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Full text of "Analyse des infiniment petits"

John J&ïïvxb 




IN THE CUSTODY OR TME 

BOSTON PUBLIC LIBRARY. 



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JJ. M/T/7M. 



ANALYSE 

DES 

INFINIMENT PETITS. 



ANALYSE 

DES 

INFINIMENT PETITS 

Par M. le Marquis de l'Hôpital. 

Suivie d'un nouveau Commentaire pour l'intel- 
ligence des endroits les plus difficiles de cet 
Ouvrage. 

Par V Auteur du Guide, des jeunes ■'Mathémati- 
ciens dans l'étude des Leçons de Mathéma- 
tique de M. l'Abbé de la Caille, 




A PARIS, 

Chez Didot, le jeune , Quay ces Auguftins, 
du côté du Pont S. Michel , à S. Auguftin. 



M. D C C. L X V I I I. 

AVEC APPROBATION, & PRIVILEGE DU ROI. 



ADAMS 



A P P RO BA T I ON 

J'AI lu , par ordre de Monfeigneur le Vice-Chancelier, Garda 
des Sceaux de France, un imprimé ayant pour titre: Analyfc 
(les Infiniment-Petits , far M. le Marquis Je l'Hôpital , dont je croit 
que le Public verra la réimpreffion avec plaifir. 

APjris,ce i 3 Juillet 1766, LA CHAPELLE. 



PRIVILEGE DU ROI. 

LOUIS, par la grâce de Dieu,, Roi de France Sç de Na- 
varre : A nos amés & féaux Conieillers , les Gens tenant 
nos Cours de Parlement, Maîtres des Requêtes ordinaires de no 
tre Hôtel , Grand-Confeil , Prévôt de Paris , Baillifs , Sénéchaux, 
leurs Licutenans-Civils , & autres nos Jufticiers qu'il appartiendra ; 
Saiut; Notre amé P. Fr. Gueffier , Libraire à Paris, Nous a 
faite\tofer qu'il défireroit réimprimer ou faire réimprimer & donner 
au Public un Ouvrage qui a pour titre : Analyfe des Infinimcnts 
Petits , pour l'intelligence des lignes cauibes , par M. le Marquis de 
t Hôpital, s'il Nous plaif.nt lui accorder nos Lettres de Privilège 
pour ce néceffaires. A ces causes, voulant favorablement traiter 
l*Expofant , Nous lui avons permis & \ ermettons par ces Préfentes de 
réimprimer,faire réimprimer ledit Ouvrage autant de fois que bon lui 
femblera.delc vendre. taire vendre & débiter par tout notre Royaume 
pendant le tems de neuf années confécutives , à compter du jour 
de la date des Prélentes : Faifons defenfes à tous ftr.primeurs , 
Libraires , & autres perfonnes de quelque qualité & condition 
qu'elles foient , d'en introduire de réimpreffion étrangère dans 
aucun lieu de notre obéiffance : comme auffi de réimprimer , faire 
réimprimer, vendre, faire vendre, ni contrefaire ledit Ouvrage, 
rn d'en faire aucun Extrait , fous quelque prétexte que ce puiffe 
être , fans la permifîion expreffe & par écrit dudit Expofant ou 
de celui qui aura droit de lui", à peine de confifeation des Exem- 
plaires contrefaits , de trois mille livres d'amende contre chacun 
des Contrevenans , dont un tiers à Nous , un tiers à l'Hôtel-Dieu 
oe Paris , & l'autre tiers audit Expofant ou à ceux qui auront droit 
de lui , & de tous dépens , dommages & intérêts. A la charge 
que ces Préfentes feront enregiftrées tout au long fur le regiftre 
de la Communauté des Imprimeurs & Libraires de Paris ,dans trois 
mois de la date d'icelles ; que la réimpreffion dudit Ouvrage , fera 
faite dans notre Royaume , & non ailleurs , en bon papier & beaux 
caraéteres , conformément aux Réglemens de la Librairie, & notam- 
ment à celui du là Avril 1725 ; à psine de déchéance du pré-: 



ïent Privilège ; qu'avant de l'expofer en vente , l'Imprimé qui aura 
fervi de copie à la réimpreffion dudit Ouvrage , fera remis dans le 
même état où l'Approbation y aura été donnée , es mains de notre 
très-cher & féal Chevalier- Chancelier de France le Sieur de La- 
moignon ; & qu'il en fera enfuite remis deux exemplaires dans 
notre Bibliothèque publique , un dans celle de notre Château du Lou- 
vre , un dans celle dudit Sr de Lamoignon & un dans celle de notre 
très-cher & féal Chevalier, Vice-Chancelier, & Garde dès-Sceaux 
de France , \î Sieur de Maupeou ; le tout à peine de nullité des 
Préfentes : Du contenu defquelles vous mandons & enjoignons de 
faire jouir ledit Expofant & fes ayant caufes, pleinement Si paifi- 
blement , fans fouffrir qu'il leur foit fait aucun trouble ou empê- 
chement. Voulons que la copie des Préfentes , qui fera imprimée 
tout au long au commencement ou à la fin dudit Ouvrage , foit 
tenue pour duement fignifiée , & qu'aux copies collationnées par 
l'un de nos amés & féaux Confeillers Secrétaires , foi foit ajoutée 
comme à l'original. Commandons au premier notre Huiffier ou 
Sergent fur ce requis , de faire pour l'exécution d'icelles tous actes 
requis & néceffaires, fans demander autre permiflïon , & non- 
obftant' clameur de Haro, Charte Normande, & Lettres à ce 
contraires : Car tel eft notre plaifir. Donné à Compiegne le 
vingtième jour du mois d'Août, l'an de grâce mil fept cent foi- 
xante-fix, & de notre Règne le cinquante-unième : 

Par le Roi en fin Confetti LE BEGUE. 

Weffiflrè fur le Rcgifre XVIL de la Chambre Royale & Syndicale des 
Libraires & imprimeurs de Paris , N". 976. fil. 24- conformément 
au Règlement de 1713. à Paris , 16 Septembre 1766. 

G AN EAU, Syndic. 

Je fouffigné , ai cédé le préfent Privilège au Sieur Moutard , 
Libraire à Paris , & à Mad. Veuve Girard , Libraire Imprimeur 
à Avignon , pour en jouir en mon lieu & place , chacun pour 
moitié. Fait à Paris ce 30 Décembre 1767. 

GUEFFIER. 



"*ii iiiTrinaw— B aM^M B— g^maaBM 

PRÉ FA C E 

DE L'ÉDITEUR, 

Où Von trouvera es qiCon doit penfer dé 
f Analyfe des Infiniment Petits , & 
des divers Commentaires qui en ont été 
faits* 

IL eft des hommes dont le nom 
feul fait l'éloge. M. le Marquis 
de Y Hôpital eft de ce nombre ; aulli , 
en offrant au Public la troifieme édition 
du Traité des Infiniment Petits , ne nous 
jetterons-nous point dans le panégyri- 
que de l'Auteur. Pour donner feule- 
ment en deux mots l'idée la plus éten- 
due de ce rare ôc profond Génie , nous 
ferons remarquer qu'il a vécu dans un 
fiécle où les Mathématiciens fe propo- 
foient , par manière de défi , les pro«« 
blêmes les plus embrouillés , & qu'il 

a 



ij P RE F J CE. 

ne fe trouvoit dans le monde que 
M. M. Newton y Leibniiz 5 les deux ■ 
Bernoully , Huygkns , & M. le Mar- 
quis de l'Hôpital qui fullent en état 
d'en donner la folution. Nous ajoute- 
rons que , loifque M. Huyghens vou- 
lut s'adonner au calcul différentiel , il 
. s'adreiîa à M. le Marquis de l'Hôpital , 
fous la conduite de qui il fit les pro- 
grès les plus furprenants dans la Géo- 
métrie fublime. La route que cet ha- 
bile Maître lui fraya , nous la trou- 
vons dans XAnaly[e des Infiniment Petits - y 
aulïi cet Ouvrage , que le monde fça- 
vant regardera toujours comme un 
chef-d'œuvre , eft-il le feul livre que 
l'on puifîè mettre avec fuccès en- 
tre les mains de ceux qui ont appris 
tout ce que l'on comprend dans ce fîé- 
cle éclairé fous le nom d'élémens de 
Géométrie & d\lgébre. Je ne difll- 
mulerai pas cependant qu'on a repro- 
ché à M. le Marquis de XHopital de 
n'avoir écrit que pour les Sçavans , 
tellement rompus dans le calcul , qu'ils 



PREFACE. jij 

entendent tout à demi mot. Ce fut 
pour mettre fon Ouvrage à la portée 
des Commençans ordinaires , que M. 
Crouzas nous en donna , en 1721 , le 
Commentaire en un volume in..\°. 9 
précédé de deux amples difeours , donc 
l'un en: fur la nature des Infiniment; 
Petits , & l'autre fur Je Calcul des Pmfil 
fiances. A peine fon Commentaire vit- 
il le jour , qu'il s'emprefîa d'en en- 
voyer un exemplaire à M. Jean Ber~> 
noully. Ce Sçavant l'examina 3 &; 
après y avoir découvert des bévues 
qu'on pardonneroit à peine à un éco- 
lier , il lui dit en propres termes (#) 
qu'il auroit mieux fait de lui envoyer 
fon Commentaire en manuferit , avanc 
que de le faire imprimer ; qu'il y au- 
roit fait des remarques qui n'auroienc 
pas été inutiles : il ajouta qu'il auroic 
dû changer pfuiieurs de Tes manières 
de commenter , de leur donner un 



C <0 Les Œuvres de Jean Bernoully , Tom. 4, 
pag. 160. & fuiy. 

aij 



ÎV PREFACE, 

autre tour , de peur que les ignorans 
ne prennent (es explications dans un 
mauvais fens , cV ne cherchent par là 
l'occafion de décrier ÏAnalyfe des Infi^ 
niment Petits. 

Ce n'eft pas là la feule critique 
qu'ait eu à elïuyer le Commentaire de 
M. Crouzas. M. Saurin , Membre de 
l'Académie Royale des Sciences , dé- 
montre dans les Mémoires de cette cé- 
lèbre Compagnie («) que le Com- 
mentateur cil un guide dangereux dans 
la grande Ô£ difficile queftion de Ma- 
ximis & Minimis , £c il l'exhorte à re- 
toucher fon Ouvrage dans une féconde 
édition. Le cas qu'a fait le Public de 
la première , a difpenfé l'Auteur de 
nous en donner une féconde. 

A peine le Commentaire de M. 
Crouzas commençoit - if à paroître , 
que la mort nous enleva le célèbre 
Varignon. Ce grand Géomètre , l'ami 
intime de M. le Marquis de l'Hôpital 9 

(«) Année 1723 , pag. 234 & fuiv. 



PREFACE. y 

avoir, lu {'Analyfe des Infiniment Petits 
avec l'attention la plus réfléchie. On 
lui trouva parmi Tes papiers un ma-' 
nufcrit contenant non feulement d?s ex- 
plications des endroits les plus obfcurs 
ôc les pins difficiles de ce Traité, rmis 
encore des Additions confidérables, des 
Proportions nouvelles , des Problèmes 
ajoutés à ceux de M, le Marquis de 
. Y Hôpital , des^ Régies , des Conftruc- 
tions , des Méthodes différentes , ôcc. 
Ce précieux manuferit fut donné au 
Public en l'année 172c en un volume 
*«-4°. ■> fous le titre d'Eclair ci flement s fur 
VAnalyfe des Infiniment Petits. Cet Ou- 
vrage , tout excellent qu'il eft , ne peuc 
guère être mis entre les mains d'un 
Commençant ; M. Varigrinn n'y éclair- 
cit pour l'ordinaire que les points qui 
ont été capables de l'arrêter lui-même. 
D'ailleurs cet Ouvrage poirhume a été 
imprimé avec 11 peu d'exaditude , qu'il 
feroit prefque plus difficile de corriger les 
fautes dont il fourmille , que de lire fans 
Commentaire \Analyfie des Infiniment Petits. 

a iij 



V) PREFACE. 

L'Ouvrage de M. le Marquis de 
Y Hôpital doit fe trouver comme nécef- 
(airement dans la bibliothèque de tous 
les Mathématiciens. Les Sçavants en 
ont beioin pour le confulter , Ô£ pour 
fe rappeller en peu de mots des pro- 
portions très compliquées , qu'il n'eu: 
que trop facile d'oublier. Les Com- 
mençans doivent en faire leur étude 
journalière , lorfqu'ils veulent paffer de 
h Géométrie ordinaire à la Géométrie 
fublime : on ne peut fe regarder com- 
me Mathématicien , que lorfqu'on a lu 
avec goût ÏAnalyfe des Infiniment Petits. 

Il nous paroit que l'édition que nous 
en donnons , ne peut manquer d'ê- 
tre favorablement accueillie. Les Sça- 
vants , qui n'ont befoin que du texte 
de l'Auteur , le trouveront au com- 
mencement du Volume , imprimé avec 
l'exadtitude la plus fcrupuleule. Les 
Notes que nous y avons ajoutées , & 
qui ne font qu'indiquées dans le corps 
de l'Ouvrage , aideront les Commen- 
çais à fe paffer de guide dans la route 



PREFACE, v jj 

épineufe du calcul différentiel. Ces No- 
tes lont au nombre de cinquante-cinq. 
Les quatre premières lont pour la pre- 
mière lection du Traité des Infiniment 
Petits. Les z i fuivantes fervent de 
commentaire à la féconde feclion. L'im- 
portante queltion de Maxinis & MinL 
mis que M. le Marquis de [Hôpital a 
traitée dans la troiiîeme fection , eft 
éclaircie par 12 Noces considérables. 
Un pareil nombre de Notes eft deitiné 
à commenter la matière de Ja qua- 
trième fe£tion , c'eit-à-dirè , les diffé- 
rences des différences , &; les fept exem- 
ples qui y ont rapport. Enfin ce qu'il 
y a de difficile dans les fîx dernières' 
Testions fe trouve expliqué dans les fîx 
dernières Notes. Mais ce ne font là 
que des généralités , &: il e(l né- 
ceffaire d'entrer ici dans un détail 
beaucoup plus circonstancié. 

La première fection de Vdnalyfe des 
Infiniment Petits préfente , il e(t vrai , 
les régies du calcul différentiel ; mais 
elle les préfente d'une manière f] con- 

aiv 



viij PREFACE. 

cife , qu'il elt prefque impofïible qu'un 
homme qui les lie pour la première fois , 
apprenne 3 fans le fecours d'un habile 
Maître , à diftérentier des produits 
compliqués , des quantités fractionnai- 
res , des nombres affectés d'un ou plur 
fïeurs lignes radicaux , Ôcc. Nous efpé*- 
jrons qu'on nous fçaura quelque gré 
d'avoir donné à ces régies , dans nos 
quatre premières Notes , une étendue 
fufhTante , 8c" de les avoir mifes à la 
portée de ceux qui ne fçavent que les 
régies du calcul ordinaire. 

M. le Marquis de ['Hôpital fuppofe 
dans fa féconde fection que le Lecteur fe 
rappelle parfaitement , non-feulement les 
équations de toutes les efpèces de fe fiions 
coniques , de quelque genre qu'elles foient; 
mais celles encore de la cycloide , de la 
fpirale , de la conchoide t de la cijfoide , 
de la quairatrice , de la logarithmique or- 
dinaire & fpirale &c. Nous avons cru 
rendre un véritable fervice au commun 
des Lecteurs , en leur donnant une 
Idée nette des courbes que nous venons 
de noiîmier 5 & en leur rappellant les 



PREFACE, ix 

démonftrations fur lefquelles font fon- 
dées les équations qui les diftinguent 
les unes des autres. C'eft-là ce qu'il y 
a de plus intérelTant dans les 2. i Notes 
qui forment le commentaire de la fé- 
conde ieclion. 

Des 12 Notes que nous avons faites 
pour éclaircir la queftion de Maximis & 
Minimis , celles qui font analogues aux 
articles 49 , s 8 , 59 & 61 , je veux 
dire, les Notes 28 e , 3 ^ , 36 e &; 37 e , 
; nous paroiifent les plus importantes. En 
lifant la Note 2.8 e , on fe convaincra 
de plus en plus qu'il eft bien rare qu'il 
faille fe jetter dans l'infini , pour trou- 
ver le Maximum ou le Minimum d'une 
courbe dont l'équation eft donnée. M. 
le Marquis de XHôpital ne s'y eft jette 
qu'une fois dans tout le cours de fa 
troifîeme fe&ion , c'eil à l'article 49 '■> 
&; la Note qui fert de commentaire à 
cet article , prouve qu'il pouvoir arri- 
ver à fon même rélultat , en allant 
par le chemin ordinaire. 

La Note 35 e , nous paroit prouver 
que M» le Marquis de Y Hôpital n'a 



X PREFACE. 

pas toujours pris le chemin le plus 
court , pour parvenir à la folution des 
problèmes qu'il propofe. Quoiqu'il ne 
foie pas nécefiîîire d'avoir recours à l'in- 
terfe&ion du cercle & de l'hyperbole , 
pour réfoudre le problême qui fait la 
matière de l'article 58» cependant nous 
avons cru devoir chercher le grand axe 
de la courbe dont l'équation eft donnée 
dans cet article. Quelque critique , dans 
un moment de mauvaiîè humeur, auroit 
pu fe croire en droit de nous reprocher 
que nous ne rejettions la méthode propo- 
fée , que pour nous épargner la peine 
de conftruire une hyperbole fur une 
équation trouvée. 

L'article 59 contient une équation 
du quatrième degré. Nous avons cal- 
culé cette longue équation , &C nous 
l'avons transformée en quelqu'une de 
celles qui fe trouvent dans tous les li- 
vres élémentaires d'Algèbre qui traitent 
des degrés fupérieurs. Ces transforma- 
tions ont fait la matière de la 36 e Note. 

Enfin la 37 e Note a rapport à l'ar- 
ticle 61 , dans lequel on propofe de 



PREFACE. x j 

trouver le jour du plus petit crépuf- 
cule t l'élévation du pôle étant don- 
née. Comme nous fçavions que les 
M. M. Bemoully avoient refté plus de 
cinq ans (0) à refondre ce fameux 
problème , nous n'avons rien oublié 
pour donner à cette Note toute la per- 
fection dont elle étoit fufceptible. 

jufqu'à préfent M- le Marquis de 
[Hôpital n'a employé que le calcul des 
différences premières. Il fait dans les fept 
dernières feclions de fon Ouvrage grand 
llfôge des différences des différences • auiîl 
n'a-t-il pas manqué d'afTigner les régies 
de ce calcul au commencement de (a 
quatrième feciion. Nous avons donné 
allez d'étendue à notre 4° c Note , pour 
mettre ces régies dans le plus grand 
jour. Nous prions le Lecteur de l'exa- 
miner avec loin , & d'appliquer à dif- 
férents cas particuliers la formule gé- 
nérale qui. fert à trouver la différence 
féconde d'une quantité quelconque éle- 
vée à une puiiîance quelconque. Nous 

(«) (Ruvres de Jean Bemoully , Tom. I. pag. 64. 



xij PREFACE. 

le prions encore de faire une atten- 
tion fpéciale aux Notes 41 , 45 &: 
48. La première nous paroit néceltaire 
pour l'intelligence de l'article 66 , ou 
l'on propofe le problême qui con fille à 
déterminer le point d'inflexion ou de rebrouf- 
fement dans une courbe dont la nature eft 
donnée. Dans la féconde nous démon- 
trons que la marque que donne M. le 
Marquis de X Hôpital pour trouver le point 
<de rebroujfement , n'eft rien moins qu'une 
marque sure : c'eft M. Varignon qui 
nous a fourni cette démonftration. Enfin 
la troifieme apprend à calculer les 
équations du cinquième degré \ l'article 
73 auquel cette Note a rapport, four- 
nit une équation de cette efpèce. Voilà 
ce que nous avons fait , pour mettre à 
la portée des Commençans ordinaires 
les quatre premières ferions du Traité 
de X Analyfe des Infiniment Vetits. Nous 
fommes perfuadés que quiconque nous 
aura fuivi jufqu'à prêtent , fera en état 
de lire prefque fans commentaire le 
relie de l'Ouvrage. Au (fi n'avons-nous 
fait que 6 Notes pour les fix dernières 



PREFACE, xiij 

ferions. L'on comprend que nous 
n'avons pas oublié dans ces Notes les 
développées , g£ les caufttques par réflexion 
èC par réfraction -, ce font là des cour- 
bes de la dernière importance. 

Quoique nous ayons droit de regar- 
der comme un ouvrage qui nous ap- 
partienne en propre , les additions donc 
nous venons de rendre compte au Pu- 
blic -, nous nous ferons cependant un 
devoir de publier que la lecture des 
éclairajjemens de M. Vaiignon nous a 
fait naître la plupart des idées que 
nous avons mis en œuvre ; èc nous 
ajouterons que nous avons profité de 
quelques bons endroits qui fe trouvent 
dans le commentaire de M. Crouzas. (a) 

Mais quelles connoifîànces faut - iî 

(a) Cet Auteur , quoiqu'il n'ait pas réujfi à corn- 
mériter M. h Marquis de l'Hôpital , auroit dû être traité 
avec un peu plus de ménagement par M- M. Bernoully 
d> Saurin. Ses Traités de Géométrie & d'Algèbre ne 
pajjent pas pour mauvais ; & ce fut fon mérite réel qui 
lui procura en différens tems les chaires de Philofophie 
de Groningue & de Laufanne , une place d'Ajfocie 
étranger à l'Académie Royale des Sciences de Paris , & 
la. charge de Gouverneur du Prince Frédéric de Hejp! 
Cajfel , neveu du B.oi de Suéde. 



xiv PREFACE. 

avoir acquifes pour lire avec fuccès 
1' 'Analyfe des Infiniment Petits ? point d'au- 
tres que celles qui font renfermées dans 
les Traités élémentaires de Mathémati- 
ques. Ces Traités comprennent l'Arith- 
métique ordinaire & algébrique poufTée 
ju (qu'au calcul des radicaux , aux pro- 
gressions &L proportions , à la formation 
èc à la fommr.non des fuites : l'Ana- 
lyfe ou la fcience des équations de 
toute forte de degrés : la Géométrie 
fpéculative Ô£ pratique : la Trigono- 
métrie au moins redtiligne , en y com- 
prenant la manière de calculer les lo- 
garithmes non feulement des finus , tan- 
gentes Ô£ fécantes , mais ceux encore 
des nombres entiers Se rompus : enfin 
le Traité des fedUons coniques Tou- 
tes, ces connoiflances fe trouvent réu- 
nies dans les élémens d'Algèbre &£ de 
Géométrie de M. l'Abbé de la Caille , 
&C dans le commentaire que nous en 
avons fous le titre : de Guide des jeunes 
Mathématiciens dans l'étude des leçons de 
Mathématique du même Auteur. Ce n'eft 
qu'après la le&ure de ces deux Ouvra- 



PREFACE. xv 

ges , que je voudrois qu'on s'adonnât 
au calcul différentiel. Tout bon efprit 
fera alors en état d'y faire , avec les 
fecours que nous lui fournirons a les 
plus fenlïbles progrès. 

Les Infiniment Petits de M. le Mar- 
quis de l'Hôpital ont déjà eu deux édi- 
tions , l'une en 1696 , & l'autre en 
171 5. Celle-là fut faite fous les yeux 
de l'Auteur avec toute l'exactitude ima- 
ginable. Les 14 fautes qui s'y font glif- 
fées ne peuvent induire le Lecteur en 
aucune erreur -, elles font indiquées à 
la fin du Volume. Pour l'édition de 
1 7 1 S , elle a été dirigée par un homme 
qui n'avoit pas apparemment les pre- 
mières idées de l'Algèbre. L'on y trouve 
les fautes les plus groffieres 8£ les plus pro- 
pres à déconcerter un Commençant. Je 
pourroisen indiquer un très grand nom- 
\ bre -, je me contenterai d'avertir ceux qui 
(I fe la font procurée , que les expofants qui 
: devraient être négatifs , n'y ont pour l'or- 
:; dinaire aucun figne, ce qui les met dans 
1 la clafle des expofants pofïtifs. Il fufflc 
d'avoir la moindre idée de calcul , pour 



xvj PREFACE. 

fentir combien un pareil qui pro quo eft à 
craindre dans un livre d'Algèbre. L'une 
6c l'autre de ces éditions forment une bro- 
chure f«-4°. de 1 8 i pages , fur caraclere S é 
Auguftin. L'on a fait la troifîeme édition 
fui le même caraclere. Mais le peu de ma- 
tière que fournit le texte de l'Auteur, &Ic 
de/ïr que Ton a eu de procurer , à peu de 
frais , à tous les Mathématiciens un Ou- 
vrage dont la nécelîiré eft univerfellement 
reconnue , nous ont fait préférer le format 
z«-8°. à. l'ancien format. C'eft rendre un 
véritable fervice au Public , que de lui 
préfenter à un prix trcs-modique , en un 
volume d'environ 500 pages , orné d'un 
grand nombre de planches en taille dou- 
ce , XAnalyfe des Infiniment Petits , & le 
commentaire des endroits les plus difficiles 
de cet Ouvrage immortel. L'Imprimeur 
a fujet d'efpérer que l'on fera content de 
la partie typographique. Il n'a rien épar- 
gné , pour que la beauté de l'édition ré- 
pondît à la beauté des chofes que le Livre 
renferme. 

PRÉFACE 



kvij 



PREFACE 

DE L'AUTEUR. 

L'Analyse qu'on explique dans 
cet Ouvrage , fuppofe la commune ; 
mais elle en eft fort différente. L'Analyfe 
ordinaire ne traite que des grandeurs fi- 
nies : celle-ci pénétre jufqu es dans l'infini 
même. Elle compare les différences infini- 
ment petites des grandeurs finies ; elle dé- 
couvre les rapports de ces différences ? ô£ 
par-là elle fait connoître ceux des gran- 
deurs finies , qui comparées avec ces in- 
finiment petits font comme autant d'infi- 
nis. On peut même dire que cette Ana- 
lyCc s'étend au-delà de l'infini : car elle ne 
fe borne pas aux différences infiniment 
petites \ mais elle découvre les rapports 
des différences de ces différences , ceux 
encore des différences troifiemes, quatriè- 
mes , &: ainfi de fuite , fans trouver 
jamais de terme qui la puifïe arrêter. De 
forte qu'elle n'embraffe pas feulement l'in> 



xviij PREFACE. 

fini ; mais l'infini de l'infini, ou une infi- 
nité d'infinis. 

Une Analyfe de cette nature pouvoir 
feule nous conduire jufqu'aux véritables 
principes des lignes courbes. Car les cour- 
bes n'étant que des polygones d'une infi- 
nité de côtés , Se ne différant entr'elles que 
par la différence des angles que ces côtés 
infiniment petits font entr'eux ', il n'ap- 
partient qu'à l' Analyfe des infiniment pe- 
tits de déterminer la pofition de ces côtés 
pour avoir la courbure qu'ils forment , 
c'efl- à-dire les tangentes de ces courbes , 
leurs perpendiculaires , leurs points d'in- 
flexion ou de rebrouffement , les rayons 
qui s'y réfléchiffent , ceux qui s'y rom- 
pent, Sec. 

Les polygones inferits ou circonferits 
aux courbes, qui parla multiplication in- 
finie de leurs côtés , fe confondent enfin 
avec elles , ont été pris de tout temps pour 
les courbes mêmes. Mais on en étoit de- 
meuré là : ce n'eft que depuis la décou- 
verte de l' Analyfe dont il s'agit ici , que 
î'on a bien fenti l'étendue Se la fécondité 
de cette idée. 



PREFACE. XÎX 

Ce que nous avons des Anciens fur ces 
matières , principalement tfdrchimede , eft 
affurément digne d'admiration. Mais ou- 
tre qu'ils n'ont touché qu'à fort peu de 
courbes , qu'ils n'y ont même touché que 
légèrement ; ce ne font prefque par touc 
que propoiîtions particulières fk, fans or- 
dre , qui ne font appercevoir aucune mé- 
thode régulière èc lliivie. Ce n'eft pas ce- 
pendant qu'on leur en puiffe faire un re- 
proche légitime : ils ont eu befoin d'une 
extrême force de génie Qa) pour percer 
à travers tant d'obfcu rites , éc pour entrer 
les premiers dans des pais entièrement 
inconnus. S'ils n'ont pas été loin , s'ils onc 
marché par de longs circuits -, du moins , 
quoi qu'en dife (/>) Viette , ils ne fe fonc 
point égarés : ô£ plus les chemins qu'ils 

Ça) Archimedis de lineis fpiralibus traciatum cum bis 
îerque legijjem. , totafque animi vires intendijjem , ut fub" 
tdijjimarum. demonjlrationum de fpiralium tangentibus ar~ 
tificium adfequerer ; nufquam tamen , ingénue fatebor , ab 
earum eontemplatione ua cerius recejji , quin ferupulus 
animo femper hcereret , vim illius demonjlratidnis me non 
percepïffe totam , &c. Bullialduj Praef. de lineis fpira- 
libus. 

Çb) Si verè Archimedes , fallaciter conclujlt Eucli=. 
dis , &c. Supl. Geom. 

b>j 



XX PREFACE. 

ont tenus étoient difficiles Se épineux , 
plus ils font admirables de ne s'y pas être 
perdus. En un mot il ne paroit pas que les 
Anciens en ayentpu faire davantage pour 
leur temps : ils ont fait ce que nos bons ef 
pries auroient fait en leur place ; &C s'ils 
ctoient à la nôtre , il efl à croire qu'ils au- 
roient les mêmes vues que nous. Tout 
cela cil une fuite de l'égalité naturelle des 
efprits tk. de la fuccellion néceffaire des 
découvertes. 

Airiil il n'eft pas furprenant que les 
Anciens n'ayent pas été plus loin -, mais 
on ne fçauroit allez s'étonner que de 
grands hommes , 6x1 fans doute d'aufii 
grands hommes que les Anciens , en ioient 
ii long- temps demeurés là '■, ÔC que par 
une admiration prefque fuperftitieufepour 
leurs ouvrages , ils le foient contentés de 
les lire &C de les commenter , fans fe per- 
mettre d'autre nfage de leurs lumières 5 
que ce qu'il en falloir pour les iuivre '-, fans 
ofer commettre le crime de penler quel- 
quefois par eux-mêmes , ôc de porter leur 
vue au- delà de ce que les Anciens avoient 
découvert, De cette manière bien des gens 



PREFACE, xxj 

travailloient , ils écrivoient , les Livres fe 
multiplioient , &£ cependant rien n'avan- 
çoit : cous les travaux de plusieurs fiécles 
n'ont abouti qu'à remplir le monde de 
refpec"t ueux commentaires 8£ de traduc- 
tions répétées d'originaux fou vent aflez 
méprifàbles. 

Tel rut l'état des Mathématiques , ôC 
fur-tout de la Philofophie , jufqu'à M. 
Defcartes, Ce grand homme pouilé par Ton 
génie &C par la fupériorité qu'il fe fencok , 
quitta les Anciens pour ne fuivre que 
cette même raifon que les Anciens avoient 
fui vie •, &c cette heureufe hardieffe, qui fut 
traitée de révolte, nous valut une infinité 
de vues nouvelles ô£ utiles furîaPhyiique 
Ôc fur la Géométrie. Alors on ouvrit les 
yeux , & l'on s'avifa de penter. 

Pour ne parler que des Mathémati- 
ques , dont il effc feulement ici queftion, 
M. Defcartes commença où les Anciens 
avoient fini , ô£ il débuta par la folucion 
d'un Problème où Pappm dit Qî) qu'ils 
étoient tous demeurés. On fçait jufqu'où 



(a) Colkct. Muhem. Llb y. initia. 

b iij 



xx ij ' P R E F A C E 

il a porté l'Analyfe &: la Géométrie , Se 
combien l'alliage qu'il en a fait , rend fa- 
cile la folution d'une infinité de Problê- 
mes qui paroiffoient impénétrables avant 
lui. Mais comme il s'appliquoit principa- 
lement à la réfolution des égalités , il ne fit 
d'attention aux courbes, qu'autant qu'elles 
lui pouvoient fervir à en trouver les ra- 
cines : de forte que l'Analyfe ordinaire lui 
furfifànt pour cela , il ne s'avifa point 
d'en chercher d'autre. Il n'a pourtant pas 
lailTé de s'en fervir heureufement dans la 
recherche des tangentes -, & la méthode 
qu'il découvrit pour cela lui parut fi belle , 
qu'il ne fit point difficulté de dire , Ça) 
que ce Problème ctoit le plus utile & le plus 
général , non feulement qu il [eût , mais même 
quil eût jamais défiré de ff avoir en Géométrie. 
Comme la Géométrie de M. De [cartes 
avoit mis la conftru&ion des Problêmes 
par la réfolution des égalités fort à la 
mode , & qu'elle avoit donné de grandes 
ouvertures pour cela -, la plupart des Géo- 
mètres s'y appliquèrent , ils y firent auffi 

(a) Geomet. Liv. 2. 



PREFACE. xxiij 

de nouvelles découvertes , qui s'augmen- 
tent &: fe perfectionnent encore tous les 

jours. 

Pour M. Pafial , il tourna fes vues de 
tout un autre côté : il examina les cour- 
bes en elles-mêmes , ÔC fous la forme de 
polygone ; il rechercha les longueurs de 
quelques-unes , l'efpace quelles renfer- 
ment , le folide que ces efpaces décrivent , 
les centres de gravité des unes $£ des au- 
tres , &:c. Et par la confîdération feule de 
leurs élémens, c'eft-à-dire des infiniment 
petits , il découvrit des Méthodes généra- 
les & d'autant plus furprenantes , qu'il ne 
paroîc y être arrivé qu'à force de tête &C 
fans Analyfe. 

Peu de temps après la publication de la 
Méthode de M. Defiartes pour les tangen- 
tes , M. de Fermât en trouva auiîî une, que 
M. Defiartes a enfin avoué 00 lui-même 
être plus (impie en bien des rencontres que 
la fienne. Il eft pourtant vrai qu'elle n'étoic 
pas encore aufii fimple que M. Barrovv l'a 
rendue depuis en confidéranc de plus près 



(a) Lut. yi % Tom. j. 



bi» 



xxiv PREFACE. 

îa nature des polygones , qui préfente na- 
turellement à l'eipric un petit triangle fait 
d'une particule de courbe, comprife entre 
deux appliquées infiniment proches , de la 
différence de ces deux appliquées , &C de 
celle des coupées correfpondantes ", ÔC ce 
triangle eft femblable à celui qui fe doit 
former de la tangente , de l'appliquée 5 $C 
de la (butangente : de forte que par une 
fïmple A nalogie cette dernière Méthode 
épargne tout le calcul que demande celle 
de M. Defcartes , &; que cette Méthode , 
elle-même, demandoic auparavant. 

M- Barrovv ( a ) n'en demeura pas là., 
îl inventa aufïi une efpece de calcul pro- 
pre à cette Méthode -, mais il lui falloit , 
aufli-bien que dans celle de M. Defcartes 9 
oter les fractions , &C faire évanouir tous 
les lignes radicaux pour s'en fervir. 

Au défaut de ce calcul en: furvenu ce- 
lui du célèbre ( b ) M. Leibnm ; Ô£ ce fça- 
vant Géomètre a commencé où M. Bar- 
rovv , ê£ les autres avoient fini. Son calcul 
l'a mené dans des pays jufqu'ici inconnus 3 

Qa) Leâ. Geomet. }>ag. 80. 

(Jj) Aâa Erud, Liff an. 1684. pag. 46?, 



PREFACE. XXV 

& il y a fait des découvertes qui font 1 e- 
tonnement des plus habiles Mathémati- 
ciens de l'Europe. M rs . Bernoulli ont été les 
premiers qui fe font apperçusde la beauté 
de ce calcul : ils l'ont porté à un point qui 
les a mis en état de furmonter des difficul- 
tés qu'on n'aurait jamais ofé tenter au- 
paravant. 

L'étendue de ce calcul enYimmenfe : il 
convient aux courbes mécaniques , com- 
me aux géométriques j les fignes radicaux 
lui font indiftcrens -, &C même fouvent 
commodes j il s'étend à tant d'indétermi- 
nées qu'on voudra } la comparaifon des 
infiniment petits de tous- les genres lui eit 
également facile. Et de là naiffent une in- 
finité de découvertes furprenantes par rap- 
port aux tangentes tant courbes que droi- 
tes , aux queitions De maximis & minimis 3 
aux points d'inflexion ô£ de rebroufîe- 
ment des courbes , aux développées , aux 
cauftiques par réflexion ou par rétraction , 
ôcc. comme on le verra dans cet Ouvrage. 
Je le divife en dix Sections. La pre- 
I miere contient les principes du calcul des 
différences. La féconde fait voir de quelle 



xxvj PREFACE, 

manière l'on s'en doit fervir pour trouver 
les tangentes de toutes fortes de courbes , 
quelque nombre d'indéterminées qu'il y 
ait dans l'équation qui les exprime, quoi- 
que M. Craige Qa') n'ait pas crû qu'il pûc 
s'étendre jufqu'aux courbes mécaniques 
ou transcendantes. La troifieme , com- 
ment il fert à réfoudre toutes les questions 
De maximis & minimis. La quatrième, com- 
ment il donne les points d'inflexion S>C de 
rebroufîement des courbes. La cinquième 
en découvre l'ufage pour trouver les déve- 
loppéesde M. Hugens y dans toutes fortes de 
courbes. La iixieme ÔC la feptieme font 
voir comment il donne les cauitiques, tant 
par réflexion que par réfraction , dont l'il- 
luiîre M. Tfchirnham eft l'inventeur, ÔC 
pour toutes fortes de courbes encore. La 
huitième en fait voir encore l'ufage pour 
trouver les points des lignes courbes qui! 
touchent une infinité de lignes données I 
de position, droites ou courbes. La neu-i 
vieme contient la folution de quelques! 
Problèmes qui dépendent des découvertes 



Ça~) De figurarum curvilincarum qaairaturis , part, z 



PREFACE. xxvij 

précédentes. Et la dixième confifte dans 
une nouvelle manière de fe fervir du cal- 
cul des différences pour les courbes géo- 
métriques: d'où l'on déduit la Méthode de 
;M !S Defcartes Se Hudde , laquelle ne con- 
fient qu'à ces fortes de courbes. 

Il en; à remarquer que dans les Sections 
2, 3,4, $,6,7,8, il n'y a que très- peu 
:de propofitions ", mais elles font toutes gé- 
nérales , &C comme autant de Méthodes 
;dont il en: aifé de foire l'application à tant 
de propofitions particulières qu'on vou- 
dra : je la fais feulement fur quelques 
exemples choifis , perfuadé qu'en fait de 
Mathématique il n'y a à profiter que dans 
les Méthodes , &C que les Livres qui ne 
confident qu'en détail ou en propofitions 
particulières , ne font bons qu'à faire per- 
dre du temps à ceux qui les font, ô£ à ceux 
qui les lifent. Auflin'ai-je ajouté les Pro- 
blèmes de la Section neuvième, que par- 
ce qu'ils paffent pour curieux , ÔC qu'ils 
font trés-univerfels. Dans la dixième Sec- 
tion ce ne font encore que des Méthodes 
que le calcul des différences donne à la 
manière de M rs Defcartes & Hudde ; ÔC fi 



xxviij PREFACE. 

elles font fi limitées , on voie par toutes le 
précédentes que ce n'eu: pas un défaut de 
ce calcul , mais de la Méthode Cartéfienne 
à laquelle on l'afîujettit. Au contraire rien 
ne prouve mieux l'uiàge immenfe de ce 
calcul , que toute cette variété de Métho- 
des ; &: pour peu d'attention qu'on y fafTc, 
l'on verra qu'il tire tout ce qu'on peut ti- 
rer de celle de M" De/cartes & Hudde , &; 
que la preuve univerfelle qu'il donne de 
l'ufage qu'on y fait des progrellions arith- 
métiques , ne IaifTe plus rien à fouhaiter 
pour l'infaillibilité de cette dernière Mé- 
thode. 

J'avois deflein a y ajouter encore une 
Section pour faire fentir aufîi le merveil- 
leux ufage de ce calcul dans la Phyfique , 
jufqu'à quel point de précifion il la peut 
porter , & combien les Mécaniques en 
peuvent retirer d'utilité. Mais une maladie 
m'en a empêché : Le Public n'y perdra 
pourtant rien , & il l'aura quelque jour 
même avec ufure. 

Dans tout cela il n'y a encore que la pre- 
mière partie du calcul de M. Uibnhz , la- 
quelle confîfte à defeendre des grandeurs 



, 



PREFACE, XXÎX 

entières à leurs différences infiniment pe- 
ntes , &c à comparer entr'eux ces infini- 
ment petits de quelque genre qu'ils foient: 
c'eit ce qu'on appelle Calcul différentiel. 
Pour l'autre partie , qu'on appelle Calcul in- 
tégral 9 & qui conlilte à remonter de ces 
infiniment petits aux grandeurs ou aux 
touts dont ils font les différences , c'eft-à- 
dire, à en trouver les fommes , j 'a vois au£> 
fi deflein de le donner. Mais M. Leibnitz 
m'ayant écrit qu'il y travailloit dans un 
Traité qu'il intitule De Scientiâ infinité , je 
n'ai eu garde de priver le Public d'un fi 
bel Ouvrage qui doit renfermer tout ce 
qu'il y a de plus curieux pour la Méthode 
inverfe des tangentes , pour les rectifica- 
tions des courbes , pour la quadrature des 
efpaces qu'elles renferment , pour celles 
des furfaces des corps qu'elles décrivent , 
pour la dimenfion de ces corps , pour la 
découverte des centres de gravité, o£o 
Je ne rends même ceci public, que parce 
qu'il m'en a prié par fes Lettres , e£ que je 
le crois néceflàire pour préparer les efprits 
S à comprendre tout ce qu'on pourra dé-^ 
I couvrir dans la fuite fur ces matières. 



XXX PREFACE. 

Au refte je reconnois devoir beaucoup 
aux lumières de M IS BernoulU , fur-tout à 
celles du jeune préfentement ProfefTeur à 
Groningue. Je me fuis fervi fans façon de 
leurs découvertes & de celles de M. Leib- 
nitz. C'elt pourquoi je confens qu'ils en re- 
vendiquent tout ce qu'il leur plaira , me 
contentant de ce qu'ils voudront bien me 
laiffer. 

C'eft; encore une juftice due au fçavant j ( 
M. Newton, ô£ que M- Leibnitz lui a ren- 
due Qa) lui-même : Qu'il avoit auiïi trou* 
vé quelque chofe de lembîable au calcul 
différentiel , comme il paroît par l'excel- 
lent Livre intitulé , Philo fophia naturalis 
principia Mathematica , qu'il nous donna en 
1 687 , lequel eft prefque tout de ce calcul. 
Mais laCaradtériltiquede M. Leibnitz tend 
le lien beaucoup plus facile &c plusexpé- 
ditif ; outre qu'elle efl: d'un fecours mer- 
veilleux en bien des rencontres. 

Comme l'on imprimoit la dernière 
feuille de ce Traité , le Livre de M. 
Nieuvventiit m'efl: tombé entre les mains. 
Son titre , Analyfis infini torum , m'a donné 

(4) Journal des Scavans du 30 Août z € ' $ 4. 



PREFACE. XXXJ 

a curiofité de le parcourir : mais j'ai 
trouvé qu'il étoit fore différent de celui- 
:i -, car outre que cet Auteur ne fe fert 
point de laCara&ériftiquede M. Uibuitz i 
il rejette absolument, les différences fécon- 
des, troifiemes , 6V c. Comme j'ai bâti la 
meilleure partie de cet Ouvrage fur ce 
fondement , je me croirois obligé de ré- 
pondre à fes objections, ô£ de faire voir 
combien elles font peu folides , fi M. 
Leibnitz n'y avoit déjà pleinement fatisfait 
dans les Actes (a) de Leypfick. D'ail- 
leurs les deux demandes ou fuppofïtions 
que j'ai faites au commencement de ce 
Traité , &C fur lefquelles feules il eft ap- 
puyé , me paroiffent fi évidentes , que je 
ïne crois pas qu'elles puillênt Iaiffer aucun 
doute dans l'efprit des Lecteurs attentifs. 
Je les aurois même pu démontrer facile- 
ment à la manière des Anciens , fî je ne 
me fuffe propofé d'être court fur les chofes 
qui font déjà connues , &: de m 'attacher 
principalement à celles qui font nou- 
velles. 

Ça) AB.O. Erud. an. i^sâ- P a ë- 3 Z0 & 3&S' 



I mm^W}: a ^}; :M}BMSÊSÊÈS. Il 

ANALYSE 

DES 

INFINIMENT PETITS. 

DU CALCUL DES DIFFERENCES. 
SECTION I. 



Ou l'on donne les Règles de ce Calcul. 

DÉFINITION I. 

%£.:£>.*» a N appelle quantités variables celles qui 
augmentent ou diminuent continuelle- 



•s» 



lx* ment ; & au contraire quantités c^w/^ 

* * * « tantes celles qui demeurent les mêmes 
pendint que les autres changent. Ainfi dans une 
parabole les appliquées & les coupées font des 
quantités variables , au lieu que le paramétre eft 
une quantité confiante. 

A 



s Analyse 

DÉFINITION I î. 

La portion infiniment petite dont une quantité 
variable augmente ou diminue continuellement , 
en eft appellée la Différence. Soit, par exemple, une 
ligne courbe quelconque AMB, ( F/g. i.PI.i •) qui 
ait pour axe ou diamètre la ligne AC 3 & pour une 
de les appliquées la droite P M ; ôc foit une autre 
appliquée pm infiniment proche de la première. 
Cela pofé , fi l'on mène MR parallèle à A C ; les 
cordes A M , A m ; ôc qu'on décrive du centre A, 
de l'intervalle A M le petit arc de cercle M S : Pp# 
fera la différence de A P ; R m celle de P M ; S m 
celle de A M , & M m celle de l'arc A M. De 
même le petit triangle M. A m qui a pour bafe 
l'arc M m , fera la différence du fegment A M ; & 
le petit efpace M ?pm , celle de ï'efpace compris 
par les droites AP, PM, & par l'arc A M. 

Corollaire. 

î. Il eft évident que la différence d'une quantité 
confiante eft nulle ou zéro : ou ( ce qui eft la même 
chofe ) que les quantités confiantes n'ont point de 
différence. 

Avertissement. 

On fe fervira dans la fuite de la note ou caraâè- 
rijlique d pour marquer la différence d'une quantité 
variable, que l'on exprime par une feule lettre ; & 
pour éviter la confufion , cette note d n'aura point ' 

tutre ufage dans la fuite de ce calcul. Si l'on nom- 
me par exemple les variables APj x 3 * PM, y 3 * 



des IntiKiment Petits. -» 

A M , z ; l'arc A M , u ; V efpace mixtiligr.e AMP* 
Si & le fegment A M , t : d x exprimera la valent 
de?p, dy celle de Rm , dz celle de Sra, du celle 
du petit arc M m , d s celle du petit efpace MPpm , 
Ù dt cff//f «sfa pem triangle mixtiligne M A m. 

I. Demande ou Supposition. 
2. VJn demande qu'on puiffe prendre indifférem- 
ment l'une pour l'autre deux quantités qui ne dif- 
férent entr'elles que d'une quantité infiniment pe- 
tite : ou ( ce qui eft la même choie ; qu'une quan- 
tité qui n'eft augmentée ou diminuée que d'une 
autre quantité infiniment moindre qu'elle , puiffe 
être confidérée comme demeurant la même. On 
demande, par exemple, qu'on puiffe prendre Ap 
pour A P , pm pour P M , l'efpace hp m pour l*ef- 
pace A P M , le petit efpace M?pm pour le pe- 
tit re&angle M P p R , le petit fefteur A M m 
pour le petit triangle A M S , l'angle phm pour 
l'angle P A M, &c. ( Confultei la Note premiers. ) 

I ï. Demande ou Supposition. 
5'vJn demande qu'une ligne courbe puiffe être 
confidérée comme l'affemblage d'une infinité de 
lignes droites , chacune infiniment petite : ou (ce 
qui eft la même chofe) comme un polygone d'un 
nombre infini de côtés, chacun infiniment petit , 
lefquels déterminent par les angles qu'ils font en- 
tr'eux , la courbure de la ligne. On demande , par 
exemple, que la portion de courbe M», & l'arc de 
cercle MS,puiffent être confidérés comme des lignes 
Idroites à caufe de leur infinie petiteffe, enforteque 

A z 



4 Analyse 

le petit triangle m S M puiffe être cenfé redliligne. 

AVERTISSEMENT. 

On fuppofe ordinairement dans la fuite que les 
dernières lettres de l'alphabet , z , y , x , tic. mar- 
quent des quantités variables s Ù au contraire que 
les premières a , b , c , <bc. marquent des quantités 
confiantes : de forte que x devenant x-j-dx 5 *y,z, 
Ûc. deviennent y-s-dy,z + dz, &c . ( Art . i . ) 
Et a , b , c , &<. demeurent les mêmes a.bjC, &c. 

PROPOSITION I. 

Problème. 

4-1 rendre la différence de plufieurs quantités 
ajoutées enfemble , ou fouflraites les unes des autres. 
Soit a-t-x+y — \ dont il faut prendre la dif- 
férence. Si l'on fuppofe que x foit augmentée 
d'une portion infiniment petite 3 c'eft-à-dire qu'elle 
devienne x-*-dx \y deviendra alors y-\-dy> & 
K > <-**d< i pour la confiante a , ( Art. i. ) elle 
demeurera la même a : de forte que la quantité 
propofée a + x -\-y — ^ deviendra a -+- x -+■ d x 
>+-y -t-dy — ç — d^\ & fa différence , que l'on 
trouvera en la retranchant de cette dernière , fera 
d x-+-dy — à\. Il en eft ainfî des autres ; ce qui 
donne cette règle. 

Règle I. 

Pour les quantités ajoutées , ou fouflraites. 

On prendra la différence de chaque terme delà 
quantité propofée 3 & retenant les mêmes fignes» 



des Infiniment Petits. ç 

on en compofera une autre quantité qui fera la 
différence cherchée. 

PROPOSITION II. 

ht 

Problème. 

5. Prendre la différence d'un produit fait de 
plufieurs quantités multipliées les unes par les autres, 

i°. La différence de xy eft ydx-*-xdy. Car .y 
devient y -+■ à y , lorfque x devient x~\-d x ;Sc par- 
tant xy devient alors xy -+- y d x ■+■ x d y -+-d x dy , 
qui eft le produit de x-^d x ^zxy-\-dy , & fa dif- 
férence fera y d x + xdy -+-d xdy , c'eft-à-dire 
{Art. 2.) y dx-^xdy , puifque dxdy eft une 
quantité infiniment petite par rapport aux autres' 
termes^ dx , & xd y ; car fi l'on divife , par exem- 
ple ,y d x & d x dy par d x , on trouve d'une part 
y , & de l'autre dy qui en eft la différence , & par 
conféquent infiniment moindre qu'elle. D'où il 
fuit que la différence du produit de deux quan- 
tités eft égale au produit de la différence de la pre- 
mière de ces quantités par la féconde, plus au pro- 
duit de la différence de la féconde par la première. 

2 . La différence de xy \ eft y ^ dx + x ^ dy 
-+-xydi. Car en confidérant le produit xy com- 
me une feule quantité , il faudra , comme l'on 
vient de prouver , prendre le produit de fa diffé- 
rence y dx-\-xdy par la féconde ç ( ce qui don- 
ne y \dx->.-x\d y ) plus le produit de la diffé- 
rence d\ de la féconde \ par la première x y ( ce 
qui donne xy d\) ; & partant la différence de 
xy <[ fera y\dx- s rx\dy-^rxyd\- 

A3 



C Analyse 

3°. La différence àtxy^u efruy^d x-4-ux^dy 
**ruxy d\-%-xy \à u. Ce qui fe prouve comme 
dans le cas précédent , en regardant le produit xy% 
comme une feule quantité. Il en eil ainfi des au- 
tres à l'infini , d'où Ton forme cette régie. 

Règle IL 

Pour les quantités multipliées. 

La différence du produit de plufieurs quantités 
multipliées les unes par les autres , eft égale à la 
fomme des produits de la différence de chacune 
de ces quantités par le produit des autres. 

Ainfi la différence de a x eft x o--had x , c'eft- 

à-dire a à x. Celle de a -+- x x b — y eft & à x — 
y J x — a d y — x à y. (Confulte^ la note féconde,) 

PROPOSITION III. 

Problème. 

6.| rendre la âifiérence d'une fraction quel- 
conque. 

La différence de - y eft y - d *~ " dy ■ Car fuppofant 
jj = ^ , on aura x=y < , & comme ces deux quan- 
tités variables x ôiy ç doivent toujours être égales 
entr'eîies , foit qu'elles augmentent ou diminuent, 
il s'enfuit que leur différence , c'eft-à-dire, leurs 
accroiffemens ou diminutions feront aufîi égales en- 
tr'eîîes j & partant {Art. 5 .) on aura d x=zy d^-\- 
%dy, & à 1 — *"**'*? .== !*"î~-^ en mettant 
pour 1 fa valeur "-. Ce qu'il falloit 3 &c, d'où l'on 
Corme cette régie. 



des Infiniment Petits. 7 
Règle III, 

Pour les quantités divifées , ou pour les fratlions. 

La différence d'une fraction quelconque eft 
égale au produit de la différence du numérateur 
par le dénominateur , moins le produit de la dif- 
férence du dénominateur par le numérateur : le 
tout divifé par le quarré du dénominateur. 

Ainfi la différence de '-fera ~i^ , celle de 
ïïqhr fera „.,_^lV*» -- (Conjultez la note troifieme.) 

PROPOSITION IV. 

Probe é m e. 

7.I rendre/^ différence d'une puiffance quelcow 
que parfaite ou imparfaite d'une quantité variable. 

Il eft néceffaire afin de donner une régie géné- 
rale qui ferve pour les puiffances parfaites & im- 
parfaites , d'expliquer l'analogie qui fe rencontre 
entre leurs expofants. 

Si l'on propofe une progreffion géométrique 
dont le premier terme foit l'unité , <$c le fécond 
une quantité quelconque x , & qu'on difpofe par 
ordre fous chaque terme fon expofant, il eft clair 
que ces expofans formeront une progreffion arith- 
.métiqife. 

Prog. géom. 1 , .v, xx , .v 3 , x 4 , x% x 6 , x 7 , &c. 

Prog. arith. 0,1,2, 3 , 4 > 5, 6, 7 , &c. 

Et fi l'on continue la progreffion géométrique 
au deffous de l'unité , & l'arithmétique au deffous 
de zéro , les termes de celle-ci feront les expo- 
fans de ceux aufquels ils répondent dans l'autre. 

A 4 



8 Analyse 

Ainfî — i eft l'expofant de - , — 2 celui de £ , &c.. 
Prog. géom. x, i 1 , - , £, £ , £ , &cV 

Prog. arith. 1,0,-1,-2,-3,-4, &c. 

Mais fi Ton introduit quelque nouveau terme 
dans la progreiTion géométrique , il faudra pour 
avoir fon expofant , en introduire un femblable 
dans l'arithrhétique. 

Ainfi yx aura pour expofant^ : yx, f: yx\\.yj„ 

— \> -t- ,— f : ~h , — l ■■ &c. de forte que ces 
expreffions |/x & x 1 , \/x Se x> , j/V & x$ , -7^ 

y x 
l 

& x * , &c. ne fignifient que la même chofe. 

Prog. géom. 1 , \/x , x. 1 , j/x , \/xx , x. 
ï ■> i/x, \/xx , |/V , ]/x 4 , x. 



Prog. 
O, î , 

Prog. 
1 


arith. , \ , 1. , | , f , 1. 

î I i T - i 
S 5 s > 5 3 »' S 

L 1 ' 


geom. - , -7—, , • — . — , 

8 x y x > 9 xx x 9 ^/^ 4 9 


|/.v 5 • 

Prog. 


1 1 1 i 

arith. — 1 , — f , — ,2. — 1 , — f, 

— 2. — 3 , — ;,— 4. 



Où l'on voit que de même que |/xeft moyenne 
géométrique entre 1 & x , de même auflî i^ft mo- 
yenne arithmétique entre leurs expofans zéro &c 

1 : & de même que |/x eft la première des deux 
moyennes géométriquement proportionnelles en- 
tre 1 & x , de même aufïi j eft la première des deux 
moyennes arithmétiquement proportionnelles en- 
tre leurs expofans zéro & 1 : & il en eft ainfi des au» 



des Infiniment Petits. 9 
très. Or il fuit de la nature de ces deux progres- 
sons. 

i°. Que la fomme des expofans de deux termes 
quelconques de la progreiTion géométrique fera 
l'expofant du terme qui en eft le produit. Ainfi 

x*~*~ 3 où x 7 eft le produit de x J par x 4 , & x T_f " Foù 

x" eft le produit dex* par xï , & x " i sou 

x— j- s eft le produit de x ïparxs, &c. De même 

xT~*~î où xï eft le produit de x 3 par lui-même , 
c'eft- à-dire fon quarré , & x •+-***—>-* où x 6 eft le 
produit de x'" par x" par x" , c'eft-à-dire fon cube , 

& x — i" - ! i ï où x — f eft la quatrième 

puifTance de x"""! , & il en eft ainfi des autres 
puiiTances. D'où il eft évident que le double , le 
triple , &c. de l'expofant d'un terme quelconque 
de la progreiïîon géométrique eft l'expofant du 
quarré , du cube , &c. de ce terme ; & partant que 
la moitié , le tiers , Sec. de l'expofant d'un terme 
quelconque de la progreiïion géométrique fera 
l'expofant de la racine quarrée , cubique , &c. 
de ce terme. 

2 . Que la différence des expofans de deux 
termes quelconques de la progreiïion géométrique 
fçra l'expofant du quotient de la divifion de ces 

termes. Ainfi. x 1 ï != x& fera l'expofant du quo- 
tient de la divifion de x* par xï , & x i~ * 
— x Tï fera l'expofant du quotient de la divi- 
fion de x f par xï ; où l'on voir que c'eft la 



îo Analyse 

même chofe de multiplier x rparx ï que 

de divi'er x ï"par x*. Il en eft ainlî des autres. 
Ceci bien entendu , il peut arriver deux différens 
cas. 

Premier cas , lorfque la puiffance eft parfaite , 
c'efl-à-dire lorfque fon expofant eft un nombre 
entier. La différence de xx eft ixdx , de x 3 eft 
%xxdx , de x 4 eft a^dx , Sic. Car le quarré de x 
n'étant autre chofe que le produit de x par x , fa 
différence ( Art. 5. ) fera xdx-t-xdx , c'eft-à-dire 
ixdx. De même le cube de x n'étant autre chofe 
que le produit de x par x par x, fa différence 
(Art. 5.) fera xxdx -h xxdx -+■ xxdx , c'eft à-dire I 
^xxdx ; Se comme il en eft ainfi des puiffances à 
l'infini , il s'enfuit que fi l'on fuppofe que m mar- 
que un nombre entier tel que l'on voudra 5 la 
différence de x m fera mx m ' dx. 

Si l'expofant eft négatif, on trouvera que la 

différence de x ou de ^ fera ^5 — " 

— 7nx~ m — l dx. 

Second cas , lorfque la puiffance eft imparfaite , 
c'eft-à-dire lorfque fon expofant eft un nombre 
rompu. Soit propoié de prendre la différence de 

m 

n ni n 

|/x ou x ( - exprime un nombre rompu quel- 

m 

conque ) on fuppofera x° = ^, Se en élevant cha- 
que membre à la puiffance n on aura x m = ^ n , Se 
en prenant les différences comme l'on vient d'ex- 
pliquer dans le premier cas, on trouvera mx m ~'dx 



des Infiniment Petits. n 



m.v dx 



m 



--x dx , ou 



_ n 

n dx J/V" "", en mettant à la place de n^~ ' fa 

m 

valeur wx m_ ». Si l'expofant eft négatif , on 
trouvera que la différence de x — » ou de ~k fera 

ni 

— = — « x ° dx. Ce qui donne 



2m 



cette régie générale. 

Règle IV. 
Ponr les Puijjances parfaites ou imparfaites. 

La différence d'une puifiance quelconque par- 
faite ou imparfaite d'une quantité variable, eft 
égale au produit de l'expofant de cette puiffance, 
par cette même quantité élevée à une puiffance 
moindre d'une unité , & multipliée par fa diffé- 
rence. . 

Ainfi fi l'on fuppofe que m exprime tel nombre 
entier ou rompu que l'on voudra , foit pofitif , foit 
négatif, 6c x une quantité variable quelconque , 
la différence de x ra fera toujours m x m ' dx. 
Exemples. 

La différence du cube de ay—xx, c'eft-à-dire 

j , 7, — 

de a y — x x , elljx^j' — xxxady — 2 x à x 
s= ^a} y y dy — 6 a a xxy d y H- 3 a x 4 d y — 6 a 
ayy x d x -jh iz ay x % d x — dx'' dx. 



13 Analyse 

La différence de \/xy -^yy ou de xy-+-yy * , en: 

_I - y à x -*— x H y -f- ? ydy 

1Xxy-±-yy * x^x; -+- x dy -i- Zydy ,011 2 y ,,-^-yy 

Celle de }/_4 -+. flJt -vy ou de _-* -+- d.vj^ T , eft ^ * 

__________ _ ayydx -4- - a x y Ht 

a ^ -+- ax yy ~~ X ayypx -{- laxyiy , OU 2.P'â*^âxyy 

Celle de j/ _. *• -+- ^ x , ou de _*-+-**• * , eft 
j X ax-hxx " T x aafx + 2xdx , ou' "'r " f "" rf " . 

3V_\-+-ar.r * 

La différence de |/^ + ^h-^+_^ou 

de ^~h-^^h-v/_+^_„^= * , eft i x 
. . j_ 

aX-hXX~h-VTZ i ! z I 'i .ivydx H— nxyiiy 

K .v-r^A-r^t + axyy x adx ■+■ 2 xix -i ' , - 

2Va*-+-axy>' 

*dx-+-ix,lx ayy <j«-t— ^ a «yrfy 

2 ^-t-w+Va+.+ axj'jl ~*~ 2 y«H«»x 2 VW**+vW«£>> 
s 

La différence de ^______f f era félon cette réçle 

( Art. 7. 6. ) & celle des fractions 

ad x -f- ixdx . ydx — xdy — lydy » 

3 2 xV x y-*-yy WxTTz: xv_.x-h*-. 

^Vax -f- xx Yxy-h-yy 

xy +yy 

( Confulte\ la note quatrième. ) 

Remarque. 

8. 1 l eft à propos de bien remarquer que l'on a 
toujours fuppoié en prenant les différences, qu'une 
des variables x croiffant , les autres y , \ , &c. 
croiflbient auffi - c'eft-à-dire que les x deve- 



des Infiniment Petits. 15 
nant x-vdx, les y , ^ , &c. devenoient _>/ -+- 
d)'i K + ^ \ » &c. G'eft pourquoi s'il arrive que 
quelques-unes diminuent pendant que les au- 
tres croiffent , il en faudra regarder les diffé- 
rences comme des quantités négatives par rap- 
port à celles des autres qu'on fuppofe croître ; 
& changer par conféquent les lignes des ter- 
mes où les différences de celles qui diminuent 
fe rencontrent. Ainfi fi l'on fuppofe que les x 
croiffant, les y & les ^ diminuent , c'eft-à-dire 
que les x devenant x + àx, les y & les \ de- 
viennent y — à y Ôc < — d%, & que l'on veuille 
prendre la différence du produit xy ^ ; il faudra 
changer dans la différence xy d \ ■+ x\dy-h- 
y^dx trouvée {Art. 5. ) , les lignes des ter- 
mes où dy Se d 1 fe rencontrent : ce qui donne 
y zdx — x yd 1 — *\d y pour la différence 
cherchée. 



0AAAAS 







: 



14 Analyse 

SECTION î I. 

Ufage du calcul des différences pour trouver les 
Tangentes de toutes fortes de lignes courbes. 

Définition. 

I l'on prolonge un des 'petits côtés M m 
( Fig. 2. PI. 1. ) du poligone qui compofe 
{Art. 3. ) une ligne courbe ; ce petit côté ainfï 
prolongé fera appelle la Tangente de la courbe 
au point M ou m. ( Confulte\ la Note cinquième. ) 

PROPOSITION I. 

Problème. 

9. O o 1 t une ligne courhe A M ( Fig. 5. VI. 1 . ) 
telle que la relation de la coupée A P a l'appliquée 
P M , [oit exprimée par une équation quelconque , 
& quil faille du point donné M fur cette courbe 
mener la tangente M T. 

Ayant mené l'appliquée M P , & fuppofé que 
la droite MT qui rencontre le diamètre au point 
T , (bit la tangente cherchée ; on concevra une 
autre appliquée mp infiniment proche de la pre- 
mière , avec une petite droite M R parallèle à 
A P. Et en nommant les données A P , x ,• P M ,y ; 
( donc P p ou M R =r= d x , &. R m = dy . ) les 
triangles femblables m R M & MPT donneront 
m R (dy). R M (dx) : : M P {y). PT == ■£. Or 
par le moyen de la différence de l'équation don- 
née, on trouvera une valeur de dx en termes 



des Infiniment Petits. 15 

qui feront tous affectés par ây , laquelle étant 
multipliée par y & divifée par ây , donnera une 
valeur de la foutangente PT en termes entière- 
ment connus & délivrés des différences , laquelle 
fe.vira à mener la tangente cherchée M T. 
( Confidtei la Note fixieme. ) 

Remarque. 

10. 1_jOrsque le point T ( Fig. 4. PI. 1. ) 
tombe du côté oppofé au point A origine des x , 
il eft clair que x croiflant , y diminue , & qu'il 
faut changer par conféquent (Art. 8.) dans la 
différence de l'équation donnée les fignes de tous 
les termes où à y fe rencontre : autrement la va- 
leur de âx en ây ferait négative ; & partant aufïï 
celle de PT (^). Il eft mieux cependant , 
pour ne fe point embarraffer , de prendre toujours 
la différence de l'équation donnée par les règles 
que l'on a preferites ( Se5l. 1 . ) fans y rien chan- 
ger ; car s'il arrive à la fin de l'opération que la 
valeur P T foit pofitive , il s'enfuivra qu'il fau- 
dra prendre le point T du même côté que le point 
A origine de x , comme l'on a fuppofé en faifant 
le calcul : & au contraire fi elle eft négative , il le 
faudra prendre du côté oppofé. Ceci s'éclaircira 
par les exemples fuivans. 

Exemple I. 

11. i°. ji l'on veut que ax = yy exprime la 
relation de AP à PM , (Fig. 3. Pi. 1.) la 
courbe A M fera une parabole qui aura pour pa- 
ramétre la droite donnée a , & l'on aura en pre- 



i6 Analyse 

nant de part & d'autre les différences , adxz=2ydj4 
& fa •= =£* & PT (^) = -^ï — ix en mettant 
pour jj fa valeur #x. D'où il luit que fi l'on prend 
P T double de A P , 8c qu'on mène la droite 
M T , elle fera tangente au point M. Ce qui 
étoit propofé. 

2 . Soit l'équation a a = x y qui exprime la 
nature de l'hyperbole entre les alymptotes. 
( F/g- 4. VI. 1. ) On aura en prenant les différen- 
ces xdy -*-ydx = , 6c partant P T {*£) = — x. 
D'où il fuit que fi l'on prend P T = P A du côté 
oppofé au point A , & qu'on mène la droite MT y 
elle fera la tangente en M. 

3 . Soit l'équation générale y m = x qui exprime 
la nature detoutes les paraboles à l'infini , lorlque 
Pexpofant m marque un nombre pofitif entier ou 
rompu , 6c de toutes les hyperboles lorfqu'il mar- 
que un nombre négatif. On aura en prenant les 
différences my m ~ , dy = d x , & partant P T 
( y*i ) = my m = mx en mettant pour/" fa va- 
leur x. 

Si m =\ , l'équation fera y =axx qui expri- 
me la nature d'une des paraboles cubiques , 6c la 
foutangente PT — \ x. Si m =— 2 , l'équation 
fera a? = xyy qui exprime la nature de l'une des 
hyperboles cubiques, 6c la foutangente PT= — 2*. 
Il en eft ainfi des autres. 

Pour mener dans les paraboles la tangente au 
point A origine des x , il faut chercher quelle 
doit être la raifon de âx\dy en ce point ; car 
il eft vifible que cette raifon étant connue , l'an- 
gle 






des Infiniment Petits. ïj 

gle que la tangente fait avec l'axe ou le diamè- 
- tre fera auffi déterminé. On a dans cet exemple 
dx . dy : : my m '. i. D'où l'on voit que y étant 
zéro en À , la raifon de à y à dx doit y être infi- 
niment grande lorfque m furpafle i , & infiniment 
petite lorfqu'elle eft moindre : c'eft-à-dire que la 
tangente en A doit être parallèle aux appliquées 
dans le premier cas , & fe confondre avec le dia- 
mètre dans le fécond. (Confulte\la h 'ote feptieme.} 

Exemple IL 
12.S01 t une ligne courbe AMB(F/g. 5.P/ 1.) 
telle que APxPB (xx^x ). ¥~M\yy) : : AB 
(a). AD (b). Donc a ~^- = ax — xx,& en pre- 
nant les différences 3 ——■ =z adx ~ 2xdx , d'où 



b 



2a yy _ iax — -ixx 

ab — 2bx a. — ix 



l'ontirePT(^-) 

en mettant pour -y- fa valeur ax — xx ; Se P T 

_A?ouAT= . ( Voyez la note 8. ) 

a — j.x j ' 

Suppofant à préfent que Â^ 3 xPB % (xix~^x Z ). 
FM 5 (/) : : A B (a ) . AD ( b) , on aura a ^~ = 

b 

x' X a — .v 1 j & en prenant les différences ~ ay -~ 



Z=Z^XXdxXa. — x ■ — ■ Zadx-hzxdxxx^ 3 d'où l'on 
ydx 5<3x<z — x z îxxa— x 

tire fer = =: — .. — 7=-^— . 

oy ^xxxa — x^ — ia-i-ixxx 1 ^a—^x — zx 

B 



i8 Analyse 

ou — J - — & A T = .{Voyez, la Note 8. 

3a — J.v 3 a ~5 x 

Et généralement fi l'on veut que m marqué 

î'expofant de la puiiîance de A P , & n celui 

de la puiflance de PB, on aura J>— - — = x m 



X a — x" qui eft une équation générale pour tou- 
tes le s ellipfes à l'infini , dont la différence eft 

I *— ^ — mx 'dx X a — x ■ — 

va — x a ~ 'dx x x m , d'où l'on tire ( en mettant 

-_ ni — \— t* j 

pour JL-— f a valeur x m x 7=~ x n )PT(Ç? ) 

. m-+-nx X a — x _ m-±nx Xa — x 

~~mx m — 'x a — x"~ Z^"~— • xx m ~ ma T— T.v — nx » 



ouPT= m + n x !! - I ^ & A T _ nax 

ma m — nx ma — m — nx 

( Voyez, la Note 8. ) 

Exemple III. 

Î 5-J__/ES mêmes chofes étant pofées que dans 
l'exemple précédent , excepté que l'on fuppofe 
ici que le point B ( F/g. 6. PL i. ) tombe de 
l'autre côté du point A par rapport au point 

P , on aura l'équation a ^—, — — x m x a-hx a qui 

exprime la nature de toutes les hyperboles con- 
lïdérées par rapport à leurs diamètres. D'où l'on 

tirera comme ci-deflus PT_^t-" x ax ~*~ x * 

ma — t- m — t- nx 

& A T . ( Voyez la Note 9. num, 1 . ) 



Des Infiniment Petits. 19 
Maintenant fi l'on fuppoie que A P ioit infi- 
niment grande , la tangente TM ne rencontrera 
la courbe qu'à une diftance infinie , c'eft-à-dire 
qu'elle en deviendra l'afymptote CEj & l'on 

aura en ce cas A T f nax ") = " a 



ma-t-m 



— A C ; puifque a étant infiniment moindre que 
x , le terme m a fera nul par rapport à m 



nx. 



Par îa même raifon en ce cas l'équation à la 
courbe deviendra ay m ~ i ~ n = bx m ~^ n . /.infi en 
faifant , pour abréger , m ■+■ n = p , & en extra- 
yant de part & d'autre la racine p , on aura 

p. p P 

y y a = x \/b , dont la différence efl dy \/a ■=. 

p 
dx \/b : de forte qu'en menant A E parallèle 
aux appliquées , & en concevant un petit trian- 
gle au point où l'afymptote G E rencontre la 
courbe , on formera cette proportion dx . dy , 

ou \/a. \/b:: AC.(^), AE=fj/^ — *. 
Or les valeurs de C A & AE étant ainfi dé- 
terminées , on mènera la droite indéfinie C E 
qui fera l'afymptote cherchée. 

Si m — 1 & w — 1 , la courbe fera l'hyper- 
bole ordinaire , & on aura AC — ±a, & AE 
= ~ Vab , c'eft-à-dire à la moitié du diamètre 
conjugué , ce que l'on fçait d'ailleurs être con- 
forme à la vérité. ( Voye\ la Note 9. num. 2. 
& fuivants. ) 

Exemple IV. 

! 1 4- S o 1 T l'équation^ 5 —x i =axy ( A P = x , 

PM —y , a eft uns ligne droite donnée ) & que 



20 Analyse 

cette équation exprime la nature de la courbe 

A M, (Fig. 6. Pi. i.) la différence fera ^yydy 

— zxxdx=±axdy -h aydx.honc— = - , 

' ay çjxx -+- ay 

& AT (-ï£-x)= ?- V * ~ 3->-^y =i _c f y_ 
N ay ^xx -+ ay ^xx •+■ i<_y 

en mettant pour y 5 — ^x' fa valeur ^a xy. 
\Voye^ la Note IO. gwç/?. i. 2 ) 

Maintenant fi l'on fuppofe que AP & PM 
foient chacune infiniment grande , la tangente 
TM deviendra l'aiymptote CE, & les droites 
AT, AS deviendront A C , AE qui détermi- 
nent la pofition de l'afymptote. Or A T que 

,. axy ,, N ,, qrxx 

l appelle t = - — , d ou 1 on tire y ■=. 

* ri ^xx-i-ay ax — au 

== - - lorfque A T devient A C , parce qu'alors 

rt/eft nulle par rapport à ax. Mettant donc 

cette valeur - — à la place de y dans y 1 ■ — x* 

^= axy , on aura zjfx* — a î x i = ^<a l txx , d'où 
l'on tire ( en effaçant le terme 3<s'/xx , parce 
que x étant infinie , il efl nul par rapport aux 
deux autres iji i x % & <z 5 x 3 ) A C ( f ) — j a. De 

même AS (y — — ) que j'appelle s = — a * y ■ , 
y ax j n j itr jyy—ax* 

d'où l'on tire x = — : ■** -=±^2- * parce que y 

ay -+- as a r l 

étant infinie par rapport à j , le terme a s fera 
nul par rapport au terme ay ; & en mettant 
cette valeur dans l'équation à la courbe , on 
trouvera AE ( s y == j à. D'où il fuit que fi 



des Infiniment Petits. 21 
l'on prend les lignes A C , A E égales chacune 
Va j a , & qu'on mené la droite indéfinie C E » 
elle fera 1 afymptote de la courbe A M. ( Con- 
fnlt"X la Note dixième, quefi 5. & fuiv.). 

On le réglera fur ces deux derniers exemples • 
pour trouver les afymptotes des autres lignes 
courbes. 

PROPOSITION II. 

Problème. 

15-01 l'on [uppo[e dans la propofiîion précédente 
que les coupées AP ( ' ïg.. 7. Pi I.) [oient des 
portions d une ligne courbe dont l'on [cache mener 
les tangentes P T , £f quil [aille du point donné 
M [ur la courbe A M mener Iq tangente M T. 

Ayant mené l'appliquée M P avec la tano-ente 
P T , & fuppofe qu^ la droite M T qui la rencon- 
tre en T , loic la tangente cherchée ; on imagi- 
nera une autre appliquée m p infiniment proche 
de la première , & une petite droite M'R parallèle 
à PT : & en nommant les données AP, x ; 
PM,j'j on aura comme auparavant ?p ou MR. 
== dx , R m = ày , & les triangles femblables 
wRM & MPT donneront m R (dj) . RM {dx) : : 

M P (y) . PT - y ~. On achèvera enfuite le refte 

y , 
par le moyen de l'équation qui exprime la re- 
lation des coupées A P ( x ) aux appliquées P M 
(y ) , comme l'on a vu dans les exemples qui 
précédent , & comme l'on verra encore dans 
ceux qui fuivent. {Con[ulte\ la Note 11. ) 

B3 



22 Analyse 

EXEMPLE I. 

t i g o i t 32= f / ^ 7= ^ , dont la différence eft: 

a^v-^W-v „_. ^• aa -Hy V _ t _ _ *yfo . on aura 

a;x «* aVaa-i-yy. 

en réduifant cette égalité à une proportion à y . 

\ r a xx xx aVaa — (— VV 

Et partant le rapport de la donnée M P à la 
foutangente cherchée P T , fera exprimé en ter- 
mes entièrement connus & délivrés des diffé- 
rences. Ce qui étoit propofé. 

EXEMPLE II. 

1 7. S oit x == ir » dont la différence eft <^x =s 

&• : on aura PT {&£) '=-£ = x. Si l'on fup- 

pofe que la ligne courbe A P B foit un demi- 
cercle , & que les appliquées M P , étant pro- 
longées en Q_, foient perpendiculaires fur le 
diamètre A B ; la courbe A M C fera une demi- 
roulette ou cycloïde : fvmple lorfque b —. a ; al- 
longée , lorfqu'elle eft plus grande ; & accourcie , 
lorfqu'elle eft moindre. ( Cowfulte\ la Note 12. ) 

Corollaire. 

18. Si la roulette étant fimple , l'on mène la 
corde AP ; je dis qu'elle fera parallèle à la tan- 
gente M T. Car le triangle MPT étant alors 
ilbfcele , l'angle externe T P Q fera double de 



des Infiniment Petits. 23 
l'interne oppofé TMQ. Or l'angle A P Q eft 
égal à l'angle APT, puifque l'un & l'autre a 
pour mefure la moitié de l'arc AP ; & partant il 
eft la moitié de l'ang ! e TPQ. Les angles TMQ , 
A P Q. feront donc égaux entr'eux ; & par confé- 
quent les lignes MT , AP feront parallèles. 
( Confiâtes la Note douzième. ) 

PROPOSITION III. 

Problème. 

19. Soit une ligne courbe quelconque AP qui 
ait ( Fig. 7. PI. 1. ) pour diamètre la droite 
KN.-\Q_, & dont l'on fçache mener les tangentes 
P K ; foit de plus une autre courbe A M , telle que 
menant , comme on voudra , l'appliquée M Q. qui 
coupe la première courbe au point P , la relation 
de rare AP à l'appliquée M Q foit exprimée par 
une équation quelconque. Il faut d'un point donné 
M mener la tangente M N. 

Ayant nommé les connues P K , t ; KQ, s; 
l'arc A P , x ; MQ.,;'i l'on aura ( en concevant 
une autre appliquée m q infiniment proche de 
M Q. , & en tirant P O , M S parallèles à A Q ; 
Yp := dx , mS ~dy ; Se à caufe des triangles 
femblables KPO & PpO , wSM&MQN, l'on 
aura P K (t) . KQ (0 : : Pp (dx). PO ou M S 
=,~. EtmS (^).SM(~)::MQ(>).QN 

= S -^t~. Or par le moyen de la différence de 

l'équation donnée , on trouvera une valeur de 

B 4 



«4 Analyse 

dx en termes qui feront tous affectés par dy ; ôf 
partant fi l'on iubftitue cette valeur à la place de 

dx dans ~ — , les ày fe détruiront , & la valeur 

de la foutangente cherchée Q N fera exprimée en 
termes tous connus. Ce qu'il falloit trouver. 

PROPOSITION IV. 

Problème. 

20. Soient deux lignes courbes AQC , BCN 
( Fi g. 8. PL I.) qui ayent pour diamètre la droite 
TE ABF » & dont l'on fçacàc mener les tangentes 
Qfî , N F ; fait de plus une autre ligne courbe 
M C telle que la relation des appliquées M P 3 
Q P , N V , foit expriiTiée par une équation quel-, 
conque. \l faut d'un point donné M fur cette der- 
nière courbe lui mener la tangente M T. 

Ayant imaginé aux points Q , M , N , le? 
petits triangles Qoq, MRm, NSn, &. nom- 
mé les connues PE,j; P F , t \ P Q, x ; P M, 
j*; PN, \ ; l'on aura q~=- dx , R m = */j/ , 
'S j; , :?= — d \ , ( Art. 8. ) parce que x 8cy croif- 
fant , ^ diminue. Et à cauie des triangles lem- 
blables QPE&^ Q.,NPF&kSN,MPT 
& m R M ; l'on aura Q.P ( x ) . PE(î)::^ 

(afx) oQ. ou MRouSN=:i Et NP <j) . 
PF(*)::»S( — ^).SN = - L£l — l£* 



( d'où l'on tire di == — 2^ ). Et ™R (dy) . RM 



des Infiniment Petits. 25 
(^)::MP(;)-PT = **—. Or fi Ton met 
dans la différence de l'équation donnée , à la 

s?dx 

place de d\ , fa valeur — ■ - — , on trouvera une 
valeur de dx en dy , laquelle étant fubftituée 
dans y -r— , les dy le détruiront, Se la valeur de la 

xdy y ' 

foutangente P T fera exprimée en termes tous 
connus. 

Exemple. 

2 1 -o o 1 t yy = x^ , dont la différence eft iydy 
z=%dx-*-xd%=p- — , en mettant pour dç 

fa valeur négative — - — ,d'où l'on tire dx^=- 

Ztydy _ -. T , sydx s zstyy 

J r ; & partant P T, ( — — ) = — — — 

i[ — s \. x< ty- tx l — sxi 

- = — , en mettant pour yy fa valeur x^. 

Soit maintenant l'équation générale^ m+n =x m ^ n , 

dont la différence eft ^T^ m+a " 'dy - r,^x m ~ 'dx 

mn ., mt- n x m — <dx—nsfx m — 'dx 

+ nx m i" 'di =— — ' - 3 en 

mettant pour d\ fa valeur \ — , d'où l'on tire 

p rp , sydx v mst-+-ns FJ m ~^ a mst -*~ nst 

^ xdy '~~ mtfx m — nsi n x m ~ " mt — ni ' 

mettant pour _y m ~ 1_n fa valeur x^". 

On peut remarquer que fi les courbes A Q C , 
BCN devenoient des lignes droites, la courbe 
M C feroit alors une des Sections coniques à l'in- 



26 Analyse 

fini ; fçavoir une Ellipfe lorfque l'appliquée CD , 
qui part du point de rencontre C , tombe entre 
les extrémités A , B ; une Hyperbole, lorfqu'elle 
tombe de part ou d'autre ; & enfin une Parabole , 
lorfque l'une des extrémités A ou B eft infiniment 
éloignée de l'autre , c'efl-à-dire , loriqu'une des 
lignes droites CA ou CB eft parallèle au dia- 
mètre A B. ( Confultci 1< a Note treizième. ) 

PROPOSITION V. 

Problème. 

22. o oi t une ligne courbe A PB ( Fi g. 9. PL 1. ) 
qui ait un commencement fixe & invariable au 
point A , & dont Von [cache mener les tangentes 
P H ; foit hors de cette ligne un autre point fixe F , 
<& une autre ligne courbe C M D telle qu ayant 
mené la droite quelconque FMP,/a relation de fa 
partie FMà ^ portion de courbe A P foit expri- 
mée par telle équation qu'on voudra. On propofe 
de mener du point donné M la tangente M T. 

Ayant mené fur FP la perpendiculaire F H qui 
rencontre la tangente donnée PH au point H , & 
la cherchée MT au point T ; imaginé une droite 
VKmOp qui faffe avec FP un angle infiniment 
petit ; & décrit du centre F les petits arcs de 
cercle PO, M R ; le petit triangle p O P fera 
femblable au triangle re&angle P F H ; car les 
angles H P F , Hp F font ( Art. 2. ) égaux , 
puifqu'ils ne différent entr'eux que de l'angle 
PF/> que l'on fuppofe infiniment petit ; & de plus 
l'angle pOP eft droit 3 puifque la tangente en O 



des Infiniment Petits. 27 
( qui n'eft autre choie que la continuation du pe- 
tit arc PO confidéré comme une droite) eft per- 
pendiculaire fut le rayon FO. Par la même rai- 
ion les triangles mKM , MFT feront femblables. 
Or il eft clair que ks petits triangles ou fe&eurs 
FPO & FMR font femblables. Si donc. l'on nom- 
me les connues PH , t ; HF , s ; FM , y ; FP , \ ; 
& l'arc A P , x ; on aura PH [t) . HF (s) : : Pp 

(dx) . PO = ^. Et FP (0 . F M 00 : : P O 
('-£) ■ MR = &. Et m (dy) . RM (^) : : 

FM 0') • FT = 2^-. Et on achèvera le refte 

par le moyen de la différence de l'équation don- 
née. ( Confulte\ la Note quatorzième. ) 
Exemple. 

2]. Si l'on veut que la courbe AP B (F/g. 10. 
PL 1 . ) foit un cercle qui ait pour centre le point 
fixe Fi il eft clair que la tangente PH devient 
parallèle & égale à la foutangente FH , à caufe 
que H P fera aufïi perpendiculaire à P F ; & 

» - a v tr t yy ix yv dx 

qu ainli 1 on aura en ce cas t 1 ■=i J - J - 1 — ^=~— 9 

* ^dy ady 

en nommant la droite FP (3) , a ; parce qu'elle 
devient confiante de variable qu'elle étôit aupa- 
ravant. Cela pofé , fi l'on nomme la circonfé- 
rence entière , ou une de fes portions détermi- 
nées h ; & que l'on faffe b . x -.: a .y ; la courbe 
G M D , qui eft en ce cas F M D , fera la Spirale 

ôCArchimede , Selon aura^=-^qui a pour fa 



6 



a 8 Analyse 

différence dy = ^- , d'où l'on tire ydx ~ -^X 

b a. 

— xdy en mettant pour^ fa valeur a — \ & par- 
tant FT (-~^) = — . Ce qui donne cette conf- 

v ady J a. *■ 

truétion. 

Soit décrit du centre F & du rayon F M , l'arc 
de cercle M Q , terminé en Q. par le rayon F A 
qui joint les points fixes A , F \ foit pris FT égale 
à l'arc MQ.: je dis que la droite MT fera tangente 
en M. Car à caule des feâeurs femblables F P A , 
F M Q , l'on aura F P (a) . F M Q') : : AP (y) . 

MQ. = ^ = FT. 

Si l'on fait en général b . x : : a™ .y m , ( l'expo- 
fant m défîgne un nombre entier ou rompu tel 
que l'on veut ) la courbe FMD fera une des fpi-» 

raies à l'infini , & l'on aura_y m ——, -, qui a pour 
fà différence my m ~ T dy "=. —r^- , d'où l'on tire ydx 
= m y m y = mxdy , en mettant pour y™ fa va- 
lçur — — ; & partant F T ( J ~r~ ) = — £ = m 

b 7 *■ v ady ' a 

xMa 

PROPOSITION VI. 

Problème. 

24. 001 T awe //gne courbe APB (Fïg- I I- P/- f.) 
^0»? /'on fçache mener les tangentes P H , 0" ?^ra 
po/n? ,/îxe F /;o?-j de cette ligne ; foit une autre 



î> e s Infiniment Petits. 29 

ligne courbe C M D telle que menant comme on 

poudra , la droite FPM , la relation de FP a. FM 

foit exprimée par une équation quelconque. Il faut 

du point donné M mener la tangente M T. 

Ayant mené la droite F H T perpendiculaire 
fur FM, 6c imaginé comme dans la propofition 
précédente les petits triangles PO/7, MKm fem- 
blablcs aux triangles HFP , TFJV1 , on nommera 
les connues F H , s ; FP , x ; FM , y s de l'on 

aura PF (x) . FH (s) : : p O (if) . OP = ~. Et 
FP (x) . FM (y) : : OP (~). R M = ^. Et 

*»R (#) . RM (?—) : : F M (y) . F T — -22^. 

On achèvera enfuite le refte par le moyen de la 
différence de l'équation donnée. ( Confulte^ la 
Note quinzième. ) 

Exemple. 

.^S-S 1 l' on veut q ue ^ a courbe APB foit une 
ligne droite P H , & que l'équation qui exprime 

.la relation de FP à FM (oïty—x=:a, c'eft-à- 
dire , que PM foit toujours égale à la même 
droite données ; l'on aura pour différence dy=dx ; 

& partant F T (^7^) = — . Ce qui donne 

xxdy f xx * 

cette conftruclion. 

Soit menée M S parallèle à PH , & MT paral- 
lèle à FE , je dis qu'elle fera tangente en M. 

Car FP (x) . FH (J) : : FM [y) . TE = % Et 



X 



3° Analyse 

FP (x) . FE (2) : .- FM 00 . FT = -^. II eft 

clair que la courbe C M D eft la Conchoïde de' 
Nicomede , dont l'aiymptote eft la droite PM , 
& le pôle eft le point fixe F. 

PROPOSITION VII. 

Problème. 

26 § O 1 t une ligne courbe AKM(F/'g. \2.Vl. I. ) 
dont L'on [cache mener les tangentes M H , & qui 
ait pour diamètre la droite E P A H T ; [oit hors 
de ce diamètre un point fixe F , a où parte une li- 
gne droite indéfinie F t S iVI qui coupe le diamè- 
tre en P Ô la courbe en M. Si l'on conçoit main- 
tenant que la droite F P M , en tournant autour 
du point F, [aj[e mouvoir le plan P A M toujours 
parallèlement à [oi-même le long de la ligne droite 
E T immobile & indéfinie , enforte que la dif- 
tance P A demeure par tout la même : il ejl clair 
que V interfeclion continuelle M des lignes FM, 
A M décrira dans ce mouvement une ligne courbe 
C M D. On propofe de mener d'un point donné M 
fur cette courbe la tangente M T, 

Ayant imaginé que le plan P A M foit par- 
venu dans la lituation infiniment proche pam , 
& tiré la ligne mKS parallèle à A P ; il eft clair 
par la génération que P p = A a =. R m • Se 
partant que RS=S?^ — P p. Or nommant les 
connues FP ou F p , x ; FM ou Fw,j;PH, 
s ; M H , t ; & la différence P p , d\ ; les trian- 
gles femblables F P p & F S m , MFH & MSR , 



des Infiniment Petits. 31 
MHT&MRm, donneront F p ( x ) . F m (j> ) 

\:?p(d K ).Sm^^(doncSà — y -^ZdS ). 
EtPH(^.HM(/): :SK( yclï ~ xdl ) RM 

V tyd Z - tX d^ ^ M R ( ^ T ^ } _ R?;? ^ 

::MH(O.HT=-"-. Donc fi l'on mené 

v ' y ■ — x 

FE parallèle à MH , & qu'on prenne HT = PE ; 
la ligne M T fera la tangente, cherchée. 

Si la ligne A M étoit une ligne droite ; la 
courbe C M D ferait une Hyperbole qui auroit 
pour une de fes afymptotes la ligne ET. Et fi 
elle étoit un cercle qui eût fon centre au point 
P •■, la courbe C M D feroit la Conchoïde de 
Nicomede 3 qui auroit pour aiymptote la ligne 
ET, 6c pour pôle le point F. Mais fi elle étoit 
une parabole ; la courbe GMD feroit la com- 
pagne de la Paraboloïde de Defcartes ( Geor/i. 
Liv. 3. ) , qui fe décrirait en même-tems au- 
deflbus de la droite ET par l'interfedtion de 
FP avec l'autre moitié de 'la Parabole. (Con- 
fultci la Note [eixjeme.) 

PROPOSITION VIII. 

Problème. 

27. S o 1 t une ligne courbe A N ( Fig. I 3 • PL 1 . ) 
qui ait pour diamètre la ligne droite AP , avec 
un point fixe F hors de ces lignes • [oit une autre 
ligne courbe C M D telle que menant comme l'on 
voudra , lu droite F M P N , la. relation de [es 



3 2 Analyse 

parties FN , FP , FM foit exprimée par une équa- 
tion quelconque. Il efi que/lion de tirer du point < 
donné M la tangente M T. 

Soit menée par le point F la ligne HK per- 
pendiculaire à F N , qui rencontre en K le dia- 
mètre A P , & en H la tangente donnée N H ; 
foient décrits du centre F & des intervalles FN , 
F P , F M de petits arcs de cercle N Q. , Poj 
M R terminés par la droite F s que l'on conçoit 
faire avec F N un angle infiniment petit. 
Cela pofé. 

^ Si l'on nomme les connues F K , s ; FH,/; 
FP,x;FM,;;FN, ç > les triangles fembla- 
bles PFK & po? , FMR & FPo & FNQ, 
HFN & N Q» , m RM & MF T donneront PF 

(x).FK(s)::po (dx).o? = ~. Et FP 
O).FM00::P* (f^).MR^.Et FP 

■' v X ' XX 

(x).FM(0::P* (.— ).NQ=-^. Et 

x yc X 

HF(0.FN(O::NQ(^.d"(-^) = 
^, Et m R ( dy ) : A M ( ^ ) : : F M (, ) , 



XX 



syydx 



F T — - - ■ - ■ . Or par le moyen de la différence 

xxdy l i 

de l'équation donnée , on trouvera une valeur de 
dy en dx 6c d\ , dans laquelle mettant à la place 

de d\ fa valeur négative ■ fï-^ , parce que x 

croiffant , ^ diminue 5 tous les termes feront 

ane ctés 



des Infiniment Petits. 55 
'affectés par dx ; de forte que cette valeur étant 

enfin iubftituée dans 22Lf? l es fa f e détruiront. 

xxdy 

;Ft partant la valeur de FT fera exprimée en 
termes connus & délivrés des différences. 

Si l'on fuppofoit que la ligne droite A P fut 

une ligne courbe, & qu'on menât la tangente 

PK, on trouveroit toujours pour } T la même 

[valeur , & le raifonnement demeureroit le même. 

( Confulte\ la Note dix-fcptieme. ) 

Exemple. 

8.0 upposons que la ligne courbe A N 
(Fig. 14. PI. 1.) foit un cercle qui pafle par 
le point F ( tellement fitué à l'égard du dia- 
mètre A P que la ligne F B perpendiculaire à 
ce diamètre pafle par le centre G de ce cer- 
cle ) , & que P M foit toujours égale à P N ; 
il eft clair que la courbe C 1VI D , qui devient 
en ce cas F M A , fera la Ciffoïde de Diodes * 
& que l'on aura pour équation %-î-y=z 2x , 
dont la différence eft dy = id x — d ç = 

atxxdx -t- s^dx , r , 

— — en mettant pour d$ fa valeur — « 

SLf trouvée ci-deffus ( Art. 27. ). Et partant FT 

syydx ~ _ styy 



xxdy' 2tXX~i- S II 

Si le point donné M tomboit fur le point A, 
les lignes FM, F N , F P feroient égales cha- 
cune à F A , comme auflî les droites F K , FHj 

C 



54 Analyse 

*t4 

& partant on aurcit en ce cas FT = — r = 

l x , c'efl-à-dire que fi l'on prend FT = f AF, Se 
qu'on mené la ligne AT, elle fera tangente en A. 
On peut encore trouver les tangentes de la 
Cifïbïde par le moyen de la première Propofi- 
tion , en menant les perpendiculaires N E , M L 
fur le diamètre F B, 6c cherchant l'équation qui 
exprime le rapport de la coupée FL à l'appliquée 
L M ; ce qui fe fait ainii. Ayant nommé les con- 
nues F B , ia 5 F L ou BE, x ; L M , y ; les 
triangles femblables FEN, F L M , Scia pro- 
priété du cercle donneront FL(x).LM(j'): : 
FE . E N : : EN ( V^ax — xx ). EB (x). D'où 

l'on tire y y = — - — , dont la différence eft zydy 

"la — x 

— - „ x . Et partant LU ( Art. 9. ) 



X 

2ax — xx 



} en mettant 



Cydx -v yy x ta. — x 1 
dy ' yaxx — x i ' %a — X 

pour yy fa valeur — — — . 

PROPOSITION IX. 

Problème. 

29OOIENT deux lignes courbes A N B , C P D y 
& une ligne droite FKT,( F/g. l'y. PL 1 . ) fur 
lefquelles [oient marqués des joints fixes A , C , F ; 
fait de plus une autre ligne courbe EMG telle 
qu'ayant mené par un de fes points quelconques M. 
la droite F M N , tS MP parallèle a FK ,• la re- 
lation de l'arc AN à l'arc CP fait exprimée par 



des Infiniment Petits. 35 
une équation quelconque. Il faut d'un point donné 
,M fur la courbe EG mener la tangente M T. 

Ayant mené par le point cherché T la ligne 
TH parallèle à F M , & par le point donné M les 
droites MR.K, M OH parallèles aux tangentes 
en P & en N , on tirera FraO» infiniment pro- 
che de F M N , &»îRp parallèle à M P- 

Cela pofé , fi l'on nomme les connues FM , s £ 
F N , t j MK,«;CPx;AN,j/;( donc P p ou 
MR = dx,NB=^/) les triangles femblables 
FNb&FMO, MOw & MHT, MR»! & 
M KT donneront FN(().FM(j)::N» (dy) . 

MO = ^.EtMR (dx). M O (*-&) : : MK («). 

M H = ^j^. Or par le moyen de la différence 

de l'équation donnée l'on aura une valeur de dy 
en termes qui feront tous affedtis par dx , la- 
quelle étant fubftituée dans s -~- , les dx fe dé- 
truiront ; & partant la valeur de M H fera expri- 
mée en termes entièrement connus. Ce qui donne 
cette conftru&ion. 

Soit mené M H parallèle à la touchante en N 
& égale à la valeur que l'on vient de trouver : 
foit tirée H T parallèle à F M , qui rencontre 
en T la droite F K , par où & par le point 
donné M foit menée la tangente cherchée M. T. 
( Confulte\ la, Note dix-huitième. ) 



C 2 



36 Analyse 

Exemple. 

30.5 i l'on veut que la courbe A N B ( Fig. 1 6, 
VI. 1 . ) foit un quart de cercle qui ait pour cen- 
tre le point fixe F ; que la courbe C P D ioit 
le rayon APK perpendiculaire fur la droite 
F K G Q.T B , & que l'arc AN(;) foit tou- 
jours à la droite AP (x), comme le quart de 
cercle A N B (J?) au rayon A F (a) s la courbe 
E M G deviendra la quadratrice A M G de Oi~ 
rwjlrate , Se l'on aura M H nj±\ ^iy~s X dy 

J * ^ tdx ' adx » 

puifque F P ou M K (a) = a — x , & F N (/ ) 
= a. Mais l'analogie fuppofée donne ay = bx, 
& ady = bdx. Mettant donc dans la valeur de | 
M H à la place de x & de A y leurs valeurs [ 

f-&~, on trouvera MH = ^. Ce qui 

donne cette conftruclion. 

Soit menée M H perpendiculaire fur F M , Se 
égale à l'arc M Q décrit du centre F , & foit ti- 
rée H T parallèle à F M ,♦ je dis que la ligne M T 
fera tangente en M. Car à caufe des fe&eurs 
femblables F N B , F M Q , l'on aura FN(a). 

FM(0"-NB (b—y).MQ= Bs ~ s y. 

CoROllAIRE. 

3 i.S 1 l'on veut déterminer le point G où la qua- 
dratrice A M G rencontre le rayon FB, ( Fig. 
17. PI. 1 . ) on imaginera un autre rayon F g b 
infiniment proche de F G B j Se en menant gf 



des Infiniment Petits. 37 
fcaralleîe à F B , la propriété de la quadratrice 
(& ie> triangles femblables FBb,gfF rectangles 
en B & en /', donneront A B . A F : : B b . Ff:i 
FB ou A F . gf ou F G. D'où l'on voit que fi l'on 
prend une troifieme proportionnelle au quart de 
cercle A B & au rayon \ F, elle fera égale à FG, 

c'eft-à-dire que FG= ~. Ce qui donne lieu 

d'abréger la conrr.ruc~t.ion des tangentes, 

Car menant T E parallèle à M H , ( Fig. 1 6. 
VI. 1 . ) les triangles femblables F M K , F T E 
donneront MK (a — x) . MF(x)::ET ou 

k.n fb: — jva rrp bss — yss Bss j-. 

M H ( ). F T = ^— = — ; En met- 

^ a ' aa — ax aa 

tant pour x fa valeur '^-, 6c divifant enfuite le 

tout par b — y i d'où il eft clair que la ligne 
F T eft troifieme proportionnelle à F G & à F M. 
( Confiâtes la Note dix-neuvieme. ) 

PROPOSITION X. 

Problème. 

3 2. O o i t une ligne courbe AMB {Fig. 1 8. PI. 2.) 
telle qu'ayant mené d'un de fes points quelconques 
M aux foyers F , G , H , &c. le) droites MF, 
MG, M H , &c. leur relation [oit exprimée par 
une équation quelconque : & foit propofé de mener 
du point donné M la perpendiculaire M P fur la 
tangente en ce point. 

Ayant pris fur la courbe AB l'arc Mm infini- 
ment petit , 6c mené les droites FKm , GmS , 

C3 



3S Analyse 

HwO , on décrira des centres F , G , H les petits j 
arcs de cercles MR , MS , MO; enfuite du cen- 
tre M & d'un intervalle quelconque on décrira 
de même le cercle CDE qui coupe les lignes MF , 
MG , MH aux points C , D , E , d'où l'on abaif- 
fera fur MP -les perpendiculaires CL , DK 3 EL 
Cette préparation étant faite , je remarque 

i°. Que les triangles rectangles MRm , MLC 
font femblables ; car en ôtant des angles droits 
LM/», RMC l'angle commun LMR, les relies 
RM» , LMG feront égaux , & de plus ils font 
rectangles en R & L. On prouvera de même que 
les triangles re&angles US?n Se MKD , MO» & 
MIE font fembiables. Partant , puifque l'hypo- I 
thenufe Mweft commune aux petits triangles 
URm , MS?» , MO?» , & que les hypothenufes 
MC , MD , ME des triangles MLC , MKD , 
MIE font égales entr'elles ; il s'enfuit que les per- 
pendiculaires CL j DK , El ont le même rapport 
entr'elles que les différences Km, Sm , Om. 

2°. Que les lignes , qui partent des foyers fitués 
du même côté de la perpendiculaire MP , croiffent 
pendant que les autres diminuent, ou au con- 
traire. Comme dans la figure 18. FM croît de fa 
différence R?» , pendant que les autres G M , 
H M diminuent de leurs Sm , Om. 

Si l'on fuppofe à préfent , pour fixer fes idées , 
que l'équation qui exprime la relation des droites 
FM (x) , GM (j/) , HM (0 , foit ax + xy — ïl 
=io , dont la différence eft adx+ydx + xdy 
— %%d\ = o ; Il eft évident que la tangente en 



des Infiniment Petits. 39 
M ( qui n'eft autre choie que la continuation du 
petit côté Mw du poligone que l'on conçoit 
( Art. 3. ) compoier la courbe AMB) doit être 
tellement placée qu'en menant d'un de Tes points 
quelconques m des parallèles wR , ??;S , kîQ aux 
droites FM , GM , HM , terminées en K , S , O 
par des perpendiculaires MR, MS , MO à ces 
mêmes droites , on ait toujours l'équation a-v-y 
xRw + xx Sm—2ix Om = ; ou ( ce qui re- 
vient au même , en mettant à la place de Rtx , 
Srn , Om leurs proportionnelles C L , D K , El) 
que la perpendiculair e M P a la courbe doit être 
placée, enforte que a-*- y X C L-f- x x D K . — • 
2 l X E I — 0. Ce qui donne cette conftrudtion. 
Que l'on conçoive que le point C ( Fig. 18. 19. 
VI. 2. ) foit chargé du poids a+y qui multiplie 
la différence dx de la droite FM fur laquelle il 
eft fîtué , & de même le point D du poids x , 
& le point E pris de l'autre côté de M par rap- 
port au loyer H ( parce que le terme — z ^ d z 
eft négatif ) du poids 2<. Je dis que la droite 
M P qui paffe par le commun centre de pefanteur 
des poids iuppoiés en C , D , E , fera la per- 
pendiculaire requife. Car il eft clair par les prin- 
cipes de la Mécanique , que toute ligne droite , 
qui paffe par le centre de pefanteur de plufieurs 
poids , les fépare , enforte que les poids d'une 
part multipliés chacun par fa diftance de cette 
droite , font précifément égaux aux poids de l'au- 
tre part multipliés aufli chacun par fa diftance de 
cette même droite. Donc pofant le cas que x croif- 

C 4 



40 Analyse 

fant, y & \ croîfiènt auffi , c'eft-à-dire , que les 
foyers K , G, H ( Fig. 19. PL 2.) tombent du 1 
même côté de M P , comme l'on fuppofe tou- 
jours en prenant la différence de l'équation don- 
née félon les règles preferites ; il s'enfuit que la 
ligne M. ? laiffera d'une part les poids en C & D , 
& de l'autre le poids en Ê , & qu'ainfi l'on aura 
*-+-y X CL+xxDK- 2 ^xÈI=<?,quiétoit 
l'équation à conftruire. 

Or je dis maintenant que puifque la conftruo 
tion eft bonne dans ce cas , elle le fera auffi dans 
tous les autres ; car fuppofant , par exemple , que 
ie point M change de fituation dans la courbe , 
enforte que x croiffant , y & \ diminuent , c'eft- 
à-dire , que les foyers G, H (Fig. 18. PL 2. ) 
paffent de l'autre côté de MP , il s'enfuit i°. 
\Art. 8. ) Qu'il faut changer dans la différence 
de l'équation donnée les fignes des termes affectés 
par à y , d < , ou par leurs proportionnelles D K , 
JE I ; de forte que l'équation à conftruire fera 
dans ce nouveau cas a-+-y X CL — x x D K 
+ 2^xEl=o. 2°. Que les poids en D & E 
changeront de côté par rapport à MP; & qu'ainfi 
l'on a ura par la propriété du centre de pefanteur 
.a -+ y X C L — ,vxDK + 2^xEl=û ; quiefl 
l'équation à conftruire. Et comme cela arrive tou- 
purs dans tous les cas poffibles , il s'enfuit , &c. 

Il eH évident que le même raifonnement fub- 
fifkra toujours , tel que foit le nombre des foyers , 
&. telle que puiffe être l'équation donnée ; de 
forte que l'on peut énoncer ainfl la confirudion 
générale» 



des Infiniment Petits. 41 
Soit prife la différence de l'équation donnée 
dont je fuppofe que l'un des membres foit zéro , 
& loit décrit à diicrétion du centre M un cercle 
G D E qui coupe les droites MF , MG , MH aux 
points C , D , E > dans lefquels foient conçus 
des poids qui ayent entr'eux le même rapport 
que les quantités qui multiplient les différences 
des lignes fur lefquelles ils font fitués. Je dis que 
la ligne MP qui paffe par leur commun centre 
de pelanteur , fera la perpendiculaire requife. 11 
eft à remarquer que fi l'un des poids eft négatif 
dans la différence de l'équation donnée , il le 
faut concevoir de l'autre côté du point M par 
rapport au foyer. 

Si l'on veut que les foyers F , G , H ( F/g. 20. 
VI. 2.) foient des lignes droites ou courbes fur 
qui les droites MF , MG , M H tombent à angles 
droits , la même conftru£t.ion aura toujours lieu. 
Car menant du point m pris infiniment près de 
M les perpendiculaires^/, mg, , mli fur les foyers, 
& du point M les petites perpendiculaires M R , 
M S , MO fur ces lignes ; il eft clair que Rm fera 
la différence de MF , puifque les droites M F , 
Rf étant perpendiculaires entre les parallèles F/, 
JviPv. , elles feront égales , & de même que Sm eft 
la différence de MG , & Om celle de MH ; & on 
prouvera enfuite tout le refte comme ci-deffus. 

On peut encore concevoir que les foyers F , G, 
H ( Fig. 21. PL 2. ) foient tous ou en partie des 
lignes courbes qui ayent des commencemens fixes 
6c invariables aux points F, G, H , & que la 



42 Analyse 

ligne courbe A MB foit telle qu'ayant mené , par 
exemple, d'un de fes points quelconques M les - 
tangentes M V , MX & la droite M G ; la rela- 
tion des lignes mixtilignes F V M , HXM Se de 
la droite G M foit exprimée par une équation 
quelconque. Car ayant mené du points pris in- 
finiment près de M la tangente mu , il efl clair 
qu'elle rencontrera l'autre tangente au point V 
( puifqu'elle n'eft que la continuation du petit arc 
Vu confidéré comme une petite droite ) ; & par- 
tant que fi l'on décrit du centre V le petit arc de 
cercle MR ; s\m fera la différence de la ligne mix- 
tiligne PVfVI qui devient ¥VuKm. Et tout le 
refte fe démontrera comme ci-devant. ( Conful- 
teç. la Note 20 ). 

M. Tlchirnhaus a donné la première idée de ce 
"Problème dans [on Livre de la Médecine de l'ef- 
prit ^ M. Fatio en a trouvé enfuite une folution 
tres-ingénieufe qu'il a fait inférer dans les Jour- 
naux d Hollande : mais la manière dont ils Vont 
conçu , neft qu'un cas particulier de la conflruclion 
générale que je viens de donner. 

Exemple I. 

33. S o 1 t a xx->rbyy-\-cw—P =0 ( les droites 
a , b } c , f font données ) dont la différence eft 
axd x+by dy-4-c^d^^o. C'eft pourquoi conce- 
vant en C C Fig. 22. PL 2. ) le poids ax , en D 
le poids by , & en E le poids c^ , c'eft-à-dire , 
des poids qui foient entr'eux comme ces rectan- 
gles j la ligne MP qui paffe par leur commun 






des Infiniment Petits. 4$ 

centre de pefanteur , fera perpendiculaire à la 
courbe au point M. 

Mais fi l'on mené F O parallèle à CL , & que 
l'on prenne le rayon M C pour l'unité, les trian- 
gles femblablcs MCL , MFO donneront FO 
= xX CL; & de même menant G R parallèle à 
D K , & H S parallèle à E 1 , on trouvera que 
GR=;'XDK&HS = ^xEI; de forte qu'en 
imaginant aux foyers F , G , H les poids a , h , e - 
la ligne M P , qui pane par le centre de pefanteur 
des poids a x , b y , c\ fuppofés en C , D , E , 
panera auflî par le centre de pefanteur de ces nou- 
veaux poids. Or ce centre eft un point fixe , puif- 
que les poids en F , G , H , fçavoir a , b , c , font 
| des droites confiantes qui demeurent toujours les 
mêmes en quelque endroit que fe trouve le point 
M. D'où il fuit que la courbe A M B doit être 
telle que toutes fes perpendiculaires fe coupent 
dans le même point , c'eft-à-dire , qu'elle fera un 
cercle qui aura pour centre ce point. Voici donc 
une propriété très-remarquable du cercle que l'on 
peut énoncer ainfi. 

S'il y a fur un même plan autant de poids 
a , b , c , &c. que l'on voudra , fitués en F , G , 
H , &c. & que l'on décrive de leur commun 
centre de pefanteur un cercle A M B ; je dis 
qu'ayant mené d'un de fes points quelconques 
M , les droites M F , M G , M H , &c. la fomme 
de leurs quarrés multipliés chacun par le poids 
qui lui répond , fera toujours égale à une même 
quantité. 



44 Analyse 

Exemple II. 

34. Soit la courbe AMB ( Fig. 23. PL 2.) 
telle qu'ayant mené d'un de fes points quelcon- 
ques M au foyer F qui eft un point fixe , la droite 
MF, & au foyer G qui eft une ligne droite !a 
perpendiculaire M G ; le rapport de \\ F à M G 
foit toujours le même , que de la donnée a à la 
donnée b. 

Ayant nommé FM , x ; MG, y • on aura x . 
y : : a . b , & partant ay ■==. b x dont la différence 
eft ady — bdx=ro. C'eft pourquoi concevant 
en C pris au-delà de M par rapport à F le poids b , 
& en D (à pareille diftance de M) le poids a , 
& menant par leur centre commun de pefanteur 
la ligne MP , elle fera la perpendiculaire r.quife. 

Il eft clair par le principe de la balance , que fi 
l'on divife la corde C D au point P , enforte que 
C P . D P : : a . b ; le point P , fera le centre com- 
mun de pefanteur des poids fuppof^s en G Se D. 

La courbe AMB eft une fection conique » fça- 
voir une Parabole lorfque a=b , une Hyperbole 
lorfque a furpaffe b , 6c enfin une Ellipfe lori'quil 
eft moindre. ( Confiâtes la Note 21.) 

Exemple III. 

35.01 après avoir attaché les extrémités d'un 
fil FZVMGMXYH (Fig. 24. PI. 2.) en F & en 
H , & avoir fiché une petite pointe en G , on 
fait tendre également ce fil par le moyen d'un 



des Infiniment Petits. 45 
flile p'acé en M , enforte que les parties F Z V , 
H YX foient roulées autour des courbes qui ont 
leur origine en F & H , que la partie M G foit 
double, c'eft-à-dire , qu'elle foit repliée en G, 
& que les chofcs demeurant en cet état l'on fane 
mouvoir le flile M ; il eft clair qu'il décrira une 
courbe A M B. Il eft queftion de mener d'un 
point donné M fur cette courbe la perpendicu- 
laire M P , la pofition du fil qui fert à la décrire 
étant donnée en ce point. 

Je remarque que les parties droites MV, MX 
du fil font toujours tangentes en V & X , & que 
fi l'on nomme les lignes mixtilignes F Z V M , x ; 
H Y X M , ï; la droite MG,;j & une ligne 
droite prife égale à la longueur du fil , a ; l'on 
aura toujours x-*-2y-*-^ = a : d'où je connois 
que la courbe AMB eft comprife dans la conf- 
truction générale. C'eft pourquoi prenant la dif- 
férence dx-*- idy -+-d z=zo, Se concevant en C 
le poids 1 , en D le poids 2 , & en E le poids 1 ; 
je dis que la ligne M P , qui pane par le centre 
commun de pefanteur de ces poids , fera la per- 
pendiculaire requife. 

PROPOSITION XI. 

Problème. 

36.S01ENT deux lignes quelconques APB, 
EQF (F/g. 25. PL 2.) dont Von f cache mener 
les tangentes P G , Q.H ; & foit une ligne droite 
P fur laquelle foit marqué un point M. Si Von 
conçoit que les extrémités P , Q de cette droite 



A 

46 ^ A N A L Y S E 

glijfent le long des lignes AB, EF , il ejl clair 
que le point M décrira dans ce mouvement une 
ligne courbe CD. // ejl quejlion de mener d'un 
point donné M fur cette courbe la tangente M T. 

Ayant imaginé que la droite mobile PMQ, 
foit parvenue dans la fituation infiniment proche 
pmq , on tirera les petites droites PO, MR 
Q.S perpendiculaires fur PQ., ce qui formera 
les petits triangles reftangles pQ? , wRM , gSQ.; 
& ayant pris P X égale à M Q , on mènera la 
droite H K G perpendiculaire fur P Q , Ôc l'on 
prolongera O P en T , où je fuppofe qu'elle 
rencontre la tangente cherchée M T. Cela po- 
fé , il eft clair que les petites droites Op , Rw, 
Sq feront égales entr'elles , puifque par la conf- 
trudtion P M & M Q. font par tout les mêmes. 

Ayant nommé les connues PM ouKQ.,«; 
M Q ou P K , b; K G , / ,• K H , g ; & la petite 
droite Op ou Km ou Sq , à y ; les triangles fem- 
blables PKG & pOP, QKH&^SQ don- 
neront PK(t).KG(/)::pO(^).OP = 

&£. Ec Q.K (a) . KH (g) : : qS (d}>) . SQ.= 
£-^. Or l'on fçait par la Géométrie commune que 
M R = 2^ NQ ^ QSx PM =&-*-**. Ainfî 

PQ a-+- b 

les triangles femblables mK M > M P T donneront 
mK (40 . RM (^£f&) : = MP (a). PT = 

a J~*~if ., Ce qu'il falloit trouver. ( Confulte\ U 

a-i-b 1 

Note vingt-deuxième. ) 



des Infiniment Petits. 47 

PROPOSITION XII. 

Problème. 

57.O oient deux ligna quelconques BN , FQ. 
( F/g. 26. PI. 2. ) qui ayent pour axes les droites 
BC,ED qui s 'entre-coupent a angles droits au 
point A ; Ùfoit une ligne courbe L M telle qu'ayant 
mené d'un de fes points quelconques M les droites 
M G Q., M P N parallèle a A B , A E ; la relation 
des efpaces EGQF ( le pointa efl un point fixe 
donné fur la droite A E , & la ligne E F ejl parai' 
lele a AC) APND, Ù les droites AP , P M , 
P N , GQ, foit exprimée par une équation quel- 
conque. Il ejl quejlion de mener d'un point donné 
M fur la courbe L M , la tangente M T. 

Ayant nommé les données & variables A P 
ou G M , x ,• P M ou A G ,;' ; P N , a ,■ G Q , k » 
l'efpace E G Q F . r ; l'efpace APND, n & les 
foutangentes données P H , a ; G K , b ; l'on aura 
P/? ou N S ou MR = dx , Gg ou JLrn ou O Q.= 

1 — dy ; S» = — du = — , à caufe des triangles 

a 

femblables HPN,NS«- Oq=d^ = ~ K &- , 

N?pnz=dt = udx,8zQGgq = ds = — K.dy; 
où l'on doit obferver que les valeurs de R m & 
S n font négatives , parce que A P (x) croiflant , 
P M (;)&PN(«) diminuent. Cela pofé , on 
prendra la différence de l'équation donnée , dans 
laquelle on mettra à la place de dt , ds , du , d\ 

leurs valeurs udx , — ■ \dy 3 — — , ■ — —■ ; ce ' 

u 



48 Analyse. 

qui donnera une nouvelle équation qui exprime- 
ra le rapport cherché de dy à dx , ou de MP à PT. 

Exemple I. 

3 8. S oit j + ^ = f + ax,on aura en prenant 
les différences ds -+- i\d\ = dt + udx ■+- xdu , & 
mettant à la place de ds, dt, d\, du leurs va- 
leurs , on trouvera . — \dy ^~ = 2udx — 



. d ou 1 on tire r I ( — - ) = -, r- 

y, ' N. dv y aux labiL 



b 
V- 

dy J bux — 2abu 

Exemple IL 

39.S01T j — ?, àonc ds = dt , c'eft-à-dire , 

— \dy = udx, & partant PT Q^) = — 'Ç. O* 

comme cette quantité eft négative, il s'enfuit 
( Art. 1 o. ) que l'on doit prendre le point T du 
côté oppofé au point A origine des x- i l'on iup- 
pofe que la ligne F Q toit une hyperbole qui ait 
pour afymptotes les droites AC, AE, enforte 

que G Q.(0 = "' & q ue la ^% nQ BND foit 
une droite parallèle à A B , de manière que PN 
(z*) foit par tout égale à la droite donnée c • il 
eft clair que la courbe L M a pour afymptote la 

droite A B , & que Ta ioutangente PT( — ~ } 

== — c : c'efl-à-dire qu'elle demeure par tout la 
même. 

La courbe L M eft appellée dans ce cas Lo- 
garithmique, ( Confultcz la Note vingt-troifteme- ) 

PROPORTION 



des Infiniment Petits. 43 

PROPOSITION XIII. 

Problème. 

400 oient deux lignes quelconques B N , F Q. 
( Fi g. 27. PI. 2. ) qui ayent four axe la même 
droite BA , fur laquelle foient marqués deux points 
fixes A , E ; foit une troifieme ligne courbe L M 
telle au 'ayant mené par un de fes points quel- 
conques M la droite A N , décrit du centre A 
l'arc de cercle MG,^ tiré G Q parallèle a 
E F , perpendiculaire fur A B ; la relation des 
efpaces E G Q.F ( s ) , ANB(t), & des droi- 
tes A M ou A G ( y ) , AN ( z ) , G Q. ( u ) , 
foit exprimée par une équation quelconque. Il faut 
mener d'un point donné M fur la courbe L M la 
tangente M T. 

Après avoir mené la droite ATH perpendi- 
culaire fur A MN, foit imaginé une autre droite 
Amn infiniment proche de A M. N , un autre 
arc mg , une autre perpendiculaire gq , & décrit 
du centre A le petit arc NS : on nommera les 
foutangentes données AH,«;GK, i; &oà 
aura Km ou Gg = dy , Sn = d^ ; les triangles 
femblables HAN&NSn, KGQ&QO^, 

donneront au m* S N := — , Où = — du = 

i 

-/■ ■> G Q.qg = — ds = v.dy , A N n ou A N x { 

NS = — dt ■='- ad\. On mettra toutes ces va- 
leurs dans la différence de l'équation donnée , «Se 
l'on en formera une nouvelle , d'où l'on tirera 

D 



50 Analyse 

une valeur de d\ en dy. Or à caufe des fecteurs Se 
des triangles femblables ANS&AMR,?»RM 
& M A T , on trouve A N (z) . AM O ) : : NS 

(^ ). MR = ^. Et H R(^) .RM (^) 

::AM(;).AT=^. Si donc l'on met 

dans cette formule a la place de d\ fa valeur en 
«/y , les différences fe détruiront , & la valeur de 
la foutangente cherchée AT fera exprimée en ter- 
mes entièrement connus. Ce qu'il falloir trouver 

Exemple I. 

4 1 o o i T uy — s =zzi — t , dont la différence 
eft udy -t- y du — ds = 2\dz_ — dt , ce qui donne 

( après la fubftitution faite ) dz ~ 4 " y ~ 2 "- y -^ : 

& en mettant cette valeur dans 52ZJ on trouve 

n d y 
A t = wfoyy — zw y \ 

Exemple IL 
42.3 oit s = 2t , donc <sfr= 2^ , c'efl-à-dire s 
— «a(y — — ^ , ou d\ =si £-£ i & partant A T 



r a yy a r -\ uyv 

ii J Xi 

Si la ligne BN eft un cercle qui ait pour centre 
îe point A , & pour rayon la droite ÀB=AN 
= c , & que FQ.loitunehyperboîc, telle que GQ. 

( u ) ^z ■U. j il eft clair que la courbe L M fait une 



y 



des Infiniment Petits. 51 
infinité de retours autour du centre A , avant que 
d ? y parvenir ( puifque lefpace F E GQ devient in- 
fini, lorfque le point G tombe en A), & que A T 

— fÙL. D'où l'on voit que la raifon de A M à AT 

ce 

eft confiante ; & partant que l'angle A M T eft 
eft par tout le même. 

La courbe L M eft appellée en ce cas Logarith- 
mique fpirale. (Confulte^la Note vingt-quatrième.) 

PROPOSITION XIV. 
Pr obléme. 

43. Soient fur un même plan deux courbes 
quelconques AMD , BMC (F/g. 28. PL 2.) 
qui fe touchent en un point M , & [oit fur le plan 
de la courbe BMC un point fixe L. S; l'on conçoit 
a prefent que la courbe BMC roule fur la courbe 
AMDra s'y appliquant continuellement , enforte 
que les parties révolues A M , B M [oient toujours 
égales entr elles ; il eft vifible que le plan BMC 
emportant le point L , ce point décrira dans ce 
mouvement une e[pèce de roulette I L K. Cela po[ê , 
je dis que [1 l'on mené dans chaque différente po[i- 
tion de la courbe BMC ( au point décrivant L au 
point touchant M ) la droite LM ; elle [era per- 
pendiculaire a la courbe I L K. 

Car imaginant fur les deux courbes AMD, 
BMC deux parties Mm, Mm égales entr'eiles 
& infiniment petites , on les pourra confidérer 
([Art. 3. ) comme deux petites droites qui font 
au point M un angle infiniment petit. Or afin 

D z 



52 Analysé 

que le petit côté Mm de la courbe ou poligone 
BMC tombe fur Je petit côté Mm du poligone 
AMD, il faut que le point L décrive autour 
du point touchant M comme centre un petit 
arc L /. Il eft donc évident que ce petit arc fera 
partie de la courbe ILK ; & par conféquent que 
la droite ML, qui lui eft perpendiculaire , fera 
aufli perpendiculaire fur la courbe ILK au point 
L. Ce qu'il falloit prouver. 

PROPOSITION XV. 

Problème. 

44. O o i t un angle recliligne quelconque MLN , 
( Fi g. 29. PL 2. ) dont les cotés LM, LN touchent 
deux courbes quelconques A M , B N. Si l'on fait 
glijjir ces cotés autour de ces courbes , enforte qu'ils 
les touchent continuellement • il eft clair que le 
fommet L décrira dans ce mouvement une courbe 
ILK. Il eft que/lion de mener une perpendiculaire 
LC fur cette courbe , la pofition de l'angle MLN 
étant donnée. 

Soit décrit xm cercle qui pane par le fommet 
L , & par les points touchans M , N 3 foit menée 
par le centre C de ce cercle la droite CL : je dis 
qu'elle fera perpendiculaire à la courbe ILK. 

Car confidérant les courbes AM , BN comme 
des poligones d'une infinité décotes ; tels que M;??, 
N?2 ; il eft évident que fi l'on fait glifler les côtés 
LM, LN , de l'angle recliligne MLN , qu'on 
fuppofe demeurer toujours le même , autour des 
joints fixes M , N , (on confidére les tangentes 



des Infiniment Petits. 55 
LM , LN comme la continuation des petits côtés 
M/, Ng ) jufqu'à ce que le côté LM de l'angle 
tombe fur le petit côté Mm du poligone AM & 
l'autre côté LN iur le petit côté Nn du poligone 
BN ; le ibmmet L décrira une petite partie L/ de 
l'arc de cercle M L N , puifque par la conftruc- 
tion cet arc en: capable de l'angle donné MLN. 
Cette petite partie ht fera donc commune à la 
courbe ILK ; & par conféquent la droite CL , 
qui lui ell perpendiculaire , fera aulîi perpendi- 
culaire fur cette courbe au point L» Ce qu'il fal- 
loit démontrer. 

PROPOSITION XV L 

Problème. 

45. Soit ABCD ( Fig. 32. PL 3.; une corde 
parfaitement flexible a laquelle [oient attachés dif- 
férens poids A , B , C , &c. qui ayent entreux 
tels intervalles A B , B C , ô'c. que l'on voudra. 
Si l'on traîne cette corde fur un plan horizontal 
par l'extrémité D , le long d'une courbe donnée 
DP ; il efl clair que ces poids fe difpoferont , enforte 
qu'ils feront tendre la corde , & qu'ils décriront 
enfaite des courbes A M , BN , CO , ô'c. On de- 
mande la manière d'en tirer les tangentes , la po- 
fition de la corde ABCD étant donnée avec la 
grandeur des poids. 

Dans le premier inftant que l'extrémité D 
avance vers P , les poids A , B , C , décrivent 
ou tendent à décrire autant de petits côtés ha , 
B ij Ce des poligones qui compofent les courbes 

D 3 



54 Analyse 

A M , BN , CO j & par conféquent il ne faut pour 
en mener les tangentes A B , BG , CK , que dé- 
terminer la direction des poids , A , B , C dans 
ce premier inftant , c'eft- à-dire , la pofition des 
droites qu'ils tendent à décrire. Pour la trouver , 
je remarque 

i°. Que le poids A efl tiré dans ce premier inf- 
tant fuivant la direction AB ; & comme il n'y a 
aucun obftacle qui s'oppofe à cette direction , 
puifqu'il ne traîne après lui aucun poids, il la doit 
fuivrej & partant la droite AB fera la tangente 
en A de la courbe A M. 

2°. Que le poids B eft tiré fuivant la direction 
BC ; mais parce qu'il traîne après lui le poids A 
qui n'eft pas dans cette direction , 6c qui doit par 
conféquent y apporter quelque changement , le 
poids B n'aura pas fa direction fuivant BC , mais 
fuivant une autre droite BG , dont il faut trouver 
ïa pofition. Ce que je fai=; ainfi. 

Je décris fur B C comme diagonale le rectangle 
E F , dont le côté B g eft fur AB prolongée ; Se 
fuppofant que la force avec laquelle le poids tt eft 
tiré fuivant BC , s'exprime par BC , il eft vifible 
par les règles de la Mécanique , que cette force 
BC fe peut partager en deux autres B E & B F , 
ç'eft-à-dire , que le poids B étant tiré fuivant la. 
direction BC par la force BC, c'eft la même 
chofe que s'il étoit tiré en même tems par la force 
B E fuivant la direction B E , & par la force B F 
fuivant la direction BF. Or lé poids A ne s'oppoie 
pointa la direction BE, puifqu'elle lui eft per- 



des Infiniment Petits. 55 
pendiculaire ; & par conféquent la force BE 
fuivant cette direction demeure toute entière : 
mais il s'oppofe avec toute fa pefanteur à !a di- 
rection BF. Afin donc que le poids B avec la 
force BF vainque la réfiftance du poids A , il faut 
que cette force fe diftribue dans ces poids à pro- 
portion de leurs malles ou grandeurs : c'eft pour- 
quoi fi l'on divife EC au point G , enforte que 
C G foit à G E comme le poids A au poids B ; 
il eft clair que E G exprimera la force reftante 
avec laquelle le poids B tend à le mouvoir fuivant 
la dire&ion B F , après avoir vaincu la réfiftance 
du poids A. Il eft donc évident que le poids B eft 
vrè en même tems par la force B E fuivant la di- 
rection BE , & par la force EG fuivant la di- 
rection B F ou E C » & partant qu'il tendra à 
aller par BG avec la force B G: c'eft à-dire, que 
BG fera fa direction , & par conféquent tan- 
gente en B de la courbe BN. 

3 . Pour avoir la tangente CK , je forme fur 
CD comme diagonale le rectangle HI, dont le 
côté G I eft fur B C prolongée ; & je vois que le 
poids B ne réfifte point à la force C H avec la- 
quelle le poids C eft tiré fuivant la direction C H , 
mais bien à la force C I avec laquelle il eft tiré 
fuivant la direction CI, & de plus que le poids 
A réfifte auflî à cette force. Pour fçavoir de com- 
bien , je tire A L perpendiculaire fur C B pro- 
longée du côté de B , & je remarque que fi A B 
exprime la force avec laquelle le poids A eft tire 
fuivant la dire&ion AB , BL exprimera celle avec 

E>4 



5<5 Analyse 

laquelle ce même poids A eft tiré fuivant la 
direction BC ; de iorte que le poids C avec' 
la force C L doit vaincre le poids entier B , ôc 
de plus une partie du poids A qui eft: à ce poids 
A comme B L eft à B A , ou B F à B C. Si 

donc l'on fait B -f- ^~I. C : : D K . K H , il 

eft clair que C K fera la direction du poids C , 
& par conféquent la tangente en C de la troi- 
fieme courbe CO. 

Si le nombre des courbes étoit plus grand , 
on trouveroit de la même manière la tangente 
de la quatrième , cinquième , &c. Et fi l'on 
vouloit avoir les tangentes des courbes décri- 
tes par les points moyens entre les poids , on 
les trouveroit par l'art. 36. ( Voyc\ la Note 25. ). 




des Infiniment Petits. 57 



SECTION III. 

Ufage du calcul des différences pour trouver les plus 
grandes à les -moindres appliquées , oàfe rédui- 
fent les que/lions De maximis & minimis. 

Définition I. 

SO 1 t une ligne courbe MD M ( F/g. 30. 31. 
33. 34. PI. 2. & 3.) dont les appliquées P M , 
ED,PM foient parallèles entre'elles , & qui foit 
telle que la coupée A P croiffant continuellement, 
l'appliquée P M croiffe auflî jufqu'à un certain 
point E , après lequel elle diminue ,' ou au con- 
traire qu'elle diminue jufqu'à un certain point E , 
après lequel elle croiffe. Cela pofé. 

La ligne E D fera nommée la plus grande ou 
la moindre appliquée. 

DÉFINITION H. 

Si l'on propofe une quantité telle que P M , qui 
foit compofée d'une ou de plufieurs indéterminées 
telles que AP , laquelle AP croiflant continuel- 
lement , cette quantité P M croiffe aufli jufqu'à 
un certain point E, après lequel elle diminue , ou 
au contraire ; & qu'il faille trouver pour A P, une 
valeur AE telle que la quantité ED qui en eft 
compofée , foit plus grande ou moindre que toute 
autre quantité P M femblablement formée de A P. 
Cela s'appelle une queftion De maximis & minimis. 



58 'Analyse 

PROPOSITION 

Générale. 

46.JL; a nature de la ligne courbe M D M étant 
donnée ; trouver pour AP une valeur AE telle que 
l'appliquée E I ) foit la plus grande ou la moindre 
de fes fomb labiés P M. 

Lorfque A P croiflant , P M croît auflï ; il eft 
évident ( Art. 8. 10.) que fa différence R m fera 
pofitive par rapport à cel'e de AP ; & qu'au con- 
traire lor que P M diminue , la coupée A p croif- 
fant toujours, fa différence fera négative. Or toute 
quantité qui croît ou diminue continuellement, 
ne peut devenir de pofitive négative , qu'elle ne 
parle par l'infini ou par le zéro ; fçavoir par le zéro 
lorfqu'elle va d'abord en diminuant, & par l'infini 
lorfqu'elle va d'abord en augmentant. D'où il fuit 
que la différence d'une quantité qui exprime un 
plus grand ou un moindre , doit être égale à zéro 
ou à l'infini. Or la nature de la courbe M D M 
étant donnée , on trouvera ( Se5l. 1. ou 2. ) une 
valeur de Rw, laquelle étant égalée d'abord à 
zéro , &c enfui te à l'infini , fervira à découvrir la 
valeur cherchée de A E dans l'une ou l'autre de 
ces luppofitions. 

Remarque. 

47'JL/ a tangente en D (F/g. 30. 3 t PL 2. ) eft 
parallèle à l'axe A B . lorfque !a différence K m 
devient nulle dans ce point ; mais lorfqu'elle de- 
vient infinie , la tangente fe confond avec l.'appli- 



dès Infiniment Petits. 59 
quée ED. (F/g. 33. 34. PL 3.) D'où l'on voit 
que la raifon de m R à R M , qui exprime celle de 
l'appliquée à la foutangente , eft nulle ou infinie 
fous le point D. 

On conçoit aifément qu'une quantité , qui di- 
minue continuellement , ne peut devenir de pofi- 
tive négative lans paiTer par le zéro ; mais on ne 
voit pas avec la même évidence que lorfqu'elle 
augmente , elle doive paiTer par l'infini. C'eft 
pourquoi pour aider l'imagination , l'oient enten- 
dues des tangentes aux points M, D , M ; ( Fig, 
30. 31. PI. 2.) il eft clair dans les courbes où 
la tangente en D eft parallèle à l'axe A B , que 
la foutangente PT augmente continuellement à 
mefure que les points M , P , approchent des 
points D , E ; & que le point M tombant en D, 
elle devient infinie ; Se qu'enfin lorfque AP fur- 
paffe A E, la foutangente P T devient ( Art. io.) 
négative de pofitive qu'elle étoit , ou au contraire. 
( Confultc\ la Note 26. ) 

Exemple I 

48.S upposons que x 5 -t-y = axy ( A P = x , 
P M —y , AB = a) ( Fig. 35. PL 3 . ) exprime 
la nature de la courbe MD M. On aura en pre- 
nant les différences ixxdx -+- ^yydy — axdy+aydx, 

oc dy = - == , lorlque le point P 

$yy — ax *. r 

tombe fur le point cherché E , d'où l'on tire y = 
2 — ; Se fubftituant cette valeur à la place de y 

a 1 

dans l'équation x' -t-y = axy , on trouve pour 



6o Analyse 

A E une valeur x = j a y 2 telle que l'appliquée 
E D fera plus grande que toutes les femblables 
P M. ( Confulte\ la Note vingt-feptieme. ) 

Exemple II. 



4ç-OOïT_y — a = a • x a — x J , l'équation qui 
exprime la nature de la courbe Al D M. ( Fig. 3 3. 
P/. 3. ) On aura en prenant les différences , ày =: 

2 ci y? * 7 

^ que j'égale d'abord àzero ; mais parce que 

cette fuppofition me donne - rdx]/a — qui ne peut 

faire connoître la valeur de A E , j'égale enluite 
j 

} a I innni , ce qui me donne l'y a — x=o; 

3V a x 

d'où l'on tire x = a , qui eft la valeur cherchée 
de A E. ( Confiâtes le Note vivgt-huiticme. ) 

Exemple III. 

50. vj o 1 t une demie roulette accourcie A M F, 
{Fig, 36. PL 3.) dont la bafe B F eft moindre 
que la demi-circonférence A N B du cercle gé- 
nérateur qui a pour centre le point C II faut dé- 
terminer le point E fur !e diamètre A B , en forte 
que l'appliquée E D foit la plus grande qu'il eft 
pofllble. 

Ayant mené à difcrétion l'appliquée P M qui 
coupe le demi-cercle en N , on concevra à l'ordi- 
naire aux points M , N , les petits triangles MRw, 
NSh, & nommant les indéterminées AP, x ; 
PN.^i l'arc A N , a i & les données A JN B , a ; 



des Infiniment Petits. 6 i 
BF,i;CA ou CN,c; l'on aura par la pro- 
priété de la roulette ANB(a).BF(t)::AN 

0<) . N M .= -. Donc P M = i + — , & fa dif- 

férence R m — a — L - — "- ■== o lorfque le point P 

tombe au point cherché E. Or les triangles rectan- 
gles NS/2, N P C font femblables ; car fi l'on ôte 
des angles droits CNw, P N S l'anele commun 
C N S , les reftes S N n , PNC feront égaux. Et 
partant C N (c) . C P ( c — x ) : : N » ( du ) . S n 

, , v ciu — xdu tn. 

( d\ ) = . Donc en mettant cette va- 
leur à la place de d\ dans ad\ -j- bdu = o , on trou- 

acdu — axdu — (- bcdu u \ ' u 

vera z=o , a ou 1 on tirera x 

c 

bc 

( qui eft en ce cas A E ) =2 c h — . 

Il eft donc évident que fi l'on prend C E du 
côté de B quatiieme proportionnelle à la demi- 
circonférence A N B , à la baie B F , & au ra- 
yon C B . le point E fera celui qu'on cherche, 
( Confulte^ la Note vingt-neuvième. ) 

Exemple IV. 

5 i . C^, o u p e r la ligne donnée A B ( Fig. 5 5. 
PI. 3.) en un point E , enlorte que le produit 
du quarré de l'une des parties A E par l'autre 
EB , foit le plus grand de tous les autres produits 
formés de la même manière. 

Ayant nommé l'inconue A E , x ; Se la don- 
née A B , a ; on aura A E x E B = axx — x 3 , 



62 Analyse 

qui doit être un plm grand. C'eft pourquoi oh 
imaginera une ligne courbe M DM, telle que la 
relation de l'appliquée M P (j/ ) à la coupée A P 

(\ r ■ • i u ' • axx — x$ 
x) ioit exprimée par 1 équation^ = , & 
a a 

on cherchera un point E tel que l'appliquée E D 
foit la plus grande de toutes fes femblables P M ; 

. » , 2axdx — ■ 'ïxxàx ,, N ,, 

ce qui donne dy = = o , d ou 1 on 

1 a.t 

tire AE(x)=j-2. 

n 

Si l'on veut en général que x m x a • — x Toit un 
plus grand Cm Si n peuvent marquer tels nombres 
qu'on voudra ) , il faudra que la différence de ce 
produit foit égale à zéro ou à l'infini , ce qui don- 

~- n * n i 

new»x m ' dx X a — x — na — x dxXx m = 



0,d'où endivifant par x m 'xa—x dx,Yori 

tire am — mx — nx =»,&AE(x)= a. 

N ' m-+- n 

Si m = 2 , & n — — i , l'on aura AE= 2a , 
& il faudra alors énoncer le Problême ainfi. 

Prolonger la ligne donnée AB ( F/g 37. Pi. 3) 
du côté de B en un point E, enforte que la quan- 

tité -tt- 7 foit un moindre , & non pas un plus 

grand ; car l'équation à la courbe M D M fera 

xx = y , dans laquelle fi l'on fuppofex=â , 

l'appliquée P M qui devient B C fera — , c'eft-à- 

dire, infinie ; & fuppofant x infinie, l'on aura y 
=x, c'eft-à-dire , que l'appliquée fera auffi infinie. 



des Infiniment Petits. 63 

Sitf2=± 1 , & n = — 2 , l'on aura A E= - a; 
d'où il fuit que l'on doit énoncer le Problème 
alors en cette forte. 

Prolonger la droite donnée A B ( F/g. 38. PL 
3. ) du côté de A en un point E , enforte que la- 
quantité J^ A fait plus grande que toute au- 
BE 

tre quantité femblable — ^1 — ■ ( Confultei la 

Note trentième, ) 

Exemple V. 

5 2. L a ligne droite AB ( F/g. 3 9. PI 3. ) étant 
diviféc en trois parties A C , C F" , F B , il faut 
couper fa partie du milieu G F au point E , en- 
forte que le rapport du rectangle r ExEB au 
rectangle C E x E F foît moindre que tout au- 
tre rapport formé de la même manière. 

Ayant nommé les données AC , a ; CF , b ; 
C B , c ; & l'inconnue C E , x ; l'on aura A E = 
«-fï,E8 = f-x, EF=t-x, & partant 
le rapport de A E x E B à C E x E F fera 



ac -t- ex — ax — xx 



qui doit être un moindre. C'eft 

bs — xx '■ 

pourquoi fi Ion imagine une ligne courbe MDM, 

telle que la relation de l'appliquée P M 00 à la 

coupée C P ( x ) foit exprimée par l'équation y = 

aa L± ac X —aax- a xx ^ ft ; on fc féduit à 

bx — xx 

trouver pour x une valeur C E telle que l'appli- 



64 Analyse 

quée E D foit îa moindre de toutes fes fembla- 
bles P M. On formera donc ( en prenant les dif- 
férences , & divifant enfuite par adx ) l'égalité 
cxx — axx — bxx -j- 2acx — abc == o , dont l'une 
des racines réfout la queftion. 

Si c — a h- b , l'on aura x = { b- ( Confulteç 
la Note trente-unième. ) 

Exemple VI. 

5 3-il,NTRE tous les Cônes qui peuvent être 
infcrits dans une fphére déterminer celui qui a la 
plus grande furface convexe. 

La queftion fe réduit à déterminer fur le dia- 
mètre AB du demi- cercle AFB ( Fi g. 40. P/. 3. ) 
le point E ; enforte qu'ayant mené la perpendi- 
culaire EF, & joint AF, le rectangle AFxFE 
foit le plus grand de tous fes femblables ANxNP. 
Car fi l'on conçoit que le demi-cercle AFB fafle 
une révolution entière autour du diamètre AB , il 
eft clair qu'il décrira une fphére , & que les trian- 
gles rectangles A E F , A P N décriront des cônes 
infcrits dans cetre fphére , dont les furfaces con- 
vexes décrites par les cordes A F , AN, feront 
entr'elles comme les rectangles AFxFE, ANxNP. 

Soit donc l'inconnue A E = x , la donnée AB 
= a , on aura par la propriété du cercle A F = 
\/ax , E F = \/ax— xx ; & partant AFxFE 
£= \/aaxx — axi qui doit être un plus grand. 
C'efl pourquoi on imaginera une ligne courbe 
M D M telle que la relation de l'appliquée P M 
(y ) à la coupée A P ( x ) foit exprimée par l'é- 
quation. I 



d es Inf iniment Fetits. 65 

quation aaxx "*' — y ; & l'on cherchera lé 

point E , enforte que l'appliquée E D foit plus 
grande que toutes les femblables P M. On aura 

donc en prenant la différence 2ax x ? X J*L? — . 

2V aaxx ax* 

d'où l'on tire A E (x) = \ a. ( Con.fulte\ la Noté 
trente-deuxième. ) 

Exempie VIL 

I 

54. (Jn demande entre tous les Parallélépipèdes 
égaux à un cube donné a> , & qui ont pour un 
de leurs côtés la droite donnée b , celui qui a là 
moindre fuperficie. 

Nommant x un des deux côtés que l'on cher- 
che , l'autre fera — ; & prenant les plans alterna- 
tifs des trois côtés b , x , — du parallélépipède $ 

leur fommefçavoir bx + — -+--r- fera la moitié 
* x b 

de fa fuperficie qui doit être un moindre. C'efi 

pourquoi concevant à l'ordinaire une ligne courbe 

/ bx aa. aa «. 

qui ait pour équation \- — h — =:/,l on trou» 

h, . _-, bdx aaix 
différence — . =3 o ^ 

d'où l'on tire xx = — , & x = l/~ ; de forte 

b b 

que les trois côtés du parallélépipède qui fatisfait 
à la queftion, feront le premier b, le fécond v/^- j 



66 Analyse 

& le troifïeme i/4- D'où l'on voit que les deux 

r b 

côtés que l'on cherchoit , font égaux entr'eux. 
( Confultel la Note trente-tfoifieme. ) 

Exemple V 1 1 1. 

5 5. On demande préfentement entre tous les 
Parallélépipède? qui font égaux à un cube donné 
a} , celui qui a la moindre fuperficie. 

Nommant x un des côtés inconnus , il eft clair 
par l'exemple précédent, que les deux autres côtés 

feront chacun V 7 ^ J & partant la fomme des 

plans alternatifs qui eft la moitié de la fuperficie , 

f era t- + 2 i/V x qui doit être un moindre. C'eft 
x ri 

. r t-rrt a} àx O^ ' d)C J>„,\ 

pourquoi fa différence — -^- -t- ^j^ = , û ou 

l'on tire x'== a ; & par conféquent les deux autres 
côtés feront aufli chacun =« \ de forte que le cu- 
be même donné fatisfait à la queftion. 

Exemple IX. 

5 6. La ligne AEB (Ffg. 41. P/. 3.) étant 
donnée de pofition fur un plan avec deux points 
fixes C , F ; & ayant mené à un de fes points 
quelconques P deux droites CP f : « ) , PF ( t ) » 
foit donnée une quantité compofée de ces indé- 
terminées u & \ , & de telles autres droites don- 
nées a , b , 8cc. qu'on voudra. On demande qu'elle 
doit être la pofition des droites CE , EF , afin 
que la quantité donnée , qui en eft compofée , 



t>ES Infiniment Petits. 6f 

foit plus grande ou moindre que cette quantité ) 
loriqu'elle eft compofée des droites CP , PF. 

Suppofons que les lignes CE, EF ayent là 
pofition requife ; & ayant joint CF, concevons 
une ligne courbe D M , telle qu'ayant mené à 
difcrétion PQ.M perpendiculaire fur CF, l'ap- 
pliquée QM exprime la quantité donnée : il eft 
clair que le point P tombant au point E , l'appli= 
quée QM qui devient CD, doit être la moin- 
dre ou la plus grande de toutes fes femblables. 
11 faudra donc que fa différence foit alors égale 
à zéro ou à l'infini : c'eft pourquoi fi la quantité 
donnée eft , par exemple , a u + k% , Ion auri 
a du-\- 2-^à x = o , & par coniéquent d u * 
— d\ : : i\.a. D où l'on voit déjà que à \ doit 
être négative par rapport à du 3 * c'eft-à-dire g 
que la pofition des droites CE , EF doit être 
telle que u croiflant , \ diminue. 

Maintenant fi l'on mené E G perpendiculaire 
à la ligne A E B , & d'un de fes points quel- 
conques G les perpendiculaires GL , G I fur 
CE, E F ; & qu'ayant tiré par le point e 
pris infiniment près de E , les droites CKe , 
F e H , on décrive des centres C , F les petits 
arcs de cercle E K , EH : on formera les triant 
gles re&angles ELG&EKe, EIG & EHe 9 
qui feront femblables entr'eux ; car fi l'on ôte 
des angles droits G E e , L E K le même angle 
£, E e , les reftes L E G , K E e feront égaux 5 
on prouvera de même que les angles IEG, 
HEe feront égaux, On aura donc G L . G I 

E: 



68 Analyse' 

: : K e Ç du ) . H e (— d\ ) : : 2 5[ . «. D'où i! 
fuit que la poiition des droites CE, Et doit 
être telle qu'ayant mené la perpendiculaire EG 
fur la ligne AEB; le finus GL de l'angle GEG 
foit au fmus G I de l'angle G E F , comme les 
quantités qui multiplient d\ font à celles qui 
multiplient à u. Ce qu'il falloit trouver. ( Con- 
fulte\ la Note trente-quatrième. ). 

Corollaire. 

57. 01 l'on veut à préfent que la droite CE 
foit donnée de pofition & de grandeur , que la 
droite E F le foit de grandeur feulement , & 
qu'il faille trouver fa pofition , il eft clair que 
l'angle G E C étant donne , fon finus G L le 
fera aufîl , & par conféquent le finus G I de 
l'angle cherché G E F. Donc fi l'on décrit un 
cercle du diamètre E G , & que l'on porte la 
valeur de G I fur fa circonférence de G en I ; 
la droite E F qui pane par le point I aura la 
pofition requife. 

Soit a u ■+■ b\ la quantité donnée ; on trouvera 

C* T 

G I — — 7 — ; d'où l'on voit que quelque lon- 
gueur qu'on donne à E C & à E F , la pofition 
de cette dernière fera toujours la même , puis- 
qu'elles n'entrent point dans la valeur de Gï , qui 
par conféquent ne change point. Si a =. b , il eft 
clair que la pofition de E F doit être fur C E pro- 
longée du côté de E ; puifque G L = G 1 , lorfque 
les points C, F tombent de part & d'autre de la 



des Infiniment Petits. 69 
ligne AEB:mais lorfqu'ils tombent du même 
cote , l'angle F E G ( F/g. 42. PL 5. ) doit être 
pris égal à l'angle C E G. 

Exemple X. 

5 8 *L e cercle AEB ( Fig. 42. PL 3. ) étant 
donné de pofition avec les points C , F hors de 
ce cercle ; trouver fur fa circonférence le point E 
tel que la fomme des droites CE, EF foit la 
moindre qu'il eft po!ïible. 

Suppofant que le point E foit celui que l'on 
cherche ; & menant par le centre O la ligne 
OEG, il eft clair qu'elle fera perpendiculaire 
fur la circonférence AEB; & partant ( Art. 
57. ) que les angles F E G , C E G feront égaux 
entr'eux. Si donc l'on mené E H , enforte que 
l'angle E H O foit égal à l'angle CEO, Se 
de même EK, enforte que 1 angle E K O foit 
égal à l'angle F E O , & les parallèles E D , 
EL à OF,OC; on formera les triangles fem- 
blables OCE & OEH, OFE&OEK , 
HDE & KLE; & en nommant les connues 
OE ou OAouOB, a; OC.ijOF, c j 6c 
les inconnues O D ou L E , x ; D E ou O L , y ; 

l'on aura OH = ^,OK = -,& HD (x — 

b c 

~ ) . DE (j, ) : : KL (y — ~ ) . LE (xj.Donc xx 

aax aay . n , \ 

■ — ■ -7— == y y — • — - , qui eft une équation a une 

hyperbole que l'on conftruira facilement , & 
qui coupera le cercle au point cherché E. 

E 3 



yo Analyse 

( Confultei la Note trente-cinquième- ) 

Exemple XI. 

59-\J n voyageur partant du lieu C ( Fig 43. 
ÏV. 3. ) pour aller au lieu F , doit traverfer deux 
campagn .-■ réparées par la ligne droite A E B. 
On fuppofe qu'il parcourt dans la campagne du 
côté C l'efpace a dans le temps c , & dans l'autre 
du côté de F l'eipace b dans le môme tems c : on 
demande par quel point E de la droite A E B il 
doit paffer , afin qu'il employé le moins de tems 
qu'il efl poffible pour parvenir de G en F. Si l'on 

fait«.CE(«)::c-^. Et£ . EF (?) ': : c. 

^-. Il efl clair que — exprime le temps que le vo- 
yageur employé à parcourir la droite C E , & de 
même que -£- exprime celui qu'il employé à par- 
courir E F; de forte que— •+- j doit être un 

moindre. D'où il fuit ( Art. 5 6. ) qu'ayant mené 
Ë G perpendiculaire fur la ligne A B ; le finus de 
l'angle G E C doit être au finus de l'angle GEF , 
comme a efl à b. 

Cela pofé , fi l'on décrit du point cherché E , 
comme centre, de l'intervalle EC, le cercle CGH, 
& qu'on mené fur la droite A E B les perpendicu- 
laires CA, HD , F B , & fur C E , E F les per- 
pendiculaires G L , G I £ l'on aura ai:: GL . 
pI.OrGL = AE,&GI = ED, parce que 
les triangles reftangles GEL&ECÂ, G E l 



des Infiniment Petits. 71 
& E H D font égaux 8c iemblabies entr'eux , com- 
me il eft facile à prouver. C'eft pourquoi fi l'on 
nomme l'inconnue A E , x; on trouvera E D 

5= — : & nommant les connues AB,/; A C , g ; 

a 

B F , h ; les triangles femblables E B F , E D H 
donneront E B (/— x ) . B F ( h ) : : E D ( - ). 



a. 



bhx 



DH = — . Mais à caufe des triangles rectan- 

af — ax ° 

gles EDH, EAC, qui ont leurs hypothenufes 
EH.EC égales , l'on aura ÊD* + DH= ËÂ' 

H- AG , c'eft-à-dire, en termes analytiques, ~±r. -4- 

bbhhxx t\ r *.. .. i 

xx + gg : De lorte que otant les 



aajf- 2tuijx + auxx 

fra&ions , & ordonnant enfuite l'égalité , il vien- 
dra aax* — laafx 3 •+■ aaffxx — 2aafggx -+- aaffgg j= 0. 
— bb -+- ibbf -+- aagg 

-bbff 

— bbhh 

On peut encore trouver cette équation de la 
manière qui luit, fans avoir recours à l'exemple 9. 

Ayant nommé comme auparavant les connues 
AB,/jAC,giBF,A;& l'incon nue A fi , x ; 

on fera a ,CE( ]/ gg -t-xx) ■ : c . CJp s~^ x ^ — au 

tems que le voyageur employé à parcourir la droi - 
te CE. Et de même b . EF ( ]/}_/ — 2/# -+- xx -*- AA ) 

; ; C , e/ff—zfx-i-xx-t-hh _ au ^^ qu£ Jg YQya _ 


E 4 



j% Analyse 

geur employé à parcourir la droite EF. Ce qui fera 

. ss -- — - -| JJ - 1— — a un moindre ; & 

a ? 

r ,.„., cxdx cxdx — cfdx 

partant fa différence •+• 

= 0; d'où l'on tire, en divifant par cdx & en 
ôtant les incommeniurables, la même égalité que 
ci-devant , dont l'une des racines fournira pour 
A K la valeur qu'on cherche. ( Confulte^ la Note 
trente- fixieme. ) 

Exemple XII, 

60. S o i t une poulie F ( F/g. 44. PL 5. ) qui 
pend librement au bout d'une corde CF atta- 
chée en C, avec un plomb D fulpendu par la 
corde D F B qui pafle au-defTus de la poulie F , 
§c qui efl attachée en B , enforte que les points 
C , B font fitués dans la même ligne horizontale 
C B. On fuppofe que la poulie & les cordes 
n'ayent aucune pcfanteur ; & l'on demande en 
quel endroit le plomb D , ou la poulie F doit 
■«'arrêter. 

Il eft clair par les principes de la Mécanique 
que le plomb D defcendra le plus bas qu'il lui fera 
poffible , au-deffous de l'horizontale C B ; d'où il 
luit que la ligne à plomb D F E doit être un plus 
grand. C'eft pourquoi nommant les données CF, 
i '; D F B 3 b ; CB,c ;& l'inconnu e C E , x ; Ton 

aura E F = y aa — >.x , F B = y aa -+- ce — 2cx t 
<j& D F E = b — y aa -h ce — 2cx -+- |/ aa — xx 

qui doit être un plus grand 5 ôc partant fa diffé- 



des Infiniment Petits. 73 
rence edx — - xix — , d'où l'on tire 

Vaa -+- ce icx Vua xx 

2CX i — iccxx — aaxx -*-aacc = , & divifant par 
x — c , il vient 2cxx — aax- aac = o , dont l'une 
des racines fournit pour C E une valeur telle que 
la perpendiculaire E D pane par la poulie F & le 
plomb D , lorfqu'ils font en repos. 

On pourroit encore réfoudre cette queftion 
d'une autre manière que voici. 

Nommant E F , y ; B F , ç ; l'on aura b 
— ^ 4. y — à un plus grand ; & partant ày=â\. 
Or il eft clair que la poulie F décrit le cer- 
cle CFA autour du point G comme centre ; 
& partant fi du point / pris infiniment près de 
F , l'on mené /R parallèle à C B , 6c fS per- 
pendiculaire fur BF , l'on aura FR=^, & FS 
= d^. Elles feront donc égales entr'elles ; Se par 
conféquent les petits triangles rectangles FR/, 
FS/, qui ont de plus Phypothénufe F/ commune, 
feront égaux & femblables ; d'où l'on voit que 
l'angle RF/ eft égal à l'angle S F/, c'eft-à- 
dire, que le point F doit être tellement fitué 
dans la circonférence FA , que les angles faits 
par les droites E F , F B fur les tangentes en F , 
foient égaux entr'eux : ou bien ( ce qui revient 
au même) que les angles BFC, DFG foient 
égaux. 

Cela pofé, fi l'on mené F H , enforte que l'an- 
gle F H C foit égal à l'angle C F B ou C F 1) ; les 
triangles C B F , C F H feront femblables ; comme 
auifi les triangles rédangles E C F , E F H , puif- 



74 Analyse 

que l'angle C F E eft égal à l'angle F H E , étant 
l*un & l'autre le complément à deux droits , des 
angles égaux F H C , CFD ; & par conféquent 

onauraCHrry, &HE(.v--). EF (;) 

;: EF(;/).EC(x). Doncxx — a -^ =yy = a a 

— xx par la propriété du cercle , d'où l'on tire 
la même égalité que ci-devant. 

Exemple XIII. 

6 1 . J_y élévation du pôle étant donnée , 
trouver le jour du plus petit crépufcule. 

Soit G C Fig. 45 PL 3. ) le centre de la fphére ; 
APTOBHQle méridien ;HD^O l'horifon ; 
Q E e T le cercle; crépufculaire parallèle à l'ho- 
rifon ; A M N B l'équateur ;FEDGla portion 
du paral'ele à l'équateur , que décrit le Soleil le 
jour du plus petit crépufcule , renfermée entre les 
plans de l'horiion & du cercle crépufculaire ; P le 
pôle auftral ; P E M , ? D N des quarts de cer- 
cles de déclinaifon. L'arc H Q ou O T du mé- 
ridien compris entre l'horifon & le cercle crépuf- 
culaire , & l'arc O ? de l'élévation du pôle font 
donnes ; & par conséquent leurs finus droits 
Cl ou FL ou Q.X, & UV L'on cherche le 
iinus C K de l'arc E M ou D N de la décli- 
naifon du Soleil , lorfqu'il décrit le parallèle E D. 

S'imaginant une autre portion fedg d'un 
parallèle à l'équateur , infiniment proche de 
FEDG , avec les quarts de cercle Pew, 
Y an ; il eft clair que le tems que le Soleil 



des Infiniment Petits. 75 
employé à parcourir l'arc E D , devant être un 
moindre , la différence de l'arc M N qui en eft 
la mefure , & qui devient m n lorfque Ë D de- 
vient ed, doit être nulle; d'où il fuit que les 
petits arcs Mm , N» , & par conféquent les 
petits arcs Re, Sd, feront égaux entr'eux. Or 
les arcs RE, S D étant renfermés entre les 
mêmes parallèles ED, ed, font auflï égaux, 
& les angles en S & en R font droits. Donc 
les petits triangles rectangles ERe, DSd (que 
l'on confidére comme rectiiignes (Art. 3.) à 
caufe de l'infinie petitefle de leurs côtés ) , fe- 
ront égaux & femblables ; & par conféquent les 
hypothénufes Ee , Dd feront auflï égales entr'elles. 
Cela pofé , les droites D G , K F , dg , ef com- 
mune fections des plans F E D G , fedg parallèles 
à.réquateur,avec l'horizon & le cercle crépufcu- 
laire , feront perpendiculaires l'ur les diamètres 
HO, Q.T , puifque les plans de tous ces cercles fe- 
ront perpendiculaires chacun fur le plan du méri- 
dien ; & les petites droites G g , F/ feront égales 
entr'elles , puifque les droites F G, fg font paral- 
lèles. Donc |/d7 — G / ou D G — d g = 

y^e — Yf ou fe — F E. Or il eft clair par ce 
que l'on a démontré dans l'article 50. que û l'on 
mené à difcrétion dans un demi-cercle deux ap- 
pliquées infiniment proches , le petit arc qu'elles 
renferment , fera à leur différence , comme le ra- 
yon eft à la coupée depuis le centre , ce qui donne 
ici (à caufe des cercles HDO,QET)CO.CG 



yS Analyse 

: : Dd ou E e . D G — dg ou fe — F E : : I Q . I F 
: :CO + IQouOX.CG+IFouGL. Mais à 
caufe des triangles rectangles femblables C V O , 
CKG,FLG, l'on aura CO.CG::OV.GK. 
EtGK.GL::CK.FLouQX. Donc OV . 
C K : : OX . X Q. : : X Q. . X H par la propriété 
du cercle : c'eft- à-dire, que fi l'on prend QX 
pour le rayon ou finus total dans le triangle 
recïangle g X H , dont l'angle H Q X eft de 9 
degrés , parce que les Aftronomes font l'arc HQ 
de 1 8 degrés , l'on aura comme le finus total 
eft à la tangente de 9 degrés , de même le fi- 
nus de l'élévation du pôle eft au finus de la 
déclinaifon auftrale du Soleil dans le tems du 
plus petit crépufcule. D'où il fuit que fi l'on 
ôte 0.8002875 du logarithme du finus de l'é- 
lévation du pôle ; le refte fera le logarithme du 
finus cherché. Ce qu'il falloit trouver- ( Con~ 
fulte\ la Note trenie-feçtkrne. ) 



'**&«#* 



des Infiniment Petits. jy 



SECTION IV. 

Vf'ige du calcul des différences pour trouver les 
points d'inflexion & de rehrouffement. 

CO m m e l'on fe fervira dans la fuite des 
différences fécondes , troifiemes , &c il 
eft néceffaire d'en donner une idée avant que 
d'aller plus loin. 

DÉFINITION I. 

La portion infiniment petite dont la diffé- 
rence d'une quantité variable augmente ou di- 
minue continuellement , eft appellée la différence 
de la différence de cette quantité , ou bien fa 
différence féconde. Ainfi fi l'on imagine une troi- 
fieme appliquée nq (F/g. 46. PL 3.) infiniment 
proche de la féconde m p , & qu'on mené m S 
parallèle à AB, & rnYi parallèle à RS; on ap- 
pellera H» la différence de la différence Rro, 
ou bien la différence féconde de Y M. 

De même il Ton imagine une quatrième ap- 
pliquée of infiniment proche de la troifieme 
n q , 8c qu'on mené n T parallèle à AB, & 
bL parallèle à ST; on appellera la différence 
des petites droites H»,Ls, la différence de la 
différence féconds , ou bien la différence troifieme 
de P M. Et ainfi des autres. ( Voye\ la Note 38.) 



78 Analyse 

Avertissement. 

On marquera dans la fuite chaque différence 
par un nombre de d qui en exprime l'ordre ou 
le genre. Par exe?nple , on marquera par dd la 
différence féconde ou du fécond genre • par ddd 9 
la différence troifieme ou du troifieme genre * par 
dddd , la différence quatrième ou du quatrième 
genre , & de même des autres. Ainfi ddy expri- 
mera fin • dddy , Lo — Hn ou Hn — Lo , fie. 

Quant aux puijfances de ces différences , on les 
marquera par des chiffres poflérieurs mis au-deffus s 
comme Von fait ordinairement celles des gran* 
deurs entières. Par exemple , le quarré , ou le 
cube de dy fera dy 1 , ou dy' • le quarré , ou le 
cube de ddy fera ddy 1 , ou ddy s ; celui de dddy 
fera dddy 1 , ou dddy' • celui de ddddy fera 
ddddy 1 , ou ddddy' , Ôc ( Voye\ la Note 39. ) 

Corollaire I. 

^' Ji l'on nomme chacune des coupées AP, 
Ap , Aq , A/, x ; chacune des appliquées 
P M , p m , q n , fo , y ; & chacune des por- 
tions courbes AM, Aw, A», Ao , u ; il eft 
clair que dx exprimera les différences J*p,pq, 
qf des coupées; dy les différences Rot, Sw , 
To des appliquées, 6c du les différences Mw, 
otk, no des portions de la courbe AMD. 
Or afin de prendre , par exemple , la différence 
féconde H n de la variable P M , il faut ima- 
giner fur l'axe deux petites parties ¥ p , pq, 






des Infiniment Petits. 79 
fie fur la courbe deux autres M m , m n pour 
avoir les deux différences R ??7 , S n ; & par- 
, tant fi l'on fuppole que les petites parties V p , 
I pq foient égales entr'elles ; il eft clair que dx 
fera confiante par rapport à dy fit à du , puif- 
que Pp qui devient p q demeure la même pen- 
dant que R m qui devient S n , fie M m qui 
devient ?« n , varient. On pourroit fuppofer que 
les petites parties de la courbe M?n , mn fe- 
roient égales entr'elles , & alors du leroit conf- 
tante par rapport à dx 6c à dy ; fie enfin fi 
l'on luppofoit que R m fie Sn fuflent égales , 
dy leroit confiante par rapport à dx fie à du t 
fie fa différence H n ( ddy ) feroit nulle. 

De même pour prendre la différence troifie- 
me de P M , ou la différence de la différence 
féconde Hn, il faut imaginer fur l'axe trois pe- 
tites parties Pp , pq, qf ; fur la courbe trois 
autres M m , m n , n ; fie iur les appliquées 
auffi trois autres R m , S», T<?, fie alors on 
aura d x ou du ou dy pour confiante, félon 
qu'on fuppofera que les petites parties P p , pq , 
qf, ou M m , m n , ko, ou R ?» , S n , T font 
égales entr'elles. Il en eft de même des diffé- 
rences quatrièmes , cinquièmes , ficc. 

Tout ceci fe doit aulïi entendre des courbes 
AMD , ( Fig. 47. PL 3. ) dont les appliquées 
B v] , B m , Bn partent toutes d'un point fixe 
B ; car pour avoir , par exemple , la différence 
féconde de B M , il faut imaginer deux autres 
appliquées Bm , ï,n qui faiTent des angles MB//? , 



go Analyse 

ttzBw infiniment petits , & ayant décrit du ceti= 
tre B les petits arcs de cercle M R , œS; la 
différence des petites droites R m » S n \ fera la 
différence féconde de B M ; ôc l'on pourra pren- 
dre pour confiants les petits arcs M R , mS , 
ou les petites portions de la courbe M m , mn y 
ou enfin les petites droites R m , Sn. Il en va 
de même pour les différences troifiemes, qua- 
trièmes , &c. de l'appliquée BM. 

Remarque. 

63- On doit bien remarquer , i°. Qu'il y a 

différens ordres d'infiniment petits : que R m i 
(Fig. 46. PL 3.) par exemple , eft infiniment 
petite par rapport à P M , Se infiniment grande 
par rapport à H n ; de même que l'efpace M P p m 
eft infiniment peut par rapport à l'elpace APM, 
& infiniment grand par rapport au triangle MRw. 
2 . Que la différence entière ?f eft encore in- 
finiment petite par rapport à AP ; parce que 
toute quantité qui eft la fomme d'un nombre 
fini de quantités infiniment petites , telles que 
P p , pq , qf par rapport à une autre A P , 
demeure toujours infiniment petite par rapport 
à cette même quantité : & qu'afin qu'elle de- 
vienne du même ordre , il faut que le nombre 
des quantités de l'ordre inférieur qui la compofe , 
ioit infini. 

Corollaire II. 

64. O n peut marquer en cette forte les différent 
ces fécondes dans toutes les fuppofitions poflibles. 



des Infiniment Pet 



i°. 



I T 3. it 

Dans les courbes où les appliquées ?>zR s 
n S font parallèles entr'elles , ( F /g. 48. 49. PI. 3. ) 
on prolongera la petite droite M m en H oi> 
elle rencontre l'appliquée Sn ; & ayant décrit 
du centre #»<, de l'intervalle ww, l'arc «/?,, or» 
tirera les petites droites ni , //', kcg dont la 
première foit parallèle à wS,& les deux autres 
à S n. Cela pofé , fi l'on veut que dx foit conf- 
tante, c'eft-à-dire, que MR foit égale àwS ? ; 
il eft clair que le triangle m S H eft femblable 
& égal au triangle MRw,& qu'ainfi Hk eft 
ddy , c'eft-à-dire , la différence de Km & Sn i 
& Wk-àdtt. Mais fi l'on fuppofe que dw foit 
confiante , c'eft-à-dire , que Mm = m n ou à 
m k ; il eft évident alors que le triangle mgk, 
eft femblable & égal au triangle MRw 3 8c 
qu'ainfi kc — ddy , & S g ou cn=dd'xi 
Enfin fi Ton prend <é/>' pour confiante 5 c'eft- 
à-dire , m R == « S , il s'enfuit que le triangle 
mil eft égal & femblable au triangle MRraj 
& qu'ainfi iS ou nl=ddx$ Se l\r=iddu. 

2 . Dans les courbes dont les appliquées B M 5 
Bm , B» partent du même point B , ( F/g. 50. 51. 
P/. 3. ) l'on décrira du centre B les arcs M R | 
m S , que l'on regardera (Art. 3. ) comme dé 
petites droites perpendiculaires fur Bw, B « 5 
& ayant prolongé M m en £ , êc décrit du cen- 
tre ;», de l'intervalle mn , le petit arc #&Ëj 
on fera l'angle E»?H=wBn, 6c l'on tirera 
les petites droites ni, li, kcg dont la pre~ 
miere foit parallèle à m S , & les deux autres 

F 



82 Analyse 

à S m. Gela pofé , à caufe du triangle BSm 
redangle en S , l'angle BwS -+- mBn , ou m- Er//H 
vaut un droit , & partant l'angle BmE vaut 
un droit + SwHj il vaut auilï le droit UKm 
+ RMw , puifqu'il eft externe au triangle RMw. 
Donc l'angle SmH = RMw. 

Il fuit de ceci , i°- Que fi l'on veut que dx foie 
confiante, c'eft-à-dire que les petits arcs MR , 
m S foient égaux entr'eux , le triangle S m H fera 
iemblable Se égal au triangle RM m , & qu'ainfi 
Bn=ddy,&i Hk=ddu. 2°. Que fi l'on prend du 
pour confiante, le triangle gmk fera femblabîe & 
égal au triangle RMw, & qu'ainfi./ic exprimera 
àdy , & Sg ou c« , «Wx. Enfin , 3 °. Que fi l'on prend 
dy pour confiante, les triangles iml , RM?» ieront 
égaux & femblables ; & qu'ainfi iS ou In = ddx , 
8c Ik, = ddu- 

PROPOSITION I. 

Problème. 
65. Prendre la différence d'une quantité corn- 
pofée de différences quelconques. 

On prendra pour confiante la différence que 
l'on voudra , & traitant les autres comme des 
quantités variables , on fe fervira des régies pref- 
crites dans la Section première. 

La différence de § , en prenant dx pour conf- 

tante , fera y ^ - , & y d J 7 — en pre- 
nant dy pour confiante. 



des Infiniment Petits. 85 
Celle de — — — ^— , en prenant dx pour 

confiante , fera d\ \/dx x -hdy x + } y y =• , le 

J \Zdx x -+-dy x 

tout divifé par dx, c'efl-à-dire - i * ~*~ ,IL? ^ y y ' 1 
6c en prenant dy pour confiante , elle fera 

dfcfo |/</* * -i- Jy L + j= ^ — Zddx\/dx x -^-dy 2 - , 16 

J Vdx'-H-dy 1 J 

tout divifé par dx\ c.àd. éɱ±4^Ù^£^-\ 

La différence de -^~— - — - , en prenant dx pouf 

confiante , fera dy x -+- y dd y \/dx T -+-dy % — - yy y '■ . 
le tout divifé par «/x 1 + ^/y 1 , c'efl-à-dire 3 

dv*dy z -hdy^-{-ydx*ddy 
■ ^^frV^H-^' * & ^ Pr£nant ^ P° Uf 

confiante , elle fera dx ^ + W-yW**** 

dx"- H- dy'l/dx'-h-dy 1 

La différence de ^ + ty\/ dx- -+- d y * m 

— dxddy 
_i I 

4£ * , en prenant dx pour confiante , fera 



— dxddy 



— 3dxJyddy*xdx z -hdy 1 z -f- dxdddy x dx t ~^ày' 1 1 
dx*ddy* ' ' 

Mais il faut obferver que dans ce dernier cas il 
n'efl pas libre de prendre dy pour confiante, car dang 
cette fuppofition fa différence ddy leroit nulle , Se 
par conléquent elle ne devroit pas" fe rencontrer 
dans la quantité propofée, (Confitlte^ la Note 40.) 

F a 



84 Analyse 

Définition II. 

Lorfqu'une ligne courbe AFK (F/g- 52. 53. 
54. 55. PL 3. 4. ) eft en partie concave & en par- 
tie convexe vers une ligne droite A B ou vers un 
point fixe B • le point F qui iépare la partie con- 
cave de la convexe , & qui par coniéquent eft la 
fin de l'une & le commencement de l'autre , eft 
appelle point d'inflexion , lorfque la courbe étant 
parvenue en F continue fon chemin vers le même 
côté : & point de rebrouflement , lors qu'elle re- 
broufle chemin du côté de fon origine. 

PROPOSITION II. 

Problème Général. 

66.jLj A nature de la ligne courbe AFK étant 
donnée , déterminer le point d'inflexion ou de re- 
brouffèment F. 

Suppofons en premier lieu que la ligne courbe 
AFK (F;>. 52. 5 3. PI. 3. 4. ) ait pour diamètre 
une ligne droite A B , & que fes appliquées P M , 
EF , &c. foient toutes parallèles entr'elles. Si l'on 
mené par le point F , l'appliquée F E avec la tan- 
gente FL; & par un point quelconque M de la 
partie A F , une appliquée M P avec une tangen- 
te M T : il eft clair, 

i°. Dans les courbes qui ont un point d'infle- 
xion , que la coupée A P croiflant continuelle- 
ment , la partie A T du diamètre, interceptée en- 
tre l'origine des x & la rencontre de la tangente , 
croît aufli jufqu'à ce que le point P tombe en E , 



des Infiniment Petits. 85 
après quoi elle va en diminuant ; d'où l'on voit 
que AT qui répond à l'appliquée en P, doit 
devenir un plus grand A L , lorfque le point 
P tombe fur le point cherché E. 

2 Dans celles qui ont un point de rebrouffe- 
ment, que la partie AT croiffant continuelle- 
ment, la coupée A P croît aufli jufqu'à ce que le 
point T tombe en L, après quoi; elle va en dimi- 
nuant ; d'où l'on voit que A P qui répond à AT , 
doit devenir un plus^rand A E , lorlque le point 
T tombe en L. 

Or fi l'on nomme A E , x ; E F , y ; l'on aura AL 

■=z^~ — x i dont la différence, qui eft — — v , \ ' * ■- 

dy A dy L 

— dx ( en fuppofant dx confiante ) , étant divifée 
par dx différence de A E , doit être ( Art. 47. ) 

nulle ou infinie : ce qui donne — t—%- — , ou à 

l'infini : de forte que multipliant par dy* , & divi- 
fantpar — y , il vient ddy — 0,011 à l'infini ; ce qui 
fervira dans la fuite de formule générale pour trou- 
ver le point d'inflexion ou de rebrouffement F. 
Car la nature de la courbe A F K étant donnée , 
l'on aura une valeur de dy tn dx ; & prenant la 
différence de cette valeur , en iuppofant dx conf- 
tante , on trouvera une valeur de ddy en dx* , la- 
quelle étant égalée d'abord à zéro , & enfuite à 
l'infini , fervira dans l'une ou l'autre de ces fup- 
pofitions à trouver pour AE une valeur , telle que 
l'appliquée E F aille couper la courbe A F K au 
point d'inflexion ou de rebrouffement F. 

F 3 



85 Analyse 

L'origine A des x peut être tellement fituée 

que AL == x —^ , au lieu àt y ~ — x , & que 

A L ou A E foit un moindre au lieu d'être un plus 
grand : mais comme la conféquence eft toujours la 
même, & que cela ne peut faire aucune difficulté, 
îe ne m'y arrêterai pas. Il eft à remarquer que AL 

ne peut jamais être = x-»-^p , car lorfque le 

point T tombe de l'autre côté du point P , par 

rapport à l'origine A des x, la valeur de y -j~ ^ era 

négative fuivant l'article io,& par conféquent 

Ç ell e de — y -p fera pofitive , de forte qu'on aura 

encore en ce cas AE-i-EL. ou A L = x ■ — -j-, 

La même chofe fe peut encore trouver àz cette 
autre manière. Il eft clair qu'en prenant dx pour 
confiante , & fuppofant que l'appliquée y aug- 
mente , S» (Fig, 48. 49- PL 3- ) eft moindre que 
S H ou que Km dans la partie concave, & plus 
grande dan- la convexe. D'où l'on voit que la va- 
leur de Ha ( ddy ) doit devenir de pofitive néga- 
tive fous le point d'inflexion ou de rebrouflement 
fi & partant {Art. 47.) qu'elle y doit être ou 
nulle ou infinie- 

Suppofons en fécond lieu que la courbe AFK. 
( fe 54 5 S- P^- 4- ) ail P our appliquées les droi- 
tes B M, B F , B M , qui partent toutes d'un 
même point B. Si l'on mené telle appliquée BM 
I Vig>' 56. 57. PI- 4- ) q u 'o n voudra , avec une 



des Infiniment Petits. 87 
tangente MT qui rencontre BT perpendiculaire 
à B M au point T ; & qu'ayant pris le point m 
infiniment près de M , l'on tire l'appliquée Bm , 
la tangente ?nt , & la perpendiculaire Bt fur B???, 
qui rencontre M T en O ; il eft vifible ( en luppo- 
fant que l'appliquée B M , qui devient Bm , aug- 
mente } que dans la partie concave , B; iurpaiTe 
BO , & qu'au contraire elle eft moindre dans la 
partie convexe ; de forte que fous le point d'in- 
flexion ou de rebroufTement F , la valeur de Ot 
doit devenir de pofitive négative. 

Cela pofé , li l'on décrit du centre B ( Fig. 5 6. 
PL 4. ) les petits arcs de cercle M R , T H , on 
formera les triangles femblables m R M , MET, 
T H O , & les petits fé&eurs femblables B M R , 
B T H. Nommant donc BM.jiMR,^; l'on 
aura mK (dy ) . RM ( dx ) : : BM (y) ■ BT = 
Ç::MR W .TH^|,TH(^).HO 

= — . Or fi l'on prend la différence de BT (J-£) 

dy x j 

en fuppofant dx confiante , il vient Bt — BT ou 
nî=z JxJy*-yd x JJy nt QH + Hr ou 

dy x ' 

_ dx*-*-dxiy*-yixdiy D , où y ^ en mul _ 

KJt — dy x 

tipliant par dy* , & divifant par dx , que la valeur 
de dx*+dy t — yddy fera nulle ou infinie fous le 
point d'inflexion ou de rebrouffement F. Or la 
nature de la ligne AFK (Fig. 54- 55- p/ - 4- ) 
étant donnée , l'on aura des valeurs de dy en dx 3 

F4 



88 Analyse 

<pc de ddy en dx % , lefquelles étant fubftituées dans 
dx 1 •+: dy r — yddy , formeront une quantité , qui 
étant égalée d'abord à zéro, & enfuite à l'infini, 
fervira à trouver pour B F une valeur telle que 
décrivant du centre B , & de ce rayon un cercle, 
il coupera la courbe A F K au point d'inflexion ou 
de rebrouflement F. Ce qui étoit propofé 

Pour trouver encore la même chofe d'une autre 
manière , il faut confiderer que dans la partie con- 
cave , l'angle B^E ( Fig- 50. 5 1. PL 3.) furpafle 
l'angle ~Bmn , 8c qu'au contraire dans la convexe 
il eft moindre ; & partant que l'angle B#?E - Bwra 
çu Etfzw , ( Fig. 50. PL t ) . ) c'eft-à-dire , l'arc En 
qui en eft la mefure , devient de poiitif négatif 
fous le point cherché F. Or prenant dx pour conf- 
iante, les triangles rectangles femblables H»? S, 
Hnk , donneront H m {du) . m S ( dx ) : : H n 

( — ddy ) . nh. = j-t- • où l'on doit obferver 

que la valeur de Hra eft négative , parce que B m 
{y) croiiTant , Kr/2 (dy ) diminue. Mais à caufe 
<^es fefteurs femblables BmS , wEfc , l'on aura Bm 

{y ) . mS (dx) : : mE (du) .Eli = rrr^ , & par- 
tant Eh. -¥-hn ou En — —yx .y ^ jy Q } x ^ 

v " y du 

fuit en multipliant par y du , Se divifant par dx , 
que du 1 — yddy ou dx 1 -+- dy* ■ — yddy doit devenir 
de pofitive , négative fous le point cherché F. 
(Fig. ^4. 55. PL 4.) 
§\ l'on fuppofe quej/ devienne infinie, les ter- 



des Infiniment Petits. 89 
mes dx 1 & dy feront nuls par rapport au terme 
yddy ; &c par conféquent la formule dx 1 -+• dy — 
yddy = o,ouà l'infini , fe changera en cette autre 
. — yddy — , ou à l'infini , c'eft- à-dire , en divilant 
par — y , ddy =zo, ou à l'infini, quieft la formule 
du premier cas. Ce qui doit auffi arriver , puifque 
les appliquées BM,BF, BM deviennent alors 
parallèles. ( C on fuit e^ la Note quarante-unième. ) 

Corollaire. 

67- L orsque ddy = , il eft clair que la dif- 
férence de A L ( Fig. 52. PL 3. ) doit être nulle 
par rapport à celle de A E ; & partant que les 
deux tangentes infiniment proches FL , / L doi- 
vent tomber l'une fur l'autre, en ne faifant qu'une 
feule ligne droite /"F L. Mais lorfque ddy = à 
l'infini, la différence de A L {Fig. 53. PL 4. ) 
doit être infiniment grande par rapport à celle de 
A E , ou ( ce qui eft la même choie ) la différence 
de A E eft infiniment petite par rapport à celle 
de A L ; & par conféquent l'on peut mener par 
le même point F deux tangentes F L , F/ , qui faf- 
fent entr'elles un angle infiniment petit , LF/, 

De même lorfque dx"' -+■ dy 1 — yddy — , il eft 
vifible que O; ( Fig. 56. 57. PL 4. ) doit devenir 
nulle par rapport à MR,-& qu'ainfi les deux tan- 
gentes infiniment proches M T , mt, doivent tom- 
ber Tune fur l'autre , lorfque le point M devient 
un point d'inflexion ou de rebrouffement : mais 
au contraire lorfque dx 2 -{-dy 1 — yddy - à l'infini , 
Ot doit être infinie par rapport à M R , ou ( ce qui 



5>o Analyse 

eft la même chofe ) MR infiniment petite par 
rapport à Ot ; & par conféquent le point m doit 
tomber furie point M, c'eft-à-dire , qu'on peut 
mener par le même point M deux tangentes qui 
faflent entr'eîles un angle infiniment petit , lorf- 
que ce point devient un point d'inflexion ou de 
rebroiuTement. 

Il eft évident que la tangente au point d'infle- 
xion ou de rebroufTement F , étant prolongée , 
touche & coupe la courbe A F K dans ce même 
point. ( Confulte\ la Note quarante- deuxième. ) 

Exemple I. 

6 8. S o i t une ligne courbe AFK (Fig. 58. PL 4.) 
qui ait pour diamètre la ligne droite A B , & qui 
ioit telle que la relation de la coupée A E ( x ) à 
î'appliquée EF (>• ) , foit exprimée par l'équation 
axx = xxy + aay. Il s'agit de trouver pour AE 
une valeur, telle que l'appliquée EF rencontre la 
courbe A F K au point d'inflexion F. 

L'équation à la courbe eft^ — ; & par- 
tant dy = * , & prenant la différence 

xx— h aa 

de cette quantité , en fuppofant dx confiante , 

& l'égalant enfuite à zéro , on trouve 

2 

2<z 5 dx 3 " x xx -k- aa — 8a^ xxdx x x xx -+- aa 

4 =«i ce 

xx-+- aa 



qui mul tiplié par xx + aa , & divifé par 
ia l dx~ Xxx+aa, donne xx-\-aa — qxx == 3 d'où 
l'on tire AE (x)=«y|. 



des Infiniment Petits. 91 

Si l'on met à la place de xx fa valeur \ aa dans 

l'équation à la courbe^ == ■ , on trouve EF 

* xx-\- au. 

(j)=^ a ; de forte qu'on peut déterminer le 
point d'inflexion F , fans fuppofer que la courbe 
A F K foit décrite. 

Si l'on mené A C parallèle aux appliquées E F , 
& égale à la droite donn;e a , & qu'on tire CG 
parallèle à A B , elle fera afymptote de la courbe 
A F K. Car fi l'on fuppofe x infinie , on pourra 
prendre xxpour xx-t-aa; & partant l'équation à 

la courbe y = — ax * fe changera en celle-ci 

yz^za. ( Confv.lte\ la Note quarante-troifieme. ) 

Exemple II. 



69. 



Joit j — a =. x — a . Donc dy ■=. 



i x - a 5 àx , & àày = — f. x — a dx z =: 



25 

6dx* 



-- — , en prenant àx pour confiante. Or fi l'on 



H$Vx — a ? 



fuppofe cette fraction égale à zéro , on trouve 

, sdx'" =zo ; ce qui ne faifant rien connoître , il 

la faut fuppofer infiniment grande ; & par con- 

féquent fon dénominateur 25]/^ — a infini- 
ment petit ou zéro. D'où 1 inconnue A E (x) = a. 
( Con[ulte\ la Note quarante-quatrième. ) 



92 Analyse 

Exemple III. 

70.S à 1 t une demi roulette allongée AFK 
( Fig. 59. PL 4. ) dont la bafe BK iurpaffe la 
demi-circonférence A D B du cercle générateur 
qui a pour centre le point G 11 s'agit de dé- 
terminer fur le diamètre A B , le point E , en- 
forte que l'appliquée E F aille rencontrer la 
roulette au point d'inflexion F- 

Ayant nommé les connues A D B , a ; BK, 
b ; A B , ïc ' & les inconnues A E , x ; E D , 
<C ; l'arc AD, a ; Ê F , y '» l'on aura par la pro- 
priété de la roulette y = <-h — ; ec partant dy 

= d\ ■+- — . Or par la propriété du cercle l'on 
a 

cix — xdx „ 

, > & 

V 1 ex — xx 

nettant po 

aedx — ûxdx -+- bedx 




-d?' 2 -) — —= L^L— .Donc mettant pour d^Sc 

V 2 ex xx 



a , zcx 



du leurs valeurs, on trouve dy=i 

dont la différence ( en prenant dx pour confiante) 

dbex — ace — bccxdx z », s 1, 

onne — — — = o ; d ou 1 on tire 

2 ex — XX x V 2 ex XX 

Il eft clair qu'afin qu'il y ait un point d'infle- 
xion F , il faut que b furpaffe a ; car s'il étoit 
moindre , G E furpafferoit C B. ( Confulte^ la 
Note quarante-cinquième. ) 



Des Infiniment Petits. 95 
Exemple IV. 
7 1 .0 n demande le point d'inflexion F ( Fig. 60* 
PL 4. ) de la Conchoïde A F K de Nicomeàe , 
laquelle a pour pôle le point P , & pour atymp- 
tote la droite BC. Sa propriété eft telle, qu'ayant 
mené du pôle P à un de les points quelconques F 
la droite P F , qui rencontre l'afymptote B C en. 
D ; la partie DF eft toujours égale à une même 
droite donnée a. 

Ayant mené P A perpendiculaire , & F E pa- 
rallèle à B C , on nommera les connues A B ou 
FD,a; B P , b ; & les inconnues B E , x ; E F , 
y j Se tirant D L parallèle à B A , les triangles 
femblables DLF, PEF donneront DL (x). 
LF ( \/aa-x X ):: PE(t + x).EF(;j 



xVaa-xx _ ^^ k dlfférence eft dy - 



x idx-+-aabdx Si dQnc on d k diff érence de 

X xVa a xx 

cette quantité , & qu'on l'égale à zéro , on for- 

,,, ,. ,2a*b — aax* — laabxx X dt 1 - 

mera légalité , = — : y - — ° » 

aix* — x 1 ) Xyuu — xx 

qui fe réduit à x 3 + 3&XX — mab = , dont l'une 
des racines fournit pour B E la valeur cherchée. 

Si a = b , l'équation précédente fe changera 
en cette autre x 3 -+- yixx — 2a' ^ o , laquelle 
étant divifée par x-t-a, donne xxh-2ax — zaa~ oj 
& partant BE (x) == — a -+- y/^uu* 



94 Analyse 

Autrement. 

En prenant pour appliquées les lignes P F qui 
partent du pôle P , & en te fervant de la formule 
( Art. 66. ) yddy — dx" -+■ dy 1 , dans laquelle dx 
a été fuppofée confiante Ayant imaginé une au- 
tre appliquée P/qui faffe avec PF l'angle F P/ 
infiniment petit , & décrit du centre P les petits 
arcs F G, DH , on nommera les connues A B, 
a ; E P , b ; & les inconnues P F , y ; ? D , ^ ; & 
l'on aura par 'a propriété de la conchoïde y =.K 
4- a. ce qui donne dy=^ d\. Or à caule du triangle 
rectangle DBP , DB = V- — bb ; & à caufe des 
triangles femb'ables_DBP& dHD , PDH & PFG , 
l'on aura D B ( ]/ R — bb) . b P (b) : : dH (d$ . 

HD= - 7 JÙ= = .EtVD(l).?F(i + a):iHD 

V {{ — bb 

; V ■ ) . F G (rfx) = ' T . D ou 1 on 

tire dz ou dy = - *, u ~~~, ■ , dont la différen- 

> ■* b^-\- nb 

ce eft (en fuppofant dx confiante ) d d y ■=. 

b^ -+■ 2ab^i — ab^ x d%Jx b{* -+- lab^ - ab^^x dx x 

i . — " j 

bi~t-ab Vu — 6B b[ H- ab 

en mettant pour dz, fa valeur. Donc fi l'on fubfti- 
tue dans la formule générale ( Art, 66. ) yddy = 
dx* 4- dy 1 à la place de y fa valeur ^ -+- a , & de 
dy & ddy les valeurs que l'on vient de trou- 
ver en dx & dx 1 ; on formera cette équation 



des Infiniment Petits. 95 



-4 -+- 2A~i — abbl x dx* j4 -(- o.abbl -t- aabb X c/jf 1 

^-SûA 1 £{ H- ai 1 

qui fe réduit à 2^ — 3^ — abb == , dont l'une 
des racines augmentée de a fournit la valeur de 
l'inconnue P F. 

Si a = b , l'on aura 2^ ? — 3^ — a 5 = 0, qui 

étant divifée par par ç + a , donne ^ — ^ — — 

= , dont la réfolution fournit PF(^-+a)=.ï« 

+i a 1/3 = 2ϱ^Ï. ( Cra?«£«î k N<tfe 46. ) 

Exemple V. 

7 2. S o 1 t une autre eipece de Conchoide AFK, 
( F/g. 60. PL 4. ) telle qu'ayant mené d'un de fes 
points quelconques F au pôle P la droite P F qui 
coupe l'afymptote B C en D , le rectangle P • D X 
D F foit toujours égal au même rectangle P B x 
BA. On demande le point d'inflexion F. 

Si l'on nomme les inconnues B E , x ; E F , y '-, 
Se les connues AB , a ; BP , b ; on aura P D X 
D F == ab ; & les parallèles BD.EF donne- 
ront PDxDF ( ab ).PBxBE (ix) : : FF 1 

{bb -+- zbx-ï'xx -¥yy ) • PË* ( bb -+■ ibx -t- xx ) . 
Donc bbx + ibxx+x* -*-yyx—abb ■+■ labx -4-axx , 

dW -t- 2abx -+- axx — bbx — ïbx x — x * „, 

ou^= — — 3 oc 

_>' r=ï^x v£=^ = |/«* — X* ■+■ t >/;r= - ^ » dont 
x x 

— axdx -f- zxxdx-habdx 

la différence donne ^v = ^y^^î ' 



9 6 Analyse 

& prenant encore la différence , on forme l'égalité 

Itiab — aax — xabx x dx x . r i t ■ \ 

. _ == o, qui le réduit ax = 

qax — qx z Xvax — x z 

— — - valeur de l'inconnue B E. 

a -t-40 

r,. ,, r . — axdx H- 2xxd X -+- abdx , , ,. 

Si 1 on fait ; : valeur de dy 

2xvax — xx 

égal à zéro , Ton aura xx — \ ax + \ab=o , dont 



1 j a -4- Vaa 8ii& a — Va* sâfr 

les deux racines Se 

4 4 

fourniffent , lorfque a furpaffe 8& , deux valeurs 

B H Se B L , telles que l'appliquée H M ( Fig. 

61. PL 4. ) eft moindre que fes voifines , & 

l'appliquée L N plus grande , c'eft-à-dire , que 

les tangentes en M & N feront parallèles à l'axe 

A B ; & alors le point E tombera entre les points 

H&L. 

Mais lorfque a = U , les lignes B H , B E , B L 
( Fig. 62. PL 4. ) feront égales chacune àja; Se 
alors la tangente au point d'inflexion F fera pa- 
rallèle à 1 axe A B. Et enfin lorfque a eft moindre 
que 8b , les deux racines feront imaginaires ; Se 
par conféquent il n'y aura aucune tangente qui 
puiffe être parallèle à l'axe. 

On pourroit encore réfoudre cette queftion en 
prenant pour appliquées les lignes PF , ?f, 
( Fig 60. PL 4. ) qui partent du pôle P , Se en 
fe fervant de la formule yddy --= dx l -t- dy l , 
comme Ton a fait dans l'exemple précédent. 
( Confulte\ la Note 47. ) 

Exemple 



des Infiniment Petits. 97 

Exemple VI. 

7].joiTun cercle A E D ( Fig. 6 5 . Pi. 4. ) qui 
ait pour centre le point B , avec une ligne courbe 
A F K , telle qu'ayant mené à difcrétion le rayon 
B F E , le quarré de F E ibit égal au rectangle de 
l'arc A E par une droite donnée b. Il faut déter- 
miner dans cette courbe le point d'inflexion F. 

Ayant nommé l'arc A E, ^; le rayon BA où 
BE , a ; Se l'appliquée BF, y ; on aura b\ — aa, 

— 2ay -+- yy , Ôc ( en prenant les différences ) 
a y -y ta y __ ^ _ ^ ^ ^ caufe des fecleurs 

femblables B Ee , B F G , on fera B E ( a ) . B F 

/ \ -c r 2 y J J — 2a ' J -J\ rrfJ\ 2yydy-2aydy 

dont la différence , en fuppofant dx confiante , 
donne Aydy z — 2ady r -+- lyyddy — 2ayddy = • 

& partant^^Wr = — — — 2_2_. Si donc on fubf- 

titue à la place de dx' Scyddy leurs valeurs en dy z 
dans la formule générale ( Art. 66- ) yddy = dx* 

~\- dy'~ , on formera l'équation— Z_Z_ ~± 

-1 y — a 

A y*iy 1 -—Sayiiy ï H- ^tayyiy 7 - -f- aaJ&fr 1 . ^ ^_ 

duit à 4^ s — 1 2«;' 4 4- 1 2«^>' 5 — ^ yy H- ïaabby 

— 2a bb = , dont la réfoiution fournira pour 
B F la valeur cherchée. 

Il eft évident que la courbe A F K , que l'on 
peut appelîer une Spirale parabolique , doit avoif 

G 



98 Analyse 

un point d'inflexion F. Lar la circonférence AFD 
ne différant pas d'abord fenfiblemcnt de la tan- 
gente en A , il fuit de la nature de la parabole 
qu'elle doit d'abord être concave vers cette tan- 
gente , & qu'enfuite la courbure de la circonfé- 
rence autour de Ion centre devenant lenlîb'e , elle 
doit devenir concave vers le centre. ( Con[uïtc\ la- 
Note quarante-huitième . ) 

Exemple Vil. 

74 b oit une ligne courbe AFK (F/g. 64. VI. 4) 
qui ait pour axe la droite A B , dont la propriété 
foit telle qu'ayant mené une tangente quelcon- 
que FB qui rencontre AB au point B , la partie 
interceptée AB foit toujours à la tangente BF en 
raifon donnée de m\n. Il eft queftion de déter- 
miner le point de rebrouffement F. 

Ayant nommé les inconnues & variables AE , 

x;EF,jj l'on aura EB = — y -^- ( parce que x 

croifîant , y diminue ) , F B = - — * ,~ l ~ y ■. Or 
par la propriété de la courbe ,AE + KBouAB 

Cxdy — ydx >. -r> t? S yVdx* -4-dy' ~\ 
dy )- BF (" fy) ' ' m ' 7U 

Donc m~\/dx z -i-dy x = ^-^ — nâx , & fa diffé- 

, mdyddy — aydxdy + nxyddy — nxdy z 

rence donne-- J = = ^— - — 

Vdx^-i-dy- y y 

en fuppofant âx confiante & négative ; d'où l'on 

, , nydxdy nxdy'V dx-\-dy' »« 

lire dày = — — r 2 , Maintenant 

" i yy d y — nxyYdx' *+- dy* 



des Infiniment Petits. 99 
fi l'on fait cette fraction égale à zéro , on trouvera 
— ydx — xdy = ; ce qui ne fait rien connoître. 
C'eft pourquoi il faut fuppofer cette fraction égale 
à l'infini, c'eft-à-dire, fon dénominateur égal à zéro ; 

• 1 . /-;■- r- s mydy nxdy — nydx 

ce qui donne y dx x -+- d y z = - J - 2 - — — £ Z— 2 

*■ J nx my 

à caufe de l'équation à la courbe , d'où l'on tire 

. nnxxiy — mmyydy _ . 

dx = "^-^ . Ur quarrant chaque 

nnxy A ^ 

membre de l'équation mydy — nx\/dx l -+- dy~ s 

■ dyv mm\y nnxx 

on trouve encore dx =a — = 

nx 

nnxxdy — mmyydy ,, » „ . c , 

— -£. d ou 1 on tire ennn yl/ mm — nn 

nnxy 

= nx j ce qui donne cette conftruction. 

Soit décrit du diamètre AD = w, un demi- 
cercle A l D ; & ayant pris la corde D I = n , foie 
tirée l'indéfinie A I. Je dis qu'elle rencontrera la 
courbe A F K au point de rebrouflement F. 

Car ayant mené I H perpendiculaire à A B , les 
triangles rectangles fembîables D l A , IHA, 
F E A donneront D 1 ( n ) . 1 A ( ]/mm — nn ) 
: : I H.H A : : F E (;).EA ( x ) . & partant 
y}/ mm — 7i7ï = nx qui étoit le lieu à conftruire. 

Il eft clair que BFeft parallèle à DI , puifque 
A B . BF : : AD ( 1» ) . D I ( w) . d'où il fuît que 
l'angle A F B eft droit ; & partant que les lignes 
A B , B F , B E font en proportion continue. 

On peut trouver cette même propriété fans au- 
cun calcul , ii l'on imagine ( Art. 67. ) au même 
point de rebrouflement F deux tangentes F B 3 ¥b 

G 2, 



ioo Analyse 

qui fanent entr'elles un angle BF& infiniment pe- 
tit. Car décrivant du centre F le petit arc BL , 
on aura m. n : : Ab . bF : : AB . BF : : Ab — AB 
ou Bb . b F — B F ou b L : : B F . B E . à caufe 
des triangles rectangles femblables B£L, FBE. 
Donc ; &c. 

Si m == n , il eft évident que la droite A F de- 
viendra perpendiculaire fur l'axe A B 3 Se qu'ainfi 
la tangente F B fera parallèle à cet axe ; ce que 
l'on fçait d'ailleurs devoir arriver , puifqu'en ce 
cas la courbe A F doit être un demi-cercle qui 
ait fon diamètre perpendiculaire fur l'axe A B. 
Mais fi m étoit moindre que n , il eft évident 
qu'il n'y auroit aucun point de rebrouflement , 
parce qu'alors l'équation y^/ mm — nn = nx ren- 
fermerait une contradiction, ( Confultc\ la Note 
quarante-neuvième. ) 




des Infiniment Petits. ioi 



SECTION V. 

Ufage du calcul des différences pour trouver 
les Déve/opées. 

Définition. 

SI l'on conçoit qu'une ligne courba quelcon- 
que DBF ( F/g. 65.. PL 4. ) concave vers 
le même côté , Toit enveloppée ou entourée d'un 
fil ABDF, dont l'une des extrémités foit fixe 
en K , & l'autre loit tendue le long de la tangente 
B A, & que l'on faffe mouvoir l'extrémité A en 
la tenant toujours tendue & en développant conti- 
nuellement la courbe B D F ,* il eil clair que l'ex- 
trémité A de ce fil décrira dans ce mouvement une 
ligne courbe A H K. 

Cela pofé , la courbe B D F fera nommée la Dc- 
velopée de la courbe A HK. 

Les parties droites AB , HD, KF du fil ABDF 
feront nommées les rayons de la dévclopée. 

Coroilaik.e I. 

75. \J e ce que la longueur du fil ABDF de- 
meure toujours la même , il luit que la portion 
de courbe B D eil; égale à la différence des rayons 
D H , B A qui partent de fes extrémités ; de même 
la portion D F iera égale à la différence des rayons 
F K , D H ; & la courbe entière B D F à la diffé- 
rence des rayons F K , B A. D'où l'on voit que fi 

G 3 



ï03 Analyse 

îe rayon B A. de îa courbe étoitnul , c'eft-à-dire, 
que fi l'extrémité A du fil tomboit fur l'origine B 
de la courbe B D F , alors les rayons de la déve- 
lopée DH, FK feroient égaux aux portions bD, 
B ô F de la courbe B D F. 

Corollaire II. 

76. S i l'on confidére la courbe BDF {Fig. 66. 
PL 4 ) comme un poligone B C D E F d'une infi- 
nité de côtés ; il eft clair que l'extrémité A du fil 
A B C D E F décrit le petit arc A G qui a pour 
centre le point C , jufqu'à ce que le rayon C G ne 
faîTe plus qu'une ligne droite avec le petit côté 
C D voifin de C B ; Se de même qu'elle décrit le 
petit arc G H qui a pour centre le point D , juf- 
qu'à ce que le rayon D H ne faffe plus qu'une 
droite avec le petit côté D F ; Se ainfi de fuite 
jufqu'à ce que la courbe B C D E F (bit entière- 
ment développée. La courbe AHK peut être donc 
confédérée comme l'afTemblage d'une infinité de 
petits arcs de cercle AG,GH,HI,IK, &c. 
qui ont pour centre les points C , D , E , F , &c. 
JD'oii il fuit. 

i°. Que les rayons de la dévelopée la touchent 
continuellement comme D H en D , K F en F , 
(8cc. Et qu'ils font tous perpendiculaires à la 
courbe AKK qu'ils décrivent, comme D H en 
U , FK en K , &c. Car D H , par exemple , eft 
perpendiculaire fur le petit arc G H & fur le petit 
.arç H I , puifqu'elle parte par leurs centres D , E. 
D'pii l'on voiç 5 j °. que la dévelopée b D F ( Fig. 



D ES ÏN FI NI M E N T P E T I T S. 10$ 

65. VI. 4 ) termine l'efpace où tombent toutes les 
perpendiculaires à la courbe AHK. 2 . Que fi 
l'on prolonge un rayon quelconque H D qui cou- 
pe le rayon A B en R , jufqu'à ce qu'il rencontre 
un autre rayon quelconque K F en S , l'on pourra 
toujours mener de tous les points de la partie RS 
deux perpendiculaires fur la courbe AHK, ex- 
cepté du point touchant D duquel on n'en peut 
mener qu'une feule , fçavoir D H. Car il eft clair 
que l'interfection R des rayons A B , D H par- 
court tous les points de la partie RS, pendant 
que le rayon A B décrit par lbn extrémité A la 
ligne AHK fur laquelle il eft continuellement 
perpendiculaire : & que les rayons A B , H D ne 
le confondent que lorfque l'interfection R tombe 
fur le point touchant D. 

2 . Que fi l'on prolonge les petits arcs H G 
( F/g. 66. PL 4. ) en / , IH en m , K I en n , &c. 
■vers l'origine A du dévelopemcnt , chaque petit 
arc comme I H touchera en dehors fon voifin HG, 
parce que les rayons CA, DG, EH, Fi vont 
toujours en augmentant, à mefure que les petits 
arcs qui compolént la courbe AHK, s'éloignent 
du point A. Par la même raifon fi l'on prolonge 
les petits arcs A G en , GH en p , H l en q , 
vers le côté oppofé au point A ■■, chaque petit 
arc comme H I touchera en defîbus fon voifin 
I K. Cr puifque les points H & I , O & K peuvent 
être confidérés comme tombant l'un fur l'autre 
à caufe de l'infinie petitefie tant de l'arc H I , que 
du côté DE ; il s'enfuit que fi l'on décrit d'un 

G 4 



104 Analyse 

point quelconque moyen D de la développe BDF 
comme centre , & de ion rayon D H un cercle 
??2Hp.il touchera en dehors la partie HA qui 
tombera toute entière au dedans de ce cercle , & 
en dedans l'autre partie H K qui tombera tou- 
te entière au dehors de ce même cercle : c'eft-à- 
dire, qu'il touchera & coupera la courbe A H K 
au même point H , de même que la tangente au 
point d'inflexion coupe la courbe dans ce point. 

3°. Le rayon HD du petit arc H G , ne diffé- 
rant des rayons CG , EH des arcs voifins G A , 
H 1 8 que d'une quantité infiniment petite CD ou 
DE; il s'eniuit que pour peu qu'on diminue le 
rayon D H , il fera moindre que CG, & qu'ainfî 
fon cercle touchera en defîbus la partie H A >• & 
qu'au contraire pour peu qu'on l'augmente, il furr 
parlera HE, & qu'ainfî ion cercle touchera en 
dehors la partie H K : de forte que le cercle mHp 
eft le plus petit de tous ceux qui touchent en de- 
hors la partie H A , &au contraire le plus grand 
de tous ceux qui touchent en dedans la partie 
HK •' c'eft-à-dire , qu'entre ce cercle & la courbe 
pn n'en peut faire paner aucun autre. 

4°. Comme la courbure des cercles augmente à 
proportion que leurs rayons diminuent , il s'enfuit 
que la courbure du petit arc H I fera à la cour- 
bure du petit arc A G réciproquement comme le 
rayon B A ou C A de ce dernier eft à fon rayon 
DH ou EH : c'eft-à-dire, que la courbure en H de 
la courbe AHK fera à fa courbure en A , comme le 
rayon, B A au rayon D H ; & de même que la 



des Infiniment Petits. 105 
courbure en K eft à la courbure en H , comme le 
rayon D H eft au rayon FK. D'où l'on voit que la 
courbure de la ligne AHK diminue continuelle- 
ment à mefure que la ligne BD F le développe ; 
de forte qu'au point A , où commence le dévelo- 
pement , elle eft la plus grande qu'il eft poffible ,• 
& au point K. , où je fuppofe qu'il cette , la plus 
petite 

5 . Que les points de la dévelopée ne font 
autre chofe que le concours des perpendiculaires 
menées par les extrémités des petits arcs qui com- 
pofent la courbe AHK. Par exemple, le point 
D où E eft le concours des perpendiculaires HD , 
I E du petit arc H I ; de forte que fi la courbe 
A H K eft donnée avec la pofition d'une de fes 
perpendiculaires H D , pour trouver le point D 
ou E , où elle touche la dévelopée , il ne faut que 
chercher le point de concours des perpendiculaires 
infiniment proches H D , IE:c'eft ce qu'on va 
enleigner dans le Problême qui fuit. 

PROPOSITION I. 

Problème Général. 

77-L A nature de la ligne courbe A M D ( Fig. 
6j. VI 4. ) étant donnée avec une de fes perpendicu- 
laires quelconque M C ; déterminer la longueur du 
rayon MC de fa dévelopée , cefl-h-dire , le concours 
des perpendiculaires infiniment proches M C , m G. 
Suppoibns en premier lieu que la ligne courbe 
AMD ait pour axe la ligne droite A B fur la- 
quelle les appliquées P M foient perpendiculaires. 



io6 Analyse 

On imaginera une autre appliquée mp , qui fera 
infiniment proche de M P , puifque le point m 
eft fuppofé infiniment près de M. On mènera par 
le point de concours C une parallèle CE à l'axe 
A B , laquelle rencontre les appliquées M P , mp 
aux points E , e. Enfin menant M R parallèle 
à AH, on formera les triangles rectangles fem- 
blables M 11 m , M E C ; car les ang 5 es EMR, 
CM»? étant droits , & l'angle C M R leur étant 
commun , l'angle EMC fera égal à l'angle KMm. 
Si donc l'on nomme les données A P , x\ PM , 
y \ l'inconnue ME, \ ; l'on aura Ee ou Pp ou 
MR = à,Rffl=i;=^, Mm -=\/ dx 1 - -h d y x ; 
& M R ( d x). Mm ( y dx * -+- <y l ) : = M E (0 i 

MC= v — * d ^~ dy ♦ O r ^ e poi nt C étant le centre 
du petit arc Mm , Ton rayon C M qui devient Cm 
lorlque E M augmente de fa différence R m , 
demeure le même. Sa différence fera donc nulle : 
ce qui donne ( en fuppofant dx cpnflante ) 

d^dx 1 H- d~dy z H- rdyddy j, n i, air r? 

- , . ' J 1- J ' = o : d où 1 on tire % E 

dxV dx^-ï-dy 7 - 
. . d~ x dx x -f- djdyi- dx x -^-dy r 

\ l ) ~ , j ■ = rr— en mettant 

' — dyidy — ddy 

pour d\ fa valeur dy. 

Suppofons en fécond lieu que les appliquées 
BM , B m ( Fig. 68. PL 4. ) partent toutes d'un 
même point B. Ayant mené du point cherché C 
fur les appliquées , que je fuppofe infiniment pro- 
ches , les perpendiculaires C E , Ce , & décrit du 
centre B le petit arc M R i on formera les trian- 



des Infiniment Petits. 107 
gles rectangles fembîables R M w & EMC , 
B M R , B E G & Ce G. C'eft pourquoi nom- 
mant BM,;; ME, < ; M R , dx ; on aura 

R/« = dy , M m = y^* 1 -*-^/ 1 , CE ou Ce 

- 1 — , Se M C = : £-. On trouvera 

enfuite , comme dans le premier cas , ^ = 
S^£COrBM 00 .C<£) ::MR 

(dx).Gc-^.Se «e-MEouR»-Ge 

= ^7 — ^ -^ ? " v . Donc en mettant cette va- 

y 

leur à la place de d\ , l'on aura ME ( \ ) = 

dx 1 - H-ûfy 1 — Jrf^y" 

Si l'on fuppofe que y foit infinie , les termes 
dx z Se dy z feront nuls par rapport à ^«^ ; & par 
conféquent cette dernière formule fe changera en 
celle du cas précédent. Ce qui doit auffi arriver ; 
puifque les appliquées deviennent alors parallèles 
entr'elles , & que l'arc MR. devient une droite 
perpendiculaire fur les appliquées. 

Maintenant la nature de la courbe AMD 
étant donnée , on trouvera des valeurs de dy 2. Se 
ddy en dx 1 , ou de dx z Se ddy en dy 1 , lei quelles 
étant fubftituées dans les formules précédentes , 
donneront pour ME une valeur délivrée des dif- 
férences , Se entièrement connue. Et menant EC 
perpendiculaire fur M E , elle ira couper MC 



/ 



io8 Analyse 

perpendiculaire à la courbe , au point cherché 
C. Ce qui étoit propofé. 

Corollaire I. 

78. i\. caufe des triangles rectangles femblables 
MRffl & MEC, ( Fig, 67. 68. PL 4. ) Ton 

aura dans le premier cas MC = ~ + '_J 4 L "*" >, > 
& dans le fécond cas MC = - ^ ~^~" / , , " % rr- 

fi*' -+■ dxdy^ — ydxddy 
R E M A 'R Q U E. 

79. Il y a encore plufieurs autres manières de 
trouver les rayons de ia développée. J'en mettrai 
ici une partie , afin de donner différentes ouver- 
tures à ceux qui ne pofiedent pas encore ce calcul. 

Premier cas pour les courbes dont les appliquées 
font perpendiculaires a l'axe. 

Première manière. Soit prolongée M R en G 
où elle rencontre la perpendiculaire mC (Fig. 
6j. PI. 4.) Les angles droits MRra, MwG 

donneront R G — -j- ; & par conféquent M G 

_Jx x -hdy 2 - 



. Or à caufe des triangles femblables 

dx ° 

M R m , M P Q ( les points Q , q marquent les 
interférions des perpendiculaires infiniment pro- 
ches M C , m C avec l'axe A B ; il vient M Q 



•«KfS , P Q =*£ i & partant A 0_= x 



des Infiniment Petits. i 09 
- , dont la différence donne ( en prenant dx 



* dx 



n x ^ 1 dy x -*-yddy 

pour conitante ) Q,q = dx + - — -r- — - ; & 



caufe des triangles Semblables CM G, C Q_q , 

dx s ^ dx 



l'on aura M G - Qq (~^ v ) . M G C^f^) 



^ djc y — dxddy 

Seconde manière. Ayant décrit du centre C le 
petit arc Q O , les petits triangles rectangles 
Q.0 q, MRh feront Semblables , puifque M m , 
Q. O & M R , Q q font parallèles ; & partant M m 

Ô/JCTTÇ* ) ■ MR (*) : : Q, C^^*> 

Vdx' -+-dy' 

blables CM«, CQ.O donnent M?«- Q.O 
(•Ë^^^^ 7 ^^ 1 MQ 

fy\/jx L -+- ^v x "\ Al f rf'-^ 1 -+- dy'^vdx' 3 - -I- c/y 1 

^ tf* >' —dxddy 

Troifieme manière. Menant les tangentes infi- 
niment proches M T , m t , on aura P T — A P 

ou A T -=X-^- — x , dont la différence donne TV 



: & décrivant du centre m le petit 



"F" 

arc TF, on formera le triangle rectangle F T? 
Semblable àR«M, car les angles FrT , RMk 
ou PTM. font égaux , ne différant entr'eux que 



1 10 Analyse 

de l'angle T mt qui eft. infiniment petit; ce qui 

donne Mot ( j/"* 1 "*- d y x ) ■ ^ R C ^ ) : : T £ 

ydxdJy TF __ - yfaAfr _ Or les feûeurs 

T w F , MCw font femblables , car l'angle Tm t 
-\- MmC vaut un dtoit , &. l'angle MtfîC-+-MC»z 
vaut auffi un droit à caufe du triangle CM« 
confideré comme rectangle en M. Donc TF 

( 2S=).Mw(l/j7^ î )::Tmo\i 

V dyVdx*-i-dy*' Ky J 

* > dy ' — dxddy 

Quatrième manière. On marquera ( Art. 64. ) 
les différences fécondes en prenant dx pour conf- 
tante ; & les tàangles rectangles femblables HwS, 
îînk. ( F/g. 69. PI. 4. ) donneront H m ou M m 
( l/ix 1 -^-^ 1 ) . mS ou MR (dx) : : Un { — dày) . 

»/? = x y . . Or l'angle \mn eft égal à ce- 

lui que font entr'elles les tangentes aux points M, 
m • & partant comme l'on vient de prouver , égal 
à l'angle MC»? ; d'où il fuit que les lecteurs nmk. , 

MC»zfont femblables.Sc qu'ainfi nk. (— ,■ , ) • 

#7/5. ou ( Art. 2. ) M m ( j/d* 1 + ^y 1 ) : : M. m 

(/ s ■»» /"> <£* 1 — h- dy V dx' ~+- di* ^ 
^ + ^)-MC= _ ^ • ° n 

prend 777H ou Mm pour wfc , parce qu'elles ne dif- 
férent entr'elles que de la petite droite H/{. infini- 
ment moindre qu'elles ; de même que Un eu in- 
finiment moindre que Rw ou Sn. 



des Infiniment Petits. m 

Second cas pour les courbes dont les appliquées 
partent d'un même point fixe. 

Première manière. Ayant mené du point fixe B 
(F/g. 68. PI. 4. ) les perpendiculaires BF, Bf 
fur les rayons infiniment proches C M , Cm • les 
triangles rectangles wMR, B M F , qui font 
femblables ( puiiqu'ajoutant aux angles mMK, 
B M F le même angle F M R , ils compoient cha- 
cun un angle droit) , donneront M F ou M H = 

-, & BF= , ^ y = ,dontladiffé- 



\/ix 1 --+-iy x ' \/dx~ -+- dy x 

rence (en prenant dx pour confiante ) eft F/— BF 

-1 »/- dxXiyX -*- dy * ;+- yixXiiy Or à caufe 

dx x -+- dy- x Vdx* -+- dy* 

des fecteurs femblables CM«, CH/, on forme 
cette proportion M m — H/. M m: : M H . M C , 

& partant MC ^yJf^t^EE^ . 

r dx i ■-+■ dxdy — ydxddy 

Seconde manière. On marquera ( Art. 64. ) 
les différences fécondes en fuppofant dx confiante; 
& les fecteurs femblables BmS, mlLk. (F/g. 70. 
PL 4. ) donneront B m (_y).»S ( ^.v ) : : m E 

( \Zdx* -h dy 1 ) . E k. = — — ~*~ y • Or à caufe 

des triangles rectangles femblables HwS,Hh/', 
l'on aura H m ou M;w ( x/dx^-k-dy* ) . *»S ou M R 

(dx)::Hn(-ddj,). nk= - -^L—, Et 

V dx + dy 
t-, dx$ -i- dxdy 1 — ydxddy 

partant En zzz — , J - =-— ^- ; Se prenant 



ni Analysé 

une troisième proportionnelle à Ew , Ew ou Mm\ 
les fecteurs lemblables Eoth, MCk donneront 
pour M C la même valeur qu'auparavant. 

Si l'on nomme Mm ( \Zdx*- -4- dy l ) , du ; Se 
qu'on prenne ây pour confiante , au lieu de dx , 

on trouvera dans le premier cas MG = . - > 
ôc dans le fécond MC= ■ , . ; T " , , -j- . Et en- 

dxdu -+- ydyddx 

fin fi l'on prend du pour confiante, il vient dans 

i - « c s-^ dxdu dvdu , 

le premier cas M G = : ou -jj— ( parce que 

la différence de dx 1 -t- dy z z=z du 1 eft dxddx -+- 
dyddy = o , & qu'ainfi — ^j = ~- ) ; & dans 

le fécond, MC = , l * " , , ou -~- ^-rr* 

dx — yddy dxdy -t- yddx 

Corollaire. II. 

80. (jOMME l'on ne trouve pour ME eu M G 
(F/g. 72. VI 4. ) qu'une feule valeur , il s'enfuit 
qu'une ligne courbe A M D ne peut avoir qu'une 
feule dévelopée BCG. 

Corollaire III. 
81. Si la valeur de ME (F/g. 6 7 . 68. PI. 4-) 

d^dr . ou ^-*-yy ^ eft fiti _ 

ve , il faudra prendre le point E du même côté de 

l'axe AB ou du point B , comme l'on a fuppofé en 

faifant le calcul ; d'où l'on voit que la courbe 

fera alors concave vers cet axe ou ce point. Mais 

iï 



des Infiniment Petits. ii» 
fi la valeur de M E eft négative , il faudra pren- 
dre le point E du côté oppoi'é ; d'où l'on voie 
que la courbe fera alors convexe. De forte qu'aii 
point d'inflexion ou de rebrouflement qui fépaçe 
la partie concave de la convexe , la valeur de 
M E doit devenir de pofitive négative ; & partant 
les perpendiculaires infiniment proches ou conti- 
gues doivent devenir de convergentes divergentes. 
Or cela ne fe peut faire qu'en deux manières. Car 
ou elles vontencroiffant, àmefure qu'elles appro- 
chent du point d'inflexion ou de rebrouffement 5 
& il faudra pour lors qu'elles deviennent parallè- 
les , c'eft-à-dire, que le rayon de la développée foit 
infini : ou elles vont en diminuant ; & il faudra 
nécessairement alors qu'elles tombent l'une fur 
l'autre, c'eft-à-dire, que le rayon delà développée 
Toit zéro. Tout ceci s'accorde parfaitement avec 
ce que l'on a démontré dans la fection précédente. 

Remarque. 

82.(^,0 mm e l'on a cru jùfqu'ici que le rayon 
de la développée étoit toujours infiniment grand 
au point d'inflexion , il eft à propos de faire voir 
qu'il y a , pour ainfi dire , une infinité de genres 
de courbes qui ont toutes dans leur point d'in- 
flexion le rayon de la développée égal à zéro ; 
au lieu qu'il n'y en a qu'un feul genre dans lequel 
ce rayon foit infini. 

Soit B AC ( Fig. 71 . PL 4. ) une des courbes 
qui ont dans leur point d'inflexion A le rayon 
de la développée infini. Si l'on développe les parties 

H 



H4 Analyse 

BA, A C , en commençant au point A ; il eft 
clair qu'on formera une ligne courbe D A E qui 
aura aufîi un point d'inflexion dans le même point 
A , mais dont le rayon de la développée en ce 
point fera égal à zéro. Et fi l'on formoit de la 
même forte une troifLme courbe par le dévelo- 
pement de la féconde DAK, & une quatrième 
par le dévelopement de la troificme , & ainfi de 
fuite à 1 infini ; il eft clair que le rayon de la dé- 
veloppée dans le point d'inflexion A de toutes 
ces courbes , feroit toujours égal à zéro. Donc ôcc. 

PROPOSITION II. 

Problème. 

83. Irouver dans les courbes AMD, ( Fig. 
y 2. PI. 4. ) où l'axe A B fait avec la tangente en A 
un angle droit , le point B où cet axe touche la dé- 
veloppée B C G. 

Si l'on fuppofe que le point M devienne infini- 
ment près du lommet A , il eft clair que la per- 
pendiculaire M Q, rencontrera l'axe au point cher- 
ché B ; d'où il fuit que fi l'on cherche en géné- 
ral la valeur de F Q. Q — } en x ou en y , ôc qu'on 

faffe enfuite xou;' = o, on déterminera le point 
P à tomber fur le point A , Ôc le point Q. fur le 
point cherché B; c'eft-à-dire , que PQ. deviendra 
alors égale à la cherchée AB. Ceci s'éclaircira par 
les exemples qui fuivent. 



DES I N F I N I M E N T P E T I T S. 115 

EïEMf LE 1. 

2^-Soit la courbe AMD ( Fig. 72. PL 4. ) 
une Parabole qui ait pour paramètre la droite 
donnée a. L'équation a la parabole eft ax=yy 9 

dont la différence donne dy — " — = — ^= ; Se 

ay 2-Vax 

prenant la différence de cette dernière équation» 
en iuppolant dx confiante , on trouve ddy = 

p=-. Subflituant enfin ces valeurs à la place 

de dy ôc de ddy dans la formule — y , on 

f . \ TUT- a -t- 4xV ax . 

aura ( Art. j 7 . ) MErz ± — y ax -+. 

- — —. Ce qui donne cette conftruction. 

Soit menée par le point T où la tangente MT 
rencontre l'axe, la ligne TE parallèle à MC ; 
je dis qu'elle rencontre M P prolongée au point 
cherché E. Car les angles droits M P T , M T E 
donnent M P ( \/Jx) . PT ( 2x ) : : P T ( zx ) . 

P E = ^ = ^2-5 & par conféquent MP 

Vax a L x 

■+- P E ^^ 1/ ax -\ • 

a. 

De plus à caufe des triangles rectangles M PQ, 
MEC, l'on aura PM ( j/Ii) . PQ (\a) : : ME 

(]/ux-+ ^^ï).EC-ouPK=:iflH-2x.&par. 

a ' 

tant QK =z 2X, Ce 'qui donne cette nouvelle 
conftruction, 

Hî 



i ï 6 Analyse 

Soit prife Q.K double de A P , ou ( ce qui re- 
vient au même ) foit prife P K égale à T Q. , & 
ioit menée K C parallèle à P M. Elle rencontrera 
la perpendiculaire MC en un point C qui fera 
à la développée B C G. 

Autre manière, yy = ax i & tydy rrr adx dont 
la différence ( en fuppofant dx confiante ) donne 

zdy + zyddy ■==. o ; d'où l'on tire — âdy — - y -. Et 
mettant cette valeur dans la formule * _ di , 
on trouve ( Art. -jj. ) M E= y y J 4 ""/ * \ & par^- 
tant E C ou P K = *>* ^^ == *p. + ffi := PQ, 

dydx dx dy 

■+■ PTou TQ. Ce qui donne les mêmes conftructions 
qu'auparavant. Car MP . PT : : dy . dx : : PT $£\ . 

x dy ' 

p £ ydx' 1 4xy / <1 x 

~ dy 1 ' a 

Pour trouver à préfent le point B où l'axe AB 
touche la développée BCG. On a PQ ( ^) = \ a. 

(XX 

Or comme cette quantité eft confiante, elle de- 
meurera toujours la même en quelque endroit que 
fe trouve le point M. Et ainfi , lorfqu'il tombe fur 
le fommet A , l'ou aura encore P Q. qui devient 
en ce cas A B ==■ \ a. 

Pour trouver la nature de la développée BCG 
à la manière de Defcartes. On nommera la coupée 
BK , « j l'appliquée KCou PE, t ; d'où Ion 



des Infiniment Petits. 117 

auraCK(0=^^& AP + PK — AB(«) 

== ix ; mettant donc pour x fa valeur \ u dans 

l'équation ; = i — — , l'on en formera une nou- 
a 

velle ïjatt = 1 6u* qui exprimera la relation de 
BK à KC. D'où l'on voit que la développée BCG 
de la parabole ordinaire eft une féconde parabole 
cubique dont le paramétre eft égal à % du pa- 
ramétre de la parabole donnée. 

Il eft vifible que la développée CBG ( Fig. 73. 
PI- 4- ) àe la parabole commune entière M A M 
a deux parties C B , B C qui ont leurs convexités 
oppoiées l'une à l'autre , de forte qu'elles for-» 
ment en B un point de rebrouflement. 

Avertissement. 

On entend par courbes géométriques AMD, 
B C G ( Fig. 72. PL 4. ) celles dont la relation des 
coupées A P , BK aux appliquées P M , K C , /è 
peut exprimer par une équation ou il ne fe rencontre 
point de différences ; & on prend pour géométrique 
tout ce qu'on peut faire par le moyen de ces lignes. 
Vonfuppofe ici que les coupées & les appliquées, 
[oient des lignes droites. 

CoROLlAIRE. 

85.J_,ORSQUEla courbe donnée AMD eft 
géométrique , il eft clair que l'on pourra tou- 
jours trouver ( comme dans cet exemple ) une 
équation qui exprime la nature de fa développée 
BCG ; & qu'ainfi cette développée fera auflî geo- 



i iS .Analyse 

métrique. Mais je dis de plus qu'elle fera re&i- 
fiab c c'eft-à-dire, qu'on pourra trouver géo- 
métriquement des lignes droites égales à une de 
fes portions quelconque B C • car il eft évident 
(Art 75 ) que l'on déterminera avec le fecours 
de la ligne AMD, qui eft géométrique , fur 
la tangente CM de la portion BC , un point M 
tel que la droite C :vl ne différera de la portion 
BC que d'une droite donnée A B. 

Exemple II. 

86-Soit la courbe donnée MDM ( F/g. 74. 
VI. 4. ) une hyperbole entre fes afymptotes , 
qui ait pour équation aa = xy. 

On aura — = x , — °^- = dx , & fuppofant 

y yy 

dx confiante, {Art. i.)^*^ * 2aa ^V sos 

d'où l'on tire ddy = ~—^~ ; & mettant cette valeur 

dans — — , il vient ( Art. 77. ) ME = 

— d.ty s 

^L±pl: de forte que EC ou PK = — & 

— 2dy ? 2 ex 

«r— ' —J-- Ce qui donne ces conUructions. 

Soit menée par le point T où la tangente M T 
rencontre l'afymptote À B la ligrfe T parallèle 
à MC & qui rencontre MJ? prolongée en S; foit 
prife M E égale à la moitié de M S de l'autre côté 
de l'afymptote ( que l'on regarde ici comme l'axe } 



des Infiniment Petits, 119 
parce que fa valeur eft négative ; ou bien foit prife 
P K égale à la moitié de T Q du même côté du 
point T : je dis que fî l'on mené EC parallèle , ou 
K C perpendiculaire à l'axe , elles couperont la 
droite MC au point cherché C Car il eft clair 

que M S =&#&, * que Tû=§+f . 

Si l'on fait quelque attention fur la figure de 
l'hyperbole M DM, on verra que fa développée 
CLC doit avoir un point de rebrouffement L , 
de même que la développée de la parabole. Pour 
le déterminer je remarque que le rayon D L de 
la développée eft plus petit que tout autre rayon 

MC ; d'où il fuit que la différence de fon expref- 

? 

r / a n .dx 2 -+- dy x \/dx r -t- dy* dx* -+- dy** 

fion(^. 7 8.) l dxiiy ou __J dy 

fera ( Se5i. 3. ) nulle ou infinie. Ce qui don- 
ne , en prenant toujours dx pour confiante , 

1 ! 

— idxdyddy^dx' 1 -+- dy* » -t- dxdddydx 1 -h dy* 7 

2 = 1 / ., a ^ +—=0 OU 

dx l. y 



00 • d'où en divifant par dx' 1 -t- dy* * , & multi- 
pliant enfuite par dxddy 1 , on tire cette équation 
dx l dddy ■+- dy x dddy — jdyddy 1 = ou 00 , qui 
fervira à trouver pour x une valeur AH , telle que 
menant l'appliquée H'D & le rayon DL de la 
développée , le point L fera le point de rebroufTe- 
ment cherché. 

„ 1 1 a a , — aadx 

Cn a dans cet exemple y==- — , dy = , 

H 4 



](2Q Analyse 

àdy _ 2 -f!$l, dA Ay = ZZlfflïl. Ceft pour- 



x> 



quoi mettant ces valeurs dans l'équation précé- 
dente, on trouve AH{x) = a. D'où il fuit que 
le point D eft le fommet de l'hyperbole , & que 
les lignes AD, D L ne font qu'une même droite 
A L qui en eft Taxe. 

Exemple III. 

87. Soit l'équation générale^ 1 " = x ( F/g. 72. 
74. P/. 4. ) qui exprime la nature de toutes les 
paraboles à l'infini , lorfque l'expofant m marque 
Un nombre politif entier on rompu , & de toutes 
les hyperboles , l'orfqu'il marque un nombre né- 
gatif. ' 

On aura my m l dy = dx dont la différence don- 
ne , en prenant dx pour confiante , mm — my m ~ l dy* 
+ my m ' àdy = ; & en divifant par my m ~ ' , il 

■vient — ddy = = m ~ 1 y ; d'où mettant cette va- 

y 

leur dans ~ X _^ d J • > on tirera ( Art. jj. ) M $ 

yix* +ydf & nt E c qu p R = Jdy 

- \dy x * m — îdx 



m ■ 
■vdx 



. Ce qui donne c^s conftru&ions gé- 

• m — joy x ' < ° 

nérales. 

Soit menée par le point T où la tangente M T 
renconçre l'axe A P , la. ligne TS parallèle à MG 
'Se qui rencontre M P prolongée au point S } foit 



des Infiniment Petits. m 

prife ME = — — M S , ou bien foit prife P K 
r - m — i 

— — - — TQ.: il eft clair que fi l'on mené par le 
m — i 

point E une parallèle , ou par le point K une 
perpendiculaire à l'axe , elles rencontreront M G 
au point cherché C. 

Si m eft négatif, comme il arrive dans les 
hyperboles , la valeur de M E ( Fig. 74. PI. 4 ) 
fera négative ; ôc par conféquent elles feront con- 
vexes vers leur axe qui fera alors une afymptote. 
Mais dans les paraboles où m eft pofitif, il peut 
arriver deux cas. Car ou rn ( Fig. 75. P/. 4.) 
fera moindre que 1 , & alors elles feront conve- 
xes du côté de leur axe , qui fera une tangente 
au fommet :oura( Fig. 72. PI. 4. ) furpafle 1 , 
& alors elles feront concaves vers leur axe qui 
fera perpendiculaire au fommet. 

Pour trouver dans ce dernier cas le point B 
où l'axe A B touche la développée. On aPQ, 

j r — m 
(J-£ ) =.£ ; ce qui donne trois différens cas. 

Car ou m — 2 , ce qui n'arrive que dans la para- 
bole ordinaire , & alors l'expolant de .y étant nul , 
cette inconnue s'évanouit ; & par conféquent AB 
= ; , c'eft-à-dire , à la moitié du paramètre. Ou 
m eft moindre que 2 , & alors l'expofant de y 
étant pofitif, elle fe trouvera dans le numérateur, 
ce qui rend (en l'égalant ( Art. 83.) à zéro) la 
fradtion nulle : c'eft-à-dire , que le point B tombe 
en ce cas fur le point A , comme dans la féconde 



122 Analyse 

parabole cubique axx =y*. Ou enfin m (Fig. 76. 
PI. 4.) furpafie 2 , & alors l'expofant de y étant 
négatif, elle fera dans le dénominateur , ce qui 
rend ( lorfqu'elle devient zéro) la fraftion infinie : 
c'eft-à-dire , que le point B eft infiniment éloigné 
du point A, ou ( ce qui eft la même chofe ) que 
l'axe AB eft afymptote de la développée , comme 
dans la première parabole cubique aax =j 3 . On 
peut remarquer dans ce dernier cas que la déve- 
loppée CLO {Fig. 77 '. PI. 4. ) de la demi-parabo- 
le A D M a un point de rebroufiement L ; de forte 
que .par le dévelopement de la partie LO conti- 
nuée à l'infini , le point D ne décrit que la portion 
déterminée DA ; au lieu que par le dévelope- 
ment de l'autre partie LC continuée aurïi à l'in- 
fini , il décrit la portion infinie D M. 

Gn déterminera le point L de même que dans 

1 

l'hyperbole. Soit par exemple aax =y ' , ou y — x' , 

* s 

on aura dy=j x % âx , àày == — \ x 3 dx 1 , 

dddy=~x } dx 1 • & ces valeurs étant fubfti- 
tuées dans l'équation dx'dddy + dy^dddy — $dyddy l 

= o, on trouvera (/?>•/. 86. ) AH (x) =)/^r s 
Il en eft amfi des autres. 

Remarque. 

88.£Ln fuppofant que m furpafie 1 , afin que les 
paraboles foLnt toujours concaves du côté de leur 
axe , il peut arriver différens cas. Car fi le numéra- 
teur de la fraftion marquée par m eft pair , & le 



des Infiniment Petits. 123 
dénominateur impair j toutes les paraboles tom- 
bent de part & d'autre de leur axe dans une po- 
fition femblable à celle de la parabole ordinaire. 
(F/g. 73- Pi- 4-) Mais fi le numérateur 6c le dé- 
nominateur font chacun impair ; elles ont une po- 
fition renverfée de part Se d'autre de leur axe , en- 
forte que leur fommet A (F/g. 77- PI 4- eu: un 
point d'inflexion , comme la première parabole 

î 

cubique x — y ' ou aax = / ■ Enfin fi le numéra- 
teur étant impair, le dénominateur eft pair ; elles 
ont une pofition renverfée du même côté de leur 
axe , enforte que leur fommet A (F/g. 76. PI. 4.) 
eft un point de rebrouffement , comme la féconde 

1 
parabole cubique x ==y * ou axx =/. Tout cela 
fuit de ce qu'une puiffance paire ne peut pas avoir 
une valeur négative. Cela pofé , il eft évident , 

i°. Que dans le point d'inflexion A ^(F/g- 77; 
VI 4. ) le rayon de la développée peut être infini- 
ment grand , comme dans aax = y 1 , ou infiniment 
petit , comme dans aax z =j /<; - 

2 . Que dans le point de rebrouffement A , 
( F/g. 76. PI 4. ) le rayon de la développée peut 
être ou infini comme dans a'xx = y s , ou zéro 
comme dans axx —y 3 , 

3 . Qu'il ne s'enfuit pas ( F/g. 75. PL 4. ) de 
ce que le rayon de la développée eft infini ou 
zéro , que les courbes ayent alors un point d'in- 
flexion ou de rebrouffement. Car dans a 1 x = y 4 
il eft infini , dans ax> =y* i-1 eft nul ; & cepen- 
dant ces paraboles tombent de part & d'autre de 



124 Analyse 

leur axe dans une pofition femblable à celle de 

la parabole ordinaire. 

Exemple IV. 

89. Soit la courbe AMD (F/g. 78. 79. PI. 48c 5.) 
une hyperbole ou une ellipfe qui ait pour axe 
AH(a) , Se pour paramètre A F ( b ). 

On aura par la propriété de ces lignes y =■ 



V 



abx -çltxx , abdx -p lbxJx 



4aabx + ^abxxVaabx qr abxx 



, dy =—p= , . , & ddy = 

°-Vaabx q: ûixx 

Si donc l'on met ces valeurs 



Va 2-Vaabx + abxx 

— albbix 



dans _^ — exprefïïon générale de 

( Art. 78. ) MC, on trouvera dans ces deux 

COUrbeS M C aabh + 'Jabbx-^-^bbxx-t- 4oabx + 4abxx 

Za^bb 

Vaabb -+ i,abbx -+- ibbxx -+- i,aabx ~£ 4abxx 4M Q . /• 

\~an~b — ~ÏT ' puu * 



que de part & d'autre MQ (%■ — "*" dy } 

Vaabb "X ^abbx -+- tbbxx — (- 4uiifct X 4a£ , r.* ,-, . 1 

= — — — - — -—. Ce qui don- 
ne cette conftru&ion qui fert aufïï pour la parabole. 

Soit prife M C quadruple de la quatrième con- 
tinuellement proportionnelle au paramètre A F & 
à la perpendiculaire MC? terminée par l'axe» le 
point C fera à la développée. 

Si l'on fait x = u, on aura ( Art. 83. ) A B 
= { b. Et fi l'on fait dans l'ellipfe x = \a , on 



des Infiniment Petits. 125 

trouvera D G (F/g. y y. PI. 5. ) = ^— , c'eft-à- 

dire , égal à la moitié du paramètre du petit axe. 
D'où l'on voit que dans l'ellipfe la développée 
B C G fe termine en un point G du petit axe 
DO, où elle forme un point de rebrouflement} 
au lieu que dans la parabole & l'hyperbole elle 
j s'étend à l'infini. 

Si a = b dans l'ellipfe , il vient MC = |«; 
d'où il fuit que tous les rayons de la développée font 
égaux entr'eux , & qu'elle ne fera par conféquent 
qu'un point : c'eft-à-dire , que l'ellipfe devient en 
ce cas un cercle qui a pour développée fon centre. 
Ce que l'on fçait d'ailleurs être véritable. 

Exempie V. 

90. Soit la courbe AMD ( Fig. 80. PL 5.) 
I une logarithmique ordinaire , dont la nature eft 
telle qu'ayant mené d'un de ces points quelcon- 
que M la perpendiculaire M P fur l'alymptote 
i KP , & la tangente MT; la foutangente PT 
foit toujours égale à la même droite donnée a. 

On a donc ?T( y ^) = a , d'où l'on tire dy 

* dy ' ' 

|= — 3 dont la différence donne , en prenant dx 
pour confiante , ddy =r ^L*. == 2UL. ■ & mettant 

ces valeurs dans *_ d / » on trouve ( Art. 77- ) 
ME= ~ aa ~' yy ;ôt partant EC ou PK = 



126 Analyse 

— - — II, Ce qui donne cette conflruction. 

Soit prife P K égale à T Q. du même côté de 
T , parce que fa valeur eft négative ; & foit me- 
née K C parallèle à P M : je dis qu'elle rencon- 
trera la perpendiculaire M G au point cherché 

C CarTQ^: **- 4 -^ . 

a. 

Si l'on veut que le point M foit celui de la plus 
grande courbure , on le fervira de la formule 
dx 1 dddy-^dy 1 dddy — ^dyddy 1 z=. o, que l'on a 
trouvée ( Art. 86.) dans l'exemple fécond ; Se 

mettant pour dy, ddy , dddy , leurs valeurs — : , 

— , *— j- , on trouvera ? M. (y) ay\. 

Il eft clair , en prenant dx pour confiante y 
que les appliquées y font entr'elles comme leurs 

différences dy ou y — ; d'où il fuit qu'elles font 

aufîi une progrefîion géométrique. Car fi l'on 
conçoit que l'afymptote ou l'axe PK foit divifé 
en un nombre infini de petites parties égales Pp 
ou M R , pf ou mS , fg ou «H , &c. comprifes 
entre les appliquées P M , pm , fn, go, &c Ton 
aura P M ./;«:: Km . Sn : : P M + Km ou pm . 
pm -+- Sn ou fn. On prouve de même que pw . 
fn::fn.go, ôc ainfi de fuite. Les appliquées PM , 
prn ■> fn , go , &j. feront donc entr'elles une pro- 
greffion géométrique. 



des Infiniment Petits. 12/ 
Exemple VI. 

ç)\. S oit la courbe A MD ( F/g. 81. PL 5.) 

une logarithmique fpirale , dont la nature efl telle 
qu'ayant mené d'un de les points quelconque M 
au point fixe A , qui en eft le centre , la droite 
M A & la tangente M T ; l'angle A MT foit par 
tout le même. 

L'angle A M T ou A wM étant confiant , la 
raifon de »îR (dy) à RM (dx) fera aufll conf- 
iante. Il faut donc que la différence de ~ foit 

nulle ; ce qui donne ( en fuppofant dx confiante ) 
ddy=o. C'efl pourquoi effaçant le terme yddy 

dans -~— — , y " y , , expreffion (Art. 71. ) ge- 

dx l -H dy x — yddy r N / / / D 

nérale de ME , lorfque les appliquées partent tou- 
tes d'un même point, on trouve M E =y , c'efl-» 
à-dire, ME = A M- Ce qui donne cette conflruc- 
tion. 

Soit menée A C perpendiculaire fur A M , & 
qui rencontre en C la droite Ml C perpendiculaire 
à la courbe ,• le point C fera à la dévelopée A C B. 

Les angles AMT, ACM font égaux, puif- 
qu'étant joints l'un & l'autre au même angle AMC 
ils font un angle droit. La développée ACG fera 
donc la même logarithmique fpirale que la donnée 
A M D , & elle n'en différera que par fa pofition. 

Si l'on fuppofe que le point C de la développée 
ACG étant donné , il faille déterminer la lon- 
gueur" CM de fon rayon en ce point, qui {Art. 75.) 



n8 Analyse 

eft égal à la portion AC qui fait une infinité de 
retours avant que de parvenir en A ; il eft clair 
qu'il n'y a qu'à mener A M perpendiculaire fur 
A C. De forte que fi l'on mené À T perpendicu- 
laire fur A M , la tangente M T fera aufïi égale 
à la portion A M de la logarithmique fpirale don- 
née AMD. 

Si Ton conçoit une infinité d'appliquées A M, 
Km , An , Ao, &c. qui faffent entr'elles des an- 
gles infiniment petits & égaux ; il eft clair que les 
triangles MA»i, roA», »Ao, &c. feront fem- 
blables , puifque les angles en A font égaux , & 
que par la propriété de la logarithmique , les an- 
gles en m , n , o , &c. le font aufli. Et partant 
A M. Km : : Km. Kn. Et Km. Kn : : An. Ko. & 
ainfi de fuite. D'où l'on voit que les appliquées 
AM, Km , Kn , Ko , &c. font une progrefiion 
géométrique , lorfqu'elles font entr'elles des angles 
égaux. 

Exemple.'' VII. 

$2. S oit la courbe AMD ( Fig. 82. PI. 5.) 
une des fpirales à l'infini , formée dans le fecteur 
BAD avec une propriété telle qu'ayant mené 
un rayon quelconque AMP, & ayant nommé 
l'arc entier B P D , h ; fa partie BP , ^ ; le rayon 
ABou AP,a; & fa partie AM,;,- on ait 
cette proportion b. Ç : : a m .y n . 

L'équation à la fpirale AMD eft./ a =^ , 

dont la différence donne w> m ~- Vy = -~. Or à 

caufe 



t> E S I N F I N I M E N T P E T r T S. I 29 

cauié des fe&eurs iemblables AMR, A Vp 5 
l'on aura A M (;).Ai'(/i)::MR(^). Pp 

( ^K ) = — -• Mettant donc cette valeur à la place! 

de d^ dans l'équation que l'on vient de trouver 4 

t n -t- ij x 

on aura my m dy = -— dont la différence ( en 

prenant dx pour confiante ) eft mmy m Wj/ 1 -,'- 

my m âdy == ; d'où en divifant par my m ~~' \ l'on 
tire — yddy = ««/j/* • & partant M E ( Art. 77. ) 

. ydx 1 -+- ydy* ydx 1 -+- ydy % 

\ dx- -+- dy*-r-ydiy > = dx^^Ûp- ' ^ ^ 

donne cette conftruction. 

Soit menée par le centre A la droite T A Q 
perpendiculaire fur A M , & qui rencontre en T 
la tangente M T , & en Q la perpendiculaire 
MQ; loit fait T A -t- „,+ 1" A Q . T Qj : M A . 
AT Ë. Je dis que menant EG parallèle à TQ, 
elle ira rencontrer M Q. en un point C qui fera 
à la développée. 

Car à caufe des parallèles M R G , T A Q. , 

l'on aura M R ( dx ) + ^T"i RG(^-).MG 



dy* 



(^ + ^)::TA+m-f«AQ.TQ::AM 

dx 1 + m -+. , dy* , 

Exemple. VIII. 

93. Soit AMD ( Fig. 85. VI. 5. ) une demi- 
roulette fimple , dont la bafe BD eft égale à la 
demi-circonférence B E A du cercle générateur. 

I 



130 Analyse 

Ayant nommé AP,x;PM,j/; l'arc AE 5 
u ; & le diamètre A B , ia ; l'on aura par la pro- 
priété du cercle P E = ]/ ' j. U x — xx ; & par celle 
de la roulette^ = u -+- j/^jx — >*, dont la dif. 

c , . , adx - xdx Zadx - — xdx 

ference donne dy z=.du ■ 



V îax — xx V; 



oudxy — -, en mettant pour du fa valeur 

; en iuppofant dx confiante , ddy =. 

-. ; & en mettant ces valeurs dans 



Vzax — xx 
— adx z 






xV lax . 



1 s y — , il vient ( Art. 78. ) M G 

— dxddy 

=z 2}/^aa — zax , c'eft-â-dire , 2BE0U 2M G. 

Si l'on fait x — 0, l'on aura AN=4<3 pour 
rayon de la développée dans le fommet A. Mais 
fi l'on fait x = 2a , on trouvera que le rayon de 
la développée au point D devient nul ou zéro ; 
d'où l'on voit que la développée a fon origine en 
D , & qu'elle fe termine en N , enlorte que 
BN = BA. 

Pour fçavoir la nature de cette développée , il 
n'y a qu'à achever le re&angle BS, décrire le 
demi-cercle DIS qui a pour diamètre DS , & 
mener DI parallèle à M G ou à BË, Cela fait, 
il eft clair que l'angle BD1 efr. égal à l'angle 
E B D ; & par conféquent que les arcs D I , B E 
lont égaux entr'eux ; d'où il fuit que leurs cor- 
des DI, BE ou G G font auffi égales. Si donc 
l'on tire 1 C , elle fera égale &c parallèle à D G , 



des Infiniment Petits. i?i 
qui par la génération de la roulette eft égale à 
l'arc BE ou DI ; & partant la développée DCiST 
eft une demi- roulette qui a pour baie 11 droite 
NS égale à la demi -circonférence DIS de Ion 
cercle générateur : c'eft à-dire , que c'eft la demi- 
roulette raême'AMDB, pofée dans une fitua- 
tion renversée. 

Corollaire. 

94. 1 l eft clair (Art. 75.) que la portion de 
roulette DC eft double de Ta tang-ente CG, 
ou de la corde correspondante Dl. Et la demi- 
roulette DCN double du diamètre BNou US 
de ion cercle générateur. 

Autre Solution. 

95- O n V~ ut encore trouver la longueur du ra- 
yon MC lans aucun ca'cul , en cette forte. 
Ayant imaginé une autre perpendiculaire m C 
infiniment proche de la .première , une autre pa- 
rallèle me , une autre corde Be, & décrit des 
centres, C, B les petits arcs GH, EF , on for- 
mera les triangles rectangles GHg , FF<? qui 
feront égaux & femblables ; car Ggc=.Ee, puif- 
que B G ou M E eft égale à l'arc A E , & de même 
Bgou me eft égal à l'arc A e ; de plus Hg ou 
m g — MG = Fe ou B e — B E ; GH fera donc 
égal à EF. Or les perpendicu'aires MC, mC 9 
étant parallèles aux cordes EB , eB , l'angle 
MCm fera égal à l'angle E B e. Donc puifque les 
arcs GH, EF, qui mefurent ces angles 3 font 

1 s 



ïp Analyse 

égaux , il s'enfuit que leurs rayons CG , BE 
feront aufli égaux ; & partant que M C doit être 
prife double de M G ou de Bi.. 

L E M M E. 

96. S'il y a un nombre quelconque, de quantites^ 
a , b , c , d , e , tic [oit que ce nombre foit fini 
où infini , foit que ces quantités [oient des Lignes, 
ou des [urfaces , ou des [olides ; la [omme a ~ b 
.+_ b — c -h c — d h- d — e , Ôc de toutes leurs 
différences efi égale a la plus grande a , moins la 
plus petite e , ou Simplement h la plus grande , lorj- 
que la plus petite efi \ero. Ce qui eft vifible. 
Corollaire I. 

97. Les feûeurs CM«, CGH, étant fem- 
blables , il eft clair que M m eft double de G H 
ou de fon égale E F ; & comme cela arrive tou- 
jours en quelque endroit que l'on iuppofe le point 
M , il s'enfuit que la fomme de tous les petits 
arcs M m , c'eft à dire , la portion A m de la de- 
mi-roulette AMD, eft double de la iomme de 
tous les petits arcs E F. Or le petit arc E F fait 
partie de la corde AE perpendiculaire fur BE, 
&eft la différence des cordes AE, A e, parce 
■ que la petite droite e F perpendiculaire fur A è 
peut être confiderée comme un petit arc décrit 
du centre A ; Se partant la fomme de tous les 
petits arcs EF dans l'arc AZE fera la fomme des 
différences de toutes les cordes AE, Ae , ôcc. 
dans cet arc, c'eft-à-dire, par le Lemme qu'elle 
fera égale à la corde AE. Il eft donc évident 



des Infiniment Petits. 133 
que la portion A M de la demi-rouierte AMDeft 
double de la corde correfpondante A E. 

Corollaire II. 

98.J_,'e s p ac e MGgm ( Art. 2. ) ou le tra- 
pèze M GHm = im»+|<SH X M G = \ E F 
X BE , c'eft-à-dire , qu'il eft triple du triangle EBF 
ou EBe- 1 d'où il fuit que l'efpace MGBA, fomme 
de tous ces trapèzes , eft triple de l'efpace circu- 
laire J3E Z A , fomme de tous ces triangles. ! 

Corollaire III. 

59.Nommant BP, ç; l'arc AZEouEM 
ou B G , u ; & le rayon KA, «; l'on aura le 
parallelélogramme M G B E = u \. Or l'efpace de 
la roulette MGBA ~ 3 BtZ A = 3EKB-f-^w; 
& partant l'efpace AMEB renfermé par la por- 
tion de roulette A M , la parallèle M E , la corde 
BE & le diamètre AB , eft = 3E K B + \au 
— u\. D'où il fuit que fi l'on prend BP (ç) — \ a t 
l'efpace A M E B fera triple du triangle corref- 
pondant E K B ; 8c aura par conféquent fa qua- 
drature indépendante de celle du cercle. Ce que 
M- Hugens a remarqué le premier. Voici encore 
une autre forre d'efpace qui a la même propriété. 
Si l'on retranche de l'efpace A M E B le feg- 
ment BEZA , il reftera l'efpace A ZE M = 2EKB 
+ au — u\ ; d'où l'on voit que fi le point P 
tombeau centre K, l'efpace AZEM fera égal 
au quarré du rayon. Il eft évident qu'entre tous 
les efpaces AMEB & AZEM, il n'y a que 

13 



ï 34 Analyse 

les deux que l'on vient de déterminer qui ayent 

leur quadrature abfolue indépendante de celle 

du cercle. 

Exemple IX. 

too. Soit la demi-roulette AMD ( Fig. 84. 
P/. 5. ) décrite par la révolution du demi-cercle 
A E B autour d'un autre cercle immobile B G D ; 
& qu'il faille déterminer fur la perpendiculaire 
M G donnée de pofition , le point où elle touche 
la développée. 

Pour fe fervir des formules générales il faudroit 
prendre pour les appliquées de la courbe AMD, 
des lignes droites perpendiculaires fur Taxe O A, 
& chercher enfuite une équation qui exprimât 
la relation des coupées aux appliquées , ou de 
leurs différences. Mais comme le calcul en feroic 
fort pénible , il vaut beaucoup mieux dans ces 
fortes de rencontres en tenter la folution en fe 
lervant de la génération même. 

Lorfque le demi-cercle AEB eft parvenu dans 
la pofition M G B dans laquelle il touche en G 
la bafe BD; & que le point décrivant A tombe 
fur le point M de la demi-roulette AMD : il 
eft clair, 

1 p. due l'arc G M eft égala l'arc GD , com- 
me auffi l'arc G S du cercle mobile à lare GB 
du cercle immobile. 

2 . Que M G eft (Art. 43. ) perpendiculaire 
fur la courbe ; car confidérant la demi-circonfé- 
rence MGBou AEB, & la bafe B G D com- 
me l'affemblage d'une infinité de petites droites 



des Infiniment Petits. 135 
égales chacune à fa corréfpondante , il eft mani- 
fefte que la demi-roulette AMD fera l'auem- 
bîage d'une infinité de petits arcs qui auront 
pour centre fucceflivement tous les points tou- 
chans G , & qui leront décrits chacun par le mê- 
me point M ou A. 

3 . Que fi l'on décrit du centre O du cercle 
immobile l'arc concentrique ME; les arcs M G , 
EB du cercie mobile leront égaux entr'eux , 
auiîi-bien que leurs cordes M G , E B , & les 
angles O G M , O B E. Car les droites O K, O K , 
qui joignent les centres des deux cercles font éga- 
les , piufqu'elles panent par les points touchans 

B, G; c'eft pourquoi menant les rayons O M , 
OE, & KE, on formera les triangles OK.tVi , 
O K E égaux & iemblables. L'angle O K M étant 
donc égal à l'angle OKE; les arcs MG, BE 
des demi-cercles égaux MGB, BEA, qui me- 
furent ces angles , feront égaux , comme au Ai 
leurs cordes M G , E B ; d'où il fuit que les an- 
gles OGM , OBE le leront aufli. 

Cela po(é , loit entendue une autre perpendi- 
culaire mC ( F/g. 85. PI. 5.) infiniment proche 
de la première, un autre arc concentrique me , 
& une autre corde Be ; foient décrits des centres 

C, B, les petits arcs GH, EF. Les triangles 
rettangles GHg, EFe feront égaux & fembla- 
b;es; carGgouDg — DG = Eeou à l'arc Be 
— l'arc B Ë . de plus H g ou m g — MG=Fe 
ouàBe — BE Le petit arc G H fera donc égal 
au petit arc EF ; d'où il fuit que l'angle G CH 



136 Analyse 

eft à l'angle E BF , comme BE eft à CG. Ainfi 
toute la difficulté fe réduit à trouver le rapport 
de ces angles. Ce qui fe fait en cette forte. 

Ayant mené les rayons OG, Og , KE, Ke, 
& nomméOGouOB , i,-KEouKBouKA, 
a j il eft clair que l'angle EBe=OBe-OBE 
=fb Ogm — OGM= (en menant GL , GV pa- 
rallèles à Cm , Og) LGM-OGV = GCH 
— GO g. On aura donc l'angle G C H = G O g 
+ EBF. Or les arcs Gg , Ee étant égaux , l'on 
auraaufli GOg . EKe ou 2KBF : : KE (a ) . 

OG(i);& partant l'angle GOg = ~ E B F , 
&GCH = 2 -^^EBF.Donc GCH.EBFou 
B E . C G : : ~— — . 1 . & partant l'inconnue 
C G = — — r B E ou M G. Ce qui donne cette 

2a-+- b * 

Canftruction. 

Soit fait O A ( F/g. 86. PL 5. ) (2a -+- fc). 
OB ( i ) :: MG.GC; le point C fera à la dé- 
veloppée. 

Il eft clair i°. Que cette développée commen- 
ce au point D , & qu'elle y touche la bafe BGD ; 
puifque l'arc G M devient en ce point infiniment 
petit. 2 . Qu'elle fe termine au point N , en- 
fprte queOA.OB::AB.BN ::OA — A B 
ouOB.OB — BNouON,- c'eft-à-dire , que 
OA, OB, ON font continuellement propor- 
tionnelles. 3°. Si l'on décrit à préfent le cercle. 



des Infiniment Petits. 137 
NSQ, du centre O, je dis que la développée 
D C N efl formée par la révolution du cercle mo- 
bile G C S , qui a pour diamètre G S ou B N , 
autour de l'immobile NSQ: c'eft-à-dire , qu'elle 
eft une demi-roulette femblable à la propoiée, 
ou de même efpece ( parce que les diamètres AB , 
B N des cercles mobiles ont entr'eux le même 
rapport que les rayons O B , ON des cercles 
immobiles ) , 6c polée dans une fîtuation renver- 
fée , enfoite que fon fommet eft en D. Pour le 
prouver , fuppofons que les diamètres des cercles 
mobiles fe trouvent fur la droite O T menée à 
difcrétion du centre O ; elle parlera par les 
points touchans S , G ; & faifant A B ou T G . 
BN ou GS ;: M G . GC , le point C fera à la 
développée , & de plus à la circonférence du 
cercle GCS; car l'angle GMT étant droit , 
l'angle GCS le fera aufîî. Cr à caufe des angles 
égauxMGT,CGS , l'arc TM ou GB eft à 
l'arc CS , comme le diamètre GT au diamètre 
GS :: OG . OS : :GB.NS ; & partant les arcs 
C S } S N font égaux. Donc , ôcc. 

Corollaire I. 

10 1. Il eft clair {Art. 75.) que la portion de rou- 
lette D C eft égale à la droite C M ,• & partant 
que D C eft à fa tangente C G : : A B h- BN . 
BN::OB + ON. ON; c'eft à-dire , comme 
lafommedes diamètres des deux cercles géné- 
rateurs , ou des cercles mobile & immobile , eft 
au rayon du cercle immobile. Cette veriré fe dé- 



138 Analyse 

couvre encore de la manière qui fuit. A caufe 

des triangles iemb'iables CM»;, CGH, ( Fig. 
85. PI. 5. ) l'on aura Mm. G H ou E F : : M C . 
GC:: OA + OB (2a + 2b ). OB (b). D'où 
il fuit ( comme dans l'art 97. ) que la portion de 
roulette AM eft à la corde correfpondante AE , 
comme la iomme des diamètres du cercle géné- 
rateur & de la bafe , eft au rayon de la baie. 

CoROILAIRE II. 

ioz.Le trapèze MGHw {Fig- 85. P/. 5.) 
z= iGH+îMfl, x MG. Or C G ( —^ M G ) , 

CM( 2 -^^MG)::GH.M W = ^^GH. 

v 2a + b ' b 

Donc puifque GH=EF,6cMG — EB, l'on 
aura MG Hm = 2 * £ ^ EF x EB : c'eiVà-dire , 

2b 

que le trapèze MGHra fera toujours au triangle 
correspondant E B F : : 2a + 36 . b. 

D'où il fuit que l'efpace M G B A renfermé par 
M G , A B perpendiculaires à la roulette , par 
l'arc B G & par la portion de roulette MA, eft 
au fegment de cercle correlpondant B E Z A : : 
2a «+- 3& . b. 

Corollaire III. 

103.I l eft vifible que la quadrature indéfinie de 
la roulette dépend de la quadrature du cercle ; 
mais fi Ion prend OQ (Fig. 87. P/. 5- ) mo- 
yenne proportionnelle entre O K , O A , & qu'on 
décrive de ce rayon l'arc Q EM ; je dis que l'ef- 



des Infiniment Petits. 139 
pace ABEM renfermé par le diamètre AB, la 
corde BE , l'arc E M , & par la portion de rou- 
lette A M , eft au triangle E K B : : 2a -+- -$b . b. 
Car nommant l'arc AE ou G B , « ; le rayon OQ, 
Ci Ton auraOB(fc).CQr^):--GB(«).RQ 

ou ME = % Et partant l'efpace RGBQ. ou 

MGBE, c'eft- à-dire, jGB + ; KQ X BQ.— 

«"-**". Or ( Art. 102. ) l'efpace de la roulette 

M GBA = 2 -îii\BEZA= 2 4^xEKB 

b o 

_*_ rl±i£ x KEZA C — \ Si donc l'on retranche 
le précédent efpace de celui-ci , il reftera ABEM 

laau -+- T,abu -4- bbu — [^ 2a H- ^b v p ]T jJ 
2i b 

___ 2£-j-3_ g j^g ^ puifque par la conftruction m 

b 

— iaa + 3<3& ■+■ &&. D'où l'on voit que cet ef- 
pace a fa quadrature indépendante de celle du 
cercle , & qu'il eft le feul parmi tous fes fem- 
blabîes. 

En voici encore un autre qui a la même pro- 
priété. Si l'on retranche de Telpace ABEM le 
fegment B E Z A ( \au -+- E K B\ ) il reftera l'ef- 

. „._ „, 2aau-*-2abu-i-bbii — ?7U 2a -+- 2b 

pace AZE M = — & ^r -+- — ~ b — 

E K B = 2 _1±£_ 3 E K B en faifant ^ = zaa+zab 

b 

■+■ bb : c'eft-à-dire , que fi l'on divife la demi-cir- 
conférence en deux également au point E , l'ef- 



ï40 Analyse 

pace AZEM fera au double du triangle EKB , 

e'eft- à-dire , au quarré du rayon : : O K (a-i-b ) . 

OB(£). 

Corollaire IV. 

104.S 1 le cercle mobile A E B ( Fig. 88. PL 5.) 
roule au dedans de l'immobile BGD, fon dia- 
mètre AB devient négatif , de pofitif qu'il étoit 
auparavant ; & partant il faut changer de li- 
gnes les termes où il fe rencontre avec une di-r 
menfion impaire. D'où il fuit, i°. Que fi l'on 
mené à difcrétion la perpendiculaire M G à la 
roulette , & que l'on tafle OA (b — 2«).OB 
(b) : : M G . G G . le point C fera ( Art. 100.) à 
îa développée DÇN décrite par la révolution 
du cercle qui a pour diamètre BN , au dedans 
de la circonférence N S concentrique à B D. 
2 . Que fi Ton décrit du centre O, l'arc M E , 
la portion de roulette A M. fera {Art. 101. ) à la 
corde AE : : il—iaù. y. Que l'efpace MGB A 
eft {Art. 102.) au fegment BE ZA : : ^b — za.b , 
4 . Que fi l'on prend OQ = l/2aa — $ab-+- bb , 
ceft-à-dire , moyenne proportionnelle entre OK, 
OA ; l'efpace ABEM renfermé par la portion de 
roulette A M , l'arc ME , la corde EB , & le dia- 
mètre AB, fera ( Art. 103. ) au triangle 
EKB: : yj—ia.b. Mais que fi l'on fait OQ_ou 
OE = yJiaa. — iab -+- bb , c'eft-à-dire , que l'arc 
A E foit le quart de la circonférence ; l'efpace 
AZEM renfermé par la portion A M de roulette 
& par les deux arcs ME, A E , fera ( Ibid. ) au 



des Infiniment Petits. 141 
triangle EKB qui eft en ce cas la moitié du 
quarré du rayon : : 2b — 2a . b. 

Corollaire V. 

I0 5- S l l' on conç * 1 <l ue I e ra y on OB ( F/g. 86". 
PL s. ) du cercle immobile devienne infini, l'arc 
B G D deviendra une ligne droite , & la courbe 
AMD deviendra la roulette ordinaire. Or com- 
me dans ce cas le diamètre A B du cercle mo- 
bile eft nul par rapport à celui de l'immobile ; il 
s'enfuit , i°. Que MG.GC::i.i. Puifque 
b±2a — b, c'eft-à-dire, que M G == G C ; & 
partant que fi 1 on prend BN = AB, & qu'on 
mené la droite NS parallèle à BD , la développée 
D C N fera formée par la révolution du cercle , 
qui a pour diamètre BN , fur la baie NS. 2 . Que 
la portion de roulette A M (F/g. 85. 88. PL 5.; 
eft à la corde correfpondante AE : : 2b . b. 3 . Que 
1 efpace M G B A eft au fegment B E Z A : : 5 £ . b. 
4°. Puifque BQ (F/g. 87. 88. PL 5. ) ou ± OQ 
q: OB , que j'appeile x , eft = ~+bîi\/ 'zaa±^ab-^-bb t 
d'où l'on tire ( en ôtant les incommenfurables ) 
xx ± 2bx = 2aa ±$ab ; l'on aura x = \a 3 en ef- 
façant les termes où b ne fe rencontre point , 
parce qu'ils font nuls par rapport aux autres. C'eft- 
à-dire , que fi l'on prend dans la roulette ordi- 
naire BP= | AB , & qu'on mené la droite PEM 
(F/g. 83. PL 5.) parallèle à la bafe BD ; l'ef- 
pacc AMEB fera triple du triangle EKB. On 
trouvera en opérant de la même manière , que fi 
le point P tombe au centre. K 3 l'efpace A Z E M 



i^a Analyse 

renfermé par la portion de roulette A M , la 
droite ME, & lare AE , fera égal au quarré 
du rayon. Ce que l'on a déjà démontré ci- 
devant art- y?- 

Remarque. 

io6.CoMMElesarcsnG,GM(F% 84. PL 5.) 
font toujours égaux entr'eux , il s'enfuit que l'an- 
gle DOG eft auffi toujours à l'angle G K M : : G K . 
OGC'eft pourquoi l'origine D de la roulette DMA, 
les rayons OG , G K des cercles générateurs, Se 
le point touchant G étant donnés , fi l'on veut 
déterminer dans cette pofition le point M qui dé- 
crit la roulette, il ne faut que tirer le rayon 
KM , en'brte que l'angle GK VI lbit à l'angle donné 
DOG::OG. GK. Or je dis maintenant que 
cela fe peut toujours faire géométriquement , lorf- 
que le rapport de ces rayons fe peut exprimer par 
nombres ; & partant que la roulette DMA eft 
alors géométrique. 

Car fuppofant , par exemple , que OG . GK : : 
13. 5 • il eft clair que l'angle M K G doit conte- 
nir deux fois l'angle donné DOG, & de plus \ de 
cet angle. Toute difficulté fe réduit donc à di- 
vifer l'angle DOG en cinq parties égales. Or 
c'efi une chofe connue par les Géomètres, qu'on 
peut toujours divifer géométriquement un angle 
ou un arc donné en tant de parties égales qu'on 
voudra; puifqu'on arrive toujours à quelque équa- 
tion qui ne renferme que des lignes droites. 
Donc., &c 



DES ÎNF I N I M ENT P ETI TS. 143 

je db de plus que la roulette DMA eft mé- 
canique , ou ce qui eft la même chofe , qu'on 
ne peut déterminer géométriquement fes points 
M , lorique la raifon de OG à K G ne le peut ex- 
primer par nombres, c'eft-à- dire , lorfqu'elle 
eft lourde 

Car (F/g. 89. PI. 5.) toute ligne, foit méca- 
nique ioit géométrique , ou rentre en elle-même 
ou s'étend à l'infini ; puifqu'on peut toujours en 
continuer la génération. Si donc le cercle mobile 
ABC décrit par fon point A dans la première 
révolution la roulette ADE, cette roulette ne 
fera pas encore finie , & continuant toujours de 
rouler il décrira la féconde EFG , puis la troi- 
fiéme GHI, & ainfï de fuite jufqu'à ce que le 
point décrivant A retombe après plufieurs révo- 
lutions dans le même point d'où il étoit parti. Et 
pour lors 11 on recommence à faire rouler le cercle 
mobile ABC, il décrira derechef la même ligne 
courbe , de forte que toutes ces roulettes pri— 
fes enfemble ne compofent qu'une feule courbe 
A D E F G H I , &c. Or les rayons des cercles 
générateurs étant incommenfurables , leurs cir- 
conférences le feront auffi } * & par conféquent le 
point décrivant A du cercle mobile A B C ne 
pourra jamais retomber dans le point A de l'im- 
mobile , doù il étoit parti , fi grand que puilTe 
être le nombre des révolutions. Il y aura donc 
une infinité de roulettes qui ne formeront cepen- 
dans qu'une même ligne courbe ADEFGHI, 
&c. Maintenant fi l'on mené au travers du cercle 



144 Analyse 

immobile une ligne droite indéfinie , il eft clair 
qu'elle coupera la courbe continuée à l'infini en 
une infinité de points. Or comme l'équation qui 
exprime la nature d'une ligne géométrique doit 
avoir au moins autant de dimenlions que cette li- 
gne peut être coupée en de différens points par une 
droite ; il s'eniuit que l'équation qui exprimeroit 
la nature de cette courbe auroit une infinité de 
dimenfions. Ce qui ne pouvant être , on voit 
évidemment que la courbe doit être mécanique 
ou tranfcendente. 

PROPOSITION III. 

Problème. 

107. L a ligne courbe BFC (F/g. 90. PI. 5.) 
étant donnée , trouver une infinité de lignes A M , 
BN , frtO , dont elle fait la développée commune. 
Si l'on développe la courbe B F G en commen- 
çant par le point A , il eft clair que tous les 
points A , B , F, du fil A BFC décriront dans 
ce mouvement des lignes courbes AM,BN, 
FO, qui auront toutes pour développée com- 
mune la courbe donnée BF C. Mais il faut obfer- 
ver que la ligne F O n'ayant pour développée que 
la partie F C , fon origine n'eft pas en F ; & que 
pour la trouver , il faut développer la partie ref- 
tante B F , en commençant au point F , pour dé- 
crire la portion E F de la courbe E F O dont l'o- 
rigine eft en E 5 & qui a pour développée la courbe 

entière B F C. 

Si 



des Infiniment Petits. 145 
Si l'on veut trouver les points M , N , O fans 
fe fervir du fil A B F C , il n'y a qu'à prendre fur 
une tangente quelconque C M , autre que B A 
les parties CM , CN , CO égales à ABFc! 
BFC.FC 

Corollaire. 

108. Il eft évident, 1 °. Que les courbes A M , 
BN , EFO font d'une nature très-différente 
entr'elles ; puifque la courbe A M a dans fou 
iommet A le rayon de fa développée égal à AB , 
au lieu que celui de la courbe B N eft nul. il eft 
vifible aufli par la figure même de la courbe EFO 
qu'elle eft très différente des courbes A M , BIST. 
2 . Q_ue les courbes A M, BN, EFO ne 
font géométriques que lorfque la donnée BFC 
eft géométrique & de plus reftifiable. Car fi elle 
n'eftpas géométrique, en prenant BK pour la 
coupée , on ne trouvera point géométriquement 
l'appliquée KC:& û elle n'eft pas redifiable , 
ayant mené la tangente C M , on ne pourra dé~ 
terminer géométriquement les points M , N , O 
des courbes A M, BN, EFO ; puif qu'on ne 
peut trouver géométriquement des lignes droites 
égales à la ligne courbe BFC, & à fes portions 
BF,FC. 

Remarque. 

109.01 l'on développe une ligne courbe BAC 

(Fig. 91. PL 5. ) qui ait un point d'inflexion en 

A , en commençant par le point D , autre que le 

point d'inflexion ; on formera par le développe- 

K 



146 Analyse 

ment de la partie B A D la partie DEF; & par 
celui de la partie DC, la partie reliante D G : 
de forte que F E D G iera la courbe entière for- 
mée par le enveloppement de BAC. Or il eft vi- 
fible que cette courbe rebroufle chemin aux points 
D & E , avec cette différence qu'au point de re- 
broufTement D les parties DE, DG ont leur 
convexité oppofée l'une à l'autre ; au lieu qu'au 
point E les parties DE, EF font concaves vers 
le même côté. On a enfeigné dans la fection pré- 
cédente à trouver les points de rebroufiement tels 
que D : il eft quellion maintenant de déterminer 
les points E , qu'on peut appeller points de re- 
broufiement de la féconde forte , & que perfonne, 
que je fçache , n'a encore confîdcré. 

Pour en venir à bout, on mènera à diferétion fur 
la partie DE deux perpendiculaires MN, mn , 
terminées par la développée aux points N , n , par 
lelquels on tirera deux autres perpendiculaires 
NH,kH fur les premières NM,n?»;ce qui for- 
mera deux petits feéleurs MNw , NH« qui leront 
femblables, puifque les angles MN»!,NHb font 
égaux. On aura donc Na:Mw:: NH . NM. Or 
dans le point d'inflexion A le rayon N H devient 
{Art. 81.) infini ou zéro ; & le rayon MN , qui 
devient AE , demeure d'une grandeur finie. Il faut 
donc qu'au point de rebroufiement E de la féconde 
iorte , la raiion de la différence Nw du rayon IViN 
ite ta développée , à ladifFérence M m de la cour- 
lie , devienne ou infiniment grande ou infiniment 
petite. Et partant puiique ( Art. 86. ) N» 



des Infiniment Petîts- 147 

t 



._. — ^dxdyddy' L dx' L - J t-dy' L *-*-dxdddydx z -+-dy :L x ^ & J^^ 

</y * dddy-+-dy z dddy—1 dyddy % 



=\/dx l +dy t l'on aura / xddy * 

=:oou 00 ; & multipliant par dxddy* , on tfoU- 
vera la formule dx z dddy •+- dy*dddy — ^dyddy 1 
rroou 00 , qui iervira à déterminer les points 
de rebrouffement de la féconde forte. 

On peut encore concevoir qu'une rebrouffantè 
DEF ( F/g. 92. 93. PL 5.) ouHDEFGde la 
féconde forte , ait pour développée une autre 
rebrouffantè BAC de la féconde forte , telle que 
fon point de rebrouffement A réponde au point 
de rebrouffement E , c'eft-à-dire , qu'il foit fitué 
fur le rayon de la développée qui part du point E* 
Or il eft clair dans cette fuppofition > que lô 
rayon E A de la développée fera toujours un plus 
petit ou un plus grand ; & partant que la diffé- 



) 



rence de dx^-^dy 1 - 1 expreffion générale {Art. 78.) 

— dxddy 

des rayons de la développée , doit être nulle ou 
infinie au point cherché E ; ce qui donne la 
même formule qu'auparavant : de forte qu'elle 
eft générale pour trouver les points de rebrouffe- 
ment de la féconde forte. ( Confulte\ pour toute 
cette Seftion la Note cinquantième. 



Ks 



148 Analyse 



SECTION VI. 

Ufage du calcul des différences pour trouver les 
Caujliques par réflexion. 

DÉFINITION. 

SI l'on conçoit qu'une infinité de rayons B A , 
BM } BD, (F/g. 94. 95. PI. 5.) qui par- 
tent d'un point lumineux B , fe réfléchifient à la 
rencontre d'une ligne courbe AMD, enforte 
que les angles de réflexion loient égaux aux an- 
gles d'incidence ; la ligne HFN, que touchent 
les rayons réfléchis ou leur prolongement A H , 
MF, DN, eft appellée Cauftique par réflexion. 

Corollaire 1. 

t 1 o S 1 l'on prolonge H A en I , ( F/g. 94. PI. 5 . ) 
de forte que À I = A B , & que l'on développe 
la cauftique HFN en commençant au point I ; 
on décrira la courbe IL K , telle que la tangente 
FL fera (Art. 75.) continuellement égale à la por- 
tion F H de la cauftique , plus à la droite H I. Et 
fi l'on conçoit deux rayons incident & réfléchi 
Bm , mV infiniment près de BM, MF, ôc 
qu'ayant prolongé V m en / , on décrive des cen- 
tres F , B les petits arcs MO, M R : on formera 
les petits triangles rectangles MO/?/, MRw, 
qui feront femblables & égaux ; car puilque l'an- 
gle OmM = FȔD = R./3M , & que de plus 
i'hypotenule Mm eft commune , les petits côtés 



des Infiniment Petits. 149 
Om , Km feront égaux entr'eux. Or puifque 
Om eft la différence de LM, &Rw celle de 
BM, & que cela arrive toujours en quelque en- 
droit qu'on prenne le point M ; il s'enfuit que 
M L — I A ou A H + H F — MF fomme ( Art. 
96. ) de toutes les différences Om dans la por- 
tion de courbe A M , eft — B M — B \ fom- 
me ( Art. 96. ) de toutes les différences Km dans 
la même portion A M. Donc la portion H F de 
la cauftique HFN fera égale à BM — BA 
H- MF- AH. 

Il peut arriver diffcrens cas , félon que le ra- 
yon incident B A eft plus grand ou moindre que 
BM, & que le réfléchi A H développe ou en- 
veloppe la portion H F pour parvenir en MF: 
mais l'on prouvera toujours , comme l'on vient 
de faire , que la différence des rayons incidens 
eft égale à la différence des rayons réfléchi;. , en 
joignant à l'un d'eux la portion de la cauftique 
qu'il développe , avant que de tomber fur l'autre. 
Par exemple, BM — BA (Fig. 95. PI. 5.)=^ 
MF + FH-AH; d'où Ion tire FH = BM 
— BA+AH- MF. 

Si l'on décrit du centre B l'arc de cercle Ap ; 
( Fig. 94. 95. Pi. 5.) il eft clair que pM fera la 
différence des rayons incidens BM, BA. Et fi 
l'on fuppofe que le point lumineux B devienne 
infiniment éloigné de la courbe AMD- {Fig. 
96. PL 5.) les rayons incidens BA, BM de- 
viendront parallèles , & l'arc A P deviendra une 
ligne droite perpendiculaire fur ces rayons. 

K 3 



jço Analyse 

Corollaire. II. 

in. Si l'on, conçoit que la figure B A M D ( F/g. 
94. PL 5. )foit renverfée fur le même plan , en- 
forte que le point B tombe fur le point I , & 
qu'ajnfi la tangente en A de la courbe AMD 
dans fa première fituation , la touche encore 
4ans cette nouvelle ; & qu'on fane rouler la courbe 
4M 4 fur AMD, c'eft-à-dire , fur elle-même, 
çnforte que les portions «M, AM foient tou- 
jours égales : je dis le point B décrira dans ce 
mouvement une efpece de roulette ILK qui aura 
pour développée la cauftique H F N. 

Car il fuit de la génération , i°. Que la ligne 
\jJÀ tirée du point décrivant L au point touchant 
$1 fera ( /4r/. 43.) perpendiculaire à la courbe 
lt% 2 . Que La ou IA = BA , & LM=r 
g M 3°. Que les angles faits par les droites M L , 
BM. fur la tangente commune en M font égaux ; 
& partant que fi l'on prolonge L M en F , le ra- 
yon M F fera le réfléchi de l'incident B M. D'où 
î'pnvoit que la perpendiculaire LF touche la 
cauftique HFN :& comme cela arrive toujours 
en quelque endroit qu'on prenne le point L , il 
g'enfuit que la courbe 1 L K eft formée par le dé- 
veloppement de la cauftique HFN, plus la 
droite H I. 

Il fuit de ceci que la portion F H ou F L — 
Hî = BM-»-MF — B A— AH. Ce que l'on 
yjenç de démontrer d'une autre manière dans le 
Corollaire précédent, 



des Infiniment Petits. 151 

Corollaire II T. 

1 1 2. S 1 la tangente D N devient infiniment pro- 
che de la tangente F M ; il eft clair que le point 
touchant N , & celui d'interfedlion V le confon- 
dront avec l'autre point touchant F : de forte 
que pour trouver le point F où le rayon réfléchi 
MF touche la cauftique HFN , il ne faut que 
chercher le point de concours des rayons réfléchis 
infiniment proches M F , m F. Et en effet , fi 
l'on imagine une infinité de rayons d'incidence 
infiniment proches les uns des autre? , on verra 
naître par les interjections des réfléchis un poli- 
gone d'une infinité de côtés dont l'afTembiage 
compofera la cauftique HFN. 

PROPOSITION I. 

Problème Général. 

1 1 5 • 1_j a nature de la courbe AMD, ( F/g. 
yj. PL 5 . ) le point lumineux B , & le rayon 
incident B M étant donnés • trouver fur le réfléchi 
MF donné de pofition , le point F ou il touche la 
cauflique. 

Ayant trouvé par la fection précédente la lon- 
gueur MC du rayon de la développée au point 
M , & pris l'arc M m infiniment petit , on tirera 
les droites Bw , Cm , F m ; on décrira des 
centres B , F les petits arcs M R , MO ; on mè- 
nera les perpendiculaires CE, Ce, CG, Cg 
fur les rayons incidens & réfléchis ; enluite on 
nommera les données BM,;; M £ ou M G , a. 

K 4 



jçî Analyse 

Cela pofé , on prouvera , comme dans le Co- 
rollaire premier (Art. 1 10. ) , que les triangles 
M R w , MO» font femblables & égaux ; & 
qu ainfi M R = M O. Or à caufe de l'égalité des 
angles d incidence & de réflexion, l'on a aufïi 
CE=CG, Ce=Cg; & partant CE — Ce ou 
£ q ■ == C G— Gg ou S G. Donc à caufe des trian- 
gles femblables BMR & BEQ , FMO & FGS , 
l'on aura BM + BE ( 2 j/ _« ) . B M (j>):: M R 
+ E Cl ou M O -+- G S . MR ou M O : : M G (a). 

%y — a 

Si le point lumineux B tomboit de l'autre côté 
du point E par rapport au point M , ou ( ce qui 
eft la même chofe ) fi la courbe AMD étoit 
convexe vers le point lumineux B ; y deviendroit 
négative de pofitive qu'elle étoit , 6c 1 on auroit 

par conféquent MF = — ^— ou -Ç--. 

f" * — iy — a 2y-+-a 

Si l'on fuppofe que y devienne infinie , c'eft-à- 
dire ,. que le point B ( Fig. 96. PL 5. ) foit infi- 
niment éloigné de la courbe AMD; les rayons 
jncidens feront parallèles entr'eux , & l'on aura 
MF =fp \a , parce que a eft nulle par rapport à iy. 

Corollaire I. 

ÏI4.ÇJ0MME l'on ne trouve pour MF (Fig. 
94. 95. PL 5. ) qu'une feule valeur dans laquelle 
entre le rayon de la développée ; il s'enfuit 
qu'une ligne courbe A M D ne peut avoir qu'une 
feule cauftique HFN par réflexion , puiiqu'elle 
( Art» 80. ) n'a qu'une feule développée. 



des Infiniment Petits. 153 

Corollaire. II. 

115.L0RSQUE AMD (F/g. 97. VI. 5.) eft 
géométrique , il eft clair ( Art 85. ) que la dé- 
veloppée l'eft auffi , c'eft-à-dire , que l'on trouve 
géométriquement tous les points C D'où il fuit 
que tous les points F de fa cauftique feront auffi 
déterminés géométriquement , c'eft-à-dire , que 
la cauftique H F N { Fig. 94. 95.) fera géomé- 
trique. Mais je dis de plus , que cette cauftique 
fera toujours rectifiable ; pufqu'il eft évident (Art. 
1 10. que l'on peut trouver avec le fecours de la 
courbe AMD, qu'on fuppofe géométrique , 
des lignes droites égales à une de fes portions 
quelconques. 

Corollaire III. 

11 6. Si la courbe AMD (F/g. 97. PL 5.) eft 
convexe vers le point lumineux B ; la valeur de 

M F ( -^- — ) fera toujours pofitive ; & il fau- 
dra prendre par conféquent le point F du côté 
du point C, par rapport au point M , comme l'on 
a fuppofé en faifant le calcul. D'où l'on voit que 
les rayons réfléchis infiniment proches feront di- 
vergens. 

Mais fi la courbe AMD eft concave vers le 

point lumineux B, la valeur de MF (-—■ — ) 

fera pofitive lorfque y furpafle {a , négative lorf- 
qu'il eft moindre , & infinie loriqu'il eft égal. 
D'où il fuit que fi l'on décrit un cercle qui ait 



154 Analyse 

pour diamètre la moitié du rayon MC de la 
développée , les rayons réfléchis infiniment pro- 
ches feront convergens lorfque le point lumi- 
neux B tombe au dehors de fa circonférence , 
divergens lorfqu'il tombe au dedans } & enfin 
parallèles lorfqu'il tombe deflus. 

Corollaire IV. 

1 17. S i le rayon incident BM touche la courbe 
A M D au point M , l'on aura M E ( « ) == ; 
& partant MF = o, Or comme le rayon réfléchi 
eft alors dans la direction de l'incident , & que 
la nature de la cauftique confifte a. toucher tous 
les rayons réfléchis; il s'enfuit qu'elle touchera 
auffi le rayon incident B M au point M : c'eft à- | 
dire , que la cauftique 8c la donnée auront la 
même tangente dans le point M qui leur fera 
commun. 

Si le rayon M C de la développée eft nul, on 
aura encore ME(a)=o i & partant M F — 0. 
D'où l'on voit que la donnée & la cauftique font 
entr'elles dans le point M qui leur eft commun , 
un ang'e égal à l'angle d'incidence. 

Si le rayon CM delà développée eft infini, le 
petit arc M?« deviendra une ligne droite, & 
l'on aura MF = + }' ; puifque M E (a ) étant 
infinie , y fera nul par rapport à a Or comme 
cette valeur eft négative lorlque le point B tombe 
du côté du point C par rapport à la ligne AMD, 
& pofitive lorfqu'il tombe du cote oppofé ; il 
s'enfuit que les rayons réfléchis infiniment pro- 



des Infiniment Petits. 155 
ches feront toujours divergens lorfque ia ligne 
A M D eft droite. 

Corollaire V. 

, 1 1 8. 1 l eft évident que deux quelconques des 
I trois points B , C , F , étant donnés , on trou- 
vera facilement le troifieme. 

Soit , i° , la courbe A M D ( F/g. 98. PL y ) 
une parabole qui ait pour foyer le point lumineux 
B. H eft clair par les élémens des fe&ions coni- 
ques , que tous les rayons réfléchis feront paral- 
lèles à l'axe ; & partant que M F fera toujours 
infinie en quelque endroit que l'on fuppofe le 
point M. On aura donc az=2_y : d'où il fuit 
que fi l'on prend M E double de M B , qu'on 
mené la perpendiculaire EC ,• elle ira couper 
MC perpendiculaire à la courbe AMD , en un 
point C qui fera à la développée de cette courbe. 
Soit ,2°, k courbe A M D ( Fig. 99. PI. 5. ) 
l une ellipfe qui ait pour un de fes foyers le point 
i lumineux B. Il eft encore clair que tous les rayons 
•réfléchis MF fe rencontreront dans un même 
point F qui fera l'autre foyer. Et fi l'on nomme 

MF , ^ ; l'on aura (Art. 113.)^ = ~^ i d'où 

l'on tire la cherchée ME (a)=^ 1L . Mais fi 

; la courbe AMD eft une hyperbole , le foyer F 
tombera de l'autre côté ; & partant M F {%) de- 
viendra négative : d'où il fuit qu'on aura alors 

ME (a) = ~^^- ou -^-. Ce qui donne cette 

• y — i i—y 
conftrudlion qui fert aufii pour l'ellipfe, 



156 Analyse 

Soit prife M E ( F/g. 99. PL 5. F/g. 1 00. PL 6. ) 
quatrième proportionnelle au demi-axe traver- 
fant , & aux rayons incident 5c réfléchi ; foit 
menée la perpendiculaire EC : elle ira couper 
la ligne M C perpendiculaire à la fedtion , en un 
point C qui fera à la développée- 

Exemple I. 

1 1 9. S o 1 t la courbe A M D ( F/g. 1 o 1 . PL 6. ) 
une parabole , dont les rayons incidens P M. 
foient perpendiculaires fur fon axe A P. Il faut 
trouver fur les réfléchis M F les points F où ils 
touchent la cauftique AFK. 

Il eft clair que fi l'on mené le rayon MC de 
la développée , & qu'on tire la perpendiculaire 
C G fur le rayon réfléchi M F', il faudra ( Art. 
11 3.) prendre M F égale à la moitié de M G. 
IVlais cette conftru&ion fe peut abréger , en con- 
fiderant que fi l'on mené MN parallèle à l'axe 
A P , & la droite M L au foyer L ; les angles 
LMP, F M N feront égaux , puifque par la 
propriété de !a parabole LMQ = QMN, & 
par la fuppofmon P M Q.= Q.MF. Si donc l'on 
ajoute de part & d'autre le même angle P M F , 
l'angle L M F fera égal à l'angle P M N , c'eft- 
à-dire , droit. Or l'on vient de démontrer ( Art. 
1 18. num. 1.) que LH perpendiculaire fur M L 
rencontre le rayon M C de la développée en fon 
milieu H. Si donc l'on mené M F parallèle Se 
égale à LH, elle fera un des rayons réfléchis, 
6c touchera en F la cauftique AFK. Ce qu'il 
faîloit trouver. 



DES I N F I N I M E N T P E T I T S 157 

Si l'on fuppofe que le rayon réfléchi M F foit 
parallèle à l'axe A P , il eft évident que le point F 
de la cauftique fera le plus éloigné qu'il eft poffi- 
ble de l'axe A P , puifque la tangente en ce 
point fera parallèle à l'axe. Afin donc de déter- 
miner ce point dans toutes les cauftiques , telles 
que AFK, formées par des rayons incidens per- 
pendiculaires à l'axe de la courbe donnée , il n'y 
a qu'à confidérer que M P doit être alors égale à 
PQ.. Ce qui donne Hy=zdx. Soit ax=zyy , on aura 

d adx = d>QÙ j, on t . re A p ^ _ , . 

2-Yâx 

c'efl-à-dire , que fi le point P tombe au foyer L , 
le rayon réfléchi MF fera parallèle à l'axe. Ce 
qui eft d'ailleurs vifible ; puifque dans ce cas MP 
fe confondant avec LM , il faut auffi que M F fe 
confonde avec MN , & LH avec LQ. D'où l'on 
voit que M F eft alors égale à M L ; & partant 
que fi l'on mené F R perpendiculaire fur Taxe , on 
aura ARouAL+MF = ^. On voit auffi que 
la portion A F de la cauftique eft égale en ce cas 
au paramètre, puifqu'elle eft toujours {Art. 1 10.) 
égale àPM+MF. 

Pour déterminer le point K où la cauftique 
AFK rencontre l'axe A P , il faut chercher la 
valeur de M O , & l'égaler à celle de M F ; car il 
eft vifible que le point F tombant en K , les 
lignes MF, MO deviennent égales entr'elles. 
Nommant donc l'inconnue MO , t ; l'angle PMO 
coupé en deux également par MQ. perpendicu- 
laire à la courbe , donnera M P (;).MO (t) 



1 58 Analyse 

::P Q.( y -S>OQ=:t- Et P^^ 0P =* 

1 y ~^ y y . — \/tt — yy, à caufe du triangle rec- 

dx 

tangle M P O i & divifant de part & d'autre par 
t +y , on trouve -£ = 1/ l —2- , d'où l'on tiré 

puifque ( Art. jj. ) M E (a) = ^-^rf-- Ce qui 

donne ^ — zyddy = dx* qui fervira à trouver le 
point P , tel que menant le rayon incident P M 5s 
le réfléchi MF, ce dernier touche la cauflique 
A F K au point K où elle rencontre l'axe A P. 

On a dans la parabole y — x 1 3 ày ■=. \x a dx , 

ddy=: — ±x % dx* j & mettant ces valeurs dans 

l'équation précédente , on trouve '-x ' dx 1 - 

\ x~' dx z = dx* ; d'où l'on tire A P (x) = \ du 
paramètre. 

Pour trouver la nature de la cauftique A F K 
à la manière de Defcartes, il faut chercher une 
équation qui exprime la relation de la coupée 
A R (« ) , à l'appliquée RF (ç) ; ce qui fe fait 

en cette forte. Puifque MO (t) = y , x l y \ - ? 

Ion aura P O (ifaZ^L) = ^ÈÈL . & à eau- 

v dx ' dx — oy 

fe des triangles femblables M P O , M S F , on 



des Infiniment Petits. 159 
formera ces proportions MO Ç ~j. ZlL JLj , MF 

( J -ÎjT ) ou — yddy.dx*--dy 1 - :: MP (>) 

S F ou PR (a — x) — *y , •. On aura donc ces 

deux équations ^ ==y + __ , , — > & « = x ■+• 
- 7 , nui ferviront avec celle de la courbe don- 

• — ddy 7 * 

née à en former une nouvelle où x Scy ne fe trou- 
veront plus , & qui exprimera par conféquent la 
relation de AR (a) à FR (O- 

Lorfque la courbe A M D eft une parabole , 
comme l'on a luppole dans cet exemple , on trou- 

- 3 - 

vera^znr^x 1 — 2x* , ou (en quarrant chaque 

membre ) ^x— 6xx -4-4*' =r Xt , & « = 3X ; d'où 

l'on tire l'équation cherchée a\^ = Î-M % — \auu-*r 

\aau qui exprime la nature de la cauftique A F K. 

On peut remarquer que P R eft toujours double 

de À P , puilque A R (a) = 3* ; ce qui fournit 

encore une nouvelle manière de déterminer fur 

le rayon réfléchi M F le point cherché F. 

Exemple IL 

1 20. S ° 1 T l a courbe A M D ( F/g. 102. PL 6. ) 
un demi-cercle qui ait pour diamètre la ligne 
A D , ôc pour centre le point C ; foient les rayons 
incidens P M perpendiculaires fur A D. 



160 Analyse 

Comme la développée du cercle fe réunît eft 
un feul point qui en eft le centre , il s'enfuit 
( Art. 115.) que fi l'on coupe le rayon CM en 
deux également au point H , & qu'on mené H F 
perpendiculaire fur le rayon réfléchi MF , il 
coupera ce rayon en un point F , où il touche 
la cauftique AFK. Il eft clair que le rayon 
réfléchi M F eft égal à la moitié de l'incident PM ; 
d'où il fuit, i°. Que le point P tombant en C, 
le point F tombe en K , milieu de CB. 2 . Que la 
portion A F eft triple de MF , & la cauftique 
AFK triple de B K. On voit aufll que fi l'on fait 
l'angle ACM demi-droit , le rayon réfléchi MF 
fera parallèle à AC ; & partant que le point F fera 
plus élevé au deflus du diamètre A D , que tout 
autre point de la cauftique. 

Le cercle qui a pour diamètre M H , pane 

parle point F; puifque l'angle HFM eft droit. 

Et fi l'on décrit du centre C & du rayon CK 

011CH, moitié deCM, le cercle K H G ; l'arc 

H F fera égal à l'arc HK:car l'angle CMF 

étant égal àCMP ou HCK, les arcs \ H F , 

HK qui mefurent ces angles dans les cercles 

MFH , KHG , feront entr'eux comme les 

rayons \ M H , HC de ces cercles. D'où l'on voit 

que la cauftique AFK eft une roulette formée 

par la révolution du cercle mobile MFH autour 

de l'immobile KHG, dont l'origine eft en K, 

& le fommet en A. 



Exemple 



des Infiniment Petits, i6t 

Exemple III. 

121. Soit la courbe A M D ( Fig. 103. PL 6.) 
un cercle qui ait pour diamètre la ligne A D , & 
pour centre le point C ; foit le point lumineux 
A , d'où partent tous les rayons incidens AM, 
l'une des extrémités de ce diamètre. 

Si l'on mené du centre C fur le rayon inci- 
dent A M la perpendiculaire CE : il efl clair 
par la propriété du cercle , que le point E 
coupe en deux parties égales la corde AM; Se 
qu'ainfi ME {a) = ±y. On aura donc MF 

C 2 __J ) z=z \y '• c'efl-à-dire , qu'il faut pren- 
dre le rayon réfléchi MF égal au tiers de l'in- 
cident A M. D'où l'on voit que DK— | AD , 
C K = i CD , & que ( Art. 1 1 o. ) la cauflique 
AFK = |AD, de même que fa portion A F 
— f AM. Si l'on prend AM = AC , le rayon 
réfléchi M F fera parallèle au diamètre A D ; 
& par conféquent le point F fera le plus élevé 
qu'il foit poffible au-deflus de ce diamètre. 

Si l'on prend C H = 1 C M , & qu'on tire H F 
perpendiculaire fur MF; le point F fera à la 
cauflique : ear menant H L perpendiculaire fur: 
AM, il efl clair que ML=^ME = ;-AM, 
puifque MH = f CM. Le cercle qui a pour dia- 
mètre MH , paffera donc par le point F de la 
cauflique ; &c fi l'on décrit un autre cercle KHG 
du centre C , & du rayon CK ou CH, il lui 
fera égal, & l'arc HK fera égal à l'arc HF; 



162 Analyse 

car dans le triangle iiofcele CM A l'angle ex- 
terne KCH = 2 CM A = AMF ; & partant les 
arcs HK, HF mefures de ces angles dans des 
cercles égaux , feront aufïi égaux. D'où il fuit 
que la cauftique AFK eft encore une roulette 
décrite par la révolution du cercle mobile M F H 
autour de l'immobile KHG, dont l'origine eft 
en K , &. le fommet en A. 

On pourroit encore prouver ceci de cette autre 
manière, .i l'on décrit une roulette par la révolu- 
tion d'un cercle égal au cercle AMD autour de 
celui-ci , en commençant au point A ; l'on a 
démontré dans la Corollaire fécond ( Art. 1 1 1 . ) 
qu'elle aura pour développée la cauftique AFK. 
Or (Art. 100.) cette développée eft une rou- 
lette de même efpece , c'eft- à-dire , que les 
diamètres des cercles générateurs en feront égaux; 
& on déterminera le point K en prenant CK 
troifiéme proportionnelle àCD + DA 6c à C D , ; 
c'eft- à-dire, égale à y CD. Donc, &c. 

./ E X E M p l e. 1 V. 

1 2 2. 5 o 1 t la courbe A M D ( F/g. 1 04. PL 6. ) 
une demi-roulette ordinaire décrite par la révolu- 
tion du demi-cercle NGM fur la droite BD, 
dont le fommet eft en A , & l'origine en D • 
foient les rayons incidens KM parallèles à 
l'axe A B. 

Puifque ( Art. 95. ) M G eft égale à la moitié 
du rayon de la développée , il s'enluit(/4r/. 113-) 
que ii l'on mené G F perpendiculaire fur le rayon 



des Infiniment Petits. 1^3 
réfléchi MF , le point F fera à la cauftique DFB. 
D'où l'on voit que M F doit être prife égale à KM. 
Si l'on mené du centre H du cercle générateur 
MGN au point touchant G, & au point dé- 
crivant M , les rayons H G , HM; il eft clair 
que H G fera perpendiculaire iur BD, & que 
l'angle GMH = MGH =GMK: d'où l'on 
voit que le rayon réfléchi M F pafle par le cen- 
tre H Or le cercle qui a pour diamètre GH, 
pafle auffi par le point F , puifque l'angle G F H 
eft droit. Donc >es arcs GN , ~ G F , mefures du 
même angle G H N leront entr'eux comme les 
diamètres M N , G H de leurs cercles ; & par- 
tant l'arc G F = G N = G B. Il eft donc évi- 
dent que la cauftique D F B eft une roulette 
décrite par la révolution entière du cercle G F H 
fur la droite B D. 

Exemple V. 

i 2 3-S OIT encore la courbe A M D ( F/g. 105. 
PI. 6- ) une demi-roulette ordinaire , dont la 
bafe BD eft égale à la demi-circonférence A N B 
du cercle générateur. Et foient à préfent les 
rayons incidens P M parallèles à la bafe B D. 

Si l'on mené GQ perpendiculaire fur PM , les 
triangles rectangles G Q M , B P N feront égaux 
& femblables ; & partant MQ = PN. D'où l'on 
voit ( Art. 95. 113.) qu'il faut prendre MF 
égale à l'app'iquée correfpondante PN dans le 
demi-cercle générateur ANB. 

Afin que le point t foit le plus éloigné qu'il 

L a 



ï6a Analyse 

eit poffible de l'axe A B , il faut que la tangente 
M F en ce point foit parallèle à cet axe. L'an- 
gle P MF fera donc alors droit , fa moitié F M G 
ou PN B demi- droit ; & partant le point P tom- 
bera dans le centre du cercle AND. 

G'eft une choie digne de remarque , que le 
point P approchant enfuite continuellement de 
l'extrémité B , le point F approche auffi de l'axe 
A B julqu'à un certain point K , après quoi il s'en 
éloigne jufqu'en D ; de forte que la cauftique 
AF^KFD a un point de rebroiuîement en K. 

Pour le déterminer , je remarque (Art. no. 
1 1 O que la portion AF = P M + MF, la portion 
AFK = HL + LK , & la portion KF de la 
P artieKFD,eft = HL^LK-PM-MF: 

d'où l'on voit que HL+LK doit être un plus 
grand. C'eft pourquoi nommant AH, x i H I ,yi 
l'arc AI, u ; l'on aura H L + LK = u -*- iy , 
dont la différence donne du + 2dy = o , U y 
^- 2 dy=o, en mettant pour du fa valeur — : 

d'où l'on tire adx = — V'é' == 2xdx — \ aâx * 
caufe du cercle ; & partant AHfx)=î«. 

Corollaire. 

124. L'espace AFM ou AFKFM ren- 
fermé par les portions de courbes A F ou A F K F', 
A M, & par le rayon réfléchi MF, eft égal 
à la moitié de l'efpace circulaire A P N. Car fa 
différence, qui eft le fefteur F MO, eft égale 
à la moitié du reftangle ^PpSN , différence de 



des Infiniment Petits. 165 
l'efpaceAPN; puifque les triangles rectangles 
MOm, MRm étant égaux & femblables, MO iera 
égale à MR ou NS ou Pp , & que de plus MF = P N. 

Exemple VI. 

125. Soit la courbe AMD (F/g. 106. PL 6.) 
une demi-roulette formée par la révolution du 
cercle MGN autour de fon égal AGK, dont 
l'origine eft en A , & le fommet en D ; foient 
les rayons incidens A M qui partent tous du point 
A. La ligne BH qui joint les centres des deux 
cercles générateurs , parle continuellement par 
le point touchant G , & les arcs G M , G A 
comme aufïi leurs cordes , font toujours égaux ; 
ainfi l'angle HGM = BGA, & l'angle G M A 
= G A M. Or l'angle HGM+ BG A = GM A 
H- G A M ; puifqu'ajoutant de part & d'autre 
le même angle A G M , on en forme deux droits. 
Donc l'angle H G M fera toujours égal à l'angle 
G M A ; & partant aufïi à l'angle de réflexion 
GMF : d'où il fuit que MF parTe toujours par 
le centre H du cercle mobi'e. 

Maintenant fi l'on mené les perpendiculaires 
CE, GO fur le rayon incident A M : il eft clair 
que MO = OA,& que O E — 1 O M ; puif- 
que ( Art. 100. ) le point C étant à la dévelop- 
pée, GC = j GM. On aura donc ME =fAM, 
c'eft-à-dire , a == \ y ; & par conféquent M F 

( n • /__ ■ ) ={y ■ d'où l'on voit que fi l'on mené 

G F perpendiculaire fur MF, le point F fera à la 
cauftique A F K. L 3 



166 Analyse 

Le cercle qui a pour diamètre G H , paffe 
par le point F ; & les arcs G M ,jGF, mefures 
du même angle GHM, étant entr'eux comme 
les diamètres M N , GH de leurs cercles, l'arc 
G F fera égal à l'arc GM, & par conféquent 
à lare G A.D où il eft évident que la cauflique 
AF Ken une roulette décrite par la révolution 
du cercle mobile HFG autour de l'immobile AGK. 

Corollaire. 

i 26. S ! l' on décrit un cercle qui ait pour centre 
le point B , & pour rayon une droite égale à 
BHouAK- 8f qu'il y ait une infinité de droites- 
para ileîes à B D qui tombent fur fa circonférence : 
il eft vifible ( Art. 1 20. ) qu'elles formeront en fe 
réfiéchiu'ant la même cauflique AFK. 

Exemple VII. 

1 17. S o 1 t la courbe A M D ( F/g. 107. PL 6. ) 
une logarithmique fpirale , avec les rayons inci- 
dens A M qui partent tous du centre A. 

Si l'on mené par l'extrémité C du rayon de la 
développée la droite C A perpendiculaire fur le 
rayon incident AM, elle le rencontrera ( Art 91.) 
dans le centre A. Ceft pourquoi AM.(y) = a ; 

& partant M F ( i% a )= y. Le triangle AMF 

fera donc ifofcele ; & comme les angles d'inci- 
dence & de réflexion AMT , F M S font égaux 
entr'eux, il s'enfuit que l'angle AFM eft égal à 
l'angle A M T. D'où il eft clair que la cauflique 



des Infiniment Petits. 167 
A F K fera une logarithmique fpiraîe qui ne diffé- 
rera de la propoiee A M D que par ïa pofition. 

PROPOSITION II. 

Problème. 

128. La cav.Jlique H F (F/g. 108. VI 6?) par 
réflexion étant donnée avec le point lumineux B • 
trouver une infinité de courba , telles que A M , 
dont elle foit cav.Jlique par réflexion. 

Ayant pris à difcrétion fur une tangente quel- 
conque H A le point A pour un des points de la 
courbe cherchée AM ; on décrira du centre B , de 
l'intervalle BA, l'arc de cercle AP , & d'un autre 
intervalle quelconque B M , un autre arc de cer- 
cle. Et ayant pris AHh-HE=BM — BAou 
PM , on développera lacauftique HF en commen- 
çant au point E 5 Se l'on décrira dans ce mou- 
vement une ligne courbe E M qui coupera l'arc 
de cercle décrit du rayon B M , en un point M 
qui fera ( Art. 1 10. ) à la courbe A M. Car par 
conftruftion P M m- M F = A H ■*- H F. 

Ou bien ayant attaché un fil B M F par fes ex- 
trémités en B & en F , on fera tendre ce fil par le 
moyen d'un ftile placé en M , que l'on fera mou- 
voir , enlorte que l'on enveloppera par la partie 
M F de ce fil la cauftique H F ; il eft clair que 
ce ftile décrira dans ce mouvement la courbe 
cherchée MA. 



L 4 



j68 Analyse 

Autre solution. 
129. Ayant tiré à difcrétion une tangente 
FM autre que HA, on cherchera fur elle un 
point M, telle que BM + MF = BA + AH 
-s- H F. Ce qui le fera en cette forte. 

Soit prife FK = BA + AH + HF, & divi- 
fant B K par le milieu en G , foit tirée la perpen- 
diculaire G M : elle rencontrera la tangente 
F M au point cherché M. Car BM = MK. 

Si le point B ( F/g. 109. PL S ) étoit infiniment 
éloigné de la courbe A M , c'eft-à-dire , que les 
rayons incidens BA,BM fuiTent parallèles à 
une ligne droite donnée de pofition ; la première 
conftruftion auroit toujours lieu , en confidérant 
que les arcs de cercles décrits du centre B devien- 
nent des lignes droites perpendiculaires fur les 
rayons incidens. Mais cette dernière deviendrait 
inutile j c'eft pourquoi il faudrait lui fubftituer 
celle qui fuit. 

Soit prife FK~ AH + HF. Ayant trouve 
le point M tel que M? parallèle à AB perpendi- 
culaire fur AP , foit égale à MK : il eft clair 
X Art. 1 io- ) que ce point fera à la courbe cher- 
chée A M ; puifque PM+MF-AH+HF. 
Or cela fe fait ainfi. 

Soit menée KG perpendiculaire fur AP • & 
ayant pris KO=rKG } foient tirées KP paral- 
lèle à G , &PM parallèle à G K : je dis que 
le point V! fera celui qu'on cherche. Car à caufe 
des triangles femblables GKO,PMK,l'on 
aura P M =? M K ; puifque G K == KO. 






des Infiniment Petits. 169 
Si la cauftique H F fe réunifloit en un point , 
la courbe A M deviendrait une ie&ion conique. 

Corollaire I. 

130. Il eft clair que la courbe qui pafie par 
tous les points K , eft formée par le développe- 
ment de la courbe H F en commençant en A, 
& qu'elle change de nature à mefure que le 
point A change de place fur la tangente AH. 
Donc puifque les courbes A M naiffent toutes 
de ces courbes par la même conftrudtion , qui 
eft géométrique; il s'enfuit ( Art. 108.) qu'el- 
les font d'une nature différente entr'elles , & 
qu'elles ne font géométriques que Iorfque la 
cauftique H F eft géométrique & re&ifiable. 

Corollaire II. 

131. \J n e ligne courbe D N ( F/g. 1 1 o. PI. 6. ) 
étant donnée avec un point lumineux C ; trou- 
ver une infinité de lignes telles que A M , en- 
forte que les rayons réfléchis DA 3 NM fe 
réunifient en un point donné B , après s'être 
réfléchis de nouveau à la rencontre de ces li- 
gnes A M. 

Si l'on imagine que la courbe H F foit la 
cauftique de la donnée D N , formée par le point 
lumineux C ; il eft' clair que cette ligne H F 
doit être aufll la cauftique de la courbe A M 
ayant pour point lumineux le point donné B ; 
de forte que FK = BA+ AH + HF , & NK1 
= BA + AH-*-HF-*-FN = BA+AD + DC 



iyo Analyse 

— CN,puifque(/?r/, no.)HD + DG = HF 
+ FN+NCCe qui donne cette conftru&ion. 
Ayant pris à dilcrétion fur un rayon réfléchi 
quelconque le point A pour un des points de la 
courbe cherchée A M , on prendra fur un au- 
tre rayon réfléchi N M , tel qu'on voudra , la 
partie NK = B A4- AD +DC-CN; Selon 
trouvera le point cherché M comme ci-deflus, 
art. 129. (Confulte^ la Note cinquante-unième.) 







des Infiniment Petits. 171 



SECTION VII. 

Vfage du Calcul des différences pour trouver 
les Caujiiques par réfraëlioh. 

DÉFINITION. 

SI l'on conçoit qu'une infinité de rayons B A , 
B M , BD , ( Fig. ni. PL 6. ) qui partent 
d'un même point lumineux B , fe rompent à la 
rencontre d'une ligne courbe A M D , en s'appro- 
chant ou s'éloignant de les perpendiculaires MC, 
enforte que les finus CE des angles d'incidence 
CME , foient toujours aux finus CG des angles 
de réfraction C M G , en même raifon donnée de 
r/2kn; la ligne courbe HFN que touchent tous 
les rayons rompus ou leurs prolongemens AH, 
M F , D N ( Fig. 1 1 2. PI. 6. ) eft appellée Caufii- 
que par rêfraSlion. 

Corollaire. 

13 2. Si l'on enveloppe la cauftique H F N en 
commençant au point A , l'on décrira la courbe 
A L K telle que la tangente LF plus la portion 
F H de la cauftique fera continuellement égale à 
la même droite A H. Et fi l'on conçoit une autre 
tangente F ml infiniment proche de F ML, avec 
un autre rayon d'incidence Bm,& qu'on décrive 
des centres F , B , les petits arcs MO, M R : 
on formera deux petits triangles rectangles MR#?, 



172 Analyse 

MO m qui feront femblables aux deux autres 
M E C , M G C , chacun à chacun ; puifque fi l'on 
ôte des angles droits R M E , CM;»le même an- 
gle EMw, les angles reftans RM m , EMC 
feront égaux 9 & de même fi l'on ôte des angles 
droits G M O, C M ?» le même angle G M m , les 
reftans OMœ, G M C feront égaux. C'eft pour- 
quoi Rw.Om::CE.CG::f».n. Or puifque 
R m eft la différence de B M , & O m celle de LMi 
il s'enfuit ( Art. 96.) que B M — B A iomme de 
toutes les différences Km dans la portion de cour- 
be AM, eft à M L ou A H— M F —F H fomme 
de toutes les différences Om dans la même por- 
tion A M , comme m eft à n ; & partant que la 

portion FH = AH — MF + - BA — -BM. 

* mm 

Il peut arriver différens cas, félon que le rayon 
incident B A eft plus grand ou moindre que BM, 
& que le rompu A H enveloppe ou développe la 
portion H F : mai? on prouvera toujours , com- 
me l'on vient de faire , que la différence des ra- 
yons incidens eft à la différence des rayons rom- 
pus ( en joignant à l'un d'eux la portion de la 
cauftique qu'il développe avant que de tomber 
fur l'aut.e) comme m eft à n. Par exemple , ( F/g. 
112.Pl. 6.) BA — BM. AH — MF — FH:: 

m . ». d'où l'on tireFH = AH— -MF.h- -BM 

m 

_* BA. 

m 

Si l'on décrit du centre B ( F/g. m. VI. 6. ) 
l'arc de cercle AP; il eft clair que P M fera la 



DES In F INI MENT P ETITS. 175 

différence des rayons incidens BM, BA. Et 
il l'on fuppole que le point lumineux B devienne 
infiniment éloigné de la courbe AMD, les 
rayons incidens B A, BM deviendront parallèles, 
& l'arc A P deviendra une ligne droite perpen- 
diculaire fur ces rayons. 

PROPOSITION I. 

Problème Général. 

I33-J_/A nature de la courbe AMD, ( Fig. 
1 11. PI. 6.) le point lumineux B , & le rayon 
incident B M étant donnés • trouver fur le rayon 
rompu M F donné de pofition , le point F ou il 
touche la cauflique par réfraëîion. 

Ayant trouvé ( Secl. 5 . ) la longueur MC du ra- 
yon de la développée au point donné M , & pris 
l'arc M m infiniment petit , on tirera les droites 
B«, Cm , F m ; on décrira des centres B , F , 
les petits arcs MR, MO; on mènera les perpen- 
diculaires CE, Ce, C G, C g fur les rayons 
incidens 5c rompus ; & l'on nommera les données 
BM,^iME,a;MG,i; & le petit arc 
M R , dx. Cela pôle , 

Les triangles rectangles femblables M E C & 
MR», MGC&MOw, BMR&BQ.e, don- 
neront ME(a).MG(i)::MR (^).MO 

= ^.EtBM(>) .BQ.ouBE(>-i-*)::MR 

(dx) . Qe= a — — ^-4. Or par la propriété de 
la réfraction Ce . C g : : C E . C G : : m . n. Et 






X ja Analyse 

r- m? r\ f aàx ~^y ix \ 
partant m .n : : Le-thouU.f( ; • 

C g -CGouSg= - B&+ ''^ . Doncàcaufe 
des triangle? rectangle? femblables FMO& F Sg, 
l'on aura M O-Sg ( fa ' J — ff^ gfr )• 

MO(^) : : MSou MG (h) . MF= fa|/ Tj, y _^ 
Ce qui donne cette conftruction. 

Soit fait vers CM ( Fig 113- P/ - 6 - ) 1>an g le 
E C H = G C M , & foit pnle vers B , MK == y.| 

Je dis que fi 1 on fait H K . HE : : MG . MF . le 
point F fera à la cauflique par réfraction. 

Car à caufe des triangles femblables CGM 3 
CEH, l'on aura CG . CE : : n . m : : MG ( h ) . 

EH = -. D'où l'on tire H£ — M E ou H M 
n 

n ' riy 

Se partant HK ( im ? ~ 'ff ~ "" ) . HE (^ ) 

MG(i).MF = - Ê2 . 

Il eft clair que fi la valeur de H K eft négative , 
celle de M F le fera airffi : d'où il fuit que le point 
M tombe entre les points G , F , lorfque le 
point H fe trouve entre les points K , E. 

Si le point lumineux B (Fig. 1 1 1. 1 1 3. PI 6) 
tomboit du côté du point E , ou ( ce qui eft la 
même choie ) fi la courbe AMD étoit concave du 



des Infiniment Petits. 175 
côté du point lumineux B ;y deviendrait négative 
de pofîtive qu'elle étoit auparavant , & l'on au- 

roit par conféquent M F = my - 



— bmy -f- any — aan 

ou . Et la conftru&ion demeure- 

brny — any -+- aan 

roit la même. 

Si l'on luppofe quej' devienne infinie : c'eft-à- 
dire , que le point lumineux B foit infiniment 
éloigné de la courbe AMD; les rayons inci- 
dens feront parallèles entr'eux,& l'on aura M F 

bbm . r . 

= 7 — — — 5 parce que le terme aan lera nul par 
rapport aux deux autres bmy , any ; & comme M K 
( — ) s'évanouit alors , il n'y aura qu'à faire 
HM.HE::MG.MF. 

Corollaire. I. 

134. CJ N démontrera, de même que dans les 
caurtiques par réflexion, (Art. 114. 115. ) 
qu'une ligne courbe AMD n'a qu'une feule 
cauftique par réfradion , la raifon de m à n 
étant donnée ; laquelle cauftique eft toujours 
géométrique & reftifiable , lorfque la courbe 
propofée A M D eft géométrique 

Corollaire II. 

135-01 le point E tombe de l'autre côté de la 
perpendiculaire M C par rapport au point G 3 & 
que C E foit égale à C G ; il eft clair que îa cauf- 
tique par réfradion fe changera en cauftique par 



lyS Analyse 

réflexion. En effet on aura M F ( i my __2y + u7n ) 

= ay - • puifque m = n , & que a devient né- 

gative de pofitive qu'elle étoit , 6c de plus égale 
à &. Ce qui s'accorde avec ce qu'on a démontré 
dans la fection précédente. 

Si m eft infinie par rapport à « ; il eft clair que 
le rayon rompu M F tombera fur la perpendicu- 
laire C M : de forte que la cauftique par réfrac- 
tion deviendra la développée. En effet on aura 
MF = t, qui devient en ce cas M C : c'eft-à- 
dire , que le point F tombera fur le point Ç 3 qui 
eft à la développée. 

Corollaire III. 

1 36.S ï la courbe AMD eft convexe vers le 
point lumineux B , & que la valeur de M F 

( b ±Hl ) foit pofitive ,• il eft clair qu'il 

v bmy — any — aan 

faudra prendre le point F' du même côté du point 
G, par rapport au point M , comme on l'a luppo- 
fé enfaifant le calcul : & qu'au contraire il elle eft 
négative , il le faudra prendre du côté oppofé. 11 
en eft de même lorfque la courbe A M D eft con- 
cave vers le point B ; mais il faut obferver qu'on 

aura pour lors MF — -. ^— — . D'où il 

r bmy — any H- aan. 

fuit que les rayons rompus infiniment proches 

font convergens , lorfque la valeur de M F eft 

pofitive dans le premier cas, & négative dans 

le fécond j & qu'au contraire ils font divergens 

loriqu'elle 



des Infiniment Petits. 177 
lorsqu'elle eft négative dans le premier cas , & 
pofitive dans le fécond. Cela pofé; il eft évident, 

i°. Que fi la courbe AMD eft convexe vers le 
point lumineux B , & que m l'oit moindre que 
n • ou que fi elle eft concave vers ce point , 
& que m lurpafle n : les rayons rompus infiniment 
proches feront toujours divcrgens. 

2°. Qiie fi la courbe A M D eft convexe vers le 
point lumineux B, & que m furp'fie » ; ou que iî 
elle eft concave vers ce point , & que m foit moin- 
dre que n : les rayons rompus infiniment proches 

feront convergens , lorfque M K ( y ) eft moin- 
dre que MH(^-«oua-y)j divergens , 

iorfqu'elle eft plus grande ; & parallèles , lors- 
qu'elle eft égale. Or comme MK = », lorfque 
les rayons incidens font parallèles , il s'enluit 
qu'en ce cas les rayons rompus infiniment pro- 
ches feront toujours convergens. 

Corollaire IV. 

1 xi- S 1 le rayon incident B M touche la courbe 
AMD au point M , Ton aura ME (a) = ; 
& partant M F = b. Ce qui fait voir que le point 
F tombe alors fur le point G. 

Si le rayon incident B M eft perpendiculaire à 
la courbe AMD, les droites ME (a) & M G 
{b ) deviendront égales chacune au rayon C M 
de la développée ; puifqu'elles fe confondent avec 

lui. On aura donc M F — ** y _ , , q ui d e« 

my — fly + bn 



178 Analyse 

v j ent _^!L_ lorfque les rayons incidens font pa- 

ttt Tl 

ralleles entr'eux. 

Si le rayon rompu M F touche la courbe 
AMD au point M , l'on aura MG ( h ) == o. D'où 
l'on voit que la cauftique touche alors la courbe 
donnée au point M. 

Si le rayon C M de la développée eft nul ; les 
droites ME (a) , MO (fc) feront aufli égales 
à zéro ; & par conféquent les termes aan , bbmy 
font nuls par rapport aux autres bmy , any. D'où 
il fuit que MF = «;& qu'ainfi la cauftique a 
le point M commun avec la courbe donnée. 

Si le rayon C M de la développée eft infini ; les 
droites ME(>),MG(Z>) feront aufli infinies ; 
& par conféquent les termes bmy , any feront nuls 
par rapport aux autres aan , bbmy : de iorte qu'on 

aura MF = ^-. Or ( Art. 135. ) comme cette 

quantité eft négative, lorfque l'on fuppole que le 
point F tombe de l'autre côté du point B par rap- 
port à la ligne A M D, & qu'au contraire elle eft 
pofitive loriqu'on fuppofe qu'il tombe du même 
côté ; il s'enfuit ( Art. 1 56.) que l'on doit pren- 
dre le point F du même côté du point B , c'eft- 
à-dire , que les rayons rompus infiniment proches 
font divergens. Il eft évident que le. petit arc Mw 
devient alors une ligne droite , & que la conftruc 
tipn précédente n'a plus de lieu. On peut lui fubf- 
tïtuer celle-ci , qui fervira à déterminer les points 
des çauftiques par réfraction , lorfque la .ligne 
A M D eft droite. 



D ES I NF INI MEN T P ET IT S. I79 

Ayant mené BO (F/g. 114- PI. 6.) perpen- 
diculaire fur le rayon incident BM, & qui ren- 
contre en O la droite M G perpendiculaire fur 
AD;on tirera O L perpendiculaire fur le rayon 
rompu M G j & ayant fait l'angle B O H égal 
à l'angle LO M, on fera BM . BH : : ML. MF. 
Je dis que le point F fera à la cauftique par ré- 
fraftion. 

Car les triangles rectangles MEC & MBO, 
M G C 6c M L O feront toujours femblables de 
quelque grandeur que l'on fuppofe C M ; & par- 
tant lorsqu'elle devient infinie , l'on aura encore 

ME^).MG(J)::BM(j/).ML=^, Et 

à caufe des triangles femblables OL M , O B H 3 

l'on aura aufliOL.OB(». w)::ML(^ ) . 

BH = fe D'où l'on voit que BM(^).BH 

an ■ 

an * a aan 

Corollaire V. 

1 3 8. 1 l eft clair que deux quelconques des trois 
points B , C , F , étant donnés , on peut faci- 
lement trouver le troifiéme. 

Exemple I . 

1 3 9 . S o 1 t la courbe A M D ( F/g. 1 1 5 . VI. 6. ) 
un quart de cercle qui ait pour centre le point C j 
foient les rayons incidens B A , BM, BD paral- 
lèles entr'eux , & perpendiculaires fur C D j foit 

Ma 



i8o Analyse 

enfin la raifon de m à n , comme 3 à 2 , qui eft 
celle que fouffrent les rayons de lumière en parlant 
de l'air dans le verre. Puiique la développée du 
cercle AMD fe réunit en un point C qui en 
eft le centre, il s'enfuit que fi l'on décrit une 
demi-circonférence MEC qui ait pour diamètre 
le rayon C M , & qu'on prenne la corde C G ' =± 
fCE; la ligne M G fera le rayon rompu, fur 
lequel on déterminera le point F , comme l'on 
a enfeigné ci-devant art. 133. 

Pour trouver le point H où le rayon incident 
B A perpendiculaire fur AMD touche la caufti- 
que par réfraction , l'on aura ( Art. 137.) AH 

( ) = zb— zC A. Et fi l'on décrit une 

v m — n ' J J 

demi-circonférence CND qui ait pour diamètre le 
rayoft CD , & qu'on prenne la corde CN = j CD ; 
il eft clair ( Art. 1 37. ) que le point N fera à 
la cauftique par réfraction , puifque le rayon in- 
cident BD touche le cercle AMD au point D. 
Si l'on mené A P parallèle à CD ; il eft vifible 
( Art. 132.) que la portion FH — AH — MF 
— j P M : de forte que la cauftique entière HFN 

= z c A — D N = 7 -=^ C A. 

3 

Si le quart de cercle A M D ( Fig. 1 1 6. PI. 6. ) 

eft concave vers les rayons incidens BM,& 
que la raifon dewàw foit de 2 à 3 ,• on prendra 
fur la demi-circonférence CE M quia pour dia- 
mètre le rayon C M , la corde C G =fCE, 
& on tirera le rayon rompu M G fur lequel on 



D ES I N F INI M ENT PETITS. l8l 

déterminera le point F par la conftruction gé- 
nérale art. 133. 

hm 

On aura ( Art. 137.) A H ( >=r — il , 



■ m 

A. 



c'eft-à-dire, que AH fera du côté ( Art. 136. ) de 
la convexité du quart de cercle AMD, & dou- 
ble du rayon A C Et fî l'on fuppofe que CG ou 
f CE ioit égale àCMj il eft manifefle que le 
rayon rompu M F touchera le cercle A M D en 
M , puifqu'alors le point G fe confondra avec le 
point M. D'où il fuit que fi l'on prend CE- \ CD, 
le point M tombera au point N où la cauftique 
HFN ( Art. 137- ) touche le quart de cercle 
AMD. Mais lorlque CE furpafTe \ CD , les 
rayons mcidens B M ne pourront plus fe rompre , 
c'eft-à-dire, paner du verre dans l'air ; puifqu'il eft 
impoiïible que C G perpendiculaire fur le rayon 
rompu M G , foit plus grande que C M : de forte 
que tous les rayons qui tomberont fur la partie 
N D fe réfléchiront. 

Si l'on mené A P parallèle à C D ,• il eft clair 
( Art. 132.) que la portion FH = AH — MF 
-+- \ P M : de forte que menant N K parallèle à 
CD, la cauftique entière H F N = 2C A + 

i^K = 7 — f CA. 
2. 

Exemple II. 

140. S 0IT ta courbe AMD (F/g. 117. PI. 6.) 
une logarithmique fpirale qui ait pour centre le 
point A , duquel partent tous les rayons inci- 
dens A M. 

M 5 



i8î Analyse 

Il eft clair ( Art. 9 1 . ) que le point E tombe 
fur le point A , c'e^l-à-dire , que a =y. Si donc 
l'on met à la place de a fa valeur y dans 

l i!^L valeur ( Art. 1 3 3 . ) de M F lorf- 

bnty — any H- aan 

que la courbe eft concave du côté du point lumi- 
neux ; on aura M F = b ; d'où l'on voit que le 
point F tombe fur le point G. 

Si l'on mené la droite A G, & la tangente 
MT; l'angle A GO complément à deux droits 
de l'angle A G M , fera égal à l'angle A M T. Car 
le cercle qui a pour diamètre la ligne C M , paf- 
fant par les points A & G , les angles A G O , 
AMT ont chacun pour mefure la moitié du mê- 
me arc A M. 11 eft donc évident que la cauftique 
AGN eft la même logarithmique fpirale que 
la donnée A M D , & qu'elle n'en diffère que 
par fa pofition. 

PROPOSITION II. 

Problème. 

1-41. L a cauftique H F ( F/g. 1 1 8- PL 6. ) par 
rêfraSlion étant donnée avec fon point lumineux 
B , tS la raifon de m an ; trouver une infinité de 
courbes telles que A M , dont elle foit cauftique 
par rêfraSlion. 

Ayant pris à difcrétion fur une tangente quel- 
conque HA, le point A pour un des points de 
îa courbe A M , on décrira du centre B & de 
l'intervalle B A l'arc de cercle AP , & d'un autre 
Intervalle quelconque BM un autre arc de cercle ; 



des Infiniment Petits. 185 
& ayant pris A E = - P M , on décrira en enve- 
loppant la cauftique H F une ligne courbe E M , 
qui coupera l'arc de cercle décrit de l'intervalle 
B M , en un point M qui fera à la courbe cherchée. 
Car ( Art. 1 3 2. ) P M . A E ou M L : : m . n. 

Autre solution. 
i42.Q N cherchera fur une tangente quelconque 
F M , autre que H A , le point M tel que H F -f- 

FM+-BM = HA+" BA. Ceft pourquoi 

fi l'on prend F K = - B A+AH- F H , & 
qu'on trouve fur F K un point M tel que MK- 
- BM , il fera ( Art. 132.) celui qu'on cherche. 

m 

Or cela fe peut faire en décrivant une ligne cour- 
be G M ( F/g. 1 1 9. P/. 6. ) telle que menant d'un 
de fes points quelconque M aux points donnés B , 
K , les droites MB, M K , elles ayent toujours 
entr'elles un même rapport que m\n.\\ n'eft donc 
queftion que de trouver la nature de ce lieu, 

Soit pour cet effet menée MR. perpendiculaire 
fur B K , & nommée la donnée B K , a ; & les in- 
déterminées BR i x ; R M ,y. Les triang les 1 réc - 
tangles BS.M , KRM donneront BM =i y/xx+yy , 
& KM z=z y a* — aax-h xx -+■ yy ? de forte que 
pour remplir la c ondition du Probl ème, l'on aura 1 
y/ xx -+- y y . \/aa—2ux-hxx-hyy ' - m . n. D'OU 

Pontireyv = — * ** y <l ul elt 

•'•' mm — nn 

M4 



184 Analyse 

un lieu au cercle que l'on conitruira ainfi; 

SoitprifeBG=-^-,& BQ = -^- , & 

1 m -+- n > m — n 

foit décrit du diamètre GQ,la demi-circonférence 
GMQ.: je dis qu'elle fera le lieu requis. Car ayant 

QRouBQ-BR=~ x , & RG ou 



am 
m 
am 

m 



BR- BG = x ; la propriété du cer- 
cle , qui donne QRxRGr: RM* , donnera en 

, . lammx — aamm. 

termes analytiques yy— xx. 

1 ^ mm — nn 

Si les rayons incidens BA, BM (F/g. 1 20. PL 6.) 
font parallèles à une droite donnée de position, la 
première folution aura toujours lieu ; mais celle-ci 
deviendra inutile , & on pourra lui lubftituer la 
fuivante. 

Soit prife FL = AH — H F ; & ayant mené 
L G parallèle à A B & perpendiculaire fur AP, on 

prendra LOr=-LG, &on tirera LP paral- 
lèle à GO , & P M parallèle à G L. Il eft clair 
{Art. 131.) que le point M fera celui qu'on cher- 
che ; car puifque LO= - L G, ML=--PM, 

r 7 m m 

Si la cauftique F H par réfraction , fe réunit en 

un point; les courbes AM deviennent les Ovales 

de Defcartes , qui ont fait tant de bruit parmi les 

Géomètres. 

Corollaire I. 

M3- O N démontre de même que dans les cauf-r 
tiques par réflexion , ( Art. 130.) que les cour- 



des Infiniment Petits. 185 
bes A M font de nature différente entr'elles , & 
qu'elles ne font géométriques que lorfque la cauf- 
tiqueHFpar réfra&ion eft géométrique & rec- 

tifiable. 

Corollaire H. 

1 44. \J n e ligne courbe A M ( Fig. 1 2 1 . PL 7. ) 
étant donnée avec le point lumineux B , & la 
raiion de m à n ; trouver une infinité de lignes 
telles que D N , enforte que les rayons rompus 
M N le rompent de nouveau à la rencontre de 
ces lignes DN pour fe réunir en un point donné C 
Si l'on imagine que la ligne courbe H F foit la 
cauftique par réfraction de la courbe donnée A M , 
formée par le point lumineux B ; il eft clair que 
cette même ligne H F doit être aufli la cauftique 
par réfra&ion de la courbe cherchée D N , ayant 
pour point lumineux le point donné C. C'eft pour- 
quoi ( Art. i32.)^BA+AH=-? BM + MF 

+ FH,&NF + FH--NC=HD- B DCi 
& partant -BA + AH= "BM + MN+HD 

— -DC + -NC;& tranipoiant à l'ordinaire , 

mm 

-BA--BM+" D C + AD = MN + 

m m m 

— N C Ce qui donne cette conftruclion. 
m 

Ayant pris à difcrétion fur un rayon rompu 

quelconque A H le point D pour un de ceux de la 

courbe cherchée DN, on prendra fur un autre 



1 86 Analyse 

rayon rompu quelconque M F la partie MK = 

-BA--BM+-DC+ADi & ayant trou- 
vé, comme ci-deflus ( Art. 142. ) , le point N tel 
que N K = - N C , il eft clair ( Art. 132.) 
qu'il fera à la courbe D N. 

Corollaire Général. 
Pour les trois Sedlions précédentes. 

145- Il eft manifefte {Art. 80. 85. 107. 108. 
114. 115. 128. 129. 134. 143.) qu'une ligne 
courbe n'a qu'une feule développée , qu'une feule 
cauftique par réflexion , & qu'un leule par réfrac- 
tion , le point lumineux & le rapport des finus 
étant donnés , lefquelles lignes font toujours 
géométriques & redtifiables lorfque cette courbe 
eft géométrique. Au lieu qu'une même ligne 
courbe peut être la développée , & l'une & l'autre 
cauftique dans le même rapport des finus , & 
dans la même pofition du point lumineux , com- 
mune à une infinité de lignes très différentes en- 
tr'elles , & qui ne font géométriques que lorfque 
cette courbe eft géométrique 6c rectifiable ( Con- 
fulte\ la Note cinquante-deuxième. ) 



^.s^ 



des Infiniment Petits. 187 
SECTION VIII. 

Vf âge du Calcul des différences pour trouver les 
points des lignes courbes qui touchent une infi-' 
nité de lignes données de pofition , droites ou 
courbes. 

PROPOSITION I. 

Problème. 

C"^ O 1 T donnée une ligne quelconque A M B , 
1 c3 ( F*S- î22 - "PL 7- ) qui ait pour axe la 
droite A P • fuient de plus entendues une infinité de 
paraboles A M C , A m C , qui paffent toutes par 
le point A , Ù qui ayent pour axes les appliquées 
P M , pra,// faut trouver la ligne courbe qui tou- 
che toutes ces Paraboles. 

11 eft clair que le point touchant de chaque 
parabole A MC eft le point d'interfe&ion C où 
la parabole AwC, qui en eft infiniment pro- 
che , la coupe. Cela pofé > & ayant mené C K 
parallèle à MP, foient nommées les données 
A P , x ; ?M,y ; & les inconnues A K , »•» 
K C , i- On aura par la propriété de la parabole , 
ÂP*(xx). FR*(aa — 2«x H- xx) :: MP (>) . 
MP — CK {y — ^)-Ct qui donne \xx = 2uxy 
— uuy , qui eft l'équation commune à toutes les 
paraboles , telles que A M C. Or je remarque que 
les inconnues AK («)& KG ( ^ ) demeurent 
les mêmes , pendant que les données AP(x) 



iS8 Analyse 

6c P M (y ) varient en devenant Ap ScpmiSc 
qu'il n'arrive que KC(z) demeure la même, 
que lorfque le point C eft celui d'interfeclion : 
car il eft vifible que par tout ailleurs la droite K C 
coupera les deux paraboles A M C , AmC en 
deux différens points , ôc qu'elle aura par con- 
féquent deux valeurs qui répondront à la même 
de A K. C'eft pourquoi fi l'on traite u & ^ comme 
confiantes, en prenant la différence de l'équa- 
tion que l'on vient de trouver , on déterminera 
le point C à être celui d'interfection. On aura 
donc izxdx = luxdy 4- îuydx — ■ uudy : d'où l'on 
■it- a -xr / \ zxxdy — zyxdx 

tire 1 inconnue AK (u ) = — ,— -, — en 

v ' xdy — 2ydx 

mettant pour z fa valeur -^^ — — ; & la nature 

r V XX 

de la courbe A M B étant donnée , on trouvera 
une valeur de dy en dx , laquelle étant fubftituée 
dans la valeur de AK, cette inconnue fera enfin 
exprimée en termes entièrement connus & déli- 
vrés des différences. Ce qui étoit propofé. 

Si au lieu des paraboles A M C , on propofoit 
d'autres lignes droites ou courbes dont la pofition 
fût déterminée , on réfoudroit toujours le Pro- 
blême à peu près de la même manière : & c'eft 
ce que l'on verra dans les Propofitions fuivantes. 

Exemple. 

1 47. \£ u E l'équation xx — qay ■ — qyy exprime 
la nature de la courbe A M B : elle fera une demi- 
ellipfe qui aura pour petit axe , la droite A B 



des Infiniment Petits. i8j 
b== a perpendiculaire fur A P , & dont le grand 
axe fera double du petit. 

On trouve xdx=z 2ady—$ydy ; & partant AK. 
( g**fo-gx^* , __ ^ = M> D . ou il fùi t qll e fi 

xdy — 2 ydx J y 

l'on prend A K quatrième proportionnelle à MP, 
PA, AB, & qu'on mené KL perpendiculaire 
fur A K ; elle ira couper la parabole A M C au 
point cherché C. 

Pour avoir la nature de la courbe qui touche 
toutes les paraboles , ou qui paffe par tous les 
points C ainfi trouvés, on cherchera l'équation 
qui exprime la relation de AK(«)^C(O en 

d. X 

cette forte. Mettant à la place de u fa valeur — 

dans \xx = iuxy — uuy , l'on en tire/ == — ^— ; 

ôc partant x ou— = — - — • Si donc l'on met ces 
r a la. — 1 

valeurs à la place de x & y dans xx = ^ay — qyy , 

on formera l'équation uu = 4a a — 4^ où x &c y 

ne fe rencontrent plus , & qui exprime la relation 

de AK à KC. D'où l'on voit que la courbe cherchée 

eft une parabole qui a pour axe la ligne B A , pour 

fommet le point B , pour foyer le point A , & dont 

le paramétre par conféquent eft quadruple de AB. 

On vient de trouver y ■=. , d'où l'on tire 

Q.J. l 

K C ( ^ ) = — — . Or comme cette valeur eft 

pofitive lorfque 27 furpaffe a , négative lorfqu'il 
eft moindre , & nulle lorfqu'il lui eft égal : il s'en- 



190 Analyse 

fuit que le point touchant C tombe au-deflus de 
AP dans le premier cas , comme l'on avoit fuppo* 
fé en faifant le calcul ; au deflous dans le fécond ,' 
& enfin fur A P dans le troifïeme. 

Si l'on mené la droite A C qui coupe M P en G ; 
je dis que MG = BQ, & que le point G eft le 



foyer de la parabole A M C. Car 1°. A K ( — ) . 



2ay 



■ aa 



KC(^ -):: AP(x).PG = zy — a. & 

panant MG = a — j/ = BQ_. 2 . Le paramètre de 
la parabole A M C , eft = 4# — 47 en mettant 
pour xx fa valeur ^ay — qyy ; 8c partant M G 
( a — y ) eft la quatrième partie du paramètre : 
d'où l'on voit que le point G eft le foyer de la pa- 
rabole ; & qu'ainfi l'angle BAC doit être divifé 
en deux également par la tangente en A. 

Il fuit de ce que le paramètre de la parabole 
AMC eft quadruple de BQ,, que le fommet 
M tombant en A , le paramètre fera quadruple 
de AB , ôc qu'ainfi la parabole , qui a pour 
fommet le point A , eft afymptotique de celle qui 
paffe par tous les points C. 

Comme la parabole BC touche toutes les para- 
boles telles que AMC; il eft clair que toutes 
ces paraboles couperont la ligne déterminée AC, 
en des points qui feront plus proches du point 
A que le point C. Or l'on démontre dans la Ba- 
liftique ( en fuppofant que A K foit horizontale ) 
que toutes les paraboles, telles que AMC , mar- 
quent le chemin que décrivent en l'air des Bom-» 



des Infiniment Petits. 191 
bes qui ieroient jettces par un Mortier placé en 
A dans toutes les élévations pofîîbles avec la mê- 
me force. D'où il fuit que fi l'on mené une droite 
qui divife par le milieu L'angle BAC; elle mar- 
quera la pofition que doit avoir le Mortier , afin 
que la Bombe qu'il jette , tombe fur le plan 
A C donné de pofition , en un point C plus éloi- 
gné du Mortier , qu'en toute autre élévation. 

PROPOSITION II. 

P B. OBLÉME. 

148.0 oit donnée une courbç quelconque A M, 
( Fig. 1 23. PL 7. ) qui ait pour axe la droite AP ; 
trouver une autre courbe B C telle qu'ayant mené 
a diferétion l'appliquée P M , & la perpendicu- 
laire P C a cette courbe , ces deux lignes P M , P C 
foient toujours égales entr elles. 

Si l'on conçoit une infinité de cercles décrits 
des centres P , p, & des rayons PC, pC égaux 
à P M , pm ; il eft clair que la courbe cherchée 
B C doit toucher tous ces cercles , & que le point 
touchant C de chaque cercle eft le point d'inter- 
ie&ion où le cercle qui en eft infiniment proche, 
le coupe. Cela pôle , foit menée C K perpendicu- 
laire fur A P ; foient nommées les données Se 
variables A P , x ; P M ou P C , y ; les inconnues 
& confiantes A K , u ; KC , ^ ; & l'on aura par 
la propriété du cercle Pc 1 = PK 1 -+-KC 1 , c'eft-à- 
dire , en termes analytiques yy == xx ■ — iux-+- 
uu -+- ^ , qui eft l'équation commune à tous ces 
cercles , dont la différence eft 2ydy == 2xdx — 



192 Analyse 

nudx : d'où l'on tire PK (x — u ) = y -^- ; ce qui 

donne cette conftruction générale. 

Soit menée M Q perpendiculaire à la courbe 
A M ; & ayant pris P K = P Q , foit tirée K G 
parallèle à P M : je dis qu'elle rencontrera le cer- 
cle décrit du centre P & du rayon P C=P M au 
point C , où il touche la courbe cherchée B C. 

Ce qui eft évident ; puifque P Q =<~. 

On peut encore trouver la valeur de P K de 
cette autre manière. 

Ayant mené P O perpendiculaire fur C p , les 
triangles rectangles p O P , P K C feront fembla- 
bles ; & partant P p ( dx ) . O p ( dy ) : : P C* 

Lorfque P Q.= P M , il eft clair que le cercle 
décrit du rayon PC , touchera KC au pomt K i 
de forte que le point touchant C le confondra 
avec le point K , & tombera par conféquent fur 
l'axe. 

Mais lorfque P Q. furpaflera P M , le cercle 
décrit du rayon P C ne pourra toucher la courbe 
BC ; puifqu'il ne pourra rencontrer la droite 
K C en aucun point. 

Exemple. 

I45>-S 01T ^ a courDe donnée AM, (F/g. 125. 
VI- 7. ) une parabole qui ait pour équation ax == 
yy. On aura PQ ou P K ( x — a ) = \ a ; & par 

conféquent x == | a ■+■ u , & yy ;= £ aa + ?K à 

caufe 



des Infiniment Petits. icj$ 
caufedu triangle reétangle PKC Or fi l'on mec 
ces valeurs dans ax = yy , on formera l'équation 
\ aa -+- au =- l -aa -+- ^ ou \aa ■+- au = ^ , qui 
exprime la nature de la courbe BC. D'où il eft 
clair que cette courbe eft la même parabole que 
A M ; puifqu'elles ont l'une & l'autre le même 
paramètre a , & que Ion fommet B eft éloigné du 
fommet A de la diftance BA=:^. 

PROPOSITION III. 

Problème. 

l^O. joit donnée une ligne courbe quelconque 
A M , (F/g. i 24. Pi. y.) qui ait pour diamètre la 
droite A P , £} dont les appliquées P M , pm foient pa~ 
ralleles a la droite A Q, donnée de pofaion • & ayant 
mené M Q , mq parallèles à A P , foient tirées les 
droites FQC, pqC. On demande la courbe AC qui 
a pour tangentes toutes ces droites : ou , ce qui eft 
la même chofe y il j ! 'agit de déterminer fur chaque 
droite P Q.C le point touchant C. 

Ayant imaginé une autre tangente pqC in- 
finiment proche de P Q C , & mené C K parallèle 
à AQ, on nommera les données & variab'es AP^ 
x 1 P M ou A Q., y ; les inconnues & confiantes 
AK,h;KC,^& les triangles fcmblables PA.Q 3 ' 
PK C donneront A P(x ).AQ(;)::PK (* 

4- u ) . KC ( ^ ) == y -+- — . qui eft l'équation! 

commune à toutes les droites , telles que K C. Sa 

différence eft dy 4- ^-^ '^-? = , d'où Î'or 

XX 

N 



194 Analyse 

tire AK(a) = - , xx y , . Ce qui donne cette 

x ' ydx — xdy ± 

conftru&ion générale. 

Soit menée la tangente MT , & foit prife AK 
troifieme proportionnelle à A T , A P : je dis que 
fi l'on mené KC parallèle à A Q. , elle ira couper 
la droite P Q.C au point cherché C. 

CarAT( ^*7^ ). AP(x)::AP(x). 

ydx — Xdy 

Exemple I. 

15 1. S 01 T la courbe donnée A M , ( Fig. 1 24. 
PI. 7. ) une parabole qui ait pour équation ax = 
yy. On aura A T = A P - d'où il fuit que A K 
( u ) = x , c'eft-à-dire , que le point K tombe 
fur le point T. Si l'on veut à préient avoir une 
équation qui exprime la relation de AK(«)à 
KC (O; on trouvera KC(^) = 2_y , puifque 
l'on vient de trouver que PK eft double de A P. 
Mettant donc à la place de x & y leurs valeurs 
u & \\ dans ax =yy , ort aura ^au = %$ : d'où 
Ton voit que la courbe AC eft une parabole 
qui a pour fommet le point A , & pour paramé- 
tre une ligne quadruple du paramètre de la para- 
bole A M. 

Exemple II. 

1 5 2. S o 1 T la courbe donnée AM , ( Fig. 1 1 5. 
PI. 7. ) un quart de cercle B M D qui ait pour 
centre le point A, & pour rayon la ligne AB ou 
A D, que j'appelle a, Il eft clair que P Q. eft tou- 



des Infiniment P e t r t s. T95 
jours égale au rayon A M ou AB , c'eft-X-dire , 
qu'elle eft par-tout là même : de forte que l'on 
peut concevoir que Tes extrémités P , Q ghflent le 
long des côtés B A , A D de l'angle droit B A D. 

On aura AK(«)= — , puifque A T = — : & 

les parallèles K C , A Q. donneront A P ( x ) . PQ 

(a)::AK(— )QC = — . D'où l'on voit que 

pour avoir le point touchant C , il n'y a qu à pren- 
dre QC troifieme proportionnelle àPQ8c A P. 
Si l'on cherche l'équation qui exprime la nature 
de la courbe B C D , on trouvera celle-ci , 
u 6 — ^aau* ■+• -$cfuu — a ( ' = c 

+ ï 

Corollaire I. 

1 5 3 • S 1 l'on veut chercher le rapport de la por- 
tion D C de la courbe B C D à fa tangente CP , 
l'on imaginera une autre tangente cp infiniment 
proche de CP ; & ayant décrit du centre C le petit 
arc PO, l'on aura c p — CP ou Op — Cc=. 

■ , pour la différence de G P = : 

a * r a 

d'où l'on tire Ce = O P 4- 2 -^. Or à caufe des 

a 

triangles redtangles femblables QT A , ?pQ , l'on 
auraPQ_(«;.AP(x) : : ?p(dx) . OP = ^ . 



ig6 Analyse 

& partant Ce = *— — D C — De. Il eft donc 
manifefte qu en quelque endroit que 1 on prenne 
le point C , l'on aura toujours D C — D c ( :î — ) • 

CP — cp ( ~ - '■ ) : : 3 • 2- D'où il fuit que la 

fomme de toutes les différences D C — De qui ré- 
pondent à la droite FD \ c'eft-à-dire, {Art. $6- ) 
la portion D G de la courbe B C D , eft à la fom- 
me de toutes les différences C P — cp qui répon- 
dent à la même droite PD , c'eft-à-dire ( Art. 
96.) à la tangente CP: : 3 . 2. Et de même que la 
courbe entière BCD eft à fa tangente BA : : 3 . 2. 

Corollaire II. 

154.31 l'on développe la courbe B C D en com- 
mençant par le point D , on formera ,1a ligne 
courbe DN F telle que CN . C P : : 3 . 2. puifque 
CN eft toujours égale à la portion DC de la 
courbe BC D. D où il fuit que les feûeurs fem- 
blables CN» , C P O font entr'eux : : 9 . 4. Se 
partant que l'efpace DCN renfermé par les cour- 
bes DC, DN , & par la droite CN qui eft 
tangente en C , & perpendiculaire en N , eft à 
l'efpace D C P renfermé par la courbe D C , & par 
lesdiux tangentes DP , CP , comme 9. à 4. 

Corollaire III. 

1 5 5 . l_j E centre de pefanteur du fecteur CN/î 
doit être fitué fur l'arc P O ; pui.que C P — - C N. 
Et comme cet arc eft infiniment petit , il s'en- 



des Infiniment Petits. 197 
fuit que ce centre doit être fur la droite A D ; & 
partant que le centre de pefanteur des efpaces 
DCN, É D F qui font compofés de tous ces fec- 
teurs , doit être fur cette droite A D : de forte 
que fi l'on décrivoit de l'autre côté de B F une 
figure toute pareille à EDF, le centre de pe- 
fanteur de la figure entière feroit au point A. 

Corollaire IV. 

156. A caufe des triangles rectangles femblables 
PQA,pPO, l'on auraPQ,(«). AQ.011 PM 



ox y 'aa 



(V*a- xx )::?p (dx).?0= " "*—" . Et 
à caufe des fecleurs femb'ables CPO , CN» , 
l'on aura auflïC P . CN , ou 2 . 3 : : PO ( 4x ^J a y x ) . 



N» = l dx ^-- xx .. Or le reûangle MPxPp, 

c'eft-à-dire , ( Art. 2. ) le petit efpace circulaire 
M P p m = dx \/âa ■ — xx. On aura donc AB x 
Nb =| M P pm : d'où il fuit que la portion N D 
de la courbe D N F étant multipliée par le rayon 
AB , eft fefquialtére du fegment circu aire DMP , 
& que la courbe entière D N F eft égale aux trois 
quarts de B M D , quatrième partie de la circonfé- 
rence du cercle. 

P K O P O S I T I O N IV. 

Problème. 

157-0 oit donnée une courbe quelconque AM, 
(F/g. 126. PL 7. ) qui ait pour axe la droite 

N 3 



T i)S Analyse 

A P ,° & [oient entendues une infinité de perpen- 
diculaires M C , m C à cette courbe. On demande 
la courbe qui a pour tangentes toutes ces perpen- 
diculaires : ou ce qui efl la même chofe , il faut 
trouver fur chaque perpendiculaire MC le point 

touchant C. 

Ayant imaginé une autre perpendiculaire m C 
infiniment proche de MC, avec une appliquée 
M P , l'on mènera par le point d'interfe&ion C les 
droites CK perpendiculaire, & CE parallèle à l'axe : 
ayant enfuite nommé les données & variables AP, 
x ; P M , y ; les inconnues & confiantes A K , u ; 

KÇ t ti l'on aura PQ.^^, PK ou CE = « 

— - x , MEr=j + ^;&les triangles rectangles 
Semblables M P Q , M E C donneront MP (y ) . 

Pa( jg) ::ME(^ + O.EC (« — *}== 

y a y + ?7 q U i e ft une équation commune à tou- 

Ux * 

tes les perpendiculaires telles que MC, & dont la 
différence ( en fuppofant dx confiante ) donne — 

_ ydiy + dy*+iddy . d , ou ron dre M£ (^ 

dx 

ÈÙ, Or la nature de la courbe A M 



— ddy 

étant donnée , l'on aura des valeurs de dy y & ddy 

dx x -+-dy' L 

en dx\ lefquelles étant fubftituées dans _ , 

donneront pour M E une valeur entièrement con- 
nue & délivrée des différences. Ce qui étoit propofê. 



des Infiniment Petits. 199 
Il eft évident que la courbe qui pafle par 
tous les points C , eft la développée de la courbe 
A M 5 5c comme l'on en a traité exprès dans 
la Seclion cinquième , il feroit inutile d'en donnes 
ici des exemples nouveaux. 

PROPOSITION V. 

Problème. 

15?- Deux lignes quelconques A M , BN 
( Fig. i2j.PL 7. ) étant données avec une ligne 
droite MN qui demeure toujours^ la même ; on 
fuppofe que les extrémités M , M de cette ligne 
glijjent continuellement le long des deux autres , 
& l'on demande la courbe qu'elle touche toujours 
dans ce mouvement. 

Ayant mené les tangentes^ MT , NT, & 
imaginé une autre droite mn infiniment proche 
de M N , & qui la coupe par conféquent au 
point C où elle touche la courbe dont il s'agit 
de déterminer les points. Il eft clair que la droite 
M N , pour parvenir en mn , a parcouru par fes 
extrémités les petites portions Mm , N n des 
lignes A M, BN, lefquelles font communes à 
caufe de leur infinie petiteffe , aux tangentes 
T M , T N : de forte que l'on peut concevoir 
que la ligne M N pour parvenir dans la Situation 
infiniment proche mn , aitglifle le long des droites 
XM,TN données de pofition. 

Cela bien entendu , (oient menées fur N T les 
perpendiculaires M P , C K 5 foient nommées le s 

N 4 



200 Analyse 
données & variables T P , x ; P M , y ; les incon- 
nues & confiantes TK , u ; KG , ^ ; & la donnée 
MN qui demeure par-tout la même , a. Le trian - 
glercftangle MPN donnera PN = j/« — 3?» 
& à cauie^des tria ngles fem blables NPM , NKC , 
l'on aura N P ( }/aa—yy ) • PM (y) :: NK 
> v r*"t J\ uy — xy 

(a _ x _ v / w _^ j .KC(0-,^y y -;. 

dont la différence donne aaudy — aaxdy — aaydx 
'^.ydx = aaay — yyd y *\/ ** — yy ■ d ou en fai.ant 
\/+j. — y y — m pour abréger, ion tire PK(?* — x) 

__ ^dy^-mmyJx = rr.*-*-m»x en meUant pour 

Ujdy d'I 

ydx fa valeur x^/y , à caufe des triangles fembla- 

bleswRM, MPT,- & partant MC = : 

ce qui donne cette conftaiction. 

"Soit menée TE perpendiculaire fur MN, & 
foit priie Vl C = N E : je dis que le point C fera 
çe'ui qu'on cherche. Car à caufe des triangles rec- 
tangles femblables M N P , T N E , l'on aura MN 
M.NP(»)::NT(œ + x).NE ou M G 



mx 



Autre manière. Ayant mené TE perpendicu- 
laire fur M N , &' décrit du centre C les petits arcs 
3J$S, NO, on nommera les données NE, r; 
£T, s ; M N , a ; & l'inconnue C M , t. On 
aura S m ou On = dt ; & les triangles rectangles 
femblables MET&»*SM,NET&»ON, 
Q À S & Ç N O donneront ME(r- a). ET 



des Infiniment Petits. 201 
(O ::mS(dt). SM=— . Et N E (r). 

ET(j) ::hO (&j . O N = - . E; MS — NO 

Ce qui donne la même conftruûion que ci-defîus. 
Si l'on fuppofe que les lignes A M , BN foient 
des droites qui fafient entr'elles un angle droit ; il 
eft vifible que la courbe cherchée eft la même 
que celle de Fart- 1 5 2. 

PROPOSITION VI. 

Problème. 

159'OOIENT données trois lignes quelconques 
L, M , N; (Fig. 128. PL 7. ) & foient enten- 
dues de chacun des points L , 1 de la ligne L deux 
tangentes L M & L N , 1m & In , aux deux courbes 
M & N , une a chacune. On demande la quatrième 
courbe C , qui ait pour tangentes toutes les droites 
M N , mn qui joignent les points touchans des 
courbes M , N. 

Ayant tiré la tangente LE , & mené par un de 
fes points quelconque E les perpendiculaires EF , 
EGfur les deux autres tangentes ML , NL , 
on concevra que le point / foit infiniment près 
du point L; on tirera les petites droites LH, 
LK perpendiculaires fur ml, ni; comme auffi 
les perpendiculaires MP 3 7wP,NQ,wQfur 
les tangentes ML, ml , N L , ni , lefquelles 
perpendiculaires s'entrecoupent aux points P & 



202 Analyse 

Q, Tout cela formera les triangles rectangles 
femblables EFL , & LH/ , EGL & LK/; 
comme aufli les triangles LMH&MPr/?, L w K 
&NQ»reftangles-enH& w , K & N, qui fe- 
ront femblables entr'eux , puifque les angles LMH, 
M ?m étant joints l'un ou l'autre au même an- 
cle PM«, font un droit. On prouvera de même , 
que les angles L«K, NQw font égaux entr'eux. 
Cela pofé , on nommera le petit côté M m du 
polygone qui compofe la courbe M, du ; & les 
données EF , m ; E G, n ; MN ou «à* , « ; ML 
ou /»(, & i N L ou ni , c ; MPoumP,/; NQ. 
ou » Q , g ( je prens ici les droites M P , N Q pour 
données , parce que la nature des courbes M , N 
étant donnée par la fuppofition , on les pourra 
toujours trouver (Art. 78. ) ; & l'on aura , 1°. 

M?(/).ML(6)::Mw(^«).LH = y. 2°. 

EF(*O.EG (w)::LH (y-) • LK = -^p 

3^LNouL«(0-»Q-(g)::LK(^) . «N 

jfc*& 0> ( menant M R parallèle à NL ou »/) 

cfm 
«/(*). ln(c)::mM(du) . MR = ^-- 5°- 

M R+N«(1^^)-MR(t) : •• MN 

N t cjm ° 

(«).MC= /^^ -. Ce qu'il falloir trouver. 

Si la tangente EL tomboit fur la tangente ML, 
il eft clair que EF (»*) deviendrait nulle ou zéro 5 



desInfiniment Petits. 205 
& partant que le point cherché C tomberoit fur 
le point M. De même fi la tangente E L fe con- 
fondoit avec la tangente L N , alors E G ( n ) de- 
viendroit nulle , & l'on aurait par conféquent MC 
z=a : d'où l'on voit que le point cherché C tom- 
beroit aufïi fur le point N. Et enfin fi la tangente 
E L tomboit dans l'angle G LI ; en ce cas E G 
( n ) deviendrait négative : ce qui donnerait alors 

MC = — - — — — — ; & le point cherché C ne 

ccjrn — bbgn l 

tomberoit plus entre les points M & N , mais de 
part ou d'autre. 

Exemple I. 

160. Su pp osons que les courbes M 5c N (Fig. 
129. PI. y. ) ne faffent qu'un cercle. Il eft clair 
en ce cas que b = c, & f= g ; ce qui donne MC 

3 d'où l'on voit qu'il ne faut alors que 



am 



m 



couper la droite M N en raifon donnée de m à n 
pour avoir le point cherché C \ c'eft-à-dire , en- 
forte que M C . N C : : m ■ n. 

Exemple. IL 

161. Supposons que les courbes M & N 
foient une Scftion conique quelconque. La conf- 
tru£tion générale fe peut changer en cette autre 
qui eft beaucoup plus fïmple , fi l'on fait attention 
à une propriété des Sections coniques, que l'on 
trouve démontrée dans les Livres qui en traitent : 
fçavoir que fi l'oa mené de chacun des points 
L, / d'une ligne droite EL deux tangentes LM 



204 Analyse 

&LN,fe&/» à une Section conique j toutes 
les droites MN , mn qui joignent les points tou- 
chans , fe couperont dans le même point C , 
par lequel paffe le diamètre A C , dont les ordon- 
nées îont parallèles à la droite EL. Car il luit 
de là , que pour avoir le point C , il ne faut que 
mener un diamètre qui ait fes ordonnées paral- 
lèles à la tangente EL. 

II eft évident que dans le cercle , le diamètre 
doit être perpendiculaire fur la tangente E L ; 
c'eft-à-dire , qu'en menant de fon centre A une 
perpendicu aire A B fur cette tangente, elle cou- 
pera la droite M M au point cherché G. 

R E M A E. Q_ V Ê. 

162. On peut par le moyen de ce Problême 
(F/g. 12%. PL 7. ) réfoudre celui-ci qui dépend 
de la Méthode des Tangentes. 

Les trois courbes C , M , N , étant données , 
on fera rouler une ligne droite MN autour de 
ïa courbe C , enforte qu'elle la touche continuel- 
lement ; on tirera par les points M , N , où 
elle coupe les courbe? M & N , les tangentes 
ML , NL qui s'entrecoupent en un point L, 
lequel décrit dans ce mouvement une quatrième 
courbe L/. Il s'agit de tirer la tangente LE de 
cette courbe , la pofition des droites M N , ML, 
N L étant donnée avec le point touchant C 

Car il eft vifible que ce Problême n'eft que l'in- 
verfe du précédent, & qu'ici M C eft donnée : ce 
qu'on cherche, c'eft la raifon de EF , EG, qui 



des Infiniment Petits. 205 
détermine la pofition de la tangente E L. C'eft 
pourquoi fi l'on nomme la donnée M C , h 5 Ton 

accf>n . ,, I ,, bfghn 

aura — — — - — =/;:doul on tire rn — — ~ — -.; 

ccjm-+- ùDgn accj — ccjk 

& par coniéquent la tangente LE doit être telle- 
ment fituée dans l'angle donné ML G, que fi Ton 
mené d'un de fcs points quelconque E les perpen- 
diculaires K F , E G fur les côtés de cet angle , 
elles loient toujours entr'elles en raifon donnée de 
bbgh ù v accf — ccfh. Or cela fe fait en menant MD 

parallèle à N L , & égale à f gh CL . 
r , acc i — cc f h 

Il eft évident ( Art. 161. ) que fi les deux 

courbes M & N ( Fig. 1 29. PL 7. ) ne font qu'une 
Section conique , il ne faudra que tirer la tan- 
gente LE parallèle aux ordonnées du diamètre 
qui pafîe par le point C. ( Corifulte^ la Note 5 3 e . ) 




206 A N A L Y S E . 

■— — ^ ^— nrwmfflWfW"'— iinii mu m u i i m i n i i un i m iH ni i 

* ■ i . — — ■ i — — — — - ' ■' ■■■ ' ' i— ^— ^ 

SECTION IX. 

Solution de quelques Problêmes qui dépendent 
des Méthodes précédentes. 

PROPOSITION I. 
Problème. 

Ç^ Ol T une ligne courbe AMD ( Fig. I 30. 
l6 5\3p/. 7 .)(AP=x, PM^y, ABr=à) 
telle que la valeur de l 'appliquée y foit exprimée par 
une fraclion , dont le numérateur & le dénomina- 
teur deviennent chacun \ero lorfque x — a , cejla- 
dire , lorfque le point P tombe fur le point donné B. 
On demande quelle doit être alors la valeur de 
l'appliquée B D. 

Soient entendues deux lignes courbes ANB, 
CO B , qui ayent pour axe commun la ligne A B , 
& qui foient relies que l'appliquée P N exprime le 
numérateur , 5c l'appliquée P O le dénominateur 
de la fradlion générale qui convient à toutes les 

P M : de forte que P M = p x Q . 11 eft clair 

que ces deux courbes fe rencontreront au point B; 
puifque par la fuppofnion PN & P O deviennent 
chacune zéro, lorfque le point P tombe en B. Cela 
pofé , fi l'on imagine une appliquée bd infiniment 
proche de B D , & qui rencontre les lignes cour- 
bes A N B , C O B aux points /, g ; l'on aura bd 



des Infiniment Petits. 207 

= — - — - 3 laquelle ( Art. 2.) ne diffère pas de 

BD. Il n'eft donc queftion que de trouver le rap- 
port de bg à bf. Or il eft vifible que la coupée AP 
devenant A B , les appliquées PN, PO devien- 
nent nulles, & que AP devenant A&, elles de- 
viennent bf, bg. D'où il fuit que ces appliquées , 
elles mêmes bf, bg , font la différence des appli- 
quées en B & b par rapport aux courbes ANB, 
C OB ; & partant que fi l'on prend la différence 
du numérateur , & qu'on la divife par la diffé- 
rence du dénominateur, après avoir fait x~a 
= Ab ou A B , l'on aura la valeur cherchée de 
l'appliquée là ou B D. Ce qu'il falloit trouver. 

E X E M T L B. I. 

- W 1/ '24 >x — xi— àyaax ., „ 
i64-O 0IT y — K : • H eft 



4 



ax 



clair que lorfque x = a , le numérateur & le dé- 
nominateur de la fraction deviennent égaux cha- 
dun à zéro. C'eft pourquoi l'on prendra la diffé- 

aïix — zx^dx aadx , , 

rence . ~ s — du numérateur , & 

y QMÏx — x* 31/axx 

on la divifera par la différence — —■ — du déno- 
ta 3 jt 
minateur , après avoir fait x = a , c'eft-à-dire , 
qu'on divifera — * aàx par — | dx • ce qui donne 
* a pour la valeur cherchée de B D. 



16 




208 Analyse 

EXLMPLE II. 



i t y = — — A • On trouve y = ta 



-Vax' 



165. So 

lorquex = #. 

On pourroit réfoudre cet exemple fans avoir 
befoin du ca'cul des différences , en cette iorte. 

Ayant ôté les incommenfurables , on aura 
aaxx + zaaxy - axyy - 2a}x-^a t> -^aayy - 2a l y zz , 
qui étant divifé par x — a, fe réduit à aax— a> 
.+. 2 aay — ayy — 5 & fubftituant a pour x , il 
vient comme auparavant y = 2a. 

L E M M E. 

1 66- S ° l T une l'ë ne courbe quelconque B C G , 
(Fig. 1 3 1. PI- 7> ) <^"" ""? ^g" e cfroz're AE qui 
la touche au point B , & fur laquelle foient marqués 
a difcrétion deux points fixes A , E. Si l'on fait 
rouler cette droite autour de la courbe , enforte 
quelle la touche continuellement ; il ejl clair que 
les points fixes A , E décriront dans ce mouvement 
deux courbes AMD, E N H. Si l'on mené a. pré- 
fent VL parallèle a. A B , & qui faffe par confé- 
quent avec D K {fur laquelle je fuppofe la droite 
AE lorfquelle touche la courbe BCG en G) l'angle 
K D L égal a l'angle A O D fait par les tangentes 
en B , G • ù que l'on décrive comme on voudra 3 
du centre D l'arc K F L. 

J^/x^DK.KFL::AE. AMD ± ENH . 

fçavoir -+■ lorfque le point touchant tombe toujours 

entre les points décrivans , & — lorfqu'il les laifife 

toujours du même coté, c . 



des Infiniment Petits. 209 
Car fuppofant que la droite A E en roulant 
autour de la courbe B C G ibit parvenue dans 
les portions MCN, mCn infiniment proches 
Tune de l'autre, & menant les rayons DF, Df 
parallèles à CM, Cm : il eft clair que les lec- 
teurs DFf, CM «2, CNh feront femblables j 
& qu'amfi D F. F/::CM.M«:: CN.N«:: 
CM±CNouAE.Mw±Nb. Or comme cela 
arrivera toujours en quelqu'endroit que fe trouve 
le point touchant C , il s'enfuit que le rayon 
D K eft à l'arc KFL , fomme de tous les petits 
arcs F/: : A E . AMD + ENH, fomme de tous 
les petis arcs M m ± Nh. Ce qu'il falioit dé« 



montrer. 



Coroiiaire I. 



167. Il eft vifible que les courbes AMD, 
E N H font formées par le développement de la 
même courbe B C G ; & qu'ainfi la droite A E 
eft toujours perpendiculaire fur ces deux courbes 
dans toutes les pofitions où elle fe rencontre ; 
de lorte que leur diftance eft par-tout la même; 
ce qui eft la propriété des lignes parallèles. D'oii 
l'on voit qu'une ligne courbe AMD étant don- 
née , on peut trouver une infinité de points de 
la courbe EN H fans avoir befoin de fa déve- 
loppée BCG, en menant autant de perpendicu- 
laires que l'on voudra à cette courbe , 8c 4e; 
prenant toutes égales à la droite AE. 



2io Analyse 

CoROILAIRE II. 

1 68. S i la courbe BCG a fes deux moitiés 
BC, CG entièrement femblables & égales , & 
que l'on prenne les droites B A , G H égales 
entr'elles; il eft clair que les courbes AMD, 
E N H feront femblables 6c égales, enforte qu'elles 
ne différeront que par leur polïtion. D'où il luit 
que la courbe A M O fera à l'arc de cercle KFL 
: : ' r A E. D K. c'eft-à-dire , en raifon donnée. 

PROPOSITION II. 

Problème. 

169. Soi ent deux courbes quelconques AEV , 
BCG, (F/g. 1 3 2. PL 7.) avec une troifieme AMD, 
telle qu'ayant décrit par le développement de la 
courbe BCG une portion de courbe EM,/« rela- 
tion des portions de courbes A E , E M , Ù des 
rayons de la développée E C , M G foit exprimée 
par une équation quelconque donnée. On propofe de 
mener a" un point donné M fur la courbe AMD 
la tangente M T. 

Ayant imaginé une autre portion de courbe 
ém infiniment proche de E M , 6c les rayons de 
la développée CeF,GwR; Soit , 1 °. CH per- 
pendiculaire fur CE, 6c qui rencontre en H la 
tangente EH de la courbe AEV. 2 . ML parallèle 
à C E , & qui rencontre en L l'arc GL décrit 
du centre M ôc du rayon M G. 3 . GT per- 
pendiculaire fur MG , & qui rencontre en T la 
îangente cherchée M T. 



des Infiniment Petits. ±\\ 
On nommera enfuite les données A E , x • 
ÊM,j/i CE, «j GM,^i CH, si EH,?' 
l'arc GL , r : d'où l'on aura Ee = dx , Fe ou 
Rm =: du = d\ ; & les triangles rectangles fem- 
blableseFE, ECH donneront CE («).CH 

(j)::Fc (^)- FE=^. Et CE («)• EH 



(t ) : : Fe (^). Ee (rfx) = — ^.Or par le Lem« 

me(A/. 1 66. ) RF — »7e = ^; &partantRM 

t 

(KF — me , n-me — ME + ME— -MF)== — -^ 

f^ -h — . Donc à caufc des triangles rectangles 
femblables r/? RM , MGT , l'on aura m\\ (d\ ) . 

RM( r i+^ + ^) :: MG(0. GT= t 
~*~ ^-t- ^r . Mais fi l'on met dans la différence 

u ai 
de l'équation donnée à la place de du Se d% 

td7 

leurs valeurs dzSc- 1 -, l'on trouvera une valeur 
u 

de ày en ^ , laquelle étant fubftituée dans 

%t- , il viendra pour la foutangente cherchée GT 

une valeur entièrement connue & délivrée des 
différences. Ce qui étoit propofé. 

O % 



212 Analyse 

Si l'on fuppofe que la courbe BC G (F/g i %%. 
FI. y.) fe réunifie en un point O ; il eft vifible 
que la portion de courbe ME O) fe change 
en un arc de cercle égal à l'arc G L ( r ) , 
& que les rayons CE («), GM (O de la 
développée deviennent égaux entr'eux : de lorte 
que G T , qui devient en ce cas O T , le trou- 



ver a — - y •+■ s h- s zf- 



Exemple 



170. Sony ==% ; les différences donneront dy \ 

{Fi S . 1 3 3. VI. 7.) = fc^i ( on prend (^rf . 8.) | 
'. — xd\ au lieu de-«-x/^; parce que x Se y croifiant , 
^ diminue ) — — — — , en mettant pour dx fa 

valeur ~- ; Se partant OT (j/+j + 1 ^ - ) = y 

+ j + -i 1- = 1, en mettant pour — L la 

<z <z a 

valeur y. 

Remarque. 

171. S 1 le point O tombe fur l'axe A B , (F/g. 
134. PL 7.) & que la courbe AEV foit urj 
demi-cercle ; la courbe AMD fera une demi- 
roulette , formée par la révolution d'un demi- 
cercle BSN autour d'un arc égal èGN d'un cer« 









des Infiniment Petits. 215 
de décrit du centre O , Se dont le point géné- 
rateur A tombera dehors , dedans , ou fur la 
circonférence du demi-cercle mobile BSN, félon 
que la donnée a fera plus grande , moindre , ou 
égale à OV. Pour le prouver, & déterminer 
en même temps le point B. 

Je luppofe ce qui eft en queftion . fçavoir que 
la courbe AMD eft une demi- roulette , formée 
par la révolution du demi-cercle BSN , qui a pour 
centre le point K. centre du demi- cercle AEV , 
autour de l'arc BGN décrit du centre () ; ôc con- 
cevant que ce demi-cercie BSN s'arrête dans la 
iîtuation BGN , telle que le point décrivant 
A tombe lur le point M , je mené par 
les centres des cercles générateurs la droite OK 
qui pane par conféquent par le point touchant 
G ; 6c tirant K S E , j'obierve que les triangles 
O K £ , O K M font égaux & femblables , puif- 
que leurs trois côtés font égaux chacun à cha- 
cun. D'où il fuit i°. Que les angles extrêmes 
MOK , EOK. font égaux ; & qu'ainfi les angles 
M O E , G O B le font auffi : ce qui donne G B . 
ME:: OB. OE. 2°. Que les angles MKO . 
EKO font encore égaux; & qu'ainfi les arcs 
GN, BS, qui les mefurent , le font aulïi : la 
même chofe fe doit dire de leurs complémens 
GB , SN, à deux droits ; puifqu'ils appartiennent 
à des cercles égaux. Or par la génération de la 
roulette, l'arc GB du cercle mobile eft égal à 
l'arc GB de l'immobile. J'aurai donc SN» 
ME:: OB. OE.Cela pofé , 



O3 



214 Analyse 

Je nomme les données OV,J; KVouKA, 
ç ; & l'inconnue K B , a. J'ai OB=i+c — a ; 
& les fe&eurs femblables K E A , K S N me 
donnent KE (c).KS («) :: AE (x).SN 

= — . Et partant OB (6 -*■ c — u ) , O E ( < ) : : 

SNf^.EM^)^^ =^.D«où 

îe tire KB(a) == -. 11 eft donc évident 

i x ' a~i- c 

que fi l'on prend KB =z -— ,& qu'on décrive 

des centres K & O le demi-cercle BSN & l'arc 
BGN • la courbe AMD fera une demi-roulette 
d'écrite par la révolution du demi- cercle BSN, 
autour de l'arc BGN , & dont le point décri- 
vant A tombe dehors , dedans , ou fur la cir- 
conférence de ce cercle , félon que KV ( ç ) eft 

plus Grand , moindre , ou égal à KB(— — c ), 

* , • tl H— C 

c'eft-à-dire , félon que a efx plus grand , moindre s 
çu égal àOV(i). 

COKOUAIRE, I. 

I72,Il eft clair que EM (;),AE(x) : : 
KBxO£(«^).OBxKV {hc + cc — ac). 
Or fi l'on fuppofe que O B devienne infinie ; 
la droite O E le fera aufïi , & deviendra paral- 
lèle à O B, puifqu'elle ne la rencontrera jamais ; 
les arcs concentriques BGN, E M deviendront 
des droites parallèles entr'elles , & perpendicu- 
laires fur O B 3 O E ; & alors la droite £ M fera 



des Infiniment Petits. 215 
à l'arc AE:: KB. KV. parce que les droites 
infinies OE , OB ne différant entr'elles que 
d'une grandeur finie , doivent être regardées 
comme égales. 

Corollaire. I T. 

173. De ce que les angles MKO , EKO font 
égaux, il fuit que les triangles MKG, EKB 
feront égaux & femblables ; & qu'ainfi les droites 
M G , E B font égales entr'elles. D'où l'on voit 
(Art. 43.) que pour mener d'un point donné 
M fur la roulette, la perpendiculaire MG, il 
n'y a qu'à décrire du centre O l'arc M E , & 
du centre M de l'intervalle E B un arc de cercle 
qui coupera la bafe BGN en un point G , par 
où & par le point donné M l'on tirera la per- 
pendiculaire requile. 

Corollaire III. 

174-XJn point G étant donné fur la circon- 
férence du demi-cercle mobile BGN ; fi l'on 
veut trouver le point M de la roulette fur lequel 
tombe le point décrivant A , lorfque le point 
donné G touche la bafe , il ne faut que prendre 
l'arc S N égal à l'arc B G , & ayant tiré le 
rayon KS qui rencontre en E la circonférence 
A fi V , décrire du centre O l'arc EM. Car il 
eft évident que cet arc coupera la roulette au 
point cherché M. 



O4 



2i6 Analyse 

PROPOSITION III. 

Problème. 

Î75.O oi t une demi-roulette AMD ( F/g. 135- 
136. VI. 7.) décrite par la révolution du demi-' 
cercle BGN autour d'un arc égal BGN d'un autre 
cercle , en for te que les parties révolues BG , BG 
f oient toujours égales enîr elles • [oit le point dé-, 
crivant M pris fur le diamètre B N dehors , de- 
dans , ou fur la circonférence mobile BGN. On de- 
mande le point M de la plus grande largeur de 
la demi-roulette par rapport a fon axe O A. 

Suppofant que le point M ioit celui qu'on 
cherche , il eft clair ( Art. 47. ) que la tangente 
en M doit être parallèle à l'axe OA;& qu'ainfi la 
perpendiculaire MC à la roulette •> doit-être auiîi 
perpendiculaire fur l'axe qu'elle rencontre au 
.point P. Cela pofé , fi l'on mené OK par les 
centres des cercles générateurs , elle parlera par 
ïe point touchant G ; Scû Fon tire K L perpen- 
diculaire fur M G , on formera les angles égaux 
GKL, GOB; & partant l'arc IG qui eft le 
double de la mefure de l'angle GKL , fera à l'arc 
G B mefure de l'angle GOB, comme le dia- 
mètre BN eft au rayon O B. D'où il fuit que 
fiour déterminer lur le demi-cercle BGN le 
point G, où il touche l'arc qui lui fert de bafe 
îorfque le point décrivant M tombe fur celui 
de la plus grande largeur j il faut couper le demi- 
cercle BGN en un point G , enforte qu'ayant 
ciré par le point donné M la corde I G , l'arc 
ÏQ foit àl'arc B G en raifon donnée de BN ^ 



des Infiniment Petits. i\yr 
O B. La queftion fe réduit donc à un Problême 
de la géométrie commune qui fe peut toujours 
réfoudre géométriquement, îorfque la raifon don- 
née eft de nombre à nombre ; mais avec le fe- 
eours des lignes dont l'équation eft plus ou moins 
élevée , félon que la raifon eft plus ou moins 
compoiée. 

Si l'on fuppofe que le rayon O B devienne 
infini , comme il arrive Iorfque la bafe B G N 
devient une ligne droite ; il s'enfuit que l'arc 1G 
fera infiniment petit par rapport à l'arc G B. D'où 
l'on voit que la fécante M I G devient alors la 
tangente MT, Iorfque le point décrivant M 
tombe au dehors du cercle mobile ; & qu'il ne 
peut y avoir de point de plus grande largeur , 
lorfqu'il tombe au dedans- 

Lorfque le point M tombe fur la circon- 
férence en N , il ne faut que divifer la demi- 
circonférence BGN en raifon donnée de BN à 
O B au point G. Car le point G ainfî trouvé „ 
fera celui où le cercle mobile BGN touche la baie» 
lorfque le point décrivant tombe lur le point 
cherché. 

L E M m e II. 

1 76. E. N tout triangle B A C, ( Fig. 1 37. PI- 7. ) 
dont les angles ABC, ACB, er C A D com- 
plément a deux droits de ï angle obtus BAC, font 
infiniment petits ,• je dis que ces angles ont même 
y apport entreux que les cotés A C , A B , B C , 
aufquels ils font oppofès. 

Car fi l'on circonicrit un cercle autour du 



2i8 Analyse 

triangle BAC, ies arcs A C , A B , BAC , qui 
mefurent les doubles de ces angles , leront in- 
finiment petits , & ne différeront ( Art. 3. ) point 
par conféquent de leurs cordes ou foutendantes. 
Si les côtés AC , AB , BC du triangle BAC , 
ne font pas infiniment petits , mais qu'ils ayent 
une grandeur finie : il s'enfuit que le cercle cir- 
confcrit doit être infiniment grand; puifque les 
arcs AC, AB, BAC, qui ont une grandeur 
finie , doivent être infiniment petits par rapport 
à ce cercle , étant les mefures d'angles infini- 
ment petits. 

PROPOSITION IV. 

Problème. 

177. JLjES mêmes chofes étant pofées ; il faut 
déterminer fur chaque perpendiculaire M G , 
( Fig. 135. 136. PI. 7. ) le point C ou elle touche 
la développée de la roulette. 

Ayant imaginé une autre perpendiculaire mg 
infiniment proche de M G , & qui la coupe par 
conféquent au point cherché C , on tirera la 
droite G m ; & ayant pris fur la circonférence du 
cercle mobile le petit arc Gg égal à l'arc Gg de 
l'immobile , on mènera les droites Mg , \g , Kg , 
Og. Celapofé , fi l'on regarde les petits arcs Gg, 
Gg comme de petites droites perpendiculaires 
fur les rayons Kg , Og , il eft clair que le petit 
arc Gg du cercle mobile tombant fur l'arc Gg- 
de l'immobile , le point décrivant M tombera fur 
m , enforte que le triangle GMg fe confondra 



DES I N F I N I M EN T P E T 1 T S. 219 

avec le triangle Gmg. D'où l'on voit que l'angle 
MGm eft égal à l'angle gGg = GKg-f-GOg i 
puifqu'ajoutant de part & d'autre les mêmes 
angles KGg , OGg , l'on en compofe deux droits. 
Or nommant les données O G , & ; KG 3 a - 
GM ou Gm , W , GI ou Ig , n ; l'on trouve 3 Pre- 
micrement OG. KG::GKg,GOg. EtOG 
(fc).OG + GKou OK(&h-*):: GKg . GKg 



GOg ou MG?n = ^-GKg. 2°.(Ar.i 7 6.yg. 



b 



MI :: GMg. Mgl. Et Ig± MI ou MG (»). 
Ig. (w)::GMg±MgIouGIgou ^GKg. GMg 

ou Gwg =s —GKg. $°.(lbid) L'angle MC»j 



2/71 



ou MGm . — Gwg ( — — — — GKg ) . Gwg ( — 
GKg):: Gm (m). GC = ^ — -. Et 

°' s ' 2am-+- ibm — bn 

par conféquent le rayon cherché MG de la dé- 

d, r 2amm -4- ibtr.m 
oppee fera = : —• 

1 1 2am H- zbm — bn 

Si l'on fuppofe que le rayon OG(&) du cercle 
immobile devienne infini , fa circonférence de- 
viendra une ligne droite ; & en effaçant les 
termes ïamm , iam , parce qu'ils font nuls par 
rapport aux autres ibmm 3 zbm • — bn , l'on aura 

2mm 



MC = 



2m — n 

Corollaire I. 



*7 ' J_Je ce que l'angle MGm = a — — GKg, 
& de ce que les arcs de différens cercles font 



220 Analyse 

entr'eux en raifon compofée des rayons & des 

angles qu'ils meiurent ; il luit que Gg . M m : : KG x 

GKg. M G x — - — GKg. Etparconféquentauffi 

que KG x Mm = — - — MG x Gg ; ou ( ce qui 

eft. la même chofe ) que KG x Mm . M G x Gç : : 
OK ( a-\-b ). OG ( b ) . qui eft une raion conf- 
tante. D'où l'on voit que la dimenfion de la por- 
tion AM de la demi-roulette AMD, d'pend 
de la fomme des MG x Gg dans i'arc GB • & 
c'eft ce que M. Vafcal a démontré à l'égard des 
roulettes qui ont pour bafes des lignes droites. 
M. Varignon eft tombé dans cette même pro- 
priété par une voie très-différente de celle-ci. 

Corollaire II. 

179. i_j or s que le point décrivant M. ( Fig, 
155. PL y.) tombe hors de la circonférence du 
cercle mobile , il arrive nécessairement l'un des 
trois cas iuivans. Car menant la tangente MT, 
îe point touchant G tombera i°. Sur l'arc TB , 
comme l'on a iuppofé dans la figure en faifant 

le calcul ; & alors MC ( ^ mm ^ 2bmm ) f ur . 

v iatn-+- 20m. — on ' 

paffera toujours MG {m). 2 . Sur le point tou- 
chant T;&l'onaura pour lors MC( •— r 1 — 7-) 

1 ^2a.m-t- 20m — bn' 

= ;?z, puifque IG ( n ) s'évanouit- 3 . Sur l'arc 
T N, & alors la valeur de GI ( n ) devenant né- 
gative de pofitive qu'elle étoit , l'on aura MG 

2amm-\- ïbmm , r -.*^r • 1 

— — — — : de lorteque MC iera moindre 



des Infiniment Petits. .221 

que MG ( m ) , & toujours pofitif. D'où il eft 

évident que dans tous ces cas , la valeur du 

rayon MC de la développée eft toujours pofitive. 

Corollaire II J. 

1 80. L, orsque le point décrivant M ( F/g. 1 3 6", 
VI. 7. ) tombe au dedans de la circonférence du 

... . ut r> iamm-i-zèmm 

cercle mobile, on a toujours JV. L, = : 7-; 

' 2un-i-2bm — bn 

Se il peut arriver que bn furpaffe 2am-*-ibm 9 
& qu'ainfi la valeur du rayon MC de la déve- 
loppée loir négative : d'où l'on voit que lors- 
qu'elle cène d'être pofitive pour devenir néga- 
tive , comme il arrive ( Art. 81.) lorfque le 
point M devient un point d'inflexion , il faut 
nécefîairement alors que bn = iam -+- ibm ; & 

partant que Ml x m(j{mn — mm j — • 

Or fi l'on nomme la donnée KM , c ; l'on aura 

. iuTT-n/r/"'/' 2^7rtm —S- bmm x 

par la propriété du cercle MI x MO { ) 

=BMxMN(W — ce), ce qui donne l'inconnueMG 
(m) — V**—±Z % Donc fi l'on décrit du point 
donné M comme centre , Se de l'intervalle MG 
__ \/aab--bcc n cerc]e jj coupera le cercle 

7.x -f- b 

mobile en un point G , où il touchera le cercle 

immobile qui lui fert de bafe , lorfque le point 

décrivant M tombera fur le point d'inflexion F. 

Si l'on mené MR perpendiculaire fur BN ; il 

eft clair que cette MG ( 1^^=^) fera moindre 



222 A N A L V S Ë 

que MR. (Vaa — cc ) , & qu'elle lui doit être égale 
lorfque b devient infinie, c'eft-à-dire, lorfque 
la bafe de la roulette devient une ligne droite. 
Il eft à remarquer , qu'afin que le cercle dé- 
crit du rayon M G coupe le cercle mobile , il 
faut que MG furpafle MN , c'eft-à-dire, que 
|/ aab — bû furpafle a, — c ; & qu'ainfi KM ( c) fur- 

pafle -^—ç D'où il eft manifefte qu'afin qu'il y 

ait un point d'inflexion dans la roulette AMD , 
il faut que KM foit moindre que KN , & plus 

i lia 

grande que 7 . 

L E M M E. III. 

1 8 1 • Soient deux triangles ABb, CDd (F/g. 1 3 8. 
PL 8. ) qui ayent chacun un de leurs cotés Bb , 
Dd infiniment petit par rapport aux autres : je 
dis que le triangle ABb ejl au triangle CDd en 
raifon compofêe de V angle BAb a l'angle DCd , & 
du quarrê du coté AB ou Ab au quarré du coté 
CD ou Cd. 

Car fi l'on décrit des centres A , C , 5c des 
intervalles AB , CD , les arcs de cercle BE , DF ; 
il eft clair (Art. 2.) que les triangles ABb , 
CDd ne différeront point des fe&eurs de cercles 
ABE, CDF. Donc, &c. 

Si les côtés AB, CD font égaux , les triangles 
ABb , CDd feront entr'eux comme leurs angles 
BA*, DC^. I 



des Infiniment Petits.' 22^ 

PROPOSITION V. 

Problème. 

182. JLjES mêmes chofes étant toujours pofées s 
on demande la quadrature de l'efpace MGBA , 
(F/g. 155. P/. 7.) renfermé par les perpendiculaires 
MG , B A h la roulette , par l'arc GB , à par la 
portion AM de la demi-roulette AMD , enfuppo- 
fant la quadrature du cercle. 

L'angle GMg ( ~ GKg) eftà l'angle MGm 

( a GKg ) , comme (/4r*. 1 8 1 .) le petit trian- 
gle MGg qui a pour bafe l'arc Gg du cercle mo- 
bile , au petit triangle ou lecteur GM»j;& par- 

le&eur GMm = — MGg x — — — — - — 

n 00 

xMGg+^-i-^x MGg en nommant MI, p „ 

on 

& mettant pour m fa valeur p+». Or {Art. 1 8 1 .) 
le petit triangle ou fe&eur KGg eit au petit 
triangle MGg en raifon compofée du quarré de 
KG au quarré de MG , & de l'angle GKg à 
l'angle G M g ; c'eft- à-dire :: aa x GKg. w#îx 

GKg. & partant le petit triangle M Gg 



n 



KG<?. Mettant donc cette valeur à la 
place du triangle MGg dans 2ap ~*" ~ p MGg,l'on 

° on 

aura le fecteur GMw = 2a *T" 2 M Gg + 



2 24 



Analyse 



*-t-fex P m KGg. Mais à caufe du cercle , G M * 

ML (pm) = Byi xWN(cc-aa) qui eft une 
quantité confiante , & qui demeure toujours 
la même en quelqu'endroit que le trouve le point 
décrivant M ; & par coniequent GMw + MGg 
ou wGg , c'eft-à-dire , le petit elpace_de_la_rou- 

, _,_, za-i-lb ,„^ a~h bx ce — a& 

lette GMmg = — j 2 - MugH ~ b 

KGg. Donc puifque GM?rg eft la différence de 
l'efpace de la roulette MGBA , & MGg , celle de 
l'efpace circulaire MGB , renfermé par les droites 
MG ,MB, & par l'arc GB , & que de plus le pe- 
tit fe&eur KGg eft la différence du fecteur KGB ; 
il s'enfuit (Art. 96.) que l'efpace dejajroulette 

MGBA = 2 -^MGB + *~+>*«— i KGB. 

b aab 

Ce qu'il falloit trouver. 

Lorfque le point décrivant M (F/g. 139- Pi- 8- ) 
tombe hors la circonférence BGN du cercle mo- 
bile , & que le point touchant G tombe fur l'arc 
NT; il eft vifible (Art. 180.) que les perpen- 
diculaires MG , mg s'entrecoupent en un point 
C , & qu'on a pour lors m = p — n. D'où il 

fuit que le petit fecteur GM?»= -r—- M G g 

+ aap T 2èp MG^_ ÎÎL-2? MGg + 

on b 

— — — — KGg , en mettant comme auparavant 

aab 

pour le petit triangle MGg fa valeur —KGg; 



Des Infiniment Petits, iii 
& partant que G Mm — MG^ou m Gg , c'eft- 

à-dire MCffl-GC^-^MG.M^ 



— - KO g, en mettant pour pm la va- 
leur ce — aa. Or fuppofant que TH (bit la por- 
tion de la tangente TM du cercle mobile , lorf- 
que Ton point T touche la bafe au point T ; il 
eft clair que MO/? — GCg= MGTH — mgTtï , 
c'eil-à-dire , la différence de l'efpace MG1 H , & 
que MGg eft celle de MGT , de même que KGg 
celle de KGT. Donc { Art. 96 . ) l'efpac e MGTK 

i f M'GT + " f * x r" KGT. 



b aab 

JfV?ais , comme l'on vient de prouver , l'efpace 
HTB A == 2a ~*~ 3b M T B + a ~ & * ct ~ ■ " ■ KTB. 

b aab 

Et partant on aura toujours & dans tous les cas 
l'efpace MGB A (MGTH-+- HTB A) — f±±_L* 



■IX 



;\;iB-MufouMGB + '^ c ; ~ ua KTJT 

aab 

•+■ K l'B ou K G B. 

Donc l'efpace entier D N B A ( F/g. 1 35. P/. 7.) 
renfermé par les deux perpendiculaires à la roulet- 
te DN , B A , par l'arc de cercle BGN, & par la de- 

mi-roulette AMD, eft =: - — ■ \- 



b aab 

X K N G B ; puifque le fefteur K G B & l'efpace 
circulaire MGB deviennent chacun le demi- 
cercle K N G B , lorfque le point touchant Q 
tombe au point N. 



216 Analyse 

Lorfque le point décrivant M ( Fîg. 136*. 
VI 7. ) tombe au dedans du cercle mobile , il 
faut mettre aa — c c à la place de ce — aa dans 
les formules précédentes ; parce qu'alors B M 
xMN = w — ce. 

Si l'on fait c~a 3 l'on aura la quadrature 
des roulettes qui ont leur point décrivant fur 
la circonférence du cercle mobile ; & fi l'on 
fuppofe b infinie , l'on aura la quadrature de 
celles qui ont pour baies les lignes droites. 

Autre solution. 

183. On décrit du rayon OD (Fig. 140. PL 7.) 
l'arc DV, & des diamètres AV , BN les demi- 
cercles AEV , BSN ; & ayant décrit à diferé- 
tion du centre O l'arc EM renfermé entre le 
demi cercle AEV & la demi-roulette AMD , 
l'on mené l'appliquée EP. Il s'agit de trouver 
la quadrature de l'eipace AEM compris entre 
les arcs A E , E M , & la portion A M. de la 
demi- roulette A M D. 

Pour cela , foit un autre arc cm concentrique 
& infiniment proche de E M , une autre appli- 
quée ep , une autre Oe qui rencontre l'arc M E 
prolongé ( s'il efl néceffaire ) au point F. Soient 
nommées les variables OE , 1 ; VP , u ; l'arc AE, 
x ; & comme auparavant les confiantes OB, &; 
F B ou KN,«;KVou K A , c : l'on aura Fc 
— d\ , Pp = du 5 OP-« + ^f + a, Fh. 1 

Û.2CT 

= i'cû — uu , l'arc E M ( Art. 1 72. ) = -—-; 6c 



des Infiniment Petits. 22* 
partant le re&angle fait de l'arc EM par la petite 
droite Fe , c'eft-à-dire ( Art. 2. ) le petit efpace 

EMme = — r~^. Or à caufe du triangle réctan- 

bc ° 

gle OPE; z% = aa -+- iab -*-bb — zac — 2bc 
-t- ce -f- 2 au ■+- ibu , dont la différence donne \d^ 
^= adu -+- bdu. Mettant donc cette valeur à la 

place de ^d\ dans —±-± , l'on aura le petit efpace 



EM me 



bc 
aaxdu -+- abxdu 



bc 

Maintenant fi l'on décrit la demi-roulette 
A H T par la révolution du demi- cercle A E V 
fur la droite VT perpendiculaire à VA, & qu'on 
prolonge les appliquées PE , pe jufqu'à ce qu'elles 
la rencontrent aux points H , h : il eft clair ( Art, 
172. ) que E H x Pp , c'eft à-dire , le petit efpace 

EH/ie = xdu ; & qu'ainfi EMr^( aaxdu ^ bxdu > ; 

bc ' 

EH/ze ( xdu ) : : aa -+- ab . bc . qui eft une raifon 
confiante. Or puifque cela arrive toujours en quel- 
qu'endroit que fe trouve l'arc EM , il s'enfuit que 
la fomme de tous les petits efpaces EMwe , c'eft- 
à-dire l'efpace AEM , eft à la fomme de tous les 
petits efpaces EHhe , c'eft-à dire , à l'efpace AEH 
\:aa-\-ab . bc. Mais l'on a (Art-yy.) la quadrature 
de l'efpace AEH dépendamment de celle du cercle; 
& partant aufTi celle de l'efpace cherché AEM. 
Ceci fe peut auiîî démontrer fans aucun cal- 
cul , comme j'ai fait voir dans les A des de 
Leypfiç au mois d'Août de l'année 1695. 

P2 



22 8 Analyse 

On peut encore trouver la quadrature de l'ef- 
pace AEfi fans avoir recours à l'art. 99. Car fi 
l'on achevé les re&angles PQ. , pq , l'on aura 
Q«7 ou HR.Pp ou R/z ::EP • PAou HQ,. 
puifque (Art. 18.) la tangente en H eft pa- 
rallèle à la corde AE » & partant HQxQq 
rrEPxPj?, c'eft-à-dire , que les petits elpa- 
ces HQqh , É?pe font toujours égaux entr'eux. 
D'où il fuit que l'efpace AHQ. renfermé par les 
perpendiculaires A Q. , Q.H , & par la portion 
AH de la demi-roulette A H T , eft égal à 
l'efpace AFE renfermé par les perpendiculaires 
AP, PE, & par l'arc AE. L'efpace A EH 
fera donc égal au rectangle PQ moins le double 
de l'efpace circulaire APEi c'eft-à dire , au rectan- 
gle fait de îE par KA plus ou moins le rectangle 
fait de K P par Parc A E , félon que le point P 
tombe au deflous ou au deflus du centre. 
lit par conféquent l'efpace cherché A E M 

pc 

Corollaire î. 

1 84- L o r s q u E le point P tombe en K , le 
rectangle K P x A E s'évanouit , & le rectangle 
p E x K A devient égal au quarré de K A : d'où 

t, r r. »*■ n 1 aac -+- abc 

l'on voit que 1 elpace A t M eit alors = ; 

& par conféquent il eft quarrable abfolument & 
indépendamment de la quadrature du cercle. 



des Infiniment Petits. 119- 
Corollaire. II. 

185.01 Ton ajoute à l'efpace A E M le fecleur 
AKE, l'efpace A K E M renfermé par les ra- 
yons AK, K E , par l'arc E M , & par la por- 
tion A M de la demi-roulette AMD, fe trouve 
( lorfque le point P tombe au deflus du centre K; 

bec -t- 1JUC-+- labc • — laau — labu , ,-, aa-+- ab 

- AE-4- 



AE), l'on aura 



ibc bc 

P E X K A ; & partant fi l'on prend V P ( « ) 

Zaac-+- labc -f- bec , . , ,, , 1 1 

: ( ce qui rend nulle la valeur de 

Zaa -f- 2ab v ^ 

bec -4- laac ■+- labc — laau — labu 
abc 

l'efpace AKE M— ^— PExKA. D'où 

r bc 

l'on voit que fa quadrature efh encore indépen- 
dante de celle du cercle. 

Il eft vifible qu'entre tous les efpaces AEM Si 
AKE VI , il ne peut y avoir que les deux que l'on, 
vient de marquer, dont la quadrature foit abfoluç. 

Avertissement. 

Tout ce que l'on vient de démontrer a regard 
des roulettes extérieures fe doit avffi entendre des 
intérieures , cefl-a-dire , de celles dont le cercle 
mobile roule au dedans de l'immobile » en obfer- 
vant que les rayons KB (a) , KV (c) deviennent 
négatifs de pofitifs qu'ils étaient. C'cfl pourquoi if. 
faudra changer dans les formules précédentes , les 
fignes des termes où a. & c fe rencontrent avec 
une àimenfion impaire. 

f 3 



230 A N A L Y S E 

Remarque. 

186. Il y a certaines courbes qui paroiffent . 
avoir un point d'inflexion , & qui cependant 
n'en ont point ; ce que je crois à propos d'ex- 
pliquer par un exemple , car cela pourroit taire 
quelque difficulté. 

Soit la courbe géométrique N DM" {Fi g. 141. 
J>1. 7. ) ? dont la nature eft exprimée par l'équa- 
tion * = -^=^= ( A? = x , PN =0, dans 
v zxx — aa 

laquelle il eft clair i°. Que x étant égale à a 5 PN 
( \ ) s'évanouit. 2 Que x furpaflant a , la valeur 
de ^ eft pofitive ; & qu'au contraire lorfqu'il eft 
moindre , elle eft négative. 3 . Que lorfque x 
== \Z^aa , la valeur de P N eft infinie. D'où l'on 
voit que la courbe N D N parle de part & d'autre 
de Ion axe en le coupant en un point D tel que 
AD = «;& qu'elle a pour afymptote la perpen- 
diculaire B G menée par le point B tel que A B 

5=5 V\ aa - 

Si Ton décrit à préfent une autre courbe EDF, 
enforte qu'ayant mené à difcrétion la perpendi- 
culaire M P N, le rettangle fait de l'appliquée PM 
par la confiante AD, foit toujours égal à Tefpace 
correfpondant DPN ; il eft vifible qu'en nommant 
PM,^i & prenant les différences, l'on aura AD X 

Rw(<K/y ) = NPp» ou NPxPp( y )i 

& partant Rm ( ày ) . Vp ou R M ( dx ) : : P N . 
A D. D'où il fuit que la courbe EDF touche l'a- 






des Infiniment Petits. 231 
fymprote B G prolongée de l'autre côté de B en 
un point E , & l'axe A P au point D ; & qu'ainfi 
el e doit avoir un point d'inflexion en D. Cepen- 
dant on trouve ( Art. 78. ) — ~ pour la valeur 

du rayon de fa développée , laquel e eft toujours 
négative, & devient éga'eà — -a lorfque le point 
M "tombe en D : d où Ton doit conclure Art. 8 ! .) 
que la ourbe qui paffe par tous les points M eft 
touiours convexe vers l'axe A ? , & qu elle n'a pas 
de point d'inflexion en D Comment donc accor- 
der tout ce'a ? En voici le dénouement. 

Si l'on prend.} M du même côté que PN" , 
on formera une autre courbe G D H qui fera 
toute pareille à EDF , Se qui en doit faire par- 
tie ; puifque fa génération eft la même. Cela 
étant ainfi , l'on doit penfer que les parties qui 
compofent la courbe entière ne font pas EDF , 
GDH comme l'on s'étoit imaginé , mais bien 
EDH , GOF qui fe touchent au point D ; car 
tout s'accorde parfaitement dans cette dernière 
fuppofition. Ceci fe confirme encore par cet 
exemple. 

Soit la courbe DMG(F/£. 142- VI. 7. ), qui 
ait pour équation.?* = x 4 -4- ttaxx — V ( A P = x , 
P M =jf )• H fuit de cette équation que la cour- 
be entière a deux parties E D H , G D F oppofées 
l'une à l'autre comme l'hyperbole ordinaire , 
. enforte que leur diftance D D ou 2A D = 
\/ — iaa ■+• 2)/^-+- 46-+. 

P4 



232 'Analyse 

Si l'on fuppofe que b s'évanouiffe , la dif- 
tance DD ( F/?. 143. PI. 7. ) s évanouira auflî ; 
& partant les deux parties EDH , GDF fe tou- 
ch.-ront au point D : de forte qu'on pourroit 
penfer à préfent que cette courbe a un point 
d'inflexion ou de rebrouffement en D , fUon 
<qu on imaginerait que les parties feraient EDF, 
GDH ou ki)G, H F. iv. ais Ion fe détrom- 
peroit aifément , en cherchant le rayon de la 
développée; car l'on trouveroit qu'il ieroit tou- 
jours pofitif , & qu'il deviendrait: égal à \a dans 
le point O. 

On peut remarquer en paffant , (Fig. 14 r. 
Tl. 7. ) que la quadrature de i'efpace DPN dé- 
pend de celle de l'hyperbole : ou ( ce qui re- 
vient au même) de la rectification de la pa- 
rabole; fie que la portion de courbe DMF fa- 
îi c fait au Problême propofé par, M. Bernoulli 
dan? le Tome fécond des Supplémens des A6t.es 
fie Leipfîc , page 29 1. ( Confulte\ la Note 54 e . ) 



des Infiniment Petits. 235 



SECTION X. 

Nouvelle manière de fe fervir du calcul des diffé- 
rences dans les courbes géométriques , d'où l'on 
déduit la Méthode de M r " Defcartes & Hudde. 

DÉFINITION. 

S Oit une ligne courbe ADB ( F/g. 144. 
145. 146. PI. 8. ) telle que les parallèles 
KMN à fon diamètre AB la rencontrent en 
deux points M, N; & foit entendue la partie 
interceptée M N ouPQ. devenir infiniment pe- 
tite. Elle fera nommée alors la Différence de la 
coupée AP , ou KM. 

COROLLAIRE T. 

187. Lorsque la partie-MN ou PQ. de- 
vient infiniment petite ; il eft clair que les cou- 
pées AP , A Q. deviennent égales chacune à AE , 
& que les points M , N fe réunifient en un 
point D : enforte que l'appliquée E D eft la 
plus grande ou la moindre de toutes fes fem- 
blables PM, NQ. 

Corollaire II. 

188. Il eft clair qu'entre toutes les coupées 
i\P, il n'y a que AE qui ait une différence; 
parce qu'il n'y a qu'en ce cas où P Q de- 
vienne infiniment petite. 



234 Analyse 

Corollaire III. 

189.01 l'on nomme les indéterminées AP ou 
K M , x ; P M ou A K , y ; il eft évident que 
AK (y) demeurant la même , il doit y avoir 
deux valeurs différentes de x , fçavoir K M , 
KN ou AP, A a C'eft pourquoi il faut que 
l'équation qui exprime la nature de la courbe 
A D B foit délivrée d'incommenfurables , afin 
que la même inconnue x qui en marque les 
racines f car on regarde^ comme connue ) puiffe 
avoir différentes valeurs. Ce qu'il faut obferver 
dans la fuite. 

PROPOSITION I. 

Problème. 

190. JLf A nature de la courbe géométrique ADB 
étant donnée ; déterminer la plus grande ou la 
moindre de fes appliquées E D. 

Si l'on prend la différence de l'équation qui 
exprime la nature de la courbe, en traitant y 
comme confiante , & x comme variable ; il eft 
clair {Art. 188.) qu'on formera une nouvelle 
équation qui aura pour une de les racines x , 
une valeur AE , telle que l'appliquée ED fera 
la plus grande ou la moindre de toutes fes 
femblables. 

Soit, par exemple, x } -*-y z= axy , dont la 
différence , en traitant x comme variable , & y 
comme confiante , donne ixxdx=.aydx; & par- 



des Infiniment Petits. 235 
tant y = — . Si l'on fubftitue cette valeur à la 

r a 

place de y dans l'équation à la courbe x' h-;/* 
= axy ; l'on aura pour x une valeur AE 

= \a\/% , telle que l'appliquée E D fera la plus 
grande de toutes fes femblables , de même qu'on 
l'a déjà trouvé art. 48. A 

Il eil évident que l'on détermine de même 
non-feulement les points D , lorfque les appli- 
quées ED font perpendiculaires ou tangentes de 
la courbe ADB ; mais aufli lorfqu'elles font 
obliques fur la courbe , c'eft-à-dire , lorique les 
points D font des points de rebrouffement de la 
première ou féconde forte. D'où l'on voit que 
cette nouvelle manière de confidéjer les diffé- 
rences dans les courbes géométriques eft plus 
fimple & moins embarraffante en quelques ren- 
contres , que la (5etf. 3. ) première. 

Remarque. 
1 9 1 . O n peut remarquer dans les courbes re- 
broufiantes , que les PM (F/g. 146. PI. 8. ) pa- 
rallèles à A K ; les rencontrent en deux points 
M , G , de même que les KM parallèles AP , 
font en M , N : de forte que AP (x) demeu- 
rant la même , y a deux différentes valeurs PM, 
P O. Ceft pourquoi l'on peut traiter x comme 
confiante , & y comme variable , en prenant la 
différence de l'équation qui exprime la nature 
de cette courbe. D'où l'on voit que fi l'on traite 
% &y comme variables , en prenant cette diffe- 



2}6 A N A L Y S E 

rence , il faudra que tous les termes qui mul- 
tiplient dx d'une part , & tous ceux qui mul- 
plient dy d'une autre part , foient égaux à zéro. 
Mais il faut bien prendre garde que dx & dy 
marquent ici les différences de deux appliquées 
qui partent d'un même point , & non pas ( com- 
me ci -devant Sedl. 3. ) la différence de deux 
appliquées infiniment proches. 

Corollaire. 

192. S 1 après avoir ordonné l'équation qui ex- 
prime la nature de la courbe dans laquelle il 
n'y a que l'inconnue x de variable , l'on en, 
prend la différence ; il eft clair i°. Qu'on ne 
fait autre chofe que de multiplier chaque terme 
par l'expolant de la puiffance de x , & par la 
différence dx , & le divife* enfuite par x. 2 . Que 
cette divifion par X , auffi-bien que la multi- 
plication par dx , peuf être négligée , parce 
qu'elle eft la même dans tous les termes 3 . Que 
les expofans des puifîances de x font une pro- 
greffion arithmétique , dont le premier terme 
eft l'expofant de la plus grande puiffance , & 
le dernier eft zéro , car on fuppoie qu'on ait 
marqué par une étoile les termes qui peuvent 
manquer dans l'équation. 

Soit , par exemple , x 1 * — ayx-*-y z = 0. Si 
l'on multiplie chaque terme par ceux de la 
progreffion arithmétique 3,2, 1 , o ; l'on form- 
ulera l'équation nouvelle 3X' — ayx-=-o- 



d'e s Infiniment Petits. 237 
x 3 * — ayx -\-y 3 — 0. 

3» 2 > I » p - 

3X 3 * — ayx * z=z 0. 
D'où l'on tire y = — , de même que l'on au- 

roit trouvé en prenant la différence à la manière 
accoutumée. 

Cela fuppofé , je dis qu'au lieu de la pro- 
greffion arithmétique 3 , 2 , 1,0, l'on peut fe 
iérvir de telle autre progreffion arithmétique 
qu'on voudra : m+ 3,wz + 2,w+ 1 ,w-t-o, ou m 
( l'on défigne par m un nombre quelconque en- 
tier ou rompu , pofîtif ou négatif ). Car mul- 
tipliant x 3 * — ayx +y = par x m , Ton aura 
x nH-3 *, &c. = 0, dont les termes doivent être 
être multipliés par ceux de la progreffion #h~3 , 
m-\- 2 , m-\- 1 , m. chacun par fon correipondant 
pour en avoir la différence. 

x ™ -H 3 * _ ay7 £* **" ' +y } X m = 0. 

m. 




1 ayx -\-iny x =■ 0. 



.m ■+- 1 



Ce qui donnera m -+- 3x m ~ f ~ 3 — ro+i ayx" 
+OT yx" = o; &en divifant par x m , il viendra 
m -+- ^x 3 — OT _i_ i^'x-»-/??^ 3 = 0, comme l'on au- 
roit trouvé d'abord en multipliant Amplement 
l'égalité propofée par la progreffion m ■+■ 3 , 
m ■+■ 2 , w 4- 1 , m. 

Si #? = — 3 , la progreffion fera 0,-1,-2, 

— 3 ; & l'équation fera layx — %y J =0. Si ?».=: 

— 1 , la progreifion fera 2 , 1,0, — ii & l'e- 
quation 2x 3 — y } f= <?« 



238 Analyse 

On peut changer de fignes tous les termes de 
la progrefllon, c'eft- à-dire , qu'au lieu de 0, — 1, 

— 2 , — 3 , & 2, 1,0,— 1, l'on peut prendre 
0, 1,2, 3 , & — 2 , — [ , o t 1 ; parce qu'on 
ne fait par là que changer de fignes tous les ter- 
mes de la nouvelle équation qui doit être égalée 
à zéro. Et en effet , au lieu de iayx — 3^' = , 
2x' — y =s , l'on auroit — zayx ■+- y 3 = y 

— 2x' - J ry ï = ; ce qui eft la même chofe. 

Or il eft vifible que ce que l'on vient de dé- 
montrer à l'égard de cet exemple , s'appliquera de 
même manière à tous les autres. D'où il fuit que iî 
-après avoir ordonné une équation qui doit avoir 
deux racines égales entr'elles , l'on en multiplie les 
termes par ceux d'une progreffion arithmétique 
arbitraire , l'on formera une nouvelle équation 
qui renfermera entre fes racines une des deux éga- 
les de la première. Par la même raifon , fi cette 
nouvelle équation doit avoir encore deux racines 
égales , & qu'on la multiplie par une progreffion 
arithmétique , l'on en formera une troifieme qui 
aura entre fes racines une des deux égales de la ie- 
conde ; & ainfi de fuite. De forte que fi l'on mul- 
tiplie une équation qui doit avoir trois racines 
égales , par le produit de deux progrefllons arith- 
métiques , l'on en formera une nouvelle qui aura 
entre fes racines une des trois égales de la premiè- 
re ; & de même fi l'équation doit avoir quatre 
racines égales , il la faudra multiplier par le pro- 
duit de trois progreffions arithmétiques j fi cinq , 
par le produit de quatre , &c. 



des Infiniment Petits. 239 
C'eil là pr-éciiemcnt en quoi confifte la Métho- 
de de M. Huàâe. 

PROPOSITION II. 

Problème. 

l93.L/'uN/>0/Hf donné T (F/g. 147- &■ 8 -)/« r 
/e diamètre AB , ou du point donné H /wr A H pa- 
rallèle aux appliquées ; mener la tangente TH M. 
Ayant mené par le point touchant M l'appli- 
quée M P , & nommé AT, s; AH,f; dont 
1 une ou l'autre eft donnée ; & les inconnues A P , 
x ; P M , y : les triangles femblables TAH, TPM 

donneront y = £l±_ïf , x =s sy ~ st ; & mettant 

ces valeurs à la place de y ou de x dans l'équation 
donnée , qui exprime la nature de la courbe 
AMD, l'on en formera une nouvelle dans la- 
quelle y ou x ne fe rencontrera plus. 

Si l'on mené à préfent une ligne droite T D qui 
coupe la droite A H en G , & la courbe AMD en 
deux points N , D , defquels l'on abbaifle les ap- 
pliquées NQ., D B ; il eft évident que* expri- 
mant AG dans l'équation précédente, x ou y 
aura deux valeurs AQ, AB, ouNQ., DB, 
lefquelles deviennent égales entr'elles , fçavoir à 
la cherchée A P ou P M lorfque t exprime A H , 
c'efl- à-dire . lorfque la fécante TDN devient la 
tangente TM. D'où il fuit que cette équation 
doit avoir deux racines égales. C'eft pourquoi on 
la multipliera par une progrelîlon arithmétique 



240 Analyse 

arbitraire ; ce que l'on réitérera, s'il eft nécefïaireâ 
en multipliant de nouveau cette même équation^ 
par une autre progrefïion arithmétique quelcon- 
que , afin que par la comparaiion des équations 
qui en réiultent , l'on en puiffe trouver une qui 
ne renferme que l'inconnue xou_y, avec la don- 
née s ou t. L'exemple qui fuit éclaircira fufïiiam- 
ment cette Méthode. 

Exemple. 

1 940 o 1 t ax =yy l'équation qui exprime la na= 
ture de la courbe AMD. Si l'on met à la place 

de x fa valeur — — ~ , l'on aura tyy , Sec. qui 

doit avoir deux racines égales. 

tyy — asy •+• ast =s 0, 
1 , o, — 1. 



tyy — -ast=zo. 

C'eft pourquoi multipliant par ordre ces termes 
par ceux de la progrefïion arithmétique 1,0, 
— 1 , l'on trouvera as=zyy = ax ; & partant A P 
( x ) — s. D'où l'on voit qu'en prenant AP = AT; 
& menant l'appliquée PM, la ligne TM fera tan- 
gente en M. Mais fi au lieu de A T {s) , c'eft AH 
(*) qui eft donnée, l'on multipliera la même 
équation tyy , &c par cette autre progrefïion , 
1 , 2 , & l'on aura la cherchée P M ( y ) = 2t. 

On auroit trouvé la même conftruftion en met- 
tant cour y fa valeur dans ax=yy- Car il 

vient ttxx , ôcc. dont les termes multipliés par 



dfs Infiniment Petits. .241 
1,0, — 1 , donnent xx == ss ; &c par confé- 
quent AP(x) = j. 

Corollaire. 

195. Si l'on veut à préient que le point touchant 
M foit donné , & qu'il faille trouver le point T 
ou H , dans lequel la tangente MT rencontre le 
diamètre A B ou la parallèle AH aux appliquées," 
il n'y a qu à regarder dans la dernière équation , 
qui exprime la valeur de l'inconnue x ou y par 
rapport à la donnée s ou t , cette dernière comme 
l'inconnue , & x ou y comme connue. 

PROPOSITION II L 

Problème. 

196. L; A nature de la courbe géo7r.étrique AFD 
(F/g. 148. PI- 8. ) étant donnée $ déterminer [on 
point a'infléxion F. 

Ayant mené par le point cherché F, Papp 1 iquée 
FE avec la tangente F L , par le point A ( origine 
desx N i la parallèle A K. aux appliquée* , & nommé 
les inconnues LA, j; AK, r; E > x ; E F , 
y : les triangles femblables LAK, LE F don- 

neront encore y = 3 & x — . ; de 

forte que mettant ces valeurs à la p'ace de_y ou x 
dans l'équation à ia courbe , l'on en formera une 
nouvelle dans laquelle y ou x ne fe rencontrera 
plus , de même que dans la proportion précé- 
dente, 

a ' 



242 Analyse 

Si l'on mené à préfent une ligne droite TD qui 
coupe la droite A K en H , qui touche la courbe 
A FD en M , & la coupe en D , d'où l'on abaifle 
les appliquées M P , DB : il eft évident i°. Que 
s exprimant A T ; & t , A H ; l'équation que 
l'on vient de trouver , doit avoir deux racines 
égales , fçavoir ( Art. 193.) chacune à A P ou à 
P M félon qu'on a fait évanouir ;cux,& une 
autre AB, ou BD. 2 . Que s exprimant A L ; 
& t , A K ; le point touchant M fe réunit avec 
le point d'interfection D dans le point cherché F : 
puifque ( Art. 67. ) la tangente LF doit toucher 
& couper la courbe dans le point d'inflexion F ; 
ôc qu'ainfi les valeurs A P , A B de x , ou P M , 
BD de y deviennent éga'es entr'elles, fçavoir a 
l'une & l'autre à la cherchée AE ou EF. D'où 
il fuit que cette équation doit avoir trois raci- 
nes égales. C'eft pourquoi on la multipliera par 
le produit de deux progreflions arithmétiques ar- 
bitraires ; ce que 1 on réitérera , s'il eft néceffaire , 
en la multipliant de même par un autre produit 
de deux progreffions arithmétiques quelconques , 
afin que par la comparaifon des équations qui 
en réfultent , l'on puirTe faire évanouir les incon- 
nues i & t. 

Exemple. 

t 97. S o 1 t ayy ■===. xyy -4- aax ['équation qui ex- 
prime la nature de la courbe A FD. Si l'on meta 

la place de x fa valeur ^ } on formera l'équa- 
tion sji 1 — styy — atyy 3 &c 



des Infiniment Petits. 

s y , — s tyy -+■ aasy — aast = 0. 

i — at 

I , , — l , 2. 

3 . 2 > i) 



24Î 



0. 



3/j/ 5 * — aasy * = 0. 
qui étant multipliée par 3,0, — 1 , , produit 
des deux progreflions arithmétiques 1 , 0, - — 1 , 
. — 2 , & 3 , 2 , 1,0, donne ^j/ = |«« ; & mettant 
cette valeur dans l'équation à la courbe , l'on 
trouve l'inconnue AE(x)=i#. Ce qui revient 
à l'art. 68. 

Autre solution. 

198. O n P eut encore réfoudre ce Problême en 
remarquant que du même point L ou K ( F/g. 1 49. 
150. PL 8. ) on ne peut mener qu'une feule 
tangente LF ou KF; parce qu'elle touche en 
dehors la partie concave AF, & en dedans la 
convexe FD ; au lieu que de tout autre point T 
ou H , pris fur AL ou AK entre A & L ou A & 
K , l'on peut mener deux tangentes TM, TD ou 
HM , HD , l'une de la partie concave , & l'autre 
de la convexe : de forte qu'on peut confidérer le 
point d'inflexion F comme la réunion des deux 
points touchans M & D. Si donc l'on iuppofe 
que AT (s) ou AH (?) foit donnée, & qu'on 
cherche ( Art. 1 94. ) la valeur de x ou^j' par rap- 
port à s ou t ; l'on aura une équation qui aura 
deux racines A P , A B , ou P M , B D qui de» 
viennent égales chacune à la cherchée AE ou EF 3 



244 Analyse 

lorfque s exprime A L & t , A K. C'eft pourquoi 
l'on multipliera cette équation par une progref- 
fion arithmétique arbitraire , &c. 

Exemple. 

i 99. S o 1 t comme ci-delTus , ayy = xyy + aax ; 
l'on aura encore^ 3 — styy — atyy -t- aasy. — aast 
z=z , qui étant multipliée par la progreffion arith- 
métique 1,0,-1,-2, donne y* * — aay 
— 2 aat == , dans laquelle s ne le rencontre plus, 
& qui a deux racines inégales , fçavoir PM , ED, 
lorfque t exprime A H , 6c deux égales chacune à 
la cherchée E F lorfque t exprime AK. Ceft pour- 
quoi multipliant de nouveau cette dernière équa- 
tion par la progreffion arithmétique 3 , 2 , 1,0, 
l'on aura yy^-aa = o ; Se partant EF O) 
~=:\/\aa. Ce qu'il falloit trouver. 

PROPOSITION IV. 

Problème. 

200. jVÎener d'un point donné C (F/g. 151. 
P/. 8. ) hors une ligne courbe AMD une perpendi- 
culaire CM. h cette courbe. 

Ayant mené les perpendiculaires MP , CK fur 
le diamètre A B , & décrit du centre C de l'in- 
tervalle CM un cercle ; il eft clair qu'il touchera 
la courbe AMD au point M. Nommant enfuite 
les inconnues A P , x ; P M , y ; CM , r ; & les 
connues AK,î;KC t : l'on aura P K ou C E 
-î^x,ME =y ■+- 1 ; & à caufe du triang le 
ïeclangle MEC , y =: — t ■+ \/rr -ss+ 2« — *x 3 



des Infiniment P etits. 245 
K — j — y'rr — tt — 2ry — yj : de forte que met- 
tant ces valeurs à la place de y ou x dans l'équa- 
tion à la courbe , l'on en formera une nouvelle 
dans laquelle y ou x ne fe rencontrera plus. 

Si l'on décrit à préfent du même centre C un 
autre cercle qui coupe la courbe en deux points 
N , D , d'où l'on abaiffe les perpendiculaires NQ., 
DB ; il eft évident que r exprimant le rayon CN 
ou CD dans l'équation précédente , x ou y aura 
deux valeurs AQ , ABouNQ, DB qui devien- 
nent égales entr'elles , fçavoir à la cherchée A P 
ou PM , lorfquer exprime le rayon CM. D'où il 
fuit que cette équation doit avoir deux racines 
égales. C'eft pourquoi on la multipliera , &c, 

E X E M PIE. 

201. S oit ax — /^l'équation qui exprime la 
nature de la courbe AMD . dans laquelle mettant 
pour x fa valeur s — ■ \/ rr — « — zty — y y , l'on 
aura as — yy = a \/rr — u — nty — yy ■■ de forte 
qu'en quarrant chaque membre , & ordonnant en- 
fuite 1 équation , l'on trouvera/*, Sec. qui doit 
avoir deux racines égales lorfque y exprime la 
cherchée PM. 

y* * — 2asyy h- iaaty + aass = 0. 



+ aa — aarr 
•+- aatt 
4 , 5,2, 1 , 0. 


4j/ 4 * — <\asyy -+- laaty 
.+■ 2aa 


* = 0. 



246 Analyse 

C'eft pourquoi on la multipliera par la progrefliott 
arithmétique 4 , 3 , 2 , 1 , , ce qui donnera 
4j,s — ^asy -f- 2^/ -h 2aat = , dojit la refolu- 
tion fournira pour y la valeur cherchée M P. 

Si le point donné C tomboit fur le diamètre 
AB ( Fig- 1 5 2. PI 8. ; ; l'on auroit alors t = , 
& il faudrait effacer par conféquent tous les ter- 
mes où t fe rencontre ; ce qui donneroit 4^ 
±~ iaa — /yy — /\ax , en mettant pour y y fa va- 
leur ax- D'où l'on tireroit x = s — fd^c'eft-à-dire, 
que fi l'on prend C P égale à la moitié du pa- 
ramètre , & qu'ayant tiré l'appliquée P M per- 
pendiculaire fur A B , l'on mené la droite CM , 
elle fera perpendiculaire fur la courbe A M D. 

Corollaire. 

©02. Si l'on veut à préfent que le point M 
( Fis- 152. PL 8. ) foit donné , & que le point C 
foit celui qu'on cherche ; il faudra dans la der- 
nière équation qui exprime la valeur de AG (s) 
par rapport à AP ( x ) ou P M (y ) , regarder ces 
dernières comme connues , & l'autre comme l'in- 
connue. 

DÉFINITION IL 

Si d'un rayon quelconque delà développée l'on 
décrit un cercle , il fera nommé cercle baifant. 

Le point où ce cercle touche ou baife la 
courbe 5 eft appelle point baifant* 



des Infiniment Petits. 247 

PROPOSITION V. 

Problème. 

203. L A nature de la courhe A M D ( Fig. 1 5 3. 
PL 8. ) étant donnée avec un de [es points quelcon- 
ques M ; trouver le centre C du cercle qui la haife 
en ce point M. 

Ayant mené les perpendiculaires MP , CK fur 
l'axe , & nommé les lignes par les mêmes lettres 
que dans le Problême précédent ; 1 on arrivera à 
la même équation dans laquelle il faut obferver 
que la lettre x o\\y , que l'on y regarde comme 
l'inconnue , marque ici une grandeur donnée $ 
& qu'au contraire s , t , que l'on y regarde com- 
me connues , font en effet ici les inconnues aufiî 
bien que r. 

Cela pofé , il eft clair i°. Que le point cherché 
C fera fîtué fur la perpendiculaire M G à la courbe. 
2 . Que l'on pourra toujours décrire un cercle qui 
touchera la courbe en M , & la coupera au moins 
en deux points ( dont je fuppofe que le plus proche 
eft D , d'où l'on abaiffera la perpendiculaire DB ) ; 
puifque l'on peut toujours trouver un cercle qui 
coupe une ligne courbe quelconque , autre qu'un 
cercle , au moins en quatre points, & que le point 
touchant M n'équivaut quà deux interférions, 
3 . Que plus fon centre G approche du point cher- 
ché C , plus aulli le point d'interfeûion D appro- 
che du point touchant M : de forte que le point 
G tombant fur le point C , le point D fe réunit 

Q4 



248 A N A L Y S E 

avec le point M ; puifque ( Art. 76. ) le cercle dé- 
crit du rayon CM, doit toucher & couper la cour- 
be au même point M. D'où l'on voit que * ex- 
primant A F , & t , F G . l'équation doit avoir 
deux racines égales , içavoir ( Art. 200.) chacune 
à A P ou P M tèïon qu'on a fait évanouir y ou x , 
& une autre A B ou B D qui devient aufli égale 
à ^ P ou u M , lo;fque 1 &? expriment 'es cher- 
chées A K , K C ; & qu'ainii cette équation doit 
avoir trois racines égales. 

Exemple. 

204. Soit ax—yy l'équation qui exprime la na- 
ture de la courbe A M D,& l'on trouvera {Art. 20 1 ,) 
y* , &c. qui étant multipliée par 8 , 3 , , 
i — ï , , produit des deux progreflîons arithmé- 
tiques 4, 3, 2,1,0, &2, 1,0,— I, 2 

donne 8^ 4 = laaty. 

y* * — zasyy + laaty ■+■ aass = 0. 
4- aa — aarr 

-+- aatt 
4,3,2, T » 



0. 



2, 1 , 0, — 1 , — 2. 
8j* 4 * * — 2aaty * =0. 
D'où l'on tire la cherchée KCouPE(0 = ~ 

v ' aa 

Si l'on veut avoir une équation qui exprime la 
nature de la courbe qui parte par tous les points 
G , l'on multipliera encore y 4 , &c. par 0,3,4, 
3 , 9 , produit des deux progreffions 4 , 3 , 2 , 
I, Oj &(?, 1 , 2 , s; ? 4 } &. Ton trouvera 8<wy 



des Infiniment Petits. 249 

. — ^aay = taat : d'où , en fuppofant pour abréger 

1» 3 at o ? 274*1} 

s — ; a = u , 1 on tirera y = - — , & 4/' = , 

t=a<tt ; & partant i6a ? = 27^. D'où il fuit que 
la courbe qui pafle par tous les points C , eft une 
féconde parabole cubique , dont le paramètre 

= ~ , <Sc dont le fommet eft éloigné de celui de 
16 ° 

la parabole propofée de \a\ parce que u-=.s — \a. 
Lorfque la pofition des parties de la courbe , 
voifines du point donné M , eft entièrement fem- 
blable de part & d'autre de ce point , comme il 
arrive lorfque la courbure y eft la plus grande 
ou la moindre ; il s'enfuit que l'une des inter- 
férions du cercle touchant ne peut fe réunir 
avec le point touchant , que l'autre ne s'y réunifie 
en même temps: de forte que l'équation doit avoir 
alors quatre racines égales. En effet , fi l'on multi- 
plie^ 4 , &c par 24 , 6 , , , , produit des trois 
progreffions arithmétiques 4 , 3,2, 1 , o , 8c 
3 , 2 , 1 , , — 1 , £c 2 , 1 , , — 1 , — 2 ; 
l'on aura 2^=0 : ce qui fait voir que le point 
M doit tomber fur le fommet A de la parabole , 
afin que la pofition des parties voifines de la cour- 
be foit femblable de part 6c d'autre. 

Autre Solution. 

205. O n peut encore ( Fig. 1 54. P/. 8. ) réfou- 
dre ce Problême en fe fouvenant que l'on a dé- 
montré dans l'article y 6 qu'on ne peut mener 
du point cherché C qu'une feule perpendiculaire 



250 ÂNALVSE 

CM à la courbe AMD; au lieu qu'il y a une, 
infinité d'autres points G fur cette perpendicu-i 
laire M C , d'où l'on peut mener deux perpendi- - 
culaires M G , G D à la courbe. Si donc on fuppo- 
fe que le point G loit donné , & que l'on cherche 
( Art. 200 ) la valeur de x ou y par rapport aux 
données s & t \ il efl vifible que cette équation 
doit avoir deux racines inégales , fçavoir A P , 
A B ou P M , BD qui deviennent égales entr'elles 
lorfque le point G tombe fur le point cherché C. 
C'elt pourquoi l'on multipliera cette équation par 
une progreiïion arithmétique quelconque , &c. 

Exemple. 

12.06. Soit comme ci-deffus ax =yy ; & l'on 
aura (Art. 201. ) ^ , &c. 

4y l * — • ^asy + zaat = 0. 
-J- iaa 

2 î I s , I. 



qui étant multipliée par la progreflion arithmé- 
tique 2 , 1 , , — 1 , donne comme (Art. 204.) 

auparavant t = 



aa. 
CoROL LAIRE. 



207. Il efl évident qu'on peut ( Fig. 153. 154. 
PL 8.) confidérer le point bailant comme (Art. 
205.) la réunion d'un point touchant avec un 
point d'interfedtion du même cercle ,* ou bien 
comme ( Art. 205. ) la réunion de deux points 



des Infiniment Petits. 251 
toucKans de deux cercles différens & concentri- 
ques : de même que le point d'inflexion peut être 
regardé {Art. 196.) comme la réunion d'un point 
touchant avec un point d'interfection de la même 
droite , ou ( Art. 198.) comme la réunion de deux 
points touchans de deux différentes droites qui 
partent d'un même point. 

PROPOSITION VI. 
Problème. 

208. Trouver une équation qui exprime la na- 
ture de la caufiique A F G K , ( Fig. 155. VI. 8. ) 
formée dans le quart de cercle CAMNB,p/« 
rayons réfléchis M H , N L , &c. dont les incidens 
P M , Q.N , iSc. font parallèles a C B. 

Je remarque, i°. Que fi l'on prolonge les rayons 
réfléchis MF, N G , qui touchent la cauftique en 
F , G , jufqu'à ce qu'ils rencontrent le rayon C B 
aux points H , L ; l'on aura MH éeale à CH , & NL 
égale à CL. Car l'angle CMH = CMP = MGH; & 
de même l'angle CNL = CNQ = NCL. 

2 . Que d'un point donné F fur la cauftique 
AFK , l'on ne peut mener qu'une feule droite M H 
qui ibit égale à CH ; au lieu que d'un point donné 
D entre le quart de cercle A M B & la cauftique 
AFK , l'on peut mener deux lignes MH , NL tel- 
les que MH == CH & N L = CL. Car on ne peut 
mener du point F qu'une feule tangente M H ; au 
lieu que du point D , on en peut mener deux MH, 
N L. Ceci bien entendu 

Soit propofé de mener d'un point donné D la 



252 Analyse 

droite M H , en forte qu'elle foit égale à la partie 

CH, qu'elle détermine fur le rayon CB. 

Ayant mené MP , DO parallèles à CB , & MS 
parallèle à C A, foient nommées les données C O 
ouRS, u ; OD ;■& ACou CB, Rôties incon- 
nues CP ou MS , xj PM ou CS, y; CH ou MH, r. 
Le triangle rectangle MSH donnera rr = rr-~iry 

-hyy + xx : d'où l'on tire C H (r) —^±122. De 

p'us les triangles femblables MRD , MSH donne- 
ront M R (x -u). MS (x) : :RD(k— j).SH 

— ^. & partant CS+Srï ou CH = ïfLZ^Z 



X 

xx -+- vy 



— — en mettant pour xx -\-yy fa va- 
leur aa. D'où l'on forme ( en multipliant en croix) 
l'équation aax — aau == 2^ — luyy ; & mettant 
pour j y l'a. valeur ^a — xx , il vient z\xy = aax 
-+■ aau — 2uxx : quarrant enfuite chaque membre 
pour ôter les incommenfurables , & mettant en- 
core pour yy fa valeur aa — xx , l'on aura enfin 
4««x 4 — ^aaux % — <\aauuxx -h 2a 4 ux -+- a*uu = 0. 
4\\ - — -qua^X 

+ a* 
Or il eft clair que u exprimant C O ; & ^ , OD i 
cette égalité doit avoir deux racines inégales , fça- 
voir CP, CQ.: & qu'au contraires exprimant CEi 
& 1, EF i CQ devient égale à CP , de forte qu'elle 
a pour lors deux racines égales. C'eft pourquoi fi 
l'on multiplie les termes par ceux des deux progref- 
fions arithmétiques 4 , 3 , 2 , i,o,&0,i,2, 3,4, 
l'on formera deux égalités nouvelles par le moyen 



des Infiniment Petits. 255 
defquelles on trouvera , après avoir fait évanouir 
l'inconnue x , cette équation. 

-+- 1 9 iv.u — 9 iaanu — 1 ^a'uu 
+ 192a 4 — 4%aau* 
+ 64a 6 

qui exprime la relation de la coupée CE (u) à 
l'appliquée EF (O- Ce qu'il falloir trouver. 

On peut déterminer le point touchant F en fe 
fervant de la méthode expliquée dans la huitième 
Settion. Car fi Ton imagine un autre rayon inci- 
dent pm infiniment proche de PM • il eft clan que 
le réfléchi mh coupera M H au point cherché F , 
par lequel ayant tiré F E parallèle à P M , l'on 
nommera CE ,a ; EF , ç; CP , x ; PM ,y; CM ,a : 

„ flc'X -H aau — 2UXX 

& l'on trouvera comme ci-deiius — 

— 2^. Or il eft vifible que CM , CE , EF demeu- 
rent les mêmes pendant que CP & P M varient. 
C'eft pourquoi l'on prendra la différence de cette 
équation en traitant «,a, x , comme confiantes , 
& x ,y, comme variables ; ce qui donnera myxxdx 
-»- aauyàx — aaxxdy — aauxây -t- lux'dy = , dans 

laquelle mettant pour àx fa valeur — ^ (que l'on 

trouve en prenant la différence àzyy = aa — xx) , 
& enfuite pour yy fa valeur aa • — xx , il vient en- 

fin CE («) = -—. 

Si l'on fuppofe que la courbe A MB ne foit plus 
un quart de cercle , mah une autre courbe quel- 
conque qui ait pour rayon de fa développée au 



254 Analyse 

point M la droite MC ; il eft clair ( Art. 76. ) quel 
fa petite portion Mm peut être regardée comme unT 
arc de cercle décrit du centre C D'où il fuit quel 
fi Ton mené par ce centre la perpendiculaire CP lurl 

le rayon incident PM , & qu'ayant pris CE=:— - -I 

( CP = x , CM — a ) l'on tire EF parallèle à PM ;] 
elle ira couper le rayon réfléchi M H au point F ,1 
où il touche la cauftique A F K. 

Si l'on tire par tous les points M, m d'une ligne! 
courbe quelconque AMB , des lignes droites MC, 
mQ à un point fixe C de fon axe AC , & d'autres 
droites MH , mh terminées par la perpendiculaire I 
CB à l'axe , enforte que l'angle CMH =: MCH , & 
Qmh = mCh ; & qu'il faille trouver fur chaque 
M H le point F où elle touche la courbe AFK, 
formée par les interférions continuelles de ces 
droites MH , mh. On trouvera comme auparavant 

n u xx-±-yy 7x — uy ,, N ,, 

Cn= ^- = ï ± : d ou 1 on tire : 

ïy x — u 

x* -+- uyy -4- xyy — uxx , , ,.,<*, 
— — == 27 , dont la différence 

( en traitant w, \ comme confiantes , & x , y\ 
comme variables ) donne ix^ydx — uxxydxl 
— xVy -><- ux l dy -+- xxyydy -+■ uxyydy — uy î dx\ 
= ; & partant la cherchée CE ( u )] 

2x$ydx — x^dy -+■ xxyydy ._ . 

— - n ^—7-. — - ,> Or la nature 

xxytix — x $ dy -+- y> ax — xyydy 

de la ligne AMB étant donnée , l'on aura une va-L 
leur de dy en dx , laquelle étant fubftituée dans! 
l'exprefllon de CE , cette expreffion fera délivréef 
des différences & entièrement connue. 



des Infiniment Petits. 255: 

PROPOSITION VII. 

Problème. 

209. o OIT une ligne droite indéfinie AO (Fig. 1 5 6. 
PL S.)qui ait un commencement fixe au point A;foit 
entendue une infinité de paraboles BFD, CDG qui 
ayent pour axe commun la droite AO , tf pour pa- 
ramètres les droites AB, AC interceptées entre le 
point fixe A, & leurs fommets B, C. On demande la 
nature de la ligne AFGqui touche toutes ces paraboles. 

Je remarque d'abord que deux quelconques de 
ces paraboles BFD , CDG fe couperont en un point 
D fîtué entre la ligne AFG & Taxe A O ; que AG 
devenant égal à AB , le point d interfedtion D tom- 
be lur le point touchant F. Ceci bien entendu , 

Soit propofé de mener par le point donné D une 
parabole qui ait la propriété marquée. Si Ton mené 
l'appliquée DO , & qu'on nomme les données AO, 
«; OD, ^; & l'inconnue A B, x; la propriété de la 
parabole donnera AB x BO ( ux - xx) = DO" (^) j 
& ordonnant l'égalité , l'on aura xx — ux + ^ — 0. 
Or il eft évident que u exprimant AO ,• & ^ , OD ; 
cette égalité a deux racines inégales, fçavoir AB , 
CA: & qu'au contraire u exprimant AK;&ç, EF> 
AC devient égale à A B , c'eft-à-dire , qu'elle a 
pour lors deux racines égales. C'eft pourquoi on la 
multipliera par la progrefiïon arithmétique 1,0, 
— 1 : ce qui donne x = 1 ; & lubftituant cette va- 
leur à la place de x , il vient l'équation u — 2< qui 
doit exprimer la nature de la ligne A FG. D'où 1 on 
voit que A F G eft une ligne droite faifant avec 
AO l'angle FAO tel que ÂE eft double de J£F, 



2<j6 Analyse, &g. 

Si l'on veut réfoudre cette queftion en général , 
de quelque degré que puifTent être les paraboles 
BFD, CDG,* on fe fervira de la Méthode expliquée 
dans la Section huitième, en cette forte. Nom- 
mant AE,u ; EF , < ; A B , x ; l'on aura u < - x ra x x" 
— "C "*" " l 1 " exprime en général la nature de la pa- 
rabole BF, dont la différence donne ( en traitant 
« Se \ comme confiantes , & x comme variable ) 



— m- 



m x u — x dx X x" -h nx dx x u — x m - o ; 



n- 



& divifant par u — x dxXx ,il vient— rnx 

~\-nu — nx ■=. o : d'où l'on tire x = u ; & 

m-i-n 



partant u — x=z u. Mettant donc ces va- 

r m-t- n 

leurs à la place de w> — x , & de x dans l'équation 
générale ; & faifant ( pour abréger ) = p } 

r 

=:«,»? + «=: r , l'on aura z = u ]/b m a n * 

m — t- n J r l 

D'où l'on l'on voit que la ligne AFG eft toujours 
droite, fi compofées quepuifîent être les paraboles, 
n'y ayant que la raiion de AE à EF qui change. 

On voit clairement par ce que Von vient d'expliquer dans cette 
Section, de quelle manière Von doit fe fervir de la Méthode 
de M". Dcfcartes & Hudde pour réfoudre ces fortes de quef- 
tions lorfque les Courbes font Géométriques. Mais Von voit 
aujfi en même temps qu'elle n'efl pas comparable à celle de M» 
L°ibnits , que j'ai taché d'expliquer à fond dans ce Traité : 
puifque cette dernière donne des réfolutions générales , ou l'au- 
tre n'en- fournit que de particulières ; quelle s'étend aux li- 
gnes tranfcendantes, & qu'il n'ejt point necejfairi d'ôter les in-y 
commenfurabhs : ce qui ferait très fouvent impraticable. 

COMMENTAIRE 



2<C7 



57 



COMMENTAIRE 

Des articles les plus difficiles de l'Analyfe 
des Infiniment Petits. 

La Préface que nous avons mife a la tête de 
VAnalyfe des Infiniment Petits , nous difpenfe de 
donner ici une idée générale du Commentaire que 
nous mettons a la fuite de cet admirable Traité. Ce 
Commentaire n'efl pas difîingué des Notes fuivantes. 



L 



NOTE I. 

A demande , ou plutôt la iuppofîtion de 
j l'article 2, pag. 3. que les Commençans n'ac- 
cordent qu'avec peine , ne contient rien dans le 
fond qui ne foit bien raifonnable. 

En effet , l'on regarde comme infiniment exactes 
les opérations des Géomètres & des Aftronomes ; 
ils font cependant tous les jours des omiffions 
beaucoup plus confidérables que celles des A'gé- 
brifles. Lorfqu'un Géomètre , par exemple , prend 
la hauteur d'une montagne , fait-il attention à un 
grain de iable que le vent enlève de defius l'on 
fommet ? Lorique les Aftronomes nous parlent 
des étoiles fixes , ne négligent-ils pas le diamètre 
de la Terre dont la valeur eft d'environ trois mille 
lieues ? Lorfqu'ils calculent les éclipfes de Lune , 
ne regardent-ils pas la Terre comme ipherique j> 

R 



258 Commentaire 

& par conféquent ont-ils égard aux maifons , aux 
tours, aux montagnes qui fe trouvent iur Ta furfa- 
ce ? Or tout cela eft beaucoup moins à négliger 
que dx , puifqu'il faut un nombre infini de dx , 
pour faire x ; donc le calcul différentiel eft dans le 
fond le plus fur des calculs ; donc la demande de 
Yarticle 2. ne contient rien que de railonnable. 
Toutes ces comparaifons font tirées du Cours de 
Mathématique de Wolf, Tom. i. pag. 418. 

NOTE II. 

L'article 5. pag. 5. a befoin d'un Com- 
mentaire dans toutes les formes. On convient que 
la différence de xy eftjv/x •+- xdy -t- dxdy ; mais on 
ajoute qu'on peut fans erreur fenfible omettre dans 
la pratique dxdy. L'on a raifon 5 en voici la dé- 
monftration la plus rigoureufe. Pour la mettre à 
la portée de tout le monde , reprenons les chofes 
d'un peu loin. 

i°. Toute grandeur infinie fe marque par quel- 
qu'un des caractères 00 , 00 x , ce' &c 

2 . Le premier de ces caractères marque un in- 
fini du premier ordre , le fécond un infini du fé- 
cond ordre , le troifieme un infini du troifieme 
ordre &c. 

3°. Un infini du fécond ordre eft infiniment plus 
grand qu'un infini du premier ordre , & ainfi d'un 
infini du troifieme ordre par rapport à un infini 
du fécond. 

4 . Une quantité infinie ne peut pas être aug- 
mentée par l'addition d'aucune quantité finie, 



Des Infiniment Petits. 259 
ni diminuée par la louft.rac~t.ion d'aucune quantité 
finie. A infi 00 -+- 1 — 00 ; de même 00 — 4 =z 00 . 
Ce que l'on a dit de l'infini par rapport au fini , 
on doit le dire de l'infini d'un ordre lupérieur vis- 
à-vis l'infini d'un ordre inférieur. A infi »'+ M 
^co 1 - de même oo 5 — oo i = co J . Voyez,-en la 
preuve dans là note précédente. 

5 . Toute grandeur infiniment petite eft repré- 
fentée par une fraction dont le numérateur eft un 

fini & le dénominateur un infini. Ainfi — , — - . 

OO 05 2 - 

— j &c. font des fractions qui repréfentent des 

grandeurs infiniment petites du premier , du 
fécond & du troifieme ordre. Une grandeur infi- 
niment petite eft encore repréfentée par une frac- 
tion dont le numérateur eft un infini d'un ordre 

inférieur à celui du dénominateur. Ainfi — - re^ 

préfente une grandeur infiniment petite. En effet, 



6°. Un infiniment petit du fécond ordre repré- 
fente une grandeur infiniment plus petite qu'un 
infiniment petit du premier ordre, & ainfi des 
autres à l'infini. 

7 . Une quantité infiniment petite n'eft rien 

par rapport à une quantité finie. Ainfi 1 h ■ 

= 1 ; 1 — — = 1 . De même un infiniment petit 

du fécond ordre n'eft rien vis-à-vis un infiniment 

R a 



25o Commentaire 

petit du premier ordre. Ainfi — ■+- — £ = — î 

— __ _L — — . Vous en trouverez la preuve 

00 oo 1 oo 

dans la note précédente. 

8°. xy eft le produit de x multipliant/. 

9 ». X y ->t-ydx -t- x4y -+- dxdy eft le produit de 
x-\-àx multipliant y + dy, c'eft- à-dire , eft le 
produit de x augmenté d'une quantité infiniment 
petite , par y qui fe trouve aufîi augmenté dune 
quantité infiniment petite ; donc ydx ■)■ xdy + dxdy 
eft la différence de xy. 

io°. dxdy eft une quantité infiniment petite du 
fécond ordre par rapport \ydx-±xày qu'on doit 
regarder comme des quantités infiniment petites 
du premier ordre. En effet, prenons le r tftangle 
A B C D ou xy , F/g. 157. VI. 8. Augmentons fa 
bafe CD ou y de la quantité infiniment petite 
Bn ou dy ,8c fa hauteur B D ou x de la hauteur 
infiniment petite Dp ou dx ; il eft évident que 
le rectangle infiniment petit Bm Dn ou xdy , & 
le rectangle infiniment petit CD op ouydxfont des 
rectangles infiniment plus grands que le re&angle 
Dnpr ou dxdy , parce que chacun des deux pre- 
miers eft le produit d'une quantité finie par une 
quantité infiniment petite , au lieu que le fécond 
eft le produit de deux quantités infinimeut peti- 
tes ; donc dxdy eft une quantité .infiniment plus 
petite qucydx ou que xdy ; donc on peut fans er- 
reur fenfible la négliger dans la pratique ; donc fi 
la différence de xy eft ydx + xdy + dxdy , elle le- 
ra ydx't-xdy. 



des Infiniment Petits. 261 
ii°. Il eft donc vrai que ia différence d'un 
produit compofé de deux quantités contient la 
différence de la première quantité multipliée par 
la féconde , -4- la différence de la féconde quan- 
tité multipliée par la première. Il n'eft pas moins 
vrai que la différence d'un produit compofé de 
trois quantités fe trouve en multipliant le pro- 
duit des quantités pofées de deux en deux par 
la différence de la troifieme. La différence , par 
exemple , de xy\ QÛy^dx -t- x\dy + xyi\ j en voici 
la démonftration. 

Je fais xy=zu-, donc la différence de u fera la 
même que la différence de xy ; donc ydx ■+- xdy 
=: du- 

De plus xy = u , donc xy\ = u\ ; donc la dif- 
férence de xy\ fera la même que la différence de 
«ç ; donc la différence de xy\ eft \du -h ud\. Mais 
\du =yidx ■+ x\dy , parce que du =ydx -h xdy ; 
& udz - xyd^ , parce que xy~u\ donc \du -+- ud$ 
■=.y\dx->r x\dy -±-xyd\; donc fi la différence de 
xy\ eft \du -4- ud\ , elle fera par-là même y\dx 
+ x\dy -+- xyd\ \ donc la différence d'un produit 
compofé de trois quantités fe trouve en multi- 
pliant le produit des quantités polées de deux en 
deux par la différence de la troifieme. Par là même 
raifon l'on aura la différence d'un, produit com- 
pofé de 4 quantités , en multipliant le produit 
des quantités pofées de trois en trois par la diffé- 
rence de la quatrième. La différence du produit 
uxy\ eft donc xy\du -+- uy^dx + ux\dy-\-uxyd\. En 
général la différence du produit de plufieurs quan- 

R3 



262 Commentaire 

tités multipliées les unes par les autres eft égale à 
la lomme des produits de la différence de chacune 
de ces quantités par le produit des autres. M. de 
l'Hôpital avance , par exemple , que la différence 
de a-*-x X b~ ~y eft bdx — ady — ydx — xày. Il a 
raiion. En effet , à -+- « X b~-~ ~ ah + bx — ay - xy. 
Mais ab n'ayant point de différence , celle de ce 
dernier produit eft évidemment bdx ■ — ady — ydx 
■ — xdy , donc &c. 

NOTE 111. 
JVL. le Marquis de l'Hôpital affure , à l'article 6. 
tae. 6. que y — eft la différence de -. Pour 

f * yy V 

le démontrer , je fais - — ^ ; & j'avance que dans 
cette hipothéfe l'on aura dz dz=.<- -■ , donc 

yy 

l'on aura par là même * pour la différen- 

r yy 

ce de la fraction -. Le calcul fuivant en fera la 

y 

preuve évidente. 

1. - =2 \ par hypothéfe. 

2. x — yi 

3. dx rrr z^dy -+- yd\ 

4. ydi — dx — \dy 

, dx rly 

y y 
& àx = — — zd 



des Infiniment Petits. 263 

dx xd 

, ydx — xdy 
8. dx = Z " 

yy 

Explication. 

i°. La première équation eft une pure fuppo- 
fition , qu'on ne peut accorder , qu'en accordant 
que la féconde équation eft inconteftable. 

2 . La troifieme équation eft fondée fur ce 
principe ; fi x=y\ , donc la différence de x fera 
égale à la différence de y\ 

3 . La quatrième équation a été formée par les 
régies ordinaires , c'eft-à-dire , en traniportant 
dans l'autre membre de l'équation la quantité 
-t-l4y, après l'avoir affrétée du figne — . 

4 . En divifant par>/ la quatrième équation, 
l'on a eu la cinquième équation , & en ôtant dans 
celle-ci les lettres qui fe détruifent , l'on a eu la 
fixieme équation. 

5 . Pour trouver la feptieme équation, l'on a 
fubfiitué dans le fécond membre de la fixieme 



à z fa valeur -. 

y 

6°. La huitième équation eft la même que la 
feptieme , aux yeux de quiconque fçait les pre- 
miers éléments de l'Algèbre; donc fi celle-ci eft 
bonne , celle-là le fera aufli ; donc la différence 
d'une fraction eft égale au produit de la diffé- 
rence du numérateur par le dénominateur, — au 
produit de la différence du dénominateur par le 
numérateur , le tout divifé par le quarré du dé- 

R 4 



264 Commentaire 

nominateur ; donc la différence de - eft 



X XX 



parce que le numérateur a n'a point de différence ; 

x a adx ~h xdx — xdx 

donc la différence de —^ eft -— — —^ 



aa -+- zax -+- xjc 



NOTE IV. 

L'article 7, page 7, demande une foule 
d'éclairciffements ; ils feront renfermés dans les 
réponfes aux queftions luivantes. 

Première Ouejlion. Comment pourroit-on prou- 
ver que — 1 eft l'expofant de - ? 

Réponfe. x— ' = - . En effet x ~~ ' X x 1 =x*' 

= x ; donc x eft le produit du multiplicande x 1 

par le multiplicateur x ' ; donc — l =x~ , 

parce que la divifion du produit par le multipli- 
cande donne pour quotient le multiplicateur. 

Mais 4 = - i donc *~~ ' = ~ > donc en général 

X X X X 

une quantité élevée à une puiflance dont l'expo- 
fant eft un nombre entier négatif, n'eft autre que 
l'unité divifée par la puiflance pofitive de cette 

quantité ; donc x ~ i = -^ i donc x — J = ^j &c. 

Seconde Qaejlion. Eft-il vrai que j/x ait pour 

çxpofant - ? 



des Infiniment Petits. 265 
Réponfe. Cela eft vrai , & en voici la preuve. 

j/x = x* h mais x 1 a pour expofant \ , donc |/x 
a pour expofant ;. Il s'agit donc de démontrer 

2 1 

que)/* = x\ La chofe n'eft pas difficile. Voici 
comment il faut s'y prendre. 

1 « --4-- L 

x z Xx l = x z * = x' = x ; donc x 1 eft la ra- 

cine quarrée de x. Mais \/x eft la racine quarree 

de x ; donc \/x = x 1 ; donc en général une 
quantité quelconque élevée à une puiflance frac- 
tionnaire n'eft autre chofe que la racine d'une 
puhTance dont l'expofant eft le numérateur de la 
fraction , &c le dénominateur eft l'expofant de la 

3i sa 

racine ; donc |/Y = x i ; donc \/x* = x*. 

Troifieme Queliion. A quoi équivaut — — ? 

j/V 

T i » 

Réponfe. ■ = x \ Je le démontre. yx> 

== x* ( graf/rw» 2 e . )i donc -5 — = — . Mais — 

|/V X 1 X 1 



i 



b=-x~ * {que/lion i re . ) donc - — == x ' ," 

j/x J 

donc -5 — = x * ; donc — — ■ = x 
|/x s \/x 7 

Quatrième Que/lion. Eft-il vrai que 1 , )/x , x 
forment une progrefïion géométrique ? 



266 Commentaire 

Réponfe. Il eft évident que i : |/x : : yx : x ,* 

car ixx = x, & j/x X j/x — x ; donc i , yx , 
x font trois termes en progreffion géométrique. 

Leurs trois expofants 0,7,1 forment une pro- 
greffion arithmétique; car + i=?i , &f +j= 1. 

Corollaire 1. 1 , |/ x , |/xx , x font en pro- 

1 1 1 

greffion géométrique. En effet, 1 : x' : : x 3 : x 3 , 

1 * 1 ■ 7 - 1 

car 1 x x 1 = x 3 , & x 3 X x 3 = x 3 . De plus x 3 : 
* - ï 1 -' * * - 

x 3 : :x 3 : x', carx 3 x x' =x' 3 = x' , & x 3 X x 1 

r= x* ; donc 1 , x ; , x 3 , x , ou 1 , \/x }/xx , x 
font en progreffion géométrique. 

Pour leurs expolants , \ , ^ , 1 ,• ils font en 
progreffion arithm tique. En voici la preuve. 
• L : ~ • 3 \ y puifque la lomme des extrêmes -+■ | 
r=-, & que la lomme des moyennes j- ■+- j = j. 
De plus 7 • 7 '• j • 1 , puifque T+i=i,& que 
~ -+- 1 = | ; donc les expofants , j , j , 1 iont 
en progreffion arithmétique. 

Corollaire 11. Par la même raifon , 1 , y x , 

5 5 5 I * I 4 

|/xx , |/V , j/x 4 , x , ou , I , X S , X* , X S , X 5 , X 
font en progreffion géométrique ,* Ôc leurs expo- 
fants " 5 j » f 3 « » f > iou{ font en progreffion 
arithmétique. 

Cinquième Qucjlion.-^-^— , — lont-ils en 

|/x 3 
progreffion géométrique ^ 



des Infiniment Petits- 267 

Réponfe. x~" ' , x~~ S x~ * font en progref- 

fion géométrique ; car x X x == x , 6c 

x~~ i xx —I = x~" 7 =x~ ' h donc x , 

x" * , x""' ou - , 4— . ~ font en progreffion 



• 



géométrique. 

Il n'eft pas néceffaire de faire remarquer que 
leurs expofants — 1 , — }, — 2 font en progref- 
fion arithmétique ; la choie faute aux yeux. Il en 
eft de même des autres progreflïons géométriques 
& arithmétiques que propofe M. le Marquis de 
l'Hôpital ; elles fe préfentent à tout Commençant 
qui fçait délivrer une quantité quelconque de fon 
ligne radical , en lui donnant un expofant frac- 
tionnaire. 

Sixième Quejlion. Comment peut-on démontrer 
que 2xdx eft la différence de xx. 

Rêponfe. xx eft le produit de x par x. La diffé- 
rence d'un produit compofé de deux quantités 
contient ( Note 2 e . ) la différence de la première 
quantité multipliée par la féconde, ■+■ la différen- 
ce de la féconde quantité multipliée par la pre- 
mière ; donc la différence de xx eft xdx+xdx 
z— zxdx. 

L'on prouvera par la même note que la différen- 
ce de x 3 eft tfdx ; que celle de x 4 eft qx'dx ; & 
qu'en général la différence d'une puiflance quel- 
conque parfaite ou imparfaite d'une quantité va- 
riable , eft égale au produit de l'expolant de cette 



268 Commentaire 

puifiance, par cette même quantité élevée à une 
puifiance moindre d'une unité , & multipll e par 
fa différence. En nommant donc m un expofant 
quelconque entier pofitif , l'on dira que la diffé- 
rence de x 1 " eft w x m ' dx. De même en nom- 
mant — un expofant quelconque fractionnaire po- 

fkif , l'on aura - x n ~~ dx, ou — x ~*~ d x , 

n n 

m 

pour la différence de x n . Enfin en prenant — m 
pour un expofant quelconque entier négatif, Se 

■ — - pour un expofant quelconque fra&ionnaire né- 
gatif, l'on aura -mx~~ m ~~ l dx pour la différence 

dex ;•& x n dx = x n dx 



n 



pour 'a différence de x n . 

Septième Qucjlion. Comment peut-on démon- 

— m — i , — mx m 'dx 

trer que — mx dx = — ? 

Réponfe. Pour démontrer que -mx — m — > dx 

*= :m , multiplions les deux membres 

de cette équation par x ,m , nous aurons 

— mx~ m ^ m — , dx= - mx m — Vx,ou -mx m —' dx 

— — mx m ' dx ; donc, après la multiplication , 
les deux produits fe font trouvés égaux ; donc les 
deux multiplicandes Pétoient avant la multipli- 
cation. Mais les deux multiplicandes éto'ient les 



des Infiniment Peti t^ m _* s 9 
deux membres de l'équation — r/ix ' dx 

m — - i 

— — m< dx • donc ces deux membres étoient 

réellement égaux. 

L'on prouvera de la même manière que 

m T 

n v » x dx ; donc en 



■— x 

n 



x n 



général la différence d'une puiflance quelconque 
parfaite ou imparfaite d'une quantité variable eft 
égale au produit de l'expoiant de cette puiflance , 
par cette même quantité élevée à une puiflance 
moindre d'une unité, & multipliée par fa différen- 
ce. Concluez de là qu'il n'eft pas néceffaire de fai- 

re x D — i > P our trouver la différence d'une puil- 

fance quelconque imparfaite. 

Huitième Quejlion. Quelle eft la différence du 
cube de ay — xx ? 

Réponfe. La différence demandée eft ^a'yydy 

— éaaxxydy + $ax?dy — daayyxdx -+- i rayx^dx 

— 6xWx , parce que le cube de ay — xx eft «y 
__ $aayyx*-i-iayx* — x 6 . En effet, la différence de 
a y eft ^a'yydy (quejlion 6.) La différence^ de 

$aayyxx eft — éaaxxydy — éaayyxdx ( même 

queftion ). La différence de + ^ayx 4 eft •+ $ax*dy 
H- i layx'dx ( même queftion ). Enfin la différence 
de — x c eft — 6x'dx , ( même queftion ) ; donc la 
différence affignée eft la véritable différence du 
cube de ay — xx. 






2/o Commentaire 

Neuviè me Que /lion. Quelle eft la différence du. 
radical )/ xy -*-yy • 

Réponfe. La différence demandée eft 

ydx -f- xdy — f- ayd/y 



2\/.n 



En voici la démonftration. 



* y -+- y y 

Pour la mettre à la portée de tout le monde , je 
fais Y x y ~*~ yy ' == - u - Cela iuppofé » voici comment 
je railonne. 

i°. a = j/ary n-_yy > donc la différence de a 
fera la même que la différence de }/xy -+■ yy- 

2°. a = j/*y ■+- jy i donc mm = xy -fjy ; donc 
la différence de uu fera la même que la différence 
de xy -\-yy ; donc 2udu =ydx + x^J 7 4- iyày» 

3°. 2«â/« = ydx •+- xdj/ -h 2y*/y 3 « donc du 

ydx -f- xdy -f- lydy . ydx-h xdy -f- 2yd[y 

^^ j donc du — * . — . — i 

2u 2v xy — h- yy 

parce que u = ]/xy-i-yy ; donc dans l'hypothé- 
fe propofée la différence de u zft. y — — ^2. — zJLZ, 

2 y xy -i-yy 

Mais dans cette même hypothéfe la différence de 
a eft la même que la différence de \/ X y -+- y y ,* donc 

la différence de \/ X y -t- y y eft ^— ^ — * y ~y i t 

2 y xy -f- y y 

Corollaire I. En faifant \/ fl 4 -+. âj^y ==r a , vous 
trouverez par le même calcul que la différence de 

■ • , n a^ -+- ayydx -f- 2axydy 

ce radical eft y ^-^. 

2Vtft —i-axyy 

Corollaire 1 î. En faifant y~âx~^Tx~x — « , l'on 
trouvera que la différence de ce radical eft 

— 3 ; en voici la preuve la plus détaillée. 

3 vax-t- xx* 



des Infiniment Petits. 27 i 
1 °. u =■ y ax -+■ xx i donc u=ax+ xx 3 (quef- 

x 

tion 2 e .) ; donc uu = ax-t-xx* j donc uu — 

y ax -+- xx x ( même queftion ). 

2 . h — y ax -+- xx i donc uuu=ax •+■ xx ; donc 
■^uuclu = adx + 2xdx ( queftion 6 e . ) 

HO.X * 1 Q.xd.x 

3 . 3wm<5/m - #dx + 2x«'xi donc dw = — a 

parce que «m = [/«* -h xx x ( nqm. 1 . ) ; mais la 
différence du radical y ax -+- xx eft la même que 
celle de u j donc elle fera — — . 

^\/ ax -i- xx z 

Dixième Que/lion. Quelle eft la différence du 

radical \/ 'ax ■+■ XX -+- y a* -h axyy, 

Réponfe. La différence demandée eft 

ad< -+- 2xdx ayyàx -+- 2axydy 



2Va +xx+]/a'+jsyy *Va* -+ axyy X zV ax + xx ■+- vV + ax)y 



Pour le démontrer , faifons \/ax +w -+- y a * + axyy 
— u; & voyons ce que vaudra da dans cette hy- 
pothéfe- 

I °. U = y/gx -H- arX + Va* -H axyy '■> donc «a = ax 

■+■ xx -+■ v/44 -+- tfxjj ; donc 2«û/« = a^/x + 2xix + 

ayydx- y aaxydy . ^ ^ fera ^ j, ^ + ^ 

2 y a+ -t- axyy 

divifé par 2«+à «ZZ^B ^ divifé par 2M ou 

2 |/ a+ -i- axyy 

/— — ' — 

par 2 |/ ax -t- aw -t- Va 4 -4- <WJJ- 



ijï Commentaire 

2°. a d x -\- 2x d x divifé par iu ~ 

adx -+- ixdx 
2 y ax -+- XX -+- Va* -+- axyy 

ayyix -f- 2axydy ,. .,., - , , 

3°. , ^ divile par 2weît égal, parles 

2 \Aj4 -+- axyy r & ' r 

régies de ladivifiondesfraûionsà-^È^^L 

2V a* -h axyy X 2U 
ayydx -+- laxydy 

2 j/fl4 H- a^jj/ X 2 J/ flje h- xx H- Va-» -+. axyy ' 

donc du = 



adx 



2 J/'aX -+- XX H- \/at~haxyy 
ayydx -h- laxydy i 

— , z , — = j donc 

2l/" 4 + ^JT X 2 K a * "+■ xx -+- Va* -+- axyy 

le problême à été réfolu. 

Corollaire. La différence que M. le Marquis de 

l'Hôpital afligne à la fradion V **-*-** t ne pa _ 

y xy -+- y y 

roîtra pas embrouillée à ceux qui fe rappelleront 
ce qui fuit. 

i°. La différence du numérateur \Za~x-*-xx eft 

( Cor. 11. de la que/lion 9 ). 



3|/ ax -+- xx 2 - 
2". La différence de ^xJTyy & y i *+ * i y + *y i l 

2\/xy-±-yy 

( que/lion 9 ). 

3 . Le quarré de \/xy -t- y y eft xy +yy. 

4 . La différence d'une fraction quelconque eft 
égale au produit de la différence du numérateur 

par 



des Infini ment Petits. 27$ 
par le dénominateur ,— au produit de la différence 
du dénominateur par le numérateur, le tout divifé 
par le quarré du dénominateur ( Note 3 ) ; donc 
la différence de la fraction propofée eft égale à la 

différence du numérateur ~[/ax~h xx multipliée 
par le dénominateur \/ X y -t- y y , — à la différen- 
ce du dénominateur \/xy-+-yy multipliée par le 

numérateur \/ax -t- xx ; le tout divifé par xy+yy^ 

quarré du dénominateur \ y xy -+-yy h donc la frac- 
tion propofée n'a pas d'autre différence que celle 
que lui a aiïlgnée M. le Marquis de l'Hôpital à la 
iin de l'article 7. pag. 1 2. 

NOTE V. 

.Dans toute la Seftion féconde M. le Mar- 
quis de l'Hôpital fe fert du calcul différentiel 
pour trouver les tangentes de toutes fortes de 
lignes courbes. Il fuppofe que le Lecteur a étu- 
dié avec attention tout ce qui regarde les fec- 
tions coniques ; nous le fuppofons auffi. Malgré 
cda cependant nous allons lui rappeller en peu 
de mots les principales propriétés du Cercle , de 
la Parabole, de PÉllipfe & de l'Hyperbole. Cette 
efpéce d'abrégé du Traité des feftions coniques 
eft abfohiment néceffaire pour rendre intelligi- 
ble la plupart des problêmes & des exemples que 
contient cette féconde fection. 

i°. Si l'on coupe le cône ABC , F/g. 158. 
PL 8 , parallèlement à la bafe circulaire AlKCj 

S 



274 Commentaire 

& plus haut ou plus bas à volonté ; l'on aura un 
cercle LTH , d'autant plus grand ou d'autant 
plus petit , que la fe&ion fera faite plus près ou 
plus loin de la bafe du cône. La propriété de 
cette courbe eft que le quarré d'une ordonnée 
quelconque DF, Fig. 159. PL 8 , eft toujours 
égal au produit des coupées ou abfcifles corref- 
pondantes A F , F B. Nommons donc DF;/, 
ABia, AFx;Yon aura AC ouCBa , FB=2a 
— x ; & l'équation fera DF 1 = AFxFB , ou yy 
— - 2ax — xx ■ c'eft là l'équation au cercle , en 
prenant le fommet A pour l'origine des x ou des 
abfcifles. Si l'on prenoit le centre C pour l'origine 
des abfcifles , c'eft- à-dire , fi l'on faifoit CF = x; 
l'on auroit AF = « — x , FB = a h- x ; & l'é- 
quation précédente fe changeroit en celle-ci , yy 



aa — xx. 



2 . Si l'on coupe le cône ABC, Fig. 158. 
PL 8 , obliquement à fa bafe 8c parallèlement à 
un de fes côtés AB ; l'on aura la parabole 1GK. 
Une parabo'e quelconque MSw , Fig. 1 60. PL 8, 
a pour fommet le point S ; pour foyer, le point F ; 
pour grand axe , S P i pour ordonnées au grand 
axe , les lignes PM , FN , pK; pour coupées ou 
abfcifles correfpondantes , les lignes SP , SF , Sp ; 
pour paramètre , une ligne quelconque égale à la 
double ordonnée Nw qui pafle par le foyer F. 
La propriété de cette courbe , c'eft que le quarré 
d'une ordonnée eft égal au produit de l'abicifie 
correfpondante & du paramètre ; ainfi P M'' = 
SPx'Ns. Nommons donc y une ordonnée quel- 



des Infiniment Petits. 275 
conque : nommons x fon abfciffe correipondante, 
&. p le paramètre ; l'on aura pour équation à la 
parabole yy = px. 

2°. L'on a dans la parabole MSw l'équation 
PAT' = P S x Nw ; l'on a encore dans la même 
parabole pK z — pS x Nm ; donc l'on aura PM' : 
p\V : : PS x N» :/)SxNn; mais le paramètre ?;N 
'eft une quantité confiante ,• donc l'on aura PM 1 
: / R. 1 : : PS : fS ; donc dans une parabole quel- 
conque les quarrés des ordonnées font entreux 
comme leurs abtchTes. 

4°. L'on a dans la parabole» = px ; donc fi 
p— 1 3 l'équation deviendra yy—. ix =■ x. 

5 . L'on a dans la parabole»- =■ px ; donc x 
croiflant , y doit croitre aufïi , parce que p eft 
une quantité invariable Mais les x peuvent croi- 
tre à l'infini , parce que le grand axe de la para- 
bole peut être prolongé à l'infini ; donc les >' peu- 
vent croitre à l'infini ; donc la parabole ira tou- 
jours en augmentant , & ne fe fermera jamais. 

6°. Si l'on coupe le cône A E C , F/g. 1 5 8. PL 3 3 
obliquement à fa bafe& à fes deux côtés , de ma- 
nière que la iection coupe les deux côtés du cône; 
l'on aura une ellipfe DMN. Une eilipfe quelcon- 
que , par exemple , l'ellipfe A B E 1) , F/g. 161. 
\VL H , a pour grand axe , AB ; pour petit axe , 
ED ; pour foyer , F , f; pour centre de figure , C ; 
pour ordonnée , PM , pm ; pour ab.fciffes corref- 
pondantes à l'ordonnée PM , les lignes AP , PB ; 
pour ablcifles correfpondantes à p???, les lignes Ap, 
pB j pour paramètre du grand axe , la double 



S 2 



zj6 Commentaire 

ordonnée N» qui paffe parle foyer F. Dans cette 
efpéce de courbe , l'on a toujours la proportion^ 
fuivante , le quarré d'une ordonnée quelconque 
eft au produit de fcs abfciffes correfpondantes , 
comme le paramètre eft au grand axe , ou PM 1 
:APxPB::Nh:AB. Nommons donc A B , 
2a j ED , 2b ; ISn y p ; PM , y ; AP , x ; Ion 
aura PB — za— x, & la proportion précédente 
fe changera en celle-ci , yy : iax — xx : : p : 2a ; 

. , 2apx — pxx 

donc iayy = 2apx — pxx; aonc yy = — -j 



2a 

pxx 
2a 



àonc yy = px — - — ; & c'eft-là l'équation au pa- 
ramètre de l'ellipfe , en prenant l'un des fommets 
A pour l'origine des ablciffes. 

7 . Si l'on avoit pris l'origine des abfciffes au 
centre C , cefi-a-dire , fi l'on avoit CP = x , l'on 
auroit eu AP •=. à — x, & PB = # -f- x. La pro- 
portion précédente fe feroit donc changée en 
celle-ci j yy : aa — xx :: p : 2a ; donc 2ayy = aap 

, aap — pxx j . 

'. — pxx: donc yy = — - — '- — ; donc>'^ =. - ap 



2. a 
pxx 



; & c'eft-là l'équation au paramètre de 
l'ellipfe , en prenant les abfciffes depuis le centre C. 



2a 



2a 



8°. iayy = aap — pxx ; donc z -^- =aa — xx ; 

donc x augmentant , le fécond membre aa — xx 
doit diminuer. Le fécond membre ne peut pas di- 
minuer , fans que le premier membre — <~ dimi- 
nue. Mais dans ce premier membre , il n'y a que y 



des Infiniment Petits. 277 
qui puiffe diminuer , parce que le grand axe ia & 
le paramètre p font des quantités confiantes ; donc 
dans l'ellipfe x augmentant , y doit diminuer. 
Mais x ne peut augmenter que jufqu'à un certain 
point , parce que le grand axe de cette courbe eft 
déterminé ; donc l'ellipie fe fermera dans les deux 
points où les x ne feront plus fufceptibîes d'aug- 
mentation ; donc elle fe fermera aux deux forn- 
mets A & B. 

9 . L'on a dans l'ellipfe P M 1 : AP xPB : : N» 
: A B ; l'on a encore p m % : A p x pB : : N n : A B 
( num. 6 ) ; donc l'on aura P M : A P x PB : : 
pm % :Apx pB ; donc P M 1 : pm % : : A? xPB: 
Ap X pB ; donc dans l'ellipfe les quarrés des or- 
données font entr'eux comme les produits des abf- 
ciffes correfpondantes. 

io°. 11 eft encore démontré dans tous les Trai- 
tés des Sections coniques , que dans toute elliple le 
quarré d'une ordonnée quelconque eft au produit 
des abfciffes correfpondantes , comme le quarré 
du demi-petit axe eft au quarré du demi-grand 
axe ; donc l'on aura, en prenant l'origine des abl- 
ciffes à l'un des fommets, la proportion fuivante; 
y y : zax — xx \: bb : aa \ donc aayy ~ zabbx — bbxx ; 

, labbx — bbxx , 2bbx 

doncyy = ,' donc yy == — 

■^ au ' a 

— — ; Se c'eft-là l'équation aux axes de l'ellipfe, en 

prenant l'origine des abfciffes à l'un des fommets. 
1 1°. Dans toute ellipfe le quarré d'une ordon- 
née quelconque eft au produit des abfciffes corref- 

s 5 



ij% Commentaire 

pondantes , comme le quarré du demi-petit ax< 
eft au quarrc du demi- grand axe ; donc , en pre- 
nant L'origine des abfcilïes au centre C , l'on aura 
yy : aa — - xx : : bb •' aa * donc aayy = aabb — bbxx, 

, adbb — bbxx , , , bbxx „ 

donc yy = j donc yy — bb ; 6î 

a aa aa 

c'eft~là l'équation aux axes de l'ePipfe, en pre-j 

nant le centre de la courbe pour l'origine des! 

abfciffes. 

i 2°. Il eft enfin démontré dans tous les Tr;; 
des Sections coniques que dans une eliipfe quel- 
conque le grand axe eft au petit axe , comme le 
petit axe eft au paramètre. 

[ 3°. Si Ton coupe le cône ABC, ( Fïg. 158. 
PI. 8 ) , obliquement à la bafe , & aux deux côtes 
du cône , de manière que la Section prolongée en; 
haut, aille couper un des côtés AB , aulïi prolon- 
gé i l'on aura l'hyperbole FHE, dont le grand 
axe fera H R , à l'extrémité duquel on pourra for- 
mer un: féconde hyperbole égale à celle dont nous 
venons de parler, afin d'avoir deux hyperboles opj 
pofées fur un même axe HR. L'hyperbole n A M, 
(F/g. 162. PL 8), a pour axe principal, ABi 
pour petit axe , DE ; pour foyers , F , /, pourj 
centVe commun aux deux hyperboles oppolées , le 
point C j pour ordonnée , P M , à laquelle corref-r 
pondent les abfciifes AP , BP ; pour paramètre du 
grand axe , la double ordonnée Nh qui pafle pari 
îe foyer F. Faiions donc A B == 2a , A C ou C 9 
z=a,DE=2b v DCouCE = fc,N»=rp, PMj 
zzzy 3 AP = x, l'on aura B P = %a -+■ x. Dans 



des Infiniment Petits.' 279 
cette efpéce de courbe l'on a toujours la propor- 
tion fuivante , le quatre d'une ordonnée quelcon- 
que eft au produit des abfcifles correfpondantes , 
comme le paramètre eft à l'axe principal ; donc 
PM* : AP X BP : : N» : AB ; doncj^' : 2«x + xx:: 
p : m ; donc iayy=- 2apx + pxxi donc y y = 

*■>,*-*- P x * . donc;y = px + p -- s & c'eft-là l'é- 

quation au paramètre de l'hyperbole , en comp- 
tant les abfcifles depuis le fommet. 

14 . A quelques lignes près , l'équation eft la 
même pour 1 ellipie & pour l'hyperbole- En effet, 
l'équation commune à ces deux courbes eft yy == 

Qx — F^l, Dans les doubles fignes le fupérieur eft 

pour l'ellipie , & l'inférieur pour l'hyperbole. 

1 5°\ En comptant les abfcifles depuis le centre 
C , c'eft-à-dire , en nommant C P , x ; l'on aura 
AP = x — # , & BP = x -t- «. Dans cette hypo- 
théfe le produit des abfcifles correfpondantes fera 
xx — aa •-, Se la proportion de num. 1 3. fe change- 
ra en celle-ci ,yy : xx — aa : : p : ta ; donc nayy 

__pxx — aap : donc ^2 = xx — aa ; & c'eft-là 

l'équation au paramètre de l'hyperbole, en comp- 
tant les abfcifles depuis le centre C. 

1 6°. A caufe des quantités confiantes 2a & p , 
les quarrés des ordonnées PM , pm font entr'eux 
comme les produits de leurs abfcifles correfpon- 
dantes. Le calcul eft le même que celui que nous 
avons fait pour l'ellipfe 3 num. 9. 

S 4 



280 Commentaire 

17 . L'hyperbole va toujours en s'élargiffant,& 
elle ne doit jamais fe fermer. En effet , dans l'équa- 

2ayy 

tion — — - — xx -aa, x augmentant, y doit aufli 

augmenter , parce que les quantités repréfentéei, 
par a & par p font des quantités invariables. Mais 
x peut augmenter à l'infini , parce qu'on peut 
prolonger AP à l'infini ; doncj/ peut augmenter à 
l'infini ; donc les ordonnées à l'hyperbole repré- 
fentées par y , vont toujours en augmentant à 
mefure qu'elles s'éloignent du fommet A ; donc 
l'hyperbole va toujours en s'élargiflant ; donc elle 
ne doit jamais fe fermer. 

i #°. Dans l'hyperbole équiîatere za~ p ; donc 

l'équation générale 2 ^- = xx — aa fe réduit pour. 

l'hyperbole équilatére à yy — xx — aa > ce qui 
donne x — a : y : : y : x -+- a ; donc dans cette ef- 
péce de courbe l'ordonnée eft moyenne propor- 
tionnelle entre les abfcifies correfpondantes. 

19 . Dans l'hyperbole comme dans î'elîipfe, 2a 
î2b:-.2b:p, c'eft-à-dire , le paramètre eft une troi- 
sième proportionnelle au grand & au petit axe. 

20 . Les lignes Q_q, Gg,(Fig. i6t.Pl.8.) 
qui le coupent au centre C, & dont la première 
eft parallèle à la ligne AE, & la féconde à la ligne 
AD , lont les affymptotes des deux hyperboles op 
pofees »AM , «rMB. Il eft démontré dans tous les 
Traités des Sections coniques que le redtangle fous 
l'ordonnée hn & l'abi'ciffe Ck eft égal au quarré de 
AH. Faifons donc £»=;/, Ch=x > 6c AH=a g 



ces Ikfinim ent Petits. 281 
nous aurons xy = aa , & c'eft-là l'équation de 
l'hyperbole rapportée à fes affymptotes. 

2i°. Tout ce que nous avons dit jufqu'à préfent 
doit s'entendre des Se&ions coniques ordinaires , 
c'eft-à-dire , des Se&ions coniques tirées d'un 
cône qui a pour bafe un cercle ordinaire. L'on 
trouvera nurn. 1. ce qu'il faut entendre par cercle 
ordinaire. 

22°. Les Sections coniques d'un genre fupérieur 
font tirées d'un cône qui a pour bafe un cercle 
d'un genre fupérieur , "c'eft-à-dire , une courbe 
dont Tes ordonnées & les abfcilTes fournirent une 
équation d'un plus haut degré que celle que don- 
nent les ordonnées & les abfcilTes d'un cercle or- 
dinaire. 

23 . Suppofons que le cône ABC, (F/g. 158. VI. 
8) , ait pour bafe une courbe dans laquelle le cu- 
be de PQ foit égal au produit du quarré de A Q 
multiplié par QC ; ce cône donnera les Sections 
fui vantes. 

La parabole qui en fera tirée , aura pour équa- 
tion y z=zp i x z . 

L eilipfe tirée de ce même cône aura pour équa- 
tion y 1 = px l ~~ F ~ , ou 2af = 2apx l — px } ; ce 

■* la 

qui fe réduit à la proportion fuivante , y : x 1 X 
(2a — x* ) : : p : 2a. 

L'équation à l'hyperbole tirée de ce même cône 

fera y 1 = px* -4- — , ou iay* = 2apx* -+- px^ ; ce 

qui donne la proportion fuivante, y ■ x 1 X fw 
=+-x' ) : : p : 2a. 



282 Commentaire 

24°. L'équation à la parabole cubique étant y* 
~ p'x* , elle fera fera par là même/ 1 " + ~ * = p'x* , 
& elle fera en général pour toute parabole d'un 
genre fupérieur y m ^ a ==p m x a . De même l'équa- 
tion du num. 25. fe changera , pour l'ellipfe & 
pour l'hyperbole, en l'équation générale y m ^ n 

= px n + / - . 



2 5 . Il faut donc que dans l'équation générale 
appliquable aux eliipfes & aux hyperboles d'un 
genre fupérieur , l'expofant de y foit égal à la 
fomme des expofants des deux abfciffes Corref- 
pondantes à l'ordonnée y. Il faut encore que dans 
l'équation générale appliquable à une parabole 
quelconque d'un genre fupérieur , l'expofant dey 
foit égal à la fomme des expofants de l'abicifle 
correfpondan'te & du paramètre. Aufli l'équation 
y } .— pV eft-elle autant l'équation à une para- 
bole cubique quey =pV; parce que l'une & 
l'autre donnent l'équation généraley~ t ~ n = p m x\ 

2 6°. Tout ce que nous avons avancé dans cette 
Note, eft dévelopé & démontré dans tout Traité 
des Sections coniques. On peut confulter celui que 
nous avons donné dans la troifîéme édition de no- 
tre petit Dictionnaire de Phyfique en 2 volumes 
in-S°, imprimé à Avignon chez la Veuve Girard 
en l'année 1767. On peut encore confulter le 
Traité des Se&ions coniques de l'Abbé de la 
Caille , & le Commentaire que nous avons donné 
de ce Traité dans notre Guide des jeunes Mathé- 
maticiens , imprimé à Avignon chez la même 
Veuve Girard en l'année 1765. 



des Infiniment Petits. 285 

N T E V I. 

8 jES deux qucftions fuivantes jetteront un grand 
jour fur Yarticle 9 , page 1 4. 

Première Ouejliou. Commçnt peut-on démon- 
trer que les triangles î«RM,MPT,( Fig. 3 • PL 
1 . ) font femblables ? 

Réponfe. Les deux triangles wRM , MPT ont 
d'abord un angle droit chacun , l'un en R, l'autre 
en P. Ils ont enfuite l'angle T égal à l'angle M , 
parce que le côté infiniment petit Mm étant con- 
fondu avec la ligne MT prolongée, & cette ligne 
coupant les deux parallèles T P , M R ; il eft im- 
polîible que l'angle extérieur M ne foit pas égal à 
l'angle intérieur T; donc les deux triangles ;??RM, 
MPT font èquianglirs ; donc ils l'ont femblables ; 
donc ils ont leurs côtés homologues proportionnels. 

Seconde Quejlion. Comment, la connoiffance de 
la foutangente PT, ( Fig. 3. PL 1 . ) , peut-elle con- 
duire à la connoiffance de la tangente MT. • 

Réponfe. En connoiflant la longueur de la fou- 
tangente PT , Ton a le point T auquel doit abou- 
tir la tangente demandée. Le point M d'où cette 
tangente doit partir , efl donné de pofition; donc 
en connoiffant la longueur de la foutangente PT, 
l'on a les deux points extrêmes de la tangente MT; 
donc la connoiffance de la foutangente P T con- 
duit néceffairement à la connoiffance de la tan- 
gente MT, parce que d'un point quelconque à un 
point quelconque on peut toujours tirer une ligne 
droite, four trouver donc facilement une tangen- 



284 Commentaire 

te quelconque M T , il ne s'agit que de fçavoîr 

manier la formule générale y —^- == P T , en diffé- 
renciant l'équation de la courbe à laquelle on 
veut tirer une tangente. 

NOTE Vil. 

JL»' o n apprend dans Y article 1 1 , pag. 1 5. à tirer 
des tangentes à des paraboles & à des hyperboles 
de tous les genres. Il s'agit d'abord de tirer une 
tangente à une courbe dont l'équation eft ax~yy. 
Cette courbe eft évidemment {Note 5. num. 2. ) 
une parabole ordinaire dont y eft une ordonnée 
quelconque, x l'abfcifle correspondante , & a le 
paramètre. En différentiant l'équation ax = yy , 
l'on trouve tout de fuite que dans cette courbe dx 

=■ -^-. La foutaneente P T eft dans toutes les 
courbes égale à —-. Mais dans la parabole ordi- 
naire dx ■= -2-y.i donc dans la parabole ordinaire 
l'on aura P T = -HJL — ÏZÏ. Dans cette même 



ad 



l y 



a 



parabole l'on a yy = ax ; donc * 



= 2x ; 

a a 



donc dans la parabole ordinaire la foutangente 
PT = 2x = 2/\P , t F/g. 3. PL î ) ; c'eft-là le 
num. 1 . de Yarticle 1 1 . 

Le num. 2. du même article apprend à tirer une 
tangente à une courbe dont l'équation eft aa — xy. 
Ceft-là ( Note 5 , num. 20. ) l'équation de l'hy- 



des Infiniment Petits. 285 
perbole ordinaire rapportée à fes affymptor.es. 
Cette équation différentiée devient, à caule de la 
confiante a,j/dx -+- xày = ; donc>'dx = — xdy ; 

1 

donc dx = — — • La foutangente PT eft dans 

y 

toutes les courbes égale à ^ ; donc l'on aura 

xydy 

dans l'hyperbole ordinaire PT = — -~- = 

— x; donc en prenant PT = PA , (Fig. 4. PI- 1 ), 
& en plaçant PT du côté oppofé au point A , l'on 
aura la longueur de la foutangente à laquelle ré- 
pond la tangente MT- Iln'eftpasnéceffairedefaire 
remarquer que le point A eft le point d'ïnterfec- 
tion des deux aflymptotes de l'hyperbole reprélen- 
tée par la figure 4 de la planche 1. Il eft encore 
moins néceffaire de faire remarquer que les Géomè- 
tres font convenus de défigner les pofitions oppofées 
des lignes par les lignes -+- & — . Si PT "==. -fx , 
lorfque le point T eft au deffus du point A , c'eft- 
à-dire , au deffus du point de l'origine de? x j Ton 
aura PT = — x, lorfque le point T fera au def- 
fous du point A. Ce font là des connoiffances que 
l'on doit fuppofer dans tout homme qui entre- 
prend de lire un Traité auffi difficile que celui des 
Infiniment Petits. 

Le num. 3 de l'article ir. demande un long 
Commentaire. Pour le rendre plus clair, nous al- 
lons le renfermer dans les réponfes aux queftions 
fuivantes. 

Première Que/lion. De quelle efpéce de para- 
bole parle-t-on au num. 3 del ! 'article 1 1. 



286 Commentaire 

Réponfe. M. le Marquis de l'Hôpital parle, a» 
num- 3. de X article 1 1 , des paraboles d'un genre 
fupérieur , puiiqu'il a parlé des paraboles ordi- 
naires , au num. 1 du même article. 

Seconde Queftion i Pourquoi , dans l'équation 
générale y = x, M. le Marquis de 1 Hôpital ne 
fait-il pas mention du paramètre de la courbe ? 

Réponfe. Parce qu'il fuppofe ce paramètre = 1. 
Or i.v~x: «Se comme toutes les puiffances de 1 
donnent 1 ; fi p = i , l'on aura px ~=. x , p r x = x , 
p*x =: x &c. 

Troifieme Queftion. Comment l'équation gé- 
nérale y"' =z x peut-elle convenir aux paraboles 
d'un genre fupérieur , puilque nous avons affuré 
(num. 24 Se 25 de la Note 5.) que ces courbes 
avoient pour équatÎQn générale j/ m-t-n = p m x n , 
ouj/ m4 - n =p a x m . 

Réponfe. i°. Nous verrons dans la réponfe à 
la queftion 5 e . , que lorfque l'expofant m eft un 
nombre fractionnaire pofitif plus grand que l'uni- 
té , l'équation y m ■==. x équivaut à l'équation gé- 
nérale y m + n = p m x n . 

2 . L'équation y m == x équivaudra à l'équa- 
tion^ m "~ t ~ n :r= p a x m , fi l'on fuppofe que l'expo- 
fant m que donne à> M. Le Marquis de l'Hôpi- 
tal , eft égal à l'expofant de x qui eft 1 , -+- à 
l'expofant du paramètre qui multiplie x. En effet , 
fuppofons m ==-- 3 ; l'équation /" = x deviendra 
y = i 3, x 1 , c eft-à-dire , le cube d'une ordon- 
née quelconque eft égal au produit de -l'abfcifTe 
correfpondante par le quarré du paramètre égal 



des Infiniment Petits. 287 
à l'unité ; ce qui eft en effet l'équation à une ei- 
béce de paraboles cubiques. 

Quatrième Ciujiion. La valeur générale de la 

ibutangente P T étant y -^- , comment peut-il fe 

faire que PT devienne = mx dans les courbes 
dont l'équation eft/" = x. 

Réponfe. Le calcul iuivant va fervir de folu- 
tion à cette qutftion. y m — x , donc la différence 
de y" fera égale à la différence de x , donc 
my m ~ ' dy = dx ; donc en faifant entrer la nou- 
velle valeur de dx dans la formule générale-^- , 

l'on aura P T = CSfflÇI^! = m] r. Mais j* 

y j 

= x , par hypothéfe , donc my m =, mx ; donc 

PT = mx. 

Cinquième Qv.tfiion. Comment l'équation y l 
= x , peut-elle devenir y' === axx ? 

Réponfe. Elle le devient par le calcul fuivant. 

y*=zzx , donc 1/5^= x ( Noie 4 e . que/lion 2.) 
doncy = xx,- doncj' ! = ixx ; donc, en fai- 
fant le paramètre 1 = a , l'on aura./ = axx ; 

donej'^ i =« , x î i donc^ m ^ n =^ m ^ n . 

4 

L'on trouvera par la même méthode quey } =x, 

± 
devient y = axxx. En effet,;' 1 == x , donc 

j/> 4 — x , donc y* =j xxx ; donc y* = I xxx , 
donc j/ 4 = axxx , doncj' ! "^ 5 = «* x 1 , donc 
yV+' — tfx', donc nous avons eu railon d'af- 



288 Commentaire 

furer dans la réponfe à la troifieme queftion , que 
lorlque l'expofant m eft un nombre fractionnaire 
pofitif plus grand que l'unité , l'équation y m = x 
équivaut à l'équation générale^"" 4 " n =p n x n . 

Sixième Quejlion. Comment peut-on prouver 
(\uzy '" — x donne l'équation a i = xyy , la- 
quelle équation convient à l'hyperbole cubique 
rapportée à fes affymptotes ? 

Réponfe. 1 °. 11 faut fe rappeller que aa = xy 
eft l'équation à l'hyperbole ordinaire rapportée 
à fes aflymptotes {Note 5 e . num. 10.) 

2 . y * = x , donc -j = x ( Note 4 e . ques- 
tion 1. ) donc 1 = xyy ; mais dans le cas pré- 
fent 1 — a* , puifqu'on ne peut pas avoir aa — xy , 
fans avoir a> — xyy , donc y l = x équivaut 
à xyy = a\ 

'■ Septième Quejlion. D'où eft tirée la proportion 
dx : dy : : my m ' : 1 ? 

Réponfe. Cette proportion eft tirée de l'équa- 
tion my m ~"' dy = dx. En effet, vous aurez cette 
équation , en multipliant d'un côté les extrêmes , 
de l'autre les moyennes de la proportion donnée. 

Huitième Qiieflion. Pourquoi , en fuppofant>' 
= , la raiion de dy à dx eft-elle infiniment 
grande , lorfque m furpafTe 1 ? 

Réponfe. Lorfque m furpafTe 1 , l'expofant 
m — 1 eft un expoiant pofiïif. Sïy = 3 & que 
m — 1 foit un expofant pofitif , le terme my m * 
devient ; donc la proportion dx : dy : : my m ~~ 
: 1 devient dx : dy : : »: 1 , ou dy : dx : : 1 : 0. 

Mais 



des Infiniment Petits. 289 
Mais 1 eft infiniment plus grand que , donc ày 
eft infiniment plus grand que àx j donc , en iuppo- 
fantj = , la raifon de ày à àx eft infiniment 
grande , lorfque m furpaffe 1. 

Neuvième Quejlion. Pourquoi , en fuppofant 
y = o y la raifon de ày à dx eft-elle infiniment 
petite , lorfque m eft moindre que 1 ? 

Réponfe. Lorfque m eft moindre que 1 , l'ex- 
pofant m — 1 eft un expofant négatif. Supposons 
m = ~ , l'expofant m — 1 fera — | , & le terme 

my m ~ l le changera en \y~ \ = 7-7— ( Note 4 e . 
quejl. 1. ) Suppofons maintenant/ = , le ter- 
me — V— fera - ; donc en fuppofant/ =;«?, & m 

moindre que 1 , le terme n7y m ~~' deviendra- , 

& la proportion dx : ày : : my™ ' : 1 fe changera 
en celle-ci dx : ày : : 5 : 1 , ou ày : dx : : 1 if. 
Mais 1 eft infiniment plus petit que 5 , parce que 
o eft contenu une infinité de fois dans 1 ; donc , 
en fuppofant .y = , la raifon de dy à àx eft infi- 
niment petite, lorfque m eft moindre que 1. 

NOTE [/ 111. 

\ 1 a formule générale PT = ~— s'applique 

dans l'article 1 2 , p#g. 17 , à des ellipfes de tous 
les genres. La première ellipfe à laquelle on l'ap- 
plique , eft une ellipfe ordinaire ( Note 5 . nuffi. 6 ), 
puifqu on fuppofe que la courbe A M B , (F/g. 5. 

T 



290 Commentaire 

PI. 1 ) , eft telle que le rectangle fous les abfcilfesj 
AP , PB eft au quatre de l'ordonnée PM, comme! 
le grand axe A B eft au paramètre A D ; ce qui 

donne l'équation -^ = ax — xx , en faifant le j 

grand axe AB = a, & le paramètre AD = J. 

Cette équation différentiée devient -^-j~- = adx 

— ixàx ' donc àx = , ay y , -. Mettons cette 

' ab — zbx 

nouvelle valeur de âx dans la formule générale 
PT = &; l'on trouvera PT= °' ayyày À - 

dy ab — îbx X dy 

h— y \ • ^ ais l'équation de l'ellipfe AMB donne 

avy 1 zayy iax — ixx 
^f- = ax - xx ; donc — — ^~r- = ; 

b ab — zbx a — 2x ' 

donc PT = aax ~ 2XX . Mais AT=PT - AP^ 

a — 2.x 
Stax — zxSS 2a.x — 2xx — ax -+- 2xx ax 

— x — 



2v a — 2.x a — 2x' 



,. AB x AP 

conc Al = 



AB — 2AP* 

L'on apprend enfuite dans le même article 1 2 
à tirer une tangente à une ellipfe d'un genre fu- 
périeur. L'ellipfe qu'on fuppofe eft telle , que le 
cube de AP x le quarré de PB eft à la cinquième 
puifîance de PM , comme le diamètre AB eft au 

paramètre A D ; ce qui donne l'équation a 2— 



A s/ - z nu _Z — v? 



X X a — x » OU — - =z x 5 X aa. — zax -+- xx 3 



des Infiniment Petits. 291 
iou enfin — = aax J — 2flx 4 -hx s . Cette équation 

différentiée devient ay " = faaxxdx — "èax^dx 

-*- cxMx ; donc dx = __-_-_-?£_ ^ __ - . Fai- 
J %<idby. — i-^x 5 -4->ox^ 

fons entrer la nouvelle valeur de dx dans la for- 
mule générale PT r= *~- ; nous aurons 

Siiy^dy ___ $ a y 5 

Ç~îaabx* - 8a£x ; ■+ J3x + ) k ofy ~~ ^aubx 1 — 8a*x' ■+ 5Z.x4 

= PT. Mais^- — aax } — 2#x*-+-x s ; donc en 
fubftituant cette nouvelle valeur , l'on aura PT 

— ; — j Se en divnant le nume- 

3aax z — 8ax> -+- $x* 

rateur & le dénominateur de cette dernière frac- 
tion par axx — x 5 , l'on aura pour quotient PT 

= 5ax ~ 5xx . Mais AT=dPT - Ù = Sax ~ *** 
3<z — Sx 3* — 5x 

$ax — $ xx — yax -f- Sxx __ 2ax 

o a — $x 9 a — 5 X 3 

donc dans l'ellipfe dont il s'agit , l'on aura A T 

aABxAP 
— ?AB — }A?' 

L'on pourroit demander ici de prouver que le 
numérateur ^aax 1 -^ ioax 4 -t- 5x s divifé par ^xx 
— -x 3 donne pour quotient <^ax ■ — • 5XX. La preuve 
fe préfente d'elle-même. Multipliez le divifeur 
axx — x' par ^ax — 5XX, vous aurez pour produit 
le dividende $aax J — ■ io<sx 4 -+- 5x s ; donc le nu- 
mérateur ^aw — \oax x -+- 5x s divifé par axx — x i 
donne pour quotient ^ax — 5XX. 

T z 



292 Commentaire 

L'on prouvera de la même manière que le dé- à 
nominateur ^aax r - 8#x 5 -+- 5X 4 divifé par axx — x 1 
donne pour quotient ^a — 5X. 

M. le Marquis de l'Hôpital termine X article 1 2 
par une formule générale appliquable à toutes les 
ellipfes d'un genre fupérieur. Cette formule géné- 

raie eft {Note 5 , num. 23 , 24 , 25 ). ■=— — 

== x m x a. — x ". Tout ce qui peut arrêter un Com- 
mençant dans le calcul de cette formule , eft 
éclairci dans les queftions luivantes. 

Première Quejïion. Quelle eft la divifion qui a 

donné le quotient m ■ nx " ^—^ tiré de la fraction 

* ma — * — nx 



m — f- nx x a 



mx X a x — na x XX 

Réponfe. i°. Le numérateur de la fra&ion d'où, 
ce quotient eft tiré , eft m -+- nx m x a — /. La 
quantité m -+■ nx m a été divilée par x™' " '. En effet 
OTH-nx divileparx donne m-i-nx 

z==m-+- nx' = m-+-nx. Pour la quantité a — x" , 
elle a été divifée par a — x"~ ' , puifque a — x" 



-n + 1 



divifé par a - x ~ a ~x ~c= a - x —a-x. 

2 . Le dénominateur de la fraction qui a donné 
le quotient dont on parle , eft mx™ ' x a — x" 
• — na — x" ' X x m . Ce dénominateur eft comme 
compofé de deux parties ; la première eft mx" 
X a — x n - La première quantité de cette première 
partie , c'eft-à-dire , mx m ' a été divifée par x m ~ ", 



des Infiniment Petits. 295 
ce qui a donné m pour quotient. La leconde quan- 
tité de cette même partie a été divifce par 
a — x" "' ; ce qui a donné pour quotient , com- 
me ci-deffus, a — x. Auflî le quotient total de 
cette première partie eft-il m x a — x = m a — x- 
La féconde partie du dénominateur en queftion 
eft — na — x*~ ' X x™. L'on a divifé — na — x a ~ 

par a — x" ' , & l'on a eu pour quotient — «• 
L'on a enfuite divifé x m par x m — ' , & l'on a eu, 
comme ci-deflus , pour quotient x' = x. Auffi le 
quotient total de cette féconde partie eft-il 

— »X-v = — nx. 

3°. Si P T = EEh^ a ~ - ; l'on aura évidem- 

■* ma — x — nx 



ment PT = 



■ n x ax xx m — (- n X ax — xx 



ma ■ — mx — nx ma — m — nx 

Seconde Quejiion. Comment a-t-on trouvé AT 

nax 



ma — m — nx 

-n X ax — xx 



Rêponfe. AT = P T — A P = 



ma — m — nx 



m -+- n ax — m — n XX 



ma — m — nx 



nax — m — nXX max -\- m -*- n X X 



ma — m — n x 

nax 



j à caufe des quantités qui fe dé- 



ma — m — nx 

truifent dans le numérateur. 

Corollaire. Toutes les opérations que nous ve- 
nons de faire dans cette Note 8 prouvent qu'il eft 

S3 



294 Commentaire 

plus facile de manier une équation qui a des chif- 
fres pour expofants , que d'en manier une dont le^ 
expofants iont des lettres. 

NOTE IX. 

X , article 13 , pag. 1 8 eft pour l'hyperbole, 
ce que X article précédent a été pour l'ellipfe. Voici 
quelques remarques qui ferviront à l'éclaircir. 

i°. La leéture delà Note 5 e , convaincra tout 
homme qui eft au fait des Seftions coniques , que 

, , . ay m "^ " m n n 1 

1 équation - 2 — — = x X a -+ x eft une équation 

o-énérale à toute hyperbole dont on fait le grand 
axe A B , ( Fig- 6. Pi. 1 ) , = a , & le paramètre 
: — b. Cette équation maniée comme celle de l'el- 
lipfe dont elle ne diffre que par les fignes , fert à 
trouver les tangentes finies de l'hyperbole. 

2 . L'afymptote eft la tangente infinie de l'hy- 
perbole , c'eft-à-dire , la tangente d'une hyper- 
bole qu'on fuppofe s'être élargie à l'infini. La li- 
gne C E , par exemple , ne peut être regardée com- 
me tangente de l'hyperbole A M , ( Fig. 6. PI. 1 ) , 
qu'autant qu'on fuppofera infinies l'abfcifie AP = x, 
& l'ordonnée PM =y. Dans cette hypothéfe l'é- 

quation ==- devient d abord - . 3 

* ma — t- m — t- nx m~+-nx 

parce que ma eft infiniment petit vis-à-vis" m-î-nx 

y , , \ nir ■ nax n 

( Note 2 , nurn. 4 ). Mais = — ■— a * 

v ^ ' m-hnx ai-+- n 

donc dans cette hypothéfe AT devient - a. 



DES INF INI MENT PETI TS. 295 

Mais en confidérant CE comme tangente , AT 
kevient ACj donc en confidérant CE comme 

tangente , l'on aura AC= a. 

3°. Par la même raifon l'équation générale 

^ . = x m X a-^-x deviendra , à caufe du ter- 

b 

me infiniment petit a vis-à-vis le terme infini- 

ment grand x,^ — = x m xx n ,ou -^ =x ra+a 

ouenfinfl/ + "=t.v m + ". 

4 . Si l'on fait m -+- n = p , l'on aura ay v = bx p . 

5 . Si l'on extrait la racine/? des deux membres 

p 

de cette dernière équation , l'on aura yay* 

== V/Ï7 p ou^ |/« = x yb ; donc rfy j/« —dxyb, 

p p 

parce que les confiantes }/a & |/fe n'ont point 

de différence ; donc dx : dy ::ya: yb. 

6°. En fuppoiant la ligne CE prolongée à l'in- 
fini , on concevra au point où l'afymptote C E 
rencontrera l'hyperbole A M, un triangle infini- 
ment petit qui fera femblable au triangle C A E , 
c'eft-à-dire , qui fera vis-à-vis le triangle CAE, 
ce que le triangle infiniment petit MR«,( F/g. 
3. PL 1 ) , eft vis-à-vis le triangle TPM. L'on 
pourra donc dire du triangle infiniment petit idéal 
MRm & du triangle fini CAE, que ces deux 
triangles ont leurs côtés homologues proportion- 
nels ; donc M R : wR : : C A : AE j donc dx : dy 

: : C A : AE. Mais ( nurn. <j)dx : dy : '.y a : yb; 

S 4 



296 Commentaire 

p. p ' 
donc y a : y h : : C A : A E. Mais ( num. 2 ) CAj 

= a z= - a : donc i/o, : i/i& : : — a : A E ; 

m-k-n p P 

doncAE^^ ; donc AE = -% ; 

\/a \/a 

donc AE = — l/la ? ' ; donc connoifîant CA, 

P 
il fera très facile de trouver AE, & de tirer par les 

points C & E l'afymptote CE. 

7 . Dans l'hyperbole ordinaire où m = 1 & 

n = 1 , la formule A C = a = - a de- 

m-t- n /> 

vient AC = i<3=ïAB, c'eft-à-dire , l'afymp- 
tote doit partir du centre du grand axe A B. 
8°. Dans l'hyperbole ordinaire , la formule AE 

._ 1. yV — ■ — _1_ V7ba m + a ~ ' devient, 

9 . Dans l'hyperbole dont il s'agit ici , l'on a 
fait le grand axe = a & le paramètre = b ; donc 
le petit axe fera = VTb , parce que dans l'hyper- 
bole le grand axe : au petit axe : : le petit axe : au 
paramètre ( Note 5. num. 19); donc en faifant le 
petit axe = c , l'on aura a : c : : c : b ; donc ce - ab ; 
donc c = -]/ab ; donc fi A E — { \/ab , il faudra 
que la ligne A E par l'extrémité de laquelle paf- 
fera l'afymptote C E , foit égale à la moitié du pe* 
tit axe de l'hyperbole donnée. 



d es Infini ment Petits. 297 

NOTE X. 

T i'o n fuppofe dans l'article 1 4 , pag. 1 9 une 
courbe quelconque A M, (Fig. 6. PI. 1.) dont 
l'équation ibity — x 3 = axy ; l'on apprend dans 
cet article à tirer à cette courbe des tangentes fi- 
nies & infinies, les réponfesaux queftionsluivantes 
le mettront à la portée de tout le monde. 

Première Quejlion. Comment a-t-on trouvé 

yix 5j 3 — axy 

"~èy~ $xx H- ay' 

Réponfe. La différence de l'équation donnée 
étant ^yydy — ^xxdx = axdy ■+- aydx , l'on aura 
$yydy — ■ axdy = ^xxdx ■+■ aydx i donc dx 

— \nJL — ffLZ, Mettons cette nouvelle valeur 

$xx -+• ay 

de dx dans l'équation P T = ^r- > nous aurons PT 

_ 3y l dy — axydy __ $yî — axy 

Seconde Quejlion. Comment a-t-on trouvé AT 

a *y , 

^jf jc -t- ay " 

KeWe. AT^PT — AP ^* -'*•? -- x 

* 3*jf H- ay 

£y ? — a«y — J^atx — axy Jy 5 — jx' — o.axy 

%xx -t- ay %xx -+■ ay 

Mais 3_y ? — ^x 3 = 3«xj' , puifque par hypothéfe 

, , j 1. 3y l — ?* ? — 2ax y 
y — x 3 = axy : donc 1 on aura — - 

* %xx -t- ay 

laxv — 2axy axy . T T7 ,\ 

t= - — = - = ^ — — AT. Voila pour 

%xx -+- ay ^jfAr -1- ay l 

les tangentes finies. 



i 

298 Commentaire 

Troifteme Que/lion. En faifant t = ^ , ^ 

comment a-t-on trouvé 7 = — ? 

Rêponfe. Le calcul fuivant le fera toucher au 
doigt, t =± — ^ — ; donc ztxx -+- aty = «xj> ; 

donc 3?xx =axy - aty ; donc^ = ax _ ^ Mais en 

fuppofant x infini , l'on a ax — at = ax ( iVofe 2 , 
raw. 4 ) ; donc dans cette hypothéfe l'on aura y 
ytxx %tx 



ax • a. 



Quatrième Quejlion. Comment a-t-on trouve 

ixêponfe. On l'a trouvé par le calcul fuivant. Par 
hypothéfe l'on a/ — x 3 = «xj. Mais^ = — , 

donc l'on aura 2 -^- - . x> = ^ i donc 
s7'***-.«**» xx . donc ijM-Mzztftxxi 

a. 1 ' 

donc 2 7 * 3 x 3 — 3« 3 ?xx == « ? x 3 . Mais à caufe de l'in- 
fini du troifieme ordre x 3 ,l'on aura 2jt 3 x> - $ahxx 
= 27? 3 x 3 ( Noïe 2. waw. 4- ) ; donc 277V = «'x'i 
donc 3?x = ax , parce que les deux racines cubiques 
de deux cubes égaux font égales ; donc 3* ^ a ; 
donc »'=* = j* i donc le point d'où doit partir 
l'afymptote CE eft trouvé , puifque AC doit être 
le tiers de la ligne donnée a. 



des Infiniment Petits. 299 
Cinquième Quefiion. Comment a-t-on trouvé 

Réponfe. Au point où l'afymptote CE , (F/g. 
6. P/. 1 ) , touchera la courbe. Imaginez , comme 
dans la Note précédente , num. 6 , un triangle in- 
finiment petit M Km dont les deux côtés dx & dy 
feront en proportion avec les deux côtés AT & 

AS du triangle TAS. Mais AT^^ — x 

__ y x — x y ^ Qnc p on urra ^ ire dx : dy: : 

d y 

y rf *7^:ASidoncASx^= y -^=g^; 

dy a J 

1 j a c y dx — x ^y 

donc ASxdx = ydx — - xdy ; donc AS = ^ — 

xiy 

Sixième Quejîion. Comment a-t-on trouvé AS 

axy , 



«X 



Réponfe. i°. L'on a trouvé (quefl. 1. de cette 
note ) 3;^ — axdy — $xxdx -+- aydx ; donc dy 

_ qxxdx ~+- <zyix 
2yy — ax 

2°. A S =y — ^-(quefiion précédente) donc 

x , re 2XarJx •+ aydx 

^y^tfjç — ajfytkr _ _ _ 3*> — aJf y 



jo© Commentaire 

Jy* — axy — ^x^> — axy £y 5 — ?x * — 2a xy 

$yy — ax 2yy — ax 

3°. Par hypothéfe , y J — x' = axy » donc ty* 
■ — 3x } = 3/3xi/; donc fi AS = ^ — - ?* - 3**y 

' ' •" jyy — <we 

t , M c S^V — 2axy axy , 

1 on aura A S = - — *- = z — ; donc 

3yy — ax 3yy — ax 

en faifant A S = s , l'on aura s = — ^- — . 

Septième Quejlion. Comment a-t-on trouvé s 

= fai> 



Rêponfe. i°. s = — ; donc zsyy 



tf.fX 



9yy.-r«x 

é= axy ; donc axy + asx — yyy^ donc x = - ■ • 
2°. En fuppofant_y infini , l'on aura ay+as = ay 
( Note 2. »«ra. 4. ) donc x — ^^ = i-=^. 

.. . ' ay a 

3 . L'équation à la courbe en queftion efty 

1 — x 5 r <2Xy ? donc elle fera y ' s y = yyy ; 

donc a % y % — 27^' — = ^aïsyy ; donc a l y % = 27^ 
■+■ ^a 3 syy. Mais à côté de l'infini du troifieme ordre 
y } , le terme ^a?syy devient nul {Note 2. num. 4); 
donc l'on aura 27 s* y* = a^y 1 ; donc l'on aura par 
l'extraction de la racine cubique , yy=zay ,* donc 

3/ = — ; donc 2,s = a; donc J = -} donc s = i a ; 

donc lorfque AS devient AE, l'on aura AE = \a\ 
donc en prenant les lignes A C , AE égales cha- 
cune au tiers de la ligne donnée a , & en menant 
par les points C & E la ligne indéfinie C E , l'on 
aura l'al'ymptote de la courbe A M. 



DES ÏNFI NIMENT PETITS. 3OI 

Remarque. Ceft ainfi qu'il faut lire les autres 
propofuions de ce Livre , fi l'on veut enfaifir toute 
la beauté Se toute l'utilité. Dans les Notes fuivan- 
tes nous nous occuperons moins à faire des cal- 
culs , qu'à donner une idée nette de certaines 
courbes dont M. le Marquis de l'Hôpital fuppofe 
que fon Le&eur a une connoiflance parfaite. Ces 
courbes font la cycloide , la fpirale, la conchoide, 
la cifloide , la logarithmique , &c , & c. Par là 
nous rendrons un véritable fervice aux Commen- 
çans qui ne feauroient trop s'exercer à trouver s 
fans le fecours d'autrui , la marche que notre in- 
comparable Auteur a fuivie , pour arriver à telle 
ou telle équation. 

NOTE XL 
A v a n t que de lire l'article 1 5 , pag. 2 1 , il eft 
néceflaire de fe former une idée nette de la Cycloi- 
de que l'on appelle quelquefois Roulete, & quel- 
quefois Irochoiàe. Ceft une courbe produite par 
une entière révolution d'un globe ou d'un cercle 
fur une ligne droite. Imaginez- vous donc un cer- 
cle qui roule fur une ligne droite , par exemple , 
fur une ligne horizontale. Lorfque tous les points 
de fa circonférence fe feront ex«&ement applique 
fur cette ligne , il aura décrit une courbe à laquelle 
on a donné le nom de Cycloide. Le P. Merfenne 
s'eft apperçu le premier que le clou de l'une des 
roues d'une charéte décrivoit dans l'air une Cy- 
cloide , parce qu'il étoit animé de deux mouve- 
ments fimultanés , l'un en avant en ligne droite 3 



302 Commentaire 

l'autre circulaire autour de l'effieu de la roue. 
Cette découverte fut faite en 1615- La Figure y 
de la Planche 1 repréfente une demi-cycloide. Sa 
demi-circonférence CM A a été produite par la 
révolution de la demi- circonférence circulaire 
A PB fur la ligne CB. Cette ligne CB , néceffai- 
rement égale à la demi-circonférence APB , s'ap- 
pelle la bafe de la demi-cycloide CM A. Elle a 
pour axe le diamètre AB du cercle générateur , 
c'eft-à-dire, du cercle par la révolution duquel 
elle a été produite • pour fommet , le point A ; 
& pour tangente au point M , la ligne MT pa- 
rallèle à la corde AP. Il eft démontré que le con- 
tour de la cycloide eft quadruple du diamètre de 
fon cercle générateur ; l'on a donc la courbe 
C M A double du diamètre A B. Il eft encore 
démontré que ft d'un point quelconque M de 
la cycloide C M A , on mené une ligne quelcon- 
que MPQ. parallèle à la bafe CB , & qui coupe 
en un point quelconque P le cercle générateur 
APB décrit fur l'axe A B , il eft démontré , 
dis-je , que l'arc de cercle A P qui dans cette oc- 
canon prend le nom de coupée , eft égal à la 
droite MP que l'on regarde comme Y appliquée 
correfpondante de la coupée dont nous venons de 
parler. Il eft enfin démontré que la corde A P 
de la coupée A P eft parallèle à la ligne M T 
tangente au point M de la cycloide CM A , & 
que cette même ligne MT a pour foutangente 
la ligne PT tangente du cercle au point P. 
Toutes ces vérités font démontrées dans tous 



des Infiniment Petits 305 



5 V 



les Traités complets de Méchanique , & nom- 
mément dans celui de M. l'Abbé de la Caille , 
fag. 1 80. art. 515e" fuiv. Rien donc n'eft plus 
facile que de trouver l'équation à la cycîoide. 
Nommons pour cela x la coupée AP , y l'appli- 
quée MP, b la bafe. CB, & a la demi - cir- 
conférence A P B ; nous aurons x : y : : a : b , 
parce que x =y , & a = &; donc bx z=zay ; donc 

x == -Z- ; & c'eft là l'équation à la cycîoide fim- 

ple, dont il eft queftion dans cette féconde pro- 
position ; & en général dans toute cycîoide la 
circonférence du cercle générateur eft à la bafe , 
comme la coupée eft à l'appliquée. 

NOTE XII. 

(Quoiqu'il ne s'agifTe dans les articles 17 & 
1 8 , pag. 22 que de la cycîoide fimple , il eft bon 
cependant de fçavoirce qu'il faut entendre par cy- 
cîoide allongée , & par cycîoide accourcie. Dans la 
première la bafe eft plus longue , & dans la fécon- 
de elle eft plus courte que la circonférence du cer- 
cle générateur. Voyez-en la formation phyfique 
dans i'endroit de la Méchanique de M. l'Abbé de 
la Caille que nous avons indiqué dans la Note 
précédente. Ce qu'il faut remarquer ici avec at- 
tention , c'eft que dans la cycîoide fimple Ton a 
néceflairement MP = PT , ( Fig. 7, PI. 1 ) , parce 

queMP=rj<, &que PT ==j^ devient = y 

dans cette courbe , à caufe de# = b. M. le Mar- 



504 Commentaire 

quis de l'Hôpital a donc raifon de dire ( art. 1 8 ) 
que dans la cycloide fimple le triangle MPT efU 
ifofcéle. Il a encore raifon de dire que l'angle 
APQ., eft mefuré par la moitié de l'arc AP, 
parce que fi le cercle APB étoit fini , l'angle 
APQjnfifteroit fur un arc de cercle égala l'arc AP. 



NOTE XIII. 

[/article 21, page 25 préfente deux dif* 

ficultés. L'on dit i°. que puifque PT eft -^ , il 



— m -+- n 



r era mst "*" nst y a . Cette valeur ne coûtera prêt 



mt: 



que rien à trouver , fi l'on prend garde que l'équa 

~ 'dx-nsfx™ — '" 

t 

mt-l-nty*-*-" 'dy 



mt?x m ->dx-ns l °x*— i dx 

tion m + ny ay=. 



donne naturellement dx=- 



j i 



L'on fera entrer cette valeur de dx dans —j— , & 

l'on trouvera à l'inftant ce que l'on cherche. 

La féconde difficulté que préfente l'article 2 1 
eft beaucoup plus confidérable. M. le Marquis de 
l'Hôpital y avance que fi les courbes AQC, BCN", 
(F/g. 8 , PL 1 ), devenoient des ligries droites, 
la courbe MC, feroit alors une des Sections co- 
niques à l'infini. M. Vangnon a rendu cette re- 
marque fenfible par les Figures 163 & 164 de la 
PI. 8. fur lesquelles il faut continuellement avoir 
les yeux. Soit , dit il , un triangle quelconque rec- 
tiligne ECF , dont C ibit le fommet, EF la bafe, 



& 



D ES 1 NF I N I M E N T P E T I T S. 305 

& CE , FC les deux côtés , lefquels repréfentent 
les deux courbes A Q.C , BCN dont ils étoient 
auparavant les tangentes- Des points N d'un des 
côtés C F , pris & prolongé à diicrétion , , oient 
autant de NP parallèles à CD , lefquedes ren- 
contrent la bafe EFen P, &. l'autre côté en Q.. 
Soit pris enluite fur ces N P un point M , tel que 

- m — m . n n 

l'on ait partout P Q. : P M : : PM : P N , je dis 
que la courbe MMC fera une des fections coni- 
ques à l'infini. Il n'eft pas néceffaire de faire re- 
marquer que m Se n reprélentent des expofants 
quelconques. 

Dém. A caufe des parallèles P N , C D , l'on 
auraPQ: CD:: EP : E D , & P N : C D : : PF 

m m m m n 

:DF;doncPQ : CD :: EP : ED , &PN : 



C D : : P F : D F ; donc , en multipliant par or- 
dre, l'on aura PQ, X PN : CD ::EP x 
PF* : ËlTx DF n . Mais , par hypothêfe , P Ci : 
PM*: : PM": P~n\ donc PO."" X P n" = 
P M ; donc la cinquième des proportions pré- 
cédentes fe changera en celle-ci , P M 



CD ::EP x PF :ED xDF . 

Suppofons maintenant m =rz 1 , & n = 1 , l'on 
aura PM 1 : CD 1 : : EPxPK : EDxDF , c'eft-, 
à-dire , le quarré de l'ordonnée P M : au quarré 
de 1 ordonnée CD : : le rectangle lous les ablcil- 
fes qui correfpondent à l'ordonnée P M : au reo 

V 



%c6 Commentaire 

tangle qui correfpondent à l'ordonnée CD; ce 

qui eft. le lieu à l'ellipfe Se à l'hyperbole ordinaires 

{Note 5,wa»7. g & i6)i donoPM™ ": CD™ 

m _ n m ■ n 

: : E P x P F : ED X D F eft le lieu à l'el- 
lipfe & à l'hyperbole de quelque genre qu'elles 
ioient; donc fi les courbes AQ.C, BCN, F/g. 
8. PI. i. deviennent des lignes droites , la courbe 
JVÏC fera alors une des ferions coniques à l'infini, 
fçavoir une eliipfe , lorfque l'appliquée C D , qui 
part du point de rencontre C , tombe entre les 
extrémités A , B , & une hyperbole , lorfqu'elle 
tombe de part ou d'autre. 

Enfin , M. le Marquis de l'Hôpital aflure que fi 
les courbes A Q,C , BCN deviennent des lignes 
droites , & que l'une des deux , par exemple , 
A Q.C ibit parallèle au diamètre A B , la courbe 
MC iera une parabole , parce que dans cette 
courbe les diamètres font parallèles à l'axe , & 
que la courbe A QC transformée en ligne droite , 
deviendra diamètre de la courbe MC qui aura 
AB pour axe. 



NOTE XIV. 

1_jA Propofition 5 , pag. 26 fuppofe la connoif- 
fance de la fpirale d'Archiméde dont voici la 
conftrudlion & l'équation. Divifez la circonférence 
ABCD, Fig. 165. PI. 8, en un certain nombre de 
parties égales , par exemple , en 4. Faites-en de 
même pour fon rayon # A. Imaginez- vous enfuite 
que le rayon ah parcourt en 4 infîants égaux la 



des Infiniment Petits. 307- 
circonférence A B C D , tandis que dans le même 
tems le centrer monte de a en A. Il eft évident 
que par ce double mouvement ce centre décrira 
la première fpirale a , b , c , d , A. La féconde 
AghiF fera décrite de la même manière. Le cen- 
tre a devra monter jufqu'au point F, tandis que 
le rayon a F parcoura la circonférence F G H I. 

Pour avoir l'équation à la première fpirale , 
nommons b la circonférence ABCD, a fon ra- 
yon a A , & fuppofons que le rayon a A parcoure 
l'arc AG , tandis que le centre a parcourt aN = ac. 
Dans cette iuppofition nous aurons l'arc ACpour 
abiciffe, 8c ac pour fon appliquée correipondante. 
Si 1 on appelle cette abfcifle x , & fon appliquée 
correfpondante ;' ■-, l'on dira la circonférence 
ABCD parcourue en 4 inftants égaux : au rayon 
a A parcouru dans ce même tems : : rabfuffe AG 
parcourue , par exemple , en 2 inftants : à l'appli- 
quée #N = ac parcourue auffi dans 2 inftants , 
c'eft-à-dire , &.: a : : x :y l donc by = ax 3 donc 

y •— — , Se c'eft là l'équation à la fpirale d'Ar- 

chiméde. Deicartes prétend dans le livre 2 de fa 
Géométrie que cette courbe n'eft qu^ mécanique. 
Voyez la diicuffion de ce point de Pv'lathémauque 
dans ia vie littéraire de ce grand Homme , pag. 
301 & fuivantes \ elle forme le premier volume de 
notre Traité de paix entre Defcanes & Newton , 
3 vol. in- 12 imprimé à Avignon chez la Veuve 
Girard en l'année 1763. 

V 2 



308 Commentaire 

NOTE XV. 

\_i A Proportion 6, pag. 2 8fuppofela connoif- 
fance de la conchoide de Nicoméde ; aulîi allons 
nous en faire la defcription , & afïîgner eniuite 
l'équation de cette courbe, imaginez-vous donc 
les lignes droites indéfinies AP, CBr , F/g. 166. 
Pi. 8 , qui fe coupent à angles droits au point B. 
Sur la première vous déterminerez A B & B P ; 
Se après avoir pris le point P pour point fixe , vous 
ferez tourner autour de cette elpéce de pôle la 
ligne B A , de telle forte qu'elle pane toujours fur 
la direëlrice CBr. Dans toutes les pofitions que 
AP aura vis-à-vis CBr, vous couperez au deiïus Se 
au defîbus deCBc les lignes CD, Cd , cD, cd 
égales à B A. La courbe qui joindra les points 
D , D fera la conchoide fupérieure ; & celle qui 
joindra les points d , d fera la conchoide inférieu- 
re. Si l'on nomme B A , a ; PD , y ; PC , x ,• l'on aura 
néceffairement PD — P C = D C , donc P D - P C 
t= B A , donc;; — x = «; & c'eft-là l'équation 
à la conchoide de Nicoméde. 



NOTE XVI. 
JL/article 26, page 30 peut abfolument fe 
parler de commentaire. Si cependant l'on fe trou- 
voit arrêté fur la fin de cet article , l'on pourrait ! 
confulter , non pas le livre 3 , mais la feftion 4 
de la partie 1 du livre 2 de la Géométrie de Def- j 
cartes commentée par le P. Rabuel Jéfuite , & im- j 



DES I NFIN I M EN T P E T I T S. 309 

primée en un vol. in-4. . en 1750 à Lyon chez 
Duplain. Au refte la Paraboloide donc parle M. le 
Marquis de l'Hôpital , n'eft pas le lolide que les 
Géomètres appellent conoide paraboloide , c'eft une 
ligne courbe du troifieme degré formée par Tin- 
terieclion continuelle d'une ligne droite & d'une 
parabole ordinaire. Voye\ Defcartes & [on Com- 
mentateur a l'endroit cité. 



NOTE X V IL 

Pour comprendre fans peine la propofition 8 , 
pag. 3 1 , il faut fe former auparavant une idée de 
la ciifoide de Dioclés repréientée par la figure 14 
de la planche 1. En voicUa formation. L'on me 
donne le demi-cercle B AY avec la tangente infi- 
nie Bb. Du point F , je tire jufqu'à la tangente B& 
prolongée à volonté , les lignes ¥b, FA que je 
continue mentalement jufqu'en V,FR que je 
continue mentalement jufqu'en r &c. Parmi les 
lignes tirées du point F à la tangente Bb , je fais 
enforte qu'il y en ait une, comme F A , qui pane 
par le milieu A de la demi-circonférence BAF, 
Sur la ligne ¥b , je prens F M = fcN. Sur la ligne 
FA prolongée mentalement jufqu'en V , je prens 
FA ~ AV. Sur la ligne FR prolongée mentale- 
ment jufqu'en r , je prens Fr = Rr ; la courbe qui 
palTera par les points F , M , A , t fera la ciflbide de 
Dioclés. Dans cette courbe l'on a F M =&N , & 
ar conféquent Vb = F N -t- F M. L'on a encore 
?—?b 9 Se par conféquent F& = 2F P. Mais 

v i 



l 



%iq Commentaire 

Fi=FN-*-FM, donc FN-+-FM = aFP. 
Nommons donc avec M. de 1 Hôpital F ¥\y , 
FN^,FPx,l'on aura y ■+■ % == 2X ; & c'eft-là 
l'équation à la ciffoide. 

NOTE XV I II. 

I j a connoiflance de la quadratrice de Dinoftra- 
te eft néceflaire pour l'intelligence parfaite de la 
Proportion 9 e . pag. 34. Pour en laifir facilement 
la formation, imaginez-vous que tandis que le 
Tayon AF, Fig. 17. PL 1, parcourt par un 
mouvement uniforme le quart de cercle A B , la 
tangente A H va parallèlement à elle-même le 
long du même rayon A F , de telle forte que lorf- 
que le rayon A F le trouve avoir parcouru le 
quart , la moitié , les trois quarts de la circonfé- 
rence À B , la tangente A H a parcouru le quart, 
la moitié , les trois quarts du rayon A F ; la 
courbe A M G qui pafleia par tous les points 
d'inttr ferions du rayon A F & de la tangente 
AH, s'appelle quadratrice. Dinoftrate ion inven- 
teur s'en iervit pour trouver la quadrature appro- 
chée du cercle, xour avoir l'équation à cette cour* 
be , nommons b le quart de cercle A B , a le ra- 
yon A F , y une partie quelconque de la circon- 
férence A B parcourue par le rayon A F , x une 
partie quelconque du rayon A F parcourue par 
la tangente A H , nous aurons par conftruStion b : 

a : :y'X% donc ay=zhx t àonçy = — , équa- 

pon a la quadratrice, 



des Infiniment Petits. 31 r 



NOTE XIX. 

JL' article 31 , pag. 36 a befoin de deux 
éclairciffements; on les trouvera dans les répon- 
fes aux queftions fuivantes. 

One/lion 1 . En mettant pour x fa valeur ^ , 8c 

en divifant enfuite le tout par b —y ; comment 

, bss — yss _ bss 

a-t-on trouve *— — — ? 

aa — ax aa 

Réponfe. i°. En iuppofant x = y , l'on aura 

aay aab — aay 

aa — ax =.aa j- — ~ b 

aab — aay , bss — yss r 

2 o. aa ax = : — - i donc ^— fera 

.., aab — aay 

égal à bss —yss divile par • 

... aab — aay ■> i . 

5 o. i ss —y SS divifé par ~ b — - donne evi- 

bbss — byss 
demment — -, — — ■ 

aab — aay ( 

40. Divifez par b — y le numérateur & le déno- 
minateur de cette dernière fradion , vous aurez 

bss 

Seconde Quefiion. En fuppofant F T = — , 
comment peut-on prouver que FT eft troifieme 
proportionnelle à FG =— ,&arM=J? 

V 4 



3i2 Commentaire 

Réponfe. La troifieme proportionnelle aux quan- 

. , a a B n bss . r a a bss , 

tites -r- oc s eit — , puilque — : s :: s : — ; donc 

b a. a L x b a a 

&C. 



NOTE XX. 

es remarques fuivantes ne feront pas inutiles 
pour l'intelligence de l'article 32 , pag. 37. 

i°. On peut regarder wR, F;g. 18.P/. 2, com- 
me parallèle à M F , parce que l'angle MFR eft 
eft fuppofé infiniment petit , & par conféquent 
fenfiblement nul. Par la même raiion les lignes 
wS & m O peuvent être regardées comme pa- 
rallèles , l'une à M G & l'autre à M H. 

2 . Le centre commun de gravité des poids 
appliqués en C, D , E , que j'appellerai les poids 
C, D , E , eft le point autour duquel ces poids 
étant fulpendus comme autour du point fixe d'un 
levier quelconque , refteroient dans un parfait 
équilibre. 

3°. Four trouver le centre commun de gravité 
des poids C , D , E , je cherche d'abord celui 
de? poids D & E par la règle fuivante ; la fomme 
des poids D & E : à la longueur de la ligne qui 
marque la diftance de leurs centres : : le poids D 
: à la diftance du poids E au centre commun de 
gravité que je cherche , & que je nomme x. Cette 
première opération faite , je raflemble mentale- 
ment es poids D & E à leur centre commun de 
gravité x } & pour trouver le centre commun de 



des Infiniment Petits. 315 
gravité des trois corps donnés , je dis, la Comme 
des poids C , D , E : à la longueur de la ligne 
qui marque la diftance du point x au centre du 
poids C : : le poids C : à la diftance du point x au 
centre commun de gravité des poids C, D , E. Ce 
centre fe trouvera dans la ligne M P à laquelle 
font perpendiculaires les lignes CL, KD , 1E; 
& comme la tangente au point M eft parallèle aux 
lignes CL , KD , IE , il s'enfuit que MP eft per- 
pendiculaire à la tangente au point M ; donc la 
perpendiculaire que l'on cherche pour la folution 
du problême propofé , eft celle qui patte par le 
centre commun de gravité des poids C , D , E. 

NOTE XXI. 
D e s lignes a , b dont il eft parlé fur la fin de 
l'article 34 , pag. 44 , l'une b eft tirée d'un point 
quelconque de la courbe perpendiculairement à la 
directrice , l'autre a eft tirée du même point au 
foyer. Or il eft évident que dans la parabole a eft 
égal à b , que dans l'ellipfe a eft moindre , ôc que 
dans l'hyperbole a eft plus grand que b. 



NOTE X X II 
M. le Marquis de l'Hôpital aflure à la fin de 
Y article 36 , page 45 , que M R , Fig. 25. Pi. 2 , 
eft égal à pP-MQ^QS-PM Pour , e faire 

toucher au doigt, il auroit dû tirer la ligne O V, 
parallèle à Q.P ; il a été absolument néceftaire 3 



514 Commentaire 

pour nous rendre intelligible, d'ajouter cette ligne 
OV à la figure 25. Cela une fois fait, voici com- 
ment je railonne. 

i°. A caufe des triangles femblables OVS , 
OLR, Ion a OV : OL :: VS:LR; l'on a 
donc PQ, : PM : : VS : LR. Mais VS t= QS - QV 
— QS — OP,doncPQ: PM : : QS — OP : LR i 
, , n PM x os — 6? 
donc LR = 7775 * 

2°. MR = LR + OPi donc M R =1 
PM xqs — op + PQxOF 
PQ 

3°. PQ-PM + M Q. ; d onc M R = 
PMxqs-.>vh-£Pxpmh-mq . donc ron 

aura , en ôtant les quantités qui fe détruifent 

MR = PMxQSh-OPxMQ n , v, 
r^yr — . Prenez garde a la 

faute qui fe trouve à la page 46 ; elle eft marquée 
dans ['errata. 

NOTE XX 111. 

1 our mettre à la portée de tout le monde 
Y article ^9 , pag. 48 , il eft néceffaire de faire 
connoître la logarithmique repréfentée par la 
Figure 80 de la Planche 5. C'eft une courbe dont 
les abfciffes font les logarithmes des ordonnées , 
c'eft- à- dire , c'eft une courbe dont les abfciffes 
fuivent la proportion arithmétique , & les or- 
données la proportion géométrique. En voici la 
defcription. Sur la ligne KQ. qu'on pourra pro- 
long er à volonté , élevez les deux perpendiculai- 



des Infiniment Petits. 315 
res PM , fn. Coupez ?f en deux parties égales 
au point p. Elevez à ce point la perpendiculaire 
pm qui loit moyenne proportionnelle aux lignes 
PM ôcfn. Prenez fg—pf Elevez au point g la 
perpendiculaire go qui (bit troiiieme proportion- 
nelle aux lignes pm , fn ; la courbe que vous 
tirerez par les points M , m , n , fera une por- 
tion de la logarithmique. En effet , tandis que les 
ordonnées PM , pm , fn , go gardent la propor- 
tion géométrique continue , les abfciffes correl- 
pondantes ?p , P/\ Pg gardent la proportion 
arithmétique continue ; donc ?p peut être re- 
gardé comme le logarithme de pm ; ?f comme le 
logarithme de fn ; ?g comme le logarithme de 
go , &c. Dans cette courbe , il eft vrai , la ligne 
PM n'a point de logarithme ; mais dans le fait 
elle ne doit en avoir aucun , puifqu'elle eft prife 
pour l'unité , & que le logarithme de Y unité eft 0. 
Ce quil faut bien remarquer , c'eft que dans 
toute logarithmique les foutangentes font égales, 
par exemple , les foutangentes pb , fe , &c. iont 
égales. Cela vient de ce que ?p , pf, &c. font 
des quantités égales entr'elles, de même que Mm , 
mn , &c. Voilà pourquoi M. le Marquis de l'Hô- 
pital annonce que lorfque la foutangente de- 
meurera par tout la même , la courbe L M , 
(F/g. 26. PL 2.) fera logarithmique. 

NOTE XXIV. 
Ç O MME l'article 40 , page 49 fera appliqué à 
là logarithmique fpirale , il eft néceflaire de don- 



3 r 6 Commentaire 

ner ici la deicription de cette courbe. Divifez le 
quart de cercle BGD, (F/g. 87. PI. 5.) en un 
nombre quelconque de parties égales Bb, bG , 
Gg , gD. Sur les rayons Ob , OG , Og , prenez 
les parties ON, O», Or en proportion continue; 
les points N , n , r appartiendront à la loga- 
rithmique [pirate- Cette courbe a pour appliquées 
les lignes ON.Oh, Or, ou fi l'on veut , b N , 
Gn , gr qui font en proportion géométrique con- 
tinue , & pour abfcifîes correfpondantes les arcs 
~Bb , BG , Bg qui lont en proportion arithméti- 
que continue. Auffi peut-on regarder celles-ci 
comme les logarithmes de celles-là. 

C'eft dans l'article 42 que le fait l'application 
de l'artitle 40 à la logarithmique fpirale. L'on y 
iuppofe que la courbe F Q ( Fig. 27. PL 2. ) eft 
une hyperbole dont AB eft l'une des affymptotes. 
Nous avons déjà fait remarquer dans la Note 5. 
rrnm. 20. que AGxGQ eft un redtangle égal à un 
quarté confiant que M. de l'Hôpital nomme ici 

ff 

ff; donc uy — ff; donc GQ (a ) = —; donc, 

en luppofant le point G au point A , l'on aura 

ff 
GQ.= — = 00 y auffi GQ.de vient-elle alors fé- 
conde afTymptote de l'hyperbole FQ. L'efpace 
FEGQ eft donc regardé comme infini à caufe de 
fon côté infini GQ.. 

Lorlque A G devient = , l'on a A M (^) 
= ; donc uy = ff, devient /"/"= 3 & par la 

même AT (J-^ ) devient — = ; donc lorfque 



ce ' ce 



des Infiniment Petit s. 317 
le point M de la courbe ML eft arrivé au centre 
du cercle BN , c'eft- à-dire , lorfque A M — o , 
l'on a AT =■= 0. D'où l'on voit que la raifon 
de AM à AT eft confiante ; ce qui eft une pro- 
priété de la logarithmique fpirale. Tout ceci 
s'éclaircira encore plus par la lefture de l'article 
9 1 , pag 1 27 , où l'on verra que AM : AT : : AG 
: CM , (Fig. 8 1. VI. 5. ) Nous remarquerons en 
finiflant cette Note , que l'on donne quelquefois 
le nom d'axe à la ligne des abfciffes ; ce n'eft 
qu'en ce fens que Ton peut regarder l'affymptote 
AB ( Fig. 27. PL 2.) comme axe de l'hyper- 
bole f a 



NOTE XXV. 
Comme la manière dont M. le Marquis de 
l'Hôpital tire dans la propofition 16 les tangen- 
tes des courbes AM, BN , CO , ( Fig. 32. PL 3.) 
n'a aucun rapport avec ce qu'il a dit dans toute 
fa féconde Se&ion fur la méthode de trouver par 
le calcul différentiel les tangentes de toutes for- 
tes de lignes courbes , nous ne donnerons aucun 
commentaire de cette propofition qui dans le 
fond nous paroit ici affez déplacée. Nous remar- 
querons cependant que c'eft par fon inertie que 
le poids A s'oppofe à la direction BF du poids B. 
Nous remarquerons encore que ce qu'on a dit du 
'poids A par rapport au poids B , doit fe dire des 
poids A & B par rapport au poid C ; car A eft 

fenfiblement égal à la fraâion - Bc • 



5 1 8 Commentaire 



NOTE XXVI. 

a régie générale dont on fe fert , lorfqu'on 
veut trouver le maximum ou le minimum d'une 
courbe, eft celle-ci : Dans le point où la quan- . 
tité ejî devenue la plus grande , fon accroiffement 
efl devenu nul , & dans le point ou elle ejî devenue 
la plus petite , fon décroiffement ejî aufji devenu 
nul. D'où il fuit qu'ayant différent ié l'équation qui 
exprime la quantité dont il s'agit , au qui convient 
a la courbe dont il s" agit , il faut faire = o la dif- 
férentielle de la variable qui va en croiffant 3 puis 
en dccroiffant ; ou en décroisant , puis en croiffant • 
& l'équation différenciée pouvant être réduite par 
c'e moyen a des terme finis , elle exprimera le 
maximum , ou le minimum qu'on cherche. 

Pour trouver , par exemple , la plus grande 
ordonnée au grand axe A B de l'ellipfe A D B 
( Fig. 30. PL 2. ) nommons 2a, le grand axe AB ; 
zb , le petit axe , & par conféquent b , le demi- 
petit axe DE ; nommonsj/ , une ordonnée quel- 
conque au grand axe ; & x , fon abfcifîe corref- 
pondante. Cela fuppofé , voici comment je rai- 
lonne. 

i°. L'équation à l'ellipfe eft aoyy = zabbx — 
bbxx {Note 5. num. 10). 

2 . Cette équation dilFérentiée devient laayày 
—z iabbdx — ibbxdx. 

3 . Comme l'ordonnée qu'on cherche , eft fup- 
poîee arrivée à fon maximum , elle aura à ce point 
la différentielle dy = , donc iaay y s dy =. 2aay 



D E S I N F IN I M E N T P E T I T S. 3 1 9 

X0j donc 2aaydy = • donc iabbdx — ibbxdx 
= <?,* donc labbdx = zbbxdx ? * donc , en divilant 
tout par 2iW,v , l'on aura a ==x$ donc iorfque 
dans l'ellipie l'abfcifle x devient a , l'ordonnée 
correfpondante y eft arrivée à fon maximum ; 
donc Iorfque dans l'ellipie l'abfciffe devient la moi- 
tié du grand axe , l'ordonnée correfpondante eft 
arrivée à fon maximum. Mais le demi-petit axe 
DE a pour abfcifle correfpondante AE , moitié 
du grand axe AB ; donc dans une ellipfe quel- 
conque la moitié du petit axe eft la plus grande 
ordonnée à Taxe principal. 

Voilà comment il faut opérer , lorfqu'on veut 
trouver le maximum ou le minimum d'une courbe 
quelconque dont l'équation eft donnée. Voici 
ce que veut dire M. le Marquis de l'Hôpital , lors- 
qu'il affure qu'il y a des occafions où une quan- 
tité ne peut pas devenir de pofitive négative , 
fans parler par l'infini. Toutes les tangentes TM , 
par exemple , tirées jufqu'au point D exclufiye- 
ment ( Fig. 30. PL 2.) ont des foutangentes TP 
qui vont toujours en augmentant jufqu'au point 
E , & qui jufqu'à ce point font regardées comme 
des quantités pofitives. Au point D la tangente 
TM devient infinie, & fa foutangente TP qui 
lui eft parallèle, fuit néceflairement le même fort. 
Après le point D , les tangentes TM & les fou- 
tangentes T P vont toujours en diminuant , & 
celles-ci font regardées comme des quantités né- 
gatives , puifqu'elles changent de côté ; donc il y 
a des occafions où une quantité finie ne peut pas 



320 Commentaire 

devenir de pofitive négative , fans pafler par l'in- 
fini. Ce que nous avons dit de la figure 30 par 
rapport au maximum DE , fe vérifie dans la fi- 
gure 3 1 par rapport au minimum D E. 

Il y a des occafions où la tangente fe confond 
avec l'ordonnée, c'eft- à-dire , où la tangente de- 
vient la pro'ongation de l'ordonnée , comme au 
point D de la figure 33 de la planche 3 3 auquel 
il feroit impoffib'e de tirer une tangente , fans 
qu'elle ne fît une même ligne avec le minimum 
DE. Alors la différentielle Km devient infinie. 
Mais avant que de devenir infinie , elle avoit 
été pofitive, & après être devenue infinie, elle eft 
négative , parce qu'elle change de côté ; donc il 
y a des occafions où une quantité infiniment pe- 
tite ne peut pas devenir de pofitive négative, fans 
pafTer par l'infini. La figure 34 de la planche 3 , 
prête à un raifonnement lemblable ; tout le mon- 
de voit que la tangente au point D fe confondroit 
avec le maximum D E. Mais ce font là des railon- 
nemens qu'il ne faut pas pouffer trop loin , de 
peur de fe perdre dans une métaphyfique inin- 
telligible. Contentons-nous de differenrier l'équa- 
rion donnée ; de faire la différentielle = ; & fu- 
yons affiné que fi la courbe à laquelle appartient 
l'équation donnée , a un maximum ou un mini- 
mum y nous le trouverons par cette méthode. Je 
dis , fi la courbe dont il s'agit , a un maximum 
ou un minimum , parce que les courbes dont les 
appliquées croiffent jufqu'à l'infini , n'ont point 
de maximum , & celles dont les appliquées dé- 

croifîeat 



des Infiniment Petits. 321 
croifient jufqu'à 0, n'ont point de minimum. 

NOTE XXV IL 

Comme l'article 48 , pag. 5 9 , contient le pre- 
mier des 13 exemples auxquels M. le Marquis de 
l'Hôpital a appliqué la méthode de Maximis & 
Minimis , nous allons en donner le calcul , fans 
omettre la moindre des équations. Le voici ; iî 
n'a befoin d'aucune explication. 
x 3 4- y = axy 

3 xxdx •+- $yydy = aydx •+- axdy 

3 xxdx — aydx •=. axdy — tyydy 

$xxdx — aydx z=zaxXO — ^yyxo 

3 xxdx ■ — aydx = 

^xxdx = aydx 

3XX =zay 

ixx 

V => 

Mettons la nouvelle valeur de y dans 1'équatïorj 
x } -t-y y =z axy , nous aurons 



X 5 


■+■ 


l'-fX 6 

aï 


— 


%ax3 
a 


x' 


■+- 




— 


3 x' 


2.-]X 6 




. — 


2X J 



tfî 



27X 6 = 2« } X } 



5 x 

3* 



= 3^2 



?22 COMMENTAIR 



NOTE XXVlll. 

JL/ article 49 , pag. 60 a befoin du Com- 
mentaire fuivant. Pour trouver AE = « , il n'é- 
toit pas néceffaire de fe jetter dans l'infini ; il fal- 
Joit élever au cube les 2 membres de l'équation 
donnée, & opérer par la méthode ordinaire en la 
manière fuivante : 



y — a ■=! a* x a — x 3 



3 



y — a = \/a x ]/<!« — iax h- xx 
j' 3 — ^ayy -+- 3^?^ — a? =aX aa — xax -+■ xx- 
y J — ^ayy -+- ^aay — a 1 •=. a 1 — 2aax •+• axx 
En différenciant cette dernière équation , l'on aura 
Syydy — Saydy -}- ^aady ■==. — iaadx -+- 2axdx 
$yy X — 6ay X0-+- ^aaxo— - taadx + 2axdx 
= - — 2aadx -+- 2axdx 
2aadx== 2axdx 
adx = xfi/x 
a . — x 

NOTE XXIX. 

\ ' article 50, p<?g. 60 ne peut paroitre obf- 
cur , qu'à ceux qui ne connoitroient pas la nature, 
ou les propriétés de la roulette ; nous les avons ex- 
pliquées dans les notes 1 1 & 12. 



NOTE XXX. 

L'on comprendra l'article 5 1 , pag. 61 , fi l'on 
fait a tt>î; ntion aux remarques fui vantes. 



D E S I N FINI M E NT PETITS. 525 

i°. a — x"" ' multiplié par a — x donne évi- 
demment pour produit a — x" , parce que a-x* 
multiplié par a — -x , c'eft a — x a ~~ ' élevé d'un 
degré; donc a — x a divifé par a — x n ~ "' doit 
donner pour quotient a — x , parce que le pro- 
duit divifé par le multiplicande eft toujours égal 
au multiplicateur. 

2 . Par la même raifon x™ divifé par x" — ' doit 
donner pour quotient x , car x *° ' multiplié par x 
donne pour produit x m . 

3 . En fuppofant x infinie, l'on aura — — — =d 
* {Note 2. num. 4 ) ; donc en fuppofant x in- 



X 

XX 



finie, Tonaura>' = —, & par conféquent^ = x« 

NOTE XXXI. 

î ,' article 52, pag. 6 3 , eft terminé par une 
équation du fécond degré qui demande les éclair- 
cifTements fuivants. 

1 °. rxx — axx — Ixx = xxXc — a — 'b '-, donc 
en faifant c — a — b = e , l'on aura exx = cxx 
— axx — bxx ; & l'équation qui termine l'article 
5 2 fe changera en celle-ci exx -+- iacx ■==. abc. 

, lac abc 

i°. exx+ 2acx—abc. donc xx-\ x = — . 

3 . Cette dernière équation maniée à la manie- 

... , J / 'abc a ac 

re ordinaire, donnera x = $/ 1 — -• 

4 . Si c ~a •+• b , l'on aura c — a — b — o , & 

X 2. 



514 Commentaire 

par conféquent cxx — axx — bxx = ; donc l'é- 
quation qui termine l'article 52 deviendra 2acx 
= abc ; donc ix = b ; donc x = -b. 

NOTE XXXI I. 

V oici ce qui peut arrêter un commençant 
dans la lecture de l'article 5 3 , pag. 64. 

i°. Le cône que décrira le triangle rectangle 
A E F , F/g. 40. PL 3 , aura pour bafe le cercle 
dont le rayon fera l'ordonnée F E , & pour hau- 
teur ia ligne EA. De même le cône que décrira 
ïe triangle rectangle A P N , aura pour baie le cer- 
cle dont le rayon fera l'ordonnée N P , & pour 
hauteur la ligne A P. Voyez la formation du cône 
dans les élémens de Géométrie de M. PAbbé de la 
Caille, art. 658 de l'édition de 1764. 

2°. Par la propriété du cercle , l'on aura A E : 
E F : : E F : E B ; donc E F 1 == ax — xx ; donc 
E F ~=: yax — xx. 

3°. APzzEP+AE 1 ; donc AP=ax 
1 — xx •+- xx ; donc A¥ z = ax ; donc A F = ]/^. 

4 . La fraction qui termine l'article 5 3 ne peut 
pas être ==: , lans que l'on ait fon numérateur 
laxâx ■ — $xxàx === ; l'on aura donc alors zaxdx 
z=z $xxdx ; donc 2ax=$xxj donc 2a=^x; 
donc x n= | a. 

NOTE XXX 11 1. 

U n parallélépipède eft un folide terminé par 
iïx furfaces rectangles , dont les deux oppofées 
font égales ôc parallèles ,- & un cube eft un fo- 



des Infiniment Petits. 325 

lide terminé par fix quarrés égaux , qui font tous 

à angles droits l'un fur l'autre. Tout cube eft donc 

un parallélépipède , mais tout parallélépipède n'eft 

pas un cube. 11 s'agit maintenant de bien fe con- 

r 1A ? 1» al 1/"' 

vaincre que 11 x - y — , 1 on aura — = y 

en voici la démonftration. 



T 



**-T 



a". Le quarré de g eft ^ ; donc ^ 
«= -^ == ^ i donc fi le quarré de £ eft ^- , 



aïbb ~ b"* ^ *# ^ 



l'on aura £ = j/7 



NOTE X X XIV. 

Dans le triangle re&angle GIE, F/g. 41. 
P/, 3 fi l'on prend l'hypothénufe GE pour finus 
total , le côté G I deviendra le finus droit de l'an- 
gle GE I. Par la même raifon dans le triangle rec- 
tangle G L E , l'on ne peut pas prendre G E pour 
finus total , fans avoir GLpour finus droit de l'an- 
gle GEL, &defonfupplément GEC; ce (ont làles 
premiers éléments de la Trigonométrie rettiligne. 

NOTE XXXV. 
L'article 58, pag. 69 me paroit traité 
avec moins d'exactitude que les autres ; Se les 
preuves que j'ai à en apporter , ne font par mal- 
heur que trop démonftratives. 



326 Commentaire 

i°. L'angle FEG étant égal à l'angle CE G , 
F/g- 4 2 » P^- 1 '•> l es angles en G étant droits , 5c 
le côté GE étant commun aux deux triangles 
FGE & CGE; il faîloit faire ces deux trian- 
gles égaux en tout fens : c'eft là une inadvertance 
qui choque la vue d'un lecteur exact & attentif. 

2 . En fuppofant que l'angle FEG doive être 
égal à l'angle CEG , le problême eft très facile à 
réfoudre. Le point E que l'on cherche , fera celui 
par lequel pafîera le rayon du cercle AEB qui , 
après avoir été prolongé , ira couper perpendicu- 
lairement la ligne C F , c'eft-à-dire , la ligne qui 
joint les deux points donnés C , F. 11 ne fera pas 
donc néceflaire de chercher ce point par Tinter- 
(ection du cercle & de l'hyperbole. 

3 . La ligne OB = a , & la ligne OC = b 3 
ne font pas les données a & h dont on parle dans 
les articles 56 & 57. En effet i'angle FEG n'eft 
égal à l'angle CEG, que lorfque a-=b. Mais 
O B n'eft pas égal à OC dans l'article 5 8 , & ce- 
pendant dans cet article on fuppofe l'angle FEG 
égal à l'angle CEG ; donc &c. 

4 . Quoiqu'il me paroifTe fort inutile de réfou- 
dre le problème de l'article 5 8 par l'interfection 
du cercle & de l'hyperbole , nous remarquerons 

cependant que yy — xx ^ -1 = o eft un 

c b 

lieu à une hyperbole équilatére , dont le grand 



axe feroit %y ^-r- — — • On trouvera ce grand 

^xe en comparant , par la méthode ordinaire , l'é- 
^uaçioiî. donnée avec la formule générale qui fe 



des Infiniment Petits. 327 
trouve dans le Traité des Seûions coniques de 
M. le Marquis de l'Hôpital, pag. 234, ou avec 
celle qui fe trouve dans le premier Tome du Cours 
de Mathématique de Wolf , pag. 382. Or le 
grand axe d'une hyperbole équilatére étant don- 
n- , la conftrudion de l'hyperbole fe prefente 
d'elle même , parce que dans cette courbe le 
grand axe , le petit axe & le paramètre ont la 
même valeur. 

hôte xxxru 

L'état de la queftion de Y article 59 , pag» 
7 o eft très mal énoncé. Auffi les remarques Vi- 
vantes nous paroiffent-elles abiolument néceffai- 

"i°. * & h ne marquent pas les efpaces parcou- 
rus dans un tems quelconque c, mais la nature des 
différents terreins qu'il faut parcourir en deçà & en 
cHà de la ligne A B. En effet puisqu'on (uppofe le 
tems c égal , ou plutôt confiant de part & d autre, 
& que l'on (uppofe inégaux les efpaces parcourus 
CE & EF , on ne peut pas fuppofer que la nature 
du terrein foit par tout la même. 

2°. En examinant attentivement la ¥ig. 43 de 
la VI. 3 , vous vous convaincrez qu'en prenant 
CE pour finus total dans le triangle re&angle 
C A E & G E pour finus total dans le trian- 
gle redlangle GLE,AE&GL deviennent les 
finus droits de deux angles égaux ; donc A E 
_GL.De même en prenant GE pour finus to- 
tal dans le triangle G I E , & EH pour finus to- 

/1 4 



528 Commentaire 

tal dans le triangle E D H , G I & ED devien- 
dront les finus droits de deux angles égaux ; donc 
GI = ED. 6 5 

3°. Pour trouver la valeur dex, l'on opérera 
fur l'équation propofée fuivant les règles mar- 
quées dans tous les livres élémentaires d'algèbre ; 
nous avons droit de fuppofer qu'on ne lit pas les 
Infiniment Petits de M. le Marquis de l'Hôpital , 
fans avoir appris auparavant à manier une équa- 
tion du quatrième degré. 

4°. Pour manier plus facilement l'équation pro- 
pofée , vous ferez aa — ■bb = mi — imf-i- ibbf 
= n ; + aaff+ aagg — bbff- bbhh = p ; — taafgg 
= — q ; aaffgg = r; & l'équation propofée fe 
transformera en celle-ci , mx* -+• nx* -+- px l — qx 

»»-r = o; donc x 4 -\ — x } <■+- - x 1 -- >--+• — — o. 



m m 



Pour opérer plus facilement fur cette équation 

transformée , faites ~=a y — =:£,— crc, — — d 

m m mm 5 

vous aurez x 4 -+- ax* ■+- bx"' — ex ■+■ d — o. 

5°. Vous ferez évanouir le fécond terme de cette 
dernière équation , en faifant x = % — \a, parce 
que fi dans une équation fupérieure , le fécond 
terme ejl pofitif, l'on augmente la racine x d'une 
quantité fractionnaire qui ait pour numérateur le 
coefficient du fécond terme , à pour dénominateur 
Pexpofant du premier tçrme de l'équation donnée • 
l'on a par ce moyen une équation transformée dont 
le fécond terme efl évanoui. 

6°. Vous chercherez la nouvelle valeur de l'é- 



DES I NFINI MEN T PETITS. ^î? 

quation x 4 -+- ax' -h bx % — ex -\-à = , en fuppo- 
iant x = l- \a ; vous trouverez une nouvelle équa- 
tion dans laquelle le fécond terme fera évanoui. 

7°. Pour réduire cette nouvelle équation aux 
termes les plus (impies, vous appellerez /les diffé- 
rents coefficients de jr ; vous appellerez g les dif- 
férents coefficients de ^ ; vous appellerez enfin h 
l'aflemblage des connues qui forment le dernier 
terme de Y équation ; & vous aurez ç 4 * -4- f? + êl 
-+- h = o. 

8°. Vous opérerez fur cette équation du qua- 
trième degré , comme ont fait en pareille occafion 
Wolf dans lbn cours de Mathématique , Tom. 1. 
pag.^6 •■> Clairaut dans fes Éléments d'Algèbre , 
pag. 287 ; Rabuel dans fon commentaire fur la 
géométrie de Defcartes , pag. 473. Tout homme 
qui entreprend l'étude des infiniment petits doit , 
ou avoir lu les livres que nous venons de citer , ou 
être en état de les lire fans y rencontrer prefque 
aucune difficulté. 



note xxxvu. 

L e s remarques fuivantes jetteront un grand 
jour fur Y article 61. pag. 74. 

i°. L'on ne doit pas entreprendre la lecture de 
l'article 61 , fans s'être auparavant formé une 
idée nette de la fphére. 

2 . Le crépufcule eft un jour imparfait que l'on 
a quelque tems avant le lever , & quelque tems 
après le coucher du Soleil. Voici la caufe phy- 
sique de ce phénomène. Lorfque le Soleil n'eft 



55° Commentaire 

pas enfoncé fous notre horizon au deffous de 18 
degrés, plufieurs rayons de lumière rencontrent 
des couches affez denfes de l'athmofphére terref- 
tre. Quelques-uns s'y brifent affez , pour que leur 
refradfron les détermine à fe porter vers la terre. 
Quelques autres ( & c'eft le grand nombre ) s'y 
brifent affez pour pouvoir fe rendre dans des cou- 
ches compofées de particules capables de les ré- 
fléchir fur la furface de la terre ; donc nous devons 
avoir un jour imparfait , lorfque le Soleil n'eft pas 
enfoncé au deffous de notre horizon de 1 8 degrés. 
Au relie lorfqu'on parle d'un enfoncement de 1 8 
degrés , on entend 1 8 degrés pris fur un cercle 
vertical , c'eft-à-dire , fur un grand cercle que 
l'on imagine paffer par le zénith , & couper per- 
pendiculairement l'horizon. C'eft pourquoi les 
habitans de la zone torride ont des crépufcules 
fort courts , parce que les cercles que parcourt 
îe Soleil étant prelque perpendiculaires à leur 
horizon , cet aftre gagne fort vite le i 8 e . degré 
de fon abaiffemenr. 

3°. La ligne CK ( fig. 45. pi. 3) n'eft pas 
précifément le finus de l'arc EM, mais elle eft 
égale à ce finus. Pour s'en convaincre , il faut 
chercher fur une fphére le finus de l'arc de la 
déclinaifon du Soleil pour tel ou tel jour. Vous 
trouverez qu'il eft égal à la partie du diamètre du 
cercle de déclinaifon , interceptée entre le centre 
de la fphére & le diamètre du parallèle que décrit 
ce jour là le Soleil. Mais CK eft la partie du dia- 
mètre du cercle de la déclinaifon du Soleil , in- 



des Infiniment Petits. 331 
td ceptée entre le centre C de la fphére , & la 
ligne F G , diamètre du parallèle que décrit le 
Soleil le jour du plus petit crépu feule s donc la 
ligne CK eft égale au fînus de i'arc de la décli- 
nuifon du Soleil, le jour du plus petit crépufculc 
4 . Un des points les plus importants de la dé- 
monftration de l'article 6 1 eil que Dd foit égal à 
Ee , & que la différence entre G D , gd foit égale 
à ia différence entre FEâ fe. Or toutes ces égali- 
tés lont necefîaires dans une* figura où l'on a tiré 
les quarts de cercle ~?em &. Vdn infiniment proches 
des quarts de cercle PEM&PDN, &c dans la- 
quelle l'on luppofe le plan fedg parallèle au plan 
FE D G, & infiniment près de ce pîan. 

5 . Par l'article 50, i'onaces 2 proportions , 
ÇO:CG::Dd: à la différence entre DGScdg^ 
& 1 Q. : 1 F : . E e : à la différence entre F E & fe • 
donc CO: CG:: IQ,:IF ; donc CO : CG:: 
CO-<-lQ..CG-i-lF;doncCO : CG::OX: 
GL Mais à caule des triangles reftangies fembla- 
bles CVO, CKG, FLG, l'on a C O : CG 
: : OV : GK; donc OV : GK : : OX : GL ; donc 
OV:OX ::GK : GL Mais GK:GL::CK: 
FLouQX;doncOV:OX: :CK:QX;donc 
OV:CK::OX: QX : : QX : XH ; donc O V 
: CK::QX :XH ; donc QX : X H : : OV : 
C K j donc le fînus total : à la tangente de 9 de- 
grés : : le fînus de l'élévation du poie : au fînus de 
la déclinaifon auftrale du Soleil dans le tems du 
plus petit crépufcule •■> & voila le problème réloîu. 

6°. Il eft démontré dans tous les élémens de 



332 Commentaire 

Trigonométrie que le rayon ou finus total : a la 
tangente : : la cotangente : au rayon ,* donc la co- 
tangente de 9 degrés : au rayon, que l'on fuppofe 
== 1 , : : le finus de l'élévation du pôle : au finus 
de la déclinaifon ; donc fi l'on ôte du logarith- 
me du finus de l'élévation du pôle le logarith- 
me de la cotangente de 9 degrés , le refte fera 
le logarithme du finus cherché , parce que le 
logarithme de 1 = 0. Il n'eft pas néceffaire de 
faire remarquer que dans fon calcul M. le Mar- 
quis de l'Hôpital s'eft fervi de Tables qui don- 
nent pour caractériftique aux logarithmes dont 
la cara&ériftique eft 10 dans les tables ordinaires. 

NOTE X X XVlll. 

1 l fuit évidemment de la définition 1 qu'appor- 
te M. le Marquis de l'Hôpital au commencement 
de la Sedion IV 3 que Sn (F/g. 46 , PL 3 ,) eft 
la différence de la différence wR, ou la différence 
féconde de PM. C'eft cependant Hw qui eft la dif- 
férence féconde de P M , comme notre Auteur ei\ 
convient. Je voudrois donc dire que la différence 
féconde de P M n'eft autre chofe que la différen- 
ce qui le trouve entre la différence première n?K y 
& fon augmentation Sn; & qu'en général une 
différence féconde quelconque n'eft autre chofe que 
la différence qui fe trouve entre la différence pre- 
mière & fon augmentation ou diminution fuivante. 
En effet Hw = wR — Sn. 

Il fuit encore de la même définition que oT de- 
vroit être la différence troilieme de P M. Cepen- 



des Infiniment Petits. 335 
dant M. le Marquis de l'Hôpital nous avertit que 
la différence troifieme de PM n'eft autre chofe que 
la différence qui le trouve entre H» & ho. La 
différence troifieme de P M eft donc la différence 
qui fe trouve entre fa différence féconde Hn,& 
une ii^ne quelconque ho dont les propriétés font 
1. d'être parallèle à H« , 2. d'être extérieure à la 
courbe AMD, 5. d'être terminée par la ligne wL 
parallèle à ST. Il feroit bien difficile de donner 
une définition claire de la différence troifieme con- 
fidérée en général. 

NOTE XX X IX. 

JL/ avertissement qui fuit la définition 1 
de la Section IV, fait toujours quelque peine aux 
commençans. Ils s'imaginent que dy X ày doit 
donner ddyy ou d r y r , & que par conféquent le 
quarré de dy doit être d r y l , & non pas dy 1 > fon 
cube , d l yï , & non pas dy 1 &c C'eft là une erreur 
dont il eft facile de fe guérir , lorfqu'on fait atten- 
tion que dy eft une quantité très fimple , ôc non 
pas une quantité compolée de d multipliant y. 
Par la même raifon le quarré de ddy fera ddy* 3 
fon cube ddy i &c 

NOTE XL. 

Pour comprendre l'article 65 , il faut fe rap- 
peler les règles que M. le Marquis de l'Hôpital a 
données à l'article 6 , & les calculs qu'il a faits 
fur la fin de l'article 7. Il faut encore fe rappeller 



354 Commentaire 

ce que nous avons dit nous-mêmes dans les notes 
3 & 4. Comme il s'agit cependant de mettre au 
fait les commençans du calcul des différences fé- 
condes , troifiemes &c. nous allons commenter 
l'article 65 avec toute l'étendue dont il pourra 
être lufceptible ; notre commentaire fera renfermé 
dans les réponfes aux queftions fuivantes. 

Première Queflion. Comment peut-on prouver , 
qu'en prenant dx pour confiante 3 la différence de 

ydy ^ dy z H-yddy 
dx dx 

Réponfe. i°. La différence de ydy eft dyxdy 
•+-yddy = dy 1 ->t-yddy. 

2 . La différence de la fra&ion y -2- , en fuppo- 

fant que dx eft une grandeur confiante , eft 

dx x dy z -+- dx X yddy dy x ~+- yddy 

dxxdx ■ = dx i d ° nC &C - 

Seconde Queflion. Comment peut- on prouver 
que la différence de y -p- eft dxd y % - yW** m 

■*■ dx dx z y 

prenant dy pour une quantité confiante ? 

Réponfe. i°. Quoique dy foit confiante, y eft 
variable ; la différence de ydy eft donc dy x dy 
= dy\ 

2 . La différence de dx eft ddx. 

3 . La différence de la fra&ion — , en fuppo- 

fant dy confiante , eft - x * y , y y * — - 

dx x dx 

dxdy 1 — ydy ddx , 
= d z 5 



des Infiniment Petit s. 335 
Troifieme Quefiion. Comme nt peut-on prou- 
ter que la différence de — — ^ — eft 

d^+d ^^ -Jyddy ^ nt àx une 

dxy'dx^- -+- dy* 
quantité confiante. 

Réponfe. i°. La différence de 1 multi pliée par 

Ydx 1 - -hdy^Sc divilee par dx eit dxxdx '~ 

_ di\/dx x -*-dy :L 

" dx ' 

2°. La différence dej/^x 1 +d y x , en fuppofant 
dx confiant , eft - y ^ z ^^T — v/^r^r > 
donc la différence de x/dx^Tdf multipliée par^ & 

divifee par rfx fera ^^7^5*^5? 'd»^fTdf m 
3°. Pour avoir la différence de la fraction 

<^!±±1 il f aut joindre les différences trou- 
vées www. 1 & 2 i donc la différence de la iradhon 

^dyddy -, 

propofée fera d\ \/dx* -+-dy* + ^ x _-jyi » le 
tout divifé par dx. 

-dyddy 



40. d K V^+dyT + ^-T^^ 
j^d^ + d^-idyddy v7 - r -— x 

j/j**+ fl / —dx' + 4^ i donc la différence de la 



336 Commentaire 

fraftion ^'-"fr' f era d l * d * x + ^ ^ lh d h 

dx dx^dx 2 - -hdy 2 - 

d^dx 2, -f- d^dy 2 - -+- çdyddy 
dx\Zdx 2 -h-dy 2 - 

Quatrième Que/lion. Comment peut-on prou- 
ver qu'en prenant dy pour confiante , l'on aura 

drdx^ -f- drdxdy 2 - — rdy^ddx , *.„•, , 

- ,■ — pour la ditterence de 

dx 2 - \Zdx 2 H- dy 7 - r 

Rêponfe. i°. La différence de \ multipliée par 

)/dx x -+- dy 1 - — d\ ydx 2 - H- dy 2 -, 

2°. En iuppofant dy confiant , la différence de 

/ idxddx dxddx 

1/ dx 2 - -i- dy z — — ^r- . -- = = • J 

donc cette même différence multipliée par \ fera 
— } Xi x - ; donc la différence totale de 

ydx^^-dy 2 - 

, r , y rdxddx 

l ydx 2 - -t- dy 2 - fera d\ y dx 2 -t- dy 2 - 



x/dx^-i-dyi 



_ d^xdx 2, ■+ dy 2 - -f- idxidx d{dx x -+-d^dy z -f- %dxddx 
ydx 2 -h-dy 2 - y 'dx 2 -+- dy 2 

3°. La queflion feroit réfolue , fi on ne deman- 
doit que la différence de \ \Zdx x -+- dy 2 -. Mais on 

demande la différence de ; — , dans 

dx 

laquelle fra&ion on fuppofe dx variable. 

Qu'on fe rappelle les régies qu'il faut fuivre, 

lorfqu'il s'agit de différencier une fraction , & 

l'on ' 



des Infiniment Petits. 337 
l'on trouvera que la différence de la fraction 

., n dx x djdx* -h d^dy* -h ^dxddx 

propolee , eft , / , , ~7T ddx X 

11 y dx* ■-+- dy 2 - 

\ \/dx z -+■ dy x , le tout divifé par dx* = 

dx x d^dx* -+- dfdy 7 - -4- ^dxddx — ddx x ~ L dx x -+- ;dy* _ 

dx* ]/ dx* -+■ dy* ~ 
j- jxl -+■ d-dxdy* -4- ~dx*ddx—- çdx*ddr — ~ x dy*ddx 
dx 1 y dx 1 -4- dy* 

4 . Otons les quantités qui le détruifent , nous 

, .. d?dx*--h d^dxdv" 1 — ?dy*ddx 

aurons évidemment - — ■ — - y y i_r pour 

dx 1 ydx* -4- dy* r 

la différence de la fraction v x ^ . 

dx 

Cinquième Qucjlion. Comment peut- on prôU^ 
ver qu'en prenant dx pour confiant , la différence 

, vdy i . a dx*dy* -+- dy^ -4- ydx'ddy 

de J — doit être J ^ — - J _< ? 

\/dX* -4- dy 1 dx* -4- dy* Vdx* ~f- dy* 

Réponfe. i°. La différence de la quantité ydy s 
folitairement prife , eft dy 1 -+-yddy. 

2 . La différence de }/dx* 4- dy* , eft • r — l - y — » 

v dx 1 — t-dy 1 

en prenant dx pour confiant. 

3 . La différence de ydy , confidéré comme nu- 
mérateur d'une fraction , eft dy* -i-yddy x \fd~x r ^Tdf- 

■ — yiy * ' y " uy , , le tout divifé par dx 1 -4- dy* , quar- 
ré de }/dx* -4- dy* ; donc cette différence fera 

dy* -+- y<iiy x Jx 1 + ay* - ydy* ddy __ dx*dy*-hdy* -\-ydx*àdy 
dx*-h'dy* \/dx* ~+- dj* "" âV~T^' 1 \fdx^Tdy^ 



33S Commentaire 

à caufe des quantités qui fe détruifent ; ce font 

•^-ydy^ddy & — ydy*ddy. 

4°. On prouvera par un calcul femblable 
qu'en prenant dy pour confiant , la différence de 

ydy f. dx*dy* -+- dy** — ydydxddx 

J/éS? -+- dy* dx* H- dy* \/dx* H- dy* ' 

Sixième Queflion. Comment peut- on prouver 
y i 

dx^ -4- dy y dx* -+- dy „ , . v dx*-hdy* 1 

que , j, eft égal a ~-rr ? 

i — dxddy & — dxddy 

Réponfe. i °. dx* -+- dy* z dx 1 -t- dy 1 = dx* +dy* l . 
a°- \Sdx % ■+■ dy* == dx 1 -+- dy* t ; donc la fraction 



propofée devient ^^/^^^/^^ 

r r —dxddy —d x d dy * 

Septième Quefl. Comment peut-on prouver qu'en 

i 

prenant dx pour confiant, la différence de x ^^^ 

— dxddy _ 



^1 — qdxdyddy" 1 x dx 1 -4- dy * -4- dxdddy x dx* H- Jy 1 * 

Réponfe. i°. En prenant dx pour confiant , & 
en confidérant dx* -t- </y* 7 comme une quantité 
ifolée, fa différence eft | x idyddy x dx*+dy**~ 

j 

— $dyddy x e?* 1 -+- dy* *. 

2°. En prenant dx pour confiant , & en confi- 
dérant — dxddy comme une quantité ifolée , fa 
différence eft — dxdddy. 

3°. En confidérant ces deux quantités corn- 



d es I nfini ment Petits. 339 

me formant une fraftion , leur difF rence fera 

1 ? 



dx ddy x iJydJy x dx* H- dy* z -f- dxdddy x dx 1 h- Jy 
~~ ' Ix^ddf 



i » 



- ^dxdyd.Y * ^ -h ^y 1 * -t- dxdddy y dx* -+- dy x % 

Huitième Ouejlion. Comment peut-on trouver 
la différence féconde d'une quantité quelconque , 
élevée à une puiffance quelconque » par exemple , 
quelle eft la différence féconde de x m , ou la diffé- 
rence première de mx m l dx ? 

Réponfe. La différence demandée eft mm 
— mx m ~~ *dx t ■+- mx m "~'ddx. En voici la démonf- 
tration. Faifons x m— " ' =y , ôc dx = k- 

i°. Puifque x m— ' =J , l'on aura dy =±= 
r/? — ix m ~*d>; , parce que dans cette hypothéfe 
la différence àty doit être égale à la différence 
de x m ~ '. 

2°. Puifque dx = K & x m ~ l -y \ donc x° ^ l dx 
==j>î ; donc mx m ~~ l dx—my\\ donc la différen- 
ce de mx a ~ ' 'dx eft égale à la différence du pro- 
duit mjr\i dans lequel m eft une quantité confian- 
te qui n'a point de différence. 

3°. La différence de my\ eft midy-f-myd%. 
4°. Mettons à la place de \ fa valeur dx , à la 
place àedy fa valeur m — i* m — Vx , & à la place 
dej' fa valeur x m ~ ' , nous aurons m\dy = Wx x 
i» — i x m — Vx — wffl — ;».v m — Vx J , parce que 
m Xm — ■ i = ffim — m , Se que dx x d* =-djc' j 
nous aurons encore myd\z=mx m 'ddx; donc 
#25^ "+■ wj^? = ww — ■ mx m ''dx 1 + wx™ Wx- 



Y 



34© Commentaire 

Mais le premier membre de cette dernière équa- 
tion eft évidemment la différence du produit my\, 
donc le fécond membre de la même équation fera 
évidemment la différence de mx m l dx , ou la 
différence féconde de x m , parce que ( num. 2) 
my\ = mx m 'dx. 

Corollaire. La différence féconde de x m eft une 
véritable formule pour quiconque prend garde 
que m vaut 2 , lorfque la grandeur qu'on veut 
différencier, eft élevée au quarré ; que m vaut 3 3 
lorfqu'il s'agit du cube , &c. La différence féconde 
de x 3 fera donc 9 - 3X 3 '~dx* + 3X 3 'ddx = 6xdx x 
h- 2,x*ddx ; celle de x 1 fera 4 — 2X 1 ~ ~âx % + 2x 1- 'ddx 
= 2x°dx l -4- îxddx ■=. zdx r ■+- 2xddx , parce que 
x° = 1 , celle de x 4 fera 1 6 - û t x A ~~~ r dx x -*■ /\x*~~ l ddx 
== i2x*dx*-*-4x*ddx , &c. 

NOTE X L I. 

Voici comment on met en pratique les régies 
marquées dans l'art. 66, pag. 84. Pour trouver le 
point d'inflexion ou celui de rebrouffement d'une 
courbe dont on a l'équation , i°. L'on prend les 
différences premières de l'équation propoiée , & 
l'on met dans un membre dy feule , & les autres 
quantités dans le fécond membre. Si l'on a , par 
exemple , l'équation axx =: xx^ + aay , l'on fera 

axx „ ,-, , 

y = , & par conlequent dy == 

XX ~i — iZtZ 

■Zax^dx -4- 2a>xdx — aax^dx 2a^xdx _ .,\ 

; = » ; & voilà 



xx — l- a a 



ce qu'on nomme la féconde équation. 



desInfinimentPetits. 341 
a*. Il faut différencier cette féconde équation , 
en regardant dx comme conftante , & l'on aura 

ddy — 



xx — t- da 



Staîdx* K xx H- aa — S a^xxdx' x xx H- ^ 



, o. ^ = ■ donc la fraftion qui repond a ^ 
fera = ; mais dans cette fradion , ce n eit pas 
le dénominateur xT+âa qui eft = , car cette 
fraâion feroit infinie • donc ce iera fon numéra- 
teur qui fera = ; donc l'on aura ta dx X 
j^T^*-8«Wx l Xxx + ** = *; donc 2a*dx* 
X x~x~+a~à = Mxxdx 1 x xT^Ta ; donc , en divi- 
fant tout par za'dx* x xx^7a , l'on aura xx ■+■ «a 
= 4 xx ; donc 3XX = «« ï donc xx == y j donc x 

= \/- ,' donc x == ^l/f- C ' eft ainfl 1 u ' on °P é ' 

re , lorfque l'on fait ddy = 0. 

40. Lorfque ^ == ne mené a rien , 1 on tait 
alors ddy =°o ; & l'on calcule de la manière qui 
fuit. L'on vous donne , par exemple , l'équation 

y- a = T^a}- Vous aurez d'abord^ ~\ x - a s «* 
==z \.—^r a '~\ àx. Vous différentierez cette fécon- 
de équation , & vous aurez , en prenant àx pour 

conftante, ddy = —\x\7= r *~~*~ 'àxxàx 

±ÏIZ- a —*dx* = — 7 > parce que 

■ — *s / 7 

3 5 \/x ~ a 1 



34^ Commentaire 

x — a * eft évidemment égal à la fraction 

■■ ? , & que cette fraction n'eft pas différente 
x ■ — a 5 

de -. 



v x — a 

5°. En fuppofant àây = o , l'on trouve — 6dx* 
i=z:o. Mais cela ne mené à rien, donc il faut 
fuppofer àây •=. oo . 

6°. En fuppofant àày = oo , l'on aura le déno- 
minateur de la fraction qui lui répond ==o ; l'on 

aura donc 25 y x — a 7 — $ donc x — a — 5 » 
donc x == #. 

7 . Lorfque àây z=. , l'on a le numérateur de 
Ja fraction qui lui répond =r • & lorfque aWy 
:= 00 , l'on a le dénominateur de la même fraction 
.azo. C'eft-là une régie qu'il ne faut jamais oublier. 

8°. Voici comment M. Varignpn démontre 
que lorfque la différence de AL ( Fig. 5 2. Pi. 3 3 

& Fig. 5 3 PL 4 ) eft — fê = , elle eft néceffai- 
rement «Wj/ — 5 - Dans la fraction — ^~. ce n'en 1 

dy 

pas ^y 1 qui eft , car cette fradion feroit infinie » 
ce n'eft pas non plus -hy ou — j/ , car ce font des 
quantités réelles ; c'eft donc ^rfy. Le même Au- 
teur paroit d'abord convenir avec M. le Marquis 
de l'Hôpital que , pour avoir le point d'inflexion , 
il faut faire àây == o , & que pour avoir le point 
de rebrouffement , il faut faire âdy — 00 ,• nous 
examinerons cette régie dans la Note 45 e . 



des Infiniment Petits. 343 
9°. Voici une occaiion où A L devient x — 1 

-— , au lieu d'être^ — x. La foutangente L M 

dy dy ^ 

( F/g. 63. PI. 4) eft fuivant la coutume-^ ; l'abf- 
ciffe AM eftx; donc AL = AM — LM fera 
par la même x — y ~. Jufqu'à préfent M. le Mar- 
quis de l'Hôpital n'a parlé que des courbes dont 
les appliquées font parallèles entr'elles. La régie 
que je vais commenter regarde les courbes dont 
les appliquées partent d'un même point ; cette lé- 
%\seftyddy = dx*-t-dy. 

io°. Pour comprendre cette régie, il faut d'a- 
bord bien le convaincre qu'à caufe des angles in- 
finiment petits HBT&MB«( Fig. 5 6. PL 4 ) > 
BT peut être regardée comme parallèle à B H , & 
B M à B m. L'on verra alors du premier coup d'oeil 
que les triangles reftangles MRra, MBT , THO 
font équiangles. Il faut encore bien fe convaincre 
que MR:TH::TH:HO;M. Crouzas nous en 
donne la démonftration en cette manière. A caufe 
des triamrles femblables wRM, HOT, l'on a 

W R: MR : :TH:HO, ou , dy : dx : : 4-;HO 
— 2L. Mais dans la proportion MR : T H : : TH 

: HO , l'on trouve HO = jp. > donc cette propor- 
tion n'a rien d'imaginaire. Enfin il faut fe rappel- 
ler que lorfque Or s'évanouit , comme il arrive au 
point d'inflexion au de rebrouffement , l'on a 
* *4 



344 Commentaire 

dxï H- dxdy' 1 — ydxddy ,, , , 

=f-t — - = o ' Ion a donc alors 

â y ' 

ydxddy dx^ -+- dxdy 1 , ... 1,111 

, - z - = 1 j-t — — 5 donc ydxddy - dx' + dxdy 

à caufe du dénominateur commun ; donc , en divi- 
fant tout par dx, l'on aura yddy = dx r - 1 rdy ï . Nous 
ferons remarquer dans les Notes fuivantes l'ufage 
qu'il faut faire de cette équation. 

NOTE XL IL 

X-/ article 67 s pag. 89 nous prouve que 
M. le Marquis de l'Hôpital penfoit que dans les 
courbes dont les appliquées font parallèles , il fal- 
loir faire ddy — o, pour avoir le point d'inflexion ; 
de ddy =: °° , pour avoir le point de rebroufle- 
rrjent. Ce même Auteur penfoit encore que pour 
les courbes dont les appliquées partent d'un même 
point , l'on a au point d'inflexion dx 1 -+- dy z — 
yddy = 9 & au point de rebroulTement dx 1 -f dy x 
t. — yddy z=z co . Nous allons voir dans les Notes 
fuivantes ce qu'il faut penfer de ces régies géné- 
rales. 

NOTE X L 1 1 L 

JLjEs équations de l'article 68 , pag. 90 onç 
été calculées dans la Note 41 , num. i. 2. 3. 

NOTE X L J V. 

JL/ES équations de \' article 69 , pag. 91 ont 
été calculées dans la Note 41 , num. 4. 5. &' 



des Infiniment Petits. 



345 



NOTE X L V. 

JL o u R comprendre X article 70 , pag. 9 2 , il 
faut d'abord relire les Notes 1 1 & 1 2. Cette lefture 
vous convaincra que la demi-circonférence A DB 
(F/g. 59- Pi. 4.) : à la demi-bafe BK : : la coupée 

AD : à l'appliquée DF , donc DF = — . Mais DF 

= EF — ED — ;' — % ; donc y — < == — , 

t bu 
donc y z=. ^ ^ . 

a 

Il faut enfuite former mentalement un triangle 
des différences infiniment petites de A E , de E D 
& de AD^Sc l'on verra que la différence de A D 
, deviendra la bafe d'un triangle reétangle qui aura 
pour fes deux côtés les différences de AK&de ED ; 
donc du 1 —z dx z ■+- d^ • donc du = \/dx x -\-di x . 
Ainfi à l'article 70 , du ( J/V* 1 + di x ) lignifie du 
= \/dx z -i-'df- , & non pas du X ~\/dx x -+- d^. 
Il faut enfin bien fe convaincre que fï du 



"=■ \Zdx x -+- df- , l'on aura du = ■ ; _ . En 

V 2 CX XX 



voici le calcul : d^ 



cdx 
x — 

2cxdx' L -+- x x dx x 



2CX XX 



donc d\~ ■+- dx z = '—^ **■■*"■* — ~^_f_ — f_ + ^ . 

2.CX — XX 

de en mettant dx 1 fous le dénominateur 2çx — xx t 
Se ôtant enfuite les quantités qui fe détruifent , 

l'on trouvera df~ -+- dx' == — - — - — ; donc 

2.CX — XX 



346 Commentaire 

cdx i , cdx 

ydi 1 - -t- dx 7 - = ■■ . .; donc du - 



V2CX XX v 2.CX — XX 

Le refte de l'article 70 n'a befoin d'aucun éclair- 
ciflement particulier. 

C'eil: ici que M. Varignon a remarqué qu'en 
faifant ddy := 00 , l'on avoit par là même xcx — xx 
X \Zzcx — xx = ; donc 2cx X \Zzcx — xx = xx 
X \Zicx — xx ; donc 2 ex m xx ; donc 2c = x. 
Il conclut de-là que ddy = 00 , n'eft pas une mar- 
que fûre du point de rebrouflement , puilque la 
roulette allongée n'eft pas une courbe rebrouffée. 
M- Varignon a raifon , & M. de l'Hôpital n'a pas 
tort. Pour les accorder eniemble, il meparoit qu'il 
faut préfenter ainfî la régie générale : ddy = co 
ejl une inarque fûre du point de rebrouflement , 
lorfque ddy = o n'a donné aucune valeur. Mais 
ddy = 00 nejl pas une marque de rebrouflement , 
lorfque ddy= o a donné quelque chofe. Or dans 

le cas préfent ddy = a donné x = c ■+■ — ; donc 

b 

dans le cas préfent ddy = 00 peut donner une va- 
leur de x, fans indiquer cependant aucun rebrouf- 
lement dans la roulette allongée. 

NOTE XLVL 

Avant que de lire Y article 71 , pag. 93, il 
faudra relire auparavant la Note 1 5 dans la- 
quelle fe trouve expliquée la nature de ia con- 
choide. Vous chercherez enfuite la différence de 

b -+- x v aa — xx — x ? dx — aabdx 

i vous trouverez 



V aa — xi 



xx v aa — xx 



des InfinimentPetits. 547 
M- le Marquis de l'Hôpital la fuppoie telle , 
puifquil lui afligne pour différence féconde 

mb—**xl — 1**bxx*dx* c , eft donc QU une 
aux'' — x"> X v aa — xx 

inattention , ou une faute d'impreflion qui a fait 
donner le ligne ■+• à un numérateur dont les deux 
termes doivent être arR£Ls du figne — . Cette 
féconde différence vous donnera l'équation incom- 
plète du troifieme degré x 3 -+■ ^bxx — 2aab = o. 
Pour mettre cette équation en état d'être calcu- 
lée , vous ferez évanouir le fécond terme , en fup* 
pofant par la régie ordinaire x — y — h , & vous 
aurez pour votre équation transformée y 1 — 3% 
H- 2 £' — zaab. Vous ferez - 3 bb == — p , & ■+- 2V 
— iaab = — q , & vous aurez y 1 — py — q=o 9 
équation du troifieme degré qui fe trouve calcu- 
lée dans tous les Livres élémentaires d'algèbre , 
& nommément dans notre Guide des jeunes Ma- 
thématiciens dans l'étude des leçons élémentaires 
de M. l'Abbé de la Caille , pag. 3 2 & fuivantes. 

La féconde manière dont M. le Marquis de 
l'Hôpital réfout le même problême , apprend à 
un Commençant à fe fervir de la formule yddy 
== dx* -+- dy\ Les calculs ne demandent qu'un 
peu d'attention , & l'on parvient comme natu- 
rellement à l'équation du 3 e degré 2? — ?bbl 
— abb = 0. Cette équation fe change en celle-ci, 

? <_ 1^-^ = 0. Vous faites — ^ = — P> 



2 

abb 



&^. û ll — — q 3 & vous avez ^ J —^—? = °» 



348 Commentais, e 

équation du troifieme degré que tout Commen- 
çant fçait réfoudre. 



NOTE XLVII. 

JL/ article 72 , pag. 95 a befoin , pour être 
compris , des remarques fuivantes. 

i°. y — b -+- x y°—^ i donc y =z b x 
|X'ÏEf +xX ]/ÎEf. Maisx>< "|/ f Ef = 

X X x 

y ^\/ax — xxidoncy=:b Y 



v. 



a — x 

x 



ax — xx. 



2°. Pour trouver facilement la différence de 
cette dernière valeur de y , fouvenez-vous d'à- 

boni que > V--=: = Y^EEèE , parce 

que le dénominateur x eft auffi bien affe&é du 
figne radical , que le numérateur a x . Souve- 
nez-vous enfuite que la différence del/ abb ~ bbx 

r Vx 

n — bbdx x y- x _ dx x ^/ abb _ bbx 

2 V 'abb -bbx TVx * b t0Ut dlVlfe 

par*. Réduifez ces deux fractions à un même dénomi- 
nateur , & ôtez les quantités qui fe détruifent , vous 



■ labbdx 



Ur£Z 2Yxx2*/M - bbx ' IS t0Ut dlVlfô P ar X ' 

Vous aurez donc — ~J Zabb . dx . Mais cette der- 

^x V abbx — bbxx 



des Infiniment Petits. 349 

. — abbdx — ahdx 

niere fraftion eft égale a ^7^^ = IW 



ait- xx 

— abdx 



2X \/ ax — xx 



donc la différence de h y *-~ eft 

30. Ajoutez à cette différence celle de \/a»-x* , 
, _ x .. ad» — ixdx __ axdx—2XKdx & vQUS 

c eft - a - dire 77^=^ ~ >* V^r*~\ r 

trouverez , aux lignes près , la même chofe que 
M. le Marquis de l'Hôpital , ceft-a-dire , 
axdx — zxxdx — abdx ^ q q n>e ^ q U ' en confervant 

ces derniers lignes , que vous parviendrez a la 
féconde différence , telle qu'elle eft marquée dans 
l'Analyfeda Infiniment Petits. Auffi ne voyons- 
nous pas pourquoi M. le Marquis de 1 Hôpital n a 
pas confervé les lignes qui fe préfentoient natu- 
rellement. C'eft ici le lieu de relever une faute qui 
s'eft gliffée dans les deux éditions, & qui! eit 
difficile de regarder comme une faute d'imprel- 
fion. M. le Marquis de l' Hôpital di vifa cUbord 

2aab-aax^ïaTxXdx*V*T4ax — 4 x1 ^T^l 
& il avertit à la fin de fon Ouvrage qu il lefalloit 
divifer par A ax - 4 x\ U ne faut faire ni l'un ni 
l'autre- Le vrai divileur eft ^axx — 4* , parce 
quelequarré de zx l/^=^ eft évidemment 
w _ a X \ & non pas 4 «xx — 4*' , comme 1 al- 
fure M. Crouzas. Mais la faute que nous relevons 
ici n<> peut conduire dans aucune erreur , pun-. 
que c'eft le numérateur de la fraftion que l'on 
fait — 0. Nous aurions pu la corriger dans cette 



35° Commentaire • 

troifïeme édition. Mais nous nous fommes fait une 
loi inviolable de ne rien changer au texte de M. 
le Marquis de l'Hôpital. 



NOTE XLVlll 

JL' a r t i c l e 73 , pag. 97 eft terminé par une 
équation du cinquième degré. L'on n'a qu'à ex- 
primer en chiffres les valeurs de a & de b ; & alors 
cette équation ne fera pas bien difficile à refon- 
dre. Si l'on fuppofe , par exemple , a ~ 2 , & b 
= 2 , l'équation propofée fe changera en celle- 
ci , y — 6y + 1 2 y — sy -+- i iy — 1 6 = ; & 

cette équation fe refondra par la féconde des mé- 
thodes que donne M. l'Abbé de le Caille dans 
fes Elémens de Mathématique , pag. 89 & 90 s 
parce que dans cette fuppofition y efl: égal à un 
nombre entier joint à une fraction. 

NOTE XLIX. 

JL/' article 74, pag. 98 a befoin des trois 
éclaircifiemens fuivants. 

i°. t a — ■£— ; en voici le calcul. 

d y 

A caufe du triangle reftangle FEB , Fig. 64. PL 
4, l'onaFB'^EP + EB'i âonc¥B*=yy + 

yy^x z yydy x -+-yyi< x _ yy x dx z H- dy x , 

d y - 7y — 7y > donG 

FB==-^EIE5! 



dy 



2°. A caufe de l'équation à la courbe , l'on aura 



des Infiniment Petits. 551 

nyiy_ _ nxdy - nydx^ ^ ^ ^ y , ^ ^ ^ 
nx my x 

courbe donne m : n : : xdy • — ydx : y v/j* 1 -+■ dy x ; 
donc my y'dx r +~dp- = nxdy — nydx ; donc 

/ ■ nxdy—nydx ,» . ,- — • — . 

j/^ 1 _|_rfy* — — y — . Mais |/^a- -f- OJ 1 

_ my^y # _■ myJy n.vJy — nyAc 

n.v ' nx my 

3°. Pour trouver/ ~\/mm — ni = mx , voici le« 
opérations qu'il faut faire. i°. Diviiez par dy l'é- 

dyi/mmvv — nnxx nnxxdy — mmyydy 

quation — " = ■ •**-*■ y 

* rt* rcn.ry 



\/mmyy — nnxx nnxx — mmyy 

vous aurez - — = ~ . 

nx nnxy 

2°. Multipliez cette dernière équarion par nx , & 
ôtez les quantités qui fe détruifent , vous aurez 

*/ — nUXX ~ mmy y • donr 

y mmyy — nnxx — , uonc 

ny \/mmyy — nnxx = nnxx — mmyy • donc 
y / m z n z y~^ — n ù ^x x y' L =s ««xx — mmyy ; donc 
— K 4 x>'* ■+■ m z n'~y* =: nnxx — mmyy \ donc , en 
divifant tout par , «V — m'y 1 , l'on aura — ny* 
= mV — «?ty* j donc j'"" x mm — «« = w«xx ; 
donc y \/mm — nn = «X. 

Remarque. Ceux qui nous ont fuivi jufqu'à pré- 
fent, font en état de lire fans guide , à quelques 
points près , les 6 dernières Sections de l'Analyfe 
des Infiniment Petits. Ce font ces quelques points 
que l'on trouvera éclaircis dans les 6 Notes lui- 
vanr.es. 



35* Commentaire 



NOTE L. 

A Seftion 5 e , contient 34 articles. Ceux qui 
fe rappellent nos notes 5, 7, 11, 12, 23, 24 
& 40 , ne peuvent être arrêtés que dans la lectu- 
re des articles 77 , 79 , 84 , 86 , 87 , 89 , 90 , 
93 , 101 , 103 , 105 , ôc 109. Voici l'explica- 
tion de ce qu'il y a de plus difficile dans ces 1 2 
articles. 

i°. L'on allure fur la fin de l'article y y que ^ 

ydx % -±-ydy % D 

~ j ' x , j z j j ' "our trouver cette valeur , 

dx x H- dy 1 - ■ — yddy ' 

il faut manier fuivant les régies ordinaires l'équa- 

■ — - dyddy y 

2 . Pour trouver , au commencement de l'arti- 
cle 79 , la valeur de R G ( Fig. 6y , PL 4 ) , l'on 
dira, MR:wR : : ?» R : RG. 

3 . La valeur de PT (Fig. 72. PL 4 ) elt en 

général y —. Cette valeur devient 2x dans la pa- 
rabole dont il s'agita l'article 84, parce que dans 

cette parabole l'on a x = y -^- . &tdx= Q ÎL1 % Dans 

a a 

cette même parabole l'on a PQ.= ^ , parce 

qu'on a démontré ( article y g ) que P Q.= y -^-. 

4°. En lifant l'article 86 , l'on pourra deman- 
der comment le font trouvées les valeurs de EC , de 
MS & de TQ. ( Fig. 74 , PL 4 ). L'on aura la va- 
leur de E C , en imaginant , fuivant la coutume , 

un 



des Infiniment Petits. 555 
Un triangle infiniment petit dont les deux côtés 
foient dx , dy , & qui foit équiangle au triangle 
MEC L'on dira alors dx : dy : : M'E : E G. 

Pour avoir la valeur de M S , vous direz, à eau- 
fe de l'angle droit .uTS, M P : PT : : PT : P S. 

Enfin pour avoir la valeur de T Q., vous direz, 
à cauie de l'angle droit T M Q, PT : PM : : PM 
: P Q.. Il n'eft pas néceflaire d'avertir que PM — y> 

at pr=tt. 

y I 

5°. L'article 87 auroit befoin d'un éclaircme- 

ment qui eut rapport à la différence féconde de 
y m , fi cette différence féconde n'eut pas été cal- 
culée fur la. fin de la 40 e . note. Il y a encore fur 
la fin de cet article une phraie dont le fens ne fe 
prélente pas tout de fuite. La voici. Ou m efi 
moindre que 2 , à alors Fexpofant de y étant ffi- 
tif, ellefe trouvera dans le numérateur , &c. Pour 
que cette phrafe & quelques autres fuivantes 
ayent la clarté requife dans les ouvrages de Ma- 
thématiques , il faut dire : V appliquée y fe trouve' 
ra dans le numérateur , Sic 

6°. L'ellipfe dont il s'agita l'article 89 , a 
évidemment pour petit axe y a b , parce que (on. 
grand axe eft a , & le paramétre de ce grand axe 
eft b. Pour avoir le paramétre de \/ab,i\ faut dire, 
~\/"ab : a: : a : au paramétre du petit axe ; donc le 

ii . n an aaVab aif/ j~> 

paramètre du petit axe eit — - =— - — — s — r— 

K * y ai Yab xv 'ià «■» 

a Vab 



z 



354 Commentaire 

7°. Pour trouver , à l'article 90 , la valeur de 
EG, vous direz d'abord PT (a) : PM (>):: 

PM (y) : PQ„ = 22. Vous direz enfuite PM-: PQ. 

::ME:EC 

8°. L'article 93 a befoin des éclaircifîemens 

fuivans. i°. Pour trouver du = — , , il 

\/ zax — xx 

faut imaginer proche du point E, F/g. 83. PL 5 , 
un triangle re&angle infiniment petit , femblable 
au triangle reftangle EPK , dont le côté dx , dif- 
férence de A P , & la bafe du , différence de Lare 
AE , foient homologues à EP & EK. L'on dira 
alors EP ( V^ax — xx : EK Q ) : : dx : du. 2 . 

Pour trouver ày = dx v 2a ~ x 9 l'on a divifé par 
v/ 2a _ x le numérateur & le dénominateur de la 
fradion * a d ' — * ix . 3°. On aura la valeur de BE 

y ïax — xx 

en faifant BE 1 = A B 1 — AE 1 . 4 . Ceft au point 
A qu'on ax=o;& c'eft au point B qu'on trouve 

x= 2a. 

9 . Pour comprendre la dernière conféquence 
de l'article 101 , il faut fe rappeller que la por- 
tion de la roulette A M n'eft que la fomme des 
arcs infiniment petits Mm , & que la corde A E 
n'eft que la fomme des E F . 

io°. On avance, à l'article 103 , que l'efpace 
RGBQ.(Fz'g. 87, PL 5 ) eft égal à l'efpace MGBE. 
L'on araifon, puifqu'on a démontré dans la figure 
84 de la même planche que l'arc MB. = l'arc EQ., 



desInfiniment Petits. r^5 
par la même que l'angle MOK = 1 angle ECK. 

Pour trouver , à la fin du même arrirle , 
t& = zaa -+- iab -\-bb , il faut que l'arc MEQ., 
(F/g. 87, VI. s ) coupe en 2 parties égale^ b 
demi-cercle AEB au point E. Alors l'angle EKO 
fera droit ; & en tirant le rayon OE = OQ.^=^ , 
l'on aura OE 1 = EK 1 -*- OK 1 ; donc ^ =. aa -+- aa 
H- lab -+- bb ; donc ^ = 2#fl + 2ab ■+■ bb. 

il . Pour trouver, à l'article 105, x — {a, 
il faut le rappeller que xx étant nul vis-à-vis ibx , 
& 2fld vis-à-vis ?,ab, il relie ibx= 2,0b , & pat 
conféquent x =\a. Il faut encore fe rappeller 
qu'en fâifant B P = \ A B , l'on fait par là même 
x = {a , parce que BP^x,& AB = 2*2. 

1 2 . Pour peu qu'on réfléchiffe lur la figure 9 1 
citée à l'article 109 , l'on verra que la courbe 
DEeft formée par le développement de la con- 
vexité AD ; 'a courbe EF par le développement 
de la convexité A B ; & la courbe DG par le dé- 
veloppement de la convexité D G. 

NOTE L 1. 

1 l y a dans la fixieme fec~lion quelques articles 
qui nous ont paru mériter quelques éclaircifîe- 
mmts. Ce font les articles 110,113,118, 
119, 120 , 121, 123 & 125. 

i°. L'angle de réflexion FwD( F/g- 94- VI. 5 , 
art. 1 10) eft égala l'angle d'incidence B?#M , 
& par conféquent à l'angle RœM 

2°. L'article 1 1 3 eft un des plus importants du 
Traité des Infiniment Petits. Il fert à démontrée 

Z 2 



35<S Commentaire 

que l'image d'un objet vu par le moyen d'un mi-» 
roir , ne paroit pas toujours au point de concours 
de ]a cathéte d'incidence & du rayon réfléchi > 
cela n'eft exactement vrai que pour les miroirs 
plans ; pour les autres il foufTre bien des excep- 
tions. Soit y par exemple, le miroir concave AMD, 
( Fig. (jj , PL 5 ). Soient les deux rayons de lu- 
mière infiniment près l'un de l'autre BM, B»î 
envoyés par le point B fur la concavité de ce mi- 
roir , & réunis au point F après la réflexion. Il eft 
évident que ces deux rayons donneront , après leur 
réflexion , l'image de l'objet B au point F ; s'ils la 
donnoient ailleurs , par exemple , à leur point de 
concours avec la cathéte d'incidence , l'on auroit 
deux images de l'objet B j donc &c. Ce que l'on 
peut auancer en général pour toute forte de mi- 
roirs , c'eft que le lieu de l'image eft toujours au 
point F où deux rayons incidents infiniment pro- 
ches l'un de l'autre BM, Bw viennent fe couper 
après la réflexion. 

3°. L'on allure ( art. 1 1 8 ) que lorfque M F eft 
infini 3 l'on a ME = 2MB ( Fig. 98 PL 5 ) ou a 
= 2#. L'on a raifon. La valeur de M F eft ( art. 

113) = SL~-. Lorfque MF eft infini , l'on a 

MFzr^i donc dans ce cas l'on a iy — a = ; 

donc îy=p:a. Pour trouver la proportion indiquée 
à la fin de ce même article , il faut dire , la moi- 
tié du grand axe : au rayon incident : : le rayon 
réfléchi : ME. Or par là même que les rayons 



des Infiniment Petits. 357 
incident & réfléchi font donnés , le grand axe l'eft 
au 'a. Car dans la figure 99 de la planche 5 , l'on 
aAD = BM + MF; & dans la figure 100 de 
la planche 6 , l'on aA^^MF-MB, parce 
que les rayons incidens & réfléchi font tirés des 
deux foyers à un même point de la courbe ellip- 
tique ou hyperbolique. 

4". L'article 119a befoin des éclairciflemens 
fuivans. L'on demande i°. Pourquoi MF = jMG, 
lorfque les rayons incidens PM font perpendicu- 
lairesfùr l'axe AP , ( F/g. 10 1 PI. 6. ). L'on répond 
que lorfque les rayons incidens P M font perpen- 
diculaires fur l'axe AP , ils font par là même pa- 
rallèles entr'eux ; & puifqu'àlors l'on a eu {art. 
115) MF = \ M G ; l'on doit avoir ( art. 119), 
en faifant la même fuppoiition , MF^jMG. 

L'on demande 2 . Si la conftru&ion abrégée 
dont parle M. le Marquis de l'Hôpital , eft préfé- 
rable à celle qu'il donne d'abord. L'on peut ré- 
pondre hardiment que non. Cette conftru&ion. 
n'eft bonne que pour ceux qui voudroient s'épar- 
gner la peine de chercher le rayon de la dévelop- 
pée de la parabole. Ce rayon fe trouve très-facile- 
ment par l'article 84. 

L'on demande 3°. Pourquoi , lorfque le rayon 
réfléchi eft parallèle à l'axe , l'on aMF^PQ 
(F/g. 10 1. VI 6. ). Pour répondre à cette queftion, 
l'orf n'a qu'à démontrer que dans la même figure 
l'on a ML = LQ. En effet l'angle QJMA = l'an- 
gle QMD, puifque ce font les deux angles droits 
formés par le rayon MC de la développée avec la 

23 



358 Commentaire 

courbe AMD. De plus, l'angle d incidence AML 
eft égal à l'angle de réBéxion NMD ; donc l'angle 
reftant L M Q. eft égal à l'angle reftant Q.M N. 
Mais à caufe des parallèles MN, AO, l'on a 
LQ.M— Q.MN;doncLMQ.= LQ.Mî donc 
les angles fur la bafe M Q. font égaux ; donc M L 
= LQ.. Pour trouver dy = dx , il faut imaginer 
au point M un triangle infiniment petit , femb'a- 
ble au triangle ifofcéle M L Q. dont les 2 côtés ««(y, 
dx foient homologues aux deux côtés ML, LQ.. 
L'on demande 4 . comment \/7c — yy divilé 

par t-K-y donne -, . ■ • L'on répond que - " yy ~ 



\/t — )X(4»_ \/t — > - 



y 

. Il n'eft pas néceflai- 



\/t -+- y x t -4- y }/t H- y 

re de faire remarquer que i v on trouve dy 1 — tyddy 
=== dx 1 , en maniant fuivant les régies ordinaires 

.,, ydx x -+• ydy % d<. z -+■ dy z , , n 
iequauon- — : —-—-=: -——. 11 n eit pas 

^ dx — dy 1 - — zdiy r 

plus néceflaire de faire remarquer que l'équation 
%Z =z -* 7 u? — f un -+-\u que l'on trouve fur la fin 
de; l'article 119, n'eft pas différente de l'équation 
a^ = -—u^ — ■ | auu -}- - a au , parce que a — 1 , 
Ce n'eft que par la loi des homogènes qui exige 
que tous les termes de l'équation ayent les mêmes 
dimenfions, que l'on a fait entrer tantôt a , & 
tantôt aa dans l'équation primitive. 

5 . Pour comprendre l'article 120 , on fera 
attention à ce qui fuit. i°. Une perpendiculaire 
cirée du point C fur le rayon M F prolongé ( F/g. 



des Infiniment Petits. 359 

102 , PL 6) couperoit ce rayon réfléchi dans un 
point où il feroit égal à la ligne appellée a à l'ar- 
ticle 113, comme il eft aifé de s'en convaincre en 
examinant la figure 97 de la planche 5 ; donc une 
perpendiculaire tirée du milieu de M C fur le ra- 
yon réfléchi M F rencontrera ce rayon dans un 
point où il fera égal à { a , c'eft- à-dire , le rencon- 
trera au point F ; car MF = ^, lorfque les ra- 
yons incidens P M font perpendiculaires fur l'axe , 
comme nous venons de le remarquer au num. pré- 
cédent de cette note. 2 . Si M F = \ a , l'on aura 
MF = :MP, parce que la ligne M P de la figure 
102 repréfente la ligne M E ou la ligne a de la fi- 
gure 07- 3°- Pour fe convaincre que la cauftique 
A F eft triple de M F , il faut fe rappeller que A F 
( an. ,,o) = PM + MF. Or P M = 21M F ; 
donc AF= 3MF. 4°. Si l'angle ACM ou PCM 
eft de 45 , l'angle d'incidence PMC fera de 45 ; 
donc l'angle de réflexion CM F fera de ^'\ ; 
donc l'angle total P MF fera droit , & par con- 
féquent M F fera parallèle à A C. 

6°. On peut demander en lifant l'article 121, 
pourquoi K D = \ A D ( Fîg. 1 03 , PL 6 ). Pour 
répondre à cette queftion , on fera remarquer que 
lorfque AD eft le rayon incident, alors DK eft 
le rayon réfléchi. Or de même que M F eft \ AM , 
de m5me D K eft f A D. On peut encore deman- 
der pourquoi M F eft parallèle à A D , lorfque 
A M eft égal à A C L'on répondra que lorfque 
A M — AC , alors le triangle A C M eft équi- 
lateral ; donc chacun de les angles vaut 60 de- 

Z 4 



560 Commentaire 

grés ; donc l'angle de réflexion C M F néceffaire- 

ment égal à l'angle d'incidence A MC , vaudra 

60 degrés j donc "les angles alternes ACM , CMF 

feront égaux ; donc les lignes AD, MF feront 

parallèles. 

7°. L'article 122 n'a befoin d'aucun commen- 
taire. Il n'en eft pas ainfi de l'article 125. En le 
Jifant , on le fouviendra d'abord que M G, ( Fig. 
105. PI. 6 ) eft une partie du rayon de la déve- 
loppée, laquelle partie eft parallèle & égale à NB, 
& que pour trouver M F = MQ== P N , il faut 
imaginer une perpendiculaire tirée du point G au 
point F , pour avoir le triangle rectangle M F G 
égal au triangle rectangle M Q_G , à caufe du 
côté commun MG & de l'angle de réflexion GMF 
égal à l'angle d'incidence G M P. On fe fouvien- 
dra enfui ce que û le rayon incident PM partoit 
du centre C du cercle ANB , l'on auroit l'angle 
d'incidence F M G de 45 degrés, à caufe du trian- 
gle rectang ; e ifofcéle BPN. On fe fouviendra en- 
core que , par la nature de la roulette , l'on a L ï 

— AI, & que pour trouver du = — ', il faut 

imaginer prés du point I un triangle rectangle in- 
finiment petit , femblable au triangle rectangle 
CKI , dont la différence de A I & la différence de 
ÎH feront en proportion avec CI & IH. L'on aura 

donc du : dx : : a : y ; donc du — t^. L'on fe fou- 

y 

viendra enfin que îa nature du cercle donne AH 
? IH ; ; IH : HB ., ou ,yy = zçix — xx ; donc 7ydy 



des Infiniment Petits. 561 

~ 2adx — ixdx ; donc — iydy = ixdx — iadx. 
Les défauts de proportion qui le trouvent dans la 
6gure 105 , fe corrigent d'eux-mêmes, & ne lçau- 
roient induire dans aucune erreur. 

8°. L'article 1 24 fe préfente de lui-même. Pour 
comprendre facilement l'article 1 25 , il faut relire 

l'article 100 dans lequel GC= 7 M G. A 

l'article 1 25 l'on a b = a à caufe de l'égalité des 
cercles mobile & immobile ; l'on aura donc G G 

= — MG ,ouGC — iMG(F/g. 106. P/. 6). 

Les autres articles de la 6 e . fection ne font ni 
affez intéreffants , ni aflfez difficiles pour mériter- 
un commentaire. 

NOTE LU. 

D a n s la fe&ion 7 e . M. le Marquis de l'Hôpi- 
tal fe fert du calcul des différences pour trouver 
les cauftiques par réfraction. Il fuppofe que celui 
qui en entreprend la lecture , eft au fait de ce 
oui arrive à la lumière , lorfqu.'elle travene les ver- 
res convexes & concaves. Nous le luppoierons 
auffi dans cette note. Ce qui nous engage à fup- 
primer une pareille diiïertation , c'eft que nous 
avons déjà traité cette matière aux articles de 
notre Dictionnaire de Phyfique qui commencent 
par les mots Réfra5lion> Dioptrique , Lunette , Mi- 
crofeope & Telefcope. Cette note ne roulera donc 
que fur les articles 135, 136, 137, 130» J 4 T •> 
142 & 144 ; ce font les feuls qui ayent beioin de 
quelques éclairciffements. 



362 Commentaire 

i°. Pour comprendre la fin de l'article 135, 
vous remarquerez ce qui fuit. i°. m eft infinie par 
rapport à n , lorfque n=^o. 2 . L'on a « = , 
lorfqu'il n'y a point de réfraction , c'efl-à-dire , 
lorfque le rayon incident B M ( Fis;. 1 1 1 , PL 6 ) 
eft perpendiculaire à la courbe AMD. 3 . Lorfque 
le rayon incident B M eft perpendiculaire à la 
courbe AiVID , il doit , après avoir traverfé cette 
courbe , fe confondre avec MC , perpendiculaire 
à A M D. 4 . Lorfque m eft infinie par rapport à 
n , l'on a i\lF=li, parce que la formule M F = 



bb 



— devient évidemment M F 



b<ny — any — aan 
Ibmy , 

bmy 

2°. M. le Marquis de l'Hôpital fuppofe que ce- 
lui qui lira l'article 136, a préfent à Tefprit ce 
qui arrive à un rayon de lumière qui pafie obli- 
quement , tantôt d'un milieu plus rare dans un 
milieu pius denfe, tantôt d'un milieu plus denfe 
dans un milieu plus rare. Dans le premier cas m. 
eft plus grand que n ; dans le fécond c'eft n qui 
eft plus grand que rn. 

3 . En lifant l'article 137, vous-vous fouvien- 
drez de ce qui fuit. i°. Lorfque les rayons inci- 
dens B M (7 ) font parallèles entr'eux , alors ils 

font infinis ; donc la formule MF = — r- 

my — ny ■% on 

devient , à caufe du terme infiniment petit ~jr bn , 

MF zzr — ■ =z — _ — . 2°. Lorfque les droi- 

my — ny m — n x 



des Infiniment Petits. 36$ 
tes a & b font infinies , alors les termes bmy , any 
font nuls par rapport aux termes aan , bbmy , par- 
ce que ceux-ci font des infinis du fécond genre , 
& ceux-là ne font que des infinis du premier genre. 
4°. L'article i 39 demande , pour être compris, 
les remarques fuivante^. i°. Dans la figure 1 15 
DN eft par rapport à BD ce que dans la figure 1 1 1 
M G {b) eft par rapport à B M. 2 . La cauftique 
entière HFN = AH — DN — f AC. Mais AH 
= 3AC , donc HFN — 3AC — \ AC — DN 

— 2 AC — \ AC — DN = 1 AC — DN. Mais 
DN' = CD - '— CN* = CD 1 — \ CD 1 , puifque 
par hypothéfe CN = \ CD ; donc DN 1 = AC 1 

— ± AC ; donc DN" = | AC 1 ; donc DN — 
|/| A C* ; donc DN = i AC 1/5 ; donc fi l'on a 
HFN = " AC — DN, l'on aura par là même 
HFN — Uc— j hC\/c,= 7 -^ AC. Tout 
ce calcul le rapporte à la cauftique HFN de la 
figure 115. 3 . Pour ce qui regarde la cauftique 
H F N de la figure 116, vous trouverez HFN = 
t=^ll AC , en vous rappellant que NK = \ A C, 
& que la cauftique HFN = 2 AC H- \ AK.En effet , 
CK — C N 1 — N K" = A G" - NK' = A C 1 — 
4 AC' = î AC ï ;doricCK = j/|.Ac J 1 ; donc CK 
= \ AC }/<?. Mais AK = AC — CK, donc AK 
= AC^AC|/5,donctAK=:|AC-|AC7/5 
- LAO — i ACj/5. Mais la cauftique HFN 
-. =CA + iAK;doncHFN = f AC + iAC 

— i AC |/ 5 = 2. AC — i AC |/ 5 - -; ; 5 AC. 
5 . L'article 141 fuppofe que l'on a préfent à 

l'écrit l'article 132. il fuit de ce dernier article 



364 Commentaire 

que B M — BA : LM : : m : n. Mais l'on a dans la i 
figure 1 1 8 PM = BM — B A , & AE = LM ; l'on 
aura donc PM:AE::w:h. 

6°. A la fin de l'article 142 , il eft parlé des; 
ovales de Defcartes. Cette matière eft traitée dans 
la feétion féconde du livre 2 de fa Géométrie. Vo- 
yez-en le Commentaire qu'en a fait le P. Rabuel 
Jéfuite, pag. 340 & fitivantes. 

7°. Pour comprendre la bonté de l'équation 

NF ■+- FH — - NC = HD - - D C de l'article 



144, il faut la transformer en celle-ci , FH =$ HD 
. — NF h- - NC — — DC , & fe rappeller enfuite 
l'équation de l'article 1 3 2 , où l'on lit FH = AH 
-MF + -BM--BA. Il faut encore avoir 

m m- 

en même tems fous les yeux les figures 1 2 1 & 1 1 2 , 
parce que H D elt pour la figure 121 ce qu'eft AH 
pour ia figure 112. lien eil de même de NF, 

- N C , — DC ; ils font dans la figure 1 2 1 ce que 
font dans la figure 112 M F , — B M , -BA. 

m m 



NOTE LUI 

JLi a Section 8 e . contient 1 1 articles qu'il eft 
nécefiaire de commenter ; ce font les articles 
147, 148, 151,152, 155 , 156 , 158 , 159, 
160 , 161 & 162. 

i°. L'article 147 eft très- difficile 5 en voici le 



des Infiniment Petits. 365 
commentaire. i°. L'équation xx z=z ^ay — /\yy 
eft un lieu au petit axe A B de la demi-ellipfe 
AMB, Fig. 122. PI. 7. Ce petit axe a pour pa- 
ramétre 4« , parce que le petit axe : au grand 
axe : : le grand axe : au paramétre du petit axe. 
L'équation a ce même petit axe eft la fuivante , 
AP l : A Q.X B Q. : : le paramétre du petit axe : 
au petit axe ; donc xx : ay ~yy y: 4a :a', ce qui 
donne évidemment xx = 4^' — W- Relifez la 



note s e - 2°- Pour trouver AK= — , il faut 

, y T 

d'abord tirer de l'équation xx r=r ^ay — ^yy la 
valeur de 2xx = Say — %yy ; il faut enfuite con- 
clure que ày — - * par là même que xdx =■ 
2ady — %ydy. Cela fait vous introduirez ces nou- 
velles valeurs dans l ? équation AK - • — d __~ 2 ,j x t 
Se vous trouverez après un très- grand nombre d'é- 



quations & de transformations AK = — . 3 . La 

parabole qui a pour fommet le point A eft afymp- 
totique de celle qui pane par tous les points C , 
parce que toutes ces paraboles ont , avec le même 
paramétre 4AB , différents fommets fur le même 
axe ; donc leurs différentes branches s'approche- 
ront continu;i.ement , fans pouvoir jamais le tou- 
cher. 

2 . L'article 148 ne demande que cette feule 
remarque : l'on trouvera PQ.( Fig. 1 2 3. PL 7. ) = 

-— , en imaginant au point M un triangle infini- 



àx 



3 56 'Commentaire 

ment petit , femblable au triangle MPQ, dont les 
deux côtés dx , dy feront homologues à PM , PQ. 
Il n'efl pas néceflaire d'avertir que dans ce même 
article l'on a PC* = KC' + PK 1 par la 47 e . propo- 
fition du livre 1 des élémens d'Euclide , & non pas 
par la propriété du cercle. 

3 . M. le Marquis de l'Hôpital a fuppofé dans 
fon article 1 5 1 que 1 on avoit prêtent à l'efprit 
l'article 1 1. 

4 . A l'article 1 5 2 l'on a AT ( Fig. 1 25. PI. 7 ) 

, parce que l'on a évidemment AP : A M : : 



a a 
x 



A M : AT , ou x : a : : a : AT = — . Mais ( art. 

X v 

15 o) AT : AP : : AP : AK , ou ^ : x : : x : AKi 

donc AK = — L'équation que l'on trouve à la 

fin de cet article prouve que la courbe B C D eft 
une courbe du troifieme genre. M. Varignon eft 
parvenu d'une manière plus fimple à une équa- 
tion qui prouve la même vérité. Voici comment 

il raifonne : Puiique QC ±± — , l'on aura C? = a 



— ^. Ainfi QP ( a ) : QA {y ) : : CP (a — -f ) 

: C1C ( x ) '•> donc a\ :=: — — 5 donc aa\ = aay 

— xxy donc a 4 ^ 1 = côy x — 2a L x r y' h +x 4 j x . 
Mais le cercle BMD donne AP x PT = PM 1 , ou , 
a z - x 1 =y* ; donc «Y = a 6 — $a*x z -+- 3a V - x% 

donc Y'a^i 1 - —a*- — x 1 . Mais u z= — , donc x* 



au 



des Infiniment Petits. ^Sy 
k= aau } donc x = j/ auu ; donc xx = ~\/ u *uu ; 

3 3 3 

donc V'^ V" — a ~ — X/^uu ; donc a y a^- == 

3 3 3 

aa — a y 'au 1 - ; donc j/^ 1 = « — |/*" a ; donc 
l'équation de la courbe BCD prouve que c'eft ici 
une courbe du troifieme genre. 

5°. La propcfition énoncée par l'article 155 eft 
démontrée dans tous les Traités de Méchanîque , 
& nommément dans celui de M. l'Abbé de la 
Caille , art. 364 , pag. 113. 

6°. Le mot fefquialtere pourroit embarrafîer un 
Commençant. Etre lefquialtere , c'eft avoir la 
moitié en lus ; a lera felquialtere de h , fi l'on peut 
dire , a - \ b. Si la portion ND de la courbe DNF 
(F/g 1 25. P/. 7. ) étant multipliée par le rayon AB 
eft felquialtere du fegment circulaire D M P , il 
s'enfuit que la courbe entière DNF eft égale aux 
trois quarts de BMD , quatrième partie de la 
circonférence du cercle. En voici la démonftra- 
tion , elle eft de M. Crouzas. DNF x AB eft trois 
moitié de leipace BADMB. Mais l'efpace 

BADMB^ABx^^onc DNFxAB 

2 

= |ABx~= \ ABDMB; donc DNF 



4 



bjDM B. Ces deux remarques ont été nécefTai- 
res pour l'intelligence de l'article 1 5 6. 

7 . L'article 158 préfente deux points qu'il 
faut néceflairement expliquer. r°. Pour fuivre M. 
le Marquis de l'Hôpital , lorfqu'il parle de la 



568 Commentaire 

différence de u y~^L —y 3 i\ faut fe rappelîeij 

v aa — x< 

qu'après avoir cherché cette différence par les ré-J 
gles ordinaires , il parvis .: à une fraction dont ili 
fait le numérateur == 0. 2 . Après avoir trouva 

PK _ ml -+- mmx 3 il faudra chercher MC ( FigM 

aa 

1 27. PI . 7 ) — mrn ~ + ~ mx . Pour le trouver , il fau-1 
dra fe fouvenir que NK=PK— PN=J 
gL±gg _ m =- ml ^ mm * *~ aam . Il faudrJ 

aa aa 

faire enfuite la proportion fuivante ; PN ( m ) M 
MN(a)::NK( — ) : M L — I 

am*> -+- ammx — a 3 w mm -4- ma: — aa Mak MCI 

= MN^NC = g + w ""*" W3f ^ < ' a idoncMci 

a 
mm -+- mx 

a 

8°. Prenez garde , en lifant l'article 159, que 
les lignes LM , lm ( F/g. 1 28. P/. 7 ) peuvent êtrJ 
confidérées comme parallèles , parce qu'elles for-l 
ment un angle infiniment petit. Il en eft de même! 
de plufieurs autres lignes qui fe trouvent danJ 
cette figure. 

9°. L'on aura la valeur de MC énoncée dans. 
l'article 1 60 , en difant m -+- w '-m : : M C+ C Ni 
(«):MC. ' 

io°. Avant que de lire l'article 1 61 du Trait! 

des'. 



Planche 1 




Huître Scaivsit. 



Planche 2>. 




F F E p_p 



Flanche 3- 



L A 




JPlanche ^ 




Faitrr Sculpsit- 



FLmclw \§ ■ 



M 




. 



E> 













Flanche 6- 






A 


C 




J3 






liRK Q 


2 


^-^G 


E 


B 


B 


<^](k 




i/6\ 


B 


H 




A 1 


( 








B AE 



JPcaure ifciUpsit, 



Planclie 7- 




M*L*!*L".««J« 



Planche 8 




PE Q 



^165. 



des Infiniment Petits. 369 
des Infiniment Petits, il ne feroit pas mal de lire 
les articles 155 & 156 du Traité des Sections co- 
niques de M. le Marquis de l'Hôpital. 

1 i°. Dans l'article 162 l'on ne peut ^as tirer 
M D parallèle à LN ( F/g. 128 PL 7. ) fans avoir 
MD : ML : : EF : EG; en voici la preuve Si les 
lignes M D & L N font paralU les , l'on aura l'an-* 
gle MDL égal à fon alterne ELG. Cela fuppofé , 
voici comment je raifonne : EF : EG : : le finus 
de l'angle ELF : au finus de l'angle RLG. Mais 
M D : M L : : le finus de i angle DLM , ou ELF : 
au finus de l'angle MULou h. LG ,• donc fi M D 
& LN font parallèles , l'on aura M D : M L : : 
EF : EG : : bbgh : acef— ccfh ; donc M D : ML 

( b ) : : bbgh : acef- ccfh ; donc M D = -^-^ ; 

eccj — c.jh. 

donc par là même que M D fera parallèle à LN , 
l'on aura M D = — c g ~ „ . 

accj — ccjti 



NOTE LIV. 

J j a plupart des articles de la feftion neuvième 
que nous avons éclaircis , ne pouvoient gueres fe 
paffer de commentaire. Le Lecteur n'en fera que 
trop convaincu , en jettant les yeux fur les numéro 
6 , 8 , 9 & iode cette note. 

i°. L'équation que donne la fuppofition de 

PN 
l'article 163 eft PM = — (fig. 130. pi. 7). Il 

s'enfuit de là que lorfque M. le Marquis de l'Hô- 

Aa 



570 Commentaire 

pitaî dit que P M — — =j^ — , il prend évidem- 
ment la confiante A B pour l'unité. 

2°. Dans les articles 164 & 165 M. le Mar- 
quis de l'Hôpital différencie le numérateur de 
chaque fraftion , en le confidérant non pas com- 
me numérateur , mais comme une quantité ifo- 
lée. Il tient la même conduite vis-à-vis le déno- 
minateur. 

3 . Pour comprendre la fin de l'article 169 7 
il faut relire la fin de l'article 89. 

4 . C'eft par 1 article 170 que l'on fait à l'ar- 

ticie 171 y — — . 

' a 

5 . La proportion de l'article 178 n'efl bonne y 
que parce qu'on confidére l'arc infiniment petit 
Mm ( fig. 155 , 136 , pi. 7 ) comme la mefure 
de l'angle MGm. Or on a droit de le confidé- 
rer ainfi, puifqu'il feroit confondu avec un arc 
de cercle infiniment petit M m qui auroit pour 
rayon G M, pour centre le point G , & qui par 
là même feroit la mefure de l'angle MGm. 

6°. L'on a , à l'article 180 , MïxMG = 
BM x MN, ( fig. 136. pi. 7 ) parce qu'il eft 
démontré dans tous les élémens de Géométrie 
que, deux lignes qui fe coupent dans un cercle, 
fe coupent en raifon réciproque. 

S'il s'agit de prouver dans ce même article 
qu'au point d'inflexion F , la ligne MR eft plus 
grande que la ligne M G , il faudra d'abord fup- 

po r cr pour un moment que \/ a . ah ~ bcc =.\/a<i~cC' 



des Infiniment Petits. 571 
Cite fuppofition vous donnera a = c , ou KN 
— KM; ce qui eft impofïïble. Il faudra enfuite 

fuppofer que \/ aab ~ *** eft plus grande que 

\/aa — ce ; cette féconde fuppofition donnera, c 
plus grand que a, ouKM plus grand que K N ; 
ce qui eft encore impofïïble ; donc au point d'in- 
flexion F l'on aura M G moindre que MR- Enfin 
l'on ne peut pas fuppofer, ainfi qu'on l'allure fur 

la fin de l'article 180, que|/~=^ c - (bit plus 

grand que a — c 3 fans avoir KM ( c ) plus grand 

que ~ — . La preuve en eft renfermée dans le 

calcul fuivant II n'eft pas néceffaire d'avertir que 
le ligne > fignifie plus grand. 



V 



aab — bec 



2j-t- b 
a.ib — bec 



> a — c par hypoîhéfe. 

> aa — zac h- ce 



2-a-î- b 

aab — bec > ia J — ^aac + 2acc+aah — zalc-rlcc 
> ta} — û^aac -+- iacc — talc -i- zbec. 

Cette dernière équation fignifie que les quantités 
/^aac & iabc affectées du ligne — furpâiï;nt ies 
quantités 20? , tacc 8c ibec affectées du ligne -h. 
Reprenons ce calcul. 

qaac + 2abc > ia? -r wee ■+- ibec 
zaac -+* abc > a' ■+■ ace -+- bée 
aac ■+■ abc > a' — aaç -h ace -,'- bec 
aac _}_ abc - ace— bec > a 1 — aac. 

Divifons ces deux quantités par a -f- b , nous aurons 

Aaz 



37? Commentaire 

a$ — aac 

ac CC > — — 

a -+- b 

aa x a — c 



~cXe> 
c \ 



a-+- b 
aa 
a H- b 



Donc fi l'on fuppofe j/'J±=±5 plus grand que. 

— c , l'on trouvera c plus grand que „ 

7 . L'on peur demander en lifant l'article 182, 
pourquoi GM??j + MGg(fig. 135. pi. 7.) = 

i — ~r M G g 4- - — ; K G g. L'on ré- 

o aab 

pondra que GMw + MGg= -^— b — MGg •+. 



MGg-4- a ^ Ax ; c ~^ KGgr=^±-^MGg 



^ » * «— « + 4 X « — aa lr ,-, 

*fc - M Gg -j ; KG2, parce que 

o . aab 

=z jj &: que M Gg = 1 M G g. Mais 2a ~ f " ' 
IWG^4-iMGg = ™^ MGg- donc &c. 

O O 

8°. L'article 183 prélente une autre folution 
au problême de l'article 182. Il fe comprend à la 
première leéture , lorfqu'on fe rappelle que , par 
?a propriété du cercle , P E 1 (fig. 140. pi. 7 ) == 

A ? X P V == icu — uu ; & que EM(j/) = ^ 
(art, 171)3, = ~, devient parla même •**! 5 



des Infiniment Petits. 373 
parce que OBl*):KB(«)::KB(*):AK 
( c ) ; donc aa — bc ; donc fi l'on aEM = 

— y 1 on aura E M = -r 1 . 

aa " bc 

L'on afîure à la fin du même article 185 que 
par là même que l'efpace AEH = au rectangle 
PQ., moins le double de l'efpace circulaire APE , 
l'on aura AEH=PËxKA + KPxAE. Le 
calcul fuivanc va mettre cette vérité dans tout 
fon jour, 

Je nomme A K , « ; K P , & ; P E , es EH, 
ou l'arc AE, d. Cela fait, voici comment je rai- 
fonne : le rectan gle P Q= ÂkTkT X Pfc + hH 
= a-i-è Xf-f d = ac -+■ bc-*- ad -\-bd. 

L'efpace circulaire APE = AKx;AE-i-KP 

X|PE = -+-; donc zA?E = ad + bc , 

donc le rectangle PQ. — 2APE = ac + bc-had 
•+-bd — ad — bc = ac -4- bd. Mais P E xAK + 
K?xAEz= ac +bd. Donc fi l'efpace A E H eft 
égal au rectangle P Q , moins le double de l'efpa- 
ce circulaire A P E , il fera par là même égal à 
PE x KA + K P x A E. L'on a fuppofé dans ce 
calcul que le point P tomboit au deflbus de K ; 
car lorfqu'il tombe au deflus , l'on a A E H = 
PExKA — KPxAE. 

9 . Pour comprendre l'article 185 , voici ce 
qu'il faut fe rappeller. i°. L'efpace AEM — 

aa -+- ai ___ aa ~j- ab -, . _,_ 

— y c — PExKAH y K^xAli. MaisKP 

= KV-YP=»-fj donc — K.P = c— «; 



374 Commentaire 

, aa -4- ab -— — aac-+-abc — aau — ahu 

donc — KPx A E = , — X 

bc bc 

AE. 2°.Lefe6teur ARE=- x AE = - X 

2 2 

AE. 3°. L'efpace AEM -4- le fe&eur AKE = 

aa -4- ab -— ; — — — , aac -4- <2#c — aau — abu . _ 

—7 — piixKAH — - ; A E 

bc bc 

4- - X AE ; donc l'on aura l'efpace AEM 
-f- le fêter AKE = g * 7*" ab p n x K a + 

aaac -+- 2tfyf — 2aau — 2.z£z; -4- £<rc . t, ^ 

- — - A E. 4°. On ne 



tàc 



peut pas faire dans ce-jtiême article 185 , a =s 

2tf<zc -f- 2dic — (- foc r r ■ 1 

• ; lans faire zaau -4- 2 abu ■==■ ïaac 

2aa -+- zab 

Hh 2abc 4- £fc, & par conféquent fans rendre nulle 

1 . 2aac-h- zabc-^-bcc — ïaau — zabu A -r-i 

la valeur ! A E. 

zèc 

io°. Le dernier article de la neuvième fection , 
c'eft-à-dire , l'article 186 préfente quelques diffi- 
cultés que nous allons cclaircir en peu de mots. 
I ° . Si x = \/\ aa , l'on aura xx =laa,&c ixx 

— aa ; donc en faifant x = }/{âa , le dénomina- 
teur de la fraction -—====' deviendra , ce 

V 2.x x — aa 

qui efl une marque de l'infini. 2 . Lorfque le 
point M ( Fig. 141. PL 7, ) tombe en D , l'on a 

AM=AD, ou x — # ; donc Ton a — — = 

2aa 

■y 

— ~2 = ^~la, 3 e ?. Pour tirer de l'équation y 



des Infiniment Petits.' 57c 
= x 4 -4- aaxx — & 4 la valeur de D D ou 1 A D 
( F/g. 142. PL 7 ) , M. le Marquis de l'Hôpital a 
iaitPM=0, parce que dans cette fuppofition 
l'on a A D = x. lia enfuite cherché la valeur de 
x , en maniant fuivant les régies ordinaires , l'é- 
quation x 4 -+- aaxx — & 4 — s & il a trouvé x = 
J/" — \ aa ■+- ~ \/a* -t- 4*+ , & par conféquent 

;AD ou 2X = J/ — 2aa -+- 2 \/ a * x -+- 434. 

NOTE LV. 

8 j a dixième fection eft fans contredit la moins 
importante de toutes. Elle n'apprend que ce que 
fçavent tous les Mathématiciens , c'eft-à-dire , 
que par le calcul des différences on réiout beau- 
coup plus facilement que par toute autre métho- 
de , les problêmes propofés dans les neuf feétions 
précédentes. Pour fe convaincre de cette vérité , 
il ne fera pas néceflaire de lire les 2 2 articles qui 
compofent la dixième fedlion ; on pourra fe con- 
tenter de la lecture de Y article 208 ; on verra 
combien compliquée eft l'équation que donnent 
les méthodes qui ne font pas fondées iur le cal- 
cul différentiel , dont M. le Marquis de 1 Hôpi- 
tal nous a donné les résjes avec autant de clar- 
té , que de précifion dans fon Analyfe des Infini- 
ment Petits. 



3/6 



TABLE. 



ECTION I. Ou l'on donne les régies du calcul 
différentiel ( P a ge i- 

Proposition I. Ou l'on en feigne à prendre la diffé- 
rence de plujïeurs quantités ajoutées enfemble , ou fouf- 
tcaiies les unes des autres. 4 

Proposition II. Ou l'on enfeigne à prendre la 
différence d'un produit fait de plujïeurs quantités mul^ 
tipliées les unes par les autres. j 

Proposition III. Où l'on enfeigne à prendre la 
diffenace d'une fraâion quelconque. 6" 

Proposition IV. Oit l'on enfeigne à prendre la 
différence d'une puiffance quelconque parfaite ou impar- 
faite d'une quantité variable. j 

SECTION II. Ou Von fait ufage du calcul des 
différences pour trouver les tangentes de toutes fortes 
de lignes courbes. l 4 

Proposition I. Ou l'on enfeigne la méthode de 
tirer d'un point donné une tangente fur une courbe dont 
on connoit la relation qui règne entre la coupée & l'ap* 
pliquée. l 4 

Les 15 Propofitions fuivantes de la même Se&ion con- 
tiennent des Problèmes analogues aux tangentes. 

SECTION III. Où l'on fait ufage du calcul des 
différences pour trouver les plus grandes ou les moin- 
dres appliquées. 57 

Proposition générale. Où l'on enfeigne la 
méthode de trouver la plus grande , ou la moindre ap- 
pliquée , la nature de la ligne courbe étant donnée. 38 

SECTION IV. Ou l'on fait ufage du calcul des 

différences pour trouver les points d'inflexion & de re- 

èrouffement, D '.? 

Proposition I. 



TABLE. 577 

PROPOSITION I. Ou Von enfeigm à prenne la 
différence d'une quantité compofée de différences quelcon- 

P ITp osition H. Ou l'on apprend à déterminer le 

point d'inflexion ou de rebrouffement , la nature de la 

ligne courbe étant donnée. 4 

SECTION V. Ou Von fait ufage du calcul des dijfe- 

rences pour trouver les développées. l °Z 

Proposition I. Ou Von apprend a déterminer la 

longueur du rayon de la développée. *o.5 

Proposition II. Ou Von apprend a trouver le 

point où l'axe touche la développée. * l 4 

PropositionHI. Oh Von apprend a trouver une 

infinité de lignes qui aient la même développée. 144 
SECTION VI. Ou Von fait ufage du calcul des 

différences pour trouver les cauftiques par réflexion. 14b. 
Proposition I. Ou l'on enjeigne a trouver fur la 

rayon réfléchi , donné de pofuion , le point ou il touche 

la caujlique. ..'*«■■«« 1 ■ 

P r o p o s 1 T 1 o N IL 0« l'on réfout le Problème Jui- 
vant : la cauftique par réflexion étant donnée avec le 
point lumineux , trouver une infinité de courbes , dont 
elle foit caujlique par réflexion. ,' ? j 

SECTION VII. Ou Von fait ufage du calcul des 
diffcrences pour trouver les cauftiques par réfraction. 1 71 

Proposition I. Ou l'on enfeigne a trouver Jur le 
rayon rompu, donné de pofuion , le point ou d touche 
la cauftique par réfraction. Z J3 

P r o p o s 1 T 1 N 1 1. Où Von réfout le Problème fui- 

vant : la cauftique par réfraction étant donnée , avec 

fin voint lumineux , & la raifon de m à n ; trouver 

une infinité de courbes dont elle foit cauftique par ré- 

traction. . , 

S È C T 1 O N V 1 1 L Ou Von fait ufage du calcul des 
différences pour trouver les points des lignes courbes 
qui touchent une infinité de lignes données de pofuion , 
droites ou courbes, Bb ' 



3?8 TABLE. 

Proposition I. Où l'on enfelgne a trouver une 
ligne courbe qui touche une infinité de paraboles qui 
paffent toutes par un même point. 18 y 

Les S Propositions fuivantes contiennent des Problèmes 
analogues au fujet expofé au commencement de la 
Seftion VIII. 
SECTION IX. Ou l'on trouve la Solution de 
quelques Problêmes qui) dépendent des méthodes précé- 
dentes. zoG 
Les Problêmes réfolus dans cette Se&ion font au nom- 
bre de $. 
SECTION X. Ou l'on trouve une nouvelle manière 
de fe fervir du calcul des différences dans les courbes 
Géométriques , d'où l'on déduit la méthode de M TS . Def- 
cartes & Hudde. 233 
Cette nouvelle méthode efl employée dans les 7 Piopo- 

ficions qui forment cette Se&ion. 

COMMENTAIRE des articles les plus difficiles 

de l'Analyfe des Infiniment Petits. 2,5.7 

Note I. Analogue à l'article 2. 23? 

Note II. Analogue à l'article $. 238 

Note III. Analogue à l'article 6. 26 'z 

Note IV. Analogue à l'article 7. 264 

N T e V. Analogue à la Seâion féconde conjidérée en 

général. 273 

N o T E V I. Analogue à l'article 5). 283 

N o T e V 1 1. Analogue à l'article 1 1. 284 

Note VIII. Analogue à l'article 12. 28$ 

Note IX. Analogue à l'article 13. 234 

Note X. Analogue à l'article 14. 23J 

N o T e X I. Analogue à ? article \$. 30 Z 

Note XII. Analogue aux articles 17 & 18. 303 

Note XIII. Analogue à l'article 21. 304 

Note XIV. Analogue à la Propofition $ de la z'. 

Seâion. 006" 

Note XV. Analogue à la Propofition 6 de la même 

Section. 008 



TABLE. 379 

NoTB XVI. Analogue à l'article 0.6. 30S 

Note XVII. Analogue à la Propofu'wn 8 de la 2 e . 

Section. 3°S 

Note XVIII. Analogue à la Propojition p de la. 

même Section. ■ 3 l ° 

Note XIX. Analogue à l'article 31. 3 ZZ 

Note XX. Analogue à l'article 32. 312 

Note XXI. Analogue à l'article 34. 313 

Note XXII. Analogue à l'article 26. 313 

Note X X I I 1. Analogue à l'article 39. 314 

Note XXIV. Analogue à l'article 40. 31 S 

Note XXV. Analogue à la Proportion 16 de la 2e: 

Section. 3 l 3 
Note XXVI. Analogue à la troifieme Seàion con- 

fiièrée en général. 3 

Note XXVI I. Analogue à l'article 48. 321 

Note XXVIU. Analogue à l'article 49. 322 

Note XXIX. Analogue à l'article jo. 322 

Note XXX. Analogue à l'article %X. 3 22 

Note XXXI. Analogue à l'article $2. 323 

Note XXXII. Analogue à l'article $3- 3 2 4 

Note XXXIII. Analogue à l'article 54- 3 Z 4 

Note XXXI V. Analogue à l'article 56. 325 

Note XXXV. Analogue à l'article 58. 3 2 S 

Note XXXV 1. Analogue à l'article 50. 3 2 7 

Note XXXVII. Analogue à l'article 61. 329 
Notes XXXV III. XXXIX- XL. Analogues à 

la Seâion 4e, confiièrèe en général. 33 z 

Note X L 1. Analogue à l'article 66. 34° | 

Note XL1I. Analogue à l'article 67, 344 

Note X Ll 1 1. Analogue à l'article 68. 344 

Note XLIV. Analogue à l'article 69. 344 

Note X L V- Analogue À l'article 70. 345 

Note XLVI. Analogue à l'article 71. 34 ô 

Note X L V I 1. Analogue à l'article 72. 34 8 
Note X L V I I I. Analogue à l'article 73. 3*0 

Note X L I X. Analogue à l'article 74. 330 



380 TABLE. 

NoTB L. Analogue aux principaux articles de la $:, 

Section. q s 2 

Note L I. Analogue aux principaux articles de la 6e. 

Section. 33$ 

Note L 1 1. Analogue aux principaux articles de la 

7e feciion. ^Sz 

Note LUI. Analogue au* principaux articles de la 

Se. feciion. 3&4 

Note L I V. Analogue aux principaux articles de la 

pe. feâion. j6 \g 

Note L V. Analogue à la l6"e. feâion conjidèrée en 

général. jy^ 

F IN. 



Fautes a, corriger. 



Page 6 ligne 20 - life\ -. 

page 12 ligne 4 ayypx life\ ayydx. Ces 
deux fautes ne font que dans quelques exem- 
plaires. 

page 38 ligne 20 de life\ des 

page 46 ligne 24 NQ. Ufe\ MQ. 

page 65 ligne 20 xx Hfe\ xx 

page 1 3 3 ligne 2 3 forre Ufeç forte 

page 195 ligne 7 Q.G Hfei .QG 

page 297 ligne 19 aXy life\ axy 

page 338 ligne 7 lJft\ dx x -\-dy 1 - }/dx z -hdy* 

— 1 dr.diy