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ALGÈBRE
ÉLÉMENTAIRE
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AVIS.
Tous les exemplaires de cet ouvrage non revêtus de notre griffe
.seront réputés contrefaits.
DE l.'lMl'UlMtHlK I»E CUArtLKT, U Ë l.K VAIgIkaKU,
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ALGÈBRE
fjÂ"^ ÉLÉMENTAIRE
7
AVEC DE NOMBREUSES APPLICATIONS
A LA GÉOMÉTRIE ET AUX QUESTIONS LES PLUS SIMPLES iDÏMHÏYSiyUE
DE MÉCANIQUE, ETC • .
A I/USAGE
DES ASPIRANTS
A L'ÉCOLE MIHTAIRK DE SALNT-C\R , A L'ÉCOLE NAVALE, A L'ÉCOLE lOKKSTILUK
A l'école centrale des arts et MANUFACTURES, ETC
PAR H»« SONNET
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PARIS
L. HACHETTE ET C'«
LIBRAIRES DE L' UNIVERSITÉ ROVALE DE FRANCl
RUE PIERRE-SAURAZIN, y" fi
1848
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AVANT-PROPOS
D'après l'usage adopté dans l'enseignement , on divise l'Algèbre
en deux parties : l'Algèbre élémentaire et l'Algèbre supérieure.
La première partie , qui renferme la résolution des équations du
premier et du second degré , la formule du binôme , la théorie
des logarithmes, et quelques questions accessoires, est celle qui
est traitée dans ce volume. L'Algèbre supérieure n'étant exigée
que pour le baccalauréat es sciences mathématiques et pour l'ad-
mission à l'École Polytechnique et à l'École Normale , nous
croyons être utile au plus grand nombre des élèves en publiant
séparément un traité sur la partie de l'Algèbre qui est comprise
dans le cadre des mathématiques élémentaires. En supprimant
l'Algèbre supérieure , que nous nous réservons d'ailleurs de trai-
ter plus tard avec les développements qu'elle comporte, nous
avons pu réduire considérablement l'étendue de ce hvre, tout en
donnant h l'exposition des théories principales plus d'extension
qu'elle n'en reçoit d'ordinaire.
L'Algèbre, comme les autres branches des mathématiques,
peut être enseignée sous deux points de vue : soit sous le point
de vue spéculatif ou purement théorique , soit sous le point de
vue des applications. Nous n'avons rien négligé pour compléter
la partie théorique et pour lui donner la rigueur qui est devenue
aujourd'hui un des premiers besoins de l'enseignement. Mais en
a
812299
II AVA^T- PROPOS.
même temps nous aurions cru être infidèle au système que nous
avons adopté dans nos autres publications , si nous n'avions es-
sayé d'ajouter à la clarté et à l'intérêt de l'exposition théorique
par de nombreuses applications. Il y a sans doute des esprits aux-
quels les vérités abstraites plaisent, par cela seul que ce sont des
vérités; mais le plus grand nombre aiment à trouver dans le
monde des abstractions quelque chose d'utile et d'applicable au
monde réel. Pour les esprits neufs ou rebelles, ce sont d'ailleurs
les applications qui servent à faire comprendre la théorie, qui en
donnent pour ainsi dire la clef, et qui contribuent le plus puis-
samment à en fixer les préceptes dans la mémoire.
Parmi les applications de l'Algèbre , les plus intéressantes sont
celles qui se rattachent à la Géométrie élémentaire ; nous n'avons
pas hésité h en donner un grand nombre : rien n'est plus propre
à fortifier et à étendre le jugement des élèves que l'étude des re-
lations intimes qui existent entre ces deux branches de la science;
et nous aurions eu d'autant plus de regrets de nous priver d'une
source aussi abondante de problèmes, que presque toujours la
Géométrie est enseignée avant l'Algèbre , ou au moins parallèle-
ment avec elle. Si quelques-uns de MM. les professeurs croyaient
néanmoins avoir des motifs de commencer par l'Algèbre, ils
trouveront h la suite de chaque théorie des exemples et des pro-
blèmes abstraits sur lesquels ils pourront exercer leurs élè^es.
Les autres applications sont piiscs parmi les problèmes les
plus élémentaires de Physique et de Mécanique, ou dans des
questions usuelles. Nous avons plutôt choisi que multiplié les
énoncés , et les élèves laborieux pourront consulter à ce sujet des
recueils connus et estimés où ils trouveront en abondance de quoi
alimenter leur zèle.
ïl y a un certain nombre de questions que nous avons traitées
d'une manière très-différente de celle qui est en usage ; telles sont :
AVANT-PROPOS. III
la discussion (partielle) des valeurs générales fournies par trois
équations du premier degré à trois inconnues; l'extraction de la
racine carrée des quantités en partie cnmmensurables et en par-
tie incommensurables , celle des quantités imaginaires ; la réso-
lution de l'équation exponentielle , etc. Nous n'ayons point été
guidés en cela par un vain amour de la nouveauté ; nous croyons
nos méthodes préférables; MM. les professeurs en jugeront. Il y a
d'autres questions que nous avons traitées plus complètement
qu'on ne le fait d'ordinaire, tels sont : le calcul des irration-
nelles , les combinaisons , les logarithmes , et enfm les approxi-
mations numériques. Cette dernière question, qu'on ne traite pas
ordinairement en Algèbre , et qui cependant ne saurait être traitée
convenablement en Arithmétique , a été de notre part l'objet d'un
soin tout particulier ; nous y avons donné quelques théorèmes
utiles et simples, connus sans doute, mais dont l'énoncé ne se
trouve pas ordinairement dans les livres ; entre autres celui-ci :
Lorsqu'une quantité plus grande que l'unité est donnée à moins
d'une unité décimale d'un certain ordre , sa racine carrée ou cu-
bique peut être obtenue avec le même degré d'approximation = .
Nous avons consacré un paragraphe particulier aux approxima-
tions relatives, les seules qui intéressent la pratique, et dont les
règles ne sont données nulle part, du moins à notre connais-
sance.
Quant à l'ordre que nous avons suivi, on s'en fera une juste
idée en parcourant la table des matières. On verra que dans cha-
cune des divisions de l'ouvrage l'indispensable est toujours ce
que nous avons mis en première ligne.
Quoique nous n'ayons pas eu l'intention de composer un Ma-
nuel des aspirants à telle ou telle école spéciale , néanmoins les
élèves qui se destinent aux écoles trouveront dans ce traité tout
ce qui peut leur être utile, et, en particulier, la solution de
IV AVANT-PROPOS.
toutes les questions de théorie ou d'application proposées dans le
questionnaire de Saint-Cyr. Nous croyons donc pouvoir leur of-
frir ce livre, ainsi qu'aux élèves qui suivent l'enseignement spé-
cial dans les collèges , et à tous ceux en général qui se livrent à
l'étude des Mathématiques élémentaires , comme un guide qu'ils
pourront consulter avec quelque fruit.
ÉLÉMENTAIRE.
PREMIÈRE PARTIE.
OPÉRATIOIVS FONDAMEiVTALES ET PROBLÈMES
DU PREMIER DEGRÉ.
CHAPITRE PREMIER.
NOTIONS PRÉLIMINAIRES.
§ I. But de l'Algèbre.
1. L'Algèbre est la science qui a pour but de résoudre d'une
manière générale les questions relatives aux nombres.
C'est-à-dire que , dans cette partie des mathématiques , on ne se
contente pas de la solution particulière d'une question, on recherche
encore la solution générale de toutes les questions du même genre.
Pour y parvenir, on représente par des lettres les grandeurs con-
nues ou inconnues que l'on a à considérer; et, à l'aide de signes
abréviatifs on écrit les relations que la nature du problème établit
entre ces grandeurs. L'Algèbre donne ensuite des règles pour ti-ans-
former ces relations en d'autres plus simples, ou mieux appropriées
au but qu'on se propose ; et c'est en déplaçant ainsi successivement
la difficulté qu'on peut la diminuer et enfin la résoudre. On obtient
alors la valeur de chaque inconnue sous la forme d'une expression
générale^ dans laquelle il n'y aura plus, dans chaque cas particulier,
qu'à remplacer chaque lettre par sa valeur particulière , et à effec-
tuer les calculs qui ne sont qu'indiqués. Une pareille expression
générale est ce qu'on nomme \mQ formule algébrique.
Un exemple éclaircira ces généralités.
2. Proposons-nous d'abord cette question particulière : Trouver
1
2 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.
deudr. non^bne^ dont la somme soit 17 et dont la différence soit 5 .
Pour la l'ésoudre, nous pourrons d'abord faire le raisonnement
.suivant : •
'* La différence des deux nombres étant 5 , le plus grand est égal
au plus petit augmenté de 5 ; la somme des deux nombres est donc
égale au plus petit nombre augmenté de 5 , plus encore au plus
petit nombre ; ou, ce qui revient au même, à deux fois le plus petit
nombre, plus 5 . Mais cette somme doit faire 17 ; donc le double
du plus petit nombre, plus 5 , égale 17 . Il en résulte que le double
du plus petit nombre équivaut à 17 diminué de 5 , ou à 12 ; et
que par conséquent ce plus petit nombre lui-même est la moitié de
12 , ou 6 . Par suite, le plus grand nombre est égal à 6 plus 5 ,
ou à 11 .
On remarque que dans ce raisonnement certaines expressions se
reproduisent un grand nombre de fois ; ce sont le plus petit nombre;
le plus grand nombre; plus ou augmenté de ; moins ou diminué de;
égale ou équivaut à. On pourra donc simplifier l'écriture de ce rai-
sonnement en convenant, par exemple, de représenter le plus petit
nombre par la lettre œ , le plus grand nombre par la lettre y ; les
expressions plus ou augmenté de par le signe -f- , déjà employé en
arithmétique , les expressions moins ou diminué de par le signe — ;
la division par 2 en mettant ce nombre en dénominateur ; enfin les
expressions égale ou équivaut à par le signe = . A l'aide de ces
conventions, le raisonnement ci-dessus pourra s'écrire de la manière
suivante :
y—x=b ;
donc f/ = a?-|-5 .
Mais î/ + a?=17 ;
donc x-\-6+x=^V7 ,
ou 2a;+5 = 17 .
De là résulte 2a; = 17 — 5 = 12 ;'
donc ^~Y ^^ aJ = 6 .
Par suite, j^ = 6-(-5 = ll .
Chacune des lignes que nous venons d'écrire , correspond à l'un
des raisonnements partiels qui composent le raisonnement total écrit
plus haut.
5. Les raisonnements seraient évidemment les mêmes si les
nombres 17 et 6 étaient remplacés par des nombres quelconques.
Mais les signes abréviatifs que nous avons employés ne suffisent pas
pour mettre en évidence ce qu'il peut y avoir de commun dans les
NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 3
r sultats des raisonnements, quelles que soient les données. Cela
tient à ce que les résultats numériques auxquels on est conduit
n'offrent aucune trace des opérations qui ont servi à les obtenir.
Ainsi le nombre 6 , qui a été obtenu en retranchant 5 de 17 et en
prenant la moitié du reste, pourrait s'obtenir d'une infinité d'autres
manières ; et rien dans ce résultat brut 6 n'indique comment on y
est parvenu.
Il n'en serait plus de même si , au lieu d'effectuer les opérations
numériques au fur et à mesure qu'elles se présentent , on se con-
tentait de les indiquer par des signes. C'est ce que nous allons
montrer en reprenant le même problème ; mais afin de donner à la
solution toute la généralité qu'elle comporte , nous remplacerons
les données numériques par des lettres auxquelles on pourra ensuite
attribuer telles valeurs qu'on voudra. Nous désignerons donc par a
la somme des deux nombres inconnus x et y ; et par b leur dif-
férence; œ désignant toujours le plus petit.
Cela posé , nous allons reprendre le raisonnement total ; nous le
reproduirons ensuite en employant l'écriture algébrique ; et, afin de
rendre la comparaison plus facile nous aurons soin de marquer d'un
numéro d'ordre commun les raisonnements partiels qui se corres-
pondent :
[1] Le plus grand nombre, moins le plus petit, égale la différence
donnée ;
[2] Donc, le plus grand nombre équivaut au plus petit, plus la
différence donnée ;
[3] Le plus grand nombre , plus le plus petit , égale la somme
donnée ;
[4] Donc , le plus petit nombre augmenté de la différence donnée,
plus encore le plus petit nombre , égale la somme donnée ;
[5] Ou bien , deux fois le plus petit nombre , plus la différence
donnée, égale la somme donnée.
[6] Il en résulte que : deux fois le plus petit nombre égale la
somme donnée , moins la différence donnée ;
[7] Et qu'enfin , le plus petit nombre égale la moitié de la somme
donnée, moins la moitié de la diflérence donnée.
[8] Par suite, le plus grand nombre égale la moitié de la somme
donnée, moins la moitié de la différence donnée, plus cette même
différence ;
[9] Ce qui revient à la moitié de la somme donnée, plus la moitié
de la différence donnée.
U PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.
En écriture algébrique , les mêmes raisonnements deviendront
[1]
y—x=b ;
[2] donc
y = x-^b .
[3] Mais ^
y+x=a ;
[4] donc
x-\-b -{-x = a
[5] ou bien
2œ + b==:a .
[6] Il en résulte
2x = a — b ,
[7] et enfin
a b
[8] Par suite
a b . ,
2/ = 2-2 + *
[9] ou bien
a , b
ï/ = 2 + 2 ■
Remarque. On voit que lorsqu'on a la somme et la différence de
deux nombres, on obtient le plus petit en retranchant la moitié de
la différence de la moitié de la somme, et le plus grand en ajoutant
la moitié de la différence à la moitié de la somme; ce qui constitue
un théorème de calcul.
A. Les valeurs générales
a b . a , b
x=z- — - et ?/ = -4--
2 2 -^ 2 '2
sont des formules qui donneront immédiatement les valeurs des
inconnues dans chaque cas particulier ; il suffira d'y remplacer a
et b par les données particulières, et d'efiéctuer les calculs in-
diqués.
Si l'on demande , par exemple , de trouver deux nombres dont la
somme soit 31 et la différence 13 , on aur^
^ ^^ 13 nf 31 , 13
18 AA
ou x = ~ et y = ~ ,
ou enfin ^ = 9 et ?/ = 22 ;
c'est-à-dircquelepluspetitdes deux nombres demandés est 9 , et
le plus grand 22 . En eli'et, 22 diminué de 9 donne 13 , et 22
augmenté de 9 donne 31 .
*">. La question très-simple que nous venons de traiter suffit
néanmoins pour faire voir connnent l'écriture algébrique, indé-
NOTIONS PRÉrJMINAIRES. 5
pendamment de sa brièveté, permet de traiter un problème de la
manière la plus générale, et conduit à des formules ou règles pour
obtenir la solution dans chaque cas particulier.
La série des égalités [4] , [5] , [6] , [7] du numéro (5) , offre un
exemple des transformations successives à l'aide desquelles on peut,
d'une relation entre une inconnue et des quantités données , dé-
duire une relation plus simple qui donne la valeur de cette in-
connue.
Le but de l'Algèbre étant ainsi clairement établi , nous allons nous
occuper des signes abréviatifs qu'elle emploie et des règles du cal-
cul algébrique.
§ H. Des signes algébriques.
t>. Nous donnons dans ce paragraphe l'explication de tous les
signes abréviatifs usités en Algèbre , quoique plusieurs d'entre eux
ne soient pas, dès à présent, indispensables à connaître. Notre but
est d'éviter au lecteur, qui aurait oublié le sens d'un signe , la peine
d'en chercher la définition dans le corps de l'ouvrage, en lui offrant
un tableau qu'il lui sera toujours facile de consulter.
7. Le signe -|- s'énonce ^/?^s; placé entre deux quantités, il
indique qu'on en fait la somme. Ainsi x-\-6 signifie la somme des
quantités a? et 5 ; de même a; -j- « -j- 5 exprime la somme des
quantités x, a et 5 .
8. Le signe — s'énonce moins; placé entre deux quantités, il
indique qu'on en fait la différence , ou que de la première on re-
tranche la seconde. Ainsi x — 5 exprime la différence des quan-
tités X et 5 , ou ce qui reste de la quantité représentée par x
quand on en retranche 5. De même x — a — 5 indique ce qui
reste de la quantité x quand on en retranche successivement la
quantité a et le nombre 5 .
9. Le signe X s'énonce multiplié par; placé entre deux quan-
tités, il indique qu'on en fait le produit. Ainsi xy<6 indique le
produit de x par 5. De même ^XaX5 exprime le produit
des trois facteurs x, a et 5 .
On remplace souvent le signe X par un simple point. Ainsi au
lieu de a'Xb on peut écrire a. b .
Plus souvent encore on se contente , pour exprimer la multipli-
cation , d'écrire les facteurs à la suite les uns des autres , sans au-
cune interposition de signe. Mais cela ne se fait que lorsqu'il n'y a
pas plus d'un facteur numérique , et ce facteur se place alors le pre-
mier. Ainsi au lieu de ^ X « X 5 on peut écrire x.a,^ , ou plus
simplement 6ax .
n PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.
Le facteur numérique qui précède ainsi un produit de facteurs
exprimés par des lettres, porte le nom de coefficient.
10. Quand un produit renferme plusieurs facteurs égaux, on se
contente d'écrire l'un d'eux, et l'on place à sa droite, et un peu au-
dessus, le nombre qui indique combien il y a de ces facteurs égaux.
Ainsi, au lieu de 5x5 on peut écrire 5^ ; au lieu de ^X^Xa:
on peut écrire x^ .
Ce nombre qui indique combien il y a de facteurs égaux à celui
qu'on n'écrit qu'une fois, porte le nom à' exposant; et le produit des
facteurs égaux s' sl^^qWq puissance de l'un de ces facteurs. L'expres-
sion ba^h-x indiquerait un produit composé du facteur 5 , de 3
facteurs égaux à « , de 2 facteurs égaux à 6 , et enfin d'un facteur
égala X ; ou bien le produit de 5 par la 3« puissance de a ,
par la 2*^ puissance de 6 , et par la l'^^ puissance de x .
11. Le signe : s'énonce È?/m>'jpâ!r; placé entre deux quantités;
il indique que la première est divisée par la seconde. Ainsi x : 5
exprime le quotient de 57 par 5 .
On indique encore la division en écrivant le quotient comme une
fraction qui aurait pour numérateur le dividende et pour dénomi-
nateur le diviseur. Par exemple
X : 5 peut s'écrire -r .
5
Le trait horizontal qui sépare le dividende du diviseur se nomme
barre de division.
12. Le signe y/ indique la racine carrée de la quantité placée
au-dessous, c'est-à-dire une quantité qui, multipliée par elle-même,
reproduirait la quantité placée sous le signe. Par exemple \/49 ex-
prime la racine carrée de 49 , ou le nombre qui , multiplié par
lui-même, donne 49 .
Le signe v^ indique de même la racine cubique de la quantité
placée au-dessous, c'est-à-dire une quantité qui, prise 3 fois comme
facteur, donnerait pour produit la quantité placée sous le signe.
Ainsi, ^64 exprime la racine cubique de 64 , ou le nombre qui,
pris 3 fois comme facteur, donnerait pour produit 64 .
Les signes v^ , v^ , etc. , indiqueraient de même la racine
quatrième, la racine cinquième, etc. , de la quantité placée au-des-
sous, c'est-à-dire une quantité qui , prise 4 fois, 5 fois, etc. , comme
facteur, donnerait pour produit la quantité placée sous le signe.
Ce signe porte en général le nom de radical , et le nombre placé
au-dessus dans son ouverture est ce qu'on nomme Vindice du ra-
dical. Ainsi, dans ^~~, c'est 3 qui est l'indice du radical.
NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 7
15. Les parenthèses ( ) expriment le résultat des opérations
indiquées sur les quantités qu'elles enveloppent ; les signes qui af-
fectent les parenthèses indiquent les opérations à effectuer sur ce
résultat. Ainsi ,
X — {a — 5)
indique que de la quantité x on retranche le résultat obtenu en re-
tranchant 5 de a .
(a; + 5)Xa
indique qu'après avoir fait la somme des quantités a? et 5 , on
multiplie le résultat, ou la somme, par a .
(x — 2):a
indique qu'après avoir retranché 2 de ^ on divise le résultat,
ou la différence, par la quantité a .
(x + 6f: {a-^'^f
indique qu'après avoir fait la somme des quantités a? et 5 et formé
un produit de 3 facteurs égaux à cette somme , on divise ce produit
par le produit de 2 facteurs égaux à la différence entre a et 2.
14. Le signe = s'énonce égale; placé entre des expressions
numériques ou algébriques , il indique que les deux expressions
sont égales en valeur.
Le signe >> s'énoncep/ws grand que; placé entre deux quantités,
il indique que la première est plus grande que la seconde. Ainsi,
a? > 5 signifie que la quantité représentée par x est plus grande
que 5 .
Le signe < s'énonce ^Zî^s petit que; placé entre deux quantités,
il indique que la première est plus petite que la seconde. Ainsi,
x<C^ signifie que la quantité représentée par x est plus petite
que 5 .
15. Lorsque, dans une question, on a représenté certaines quan-
tités par des lettres , on réprésente des quantités analogues par les
mêmes lettres chargées d'un ou plusieurs accents. Les lettres
chargées d'un accent s'énoncent en y ajoutant le m.oi prime; celles
qui sont chargées de deux accents s'énoncent en y ajoutant le mot
seconde; pour trois accents on ajoute le mot tierce; et ainsi de suite.
Par exemple :
s'énonceraient a , a prime, a seconde, a tierce.
L'usage que nous ferons des divers signes dont il vient d'être
question , en fixera peu à peu le sens dans la mémoire du lecteur.
PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.
§ III. Des diverses espèces d'expressions algébriques.
16. Les expressions algébriques les plus simples sont les lettres
mêmes de l'alphabet destinées à représenter certaines quantités
connues ou inconnues. On emploie ordinairement les premières
lettres de l'alphabet, a, ô, c, d, etc. , pour représenter des quan-
tités supposées connues, mais dont on ne particularise pas la valeur
numérique. Les quantités inconnues se désignent, au contraire,
par les dernières lettres x^ ?/, >s, etc.
17. On donne en général le nom à' expression algébrique à tout
ensemble de lettres , ou de lettres et de nombres , réunis par quel-
ques-uns des signes énumérés dans le paragraphe précédent. Ainsi
Voa?b{x-\-b):\Ja—b
est une expression algébrique.
Une expression algébrique est dite rationnelle quand elle ne con-
tient point de signe radical. Elle est irrationnelle dans le cas con-
traire.
Une expression algébrique est dite entière lorsqu'aucune division
n'y est indiquée. Elle est fractionnaire dans le cas contraire.
Nous nous occuperons d'abord des expressions algébriques ra-
tionnelles et entières. Telle est l'expression :
18. Dans une expression algébrique rationnelle et entière où il
n'entre point de parenthèses , les différentes parties séparées par les
signes + ou — sont ce que l'on appelle les différents termes de
l'expression. Telles sont dans l'expression ci-dessus les parties ^a^x ,
— Aa^x^ , ou +\Qax^ .
Une expression algébrique qui n'a qu'un terme prend le nom de
monôme; telle est l'expression — 4a^x^ .
Une expression algébrique qui a deux termes prend le nom de
binôme; tel est 3a — 5 b .
Une expression algébrique qui a trois termes porte le nom de tri^
noine; tel est 2x^ — 'Sax-{-5ab .
En général, une expression algébrique qui a plusieurs termes
porte le nom de pohjnome.
19. Dans un monôme, il y a quatre éléments à distinguer :
1° Le signe dont il est précédé, et qui peut être -)- ou — . Tout
monôme qui n'a pas de signe est censé précédé du signe + . Les
monômes précédés (ou supposés précédés} du signe -)- sont des
NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 9
monômes additifs ou positifs. Les monômes précédés du signe —
sont des monômes soustractifs ou négatifs.
2° Le facteur numérique, s'il y en a un. Ce facteur qu'on écrit le
premier, porte, ainsi que nous l'avons vu, le nom de coefficient.
3° Les lettres qui forment les autres facteurs.
4° Les exposants de ces lettres , ou les nombres écrits à droite et
un peu au-dessus , qui indiquent combien de fois chaque lettre entre
comme facteur dans le produit total.
Ainsi dans — Aa^x^ , le signe est — , le coefficient est 4 ,les
lettres sont a et ^ , les exposants sont 2 et 3 .
20. Remarque. Si dans un monôme on imagine que chaque lettre
prenne une valeur numérique déterminée , le produit indiqué par
ce monôme prendra lui-même une certaine valeur numérique , la-
quelle devra être prise positivement ou négativement , c'est-à-dire
additivement ou soustractivement, suivant que le monôme est af-
fecté du signe + ou du signe — . Si, par exemple, dans le mo-
nôme 4aV on imagine que a ait la valeur 3 et ^ la valeur 5 ,
le monôme reviendra à — 4.3.3.5.5.5 ou à — 4500 .
On pourrait attribuer aux lettres des valeurs numériques frac-
tionnaires, sans que pour cela le monôme cessât d'être entier, al-
gébriquement parlant. Si par exemple on attribue à « la valeur -
Qi2i X la valeur - ,1e monôme — 4aV reviendra à — — .
C'est toujours sous cette forme numérique qu'il faut se représen-
ter un monôme ; c'est-à-dire qu'on doit se le représenter comme
composé d'une valeur absolue, entière ou fractionnaire, et d'un
signe qui est -|- ou — .
21. On nomme degré d'un monôme la somme des exposants des
lettres qui y entrent. Les lettres qui n'ont point d'exposant n'en-
trant qu'une fois comme facteur, sont supposées avoir pour expo-
sant 1 . Ainsi le degré du monôme 5 aWx est 3 -f- 2 -[- 1 ou 6 .
22. On nomme termes semblables dans un polynôme ceux qui
ne diffèrent que par le coefficient et par le signe. Ils contiennent par
conséquent les mêmes lettres affectées des mêmes exposants. Ainsi
dans le polynôme
Voa^b^x — 6a^6V + %aWx -^ 7a6V — 9aWx — AaWx ,
il y a quatre termes semblables :
l^a^b^x, +%aWx, —-QaWx et --iaWx .
On peut toujours réduire les termes semblables en un seul. Il est
clair en effet, dans l'exemple précédent, que quelle que soit la va-
^
10 PREMIÈRE PARTIE. -- CHAPITRE I.
leur numérique de àWx il faut prendre 15 fois cette valeur, ajou-
ter encore 8 fois la même valeur, puis en retrancher d'abord 9 fois
cette même valeur, et encore 4 fois cette valeur. Le résultat sera
donc le même que si de 15 + 8 ou 23 fois la valeur numérique
dont il s'agit, on retranchait 9 -)- 4 ou 13 fois cette môme valeur,
ce qui donnerait 23 — 13 ou 10 fois cette valeur. L'ensemble des
quatre termes considérés revient donc à X^c^h^x.
Si l'ensemble des termes négatifs l'emportait sur celui des termes
positifs, le résultat serait lui-même négatif. On tire de là cette
règle : Pour effectuer la réduction des termes semhlahles , on fait
la somme de tous les coefficients qui ont le signe -\- et la somme
de tous les coefficients qui ont le signe — ; on retranche la plus
petite somme de la plus grande , on donné au reste le signe de la
plus grande , et on écrit à la suite la partie littérale commune.
25, Un polynôme est dit homogène quand tous ses termes sont
du même degré (21). Tel est le polynôme
6ah''x^ — QaWx'-\-^a'bx ,
dont tous les termes sont du 6^ degré,
24. Ordonner un polynôme, c'est écrire ses différents termes
dans un ordre tel que les exposants d'une même lettre aillent tou-
jours en augmentant ou toujours en diminuant d'un terme à l'autre.
La lettre que l'on choisit pour guide prend le nom de lettre ordon-
natrice ; si l'on écrit les termes de manière que les exposants de la
lettre ordonnatrice aillent en augmentant, on dit que le polynôme
est ordonné par rapport aux puissances croissantes de cette lettre ;
si les exposants de la lettre ordonnatrice vont en diminuant , on dit
que le polynôme est ordonné par rapport aux puissances décrois-
santés de cette lettre.
Ainsi le polynôme , déjà considéré ci-dessus ^
5a6'^— 6«'62^*+8a*ôa7
est ordonné par rapport aux puissances croissantes de a , ou par
rapport aux puissances décroissantes de x .
Dans la plupart des calculs algébriques on a soin d'ordonner
ainsi les polynômes ; cette opération facilite les calculs , en leur
donnant plus de symétrie. Il est clair d'ailleurs que , quel que soit
l'ordre dans lequel on écrit les termes , soit additifs , soit soustractifs,
d'un polynôme , sa valeur demeure la même. Cette valeur se com-
pose évidemment de la somme des valeurs numériques des termes
additifs ou positifs , diminuée de la somme des valeurs numériques
des termes soustractifs ou négatifs.
Il peut arriver que plusieurs termes d'un polynôme contiennent
%k
NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 11
la même puissance de la lettre ordonnatrice ; on les ordonne alors
entre eux par rapport aux puissances d'une seconde lettre. Par
exemple , le polynôme
ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x , contient
deux termes affectés de x^ ; ces deux termes sont ordonnés par
rapport aux puissances décroissantes d'une seconde lettre , a .
L'ensemble des termes qui contiennent la lettre ordonnatrice
principale avec son plus haut exposant forme ce qu'on appelle le
groupe le plus élevé du polijnome. S'il y avait plusieurs termes con-
tenant la lettre ordonnatrice avec son moindre exposant, leur en-
semble formerait le groupe le moins élevé.
12 PKEMIÈRE PARTIE.
CHAPITRE II.
DES QUATRE OPERATIOXS FONDAMENTALES, ET DES FRACTIONS
ALGÉBRIQUES.
25. Nous ne nous occuperons dans ce chapitre et dans le suivant
que des expressions algébriques rationnelles , en commençant par
celles qui sont entières. Nous supposerons de plus , si elles sont
monômes, qu'elles sont positives, ou que, si elles sont polynômes,
l'ensemble des termes positifs l'emporte en valeur absolue sur l'en-
semble des termes négatifs.
Nous verrons plus tard (chap. iv) le sens qu'il faut attribuer aux
opérations algébriques et aux quantités mêmes sur lesquelles elles
s'effectuent , lorsque la condition dont nous venons de parler n'est
pas remplie.
§ I. De l'addition.
2G. En ayant égard à la restriction exprimée dans le numéro
précédent, additionner deux expressions algébriques, c'est ajouter
à la valeur absolue de la première, la valeur absolue de la seconde.
1° Si les deux expressions à additionner sont deux monômes
semblables (22) , on additionnera les coefficients , et l'on écrira à la
suite de la somme la partie littérale commune. Par exemple, les
deux expressions 5aV et Ic^x^ ont pour somme Xlc^x^ .
2° Si les deux expressions à additionner ^ont deux monômes
dissemblables, il suffira d'écrire le second à la suite du premier en
les séparant par le signe + ; et le résultat ne sera susceptible
d'aucune simplification. Par exemple, la somme des expressions
5a^x^ et 7aV est
27. Supposons maintenant que les expressions à additionner
soient polynômes; et qu'à a — b , par exemple, on se propose
d'ajouter c — d .
Si à la suite de a — b on écrivait le premier terme de c — d en
le faisant précéder du signe -f- , ce qui donnerait a — b-{-c , on
aurait ajouté à a — b une quantité trop grande de d ; \e résultat
serait donc lui-même trop grand de d . Pour lui donner sa véri-
OPÉRATIONS FONDAMENTALES. 13
table valeur , il faut donc le diminuer de d , ce qui se fera en
écrivant à sa suite — d ; ei l'on aura
a — b-{-c — d .
On voit qu'il a suffi d'écrire à la suite de a — b chacun des
termes de c — d ^ avec le signe qu'il avait ; car le terme c qui
n'était précédé d'aucun signe , devait être regardé comme précédé
du signe + (49).
En répétant les raisonnements qui précèdent pour des polynômes
composés d'autant de termes qu'on voudra, on verrait de même que
les termes positifs du second polynôme doivent s'écrire à la somme
avec le signe -f- , et que les termes négatifs de ce même polynôme
doivent s'écrire à la somme avec le signe — . En d'autres termes :
Pour additionner deux polynômes , on écrit le second à la suite du
premier en conservant à chaque terme son signe.
Remarque. La règle serait évidemment la même pour ajouter un
polynôme à un monôme.
28. Si la somme présente alors des termes semblables, il faut
en opérer la réduction (22), ce qui simplifie le résultat.
Soient , par exemple , à additionner les polynômes
et 5a^^'+2aV— 11«^*+10^-^ ,
on trouvera OaV — Aa^x^ — Aax'* -\-c(f' .
Soient de même , les polynômes :
a'b+^ia^—Ah^
et 5a^6— 3a6^+ô^ ,
on trouvera 6a^6 — 36^ .
§ II. De la soustraction.
29. D'après l'hypothèse admise dans ce chapitre , soustraire deux
expressions algébriques l'une de l'autre, c'est retrancher de la va-
leur absolue de la première la valeur absolue de la seconde. 1° Si
les deux expressions sont deux monômes semblables , on retran-
chera le coefficient de la seconde du coefficient de la première , ce
que nous supposerons possible , et l'on écrira à la suite de la ditïé-
rence la partie littérale commune. Par exemple, la différence entre
l(^bx et Ao^-hx est évidemment Sa^bx .
2° Si les expressions à soustraire sont deux monômes dissembla-
bles , on écrira le second à la suite du premier en les séparant par le
signe — ; et le résultat ne sera susceptible d'aucune simplification.
*^ PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
Ainsi la différence des monômes oax'' et SaW est 5aa?*— 3aV.
50. Supposons maintenant que l'expression à soustraire soit
polynôme, celle dont on soustrait pouvant être polynôme ou mo-
nôme. Par exemple, supposons que de a-^b , on veuille sous-
traire c — d .
Si à la suite de a—b on écrivait le terme c avec le signe —
c'est-à-dire si de a—b on retranchait c , ce qui donnerait
a^b—c , onaurait évidemment retranché une quantité trop grande
de d ; le résultat serait donc trop petit de d .Pour lui rendre sa
vraie valeur il faudra donc lui ajouter d , ce qui se fera en écri-
vant -\-d à la suite , et l'on aura a'-~b—c-{-d.
On remarquera que le terme c qui avait, ou était censé avoir, le
signe -f- dans le polynôme à soustraire, a le signe — au résultat-
et que le terme d qui avait le signe — dans le polynôme à sous-
traire, a le signe -J- au résultat.
En répétant les mêmes raisonnements et les mêmes observations
pour des polynômes, composés d'autant de termes qu'on voudra,
on verrait de même que tout terme ayant le signe + dans le poly-
nôme à soustraire devra être écrit au résultat avec le signe — , et
que tout terme ayant le signe — dans le polynôme à soustraire,
devra être écrit au résultat avec le signe -|- . De là cette règle : Pour
soustraire un polynôme d'un autre, on récrit à la suite de cet autre
en changeant le signe de chacun de ses termes.
Si la différence ainsi obtenue présente des termes semblables, il
faut, pour simplifier le résultat, opérer la réduction (22) de ces
termes.
Exemples. I. Du polynôme 9aV— 4aV— 4«;r*4-^»
on veut soustraire 4aV— 6aV-(-7a.2;*— 9^'
on aura d'abord pour résultat
9aV~4aV— Aax' -f a;- — 4aV-f-6a-.r5^ 7ax'-\-9x'
ou , en réduisant ,
II. Si de a^+2ab-\-b^ on soustrait a^ — 'iab-^-b^ ,
on trouvera pour reste
a' + 2ab-{-b'-^a'~{-2ab—b'
ou, en réduisant, 4ab .
^i. Hemarque sur l'usage des parenthèses. Il arrive souvent que
l'on a intérêt à regarder un polynôme, soit comme la somme, soit
comme la différence de deux autres polynômes. Pour cela, on réunit
OPÉRATIONS FONDAMENTALES. 15
entre parenthèses tous les termes qu'on regarde comme composant
le polynôme ajouté ou soustrait, et l'on fait précéder ces paren-
thèses du signe -f- dans le premier cas, ou du signe — dans le
second. Mais, afin d'avoir égard aux règles données (27, 50) pour
l'addition ou pour la soustraction des polynômes , si l'on met -)-
devant les parenthèses, on écrit les termes entre parenthèses chacun
avec le signe qu'il avait ; tandis que si l'on met — devant les pa-
renthèses , on écrit les termes entre parenthèses , chacun avec un
signe contraire. Si, dans la suite des calculs ou des raisonnements,
on vient à supprimer les parenthèses , c'est-à-dire à effectuer l'opé-
ration indiquée sur le polynôme qu'elle renfermait, ses termes con-
servent leur signe si les parenthèses étaient précédées du signe -f ,
et chacun d'eux en change au contraire si les parenthèses étaient
précédées du signe — . Dans un cas, comme dans l'autre, on re-
produit ainsi le polynôme total , tel qu'il était avant l'introduction
des parenthèses.
Soit , par exemple , le polynôme
a-\-b — c-}-d — e-f-/ — 5^ + ^ •
On pourra l'écrire de chacune des manières suivantes :
a + b—(c — d-\-e--f+g—h) ,
a + b-c+(d--e+f-g + h) ,
a-}-b'—c~\-d'—(e--f+g—h) ,
etc. , '
et , en supprimant les parenthèses , c'est-à-dire en effectuant l'ad-
dition ou la soustraction indiquées, on reproduira le polynôme pri-
mitif
a-^b — c-^-d — e+/ — g-\-h .
§ III, De la multiplication.
52. D'après les restrictions établies au commencement de ce
chapitre, le but que nous nous proposons dans la multiplication
algébrique sera le même qu'en arithmétique ; c'est-à-dire qu'étant
données deux expressions algébriques, monômes ou polynômes,
nous chercherons à en former une troisième dont la valeur numé-
rique ou absolue soit le produit des valeurs absolues des deux pre-
mières.
Supposons donc d'abord que les deux facteurs soient deux mo-
nômes ; par exemple baWx et Sa^bif .
16 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 11.
Le premier monôme 6a^b^x représente le résultat qu'on ob-
tiendrait en multipliant 5 par le produit de trois facteurs égaux
à a , puis en multipliant le résultat de cette première multiplica-
tion par le produit de deux facteurs égaux à b , et en multipliant
enfin le résultat de cette seconde multiplication par le facteur x .
Or, on a vu en arithmétique que multiplier un nombre par un pro-
duit de plusieurs facteurs revient à multiplier ce nombre successi-
vement par chacun de ces facteurs ; et ce principe subsiste pour les
(juantités fractionnaires compie pour les nombres entiers. Le mo-
nôme 6a^b-x pourra donc s'écrire
^XaXaXaXb><bXx .
De même, le monôme '^a-bif pourra s'écrire
SXaXaXbXyXy .
Et, en vertu du principe déjà invoqué ci-dessus, on obtiendra le
produit demandé en multipliant le premier monôme successivement
par chacun des facteurs du second ; ce qui donnera
6XaXaXaXbXbXccXSXaXaXbXyXy .
Mais dans un produit de plusieurs facteurs, entiers ou fraction-
naires, on peut intervertir l'ordre des facteurs sans changer le pro-
duit. On pourra donc, en rapprochant les facteurs égaux, écrire le
produit de la manière suivante :
^XSXaXaXaXaXaXbXbXbXxXyXy .
Le produit de 5 par 3 est 15. Ce produit doit être multiplié suc-
cessivement par cinq facteurs égaux à «, ce qui revient à le multi-
plier par le produit effectué de ces cinq facteurs, ou par a\ On
aura donc ainsi 15 X a\ Ce produit doit être multiplié à son tour
successivement par trois facteurs égaux à b, ce qui revient à le
multiplier par le produit effectué de ces trois facteurs, ou par b\ On
aura ainsi 15Xû'X^^ Multipliant par x, il vient l^Xa'Xb^Xoc.
Multipliant enfin successivement par deux facteurs égaux à y, ou ,
ce qui revient au même, par le produit effectué de ces deux fac-
teurs , ou par y\ il vient enfin 15 Xa"^ X ^^ Xx X y'; ou en sup-
primant les signes de multiplication :
làa^b^xy^ .
On voit 1° que le coefficient 15 du produit est le produit des coef-
ficients 5 et 3 des deux facteurs monômes ; 2° que toutes les lettres
qui entrent dans l'un des facteurs entrent au produit; 3° que l'ex-
posant 5 de la lettre a au produit est la somme des exposants 3
et 2 qu'elle avait dans les deux monômes; 4° que l'exposant 3 de
OPÉRATIONS FONDAMENTALES. 17
la lettre b au produit est la somme des exposants 2 et 1 qu'elle
avait dans les deux monômes ; 5" que le facteur x , qui n'entre
qu'au multiplicande, entre au produit avec le même exposant 1;
6** enfin que le facteur y\ qui n'entre qu'au multiplicateur, entre
au produit avec le même exposant 2.
De là cette règle : Pour multiplier l'un par Vautre deux monômes
positifs, il faut faire le produit des deux coefficients, écrire à la
suite toutes les lettres qui entrent dans les deux facteurs monômes,
et affecter chacune d'elles d'un exposant égal à la somme de ceux
qu'elle a dans ces deux facteurs . (En appliquant cette règle, on voit
que toute lettre qui n'entre que dans l'un des deux monômes entre
au produit avec le môme exposant.)
Exemple. Le produit de Va'b^cd' par AahHx'' est 28a^6^ceZV.
Remarque. Il résulte de la règle de la multiplication des mo-
nômes, que le degré (21) du produit est la somme des degrés des
deux monômes facteurs. Ainsi le degré de ^oa^lfx étant 6 , et le
degré de Zc^-hif étant 5, le degré de leur produit ^(flPxf est
6+5 ou 11. De même, le degré de Id'Wcd'- étant 11, et le degré
de Aab'dx' étant 7 , le degré de leur produit 2Sa'b^cd^x^ est
11 + 7 ou 18 .
55. Soit maintenant à multiplier un polynôme par un monôme,
par exemple a + b — c par m. Les lettres a,b,c,m représentent
des quantités numériques entières ou fractionnaires. Pour fixer les
idées et faciliter le discours, supposons que le multiplicateur mo-
nôme m ait pour valeur ^ ; la multiplication aura pour but de
4
prendre les - du multiplicande. Si celui-ci se réduisait à «+ô ,
on obtiendrait évidemment le produit en prenant les - de f^,puis
4 ^
les - de 6, et faisant la somme des produits partiels obtenus; c'est-
à-dire que le produit total s'obtiendrait en multipliant séparément
a et b par m et faisant la somme de ces produits partiels, ce qui
donnerait am-\-bm . Mais en opérant ainsi on a pris les | d'un
polynôme trop grand de c, puisque ce n'était pas a-]-b qu'il fal-
lait multiplier, mais bien a+b'-c , ou a+b diminué de c .Le
produit obtenu am'{-bm est donc trop grand des - de c ou du
produit cm ; pour lui rendre sa véritable valeur il faut donc en re-
trancher cm , ce qui donnera
am-^-bm — cm .
2
18 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 11.
Comme on pourrait répéter le même raisonnement pour chaque
terme soustractif, on voit que pour faire le produit d'un polynôme
par un monôme (positif), il faut multiplier séparément chaque terme
du polynôme multiplicande par le monôme multiplicateur, en don-
nant à chaque terme du produit le signe du terme du multiplicande
qui Va fourni.
Ainsi le produit de 5«a;^+3a^a; — 4a'' par Qa-bx serait
30a6V+18«^6^'-— 24a^6^ .
De môme , le produit de Zà^b—la^b' + lSab'^-'b'' par Aab^c
serait \1a!'b^c—%cii;^b''c-\-^<darb'c—Aa¥c.
54. Soit enfin à multiplier un polynôme par un polynôme , par
exemple a~b par c — d pour plus de simplicité. Faisons d'a-
bord le produit du multiplicande a—b par le terme c du mul-
tiplicateur, ce qui donnera, d'après ce qu'on vient de voir ac—bc.
En opérant ainsi, on a multiplié le multiplicande par une quan-
tité trop grande de d , puisque ce n'était pas par c qu'il fallait
multiplier, mais bien par c diminué de d . 11 s'ensuit que le
résultat est lui-même trop grand du produit de a — b par d ,
c'est-à-dire de ad — bd .
Pour lui rendre sa véritable valeur , il faut donc en retrancher
ad — bd , ce qui donne, d'après les règles de la soustraction, c'est-
à-dire en changeant le signe de chaque terme du polynôme à sous-
traire ,
' ac — bc — ad-\-bd .
En examinant ce résultat , on voit qu'il contient les produits par-
tiels de chaque terme du multiplicande a—b par chaque terme
du multiplicateur c — d . Quant au signe dont chaque produit par-
tiel est affecté , on remarque 1" que les termes a et c , qui avaient
(Quêtaient censés avoir) le signe + , ont donné un produit ac
qui figure au résultat avec le signe + ; 2° que les termes 6 et c ,
dont l'un avait le signe — et l'autre le signe -f- , ont fourni au
résultat le terme négatif — 6(? ; 3" que les termes a ei d , dont
l'un avait lesigne + et l'autre le signe —, ont fourni au résultat
le termenégatif —«rf ; 4°enfinqueles termes b et eZ , qui avaient
tousdeux le signe — , ontfourni au résultatle terme positif -\-bd .
En résumant, on voit que deux termes de môme signe ont donné
un produit positif, et que deux termes de signe contraire ont
donné un produit négatif.
Les mêmes raisonnements appliqués à deux polynômes quel-
conques montreraient que ces règles sont générales , et que deux
termes de même signe donnent toujours un produit affecté du
OPÉRATIONS FONDAMENTALES. 19
signe + , et que deux termes de signe contraire donnent un pro-
duit affecté du signe — . C'est en cela que consiste ce qu'on ap-
pelle la règle des signes dans la multiplication.
On l'énonce quelquefois en disant d'une manière abrégée que
+ multiplié par + àonne -f
+
^ On dira donc que, pour multiplier deux polynômes l'un par
Vautre, il faut multiplier chaque terme du multiplicande par chaque
terme du înultiplicateur , en ayant égard à la règle des signes.
Si le résultat présente des termes semblables, on en opère la
réduction.
3o. Soit, par exemple, à multiplier bax^—^éx'—Aa^x + a^
par Qax^-—'lct-x-\-^a;^ . On disposera ces calculs de la manière
suivante :
Multiplicande 5«^'— Saraf— 4à^x-\-a^
Multiplicateur 6«^- — 2a-x -\- Sa^
1" produit partiel 30a-V— 18»^^* -24aV+6ftV
2' » — 10aV+ 6a'x'-\-Sa'x'~ la^x
Produittotalréduit 30aV— 28aV— Zo!^x''-^^od'x''—Ua^x-\-Za
On écrit d'abord le multiplicande; on écrit au-dessous le multi-
plicateur ; on tire un trait horizontal au-dessous du multiplicateur.
On fait le produit du multiplicande par le premier terme du multi-
plicateur ; c'est le premier produit partiel, qu'on écrit au-dessous du
trait horizontal. On fait le produit du multiplicande par le second
terme du multiplicateur ; c'est le second produit partiel qu'on écrit
au-dessous du premier. On obtient ainsi autant de produits partiels
qu'il y a de termes au multiplicateur. Au-dessous du dernier pro-
duit partiel , on tire un second trait horizontal ; et au-dessous de ce
trait on écrit le produit total , qui est la somme des produits partiels,
somme dans laquelle on effectue , s'il y a lieu , la réduction des
termes semblables.
Il convient d'ordonner (24) le multiplicande, le multiplicateur
et le produit total par rapport aux puissances d'une même lettre;
les calculs ayant alors plus de symétrie sont plus faciles à vérifier.
Il convient aussi d'écrire chaque terme d'un produit partiel au-des-
sous du terme semblable , s'il y en a , dans le produit partiel précé-
20 PREMIÈRE PARTlt:. — CHAPITRE 11.
dent ; la réduction des termes semblables se trouve ainsi facilitée ;
il est aussi plus facile d'ordonner le produit total.
56. Nous placerons ici trois produits dont on fait un fréquent
usage en Algèbre, et qui fournissent autant de théorèmes de calcul.
1. a+b
a+b
a--\- ab
+ ab + b'
a''^-1ab+lf- .
Cette multiplication montre que le carré de la somme de deux
quantités renferme le carré de la première , plus le double produit de
la première par la seconde , plus le carré de la seconde.
fOn se rappelle qu'en arithmétique on nomme carré d'une quan-
tité le produit de cette quantité par elle-même.)
Ce théorème, écrit algébriquement, donne
{a-\-bfz=a^-\-1ab-\-b'' .
IL a~b
a — b
a^— ab
— ab-\-b''
cC"—1ab-\-b'' .
• Cette multiplication montre que le carré de la différence de deux
quantités rcnjerme le carré de la première , moins deux fois le pro-
duit de la première par la seconde, plus le carré de la seconde.
Ce théorème , écrit algébriquement , donne
{a^bf:
m.
a + b
a-~b
cC-+ab
— ab — b''
a' ■ — 0- .
Cette multiplication montre que le produit de la somme de deux
quantités par leur différence , équivaut à la différence de leurs
carrés.
Ce théorème , écrit algébriquement , donne
(a + b){a—b) = a'—b'.
57. Remarques. I. Si le multiplicande et le multiplicateur sont
homogènes (25), le produit est lui-même homogène. Car chaque
OPÉRATIONS FONDAMENTALES. 21
terme du produit s'obtenant en multipliant un terme du multipli-
cande par un terme du multiplicateur, le degré de ce terme du pro-
duit est la somme des degrés des deux termes qui l'ont fourni (52),
c'est-à-dire la somme des degrés du multiplicande et du multipli-
cateur, puisque ceux-ci sont homogènes. Tous les termes du pro-
duit sont donc du même degré, c'est-à-dire qu'il est homogène.
On voit de plus que son degré est la somme des degrés des deux
polynômes facteurs.
Ainsi , dans l'exemple donné au n° 5o , le multiplicande est ho^
mogène et du 4° degré, le multiplicateur est homogène et du S** de-
gré, le produit est homogène et du 7'' degré.
58. II. Par suite des réductions qui s'opèrent entre les termes
semblables, certains termes du produit peuvent disparaître ; c'est ce
qu'on voit dans l'exemple lïl du n" 56. Mais il y a toujours au
moins deux termes qui ne disparaissent pas : ces termes sont, si le
multiplicande et le multiplicateur ont été ordonnés par rapport aux
puissances d'une même lettre , le produit du premier terme du
multiplicande par le premier terme du multiplicateur, et le pro-
duit du dernier terme du multiplicande par le dernier terme du
multiplicateur.
En effet : si , pour fixer les idées , on suppose ces polynômes or-
donnés par rapport aux puissances décroissantes d'une même lettre ;
le premier terme du multiplicande et le premier terme du multi-
plicateur contenant chacun la lettre ordonnatrice à une puissance
plus élevée qu'aucun des termes qui suivent, leur produit contien-
dra cette même lettre à une puissance plus élevée qu'aucun autre
terme du produit, et ne pourra conséquemment se réduire avec
aucun autre. De même : le dernier terme du multiplicande et le
dernier terme du multiplicateur contenant chacun la lettre ordon-
natrice à une puissance moins élevée qu'aucun des termes qui pré-
cèdent, leur produit contiendra cette même lettre à une puissance
moins élevée qu'aucun autre terme du produit , et ne pourra en
conséquence se réduire avec aucun autre. Tels sont, dans la multi-
plication du n° 5o, le premier terme SOa^x^ du produit et le der-
nier -j-Sa"^ .
Quelles que soient les réductions qui s'opèrent, il restera donc
au moins deux termes au produit. La multiplication suivante offre
un exemple du cas où il ne reste que ces deux termes.
a — b
a' -f a'b -f a'b'- -\- a'b' + ab'
— a'^b — dW- —aW— ab' — U'
a' — 6^
t1 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
39. m. Il peut arriver que plusieurs termes du multiplicande
contiennent la lettre ordonnatrice avec le même exposant; on or-
donne alors ces termes entre eux par rapport à une seconde lettre,
comme on l'a vu (24). La même circonstance peut se présenter au
multiplicateur.
On écrit ordinairement les termes d'un même groupe (24) dans
une même colonne verticale, afin de mieux distinguer les différents
groupes. La multiplication s'effectue d'ailleurs comme à l'ordi-
naire.
Exemple. Sa'x^ +6ab^x —Aa-h^
Zax — 4ab
+ 1bx
— 6 a'bx''+ 1 2 ab'x^ — 8 aWx
+ 6 a^bx^— 1 2 a'bx'- — 24 œ^b^'x + 1 6 a»6'
— 4ab'x~+ 3a-b-x-
9 a\x^ — 1 2 a^bx' — 1 2 cc'b'x + 1 6 a'b^ ,
— 4 «6 V+ 26 aV;^^'— 32 a^i'a;
-f-12«7/V
Lorsque, comme dans l'exemple précédent, il y a au multipli-
cande et au multiplicateur plusieurs termes affectés de la plus haute
puissance de la lettre ordonnatrice , on peut remarquer que le pro-
duit de ces deux groupes de termes donne le groupe le plus
élevé (24) du produit; c'est-à-dire que les ternies provenant de la
multiplication de ces deux groupes peuvent bien se réduire entre
eux, mais ne sauraient se réduire avec ceux qui proviennent des
groupes suivants, attendu qu'ils contiennent la lettre ordonnatrice
principale avec un plus haut exposant. Ainsi , dans l'exemple ci-
dessus, les termes ^a-x^—1ubx^ du multiplicande, et les termes
3 «a; -}- 2 bx du multiplicateur, ont fourni au produit quatre termes
qui se sont réduits à deux 9a^a^ — Aab^x^ ; mais ces termes
n'auraient pu se réduire avec les autres qui contiennent tous la
lettre ordonnatrice x avec un exposant moindre que 3 .
La même chose aurait lieu s'il y avait au multiplicande et au mul-
tiplicateur plusieurs termes affectés de la moindre puissance de la
lettre ordonnatrice; ces deux groupes de termes donneraient le
groupe le moins élevé (24) du produit.
Ces remarques nous seront bientôt utiles.
40. IV. On a vu, en arithmétique, et nous avons déjà rappelé,
qu'un produit de facteurs entiers ou fractionnaires ne change pas
dans quelque ordre qu'on effectue les multiplications. Les quantités
. OPÉRATIONS FONDAMENTALES. 23
monômes ou polynômes que nous considérons jusqu'ici n'étant,
d'après les restrictions établies au commencement de ce chapitre,
que des quantités numériques, on peut leur appliquer le même
principe. Cette remarque fournit un moyen de vérifier une multi-
plication algébrique; il suffit de la recommencer en prenant le
multiplicateur pour multiplicande et le multiplicande pour multi-
plicateur; le produit doit rester le même. On pourrait encore re-
commencer l'opération en changeant de lettre ordonnatrice.
Mais il est préférable d'acquérir de bonne heure assez d'habitude
du calcul pour pouvoir se passer de ces sortes de vérification.
§ IV. De la division.
41. La division, en Algèbre comme en arithmétique, est une opé-
ration par laquelle, étant donnés un produit de deux facteurs et l'un
de ces facteurs , on se propose de retrouver le second facteur. Le
produit donné est le dividende, le facteur donné est le diviseur, le
facteur cherché est le quotient.
Soit d'abord à diviser un monôme (positif) par un autre monôme
(également positif), par exemple Vôoj'b^xif par ôa^b^x .
D'après les règles de la multiplication des monômes (52) le coef-
ficient 15 du dividende a été formé en multipliant le coefficient 5
du diviseur par le coefficient inconnu du quotient ; on obtiendra donc
ce coefficient inconnu en divisant 15 par 5 , ce qui donne 3 .Le
quotient ne peut contenir aucune lettre qui ne soit pas au dividende.
Or, l'exposant 5 de la lettre a au dividende est la somme de l'ex-
posant 3 de la même lettre au diviseur et de l'exposant inconnu
de cette même lettre au quotient; on obtiendra donc cet exposant
inconnu en retranchant 3 de 5 , ce qui donne pour reste 2 et
montre que le quotient doit contenir le facteur é , De même, l'ex-
posant 3 de la lettre b au dividende est la somme de l'exposant
2 de cette même lettre au diviseur et de l'exposant inconnu de cette
même lettre au quotient; on obtiendra donc cet exposant inconnu
en retranchant 2 de 3 , ce qui donne pour reste 1 , et montre
que le quotient contiendra le facteur b . La lettre x entrant avec
le même exposant au dividende et au diviseur, ne saurait entrer au
quotient. La lettre y n'entrant pas au diviseur, doit entrer au quo-
tient avec le même exposant qu'au dividende. Le quotient sera donc
Za^bif . Et, en effet, en multipliant bo^b\x par ^a^bif on re-
trouve bien 1 5 d'b^xif .
De là cette règle : pour diviser deux monômes (positifs) l'un par
l'autre, divisez le coefficient du monôme dividende par le coejficient
du monôme diviseur^ vous obtiendrez le coefficient du monmne cjuo-
tient. Examinez successivement chaque lettre du dividende, Si elle
24 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE H.
est commune au dividende et au diviseur , et que son exposant ait
dividende surpasse son exposant au diviseur, écrivez Aa au quotient
avec un exposant égal à la différence de ces exposants. Si elle a
le même exposant au dividende et au diviseur, dispe7isez-vous de
l'écrire au quotient. Si elle n'entre qu'au dividende, écrivez-la avec
le même exposant au quotient.
Exemple. Le quotient de '^Sa^b^cd^x^ par VaWcd- est Aahhlx"^.
42. Remarques. I. La division serait impossible : 1° si le diviseur
contenait une lettre qui n'entrât pas au dividende ; 2° si une lettre
avait au diviseur un exposant plus élevé qu'au dividende; 3° si le
coefficient du dividende n'était pas exactement divisible par le coef-
ficient du diviseur.
IL Lorsqu'une lettre entre au dividende et au diviseur avec le
même exposant, si on lui appliquait la môme règle qu'aux autres
lettres , on devrait l'écrire au quotient avec un exposant égal à la
différence des exposants qu'elle a au dividende et au diviseur, c'est-
à-dire avec l'exposant zéro. Ainsi, le quotient de l^aWx par Za^b
serait ^a^bx .
Or, nous avons vu que le quotient doit être ^bx ; le facteur a^
représente donc un facteur qui n'altère pas le produit ; c'est-à-dire
qu'il représente l'unité.
On se sert quelquefois de ce symbole pour conserver au quotient
la trace d'un facteur du dividende qui disparaîtrait sans cela. Mais
il faut bien se rappeler qu'une expression telle que a^ est le sym-
bole de l'unité, ou que a^ est égal à 1 .
45. Soit maintenant à diviser un polynôme par un monôme (po-
sitif), par exemple ZOa^bx^-^-l^al'bx^ — 'lAa;'bx par Qa^bx .
Le quotient sera un polynôme , car le produit d'un monôme par
un monôme serait un monôme. Or, on a vu (55) que le produit d'un
polynôme par un monôme est un polynôme composé du même
nombre de termes affectés des mêmes signes, et qu'ils s'obtiennent
en multipliant respectivement chaque terme du polynôme multi-
plicande par le monôme multiplicateur. On formera donc le quotient
demandé en divisant chaque terme du polynôme dividende par le
monôme diviseur, et affectant chaque terme du quotient du même
signe que le terme du dividende qui l'a fourni.
Le quotient de 2tOa^bx^ par Qa^bx est Ijax^- ; on l'écrira au
quotient total , où il sera censé avoir le signe -|- , attendu qu'il
sera le premier. Le quotient de 18a*6x^ par Qa^bx est 'ia^x ;
on l'écrira avec le signe -|- ^ ^«^ suite du premier terme du quotient
total. Le quotient de ^Aaj'bx par Qa^bx est Aa^ ; on l'écrira avec
le signe — à la suite des deux premiers termes du quotient total.
OPÉRATIONS FONDAMENTALES. 25
Le quotient total sera ainsi 6ax^-\-S c^x — 4 a' .On peut vérifier
en effet, qu'en multipliant ce quotient par le diviseur %a^hx on re-
produirait le polynôme dividende.
On voit que 'pour diviser un polynôme par un monôme (positif),
il faut diviser chaque terme du polynôme dividende par le monôme
diviseur, et affecter chaque terme du quotient du même signe que
le terme du dividende qui Va fourni.
Ainsi, le quotient de 12f<*^>^c — 8a^6*c-)-20a^6^c — 4«6V par
Aab^c est Zéh — laW^^alx'—y^ .
Remarque. La division serait impossible si un terme quelconque
du polynôme dividende n'était pas exactement divisible (42) par le
monôme diviseur.
44. Lorsque tous les termes d'un polynôme admettent un facteur
conimun, il est souvent utile de mettre ce facteur en évidence, c'est-
à-dire de décomposer le polynôme en deux facteurs dont l'un soit
le facteur monôme commun à tous ses termes , et dont l'autre soit
le quotient du polynôme proposé par le facteur commun ; ce quo-
tient ou ce facteur polynôme se met alors entre parenthèses. Par
exemple, on a vu tout à l'heure que le polynôme
30ft^6^' + na'^hx^ — "l^cëhx
était divisible par Ç^a^hx et donnait pour quotient
^ax^-\-Zo?x — 4a^ .
On peut donc écrire ce polynôme de la manière suivante :
(5 a.r^ + 3 a^^ — 4 a^) 6 fl^ô^
qui exprime le produit du quotient par le diviseur (15). Le facteur
monôme peut se mettre indifféremment à droite ou à gauche de la
parenthèse.
Soit de même le polynôme 1 2 a^l?c — 8 a'-V'c + 20 cC-Wc — 4 aWc .
On reconnaît que le facteur \aWc est commun à tous ses termes ;
on peut donc mettre ce facteur en évidence , en écrivant entre pa-
renthèses le quotient du polynôme proposé par le facteur mis hors
parenthèses. On aura ainsi :
Aaly^ci^^a^'h-^la^b^^^ah^—b'*) .
On fait encore usage d'une autre notation qui remplace les pa-
renthèses. Lorsqu'un polynôme contient plusieurs termes afïéctés
de la même puissance de la lettre ordonnatrice, on écrit quelquefois
ces termes dans une même colonne verticale ; mais la lettre ordon-
natrice ne s'écrit qu'une fois dans cette colonne, et on la sépare des
26 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
autres facteurs par un trait vertical, qui tient lieu de parenthèses.
Ainsi, au lieu d'écrire
on écrira
9«^
— 4ab'
x^—lla^h
S2a'b^
x + lGa'b'
+ 26a'b'
+ 12a6'
On voit que x^ est mis en facteur commun par un trait vertical
pour les deux premiers termes , x^ pour les trois suivants, et x
pour les deux suivants. j
4o. Soit enfin à diviser un polynôme par un polynôme; par
exemple,
30 a'x' — 28 a'^x' — 3 a'^x^ + 5 à'x- — 1 4 a'x -\- 3 a^
par bax^ — 3a-x^ — Aa^x -\-a' .
On commencera par écrire le diviseur à la droite du dividende,
en les ordonnant par rapport aux puissances d'une même lettre,
s'ils n'étaient pas déjà ordonnés; et on les séparera par un trait ver-
tical. On tirera un trait horizontal au-dessous du diviseur pour le
séparer du quotient. Ces dispositions sont indiquées dans le ta-
bleau ci-dessous ; les polynômes y sont ordonnés par rapport aux
puissances décroissantes de la lettre x .
Dividende. Diviseur.
30a2^«_28a'^'*-- 3a'x^+6a'x'—Ua'x+Sa' | 6ax^—M^x'—4a ^x+a[
—SOa-x'^l^a'x'-^^Aa'x^'—Mx'^ 6ax-—2a-x+3a'' Quotient,
1" reste. .. — 10a'j?*+21a^^^ — a^x-—l4a^x-^^a^
+10a^x''— 6a*x^—Sa;'x^-\- 1a\x
reste •\-\ba!*x^—^d'x^-'na'x+^a^
— 1 5a*ir3+9«V-j-l 2a*'^— 3a''
reste
Concevons que le quotient inconnu soit ordonné par rapport aux
puissances décroissantes de la même lettre. Comme le dividende
est le produit du diviseur par le quotient, le produit partiel du pre^
mier terme du diviseur par le premier terme du quotient doit don-
ner le premier terme du dividende; car on a vu (58, II) que ce
produit partiel n'a pu se réduire avec aucun autre. On obtiendra
donc le premier terme du quotient en divisant le premier terme du
dividende par le premier terme du diviseur.
OPÉRATIONS FONDAMENTALES. 27
Mais ici il sera nécessaire d'avoir égard aux signes , car en ordon-
nant les deux polynômes il peut également arriver que le premier
terme ait le signe -f~ ou le signe — . Or, la rè(jle des signes
donnée pour la multiplication (54) nous apprend que si le produit
de deux termes est positif, ces deux termes sont de même signe;
et que si le produit est négatif, les deux termes sont de signe con--
traire, On peut donc former le tableau suivant :
+ divisé par + donne au quotient +
+ -
- + -
- -, ■ +
ce qui montre que le quotient de deux termes de même signe a le
signe + > ^t ^^^ ^^ quotient de deux termes de signe contraire a
le signe — ; règle qui est la même que pour la multiplication.
Dans l'exemple actuel, le premier terme du dividende et le pre-
mier terme du diviseur étant positifs, le premier terme du quotient
sera positif. On divisera donc 30a^^^ par ^ax"^ , ce qui donne
6«^^ , et l'on écrira ce premier terme du quotient au-dessous du
diviseur.
Le dividende étant le produit du diviseur par le quotient, con-
tient tous les produits partiels du diviseur par les différents termes
du quotient. Le premier terme du quotient étant trouvé , on peut
donc multiplier le diviseur par ce terme, et retrancher le produit
ainsi obtenu du dividende ; le reste ne contiendra plus que les pro-
duits du diviseur par les termes suivants du quotient, et sera par
conséquent un nouveau dividende plus simple sur lequel on pourra
opérer comme sur le premier. Ce calcul se fait de la manière sui-
vante : '\-^ax^ multiplié par -\-Qax^~ donne -fSOaV , et,
pour soustraire, — 2>0a^x^ , qu'on écrit au-dessous du premier
terme du dividende; — ^a^x^ par +6aa?^ donne — ISflV ,
et, pour soustraire, -f- l^a^x'* , qu'on écrit au-dessous du divi-
dende, à la suite du terme précédent; — Aa^x par -\-Qax^
donne —^Aàx^ , et, pour soustraire, -\-24a''x^ , qu'on écrit
au-dessous du dividende à la suite des deux termes précédents; en-
fin -f-a* par -\-6ax^- donne -f-6«V , et, pour soustraire,
— 6a^x^ , qu'on écrit encore au-dessous du dividende à la suite des
trois termes précédents. On tire un trait horizontal au-dessous du
polynôme soustrait; on opère la réduction des termes semblables,
et l'on obtient pour premier reste
Ce premier reste étant le produit du diviseur par l'ensemble des
termes inconnus du quotient, et se trouvant ordonné comme le di-
''^W^'-
28 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IL
viseur et le quotient , par rapport aux puissances décroissantes de la
lettre x , son premier terme est le produit exact du premier
terme du diviseur par le premier des termes inconnus du quotient,
puisque ce produit partiel n'a pu se réduire avec aucun autre. On
aura donc le second ternie du quotient en divisant le premier terme
du premier reste, ou second dividende, par le premier terme du
diviseur. Or, — lOa^x^ divisé par -\-5ax^ donne — 2a^-x ;
on écrit ce quotient partiel à la suite du premier terme du quotient
total.
Connaissant le second terme du quotient , on peut faire le pro-
duit du diviseur par ce second terme , et retrancher ce produit du
premier reste ; le second reste qu'on obtiendra ne contiendra plus
que les produits partiels du diviseur par les termes suivants du quo-
tient. En effectuant ces calculs de la même manière que ci-dessus,
on obtient pour second reste
Ce second reste étant le produit du diviseur par l'ensemble des
termes inconnus du quotient, et se trouvant ordonné par rapport
aux puissances décroissantes de la lettre x , son premier terme
est le produit exact du premier terme du diviseur par le premier
des termes inconnus du quotient, puisque ce produit partiel n'a pu
se réduire avec aucun autre. On obtiendra donc le troisième terme
du quotient en divisant le premier terme du second reste par le pre-
mier terme du diviseur. Or, -|-l5aV divisé par -\-bax^ donne
+ 3a^ ; on écrit ce quotient partiel à la suite des deux premiers
termes du quotient total.
Connaissant le troisième terme du quotient , on peut multiplier
le diviseur par ce terme , et soustraire le produit du second reste ;
le troisième reste qu'on obtiendra ne contiendra plus que les pro-
duits partiels du diviseur par les termes suivants du quotient, s'il
y en a. En effectuant ces calculs, on trouve zçro pour troisième
reste; il en résulte que l'opération est terminée, et que le quotient
total est
En multipliant, en effet, le diviseur par ce quotient, on repro-
duirait le dividende (54).
De tout ce qui précède , on tire la règle suivante : Po^ir diviser
deux polynômes l'un par l'autre , on écrit le diviseur à la droite du
dividende en les ordonnant par rapport aux puissances d'une même
lettre; on les sépare par un trait vertical, et Von tire un trait hori-
zontal au-dessous du diviseur pour le séparer du quotient. On di-
vise le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur;
on obtient aiîisi le premier terme du quotient, qu'on écrit au-dessous
OPÉRATIONS FONDAMENTALES.
29
du diviseur. On multiplie le diviseur par ce terme \ on soustrait le
produit du dividende, et Von obtient un premier reste. On divise le
premier terme de ce premier reste par le premier terme du diviseur \
on obtient ainsi le second terme du quotient ; on V écrit à la suite
du premier; on multiplie le diviseur par ce second terme', on sous-
trait le produit du premier reste, et l'on obtient un second reste.
On opère sur ce second reste et sur les suivants, comme sur le pre-
mier; on obtient ainsi les termes successifs du quotient. Si le divi-
dende est le produit exact du diviseur par un polynôme entier, on
obtient zéro pour dernier reste, et l'opération est terminée.
( Dans chaque division partielle de monômes, il faut observer la
règle des signes, qui consiste en ce que deux term.es de même signe
donnent un quotient positif, et deux termes de signe contraire un
quotient négatif.)
46. Il peut arriver que le dividende et le diviseur contiennent
plusieurs termes affectés de la plus haute puissance de la lettre
ordonnatrice ; dans ce cas , la même circonstance peut se présenter
au quotient. Or, on a vu (59) que le groupe le plus élevé du multi-
plicande , multiplié par le groupe le plus élevé du multiplicateur,
donne le groupe le plus élevé du produit , sans réduction avec les
autres groupes. Si donc on divise le groupe le plus élevé du divi-
dende par le groupe le plus élevé du diviseur, on obtiendra le
groupe le plus élevé du quotient , lequel groupe pourra n'avoir
qu'un seul terme, mais en renfermera ordinairement plusieurs. On
multipliera le diviseur par le groupe de termes obtenus , on retran-
chera le produit du dividende, et l'on obtiendra un premier reste ,
sur lequel on opérera comme sur le dividende ; et ainsi de suite.
Le tableau ci-dessous offre un exemple du cas qui nous occupe :
Dividende.
9 à' Ix^—na'^b
+nab^
Diviseur.
+Aab'^
x''—naW^\x+16aW
— 32a^6^
x'--\-naW\x
4- ^a'b'\
3a^
—2ab
x'+6ab'x—Aa-b~
Quotient.
Sa
+26
— 4«6
V' reste. . . —nct^b \xr^ —Ua^b'^x +1661^^"^
+ 8a^6^|
+na^b \x'-+Ua'b'x
— HaW-\
■IQaW
2*= reste.
30 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
Après avoir disposé le dividende et le diviseur comme ce tableau l'in-
dique, on divise le groupe le plus élevé du dividende, c'est-à-dire
(da^—4ab-)x^ , par le groupe le plus élevé du diviseur, savoir
(Sa-—2ab)x" .Le facteur 9a^—4ab~ divisé par le facteur 3a^—2ab ,
9a'—4ab' \ Sa' — 2ab
— 9à^-]-6a^b Sa +26
+ 6a'0-4ab^
--6à'b + 4ab~
donne pour quotient 3 a + 2 ô .Et comme le facteur x" divisé
par le facteur x- donne pour quotient x , le quotient des deux
groupes considérés sera (3a + '2b)x .On écrit ce groupe de ter-
mes au quotient total, on multiplie le diviseur par ce groupe, on
soustrait le produit du dividende , et l'on obtient le premier reste.
Legroupe le plus élevé de cepremier reste est (— 12 c(;'b-}~^a-b-)xK
Pour le diviser par le groupe le plus élevé du quotient, ou par
i3a~—2ab)x' , il suffit de diviser —12 ft^ô+Sa^ft^ par Sa^—2ab,
puisque x'- divisé par x- donne l'unité. Effectuant cette divi-
sion partielle
— na'b + Sa'b'- I Sa'—<2ab
+ 12«^6— 8a^6= ~Aab
:
on trouve — 4ab , qu'on écrit à la droite du premier groupe de
termes du quotient. On multiplie le diviseur par le nouveau terme
obtenu, on soustrait le produit du premier reste; et comme on
obtient pour second resle zéro, il s'ensuit que l'opération est ter-
minée, et que le quotient total cherché est
3a X — 4ab .
+ 26
47. Remarques. I. On reconnaît que la division'ne peut s'effectuer
exactement : 1° lorsque le diviseur contient une lettre qui n'entre
pas au dividende; 2° lorsque la plus haute puissance d'une lettre
au diviseur surpasse la plus haute puissance de la même lettre au
dividende ; 3" lorsque, après avoir ordonné le dividende et le divi-
seur par rapport aux puissances, décroissantes par exemple, d'une
même lettre , quelle qu'elle soit , le premier terme du dividende
n'est pas exactement divisible par le premier terme du diviseur, ou
que le groupe de termes le plus élevé du dividende n'est pas exac-
tement divisible par le groupe le plus élevé du diviseur; 4° lorsque
le dernier terme du dividende n'est pas exactement divisible par le
dernier terme du diviseur, ou que legroupe de termes le moins
élevé du dividende n'est pas exactement divisible par le groupe le
OPÉRATIONS FONDAMliNTALES. 31
moins élevé du diviseur; 5° enfin lorsque, dans le courant de l'opé-
ration, le premier terme d'un reste n'est pas exactement divisible
par le premier terme du diviseur, ou que le premier groupe de
termes de ce reste n'est pas exactement divisible par le premier
groupe du diviseur.
II. Lorsqu'il se manifeste une impossibilité dans le courant de l'o-
pération, le reste auquel on est parvenu est ce qu'on appelle le reste
de r opération. Si l'on ajoute ce reste au produit du diviseur par
l'ensemble des termes obtenus au quotient , on doit reproduire le
dividende. '^ '
Soit , par exemple , à diviser
1 2 a-x^^ + 7a^^2 — 8 d'x + 2 à
par Aax^-\-lSd-X'-Qa^.
En opérant comme précédemment ,
12a^^»+ Ja'x'^-- ^a'x-\- 1a'\ Aax^ + 6a'x—Qa^
—1 2 g-x^ — 1 5 a^x- -|- 1 8 ol'x Zax—la'
P*^ reste — 8aV+10a*^+ 2ft-'
+ ^a^x''-\-\0a^x — \1ct
2' reste .* . . . + 20a*^— lOa^
on obtient d'abord au quotient les deux termes ^ax et — 2 a' ;
puis l'on parvient à un second reste 20a*.r — lOa-^ dont le premier
terme n'est pas divisible par le premier terme du diviseur, puisqu'il
contient la lettre ordonnatrice à une puissance moindre. Il en ré-
sulte que l'opération ne peut s'effectuer exactement , et que le divi-
dende est égal au produit du diviseur par ^ax — 2 a^ , augmenté
du reste 10a*x — lOa^ ; ce qu'il est facile de vérifier.
48. Nous placerons ici quelques théorèmes de calcul , dont on
fait assez souvent usage , et qui se rattachent à la division.
I. Soit le binôme x"^ — a^ , dans lequel m désigne un
nombre entier quelconque. Proposons-nous de diviser ce binôme
par le binôme x — a .
^m ^m j ^ ^
—x"^ + ax"^-^ "^ "♦-^4- ax"^-^ -f g-yg"'-^ + etc . . .+ a^-^
-\-ax'^-^—a"'
-j-a^cz;"'-- — a"*
+ a"' — a"' ou zéro.
52 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
Ces binômes étant ordonnés par rapport aux puissances décrois-
santes de X , divisons le premier terme ^"' du dividende par
le premier terme x du diviseur. Le quotient partiel sera x
affecté d'un exposant égal à la différence entre ?w et 1 , c'est-à-
dire a;"— ^ . Multipliant le diviseur par ce terme, et soustrayant
le produit du dividende, on obtient pour premier reste -j-«x"'-^ — a'".
Divisons «a?'"-^ par x , le quotient sera +«^'"-- , puisque
l'exposant de x devra être diminué d'une unité. Multipliant le
diviseur par ce terme, et soustrayant le produit du dividende, on
obtient pour second reste 4-^^"--— «'" ; et ainsi de suite.
Or, si l'on examine ces restes successifs, on reconnaît que, dans
leur premier terme, l'exposant de a va sans cesse en augmentant
d'une unité d'un reste à l'autre, tandis que l'exposant de x va en
diminuant d'une unité ; de sorte que la somme des deux exposants
reste toujours égale à m . Il viendra donc un moment où l'exposant
de^ « sera devenu m , tandis que x aura disparu; en sorte
qu'à cet instant on aura pour reste a'^—cr ou zéro. D'où il ré-
sulte que : X'" — a"' est diviblepar x— a .
Quant au quotient, il est facile à retenir. Tous ses termes sont
positifs , et ont pour coefficient l'unité ; l'exposant de x va en
diminuant d'une unité d'un terme à l'autre; celui de a va en
augmentant d'une unité. Le premier terme est ^'"-^ . Quant au
dernier, on le trouvera en remarquant que les termes consécutifs
(lu quotient ne sont autre chose que les premiers termes des restes
successifs dans lesquels l'exposant de a; a été diminué d'une
unité ; or, le reste qui précède a'"— a'» , est, d'après la loi des
exposants -^-a'^-^x—a"^ ; le terme correspondant du quotient
est donc + «'"-^ ; et ce terme est le dernier, puisque le reste
suivant est zéro.
On démontrerait d'une manière analogue que :
IL x'^—a^ est divisible par x-\-a lorscjue m est pair.
IIL x'^ + a'^ est divisible par x-{-a lorsque m est im-
pair.
IV. x'' -L- a"^ n'est jamais divisible par x — a.
Nous engageons le lecteur à développer lui-même la démonstra-
tion de chacun de ces théorèmes. (Voy. le n° 592.)
§ V. Des fractions algébriques.
49. Lorsqu'une division est impossible, on se contente de l'in-
diquer : pour cela on écrit le diviseur au-dessous du dividende en
les séparant par un trait horizontal appelé barre de division (11).
DES FRACTIOINS ALGÉBRIQUES. ^3
Ainsi , dans l'exemple du n» 47, lorsque l'on est parvenu au reste
^Oa'x — lOaP , l'opération ne pouvant être continuée, on indique-
rait le quotient de ce reste par le diviseur, sous la forme
Aax^-\-ba^x—Qa?
et cette expression serait ce qu'il faut ajouter au quotient déjà ob-
tenu pour le compléter.
Une expression de cette forme est ce qu'on nomme une fraction
algébrique; mais le sens qu'on attache ici au mot fraction n'est point
le même qu'en arithmétique. Dans une fraction ordinaire, en effet,
les deux termes sont nécessairement entiers ; dans une fraction al-
gébrique, au contraire, les deux termes peuvent prendre des va-
leurs quelconques, entières ou fractionnaires , par suite des valeurs
particulières attribuées aux lettres qui y entrent. (Ils peuvent
même prendre des valeurs négatives , mais nous faisons abstraction
de ce cas dans le présent chapitre.) On ne doit donc entendre par
fraction algébrique qu'un quotient dans lequel le dividende prend
le nom de numérateur, et le diviseur celui de dénominateur.
Le calcul des fractions algébriques a d'ailleurs la plus grande
analogie avec celui des fractions ordinaires.
oO. On ne change pas la valeur d'une fraction algébrique en mul-
tipliant ou en divisant à la fois ses deux termes par une même
quantité.
Supposons, en effet, pour fixer les idées, que, par suite des va-
leurs attribuées aux lettres qui entrent dans la fraction algébrique,
son numérateur prenne la valeur - et son dénominateur la va-
5
7
leur ~ , la valeur de la fraction sera le quotient de ces deux ex-
pressions fractionnaires , c'est-à-dire
6 Xll
5X7 •
Concevons maintenant que l'on multiplie les deux termes ? et
7
jY par une même quantité qui ait la valeur ~ ; ces deux termes
deviendront respectivement ^-^ et ^^^ ; leur quotient
deviendra donc
6X4X11X3
5X3X7X4
34 PKEMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 11.
OU , en supprimant les facteurs communs 4 et 3 ,
6X11
5X7 '
c'est-à-dire que le quotient n'a pas changé.
On démontrerait de la même manière que le quotient ne change
pas si l'on divise les deux termes par une même quantité.
Ainsi les expressions
2a A^ 4a^— 'lab
Sb ' Qab ' 6ab—Sb' '
sont des fractions équivalentes ; car on obtient la seconde en mul-
tipliant les deux termes de la première par 2a , et la troisième
en multipliant les deux termes de la première par 2a — b ; ou
bien on obtiendrait la première en divisant les deux termes de la se-
conde par 2ft , ou les deux termes de la troisième par 2a — b .
ôl. Pour simplifier une fraction, il faut supprimer les facteurs
communs à ses deux termes. Ces facteurs sont faciles à apercevoir
si les deux termes sont monômes.
Soit, par exemple , la fraction
48a^6V
QOa^bx' '
on aperçoit sur-le-champ que les deux termes sont divisibles par
l'ia^bx'* ; et, en effectuant la division, il vient
4ab
Si les deux termes sont polynômes , il faut chercher les facteurs
communs à tous les termes de chaque polynôme , et les mettre en
évidence (44) ; on aperçoit alors facilement les facteurs monômes
qui peuvent être communs aux deux termes, de la fraction. Quant
aux polynômes mis entre parenthèses, il arrive quelquefois qu'ils se
décomposent à vue en facteurs polynômes plus simples, et que cette
décomposition met en évidence des facteurs polynômes communs
aux deux termes de la fraction.
Soit , par exemple , la fraction
S6a'b^—36aW
bWb^—lOSaW+àia^b' '
Le numérateur peut se mettre sous la forme
36tt^6«(a«— 6^^
ou , en vertu de ce qu'on a vu au n° 56,
36a»6'(a-f-6)(a — 6) .
DES FKACTlOr^S ALGÉBRIQUES. 35
Le dénominateur peut s'écrire
ou , en vertu de ce qu'on a vu au lieu cité ,
La fraction proposée peut donc se mettre sous la forme
ZQa^b\a-{-b){a—b)
b4a^b\a-~b)(a—b) *
On reconnaît alors que ses deux termes sont divisibles par 18 aW-
et par (a — b) ; supprimant ces facteurs communs , il reste
2a(a-{-b) 2a^-i-2ab '
Sb(a — b) ^" Sab+Sb^ '
L'habitude de ces transformations est d'un grand secours dans les
calculs algébriques.
o2. Si l'on a une fraction algébrique jointe à une quantité en-
tière, on peut réduire le tout en une seule expression fractionnaire
d'après les mêmes règles qu'en arithmétique. En effet, il est clair
qu'on ne change pas la valeur de la quantité entière en la multi-
pliant et en la divisant en même temps par le dénominateur de la
fraction; on obtient ainsi deux quantités fractionnaires de même
dénominateur; et l'on peut les réunir en une seule, en faisant la
somme des numérateurs et donnant à cette somme le dénominateur
commun ; car diviser une somme revient à diviser ses parties et à
faire la somme des quotients.
Soit, par exemple , l'expression
4b+^.^^^ ou u + ^'-^'^ + ^'
on aura successivement
Aab-\-a'—'lab + b^ a^+2ab4-b^ •
J — ou — ■ ^ —
a a
ou enfin (56) (a+àY ^
a
Réciproquement : lorsqu'on a une expression fractionnaire dans
laquelle, le numérateur et le dénominateur étant ordonnés par rap-
port aux puissances d'une même lettre, le premier terme du numé-
rateur est exactement divisible par le premier terme du dénomina-
teur, on peut opérer une ou plusieurs divisions partielles, qui
fourniront un quotient partiel entier, et l'on complétera ce quotient
par une fraction ayant pour numérateur le reste et pour dénomina-
J6 PREMlfeKE PAiniE. -— CHAPITRE II.
teur le diviseur, c'est-à-dire le dénominateur de Texpression pro-
posée.
Soit , par exemple , la traction
4ax^+5a^x — 6a^
On a vu au n" 47 que si l'on divise le numérateur par le dé-
nominateur on obtient pour quotient 3ax — 2r6' et pour reste
20tt^^ — iOa^ . On pourra donc mettre la fraction proposée sous
la forme
Soit de même la fraction
(a—bf u-—2ab + b'
a — 2b a— 2b
Effectuant la division , on obtient pour quotient a et pour
reste ^' ; on peut donc écrire la fraction proposée sous la forme
''+7r^b '
Ces diverses transformations sont au nombre de celles dont l'Al-
gèbre fait un plus fréquent usage , soit dans la solution des pro-
blèmes, soit dans la démonstration des théorèmes de calcul.
o5. Pour additionner deux fractions algébriques de même déno-
minateur, il suffit évidemment d'additionner les numérateurs et de
donner à la somme le dénominateur commun ; puisque , comme
nous l'avons rappelé déjà , diviser une somme est la même chose
que de diviser séparément les parties et de faire la somme des quo-
tients.
Si les fractions à additionner n'ont pas le même dénominateur,
on les réduira au même dénominateur en multipliant les deux termes
de chacune par le produit des dénominateurs de toutes les autres,
ce qui ne changera pas leur valeur (i>0) .
Soit, par exemple, à additionner les fractions
a^—ab a^-\-ab a- — b"-
a-\-b ' a^b ' a
Multipliant les deux termes de la première par a — b et par a ,
les deux termes de la seconde par a-\^b et par a , et les deux
termes de la troisième par a-\-b et par a — b , elles devien-
dront :
^*_-2a^/> + rr6- a}Ar2d'b^LHr fV — 2a-b' -\- b ' .
a^^a'b ' a' — a'b ' a'—aV)
DES FRACTlOiNS ALGÉBRIQUES. 37
ajoutant les numérateurs, et donnant à la somme le dénominateur
commun, il viendra, après réductions,
d'—cC-b '
Si les dénominateurs des fractions proposées ont des facteurs
communs , on peut obtenir un dénominateur commun plus simple
que le produit des dénominateurs. Pour cela, on suivra la même
marche qu'en arithmétique ; ayant décomposé les dénominateurs en
facteurs aussi simples qu'on le pourra , on fera le produit de tous
ces facteurs simples , en affectant chacun de son plus haut exposant;
on aura ainsi le dénominateur commun. On le divisera par le déno-
minateur de chaque fraction , et l'on multipliera son numérateur
par le quotient obtenu. On aura ainsi les nouveaux numérateurs,
sous lesquels on écrira le dénominateur commun. Les fractions
étant ainsi réduites au même dénominateur , on les additionnera
comme ci-dessus.
Soient , par exemple , les fractions :
M N P
na'x — na'bx ' ISa'bx+lSaWx ' Md'x' — 24aW-x'' '
dans lesquelles M , N , P représentent des numérateurs quel-
conques.
Les dénominateurs peuvent se mettre sous la forme :
^\^.a\x.ia—b) , 2.3\a\b.x.ia+b) , 2\3.a\x\{a-\-b){a-~-b);
on devra donc prendre pour dénominateur commun
2\S\d\b.x\{a-\-b)(a — b)
ou llébx'—lld'b^x''
Le quotient de ce dénominateur commun par le dénominateur de
la première fraction est '±.'^.b.x.{a-\-b) ou ^ahx-\-^Wx ; c'est
par ce quotient qu'il faudra multiplier le numérateur M .
Le quotient du dénominateur commun par le dénominateur de
la seconde fraction est T'.a.x.ia — b) ou Ac?x — Aabx ; c'est par
ce quotient qu'il faudra multiplier le numérateur N .
Le quotient du dénominateur commun par le dénominateur de la
troisième fraction est S.a^.b ; c'est par ce quotient qu'il faudra
multiplier le numérateur P .
Les fractions proposées pourront donc s'écrire :
M{6abx-\-6b^x) ^{4a^x — 4abx) Sa'bV
72a'bx-—7'la'b'x'- ' 72a'bx'—72a'b'x' ' 72a^bx^—72M'x^ '
et maintenant qu'elles ont le même dénominateur, il ne resterait
qu'à faire la somme des numérateurs et à donner à cette somme le
dénominateur commun.
38 PREMltRE PARTIE. — CHAPITRE II.
o4. Pour soustraire l'une de l'autre deux fractions algébriques,
on commence par les réduire au même dénominateur, on soustrait
le numérateur de l'une du numérateur de l'autre , et l'on donne à
la différence le dénominateur commun.
Soit, par exemple, à soustraire de ^—^ la fraction ^^~^ ;
a — a-\- b
ces fractions réduites au même dénominateur deviennent respecti-
vement ^^,__,r et ^,_,î .
Si du premier numérateur on retranche le second, on trouve
pour reste 4 ab ; donnant à cette différence le dénominateur com-
mun , il vient
4ab
S^. Pour multiplier l'une par l'autre une fraction algébrique et
une quantité entière , il suffit de multiplier le numérateur de la
fraction par la quantité entière et de donner au produit le dénomi-
nateur de la fraction.
Concevons , en effet , que par suite des valeurs attribuées aux
lettres, le numérateur de la fraction prenne la valeur - et son
o
7
dénominateur la valeur -j ; concevons de même que la quantité
algébrique entière prenne la valeur numérique fractionnaire - .
La fraction algébrique aura pour valeur le quotient de - par - ou
•r-— ^ ; et le produit de cette quantité par - sera X^X^
3X7 ^ ^ »^ 9 3X7X9
Multiplions maintenant le numérateur - _ de la fraction algé-
2 5 V 2
brique par la quantité ^ , le produit sera -^— - ; si nous lui
7
donnons pour dénominateur j , le résultat sera le quotient de
5X2 7 5X2 X4
^^^ par ^ ou bien ^^^ ; résultat qui ne diffère de
celui que nous avons obtenu d'abord , que par l'ordre des facteurs,
lequel ordre est , comme on sait , indifférent.
Soit, par exemple, à multiplier g_ par a— b ,1e
, .. ab{a — b) abia — b) ^ ab
produit sera — ^ — — -' ou , , ).. — ^— , ou enfin -V? •
o} — b~ (a-\-b){a — b) a + 6
DES FllACTIONS ALGÈBUlQUIiS. 39
On aurait pu , au lieu de multiplier le numérateur de la fraction
par la quantité entière, diviser son dénominateur, le résultat eût été
le même; c'est ce qu'on démontrerait facilement comme ci-dessus.
Remarque. Pour multiplier une fraction algébrique par son déno-
minateur, il suffit de le supprimer. Soit, en effet, pour plus de
simplicité, la fraction t ; si on la multiplie par 6, on aura , d'après
Ja règle précédente -r- , ou , en effectuant la division indiquée ,
a simplement, résultat auquel on fût parvenu en supprimant le dé-
nominateur.
S6. Pour multiplier deux fractions algébriques l'une par l'autre,
il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs
entre eux.
Supposons , en effet , que le numérateur de la première fraction
6 7
ait la valeur - et son dénominateur la valeur -r ; que le nu-
2
mérateur de la seconde ait pour valeur - et son dénomina-
y
teur -r- . La première fraction aura pour valeur le quotient
o
5 7 5x4
de - par -7 ou - — zj . La seconde fraction aura pour va-
3 ^ 4 3X7 ^
2 11 2X8
leur le quotient de - par — ou ^ . Le produit des
5X4X2X8
deux fractions a donc pour valeur o v/ -y ^^ o v/ 1 1
oX/ X"X 11
5 2
Multiplions maintenant entre eux les numérateurs - et - des
5X2
fractions algébriques proposées, le produit sera tj— ^ ; multiplions
oX"
de même leurs dénominateurs v et -q- ; le produit sera . ,
La fraction algébrique qui aura pour numérateur le produit des
numérateurs des fractions proposées , et pour dénominateur le pro-
5X2
duit de leurs dénominateurs sera donc le quotient de o^n P^'^
'-^ '-'''- S^^Tl ; résultat qui ne diffère de
celui que nous avions obtenu d'abord que par l'ordre des facteurs
r> .. , V ,.. 1. Qab a-\-b ,
Soit, par exemple, a multiplier -ttâi P^^ "o — ' ^^ P^^'
3/;
hO PHEMIËRE PARTIE. — CHAPITRE IL
duitsera _ .- ' , ^ ou r—- — r~j-j — ~ , ou enfin . .
2«(«' — b^) 2a{a-\-b){a — 6) a — b
La même règle s'étendrait sans peine à un nombre quelconque
de fractions.
07. On démontrerait comme ci-dessus : 1° Que pour diviser une
fraction algébrique par une quantité entière, il faut multiplier son
dénominateur par cette quantité entière (ou diviser son numérateur
si cela est possible).
a- — b^ a^ — b^ •
Exemple. Le quotient de —r — par a — b est x—, Tx
^ 2a ^ 2«(a — b)
(a-\-b){a—b) ^ a-\-b
ou • ' / ,, , ou enfin — -! — .
2a[a — b) 2a
S*» Que pour diviser une quantité entière par une fraction , il faut
multiplier la quantité entière par le dénominateur de la fraction , et
diviser le produit par le numérateur.
. . , ,. ab + b'- , {a?—b^)2a
Exemple. Le quotient de a^ — b^ par — ^ — est , , ^^
{a+b)(a—b)2a ia—b)2a p 2a^—2ab
°" (,+6)// '«-^ — ^ '°"'^"«" -T— •
3° Que pour diviser une fraction algébrique par une autre , il faut
multiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.
. , j 2a^x—2b^x 4ab^—4b^
Exemple. Le quotient de —7 par — — ^j — est
{2a^x—'2b^x).l6ax 2 .^ .5 . a . x\{a + b){a — b)
5ab{Aab''^4b') ^" 2^ 5 .a . 6^(a — 6)
„ 3 x'{a+b)
enfin —j^— •
Ces règles sont faciles à retenir, puisque , comme on a pu le re-
marquer, elles sont exactement les mêmes qu'en arithmétique.
08. Si l'on avait à multiplier ou à diviser des expressions algé-
briques formées d'une partie entière et d'une fraction , on com-
mencerait par réduire la partie entière et la fraction en une seule
expression fractionnaire (52); on opérerait ensuite comme pour des
tractions.
Soit, par exemple, à diviser 3a par -r— « . Ces deux
, 3«^— 36' ^ a^ — ab , ,. ,
expressions reviennent a et — ^ — . Leur quotient
(3 a*— 36^)6 ,. 36 (a + 6) (a — 6) n
est donc ^—-. ^r- , ou bien -^-j- — vr , ou entin
a(a^ — ab) a\a — 0)
36(a + 6)
a*
PBEMlÈRl; PARTIE. 41
CHAPITRE m.
DES lÉQVATIOXS ET DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ.
§ I. Notions générales sur les égaillés.
59. On a vu au n"' 14 que pour exprimer que deux quantités sont
égales , on les écrit à la suite l'une de l'autre en les séparant par le
signe = , Deux expressions algébriques séparées par ce signe for-
ment ce qu'on appelle, en général, xmQ égalité; et les quantités
placées de part et d'autre du signe sont les deux membres de l'é-
galité. Par exemple :
3/p \
a-{-b = c — d ; {x — à){x-\-a)=:x^ — a^ ; — - — =4
o
sont des égalités. La quantité a-\- b est le premier membre de la
première ; c — d en est le second membre ; et ainsi des autres.
Mais ces égalités sont , comme on va le voir, d'espèces très-dif-
férentes.
I. Il peut arriver que, dans un problème où figurent des quantités
données a ^ b , e , d auxquelles on n'attribue pas de valeurs par-
ticulières , ces quantités soient néanmoins assujetties, par la nature
même de la question, à satisfaire à la condition
a-\- b = c — d ;
cette condition serait plus particulièrement une égalité^ ou une
simple relation.
II. L'égalité {x — a) {x -\- a) = x'^ — a^
se distingue de la précédente en ce que , si l'on effectue les calculs
indiqués, le premier membre devient identiquement égal au second
x^ — a'^ = x^ — a* .
Elle jouit, en conséquence, de la propriété caractéristique d'être
satisfaite quelles que soient les valeurs qu'on attribue aux lettres
qui y entrent. Si, par exemple, on remplace x par 2 et « par 1 ,
elle donne :
(2-'l)(2+l) = 22 — 1^ ou 1x3 = 4—1 ou 3=:3 .
U1 PREMIÈRE PARTir. — CHAPITRE III.
Si l'on remplace x par 5 et a par 2 , elle donne :
(5 — 2)(5+2) = 5^— 2- ou 3X7=25—4 ou 21 = 21
si l'on remplace x par - et a par 1 , elle donne :
3
(l-')(H=©'
1 7 Ifi 7 7
1' °" 3X3=9--^ '^" 9=9
et ainsi de suite.
Les égalités de cette espèce portent le nom d'identités.
m. L'égalité ^^F^ = ^
est satisfaite lorsqu'on y remplace ^ par 11 ; car 3 fois 11 font
33 ; 33 — 1 font 32 ; 32 divisé par 8 donne bien 4 . Mais
cette égalité cesserait d'être vérifiée si l'on y mettait à la place de x
toute autre valeur que le nombre 11 .
On donne le nom d'équation à toute égalité de cette espèce , ex-
primant une relation entre une quantité inconnue et des quantités
données, et qui ne peut être satisfaite que par certaines valeurs dé-
terminées de l'inconnue.
(Nous considérerons plus tard le cas où il y a plusieurs inconnues.)
Remarque. On peut remarquer que les simples relations d'égalité
deviennent des équations lorsqu'on y regarde comme inconnue
l'une des lettres qui y entrent. Si, par exemple, dans la relation
a-\- b = c — d
trois seulement des quantités a , b , c , d étant supposées don-
nées b , c , d , par exemple, on se proposait d'en déduire la
quatrième, a , cette simple relation d'égalité deviendrait une équa-
tion où a serait l'inconnue.
60. On peut faire subir aux égalités toutes transformations qui
n'empêchent pas les deux membres de rester égaux ; ainsi, on peut
ajouter une même quantité aux deux membres, soustraire une
même quantité des deux membres, multiplier les deux membres
par une même quantité, diviser les doux membres par une même
quantité.
I. Les deux premières propriétés servent 2i faire passer un terme
d'un mem,bre dans un autre , transformation qui est très-fréquem-
ment employée. Pour l'effectuer, il suffit d'effacer du membre où il
était le terme que l'on veut changer de membre, et de l'écrire dans
l'autre avec un signe contraire à celui qu'il avait.
Prenons pour exemple l'égalité
a-\-b=:c — d
et supposons qu'on veuille faire passer le terme b dans le second
NOTIONS SUR LES ÉGALITÉS. /l3
membre. Si, d'abord, on l'efface dans le premier, comme il était ad-
ditif, on diminue ce membre de la quantité h ; pour ne pas trou-
bler l'égalité, il faut donc diminuer aussi le second membre de h ,
ce qui se fera en y écrivant — 6 . On aura ainsi :
a=zc — d — b
Supposons maintenant qu'on veuille faire passer le terme d du
second membre dans le premier. Si d'abord on l'efface dans le se-
cond , comme il était soustractif , on augmente ce second membre
de la quantité d ; pour ne pas troubler l'égalité, il faut donc aug-
menter aussi le premier membre de d , ce qui se fera en y écri-
vant -\-d ; ei l'on aura :
a-{-d=^c — h .
Ainsi , pour faire passer un terme d'un membre dans un autre il
faut changer son signe.
Remarque. Cette faculté de faire passer un terme d'un membre
dans un autre , permet de réduire entre eux les termes semblables
qui se trouvent dans les deux membres. Ainsi l'égalité
Sa^—6ab-{-b^==2a^ + 2ab — l5b^
peut s'écrire Sa^—6ab-\-b^ — 2a^--2ab-\-l6b^=0
ou, plus simplement , a^ — ^ab-{-16b^=0.
Lorsqu'un même terme se trouve dans les deux membres avec le
même signa, on peut le supprimer de part et d'autre ; car cela re-
vient à retrancher une même quantité aux deux membres si ce
terme est additif, ou à l'ajouter aux deux membres s'il est soustractif.
Ainsi l'égalité a^—4ab + b^:=b^-'4ab + c'-
revient à a^=c^ .
61. II. La troisième propriété, qui permet démultiplier les deux
membres par une même quantité , sert a faire disparaître les déno-
minateurs lorsqu'il y en a. Pour cela, on commence par réduire
tous les termes de l'égalité, tant entiers que fractionnaires, au
même dénominateur (52 , 55) ; il est alors permis de supprimer ce
dénominateur, car cette suppression revient à multiplier tous les
termes de l'égalité , et par conséquent les deux membres , par ce
dénominateur même (55, Rem.).
Soit , par exemple , l'égalité
6« , d^
a =c-\ — ,
a ' c '
en réduisant tous les termes au même dénominateur ac , on a
d'abord
a^c b'c ac^ .ad}
ac ac ac~^ ac '' ' ■
UU PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
et, en supprimant le dénominateur commun, ce qui revient à
multiplier tous les termes par ac , il vient
a^c — b-c=ac'-\-acP ,
kinsi , pour faire disparaître les dénominateurs d'une égalité, il
suffit de réduire tous les termes au même dénominateur, et de sup-
primer ensuite le dénominateur commun.
62. 111. La quatrième propriété , qui permet de diviser les deux
membres par une même quantité , sert à supprimer les facteurs
communs aux deux membres, quand il s'en trouve. Cette suppres-
sion simplifie les calculs. Soit pour exemple l'égalité
4a^ — Sa'b+4ab^ = 6a^b — eb'' ,
si l'on met en évidence (44), dans chaque membre, les facteurs
communs à tous les termes , il vient
4a{a^—'2ab + b'^) = 6b{à'—b')
ou 4aia'-bf = 6b(a-^b){a—b) .
Sous cette forme, on voit que les deux membres sont divisibles par
*2(û — b) . Effectuant cette division , il reste l'égalité plus simple.
2a{a — b)=3b(a + b)
ou 2ft' — 2a6=3«6 + 36' .
65. Ces diverses transformations s'appliquent aux équations
comme aux autres espèces d'égalités. On peut démontrer, de plus,
que, sauf certaines restrictions que nous aurons soin de signaler,
elles n'altèrent pas les valeurs de l'inconnue , c'est-à-dire celles qui,
mises à la place de l'inconnue , rendent le premier membre égal au
second (o9, 111).
Les équations qui , sous des formes différentes , sont néanmoins
satisfaites par les mêmes valeurs de l'inconnue,, sont dites équiva-
lentes.
On peut d'abord, sans changer les valeurs de l'inconnue , ajouter
une même quantité aux deux membres. En effet , soit, par exemple,
l'équation
ax* — bx=zcx — d [1],
ajoutant aux deux membres une même quantité m ; nous aurons
(ax*^bx)-{-m=(cx—d)-\-m [2],
équation où nous avons à dessein enveloppé de parenthèses les
membres de l'équation primitive. 11 est clair que si une certaine
valeur attribuée à x satisfait à l'équation [1], elle satisfera aussi
à l'équation [2] ; car les quantités entre parenthèses étant égales de
part et d'autre, puisqu'on suppose l'équation [1] satisfaite, ces
NOTIOINS SUR LES ÉGALITÉS. 45
quantités, augmentées chacune de m , sont encore égales. Réci-
proquement : si une certaine valeur mise pour x vérifie l'équa-
tion [2], elle vérifiera aussi l'équation [1]; car, pour que les deux
membres de l'équation [2] deviennent égaux , comme ils ont une
partie commune m , il faut que les parties non communes, mises
entre parenthèses, deviennent égales elles-mêmes; or, ces quan-
tités ne sont autre chose que les deux membres de l'équation [1] ;
donc cette équation est vérifiée. Les deux équations [1] et [2] ad-
mettent donc exactement les mêmes valeurs ; ce qui démontre la
proposition énoncée.
On démontrerait de la même manière que Von peut, sans changer
les valeurs de l'inconnue, retrancher une niêrne quantité aux deux
membres.
Il résulte de ces deux propriétés que l'on peut , sans changer les
valeurs de l'inconnue, faire passer un terme d'un membre da?is un
autre [en changeant son signe, comme il a été dit plus haut (60, 1)].
64. On peut , sans changer {en général) les valeurs de l'incon-
nue, multiplier les deux membres d'une équation par une même
quantité.
Soit encore l'équation
axr — bx = cx — d [1].
En multipliant les deux membres par une même quantité m ,
on obtient
(ax- — bx)m = {cx — d)7n [2].
Si une certaine valeur mise pour x satisfait à l'équation [1] ,
elle satisfera à l'équation [2] ; car les deux membres de l'équa-
tion [1] devenant égaux, il en est de même des facteurs entre pa-
renthèses dans les deux membres de l'équation [2] ; et comme le
second facteur m est le même de part et d'autre , les produits
sont égaux; c'est-à-dire que l'équation [2] est vérifiée.
Réciproquement : si une certaine valeur mise pour x satisfait
à l'équation [2], c'est que ses deux membres deviennent égaux; et
comme ils ont le facteur commun m , il faut que les facteurs
entre parenthèses deviennent égaux. Or ces facteurs ne sont autre
chose que les deux membres de l'équation [1] ; donc cette équation
est vérifiée.
Les équations [1] et [2] sont donc satisfaites par les mêmes va-
leurs de X , ce qui démontre la proposition énoncée.
Remarques. L Cette démonstration suppose essentiellement que
le facteur in introduit n'est pas nul ; et il faut admettre par con-
séquent qu'il ne contient pas l'inconnue x . S'il la contenait , il
serait possible de trouver une valeur de x qui annulât le fac-
^6 PRExMlÈRE PAKTIË. — CHAPITIŒ 111.
teur m ; cette valeur annulant par suite les deux membres de
l'équation [2], cette équation se trouverait satisfaite; tandis qu'il
arriverait en général que l'équation [1] ne le serait pas. Ces deux
équations ne seraient pas alors équivalentes :
Soit , par exemple , l'équation très-simple
^• + 1 = 4;
multiplions ces deux membres par a;— 1 , il viendra
x^ — \z=Ax — A .
Cette équation est vérifiée par la valeur 1 , qui annule le facteur
introduit x — 1 ; tandis qu'il est facile de s'assurer que cette
même valeur 1 ne satisfait pas à l'équation primitive.
II. Il y a cependant une exception à cette exception ; c'est-à-dire
que la proposition générale subsiste lorsque le facteur par lequel on
multiplie les deux membres d'une équation est le dénominateur
commun à tous ses termes, qu'il contienne ou non l'inconnue.
Cela tient à ce que la suppression du dénominateur commun ,
bien qu'elle soit équivalente à une multiplication (o3 et 61), n'in-
troduit pas réellement de facteur dans l'équation résultante, si l'on
a pris le plus petit dénominateur commun, comme il est facile de
le faire dans les cas qui se présentent ordinairement. Mais de plus
amples détails sur ce sujet seraient ici hors de propos.
Il résulte de la proposition précédente et de la dernière remarque
que Von peut , sans changer les valeurs de l'inconnue, faire dispa-
raître les dénominateurs d'une équation.
05. On démontrerait exactement de la même manière que l'on
peut, sans changer les valeurs de l'inconnue, diviser les deux
membres d'une équation par une même quantité; et, par conséquent,
supprimer les facteurs communs aux deux membres.
Il ftmt cependant faire ici la même restrictipn que ci-dessus , et
supposer que le facteur supprimé n'est pas nul , et qu'il ne contient
pas l'inconnue. S'il la contenait , on pourrait trouver une valeur de
l'inconnue qui annulât ce facteur et satisfît par suite à l'équation
primitive , sans satisfaire pour cela à l'équation résultant de la sup-
pression du facteur. C'est ainsi que l'équation :
x^—\=zAx — A
dans laquelle ces deux membres sont divisibles par x — 1 , est
satisfaite par la valeur 1 qui , mise pour x , annule ce facteur
commun et par suite les deux membres ; tandis que cette même
valeur 1 ne satisfait pas à l'équation
x + l = A
qu'on obtient en supprimant le facteur x — 1 .
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. Ul
66. Les équations à une seule inconnue se distinguent les unes
des autres par leur degré; on nomme degré d'une équation, le plus
haut exposant de l'inconnue lorsqu'on a fait disparaître les dénomi-
nateurs, effectué les calculs indiqués, et opéré la réduction des
termes semblables (60) .
L'équation 3 ^' -j- 1 = 4 — 2x est du premier degré , parce que
le plus haut exposant de x est l'unité.
L'équation ax'^ — bx = cx — d est du second degré, parce que
le plus haut exposant de a; est 2 .
L'équation ax"- -\- bx'' z= c est du quatrième degré, parce que le
plus haut exposant de x est 4 . Et ainsi de suite.
L'équation {x — af — x^=zW
qui paraît du second degré au premier abord , n'est réellement que
du premier , parce que , lorsqu'on a développé (x — af et fait la
réduction des termes semblables , il reste :
L'équation ax
1ax — h^ .
' X
au contraire,' dans laquelle x n'entre qu'à la première puissance ,
est réellement du second degré , parce que , lorsqu'on a fait dispa-
raître les dénominateurs, elle devient :
ax^ -\-h=^cx
où X entre avec l'exposant 2 .
Nous ne nous occuperons d'abord que des équations du premier
degré.
On distingue encore les équations en équations numériques et en
équations littérales, suivant que les quantités données qui y entrent
sont exprimées par des nombres ou représentées par des lettres.
% II. De la résolution des équations du premier degré a une seule inconnue.
67. Résoudre une équation, c'est déterminer les valeurs qui,
mises à la place de l'inconnue, rendent le premier membre égal au
second, et changent par conséquent l'équation en identité.
Pour résoudre une équation, on cherche à la transformer en une
équation équivalente (65) , dans laquelle l'inconnue soit seule et à
la première puissance dans un membre , l'autre membre ne conte-
nant que des quantités connues. Si, par exemple, en opérant de cette
manière, on arrive à une équation telle que ^=4 , comme cette
équation est évidemment satisfaite quand on y remplace x par 4 ,
il s'ensuit que le nombre 4 est une valeur de l'inconnue , puis-
que cette valeur satisfait à l'équation proposée qui, par hypothèse,
est équivalente à a; = 4 .
68 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 111.
Si, de même, on parvient à une équation telle que x=a — b ,
il s'ensuit que a — b est la valeur de l'inconnue.
Pour résoudre une équation quelconque du premier degré à une
seule inconnue, on suit une marche uniforme que l'on peut résumer
de cette manière :
1° Faire disparaître les dénominateurs (61).
2° Effectuer les multiplications indiquées, s'il y en a.
3° Faire passer dans un même membre tous les termes qui con-
tiennent l'inconnue, et dans l'autre membre tous les termes qui en
sont indépendants (60).
4° Opérer la réduction des termes semblables (22).
Il convient de choisir le membre où l'on réunit les termes affect s
de l'inconnue, de manière que, si les facteurs qui multiplient
l'inconnue sont numériques, l'ensemble des termes positifs l'em-
porte sur l'ensemble des termes négatifs, et que, si ces facteurs sont
littéraux, il y ait au moins un terme positif; ce qui sera toujours
possible.
5° Mettre l'inconnue en facteur commun (44) dans le membre où
elle se trouve (s'il y a plusieurs termes affectés de l'inconnue qui
n'aient pu se réduire).
6° Diviser les deux membres par la quantité qui multiplie l'in-
connue (Go).
De cette manière, on aura passé par une suite d'équations équi-
valentes (05), dont la dernière présentera l'inconnue seule dans un
membre et des quantités connues dans l'autre; c'est-à-dire que l'on
aura obtenu la valeur de l'inconnue.
Soit pour premier exemple l'équation numérique :
1x — \ o_ J^+3
Faisant disparaître les dénominateurs , nous aurons
2jrX8 — 8 — 3X5X8=a;X54-3X5 .
Effectuons les multiplications , l'équation deviendra
16^ — 8 — 120==5^ + 15 .
Faisons passer dans le premier membre tous les termes en x , et
dans le second tous les termes indépendants de x , il viendra
16^ — 5^ ==15 + 8 + 120 ;
ou , en faisant la réduction des termes semblables ,
11^ = 143 .
Divisons les deux membres par le nombre . 1 1 qui multiplie x ,
nous aurons enfin
143
X = — — • , ou , en effectuant la division , x = \Z ,
EQUATIOISS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. U9
On peut vérifier , en effet , que si dans l'équation proposée on
met 13 à la place de x , chacun des deux membres se réduit
à 2 ; en sorte que l'équation est satisfaite.
Soit pour second exemple l'équation littérale
2x-\-Sb _ x — ^a
^-" ' "• -■'■■■' a-\-b ~~ a — b "^ *
Faisons disparaître les dénominateurs, nous aurons
{1x-{-^b){a—b) = {x — ^a){a+b)-\-b [a + h) {a — b) ,
ou, en effectuant les multiplications indiquées,
1ax-\-%ab-'1bx—'èb''=ax — 1a^-^bx — 1ab-\-Da^ — ^b^ .
Faisons passer dans le premier membre tous les termes affectés
de X , et dans le second tous les termes indépendants de x , il
viendra
'•lax — 1bx — ax — bx — — 'îla' — 1ab'+ba'~bb'—%ab-\-%b^ ,
ou, en opérant la réduction des termes semblables,
ax — ^bx = ^d^ — \Qab + Zb^ .
Mettons x en évidence dans le premier membre , l'équation
prendra la forme
(a — Sb)x=2Sa^ — 10ab-{-Sb^ .
Divisons enfin les deux membres par la quantité a — 3 ô qui mul-
tiplie X , nous obtiendrons
— 3ft'-— 10fl6 + 36^
•^- a-Sb
ou , en effectuant la division indiquée ,
x = Sa — b ,
La valeur de l'inconnue est donc Sa — b ; et, en effet, il est
facile de vérifier que si l'on remplace x par cette valeur, les deux
membres de l'équation proposée se réduisent tous deux à 6 .
Exemples. Le lecteur pourra s'exercer sur les exemples suivants :
OX Z _ ^X ——o / 15 \ tv\
— _ 6= — - — (dou x = 7) ;
-r- — L-T 1= ^ . (d'où x = Sa — 2b) .
2a-\- b 2a — b
08. Remarques. L La valeur obtenue satisfait toujours à Téqua-
tion proposée ; car elle satisfait évidemment à la dernière équation ,
qui est équivalente à la proposée.
n. Une équation du premier degré à une seule iticonnue n'admet
pour cette inconnue qu'une seule valeur; car, pour qu'une valeur sa-
li
50 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
tisfasse à l'équation proposée, il faut qu'elle satisfasse à la dernière
équation obtenue , qui lui est équivalente ; il faut donc qu'elle soit
égale au second membre de cette dernière équation.
Par exemple, dans l'exemple numérique ci-dessus, on arrive
à x = lS ; pour qu'une valeur, mise à la place de x , satis-
fasse à la proposée, il faut qu'elle satisfasse à x = l3 ; il faut
donc qu'elle soit égale à 13 .
III. L'habitude du calcul permet souvent d'exécuter en même
temps plusieurs des opérations que nous avons détaillées. Ainsi ,
en faisant disparaître les dénominateurs , on peut en même temps
effectuer les multiplications. Ainsi, encore, en faisant passer les
termes d'un membre dans un autre , on peut en même temps effec-
tuer la réduction des termes semblables.
IV. Si , par suite du choix qu'on aurait fait pour le membre dans
lequel on fait passer les termes affectés de l'inconnue , il arrivait
qu'après la réduction des termes semblables , tous les termes affectés
de l'inconnue fussent négatifs, on pourrait changer les signes de
tous les termes , ce qui ne troublerait pas l'équation ; car ce chan-
gement revient à faire changer de membre à tous les termes , et à
intervertir ensuite l'ordre des deux membres , ce qui est évidem-
ment permis.
09. Remarques sur les inégalités. Lorsqu'on veut exprimer
qu'une quantité doit être plus petite ou plus grande qu'une autre,
on a vu (14) qu'il suffit de les écrire à la suite l'une de l'autre en
les séparant par le signe < dans le premier cas , ou par le si-
gne > dans le second. Une pareille expression est ce qu'on
nomme une inégalité. Ainsi
a — X ^h — X
a<b ; x + ^>n ; '-J-<-Y~
sont des inégalités.
On peut évidemment leur faire subir les mêmes transformations
qu'aux égalités , puisque ces transformations ne troublent pas l'iné-
galité. Toutefois, il ne serait pas permis d'intervertir l'ordre des
deux membres; il faudrait dans ce cas renverser le signe de l'iné-
galité. On ne pourrait pas non plus changer les signes de tous les
termes , sans renverser le sens de l'inégalité , puisque ce change-
ment de signes revient à transposer les deux membres.
On a quelquefois besoin de transformer une inégalité en une
autre dans laquelle une certaine quantité se trouve isolée dans l'un
des deux membres , et précédée du signe + ; cette transforma-
tion a pour but de déduire de l'inégahté une limite pour la quan-
tité dont il s'agit. C'est ce qu'on appelle, par extension, résoudre
l'inégalité par rapport à la quantité considérée. Cette résolution
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 51
s'opère d'après les mêmes règles que pour les équations , sauf les
restrictions énoncées plus haut.
Ainsi de x-^-b"^!^ on tire a?>12 — 5 ou ic>7 .
Qi ' X b •—~ X
De — - — << — - — on tire successivement
2« — 2^<36 — 3â? , puis 3^--2^<36— '2a ;
puis enfin , a? <! 3 6 — 2 a.
On traiterait de même toutes les inégalités qui sont du premier
degré par rapport à la quantité considérée , c'est-à-dire qui , après
la suppression des dénominateurs , ne contiennent cette quantité
qu'à la première puissance.
§ III. Problèmes qui conduisent à une équation du premier degré
à une seule inconnue.
70. La résolution d'un problème d'Algèbre se compose nécessai-
rement de deux parties. Dans la première on cherche à exprimer les
relations que l'énoncé établit entre les inconnues et les données , ce
qui conduit toujours à un certain nombre d'équations , si le pro-
blème est réellement du ressort de l'Algèbre. Dans la seconde on
cherche à déduire de ces équations les valeurs des inconnues.
L'Algèbre donne des règles certaines pour la résolution des équa-
tions ; quant à la première partie , qu'on appelle la mise en équa-
tions, elle ne saurait être astreinte à des lois aussi certaines , vu
l'immense variété des problèmes qu'on peut avoir à résoudre. Il
existe cependant une sorte de marche à suivre qu'on peut formuler
de cette manière : Indiquer sur les lettres qui représentent les in-
connues et sur les données numériques ou littérales les opérations
QUE l'on EFFECTUERAIT , si , après avoir trouvé les valeurs des incon-
nues, on se proposait de les vérifier. L'usage que nous ferons de cette
règle jtin fera comprendre l'esprit et la portée.
Nous ne nous occuperons dans ce paragraphe que des problèmes
qui conduisent à une seule équation du premier degré à une seule
inconnue.
71. Premier PROBLÈME. t%^ère« Z7 ans, son fils en a 12 ;
on dema7ide dans combien d'années l'âge du père sera le double de
celui du fils.
Désignons par x le nombre d'années cherché. Si ce nombre
d'années était connu , et que l'on voulût le vérifier, on dirait :
Le père ayant 37 ans , dans x années il en aura 37 + ^' ;
à la même époque , le fils en aura 12 -(- a? ; d'après l'énoncé, le
52 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 111.
double de cet âge , c'est-à-dire ( 12 + ^) X 2 doit valoir l'âge du
père; on doit donc avoir l'égalité
On a ainsi obtenu l'équation du problème. En la résolvant (68),
on trouve
^ = 13.
Et, en effet, dans 13 ans, le fils aura 12 + 13 ou 25 ans; le
père en aura 37+13 ou 50 , qui est bien le double de 25:
72. Deuxième PROBLÈME. On « 60 hectolitres de blé à 30 /r.
VhectoUtre ; combien faut-il y joindre de blé à l^jr. pour faire
un mélange valatit 25 fr, l'hectolitre ?
Désignons par x le nombre d'hectolitres cherché , et opérons
comme si nous voulions vérifier ce nombre. Le prix des 60 hecto-
litresà 30fr. est 30^X60 ou ISOOfr. ;leprixdes x hec-
tolitres à 22 fr. est n'Xx ou 22.^ ; le prix total est donc
lg00 + 22a:-. Pour avoir le prix d'un hectolitre du mélange, il
faut diviser le prix total par le nombre total d'hectolitres, qui est
60 + ^ .Mais, d'après l'énoncé, ce prix doit être de 25 tr. ; on
a donc l'égalité
1800-t-22^_gK
~6ô+~r~-"^^'
c'est l'équation du problème. En la résolvant , on trouve ^=100 .
H faut donc prendre 100 hectolitres à 22 fr.
Le même problème , traité généralement , donnera une tormule
pour résoudre toutes les questions analogues. Soient n le nombre
d'hectohtres donné , à a francs l'hectolitre, x le nombre
d'hectolitres cherché à b francs l'hectolitre, soit enfin c le
prix d'un hectolitre du mélange. Le prix total du ble sera na + bx
et le nombre total d'hectolitres n + x ; on- aura donc
na-\-bx ^
n-\-x
n{a — c)
d'où l'on tire ^— ^__^ >
c'est-à-dire qu'il faut multiplier le nombre n d'hectohtres
donnés par la différence , a-c entre le prix supéneur et e
prix moyen , et diviser le produit par la différence , c-b , entre
le prix moyen et le prix inférieur.
Si, par exemple, on suppose n:=AO ; a ==21 , o- u ,
c = 2l , on trouvera
40X3 _
X=:^ X =dO ,
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 53
75. Troisième PROBLÈME. Une pmjsanne , chargée de vendre des
œufs au marché, vend à une première personne la moitié de ses œufs
plus la moitié d'un œuf; à une seconde personne la moitié de ce qui
lui reste plus la moitié d'un œuf; enfin , à une troisième la moitié de
ce qui lui reste de la seconde vente, plus la moitié d'un œuf. Après
cette troisième vente , il lui reste 7 œuf s ; combien en avait-elle
en arrivant au marché?
Soit X le nombre d'œufs qu'avait la marchande en arrivant.
Elle vend à une première personne un nombre d'œufs marqué
par rt'+s ' il lui en reste donc après cette première vente
X \ X \
X — — — - ou - — - . Elle vend à une seconde personne la moitié
X 1
de ce qui lui reste , c'est-à-dire j—j , plus la moitié d'un œuf,
X \ \ X \
ou -T — 2~t"9 ' ^^ encore j+t ; il lui en reste donc
X \ X \ X 3
2~2~4~"4 ^^ 4"~4 •
Elle vend à une troisième personne la moitié de ce qu'il lui reste de
X 3
cette seconde vente , c'est-à-dire tz—x , plus la moitié d'un œuf,
o o
i2? 3 1 X 1
OU g— g +2 ' ^" encore -+- ; il lui reste donc
X S X 1
X
4 4 8 8 ^" 8 8 •
Mais , d'après l'énoncé , ce reste doit être égal à 7 ; on a donc
l'égalité
^-1 = 7 •
8 8'
c'est l'équation du problème. En la résolvant, on trouve
^=63 .
En effet , à la première personne , la paysanne vend la moitié de 63
plus la moitié de 1 , ce qui est la même chose que la moitié
de 64 , c'est-à-dire 32 ; et il en reste par conséquent 31 .
A la seconde personne , elle vend la moitié de 31 plus la moitié
de 1 , ce qui est la même chose que la moitié de 32 , c'est-à-
dire 16 , et il en reste par conséquent 15 . A la troisième per-
sonne, elle vend la moitié de 15 , plus la moitié de 1 , ce qui
est la même chose que la moitié de 16 , c'est-à-dire 8 ; et il
en reste bien 7 , comme l'exige l'énoncé.
74. Quatrième problème. Un ouvrier peut faire un certain m-
54 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
vrage en 1% heures de travail \ un second ouvrier ferait le même
ouvrage en 24 heures de travail; un troisième le ferait en
36 heures . On demande combien d'heures les trois ouvriers tra-
vaillant ensemble emploieront à faire ce même ouvrage.
Soit X le nombre d'heures cherché. Le premier ouvrier faisant
l'ouvrage proposé en 18 heures , fera en 1 heure — de cet
ouvrage. En x heures il en fera donc une fraction marquée par
— . Par une raison analogue , le second ouvrier, en x heures ,
18
fera ^ de l'ouvrage proposé ; et le troisième ouvrier en fera
^ . Or, la somme de ces fractions de l'ouvrage doit faire l'ouvrage
entier, qui est pris ici pour unité ; on doit donc avoir
X I X j X
Î8"^24'^36'^
;r(4+3 + 2) , ,, > 72 _
Les trois ouvriers emploieront donc 8 heures .
On voit, en effet, qu'en 8 heures , le premier ouvrier fera les
— ou les - de la tâche ; le second en fera les ^ ou le tiers ,
o . 8 2
qui revient à ^ ; le troisième en fera les — ou les ^ . Or, la
4 3 2 9
somme 9 + 9 + 9 ^^^* 9 ^" ^ '
c'est-à-dire la tâche tout entière .
On obtient facilement une formule générale pour résoudre les
problèmes analogues. Soient a , b , c les nombres d'heures
employées par chaque ouvrier pour faire la tâche à lui seul ; en
raisonnant comme ci-dessus , on arrivera facilement à l'équation :
X' I X I X
. , abc
qu. donne ^- ^6^„,+6„ •
75. Cinquième problème. Plusieurs personnes puisent dans un
vase contenant du vin : La première y prend 1 litre , plus le
quart de ce qui reste; la seconde vient ensuite prendre 2 litres ,
plus le quart de ce qui reste [après avoir pris ces 2 litres ) ; la
troisième vient ensuite prendre 3 litres , plus le quart de ce qui
reste (après avoir pris ces 3 litres ), et ainsi de suite. Il se trouve
alors que le vin a été également partagé entre toutes les personnes.
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 55
On demande la quantité de vin contenue dans le vase, le nombre des
personnes et la part de chacune d'elles.
Il n'y a réellement qu'une inconnue dans ce problème, bien qu'il
semble y en avoir trois , les deux autres se déduisant immédiate-
ment de la première. Soit donc x le nombre de litres de vin
contenu dans le vase. La part de la première personne sera
1 A ; — ou — î — ; et il restera x -. — ou . — ~ — .
3^ 3
Lorsque la seconde personne aura pris 2 litres, il restera — j 2
ou — — ; la part de cette seconde personne sera donc
^ , 1/3^ — 11\ ^ , 3.2^ — 11 o 3^ + 21 ,, .
^ + 4\ 4 ) ^" ^^ Ï6~ '^"^^^1" W~ ' ^^'^
les parts devant être égales, on a immédiatement l'équation du pro-
blème en égalant la première part et la seconde, ce qui donne
X + Z 3^ + 21 . I 1^' o in.
— 4 — — rk — ^" 4a?-f-12 — 3ii?+21 ,
d'où 07 = 9 .
Le vase contenait donc 9 litres de vin.
Substituant cette valeur dans la première part, on la trouve égale
94-3
à — j — ou 3 litres ; et puisqu'elles sont toutes égales, le
nombre des personnes est le quotient de 9 par 3 , ou 3.
On voit que l'égalité des trois parts est une conséquence de l'éga-
lité des deux premières, et par conséquent l'énoncé du problème
contient plus de conditions qu'il n'est nécessaire. Il est facile d'ail-
leurs de vérifier que ces conditions sont remplies.
La première personne prend 1 litre , il en reste 8 ; le quart
de ce reste est 2 ; la part de la première personne est donc
1+2 ou 3 .11 reste alors 6 litres dans le vase. La seconde
personne en prend 2 ; il en reste 4 ; le quart de ce reste
est 1 ; la part de la seconde personne est donc 2+1 ou 3 .
11 reste alors 3 litres dans le vase. La troisième personne prenant
ces 3 litres , plus le quart de ce qui reste, ou zéro, la part de
cette troisième personne est égale à 3 comme celle de chacune
des deux autres.
76. Il n'est pas sans intérêt de traiter le même problème d'une
manière générale, en supposant qu'au lieu de prendre chaque fois
le quart de ce qui reste dans le vase, on en prenne une fraction
1
marquée par - .
'>6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
Dans cette hypothèse, la part de la première personne est
1 H ;— - ou --^ . Il reste dans le vase x— ^
n n fi
fij^ — ^^ fi I 1
ou — . La seconde personne prenant 2 litres
sur ce reste , il reste alors dans le vase
nx—x — n-\-\ ^ ^^ n.x—œ—n+l—2n
n ^^ n '
nx — x — Zn-\-\ ,
ou encore '■ — . La part de la seconde personne
j ^ , 1 fnx — X — 3 w 4- 1\
sera donc 2 + - -H- ) ,
^ n\ n / '
ou 2-j 5 ■ — ' ou encore -^ — - — ' .
Égalant les deux premières parts , on obtient l'équation
x-\-n — 1 nx — x-\~2n-—Sn-{-l
n n^ '
ou nx-\-n^ — n = nx — x-\-'in^ — 3w + l ,
d'où x = n^ — 1n-\-\ ou x-={n — \f .
Cette valeur de x , substituée dans l'expression de la première
part, donne pour la valeur de cette part
n^ — 27l + l+7^ — 1 n^ — n
■ , ou , ou enfin n — 1 .
n n
Divisant la valeur de x par la valeur d'une part, ou [n — 1)'
par {n — 1) , on obtient pour quotient le nombre des parts, qui
est n — 1 .
Il reste à vérifier l'égalité de toutes les parts. Or, d'abord , les
deux premières sont égales , puisque c'est en écrivant cette égalité
qu'on a obtenu l'équation du problème. Cela posé, pour démontrer
l'égalité de toutes les autres nous emploierons un mode de dé-
monstration dont on fait un fréquent usage en Algèbre. 11 consiste
à faire voir que si la proposition a été vérifiée pour un certain nombre
de parts, elle sera vraie encore pour la part suivante; et, en effet,
si cela était démontré, comme les deux premières parts sont égales,
il en résulterait que la troisième est égale à chacune des deux pre-
mières; les trois premières étant donc égales, il en résulterait que
la quatrième est égale à chacune des trois premières, et ainsi de
suite : donc il serait démontré que toutes les parts sont égales.
Supposons donc que les p premières parts sont égales , et dé-
montrons que la part suivante, ou la {p -\- If"" , est égale à une
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 57
quelconque des précédentes. Pour cela, remarquons que la pre-
mière part ayant pour valeur n — l , la somme des p pre-
mières parts est {n — l)p . Quand ces p premières parts ont
été prises, il reste dans le vase (n — 1)^ — {n — l)p . Or, la pre-
mière personne prend 1 litre avant de prendre - de ce qui
reste; la deuxième personne prend de même 2 litres , la troi-
sième prend 3 litres , la g""" prend donc p litres , et la
(p -|- If"" prend p-j-1 litres. Il restera donc alors dans le vase
(n-iy-(n-l)p-^{p-\-l) .
La part de la {p -\- If""" personne sera donc
p \ 1 \ (n-ir-{n-l)p-{p + l)
ou
n(p + l) + (n—lf — (n~'l)p'^(p+l)
ou , en effectuant les multiplications , et réduisant
np-\-n-\-n^ —2n + l —np-\-p — p-^\ n^—n
— i — £1 OU ;
ou , enfin , n — l .
La (p + 1)""" part est donc égale à la première. Donc , d'après
les raisonnements faits plus haut, toutes les parts sont bien égales.
Nousvavons insisté sur ce problème , parce qu'il offre un utile
exemple de mise en équation et'de bons exercices 'de calcul.
77. Le lecteur pourra s'exercer sur quelques-uns des problèmes
dont les énoncés suivent :
L Partager 24 en deux parties telles que le 5"'^ de la pre-
mière, plus le 7"''' de la seconde, fassent 4 . (Réponse : 10
et 14.)
II. Un enfant, interrogé sur son âge, répond : « Dans 16 ans mon
âge sera le triple de ce qu'il était iltj a 2 ans . ^> On demande l'âge
actuel de f enfant. (Réponse ; 11 ans . )
III. Une fontaine peut remplir un bassin en 6 heures , une autre
peut le remplir en 8 heures , une troisième eii 10 heures . Lors-
qu'elles coulent ensemble pendant ^heures , il s'en faut de 26
hectolitres que le bassin ne soit rempli. Quelle est sa capacité ?
(Réponse: 120 hectolitres .)
Vf . Une personne charitable partage 50 fr. entre ^0 pauvres,
parmi lesquels il g a un certain nombre d'hommes et de femmes, et
un seul enfant; elle donne Sfr. à chaque homme, 2fr. à cha-
que femme, et 1 fr. à l'enfant. On demande combien il y avait
58 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE HT.
d'hommes, et combien il y avait de femmes. ( Réponse : 1 1 hommes
et 8 femmes.)
V. Un père laisse 10000 /r. à ses quatre fils, et ordonne 'par
testament que le premier aura 2 fois autant que le second, moins
2000/r. ; lesecond S fois autant que le troisième, moins 3000 /r. ,
et le troisième 6 fois autant que le quatrième, moins 4000 fr .
Quelles seront les parts des quatre fils? (Réponse : 4000 fr. ,
3000 fr. , 2000 fr. et 1000 fr.)
VI. Un vase contient un mélange d'eau et de vin. On en retire le
quart et on le remplace par de l'eau; on retire ensuite le quart de
ce nouveau mélange., et on le remplace également par de l'eau;
enfin on retire le quart de ce troisième mélange , et on le remplace
encore par de l'eau. Il arrive alors que le vase contient Zfois plus
d'eau que de vin. On demande dans quel rapport étaient Veau et
le vin dans le mélange primitif. ( Réponse : comme 1 1 est
à 16 .)
§ IV. Hésolulion d'un système de deux équations du premier degré
à deux inconnues.
78. Lorsque , dans un problème , il y a deux inconnues , il faut
que l'énoncé fournisse deux équations entre ces inconnues. Si , en
effet, il n'en fournissait qu'une, on pourrait attribuer à l'une des
inconnues une valeur arbitraire ; on n'aurait plus alors qu'une équa-
tion ne contenant que la seconde inconnue pour laquelle on trou-
verait un nombre limité de valeurs (une seule, par exemple, si
réquation était du premier degré par rapport à cette inconnue) ;
et , comme on pourrait répéter ce calcul pour toutes les valeurs
arbitraires attribuées à la première inconnue, on voit qu'il y aurait,
en général, un nombre illimité de systèmes de valeurs propres à
vérifier l'équation. On dit, dans ce cas, que le problème est indé-
terminé.
Si, par exemple, on n'avait entre deux inconnues x et y que
l'équation unique
x — y=l
on pourrait attribuer à y une valeur quelconque , la valeur cor-^
respondante de x serait
x = y + l
ou la valeur attribuée à y , augmentée d'une unité. 11 y aurait
donc une infinité de solutions, et le problème serait indéterminé.
Nous supposerons donc dans ce paragraphe que l'énoncé du pro-
blème fournit deux équations du premier degré à deux inconnues.
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 59
79. Une équation à deux inconnues est dite du premier degré lors-
qu'après y avoir fait disparaître les dénominateurs , les inconnues
n'y entrent qu'à la première puissance, et n'y sont point multipliées
entre elles. D'après cela : une équation du premier degré à deux
inconnues, xQiy , ne peut renfermer que trois espèces de
termes ; savoir : des termes contenant x à la première puissance,
des termes contenant y à cette même puissance, et des termes
indépendants de x et de y . Concevons qu'après avoir fait dis-
paraître les dénominateurs (61), on ait réuni dans un même mem-
bre tous les termes qui contiennent les inconnues, et dans l'autre
membre les termes qui en sont indépendants; puis, qu'après avoir
opéré les réductions , on ait mis x en évidence parmi tous les
termes qui le contiennent , et qu'on en ait fait autant pour y ;
l'équation se présentera sous la forme
ax-\-by=::c ,
dans laquelle a , b Qi c peuvent être des quantités numé-
riques ou algébriques, monômes ou polynômes.
La quantité a se nomme ordinairement le coefficient de x ,
et la quantité b se nomme le coefficient de y .
Nous admettrons donc que le problème fournisse deux équations
de cette forme. Résoudre ces équations c'est trouver les valeurs qu'il
faut attribuer aux inconnues pour satisfaire à la fois aux deux équa-
tions. Pour y parvenir on remarque d'abord que, si l'une des deux
équations proposées ne renfermait que l'une des deux inconnues ,
les valeurs des deux inconnues s'obtiendraient immédiatement.
Soit, en effet, une équation à deux inconnues
5.r + 2?/ = 33 [1]
et une équation à une seule inconnue, qu'on peut toujours supposer
résolue ; par exemple
^ = 5 [2];
si l'on met pour x la valeur 5 dans l'équation [1], elle devient
25 + 22/ = 33 . [3],
d'où 2y = 33-— 25 = 8 et y = 4.
Et ces valeurs x = b , y=4 sont les seules qui puissent sa-
tisfaire aux équations proposées [1] et [2] ; car la seconde exige
que X soit égal à 5 ; et si x est égal à 5 , l'équation [1]
se change en l'équation [3], qui revient à y = 4 , et n'est satis-
faite que quand on y met 4 à la place de y .
On voit donc que si l'une des équations proposées ne contenait
que l'une des inconnues , x par exemple, cette équation don-
nerait immédiatement la valeur de x ; et en substituant cette va-
60 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
leur à la place de x dans l'équation à deux inconnues, on en
tirerait la valeur correspondante de y ; et l'on aurait ainsi le sys-
tème unique de valeurs de x et de y propre à satisfaire à la fois
aux deux équations.
Tout l'artifice de la résolution d'un système de deux équations du
premier degré à deux inconnues , consiste donc à déduire de ce
système d'équations un système de deux autres équations équiva-
lentes (c'<^.st-à-dire admettant les mêmes valeurs pour les inconnues),
et telles que l'une d'elles ne contienne que l'une des deux incon-
nues. C'est ce que l'on appelle éliminer une inconnue. Il y a pour
cela plusieurs méthodes que nous allons exposer, en traitant d'abord
des exemples particuliers.
80. Soient les deux équations :
6^ + 2?/= 33 [1]
7^—3^=23 [2];
proposons-nous d'éliminer l'inconnue y . Observons pour cela
qu'il est toujours permis d'ajouter ou de soustraire deux équations
membre à membre ; car si deux quantités sont respectivement égales
à deux autres quantités , la somme ou la différence des deux pre-
mières est évidemment égale à la somme ou à la différence des deux
dernières. Or , si y avait le même coefficient dans les deux équa-
tions , on ferait disparaître cette inconnue en retranchant ces deux
équations membre à membre ; et si y avait dans les deux équa-
tions des coefficients égaux et de signe contraire, on atteindrait le
même but en ajoutant ces deux équations membre à membre.
Dans l'exemple qui nous occupe, y n'a pas le même coeffi-
cient dans les deux équations; mais il est facile de faire en sorte
qu'il en soit ainsi : il suffit pour cela de multiplier tous les termes
de la première équation par le coefficient 3 de ?/ dans la se-
conde , et tous les termes de la seconde par le coefficient 2 de y
dans la première , ce qui est permis (64).
On obtient ainsi les équations :
15^ -h 6?^ = 99 [3]
14^ — 6î/ = 46 [4].
et , en les ajoutant membre à membre , puisque y a maintenant,
dans les deux équations, des coefficients égaux et de signe contraire,
il vient
29^ = 145 ,
doù ^"""29" ^" ^ = 5 L'^J-
Nous sommes ainsi ramenés au cas du numéro précédent, et nous
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 61
avons vu que les valeurs qui satisfont aux équations [1] et [6] sont
x = ^ et îj=z4 ,
De là cette règle :
Lorsqu'on a deux équations du premier degré à deux inconnues,
pour éliminer l'une de ces inconnues , il faut multiplier tous les
termes de la première équation par le coefficient de cette inconnue
dans la seconde, et tous les termes de la seconde par le coefficient de
cette même inconnue dans la première. On soustrait alors , ou bien
Von ajoute , les deux équations membre à membre, selon que Vin-
connue à éliminer se trouve avoir dans les deux équations des coeffi-
cients de même signe ou de signe contraire.
Remarques. I. Cette règle, qui a beaucoup d'analogie avec la ré-
duction des fractions au même dénominateur, est aussi susceptible
des mêmes simplifications ; si les coefficients de l'inconnue à éli-
miner avaient des facteurs communs, il suffirait de multiplier tous
les termes de chaque équation par les facteurs non communs du
coefficient de l'inconnue à éliminer dans l'autre.
II. Si l'inconnue à éliminer n'avait dans l'une des équations
d'autre coefficient que l'unité , il suffirait de multiplier tous les
termes de cette équation par le coefficient de cette inconnue dans
l'autre ; ce qui rentre au reste dans la règle générale.
Ul. Il faut démontrer maintenant que l'équation obtenue par
cette élimination, jointe à l'une des équations proposées, forme un
système équivalent à celui des deux proposées. Mais on peut dé-
montrer plus généralement que, si l'on multiplie la première équa-
tion par une quantité quelconque m , la seconde par une quan-
tité quelconque n , et qu'on les ajoute ou qu'on les retranche
membre à membre, l'équation ainsi obtenue, jointe à l'une des
deux proposées forme un système équivalent à celui des deux pro-
posées.
Soient , en effet , les deux équations
ax-\-by =: c [1],
a'x+b'y=^c' [2];
multiplions la première par m , et faisons passer tous les termes
dans le premier membre ; multiplions la seconde par n , et fai-
sons de même passer tous les termes dans un même membre ; nous
obtiendrons ces deux équations
{ax-\-bij — c)m=^0 [3],
{a'x-\-b'y — c')n = [4],
équivalentes aux deux premières (63, 64).
Retranchant membre à membre , on obtient
{ax -\-by — c) m — {a'x^ b'y — d) n^=.0 [5] .
62 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
Il s'agit de démontrer, par exemple, que le système des équa-
tions [1] et [5] équivaut au système des équations [1] et [2].
Or, tout système de valeurs de x et de y qui satisfera aux
équations [1] et [2] , annulera les premiers membres des équa-
tions [3] et [4], et par suite le premier membre de l'équation [5] qui
en est la différence; ces valeurs satisferont donc à l'équation [5], et
conviendront par conséquent au système [1] et [5].
Réciproquement : tout système de valeurs de x et de y qui
satisfera aux équations [1] et [5], annulera les premiers membres
des équations [3] et [5] ; et par suite, le premier membre de l'équa-
tion [4] qui en est la différence ; ces valeurs satisferont donc à
l'équation [2] qui est la même que [4] , et conviendront par consé-
quent au système [1] et [2].
Donc enfin le système [1] et [5] équivaut au système [I] et [2].
Il en serait encore de même si , au lieu de soustraire membre à
membre les équations [1] et [2], on les eût ajoutées.
Remarque. Si, en particulier, les valeurs de m et de n sont
telles que y disparaisse de l'équation [5] , notre conclusion sub-
siste , et la légitimité de l'élimination effectuée plus haut se trouve
démontrée.
82. Nous donnerons ici deux exemples du mode d'élimination
exposé ci-dessus.
I. Soient d'abord les deux équations numériques
7^ -f92/-=l40 ,
hx\-^y=i 97 .
On remarque que les coefficients de y ont le facteur com-
mun 3 , et que les facteurs non communs sont 3 et 2 ; mul-
tipliant donc tous les termes de la première équation par 2 et
tous ceux de la seconde par 3 , il vient
14.^' -1-18 2/ =.280
15^7 -|- 18?/ ==291 ;
retranchant , membre à membre , la première de la seconde , puis-
que les coefficients de y ont le même signe , on obtient
^=11.
Cette valeur , mise pour x dans la première équation , donne
77 -h 9?/ ==140 d'où 9y==63
et ' y = l.
II. Soient maintenant les deux équations littérales :
ax — by = a^ -\- b^
bx -\- ay =^ a} -{- b^ .
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 63
Multiplions tous les termes de la première par a , et tous ceux
de la seconde par b , nous aurons
à-x — aby = a^-\- ab"-
b-x + aby = a^b + b^-
Ajoutons membre à membre; puisque les coefficients de y ont
des signes contraires , il viendra
a'x + b'x =.à' + a'b + ab' + b^
ou {a'-\-b')x=za'+a'b + ab' + b' ,
,, , a'-^a'b+ab'-\-b^ , ,
dou x=: — ! --f— — ^ — ou x=a-]-b .
Cette valeur , mise pour x dans la première équation , donne
a^-{-ab — by = d^-\-¥ , d'où by=ab — b^ ,
ab~b'^
puis y= — - — ou y=a — b .
111. Le lecteur pourra s'exercer sur les deux exemples suivants :
4
nx — by = 6 d'où x = - .
9x + Ay=^W y--=2 .
('2a-\-b)x — {'2a—b)y=^Sab d'où x = 2a-\-b
(2a--b)x-\-{2a—b)y=:Sa^-\-2b^ y=2a — b.
85. Nous avons exposé la première la méthode d'élimination qui
offre dans la pratique le plus de commodité. On lui donne ordinai-
rement le nom de méthode par réduction (au même coefficient).
Mais l'élimination peut s'opérer de plusieurs autres manières.
1. Soient les deux équations traitées plus haut (80).
5^' + 2?/ = 33 [1],
7x—3y = 23 [2].
Supposons, pour un instant , que la valeur de x ait été déter-
minée par un procédé quelconque; en la mettant pour x dans
l'une des deux équations proposées , dans la première, par exemple,
on en tirerait la valeur correspondante de y .Or, si l'on tire de
la première équation la valeur de y , en y regardant x comme
connu , on obtient :
.=23^' [3].
Cette valeur, jointe à la valeur qu'on suppose avoiy trouvée pour x ,
6U PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 111.
doit satisfaire à la seconde équation proposée. Si donc on met dans
l'équation [2], à la place de y la valeur [3], l'égalité
7x-3(?i^)=23 [4],
à laquelle on parvient, sera une condition à laquelle la valeur de .r
devra satisfaire. Cette condition, traitée comme une équation où
l'inconnue est œ , donnera donc la valeur de x . En la résol-
vant, on trouve ^ = 5 , comme on l'a trouvé par une autre mé-
thode ; et cette valeur, mise pour x dans l'équalion [3] donne de
même y— -4 .
On voit que cette méthode consiste à prendre la valeur de Tune
des inconnues dans l'une des deux équations , en y regardant l'autre
inconnue comme déterminée, et à substituer cette valeur dans la
seconde équation, qui ne contient plus alors qu'une seule inconnue.
En conséquence on a donné à cette méthode le nom de méthode
par substitution.
Elle a, dans la pratique, l'inconvénient d'introduire des déno-
minateurs qu'il faut ensuite faire disparaître. Mais elle offre l'avan-
tage de pouvoir être généralisée , et appliquée, comme on le verra ,
à des équations de degré quelconque , toutes les fois que l'une de
ces équations peut se résoudre par rapport à l'une des inconnues.
84. II. Reprenons encore les équations [1] et [2] du numéro pré-
cédent. Nous avons vu que , si l'on y regarde œ comme déter-
miné , et qu'on tire de la première la valeur de y , on obtient
33 — 50,
Si l'on tire de même de la seconde la valeur de y , on obtient
7.r— 23
Or, ces deux valeurs de y doivent être égales, puisque les mêmes
valeurs de x et de y doivent satisfaire à la fois aux deux équa-
tions; en les égalant, on aura donc une condition à laquelle la valeur
de X devra satisfaire. Cette condition
7a? — 23 _ 33 — 5^
3 ~ 2
traitée comme une équation où l'inconnue est x donne encore
x = b ; et cette valeur mise pour x dans l'une quelconque des
deux valeurs de y ci-dessus , donne y = 4 .
Cette méthode est connue sous le nom de méthode /;ar comparai-
ÉQUATIONS KT PROBLÈMES DU PREMlEft DEGRÉ. 65
son. Elle a, comme la précédente, l'inconvénient d'introduire des
dénominateurs.
83. m. Enfin, reprenons une dernière fois les équations [1]
et [2] du n" 85. Si l'on multiplie la première par une quantité in-
déterminée m , et qu'on les ajoute membre à membre, on obtient
5 mx + 7x -j- 2 my — 3 ?/ = 33 m + 23 [5] .
On a démontré au n" 8i que l'équation ainsi obtenue, combinée
avec l'une quelconque des deux proposées, forme un système d'é-
quations équivalentes aux proposées. Or, la quantité m étant
quelconque , on peut en disposer de manière à faire disparaître de
l'équation [5] tous les termes en y . Pour cela, il suffit de poser
3
2m = 3, d'où ^n = - . Cette valeur, mise pour m dans l'équa-
tion (3), la réduit à
1^ I - 9^ I no
-^• + 7^^=:-^H-23 ,
d'où l'on tire encore x = 5 ; et par suite y = 4 .
Si les coefficients de y dans les deux équations proposées avaient
eu le même signe, il eût fallu soustraire les équations au lieu de les
ajouter.
Cette méthode , qu'on désigne sous le nom de méthode des coef-
ficients indéterminés, offre , comme les deux précédentes , l'incon-
vénient des dénominateurs. Mais nous verrons bientôt qu'on peut
s'en servir de manière à tirer à volonté d'une seule et même équa-
tion (l'analogue de l'équation [5]), soit la valeur de ./• , soit la
valeur de y . Elle se rattache d'ailleurs à l'une des méthodes les
plus générales et les plus fécondes de l'Algèbre. Nous y reviendrons
incessamment; il nous suffit ici de l'avoir signalée.
Remarque. Les trois dernières méthodes que nous venons de faire
connaître reviennent au fond à la première , comme il serait aisé de
s'en convaincre ; mais la méthode par réduction est plus simple ,
plus commode et plus élégante.
86. Remarques sur les iNÉGALitÈs. Une question fournit quelque-
fois deux conditions exprimées par deux inégalités , dans lesquelles
entrent deux quantités pour lesquelles on veut obtenir des limites;
c'est ce qu'on appelle résoudre ces deux inégalités. On peut, en gé-
néral, employer à cet effet la méthode par réduction; mais il faut bien
remarquer : Pqu'on ne peut ajouter deux inégalités membre àmembre
qu'autant que les signes d'inégalité sont dans le même sens. Ainsi de
« > 6 et c >. c? on peut déduire a -f- c > 6 -f- «/ ;
66 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
mais on ne pourrait savoir si a — c est plus grand ou plus petit
que b — cl .
2° Qu'on ne peut soustraire deux inégalités membre à membre
qu'autant que les signes d'inégalité sont de sens contraire : ainsi de
7>5 et 2<3 on peut déduire 7 — 2>5 — 3
en retranchant l'inégalité avec le signe << de l'inégalité avec le
signe > , et en mettant le signe > dans l'inégalité résultante.
Mais on ne pourrait rien conclure, en général, pour leur somme.
La résolution de deux inégalités du premier degré ne sera donc
pas toujours possible.
Si l'on a, par exemple, les deux inégalités
Ax — '^y>ll et 7?/ — 2j;>3 ,
on en tirera par multiplication et addition , comme pour des équa-
tions ,
^43 , ^ 17 .
mais si l'on avait les inégalités
4^-h32/>ll et 7?/ — 2j;>3 ,
86
on en tirerait bien 2/ >7y > parce que x s'élimine par addition ;
mais on ne pourrait pas en déduire une limite pour x , parce
qu'il faudrait soustraire pour éliminer y .
Si l'on avait au contraire les inégalités
4^' + 3!/>ll et 7y — 2a?<5 ,
31
on en tirerait bien '^>-7^ \ parce que y s'élimine en retran-
chant la seconde inégalité de la première ; mai^ on ne pourrait pas
en tirer une limite pour y , parce qu'il faudrait additionner pour
éliminer x .
§ V. Problèmes qui conduisenl à deux équations du premier degré
à deux incommes.
87. Parmi les problèmes qui présentent plusieurs inconnues, il
en est un grand nombre qu'on peut résoudre en n'employant qu'une
seule inconnue.
Prenons pour exemple ce problème : Partager 15 en deux
4
parties telles que la première surpasse d'une unité les - de la
seconde.
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PllliMIER DEGRÉ. 67
Si l'on appelle x la première partie, la seconde sera Xb — x
et l'énoncé du problème fournit immédiatement l'équation
4
^• = 3(15 — 0?) + ! [1],
d'où l'on tire x — S^ . Les deux parties sont donc 9 et 6 ;
et, en eft'et, 9 surpasse d'une unité le nombre 8 qui est les
I de 6 .
o
Mais lorsqu'on traite ainsi, à l'aide d'une seule inconnue, un pro-
blème qui en comporte plusieurs, c'est qu'on opère mentalement
une véritable élimination. Dans le problème qui précède, par exem-
ple , si l'on désigne par x la première partie et par ij la se-
conde, on a les deux équations
x-\-y — \h
4 ,
•^=3^ + 1 y
et si l'on tire de la première la valeur de y pour la substituer
dans la seconde, c'est-à-dire si l'on élimine y entre les deux
équations, on retombe sur l'équation [1]. C'est cette élimination de
y qu'on a opérée mentalement quand on a traité le problème avec
la seule inconnue x .
Ces éliminations tacites, qui abrègent évidemment le calcul écrit,
compliquent en revanche les opérations mentales que nécessite la
mise en équation du problème ; en sorte que , hors des cas très-
simples, comme celui qui précède , ou ceux des problèmes 1 , IV, V,
proposés au n'' 77, on perd plus qu'on ne gagne à diminuer le
nombre des inconnues. C'est même, comme exercice d'intelligence
seulement que nous avons proposé alors au lecteur le problème
du n° 77, que l'on traitera plus aisément avec deux inconnues,
quoique leur rapport seul soit l'inconnue demandée.
Nous croyons donc devoir donner comme conseil général d'in-
troduire dans le calcul toutes les inconnues que le problème com-
porte ; si, parmi les équations qui les lient il y en a de très-simples,
comme l'équation x-\-y=zi5 de tout à l'heure , on opérera par
écrit les éliminations très-simples qu'on eût opérées mentalement;
voilà toute la diftérence.
Nous ajouterons , par anticipation , que l'introduction de toutes
les inconnues facilitera , en général , la discussion du problème ;
nous verrons , en effet , qu'il se présente parfois des circonstances
inexplicables en apparence, lorsque l'on a réduit mal à propos le
nombre réel des inconnues.
68 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 111.
Quant à la mise en équation , elle est soumise à la seule règle
générale que nous avons donnée au n" 70. Il ne nous reste donc
qu'à donner quelques exemples de. problèmes conduisant à deux
équations du premier degré à deux inconnues.
88. Premier problème. Deux espèces de pièces de monnaie sont
telles : que '^pièces de la première, plus 5 pièces de la seconde
font 13 //'. ; et que 18 pièces de la seconde surpassent de
1 fr. 6 cent, la valeur de b pièces de la première. Quelle est la
valeur, en fixmcs et centimes, de chacune de ces deux espèces de
pièces de monnaie '(
Désignons par x la valeur d'une des pièces de la première es-
pèce, et par y la valeur d'une des pièces de la seconde. Nous
aurons , d'après l'énoncé , les deux équations :
•2j; + 5î/ = 13' ,
18?/:=5a? + 1^05 .
On éliminera x en multipliant la première équation par 5 ,
la seconde par 2 et ajoutant ; on trouve ainsi :
36?/ + 252^ = 65^ + 2^10 ,
ou 61y = 67^,10 , d'où ?/ = 1^10 .
Cette valeur, mise pour y dans la première équation , donne
2.^ + 5^,50 = 13^ , d'où ^ = 3^75 .
Chaque pièce de la première espèce vaut donc 3S75 , et chaque
pièce de la seconde espèce 1^10 .
89. Deuxième prorlème. Trouver une fraction telle que si l'on
3
ajoute une unité à chacun de ses termes, elle devienne éyale à -, ;
et que si l'on retranche au contraire une unité de chacun de ses
2
termes , elle devienne égale à - .
Soient x le numérateur et // le dénominateur; l'énoncé four-
nit sur-le-champ les deux équations suivantes :
^ + 1 __ 3 ./— 1 _2
y + l~4 '^ y-l~3 '
ou 3«/ — 4a: =1 et 3^' — 2//=:l ,
qui donnent .r = 5 et y = 7 .La fraction demandée est donc
- .Si, en effet, on ajoute une unité à chacun de ses termes, elle
devient ^ ou -. ; et si l'on retranche au contraire une unité de
4 2
chacun de ses termes, elle devient - ou - .
ÉQUATIONS ET PROBLEMES DU PREMIER DEGRÉ. 69
90. Troisième problème. Un nombre est composé de deux chiffres,
dont la somme absolue est 14 ; et si on le retourne, il augmente
de 36 ; quel est ce nombre?
Soient x le chiffre des dizaines, et y celui des unités ; on aura
d'abord
x + y=i4 [1].
Maintenant, le nombre demandé a pour valeur 10x-\-y , et
le nombre retourné a pour valeur 10y-\-x . Or, d'après l'énoncé,
ce second nombre surpasse le premier de 36 , on a donc
10y^x=:lOx-{-y-}-36 ,
ou . ... 9y~9x = S6 ,
ou encore y — x==4 [2].
On connaît donc la somme et la différence des deux chiffres ; en
vertu du théorème démontré au n° 5 , le plus grand , // , est égal
à la moitié de leur somme plus la moitié de leur difiërence , c'est-
à-dire à 7 + 2 ou 9 ; et le plus petit , x , est égal à la
moitié de leur somme moins la moitié de leur différence , c'est-à-
dire à 7 — 2 ou à 5 ; c'est ce qu'on verrait d'ailleurs en ré-
solvant le système des équations [1] et [2].
Le nombre demandé est donc 59 ; en effet , la somme de ses
chiffres est 14 ; et lorsqu'on le retourne, on obtient 95 qui
surpasse 59 de 36.
9i. QuxmiÈWE VROBLÈME. ï ne 2)ersonne qui possède 60000 /r. ,
en a placé une partie à A\ pour 100 ,et l'autre à 3^ pour 100 ;
ce qui lui fait un revenu de 2500 /r. On demande combien elle a
placé au taux de 4 1 , et combien au taux de Sj^ .
Soient x ei y les deux sommes placées ; on aura d'abord
^-1-^ = 60000^ .
Maintenant, le capital x , au taux de 4^ ou f , donne un
revenu annuel de ^^—^ ou ^ . Le capital y , au taux
de 31 ou I , donne un revenu annuel de ^^ ou — ^ .
1 \J\J JiiJx)
La somme de ces revenus partiels doit faire le revenu total
2500 fr. ; on a donc pour seconde équation
. g+^=.2500fr.
ou bien 9a" + 7?/ = 500000 fr.
70 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE ÎII.
Mettant pour y sa valeur 60000^ — x tirée de la première
équation , et effectuant la multiplication par 7 , il vient
9x + 420000 — 7.r = 500000^ ,
d'où 07 = 40000^ ,
par suite y — 20000^ .
En effet , 40000 fr. à 4 J- pour 100 rapportent 1800 fr. ;
et 20000 fr. à 3^ pour 100 rapportent 700 fr. ; la somme
de ces deux revenus fait bien 2500 fr .
92. Cinquième problème. Une montre marque midi; l'aiguille
des minutes est alors sur celle des heures. On demande à quelle heure
se fera la prochaine rencontre des deux aiguilles, et chacune des
autres rencontres successives.
On sait que le tour du cadran est divisé en 60 parties , dont
chacune répond à une minute pour la marche de la grande aiguille ;
on sait de plus que la grande aiguille parcourt les 60 divisions en
une heure, tandis que la petite aiguille n'en parcourt que 5 .
Cela posé , soit x le nombre des divisions parcourues par la
grande aiguille, depuis midi jusqu'à la première rencontre; et
soit y le nombre des divisions parcourues par la petite dans le
même temps. On aura d'abord
x: y :: 60: 5.
d'où x^ny [1].
En second lieu, la grande aiguille prenant l'avance ne pourra
rencontrer la petite qu'après une révolution complète ; le nombre
de divisions parcourues par la grande aiguille se composera donc
de 60 , plus le nombre des divisions parcourues par la petite ;
c'est-à-dire qu'on aura
.T=zm-\-y ""' [2].
De ces deux équations on tire très-facilement
60 ^ «Al 60
La grande aiguille aura donc parcouru 1'' 60 divisions , qui
correspondent à une heure , 2*» 'j^ de division , ou 5 divi
sions -f^ , qui correspondent à 5 minutes ei^ .11 sera donc
l''5"'fj^ .
Quant à la deuxième rencontre . il est clair qu'elle se fera
t'' 5"' fV après la première , puisqu'à l'instant de la première ren-
contre les aiguilles se retrouvent l'une par rapport à l'autre comme
elles étaient à midi. U sera donc 2'' 10™ j^ .En ajoutant successi-
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 71
vement V'6"'-^ , on trouvera pour les heures des autres ren-
contres successives :
3'^
le*"
J_
41-
21™
A
^^
27-
1 1
6^
32-
-Pi
71.
38-
2
1 1
8»'
43-
JL
9^>
49-
1 1
10^^
54-
A
12'^
ou minuit;
77
et enfin
ce qui fait, en tout, 11 rencontres en 12 heures .
95. Sixième PROBLÈME. Hiéron, roi de Syracuse, avait remis à
un orfèvre 10 livres d'or pour faire une couronne qu'il voulait
offrir à Jupiter. Le travail étant achevé , la couronne se trouva du
poids de 10 livres ; mais le roi , soupçonnant que V orfèvre avait
allié de l'argent à l'or, consulta Archimède. Celui-ci, sachant que
l'or perd dans l'eau les 52 millièmes de son poids , et que l'argent
y perd les 99 millièmes de son poids, détermina le poids de la cou-
ronne plongée dans l'eau , et trouva qu'il était de 9 livres 6 onces ;
ce qui fit reconnaître la fraude. On demande combien il y avait de
livres de chaque métal dans la couronne.
Soient x le poids de l'or, et y le poids de l'argent contenus
dans la couronne. On aura d'abord l'équation
x-^y = \m
si l'on suppose les poids exprimés en onces.
Maintenant , puisque l'or perd dans l'eau les 52 millièmes de
son poids , le poids x de l'or contenu dans la couronne perdrait
dans l'eau --r-^ . Par une raison analogue , le poids y de l'ar-
99?/
gent contenu dans la couronne, perdrait — -r^ . La somme de
ces deux pertes doit faire la perte totale qu'a subie dans l'eau le poids
de la couronne, c'est-à-dire 10 onces ; puisque la couronne,
qui pèse 10 livres dans l'air, ne pèse plus dans l'eau que 9 li-
vres 6 onces . On a donc pour seconde équation :
52£ 99^_
1000 "^1000
ou 52^ + 99?/ — 10000 .
72 PREMltniî PARTIE. — CHAPITRE III.
Mettant pour // sa valeur 160 — a:- tirée de la première équa-
tion , il vient
52^+99(160 — ^) = 10000 ,
ou 52;z + 15840 — 99 a? =10000 ,
d'où 15840 — 10000 = 99^ — 52^ ,
ou 5840 = 47^ ,
V ^ 5840 „
d ou x = --^ d once , ou 124 onces |4 ',
ou enfin x=:7 livres 12 onces i| .
Par suite y = 2 livres 3 onces ff .
94. On peut tirer d'un calcul analogue une formule générale pour obtenir les
proportions d'un alliage, connaissant sa densité et celle des métatix qui le com-
posent. En effet , soient d et d' les densités des métaux alliés , x ei y
leurs poids , et d" la densité de l'alliage. En prenant pour unité le poids de
l'alliage , on aura d'abord
rr + y — 1 .
Maintenant, la densité d'un corps étant le rapport de son poids à celui d'un
égal volume d'eau, en divisant son poids par sa densité, on aura le poids d'un
volume d'eau égal au sien. Ainsi | . | et |, représenteront respective-
ment les poids de trois volumes égaux ;î ceux des métaux alliés et a celui de
l'alliage. Or, si l'on admet que les métaux ne changent pas de volume en s'al-
lianl, le volume de l'alliage sera la somme des volumes des métaux alliés; on
devra donc avoir
d'^d'~d"
De ces deux équations, on tire
did"—d') _ d\d—d")
d%d—d') ^ y — d"(d—d')
Le rapport de ces deux valeurs est
d{d"—d')
d'd~d")
Si , par exemple, on a d~i9, d' = 7 , d"=:iG, on trouvera
19X9 7X3 , X 19x9 57
V^TirzTT:, •' et -=— --=:-^ ;
iGxl2 ' -^ 1GX12 ' y 7x3
c'est-à-dire que les métaux alliés sont dans le rapport de .S7 à 7 ; ou que,
sur ()4 unités de poids d'alliage, le premier métal entrerait pour 57 et le
second pour 7 de ces unités de poids.
9i5. Le lecteur pourra s'exercer sur les problèmes dont les
énoncés suivent.
[. Trouver un nombre tel qu'en le divisant par 5 on ait pour
reste 2 ; fju' en le divisant par 8 on ait pour reste 5 ; et que
le quotient de la première division surpasse de 3 unités le quo-
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 78
lient de la seconde. (Réponse : Les quotients sont 7 et A ; le
nombre demandé est 37 ).
II. « L'âne dit un jour au mulet : Si je prenais 50 kilogrammes
de ta charge, la mienne deviendrait le double de la tienne, — Et moi,
lui répondit le mulet , si je prenais 50 kilogrammes de ta charge,
la mienne deviendrait triple de la tienne. » On demande la charge de
chacun. (Réponse : L'âne portait 110 kilogrammes et le mulet
130 kilogrammes .)
III. La distance de Paris à Tours est de 225 kilomètres . Un
convoi de vjagons part de Paris pour Tours avec une vitesse de
25 kilomètres à l'heure; 1 heure 4S minutes après, un convoi
part de To^irs pour Paris avec une vitesse de 35 kilomètres à
l'heure. On demande au bout de quel temps et à quelle distance de
Paris les deux' convois se croiseront. (Réponse : Au bout de
3 heures à partir du second départ, et à 120 kilomètres de
Paris.)
lY. Deux joueurs conviennent que celui qui perdra la première
partie doublera l'argent de son adversaire; que celui ciui perdra la
seconde triplera l'argent de son adversaire; que celui qui perdra la
troisième quadruplera l'argent de son adversaire; et ainsi de suite.
Au bout de trois parties, la perte ayant été alternative, ils se reti-
rent chacun avec 48 francs . On demande ce qu'ils avaient en
commençant le jeu. (Réponse : Le premier perdant avait 62 francs
et son adversaire 34 francs .)
V. Deux vases contiennent à eux deux 11 litres d'eau. On
prend la moitié de ce que contient le premier pour le verser dans le
second; puis le tiers de ce que contient alors le second pour le verser
dans le premier; puis le quart de ce que contient cdors le premier
pour le verser dans le second; enfin on prend le cinquième de ce que
contient alors le second pour le verser dans le premier. A cet in-
stant, le second vase se trouve contenir 1 litre d'eau de plus que
le premier. On demande ce que chacun d'eux contenait pri^nitive-
ment. (Réponse : Le premier vase contenait 3 litres d'eau et le
second 8 litres .)
YI. Si Ton augmente de 2™ la base d'un rectangle, et qu'on
diminue sa hauteur de 3" , sa surface diminue de 48"'-i ; si
l'on augmente au contraire sa base de 3"' , et qu'on diminue sa
hauteur de 2"' , sa surf ace augmente de 6'"-' .On demande la
base et la hauteur, sachant que la surface se mesure en multipliant
ces deux dimensions l'une par Vautre. (Réponse : la base a 30"'
et la hauteur 24"' v)
Ih PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IJI.
S VI. Résolulion d'un système de trois équations du premier degré à trois
inconnues ; et en général d'un nombre quelconque d'équations du premier
degré renfermant le même nombre d'inconnues.
fM». Supposons d'abord qu'on ait à résoudre les trois équations
4x — 7îj + 6z = U [1],
5^ + 2?/ = 33 [2],
7.r — 3?/ — 23 ' [3],
dont la première seule renferme les trois inconnues x , ?/ , s ,
lesdeuxdernièresne renfermant que les deux inconnues x et tj .
Les deux dernières équations pourront être remplacées par les
valeurs
qu'on en tire (80, 81 ); et ces deux valeurs, mises pour x ci y
dans l'équation [l], la réduisent à
20—14+62=24 [4]
ou 6s=:38~20=:18 ,
d'où l'on tire z- = ^ .
Et ces valeurs des inconnues sont les seules qui puissent satisfaire
au système des trois équations proposées; car les deux dernières
n'admettent pas d'autres solutions que a? =5 et y =4 ; et si
X et y ont respectivement ces valeurs , l'équation [1] se change
en l'équation [4] qui n'admet pas d'autre solution que 2 = 3.
Pour résoudre un système quelconque de trois équations du pre-
mier degré à trois inconnues, il faut donc tâcher d'en déduire un
système équivalent, dans lequel deux des trois équations ne ren-
ferment que deux des inconnues.
97. Soient les trois équations :
2^ — 3y + 5s=27 [1],
Zx + Qy — Az=^ 2 [2],
5jr + 4y + 2x;=40 " [3].
Éliminons z entre les équations [1] et [2] ; pour cela multi-
plions l'équation [1] par 4, l'équation [2] par 5; et ajoutons
membre à membre, nous trouverons :
23ic + 18?/ = 118 [4],
Éliminons de même z entre les équations [1] et [3] ; pour cela
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIiîR DEGRÉ. 75
multiplions l'équation [1] par 2 , l'équation [3] par 5 , et re-
tranchons la première de la dernière, nous obtiendrons :
21.r + 26?/=:l46 [5].
Les équations [4] et [5] ne renfermant plus que œ et tj , on
sait en tirer les valeurs de ces inconnues. Si , par exemple , on mul-
tiplie l'équation [4] par 13 , l'équation [5] par 9 , et qu'on
retranche la seconde de la première, y disparaîtra, et il restera
110.^ = 220 d'où x = 2 .
Cette valeur, mise pour .x dans l'équation [4], donne
46 + 18«/~118 ou 18y = 72 ,
d'où ?/ = 4 .
Si maintenant dans l'une des trois équations proposées, dans l'équa-
tion [1] par exemple, on remplace X par 2 et «/ par 4 ,
cette équation devient
4 — 12 + 55 = 27 ou 5^ = 35 ,
d'où 5 = 7 .
On voit , par cet exemple , que pour résoudre un. système de trois
équations à trois inconnues x , y , z , il faut éliminer l'une
des trois inconnues, z par exemple, deux fois, savoir : entre la
'première équation et la seconde, par exemple, puis entre la première
et la troisième; on obtient ainsi deux équations entre les deux in-
connues x et y ; on en tire les valeurs de ces inconnues; on
substitue ces valeurs dans l'une des trois équations proposées, et l'on
en tire la valeur de la troisième inconnue z .
Remarque. C'est pour plus de symétrie dans le choix des lettres
que nous avons d'abord éliminé z ; il eût été plus simple et plus
commode d'éliminer d'abord y ; savoir, entre les équations [1]
et [2], puis entre les équations [2] et [3], à cause des facteurs com-
muns que présentent les coefficients de cette inconnue. On aurait
eu ainsi à résoudre les deux équations plus simples :
7x-\- 65= 56 ,
9.^-]- 145 = 116 ;
qui donnent ^:=2 et 5=7 , Ces valeurs mises dans l'équa-
tion [1], donnent ensuite ?/ =: 4 .
98. Les valeurs i>:=2, ?/ = 4, 5 = 7 sont les seules qui
puissent satisfaire au système des équations [1] , [4] et [5] ; nous
1 avons démontré (96) pour un exemple analogue. Il reste donc à
76 PREMIÈ1U-: PARTJE. — CHAPITRE III.
faire voir que le système des équations [1], [4] et [5] est équivalent
au système des trois équations proposées.
Mais on peut démontrer plus généralement que si l'on multiplie
la première équation par une quantité quelconque m , la se-
conde par une quantité n , et qu'on les ajoute ou qu'on les re-
tranche membre à membre ; puis qu'on multiplie la première par
une quantité quelconque m! , la troisième par une quantité n' ,
et qu'on les ajoute encore ou qu'on les retranche membre à membre,
la première équation, jointe aux deux équations ainsi obtenues,
forme im système équivalent à celui des trois équations proposées.
Pour le démontrer, concevons qu'on ait fait passer tous les termes
de chaque équation dans un seul membre; désignons pour abréger
ces membres par A , B , C ; en sorte que les trois équations
proposées seront représentées par
A = , B = et C = 0.
Il s'agit de faire voir , par exemple , que le système
A--0 , wA-f ;zB = , m'k—nT. = i)
est équivalent au premier.
Or, tout système de valeurs de x , y , z qui satisfera aux trois
équations proposées, annulera A , B et C , et par suite
wA-|-nB et m'k — r/C ; ces valeurs satisferont donc aux trois
équations du second système.
Béciproquement : si un système de valeurs satisfait aux équations
du second système , en vertu de A = , ces valeurs annule-
ront A ; la seconde équation wA-|-wB=0 se réduira donc à
^iB=0 , cequiexige B=^0 ; et la troisième équation m'k — w/C=0
ou m'X=z?i'C se réduira à = n'C , cequiexige C=() ;
c'est-à-dire que les valeurs en question annuleront à la fois A ,
B et C , et satisferont par conséquent aux équations du pre-
mier système.
Bemàrque. Si , en particulier, les multiplicateurs m , n , m
et n' sont choisis de manière qu'en ajoutant ou retranchant con-
venablement , l'inconnue z disparaisse des équations
?/?A-l-7?B=:0 et 7/î'A — w'C = ,
la démonstration subsiste; ce qui démontre la légitimité du mode de
résolution que nous avons employé.
99. Comme exemple d'équations littérales , nous traiterons les
suivantes :
ax — by-\-cz=za}-\-c'^ [1]
-, ' bx + cy — az = b''+c'- [2]
_c,T-\-(ty+bz=n^-\-h' [3].
ÉQUATIONS ET PHOBLÈMliS DV PREMIER DEGRÉ. 77
Éliminons z entre les équations [1] et [2], nous trouvons
vV+ bc)œ + ic'— ab)y = é + ac'+ h'c + 1^ [4].
Éliminons :; entre les équations [2] et [3], il viendra
[b^— ac) X + {a' -\-bc)yz=w'-\- ab' + bc' + b^ [5] .
L'élimination de // entre ces deux dernières , donne
{ai' -\- a-bc + ab^ + ^^^') ^ = ^^ + ^'^ + ^^<^ + «^^"^ + ^'^'C + a^c^
-\-ab!*-\-abâ ,
ou
{cv" + «6c + 6" +• 6'^) a; — a' + «^^ + a-bc -\- a b' + ab'c + «c^' + «7/+ bc^,
d'où , en divisant les deux membres par a^ -\- abc + 0'^ + ^'^ >
Cette valeur mise pour x dans l'équation [5] donne
(a^-\-bc)y=a"-\-a^c~\-abc-\-bc-
d'où , en divisant les deux membres par a- + bc ,
y=za-\-C .
Mettant pour x et y leurs valeurs dans l'équation [1], elle
devient
a^ — bc-\-cz=a~-{-c^ ou c::i = bc-^c~ ;
d'où z=b-{-c .
100. Il est facile maintenant de généraliser la marche que nous
avons suivie. Supposons qu'on ait 5 équations du premier degré
entre les 5 inconnues x , y , s , u ^ t. On élimi-
nera t quatre fois : par exemple entre la première équation et
chacune des quatre autres ; on obtiendra ainsi 4 équations entre
les inconnues .r , ?/ , ^ , u . On éliminera u trois fois :
par exemple entre la première de ces quatre équations , et chacune
des trois autres ; on obtiendra ainsi 3 équations entre les 3 in-
connues X ^ y , z . On éliminera z deux fois : par exem-
ple entre la première de ces trois équations et chacune des deux
autres ; on obtiendra ainsi 2 équations entre les 2 inconnues
X et y . On éliminera y entre ces deux équations , et l'on
obtiendra une équation qui ne contiendra plus qu'une seule incon-
nue X . On en tirera la valeur de cette inconnue. On portera
cette valeur à la place de x dans l'une des deux équations
entre x et y ; et l'on en tirera la valeur de y . On portera
les valeurs de x et de y dans l'une des trois équations entre
X ^ y et :ï ; et l'on en tirera la valeur de s . On portera les
78 PREMIËRK FAHTIli. — CHAPITRE ïll.
valeurs de œ , y et z dans l'une des quatre équations entre
X , y , z et u ; et l'on en tirera la valeur de u . On por-
tera enfin les valeurs de x , y , z et it dans l'une des cinc^
équations proposées entre x , y , 5 , u et f ; et l'on en
tirera la valeur de t .
On suivrait une marche analogue pour un nombre quelconque
d'équations du premier degré renfermant le même nombre d'in-
connues.
101. Le calcul se simplifie , lorsque toutes les équations ne con-
tiennent pas toutes les inconnues. Si, par exemple, dans le cas
de 5 équations entre 5 inconnues x , y , z , u et t ,
il y avait une équation qui ne contînt pas l'inconnue x ; cette
équation pourrait être prise pour l'une des 4 équations à 4
inconnues qu'on se propose d'obtenir; et il suffirait d'éliminer x
trois fois pour obtenir les trois autres. Si , parmi ces 4 équations
entre les 4 inconnues y , s , u et t , il y en avait une
qui ne contînt pas l'inconnue s par exemple , cette équation
pourrait être prise pour l'une des 3 équations à 3 inconnues
qu'on cherche à en déduire ; et il suffirait d'éliminer :; deux fois
pour obtenir les deux autres. Et ainsi de suite.
Si deux inconnues manquent à la fois dans une même équation ,
le calcul se simplifie encore davantage. Il est rare qu'il ne se pré-
sente pas dans le courant des opérations quelque circonstance favo-
rable dont on puisse tirer parti avec un peu d'adresse , lors même
que les équations primitives contiennent toutes les inconnues.
Soient , pour exemple , les 4 équations :
5x — Sy-\-Az — 2u== 1 [1],
x + '2y — 6z + 'Su= 5 [2],
Sx— y — 2z-\' u= [3],
Ax-{-Sy — 3z-{-2u = n [4],
qui contiennent chacune les 4 inconnues x , y , z et u .
L'élimination de u entre [1] et [3] , puis entre [2] et [3] ,
enfin entre [1] et [4] donne très-facilement :
nx — 6y= 1 [5],
— 8^-t- r)y+ z= b [6], ■
9x+ 5=12 [7].
L'équation [5] ne contenant pas z , il suffit d'éliminer z entre
[6] et [7] , ce qui donne
17x — by = 7 [8].
L'éHmination de y entre les équations [5] et [8] , donne ensuite
6^ = 6 , d'où x=i .
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES 1>U PREMIER DEGRÉ. 79
Mettant cette valeur de x dans les équations [5] et [7] , on en
tire
ll—by=l et 9 + s=12, , ;
d'où y = 2 et 2 = 3 , .
Ces valeurs de x , y et z introduites dans 1 équation [3] ,
donnent
3_2--.6 + w = , d'où u = à .^ ^
102. Le lecteur pourra s'exercer sur les exemples suivants :
I. 2x — 6y+ 3s = 5 , d'où ^ = 10 ,
x-\-2y — 12z- = i , y= 3 ,
Sy+6z~ Sx = , z= 1 .
II. ax-\-by — cz^=.lP- ^ d'où xz=l c ^
bx — cy -\- az = a^ ^ y = b ,
cx-\- ay — bz = c^ ^ z = a .
III. Qx-{-Sy—3z-{- u = b , d'où x= ,
Sx-\-6y-j-2z— 2u = 4 , y= 2 ,
5x — 2y—2z-{- 1u = 1 , z= 2 ,
2a; + 5?/ + 3s— 3w=l , . u= 5 .
§ VU. Problèmes qui conduiseiil à un nombre quelconque d'équations du
premier degré , renfermant le même nombre d'inconnues.
105. La mise en équations de ces problèmes est soumise à la
règle générale donnée au n° 70. Nous rappellerons ici le conseil
que nous avons donné au n'' 87 d'introduire dans le calcul toutes
les inconnues que le problème comporte. Sans doute, quand le
nombre des inconnues est grand , il semblerait qu'on doit chercher
à le restreindre ; mais l'avantage qu'il en pourrait résulter pour le
calcul serait presque toujours compensé, et au delà, par l'embarras
que la suppression de quelques inconnues introduirait dans la mise
en équations.
Cela dit, il ne nous reste qu'à donner quelques exemples.
Premier problème. On a trois lincjots qui contiennent :
Le premier.
Le second.
Le troisième.
Combien faut'il prendre de chacun d'eux pour former un quatrième
lingot qui contienne :
75 yr. d'or , 100 d'argent , et 149 de cuivre ?
20 gr, d'or ,
30 d'argent ,
40 de cuivre .
30
40
50
40
50
90
80 . PUEMIÈKE PARTIE. — CHAPITRE 111.
Soient .r , y , z les nombres de grammes de chacun des
trois premiers lingots, qu'il faut prendre pour former le quatrième.
On remarquera ,'que , dans le premier lingot , il y a 1^^' d'or, sur
*20+30-[-iO ou 90 ; c'est-à-dire que l'or y entre pour ^ . Dans
le second lingot, il entre pour ^ , et dans le troisième, pour ^ .
Ce métal entrera, en mêmes proportions, dans les parties x ,
y , z qu'on prendra des trois lingots ; et, comme la somme des
quantités d'or contenues dans ces parties doit faire 75^'' , on devra
avoir l'équation :
L'argent, dans le premier lingot, entre pour i| , dans le second,
pour jL , dans le troisième , pour f^ ; on verrait donc , par un
raisonnement analogue au précédent, qu'on doit avoir :
Et, en opérant de même pour les quantités de cuivre , on trouverait
de même l'équation :
Telles sont les équations du [)roblème. En faisant disparaître les
dénominateurs et simplifiant, elles deviennent :
8^;+ 9?/+ 8<s"=2700 [1],
\ix-\-ny+mz=^mo [2],
16^ + 152^H-18^=:5364 [3].
Éliminant d'abord x entre [1] et [2], puis entre [1] et [3], on
obtient ;
3y 4-4^ = 900 [4].,
^y — ^z= 36 , [5].
Éliminant ensuite y entre ces deux dernières , on trouve
6^ = 864 , d'où 5 = l44fc'"- .
Cette valeur, mise dans [5] , donne
3 y— -288 = 36 , d'où y =108^' .
Et ces valeurs, mises dans [l] , donnent
8^4-972 + 1152 = 2700 , d'où ^ = 72*-"- .
10^. Deuxième problème. Trois vases contiennent , à eux trois ,
18 litres d'eau. On prend la moitié de ce que contient le premier ,
pour le verser clans le second \ on prend ensuite le tiers de ce que
contient alors le second , pour le verser dans le troisième) on prend
ÉQUATlOr^S ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 81
enfin le quart de ce que contient alors le troisième, pour le verser
dans le premier. Il se trouve alors que Veau est également partagée
entre les trois vases. On demande ce que chacun d'eux contenait pri-
mitivement.
Soient x , y , z les nombres de litres d'eau contenus pri-
mitivement dans chaque vase. Si l'on prend la moitié de ce que
contient le premier, c'est-à-dire | pour le verser dans le second,
les trois vases contiendront des quantités d'eau marquées respecti-
vement par
2*^ ; y-\-2^ ; z .
On prend maintenant le tiers de ce que contient le second, c'est-
à-dire \y-\-\x , pour le verser dans le troisième ; les quantités
d'eau contenues deviendront donc :
1^ ; V^ï^ — ïy — ïx ; et z-^\y-\-^^x ;
^^* ^ 5^ ; fy+i^'- ; et 5 + iy + i^ .
On prend enfin le quart de ce que contient le troisième vase, c'est-
à-dire ^ i^-f- J^^y-}- Jjj; , pour le verser dans le premier; les
quantités d'eau contenues deviennent dès lors :
ou M^+l^ + ï^y; |y + i^; et 1^ + 1-^4.1^;
mais l'eau se trouvant alors également partagée, chaque vase con-
tient le tiers des 18 litres, c'est-à-dire 6 litres. On a donc les
trois équations :
, ly+'^x =6 ,
l^ + iy + é^ = 6 ,
ou, en simplifiant :
nx-\-1y-\-^z=zU^ ,
x-\-^y = 18 , '
x-\-^y-\-^z~ 48 .
Si l'on retranche les deux dernières membre à membre, on a sur-
le-champ
6::==30 , d'où ^ = 5 ;
à l'aide de cette valeur, la première équation devient
13.r + 2y=:ll4 ;
si l'on en retranche la seconde membre à membre, il reste :
12^ = 96 , d'où a; = 8 ;
6
82 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 111.
enfin cette valeur, mise pour x dans la seconde équation, donne
8+22/ = 18 , d'où 2/ = 5 .
Le premier vase contenait donc 8 litres , le second 5 et le troi-
sième 5 ; ce qu'on vérifiera facilement.
105. Troisième problème. Un nombre est tel : que, si on le di-
vise par 1 , on a pour reste 4 , que, si on le divise par 9 ,
on a pour reste 6 , que, si on le divise par 13 , on a pour
reste 8 ; et de plus, la somme des trois quotients surpasse de 3
unités le quart du nombre lui-même. On demande quel est ce nombre f
^ Soit X le nombre cherché, et soient ?/ , :; et u les quo-
tients respectifs qu'on obtient en le divisant par 7,9 ou 13 .
On aura, en vertu de la division même :
x=: 7y + A ,
x= 9^ + 6 ,
x = \^u-\-% ,
et, en vertu de la dernière partie de l'énoncé ,
2/ + - + ^« = 4^+3 .
Si l'on tire des trois premières équations les valeurs de 2/ ,:;,?/ ,
en y regardant x comme connu, on obtient :
X — 4 x — Q X — 8
et , si l'on met pour y ^ 2 , u ces valeurs dans la quatrième
équation , on obtient
X — 4 ) X — 6 , X — 8 _1 ,
-7- -h -9- -h -Y3- - 4^'+ «5 ,
équation qui ne contient plus que l'inconnue x . On en tire, en
faisant disparaître les dénominateurs :
468 a; — 1872 + 364x — 2184 + 252^~2016=819a; + 9828
ou 265;r = 15900 d'où x — QO.
Tel est le nombre demandé. Les quotients qu'on obtient en le
divisant par 7 , 9 ou 13 , sont 8 , 6 et 4 , dont la
somme 18 surpasse de 3 unités le nombre 15 qui est le quart
de 60.
Remarque. Ce problème offre un exemple d'une question qui
comporte réellement quatre inconnues , bien que l'énoncé semble
n'en admettre qu'une. . ,
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 80
106. Le lecteur pourra s'exercer sur les problèmes dont les
énoncés suivent :
I. Un homme chargé de transporter des vases de trois grandeurs,
est convenu de payer pour chaque vase cassé par lui autant qu'il au-
rait reçu s'il l'eiît rendu en bon état. On lui donne 3 grands vases,, 5
moijens et ^petits. On apprend qu'en route il a cassé tous les vases
de l'une des trois grandeurs, mais l'on ne sait laquelle. Si ce sont
les grands ou les petits le porteur touchera 10 fr.; mais si ce sont
les moyens, il ne touchera que S fr. On dejnande ce qu'il doit tou-
cher pour un vase de chaque espèce rendu en bon état.
(Réponse: 3fr. pour un grand vase , 2 fr. pour un moyen^
1 fr. pour chaque petit.)
IL On demande quel est le ^nombre de quatre chiffres qui jouit des
propriétés suivantes : 1° que la somme des deux premiers chiffres,
soit à sa droite, soit à sa gauche, est égale à 7 ; S** que le chiffre
de ses unités est le triple de celui des centaines ; 3" enfin que si l'on
écrit ses quatre chiffres dans un ordre contraire, le nombre aug-
mente de 909. (Réponse : 5216.)
IIL Une personne a divisé son capital en trois parties qu'elle a
placées, la première à 5 pour 100^ la seconde à 4 pour 100^ la
troisième à 3 pour 100 . Elle se fait ainsi un revenu annuel de
4000 /r. , comme si tout son capital eût été placé à A pour 100 .
On sait déplus que la partie placée à 5 pour 100 rapporte annuel-
hment 600 fr. de plus que celle qui est placée à S pour 100. On
demande quel est le capital entier, et quelles sont les trois parties.
(Réponse : le capital entier est de 100000 fr. ; les trois par-
ties sont 30000 fr. , 40000 fr. et 30000 fr. )
8i V PREMIËRE PAI'.TIE.
CHAPITRE IV.
DES QUANTITÉS NÉGATIVES, ET DE LA DISCUSSION DES PROBLÈMES
DU PREMIER DEGRÉ.
§ I. Des quanlilés négatives.
107. Jusqu'ici , lorsque nous avons eu à considérer des expres-
sions algébriques polynômes, nous avons toujours supposé que
l'ensemble des termes positifs l'emportait en valeur absolue sur l'en-
semble des termes négatifs; et quant aux monômes isolés, nous les
avons toujours supposés positifs. Nous avons à examiner mainte-
nant , dans l'hypothèse contraire , le sens qu'il convient d'attacher
aux expressions algébriques, et ce que deviennent les règles du
calcul littéral , qui n'ont été établies , on se le rappelle , que dans la
supposition où les quantités sur lesquelles on opère ont une valeur
positive.
Considérons un polynôme, dans lequel la partie négative soit
supposée l'emporter en valeur absolue sur la positive ; et pour plus
de simpHcité, choisissons le binôme a — b .Si l'on attribue à b
une valeur plus grande qu'à a , ce binôme n'otfre plus en appa-
rence d'autre sens à l'esprit que celui d'une opération impos-
sible.
On peut, à la vérité, donner une forme plus simple à l'expression
a 6 ; car, si l'on désigne par d l'excès de la valeur absolue b
sur la valeur absolue a , en sorte que b soit égal à a-\-d ,
on aura à retrancher de a la somme a-\-d ; et si l'on en re-
tranche d'abord a , ce qui donne zéro pour reste, on n'aura plus
à indiquer que la soustraction de d , ce qui conduira à l'expression
plus simple — d . On peut même remarquer que cette simplifi-
cation revient à soustraire a de b et à affecter le reste d du
signe — ; c'est ainsi , par exemple, que 7 — 12 reviendrait à
7 — 7 — 5 , et se réduirait par conséquent à — 5 .
Mais ces expressions négatives isolées , — d , — 5 , n'en sont
pas moins des symboles d'impossibilité , si l'on s'en tient aux notions
et aux conventions de l'arithmétique. Or, on va voir que, dans un
autre ordre d'idées , ces expressions deviennent susceptibles d'une
interprétation parfaitement rationnelle; et que, bien loin d'être les
DES QUANTITÉS NÉGATIVES. 85
symboles d'une opération impossible, elles sont quelquefois la seule
réponse raisonnable que puisse comporter une question.
Concevons, par exemple, qu'un thermomètre marquant 10"
au-dessus de zéro, la température vienne à baisser de 6*^ ; pour
avoir la température nouvelle , il faudra retrancher 6^ de 10" ,
ce qui donnera 10" — 6" ou 4" . Point de difficulté jusqu'ici.
Mais, le thermomètre marquant toujours 10" au-dessus de
zéro, supposons que la température vienne à baisser de 14" ; si
l'on veut, comme tout à l'heure, retrancher de la température pri-
mitive le nombre de degrés dont elle s'est abaissée, on est conduit
à l'expression 10" — 14" ou — 4" , d'après la simphfication in-
diquée ci-dessus. D'un autre côté, si, partant du lO""' degré au-
dessus de zéro, on compte 14 degrés en descendant l'échelle
thermométrique, on arrive à zéro quand on en a compté 10 , et
les 4 restants se trouvent comptés au-dessous de zéro. Remar-
quons cette correspondance entre le symbole — 4" et le résultat
réel 4" au-dessous de zéro .
Prenons un second exemple. Un lieu est situé sous le 40'' degré
de latitude nord , un second lieu est situé à 30 degrés au sud du
premier, sur le même méridien pour plus de clarté. Si l'on veut
connaître à quelle latitude répond ce second lieu , on retranchera
les 30" de la latitude 40" , ce qui donnera 40"~30" ou 10"
de latitude nord. Point de difficulté.
Mais si le second lieu était à 50" au sud du premier, et que,
pour obtenir sa latitude , on retranchât encore les 50" de la lati-
tude 40" , on arriverait à l'expression 40" — 50" ou — 10" .
D'un autre côté , si , en partant du 40'""" degré de latitude nord
on descend vers le sud en comptant 50 degrés , quand on en aura
compté 40 , onserasur l'équateur, etles 10 qui restent seront
comptés vers le sud ; la latitude demandée sera donc 10" de lati-
tude sud . Remarquons encore cette correspondance entre le sym-
bole — 10" et le résultat réel 10" de latitude sud .
Pour dernier exemple, imaginons qu'un événement ait eu lieu
600 ans après J. C, et qu'un autre événement ait eu lieu 400 ans
auparavant. Pour avoir la date de celui-ci, il faudra retrancher
400 ans de 600 ans , ce qui donnera 600 — 400 ou 200 ans
après J. C. Mais si l'on suppose que le deuxième événement consi-
déré ait eu lieu 800 ans avant celui dont on a parlé d'abord , et
que pour avoir sa date on retranche encore les 800 ans des
600 ans , on arrive à l'expression 600 — 800 ou — 200 ans .D'un
autre côté , il est facile de voir que l'événement en question a eu
lieu 200 ans avant J. C. Remarquons encore cette correspon-
dance entre le symbole — 200 ans , et le résultat réel 200 ans
avant J. C.
86 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
Dans les exemples que nous venons de prendre , et il serait facile
de les multiplier, on trouve cette circonstance commune que la
quantité cherchée est, par sa nature, susceptible d'être comptée
dans deux sens opposés. Et l'on remarque que , l'un de ces deux
sens étant celui qui est le plus ordinaire , et dans lequel on compte
habituellement les quantités regardées comme positives , il arrive
que si la quantité cherchée doit être comptée en sens contraire , le
calcul de cette quantité effectué d'après les mêmes règles que si elle
devait être positive , conduit à un résultat négatif.
Il n'y a qu'un pas de cette remarque à la convention de compter
dans l'un des deux sens opposés les quantités positives , et dans le
sens contraire les quantités négatives. De cette manière, toutes les
fois qu'une quantité sera ainsi susceptible d'être comptée dans deux
sens contraires, il sera aussi rationnel de lui attribuer des valeurs
négatives que des positives ; et les monômes négatifs isolés ne seront
des symboles d'impossibilité absolue que lorsqu'ils représenteront
une quantité qui , par sa nature, ne peut être comptée que dans un
sens. Si , par exemple, il s'agit de la longitude d'un lieu, comme
elle peut être comptée vers l'est ou vers l'ouest , on pourra admettre
pour cette quantité des valeurs indistinctement positives ou négati-
ves. S'il s'agit au contraire du nombre des côtés d'un polygone ,
comme il ne peut être compté que dans un sens , il n'admettra pas
de valeurs négatives ; et une valeur négative , dans ce cas , serait un
symbole d'impossibilité absolue.
108. Cette convention peut être justifiée par une autre considé-
ration qui nous servira en même temps à montrer sous son véritable
jour le calcul des quantités négatives, et l'Algèbre en général.
Reprenons l'exemple du thermomètre. Supposons qu'il marque
6^ au-dessus de zéro , et que la température vienne à s'élever de
10 degrés ; pour savoir le nombre de degrés qlie l'instrument mar-
quera , il faudra ajouter aux 10 degrés d'élévation , les 6 degrés
que le thermomètre marquait d'abord , ce qui donnera 10 + 6
ou 16° au-dessus de zéro.
En général , si t désigne dans ce cas la température primitive,
a l'accroissement, et T la température finale , on aura la relation
T = a + t [1].
Supposons maintenant que la température primitive soit de 6*^
au-dessous de zéro , et qu'elle s'élève encore de W ; la tempéra-
ture finale e 'obtiendra en remarquant que, si elle s'élève d'abord
de 6 degrés , le thermomètre marquera zéro ; et que les 4 degrés
d'élévation restants seront comptés au-dessus de zéro. C'est-à-dire
que pour avoir la température finale, il faudra des 10 degrés
DES QUANTITÉS NÉGATIVES. 87
d'élévation retrancher les 6 degrés au-dessous de zéro que mar-
quait primitivement le thermomètre ; ce qui donne en effet 10^^ — 6^
ou 4" au-dessus de zéro.
En général, si t désigne alors la température primitive , ou le
nombre de degrés au-dessous de zéro que marquait primitivement
le thermomètre , si a désigne toujours l'accroissement de tem-
pérature et T la température finale , on aura la relation
T = a—t [2].
On voit que les relations [1] et [2] ne diffèrent l'une de l'autre
que par le signe qui précède la température initiale t . Cette re-
marque suffirait pour justifier la convention qui consiste à regarder
comme positives les températures comptées au-dessus de zéro, et
comme négatives celles qui sont comptées au-dessous .
Mais il y a plus , c'est que cette convention permet de réunir les
deux formules [1] et [2] en une seule, qui comprendra tous les cas,
et donnera ainsi la réponse la plus générale à la question proposée.
Il suffit pour cela d'étendre la signification des mots quantité et ad-
dition. Nous appellerons quantités algébriques celles qui , comme
la température , la latitude , le temps , etc. , sont susceptibles d'être
comptées indiff'éremment dans deux sens opposés; ces quantités
étant positives si on les compte dans l'un de ces deux sens , et né-
gatives si on les compte dans l'autre. Nous appellerons addition al-
gébrique une opération ayant pour but de réunir deux ou plusieurs
quantités algébriques en conservant à chacune son signe; de telle
^oviQ (\\XQ\2i somme cdgébiique diQ -j-10 et de — 6 sera 10 — 6 ,
comme celle de +10 et de +6 est 10 + 6 . Nous pour-
rons alors ne conserver que la formule [1] , et l'énoncer en disant :
que si un thermomètre marque t degrés et que la température
s'élève de a degrés, la température finale T sera la somme algé-
brique de « et de ^ . Cette formule répondra alors à tous les
cas. Si, par exemple, la température initiale est de 10*^ au-des-
sous de zéro , et qu'elle s'élève de 7 degrés, pour avoir la tem-
pérature finale , on remplacera a par +7 et t par — 10,
et faisant la somme algébrique, on aura
T = + 7 — 10 ou T = >-3 ,
ce qui voudra dire que la température finale est de 3^ au-dessous
de zéro. C'est ce qu'il est facile de vérifier.
109. Prenons un dernier exemple. Supposons que deux villes
soient situées sur le même méridien : l'une h 48° de latitude nord,
l'autre à 35*^ de latitude nord ; pour avoir leur distance en lati-
tude, on n'aura qu'à retrancher 35 de 48 , ce qui donnera
48«— 35*^ ou 13' de latitude nord.
88 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
En général, si L et / désignent les deux latitudes nord , et
(l la distance des deux villes, on aura la relation
c/ = L — / [1].
Supposons maintenant que la première ville étant toujours à
48^ de latitude nord, la seconde soit à 35^ de latitude sud; il
est clair que pour obtenir leur distance en latitude, il faudra /azre
la somme des nombres 48 et 35 , ce qui donnera 48° + 35*^
ou 83*^ .
En général, si L désigne le nombre de degrés de latitude nord,
/ le nombre de degrés de latitude sud , et d la distance des
deux villes , on aura la relation
fl^L + l [2].
Les relations [1] et [2] ne diffèrent que par le signe qui précède
la latitude / . Il est donc naturel de regarder la latitude comme
une quantité algébrique , qui sera positive ou négative , suivant
qu'elle sera comptée vers le nord ou vers le sud. On pourra ensuite
renfermer tous les cas de la question qui nous occupe dans la for-
mule [1] , en étendant le sens du mot soustraction. On appellera
soustraction algébrique une opération par laquelle on écrit une
quantité algébrique à la suite d'une autre en changeant son signe;
en sorte que la différence entre +48 et +35 sera 48—35 ;
mais que la différence entre +48 et — 35 sera 48 + 35 .
On énoncera alors la formule [1] d'une manière générale en disant :
que pour obtenir la distance en latitude de deux lieux donnés , il
faut faire la différence algébrique entre leurs latitudes.
110. En résumé, on voit qu'il existe des quantités susceptibles
d'être comptées indifféremment dans deux sens opposés ; et que ,
suivant qu'elles sont comptées dans l'un ou l'autre de ces deux
sens, elles figurent avec un certain signe ou avec le signe contraire
dans la solution d'une même question. Les quantités de cette es-
pèce ont reçu le nom de quantités algébriques; on leur attribue le
signe + lorsqu'elles sont comptées dans l'un des deux sens dont
on vient de parler, et le signe — lorsqu'elles sont comptées dans
le sens contraire. L'avantage qu'on retire de cette convention est
non-seulement de trouver une interprétation pour les quantités né-
gatives isolées que le calcul fournit quelquefois , mais encore de
pouvoir généraliser les formules auxquelles conduit la solution d'un
problème particulier.
Cette tendance de l'Algèbre à généraliser les opérations et les ré-
sultats est un de ses caractères distinctifs. Nous aurons occasion d'y
revenir plus d'une fois. 11 nous suftitpour le moment d'avoir essayé
de faire comprendre l'origine des quantités négatives et des règles
DES QUANTiTKS ÎSÉGATIVES. 89
suivant lesquelles on les introduit dans le calcul. Nous allons main-
tenant exposer ces règles en détail.
111. On appelle QVAmiiÉ algébmqve une quantité qui se com-
pose de deux éléments : V d'îtnevaleurnmnérique qui i^^ent être en-
tière ou fractionnaire ; 2° d'un signe qui peut être -j- ou — .
5 5
Ainsi +4,-4, +- , — - , -\- a , —a , -\-4a^b ,
— Aa^b , etc., sont des quantités algébriques. Si elles contiennent
des lettres, il faut toujours imaginer que ces lettres tiennent lieu de
certaines valeurs numériques entières ou fractionnaires.
Quant à l'ordre de grandeur des quantités négatives entre elles ,
ou comparées aux quantités positives, il faut remarquer que si d'un
nombre quelconque , 5 par exemple , on retranche successive-
ment une unité, on obtient des nombres de plus en plus petits 4 ,
3 , 2 , 1 , . Arrivé à ce point, si l'on continue à retrancher
toujours successivement une unité , on obtient les quantités néga-
tives — 1, — 2, — 3, — 4, etc., dont la valeur absolue
est croissante. Mais, comme c'est à l'aide d'une même opération,
la soustraction d'une unité , qu'on a obtenu toute cette série de
nombres, les uns positifs décroissants, les autres négatifs croissants
en valeur absolue , l'analogie a conduit à regarder les quantités né-
gatives comme moindres , algébriquement parlant, que les quantités
positives , et comme d'autant moindres que leur valeur absolue est
plus grande. Ainsi — 1 est regardé comme moindre que 0; — 2
est moindre que — 1 ; et ainsi de suite.
Conformément à cette convention , lorsqu'on veut exprimer
qu'une quantité a est positive , on écrit « ^ ; et si l'on veut
exprimer qu'elle est négative, on écrit a<^0 .
112. Z'addition algébrique est une opération par laquelle on
réunit plusieurs quantités algébriques en conservant à chacune son
signe.
Ainsi, la somme algébrique de -{-a et de -\-b est a-{-b ;
la somme algébrique de -^ a et de — b est a — b ; la somme
algébrique de — a et de -\-b est — a-{-b ; la somme algé-
brique de — a et de — b est — a — b .
Un polynôme peut être considéré comme la somme algébrique de
ses termes.
Pour additionner deux polynômes, il suffit d'écrire le second à la
suite du premier en conservant à chaque terme son signe. Cette règle
a déjà été donnée au n° 27 ; mais nous avions supposé alors que ,
dans chaque polynôme , l'ensemble des termes positifs l'emportait
sur l'ensemble des termes négatifs. Cette restriction devient inutile.
90 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
115. La SOUSTRACTION ALGÉBRIQUE €st une opération par laquelle
on écrit la quantité à soustraire à la suite de la quaritité dont on la
soustrait, en changeant le signe de la quantité à soustraire.
Ainsi, la différence algébrique entre -{-a et + b est a — h-,
la différence algébrique entre -\-a et — /; est r^ + Z;; la dif-
férence algébrique entre — a et -f^ est —« — /;; la diffé-
rence algébrique entre — a et — h est — a-\-l) .
Pour soustraire un polynôme d'un autre, il faut l'écrire à la
suite de cet autre en changeant le signe de chacun de ses termes.
. Cette règle a été donnée au n° 50 , en supposant que dans chaque
polynôme l'ensemble des termes positifs l'emportait sur l'ensemble
des" termes négatifs; cette restriction n'est plus nécessaire.
114. La MULTIPLICATION ALGÉBRIQUE est une opération par laquelle
on cherche une quantité algébrique, appelée produit, qui soit com-
posée avec une quantité algébrique, appelée multiplicande, comme
une autre quantité algébrique, appelée multiplicateur, est composée
avec l'unité positive.
Cette définition n'est, comme on le voit , qu'une extension de la
définition donnée en arithmétique ; on y a introduit l'élément qui
distingue les quantités algébriques des quantités purement numé-
riques, c'est-à-dire le signe.
Soit + A à multiplier par + B . La valeur absolue du pro-
duit sera composée avec la valeur absolue A du multiplicande ,
comme la valeur absolue B du multiplicateur est composée avec
l'unité; c'est-à-dire que, d'après les notations admises, cette valeur
absolue du produit sera AB . Quant au signe du produit, comme
le multiplicateur -j-B a le môme signe que l'unité positive, ce
produit aura le même signe que le multiplicande, c'est-à-dire -f .
Ainsi , le produit de -f A par -f B est -(- AB .
Soit -fA à multiplier par — B . La valeur absolue du pro-
duit sera, comme ci-dessus, AB . Mais le multiplicateur — B
ayant un signe contraire à celui de l'unité positive, le produit aura
un signe contraire à celui du multiplicande, c'est-à-dire — .
Ainsi le produit de +A par — B est — AB .
Soit —A à multiplier par -f-B . La valeur absolue du pro-
duit sera encore AB . Mais le multiplicateur -f-B ayant le
même signe que l'unité positive , le produit aura le môme signe que
le multiplicande, c'est-a-dire — .
Ainsi, le produit de —A par -}-B est — AB .
Soit enfin —A à multiplier par — B . La valeur absolue
du produit sera AB . Mais le multiplicateur — B ayant un
signe contraire à celui de l'unité positive, le prodmt aura un signe
contraire à celui du multiplicande —A , c'est-à-dire + .
DES QUANTITÉS NÉGATIVES. 9tl
Ainsi , le produit de — A par — B est + ^^^ •
La règle des signes établie au n° 54 par la considération de deux
polynômes dans chacun desquels la partie positive était supposée
l'emporter sur la partie négative , se trouve donc étendue à des mo-
nômes isolés , en partant de la distinction établie entre les quan-
tités algébriques et les quantités purement numériques , et de la
définition plus générale adoptée pour la multiplication.
Quant à la multiplication des polynômes , les règles établies au
n° 54 , dans la supposition où la partie positive de chaque polynôme
l'emporte sur la partie négative , subsisteront encore dans l'hypo-
thèse contraire.
Soit, en efïet, à multiplier a — h par c — d , et supposons
d plus grand que c en valeur absolue ; le binôme c — d re-
vient à — {d — c) ; expression dans laquelle , d'après notre sup-
position d — c sera positif. Nous aurons donc à multiplier
-\-{a — b) par — {d — c) . Pour obtenir ce produit, il faudra
d'abord multipher entre elles les valeurs absolues {a — b) et {d — c)
des deux facteurs, et changer ensuite le signe du résultat, puisque
ces deux facteurs sont de signe contraire ; car les règles démontrées
ci-dessus ne supposent pas que A et B représentent des mo-
nômes plutôt que des polynômes. En multipliant d'abord les valeurs
absolues {a — b) et {d — c) on obtient, d'après les règles du
n° 54, qui sont applicables ici, puisque a — b et d — c sont
positifs l'un et l'autre :
ad — bd — ac-\-bc .
Et en changeant le signe du résultat, ce qui se fait en changeant le
signe de chaque terme , on obtient :
— ad-\- bd-\-ac — hc
ou ' ac — bc — ad-\-bd ^
comme on l'a obtenu au n° 54.
Les règles de la multiplication subsistent donc sans la restriction
faite alors.
llo. La DIVISION ALGÉBRIQUE est uue opération par laquelle, étant
donnes le produit de deux facteurs algébriques et Vun de ces facteurs,
on cherche L'autre facteur.
On a vu, aux n"' 41 à 46, comment les règles de la division se
déduisent de celles de la multiplication. Ces dernières étant mainte-
nant établies sans restriction pour les monômes positifs ou négatifs ,
et pour les polynômes dans lesquels la partie positive est plus grande
ou plus petite en valeur absolue que la partie négative, il en est de
même des règles de la division.
92 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
116. Les règles données aux n°' î50 à 38 pour le calcul des frac-
tions algébriques, n'étant fondées que sur celles des quatre opérations
fondamentales, elles acquièrent la même généralité que celles-ci.
117. Deux quantités algébriques sont égales lorsqu'elles ont
même valeur absolue et même signe. Si on les multiplie chacune
par une même troisième, les produits seront égaux; car il est évi-
dent qu'ils auront aussi même valeur absolue et même signe.
Il suit de là qu'on peut, sans troubler une égalité , multiplier ses
deux membres par une même quantité algébrique ; ce qui généra-
lise la transformation indiquée au n° 61.
On démontrerait de même qu'on peut , sans troubler une égalité ,
diviser ses deux membres par une même quantité algébrique ; ce
qui généralise la transformation du n° 62.
Remarque. On peut dans une égalité changer les signes de tous
les termes , car cette transformation revient à multipher ou à diviser
à la fois les deux membres par — 1 .
On retrouve ainsi , par une autre voie , une règle déjà démon-
trée (68, IV.)
§ II. Discussion des problèmes du premier degré a une seule inconnue.
118. Lorsqu'on a résolu un problème d'une manière générale,
c'est-à-dire en représentant les données par des lettres, comme
nous l'avons fait, par exemple, aux n"^ 74, 76 et 1)4, il est utile
de rechercher les principales circonstances que peut présenter la
solution, suivant les valeurs particulières qu'on peut attribuer à ces
données. L'examen méthodique de ces circonstances est ce qu'on
nomme la discussion du problème.
Nous nous occuperons dans ce paragraphe de la discussion des
problèmes qui conduisent à une seule équatiori, à une seule in-
connue.
Une pareille équation, lorsqu'on y a fait disparaître les dénomi-
nateurs , qu'on a rassemblé dans un membre tous les termes affectés
de l'inconnue , et dans l'autre tous les termes indépendants de cette
inconnue, qu'enfin on a mis l'inconnue en facteur comnmn parmi
les termes où elle se trouve, peut toujours être ramenée à la forme
A^ = B [1],
dans laquelle A et B peuvent être des quantités quelconques ,
monômes ou polynômes, algébriques ou numériques.
B
On tire de cette équation ,t = ^ ,
c'est cette valeur qu'il s'agit de discuter.
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 93
119. Lorsqu'on attribue aux données de la question des valeurs
particulières , les quantités A et B prennent elles-mêmes di-
verses valeurs. Il peut arriver que A et B soient de mêmes
signes, ou bien qu'ils soient de signe contraire; que l'une d'elles
s'annule , ou qu'elles s'annulent toutes deux à la fois. Nous allons
examiner ces divers cas.
I. Si A et B sont de même signe, leur quotient est positif;
T>
la valeur ^=-r est alors une réponse directe à la question , et
ne donne lieu à aucune remarque.
IL Si A et B sont de signes contraires, leur quotient est
négatif; on peut alors distinguer deux cas.
Ou la quantité que x représente est susceptible d'être comptée
dans deux sens opposés , qui correspondent, l'un à ses valeurs po-
sitives , l'autre à ses valeurs négatives. Dans ce cas , une valeur
négative itrouvée pour l'inconnue est encore une réponse directe à
la questipn. Si , par exemple , l'inconnue x représentait un cer-
tain nonibre de degrés du thermomètre , comptée à partir du zéro ,
une valeur telle que — 6 n'aurait rien que de parfaitement ad-
missible , et répondrait à 6*^ au- dessous de zéro , comme la valeur
-f- 6 répondrait à 6" an-dessus de zéro. Cela résulte des con-
ventions dont nous avons parlé au n*» 107.
Ou la quantité que x représente n'est susceptible d'être comptée
que dans un seul sens. Alors, une valeur négative trouvée pour x
est un caractère d'impossibilité du problème, tel qu'il a été posé
du moins. Cette valeur négative indique un vice dans l'énoncé, ou
au moins dans la manière de l'entendre; elle montre qu'une quan-
tité qu'on avait regardée comme additive devait être regardée comme
soustractive , ou vice versa ; et l'on peut , en rectifiant l'énoncé ,
être conduit à une valeur positive numériquement égale à la valeur
négative trouvée en premier lieu.
Pour opérer cette rectification dans l'énoncé , on remarque que ,
si l'on a trouvé , par exemple , la valeur
et qu'on change x en — x dans l'équation du problème , les
calculs demeureront les mêmes, à l'exception du signe de x ; en
sorte qu'on parviendra à l'équation
— x = — 6 , ce qui revient à x = 6 .
Ainsi donc, on changera x en — x dans l'équation du pro-
blème ; il sera facile alors de reconnaître le changement qu'il fau-
drait faire subir à l'énoncé pour qu'il conduise à l'équation ainsi
modifiée, au lieu de conduire à l'équation primitive.
94 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
120. Soit proposé, par exemple, ce problème:
Un ouvrier fait, par jour, a mètres (Vune certaine étoffe \ un
second ouvrier en fait b mètres dans le même temps. Le premier
a déjà ;f ait c mètres, et le second en a fait m de plus. On de-
mande dans combien de jours les deux ouvriers en auront fait
autant Vun que l'autre.
Désignons par x le nombre de jours demandé. Le premier ou-
vrier faisant a mètres par jour, en fera en x jours un nombre
marqué par le produit de a par x , c'est-à-dire ax ; au
bout de ce temps , le nombre total de mètres qu'il aura fait sera
donc c-\-ax . Le second ouvrier faisant /; mètres par jour, en
fera en x jours un nombre marqué par bx , et, au bout de ce
temps, le nombre total de mètres qu'il aura fait sera c-\-7n-\-bx .
Or, d'après l'énoncé , ces deux nombres doivent être égaux ; on doit
donc avoir l'équation
c -\- ax ^=: c -{- 7n -\- bx \ [1]
771/ f
d'où l'on tire x = 7- [21,
a — b : ^ -"
«
c'est-à-dire que , pour obtenir le nombre de jours demancké , il faut
diviser l'avance du second ouvrier par la différence entre les.nombres
de mètres que les deux ouvriers font par jour; résultat auquel on
aurait pu d'ailleurs parvenir directement. On remarquerj\ de plus
que la donnée c n'a servi que dans la mise en équation, et a
complètement disparu du résultat, qui en est par conséquent indé-
pendant.
Si l'on fait les hypothèses particulières a = 8 , 6=5, k=12 ,
on trouve
X = -r r OU X=:4 .
O b
Mais si l'on fait, au contraire, les hypothèses' « = 5 , 6 = 8 ,
m=12 , on trouve
Cette valeur négative indique qu'il y a alors un vice dans l'é-
noncé. Et en effet , le premier ouvrier travaillant moins vite que le
second , ne pourra jamais rattraper celui-ci , qui a une avance de
12 mètres. La quantité x , qu'on avait regardée comme additive,
doit donc être regardée comme soustractive. Changeons donc x
en — X dans l'équation [1] du problème, il viendra :
c — ax = c-{-m — bx [3],
et l'on voit facilement (|ue pour que l'énoncé conduise à l'équa-
tion ainsi modifiée, il faut poser la question en ces termes :
DISCUSSION DES PR06LÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 95
Combien s'est-il écoulé de jours depuis celui où le nombre de
mètres faits par chacun des deux ouvriers était le même ?
En résolvant l'équation [3] on obtient :
x=-r [4],
h — a
et, si l'on met pour « , b , m , les valeurs 5 , 8 , 12 ,
qui avaient conduit tout à l'heure à une valeur négative, on trouve :
^ = -— ^ ou a; = 4 .
Remarque. Si l'on avait, dès l'abord, regardé le nombre de jours
X comme susceptible d'être compté indifféremment vers l'avenir
ou vers le passé, c'est-à-dire si on avait considéré x comme une
quantité Égébrique (ill), on aurait pu sur-le-champ admettre la
valeur n^ative , sans être obligé de modifier l'énoncé , autrement
qu'en remplaçant ces mots dans combien de jours par les mots de-
puis commen de jours, et le mot sera par les mots a été, ce qui est
simplem^t une nécessité de langage. Et la valeur négative trouvée
pour xi eût indiqué que l'époque cherchée était antérieure au
lieu d'êtfe postérieure à l'instant que l'on prend pour point de
départ. ^
121. ni. Il peut arriver que, par suite des valeurs particuHères
attribuée^ aux données, le numérateur B de la valeur
B
( ^' = 1
devienne nul, sans que le dénominateur le soit, ce qui donne:
_0
Une ^^leur de cette forme n'est autre que zéro ; car zéro divisé
par une quantité quelconque, donne évidemment pour quotient
zéro. Si l'on conservait quelque doute à cet égard, il suffirait de re-
monter à l'équation --^^
A^ = B ,
qui se réduit alors à Ao? = ,
et ne peut être satisfaite que par la valeur
car, pour annuler un produit tel que A^' , il faut annuler un de
ses facteurs ; et le facteur A est supposé différent de zéro.
Le problème précédent conduirait à une valeur nulle si l'on faisait
96 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
l'hypoihèse particulière m = . Et, en effet, les quantités d'ou-
vrage faites par chaque ouvrier étant alors égales, la condition in-
diquée par l'énoncé se trouve remplie dès le jour même, et par
conséquent le nombre de jours cherché est zéro.
122. IV. 11 peut arriver que les hypothèses faites sur les données
annulent le dénominateur A , sans annuler le numérateur, et
qu'on ait:
B
Remarquons d'abord que l'on ne sait pas a priori si une pareille
expression pourrait être légitimement déduite de l'équation A x=^ ;
car il faut pour cela diviser ses deux membres par une quantité nulle,
ce qui n'est point permis en général (04). Or, cette équation se ré-
duit alors à = B , et ne saurait par conséquent êtrt satisfaite
par aucune valeur de ^.L'hypothèse A=0 répondÇoncà un
cas d'impossibilité.
Pour voir ce que peut signifier en lui-même le symbole
posons d'abord que A , au lieu de devenir nul, preni
ment une valeur très-petite, par exemple, 0,001 ; on afira
^=ô;^ «" *=ioooB. j
Supposons en second lieu que , par de nouvelles hypothèses , le dé-
nominateur A prenne une valeur encore plus petite , ^,000001
par exemple ; il viendra 1
B
i
^ = o;ôoô6ôi °" ^-lOOOOOOB.
Si A prenait une valeur plus petite encore , par exemple ,
0,000000001 , on aurait *
^"" o,OOoLoO] "" ^^-lOOOOOOOOOB. .
On voit qu'à mesure que le dénominateur A acquiert des va -
leurs de plus en plus petites, la valeur j prend au contraire des
valeurs de plus en plus grandes. Si donc on attribue à A la va-
leur zéro , c'est-à-dire une valeur moindre que toute quantité assi-
gnable , la fraction j prendra au contraire une valeur plus grande
que toute quantité assignable ; c'est ce qu'on appelle une valeur in-
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 97
finiment grande , ou infinie. On dit, en conséquence, que l'expres-
sion - est le symbole de l'infini.
Si, par exemple, dans le problème du n° 120, on fait l'hypo-
thèse az=b ^ on trouve x=2— . Or, si l'on remonte à l'énoncé
du problème , il est facile d'interpréter ce résultat. Au lieu de sup-
poser a=zb , c'est-à-dire au lieu de supposer que les deux ou-
vriers font chaque jour le même nombre de mètres , supposons
d'abord que a surpasse b d'une très-petite quantité , c'est-à-
dire que la quantité d'ouvrage faite journellement par le premier
ouvrier ne surpasse que de très-peu celle que fait journellement le
second ; il est clair qu'il ftmdra au premier ouvrier un temps consi-
dérable pour rattraper le second. Si donc l'excès de a sur b est
plus petit que toute quantité assignable , il faudra au premier ou-
vrier pour rattraper le second un temps plus long que toute quan-
tité donnée; c'est-à-dire que si « = 6 , le temps cherché sera
InfMi.
Une solution infinie, ou de la forme - , est donc un caractère
d'impossibihté.
Remarque I. Puisque cette impossibilité se manifeste sur l'ex-
pression ~ aussi bien que sur l'équation kx = ^ d'où on l'a
déduite, on voit que cette déduction peut être regardée comme légi-
time , bien qu'elle consiste à diviser par A , c'est-à-dire alors par
zéro , les deux membres de l'équation.
Remarque II. Il est utile de remarquer que les solutions infinies
peuvent être en même temps négatives. Si, par exemple, dans le
problème du n° 120 , on fait l'hypothèse «<^ , on a vu que la
valeur de x devenait négative ; c'est-à-dire que si l'on suppose
que le premier ouvrier travaille moins vite que le second, ce n'est
qu'à une époque antérieure qu'ils ont pu avoir fait autant d'ouvrage
l'un que l'autre. Or, cette époque antérieure sera d'autant plus éloi-
gnée que l'excès de a sur b sera plus petit ; si donc on sup-
pose cet excès nul, ou a — b, les deux ouvriers n'auront pu avoir
fait autant d'ouvrage l'un que l'autre qu'à une époque antérieure
injiniment éloignée. En sorte que la solution est à la fois négative
et infinie. On trouve , en effet,
m
:c = --.
Ce caractère d'impossil>ilité est de même nature que l'infini po-
sitif; il n'y a de différence que dans le sens.
7
98 PREMIÈRE PARTIE. -— CHAPITRE IV.
Remarque IIÏ. On représente quelquefois l'infini positif par le
signe +00 et l'infini négatif par — oo .
123. V. Il peut arriver enfin que les hypothèses faites sur les
données représentées par des lettres, annulent à la fois le numéra-
teur B et le dénominateur A de la valeur de l'inconnue x ,
auquel cas cette valeur prend la forme :
Comme on ignore ce que peut signifier un pareil symbole , et
qu'on ne sait d'ailleurs s'il pourrait être légitimement déduit de
l'équation Aa; = B , puisqu'il faudrait diviser ses deux membres
par zéro, il faut remonter à l'équation même.
Or, dans le cas où A et B sont nuls , cette équation est sa-
tisfaite d'elle-même, quelle que soit la valeur qu'on attribue à x ,
puisque les deux membres sont tous deux égaux à zéro. Le pro-
blème admet donc autant de solutions qu'on voudra ; et par consé-
quent V expression - est un symbole d'indétermination.
Si, par exemple, dans le problème du n° 120, on fait en même
temps les deux hypothèses m = et a == ô , la valeur de x
prend la forme - . Or, il est clair en effet que si aucun des deux
ouvriers n'a d'avance sur l'autre , et s'ils font chaque jour le même
nombre de mètres, le nombre total de mètres faits par chacun d'eux
sera continuellement le même, et que par conséquent toute valeur
imaginable de x sera une solution du problème.
On peut, en étudiant l'expression - en elle-même, recon-
naître également une quantité indéterminée. Concevons en effet
une fraction algébrique ^ ^^nt les deux termes décroissent en
conservant entre eux le même rapport. Ce rapport restant , par hy-
pothèse, le même, quelque petits que soient ses deux termes en
valeur absolue , on doit admettre qu'il restera encore le même à la
limite , c'est-à-dire quand les deux termes seront nuls et que la
fraction sera réduite à la forme - . Cette forme peut donc repré-
senter le rapport dont nous parlons. Mais, comme ce rapport est
quelconque d'ailleurs, on voit que - peut représenter telle quan-
tité que l'on voudra.
Remarque I. Puisque l'indétermination se manifeste aussi bien
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 99
sur l'expression - que sur l'équation A^ = B d'où elle est dé-
duite , on voit que la déduction se trouve légitimée , bien qu'elle
consiste alors à diviser les deux membres de l'équation par zéro.
Remarque II. Il faut observer toutefois que la valeur de x peut
prendre la forme - , sans qu'il y ait indétermination réelle , lors-
qu'on a négligé de supprimer les facteurs communs au numérateur
et au dénominateur.
Supposons, par exemple , qu'un problème ait conduit à la valeur
x =
a^ — 9b
2 >
et qu'on fasse les hypothèses particulières a = 6 et 6 = 2 , on
trouvera
^ = 0»
ce qui semble indiquer, dans ce cas, une indétermination du pro-
blème. Mais si l'on observe, que les deux termes de la valeur
de X sont divisibles par a — 3 ô , et qu'on effectue cette divi-
sion , il restera
_ a + b
et si Ton fait , dans cette valeur ainsi simplifiée , les hypothèses
a = ô et 6 = 2 , qui avaient donné - , on trouve
8 2
^ = Î2 ^" ^ = 3'
valeur parfaitement déterminée.
On voit combien il est important de supprimer les facteut*s qui
peuvent être communs aux deux termes de la valeur de l'inconnue,
puisque, indépendamment d'une plus grande complication dans
l'expression de cette valeur, ils peuvent induire en erreur dans cer-
tains cas particuliers de la discussion du problème.
§ III. Discussion des problèmes du premier degré à deux inconnues.
124. Soient les deux équations :
ax+by = c [1],
a'x-\-b'y = c' [2].
I Pour en tirer les valeurs de x et de y , nous allons employer
100 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPiTRE IV.
la méthode des coefficients indéterminés, déjà indiquée au n" 80,
Multiplions la première équation par une indéterminée m et re-
tranchons-en la seconde membre à membre , il viendra
{ma — a!) x -\- {mb — b') y = me — c' [3] .
On a démontré au n° 81 que le système des deux équations
proposées peut être remplacé par le système formé de Fune d'entre
elles et de l'équation [3]. Or, on peut profiter de rindétermination
de m pour tirer à volonté de l'équation [3] , soit la valeur de x ,
soit celle de y .
Si , par exemple , on égale à zéro le coefficient de y , et qu'on
pose
mb — b' — O d'où w^ — -^ •>
l'équation [3] se réduit à
me — c
{ma — a') x=^mc — c d ou x =^—_ — t/ >
ma — a
ou, en mettant pour m sa valeur r > - .
^__i '__ cb'-bc' ^^^
b'a ~ab'~-ba
Si , au contraire , on égale à zéro le coefficient de x , ei qu'on
pose
ma — a'=0 d ou m=i:- ,
a . .
l'équation [3] se réduit à
,, , me — e'
{mb — b')y=^me — d d ou y = ,^^^n^. >
ou , en mettant pour m sa valeur - ,
a ^ ^ tt'c — ae' ac' — eu!
-^"a! , a'b — ab' ab' — ba'
- b — b
a
[5],
en changeant les signes au numérateur et au dénominateur , afin de
donner à la valeur de y le même dénominateur qu'a celle de x.
12o 11 y a un moyen mnémonique très-simple de se rappeler
ces valeurs iiéncrales, ou de les reformer directement au besoin.
DISCUSSION DES PROr.LÈMES DU PRExMILR M'CHf:: iOV
On écrit sur une même ligne les deux combinaisons ab et ba ;
on les sépare par le signe — , et dans chaque terme on accentue
la seconde lettre, ce qui donne ab' — ba' ; on a ainsi le dénomi-
nateur commun aux deux valeurs.
Pour former le numérateur de la valeur de x , il suffit de
remplacer, dans ce dénominateur, les lettres a et a' , par les
lettres c et c' ; c'est-à-dire chaque coefficient de œ par le
terme indépendant des inconnues qui lui correspond ; on obtient ,
en effet, ainsi cb' — bc' , qui est bien le numérateur de la valeur
de X .
Pour former le numérateur de la valeur de y , il faut remplacer
dans le dénominateur les lettres b et b' par les lettres c et
c' , c'est-à-dire chaque coefficient de y par le terme indépen-
dant des inconnues qui lui correspond; on obtient ainsi, en effet,
ac' — caf , qui est bien le numérateur de la valeur de y .
126. On peut se servir de ces valeurs générales pour résoudre
deux équations particulières. Il suffit pour cela d'y remplacer les
lettres a , b , c , a' , 6' , c' par leurs valeurs.
Soient, par exemple, les deux équations
5^-|-2?/ — 33
7j; — 3^ = 23
déjà traitées au n° 80. On aura , dans cet exemple ,
a=z^ , b^^l , r' = 33 , a! = 7 , &' = _3 , r'==23 .
Par suite , en substituant dans les valeurs générales [4] et [5] on
trouvera
_ 33X(— 3)— 2X23 _ — 99 — 46 _ — 145 _^
^~ 5X(— 3)— 2X7 ~-~i5— 14~— 29"'"'
_ 5X23 — 33X7 _ 115 — 231 _ — 116
'^"~5X(— 3) — 2X7~— 15 — 14~— 29'
comme au numéro cité.
Mais il sera , presque toujours , préférable de traiter directement
chaque exemple particulier. Le principal usage des valeurs géné-
rales est dans la discussion que nous allons faire.
127. Cette discussion a pour but d'examiner les formes les plus
remarquables que peuvent prendre ces valeurs lorsqu'on vient à
faire des hypothèses particulières sur la valeur des lettres qui y
entrent.
I. D'abord, si les hypothèses particulières donnent peur x et
y des valeurs positives , ces valeurs sont une réponse directe à la
question , et ne donnent lieu à aucune remarque.
r=^A
3 *
102 PREMIÈRE PATITIE. — CHAPITRE IV.
IL Si les valeurs particulières attribuées aux lettres donnent pour
' l'une des inconnues ou pour chacune d'elles une valeur négative ,
il pourra arriver que ce soit le signe d'une impossibilité dans le
problème; c'est ce qui aura lieu si la quantité dont il s'agit n'est
susceptible par sa nature d'être comptée que dans un seul sens.
Dans ce cas on suivra la marche déjà indiquée à l'occasion des pro-
blèmes à une seule inconnue : on changera dans les équations du
problème le signe de l'inconnue pour laquelle on aura trouvé une
valeur négative , et l'on cherchera le changement qu'il faut intro-
duire dans l'énoncé pour qu'il conduise aux équations ainsi modi-
fiées au lieu de conduire aux équations primitives. Il pourra arriver
aussi que la valeur négative trouvée puisse être admise comme ré-
ponse à la question ; c'est ce qui aura lieu si la quantité dont il
s'agit est susceptible d'être comptée indifféremment dans deux sens
opposés.
Nous allons donner des exemples de ces deux cas.
128. Problème. Un ouvrier a travaillé une première fois dans
une maison pendant 7 jours , sur 3 desquels il a eu avec lui un
apprenti, et il a touché 'H^ francs . Une seconde fois, le même ou-
vrier a travaillé pendant 11 jours, sur A desquels il a eu avec
lui son apprenti, et il a touché 47 francs . On demandece queyagnait
l'ouvrier par jour, et ce que lui rapportait le travail de son apprenti.
La traduction de cet énoncé conduit immédiatement aux deux
équations
7a;-f-3?/ = 29
lla; + 4?/ = 47 ,
dans lesquelles x représente le gain journalier de l'ouvrier, et
y ce que lui rapporte par jour le travail de son apprenti.
En éliminant y on trouve ^=5 ; et cette valeur, mise
pour X dans la première équation , donne
35 + 3?/ = 29 ; d'où ?/ = — 2 ,
résultat inadmissible.
Changeons donc le signe de y dans les équations du problème,
qui deviendront
707 — 3?/ = 29 ,
lia; — 4y = 47 ,
On voit que les quantités 3?/ et Ay , qu'on avait d'abord re-
gardées comme additives, doivent être au contraire regardées
comme soustractives ; c'est-à-dire que l'apprenti, au lieu de rap-
porter chaque jour à son maître une somme y , lui coûte au
contraire une certaine somme. Il faudra donc poser la question de
DISCUSSION DES PROBrÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 103
cette manière : On demande ce que gagnait l'ouvrier par jour, ci ce
que lui coûtait son apprenti.
Avec cette modification, on trouve cP = 5 et y = 2 , qui
répondent alors directement à l'énoncé.
129. Problème. Deux courriers parcourent la même route ; Vun
fait 2i kilomètres par heure , V autre fait \) kilomètres dans le
même temps ; le premier a passé à minuit en unpolnt A situé sur
la route ; le second , h heures après, c^j^é en un point B situé
à d kilomètres au delà du point Wz On demande le lieu et
l'heure de leur rencontre.
^ A B
W K R
Nous supposerons d'abord que les deux courriers marchent dans
le même sens, de X vers Y . Soit R le lieu de la rencontre,
supposé situé au delà du point B . Désignons par x la dis-
tance BR , et par y le nombre d'heures écoulées depuis minuit
jusqu'à l'instant de la rencontre.
Le premier courrier aura parcouru la distance AR ou d-]-x
en y heures ; et comme il fait a kilomètres par heure , on
aura l'équation
ay = d-\-x [1].
Le second courrier aura parcouru la distance BR ou x en
y — A heures ; et comme il fait 6 kilomètres par heure, on aura
pour seconde équation
b(y-^h) = x ^ ^ [2].
Éliminant x , on obtient
ay=zd+b{y—h) , d'où y= ^^ [3].
^ .^ , d — bh — ah-\-bh d — ah
Par suite y — /i = • 7 — ' — = r- ;
•^ a — b a — b
. b{d—ah) p.-,
et enfin x = — --^ [4],.
a — b
Si Ton a «>6 et d'^ah , on aura à plus forte raison
d'^bh ; les termes des valeurs de x et de y étant positifs,
ces valeurs seront positives elles-mêmes, et répondront directe-
ment à la question. Si, par exemple, on suppose a=:12^, 6=9'',
d = 63^ et ^=4 heures , on trouve
x=45^ et y — 9^ .
C'est-à-dire que les courriers se rencontreront à 45 kilomètres
au delà du point B , et que la rencontre aura lieu à 9 heures
du matin.
\0h PREMIÈRE PARTIE. —CHAPITRE IV.
Supposons, au contraire, que l'on ait a^b et d^hh ;
mais en même temps d<^ah , on trouvera pour y une valeur
positive , mais pour ./; une valeur négative. Comme la distance
BR est susceptible d'être comptée indifféremment à droite ou à
gauche du point 13 , c'est-à-dire comme x est une quantité
algébrique, nous savons que les valeurs négatives n'ont rien d'ab-
surde et peuvent s'interpréter; ayant admis comme positives les va-
leurs comptées vers la droite, nous admettrons comme négatives
celles qui seront comptées,yers la gauche. La solution s'interprétera
donc en disant que la rencontre, au lieu de se faire «w f/e/à du
point B se fera en deçà de ce point, en R' par exemple.
C'est ce qui doit être, en effet; car ah étant le chemin par-
couru par le premier courrier dans h heures , la condition
d <^ah indique que , à h heures après minuit , il aura parcouru
une distance plus grande que d , et dépassé par conséquent le
point B au moment où le second courrier y arrive ; et comme il
va plus vite que celui-ci , la rencontre ne pourra avoir lieu au delà
du point B .
Soient, par exemple, a^^ll^ ^ ^?=9\ (Z = 42^ et /i=4 ,
on trouvera
?/ = 2 et x—'—l^^ ;
c'est-à-dire, d'après l'interprétation précédente, que la rencontre
aura lieu à 2 heures du matin , et à 18 kilomètres en deçà du
point B,
On arriverait aux mêmes résultats en traitant la question directe-
ment dans l'hypothèse d'une rencontre entre A et B . Soit,
en effet, R' le point de rencontre, et faisons BR'=^ . Le
chemin parcouru par le premier courrier sera AR' ou d — x\
on aura donc pour première équation ^
ay = d — X .
Le chemin parcouru par le second courrier sera BR' ou x ;
quant au temps employé, ce ne sera plus y — h, mais bien
]i — y ; car pour que la rencontre ait lieu entre A et B , il
faut nécessairement que l'instant de la rencontre précède celui où
le second courrier arrive en B , c'est-à-dire que y doit être
moindre que h . On aura donc l'équation
b{h-~y)—x .
Or, ces deux équations pourraient se déduire des équations primi-
tives [1] et [2], en y changeant x en —x \ elles conduiront
donc aux mêmes valeurs , sauf le signe de x .
Si l'on faisait les hypothèses a>b et d<bh , on aurait à
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 105
plus forte raison d<Cah , et les valeurs de x et de 7/ se-
raient toutes deux négatives. On trouvera l'interprétation de ce ré-
sultat en regardant à son tour y comme une quantité algébrique,
c'est-à-dire en supposant que y désigne un nombre d'heures sus-
ceptible d'être compté indifféremment avant ou après minuit; la
rencontre aurait lieu alors un certain nombre d'heures avant mi-
nuit, et à gauche du point B ; le point de rencontre serait même
situé à gauche du point A , en R'^ , par exemple. Cela résulte
de ce que la valeur absolue de x , qui est alors
b (ah — d) bah — bd
~ ou T— ,
a — b a — b
^ . 1 ad — bd . , 77^7 , X ^
est plus grande que — , ^puisquona bh^d ;cest-a-
dire qu'elle est plus grande que ^^ j— ou que d .
C'est ce qu'on voit encore en remarquant que bh est le che-
min parcouru dans h heures par le second courrier; et que,
puisque bh est plus grand que d , le second courrier était , à
minuit , à gauche du point A , et que , par conséquent , la ren-
contre n'a pu avoir lieu que de ce côté.
Si, par exemple, on a a=12^ , /> — 9^ , d=SO^ et h=4 ;
on trouve y = — 2 et x=^ — 54'' , c'est-à-dire, d'après l'inter-
prétation précédente , que la rencontre a eu lieu 2 heures avant
minuit, et à 54 kilomètres à gauche du point B (ou à 24 ki-
lomètres à gauche du point A ).
On peut encore vérifier ces résultats en traitant directement le
problème pour le cas où la rencontre serait supposée avoir lieu en
un point R" situé à gauche du point A .
En effet, soient x la distance BR" , et y le nombre d'heures
écoulées depuis l'instant de la rencontre jusqu'à l'arrivée du pre-
mier courrier en A , c'est-à-dire jusqu'à minuit. Le chemin par-
couru par le premier courrier en y heures sera AR" ou x — d ;
on aura donc pour première équation
ay = x — d .
Le chemin R"B ou x aura été parcouru par le second cour-
rier dans un temps qui se compose de y-\~h , puisque le second
courrier n'arrive en B que h heures après que le premier est
arrivé en A ; on aura donc pour seconde équation
a(y-\-h) = x .
Or, ces deux équations se déduisent des deux équations primi-
106 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
tives [1] et [2] en y changeant à la fois x en — x et y en
— y . Elles donneront donc les mômes valeurs avec des signes con-
traires.
150. Remarque I. Nous avons supposé jusqu'ici que le second
courrier passait en B , un nombre h d'heures après que le
premier a passé en A ; on pourrait supposer que cela a lieu au
contraire h heures avant. On va voir qu'il suffit pour introduire
cette hypothèse nouvelle de changer partout h en -—h ; en
sorte que les formules primitives resteraient applicables si l'on re-
gardait h comme une quantité algébrique susceptible d'être
comptée indifféremment en plus ou en moins. En effet, reprenons
le premier cas où la rencontre a lieu en R ; on aura comme plus
haut
ay=:d-\-x .
Le temps employé par le second courrier à parcourir l'espace BR
ou X , sera alors h + y , puisque le second part de B , un
nombre h d'heures avant que le premier parte du point A ; on
aura donc pour seconde équation
b(y + h)=x ,
équation qui ne diffère de celle obtenue dans le numéro précédent
qu'en ce que —h est remplacé par +/i , ou que h est
changé en —h . Il suffira donc pour obtenir les. valeurs de x
et y de changer, dans celles obtenues plus haut, le signe des
termes où entre h , ce qui donnera
d + bh , b{d + ah)
y:= ' , et x = '—7— .
^ a—b a—b
151. Remarque IL Nous avons supposé jusqu'à présent que le
premier courrier va plus vite que le second, ou qu'on a «> ^ ;
on pourrait faire l'hypothèse contraire. Le dénominateur des valeurs
de X et de y devenant alors négatif, les valeurs positives
trouvées plus haut deviendraient négatives et les négatives devien-
draient positives. On trouverait d'ailleurs facilement l'interprétation
de tous ces résultats; nous ne nous y arrêterons point.
Mais nous avons admis jusqu'ici que les deux courriers mar-
chaient dans le même sens ; voyons si les formules primitivement
obtenues seraient encore applicables au cas où les deux courriers
marcheraient à la renconte l'un de l'autre.
Admettons, par exemple, que le premier courrier allant de A
vers B et le second de B vers A la rencontre se fasse en R'
entre A et B . Soit x la distance BR' ; et supposons que le
second courrier arrive en B , un nombre h d'heures après que
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 107
le premier est arrivé en A . Soit enfin , comme ci-dessus , y le
nombre d'heures écoulées depuis le passage du premier courrier
en A , c'est-à-dire depuis minuit, jusqu'à l'instant de la ren-
contre.
Le chemin parcouru en y heures par le premier courrier sera
AR' ou cl — ^ ; on aura donc
ay = d — œ .
Le chemin x sera parcouru par le second courrier dans un
temps marqué par y — h , comme dans le premier cas; on aura
donc pour seconde équation
- 1. biy — h)=x . ',
De ces deux équations , on tire
d+hh , b{d—ah)
y=z — !^-— et x=:— — 7-j— .
^ a-f-0 a-\-o
Or, ces valeurs pourraient se déduire des valeurs primitives en y
changeant le signe de b et celui de x ; car elles donnent alors
d4-bh , ^h{d—ah) b{d — ah)
y = — V-T- et —x = , , ' ou x = p-r— .
^ a-\-b a-{-b a-\-b
On voit donc que les valeurs primitives seraient applicables au
cas qui nous occupe , si , d'une part , on continuait à regarder x
comme négatif lorsque cette distance est comptée à gauche du
point B , et si, de l'autre, ayant regardé b comme positif lorsque
ce nombre de kilomètres parcourus dans une heure par le second
courrier représentait un chemin fait vers la droite, on convenait de
regarder b comme négatif lorsqu'il représente un chemin fait
vers la gauche.
Il résulte de tout ce que nous avons dit dans ces trois derniers
numéros que les formules établies pour un cas particulier du pro-
blème que nous avons en vue deviennent applicables à tous les cas
de ce problème , lorsqu'on y regarde les quantités x , y ^ A ,
b , etc., comme des quantités algébriques, c'est-à-dire comme sus-
ceptibles d'être comptées indifféremment dans deux sens opposés.
Et toutes les fois que les quantités considérées sont effectivement de
cette nature, les formules établies dans un cas particulier devien-
nent applicables à tous ; c'est là une vérité qui ne peut être direc-
tement démontrée, mais qui a été vérifiée un assez grand nombre de
fois pour qu'on puisse la regarder comme bien établie.
Nous allons maintenant reprendre la discussion des valeurs géné-
rales du n° 124 :
cb' — bc' ac' — cd
^—ah—ba! y — ab'—bd \
108 PREMltUE PARIFE. —CHAPITRE IV.
152. III. Nous venons d'examiner, dans ce qui précède, tous les
cas où aucun des deux termes de ces valeurs générales ne devient
nul. Il nous reste à examiner ceux dans lesquels l'un de ces termes
ou tous deux à la fois prennent la valeur zéro.
Si l'un des numérateurs prend seul la valeur de zéro, celui de x
par exemple, il en résulte une valeur nulle pour x , ce qui
n'offre aucun caractère d'impossibilité.
Si les deux numérateurs sont nuls , sans que le dénominateur
commun le soit, x et v/ sont nuls en même temps. C'est ce
qui a lieu quand on fait les hypothèses c = et c'=0 . Il est
clair d'ailleurs que cela ne peut avoir lieu que dans ce cas. Car les
valeurs x = et ?/ = rendant nuls les premiers membres
des équations
(ix-\-by=::c et u'x-\-Vy^=^c' ,
ces équations ne peuvent être satisfaites par ces valeurs qu'autant
que les seconds membres sont nuls.
155. IV. Si le dénominateur commun prend la valeur zéro, sans
que les numérateurs soient nuls, les valeurs de x et de y pren-
nent la forme - que nous avons déjà rencontrée (125) dans la
discussion des problèmes à une seule inconnue , et qui s'est pré-
sentée à nous comme le symbole de l'infini ou d'une impossibilité.
Comme on ne sait pas, a 'priori, si cette valeur peut être légiti-
mement déduite des équations proposées, puisqu'il faudrait pour
cela, quelle que fût d'ailleurs la méthode employée, diviser les
deux membres d'une équation par zéro , il faut remonter aux équa-
tions m mes :
ax~\-by = c et a'x -[- b'y =:'c'.
Pour les mieux comparer, multiplions la première par 1/ et la
seconde par b ; elles deviennent
ab'x-{-bb'y = cb' et a'bx-{bb'y—bc' [A].
Or, si le dénominateur des valeurs de x et de y est nul,
on a
ab' — ba' = ou ab'=:ba' ;
dans les deux équations [A] les premiers membres sont donc identi-
ques sans que les seconds le soient ; ces deux équations et par con-
séquent les deux proposées sont donc incompatibles.
Remarque. L'impossibilité étant manifeste sur les équations comme
sur les valeurs qui en sont déduites , on peut regarder la déduction
comme légitime.
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 109
iôÂ. Prenons pour exemple le problème des courriers.
Si l'on suppose a = dans les valeurs de x et de y du
n° 129, on trouve
d—bh ^ h{d—ah)
2/--Ô- '^ ^^— ô— '
si Ton fait la même hypothèse dans les équations primitives
ay =:d-\- X et h [y — ^) = x
elles deviennent
ay:=d-\- X et a[y — /ô =^ ^^ ou uy = ah + x ;
sous celte forme, l'incompatibilité est manifeste , puisque l'on a les
mêmes premiers membres et des seconds membres différents.
En considérant le problème en lui-même , l'impossibilité n'est
pas moins évidente. Car, si la vitesse du premier courrier surpasse
de très-peu celle du second , il lui faudra un temps considérable
pour le rattraper, et la rencontre n'aura lieu qu'aune distance très-
grande. Si donc les deux vitesses deviennent égales , on peut dire
qu'il faudra au premier courrier un temps infini pour rattraper le
second , et que la rencontre aura lieu à une distance intniie.
15o. y. Si les deux termes de la valeur de l'une des inconnues
deviennent nuls, il en sera en général de même des deux termes
de la valeur de la seconde , et ces deux valeurs se présenteront
sous la forme ~ , qui , dans les problèmes à une seule inconnue ,
est un caractère d'indétermination (125).
Supposons , par exemple, que la valeur générale de x se pré-
sente sous cette forme , et qu'on ait à la fois
cf/~bc' = () et ab'—bcù=:0 ,
ou cb'=::bc' et ab' = ba' .
En divisant ces relations membre à membre, et supprimant les
facteurs communs , on en tire
ou ac' — a'c=0 ,
c'est-h-dire que le numérateur de la valeur de y est nul; et
comme elle a le même dénominateur que celle de x ,'û s'ensuit
qu'elle prend aussi la forme -- .
Comme on ne sait si ces valeurs peuvent être légitimement dé-
duites des équations, puisqu'il faudrait pour cela diviser les deux
membres d'une même équation par zéro, il faut remonter aux
a a
1 f
- —7-
ou
ac = ac
C c'
110 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
équations mêmes , ou plutôt aux équations [A] que nous en avons
déduites.
Or, en comparant ces équations , on reconnaît qu'elles sont iden-
tiques, puisque aU est égal à a'b , et ch' à hc' . Ces
deux équations, et par conséquent les deux proposées, rentrent
donc l'une dans l'autre; on n'a, pour résoudre le problème, qu'une
même équation sous deux formes différentes; il est donc indé-
terminé.
Remarque. L'indétermination se manifestant sur les équations
proposées comme sur les valeurs de la forme - qui en sont dé-
duites , on peut regarder la déduction comme légitime.
156. Prenons encore pour exemple le problème des courriers.
Si l'on suppose à la fois a= 6 et d = bh , auquel cas la va-
leur de y se présente sous la forme - , on déduit de ces re-
lations cette autre relation très-simple d = ah . Par suite la
valeur de x prend aussi la forme ^ • .
Si Ton remonte aux équations mêmes
ay = d-\-x et b(y — h)=:x ,
elles deviennent, en ayant égard aux hypothèses ci-dessus ,
ay = d-\-x et ay=ibh-{-x ou ay==d-\-x ,
c'est-à-dire qu'elles deviennent identiques.
On se rend également compte de l'indétermination en considé-
rant le problème en lui-même. On suppose,, en effet, a = b ,
c'est-à-dire que les deux courriers ont la même vitesse. On sup-
pose de plus d = bh , c'est-à-dire qu'il faut h heures au se-
cond courrier pour parcourir la distance d ; en d'autres termes,
il était en A , un nombre h d'heures avant d'arriver en B .
Il se trouvait donc en A à minuit , en même temps que le pre-
mier courrier ; et comme ils ont la même vitesse , ils doivent se
trouver et s'être trouvés ensemble en tous les points de la route ,
c'est-à-dire que le problème qui consiste à trouver le lieu et l'heure
de la rencontre est un problème indéterminé.
Remarque. Il est bon de remarquer que, quoique le problème
soit indéterminé lorsque les deux équations rentrent l'une dans
l'autre, il n'en faudrait pas conclure que les valeurs de x et
de y sont arbitraires. Elles sont évidemment liées par l'équation
unique qu'a fournie le problème.
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 111
Ainsi , dans l'exemple des courriers , la distance x et le nombre
d'heures y , restent liés par l'équation
mj=^d^x d'où X — ay:=d .
On pourra bien attribuer à y , par exemple , telle valeur qu'on
voudra; mais il faudra donner à x la valeur qu'on tirera de cette
équation.
157. VI. Il y a un cas où la valeur de l'une des inconnues prend
la forme - , tandis que l'autre prend la forme - . Ce cas se
présente quand les hypothèses introduites annulent à la fois les
coefficients d'une même inconnue dans les deux équations.
Si , par exemple , on suppose à la fois « = et a' = , les
valeurs générales de x et de y deviennent
cb'—hc' ,
x^—^— et y = -^ .
Si l'on remonte aux équations primitives , on voit qu'elles se ré-
duisent alors à
ôz/ = c et b'y=^c' ,
équations incompatibles , puisqu'elles donnent pour y deux va-
leurs ^ et ^, qui ne sont point supposées égales. En même
temps , sous un certain point de vue , il y a aussi indétermination ,
puisque, x n'entrant plus dans ces équations , il est permis d'at-
tribuer à cette inconnue telle valeur que l'on voudra. Mais on ne
peut concilier clairement ces deux caractères que par des considé-
rations géométriques qui ne sauraient trouver place ici '^.
Cette circonstance se présente dans le problème des courriers
quand on suppose à la fois a = et h=0 , c'est-à-dire que
la vitesse de chaque courrier est nulle. On trouve alors
d ,
Il est évident, par les hypothèses mêmes, que le problème
est impossible si d n'est pas nul, c'est-à-dire si les courriers,
devenus immobiles, ne sont pas au même point.
* Les équations ly — c et h'y = c' , représentent deux parallèles a l'axe
des X ; le point de rencontre a donc une abscisse infinie. Mais comme ce point
de rencontre n'est pas plutôt sur l'une des parallèles que sur l'autre , ni même
que sur toute autre droite parallèle aux deux premières, l'ordonnée de ce
point est indéterminée.
que les quantités i, 6t y; sont supposées égales.
112 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
Remarque. Si l'on a à la fois a = , «' = et bc' = cb' ,
les valeurs de x et de y se présentent toutes deux sous la
forme - ; mais il est bon de remarquer que, pour la valeur
de y , l'indétermination n'est alors qu'apparente. En effet, de
cl)'
la relation bc' = cO' on tire c' = -r . Introduisons cette va-
b
leur dans l'expression générale de y ; elle deviendra
' b acb' — bca' c(ab' — ba')
y— ab' — ba' " b{ab'—ba')~~ b{cib'-—ba') '
ou, en supprimant le facteur ab' — bcd commun aux deux termes,
c
y=i '
ce qui devait être, puisque ce cas ne diffère du précédent qu'en ce
b '' j'
§ IV. Discussion partielle des problèmes du premier degré à trois inconnues.
158. Comme cette discussion est beaucoup plus longue et a
beaucoup moins d'intérêt que celle des problèmes à deux incon-
nues; comme d'ailleurs elle ne peut être clairement exposée sans le
secours de certaines considérations géométriques "^^ nous nous bor-
nerons à former les valeurs générales des inconnues, et à signaler
quelques cas particuliers dignes de remarque.
Soient les trois équations :
ax -\-by -{~cz =d [1],
a'œ~\-b'y-\-c'z=^d' [2],
a'x+b'y+c'z=:d" [3].
Pour obtenir les valeurs de a: , y et z propres à vérifier à
la fois ces trois équations, nous emploierons encore la méthode des
coefficients indéterminés. Multiplions la première équation par une
indéterminée m , la seconde par une indéterminée n ; ajou-
tons membre à membre ces deux équations , et retranchons -en
membre à membre la troisième , il viendra
{am + a'n —,«'0 x + (bm + b'n — U')y -f- icm + c'n — c") z
=^dm-\-d'n-'d' M-
* La résolution de trois équations du premier degré a trois inconnues revient
a la reciierche du point d'intersection de trois plans.
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 113
Le système des trois équations proposées pourra être remplacé
par le système des deux premières et de l'équation [4]. Pour le faire
voir, remarquons que si, afin d'abréger l'écriture, on suppose
qu'on ait fait passer tous les termes de chaque équation dans un
seul membre, et qu'on représente les trois proposées par
A=rO , A' = , A r=:0 ,
l'équation [4] pourra être représentée par
Am + A'?i — A'' = 0.
Or, tout système de valeurs de x , y , z qui satisfera aux
trois équations proposées , annulera A , A' et A'' ; donc il
annulera aussi km + k!n —A'' ; donc il satisfera à l'équation [4].
Réciproquement : tout système de valeurs de x , y , z qui
satisfera aux équations [1] , [2] et [4] annulera A et A' , et de
plus km + k'n~-M' . Mais puisque A et A' sont nuls,
cett-e dernière expression ne peut être nulle qu'autant que A'' est
aussi annulé; ces valeurs satisferont donc à l'équation [3]. Donc en-
fin les systèmes [1], [2], [3] et [1], [2], [4] sont équivalents.
159. Cela posé , si nous voulons obtenir la valeur de x , pro-
fitons de l'indétermination de m et de n pour égaler à zéro
les coefficients de y et de z dans l'équation [4] , et posons
bm-\-h'n=^b" [5],
cm-\-c'n^=c" [6].
L'équation [4] se réduira à
{am-{-a'n—ci')x=zdm-\-d'n~(i' ;
1, . dm-\-d'n — d"
d ou X = — 4—; m '
am-\-an — d ^ -•'
valeur dans laquelle il n'y aura plus qu'à mettre pour m et pour n
les valeurs tirées des équations [5] et [6].
Or, en appliquant ici la loi de formation des valeurs générales ti-
rées de deux équations du premier degré à deux inconnues (125),
on trouve
^^ ye-d'v ^ bc"^cb"
Mettant ces valeurs dans l'expression [7], et multipliant , haut et ba;?,
par bc' — cb' , on obtient
^ d{b"c'—c"b') + d'{bc"~cb ")--d'Xbc'^cb') ^..
a {b"c'--c"b') + a' {bc" ~ cb") — a!'b c'—cb') '-^^*
On remarquera que le numérateur de cette expression peut se
déduire du dénominateur en y remplaçant a , a' , a" par
U^l PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
d , d , d' ; c'est-à-dire les coefficients de x par les termes
indépendants des inconnues ; remarque qu'on aurait déjà pu faire
sur l'expression [7]. Reste donc à trouver la loi de formation du dé-
nominateur.
Or, en développant les calculs et changeant tous les signes au nu-
mérateur et au dénominateur, ce qui n'altère pas la valeur de o^ ,
on trouve pour dénominateur
ah'c"-- ac'b"-\-cab"'- ba!c" + bc'd'---cb'd' ;
polynôme qui peut être formé de la manière suivante : :
On prend les deux lettres a et b dont on forme les deux
permutations ab et ba . Dans chacun de ces produits on in-
troduit successivement c à la troisième , à la seconde et à la pre-
mière place, ce qui donne
ahc , acb , cab , bac ^ bcd , cba . .
On donne alternativement à ces termes le signe -|- et le signe -^ ,
ce qui donne
abc — acb -\- cab — bac -f- bca — cba .
Enfm , dans chaque terme on met un accent à la seconde lettre et
deux accents à la troisième , ce qui donne
aUc"--- ac'b" + ca'b" — baY + bc'a" — cb'a" .
La valeur de x peut donc s'écrire
ab'c'—dc'b" + cd'b"— bd'c" + bc'dl'—cb'd!'
^- ■ab'c"—ac'b"+ ca'b'—ba'c'+bc'a'^cbV ^ J-
En opérant d'une manière tout à fait semblabïe, on trouvera :
ad'c"—ac'd"+ca'd"—da'c"+dc'a"—cd'a" .
y = abV^ac'b"+ ca'b"— ba'c"+ bc'a"—cb'a" ^ ^'
__ ab'd"— ad'b"+ da'b"— ba'cl' + bd'a"~ db'a"
- — ab'c"— ac'b" + ca'b" — bcic" + bc'a'—cb'd' ^ ^'
On reconnaîtra facilement : 1° Que les trois expressions ont le
même dénominateur ; 2" que pour former le numérateur de y il
faut changer b , b' , b" en d , d/ , d" ; 3» que pour for-
mer le numérateur de -s , il faut changer c , c , c en
d , d' , d" . En un mot, pour former le numérateur de chaque
inconnue, il faut, dans le dénominateur commun , remplacer les
coefficients de cette inconnue par les termes indépendants des m-
connues qui leur correspondent.
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 115
Ces valeurs sont des formules dont on pourrait se servir pour
trouver, dans chaque cas particulier, les valeurs des inconnues;
mais il sera presque toujours plus simple de résoudre directement
les équations particulières proposées. Le véritable usage de ces va-
leurs générales est dans la discussion dont nous allons toucher les
points principaux.
Pour abréger l'écriture, nous représenterons les valeurs ci-dessus
sous la forme
__A _B C
140. I. Si les hypothèses faites sur les données rendent x , y
et z positifs, ces valeurs sont une réponse directe à la question.
Si une ou plusieurs de ces valeurs deviennent négatives, et que
les grandeurs qu'elles représentent ne soient pas, par leur nature,
susceptibles d'être comptées indifféremment dans deux sens op-
posés , on changera dans les équations proposées le signe des hi-
connues pour lesquelles on aura trouvé des valeurs négatives , et
l'on cherchera les changements qu'il faut faire dans l'énoncé du pro-
blème pour qu'il conduise aux équations ainsi modifiées ; on sera
certain alors de trouver pour les inconnues des valeurs positives.
Si l'on trouve pour les inconnues des valeurs nulles , ces valeurs
n'offrant par elles-mêmes aucun caractère d'impossibihté , elles
seront encore une réponse directe à la question.
Ce cas se présenterait si l'on avait à la fois 6? = , rf'=i et
c?" r= , comme on peut le voir. Il est clair d'ailleurs que cela ne
pourra avoir lieu que dans ce cas ; car des valeurs nulles mises
pour X , îj et z , rendant nuls les premiers membres des
équations proposées , ces équations ne peuvent être satisfaites par
ces valeurs qu'autant que les seconds membres sont nuls.
141. II. Nous avons vu que le système des trois équations pro-
posées peut être remplacé par le système formé de deux d'entre
elles , les deux premières par exemple , et de l'équation [4] du
n** 138. Or, on démontrerait de la même manière qu'on peut sub-
stituer à l'équation [4] toute équation obtenue en multipliant res-
pectivement les trois proposées par des facteurs quelconques , mais
finis et différents de zéro , et en faisant la somme des résultats ob-
tenus.
Cela posé , multiplions la première équation par b"c' — d'V , la
seconde par hc"~ch" , la troisième par b'c — c'h , et ajoutons-
les membre à membre. Tous les termes en y s'entre-détruiront ;
il en sera de même des termes en s , et l'équation résultante se
réduira à
116 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
On arriverait encore au môme résultat si l'un de nos trois multi-
plicateurs était nul. Supposons, par exemple, que h'c — c'h soit
nul. Multiplions la première équation par b"c' — c"U , la seconde
par bc" — cb" et ajoutons ; les termes en y se réduiront à
bb"c'y—b'b"cy ou à b"{bc' -'C'b)y ,
c'est-à-dire à zéro puisque bc' — c'b est nul. Il en sera de même
des termes en ^ ; et l'équation résultante se réduira encore à
Dx = X [121;
D et A ayant alors des valeurs différentes de celles qu'ils ont
quand bc' — c'b n'est pas nul.
Ainsi , tant qu'il n'y aura pas plus d'un des trois multiplicateurs
qui s'annule , on pourra remplacer le système des trois équations
proposées par le système des deux premières et de l'équation [12].
On démontrerait exactement de la même manière que, pourvu
qu'il n'y ait pas plus d'un des trois binômes ac'—ca' , a!c"—c'a!'
QQ fji'c — d'a qui soit nul, on pourra remplacer le système des
trois proposées par le système de deux d'entre elles et de l'équation
Dy=:B [13].
De même enfin , pourvu qu'il n'y ait pas plus d'un des trois bi-
nômes ab' — bd, a:b" — b'a!', ou a!'b — b"a qui soit nul,
on pourra remplacer les trois proposées par deux d'entre elles et
par l'équation
D,.=:G [14].
Dans cette hypothèse, si le dénominateur D des valeurs géné-
rales s'annule pour certaines suppositions faites sur les données
sans qu'aucun des numérateurs A , B ' ou C s'annule en
même temps, le système des équations proposées sera mcompatible.
Car il pourra être remplacé par deux de ces équations et par une
équation telle que [12], qui est alors impossible, puisque D est
nul sans que A le soit, et qu'elle se réduit par conséquent
à = A .
Si les trois numérateurs A , B , C , s'annulent en même
temps que le dénominateur D , le système des é^iuations propo-
sées sera indéterminé ; car il pourra être remplacé par deux de ces
équations et par une équation telle que [12] , qui est alors satisfaite
d'elle-même puisque A et D sont nuls, et quelle se réduit
à = .
Ainsi , tant qu'il n'y a pas , dans chaque groupe de trois binômes
tels que bc' — cb' , etc., considérés ci- dessus, plus d'un bi-
nôme qui s'annule, on peut affirmer que si les valeurs de x , y ,
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 117
A
z , se présentent toutes les trois sous la forme — , le système pro-
posé est incompatible ; et que si ces valeurs se présentent toutes les
trois sous la forme - , le système est indéterminé.
Si l'une se présentait sous la forme - et les autres sous la
N N
forme — ; ou l'une sous la forme — et les autres sous la
forme -, il y aurait à la fois incompatibilité et indétermination ;
ce qui ne peut être rendu sensible que par des considérations géo-
métriques *.
142. ni. Si dans l'un des trois groupes de binômes, il y en a
deux qui soient nuls, le troisième est nul également. Soient par
exemple
■ ■ ■ c'h'=zO ,
bc' —
eb'=:0
et
b'c'-
— c
on en tire facilement
b b'
et
b'
b"
'' c"
Par conséquent il en
résulte
- = ^ ou bc" — cb" = (i .
ce
Dans cette hypothèse, reportons-nous à la valeur [8] de œ ,
trouvée au n" 159. Les trois binômes qui s'annulent sont multi-
pliés respectivement par « , a' , a!' au dénominateur, et par
y/ , d\ d" au numérateur ; il en résulte que les deux termes se
réduisent à zéro et que x se présente sous la forme - .
Il peut arriver alors qu'il y ait au moins une des deux autres
N
valeurs qui se présente sous la forme - , ou qu'elles se présentent
toutes les deux sous la forme - .
Examinons d'abord le premier cas ; et supposons , pour fixer
les idées, que ce soit la valeur de z qui se présente sous la
forme - . Il faut pour cela qu'il n'y ait pas plus d'un des trois
binômes ab' — ba' , a'b" — b'a" , ou a"b — b'^a qui soit nul;
car, comme ces binômes sont multipliés au dénominateur par c" ,
* Exemple : deux plans parallèles coupés par un troisième.
118 _- PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
c , c' et au numérateur par d" , d , d\ s'ils étaient nuls
tous les trois les deux termes se réduiraient à zéro, ce qui est
contre l'hypothèse.
Mais , s'il n'y a pas plus d'un de ces trois binômes qui soit nul,
on pourra remplacer le système des équations proposées par deux
d'entre elles et par l'équation impossible [141]
D^ = C .
Ce système est donc incompatible.
Si les valeurs de y et de z prennent toutes deux la forme -
en même temps que celle de x , on ne pourra rien conclure en
général, et il faudra remonter aux équations proposées.
Supposons , par exemple , que les neuf binômes ah' — ha' ,
ah" — ba!' , hc' — h'c , etc. soient nuls, ou, ce qui revient au
même , qu'on ait la suite de rapports
a:h:c::a':h':c'\\d''.h"\c" .
Les valeurs des trois inconnues se présenteront sous la forme - .
Or, si l'on multiplie respectivement les trois équations par a' a!' ^
par ad' et par aa' , les trois premiers membres deviendront
identiques , tandis qu'il pourra arriver : ou que les seconds mem-
bres soient tous différents , auquel cas il y aurait incompatibilité
entre ces trois équations ; ou que deux seulement de ces seconds
membres soient égaux , auquel cas le système se réduirait à deux
équations incompatibles ; ou enfin que les trois seconds membres
soient égaux , auquel cas le système se réduisant à une seule équa-
tion, il serait indéterminé.
Ainsi , les valeurs des trois inconnues peuvent se présenter toutes
les trois sous la forme - , soit que le système soit incompatible ,
ou à la fois incompatible et indéterminé, ou enfin totalement indé-
terminé. Il faut donc, alors, recourir aux équations elles-mêmes
pour reconnaître directement le cas d'impossibilité ou d'indétermi-
nation qu'elles présentent.
PREMIÈRE PARTIE. ItB
CHAPITRE V-
ANALYSE INDÉTERMINÉE DU PREMIER DEGRÉ.
§ I. Résolution ea nombres entiers d'une équation du premier degré à deux
indéterminées.
i45. Lorsqu'un problème qui comporte n inconnues , ne
fournit que n—p équations, on peut se donner arbitrairement
p de ces inconnues, et en déduire les n—p autres. Le problème
est donc indéterminé. L'analyse indéterminée a pour objet de ré-
soudre en nombres entiers les équations numériques qui renferment
un nombre d'inconnues supérieur à celui des équations mêmes.
Dans ce paragraphe, nous nous occuperons de la résolution en
nombres entiers d'une équation du premier degré à deux inconnues ,
ou , suivant l'expression consacrée , à deux indéterminées.
Une équation numérique du premier degré à deux indéterminées
peut toujours être mise sous la forme
ax+bij — c , [1],
dans laquelle a ^ 6 et c sont des nombres entiers positifs
ou négatifs , et tels qu'il n'y ait pas de facteurs communs à tous les
termes. *
144. Il faut remarquer d'abord qu'une pareille équation ne peut
admettre de solutions entières qu'autant que les coefficients a et
h des deux indéterminées sont premiers entre eux.
En effet, s'ils avaient un facteur commun , ce facteur diviserait
exactement le premier membre , puisque x et y sont supposés
entiers ; il devrait donc aussi diviser le second membre , ce qui est
contre l'hypothèse, puisque l'on a supprimé les facteurs communs
à tous les termes.
14o. S'il existait un facteur commun entre a et c , ou entre
6 et c , l'équation pourrait être simplifiée. En effet, soient
a=a'm et c=c'm , a' , c' et m étant des nombres en-
tiers. Remplaçons a et c par ces valeurs , et divisons par m;
il viendra
' m
120 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.
Or, c' étant entier ainsi que «'^ , il faut que — soit entier,
c'est-à-dire que m divise le produit hy ; mais il est premier
avec h , puisqu'il n'y a pas de facteur commun à tous les termes;
il faut donc qu'il divise exactement y . Soit y' le quotient , en
sorte qu'on ait y=mif ; l'équation proposée se réduira à
a'x-\-hij'=c' ,
équation dont les termes sont plus simples. Quand on l'aura résolue,
il suffira de multiplier par m les valeurs de y' pour obtenir
celles de y .
146. Nous supposerons donc que dans l'équation à traiter il n'y
ait plus de facteur commun entre les coefficients considérés deux
à deux.
Nous allons faire voir que si l'on avait trouvé, par un moyen
quelconque, un système de valeurs entières, ^=a et y=p
par exemple, propre à vérifier l'équation proposée, on pourrait
obtenir sur-le-champ tous les autres systèmes analogues.
En effet, puisque a et [3 , mis pour x et y ^ vérifient
par hypothèse l'équation proposée , on a
Si l'on retranche cette relation de l'équation proposée, membre à
membre , on obtient
d'où x = o(.
a{X'-(x)-\-b(y—li)=0
àjy-?) ^
a
Or, puisque x doit être entier, et que le prfemier terme a de
sa valeur est entier , il faut que le second le soit , c'est-à-dire que
a divise le produit b{y — p) ; et comme a est premier avec 6,
il faut qu'il divise y — p . Appelons t le quotient entier de cette
division , nous aurons
^-^ = t , d'où y==^ + at ^ [2].
Mettant t à la place de ~ — - dans la valeur de x , elle
^ a
devient
x=zoi-^l}t [3].
Il suffira de donner à t des valeurs entières, positives ou néga-
tives pour obtenir autant de systèmes correspondants de valeurs
entières pour x et pour y .
ANALYSE INDÉTERMINÉE. 121
La démonstration même prouve que tous les systèmes de valeurs
entières sont compris dans ces formules; et l'on vérifierait a poste-
riori qu'elles satisfont à la proposée en y substituant pour x et
pour y les valeurs [3] et [2]; les termes en t disparaissent
d'eux-mêmes, et il reste
relation qui est vérifiée par hypothèse.
On voit donc que lorsqu'on aura trouvé pour x ei y un
système de valeurs entières a et p , on formera leurs valeurs
générales en ajoutant à a et à p le produit d'une nouvelle in-
déterminée entière t par le coefficient de x , s'il s'agit de la
valeur de y , et par le coefficient de y pris en signe contraire ,
s'il s'agit de la valeur de x .
Il est clair , d'ailleurs , que comme t peut être changé en —t ,
on pourra prendre a en signe contraire et h avec son signe.
Remarque. La suite des valeurs de x forme une progression
arithmétique dont la raison est le coefficient de y ; et la suite des
valeurs de y forme une progression arithmétique dont la raison
est le coefficient de x . Mais ces deux progressions seront l'une
croissante et l'autre décroissante , si a et b sont positifs; elles
seront toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes si a
et b sont de signe contraire. , .
147. Tout se réduit donc à trouver un système de valeurs entières
pour X et pour y .
Remarquons d'abord que , dans quelques cas particuliers , on ob-
tiendrait immédiatement ce système de valeurs. Par exemple , si c
était nul , on satisferait à l'équation en prenant x=^0 et y=0 .
Si c était un multiple de a , et qu'on eût c^=ma , on satis-
ferait en posant x==zm et ?/:=0 . Si c avait la forme
nbdzma , on satisferait en posant x=zç:m et y = n . .
Hors ces cas , il faut une méthode particulière pour trouver un
système de valeurs. Voici celles que l'on emploie.
L Résolvons l'équation proposée par rapport à celle des deux
indéterminées qui a le plus petit coefficient. Soit a<ib ; tirons la
valeur de x , il viendra
c — by
x= .
a
Je dis que si l'on substitue pour y une suite de nombres po-
sitifs , 1 , 2 ,... jusqu'à -\-p ; et une suite de nombres
négatifs, — 1 , — 2 ,... jusqu'à — r/ , en sorte que p-^-q
soit égal à a — 1 , il y aura dans ces substitutions une valeur
de y qui donnera pour x un nombre entier.
1 22 PREMIÈRE PARTIE. -— CHAPITRE V.
En effet, soient -{-y' et —y" , par exemple, deux de ces
substitutions ; soient q' et g" les quotients positifs ou négatifs
qu'on obtiendra en divisant c — by' et c-\-by'' par a ; les
restes devront nécessairement différer. Car si les deux divisions
donnaient le même reste r , on aurait en même temps
c — bif =aq' -{-r
c + bi/'=:aci'-^r ,
d'où , en retranchant la première identité de la seconde
b{y'+y")=a{^'-cï) .
Or, a divisant le second membre devrait diviser le premier ;
mais a est premier avec b ; il devrait donc diviser ])' -\-y" .
Mais y' ne pouvant surpasser p , et y" ne pouvant surpasser
q , la somme y' -\-y" ne peut surpasser p-\-q ou a — 1 ;
elle ne saurait donc être divisible par a .
Il en serait de même , a fortiori, s'il s'agissait de deux substitu-
tions prises toutes deux dans la série des nombres positifs , ou toutes
deux dans la série des nombres négatifs.
Donc , tous les restes résultant de ces substitutions seront diffé-
rents. Mais le nombre de ces restes , égal au nombre des substitu-
tions, est p + q-\-l ou a ; et puisque ces restes ne peuvent
surpasser le diviseur a , il faudra qu'un d'entre eux soit égal à
zéro. Le nombre correspondant mis pour y donnera donc
pour X un nombre entier ; et l'on aura ainsi un système de va-
leurs entières de x et de y .
Soit, par exemple, l'équation
21-1-8?/
On en tire
o
Substituons pour y les nombres , -|-1 , -[-2 et — 1 ,
— 2 ; nous trouverons que ~2 donne pour x un nombre
entier -\- 1 . Les valeurs de x et de y seront donc
^ — 1+8^ et ?/ = — 2-|-5^ ,
en prenant le coefficient -)-5 avec son signe, et le coeffi-
cient — 8 en signe contraire.
148. IL Résolvons encore l'équation proposée par rapport à
l'indéterminée qui a le plus petit coefficient; soit a<,b ; tirons
la valeur de x , il vient
ANALYSE INDÉTERMINÉE. 123
Effectuons , autant qu'il est possible , la division de b par a ;
soient q le quotient et r le reste ; nous aurons
, c — ry
•^=—^2/ H — —- •
Le premier terme de la valeur de x étant entier , il faut que le
second le soit : égalons-le à une indéterminée entière t , nous
aurons
(c^—qy+t [2],
relation où 1/ et if représentent des nombres entiers qui satis-
font à l'équation
^=:t ou at-\-ry=e [3],
Cette équation est de même forme que la proposée , et il s'agit
aussi de la résoudre en nombres entiers ; mais le coefficient r est
moindre que le coefficient b de la proposée .
Traitons cette équation comme la proposée. Résolvons-la par
rapport à l'indéterminée y qui a maintenant le plus petit coeffi-
cient , puisque le reste r est moindre que le diviseur a de la
division qui l'a fourni ; il viendra
c — at
?/ = .
^ r
Divisons a par r ; soient q' le quotient et r' le reste;
nous aurons
Le premier terme de la valeur de y étant entier , il faut que le
second le soit; égalons-le à une nouvelle indéterminée entière f ;
il viendra
y^-g't+t^ . M,
relation oti t et t' représentent des nombres entiers qui satis-
font à l'équation.
î=:^^ = r ou r't + rt'=c [5].
Cette équation est encore de même forme que la proposée et doit,
comme elle , être résolue en nombres entiers ; mais le coefficient
/ est moindre que le coefficient a de l'équation précédente.
Traitons encore cette équation comme la précédente , et résol-
vons-la par rapport à l'indéterminée qui a le plus petit coefficient ,
c'est-à-dire par rapport à / : nous aurons
î — ^ , «
124 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.
Divisons r par r' ; soient q" le quotient et r" le reste ; il
viendra
c r"t'
^^„,yr + £_Li .
Le premier terme de la valeur de t étant entier , il faut que le
second le soit; égalons-le à une nouvelle indéterminée entière f ,
nous aurons
/ = — grY + f ' [6];
relation où i' et f représentent des nombres entiers qui sa-
tisfont à l'équation ^
"—^r^f ou rY-frr = c [7],
équation de même forme que la proposée , mais à coefficients plus
simples.
En continuant ainsi , on ramène successivement la résolution de
l'équation proposée à celle d'une série d'équations de même espèce,
dont les coefficients sont de plus en plus petits. Mais, si l'on fait at-
tention aux opérations eflectuées , on remarque qu'on a divisé d'a-
bord a par b , puis h par le reste r de la division précé-
dente , puis r par le reste / de la division qui précède , et
ainsi de suite ; c'est-à-dire qu'on effectue sur a et b les mêmes
calculs que si l'on cherchait le plus grand commun diviseur entre
ces nombres. Or, ces nombres sont premiers entre eux ; on devra
donc parvenir à un reste égal à l'unité. Soit r" ce reste égal à 1 ;
en sorte qu'on ait
t'-{.r'f = c .
On en tire t' — c — r'f ;
et il suffira de donner à t" une valeur entière quelconque pour
obtenir une valeur entière correspondante de t' . Les valeurs en-
tières de t" et de t' mises dans l'équation [6] donneront pour
t une valeur entière; ces valeurs entières de t' et de t mises
dans l'équation [4] donneront une valeur entière pour y ; enfin
ces valeurs entières de t et de y mises dans Téquation [2]
donneront une valeur entière correspondante pour x .
On pourra effectuer ces substitutions successives sans donner d'a-
bord aucune valeur particulière à ^' ; on obtiendra ainsi les valeurs
de y et de x exprimées au moyen de la seule indéterminée
t" . Il suffira, dans ces expressions, de donner à f une valeur
entière, positive ou négative quelconque; on en déduira immédiate-
ment un système de valeurs entières pour x et y . ;
Prenons pour exemple l'équation
8.z:-f 13y — 159;
ANALYSE INDÉTERMINÉE. 125
les calculs précédemment indiqués donneront successivement :
169— Uy ^^ . 7—52/ ,^ , ,
en posant '^^^-^ =zt ou 5?/ + 8^=7.
Puis, y = ^^ = i^t + ^^ = l^t-^t' ;
en posant — 5~~^' ^^^ 3^ + 5^'=:2 .
Puis, ^=^^i:=_^'+^ii'^_>r+r ,
en posant '~^— = t" ou 2 ^' + 3 ^'' — 2 .
o
Puis, ^'=f_2i^i_^'^__L:^i_f__r ,
en posant f^=^1f . ■ ''
Mettant cette valeur dans celle de t' , on trouve
i^'=i— 2r— r=i— sr ;
mettant les valeurs de t' et de f dans celle de ^ , il vient
^=:— i+3r+2r=:--i+5r;
mettant les valeurs de t et de t' dans celle de y ,ovi obtient
?/=i+i--5r+i— 3r=3~8r .
Enfin , mettant les valeurs de y et de t dans celle de .c , on
trouve
^=19— 3+8r~i+5r=:i5+i3r .
Remarque. Cette méthode est indépendante de la propriété dé-
montrée au n° 146 pour la formation des valeurs générales de x
et de y \ mais en y ayant égard , on peut abréger notablement
l'application de la méthode. Dès qu'on parvient à une fraction dont
on peut annuler le numérateur par une valeur entière de l'indéter-
minée qui y entre, on obtient, en remontant de proche en proche, un
système de valeurs entières pour x et y , Qi par suite leurs
valeurs générales.
Par exemple, dans le calcul ci-dessus, dès qu'on est parvenu à
l'équation
126 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.
on voit qu'on peut annuler la fraction en posant ^'=1 , ce qui
donne t= — l ; par suite 2/=l + l+i=3 ; par suite encore
^ = 19 — 3—1 = 15 . En vertu de la propriété du n° i4G on peut
donc poser immédiatement
ic==15-fl3if et 2/=3 — 8^ ',
é désignant une indéterminée entière.
149. Cette méthode comporte plusieurs simplifications qu'il im-
porte de ne point négliger.
I. D'abord, il convient d'effectuer, autant qu'il est possible, la
division de c par a , comme celle de b par a ; en sim-
plifiant les coefficients des indéterminées, on simplifie aussi les
termes indépendants. C'est ce que nous avons fait dans l'exemple
traité au numéro précédent.
II. En second lieu, on peut toujours s'arranger de manière que
chaque reste soit plus petit que la moitié du précédent ; il suffit
pour cela de prendre les quotients par excès toutes les fois qu'en
les prenant par défaut la condition indiquée ne serait pas remplie.
Si , par exemple , on a
b=:aq-\-r
on pourra écrire, en ajoutant -j-a et — a,
b = aiq-\-l)-'(a—r) . ' '
Or , des deux restes r et a — r , l'un sera toujours moindre
que la moitié de a , puisque leur somme est égale à a . Il n'y
a d'exception que pour le cas où ces restes seraient égaux ; mais
alors il serait indifférent de prendre le quotient par défaut ou par
excès. ,
III. Enfin, il peut arriver qu'au numérateur de la fraction qu'on
égale à une nouvelle indéterminée , il existe un facteur commun à
tous les termes ; en le mettant en évidence , il en résulte une sim-
plification. Soit , par exemple , la fraction
c — by
d
Si c et & ont un facteur commun m et qu'on ait c = dm
et 6 = y m , c' et b' étant des nombres entiers , on pourra
écrire
m{(i' — b'y)
a
Or, pour que le numérateur soit divisible par a , il faut, puis-
que a est nécessairement premier avec m , facteur de /; ,
ANALYSE INDÉTERMINÉE. 127
que le binôme entre parenthèses d — h'ij soit divisible par a .
On posera donc en conséquence
"Ln^^t d'où at-\-Vy=.d ,'
- . ^
équation plus simple que l'équation at-\-htjz=c , à laquelle on
serait parvenu sans avoir égard au facteur m .
11 faut remarquer toutefois que cette simplification ne se présen-
terait qu'autant qu'on aurait négligé d'avoir égard dès le principe
au facteur m commun entre 6 et c , comme nous l'avons
expliqué au n° 1^3.
11)0. Le problème qu'on a en vue exige souvent, non-seulement
que les valeurs de x et de ij soient entières , mais encore
qu'elles soient positives.
En reprenant les valeurs générales du n° 146, on devra avoir (1 1 ï)
fs + a^>0 et a— 6^>0 .
On tire de la première inégalité (69), en y supposant a positif,
ce qui est permis ,
a
Si h est négatif dans l'équation proposée et qu'on ait b=.-^b' ,
la lettre b' désignant un nombre entier positif, la seconde inéga-
lité devient
a + 6'^>0 d'où i>-'^ •
Les deux limites obtenues pour t étant toutes deux des limites
inférieures, il suffira de donner à t des valeurs entières , algébri-
quement plus grandes que la plus grande de ces deux liniites ; par
conséquent, le nombre des solutions entières et positives pour
X et y sera illimité.
Si b est positif dans l'équation proposée , on tire de la seconde
inégalité
a'^bt d'où ^<C"Â •
On a ainsi pour t une limite inférieure et une limite supérieure.
S'il y a des nombres entiers compris entre ces deux limites , en les
mettant à la place de t on aura autant de systèmes de valeurs
entières et positives pour x et y ; mais le nombre en sera né-
cessairement limité. S'il n'y a aucun nombre entier compris entre
les deux limites , ou si elles sont contradictoires , c'est-à-dire si la
limite supérieure est algébriquement moindre que la limite infé-
rieure, il n'y aura aucun système de valeurs entières et positives.
128 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.
Dans l'exemple numérique traité plus haut , on a trouvé
y = — 2 + 5^ et œ=l-{-8t .
On en déduit pour t deux limites supérieures
t>l et ^>_1 .
2
11 suffira de donner à t des valeurs entières supérieures à p ,
o
c'est-à-dire, 1,2,3 etc. jusqu'à l'infinitif positif.
Si une équation à deux indéterminées avait fourni les valeurs
2/r= — 2 + 5/ et .^ = 31— 8/ ,
2 31
on en tirerait ^ > r ^^ ^ *^ ~5" •
b 8
On ne pourrait donc donner à l que les valeurs 1 , 2 et 3
qui sont comprises entre ces limites.
Si une équation à deux indéterminées avait fourni les valeurs
y = — 2 + 5/ et ^z=l — 8/ ,
2 1
on en tirerait ^!>x ^^ ^<!o ?
O o
limites contradictoires ; il n'y aurait donc aucun système de solu-
tions entières et positives.
ISl. Remarque. Quand le nombre des systèmes de valeurs en-
tières et positives est limité, on peut le déterminer à une unité
près avant de résoudre l'équation proposée.
En elîet , ce cas se présente lorsque a et b étant de même
signe , on obtient pour / deux limites , l'une inférieure et l'autre
supérieure
/>— " et i<j .
Supposons, pour fixer les idées, que a et fi soient positifs, au-
quel cas la première limite est négative et la seconde positive.
Soient p le nombre entier immédiatement inférieur à - ,et </ le
nombre entier immédiatement inférieur à - . Onne pourra don-
ner à / que les valeurs , 1 , 2 ,... jusqu'à -j-p , et
— 1 , —2 , —3 , etc., jusqu'à —q ; ce qui fait en
tout p-\-q-\-l valeurs.
ANALYSE INDÉTERMINÉE. 129
Or on a , par hypothèse ,
p<- et q<l d'où p+^<^ + ^ ,
P+fJ<
ou ^ ..j .««4-^.'^
ab
ouenfin p_j_^<;_L
puisque a et .8 forment un système de valeurs de ^ et de y
On aurait de même
i? + l>x et g+l>^ ,d'où 2^+q+2>~ .
Il résulte de là que la quantité ~ est comprise entre ;; + q et
P + <7 + 2 ' c'est-à-dire entre le nombre des valeurs de t dimi-
nué d'une unité et ce même nombre augmenté d'une unité. On aura
donc ce nombre de valeurs en prenant le quotient — ou par
excès ou par défaut.
Soit, par exemple, l'équation
7^ + 12?/ = 200 . >
Le quotient par défaut de 200 par 7 fois 12 ou 84 , est 2
le quotient par excès est 3 ; le nombre des valeurs entières et
positives ne peut donc être que 2 ou 3 . On trouve en effet :
y= — 2+7^ et ^ = 32—12^ .
L'indéterminée t doit donc être comprise entre - et ^^
7 12
8
ou - pour que x et y soient positifs; on ne peut donc
donner à t que les valeurs 1 et 2 ; ce qui ne fournit que
deux systèmes de valeurs ,
y= 5 , .r=20 ,
et y =12 , x= 8 .
lo2. Comme exemples de questions conduisant à une équation
à deux indéterminées, nous traiterons les deux suivantes :
[. Problème. Trouver un nombre dont le triple divisé par 8
donne pour reste 6 .
Soient x ce nombre, et y le quotient de 3^ par 8 ; on
devra avoir l'égalité
3^ = 8?/-f-5 .
9
130 PREMIÈRE PARTIE. —CHAPITRE V.
En appliquant le mode de solution indiqué au n« 147, on trouve
que y=: — 1 donne la valeur entière x=^ — \ ; on a donc
yz= — 1 + 3^ et ôP== — 1 + 8/ .
On peut donner à t toutes les valeurs entières et positives de-
puis 1 ; ce qui donne les systèmes
ï/ = 2 , x= 7 ;
y = 5 , ip = 15 ;
5^ = 8 , x=T^ ;
etc. , etc.
\\. ^m^htm. Faire une somme de ^6fr, avec deux espèces de
pièces étrangères, dont les unes valent 3^,75 et les autres 1^10 .
Soient x le nombre des pièces de première espèce , et y le
nombre des pièces de la seconde espèce ; on devra avoir
3,75.^ + 1,10. y ==26 ;
ou, en multipliant tous les termes par 100 ,
375^ +110?/ = 2600 .
Les nombres 375, 110 et 2600 ayant le facteur commun 5,
on peut d'abord le supprimer, ce qui donne
75^ + 222/ =-520 •
Les nombres 75 et 520 ayant encore le facteur commun 5 ,
on peut poser (145) ?/ = 5?/ , et supprimer le facteur 5 , ce
qui donne
l5.r + 22?/'=104 .
Les nombres 22 et 104 ayant le facteur commun 2 , on
peut poser x=:'2x' et supprimer le facteur 2 , ce qui donne
enfin l'équation
15a^'+lly' = 52 .
On en tire y' = A-x' + ^-^^^ = 4--x' + At ,
en posant ^-^^ = t , d'où x'=2 — lU ;
par suite y' = 2+l5^ .
On voit que x' et y' ne peuvent être positifs en même temps
que pour t=^0 , ce qui donne x'=2 et !y'=2 ; par suite
x = 4 et y = iO .
En effet : 4 pièces à 3S75 font 15 fr. , et 10 pièces à 1^,10
font 11 fr. ; la somme 15 + 11 est bien égale à 26.
ANALYSE INDÉTERMINÉE. 131
Ce problème offre un exemple d'une question algébriquement
indéterminée qui n'est cependant susceptible que d'une seule solu-
tion arithmétique.
Remarque. On aurait pu prévoir que le problème ne pouvait ad-
mettre au plus qu'un système de valeurs entières et positives ; car
le produit des coefficients 15 et 11 est plus grand que le terme
indépendant 52 ; d'où il suit que les quotients par défaut et par
excès de 52 par 15 fois 11 , sont et 1 . Le nombre
des systèmes de valeurs entières et positives ne pouvait donc pas
surpasser 1 .
Le lecteur pourra s'exercer sur les questions suivantes :
L Une société s'est cotisée pour une fête, à raison de 9/r. pour
chaque dame et de 16/r. pour chaque homme; la somme ainsi
réunie a été de 330 fr. ; combien y avait-il d'hommes et de
dames ?
(Réponse: iNombre des hommes : 15 , 6 ;
Nombre des dames : 10 , 26 .)
IL Trouver un nombre qui divisé par 7 donne pour reste 5
et qui divisé par 18 donne pour reste 3 .
(Réponse : 75 , 201 , 327 , etc. , nombres en progression
arithmétique.)
^ IIL Faire une longueur d'un mètre en plaçant les unes à la suite
des autres des pièces de 2 francs , dont le diamètre est de 27
millimètres, et des pièces de 1 franc , dont le diamètre est de
23 millimètres .
(Réponse : Nombre des pièces de 2 francs : 20 ;
Nombre des pièces de 1 franc : 20 .)
^ IV. Diviser 90 en deux parties dont l'une soit divisible par 5
et Vautre par 11 .
(Réponse : Première partie : 90 , 35 ;
I Deuxième partie : , 55 .)
^ V. Trouver une fraction telle qu'en l'ajoutant terme à terme avec
2 7 -
la fraction - , on obtienne pour résultat —, .
^ 24 .
5 12 19
(Réponse:—, —, —, etc., fractions dont les termes sont
en progression arithmétique.)
i VI. On a de l'argent au titre de 0,950 , et de l'argent au titre
de 0,820 . Combien faut-il prendre, en nombres entiers, de déca-
132 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.
grammes de chaque espèce d'argent, pour faire un alliage qui con-
tienne 1 kilogramme d'argent pur?
(Réponse : argent au titre de 0,950 : 88"^, 6''";
argent au titre de 0,820 : 20^^% llô"^^ .)
§ II. Résolulion en nombres entiers des équalions du premier degré à plus
de deux indéterminées.
lo5. Considérons d'abord deux équations à trois indéterminées.
ax-\-by-\-cz=^d [1],
a'x+b'y+c'z=d' [2],
dans lesquelles on peut toujours supposer qu'on ait supprimé les
facteurs communs à tous les termes.
Ces équations ne pourront admettre de solutions entières pour
X , y et ; qu'autant que, dans chacune d'elles, il n'y aura
aucun facteur commun aux trois coefficients des indéterminées.
Car si a , ^J , ^ , par exemple , admettaient un facteur com-
mun, ce facteur diviserait le premier membre, puisque J' , y ,^
sont entiers ; il devrait donc aussi diviser le second , ce qui est im-
possible , puisqu'il n'y a plus , par hypothèse , aucun facteur com-
mun à tous les termes. Admettons donc que cette condition soit
remplie.
Éliminons l'une des trois indéterminées, ^ par exemple, entre
les deux équations proposées ; nous obtiendrons l'équation
(«c' — ca')x -f {hc' — ch'jy = de! — cd' [3],
qui devra également admettre des solutions entières. Il faudra pour
cela , qu'après avoir supprimé les facteurs communs aux deux mem-
bres', s'il s'en trouve, les coefficients de X et y soient premiers
entre eux (144). Supposons cette condition remplie. Nous pourrons
tirer de l'équation ci-dessus des valeurs de x et de y de la
forme r ^ . t/t
X — a + mt , yz=(;^ + 7lt [4].
Transportant ces valeurs dans l'une des équations proposées, on ob-
tiendra une équation en ^ et / , qui devra, à son tour, ad-
mettre des solutions entières. Si les conditions nécessaires sont
remplies, on pourra obtenir pour z et t des valeurs de la forme
:: = yJ^pt' , t = o + qt' ,
mettant cette valeur de i dans les expressions de x et de y ,
celles-ci deviendront
x:={oL-\-ino) + mqt' , y = {i^ + no) + nqt' .
ANALYSE INDÉTERMINÉE, 133
Les trois indéterminées .r , y , z se trouveront ainsi expri-
mées au moyen d'une seule indéterminée ^ ; et il suffira de
donner à t' des valeurs entières positives ou négatives pour ob-
tenir autant de systèmes de valeurs entières pour x ^ y et z .
Soient, pour exemple, les équations
5.:^;'-|- 8?/— 11^=45 ,
7,^_6?/+ 35 = — 1 .
En éliminant z , on obtient d'abord
92i^>-_42?/=^124 ou 46.r — 21î/=62 ,
d'où l'on tire (148)
x=zh-\-1\l et ?/ = 8-|-46^ .
Ces valeurs, mises dans la seconde équation proposée, donnent
3^— 129/^==12 ,
d'où l'on tire ^ =4+ 129 #' " . .
et t = ^t' .
Par suite y = s + lSSf
et .r=5-j- 63^' .
lo4. Il est bon de remarquer que , lorsque les coefficients
ac^ — ca' et bc' — cb' de l'équation [3] sont premiers entre eux ,
on est dispensé de résoudre une seconde équation à deux indéter-
minées. En effet , on a alors, a et 8 désignant un système de
valeurs de l'équation [3] ,
x=oi-{-(bc'—cb')t et y=^ — (ac'— ca')t .
Ces valeurs, mises dans l'équation [1], donnent, après réductions,
cz — c{ab' — ba')t = cl — en — bp .
Le premier membre étant divisible par c , le second doit l'être
également ; en désignant le quotient par y , on a
z — (ab' — ba')t = y ,
d'où z=iy-\-{ab' — ba')t .
^ , d — aa — 63
Comme on a pose = y ,
d'où «a -f- 68 -f CY = r/ ,
on voit que a , ^ , Y forment un système de valeurs entières
de œ j y , z ; et qu'on a
X = aL-\- (bc — eb')t , y=z^-\- (ca' — ac')t ,
z=zy-\-(ab' — ba')t .
valeurs qui ont une symétrie remarquable.
\Ul PREMIÈRE PARTIE. —CHAPITRE V.
Soient, par exemple, les équations
6x + Sy — nz=z46 , • ' . .
7x--Sy+ 2s=19 .
On obtient, en éliminant z , l'équation
87^ — 172/~299 ,
d'où l'on tire ^ = 5 + 17^ et y = 8 + 87^ .
Substituant ces valeurs dans la première équation , elle devient ,
après réductions ,
nz — 7SU = A4 ,
d'où z = 4-{-7U .
ioS. Si la question exige que les solutions soient entières et po-
sitives, on aura à satisfaire à trois inégalités.
On vient de voir que les valeurs de oo , y , z se présentent
sous la forme
x=z(ji-\.m,t , yz=^-\-nt , ^ — Y + r/ .
On posera donc
a + m^>0 , \i + nt>0 , Y + r^>0 ,
ce qui donnera trois limites pour t .
Si ces limites sont toutes trois inférieures ou toutes trois supé-
rieures , on pourra donner à t toutes les valeurs au-dessus de la
plus grande de ces limites , si elles sont inférieures, ou toutes les
valeurs au-dessous de la plus petite, si elles sont supérieures. Il y
aura donc un nombre illimité de solutions.
Si ces limites ne sont pas toutes trois de même sens , t devra
être pris entre ces limites ; et par conséquent il y aura un nombre
limité de solutions.
Si ces limites étaient contradictoires, il n'y aurait aucune solution
positive possible.
156. Comme exemple d'une question conduisant à deux équa-
tions du premier degré à trois indéterminées, nous traiterons la sui-
vante :
On veut donner une yratification aux ouvriers d'une fabrique. Si
l'on donne 6 fraîics à chaque homme, 4 francs à chaque femme
et 2 francs à chaque enfantjl faudra une somme de 156 francs .
Si l'on donne 1 franc de inoins à chacun , il ne faudra que
lU francs . On demande comijien il y a d'hommes, de femmes et
d'enfants.
Soient x le nombre des hommes, y celui des femmes, z celui
ANALYSE INDÉTERMINÉE. 135
des enfants. On aura évidemment les deux équations
4x + Sy+ z — US . ■ :
Éliminant z , on trouve
3^ + 2?/ = 80 ,
d'où l'on tire x — 'it et «y = 40 — 3 if .
Ces valeurs, mises dans la seconde équation du problème, donnent
^— <5=2 ,
d'où z = t-—2 ,
Comme x , y et z doivent être positifs , on devpa avoir
t>0
'<f
et #>2
On devra donc prendre pour t des valeurs entières et posi-
tives depuis 2 jusqu'à 13 inclusivement , ce qui donnera
12 solutions possibles :
Savoir
/= 2 ;
x= 4 ;
?/ = 34 ;
z= ;
3
6
31
1 ;
4
8
28
2 ;
5
10
25
3 ;
6
12
22
4 ;
.7
14
19
5 ;
8
16
16
6 ;
9
18
13
7 ;
10
20
10
8 ;
11
22
7
9 ;
12
24
4
10 ;
13
26
1
11 .
1S7. Soit maintenant à résoudre en nombres entiers une équa-
tion unique , du premier degré à trois indéterminées
ax-\-by-{-cz=^d ^
dans laquelle a , b , c sont des nombres entiers qui n'ont
point de facteur commun.
Il y a deux cas à distinguer : ou , parmi les trois coefficients a ,
6 , <? , on en pourra trouver au moins deux qui soient premiers
entre eux; ou bien ces coefficients, pris deux à deux comme on
voudra, offriront toujours un facteur commun (ce qui ne veut pas
dire qu'il y ait un facteur commun à la fois aux trois coefficients).
^36 PREMIÈIIE PARTIE. — CHAPITRE V.
I. Examinons d'abord le premier cas; et, pom' fixer les idées,
supposons que a et b soient premiers entre eux.
Faisons passer le terme en z dans le second membre, et appli-
quons à l'équation
ax-j-by = d — cz
la méthode du n° 148, en y considérant z- comme connu; nous
en tirerons , pour x et ij des valeurs de la forme
x = oL-—bt et y = i^-\-af ,
dans lesquelles a et p seront des polynômes entiers et du pre-
mier degré par rapport à z . On pourra dès lors prendre arbitrai-
rement z et ^ ; et, pourvu qu'on leur attribue des valeurs en-
tières , il en résultera des valeurs entières pour x et y .
Si ces valeurs doivent, en outre, être positives, on donnera à z
une valeur arbitraire entière et positive ; on posera alors
a — 6if>0 et f>-\-af>0 .
Il en résultera pour t deux limites; et suivant que ces limites
seront de même sens ou de sens contraire , compatibles ou incom-
patibles, il en résultera un nombre illimité de valeurs entières et
positives pour x et y , ou un nombre limité de ces valeurs , ou
bien il n'en existera aucune. On opérera de même pour chaque va-
leur entière et positive qu'on attribuera à z .
Soit, par exemple, l'équation unique
5^ + 8?/ — 12^:^41 .
Comme 5 et 8 sont premiers entre eux, on peut appliquera
méthode ; on écrira donc
bx-\-i^y = A\ + V2z ,"'
A\ + nz — %y ^ , _ ^ .1+22 + 2?/
d'où x= ! — ^ = 8 + 25 — 2?/-] ' ^-^ — ^ ,
») o
ou x=^% + ^z — 1y-\-t , %
en posant l+l|+l^-=:/ ou 27/-5^=:-l-25 .
Puis y:..=lzi|i±^^_, + 2^ + ^ = -. + 2^+^\
en posant —^ — 1' ou / = 1 + 2 ^' .
Cette valeur, mise dans celle de y , donne
y^ — z-\-^^+At'+l' ou y = — S + 2 + 5^ .
ANALYSE INDÉTERMINÉE. 137
Et en substituant pour y et t leurs valeurs dans celle de x ,
on obtient
.2^ = 8+2^ + 25 — 4 — 10/' + l + 2i(' = 5 + 4^ — 8^' .
Si l'on ne veut que des valeurs positives , on tirera de ces valeurs
les conditions
,>i^ et r<l£±l .
2 5
Pour 5 = , on a I">—t et /'<- ; on ne pourra donc
prendre que t'=zO ; ce qui donnera ^=2 et a; = 5 .
1 9
Pour z — 1 , on a /'>— ^ et /'<- ; on pourra donc ad-
o o
mettre les valeurs /'=0 et /'=1 ^ qui donneront , savoir :
r = 0....?/ = l , x=^ ;
/'=1 ?/ = 6 , X=:l .
13
Pour 5 = 2 , on a ^'>0 et /'<— ; on pourra donc ad-
o
mettre les valeurs t' = (car la condition /'>0 n'exclut pas
l'égalité) et /' = 1.
Pour /' = , on aura y=^0 , x=\?, . .
Pour /'=l , y=z^ , ^— 5 . r '
1 17
Pour 5 = 3 , on a /'>- et /'<-^ ; on pourra donc ad-
o o
mettre les valeurs ^'=1 et /' = 2 , qui donneront, savoir :
pour t'=\ ?/ = 4 , i)'; = 9 ; .•
pour /'=:2 ?/=9 , x = \ .
En continuant ainsi, on obtiendrait autant de systèmes de valeurs
entières et positives qu'on le voudrait.
1^8. II. Supposons maintenant que, parmi les coefficients
a , 6 , c , on ne puisse pas en trouver deux qui soient premiers
entre eux. Désignons par m le plus grand commun diviseur entre
a et 6 , par exemple ; soient a' et h' les quotients respectifs
de ft et 6 par m . L'équation proposée deviendra
ma'x-\- 7nh'y -\-cz=zd ,
d'où l'on tire dx-\-h'ii=z 1 .
^ -^ m
Le premier membre étant supposé entier, il faut que le second
le soit ; en désignant ce nombre entier par t , on aura donc
a'x-\-b'y=t [1],
et -=:t ou cz-\-mt = d [2].
188 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.
Or, d et h' étant premiers entre eux , puisque ce sont les
quotients de a et de h par leur plus grand commun diviseur,
l'équation [1] admettra des solutions entières de la forme
x—^—h't' et ?/ = p + aY [3] ,
dans lesquelles a et p seront des polynômes entiers et du pre-
mier degré par rapport à t ; cela résulte du mécanisme même de
la méthode exposée au n° 148.
De même, c et m étant premiers entre eux, puisque le
facteur m , commun à a et à 6 , ne l'est pas à c , l'équation
[2] admettra des solutions entières de la forme
z = ^—mt" et tz=h-\-cf [4] ;
mettant cette valeur de t dans les expressions de x et de y ,
ces indéterminées se trouveront exprimées par des polynômes entiers
et du premier degré en f et t' ; tandis que z ne dépendra
que de t" .
Si la question exige que les valeurs de x , y et s soient en
outre positives, on posera les conditions qui expriment que ces va-
leurs sont plus grandes que zéro. On cherchera ensuite en opérant
sur ces inégalités des transformations permises (86) à isoler /' et
f , et à obtenir ainsi des limites pour ces indéterminées ; mais l'on
ne peut se flatter a priori d'y réussir.
Soit, pour exemple, l'équation
6^ — 10?/-fl5s = 37 .
Les deux premiers coefficients ayant le facteur commun 2 , nous
pourrons la mettre sous la forme
37— 15s
3^—5?/= 2 '
et poser en conséquence
30^-52/ = / et ^2:=^ = t ou 15s+2^=:37 .
On tire de la première: y:=il — ?>t' et a7=:2f — 6^' .
De la seconde on tire de même : ^ = 1 — 2f et / = 11 + I5f' .
Mettant cette valeur de t dans les expressions de y et de x ,
elles deviennent
y=ll+15f— 3^ et ^=:22 + 30r— 5r .
Il suffira de donner à ^' et à t" des valeurs entières quelcon-
ques pour obtenir autant de systèmes de valeurs entières pour
X ^ y et z .
Si l'on veut en outre que ces valeurs soient positives , on posera
les conditions
1— 2f>0 ; ll + l5f-3^'>0 et 22 + 30f— 5^'>0
ANALYSE INDÉTERMINÉE.
isd
La première donne t"<i-^ . Les deux autres peuvent s'écrire
3if'— 15r<ll et 5?^'— 30f<22
ou , en multipliant les deux termes de la première des deux par 2 ,
[m] 6i^' — 30f<22 et 5*^'— 30f<22 \n\.
Or, de 2f<<l on tire 30/"«<15 . Ajoutant cette inégalité
membre à membre avec chacune des deux précédentes , on en tire
6 if' < 37 et 5f<37
conditions,* dont la première comprend la seconde.
On ne devra donc prendre pour 1' que les valeurs -)-6 ,
+ 5 , etc. jusqu'à l'infini négatif.
On tire des inégalités en f qX f ^
f>
6f—22
et r>
5 if' — 22
30 - 3Q
Pour les valeurs positives de t' , c'est la première de ces deux
limites de t" qu'il suffira de considérer ; pour les valeurs néga-
tives de /' , ce sera la seconde ; et l'on ne devra prendre pour f
que les valeurs comprises entre et cette limite. On trouve ainsi :
Pour f= 6 ; 5 ; 4 ; qu'il n'y a point de valeur correspon-
dante de t" .
Pour :
f= 3 ;
f= 2 ;
on
trouve
t'^0 ;
;
d
où
x= 7
12
y= 2
5
; 2 = 1 .
1 .
^=-2 ;
^' = -3 ;
f=0 ;
— 1 ;
;
—1 ;
2
37
7
2
20
; 5
; z = l .
3 .
1 .
3 .
^'=-8 ;
f = ;
—1 ;
—2 ;
.2:=: 62
32
2 ;
20
.5
Z=z 1 .
3 .
5 ;
et ainsi de suite.
lo9. Comme exemple de question qui conduit à une seule équa-
tion entre trois indéterminées, nous traiterons la suivante :
Faire une longueur d'un mètre en mettant à la suite l'une de
r autre des pièces de ^fr. dont le diamètre est de 2>7 millimètres ;
des pièces de 2fr. dont le diamètre est de 27 millimètres , et
des pièces de 1 fr. dont le diamètre est de 23 millimètres .
Si X , y , z représentent respectivement le nombre des
140 PKEMIÈKE PARTIE. — CHAPITRE V.
pièces de 5 fr. , de 2 fr. et de 1 fr. , on devra avoir
37^ + 27^ + 23^ = 1000 .
On peut appliquer ici la méthode du n" iS7, et écrire
272/ + 23^- 1000 — 37a^ ,
d'où Ton tire (148)
?/ = — 3 + 8^ — 23^ et 2 = 47— ll;r + 27^ .
Comme ces valeurs doivent être positives , on devra avoir
^>0 , 8ic — 23^ — 3>0 ; 47 — ll^ + 27^>0 ,
on éliminera t par réduction entre les deux dernières inégalités
qui sont de même sens, et il viendra
— 37^ + 1000>0 d'où
^1000
37
condition qu'on aurait pu écrire sur-le-champ , puisqu'elle exprime
que la somme des diamètres des pièces de 5 fr. ne doit pas sur-
passer 1000 millimètres ou 1 mètre , c'est-à-dire la longueur
demandée.
L'indéterminée x aura donc pour limites et 27 inclu-
sivement. Des deux inégalités en x et t , on tire ensuite
t<
8 a?— 3
et
t>
11^—47
23 ^27
chacune des valeurs attribuées à a? , d(^ à 27 , devra être
mise dans ces inégalités ; il en résultera deux limites entre lesquelles
les valeurs correspontantes de t devront être prises. Si ces limites
ne comprenaient point de nombre entier, la valeur correspondante
de X devrait être rejetée. On formera ainsi le tableau suivant :
j; = 0, ^=—1, y =20, 2=20
36
9
25
14
30
3
19
8
24
13
29
2
18
7
23
1
5
1
—1
28
2
13
3
21
4
+1
6
4
29
5
1
14
6
1
22
7
2
7
8
2
15
9
3
9
2
23
10
3
8
11
3
16
12
4
1
^=13 ,
t=
-- 4 ,
?/ =
= 9,
2 = 12
14
'4
17
1
15
5
2
17
16
5
10
6
17
»
»
»
18
6
3
11
19
6
11
20
»
»
»
21
7
4
5
22
»
»
)»
23
»
»
»
24
»
»
»
25
»
»
M
26
»
»
»
27
»
»
»
En tout 23 solutions.
ANALYSE ïi\ DÉTERMINÉE. 1^1
160. Ce qui précède indique suffisamment la marche qu'il fau-
drait suivre si l'on avait plus de trois indéterminées.
I. Si l'on avait, par exemple, trois équations à quatre indéter-
minées X ^ y , z et w , on en tirerait par l'élimination
de u , deux équations à trois indéterminées x , ?/ , z- que
l'on traiterait comme il a été dit plus haut ( loo et suiv.) Ayant ob-
tenu les valeurs à.e x , y ei z au moyen d'une indétermi-
née t , on porterait ces valeurs dans l'une des trois équations
proposées, qui ne contiendrait plus alors que deux indéterminées t
et u ; on traiterait cette équation à deux indéterminées , et l'on
en tirerait les valeurs de t et de u au moyen d'une nouvelle
indéterminée t' . Portant alors la valeur de t en t' dans les
expressions de x , y ^ 2 , on aurait les quatre indétermi-
nées a? , ?/ , z et u exprimées au moyen d'une seule indé-
terminée t' .
II. Si l'on n'a que deux équations à quatre indéterminées x ,
?/ , z et u ^ on en tirera par l'élimination de u une équa-
tion à trois indéterminées, que l'on traitera comme il a été dit aux
j^os 157 g^ g^-^ jj y ^yj,^ alors, comme on l'a vu, deux cas à dis-
tinguer.
Si l'on obtient les valeurs de x ^ y au moyen d'une seule
indéterminée t , z restant arbitraire, on portera ces valeurs
dans l'une des équations proposées qui ne contiendra plus que
î^ , z et t . On la traitera comme la précédente , et l'on ob-
tiendra soit u et z au moyen d'une seule indéterminée t' ,
t restant arbitraire, auquel cas x , ?/ , z et u pourront
être exprimés au moyen de t et de t' ; soit u , z Qi t
au moyen de deux indéterminées t' et t" , auquel cas x ,
y , z et u pourront être exprimés au moyen de ces deux
mêmes indéterminées.
Si, en traitant l'équation primitive résultant de l'élimination
de u , on obtient x ^ y et z au moyen de deux indéter-
minées t et f , en portant ces valeurs dans l'une des équa-
tions proposées , on obtiendra une équation à trois indéterminées
w , t et t' . En la traitant à son tour, on obtiendra soit u
et t au moyen d'une seule indéterminée f , i' restant arbi-
traire, auquel cas x ^ y ^ z et ii pourront être exprimés
au moyen de t' et de f ; soit u , t et t' au moyen de deux
indéterminées f et t'" , auquel cas x ^ y , z et u pour-
ront être exprimés au moyen de ces deux mêmes indéterminées.
TII. Enfin , si l'on n'a qu'une seule équation à quatre indétermi-
nées X ^ y ^ z , u ^ il pourra se présenter deux cas, ou
l'on pourra trouver deux coefficients premiers entre eux , ou on ne
le pourra pas.
142 PREMIÈRE PARTIE. — CliAPlTRE V.
Dans le premier cas, supposons que ce soient les coefficients
de X et de y qui soient premiers entre eux. On fera passer
dans le second membre les termes en z et en u ; on traitera
l'équation résultante comme une équation à deux indéterminées x
et y , et l'on obtiendra les valeurs de x et de y au moyen
d'une indéterminée t ^ z et u restant arbitraires.
Dans le second cas , on isolera encore dans le premier membre
les termes en x et en y ; on divisera les deux membres par
le plus grand commun diviseur des coefficients de x et de y .
Le second membre devant être entier, on le représentera par une
nouvelle indéterminée t . On obtiendra ainsi deux équations :
l'une entre x ^ y et t ^ où l'on regardera t comme connu;
l'autre en s , u et t . La première donnera x et y au
moyen de t et d'une nouvelle indéterminée t' . La seconde
donnera z , u et t au moyen de deux nouvelles indéter-
minées f et t'" . Portant la valeur de t dans celles de x et
de y , on obtiendra ces dernières au moyen de trois indétermi-
nées f , f et f ; tandis que z et u seront exprimés
au moyen des deux indéterminées f et f seulement.
161. Le lecteur pourra s'exercer sur les problèmes qui suivent.
L Trouver un nombre qui, divisé par les nombres 5 ^ 8 , 13 ,
donne respectivement pour restes A , 1 , 12 .
(Réponse: 619 , 1039 , 1559 , etc., nombres en progres-
sion arithmétique.)
IL Trouver un nombre composé de trois chiffres, dont la somme soil
16 , et tel qu'en y ajoutant 99 on obtieime le nombre retourné.
(Réponse: 394 , 475 , 556 , 637 et 718 .)
III. On a trois espèces d' argent : la première au titre 0,96 ; la
seconde au titre 0,88 ; la troisième au titre 0^,82 . Combien fau-
drait-il prendre, en nombres entiers, de décagrammes de chaque es-
pèce d'argent , pour faire \ kilogramme d'alliage, au titre 0,90 .
(Réponse: T" espèce d'argent ; 2" espèce; 3" espèce.
25"»
75"»
0"»
28
68
4
31
61
8
34
54
12
37
47
16
40
40
20
43
33
24
46
26
28
49
19
32
52
12
36
55
5
40 .)
ANALYSE INDÉTERMINÉE. 143
IV. Un propriétaire a fait travailler dans quatre fermes diffé-
rentes, savoir : 12 hommes dans la première, 9 dans la se-
conde^ 8 dans la troisième et 6 daris la quatrième. La dépense
totale a été de 1^50 francs . On voudrait savoir quelle a pu être
la dépense par homme dans chacune des quatre fermes [en nombres
entiers de francs). On se rappelle seulemeîit que la dépense dans la
seconde et la troisième ferme valait autant que la dépense dans la
première; et que chaque homme employé dans celle-ci a gagné deux
fois plus que chacun de ceux qui ont été employés dans la qua-
trième.
(Réponse: P' ferme; 2*^ ferme; S'^ ferme; 4^ ferme.
id.
8
66
id.
id.
16
57
id.
id.
24
48
id.
id.
32
39
id.
id.
40
30
id.
id.
48
21
id.
id.
56
12
id.
id.
64
3
id.
\kk SECONDE PARTIE.
SECONDE PARTIE.
PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ, PUISSANCES
ET RACINES, LOGARITHMES.
CHAPITRE VI.
DE LA FORMATION DU CARRK DES QUANTITES AEOEKRIQUES,
ET DE L'EXTRACTION DE LEUR RACINE CARREE.
^ I. De la formation dn carré des quantités algébri<iues.
162. Le carré d'une quantité algébrique est le produit de cette
quantité par elle-même.
Pour former le carré d'un monôme, il faut , d'après les règles de
la multiplication des monômes , multiplier le coefficient par lui-
même, et ajouter à lui-même l'exposant de chaque lettre; il faut
donc, en d'autres termes, /«/re le carré du coefficient et doubler tous
les exposants. ,
Ainsi , le carré de Cya-b^x sera ^^a'*¥x^ .
105. On a vu (50) que le carré d'un binôme se compose du cairé
du premier terme, de deux fois le produit du premier par le second
et du carré du second.
Voyons comment se compose le carré d'un trinôme.
Soit le trinôme a-\- b-\-c . Représentons par une seule lettre x
l'ensemble des deux premiers termes ; nous aurons à former le carré
de X -]- c , ce qui, d'après la règle rappelée ci-dessus, donnera
x^-\-1cx-\-c^ ,
ou , en remettant pour x sa valeur,
{a+bf+^c{a + b)-\-c'^ ,
ou encore a^-|-2«6 + 6'+2ac+26c + c' ;
c'est-à-dire que le carré d'un trinôme se compose du carré du pre-
FORMATION DES CARRÉS. ikS
mier terme, plus deux fois le produit du premier terme par le se-
cond, plus le carré du seco?id, plus deux fois le produit de chacun
des deux premiers par le troisième , plus le carré du troisième.
164. On trouverait de même que, s'il y avait un quatrième
terme , le carré contiendrait , outre les parties qu'on vient d'énu-
mérer, deux fois le produit de chacun des trois premiers termes par
le quatrième, plus le carré du quatrième,
La loi de formation est évidente, et il est facile d'en démontrer la
généralité.
En effet , supposons-la démontrée pour un polynôme de n — 1
termes a~\^h-\-c....-\-k , et faisons voir qu'elle subsistera pour
un polynôme de n termes
a-\-b + c.,.. + k-]-l .
Pour cela, représentons par x l'ensemble des n—i premiers
termes ; nous aurons à former le carré de x-\-l , ce qui donnera
x^+^lx + t'
ou , en mettant pour x sa valeur,
(« + 6 + 6'.... + Af+2(fi + 6 + c.... + /«:)/ + /2
ou («^ + ^> + c....+ A-)2+2a/ + 26/ + 2cZ.... + 2/t/ + /^ ;
c'est-à-dire qu'il faudra ajouter au carré du polynôme de n — 1
termes deux fois le produit de chacun de ces n — 1 premiers
termes par le n""" , plus le carré du n""" ; ce qui démontre que
si la loi est vraie pour n — 1 termes , elle est encore vraie pour
n termes.
Or, on l'a démontrée directement pour 3 termes ; donc elle
est vraie pour 4 ; étant vraie pour 4 termes, elle l'est pour 6 ;
et ainsi de suite. Donc elle est générale.
D'après cette règle , on trouvera que le carré du polynôme
2aa;3+4a^^2— 4ft"^+3a*
est 4 a^x'' + 1 6 d^x^ — 20 aV + 40 éx" — 24 wx -f 9 a»^ .
IGi). Remarque I. Lorsqu'on ordonne le polynôme par rap-
port aux puissances d'une même lettre, il y a toujours à son carré
quatre termes qui ne peuvent se réduire avec aucun autre. Ces
termes sont les deux premiers et les deux derniers, si le carré est
lui-même ordonné.
En effet , si , par exemple , a-\-h-\-c ....-\-k-\-l représente
un polynôme quelconque, dont les termes a , 6 , etc., sont
des monômes quelconques ordonnés par rapport aux puissances
décroissantes d'une certaine lettre x , le terme a contenant
10
1^6 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VI.
la lettre ordonnatrice avec un plus haut exposant que tous les au-
tres, son carré a~ , qui sera le premier terme du carré total, con-
tiendra aussi la lettre ordonnatrice avec un exposant plus élevé qu'au-
cundes termes 2a& , 6- , 2ac , etc. qui suivent, et ne pourra
conséquemment se réduire avec aucun autre. C'est ce que nous
avons déjà vu dans la théorie de la multiplication (58).
En second lieu, le terme 2ab se compose du produit des deux
termes qui, dans le polynôme proposé, contiennent la lettre ordon-
natrice avec les exposants les plus élevés ; il contiendra donc lui-
même cette lettre avec un exposant plus élevé que les termes b^ ,
2«c , 26c , etc. qui le suivent, et ne pourra conséquemment se
réduire avec aucun autre.
Ce que nous avons dit des deux premiers termes , a^ et 2a6 ,
en considérant les plus hauts exposants de la lettre ordonnatrice ,
nous pourrions le dire des deux derniers , P et 2 A/ , en consi-
dérant les plus faibles exposants de cette lettre.
Il y aura donc bien quatre termes qui ne se réduiront pas ; et ces
termes seront les deux premiers et les deux derniers, si le polynôme
est ordonné.
Il faut bien remarquer qu'on ne pourrait rien affirmer de sem-
blable pour les autres termes; car le terme b^ , par exemple,
pourrait fort bien se réduire, et se réduira ordinairement, en effet,
avec le terme 2 ac , dont les deux facteurs contiennent la lettre
ordonnatrice , l'un avec un exposant plus élevé que dans h , et
l'autre avec un exposant plus faible.
Remarque II. Ce que nous venons de dire des termes isolés, on
pourrait le dire des groupes de termes , s'il arrivait que le polynôme
proposé contînt plusieurs termes affectés de la même puissance de
la lettre ordonnatrice (59).
IGG. Pour former le carré d'une fraction algébrique, il faut,
d'après les règles de la multiplication des fractions (.i6), faire le
carré de son numérateur et le carré de son dénominateur.
a , a^
Ainsi le carre de b T^ ^
^a — Zb _, 4a=— 12a6-h962
et ainsi de suite.
le carré de 5^0 ^^^ 25^'^6« '
RACINE CARRÉE DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. U7
<5 II. De rexlraclion de la racine carrée des quantités algébriques.
167. La racine carrée d'une quantité algébrique est une seconde
quantité qui, multipliée par elle-même, reproduit la première.
Mais cette racine se distingue de la racine carrée considérée en
arithmétique par une différence essentielle. La racine arithmétique
d'une quantité numérique est essentiellement positive; la racine
algébrique d'une quantité, soit numérique, soit algébrique, peut être
prise indifféremment avec deux signes contraires. En effet, soit à
extraire la racine carrée de 49 ; au point de vue arithmétique, la
racine est + 7 ; mais, au point de vue algébrique , cette racine est
aussi bien — 7 que +7 ; car — 7 , multiplié par lui-même,
donne, d'après les règles des signes (114), +49 , aussi bien que
~\-7 multiplié par lui-même. De même ~\-a^ étant aussi bien
le carré de — a que le carré de -)- a , la racine de + ^^ ^st
donc , à volonté , -j- ^ ou — a .
On indique cette double solution en affectant la racine du double
signe ±: , et l'on écrit
sj'â^=z±:a ; /49 = ±7 .
Nous pouvons toutefois, quant à présent , faire abstraction de ce
double signe ; sauf à nous rappeler, lorsque nous aurons extrait la
racine d'une quantité algébrique , que cette racine peut être prise
indifféremment telle que nous l'aurons trouvée ou en signes con-
traires.
168. D'après la règle donnée (162) pour former le carré d'un
monôme, on peut voir que, pour qu'un monôme soit un carré par-
fait , il faut : 1° que son coefficient soit un carré parfait ; 2° que les
exposants de toutes les lettres qui y entrent soient pairs.
Si ces deux conditions sont remphes, on obtiendra la racine
carrée du monôme proposé en extrayant la racine de son coeffi-
cient, et en divisant par 2 les exposants de toutes les lettres.
Ainsi la racine de A^a'^b^x^ est Ja^b^x , abstraction faite du
double signe ± .
Si ces conditions ne sont pas remplies, on se contente d'indiquer
la racine. Soit, par exemple, le monôme "lAa^b'x ; sa racine sera
indiquée par sJ'^Aa^b^x . Nous verrons plus loin comment on peut
simpUfier les expressions de ce genre.
169. Soit maintenant à extraire la racine carrée d'un polynôme.
Remarquons d'abord qu'un binôme ne saurait être un carré par-
fait, car le carré d'un monôme est un binôme (162) et le carré d'un
U8 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VI.
binôme est un trinôme (56). Il faut donc que le polynôme proposé
ait au moins trois termes.
Cela posé , désignons le polynôme proposé par
A + B + C+D + E + etc...
les lettres A , B , C , etc., représentant, pour abréger, des
monômes quelconques, que nous supposerons ordonnés par rapport
aux puissances décroissantes d'une même lettre , a- par exemple.
Supposons que le polynôme proposé soit un carré partait , et re-
présentons sa racine par
a-}- b-\-c-\'d-\- etc....
polynôme que nous supposerons également ordonné par rapport aux
puissances décroissantes de x .
D'après les remarques faites au n° 16î5, le carré du terme a
n'a pu se réduire avec aucun autre terme du carré , et se trouve
être le premier terme A du polynôme proposé. En extrayant
donc la racine de ce premier terme , on aura le premier terme a
de la racine demandée.
Ayant trouvé ce premier terme de la racine , on en fera le carré
que l'on retranchera du polynôme proposé, et il restera
B + C + D-f-E + etc. [1].
Or, d'après les mêmes remarques , le premier terme B de ce
reste doit être exactement le produit du double du premier terme
de la racine par le second , produit qui n'a pu se réduire avec aucun
autre. En divisant donc ce premier terme B par le double 'la
du premier terme de la racine, on obtiendra pour quotient le se-
cond terme b .
Ayant trouvé ce second terme de la racine , on sait que le poly-
nôme proposé doit contenir le carré de la somme des deux pre-
miers termes, «-f-ft , de la racine (164), c'est-à-dire les trois
termes a- -{-2ab-\-b- ; on pourrait former ces trois termes et les
retrancher du polynôme proposé; mais comme on en a déjà retran-
ché a^ , il suffit de former les deux suivants et de les retrancher
du reste [1]. Pour cela, on écrira à la suite du double du premier
terme de la racine le second terme de cette même racine, ce qui
donnera 2«-|-^ ' ^^ ^'^^ multipliera la somme par b , ce qui
donnera 2 «6 -f- b- ; on retranchera ce produit du reste [1] , et on
obtiendra un second reste
C' + D' + E'-f F'-f etc. [2].
D'après la loi de formation du carré d'un polynôme (164), ce
reste doit contenir encore les doubles produits de chacun des deux
RACINE CARRÉE DES POLYNOMES. 149
premiers termes de la racine par le troisième, plus le carré du troi-
sième, etc.; c'est-à-dire les termes
Or, parmi ces termes, le premier 2 ac est celui qui contient la
lettre ordonnatrice x avec le plus haut exposant, car a est
plus élevé en ce que b ; ce terme n'a donc pu se réduire avec
aucun de ceux qui le suivent, et doit , par conséquent se trouver le
premier dans le reste [2]. En divisant donc le premier terme C de
ce second reste par le double 2 a du premier terme de la racine ,
on obtiendra pour quotient le troisième terme c .
Ayant trouvé ce troisième terme , on sait que le polynôme pro-
posé doit contenir le carré de la somme des trois premiers termes
de sa racine , lequel carré revient à {a-\- b)^ -f- 2 ac -\-^bc-{-c^ .
On pourrait former ce carré et le retrancher du polynôme proposé ;
mais comme on en a déjà retranché (a -f bf , il suffit de former
les termes suivants et do les retrancher du reste [2] . Pour cela , on
doublera les deux premiers termes de la racine , et l'on écrira à la
suite le troisième, ce qui donnera 2a + 26 + (? ;on muUipliera
par r? , ce qui donnera 2 ac ~{- 2 bc -{- c^^ ; on retranchera ce pro-
duit du reste [2] , et l'on obtiendra un troisième reste
D''+F/-hF' + etc. [3].
D'après la loi de formation du carré d'un polynôme, ce reste doit
contenir encore les doubles produits de chacun des trois pre-
miers termes de la racine par le quatrième , plus le carré du qua-
trième, etc., c'est-à-dire
2ad-\-2bd + 2cd-{-cP-{-etc.
Or, parmi ces termes, le premier 2 ad est celui qui contient la
lettre ordonnatrice x avec le plus haut exposant ; ce terme n'a
donc pu se réduire avec aucun de ceux qui suivent , et doit par
conséquent se trouver le premier dans le reste [3]. En divisant donc
le premier terme W de ce troisième reste par le double 2 a du
premier terme de la racine, on obtiendra le quatrième terme d .
Ayant trouvé ce quatrième terme , on sait que le polynôme pro-
posé doit contenir le carré de la somme des quatre premiers termes
de sa racine, lequel carré revient à
{a + b + cT--\-2ad + 2bd + 2cd + d^ .
On pourrait former ce carré et le retrancher du polynôme pro-
posé; mais comme on en a déjà retranché (a-\-b-{-cf , il suffit de
former les termes suivants et de les retrancher du reste [.3]. Pour
cela , on doublera les trois premiers termes de la racine , et l'on
écrira à la suite le quatrième, ce qui donnera 2a-\-2b-{-2c-{-d ;
150 SECONDE PARTIE. —CHAPITRE VI.
on multipliera par d , ce qui donnera ^ad -]-'ibd-\-^cd-\-dJ^ ;
on retranchera ce produit du reste [3] , et l'on obtiendra un qua-
trième reste sur lequel on opérera comme sur le précédent.
En continuant ainsi, on obtiendra successivement tous les termes
de la racine; et l'on reconnaîtra que l'opération est terminée lors-
qu'on parviendra à un reste nul.
170. Dans la pratique , on dispose l'opération comme ci -dessous :
4«V+16a'.r'— 20a'^^+40«l^?2— 24a^^+9rt' 1 ^ax^-{- Aa^x^^— Aa^x-\-U
— Aà^x^ -\- Acix^
[1] -{-\Wx^—^Oéx^-\-A()a'x^—Via''x-\-M + Aax^-\- Ao}x^
[2] —\Qa^x'^10d'x''-^A0éx^—Ua'x+W +\Ç>d'x'+\Qd'x'
+\Qa'x*-\-Z1éx''—\Qa'x^ + Aax' + 8^^^^— Aa'x
— Ad'x
[3] +1 2a'x'+lAa'x'—Ud^x+9a'
12a\r^ — 2Aœ'x~-\-2Aœx — 9œ '
+ Aax^+ Sarx'^~ Sd'x+'Sd
3«
+12ftV+24rtV— 24rt'^+9a'
et l'on déduit de ce qui précède la règle suivante , dont on peut
vérifier l'application sur l'exemple qu'on vient de traiter.
Pou?' extraire la racine carrée d'un polynôme , on V ordonne par
rapport aux puissances d'une certaine lettre; on tire à sa droite un
trait vertical pour le séparer de la racine à obtenir, et Von tire un
trait hori^^ontal au-dessous de l'espace réservé à cette racine. On ex-
trait la racine du premier terme du pohjnome , et on l'écrit comme
premier terme à la racine. On fait le carré de ce premier terme , oi\
le retranche du polynôme proposé, et l'on obtient un premier reste [1].
On écrit au-dessous de la racine le double de son premier terme; on
divise le premier terme du reste [\]par ce double du premier terme
de la racine; le quotient est le second terme de la racine. On écrit le
double du premier terme de la racine ; à sa droite on écrit le se-
cond terme , et l'on multiplie la somme par ce second terme; on re-
tranche le produit du reste [1], et l'on obtient un second reste [2].
On divise le premier terme de ce second reste [2] par le double du
premier terme de la racine; le quotient est le troisième terme de la
racine. On écrit le double des deux premiers termes de la racine; à la
droite de ce double, on écrit le troisième terme de la racine; on mul-
tiplie la somme par ce troisième terme; on retranche le produit du
reste [2], et l'on obtient un troisième reste [3]. On divise le premier
RACINE CARRÉE DES POLYNOMES. 151
terme de ce troisième reste par le double du premier terme de la ra-
cine, et l'on obtient le quatrième terme de la racine; et ainsi de
suite. L'opération est terminée quand on obtient pour reste zéro .
171. L'opération serait impossible :
V Si le plus haut ou le plus faible exposant d'une lettre quel-
conque dans le polynôme proposé était impair. Car, en ordonnant
par rapport à cette lettre, il faut que le premier et le dernier termes
soient des carrés parfaits , ce qui exige que les exposants de ces
termes soient pairs ;
2" Si, après avoir ordonné par rapport aux puissances d'une lettre
quelconque, le premier et le dernier termes n'étaient pas des carrés
parfaits ;
3° Si le second terme n'était pas exactement divisible par le
double de la racine carrée du premier, ou si l'avant-dernier terme
n'était pas exactement divisible par le double de la racine carrée du
dernier ;
4° Si, dans le cours de l'opération, on parvenait à un reste dont le
premier terme ne fût pas exactement divisible par le double du pre-
mier terme de la racine obtenue.
172. Lorsqu'un polynôme n'est pas un carré parfait, on peut
encore appliquer arbitrairement la règle du n° 170 jusqu'à ce qu'on
parvienne à un cas d'impossibilité, au quatrième par exemple. Il
résulte alors des calculs effectués que le polynôme proposé est iden-
tiquement égal au carré de l'ensemble des termes trouvés à la ra-
cine, plus le reste auquel on est parvenu. L'opération n'a d'autre ré-
sultat, dans ce cas, que de décomposer le polynôme proposé en deux
parties dont l'une soit un carré parfait. Tel est, en effet, le seul but
qu'on puisse alors se proposer.
Si, par exemple, on applique la règle du n° 170 au polynôme
9 a^x'' — 24 a^x^ -f^ 46 a'^x^ — 20 a^x -\-lZa^
qui n'est point un carré parfait , puisque son dernier terme 13 a*^
n'est pas un carré, après avoir obtenu à la racine ces trois termes
3a,%'^ — Aa-x-{-^a^ ,
on trouve pour reste 2()o;'x — 11 a^ .
Il en résulte que le polynôme proposé peut se mettre sous la
forme
(3ri.r2— 4«^^-|-5a')^ + 20tt''.r — 12a'^ .
C'est le seul résultat qu'on puisse tirer des calculs effectués ; mais
ce résultat peut avoir son utilité dans certaines circonstances.
175. Remarque. Nous avons supposé qu'en extrayant la racine
152 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VI.
carrée du premier terme du polynôme proposé on prenait cette ra-
cine avec le signe + ; mais, d'après ce qui a été dit au n° 167,
on pourrait aussi la prendre avec le signe — . 11 est aisé de voir,
en récapitulant les calculs à effectuer, que l'on obtiendrait alors la
même suite de termes à la racine, mais que ces termes auraient
tous un signe contraire à celui qu'ils auraient eu si l'on eût pris le
premier terme avec le signe -\- . En sorte qu'on obtiendrait la
même racine totale, changée de signe, ce qui est en effet une solu-
tion du problème.
174. Pour extraire la racine carrée d'une fraction algébrique, il
faut extraire la racine de chacun de ses termes; cela résulte de la
loi de formation du carré d'une fraction (lOG). Ainsi la racine carrée
de la fraction
Î44^ ^'^ - 12a •
Si l'un des deux termes n'est pas un carré parfait, on se contente
d'indiquer la racine : ainsi la racine de
ISab ,, . v/Ï3â7;
-— -^ s écrira ^ — .
9x" 3x
Nous nous occuperons bientôt du calcul des quantités affectées
de radicaux du second degré.
SECONDE PARTIE. 153
CHAPITRE VII.
DES EQUATIONS ET DES PKOBLÈIUES DU SECOND DEORK.
§ I. De la résolution des équations du second degré U une seule inconnue,
17d. Une équation à une seule inconnue est du second degré
quand, après avoir fait disparaître les dénominateurs et effectué les
calculs , elle contient un ou plusieurs termes où l'inconnue entre à
la seconde puissance.
Soit d'abord l'équation très-simple
^2 = 25 ,
qui ne renferme qu'un terme en x^ et un terme indépendant
de X .
Lorsque deux quantités algébriques sont égales, on ne peut pas
affirmer que leurs racines carrées soient égales, car ces racines
peuvent différer par le signe (167); mais si l'on prend la racine de
l'une avec le signe -|- ou avec le signe — , on peut être as-
suré d'avoir en même temps une racine de l'autre. On peut donc,
en extrayant la racine des deux membres de l'équation ci-dessus ,
écrire généralement
Cette équation offre quatre combinaisons de signes :
+ ^=- + 5 ,
Mais les deux dernières reproduisent les deux premières quand on
y change à la fois tous les signes , ce qui est permis. On aura donc
toutes les combinaisons distinctes en écrivant simplement
Si l'on avait l'équation x^=^k ,
on en tirerait de même a? = dz \/A .
154 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VIT.
17G. Soit maintenant l'équation
14^—^^ = 40 [1],
ou x^—Ux = — 40 [2],
qui renferme un terme en x^ , un terme en x et un terme
indépendant de x . Si l'on pouvait convertir le premier membre
en un carré parfait , en extrayant ensuite la racine carrée des deux
membres l'équation se trouverait ramenée au premier degré; car
la racine d'un polynôme du second degré en x doit être du pre-
mier degré par rapport à cette lettre.
Or, on remarque que x^ — 14 x peut être considéré comme
formant les deux premiers termes du carré d'un binôme, sa-
voir : x^ ^ le carré du premier terme de ce binôme inconnu ,
et — 14a? le double produit du premier terme de ce binôme par
le second. On aura le premier terme de ce binôme inconnu en ex-
trayant la racine de x^ , qui est x ; et pour avoir le second ,
il faudra diviser le double produit — 14 a; des deux termes du
binôme inconnu par le double 2x du premier, ce qui donne
— 7 . Le binôme cherché est donc x — 7 , et l'on complétera
son carré en ajoutant à x''—Ux le carré du second terme —7 ,
c'est-à-dire 49 . Mais, pour ne pas troubler l'égalité, il faudra
ajouter aussi 49 au second membre de l'équation [2], ce qui
donnera
^2_ 14^ 4- 49 ==— 40 + 49
ou (^-7)«=:9 .
Extrayant alors la racine de chaque membre , en remarquant que ,
d'après ce qui a été dit au n° précédent, il suffit de mettre le double
signe zt devant la racine du second membre , on obtient
x—7 = ±:3 ;
ou , en faisant passer le terme —7 dans le second membre ,
X=:7±3 .
En adoptant le signe supérieur, on trouve
a? = 7 + 3 = 10 ;
et en adoptant le signe inférieur, on trouve
ic = 7 — 3 = 4 .
L'équation peut donc être satisfaite de deux manières, soit en
remplaçant x par 10 , soit en remplaçant a? par 4 . C'est
ce qu'il est facile de vérifier, car on a dans le premier cas
14X10—100=140 — 100 = 40 ,
et dans le second ,
14X4 — 16 = 56 — 16 = 40 .
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. 155
177. Généralement, après avoir fait disparaître les dénomina-
teurs, une équation du second degré ne pourra contenir que trois
espèce^l termes, savoir : des termes en x'^ , des termes en x ,
et des HRies indépendants de x . Si l'on fait passer tous les
termes dans un même membre , qu'on mette x^ en facteur parmi
ceux qui le contiennent, et qu'on en fasse autant pour x , l'é-
quation aura la forme générale
ax^ -\- hx -^ c =. ,
dans laquelle a ^ b ^ c peuvent être des quantités quelconques
numériques ou algébriques, monômes ou polynômes.
Divisant tous les termes par a , il vient
ou , en remplaçant - par p et - par q , pour abréger
(i (i
l'écriture ,
x'^-^px-yq^^Q .
Telle est l'équation qu'il s'agit de résoudre.
Faisons passer le terme q dans le second membre , et écrivons
x^-{-px = — q [1].
Le premier membre peut être considéré comme renfermant les
deux premiers termes du carré d'un binôme , savoir : x'^ carré
du premier terme de ce binôme inconnu , et px double produit
du premier terme de ce binôme par le second. On aura le premier
terme de ce binôme inconnu en extrayant la racine de x^ , qui
est X ; et pour avoir le second , il faudra diviser le double pro-
duit px des deux termes du binôme inconnu , par le double 2x
du premier, ce qui donne ^ . Le binôme cherché est donc x -f-^ ;
et l'on complétera son carré en ajoutant à x'^-\-px le carré de ^
ou ^ . Mais , pour ne pas troubler l'égalité, il faudra aussi ajou-
ter j au second membre de l'équation [1] , ce qui donnera
^^'+^'^ + f =-— 7 + f >
ou
('+i)'=i
156 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VII.
Extrayant la racine des deux membres en mettant le double signe di
devant la racine du second , on obtient
^■+l=-\/?
ou, en faisant passer le terme | dans le second memlire ,
2-V 4
Cette expression de x est une formule r/énérale qui peut servir
à trouver immédiatement l'inconnue dans une équation du second
degré quelconque, sanç répéter les raisonnements ci -dessus, et
que l'on peut énoncer dé» la manière suivante :
Dans toute équation du^second degré ramenée à la forme
a:'+px-\-q = ,
rinconnue est égale à la moitié du coefficient de la première puis-
sance de X , plus ou moins la racine carrée du carré de cette
moitié, suivi du terme indépendant de x , pris avec le signe qu'il
a dans le second membre.
178. I. Si on applique cette règle à l'équation
j;2 — 5.r-]-6 — ,
on trouvera immédiatement
ou
ce qui donne les deux valeurs
5,1 ..
et .r = --^-2,
en sorte que l'équation est satisfaite par les deux valeurs 3 et 2
11. Soit encore l'équation algébrique
x^—{1a-\-^h)x-\-^ah = Q ,
on trouvera , en appliquant la règle,
^^2^^^p^y_e,,
.. 2a-f-3& , ■ / Aa^+nab + ^b'
ou bien x=z ^ =b W ^ ■— uao
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. 157
Réduisant tout au dénominateur 4 sous le radical , et réduisant ,
il vient
, Ma^— 12c
^• = — ^^V 4
,_2a + 3^_^^ /4a^— 12fl6 + 36^
Or la racine peut s'extraire exactement, ce qui donne
2a + 36_i_2a — 3/^
x = ' ± .
2 2
De là deux valeurs
2«4-3ô + 2«— 3/; ,^
X — ^ i =2a
et ^^^+31-.2jL+3i' = 36.
179. Il est bon de savoir résoudre l'équation
sans être obligé de diviser par a .
Or, si , dans les valeurs obtenues plus haut ,
on remplace p et q par leurs valeurs , il vient
2a
Réduisant au même dénominateur sous le radical , on trouve
V 4a^ a
'^~" 2a
V"~4^?~ '
ou, en extrayant la racine du dénominateur \c? , et mettant la
en dénominateur commun ,
— h-±zs'lf-'\ac
•^ = Ta •
On peut arriver à cette expression d'une manière plus simple.
Multiplions par 4a les deux membres de l'équation proposée,
après avoir fait passer le terme c dans le second membre , elle
devient
\éx^-\-^ahx-= — \ac .
Ajoutons IP- à chaque membre , nous aurons
4 a^x"- + \ahx + 6- == 6' — 4a^
158 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VII.
OU , en remarquant que le premier membre est un carré parfait ,
"^'Extrayant la racine , on obtient
<lax+h=::.±.sjb^ — Aac
d'où
1ax — ^h±.sjh^ — \ac
et
^ _ — h±i\Jb'' — Aac
2a
On peut énoncer cette expression en disant que : dans toute
équation du second degré de la forme a\^-\^hx-\-c = , l'in-
connue est égale au coefficient de la première' puissance de x
pris en signe contraire, plus ou moins la racine carrée du carré de ce
coefficient, diminué de quatre fois le produit du coefficient de x'
par le terme indépendant de x ; le tout divisé par le double du
coefficient de x^ .
Soit pour exemple l'équation
on en tirera ^^^±^25 + 4x3X2
5=ts/25+24 5±:7
ou X- 6 "^-6- '
ce qui donne les deux valeurs
5+7 ,■ , 5—7 i
^==-^=2 et ^^-^^--_.
180. Enfin , lorsque le coefficient de la première puissance de x
est divisible par 2 , il se présente une petite simplification qu'il
convient de ne pas négliger.
Soit b = 2fi , l'équation générale ci-dessus pourra s'écrire
ax''+2^x-\-c=z0 .
Faisant passer le terme c dans le second membre et multipliant
par a , il vient
a-x^ -\- 2 a^x = — ac
ou , en ajoutant f>^ à chaque membre ,
«V + 2 alix + i^^ = f'- ac
ou {ax + pf=^^'-ac ,
d'où , en extrayant la racine ,
ax+^ = ±\/p^ — ac ,
et par suite x = — - — ^^ ,
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. 159
c'est-à-dire que : dans toute équation du second degré ramenée à la
forme ax^-j- 2px -|- c = , l'inconnue est égale à la moitié du coef-
ficient de la première puissance de l'inconnue, prise en signe con-
traire, plus ou moins la racine carrée du carré de cette moitié, di-
minué du produit du coefficient de x^ par le terme indépendant
de X ; le tout divisé par le coefficient de x^ .
■ Exemples. I. Soit l'équation numérique
5^2 — 6^ + 1=0 ;
on aura , d'après cette règle ,
_ 3±s/9 — 5 _ 3=i=2
^-~ 5 ~ 5 '
d'où a; = l et x= - ,
^' 5
II. Soit, en second lieu, l'équation algébrique
(a' ■— b^)x' — 1c?hx + aW=.{)
On aura x = — ^ — \^ —
a^ — b^
a'b ±1 sjàb^ — à^b"" + cC^h^ éb ±a¥
ou 0? = ' —
abiaûih)
ou encore x — - '
ab(azhb)
{a+b){a-^b) '
De là deux valeurs
ab{a-\-b) ab
[a-\-b){a — b) a — b
^ ^~'{a-\-b){a — b)~T+b '
m. Le lecteur pourra s'exercer sur les exemples suivants :
7x^ — 32^ + 15 = , -,
x^— (4a~26)j^' + 3a2— 8a6 — 36-=0 ,
x — b^ x~a~^ '
^a , X — 26
x-\-b~^ a—b ~" •
160 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VII.
§ II. Problèmes <iui conduisent a une équation du second degré a une seule
inconnue.
" 181. Quant à la mise en équation des problèmes, nous n'avons
rien à ajouter à ce qui a été dit d'une manière générale au n° 70.
Nous nous bornerons donc à traiter quelques questions choisies.
Problème I. Un banquier a escompté en dedans un billet de
2080 /r. payable dans ^ mois , et un billet de 3150 /r. payable
dans 10 mois ; V escompte total a été de 230 fr. ; on demande
quel était le taux de l'escompte.
Soit X le taux de l'escompte. Puisque 100 fr. , au bout
d'un an, rapportent x , au bout de 8 mois ils rapporteraient
2^ ou ^ ; par conséquent , si un billet payable dans 8 mois
énonçait la somme 100^ + — , l'escompte en dedans de ce billet
semit ^ .Dans les mômes conditions, l'escompte de 2080 fr.
o
sera donc donné par le quatrième terme de la proportion
2 2
100 + - ic : -^ : : 2080^ : ce quatrième terme,
o o
dont la valeur est conséquemment
2080^x1^'
100 + |a;
ou , en multipliant haut et bas par 3
4160a;
[1].
300 + 2^
En second lieu, 100 fr. au bout d'un an rapportant x ,
1 jC ^x
au bout de 10 mois ils rapporteront — ou —; par consé-
quent, si un billet payable dans 10 mois énonçait la somme
100^ + ^ , l'escompte en dedans de ce billet serait ^ . Dans les
mêmes conditions, l'escompte de 3150 fr. sera donc donné par
le quatrième terme de la proportion
100 -[-— : ^ :: 3150M ce quatrième terme,
'66
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU SECOJND DEGRÉ. 161
dont la valeur est conséquemment
3150^ X^
D
100 + ^
ou , en multipliant haut et bas par 6 ,
15750^
600 + 5^ 1^^^-
Mais, d'après l'énoncé, la somme de ces deux escomptes doit faire
230 fr. ; on doit donc avoir l'équation
4l60.r 15750^
300 + 2^^^600+5^""^^^ f^J-
Faisant disparaître les dénominateurs, transposant et réduisant, il
vient
50000^- + 6600000^ = 41400000
ou ,r^+132^ = 828 [4J,
d'où l'on tire x~6 et ^-r^ — 138 .
Le taux de l'escompte étant essentiellement positif, la seconde
valeur doit être rejetée ; le taux cherché est donc 6 pour ICO . On
trouvera ensuite pour l'escompte des deux billets 80 fr. et
150 fr. , en mettant pour x la valeur 6 dans les expressions
[1] et [21. ^
Remarque. En changeant x en — x dans l'équation [3] , il
serait facile de trouver un énoncé auquel convînt la solution — 138
prise positivement; mais, outre que cet énoncé serait incompatible
avec la notion d'escompte, la valeur positive +6 se trouverait
alors convertie en une valeur négative — 6 .
On pourra être surpris, au premier abord, de voir l'Algèbre
donner ainsi une solution étrangère à la question , quel que soit le
signe que l'on donne à x dans l'équation du problème. Mais il
faut bien remarquer que l'Algèbre doit donner la réponse à toutes
les questions qui pourraient conduire à la même équation [4], et
dont le nombre est illimité. Telles seraient, par exemple, les sui-
vantes, bien différentes de celle que nous venons de résoudre.
Trouver un rectangle dont la surface soif de 828"'"i et dont la
base et la hauteur diffèrent de 132"^ ; question qui conduit préci-
sément à l'équation ^(^+ 132) = 828 ; en appelant x le plus
petit côté du rectangle.
Trouver un rectangle dont la surface soit de 828'""î et dont la
base et la hauteur fassent en somme 132"' ; question qui conduit à
11
162 SECONDE PARTIE. CHAPITRE VII.
l'équation x (132— a;)= 828 , laquelle ne diffère de l'équation [4]
qu'en ce que x est changé en —x.
Enfin cette question générale qui comprend les précédentes : Trou-
ver deux quantités dont le produit soit 828 et dont la somme al-
gébrique soit 132 ; laquelle, en désignant par x l'une des deux
quantités demandées, conduit encore à l'équation [4] , et admet les
solutions négatives aussi bien que les positives.
L'équation [4] est donc beaucoup plus générale que le problème
qui y a conduit ; et il n'est point surprenant qu'elle admette une so-
lution étrangère à ce problème particulier. Nous aurons souvent
l'occasion de faire des remarques analogues.
182. Problème II. Partager 17 en deux parties telles que le
carré de la première surpasse de 2 unités le double du carré de
la seconde.
Si l'on appelle x la première partie , la seconde sera {\l/—x)\
et en traduisant algébriquement l'énoncé , on aura
2(17—07)^ + 2=:^'
ou , en réduisant , a;'- — 68 ^ + 580 — ,
d'où l'on tire 5; = 34ïh24 , ,'
c'est-à-dire ^ = 58 et a; = 10 .
La seconde valeur satisfait à la question , et donne pour les deux
parties 10 et 7 . . . ,, .
Quant à la première valeur, elle est, quoique positive, etrangei;e
à la question proposée, puisqu'une des parties de 17 ne saurait
surpasser 17 .
Remarque. L'explication de cette circonstance, en apparence sin-
gulière, est facile à trouver. Le problème que nous venons de ré-
soudre avec une seule inconnue, en comporte réellement deux,
qui sont les deux parties de 17 .
En appelant x et y ces deux parties , les équations du pro-
blème seraient
x + y:^\7 ,
Or il ne suffit pas que x soit positif pour que la solution ré-
ponde à l'énoncé, il faut encore que y le soit, ce qui ne peut avoir
lieu si X surpasse 17 . .^ . .. j • *
Si l'on change y en - ?/ , la première équation devient
X — y = 17
et la seconde ne change point. Ces équations répondraient à ce pro-
blème : Trouver deux nombres qui diffèrent de 17 , et tel que le
ÉQUATIONS ET PllOBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. 163
carré du plus grand surpasse de 1 unités le double du carré du plus
petit. Dans ce cas, les valeurs de .x restant les mêmes, on trouve
que la valeur ^ = 68 satisfait et donne pour y une valeur po-
sitive ?/ = 4l ; tandis que x=\(} donne y~ — 7 .
Mais les valeurs, tant négatives que positives de y , deviendraient
admissibles si l'on prenait pour énoncé : Trouver deux quantités
dont la somme algébrique soit 17 , et telles que le carré de la pre-
mière surpasse de 2 unités le double du carré de la seconde.
On voit ici, comme dans le problème précédent, que l'équation à
laquelle on est parvenu est plus générale que le problème qui y a
conduit, et que c'est à cette plus grande généralité qu'il faut attri-
buer les valeurs étrangères au problème particulier que l'on a en
vue fournies par les procédés de l'Algèbre.
i^^.V^omtmlll. Un champ a 480--^ de superficie ; un champ
voisin, qui a 6"' déplus en longueur, mais 4- de moins en lar-
geur, a la même superficie. On demande les dimensions des deux
champs (dont la forme est supposée être celle d'un rectangle).
La superficie d'un rectangle ayant pour expression le produit de
sa longueur par sa largeur, si x désigne la longueur du premier
champ, — sera sa largeur. La longueur du second sera
x + e^ ; sa largeur sera ~ 4 ; et sa superficie sera le pro-
duit de ces deux expressions. On devra donc avoir
ou , en effectuant et réduisant ,
2880 ,
— 4.3? — 24— .
X
Faisant disparaître le dénominateur x , transposant et divisant
par 4 , il vient
•^' + 6^ — 720 = ,
d'où Ton tire .r = —- 3d=v/729 = — 3±27 ,
c'est-à-dire x=:24 et x = — 30 .
Prenons d'abord la solution positive. La longueur du premier
champ étant de 24'" ;^ sa largeur est ■ ^^ ' ou 20"' ; la Ion-
gueur du second est 24"^ -f 6'" ou 30'" , et sa largeur est
20"» — 4"^ ou 1&" , sa superficie a donc pour valeur 30X16
ou 480"»*'i ; elle équivaut donc bien à la première.
lea SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VU.
Passons à la solution négative. Pour l'interpréter, changeons x
en — X dans l'équation du problème ; nous aurons
(-x + 6)(-^-4)=480 ; ,
ou, en changeant à la fois le signe de chaque facteur, ce qui n'alté-
rera pas le produit ,
(._6)(^ + 4):=480 ,_
équation qui répond au cas où le second champ aurait 6'" de
moins en longueur et 4'" déplus en largeur.
On trouverait en effet pour solutions ^ = 30 et ^' = — 24 .
La première de ces valeurs donne pour la largeur du premier champ
^ ou 16'» ; la longueur du second est 30 — 6 ou 24'" et
sa largeur est 16 + 4 ou 20"' . C'est-à-dire que c'est le se-
cond champ du cas précédent qui est devenu le premier. Quant à la
valeur négative — 24 , son interprétation nous ramènerait au
premier cas.
On voit qu'on passe d'un cas à l'autre en changeant le signe
de ^ ; et c'est pour cela que l'Algèbre les réunit en présentant la
solution de l'un avec le signe + et celle de l'autre avec le
signe — .
V^^i. V^ov>Lm^\y. Une personne qui a 120000 /r. décapitât
en a fait deux parts quelle a placées à deux taux différents; la pre-
mière lui rapporte annuellement 2800 /r. ; la seconde, qui est
placée à un taux plus élevé de 1 fr. , lui rapporte 2500 /r. On
demande quelles sont les deux parts, et à quels taux elles ont clé
placées, ,
Désignons par x le taux auquel la première part est placée. Ni
la première part était connue, on obtiendrait son intérêt annuel en
la multipliant par le taux x , et en divisant par 100 ; ce qui de-
vrait donner 2800 fr. On aura donc l'expression de la première
part en faisant les opérations inverses , c'est-à-dire en nmltipliant
2800 fr. par 100 , et en divisant le produit par x ; ce qui
donne
280000
X
En raisonnant de la même manière, on trouvera pour l'expres-
sion de la seconde part
250000
x + 1 *
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. i65
Et puisque la somme des deux parts doit faire le capital entier, on
devra avoir
280000 25^^^20000,
ou —.= 12 ,
ou encore 12x^ — 41^ — 28 = 0,
d'où l'on tire x = A et x = — — .
La valeur positive +4 , qui est seule admissible, donne 4 + 1
ou 5 pour le taux auquel a été placée la seconde part. La pre-
mière est alors
— 7 — ou 70000^ ,
4
et la seconde est -^ — ou 50000^ .
5
La somme de ces deux parts forme bien le capital 120000 fr.
Ici, comme dans le problème I, la valeur négative — ~- ne
pourrait être interprétée qu'en partant d'un énoncé incompatible
avec la notion d'intérêt. Rappelons que si l'Algèbre fournit ainsi
une solution étrangère, cela tient à ce que l'équation à laquelle on
est parvenu a plus de généralité que le problème particulier qui y a
conduit, et que l'Algèbre doit répondre à toutes les questions qui
conduiraient à cette même équation , et dont quelques-unes pour-
7
raient admettre la solution négative — -^ .
18i>. Problème V. Divise?- 11 en deux parties telles que la
somme de leurs cubes soit égale à 407 .
Soit X l'une des parties , l'autre sera 11 — x .Le cube de la
première s'écrira x^ . Pour former le cube de la seconde, formons
d'abord son carré qui est 1 P — 2xll .x-\- x- , et multiplions ce
carré par 11 — x , ce qui donnera
IP— 3X11'..^ + 3X11 ..:^'— ^^ .
En faisant la somme des deux cubes, les termes en
sent ; on doit donc avoir l'équation
11^—3 X 11'. .^ + 3 X 11 . ^' — 407
disparais-
166 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VII.
OU , en remarquant que tous les termes sont divisibles par 1 1 ,
11^—3X11 .ir+3a;^=37 ,
ou 3^«— 33a? + 84 = ,
ou encore x^—llx-\-2S=0 ,
d'où l'on tire x = 7 et .t = 4 .
Si l'on prend 7 pour la première partie, la seconde sera 11 — 7
ou 4 . Si l'on prend 4 pour la première, la seconde sera 1 1 — 4
ou 7 . En sorte que, bien que nous trouvions deux valeurs positives
distinctes et toutes deux admissibles , le problème n'admet néan-
moins qu'une solution. Cela tient à ce que, x ne désignant pas
plutôt une des parties que l'autre , l'Algèbre doit les donner toutes
les deux ; et c'est ce qui arrive en effet.
180. Le lecteur pourra s'exercer sur les exemples qui suivent :
I. Une personne a acheté du drap pour 300 /r. Si elle avait
patjé le mètre 5fr. de moins elle aurait eu , pour la même somme,
2"* de drap de plus. On demande combien elle a acheté de mètres
de drap,
(Réponse : 10™ . Solution négative — 12'" , qu'on interpré-
tera comme au n° 185. )
II. Un amateur de tableaux achète pour original une copie qu'il
est obligé de revendre ensuite ^Afr. ; à ce marché il perd autant
pour 100 que le tableau lui avait coûté. On demande quel a été
le prix d'achat.
(Réponses: 60 fr. et 40 fr.)
III. Partager 12 en deux parties telles que le carré de la pre-
mière soit inférieur d'uîie unité au double du carré de la seconde.
(Réponse : la première partie est 7 ; par suite la seconde est 5 .
De plus une solution inadmissible , 41 pour la première partie,
ce qui donnerait pour la seconde — 30 .Voy. le n° 182.)
IV. On a payé 96 fr. à 14 ouvriers , hommes et femmes;
chaque homme a reçu autant de francs quHl y avait de femmes, et
chaque femme autant de francs qu'il y avait d'homnies. Combien
y avait-il d'hommes et combien y avait-il defemmes^t
(Réponse : 8 hommes et 6 femmes , ou bien 6 hommes et
8 femmes ).
V. Trouver les quatre termes d'une proportion par quotient, sa-
chant que la raison est 3 , que la somme des antécédents est 5 ,
et que la somme des carrés des quatre termes est 130 .
(Réponse: 2: 6:: 3:9 ou 3:9:: 2:6).
ÉQUATIONS BIGARRÉES. i6î
VI. Deux ouvriers ont un ouvrage à faire. Si chacun d'eux en
faisait la moitié , il leur faudrait en tout '26 heures de travail
pour le terminer; 7nais s'ils ij travaillent ensemble , l'ouvrage sera
fait en 12 heures . Combien d'heures chacun d'eux emploierait-il
à faire l'ouvrage entier s'il travaillait seid ?
(Réponse : L'un des ouvriers emploierait 30 heures , et l'autre
20 heures .)
§ m. De la résolution de l'équation bicarrée, et des problèmes qui conduisent
à une équation de cette espèce.
187. On nomme équation bicarrée une équation du quatrième
degré (66) qui ne contient que les puissances paires de l'inconnue.
Lorsqu'on a fait disparaître les dénominateurs , passé tous les termes
dans un seul membre, réuni en un seul tous ceux qui contiennent
l'inconnue à la quatrième puissance , en un autre tous ceux qui la
contiennent à la deuxième puissance , enfin en un troisième tous
ceux qui sont indépendants de l'inconnue , l'équation bicarrée se
présente sous la forme
ax'*-^bx^+c~(i .
Pour résoudre une pareille équation , qui ne diffère d'une équa-
tion du second degré qu'en ce que x y est remplacé par x"- et
x^ par x'* , on pourra prendre comme inconnue x- . On po-
sera donc
X- =. y d'où X' = y-
en élevant les deux membres au carré. Substituant ces valeurs dans
l'équation proposée , elle deviendra
arf -\- by -\- c =^ Q ,
d'où l'on tirera (179)
— b±.s'b'' — Aac
y= ra — •
Maintenant, de x^=^y , on déduit x^=-±.sly ; mettant donc
pour y la valeur qu'on vient de trouver, on aura tinalement
^-±\/-
6±:v/6^-4ap
2a
ce qui fournit pour x quatre valeurs, en combinant les signes
108 SECONDE PARTIE. — CIÏAriTRE VII.
de toutes les manières possibles, savoir :
x=-\/-
x^+sj-
X^-Sj
— h + sJb'—Aac
'la
20
h — \lb^ — Aac
20
— b — sjb"^ — Aac
20 *
Ces valeurs sont deux à deux égales et de signe contraire , et c'est
ce qu'on pouvait prévoir. Car, si une valeur quelconque a , mise
pour X , satisfait à l'équation proposée , la valeur égale et de signe
contraire — a y satisfera également, puisque le carré de — a
est le même que celui de -|- a , et que par conséquent il en est de
même de leurs quatrièmes puissances.
188. I. Soit, pour exemple numérique, l'équation
;2;^— 169^-+ 3600=0 .
En posant x^=y , d'où x*=zif , on obtient
?/^— 169?/ + 3600=^0 ,
équation qui donne pour y deux valeurs
?/= 144 et ?/ = 25 ,
mettant ces valeurs dans ^- = ?/ , il vient
x- = lAA et a?2 = 25 ;
d'où a7==hl2 et x ==±b .
IL Soit, pour exemple algébrique, l'équation
x' ^2{a^ + b-) x^ + {a' — b^f = .
En opérant comme ci-dessus , on aura successivement
y' — 2{a' + b')y +{a' — b'f=:0 ,
d'où y = a-+b^±2ab ,
c'est-à-dire yz=(a + bf et y={a — bf,
donc x'- = {a + bf et x'- = (a — bf ,
d'où X z=d!z(a-\-b) et x =±i{a — b) ,
c'est-à-dire
x = + a-\-b , x = — a-^b , xz= + a'-b , x=^a + b .
ÉQUATIONS BICARRÉES. 169
11 est facile de vérifier que chacune de ces quatre valeurs satisfait
effectivement à l'équation proposée. ,
189. Nous allons donner quelques exemples de questions qui
donnent lieu à la résolution d'une équation bicarrée.
Problème I. Décomposer 120 en deux facteurs tels que la somme
de leurs carrés soit égale à 289 .
120
Soit X l'un des facteurs , l'autre sera — ; on devra donc
X '
14400
avoir ^2 4-12:^ = 289 ou ;77*—289.a?2+ 14400=0 ,
d'oùl'ontire x = ±:\^ et ^ = ±8 .
Si l'on ne veut que des facteurs numériques, les valeurs posi-
tives 15 et 8 peuvent seules convenir à la question ; mais si
l'on admet les facteurs algébriques , on aura encore une solution
en prenant — 15 et — 8 .
Problème II. Trouver la hase et la hauteur d'un rectangle sachant
que sa surface est de 12"'*'i et que sa diagonale a 5"' . (On sup-
pose connus la mesure du rectangle et le théorème de Pythagore. ;
12
Soit x la base , la hauteur sera — ; or , d'après le théorème
X ^
de Pythagore , la somme des carrés de ces deux dimensions doit
égaler le carré de la diagonale ; on doit donc avoir
.x^-flii=25 ou ^^^— 25.2^^+144=0 ,
d'oùl'ontire x=àiA et x=^±Z .
Ici les valeurs +4 et +3 sont les seules qui soient ad-
missibles.
Problème III. Partager 60 en deux facteurs tels que le carré
du triple du premier, plus le carré du double du second fassent une
somme éaale à 801 .
Soit x le premier facteur , le second sera — et l'on devra
/120\^ 14400
avoir (3^)-+(^^) =801 ou 9^^+i^ = 801 ,
\ X J X"
ou enfin 9^^—801^^+14400=0 ,
d'oùl'ontire a;=±8 et ^=±5 .
Les seconds facteurs correspondants seront àz—- et dz— ,
o 5
c'est-à-dire ±y et ±12 .
170 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VII.
Les deux facteurs devront être pris avec le même signe, attendu
que le produit 60 est positif.
§ IV. Résolution , dans quelques cas simples , d'un système de plusieurs équations
(dont une au moins du second degré) renfermant le même nombre d'in-
connues.
190. Une équation à deux inconnues est dite du second degré
lorsqu'après y avoir fait disparaître les dénominateurs et effectué les
calculs, elle contient soit le carré de l'une des inconnues, soit le
produit de ces deux inconnues.
En général , une équation à deux inconnues est du degré n ,
lorsque , après avoir fait disparaître les dénominateurs et effectué les
calculs , la somme des exposants des deux inconnues est n dans
le terme où cette somme est la plus grande.
Nous nous occuperons, dans ce paragraphe, de la résolution,
dans quelques cas simples, d'un système de deux équations à deux
inconnues, lorsque l'une au moins de ces équations est du second
degré.
Soit d'abord le système des deux équations
X7J = b .
Si l'on tire de la première la valeur de y en x , savoir
ij=za — X , et qu'on la mette à la place de y dans la seconde , on
obtient
x{a — x)=^b ou ax — x^z^h ,
ou encore x^—ax-\-b—0 .
Si , au lieu d'éliminer y , on eût éliminé x , on serait parvenu
à l'équation
y'—ay+f>=^ .
qui ne diffère de la précédente que par le caractère qui représente
l'inconnue; d'où il suit que la même équation donne à la fois x
et y ; c'est-à-dire : non pas que x et y sont égaux , mais que
si l'on prend pour x l'une des valeurs fournies par l'équation du
second degré à laquelle on est parvenu , il faudra prendre pour y
l'autre valeur fournie par la même équation.
On aurait pu prévoir ce résultat ; car les équations proposées sont
symétriques en x et y ; c'est-à-dire que si l'on y changeait x
en y et y en j: , elles ne changeraient pas; il en résulte que
le calcul qui donne x est le même que celui qui donne y , et
que par conséquent il doit donner à la fois l'un et l'autre.
ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A DEUX INCONNUES. 171
On tire de ce qui précède ce théorème de calcul : Lorsque l'on a
la somme et le produit de deux quantités, elles sont données Vune
et Vautre par une même équation du second degré , dans laquelle le
terme affecté de la seconde puissance de l'inconnue a pour coefficient
l'unité ; le terme affecté de la première puissance apour coefficient la
somme des deux quantités prises en signe contraire , et le terme in-
dépendant de l'inconnue est le produit de ces mêmes quantités.
191. Soit, par exemple, à résoudre ce problème: Trouver la
base et la hauteur d'un rectangle, sachant que sa surface est de
48""'! et que son périmètre est de 28™ .
En désignant par x la base et par y la hauteur , on aura
xy pour l'expression de la surface et 2x-\-2y pour celle du
périmètre. On devra donc avoir
xy=4S et 2x-\-'2y—2S ou x-\-y~l4 .
En vertu du théorème précédent, l'équation qui donnera à la fois la
base et la hauteur sera
d'oii -s — 8 et 5 = 6 ,
c'est-à-dire que si la base a 8™ , la hauteur aura 6"" ; ou que si
la hauteur a 8*" , la base aura 6'" . Car z désigne indifférem-
ment la base ou la hauteur du rectangle. >
192. Soit proposé un système quelconque de deux équations à
deux inconnues , l'une de ces équations étant du premier degré ,
et l'autre du second.
On pourra tirer de la première la valeur de y en .x , et , en
la substituant dans la seconde , on aura à résoudre une équation du
second degré en x . Ayant déterminé x , on remettra sa valeur
dans la première équation , et l'on en tirera la valeur correspon-
dante de y . Il y aura, en général, deux systèmes de valeurs,
mais il pourra arriver qu'un seul des deux systèmes* puisse conve-
nir à la question particulière qui aura fourni les deux équations
proposées.
Soit proposé, par exemple, ce problème : Un capitaliste veut
placer, à des taux différents, une somme de 40000 /r. et une
somme de 25000 fr. S'il les place à intérêts simples , il en retirera
6000 /r. au bout de deux ans; mais s'il les place à intérêts com-
posés , il en retirera 140 fr. de plus. On demande à quels taux
les deux soynmes doivent être placées.
Soient x et y ces deux taux. Pour obtenir l'intérêt de
40000 fr. au taux x , au bout de 2 ans , à intérêts simples , on
172 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VII.
sait qu'il faut multiplier 40000 fr. par x et par 2 , et di-
viser le résultat par 100 .On obtient ainsi
800^7 .
On obtient de la même manière , pour l'intérêt de 25000 fr. , au
bout de 2 ans , et au taux y
600 îj .
On aura donc, pour première équation
800^ + 500?/ = 6000 ,
ou 8^ + 5?/ = 60 [1].
En second lieu , pour savoir ce que devient un capital 40000 fr.
au bout de 2 ans , au taux x et à intérêts composés , on sait
qu'il faut multiplier le capital par (l +-r^) , ce qui donne
De même , un capital de 25000 fr. , placé pendant 2 ans au
taux y et à intérêts composés, devient
25000 (h- 4y.
Or, la somme de ces deux capitaux définitifs doit faire la somme
des capitaux primitifs augmentée de ce qu'ils rapportent, c'est-à-
dire augmentés de 6000 fr. plus l40 fr. , ce qui fait en tout
71 140 fr. On a donc pour seconde équation
' 4000o(n-:|jy+2500o(l + ^) =71140 ,
OU, en effectuant, chassant les dénominateurs et réduisant,
8^^+1600a? + 5?/^-fl000y=12280 [2].
On tire de l'équation [1]
60--8^
Mettant pour y cette valeur dans l'équation [2] , faisant dispa-
raître les dénominateurs , et réduisant , on obtient
13;r^ --120^ + 275 = ,
d'où x = o et x = 4-pr^ .
Ces valeurs , mises pour x dans l'équation [3] donnent
y = 4 et y = 5-ft .
ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A DEUX INCONNUES. 173
Le problème admet donc deux solutions :
^ = 5 avec y = 4 ,
et x = A-^ avec ?/ = 5-nï •
195. Soient proposées, maintenant, deux équations simples,
toutes deux du second degré ; par exemple :
x'+f=m [1],
xij = 120 [2].
(La seconde équation est du second degré, parce que les incon-
nues X et tj y sont multipliées entre elles (190).)
On peut , d'abord , tirer de la seconde la valeur de y en x ^
laquelle est
y=— > [3],
et substituer cette valeur dans la première équation , qui ne con-
tiendra plus alors que la seule inconnue x . On trouve ainsi
^ X-
ou , en faisant disparaître le dénominateur x- , et transposant
x' — 289 x'^ + 1 4400 =: [4] ,
équation bicarrée, qui donne (187)
x=:±:lb et x = àz% .
Ces valeurs, mises pour x dans l'équation [3], donnent ensuite
?/==:±8 et y = ihl5 .
Les signes supérieurs doivent se correspondre ainsi que les signes
inférieurs ; en d'autres termes ^ x et îj doivent être de même
signe, puisque leur produit doit être égal au nombre positif 120.
Remarque. Les quatre valeurs de y sont précisément les
mêmes que les quatre valeurs de ^ . On pouvait le prévoir ; car
les équations proposées étant symétriques par rapport à ^ et à
y , c'est-à-dire ne changeant pas de forme quand on y change x
en y et y en x , \\ en résulte que le calcul nécessaire pour
déterminer y doit être précisément le même que celui qui dé-
termine X , et que, par conséquent, on doit trouver les mêmes
valeurs que ces deux inconnues.
Mais ce ne sont point les valeurs égales qui se correspondent :
à la valeur x = -\-l6 correspond ?/ = -|- 8 ,
— 15 ~ 8 ,
+ 8 +15 ,
— 8 —15 .
i 74 SECONDE PARTIE. -— CHAPITRE VII.
104. On peut encore résoudre le système des deux équations
précédentes par un autre procédé qu'il est bon de connaître.
On remarque que si, au premier membre de l'équation [l], on
ajoutait le double du premier membre de l'équation [2] , on obtien-
drait le carré de œ -\- ?j ; et que si l'on retranchait au lieu
d'ajouter, on obtiendrait le carré de œ — y; par suite, on con-
naîtrait la somme des deux inconnues ainsi que leur différence ; et,
en vertu du théorème démontré au n" 5 on obtiendrait immédiate-
ment chacune de ces inconnues.
On trouve, en effet, en opérant ainsi :
x^ + 2xy + y^ ou (^ + y)'^ = 289 + 240 = 529 ,
et œ^—'2xy-\-y^ ou (^ — y)^ = 289 — 240 = 49 ,
d'où l'on tire x + y = d-23 ,
et 00 — y=:zh 7 .
±23dt7 , ±23=1=7
Par suite x — ^ et y = ,
ce qui donne pour x et y les valeurs écrites plus haut.
Soit proposé, par exemple, ce problème : Trouver les deux
côtés de r angle droit d'un triangle rectangle, sachant que son hy-
poténuse a 13 mètres , et que sa surface est de 30 mètres
carrés.
En désignant par x et y les deux côtés demandés , et re-
marquant que si l'un de ces deux côtés est pris pour base du
triangle, l'autre mesure précisément la hauteur, on aura les deux
équations * :
x^ + y^=m9 ,
et -a??/:=30'"'i ou xy = 60 .
On tire de là (x + yf = 169 -|- 120 = 289 ,
et (ic — y/=: 169 — 120= 49 ,
d'où x-^-y^l? et x — y = 7.
On peut se dispenser du double signe , en remarquant que x et
y doivent être positifs et en convenant d'appeler x le plus
grand de ces deux côtés.
On a ensuite (5)
x~ — ^ — = 12 et y =
* La somme des carrés des deux côlés de l'angle droit équivaut au carré de
^'hypoténuse ; et la surface du triangle a pour mesure la moitié du produit de
sa base par sa hauteur. (Voy. notre Géométrie théorique et pratique, 3" édition.)
ÉQUATIONS Î)U SECOND DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES. 175
193. Comme exemple d'une question à trois inconnues, soit
proposé le problème suivant :
Tromper les trois dimensions d'un parallélépipède rectangle, sa-
chant que sa diagonale a 7 mètres , que la surface de sa base est
de 12'''"i , et que la soî)ime de ses douze arêtes est de 44 mètres .
Désignons par x et y les deux côtés adjacents du rectangle
de base , et par z la hauteur du parallélépipède , nous aurons les
trois équations
a;'^ + f + z^ = 49 [1],
■ xy = n [2],
et 4a) + 4y-{'4z=U ou ^ + 2^+^=11 [3];
qui expriment : 1° que la somme des carrés des trois arêtes abou-
tissant à un même sommet équivaut au carré de la diagonale;
2° que le produit des deux côtés adjacents du rectangle de base
mesure la surface de ce rectangle; 3° que la somme des douze
arêtes , lesquelles sont égales 4 à 4 , est de 44"' .
Pour résoudre ce système d'équations , mettons la première sous
la forme
Ajoutons-la membre à membre avec l'équation [2] multipliée
par 2 ; nous aurons
a:^ + ^ccy + y' = 49 — z^ + 24 ,
ou {x + yf = 7S—z'^ .
Mais , de la troisième équation proposée , on tire
x-\-y=i\\ — z .
Mettant pour ôc-\-y cette valeur dans l'équation ci-dessus , il vient
(11— s)^=73— 2^- ,
ou , en développant , transposant et réduisant ,
25^— 22-5-1-48 = ,
ou encore 2^--ll.s-|-24 = ;
d'où z=r.s et z = S .
La valeur ^=8 ne peut convenir au problème; car le carré
de 8 est plus grand , à lui seul , que 49 . Prenons donc z=3 ;
il en résulte
.^^-1-^=11-3=8 ,^
et, comme on a xy=zl2 ,
176 Si;CONDE PARTIE. — CHAPITRE VU.
on est ramené à un système analogue à celui du n" 190. Dès lors
on aura à la fois ^' et ij en résolvant l'équation
î^'— 8w + 12=0 ,
dans laquelle le terme en u a pour coefficient la somme 8 des
deux inconnues , prise en signe contraire , et où le terme indépen-
dant de u est le produit 12 de ces mêmes inconnues.
Cette équation donne i^ = 6 et ?^=2 . On a donc .r=6 ,
y=2 ou bien x=:^ > ^=6 .
196. Le lecteur pourra s'exercer sur les problèmes qui suivent :
I. Trouver la hase et la hauteur d'un rectangle , sachant que sa
diagonale a 3'", 7 et que sa surf ace .est de 4'""'i,20 .
(Réponse : 3"\5 et r»,2 ).
II. Trouver une fraction telle que le produit de ses deux termes
soit 12 , et que si, à cette fraction , on ajoute la même fraction
renversée , on obtienne pour somme 2 jô .
(Réponse.: y ou -
III. Calculer les trois côtés d^un triangle rectangle, sachant que
son périmètre est de 90"' et que sa surface est de 180"'"' .
(Réponse;: hypoténuse, 41'" ; côtés de l'angle droit, 40"'
et 9™ .
IV. Calculer les trois arêtes adjacentes d'un parallélépipède rec-
tangle , saclmnl que sa diagonale a 13'" , que la somme de ses faces
est de 192'"""' , et que le périmètre du rectangle de base est de 14'" .
(Réponse : côtés du rectangle de base, 3'" et 4™ ; hauteur du
parallélépipède, 12'" .)
V. Partager 17 en trois parties telles que la somme de leurs
carrés soit égale à \^{ , et que le produit des deux parties extrêmes
soit égal au triple de la partie moyenne.
(Réponse: 2 , 6 , 9 .)
y^
r
SECONDE PARTIE. 177
CHAPITRE VIII
I .
DES QUANTITÉS IRRATIONNELLES DU SECOND DEGRÉ , DES QUANTITÉS IiMA-
GINAIRES, ET DE LA DISCUSSION DES PROHLÈMES DU SECOND DEGRÉ.
§ I. Des quantités irrationnelles du second degré.
197. Lorsqu'un nombre entier n'est pas un carré parfait, on sait
que sa racine carrée ne peut être exprimée exactement ni par un
nombre entier, ni par un nombre fractionnaire; mais que l'on peut
en approcher aussi près qu'on le -désire. Ainsi une expression telle
que v/2 représente une quantité dont la valeur ne peut être assi-
gnée exactement en nombres, mais qui a néanmoins une existence
réelle, puisqu'on peut toujours trouver deux quantités numériques^
différant entre elles d'aussi peu qu'on le voudra, et entre lesquelles
elle soit comprise. Une pareille quantité est ce qu'on appelle une
quantité inconmiensurable, si on la considère sous le rapport de son
évaluation numéj'ique, ou une quantité irrationnelle j, si l'on ne
s'attache qu'au signe \/ par lequel elle est représentée.
Une quantité telle que \^'Sal) , dans laquelle a et b sont
des quantités numériques quelconques, est encore une quantité
/rrtt//ow?ie//e. On pourrait bien, à la vérité, trouver pour a et b
des valeurs numériques telles que ^ab devînt un carré parfait,
auquel cas y'Sab deviendrait rationnel et commensurable ; mais
comme cela n'a pas heu pour toutes les valeurs qu'on pourrait attri-
buer à a et à 6 , il convient de traiter l'expression \/3a6
comme si le radical [12] ne pouvait jamais disparaître, c'est-à-dire
qu'il convient de la traiter comme si elle devait rester irrationnelle
pour toutes les valeurs de aetéeb.
Généralement, toutes les fois qu'un radical du second degré
porte sur une quantité algébrique qui n'est point un carré parfait ,
algébriquement parlant, c'est-à-dire indépendamment des valeurs
particulières qu'on peut attribuer aux lettres qui y entrent, l'ex-
pression doit être regardée comme irrationnelle , bien que pour
certaines valeurs particulières attribuées aux lettres, elle puisse
cesser de l'être. C'est ainsi que \Ui^-\-b'' doit être considérée
comme une quantité irrationnelle , attendu que à'-{-b^ ne peut
178 SKCONDE PARTIE. — CHAPITUE YlII.
être ni le carré d'un monôme, ni celui d'un polynôme ; et cela,
quoique certaines valeurs particulières, attribuées à a et à 6,
ou à l'une des deux seulement, puissent rendre a^-\-Jf- un carré
parfait, ce qui arriverait, par exemple, pour à=ja , auquel cas
a^-\-b^ se réduirait à — j— et serait le carré de -r- .
4 2
Nous allons nous occuper , dans ce paragraphe , des règles suivant
lesquelles les irrationnelles du second degré doivent être introduites
dans le calcul. Pour cela, nous commencerons par étendre aux
quantités incommensurables quelques théorèmes fondamentaux
qui n'ont été supposés démontrés jusqu'ici que pour les quantités
commensurables.
1 90 . I . U7i produit de deux facteurs incom^nensurables ne change
pas, dans quelque ordre qu'on suppose la 7nultiplication effectuée.
Soit à multiplier, par exemple , y/^ par s/5 . Il s'agit de faire
voir que le produit est indépendant de l'ordre des facteurs.
Pour cela , soit a une valeur de s/^ , approchée par défaut à
moins de -, en sorte que sj'i soit compris entre a et «+-
Soit de même fi une valeur approchée de v^5 au même degré
d'approximation.
Les quantités a et 8 étant commensurables , on a
Les quantités a-[— et fi + - étant également commensu-
rables , on a de même
Or, v/2 étant compris entre a et a + - » et v^5 étant
compris entre ? et fi + i , le produit v/2Xv/5 est compris
entre aô et (a + i) (fi + -) , c'est-à-dire entre les premiers
membres des égalités ci-dessus. Pareillement y^ôX s/2 est com-
pris entre p-a et (p-f--) y- + i) ' c'est-à-dire entre les se-
conds membres de ces mêmes égalités. Donc \J^y<\J'o et
v/5 X V 2 sont compris entre les mêmes limites.
DES QUANTITÉS IRRATIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. 179
Mais si l'on développe U + - j (P + ^) > ce qui donne
on voit que les deux premiers membres des égalités ci-dessus diffè-
rent de
n ^ n ^ n^ '
quantité qu'on peut rendre aussi petite qu'on voudra en prenant
n suffisamment grand, c'est-à-dire en prenant pour a et p
des valeurs de ^'2^ et de ^/5 suffisamment approchées.
Les produits \/'2 X s/ 5 et )/6 X s/2 sont donc compris entre
deux limites variables qu'on peut rapprocher l'une de l'autre autant
qu'on le voudra ; il faut donc que ces produits soient rigoureusement
égaux. Car, s'ils différaient, on pourrait rendre la différence des
deux limites moindre que la différence des deux produits qu'elles
comprennent entre elles, ce qui serait absurde. On a donc
v/2Xv/5 = v/^X\/2 ,
ce qui démontre la proposition énoncée.
199. II. Multiplier une quantité par le produit de deux facteurs
incommensurables, revient à la multiplier successivement par cha-
cun de ces facteurs.
Démontrons, par exemple , que multiplier une quantité a par
le produit (supposé effectué) {y,/2X\/b) , revient à multiplier
d'abord_cette quantité par v/2 , et à multiplier ensuite le produit
par \/5 .
En conservant les notations du numéro précédent, on aura d'abord,
puisque a et p, a + - et !^ + i sont commensurables ,
et que la proposition a été démontrée en arithmétique dans ce cas :
aX(ap)=(aa)Xp
•■ "><[(■+.-) ('+î)]=K-+3]x(f+ï
Or, (v/2Xv/5) étant compris entre ap et L-\--) U-{-~\ ,
le produit « X (v/2 X v/5 ) sera compris entre les premiers mem-
bres des égalités ci-dessus. De même, v/2 étant compris entre
"" ^^ « + « > le produit a . v/2 est compris entre «a et
(■+i) ■
180 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE Vlll.
par suite, comme y/ô est compris entre p et
p + - , le produit {a.\/2)X^o sera compris entre les seconds
membres des égalités ci-dessus.
Les produits «x(v/2Xv/5) et (a.\/2)x\/b sont donc
compris entre les mômes limites. Or, en développant le premier
membre delà seconde égalité, et retranchant le premier membre
de la première, on trouve pour la diiférence entre les deux limites :
«a , afi a
n ~^ n n~ '
quantité qui peut être rendue aussi petite que l'on voudra en pre-
nant n suffisamment grand.
Les produits considérés sont donc compris entre deux limites
variables qu'on peut rapprocher l'une de l'autre autant qu'on le
voudra; ces deux produits sont donc rigoureusement égaux; et
l'on a
aX(v/2Xv/5) = («.v/2)XN/^ ,
ce qui démontre la proposition énoncée.
On retendrait facilement à un nombre quelconque de facteurs.
200. IIL Un produit d'autant de facteurs incommensurabtes
qu'on le voudra est indépendant de l'ordre de ces facteurs.
Il résulte d'abord du principe I que l'on peut intervertir l'ordre
des deux premiers facteurs , puisque leur produit s'effectue avant
l'introduction des facteurs suivants. Démontrons que l'on peut in-
tervertir l'ordre des deux derniers.
Pour cela , soit a le produit de tous les facteurs jusqu'aux deux
derniers, que nous supposerons être v/2 et y/ô . Le produit
total sera
(aXv/2)Xv/5 ,
ou , en vertu du principe II,
aX(v/2Xv/5) ;
mais, en vertu du principe I, on peut écrire
ax(v/5Xv/2) ;
et, en vertu du principe II, ce dernier produit équivaut à
(«Xv/5)Xs/2 .
On voit donc qu'il est permis d'intervertir l'ordre des deux derniers
facteurs.
DES QUANTITÉS IRRATIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. 181
Il en résulte qu'on peut intervertir l'ordre de deux facteurs con-
sécutifs quelconques , car ces facteurs peuvent être considérés
comme les derniers avant l'introduction des facteurs qui suivent.
Pouvant intervertir l'ordre de deux facteurs consécutifs quelcon-
ques , on peut , par des changements successifs , amener un facteur
désigné à une place désignée quelconque. Et , comme on en peut
faire autant pour chaque facteur, on peut amener tous les facteurs
dans un ordre déterminé quelconque.
Donc , enfin , l'ordre des facteurs n'influe pas sur le produit ; ce
qu'il s'agissait de démontrer.
201. La première chose à faire, dans le calcul des quantités
irrationnelles, est de simplifier les radicaux s'il y a lieu. Cette sim-
plification repose sur le principe suivant :
IV. La racine carrée d'un produit équivaut au produit des racines
carrées de ses facteurs.
Soient, par exemple, a , 6 , c ^ rZ les facteurs du pro-
duit ; je dis qu'on a
ya.b .c .d=zsja .\Jb .sjc .\Jd ,
En effet , le premier membre élevé au carré donne a.h .c.d
par définition. Voyons ce qu'on obtient en élevant au carré le second
membre. Ce carré se présente d'abord sous la forme
{\'a .sjb.sjc. \j7l) {\Ja .sj'b ,\/c . \'d) ,
ou, en vertu du principe II,
\Ja .\J'b . \jc . \Jd .\/a.\Jlj.\Jc.\Jd,
ou , en vertu du principe III,
\Ja . \la .\Jl} .\jlb . \Jc . \Jc .s/d.sjd ,
ou , en vertu du principe II ,
(\^a.s/â)x(sj'b.sjb)x(s/c.s/c)x{s/d.s,/d) .
Mais , par définition , \/a.\/a est égal à a ; de même y/ô . ^b
est égal à 6 , et ainsi des autres. Le produit obtenu peut donc
s'écrire
a . b . c . d .
Ainsi le carré du second membre de l'égalité ci-dessus revient au
carré du premier membre. Donc ces deux membres sont égaux
eux-mêmes en valeur absolue. Et comme, quel que soit le signe
qu'on prenne pour chacun des radicaux y'a, \/b, etc.,lepro-
182 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE Y[II.
duit aura nécessairement le signe -|- ou le signe — , c'est-à-
dire l'un des deux signes que l'on peut donner au premier mem-
bre ; il s'ensuit que les deux membres sont égaux pour la valeur ab-
solue et pour les signes.
202. Supposons maintenant qu'il s'agisse de simplifier un ra-
dical ; par exemple
On décomposera la quantité placée sous le radical en deux fac-
teurs, dont l'un soit un carré parfait ; on pourra écrire ainsi
Or, en vertu du principe précédent, on peut extraire séparément
(ou indiquer si l'on ne peut l'extraire) la racine de chacun des deux
facteurs, ce qui donnera
\/25a-6*Xv/3âi .
La première racine s'extrait exactement (168); il vient donc
et le signe radical porte maintenant sur une quantité plus simple.
On trouvera de même que les quantités
^^10Sab'x'- , v^363a^6V , )jH64a'b''x'
peuvent s'écrire respectivement
9b^Xi^Jcib , llabx-ijsâh , 12a'bxs/6âx .
Remarque. On nomme quantités irrationnelles setnblables celles
qui , lorsqu'elles ont été simplifiées , présentent la même quantité
sous le radical.
Telles sont les deux quantités 9b-xs/3ab et Uabx^JSab ob-
tenues ci-dessus.
205. On peut, au contraire, dans certains calculs, avoir intérêt
à faire passer sous le radical un facteur placé devant; il est clair
qu'il faut alors élever ce facteur au carré.
Si l'on a, en effet, l'expression a^/b , on peut l'écrire
V^ô^ . s/6
ou, en vertu du principe IV,
s/¥b .
204. Ce que nous venons de dire d'un facteur peut se dire d'un
DES QUANTITÉS IRRATIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. 183
dénominateur, car diviser une quantité par m , par exemple , re-
vient à la multiplier par —
Soit l'expression
sj^,, qui revient à ^i.« ou à y/ g)
En vertu de ce qui précède (201), on pourra l'écrire
OU —yJa, ou enim —
s/
i)'-^'*'
On a donc v/— i= — •>
ce qui permet de faire passer un dénominateur hors d'un radical en
en extrayant la racine, ou de l'y faire entrer en l'élevant au carré.
205. Nous pouvons maintenant passer en revue les différentes
opérations qu'on peut avoir à effectuer sur les radicaux du second
degré.
L'addition et la soustraction ne peuvent que s'indiquer, si les
radicaux sont dissemblables. Ainsi, la somme de sja et de \Jb ,
s'écrira simplement \Ja-\-\Jb ; leur différence sJa — \Jb .
Si les radicaux sont semblables, on opère l'addition ou la sous-
traction des quantités placées devant le radical ; ce radical est un
facteur commun dont on affecte le résultat. Ainsi la somme des
quantités
sJxmâWâf- et v/363a=^6V ,
qui reviennent à ^¥x\l^ab et \\abx^\l'dab ,
est {^b\ic-\-\\abx-)sJ^ctb .
Leur différence est (9 b^x — W abx^) \/3ab .
206. Multiplication. Pour faire le produit de deux radicaux du
second degré, on peut faire le produit des quantités placées sous
chacun d'eux et affecter le produit du radical comînun.
On a, en effet, en vertu du principe lY (201),
}/ây<s/b = )/ab •
Cette règle s'étend à un nombre quelconque de facteurs.
Il peut arriver que le produit soit susceptible de se simplifier, ou
même qu'il soit rationnel. Ainsi :
Le produit de \/baFb par \/Tbâ¥x est \j7oa''b^x , qui re-
vient à 6a^b\/Sbx ,
186 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
Le produit de yjla'x par y/lS^ôV est y/ 36 fl''*6V , qui re-
vient à Ç^a^b'-x^ .
207. Division. Pour diviser deux radicaux l'un par l'autre, on
peut diviser l'une par l'autre les quantités placées sous chacun d'eux
et affecter le quotient du radical commun.
Désignons, en etïet, par q le quotient des radicaux yr? et
V' ^ ; en sorte qu'on ait
y^=g ou yja = s/b.q .
\Jb
En élevant les deux membres au carré, il viendra
a=^b .q~ ,
dou q-=- et q=^\/j^ .
Par conséquent ^■=\/j.
Il peut arriver que le quotient soit susceptible de se simplifier, ou
même qu'il soit rationnel. Ainsi :
/Î~5q3^^2
Le quotient de \j\ba^bx^- par yjlOab'^x^ est i/ ^ ,
ou, en simplifiant la fraction (ol), y ^rr- •
/'•21a b^x
Le quotient de ^2iab^x par \/\2a^T^ est W 3 ,
/"tF" 6y/7Z^
Le quotient de y/lSa^^Ôj;' par \/Sab^x- est i/ 3 ^ ,
208. La formation des puissances et l'extraction des racines des
radicaux du second degré rentrant dans celles des radicaux d'un
degré quelconque, et n'étant point nécessaires pour la résolution ni
pour la discussion des problèmes du second degré, nous n'en trai-
terons pas ici d'une manière particulière. Il ne nous reste donc à
parler que de quelques transformations qu'il est souvent utile de
faire subir aux expressions algébriques affectées de radicaux du se-
cond degré.
Lorsqu'une fraction algébrique contient un ou plusieurs radicaux
DES QUANTITÉS IRRATIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. 485
du second degré à son dénominateur, on peut les faire passer à son
numérateur.
I. Soit d'abord l'expression — - , En multipliant ses deux
my/b
termes par y/b , on obtient -^ , expression dont le dénomina-
teur est rationnel.
g
Si , par exemple , on a la fraction — - , on obtiendra , en nml-
2\/3
tipliant ses deux termes par \/3 ,
II. Soit, en second lieu, l'expression . Multiplions ses
b -\- m\ c
deux termes par /; — myjc , il viendra
a(j) — 7n\Jc)
b^—rn^c '
expression dont le dénominateur est rationnel.
5
Si , par exemple , on a la fraction ^ ; en multipliant ses
4+2v'3
deux termes par 4 — 2v/3 , il viendra
5(4 — 2v/3) 5(4— 2v/3) 5(2-s/3)
16-4x3 - ^" 4 - ^^^^^^ove -^ .
III. Soit l'expression — = . Multiplions ses deux termes
myJb-\-n\'c
par m]/!) — n^c , il viendra
aijnsjl) — nsjc)
Tïfb — n^e ' :
expression dont le dénominateur est rationnel.
9
Si , par exemple , on a la fraction — ~ ; en multipliant
les deux termes par 3v/2-j- 2v/3 , il viendra
I 9(3^2+2v/3) 9(3v/2+2v/3) 3r3v/2 + 2^3)
9X2-4X3 ' 6 ' 0"^"^^^^ 2
IV. Si le dénominateur contenait plus de deux radicaux, on pour-
186 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE YlII.
rait encore, par des multiplications successives, parvenir à le rendre
rationnel. Soit pour exemple la fraction
24
s/5 + v/2 — \/3 •
Mutiplions d'abord les deux termes par v^5 + v/2 + v^3 ; il viendra
24(v/5 + v/j + v/3) ^^ 24(v^5-hy2 + v/3)
(v^5 + v/27-3 5 + 2v/l0+2-3 '
24(v/5 + ,/2 + v/3) ^^ ^^^^^^ 1,(^5 +V/M-V/3)
^" 4+2v/l0 2+v/lO
Multiplions maintenant les deux termes par v/lO — 2 ; il viendra
12(v/5 + V^ + v/3)(v^ïÔ-2) ^^ 2(^5 + v/2 + v/3)(v/ïô~2) .
10 — 4
209. On a vu, dans la résolution de l'équation bicarrée (187),
qu'on peut avoir un radical du second degré portant sur une quan-
tité composée d'une partie rationnelle et d'une partie irrationnelle ;
en un mot qu'il peut se présenter des expressions de la forme
\ja + \J~b . On peut, dans certains cas particuliers, transfornier
cette expression en_une autre composée de deux radicaux séparés,
telle que \Jm + s/n •
Pour y parvenir, posons
x=\a-\-sJb ,
ou cc^ =za-\-\Jl> , ou encore x^ — a — sjlf ,
d'où l'on tire, en élevant les deux membres au carré , puis trans-
Cette équation bicarrée peut être considérée comme résultant de
l'élimination d'une inconnue ij (105) entre les deux équations
^2_j_y2_2a et xyz=\Ja^—b .
Or, si on traite ce système d'équations comme au n" 104, on ob-
tient ;
^^,j^yf^^a + 1sjé^^ et {x—yf=^^a — 1sja'—b.
Par conséquent :
^+2/ = d=v/2a + 2s/â^ et ^ — y = ± ^2» — 2 v^«^— 6 ,
puis enfin
^ = d=iV2« + 2v/«^^^±^V^2a — 2s/a^— 6 ,
DES QUANTITÉS IRRATIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. 187
OU , en faisant passer le dénominateur 2 sous le radical (204) ,
./ a + sja^^b _^ . ra^slé—h
Sôus cette forme , on voit que la transformation qu'on se propose
serait effectuée si a^ — h était un carré parfait ; car en désignant
par c la racine de ce carré , on aurait :
'a-\-c , ^ a — c
Quant aux signes qu'il conviendrait de prendre, on remarquera
que si l'on élève cette valeur au carré , on obtient
=»±v/ï
4 '
et qu'il faut mettre le signe + ou le signe — devant le radi-
cal suivant que les deux radicaux séparés qui entrent dans la valeur
de X sont pris avec le même signe ou en signe contraire. Or, on
doit avoir aussi
Les deux radicaux de la valeur trouvée pour x devront donc être
pris avec le même signe , et ce signe devra être + ^i l'expression
proposée s^i-\-sjh est elle-même précédée du signe -|- . Ce
signe devrait au contraire être — , si l'expression proposée était
précédée du signe — . En sorte qu'on a
S'il s'agissait au contraire de l'expression "^a — \jl) qui con-
duit à la même équation bicarrée , ces deux radicaux séparés dans
la valeur de x devraient être pris en signe contraire , afin que
leur produit fût affecté du signe — , comme le terme — sjb ;
et l'on aurait
^^^=^{\/^-\A
Soit , pour exemple , l'expression
188 SECONDE PARTIE. — ClUPITRE VIII.
On a, dans ce cas, 0,^—0 = 64 — 60 = ^ ; d'où c = 2 et
par suite
La transformation se trouve ainsi effectuée.
S II. Des quantités imaginaires du second degré.
210. Nous avons fait remarquer, au commencement du para-
graphe précédent, que la racine carrée d'une quantité positive,
qu'elle soit commensurable ou non, a toujours une existence réelle,
puisqu'on peut toujours assigner deux limites numériques, aussi
rapprochées qu'on le voudra, entre lesquelles elle soit comprise. II
n'en serait plus de même si la quantité dont on veut extraire la
racine était une quantité négative. Non-seulement la racine carrée
d'une quantité négative ne saurait être assignée en nombres, mais
elle n'a même aucune existence réelle ; car il résulte de la règle des
signes (114) qu'aucune quantité réelle, soit positive, soit néga-
tive, ne peut, lorsqu'on la multiplie par elle-même, donner un
produit négatif.
Ainsi + 2 , multiplié par lui-même , donne -f 4 ; et — 2 ,
multiplié par lui-même , donne également -f 4 . Mais il n'existe
aucune quantité réelle qui, multipliée par elle-même, puisse
donner pour produit — ^ 4 . La racine carrée de — 4 , n'a donc
pas d'existence réelle ; et l'expression \/' — 4 n'est que le symbole
d'une opération impossible.
Les expressions de cette espèce sont ce ^que l'on appelle des
quantités imaginaires.
Toute racine de degré pair d'une quantité négative est encore
une quantité iinar/înaire ; car, d'après la règle des signes, toute
puissance paire d'une quantité réelle, soit positive, soit négative,
est nécessairement positive. Mais nous nous occuperons spéciale-
ment dans ce qui va suivre des imaginaires du second degré.
On donne ordinairement à ces quantités une forme plus com-
mode. Reprenons comme exemple l'expression \/ — 4 .On re-
garde la quantité — 4 , placée sous le radical, comme le produit
de -|-4 par — 1 ; et pour extraire la racine carrée du produit
on convient d'appliquer encore la règle du n° 201, c'est-à-dire
qu'on extrait , ou que du moins on indique la racine carrée de chaque
facteur. On obtient ainsi 2 . \/—î . De même l'expression^ \/—a-
pourrait s'écrire a\/^ ; l'expression V — ^ s'écrirait \/^.\/ — 1 .
DES IMAGINAIRES DU SËCOIND DEGRÉ. 189
En un mot , la racine d'une quantité négative s'écrit en multipliant
par \J'—Î la racine de la même quantité prise positivement.
211. Pour additionner ou pour soustraire deux quantités de la
forme asj'^^ , on opère l'addition ou la soustraction des quan-
tités réelles que \J — 1 multiplie, et l'on met \/ — 1 en facteur
commun. Ainsi
Pour multiplier l'une par l'autre deux quantités de la forme
a \l — 1 , on fait le produit des quantités réelles , et l'on multiplie
l'un par l'autre les deux facteurs \/ — 1 .
Soit, par exemple, à multiplier a\J — 1 par by — 1 ; on mul-
tiplie d'abord a par h , ce qui donne ab ; puis on multiplie
\J — 1 par \J — 1 . Ce dernier produit, qui n'est autre que le carré
de sj — I , donne — 1 par la définition même de la racine car-
rée; le résultat total est donc ■ — ab , c'est-à dire le produit des
quantités réelles pris en signe contraire.
Ainsi (-)- 3 y/^) X (+ 5 y/^) = — 15 ,
(+3v^=ï)xC-5v''=î)=: + l5 . _
Pour diviser l' une par l'autre deux quantités de la forme a \j' — 1 ,
on fait le quotient des quantités réelles, et le facteur \j' — 1 dis-
paraît.
,. . ay/— T a Sy^^ 3
Amsi ^ — - ; "^^==.=1 — - .
b\—\ ^ — 5v— 1 ^
Remarque I. On pourrait faire le produit de y^ — 1 par y/ — 1
en appliquant la règle du n" 206 , c'est-à-dire en effectuant la mul-
tiplication sous le radical. On trouverait ainsi y ( — 1) X( — 1) ou
y^+1 , c'est-à-dire ihl ; tandis qu'en regardant le produit comme
le carré de l'un des facteurs y — 1 , nous n'avons trouvé que — 1 .
On pourrait expliquer cette contradiction apparente en remarquant
que y/ — 1 devant implicitement être pris avec un double signe,
le produit y — 1 X y/ — 1 peut lui-même être affecté d'un double
signe ; en sorte que si le produit absolu est — 1 , le produit , eu
égard aux signes , est zp 1 .
Mais il est préférable d'effectuer le produit comme nous l'avons
fait en premier lieu ; cette méthode étant conforme à la définition
même de y/ — 1 , et indépendante de toute convention étrangère.
Remarque II. On voit (jue les règles qu'on vient de donner pour
190 SECONDE PARTIE. — CHAPITUE Mil.
le calcul des quantités de la forme a\/^-[ ne sont que l'exten-
sion des règles établies pour le calcul des quantités réelles. Cette
extension, dont l'utilité sera mieux sentie par la suite, est justifiée
par la tendance de l'Algèbre à généraliser ses procédés.
212. Toute expression algébrique dans laquelle il entre des
quantités de la forme a y/^ est une expression imaginaire. Celles
qui sont les plus importantes à considérer, et auxquelles on peut,
comme on le verra plus tard, ramener toutes les autres, sont les
expressions de la forme a + b y -^ , qui se composent d'une par-
tie réelle et d'une partie imaginaire. Nous allons reprendre en dé-
tail l'examen des opérations qu'on peut avoir à effectuer sur des
quantités de cette forme.
I. Addition. Soient à additionner les deux quantités a-{-b\/—l
et c-\-d\/^l ; on pourra d'abord écrire le rësultat de cette ma-
nière : a-j-ftv^ + c + cZy/^ . Mais on peut aussi, en inter-
vertissant l'ordre des termes, écrire a -{- c -]- b sf^ -{- d \^ —1 ,
ou (211) {a+c) + {b + d)s/'^ ,
Et l'on voit que la somme de deux quantités de la forme a-\-b v/— 1
est encore une quantité de même forme.
II. Soustraction. On verrait de la même manière que la diffé-
rence des deux quantités a-]-b}/ — 1 et c-|-c?v/ — 1 est
{a^c) + (b — d)s/^ ,
c'est-à-dire une quantité de même forme.
215. III. Multiplication. Soit à multiplier a-^bs/—! par
cJ-d y/— ï . En multipliant chaque terme du multiplicande par
chaque terme du multiplicateur, et en ayant égard à ce qui a été
dit au n° 211, on obtiendra
ac+bc\/—î-}-ad)/^—bd ou {ac—bd)-\-{bc-{-ad)y/—l .
Ainsi le produit est encore une quantité de même forme.
Remarque I. On peut observer que si l'on avait c = a et
d= — b , le résultat se réduirait à a^ + b"" . Ainsi on a ce théo-
rème :
{a+b^^)(,a — bs/^)=a'+b' ,
qui n'est que l'extension du théorème analogue démontré pour les
quantités réelles au n° 50.
Remarque 11. Le produit ne peut être nul qu'autant que la partie
réelle et la partie imaginaire s'annulent séparément, puisque l'une
DES IMAGINAIRES DU SECOND DEGKÉ. 191
d'elles ne saurait se réduire avec l'autre. Pour que le produit fût
nul , il faudrait donc que l'on eût à la fois
ac — bd=0 et bc-}'ad = .
Faisant la somme des carrés , on obtient
a^c^ + bW + b'c^ + a'd^ = ,
ou ^a^^b^){c'^-\-d'-) = . "'./'''
Or, un produit de quantités réelles ne peut être nul qu'autant que
l'un des facteurs est nul. On doit donc avoir
ou bien a^-\-b^ = , ce qui exige a = et ô = ,
ou bien c^+tZ^ — Q ^ ce qui exige c = et d~0 .
Dans le premier cas, le facteur a-\- b\J — 1 s'annule; dans le
second , c'est le facteur c-\- d sj — 1 .
Ainsi, un produit de deux quantités imaginaires du second degré
ne peut être nul qu'autant que l'un des deux facteurs est nul.
IV. Division. Soit à diviser a-\-b\J^-i par c-\-d\J—i .On
peut d'abord écrire le quotient sous la forme fractionnaire
a-\-b\J^^
c-\-d\/'^
Multiplions les deux termes de cette expression fractionnaire par
c — d\J — 1 ; il viendra
{ac -)- bd) -f- {bc—ad) sj—ï
ce qu'on peut écrire
ac -\-bd .bc — ad i — -
Ainsi le quotient se compose encore d'une partie réelle et d'une»
partie imaginaire , c'est-à-dire qu'il est de la même forme que le
dividende et que le diviseur.
On trouverait ainsi que le quotient de 10-|-15v/-— ï par
l+2v/^ est 8 — v/^ .
214. Y. Soit à former le carré de la quantité a-\-b\j'—i .
D'après les règles de la multiplication , on trouvera
{a^—b^)^1absj'^ ,
quantité de la même iprme que a-\-b \J — 1 .
Ainsi le carré de 3 + 2^— T est 5 + 12v/^ .
192 SECONDE PAKTIE. — CHAPlTilE Mil.
VI. Soit enfin à extraire la racine de a-\-b \^—[ . Nous allons
faire voir qu'elle est encore de même forme. Pour le démontrer,
posons
Va4-6v/=T = a;+yV'=ï [1].
11 s'agira de démontrer qu'on peut trouver pour x et y des
valeurs réelles propres à satisfaire à cette égalité.
Si l'on élève les deux membres au carré , on obtient
a + 6\/^==^-' — y' + 2^yv— ï [2].
Or, comme on suppose a: et y réels, et que les quantités
réelles ne peuvent se réduire avec les imaginaires, cette équation
ne pourra subsister qu'autant qu'il y aura égalité entre les quantités
réelles, d'une part, et les quantités imaginaires de l'autre. On
devra donc avoir à la fois
œ'-f = a [3]
et 2œy = b [4].
On pourrait obtenir les valeurs de œ et de y au moyen d'une
équation bicarrée , mais les résultats se présenteront sous une forme
plus simple en opérant comme il suit.
Multiplions l'équation [3] par b , l'équation [4] par a , et re-
tranchons ensuite membre à membre pour faire disparaître les
termes indépendants de x et de y ; nous trouverons
bx- — '2axy — b?/- = ,
ou , en divisant par //^ ,
©'-"©
• X
Résolvons cette équation en y regardant - ' connue l'inconnue ;
il viendra
[5].
X adzya"-\- b'
V ^*
Multipliant membre à membre avec l'équation [4], on obtient
1x-z=azhyja^ + b' ,
dou x'= \y — LoJ,
en ne prenant que le signe + , attendu que *' doit être po-
sitif.
Delà x = ±y ^\^ ^^ [/].
quantité réelle.
DES IMAGINAIRES DU SECOND DKGRÉ. 193
Pour obtenir y , il suffit de mettre pour x- sa valeur [6] dans
l'équation [3], qui donne
a 4- Jct^ -\- /)- \jâ^ + IP- — a
[8],
d'où y=.±\/^J^àJtz^
quantité réelle , puisque y^a^+ô* est plus grand que \/c^- ou
que a .
En ayant égard à l'équation [4], on voit que x et 1/ doivent
être pris avec le même signe si b est positif, et avec des signes
contraires si 6 est négatif. On aura donc
et
quantités qui sont bien de la forme a-^b \J — 1 .
Soit, par exemple, à extraire la racine de 5 +12 y/ — 1 ; on
aura « = 5 , ft = 12 , par suite
^rtCa + 'iv'-l) .
2-15. Le lecteur a pu se demander plusieurs fois dans quel but ,
si les quantités de la forme h \J — 1 ou a-\-h y/ — 1 n'ont au-
cune réalité , on étend à ces expressions les règles établies pour le
calcul des quantités réelles , et quelle est l'utilité qu'on peut retirer
du calcul des quantités imaginaires. A cela, nous pourrions ré-
pondre que ces quantités jouant un rôle dans la discussion des pro-
blèmes du second degré, il importe de les étudier d'abord en
elles-mêmes. Mais on peut ajouter aussi que ces sortes de quan-
tités , bien que n'ayant aucune réalité , peuvent servir à des trans-
formations auxquelles il serait souvent très-difficile de parvenir
sans leur secours. Elles forment , comme on l'a dit quelquefois,
13
19a SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
une sorte de pont que l'on jette d'une expression réelle à une autre,
et que l'on brise après Tavoir passé.
Pour donner un exemple élémentaire de cette propriété, qui jus-
tifierait à elle seule l'extension des règles du calcul des quantités
réelles aux quantités imaginaires , proposons-nous de démontrer ce
théorème d'arithmétique :
S^ un nombre est la somme de deux carrés, son carré est encore la
somme de deux carrés.
Pour le faire voir, désignons par n un nombre qui soit la somme
de deux carrés a^ et b^ , en sorte qu'on ait
n=:a^+b' .
En vertu de la propriété démontrée au n" 215, on peut écrire
cette égalité de la manière suivante :
n=z{a-\-bs/^){a—b\/'^) .
Elevons les deux membres au carré , il viendra
n^ = (a + bs/^)\a--bsf^y ,^'
ou, en développant chaque carré ,
ou, en vertu de la propriété déjà citée ,
n'~={a'—b'T+4aW- .
Or, le second membre est bien la somme de deux carrés ; savoir :
du carré de a^— 6- et du carré de 2 «6.
En sorte que non-seulement on a démontré la proposition, mais
encore on a des formules pour la décomposition de n^ en deux
carrés.
Soit, par exemple, n = 6 .Ce nombre est la somme de deux
carrés 4 et 1 . Si l'on pose a- = 4 et 6-=l , ou a = 2
et 6 = 1 , on aura , d'après ce qui précède ,
n^=(4-l)^-f 4.4.1 = 3^ + 4^ ,
ainsi n"^ ou 25 est la somme du carré de 3 et du carré de 4 .
Posons maintenant N = 4-+3' , en taisant a=4 et b=S .
Les mêmes formules donneront
N*=ri6 — 9)- + 4.4^3'=r + 24^ ;
ainsi N^ , ou le carré de 25 , c'est-à-dire 625 , est la somme
du carré de 7 et du carré de 24 ; ce qui est en effet. Et ainsi
de suite.
Sr\ns doute on aurait pu démontrer ce théorème sans le secours
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. 195
des quantités imaginaires, mais la démonstration qui précède est
très-propre à faire voir, sur un exemple élémentaire et simple,
comment, d'une relation entre quantités réelles, on peut déduire,
par le secours des imaginaires, une autre relation entre quantités
réelles.
<^ m. Discussion des problèmes du second degré.
216. Nous avons vu (177, 179) qu'une équation du second de-
gré peut toujours être ramenée à la forme x--^pœ-\-q = , ou
à la forme plus générale ax'--}- bx + c=:0 . Pour cela nous avons
dit qu'il fallait faire disparaître les dénominateurs et effectuer les
calculs. Nous pouvons ajouter à présent que, si l'équation contenait
un ou deux radicaux du second degré, sous lesquels l'inconnue fût
engagée, il faudrait les faire disparaître.
A cet effet, s'il n'y a qu'un seul radical, on l'isole dans un
menibre; et, en élevant les deux membres au carré, on le fait dis-
paraître. Soit, par exemple, l'équation :
2x-{-Ss/x~-b = U ,
on en tirera successivement
3s/x—5 = U — 2x d'où 9(x — 6) = (24 — 2x)'' ,
où il n'y aura plus qu'à effectuer les calculs et transposer.
S'il y a deux radicaux, on les isole dans un membre; on élève au
carré; le membre qui contenait les radicaux ne contient plus alors
que leur double produit. On isole le double produit dans un seul
membre; et, en élevant une seconde fois au carré, on obtient une
équation débarrassée de radicaux. Soit, par exemple, l'équation :
v/S-f-\/l3— ^==5 ,
on en tirera successivement
^._|_13_^_|_2y/^(13 — a7)=:25 , ou \/x{lS—x) = 6 ;
puis x{lS — x) = SQ ,
où il n'y aura plus que les calculs à effectuer.
Cela posé , reprenons l'équation du second degré sous la forme :
x''+px-+-q=zO [1].
Nous avons vu (177) qu'en la résolvant on obtient les deux va-
leurs :
Ift6 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
Ces valeurs, que nous désignons par x' et oc^' , sont ce que Ton
a l'habitude d'appeler les racines de l'équation du second degré. Il
est important de ne pas les confondre avec le radical qu'elles ren-
ferment .
Si on les ajoute on obtient
r t v P P
xAr^^-\-\^-P .
et si on les nmltiplie , on trouve pour produit
-■■-"=t-{t-^')='' •
Ainsi : 1'' la somme des racines d'une équation du second degré, de
la forme x--f-px + q = , est égale au coefficient de la première
puissance de x , pris en signe contraire ; et, 2° le produit de ces
mêmes racines est égal au terme indépendant de x .
Réciproquement : si deux quantités a et b remplissent ces
conditions, en sorte qu'on ait à la fois
a-{-b = — p et aO=:q ;
ces quantités sont racines de l'équation [1] , c'est-à-dire que , mises
a la place de x , elles satisfont à l'équation. Car, on tire de la pre-
mière relation
bz^ — p — a ,
et, en mettant pour b cette valeur dans la seconde, il vient
— pa—a^ = q ou a^ -\- pa -{- q = .
On démontrerait, en éliminant a au contraire, qu'on a aussi
b' + pb + q — O . ^'
217. Remplaçons, dans l'équation [1], p et q par Icuib
valeurs —{x'+x") et j;V ; il viendra
X' — (x' + ar'O X + X'X" =^
OU - x^ — x'x — x"x-{-x'x"=0 ,
ou encore x (x — x') — x" {x —x') = ,
ou enfin (x — x') {x — x") = [2] .
Ainsi , le premier membre de l'équation x- -}- px-}-q=0 se dé-
compose en deux facteurs du premier degré, formés de l'inconnue
x diminuée alternativement des deux racines.
Si , par exemple , on a l'équation
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. 197
qui a pour racines 2 et 3 ; son premier membre pourra se
mettre sous la forme {x — 2)0^ — 3) , ce qu'il est facile de vérifier.
Pareillement , le premier membre de l'équation
x'^-{-x — 6 = ,
qui a pour racines -j-2 et — 3 , pourra se mettre sous la forme
(;r_2)(^+3) ,
attendu que la différence entre x et — 3 est x-\-^ .
Remarque I. Le théorème que nous venons de démontrer fait
comprendre pourquoi une équation du second degré peut être sa-
tisfaite de deux manières ; c'est que , son premier membre pouvant
se décomposer en deux facteurs du premier degré , on peut annuler
ce premier membre en égalant à zéro l'un ou l'autre des deux
facteurs.
Si, par exemple, on a l'équation x^ — 5.^ + ^==^ ? ^^ qu'on la
mette sous la forme
{x—2){x—S) = ,
on voit qu'elle peut être satisfaite, soit en posant œ — 2=0 ,
d'où x = 2 ; soit en posant x — 3=0 , d'où x = 3 .
Remarque IL Le même théorème démontre aussi qu'une équation
du second degré n'a que deux racines , c'est-à-dire ne peut être
satisfaite que de deux manières. Et, en effet, en mettant l'équa-
tion [1] sous la forme [2] , on voit bien qu'on ne peut satisfaire à
l'équation , c'est-à-dire annuler son premier membre , qu'en annu-
lant l'un des deux facteurs (215, rem. II), ce qui donne ou
X — x'=.o d'où x=.x' ,o\x X — x" =zO d'où x=rx" .
Remarque IÏI. Il résulte encore du même théorème que si a est
une des racines de t' équation x--|-px + q = , son premier mem-
bre est divisible par x — a ; car, si l'on appelle b la seconde
racine, le premier membre pourra se mettre sous la forme
{x—a){x — b) ; donc il est divisible par x — a .
218. Discutons maintenant les valeurs tirées de Téquation
x--\-px-\-q=zO , savoir
Wl-^ et ." = -|-\/f-
I. Faisons d'abord l'hypothèse q^O .
En même temps, il peut arriver que la quantité placée sous le
radical soit positive, nulle ou négative.
Si l'on a -^ — ^!>0 ■> les deux racines sont réelles; et comme
498 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE \III.
^ — q est alors moindre que ^ , sa racine est moindre que ^ ;
c'est-à-dire que le radical est alors moindre , en valeur absolue , que
le terme — "- ; c'est donc ce terme qui donne son signe aux deux
racines ; ainsi , elles sont de même signe ; toutes deux négatives si
p est positif, toutes deux positives si p est négatif. (On ne peut
supposer j9=0 , puisque ^ — q est positif .)
Si l'on a ^ — g'^O , le radical disparaît; les deux racines se
réduisent à — -^ ; elles sont donc égales; négatives si p est po-
sitif; nulles, si p est nul; positives, si p est négatif.
Si l'on a ^ — 9<C0 ? le radical porte sur une quantité négative;
les deux racines sont, donc imaginaires. Elles seraient égales et de
signe contraire si p était nul.
II. Faisons, en second lieu, l'hypothèse ^ — .
Dans ce cas ,
^- 2 + V4- 2 + 2"°'
^ - 2 V 4~ 2 2~ ^ •
Ainsi , l'une des racines est nulle , l'autre est de signe contraire
à p ; elle serait nulle aussi si l'on avait, en même temps, ^=0 .
III. Faisons , enfin , l'hypothèse q^O .
Dans ce cas, — q est positif; la quantité placée sous le radical
est donc positive; les deux racines sont réelles. Mais comme
^ — q est alors plus grand que y , sa racine est plus grande
que ^ , c'est-à-dire que le radical est alors plus grand, en valeur
absolue , que le terme — ^ ; c'est donc le radical qui donne son
signe à chaque racine; l'une d'elles est donc positive et l'autre néga-
tive, quel que soit le signe de i? . La plus grande, en valeur ab-
P y
solue , est celle où le radical est de même signe que — ^ , c est-a-
dire que celle qui est de signe contraire à p , Elles seraient égales
et de signe contraire si ;; était nul.
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU SECOND DEGBÉ. 199
219. Cette discussion peut être présentée d'une autre manière ,
fondée sur les théorèmes du n° 216, et plus facile à retenir.
I. Soit g>0 .Si l'on a ^ — 5'>0 , les deux racmes sont
réelles. De plus, elles sont de même signe puisque leur produit q
est positif. Elles sont positives si leur somme — p est positive ,
c'est-à-dire si p est négatif; elles sont négatives si leur somme
— p est négative, c'est-à-dire si p est positif. On ne peut, dans
ce cas , supposer p = .
Si l'on a y — q = (\ , les deux racines sont égales; chacune
vaut la moitié de leur somme, c'est-à-dire — - ; elles sont posi-
tives , nulles ou négatives , selon que p est négatif , nul ou positif.
Si l'on a —■ — q<iO , les deux racines sont imaginaires. Elles
sont égales et de signe contraire si leur somme — p est nulle,
c'est-à-dire si p=0 .
IL Soit ^=0 .Le produit des deux racines étant nul , il faut
que l'une d'elles le soit. L'autre est alors égale à leur somme — p ,
et est positive , nulle ou négative , suivant que p est négatif, nul
ou positif.
IlL Soit q<C^ Les deux racines sont réelles. Elles sont de
signe contraire puisque leur produit q est négatif. La plus grande
en valeur absolue est de même signe que leur somme — p , c'est-
à-dire positive si p est négatif, et négative si p est positif. Si
p était nul , les deux racines étant de signe contraire devraient être
égales en valeur absolue.
220. On peut , à l'aide de ces remarques , reconnaître la nature
des racines d'une équation du second degré avant de l'avoir ré-
solue. Soit , par exemple , l'équation
M* 49 49 48
Ici T — q est égal à ^ — 12 ou à "x "~* "^ ' quantité po-
sitive.
Les deux racines sont donc réelles. Elles sont de même signe,
puisque leur produit est + 12 ; elles sont positives , puisque leur
somme est + 7 .
Soit l'équation i?2-|-7a? + 12 = .
Les deux racines sont encore réelles et de même signe; mais
elles sont négatives, puisque leur somme est — 7 .
200 SECONDE PAUTIE. — CHAPITRE VIU.
Soit l'équation x~-\-7ir—\2 = .
Les deux racines sont réelles ; elles sont de signe contraire , puis-
que leur produit est — 12 . La plus grande est négative, puisque
leur somme est — 7 .
221. Remarque L Lorsque les racines sont égales, le premier
membre est un carré parfait. Cela résulte du théorème du n° 217,
puisque ce premier membre revient alors à {x — x'){x — x') ou
à {X — x')- . Mais il est bon de le voir directement. On a alors
p- p^
. — </ = ou r/ = ~ . Si , dans l'équation proposée , on rem-
place q par cette valeur, on obtient
Remarque IL Lorsque les racines sont imaginaires , le premier
membre est la somme de deux quantités positives , et ne saurait
par conséquent devenir nul pour aucune valeur réelle de x , ce qui
rend 1 impossibilité manifeste. On a, en effet, dans ce cas, j — f/<0
if if
ou '7>7- . On peut donc poser q=:z'j-\-fr , en désignant par
a^ une quantité essentiellement positive. Mettant pour q cette
valeur dans l'équation , elle devient
x'-\-px-\-^-\-o?=zO ou C^+|y+a^=0.
Sous cette forme , on voit bien qu'aucune valeur réelle mise à la
place de x ne saurait satisfaire à l'équatiori ; car, que x +^
soit positif ou négatif, son carré est toujours positif.
Remarque III. Lorsque les coefficients de l'équation , savoir p
et q , sont réels , les deux racines sont toujours réelles ensemble
ou imaginaires ensemble. Car, si l'une des racines était une quantité
réelle ^t , et que l'autre fût une quantité imaginaire ô+ry — 1 ,
on aurait, en vertu des théorèmes du n° 216,
— p =^ a -\- h -\- csj^ et q ^=:z aib -\- csj — l)
ou p=z — (a + 6) — c\l — 1 et qz=ab-\- acsj — T ,
c'est-à-dire que les coefficients p et q seraient tous deux
imaginaires.
Remarque IV. Si l'équation est numérique et que les coefficients
p et q soient commensurables , les racines sont toujours com-
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. 201
mensurables ensemble ou incommensurables ensemble. Car, si l'une
des racines était une quantité commensurable a , et l'autre une
quantité incommensurable , pouvant avoir une partie commensu-
rable, telle que b-\-\/c , on aurait, en vertu des théorèmes déjà
cités,
— p=^a-\- b-\~\/c et q = a{b-\-\^c)
ou p = — {a-\-b) — v^c et qz=ab~{-\/d^c ,
c'est-à-dire que les coefficients p et g seraient tous deux in-
commensurables.
222. Nous avons supposé jusqu'ici que l'on pouvait mettre
l'équation sous la forme x^ -\- pœ -\- q =^ ; c'est-à-dire que
dans l'équation plus générale ax^--\- bx-{-c=:i.) , a n'était pas
nul, et qu'alors on pouvait diviser par a . Il s'agit de voir main-
tenant ce qui arriverait si des hypothèses particulières faites sur les
données du problème venaient à annuler a .
Pour cela, changeons d'abord x en ~ ; aux plus grandes
valeurs de y correspondront les plus petites valeurs de x , et
vice versa. On obtient ainsi
y y
ou, en chassant les dénominateurs,
a-\-by-{-ci/'^=tzO .
Faisons maintenant l'hypothèse a = ; l'équation se réduit à
by-^cy^=:0 ou y (b -{- cy) z=z .
On satisfait à cette équation, soit en posant y = , soit en po-
sant
b-\'cy = , d'où y = — - ;
mais puisque x = - , on déduit de ces valeurs de y
x=:-- et x = .
La première de ces valeurs est une valeur infmie (1 22), que l'on
n'aurait pas soupçonnée si l'on se fût contenté de faire «=0
dans l'équation proposée , puisqu'elle se réduit alors à
bx-{-c=zQ ,
et ne donne pour x que la seconde valeur — - .
202 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE YIII.
Si l'on fait en même temps a = et 6 = 0, l'équation en y
ci-dessus se réduit à
et donne pour ij deux valeurs nulles. Il en résulte pour œ
deux valeurs infinies , et c'est ce qu'on pouvait prévoir puisque la
c c
seconde valeur — t se réduit alors à — - ou à l'infini.
225. On aurait pu faire les mêmes hypothèses dans les valeurs
générales tirées de l'équation ax^ -\- bx -\- c = . Ces valeurs
sont (179)
^~ Ta ' ^ -" Va
Si l'on suppose ^^ = , on trouve
, —b-\-b , ,, —1b „. r, .
x' = — t— = - et . ^' = —r— = Imfini.
On trouve bien une valeur infinie , mais l'autre se présente sous
la forme indéterminée - . Pour faire voir que cette indétermina-
tion n'est qu'apparente , on multiplie les deux termes de x' par
— b — \/b^ — 4ac ,
ce qui donne
(—bf — ib^—Aac) _ 4ac
x^=
— 2a{b + ^'b' — Aac) ~ 2a{b + sJb^ — Aac)
Sous cette forme , on voit que , si l'on fait ft=0 , la valeur de x'
se réduit à - ; mais que si , avant de faire cette hypothèse , on
supprime le facteur 2 a commun aux deux termes (125), on
obtient
26» c
-b+h ''^ -6 '
qui est bien la valeur finie et déterminée qu'on devait obtenir.
Si l'on fait à la fois a = et 6= , les deux valeurs de x
se présentent sous la forme - . Quant à la première , on vient de
voir que l'indétermination n'est qu'apparente et que la véritable valeur
est — T , qui, pour b = , se réduit à — ^ ou à l'infini.
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU SECOND DEGBÉ. 203
Pour la seconde, multiplions ses deux termes par ^b+sJU^—Aac
ce qui donne
^ ~^a{—h + \/b^ — 'iac)~' 1a{—h-^sjW — Aac)
ou, en supprimant le facteur commun la ^
2c
— b + \/b^—4ac
Si maintenant on fait a = et 6 = 0, cette valeur se réduit
à ~ , c'est-à-dire à l'infini.
Ainsi , pour a = et 6 = , les deux racines sont infinies ,
comme cela devait être, d'après ce qui a été dit au numéro pré-
cédent.
Enfin , si l'on faisait à la fois a = , b = et c = , les
deux valeurs de x se présenteraient encore toutes les deux sous
la forme - ; mais dans ce cas l'indétermination serait réelle. Car
il est évident que, dans ce cas, l'équation pourrait être satisfaite
par une valeur quelconque de ^ .
224. Nous allons appliquer cette discussion à quelques exemples
particuliers.
Problème I. Trouver le dénominateur d'une fraction dont le nu-
mérateur est a , sachant que, si l'on ajoute b à chacun des
deux termes, la fraction augmente de m .
Soit X le dénominateur demandé. On devra avoir
a4-b a
x-\-b X
ou mx^^ — (1 — m)l^x-{-ab = ,
„ , (l-^m)b±:i/(l--mfb^—4mab
dou x = ^ .
1° Ces deux valeurs seront réelles et positives si l'on a .
• > ' (1 — m)W^Amah et 1— w>0 .
exemple, « = 3 ,
b =
-2 ,
m-
= — , on trouvera
i-^s/m-
-4
à-
.2
= 11 -*-7 ,
-h
d'où «' = 18 et x" — A
20^ SECONDE PARTIE. — CHAPITRE YIII.
3
Si l'on adopte la première valeur, la fraction demandée est -' ,
18
5
et se change en —, quand on ajoute 2 à chacun de ses termes.
Or, ^ — ^ ou 7 — - vaut effectivement —r .
' 20 18 4 b 12
3
Si l'on adopte la seconde valeur, la fraction demandée est ^ >
5
et se change en - quand on ajoute 2 a chacun de ses termes.
., 5 .3 1
2" Les deux valeurs deviendraient égales si l'on avait
(1 — m)W=zAmab .
Soient, par exemple, ta — 1 , /; — 8 , m — ^ ; on trouvera
pour ces deux valeurs x^=A .La fraction demandée est alors ^ ->
9 3
et se change en — ou t quand on ajoute 8 à chacun de
n 3 1 1
ses termes. Or, -r — -:=- . . .
A A ^
3° Les deux valeurs seraient imaginaires si l'on avait :
(\—.m)W<CAmnb .
C'est ce qui arriverait si l'on avait , par exemple , « == 1 ,
rn = - ,6=2 .
o
Dans ce cas le problème serait impossible.
4" On trouverait une racine positive et une négative, si l'on sup-
posait b négatif; c'est-à-dire si l'on supposait qu'au lieu d'ajouter
un même nombre aux deux termes de la fraction on en retranchât
un même nombre.
5
Soient, par exemple, «=11, 6=— 2 , m = —; on trouvera
,= _ ^^—^— ,
^'12
d'où x'=z6 et a?"==— 8f, .
La seconde solution est purement algébrique ; la première donne
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. 205
pour la fraction demandée ~ . Cette fraction, quand on retranche
2 à chacun de ses termes, devient y . Or, 7 — — égale en
effet A .
ô** On trouverait une solution infinie si l'on faisait m ■=. , c'est-
à-dire si l'on demandait que la seconde fraction fût équivalente à la
première.
Les deux valeurs de x sont alors
^•=- et ;r r=« .
La seconde solution est évidente : car si le dénominateur est
égal au numérateur, auquel cas la fraction équivaut à l'unité, en
ajoutant un même nombre aux deux termes on ne change pas sa
valeur.
La première solution s'explique avec la même facilité ; car si le
dénominateur x est infini, il en est de même du dénomina-
teur x-\-h ; les deux fractions , , et - sont donc nulles
x-\-h x
toutes les deux, et, par conséquent, leur différence est également
nulle.
22o. Problème IL Trouver les rayons, extérieur et intérieur,
d'une sphère creuse de matière quelconque , connaissant l'épaisseur
de la matière et le volume qu'elle occupe.
Soit X le rayon intérieur, le rayon extérieur sera x + e en
désignant par e l'épaisseur de la matière. Le volume que cette
matière occupe est la différence entre les deux sphères dont les
rayons sont x-{-e et x ; on doit donc avoir, en appelant V
ce volume ,
ou , en divisant par
4 4
^r:{x + ef—-'::x'
471
3 '
3V
{x-{-ef — x^ = -j--
47r
Si l'on fait le carré de ^* + ^ ? on trouve x'^ -\-2ex -\- & ; et
en multipliant ce carré par x-\-e , on obtient pour le cube de ce
binôme
x^-\-'^ex'-\-^e''x-\-c^ .
■* Le volume d'inie si)lière a pour expression les 4 du rapi)orL u tie la tircou-
férence au diamètre , mulUpliés par le cube du rayon.
206 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
Mettant cette valeur dans l'équation ci-dessus, et supprimant les
termes en x^ qui se détruisent, il vient
-: • 2^ex^ + Ze^x4~e^ = ^ ,
ou *' + «^ + ^-4^='^ ^*^-
On tire de cette équation
2"~ V 4re
x-— ^—^. , ^2
Pour que le problème soit possible , il faut que ces valeurs soient
réelles; mais comme alors la seconde est nécessairement négative,
il faut, de plus, que la première soit positive. Les deux racines de-
vant être de signe contraire, il faut que le dernier terme de l'équa-
tion [1] soit négatif (216), et cette condition suffit en même temps
pour la réalité des racines (218).
V _ „ , ,.. 4
Posons donc 5- — y— <0, d'où V>-Txe' . /,
3 47:e o ^
Cette condition exprime que le volume donné doit être plus
grand que celui de la sphère qui aurait pour rayon l'épaisseur
donnée ; et , en effet , le plus petit volume qu'on puisse obtenir en
conservant une épaisseur donnée , correspond évidemment au cas
où le rayon intérieur serait nul; la matière occuperait alors une
sphère pleine ayant l'épaisseur donnée pour rayon.
Si l'on avait V = -7re^ , on devrait trouver zéro pour la valeur
o
positive de ^ ; et c'est ce qui arrive en effet, car on a alors
ou
^--2 + \/4""'~2 + 2-^-
12
Quant à la valeur négative , elle est purement algébrique , et ne
peut convenir au problème.
226. Problème III. Trouver sur la droite XY , qui joint deux
points lumineux A et B , le point qui reçoit de chacun d'eux
la même quantité de lumière.
(On suppose connu ce principe de physique : que la quantité de
lumière reçue est en raison inverse du carré de la distance au point
lumineux.)
•^ A B
DISCUSSION DES PROBLEMES DU SECOND DEGRÉ. 207
Prenons pour inconnue la distance AG du point cherché à l'un
des deux points lumineux, et désignons-la par x ; soit d la dis-
tance AB des deux lumières. Représentons par é la quantité
de lumière que recevrait un point situé à 1 mètre du point A ,
et par f celle qu'il recevrait à 1 mètre du point B.
Si / désigne pour un moment la quantité de lumière que le
point cherché G reçoit du point A , on devra avoir, d'après le
principe cité :
/ 2
l\é\\ 1'":^ d'où /=- .
X
En raisonnant de même , on trouvera que la quantité de lumière
que le point cherché G reçoit du point B est
f
{d — xf '
Ces deux quantités de lumière reçue par le point cherché G de-
vant être égales d'après l'énoncé , on doit avoir l'équation :
x^ [d^xf LiJ-
On pourrait la traiter comme à l'ordinaire , et nous conseillons cet
exercice aux élèves ; mais il est plus simple de remarquer que les
deux membres étant des carrés parfaits, on peut en extraire la ra-
cine , ce qui donne les deux équations du premier degré
> . .-.. --±;5-^ ' ■■ - [2],
X d — X ^ ^
Si l'on prend le signe -)- devant le second membre, on trouve,
en faisant disparaître les dénominateurs ,
ud — a.x-=^x , d'où x'=zd. 7 .
Si l'on prend le signe — devant le second membre , on trouve ,
de la même manière ,
fj.d — a^' = — ^x , d'où x"=:d.
a-p'
valeurs réelles qu'il s'agit de discuter.
1° Supposons d'abord la première lumière plus intense que la se-
conde, ou a>p . Dans ce cas les deux valeurs x' et x" sont
toutes deux positives.
Gonsidérons d'abord la valeur x' . Gomme a-f p est plus
grand que a , l'expression — — est moindre que 1 ; la va-
a-|-p
leur x' est donc moindre que d , et répond à un point compris
entre les points lumineux A et B . De plus, comme a 4-8 est
208 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
moindre que a-|-a ou 2a , l'expression — :— est plus grande
a 1 . . , , , , . . ,
que — ou (}ue - ; auisi x est plus grand que la moitié
de d . Le point correspondant C est donc plus près du point
B que du point A .
Considérons, en second lieu, la valeur x" . Comme a — p est
moindre que a , l'expression — — est plus grande que 1 ;
ainsi x'^ est plus grand que d , et répond à un point C , si-
tué au delà du point lumineux B qui a la moindre intensité. On
conçoit, en effet, qu'on puisse trouver de ce côté un point pour le-
(|uel la différence d'intensité des deux lumières soit compensée par
la différence des distances au point éclairé.
2" Supposons que l'intensité de la seconde lumière aille en aug-
mentant et que par conséquent S augmente en se rapprochant
ainsi de a , la valeur x' ira en diminuant et la valeur .x" ira
en augmentant. Ainsi le point C se rapprochera du milieu de
AB , et le point C s'éloignera de plus en plus de la lumière B .
Si l'on suppose maintenant a = 8 , ou les deux lumières d'égale
intensité, on aura ol==- et ;«."=—, c est-a-dire que le point C
Ji u
se trouvera alors au milieu de AB , et que le point C se sera
éloigné à une distance infinie à droite du point B . On conçoit, en
effet, que pour compenser la différence d'intensité des deux lu-
mières, il faut éloigner le point C d'autant plus que cette diffé-
rence est moindre ; et que si enfin elle devient nulle, ce n'est qu'à
une distance infinie que la différence due aux distances devient in-
sensible.
3° Supposons que fi , continuant à croître, devienne plus grand
(jue a , ou que la lumière B soit plus intense que la lu-
mière A .
La valeur x' reste positive et moindre que d , c'est-à-dire
(qu'elle répond toujours à un point compris entre A et B . Mais,
comme p est plus grand que a , il s'ensuit que « -)- [i est
plus grand que 2 a , et que, par conséquent , -y-^ est moindre
fme JL ou que - ; ainsi x' est moindre que - , c'est-à-dire
2x ^ ^
(lue le point C est alors plus près de la lumière A que de la
lumière B .
Quant à la valeur x' , elle devient négative ; et, puisqu'on a re-
gardé comme positives les distances comptées à droite du point A ,
DISCUSSION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. 209
on devra, pour la généralité des formules (110), regarder comme
négatives celles qui sont comptées à gauche de ce point. La valeur
négative trouvée pour oé' correspondra donc à un point C' , si-
tué à gauche du point lumineux A qui a la moindre intensité,
et à une distance de ce point d'autant plus grande que la différence
absolue p — a est plus petite.
4° Si l'on faisait maintenant décroître l'intensité de la lumière B
jusqu'à ce qu'on en fût revenu à l'hypothèse p = a , on trouve-
rait pour x" des valeurs négatives de plus en plus grandes, et
enfin une valeur infinie qu'on devrait regarder comme négative,
puisqu'elle serait la limite vers laquelle tend une quantité négative
de plus en plus grande en valeur absolue. Ainsi , pour a = fi la
solution infinie répond à un point que l'on peut supposer placé in-
différemment à droite ou à gauche des deux lumières , ce qui doit
être.
Il ne faudrait pas en conclure que l'équation du second degré a,
dans ce cas, trois racines , elle n'en a que deux ; mais la valeur in-
finie peut être affectée du signe + ou du signe — , suivant
qu'on la considère comme limite de quantités croissantes positives,
ou de quantités .croissantes en valeur absolue, mais négatives.
5° Si l'on fait en même temps les deux hypothèses a = p et
r/ = , c'est-à-dire si l'on suppose que les deux lumières soient de
même intensité, et placées en outre au même point A , on trouve
x'=^ et .r" = 5 .
La première valeur donne le point A ; cela devait être, puisque
le point C , qui est au milieu de AB pour a == p , se confond
alors avec A et B .
La seconde est indéterminée; et, en effet, en quelque point de la
droite XY qu'on place alors le point éclairé , il recevra des deux
points lumineux la même quantité de lumière.
Si , sans faire aucune hypothèse sur d , on fait les deux suppo-
sitions a=0 et p = , on trouve pour x' et x" deux va-
leurs indéterminées. Et, en effet, si les deux lumières sont éteintes,
un point quelconque situé soit entre A et B , soit en deçà ou
au delà, reçoit de chacun de ces points une quantité de lumière
nulle et par conséquent une quantité égale.
227. Le lecteur pourra s'exercer sur les exemples qui suivent :
L Partager le nombre a en deux parties telles que la somme
de leurs racines carrées soit égale à un nombre b .
n. Un voyageur a n kilomètres à faire , et marche d'une ma-
nière régulière. S'il faisait chaqiie jour a kilomètres de plus, il
14
210 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VllJ.
emploierait à son voyage b jours de moins. Quelle serait alors la
durée de son voyage ?
III. Trouver le côté de l'une des bases d'un tronc de pyramide à
bases carrées, connaissant le côté de l'autre base, la hauteur du
tronc et son volume.
IV. Partager a en deux parties telles que la somme de leurs
cubes soit égale à b .
§ IV. Discussion de l'équalion bicarrée.
228. L'équation bicarrée peut se présenter sous l'une des deux
formes
x''-\-px^-{-q = ou ax''-^bx^ + c = .
En posant x^ = y , on en tire
y'^-\-py-\-q = ^ ou aif+by + f^ = ^ •
Soient y' et / les deux racines de l'équation en ?/ , on aura
x'=zzts/V et x"=±:)/f .
1° Si y' et îf sont réels et positifs, on aura pour x quatre
valeurs réelles, dont deux positives et deux négatives, égales deux
à deux en valeur absolue. Ce cas se présentera quand on aura en
même temps
(J>0 , p<0 et ^ — (7>0 ,
ou c>0 , ^^<0 et b'' — Aaq>0 ,
attendu que a peut toujours être supposé positif.
2° Si y' est positif et ?/ négatif, on aura pour x' deux
valeurs réelles , égales et de signe contraire , et pour x" deux va-
leurs imaginaires. Ce cas aura lieu pour
(/<0 ou c<0 .
3° Si y' et îj" sont tous deux réels et négatifs , on aura pour x
quatre valeurs imaginaires. Cela aura lieu pour
if
q>0 , p>0 et j — 9>^ »
ou c>0 , 6>0 et 6^ — 4ac>0 .
4° Si îj' et îj" sont imaginaires, il en sera de même des quatre
valeurs de x , puisque la racine carrée d'une quantité imaginaire
DISCUSSION DE L'ÉQUATION BICARKÉE. 211
du second degré est elle-même imaginaire (214). Ce cas se présen-
tera pour
^>0 et ^'~^<0 ,
ou c>0 et 6^ — 4flc<0 .
5° Si y' et y" sont égaux , les valeurs positives de x seront
égales entre elles, et les valeurs négatives égales entre elles. Cela
aura lieu pour
^ — q=0 ou b^^4ac=0 .
^ Elles seront d'ailleurs réelles, nulles ou imaginaires, suivant que
!/' et y" seront positifs, nuls ou négatifs, c'est-à-dire suivant
qu'on aura
p<0 , p = , ;?>o
ou 6<0 , 6 = , 6>0 .
6° Si l'équation en y a des racines infinies , il en sera de même
de l'équation en x . Mais celles-ci pourront être réelles ou ima-
gmaires, suivant que les racines de l'équation en y seront égales
à l'infini positif ou à l'infini négatif.
229. Comme exemple de cette discussion nous traiterons la
question suivante :
Problème. Un capitaliste place deux sommes sl et h à des
taux différents et à intérêts composés pendant deux ans, et obtient
au bout de ce temps un capital définitif total c . S'il eût placé les
mêmes sommes une année au premier taux, et l'amiée suivante au
second taux, le capital définitif total eût été d . On demande quels
sont ces deux taux.
Désignons par t et t' les deux taux demandés. La somme a
au taux ^ , et à intérêts composés , devient au bout de deux ans
^(^"'"îôô) ' ^^ somme b au taux t' , à intérêts composés et
au bout du même temps, devient b U +y^)' . On a donc pour
première équation
•('+4)"+K'+i4)'='-
La somme a au taux t , au bout d'un an, devient a (l 4- —\ ;
\ ~ looy'
cette dernière somme au taux f , au bout d'une autre année, de-
vient à son tour a (l+ ^^ (l-\- ^ . La somme b , placée
212 SECONDE PAUTIE. — CHAPITRE VIII.
de la même manière, deviendrait à ll-\- : — ) (l-f- — ) . On a
donc pour seconde équation
Pour simplifier le calcul, prenons pour inconnues les quantités
l t!
^ "^ TÔÔ ^^ ^ "^ Tôô ' posons en conséquence
Les deux équations du problème deviendront
ax^ -j- bip- = c et {a-\-b)xy=.d .
Si l'on prend dans la seconde la valeur de y en x pour la
substituer dans la première , on trouve , après avoir fait disparaître
les dénominateurs
a{a -{-bfx' — (ft + bfca^ -\-bd'=zO [i] ;
en ne mettant point de double signe devant le radical total , attendu
que X doit être essentiellement positif.
En éliminant au contraire x entre les deux équations propo-
sées , on arrive à l'équation
b{a + bfy'-{a+bfcf+ad'=ù [3];
d'où J {a + b)cz^sfW+W^^^^^'^^' r^.
^ V 'Ibia + b) ^ ^'
On doit mettre zç. au lieu de zh devant le radical intérieur,
afin qu'en prenant les signes supérieurs ensemble ou les signes in-
férieurs ensemble, on obtienne un système de valeurs qui satisfasse
aux équations proposées.
1° Le second terme des équations [1] et [2] étant essentiellement
négatif, et le troisième étant essentiellement positif, il s'ensuit que,
pour que les valeurs obtenues soient réelles , il suffit que le radical
intérieur le soit , c'est-à-dire qu'on ait
{a + bfc'-'>Aabd'' [5].
Le problème est alors susceptible de deux solutions distinctes.
Ayant obtenu x et ?/ , on en déduira facilement
^ = 100^; — 1 et i'=:\OQy — \ .
DISCUSSION DE L' ÉQUATION BICARRÉE. 213
Comme cas particulier, supposons que les deux modes de place-
ment donnent le même capital définitif, ou qu'on ait c=:d \ les
valeurs de x et de y deviendront
ce qui donne les deux systèmes
-\-h)czç:{a — b)c
2b{a-{-b)
ou
œ' = i/ — —7 avec «/'=i/ — r^ ,
y c6-\-b ^ V«+6'
// A I ^ ^ I ^ I (^ «
^ =\/ — TT'- ^vec y — \ — i— F-T
Le premier système donne x' ■=zy' , solution évidente a priori
dans ce cas.
2° Si l'on a (a + ^^)2(?2=i: 4«^^rf- [6],
les deux systèmes se réduisent à un seul :
^=V^ '' y^s/ib-
Dans ce cas, on ne peut supposer c=zd sans supposer en même
temps a=b ; car si l'on fait c — d dans la relation [6], elle se
réduit , en divisant par c^ , à
{a-\-bf=::Aab , d'où a^ — ^ab + b^=:Q ,
ou [a — bf=zQ , ou enfin a = b .
3° Si l'on a (« + bfc''<:4abd^ .
Ces deux systèmes sont imaginaires.
4° Si l'on suppose a = , l'équation [1] donne pour x- une
valeur infinie, et une valeur finie. . . x = -r= .
^bc
L'équation [3] donne ?/'=0 , et y=i/^~ pour les valeurs
correspondantes.
On peut s'assurer que le second système satisfait alors aux deux
équations proposées. Quant au premier, il s'explique en remarquant
que si la somme a était très-petite, l'un des systèmes représentés
par les équations [2] et [4] donnerait pour x une valeur très-
grande et pour y une valeur très-petite ; en sorte que si a de-
vient nul, X devient infini et y nul.
Si l'on suppose à la fois a = et b = , toutes les valeurs se
présentent sous la forme - ; mais si l'on commence par faire
214 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE Mil.
b=za dans les équations [1] et [3], et si l'on supprime le facteur
a alors commun à tous les termes, puis qu'on fasse ensuite a= ,
ces équations se réduisent toutes deux à d-=^ , ce qui indique
que les valeurs de x et de y sont infinies (222). 11 est évi-
dent, en effet, qu'il faudra un taux d'autant plus élevé pour obtenir
un même capital définitif, que le capital primitif sera plus petit; et
que par conséquent si le capital primitif devient nul , il faudra un
taux infiniment grand.
230. Le lecteur pourra s'exercer sur les exemples suivants :
1. Trouver les quatre termes d'une proportion par quotient , dont
la raison est q , sachant que la somme des carrés de ces termes est
égale à sl , et que leur produit est égal à b .
IL Inscrire dans une sphère un cylindre dont la surface soit équi-
valente à un cercle donné.
IIL Partager un nombre a en deux parties telles que, si l'on
multiplie respectivement leurs carrés par m et n , la différence
des produits soit égale à un nombre donné b .
IV. Trouver les rayons des bases d'un tronc de cône, connaissant sa
hauteur, son volume, et la moyenne géométrique entre les surfaces de
ses bases. (On pourra représenter cette moyenne par la surface d'un
cercle donné , et le volume du tronc par celui d'un cylindre de
même hauteur.)
SECONDE PARTIE. 215
CHAPITRE IX.
DES PUISSANCES ET DES RACINES D'UN DEGRÉ QUELCONQUE.
§ l. Des combinaisons.
251 . La formation des puissances des polynômes exigeant la con-
naissance de la théorie élémentaire des combinaisons , nous allons
d'abord l'exposer, afin de ne pas interrompre ce que nous aurons à
dire sur les puissances.
On nomme combinaisons de m objets n à n les différentes
manières de grouper ces objets nk n ^ ào. telle 'sorte que deux
groupes diffèrent au moins par un des objets qui y entrent.
On nomme permutations de n objets les différentes manières
de les ranger suivant une figure déterminée , par exemple en ligne
droite.
On est convenu de nommer arrangements de m objets n « n
les différentes manières de ranger ces objets suivant une figure dé-
terminée , en ligne droite par exemple , en les prenant n k n .
Il résulte de ces définitions que si , après avoir formé toutes les
combinaisons de m objets n k n ^ on eff'ectuait, dans chaque
groupe de n objets toutes les perwi^^a^zows possibles, on obtien-
drait précisément tous les arrangements possibles de ces m ob-
jets 7i à 71 . En sorte que , si l'on multiplie le nombre des com-
binaisons de m objets n k n , par le nombre des permutations
qu'on peut faire subir à un groupe de n objets , on obtiendra
précisément pour produit le nombre des arrangements possibles de
ces m objets nkn .
Si donc on désigne par C„i,„ le nombre des combinaisons de
m objets nk7i \ par Pn le nombre des permutations qu'on
peut faire subir à un groupe de n objets ; et par A^,„ le nom-
bre des arrangements possibles de m objets nkn , on aura la
relation
d'où l'on déduit c^^=^» ;
c'esl-à-dire que, pour obtenir le nombre des combinaisons de
216 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE IX.
m objets nkn , il faut diviser le nombre des arrangements pos-
sibles de ces m objets nkn , par le nombre des permutations
qu'on peut faire subir à un groupe de n objets.
Nous allons donc chercher à déterminer A,„^„ et P,, ; nous en
déduirons C^^^ •
Afin de fixer les idées , nous supposerons que les objets dont il
s'agit sont les lettres de l'alphabet. C„»,n ' désignera alors le nom-
bre de manières de prendre m lettres nkn , de telle sorte
qu'on obtienne, en les multipliant, autant de produits distincts.
Pn désignera le nombre de manières d'écrire à la suite les unes d£s
autres n lettres déterminées. Enfin A„,^n désignera le nombre
de manières d'écrire à la suite les unes des autres n lettres,
prises , de toutes les façons possibles , sur un nombre total de m
lettres,
252. Soient a , h , c , d , . , , h , k , l , \q% m
lettres considérées.
Le nombre des arrangements de ces m lettres 1 à 1 est
évidemment égal au nombre de ces lettres ; on a donc
Cherchons à former les arrangements 2 à 2 . Pour cela , il
suffira de prendre tour à tour chacune des m lettres, et d'écrire
à sa droite chacune des m — 1 lettres restantes ; ce qui donnera
ah
ac
ad
ba
hc
bd
ca
cb .
cd .
. la
. Ib
. le
ak
al
bk
bl
'ck '.
cl .
', Ih
. Ik
On aura bien ainsi tous les arrangements 2 à 2 ; il suffit pour
le démontrer de faire voir qu'aucun arrangement n'a été omis , et
qu'aucun n'a été répété. Or, 1° considérons un arrangement quel-
conque ck . On a pris chaque lettre à son tour pour former une
colonne verticale ; on a donc pris en particulier la lettre c . A la
suite de cette lettre, on a écrit successivement chacune des lettres
restantes; on a donc écrit en particulier la lettre k ; ce qui a
donné l'arrangement ck . Donc, aucun arrangement n'a été omis.
2° Comparons deux arrangements quelconques écrits dans le ta-
bleau ci-dessus. Ou ils se trouveront dans une même colonne ver-
ticale, et alors ils différeront par la dernière lettre; ou ils se trouve-
ront dans deux colonnes différentes, et alors ils différeront par la
. DES COMBINAISONS. 217
première lettre. Donc , tous les arrangements obtenus sont dis-
tincts.
Donc enfin , on a bien ainsi tous les arrangements 2 à 2 .11
reste à en déterminer le nombre. Or, il y a autant de colonnes qu'il
y a d'arrangements 1 à 1 , ou de lettres; c'est-à-dire m ; et il y
a m — 1 arrangements dans chaque colonne ; il y a donc en tout
m {m — 1) arrangements 2 à 2 ; et l'on a
Formons les arrangements 3à3 . Pour cela, il suffira de
prendre tour à tour chaque arrangement 2 à 2 , et d'écrire à sa
suite chacune des m— 2 lettres restantes, ce qui donnera
abc acb hca . . Ma
klb
abd acd bcd
abe ace bce
abl ad bel
hic
klh .
On aura bien ainsi tous les arrangements 3 à 3 .En effet :
1" Considérons un arrangement quelconque bck . On a pris ,
à son tour, chaque arrangement 2 à 2 pour former une co-
lonne verticale ; on a donc pris en particulier l'arrangement bc .
On a écrit à la suite chacune des lettres restantes ; on a donc écrit
en particulier la lettre k , ce qui a donné l'arrangement bck .
Donc aucun arrangement n'a été omis.
2° Comparons deux arrangements quelconques écrits dans le ta-
bleau ci-dessus. Ou ils sont dans la même colonne verticale, et alors
ils diffèrent par la dernière lettre ; ou ils sont dans deux colonnes
difiërentes, et alors ils diffèrent au moins par l'ordre des deux pre-
mières lettres, comme abk et &ttÂ; . Donc tous les arrangements
écrits sont distincts.
Donc enfin , on a bien ainsi tous les arrangements 3 à 3 .11
reste à en déterminer le nombre. Or, il y a autant de colonnes qu'il
y a d'arrangements 2à2 , c'est-à-dire A^,2 ou m (m — 1) ;
et , dans chaque colonne, il y a 7n — 2 arrangements ; il y a donc
en tout m(w — 1)(m — 2) arrangements 3 à 3 ; et l'on a
La loi de formation de ces valeurs est évidente. Mais on peut la
démontrer d'une manière générale. Concevons que nous ayons
trouvé le nombre km,n-i des arrangements 7i — Ihn — 1 , et
que nous voulions former les arrangements n k n . Pour cela , il
suffira de prendre à son tour chacun des arrangements n — là
218 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE IX.
r/i — \ ^ et d'écrire à sa suite chacune des lettres restantes, lesquelles
sont au nombre de m—{n — 1) ou m — /i+1 . On formera
ainsi autant de colonnes verticales qu'il y a d'arrangements n — 1
kn — l , et dans chacune de ces colonnes il y aura m — w + l
arrangements. V Aucun arrangement n h n n'aura été omis ;
car, soit, par exemple, l'arrangement abc gh que nous sup-
poserons formé de n lettres. On a pris à son tour chaque arran-
gement n — 1 an — 1 pour former une colonne verticale ; on a
donc pris en particulier l'arrangement abc g . On a écrit à la
suite chacune des lettres restantes ; on a donc écrit en particulier la
lettre h , ce qui a formé l'arrangement abc....gh . T Aucun ar-
rangement n'a été répété ; car, si l'on compare deux arrangements
écrits dans le tableau formé comme il vient d'être dit, ou ils seront
dans une même colonne verticale , et alors ils difiereront par la der-
nière lettre ; ou ils seront dans deux colonnes différentes, et alors ils
différeront au moins par l'ordre des n — 1 premières lettres ,
comme abc gh et gbc ah .
Donc enfin on aura bien tous les arrangements nkn . Pour en
déterminer le nombre , il faut multiplier le nombre des colonnes,
ou le nombre des arrangements n — 1 kn—1 , c'est-à-dire
A„.,n-i , par le nombre d'arrangements contenus dans chaque co-
lonne , c'est-à-dire par m—n^l;on aura donc
A^,n = A^,„_i.(m — n-|-l) .
Cette formule étant générale , on peut y donner à n toutes les
valeurs entières depuis 2 jusqu'à n ; on obtient ainsi
A^,2 = A„»,i.(w — 1)
A^.v = A^. .(wî— 3)
Si l'on multiplie ces égalités membre à membre , qu'on supprime
les facteurs A^,, , km,s , Ka- • - ^ , ^m.n-x communs aux
deux membres, et qu'on remplace A„,i par sa valeur m , on
obtient
A«,„ = w(m— l)(m— 2)(m— 3) {m—n+\) .
255. Remarque. Le second membre se compose de n facteurs,
qui vont en diminuant d'une unité , à partir de m qui est le pre-
mier. Ainsi le nombre des facteurs est toujours égal à l'indice n
de A„,n ; le nombre des arrangements 2 à 2 est exprimé par
2 facteurs ; le nombre des arrangements 3 à 3 est exprimé par
DES COMBINAISONS. 219
3 facteurs , etc.; le nombre des arrangements nkn est exprimé
par n facteurs.
Exemple I. Combien peut-on former de nombres de 3 chiffres
avec les chiffres impairs 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ?
Le nombre demandé est le nombre des arrangements de 6 objets
3 à 3 ; il est donc égal à un produit de 3 facteurs , dont le pre-
mier est 5 , et les autres vont en diminuant successivement d'une
unité. Ce nombre est donc
5X4X3 ou 60 .
Exemple II. Combien pourrait-on former de rubans rayés de
4 couleurs avec les 7 couleurs du prisme ?
Le nombre demandé est le nombre des arrangements de 7 objets
4 à 4 ; il est donc égal à un produit de 4 facteurs, dont le pre-
mier est 7 ; et les autres vont en diminuant successivement d'une
unité. Ce nombre est donc
7X6X6X4 ou 840 .
Exemple III. Six joueurs jouent à un jeu de cartes où Von donne
une carte à chacun; de combien de manières peut-il arriver qu'ils
soient servis ?
Le nombre demandé est le nombre des arrangements de 32 objets
6 à 6 ; il est donc égal à un produit de 6 facteurs , dont le pre-
mier est 32 , et les autres vont en diminuant successivement d'une
unité. Ce nombre est donc
32 X 31 X 30 X 29 X 28 X 27 ou 652458240 .
Si le jeu était de 52 cartes , le nombre demandé serait
52X51X50X49X48X47 ou 14658134400 .
254. Évaluons maintfjnant le nombre des permutations possibles
qu'on peut faire subir à n objets. Les permutations ne diffèrent
des arrangements qu'en ce que l'on prend toutes les lettres ; en
d'autres termes, le nombre des permutations de n objets est
égal au nombre des arrangements de n objets nk n \ c'est-à-
dire que l'on peut écrire
P — A
Si donc on remplace m par n dans la valeur de A,„,n , on
aura la valeur de Pn . On trouve ainsi
Vn = n{n—\){n—T) 2.1
ou Pn = 1.2.3 {n—l),n .
C'est-à-dire que le nombre des permutations de n objets est
220 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE IX.
égal au produit de la suite naturelle des nombres, depuis 1 jus-
qu'à n . "
On remarquera que, comme dans la formule des arrangements,
le nombre des facteurs est égal à n .
On aurait pu établir directement cette formule.
Supposons, en effet, qu'on ait formé les permutations de
n—\ lettres a , h , c , .... k , et que leur nombre soit
P„_.i . Pour former les permutations de n lettres , on prendra
chacune des permutations de n — 1 lettres, et on y introduira
la tV^" lettre , / , successivement à toutes les places. Los per-
mutations ainsi obtenues seront toutes distinctes; car elles différe-
ront, ou par l'ordre des n — 1 lettres primitives, ou par la place
qu'occupe la /^''""^^ lettre introduite / . D'ailleurs , aucune per-
mutation ne sera omise; car, si l'on considère la permutation
ahlc ^ , par exemple, on voit qu'elle provient de la permuta-
tion ahc,...k de n — 1 lettres, dans laquelle on a introduit
/ à la 3^ place; elle a donc dû être formée. On aura donc bien
ainsi toutes les permutations de n lettres. Or, chaque permuta-
tion de 71 — 1 lettres en fournira n àe n lettres; car la
lettre / peut être mise à n places différentes.
On aura donc Pn == Pn-i X ^ .
Si , dans cette formule, qui est générale , on donne à 7i toutes
les valeurs depuis 2 jusqu'à n , on obtient
P,=Pi.2
P8 = P2.3
P. = P3.4
Pn = Pn-l.W .
Multipliant terme à terme, supprimant les facteurs communs
aux deux membres , et observant que le nombre des permutations
de 1 lettre est égal à 1 , ou que Pi = 1 , il viendra
Pn=1.2.3.4...7î .
Exemple I. De combien de manières peut-on atteler à une diligence
.5 chevaux désignés'^
Le nombre demandé est celui des permutations de 5 objets ;
sa valeur est donc
1 .2.3.4.5 ou 120 .
Exemple IL Une maîtresse de maison offre à ses convives 12 as-
siettes de dessert ; de combien de manières peuvent-elles être placées
sur la table, en conservant la même ordonnance/^
DES COMBINAISONS. 221
Le nombre demandé est celui des permutations de 12 objets ,
c'est-à-dire
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12 ou 479001600 .
Exemple 111. De combien de manières les cartes peuvent-elles être
disposées dans un paquet de 24 cartes ?
Le nombre demandé est celui des permutations de 24 objets ;
c'est-à-dire
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24 .
En effectuant les calculs , on trouve
620448401733239439360000 .
255. Ayant déterminé le nombre des arrangements de m objets
nkn , et le nombre des permutations possibles de n objets, on
obtient sur-le-champ le nombre des combinaisons n?^n par la
formule
A
m,n -p
établie au n" 251.
En mettant pour k^.n et pour P„ leurs valeurs (252, 254),
on trouve
^"'"~" 1.2.3. 4 777, l *
Il y a , dans cette expression , n facteurs au numérateur et au-
tant au dénominateur. Le numérateur a pour premier facteur le
nombre total m des objets; les autres facteurs vont en dimi-
nuant successivement d'une unité. Le dénominateur est le produit
de la suite naturelle des nombres entiers depuis 1 jusqu'au
nombre n d'objets qui entrent dans chaque combinaison.
On aurait pu établir aussi cette formule directement.
Supposons qu'on ait formé les combinaisons de m lettres
n — là n — 1 , et qu'on veuille former les combinaisons nkn .
On pourra, à la droite de chaque combinaison n — 1 k n — 1 ,
écrire successivement chacune des m — {n — 1) ou m — n-\-\
lettres restantes. Mais , il est facile de voir que chaque combinaison
nkn sera ainsi répétée n lois ; car elle proviendra également
de l'introduction de l'une quelconque des n lettres qui y entrent ,
dans la combinaison formée des n — 1 autres.
Pour avoir le nombre des combinaisons nkn , il faudra donc
multiplier le nombre des combinaisons n — 1 à n — 1 par
ni — n-{-\ , et diviser le produit par n . Ainsi on a
_ rri — n + \
222 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE IX.
Si , dans cette formule qui est générale , on donne à n toutes
les valeurs depuis 2 jusqu'à n , on aura la série d'égalités
r — r m—l
r —r ^—^
^fn,4 t(«i,3 • 7 j
r — r m—n-\-l
Multipliant terme à terme, supprimant les facteurs communs
aux deux membres , et remarquant que C^a = m , ou y » il
viendra
P m m — 1 m — 2 m — 3 m — n-^1
U.n — y.— 2" •— 3---4— •••• -
__ m{m — 1) (m—2)(m—S) . . . . (,m — n -\- 1)
~ 1 . 2 . 3 . 4 n
EXEMPLE I. Dans un conseil, composé de 12 membres, on tire
au sort une commission de 5 membres, pour s'occuper d'un cer-
tain travail. De combien de manières cette commission pourra-
t-elle être composée ?
Le nombre demandé est celui des combinaisons de 12 ob-
jets 5 à 5 . Le numérateur devra se composer des 5 facteurs
12.11.10.9.8 ;etle dénominateur des 5 facteurs 1.2.3.4.6 .
Le nombre cherché sera donc
12.11 .10.9.8 ..no « -yno
- — - — - — j—-r OU 11.9.8 , ou enfin 792 .
12.3.4.5
Exemple IL Un maître de poste, qui a 15 chevaux dans son
écurie, doit en fournir 4 pour relaijer une voiture; de combien
de manières peut-il le faire ?
Le nombre demandé est le nombre des combinaisons de 15 ob-
jets 4 à 4 . Le numérateur devra se composer des 4 facteurs
15 . 14 . 13 . 12 ; et le dénominateur, des 4 facteurs 1.2.3.4.
Le nombre cherché sera donc
^^'^t'^l' ^J ou 15.7.13 , ou enfin 1365.
Exemple 111. Chaque joueur qui fait , au jeu du piquet, donne
DES COMBINAISOJNS. 223
12 cartes sur 32 à son adversaire; de combien de manières
celui-ci peut-il être servi?
Le nombre demandé est celui des combinaisons de 32 objets
12 à 12 , c'est-à-dire
32 . 31 . 30 . 29 . 28 . 27 . 26 . 25 . 24 . 23 . 22 . 21
1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 .10.11 .12 '
ou , en supprimant les facteurs communs au numérateur et au dé-
nominateur,
31 . 29 . 26 . 23 . 21 . 20 ou 225792840 .
256. Remarque I. La valeur de Cm,n peut être mise sous une
autre forme qu'il est bon de connaître.
Si l'on multiplie les deux termes de C^,n par le produit
{m — n){m — n — \){m — n — 2) 3.2.1 ,
ou 1 .2.3.4 (m^n) ,
on trouve
P __ m(m — 1 ){m — 2)(m — 3) . . . (m — n-\-l)(m — nXm — n — 1 ) . . . 3 . 2 . 1 :
'"^^■^1 .2 . 3 . 4 .... n '. r~ 2.3...(m— /i) *
Or, le numérateur est alors le produit de la suite descendante des
nombres entiers depuis m jusqu'à 1 , ou , ce qui revient au
même, le produit de la suite naturelle des nombres depuis 1 jus-
qu'à m . On peut donc écrire
r __ 1'2.3.4 m
^m,n— j 2.3....?^X1.2.3.... (m — n) *
Et , comme Cm,n est nécessairement un nombre entier, on voit
que le produit de la suite naturelle des nombres depuis 1 jus-
qu'à m est toujours divisible par le produit 1 . 2 , 3 . . . . n ,
par le produit 1.2.3 (m — n) , et par le produit de ces
deux produits.
On aurait pu remarquer de même , sous la première forme de
Cm,n , que le produit m{m — l)(m — 2) (m — n-\-\) est tou-
jours divisible par le produit 1.2.3 n ; ou que le produit de
n nombres consécutifs est toujours divisible par le produit des
n premiers nombres.
Remarque II. Il résulte aussi de la forme que nous venons de
donner à C,„^n que le nombre des combinaisons de m objets
n à n est égal au nombre des combinaisons de ces mêmes objets
m — n à m — n .
En effet , la formule ci-dessus étant générale , on peut donner
à n une valeur quelconque moindre que m ; donnons-lui la
valeur m — n , c'est-à-dire changeons n en m — n ; il en ré-
22/l SECONDE PARTIE. — CHAPITRE IX.
sultera que m — n sera changé en 7n — {m — n) ou en n .
On aura donc
_ 1.2.3.4 m
'"'""""" 1.2.3....(w— ?^)X1.2.3.... ri *
Par conséquent C„»,n = Cw,7n~n ,
ce qu'il fallait démontrer.
On aurait pu apercevoir cette propriété directement. Car, si l'on
prend n lettres , par exemple , sur m , il en reste m — n ;à
chaque combinaison de n lettres répond une combinaison de
7n — 7i lettres , et vice versa. Et si les combinaisons nkn sont
toutes distinctes, il en sera de même des combinaisons m — n à
m — n , et vice versa. Donc ces combinaisons sont en même nombre.
^ôT .VviO'&htm.l. Parmi les combinaisons de 12 lettres a^ b,
c, ..., etc., 5à5 , combien y en a-t-il qui contiennent à la fois
3 lettres déterminées a , b , c ?
Pour résoudre ce problème, concevons que l'on veuille former les
combinaisons 5 à 5 qui contiennent à la fois « , b et c .
Nous commencerons par écrire ces 3 lettres ; et, à la suite de ces
3 lettres, il en faudra écrire 2 autres , prises parmi les 12 — 3
ou 9 lettres restantes. Le nombre demandé est donc celui des com-
binaisons de 9 lettres 2 à 2 ; c'est-à-dire
i-« ou 36 .
Si l'on demandait généralement : combien, parmi les combinai-
sons de m lettres n « n ,y en a-t-il qui contiennent à la fois p
lettres déterminées't On remarquerait de même (jue, pour former les
combinaisons demandées , il faudrait d'abord écrire les p lettres
qui doivent entrer dans toutes ces combinaisons, puis compléter le
nombre de n lettres dans chaque combinaison , en prenant les
n — p lettres complémentaires parmi les m — 'p lettres non en-
core écrites. Le nombre demandé serait donc celui des combinai-
sons de m — p lettres n — pkn — p , c'est-à-dire
(m—p){m—p — l){in—p — 2) [m—p — (n—p) + l]
î ; 2 '. 3 tt;^ (n—p) '
(m—p)(m'-p — l}{m—p — 2) (m — n + i)
^" ~~1 : 2 : 3 .... {n-p) '
Problème IL Parmi les combinaisons de 12 lettres a, b, c, ..., etc.,
5 rt 5 , combien y en a-t-il qui ne contiennent ni a , ni h , ni c ?
Si l'on met à part les 3 lettres a , 6 , c qui ne doivent pas
entrer dans les combinaisons demandées, il en restera 12 — 3 ou
DES COMBINAISONS. 225
9 ; le nombre demandé est donc celui des combinaisons de 9 let-
tres 5 à 5 , c'est-à-dire
* 9.8.7.6.5
1.2.3.4.5 ^" 1^^ • .
Si l'on demandait généralement : combien, parmi les combinai-
sons de m lettres n à n , y en a-t-il qui ne contiennent aucune
des p lettres déterminées a , b , c .etc."^ On remarquerait
de même qu'en mettant à part ces p lettres qui ne doivent pas
entrer dans les combinaisons demandées, il en resterait m—p . Le
nombre demandé serait donc celui des combinaisons de m—p let-
tres nkn ^ c'est-à-dire
{m—p){m—p—^\){m—p — 'ï) . . . .{m—p — n + l)
r~: 2 \ 3 777, n •
Problème III. Parmi les combinaisons de 11 lettres a^ b, c, . . ., etc.,
5 à 5 , combien y en a-t-il qui contiennent au moins \ne des
3 lettres a ^ b ^ c .^
Si l'on cherche le nombre total des combinaisons 5 à 5 , puis le
nombre de ces combinaisons qui ne contiennent ni a , ni' ^ , ni
c , la différence de ces deux nombres sera le nombre de combinai-
sons où entre nécessairement l'une au moins des 3 lettres a ,
b, ^ . Or, le nombre total des combinaisons de 12 lettres 5à5
est
12.11.10.9.8
1.2.3.4.5 ^" ^^2 •
Nous venons de trouver que le nombre de ces combinaisons où n'en-
trent m a , ni 6 , ni c est 126 ; la différence 792 — 126
ou 666 sera donc le nombre demandé. '
Si l'on demandait généralement : combien, parmi les combinai-
sons de m lettres nàn , yen a-t-il qui contiennent au moins
l une des p lettres déterminées a , b , c , etc. 'i On remar-
querait de même que le nombre demandé est la différence entre le
nombre total des combinaisons de m lettres nkn , et le nombre
de ces combinaisons qui ne contiennent aucune des p lettres dé-
terminées, nombre que l'on a exprimé tout à l'heure. Le nombre
demandé serait donc
m(m— l}(m — 2)....(m — /i-j-l)
1 . 2 \ 3 :t7: n
_{m—p){m'^p~\),,,,{rn—p — n-\-\)
""î '- 2 rrr: n •
Problème IV. Le lecteur pourra appliquer ces formules à la solu-
tion des problèmes suivants :
15
226 SLCONDE PAHTIL. — CHAPITRE IX.
Si l'on donne à un joueur 12 cartes sur 32 , de combien de
manières pourra-t-il arriver : V quHl ail les 4 as; 2" qu'il n'ait
aucune figure ; 3" qu'il ait au moins un trèfle'^
(Réponses: 1° de 3108105 manières ; 2" de 125970 nm-
nières;3"de 223088684 manières.)
11. De la tbrinalion des puissances des quanlilés algébriques. — Formule ihi
binôme.
258. On nomvciQ puissance m"'"""' d'une quantité le produit de m
facteurs égaux à cette quantité.
Cherchons d'abord comment on forme la puissance m""" d'un
monôme ; et , soit pour fixer les idées , le monôme 3 aWx à élever
à la puissance 5«. D'après la définition , cette puissance sera ex-
primée par
3 a^b'x X 3 a^h^x X 3 aWx X 3 d'b^x X 3 d'iji'x .
Or, d'après la règle de la multiplication des monômes, il faudra ,
pour eff'ectuer ce produit, faire le produit des coefficients, c'est-
à-dire le produit de 5 facteurs égaux à 3 , ou la ô'^ puissance
de 3 , qui est 243 . Il faudra ensuite affecter chaque lettre de
la somme des exposants qu'elle a dans chaque facteur ; la lettre a
devra donc avoir pour exposant 2 + 2 + 2-|-2+2 , c'est-à-
dire 2X5 , ou 10 ; la lettre h devra avoir pour exposant
3_|_3-(-3-[-3-l-3 , c'est-à-dire 3 X 5 , ou 15; enfin, la let-
tre X devra avoir pour exposant 1 -f- 1 -f- 1 -(- 1 -f 1 , c'est-à-
dire 1 X 5 , ou 5 . La 5*' puissance demandée sera donc
lAZaW^x' .
On voit que pour la former il a fallu élever le coefficient du mo-
nôme proposé à la 5'^ puissance , et multiplier par 5 les expo-
sants de toutes les lettres qui y entrent.
En général , joowr élever un monôme à la puissance m , il faut
élever son coffiecicnt à la puissance m et multiplier par m les
exposants de toutes les lettres qui y entrent.
On trouvera ainsi que
(2fl&Vf = 128a-6^x^* ; (5a^6Vt = 625a^'6V«
et [Ç,a''bc''o(f'f=^1\Mh^c'x''' .
Si le monôme à élever à la puissance m était négatif, chaque
couple de facteurs donnant un produit positif, en vertu de la règle
(les signes, le produit total serait positif ou négatif selon que le
FORMATION DES PUISSANCES. 227
nombre des facteurs serait pair ou impair. Ainsi, la puissance m'"'"
d'une quantité négative a le signe + ou le signe — , suivant
({ue m est pair ou impair.
On trouvera de cette manière , .
et ainsi de suite.
De même
*i39. Occupons -nous maintenant de former la m""" puissance
d'un binôme.
On pourrait, étant donné ce binôme, en obtenir par des multi-
plications successives le carré , puis le cube , puis la 4" puissance ,
et enfin une puissance quelconque. Mais le but que l'on doit se pro-
poser est de découvrir une loi qui permette de développer la puis-
sance m""" sans être obligé de passer par les puissances intermé-
diaires.
Si l'on calcule, par des multiplications successives, les puissances
successives d'un binôme très-simple, tel que x-}-a , comme ce
binôme est homogène , on voit bien que ses puissances seront ho-
mogènes; et, comme il est du premier degré, on reconnaît sans
peine que son carré sera du second , son cube du troisième , etc. ;
et enfin que sa puissance m'""' sera du degré m . En sorte que la
loi des exposants est très-simple, puisque , dans chaque terme du
développement , la somme des exposants doit être égale à w .
Mais, quant à la loi des coefficients, on ne peut la découvrir à la
seule inspection des résultats ; cela tient aux réductions qui se sont
effectuées entre les termes semblables , et par suite desquelles la
trace des opérations qui les ont fournis a disparu.
Pour empêcher ces réductions , on commence par multiplier
entre eux des binômes dont le premier terme est le même, mais
dont les seconds termes sont différents, tels que x-\-a , ^+6 ,
x-{-c , etc.
On trouve ainsi :
1° Que le produit (x -{-a){x-{-b) , revient à
x'^-{-a x-{-aO .
2" Que le produit (x -^a){x-\- b) {x + c) , revient à
x^-\-a
+ c
x^ + ab
-\-bc
X -\- abc
228 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE IX.
3" Que le produit (x -{-a){x-\- h) {x + c) {x + d)
revient à
x^-\-a
X'
x^ -\- abc
-{-abd
-\-acd
X-bcd
X -\- abcd
-^^-{-ab
-\- ac
+ ad
+ bc
-\-bd
+ cd
et ainsi de suite.
Or, dans ces développements il y a une loi manifeste :
L'exposant de x dans le premier terme est égal au nombre des
facteurs binômes ; il va ensuite en diminuant d'une unité d'un terme
à l'autre , jusqu'au dernier qui ne contient plus x , c'est-à-dire où
l'exposant de x est zéro (42, Rem. II).
Le coefficient du premier terme est l'unité.
Le coefficient du second terme est la somme des seconds termes
des binômes.
Le coefficient du troisième terme est la somme des produits 2 à 2
des seconds termes des binômes.
Le coefficient du quatrième terme est la somme des produits 3 à 3
des seconds termes des binômes , et ainsi de suite.
Enfin le dernier terme est le produit des seconds termes de tous
les binômes.
240. Il s'agit de démontrer que cette loi est générale. Pour cela,
admettons qu'elle s'applique à un produit de m — 1 binômes , et
faisons voir qu'elle s'appliquera dès lors à un produit contenant un
facteur binôme de plus , c'est-à-dire m facteurs binômes.
Soient donc x-\-a , x-\-b , x -]- c , x-\-d , .... x + k,
les m — 1 binômes pour lesquels nous supposons que la loi énon-
cée ci-dessus se vérifie. Désignons par Si la somme des seconds
termes de ces binômes, par S^ la somme de leurs produits 2 à 2,
par Sa la somme de leurs produits 3 à 3 , en général par Sn
la somme de leurs produits nhn . D'après la \o\ admise , le dé-
veloppement du produit de ces m — 1 facteurs binômes sera
a;m-i _|-Sia;-^+S2^-"-^+S3a;—* . . . . + Sn-i^'^-H-Sn^'"-"-^ .... +S„»_i.
Introduisons un //*'*■"'= facteur x + l , le produit sera
^•"' + Si
+ 1
;-^-fS2
+Si/
+ S,/
...+S„
+....+S._i/ -f
X'
.+S._i/.
Dans ce développement , l'exposant du premier terme est égal au
nombre //^ des facteurs binômes ; l'exposant de x va ensuite
en diminuant d'une unité d'un terme à l'autre, jusqu'au dernier où
il est zéro , c'est-à-dire où x n'entre pas.
FORMATION DES PUISSANCES. 229
Le coefficient du premier terme est l'unité.
Le coefficient du second terme se compose de la somme Si des
seconds termes des m—l premiers binômes, plus du second
terme / du m''"'" binôme; il est donc égal à la somme des seconds
termes des m binômes.
Le coefficient du terme qui en a 2 avant lui se compose de la
somme S, des produits 2 à 2 des seconds termes des m—l
premiers binômes, plus du produit Si^ de la comme des seconds
termes de ces m — 1 premiers binômes, par le second terme l
du w;'""; en d'autres termes, il se compose des produits 2à2
des seconds termes des m binômes , puisque S, représente la
somme de ceux où n'entre pas / , et que Sj/ est la somme de
tous ceux qui contiennent / .
Le coefficient du terme qui en a 3 avant lui se compose de la
somme Sh des produits 3à3 des seconds termes des m — l
premiers binômes, plus du produit Sg/ de la somme de leurs pro-
duits 2 à 2 par le second terme l du m""" binôme ; en d'autres
termes, il se compose de la somme des produits 3 à 3 des seconds
termes des m binômes , puisque S3 représente la somme de
ceux où n'entre pas / , et que S,/ est la somme de tous ceux
qui contiennent l .
Généralement, le coefficient du terme en ^'"-" , ou du terme
qui en a n avant lui , se compose de la somme S„ des produits
n h n des seconds termes des m — 1 premiers binômes, plus du
produit Sn_i/ de la somme de leurs produits n — 1 à^ — 1 par
le second terme / du m''""" binôme; en d'autres termes, il se com-
pose de la somme des produits n kn des seconds termes des
m, binômes , puisque S^ est la somme de ceux oji n'entre pas / ,
et que S„_i^ représente la somme de tous ceux qui contiennent l.
Enfin, S^_i étant le produit des seconds termes des m — 1
premiers binômes, S^_i/ est le produit des seconds termes des
m binômes.
Ainsi la loi énoncée étant supposée vérifiée pour m — 1 bi-
nômes, est vraie encore pour un binôme de plus. Or, elle a été vé-
rifiée pour 4 binômes , donc elle est vraie pour 5 ; étant vraie pour
5 binômes elle l'est pour 6, et ainsi de suite; donc elle est gé-
nérale.
241. Pour déduire de cette loi celle du développement de la m""'
puissance d'un même binôme x -\- a , il n'y a qu'à supposer que
tous les seconds termes a , b , c , k , l deviennent égaux.
La somme des seconds termes des binômes deviendra égale à a
répété autant de fois qu'il y a de binômes, c'est-à-dire m fois. Le
coefficient du second terme du développement sera donc ma .
230 SECOKDE PARTIE. — CHAPITRE IX.
La somme des produits 2 à 2 des seconds termes des binômes
deviendra égale à é , répété autant de fois qu'on peut faire de
combinaisons 2a2 avec m lettres, cest-a-dire ^ 2~
Le coefficient du troisième terme du développement sera donc égal
, m [m — 1) ,
a i 2 '' •
La somme des produits 3 à 3 des seconds termes des bi-
nômes deviendra égale à o? , répété autant de fois qu'on peut
faire de combinaisons 3 à 3 avec m lettres, c'est-k-dire
m{m — \){m—% ^^.^ ^^ coefficient du quatrième terme du dé-
1.2.3
, , , mim — \){m — 2) g
veloppement sera donc égal a -^ ^ 3 — ^ •
Généralement, la somme des produits n à ?i des seconds termes
des binômes deviendra égale à a'' , répété autant de fois qu'on
peut faire de combinaisons nkn avec m lettres., c'est-à-dire
m(m— 1)(^— 2) (w— w + 1)
un nombre de fois marque par ^^ ^ — ; — 3 — 777^ n '
Le coefficient du {n -\-\T' terme , ou de celui qui en a ^ avant
lui , sera donc égal à
1 . 2 '. 3 ~. 'n
Enfin le produit des seconds termes des binômes deviendra égal
à dr ; ainsi le dernier terme du développement sera rr .
On aura donc enfin
(^4-a)"'=d;--f-m«a;--^+YTT" + 1.2. 3 ^""
•••• ^1.2. 3 .... n -T---'-r
Telle est Informulé du binôme; cette formule est due à Nev^^ton.
242. Pour appliquer cette formule à un exemple particulier, il
n'est pas nécessaire d'y remplacer m par sa valeur particulière.
Il est plus commode d'observer d'après quelle loi chaque terme
peut se déduire du précédent; cette loi connue, on pourra déve-
lopper une puissance quelconque de oc-\-a sans le secours de la
formule générale.
Le premier terme ^"' a pour exposant celui de la puissance
qu'on veut développer.
Le terme w,a.r'»-^ peut se déduire du précédent j""' en le
multipliant par m , exposant de .r dans ce terme , en introdui-
FORMATION DES PUISSANCES. 231
sant le facteur a , c'est-à-dire en augmentant l'exposant de a
d'une unité , et en diminuant au contraire celui de x d'une
unité.
Le terme ^— ^ o?ïïf~^ peut se déduire du précèdent
max"^-^ en le multipliant par m — 1 , exposant de x dans ce
terme, en divisant par 2 , nombre supérieur d'une unité à l'ex-
posant de a dans le même terme, puis en augmentant d'une
unité l'exposant de a et en diminuant d'une unité l'exposant
de X .
Le terme -p — -^—^ — ô-~ «^ peut se dedun^e du précé-
dent -^ — —^a^x"^-- en le multipliant par m — 2 , exposant
de X dans ce terme , en le divisant par 3 , nombre supérieur
d'une unité à l'exposant de a dans ce même terme, puis en aug-
mentant d'une unité l'exposant de a et en diminuant d'une unité
l'exposant de x .
Cette loi est générale. Pour le faire voir, considérons le terme
général
m{m--\) [m -.^), , ,.{m — n-\-^){m — n + 1) ^
^-'••••l . 2 . 3 .... (w — l) . n "^^ •
Pour en déduire le terme précédent, il n'y a qu'à changer n en
n — 1 , ce qui donne
u, -11 ^(M-l)(M-2) .... (m-7^-|-3)(m-7^+2) ^„^ ,.^,
^ '^••••1.2. 3 .... (7Z-2) . {n~l) '' '^
On reconnaît ainsi que pour déduire au contraire le terme [n]
du terme précédent [n — î] , il faut le multiplier par {m — ?î-(-1) ,
exposant de x dans ce terme, le diviser par n , nombre supé-
rieur d'une unité à l'exposant n — 1 de a, dans ce même
terme , puis augmenter d'une unité l'exposant de a et diminuer
d'une unité l'exposant de ^ .
2 45. Une autre remarque peut servir à abréger les calculs , c'est
que les coefficients des termes également éloignés des extrêtnes sont
égaux.
En effet : le nombre total des termes du développement est
m-\-l , puisque le premier terme est x"^ , que l'exposant de x
va en diminuant d'une unité d'un terme à l'autre, et que le dernier
terme ne contient pas ir .
Cela posé, considérons le terme qui en a n avant lui; ce terme
M pour coefficient le nombre des combinaisons de m lettres n à n
'HSr-
232 Si:CONDE PARTIE. — CHAPITRE IX.
OU Cm,n . Considérons le terme qui en a n après lui; d'après la
remarque qui précède , il en aura m — n avant lui , puisque le
nombre des termes qui suivent , ajouté au nombre des termes qui
précèdent , doit faire m . Ce terme aura donc pour coefficient le
nombre des combinaisons de m lettres tn — 71 h m — n on
Cm,m-n • Or, Ic uombrc des combinaisons de m lettres m — n
km — n est égal au nombre des combinaisons de m lettres
nk n (256 , Rem. III) ; donc ces deux coefficients sont égaux.
On aurait pu arriver à la même conséquence en remarquant que
le développement de (x-{-a)'"* doit être le même que celui de
(«+^)"* ; et que, puisque, dans ces deux développements, les
coefficients se forment d'après la même loi , deux termes de même
rang doivent avoir le même coefficient. Or, deux termes qui ont le
même rang dans les deux développements sont précisément deux
termes également éloignés des extrêmes dans l'un de ces dévelop-
pements considéré seul.
244. Il résulte de la remarque précédente que si m est impair,
auquel cas il y aura un nombre pair m + 1 de termes , tous les
coefficients se reproduiront deux fois ; il suffira donc de calculer la
moitié des termes ; les termes suivants s'obtiendront çn récrivant
les précédents en ordre inverse, en y changeant x en a et a
en X .
Si m est pair, auquel cas il y aura un nombre impair m + 1
de termes, il y aura un terme du milieu dont le coefficient ne se
reproduira pas; il faudra pousser le calcul jusqu'à ce terme; les
suivants se déduiront des précédents comme il vient d'être dit.
On peut même se dispenser de compter les termes.
Dans le cas de m impair, on reconnaîtra qu'on est parvenu au
dernier terme de la première moitié, lorsque î exposant de x ne
surpassera plus celui de a que d'une unité. En eftét, soit M.a^x'^
le terme qui termine cette première moitié ; le suivant devra être
Ma'^xP ; mais, d'après la loi de formation, on doit avoir q=p-\-l .
Dans le cas de m pair, on reconnaîtra qu'on est parvenu au
terme du milieu , quand les exposants de a et de x seront
égaux. Car, soit Ua^x'^ le terme du milieu; le terme précédent
contiendra a^-^x'^-^^ , et le terme suivant contiendra au contraire
^p+i^q_i _ Qj.^ çgg (jg^x termes étant également éloignés des ex-
trêmes , doivent pouvoir se déduire l'un de l'autre en changeant
X en a et a en X ; ce qui exige qu'on ait p-\-l=q-\-l
et p — ^=Ç — 1 , ou simplement p = q -
24,^. Appliquons la formule du binôme et les remarques que
nous venons de faire au développement de {x-\-a)'^ .
Le premier terme sera x'^ .
FORMATION DES PUISSANCES. 233
Pour obtenir le second , il faudra multiplier le premier par 7
introduire le facteur a , et diminuer l'exposant de x d'une
unité, ce qui donne 7ax^ .
Pour obtenir le suivant , il faut multiplier celui-ci par 6 , di-
viser par 1 -f- 1 ou 2 , ce qui revient à multiplier par 3 , puis
augmenter d'une unité l'exposant de a et diminuer d'une unité
l'exposant de ^ , ce qui donne 21 aV .
Pour obtenir le suivant , il faut multiplier celui-ci par 5 , di-
viser par 2-1-1 ou 3 , ou , ce qui est plus commode , diviser
d'abord par 3 et multiplier ensuite par 5 , puis augmenter d'une
unité l'exposant de a et diminuer d'une unité l'exposant de œ ,
ce qui donne Sba^x'' .
Comme l'exposant de x ne surpasse plus celui de a que d'une
unité , les termes suivants s'obtiendront en récrivant en ordre in-
verse les termes déjà écrits, après avoir changé X en a et a en X .
Ces termes sont donc 35aV , 21ftV , 7a^x et a?.
Ainsi on aura
(x-\-ay=x'-\-7ax'+21a^x'-\-36a^x'+35a'x^^21a'x'-\-7a'x-{-a' .
On trouvera de même
{x-{-af = x'-\-Sax^ + 3a^x+a^ .
(x-\-af~x^-{-4ax^-^6a^x'--\-4a^x-{-a'' .
{x-\-af = x'-{-^ax'-\-^8a'x'-\-66a'x'-]-70a'x' + b6a'x^+2Sa'x^
-\-Sa'x-\-a^ .
246. Nous avons supposé jusqu'ici que le binôme à élever à la
puissance m avait ses deux termes positifs; si l'on avait à élever
à la puissance m le binôme x — a , le développement de cette
puissance pourrait se déduire de celui de (x-\-a)"' en changeant
a en — a . Les puissances impaires de — a étant négatives ,
et ses puissances paires étant positives (258), les termes de rang
impair, qui contiennent a à des puissances paires, seront posi-
tifs, et les termes de rang pair, qui contiennent a à des puis-
sances impaires , seront négatifs , c'est-à-dire que les termes seront
alternativement positifs et négatifs. Ainsi on aura
(x — a)'^=x'^ — m«^"*-*-)~p — —-^a^x"^-- ^ — —^ — —-^a^x'^-^-^-. . .
Le dernier terme a*" sera précédé du signe -f s'il est de
rang impair , c'est-à-dire si m-}-l est impair , ou si m est pair.
Il sera précédé du signe — s'il est de rang pair, c'est-à-dire si
m est impair.
23^4 SECONDE PARTIE. -— CHAPITRE IX.
On trouvera ainsi
{x—af=x'—6ax''-\-15a^x''—20a''x'-\-l6a'x'—Mx-\-câ .
247. Soit maintenant à développer une puissance d'un binôme
quelconque , par exemple (2^^ — Sabf .
On commencera par poser 2a^=p , 3ab=q .On aura ainsi
à développer (p — 9)^ ; ce qui donnera
/ — 5/V + 10i?V — 1 Op'f + ôj/^ — ?•' .
On aura ensuite
p=2a^ , p^=4a'' , p^=Sa' , ^*=16a« , p'=S2a'^ .
^=3a6 , 9*=9a'6S q^^^VaW, f/=SUàb'\ q'=2iS(('b' .
Substituant ces valeurs dans le développement ci -dessus, on
obtiendra
32a''—b.l6C(^.Sab+10.Sa'.9aW — 10Aa'.27aW+^.2a\S\a'b'
^243 a'b' ;
ou , en eifectuant les multiplications indiquées ,
On développerait de la même manière une puissance quelconque
d'un binôme donné.
248. Remarque I. Si , dans le développement de (x + af' , on
suppose x = l et a=l , les puissances de x et de a se
réduisent toutes à l'unité; en sorte que le développement se réduit
à la somme des coefficients. Mais, en même temps, l'expres-
sion {x+af' se réduit à (1 + 1)'" ou à 2^ . Ainsi donc : /r/
.somme des coefficients, dans le développement de (x+a)'" , est égale
à la m''"" puissance de 2 .
Par exemple, dans {x-^ay , on a vu que les coefficients sont
1 , 7 , 21 , 35 , 35 , 21 , 7 , 1 .
Si l'on en fait la somme, on trouve 128 , qui est bien la 7' puis-
sance de 2 .
De même, les coefficients de {x+af sont, comme on l'a vu ,
1 , 8 , 28 , 56 , 70 , 56 , 28 , 8 , 1 .
La somme de ces coefficients est 256 , qui est la 8« puissance
de 2 .
Remarque II. Cette propriété peut trouver son application. Sup-
posons, par exemple, que l'on demande de combien de manières
FORMATION DES PUISSANCES. 235
on peut partager m objets en deux groupes. On remarquera que
l'on peut d'abord ne rien mettre dans le premier groupe , et mettre
les m objets dans le second , ce qui ne peut se faire que d'une
manière . On peut ensuite mettre 1 objet dans le premier groupe ,
et m — 1 dans le second, ce qui peut se faire de m manières.
On peut en mettre 2 dans le premier et m — 2 dans le second,
ce qui peut se faire d'autant de manières qu'il y a de combinaisons
possibles de m objets 2 à 2 , c'est-à-dire —^ — ^ — - . On peut
en mettre 3 dans le premier groupe , et m — 3 dans le second,
ce qui peut se faire d'autant de manières qu'il y a de combinaisons
possibles de m objets 3 a 3 , c est-a-dire — ^ — - — - — - — - .
En continuant ainsi , on voit que les différentes manières d'exécuter
le partage demandé sont en nombres marqués par les coefficients
du développement de {x-\-af . Donc, le nombre total de ma-
nières d'effectuer ce partage , sera exprimé par la somme des coef-
ficients de ce développement , c'est-à-dire par 2'" .
Exemple I. Huit personnes sont placées dans 2 chambres , de
combien de manières cela peut-il se faire^
(Réponse : 2« ou 256.)
Exemple II. On veut mettre 12 pièces de monnaie dans une
bourse à deux compartiments ; de combien de manières peut-on le
faire ?
(Réponse: 2^^ ou 4096.)
Exemple III. Avec un jeu de 52 cartes on propose de faire
2 parts ; de combien de manières pourra- t-07i le faire?
(Réponse : 2''- ou 4503599627370496 .)
Remarque III. Si l'on fait œ=l et a^n 1 dans le dévelop-
pement de (x — a)"* , on obtient pour résultat la somme des coef-
ficients de rang impair du développement de {x -\- a)"" , moins la
somme de ses coefficients de rang pair. La différence entre ces
deux sommes est donc nulle , puisque (1 — 1)'" se réduit à zéro.
249. Soit maintenant à développer la puissance m*"'* d'un
polynôme quelconque a-]-b-\-c-\-d-\-e....-\-k-\-l , que
nous désignerons par P pour abréger. Posons
b + c + d + e..,. +k + l = x ,
nous aurons
V^-={x+ay^=x^^^+7nax^'^-K,.A- ^^^^T'^^'''^^~^'^'^\ i''x^^^^
Dans ce développement, il faudra remplacer .r"* , x'"-'^ , etc..
236 SECONDE PABTIE. — CHAPITRE IX.
par leurs valeurs. Pour cela, posons
c + d-{-e ~\-k + l = îj ,
nous aurons x=b-\-y ; d'où l'on tirera, par exemple,
I (m—n)im—n—l). . . .(in—n—p + l) ^ __^ , ^„,_„
'*'* ' 1.2 p ^ "*
Dans ce nouveau développement, il faudra remplacer ?/"~" ,
^w-n-i ^ Q^ç,^^ ^r^Y igyps valeurs. Pour cela, posons
d-\-e -\-k-\-l = Z' y
nous aurons y = c-\- z. ; d'où l'on déduira , par exemple ,
, {m—n—p)(m—n—p—l)...{m—7i—p—q+l) ^^ .,„_„_p_g
"••■^ 1.2... ^
Dans ce nouveau développement, il faudra remplacer ^"«-"-p ,
^tn-n-p-i ^ g|.(.^ pj^p \euYs valcurs. Pour cela, posons
e-\- -\-k-\-l=:u ,
nous aurons z = d-\-u ; d'où l'on tirera , par exemple ,
{7n-n-p-q) {m-n-p-q-\). . . . (m-y^-p-y-r+l ) ^^,^,„_„_p_,_,
'"'' 1 . 2 r
En continuant ainsi , on parviendra à des développements dans les-
quels n'entreront plus que les diverses puissances de k-\-l , que
l'on sait développer. On obtiendra donc le développement total par
des substitutions successives.
Soit, par exemple, à développer {a + h-\-cf . On aura d'abord
{a + x)^ = a' -[-^^a'x -\-?,ax' + x" .
On aura ensuite
X =b -\-c . ■
x^ = b'-{-3b'c-\-Sbc' + à .
Et, en substituant, et effectuant les calculs,
{a-\-b+cf=a'+3a'b+3ah'-\-3ab'+6abc+^ac'+b'+Wc+Sbc^+c\
Remarque. On peut encore écrire ce développement ainsi :
{a+b-}- cfz= {Q?+b'+c^)+3{a'b+a^c+b'a-\-b'c+c^a+c'b) -\-6abc .
t FORMATION DES PUISSANCES. 237
Y 2d0. On peut se proposer de trouver le terme général du déve-
loppement de P"* .
Pour cela , il faudra , dans le terme général de (x + aT ? rem-
placer X"*-'' par le terme général de son développement , c'est-
à-dire par le terme général du développement de (y -\- bf-'' .
Puis , dans ce second terme général , remplacer y^-^-p par le
terme général du développement de (^-f-cy"-"-^' . Puis, dans ce
troisième terme général , remplacer ^^^-^-P-q p^r le terme gé-
néral du développement de {u + df-^'-p-i . Et ainsi de suite.
Pour fixer les idées, supposons que P n'ait que les cinq
termes a-]-b-]-c-\-d-\-e ; ou que u~e .En effectuant les sub-
stitutions dont on vient de parler, on trouvera, au numérateur du
coefficient du terme général , la suite des facteurs
m , m— 1 , , ^n — n-\-l ;
puis m—n , m—n—1 , , m—n—p-^l ;
puis m—n — p , 7n—n — p—1 , , m — n — p — q-{l ;
puis m—n—])—q, m—n—p—q—1, ...., m—n—p—q—r-\-i .
On voit que ces facteurs forment la suite descendante des nombres
entiers depuis m jusqu'à m — n — p — q — r+l , ou jusqu'à
s-^1 ; en désignant par s le nombre m — n — p — q — r.On
peut prolonger cette suite de facteurs jusqu'à l'unité, sauf à mul-
tiplier le dénominateur par s{s—l). ...3.2.1 , ou , ce qui revient
au même , par 1.2.3 s .
Le dénominateur sera alors formé du produit
1.2.3..../iX1.2.3....i?X1.2.3....(zXl.2.3....rXl.2.3....A- .
Quant au monôme affecté de ce coefficient, ce sera
«"ôPc^^^e"'-"-^-^-'' ou a^'^cH^e' . *
Le terme général demandé sera donc enfin
1 -2.3 (m — l)m .^ ^
1.2.3.. . riX1.2.3...i?X 1.2.3... .^X 1.2.3. ..rx 1.2.3.../ ^' ^' '
avec la condition n-\-p-\-q-\-r-\-s=:m .
Il serait facile de généraliser ce résultat.
2ol. Remarque L Le coefficient de ce terme général étant né-
cessairement un nombre entier, il en résulte que le produit de la
suite naturelle des nombres depuis 1 jusqu'à m , est divisible
par le produit
1.2.3....wXl.2.3....;?Xl.2.3....gXetc. ,
pourvu que la somme des nombres n , p , q ^ etc., soit égale
à m .
238 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE IX.
Remarque 11. Si l'on fait « = 1 , 6 = 1 , e = l , etc., le dé-
veloppement se réduit à la somme de ses coefficients. Quant au po-
lynôme, il se réduit à N ; en désignant par cette lettre le nom-
bre de ses termes. La somme des coefficients du développement de
la wr"" puissance d'un polynôme de N termes est donc égale
à N"* .
Remarque III. Cette propriété peut trouver son application. On
démontrerait facilement que le coefficient du terme général exprime
le nombre de manières de partager m objets en N groupes ,
dont le premier contienne n objets, le second p , le troisième q ,
et ainsi de suite. La somme des coefficients du développement de la
puissance m''"" d'un polynôme de N termes exprime donc le
nombre de manières de partager m objets en N groupes. Or,
d'après ce qu'on vient de voir, ce nombre de manières a pour ex-
pression N''' .
Exemple I. De combien de manières peut-on placer 8 personnes
dans 3 chambres? < ■
(Réponse: 3* ou 6561.)
Exemple II. De combien de manières peut-on mettre 12 pièces
de monnaie dans un porte-inonnaie qui a 4 compartiments ?
(Réponse: 4^« ou 16777216.)
Exemple III. De combien de manières peut-on faire 10 parts
avec un jeu de 52 cartes?
(Réponse : 10'^ , ou un nombre formé de l'unité suivie de 52
zéros.)
§ III. Des racines des quantités algébriques.
252. La racine n)'"'" d'une quantité algébrique est une seconde
quantité qui , prise n fois comme fticteur, donne pour produit la
première. On désigne la racine n}""' d'une quantité par le signe
'^~~ placé en avant de cette quantité. Ainsi ^a désigne la racine
n:''"'' de a . La lettre n placée au-dessus du signe radical se
nomme X indice de la racine.
D'après la règle donnée (258) pour former la puissance ?^"""
d'un monôme, on voit que, si un monôme est une puissance n"""
exacte, on en extraira la racine en extrayant celle de son coeffi-
cient, 'et en divisant par n les exposants de toutes les lettres qui
(/ entrent.
Ainsi ^nSa'b''x''' = 2 ab'x^ ; ^Mb^b"^' = 5 a;'b'x' .
(La racine /i'"'" d'un nombre peut s'extraire par un procédé
RACINES DES QUANTITÉS AUiÉBRIOUl-S. 233
analogue à celui à l'aide duquel on extrait sa racine carrée ou sa
racine cubique. Mais, à ce procédé laborieux, on substitue avec
avantage l'emploi des logarithmes, comme nous le verrons bientôt.
Lorsqu'il s'agit de nombres peu considérables, on peut se conten-
ter de former les puissances n"""' des neuf premiers nombres ,
et de voir quelle est celle qui reproduit le nombre proposé.)
Quant à la racine n''""" d'un polynôme, elle pourrait s'extraire
par un procédé analogue à celui que nous avons employé au n° 170
pour extraire la racine carrée, et en se fondant sur la formule du
binôme. Mais ce calcul étant à peu près sans applications, nous ne
nous y arrêterons pas.
2Î55. Lorsqu'un nombre entier N n'est pas une n'"''"' puis-
sance exacte, sa racine w'™'" est incommensurable; car les puis-
sances d'une quantité fractionnaire irréductible sont elles-mêmes
irréductibles, et ne sauraient reproduire un nombre entier N . V"
Lorsqu'une expression fractionnaire irréductible ^ n'est pas
une n'""" puissance exacte, sa racine ?^"""' est incommensurable.
Multiplions, en effet, ses deux termes par b""-^ , elle deviendra
—^ . bon denommateur sei^a une puissance ^r"" exacte ; mais
il n'en sera pas de même de son numérateur, car il faudrait pour
cela que a contînt le facteur b , ce qui est contraire à l'hypo-
thèse. La racine 7r"' du numérateur sera donc incommensura-
ble ; il en sera donc de même de la racine de l'expression fraction-
naire proposée.
On démontrerait, comme aux n°^ 198 et suivants , que l'on peut
étendre aux quantités incommensurables du degré n les règles
ordinaires du calcul algébrique.
254. Une quantité négative ne peut être une puissance ^"""^ exacte
qu'autant que n est impair ; car les puissances paires d'une quan-
tité réelle, positive ou négative, sont positives d'après la règle des
signes. Il en résulte que toute racine d'indice pair d'une quantité
négative est une quantité imagi?iaire , et n'oftre que le symbole
d'une opération impossible. Ainsi, ^"^ , v^^ , etc., sont des
quantités imaginaires.
266. Nous allons maintenant exposer les règles générales du
calcul des radicaux. On démontre, dans l'Algèbre supérieure, i[ne
tout radical , dont l'indice est n , est susceptible de n déter-
minations distinctes; mais une seule de ces déterminations est réelle
et positive j c'est la valeur arithuiétique ou numérique de ce radical.
2^0 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE IX.
Nous ne nous occuperons ici que de la valeur numérique des ra-
dicaux.
Le principe fondamental du calcul des radicaux est celui-ci : La
racine n'""" d'un produit est égale au produit des racines n"""" de ses
facteurs.
Soit, en effet, abcd un produit quelconque. La racine ?i"'" de
ce produit sera exprimée par \Jabcd .
Le produit des racines ?r"" des facteurs sera exprimé par
\Ja .\Jl) .\Jc .\Jd .
Or, je dis que cette quantité est une nouvelle forme de la racine
du produit abcd . En effet, si on élève cette quantité à la puis-
sance n , on aura
{\a .\Jb . \/c . sjTi) (y a . v/^ . v/^ . V 5) ( )
le nombre des parenthèses semblables étant n .'
Mais, pour nuiltiplier une quantité par un produit de plusieurs
facteurs , on peut multiplier successivement par chacun des facteurs
de ce produit ; on pourra donc écrire
\J^ .\Jl) . \/c .\Jd .\Ja . \JT) .sjc .s/d .\Ja.\Jb . \ic .\Jd
ou , en intervertissant l'ordre des facteurs ,
;ia/fa/fa.,. 'fb /fb . ^'l) . . . ^/c . ;j'c /^c . . , ^Jd /^d . ^j^ . . .
chaque radical entrant n fois de suite comme facteur.
Or, multiplier entre elles n quantités égales à \Ja , c'est éle-
ver \j7i à la puissance n , ce qui donne, par défmition , a .
Multiplier cette quantité successivement par n facteurs égaux
à !^b , revient à la multiplier par le produit^de ces n facteurs ,
ou par la ti'""' puissance de y^ô , qui est b , par défmition. Mul-
tiplier le produit ab successivement par n facteurs égaux à ^c ,
revient à le multiplier par le produit de ces n facteurs, ou par c ,
ce qui donne abc . Enfm , multiplier abc successivement par
n facteurs égaux à \7l , revient à le multiplier par le produit de
ces n facteurs , ou par d , ce qui donne abcd .
Donc , en élevant à la ^r"" puissance , le produit
\/a/i^b.\/c. '\[d ,
on obtient le même résultat , abcd , qu'en élevant à la ?^""" puis-
sance le radical ^sjabcd . Donc ces deux quantités sont numérique-
ment égales , et l'on a
'^abcd=^ \Ja.\/'b,\Jc.\Jd ,
Ce qui revient à la proposition énoncée.
CALCUL DLS UADICAUX. 2hi
2^56. Le premier usage qu'on peut faire de ce principe est de
simphtier les radicaux. Pour cela, on décompose, s'il est possible,
la quantité placée sous le radical en deux facteurs, dont l'un soit
une puissance exacte d'un degré égal à l'indice du radical. On ex-
trait alors la racine de ce facteur, et l'on se contente d'indiquer
la racine du second. Lo radical porte ainsi sur une quantité plus
simple.
On trouvera de cette manière
^'667a'jc'= ^ 8 1 a^x' .7a^x=^Si a'x^ , y' 7 à'x — 3 a x'ij'îcfx .
V 6400000 aW^x''=^ ^ 3200000 a^b^'x^ . 2 a^'x = 20 a Irx" {/2¥I^
On nomme radicaux sernblables ceux qui portent sur des quan-
tités égales, quelle que soit la quantité qui peut être placée comme
facteur hors du radical.
On peut quelquefois, en simplifiant les radicaux, les amener à
être semblables. Ainsi les expressions
V54«'^ et V 250^^6*
reviennent à 3 «^20^ et 6b^2¥b ,
qui renferment des radicaux semblables.
207. Au lieu de faire sortir un facteur du radical , on peut au
contraire avoir intérêt à faire passer sous le radical un facteur qui
est devant.
Pour cela , il faut évidemment élever ce facteur à une puissance
marquée par l'indice du radical.
Ainsi a sjb revient à ''!/a% ,
car, si on simplifiait la seconde expression, on retomberait sur la
première. .
208. L'addition et la soustraction des radicaux ne peuvent que
s'indiquer lorsque les radicaux ne sont pas semblables. Mais s'ils le
sont, on peut opérer sur les quantités qui multiplient le radical, et
mettre ce radical en facteur commun. Ainsi
3a^a2^4- 56v/â^— a^'^= (3« -^- 56 — «)^^===(2« +56);/^ .
259. Multiplication. Pourinultiplier l'un par Vautre deux radi-
caux de même indice, il suffit de multiplier l'une par l'autre les
quantités placées sous chaque radical, et Œ affecter le produit du ra-
dical commun .
J6
242 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE IX.
On a , en effet , en vertu du principe fondamental (235) ,
Cette règle s'étend à un nombre quelconque de facteurs.
11 peut arriver que le produit soit susceptible de se simplifier, ou
même qu'il soit rationnel. Par exemple,
260. Division. Pour diviser l'un par l'autre deux radicaux de
même indice, il suffi de diviser l'une par l'autre les quantités pla-
cées sous chaque radical, et d'affecter le quotient du radical
commun. . v ^ * •:. '
»«/■"■ ' .
. . ■«. v^
Soit, en eftet, ^i^ = 9 •
s/b
On en tire ^a—q.\Jb ,
ou , en élevant à la puissance n les deux membres
a = q".b dou ^7 =^
et , en extrayant la racine tr"" des deux membres ,
fJ
-s/l
t)eux quantités égales à une troisième étant égales entre elles, on
en conclut
H peut arriver que le quotient se simplifie, ou même qu'il soit
rationnel. Ainsi
Ï/I62a'hx'__ ' l \md'b^' _.j'i^2jlÉ — 'JjL^—}^
. p|S^-V384r.6^^; V 64/>« ^646« 46'^ *
261. Formation des puissances. Pour élever un radical à la
puissance p , il suffit d'y élever la quantité placée sous le ra-
dical.
En effet, on a ((/«/= ^/a. (/a. ^«.... {/« , <
les facteurs du second membre étant en nombre p .
D'après la règle de la multiplication des radicaux, on aura donc
CALCUL DES RADICAUX. ^ 2^1 ;>
les facteurs placés sous le radical étant aussi en nombre p . On
peut donc écrire
ce qui revient à l'énoncé de la proposition.
On aura , par exemple ,
262. Extraction des hacines. Pour extraire d'un, radical une
racine du degré p .. il suffit de multiplier par p , l'indice de ce
radical.
Soit, en effet, \/!^a = b . . '
Elevons les deux membres à la puissance p ; il suffira pour y éle-
ver le premier membre de supprimer le premier radical ; cela ré-
sulte de la définition même de la racine. On aura donc
;/â=bp .
Elevons les deux membres de cette nouvelle égalité à la puis-
sance n ; il suffira dans le premier membre de supprimer le radi-
cal, et dans le second il faudra multiplier l'exposant p par n (258).
Il viendra donc
a = bp'' ou ô^'P .
Extrayons maintenant la racine np'"'" des deux membres, nous
obtiendrons
^a = b .
Et, puisque deux quantités égales à une troisième sont égales entre
elles,
\/^a= \/a ,
ce qui revient à l'énoncé de la proposition.
On trouvera ainsi
\^6Wb' = i^6iaH' = 2a'b .
265. On peut, sans changer la valeur numérique d'un radical,
multiplier par un même nombre son indice et l'exposant de chaque
facteur qu'il affecte.
Soit , en effet , l'expression \/a'"' . . "
Si on élève cette quantité à la puissance /; , on aura, en vertu
de ce qui a été démontré au n" 261,
'2t\U SECONDE PARTIE. — CHAPiTRE iX.
Si l'on extrait maintenant la racine p""" du résultat , on ob-
tiendra, en vertu du numéro précédent,
Or, ces deux opérations contraires ayant pour etl'et de se détruire,
on doit retrouver la quantité primitive. Ou a donc
ce qui démontre la proposition.
Par une raison semblable on peut , sans ckamjcr la valeur nuiné-
rique d'un radical, diviser par un même nombre son indice et l'ex-
posant de chaque facteur qu'il affect-e.
Ainsi ( a^f)' = yab'^ ,
puisqu'on peut diviser par 2 l'indice G et les exposants 2 et 4 .
264. Le principe démontré au commencement du numéro pré-
cédent permet de réduire deux radicaux quelconques au môme
indice,
Pour réduire deux radicaux au 7néme indice, on multiplie l'in-
dice de chaque radical, ainsi que les exposants des facteurs qu'il
affecte, par V indice de V autre jradiccd.__
Soient les deux radicaux (/a'" et sjb'^ On multipliera n et m
par 7J , puis p et q par n , ce qui n'altérera pas (205) la
valeur numérique de ces radicaux. Ils deviendront alors
' 7^ et "v"/;^,
et auront tous les deux le môme indice.
Cette opération , qui a beaucoup d'analogiç avec la réduction de
deux fractions au même dénominateur, est susceptible des mêmes
simplifications; c'est-à-dire que l'on peut prendre prmr indice
connnun le plus petit multiple des deux indices. On divisera alors
ce plus petit multiple par l'indice de chaque radical, et l'on élèvera
la quantité placée sous ce radical à une puissance marquée par le
quotient obtenu.
Soient, par exemple, ^'Iba^b^x et {j'ilab^x' , ou, ce qui
revient au même, Ij^-.éWx et "yJ\S\al)'x' . Le plus petit mul-
tiple des indices 6 et 8 est 24 . Le quotient de 24 par 6
est 4 ; on élèvera donc h la A"- puissance la quantité placée sous le
premier radical. Le quotient de 24 par 8 est 3 ; on élèvera
donc au cube la quantité placée sous le second radical. On obtiendra
ainsi pour les deux radicaux '
'^^.d^'lfx' et l'WÂHFx'' .
CALCUL DKS RADICAUX. 2^5
Si l'on avait plus de deux radicaux , on multiplierait l'indice de
chaque radical , ainsi que l'exposant de chacun des facteurs qu'il
affecte, par le produit des indices des autres radicaux. Ainsi les
trois radicaux
deviendraient '"'^Tir^' , "7^ ^ "''\/c^ .
Si les indices avaient des facteurs communs, on prendrait leur
plus petit multiple pour l'indice commun, et l'on opérerait comme
il a été dit pour le cas de deux radicaux.
26o. La réduction des radicaux au même indice sert à multi-
plier ou à diviser l'un par l'autre deux radicaux d'indices quel-
conques.
Soit , par exemple , ^ multiplier \/a"' par Ç'(i'^ ; en réduisant
d'abord ces radicaux au môme indice , on aura "^/a'^^ et "y/a'"^ .
Opérant alors la multiplication par la règle du n*» 2o9', on obtiendra
Ça^'i'.a'"' ou yVrp^"'? .
S'il s'agissait au contraire de diviser l'un par l'autre les mêmes
radicaux, on aurait d'abord, en appUquant la règle du n" 200,
ou , en vertu de la règle de la division des monômes ,
Va-^-"^ . ^
If/
Par exemple , i^fà X \/ar = ^'cà^'^- c(}^ =^ y/o
\^cc* ^ /a" 15 —
§ IV. Des exposants fracliounaires et des exposants négatifs.
266. On a vu au n° 252 que pour extraire la racine ??''"" d'un
monôme , il faut diviser par n l'exposant de chaque lettre qui y
entre. Ainsi, v^a'" peut s'écrire a'' toutes les fois que la divi-
sion de m par n peut s'effectuer, puisque — représente le
quotient de m par n .
L'analogie conduit ensuite à adopter la même notation, lors même
2'iÔ SECONDE PARTIE. — CHAPITRE IX.
que la division de m par n n'est plus possible , et à poser en
conséquence , quels que soient les nombres entiers m et r* ,
m,
c'est-à-dire que pour indiquer la racine n''"' de la puissance m'"""
d'une quantité a , on ajfecte cette quantité d'un exposant frac-
tionnaire qui a pour numérateur V exposant m de la puissance,
et pour dénominateur V indice n de la racine.
L'avantage de cette notation est de simplitier sur-le-champ le
calcul des radicaux, attendu que les règles établies pour le calcul
des exposants entiers subsistent pour les exposants fractionnaires .
C'est ce que nous allons démontrer.
267. I. Multiplication. Soit à multiplier les deux expressions
a"- et a"^ .
D'après la définition des exposants fractionnaires , ces expressions
reviennent respectivement à
V'ô^ et à Ç/ft^ ,
ou, en les réduisant au même indice, à
7«^ et à 7«^ •
Effectuant la multiplication d'après la règle du n° 2d9, il vient
ou , d'après la règle de la multiplication des monômes , dans le cas
des exposants entiers ,
Si l'on se sert, pour exprimer ce produit, d'un exposant fraction-
naire, on aura
a "" ou rt"^ ,
c'est-à-dire que, pour inultiplier deux puissances fractionnaires
d'une même quantité, il faut faire la somme des exposants y comnie
dans le cas des exposants entiers.
ïl. Division. Soit à diviser
<2" par a'^ ,
ou , ce qui revient au même ,
y'a'" par ^a^ ,
DES EXPOSANTS FRACTIONNAIRES. 247
011 , en réduisant au même indice ,
7^' par yô^ . ^ .,';■.
Effectuant la division d'après la règle du n° 260 , il vient ;
ou , d'après la règle de la division des monômes pour le cas des
exposants entiers ,
Si l'on emploie un exposant fractionnaire, ce quotient pourra
s'écrire
a """i ou «""'^ ,
c'est-à-dire que , pour diviser Vune 'par Vautre deux puissances
fractionnaires d'une même quantité , il faut retrancher l'exposant
du diviseur de l'exposant du dividende, comme dans le cas des
exposants entiers.
Ta
III. Puissances ET RACINES. Soit à élever a" à la puissance frac-
tioimaire - . Ce cas renfermera celui où g serait égal à 1 ,
c'est-à-dire où la puissance serait entière , et celui où p serait
égal à 1 , c'est-à-dire où l'on aurait à extraire seulement une
racine d'indice q .
La quantité proposée a" ou ^a'" doit , d'après la définition
de l'exposant fractionnaire - , être élevée d'abord à la puis-
sance p , et l'on doit ensuite extraire de cette puissance une racine
dont l'indice Q^i q .
Or, on a (v'^7="^p (261).
On a ensuite vÇ/^ = 'v«"''^ (262).
Employant maintenant un exposant fractionnaire, on pourra
écrire
mp m p
ri«« OU a'^*'^ ,
c'est-à-dire que , pour élever une quantité affectée d'un exposant
fractionnaire —, à une puissance fractionnaire - ^ il faut faire
le produit des deux exposants — et - ^ comme dans le cas des
exposants entiers.
2^8 SECONDE PARUE. —CHAPITRE IX.
On voit que toutes les règles du calcul des exposants entiers s'ap-
pliquent aux exposants fractionnaires ; ce qui justifie l'emploi de
cette notation, plus générale que celle des exposants entiers , et
plus conforme, par conséquent, à l'esprit de l'Algèbre.
Remarque. Le principe du n" 2()5 revient à celui d'après lequel
on peut multiplier ou diviser à la fois les deux termes d'une frac-
tion par un même nombre sans en changer la valeur.
2G8. On a vu, au n** 41 , que pour diviser l'une par l'autre deux
puissances entières d'une même quantité, il faut soustraire l'expo-
sant du diviseur de l'exposant du dividende.
a"*
Ainsi — peut s'écrire a'"~'' ,
lorsque n est moindre que m .
L'analogie conduit à faire usage de la même notation , lors même
que 71 est plus grand que m , et à poser en conséquence
quels que soient les nombres m et n .
Or, si n surpasse m d'une quantité p , et qu'on ait
n7=:zm-\-p , on pourra écrire l'égalité ci-dessus sous la forme
et , en divisant les deux termes du premier membre par «^ (41,
Telle est la définition de l'exposant négatif —p . Ainsi, les ex-
pressions
a~^ , a-* , a ^ ,
reviennent respectivement à
1 1 2_
a'
L'avantage de cette notation est encore que , les règles démon-
trées pour le calcul des exposants positifs {entiers ou fractionnaires)
subsistent pour les exposants négatifs ; et c'est cette généralité , con-
forme à l'esprit de l'Algèbre, qui justifie l'emploi dos exposants né-
gatifs.
Il reste à démontrer la proposition énoncée.
DES EXPOSANTS NÉGATIFS, " 249
269. T. Multiplication. Soît à multiplier r/-"' par (c^^ ,
m et p pouvant être entiers ou fractionnaires.
D'après la définition des exposants négatifs , on aura à multiplier
— - par cc^p ,
ce qui donnera , d'après le calcul des exposants positifs ,
-- ou a^-- ,
puisqu'il faut soustraire les exposants dans la division, qu'ils soient
entiers ou fractionnaires , et qu'on admet un exposant négatif.
Or, p — m est\s.so7nme algébrique de p et de — m .Donc
il faut, dans le cas où nous sommes, faire la somme des exposants
des deux facteurs.
Soit à multiplier a-"' par «-^ , ou ce qui revient au même ,
on obtiendra , d'après le calcul des exposants positifs ,
1 1
ou
mais , d'après la définition des exposants négatifs , ce résultat peut
s'écrire
Or, — m, —p est encore la somme algébrique des exposants
des deux facteurs. Donc pour tnulHplier entre elles deux puis-
sances (positives ou négatives) d'ïmeméme quantité, il faut faire la
somme algébrique des exposants,
II. Division. Soit à diviser a-"' par a-^p , ou bien
1
-— par a^ ;
il viendra, d'après le calcul des exposants positifs,
1 1
r/."' . a/ ^" a'"^^' '
ou , en employant un exposant négatif ,
Or — m — p est la différence algébrique entre l'exposant — m
du dividende et l'exposant -\-p du diviseur.
250 ' SECONDE PARTI li. — CHAPITRE IX.
Soit à diviser au contraire a+'" par cr^ ou bien
. . "^^ P^^ ^ '
il viendra , d'après le calcul des exposants positifs ,
a'".aP ou oT'-^ .
Or m-\-p est la différence algébrique entre l'exposant -{-m du
dividende et l'exposant — p du diviseur.
Soit enfin à diviser «~"* par a"^ ou bien
ce qui donnera, d'après le calcul des exposants positifs,
ou , d'après le même calcul et en admettant un exposant négatif,
Or p — m , ou — m-\-p , est la différence algébrique entre
l'exposant — m du dividende et l'exposant — p du diviseur.
Donc, pour diviser l'une par P autre deux puissances (positives
ou négatives) d'une même quantité, il faut soustraire l'exposant du
diviseur de l'exposant du dividende.
111. Puissances. Soit à élever a-"" à la puissance -^p , ou,
ce qui revient au môme , -^ à la puissance p . On aura
(i)' «" i-"
en vertu du calcul des exposants positifs.
Mais, si l'on emploie un exposant négatif, le résultat pourra s'é-
crire
Or —mp est le produit de l'exposant — -w par l'exposant
Soit, au contraire, à élever a'^"' à la puissance —^.D après
la définition de l'exposant négatif —p on devra avoir
1
ou , d'après le calcul des exposants positifs ,
1
DES EXPOSANTS NÉGATIFS. 251
Employant un exposant négatif, on pourra écrire
Or —mp est le produit de l'exposant -\-m par l'exposant
Soit enfin à élever «-'» à la puissance —p . D'après la défi-
nition des exposants négatifs , on devra avoir
•■^ ^■.- ■ î_ . "
1 \^ '
U"7
ou , d'après le calcul des exposants positifs , '
— ou «'"P .
Or -]-mp est le produit de l'exposant — m par l'exposant
—P '
Donc , pour élever une puissance (positive ou négative) d'une
quantité à une seconde puissance (positive ou négative), il faut
faire le produit des deux exposants.
Le cas d'une puissance renferme implicitement celui d'une racine,
puisque les exposants peuvent être fractionnaires. On voit donc que
le calcul des exposants entiers et positifs, étendu d'abord aux expo-
sants posïlik fractionnaires, peut s'étendre aux exposants entiers ou
fractionnaires négatifs, c'est-à-dire à des exposants commensurables
quelconques.
270. On peut même l'étendre à des exposants incommensura-
bles; car de pareils exposants pouvant être remplacés par des
quantités commensurables qui en diffèrent d'aussi peu que l'on vou-
dra, le calcul applicable à ces quantités approchées est applicable
à leurs limites , c'est-à-dire aux exposants incommensurables dont
il s'agit.
Donc , enfin , les règles pour le calcul des exposants sont géné-
rales.
^^- SECOINDE PARTIE.
CHAPITRE X.
DES ÉQUATIONS EXPONENTIELLES ET DES LOGARITHMES.
§ I. De la résolution des équations exponentielles.
271. On nomme en général équations exponentielles celles dans
lesquelles l'inconnue entre comme exposant. La plus simple des
équations de ce genre est l'équation
«=^ = 6 ; ... ' -
c'est la seule que l'on traite dans les éléments ; nous allons dans
ce paragraphe nous occuper de sa résolution pour le cas où a et b
sont positifs.
Remarquons d'abord que , si l'on savait résoudre cette équation
pour une valeur particulière de a et pour toutes les valeurs de b ,
on saurait la résoudre pour toute autre valeur de a . Supposons ,
par exemple , que l'on sache résoudre l'équation
\0'=:n
pour toutes les valeurs de n , et qu'on veuille résoudre l'équation
a^ = b .
On posera y — ~ d'où a'" z= b ou \ar^) —b (267) .
On posera ensuite a'"=io d'où «=10"'
en élevant les deux membres à la puissance m .
Puisque par hypothèse on sait résoudre cette dernière équa-
tion , on en tirera la valeur de m . On aura ensuite à résoudre
l'équation
f -'' " ■
xa^'J = b ovi \0'= b ,
d'où l'on tirera de même la valeur de x .Connaissant m et x^
on en déduira y par la relation y— — .
272. Remarquons, en second lieu, que si l'on savait résoudre
l'équation
\ir= fi
ÉQUATIOINS EXPONliiNTlELLKS, 253
pour toutes les valeurs de n plus grandes que l , on saurait la
résoudre pour des valeurs plus petites que 1 . Soit , en effet , à
résoudre l'équation
10^= i ,
P
dans laquelle p peut être entier ou Fractionnaire , mais plus
grand que 1 . Posons
il viendra IQ-^ — - ou 77^-— 268;,
_ p 10'' P
ce qui exige 10'' =^ .
Or, puisque p est plus grand que 1 , on sait , par hypothèse ,
résoudre cette équation; on en tirera donc la valeur de y ; et, en
la prenant en signe contraire , on aura la valeur de x .
275. Remarquons enfin que, si l'on savait résoudre l'équation
pour toutes les valeurs entières de n , on saurait la résoudre
pour toutes les valeurs fractionnaires. Soit, en eifet, à résoudre
l'équation
dans laquelle p et q sont supposés entiers. Posons
il viendra 10'^-^=^- ou ]^=^ (260).
q 10- q ^ '
Or, on satisfera à cette équation en posant séparément
W>—p et 10= = 6/ ,
équations que l'on sait résoudre par hypothèse, puisque p ei q
sont entiers. Connaissant y et :ï , on en fera la ditiérence y — ^,
et l'on aura la valeur de x .
274. Il reste donc à résoudre l'équation IQ'^^n pour les va-
leurs entières de n .
La valeur de x sera entière toutes les fois que n sera égal à
l'unité suivie d'un certain nombre de zéros. Si, par exemple, on a
à résoudre
10^—100000 ; - : . . :
comme 100000 équivaut à 10^ , ii s'ensuit que ^==5 .
Les équations
10^=10; 10^ = 100; 10.-^1000; 10' = 10000 ; etc. ;
254 SECONDE PARTlii. — CHAPITRE X.
donneraient de même
^•=1 ; j;=2 ; x = S ; x = i ; etc.
Remarque. L'équation lO-'^:! donne ^ = . Car on a vu (41)
qu'on a en général a^=zl .
27o. Pour toute autre valeur entière de )i , x sera incom-
mensurable. Supposons, en effet, qu'on donne à ^ la valeur
P IL
commensurable - . L'expression lO"" deviendra 10'^ ou \J\(y^ .
Pour que cette quantité fût égale à un nombre entier, il faudrait
que 10^ fût une puissance exacte du degré (/.Or, 10*'=2^'.5''.
Pour que ce produit fût une puissance </'"" exacte , il faudrait qu'il
en fût de môme de 2^ et de 5^ . Il faudrait donc que p fût
p ^
divisible par g . Mais alors - serait un nombre entier ; et 10^
serait égal à l'unité suivie d'un certain nombre de zéros, ce qui est
contraire à l'hypothèse.
276. On ne pourra donc pas, en général , obtenir exactement la
valeur de x \ on ne pourra que se proposer d'en approcher.
On a calculé une fois pour toutes , par des méthodes qui ne sont
point élémentaires , une table où l'on trouve , en regard de chaque
valeur entière de n , depuis 1 jusqu'à 100000 et au delà,
la valeur correspondante de x , à moins d'une demi-unité du
7" ordre décimal.
Nous reviendrons bientôt sur l'usage de cette table. Pour le mo-
ment, nous essayerons de faire comprendre comment, par des
moyens élémentaires, on aurait pu la calculer.
Imaginons qu'on extraye la racine carrée de^ 10 ; puis la racine
carrée de cette racine ; puis la racine carrée de cette nouvelle ra-
cine, et ainsi de suite. On obtiendra ainsi des quantités qui iront en
diminuant, mais qui seront toujours supérieures à l'unité, puisque,
d'après le mécanisme même de l'extraction de la racine carrée, tout
nombre plus grand que 1 a une racine plus grande que 1 . Ces
quantités ne seront autre chose que des puissances fractionnaires
de 10 , dont les exposants seront successivement
1111
2 ' 4 ' 8' 16 • * • • ^ '
car sJ\6 = W ; V 10'^=10'' ; V 10*=:10^ ; et ainsi de suite.
Après la 25« opération , on parviendra à une puissance de 10 qui
aura pour exposant
ou
2^^ 33554432
ÉQUATIONS £XP0Î\£NT1ELLES. 255
quantité plus petite qu'une demi-unité du 7« ordre décimal , car
son dénominateur est plus grand que 20000000 .
Désignons cet exposant par - pour faciliter l'écriture , et re-
présentons par l -)- a la valeur de 10^ ; en sorte qu'on ait
- 10i=l + a [1].
277. Concevons maintenant que, par des multiplications succès
sives, on calcule les puissances successives du second membre de
cette équation ; on aura les égalités
10«=:1 ; 10P=l + a ; 10^=(l+a)2 ;
10"^ = (l + a)« ; loi=(l + «y^ ;....10?=:(l+«r ;
dans lesquelles les seconds membres auront été calculés par hy-
pothèse.
Or, 1° les exposants successifs i , ? -^ , etc. , diffèrent
entre eux de - , c'est-à-dire de moins d'une demi - unité du
7« ordre décimal.
'2° Je dis que tout nombre entier moindre que 1000000 tom-
bera entre deux termes consécutifs de la série formée par les se-
conds membres.
En effet , en vertu de la relation [1 j , on a d'abord
10==(l + a);^=:l+Pa + Ktli)^._|_etc.
Donc le terme ^a , à lui seul, est moindre que 10 , et l'on
a ^a<10 .
On ne troublera pas cette inégalité en remplaçant p par un
nombre moindre, par 10000000 , par exemple; on aura donc
10000000 a < 10 , d'où a< .
^1000000
Cela posé, prenons la différence entre deux termes consécutifs de
la série des seconds membres; par exemple, entre les termes
(1 -t-a)*"-i et (1 -f a)'" . Cette différence est
(l-|-o()-_(l_^«).n-i OU (l+a)'"-^[(l+a)— 'l] ', " . '
OU encore (1 -[-a)"^-^a ;
256 SECONOl- PARTIE. — CHAPITRE X.
et comme a est moindre que ^^^^ , cette différence est
moindre que
(1 +«)"'-!
1000000
Cette différence sera donc moindre que l'unité tant que l'on aura
(l+a)'^*< 1000000 .
D'ailleurs la série des quantités
(1 + oc) , (1 + af , (1 + a)^ . . . (1 + a)'"-^ , ,'1 +«)- , etc.,
peut toujours être poussée assez loin pour que le dernier terme at-
teigne et surpasse même tout nombre donné , 1000000 , par
exemple ; il suffit pour cela qu'on ait
(1 +ar> 1000000 OU 1 + m^+ ^ ^^ '' 7.2+ etc. >1000000 ,
inégalité à laquelle on satisfera si l'on pose
.»«> 1000000 ou «>ÎH?52?,
a
ce qui sera toujours possible à réaliser.
Donc , puisqu'on peut prolonger cette série depuis 1 jusqu'à
1000000 , et que dans toute celte s 
