 
centres of elimination, but to take another pair, leaving this pair to a 
later stage in the calculation. 

If the determinant is negative, a negative factor will be extracted 
at some stage. In all the cases which have been worked out it is easy 
to see that no other negative factor will ever arise, and thus the de- 
terminant will remain clearly negative. Most of the determinants have 
been written with 17 columns and rows; then beginning with (— 8, — 8) 
and (8,8) I find that it is often possible to erase 8 columns and 8 
rows on a single sheet of paper, with scarcely any modification of the 
central part of the determinant. Thus the determinant which at first 
had 289 spaces (although many only contain zeros) is reduced to 81 
spaces, with but little labour. 

The multiplications have been done with Crelle’s table, but a spe- 
cially computed auxiliary table: of products, from ‘000 X ‘000 up to 





166 G. H. Darwin. 


‘040 X 040 to three places of decimals, has rendered the work much 
more rapid. ' 

I believe that the values obtained by this process are correct to 
within about one per cent. For the same determinant when reduced with 
different order of elimination agrees with its previous determination within 
less than that amount of discrepancy. 


PATI-F. 
§ 15. Periodic Orbits. 


An orbit in which the third body can continually revolve, so as 
always to present the same character relatively to the two other bodies, 
is said to be periodic. If the motion is referred to a plane which is 
carried round with Jove and revolves about the Sun as a centre, any 
re-entrant orbit of the third body is periodic. Periodic orbits may consist 
of any number of revolutions round either of the primaries, or round 
other points in space. Periodic orbits, which are only re-entrant after 
several circuits, are much more difficult to discover than those which 
only make a single one; as hardly anything is known up to the present 
time about this subject, I determined to confine my attention to »simple 
periodic orbits», which are re-entrant after a single circuit. This definition 
of a simply periodic orbit must not preclude the consideration of orbits 
with loops, for the inclusion of such loops is necessary to the comprehen- 
sion of the subject. 

It appears from the differential equations of motion that periodic 
orbits must in general be symmetrical with respect to the line of 
syzygy; or if any periodic orbit consists of a closed circuit round a point 
which does not lie on this line, there must be a similar closed circuit . 
round a symmetrical point on the other side of it. 

Periodic orbits are critical cases which separate the orbits of one 
class from those of another, and the chief difficulty in tracing them 








Periodie Orbits. 167 


consists in the fact that it is necessary to trace the gradual change of 
an orbit, as its parameters change, and to discover its form at the instant 
of its transformation into an orbit of a different character. 

The partition of space derived from the Jacobian integral ($ 3) 
shows that the constant of relative energy C is of primary importance 
in the classification of orbits. The work of this investigation being nu- 
merical, I was compelled to assume a definite ratio for the mass of the 
Sun in terms of that of Jove; this ratio is taken as 10. The mass of 
the actual Sun in terms of that of the actual planet Jupiter is about 
i000, and accordingly all the phenomena of perturbation are greatly 
exaggerated in our figures as compared with the real solar system. 
This exaggeration appeared to me advantageous for the purpose of giving 
a clear view of the phenomena. 

The mass of the Sun being 10, that of Jove being unity and the 
distance between them being unity, we found in (9) that when C is greater 
than 40:182: the third body must be either a superior planet, or an 
inferior planet, or a satellite, but cannot change from one of these con- 
ditions to another. 

These larger values of C then bring us to those cases which are 
treated in the Planetary and Lunar Theories; I therefore cease my con- 
sideration of the problem for all values of C which are greater than 
40:5. On the other hand C can never be less than 33. Hence the whole 
field to be treated is covered by the values of C. between 33 and 40's, 
and the problem is to obtain a complete synopsis of simply periodic 
orbits and of their stabilities between these limits. 

The field of investigation is however so large that in the present 
paper I am compelled to make further restrictions. In the first place, 
the case of superior planets has not been touched at all; although, at 
the point at which I have now arrived, they must soon be taken into 
account. 

Secondly all the orbits considered are direct; the retrograde orbits 
would afford an interesting field of research. 

Lastly the present paper only covers the field from C equal to 38 
to 40'5; and even this has occupied ine for three years. 

The slowness with which results are attained by arithmetical processes 
has been very tantalising, but the interest of the work has been sustained 





168 as Dire 


by the fact that the results have presented a succession of surprises. I 
have, over and over again, been deceived when I imagined I could foresee 
the shape which would be assumed by the next orbit to be treated, and 
thus the subject was continually presenting itself under a new light. 
Nevertheless a point has, I think, been now reached at which some 
forecasts are possible, and I shall venture to say something hereafter in 
$ 19 on this head, with the full knowledge however that the conjec- 
tures may prove erroneous. 

Being ignorant of the nature of the orbits of which I was in search, 
I determined to begin by a thorough examination of one case. It seemed 
likely that the most instructive results would be obtained from cases in 
which it should be possible for an inferior planet and satellite to inter- 
change their parts. Now when C is greater than 38:8760 but less than 
401821, the two interior ovals of the curve of zero velocity coalesce into 
the shape of an hour-glass, and thus interchange of parts is possible. I 
therefore began by the consideration of the case where C is 39, and 
traced a large number of orbits which start at right angles to SJ, and 
in some cases I also traced the orbit with reference to axes fixed in space. 

The two curves, which represent the orbit in space and with re- 
ference to the moving plane, contain a complete solution of the problem. 

For if the curve on the moving plane be drawn as a transparency, 
and if the Sun in the two figures be made to coincide, and if the transparent 
figure be made to revolve uniformly about the sun, the intersection of 
the two curves will give the position of the body both in time and place. 

In order to exhibit this I show in fig. 2 a certain orbit with 
reference to axes fixed in space and also the same orbit referred to 
rotating axes. In the former figure the simultaneous positions of the 
planet and of Jove are joined by dotted lines. It is interesting to 
observe how the body hangs in the balance between the two centres, 
before the elliptic form of the orbit asserts itself, as the body approaches 
the Sun. 

This figure, and others of the same sort, are instructive as illustra- 
ting the usual sequence of events in orbits of this class. 

If a planet be started to move about the Sun in an orbit of a 
certain degree of eccentricity, it will at first move with more or less 
exactness in an ellipse with advancing perihelion. But as the aphelion 


ove 


vi a - B8. «5a "WT u AB. En RM. a LN 
| AND TE ze DS = 


Periodic Orbits. 169 


approaches conjunction with Jove the perturbations will augment at each 
passage of the aphelion. At length the perturbation becomes so extreme 
that the elliptic form of the orbit is entirely lost for a time, and the 
body will either revert to the Sun, or it will be drawn off and begin 





Orbit z,- 1:080, C= 39:0 referred to axes fixed in speces, 
together with tbe simultaneous positions of Jove 





Orbit z= 1'080, C» 39:0 
referred to rotating axes 


a circuit round Jove. In either case after the approximate concurrence 


of aphelion with conjunction, the orbit will have lost all resemblance to 
its previous form. 


The figure 2 exhibits the special case in which the body only makes 


a single circuit round Jove, and where the heliocentric elliptic orbit 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 6 septembre 1897. 99 

















ALES u A LA PONT où ee Ore er CA TT ps 
EIRE Do DLE UE rz ru "E 
ZI à Mat ó "ned TIS y ull 
, "a YN ee dx (AER 
v < A^ PL 
P. ; SA 
2 - 


170 G. H. Darwin. 


before and after the crisis has the same form; the perihelion has however 
advanced through twice the angle marked « on the figure. In general 
the body would, after parting from the Sun, move several times round 
Jove until a concurrence of apojove with conjunction produced a severance 


of the connection, but in the figure this concurrence happens after the first | 
circuit. If the neck of the hour-glass defining the curve of zero velocity - 
be narrow, the body may move hundreds of times round one of the 
centres before its removal to the other. 

It seems likely that a body of this kind would in course of time 








Periodie Orbits. 171 


find itself in every part of the space within which its motion is confined. 
Sooner or later it must pass indefinitely near either to the Sun or to Jove, 
and as in an actual planetary system those bodies must have finite 
dimensions, the wanderer would at last collide with one of them and be 
absorbed. We thus gain some idea of the process by which stray bodies 
are gradually swept up by the Sun and planets. 

It might be supposed that all possible orbits for any value of C 
will pass through a similar series of changes and that the bodies which 
move in them will be thus finally absorbed. Lord Kzrviw is of opinion 
that this must be the case, and that all orbits are essentially unstable.' 
This may be so when sufficient time is allowed to elapse, but we shall 
see later that, even when the hour-glass has an open neck, there are 
still stable orbits, as far as our approximation goes. The only approxi- 
mation permitted in this investigation is the neglect of the perturbation 
of Jove by the planet. For a very small planet the instability must 
accordingly be a very slow process, and I cannot but believe that the 
whole history of a planetary system may be comprised in the interval 
required for the instability to render itself manifest. Henceforward then 
I shall speak as though the stability of stable orbits were absolute, 
instead of being, as it probably is, only approximate. 


8 16. Non-periodie orbits; € = 390. 


(a) Orbits round Jove. Fig. 3. 

The Sun S is outside of the figure towards the left. A small portion 
of the curve 22 = 39 is shown.to the right ot J, and another portion at 
the narrowing of the neck of the hour-glass. The two points of zero 
29 29 
— = ©, — 
94 oy 
The complete circuits are shown in order to obtain a better idea 


force given by =o (see § 3) are also marked. 


of the nature of the orbits, although this is unnecessary for the search 
for periodic orbits. 





! Sir Wırrıam Tuomson, On the Instability of Periodic Motion, Philosophical 
Magazine, vol. 32, 1891, p. 555. M. POINCARÉ also considers that orbits may have 
a temporary, but not a secular stability. Acta Mathew. T. 13, 1890, p. IOI. 





172 G. H. Darwin. 


The satellite is supposed to be started at right angles to SJ at the 
conjunction remote from the sun, and enough of the orbits are shown to 
obtain a synopsis of the class. Here and elsewhere I define the orbits 
by the initial value of x, which is denoted by a; in this case the final 
value of x after the complete circuit may be called z,. 


The first on the right (dotted-line) starts with a, — 1:3, and x, is 
much less than z,. The second (chain-dotted) has z, — 1:26, and x, has 
considerably inereased so as to approach z,. The third (broken-line) has 
x, = 1°22, and x, has now become greater than 2; therefore-we have 
passed an orbit for which z, was equal to z,, and such an orbit is 
periodic. 

In the fourth (full-line) with x, = 1°18, x, exceeds x, by more than it 
did in the third orbit. But in the fifth (dotted) with x, = ı'14, x, has 
again become less than x,; therefore we have passed another periodic orbit. 


In the sixth orbit, (broken-line) x, 
much, and in the seventh (full-line) x, = 1°10, x, has become quite 


= 1'12, æ has decreased very 


sınall. This last has very nearly a cusp. It is not so accurately com- 
puted as the preceding ones, having been the first difficult orbit under- 
taken, and my methods at that time were not quite so satisfactory as 
they became subsequently. In this seventh orbit at the final intersection 
¢ has just passed through the value zero, and I think it is probable 
that there is an orbit of very nearly this form, with the final ¢ exactly 
zero. Such an orbit would be periodic, but as it would not be simply 
periodie, it falls outside the scope of this paper. 

The first part of the eighth orbit (chain-dot) was derived by inter- 
polation between z, = r'1 and z, = r'o9 (shown in a future figure); the 
beginning of this orbit, which I call x, = 1:095, is not shown. It is a 
very remarkable curve, for after the loop, the body recrosses SJ, and 
going directly towards J, passes so close to it that it is impossible 
without more accurate computation to say what would happen subsequently. 
This orbit was so unexpected that I have thought it well to show in 
Fig. 4 its form with respect to axes fixed in space; in this figure (which 
does not claim close accuracy) the interpolated portion has been inserted. 
I do not think that any one could have conjectured how the body should 
have been projected so as to fall into Jove. 





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1 ! 
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- 
=a 
ae 


Non-periodie orbits round Jovo, C— 39:0 





eurve of zero velocity 


+Point of zero force 





na ^ Ya VEU = 


Periodie Orbits. 175 


For smaller values of x, the bodies are no longer simple satellites 
as they part company with Jove and pass away towards the Sun. 


, 





Orbit round Jove referred to axes fixed in space (r,— 1:095, C.— 39:0) 


(8) Orbits passing from Jove to Sun. Fig. 5. 


The curve of zero velocity for C — 39 having been computed, it is 
shown in this figure, although it is not necessary. 

The starting points are again from conjunction remote from the Sun. 
The first orbit (broken-line) is the one with which we ended in Figure 3, viz. 
% = 1'095; the interpolated portion is however now drawn, as well as the 
computed portion. The body in this case does not pass away to the Sun. 

We next come to an orbit (dotted) of which the first part was found 
by interpolation and which I call z, — 1'O9375; the earlier portion of 
the curve is not drawn. | 





176 G. H. Darwin. 


Where the orbit x, — 1'095 crosses SJ for the third time, ¢ is clearly 
negative, but where the orbit x = 1'09375 crosses for the third time g 


is positive. There must therefore be an intermediate case for which o 
vanishes, and this will give us a third periodic orbit round J. . The orbit 
Ty = 1'09375 passes away to the sun; and we then come to four more 
orbits “= 1°09, 1708, 1:06, 1'o4 which follow a similar course, but with 
diminishing depression towards the negative side of SJ. The next orbit 
is z,— 1:02, in which the depression has disappeared. This curve has 
a slight hump in the place of the depression; it is the sort of feature 


which would present itself in a computed curve, when there has been 


an arithmetical error in the calculation, but we shall soon see that this 
hump is not explicable in this way. 
The next curve which is traced (although others have been computed) 








" À m wets 7» We 6) nO “ee 


Periodic Orbits. i 177 






0.68 =9 lung o1 erop woy Zuresud 891440 orpourad-uoN. 





+ Point. of 
zero force 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 6 septembre 1897. 93 








Periodie Orbits. 179 


starts with x, = 1'001 (chain-dot); in a figure of this scale, it apparently 
starts actually from J. It will be observed that we now have a re- 
markable cusp, and it becomes obvious that the hump referred to above 
was an incipient elevation towards the cusp. 

Passing now to the other end of the figure where the body passes 
round the Sun, we see from the incidence of the perihelia (which are 
indicated by radii from the Sun) that there can be no periodic orbit 
which is partly the path of a satellite and partly that of a planet; for 
such an orbit must have the longitude of the perihelion 180°. 

The positions of the perihelia and the perihelion-distances seem to 
be almost chaotic in the figure, but I believe that the calculations are 
substantially correct, and a consideration of the numbers representing 
the positions of the perihelia shows that the chaos is rather apparent 
than real. 

The following table gives the results: 





NE aie Longitude of Perihelion 

Perihelion. Distance. 
ESI z— 32°45’. 7058 
1.03 z— 34° ‘125 
= 1°04 i= 35 AN 093 
1:00 7 — 39° 15 ‘078 
z— H6 nm — 52°15’ ‘EDS 
—\1.09 z— 64° 15 ‘240 
109375 —T— 30 45 "222 





Now if we were to plot out the defect of the longitudes from 180°, 
taking z, as abscissa and the defects of longitude as ordinates, we should 
obtain a sweeping curve starting from a minimum of 33°, rising to a 
maximum of 64°, and falling abruptly to 31°. If the perihelion- 
distances be treated similarly, we find a somewhat less satisfactory curve, 
for there is a small maximum, then a minimum and then a large maxi- 





180 G. H. Darwin. 


mum, followed by a fall in value. As I have said above, I believe that 
these results are substantially correct; but as each one of these curves 
represents three or four weeks hard work, I have not thought it good 
economy of labour to pursue the inquiry further in this respect. 


(y) orbits round the Sun; C= 39'0. Fig. 6 (see p. 181). 


These curves are drawn with less accuracy than the others, being 
computed with three-figured logarithms. I thought that sufficient 
accuracy would be attainable with this degree of approximation, but 
when I found that the saving of labour was not considerable, whilst the 
loss of accuracy was very great, I returned to the use of four-figured 
tables. It did not however seem necessary to recompute these curves. 

The complete circuit is drawn for four of the curves, but the rest 
are only carried half way round. | 

The orbits start to the left of the Sun at the conjunction remote 
from Jove. The first orbit is 7, = —:6 (full-line), and at the second 
crossing of the line of conjunction the angle ç is negative. The second 
orbit x, = — ‘4 (dotted) has ¢ positive, but small, at the second crossing; 
hence there is a periodic orbit for a value of x, a little less than — ‘4. 

All the succeeding orbits viz. z, = —':337, — "3, —'2, — '1, — ‘04, 
— ‘o0o1 have ¢ positive and successively increasing at the second crossing; 
and thus there is no other periodic orbit. The last two of these orbits 
have loops. 

The orbit x, — —:337 was found in part by interpolation. It has 
been inserted because the third crossing of the line SJ appears to be 
orthogonal, and therefore the orbit is periodic, but not simply periodic. 
No search was being made for this sort of orbit, and the discovery was 
accidental. 


8 17. Periodic Orbits classified according to values of C. 
Plates I, II, III. 
Plate I, fig. 1. C — 4090. 


When C is greater than 40°18, the inner branches of the curve of 
zero velocity, 29 = C, consist of two ovals, as seen in fig. 1; the periodic 





Kyı00jaa 0192 Jo oAino 









Periodie Orbits. 


Fig.6 





Non-periodie orbits round the Sun; C= 


. SS E e." 
wb. Meus Dmm 
S n PR u... .. 
teelIelllIme PAST M CLERO 
ee nenn - 








n 
1.92 





2 
aa . 
d 


39:0 


ics 

aM a 

ho d 
z^ 


181 


orbits then consist of two approximately circular orbits round S and J 
respectively. These cases may be treated by the methods of the Planetary 
and Lunar Theories, and fall outside the scope of this paper. 


When C— 4018 there is a third periodic orbit consisting of the 
point <= "7175, y —— O0. At this point a body is in unstable equilibrium, 
and this point is the beginning of a family of orbits; for, whilst in 
general periodic orbits begin in pairs, a single orbit may begin at a point. 

In discussing these figures I shall denote the initial value of any 
function by the suffix o; the suffix ı will denote the value after the 
completion of a half circuit, and the suffix 2 the value on the completion 


of the whole circuit. 








182 G. H. Darwin. 


The planet A starts from 2, = — "414, ¢ — 7, and @ increases. 


When = — 414, e, Zo, % =% (zx, <—-'414 of course denotes a 
- starting point more remote from S, with x, numerically greater than *414). 


This orbit is stable with c = 2°81. ; 
The satellite A starts from 2 = 1:03341, 9, = 0, and ¢ increases. 
This orbit changes its shape rapidly with changes of C, as will 
appear below in the classification by families. Great care was bestowed 


on this case, and it was very troublesome to compute, since a considerable 
variation of x, corresponded with a small variation of e,. 


When a= 1'03341, 9, —7=0, 4%, =%. 
The orbit is stable, but borders closely on instability, with c = 3°7. 





Periodie Orbits. | 183 


r . ie B . E . B . 

The third orbit is the oscillating satellite @, moving slowly with a 
retrograde revolution round the point of zero force r = 7175, y — o, 
which was described above as the commencement of a series of orbits. 


rp ® . * D 
The orbit a starts from x, = 705, e, — 0o, and e diminishes. 


4 


near to Jove the change of direction at the sharp turn is not quite 
sufficient for periodieity; and if it starts too near the Sun the converse 
is true. In the first case after one or more equ the body passe 


T M E 11 rp E . 
When ©,='705, 9, —z=o. That is to say if the body starts too 


away towards J, and in the second case towards S 
This orbit is very unstable, and the instability is almost certainly 
of the even type. 


Plate ouo 245 °C do and. 39:3 

- The planetary orbit A (C = 39:5) differs little from the preceding case. 

It starts from x, = —-:424, 9, — z, and ¢ increases. 

When 4055—-*424, 97250, 45, 24, : 

The orbit is stable wi 
C40. 

The classification. by families below shows that as C falls below 


— 2:90; but it is less stable than when 





40'0, the orbit of the satellite A stretches out rapidly towards S, and at 
the same time the oval « expands. When C is very little greater than 
39:5 (perhaps-about 39:6), these two curves touch one another. 

At this stage the body may either move entirely on A or entirely 
on a, or it may move alternately on A and on a, thus describing a 
figure-of-8. 

When C has diminished to 39°5 there is no alternative; for the orbit 
A is necessarily a figure of-8, whilst the orbit a remains a closed oval. 

The satellite A starts from x, = r'0650, 6, -— 0, and e begins 
increasing. When the body has passed half round J so that y vanishes, 
g is equal to z — 15?37'; shortly after this ¢ diminishes and continues 
doing so until when y again vanishes c, = O. 
| We have z,z1:0650, ¢,=0. When the body starts too far from 
J, it will move in some orbit round J, and when it starts too near J 
it will pass away to S. 

This orbit is very unstable with even instability. 





184 G. H. Darwin. 


The oscillating orbit a was not computed for C = 39°5;' during 
one part of its course it would be indistinguishable from part of A, 
and the rest is shown conjecturally by a dotted line. 

This orbit is very unstable, with even instability. 

It has already been remarked that after the first half circuit of 
satellite A g was z— 15°37’, or as we may now write it z—¢, = 15°37’. 
Now when x, is made to increase from 10650 until it reaches the curve 
290 — C, ge, —z will always be negative, or z — e, positive. It appears 
however that z— e, has a minimum. value, which very nearly reaches 
zero. In fact when xz, = 1'140, 9, = 7 — 0° 20’. 

Since z — e, is large when x, approaches 29 — C, and is 15°37’ 
when x, = 1'0650, it follows that if it vanishes at all, it must vanish 
twice. That is to say if there is another periodic orbit, there must be two. 

As C diminishes the minimum value of z—g, falls, and I found 
that when C — 39:4 the minimum is reached when x, is about 1°15; 
for this value of z,, z— 9, is 0°09’, and there is still no value of x, 
for which z— e, vanishes. 

But when C= 39:3 I computed the four orbits x, = 1°18, 1°17, 
1°16, ıı5 and found that for the two middle ones z — eg, was negative. 
By interpolation the pair of periodic orbits B and C were found. 

The orbit B is given by 


$, — U'1575, .9=9; 


and the orbit C by 
Lise 12288 9,70. 


In both cases g increases. 
The relationship to the neighbouring orbits is given by the inequalities 


4$, 1751,09, —T SO, < Los 


CUIUS! 


T D —T>O, 4% d. 
011575" >0,%>% 


DS WEES S sO. RO EA 





* At least the computation was not completed, for it was found to be so troublesome, 


that it appeared that the work could be better bestowed elsewhere. 


——— mr CS 












Periodie Orbits. 185 


The orbit B is slightly unstable, with even instability, and e = ‘156 /—1; 
the orbit C is stable, but approaches instability, and ¢ = 2'163. 


bte I, fim. 1. C= 30:0. 


These are the periodic orbits which belong to the families of non- 
periodic orbits shown in figs. 3, 4, 6 above. 

The planetary orbit A starts from f£, = — ‘434, ¢, — 7, and g 
increases. The incidence amongst the neighbouring orbits is shown by 
the inequalities 


t= 434 VO, La. 


2 
This orbit is unstable with slight uneven instability and e — 14+ *10y— 1. 
It thus appears that for some value of C between 39°5 and 390 we 
should find the passage of the planetary orbit A from stability to in- 
stability. It is certainly surprising to find that the instability of the 
planet sets in when the planet is a little less than half way to Jove 
at conjunction. 

The satellite A starts from x, = 1'0941, e, — o, and e increases 
until when y vanishes it is equal to about z — 13°30’; it then diminishes 
to zero. | 

Its incidence among neighbouring orbits (figs. 3 and 4) is given by 
the inequalities 

4, —1'0941I , 9, SO. 


When it starts too far from Jove it will move in some orbit round J, 
and when it starts too near Jove it will pass away towards 5$. 

This orbit is very unstable, with even instability and c = '46y— 1. 
The orbit of the oscillating satellite a is indistinguishable from À 
throughout part of its course, but falls more remote from J on the side 
towards S. It starts from x, = °687, e, — o, and ç diminishes. 

When 2,2:687, 6, — zz0; thus if the body starts too near Jove 
the total change of direction is insufficient for periodicity; and if it starts 
too near the Sun the converse in true. In the first case it passes away 
towards Jove, and in the second towards the Sun. 

This orbit is very unstable with even instability, and e is about 


V2 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 7 septembre 1597. 24 








186 G. H. Darwin. 


The satellite B starts with x, = 1'1500, €, = 0, and c increases. 





When x, =1°1500, g, 
This orbit is unstable, with even instability, and e = ‘38 /—1. 


EO, dein 


The satellite C starts with x, = 1:2338, e, — o, and e increases. 
When | 25.2 152338, 9, ——7:50, #, =). 
This orbit is stable, with c = 2°46. 


Plate Ib Sp 2.2 5 — 28's. 


The planet A starts from x, = —:444, €, — z, and ¢ increases. 

When z, z —-:444; 9, Z09, %, =”. 

The orbit is unstable, with uneven instability and c = 1 + 18 /—1. 

The satellite A starts from x, = r'1164, ©, — o, and ç increases 
until when y vanishes it is equal to about 7— 12°; it then diminishes 
to zero. It will be observed that at the first vanishing of y, the curve 
cuts the axis more nearly at right angles than was the case when C— 39:0 
and 39:5. When #,=1°1164, ¢g,=0. When it starts too far from Jove 
it will move in some orbit round J, and when its starts too near Jove 
it will pass away to the Sun. The orbit is very unstable, with even 
instability. 

The oscillating satellite « starts with x, = '6814, e, — o, and 9 
diminishes. When z,='6814, e, —r=o. In the first case it passes 
away towards Jove, in the second towards the Sun. The orbit is very 
unstable with even instability. 

The satellite B starts with x, = 1'1497, €, — Oo and e increases. 

When 2, 1'1407, 9e, — 7250, 2,4. 

The orbit is unstable with even instability, and c = ‘70 /— 1. 

The satellite C starts with x, = 1'2760, g, — o, and e increases. 

When' 5, 2—1*3760; 9, —7350; 8, =%,.- 

This orbit is very unstable, and as will appear below the instability 
is uneven. There has in fact been a passage from stability to uneven 
instability for some value of C between 39:0 and 38 75. 

This orbit is interesting because it corresponds almost exactly to the 
cusped orbit described by M* Hiri as the moon of greatest lunation. 
It would seem however that this description is incorrect, for the satellite 
C moves with a still longer period when the cusp is replaced by a loop. 
M" Hırr's orbit was, on the account of his approximation, necessarily a 


rhe e LE 


P ore 








[M LA 


Periodie Orbits. : 187 


symmetrical one with reference to the line of quadratures, but it will be 
observed that when the solar parallax is taken into account the orbit is 
very unsymmetrical. 

When C = 38:88 a new periodic orbit arises in the point 2) 13470; 
j — o marked in the figure. This is the beginning of a second family 
of oscillating satellites, referred to here as ^. 

When C= 38:5 this orbit begins with a. = 1'2919, 9, — O, and ¢ 
diminishes. 

When 7,-—1:2919, 9, — z—0. That is to say if the body starts 
too far from Jove for periodieity, it will pass away in an orbit as a 
superior planet; if on the other hand it starts too near Jove for periodicity, 
it will pass to some orbit about Jove. This orbit is very unstable. 


Plage WI, fis uri. 0 —- 390. 


The planet A starts from z, = — 455, ¢, — z, and ¢ increases. 
m ben 495. OO; 4; = © 
The orbit is table, with uneven instability, and c — 1 +'193 y— 1. 
The satellite A starts from x, = 1:1305, e, — o, and c increases. 
When ©,=1'1305, ¢,=0. The remarks concerning this orbit in 
previous cases apply again here. 

At the point where the orbit crosses the axis of x for the second 
time z—g is less than it was in the preceding case. 

The oscillating satellite a starts from x, ='6760, ¢, —0 and ¢ decreases. 
When x, =-6760, €,— 70. It is very unstable, with even instability. 

The satellite B starts from x, = 171470, €, — 0, and e increases. When 
42,2:1'1470, 9, — 7:0, 2,24. The orbit is very unstable with even 
ita: and e = :96y— 1. | 

The orbit B is on the point of coalescing un part of the orbit 
A, for the crossing point of the figure-of-8 in A is tending to become 
perpendicular to SJ, and the two curves nearly coincide. 

The satellite C starts from x, = 1'2480, e, — o, and ¢ increases. 

When a, =1'2480, g;— 7:50, $,:15,. 

This buit was very troublesome, and is not computed with a high 
degree of accuracy. A very small variation of C would make a large 
change in the size of the loops in the curve. 

The orbit is very unstable with uneven instability. 


188 


The oscillating 


decreases. 


When 2,2:1:2595, c, 


G. H. Darwin. 


satellite 5 starts with x 


— — 
tx Wt =O. 


curve for C = 38:5 apply again here. 


This orbit is very unstable. 


12595, 9, — 0, and e 


The remarks made concerning this 


The orbit C seems to be about to coalesce, in part of its course, with 


the loop P. 


S 18. Classification of orbits by families. 


Several orbits are given in this classification which were not included 


in $ 17. 


Table of results. 








o 








Coord. ol| . : 
aM Synodic 
staring | * - 
: Period 
point | 
ER nT 
8135 61°20" 
| 'I150| 65°40’ 
| 
| r'1090| 66? 50'| 
| 1°0334| 98° o' 





| 10650 |229° 
0941 |240° | 
"1164 |258? 
11305 |299° 


4 A4 


"55201 „Oo ‘| 
1'1575| 87°40 


'1500| 97° 0 


M 





'1497 |113°20 


"1470 


- 


| 





M 


O 2 cl 
131°50| 


Oo ,| 
1 | 89 20") 
8|114? o' 


5 =o? ‘| 
31179 30 


Criterion of 
Stability 


1 
4 sin? > zy®, 


VV+++ 
d 
Em dg o 








Apparent 

advance of 
pericentre in 
synodic period 


1 
2r(> e—1) 
2 


Satellite A, Plate IV. 


7 o dl 
399,0 
29° 40: 
2D) i0 
303° 


ST? (©, 


Regression of 
pericentre 
in sid. period 


—€ 
2 
2z| 1— ——— 
nT 
UR 





Description 
of instability 








fig. I 
oso d rM s 
SX MO ee 
SAAC. OR 
LOT CITES 
even 
mecs even 
even 
sisse even 
B, Plate-IV, fig. 2: 
rods M even 
Papae even 
MEE AE even 
Eh m even 
C, Plate IY. lg. 3 
249 30 EN re 
EL E T 
Poco A Ls uneven 
Mise uneven 
arua e uneven 








Modulus of 
' instability 


log y? 


log[D+ yD?+1] 


msn. 








Remarks 


[minimum of eriterion 
| maximum of x, 


minimum of z, 


Figure-of-8 begins 


maximum of z, 


































































to draw attention to a few important points. 

The passage of the family A of satellites into the figure-of-8 form 
is interesting. When C lies between 40'18 and some value a little less 
than 40°0, the oval orbit A and the oval a must be considered, in an 


algebraical sense, as a single orbit. 

















Periodie Orbits. 189 
M Coord. a | EN Apparent Regression of | 
of starting Synodie | Criterion of | advance of entre Modulus 
: Period Stability | pericentre in |. E . a, | of instability 
Energy | point kic dene in sid. period | Description RE y Bass 
\ P 1, \ lof instability vr i 
e x nT Asint da axi ret ou gta. ing y2 
in? ry Dy (2 1) 2] 1 RER | log [D+ VD? x 1] 
27 
Oscillating Satellite a. 
> sand ee een dod Tv | even | a point on SJ 
40'0 TOR, | 138. Serial) obierat neat even ? 
39'5 ‘693 ? De | en PET even ? 
390 087 7 746° sud Lcd ne ee Rue even | ovr 
38°5 "681 | 150° a Me |p ae ee o lp a ee even ? | 
goo. | :656 | | — ? oo NE CT. VEN: even | ? | 
Oscillating Satellite D 
Eos 3470 [..........] ? | | ? ? | a point on SJ 
ES"5. lx'2019| 214° ? | ? Sa CAE ACTES ? ? 
38:0 |12595| 208°? | ? peto ETT ? ? 
Planet A, Plate IV, fie. 4. 
400 |— ‘414| 154? + .91 FASO RER Were ies a ml ee | 
395 |— '424| 165? + 98 FOURS D ma cir deu re 
390 |— ‘434| 177° + 1°03 uneven DR 
38'5 |—'444| 191° SEE Io MM FILME. C DERE uneven 152 
380 |— '455| 207° mon BRONZE | uneven I'I4 
Although the above table gives most of the faets, it will be well 


But I think that we must imagine a 


to be described twice, so that when one of the two a orbits fuses with A 
to form the 8, the other may maintain a separate existence. The doctrine 
of the double nature of « receives confirmation from what is pointed 
out below in $ 19 as to the manner in which the C orbit fuses with 


the oval b. 


I think it is almost certain that a more complex sort of figure-of-8 
also exists, for we may imagine a body which describes two, three or 





190 G. H. Darwin. 


more circuits round the point of zero force in an oval like a, before 
passing off into the branch round Jove. 


We have seen that the confluence of a circuit round a alone with 
a circuit round a and round A leads to a figure-of-8 and a circuit 
round a. It seems likely then that a pair of complex figures-of-8, 
one with a double circuit round a and the other with a triple circuit 
may spring from a single orbit. However these orbits can hardly be 
described as simply periodic, and I have not considered them in detail. 

It appears from our table that the, satellite orbit A is stable, but 
with only a very small margin of stability when C — 40. It is worthy 
of note that the criterion of stability after passing a minimum value 
of ‘063, is rapidly increasing, so that the orbit is tending towards uneven 
instability. I do not know whether or not that instability has set in before 


the fusion with the oval a and the formation of the figure-of-8 orbit A; 


but the figure-of-8 is evenly unstable, and we thus have the fusion of a 
stable, or unevenly unstable, orbit with an evenly unstable orbit, and 
the resultant is evenly unstable. 

This throws light on the fusion of the planetary orbit A with the 
oval a, which must occur for a value of C less than 38. In the case 


A TIEN. 
of the planet we have seen that A sin* zy 0, has increased until it is 


greater than vnity and there has as yet been no fusion with a. Hence 
amongst the planetary orbits we shall have the fusion of an unevenly 
unstable orbit with an evenly unstable one, and the resultant will be 
evenly unstable. 

M* Hinr has drawn an interesting family of orbits of satellites, be- 
ginning with the orbit of the moon and ending with a cusped orbit. 
Now our moon undoubtedly belongs to the family A, whilst the cusped 
and looped orbits belong to the family C. He neglects the solar parallax, 
and this approximation has in fact led to the absorption of two families 
into one another. It appears now that it is not possible to comprehend 
the part played by this class of orbit without the inclusion of the solar 
parallax, for the asymmetry of the family C with regard to the line of 
quadratures is an essential feature in it. This will appear still more 
clearly in the next section. 

M' Hinr draws attention to the minimum of distance at syzygies 








i 
] 


ees 


Periodic Orbits. : 191 


in the orbits of satellites, and this is observable in our family C, but 
we also find a maximum of distance in the family A at the superior 
SyZygy. 

The periods of some of the satellites is extraordinarily long, that 


f the last figure-of being 799 or 3 | Bag! 
of the last figure-of-8 A being a of that of Jove, and that of 


235 CMS 
25 nearly à of that of Jove. 


the last looped orbit C being 
360 





S 19. On the probable forms of periodic orbits for values of € 
less than 38. 


It is obvious from Plate III, fie. 1 that a portion of the figure-of-8 
orbit A and the orbit B will coalesce for some value of C a little less 
than 38:0. The oval a will however continue to exist and to expand. 

The planetary orbit .4 will continue to expand, but the heliocentric 
distance at the conjunction remote from J will shortly reach a maximum 
and will then diminish, whilst the heliocentric distance at the other 
conjunction will increase rapidly. This will continue until the planetary 
orbit A touches the oval a; a new series of figure-of-8 planetary orbits 
will then arise, and the heliocentric distance at the remote conjunction 
will then increase. 

At some stage a pair of new planetary orbits B and C will arise 
from a single orbit; of these B will be evenly unstable and C stable. 

The orbit B will expand, coalesce with a portion of A, and then 
both will disappear. 

Reverting now to the satellite C, we are able to foresee its future 
course. ‘The fig. 2, Plate II and fig. 1, Plate III or fig. 3, Plate IV, 
show the growth of the two loops from two cusps. In order to throw 
light on the future development of these curves I have drawn Plate III, 
fig. 2, which shows a non-periodic orbit for C = 38'5;' in it we see 
that the upper loop has descended below the line of conjunction, and 
the lower loop has risen above. For some value of C a little less than 
MANC UT 


* It would have been better to have drawn the similar curve for C = 38'0, but 





this one suffices for the present purpose. 








192 G. H. Darwin. 


38 there must be a periodie orbit of this general form. We shall thus 
have a periodie orbit with five full moons in the month. In this sort 
of orbit the crossing point P will be at first a point of contact; the 
distance JP will then diminish to a minimum and afterwards increase. 
When P has moved outwards and Q has moved inwards, so as to meet, 
the upper loop will have spread so as to coincide with the lower, and 
the lower with the upper, and both will coincide with the oval D. I think 
that after this stage the orbit C will disappear, but the oval 5 will 
continue to exist. f 

This conclusion is interesting when taken in connection with the 
looped orbit to which M. PomscArE' drew attention, and which has been 
traced by Lord Ketviy.* They both neglected the solar parallax, and 
with the degree of approximation adopted by them, the central space 
might be made as small and the loops as large as we like. But the. 
inclusion of the solar parallax now appears to be essential to the proper 
consideration of these orbits. 

It appears froin fig. 1 that when C = 34:91, there is a new periodic 
orbit consisting of the point x = — 9469, y — o. This point is the origin 
of a new family of osciliating planets, say c, which describe ovals with 
retrograde revolution round the point of zero force, for values of C less 
than 34°91 

Turning now to our conjectural planetary orbit C, we see that whilst 
initially it will be nearly circular, it will ultimately produce two ex- 
crescences near the ends of the oval c. These excrescencces will be- 
come cusps, and then loops; the loops will cross one another, become 
identical with one another and with the oval e, and the orbit C will 
probably then disappear. 

The case of the superior planets has not yet been Fools and 
there is not much concerning them of which I feel confident.? It is obvious 
however that they are described with an apparently retrograde revolution, 
and that they contract as C falls in value. The orbits will be nearly 
circular, but will bulge inwards in the neighbourhood of Jove. At 





* Méc. Cél., p. 109. 
* Phil. Mag, Nov. 1892. 
* I have now (July 1897) traced some of them. 





Periodie Orbits. 193 


some stage the inward depression of the orbit will meet the oval à in 
contact. This stage will be the commencement of a new family of orbits. 
having the form of a sort of inverted figure-of-8. If the old figure-of-8 
be likened to two circles touching one another externally, the new figure 
may be compared with a small circle touching a large one internally. 
A similar series of changes must ultimately take place with the oval c, 
and probably we may have an orbit with loops at both ends of the 
line of conjunctions. 

I will not hasard detailed conjectures as to the future of the three 
ovals a,b,c. I think however that it is probable that they will stretch 
out towards the vertices of the two equilateral triangles which may be 
erected on SJ as base. These vertices must be themselves the origins 
of a pair of similar ovals, and perhaps the extremities of a,b,c will 
stretch out to contact with this fourth system of ovals. 


8 20. Classification of stable orbits of satellites. 


We have seen that amongst satellites there are two classes of stable 
orbits, namely those of the A and C families. Plate III, fig. 3 exhibits 
the limits of the orbits which have been shown to be stable. The exact 
orbits which possess limiting stability would of course differ slightly from 
those drawn in this figure. | 

When C is large the stable orbits of the A family are approximate 
circles of small radius. As C decreases the orbits swell, but when C 
reaches 40°25 the radius vector at superior syzygy reaches a maximum. 
Hence the orbit x, = r'1150, C — 40725 gives one limit of the stable 
orbits of this family. The orbit x, = 1°0334, C = 4070 gives approximately 
another limit as regards the inferior syzygy. The shaded space between 
these two orbits is filled with stable orbits. 

The stable orbits of the C family begin when C is a little greater 
than 39°3, and the first one traced is that for which x, = 1'1751 and 
C= 39:3. The stability of these orbits still subsists when C = 3$'0, but 
this orbit is already very unstable when C has fallen to 38°75. Accordingly 
I take for the other limit of orbits of this kind x, = 1:2338, C — 39'0. 
The shaded space between these two is filled with stable orbits. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 13 septembre 1897. 


n2 
ot 





194 G. H. Darwin. 


It will be observed that there remains an unshaded tract within 
which no stable orbit can exist. I think moreover that it is probable 
that with a smaller mass for Jove we should have found a complete 
annulus within which stability is impossible. 

This conclusion is interesting when viewed in connection with the 
distribution of the satellites and planets of our system, and it appears 
to me to be the first exact result, which throws any light on Bode's 
empirical law as to the mean distances of planets and satellites from 
their primaries. he ] ‘ 

It is as yet too soon to make a similar classification of stable 
planetary orbits, but this will follow in due course. 

We have seen in an earlier section that unstable orbits are such as 
ultimately to lead to the absorption of bodies moving in them into one 
or other of the perturbing centres. If there were a large number of 
perturbing centres, as in our planetary system, the problem would become 
incomparably more difficult, but I think that the present investigation 
affords evidence that if we were to have a system consisting of a large 
planet moving round the sun, and of a cloud of infinitesimal bodies 
circling about them, a system would ultimately be evolved where there 
would be inferior and superior planets and a pair of satellites moving 
in certain zones indicated by our figures. 


Postscript. 


It is stated in § 3, p. 112 that if the third body be placed at the 
vertex of the equilateral triangle drawn on SJ, it is stable. I have to 
thank M' S. S. Hovan for pointing out to me that this is not universally 
true, but that if Jove is greater in mass than one twenty-fifth of the 
Sun, such a body is unstable. 

Thjs may be proved as follows: 


The coordinates of the point for which r=p= 1 are Ud 
9 


90 92 3°2 
= — —= 0, but Ze 7 (v + 1), Ys — 3 3 (v — I) 











Me 
y =-,/3; also = — 
y 2 Ÿ 3 9x 91 





Periodie Orbits. 195 





D | oe 


— “(y + 1). Hence at a point whose coordinates are x — 


I 
Eas Fo 


20 — 3(v 4-1) +504 NE +S 56 — 16 + LG + + 


and the equations of motion are 





ae", — be", we easily find 


| 


Noting that n°— +1, and assuming & 


Pl 

It is clear that if v+ ı)?> 27», A? is negative, and the motion is 
oscillatory; but if (v-F 1)? < 27», À is semi-imaginary and the solution 
will represent.an oscillation with increasing amplitude. 

The limiting value of » consistent with stability is therefore given 
by (»4- 1) — 27», the solution of which is » — 249599. The second 
solution is of course the reciprocal of the first. 

In the- numerical work in this paper I have taken » — 10, and 
there will accordingly be no stable orbits encircling the point r — p — 1. 





Periodie Orbits, Appendix. 197 


APPENDIX. 


Computations of Periodic Orbits, and of their Stability. 


Explanation. 


The orbits are given in families, arranged according to descending 
values of C, the constant of relative energy. The families are distin- 
guished by the initials 4, B,C,a,b. The initial A is attached to one 
of the families of satellites and also to the family of planets, because 
the satellite A appears to bear the same relationship to Jove and the 
Sun that the planet A bears to the Sun and Jove. 

The data for the orbits are given as follows: — The first column is 
the arc of the relative orbit measured from conjunction; the second and 
third are the rectangular coordinates z — 1, for satellites, or x, y for 
planets; the fourth gives c the inclination of the outward normal to the 
line SJ; the fifth and sixth are the coordinates o, d for satellites, or 
r, 6 for planets; the last column contains the function 2n/V. 

The last column is given so that the reader may be enabled to com- 
plete the solution, by drawing the orbit with reference to axes fixed in 





space. The integral 5 | as would give nt, that is to say the angle 


turned through by the rotating axes since conjunction; then the polar 
coordinates with reference to Jove are o, ¢ + nt, or with reference to the 
Sun are r,60 + nt. 

In the case of the oscillating bodies (families « and b) the polar co- 
ordinates are not given, but the rectangular coordinates with reference to 
axes fixed in space are clearly 


x cos nt — y sin nt, x sin nt + y cos nt 


for heliocentric origin, and 





198 , G. H. Darwin. 
(x — 1) cos nt — y sin nt, (x — 1) sin nt + y cos nt 


for jovicentrie origin. 

The last line of these tables gives the value of the arc and of g 
when y vanishes. If the orbit were rigorously periodic and were com- 
puted with absolute accuracy, this angle would be 180° or o*. It may 
be remarked that in some cases a small.change in the initial value of x 
leads to a large change in the final value of cg, and in other cases the 
converse is true. Thus in some cases it is necessary to continue the search 
until the final value of ¢ only differs from 180° or o? by a few minutes 
of are, and in others even an error of a degree of arc is unimportant. 
The coordinates are certainly given with sufficient accuracy to draw the 
figures on a large scale. — | 

Finally there is given the time-integral »T, being twice the angle 
turned through by the rotating axes between the first orthogonal crossing 
of SJ and the second (closely approximate) orthogonal crossing. Since 
the circuit is completed at the third crossing 7 is the period, and the 
ratio of »T to 360° is the ratio of the period of the body to that of Jove. 

After the coordinates the discussion of the stability is given. 

In order to test the sufficiency of the harmonic expansion of @ to 
represent that function, a comparison is given between nine of the equidis- 
tant values of ® with the corresponding values derived from a synthesis 
of the harmonie series, which has been calculated as far as the eighth 
order inclusive. Following this comparison is ®, the mean value of 4. 

In the cases where the orbit is stable the value of c is given, and 


4 : : \ oW MS : ; 
certain functions of it. The function A sin* -z 0, or sin’ = zc is what is 


called in the table of § 18 the Criterion of Stability. The function 27 Ce 1) 
gives the retrogression of the pericentre, with respect to the rotating axes, 
in the synodic period. The function nT —2n(50— 1) gives the advance 

, | 


of pericentre, with respect to fixed axes, in the synodic period. And 
/ oe 


an | ES gives the advance of the pericentre, with respect to fixed 
pat 


\ 27 
axes, in the sidereal period. 








Periodie Orbits, Appendix. | 199 
Where the orbit is unstable, when the determinant A is negative the 

: ER de : 
instability is of the even type, and when Asin'7zy0, is greater than 


unity the instability is of the uneven type. The modulus of instability, 
or the number of synodic circuits, in which the amplitude of displacement 
increases to twice its primitive value, is given. 

When the instability is of the even type c is of the form 2n +k /—1, 
and when of the uneven type it is of the form 2» + 1 + /\/—1; in the 
tables c is given in one or other of these two forms. 


FAMILY A OF SATELLITES. 


€^ — 40:5 cU ExiI'LI35 

an 

8 € — I y © p d Y 
00 + ‘1135 + ‘0000 oro! 1135 or so! 2'423 
3 102 298 12256 4I Iis "441 
6 002 580 25° 58 58 30-2 '492 
o841 832 39° 15° 83 44° 5 574 
12 625 1040 52956. 1213 58° 59 ‘679 
5 366 189 67° 10 44 72° 54 792 
8 + 078 269 $2700! 71 86° 30’ 893 
21 — '0222 271 az — 82° 42' 90 z— 80° 7’ 960 
4 511 194 67° 20’ 98 66° 51’ 975 
7 769 044 52° 24 96 53° 36 936 
30 981 0833 20 m" 87 40? 19' 870 
3 Lig 578 24? 58° 76 26° 55° ‘803 
6 233 + 294 az — 12° 16’ 66 zn — 13° 2 157 
39 — '1265 — '0004 TE 0946 ‘1265 Tt + o’ıı 2°740 

*3806 ‘0000 z— 0° 3’ 





ane Far 


200 G. H. Darwin. T 


Family A of satellites continued. 


Stability of z, = r'1135, C — 40^ 5. 








Comparison 
Computed ® Synthesis Computed ® Synthesis ; 
a, 3°19 3°18 A, 7°28 7°22 í 
a, 3°84 3°84 A, 5'80 5°91 
a, 4°67 4°66 Aro 5'OI 4 80 
: 5:81 5°83 fs 3°19 3°00 
Aa, 804 804 
D, == 5419. | 
The harmonic series represents ® well. 
. . . I 
The determinant gives Asin’ z zy, — "7110,60 2247, 
| 
I I 2" " 
Oo ,! o L o , 
z|-c—1]-— »nT—27z(-c—1]—1 god i Se 3 
2 Ce 1) 39? 4',n «(sc ) O° 42/527 E 22? I9 
27 
The orbit is stable. 
C = 40°25 x, = 11150 
21 
8 y — 1 y ra y 
00 + ‘1150 + ‘0000 GP 50" 2'418 
3 118 298 127324, 437 
022 583 24° 53 496 
0867 839 37° 34 587 
12 659 1054 50° 36” 708 
5 407 216 64° 12° 846 
8 + 124 312 78° 29° 978 
21 — ‘0175 333 mz — 86° 39° 3'079 
4 469 277 T1 38 120 
7 739 146 56° 43 097 
30 966 0952 42° 42' 033 
3 1142 710 29° 37 2'954 
260 435 17° 20° 886 
9 320 Jae neu 854 
42 — ‘1319 — ‘0158 x + "6° 4 2'855 
4042 0000 n— o? 1 





Periodie Orbits, Appendix. 20] 
Family A of satellites continued. 
Stability of x, = 1°1150, 0 =-40°25. 


Comparison 


Computed @ Synthesis Computed ® Synthesis 
a, 2'928 2'936 a, 7'839 7'865 
A, 3'652 3'650 A, 6'050 6'036 
a, 4°574 4'580 ao 4'383 4.384 
a, 5:885 5:881 do 2:947 2'932 
a, 8718 8'730 
gosse ip. 


The harmonie series represents ® well. 


: : ea 
The determinant gives A sin’ -r /®, = ‘0630, c— 2'161, 
2 





I A 
I I 2° 
, o , en ^" zm f 
er (30-1)=29° = ‚nT—2r(.c-1)= 86, 37727 i er er — 30" 58’. 
N 27 / 
The orbit is stable. 
€ — 402 æ, = I'I09O 

2n 

8 QE y E Y 
oo + ‘1090 + ‘0000 Bod. 2:216 
3 058 298 122 30 298 

6 ‘0961 581 u Ÿ 362 
806 837 31. 33 467 
12 598 “1052 50° 28 609 
5 346 215 63° 45 780 
8 + 064 314 17° AX 958 
21 — ‘0234 340 az — 87° 41° 3'119 
4 529 289 72° 35 225 
7 800 163 57° 36' 255 
'30 "1031 ‘0972 43° 22° 219 
3 210 732 30° 10° "155 
6 331 458 17° 55 ‘092 
9 394 + 166 z— 6° 18 ‘055 
"42 — 1397 — 10134 are 5 € 3'053 
‘4066 ‘0000 t — o? o 
nT = 66° 52’ 
Acta mathematica. 21. Imprimé le 11 septembre 1897. 96 





202 G. H. Darwin. 
Family A of satellites continued. 
Stability of x, = 11090, C= 40'2. 
Comparison 
Computed® Synthesis C.mputed ® Synthesis 
a, 2°627 2°573 a, 8:640 8'753 
a, 3'300 3'296 a, 6°692 6°635 
a, 4'156 4'139 Aro 4'760 4.758 
a, 5°498 5'601 a,, 3'093 3'033 
a, 8:184 S345 
aa 
The harmonic series represents ® fairly well. 
: - ea 
The determinant gives A sin* -z y 9, = :0636,c = 2:162, 
x I \ 
— C 
I o , I o , 2 o , 
ar(3e—1)=29 14,nT—27(5e—1)=37 38', 2x1 1 — ——, |— 31° 44. 
\2 | 2 nil 
Oe eS 
\ 27 
The orbit is stable. 
C = 4070 %, = 103341. 
2n 
: fcu y 9 p d y 
‘00 + ‘03441 + "00000 Se ‘03341 OO ‘039 
1 3257 0995 9° 40° 3406 17 10 ‘950 
2 3010 1963 18? 52° 3594 35: eae "981 
3 2617 2882 27° 16’ 3893 47° 46° 1'031 
4 2101 3738 34° 44° 4288 60° 40’ ‘096 
5 1484 4525 41917 4762 71° 50° ‘172 
6 + 0787 5241 4497.0 5300 81? 28' '259 
8 — ‘co785 6472 56° 20° 6519 z— 83° 5 "458 
"Io 2518 7467 63? 41' 1880 71°. 22' "690 
2 4355 8256 69° 39' 9334 ' 62° 11 "958 
4 6259 8866 749 42° "10852 54° 47 2'269 
6 8207 9316 10° 12° 2416 48° 37' ‘640 - 
8 "10184 9617 83° 29’ 4007 ATZE 3'093 
"20 2178 9769 87° 49° 5613 38° 44 ‘664 
2 4177 9762 z — 87° 17 7213 34°33 4'410 


+24 — ‘16166 ‘09564 z — 81° 3 18783 z— 30°37 5'406 


| 
| 
| 
| 





S8 MERE 
26 — ‘18111 
7 9046 
5 9934 
20752 
39 1474 
I 2081 
2 2570 
3 2949 
+ 3231 
5 3431 
6 3559 
7 3622 
38 — '23623 

37516 


Periodie Orbits, Appendix. 


Family A of satellites continued. 


y 9 p 
'ogılı Mog RTE "20274 
8758 662 12! 0963 
8300 58° 59 1594 
1726 50? 39' 2143 
7035 41° 46 2596 
6241 doe II. 2946 
5369 25° 34 3200 
4444 19° 9 3375 
3485 „28. 50 3491 
2505 9° 21° 3564 
1514 57.206: 3608 
"er «956-479-1949. 3628 
— ‘00484 z+ 1°41’ -23628 
‘00000 ;z— o? 1’ 


nd OS: 


Stability of x, = 1r'03341, C —40'o. 


Comparison 
Computed ® Synthesis Computed @ Synthesis 
a, 292540 7 0:06 a, 17'58 20°28 
a, 2 25277 a, 41°05 39°50 
Ge. 2°74 3°89 Hd 138893 32°56 
a, 2°93 1'601 Ais 0°48 — 2°63 
a, 4'709 5°88 
31 Ot 24 


The representation of ® by the harmonie series is not very satis- 
factory, nevertheless it will serve to give the result with some approach 
to accuracy, for the following shows the gradual approximation to a de- 
finite value as the number of rows of the determinant is increased: — 


Value of A 


No. of rows 


5 "000 
9 '092 
13 :233 
I5 243 
y 246 





204 | G. H. Darwin. 


Family À of satellites continued. 


: é Ms d 
The deterininant gives A sin’ =z) $, ='2264,and ¢ = 3:684; 





I \ 
-c 
27 (;071)—303^10" AT— az( 01) =— 205°! 25 24 I———Àáà = — 161°18’. 
27 
The margin of stability is obviously small. 
C= 395 Figure-of-eight orbit, x, = 1:065 

8 p — I y. e p o eu 

E L pP 
‘00 + ‘0650 + 0000 Qu ‘0650 64 © 1'434 
2 631 199 10? 52' 662 17° 20° "452 
4 576 390 a TE . 696 34° 9 ‘508 
6 487 570 SE 750 49° 27° ‘598 
8 371 132 39° 52° 821 037 ‘718 
‘10 233 876 47° 53 907 19.8 ‘870 
2 + 076 ‘1000 A "1004 85° 40’ 2°053 
4 — ‘0095 104 or^ Sy 109 27 — 85° 6° 268 
6 276 188 68° 21° 220 76° 55 "522 
8 466 252 74235 336 69° 36’ ‘820 
‘20 661 294 80° 56’ 453 poor 3'167 
2 860 315 87° 38° 571 56° 48° "573 
4 "1060 310 z— 85° o 685 gi? * p 4'039 
6 257 279 76° 41' 793 45° 29° 543 
8 447 217 67° 20’ 891 40° 4 5054 
"30 624 125 54 Ab 975 34? 42' "463 
783 002 493^. 19° "2045 29° 20 “1348 
4 917 ‘0855 Q^ um 100 IS M - M "856 
6 ‘2030 690 30° 49' 145 18° 47’ "882 
8 123 n13 24° 58 184 12726. "876 
"40 200 329 20" 3p 224 5" sb 922 
2 265 + 139 149 524 269 z— 3?3r 6'053 
4 320 — ‘0053 i59" © szr rebas ‘287 
6 369 247 13° 54 382 5° 56° ‘690 
8 417 441 14° 4° 458 10° 20° 7'425 
9 442 538 14° 47 501 12° 25 ‘950 
‘50 — ‘2469 — ‘0634 7— 16° 8 ‘2550 7 + 14° 24 8:688 


— 


> ioo e bal st RR E e A 5. 








Periodic Orbits, Appendix. 205 


Family A of satellites continued. 


S Dies y © P e V 
EI — 2498 — ‘0729 x — 18° 27’ 2603. z.+ 16° 16’ 9'685 
2 $23 823 25" 20. 663 189,110" 532245 
3 677 913 30° 4 733 190.37, |'23 953 
'535 604 955 36° 54 773 20° 8' 16:633 
4 637 992 AË 27% 818 207.46 19'562 
425 657 ‘1007 BO ra 841 20° 45 21:083 
45 679 019 67° 54 866 20° 49° 23'755 
475 703 G25). iso 2r 891 20° 4G 247453 
5 728 026 + 83° 33’ 915 20206 ‘220 
525 193 020 78° 35: 935 20° 20 22'752 
"555 775 009 60° 13 954 19?59' 21'190 
"56 814 '0979 46? 34 979 IQ Th. 07.097 
65 848 942 37° 23' 999 18? 19' 15'257 
7 876 QOL 31 38 3014 Fy 2% 13:597 
75 9co 857 299 13 02 16? 28' 12'425 
8 922 812 223p 55 033 U 11'445 
9 958 719 182.57 044 132.40 9'910 
60 987 62 I5 Re 052 I A7 280 
I "$04 I 526 12222 057 9? 55 8:666 
2 030 428 9? 56 060 88. 3 220 
4 058 230 5° 50° 067 4? 18 7'727 
6 072 — ‘0031 eu 20 22° O72 40 SE 540 
8 — 3974 aas UD ge nor SUA am ar. Qr 7'595 
66308 — 3073 0000 + 1°49 


nTi= es9 i9 


The above is not strictly periodic, since the final value of ¢ is 1° 49'; 
but I find that when a, = 1:066 the final value of e is — 62° 24’, hence 
the periodic orbit should be x, = 1'065028. Since the above only differs 
from the true periodic in the fifth place of decimals of z,,l accept it as 
periodic. It would seem however as if the final value of z— 1 in the 
periodic orbit is about — ‘305 instead of — 3073, as in the above. 


Stability of x, = 1:065, C = 39'5. 


The determinantal method fails, because ® varies froın about — 20 


in one: part of the orbit to more than 3000 in another, and the harmonic 


206 G. H. Darwin. 


Family A of satellites continued. 


series gives so insufficient a representation of ®, when we stop with the 
term of the eighth order, that it does not seem worth while to form and 
evaluate the determinant. | 

The orbit is clearly very unstable, with instability of the even type, 
as appears below in the case when C — 39'0. 


€ — 390 Figure-of-eight orbit, x, = 10941. 


It appeared from various computations that the periodie orbit should 
commence with x, = 1'0941. : 

Accordingly after the latter part of the orbit had been computed 
the first part was calculated. 


8 ELLO y € p o y 
‘00 + ‘0941 + ‘0000 po. "0941 2-40 1'875 
2 927 200 FRS CH 948 Teo 19" "888 
4 886 395 15° 42° 970 24° 2° ‘928 
6 819 583 23720: '1005 roo "991 
8 728 761 309.98 054 409 py" 2:081 
‘12 485 ‘1077 44° 27 181 65° 49° ‘340 
6 + 174 329 57° 29° 340 82° 32° TER 
'20 — ‘0184 504 Oo AT 515 z — 83° o 3'227 
4 574 589 84° 51° 690 703! ‘880 
971 565 m — 76° 44 842 58° 10’ 4'562 
‘32 ‘1337 407 56° 48° 942 46° 26° ‘004 
633 139 39° 50° 991 34° 53° ‘807 
‘40 853 ‘0806 979 5b '2020 230120 "606 
4 ‘2013 440 19^ 35 061 12° 20’ "92m 
8 127 + 057 1359: 128. 7 — -1?32' ‘639 
'52 — ‘2211 — ‘0334 7 — 10° 49 3237 TE eso 5'048 


"52 


if 7 ds = 109° 10’. Also the value of ce where the curve crosses the 
0 


axis of x for the second time is z— 13° 22’. 








Periodie Orbits, Appendix. 


Family A of satellites continued. 


the remainder of the orbit was computed as follows: — 


5 


T2058] 


ry 4 
14? 427] 
129 59| 
3 ra 4.08% 


~ 


mM 


- 


- 
GO C2 
Ld 


m 
N CG 


Lal 


D RR CQ 
o 


+ 


- 
~ 


M 


t3 


-_ 
+ + © 


t3 


— 


t3 


M 
oo 


w 
N 


207 


The following results in square parentheses were found by inter- 


polation, between x, = 1:09 and x, — 1:10. Starting from these values 


208 G. H. Darwin. 
Family A of satellites continued. 
itp 20 . DHEA 
Integrating T from the completion of the half circuit to s='52, I 


is 


"zn 7 a - : : : 
find | y ds — 130° 33’, and combining this with the previous integral, we 
e 
have nT = 239° 43’. 


Stability of 7, — 10941, C= 390. 


Comparison 


Computed ® Synthesis Computed ® Synthesis 
a, 2°59 1°76 a, 5.51 8°34 
a, 4°27 5°24 a, — 8143 — II'OI 
a, 8°89 7°68 a, — 13°95 — 13°86 
a, 18°68 19°65 a, — o87 f=") 355 
a, 44°10 44°18 d2,- 43193 + 39°87 
41°49 39°87 ü c 1890 — 4°86 
Ba 10:28 — 33'96 

0, = 8°74. 


The computed and synthetic values of ® present some concordance, 
but the representation of ® by the harmonic series is unsatisfactory. 
The harmonie constituents being however used in the determinant 


. * 9,1 : : = 4 
give Asin TV = — 1:063,c—"46/—1,modulus = ‘48. 


The orbit is very unstable with even instability. 





C = 385 Figure of-eight orbit, x, = 1°1164. 


This orbit was exceedingly troublesome, and the coordinates were 
found by several interpolations. After the calculations were completed 
an error was discovered which may be substantially corrected by increa- 


sing all the arcs by ‘0001. The following figures to three places of. 


decimals suffice for drawing the curve with fairly close accuracy. I have 
not thought it worth while to recompute the whole, and only give the 


. = . 2n 
interpolated coordinates and function y 


[ 
j 
À 
! 








Periodie Orbits, Appendix. 209 
| Family A of satellites continued. 

8 | Ui = 

5 JA 
‘00 + ‘1164 + '000 2°20 
4 12 40 "26 
8 ‘099 78 ‘39 
EU. 19 Eu ‘63 
6 52 41 ‘99 
‘20 d, ug 65 3°49 
4 — '017 80 4°13 
8 Bla 85 ‘81 
"32 96 U 512 
‘129 55 4°85 
"40 56 25 ‘39 
4 75 ‘090 ‘07 
8 90 53 3°90 
252 "201 He ES "92 
: 09 — ‘024 4°13 
"60 16 64 "63 
4 2 , 530g 5:65 
8 32 42 8°30 
‘70 42 59 11°83 
60 67 15°43 
4 76 58 10°58 
6 go 43 8'20 
8 98 2 6°88 
‘80 "304 06 ‘08 
09 ‘086 5°59 
4 13 66 "26 
6 15 47 05 
8 27 2 4°88 
‘00 — ‘318 -— ‘007 4°86 


When y vanishes between s —:52 and ‘56, ¢ — z— 12?6'. 
nT-=1358% 


The stability was not worked out, but the orbit is obviously evenly 


unstable. 


n2 
-1 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 12 septembre 1597. 


210 G. IT. Darwin. 
Family A of satellites continued. 
C = 380 Figure-of-eight orbit, x, = 1°1305. 

The caleulation of this orbit proved excessively troublesome, and 
the results given below are only obtained with sufficient accuracy to 
draw a good figure. 

Two sets of curves were traced; in the first set I travelled in a positive 
direction, starting from points on the line SJ for which x, is greater 
than unity; in the second set I travelled in a negative direction, starting 
from points on the line SJ for which z, is less than unity. One member 
of each of these two families was finally selected, such that they might 
be approximately parts of a single orbit. i 


The first of these two orbits is found by interpolation between the 
two, namely x, = 1:126 and.z, = 1:134. 


(are increasing) — (are diminishing) 
8 © — 1 y 8 € — I y 
‘oo T 1305 + “000 ‘00 — 32250, O00 
4 27 "040 — '04 21 40 
8 16 ‘078 8 16 80 
"iz ‘098 "114 2 07 LO 
6 75 47 6 ‘294 56 
‘20 47 75 8 83 73 
4 =! 97 "20 70 88 
8 — ‘023 "211 . 1 61 93 
“22 63 12 2 52 94 
6 99 '196 3 42 92 
‘40 ‘128 68 4 34 85 
4 50 34 5 E dd 
8 67 ‘098 6 24 68 
"n2 81 61 " DT 59 
6 90 + 22 8 18 49 
‘60 97 — ‘017 — ‘30 — .214 — ‘129 
4 ‘201 57 
8 05 96 
qa —'210 — ‘135 


The period of the whole periodic orbit is given in round numbers 
by nL=299% 

The orbit is obviously very unstable, and the instability is doubtless 
of the even type. 














- 
b 


Periodic Orbits, Appendix. 211 


FAMILIES B AND C OF SATELLITES. 


€ = 393 


These are two orbits which nearly coalesce. It would have been more 
interesting to find .the orbits for that critical value of C for which they 
exactly coalesce, but on account of the difficulty of the search I have 
only found two orbits nearly coalescent. 

Four orbits were computed viz. z, = 1°15, 1°16, 1°17, 1°18; the values 
z after a semi-circuit were found to be — 6’"5, + 1'*5, -- 2^8, — 5'4. 

If w,,u,,%,,%, denote any functions connected respectively with the 
four orbits z, = 1°15, 1°16, 117, v'18 it appears that the two orbits for 
which the value of ¢—z is exactly zero are given by 





of e 


u, = * 1188 (u, — u,) ue ‘2127 (u, — 1) 12 0394 (u, Um u,), 


and 
u, + : 0628 (u, —u,) + °3133 (u, —u,) + 3193 (u, — u,). 
Putting the w's equal to 1°15, 1°16, 1°17, 1'18 we find % = 1'15747, 
x, = 1'17506 for the two periodics, 


The four computed orbits gave n7 equal to 87° 15’, 87° 52’, 88° 46”, 
89° 51’ respectively. 

On applying the formule of interpolation to the values of z— 1, y 
and 47 I find the two periodics as follows: — 


orbit D orbit C 
z —I 1 z —1 y 
‘00 + ‘15747 + ‘ooooo + ‘17506 + ‘ooooo 
3 5499 2986 7257 2986 
6 4756 5889 6512 5888 
9 3526 8620 5270 8614 
312 1825 ‘11085 3539 11058 
5 ‘09675 3172 1345 3098 
8 7136 4756 ‘08761 4604 


"21 '04299 hg à '05893 '15462 





bo 
— 
bo 


G. H Darwin. 


Families B and C of satellites continued. 


8 2 — I y T— 1 y 
"24 + “01317 + ‘15962 + ‘02902 + ‘15616 | 
7 — ‘01638 5475 — ‘00043 5082 4 
30 4398 4315 2807 3923 Ü 
3 6845 2588 5279 2234 | 
6 8902 0412 * 7384 0102 
9 "10519 ‘07889 9053 ‘07615 
"42 1658 5119 "10232 4860 
5 2296 + 2191 0877 + 1936 
48 — '12418 = —goSpa Je ‘10961 — ‘01058 ! 
ne — Oy 41. nT = S919. 


The semi-arc of the periodic orbit B is' 47197, and that of C is 46941. 
The fifth place of decimals in the coordinates has been given, although 
it is perhaps frequently inaccurate. 


Stability of orbit B, x, = 1:15747, C = 39°3. 


Comparison 
Computed ® Synthesis Computed ® Synthesis 
a, 2'887 2'879 a, 7'427 7'418 
a, 4'240 4'243 a, 4°594 4 602 
a, 6'165 782 Go 2'676 2677 
a, 9'024 9'042 Ass 1'209 I'2I5 


a, 12'925 12'931 
D, = 6* 393 ’ 
The harmonic expansion represents ® well. 
rq" . . . . ? I 
The determinant A is negative, and A sin*2 zy) = —'0612. 
The modulus is 1:415, and the instability is not-great; c = "156 y— 1. 


The orbit is unstable. 


Stability of orbit C, x, = 1'17506, C = 39:3. 


Comparison 
Computed ® Synthesis Computed ® Synthesis 
A, 3'736 3725 a, 6'123 6'119 
a, 5'507 5:517 a, 3°948 3°956 
a, 1:862 1:834 do 2'430 2'431 
a, IO’7TS5 10'749 Ais 1'199 1'185 


a 11641 10'663 
D, = 6'489. 








Periodie Orbits, Appendix. 215 
Families B and C' of satellites continued. 
The harmonic expansion represents ® well. 
k : : Ty 
The determinant gives, A sin’- zy &, = '0644,c= 2'163, 
I 
—0—rj-80 57'.41—2zl-6-r|ea0934/.22 4—————— 124927. 
et ) 80 57',nT (30 ) 30° 31,27 — 4 27 
27 / 
The orbit is stable. 
FAMILY B OF SATELLITES. 
C = 39°0 T$ —=1"1500, 
! zn 
S gp = di Y € p o Y 
00 + ‘1500 + 'oooo oo) ‘1500 ao?" © 2°975 
4 459 397 Li" go 512 15° 13 3'016 
8 337 711 23° 54° 546 30° 10 135 
12 136 1122 36? 34' 597 44? 39 340 
0862 412 50° 29’ 654 58° 36 611 
20 523 622 66.27 704 722.8 876 
4 en] 723 84° 44° 728 85° 27 4°093 
8 — ‘0260 691 x — 75° 30° 111 x — 81? 16’ 021 
32 624 529 549.27] 651 67? 48' 3:696 
928 271 42? 13' 574 53° 52' 335 
40 1159 0946 20° 4 496 39° 13 174 
4 316 579 Ej Ra. 438 23? 45 2:832 
8 395 + 188 z— 5°28 408 2 — 7°41 738 
52 — ‘1392 —‘oz12 a+ 5°56 ‘1408 z+ 8°40 2°738 
"4991 0000 z+ 70° r 





214 G. H. Darwin. 


Family B of satellites continued. 


Stability of x, = 1'1500, C — 390. 


Cowparison 
Cowputed ® Synthesis Computed ® Synthesis 
a, 1'861 2'012 a, 9'599 9'602 
d, 3'087 3'078 d, 4994 4'926 
a, 5'045 5'202 A, 2'206 2'274 
a, . 8'405 8'166 di, 0'538 0'588 
a, 15315 17124 
(|. — 6921; 


The harmonie expansion represents with fair accuracy. 

: i ; EY 

The determinant A is negative, and A sin?- zy 9, = — '4019. 
2 


The instability is of the even type, the modulus is 0:58 and c is 
0°38 /—1. The orbit is therefore very unstable. 


€ — 385 4$, = 1'1497. 


The comparison of the orbits zx, = 1'1500 with a neighbouring orbit 
showed that the exactly periodic orbit would correspond with x, = 1:1497, 
but the results here given will be sufficiently exact. 


; 20 

» EP y g] P 5 yy 
00 + ‘1500 + ‘0000 Q^ o. 1500 07 © 2:835 

4 464 398 TO 24% 517 IR wp2 '88o 

8 356 782 20° 50 566 29° 59° 3'020 
'12 181 1141 31727 643 Ade wr" 264 

6 0941 460 2° 46 7137 por 626 
'20 639 g2X Sg. Bee 837 69° 38 4'119 

4 + 282 897 1227 919 8133 '668 

8 — 'OII3 950 z — 86? 53’ 953  — 86? 41 '972 j 
3 500 854 65? 19' 920 74° 54 108 

36 — 'o831 Coci1631 7 — 48° 18’ 1830 63°: © 4'106 





The values of ® were computed for Lp 


Periodie Orbits, Appendix. 


Family B of satellites continued. 


y y 

TO Ed d. oth Là 
‘0987 24° 
610 1 4° 

+ 217 z— 5° 
Pores za 4 
‘0000 7 o° 
nl =. 


Stability of x, = 11497, 0 = 385. 


p d 

24 1783 N Ho 196 3'574 
28’ 628 372.20 'I9I 
36 552 23° 9 2'946 
a 511 z— 8° 16’ ‘826 
25 "HL509 7 [6 BB. 2:821 
4 

ba. 20. 


11500, and were corrected 


by interpolation with values computed for x, = 1'1475, but the correc- 


tions were so small that they might have been omitted. 


The 


The 


The orbit is very unstable with even instability; the modulus i 


Computed ® Synthesis 


Aa, 0°68 
a, 1°83 
a, SUI 
y 8'03 
a 29°34 


determinant is negative, and A sin’ 


oy a= 
i 331 
4'18 
1:39 
28:97 


Comparison 
Computed ® Synthesis 
A, ; 11:79 I 1'907 
A, 4°53 4°29 
do boot 1°34 
da — o'82 — 0'90 
PD, = 8:60. 
representation of ® by the harmonie series is fairly good. 
I 
ay Ree 
TND — "ar. 


3,3 And C= -70 /— 7, 


a 


5 





4 
216 G. H. Darwin. | 
i 


Family B of satellites continued. 


C = 38'0 EN TO. i 
2n 
: . y e p 7 m 

00 + ‘1470 + '00oo 00 1470 Goo 2:660 
4 437 398 9° 26 491 15° 29° ‘706 i 
8 340 786 18° 4o' 553 30° 23 850 i 
12 183 1153 gu 39. 652 AU 3'106 ] 
0970 492 36? 36' 779 56° 58 497 : 

20 706 791 46° 19' 926 68° 29' = 4089 
2 556 922 5i? 58 ‘2001 13254, 482 ; 
4 391 2036 58° 41° 073 19-8. ‘957 | 

6 213 128 60S vA" 139 84? 16' 5'504 
8 + 023 189 77° 46° 189 89° 23° 6'042 
30 — ‘0175 209 z— 89° 7 216 z — 85° 28’ 397 1 
2 373 182 249 cb 213 80° 18' '353 i 
4 558 108 9297 181 75 IO 5'932 " d 
6 735 1998 51° 53' 126 jo d '352 
873 864 44° 6 059 64° 53' 4'805 

40 1004 713 37°55. 1986 59° 37 "336 
4 221 378 28° 22° 841 48° 28 3°653 : 
8 385 014 20° 6 717 216° 13% '214 : 

52 496 '0630 1299. 624 22° pm 2'944 
56 1555 40235 7 4 39 1573.00 478/2308 2:814 : 
5836 —.'1564 0000 zn — o? 8 ? 
nd 431 957. ; 


The final value of e changes rapidly with the initial value of #, 
and therefore this is a very close approximation to the periodic orbit. 


Stability of x, = 111470, C= 3870. 


Comparison 


Computed ® Synthesis Computed ® Synthesis 
a, — 0'402 2'265 a, 12°358 137083 
a, 0670 — 0'363 a, 3'160 1931 
tt, 2'899 5'403 qo p 1'439 
a, 6'413 2'487 Gg — 2'174 2°271 : 


a, 59°339 56°777 








M.- 
je 


Periodie Orbits, Appendix. 


Family P of satellites continued. 


The representation of ® by the harmonie series is poor, but it will 


suffice to give some idea of the degree of instability. 


| I 
. 2 > 
The determinant is negative, and — A sin TND, 465: 


The orbit is very unstable, with even instability; the modulus is 


about -23 and ¢=‘96/—1. 





FAMILY C OF SATELLITES. 


€ = 390 122538. 


The periodic orbit was found by interpolation between x, = 1:230 and 


5]. The 


0 
following are the two computations, 


8 SE y € P Ce 
"oo + '2300 + ‘0000 Ou xO! 12908: 0740" 
4 258 397 12° 10° 293 9° 59° 
8 128 774 25° 50° 265 19° 59 
"2 "1905 ‘1105 qu y 202 30°. Ay. 
594 354 60° 24' 092 40° 21' 
.20 221 494 17° 56 '1929 50? 45' 
4 "0824 526 z— 87° 10 735 632.83 
8 430 461 74 5 523 73° 36 
32 + 060 Aux 6x 52 312 87° 24 
— '0269 o85 49? 14' 118 z— 76° 4 
"40 538 ‘0790 35° 13 ‘0956 55° 46° 
4 721 436 19° 19° 843 dit. 
8 795 + 045 z— 1?44 199 "m2 3 BA 
52 — '0745 0398 7 6 ‘0823 a+ 25? 12 

*4846 ‘0000 z + o°19 


nT = 112° 26’. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 12 septembre 1897, 


©, = 1:235, by the; formula..24 [x, = 1:230] #76 [w= 1:23 


GO 4 wm 


bo 
Qo 


218 G. H. Darwin. ad 
Family C of satellites continued. 
an 

j Ed udi g p ? v 
“00 + ‘2350 + ‘0000 o9 e '2350 SE + d 6'594 

4 306 MS y 12? 31' 340 9? 46' '616 

8 173 713 26° 41' 397 19? 35' "640 
"12 "1944 "1099 43° 32° 233 29° 30° "434 

6 627 340 629. 8 108 39129. 5'780 
"20 249 470 9 119: '1928 49? 39' 4'805 
4 'o851 495 nz — 86? 43 120 60° 21 3'888 
8 458 428 "pis c ee 500 CE i NS '147 
'32 + 087 281 62° 2*' 284 80707" 2°581 
— ‘0244 059 49° 46' OBS mo enum ‘161 

"40 516 moyen. 5 34 ‘0945 56°: 3. 1'859 

4 700 413 19° 10’ 813 30° 32. :»670 

8 eh, d cuan ais YS EX Ja TT MAT "603. 
"52 — '0715 — ‘0374 7 + 17? 10° 0807 x +27 37 1'661 
"4821 -0000. z— o? 6 

nT = 114 4". 


The interpolated coordinates for the periodic orbit are 


€ — 1 y 

2338 + ‘0000 
he 307 

162 iis 
"1935 ‘1100 
619 343 

242 476 
‘0845 502 
451 430 

+ o81 288 
— ‘0250 065 
521 ‘O72 

795 418 

Y + 026 

— '0722 — ‘03069 


nT = 113544. 


The ares with which these orbits are computed are rather longer than 
is desirable, nor was quite sufficient pains taken to make the second ap- 





Periodie Orbits, Appendix. 219 
Family C of satellites continued. 
proximations satisfactory. Thus the order of accuracy attained is not very 
high. It seemed however to be sufficient for the purpose. 
EAU ofr. = 71-2336, 0 —'39"0; 


The values of ® and of the determinant were computed for the two 
orbits between which the periodic orbit lies; the following are the results: — 


y, = 1'230. 
Comparison 
Computed ® Synthesis Computed ® Synthesis 

d 5'40 5:57 à, 4°47 4°58 
a, 10°65 10:773 a, 3°06 3'04 
A, 16°30 16°40 . Go 1793 1'99 
di, 18°44 18°38 Ais 0°47 0°47 
d, OMU x NT 


@,.= 8'065. 


: ! PM 
The determinant gives A sin^ -z/ 0, = 421,c— 2:450, 
I 
; — it 
I o , r I 4.1° !/ 5 2 PX 4,9 x ( , 
27 EX — 80 online — 31 29,27 Basar +77; —23 385 
2 2 y | de 
D-20235 
Comparison 
Computed @ Synthesis Computed @ Synthesis 
a, 6°04 6:20 a, 4°26 4:27 
a, I1'94 12°00 a, 2°98 2°95 
a, 171272 17'81 Q, o 1'88 1'89 
a, 18°65 18°55 Ais 0°43 0'42 
d, 9°13 904 
D, = I / 6, 
The determinant gives A sin’-z/®, =°439,¢ = 2'462, 
I 
{ 
I I 9 d : 22° 28' 
27 (ce 1) =83° 10',nT—2r(; c— 1) == 36-54 ,.227| 1 — em |= 25.2" 
: 1 : Pv 





220 G. H. Darwin. 


Family C of satellites continued. 
By interpolation between these two for x, = 1:2338, 


A sin? -z 9, ris, C— 2 £50, oe (Ge— 1) ee 40, 


- C 
ry I , 2 
nT —22(Se—1) = 31° 2 22 I en —23'35. 
I EL 
T 27 
The orbit is stable. 
C = 3875 i 4, = 128733. 
8 æ— 1: E d p 9 
*oo + °28733 + '00000 UE GS: [20972 D^ 30, 
2 8693 1999 2° 18' 8763 3° 59' 
4 8568 3995 4° 55° 8846 7° 58 
6 8340 5982 BS 2A 8964 DIXIE 
7 8174 6968 10? 46' 9023 t cd 
8 7962 7945 13 54 00 9069 15° 52 
9 7688 8906 TO ER 9085 I7? 590! 
‘10 733° 9839 24° 14' 9047 19° 48° 
I 6856 "10719 da^ 8916 219 40 
2 6237 1502 44? x3! 8647 9237 «I 
3 5465 2136 Boe 8210 25^ 29. 
4 4576 2590 68? 19' 7615 Hom: 
5 3621 2887 1627 6907 28° 37° 
6 2638 3068 82° «9' 6140 30400) 
7 1644 3168 Boo. 8° 5335 38° 19, 
8 0645 3210 89% 0 4509 Bar Sn: 
'20 '18648 2172 m — 839 3" 2830 3BP pA 
2 6655 3018 BART 1138 38 ‚= 
4 4670 2774 81° 474 ‘19453 AT 3 
6 2697 2448 79° 27° 7781 44° 26° 
8 0739 2040 76° 50° 6133 48° 16 
"30 ' 08802 1544 AT 45 4517 527473 
2 6893 0949 "LM 2938 57? 49' 
4 5023 0241 67° 22° 1406 03^ 59 
*36 '03208 '09403 zx — 62? 56’ '09935 112.10 





> HEN p EE d ub iem = Lnd 4 de DOS Sr 
mr 7 





Periodic Orbits, Appendix. : 221 
Family € of satellites continued. 
21 
Y (4 p (A y 
+ ‘08413 z — 57° 34 '08541 Be? «8! 1'731 
7248, 50° 56° 7250 m — 88° 47’ "528 
5884 42° 39 6101 74° 40° "353 
4303 32° 13° 5152 56° 38° ‘209 
3431 oS thd AT TA 45° 56° ‘152 
2509 19; 20' 4477 ARE 5 "106 
1547 Ix y 4269 21? 15 "074 
0558 4° 24' 4159 zz — 7° 43’ ‘057 
+ 00059 z— 0°30’ ‘04143 1'054 
‘00000 z— o? 2' 


RI -—3179 31*. 


Stability of x, = 128733, C= 38°75. 





Comparison 
Computed ® Synthesis Computed ® Synthesis 
a, — 4°38 8°08 a, 3°42 — 9°75 
a, 18°34 43°45 a, 3°08 11°03 
a, 185°33 155°74 Go 2°57 0°49 
a, 46°39 “79°81 dy, — 3°08 8:88 
a, 6°22 15°65 
Ge — 2302: 


The representation of ® by the harmonie series is bad, but it may 
serve to give some idea of the degree of instability. 


The determinant gives A sin*^ r V9, = 1'946. 


The instability is uneven; e = 1 +55 ÿ/— 1; modulus = ‘40. 





Ue Tie ut os ae) NER déc à 


i 


222 G. H. Darwin. 


Family C of satellites continued. 


C — 385 qc "3760" 

8 æ — 1 y e p dr 
oo + '2760 + 0000 O^" 2760 geo 
5 759 200 0° 34 766 4° 9 
4 756 400 Wipe E 785 8° 15 
6 752 600 i? 816 leo 
8 746 800 Ia 861 ng 8 
"10 741 "1000 Ian 918 20%. 2 
2 737 200 I 988 23° 40' 
3 735 300 o? 49° 3028 25° 25° 
4 734 400 Tune 071 271° 7. 
45 132 450 EX AT 093 27° 57° 
5 730 500 4° 32° 115 28° 47 
525 727 524 So 20. 124 29° 12° 
55 721 549 ZI 131 29° 39° 
5625 715 560 25 275 131 29° 52° 
5750 705 567 72° 4T 126 20,15 
5875 693 504 =a Es 115 20 rf 
6000 681 561 63°45. 103 30°. 12" 
6125 671 555 58752: 090 Zo ke 
6250 660 549 5623 078 30 n2 
650 640 534 545 20. 053 30 410! 
675 619 520 54° 4 028 36, 4j! 
70 599 505 54°. 2’ 005 go en 
75 558 476 54° 53° 2954 29° 59' 
80 517 448 56° 8 904 29° 54° 
9 433 394 58° 59' 804 29° 49 
20 346 344 61? 29' 794 29? 49 
167 256 65° 50’ 505 30 #40" 
4 1982 179 69°yo 306 30° 46' 
8 603 050 nie Age 1916 33». 
32 220 ‘0936 13° 38 537 37° 29° 
0838 818 719.41 171 44° 18 
40 464 677 66° 35 0821 55° 36° 
283 591 62° 9’ 655 64° 24° 
4 + “az 488 55° 11° 500 174 
6 — ‘0041 360 44° 30° 362 2— 83° 27 
7 107 285 36° 53° 304 69° 25' 
48 — ‘0160 0200 m— 259 4 0256 z — 51? 20’ 








Periodie Orbits, Appendix. 223 


Family C of satellites continued. 


s ot y 9 p 9 V 
'49 — ‘0196 "0107 7T— I4? 56 ‘0223 m — 28° 36’ “728 
"50 210 + 008 z— o?sgr 210 ZT. 204 d 
‘51 — ‘0199 HOUR PTE NS 20 ‘0219 mt 24^ 33 "729 
30084 | — 'o2102 ‘0000 z+ O° 21’ 


nl. 2107 52. 


A small change in x, makes a large change in the final value of e, 
and it is therefore unnecessary to seek a more exact representation of 
the periodie orbit. 

The stability was not computed, since the method would fail, but 
the orbit is obviously very unstable with uneven instability. 


C= 38:0 f= 12480) 

2n 

S c — I y 9 p d y 
00 + ‘2480 + ‘0000 a” o. 2480 oo .6) 5'047 
4 475 400 15 22, 507 Go EE 176 
8 460 800 og. 586 ro^ OT 591 
12 444 1199 + 1°50’ 723 26° 9° 6°479 
444 SOSA 012 go! 921 33° 12' 8'470 
461 798 BT Ale "3048 36° Lo! 10'593 

20 510 991 229 22 204 38° 25° 15°63 
I 561 2076 41° 49° 297 399.2. 22'07 
15 599 108 60° 44’ 345 30°..7 25°62 
2 646 122 — 87° 11 389 38° 44 27°81 
25 695 113 x + 65° 34 424 387756 26°60 
3 736 084 46° 34 440 37° 18° 22°64 
35 768 046 34° 36° 442 36° 28° 19°60 
4 793 003 25° 52° 437 35° 38 17°03 
5 827 ‘1908 7x + 14° 12° 410 34° 4 14°16 
7 847 708 z— o?26 320 30° $8 II'02 
*20 "2824 “LOIS T— 13° 15 3204 28° 9 9'286 





224 G. H. Darwin. 


Family C of satellites continued. 


8 g — 1 y 2 p a y 
'31 ‘2759 1323 m — 24° 36" ‘3060 25° 37 8:070 
3 660 150 32.38. "2898 23 23 7'072 
7 384 ‘0862 51° 48° 535 19? 53 5'462 
"41 043 655 64° 26° 145 19946 4'197 
5 ‘1670 512 13 0e 1747 16° 50’ 3'218 
9 282 416 78° 16' 348 17° 58. 2'452 
'53 ‘0889 343 80° 14° ‘0953 T0 vx 1'824 
5 692 309 79° 56 758 24° 4 "541 
495 271 18921" 565 28° 45° ‘266 
8 398 250 2502. 470 $53. or “129 
9 301 226 - 74° 39° 376 36° 56° 0:986 
‘60 205 196 31943 284 43 45. | ‘839 
I 112 160 D5 24° 195 55° 0 "682 
2 + 026 IIO BA v TE: 267 ng "510 
25 — '0012 077 42° 46’ 0783 z— 81? 6 "420 
30 039 036 23° 4 0535 42° 22' "347 
325 — ‘0047 + 0012 z— 9? o 00481 7 — 14? 32' 0'328 
‘63371  — ‘0048 '0000 zz — 1?37 ‘00478 z— o? o 0'327 

nl=235 17% 


This orbit was not computed with high accuracy. As far as can be 
judged from other computations, the exactly periodie orbit would cor- 
respond to z, = 1'2465, but the calculations from which this is inferred 
were not conducted with the closest accuracy. 

A very small difference in the initial value of z makes a considerable 
change in the size of the loop described. It would be very laborious to 
obtain the exact periodic orbit for this value of C, and the above appears 
to suffice. 

The orbit is obviously very unstable, with uneven instability. 





Periodie Orbits, Appendix. 


FAMILY A OF PLANETS. 


C = 400 d, = —'414. 
8 © y 9 
Oo — '4140 — ‘0000 z+ o? o 
I 032 992 129 22/ 
2 3715 1938 24° 49 
3 199 2793 37° 28 
4 2507 "3512 50° 24 
5 1670 4055 63° 47 
6 — ‘0728 295. 7 729 42! 
7 + ‘0265 A p Te 
8 1249 309 13049 
9 2159 3901 58? 34 
1'0 939 280 44° 27 
I 3549 ‘2490 Er. 
2 969 "1585 18° 45° 
3 4191 "0612 deu 
1°35 + ‘4228 — ‘OII4 — 1° 24° 
23614 «423 000 — o? 6 


nd, — poA Ys. 


Although this is not strictly periodic, since the final value of ¢ is 
— 0? 6', it is sufficiently nearly so to be accepted as such. 


Stability of x, = — '414, C — 40°0. 


Comparison 
Computed ® Synthesis 


a, 5°476 5'490 a, 
a, 6'184 6'180 a, 
a, 7'069 7'088 Go 
a, 8'356 8.327 NL 
a, 11'463 11'438 
D; — 0051. 
Acta mathematica. 21. Imprim& le 12 septembre 1897. 


Computed ® 
11'027 
9'104 
6'700 


.Q 
3'801 


Synthesis 
11'021 
9'106 
6:696 


3 193 


29 





226 G. II. Darwin. 
Family A of planets continued. 
The harmonie series represents ® well. The determinant gives 


A sin? z 9, = 9096, ¢ — "2" 806), ox (30 — 1) =145° a, 


/ I 


-c 
Tas (fer) m 98 13% 24( 1— —{— =.6 37% 
i+ 
The orbit is stable. : 
€ — 395 % = "4240. 
The periodic orbit is found by interpolation between x, = —-'426 and 
£, = —°4, by the formula ‘02228 [z, = — 426] + ‘07772[x, = —°4]. 
The following are the two computations: 
2n 
8 a y e r 6 y 
0'O — ‘4260 — '0000 z+ o? o' 4260 t+ o? o 1'861 
I 157 993 11° 52 275 13° 26° 874 
2 "3851 1943 23° 49' 314 26° 46° 905 
3 354 2809 35° 51° 374 39° 57 959 
4 "2686 3550 48° 18° 451 5254 2'031 
5 "1871 4127 61° 14’ 531 bio ar "LIS 
6 — ‘0947 501 149-48. 600 z+ 78° 8 189 
7 + 0041 644 7x + 88°52’ 644 — 89° 30° 242 
8 ‘1032 pee i 16939. 654 "LUE 256 
9 965 185 Daran 624 64° 50’ "221 
1'O "245% 3614 48° 6 560 62° 24 144 
I 3443 2866 34° 59° 481 39° 47° ‘052 
2 924 1991 22° 48° 399 26° 54’ 1'962 
3 4218 037 11° 30° 343 13° 49' '9oo 
1'4 4324 — 6044"  — — 110° 43’ "4324 mo^ 357 1:878 
1'4044 + ‘4324 ‘0000 — o° 15’ 





Periodie Orbits, Appendix. 


, | Family À of planets continued. 

8 2 y e T 
'o — '4000 — ‘0000 z+ o? of '4000 
u ‘3899 998 4 a 127.30 .…, 024 
2 599 ‘1945 23° 20’ 991 
3 III '2817 355 41 (197 
4 "2455 ‘3570 PS due 333 
"5 1654 '4165 59° 39' 481 
'6 — '0742 568 gua bp 627 
ET door os 140. z H 87° 19' 746 
'8 "N34 655 — 77° 20° 817 
'9 '2167 394 Or? 22. 819 
'o 970 "3712 05 ur. 754 
"3598 "2937 . 32° 15’ 644 
"4035 040 EQ? ri 522 
278 "1072 — $° 33’ 410 
+ 4334 e. OCS ay “bce ho = 74935 


114075 + ‘4331 juego >< ar 


We == 167734 


4 y 
— '4240 — '0000 
134 993 
3831 ‘1943 
335 ‘2810 
2668 3552 
1854 4130 
— ‘0931 506 
+ '0057 651 
1048 — 547 
981 ‚194 
2798 "3622 
3455 2872 
933 “1995 
4223 040 








zc 


The interpolated coordinates for the periodic orbit are, 





228 G. H. Darwin. 


Family A of planets continued. 


Stability of x, = — '426, C= 39'5. 
The orbit x, = — ‘426 was treated for stability in place of the inter- 
polated orbit 2, = — 424. 
Comparison 
Computed ® Synthesis Computed ® Synthesis 

a, 5°73 5°73 a, 11'94 1194 
a, 6°54 6°54 ay 9°42 942 
a, 7°59 7°59 a, 6°57 6°57 
a, 9'14 9'14 Qs 3°25 3°25 
a, 12°71 12°71 


D, = 8'565. 


The harmonic series represents ® perfectly. The determinant gives 


LM I : 
A sin* - zy 0, = '976,c= 2'901 an(ie— 1) =162° 15, 


I 
I 2° 
nT — 27 (3e-1)= 2° 47’, 2z| 1 — em qo DN. 
I + pes 
The orbit is stable, but approaches very near to instability. 
The results would have been somewhat modified if we had operated 


on the true periodic orbit x, = —*424. 


C= 390 % = 7'434: 


0 


(Computed with 8-figured logarithms and to tenths of degree). 


8 at y 9 r A+ nt 
o — '434 —'ooo r+ o? o' ‘434 T + of 0 
"3 24 99 r1? 18' 36 18° 36' 
“2 395 195 22° 36 42 37° 12° 


4 — ‘348 — .282 x + 34° 12° ‘449 7+ 55° 36" 


. Periodie Orbits, Appendix. 229 


Family A of planets continued. | 


s z y ge r A+ nk 
“4 — "284 —*359 z+46° o' 457 z+74° 6 
"5 04 "420 58? 24" 67 — 87° 2, 
"6 114 63 71° 30° 73 68? 54 
7 — ‘016 83 z+ 85°24’ 84 52° 24" 
“8 + -083 78 — 8o? a’ 85 31? 30° 
"9 “179 49 65° 24° 83 — 12? 42° 

1o "264 "396 51? 12° 76 + 5°54 
"I "334 25 38° 12" 67 24? 24" 

‘2 87 "241 26° 6 56 42? 42° 
"3 422 148 FS UR. 47 61? 6 
‘4 440 —"048 | — 4° 48" 43 + 179° 36 

145 + 442 + "cor + o° 12° "442 
1'446 "000 + o? 6 
al = 177" o. 
Stability of r, = — -434, C = 390. 
Comparison 
Computed ® Synthesis ~ Computed ® Synthesis 
a, 5'489 5'434 a, 13595 13:609 
a, 6:507 67527 a, 10'271 10'247 
a, 7442 7529 Go 6'507 67527 
a, 9°721 9°637 a, 2627 2:638 
a, 14'870 14'823 
®, = 9'156. 


The harmonic expansion represents ® well. 
The determinant A is positive and A sin? = zy®, is 17027, and 


c=3-+'10y—1ı. 

The modulus of instability is 2:1. | 

The orbit is unstable, with uneven instability, but the instability is 
slight. 











230 G. H. Darwin. e 


Family A of planets continued. 


C= 385 x, = — 4440. 
8 v 7) 9 r p TY 
"00 — "4440 — ‘0000 z+ o? o' "4440 z + o? o' 1'916 
o8 380 797 S ad. 452 10° 19 925 
16 203 1576 13 ey. 489 20°44 955 
‘24 ‘3911 ‘2320 25° 4% 547 30° 41° 2'004 
32 509 3011 34° 34 624 40° 38° 071 
40 006 632 43° 35 714 50° 23 157 
8 2410 4164 ed a 811 FT 258 
56 1733 589 62° 48’ 906 69° 19’ 368 
64 0993 889 13 15 989 yom 474 
72 — ‘0210 5045 z+ 84° 22° 5049 x + 87° 37 560 
80 589 043 — 83° 58° 077 — 83° 20° 605 
8 1370 4877 LEP 066 74° 18 592 
96 2101 555 60° 26’ 016 65° 14' 523 
1704 755 095 49° 25 4935 56° 4 413 
12 3312 3523 39° 14 835 46° 46’ 286 
20 765 2864 29° 54° 730 377-120; 163 
8 4109 143 219 15 634 eg esr 058 
36 345 1379 l3. 1$ 559 17° $7: 1:980 
44 415 — ‘0591 m, Xi 914 sure 1 35 935 
dt — '4502 + ‘0208 + 1? 49' 4507 + 2°39’ 1'927 
1'4992 ‘0000 — 0° 6° 


nik 


Stability of x, = — 4440, C= 38'5. 


After the computation of the stability had been completed a small 
mistake in the calculation of the orbit was detected in consequence of 
which the semi-are of the periodic orbit was taken to be 1:4987 (instead 
of 1:4992 as above); it was not however thought to be worth while to 
recompute the stability. 


Periodie Orbits, Appendix. 


Family A of planets continued. 


Comparison 


Computed ® Synthesis Computed ® Synthesis 
a, 5'084 5'084 i (5/319 15'346 
a, 6°174 6'155 a, 10'517 10'516 
a, 7'695 7724 a, 6:157 01241 
a, 10'183 10'160 Ais 2°029 rg» 
a, 17°402 17'418 
®, = 9:786. 
The harmonic series represents ® well. 
. . S Ms : I 
The determinant A is positive and A sin*7 z 9, = 1'078, and 


€—3--176y— 1r. x 
The modulus is 125. The orbit is unstable, with uneven instability, 
but the instability is not great. 


358 Ly = —"455.. 

x 2n 

8 x y e T Ü y 
'oo — '4550 —‘0000 z+ o? o HARAS OI =. 7 90790) 1'954 
"08 494 0797 e ur 563 10° 4 1°964 
"16 326 1579 16° 20. 606 20°. 8 2'000 
"24 050 "2229 24^ 19; 672 29? 54' '056 
'32 3669 3032 32° 35° 760 39° 34 ‘133 
‘40 190 ‘3672 41° 4 864 49° 1 ‘234 
8 2621 4233 49° 50° 978 58° 14 ‘354 
"56 1970 ‘4697 59° 14 "5092 67? 14 ‘496 
"64 251 5044 69° 18 193 167 58 "631 
"72 — ‘0480 5255 z+ 80? 1$ 282 «+ 84°47’ 119 
'8o + ‘0316 '5310 — 87° 58 310 — 86° 35 "325 
'88 1107 5197 75° 48 316 77° 59° ‘841 
"96 856 "4921 63° 47 259 69° 20 "753 
104 + '2535 — ‘4498 — 52° 34° "5164 — 60° 36’ 2°611 








8 y 9 T 6 
1.12 3122 ‘3957 — 42? 15" '5042 3:351 44 
I.20 611 3324 Be "UN '4908 42? 38' 

8 ‘3996 2624 24° 43 730 33 17. 

36 4280 1877 16° 58’ 673 #32 AT: 
‘44 464 1099 9° 39° 597 13° 50° 
'52 550 — '0304 — 29458 561 — 4? o 
1:60 + 4540 + 70495 94:56 ‘4567 710 
15505 0000 — o? 8 

nib. — 200 D 
Stability of z, = —'455, C — 380. 
Comparison 
Computed ® Synthesis Computed ® Synthesis 
4'722 4'886 a, 17'052 17'170 
5'941 5'927 a, 10'602 10'491 
a 7767 7'821 hyo 5'618 5'649 
a 10'991 10'898 ds 0'952 0'990 
a 21.495 21'508 
705069. 


The 
The 


The 
The 


G. H. Darwin. 


Family A of planets continued. 


0 


representation of ® by the harmonic series is good. 


: : ; I 
; ons . 2 25 . : 
determinant A is positive, and A sin 27v 90, 18 105. 


orbit is unstable and the instability 1s of the uneven type. 
modulus of instability is 1°14,and e— 1 4-193 — 1. 











Periodic Orbits, Appendix. 233 


FAMILY « OF OSCILLATING SATELLITES. 


€ EE rae Ty = 77095. 
8 = y ep i 
F 
00 + 7050 + ‘ocoo — o? o 14'622 
I 053 100 22 or 867 
2 o61 200 6243. 15'674 
3 077 298 ERS 17'354 
IOI 395 177,30 20'872 
5 118 442 22° 44' 24'319 
45 141 487 Ses Be 31'098 
525 155 507 40° 55° 37°31 
550 174 524 Sr 32 47°14 
5625 V6 eda LOU: a= PE 50 54°71 
5750 197 531 = + 88°27’ 55°66 
5875 210 529 69° 30° 54°34 
6000 220 523 Bc ER PEE pn 
6125 230 514 44° 29' 41°87 
6250 238 505 35 8 3759 
6375 245 495 31°59 . - 33°98 
6500 251 484 LP i 30°28 
675 262 461 229 43 26:92 
700 2x 439 Par Sh 24°14 
75 285 390 PX XI 20°59 
80 295 341 23 9 18:47 
85 393 292 7° 55 16°99 
90 309 242 6° 10° '027 
95 313 192 4° 43 15'335 
"100 TEL 142 do qur 14/810 
05 319 093 a" ad 516 
10 321 + 043 1? x8 '329 
XE + 7322 —‘0007 z+ 0° 18’ 14°276 
o 27° 


‘11427 i ‘0000 z+ o 


nT = 138° 20’. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 17 septembre 1897. 30 














234 G. H. Darwin. 


Family « of oscillating satellites continued. 


Stability of x, =°705, C= 4070. 


The thirteen equidistant values of ® show great irregularity. The E 
values numbered 0,1, 2,3,4 and 8,9, 10, 11,12 are all negative and 
lie between — 2:6 and — 3:0; the values numbered 5 and 7 are about 
+8,and the value numbered 6 is about + 800. 

The harmonic analysis led to results which showed that the repre- 
sentation of ® by the series would be so bad that it would not be worth 
while to continue the calculation. 

The orbit is obviously very unstable. 





C = 390 x, = ‘6871. 


The eoordinates for the periodie orbit were derived from the following 
by interpolation, as explained below. 


8 Y y e ES 
3 V 
‘00 + ‘6870 + ‘0000 DR MO u: 
4 390 399 5° 44 6'008 
8 954 794 12° 58 ‘893 
‘10 ‘7007 987 po^ 4 7'834 
I 040 "1081 23^ 2p) 8'570 
2 080 172 25° 58 9:634 
3 120 260 32^ 11-293 
35 157 301 39 14 12'511 
40 190 339 43° 46° 14'174 
45 22 372 BED 16:688 
415 248 386 60? 40' 18:12 
500 271 396 69? 41' 19'72 
525 295 403 — 81° 8’ 21°26 
550 320 404 zx + 85° 19° 96 
575 344 399 ir €*9. ‘62 


‘1600 1367 1388 z- 58748 2036 








Periodie Orbits, Appendix. 


a o. Du MEM c 


Family « of oscillating satellites continued. 


S 


"1625 
650 
675 
70 
75 
8o 


a 


411387 

. 404 

420 

433 

456 

474 

488 

501 

519 

533 

542 

553 

556 

555 

= 2549 
a 


4 


is 
355 

336 
315 

270 
224 

176 
HB 
029 
'0930 
830 

631 
431 

231 

+ 1031 


T 


z + 48? 46' 
Aux 4 
35. 6 

30° 25 

23° 37 

18° 59° 

15° 26° 

12° 47° 
gum 

6° 22* 

4? 25 
pre 

zx + o?ir 
gp ge 
| 29 r8. 


UE E de 


, 


Oo , 


23 





m 


t= 140° 30. 


zn 


V 
18:66 
1704 
15:64 
1445 
12:58 
11'243 
10'235 


9:467. 


8:350 
1584 

"EY 
6'294 


33875 


"653 
‘585 
5'656 


235 


The following are coordinates interpolated between the preceding and 
the loop of the figure-of-8 x, = 1'0941,in such a way as to give a pe- 


riodie orbit: = 


55 
6 


"165 


368 
+ ‘7407 





T» — WEE) 


fj 


236 G. H. Darwin. 


Family @ of oscillating satellites continued. 
8 æ y 


BT p oHm 


75 461 273 
8 481 227 
Ss Ay 180 
9 510 142 
‘20 534 027 
1 549 ‘0929 
4 573 "ORS ” 
6 583 446 
8 587 246 


30 ck 'T985b*. 41-0099 
nl = As a. 
Stability of x, = 6570, C= 39'0. 


In order to try the determinantal process on one orbit which is ob- 
viously very unstable, I treated the first of the above as though it were 
periodic with the following results: — 


Comparison 


Computed ® Synthesis Computed @ Synthesis 
a, — 27 + 38°6 a, =f 10 2 ome sn 
a, 2 earners a, — 2°2 + 870 
a, ee 59 "uz cy E s 73347 
a, 9 1030 3 LIT xu 335 2 
a, — 2°4 + 82'9 ey Lex $9 Mr 
a, RUE e BR — 33 + 35'8 


a, +4989 + 3795 


The function ® is obviously one which would require a very large 
number of terms of an harmonic series for adequate representation, and 
the above is very bad. 


m. | 
However with 17 rows I find A sin^^ zy, = — 1484;c = 2:'0y—1, 


modulus — "11. 


I think it is certain that the instability is of the even type, and is 
very great. 





Periodie Orbits, Appendix. 237 
Family « of oscillating satellites continued. 
€ = 385 ma 6914. 


Two orbits were computed, namely x, = :6817, giving the final value 
of e equal to z+ 5?11' and mT = 147?46', and ‘6810, giving final 
g = z— 626 and nT = 151?53'. The arcs in the latter orbit were 
shorter than in the former throughout a portion of the curve. Inter- 
polation between these two by the formula ‘446 (x, —:6810) 4-554 (v, —:6817) 
gives the following results: — 


2i 
8 x y Y 
00 + 6814 + ‘0000 4°85 
4 831 400 98 
8 884 796 5°44 
E 982 "1183 6°53 
4 ‘7055 369 7:62 
6 153 543 9°70 
7 2E 620 11'63 
8 295 675 14°46 
9 390 699 17°44 
'20 482 662 E527 
I 943 581 11°69 
2 584 491 9'61 
3 615 396 8°28 
4 637 299 7°36 
6 666 102 6°22 
8 682 "0903 "50 
‘30 697 703 5'07 
2 695. 504 4°79 
4 698 304 >07 
6 698 ^" x85" "52 
"38 77698. — ‘0094 4°52 
"37054 "7698 ‘0000 


RL — ees, 


The orbit is obviously unstable, and the instability is of the even type. 











238 G. H. Darwin. 
Family « of oscillating satellites continued. 
C = 380 L, = "676. 


This orbit was exceedingly troublesome, and the coordinates were 
found by several interpolations amongst the same orbits as those 
used in finding the figure-of-8 orbit x, = 1'1305. Two sets of curves 
were traced; in the first set I started from one side of the oval, and in 
the second from the other side. The two curves were so selected that they 
might join one another as nearly as may be. The period of this orbit 
was not determined. | 


(are increasing) (arc diminishing) 
x y E y 
+ '676 + 'ooo + .778 — ‘009 
75 au WO I, 18 corr 
82 80 79 31 
go 139 79 51 
‘704 56 79 jum 
rs 74 78 ET 
19 82 "e 31 
26 9o + '774 + ‘151 
34 95 
43 98 
53 96 
60 89 
65 80 
68 71 
71 61 
19 51 


+°774 +141 


nT undetermined. 











ERA ae ee NOST». Tw 
Periodie Orbits, Appendix. 
FAMILY b OF OSCILLATING SATELLITES. 
0385; : | %, = 12919. 


The following was computed, — 


2n 

8 A cm Li JL y 
‘00 + "29215 + ‘oo00 — o? o' 8°52 
4 932 400 2° 54 9'00 
8 971 NOS 9?14' 10°84 
‘10 "3014 993 FOTO. 13'02 
ins 646 ‘1087 21°56’ 14°70 
2 091 | 177 31? 49' I7'19 
25 120 217 390 5, 19°54 
30 55) 254 482.27. 20°60 
35 195 283 59° 56° 22°21 
40 241 303 "ar AO 23'21 
45 290 311 — 87° 38’ ‘00 
50 340 BO; 2 19 36 22083 
55 388 293 OOF sa 20°27 
60 433 272 0o? 59 18:70 
65 415 245 S iS. Ay 32 
70 514 | 214 48° 59° 16°21 
8 584 143 40° 54' 14°40 
9 GAS oe = OC RE Cr 1" 13°09 
"20 699 "0980 ao 5 19^EG 
191 801 22° 20’ 10'89 
4 853 612 16° 22’ Ea 
6 goo | 418 Ma r3 9°63 
8 931 220 6° 28° . "36 
"30 +-'3945 + ‘oo2t z + 1°55’ 9°25 

"30209 'oooo z+ ı°27 





239 


240 G. H. Darwin. 


Family 5 of oscillating satellites continued. 


The above, not being exactly periodic, was corrected by extrapola- 
tion from the orbit x, = 1'295, which gave z+ 7°58’ asthe final value 
of c. The corrected coordinates are, 


8 € — I y 


‘00 + 29197... -oooo 


4 29 400 
8 068. TOR és 
‘10 3499 993 
I O41 '1088 
2 085 178 
25 ip Be: 219 
3 147 256 
35 187 286 
4 233 306 
45 282 314 
332 XT 
55 380 297 
6 425 TE 
6) 505 216 
575 145 
( 635 065 
'20 687 '0979 
172 799 
4 835 609 
6 879 413 
8 905 214 


30 +'3915 + '0014 





Periodie Orbits, Appendix. 241 


Family 5 of oscillating satellites continued. 







C= 380 | €, = 1'25945. 


The following orbit was computed, 


an 
8 æ— 1 y 9 y 
00 + ‘2600 + ‘o0d0% — o? o' 5'399 
8 607 800 4! 6'030 
ro 625 'I199 4°. 51’ 7 E52 
6 693 592 16° 33' 9'480 
772 776 29? 45 11'822 
829 858 40° 37' 13'133 
‘20 903 925 35 Qi 14'339 
I 992 970 72320 "822 
2 "3090 986 | — 89? 9' | "306 
3 190 OH AE 17 10 13'153 
4 284 943" 662 537 11'932 
5 373 897 502" 10'935 
7 532 778 485. 3. 9'423 
9 671 634 492.72; 8'410 
233 892 309 28° 46° qo 
e "4056 "0945 20? 15° 6°567 
‘AI ^ CULTE 563 ia use "202 
"45 + "4241 + 0169 z+ 6°50’ 6°005 
"4670 + '4258 ‘0000 zx + 4° 27’ 


BE ar Ach 


Interpolation between the above and a neighbouring orbit gave the 
following coordinates for the periodie orbit, 


8 € — I y 
‘00 ‘2595 ‘0000 
| 600 800 
‘12 616 ‘1199 
681 593 
137 778 
812 ' 861 
20 884 929 


"21 '2973 '1975 
Acta mathematica. 21. Imprimé le 13 septembre 1897, 31 





G. H. Darwin. 


Family b of oscillating satellites continued. 


S n= ft y 
22 3071 1992 
3 170 980 
4 264 948 
5 352 900 
7 508 777 
9 642 630 
‘33 852 299 
7 4001 "0931 
"41 095 546 
45 4139 0154 
"4656 ‘4149 ‘0000 


nT = 208°. 




















SUR LES SERIES DE TAYLOR. 


D 


Lettre adressée à l'éditeur 
PAR 


EMILE BOREL 


à PARIS. 


Monsieur, 

Vous avez bien voulu me demander de vous indiquer comment on 
pourrait, en partant des éléments, démontrer les theoremes sur les séries 
de Tayror que j'ai énoncés dans les Comptes Rendus, en décembre 
1896 (en esquissant une démonstration reposant sur deux mémoires relatifs 
aux séries divergentes, parus en 1896 dans le Journal de M. Jorpax). 
Je suis trés heureux d'avoir une occasion de vous montrer comment des 
résultats, auxquels ma théorie des séries divergentes m'a conduit d'une 
maniére intuitive, peuvent étre démontrés directement par une méthode 
peut-étre plus simple, mais qui semble assez artificielle. 

Je considère une série de TAvron dont le rayon de convergence est 
égal à l'unité: 

f(z) = Xa, 
et je suppose, pour plus de netteté, que y|a,| a pour limite un. Dans 
le cas oü il n'en serait pas ainsi, rien ne serait changé aux conclusions 
qui suivent, comme on le voit par des remarques analogues à celles que 
j'ai faites dans le Journal de M. JonpAw (1896, p. 451). 
J'appellerai fonction entiére associée à la fonction f(z), la fonction 


F()-Y t. 








Lorsque on donne à z toutes les valeurs de module r, appelons M(r) 
le maximum du module de F(z); on démontre facilement (voyez mon me- 
moire sur les zéros des fonctions entiéres que vous imprimez actuellement 
dans les Acta!) que, lorsque r augmente indéfiniment e "'*? M(r) tend 








/ Acta mathematica, t. 20. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 13 septembre 1897. 





244 Emile Borel. 


vers zéro et e "' ? M(r) ne tend pas vers zéro, quelque petit que soit 
le nombre positif a. D'autre part, posons z= re^, r et 0 étant réels, 
et considérons le produit e"? F(z), dans lequel @ reste fixe et r aug- 
mente indéfiniment; a est un nombre positif arbitraire. Si, quel que soit 
a, ce produit ne tend pas vers zéro pour r infini, 0 sera dit un argument 
singulier pour la fonction entiére F(z); si l'on peut prendre a assez petit 
pour que le produit tende vers zéro, 0 sera dit un argument ordinaire 
de la fonction F(z). Cela posé, la premiere proposition que nous ayons 
à démontrer est la suivante: les points singuliers de la fonction f(z) sur 
son cercle de convergence ont précisément pour arguments les arguments sin- 
guliers de la fonction entière associée F(z). 

Pour démontrer cette proposition, désignons par JZ’ un contour in- 
finiment voisin du contour J” obtenu en menant des tangentes au cercle 
de convergence de f(z) en chaque point singulier; J” est intérieur à I"; 
supposons d'ailleurs que /' ne renferme pas de points singuliers de f(z) 
(dans le cas contraire, il suffirait de compléter 7" en menant en chaque 
point singulier une perpendiculaire à la droite qui le joint à l'origine). 


Considérons lintégrale 
= [RE a, 


2 


Il est manifeste que, lorsque la constante positive a@ augmente indéfini- 
ment, r étant un point quelconque intérieur à J’, cette intégrale tend vers 


z 
zero; car dans ces conditions, on a, sur tout le contour /', pee, c E 
k étant un nombre positif (voir mon mémoire du Journal de M. JonpAx). 

Or il est aisé de voir que cette intégrale est précisément égale à 
€ "F(ar) Donc ce produit tend vers zéro lorsque «a augmente indéfini- 
ment par valeurs positives, lorsque x est intérieur à /'. Mais, si @ est 


argument d'un point du cercle de convergence, non singulier pour /(2), 
i 








e! 





nous pouvons prendre x = , a étant positif; si « est assez petit, x 


est intérieur à Z’. Des lors, si l’on pose a — r(1 — a), on a 
e* Fax) = ea F (re) 


et, par definition, dire que l’on peut choisir « de maniere que ce produit 
tende vers zéro lorsque r augmente indéfiniment, c'est dire que Ó est un 








Sur les séries de Taylor. 245 


argument ordinaire pour 7(z). Par conséquent, aux points ordinaires de 
f(z) correspondent des arguments ordinaires de F(z). Il reste à faire 
voir que, réciproquement, aux arguments ordinaires de F(z) correspondent 
des points ordinaires de f(z). Une remarque préliminaire est indispensable. 
Supposons, que dans un intervalle (8, , #,) donné, la fonction F(z) ait des 
arguments singuliers partout condensés (überall dicht); nous savons déjà 
que la fonction f(z) a sur l'arc correspondant du cercle de convergence, 
des points singuliers partout condensés, c'est à dire que cet arc est regardé 
comme singulier dans son entier. Au point de vue de la recherche des 
singularités de f(z), il est donc sans intérét de rechercher si dans l'inter- 
valle (0,, @,) la fonction F(z) a ou non des arguments ordinaires. Les 
raisons de continuité que nous allons invoquer bientót montreraient qu'elle 
n'en a pas; cependant, en modifiant légérement leur définition, on pourrait 
sans doute arriver à reconnaitre si f(z) tend vers une limite déterminée 
lorsque z tend vers le cercle de convergence avec un argument déterminé, 
mais ce n'est point la question qui nous occupe actuellement. 

Nous pouvons donc nous borner à considérer le cas où F(z) admet 
comme arguments ordinaires tous les arguments compris entre 4, et 6; 
il sagit de montrer que l'arc correspondant du cercle de convergence est 
un are ordinaire de f(z). Par hypothèse, à chaque valeur de 4 comprise 
entre 0, et 0,, les limites étant comprises, correspond un nombre positif 
a tel que le produit e-7'*-^? F(re") tend vers zéro lorsque r augmente 
indéfiniment par valeurs positives. On voit aisément que la limite su- 
périeure A, des valeurs que l'on peut donner à a pour une méme valeur 
de 0, est une fonction continue de 6; dés lors, si lon considère les va- 
leurs de A correspondant aux diverses valeurs de 4 comprises entre 6, 
et 0,, elles admettent une limite inférieure qui ne peut être nulle; sinon 
elle serait atteinte pour quelque valeur de 6, laquelle serait un argument 
singulier, contrairement à l'hypothèse; il résulte de là que nous pouvons 
trouver une valeur fixe de a telle que, quel que soit # entre 4, et 6, 


on ait | 
lim ex"? F(rd^) = o. 


r=o 


Cela posé, considérons l'intégrale 


f €" F(az)da. 
0 








246 Emile Borel. 


Cette intégrale représente, lorsqu'elle a un sens, une fonction analytique 
de z, qui coincide visiblement avec la fonction f(z) à l'intérieur de son 
cercle de convergence. Or il est manifeste qu'elle conserve un sens si 
l'on suppose l'argument de z compris entre 6, et 0,, son module étant 





inférieur à ; la fonction analytique f(z) peut done étre prolongée 


au delà de l'arc 0,0, du cercle de convergence, c. q. f. d. 

Notre proposition est donc complétement établie: /es arguments sin- 
guliers et ordinaires de F(z) correspondent respectivement aux points singuliers 
et ordinaires de f(z). i 

Voici maintenant une application de cette proposition, application 
qui repose sur la détermination simple de certains arguments singuliers. 


Considérons une série de modules croissants 
MES ER À Wag os 

et faisons leur correspondre des nombres positifs tendant vers zéro: 
dy a, NE 

Supposons que 6, soit un argument quelconque tel que lon ait 


( 1) | F(r, e) i» el) : 





Je dis que tout argument #, que l'on peut prendre égal à 6, pour une 
infinité de valeurs de », est un argument singulier; car, si la relation (1) 
est vérifiée; lorsque 6, = 6, pour une infinité de valeurs de n, on ne 
peut avoir 

hin RENT: 

r= 
car, quelque petit que soit a, a, finit par être inférieur a « pour les 
grandes valeurs de n. On ne trouve pas d’ailleurs ainsi certainement 
tous les arguments singuliers; par exemple, si les « decroissent trop ra- 
pidement, il peut se faire que la relation (1) ne soit vérifiée pour aucune 
valeur de 9,; mais les arguments que l'on obtient sont certainement 
singuliers, quels que soient les r et les a (satisfaisant aux conditions in- 
diquées). 

Supposons maintenant que nous partagions les termes successifs de 

F(z) en groupes, de telle manière que le z""* groupe soit formé des termes 


dont le rang est compris entre 27"' = s et 27^" = s*, (Considérons ce 











Sur les séries de Taylor. 247 


groupe de termes, dans lequel nous donnons au module de z la valeur 
S'(— 27"; il est trés aisé de voir que le maximum du module de ce 
polynome (lorsque l'argument de z prend toutes les valeurs possibles) 
differe trés peu du maximum du module de F(z) pour la méme valeur 
s* du module de z; autrement dit, les termes de F(z) qui ne figurent 
pas dans ce w""* groupe ont, pour |z| = s?, une somme négligeable par 
rapport aux grandes valeurs du module de F(z). On en conclut aisé- 
ment qu'en choisissant convenablement les « et en prenant r, = 2?", on 
peut définir les arguments 6, exclusivement à l'aide des termes du n°" 
groupe; d'ailleurs ces 6, couvriront, si l'on veut, un arc du cercle, su- 
périeur à sa n°" partie et tel, par suite, que la somme de tous les arcs, 
correspondant ainsi à toutes les valeurs de n, augmente indefiniment avec 
^. Pour qu'un argument @ soit singulier, il suffit quil appartienne à 
une infinité de tels arcs. Or il est clair que, si l'on suppose la fonction 
F(z) quelconque, c'est à dire ses coefficients indépendants les uns des 
autres, ces arcs recouverts par les 6,, étant définis séparément par des 
groupes successifs de coefficients sans lien entre eux, devront étre re- 
gardes comme indépendants. On a donc sur un cercle une infinité d'arcs 
indépendants, dont la somme dépasse tout nombre donné; donc, en général, 
tout point du cercle appartiendra à une infinite d'ares. Donc, en général, 
tous les arguments d'une fonction entiére sont singuliers et par suite, 
dans le cas général, une série de Taylor admet son cercle de convergence 
comme coupure. C'est là la conclusion que je me proposais d'établir et 
que j'ai démontrée pour la premiére fois dans les Comptes Rendus 
du 11 décembre 1896. On pourrait, je crois, tirer bien d'autres consé- 
quences de cette méthode de recherche des points singuliers et, tout 
d'abord, l'étendre au moins à certains points singuliers non situés sur le 
cercle de convergence, mais j'ai déjà peut-étre trop abuse de votre 
bienveillante attention. 

Je termine done en vous priant d'agréer l'expression de mes senti- 
ments de respect et de sincere dévouement. 


Paris, le 22 mai 1897. 











249 


SUR LES POLES DES FONCTIONS UNIFORMES A PLUSIEURS 
VARIABLES INDEPENDANTES 
PAR 


LEON AUTONNE 


a LYON. 


CEA PITRE J. 





Probléme [7 + 1]. 


| 1° Prenons une fonction uniforme X de r+ 1 variables indépendantes 
y et ©, (4— 1,2,...,r) que l'on peut toujours assimiler aux coor- 
données d'un point € dans un espace à r + 1 dimensions E,,,. Un 
point e ,[y — b; v; — aj, où X n'est pas régulière, sera un »point sin- 
gulier non essentiel» (WEIERSTRASS, Abhandlungen aus der Functionenlehre; 
5'""* section; page 130) ou »póle» si, dans le domaine de w, X est 
identique au quotient P,: P, de deux fonctions régulières en o. 

2° Supposons que les deux séries P, et P,, débarrassées de leur 
p. 9. €. d., soient nulles en w. Les allures de X sont trés indéterminées 
en w et aux abords (WEIERSTRASS, l. c. pages 130 et suivantes), comme 
on sait. 

I] m'a paru intéressant de discuter cette indétermination de X au 
póle par une voie un peu différente. Cette derniére est, au fond, une 
généralisation des procédés employés, dans le cas d'une seule variable, 


HE er vdd ko 
pour lever l’indétermination des symboles dits illusoires 7. 


3° La valeur X, de X au pole n'est plus calculable par la division 
P,:P,, le dividende et le diviseur étant nuls tous deux. X, sera, par 
Acta mathematica. 21. Imprim& le 7 septembre 1897. 82 





250 Leon Autonne. 


definition, la valeur limite vers laquelle tend X, quand 4 tend vers o, 
c'est à dire quand les modules |y — D], | x; — a,| décroissent indéfiniment. 
Seulement alors X, ne sera plus unique et dépendra 

soit de la loi conformément à laquelle décroissent simultanément les 
modules |y — | et |a; — a;|, 

soit, pour employer un langage géométrique, de l'ufinéraire 98, que 
suit € pour tendre vers c. 

Dans le cas d'une seule fonction X, X, peut (WEIERSTRASS l. c.) 
prendre en « une valeur quelconque arbitrairement donnée à l'avance. 
Au contraire prenons N fonctions, (N > r + 1; P; =o en e): 


A, = PAYS d = lest eo 


munies d'un méme dénominateur P, et analogues a X = P,: P, = X,. 

Les N valeurs limites des X, en c, fournies par un méme itinéraire 
$8, ne sont pas simultanément arbitraires. Si lon sen donne quelques-unes, 
les autres s’en déduisent. 

C'est l'étude de ces dépendances mutuelles qui constitue le fond des 
présentes recherches. 

4° Supposons, pour simplifier. le póle w situé à l'origine des coor- 
données dans l'espace E,,,, c'est à dire b = a; — o; prenons N + r 
fonctions .-F,(y j$,,/17, 5); j = OF 19 231. 5 IN, véguliétes ‘et nuflegübn 
w, avec N 7 r J- 1. Nous traiterons le probléme suivant: 


»construire tous les systemes de valeurs limites vers lesquelles tendent 
simultanément les rapports des 7;, quand les modules des r + 1 vari- 
ables tendent à la fois vers zéro». 


Nous lui donnerons le nom de »probleme [r + 1]», notation qui met 
en évidence le nombre r + 1 des variables indépendantes. Le nombre 
N ne joue aucun rôle essentiel, pourvu qu'il ne soit pas inférieur à r+ 1. 

5° On peut formuler le probléme [r + 1] dans un langage géome- 
trique plus commode. 

Les r + 1 variables indépendantes y et &,,i=1,2,...,r, étant, 
comme précédemment, les coordonnées d'un point C dans un espace Z,,, 
à r ı dimensions, prenons, dans un espace Ey, les N + 1 coordonnées 
homogènes £,, 7=.0 ,:1412% ue. 50, dam: point :£. 








{ A . . B . . 
Sur les pöles des fonctions uniformes A plusieurs variables indépendantes. 251 


En vertu des égalités o£ = F,, p = facteur de proportionnalité, & 
est l'image de €. Quand € parcourt dans E,,, le domaine commun de 
convergence & des séries F,,€ parcourt dans E, une variété à r + 1 
dimensions £,,,. Lorsque € tend vers c suivant un certain itinéraire 
38, € tend vers une certaine position limite 2, dont les coordonnées & sont 
proportionnelles aux limites des F. 


Le probléme [r + 1] s'énonce géométriquement ainsi: »construire la 


figure 2,,,, constituée par l'ensemble des points 2». 


6° Le probleme [1] ou r =o se résout immédiatement; 2, se re- 
duit à un point unique. 

J'ai consacré à la résolution du probléme [2] 

une Note (11 novembre 1895) insérée aux Comptes Rendus de 1’ Aca: 
demie des sciences de Paris, 

un Mémoire inséré aux iRendicon du Cercle Mathématique de Pa- 
lerme année 1896. 

Le cas r = 2, probléme [3], a fait l'objet de deux Notes (Comptes 
Rendus, 9 et 30 décembre 1895). 

Pour le probleme [2], 4, est un système de courbes unicursales de 


l'espace E ue jai appelées »fondamentales». 
7 N» J 


Dans le probleme [3], 2, est, dans Ey, 

ou bien: un systeme de surfaces en nombre fini, accompagné d'un 
systeme de courbes unicursales en nombre fini (le pôle © est 
alors un zénith); 

ou bien: un systeme exclusivement composé de courbes unicursales 
en nombre fini (le pôle » est alors un nadir). 

Les mots »courbe» et »surface» de l'espace Ey designent des variétés 


à une et deux dimensions respectivement.. 
Les théories qu'on trouvera ci-aprés sont entierement différentes de 


celles qui viennent d'étre rappelées. Il convient d'expliquer pourquoi. 
7^ Pour résoudre le cas [3] jai employé un procédé de réduction 
successive pour la singularité du pôle sur la surface 7, — o. Ce mode 
de raisonnement devient inextricable pour plus de trois variables indé- 
is 
pendantes. 
8° Le procédé qui m'a servi à résoudre le cas [2] ne peut non plus 


se généraliser. 








252 Léon Autonue. 


Il est licite dans tous les cas, comme on le verra dans le chapitre 
suivant, sans restreindre la generalite, de faire 


1=0 


F, — Ky" 2 wA. Ud Ouen £,) 


ou les K sont des constantes non nulles et les A des fonctions régulieres 
et nulles au pôle c. 

Soient »,, 1 = 1,2,.-,-,™, les m racines de l'équation algebroide 
en y,F,=o. Alors 


J 


F,= KIL (y — 2). 


Pour r — 1, probléme [2], on connait parfaitement la nature analytique 
des 7. M. PorxcanÉ dans sa Thèse Inaugurale a démontré que 


| agn — 0, (t), DUE | 


| 0, = holomorphe; n, = entier positif < m | 


Au premier chapitre de mon Mémoire des Rendiconti, j'ai effectivement 
construit les développements 4. 

Dés lors la décomposition de P, en facteurs binómes y — 7, peut se 
réaliser et a servi de base à mon analyse des Rendiconti. 

Au contraire quand +> 1, on connait beaucoup moins la nature 
des fonctions 7; la décomposition en facteurs ne sert plus à rien. 

9° A la vérité M. Koss (Journal de Mathématiques Pures et Applı- 
quées 1892) dans son Mémoire: Sur la théorie des fonctions algébriques de 
deux variables, a, quand PF, est un polynôme par rapport à toutes les 
variables, représenté les y et z,, liées par léquation F; = o, par un 
nombre fini de séries à r variables auxiliaires #. Seulement le choix 
des 4 comporte une dose considérable d'indétermination qui masque la 
nature des 7. Cette indétermination n'est pas fortuite et ne peut étre 
levée. Elle a sa source dans le fait bien connu suivant: quand on re- 
présente une relation algébrique entre deux variables par un nombre fini 
de séries, le choix de ces dernières peut se faire d’une infinité de façons 
différentes (position arbitraire des points réguliers sur la courbe algé- 
brique). 








Sur les póles des fonctions uniformes à plusieurs variables indépendantes. 253 


Il n’est pas douteux que les 7 possedent des propriétés indépendantes 
du choix des w; on trouverait là matière à l’etablissement d'une theorie 
des invariants. Cette dernière à été esquissée par M. Koss lui-méme 
(Sur un point de la théorie des fonctions algébriques de deux variables, 
Bulletin de la Société Mathématique de France, 1893, pages 76 a 81), 
mais semble extrémement difficile. 

10° Quoiqu'il en soit, j'ai du résoudre le probléme [r + 1] par une 
toute autre voie que les problémes [2] et [3]. 

La méthode tout-a-fait generale est celle-ci: »ramener la résolution 
du probléme [r + 1] à celle du probleme [r]» c'est à dire, procédant de 
proche en proche »à celle du probléme [1]», directement soluble, ou à 
»celle du probléme [2]» résolu précédemment. 

Les détails d'application pour la méthode sont exposés ci-après au 
chapitre II, mais en voici le principe tres-simple. 

Comme, dans les relations 


= 9i. «J 
p& = F(y;24,,2,,...,4,) 


qui définissent le probleme [7 + 1], on peut supposer, sans restreindre 
la généralité, que les 7, sont des polynómes en y, le procédé purement 
élémentaire et rationnel de l'élimination ordinaire, convenablement dirigé, 
permet de se débarrasser de la [r + 1]*"* variable y, et on est ramené 
au cas de r variables c'est à dire au probléme fr]. 

Un résumé de la methode a paru dans les Comptes Rendus (18 
janvier 1897). 

11? Il serait oiseux d'énumérer toutes les applications possibles des 
présentes recherches; le lecteur les apercevra lui-méme sans peine. 

J'en signalerai seulement deux. 

On peut faire la discussion complete, quelle que soit la singularité, 
des points fondamentaux et des courbes fondamentales dans les substitutions 
Cremona, c'est à dire birationnelles planes. C'est ce qu'on trouvera au 
troisième chapitre de mon Mémoire des Rendiconti. 

Il est possible d'établir une généralisation complete, pour une sin- 
gularité aussi compliquée qu'on voudra, des travaux de M. NÖTHER 
(Math. Annalen, t. 3, Über eindeutige Transformation des. Raumes) relatifs 
aux points »fondamentaux», aux courbes et surfaces »fondamentales» dans 
les substitutions birationnelles de l'espace ordinaire. 





254 Léon Autonne. 


C'est à l'occasion de ce dernier probléme (voir ma Note des Comp- 
tes Rendus du 11 mai 1896, Sur les substitutions régulières non linéaires 
, 
que jai abordé les présentes recherches. 
La théorie de la birationnalité dans l'espace ordinaire fera l'objet 
d'un travail ultérieur. 


CHAPITRE II. 


Réduction du probleme [r + 1] au probleme [r]. 
ı° Soient les equations 
pe; = Ey; %, +--+, 2), NED; 3 25:55 
ou les PF, sont des séries entières, convergentes pour 
lv|< 2 |xi| € 925 (xc 1292.84 
les 2 étant des quantités positives données; de plus, par hypothese, 


FAO: 0722 5 D) ED. 


Le probléme [r + 1], défini aux 4° et 5° du chapitre I, consiste »à con- 
naitre tous les systemes de valeurs, vers lesquelles tendent les rapports 
des F,, quand les modules des r + 1 variables y et x, tendent vers zéro», 
ou, en langage géométrique, »à construire la figure 9,,,, lieu du point 
£, quand le point £ de l'espace E,,, tend vers le point w, ou toutes les 
variables sont nulles, par tous les itinéraires possibles 3$». 

Je dirai qu'un itinéraire 98 fournit le point £, lorsque & tend vers £, 
quand C tend vers w en suivant 98. 

Si, dans E,,,, € tend vers « suivant 98, le point x, de coordonnées 
x; dans un espace E,, tend vers le point x,, où x, = o, suivant un 
itinéraire parfaitement déterminé m. 

2? Opérant au besoin une collinéation convenable tant sur les N+ ı 
variables £ que sur les r + 1 variables y et vz;, c'est à dire un change- 


ui zd 


Sur les pôles des fonetions uniformes à plusieurs variables indépendantes. 255 


ment de coordonnées dans les deux espaces Ey, et E,,,, il est licite de 


supposer que 
I3 0. 0. 000] UE, + y. dt, 


la constante K, + o. Alors le théorème fondamental de WEIERSTRASS 
permet de remplacer 7, par 


DUE d. DR som UE. Of ley este 
f (y) E Ky" == A; m—1Ym—1 + 3% zs E 


les a étant holomorphes eng. eb nuls AVEC 4. — OF 4— 1,2,2..,5 

Il est évident que les rapports des PF, tendent vers les mêmes limites 
que les rapports des polynömes f;(y) en y. 

3° Rappelons maintenant, en les étendant à un espace Ey quelconque, 
quelques propriétés des courbes planes unicursales (voir Lürorn, Math. 
Annalen, t. 9, et CrEBscH, Leçons sur la géométrie, t. 3 de la traduction 
francaise A. Brxorsr, page 287 et suivantes). 

Soient les N + 1 équations 


p&, = fi(y) = Ky" +... + ay +... + Go 


(0) - | VOY) hee E U BN bL Tics T: | 








les K et les a étant des constantes. 
Formons aussi les expressions 


ofa 
fe oy 








Be Teure 
fp 2 | 
8 by 








om =2(m—1) 


Pas) = Z Dany” 


Quel est le lieu du point £ quand y varie? 
4 Il peut se faire d’abord que tous les ¢,;(y)=0. Alors 


fa : __ (‘te 
man no ; 











256 Leon Autonne. 


Le p. g. c. d. des polynómes f; est du degré m. Le point & est fixe. 
Ses coordonnées s'obtiennent par simple division des ls 
5° Ecartons ce cas particulier et supposons Eu (Y )=Eo, cest a dire 
f,:f, variable. Soit k un troisième indice pris dans la suite 2. 352-5 N: 
Traitons &,, &,,..., & comme les coordonnées homogenes d'un point 
y dans un plan e. Les trois équations 


(0) ps, E f (y), ps, Ex f (y), Pes = f(y) 


définissent dans e une courbe plane unicursale g. L’equation 
EA ENT EC 


de g s'obtient en éliminant p et y entre les trois égalités (0) ci-dessus; alors 


D. i 9 f.) =O 
La relation P,(£,, £& , £) = P,(£) = o exprime que les deux équations en y 
PRI TRE 


E 3 e 
ont au moins une racine commune. 


Les trois dérivées partielles 


oP, oP, oP, 
0€ 96, 96; 


0 








sont proportionnelles respectivement a 
€i € io €o- 


* OP, . . 
Par hypothèse gp, = 0, donc he == o et 1° la variable ¢, figure effective: 
Sk e 


ment dans P,, 2° P,(£) =: o. 
P, est une forme ternaire en &,, £,, £ que nous écrirons 


E. (k) £^ ER k 
EM 2 ps So $1 & Y 


aq Q aq A Q " " "001 o 
Les p sont des polynömes par rapport aux coefficients (3°) A; et a. 
6° Revenons maintenant à l'espace Ey et formons les N— 1 équations 


Pc LE DNS sete NN: 








Sur les póles des fonctions uniformes à plusieurs variables indépendantes. 25'7 


Elles sont toutes distinctes. Aucune en effet ne peut étre une conséquence 
algébrique des autres, car chacune P, est seule à contenir effectivement 
la variable &,. 

Les N — r équations P, — o définissent donc dans l'espace Ey une 
variété à une dimension ou courbe I. 

Sous le bénéfice des relations P, — o, les N équations en y 


h . f» 
5 


. o — 2 9 
ev 
ou le systéme équivalent 


| &f. (9) — e fs(y) ze) 


(o 
poor soe BT ay 


’ 


possèdent s racines communes, s 1. Les premiers membres de (o) 
possedent un p. g. c. d. de degré s 


My ey Vela Vy Vy ON WT, 


eee en Ce 


YoYa---YN 


Y. est un polynôme homogène par rapport aux € et les coefficients Q^ 
sont des polynómes par rapport aux K; et aux 4;. 

Si on traite y comme un parametre, l'équation Y(£) = o représente 
une »hypersurface» H. 

7° Le point £, donné par les équations (o) du 3°, peut aussi étre 
envisagé comme obtenu, dans l’espace Hy, par l'intersection de la courbe 
T avec lhypersurface H. La courbe et l'hypersurface n'ont qu'une seule 
intersection mobile avec y; les coordonnées de cette intersection sont donc 
rationnelles en y. Elles sont proportionnelles aux f;. 

8° Rien n'est à changer aux calculs précédents (3° à 7°) lorsque les 
a, ne sont plus des constantes (comme au 3°) mais des fonctions holo- 
morphes en x, (comme au 2°). 

Prenons le point x, de coordonnées z;, indéterminé dans l'espace E, 


et dans le domaine de convergenée des séries. Nous aurons encore les 
Acta mathematica. 21. Imprimé le 7 septembre 1897. 38 





258 Léon Autonne. 


N — 1 équations P,(£;x) — 0 de la courbe J’ et l'équation Y(y;&;x) — o 
de l'hy persurface H. Les coefficients 


Prox de gy) (3°) 
p? .de v (56) 
g de a: (6°) 


sont holomorphes en z;. Pour #,=0 les a, sévanouissent par hypothèse. 
On voit sans peine qu'il en est de méme des @,,,. Alors e,,(y)== o, 
oP, ar OP, 
ag, oO, SO 


m > s racines nulles c'est a dire communes et Q7, = o. 











—o, P,=0, pogha-- 0. Les équations (o) du 6° ont 


Quand x voyage dans le domaine de convergence commun © des 
series a, d,p® . q?, la courbe I’ et l'hypersurface H varient. Pour. x 
infiniment voisin de x, (1°), c'est à dire pour |x;| infiniment petit, 


(k) (7) 
|a; | , | Dien | , [Sa | , Ba 


sont aussi infiniment petits. 


o 


9° Au lieu d'appliquer le calcul du 5° aux trois indices 0, 1, 
nous aurions pu l'appliquer à trois indices différents quelconques 7, 7", 7" 
pris dans la suite 0, 1,..., N. Au lieu de P, nous aurions obtenu 
= = = xa. Gi. Xa) E 0j £j" 
Aig (& > & 3 &) = Di ej. 


0j0p0y^ 9j TJ 9j 


Les trois dérivées partielles 


3 
LN 


cz M 
06; J 06; 


A 


9 
941^3 A DI 
sont alors proportionnelles respectivement a 
cr (y) , cr;(y) , ej (y). 
10° Par hypothèse, nous savons résoudre le probléme [r]  Appli- 


quons le procédé aux fonctions D et ® des r variables z;. Dans l'espace 
E,, x suivant vers x, un certain itinéraire m nous construirons toutes les 








Sur les póles des fonctions uniformes à plusieurs variables indépendantes. 259 


limites des rapports des D et des ®. Nous pourrons notamment mettre 
dans g,,(y) un coefficient J“ en facteur, tel que 


DA j 
lim 222" te Oy quo to S pue 


qe ? 





reste finie! et écrire 
Cas (¥) = LP y s(y). 


Cela exige bien entendu que ¢,;(y) £0 et qu'un au moins des @,,, + o, 
quand xz parcourt l'itinéraire w. | 
Enfin nous choisirons une combinaison or d'indices 49 telle que 


a doo 
(0) lim qon 


reste finie” pour toutes les combinaisons d'indices #3. Cela n'est pas en 
contradiction avec le choix fait au 5° des indices o et 1, car actuellement 
¢u(y) 420, sans quoi l'expression (0) est infinie ou indéterminée. 
Alors 
EE lim £502 — Jim P xus) 
go(y) POP gor() 


ne peut étre infinie quel que soit y». 

11° Les choses étant ainsi préparées, abordons la résolution du pro- 
bleme [r + 1] et faisons tendre x vers x, suivant l'itinéraire m. 

Il peut se faire que, tout le long de m, @,;,=0 pour tous indices 
@,ß,n. On s'en assurera en appliquant le procédé de résolution du 
probléme [r] (pour abréger »procédé [r]») aux fonctions @,;, des r va- 
riables z;. | | 

On est alors dans le cas du 4°; les rapports des f;(y) sont ındepen- 
dants de y; les £ sont proportionnels à des fonctions holomorphes des 
æ, et le procédé {rl permettra de construire les £ et le point é. 

12° Ce cas particulier écarté, choisissons, grâce à une application 
convenable du procéde {rh les deux indices o et I comme il est dit 


auo. 


m 





! N. B. — Je comprends zéro parmi les quantités finies. 








260 Leon Autonne. 


Vers quelle limite tend la courbe Z’ definie par les N T. équa- 
tions du 6° 
PES NEO 


Il suffit de voir vers quelle limite tendent les premiers membres des P, = o. 
Le procédé [r] fournit les limites de tous les rapports des coefficients 


y 
D3,5, 8 


fonctions holomorphes des z;.  Mettons dans P, en facteur un coefficient 
&, tel que : 


reste finie et posons 
P, — c P;(&). 


La courbe 7, limite de /', sera définie par les N — 1 équations 
PATE PAS VE; 9S 


P, étant la limite de P;. 
Reste à montrer que les équations P, — O sont toutes distinctes 
comme les P, — o. 
15° Il suffit d'établir (6°) que la coordonnée &, figure effectivement 
dans P,, ou que 
oP 


98 


. dais 
Si, en effet, —=0, alors quel que soit y, 











98, 
oP, oP, 
,  e€ . ^98 
lim —- = © lim —- = © 
oP; : oP; 
98, 98, 
c'est à dire (5°) 
lim £5 = oo, lim £? = oo; 
Co Soi 


cela est contraire à l'hypothèse faite (12° et ro?) sur le choix des deux 
indices O et I. 








Sur les pôles des fonctions uniformes à plusieurs variables indépendantes. 261 


D'ailleurs on ne peut avoir P,(€)=0, quels que soient &, & , £, 
car la dérivée partielle par rapport à & n'est pas — o, comme propor- 


tionnelle à (voir 10°) 


s Qai (M) 
lim ya (y) = lim go : 





Bref toutes les N — 1 équations P, =o sont distinctes et définis- 


sent une courbe 7’, limite de J’. On voit que »la construction de 7 exi 





ge 
seulement l'application du procédé [r]». 

14° Théorème: »Le point & est sur la courbe ['» 

Cela résulte iminédiatement du 7° car € est, pour chaque position 
de x, à l'intersection de / avec H. Quand x tend vers x, et & vers £, 
I’ tend vers [', donc 


15° Tout point de 


EEG BILE is Co dE d. 


I faital partie de &,,,? 
Il faut répondre par l'affirmative. 


| 


Soit en effet y un point quelconque de [' défini comme intersection 
de /’ avec l'hyperplan 5,5, — u, = o, le quotient y, : p, étant arbitraire. 
Je vais construire un itinéraire 98 fournissant (1°) le point y. 

16° Les équations P,(£) = o expriment (6°) que le systeme 


ey) — & fy) = o | 


| qp -9E mu. | 





d’equations en y possede s racines communes, s > 1. 
Soit A, de coordonnées A; avec À :À, = 4,:y,, un point d’intersection 
de I’ avec l'hyperplan précédent A,& — A &, = o. Les équations en y 


Asf (UJ) TE A fs) mA 


: Qu , , 
auront, pour æ quelconque, s racines communes. Soit » l'une d'elles. 
D'ailleurs (3°) 


);f,(y) 3-3 A fs) E y^ As K, EE À Ki ae Nx 2 .) = ony 


toutes les m racines s'évanouissent quand |z,;| = o, x venant en z,, le 
point A étant distinct du point K de coordonnées K;. Done » a zéro 
pour limite». 

Faisons décrire au point ¢ un itinéraire 3$ ainsi défini 





262 Leon Autonne. 


1° x décrit litinéraire w, dont il a été question au cours du present 
chapitre, 


; 2 y = Y. 
Il est évident que, suivant W, € aboutit en o. 

Le point € coincide avec À et ne peut quitter ni la courbe /’ ni 
lhyperplan; à la limite € vient en £ sur 7’ sans avoir quitté l'hyper- 
plan, done £ coincide avec p, c. q. f. d. 

17° La démonstration ne subsiste plus pour le point K, de coor- 
données K;, lui-même. K fait d'ailleurs aussi partie de 9,,, car il est 
trés facile de construire un itinéraire 38 qui fournisse K. 

Posons à cet effet x, — y^, o; = entier positif. Le coefficient a; de 
f; devient 

a; = y" As(y), A;,(0) + o. 


On peut toujours prendre les o assez grands pour que les e soient aussi 
grands que lon voudra et en particulier pour que 


m <1 + oy. 


Alors dans f, c'est le terme Ky" qui est d'ordre minimum en y et Viti- 
néraire 98 défini par 
a = y^ 
fournit le point K. 
18° Toute la discussion du présent chapitre se résume ainsi qu'il suit. 
Partant des équations (3°) 


I=Ù 


ps; >= hoy BE > yas, se... %,) am f(y), 


I=m—1 


formons les expressions 





ofa 
* ay. | n=2(m—1) 
Cas = of. | ST LCS y" Din (x, MINCE 2,) 
ae 
fs 9y | ; 





et 
-— 30 Ef Ef p(k) 
P; YT» Zehen) (x. , Y y hi? ERE %,)- 











Sur les póles des fonctions uniformes à plusieurs variables indépendantes. 263 


Soit 2, la figure lieu du point 4, le point h ayant des coordonnées 


proportionnelles aux 
(k) 


Boy Fx: x 


0.4. et?aux p 


La construction de 4, exige uniquement la résolution du probléme [r] 
Un point % de 2, fournit pour la figure 2,,,, lieu du point £ 
soit un point unique U (eventualite du 11°) que fait immédiatement 

connaitre le procédé |r}, 


* 


soit une courbe toute entiere [', c'est à dire oo points. 
Quand 7 parcourt 9,, U ou [' engendrent 9,,,. 
Appelons 5; le nombre des dimensions que posséde 4; 
S.4, = S, + 1, s'il existe au moins une courbe telle que [', 
S,n = S,, sil existe seulement des points tels que U. 
Brei 233, «sad ‚et, comme) S.—9, S,,*€r. »Le nombre de di- 
ınensions de la figure 2 est au plus égal à celui des variables inde- 
pendantes, diminué d'une unité.» 
19° A peine est-il besoin de faire remarquer qu'il peut exister des 
itinéraires W qui ne fournissent aucun point £. Ils sont constitués par 
des zéros communs aux N + 1 fonctions F. du 1°. 


J 
Par exemple, pour r — 2, cas [3], supposons que les surfaces or- 
, dus BUDE 
dinaires Z;(y, x,, %,) — O, F;— polynôme, aient une courbe 9, issue 


de l'origine, commune. Un itinéraire 3$, qui coincide avec g, ne fournit 
aucun point limite é. 

20° J'espere traiter dans un travail ultérieur le »probléme des iti- 
néraires 98» c'est à dire les questions suivantes: 

I. un point £ étant donné sur 4, construire tous les itinéraires 
qui fournissent £; 

II. étudier comment varient ces itinéraires, lorsque £ se déplace 
sur 2. 


Lyon le 1° mai 1897. 





C 
» 








A SPECIAL CASE OF DIRICHLET’S PROBLEM FOR TWO DIMENSIONS 
BY 


J. C. KLUYVER 


of LEYDEN. 


In a posthumous paper' of Riemann some indications are given 
about the construction of a real harmonic function W in a plane with 
several circular holes, the ‘function W taking assigned real values on 
each of the circular rims. Riemann’s treatment of the problem is based 
on the theory of conformal representation. The given area is to be 
represented conformally on part of a Riemann surface, bounded by recti- 
linear rims, and then the desired function W can be readily found by 
means of an appropriate integral of the third kind. In 1:877 the con- 
formal representation of the plane with the holes was discussed anew by 
Schottky ^, who arrived at a solution, depending on certain transcendental 
functions, not altered by the linear substitutions of a special discontinuous 
group, that was afterwards called by Poincaré? the symmetrical Kleinian 
group of the third family. In a second memoir Schottky * returned to 
this class of Kleinian functions and gave a full and ample discussion of 
their properties. By their means it is possible to treat in a direct way, 
and without having recourse to a previous mapping, the original Dirichlet's 
problem for the perforated plane. 








+ Gleichgewicht der Electricität auf Cylindern mit kreisformigem | Querschnitt. und 
parallelen Axen. Ges. W., 214 Ed., p. 440. 

* Über conforme Abbildungen mehrfach xusammenhangender ebener Flächen. Journal 
f. r. u. a. Math, t. 83, p. 300. 

* Mémoire sur les groupes Kleinéens. Acta Mathematiea, t. 3, p. 49. 

* Über eine specielle Function, welche bei einer bestimmten linearen Transformation 
ihres Argumentes unverändert bleibt. Journal f. r. u. a. Math., t. IOI, p. 227. 

‘Acta mathematica. 21. Imprimé le 7 septembre 1897. 34 








266 J. C. Kluyver. 


In what follows I propose to show, that by the use of Schottky’s 
functions we can obtain for the required potential function a determinate 
analytic expression, which even lends itself more or less to actual calcu- 
tation. Moreover from the form the function W assumes, it will appear 
that, in order to solve the general problem, it suffices to consider two 
special cases only: 1° the case of a single hole, 2° the case, wherein on 
each rim the function W is equal to a determinate constant. 

Before entering however into further developments, it will be 
necessary to make some statements about Schottky's results and to give a 
short description of some of the particular functions, he was the first to 
introduce into analysis ’. 





1. Schottkys region T and the Kleinian group belonging to it. In 
the plane of the complex variable x there are drawn p circumferences 
K,,K,,..., K, with the radit R, , E; , ..., R, and the centres a,, a, ,..,4,- 
No two of these circles must intersect and each of them must lie wholly 
above the axis XX of real quantities. Reflecting these p circles upon 
the axis XX, a further set of p circles K,, K,,..., K, is obtained, 
their centres a4,,4,,... a, are conjugate to 4 ,@,,..4,. It is the part 
of the plane outside these 2p circles that formed the base of Schottky’s 
investigations and which we designate henceforth as Schottky’s region T. 
Occasionally we will have to regard as a circl the axis XX itself, and 
as such we shall call it the circle K,, where q stands for p+ 1. 

Associated with the region T, of connectivity 2p, there is an infinite 
discontinous group J” of linear substitutions, p of these being fundamental 
and each derived from one of the p pairs of conjugate circles K, and K,. 
So, for instance, supposing z to be a point in T, the relation 

Ry 


ty = GT: = f(x) 


wv — Gr 





defines a point z,, interior to the circle K,, and by this substitution f, 








! Reference should be given here to the treatise of H. F. BAKER: Abel’s theorem 
and the allied theory, including the theory of the theta functions. In Chapter XII of 
this volume the author gives an account of Schottky s investigations and explains the 
analogy between Schottky s theory and that of a Riemann surface. 








A special ease of Diriehlet's problem for two dimensions. 267 


the initial region 7 is transformed into another one T,, of the same 
connectivity, and bounded by the same number of circular rims, One 
of these rims is the circumference K,,, along this boundary the regions 
T and T, are contiguous. 

It is evident that the thus defined hyperbolie substitution f, is geo- 
metrically equivalent to a reflection upon XX or K,, followed by a second 
reflection upon K,, and it is also easily seen that this pair of reflections 
changes the circle K, into the conjugate one K,, so that corresponding 
points on these two circumferences have conjugate complex affixes. The 
inverse of the substitution f,, which we shall denote by f,, has the effect 
of changing 7, again into T, thereby transforming the last named region 
into T,, a new region, wholly enclosed by K, and contiguous to T' along 
this circumference. By composition of a finite or infinite number of the 
foregoing fundamental substitutions f,,f,...., f, and of their inverses 
ff... fy, all the various substitutions f, of the group J’ are obtained. 
We will call @ the mark of the substitution f,, employing always a greek 
letter when the substitution is not necessarily fundamental but perhaps 
composite. Thus then, « denotes an aggregate or symbolical product of 
the fundamental marks 1,2,...,p, 1,2',..., p', and if, for instance, 
we have a= 1'245', the loxodromic substitution f, implies the successive 
application of the fundamental substitutions f,, f,, /, and f,. In com- 
pliance with the order, in which these operations are to be performed, 
we will call 5’ the first and 1’ the last factor of the composite mark a. 
By inverting the order of the factors and by interchanging accented and 
non-accented marks, we obtain the mark a’ = 54’2'1 of the substitution 
f, that is the inverse of f,. If we omitted however to invert the order 
of the factors, there would result the mark a, = 12’4’5, which shall be 
called the conjugate of a, and we may obviously infer that conjugate 
substitutions, applied to a pair of conjugate points in T, change them 
again into a pair of conjugate points. All substitutions of the group 7° 
can be arranged by attending to the number of fundamental marks or 
factors, that enter into the composite mark «. First of all we have the 
identical substitution followed by the 2p substitutions f, ,f,,.... f, fi, 
fy,.++, fy each with a single mark, then come the 2p(2p — I) substitu- 
tions of the second order, each compounded from two fundamental sub- 
stitutions, and so on. Although it is scarcely possible to form a mental 


268 J. C. Kluyver. 


image of the geometrical configuration, generated by the group, it is 
analytically evident that all the regions 7,, derived from the fundamental 
region 7, are bounded by 2p circumferences, and that no two of them 
will overlap. Together they cover the complete plane, we started with, 
with exception of certain limiting points, that are not reached as trans- 
formations of points in T, whatever finite series of substitutions we apply, 


Ky 





and which remain therefore always excluded from all the regions, whe- 
reinto the plane is divided. Every bete f, gives rise to a pair of 


such points, for if we ngnec to call A and B its double points, that is, 
if we define A and B by the equations 


a 


Lim f(z) =A,  Limf,.(x) — Lim f,.(z) = B, 





, a / 


A special case of Dirichlet s problem for two dimensions. 269 


it is at once apparent, that no point whatever in 7’ is changed into one 
of them, by subjecting it to a finite number of substitutions. 


Of particular importance are the double points AB of the funda- 
mental substitutions /,. The three circles X,,X, and K, belong to a 
system of circles having a common radical axis, and the limiting points 
or foci of this system are precisely the points 4 and B. Hence, the 


latter are each other's inverses with regard to K 


, and their affixes are 


conjugate complexes. 

We have already remarked that every fundamental substitution f, 
is equivalent to a pair of inversions, the first with respect to K,, the 
second with respect to K,, and from this remark it is at once apparent, 
that any composite substitution /, can always be replaced by an even 
number of inversions with regard to the p+ 1 circles K,, K,,..., K,, K,. 
For our purpose it will be convenient occasionally to resolve the sub- 
stitution /, into its component inversions, therefore we will represent such 
an inversion by a distinct symbol. As such we choose doubly-accented 
marks, to prevent confusion with the substitutions of 7’. So, for instance, 
we will denote by 54° the point derived from æ by four successive 
inversions with regard to the circles K,, K,, K,, K,. On the other 
hand, if we made use of the hitherto employed notation, the same point 
Try Would be designated by z,,,,, for the four pairs of inversions g’’6”, 
4"q" , q"3", 1"q" give rise successively tho the four substitutions 6’, 4, 3’, 1. 

1. Functions existing in Schottky’s region. We proceed to give a 
short description of some of Schottky’s functions, existing in the region T. 
In the first place we mention the expression 


= i 
- = 


(ay; &) = TL: €, 


P ML 7a Y E Na 





a 


the multiplication extending over all the substitutions of 7, fundamental 
and composite. It was proved by Schottky, though his proof, as he 
himself points out, is still liable to some limitations, that the above 
infinite product is really convergent and that in 7 it can be considered as 
an analytic function g(x) of the variable x. From the form of the 
primary factor we conclude, that (xy; £y) obeys. the equations 

(ay; En) = (ye; nË) = (Ey; zy), 





270 J. C. Kluyver. 


moreover it is not difficult to see, that log (ay; &) or, as we shall write 
it, log e(r) possesses in 7 only the two logarithmic infinities € and », 
the function log e(x) increasing with + 2ri, each time the variable x 
describes a circuit enclosing either & or 7. 

Intimately connected with c(x) is the function 





not depending upon some parameter. It must be noted, that in this 
expression the variable mark « does not refer to all the substitutions of 
I’ without exception, excluded are all marks a, that are of the form 
fu or fw. The function Æ,(x) has neither zero's nor infinities in 7^ 
its essential property consists in the multiplication-theorem: 


E,;(x) = E;,(%) = E,(x).E;(x), 


from which it is immediately inferred that only the p fundamental 
functions E (x), E,(x),..., E,(x) need be considered, since, by arranging 
these in products, all similar functions with composite marks can be 
constructed. 

Reverting again to logarithms, it can be shewn, that log E,(x), 
everywhere finite in 7, has its value increased by + 2zi, whenever the 
variable x describes a closed path round one of the circles A, and K,. 

If we subject the argument of the foregoing functions g(x) and 
E,(x) to any substitution of /' the result is very remarkable. So if is 
found that after the substitution the function E,(x) is reproduced, save 
as to a determinate constant factor. Otherwise expressed we have 


E(x.) = E(x). E,.. 


As for the constant H,,, introduced here, supposing « = fy, it satifies 
the relation 

7 7 Fi | 

Ea zu JH — “58° E 
Again it becomes apparent that we can disregard the composite marks 
and that all constants H,, are simply products of similar quantities £5, ;, 





6 


A special case of Dirichlet’s problem for two dimensions. 271 


each of the latter. corresponding to a pair of fundamental substitutions. 
By differentiating the relation between E,(x,) and E,(z) we get 


dlog E,(x,) = dlog E,(x), 


hence, with respect to /’, the differential dlog E,(x) is automorphic. A 
similar result holds for the function &(x). Application of the substitu- 
tion f, gives 





and therefore again 
dlog e(x,) = dlog e(z). 


3. Rim values of E,(x) and g(a). It is necessary, at the present 
stage, to make some statements about the nature of the values, the 
functions E,(x) and g(x) acquire on the rims of the region T. Com- 
mencing with E,(x), we observe that in the infinite product 


k 


Ex) II esc 


k 
a © — Da 


we can combine the primary factors, due to every pair of conjugate 
substitutions /, and f,, so that we have, writing down separately the 
leading factor corresponding to the identical substitution, 
k k k 
dic A x A, M As, 
E;(x) = k ; i "ES ik 
a—B a x—B, «— Bz, 











k k 

Now remembering that the conjugate points A and B, subjected to 
conjugate substitutions, transform again into conjugate points, it plainly 
appears that, for real values of the variable x, the function E,(a) is of 
modulus unity. Hence on the axis XX, otherwise said on the circle A, 
the function log E,(r), and also its differential dlog E,(x), is purely 
imaginary. As for the rims of the region T, we may draw a similar 
conclusion in the following manner. Supposing x and x, to be conjugate 
complexes, what we shall indicate by writing x + x,, we have in general 


ilog L,(x) #ilog E,(a,),... (mod. 27) 





272 J. €. Kluyver. 


since ilog E,(r) is real for all real values of x. Now, if we make x 
describe the rim K,,r, moves on K,, and both variables are connected 
by the relation x — f,(z,), hence we have simultaneously 


i dlog E,(x) + i dlog E;(a,), 
dlog E,(x) = dlog E,(z,), 


and these equations can not be satisfied, unless dlog E,(x) is purely 
imaginary on the rim K,. 

Another fact of equal importance should be noticed here. Taking 
again x on K,, and therefore x, on X,, it follows from the simultaneous 





relations 
i log E,(zy--ilog E,(x,). ... (mod. 27) 
E(x) 
log Fi (@,) 108 Fars 


that the p^ constants E,, have real and positive values. Hence one of 
the values of log E,, is purely real, we shall denote it henceforth by 
2T,, = 27,1; and it is not difficult to prove, that the complete set of 
the p? constants z,, may serve as a system of ınoduli for a p-tuple 
theta-function. 

Quite the same reasoning does apply to the function g(x) = (xy; &x), 
if only the parameters y,&,» are fixed in a particular manner. Supposing 
y to be real, £ and y to be conjugate complexes, we can easily see that, 
for real values of x, we have always 


mod: em) er, 


For in writing down the infinite product represented by g(a), we 
may again combine the factors corresponding to a pair of conjugate sub- 


stitutions, and having 
Zz—£ y—Ë x—b& x—€ — y — &., 
espe mE svi 
M e M re D, = Nas dr ea Y — Ya, Vy — Na 


the validity of the above assertion is obvious. Accordingly the differen- 
tial dlog g(x) takes only purely imaginary values as z moves on the 














ee MA M 


at o rmm 1 


Spei iiu Phe TERN PORTO MN 


let em PU We m» Go hii c ei e 


A special ease of Diriehlet's problem for two dimensions. 273 


axis XX, and the same conclusion holds, when x describes one of the 
rims. For, in the latter case, we have at the same time 


i dlog g(x) + i dlog ¢(z,), 


and - dlog e(z) = dlog e(z,), 


and these equations necessarily involve a purely imaginary value of 


dlog g(a). 


4. Integration along the rims. The solution of the proposed Dirich- 
let's problem will be found to depend mainly on the value of certain 
curvilinear integrals, taken along the different circumferences K,, there- 
fore it will be useful to deduce some inferences concerning these integrals. 

We assume that with every point zr on the rim X, there is asso- 
ciated a determinate real and finite quantity, and though this quantity 
is in the ordinary sense not a function of the variable z, it will lead 
to no misconccption, if we denote the succession of these real values on 
the rim K, by the symbol d,(z). 


. We now consider the integral 


I 


I j I I 
+2 — zi $9) dlog e (x) = zi | pada 2: <= - n 
u E. 








taken along X, in that direction, that ieaves the region T to the left. 
If the parameters & and y of the function ç(x) are chosen quite ar- 
bitrarily, the integral J, is a complex quantity, its real part however 
is in all cases capable of an easy interpretation. 


In order to obtain this real part we substitute into the integral 


T — Cy, ES fh, e" , os == dy ph Vo Q"a , Na Fe x SIS Sa ea, 


and so we get without difficulty 


"m 27 : 
f x B 2 2\ KEN 
| > | 1 (ma mig) | (sa — Ri) ga(æ)d8 —— 
27 ) ri + Ri— 2r,R,cos(0 — u4,) 27.) sa + Ri — 254 R cos (0 — va) 
a Fr 2 - 
0 à 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 9 septembre 1897. 





— 
nl 


yo 
or 





274 J. C. Kluyver. 


Now to the integrals occurring here we can attach a definite meaning. 
In fact, supposing the circle K, to be the only hole in the plane of the 
variable x, there exists in that plane a real uniform and finite potential 
function U, with the boundary values d,(x) on the rim K,. In case €, 
lies outside K,, it follows from the ordinary theory that the value U,(é,) 
of U, at the point £, is equal to 
27 = 
= | (re — Ri) da (x) a0 
ee cos (f — ta) x 


0 





whereas the same integral indicates in case of an interior point £, the value 
CY d U, (ED 


£, being the inverse of E, with regard to K,. Hence we may write 
KI, = > X[U, (6) — Um), 


if we only agree to replace in the above series every interior point by 
its reflection upon K,, changing thereby at the same time the sign of the 


corresponding value of U,. 
The same reasoning can be applied to the integral 





J,— za dix) dlogg(a), 
c 

taken along the axis XX, the positive halfplane lying to the left. In 

the positive halfplane without any holes we can imagine the real poten- 

tial function U,, taking on the axis XX the assigned rim values d,(®), 

and by introducing this function U,, we shall find as before 


I | ol 
8), = À X [U,(&) — Um): 
The function U, being however only defined in the upper halfplane, . 


every point in the lower halfplane must be replaced by the conjugate 
one, and the corresponding value of U, must have its sign changed. 


2 P , 
" . — » T 
ls Fr a en =. 2 
- Po u un un ee ey 


ü 
a, Ben att un 








——— Á———— HÀ me 


pros Dan np cd 


A speclal case of Dirichlet's problem for two dimensions. 215 


S.  Dirichlet's . problem for the upper half T’ of Schottky’s region. 
By the preceding deductions we are now enabled to treat Dirichlet’s 
problem for the upper half Z’ of Schottky’s region with its q circular 
Bsungürics 460 Kool y KK, Kj 
real, uniform and finite potential function W, satisfying. given boundary 


that is, we can construct in this area a 


conditions. This function W we assume to be the real part of an unknown 
function V(x) of the complex variable x, everywhere finite in 7’. Now 
as W must be uniform in 7', the moduli of periodicity of V(x) must 
be either zero or purely imaginary quantities, otherwise stated, if the 
variable x describes a circuit enclosing one of the holes, say K,, the 
initial and the final value of V(x) can only differ by an imaginary 
constant $,. 

Starting with the thus characterised function V(z), the potential 
function W can be obtained, as in the case of a single hole, in the form 
of a definite integral. In fact, it will be found that the construction of 
the required potential can be based upon the consideration of the integral 








I - 
Ji iz f V9) [dlog e (x) — h, dlog E, (x) — h, dlog E,(x) — ...— h, dlog E,(x) 
I 
= — V(z)a£(a), 
wherein h,,h,,...,h, denote certain real coefficients, depending upon 


the parameters € and y of the function ç(x), it being moreover under- 
stood that E and 7 are to be conjugate points, the former belonging 
to T' In order to fix a suitable path of integration, we draw from 
pac ot the’ 9 rims A,,RK,,..., K, m 2a rectilinear cross-cut /, (se 
the figure) to the axis XX. So the resolved region 7” becomes simply 
connected and throughout this region the one-valuedness of the subject 
of integration is secured. Hence integrating along the complete rim: 
XA,B,C,D,A,B,C,D, ,...,D,X, we get, since & is the only pole of the 
integrand in 7’, 


J= V(&) rm J y 4, un J 5,4, 15 | Ded, Sees He DpX 
B J pia, "b J p.c, + J 5.0, Re Be 3 J pc; 
zb Jun, AS Jo) = (J 4,2, — dc.) "us (Sur, ER J,c.)- 


276 J. €. Kluyver. 


Now, for our purpose, the real parts at both sides of this equation 
need only be considered, and as such we find at the left hand side the 
value W(é), the function W assumes at the point &. At the right-hand 
side we must consider separately the parts contributed by the rims of 
the unresolved area 7", and those relative to the cross-cuts /,. Com- 
meneing with the axis XX, we remark that along that rim the diffe- 
rential dF(x) is imaginary, hence only the real part of V(x) must be 
retained, that is, integrating along XX we must replace the function V(x) 
by the assigned rim values 4,(x) of the potential W. Thus then, con- 
tracting the sum : É 


J x4, E J do == Sn, Be; J px 


into a unique integral, we may write 


[Js + Tote Joa, + + Joi] = 55 fq 2) AF (2). 
Re 


The same argument holds for the integrals J,,., contributed by the 
circumferences K,. Again we shall have 


BT no] = 2; S b,(a)dF (a 


and so there remain only the integrals along the cross-cuts. Now along 
the cross-cut J, the values of the integrand at opposite places have a 
difference equal to 





and hence we have 


Jun —Y rit == ae Taian. 


At the lower limit A, the function F(x) has been shewn to have 
an imaginary value, therefore we may put 


&[J 4,5,— na] zi o, 








A special ease of Diriehlets problem for two dimensions. 277 


on condition that we subject the as yet undetermined coefficients À to 
the relation 


o = di [log (xy; £7) — A, logE, (x) — À, log E; (x) —...— A, log E, (a) |, - 


In all we get p of such relations; supposing them satisfied, the value 
W(£) of the potential function takes the form 


ME 
N zia (x)[dlog (vy; £y) — 4, dlog Fi (2) —À, dlog E,(x)— ...—A,dlog £,(x)]. 





This expression can be transformed in the following manner. From 
the equation 


fa vod DT eT eH Cy) 
(ys Em) = (ays 8) rc 





or as we write it 





gue EG) 


we deduce 


dlog E,(#) = dlog g(x) — dlog ¢,(x). 


This relation enables us to eliminate from the foregoing expression 
of W(é) the functions E,(x), and in this way we get 


Me 
k=g 

I , 
> À 2 fo: [(1 —A,—A,—... —A,) dlog g(a) +-A, dlog e, (w)-+A, dlog ¢, (x) + 
k=1 Ri 

: . + A, dlog ¢,(a)]. 

Here, making use of the results established in art. 4, we can intro- 
duce the auxiliary potentials U, considered there. U, is a real uniform 
and finite potential function existing in the simply connected area outside 
the circular hole K,, and fully determined in this region by the rim 


values d,(z), it takes on the only rim. For arbitrary values of the 
parameter £ and 7 of g(a) we have established the relation 


Em v) dlog g (a dam ; 2| EA U; (72) | , 





Se aay Say. ad 
TEN oS 
T 


278 J. C. Kluyver. 


hence we may now affırm that 


W(é) = 
k=q 


La Le 9 [EIU U93]| FREIE ie] 


+1, E[E(UE)—Uslna) |] +--+ EAE [E(UE) — Dire]: 


The above expression acquires a perfect symmetry, if we resolve 
every substitution f, of the group /' into- its component inversions with 
regard to the rims of 7’, remembering at the same time that, € and. y 
being conjugate points, we may write &, for 7, & for 7. 

Let the mark 4” denote a succession of an even number (zero in- 
cluded) of inversions w ith respect to K,, K,,..."K,, K,, then usne 
to denote A 

‘2 


Ih h—...—h, 


we shall have finally 
heed I k 
Wé=> E à, Z [EU Eu) — U (E) j| ; 


Meanwhile it is to be distinctly understood that when a point &£,, 
occurring in the above serie, is interior to the hole Æ,, the symbol 
U,(£;) denote the value of 


where £4 is the reflection of £» upon K. 


6. The coefficients A. Before we proceed to examine in what manner 
the values of the coefficients A may be obtained, we wish to shew that 
they are in a simple and characteristic way related to the region T". 

To this end we will consider the case that the given rim values of 
W were zero on all rims but one, say K,, and that the rim value on 
K, was throughout equal to unity. 

First, we have now 


AU, (Er) — U, (Eun) Ro, 


"M 


i 
i 
1 
lU 
4 
4 
} 
i 
1 
M 


— — 








A special case of Dirichlet's problem for two dimensions. 279 


when h is distinct from s. In fact, whatever 24" may be, the points &,. 
and €, are always simultaneously within or without the circle K,, and 
U,(&,) and U,(£,,)) are therefore at the same time equal to — 1 or to +1. 

Next, we have i 


EAU, (Ex) — U.(&.)] = 2. 


For, as before, each term of the series, save the first, vanishes, 
whereas we obtain for the first term, corresponding to 4" — o, 


U) — U,(&;) = 2U,(& = 2. 
In the remaining series 


SE) eal 


where £X is distinct from s, all the potentials U, are separately zero, 
hence for the very special case under consideration we find 


W(& ES A,. 


Thus then, .we may enunciate that the coefficient 4, indicates the 
value of the potential function W, whenever W is zero on all the rims, 
except on K,, whereon it is equal to unity. 

Moreover this interpretation of the A's implies that the system of 
linear equations 


[log (zy; Ep) — A, log E, (x) — A, log E, (x) — ... — A, log E,(®)].-„. = 0, 
[Roc Eu d E) 
I —A + 2, + ME det + Ao Ay 


which served originally to define them, is always capable of a definite 
solution. To bring these equations in a form somewhat better fitted for 
actual calculation, we proceed as follows. 

Let, in the diagram of art. 5, F, be the reflection of B, upon XX, 
then we have simultaneously 


i log (wy; En)... + tlog (wy; &),.-7,)--+ (mod. 27) 











280 J. €. Kluyver. 
and 
E,(£ 
log (eu Ep). n, — log (av: 8), n + log gs 
a 
whence it is inferred that 


pol EE 
KR log (ay; &x),- 5, = à. ERA 


Since the points £ and y are conjugate, the value of the right hand 
side is depending upon € alone, accordingly we will henceforth represent 
it by L,(&). 


Reverting to the points B, and F, and the corresponding values of 
log E,(r), we have in the same way 


ilog E, (2)... Flog E, (5), -5,, 7... (mod. 27) 
and | 
log E,(#),-5, = log E,(2),.. pz, + log E, 
so that | : 
& log E,(x), 5, = slog Ee = Taye 


Consequently the equations, from which the A's are to be solved, 
may be written in the form 
L,(x) == Tl, = Tp A, + Gj À , 


(ku, Um 


Dei ya 


The solution is possible as soon as the values of the Z’s and of 


the rs are known, and we will now indicate how these values can be 
found by means of convergent infinite products. 


Owing to the definition of L,(£), it follows that 





the primary factor of the infinite product taking the form of an anhar- 
E 
monic ratio | En: A 


: 
E and the variable mark « indicating all possible 











A special case of Dirichlet's problem for two dimensions. 281 
substistutions of /', save those that have a mark of the form Pk or Pk’. 


: ee 

Again, since € and n are conjugate complexes, the two factors | 27; 4, B, | 
k k 

and [ en; À. B,], corresponding to a pair of conjugate marks « and a,, 


are also conjugate complex quantities, hence, if we agree to denote 


ee 
henceforth by [én; A,B, | the absolute value of the anharmonic ratio, 


we arrive, by extracting the square root, to a result of the form 


kur j k ok 
e — E 5A B| I ET 4; BI, 
the product extending over all marks f, the first factor of which is 
either 1,2,3,...,(k— 1), (k+1),...,(p— 1) or p. 
The last step is to introduce the inversions instead of the substitu- 
tions, and so we find finally 
k ok i klk 
g^ — [ee A B| Il EST By | 
where 7” designates a product of an odd number of the marks 1”, 2”, 
.,p’,q'’, the first factor being neither k” nor q". 
The constants 7,, are expressible by a similar expansion. In fact, 
whenever the point £ approaches indefinitely the rim K,, we have 


H I E,(&) I 
LAS) —5log gi — 2108 En. — 








*A,k 3 


and so perhaps the easiest way to evaluate z,, is to evaluate Z,(£) for 
some point & arbitrarily chosen on the rim X,. 


7. Summary of results obtained for the region T'. The following is 
a summary of the results that have been obtained in the preceding 
articles, relative to Dirichlet's problem for the upper half 7" of Schottky’s 


region: 
I. The required potential function W is given by the general 
formula 
h=q k=q : 
W(£) = = E i, Py | U, (Er) Er U, (£^) il d 
h=1 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 9 septembre 1897, 36 








282 J. €. Kluyver. 


the mark a” designating an even number of reflections, the potential 
function U, being defined as in art. 4. 

II. The 4 coefficients A, entering in the above formula, are deter- 
mined by the p linear equations 


L,(£) = D + Di At te Tp, k dy 
Ce pm 
and by the supplementary condition 


Ach REITEN | 


III. The value of L,(E) is given by the equation 


R : k kj Ek 
gib — [&.; A B| II ES ; B, A, ; 
' is compounded from an odd number of inversions, its first 
factor being neither k” nor g’. In order to find z,,, we take & to be 
a point on K, and have then z,, — Z,(£). 

An additional remark suggests itself. The value of W(E) has been 
found to involve solely the /’s and the auxiliary potentials U,. Hence, 
remembering the definition of A, and of U,, we have made good, as far 
as concerns the region 7’, the assertion, made in the beginning, that 
Dirichlet’s problem can be completely solved, when a solution is found: 
ı° in case the rim values for each rim reduce themselves to a constant, 
in case there is but one hole. 


where 7’ 


2° 
8. Verification of the preceding solution. In establishing a definite 
expression for W(£), we took it for granted that there really existed in 
the region 7’ a potential function, obeying given boundary conditions. 
Therefore a verification of our result is necessary, in other words, we 
have to shew that, as soon as the point € approaches indefinitely a point 
r on one of the rims, say K,,, the value of W(E) tends to the corre- 
sponding rim value d,(x). 
Now, considering the quantities Z,(€), we have immediately 


Luo. Jie nus 
f=r 


(BE EIERN 











A special case of Dirichlet's problem for two dimensions. 283 


and for this special value of L,(x) it is inferred from the equations II, 
Susp Tihabesh Asien ed tee pap, 
and that A, tends to unity. Hence the general formula I, art. 7, is 


À, become vanishing quantities 


somewhat simplified, we may conclude 


Lim W(é) = Lim? X [ZU (£.) — Ue). 


E SE a 


It is easily proved that in this aggregate of infinite series every series 
T m - 16 Le 
2 | U,(£,) FF U, (En)! , 


where % is distinct from m, will ultimately vanish. For as & approaches 
x from the outside of K,, the point £,. will tend to the same point x 
from the inside of K,. Hence the points £, and £,,. ultimately will 
unite, so that each term of the above series vanishes separately. 

We may deal in the same way with the remaining series 


2 | U, (&,-) > LER (£m) | 


Again the values of U,(£,) and OPE will tend to the same limit. 
An exception occurs however. According to the definition of the potential 
U,, we find for the leading term, oe to the identical sub- 
stitution, 


U„(E) a U,, (En) —i2 U„(E) 
and hence we have 


Lim W(£) = Lim U,(£). 


5 : 
£=x f=2 


But from the ordinary theory of Dirichlet’s problem for the plane 
with a single circular hole, it is known that U,(£) changes continuously 
into the boundary value d,(®), therefore we have also 


Lim W(é) = D, (x), 


and it is proved that the potential function W, as defined in I, art. 7, 
satisfies indeed the assigned boundary conditions. 


284 J. C. Kluyver. 


9. Dirichlets problem for a plane with q — p +1 circular holes. 
In the preceding investigations one of the rims K, was a circle of infinite 
radius, there remains to shew that this circumstance is totally irrelevant. 
In fact, when we have to solve Dirichlets problem for a plane S with 
q circular holes, it is always possible, by means of a proper linear sub- 
stitution, that changes one of the rims into a right line, to represent the 
area S conformally upon the region 7’, and as we are able to solve the 
problem for 7’, we can get in this way the solution for S. However 
it is easily seen that the previous mapping of S on 7" is entirely super- 
fluous, in as much the quantities, entering into our formulae, are either 
potential functions or anharmonic ratios, not altered by linear trans- 


formation. Thus then, if among the given circumferences in $ we have 


chosen one as K,, we have only to construct the p pairs of limiting 


q? 


k k : 
points A and B, each pair belonging to one of the p systems of circles: 


K,, K,, and we may use directly all the formulae of art. 7 without the 


slightest modification. 


Merely by way of illustration, and also in order to shew that with 
the aid of our formulae even numerical approximation is not wholly 
impracticable, we finally will consider a very special case. Let K,, K,, K, 
be three equal circular holes made in a plane, the centres a,,a,,a, of 
which form the vertices of an equilateral triangle, and let the common 
diameter of the holes be one third of the side of the triangle. As to 
the rim values of the potential function W, existing in the space outside 
the holes, we assume that W is equal to unity on that half of each rim, 
that is turned towards the centre € of the triangle, and equal to zero 
on the other half. We will now ask for the value W(£) the function 


W takes at the centre €. 
The first step is the construction of the two pairs of limiting points 


1 1 2 2 
A,B and A,B. They are readily found as the points of intersection of 
the sides a,a, and a,a, with the orthogonal circle of K, , K, , K, (so that 


1 2 
B and B lie within K,). Then we proceed to calculate L,(€) and L,(&), - 


necessarily equal to each other from reasons of symmetry. Now as with 
respect to their mutual distances the diameter of the holes is compara- 
tively small, we may regard as practically coincident two points m,,. 





A special case of Dirichlet’s problem for two dimensions, 285 


VER 


5 and z,,, whenever the common factor w’ contains three fundamental 
| marks at least. So the general formula III, art. 7. 


eh — [ee,. - A AL II [es ; D, A, | 


Y 


becomes simply 


I hae i 1 1 1 
le fo ju y p^ = 
gh — [ e6,.5.4 B| ES By Ay, | le; Ba] 


or, by a slight transformation of the last factor, 
1 


1. a LUS 1 M X 
L,(2) ES. . = E E = 
eN = | ee, ; À B| E | By Ay | [&2; By A vy | . 


In this form the above equation may be used to evaluate L,(£). 
From it we shall find 


L,($) = L,(£) = — 1,740. 


Similarly we obtain, by considering, instead of £, a point on the 
rim X, and a point on the rim K,, 


Zr gg — 5344 Tig Toy > — 1,730. 


es MM ty nc M 


we get approximatively 
A, = À = 0,334, À, = 0,332, 


the exact result being of course 


Employing the latter value of the coefficients A, symmetry again 
permits to write the formula I, art. 7, in the simplified form 


I 


L=3 
W(&)-—;X[X|U(&)— U.&)]. 


WN | 











286 J. C. Kluyver. 


In expanding the right-hand side still further simplification is possible 
from the same reason, moreover a very few terms of the infinite series 
need only be retained, because we agree to consider as practically coin- 
cident two points x, and 2,3, as soon as yw” contains three or more 
fundamental marks. 

In fact, we shall find 


W(E) = 30, (&) — 6U,(&) + 6U,(&) + EU, (Er) — 2 U e) 
— 2U, Eva") — 2U Eyre") — 2U (eri) 
Substituting in this expression the values of the potential U, at the 


points £, & , & 5, etc, determined beforehand by the usual method, . 
we arrive at the final result - 


W(£) — 0,534. 








287 


DER FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA UND DIE AUFLÖSUNG 
DER GLEICHUNGEN DURCH QUADRATWURZELN. 


VON 


KJ H.VAHLBEN 


in KÓNIGSBERG. 


1. Es sei f(x) — o eine Gleichung n-ten Grades, deren n Wurzeln 
,--, %, von einander verschieden seien. 


Man bilde die zwei Reihen von je H Gróssen: 


© 


34, ad c Se ee uS rcbus 


WI UB, Ub m uo Eum gegen, 


| 2 n 2 E. 
von den n Grössen x, ,.., z, bleiben dabei n — 2 > | Grössen — nämlich 


eine, z,, oder keine — übrig. 
Aus jeder der beiden Reihen bilde man ebenso zwei neue, so dass 


man vier Reihen von je E] Grössen erhält: 


u 3-4, +, tu, Uy Met Li À Vs 5 + 
(r, 4- e), +2), + Gt; + Ts)» -- 
D Ue Uy À, i U0, FT, % bei Ae 


%,%%,%, 7. 7, % X. T. ser, 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 9 septembre 1897. 





288 K. Th. Vahlen. 


dabei bleiben von jeder der obigen zwei Reihen 


Bl 
a — © EE E— eee 
2 cor 2 4. 
Grössen übrig. 


Verfährt man mit den vier Reihen ebenso, so erhält man acht neue 
Reihen und in jeder der vier Reihen bleiben 


bil 
ee 
4 Dua? 4 8 
Grössen übrig. 


So fortfahrend, bis man keine neuen Reihen mehr bilden kann, erhàlt 





man im Ganzen: 


HERE HET EEE EE 


übrig bleibende Grössen, die in irgend einer Reihenfolge mit #,.., a 
bezeichnet werden mógen. 


2. Wenn zwei zusammengehórige Werte für x +4, und xx, 
bekannt sind, so ist dadurch das Wurzelpaar z,, x, bis auf die Reihen- 
folge eindeutig bestimmt. Denn, ist x,, v; ein anderes Wurzelpaar, also 
von I und 2 verschieden, so würde aus: 


wenigstens einer der Indices i, , i, 


X s T. = v "s v; 


3i T, E vi vi, 


die Übereinstimmung beider Wurzelpaare, also die Existenz wenigstens einer 
Doppelwurzel folgen; aber dies war ausgeschlossen. Die Grösse u, (x, + v,) 
+ u, x, v,. mit Unbestimmten «, , 4, , nimmt also bei allen Permutationen 


n(n =n 


der » Wurzeln verschiedene Werte an, welche einer Gleichung 


mit nicht identisch verschwindender Discriminante D (u, , #,) genügen. Giebt 

man, was also möglich ist, den Unbestimmten w,,w, solche rationalen 

Werte, dass D(u, , w,) + © ist, so sind nach einem bekannten Satze v, + %, 
/ D : D 1 1 

und z, x, rationale Funktionen von w, (x, +%,) + u, v, v, . 





Der Fundamentalsatz der Algebra. 289 


Sind nämlich, allgemeiner, g, und g, rationale Functionen der Wurzeln 
und genügt z — w, 9, + u, 9, mit Unbestimmten «, ‚a, der irreductibeln 
Gleichung .F(z; w,, w,) — 0, aber z=v,9, + v,9, mit Bestimmten »,, v, 
der irreductibeln Gleichung F,(2)- 0, so ergibt sich z — v, g, + v, 9, 
als einzige gemeinsame Wurzel der beiden. Gleichungen: J’, (z) =o und 
F(z—wg, —4,9,; v, — 4, v, —U,) — o, also als rationale Funktion 
von u, 9, +u,g,. Denn eine andere Wurzel der zweiten Gleichung: 
£ — wg, + U9, + wm —u,)g; + (v, —u,)g, Könnte der ersten: F(z) — o bei 
beliebigen w,,w, nur genügen, wenn 9, +u,9, =u,gi + u,9 ist, so 
dass F(z; u,, u,) nicht irreductibel wäre. 


3. Wenn vier zuzammengehörige Werte für 


T; E D; ar vs ar Ty 3 (v, a5 v. X, zi 4.) » 27, xr TL, ,. DUTY, 


bekannt sind, so ergeben sich z, + x, und x, x, als Wurzeln quadratischer 
Gleichungen, also zweideutig. Wie diese Werte zusammengehören ergiebt 
sich aus 2. Alsdann ergeben sich die Werte von x, und x,, ebenso von 
x, und x, als Wurzeln quadratischer Gleichungen. Ist x, x,, ®,, x, ein 
anderes Wurzelquadrupel, also wenigstens einer der Indices à , 4, , 7%, , à, 
verschieden von 1, 2, 3, 4, so wiirde aus den Gleichungen: 


aic ee En m i-a 
(zx, +2), +8) = (a, + x), + ti) 


EP RA = LT, + Li, 
T TS T. T, = T; T; X; 
die Übereinstimmung beider Wurzelquadrupel — von der Reihenfolge ab- 
gesehen —, also die Existenz mindestens einer Doppelwurzel folgen; aber 


dies war ausgeschlossen. Die Grösse 


ur, +2, +2, +2) + usn +2), + m.) 
+ 5s (m, Ts Tr v; %,) 13 U, 9,0, 0,1, , 


mit Unbestiinmten «, , #, , %, , 4, , genügt daher einer Gleichung vom Grade 


n(n — 1Y(n — 2)(n — 3) 
8 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 13 septembre 1597. 91 


mit nicht identisch verschwindender Discriminante 





290 K. Th. Vahlen. 

D(u, ,u,, wu, , ",). Giebt man, was also möglich ist, den Unbestimmten 
u ,%,,%,.u, solche rationalen Werte, dass D(u, ‚u, ,u, ,u,)+ O ist, 
so sind | 


+2, d- 2, 4-0, , (x, + mm, +28), mm, HAL, , 90,0, T, 


rationale Funktionen von 


u, (x, + T. T T, Hr v.) Ar U, (x, T ©), s c.) 


3 u; (v, T. i %,%,) SE u, 2i v. T3 T, * Y 


4. So fortfahrend erkennt man, dass sich die » Wurzeln x , .., 


x, in bestimmter — d. h. bis auf die Reihenfolge bestimmter — Weise 


n 
durch blosses Quadratwurzelausziehen ergeben, wenn die Werte der n 
Grössen x’, .., 2 bekannt sind. 


Bilden wir die Funktion v=u"a) +... + ua, zunächst mit Un- 


= 


= . : . . = . N 
bestimmten u, .., a”. Die Funktion w bleibt ungeändert bei den |: | 


Vertauschungen von x, mit z,, von xz, mit z, , von.%, mit x,, von 2, 


2) 


. . N d 3 
mit z,, u. s. w., ferner bei den | Vertauschungen von 7, , z, mit x,, 


° . N 
2%,, VON 2,,2, mit #,,%,, u. S. Ws, ferner bei den H Vertauschungen 


6 


von 2,,0,, 7,, f, Mit 4,5 %, ,%, 2; , wos. Wo UJ 8, Ww. Die Funktion 


1.2 4 


In 


RR 


verschiedene Werte annehmen; die entsprechenden Werte sind wirklich, 
(n) 


u kann also nur bei = N Permutationen der Wurzeln 


, alle von einander verschieden. Denn sonst 


bei Unbestimmten a, .., u 
wäre etwa: 
(1) 


q EP 


x") = qo 


wo z,.., z^" die den x, .., x”) analogen Funktionen von den in anderer 
eihenfolge genommenen Wurzeln 7,,.., zr, bedeuten, und sich diese 








Au zz 


2 
t 
= 
: 





Der Fundamentalsatz der Algebra. 291 


Reihenfolge von der ursprünglichen z,,.., x, nicht nur durch zulässige 
Vertauschungen unterscheidet. Daraus würde sich, bis auf zulässige 
Vertauschungen, die Übereinstimmung KON Tus ever Du en also 
die Existenz wenigstens einer Doppelwurzel ergeben. Da dies ausge- 
schlossen war, genügt w einer Gleichung G(u) = o vom Grade N und 
von nicht identisch verschwindender Discriminante D(u, .., uw). Giebt 
man, was also möglich ist, den Grössen u, .., u solche rationalen Werte, 
dass Diu, .., u”) + o ist, so sind x'9,.., z^ rationale Funktionen von 
4, und die vollständige Auflösung der Gleichung f(x) = o durch Quadrat- 
wurzeln ist zurückgeführt auf die Auffindung einer Wurzel der Resolvente 


fae). =O: 


5. Hat also G(w) — o eine rationale Wurzel, so sind sämmtliche 
Wurzeln von f(z) = o durch Quadratwurzeln darstellbar. Dasselbe findet 
aber auch umgekehrt statt. Es sei der Wert einer Wurzel x, durch y 
und nicht weniger Quadratwurzelausziehungen zu ermitteln; dann ist die 
allgemeinste Annahme die, dass der Radicand jeder später auszuziehenden 
Wurzel, aber nicht diese Wurzel selbst, von den bereits ausgezogenen 
Wurzeln rational abhängt. Die Gleichung f(x,) = o nimmt. in Bezug auf 
die letzte Quadratwurzel yr, die Form an: 4+ D yr, = o, wo A, B und 
r,, aber nicht yr, von den vorhergehenden Quadratwurzeln yr, , "nen 
Yr._ı rational abhängen; daraus folgt 4 — o0, B =o, da r, + 0, also ist 
die Gleichung f(x) = o auch durch den zu x, in. Bezug auf yr, conju- 
girten Wert x, zu befriedigen. Die Gleichungen A = 0, B = o nehmen 





in Bezug auf die vorletzte Wurzel yr, die Form an: 4, + B, yr, = 0o, 
C D,J/r.;-— 0, woraus ebenso -folgt, dass 4, — 0, B, — 0,0, — o, 
D, — o sein muss, dass also auch die zu x, und x, in Bezug auf yr, ; 


conjugirten Werte x, und x, die Gleichung f(x) = o befriedigen, u. s. w. 
Die sämmtlichen Wurzeln von f(x) = o ordnen sich also in Gruppen von 
2^ conjugirten, 2^ conjugirten, u. s. w. Jetzt sind offenbar ©, + x, , 2,2,, 
VL. oo, , .. tational dm Jw... Jr; also z, L 2, +2, + @,; 
(x, + 2,)2, + %,), 2,0, + ax, , 2,2,%,%, , .. rational in Jr, .., Vr, 4U.S. W., 
und ebenso für die Gruppen von 2^ conjugirten Wurzeln u. s. w., u. & w.; 





woraus schliesslich hervorgeht, dass die mit 20, .. , x” bezeichneten Funk- 
tionen, also auch w rational ist; w. z. b. w. Wir können daher den Satz 
aussprechen: | 





bo 
eo 
bo 


K. Tb. Vahlen. 


Damit eine von ihren Doppelwurzeln befreite Gleichung f(x) = o durch 
Quadratwurzeln vollkommen auflösbar sei, ist nothwendig und hinreichend, dass 
ihre Resolvente G(u) — o eine rationale Wurzel habe. 


6. Für eine kubische Gleichung ohne Doppelwurzel ergiebt sich 
ohne weiteres, dass, wenn sich nur eine Wurzel durch Quadratwurzeln 
darstellen lässt, dasselbe für eine zweite der Fall ist, während die dritte 
rational wird. Die Resolvente G(w) — o hat die drei Wurzeln: u = u,x, 
+ u,(v, + 2,) + u,x,x, und stimmt für die zulässige AU RL — Ty» — 0% 
4, — o mit der kubischen Gleichung selbst überein. Also: 


Damit sich eine Wurzel einer kubischen Gleichung durch Quadratwurzeln - 
darstellen lässt, ist notwendig und hinreichend, dass die kubische Gleichung 
eine rationale Wurzel besitzt. 


7. Nur für » — 4 ist N kleiner als n, nämlich gleich drei: man 
erhält die Auflösung der biquadratischen Gleichung durch eine kubische 
Resolvente. Sind x, ,2z,, x, , x, die Wurzeln der Gleichung: 


ax’ + 4bx° + 6cx?+ 4dx +e = 0, (a=1) 
so hat die Resolvente: 
qu — (ae — 4bd + 3c?) u + (ace + 2bed —ad’— c?— b’e) = o 
die Wurzeln: 
i 5 (a, + 2,2) — e (7, + v), + v). 
Aus den daraus folgenden Gleichungen: 
UL, + Lt, = 36€ + 3u (a, + 2,)(2, + 2) = 3c —3u 
TX, TU. MESE +%, x, x,—. — 4b 


ergiebt sich: 


uon 3C + 3u v? == a, + «t, | 2, 0515. ATID 
x | == jt 1 MS RE SENE BEP wt 





Der Fundamentalsatz der Algebra. 293 


Die Vorzeichen gehören so zusammen, dass: 


2%, + &,) + xx, (x, + v,) = — 4d, d. h. 








v? (c + uw) — e. v 40* — 3(c —u) = -— 2d + 3b(c + u) 


ist; dann ergeben sich die vier Wurzeln aus der Formel: 


—b+ Vr—s( — u) 


+ v — b+ Vr—3 = eut + 4/20 + qt e, 


welche die Cartesische verallgemeinert und aus der unmittelbar der Satz 
ersichtlich ist: Eine biquadratische Gleichung ist dann und nur dann durch 











Quadratwurzeln auflösbar, wenn ihre kubische Resolvente eine rationale 
Wurzel hat. 


8. Die Rationalität der durch w repräsentirten Affektfunktionen kann 

bei besonderen Eigenschaften der Gleichung f(x) = o manchmal direkt 
: : B xP — I 

erkannt werden. Es sei z. B. p = 2°+ 1 eine Primzahl, f(x) = nt 

HE 


x eine Wurzel von f(x) — o, g eine primitive Wurzel für p. Setzt man: 


PE 2; 90. —1 ; 
Got 23. 270 F2 la—1 " (og 1 79,1) 
X = (a = er cong eg Ue 4 »»'g—] 


so sind 2,,2,,.., %e_, alle Wurzeln von f(x) — o. Jetzt sei (z,2,) eine 


0 
rationale symmetrische Funktion von x, und x, , (r,v,) dieselbe Funktion 
s 4 ot T D 1 ‘ à à "lc à ? à 1 TO ^ J \ 
von x, und x, ; (2,2, %,%,) eine rationale symmetrische Function von (x,«,) 


und (2:8, ); (5,2, 0,1.) dieselbe Funktion von 2,,9,,2,, Ty , We &. We 
so ist: 
(1,2, 25,406; $5. «32. .1) 


eine rationale Function von x, welche offenbar bei jeder Substitution: 


% | eu (3=0,1,.,0--1) 





294 K. Th. Vahlen. 


also auch bei jeder aus diesen componirten Substitution: 
gi 
x | Xx (i — 0,1,..,27—1) 


unverändert bleibt, also rational ist. Also: 


Die Kreistheilungsgleichung & = 1 ist durch Quadratwurzeln auflösbar 
oder das reguläre p-Eck ist mit Zirkel und Lineal construirbar, wenn p 
eine Primzahl von der Form 2°+ 1 ist. 


9. Im Allgemeinen, wo G(w) keine rationale Wurzel besitzt, ergiebt 
sich für eine Gleichung f(x) =o mit reellen Zahlencoëfficienten die 


Existenz und Ermittelung sämmtlicher Wurzeln aus dem Umstande, dass 


die Gleichung G(w)=o reelle Coéfficienten und ungraden Grad, also 


sicher eine — reelle — Wurzel besitzt. Dieser Beweis des Fundamental- 


satzes der Algebra schliesst sich an die mit Euler und de Foncenex be- 
einnende Gruppe von Beweisen an und wird, wie fast alle diese, von dem 
Gaussischen Einwand betroffen: es werde dabei die Wurzelexistenz bereits 
vorausgesetzt. Auf die Berechtigung oder Nichtberechtigung dieses Ein- 
wandes soll an dieser Stelle nicht näher eingegangen, sondern nur gezeigt 
werden, dass ohne Überwindung prineipieller Schwierigkeiten dem Beweise 
eine von diesem Einwande freie Form gegeben werden kann. 


10. Zunächst ist Folgendes vorauszuschicken: 
Es sei f(x) eine ganze Funktion, f(x) ihre Ableitung. Durch das 
Euklidische Verfahren werde ihr höchster gemeinsamer Teiler: 


f, —(f.f) 


gefunden; ebenso sei 


u. 8. w. bis zu 
i= if EE) cons: 


Dann giebt in der Reihe ganzer Funktionen: 


pon ares 


hr PELA 


AMPH MR n I PIS ut 





ee 


ate üt a ms 


c o iai et 


Der Fundamentalsatz der Algebra. 295 





= i—1 ET a spas | 9, i . + . . 
jede, He dividirt durch die folgende Miis eine ganze Funktion g,, wie 
fi À ex rit 
L 
aus der Identität hervorgeht: 
fi—ı EO (=) er fi fifi £ re 
fr (UMS X M 7 "ed 
. i—1/i+l . at . 2 
da ein Nenner von Fès ein Faktor von f? wäre, also zwar in f!, aber 
t 
: 5 f é ä 4 itd 
nicht mehr in GA enthalten sein könnte. Also wird: II Ir 


und daraus f; ,— 9;9%319%40 - . gr *', speciell f= g,g29°.. 9", wo die Funk- 
tionen g; ganze Funktionen sind. Für diese gilt der Satz: 


a) Die Funktionen 7, , 2, ,.., 9, sind paarweise teilerfremd und jede 
ohne mehrfachen Teiler. 

Denn enthalten sie einen einfachen Faktor bzw. i,-, i,-, ., mal 
so enthält f denselben (i, + 2i, + 3i, + .. + ri,)-mal und f, wie die 
Differentiation zeigt, einmal weniger; aber f, = 9,9..9. enthalt ihn 
(à +2, +... + i,)-mal weniger, also muss à + à, + .. + i, — 1 sein, wor- 
aus die Behauptung folst. 

Da also speciell 9, keinen mehrfachen Teiler hat, folgt aus f, — 9,.9.. 97. 4 
der Satz: 


b) Eine ganze Funktion hat keinen mehrfachen Teiler wenn und nur 
wenn sie zu ihrer Ableitung teilerfremd ist. 


Aus a) und 6) folst: 

c) Jede Funktion g, ist zu ihrer Ableitung teilerfremd. 

Schliesslich aus a) und o): 

d) Die Auffindung aller Faktoren einer ganzen Funktion, eines jeden 


gleich in richtiger Vielfachheit, kommt auf die Zerlegung solcher Funk- 
tionen zurück, die zu ihrer Ableitung teilerfremd sind. 


Ir. Mit 


Si, ; > 
Chesta=01 
(a ) 
werden aa. d, 


2% -F 202 uk 4 EE 2?, — n 





296 K. Th. Vahlen. 


unbestimmte Zahlen, mit 7, ,7,,..,7, die Werte ihrer elementarsymme- 
trischen Funktionen bezeichnet. 


Durch die Gleichungen: 


0,75 yet ı pt 94-12") 
gesta) _ — gen a) 4 gp fa) 


hy. slg 1 T »*9— p? y dig pl dj,.., d, — 0,1 
I (ee) 
E^ ale a) __ — «er *, tq) Eat a) A= 0, €95,40. 


ig 1 "y. tg 1,0 uy. »18— p! 


wird ein System ganzer Funktionen der &j.,;, definirt. Setzt man: 


rire ma 4. eig =0,1 
— » Où.) E (its) (Aue ) 


mit Unbestimmten «o, so bleibt w ungeändert bei Vertauschung des 


Systems: 

NU AMETS (ip ta 01) 
mit dem Systeme: 

= * . 

EU NEM jp ola ; (18-17 )a 79,1) 


also, da es 2°! solcher Systeme giebt — nämlich für à, , 4, ,.., 2; , — 0, 1 
>> 281 3227-1 


— im Ganzen bei 2° EA — 2” Perinutationen der Es. Die 
Gleichung G(w;.. w"")..,..7;..) = 0, welcher w genügt, ist also von 





»? 


n 
dem ungraden' Grade N= n ; ihre Coéfficienten sind ganze Funktionen 


der at") und der 7;, der höchste Coëfficient ist gleich Eins. 

Die Grössen Er") sind, im Rationalitetsbereich (. . ^2. ., .. p; ..), 
rationale Funktionen von c. Durch Auflösung der quadratischen 
Gleichungen: | 


^. mr 0,2 A D 1; 3 Ay yes gy = 051 
I (5515 Pr ae ee 7 (& Ls 7r +& nz GET (aie 


Upyeeyt Ü 
pn, Ugeryt TL Us A= 03,055. «y 


* Bekanntlich enthält |n eine Primzahl p genau | =; [5] + H +.. ee 
p ) p f 


mal als Faktor, wenn n, die Quersumme von n im padischen Zahlsysteme bedeutet; 


p 
für p = 2 wird die Anzahl gleich n — v. 


ne Qr te, Hats en a oe " "T 
— ncc DR 





Meme: op om 


Der Fundamentalsatz der Algebra. 207 


ergeben sich die 5, als explicite algebraische Funktionen von den 


E... 
Y 


\ . dg e > 
eva), also von ©; die zusammengehörigen Quadratwurzelvorzeichen er- 


geben sich daraus, dass jedes n rationale Funktion von 
EMA: 


= Cetirsta) Kati ) 7 ; 01 
III ie Fo: : MP E Bieta 0:1) 


ist, wo die Unbestimmten ws» in den Rationalitätsbereich aufzu- 
nehmen sind. 


Wir wollen die Permutationen der £; ; , bei welchen © ungeändert 
bleibt, als die Gruppe («) bezeichnen. Die Grösse c; ;, nimmt bei den 


Permutationen der Gruppe (cw) die 2^ conjugirten Werte: 


reg Cu-sig=0,1) 


an. Es sei &, , eine nicht zur Gruppe (@) gehörige Permutation der 
6, und @,.. die den w,.. analogen Funktionen. Eine Unbestimmt- 


heit in den Ausdrücken der &, ; durch © kann nur eintreten, wenn z. B. 


-— 


== , , 


> ESSE Di : 
id RI | 


ist. Durch blosse Bezeichnungsänderung in den Indices der é, ergiebt 


bel 


sich statt dessen: 


Qj ig — Oi, us: 
woraus das System: 
DOES UU Wr, Atg+ 1%) ar EN 
ig Sting (igi m) 


folgt. Die Gleichungen II ergeben dann: 
= hy. 14 = 0,1 
A d = (AE , dien l 


abgesehen von Permutationen der Gruppe (cw). Da sich die Reihenfolgen 
Ë; und £& ; nicht nur durch solche Permutationen unterscheiden 
d. 


sollen, müssen wenigstens zwei der (Grössen $£, zusammenfallen. Dar- 


po? 


aus folgt umgekehrt, dass auch zwei der N Werte von w zusammenfallen. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 13 septembre 1897. 38 





298 K. Th. Vahlen. 
r2. Das Produkt der N(N — r) Wurzeldifferenzen von 


a.) 0 


ist eine ganze Funktion D(..w^2..,7,..), deren höchster von den 


i 


c ^« unabhängiger Faktor A(..7;..) sei. Geben wir jetzt den Zahlen 
y; specielle reelle Werte c,,so dass A(.. c;..) -- O ist, so kann man auch 
den we) solche reellen Werte wu» geben, dass D(.. ul"),.,..6;..) = 0 
ist. Auch den in III vorkommenden Unbestimmten w+") sind solche 
reellen Werte w+") beizulegen, dass die Discriminanten der Gleich- 


ungen für die cw, ;, nicht verschwinden. Wir definiren jetzt w als eindeutige 


Funktion der reellen Verànderlichen ..7;.. durch folgenden Algorithmus: 
durch eventuelle Substitution © | — © wird bewirkt, dass G (v ; .. u" @)..,..7,..) 
im Intervall - "e > das Vorzeichen wechselt; jedes Intervall ; "e i in welchem 
a Tc 
b+d 





@(w;..) das Zeichen wechselt, werde durch in zwel kleinere geteilt, 


: Qi 
in deren einem der Wechsel erfolgt; so kann man von -..- ausgehend 


eine bestimmte Wurzel von G(w; ..) in beliebig enge Grenzen einschliessen. ' 


Nun ist jedes &, ; rational in o; ; ; jedes w; ;, von der Form A + (—1)*?yB, 


1 


wo A uud B rational in EN. sind. Dadurch wird jede der » Zahlen 


£ ,, eine vollkommen bestimmte Funktion der Werte der elementar- 


symmetrischen Funktionen 7;; und das ganze Verfahren versagt dann und 
nur dann, wenn die 7; solche speciellen Werte annehmen, dass 


D(.. uo"). p. )o0 


ist. Dies findet für die Annahme 7; = c; nicht statt; erhalten in diesem 
Falle die £; ; die Werte z; ; , so haben sich uns diese Werte, für welche: 


OPEL 
xo” — CR + CR —..0, = II (x — v, sus) 


ist, ergeben, ohne ihre Existenz vorauszusetzen. Die Bedingung: 


D(.. ul")... ) OO, 


" Stösst man auf eine rationale Wurzel, so nehme man diese. 





Der Fundamentalsatz der Algebra. 299 


unter welcher die Ermittelung der v, ,, nur stattfinden konnte, erweist 


sich nach (11) als identiseh mit der Annahme, dass die Ti, alle von 
einander verschieden sind, oder dass f(x) = x" — cz"! 4- ..»c, keinen 
mehrfachen Teiler besitzt; und diese ist nach (104) erfüllt, wenn und nur 
wenn f(z) und f(x) teilerfremd sind, wie nach (10d) vorausgesetzt 
werden durfte. 

Damit ist der Beweis des Fundamentalsatzes vollendet. Derselbe 
vereinigt — allen anderen Beweisen gegenüber — die drei Vorzüge 
in sich: 

erstens: nur arithmetisch-algebraische Hilfsmittel und zwar der ein- 

fachsten Art zu benutzen, 

zweitens: die Grössen wirklich zu ermitteln, deren Existenz er nach- 

weist, 

drittens: sich gleichzeitig auf sämmtliche Wurzeln zu beziehen. 











301 


THEORIE DES EQUATIONS REPRESENTABLES 
PAR TROIS SYSTEMES LINEAIRES DE POINTS COTES 


"PAR 


MAURICE »'OCAGNE 


à PARIS. 


Préambule. 


1. Supposons qu'une équation donnée entre a,, a, et a, puisse se 


mettre sous la forme 





(E) 





r,(a,) 


g,(,) d, (45) | 


Elle exprime que les points definis en coordonnees homogenes re- 


spectivement par 


(a) gem E 
(a) a 1200515 
(2,) PES f,(,); 


aS 9,(%)» em d,(2,); 


y = (4); t= dla), 


w— g, (2); t= d,(a,); 


‘sont en ligne droite. Si done, dans les trois systèmes de formules précé- 


dents, nous faisons varier respectivement a,, a, et a, en ayant soin d'in- 


scrire à cóté de chaque point obtenu la valeur du parametre. correspon- 


dant, nous n’aurons qu'à couper les trois systèmes de points côtés ainsi 


. LI . x * 
construits par une droite quelconque pour obtenir un systeme de valeurs de 
a, a, et a, satisfaisant à l'équation donnée. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 13 septembre 1897. 





302 Maurice d Ocagne. 


Les points cotés correspondant à chaque paramètre sont distribués 
sur une courbe qui en est dite le support. 


2. Si f(x), e,(a), d;(n) sont des fonctions linéaires d'une méme 
fonction #,(a,), le système (x) a pour support une ligne droite sur la- 
quelle il constitue une sorte de graduation. Lorsque la fonction 0, change, 
cette ligne droite reste la méme; seule la graduation se modifie. Le cas 
le plus simple est celui où la fonction 9,(a,) se réduit à a,; le systeme 
de points cotés (a; est alors dit linéaire. 

Le probléme se pose d'abord de reconnaitre quelles sont les équa- 
tions représentables par trois systémes linéaires de points cotés et de 


déterminer pour une telle équation les fonctions f;, €,, d; (à = 1,2,3)- 


correspondantes. C'est l'objet de la premiére partie de ce Mémoire. 

Si, en faisant varier a; par échelons égaux, ou obtient sur le support 
rectiligne des points également espacés les uns des autres, le systeme est 
dit régulier. Un tel systeme réalisant, au point de vue de la représenta- 
tion géométrique, le maximum de simplicité, il est intéressant de recher- 
cher si, par une transformation homographique appropriée, on peut rendre 
réguliers un, deux, ou méme les trois systémes linéaires servant à repré- 
senter une équation donnée. C’est l'objet de la seconde partie du Mémoire. 

A la vérité, on aurait pu traiter les deux problémes à la fois, mais 
la solution eüt alors perdu en netteté sans gagner beaucoup en briéveté; 
aussi la division adoptée pour le sujet a-t-elle paru préférable. 

Le premier probléme est susceptible d'une interprétation géométrique 
qui se trouve indiquée dans une Note placée à la fin de la premiere partie. 


Formules et remarques préliminaires. 


3. Etant donné un ensemble de trois systémes de points cotés, on 
peut toujours, en conservant les cotes, lui faire subir une transformation 
homographique quelconque puisque, dans une telle transformation, l'aligne- 
ment des points se conserve. 

On pourra des lors faire en sorte que les supports des trois systémes 
solent des droites assignées d'avance, en distinguant toutefois les cas où 
ces supports sont ou non concourants, circonstance qui subsiste pour toute 
transformation homographique. 


NDS ies deo 


Rica ^ 


pde & 








Equations représentables par trois systèmes linéaires de points cotés. 303 


1" Cas. Les supports me sont pas concourants. Dans ce cas, une 
transformation homographique permet de faire coineider deux des supports 
avec les axes de coordonnées Ox et Oy et le troisième avec la droite de 
l'infini du plan Oxy (ce qui revient à faire correspondre à chaque valeur 
de a, une direction du plan). Les trois systemes sont dés lors définis par 


aes gr) ; 6 — pa, + q,, 


t=O , y — p.095 DZ mat LE 





RS Ie Te 05; y — m,a, Se dicar; i=0 
et l'équation représentée prend la forme 
(Ea) (na, + n,)(m,a, + n,)(m,a, + n,) 

+ (ia + 4), + 2, (p.a, +4) = o, 
qu'on peut écrire 


(ra) Ma, + 5) (n, +3), + 8,) + Pla, +4), + Na, + t,) — o. 


2° Cas. Les supports sont concourants. Dans ce cas, une trans- 
formation homographique permet de faire coincider deux des supports 
avec Or et Oy et le troisième avec la bissectrice de langle de ces axes. 
Les trois systémes sont alors définis par 


Ex : Me : 6 — pa, + q, : 
(b) $-—o0 ; y — man, -d-n,, [ — p,a, + q, ; 
| T= Ma + N, , y-ma+tNn, , Ce Ne d;): 


et l'équation représentée prend la forme 





(Eb) NE à AU SA LH CA à la Saul NND 


Ma bn, man, Ma +n — 
qu'on peut encore écrire 


^ OP MEN. 


ares, a» 3h 8, a, + S, 


(E) 








304 Maurice d'Ocagne. 


Chacune des équations (Za) et (Eb) développée est de la forme 
(E) Aa,a,a, + B,a,a, + Ba,a, + B,a,a, + Ca, + Ca, + Ca, + D = o. 


Toute la question revient à mettre une équation donnée du type (4) 
sous lune des formes (Ha) ou (Eb) en ayant pour tous les parametres 
des valeurs réelles. 


4. En vue d'alléger la suite de notre exposé, nous allons définir 
ici certaines fonctions des coefficients et faire quelques remarques relatives 
à des équations qui sy rattachent et qui joueront plus loin un róle im- 


portant. 
Posons 
A | F= BC, + BOO. BOO — Ap. 


? 


Le discriminant du premier membre de l’équation (E) rendu homogène 
peut s’ecrire 
(M) A— F;—4(B,C,B,C, +B,C, B,C, + B,C, B,C, — AC,C,C,— B,B,B,D), 


et on a 


(IH) F?— 4E,G, = A. (i=1,2,3) 
Si done on considere les trois equations 


(gj ¢:(p) = E,p? + Ffip+G,=0, (i=1,2,3) 


la condition de réalité des racines est pour chacune d'elles 


Azo. 
On a encore 
EB + F,AB, + GA’ = — LEE, 
(IV) | E,C? + FBC, + G,B; = — E,G;, 


E;D’ + F,C,D + G;C; — ER G;G,. 


|E-—40—B5B, F.=#,— 280, 0 BD co 


& 
Ei 
| 


UO Ow errem TO Pm, TU an ii Vee 








3 
| 





, 


Equations représentables par trois systèmes linéaires de points cotés. 305 


On en déduit que si E, — o, cest à dire si l'équation (g,) a une 
Dy C. 


. . . . ., . \ . , 4 > , H = 
racine infinie, l'équation (g;) a une racine égale à t égale aussi à p. d 
7 2 
A 1, . » : 4 B; 5 rade C; 
de méme l'équation (c; une racine égale à A? égale aussi d p. ec. 
I " 35^ 
Enfin, on voit bien aisément que, parmi les trois systèmes E,, F,, G; 
= 1,2,3) il ne peut y en avoir un composé de trois éléments nuls sans 


quil en soit de méme pour l'un des deux autres. La variable dont l'indice 
differe de ceux de ces deux systemes entre alors dans wn binome qui se met 
en facteur dans le premier membre de (E). Cette équation cesse alors 
d'établir un lien entre les trois variables, et il n'y a plus lieu dés lors 
d'en rechercher une représentation. 

Dans le cas ou tous les coefficients de (E) sont différents de zéro, 
cette proposition se démontre ainsi qu'il suit. On a 


AC, — B;B, — o, B,C, 4- B,C, — BjO, — AD — o, B,D— 6,6, — o. 


Tirant A et D des équations extremes pour porter leurs valeurs dans 
l'équation du milieu on obtient 


(BOB ERIC PC) = o. 


L’un de ces deux facteurs est nécessairement nul; soit le premier. Rap- 
prochant l'équation qui en résulte des deux extremes du groupe précé- 
dent, on en conclut que | 


Des lors, l'équation (E), qui peut s'écrire 
a;a; (Aa, + D, + a; (Bia, en a,(B,a, FO TORE D=o, 


devient 


(a, + 2)(Aa;a; + Ba; + Ba; + CG) = 0, 


ce qui demontre la proposition. 

Si un ou plusieurs coefficients de (E) sont nuls, la demonstration ci- 
dessus se modifie un peu dans la forme, mais subsiste pour le fond. 
Partout, dans la suite, nous supposons done 4, 7, et (= 1, 2, 3) 
non nuls a la fois. 





Acta mathematica. 21. Imprimé le 14 septembre 1897. 39 


306 Maurice d Ocagne. 


PREMIERE PARTIR. 


A. Equations représentables par trois systèmes linéaires 
non concourants. 


5. Afin d’eviter toute hypothése particuliere nous representerons par 
i,j,k une permutation quelconque des indices I, 2, 3 et nous supposerons 
les équations (E), (Ea), (E'a) remplacées par celles que l'on obtient avec 
ce changement de notation des indices. 

Sur la forme (E’a), on voit que pour a; = — s;, le premier membre 
de l'équation se réduit a un produit de binomes en a, et a. Or, le ré- 
sultat de cette substitution dans le premier membre de (E) est 


(B; — As,)a;a, + (C; — Bsa, + (C, — B;s)a, + D — Cis;. 
Pour que ce polynome se décompose comme il a été dit il faut que 
(B; — As)(D — C;s) — (C; — B,s)(C, — B;sj) = o, 
ou, si on se référe à la définition donnée au n? précédent, que 
pls) = o. 
On trouverait de méme que 
ei) == Or 


Si donc p; et p; sont les deux racines de l'équation (gj), on voit 


que léquation (E’a) peut s'écrire 
(E"a) Ma + pila; + pe + pi) + Pat’); +) + pr) = © 


Les racines p’ et o" doivent d’après cela être réelles; elles doivent 
aussi être inégales. Si, en effet, on avait o; = p;', le binome a; + p, se 
mettrait en facteur commun et l'équation se décomposerait. Done, d'apres 





Equations représentables par trois sy-tèmes linéaires de points cotés, 307 


ce qui a été vu au n° précédent, pour que l'équation (E) soit représentable 
par trois systèmes linéaires non concourants il faut que le discriminant A 
soit > o. 

On va voir que cette condition nécessaire est également suffisante 
en prouvant que lorsqu'elle est remplie, on obtient toujours pour M et P 
des valeurs réelles. 


6. Il faut d'abord reconnaitre le lien qui doit nécessairement exister 
d'une part entre les racines du groupe (p', de l'autre entre les racines 
du groupe (op"). | 

Sur la forme (a) de l'équation, on voit que son premier membre 
devient identiquement nul pour 4 = — o, 4% = — p,. Faisant cette 
substitution dans le premier membre de (Z) et annulant le coefficient du 


terme en a,, on a 
Api pi’ — Bip!’ — Bip! + C; — o. 
La substitution a, = Sn , & = — p, donne de méme 
Ap} pi — Bo — Bp} + C; = 0. 
Eliminant o; entre ces deux derniéres équations on obtient 
E;p; — B,C; = Ejp; — B;C,, 


ou, en doublant les deux membres, ajoutant à chacun 7, et tenant compte 
des formules (I) (n° 4), 


Ty GR nl , 7 
2E;p; + u; I 2 Eo; + HF. 

On trouverait de méme 
2E;o; + F; = 2E, pr + Fi. 


Ces deux derniéres équations peuvent s'écrire 


d ! d ; d 3 
ap P? = —— ep) = aif en 


dp; 


Pareillement, on obtiendrait 








308 Maurice d Ocagne. 


On peut done dire que les trois racines du groupe (o d'une part, 
du groupe (p") de l'autre donnent une méme valeur à la dérivée du polynome 
(c) correspondant. 

On peut encore remarquer, en résolvant l'équation (gj), que 


2E;p, + F;— HAS 


Les racines d'un méme groupe correspondent donc à wn méme signe 
pris pour VA. 

En resume, on est libre de choisir parmi les racines de (gj) la racine 
pi et la racine o;', mais, une fois ce choix. fait, les racines p; et p; d'une 
part, o;' et o; de l'autre sont déterminées sans ambiguite. 

Remarque. Une on plusieurs des équations (¢) peuvent avoir une racine : 
infinie (jamais les deux, d'aprés la remarque finale du n° 4). Des lors, 
E, étant nul, la quantité 2E,o, + F; prend la forme indéterminée o X co 
pour la racine p; infinie, mais comme elle prend la valeur parfaitement - 
déterminée 7; pour la racine p; finie, le criterium indiqué s'applique au 
moyen de cette seconde racine. Il est done valable dans tous les cas. 


7. Abordons maintenant le calcul de M et P. Pour cela, remar- 
quons que l'identification de (E"a) et de (E) conduit à huit équations de 
la forme 


ME 4 PR SK, 

ou À’, HR" et K ont les systèmes de valeurs 
DH —3 ; R'=ı : K=A, 
Pg iy Re 


, of ol ee , pd pie a9 


Rp) Se à 


AU 


TS 
t 

— 

_ 


? 4 bw , s? je Ter) Ms 


ie Se , , /, 9r A. LA 17 1 LE, 
R' = pip) Pes R” = pop; Pio dc 
Prenons deux de ces équations, distinguées par les indices o et 1. Nous 
en tirons 
M P 
RR-RK(RK-RK / 








UM 


Équations représentables par trois systèmes linéaires de points cotés, 309 
Par suite, l'équation (a) devient 
(A) (I K, — By Ki); + oin; + o5) + 02 
— (By K, — B, Ki) +) + pi Yn + pr) = 0. 


Nous allons voir comment cette équation peut sadopter à tous les 
cas possibles caractérisés par le passage à l'infini d'une au de plusieurs 
racines o' et p". 


1* Cas. Les six racines p' et p" sont finies. Dans ce cas, E;, E,, E, 
sont différents de zéro. Nous prendrons ici dans le systéme (X) 


Hcc Je, Ku 
hy p, Hy = p, K, = B,. 
L’équation (A) devient alors 
(A) (Apr — Billa: + pi); + oi). + er) 
— (dr — Bla + oi) e; Yom + pr’) = o. 
2° Cas. Une racine est infinie. Soit p, — co,’ auquel cas E, — 0. 
L’equation (A) du n° précédent, divisée par 7, peut s’ecrire 
B, / , / 
(4 — 25) (s + pss + pin + pi) 
| , 1 "| ak 
— (Ao, — Bla; + pi )(a; + p; (= + 1) — o. 
Pour p, —:/co;.elle. devient 
(A,) A (a; gk pi) a p; )( us pi) x (Ap; Des D,)(a; + pi Ya; ku ^j) s 
3° Cas. Deux racines de méme groupe sont infinies. Solent p;' — p, = ©, 


auquel cas H, = E, — o. Nous prendrons ici dans le systeme (2) 


Ré RE Ky i= À; 


1 1 


= pp, Wen)  K = G,. 








' Lorsqu une racine est infinie on peut simplifier le calcul des autres en s appuyant 


sur les remarques faites À propos des formules (IV) du n° 4. 





310 Maurice d Ocagne. 


av a? 


L’equation (A) divisée par o;'p; peut alors s'écrire 


C; À ; ; 
(4 = rap) + pi)(% + ;)(ae + px) 


Pi Pk 








— (Ap; pk — Cy + o) s X) C + 1) = 0. 


Pour p; — p, — co, elle devient 


(A,) Ala; + pi)(a; + px + px) — (Ap; ox — CO); + pi) = 9- 


4° Cas. Deux racines de groupes différents sont infinies. | Solent 
p; pk = co, auquel cas on a encore E, = E,— o. Nous prendrons ici 
, , 11 yt 
I = pk» Ry -— BEN K, == By, 
, , 77 1! 
Ri = pj > Ri = Pj , JI = B;. 


, 17 


L'équation (A) divisée par pj; peut alors s’ecrire 


(BE B, Ja. + e zs 3 + pi) 


Pk 
= (B. — Bie) (a a pi (a; — es =e 1) EE 
d DP i Ir 7? \ok 
Pour p; = p; = co, elle devient 
(À) B(a; + piXu +) + Bla + eo); + oj) — o- 


On voit qu'ici le terme en a,a,0, a disparu, c'est à dire que À =o. 
C'est là ce qui distingue ce cas du précédent. 


5° Cas. Les trois racines d'un même groupe sont infinies. | Solent 
p; =p; =p, =, auquel cas E; = E,— E,-— o. Nous prendrons ici 


dH og ; ARR 5 Ky ESSE. 
Ri = pipi Pk» Ry = pipi py, Ages. 





Équations représentables par trois systèmes linéaires de points cotés. 311 


L’equation (A) divisée par o; o;'o, peut alors s'écrire 


; D 


Pi Pj Pk 


— (Ania D)(%, + 1) (> + 1) (4 + 1) =o. 





Pour 5; — p; — p, = ©, elle devient 
(À;) A (a; + pi) + oj. + ox) — (Apip; py — D) = o. 


6° Cas. Deux racines de l'un des groupes et une de l'autre sont infinies. 
Solent p; — p; = p, — ©, auquel cas on a encore E, = E, — E, = o. 
Nous prendrons ici 
^ 
, ee , 1 REA Lad 7 Re: 
tr ga, Ry —1P; , Ky = B;, 
, RES , , a7 =; v7 11 2 v Y 
hi = pj Pk» hy = Pj Pk» K, = C. 


L'équation (À) divisée par o;o;' o; peut alors s'écrire 


(B. — 6-5. (5 + x) + Yes + m) 








pj Qk / \Pi 
= Br — c) i ae 1) 2 1) — OQ. 
(ec — e 0n + 1) e + 
Four.p, — 0» — pe — ©, elle devient 
(A,) ^ B + pim +) + Ola + pi) = o- 


On voit qu'ici encore il n'y a pas de terme en «a,a;a;, c'est à dire que 
A=o. En outre, D, est different de zero, ce qui, avec l'hypothèse faite, 
entraine nécessairement D; = Db, = o. 


8. Résumé. Si on compare à l'équation (Fa) chacune des équations 
de (A,) à (A,), on voit que, pour A > o, la représentation peut être 
définie par les formules (a) du n° 3, les paramètres m,»,p,q étant 
donnés par les tableaux ci-dessous dans lesquels on les suppose rangés 
dans l’ordre 

n; ’ n; ? Di ? dis 
m; , N, Dj» dj 


Mey Ne, Des, di 





CMS V. E * e - Ml s 


Mo een. 
2 " - * 
312 Maurice d Ocagne. 
I* Cas. E,, E;, E, + 0: 
, [23 
I , Pi , I >. Pi 
, ; LEA 
I , pj I , pj 


Ap, — B,, pi(Apy —— Bj). By,— Am, pr (By — Api) 


2° Cas, E, EH; + 0; E, = ow 


T , Pi , I , pi , 

I , pj , E , 0j! , 

A ; prA ; [e ^ D,— Ap, . 
3° Qus. EE, Fo, u, 2-0, 9: 

I , Pi , : , P , 

I , = , , I , 

A , Pk , e » 06 — pip. - 
4° Cas. E;3:0; E; E,-—0; A—o: 

Lc gc. s LAS pi ; 

O ; I , I ; p j 

D; ; pi b; j O ; 5. ; 
5° Cas. E; HE,E,—0; A+ 0: 

I ; pi j Ores E AR d x 

TERN bj , One, 2 1 ; 

A ppl, = O 5 D— App; pe: 


6° Cas. EF, Bou E 0; A= 05 Bros 


O , I , I , Pi 
D, ? Pi D; , O , C, 


! Dans ee cas A + O nécessairement; car A = O, E; = O entraînent soit D; = O, 


soit B; — O, par suite soit E; = O, soit 7; = O. 
? On vient de voir que les deux autres B sont nécessairement nuls. 





co 


2 . , . . NS . 
Equations représentables par trois systèmes linéaires de points cotés. 51 


B. Equations représentables par trois systemes 
linéaires concourants. 


9. Nous avons vu que lorsque les trois systemes linéaires sont con- 
courants l'équation (E) est susceptible de prendre la forme (E’b) qui peut 
encore s’ecrire 


N(a; + s)(a; + Sa + 5) 
m (aj + sje + 5) — t; (a; + s,)(a; + s) — hl; + S;)(a; + sj) = o. 
On voit que pour a; = — $;, à; = — 5;, a, — — &, elle se décom- 
pose en un produit de binomes. Il en résulte, comme au n* 5, que 
$;, 5;, $, Sont racines respectivement des équations (e;), (ej) , (g;). 
Ces trois équations doivent donc encore avoir leurs racines réelles. 
Or, si ces racines étaient inégales l'équation (J£) serait représentable par 
trois systémes non concourants, ainsi qu'on l'a vu au paragraphe précé- 


dent, et cela serait contraire à l'hypothése actuelle. Chacune des équa- 
, 1 
tions (p) a done nécessairement ici ses racines égales et, par suite, 


x = 6. 


Si pi, pj, 9, sont ces trois racines, l'équation précédente deviendra done 


(E"b) Na; + pila; + Pla + Pr) 
— ba; + oj (n + px) — bl Hoya; + 9) — ul; + pi) + pj) = o. 


L'identification de cette équation et de (E) donne les huit équations 


(1) IN 
(2;) No; — t; x B;, 
(3j Np; — br — tip; = Ci, 
(4) Npip;p, L— —- 0070, AT og; — hoi; = D. 
Acla mathematica. 21. Imprimé le 14 septembre 1897. 40 





314 Maurice d Ocagne. 

Ayant, dans toutes ces équations, remplacé N par sa valeur (1), on 
tire de (2,), 
(5;) t; = Ap; — B,, 


Faisons maintenant la somme de (2,), (2,) et (3;) respectivement 
multipliées par o,,; et — 1. Il vient 


(6;) px(Ap; — Bj) = Bp; — G. 

De méme, la somme de (2,),(3;), (3j) et (4), respectivement multipliées 
par pip;j, — pi» — p; et 1, donne 

(7x) p;(Brp; — Cj = Cip, — D. 


Cela posé, nous pourrons calculer /;, ¢;, 5, dans tous les cas possibles. 
temarquons d'abord que nous pouvons, au moyen de ces formules, 
vérifior que chaque équation (¢) a ses racines égales. 
Si, en effet, entre les équations (6,) et (7,) nous éliminons p,p;, nous 
obtenons 


(8,) Eve, + Ejp; + B,C, — AD — o. 


Si maintenant, de la somme des équations (8,) et (8;) nous retranchons 
l'équation (8; multipliée par 2, nous obtenons ; 

2E;p; + F;=0 
ou 


d 
ap: £0 er 


ce qui démontre que p; est racine double de (g;) et, par suite, que A — o, 
comme nous l'avions prévu à priori. 
Passons maintenant à l'examen des divers cas qui peuvent se présenter. 


10. 1% Cas. Les trois racines sont finies. Dans ce cas, E,, E;, E, 
sont différents de zéro. 


D'après (1) et (5) l'équation (E’b) devient 


Api = Di ; A B; , Ap, — B, e ago, 
ai + Pi dj + pj Gk + pk 














Equations représentables par trois systèmes linéaires de points cotés. 315 
ou 
> > > 
(8 Ap; — B; Ap; — D; Aaj, + Di Id 
ere — 


di + Pi aj + pj ax + Pk 


2° Cas. Une des racines est infinie. Soit p, — co, auquel cas E, — o. 
En vertu de (6; et (6; l'équation (%,), multipliée par p,, peut s'écrire 





Bip: Im C; 2 Bip; ep Ars Aux + bi die 
di + pi a E au eb rd < 
Pk 


Pour p, = co, elle devient 


Depp Cg e Dip; = € T 
ai + pi Danse c (Aa, + Bj) = 0 





Bi —G Dt Gi 


CB) c; + pi aj + pj 


— Aa, — ©. 





3° Cas. Deux des racines sont infinies. Soient o; = p, — co, auquel 
cas E, = E, = o. 
En vertu de (7, l'équation (®,) multipliée par p;, peut s'écrire 


Ken na 
di + pi m 





Or, pour obtenir (®,), nous avons supposé o; = co, et, d'aprés (6;), 


up 1 "Qo > à à LJ S annmira 
pour o, = co, on a Ap; = D;. L'équation précédente peut done s'écrire 
Cio; —D Da + Ci 
dno D Bit py mo 
de : 7 
i Pi 4 TES, 
Pj 


Pour p; — co, elle devient 


Cipi — D ) | ' ) — 
bn iE —— (B,a, ES C; —— Da, = O, 
ou 
C; 4; + D > > 
(8;) pu ud MCI Bao 





316 Maurice d Ocagne. 
4° Cas. Les trois racines sont infinies. On a donc E; = E; = E, = o. 


L'équation (#,), multipliée par p;, s'écrit 


C;a; + D 
ER Boa; + Bpiu = 0. 


Or, pour obtenir ($,) nous avons supposé po; = po, = co, et, d'apres (7,) 
et (7j, pour pj = py = ©, ona Bar = C;, Bo; = Cr: L'équation précé- 
dente peut donc s'écrire 


Cia + D 





di + Ca; -- Co; Lo. 
cade og 
pil 


Pour o, = co, elle devient 
(#,) Cia; + Cia; + Ca, + D — o. 


Ce dernier cas n'a d'ailleurs été envisagé qu'à titre de vérification, car 
il est de toute évidence que l'hypothése A = .E; = E; = E, — o entraîne 
nécessairement A = B, = B; = B, — o. 


11. Resume. Si on compare à l'équation (Eb) chacune des équa- 
tions de ($,) à (®,), on voit que, pour A = o, la représentation peut 
être définie par les formules (b) du n° 3, les paramétres m , n , p , q étant 
définis par les tableaux ci-dessous dans lesquels on les suppose rangés 
dans l'ordre 

Wi, Ms Pi» Qi, 


; , Ws, D; » qi, 
Wy, V, Dy, re 
ı" Cas. E; E;,E,--0: 
Lu ques Do yu d 
I, fj, 0. 3, ar RB 
I, fk; — <a; D} 








Equations représentables par trois systèmes linéaires de points cotés. 317 
2° Cas. EB, Bj +0; E, = 0:° 


Se, hy ON O ) D,p,; 2 C;, 


t2 


Y 
T 2:49 C; , D , 
exar ut? Ball, O ; 
oO, I, Db; , O , 


p Dm TOLL ge TH ie: 


oO, I, Ces O , 
Y 

9 Ir Ger: O , 

OCT hé Ces, D 


Interprétation géométrique. 


12. Si, dans l'équation (E) du n? 3, on regarde a, , a, et a, comme 
des coordonnées courantes, on voit que cette equation représente une sur- 
face du 3""* ordre passant par les droites du plan de l'infini situés dans 
les plans de coordonnées, et ayant, par suite, pour points doubles les 
sommets du triangle &€ formé par ces trois droites. 

Lorsque A > o, les plans a; + p; =o et a; + pj — 0 (i7 — 1,2, 3) 
se coupent deux à deux suivant des droites réelles de la surface. Lorsque 
i et j sont différents, la droite correspondante est à distance finie et pa- 
rallèle à l'axe des coordonnées a. Si une des racines devient infinie le 
plan correspondant se confond avec le plan de l'infini. 

Lorsque A — 0,50; = p; pour à = 1,2,3. Les deux droites pa- 
ralléles à chaque axe de coordonnées se confondent en une seule, et ces 





! Ici, comme on l'a déjà vu au n? 8, A + O, nécessairement. 


.* L'équation (®,) montre wii À = B; = O. 








318 Maurice d Ocagne. 


trois droites doubles concourent en un méme point qui constitue un 
quatriéme point double de la surface. On saisit ainsi la raison géométri- 
que de lannulation du discriminant A dans ce cas. 

La theorie ci-dessus presentee fournit donc un mode de representa- 
tion plane des surfaces du 3""* ordre ayant trois points doubles dans le 
plan de l'infini Dans ce mode de representation, à tout point de la 
surface correspond une droite du plan, à chaque section de la surface 
faite parallelement à un des plans de coordonnées, un point coté. 

Si .4 — o, la surface se décompose en le plan de l'infini et un hyper- 
boloide. La condition A > o signifie que l'hyperboloide est à une nappe. 
Lorsque A — o, cet hyperboloide se réduit à un cóne. 





DEUXIEME PARTIE. 


13. Si nous considérons l'ensemble des trois systèmes de points cotés 


(a;) | f, (a;), M e; (a;), t= di(a;), 


nous en obtenons la transformation homographique la plus générale en 


prenant 


(a;) $ — Àf;- th ei + vidi, y = fi + fo; + Vo Di t= Af; 30:4 5 is 


le déterminant de la transformation 








étant différent de zéro. 





* I suffirait d'appliquer une transformation dualistique pour obtenir une représenta- 


tion point par point de la surface sur le plan. 





MUSS 


Equations représentables par trois systtmes linéaires de points cotés. 319 


Pour que les points (aj) forment un système régulier, il faut et il 
suffit que / soit constant et différent de zéro, c'est à dire que dans 
Af, + pue; + v, d le coefficient du terme en a, soit nul et le terme constant 
différent de zéro. 

Nous allons rechercher maintenant si, par un choix convenable des 
paramètres A, 4, » rendant H différent de zéro, on peut réaliser la condi- 
tion précédente pour les trois systemes linéaires d'une équation (E) ou 
seulement pour deux et méme pour un d'entre eux. 


A. Equations représentables par trois systemes linéaires 
non concourants. 


14. Lorsqu'une équation appartient à cette catégorie (A > o), on 
peut prendre comme formules (4) les formules (a) du n? 3 où on remplace 
1,2,3 par 4,7, k. Les formules (a) sont alors 


vy = (Am; + »p)a; + AN + vi, 
z = (mp; + »mja; + mg; + vin, 
z = (Ap, + wim) oe + Ant tum, 
y = (Am; + v,p)a; + An; + 2G; 
(a'a) , y = (pap; + »4mja; + pq; + van, 
y = (De + em) + or + Ne 
t = (Am; + »,pj)a; + An; + v0: 
b= (pup; + vmj)ag + 19; + vs, 
t = (Ap, psn te + Ase + Mare: 


Les équations exprimant que chacun de ces systémes est régulier sont donc, 


d'aprés la remarque faite au n? précédent, 
A,m; + 2,9; = 0, avec la condition  Àn; + v4 = O, 
(ya) up; + vs; = 0, » [/30; + v5; # 0, 
| ÀPe + pum, — o, IE I + tsm, Æ O. 





320 Maurice d Ocagne. 


Remarquons tout d’abord qu’en vertu des conditions ci-dessus on ne 
saurait admettre une solution dans laquelle plus d'un des paramètres À, , p, , v, 
serait. nul. 

Tout revient done, dans chaque cas, à essayer de satisfaire au plus 
grand nombre possible des équations (za) en observant cette condition. 
Mais, si cette seule condition est remplie par une solution, les trois condi- 
tions inscrites en regard des équations (ya) sont satisfaites. En effet, si, 
À, et », n'étant pas nuls à la fois, on avait 


Àj; + va p; = o et Am; + VG: = 0, 


il en résulterait as Par suite, comme on le voit en se reportant 
: : à : 
à la forme (Ea) de léquation (E) (n° 3), a; disparaitrait de cette équa- 
tion. De méme pour les deux autres équations (pa). 
Remarque. Pour que les trois systémes puissent étre rendus réguliers 
à la fois, c'est à dire pour qu'il y ait compatibilité entre les équations 
(za) il faut que 


MMM, + p P,P, = O, 
cest à dire, si on se reporte a (Ea), que 
A — o. 
On verra plus loin que cette condition nécessaire n'est pas suffisante. 


15. Les équations (za) ne contenant que les éléments de la troisiéme 
ligne du déterminant H, on peut disposer arbitrairement de ceux des 
deux premiéres lignes à la condition toutefois de ne pas rendre H iden- 
tiquement nul. 

Si, par exemple, À, est différent de zéro (ce qui est partout le cas 
dans ce paragraphe), on pourra prendre 


À — 0, [4 790, y 


A, = O, Be = 1; y 


ce qui donne H = — À,. 





Equations représentables par trois systèmes linéaires de points cotés. 321 
Dans cette hypothèse, les formules (4'«) deviennent 
X — pci == dis 4 = 9 , ‘= (Am; + V5 p;) a; T An + Vaio 


ad C= Mat, y= pa +a, t= (up; + vm)a; + pq; + vsnj, 
v — O , y = myay; Ton t= (As Di + pi my) Se As GE Ha 


On voit que les supports sont pour (a) laxe des x, pour (a) laxe des 
y, pour (a) la droite 


(c; | Va Ty al 


Cela posé, nous allons chercher, sous la condition sus énoncée, à satis- 
faire à une ou plusieurs des équations (ya) dans chacun des cas que nous 
avons été amené a considérer (n° 8). 

16. 1° Cas. E;, E;,,E,--0. Les équations (ya) sont ici 

pe + ut Se 
(5) |^ ae 0 
5 , 2 5 
| (B, m: Apı) A; + (Ap; — Di) = 0. 


Elle sont généralement incompatibles, mais on peut toujours satisfaire 
aux deux premieres en prenant 


ug p, T, y ———— 


Les formules (aa,) deviennent donc 


| === a+ pi, y= O , t= 0; —p; , 
(aa) | = +, y= at pf o Lp — py | 
T —= O s Yo (Ao, S B,)(« 4 pi): = (or — pi) (Aa, + B 


in outre, l'équation (c) est ici 


y — v I. 


Si A — o, le systeme (a,) devient lui-méme régulier. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 14 septembre 1897. 41 





322 Maurice d Ocagne. 


2° Cus. E;, E; 0; E,= o. Les équations (ya) sont ici 


E ,+v,=0, 
(743) HT 90 
ps = O0. 


On satisfait encore aux deux premiéres en prenant 


Les formules (za,) deviennent donc 


- 


$ — a; + pi, i 2 , t = pj — pi , 
(aa,) z-—a-rp, | y = 4; + 2; , t = pj — pj , 
i= 90 ) yY=Ala, + pi); t = Aa, + D,. 


Ici, comme on l'a déja remarqué au n? 8, A ne peut pas étre nul, 
et, par suite, le troisieme systeme n'est jamais régulier. 


3° Ca. E,+0; E,E,—0; A+o. Les équations (ya) sont ici 


A, T »,70; 
(74,) Vi Op 
A = O. 


On satisfait a la premiere et à la derniére en prenant 
A, = 1; pf, = 0, y, === I. 
Les formules (za,) deviennent donc 


T—aG-Rp, y=o be OL Sc opo a 


| 


(aa,) =a; + 9; , Az 


x =O ; 


SR 
| 
à 
2 
+ 
D 
aS 
~ 
| 
fos 
m 
S. 
D 
nn 





Equations représentables par trois systems linéaires de points cotés. 323 


4° Cas. H,; +0; EjE,—0; A=o. Les équations (na) sont ici 


| À, fr Ys pes 
(ya) | DRE, 


Le = © 
On satisfait à toutes trois en prenant 
AT jt, 25.0, y, — — I. 


Les formules (aa,) deviennent 


rz — ad pi, HD , b= pi — 2; > 
(za) Pi RE Et 2 MUR et PRE 
ae , y = Bilan + pi), t= B, . 


5° Cas. E,E,E,=0; A=+0. Les équations (ga) sont ici 


| À, = 0, 
(74,) A o, 
ne 


On ne peut ici, sous la condition requise, satisfaire qu'à une seule de ces 
équations, par exemple à la seconde en prenant 


An j= P. ore 


ene xp d ;, i-a yi , 
(aa,)|1 x — a; d- oj; y=! "E I SÉ : 
| t=O ‚,y=Aa+m), t = Ale +i) + D — Api pion. 





324 Maurice d Ocagne. 


6 Cas. E;,E;, E, — 0; A — o. Les équations (ya) sont ici 


| y, =O, 
(ya) M >= o, 
A, = O. 


Cette fois on satisfait aux deux premiéres en posant encore 
A, = 1, pb, = 1, y, — O. 


Les formules (za,) deviennent donc 





D o— 0 + pi, d , D , 
(aa) 1x = a; + 5j. =o er : 
s 


ED , y = Bia, + pi); t = Bia, + pi) d C;. 


B. Equations représentables par trois systemes 
linéaires concourants. 


17. Lorsqu'une équation appartient à cette catégorie (A = 0), on 
peut prendre comme formules (a) les formules (J) du n° 3, où on rem- 
place 1,2,3 par i,7,k. Les formules («) du n° 13 deviennent alors 


p = (Aum; + v,p)a; + Ai; + vidi; 
x = (mm; + »pja; + pin; + i0; 
© = [( + py), — ripe) og + Ar + pn) — vide 
y = (km + pa; + km; + vidi 
(a'b) y = (mm; + v4pj)a; + pam; + var, 
y = [A + pe), — pile + Qo A pa) Me — vidi 
t = (Am, + pa; + An; + vq; 
t = (p,m; + v,pj)a; + pn; + 39), 
t = [(A; + p)m, — Lindl ay, + (Az + ps), — viqi- 





Equations représentables par trois systèmes linéaires de points cotés. 929 


Les équations exprimant que chacun de ces systèmes est régulier sont, 
d’apres la remarque du n° 13, 


| Am; + »4p; — O, avec la condition Am; + 939; #0, 
(7b) | Am; + vp; = 0, » Pan; + 940; #0, 
(A; == Iis) n; Es vs Di m O, » (2, on fs) n, E 75 qi + O. 


On voit que ces conditions ne permettent pas d'avoir », = o, en 
méme temps que À, ou À, + p,; mais on peut prendre A, = y, = o, 
avec v, #0. En outre, le raisonnement déjà fait au n° 14 montre que 
si la condition précédente est remplie par un système de valeurs satis- 
faisant à une des équations (7b), les conditions inscrites en regard des 
équations (yb) le sont aussi ipso facto. 

Remarque. Pour que les trois systèmes soient réguliers, c'est à dire 


pour qu'il y ait compatibilité entre les équations (55) il faut que 
m, P,P; + m, D,D,--m,p p,- oO, 
c'est à dire, si on se reporte à (Eb), que 
er 


Comme précédemment, cette condition nécessaire n’est pas suffisante, ainsi 
qu’on le verra par la suite. 


18. Les équations (yb) ne contenant que les éléments de la troisième 
ligne du déterminant H, on peut disposer arbitrairement de ceux des deux 
premières lignes à la condition toutefois de ne pas rendre // identique- 
ment nul. 

Si, par exemple, A, est différent de zero, ou pourra prendre 








326 Maurice d Ocagne. 


ce qui donne H = —A,.. Les formules (a'0) deviennent alors 


| 


L= Pia; + qi , y Oo , 
v= pa; + q; ; y — Ma c m; , 
yo — (pa, + Qi), y = My + n, 
t = (Am; + pa + An; + 939 
t = (mm; + »,pj)a; + pn; + vidi 
| ¢ = [s + pm — pie + (As + ps) te — Ys Me 


Si À, = o, mais que », soit différent de zéro, on pourra prendre 


2 p = 0; ech 


À, = 0, f, = 1, y, — O, 


ce qui donne H = »,. Les formules (a'b) deviennent alors 


r— MA + N,, y= o ; 
D -—O : y — ma; cr n, 
= mya, + M, y = MO, + M 


(ab) 
t = (Am, + vpj)a; + AN; + v4di, 


{= (p, m; zm Ys pj) a; E Han; = EU FE) 
t= [(As Sis fs) my »3p..] Birk] (A; ae Js) Ny — Vadx- 


eS — ———— —— 


Cela posé, envisageons chacun des cas définis au n° 11. 


19. 1* Cas. E,,E;,, E, + o. Les équations (yb) sont 


(7b, ) | Ps = ©, 


ici 





997 


Equations représentables par trois systèmes linéaires de points cotés. 221 


On peut, sous 


les conditions requises, satisfaire dans tous les cas aux deux 


P remicres en prenant 


Puisque A, est 
deviennent 


À, = 0, D —— pu 


nul et », non, il faut avoir recours aux formules (a) qui 
/ 


z = a; + p, 6 ; t = Ap; — D;, 


=D , y — a + p, t = Ap; — D; , 


TZ — a, + Op» y = a, p, t = Aa, + B,. 


Ou voit que le support de (a,) est la droite y = x. 
Si A =o, le systeme (a,) devient lui-même régulier. 


2?'€as. H,, E, == 0;-E,-— 0. Les équations (7b) sont ici 


(nb,) 


Les formules (aÖ,) deviennent donc 


à) c 


= a; + Pi 0 , t = B,p, — C; 
O , y = à; p; t = Bp; — Gi 
apes , go , t= Aa, + B,. 


Ici, ainsi qu'on l'a déjà remarqué au n° 11, A ne peut pas étre nul. 





328 Maurice d Ocagne. 


3° Cas. E, +0; E; E, = o. Les équations (zb) sont ici 


(y) Hg. ER 
Js = OF 
On satisfait aux deux derniéres en prenant \ 
À, — I, fs = 1, y, = O. 


Comme A, est différent de zéro, on a recours, cette fois, aux formules 
(ab,) qui deviennent | 


x = C;a; + D, y, t— a; + po 


(ab,) pe m Nc. y — I, i — 1 : 
= — Ba, HH, [9 : 
4° Cas. E;,E;, E, — o. Les équations (xb) sont ici 


| y, = G, 
(nb,) y, £5 Os f 


Les formules (ab,) deviennent alors _ | - 


Br: ; yo D [E 
(ab,) v = Ca; ; Ex t= 1, 
BELA PES Y= I, peu. 


20. Résumé général. 'Tous les résultats qui précedent peuvent se 
résumer dans le tableau suivant ou une quantité positive est désignée 
par +, une quantité non nulle quelconque par ®. Si un de ces signes 





aed 





/. 
A] ® , . . . . 
Equations représentables par trois systèmes linéaires de points cotés. 329 


2 , , a 9° , , . ' , 
est souligné c'est qu'il découle nécessairement des autres hypothèses placées 
sur la méme ligne. 


























Beet ig ee Bot A Sesto vipuliors FORME 
: | correspondantes 
+ D () () 0 (a) ; (a) (aa, ) 
= | @ | 9| © 6 (a) 5 (a) , (a) (aa,) 
129m 085 cae SI, re ME dhe (ai) » (a) (a4,) | 
+ D O O Q (a) , (ay) (aa,) ; n° 16 | 
oo or crie Po | 
+ O O O D (a;) (aa, ) | 
ee Oe Oe 20 eene Geh (9)! c (os) | 
O 0 D D D (a) ; (a) (ab,) | | 
O D DD CRC (a) » (a) » (au) (ab, ) 
S. esee enone (a), (a) (ab,) | n° 19 
| o qeu uo e enn (aj ; (ax) (ab, ) 
| O O O O o (a;) , (aj) ; (ax) (ab,) | 








On peut done énoncer cette proposition: 


Pour qu'une équation (E) soit représentable par trois systèmes linéaires 
de points cotés il faut et il suffit que son discriminant A soit supérieur ou 
égal à zéro. Ces trois systèmes linéaires peuvent être rendus réguliers lorsque, 
A étant nul, ou bien les quantités E,, E;, E, sont toutes trois différentes 
de zero, ou bien, deux de ces quantités sont nulles, la troisième et A étant 
ensemble ou nuls ow non nuls. 

Si E;, E;, E, étant nulles, A et A ne le sont pas, un seul des trois 
systèmes linéaires peut étre rendu régulier. 

Dans tous les autres cas on peut rendre réguliers deux de ces systèmes. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 15 septembre 1897. 42 


991 


SUR LES RAPPORTS DE L'ANALYSE PURE ET DE LA PHYSIQUE 
MATHÉMATIQUE. 


Conférence de M. H. Poincaré au congres international des mathématiciens, 
a Zürich, en 1897. 


m 


On vous a sans doute souvent demandé à quoi servent les mathé- 
matiques et si ces délicates constructions que nous tirons tout entiéres de 
notre esprit ne sont pas artificielles et enfantées par notre caprice. 

Parmi les personnes qui font cette question, je dois faire une distinc- 
tion; les gens pratiques réclament seulement de nous le moyen de gagner 
de largent. Ceux-la ne meritent pas qu'on leur réponde; c'est à eux 
plutót qu'il conviendrait de demander à quoi bon accumuler tant de 
richesses et si, pour avoir le temps de les acquérir, il faut négliger l'art 
et la science qui seuls nous font des àmes capables d'en jouir et propter 
vitam vivendi perdere causas. 

D'ailleurs une science uniquement faite en vue des applications est 
impossible; les vérités ne sont fécondes que si elles sont enchainées les 
unes aux autres. Si l'on s'attache seulement à celles dont on attend un 
résultat immédiat, les anneaux intermédiaires manqueront, et il n'y aura 
plus de chaine. 

Les hommes les plus dédaigneux de la théorie y trouvent sans sen 
douter un aliment quotidien; si l'on était privé de cet aliment, le progres 
sarréterait rapidement et nous nous figerions bientôt dans l’immobilite 


de la Chine. 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 15 septembre 1897. 








332 H. Poincaré. 


Mais c'est assez nous occuper des praticiens intransigeants. A côté 
d'eux, il y a ceux qui sont seulement curieux de la nature et qui nous 
demandent si nous sommes en état de la leur mieux faire connaitre. 

Pour leur répondre, nous n'avons qu'à leur montrer les deux mo- 
numents déjà ébauchés de la Mécanique Céleste et de la Physique Ma- 
thématique. 

Ils nous concederaient sans doute que ces monuments valent bien 
la peine qu'ils nous ont coütée. Mais ce n'est pas assez. 

Les mathématiques. ont un triple but. Elles doivent fournir un 
instrument pour l'étude de la nature. : 

Mais ce n’est pas tout: elles ont un but philosophique et, j'ose le 
dire, un but esthétique. 

Elles doivent aider le philosophe à approfondir les notions de nombre, 
d'espace, de temps. 

Et surtout leurs adeptes y trouvent des jouissances analogues à celles 
que donnent la peinture et la musique. Ils admirent la délicate har- 
monie des nombres et des formes; ils s'émerveillent quand une découverte 
nouvelle leur ouvre une perspective inattendue; et la joie qu'ils éprouvent 
ainsi n'a-t-elle pas le caractére esthétique, bien Hue les sens n'y prennent 
aucune part? Peu de privilégiés sont appelés à la goûter pleinement, 
cela est vrai, mais n'est-ce pas ce qui arrive pour les arts les plus nobles. 

C'est pourquoi je n'hésite pas à dire que les mathématiques méritent 
d'étre cultivées pour élles-mêmes et que les théories qui ne peuvent être 
appliquées à la physique doivent l'étre comme les autres. 

Quand méme le but physique et le but esthétique ne seraient pas 
solidaires, nous ne devrions sacrifier ni l'un ni l'autre. 

Mais il y a plus: ces deux buts sont inséparables et le meilleur 
moyen d'atteindre l'un c'est de viser lautre, ou du moins de ne jamais 
le perdre de vue. C'est ce que je vais m'efforcer de démontrer en pré- 
cisant. la. nature des rapports entre la science pure et ses applications. 

Le mathématicien ne doit pas étre pour le physicien un simple 
fournisseur de formules; il faut qu'il y ait entre eux une collaboration 
plus intime. 

La physique mathématique et lanalyse pure ne sont pas. seulement 
des puissances limitrophes, entretenant des rapports de bon voisinage; 
elles se pénétrent mutuellement et leur esprit est le méme. 


| 
| 
E 





Sur les rapports de l'analyse pure et de la physique mathématique. 099 

C'est ce que l'on comprendra mieux quand j'aurai montré ce que 

la physique recoit de la mathématique et ce que la mathématique, en 
retour, emprunte à la physique. 





TE 


Le physicien ne peut demander à l'analyste de lui révéler une 
vérité nouvelle; tout au plus celui-ci pourrait-il l'aider à la pressentir. 

Il y a longtemps que personne ne songe plus à devancer l'expérience, 
ou a construire le monde de toutes pieces sur quelques hypotheses hätives. 
De toutes ces constructions ou l'on se complaisait encore naivement il 
y a un siécle, il ne reste plus aujourd'hui que des ruines. 

Toutes les lois sont donc tirées de l'expérience; mais pour les énoncer, 
il faut une langue spéciale; le langage ordinaire est trop pauvre, il est 
d'ailleurs trop vague, pour exprimer des rapports si délicats, si riches 
et si précis. 

Voilà donc une premiére raison pour laquelle le physicien ne peut 
se passer des mathématiques; elles lui fournissent la seule langue quil 
puisse parler. 

Et ce n'est pas une chose indifférente qu'une langue bien faite; 
pour ne pas sortir de la physique, l'homme inconnu qui a inventé le 
mot chaleur a voué bien des générations à l'erreur. On a traité la 
chaleur comme une substance, simplement parcequ'elle était désignée par 
un substantif, et on l'a crue indestructible. 

En revanche, celui qui a inventé le mot électricité a eu le bonheur 
immérité de doter implicitement la physique d'une loi nouvelle, celle de 
la conservation de l'électricité, qui, par un pur hasard, sest trouvée exacte, 
du moins jusqu'à présent. 

Eh bien, pour poursuivre la comparaison, les écrivains qui em- 
bellissent une langue, qui la traitent comme un objet d'art, en font en 
méme temps un instrument plus souple, plus apte à rendre les nuances 
de la pensée. 





334 H. Poincaré. 


On comprend alors comment l’analyste, qui poursuit un but pure- 
ment esthétique, contribue par cela méme a créer une langue plus propre 
à satisfaire le physicien. 

Mais ce n'est pas tout; la loi sort de l'expérience, mais elle n'en 
sort pas immédiatement. L'expérience est individuelle, la loi qu'on en 
tire est generale; lexpérience n'est qu'approchée, la loi est précise, ou 
du moins prétend l'étre. L'expérience se fait toujours dans des conditions 
complexes, l'énoncé de la loi élimine ces complications. C'est ce qu'on 
appelle »corriger les erreurs systématiques». 

En un mot, pour tirer la loi de l'expérience, il faut generaliser; 
c'est une nécessité qui s'impose à l'observateur le plus circonspect. 

Mais comment généraliser? toute vérité particuliére peut évidem- 
ment étre étendue d'une infinité de manieres. Entre ces mille chemins 
qui s'ouvrent devant nous, il faut faire un choix, au moins provisoire; 
dans ce choix, qui nous guidera? 

Ce ne pourra étre que l'analogie. Mais que ce mot est vague! 
L'homme primitif ne connait que les analogies grossicres, celles qui frappent 
les sens, celles des couleurs ou des sons. Ce n'est pas lui qui aurait 
songé à rapprocher par exemple la lumiere de la chaleur rayonnante. 

Qui nous a appris à connaitre les analogies véritables, profondes, 
celles que les yeux ne voient pas et que la raison devine? 

C'est lesprit mathématique, qui dédaigne la matière pour ne s'at- 
tacher qu'à la forme pure. C'est lui qui nous a enseigné à nommer du 
méme nom des étres qui ne different que par la matière, à nommer du 
méme nom par exemple la multiplication des quaternions et celle des 
nombres entiers. 

Si les quaternions, dont je viens de parler, n'avaient été si promp- 
tement utilisés par les physiciens anglais, bien des personnes n'y verraient 
sans doute qu'une réverie oiseuse, et pourtant, en nous apprenant à rap- 
procher ce que les apparences séparent, ils nous auraient déjà rendus 
plus aptes à pénétrer les secrets de la nature. 

Voilà les services que le physicien doit attendre de l'analyse, mais 
pour que cette science puisse les lui rendre, il faut qu'elle soit cultivée 
de la facon la plus large, sans préoccupation immédiate d'utilité; il faut 
que le mathématicien ait travaillé en artiste. Ce que nous lui demandons, 
cest de nous aider à voir, à discerner notre chemin dans le dédale qui 





Sur les rapports de l'analyse pure et de la physique mathématique. 399 


soffre à nous. Or, celui qui voit le mieux, c'est celui qui s'est élevé 
le plus haut. 

Les exemples abondent, et je me bornerai aux plus frappants. 

Le premier nous montrera comment il suffit de changer de langage 
pour apercevoir des généralisations qu'on n'avait pas d'abord soupçonnées. 

Quand la loi de Newton s'est substituce à celle de Kepler, on ne 
connaissait encore que le mouvement elliptique. Or, en ce qui concerne 
ce mouvement, les deux lois ne différent que par la forme; on passe de 
l'une à l'autre par une simple différentiation. 

Et cependant, de la loi de Newton, on peut déduire, par une géné- 
ralisation immédiate, tous les effets des perturbations et toute la Méca- 
nique Céleste. Jamais au contraire, si on avait conservé l'énoncé de 
Képler, on n'aurait regardé les orbites des planétes troublées, ces courbes 
compliquées dont personne n'a jamais écrit l'équation, comme les géné- 
ralisations naturelles de l'ellipse. Les progres des observations n'auraient 
servi qu'a faire croire au chaos. 

Le second exemple mérite également d'étre médité. 

Quand Maxwell a commencé ses travaux, les lois de l’eleetrodyna- 
mique admises jusqu'à lui rendaient compte de tous les faits connus. Ce 
n'est pas une expérience nouvelle qui est venue les infirmer. 

Mais en les envisageant sous un biais nouveau, Maxwell a reconnu 
que les équations deviennent plus symétriques quand on y ajoute un 
terme, et d'autre part ce terme était trop petit pour produire des effets 
appréciables avec les méthodes anciennes. 

On sait que les vues a priori de Maxwell ont attendu vingt ans 
une confirmation expérimentale; ou si vous aimez mieux, Maxwell a 
devancé de vingt ans l'expérience. 

Comment ce triomphe a-t-il été obtenu? 

C'est que Maxwell était profondément imprégné du sentiment de 
la symétrie mathématique; en aurait-il été de méme, si d'autres n'avaient 
avant lui recherché cette symétrie pour sa beauté propre. 

C'est que Maxwell était habitué à »penser en vecteurs» et pourtant 
si les vecteurs se sont introduits dans l'analyse, c'est par la théorie des 
imaginaires, Et ceux qui ont inventé les imaginaires ne se doutaient 
guére du parti qu'on en tirerait pour l'étude du monde réel; le nom 
qu'ils leur ont donné le prouve suffisamment. 








336 H. Poincaré. 


Maxwell en un mot n’etait peut-étre pas un habile analyste, mais 
cette habileté n'aurait été pour lui qu'un bagage inutile et génant. Au 
contraire il avait au plus haut degré le sens intime des analogies mathé- 
matiques. C'est pour cela qu'il a fait de bonne physique mathématique. 

L'exemple de Maxwell nous apprend encore autre chose. 

Comment faut-il traiter les équations de la physique mathématique? 
devons-nous simplement en déduire toutes les conséquences, et les regarder 
comme des réalités intangibles? Loin de là; ce qu'elles doivent nous 
apprendre surtout, c'est ce qu'on peut et ce qu'on doit y changer. C'est 
comme cela que nous en tirerons quelque chose d'utile. Á 

Le troisieme exemple va nous montrer comment nous pouvons 
apercevoir des analogies mathématiques entre des phénoménes qui n'ont 
physiquement aucun rapport ni apparent, ni réel, de telle sorte que les 
lois de lun de ces phénomènes nous aident à deviner celles de l'autre. 

Une méme équation, celle de Laplace, se rencontre dans la théorie 
de l'attraction newtonnienne, dans celle du mouvement des liquides, dans 
celle du potentiel électrique, dans celle du magnétisme, dans celle de 
la propagation de la chaleur et dans bien d'autres encore. 

Qu'en résulte-t-il? Ces théories semblent des images calquées l'une 
sur lautre; elles s'éclairent mutuellement, en sempruntant leur langage; 
demandez aux électriciens s'ils ne se félicitent pas d'avoir inventé le mot 
de flux de force, suggéré par l'hydrodynamique et la théorie de la chaleur. 

Ainsi les analogies mathématiques, non seulement peuvent nous faire 
pressentir les analogies physiques, mais encore ne cessent pas d'étre utiles, 
quand ces dernières font défaut. 

En résumé le but de la physique mathématique n'est pas seulement 
de faciliter au physicien le calcul numérique de certaines constantes ou 
l'intégration de certaines équations différentielles. 

Il est encore, il est surtout de lui faire connaitre l'harmonie cachée 
des choses en les lui faisant voir d'un nouveau biais. 

De toutes les parties de l'analyse, ce sont les plus élevées, ce sont 
les plus pures, pour ainsi dire, qui seront les plus fécondes entre les 
mains de ceux qui savent s'en servir. | 


—_—— 


+ 


Sur les rapports de l'analyse pure et de la physique. mathématique. 391 


TTE 


Voyons maintenant ce que l'analyse doit à la physique. 

Il faudrait avoir complétement oublié l'histoire de la science pour 
ne pas se rappeler que le désir de connaitre la nature a eu sur le dé- 
veloppement des mathématiques l'influence la plus constante et la plus 
heureuse. à 

En premier lieu, le physicien nous pose des problémes dont il attend 
de nous la solution. Mais en nous les posant il nous a payé largement 
d'avance le service que nous pourrons lui rendre, si nous parvenons à 
les résoudre. 

Si lon veut me permettre de poursuivre ma comparaison avec les 
beaux-arts, le mathématicien pur qui oublierait l'existence du monde 
extérieur, serait semblable à un peintre qui saurait harmonieusement 
combiner les couleurs et les formes, mais à qui les modéles feraient 
défaut. Sa puissance créatrice serait bientót tarie. 

Les combinaisons que peuvent former les nombres et les symboles 
sont une multitude infinie. Dans cette multitude, comment choisirons- 
nous celles qui sont dignes de retenir notre attention? Nous laisserons- 
nous uniquement guider par notre caprice? Ce caprice, qui lui-méme 
d'ailleurs ne tarderait pas à se lasser, nous entrainerait sans doute bien 
loin les uns des autres et nous cesserions promptement de nous entendre 
entre nous. 

Mais ce n'est là que le petit cóté de la question. 

La physique nous empéchera sans doute de nous égarer. Mais elle 
nous préservera aussi d'un danger bien plus redoutable; elle nous em- 
péchera de tourner sans cesse dans le méme cercle. 

L'histoire le prouve, la physique ne nous a pas seulement forcés 
de choisir entre les problémts qui se présenteraient en foule; elle nous 
en a imposé auxquels nous n'aurions jamais songé sans elle. 

Quelque variée que soit l'imagination de l'homme, la nature est 
mille fois plus riche encore. Pour la suivre, nous devons prendre des 
chemins que nous avions negliges et ces chemins nous conduisent souvent 


. Acta mathematica. 21. Imprimé le 16 septembre 1897. 48 








338 H. Poincaré. 


à des sommets d'oü nous découvrons des paysages nouveaux. Quoi de 
plus utile! 

Il en est des symboles mathématiques comme des réalités physiques; 
c'est en comparant les aspects différents des choses que nous pourrons 
en comprendre l'harmonie intime, qui seule est belle et par conséquent 
digne de nos efforts. 

Le premier exemple que je citerai est tellement ancien qu'on serait 
tenté de l'oublier; il n'en est pas moins le plus important de tous. 

Le seul objet naturel de la pensée mathématique, c'est le nombre 
entier. C'est le monde extérieur qui nous a imposé le continu, que nous 
avons inventé sans doute, mais qu'il nous a forcés à inventer. 


Sans lui, il n'y aurait pas d'analyse infinitésimale; toute la science 


mathématique se réduirait à l’arithmétique ou à la théorie des substitutions. 

Au contraire nous avons consacré à l'étude du continu presque tout 
notre temps et toutes nos forces. Qui le regrettera; qui croira que ce 
temps et ces forces ont été perdues? 

L'analyse nous déroule des perspectives infinies que l'arithmétique 
ne soupçonne pas; elle vous montre d'un coup d'oeil un ensemble 
grandiose dont l'ordonnance est simple et symétrique: au contraire dans 
la théorie des nombres, oü régne l’imprevu, la vue est pour ainsi dire 
arrétée à chaque pas. 

Sans doute on vous dira qu'en dehors du nombre entier, il n'y a 
pas de rigueur, et par conséquent pas de vérité mathématique; que 
partout il se cache, et qu'il faut s'efforcer de rendre transparents les 
voiles qui le dissimulent, düt-on pour cela se résigner à d'interminables 
redites. 

Ne soyons pas si puristes et soyons reconnaissants au continu qui, 
si tout sort du nombre entier, était seul capable d'en faire tané sortir. 

Ai-je besoin d'ailleurs de rappeler que M. Hermite a tiré un parti 
surprenant de l'introduction des variables continues dans la théorie des 
nombres. Ainsi le domaine propre du nombre entier est envahi lui-même 
et cette invasion a établi l'ordre, là ou régnait le désordre. 

Voilà ce que nous devons au continu et par conséquent à la nature 
physique. 

La série de Fourier est un instrument précieux dont l'analyste fait 
un usage continuel; si Fourier l'a inventée, c'est pour résoudre un 


———— 


Sur les rapports de l'analyse pure et de la physique mathématique. 339 


probleme de physique. Si ce probléme ne s'était posé naturellement, on 
n'aurait jamais osé rendre au discontinu ses droits; on aurait longtemps 
encore regardé les fonctions continues comme les seules fonctions véritables. 

La notion de fonction s'est par là considérablement étendue et a recu 
de quelques analystes logiciens un développement imprévu. Ces ana- 
lystes se sont ainsi aventurés dans des régions oü régne l'abstraction la 
plus pure et se sont éloignés autant qu'il est possible du monde réel. 
C'est cependant un probléme de physique qui leur en a fourni l'occasion. 

Derriere la série de Fourier, d'autres séries analogues sont entrées 
dans le domaine de l'Analyse; elles y sont entrées par la méme porte; 
elles ont été imaginées en vue des applications. Il me suffira de citer 
celles qui ont pour éléments les fonctions sphériques, ou les fonctions 
de Lamé. 

La théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre a 
eu une histoire analogue; elle s'est développée surtout par et pour la 
physique. 

Si les analystes s'étaient abandonnés à leurs tendances naturelles, 
volci probablement comment ils auraient envisagé ces équations et com- 
ment ils auraient choisi les conditions aux limites. 

Supposons par exemple une équation entre deux variables x et y 
et une fonction F de ces deux variables. Ils se seraient donné F et 
dF j ' , y : 

d, pour =o. C'est ce qu'a fait par exemple M"* de Kowalevski dans 
son eelebre mémoire. 

Mais il y a une foule d'autres maniéres de poser le probléme. On 
peut se donner F tout le long d'un contour fermé, comme dans le pro- 

! 
bleme de Dirichlet, ou se donner le rapport de PF a E comme dans 
la théorie de la chaleur. 

Toutes ces facons de poser le probleme, c'est à la physique que 
nous les devons. On peut done dire que sans elle, nous ne connaitrions 
pas les équations aux derivees partielles. 

Il est inutile de multiplier les exemples. J’en ai dit assez pour 
pouvoir conclure: quand les physiciens nous demandent la solution d'un 
probléme, ce n'est pas une corvée qu'ils nous imposent, c'est nous au 
contraire qui leur devons des remerciments. 











340 i H. Poinearé. 


1m 

Mais ce nest pas tout; la physique ne nous donne pas seulement 
l'occasion de résoudre des problèmes; elle nous aide à en trouver les 
moyens, et cela de deux maniéres. 

Elle nous fait pressentir la solution; elle nous suggere des raison- 
nements. 

J'ai parlé plus haut de l'équation de Laplace que lon rencontre 
dans une foule de théories physiques fort éloignées les unes des autres. 
On la retrouve en géométrie, dans la théorie de la représentation con- 
forme, et en analyse pure, dans celle des imaginaires. : 

De cette facon, dans l'étude des fonctions de variables complexes, 
l’analyste, à côté de l'image géométrique, qui est son instrument habi. 
tuel, trouve plusieurs images physiques dont il peut faire usage avec le 
méme succés. | 

Gràce à ces images, il peut voir d'un coup d'oeil ce que la deduc- 
tion pure ne lui montrerait que successivement. Il rassemble ainsi les 
éléments épars de la solution, et par une sorte d'intuition, devine avant 
de pouvoir démontrer. 

Deviner avant de démontrer! Ai-je besoin de rappeler que c'est 
ainsi que se sont faites toutes les découvertes importantes! 

Combien de vérités que les analogies physiques nous permettent de 
pressentir et que nous ne sommes pas encore en état d'établir par un 
raisonnement rigoureux! 

Par exemple, la physique mathématique introduit un grand nombre 
de développements en séries. Ces développements convergent, personne 
n'en doüte; mais la certitude fait défaut. 

Ce sont autant de conquétes assurées pour les chercheurs qui viendront 
aprés nous. 

La Physique, d'autre part, ne nous fournit pas seulement des solutions; 
elle nous fournit encore, dans une certaine mesure, des raisonnements. 

Il me suffira de rappeler comment M. Klein, dans une question 
relative aux surfaces de Riemann, a eu recours aux propriétés des courants 
électriques. 





Sur les rapports de l'analyse pure et de la physique mathématique. 341 


Il est vrai que les raisonnements de ce genre ne sont pas rigoureux, 
au sens que l'analyste attache à ce mot. 

Et à ce propos, une question se pose: comment une démonstration, 
qui n'est pas assez rigoureuse pour l'analyste, peut-elle suffire au physicien? 
Il semble qu'il ne peut y avoir deux rigueurs, que la rigueur est ou 
n'est pas, et que, là ou elle n'est pas, il ne peut y avoir de raisonnement. 

On comprendra mieux ce paradoxe apparent, en se rappelant dans 
quelles conditions le nombre s'applique aux phénomenes naturels. 

D'où proviennent en général les difficultés que l'on rencontre quand 
on recherche la rigueur? On s'y heurte presque toujours en voulant 
établir que telle quantité tend vers telle limite, ou que telle fonction 
est continue, ou qu'elle a une dérivée. 

Or les nombres que le physicien mesure par l'expérience ne lui sont 
jamais connus qu'approximativement; et, d'autre part, une fonction quel- 
conque différe toujours aussi peu que l'on veut d'une fonction discontinue, 
et en méme temps elle differe aussi peu que l'on veut d'une fonction 
continue. 

Le physicien peut done supposer à son gré, que la fonction étudiée 
est continue, ou qu'elle est discontinue; qu'elle a une dérivée, ou qu'elle 
n'en a pas; et cela sans crainte d'étre jamais contredit, ni par l'expérience 
actuelle, ni par aucune expérience future. On concoit, qu'avec cette 
liberté, il se joue des difficultés qui arrétent l'analyste. 

Il peut toujours raisonner comme si toutes les fonctions qui s'in- 
troduisent dans ses calculs étaient des polynomes entiers. 

Ainsi l'aperçu qui suffit à la Physique n'est pas le raisonnement 
qu'exige l'Analyse. Il ne s'en suit pas que l'un ne puisse aider à trouver 
l'autre. 

On a déjà transformé en démonstrations rigoureuses tant d’apercus 
physiques que cette transformation est aujourd’hui facile. 

Les exemples abonderaient si je ne craignais, en les citant, de fa- 
tiguer votre attention et si cette conference n'était déjà trop longue. 

J'espére en avoir assez dit pour montrer que l'Analyse pure et la 
Physique mathématique peuvent se servir l'une l'autre sans se faire l'une 
x l'autre aucun sacrifice et que chacune de ces deux sciences doit se 
réjouir de tout ce qui éléve son associée. 








—À 


à 





ACTA MATHEMATICA 


À  ——"—— 


INHALTSVERZEICHNISS DER ZWANZIG ERSTEN BANDE 


NEBST 


NAMENREGISTER DER BANDE 11 BIS 20. 


TABLE DES MATIERES CONTENUES 
DANS LES VINGT PREMIERS VOLUMES 
D'UNE TABLE GENERALE PAR NOMS D'AUTEURS 
DES VOLUMES 11—20. 








Inhalts-Verzeichniss. — Table des matieres. 


Panda ~~ Lense. 


1882. 


Dedikation. — Dedicace. 

Vorrede. — Avertissement. 

Théorie des groupes fuchsiens, par H. Poincaré... 

Zur Theorie der Leibrenten, von C. J. Mübiisiin 
Eine Annäherungsmethode im Probleme der drei Kürper, von Vb Gyldé n 
Das Problem der Configurationen, von Th. Reye ATi lt i ci aste 
Die Hexaéder- und die Octaéderconfigurationen (12,, 16,), von Th. Reye... 
Sur les fonctions uniformes d'un point analytique (=, y), par P. Appell ... 
Sur les fonctions uniformes d'un point analytique (=, y). ‘(Second mémoire), 


DAE p MAD DOLE ies ne nier eudranse si TVA e ree ineo em aane cod Ryder art deque Sam 
Développements en série dans une aire limitée par des arcs de cercle, par 
P. Appell... 


Zur Theorie der cediiitedben EN von Er -— ring: Mat e te LE 

Sur un groupe de théorèmes et formules de la géométrie énumérative, par 
A '"G T DOU xus SEIEN STRE REA ct Un der AES « AA CEE 

Sur un théoréme de M. Hermite. Extrait d'une lettre adressée à M. 
Ch. Hermite, par E. Goursat... BEN... 

Mémoire sur les fonctions réuni par Ht Poincaré. 

Note sur les intégrales Eulériennes. Extrait d'une MC DAT ie à $5 Ch. 
Hermite, par L. Bourguel ........... see nn enoneenenenenn nn 

Sur une classe de groupes discontinus de substitutions linéaires et sur les 
fonetions de deux variables indépendantes restant invariables par 
ces substitutions, par Emile Picard ............... eem 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 15 septembre 1897. 








Seite. Page. 

1— 602 
63— 76 
77— 92 
93 96 
97—108 
109—131 
132—144 


145—152 
153—170 


171—188 


189—192 
193—994 


205—296 





44 





346 Inhalts-Verzeichniss. — Table des matières. 


Seite. Page. 

Uber lineare homogene Differentialgleichungen, zwischen deren Integralen ho- 

mogene Relationen höheren als ersten Grades bestehen, von L. Fuchs 321—362 
Sur quelques integrales définies. Extrait d'une lettre adressée à M. Ch. Her- 

nuib, par NÉE: ee RERO ere 263—367 
Sur une relation donnée par M. Cayley, dans la théorie des fonctions ellip- 

tique. Extrait d'une lettre adressée à M. Mittag-Leffler, par Ch. Her- 

LLL ee s DNE ERE tM edel. SE 368—310 
Zur Theorie der Discriminanten, von Eugen Netto .................................. 371—399 
Bild von N. H. Abel. — Portrait de N. H. Abel. 
Eine Figurentafel. — Une planche. 
Inhalt. — Table des matieres. 





Band.2. — Tome 2. 
1883. 
Sur une classe des fonctions représentées par des intégrales définies, par 
FIN ET 77 117 2... RTS OM eA Er SE 17.70 


Sur une classe de fonctions de deux variables indépendantes, par P. Appell 71— 80 
Sur une espéce de courbes symetriques de la sixiéme classe, par C. Crone 81— 96 


Sur les fonctions de deux variables, par H. Poincaré... 97—113 
Sur des fonctions de deux variables analogues aux fonctions modulaires, par 

Foe OE IIE ALL eren dede ER Pe ee a PR 114—135 
Zur Theorie der Raumcurven, von H. Valentiner ........5... e tete 136—230 
Über die transcendente Function Q(z) = /(z) — P(z). Aus einem Brief 

an Herrn G. Mittag-Leffler, von Hjalmar Mellin ........................... 231—232 
Sur une équation linéaire du second ordre à coefficients doublements pério- 

pr, TOM LID ny in rs ees ouo nn rper T en TERREREES REN R QE IEEE RON 233—200 
Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes, par 

BON: «haps bbb «gis ee DERE ES RES 261—295 
Sur la-fonelion Eulénenue, par L. Bowrguel .........- 2 e cotra obe cop 296—298 


Sur quelques points dans la théorie des nombres, par Ch. Hermite et 
R. Lipschitz 
1. Extrait d'une lettre de M. Hermite à M. Lipschitz ......... 299—-300 
2. Extrait d'une lettre de M. Lipschitz à M. Hermite ......... 301—304 
Sur une propriété du systeme de tous les nombres algébriques réels, par 
G. Cantor (traduction d'un mémoire publié dans le journal de Bor- 
chardi, t, 77, p. 288) ua SUR 
Une contribution à la théorie des ensembles, Mémoire de @. Cantor. (Ex- 
trait du journal de Borchardt, $::8D.. un LAB uer rre rne eve 311—328 


D 


een 


Inhalts-Verzeichniss. — Table des matières. 347 


Seite. Page. 
Sur les series trigonométriques, par G. Cantor (traduction d’un mémoire 
publiées dans les Annales mathématiques de Leipsic, t. 4, p. 139) 329—335 
Extension d'un théoréme de la théorie des séries trigonométriques, par 
G. Cantor (traduction d'un mémoire publié dans les Annales ma- 
thématiques de, Kespeic, 40 5. 5. 123) 5.3.2 Rs M OT 336—348 
Sur les ensembles infinis et linéaires de points, par G. Cantor. (Premiere 
partie. Extraite des Annales mathématiques de Leipsic, t. 15)...... 349—356 
Sur les ensembles infinis et linéaires de points, par G. Cantor. (Seconde 
partie. Extraite des Annales mathématiques de Deinsic is l7 t 351—360 
Sur les ensembles infinis et linéaires de points, par G. Cantor. (Troisiéme 
partie. Extraite d’un mémoire des Annales mathématiques de Leipsie, 
BE SERIES Ja ne SU. Ele urn nn LER MENT TS 361—371 
Sur les ensembles infinis et linéaires de points, par G. Cantor. (Quatriéme 
partie. Extraite d'un mémoire publié dans les Annales mathéma- 
CODES NUE, UE EE NT Pa p BEY Loue ium Lo RE EM 312—380 
Fondements d'une théorie générale des ensembles, par G. Cantor. (Extrait 
d'un article des Annales mathématiques de Leipsic, t. 21, p. 545) 381—408 
Sur divers théorèmes de la théories des ensembles de points situés dans un 
espace continu à N dimensions. Première communication. Extrait 


d'une lettre adressée à l'éditeur, par G. Cantor ................. ee 409—414 
Quelques théorémes de la théorie des ensembles de points. Extrait d'une 

lettre adressée à M. Cantor à Halle, par Ivar Bendixson............... 415-—429 
Vier Figurentafeln. — Quatre planches. 
Inhalt. -— Table des matieres. 





Panda Tone 3. 
1883—1884. 


Uber die einer beliebigen Differentialgleichung erster Ordnung angehörigen 


selbständigen Transcendenten, von Leo Königsberger ................... 1— 48 
Mémoire sur les groupes kleinéens, par H. Poincaré .................. sees 49— 92 
Sur la transformation des fonctions elliptiques, par Martin Krause. ......... 95— 96 
Une question de rentes viagères, par L. Lindelöf ...................... eee 917—101 


Eine Verallgemeinerung der Gleichung 
ra + x) l/(1ı —e) = pt 
Aus einem Brief an Herrn G. Mittag Leffler, von Hjalmar Mellin 102—104 


TX 











348 Inhalts-Verzeichniss. — Table des matières. 
Seite. Page. 
Sur l'équation 
d*y k’snzen® sn z dn x en z dn z | dy 
—— + | 20 —___—_ y, ————— — 2, ———— |= 
da dn x cn æ sn æ da 


| (n, — wn, +», Pe s — (n, — wn, +», + 1) 





dn? x (n, — v)(n, Hy + 1) + E* sn'z(n v 4 y, + v) —v—», —v, +1)+ nly, 


équation où v,v,,v, désignent des nombres quelconques, n, n, , n, , n, 
des nombres entiers positifs ou négatifs, et A une constante arbi- 


traire. Premier mémoire, par C* de Sparte 5... eere 105—140 
Sur les couches de niveau électromagnétiques, par E. Beltrami.................. 141—152 
Sur la transformation des fonctions hyperelliptiques de premier ordre, par 

TOI s Riv mein oot a Rod RN en c os Rope e o cs: 153—180 
Sur les surfaces du troisième ordre, par C. Le Paige ................................ 181—200 
Ein neuer Beweis für die Riemann'sche Thetaformel, von F Pain ak 201—215 
Ableitung einer allgemeinen Thetaformel, von F. Prym.............................. 216—239 
Uber die Verallgemeinerung der Riemann’schen Thetaformel, von A. Krazer 

RAGE a oy privata Silden RARE ebrii anc Poit dE Aus i SM coal ee eet ory, te 240—276 
Note sur certaines équations différentielles linéaires, par Adolph Steen ...... 217 —282 
Sur le multiplicateur des fonctions hyperelliptiques de premier ordre, par 

‚Marten TPE Aires rra Sr RAE NEUE ee e e tee arenes seer enh P EE 


Sur l'équation 





— y — = 
dz? à da 


d*y as | k’sn®en® Le sn z dn x 5 cn # dn “| dy 
ee y (a Ze _— 
dn x ten sn c 


I dn? x 
[50 ty — Yn, + v, + 1) + rg m — (n. Tos + 1) 


& 

k* cn? z 
NE. (n, — vn, + v + 1) + k* sn? z(n Ev 4», + (n —v»—», —» + )4]y 

équation où v, v,, v, désignent des nombres quelconques, 7», n, , n, , , 

les nombres entiers positifs ou négatifs, et À une constante arbi- 

ware. Deuxième mémoire, par C* de Sparre .............................. 289—821 
Über gewisse durch die Gammafunction ausdrückbare unendliche Producte. 

Aus einem Brief an Herrn G. Mittag-Leffler, von Hjalmar Mellin 322—324 
Sur les invariants des équations différentielles linéaires du quatrieme ordre, 

par GEE: .Halphon.o.-. 222... LORD ME iere Oe 
Inhalt. — Table des matieres. 
Errata. 


[IS ac. 


uae. 





Inhalts-Verzeichniss. — Table des matiéres. 


Band 4 — Tome 4. 
1884. 


Sur la representation analytique des fonctions monogenes uniformes d’une 
variable indépendante, par @. Mittag-Leffler 
Démonstration nouvelle du théorème de Laurent, par G. Mittag- ars Ee 
Sur un développement en fraction continue, par Ch. Hermite et L. Fuchs 
1. Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite par M. Fuchs 
2. Extrait d'une lettre adressée à M. Fuchs par M. Hermite 
Sur l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre des systèmes or- 
thogonaux, par Gaston Darbouz... Ar aba HET sed ds 
Sur quelques points de la theorie des seaplane numeriques, par EE. Laguerre 
Recherches hydrodynamiques. Premier mémoire: Les équations hydrodyna- 
miques et les relations supplémentaires, par C. A. Bjerknes ......... 
Sur la généralisation d'une formule d'Abel, par N. Somime ............ 00 
"Untersuchungen über die Lage der Brennlinien eines unendlich dünnen 
Strahlenbündels gegeneinander und gegen einen Hauptstrahl, von 
Ludwig. .Mathiessen.............. eere esce ettet teen eaten an 
Sur l'usage des produits infinis dans la theorie des fonctions elliptiques, 
par Ch. Hermite et R. Lipschitz 
1. Extrait d'une lettre de M. Hermite à M. Lipschitz ......... 
2. Extrait d'une lettre de M. Lipschitz à M. Hermite ......... 
Démonstration du theoreme de m Extrait d'une lettre adressée à 
M. Hermite par E. Goursat .. Pr NT 
Sur les groupes des équations Ten par A Fe 
Sur les fonctions de trois variables réelles satisfaisant à a diffe- 
rentielles AF — o, par P. Appell... pesto: 
Beweis des Laurent'schen Satzes, von pores g ae A el ee 
De la puissance des ensembles parfaits de points. Extrait d’une lettre 
adressée à l'éditeur, par G. Cantor 
Uber die Reduction einer bestimmten Classe Abel’ Au Täters: a Bere 
auf elliptische Integrale, von Sophie Kowalevski . 
Zu Eulers Recursionsformel für die Divisorensummen. Aus einer Zuschrift 
an den Herausgeber, von Chr. Zeller ............ Me 
Inhalt. — Table des matiéres. 





349 


Seite. Page. 
1— 79 
80— 88 
89— 90 
91— 92 
93— 96 
97—120 
121—170 
171—176 
177—192 
193—193 
194—196 

. 197—200 
. 201—312 
… 919—914 
975—380 

. 981—392 

. 993—414 
415—416 





350 - Inhalts-Verzeichniss. — Table des matiéres. 


Band — Tonreso 
1884—18$5. 


Seite. Page: 


Ba 


Sur la formule 
h* " ? IV 
hu, = Au, — = - Au, Aw, — —————': Au, + ete, 

2 i LoT " 


par C. J. Malmsten ............. uorum on qu. wen 
Beweis eines Satzes aus der Mannigfaltigkeitalehre, von | Srt Ph» agmen 47— 48 
Allgemeine Untersuchungen über Rectification der u von Ludwig - 





Seheeffer -—..-..—. SNC o ERN LR A DL eon et 
Einige Anzahlen für Kegeltlächen, von E QUIM MR 83— 96 
Sur une classe d'intégrales doubles, par E. G'oursal................. ess 917—120 


Sur les formes quadratiques ternaires indéfinies à indéterminées conjuguées 
et sur les fonctions Row at correspondantes, par Emile 


N sos oss Le SN dads th UE COLLO REALE CETERI oii 
Zur 'Theorie der stetigen Auktionen einer recien Veränderlichen, von 
Ludwig Scheeffer … Se UO, UC DEN oM … 188—194 


Nouvelles recherches sur lon esa dn er ordre par C. Yi Lp 195—202 
Sur les pentaèdres complets inscrits à une surface cubique. Extrait d'une 


lettre à M. C. Le Paige, par H.-G. Zeuthen... EINS . 205—204 
Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen, von H. ‘Bohrodier. AC UNE 

aus einem Schreiben an Herrn G. Mittag-Leffler) ........................... 205—208 
Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes, par H. Pollicdvé.. an 2002278 
Zur Theorie der stetigen Funktionen einer reellen erde von 

Ludwig Scheeffer. (Fortsetzung von Bd. 5, p. 183—194) ........... 219—296 


Sur quelques conséquences arithmétiques des formules de la théorie des 
fonctions elliptiques, par Ch. Hermite. (Extrait du Bulletin de 


l'Académie des Sciences de St. Pétersbourg, t. 29)... BOT 
Uber die Durchdringung gleichseitiger Roóladibushyyertol aie von Haraeleni 

Axen. von WA. WPedler......... eret eid tes REN EE ER 331—408 
Berichtigung (zur Abhandlung von H. Krey, p. 83—-96). 
Zwei Figurentafeln. — Deux planches. 


Inhalt. — Table des matières. 








Inhalts-Verzeichniss. — Table des matiéres. 


Band "6 = Tome. 
1885. 


Sur une notion qui comprend celle de la divisibilité et sur la théorie ge- 
nérale de l'élimination, par J. Molk.. eer 
Uber den Begriff der Liinge einer Curve. Hamas zu dem’ fade des 
Herrn Ludwig Scheeffer über Rectification der Curven, von P. dw 
Dois-Reymond . V. UM. PRIEST EIERN 
Sur la théorie des fonctions aibiuiques par K. Weierstrass. Traduit de 
l'allemand! par Al Pautonnier^$' Paria! 25 2000. DHL, NER 
Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen, von C. TO Mox 
Über die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln, von Sophie 
IR OSB STINE ELLE S RR A A BEER Bene denne 
Entwicklung der. Wurzeln einer algebraischen Gleichung in Summen von 
rationalen Functionen der Coefficienten, von ©. Runge ................. 
Un théorème d’algebre. Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite par 
T.-J. Stieltjes... N MDE EC U PE rd i TB 
Eine Bemerkung über Dee ha von M. y. Ster | Pg ROPES SE 
Zur Theorie der elliptischen Functionen, von H. Weber.................. u... 
Inhalt. — Table des matières. 





Ene Stone. Z 
1885-1886. 


Ankündigung des Preisausschreibens Seiner Majestät des Königs Oscar II. — 

Avertissement sur le concours institué par S. M. le Roi Oscar II... 
Sur un théoréme' de: M."Fuchajt par HH. Pomeare ii. NL ea 
Sur un théorème concernant les fonctions elliptiques, par Edvard Phragmen 
Über die Begrenzungen von Continua, von Edvard Phragmen ................. 
Über Systeme von Planeurven, von H. Krey ............... eere 
Deduction arithmétique d'une relation due à Jacobi. Extrait d'une lettre 

adressée à M. Hermite, par RA. Lapschits ................. A. 
Zur Theorie der Binunaüton, von JE. NER. 23... ARR NE. 
Über verschiedene Theoreme aus der Theorie der Punctmengen in einem 

n-fach ausgedehnten stetigen Raume G,. Zweite Mittheilung von 


351 


Seite. Page. 
1—166 

. 167—168 
. 169—228 
220—248 
249—304 
305—318 
. 319—326 
321—528 


329—416 


I— VI 

1— 32 
33— 42 
43— 48 
49— 94 
95—100 
101—104 


105—124 





352 Inhalts-Verzeichniss. — Table des matiéres. 


Die intermediiire Bahn des Mondes, von Hugo Ad BEINE 
Über die auflösbaren Gleichungen von der Form 2° $4 uc M v — O, von 
C. Biihge un en Sek cn sen es Re NC RR 


oo 


Über cp ae hoe und verwandte Integrale, von L. Schlafli ............ 





0 
Beweis eines Satzes aus der Theorie der elliptischen Functionen, von M. Falk 
Untersuchungen über quadratische Formen. I. Bestimmung der Anzahl 
verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält, von 
Hermann Minkowski... deco ah - adi 
Sur l'équilibre d'une masse fluide animée ne Meu m de ab, 
par H. Poincaré .......... i 
Note sur une intégrale définie, par 3 poten as 
Über die Darstellung willkürlicher Functionen. "Ausng eines Beets an 
Herrn G. Mittag-Leffler, von C. Runge ....... 
Bildniss von Weierstrass. — Portrait de Weierstrass. 
Annonce de la mort de MM. Hjalmar Holmgren et C. J. Malmsten. 
Inhalt. — Table des matieres. 


Isand. S. = Bone: 
1886. 


On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the 
mean motions of the sun and moon, by @. W. Hill... 
Zur Theorie der Gammafunction, von Hj. Mellin .. 
Über hyperelliptische Integrale zweiter und dritter jou von à Otto Ribodá 
Sur un théorème de M. Hermite relatif à la fonction E(z), par M. A. Stern 
Anzahl-Bestimmungen für lineare Räume beliebiger Dimension, von H. Schubert 
Einige Eigenschaften der linearen und homogenen Differentialgleichungen, 
von E. A. BSlenbeng uon an ota CU c ER 1 Le 
Beweis des Satzes dass eine jede algebraische Gleichung eine Wurzel hat, 
von Bling, Hola, ls... at AE a BR Eu 
Über die reductiblen algebraischen Curven, von M. Noether .................... 
Theorie der Abel’schen Zahlkörper, von H. Weber... 
Preisaufgabe der fürstlich Jablonowski' schen Gesellschaft für ded Salis 1889 
Sur quelques applications de la fonction Z(r, y, 2) à la physique mathé- 
matique, par P. Appell... 


Seite. Page. 

. 125—172 

173—186 

187—196 

197—200 

. 201—258 

.. 259—380 
. 881—386 _ 

ses 981—392 

1— 36 

37— 80 

81— 92 

93— 96 

97—118 

119—154 

155—160 

161—192 

. 193—263 

264—264 

. 265—294 





Inhalts-Verzeichniss. — Table des matières. 353 


Seite. Page. 

Sur les intégrales irrégulières des équations linéaires, par H. Poincaré ...... 295—344 
Les fonctions d’une seule variable A un nombre quelconque de périodes. 

(Premier mémoire), par £F. Casorati ................. « ceusehwas tas M ED 359 
Les lieux fondamentaux des fonctions inverses i2. es i Riot di 

2"* et 3"* espèce (Deuxième mémoire) par PF. Casorati ............... 360—386 
Sur les unités électriques. Extrait d'une lettre adressée à l'éditeur par 

SPEED OUT Ka. kr ice dci nee rte ee 
Inhalt. — Table des matieres. 
Erratum. 
Corrrection. 

Band 9. — Tome 9. 
1556-1887. 

Sur une extension à linfini de la formule Be de Gauss, par 

UD LECHOESON, „nee ee ree DM AM TEE ES CE 
Sur la représentation des M Finite; des NM par der etal inté 'graux, 

par P. Tchebychef. (Traduit du russe par Sophie Kowalevski)...... 35— 56 
Sur une question de maximum et de minimum proposée par M. Tchebycheff, 

par A. Markoff... BAER ots M cel BRAUNER mI AE cr i. 
Sur une démonstration di Médine order de la théorie des équa- 

trum DA Ge LOOT IO ten nese oe te E cna eo totes ence I PA 
Die Flächen constanter Krümmung mit einem ee phis he Vect 

linien dargestellt mit Hilfe von Thetafunctionen zweier Variabeln, 

von Hermann Dobriner .......... HL MLB AAS BA Rr Li 
Theorie der Abel'schen Zahlkórper, von vpn Pr CES E HARE TER 5. 
Kenlender Hormel, von Chr: Zeller vem ea 131—136 
Über einen Zusammenhang zwischen gewissen linearen Differential- und 

Differenzengleichungen, von. Hj. Mellin 1. 137—166 

a 
Note sur un développement de l'intégrale aff e* dx, par T.-J. Stieltjes ...... 167—176 
0 

Einige Sätze über Summen von Divisoren, von Jacob Hacks ..................... 177—181 
Sur les sommes composées des coefficients des séries à termes positifs. Lettre 

adressée à Madame Sophie Kowalevski, par P. Tehebycheff ............ 182—184 
Untersuchungen über die Convergenz der Reihen welche zur Darstellung der 

Coordinaten der Planeten angewendet werden, von H. Gyldén ...... 185—294 
Über orthogonale Substitutionen, von E. Netto ............. sse 295—300 
Deduction de quelques formules analytiques d'un théorème HERIDA a 

la théorie des nombres, par A. Berger... 901—320 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 16 septembre 1597. 45 








354 Tnhalts-Verzeichniss. — Table des matières. 


Seite. Page. 


Sur les résidus des intégrales doubles, par H. Poincaré... 321—380 
Über ein Theorem des Herrn Tisserand aus der Stórungstheorie, von And. 

Fandstedt SP... SR RR Mc Ie BH 381--384 
Sur les racines de l'équation X, = 0, par T.-J. Stieltjes ........................... 385—400 
Inhalt. — Table des matières. 
Errata. 


Bande Tome: 
1887. 


Über Summen von grössten Ganzen, von Jabob Hacks .............................. 1— 52 
Sur la valeur de quelques séries qui dépendent de la fonction E(x), par 

LU EEE CM NOTE In At NO THEE TEENS Xeon 53— 56 
Über gewisse trinomische komplexe Zahlen, von K. Schwering ........... 51— 86 
Un theoreme de la théorie des séries. Extrait d'une lettre eu à M. 

Mittag-Leffler, par M. Lerch .. que 4 87— 88 
Sur le mouvement d’un point D. sur une murine Ha pes par 

Gustaf Kobb .. UN MONT ; stresse Oe 
Über die Bedeutung der cime der eh Kraft für aie, Frage von 

der Stabilität dynamischer Systeme, von Karl Bohlin .................. 109—130 
Zur Theorie der krummen Oberfliichen, von R. Lipschitz........................... 131—136 


Beweis eines Satzes aus der Theorie der Substitutionen, von R. Lipschitz... 137—144 
Die Minimalflichen mit einem System sphirischer Kriimmungslinien, von 


Hermann Dobriner .............. glee, . 145—152 
Sur certaines opérations Eee tonnllog eg par a Be sis 

finies, par 8. Pincherle................... duties: des: . 153—182 
Über eine Gattung enter [ME io PACE von | Otto y ne — 183—200 
Sur les surfaces possédant les mémes plans de symétrie que l'un des po- 

lyedres réguliers; pur b... Lecornu- 5... Re 201—280 


Sur les intégrales algébriques de differentielles algébriques, par @. Humbert 281 —298 


Tables des valeurs des sommes S; = Sn, par T1). /Obellies ne 299—302 
1 
Zur Theorie des Flächenpotentials, von J. Weingarten .................. sess 303— 309 
Remarques sur les intégrales irregulieres des équations linéaires. Réponse 
4 M. Thoiné, par H. POSEE ne ter as ani tps rar eure 310—312 


Sur une classe de formes de differentielles et sur la théorie des systemes 
d'élétnents, par Ge Koenig mM nan erar ech are N EE ER 


Inhalts-Verzeichriss. — Table des matières. 


Seite. Page. 


Sur un cas spécial de l'équation différentielle de Lamé, par Æ. A. Stenberg 339—348 


Inhaltsverzeichniss der Bände 1—10, bearbeitet von G. 

des matieres des tomes 1—10 composée par G. Enestróm 
Inhalt. Table des matieres. 
Erratum. 


Verbesserungen. 


Bamer Tome ll. 


1887—I1SSS. 


Demonstration d’un theoreme général sur les fonctions uniformes lices par 
Extrait d'une lettre adressée à M. Mittag- 
Leffler par Emile Picard... NO I TOIT ATHE TR 
Eine Verallgemeinerung der detadischen ORAN nebst functionen- 
theoretischer Anwendung, von Emil Strauss... 


une relation algébrique. 


oo 


Note sur la fonction R(w, x, 5) = Y — 
B - pe 


prix 
Co + By 
Über die Integrale des Vielkörper-Problems, von H. Bruns 
Zur Theorie der mehrwerthigen, 


von Karl Heun... EA "oe HM 
Eine Eigenschaft der BE noA TE von Bs Eo ing 


par M. Lerch 


On the division of space with minimum partitional area, by Sir William 


Thomson 


Sur un mode de en des surfaces minima, par E dioi dd 
Über die Entwicklung complexer Grössen in Kettenbrüche, von A. Hurwitz 
Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier, 


par L. Sylow... 


Sur un mode de LE TEAM du. surfaces minima ond mémoire), par 


E. Goursat 


Untersuchungen über die Normen komplexer Zahlen, von A. Schwering ... 
fondamental de Galois dans la théorie de la 


Démonstration du théorème 
résolution algébrique des 
Über die Bewegung eines schweren Punctes 
Otto Staude... d ch pink he. 7 1 MR SIE 
Zur Theorie der elliptis She F Sclionen (mai eite Abhäkdiung). von 
Bemerkung Flächen 
krümmungsradien constant ist, von Jt. 


équations, par J. T. Söderberg 


über diejenigen bei 


Lilienthal 





Eneström. 


auf einer Rotationsfläche, 


— Table 


TII 


mehrfach lineür verknüpften Functionen, 


nn 2999099 POE HHT EEE HEE 4999999999599 EOE 9090 99999 SES SEH SEH EES EES ESE EES EEE EES ESE EOS 


H W n 


denen die Differenz der Haupt- 


von 


349—391 

1— 12 
13— 18 
19— 24 
25— 96 
97—118 
119—120 
121—134 
135—186 
181—200 


297—302 


303—332 
339— 390 


391— 394 





356 Inhalts-Verzeichniss. — Table des matières, 


Seite. Page. 
Sur l'intégration algébrique des différentielles algébriques, par J. Ptaz pira 395 —400 
Prix Oscar II. Mémoires présentés au concours ............. e . 401—402 
Annonce de la mort de H. T. Daug. 
Eine Figurentafel. — Une planche de figures. 
Inhaltsverzeichniss. — Table des matieres. 
Band 12. — Tome 12. 
1889. 
Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe, par P. Appell................. 1— 50 
Sur une méthode pour obtenir le développement en série E 
de quelques fonctions elliptiques, par M. Lerch.. seine In DE 
Sur les équations differentielles linéaires 4 coefficients SAN AR par C. 
Guichard .. HH : has ue tin ON NE 
Über gewisse Be heran! von Ld ide Grice Kite ee ioa Be 
Sur l'équation du sixième degré, par F. Brioschi.................... ... 83—102 
Bemerkungen zur Theorie der mehrfach lineür yerknssifien Akon! 
von Karl Heun... e se. 103—108 
Scherings Beweis des Reciprocitits. med für Kid Ries LER p E 
gestellt mit Hülfe des Zeichens [x], von Jacob Hacks .................. 109—112 


Über ein System linearer partieller Differentialgleichungen, von J. Horn... 113—116 
Sur le probleme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe, 


par Sophie Kowalevski .. e ; rites LT I 
Sur une généralisation de la ne de ie Me ae imaginaire. 

Premier mémoire, par Vito Volterra ............. DER NN MESE UT 
Sur les résidus intégraux qui donnent des Mere Mere ee de er ne 

pru HE Le souci fatto Scr capot ctp cas hak Eg soe E 287—522 
Sur une classe d'équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre, 

Re Se deeper 323 — 398 
Über das räumliche Achteck welches die Schnittpunkte dreier Oberflächen 

zweiter Ordnung bilden, von H. Dobriner ..................... eee 339—361 
Note sur les huit points d’intersection de trois surfaces du second ordre, 

par HG. EN EE coi py vs nel nad nem Mg cae yeh DUT 362—366 
Uber eine besondere Art der Kettenbruch-Entwicklung reeller Grössen, von 

A. Hurwitz .. Er GST mes were E ak bee rok CR s 


Annonce de la mort m 0. "de Bux 
Inhaltsverzeichniss. — Table des matières. 


n u 


Inbalts-Verzeichniss. — Table des matières. 


iand.2 — Lone. 
1890. 


Seite. Page. 

Dedikation. — Dedicace. 
Avant-propos. 
Sur le probleme des trois corps et les équations de la dynamique, par 

H. Poincaré. Mémoire couronné du prix de 8. M. le Roi Oscar II 

lea yaniyser 1889. WEINEN adu d magi asd 1— 2940 
Erratum. ; 
Sur les intégrales de fonctions à multiplicateurs et leur application au de- 

veloppement des fonctions abéliennes en séries trigonométriques, par 

P. Appell. Mémoire couronné par S..M. le Roi Oscar II le 21 

(robar d LO OU EN eR c DER AME A1 1—174 
Inhaltsverzeichniss. — Table des matieres. figs on. spec 


Exi rome EL 
1890—15891. 


Über einige Grundgebilde der projectiven Geometrie, von C. Juel............  1— 30 
Über die Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung in welchen 

die unabhängige Veränderliche nicht vorkommt, von Walther Raschke 31— 80 
Sur une pröpriete du systeme d’equations differentielles qui définit la rota- 

tion d'un corps solide autour d'un point fixe, par Sophie Kowalevski S1— 94 
Mesure de la courbure des surfaces suivant l'idée commune. Ses rapports 

avec les mesures de courbure Gaussienne et moyenne, par F. Casorati 95—110 
Bestimmung einer Klasse von Beriibrungstransformationsgruppen des dreifach 

ausgedehnten Raumes, von Georg Scheffers ..............................s.. 111—178 
Beweis der Existenz des Potentials das an der Grenze des betrachteten 

Raumes gegebene Werthe hat für den Fall dass diese Grenze eine 


überall convexe Fläche ist, von Gustav Kirchhoff... D PA: MO EO 
On a funicular solution of Buffon s »Problem of the nes in its most 

general form, by J. J. Sylvester... if LIL. AE85—206 
Über die acht Schnittpunkte dreier Oberfli kochen ZW jede alla Auszug 

eines Schreibens an Herrn H. G. Zeuthen von H. Schroeter ......... 207 —210 


Über beständig convergirende Potenzreihen mit rationalen Zahlencoefficienten 
und vorgeschriebenen Nullstellen, von A. Hurwitz ...................... 211—216 





358 Inhalts-Verzeichniss. — Table des matières. 


Über die Diophantischen Gleichungen vom Geschlecht Null, von D. Hilbert 

und A. Hii innen en seg perti aA ae an DE pee See ARE TR 
Remarques sur la théorie de la représentation conforme, par E. Phragmen 
Les invariants des équations différentielles linéaires, par F. JBrioschi......... 
Recherches sur les nombres et les fonctions de Bernoulli, par A. Berger... 
Sur deux théorèmes relatifs aux probabilités, par P. Tchebycheff ............... 
Über die Darstellung der Determinante eines Systems welches aus zwei an- 


deren componist ist, von K. Hensel ............ 5... eere eene 
Über die Classenanzahl der zu einer negativen Determinante D = — q ge- 
hórigen eigentlich primitiven quadratischen Formen, wo q eine Prim- 
zahl von der Form 4» + 3 ist, von Jacob Hacks ........................... 


Einige Anwendungen der Function [x], von Jacob Hacks .. er 

Beiträge zur Ausdehnung der Fuchs'schen Theorie der linearen Differential- 
gleichungen auf ein System linea er partieller Differentialgleichungen, 
Uo DOM. MINE CU i ae AN NO DRE 

Sur les équations fondamentales de l'électrodynamique pour les corps en 
Ispesment, par M Hte 2. eese seine RES 

Annonce de la mort de Sophie Kow adi ki et dde a TONCE 

Inhaltsverzeichniss. — Table des matieres. 


Torte 1. 
1891. 


Sur la représentation analytique des intégrales et des invariants d'une équa- 
tion différentielle linéaire et homogène, par G. Mittag-Leffler  ...... 

Sur un probleme de représentation conforme, par Gustav Cassel ..... 

Sur un théorème de M. Bruns, par Sophie Kowalevski ............ E 

Sur une application des déterminants infinis à la théorie des équations 
différentielles linéaires, par Helge von Koch .. BEE, v2, 

Nouvelles recherches sur les series employées dans ei Hf tea des HE 
par Hugo Gylden... TR 

Sur la courbure des BR, ie an ie à à M. proni par TE Ca an 

Die Theorie der regulären graphs, von Julius Petersen .. DE io oe 

Uber eine numerische Berechnung der Argumente der ken Ener. 
bolischen und elliptischen Functionen, von C. Runge ... d 

Über die geometrische Bedeutung der flüchentheoretischen Fundament 
gleichungen, von J.. Knoblateh «etiani meurent are 


band 1. 


Seite. Page. 


211—224 
225 —232 


293—248 
249—304 
205—316 
311—320 
321—328 
. 349—336 
351—348 
349 —316 
1— 32 
33— 44 
45— 52 
53— 64 
65—190 
191—192 
193—220 
221—248 
249—258 


i 
" 
] 





Inhalts-Verzeichniss. — Table des matières. 359 


> Seite. Page. 
Über die allgemeine Form der eindeutigen Integrale der linearen homogenen 
Differentialgleichungen mit doppeltperiodischen Coefficienten, von 


E. A. Stenberg ... ER ut LPO OEM MR Dre 
Sur une transcendante N trouvée par M. Bredhoint Extrait 

d'une lettre de M. Mittag-Leffler à M. Poincaré ........................... 219 —280 
Sur des équations differentielles lineaires transformables en elles-méme par 

un changement de fonction et de variable, par P. Appell ............ 281—316 
Zur Theorie der linearen Differenzengleichungen erster Ordnung, von 
Eine Figurentafel. — Une pli di Baron 
Inhaltsverzeichniss. — Table des matières. 


Bad 24 Pome 16. 
1892. 


Uber Biegungsinvarianten. Eine GU Uu der Lie'schen Gruppentheorie, 


EEE RU TURCA 00 PR ONE ORTOS RER RER ON ia Lt : 
Sur les maxima et les minima des ie FEES par er Kobb... 65—140 
Notiz über eine Methode zur numerischen Umkehrung gewisser E HN 

denen Non d Eos. mem cR MA e un 141—142 


Zur Theorie des Krümmungsmaasses der Flächen, von R. von Lilienthal 145—152 
Sur les vibrations lumineuses dans les milieux birefringents, par Vito Volterra 153—216 
Sur les déterminants infinis et les équations différentielles linéaires, par 


JP GNU RO pe EEE N ABER c ME ei) 
Sur la polarisation par diffraction, par Gn ne Bap etl saca ETS nee 207—340 
Sur la génération des systémes récurrents au moyen d'une équation linéaire 

différentielle, par S. Pincherle .. SR ricos c Mita MR ui y IL A: 


Expression complete et signification velitäble de la nutation initi: ar De- 
monstration qui en résulte de la fluidité intérieure du globe. Consé- 
quences analytiques de celle-ci dans les formules de l'astronomie, 


FEY go ea ul eu al dae agi aa dare MEM IIS RENTE e ER LE 365—384 
Sophie Kovalevsky. Notice biographique par G. Mittag-Leffler ............... 385 —992 
Bild von Sophie Kovalevsky. Portrait de Sophie Kovalevsky. 
Inhaltsverzeichniss. — "Tables des matieres. 


Errata. 


360 Inhalts-Verzeichniss. — Table des matières. 


Pan 1. — “Tome Tr 
1893. 





Seite. Page. 

Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes, 

par Hugo Gylden (suite et fin) i sod .  1—168 
Über ternüre definite Formen, von David Hilbert........................ sss 109—198 
Zwei Determinantensütze, von E. Netto . . . 199—204 
Über einige für Primzahlen charakteristische Desine von poe Backs 205—208 
Sur le cas traité par M=® Kowalevski de rotation d'un corps solide pesant | 

autour d'un point fixe, par Fritz Kotter... TOC ... 209—264 
Zur Theorie der linearen Substitutionen, von E. Netto ie an wi eee 208-200 
Über lineare Relationen zwischen Thetaproducten, von A. Krazer ............ 281—296 
Remarques sur les équations différentielles. Extrait d'une lettre adressée 

à M. Mittag-Leffler, par E. Picard ... 207—300 
Rapport sur quelques calculs entrepris par M. Berteluen e incen d Le 

nombres premiers, par J.-P. Gram … 901—314 
Tabelle der kleinsten primitiven - Wurzeln g aller unicos Crinsshlag 4 p 

unter 3000, von G. Wertheim... : eier BED EPUM 
Sur les maxima et les minima des inte Kl uber sede mémoire, 

par Gustaf Kobb.. : es 941—944 
Entwicklungen zur edition fünfter P leti tutae einiger 

specieller automorpher Functionen, von Robert Fricke ... 945—396 
Inhaltsverzeichniss. — Table des matieres. 

band 18. — Tome 18. 
1894. 

Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformation, par 

Ar. Tresse .. stots ? VERO NS 1— 88 
Sur la théorie des caisses de pension, par Uu» Ko rA CURE HM OTT 89— 96 
Sur les series entieres convergentes ou divergentes et les fractions continues 

rationnelles, par Henri Pade... ; pe 97—112 
Angenäherte Darstellung der Kv dre bul einer Y etdrlighen beri 

einfacher Brüche, von P. Tchebycheff. Aus dem Russischen über- 

Belet yon ©, Backlund ....239.- ur: . 113—132 


ls un ae re 








Inhalts-Verzeichniss. — Table -des matières, 361 


Sur une classe de transcendantes nouvelles, par Emile Picard (Premier 


Lire 1e) RB san tae eR Sic To vans Sci oav'enciga SERIE nee chester Ni rl 
Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms, von David Hilbert 155—-160 
Sur les vibrations des corps élastiques isotropes, par Vito Volterra............ 161—232 


Sur l'intégration de l'équation différentielle 
y' = Ay? + By! + Cy + D + (Ey + F)y, 

par G. Mittag-Leffler. (Extrait d'une lettre à M. E. Picard)......... 233—-246 
Théorie des fonctions algébriques d’une variable (Premier mémoire), par 

IK. Hensel. (Traduit par JM. G. Brinenrd)......2. 1.2.24 247318 
Sur les caractéres de convergence des séries 4 termes positifs et sur les 

fonctions indéfiniment croissantes, par J. Hadamard. ..................... 319 —336 
Sur les intégrales régulières des équations différentielles linéaires, par Helge 

BOT UPS QUAM AURORA OT UT UTC PME T SE 
Note additionnelle à l'article sur les caracteres de convergence des séries à 

termes positifs et sur les fonctions indéfiniment croissantes, par 

d GIOI X NU TO TIE TOR OESTE ED NR 421 
Inhaltsverzeichniss. -— Table des matières. 





a ruber ne 
1895. 


Sur les fonctions de » variables complexes, par Pierre Cousin une. . l— 62 
Über die Doppeleurve auf den geradlinigen Flächen, von A. Wiman .......... 63— 72 
Sur les expressions algébriques, par D. Sélvamoff.....................4...s 73— 92 
Deux démonstrations de la convergence de certaines fractions continues, 

par AGN LE EEE SER al EAE 
Zur Theorie der orthogonalen Determinanten, von JE. Neilo........................ 105—114 
Neue Theorie der eindeutigen periodischen Transformationen in der Ebene, 

VOD EU HEU TD ERNST us cose vo donnant cha dntgix ipee ria Ye ER EAE 
Über reducable Binome, von X. Th. Fahlen 0... 199—198 
Über die Steiner'sche Fläche, von K. Th. Vahlen.................... eese 199—200 
Mémoire sur le pendule de longueur variable, par Leon Lecornu............... 201—250 
Sur les équations de la dynamique, par R. Liowville................................ 251—284 
Sur une classe d'équations aux dérivées partielles du second ordre, et sur 

la théorie des intégrales intermédiaires, par E. Goursat.................. 285—340 


Acta mathematica. 21. Imprimé le 15 septembre 1897. 46 





362 Inhalts-Verzeichniss. — Table des matiéres. 


Seite. Page. 
Sur une généralisation de la formule 
sing sin2g | sin3¢ 
aS des ME Re à 

par Carl Slormer.......5 sus (a os ER . 941—350 
Über die Anzahl der Glas re u Fon von S uiuo 

Determinante, von A. Hwrwilz................. ade à . 951—584 
Über die Structur der Diseriminanten nd ealiiearioh y von ae Vdrtuoh, 

von ‘Frans Mer UN... EL ATOME. SESSIONE 


Inhaltsverzeichniss. — "Table des Sudan) 


D [S 





Band 920. — Tome 20. 
1896 —1897. 


Zur Lehre von den hyperelliptischen Integralen, von P. Epsteim..........  1— 58 
La méthode de Neumann et le probléme de Dirichlet, par H. Poincaré... 559—142 
Primitive Wurzeln der Primzahlen von der Form 2*4? + 1, in welcher 

q — 1 oder eine ungerade Primzahl ist, von @. Wertheim ............ 145—152 
Tabelle der kleinsten primitiven Wurzeln g aller Primzahlen p zwischen 

3000 und 5000 (Fortsetzung der Tabelle aus Band 17, Seite 315) 


von G. Wertheim... ed EN HESS 
Sur la déformation des nr par nie P0 wis Gaon cece aby ee Uu 
Mémoire sur l'élimination, par J. Hadamard ................... es. 201—238 
Sur le mouvement d'un corps solide pesant suspen par ros EN ses ons 

par A. Ziouville .,...........-.... v EUER zs 
Sur lintégrale finie d'une fonction US par = ro: enm 285 —312 
Sur la polarisation par diffraction (Seconde partie), par H. Poincaré ......... 313—556 
Sur les zéros des fonctions entières, par Emile Borel........................... 357—396 
Hugo Gyldén. Ein biographischer Umriss nebst einigen Bemerkungen über 

seine wissenschaftlichen Methoden, von Karl Bohlin .................... 397 —404 
Inhaltsverzeichniss. — Table des matieres. 





Namenregister der Bände 11 bis 20. 
Table générale par noms d'auteurs des volumes 11-20. 


APPELL, PAUL EMILE. 

Né à Strasbourg le 27 septembre 1855, éléve à l'école normale supérieure 1873—1876, 
répétiteur à l'école. des hautes études 1876— 1877, maitre de conférences à la faculté des 
sciences de Paris 1877.—1879, chargé de cours à la faculté des sciences de Dijon 1879— 
1881, maitre de conférences à l’école normale supérieure 1881— 1885, professeur de mé- 
canique rationnelle à la faculté des sciences de Paris depuis 1835, membre de l'académie 
des sciences de Paris depuis 1892. 

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. t. 12, p. 1—50. 
Sur les intégrales de fonctions à multiplicateurs et leur application au dé- 
veloppement des fonctions abéliennes en séries trigonométriques. 

Mémoire couronne par S. M. le Roi Oscar II le 21 janvier 1889. 

; t. 13, p. 1—174 *). 
Sur des équations différentielles linéaires transformables en elles-mémes par 
un changement de fonction et de variable. t. 15, p. 281—316. 


BERGER; ALEXANDER FREDRIK. 
Né à Nysund (Vermland) en Suede le 30 juin 1844, maitre de conférences à l'université 
d'Upsal depuis 1875. 
Recherches sur les nombres et les fonctions de Bernoulli. 
t. 14, p. 249—304. 


BOHLIN, KARL. 
Né à Stockholm le 30 octobre 1860, assistant à l'observatoire de Stockholm depuis 1884, 
maitre de conférences d'astronomie à l'université d'Upsala en 1886. Directeur de l'observa- 
toire de Stockholm depuis 1897. 
Hugo Gyldén. Ein biographischer Umriss nebst einigen Bemerkungen über 
seine wissenschaftlichen Methoden, t. 20, p. 397—404. 





*) Ce mémoire est le second des deux mémoires qui forment le tome 15, et qui ont été pagines 
séparément. 





Namenregister. — Table générale par noms d'auteurs. 


364 
BOREL, EMILE. 

Né à St Affrique en France (département d'Aveyron) en janvier 1871, éléve de l'école 
normale en 1889, maitre de conférences à l'université de Lille en 1893. Depuis 1897 maitre 
de conférences à l'école normale supérieure. 

b 20, P. 99 / —990. 


Sur les zéros des fonctions entières. 


BRIOSCHI, FRANCESCO. 


Né à Milan le 22 décembre 1824, professeur de mécanique rationnelle à l'université de 
Pavie en 1850, sous-sécretaire d'État au département de l'instruction publique depuis le mois 
de juin 1861 jusqu'au mois de décembre 1862, directeur de l'école polytechnique de Milan 


fondée 1863. Depuis 1865 sénateur du royaume d'Italie. President de l'Académie des Lincei. 
Sur l’équation du sixième degré. t. 12, p. 83—102. 
t. 14, p. 283—248. 


Les invariants des équations différentielles linéaires. 


BRUNS, ERNST HEINRICH. | 
Né à Berlin le 4 septembre 1848, calculateur à l'observatoire de Poulkowa en 1872, 


astronome adjoint à l'observatoire de Dorpat en 1874, professeur extraordinaire de mathé- 
matiques à l'université de Berlin en 1876, professeur ordinaire d'astronomie à l'université 


et directeur de l'observatoire de Leipzig depuis 1882. 
Über die Integrale des Vielkörper-Problems. t. 11, p. 25—96. 


CASORATI, FELICE. 


Ne a Pavia le 17 décembre 1835, professeur extraordinaire a l'université de Pavia en 

1859, professeur ordinaire en 1862. Mort à Pavia le 11 septembre 1890. 

Mesure de la courbure des surfaces suivant l’idée commune. Ses rapports 
bi 14, P. 95—110. 


avec les mesures de courbure Gaussienne et moyenne. 


CASSEL, KARL GUSTAV. 


Né à Stockholm le 20 octobre 1866, docteur-és-sciences à l'université d'Upsal en 1895, 
professeur de mathématiques au lycée »Realläroverket» à Stockholm depuis 1894. 


Sur un probléme de représentation conforme. t. 15, p. 33—44. 


CATALAN, EUGENE-CHARLES. 
Né à Bruge le 30 mai 1814, professeur à l'université de Liege en 1865. Mort à Liege 





le 14 février 1894- 


Sur la courbure des surfaces. Lettre adressée à M. Casorati. 


t. 15, p. 191—192. 


COUSIN, PIERRE-AUGUSTE. 
Né à Paris le 18 mars 1867, élève à l'école normale supérieure 1886 —1889, maitre de 


conférences à la faculté des sciences de Grenoble depuis 1895. 
t. 19, p. 1—62. 


Sur les fonctions de n variables complexes. 





Namenregister. — Table générale par noms d auteurs. 305 


DOBRINER, HERMAN. 
Né à Schmalleningken (Prusse) en Allemagne le 5 novembre 1857, professeur à la 
»Realschule Philanthropin» à Francfort-sur-le-Mein depuis 1883. 
Über das rüumliche Achteck welches die Schnittpunkte dreier Oberflächen 
zweiter Ordnung bilden. t. 12, p. 339—361. 


EPSTEIN, PAUL. 


Né à Francfort-surle-Mein le 24 juillet 1871, maitre adjoint au lycée de Saargemünd. 


Zur Lehre von den byperelliptischen Integralen. t. 20, p. 1—58. 


FOLIE, FRANÇOIS-JACQUES-PHILIPPE. 

Né à Venlo le 11 décembre 1833, docteur en sciences physiques et mathématiques en 
1855, professeur à l'école industrielle de Liege en 1864, administrateur-inspecteur de l'uni- 
versité de Liege en 1872, directeur de l'observatoire royal de Belgique en 1885, démissionaire 

de ces fonctions en 1897. ; 
Expression compléte et signification véritable de la nutation initiale. Démon- 
stration qui en résulte de la fluidité intérieure du globe. Conséquences 

analytiques de celle-ei dans les formules de l’astronomie. 

t. 16, p. 365—384. 


FRICKE, ROBERT. 


Né a Helmstedt en Allemagne le 24 septembre 1861, maitre de conférences à l'univer- 
site de Kiel en 1891, à l'université de Gcettingue en 1892, professeur ordinaire à l'école 
polytechnique de Brunswick depuis 1894. 

Entwicklungen zur Transformation fünfter und siebenter Ordnung einiger spe- 
cieller automorpher Functionen. t. 17, p. 345—390. 


GOURSAT, EDoUARD. 


Né à Lanzae (département du Lot) en France le 21 mai 1858, chargé de conférences à 
à la Sorbonne en 1879, chargé de cours à la faculté des sciences de Toulouse en 1881, 
maitre de conférences à l'école normale supérieure de Paris depuis 1885. 

Sur un mode de transformation des surfaces minima. t. 11, p. 135—180. 
Sur un mode de transformation des surfaces minima (Second mémoire). 

t. 11, p. 257—204. 

Sur une classe d'équations aux dérivées partielles du second ordre, et sur la 

théorie des intégrales intermédiaires. t. 19, p. 285—340. 


GRAM, JÓRGEN PEDERSEN. 
Né à Nustrup (Nordslesvig) en Danémare le 27 juin 1850, directeur de la compagnie 
d'assurances »Skjold» à Copenhague depuis 1884. 
Rapport sur quelques caleuls enterpris par M. Bertelsen et concernant les 
nombres premiers. t. 17, p. 301—314. 








366 Namenregister. — Table générale par noms d auteurs. 


GUICHARD, cLAUDE. 


Né à Azé (Saöne-et-Loire) en France le 28 décembre 1861, éléve à l'école normale su- 
périeure en 1880, actuellement professeur à l'université de Clermont. 
Sur les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. 
t. 12, p. 57—62. 


GYLDEN, JoHAN AUGUST HUGO. 


Né à Helsingfors le 29 mai 1841, maitre de conférences à l'université de Helsingfors 
en 1862, astronome adjoint à l'observatoire de Poulkowa en 1863, astronome titulaire au 
méme observatoire en 1865, directeur de l'observatoire de Stockholm en 1871. Mort à 
Stockholm le 9 novembre 1896. 


Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planetes. 
t. 15, p. 65—190, 
t. 17, p. 1—168. 


HACKS, J4cos. 

Né à Süchteln (Rheinprovinz) en Allemagne le 6 juin 1863, docteur és sciences en 1887, 

professeur au lycée de Kattowitz (Silésie) depuis 1894. 
Scherings Beweis des Reciprocitüts-Satzes für die quadratischen Reste dar- 
gestellt mit Hülfe des Zeichens [x]. t. 12, p. 109—112. 
Über die Classenanzahl der zu einer negativen Determinante D = — q ge- 
hórigen eigentlich primitiven quadratischen Formen, wo q eine Primzahl 
von der Form 4n + 3 ist. t. 14, p. 321—328. 
Einige Anwendungen der Function [2]. t. 14, p. 329—336. 
Über einige für Primzahlen characteristische Beziehungen. t. 17, p. 205—208. 


HADAMARD, JACQUES. 
Né à Versailles en France le 8 décembre 1865, chargé de cours à la faculté des sciences 
de Bordeaux en 1893, professeur à la méme faculté depuis 1896. 

Sur les caractères de convergence des séries à termes positifs et sur les fonc- 
tions indéfiniment croissantes. t. 18, p. 319—330. 
Note additionelle à l’article »Sur les caractères de convergence des séries à 

termes positifs et sur les fonctions indéfiniment croissantes». 
t. 18, p. 421—422. 
Mémoire sur l'élimination. t. 20, p. 201—238. 


HENSEL, kurt. 
Né à Königsberg le 29 décembre 1861, maitre de conférences à l’université de Berlin 
en 1886, professeur extra-ordinaire à la méme université depuis 1892. 
Über die Darstelung der Determinante eines Systems welches aus zwei an- 
deren componirt ist. t. 14, p. 317—320. 
Théorie des fonctions algébriques d'une variable. (Premier Mémoire). Traduit 
par M. G. BniwcARD. t. 18, p. 247—318. 


n— att 


Namenregister. — Table générale par noms d auteurs. 367 


HERTZ, HEINRICH RUDOLF. 
Né à Hambourg le 22 février 1857, maitre de conférences à luniversité de Kiel en 
1884, professeur de physique expérimentale à l'école polytechnique de Karlsruhe en 1885, pro- 
fesseur à l'université de Bonn en 1889, décédé le 1 janvier 1894. 
Sur les équations fondamentales de l'éleetrodynamique pour les corps en mou- 
vement. (Traduit de l'allemand des Annales de WIEDEMANN.) 
t. 14, p. 349—376. 


HEUN, kart. 
Né a Wiesbade en Allemagne le 3 avril 1859, maitre de conférences à l'université de 
Munich 1885—1888, professeur à la 1'e »Realschule» de Berlin (Oberlehrer) depuis 1890. 
Zur Theorie der mehrwerthigen, mehrfach linear verknüpften Functionen. 
t. 11, p. 97—118. 
Bemerkungen zur Theorie der mehrfach linear verknüpften Functionen. 
t. 12, p. 103—108. 
HILBERT, pavip. 
Né à Königsberg en Allemagne (Prusse) le 23 janvier 1862, maitre de conférences à 
l'université de Königsberg en 1886, professeur extraordinaire à la méme université en 1892, 
professeur ordinaire en 1893, professeur à l'université de Geettingue depuis 1895. 


Über die Diophantischen Gleichungen vom Geschlecht Null. 

En commun avee M. A. Hurwitz. : t. 14, p. 207—224. 
Über ternüre definite Formen. t. 17, p. 169—198. 
Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms. t. 18, p. 155—160. 


HORN, sacos.. 


Né le 14 février 1867 à Rehbach (Odenwald, Allemagne), maitre de conférences à l'uni- 
versité de Freiburg en Bade en 1890, maitre de conférences à l'école polytechnique de Char- 
lottenburg depuis 1892. 

Über ein System linearer partieller Differentialgleichungen. 
t. 12, p, 113—176. 
Beiträge zur Ausdehnung der Fuchs’schen Theorie der linearen Differential- 
gleichungen auf ein System linearer partieller Differentialgleichungen. 
t. 14, p. 337—348. 


HURWITZ, Anorr. 
Né à Hildesheim (Hannover) en Allemagne le 26 mars 1859, maitre de conférences à 
l'université de -Gettingue en 1882, professeur extraordinaire à l'université de Königsberg 
en 1884, professeur ordinaire à l'école polytechnique de Zürich depuis 1892. 
Über die Entwicklung complexer Gróssen in Kettenbrüche. 
t. 11, p. 187—200. 
Über eine besondere Art der Kettenbruch-Entwicklung reeller Grössen. 
t. 12, p. 367—405. 
Über beständig convergirende Potenzreihen mit rationalen Zahlencoefficienten 
und vorgeschriebenen Nullstellen. t. 14, p. 211—216. 








368 Namenregister. — Table générale par noms d auteurs; 


HURWITZ, ADporr. verum 
Über die Diophantischen Gleichungen vom Geschlecht Null. 


En commun avec M. D. HirBERT. t. 14, p. 217—224. 

Über die Anzahl der Classen binürer quadratiseher Formen von negativer 
Determinante. t. 19, p. 351—384. 

Sur lintégrale finie d'une fonetion entiére. t.'20, p. 285—312. 


JUEL, CHRISTIAN SOPHUS. 
Né à Randers en Danémarc le 25 janvier 1355, professeur à l'école polytechnique de 
Copenhague depuis 1894. 


Über einige Grundgebilde der projectiven Geometrie. t.. 14, p. 1--30. 


KANTOR, SELIGMANN 


Né à Soborten (Bohème) en Autriche le 6 décembre 1857, maitre de conférences à 
l'école polytechnique et à l'université de Prague 1881— 1884 et 1883—1886. 


Neue Theorie der eindeutigen periodischen Transformationen in der Ebene. 
t. 19, p. 115—194. 


KELVIN, LoRD. (SIR WILLIAM THOMSON.) 


Né à Belfast en Irlande le 26 juin 1824, professeur à l'université de Glasgow depuis 
1846, nobilisé en 1866,*baronisé en 1892. 


On the division of space with minimum partitional area, t. 11, p. 121—194. 


KIRCHHOFF, Gustav ROBERT. CMM 
Né le 12 mars 1824 à Königsberg, maitre de conférences à l’université de Berlin en 
1847, professeur extraordinaire à l’université de Breslau en 1850, professeur ordinaire à 
l'université de Heidelberg en 1854, à l'université de Berlin en 1875. Mort le 17 octobre 1887. 
Beweis der Existenz des Potentials das an der Grenze des betrachteten Raumes 
gegebene Werte hat für den Fall dass diese Grenze eine überall convexe 
Flüche ist. t, 14, p. 179—184. 


KNOBLAUCH, JOHANNES. 
Né à Halle en Allemagne le 27 aoüt 1855, maitre de conférences al université de Berlin 
en 1883, professeur a la méme université depuis 1889. 
Uber die geometrische Bedeutung der flichentheoretischen Fundamentalgleich- 
ungen. t. 15, p. 249—258. 


KOBB, GUSTAF. . : | | ln; pad t] 


Né à Gothembourg en Suède le 25 juillet 1863, licencié ès sciences en 1885, maitre de 
conférences: à la faculté des sciences de Stockholm depuis 1889. | 
Sur les maxima et les minima des intégrales doubles. t. 16, p. 65—140. 
Sur les maxima et les minima des intégrales doubles, Second mémoire. 
BE 4 | t. 17, p. 321—344. 





Namenregister. — Table générale par noms d'auteurs. 369 


von KOCH, nits FABIAN HELGE. 

Né à Stockholm le 25 janvier 1870, docteur és sciences en 1892, maitre de conférences 

à la faculté des sciences de Stockholm depuis 1892. 
Sur une application des déterminants infinis à la théorie des équations diffé- 
rentielles linéaires. t. 15, p. 53—64. 
Sur les déterminants infinis et les équations différentielles linéaires. 
t. 16, p. 217—296. 
Sur les intégrales réguliéres des équations différentielles linéaires. 
d t. 18, p. 337—420. 
KOTTER, rnrrzz. 

Né à Berlin le 3 novembre 1857, maitre de conférences à l'école polytechnique de Berlin 
en 1887, chargé de cours à l’école des mines de Berlin en 1889, professeur à la méme in- 
stitution depuis 1895. 

Sur le cas traité par M=® Kowalevski de rotation d'un corps solide pesant 
autour d'un point fixe. t. 17, p. 209—264. 


KOWALEVSKI (Kovalevsky), SOPHIE. 
Née Cogvis-Kgovkowsky à Moscou le 42; janvier 1850, mariée à Woldemar Kovalevsky 
en 1863, docteur és sciences à Gettingue en 1874, professeur d'analyse supérieure à la fa- 
culté des sciences de Stockholm en 1884. Decedee à Stockholm le 10 février 1891. 

Sur le probléme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe. 
t. 12, p. 177—232. 
Sur une propriété du systéme d'équations différentielles qui définit la rotation 
d'un corps solide autour d'un point fixe. t. 14, p. 81—94. 


Sur un théoréme de M. Bruns. t. 15, p. 45—52. 


KRAZER, ADOrr. 
Né à Zusmarshausen en Baviére le 15 avril 1858, maitre de conférences à l'université 


de Würzburg en 1883, professeur extraordinaire à l'université de Strasbourg depuis 1889. 


Über lineare Relationen zwischen Thetaproducten. t. 17, p. 281—296. 


LECORNU, LÉON-FRANÇOIS-ALFRED. 
Né à Caen en France le 13 janvier 1854, ingénieur en chef des mines, répétiteur de 
mécanique à l'école polytechnique. 
Mémoire sur le pendule de longueur variable. t. 19, p. 201—250. 


LERCH, maryAs. 


Né à Milínov en Bohéme le 20 février 1860, maitre de conférences à l'école polytech- 
nique tchéque de Prague depuis 1886. 


oo 2kzir 
gi 
Note sur la fonction R(w,x,s) = * CIE t. 11, p. 19—24. 
h=0 : 
Sur une méthode pour obtenir le développement en série trigonométrique de 
quelques fonctions elliptiques. t. 12, p. 51—56. 
_— Acta mathematica. 21. Imprimé le 16 septembre 1897. 41 





370 Namenregister. — Table générale par noms d'auteurs. 


von LILIENTHAL, REINHOLD. 


Né à Berlin le 25 juin 1857, maitre de conférences à l'université de Bonn en 1883, pro- 
fesseur à l'institut pédagogique de Santiago (Chili) en 1889, professeur à l'académie de 
Münster depuis 1891. 


Bemerkung über diejenigen Flüchen bei denen die Differenz der Hauptkrüm- 
mungsradien constant ist. t. 11, p. 391—394. 


Zur Theorie des Krümmungsmaasses der Flüchen. t. 16, p. 145—152. 


LINDELOF, LORENZ LEONARD. 


Né à Karvia en Finlande le 13 novembre 1827, professeur à l'université de Helsingfors 


en 1857, directeur en chef de l'administration centrale des établissements d'instruction en 
Finlande depuis 1874. 


Sur la théorie des caisses de pension. t. 18, p. 89—96. 


LIOUVILLE, nocER. 


Né à St Aubin sur Aire (Meuse) en France, le 14 mars 1856, ingénieur des poudres 
et salpetres, depuis 1876, répétiteur d'analyse à l'école polytechnique depuis 1886. 
Sur les équations de la dynamique. t. 19, p. 251—284. 
Sur le mouvement d'un corps solide pesant suspendu par lun de ses points. 
t. 20, p. 239—284. 
LOHNSTEIN, THEODOR. 
Né à Berlin le 6 juin 1866, docteur en philosophie en 1891, médecin. 
Notiz über eine Methode zur numerischen Umkehrung gewisser Transcendenten. 
t. 16, p. 141—142. 
MARKOFF, ANDRÉ. 


Né à Riazan en Russie le 2 juin 1856, professeur à l'université de St Pétersbourg 
depuis 1886. 


Deux démonstrations de la convergence de certaines fractions continues. 
t. 19, p. 93—104. 
MELLIN, ROBERT HJALMAR. 
Né à Törnävä (Österbotten) en Finlande le 19 juin 1854, maitre de conférences à l'uni- 
versité de Helsingfors en 1884, professeur à l'école polytechnique de Helsingfors depuis 1884. 
Zur Theorie der linearen Differenzengleichungen erster Ordnung, 
t. 15, p. 317—384. 
MEYER, Franz. 

Né à Magdebourg le 2 septembre 1856, maitre de conférences à l'université de Tubingue 
en 1880, professeur extraordinaire à la méme université en 1885, professeur ordinaire à la 
»Bergakademie» de Clausthal depuis 1888. 

Über die Structur der Discriminanten und Resultanten von binüren Formen. 
t. 19, p. 585—590. 





Namenregister. — Table générale par noms d auteurs. 9 


MITTAG-LEFFLER, MAGNUS GUSTA F. 


Né à Stockholm le 16 mars 1846, maitre de conférences à l'université d'Upsal en 1872, 
professeur à l'université de Helsingfors (Finlande) en 1877 et à la faculté des sciences de 
Stockholm depuis 1881. 


-1 
m 


Sur la représentation analytique des intégrales et des invariants d'une équa- 


tion differentielle linéaire et homogene. t. 15, p. 1—32. 
Sur une transcendante remarquable trouvée par M. Fredholm. Extrait d'une 
lettre M. Mittag-Leffler à M. Poincaré. t. 15, p. 279—280. 
Sophie Kovalevsky. Notice biographique. t. 16, p. 385—392. 


Sur l'intégration de l'équation différentielle 
y^ = Ay + By. -E QUE D + (Ey + Fw. 
(Extrait d'une lettre à M. E. Picard). t. 18, p. 233—246. 


NETTO, EUGEN. 


Né à Halle a/S. en Allemagne.le 30 juin 1846, professeur à l'université de Strasbourg 
en 1879, à l’université de Berlin en 1882, à l'université de Giessen depuis 1888. 


Zwei Determinantensütze. t. 17, p. 199—204. 
Zur Theorie der linearen Substitutionen. t. 17, p. 265—280. 
Zur Theorie der orthogonalen Determinanten. t. 19, p. 105—114. 


PADÉ, HENRI. 


Né à Abbeville en France le 18 décembre 1865, éléve de l'école normale supérieure de 
Paris en 1883; maitre de conférences à la faculté des sciences de Puniversité de Lille, 
depuis 1897. 


Sur les séries entiéres convergentes ou divergentes et les fractions continues 
rationnelles. t, 18, p. 97—112. 


PETERSEN, PETER CHRISTIAN JULIUS. 
Né à Sorö (Sjelland) en Danémarc le 16 juin 1839, professeur à l'école polytechnique 
de Copenhague en 1871, professeur ordinaire à l'université de la méme ville depuis 1887. 


Die Theorie der regulüren graphs. t. 15, p. 198—290. 


PHRAGMEN, LARS EDVARD. 
Né à Orebro en Suede le 2 octobre 1863, maitre de conférences à la faculté des sciences 
de Stockholm en 1890, professeur à la méme faculté depuis 1892. 


Remarques sur la théorie de la représentation conforme. t. 14, p. 225--232. 


PICARD, CHARLES-EMILE. 


Né à Paris le 24 juillet 1856, maitre de conférences à la faculté des sciences de Paris 
en 1877, chargé de cours à la faculté des sciences de Toulouse en 1879, et à la faculté des 
sciences de Paris en 1881, professeur à la faculté des sciences de Paris depuis 1886, membre 
de l'institut de France en 1889, 








372 Namenregister. — Table générale par noms d auteurs. 


PICARD, cHARLES-EMILE. 

Demonstration d'un théoréme général sur les fonctions uniformes liées par 
une équation algébrique. Extrait d'une lettre adressée à M. Mittag-Leffler. 
t. 11, p. 1—12. 
Sur une classe d'équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre. 
t. 12, p. 323—338. 
Remarques sur les équations différentielles. Extrait d'une lettre adressée a 
M. Mittag-Leffler. t. 17, p. 297—300. 

Sur une classe de transcendantes nouvelles. (Premier mémoire.) 
t. 18, p. 133—154. 


PINCHERLE, SALVATORE. 
Né à Trieste le 11 mars 1853, professeur à l'université de Pavie en 1875, professeur à 
l'université de Bologne depuis 1880. 
Sur la génération des systémes récurrents au moyen d'une équation linéaire 
différentielle. t. 16, p. 341—304. 


POINCARE, Henri. 


Né à Nancy en France le 29 avril 1854, ingenieur de mines en 1879, chargé de cours 
à la faculté des sciences de Caen en 1879, maitre de conférences à la faculté des sciences 
de Paris en 1881, chargé de coous en 1884, professeur à la faculté des sciences de Paris 
depuis 1886, membre de l'institut de France en 1887. 


Sur le probléme des trois corps et les équations de la dynamique. Mémoire 
couronné du prix de S. M. le Roi Oscar II, le 21 janvier 1889. 
t. 13, p. 1— 270. 


Sur la polarisation par diftraction. t. 16, p. 297—840. 
La méthode de Neumann et le probléme de Direchlet. t. 20, p. 59—142. 
Sur la polarisation par diffraction. t. 20, p. 313—356. 


PTASZYCKI, ıvan. 


Maitre de conférences à l'université de St  Pétersbourg. 


Sur l'intégration algébrique des différentielles algébriques. t. 11, p, 395—400. 


RASCHKE, wALTHER. 
Docteur en philosophie à Heidelberg en 1883. Mort à Danzig en 1884. 
Über die Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung in welchen 
die unabhängige Veränderliche nicht vorkommt. t. 14, p. 31—80. 


RUNGE, cart. 


Né à Bremen le 30 août 1856, maitre de conférences à l’université de Berlin en 1883, 
professeur à l'école polytechnique de Hanovre depuis 1886, 





Namenregister. — Table générale par noms d’auteurs. 373 


RUNGE, cart. 
Über eine numerische Berechnung der Argumente der cyklischen, hyper- 
bolischen und elliptischen Functionen. t. 15, p. 221—248. 


SCHEFFERS, GEORG WILHELM. 
Né à Altendorf pres Holzminden (duché de Brunswick) le 21 novembre 1866, maitre de 
conférences à l'université de Leipzig en 1891, professeur extraordinaire à l'école polytech- 
nique (Technische Hochschule) de Darmstadt depuis 1896. 


Bestimmung einer Klasse von Berührungstransformationsgruppen des dreifach 


ausgedehnten Raumes. t. 14, p. 111—178. 


SCHROETER, HEINRICH EDUARD. 
Né le 8 janvier 1829 à Kónigsberg, maitre de conférences à l'université de Breslau en 
1855, professeur extraordinaire à la méme université en 1858 et professeur ordinaire en 
1861. Mort à Breslau le 3 janvier 1892. 
Über die acht Schnittpunkte dreier Oberflächen zweiter Ordnung. Auszug eines 
Schreibens an Herrn H. G. Zeuthen. i. 14, p. 207 —210. 


SCHWERING, KARL. 


Né à Osterwick (Westphalen) en Allemagne le 28 septembre 1846, maitre de conférences 
à l'académie de Münster en 1872, professeur de mathématiques au lycée de Brilon en 1875, 

au lycée de Coesfeld en 1878, directeur du lycée de Düren depuis 1892. 
Eine Eigenschaft der Primzahl 107. t. 11, p. 119—120. 
Untersuchungen über die Normen complexer Zahlen. t. 11, p. 265—296. 


SELIVANOFF, purrRr. 
Né à Gorodisché (gouvernement de Pensa) en Russie le 5, février 1855, maitre de con- 
férences à l'université de St Pétersbourg en 1885, chargé de cours à l'université de femmes 
de la méme ville en 1889 et à l'institut technologique en 1892. 
Sur les expressions algébriques. t. 19, p. 73—92. 

SÖDERBERG, JAKOB THEODOR. 

Né à Hanebo en Suède le 12 septembre 1856, maitre de conférences à l'université 

d’Upsal depuis 1886. 
Démonstration du théoréme fondamental de Galois dans la theorie de la ré- 
solution algébrique des équations. t. 11, p. 297—302. 


STAUDE, orro. 
Né a Limbach (Sachsen) en Allemagne le 27 mars 1857, maitre de conférences a l'uni- 
versité de Breslau en 1883, professeur à l'université de Dorpat en 1886, professeur à l'uni- 
versité de Rostock depuis 1888. 


Über die Bewegung eines sehweren Punctes auf einer Rotationsflüche. 
i t. 11, p. 303-- 332. 





374 Namenregister. — Table générale par noms d auteurs. 


STENBERG, EMIL ARVID. 
Né à Helsingfors le 14 février 1858, maitre de conférences à l'université de Helsingfors 
depuis 1886. 
Über die allgemeine Form der eindeutigen Integrale der linearen homogenen 
Differentialgleichungen mit doppeltperiodischen Coefficienten. 
t. 15, p. 259—278. 
STÖRMER, FREDRIK CARL MÜLERTZ. 
Né à Skien en Norvege le 3 septembre 1874, étudiant à l'université de Christiania. 
Sur une généralisation de la formule 
g_sing sin 29 4 sin3p —— 
> I 2 3 : 
| t. 19, p. 341—350. 
STRAUSS, EMIL. 
Né à Francfort-sur-le-Main le 5 mai 1859, professeur à la »Realschule Philantropin» en 
1882. Mort a Francfort le 6 février 1892. 
Kine Verallgemeinerung der dekadischen Schreibweise nebst functionen-the- 
oretischer Anwendung. t. 11, p. 13—18. 


SYLOW, PETER LUDVIG MEJDELL. 
, 
Né le 12 décembre 1832 à Christiania, professeur au lycée de Fredrikshald depuis 1858. 


Sur les groupes transitifs dont le degré est le carré d'un nombre premier. 


t. 11, p. 201—256. 
SYLVESTER, JAMES JOSEPH. 
Né à Londres le 3 septembre 1814, professeur à l'académie militaire de Wolwich de 
1885 à 1870, à l'université de Baltimore de 1875— 1883, à l'université d'Oxford de 1883 à 
1892. Mort à Londres le 15 mars 1897. 
On a funieular solution of Buffon's »Problem of the needle» in its most 
general form. t. 14, p. 185—206. 
TCHEBYCHEFF, parnutt. 
Né à Borowsk (prés Moscou) le 14 mars 1821, agrégé à l'académie des sciences de 
St Petersbourg en 1853, membre ordinaire de la méme académie en 1859, professeur à 
l'université de St Pétersbourg. Mort à St Petersbourg le 26 novembre 1894 (vieux style). 
Sur les résidus intégraux qui donnent des valeurs approchées des intégrales. 
(Traduit du russe par I. Lxow.) t. 12, p. 287—322. 
Sur deux théorémes relatifs aux probabilités. (Traduit du russe par I. Lyon.) 
t, 14, p. 305—316. 
Angenäherte Darstellung der Kvadratwurzel einer Veründerlichen mittelst ein- 
facher Brüche. Aus dem Russischen überzetzt von O. BACKLUND. 


t. 18, p. 113—132, 
THOMSON, sir WILLIAM. 


Voir Kevin. 





c2 
-1 
Cx 


Namenregister. — Table générale par noms d'auteurs. 


TRESSE, ARTHUR. 
Né à Martigny-les-Bains en France le 24 avril 1868, professeur de mathématiques aux 
lycées de Douai (1893), de Montpellier (1895) et de Nancy (1896). 
Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformation. 
t. 18, p. 1—88. 
VAHLEN, KARL THEODOR. 


Né à Vienne le 30 juin 1869, docteur en philosophie à Berlin en 1893, chargé de 

cours à l'université de Königsberg en Prusse. 
Über reductible Binome. t. 19, p. 195—198. 
Uber die Steinersche Flüche. t. 19, p. 199—200. 


VOLTERRA, vrro. 
Né à Ancona en Italie le 3 mai 1860, préparateur de physique à Tinstitut technique de 
Florence en 1877, assistant à l'université de Pise en 1882, professeur de mécanique à l'uni- 
versité de Pise en 1883, professeur de mécanique rationnelle et de mécanique supérieure à 
l'université de Turin depuis 1893. 

Sur une généralisation de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire 
(1** Mémoire). t. 12, p. 235—286. 

Sur les vibrations lumineuses dans les milieux biréfringents. 
t. 16, p. 153— 216. 
Sur les vibrations des corps élastiques isotropes. t. 18, p. 161—232. 


VRIES, JAN DE. 


Né à Amsterdam le 1 mars 1858, docteur en sciences mathématiques et physiques en 
1881, professeur de mathématiques à Kampen en 1880, à Haarlem en 1892, professeur à 
l'école polytechnique de Delft en 1894, membre de l'académie des sciences d'Amsterdam en 
1894, professeur ordinaire à l'université d'Utrecht depuis 1897. 


Über gewisse ebene Configurationen. t. 12, p. 63—82. 


WEBER, HEINRICH. 


Né à Heidelberg le 5 mars 1842, maitre de conférences à l'université de Heidelberg 
1866—1869, professeur extraordinaire à la méme université en 1869, professeur à l'école 
polytechnique de Zürich 1870— 1875, à l'université de Kónigsberg 1875— 1882, à l'école poly- 
technique de Berlin 1883—1884, à l'université de Marburg 1884— 1892, à l'université de 
Goettingue 1892—1895, à l'université de Strasbourg depuis 1895. 

Zur Theorie der elliptischen Functionen (zweite Abhandlung). 
t. 11, p. 333—390. 


WEINGARTEN, sutius. 


Né à Berlin le 25 mars 1836, professeur à l'école royale des hautes études techniques 
(Technische Hochschule) de Berlin depuis 1864. 


Sur la déformation des surfaces. t. 20, p. 159—200. 





376 Namenregister. — Table generale par noms d’auteurs. 


WERTHEIM, custav. 


Né à Imbshausen (Hanovre) en Allemagne le 9 juin 1843, professeur à la »Realschule 
Philantropin» à Francfort-sur-le-Main depuis 1870., 


Tabelle der kleinsten primitiven Wurzeln g aller ungeraden Primzahlen p 


unter 3000. t. 17, p. 315—320. 
Primitive Wurzeln der Primzahlen von der Form 2* 4^ + 1, in welcher g= ı 
oder eine ungerade Primzahl ist. t. 20, p. 143—152. 


Tabelle der kleinsten primitiven Wurzeln g aller Primzahlen p zwischen 3000 
und 5000. (Fortsetzung der Tabelle aus Band 17, Seite 315.) 
t. 20, p. 153—158. 


WIMAN, ANDERS. : 


Ne à Hammarlöf (Scanie) en Suede le 11 février 1865, maitre de conférences à l’uni- 
versité de Lund depuis 1892. 


Über die Doppeleurve auf den geradlinigen Flüchen. t. 19, p. 63—72. 
ZEUTHEN, HIERONYMUS GEORG. 


Né à Grimstorp (Jylland) en Danémarc le 15 février 1839, professeur extraordinaire à - 
l'université de Copenhague en 1871, professeur ordinaire depuis 1886. 
Note sur les huit points d'intersection de trois surfaces du second ordre. 
t. 12, p. 362—366. 


ZORAWSKI, KASIMIERZ. 
Né à Szezurzyn pres de Varsovie le 22 juin 1866, maitre de conférences à l'école 
polytechnique de Léopol en 1892, professeur extraordinaire à l'université de Cracovie en 1895. 
Über Biegungsinvarianten. Eine Anwendung der Lie'schen Gruppentheorie. 
t. 16, p. 1—64. 











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