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Full text of "Analyse des infiniment petits"

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John  J&ïïvxb 


IN  THE  CUSTODY  OR  TME 

BOSTON     PUBLIC   LIBRARY. 


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JJ.    M/T/7M. 


ANALYSE 

DES 

INFINIMENT  PETITS. 


ANALYSE 

DES 

INFINIMENT  PETITS 

Par  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital. 

Suivie  d'un  nouveau  Commentaire  pour  l'intel- 
ligence des  endroits  les  plus  difficiles  de  cet 
Ouvrage. 

Par  V Auteur  du  Guide,  des  jeunes ■'Mathémati- 
ciens dans  l'étude  des  Leçons  de  Mathéma- 
tique de  M.  l'Abbé  de  la  Caille, 


A      PARIS, 

Chez  Didot,  le  jeune ,  Quay  ces  Auguftins, 
du  côté  du  Pont  S.  Michel ,  à  S.  Auguftin. 


M.    D  C  C.    L  X  V  I  I  I. 

AVEC  APPROBATION,  &  PRIVILEGE  DU  ROI. 


ADAMS 


A P P RO BA T  I  ON 

J'AI  lu  ,  par  ordre  de  Monfeigneur  le  Vice-Chancelier,  Garda 
des  Sceaux  de  France,  un  imprimé  ayant  pour  titre:  Analyfc 
(les  Infiniment-Petits ,  far  M.  le  Marquis  Je  l'Hôpital  ,  dont  je  croit 
que  le  Public  verra  la  réimpreffion  avec  plaifir. 

APjris,ce  i3  Juillet  1766,    LA  CHAPELLE. 


PRIVILEGE  DU  ROI. 

LOUIS,  par  la  grâce  de  Dieu,,  Roi  de  France  Sç  de  Na- 
varre :  A  nos  amés  &  féaux  Conieillers  ,  les  Gens  tenant 
nos  Cours  de  Parlement,  Maîtres  des  Requêtes  ordinaires  de  no 
tre  Hôtel ,  Grand-Confeil  ,  Prévôt  de  Paris  ,  Baillifs  ,  Sénéchaux, 
leurs  Licutenans-Civils  ,  &  autres  nos  Jufticiers  qu'il  appartiendra  ; 
Saiut;  Notre  amé  P.  Fr.  Gueffier  ,  Libraire  à  Paris,  Nous  a 
faite\tofer  qu'il  défireroit  réimprimer  ou  faire  réimprimer  &  donner 
au  Public  un  Ouvrage  qui  a  pour  titre  :  Analyfe  des  Infinimcnts 
Petits  ,  pour  l'intelligence  des  lignes  cauibes ,  par  M.  le  Marquis  de 
t  Hôpital,  s'il  Nous  plaif.nt  lui  accorder  nos  Lettres  de  Privilège 
pour  ce  néceffaires.  A  ces  causes,  voulant  favorablement  traiter 
l*Expofant ,  Nous  lui  avons  permis  &  \  ermettons  par  ces  Préfentes  de 
réimprimer,faire  réimprimer  ledit  Ouvrage  autant  de  fois  que  bon  lui 
femblera.delc  vendre. taire  vendre  &  débiter  par  tout  notre  Royaume 
pendant  le  tems  de  neuf  années  confécutives  ,  à  compter  du  jour 
de  la  date  des  Prélentes  :  Faifons  defenfes  à  tous  ftr.primeurs  , 
Libraires ,  &  autres  perfonnes  de  quelque  qualité  &  condition 
qu'elles  foient  ,  d'en  introduire  de  réimpreffion  étrangère  dans 
aucun  lieu  de  notre  obéiffance  :  comme  auffi  de  réimprimer  ,  faire 
réimprimer,  vendre,  faire  vendre,  ni  contrefaire  ledit  Ouvrage, 
rn  d'en  faire  aucun  Extrait  ,  fous  quelque  prétexte  que  ce  puiffe 
être  ,  fans  la  permifîion  expreffe  &  par  écrit  dudit  Expofant  ou 
de  celui  qui  aura  droit  de  lui",  à  peine  de  confifeation  des  Exem- 
plaires contrefaits  ,  de  trois  mille  livres  d'amende  contre  chacun 
des  Contrevenans  ,  dont  un  tiers  à  Nous  ,  un  tiers  à  l'Hôtel-Dieu 
oe  Paris  ,  &  l'autre  tiers  audit  Expofant  ou  à  ceux  qui  auront  droit 
de  lui ,  &  de  tous  dépens  ,  dommages  &  intérêts.  A  la  charge 
que  ces  Préfentes  feront  enregiftrées  tout  au  long  fur  le  regiftre 
de  la  Communauté  des  Imprimeurs  &  Libraires  de  Paris  ,dans  trois 
mois  de  la  date  d'icelles  ;  que  la  réimpreffion  dudit  Ouvrage  ,  fera 
faite  dans  notre  Royaume  ,  &  non  ailleurs  ,  en  bon  papier  &  beaux 
caraéteres ,  conformément  aux  Réglemens  de  la  Librairie,  &  notam- 
ment  à  celui  du  là  Avril  1725  ;  à  psine  de  déchéance  du  pré-: 


ïent  Privilège  ;  qu'avant  de  l'expofer  en  vente  ,  l'Imprimé  qui  aura 
fervi  de  copie  à  la  réimpreffion  dudit  Ouvrage  ,  fera  remis  dans  le 
même  état  où  l'Approbation  y  aura  été  donnée  ,  es  mains  de  notre 
très-cher  &  féal  Chevalier- Chancelier  de  France  le  Sieur  de  La- 
moignon  ;  &  qu'il  en  fera  enfuite  remis  deux  exemplaires  dans 
notre  Bibliothèque  publique  ,  un  dans  celle  de  notre  Château  du  Lou- 
vre ,  un  dans  celle  dudit  Sr  de  Lamoignon  &  un  dans  celle  de  notre 
très-cher  &  féal  Chevalier,  Vice-Chancelier,  &  Garde  dès-Sceaux 
de  France ,  \î  Sieur  de  Maupeou  ;  le  tout  à  peine  de  nullité  des 
Préfentes  :  Du  contenu  defquelles  vous  mandons  &  enjoignons  de 
faire  jouir  ledit  Expofant  &  fes  ayant  caufes,  pleinement  Si  paifi- 
blement ,  fans  fouffrir  qu'il  leur  foit  fait  aucun  trouble  ou  empê- 
chement. Voulons  que  la  copie  des  Préfentes  ,  qui  fera  imprimée 
tout  au  long  au  commencement  ou  à  la  fin  dudit  Ouvrage ,  foit 
tenue  pour  duement  fignifiée  ,  &  qu'aux  copies  collationnées  par 
l'un  de  nos  amés  &  féaux  Confeillers  Secrétaires  ,  foi  foit  ajoutée 
comme  à  l'original.  Commandons  au  premier  notre  Huiffier  ou 
Sergent  fur  ce  requis ,  de  faire  pour  l'exécution  d'icelles  tous  actes 
requis  &  néceffaires,  fans  demander  autre  permiflïon  ,  &  non- 
obftant' clameur  de  Haro,  Charte  Normande,  &  Lettres  à  ce 
contraires  :  Car  tel  eft  notre  plaifir.  Donné  à  Compiegne  le 
vingtième  jour  du  mois  d'Août,  l'an  de  grâce  mil  fept  cent  foi- 
xante-fix,  &  de  notre  Règne  le  cinquante-unième  : 

Par  le  Roi  en  fin  Confetti     LE  BEGUE. 

Weffiflrè  fur  le  Rcgifre  XVIL  de  la  Chambre  Royale  &  Syndicale  des 
Libraires  &  imprimeurs  de  Paris ,  N".  976.  fil.  24-  conformément 
au  Règlement  de  1713.  à  Paris  ,  16  Septembre  1766. 

G  AN EAU,  Syndic. 

Je  fouffigné  ,  ai  cédé  le  préfent  Privilège  au  Sieur  Moutard  , 
Libraire  à  Paris  ,  &  à  Mad.  Veuve  Girard  ,  Libraire  Imprimeur 
à  Avignon  ,  pour  en  jouir  en  mon  lieu  &  place  ,  chacun  pour 
moitié.  Fait  à  Paris  ce  30  Décembre  1767. 

GUEFFIER. 


"*iiiiiTrinaw—BaM^MB— g^maaBM 

PRÉ  FA  C  E 

DE   L'ÉDITEUR, 

Où  Von  trouvera  es  qiCon  doit  penfer  dé 
f  Analyfe  des  Infiniment  Petits  ,  & 
des  divers  Commentaires  qui  en  ont  été 
faits* 

IL  eft  des  hommes  dont  le  nom 
feul  fait  l'éloge.  M.  le  Marquis 
de  Y  Hôpital  eft  de  ce  nombre  ;  aulli , 
en  offrant  au  Public  la  troifieme  édition 
du  Traité  des  Infiniment  Petits  ,  ne  nous 
jetterons-nous  point  dans  le  panégyri- 
que de  l'Auteur.  Pour  donner  feule- 
ment en  deux  mots  l'idée  la  plus  éten- 
due de  ce  rare  ôc  profond  Génie ,  nous 
ferons  remarquer  qu'il  a  vécu  dans  un 
fiécle  où  les  Mathématiciens  fe  propo- 
foient  ,  par  manière  de  défi  ,  les  pro«« 
blêmes  les  plus  embrouillés  ,  &  qu'il 

a 


ij  P  RE  F  J  CE. 

ne    fe    trouvoit    dans    le    monde    que 
M.  M.    Newton   y     Leibniiz  5    les    deux  ■ 
Bernoully  ,    Huygkns   ,    &    M.    le    Mar- 
quis    de    l'Hôpital    qui   fullent   en    état 
d'en  donner  la  folution.    Nous  ajoute- 
rons   que  ,   loifque    M.    Huyghens   vou- 
lut  s'adonner  au  calcul  différentiel  ,    il 
.    s'adreiîa  à  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital , 
fous  la  conduite  de  qui  il  fit  les  pro- 
grès les  plus   furprenants  dans  la  Géo- 
métrie fublime.    La  route  que  cet  ha- 
bile  Maître    lui  fraya  ,    nous  la   trou- 
vons dans   XAnaly[e  des  Infiniment  Petits  -y 
aulïi  cet  Ouvrage ,  que  le  monde  fça- 
vant    regardera    toujours    comme    un 
chef-d'œuvre  ,  eft-il  le  feul  livre  que 
l'on    puifîè    mettre    avec     fuccès    en- 
tre les  mains   de  ceux   qui   ont  appris 
tout  ce  que  l'on  comprend  dans  ce  fîé- 
cle    éclairé    fous    le    nom    d'élémens   de 
Géométrie     &     d\lgébre.      Je    ne    difll- 
mulerai  pas  cependant   qu'on  a    repro- 
ché à   M.  le  Marquis   de    XHopital    de 
n'avoir    écrit  que    pour    les  Sçavans  , 
tellement  rompus  dans  le  calcul ,  qu'ils 


PREFACE.  jij 

entendent  tout  à  demi  mot.  Ce  fut 
pour  mettre  fon  Ouvrage  à  la  portée 
des  Commençans  ordinaires  ,  que  M. 
Crouzas  nous  en  donna  ,  en  1721  ,  le 
Commentaire  en  un  volume  in..\°.  9 
précédé  de  deux  amples  difeours ,  donc 
l'un  en:  fur  la  nature  des  Infiniment; 
Petits  ,  &  l'autre  fur  Je  Calcul  des  Pmfil 
fiances.  A  peine  fon  Commentaire  vit- 
il  le  jour  ,  qu'il  s'emprefîa  d'en  en- 
voyer un  exemplaire  à  M.  Jean  Ber~> 
noully.  Ce  Sçavant  l'examina  3  &; 
après  y  avoir  découvert  des  bévues 
qu'on  pardonneroit  à  peine  à  un  éco- 
lier ,  il  lui  dit  en  propres  termes  (#) 
qu'il  auroit  mieux  fait  de  lui  envoyer 
fon  Commentaire  en  manuferit ,  avanc 
que  de  le  faire  imprimer  ;  qu'il  y  au- 
roit fait  des  remarques  qui  n'auroienc 
pas  été  inutiles  :  il  ajouta  qu'il  auroic 
dû  changer  pfuiieurs  de  Tes  manières 
de   commenter  ,    de  leur    donner    un 


C  <0     Les    Œuvres    de    Jean    Bernoully  ,    Tom.    4, 
pag.    160.    &    fuiy. 

aij 


ÎV  PREFACE, 

autre  tour  ,  de  peur  que  les  ignorans 
ne  prennent  (es  explications  dans  un 
mauvais  fens  ,  cV  ne  cherchent  par  là 
l'occafion  de  décrier  ÏAnalyfe  des  Infi^ 
niment  Petits. 

Ce  n'eft  pas  là  la  feule  critique 
qu'ait  eu  à  elïuyer  le  Commentaire  de 
M.  Crouzas.  M.  Saurin  ,  Membre  de 
l'Académie  Royale  des  Sciences  ,  dé- 
montre dans  les  Mémoires  de  cette  cé- 
lèbre Compagnie  («)  que  le  Com- 
mentateur cil  un  guide  dangereux  dans 
la  grande  Ô£  difficile  queftion  de  Ma- 
ximis  &  Minimis  ,  £c  il  l'exhorte  à  re- 
toucher fon  Ouvrage  dans  une  féconde 
édition.  Le  cas  qu'a  fait  le  Public  de 
la  première  ,  a  difpenfé  l'Auteur  de 
nous  en  donner  une  féconde. 

A  peine  le  Commentaire  de  M. 
Crouzas  commençoit  -  if  à  paroître  , 
que  la  mort  nous  enleva  le  célèbre 
Varignon.  Ce  grand  Géomètre  ,  l'ami 
intime  de  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital  9 

(«)  Année    1723  ,  pag.  234  &  fuiv. 


PREFACE.  y 

avoir,  lu  {'Analyfe  des  Infiniment  Petits 
avec  l'attention  la  plus  réfléchie.  On 
lui  trouva  parmi  Tes  papiers  un  ma-' 
nufcrit  contenant  non  feulement  d?s  ex- 
plications des  endroits  les  plus  obfcurs 
ôc  les  pins  difficiles  de  ce  Traité,  rmis 
encore  des  Additions  confidérables,  des 
Proportions  nouvelles  ,  des  Problèmes 
ajoutés  à  ceux  de  M,  le  Marquis  de 
.  Y  Hôpital  ,  des^  Régies  ,  des  Conftruc- 
tions  ,  des  Méthodes  différentes  ,  ôcc. 
Ce  précieux  manuferit  fut  donné  au 
Public  en  l'année  172c  en  un  volume 
*«-4°.  ■>  fous  le  titre  d'Eclair ci flement s  fur 
VAnalyfe  des  Infiniment  Petits.  Cet  Ou- 
vrage ,  tout  excellent  qu'il  eft  ,  ne  peuc 
guère  être  mis  entre  les  mains  d'un 
Commençant  ;  M.  Varigrinn  n'y  éclair- 
cit  pour  l'ordinaire  que  les  points  qui 
ont  été  capables  de  l'arrêter  lui-même. 
D'ailleurs  cet  Ouvrage  poirhume  a  été 
imprimé  avec  11  peu  d'exaditude ,  qu'il 
feroit  prefque  plus  difficile  de  corriger  les 
fautes  dont  il  fourmille  ,  que  de  lire  fans 
Commentaire  \Analyfie  des  Infiniment  Petits. 

a  iij 


V)  PREFACE. 

L'Ouvrage  de  M.  le  Marquis  de 
Y  Hôpital  doit  fe  trouver  comme  nécef- 
(airement  dans  la  bibliothèque  de  tous 
les  Mathématiciens.  Les  Sçavants  en 
ont  beioin  pour  le  confulter  ,  Ô£  pour 
fe  rappeller  en  peu  de  mots  des  pro- 
portions très  compliquées  ,  qu'il  n'eu: 
que  trop  facile  d'oublier.  Les  Com- 
mençans  doivent  en  faire  leur  étude 
journalière  ,  lorfqu'ils  veulent  paffer  de 
h  Géométrie  ordinaire  à  la  Géométrie 
fublime  :  on  ne  peut  fe  regarder  com- 
me Mathématicien  ,  que  lorfqu'on  a  lu 
avec   goût  ÏAnalyfe  des   Infiniment  Petits. 

Il  nous  paroit  que  l'édition  que  nous 
en  donnons  ,  ne  peut  manquer  d'ê- 
tre favorablement  accueillie.  Les  Sça- 
vants  ,  qui  n'ont  befoin  que  du  texte 
de  l'Auteur  ,  le  trouveront  au  com- 
mencement du  Volume ,  imprimé  avec 
l'exadtitude  la  plus  fcrupuleule.  Les 
Notes  que  nous  y  avons  ajoutées  ,  & 
qui  ne  font  qu'indiquées  dans  le  corps 
de  l'Ouvrage  ,  aideront  les  Commen- 
çais à  fe  paffer  de  guide  dans  la  route 


PREFACE,  vjj 

épineufe  du  calcul  différentiel.  Ces  No- 
tes lont  au  nombre  de  cinquante-cinq. 
Les  quatre  premières  lont  pour  la  pre- 
mière  lection   du  Traité   des  Infiniment 
Petits.     Les    z  i     fuivantes    fervent    de 
commentaire  à  la  féconde  feclion.  L'im- 
portante queltion    de  Maxinis   &   MinL 
mis  que  M.    le  Marquis  de    [Hôpital  a 
traitée    dans  la  troiiîeme    fection  ,    eft 
éclaircie    par     12    Noces    considérables. 
Un  pareil  nombre  de  Notes  eft  deitiné 
à  commenter   la    matière    de    Ja    qua- 
trième fe£tion  ,  c'eit-à-dirè  ,    les  diffé- 
rences des   différences  ,    &;  les  fept  exem- 
ples qui  y  ont  rapport.    Enfin   ce  qu'il 
y  a  de  difficile  dans   les   fîx   dernières' 
Testions  fe  trouve  expliqué  dans  les  fîx 
dernières    Notes.     Mais    ce  ne   font  là 
que    des    généralités  ,    &:    il    e(l    né- 
ceffaire     d'entrer    ici    dans    un     détail 
beaucoup   plus  circonstancié. 

La  première  fection  de  Vdnalyfe  des 
Infiniment  Petits  préfente  ,  il  e(t  vrai  , 
les  régies  du  calcul  différentiel  ;  mais 
elle  les  préfente  d'une  manière  f]  con- 

aiv 


viij  PREFACE. 

cife ,  qu'il  elt  prefque  impofïible  qu'un 
homme  qui  les  lie  pour  la  première  fois , 
apprenne  3  fans  le  fecours  d'un  habile 
Maître  ,  à  diftérentier  des  produits 
compliqués  ,  des  quantités  fractionnai- 
res ,  des  nombres  affectés  d'un  ou  plur 
fïeurs  lignes  radicaux  ,  Ôcc.  Nous  efpé*- 
jrons  qu'on  nous  fçaura  quelque  gré 
d'avoir  donné  à  ces  régies  ,  dans  nos 
quatre  premières  Notes  ,  une  étendue 
fufhTante  ,  8c"  de  les  avoir  mifes  à  la 
portée  de  ceux  qui  ne  fçavent  que  les 
régies    du  calcul  ordinaire. 

M.  le  Marquis  de  ['Hôpital  fuppofe 
dans  fa  féconde  fection  que  le  Lecteur  fe 
rappelle  parfaitement ,  non-feulement  les 
équations  de  toutes  les  efpèces  de  fe  fiions 
coniques ,  de  quelque  genre  qu'elles  foient; 
mais  celles  encore  de  la  cycloide ,  de  la 
fpirale  ,  de  la  conchoide  t  de  la  cijfoide  , 
de  la  quairatrice  ,  de  la  logarithmique  or- 
dinaire &  fpirale  &c.  Nous  avons  cru 
rendre  un  véritable  fervice  au  commun 
des  Lecteurs  ,  en  leur  donnant  une 
Idée  nette  des  courbes  que  nous  venons 
de  noiîmier  5   &  en  leur  rappellant  les 


PREFACE,  ix 

démonftrations  fur  lefquelles  font  fon- 
dées les  équations  qui  les  diftinguent 
les  unes  des  autres.  C'eft-là  ce  qu'il  y 
a  de  plus  intérelTant  dans  les  2.  i  Notes 
qui  forment  le  commentaire  de  la  fé- 
conde ieclion. 

Des  12  Notes  que  nous  avons  faites 
pour  éclaircir  la  queftion  de  Maximis  & 
Minimis  ,  celles  qui  font  analogues  aux 
articles  49  ,   s8  ,    59  &  61  ,  je  veux 
dire,  les  Notes  28e ,   3  ^  ,   36e  &;  37e , 
;  nous  paroiifent  les  plus  importantes.  En 
lifant  la  Note  2.8e  ,   on  fe  convaincra 
de  plus  en  plus  qu'il  eft  bien  rare  qu'il 
faille  fe  jetter  dans  l'infini ,  pour  trou- 
ver  le   Maximum    ou    le  Minimum  d'une 
courbe  dont  l'équation  eft  donnée.  M. 
le  Marquis   de  XHôpital  ne  s'y  eft  jette 
qu'une   fois    dans   tout  le  cours  de    fa 
troifîeme  fe&ion  ,  c'eil  à  l'article  49  '■> 
&;  la  Note  qui  fert  de  commentaire  à 
cet  article  ,  prouve  qu'il   pouvoir   arri- 
ver  à   fon   même  rélultat  ,    en    allant 
par  le  chemin  ordinaire. 

La  Note   35e  ,    nous  paroit  prouver 
que    M»    le  Marquis    de   Y  Hôpital    n'a 


X  PREFACE. 

pas  toujours  pris  le  chemin  le  plus 
court ,  pour  parvenir  à  la  folution  des 
problèmes  qu'il  propofe.  Quoiqu'il  ne 
foie  pas  nécefiîîire  d'avoir  recours  à  l'in- 
terfe&ion  du  cercle  &  de  l'hyperbole , 
pour  réfoudre  le  problême  qui  fait  la 
matière  de  l'article  58»  cependant  nous 
avons  cru  devoir  chercher  le  grand  axe 
de  la  courbe  dont  l'équation  eft  donnée 
dans  cet  article.  Quelque  critique ,  dans 
un  moment  de  mauvaiîè  humeur,  auroit 
pu  fe  croire  en  droit  de  nous  reprocher 
que  nous  ne  rejettions  la  méthode  propo- 
fée  ,  que  pour  nous  épargner  la  peine 
de  conftruire  une  hyperbole  fur  une 
équation  trouvée. 

L'article  59  contient  une  équation 
du  quatrième  degré.  Nous  avons  cal- 
culé cette  longue  équation  ,  &C  nous 
l'avons  transformée  en  quelqu'une  de 
celles  qui  fe  trouvent  dans  tous  les  li- 
vres élémentaires  d'Algèbre  qui  traitent 
des  degrés  fupérieurs.  Ces  transforma- 
tions ont  fait  la  matière  de  la  36e  Note. 

Enfin  la  37e  Note  a  rapport  à  l'ar- 
ticle   61  ,   dans  lequel  on  propofe  de 


PREFACE.  xj 

trouver  le  jour  du  plus  petit  crépuf- 
cule  t  l'élévation  du  pôle  étant  don- 
née. Comme  nous  fçavions  que  les 
M.  M.  Bemoully  avoient  refté  plus  de 
cinq  ans  (0)  à  refondre  ce  fameux 
problème  ,  nous  n'avons  rien  oublié 
pour  donner  à  cette  Note  toute  la  per- 
fection dont  elle  étoit  fufceptible. 

jufqu'à  préfent  M-  le  Marquis  de 
[Hôpital  n'a  employé  que  le  calcul  des 
différences  premières.  Il  fait  dans  les  fept 
dernières  feclions  de  fon  Ouvrage  grand 
llfôge  des  différences  des  différences  •  auiîl 
n'a-t-il  pas  manqué  d'afTigner  les  régies 
de  ce  calcul  au  commencement  de  (a 
quatrième  feciion.  Nous  avons  donné 
allez  d'étendue  à  notre  4°c  Note  ,  pour 
mettre  ces  régies  dans  le  plus  grand 
jour.  Nous  prions  le  Lecteur  de  l'exa- 
miner avec  loin  ,  &  d'appliquer  à  dif- 
férents cas  particuliers  la  formule  gé- 
nérale qui.  fert  à  trouver  la  différence 
féconde  d'une  quantité  quelconque  éle- 
vée à  une  puiiîance  quelconque.  Nous 

(«)    (Ruvres  de  Jean  Bemoully  ,  Tom.  I.  pag.  64. 


xij  PREFACE. 

le  prions  encore  de  faire  une  atten- 
tion fpéciale  aux  Notes  41  ,  45  &: 
48.  La  première  nous  paroit  néceltaire 
pour  l'intelligence  de  l'article  66  ,  ou 
l'on  propofe  le  problême  qui  con fille  à 
déterminer  le  point  d'inflexion  ou  de  rebrouf- 
fement  dans  une  courbe  dont  la  nature  eft 
donnée.  Dans  la  féconde  nous  démon- 
trons que  la  marque  que  donne  M.  le 
Marquis  de  X Hôpital  pour  trouver  le  point 
<de  rebroujfement ,  n'eft  rien  moins  qu'une 
marque  sure  :  c'eft  M.  Varignon  qui 
nous  a  fourni  cette  démonftration.  Enfin 
la  troifieme  apprend  à  calculer  les 
équations  du  cinquième  degré  \  l'article 
73  auquel  cette  Note  a  rapport,  four- 
nit une  équation  de  cette  efpèce.  Voilà 
ce  que  nous  avons  fait ,  pour  mettre  à 
la  portée  des  Commençans  ordinaires 
les  quatre  premières  ferions  du  Traité 
de  X Analyfe  des  Infiniment  Vetits.  Nous 
fommes  perfuadés  que  quiconque  nous 
aura  fuivi  jufqu'à  prêtent  ,  fera  en  état 
de  lire  prefque  fans  commentaire  le 
relie  de  l'Ouvrage.  Au (fi  n'avons-nous 
fait  que  6  Notes  pour  les  fix  dernières 


PREFACE,  xiij 

ferions.  L'on  comprend  que  nous 
n'avons  pas  oublié  dans  ces  Notes  les 
développées  ,  g£  les  caufttques  par  réflexion 
èC  par  réfraction  -,  ce  font  là  des  cour- 
bes de  la  dernière  importance. 

Quoique  nous  ayons  droit  de  regar- 
der comme  un  ouvrage  qui  nous  ap- 
partienne en  propre  ,  les  additions  donc 
nous  venons  de  rendre  compte  au  Pu- 
blic -,  nous  nous  ferons  cependant  un 
devoir  de  publier  que  la  lecture  des 
éclairajjemens  de  M.  Vaiignon  nous  a 
fait  naître  la  plupart  des  idées  que 
nous  avons  mis  en  œuvre  ;  èc  nous 
ajouterons  que  nous  avons  profité  de 
quelques  bons  endroits  qui  fe  trouvent 
dans  le  commentaire  de    M.   Crouzas.    (a) 

Mais    quelles    connoifîànces  faut  -  iî 

(a)  Cet  Auteur  ,  quoiqu'il  n'ait  pas  réujfi  à  corn- 
mériter  M.  h  Marquis  de  l'Hôpital  ,  auroit  dû  être  traité 
avec  un  peu  plus  de  ménagement  par  M-  M.  Bernoully 
d>  Saurin.  Ses  Traités  de  Géométrie  &  d'Algèbre  ne 
pajjent  pas  pour  mauvais  ;  &  ce  fut  fon  mérite  réel  qui 
lui  procura  en  différens  tems  les  chaires  de  Philofophie 
de  Groningue  &  de  Laufanne  ,  une  place  d'Ajfocie 
étranger  à  l'Académie  Royale  des  Sciences  de  Paris ,  & 
la.  charge  de  Gouverneur  du  Prince  Frédéric  de  Hejp! 
Cajfel  ,    neveu  du  B.oi  de  Suéde. 


xiv  PREFACE. 

avoir  acquifes  pour  lire  avec  fuccès 
1' 'Analyfe  des  Infiniment  Petits  ?  point  d'au- 
tres que  celles  qui  font  renfermées  dans 
les  Traités  élémentaires  de  Mathémati- 
ques. Ces  Traités  comprennent  l'Arith- 
métique ordinaire  &  algébrique  poufTée 
ju (qu'au  calcul  des  radicaux  ,  aux  pro- 
gressions &L  proportions ,  à  la  formation 
èc  à  la  fommr.non  des  fuites  :  l'Ana- 
lyfe  ou  la  fcience  des  équations  de 
toute  forte  de  degrés  :  la  Géométrie 
fpéculative  Ô£  pratique  :  la  Trigono- 
métrie au  moins  redtiligne ,  en  y  com- 
prenant la  manière  de  calculer  les  lo- 
garithmes non  feulement  des  finus ,  tan- 
gentes Ô£  fécantes  ,  mais  ceux  encore 
des  nombres  entiers  Se  rompus  :  enfin 
le  Traité  des  fedUons  coniques  Tou- 
tes, ces  connoiflances  fe  trouvent  réu- 
nies dans  les  élémens  d'Algèbre  &£  de 
Géométrie  de  M.  l'Abbé  de  la  Caille  , 
&C  dans  le  commentaire  que  nous  en 
avons  fous  le  titre  :  de  Guide  des  jeunes 
Mathématiciens  dans  l'étude  des  leçons  de 
Mathématique  du  même  Auteur.  Ce  n'eft 
qu'après  la  le&ure  de  ces  deux  Ouvra- 


PREFACE.  xv 

ges  ,  que  je  voudrois  qu'on  s'adonnât 
au  calcul  différentiel.  Tout  bon  efprit 
fera  alors  en  état  d'y  faire  ,  avec  les 
fecours  que  nous  lui  fournirons  a  les 
plus  fenlïbles  progrès. 

Les    Infiniment    Petits  de   M.  le  Mar- 
quis de  l'Hôpital  ont  déjà  eu  deux  édi- 
tions,    l'une  en    1696  ,    &  l'autre  en 
171 5.    Celle-là  fut  faite  fous    les  yeux 
de  l'Auteur  avec  toute  l'exactitude  ima- 
ginable. Les  14  fautes  qui  s'y  font  glif- 
fées  ne  peuvent  induire  le   Lecteur  en 
aucune  erreur  -,    elles  font  indiquées   à 
la   fin    du   Volume.    Pour   l'édition  de 
1 7 1 S ,  elle  a  été  dirigée  par  un  homme 
qui    n'avoit  pas  apparemment   les  pre- 
mières idées  de  l'Algèbre.  L'on  y  trouve 
les  fautes  les  plus  groffieres  8£  les  plus  pro- 
pres à  déconcerter  un  Commençant.  Je 
pourroisen  indiquer  un  très  grand  nom- 
\  bre  -,  je  me  contenterai  d'avertir  ceux  qui 
(I  fe  la  font  procurée ,  que  les  expofants  qui 
:  devraient  être  négatifs ,  n'y  ont  pour  l'or- 
:;  dinaire  aucun  figne,  ce  qui  les  met  dans 
1  la   clafle  des  expofants   pofïtifs.    Il    fufflc 
d'avoir  la  moindre  idée  de  calcul ,  pour 


xvj  PREFACE. 

fentir  combien  un  pareil  qui  pro  quo  eft  à 
craindre  dans  un  livre  d'Algèbre.  L'une 
6c  l'autre  de  ces  éditions  forment  une  bro- 
chure f«-4°.  de  1 8  i  pages ,  fur  caraclere  Sé 
Auguftin.  L'on  a  fait  la  troifîeme  édition 
fui  le  même  caraclere.  Mais  le  peu  de  ma- 
tière que  fournit  le  texte  de  l'Auteur,  &Ic 
de/ïr  que  Ton  a  eu  de  procurer ,  à  peu  de 
frais  ,  à  tous  les  Mathématiciens  un  Ou- 
vrage dont  la  nécelîiré  eft  univerfellement 
reconnue  ,  nous  ont  fait  préférer  le  format 
z«-8°.  à.  l'ancien  format.  C'eft  rendre  un 
véritable  fervice  au  Public  ,  que  de  lui 
préfenter  à  un  prix  trcs-modique ,  en  un 
volume  d'environ  500  pages ,  orné  d'un 
grand  nombre  de  planches  en  taille  dou- 
ce ,  XAnalyfe  des  Infiniment  Petits  ,  &  le 
commentaire  des  endroits  les  plus  difficiles 
de  cet  Ouvrage  immortel.  L'Imprimeur 
a  fujet  d'efpérer  que  l'on  fera  content  de 
la  partie  typographique.  Il  n'a  rien  épar- 
gné ,  pour  que  la  beauté  de  l'édition  ré- 
pondît à  la  beauté  des  chofes  que  le  Livre 
renferme. 

PRÉFACE 


kvij 


PREFACE 

DE     L'AUTEUR. 

L'Analyse  qu'on  explique  dans 
cet  Ouvrage ,  fuppofe  la  commune  ; 
mais  elle  en  eft  fort  différente.  L'Analyfe 
ordinaire  ne  traite  que  des  grandeurs  fi- 
nies :  celle-ci  pénétre  jufqu es  dans  l'infini 
même.  Elle  compare  les  différences  infini- 
ment petites  des  grandeurs  finies  ;  elle  dé- 
couvre  les  rapports  de  ces  différences  ?  ô£ 
par-là  elle  fait  connoître  ceux  des  gran- 
deurs finies  ,  qui  comparées  avec  ces  in- 
finiment petits  font  comme  autant  d'infi- 
nis. On  peut  même  dire  que  cette  Ana- 
lyCc  s'étend  au-delà  de  l'infini  :  car  elle  ne 
fe  borne  pas  aux  différences  infiniment 
petites  \  mais  elle  découvre  les  rapports 
des  différences  de  ces  différences  ,  ceux 
encore  des  différences  troifiemes,  quatriè- 
mes ,  &:  ainfi  de  fuite  ,  fans  trouver 
jamais  de  terme  qui  la  puifïe  arrêter.  De 
forte  qu'elle  n'embraffe  pas  feulement  l'in> 


xviij  PREFACE. 

fini  ;  mais  l'infini  de  l'infini,  ou  une  infi- 
nité d'infinis. 

Une  Analyfe  de  cette  nature  pouvoir 
feule  nous  conduire  jufqu'aux  véritables 
principes  des  lignes  courbes.  Car  les  cour- 
bes n'étant  que  des  polygones  d'une  infi- 
nité de  côtés ,  Se  ne  différant  entr'elles  que 
par  la  différence  des  angles  que  ces  côtés 
infiniment  petits  font  entr'eux  ',  il  n'ap- 
partient qu'à  l' Analyfe  des  infiniment  pe- 
tits de  déterminer  la  pofition  de  ces  côtés 
pour  avoir  la  courbure  qu'ils  forment  , 
c'efl- à-dire  les  tangentes  de  ces  courbes , 
leurs  perpendiculaires  ,  leurs  points  d'in- 
flexion ou  de  rebrouffement ,  les  rayons 
qui  s'y  réfléchiffent ,  ceux  qui  s'y  rom- 
pent, Sec. 

Les  polygones  inferits  ou  circonferits 
aux  courbes,  qui  parla  multiplication  in- 
finie de  leurs  côtés ,  fe  confondent  enfin 
avec  elles ,  ont  été  pris  de  tout  temps  pour 
les  courbes  mêmes.  Mais  on  en  étoit  de- 
meuré là  :  ce  n'eft  que  depuis  la  décou- 
verte de  l' Analyfe  dont  il  s'agit  ici ,  que 
î'on  a  bien  fenti  l'étendue  Se  la  fécondité 
de  cette  idée. 


PREFACE.  XÎX 

Ce  que  nous  avons  des  Anciens  fur  ces 
matières ,  principalement  tfdrchimede ,  eft 
affurément  digne  d'admiration.  Mais  ou- 
tre qu'ils  n'ont  touché  qu'à  fort  peu  de 
courbes ,  qu'ils  n'y  ont  même  touché  que 
légèrement  ;  ce  ne  font  prefque  par  touc 
que  propoiîtions  particulières  fk,  fans  or- 
dre ,  qui  ne  font  appercevoir  aucune  mé- 
thode régulière  èc  lliivie.  Ce  n'eft  pas  ce- 
pendant qu'on  leur  en  puiffe  faire  un  re- 
proche légitime  :  ils  ont  eu  befoin  d'une 
extrême  force  de  génie  Qa)  pour  percer 
à  travers  tant  d'obfcu rites ,  éc  pour  entrer 
les  premiers  dans  des  pais  entièrement 
inconnus.  S'ils  n'ont  pas  été  loin  ,  s'ils  onc 
marché  par  de  longs  circuits  -,  du  moins , 
quoi  qu'en  dife  (/>)  Viette ,  ils  ne  fe  fonc 
point  égarés  :  ô£  plus  les  chemins  qu'ils 

Ça)  Archimedis  de  lineis  fpiralibus  traciatum  cum  bis 
îerque  legijjem.  ,  totafque  animi  vires  intendijjem  ,  ut  fub" 
tdijjimarum.  demonjlrationum  de  fpiralium  tangentibus  ar~ 
tificium  adfequerer  ;  nufquam  tamen  ,  ingénue  fatebor  ,  ab 
earum  eontemplatione  ua  cerius  recejji  ,  quin  ferupulus 
animo  femper  hcereret  ,  vim  illius  demonjlratidnis  me  non 
percepïffe  totam  ,  &c.  Bullialduj  Praef.  de  lineis  fpira- 
libus. 

Çb)  Si  verè  Archimedes  ,  fallaciter  conclujlt  Eucli=. 
dis ,  &c.  Supl.  Geom. 

b>j 


XX  PREFACE. 

ont  tenus  étoient  difficiles  Se  épineux  , 
plus  ils  font  admirables  de  ne  s'y  pas  être 
perdus.  En  un  mot  il  ne  paroit  pas  que  les 
Anciens  en  ayentpu  faire  davantage  pour 
leur  temps  :  ils  ont  fait  ce  que  nos  bons  ef 
pries  auroient  fait  en  leur  place  ;  &C  s'ils 
ctoient  à  la  nôtre  ,  il  efl  à  croire  qu'ils  au- 
roient les  mêmes  vues  que  nous.  Tout 
cela  cil  une  fuite  de  l'égalité  naturelle  des 
efprits  tk.  de  la  fuccellion  néceffaire  des 
découvertes. 

Airiil  il  n'eft  pas  furprenant  que  les 
Anciens  n'ayent  pas  été  plus  loin  -,  mais 
on  ne  fçauroit  allez  s'étonner  que  de 
grands  hommes  ,  6x1  fans  doute  d'aufii 
grands  hommes  que  les  Anciens ,  en  ioient 
ii  long- temps  demeurés  là  '■,  ÔC  que  par 
une  admiration  prefque  fuperftitieufepour 
leurs  ouvrages ,  ils  le  foient  contentés  de 
les  lire  &C  de  les  commenter ,  fans  fe  per- 
mettre d'autre  nfage  de  leurs  lumières  5 
que  ce  qu'il  en  falloir  pour  les  iuivre  '-,  fans 
ofer  commettre  le  crime  de  penler  quel- 
quefois par  eux-mêmes ,  ôc  de  porter  leur 
vue  au- delà  de  ce  que  les  Anciens  avoient 
découvert,  De  cette  manière  bien  des  gens 


PREFACE,  xxj 

travailloient ,  ils  écrivoient ,  les  Livres  fe 
multiplioient ,  &£  cependant  rien  n'avan- 
çoit  :  cous  les  travaux  de  plusieurs  fiécles 
n'ont  abouti  qu'à  remplir  le  monde  de 
refpec"t ueux  commentaires  8£  de  traduc- 
tions répétées  d'originaux  fou  vent  aflez 
méprifàbles. 

Tel  rut  l'état  des  Mathématiques ,  ôC 
fur-tout  de  la  Philofophie  ,  jufqu'à  M. 
Defcartes,  Ce  grand  homme  pouilé  par  Ton 
génie  &C  par  la  fupériorité  qu'il  fe  fencok , 
quitta  les  Anciens  pour  ne  fuivre  que 
cette  même  raifon  que  les  Anciens  avoient 
fui  vie  •,  &c  cette  heureufe  hardieffe,  qui  fut 
traitée  de  révolte,  nous  valut  une  infinité 
de  vues  nouvelles  ô£  utiles  furîaPhyiique 
Ôc  fur  la  Géométrie.  Alors  on  ouvrit  les 
yeux  ,  &  l'on  s'avifa  de  penter. 

Pour  ne  parler  que  des  Mathémati- 
ques ,  dont  il  effc  feulement  ici  queftion, 
M.  Defcartes  commença  où  les  Anciens 
avoient  fini ,  ô£  il  débuta  par  la  folucion 
d'un  Problème  où  Pappm  dit  Qî)  qu'ils 
étoient  tous  demeurés.  On  fçait  jufqu'où 


(a)  Colkct.  Muhem.    Llb    y.   initia. 

b  iij 


xxij  '      P  R  E  F  A  C  E 

il  a  porté  l'Analyfe  &:  la  Géométrie ,  Se 
combien  l'alliage  qu'il  en  a  fait ,  rend  fa- 
cile la  folution  d'une  infinité  de  Problê- 
mes qui  paroiffoient  impénétrables  avant 
lui.  Mais  comme  il  s'appliquoit  principa- 
lement à  la  réfolution  des  égalités ,  il  ne  fit 
d'attention  aux  courbes,  qu'autant  qu'elles 
lui  pouvoient  fervir  à  en  trouver  les  ra- 
cines :  de  forte  que  l'Analyfe  ordinaire  lui 
furfifànt  pour  cela  ,  il  ne  s'avifa  point 
d'en  chercher  d'autre.  Il  n'a  pourtant  pas 
lailTé  de  s'en  fervir  heureufement  dans  la 
recherche  des  tangentes  -,  &  la  méthode 
qu'il  découvrit  pour  cela  lui  parut  fi  belle , 
qu'il  ne  fit  point  difficulté  de  dire  ,  Ça) 
que  ce  Problème  ctoit  le  plus  utile  &  le  plus 
général ,  non  feulement  qu  il  [eût  ,  mais  même 
quil  eût  jamais  défiré  de  ff avoir  en  Géométrie. 
Comme  la  Géométrie  de  M.  De  [cartes 
avoit  mis  la  conftru&ion  des  Problêmes 
par  la  réfolution  des  égalités  fort  à  la 
mode ,  &  qu'elle  avoit  donné  de  grandes 
ouvertures  pour  cela  -,  la  plupart  des  Géo- 
mètres s'y  appliquèrent ,  ils  y  firent  auffi 

(a)  Geomet.    Liv.  2. 


PREFACE.  xxiij 

de  nouvelles  découvertes ,  qui  s'augmen- 
tent &:  fe  perfectionnent  encore  tous  les 

jours. 

Pour  M.  Pafial ,  il  tourna  fes  vues  de 
tout  un  autre  côté  :  il  examina  les  cour- 
bes en  elles-mêmes ,  ÔC  fous  la  forme  de 
polygone  ;  il  rechercha  les  longueurs  de 
quelques-unes  ,  l'efpace  quelles  renfer- 
ment ,  le  folide  que  ces  efpaces  décrivent , 
les  centres  de  gravité  des  unes  $£  des  au- 
tres ,  &:c.  Et  par  la  confîdération  feule  de 
leurs  élémens,  c'eft-à-dire  des  infiniment 
petits ,  il  découvrit  des  Méthodes  généra- 
les &  d'autant  plus  furprenantes ,  qu'il  ne 
paroîc  y  être  arrivé  qu'à  force  de  tête  &C 
fans  Analyfe. 

Peu  de  temps  après  la  publication  de  la 
Méthode  de  M.  Defiartes  pour  les  tangen- 
tes ,  M.  de  Fermât  en  trouva  auiîî  une,  que 
M.  Defiartes  a  enfin  avoué  00  lui-même 
être  plus  (impie  en  bien  des  rencontres  que 
la  fienne.  Il  eft  pourtant  vrai  qu'elle  n'étoic 
pas  encore  aufii  fimple  que  M.  Barrovv  l'a 
rendue  depuis  en  confidéranc  de  plus  près 


(a)  Lut.  yi%  Tom.  j. 


bi» 


xxiv  PREFACE. 

îa  nature  des  polygones ,  qui  préfente  na- 
turellement à  l'eipric  un  petit  triangle  fait 
d'une  particule  de  courbe,  comprife  entre 
deux  appliquées  infiniment  proches ,  de  la 
différence  de  ces  deux  appliquées ,  &C  de 
celle  des  coupées  correfpondantes  ",  ÔC  ce 
triangle  eft  femblable  à  celui  qui  fe  doit 
former  de  la  tangente ,  de  l'appliquée  5  $C 
de  la  (butangente  :  de  forte  que  par  une 
fïmple  A nalogie  cette  dernière  Méthode 
épargne  tout  le  calcul  que  demande  celle 
de  M.  Defcartes ,  &;  que  cette  Méthode  , 
elle-même,  demandoic  auparavant. 

M-  Barrovv  (  a  )  n'en  demeura  pas  là., 
îl  inventa  aufïi  une  efpece  de  calcul  pro- 
pre à  cette  Méthode  -,  mais  il  lui  falloit  , 
aufli-bien  que  dans  celle  de  M.  Defcartes 9 
oter  les  fractions ,  &C  faire  évanouir  tous 
les  lignes  radicaux  pour  s'en  fervir. 

Au  défaut  de  ce  calcul  en:  furvenu  ce- 
lui du  célèbre  (  b  )  M.  Leibnm  ;  Ô£  ce  fça- 
vant  Géomètre  a  commencé  où  M.  Bar- 
rovv ,  ê£  les  autres  avoient  fini.  Son  calcul 
l'a  mené  dans  des  pays  jufqu'ici  inconnus  3 

Qa)  Leâ.  Geomet.  }>ag.  80. 

(Jj)  Aâa  Erud,  Liff  an.  1684.  pag.  46?, 


PREFACE.  XXV 

&  il  y  a  fait  des  découvertes  qui  font  1  e- 
tonnement  des  plus  habiles  Mathémati- 
ciens de  l'Europe.  Mrs.  Bernoulli  ont  été  les 
premiers  qui  fe  font  apperçusde  la  beauté 
de  ce  calcul  :  ils  l'ont  porté  à  un  point  qui 
les  a  mis  en  état  de  furmonter  des  difficul- 
tés qu'on  n'aurait  jamais  ofé  tenter  au- 
paravant. 

L'étendue  de  ce  calcul  enYimmenfe  :  il 
convient  aux  courbes  mécaniques ,  com- 
me aux  géométriques  j  les  fignes  radicaux 
lui  font  indiftcrens  -,  &C  même  fouvent 
commodes  j  il  s'étend  à  tant  d'indétermi- 
nées qu'on  voudra  }  la  comparaifon  des 
infiniment  petits  de  tous- les  genres  lui  eit 
également  facile.  Et  de  là  naiffent  une  in- 
finité de  découvertes  furprenantes  par  rap- 
port aux  tangentes  tant  courbes  que  droi- 
tes ,  aux  queitions  De  maximis  &  minimis  3 
aux  points  d'inflexion  ô£  de  rebroufîe- 
ment  des  courbes ,  aux  développées ,  aux 
cauftiques  par  réflexion  ou  par  rétraction , 
ôcc.  comme  on  le  verra  dans  cet  Ouvrage. 
Je  le  divife  en  dix  Sections.  La  pre- 
I  miere  contient  les  principes  du  calcul  des 
différences.  La  féconde  fait  voir  de  quelle 


xxvj  PREFACE, 

manière  l'on  s'en  doit  fervir  pour  trouver 
les  tangentes  de  toutes  fortes  de  courbes , 
quelque  nombre  d'indéterminées  qu'il  y 
ait  dans  l'équation  qui  les  exprime,  quoi- 
que M.  Craige  Qa')  n'ait  pas  crû  qu'il  pûc 
s'étendre  jufqu'aux  courbes  mécaniques 
ou  transcendantes.  La  troifieme  ,  com- 
ment il  fert  à  réfoudre  toutes  les  questions 
De  maximis  &  minimis.  La  quatrième,  com- 
ment il  donne  les  points  d'inflexion  S>C  de 
rebroufîement  des  courbes.  La  cinquième 
en  découvre  l'ufage  pour  trouver  les  déve- 
loppéesde  M.  Hugens  y  dans  toutes  fortes  de 
courbes.  La  iixieme  ÔC  la  feptieme  font 
voir  comment  il  donne  les  cauitiques,  tant 
par  réflexion  que  par  réfraction ,  dont  l'il- 
luiîre  M.  Tfchirnham  eft  l'inventeur,  ÔC 
pour  toutes  fortes  de  courbes  encore.  La 
huitième  en  fait  voir  encore  l'ufage  pour 
trouver  les  points  des  lignes  courbes  qui! 
touchent  une  infinité  de  lignes  données  I 
de  position,  droites  ou  courbes.  La  neu-i 
vieme  contient  la  folution  de  quelques! 
Problèmes  qui  dépendent  des  découvertes 


Ça~)  De figurarum  curvilincarum  qaairaturis  ,  part,  z 


PREFACE.  xxvij 

précédentes.  Et  la  dixième  confifte  dans 
une  nouvelle  manière  de  fe  fervir  du  cal- 
cul des  différences  pour  les  courbes  géo- 
métriques: d'où  l'on  déduit  la  Méthode  de 
;M!S  Defcartes  Se  Hudde ,  laquelle  ne  con- 
fient qu'à  ces  fortes  de  courbes. 

Il  en;  à  remarquer  que  dans  les  Sections 
2,  3,4,  $,6,7,8,  il  n'y  a  que  très- peu 
:de  propofitions  ",  mais  elles  font  toutes  gé- 
nérales ,  &C  comme  autant  de  Méthodes 
;dont  il  en:  aifé  de  foire  l'application  à  tant 
de  propofitions  particulières  qu'on  vou- 
dra :  je  la  fais  feulement  fur  quelques 
exemples  choifis ,  perfuadé  qu'en  fait  de 
Mathématique  il  n'y  a  à  profiter  que  dans 
les  Méthodes ,  &C  que  les  Livres  qui  ne 
confident  qu'en  détail  ou  en  propofitions 
particulières ,  ne  font  bons  qu'à  faire  per- 
dre du  temps  à  ceux  qui  les  font,  ô£  à  ceux 
qui  les  lifent.  Auflin'ai-je  ajouté  les  Pro- 
blèmes de  la  Section  neuvième,  que  par- 
ce qu'ils  paffent  pour  curieux  ,  ÔC  qu'ils 
font  trés-univerfels.  Dans  la  dixième  Sec- 
tion ce  ne  font  encore  que  des  Méthodes 
que  le  calcul  des  différences  donne  à  la 
manière  de  Mrs  Defcartes  &  Hudde  ;  ÔC  fi 


xxviij  PREFACE. 

elles  font  fi  limitées ,  on  voie  par  toutes  le 
précédentes  que  ce  n'eu:  pas  un  défaut  de 
ce  calcul ,  mais  de  la  Méthode  Cartéfienne 
à  laquelle  on  l'afîujettit.  Au  contraire  rien 
ne  prouve  mieux  l'uiàge  immenfe  de  ce 
calcul ,  que  toute  cette  variété  de  Métho- 
des ;  &:  pour  peu  d'attention  qu'on  y  fafTc, 
l'on  verra  qu'il  tire  tout  ce  qu'on  peut  ti- 
rer de  celle  de  M"  De/cartes  &  Hudde  ,  &; 
que  la  preuve  univerfelle  qu'il  donne  de 
l'ufage  qu'on  y  fait  des  progrellions  arith- 
métiques ,  ne  IaifTe  plus  rien  à  fouhaiter 
pour  l'infaillibilité  de  cette  dernière  Mé- 
thode. 

J'avois  deflein  a  y  ajouter  encore  une 
Section  pour  faire  fentir  aufîi  le  merveil- 
leux ufage  de  ce  calcul  dans  la  Phyfique  , 
jufqu'à  quel  point  de  précifion  il  la  peut 
porter ,  &  combien  les  Mécaniques  en 
peuvent  retirer  d'utilité.  Mais  une  maladie 
m'en  a  empêché  :  Le  Public  n'y  perdra 
pourtant  rien ,  &  il  l'aura  quelque  jour 
même  avec  ufure. 

Dans  tout  cela  il  n'y  a  encore  que  la  pre- 
mière partie  du  calcul  de  M.  Uibnhz ,  la- 
quelle confîfte  à  defeendre  des  grandeurs 


, 


PREFACE,  XXÎX 

entières  à  leurs  différences  infiniment  pe- 
ntes ,  &c  à  comparer  entr'eux  ces  infini- 
ment petits  de  quelque  genre  qu'ils  foient: 
c'eit   ce  qu'on  appelle   Calcul  différentiel. 
Pour  l'autre  partie ,  qu'on  appelle  Calcul  in- 
tégral 9  &  qui  conlilte  à  remonter  de  ces 
infiniment  petits  aux  grandeurs  ou  aux 
touts  dont  ils  font  les  différences ,  c'eft-à- 
dire,  à  en  trouver  les  fommes ,  j 'a  vois  au£> 
fi  deflein  de  le  donner.  Mais  M.  Leibnitz 
m'ayant  écrit  qu'il  y  travailloit  dans  un 
Traité  qu'il  intitule  De  Scientiâ  infinité ,  je 
n'ai  eu  garde  de  priver  le  Public  d'un  fi 
bel  Ouvrage  qui  doit  renfermer  tout  ce 
qu'il  y  a  de  plus  curieux  pour  la  Méthode 
inverfe  des  tangentes ,  pour  les  rectifica- 
tions des  courbes ,  pour  la  quadrature  des 
efpaces  qu'elles  renferment  ,  pour  celles 
des  furfaces  des  corps  qu'elles  décrivent  , 
pour  la  dimenfion  de  ces  corps  ,  pour  la 
découverte  des  centres  de  gravité,  o£o 
Je  ne  rends  même  ceci  public,  que  parce 
qu'il  m'en  a  prié  par  fes  Lettres ,  e£  que  je 
le  crois  néceflàire  pour  préparer  les  efprits 
S  à  comprendre  tout  ce  qu'on  pourra  dé-^ 
I  couvrir  dans  la  fuite  fur  ces  matières. 


XXX  PREFACE. 

Au  refte  je  reconnois  devoir  beaucoup 
aux  lumières  de  MIS  BernoulU  ,  fur-tout  à 
celles  du  jeune  préfentement  ProfefTeur  à 
Groningue.  Je  me  fuis  fervi  fans  façon  de 
leurs  découvertes  &  de  celles  de  M.  Leib- 
nitz.  C'elt  pourquoi  je  confens  qu'ils  en  re- 
vendiquent tout  ce  qu'il  leur  plaira  ,  me 
contentant  de  ce  qu'ils  voudront  bien  me 
laiffer. 

C'eft;  encore  une  juftice  due  au  fçavant  j  ( 
M.  Newton,  ô£  que  M-  Leibnitz  lui  a  ren- 
due Qa)  lui-même  :  Qu'il  avoit  auiïi  trou* 
vé  quelque  chofe  de  lembîable  au  calcul 
différentiel ,  comme  il  paroît  par  l'excel- 
lent Livre  intitulé  ,  Philo fophia  naturalis 
principia  Mathematica ,  qu'il  nous  donna  en 
1 687 ,  lequel  eft  prefque  tout  de  ce  calcul. 
Mais  laCaradtériltiquede  M.  Leibnitz  tend 
le  lien  beaucoup  plus  facile  &c  plusexpé- 
ditif  ;  outre  qu'elle  efl:  d'un  fecours  mer- 
veilleux en  bien  des  rencontres. 

Comme  l'on  imprimoit  la  dernière 
feuille  de  ce  Traité  ,  le  Livre  de  M. 
Nieuvventiit  m'efl:  tombé  entre  les  mains. 
Son  titre ,  Analyfis  infini torum  ,  m'a  donné 

(4)  Journal  des  Scavans  du  30  Août  z  € ' $  4. 


PREFACE.  XXXJ 

a  curiofité  de  le  parcourir  :  mais  j'ai 
trouvé  qu'il  étoit  fore  différent  de  celui- 
:i  -,  car  outre  que  cet  Auteur  ne  fe  fert 
point  de  laCara&ériftiquede  M.  Uibuitzi 
il  rejette  absolument,  les  différences  fécon- 
des, troifiemes ,  6V c.  Comme  j'ai  bâti  la 
meilleure  partie  de  cet  Ouvrage  fur  ce 
fondement ,  je  me  croirois  obligé  de  ré- 
pondre à  fes  objections,  ô£  de  faire  voir 
combien  elles  font  peu  folides  ,  fi  M. 
Leibnitz  n'y  avoit  déjà  pleinement  fatisfait 
dans  les  Actes  (a)  de  Leypfick.  D'ail- 
leurs les  deux  demandes  ou  fuppofïtions 
que  j'ai  faites  au  commencement  de  ce 
Traité ,  &C  fur  lefquelles  feules  il  eft  ap- 
puyé ,  me  paroiffent  fi  évidentes ,  que  je 
ïne  crois  pas  qu'elles  puillênt  Iaiffer  aucun 
doute  dans  l'efprit  des  Lecteurs  attentifs. 
Je  les  aurois  même  pu  démontrer  facile- 
ment à  la  manière  des  Anciens ,  fî  je  ne 
me  fuffe  propofé  d'être  court  fur  les  chofes 
qui  font  déjà  connues  ,  &:  de  m 'attacher 
principalement  à  celles  qui  font  nou- 
velles. 

Ça)  AB.O.  Erud.  an.  i^sâ-  Paë-  3Z0  &  3&S' 


I  mm^W}:a^};  :M}BMSÊSÊÈS.  Il 

ANALYSE 

DES 

INFINIMENT   PETITS. 

DU  CALCUL  DES  DIFFERENCES. 
SECTION    I. 


Ou  l'on  donne   les   Règles  de   ce   Calcul. 

DÉFINITION      I. 

%£.:£>.*»a  N  appelle  quantités  variables  celles  qui 
augmentent  ou  diminuent  continuelle- 


•s» 


lx*  ment  ;  &  au  contraire  quantités  c^w/^ 

*  *  *  «  tantes  celles  qui  demeurent  les  mêmes 
pendint  que  les  autres  changent.  Ainfi  dans  une 
parabole  les  appliquées  &  les  coupées  font  des 
quantités  variables ,  au  lieu  que  le  paramétre  eft 
une  quantité  confiante. 

A 


s  Analyse 

DÉFINITION     I  î. 

La  portion  infiniment  petite  dont  une  quantité 
variable  augmente  ou  diminue  continuellement , 
en  eft  appellée  la  Différence.  Soit,  par  exemple,  une 
ligne  courbe  quelconque  AMB,  ( F/g.  i.PI.i •)  qui 
ait  pour  axe  ou  diamètre  la  ligne  AC  3  &  pour  une 
de  les  appliquées  la  droite  P M  ;  ôc  foit  une  autre 
appliquée  pm  infiniment  proche  de  la  première. 
Cela  pofé ,  fi  l'on  mène  MR  parallèle  à  A  C  ;  les 
cordes  A  M  ,  A  m  ;  ôc  qu'on  décrive  du  centre  A, 
de  l'intervalle  A  M  le  petit  arc  de  cercle  M  S  :  Pp# 
fera  la  différence  de  A  P  ;  R  m  celle  de  P  M  ;  S  m 
celle  de  A  M ,  &  M  m  celle  de  l'arc  A  M.  De 
même  le  petit  triangle  M.  A  m  qui  a  pour  bafe 
l'arc  M  m  ,  fera  la  différence  du  fegment  A  M  ;  & 
le  petit  efpace  M  ?pm  ,  celle  de  ï'efpace  compris 
par  les  droites  AP,  PM,  &  par  l'arc   A  M. 

Corollaire. 

î. Il  eft  évident  que  la  différence  d'une  quantité 
confiante  eft  nulle  ou  zéro  :  ou  (  ce  qui  eft  la  même 
chofe  )  que  les  quantités  confiantes  n'ont  point  de 
différence. 

Avertissement. 

On  fe  fervira  dans  la  fuite  de  la  note  ou  caraâè- 
rijlique  d  pour  marquer  la  différence  d'une  quantité 
variable,  que  l'on  exprime  par  une  feule  lettre  ;  & 
pour  éviter  la  confufion  ,  cette  note  d  n'aura  point  ' 

tutre  ufage  dans  la  fuite  de  ce  calcul.  Si  l'on  nom- 
me par  exemple  les  variables  APj  x3*  PM,  y3* 


des   IntiKiment    Petits.  -» 

A  M  ,  z  ;  l'arc  A  M ,  u  ;  V  efpace  mixtiligr.e  AMP* 
Si  &  le  fegment  A  M  ,  t  :  d  x  exprimera  la  valent 
de?p,  dy  celle  de  Rm ,  dz  celle  de  Sra,  du  celle 
du  petit  arc  M  m  ,  d  s  celle  du  petit  efpace  MPpm  , 
Ù  dt  cff//f  «sfa  pem  triangle  mixtiligne  M  A  m. 

I.  Demande  ou  Supposition. 
2.  VJn  demande  qu'on  puiffe  prendre  indifférem- 
ment  l'une  pour  l'autre  deux  quantités  qui  ne  dif- 
férent entr'elles  que  d'une  quantité  infiniment  pe- 
tite :  ou  (  ce  qui  eft  la  même  choie  ;  qu'une  quan- 
tité qui  n'eft  augmentée  ou  diminuée  que  d'une 
autre  quantité  infiniment  moindre  qu'elle  ,  puiffe 
être  confidérée  comme  demeurant  la  même.  On 
demande,  par  exemple,  qu'on  puiffe  prendre  Ap 
pour  A  P ,  pm  pour  P M ,  l'efpace  hpm  pour  l*ef- 
pace  A  P  M  ,  le  petit  efpace  M?pm  pour  le  pe- 
tit re&angle  M  P  p  R  ,  le  petit  fefteur  A  M  m 
pour  le  petit  triangle  A  M  S  ,  l'angle  phm  pour 
l'angle  P  A  M,  &c.  (  Confultei  la  Note  premiers.  ) 

I  ï.  Demande  ou  Supposition. 
5'vJn  demande  qu'une  ligne  courbe  puiffe  être 
confidérée  comme  l'affemblage  d'une  infinité  de 
lignes  droites ,  chacune  infiniment  petite  :  ou  (ce 
qui  eft  la  même  chofe)  comme  un  polygone  d'un 
nombre  infini  de  côtés,  chacun  infiniment  petit  , 
lefquels  déterminent  par  les  angles  qu'ils  font  en- 
tr'eux ,  la  courbure  de  la  ligne.  On  demande  ,  par 
exemple,  que  la  portion  de  courbe  M»,  &  l'arc  de 
cercle  MS,puiffent  être  confidérés  comme  des  lignes 
Idroites  à  caufe  de  leur  infinie  petiteffe,  enforteque 

A  z 


4  Analyse 

le  petit  triangle  m  S  M  puiffe  être  cenfé  redliligne. 

AVERTISSEMENT. 

On  fuppofe  ordinairement  dans  la  fuite  que  les 
dernières  lettres  de  l'alphabet  ,  z  ,  y ,  x  ,  tic.  mar- 
quent des  quantités  variables  s  Ù  au  contraire  que 
les  premières  a ,  b  ,  c  ,  <bc.  marquent  des  quantités 
confiantes  :  de  forte  que  x  devenant  x-j-dx5*y,z, 
Ûc.  deviennent  y-s-dy,z  +  dz,  &c .  (  Art .  i .  ) 
Et  a ,  b ,  c ,  &<.  demeurent  les  mêmes  a.bjC,  &c. 

PROPOSITION    I. 

Problème. 

4-1  rendre  la  différence  de  plufieurs  quantités 
ajoutées  enfemble  ,  ou  fouflraites  les  unes  des  autres. 
Soit  a-t-x+y  —  \  dont  il  faut  prendre  la  dif- 
férence. Si  l'on  fuppofe  que  x  foit  augmentée 
d'une  portion  infiniment  petite 3  c'eft-à-dire  qu'elle 
devienne  x-*-dx  \y  deviendra  alors  y-\-dy>  & 
K  >  <-**d<  i  pour  la  confiante  a  ,  (  Art.  i.  )  elle 
demeurera  la  même  a  :  de  forte  que  la  quantité 
propofée  a  +  x  -\-y  —  ^  deviendra  a  -+-  x  -+■  d  x 
>+-y  -t-dy  —  ç  —  d^\  &  fa  différence  ,  que  l'on 
trouvera  en  la  retranchant  de  cette  dernière  ,  fera 
d  x-+-dy  —  à\.  Il  en  eft  ainfî  des  autres  ;  ce  qui 
donne  cette  règle. 

Règle    I. 

Pour  les  quantités  ajoutées  ,  ou  fouflraites. 

On  prendra  la  différence  de  chaque  terme  delà 
quantité  propofée  3  &  retenant  les  mêmes  fignes» 


des  Infiniment  Petits.  ç 

on  en  compofera  une  autre  quantité  qui  fera  la 
différence  cherchée. 

PROPOSITION   II. 

ht 

Problème. 

5. Prendre  la  différence  d'un  produit  fait  de 
plufieurs  quantités  multipliées  les  unes  par  les  autres, 

i°.  La  différence  de  xy  eft  ydx-*-xdy.  Car  .y 
devient  y  -+■  à  y ,  lorfque  x  devient  x~\-d  x  ;Sc  par- 
tant xy  devient  alors  xy  -+- y  d x  ■+■  x  d y  -+-d x  dy  , 
qui  eft  le  produit  de  x-^d  x  ^zxy-\-dy ,  &  fa  dif- 
férence fera  y  d  x +  xdy -+-d  xdy  ,  c'eft-à-dire 
{Art.  2.)  y  dx-^xdy  ,  puifque  dxdy  eft  une 
quantité  infiniment  petite  par  rapport  aux  autres' 
termes^  dx ,  &  xd y  ;  car  fi  l'on  divife ,  par  exem- 
ple ,y  d  x  &  d  x  dy  par  d  x  ,  on  trouve  d'une  part 
y  ,  &  de  l'autre  dy  qui  en  eft  la  différence ,  &  par 
conféquent  infiniment  moindre  qu'elle.  D'où  il 
fuit  que  la  différence  du  produit  de  deux  quan- 
tités eft  égale  au  produit  de  la  différence  de  la  pre- 
mière de  ces  quantités  par  la  féconde,  plus  au  pro- 
duit de  la  différence  de  la  féconde  par  la  première. 

20.  La  différence  de  xy  \  eft  y  ^  dx  +  x  ^  dy 
-+-xydi.  Car  en  confidérant  le  produit  xy  com- 
me une  feule  quantité ,  il  faudra  ,  comme  l'on 
vient  de  prouver ,  prendre  le  produit  de  fa  diffé- 
rence y  dx-\-xdy  par  la  féconde  ç  (  ce  qui  don- 
ne y  \dx->.-x\d y  )  plus  le  produit  de  la  diffé- 
rence d\  de  la  féconde  \  par  la  première  x  y  (  ce 
qui  donne  xy  d\)  ;  &  partant  la  différence  de 
xy  <[  fera  y\dx-srx\dy-^rxyd\- 

A3 


C  Analyse 

3°.  La  différence  àtxy^u  efruy^d  x-4-ux^dy 
**ruxy  d\-%-xy  \à  u.  Ce  qui  fe  prouve  comme 
dans  le  cas  précédent ,  en  regardant  le  produit  xy% 
comme  une  feule  quantité.  Il  en  eil  ainfi  des  au- 
tres à  l'infini ,  d'où  Ton  forme  cette  régie. 

Règle     IL 

Pour  les  quantités  multipliées. 

La  différence  du  produit  de  plufieurs  quantités 
multipliées  les  unes  par  les  autres ,  eft  égale  à  la 
fomme  des  produits  de  la  différence  de  chacune 
de  ces  quantités  par  le  produit  des  autres. 

Ainfi  la  différence  de  a  x  eft  x  o--had  x  ,  c'eft- 

à-dire  a  à  x.  Celle  de  a  -+-  x  x  b  — y  eft  &  à  x  — 
y  J  x  —  a  d  y  —  x  à  y.  (Confulte^  la  note  féconde,) 

PROPOSITION   III. 

Problème. 

6.|  rendre  la  âifiérence  d'une  fraction  quel- 
conque. 

La  différence  de  -y  eft  y-d*~ "dy ■  Car  fuppofant 
jj  =  ^ ,  on  aura  x=y  < ,  &  comme  ces  deux  quan- 
tités variables  x  ôiy  ç  doivent  toujours  être  égales 
entr'eîies ,  foit  qu'elles  augmentent  ou  diminuent, 
il  s'enfuit  que  leur  différence ,  c'eft-à-dire,  leurs 
accroiffemens  ou  diminutions  feront  aufîi  égales  en- 
tr'eîîes j  &  partant  {Art.  5 .)  on  aura  d  x=zy  d^-\- 
%dy,  &  à  1  —  *"**'*? .==  !*"î~-^  en  mettant 
pour  1  fa  valeur  "-.  Ce  qu'il  falloit  3  &c,  d'où  l'on 
Corme  cette  régie. 


des   Infiniment    Petits.         7 
Règle     III, 

Pour  les  quantités  divifées  ,  ou  pour  les  fratlions. 

La  différence  d'une  fraction  quelconque  eft 
égale  au  produit  de  la  différence  du  numérateur 
par  le  dénominateur ,  moins  le  produit  de  la  dif- 
férence du  dénominateur  par  le  numérateur  :  le 
tout  divifé  par  le  quarré  du  dénominateur. 

Ainfi  la  différence  de  '-fera  ~i^  ,  celle  de 
ïïqhr  fera  „.,_^lV*»--  (Conjultez  la  note  troifieme.) 

PROPOSITION    IV. 

Probe  é  m  e. 

7.I  rendre/^  différence  d'une  puiffance  quelcow 
que  parfaite  ou  imparfaite  d'une  quantité  variable. 

Il  eft  néceffaire  afin  de  donner  une  régie  géné- 
rale qui  ferve  pour  les  puiffances  parfaites  &  im- 
parfaites ,  d'expliquer  l'analogie  qui  fe  rencontre 
entre  leurs  expofants. 

Si  l'on  propofe  une  progreffion  géométrique 
dont  le  premier  terme  foit  l'unité ,  <$c  le  fécond 
une  quantité  quelconque  x ,  &  qu'on  difpofe  par 
ordre  fous  chaque  terme  fon  expofant,  il  eft  clair 
que  ces  expofans  formeront  une  progreffion  arith- 
.métiqife. 

Prog.  géom.  1 ,  .v,  xx  ,  .v3 ,  x4 ,  x%  x6 ,  x7 ,  &c. 

Prog.  arith.  0,1,2,   3  ,  4  >  5,  6,   7  ,  &c. 

Et  fi  l'on  continue  la  progreffion  géométrique 
au  deffous  de  l'unité ,  &  l'arithmétique  au  deffous 
de  zéro ,  les  termes  de  celle-ci  feront  les  expo- 
fans  de  ceux  aufquels  ils  répondent  dans  l'autre. 

A4 


8  Analyse 

Ainfî  —  i  eft  l'expofant  de  - ,  —  2  celui  de  £ ,  &c.. 
Prog.  géom.  x, i1  ,    -  ,   £,  £  ,  £  ,  &cV 

Prog.  arith.  1,0,-1,-2,-3,-4,  &c. 

Mais  fi  Ton  introduit  quelque  nouveau  terme 
dans  la  progreiTion  géométrique  ,  il  faudra  pour 
avoir  fon  expofant ,  en  introduire  un  femblable 
dans  l'arithrhétique. 

Ainfi  yx  aura  pour  expofant^  :  yx,  f:  yx\\.yj„ 

—  \>  -t-  ,— f  :  ~h  ,  —  l  ■■  &c.  de  forte  que  ces 
expreffions  |/x  &  x1,  \/x  Se  x>  ,  j/V  &  x$ ,  -7^ 

y  x 
l 

&  x      * ,  &c.  ne  fignifient  que  la  même  chofe. 

Prog.  géom.  1  ,  \/x  ,  x.  1  ,  j/x ,  \/xx ,  x. 
ï  ■>  i/x,  \/xx ,  |/V ,  ]/x4 ,  x. 


Prog. 
O,   î  , 

Prog. 
1 

arith.    0  ,    \  ,      1.    0  ,  |  ,     f  ,       1. 

î                     I                 i               T              -    i 
S      5                s     >             5     3          »'      S 

L                                                             1                      ' 

geom.  -  ,    -7—,  ,    • — .     —  , 

8            x       yx>   9     xx        x    9       ^/^4  9 

|/.v5      • 

Prog. 

1           1           1           i 

arith.    —  1 ,  —  f ,  —  ,2.  —  1  ,  —  f, 

—  2.    —  3  ,  —  ;,—  4. 

Où  l'on  voit  que  de  même  que  |/xeft  moyenne 
géométrique  entre  1  &  x  ,  de  même  auflî  i^ft  mo- 
yenne arithmétique  entre  leurs  expofans  zéro  &c 

1  :  &  de  même  que  |/x  eft  la  première  des  deux 
moyennes  géométriquement  proportionnelles  en- 
tre 1  &  x ,  de  même  aufïi  j  eft  la  première  des  deux 
moyennes  arithmétiquement  proportionnelles  en- 
tre leurs  expofans  zéro  &  1  :  &  il  en  eft  ainfi  des  au» 


des  Infiniment  Petits.  9 
très.  Or  il  fuit  de  la  nature  de  ces  deux  progres- 
sons. 

i°.  Que  la  fomme  des  expofans  de  deux  termes 
quelconques  de  la  progreiTion  géométrique  fera 
l'expofant  du  terme  qui  en  eft  le  produit.  Ainfi 

x*~*~3  où  x7  eft  le  produit  de  xJ  par  x4 ,  &  xT_f"  Foù 

x"  eft  le  produit  dex*  par  xï  ,  &  x  "    i      sou 

x— j-s  eft  le  produit  de  x     ïparxs,  &c.  De  même 

xT~*~î  où  xï  eft  le  produit  de  x3  par  lui-même  , 
c'eft- à-dire  fon  quarré  ,  &  x  •+-***—>-*  où  x6  eft  le 
produit  de  x'"  par  x"  par  x" ,  c'eft-à-dire  fon  cube  , 

&  x —  i"-!      i      ï  où  x  —  f  eft   la  quatrième 

puifTance  de  x"""!  ,  &  il  en  eft  ainfi  des  autres 
puiiTances.  D'où  il  eft  évident  que  le  double  ,  le 
triple ,  &c.  de  l'expofant  d'un  terme  quelconque 
de  la  progreiïîon  géométrique  eft  l'expofant  du 
quarré ,  du  cube ,  &c.  de  ce  terme  ;  &  partant  que 
la  moitié  ,  le  tiers ,  Sec.  de  l'expofant  d'un  terme 
quelconque  de  la  progreiïion  géométrique  fera 
l'expofant  de  la  racine  quarrée  ,  cubique  ,  &c. 
de  ce  terme. 

20.  Que  la  différence  des  expofans  de  deux 
termes  quelconques  de  la  progreiïion  géométrique 
fçra  l'expofant  du  quotient  de  la  divifion  de  ces 

termes.  Ainfi.  x1  ï  !=  x&  fera  l'expofant  du  quo- 
tient  de  la  divifion  de  x*  par  xï ,  &  x  i~  * 
—  x  Tï  fera  l'expofant  du  quotient  de  la  divi- 
fion de  x      f  par  xï  ;  où  l'on  voir  que    c'eft  la 


îo  Analyse 

même  chofe  de  multiplier  x      rparx      ï    que 

de  divi'er  x  ï"par  x*.  Il  en  eft  ainlî  des  autres. 
Ceci  bien  entendu ,  il  peut  arriver  deux  différens 
cas. 

Premier  cas ,  lorfque  la  puiffance  eft  parfaite , 
c'efl-à-dire  lorfque  fon  expofant  eft  un  nombre 
entier.  La  différence  de  xx  eft  ixdx ,  de  x3  eft 
%xxdx  ,  de  x4  eft  a^dx  ,  Sic.  Car  le  quarré  de  x 
n'étant  autre  chofe  que  le  produit  de  x  par  x ,  fa 
différence  (  Art.  5.  )  fera  xdx-t-xdx  ,  c'eft-à-dire 
ixdx.  De  même  le  cube  de  x  n'étant  autre  chofe 
que  le  produit  de  x  par  x  par  x,  fa  différence 
(Art.  5.)  fera  xxdx  -h  xxdx  -+■  xxdx  ,  c'eft  à-dire  I 
^xxdx  ;  Se  comme  il  en  eft  ainfi  des  puiffances  à 
l'infini ,  il  s'enfuit  que  fi  l'on  fuppofe  que  m  mar- 
que un  nombre  entier  tel  que  l'on  voudra  5  la 
différence  de  xm  fera  mxm      '  dx. 

Si  l'expofant  eft  négatif,  on  trouvera  que  la 

différence  de  x         ou  de  ^  fera ^5 — " 

—  7nx~m—  l  dx. 

Second  cas ,  lorfque  la  puiffance  eft  imparfaite , 
c'eft-à-dire  lorfque  fon  expofant  eft  un  nombre 
rompu.  Soit  propoié  de  prendre  la  différence  de 

m 

n     ni  n 

|/x    ou  x  (  -  exprime  un  nombre  rompu  quel- 

m 

conque )  on  fuppofera  x°  =  ^,  Se  en  élevant  cha- 
que membre  à  la  puiffance  n  on  aura  xm  =  ^n ,  Se 
en  prenant  les  différences  comme  l'on  vient  d'ex- 
pliquer dans  le  premier  cas,  on  trouvera  mxm~'dx 


des   Infiniment    Petits.         n 


m.v  dx 


m 


--x  dx  ,  ou 


_  n 

n  dx  J/V"  "",  en  mettant  à  la  place  de  n^~ '  fa 

m 

valeur  wxm_».  Si  l'expofant  eft  négatif  ,    on 
trouvera  que  la  différence  de  x—»  ou  de  ~k    fera 

ni 

— =  —  «  x      °       dx.  Ce  qui  donne 


2m 


cette  régie  générale. 

Règle    IV. 
Ponr  les  Puijjances  parfaites  ou  imparfaites. 

La  différence  d'une  puifiance  quelconque  par- 
faite ou  imparfaite  d'une  quantité  variable,  eft 
égale  au  produit  de  l'expofant  de  cette  puiffance, 
par  cette  même  quantité  élevée  à  une  puiffance 
moindre  d'une  unité  ,  &  multipliée  par  fa  diffé- 
rence.    . 

Ainfi  fi  l'on  fuppofe  que  m  exprime  tel  nombre 
entier  ou  rompu  que  l'on  voudra ,  foit  pofitif ,  foit 
négatif,  6c  x  une  quantité  variable  quelconque  , 
la  différence  de  xra  fera  toujours  m  xm     '  dx. 
Exemples. 

La  différence  du  cube  de  ay—xx,  c'eft-à-dire 

j  , 7,    — 

de  a  y  —  x  x  ,  elljx^j'  —  xxxady  —  2  x  à  x 
s=  ^a}  y  y  dy  —  6  a  a  xxy  d  y  H-  3  a  x4  d  y —  6  a 
ayy  x  d  x  -jh  iz  ay  x%  d  x  —  dx''  dx. 


13  Analyse 

La  différence  de  \/xy  -^yy  ou  de  xy-+-yy  * ,  en: 

_I  - y  à  x  -*—  x  Hy  -f-  ?  ydy 

1Xxy-±-yy       *   x^x;  -+-  x dy -i- Zydy ,011        2y  ,,-^-yy 

Celle  de  }/_4  -+.  flJt-vy  ou  de  _-*  -+-  d.vj^  T ,   eft  ^  * 

__________  _ ayydx  -4-  -  a  x  y  Ht 

a^  -+-  axyy       ~~  X  ayypx  -{-  laxyiy  ,    OU  2.P'â*^âxyy 

Celle  de  j/ _.  *•  -+-  ^  x  ,  ou  de  _*-+-**•  *  ,    eft 
j  X  ax-hxx  "  T  x  aafx  +  2xdx  ,  ou'"'r"f""rf"  . 

3V_\-+-ar.r   * 

La   différence   de  |/^  +  ^h-^+_^ou 

de  ^~h-^^h-v/_+^_„^=   *    ,     eft    i    x 
. . j_ 

aX-hXX~h-VTZ     i  !  z  I  'i  .ivydx  H—     nxyiiy 

K.v-r^A-r^t  +  axyy  x  adx ■+■ 2 xix -i '  ,  - 

2Va*-+-axy>' 

*dx-+-ix,lx ayy  <j«-t—  ^  a  «yrfy 

2  ^-t-w+Va+.+  axj'jl  ~*~2  y«H«»x  2  VW**+vW«£>> 
s 

La  différence  de  ^______f  fera  félon  cette  réçle 

(  Art.  7.   6.  )  &  celle  des  fractions 

adx  -f-  ixdx  . ydx  —  xdy  —  lydy       » 

3 2  xVxy-*-yy       WxTTz:       xv_.x-h*-. 

^Vax  -f-  xx Yxy-h-yy 

xy  +yy 

(  Confulte\  la  note  quatrième.  ) 

Remarque. 

8. 1  l  eft  à  propos  de  bien  remarquer  que  l'on  a 
toujours  fuppoié  en  prenant  les  différences,  qu'une 
des  variables  x  croiffant ,  les  autres  y ,  \ ,  &c. 
croiflbient    auffi  -    c'eft-à-dire  que  les  x  deve- 


des    Infiniment   Petits.       15 
nant  x-vdx,  les  y  ,  ^  ,   &c.  devenoient  _>/  -+- 
d)'i  K  +  ^  \  »  &c.  G'eft  pourquoi  s'il  arrive  que 
quelques-unes  diminuent  pendant  que   les    au- 
tres croiffent  ,    il  en  faudra  regarder  les  diffé- 
rences comme  des  quantités  négatives  par  rap- 
port à  celles  des  autres  qu'on  fuppofe   croître  ; 
&  changer  par   conféquent  les  lignes  des  ter- 
mes où  les  différences  de  celles  qui  diminuent 
fe  rencontrent.  Ainfi  fi   l'on  fuppofe  que  les  x 
croiffant,  les  y  &  les  ^  diminuent  ,  c'eft-à-dire 
que  les  x  devenant  x  +  àx,  les  y  &  les  \  de- 
viennent y  —  à  y  Ôc  <  —  d%,  &  que  l'on  veuille 
prendre  la  différence  du  produit  xy  ^  ;  il  faudra 
changer  dans    la  différence    xy  d  \  ■+  x\dy-h- 
y^dx  trouvée  {Art.   5.  )  ,  les  lignes  des  ter- 
mes où  dy  Se  d  1  fe  rencontrent  :  ce  qui  donne 
y  zdx  —  x  yd  1  —  *\d y  pour  la  différence 
cherchée. 


0AAAAS 


: 


14  Analyse 

SECTION     î  I. 

Ufage  du  calcul  des  différences  pour  trouver  les 
Tangentes  de  toutes  fortes  de  lignes  courbes. 

Définition. 

I  l'on  prolonge  un  des  'petits  côtés  M  m 
(  Fig.  2.  PI.  1.  )  du  poligone  qui  compofe 
{Art.  3.  )  une  ligne  courbe  ;  ce  petit  côté  ainfï 
prolongé  fera  appelle  la  Tangente  de  la  courbe 
au  point  M  ou  m.  (  Confulte\  la  Note  cinquième.  ) 

PROPOSITION    I. 

Problème. 

9.  O  o  1  t  une  ligne  courhe  A  M  (  Fig.  5.  VI.  1 .  ) 
telle  que  la  relation  de  la  coupée  A  P  a  l'appliquée 
P  M  ,  [oit  exprimée  par  une  équation  quelconque  , 
&  quil  faille  du  point  donné  M  fur  cette  courbe 
mener  la  tangente  M  T. 

Ayant  mené  l'appliquée  M  P  ,  &  fuppofé  que 
la  droite  MT  qui  rencontre  le  diamètre  au  point 
T ,  (bit  la  tangente  cherchée  ;  on  concevra  une 
autre  appliquée  mp  infiniment  proche  de  la  pre- 
mière ,  avec  une  petite  droite  M  R  parallèle  à 
A  P.  Et  en  nommant  les  données  A  P ,  x  ,•  P  M  ,y  ; 
(  donc  P  p  ou  M  R  =r=  d  x  ,  &.  R  m  =  dy  .  )  les 
triangles  femblables  m  R  M  &  MPT  donneront 
m  R  (dy).  R  M  (dx)  :  :  M  P  {y).  PT  ==  ■£.  Or 
par  le  moyen  de  la  différence  de  l'équation  don- 
née, on  trouvera  une  valeur  de  dx  en  termes 


des  Infiniment  Petits.  15 

qui  feront  tous  affectés  par  ây  ,  laquelle  étant 
multipliée  par  y  &  divifée  par  ây  ,  donnera  une 
valeur  de  la  foutangente  PT  en  termes  entière- 
ment connus  &  délivrés  des  différences ,  laquelle 
fe.vira  à  mener  la  tangente  cherchée  M  T. 
(  Confidtei  la  Note  fixieme.  ) 

Remarque. 

10.  1_jOrsque  le  point  T  (  Fig.  4.  PI.  1.  ) 
tombe  du  côté  oppofé  au  point  A  origine  des  x  , 
il  eft  clair  que  x  croiflant  ,  y  diminue  ,  &  qu'il 
faut  changer  par  conféquent  (Art.  8.)  dans  la 
différence  de  l'équation  donnée  les  fignes  de  tous 
les  termes  où  à  y  fe  rencontre  :  autrement  la  va- 
leur de  âx  en  ây  ferait  négative  ;  &  partant  aufïï 
celle  de  PT  (^).  Il  eft  mieux  cependant  , 
pour  ne  fe  point  embarraffer  ,  de  prendre  toujours 
la  différence  de  l'équation  donnée  par  les  règles 
que  l'on  a  preferites  (  Se5l.  1 .  )  fans  y  rien  chan- 
ger ;  car  s'il  arrive  à  la  fin  de  l'opération  que  la 
valeur  P  T  foit  pofitive  ,  il  s'enfuivra  qu'il  fau- 
dra prendre  le  point  T  du  même  côté  que  le  point 
A  origine  de  x  ,  comme  l'on  a  fuppofé  en  faifant 
le  calcul  :  &  au  contraire  fi  elle  eft  négative  ,  il  le 
faudra  prendre  du  côté  oppofé.  Ceci  s'éclaircira 
par  les  exemples  fuivans. 

Exemple     I. 

11.  i°.  ji  l'on  veut  que  ax  =  yy  exprime  la 
relation  de  AP  à  PM  ,  (Fig.  3.  Pi.  1.)  la 
courbe  A  M  fera  une  parabole  qui  aura  pour  pa- 
ramétre la  droite  donnée  a ,  &  l'on  aura  en  pre- 


i6  Analyse 

nant  de  part  &  d'autre  les  différences ,  adxz=2ydj4 
&  fa •=  =£*  &  PT  (^)  =  -^ï  —  ix  en  mettant 
pour  jj  fa  valeur  #x.  D'où  il  luit  que  fi  l'on  prend 
P  T  double  de  A  P  ,  8c  qu'on  mène  la  droite 
M  T  ,  elle  fera  tangente  au  point  M.  Ce  qui 
étoit   propofé. 

20.  Soit  l'équation  a  a  =  x y  qui  exprime  la 
nature  de  l'hyperbole  entre  les  alymptotes. 
(  F/g-  4.  VI.  1.  )  On  aura  en  prenant  les  différen- 
ces xdy  -*-ydx  =  0 ,  6c  partant  P  T  {*£)  =  —  x. 
D'où  il  fuit  que  fi  l'on  prend  P  T  =  P  A  du  côté 
oppofé  au  point  A  ,  &  qu'on  mène  la  droite  MT  y 
elle  fera  la  tangente  en  M. 

30.  Soit  l'équation  générale  ym  =  x  qui  exprime 
la  nature  detoutes  les  paraboles  à  l'infini ,  lorlque 
Pexpofant  m  marque  un  nombre  pofitif  entier  ou 
rompu  ,  6c  de  toutes  les  hyperboles  lorfqu'il  mar- 
que un  nombre  négatif.  On  aura  en  prenant  les 
différences  mym~,dy  =  d  x  ,  &  partant  P  T 
(  y*i  )  =  mym=  mx  en  mettant  pour/"  fa  va- 
leur x. 

Si  m  =\ ,  l'équation  fera  y  =axx  qui  expri- 
me la  nature  d'une  des  paraboles  cubiques ,  6c  la 
foutangente  PT  —  \  x.  Si  m  =—  2  ,  l'équation 
fera  a?  =  xyy  qui  exprime  la  nature  de  l'une  des 
hyperboles  cubiques,  6c  la  foutangente  PT= — 2*. 
Il  en  eft  ainfi  des  autres. 

Pour  mener  dans  les  paraboles  la  tangente  au 
point  A  origine  des  x  ,  il  faut  chercher  quelle 
doit  être  la  raifon  de  âx\dy  en  ce  point  ;  car 
il  eft  vifible  que  cette  raifon  étant  connue ,  l'an- 
gle 


des  Infiniment  Petits.  ïj 

gle  que  la  tangente  fait  avec  l'axe  ou  le  diamè- 
-  tre  fera  auffi  déterminé.  On  a  dans  cet  exemple 
dx  .  dy  :  :  mym  '.  i.  D'où  l'on  voit  que  y  étant 
zéro  en  À  ,  la  raifon  de  à  y  à  dx  doit  y  être  infi- 
niment grande  lorfque  m  furpafle  i  ,  &  infiniment 
petite  lorfqu'elle  eft  moindre  :  c'eft-à-dire  que  la 
tangente  en  A  doit  être  parallèle  aux  appliquées 
dans  le  premier  cas  ,  &  fe  confondre  avec  le  dia- 
mètre dans  le  fécond.  (Confulte\la h 'ote feptieme.} 

Exemple     IL 
12.S01  t  une  ligne  courbe  AMB(F/g.  5.P/  1.) 
telle  que  APxPB  (xx^x  ).  ¥~M\yy)  :  :  AB 
(a).  AD  (b).  Donca~^-  =  ax  —  xx,&  en  pre- 
nant les  différences  3  ——■  =z  adx  ~  2xdx  ,  d'où 


b 


2ayy         _  iax — -ixx 

ab —  2bx  a.  —  ix 


l'ontirePT(^-) 

en  mettant  pour  -y-  fa  valeur  ax  —  xx  ;  Se  P  T 

_A?ouAT=  .  (  Voyez  la  note  8.  ) 

a  —  j.x  j  ' 

Suppofant  à  préfent  que  Â^3  xPB%(xix~^xZ). 
FM5  (/)  :  :  A  B  (a  ) .  AD  (  b)  ,  on  aura  a^~  = 

b 

x'  X  a  —  .v1  j  &  en  prenant  les  différences  ~ay   -~ 


Z=Z^XXdxXa.  —  x   ■ — ■  Zadx-hzxdxxx^  3   d'où   l'on 
ydx  5<3x<z  —  xz  îxxa— x 

tire  fer  = =: —       ..  — 7=-^— . 

oy         ^xxxa  —  x^  —  ia-i-ixxx1      ^a—^x  —  zx 

B 


i8  Analyse 

ou  — J- —  &  A  T  = .{Voyez,  la  Note  8. 

3a  —  J.v  3a~5x 

Et  généralement  fi  l'on   veut  que  m  marqué 

î'expofant  de  la  puiiîance  de   A  P  ,  &  n  celui 

de  la  puiflance  de  PB,  on  aura  J>— - —  =  xm 

0 

X  a  — x"  qui  eft  une  équation  générale  pour  tou- 
tes  les  ellipfes  à  l'infini  ,   dont  la  différence  eft 

I *— ^    —  mx        'dx  X  a  —  x     ■ — 

va  —  xa~  'dx  x  xm  ,  d'où  l'on  tire  (  en  mettant 

-_  ni  — \—  t*  j 

pour  JL-—  fa  valeur  xm  x  7=~xn  )PT(Ç?  ) 

. m-+-nx    X  a  —  x    _     m-±nx  Xa  —  x 

~~mxm—  'xa  —  x"~ Z^"~—  •  xxm~  ma T— T.v  —  nx  » 


ouPT=m  +  nx!!-I^    &    A  T  _  nax 

ma m — nx  ma  — m —  nx 

(  Voyez,  la  Note  8.  ) 

Exemple     III. 

Î5-J__/ES  mêmes  chofes  étant  pofées  que  dans 
l'exemple  précédent  ,  excepté  que  l'on  fuppofe 
ici  que  le  point  B  (  F/g.  6.  PL  i.  )  tombe  de 
l'autre    côté  du  point  A  par  rapport  au  point 

P  ,  on  aura  l'équation  a^—, —  —  xm  x  a-hxa  qui 

exprime  la  nature  de  toutes  les  hyperboles  con- 
lïdérées  par  rapport  à  leurs  diamètres.  D'où  l'on 

tirera  comme  ci-deflus  PT_^t-"x  ax  ~*~  x* 

ma  — t-  m  — t-  nx 

&  A  T  .    (  Voyez  la  Note  9.  num,  1 .  ) 


Des   Infiniment   Petits.         19 
Maintenant  fi  l'on  fuppoie  que  A  P  ioit  infi- 
niment grande  ,  la  tangente  TM  ne  rencontrera 
la  courbe  qu'à  une  diftance  infinie  ,  c'eft-à-dire 
qu'elle  en  deviendra  l'afymptote  CEj   &  l'on 

aura  en  ce  cas  A  T  f nax        ")  =     "      a 


ma-t-m 


—  A  C  ;  puifque  a  étant  infiniment  moindre  que 
x  ,  le  terme  m  a  fera  nul  par  rapport  à  m 


nx. 


Par  îa  même  raifon  en  ce  cas  l'équation  à  la 
courbe  deviendra  aym~i~n  =  bxm~^n.  /.infi  en 
faifant ,  pour  abréger ,  m  ■+■  n  =  p  ,  &  en  extra- 
yant de   part  &  d'autre  la  racine   p  ,  on  aura 

p.  p  P 

y  y  a  =  x  \/b  ,  dont  la  différence  efl  dy  \/a  ■=. 

p 
dx  \/b  :  de  forte  qu'en  menant   A  E   parallèle 
aux  appliquées ,  &  en  concevant  un  petit  trian- 
gle au  point  où  l'afymptote  G  E   rencontre  la 
courbe  ,  on  formera  cette  proportion  dx  .  dy  , 

ou  \/a.  \/b::  AC.(^),  AE=fj/^  — *. 
Or  les  valeurs  de  C  A  &  AE  étant  ainfi  dé- 
terminées ,  on  mènera  la  droite  indéfinie  C  E 
qui  fera  l'afymptote  cherchée. 

Si  m  —  1  &  w  —  1  ,  la  courbe  fera  l'hyper- 
bole ordinaire  ,  &  on  aura  AC  —  ±a,  &  AE 
=  ~  Vab  ,  c'eft-à-dire  à  la  moitié  du  diamètre 
conjugué  ,  ce  que  l'on  fçait  d'ailleurs  être  con- 
forme à  la  vérité.  (  Voye\  la  Note  9.  num.  2. 
&  fuivants.  ) 

Exemple    IV. 

!  1 4-  S  o  1 T  l'équation^5  —xi=axy  (  A  P  =  x  , 

PM  —y  ,  a  eft  uns  ligne  droite  donnée  )  &  que 


20  Analyse 

cette  équation  exprime  la  nature  de  la  courbe 

A  M,  (Fig.  6.  Pi.  i.)  la  différence  fera  ^yydy 

—  zxxdx=±axdy  -h  aydx.honc—  =  - , 

'  ay         çjxx  -+-  ay 

&  AT  (-ï£-x)=  ?-V*  ~  3->-^y=i_cfy_ 
N  ay  ^xx  -+   ay  ^xx  •+■  i<_y 

en   mettant  pour  y5  —  ^x'    fa  valeur    ^a  xy. 
\Voye^  la   Note    IO.  gwç/?.  i.    2    ) 

Maintenant  fi  l'on  fuppofe  que  AP  &  PM 
foient  chacune  infiniment  grande  ,  la  tangente 
TM  deviendra  l'aiymptote  CE,  &  les  droites 
AT,  AS  deviendront  A  C  ,  AE  qui  détermi- 
nent la  pofition    de   l'afymptote.  Or   A  T  que 

,.  axy  ,,    N    ,,  qrxx 

l  appelle  t  = - —  ,  d  ou  1  on  tire  y  ■=. 

*     ri  ^xx-i-ay  ax —  au 

==  -  -  lorfque  A  T  devient  A  C ,   parce  qu'alors 

rt/eft  nulle  par  rapport  à   ax.  Mettant   donc 

cette  valeur  - —  à  la  place  de  y  dans  y1  ■ —  x* 

^=  axy  ,  on  aura  zjfx*  —  aîxi  =  ^<altxx  ,  d'où 
l'on  tire  (  en  effaçant  le  terme  3<s'/xx  ,  parce 
que  x  étant  infinie  ,  il  efl  nul  par  rapport  aux 
deux  autres  ijiix%  &  <z5x3  )  A  C  (  f  )  —  j  a.  De 

même  AS  (y  — —  )  que  j'appelle  s  = — a*y  ■  , 
y  ax   j   n       j    itr  jyy—ax* 

d'où  l'on  tire  x  = — :  ■**    -=±^2-  *  parce   que  y 

ay  -+-  as  a         r  l 

étant  infinie  par  rapport  à  j  ,  le  terme  a  s  fera 
nul  par  rapport  au  terme  ay  ;  &  en  mettant 
cette  valeur  dans  l'équation  à  la  courbe  ,  on 
trouvera    AE  (  s  y  ==  j  à.  D'où  il  fuit   que    fi 


des  Infiniment  Petits.  21 
l'on  prend  les  lignes  A  C  ,  A  E  égales  chacune 
Va  j  a  ,  &  qu'on  mené  la  droite  indéfinie  C  E  » 
elle  fera  1  afymptote  de  la  courbe  A  M.  (  Con- 
fnlt"X  la  Note  dixième,  quefi    5.  & fuiv.). 

On  le  réglera  fur  ces  deux  derniers  exemples  • 
pour  trouver  les  afymptotes   des   autres    lignes 
courbes. 

PROPOSITION     II. 

Problème. 

15-01  l'on  [uppo[e  dans  la  propofiîion  précédente 
que  les  coupées  AP  (  '  ïg..  7.  Pi  I.)  [oient  des 
portions  d  une  ligne  courbe  dont  l'on  [cache  mener 
les  tangentes  P  T  ,  £f  quil  [aille  du  point  donné 
M  [ur  la  courbe  A  M  mener  Iq  tangente  M  T. 

Ayant  mené  l'appliquée  M  P  avec  la  tano-ente 
P  T  ,  &  fuppofe  qu^  la  droite  M  T  qui  la  rencon- 
tre en  T  ,  loic  la  tangente  cherchée  ;  on  imagi- 
nera une  autre  appliquée  m  p  infiniment  proche 
de  la  première  ,  &  une  petite  droite  M'R  parallèle 
à  PT  :  &  en  nommant  les  données  AP,  x  ; 
PM,j'j  on  aura  comme  auparavant  ?p  ou  MR. 
==  dx  ,  R  m  =  ày  ,  &  les  triangles  femblables 
wRM  &  MPT  donneront  m  R  (dj)  .  RM  {dx)  :  : 

M  P  (y)  .  PT  -  y~.  On  achèvera  enfuite  le  refte 

y, 
par  le  moyen  de  l'équation  qui  exprime  la  re- 
lation des  coupées  A  P  (  x  )  aux  appliquées  P  M 
(y  ) ,  comme  l'on  a  vu  dans  les  exemples  qui 
précédent  ,  &  comme  l'on  verra  encore  dans 
ceux  qui  fuivent.  {Con[ulte\  la  Note  11.  ) 

B3 


22  Analyse 

EXEMPLE    I. 

t  i  g  o  i  t  32=  f /^7=^  ,  dont  la  différence  eft: 

a^v-^W-v  „_.  ^•aa-HyV_t_  _  *yfo     .  on  aura 

a;x  «*  aVaa-i-yy. 

en  réduifant  cette  égalité  à  une  proportion  à  y  . 

\  r  a  xx       xx  aVaa  — (—  VV 

Et  partant  le  rapport  de  la  donnée  M  P  à  la 
foutangente  cherchée  P  T ,  fera  exprimé  en  ter- 
mes entièrement  connus  &  délivrés  des  diffé- 
rences.   Ce  qui   étoit  propofé. 

EXEMPLE   II. 

1 7. S  oit  x  ==  ir  »  dont  la  différence  eft  <^x  =s 

&•  :  on  aura  PT  {&£) '=-£  =  x.  Si  l'on  fup- 

pofe  que  la  ligne  courbe  A  P  B  foit  un  demi- 
cercle  ,  &  que  les  appliquées  M  P  ,  étant  pro- 
longées en  Q_,  foient  perpendiculaires  fur  le 
diamètre  A  B  ;  la  courbe  A  M  C  fera  une  demi- 
roulette  ou  cycloïde  :  fvmple  lorfque  b  —.  a  ;  al- 
longée ,  lorfqu'elle  eft  plus  grande  ;  &  accourcie  , 
lorfqu'elle  eft  moindre.  (  Cowfulte\  la  Note  12.  ) 

Corollaire. 

18.  Si  la  roulette  étant  fimple  ,  l'on  mène  la 
corde  AP  ;  je  dis  qu'elle  fera  parallèle  à  la  tan- 
gente M  T.  Car  le  triangle  MPT  étant  alors 
ilbfcele  ,   l'angle  externe  T  P  Q  fera  double  de 


des  Infiniment  Petits.  23 
l'interne  oppofé  TMQ.  Or  l'angle  A  P  Q  eft 
égal  à  l'angle  APT,  puifque  l'un  &  l'autre  a 
pour  mefure  la  moitié  de  l'arc  AP  ;  &  partant  il 
eft  la  moitié  de  l'ang!e  TPQ.  Les  angles  TMQ  , 
A  P  Q.  feront  donc  égaux  entr'eux  ;  &  par  confé- 
quent  les  lignes  MT  ,  AP  feront  parallèles. 
(  Confiâtes  la  Note  douzième.  ) 

PROPOSITION    III. 

Problème. 

19.  Soit  une  ligne  courbe  quelconque  AP  qui 
ait  (  Fig.  7.  PI.  1.  )  pour  diamètre  la  droite 
KN.-\Q_,  &  dont  l'on  fçache  mener  les  tangentes 
P  K  ;  foit  de  plus  une  autre  courbe  A  M  ,  telle  que 
menant ,  comme  on  voudra  ,  l'appliquée  M  Q.  qui 
coupe  la  première  courbe  au  point  P  ,  la  relation 
de  rare  AP  à  l'appliquée  M  Q  foit  exprimée  par 
une  équation  quelconque.  Il  faut  d'un  point  donné 
M   mener  la  tangente  M  N. 

Ayant  nommé  les  connues  P  K  ,  t  ;  KQ,  s; 
l'arc  A  P ,  x  ;  MQ.,;'i  l'on  aura  (  en  concevant 
une  autre  appliquée  m  q  infiniment  proche  de 
M  Q. ,  &  en  tirant  P  O ,  M  S  parallèles  à  A  Q  ; 
Yp  :=  dx  ,  mS  ~dy  ;  Se  à  caufe  des  triangles 
femblables  KPO  &  PpO  ,  wSM&MQN,  l'on 
aura  P  K  (t)  .  KQ  (0  :  :  Pp  (dx).  PO  ou  M  S 
=,~.  EtmS  (^).SM(~)::MQ(>).QN 

=  S-^t~.  Or  par  le  moyen  de  la  différence  de 

l'équation  donnée ,  on  trouvera  une  valeur  de 

B4 


«4  Analyse 

dx  en  termes  qui  feront  tous  affectés  par  dy  ;  ôf 
partant  fi  l'on  iubftitue  cette  valeur  à  la  place  de 

dx  dans  ~ — ,    les  ày  fe  détruiront ,  &  la  valeur 

de  la  foutangente  cherchée  Q  N  fera  exprimée  en 
termes  tous  connus.    Ce  qu'il  falloit  trouver. 

PROPOSITION    IV. 

Problème. 

20.  Soient  deux  lignes  courbes  AQC ,  BCN 
(  Fi  g.  8.  PL  I.)  qui  ayent  pour  diamètre  la  droite 
TE  ABF  »  &  dont  l'on  fçacàc  mener  les  tangentes 
Qfî  ,  N  F  ;  fait  de  plus  une  autre  ligne  courbe 
M  C  telle  que  la  relation  des  appliquées  M  P  3 
Q  P  ,  N  V  ,  foit  expriiTiée  par  une  équation  quel-, 
conque.  \l  faut  d'un  point  donné  M  fur  cette  der- 
nière courbe  lui  mener  la  tangente  M  T. 

Ayant  imaginé  aux  points  Q  ,  M ,  N  ,  le? 
petits  triangles  Qoq,  MRm,  NSn,  &.  nom- 
mé les  connues  PE,j;  P  F  ,  t  \  P  Q,  x  ;  P  M, 
j*;  PN,  \  ;  l'on  aura  0  q~=-  dx  ,  R  m  =  */j/  , 
'S  j;  ,  :?=  —  d  \  ,  (  Art.  8.  )  parce  que  x  8cy  croif- 
fant ,  ^  diminue.  Et  à  cauie  des  triangles  lem- 
blables  QPE&^0Q.,NPF&kSN,MPT 
&  m  R  M  ;  l'on  aura  Q.P  ( x ) .  PE(î)::^ 

(afx)    oQ.  ou  MRouSN=:i  Et  NP  <j)  . 
PF(*)::»S(  —  ^).SN  =  - L£l  — l£* 


(  d'où  l'on  tire  di  ==  — 2^  ).  Et  ™R  (dy) .  RM 


des  Infiniment  Petits.  25 
(^)::MP(;)-PT  =  **—.  Or  fi  Ton  met 
dans  la  différence  de  l'équation  donnée  ,  à  la 

s?dx 

place  de  d\  ,  fa  valeur  — ■  - —  ,  on  trouvera  une 
valeur  de  dx  en  dy  ,  laquelle  étant  fubftituée 
dans  y-r— ,  les  dy  le  détruiront,  Se  la  valeur  de  la 

xdy  y  ' 

foutangente  P  T  fera  exprimée  en  termes  tous 
connus. 

Exemple. 

2 1  -o  o  1  t  yy  =  x^  ,  dont  la  différence  eft  iydy 
z=%dx-*-xd%=p- — ,  en  mettant  pour  dç 

fa  valeur  négative —  - — ,d'où  l'on  tire  dx^=- 

Ztydy        _  -.  T    ,  sydx  s  zstyy 

J  r    ;  &  partant  P  T,  (  — —  )  =  — —  — 

i[  —  s\.  x<ty-  txl  —  sxi 

-=—  ,  en  mettant  pour  yy  fa  valeur  x^. 

Soit  maintenant  l'équation  générale^m+n  =xm^n, 

dont  la  différence  eft  ^T^m+a"  'dy  -  r,^xm~  'dx 

mn .,  mt-nxm—  <dx—nsfxm —  'dx 

+  nxmi"      'di  =—  — ' - 3  en 

mettant  pour  d\  fa  valeur \ — ,  d'où  l'on  tire 

p  rp    ,  sydx  v   mst-+-ns  FJm~^a mst  -*~  nst 

^  xdy   '~~  mtfxm  —  nsi nxm  ~  "  mt  —  ni     ' 

mettant  pour  _ym~1_n  fa  valeur  x^". 

On  peut  remarquer  que  fi  les  courbes  A  Q  C , 
BCN  devenoient  des  lignes  droites,  la  courbe 
M  C  feroit  alors  une  des  Sections  coniques  à  l'in- 


26  Analyse 

fini  ;  fçavoir  une  Ellipfe  lorfque  l'appliquée  CD  , 
qui  part  du  point  de  rencontre  C  ,  tombe  entre 
les  extrémités  A  ,  B  ;  une  Hyperbole,  lorfqu'elle 
tombe  de  part  ou  d'autre  ;  &  enfin  une  Parabole , 
lorfque  l'une  des  extrémités  A  ou  B  eft  infiniment 
éloignée  de  l'autre  ,  c'efl-à-dire  ,  loriqu'une  des 
lignes  droites  CA  ou  CB  eft  parallèle  au  dia- 
mètre A  B.    (  Confultci  1<a  Note  treizième.  ) 

PROPOSITION    V. 

Problème. 

22.  o  oi  t  une  ligne  courbe  A  PB  (  Fi  g.  9.  PL  1.  ) 
qui  ait  un  commencement  fixe  &  invariable  au 
point  A  ,  &  dont  Von  [cache  mener  les  tangentes 
P  H  ;  foit  hors  de  cette  ligne  un  autre  point  fixe  F  , 
<&  une  autre  ligne  courbe  C  M  D  telle  qu  ayant 
mené  la  droite  quelconque  FMP,/a  relation  de  fa 
partie  FMà  ^  portion  de  courbe  A  P  foit  expri- 
mée par  telle  équation  qu'on  voudra.  On  propofe 
de  mener  du  point  donné  M   la  tangente  M  T. 

Ayant  mené  fur  FP  la  perpendiculaire  F  H  qui 
rencontre  la  tangente  donnée  PH  au  point  H  ,  & 
la  cherchée  MT  au  point  T  ;  imaginé  une  droite 
VKmOp  qui  faffe  avec  FP  un  angle  infiniment 
petit  ;  &  décrit  du  centre  F  les  petits  arcs  de 
cercle  PO,  M  R  ;  le  petit  triangle  p  O  P  fera 
femblable  au  triangle  re&angle  P  F  H  ;  car  les 
angles  H  P  F  ,  Hp  F  font  (  Art.  2.  )  égaux  , 
puifqu'ils  ne  différent  entr'eux  que  de  l'angle 
PF/>  que  l'on  fuppofe  infiniment  petit  ;  &  de  plus 
l'angle  pOP  eft  droit  3  puifque  la  tangente  en  O 


des  Infiniment  Petits.  27 
(  qui  n'eft  autre  choie  que  la  continuation  du  pe- 
tit arc  PO  confidéré  comme  une  droite)  eft  per- 
pendiculaire fut  le  rayon  FO.  Par  la  même  rai- 
ion  les  triangles  mKM  ,  MFT  feront  femblables. 
Or  il  eft  clair  que  ks  petits  triangles  ou  fe&eurs 
FPO  &  FMR  font  femblables.  Si  donc. l'on  nom- 
me les  connues  PH  ,  t  ;  HF  ,  s  ;  FM  ,  y  ;  FP  ,  \  ; 
&  l'arc  A  P  ,  x  ;  on  aura  PH  [t)  .  HF  (s)  :  :  Pp 

(dx)  .  PO  =  ^.  Et  FP  (0  .  F  M  00  :  :  P  O 
('-£)  ■  MR  =  &.  Et  m  (dy)  .  RM  (^)  :  : 

FM  0')  •  FT  =  2^-.  Et  on  achèvera  le  refte 

par  le  moyen  de  la  différence  de  l'équation  don- 
née.  (  Confulte\  la  Note  quatorzième.  ) 
Exemple. 

2].  Si  l'on  veut  que  la  courbe  AP  B  (F/g.  10. 
PL  1 .  )  foit  un  cercle  qui  ait  pour  centre  le  point 
fixe  Fi  il  eft  clair  que  la  tangente  PH  devient 
parallèle  &  égale  à  la  foutangente  FH  ,  à  caufe 
que   H  P    fera    aufïi  perpendiculaire  à   P  F  ;  & 

»  -  a  v  tr  t     yyix     yvdx 

qu  ainli  1  on  aura  en  ce  cas  t  1  ■=iJ-J-1—  ^=~—9 

*  ^dy  ady 

en  nommant  la  droite  FP  (3)  ,  a  ;  parce  qu'elle 
devient  confiante  de  variable  qu'elle  étôit  aupa- 
ravant. Cela  pofé  ,  fi  l'on  nomme  la  circonfé- 
rence entière  ,  ou  une  de  fes  portions  détermi- 
nées h  ;  &  que  l'on  faffe  b  .  x  -.:  a  .y  ;  la  courbe 
G  M  D  ,  qui  eft  en  ce  cas  F  M  D  ,  fera  la  Spirale 

ôCArchimede ,  Selon  aura^=-^qui  a  pour  fa 


6 


a  8  Analyse 

différence  dy  =  ^-  ,  d'où  l'on  tire  ydx  ~  -^X 

b  a. 

—  xdy  en  mettant  pour^  fa  valeur  a—  \  &  par- 
tant FT  (-~^)  =  — .  Ce  qui  donne  cette  conf- 

v  ady  J  a.  *■ 

truétion. 

Soit  décrit  du  centre  F  &  du  rayon  F  M  ,  l'arc 
de  cercle  M  Q  ,  terminé  en  Q.  par  le  rayon  F  A 
qui  joint  les  points  fixes  A  ,  F  \  foit  pris  FT  égale 
à  l'arc  MQ.:  je  dis  que  la  droite  MT  fera  tangente 
en  M.  Car  à  caule  des  feâeurs  femblables  F  P  A  , 
F  M  Q  ,  l'on  aura  F  P  (a)  .  F  M  Q')  :  :  AP  (y)  . 

MQ.  =  ^  =  FT. 

Si  l'on  fait  en  général  b  .  x  :  :  a™  .ym  ,  (  l'expo- 
fant  m  défîgne  un  nombre  entier  ou  rompu  tel 
que  l'on  veut  )   la  courbe  FMD  fera  une  des  fpi-» 

raies  à  l'infini  ,  &  l'on  aura_ym  ——, -,  qui  a  pour 
fà  différence  mym~Tdy  "=.  —r^-  ,  d'où  l'on  tire  ydx 
=  m  ymy  =  mxdy  ,  en  mettant  pour  y™  fa  va- 
lçur  — —  ;  &  partant  F  T  (  J~r~  )  =  — £  =  m 

b     7  *■  v  ady   '  a 

xMa 

PROPOSITION     VI. 

Problème. 

24.  001  T  awe  //gne  courbe  APB  (Fïg-  I  I-  P/-  f.) 
^0»?  /'on  fçache  mener  les  tangentes  P  H  ,  0"  ?^ra 
po/n?  ,/îxe  F  /;o?-j  de  cette  ligne  ;  foit  une  autre 


î>  e s  Infiniment  Petits.  29 

ligne  courbe  C  M  D  telle  que  menant  comme  on 

poudra  ,  la  droite  FPM  ,  la  relation  de  FP  a.  FM 

foit  exprimée  par  une  équation  quelconque.   Il  faut 

du  point  donné  M  mener  la  tangente  M  T. 

Ayant  mené  la  droite  F  H  T  perpendiculaire 
fur  FM,  6c  imaginé  comme  dans  la  propofition 
précédente  les  petits  triangles  PO/7,  MKm  fem- 
blablcs  aux  triangles  HFP  ,  TFJV1  ,  on  nommera 
les  connues  F  H  ,  s  ;  FP  ,  x  ;  FM  ,  y  s  de  l'on 

aura  PF  (x)  .  FH  (s)  :  :  p O  (if)  .  OP  =  ~.  Et 
FP  (x)  .  FM  (y)  :  :  OP  (~).  R  M  =  ^.    Et 

*»R  (#)  .  RM  (?—)  :  :  F  M  (y)  .  F  T  —  -22^. 

On  achèvera  enfuite  le  refte  par  le  moyen  de  la 
différence  de  l'équation  donnée.  (  Confulte^  la 
Note  quinzième.  ) 

Exemple. 

.^S-S1  l'on  veut  que  ^a  courbe  APB  foit  une 
ligne  droite  P  H  ,  &  que  l'équation  qui  exprime 

.la  relation  de  FP  à  FM  (oïty—x=:a,  c'eft-à- 
dire  ,  que  PM  foit  toujours  égale  à  la  même 
droite  données  ;  l'on  aura  pour  différence  dy=dx  ; 

&  partant  F  T  (^7^)  =  — .    Ce  qui  donne 

xxdy   f  xx  * 

cette  conftruclion. 

Soit  menée  M  S  parallèle  à  PH  ,  &  MT  paral- 
lèle à  FE  ,  je  dis  qu'elle  fera  tangente  en  M. 

Car  FP  (x)  .  FH  (J)  :  :  FM  [y)  .  TE  =  %   Et 


X 


3°  Analyse 

FP  (x)  .  FE  (2)  : .-  FM  00  .  FT  =  -^.  II  eft 

clair  que  la  courbe  C  M  D  eft  la  Conchoïde  de' 
Nicomede  ,  dont  l'aiymptote  eft  la  droite  PM  , 
&  le  pôle  eft  le  point  fixe  F. 

PROPOSITION    VII. 

Problème. 

26  §  O  1  t  une  ligne  courbe  AKM(F/'g.  \2.Vl.  I.  ) 
dont  L'on  [cache  mener  les  tangentes  M  H  ,  &  qui 
ait  pour  diamètre  la  droite  E  P  A  H  T  ;  [oit  hors 
de  ce  diamètre  un  point  fixe  F  ,  a  où  parte  une  li- 
gne droite  indéfinie  F  t  S  iVI  qui  coupe  le  diamè- 
tre en  P  Ô  la  courbe  en  M.  Si  l'on  conçoit  main- 
tenant que  la  droite  F  P  M  ,  en  tournant  autour 
du  point  F,  [aj[e  mouvoir  le  plan  P  A  M  toujours 
parallèlement  à  [oi-même  le  long  de  la  ligne  droite 
E  T  immobile  &  indéfinie  ,  enforte  que  la  dif- 
tance  P  A  demeure  par  tout  la  même  :  il  ejl  clair 
que  V  interfeclion  continuelle  M  des  lignes  FM, 
A  M  décrira  dans  ce  mouvement  une  ligne  courbe 
C  M  D.  On  propofe  de  mener  d'un  point  donné  M 
fur  cette  courbe  la  tangente  M  T, 

Ayant  imaginé  que  le  plan  P  A  M  foit  par- 
venu dans  la  lituation  infiniment  proche  pam  , 
&  tiré  la  ligne  mKS  parallèle  à  A  P  ;  il  eft  clair 
par  la  génération  que  P  p  =  A  a  =.  R  m  •  Se 
partant  que  RS=S?^  —  P  p.  Or  nommant  les 
connues  FP  ou  F  p  ,  x  ;  FM  ou  Fw,j;PH, 
s  ;  M  H ,  t  ;  &  la  différence  P  p  ,  d\  ;  les  trian- 
gles femblables  F  P  p  &  F  S  m  ,  MFH  &  MSR  , 


des   Infiniment  Petits.         31 
MHT&MRm,  donneront  F  p  (  x  )  .  F  m  (j>  ) 

\:?p(dK).Sm^^(doncSà  —  y-^ZdS  ). 
EtPH(^.HM(/):  :SK(yclï~xdl)    RM 

V    tydZ-tXd^  ^  M  R    (  ^T^  }  _  R?;?  ^ 

::MH(O.HT=-"-.   Donc  fi  l'on  mené 

v     '  y  ■ —  x 

FE  parallèle  à  MH  ,  &  qu'on  prenne  HT  =  PE  ; 
la  ligne  M  T  fera  la  tangente,  cherchée. 

Si  la  ligne  A  M  étoit  une  ligne  droite  ;  la 
courbe  C  M  D  ferait  une  Hyperbole  qui  auroit 
pour  une  de  fes  afymptotes  la  ligne  ET.  Et  fi 
elle  étoit  un  cercle  qui  eût  fon  centre  au  point 
P  •■,  la  courbe  C  M  D  feroit  la  Conchoïde  de 
Nicomede  3  qui  auroit  pour  aiymptote  la  ligne 
ET,  6c  pour  pôle  le  point  F.  Mais  fi  elle  étoit 
une  parabole  ;  la  courbe  GMD  feroit  la  com- 
pagne de  la  Paraboloïde  de  Defcartes  (  Geor/i. 
Liv.  3.  )  ,  qui  fe  décrirait  en  même-tems  au- 
deflbus  de  la  droite  ET  par  l'interfedtion  de 
FP  avec  l'autre  moitié  de 'la  Parabole.  (Con- 
fultci  la  Note  [eixjeme.) 

PROPOSITION    VIII. 

Problème. 

27.  S  o  1  t  une  ligne  courbe  A  N  (  Fig.  I  3  •  PL  1 .  ) 
qui  ait  pour  diamètre  la  ligne  droite  AP  ,  avec 
un  point  fixe  F  hors  de  ces  lignes  •  [oit  une  autre 
ligne  courbe  C  M  D  telle  que  menant  comme  l'on 
voudra  ,   lu  droite  F  M  P  N  ,   la.  relation    de  [es 


32  Analyse 

parties  FN  ,  FP  ,  FM  foit  exprimée  par  une  équa- 
tion quelconque.  Il  efi  que/lion  de  tirer  du  point  < 
donné    M  la  tangente    M  T. 

Soit  menée  par  le  point  F  la  ligne  HK  per- 
pendiculaire à  F  N  ,  qui  rencontre  en  K  le  dia- 
mètre A  P  ,  &  en  H  la  tangente  donnée  N  H  ; 
foient  décrits  du  centre  F  &  des  intervalles  FN , 
F  P  ,  F  M  de  petits  arcs  de  cercle  N  Q. ,  Poj 
M  R  terminés  par  la  droite  F  s  que  l'on  conçoit 
faire  avec  F  N  un  angle  infiniment  petit. 
Cela   pofé. 

^  Si  l'on  nomme  les  connues  F  K ,  s  ;  FH,/; 
FP,x;FM,;;FN,  ç  >  les  triangles  fembla- 
bles  PFK  &  po?  ,  FMR  &  FPo  &  FNQ, 
HFN  &  N  Q» ,  m  RM  &  MF  T  donneront  PF 

(x).FK(s)::po  (dx).o?   =   ~.   Et  FP 
O).FM00::P*  (f^).MR^.Et  FP 

■'  v     X     '  XX 

(x).FM(0::P*  (.—  ).NQ=-^.   Et 

x  yc X 

HF(0.FN(O::NQ(^.d"(-^)  = 
^,  Et  m  R  (  dy  )  :  A  M  (  ^  )  :  :  F  M  (,  )  , 


XX 


syydx 


F  T  —  --  ■  -     ■ .   Or  par  le  moyen  de  la  différence 

xxdy  l  i 

de  l'équation  donnée  ,  on  trouvera  une  valeur  de 
dy  en  dx  6c  d\ ,  dans  laquelle  mettant  à  la  place 

de  d\  fa  valeur  négative  ■ fï-^  ,  parce    que  x 

croiffant  ,  ^  diminue  5  tous  les    termes    feront 

ane  ctés 


des    Infiniment    Petits.         55 
'affectés  par  dx  ;  de  forte  que  cette  valeur  étant 

enfin  iubftituée  dans  22Lf?    les  fa  fe  détruiront. 

xxdy 

;Ft  partant  la  valeur  de  FT  fera  exprimée  en 
termes  connus  &  délivrés  des  différences. 

Si  l'on  fuppofoit  que  la  ligne  droite  A  P  fut 

une  ligne  courbe,  &  qu'on  menât  la  tangente 

PK,  on  trouveroit  toujours  pour  }  T  la  même 

[valeur  ,  &  le  raifonnement  demeureroit  le  même. 

(  Confulte\  la  Note  dix-fcptieme.  ) 

Exemple. 

8.0  upposons  que  la  ligne  courbe  A  N 
(Fig.  14.  PI.  1.)  foit  un  cercle  qui  pafle  par 
le  point  F  (  tellement  fitué  à  l'égard  du  dia- 
mètre A  P  que  la  ligne  F  B  perpendiculaire  à 
ce  diamètre  pafle  par  le  centre  G  de  ce  cer- 
cle ) ,  &  que  P  M  foit  toujours  égale  à  P  N  ; 
il  eft  clair  que  la  courbe  C  1VI  D  ,  qui  devient 
en  ce  cas  F  M  A ,  fera  la  Ciffoïde  de  Diodes  * 
&  que  l'on  aura  pour  équation  %-î-y=z  2x , 
dont  la  différence    eft    dy  =  id  x  —  d  ç  = 

atxxdx  -t-  s^dx  ,      r  , 

— —  en  mettant  pour  d$  fa  valeur  — « 

SLf  trouvée  ci-deffus  (  Art.  27.  ).  Et  partant  FT 

syydx  ~  _  styy 


xxdy'  2tXX~i-  S  II 

Si  le  point  donné  M  tomboit  fur  le  point  A, 
les  lignes  FM,  F  N ,  F  P  feroient  égales  cha- 
cune à  F  A  ,  comme  auflî  les  droites  F  K ,  FHj 

C 


54  Analyse 

*t4 

&  partant  on  aurcit  en  ce  cas  FT  =  — r  = 

l  x  ,  c'efl-à-dire  que  fi  l'on  prend  FT  =  f  AF,  Se 
qu'on  mené  la  ligne  AT,  elle  fera  tangente  en  A. 
On  peut  encore  trouver  les  tangentes  de  la 
Cifïbïde  par  le  moyen  de  la  première  Propofi- 
tion  ,  en  menant  les  perpendiculaires  N  E  ,  M  L 
fur  le  diamètre  F  B,  6c  cherchant  l'équation  qui 
exprime  le  rapport  de  la  coupée  FL  à  l'appliquée 
L  M  ;  ce  qui  fe  fait  ainii.  Ayant  nommé  les  con- 
nues F  B  ,  ia  5  F  L  ou  BE,  x  ;  L  M  ,  y  ;  les 
triangles  femblables  FEN,  F  L  M  ,  Scia  pro- 
priété du  cercle  donneront  FL(x).LM(j'):  : 
FE  .  E  N  :  :  EN  (  V^ax  —  xx  ).  EB  (x).  D'où 

l'on  tire  y  y  =  — - — ,  dont  la  différence  eft  zydy 

"la —  x 

— -„x .  Et   partant  LU  (  Art.  9.  ) 


X 

2ax  —  xx 


}  en  mettant 


Cydx  -v yy  x  ta.  —  x 1 
dy    '         yaxx — xi   '        %a  —  X 

pour  yy  fa  valeur  — — — . 

PROPOSITION     IX. 

Problème. 

29OOIENT  deux  lignes  courbes  A  N  B  ,  C  P  D  y 
&  une  ligne  droite  FKT,( F/g.  l'y.  PL  1 .  )  fur 
lefquelles  [oient  marqués  des  joints  fixes  A  ,  C ,  F  ; 
fait  de  plus  une  autre  ligne  courbe  EMG  telle 
qu'ayant  mené  par  un  de  fes  points  quelconques  M. 
la  droite  F  M  N  ,  tS  MP  parallèle  a  FK  ,•  la  re- 
lation de  l'arc  AN  à  l'arc  CP  fait  exprimée  par 


des  Infiniment  Petits.  35 
une  équation  quelconque.  Il  faut  d'un  point  donné 
,M  fur  la  courbe  EG  mener  la  tangente  M  T. 

Ayant  mené  par  le  point  cherché  T  la  ligne 
TH  parallèle  à  F  M  ,  &  par  le  point  donné  M  les 
droites  MR.K,  M  OH  parallèles  aux  tangentes 
en  P  &  en  N  ,  on  tirera  FraO»  infiniment  pro- 
che de  F  M  N  ,  &»îRp  parallèle  à  M  P- 

Cela  pofé  ,  fi  l'on  nomme  les  connues  FM  ,  s  £ 
F  N  ,  t  j  MK,«;CPx;AN,j/;(  donc  P  p  ou 
MR  =  dx,NB=^/)  les  triangles  femblables 
FNb&FMO,  MOw  &  MHT,  MR»!  & 
M KT  donneront  FN(().FM(j)::N»  (dy)  . 

MO  =  ^.EtMR  (dx).  M O  (*-&) :  :  MK («). 

M  H  =  ^j^.  Or  par  le  moyen  de  la  différence 

de  l'équation  donnée  l'on  aura  une  valeur  de  dy 
en  termes  qui  feront  tous  affedtis  par  dx  ,  la- 
quelle étant  fubftituée  dans  s-~-  ,  les  dx  fe  dé- 
truiront ;  &  partant  la  valeur  de  M  H  fera  expri- 
mée en  termes  entièrement  connus.  Ce  qui  donne 
cette  conftru&ion. 

Soit  mené  M  H  parallèle  à  la  touchante  en  N 
&  égale  à  la  valeur  que  l'on  vient  de  trouver  : 
foit  tirée  H  T  parallèle  à  F  M  ,  qui  rencontre 
en  T  la  droite  F  K  ,  par  où  &  par  le  point 
donné  M  foit  menée  la  tangente  cherchée  M.  T. 
(  Confulte\  la,  Note  dix-huitième.  ) 


C  2 


36  Analyse 

Exemple. 

30.5  i  l'on  veut  que  la  courbe  A  N  B  (  Fig.  1 6, 
VI.  1 .  )  foit  un  quart  de  cercle  qui  ait  pour  cen- 
tre le  point  fixe  F  ;  que  la  courbe  C  P  D  ioit 
le  rayon  APK  perpendiculaire  fur  la  droite 
F  K  G  Q.T  B  ,  &  que  l'arc  AN(;)  foit  tou- 
jours à  la  droite  AP  (x),  comme  le  quart  de 
cercle  A  N  B  (J?)  au  rayon  A  F  (a)  s  la  courbe 
E  M  G  deviendra  la  quadratrice  A  M  G  de  Oi~ 
rwjlrate ,  Se  l'on  aura  M  H  nj±\^iy~sXdy 

J  *  ^  tdx  '  adx  » 

puifque  F  P  ou  M  K  (a)  =  a  —  x  ,  &  F  N  (/ ) 
=  a.  Mais  l'analogie  fuppofée  donne  ay  =  bx, 
&  ady  =  bdx.  Mettant  donc  dans  la  valeur  de  | 
M  H   à  la  place  de  x  &  de  A  y  leurs    valeurs  [ 

f-&~,  on  trouvera  MH  =  ^.    Ce   qui 

donne  cette  conftruclion. 

Soit  menée  M  H  perpendiculaire  fur  F  M  ,  Se 
égale  à  l'arc  M  Q  décrit  du  centre  F ,  &  foit  ti- 
rée H  T  parallèle  à  F  M  ,♦  je  dis  que  la  ligne  M  T 
fera  tangente  en  M.  Car  à  caufe  des  fe&eurs 
femblables  F  N  B  ,  F  M  Q  ,  l'on  aura  FN(a). 

FM(0"-NB  (b—y).MQ=Bs~sy. 

CoROllAIRE. 

3  i.S  1  l'on  veut  déterminer  le  point  G  où  la  qua- 
dratrice A  M  G  rencontre  le  rayon  FB,  (  Fig. 
17.  PI.  1 .  )  on  imaginera  un  autre  rayon  F  g  b 
infiniment  proche  de  F  G  B  j  Se  en  menant  gf 


des  Infiniment  Petits.  37 
fcaralleîe  à  F  B  ,  la  propriété  de  la  quadratrice 
(&  ie>  triangles  femblables  FBb,gfF  rectangles 
en  B  &  en  /',  donneront  A  B  .  A  F  :  :  B  b .  Ff:i 
FB  ou  A  F  .  gf  ou  F  G.  D'où  l'on  voit  que  fi  l'on 
prend  une  troifieme  proportionnelle  au  quart  de 
cercle  A  B  &  au  rayon   \  F,  elle  fera  égale  à  FG, 

c'eft-à-dire  que   FG=  ~.  Ce  qui  donne  lieu 

d'abréger  la  conrr.ruc~t.ion  des  tangentes, 

Car  menant  T  E  parallèle  à  M  H ,  (  Fig.  1 6. 
VI.  1 .  )  les  triangles  femblables  F  M  K  ,  F  T  E 
donneront  MK  (a  —  x)  .  MF(x)::ET  ou 

k.n    fb:  —  jva    rrp         bss — yss        Bss     j-. 

M  H  ( ).  F  T  = ^—  =  — ;  En  met- 

^      a        '  aa  —  ax         aa 

tant  pour  x  fa  valeur  '^-,  6c  divifant  enfuite  le 

tout  par  b — y  i  d'où  il  eft  clair  que  la  ligne 
F  T  eft  troifieme  proportionnelle  à  F  G  &  à  F  M. 
(  Confiâtes  la  Note  dix-neuvieme.  ) 

PROPOSITION    X. 

Problème. 

3  2.  O  o  i  t  une  ligne  courbe  AMB  {Fig.  1 8.  PI.  2.) 
telle  qu'ayant  mené  d'un  de  fes  points  quelconques 
M  aux  foyers  F ,  G ,  H  ,  &c.  le)  droites  MF, 
MG,  M  H  ,  &c.  leur  relation  [oit  exprimée  par 
une  équation  quelconque  :  &  foit  propofé  de  mener 
du  point  donné  M  la  perpendiculaire  M  P  fur  la 
tangente  en  ce  point. 

Ayant  pris  fur  la  courbe  AB  l'arc  Mm  infini- 
ment petit  ,  6c  mené  les  droites  FKm  ,  GmS  , 

C3 


3S  Analyse 

HwO  ,  on  décrira  des  centres  F  ,  G  ,  H  les  petits  j 
arcs  de  cercles  MR ,  MS  ,  MO;  enfuite  du  cen- 
tre M  &  d'un  intervalle  quelconque  on  décrira 
de  même  le  cercle  CDE  qui  coupe  les  lignes  MF  , 
MG ,  MH  aux  points  C ,  D  ,  E ,  d'où  l'on  abaif- 
fera  fur  MP  -les  perpendiculaires  CL ,  DK  3  EL 
Cette  préparation  étant  faite  ,  je  remarque 

i°.  Que  les  triangles  rectangles  MRm  ,  MLC 
font  femblables  ;  car  en  ôtant  des  angles  droits 
LM/»,  RMC  l'angle  commun  LMR,  les  relies 
RM»  ,  LMG  feront  égaux  ,  &  de  plus  ils  font 
rectangles  en  R  &  L.  On  prouvera  de  même  que 
les  triangles  re&angles  US?n  Se  MKD  ,  MO»  & 
MIE  font  fembiables.  Partant ,  puifque  l'hypo-  I 
thenufe  Mweft  commune  aux  petits  triangles 
URm ,  MS?»  ,  MO?»  ,  &  que  les  hypothenufes 
MC  ,  MD  ,  ME  des  triangles  MLC  ,  MKD  , 
MIE  font  égales  entr'elles  ;  il  s'enfuit  que  les  per- 
pendiculaires CL  j  DK  ,  El  ont  le  même  rapport 
entr'elles  que  les  différences  Km,  Sm ,  Om. 

2°.  Que  les  lignes ,  qui  partent  des  foyers  fitués 
du  même  côté  de  la  perpendiculaire  MP  ,  croiffent 
pendant  que  les  autres  diminuent,  ou  au  con- 
traire. Comme  dans  la  figure  18.  FM  croît  de  fa 
différence  R?»  ,  pendant  que  les  autres  G  M  , 
H  M  diminuent  de  leurs  Sm  ,  Om. 

Si  l'on  fuppofe  à  préfent ,  pour  fixer  fes  idées , 
que  l'équation  qui  exprime  la  relation  des  droites 
FM  (x)  ,  GM  (j/)  ,  HM  (0 ,  foit  ax  +  xy  —  ïl 
=io  ,  dont  la  différence  eft  adx+ydx  +  xdy 
—  %%d\  =  o  ;  Il  eft  évident  que  la  tangente  en 


des   Infiniment  Petits.         39 
M  (  qui  n'eft  autre  choie  que  la  continuation  du 
petit  côté    Mw  du  poligone    que   l'on  conçoit 
(  Art.  3.  )  compoier  la  courbe  AMB)  doit  être 
tellement  placée  qu'en  menant  d'un  de  Tes  points 
quelconques  m  des  parallèles  wR  ,  ??;S  ,  kîQ  aux 
droites  FM  ,  GM  ,  HM  ,  terminées  en  K  ,  S  ,  O 
par  des  perpendiculaires  MR,   MS  ,  MO  à  ces 
mêmes  droites  ,  on  ait  toujours  l'équation  a-v-y 
xRw  +  xx  Sm—2ix  Om  =  0  ;  ou  (  ce  qui  re- 
vient au  même  ,  en  mettant  à  la  place  de  Rtx , 
Srn  ,  Om  leurs  proportionnelles  C  L  ,  D  K  ,  El) 
que  la  perpendiculaire  M  P  a  la  courbe  doit  être 
placée,  enforte  que   a-*- y  X  C  L-f-  x  x  D  K  . — • 
2  l  X  E I  —  0.  Ce  qui  donne  cette  conftrudtion. 
Que  l'on  conçoive  que  le  point  C  (  Fig.  18.  19. 
VI.  2.  )  foit  chargé  du  poids  a+y  qui  multiplie 
la  différence  dx  de  la  droite  FM  fur  laquelle  il 
eft  fîtué  ,  &  de  même  le  point  D  du  poids  x  , 
&  le  point  E  pris  de  l'autre  côté  de  M  par  rap- 
port au  loyer  H  (  parce  que  le  terme  —  z  ^  d  z 
eft  négatif  )  du  poids  2<.    Je  dis  que  la  droite 
M  P  qui  paffe  par  le  commun  centre  de  pefanteur 
des  poids  iuppoiés  en  C  ,   D  ,  E  ,  fera  la  per- 
pendiculaire requife.  Car  il  eft  clair  par  les  prin- 
cipes de  la  Mécanique  ,  que  toute  ligne  droite , 
qui  paffe  par  le  centre  de  pefanteur  de  plufieurs 
poids ,   les  fépare  ,  enforte  que  les  poids  d'une 
part  multipliés  chacun  par  fa  diftance  de  cette 
droite  ,  font  précifément  égaux  aux  poids  de  l'au- 
tre part  multipliés  aufli  chacun  par  fa  diftance  de 
cette  même  droite.  Donc  pofant  le  cas  que  x  croif- 

C4 


40  Analyse 

fant,  y  &  \  croîfiènt  auffi  ,  c'eft-à-dire  ,  que  les 
foyers  K  ,  G,  H  (  Fig.  19.  PL  2.)  tombent  du  1 
même  côté  de  M  P  ,  comme  l'on  fuppofe  tou- 
jours en  prenant  la  différence  de  l'équation  don- 
née félon  les  règles  preferites  ;  il  s'enfuit  que  la 
ligne  M.  ?  laiffera  d'une  part  les  poids  en  C  &  D  , 
&  de  l'autre  le  poids  en  Ê  ,  &  qu'ainfi  l'on  aura 
*-+-y  X  CL+xxDK-  2  ^xÈI=<?,quiétoit 
l'équation  à  conftruire. 

Or  je  dis  maintenant  que  puifque  la  conftruo 
tion  eft  bonne  dans  ce  cas ,  elle  le  fera  auffi  dans 
tous  les  autres  ;  car  fuppofant ,  par  exemple  ,  que 
ie  point  M  change  de  fituation  dans  la  courbe , 
enforte  que  x  croiffant ,  y  &  \  diminuent ,  c'eft- 
à-dire  ,  que  les  foyers  G,  H  (Fig.  18.  PL  2.  ) 
paffent  de  l'autre  côté  de  MP  ,  il  s'enfuit  i°. 
\Art.  8.  )  Qu'il  faut  changer  dans  la  différence 
de  l'équation  donnée  les  fignes  des  termes  affectés 
par  à  y  ,  d  < ,  ou  par  leurs  proportionnelles  D  K , 
JE  I  ;  de  forte  que  l'équation  à  conftruire  fera 
dans  ce  nouveau  cas  a-+-y  X  CL  —  x  x  D  K 
+  2^xEl=o.  2°.  Que  les  poids  en  D  &  E 
changeront  de  côté  par  rapport  à  MP;  &  qu'ainfi 
l'on  aura  par  la  propriété  du  centre  de  pefanteur 
.a  -+  y  X  C  L  —  ,vxDK  +  2^xEl=û;quiefl 
l'équation  à  conftruire.  Et  comme  cela  arrive  tou- 
purs  dans  tous  les  cas  poffibles ,  il  s'enfuit ,  &c. 

Il  eH  évident  que  le  même  raifonnement  fub- 
fifkra  toujours ,  tel  que  foit  le  nombre  des  foyers , 
&.  telle  que  puiffe  être  l'équation  donnée  ;  de 
forte  que  l'on  peut  énoncer  ainfl  la  confirudion 
générale» 


des  Infiniment  Petits.  41 
Soit  prife  la  différence  de  l'équation  donnée 
dont  je  fuppofe  que  l'un  des  membres  foit  zéro  , 
&  loit  décrit  à  diicrétion  du  centre  M  un  cercle 
G  D  E  qui  coupe  les  droites  MF ,  MG  ,  MH  aux 
points  C  ,  D  ,  E  >  dans  lefquels  foient  conçus 
des  poids  qui  ayent  entr'eux  le  même  rapport 
que  les  quantités  qui  multiplient  les  différences 
des  lignes  fur  lefquelles  ils  font  fitués.  Je  dis  que 
la  ligne  MP  qui  paffe  par  leur  commun  centre 
de  pelanteur  ,  fera  la  perpendiculaire  requife.  11 
eft  à  remarquer  que  fi  l'un  des  poids  eft  négatif 
dans  la  différence  de  l'équation  donnée  ,  il  le 
faut  concevoir  de  l'autre  côté  du  point  M  par 
rapport  au  foyer. 

Si  l'on  veut  que  les  foyers  F  ,  G ,  H  (  F/g.  20. 
VI.  2.)  foient  des  lignes  droites  ou  courbes  fur 
qui  les  droites  MF ,  MG  ,  M  H  tombent  à  angles 
droits ,  la  même  conftru£t.ion  aura  toujours  lieu. 
Car  menant  du  point  m  pris  infiniment  près  de 
M  les  perpendiculaires^/,  mg,  ,  mli  fur  les  foyers, 
&  du  point  M  les  petites  perpendiculaires  M  R  , 
M  S  ,  MO  fur  ces  lignes  ;  il  eft  clair  que  Rm  fera 
la  différence  de  MF  ,  puifque  les  droites  M  F  , 
Rf  étant  perpendiculaires  entre  les  parallèles  F/, 
JviPv. ,  elles  feront  égales ,  &  de  même  que  Sm  eft 
la  différence  de  MG ,  &  Om  celle  de  MH  ;  &  on 
prouvera  enfuite  tout  le  refte  comme  ci-deffus. 

On  peut  encore  concevoir  que  les  foyers  F  ,  G, 
H  (  Fig.  21.  PL  2.  )  foient  tous  ou  en  partie  des 
lignes  courbes  qui  ayent  des  commencemens  fixes 
6c  invariables  aux  points  F,  G,   H ,  &  que  la 


42  Analyse 

ligne  courbe  A  MB  foit  telle  qu'ayant  mené ,  par 
exemple,  d'un  de  fes  points  quelconques  M  les  - 
tangentes  M  V ,  MX  &  la  droite  M  G  ;  la  rela- 
tion des  lignes  mixtilignes  F  V  M  ,  HXM  Se  de 
la  droite  G  M  foit  exprimée  par  une  équation 
quelconque.  Car  ayant  mené  du  points  pris  in- 
finiment près  de  M  la  tangente  mu ,  il  efl  clair 
qu'elle  rencontrera  l'autre  tangente  au  point  V 
(  puifqu'elle  n'eft  que  la  continuation  du  petit  arc 
Vu  confidéré  comme  une  petite  droite  )  ;  &  par- 
tant que  fi  l'on  décrit  du  centre  V  le  petit  arc  de 
cercle  MR  ;  s\m  fera  la  différence  de  la  ligne  mix- 
tiligne  PVfVI  qui  devient  ¥VuKm.  Et  tout  le 
refte  fe  démontrera  comme  ci-devant.  (  Conful- 
teç.  la  Note   20  ). 

M.  Tlchirnhaus  a  donné  la  première  idée  de  ce 
"Problème  dans  [on  Livre  de  la  Médecine  de  l'ef- 
prit  ^  M.  Fatio  en  a  trouvé  enfuite  une  folution 
tres-ingénieufe  qu'il  a  fait  inférer  dans  les  Jour- 
naux d  Hollande  :  mais  la  manière  dont  ils  Vont 
conçu  ,  neft  qu'un  cas  particulier  de  la  conflruclion 
générale  que  je  viens  de  donner. 

Exemple    I. 

33.  S  o  1  t  a  xx->rbyy-\-cw—P  =0  (  les  droites 
a  ,  b  }  c  ,  f  font  données  )  dont  la  différence  eft 
axd x+by dy-4-c^d^^o.  C'eft  pourquoi  conce- 
vant en  C  C  Fig.  22.  PL  2.  )  le  poids  ax ,  en  D 
le  poids  by  ,  &  en  E  le  poids  c^  ,  c'eft-à-dire , 
des  poids  qui  foient  entr'eux  comme  ces  rectan- 
gles j  la  ligne  MP  qui  paffe  par  leur  commun 


des  Infiniment  Petits.  4$ 

centre  de  pefanteur  ,  fera  perpendiculaire  à  la 
courbe  au  point  M. 

Mais  fi  l'on  mené  F O  parallèle  à  CL  ,  &  que 
l'on  prenne  le  rayon  M  C  pour  l'unité,  les  trian- 
gles femblablcs  MCL  ,  MFO  donneront  FO 
=  xXCL;  &  de  même  menant  G  R  parallèle  à 
D  K  ,  &  H  S  parallèle  à  E  1  ,  on  trouvera  que 
GR=;'XDK&HS  =  ^xEI;  de  forte  qu'en 
imaginant  aux  foyers  F ,  G  ,  H  les  poids  a  ,  h  ,  e  - 
la  ligne  M  P  ,  qui  pane  par  le  centre  de  pefanteur 
des  poids  a  x  ,  b y  ,  c\   fuppofés  en  C  ,  D  ,  E , 
panera  auflî  par  le  centre  de  pefanteur  de  ces  nou- 
veaux poids.  Or  ce  centre  eft  un  point  fixe ,  puif- 
que  les  poids  en  F ,  G  ,  H  ,  fçavoir  a  ,  b  ,  c ,  font 
|  des  droites  confiantes  qui  demeurent  toujours  les 
mêmes  en  quelque  endroit  que  fe  trouve  le  point 
M.  D'où  il  fuit  que  la  courbe  A  M  B   doit  être 
telle  que  toutes  fes  perpendiculaires  fe  coupent 
dans  le  même  point ,  c'eft-à-dire ,  qu'elle  fera  un 
cercle  qui  aura  pour  centre  ce  point.  Voici  donc 
une  propriété  très-remarquable  du  cercle  que  l'on 
peut  énoncer  ainfi. 

S'il  y  a  fur  un  même  plan  autant  de  poids 
a  ,  b  ,  c  ,  &c.  que  l'on  voudra ,  fitués  en  F ,  G , 
H  ,  &c.  &  que  l'on  décrive  de  leur  commun 
centre  de  pefanteur  un  cercle  A  M  B  ;  je  dis 
qu'ayant  mené  d'un  de  fes  points  quelconques 
M  ,  les  droites  M  F ,  M  G  ,  M  H  ,  &c.  la  fomme 
de  leurs  quarrés  multipliés  chacun  par  le  poids 
qui  lui  répond  ,  fera  toujours  égale  à  une  même 
quantité. 


44  Analyse 

Exemple     II. 

34.  Soit  la  courbe  AMB  (  Fig.  23.  PL  2.) 
telle  qu'ayant  mené  d'un  de  fes  points  quelcon- 
ques M  au  foyer  F  qui  eft  un  point  fixe ,  la  droite 
MF,  &  au  foyer  G  qui  eft  une  ligne  droite  !a 
perpendiculaire  M  G  ;  le  rapport  de  \\  F  à  M  G 
foit  toujours  le  même ,  que  de  la  donnée  a  à  la 
donnée  b. 

Ayant  nommé  FM  ,  x  ;  MG,  y  •  on  aura  x  . 
y  :  :  a  .  b  ,  &  partant  ay  ■==.  b  x  dont  la  différence 
eft  ady — bdx=ro.  C'eft  pourquoi  concevant 
en  C  pris  au-delà  de  M  par  rapport  à  F  le  poids  b , 
&  en  D  (à  pareille  diftance  de  M)  le  poids  a , 
&  menant  par  leur  centre  commun  de  pefanteur 
la  ligne  MP  ,  elle  fera  la  perpendiculaire  r.quife. 

Il  eft  clair  par  le  principe  de  la  balance  ,  que  fi 
l'on  divife  la  corde  C  D  au  point  P ,  enforte  que 
C  P  .  D  P  :  :  a  .  b  ;  le  point  P ,  fera  le  centre  com- 
mun de  pefanteur  des  poids  fuppof^s  en  G  Se  D. 

La  courbe  AMB  eft  une  fection  conique  »  fça- 
voir  une  Parabole  lorfque  a=b  ,  une  Hyperbole 
lorfque  a  furpaffe  b  ,  6c  enfin  une  Ellipfe  lori'quil 
eft  moindre.   (  Confiâtes  la  Note  21.) 

Exemple     III. 

35.01  après  avoir  attaché  les  extrémités  d'un 
fil  FZVMGMXYH  (Fig.  24.  PI.  2.)  en  F  &  en 
H  ,  &  avoir  fiché  une  petite  pointe  en  G ,  on 
fait  tendre  également  ce  fil  par  le  moyen  d'un 


des  Infiniment  Petits.  45 
flile  p'acé  en  M  ,  enforte  que  les  parties  F  Z  V  , 
H  YX  foient  roulées  autour  des  courbes  qui  ont 
leur  origine  en  F  &  H  ,  que  la  partie  M  G  foit 
double,  c'eft-à-dire  ,  qu'elle  foit  repliée  en  G, 
&  que  les  chofcs  demeurant  en  cet  état  l'on  fane 
mouvoir  le  flile  M  ;  il  eft  clair  qu'il  décrira  une 
courbe  A  M  B.  Il  eft  queftion  de  mener  d'un 
point  donné  M  fur  cette  courbe  la  perpendicu- 
laire M  P ,  la  pofition  du  fil  qui  fert  à  la  décrire 
étant  donnée  en  ce  point. 

Je  remarque  que  les  parties  droites  MV,  MX 
du  fil  font  toujours  tangentes  en  V  &  X  ,  &  que 
fi  l'on  nomme  les  lignes  mixtilignes  F  Z  V  M  ,  x  ; 
H  Y  X  M  ,  ï;  la  droite  MG,;j  &  une  ligne 
droite  prife  égale  à  la  longueur  du  fil ,  a  ;  l'on 
aura  toujours  x-*-2y-*-^  =  a  :  d'où  je  connois 
que  la  courbe  AMB  eft  comprife  dans  la  conf- 
truction  générale.  C'eft  pourquoi  prenant  la  dif- 
férence dx-*-  idy  -+-d  z=zo,  Se  concevant  en  C 
le  poids  1  ,  en  D  le  poids  2  ,  &  en  E  le  poids  1  ; 
je  dis  que  la  ligne  M  P  ,  qui  pane  par  le  centre 
commun  de  pefanteur  de  ces  poids  ,  fera  la  per- 
pendiculaire requife. 

PROPOSITION    XI. 

Problème. 

36.S01ENT  deux  lignes  quelconques  APB, 
EQF  (F/g.  25.  PL  2.)  dont  Von  f  cache  mener 
les  tangentes  P  G ,  Q.H  ;  &  foit  une  ligne  droite 
P  0  fur  laquelle  foit  marqué  un  point  M.  Si  Von 
conçoit  que  les  extrémités  P  ,  Q  de  cette  droite 


A 

46  ^     A  N  A  L  Y  S  E 

glijfent  le  long  des  lignes  AB,  EF  ,  il  ejl  clair 
que  le  point  M  décrira  dans  ce  mouvement  une 
ligne  courbe  CD.  //  ejl  quejlion  de  mener  d'un 
point  donné  M  fur  cette  courbe  la  tangente  M  T. 

Ayant  imaginé  que  la  droite  mobile  PMQ, 
foit  parvenue  dans  la  fituation  infiniment  proche 
pmq  ,  on  tirera  les  petites  droites  PO,  MR 
Q.S  perpendiculaires  fur  PQ.,  ce  qui  formera 
les  petits  triangles  reftangles  pQ? ,  wRM  ,  gSQ.; 
&  ayant  pris  P  X  égale  à  M  Q ,  on  mènera  la 
droite  H  K  G  perpendiculaire  fur  P  Q  ,  Ôc  l'on 
prolongera  O  P  en  T  ,  où  je  fuppofe  qu'elle 
rencontre  la  tangente  cherchée  M  T.  Cela  po- 
fé ,  il  eft  clair  que  les  petites  droites  Op  ,  Rw, 
Sq  feront  égales  entr'elles ,  puifque  par  la  conf- 
trudtion  P  M  &  M  Q.  font  par  tout  les  mêmes. 

Ayant  nommé  les  connues  PM  ouKQ.,«; 
M  Q  ou  P  K  ,  b;  K  G ,  / ,•  K  H ,  g  ;  &  la  petite 
droite  Op  ou  Km  ou  Sq  ,  à  y  ;  les  triangles  fem- 
blables  PKG  &  pOP,  QKH&^SQ  don- 
neront PK(t).KG(/)::pO(^).OP  = 

&£.  Ec  Q.K  (a)  .  KH  (g)  :  :  qS  (d}>)  .  SQ.= 
£-^.  Or  l'on  fçait  par  la  Géométrie  commune  que 
M  R  =  2^NQ  ^  QSx  PM  =&-*-**.    Ainfî 

PQ  a-+-  b 

les  triangles  femblables  mK  M  >  M  P  T  donneront 
mK  (40  .  RM  (^£f&)  :  =  MP  (a).  PT  = 

aJ~*~if.,  Ce  qu'il  falloit  trouver.  (  Confulte\   U 

a-i-b  1 

Note  vingt-deuxième.  ) 


des    Infiniment    Petits.        47 

PROPOSITION     XII. 

Problème. 

57.O oient  deux  ligna  quelconques  BN  ,  FQ. 
(  F/g.  26.  PI.  2.  )  qui  ayent  pour  axes  les  droites 
BC,ED  qui  s 'entre-coupent  a  angles  droits  au 
point  A  ;  Ùfoit  une  ligne  courbe  L  M  telle  qu'ayant 
mené  d'un  de  fes  points  quelconques  M  les  droites 
M  G  Q.,  M  P  N  parallèle  a  A  B  ,  A  E  ;  la  relation 
des  efpaces  EGQF  (  le  pointa  efl  un  point  fixe 
donné  fur  la  droite  A  E  ,  &  la  ligne  E  F  ejl  parai' 
lele  a  AC)  APND,  Ù  les  droites  AP ,  P  M  , 
P  N  ,  GQ,  foit  exprimée  par  une  équation  quel- 
conque. Il  ejl  quejlion  de  mener  d'un  point  donné 
M  fur  la  courbe  L  M  ,  la  tangente  M  T. 

Ayant  nommé  les  données  &  variables  A  P 
ou  G  M  ,  x  ,•  P  M  ou  A  G ,;'  ;  P  N  ,  a  ,■  G  Q  ,  k  » 
l'efpace  E  G  Q  F  .  r  ;  l'efpace  APND,  n  &  les 
foutangentes  données  P  H ,  a  ;  G  K  ,  b  ;  l'on  aura 
P/?  ou  N  S  ou  MR  =  dx  ,  Gg  ou  JLrn  ou  O  Q.= 

1 —  dy  ;  S»  =  —  du  =  — ,  à  caufe  des  triangles 

a 

femblables  HPN,NS«-  Oq=d^  =  ~  K&-  , 

N?pnz=dt  =  udx,8zQGgq  =  ds  = —  K.dy; 
où  l'on  doit  obferver  que  les  valeurs  de  R  m  & 
S  n  font  négatives  ,  parce  que  A  P  (x)  croiflant , 
P  M  (;)&PN(«)  diminuent.  Cela  pofé  ,  on 
prendra  la  différence  de  l'équation  donnée ,  dans 
laquelle  on  mettra  à  la  place  de  dt ,  ds ,  du  ,  d\ 

leurs  valeurs  udx ,  — ■  \dy  3  —  —  ,  ■ —  —■  ;    ce  ' 

u  0 


48  Analyse. 

qui  donnera  une  nouvelle  équation  qui  exprime- 
ra le  rapport  cherché  de  dy  à  dx  ,  ou  de  MP  à  PT. 

Exemple     I. 

3  8. S  oit  j  +  ^  =  f  +  ax,on  aura  en  prenant 
les  différences  ds  -+-  i\d\  =  dt  +  udx  ■+-  xdu  ,  & 
mettant  à  la  place  de  ds,  dt,  d\,  du  leurs  va- 
leurs ,  on  trouvera  . —  \dy ^~   =    2udx    — 


.  d  ou  1  on  tire  r  I   (  — -  )  =  -, r- 

y,        '  N.  dv  y  aux  labiL 


b 
V- 

dy  J  bux  —  2abu 

Exemple    IL 

39.S01T  j  — ?,  àonc  ds  =  dt  ,  c'eft-à-dire  , 

—  \dy  =  udx,  &  partant  PT  Q^)  =  —  'Ç.  O* 

comme  cette  quantité  eft  négative,  il  s'enfuit 
(  Art.  1  o.  )  que  l'on  doit  prendre  le  point  T  du 
côté  oppofé  au  point  A  origine  des  x-  i  l'on  iup- 
pofe  que  la  ligne  F  Q  toit  une  hyperbole  qui  ait 
pour  afymptotes  les  droites  AC,  AE,  enforte 

que  G Q.(0  =  "'  &  que  la  ^%nQ  BND  foit 
une  droite  parallèle  à  A  B  ,  de  manière  que  PN 
(z*)  foit  par  tout  égale  à  la  droite  donnée  c  •  il 
eft  clair  que  la  courbe  L  M  a  pour  afymptote  la 

droite  A  B  ,  &  que  Ta  ioutangente  PT(  —  ~  } 

==  —  c  :  c'efl-à-dire  qu'elle  demeure  par  tout  la 
même. 

La  courbe  L  M  eft  appellée  dans  ce  cas  Lo- 
garithmique, (  Confultcz  la  Note  vingt-troifteme-  ) 

PROPORTION 


des   Infiniment   Petits.        43 

PROPOSITION    XIII. 

Problème. 

400  oient  deux  lignes  quelconques  B  N  ,  F  Q. 
(  Fi  g.  27.  PI.  2.  )  qui  ayent  four  axe  la  même 
droite  BA  ,  fur  laquelle  foient  marqués  deux  points 
fixes  A ,  E  ;  foit  une  troifieme  ligne  courbe  L  M 
telle  au 'ayant  mené  par  un  de  fes  points  quel- 
conques M  la  droite  A  N  ,  décrit  du  centre  A 
l'arc  de  cercle  MG,^  tiré  G  Q  parallèle  a 
E  F  ,  perpendiculaire  fur  A  B  ;  la  relation  des 
efpaces  E  G  Q.F  (  s  )  ,  ANB(t),  &  des  droi- 
tes A  M  ou  A  G  (  y  )  ,  AN  (  z  )  ,  G  Q.  (  u  )  , 
foit  exprimée  par  une  équation  quelconque.  Il  faut 
mener  d'un  point  donné  M  fur  la  courbe  L  M  la 
tangente  M  T. 

Après  avoir  mené  la  droite  ATH  perpendi- 
culaire fur  A  MN,  foit  imaginé  une  autre  droite 
Amn  infiniment  proche  de  A  M.  N ,  un  autre 
arc  mg ,  une  autre  perpendiculaire  gq ,  &  décrit 
du  centre  A  le  petit  arc  NS  :  on  nommera  les 
foutangentes  données  AH,«;GK,  i;  &oà 
aura  Km  ou  Gg  =  dy  ,  Sn  =  d^  ;  les  triangles 
femblables  HAN&NSn,   KGQ&QO^, 

donneront  au  m*  S  N  :=  —   ,    Où  =  —  du  = 

i 

-/■  ■>  G  Q.qg  =  —  ds  =  v.dy  ,  A  N  n  ou  A  N  x  { 

NS  =  —  dt  ■='-  ad\.  On  mettra  toutes  ces  va- 
leurs dans  la  différence  de  l'équation  donnée  ,  «Se 
l'on  en  formera  une  nouvelle  ,  d'où  l'on  tirera 

D 


50  Analyse 

une  valeur  de  d\  en  dy.  Or  à  caufe  des  fecteurs  Se 
des  triangles  femblables  ANS&AMR,?»RM 
&  M  A  T ,  on  trouve  A  N  (z)  .  AM  O  )  :  :  NS 

(^  ).  MR  =  ^.  Et  HR(^)  .RM  (^) 

::AM(;).AT=^.  Si    donc   l'on    met 

dans  cette  formule  a  la  place  de  d\  fa  valeur  en 
«/y  ,  les  différences  fe  détruiront ,  &  la  valeur  de 
la  foutangente  cherchée  AT  fera  exprimée  en  ter- 
mes entièrement  connus.  Ce  qu'il  falloir  trouver 

Exemple     I. 

4 1  o  o  i  T  uy  —  s  =zzi  —  t ,  dont  la  différence 
eft  udy  -t-  y  du  —  ds  =  2\dz_  —  dt  ,  ce  qui  donne 

(  après  la  fubftitution  faite  )  dz  ~  4  "  y  ~  2"-y  -^  : 

&  en  mettant  cette  valeur  dans  52ZJ     on  trouve 

ndy 
A  t  =  wfoyy  —  zwy  \ 

Exemple     IL 
42.3  oit  s  =  2t ,  donc  <sfr=  2^ ,  c'efl-à-dire  s 
—  «a(y  —  —  ^ ,  ou  d\  =si  £-£  i  &  partant   A  T 


r  ayyar  -\ uyv 

ii  J  Xi 

Si  la  ligne  BN  eft  un  cercle  qui  ait  pour  centre 
îe  point  A  ,  &  pour  rayon  la  droite  ÀB=AN 
=  c ,  &  que  FQ.loitunehyperboîc,  telle  que  GQ. 

(  u  )  ^z  ■U.  j  il  eft  clair  que  la  courbe  L  M  fait  une 


y 


des  Infiniment  Petits.  51 
infinité  de  retours  autour  du  centre  A  ,  avant  que 
d?y  parvenir  ( puifque  lefpace  F  E GQ  devient  in- 
fini, lorfque  le  point  G  tombe  en  A),  &  que  A  T 

—  fÙL.  D'où  l'on  voit  que  la  raifon  de  A  M  à  AT 

ce 

eft  confiante  ;  &  partant  que  l'angle  A  M  T  eft 
eft  par  tout  le  même. 

La  courbe  L  M  eft  appellée  en  ce  cas  Logarith- 
mique fpirale.  (Confulte^la  Note  vingt-quatrième.) 

PROPOSITION    XIV. 
Pr  obléme. 

43.  Soient  fur  un  même  plan  deux  courbes 
quelconques  AMD  ,  BMC  (F/g.  28.  PL  2.) 
qui  fe  touchent  en  un  point  M  ,  &  [oit  fur  le  plan 
de  la  courbe  BMC  un  point  fixe  L.  S;  l'on  conçoit 
a  prefent  que  la  courbe  BMC  roule  fur  la  courbe 
AMDra  s'y  appliquant  continuellement ,  enforte 
que  les  parties  révolues  A  M  ,  B  M  [oient  toujours 
égales  entr  elles  ;  il  eft  vifible  que  le  plan  BMC 
emportant  le  point  L  ,  ce  point  décrira  dans  ce 
mouvement  une  e[pèce  de  roulette  I  L  K.  Cela  po[ê  , 
je  dis  que  [1  l'on  mené  dans  chaque  différente  po[i- 
tion  de  la  courbe  BMC  (  au  point  décrivant  L  au 
point  touchant  M  )  la  droite  LM  ;  elle  [era  per- 
pendiculaire a  la  courbe  I  L  K. 

Car  imaginant  fur  les  deux  courbes  AMD, 
BMC  deux  parties  Mm,  Mm  égales  entr'eiles 
&  infiniment  petites  ,  on  les  pourra  confidérer 
([Art.  3.  )  comme  deux  petites  droites  qui  font 
au  point  M  un  angle  infiniment  petit.  Or  afin 

D  z 


52  Analysé 

que  le  petit  côté  Mm  de  la  courbe  ou  poligone 
BMC  tombe  fur  Je  petit  côté  Mm  du  poligone 
AMD,  il  faut  que  le  point  L  décrive  autour 
du  point  touchant  M  comme  centre  un  petit 
arc  L  /.  Il  eft  donc  évident  que  ce  petit  arc  fera 
partie  de  la  courbe  ILK  ;  &  par  conféquent  que 
la  droite  ML,  qui  lui  eft  perpendiculaire  ,  fera 
aufli  perpendiculaire  fur  la  courbe  ILK  au  point 
L.   Ce  qu'il  falloit  prouver. 

PROPOSITION    XV. 

Problème. 

44.  O  o  i  t  un  angle  recliligne  quelconque  MLN  , 
(  Fi  g.  29.  PL  2.  )  dont  les  cotés  LM,  LN  touchent 
deux  courbes  quelconques  A  M  ,  B  N.  Si  l'on  fait 
glijjir  ces  cotés  autour  de  ces  courbes  ,  enforte  qu'ils 
les  touchent  continuellement  •  il  eft  clair  que  le 
fommet  L  décrira  dans  ce  mouvement  une  courbe 
ILK.  Il  eft  que/lion  de  mener  une  perpendiculaire 
LC  fur  cette  courbe  ,  la  pofition  de  l'angle  MLN 
étant  donnée. 

Soit  décrit  xm  cercle  qui  pane  par  le  fommet 
L  ,  &  par  les  points  touchans  M  ,  N  3  foit  menée 
par  le  centre  C  de  ce  cercle  la  droite  CL  :  je  dis 
qu'elle  fera  perpendiculaire  à  la  courbe  ILK. 

Car  confidérant  les  courbes  AM  ,  BN  comme 
des  poligones  d'une  infinité  décotes  ;  tels  que  M;??, 
N?2  ;  il  eft  évident  que  fi  l'on  fait  glifler  les  côtés 
LM,  LN  ,  de  l'angle  recliligne  MLN  ,  qu'on 
fuppofe  demeurer  toujours  le  même  ,  autour  des 
joints  fixes  M  ,  N  ,  (on  confidére  les  tangentes 


des  Infiniment  Petits.  55 
LM  ,  LN  comme  la  continuation  des  petits  côtés 
M/,  Ng  )  jufqu'à  ce  que  le  côté  LM  de  l'angle 
tombe  fur  le  petit  côté  Mm  du  poligone  AM  & 
l'autre  côté  LN  iur  le  petit  côté  Nn  du  poligone 
BN  ;  le  ibmmet  L  décrira  une  petite  partie  L/  de 
l'arc  de  cercle  M  L  N  ,  puifque  par  la  conftruc- 
tion  cet  arc  en:  capable  de  l'angle  donné  MLN. 
Cette  petite  partie  ht  fera  donc  commune  à  la 
courbe  ILK  ;  &  par  conféquent  la  droite  CL  , 
qui  lui  ell  perpendiculaire  ,  fera  aulîi  perpendi- 
culaire fur  cette  courbe  au  point  L»  Ce  qu'il  fal- 
loit  démontrer. 

PROPOSITION    XV L 

Problème. 

45.  Soit  ABCD  (  Fig.  32.  PL  3.;  une  corde 
parfaitement  flexible  a  laquelle  [oient  attachés  dif- 
férens  poids  A  ,  B  ,  C  ,  &c.  qui  ayent  entreux 
tels  intervalles  A  B  ,  B  C  ,  ô'c.  que  l'on  voudra. 
Si  l'on  traîne  cette  corde  fur  un  plan  horizontal 
par  l'extrémité  D  ,  le  long  d'une  courbe  donnée 
DP  ;  il  efl  clair  que  ces  poids  fe  difpoferont ,  enforte 
qu'ils  feront  tendre  la  corde  ,  &  qu'ils  décriront 
enfaite  des  courbes  A  M  ,  BN  ,  CO  ,  ô'c.  On  de- 
mande la  manière  d'en  tirer  les  tangentes  ,  la  po- 
fition  de  la  corde  ABCD  étant  donnée  avec  la 
grandeur  des  poids. 

Dans  le  premier  inftant  que  l'extrémité  D 
avance  vers  P  ,  les  poids  A ,  B  ,  C ,  décrivent 
ou  tendent  à  décrire  autant  de  petits  côtés  ha  , 
B  ij  Ce  des poligones  qui  compofent  les  courbes 

D3 


54  Analyse 

A  M ,  BN ,  CO  j  &  par  conféquent  il  ne  faut  pour 
en  mener  les  tangentes  A  B  ,  BG ,  CK  ,  que  dé- 
terminer la  direction  des  poids  ,  A  ,  B  ,  C  dans 
ce  premier  inftant ,  c'eft- à-dire  ,  la  pofition  des 
droites  qu'ils  tendent  à  décrire.  Pour  la  trouver , 
je  remarque 

i°.  Que  le  poids  A  efl  tiré  dans  ce  premier  inf- 
tant fuivant  la  direction  AB  ;  &  comme  il  n'y  a 
aucun  obftacle  qui  s'oppofe  à  cette  direction  , 
puifqu'il  ne  traîne  après  lui  aucun  poids,  il  la  doit 
fuivrej  &  partant  la  droite  AB  fera  la  tangente 
en  A  de  la  courbe  A  M. 

2°.  Que  le  poids  B  eft  tiré  fuivant  la  direction 
BC  ;  mais  parce  qu'il  traîne  après  lui  le  poids  A 
qui  n'eft  pas  dans  cette  direction  ,  6c  qui  doit  par 
conféquent  y  apporter  quelque  changement ,  le 
poids  B  n'aura  pas  fa  direction  fuivant  BC  ,  mais 
fuivant  une  autre  droite  BG  ,  dont  il  faut  trouver 
ïa  pofition.  Ce  que  je  fai=;  ainfi. 

Je  décris  fur  B  C  comme  diagonale  le  rectangle 
E  F  ,  dont  le  côté  B  g  eft  fur  AB  prolongée  ;  Se 
fuppofant  que  la  force  avec  laquelle  le  poids  tt  eft 
tiré  fuivant  BC  ,  s'exprime  par  BC ,  il  eft  vifible 
par  les  règles  de  la  Mécanique  ,  que  cette  force 
BC  fe  peut  partager  en  deux  autres  B  E  &  B  F , 
ç'eft-à-dire  ,  que  le  poids  B  étant  tiré  fuivant  la. 
direction  BC  par  la  force  BC,  c'eft  la  même 
chofe  que  s'il  étoit  tiré  en  même  tems  par  la  force 
B  E  fuivant  la  direction  B  E  ,  &  par  la  force  B  F 
fuivant  la  direction  BF.  Or  lé  poids  A  ne  s'oppoie 
pointa  la  direction  BE,  puifqu'elle  lui  eft  per- 


des  Infiniment  Petits.         55 
pendiculaire  ;  &   par  conféquent  la  force   BE 
fuivant  cette  direction  demeure  toute  entière  : 
mais  il  s'oppofe  avec  toute  fa  pefanteur  à  !a  di- 
rection BF.    Afin  donc  que  le  poids  B  avec  la 
force  BF  vainque  la  réfiftance  du  poids  A  ,  il  faut 
que  cette  force  fe  diftribue  dans  ces  poids  à  pro- 
portion de  leurs  malles  ou  grandeurs  :  c'eft  pour- 
quoi fi  l'on  divife  EC  au  point  G  ,  enforte  que 
C  G  foit  à  G  E  comme  le  poids  A  au  poids  B  ; 
il  eft  clair  que  E  G  exprimera  la  force  reftante 
avec  laquelle  le  poids  B  tend  à  le  mouvoir  fuivant 
la  dire&ion  B  F  ,  après  avoir  vaincu  la  réfiftance 
du  poids  A.  Il  eft  donc  évident  que  le  poids  B  eft 
vrè  en  même  tems  par  la  force  B  E  fuivant  la  di- 
rection BE  ,  &  par  la  force  EG  fuivant  la  di- 
rection B  F  ou  E  C  »  &  partant  qu'il  tendra  à 
aller  par  BG  avec  la  force  B  G:  c'eft  à-dire,  que 
BG  fera  fa  direction  ,   &  par  conféquent  tan- 
gente en  B  de  la  courbe  BN. 

30.  Pour  avoir  la  tangente  CK  ,  je  forme  fur 
CD  comme  diagonale  le  rectangle  HI,  dont  le 
côté  G  I  eft  fur  B  C  prolongée  ;  &  je  vois  que  le 
poids  B  ne  réfifte  point  à  la  force  C  H  avec  la- 
quelle le  poids  C  eft  tiré  fuivant  la  direction  C  H , 
mais  bien  à  la  force  C I  avec  laquelle  il  eft  tiré 
fuivant  la  direction  CI,  &  de  plus  que  le  poids 
A  réfifte  auflî  à  cette  force.  Pour  fçavoir  de  com- 
bien ,  je  tire  A  L  perpendiculaire  fur  C  B  pro- 
longée du  côté  de  B  ,  &  je  remarque  que  fi  A  B 
exprime  la  force  avec  laquelle  le  poids  A  eft  tire 
fuivant  la  dire&ion  AB ,  BL  exprimera  celle  avec 

E>4 


5<5  Analyse 

laquelle  ce  même  poids  A  eft  tiré    fuivant  la 
direction   BC  ;  de  iorte   que  le  poids  C   avec' 
la  force  C  L  doit  vaincre  le  poids  entier  B  ,  ôc 
de  plus  une  partie  du  poids  A  qui  eft:  à  ce  poids 
A  comme  B  L  eft  à  B  A  ,  ou  B  F  à  B  C.  Si 

donc  l'on   fait  B  -f-  ^~I.  C  :  :  D  K  .  K  H  ,  il 

eft  clair  que  C  K  fera  la  direction  du  poids  C , 
&  par  conféquent  la  tangente  en  C  de  la  troi- 
fieme  courbe  CO. 

Si  le  nombre  des  courbes  étoit  plus  grand  , 
on  trouveroit  de  la  même  manière  la  tangente 
de  la  quatrième  ,  cinquième  ,  &c.  Et  fi  l'on 
vouloit  avoir  les  tangentes  des  courbes  décri- 
tes par  les  points  moyens  entre  les  poids  ,  on 
les  trouveroit  par  l'art.  36.  (  Voyc\  la  Note  25.  ). 


des    Infiniment  Petits.        57 


SECTION    III. 

Ufage  du  calcul  des  différences  pour  trouver  les  plus 
grandes  à  les  -moindres  appliquées  ,  oàfe  rédui- 
fent  les  que/lions  De  maximis  &  minimis. 

Définition    I. 

SO  1  t  une  ligne  courbe  MD M  (  F/g.  30.  31. 
33.  34.  PI.  2.  &  3.)  dont  les  appliquées  P M , 
ED,PM  foient  parallèles  entre'elles ,  &  qui  foit 
telle  que  la  coupée  A  P  croiffant  continuellement, 
l'appliquée  P  M  croiffe  auflî  jufqu'à  un  certain 
point  E ,  après  lequel  elle  diminue ,'  ou  au  con- 
traire qu'elle  diminue  jufqu'à  un  certain  point  E , 
après  lequel  elle  croiffe.  Cela  pofé. 

La  ligne  E  D  fera  nommée  la  plus  grande  ou 
la  moindre  appliquée. 

DÉFINITION     H. 

Si  l'on  propofe  une  quantité  telle  que  P  M ,  qui 
foit  compofée  d'une  ou  de  plufieurs  indéterminées 
telles  que  AP  ,  laquelle  AP  croiflant  continuel- 
lement ,  cette  quantité  P  M  croiffe  aufli  jufqu'à 
un  certain  point  E,  après  lequel  elle  diminue ,  ou 
au  contraire  ;  &  qu'il  faille  trouver  pour  A  P,  une 
valeur  AE  telle  que  la  quantité  ED  qui  en  eft 
compofée ,  foit  plus  grande  ou  moindre  que  toute 
autre  quantité  P  M  femblablement  formée  de  A  P. 
Cela  s'appelle  une  queftion  De  maximis  &  minimis. 


58  'Analyse 

PROPOSITION 

Générale. 

46.JL;  a  nature  de  la  ligne  courbe  M  D  M  étant 
donnée  ;  trouver  pour  AP  une  valeur  AE  telle  que 
l'appliquée  E  I  )  foit  la  plus  grande  ou  la  moindre 
de  fes  fomb  labiés  P  M. 

Lorfque  A  P  croiflant ,  P  M  croît  auflï  ;  il  eft 
évident  (  Art.  8.  10.)  que  fa  différence  R  m  fera 
pofitive  par  rapport  à  cel'e  de  AP  ;  &  qu'au  con- 
traire lor  que  P  M  diminue  ,  la  coupée  A  p  croif- 
fant toujours,  fa  différence  fera  négative.  Or  toute 
quantité  qui  croît  ou  diminue  continuellement, 
ne  peut  devenir  de  pofitive  négative  ,  qu'elle  ne 
parle  par  l'infini  ou  par  le  zéro  ;  fçavoir  par  le  zéro 
lorfqu'elle  va  d'abord  en  diminuant,  &  par  l'infini 
lorfqu'elle  va  d'abord  en  augmentant.  D'où  il  fuit 
que  la  différence  d'une  quantité  qui  exprime  un 
plus  grand  ou  un  moindre  ,  doit  être  égale  à  zéro 
ou  à  l'infini.  Or  la  nature  de  la  courbe  M  D  M 
étant  donnée  ,  on  trouvera  (  Se5l.  1.  ou  2.  )  une 
valeur  de  Rw,  laquelle  étant  égalée  d'abord  à 
zéro  ,  &c  enfui  te  à  l'infini ,  fervira  à  découvrir  la 
valeur  cherchée  de  A  E  dans  l'une  ou  l'autre  de 
ces  luppofitions. 

Remarque. 

47'JL/  a  tangente  en  D  (F/g.  30.  3  t  PL  2.  )  eft 
parallèle  à  l'axe  A  B  .  lorfque  !a  différence  K  m 
devient  nulle  dans  ce  point  ;  mais  lorfqu'elle  de- 
vient infinie ,  la  tangente  fe  confond  avec  l.'appli- 


dès  Infiniment  Petits.  59 
quée  ED.  (F/g.  33.  34.  PL  3.)  D'où  l'on  voit 
que  la  raifon  de  m  R  à  R  M ,  qui  exprime  celle  de 
l'appliquée  à  la  foutangente  ,  eft  nulle  ou  infinie 
fous  le  point  D. 

On  conçoit  aifément  qu'une  quantité ,  qui  di- 
minue continuellement  ,  ne  peut  devenir  de  pofi- 
tive  négative  lans  paiTer  par  le  zéro  ;  mais  on  ne 
voit  pas  avec  la  même  évidence  que  lorfqu'elle 
augmente  ,  elle  doive  paiTer  par  l'infini.  C'eft 
pourquoi  pour  aider  l'imagination  ,  l'oient  enten- 
dues des  tangentes  aux  points  M,  D ,  M  ;  (  Fig, 
30.  31.  PI.  2.)  il  eft  clair  dans  les  courbes  où 
la  tangente  en  D  eft  parallèle  à  l'axe  A  B  ,  que 
la  foutangente  PT  augmente  continuellement  à 
mefure  que  les  points  M  ,  P  ,  approchent  des 
points  D  ,  E  ;  &  que  le  point  M  tombant  en  D, 
elle  devient  infinie  ;  Se  qu'enfin  lorfque  AP  fur- 
paffe  A  E,  la  foutangente  P  T  devient  (  Art.  io.) 
négative  de  pofitive  qu'elle étoit ,  ou  au  contraire. 
(  Confultc\  la  Note  26.  ) 

Exemple     I 

48.S  upposons  que  x5  -t-y  =  axy  (  A  P  =  x  , 
P  M  —y  ,  AB  =  a)  ( Fig.  35.  PL  3 .  )  exprime 
la  nature  de  la  courbe  MD  M.  On  aura  en  pre- 
nant les  différences  ixxdx  -+-  ^yydy  —  axdy+aydx, 

oc  dy  = - ==  0  ,  lorlque  le  point  P 

$yy  —  ax  *.  r 

tombe  fur  le  point  cherché  E ,  d'où  l'on  tire  y  = 
2 —  ;  Se  fubftituant  cette  valeur  à  la  place  de  y 

a  1 

dans  l'équation  x'  -t-y  =  axy  ,  on  trouve  pour 


6o  Analyse 

A  E  une  valeur  x  =  j  a  y  2  telle  que  l'appliquée 
E  D  fera  plus  grande  que  toutes  les  femblables 
P  M.  (  Confulte\  la  Note  vingt-feptieme.  ) 

Exemple     II. 


4ç-OOïT_y  —  a  =  a •  x  a  —  x  J  ,  l'équation  qui 
exprime  la  nature  de  la  courbe  Al  D  M.  (  Fig.  3  3. 
P/.  3.  )  On  aura  en  prenant  les  différences ,  ày  =: 

2  ci  y?  *    7 

^ que  j'égale  d'abord  àzero  ;  mais  parce  que 

cette  fuppofition  me  donne  -  rdx]/a  —  0  qui  ne  peut 

faire  connoître  la  valeur  de  A  E ,  j'égale  enluite 
j 

}  a  I  innni ,  ce  qui  me  donne  l'y  a  —  x=o; 

3V a  x 

d'où  l'on  tire  x  =  a  ,  qui  eft  la  valeur  cherchée 
de  A  E.    (  Confiâtes  le  Note  vivgt-huiticme.   ) 

Exemple     III. 

50. vj  o  1  t  une  demie  roulette  accourcie  A  M  F, 
{Fig,  36.  PL  3.)  dont  la  bafe  B  F  eft  moindre 
que  la  demi-circonférence  A  N  B  du  cercle  gé- 
nérateur qui  a  pour  centre  le  point  C  II  faut  dé- 
terminer le  point  E  fur  !e  diamètre  A  B  ,  en  forte 
que  l'appliquée  E  D  foit  la  plus  grande  qu'il  eft 
pofllble. 

Ayant  mené  à  difcrétion  l'appliquée  P  M  qui 
coupe  le  demi-cercle  en  N  ,  on  concevra  à  l'ordi- 
naire aux  points  M  ,  N ,  les  petits  triangles  MRw, 
NSh,  &  nommant  les  indéterminées  AP,  x  ; 
PN.^i  l'arc  A  N  ,  a  i  &  les  données  A  JN  B ,  a  ; 


des  Infiniment  Petits.  6  i 
BF,i;CA  ou  CN,c;  l'on  aura  par  la  pro- 
priété de  la  roulette  ANB(a).BF(t)::AN 

0<)  .  N  M .=  -.  Donc  P  M  =  i +  —  ,  &  fa  dif- 

férence  R  m  —  a—L- — "-  ■==  o  lorfque  le  point  P 

tombe  au  point  cherché  E.  Or  les  triangles  rectan- 
gles NS/2,  N  P  C  font  femblables  ;  car  fi  l'on  ôte 
des  angles  droits  CNw,  P  N  S  l'anele  commun 
C  N  S  ,  les  reftes  S  N  n  ,  PNC  feront  égaux.  Et 
partant  C  N  (c)  .  C  P  (  c  —  x  )  :  :  N  »  (  du  )  .  S  n 

,    ,    v  ciu  —  xdu     tn. 

(  d\  )  = .  Donc  en  mettant  cette  va- 
leur à  la  place  de  d\  dans  ad\  -j-  bdu  =  o  ,  on  trou- 

acdu  —  axdu  — (-  bcdu  u    \  '  u 

vera z=o  ,  a  ou  1  on  tirera  x 

c 

bc 

(  qui  eft  en  ce  cas  A  E  )  =2  c  h — . 

Il  eft  donc  évident  que  fi  l'on  prend  C  E  du 
côté  de  B  quatiieme  proportionnelle  à  la  demi- 
circonférence  A  N  B  ,  à  la  baie  B  F  ,  &  au  ra- 
yon C  B  .  le  point  E  fera  celui  qu'on  cherche, 
(  Confulte^  la  Note  vingt-neuvième.  ) 

Exemple     IV. 

5  i .  C^,  o  u  p  e  r  la  ligne  donnée  A  B  (  Fig.  5  5. 
PI.  3.)  en  un  point  E  ,  enlorte  que  le  produit 
du  quarré  de  l'une  des  parties  A  E  par  l'autre 
EB  ,  foit  le  plus  grand  de  tous  les  autres  produits 
formés  de  la  même  manière. 

Ayant  nommé  l'inconue  A  E  ,  x  ;  Se  la  don- 
née A  B  ,  a  ;  on  aura  A  E  x  E  B  =  axx  —  x3 , 


62  Analyse 

qui  doit  être  un  plm  grand.  C'eft  pourquoi  oh 
imaginera  une  ligne  courbe  M  DM,  telle  que  la 
relation  de  l'appliquée  M  P  (j/  )  à  la  coupée  A  P 

(\  r  ■              •      i             u  '            •                   axx  —  x$ 
x)  ioit  exprimée  par  1  équation^  = ,  & 
a  a 

on  cherchera  un  point  E  tel  que  l'appliquée  E  D 
foit  la  plus  grande  de  toutes  fes  femblables  P  M  ; 

.    »  ,  2axdx — ■  'ïxxàx  ,,    N  ,, 

ce  qui  donne  dy  = =  o ,  d  ou  1  on 

1  a.t 

tire  AE(x)=j-2. 

n 

Si  l'on  veut  en  général  que  xm  x  a  • — x  Toit  un 
plus  grand  Cm  Si  n  peuvent  marquer  tels  nombres 
qu'on  voudra  )  ,  il  faudra  que  la  différence  de  ce 
produit  foit  égale  à  zéro  ou  à  l'infini ,  ce  qui  don- 

~-    n  *  n i 

new»xm     '  dx  X  a  —  x  — na  —  x         dxXxm  = 


0,d'où  endivifant  par  xm      'xa—x        dx,Yori 

tire  am  —  mx — nx  =»,&AE(x)=  a. 

N     '         m-+-  n 

Si  m  =  2  ,  &  n  —  —  i ,  l'on  aura  AE=  2a  , 
&  il  faudra  alors  énoncer  le  Problême  ainfi. 

Prolonger  la  ligne  donnée  AB  (  F/g  37.  Pi.  3) 
du  côté  de  B  en  un  point  E,  enforte  que  la  quan- 

tité  -tt-7  foit  un  moindre  ,    &  non  pas   un  plus 

grand  ;  car  l'équation  à  la  courbe  M  D  M  fera 

xx  =  y  ,  dans  laquelle  fi  l'on  fuppofex=â  , 

l'appliquée  P  M  qui  devient  B  C  fera  —  ,  c'eft-à- 

dire,  infinie  ;  &  fuppofant  x  infinie,  l'on  aura  y 
=x,  c'eft-à-dire ,  que  l'appliquée  fera  auffi  infinie. 


des  Infiniment  Petits.  63 

Sitf2=±  1  ,  &  n  = —  2  ,  l'on  aura  A  E=  -  a; 
d'où  il  fuit  que  l'on  doit  énoncer  le  Problème 
alors  en  cette  forte. 

Prolonger  la  droite  donnée  A  B  (  F/g.  38.  PL 
3.  )  du  côté  de  A  en  un  point  E ,  enforte  que  la- 
quantité       J^A     fait  plus  grande  que  toute  au- 
BE 

tre  quantité  femblable — ^1 — ■   (  Confultei  la 

Note  trentième,  ) 

Exemple     V. 

5  2.  L  a  ligne  droite  AB  (  F/g.  3  9.  PI  3.  )  étant 
diviféc  en  trois  parties  A  C  ,  C  F" ,  F  B  ,  il  faut 
couper  fa  partie  du  milieu  G  F  au  point  E  ,  en- 
forte  que  le  rapport  du  rectangle  r  ExEB  au 
rectangle  C  E  x  E  F  foît  moindre  que  tout  au- 
tre rapport  formé  de  la  même  manière. 

Ayant  nommé  les  données  AC  ,  a  ;  CF  ,  b  ; 
C  B  ,  c  ;  &  l'inconnue  C  E ,  x  ;  l'on  aura  A  E  = 
«-fï,E8  =  f-x,  EF=t-x,  &  partant 
le  rapport    de  A  E  x  E  B  à  C  E  x  E  F   fera 


ac  -t-  ex  —  ax  —  xx 


qui  doit  être  un  moindre.  C'eft 

bs  — xx  '■ 

pourquoi  fi  Ion  imagine  une  ligne  courbe  MDM, 

telle  que  la  relation  de  l'appliquée  P  M  00  à  la 

coupée  C  P  (  x  )  foit  exprimée  par  l'équation  y  = 

aaL±acX—aax-axx      ^  ft;on     fc    féduit    à 

bx  —  xx 

trouver  pour  x  une  valeur  C  E  telle  que  l'appli- 


64  Analyse 

quée  E  D  foit  îa  moindre  de  toutes  fes  fembla- 
bles  P  M.  On  formera  donc  (  en  prenant  les  dif- 
férences ,  &  divifant  enfuite  par  adx  )  l'égalité 
cxx  — axx  —  bxx  -j-  2acx  —  abc  ==  o  ,  dont  l'une 
des  racines  réfout  la  queftion. 

Si  c  —  a  h-  b  ,  l'on  aura  x  =  {  b-  (  Confulteç 
la  Note  trente-unième.  ) 

Exemple    VI. 

5  3-il,NTRE  tous  les  Cônes  qui  peuvent  être 
infcrits  dans  une  fphére  déterminer  celui  qui  a  la 
plus  grande  furface  convexe. 

La  queftion  fe  réduit  à  déterminer  fur  le  dia- 
mètre AB  du  demi- cercle  AFB  (  Fi  g.  40.  P/.  3.  ) 
le  point  E  ;  enforte  qu'ayant  mené  la  perpendi- 
culaire EF,  &  joint  AF,  le  rectangle  AFxFE 
foit  le  plus  grand  de  tous  fes  femblables  ANxNP. 
Car  fi  l'on  conçoit  que  le  demi-cercle  AFB  fafle 
une  révolution  entière  autour  du  diamètre  AB ,  il 
eft  clair  qu'il  décrira  une  fphére  ,  &  que  les  trian- 
gles rectangles  A  E  F  ,  A  P  N  décriront  des  cônes 
infcrits  dans  cetre  fphére  ,  dont  les  furfaces  con- 
vexes décrites  par  les  cordes  A  F  ,  AN,  feront 
entr'elles comme  les  rectangles  AFxFE,  ANxNP. 

Soit  donc  l'inconnue  A  E  =  x  ,  la  donnée  AB 
=  a ,  on  aura  par  la  propriété  du  cercle  A  F  = 
\/ax ,  E  F  =  \/ax— xx  ;  &  partant  AFxFE 
£=  \/aaxx  —  axi  qui  doit  être  un  plus  grand. 
C'efl  pourquoi  on  imaginera  une  ligne  courbe 
M  D  M  telle  que  la  relation  de  l'appliquée  P  M 
(y  )  à  la  coupée  A  P  (  x  )  foit  exprimée  par  l'é- 
quation. I 


des  Infiniment  Fetits.  65 

quation    aaxx      "*'  —  y  ;  &  l'on  cherchera  lé 

point  E  ,  enforte  que  l'appliquée  E  D  foit  plus 
grande  que  toutes  les  femblables  P  M.  On  aura 

donc  en  prenant  la  différence  2ax  x      ?XJ*L?  —  0  . 

2V  aaxx ax* 

d'où  l'on  tire  A  E  (x)  =  \  a.  (  Con.fulte\  la  Noté 
trente-deuxième.  ) 

Exempie    VIL 

I 

54.  (Jn  demande  entre  tous  les  Parallélépipèdes 
égaux  à  un  cube  donné  a>  ,  &  qui  ont  pour  un 
de  leurs  côtés  la  droite  donnée  b  ,  celui  qui  a  là 
moindre  fuperficie. 

Nommant  x  un  des  deux  côtés  que  l'on  cher- 
che ,  l'autre  fera  —  ;  &  prenant  les  plans  alterna- 
tifs des  trois  côtés  b  ,  x ,  —   du   parallélépipède  $ 

leur  fommefçavoir  bx  +  —  -+--r-  fera  la  moitié 
*  x         b 

de  fa  fuperficie  qui  doit  être  un  moindre.  C'efi 

pourquoi  concevant  à  l'ordinaire  une  ligne  courbe 

/  bx        aa.        aa  «. 

qui  ait  pour  équation \-  — h  —  =:/,l  on  trou» 

h, .  _-,              bdx        aaix 
différence — . =3    o  ^ 

d'où  l'on  tire  xx  =  — ,  &  x  =  l/~  ;  de  forte 

b  b 

que  les  trois  côtés  du  parallélépipède  qui  fatisfait 
à  la  queftion,  feront  le  premier  b,  le  fécond  v/^-  j 


66  Analyse 

&  le  troifïeme  i/4-  D'où  l'on  voit  que  les  deux 

r      b 

côtés  que  l'on  cherchoit  ,  font  égaux  entr'eux. 
(  Confultel  la  Note  trente-tfoifieme.  ) 

Exemple     V  1  1 1. 

5  5.  On  demande  préfentement  entre  tous  les 
Parallélépipède?  qui  font  égaux  à  un  cube  donné 
a}  ,  celui  qui  a  la  moindre  fuperficie. 

Nommant  x  un  des  côtés  inconnus ,  il  eft  clair 
par  l'exemple  précédent,  que  les  deux  autres  côtés 

feront  chacun  V7^  J  &   partant  la  fomme  des 

plans  alternatifs  qui  eft  la  moitié  de  la  fuperficie  , 

fera  t-  +  2  i/V  x  qui  doit  être  un  moindre.  C'eft 
x  ri 

.  r      t-rrt  a} àx  O^ ' d)C  J>„,\ 

pourquoi  fa  différence  —  -^-  -t-  ^j^  =  0 ,  û  ou 

l'on  tire  x'==  a  ;  &  par  conféquent  les  deux  autres 
côtés  feront  aufli  chacun  =«  \  de  forte  que  le  cu- 
be même  donné  fatisfait  à  la  queftion. 

Exemple     IX. 

5 6.  La  ligne  AEB  (Ffg.  41.  P/.  3.)  étant 
donnée  de  pofition  fur  un  plan  avec  deux  points 
fixes  C  ,  F  ;  &  ayant  mené  à  un  de  fes  points 
quelconques  P  deux  droites  CP  f:«  ) ,  PF  (  t  )  » 
foit  donnée  une  quantité  compofée  de  ces  indé- 
terminées u  &  \  ,  &  de  telles  autres  droites  don- 
nées a ,  b  ,  8cc.  qu'on  voudra.  On  demande  qu'elle 
doit  être  la  pofition  des  droites  CE  ,  EF  ,  afin 
que  la  quantité  donnée ,  qui  en  eft  compofée  , 


t>ES  Infiniment  Petits.  6f 

foit  plus  grande  ou  moindre  que  cette  quantité  ) 
loriqu'elle  eft  compofée  des  droites  CP  ,  PF. 

Suppofons  que  les  lignes  CE,  EF  ayent  là 
pofition  requife  ;  &  ayant  joint  CF,  concevons 
une  ligne  courbe  D  M  ,  telle  qu'ayant  mené  à 
difcrétion  PQ.M  perpendiculaire  fur  CF,  l'ap- 
pliquée QM  exprime  la  quantité  donnée  :  il  eft 
clair  que  le  point  P  tombant  au  point  E  ,  l'appli= 
quée  QM  qui  devient  CD,  doit  être  la  moin- 
dre ou  la  plus  grande  de  toutes  fes  femblables. 
11  faudra  donc  que  fa  différence  foit  alors  égale 
à  zéro  ou  à  l'infini  :  c'eft  pourquoi  fi  la  quantité 
donnée  eft  ,  par  exemple  ,  a  u  +  k%  ,  Ion  auri 
a  du-\-  2-^à  x  =  o  ,  &  par  coniéquent  d  u  * 
—  d\  :  :  i\.a.  D  où  l'on  voit  déjà  que  à  \  doit 
être  négative  par  rapport  à  du  3*  c'eft-à-dire  g 
que  la  pofition  des  droites  CE  ,  EF  doit  être 
telle  que  u  croiflant ,   \  diminue. 

Maintenant  fi  l'on  mené  E  G  perpendiculaire 
à  la  ligne  A  E  B  ,  &  d'un  de  fes  points  quel- 
conques G  les  perpendiculaires  GL  ,  G  I  fur 
CE,  E  F  ;  &  qu'ayant  tiré  par  le  point  e 
pris  infiniment  près  de  E  ,  les  droites  CKe  , 
F  e  H  ,  on  décrive  des  centres  C  ,  F  les  petits 
arcs  de  cercle  E  K  ,  EH  :  on  formera  les  triant 
gles  re&angles  ELG&EKe,  EIG  &  EHe9 
qui  feront  femblables  entr'eux  ;  car  fi  l'on  ôte 
des  angles  droits  G  E  e  ,  L  E  K  le  même  angle 
£,  E  e  ,  les  reftes  L  E  G  ,  K  E  e  feront  égaux  5 
on  prouvera  de  même  que  les  angles  IEG, 
HEe  feront  égaux,    On  aura  donc  G  L  .  G I 

E: 


68  Analyse' 

:  :  K  e  Ç du  )  .  H  e  (—  d\  )  :  :  2  5[ .  «.  D'où  i! 
fuit  que  la  poiition  des  droites  CE,  Et  doit 
être  telle  qu'ayant  mené  la  perpendiculaire  EG 
fur  la  ligne  AEB;  le  finus  GL  de  l'angle  GEG 
foit  au  fmus  G I  de  l'angle  G  E  F  ,  comme  les 
quantités  qui  multiplient  d\  font  à  celles  qui 
multiplient  à  u.  Ce  qu'il  falloit  trouver.  (  Con- 
fulte\  la  Note  trente-quatrième.  ). 

Corollaire. 

57.  01  l'on  veut  à  préfent  que  la  droite  CE 
foit  donnée  de  pofition  &  de  grandeur ,  que  la 
droite  E  F  le  foit  de  grandeur  feulement ,  & 
qu'il  faille  trouver  fa  pofition  ,  il  eft  clair  que 
l'angle  G  E  C  étant  donne  ,  fon  finus  G  L  le 
fera  aufîl ,  &  par  conféquent  le  finus  G I  de 
l'angle  cherché  G  E  F.  Donc  fi  l'on  décrit  un 
cercle  du  diamètre  E  G  ,  &  que  l'on  porte  la 
valeur  de  G  I  fur  fa  circonférence  de  G  en  I  ; 
la  droite  E  F  qui  pane  par  le  point  I  aura  la 
pofition  requife. 

Soit  a  u  ■+■  b\  la  quantité  donnée  ;  on  trouvera 

C*  T 

G I  —  — 7 —  ;  d'où  l'on  voit  que  quelque  lon- 
gueur qu'on  donne  à  E  C  &  à  E  F  ,  la  pofition 
de  cette  dernière  fera  toujours  la  même  ,  puis- 
qu'elles n'entrent  point  dans  la  valeur  de  Gï  ,  qui 
par  conféquent  ne  change  point.  Si  a  =.  b ,  il  eft 
clair  que  la  pofition  de  E  F  doit  être  fur  C  E  pro- 
longée du  côté  de  E  ;  puifque  G  L  =  G 1 ,  lorfque 
les  points  C,  F  tombent  de  part  &  d'autre  de  la 


des  Infiniment  Petits.  69 
ligne  AEB:mais  lorfqu'ils  tombent  du  même 
cote  ,  l'angle  F  E  G  (  F/g.  42.  PL  5.  )  doit  être 
pris  égal  à  l'angle  C  E  G. 

Exemple     X. 

58*L  e  cercle  AEB  (  Fig.  42.  PL  3.  )  étant 
donné  de  pofition  avec  les  points  C ,  F  hors  de 
ce  cercle  ;  trouver  fur  fa  circonférence  le  point  E 
tel  que  la  fomme  des  droites  CE,  EF  foit  la 
moindre  qu'il  eft  po!ïible. 

Suppofant  que  le  point  E  foit  celui  que  l'on 
cherche  ;  &  menant  par  le  centre  O  la  ligne 
OEG,  il  eft  clair  qu'elle  fera  perpendiculaire 
fur  la  circonférence  AEB;  &  partant  (  Art. 
57.  )  que  les  angles  F  E  G  ,  C  E  G  feront  égaux 
entr'eux.  Si  donc  l'on  mené  E  H  ,  enforte  que 
l'angle  E  H  O  foit  égal  à  l'angle  CEO,  Se 
de  même  EK,  enforte  que  1  angle  E  K  O  foit 
égal  à  l'angle  F  E  O  ,  &  les  parallèles  E  D  , 
EL  à  OF,OC;  on  formera  les  triangles  fem- 
blables  OCE  &  OEH,  OFE&OEK  , 
HDE  &  KLE;  &  en  nommant  les  connues 
OE  ou  OAouOB,  a;  OC.ijOF,  c j  6c 
les  inconnues  O  D  ou  L  E  ,  x  ;  D  E  ou  O  L  ,  y  ; 

l'on  aura  OH  =  ^,OK  =  -,&  HD  (x  — 

b  c 

~  )  .  DE  (j,  )  :  :  KL  (y  —  ~  )  .  LE  (xj.Donc  xx 

aax  aay  .     n  ,  \ 

■ — ■  -7—  ==  y  y  — •  — - ,  qui  eft  une  équation  a  une 

hyperbole  que  l'on  conftruira  facilement  ,  & 
qui    coupera  le   cercle   au   point    cherché    E. 

E3 


yo  Analyse 

(  Confultei  la  Note    trente-cinquième-   ) 

Exemple    XI. 

59-\J  n  voyageur  partant  du  lieu  C  (  Fig  43. 
ÏV.  3.  )  pour  aller  au  lieu  F  ,  doit  traverfer  deux 
campagn  .-■  réparées  par  la  ligne  droite  A  E  B. 
On  fuppofe  qu'il  parcourt  dans  la  campagne  du 
côté  C  l'efpace  a  dans  le  temps  c  ,  &  dans  l'autre 
du  côté  de  F  l'eipace  b  dans  le  môme  tems  c  :  on 
demande  par  quel  point  E  de  la  droite  A  E  B  il 
doit  paffer  ,  afin  qu'il  employé  le  moins  de  tems 
qu'il  efl  poffible  pour  parvenir  de  G  en  F.  Si  l'on 

fait«.CE(«)::c-^.  Et£  .  EF  (?) ':  :  c. 

^-.  Il  efl  clair  que  —  exprime  le  temps  que  le  vo- 
yageur employé  à  parcourir  la  droite  C  E  ,  &  de 
même  que  -£-  exprime  celui  qu'il  employé  à  par- 
courir E  F;  de  forte  que—  •+- j  doit  être    un 

moindre.  D'où  il  fuit  (  Art.  5  6.  )  qu'ayant  mené 
Ë  G  perpendiculaire  fur  la  ligne  A  B  ;  le  finus  de 
l'angle  G  E  C  doit  être  au  finus  de  l'angle  GEF  , 
comme  a  efl  à  b. 

Cela  pofé  ,  fi  l'on  décrit  du  point  cherché  E , 
comme  centre,  de  l'intervalle  EC,  le  cercle  CGH, 
&  qu'on  mené  fur  la  droite  A  E  B  les  perpendicu- 
laires CA,  HD  ,  F  B ,  &  fur  C  E  ,  E  F  les  per- 
pendiculaires G  L ,  G I  £  l'on  aura  ai::  GL  . 
pI.OrGL  =  AE,&GI  =  ED,  parce  que 
les  triangles  reftangles  GEL&ECÂ,  G  E  l 


des  Infiniment  Petits.  71 
&  E  H  D  font  égaux  8c  iemblabies  entr'eux ,  com- 
me il  eft  facile  à  prouver.  C'eft  pourquoi  fi  l'on 
nomme  l'inconnue    A  E  ,   x;  on  trouvera  E  D 

5=  —  :  &  nommant  les  connues  AB,/;  A  C ,  g  ; 

a 

B  F ,  h  ;  les  triangles  femblables  E  B  F ,  E  D  H 
donneront  E  B  (/—  x  ) .  B  F  (  h  )  :  :  E  D  (  -  ). 


a. 


bhx 


DH  =  — .  Mais  à  caufe  des  triangles  rectan- 

af  —  ax  ° 

gles  EDH,  EAC,  qui  ont  leurs  hypothenufes 
EH.EC  égales ,  l'on  aura  ÊD*  +  DH=  ËÂ' 

H-  AG  ,  c'eft-à-dire,  en  termes  analytiques,  ~±r.  -4- 

bbhhxx  t\    r  *..      ..  i 

xx + gg  :  De  lorte  que  otant  les 


aajf-  2tuijx  +  auxx 

fra&ions ,  &  ordonnant  enfuite  l'égalité ,  il  vien- 
dra aax*  —  laafx3  •+■  aaffxx  —  2aafggx  -+-  aaffgg  j=  0. 
—    bb  -+-  ibbf    -+-   aagg 

-bbff 

—  bbhh 

On  peut  encore  trouver  cette  équation  de  la 
manière  qui  luit,  fans  avoir  recours  à  l'exemple  9. 

Ayant  nommé  comme  auparavant  les  connues 
AB,/jAC,giBF,A;&  l'inconnue  A  fi  ,  x  ; 

on  fera  a  ,CE(  ]/gg  -t-xx)  ■  :  c .  CJps~^x^  —  au 

tems  que  le  voyageur  employé  à  parcourir  la  droi- 
te  CE.  Et  de  même  b  .  EF  (  ]/}_/  —  2/#  -+-  xx  -*-  AA  ) 

;  ;  C  ,  e/ff—zfx-i-xx-t-hh  _  au  ^^   qu£   Jg  YQya_ 
0 

E4 


j%  Analyse 

geur  employé  à  parcourir  la  droite EF.  Ce  qui  fera 

.   ss-- — -  -| JJ- 1— —  a  un  moindre  ;  & 

a  ? 

r     ,.„.,  cxdx  cxdx —  cfdx 

partant  fa  différence  •+• 

=  0;  d'où  l'on  tire,  en  divifant  par  cdx  &  en 
ôtant  les  incommeniurables,  la  même  égalité  que 
ci-devant ,  dont  l'une  des  racines  fournira  pour 
A  K  la  valeur  qu'on  cherche.  (  Confulte^  la  Note 
trente- fixieme.  ) 

Exemple    XII, 

60.  S  o  i  t  une  poulie  F  (  F/g.  44.  PL  5.  )  qui 
pend  librement  au  bout  d'une  corde  CF  atta- 
chée en  C,  avec  un  plomb  D  fulpendu  par  la 
corde  D  F  B  qui  pafle  au-defTus  de  la  poulie  F , 
§c  qui  efl  attachée  en  B  ,  enforte  que  les  points 
C  ,  B  font  fitués  dans  la  même  ligne  horizontale 
C  B.  On  fuppofe  que  la  poulie  &  les  cordes 
n'ayent  aucune  pcfanteur  ;  &  l'on  demande  en 
quel  endroit  le  plomb  D  ,  ou  la  poulie  F  doit 
■«'arrêter. 

Il  eft  clair  par  les  principes  de  la  Mécanique 
que  le  plomb  D  defcendra  le  plus  bas  qu'il  lui  fera 
poffible  ,  au-deffous  de  l'horizontale  C  B  ;  d'où  il 
luit  que  la  ligne  à  plomb  D  F  E  doit  être  un  plus 
grand.  C'eft  pourquoi  nommant  les  données  CF, 
i ';  D  F  B  3  b  ;  CB,c  ;&  l'inconnue  C  E  ,  x  ;  Ton 

aura  E  F  =  y  aa  —  >.x  ,  F  B  =  y  aa  -+-  ce  —  2cxt 
<j&   D  F  E  =  b  —  y  aa  -h  ce  —  2cx  -+-  |/  aa  —  xx 

qui  doit  être  un  plus  grand  5  ôc  partant  fa  diffé- 


des   Infiniment  Petits.        73 
rence         edx        —  -  xix     —  0 ,  d'où  l'on  tire 

Vaa  -+-  ce icx         Vua xx 

2CXi  —  iccxx  —  aaxx  -*-aacc  =  0 ,  &  divifant  par 
x  — c  ,  il  vient  2cxx —  aax-  aac  =  o  ,  dont  l'une 
des  racines  fournit  pour  C  E  une  valeur  telle  que 
la  perpendiculaire  E  D  pane  par  la  poulie  F  &  le 
plomb  D  ,  lorfqu'ils  font  en  repos. 

On   pourroit   encore  réfoudre   cette  queftion 
d'une   autre   manière  que  voici. 

Nommant  E  F  ,  y  ;   B  F  ,  ç  ;  l'on  aura  b 
—  ^  4. y  —  à  un  plus  grand  ;  &  partant  ày=â\. 
Or  il  eft  clair  que  la  poulie  F  décrit  le   cer- 
cle CFA  autour  du  point  G  comme  centre  ; 
&  partant  fi  du  point  /  pris  infiniment  près  de 
F ,   l'on  mené  /R  parallèle  à  C  B ,  6c  fS  per- 
pendiculaire fur  BF  ,  l'on  aura  FR=^,  &  FS 
=  d^.  Elles  feront  donc  égales  entr'elles  ;  Se  par 
conféquent  les  petits  triangles  rectangles  FR/, 
FS/,  qui  ont  de  plus  Phypothénufe  F/  commune, 
feront  égaux  &  femblables  ;   d'où  l'on  voit  que 
l'angle  RF/  eft  égal  à  l'angle  S  F/,  c'eft-à- 
dire,  que  le  point  F  doit  être  tellement  fitué 
dans  la  circonférence  FA  ,   que  les  angles  faits 
par  les  droites  E  F  ,  F  B  fur  les  tangentes  en  F , 
foient  égaux  entr'eux  :   ou  bien  (  ce  qui  revient 
au  même)  que  les  angles  BFC,  DFG  foient 
égaux. 

Cela  pofé,  fi  l'on  mené  F  H  ,  enforte  que  l'an- 
gle F  H  C  foit  égal  à  l'angle  C  F  B  ou  C  F  1)  ;  les 
triangles  C  B  F ,  C  F  H  feront  femblables  ;  comme 
auifi  les  triangles  rédangles  E  C  F  ,  E  F  H ,  puif- 


74  Analyse 

que  l'angle  C  F  E  eft  égal  à  l'angle  F  H  E ,  étant 
l*un  &  l'autre  le  complément  à  deux  droits ,  des 
angles  égaux  F  H  C  ,  CFD  ;  &  par  conféquent 

onauraCHrry,  &HE(.v--).  EF  (;) 

;:  EF(;/).EC(x).  Doncxx  —  a-^=yy  =  aa 

—  xx  par  la  propriété  du  cercle ,  d'où  l'on  tire 
la  même  égalité  que  ci-devant. 

Exemple     XIII. 

6 1 .  J_y  élévation  du  pôle  étant  donnée  , 
trouver  le  jour  du  plus  petit  crépufcule. 

Soit  G  C  Fig.  45  PL  3.  )  le  centre  de  la  fphére  ; 
APTOBHQle  méridien  ;HD^O  l'horifon  ; 
Q  E  e  T  le  cercle;  crépufculaire  parallèle  à  l'ho- 
rifon ;  A  M  N  B  l'équateur  ;FEDGla  portion 
du  paral'ele  à  l'équateur ,  que  décrit  le  Soleil  le 
jour  du  plus  petit  crépufcule  ,  renfermée  entre  les 
plans  de  l'horiion  &  du  cercle  crépufculaire  ;  P  le 
pôle  auftral  ;  P  E  M  ,  ?  D  N  des  quarts  de  cer- 
cles de  déclinaifon.  L'arc  H  Q  ou  O  T  du  mé- 
ridien compris  entre  l'horifon  &  le  cercle  crépuf- 
culaire ,  &  l'arc  O  ?  de  l'élévation  du  pôle  font 
donnes  ;  &  par  conséquent  leurs  finus  droits 
Cl  ou  FL  ou  Q.X,  &  UV  L'on  cherche  le 
iinus  C  K  de  l'arc  E  M  ou  D  N  de  la  décli- 
naifon du  Soleil ,  lorfqu'il  décrit  le  parallèle  E  D. 

S'imaginant  une  autre  portion  fedg  d'un 
parallèle  à  l'équateur  ,  infiniment  proche  de 
FEDG  ,  avec  les  quarts  de  cercle  Pew, 
Y  an  ;   il  eft  clair  que  le  tems  que    le  Soleil 


des  Infiniment  Petits.  75 
employé  à  parcourir  l'arc  E  D ,  devant  être  un 
moindre ,  la  différence  de  l'arc  M  N  qui  en  eft 
la  mefure ,  &  qui  devient  m  n  lorfque  Ë  D  de- 
vient ed,  doit  être  nulle;  d'où  il  fuit  que  les 
petits  arcs  Mm  ,  N»  ,  &  par  conféquent  les 
petits  arcs  Re,  Sd,  feront  égaux  entr'eux.  Or 
les  arcs  RE,  S  D  étant  renfermés  entre  les 
mêmes  parallèles  ED,  ed,  font  auflï  égaux, 
&  les  angles  en  S  &  en  R  font  droits.  Donc 
les  petits  triangles  rectangles  ERe,  DSd  (que 
l'on  confidére  comme  rectiiignes  (Art.  3.)  à 
caufe  de  l'infinie  petitefle  de  leurs  côtés  ) ,  fe- 
ront égaux  &  femblables  ;  &  par  conféquent  les 
hypothénufes  Ee ,  Dd  feront  auflï  égales  entr'elles. 
Cela  pofé  ,  les  droites  D  G  ,  K  F ,  dg  ,  ef  com- 
mune fections  des  plans  F  E  D  G  ,  fedg  parallèles 
à.réquateur,avec  l'horizon  &  le  cercle  crépufcu- 
laire  ,  feront  perpendiculaires  l'ur  les  diamètres 
HO,  Q.T ,  puifque  les  plans  de  tous  ces  cercles  fe- 
ront perpendiculaires  chacun  fur  le  plan  du  méri- 
dien ;  &  les  petites  droites  G  g  ,  F/  feront  égales 
entr'elles  ,  puifque  les  droites  F  G,  fg  font  paral- 
lèles. Donc  |/d7  —  G  /  ou    D  G   —  d  g  = 

y^e  —  Yf  ou  fe  —  F  E.  Or  il  eft  clair  par  ce 
que  l'on  a  démontré  dans  l'article  50.  que  û  l'on 
mené  à  difcrétion  dans  un  demi-cercle  deux  ap- 
pliquées infiniment  proches ,  le  petit  arc  qu'elles 
renferment ,  fera  à  leur  différence ,  comme  le  ra- 
yon eft  à  la  coupée  depuis  le  centre ,  ce  qui  donne 
ici  (à  caufe  des  cercles  HDO,QET)CO.CG 


yS  Analyse 

:  :  Dd  ou  E  e .  D  G  —  dg  ou  fe  —  F  E  :  :  I Q  .  I  F 
:  :CO  +  IQouOX.CG+IFouGL.  Mais  à 
caufe  des  triangles  rectangles  femblables  C  V  O  , 
CKG,FLG,  l'on  aura  CO.CG::OV.GK. 
EtGK.GL::CK.FLouQX.  Donc  OV  . 
C  K  :  :  OX  .  X Q.  :  :  X Q. .  X  H  par  la  propriété 
du  cercle  :  c'eft- à-dire,  que  fi  l'on  prend  QX 
pour  le  rayon  ou  finus  total  dans  le  triangle 
recïangle  g  X  H ,  dont  l'angle  H  Q  X  eft  de  9 
degrés ,  parce  que  les  Aftronomes  font  l'arc  HQ 
de  1 8  degrés  ,  l'on  aura  comme  le  finus  total 
eft  à  la  tangente  de  9  degrés ,  de  même  le  fi- 
nus de  l'élévation  du  pôle  eft  au  finus  de  la 
déclinaifon  auftrale  du  Soleil  dans  le  tems  du 
plus  petit  crépufcule.  D'où  il  fuit  que  fi  l'on 
ôte  0.8002875  du  logarithme  du  finus  de  l'é- 
lévation du  pôle  ;  le  refte  fera  le  logarithme  du 
finus  cherché.  Ce  qu'il  falloit  trouver-  (  Con~ 
fulte\  la  Note   trenie-feçtkrne.  ) 


'**&«#* 


des    Infiniment   Petits.      jy 


SECTION    IV. 

Vf'ige   du  calcul  des  différences  pour  trouver  les 
points  d'inflexion  &  de  rehrouffement. 

CO  m  m  e  l'on  fe  fervira  dans  la  fuite  des 
différences  fécondes  ,  troifiemes  ,  &c  il 
eft  néceffaire  d'en  donner  une  idée  avant  que 
d'aller  plus  loin. 

DÉFINITION   I. 

La  portion  infiniment  petite  dont  la  diffé- 
rence d'une  quantité  variable  augmente  ou  di- 
minue continuellement  ,  eft  appellée  la  différence 
de  la  différence  de  cette  quantité  ,  ou  bien  fa 
différence  féconde.  Ainfi  fi  l'on  imagine  une  troi- 
fieme  appliquée  nq  (F/g.  46.  PL  3.)  infiniment 
proche  de  la  féconde  m  p  ,  &  qu'on  mené  m  S 
parallèle  à  AB,  &  rnYi  parallèle  à  RS;  on  ap- 
pellera H»  la  différence  de  la  différence  Rro, 
ou  bien  la  différence  féconde  de  Y  M. 

De  même  il  Ton  imagine  une  quatrième  ap- 
pliquée of  infiniment  proche  de  la  troifieme 
n  q  ,  8c  qu'on  mené  n  T  parallèle  à  AB,  & 
bL  parallèle  à  ST;  on  appellera  la  différence 
des  petites  droites  H»,Ls,  la  différence  de  la 
différence  féconds ,  ou  bien  la  différence  troifieme 
de  P  M.  Et  ainfi  des  autres.  (  Voye\  la  Note  38.) 


78  Analyse 

Avertissement. 

On  marquera  dans  la  fuite  chaque  différence 
par  un  nombre  de  d  qui  en  exprime  l'ordre  ou 
le  genre.  Par  exe?nple  ,  on  marquera  par  dd  la 
différence  féconde  ou  du  fécond  genre  •  par  ddd  9 
la  différence  troifieme  ou  du  troifieme  genre  *  par 
dddd  ,  la  différence  quatrième  ou  du  quatrième 
genre ,  &  de  même  des  autres.  Ainfi  ddy  expri- 
mera fin  •  dddy ,  Lo  —  Hn  ou  Hn  —  Lo  ,  fie. 

Quant  aux  puijfances  de  ces  différences  ,  on  les 
marquera  par  des  chiffres  poflérieurs  mis  au-deffus  s 
comme  Von  fait  ordinairement  celles  des  gran* 
deurs  entières.  Par  exemple  ,  le  quarré  ,  ou  le 
cube  de  dy  fera  dy1  ,  ou  dy'  •  le  quarré  ,  ou  le 
cube  de  ddy  fera  ddy1  ,  ou  ddys  ;  celui  de  dddy 
fera  dddy1  ,  ou  dddy'  •  celui  de  ddddy  fera 
ddddy1  ,  ou  ddddy'  ,  Ôc  (  Voye\  la  Note  39.  ) 

Corollaire  I. 

^' Ji  l'on  nomme  chacune  des  coupées  AP, 
Ap  ,  Aq  ,  A/,  x  ;  chacune  des  appliquées 
P  M  ,  p  m  ,  q  n  ,  fo  ,  y  ;  &  chacune  des  por- 
tions courbes  AM,  Aw,  A»,  Ao  ,  u  ;  il  eft 
clair  que  dx  exprimera  les  différences  J*p,pq, 
qf  des  coupées;  dy  les  différences  Rot,  Sw  , 
To  des  appliquées,  6c  du  les  différences  Mw, 
otk,  no  des  portions  de  la  courbe  AMD. 
Or  afin  de  prendre ,  par  exemple  ,  la  différence 
féconde  H  n  de  la  variable  P  M  ,  il  faut  ima- 
giner fur  l'axe  deux  petites  parties  ¥  p  ,  pq, 


des  Infiniment  Petits.  79 
fie  fur  la  courbe  deux  autres  M  m  ,  m  n  pour 
avoir  les  deux  différences  R  ??7  ,  S  n  ;  &  par- 
,  tant  fi  l'on  fuppole  que  les  petites  parties  V  p  , 
I  pq  foient  égales  entr'elles  ;  il  eft  clair  que  dx 
fera  confiante  par  rapport  à  dy  fit  à  du  ,  puif- 
que  Pp  qui  devient  p  q  demeure  la  même  pen- 
dant que  R  m  qui  devient  S  n  ,  fie  M  m  qui 
devient  ?«  n  ,  varient.  On  pourroit  fuppofer  que 
les  petites  parties  de  la  courbe  M?n  ,  mn  fe- 
roient  égales  entr'elles  ,  &  alors  du  leroit  conf- 
tante  par  rapport  à  dx  6c  à  dy  ;  fie  enfin  fi 
l'on  luppofoit  que  R  m  fie  Sn  fuflent  égales  , 
dy  leroit  confiante  par  rapport  à  dx  fie  à  dut 
fie  fa  différence  H  n  (  ddy  )  feroit  nulle. 

De  même  pour  prendre  la  différence  troifie- 
me  de  P  M  ,  ou  la  différence  de  la  différence 
féconde  Hn,  il  faut  imaginer  fur  l'axe  trois  pe- 
tites parties  Pp  ,  pq,  qf  ;  fur  la  courbe  trois 
autres  M  m  ,  m  n  ,  n  0  ;  fie  iur  les  appliquées 
auffi  trois  autres  R  m  ,  S»,  T<?,  fie  alors  on 
aura  d x  ou  du  ou  dy  pour  confiante,  félon 
qu'on  fuppofera  que  les  petites  parties  P  p ,  pq , 
qf,  ou  M  m  ,  m  n  ,  ko,  ou  R  ?»  ,  S  n ,  T  0  font 
égales  entr'elles.  Il  en  eft  de  même  des  diffé- 
rences quatrièmes  ,  cinquièmes ,  ficc. 

Tout  ceci  fe  doit  aulïi  entendre  des  courbes 
AMD  ,  (  Fig.  47.  PL  3.  )  dont  les  appliquées 
B  v] ,  B  m  ,  Bn  partent  toutes  d'un  point  fixe 
B  ;  car  pour  avoir  ,  par  exemple ,  la  différence 
féconde  de  B  M  ,  il  faut  imaginer  deux  autres 
appliquées  Bm ,  ï,n  qui  faiTent  des  angles  MB//? , 


go  Analyse 

ttzBw  infiniment  petits ,  &  ayant  décrit  du  ceti= 
tre  B  les  petits  arcs  de  cercle  M  R ,  œS;  la 
différence  des  petites  droites  R  m  »  S  n  \  fera  la 
différence  féconde  de  B  M  ;  ôc  l'on  pourra  pren- 
dre pour  confiants  les  petits  arcs  M  R  ,  mS  , 
ou  les  petites  portions  de  la  courbe  M  m  ,  mn  y 
ou  enfin  les  petites  droites  R  m ,  Sn.  Il  en  va 
de  même  pour  les  différences  troifiemes,  qua- 
trièmes ,  &c.   de  l'appliquée  BM. 

Remarque. 

63- On   doit  bien  remarquer  ,    i°.  Qu'il  y  a 

différens  ordres  d'infiniment  petits  :  que  R  m  i 
(Fig.  46.  PL  3.)  par  exemple  ,  eft  infiniment 
petite  par  rapport  à  P  M  ,  Se  infiniment  grande 
par  rapport  à  H  n  ;  de  même  que  l'efpace  M  P  p  m 
eft  infiniment  peut  par  rapport  à  l'elpace  APM, 
&  infiniment  grand  par  rapport  au  triangle  MRw. 
20.  Que  la  différence  entière  ?f  eft  encore  in- 
finiment petite  par  rapport  à  AP  ;  parce  que 
toute  quantité  qui  eft  la  fomme  d'un  nombre 
fini  de  quantités  infiniment  petites ,  telles  que 
P  p  ,  pq  ,  qf  par  rapport  à  une  autre  A  P  , 
demeure  toujours  infiniment  petite  par  rapport 
à  cette  même  quantité  :  &  qu'afin  qu'elle  de- 
vienne du  même  ordre  ,  il  faut  que  le  nombre 
des  quantités  de  l'ordre  inférieur  qui  la  compofe , 
ioit  infini. 

Corollaire     II. 

64.  O  n  peut  marquer  en  cette  forte  les  différent 
ces  fécondes  dans  toutes  les  fuppofitions  poflibles. 


des    Infiniment    Pet 


i°. 


I  T  3.  it 

Dans  les  courbes  où  les  appliquées  ?>zRs 
n  S  font  parallèles  entr'elles ,  (  F /g.  48.  49.  PI.  3.  ) 
on  prolongera  la  petite  droite  M  m  en  H  oi> 
elle  rencontre  l'appliquée  Sn  ;  &  ayant  décrit 
du  centre  #»<,  de  l'intervalle  ww,  l'arc  «/?,,  or» 
tirera  les  petites  droites  ni  ,  //',  kcg  dont  la 
première  foit  parallèle  à  wS,&  les  deux  autres 
à  S  n.  Cela  pofé  ,  fi  l'on  veut  que  dx  foit  conf- 
tante,  c'eft-à-dire,  que  MR  foit  égale  àwS?; 
il  eft  clair  que  le  triangle  m  S  H  eft  femblable 
&  égal  au  triangle  MRw,&  qu'ainfi  Hk  eft 
ddy  ,  c'eft-à-dire  ,  la  différence  de  Km  &  Sn  i 
&  Wk-àdtt.  Mais  fi  l'on  fuppofe  que  dw  foit 
confiante  ,  c'eft-à-dire  ,  que  Mm  =  m  n  ou  à 
m  k  ;  il  eft  évident  alors  que  le  triangle  mgk, 
eft  femblable  &  égal  au  triangle  MRw  3  8c 
qu'ainfi  kc  —  ddy  ,  &  S  g  ou  cn=dd'xi 
Enfin  fi  Ton  prend  <é/>'  pour  confiante  5  c'eft- 
à-dire  ,  m  R  ==  «  S  ,  il  s'enfuit  que  le  triangle 
mil  eft  égal  &  femblable  au  triangle  MRraj 
&  qu'ainfi  iS  ou   nl=ddx$    Se  l\r=iddu. 

20.  Dans  les  courbes  dont  les  appliquées  B  M  5 
Bm  ,  B»  partent  du  même  point  B  ,  (  F/g.  50.  51. 
P/.  3.  )  l'on  décrira  du  centre  B  les  arcs  M  R  | 
m  S  ,  que  l'on  regardera  (Art.  3.  )  comme  dé 
petites  droites  perpendiculaires  fur  Bw,  B  «  5 
&  ayant  prolongé  M  m  en  £  ,  êc  décrit  du  cen- 
tre ;»,  de  l'intervalle  mn  ,  le  petit  arc  #&Ëj 
on  fera  l'angle  E»?H=wBn,  6c  l'on  tirera 
les  petites  droites  ni,  li,  kcg  dont  la  pre~ 
miere  foit  parallèle  à  m  S  ,  &  les  deux  autres 

F 


82  Analyse 

à  S  m.  Gela  pofé  ,  à  caufe  du  triangle  BSm 
redangle  en  S ,  l'angle  BwS  -+-  mBn  ,  ou  m-  Er//H 
vaut  un  droit  ,  &  partant  l'angle  BmE  vaut 
un  droit  +  SwHj  il  vaut  auilï  le  droit  UKm 
+  RMw  ,  puifqu'il  eft  externe  au  triangle  RMw. 
Donc  l'angle  SmH  =  RMw. 

Il  fuit  de  ceci ,  i°-  Que  fi  l'on  veut  que  dx  foie 
confiante,  c'eft-à-dire  que  les  petits  arcs  MR  , 
m  S  foient  égaux  entr'eux  ,  le  triangle  S  m  H  fera 
iemblable  Se  égal  au  triangle  RM  m  ,  &  qu'ainfi 
Bn=ddy,&i  Hk=ddu.  2°.  Que  fi  l'on  prend  du 
pour  confiante,  le  triangle  gmk  fera  femblabîe  & 
égal  au  triangle  RMw,  &  qu'ainfi./ic  exprimera 
àdy ,  &  Sg  ou  c« ,  «Wx.  Enfin  ,  3  °.  Que  fi  l'on  prend 
dy  pour  confiante,  les  triangles  iml ,  RM?»  ieront 
égaux  &  femblables  ;  &  qu'ainfi  iS  ou  In  =  ddx  , 
8c  Ik,  =  ddu- 

PROPOSITION    I. 

Problème. 
65. Prendre  la  différence  d'une  quantité  corn- 
pofée  de  différences  quelconques. 

On  prendra  pour  confiante  la  différence  que 
l'on  voudra  ,  &  traitant  les  autres  comme  des 
quantités  variables ,  on  fe  fervira  des  régies  pref- 
crites  dans  la  Section  première. 

La  différence  de  § ,  en  prenant  dx  pour  conf- 

tante  ,  fera  y    ^     - ,  &      y  dJ  7 —  en  pre- 
nant dy  pour  confiante. 


des    Infiniment    Petits.        85 
Celle  de  — — — ^—  ,  en  prenant  dx  pour 

confiante  ,  fera  d\  \/dxx-hdyx  +     }y   y    =• ,  le 

J  \Zdxx-+-dyx 

tout  divifé  par  dx,  c'efl-à-dire  -i  *  ~*~ ,IL?      ^  y   y '  1 
6c  en  prenant    dy   pour    confiante  ,   elle    fera 

dfcfo  |/</*  *  -i-  Jy  L  +  j=^ —  Zddx\/dx  x-^-dy2-  ,    16 

J  Vdx'-H-dy1  J 

tout  divifé  par  dx\  c.àd.  éɱ±4^Ù^£^-\ 

La  différence  de  -^~— - — - ,  en  prenant  dx  pouf 

confiante ,  fera  dyx-+-yddy\/dxT-+-dy%  —  -yy    y '■  . 
le   tout   divifé  par    «/x1  +  ^/y1  ,    c'efl-à-dire  3 

dv*dyz -hdy^-{-ydx*ddy 
■  ^^frV^H-^'    *    &     ^     Pr£nant    ^     P°Uf 

confiante ,  elle  fera  dx^  +  W-yW**** 

dx"-  H-  dy'l/dx'-h-dy1 

La  différence    de    ^  +  ty\/ dx- -+- dy*     m 

—  dxddy 
_i I 

4£  * ,  en  prenant  dx  pour  confiante  ,  fera 


—  dxddy 


—  3dxJyddy*xdxz  -hdy1  z  -f-  dxdddy  x  dxt~^ày'1  1 
dx*ddy*  '        ' 

Mais  il  faut  obferver  que  dans  ce  dernier  cas  il 
n'efl  pas  libre  de  prendre  dy  pour  confiante,  car  dang 
cette  fuppofition  fa  différence  ddy  leroit  nulle ,  Se 
par  conléquent  elle  ne  devroit  pas"  fe  rencontrer 
dans  la  quantité propofée,  (Confitlte^  la  Note 40.) 

F  a 


84  Analyse 

Définition    II. 

Lorfqu'une  ligne  courbe  AFK  (F/g-  52.  53. 
54.  55.  PL  3.  4.  )  eft  en  partie  concave  &  en  par- 
tie convexe  vers  une  ligne  droite  A  B  ou  vers  un 
point  fixe  B  •  le  point  F  qui  iépare  la  partie  con- 
cave de  la  convexe  ,  &  qui  par  coniéquent  eft  la 
fin  de  l'une  &  le  commencement  de  l'autre ,  eft 
appelle  point  d'inflexion ,  lorfque  la  courbe  étant 
parvenue  en  F  continue  fon  chemin  vers  le  même 
côté  :  &  point  de  rebrouflement ,  lors  qu'elle  re- 
broufle  chemin  du  côté  de  fon  origine. 

PROPOSITION     II. 

Problème  Général. 

66.jLj  A  nature  de  la  ligne  courbe  AFK  étant 
donnée ,  déterminer  le  point  d'inflexion  ou  de  re- 
brouffèment  F. 

Suppofons  en  premier  lieu  que  la  ligne  courbe 
AFK  (F;>.  52.  5  3.  PI.  3.  4.  )  ait  pour  diamètre 
une  ligne  droite  A  B  ,  &  que  fes  appliquées  P  M , 
EF  ,  &c.  foient  toutes  parallèles  entr'elles.  Si  l'on 
mené  par  le  point  F ,  l'appliquée  F  E  avec  la  tan- 
gente FL;  &  par  un  point  quelconque  M  de  la 
partie  A  F  ,  une  appliquée  M  P  avec  une  tangen- 
te M T  :  il  eft  clair, 

i°.  Dans  les  courbes  qui  ont  un  point  d'infle- 
xion ,  que  la  coupée  A  P  croiflant  continuelle- 
ment ,  la  partie  A  T  du  diamètre,  interceptée  en- 
tre l'origine  des  x  &  la  rencontre  de  la  tangente  , 
croît  aufli  jufqu'à  ce  que  le  point  P  tombe  en  E  , 


des  Infiniment  Petits.  85 
après  quoi  elle  va  en  diminuant  ;  d'où  l'on  voit 
que  AT  qui  répond  à  l'appliquée  en  P,  doit 
devenir  un  plus  grand  A  L  ,  lorfque  le  point 
P  tombe  fur  le  point  cherché  E. 

20  Dans  celles  qui  ont  un  point  de  rebrouffe- 
ment, que  la  partie  AT  croiffant  continuelle- 
ment, la  coupée  A  P  croît  aufli  jufqu'à  ce  que  le 
point  T  tombe  en  L,  après  quoi; elle  va  en  dimi- 
nuant ;  d'où  l'on  voit  que  A  P  qui  répond  à  AT  , 
doit  devenir  un  plus^rand  A  E  ,  lorlque  le  point 
T  tombe  en  L. 

Or  fi  l'on  nomme  A  E ,  x  ;  E  F ,  y  ;  l'on  aura  AL 

■=z^~  —  xi  dont  la  différence,  qui  eft  — — v  ,  \  '  *    ■- 

dy  A  dyL 

—  dx  (  en  fuppofant  dx  confiante  )  ,  étant  divifée 
par  dx  différence  de  A  E  ,  doit  être  (  Art.  47.  ) 

nulle  ou  infinie  :  ce  qui  donne  —  t—%-  —  0  ,  ou  à 

l'infini  :  de  forte  que  multipliant  par  dy* ,  &  divi- 
fantpar — y  ,  il  vient  ddy  —  0,011  à  l'infini  ;  ce  qui 
fervira  dans  la  fuite  de  formule  générale  pour  trou- 
ver le  point  d'inflexion  ou  de  rebrouffement  F. 
Car  la  nature  de  la  courbe  A  F  K  étant  donnée  , 
l'on  aura  une  valeur  de  dy  tn  dx  ;  &  prenant  la 
différence  de  cette  valeur ,  en  iuppofant  dx  conf- 
tante  ,  on  trouvera  une  valeur  de  ddy  en  dx* ,  la- 
quelle étant  égalée  d'abord  à  zéro  ,  &  enfuite  à 
l'infini ,  fervira  dans  l'une  ou  l'autre  de  ces  fup- 
pofitions  à  trouver  pour  AE  une  valeur  ,  telle  que 
l'appliquée  E  F  aille  couper  la  courbe  A  F  K  au 
point  d'inflexion  ou  de  rebrouffement  F. 

F  3 


85  Analyse 

L'origine  A  des  x  peut  être  tellement  fituée 

que  AL  ==  x —^ ,  au  lieu àty~  —  x  ,  &  que 

A  L  ou  A  E  foit  un  moindre  au  lieu  d'être  un  plus 
grand  :  mais  comme  la  conféquence  eft  toujours  la 
même,  &  que  cela  ne  peut  faire  aucune  difficulté, 
îe  ne  m'y  arrêterai  pas.  Il  eft  à  remarquer  que  AL 

ne  peut  jamais  être  =  x-»-^p  ,  car    lorfque   le 

point  T  tombe  de  l'autre  côté  du  point  P ,  par 

rapport  à  l'origine  A  des  x,  la  valeur  de  y-j~  ^era 

négative  fuivant  l'article  io,&  par  conféquent 

Çelle  de  —  y-p  fera  pofitive ,  de  forte  qu'on  aura 

encore  en  ce  cas  AE-i-EL.  ou  A  L  =  x  ■ — -j-, 

La  même  chofe  fe  peut  encore  trouver  àz  cette 
autre  manière.  Il  eft  clair  qu'en  prenant  dx  pour 
confiante  ,  &  fuppofant  que  l'appliquée  y  aug- 
mente ,  S»  (Fig,  48.  49-  PL  3-  )  eft  moindre  que 
S  H  ou  que  Km  dans  la  partie  concave,  &  plus 
grande  dan-  la  convexe.  D'où  l'on  voit  que  la  va- 
leur de  Ha  (  ddy  )  doit  devenir  de  pofitive  néga- 
tive fous  le  point  d'inflexion  ou  de  rebrouflement 
fi  &  partant  {Art.  47.)  qu'elle  y  doit  être  ou 
nulle  ou  infinie- 

Suppofons  en  fécond  lieu  que  la  courbe  AFK. 
(  fe  54  5 S-  P^-  4-  )  ail  Pour  appliquées  les  droi- 
tes B  M,  B  F  ,  B  M  ,  qui  partent  toutes  d'un 
même  point  B.  Si  l'on  mené  telle  appliquée  BM 
I  Vig>'  56.  57.  PI-  4-  )  qu'on  voudra  ,  avec  une 


des  Infiniment  Petits.  87 
tangente  MT  qui  rencontre  BT  perpendiculaire 
à  B  M  au  point  T  ;  &  qu'ayant  pris  le  point  m 
infiniment  près  de  M  ,  l'on  tire  l'appliquée  Bm , 
la  tangente  ?nt ,  &  la  perpendiculaire  Bt  fur  B???, 
qui  rencontre  M  T  en  O  ;  il  eft  vifible  (  en  luppo- 
fant  que  l'appliquée  B  M ,  qui  devient  Bm  ,  aug- 
mente }  que  dans  la  partie  concave  ,  B;  iurpaiTe 
BO  ,  &  qu'au  contraire  elle  eft  moindre  dans  la 
partie  convexe  ;  de  forte  que  fous  le  point  d'in- 
flexion ou  de  rebroufTement  F ,  la  valeur  de  Ot 
doit  devenir  de  pofitive  négative. 

Cela  pofé ,  li  l'on  décrit  du  centre  B  (  Fig.  5  6. 
PL  4.  )  les  petits  arcs  de  cercle  M  R  ,  T  H  ,  on 
formera  les  triangles  femblables  m  R  M  ,  MET, 
T  H  O  ,  &  les  petits  fé&eurs  femblables  B  M  R  , 
B  T  H.  Nommant  donc  BM.jiMR,^;  l'on 
aura  mK  (dy  )  .  RM  ( dx  )  :  :  BM  (y)  ■  BT  = 
Ç::MRW.TH^|,TH(^).HO 

=  — .  Or  fi  l'on  prend  la  différence  de  BT  (J-£) 

dyx  j 

en  fuppofant  dx  confiante  ,  il  vient  Bt  —  BT  ou 
nî=zJxJy*-ydxJJy  nt  QH  +  Hr  ou 

dyx  ' 

_  dx*-*-dxiy*-yixdiy    D,où  y  ^  en  mul_ 

KJt  —  dyx 

tipliant  par  dy* ,  &  divifant  par  dx  ,  que  la  valeur 
de  dx*+dyt  —  yddy  fera  nulle  ou  infinie  fous  le 
point  d'inflexion  ou  de  rebrouffement  F.  Or  la 
nature  de  la  ligne  AFK  (Fig.  54-  55-  p/-  4-  ) 
étant  donnée ,  l'on  aura  des  valeurs  de  dy  en  dx  3 

F4 


88  Analyse 

<pc  de  ddy  en  dx% ,  lefquelles  étant  fubftituées  dans 
dx1  •+:  dyr  — yddy  ,  formeront  une  quantité  ,  qui 
étant  égalée  d'abord  à  zéro,  &  enfuite  à  l'infini, 
fervira  à  trouver  pour  B  F  une  valeur  telle  que 
décrivant  du  centre  B ,  &  de  ce  rayon  un  cercle, 
il  coupera  la  courbe  A  F  K  au  point  d'inflexion  ou 
de  rebrouflement  F.  Ce  qui  étoit  propofé 

Pour  trouver  encore  la  même  chofe  d'une  autre 
manière ,  il  faut  confiderer  que  dans  la  partie  con- 
cave ,  l'angle  B^E  (  Fig-  50.  5  1.  PL  3.)  furpafle 
l'angle  ~Bmn ,  8c  qu'au  contraire  dans  la  convexe 
il  eft  moindre  ;  &  partant  que  l'angle  B#?E  -  Bwra 
çu  Etfzw  ,  (  Fig.  50.  PL  t).  )  c'eft-à-dire  ,  l'arc  En 
qui  en  eft  la  mefure ,  devient  de  poiitif  négatif 
fous  le  point  cherché  F.  Or  prenant  dx  pour  conf- 
iante, les  triangles  rectangles  femblables  H»? S, 
Hnk  ,   donneront  H  m  {du)  .  m  S  (  dx )  :  :  H n 

(  —  ddy  )  .  nh.  = j-t-  •  où  l'on  doit  obferver 

que  la  valeur  de  Hra  eft  négative  ,  parce  que  B  m 
{y)  croiiTant ,  Kr/2  (dy  )  diminue.  Mais  à  caufe 
<^es  fefteurs  femblables  BmS ,  wEfc ,  l'on  aura  Bm 

{y  )  .  mS  (dx)  :  :  mE  (du)  .Eli  =  rrr^  ,  &  par- 
tant Eh.  -¥-hn  ou  En  —  —yx  .y  ^    jyQ}x   ^ 

v  "  y  du 

fuit  en  multipliant  par  y  du  ,  Se  divifant  par  dx  , 
que  du1 — yddy  ou  dx1  -+-  dy*  ■ — yddy  doit  devenir 
de  pofitive  ,  négative  fous  le  point  cherché  F. 
(Fig.  ^4.  55.  PL  4.) 
§\  l'on  fuppofe  quej/  devienne  infinie,  les  ter- 


des  Infiniment  Petits.  89 
mes  dx1  &  dy  feront  nuls  par  rapport  au  terme 
yddy  ;  &c  par  conféquent  la  formule  dx1  -+•  dy  — 
yddy  =  o,ouà  l'infini ,  fe  changera  en  cette  autre 
. — yddy  —  0 ,  ou  à  l'infini ,  c'eft- à-dire ,  en  divilant 
par — y  ,  ddy  =zo,  ou  à  l'infini,  quieft  la  formule 
du  premier  cas.  Ce  qui  doit  auffi  arriver  ,  puifque 
les  appliquées  BM,BF,  BM  deviennent  alors 
parallèles.  (  C  on  fuit  e^  la  Note  quarante-unième.  ) 

Corollaire. 

67- L  orsque  ddy  =  0  ,  il  eft  clair  que  la  dif- 
férence de  A  L  (  Fig.  52.  PL  3.  )  doit  être  nulle 
par  rapport  à  celle  de  A  E  ;  &  partant  que  les 
deux  tangentes  infiniment  proches  FL  ,  /  L  doi- 
vent tomber  l'une  fur  l'autre,  en  ne  faifant  qu'une 
feule  ligne  droite  /"F  L.  Mais  lorfque  ddy  =  à 
l'infini,  la  différence  de  A  L  {Fig.  53.  PL  4.  ) 
doit  être  infiniment  grande  par  rapport  à  celle  de 
A  E ,  ou  (  ce  qui  eft  la  même  choie  )  la  différence 
de  A  E  eft  infiniment  petite  par  rapport  à  celle 
de  A  L  ;  &  par  conféquent  l'on  peut  mener  par 
le  même  point  F  deux  tangentes  F  L ,  F/ ,  qui  faf- 
fent  entr'elles  un  angle  infiniment  petit  ,  LF/, 

De  même  lorfque  dx"'  -+■  dy1 — yddy  —  0  ,  il  eft 
vifible  que  O;  (  Fig.  56.  57.  PL  4.  )  doit  devenir 
nulle  par  rapport  à  MR,-&  qu'ainfi  les  deux  tan- 
gentes infiniment  proches  M  T ,  mt,  doivent  tom- 
ber Tune  fur  l'autre  ,  lorfque  le  point  M  devient 
un  point  d'inflexion  ou  de  rebrouffement  :  mais 
au  contraire  lorfque  dx2 -{-dy1  —  yddy  -  à  l'infini , 
Ot  doit  être  infinie  par  rapport  à  M  R ,  ou  ( ce  qui 


5>o  Analyse 

eft  la  même  chofe  )  MR  infiniment  petite  par 
rapport  à  Ot  ;  &  par  conféquent  le  point  m  doit 
tomber  furie  point  M,  c'eft-à-dire ,  qu'on  peut 
mener  par  le  même  point  M  deux  tangentes  qui 
faflent  entr'eîles  un  angle  infiniment  petit ,  lorf- 
que  ce  point  devient  un  point  d'inflexion  ou  de 
rebroiuTement. 

Il  eft  évident  que  la  tangente  au  point  d'infle- 
xion ou  de  rebroufTement  F ,  étant  prolongée  , 
touche  &  coupe  la  courbe  A  F  K  dans  ce  même 
point.   (  Confulte\  la  Note  quarante- deuxième.  ) 

Exemple    I. 

6 8. S  o  i  t  une  ligne  courbe  AFK  (Fig.  58.  PL  4.) 
qui  ait  pour  diamètre  la  ligne  droite  A  B  ,  &  qui 
ioit  telle  que  la  relation  de  la  coupée  A  E  (  x  )  à 
î'appliquée  EF  (>•  )  ,  foit  exprimée  par  l'équation 
axx  =  xxy  +  aay.  Il  s'agit  de  trouver  pour  AE 
une  valeur,  telle  que  l'appliquée  EF  rencontre  la 
courbe  A  F  K  au  point  d'inflexion  F. 

L'équation  à  la  courbe  eft^  — ;  &  par- 
tant  dy   =           *    ,  &  prenant    la   différence 

xx— h  aa 

de  cette  quantité ,  en  fuppofant  dx  confiante , 

&     l'égalant     enfuite    à     zéro    ,      on     trouve 

2  

2<z 5 dx3"  x  xx  -k-  aa  —  8a^ xxdxx  x  xx -+- aa 

4 =«i    ce 

xx-+-  aa 


qui  multiplié  par  xx  +  aa  ,  &  divifé  par 
ialdx~  Xxx+aa,  donne  xx-\-aa  —  qxx  ==  0  3  d'où 
l'on  tire  AE  (x)=«y|. 


des  Infiniment  Petits.  91 

Si  l'on  met  à  la  place  de  xx  fa  valeur  \  aa  dans 

l'équation  à  la  courbe^  ==  ■  ,  on  trouve  EF 

*  xx-\-  au. 

(j)=^  a  ;  de  forte  qu'on  peut  déterminer  le 
point  d'inflexion  F  ,  fans  fuppofer  que  la  courbe 
A  F  K  foit  décrite. 

Si  l'on  mené  A  C  parallèle  aux  appliquées  E  F  , 
&  égale  à  la  droite  donn;e  a  ,  &  qu'on  tire  CG 
parallèle  à  A  B ,  elle  fera  afymptote  de  la  courbe 
A  F  K.  Car  fi  l'on  fuppofe  x  infinie  ,  on  pourra 
prendre  xxpour  xx-t-aa;  &  partant  l'équation  à 

la  courbe  y  =  — ax*      fe  changera  en   celle-ci 

yz^za.  (  Confv.lte\  la  Note  quarante-troifieme.  ) 

Exemple     II. 


69. 


Joit  j  —  a  =.  x  —  a  .     Donc   dy    ■=. 


i  x  -  a      5  àx  ,  &  àày  =  —  f.  x  —  a  dxz   =: 


25 

6dx* 


-- — ,  en  prenant  àx  pour  confiante.  Or  fi  l'on 


H$Vx  —  a  ? 


fuppofe  cette  fraction  égale  à  zéro  ,  on  trouve 

, sdx'"  =zo  ;  ce  qui  ne  faifant  rien  connoître ,  il 

la  faut  fuppofer  infiniment  grande  ;  &  par  con- 

féquent  fon  dénominateur  25]/^  —  a  infini- 
ment petit  ou  zéro.  D'où  1  inconnue  A  E  (x)  =  a. 
(  Con[ulte\  la  Note  quarante-quatrième.  ) 


92  Analyse 

Exemple     III. 

70.S  à  1  t  une  demi  roulette  allongée  AFK 
(  Fig.  59.  PL  4.  )  dont  la  bafe  BK  iurpaffe  la 
demi-circonférence  A  D  B  du  cercle  générateur 
qui  a  pour  centre  le  point  G  11  s'agit  de  dé- 
terminer fur  le  diamètre  A  B  ,  le  point  E  ,  en- 
forte  que  l'appliquée  E  F  aille  rencontrer  la 
roulette  au  point  d'inflexion  F- 

Ayant  nommé  les  connues  A  D  B  ,  a  ;  BK, 
b  ;  A  B  ,  ïc  '  &  les  inconnues  A  E  ,  x  ;  E  D  , 
<C  ;  l'arc  AD,  a  ;  Ê  F ,  y  '»  l'on  aura  par  la  pro- 
priété de  la  roulette  y  =  <-h  —  ;  ec  partant  dy 

=  d\  ■+-  — .  Or  par  la   propriété  du  cercle  l'on 
a 

cix  —  xdx  „ 

, >        & 

V 1  ex  —  xx 

nettant  po 

aedx  —  ûxdx  -+-  bedx 


-d?'2-)  —  —=L^L—  .Donc  mettant  pour  d^Sc 

V  2  ex xx 


a ,  zcx 


du  leurs  valeurs,  on  trouve  dy=i 

dont  la  différence  (  en  prenant  dx  pour  confiante) 

dbex  —  ace  —  bccxdxz  »,    s     1, 

onne  —  — —  =  o  ;   d  ou  1  on  tire 

2  ex  —  XX  x  V  2  ex  XX 

Il  eft  clair  qu'afin  qu'il  y  ait  un  point  d'infle- 
xion F  ,  il  faut  que  b  furpaffe  a  ;  car  s'il  étoit 
moindre  ,  G  E  furpafferoit  C  B.  (  Confulte^  la 
Note  quarante-cinquième.  ) 


Des  Infiniment  Petits.  95 
Exemple  IV. 
7 1 .0  n  demande  le  point  d'inflexion  F  (  Fig.  60* 
PL  4.  )  de  la  Conchoïde  A  F  K  de  Nicomeàe  , 
laquelle  a  pour  pôle  le  point  P  ,  &  pour  atymp- 
tote  la  droite  BC.  Sa  propriété  eft  telle,  qu'ayant 
mené  du  pôle  P  à  un  de  les  points  quelconques  F 
la  droite  P  F  ,  qui  rencontre  l'afymptote  B  C  en. 
D  ;  la  partie  DF  eft  toujours  égale  à  une  même 
droite  donnée  a. 

Ayant  mené  P  A  perpendiculaire  ,  &  F  E  pa- 
rallèle à  B  C ,  on  nommera  les  connues  A  B  ou 
FD,a;  B  P  ,  b  ;  &  les  inconnues  B  E  ,  x  ;  E  F  , 
y  j  Se  tirant  D  L  parallèle  à  B  A  ,  les  triangles 
femblables  DLF,  PEF  donneront  DL  (x). 
LF  (  \/aa-xX)::  PE(t  +  x).EF(;j 


xVaa-xx  _  ^^  k   dlfférence   eft  dy  - 


xidx-+-aabdx    Si  dQnc  on  d  k  différence  de 

X  xVa  a xx 

cette  quantité  ,  &  qu'on  l'égale  à  zéro  ,  on  for- 

,,,       ,.    ,2a*b  —  aax* —  laabxx  X  dt1-     

mera  légalité  ,  = — :  y  -    —  °  » 

aix*  —  x1)  Xyuu  —  xx 

qui  fe  réduit  à  x3  +  3&XX  —  mab  =  0 ,  dont  l'une 
des  racines  fournit  pour  B  E  la  valeur  cherchée. 

Si  a  =  b  ,  l'équation  précédente  fe  changera 
en  cette  autre  x3  -+-  yixx —  2a'  ^  o  ,  laquelle 
étant  divifée  par  x-t-a,  donne  xxh-2ax  —  zaa~  oj 
&  partant  BE  (x)  ==  —  a  -+-  y/^uu* 


94  Analyse 

Autrement. 

En  prenant  pour  appliquées  les  lignes  P  F  qui 
partent  du  pôle  P ,  &  en  te  fervant  de  la  formule 
(  Art.  66.  )  yddy  —  dx"  -+■  dy1 ,  dans  laquelle  dx 
a  été  fuppofée  confiante  Ayant  imaginé  une  au- 
tre appliquée  P/qui  faffe  avec  PF  l'angle  F  P/ 
infiniment  petit ,  &  décrit  du  centre  P  les  petits 
arcs  F  G,  DH  ,  on  nommera  les  connues  A  B, 
a  ;  E  P  ,  b  ;  &  les  inconnues  P  F  ,  y  ;  ?  D  ,  ^  ;  & 
l'on  aura  par  'a  propriété  de  la  conchoïde  y  =.K 
4-  a.  ce  qui  donne  dy=^  d\.  Or  à  caule  du  triangle 
rectangle  DBP  ,  DB  =  V-  —  bb  ;  &  à  caufe  des 
triangles  femb'ables_DBP&  dHD  ,  PDH  &  PFG  , 
l'on  aura  D  B  (  ]/R  —  bb)  .  b  P  (b)  :  :  dH  (d$  . 

HD=  -7JÙ==.EtVD(l).?F(i  +  a):iHD 

V  {{  —  bb 

;     V  ■     ) .  F  G  (rfx)  =   '  T  .   D  ou  1  on 

tire  dz  ou  dy  =  -  *,  u  ~~~,  ■  ,  dont  la  différen- 

>  ■*  b^-\- nb 

ce  eft  (en  fuppofant  dx  confiante  )  d  d  y  ■=. 

b^  -+■  2ab^i  —  ab^  x  d%Jx b{*  -+-  lab^  -  ab^^x  dxx 

i    .  —  "  j 

bi~t-ab  Vu  —  6B  b[  H-  ab 

en  mettant  pour  dz,  fa  valeur.  Donc  fi  l'on  fubfti- 
tue  dans  la  formule  générale  (  Art,  66.  )  yddy  = 
dx*  4-  dy1  à  la  place  de  y  fa  valeur  ^  -+-  a  ,  &  de 
dy  &  ddy  les  valeurs  que  l'on  vient  de  trou- 
ver en  dx  &  dx1  ;    on  formera  cette  équation 


des  Infiniment  Petits.    95 


-4  -+-  2A~i   —  abbl  x  dx*  j4  -(-  o.abbl   -t-  aabb   X  c/jf1 

^-SûA1  £{  H-  ai1 

qui  fe  réduit  à  2^  —  3^  —  abb  ==  0 ,  dont  l'une 
des  racines  augmentée  de  a  fournit  la  valeur  de 
l'inconnue  P  F. 

Si  a  =  b  ,  l'on  aura  2^?  —  3^  —  a5  =  0,  qui 

étant  divifée  par  par  ç  +  a ,  donne  ^  —  ^  —  — 

=  0 ,  dont  la  réfolution  fournit  PF(^-+a)=.ï« 

+i a  1/3  =  2ϱ^Ï.  (  Cra?«£«î  k  N<tfe  46.  ) 

Exemple      V. 

7 2. S  o  1  t  une  autre  eipece  de  Conchoide  AFK, 
(  F/g.  60.  PL  4.  )  telle  qu'ayant  mené  d'un  de  fes 
points  quelconques  F  au  pôle  P  la  droite  P  F  qui 
coupe  l'afymptote  B  C  en  D ,  le  rectangle  P •  D  X 
D  F  foit  toujours  égal  au  même  rectangle  P  B  x 
BA.  On  demande  le  point  d'inflexion  F. 

Si  l'on  nomme  les  inconnues  B  E ,  x  ;  E  F  ,  y  '-, 
Se  les  connues  AB  ,  a  ;  BP  ,  b  ;  on  aura  P  D  X 
D  F  ==  ab  ;  &  les  parallèles  BD.EF  donne- 
ront PDxDF  (  ab  ).PBxBE  (ix)  :  :  FF1 

{bb -+-  zbx-ï'xx  -¥yy  )  •  PË*  ( bb  -+■  ibx  -t-  xx  )  . 
Donc  bbx  +  ibxx+x*  -*-yyx—abb  ■+■  labx  -4-axx  , 

dW  -t-  2abx -+-  axx  —  bbx  —  ïbxx  —  x *       „, 

ou^= — — 3  oc 

_>'  r=ï^x  v£=^  =  |/«*  —  X*  ■+■  t  >/;r=- ^  »  dont 
x  x 

—  axdx  -f-  zxxdx-habdx 

la  différence  donne  ^v  = ^y^^î  ' 


9 6  Analyse 

&  prenant  encore  la  différence ,  on  forme  l'égalité 

Itiab  —  aax  —  xabx  x  dxx  .  r      i  t    ■     \ 

. _  ==  o,  qui  le  réduit  ax  = 

qax  —  qxz  Xvax — xz 

— — -  valeur  de  l'inconnue  B  E. 

a  -t-40 

r,.  ,,        r  .      —  axdx  H-  2xxd X -+-  abdx       ,  ,      ,. 

Si  1  on  fait ; : valeur  de  dy 

2xvax  —  xx 

égal  à  zéro ,  Ton  aura  xx  —  \  ax  +  \ab=o ,  dont 


1        j  a  -4-  Vaa 8ii&     0       a  —  Va*    sâfr 

les  deux  racines  Se   

4  4 

fourniffent ,  lorfque  a  furpaffe  8&  ,  deux  valeurs 

B  H   Se  B  L  ,  telles  que  l'appliquée  H  M  (  Fig. 

61.  PL  4.  )  eft  moindre  que  fes  voifines  ,    & 

l'appliquée  L  N  plus  grande  ,  c'eft-à-dire ,  que 

les  tangentes  en  M  &  N  feront  parallèles  à  l'axe 

A  B  ;  &  alors  le  point  E  tombera  entre  les  points 

H&L. 

Mais  lorfque  a  =  U  ,  les  lignes  B  H ,  B  E  ,  B  L 
(  Fig.  62.  PL  4.  )  feront  égales  chacune  àja;  Se 
alors  la  tangente  au  point  d'inflexion  F  fera  pa- 
rallèle à  1  axe  A  B.  Et  enfin  lorfque  a  eft  moindre 
que  8b ,  les  deux  racines  feront  imaginaires  ;  Se 
par  conféquent  il  n'y  aura  aucune  tangente  qui 
puiffe  être  parallèle  à  l'axe. 

On  pourroit  encore  réfoudre  cette  queftion  en 
prenant  pour  appliquées  les  lignes  PF  ,  ?f, 
(  Fig  60.  PL  4.  )  qui  partent  du  pôle  P  ,  Se  en 
fe  fervant  de  la  formule  yddy  --=  dxl  -t-  dyl  , 
comme  Ton  a  fait  dans  l'exemple  précédent. 
(  Confulte\  la  Note  47.  ) 

Exemple 


des    Infiniment    Petits.      97 

Exemple      VI. 

7].joiTun  cercle  A  E D  (  Fig.  6 5 .  Pi.  4.  )  qui 
ait  pour  centre  le  point  B  ,  avec  une  ligne  courbe 
A  F  K  ,  telle  qu'ayant  mené  à  difcrétion  le  rayon 
B  F  E  ,  le  quarré  de  F  E  ibit  égal  au  rectangle  de 
l'arc  A  E  par  une  droite  donnée  b.  Il  faut  déter- 
miner dans  cette  courbe  le  point  d'inflexion  F. 

Ayant  nommé  l'arc  A  E,  ^;  le  rayon  BA  où 
BE  ,  a  ;  Se  l'appliquée  BF, y  ;  on  aura  b\  —  aa, 

—  2ay  -+-  yy  ,  Ôc  (  en  prenant  les  différences  ) 
a y -y      ta  y  __  ^  _  ^   ^  ^  caufe  des  fecleurs 

femblables  B  Ee ,  B  F  G  ,   on  fera  B  E  (  a  )  .  B  F 

/     \       -c     r  2yJJ  —  2a'J-J\     rrfJ\      2yydy-2aydy 

dont  la  différence  ,  en  fuppofant  dx  confiante  , 
donne  Aydyz  —  2adyr  -+-  lyyddy  —  2ayddy  =  0  • 

&  partant^^Wr  =  — — — 2_2_.  Si  donc  on  fubf- 

titue  à  la  place  de  dx'  Scyddy  leurs  valeurs  en  dyz 
dans  la  formule  générale  (  Art.  66-  )  yddy  =  dx* 

~\- dy'~  ,  on  formera  l'équation— Z_Z_  ~± 

-1  y  —  a 

Ay*iy1-—Sayiiyï  H-  ^tayyiy7-  -f-  aaJ&fr1  .    ^  ^_ 

duit  à  4^s  —  1  2«;'4  4-  1  2«^>'5  —  ^ yy  H-  ïaabby 

—  2a  bb  =  0  ,  dont  la  réfoiution  fournira  pour 
B  F  la  valeur  cherchée. 

Il  eft  évident  que  la  courbe  A  F  K  ,  que  l'on 
peut  appelîer  une  Spirale  parabolique  ,  doit  avoif 

G 


98  Analyse 

un  point  d'inflexion  F.  Lar  la  circonférence  AFD 
ne  différant  pas  d'abord  fenfiblemcnt  de  la  tan- 
gente en  A  ,  il  fuit  de  la  nature  de  la  parabole 
qu'elle  doit  d'abord  être  concave  vers  cette  tan- 
gente ,  &  qu'enfuite  la  courbure  de  la  circonfé- 
rence autour  de  Ion  centre  devenant  lenlîb'e  ,  elle 
doit  devenir  concave  vers  le  centre.  (  Con[uïtc\  la- 
Note  quarante-huitième .  ) 

Exemple      Vil. 

74  b  oit  une  ligne  courbe  AFK  (F/g.  64.  VI.  4) 
qui  ait  pour  axe  la  droite  A  B  ,  dont  la  propriété 
foit  telle  qu'ayant  mené  une  tangente  quelcon- 
que FB  qui  rencontre  AB  au  point  B  ,  la  partie 
interceptée  AB  foit  toujours  à  la  tangente  BF  en 
raifon  donnée  de  m\n.  Il  eft  queftion  de  déter- 
miner le  point  de  rebrouffement  F. 

Ayant  nommé  les  inconnues  &  variables  AE  , 

x;EF,jj  l'on  aura  EB  =  —  y-^-    (  parce  que   x 

croifîant ,  y  diminue  )  ,  F  B  =  - — *  ,~l~  y  ■.  Or 
par  la  propriété  de  la  courbe  ,AE  +  KBouAB 

Cxdy — ydx    >.     -r>  t?  S  yVdx* -4-dy'  ~\ 
dy  )-BF(" fy)      '      'm     '    7U 

Donc  m~\/dxz-i-dyx  =  ^-^  —  nâx ,  &  fa  diffé- 

,  mdyddy  —  aydxdy  +  nxyddy  —  nxdy  z 

rence donne--    J      =  = ^— - — 

Vdx^-i-dy-  y  y 

en  fuppofant  âx  confiante  &  négative  ;  d'où  l'on 

,  ,  nydxdy nxdy'V dx-\-dy'     »« 

lire  dày  =  — — r2 ,  Maintenant 

"iyydy — nxyYdx'  *+-  dy* 


des  Infiniment  Petits.  99 
fi  l'on  fait  cette  fraction  égale  à  zéro  ,  on  trouvera 
— ydx  —  xdy  =  0  ;  ce  qui  ne  fait  rien  connoître. 
C'eft  pourquoi  il  faut  fuppofer  cette  fraction  égale 
à  l'infini,  c'eft-à-dire,  fon  dénominateur  égal  à  zéro  ; 

•    1  .  /-;■- r- s  mydy         nxdy —  nydx 

ce  qui  donne  y  dxx  -+-  dyz  =  -J-2-  —  — £ Z— 2 

*■  J  nx  my 

à  caufe  de  l'équation  à  la  courbe  ,  d'où  l'on  tire 

.  nnxxiy — mmyydy         _  . 

dx  = "^-^ .     Ur    quarrant    chaque 

nnxy  A  ^ 

membre  de  l'équation  mydy  —  nx\/dxl  -+-  dy~   s 

■  dyv  mm\y  nnxx 

on   trouve    encore    dx  =a — = 

nx 

nnxxdy — mmyydy     ,,    »   „  .  c  , 

— -£.  d  ou  1  on  tire  ennn  yl/ mm  —  nn 

nnxy 

=  nx  j  ce  qui  donne  cette  conftruction. 

Soit  décrit  du  diamètre  AD  =  w,  un  demi- 
cercle  A  l  D  ;  &  ayant  pris  la  corde  D I  =  n ,  foie 
tirée  l'indéfinie  A  I.  Je  dis  qu'elle  rencontrera  la 
courbe  A  F  K  au  point  de  rebrouflement  F. 

Car  ayant  mené  I  H  perpendiculaire  à  A  B  ,  les 
triangles  rectangles  fembîables  D  l  A  ,  IHA, 
F  E  A  donneront  D  1  (  n  )  .  1  A  (  ]/mm  —  nn  ) 
:  :  IH.H  A  :  :  F  E  (;).EA  (  x  ) .  &  partant 
y}/ mm  —  7i7ï  =  nx  qui  étoit  le  lieu  à  conftruire. 

Il  eft  clair  que  BFeft  parallèle  à  DI ,  puifque 
A  B  .  BF  :  :  AD  (  1»  )  .  D  I  (  w)  .  d'où  il  fuît  que 
l'angle  A  F  B  eft  droit  ;  &  partant  que  les  lignes 
A  B  ,  B  F ,  B  E  font  en  proportion  continue. 

On  peut  trouver  cette  même  propriété  fans  au- 
cun calcul ,  ii  l'on  imagine  (  Art.  67.  )  au  même 
point  de  rebrouflement  F  deux  tangentes  F  B  3  ¥b 

G  2, 


ioo  Analyse 

qui  fanent  entr'elles  un  angle  BF&  infiniment  pe- 
tit. Car  décrivant  du  centre  F  le  petit  arc  BL  , 
on  aura  m.  n  :  :  Ab  .  bF  :  :  AB  .  BF  :  :  Ab  —  AB 
ou  Bb  .  b  F  —  B  F  ou  b  L  :  :  B  F  .  B  E  .  à  caufe 
des  triangles  rectangles  femblables  B£L,  FBE. 
Donc  ;  &c. 

Si  m  ==  n  ,  il  eft  évident  que  la  droite  A  F  de- 
viendra perpendiculaire  fur  l'axe  A  B  3  Se  qu'ainfi 
la  tangente  F  B  fera  parallèle  à  cet  axe  ;  ce  que 
l'on  fçait  d'ailleurs  devoir  arriver ,  puifqu'en  ce 
cas  la  courbe  A  F  doit  être  un  demi-cercle  qui 
ait  fon  diamètre  perpendiculaire  fur  l'axe  A  B. 
Mais  fi  m  étoit  moindre  que  n  ,  il  eft  évident 
qu'il  n'y  auroit  aucun  point  de  rebrouflement  , 
parce  qu'alors  l'équation  y^/  mm  —  nn  =  nx  ren- 
fermerait une  contradiction,  (  Confultc\  la  Note 
quarante-neuvième.  ) 


des  Infiniment  Petits.  ioi 


SECTION    V. 

Ufage  du  calcul  des  différences  pour  trouver 
les  Déve/opées. 

Définition. 

SI  l'on  conçoit  qu'une  ligne  courba  quelcon- 
que DBF  (  F/g.  65..  PL  4.  )  concave  vers 
le  même  côté ,  Toit  enveloppée  ou  entourée  d'un 
fil  ABDF,  dont  l'une  des  extrémités  foit  fixe 
en  K ,  &  l'autre  loit  tendue  le  long  de  la  tangente 
B  A,  &  que  l'on  faffe  mouvoir  l'extrémité  A  en 
la  tenant  toujours  tendue  &  en  développant  conti- 
nuellement la  courbe  B  D  F  ,*  il  eil  clair  que  l'ex- 
trémité A  de  ce  fil  décrira  dans  ce  mouvement  une 
ligne  courbe  A  H  K. 

Cela  pofé ,  la  courbe  B  D  F  fera  nommée  la  Dc- 
velopée  de  la  courbe  A  HK. 

Les  parties  droites  AB , HD, KF  du  fil  ABDF 
feront  nommées  les  rayons  de  la  dévclopée. 

Coroilaik.e  I. 

75.  \J  e  ce  que  la  longueur  du  fil  ABDF  de- 
meure toujours  la  même  ,  il  luit  que  la  portion 
de  courbe  B  D  eil;  égale  à  la  différence  des  rayons 
D  H  ,  B  A  qui  partent  de  fes  extrémités  ;  de  même 
la  portion  D  F  iera  égale  à  la  différence  des  rayons 
F  K  ,  D  H  ;  &  la  courbe  entière  B  D  F  à  la  diffé- 
rence des  rayons  F  K ,  B  A.  D'où  l'on  voit  que  fi 

G  3 


ï03  Analyse 

îe  rayon  B  A.  de  îa  courbe  étoitnul ,  c'eft-à-dire, 
que  fi  l'extrémité  A  du  fil  tomboit  fur  l'origine  B 
de  la  courbe  B  D  F  ,  alors  les  rayons  de  la  déve- 
lopée DH,  FK  feroient  égaux  aux  portions  bD, 
B  ô  F  de  la  courbe  B  D  F. 

Corollaire     II. 

76. S  i  l'on  confidére  la  courbe  BDF  {Fig.  66. 
PL  4  )  comme  un  poligone  B  C  D  E  F  d'une  infi- 
nité de  côtés  ;  il  eft  clair  que  l'extrémité  A  du  fil 
A  B  C  D  E  F  décrit  le  petit  arc  A  G  qui  a  pour 
centre  le  point  C ,  jufqu'à  ce  que  le  rayon  C  G  ne 
faîTe  plus  qu'une  ligne  droite  avec  le  petit  côté 
C  D  voifin  de  C  B  ;  Se  de  même  qu'elle  décrit  le 
petit  arc  G  H  qui  a  pour  centre  le  point  D ,  juf- 
qu'à  ce  que  le  rayon  D  H  ne  faffe  plus  qu'une 
droite  avec  le  petit  côté  D  F  ;  Se  ainfi  de  fuite 
jufqu'à  ce  que  la  courbe  B  C  D  E  F  (bit  entière- 
ment développée.  La  courbe  AHK  peut  être  donc 
confédérée  comme  l'afTemblage  d'une  infinité  de 
petits  arcs  de  cercle  AG,GH,HI,IK,  &c. 
qui  ont  pour  centre  les  points  C  ,  D  ,  E  ,  F ,  &c. 
JD'oii  il  fuit. 

i°.  Que  les  rayons  de  la  dévelopée  la  touchent 
continuellement  comme  D  H  en  D ,  K  F  en  F , 
(8cc.  Et  qu'ils  font  tous  perpendiculaires  à  la 
courbe  AKK  qu'ils  décrivent,  comme  D  H  en 
U  ,  FK  en  K  ,  &c.  Car  D  H  ,  par  exemple  ,  eft 
perpendiculaire  fur  le  petit  arc  G  H  &  fur  le  petit 
.arç  H I ,  puifqu'elle  parte  par  leurs  centres  D ,  E. 
D'pii  l'on  voiç  5  j  °.  que  la  dévelopée  b  D  F  (  Fig. 


D  ES  ÏN  FI  NI  M  E  N  T  P  E  T  I  T  S.  10$ 

65.  VI.  4  )  termine  l'efpace  où  tombent  toutes  les 
perpendiculaires  à  la  courbe  AHK.  20.  Que  fi 
l'on  prolonge  un  rayon  quelconque  H  D  qui  cou- 
pe le  rayon  A  B  en  R ,  jufqu'à  ce  qu'il  rencontre 
un  autre  rayon  quelconque  K  F  en  S  ,  l'on  pourra 
toujours  mener  de  tous  les  points  de  la  partie  RS 
deux  perpendiculaires  fur  la  courbe  AHK,  ex- 
cepté du  point  touchant  D  duquel  on  n'en  peut 
mener  qu'une  feule  ,  fçavoir  D  H.  Car  il  eft  clair 
que  l'interfection  R  des  rayons  A  B  ,   D  H  par- 
court tous  les  points  de  la  partie  RS,  pendant 
que  le  rayon  A  B  décrit  par  lbn  extrémité  A  la 
ligne  AHK  fur  laquelle  il  eft  continuellement 
perpendiculaire  :  &  que  les  rayons  A  B  ,  H  D  ne 
le  confondent  que  lorfque  l'interfection  R  tombe 
fur  le  point  touchant  D. 

20.  Que  fi  l'on  prolonge  les  petits  arcs  H  G 
(  F/g.  66.  PL  4.  )  en  / ,  IH  en  m  ,  K I  en  n  ,  &c. 
■vers  l'origine  A  du  dévelopemcnt ,  chaque  petit 
arc  comme  I H  touchera  en  dehors  fon  voifin  HG, 
parce  que  les  rayons  CA,  DG,  EH,  Fi  vont 
toujours  en  augmentant,  à  mefure  que  les  petits 
arcs  qui  compolént  la  courbe  AHK,  s'éloignent 
du  point  A.  Par  la  même  raifon  fi  l'on  prolonge 
les  petits  arcs  A  G  en  0  ,   GH  en  p ,  H  l  en  q  , 
vers  le  côté  oppofé  au  point  A  ■■,  chaque  petit 
arc  comme  H  I  touchera  en  defîbus   fon  voifin 
I  K.  Cr  puifque  les  points  H  &  I ,  O  &  K  peuvent 
être  confidérés  comme  tombant  l'un  fur  l'autre 
à  caufe  de  l'infinie  petitefie  tant  de  l'arc  H  I  ,  que 
du  côté  DE  ;  il  s'enfuit  que  fi  l'on  décrit  d'un 

G4 


104  Analyse 

point  quelconque  moyen  D  de  la  développe  BDF 
comme  centre ,  &  de  ion  rayon  D  H  un  cercle 
??2Hp.il  touchera  en  dehors  la  partie  HA  qui 
tombera  toute  entière  au  dedans  de  ce  cercle  ,  & 
en  dedans  l'autre  partie  H  K  qui  tombera  tou- 
te entière  au  dehors  de  ce  même  cercle  :  c'eft-à- 
dire,  qu'il  touchera  &  coupera  la  courbe  A  H  K 
au  même  point  H  ,  de  même  que  la  tangente  au 
point  d'inflexion  coupe  la  courbe  dans  ce  point. 

3°.  Le  rayon  HD  du  petit  arc  H  G ,  ne  diffé- 
rant des  rayons  CG  ,  EH  des  arcs  voifins  G  A  , 
H  1 8  que  d'une  quantité  infiniment  petite  CD  ou 
DE;  il  s'eniuit  que  pour  peu  qu'on  diminue  le 
rayon  D  H  ,  il  fera  moindre  que  CG,  &  qu'ainfî 
fon  cercle  touchera  en  defîbus  la  partie  H  A  >•  & 
qu'au  contraire  pour  peu  qu'on  l'augmente,  il  furr 
parlera  HE,  &  qu'ainfî  ion  cercle  touchera  en 
dehors  la  partie  H  K  :  de  forte  que  le  cercle  mHp 
eft  le  plus  petit  de  tous  ceux  qui  touchent  en  de- 
hors la  partie  H  A  ,  &au  contraire  le  plus  grand 
de  tous  ceux  qui  touchent  en  dedans  la  partie 
HK  •'  c'eft-à-dire ,  qu'entre  ce  cercle  &  la  courbe 
pn  n'en  peut  faire  paner  aucun  autre. 

4°.  Comme  la  courbure  des  cercles  augmente  à 
proportion  que  leurs  rayons  diminuent ,  il  s'enfuit 
que  la  courbure  du  petit  arc  H  I  fera  à  la  cour- 
bure du  petit  arc  A  G  réciproquement  comme  le 
rayon  B  A  ou  C  A  de  ce  dernier  eft  à  fon  rayon 
DH  ou  EH  :  c'eft-à-dire,  que  la  courbure  en  H  de 
la  courbe  AHK  fera  à  fa  courbure  en  A ,  comme  le 
rayon,  B  A  au  rayon  D  H  ;  &  de  même  que  la 


des  Infiniment  Petits.  105 
courbure  en  K  eft  à  la  courbure  en  H  ,  comme  le 
rayon  D  H  eft  au  rayon  FK.  D'où  l'on  voit  que  la 
courbure  de  la  ligne  AHK  diminue  continuelle- 
ment à  mefure  que  la  ligne  BD  F  le  développe  ; 
de  forte  qu'au  point  A  ,  où  commence  le  dévelo- 
pement ,  elle  eft  la  plus  grande  qu'il  eft  poffible  ,• 
&  au  point  K. ,  où  je  fuppofe  qu'il  cette  ,  la  plus 
petite 

50.  Que  les  points  de  la  dévelopée  ne  font 
autre  chofe  que  le  concours  des  perpendiculaires 
menées  par  les  extrémités  des  petits  arcs  qui  com- 
pofent  la  courbe  AHK.  Par  exemple,  le  point 
D  où  E  eft  le  concours  des  perpendiculaires  HD  , 
I E  du  petit  arc  H I  ;  de  forte  que  fi  la  courbe 
A  H  K  eft  donnée  avec  la  pofition  d'une  de  fes 
perpendiculaires  H  D  ,  pour  trouver  le  point  D 
ou  E  ,  où  elle  touche  la  dévelopée  ,  il  ne  faut  que 
chercher  le  point  de  concours  des  perpendiculaires 
infiniment  proches  H  D  ,  IE:c'eft  ce  qu'on  va 
enleigner  dans  le  Problême  qui  fuit. 

PROPOSITION    I. 

Problème  Général. 

77-L  A  nature  de  la  ligne  courbe  A  M  D  (  Fig. 
6j.  VI  4.  )  étant  donnée  avec  une  de  fes  perpendicu- 
laires quelconque  M  C  ;  déterminer  la  longueur  du 
rayon  MC  de  fa  dévelopée  ,  cefl-h-dire  ,  le  concours 
des  perpendiculaires  infiniment  proches  M  C ,  m  G. 
Suppoibns  en  premier  lieu  que  la  ligne  courbe 
AMD  ait  pour  axe  la  ligne  droite  A  B  fur  la- 
quelle les  appliquées  P  M  foient  perpendiculaires. 


io6  Analyse 

On  imaginera  une  autre  appliquée  mp  ,  qui  fera 
infiniment  proche  de  M  P  ,  puifque  le  point  m 
eft  fuppofé  infiniment  près  de  M.  On  mènera  par 
le  point  de  concours  C  une  parallèle  CE  à  l'axe 
A  B ,  laquelle  rencontre  les  appliquées  M  P  ,  mp 
aux  points  E  ,  e.  Enfin  menant  M  R  parallèle 
à  AH,  on  formera  les  triangles  rectangles  fem- 
blables  M  11  m  ,  M  E  C  ;  car  les  ang5es  EMR, 
CM»?  étant  droits ,  &  l'angle  C  M  R  leur  étant 
commun  ,  l'angle  EMC  fera  égal  à  l'angle  KMm. 
Si  donc  l'on  nomme  les  données  A  P  ,  x\  PM  , 
y  \  l'inconnue  ME,  \  ;  l'on  aura  Ee  ou  Pp  ou 
MR  =  à,Rffl=i;=^,  Mm  -=\/ dx1-  -h dyx  ; 
&  M  R  (  dx).  Mm  (  ydx*  -+-  <yl  )  :  =  M  E  (0  i 

MC=  v — * d^~dy  ♦  Or  ^e  point  C  étant  le  centre 
du  petit  arc  Mm  ,  Ton  rayon  C  M  qui  devient  Cm 
lorlque  E  M  augmente  de  fa  différence  R  m  , 
demeure  le  même.  Sa  différence  fera  donc  nulle  : 
ce  qui    donne    (  en  fuppofant  dx  cpnflante  ) 

d^dx1  H-  d~dyz  H-  rdyddy  j,    n     i,  air  r? 

- ,     .  '  J        1-J    '  =  o  :  d  où  1  on  tire  %  E 

dxV dx^-ï-dy7- 
.      .  d~xdxx  -f-  djdyi-  dxx-^-dyr 

\  l  )  ~    ,  j       ■  =   rr—  en  mettant 

'  —  dyidy  —  ddy 

pour  d\  fa  valeur  dy. 

Suppofons  en  fécond  lieu  que  les  appliquées 
BM  ,  B  m  (  Fig.  68.  PL  4.  )  partent  toutes  d'un 
même  point  B.  Ayant  mené  du  point  cherché  C 
fur  les  appliquées ,  que  je  fuppofe  infiniment  pro- 
ches ,  les  perpendiculaires  C  E  ,  Ce  ,  &  décrit  du 
centre  B  le  petit  arc  M  R  i  on  formera  les  trian- 


des  Infiniment  Petits.  107 
gles  rectangles  fembîables  R  M  w  &  EMC  , 
B  M  R  ,  B  E  G  &  Ce  G.  C'eft  pourquoi  nom- 
mant BM,;;  ME,    <  ;  M  R  ,    dx  ;  on    aura 

R/«  =  dy  ,  M  m  =  y^*1-*-^/1  ,  CE  ou    Ce 

-1 —  ,  Se  M  C  =  : £-.    On    trouvera 

enfuite  ,    comme   dans  le  premier  cas  ,   ^  = 
S^£COrBM00.C<£)    ::MR 

(dx).Gc-^.Se  «e-MEouR»-Ge 

=  ^7  —  ^  -^      ?"v.  Donc  en  mettant  cette  va- 

y 

leur  à  la  place  de  d\ ,  l'on  aura  ME  (  \  )  = 

dx1-  H-ûfy1  — Jrf^y" 

Si  l'on  fuppofe  que  y  foit  infinie  ,  les  termes 
dxz  Se  dyz  feront  nuls  par  rapport  à  ^«^  ;  &  par 
conféquent  cette  dernière  formule  fe  changera  en 
celle  du  cas  précédent.  Ce  qui  doit  auffi  arriver  ; 
puifque  les  appliquées  deviennent  alors  parallèles 
entr'elles  ,  &  que  l'arc  MR.  devient  une  droite 
perpendiculaire  fur  les  appliquées. 

Maintenant  la  nature  de  la  courbe  AMD 
étant  donnée  ,  on  trouvera  des  valeurs  de  dy2.  Se 
ddy  en  dx1 ,  ou  de  dxz  Se  ddy  en  dy1 ,  lei quelles 
étant  fubftituées  dans  les  formules  précédentes , 
donneront  pour  ME  une  valeur  délivrée  des  dif- 
férences ,  Se  entièrement  connue.  Et  menant  EC 
perpendiculaire  fur  M  E ,    elle    ira  couper   MC 


/ 


io8  Analyse 

perpendiculaire  à  la  courbe ,  au  point  cherché 
C.   Ce  qui  étoit  propofé. 

Corollaire      I. 

78. i\.  caufe  des  triangles  rectangles  femblables 
MRffl  &   MEC,  (  Fig,   67.  68.  PL  4.  )  Ton 

aura  dans  le  premier  cas  MC  =  ~+'_J4  L  "*"  >,> 
&  dans  le  fécond  cas  MC  =  -^  ~^~"  / ,  ,  "% rr- 

fi*'  -+■  dxdy^  — ydxddy 
R    E    M    A  'R    Q    U    E. 

79.  Il  y  a  encore  plufieurs  autres  manières  de 
trouver  les  rayons  de  ia  développée.  J'en  mettrai 
ici  une  partie  ,  afin  de  donner  différentes  ouver- 
tures à  ceux  qui  ne  pofiedent  pas  encore  ce  calcul. 

Premier  cas  pour  les  courbes  dont  les  appliquées 
font  perpendiculaires  a  l'axe. 

Première  manière.  Soit  prolongée  M  R  en  G 
où  elle  rencontre  la  perpendiculaire  mC  (Fig. 
6j.  PI.  4.)  Les  angles  droits  MRra,   MwG 

donneront  R  G  —  -j-  ;  &  par  conféquent  M  G 

_Jxx  -hdy2- 


.  Or  à  caufe  des  triangles  femblables 

dx  ° 

M  R  m  ,  M  P  Q  (  les  points  Q  ,  q  marquent  les 
interférions  des  perpendiculaires  infiniment  pro- 
ches M  C  ,  m  C  avec  l'axe  A  B  ;  il  vient  M  Q 


•«KfS ,  P  Q  =*£  i  &  partant  A  0_=  x 


des  Infiniment  Petits.        i 09 
-  ,  dont  la  différence  donne  (  en  prenant  dx 


*  dx 


n  x  ^  1  dyx  -*-yddy 

pour  conitante  )  Q,q  =  dx  +  - — -r- — -   ;    & 


caufe  des  triangles  Semblables   CM  G,  C  Q_q  , 

dx       s  ^        dx 


l'on  aura  M  G  -  Qq  (~^v)  .  M  G  C^f^) 


^  djc  y  —  dxddy 

Seconde  manière.  Ayant  décrit  du  centre  C  le 
petit  arc  Q  O  ,  les  petits  triangles  rectangles 
Q.0  q,  MRh  feront  Semblables ,  puifque  M  m , 
Q.  O  &  M  R ,  Q  q  font  parallèles  ;  &  partant  M  m 

Ô/JCTTÇ*  )  ■  MR  (*)  :  :  Q,  C^^*> 

Vdx'  -+-dy' 

blables    CM«,  CQ.O  donnent  M?«-  Q.O 
(•Ë^^^^7^^1   MQ 

fy\/jxL  -+-  ^vx  "\     Al  f rf'-^1  -+-  dy'^vdx'3-  -I-  c/y1 

^  tf*  >'  —dxddy 

Troifieme  manière.  Menant  les  tangentes  infi- 
niment proches  M  T  ,  m  t ,  on  aura  P  T  —  A  P 

ou  A  T  -=X-^-  —  x  ,  dont  la  différence  donne  TV 


:  &  décrivant  du  centre  m  le  petit 


"F" 

arc  TF,  on  formera  le  triangle  rectangle  F  T? 
Semblable  àR«M,  car  les  angles  FrT  ,  RMk 
ou  PTM.  font  égaux  ,  ne  différant  entr'eux  que 


1 10  Analyse 

de  l'angle  T  mt  qui  eft.  infiniment  petit;  ce  qui 

donne  Mot  (  j/"*1  "*-  dyx  )  ■  ^  R  C  ^  )  :  :  T  £ 

ydxdJy       TF  __  -yfaAfr  _  Or  les  feûeurs 

T  w F  ,  MCw  font  femblables ,  car  l'angle  Tm t 
-\-  MmC  vaut  un  dtoit ,  &.  l'angle  MtfîC-+-MC»z 
vaut  auffi  un  droit  à  caufe  du  triangle  CM« 
confideré    comme    rectangle  en   M.    Donc  TF 

( 2S=).Mw(l/j7^î  )::Tmo\i 

V         dyVdx*-i-dy*'  Ky  J 

*  >  dy  '  —  dxddy 

Quatrième  manière.  On  marquera  (  Art.  64.  ) 
les  différences  fécondes  en  prenant  dx  pour  conf- 
tante  ;  &  les  tàangles  rectangles  femblables  HwS, 
îînk.  (  F/g.  69.  PI.  4.  )  donneront  H  m  ou  M  m 
(  l/ix1-^-^1  )  .  mS  ou  MR  (dx)  :  :  Un  {  —  dày) . 

»/?  = x  y  . .  Or  l'angle  \mn  eft  égal  à  ce- 

lui  que  font  entr'elles  les  tangentes  aux  points  M, 
m  •  &  partant  comme  l'on  vient  de  prouver ,  égal 
à  l'angle  MC»?  ;  d'où  il  fuit  que  les  lecteurs  nmk. , 

MC»zfont  femblables.Sc  qu'ainfi  nk.  (—  ,■         ,  )• 

#7/5.  ou  (  Art.  2.  )   M  m  (  j/d*1  +  ^y1  )  :  :  M.  m 

(/ s       ■»»  /">          <£*1  — h-  dy  V  dx'   ~+- di*      ^ 
^  +  ^)-MC= _  ^ •  °n 

prend  777H  ou  Mm  pour  wfc ,  parce  qu'elles  ne  dif- 
férent entr'elles  que  de  la  petite  droite  H/{.  infini- 
ment moindre  qu'elles  ;  de  même  que  Un  eu  in- 
finiment moindre  que  Rw  ou  Sn. 


des  Infiniment  Petits.         m 

Second  cas  pour  les  courbes  dont  les  appliquées 
partent  d'un  même  point  fixe. 

Première  manière.  Ayant  mené  du  point  fixe  B 
(F/g.  68.  PI.  4.  )  les  perpendiculaires  BF,  Bf 
fur  les  rayons  infiniment  proches  C  M ,  Cm  •  les 
triangles  rectangles  wMR,  B  M  F ,  qui  font 
femblables  (  puiiqu'ajoutant  aux  angles  mMK, 
B  M  F  le  même  angle  F  M  R ,  ils  compoient  cha- 
cun un  angle  droit)  ,  donneront  M  F  ou  M  H  = 

-,  &  BF=   ,    ^y  =  ,dontladiffé- 


\/ix1--+-iyx  '      \/dx~  -+-  dyx 

rence  (en  prenant  dx  pour  confiante )  eft  F/—  BF 

-1  »/-  dxXiyX  -*-  dy*  ;+-  yixXiiy   Or  à  caufe 

dxx  -+-  dy-  x  Vdx*  -+-  dy* 

des  fecteurs  femblables  CM«,  CH/,  on  forme 
cette  proportion  M  m  —  H/.  M  m:  :  M  H  .  M  C , 

&  partant  MC  ^yJf^t^EE^ . 

r  dxi  ■-+■  dxdy   — ydxddy 

Seconde  manière.  On  marquera  (  Art.  64.  ) 
les  différences  fécondes  en  fuppofant  dx  confiante; 
&  les  fecteurs  femblables  BmS,  mlLk.  (F/g.  70. 
PL  4.  )  donneront  B  m  (_y).»S  (  ^.v  )  :  :  m  E 

(  \Zdx*  -h  dy1  )  .  E  k.  =  — —     ~*~  y  •  Or  à  caufe 

des  triangles  rectangles  femblables  HwS,Hh/', 
l'on  aura  H  m  ou  M;w  (  x/dx^-k-dy*  )  .  *»S  ou  M  R 

(dx)::Hn(-ddj,).  nk=  - -^L—,    Et 

V  dx     +  dy 
t-,  dx$ -i- dxdy1 —  ydxddy 

partant  En  zzz  — ,    J       -   =-— ^-  ;  Se  prenant 


ni  Analysé 

une  troisième  proportionnelle  à  Ew ,  Ew  ou  Mm\ 
les  fecteurs  lemblables  Eoth,  MCk  donneront 
pour  M  C  la  même  valeur  qu'auparavant. 

Si  l'on  nomme  Mm  (  \Zdx*- -4- dyl  )  ,   du  ;  Se 
qu'on  prenne  ây  pour  confiante  ,  au  lieu  de  dx  , 

on  trouvera  dans  le  premier  cas  MG  =  .  -  > 
ôc  dans  le  fécond  MC=  ■ ,    .  ;T  "    ,  ,-j- .  Et  en- 

dxdu  -+-  ydyddx 

fin  fi  l'on  prend  du  pour  confiante,  il  vient  dans 

i  -  «  c  s-^  dxdu  dvdu  , 

le  premier  cas  M  G  = :     ou  -jj—  (  parce  que 

la  différence  de  dx1  -t-  dyz  z=z  du1  eft  dxddx  -+- 
dyddy  =  o ,  &  qu'ainfi  — ^j  =  ~-  )  ;  &  dans 

le  fécond,  MC  =   ,  l  *  "  , ,    ou   -~-   ^-rr* 

dx   —  yddy  dxdy  -t-  yddx 

Corollaire.    II. 

80.  (jOMME  l'on  ne  trouve  pour  ME  eu  M  G 
(F/g.  72.  VI  4.  )  qu'une  feule  valeur  ,  il  s'enfuit 
qu'une  ligne  courbe  A  M  D  ne  peut  avoir  qu'une 
feule  dévelopée  BCG. 

Corollaire   III. 
81. Si  la  valeur  de  ME  (F/g.  67.   68.  PI.  4-) 

d^dr .  ou     ^-*-yy     ^  eft    fiti_ 

ve  ,  il  faudra  prendre  le  point  E  du  même  côté  de 

l'axe  AB  ou  du  point  B ,  comme  l'on  a  fuppofé  en 

faifant  le  calcul  ;  d'où  l'on  voit   que  la   courbe 

fera  alors  concave  vers  cet  axe  ou  ce  point.  Mais 

iï 


des  Infiniment  Petits.  ii» 
fi  la  valeur  de  M  E  eft  négative  ,  il  faudra  pren- 
dre le  point  E  du  côté  oppoi'é  ;  d'où  l'on  voie 
que  la  courbe  fera  alors  convexe.  De  forte  qu'aii 
point  d'inflexion  ou  de  rebrouflement  qui  fépaçe 
la  partie  concave  de  la  convexe  ,  la  valeur  de 
M  E  doit  devenir  de  pofitive  négative  ;  &  partant 
les  perpendiculaires  infiniment  proches  ou  conti- 
gues  doivent  devenir  de  convergentes  divergentes. 
Or  cela  ne  fe  peut  faire  qu'en  deux  manières.  Car 
ou  elles  vontencroiffant,  àmefure  qu'elles  appro- 
chent du  point  d'inflexion  ou  de  rebrouffement  5 
&  il  faudra  pour  lors  qu'elles  deviennent  parallè- 
les ,  c'eft-à-dire,  que  le  rayon  de  la  développée  foit 
infini  :  ou  elles  vont  en  diminuant  ;  &  il  faudra 
nécessairement  alors  qu'elles  tombent  l'une  fur 
l'autre,  c'eft-à-dire,  que  le  rayon  delà  développée 
Toit  zéro.  Tout  ceci  s'accorde  parfaitement  avec 
ce  que  l'on  a  démontré  dans  la  fection  précédente. 

Remarque. 

82.(^,0  mm  e  l'on  a  cru  jùfqu'ici  que  le  rayon 
de  la  développée  étoit  toujours  infiniment  grand 
au  point  d'inflexion  ,  il  eft  à  propos  de  faire  voir 
qu'il  y  a  ,  pour  ainfi  dire  ,  une  infinité  de  genres 
de  courbes  qui  ont  toutes  dans  leur  point  d'in- 
flexion le  rayon  de  la  développée  égal  à  zéro  ; 
au  lieu  qu'il  n'y  en  a  qu'un  feul  genre  dans  lequel 
ce  rayon  foit  infini. 

Soit  B  AC  (  Fig.  71 .  PL  4.  )  une  des  courbes 
qui  ont  dans  leur  point  d'inflexion  A  le  rayon 
de  la  développée  infini.  Si  l'on  développe  les  parties 

H 


H4  Analyse 

BA,  A  C  ,  en  commençant  au  point  A  ;  il  eft 
clair  qu'on  formera  une  ligne  courbe  D  A  E  qui 
aura  aufîi  un  point  d'inflexion  dans  le  même  point 
A  ,  mais  dont  le  rayon  de  la  développée  en  ce 
point  fera  égal  à  zéro.  Et  fi  l'on  formoit  de  la 
même  forte  une  troifLme  courbe  par  le  dévelo- 
pement  de  la  féconde  DAK,  &  une  quatrième 
par  le  dévelopement  de  la  troificme  ,  &  ainfi  de 
fuite  à  1  infini  ;  il  eft  clair  que  le  rayon  de  la  dé- 
veloppée dans  le  point  d'inflexion  A  de  toutes 
ces  courbes  ,  feroit  toujours  égal  à  zéro.  Donc  ôcc. 

PROPOSITION    II. 

Problème. 

83.  Irouver  dans  les  courbes  AMD,  (  Fig. 
y  2.  PI.  4.  )  où  l'axe  A  B  fait  avec  la  tangente  en  A 
un  angle  droit ,  le  point  B  où  cet  axe  touche  la  dé- 
veloppée B  C  G. 

Si  l'on  fuppofe  que  le  point  M  devienne  infini- 
ment près  du  lommet  A  ,  il  eft  clair  que  la  per- 
pendiculaire M  Q,  rencontrera  l'axe  au  point  cher- 
ché B  ;  d'où  il  fuit  que  fi  l'on  cherche  en  géné- 
ral la  valeur  de  F  Q.  Q  —  }  en  x  ou  en  y ,  ôc  qu'on 

faffe  enfuite  xou;'  =  o,  on  déterminera  le  point 
P  à  tomber  fur  le  point  A  ,  Ôc  le  point  Q.  fur  le 
point  cherché  B;  c'eft-à-dire ,  que  PQ.  deviendra 
alors  égale  à  la  cherchée  AB.  Ceci  s'éclaircira  par 
les  exemples  qui  fuivent. 


DES     I  N  F  I  N  I  M  E  N  T   P  E  T  I  T  S.  115 

EïEMf  LE       1. 

2^-Soit  la  courbe  AMD  (  Fig.  72.  PL  4.  ) 
une  Parabole  qui  ait  pour  paramètre  la  droite 
donnée  a.  L'équation  a  la  parabole  eft  ax=yy9 

dont  la  différence  donne  dy  —  " — = — ^=  ;    Se 

ay        2-Vax 

prenant  la  différence  de  cette  dernière  équation» 
en  iuppolant  dx  confiante  ,  on   trouve  ddy  = 

p=-.  Subflituant  enfin  ces  valeurs  à  la  place 

de  dy  ôc  de  ddy  dans  la  formule  — y     ,     on 

f     .  \    TUT-  a -t- 4xV  ax  . 

aura  (  Art.  j7.  )  MErz ± —  yax-+. 

- — —.  Ce  qui  donne  cette  conftruction. 

Soit  menée  par  le  point  T  où  la  tangente  MT 
rencontre  l'axe,  la  ligne  TE  parallèle  à  MC  ; 
je  dis  qu'elle  rencontre  M  P  prolongée  au  point 
cherché  E.  Car  les  angles  droits  M  P  T  ,  M  T  E 
donnent  M  P  (  \/Jx)  .  PT  (  2x  )  :  :  P  T  (  zx  )  . 

P  E  =  ^  =  ^2-5  &  par  conféquent  MP 

Vax  a  L  x 

■+-  P  E  ^^  1/ ax  -\ • 

a. 

De  plus  à  caufe  des  triangles  rectangles  M  PQ, 
MEC,  l'on  aura  PM  (  j/Ii)  .  PQ  (\a)  :  :  ME 

(]/ux-+  ^^ï).EC-ouPK=:iflH-2x.&par. 

a       ' 

tant  QK  =z  2X,   Ce  'qui  donne  cette  nouvelle 
conftruction, 

Hî 


i  ï  6  Analyse 

Soit  prife  Q.K  double  de  A  P ,  ou  (  ce  qui  re- 
vient au  même  )  foit  prife  P  K  égale  à  T  Q. ,  & 
ioit  menée  K  C  parallèle  à  P  M.  Elle  rencontrera 
la  perpendiculaire  MC  en  un  point  C  qui  fera 
à  la  développée  B  C  G. 

Autre  manière,  yy  =  axi  &  tydy  rrr  adx  dont 
la  différence  (  en  fuppofant  dx  confiante  )  donne 

zdy  +  zyddy  ■==.  o  ;  d'où  l'on  tire  —  âdy  —  -y-.  Et 
mettant  cette  valeur  dans  la  formule  * _  di  , 
on  trouve  (  Art.  -jj.  )  M  E=y  y  J4""/  *  \  & par^- 
tant  E  C  ou  P  K  =*>*  ^^  ==  *p.  +  ffi  :=  PQ, 

dydx  dx  dy 

■+■  PTou  TQ.  Ce  qui  donne  les  mêmes  conftructions 
qu'auparavant.  Car  MP .  PT  :  :  dy .  dx  :  :  PT  $£\  . 

x  dy  ' 

p  £ ydx'1 4xy/<1x 

~       dy1  '  a 

Pour  trouver  à  préfent  le  point  B  où  l'axe  AB 
touche  la  développée  BCG.  On  a  PQ  (  ^)  =  \  a. 

(XX 

Or  comme  cette  quantité  eft  confiante,  elle  de- 
meurera toujours  la  même  en  quelque  endroit  que 
fe  trouve  le  point  M.  Et  ainfi  ,  lorfqu'il  tombe  fur 
le  fommet  A ,  l'ou  aura  encore  P  Q.  qui  devient 
en  ce  cas  A  B  ==■  \  a. 

Pour  trouver  la  nature  de  la  développée  BCG 
à  la  manière  de  Defcartes.  On  nommera  la  coupée 
BK  ,  «  j  l'appliquée  KCou  PE,  t  ;  d'où  Ion 


des  Infiniment  Petits.         117 

auraCK(0=^^&  AP  +  PK  — AB(«) 

==  ix  ;  mettant  donc  pour  x  fa  valeur  \  u  dans 

l'équation  ;  =  i — — ,  l'on  en  formera  une  nou- 
a 

velle  ïjatt  =  1 6u*  qui  exprimera  la  relation  de 
BK  à  KC.  D'où  l'on  voit  que  la  développée  BCG 
de  la  parabole  ordinaire  eft  une  féconde  parabole 
cubique  dont  le  paramétre  eft  égal  à  %  du  pa- 
ramétre de  la  parabole  donnée. 

Il  eft  vifible  que  la  développée  CBG  (  Fig.  73. 
PI-  4-  )  àe  la  parabole  commune  entière  M  A  M 
a  deux  parties  C  B  ,  B  C  qui  ont  leurs  convexités 
oppoiées  l'une  à  l'autre ,  de  forte  qu'elles  for-» 
ment  en  B  un  point  de  rebrouflement. 

Avertissement. 

On  entend  par  courbes  géométriques  AMD, 
B  C  G  (  Fig.  72.  PL  4.  )  celles  dont  la  relation  des 
coupées  A  P  ,  BK  aux  appliquées  P  M ,  K  C  ,  /è 
peut  exprimer  par  une  équation  ou  il  ne  fe  rencontre 
point  de  différences  ;  &  on  prend  pour  géométrique 
tout  ce  qu'on  peut  faire  par  le  moyen  de  ces  lignes. 
Vonfuppofe  ici  que  les  coupées  &  les  appliquées, 
[oient  des  lignes  droites. 

CoROLlAIRE. 

85.J_,ORSQUEla  courbe  donnée  AMD  eft 
géométrique ,  il  eft  clair  que  l'on  pourra  tou- 
jours trouver  (  comme  dans  cet  exemple  )  une 
équation  qui  exprime  la  nature  de  fa  développée 
BCG  ;  &  qu'ainfi  cette  développée  fera  auflî  geo- 


i  iS  .Analyse 

métrique.  Mais  je  dis  de  plus  qu'elle  fera  re&i- 
fiab  c  c'eft-à-dire,  qu'on  pourra  trouver  géo- 
métriquement des  lignes  droites  égales  à  une  de 
fes  portions  quelconque  B  C  •  car  il  eft  évident 
(Art  75  )  que  l'on  déterminera  avec  le  fecours 
de  la  ligne  AMD,  qui  eft  géométrique  ,  fur 
la  tangente  CM  de  la  portion  BC  ,  un  point  M 
tel  que  la  droite  C  :vl  ne  différera  de  la  portion 
BC  que  d'une  droite  donnée  A  B. 

Exemple     II. 

86-Soit  la  courbe  donnée  MDM  (  F/g.  74. 
VI.  4.  )  une  hyperbole  entre  fes  afymptotes  , 
qui  ait  pour  équation  aa  =  xy. 

On  aura  —  =  x ,  — °^-  =  dx ,  &  fuppofant 

y  yy 

dx  confiante,  {Art.  i.)^*^* 2aa^Vsos 

d'où  l'on  tire  ddy  =  ~—^~  ;  &  mettant  cette  valeur 

dans  — —  ,   il  vient  (  Art.  77.  )  ME  = 

—  d.ty  s 

^L±pl:  de  forte  que  EC  ou  PK  =  — & 

—  2dy  ?  2 ex 

«r— '  —J--  Ce  qui  donne  ces  conUructions. 

Soit  menée  par  le  point  T  où  la  tangente  M  T 
rencontre  l'afymptote  À  B  la  ligrfe  T  parallèle 
à  MC  &  qui  rencontre  MJ?  prolongée  en  S;  foit 
prife  M  E  égale  à  la  moitié  de  M  S  de  l'autre  côté 
de  l'afymptote  (  que  l'on  regarde  ici  comme  l'axe } 


des  Infiniment  Petits,  119 
parce  que  fa  valeur  eft  négative  ;  ou  bien  foit  prife 
P  K  égale  à  la  moitié  de  T  Q  du  même  côté  du 
point  T  :  je  dis  que  fî  l'on  mené  EC  parallèle ,  ou 
K  C  perpendiculaire  à  l'axe ,  elles  couperont  la 
droite  MC  au  point  cherché  C  Car  il  eft  clair 

que  M  S  =&#&,  *  que  Tû=§+f . 

Si  l'on  fait  quelque  attention  fur  la  figure  de 
l'hyperbole  M  DM,  on  verra  que  fa  développée 
CLC  doit  avoir  un  point  de  rebrouffement  L , 
de  même  que  la  développée  de  la  parabole.  Pour 
le  déterminer  je  remarque  que  le  rayon  D  L  de 
la  développée  eft  plus  petit  que  tout  autre  rayon 

MC  ;  d'où  il  fuit  que  la  différence  de  fon  expref- 

? 

r        /     a  n     .dx2  -+-  dyx\/dxr  -t-  dy*         dx* -+- dy** 

fion(^.78.) ldxiiy  ou  __Jdy 

fera  (  Se5i.  3.  )  nulle  ou  infinie.  Ce  qui   don- 
ne ,    en   prenant  toujours    dx  pour    confiante , 

1  ! 

—  idxdyddy^dx'1  -+-  dy*  »  -t-  dxdddydx1  -h  dy*  7 

2 = 1 /    .,  a ^ +—=0   OU 

dx  l.  y 


00  •  d'où  en  divifant  par  dx'1  -t-  dy*  *  ,  &  multi- 
pliant enfuite  par  dxddy1,  on  tire  cette  équation 
dxldddy  ■+-  dyx  dddy —  jdyddy1  =  0  ou  00  ,  qui 
fervira  à  trouver  pour  x  une  valeur  AH ,  telle  que 
menant  l'appliquée  H'D  &  le  rayon  DL  de  la 
développée  ,  le  point  L  fera  le  point  de  rebroufTe- 
ment  cherché. 

„  1  1  a  a      ,  —  aadx 

Cn  a  dans  cet  exemple  y==-  — ,  dy  = , 

H  4 


](2Q  Analyse 

àdy  _  2-f!$l,  dAAy  =  ZZlfflïl.   Ceft   pour- 


x> 


quoi  mettant  ces  valeurs  dans  l'équation  précé- 
dente, on  trouve  AH{x)  =  a.  D'où  il  fuit  que 
le  point  D  eft  le  fommet  de  l'hyperbole  ,  &  que 
les  lignes  AD,  D  L  ne  font  qu'une  même  droite 
A  L  qui  en  eft  Taxe. 

Exemple    III. 

87.  Soit  l'équation  générale^1"  =  x ( F/g.  72. 
74.  P/.  4.  )  qui  exprime  la  nature  de  toutes  les 
paraboles  à  l'infini ,  lorfque  l'expofant  m  marque 
Un  nombre  politif  entier  on  rompu  ,  &  de  toutes 
les  hyperboles ,  l'orfqu'il  marque  un  nombre  né- 
gatif. ' 

On  aura  mym  ldy  =  dx  dont  la  différence  don- 
ne ,  en  prenant  dx  pour  confiante ,  mm — mym~  ldy* 
+  mym     '  àdy  =  0  ;  &  en  divifant  par  mym~  '  ,  il 

■vient  —  ddy  ==m~1  y  ;  d'où  mettant  cette  va- 

y 

leur  dans  ~X_^d  J  •  >  on  tirera  (  Art.  jj.  )  M  $ 

yix*  +ydf     &  nt  E  c  qu  p  R  =  Jdy 

-  \dyx  *  m  —  îdx 


m  ■ 
■vdx 


.  Ce  qui  donne  c^s  conftru&ions    gé- 

•     m  —  joy  x'  <  ° 

nérales. 

Soit  menée  par  le  point  T  où  la  tangente  M  T 
renconçre  l'axe  A  P ,  la.  ligne  TS  parallèle  à  MG 
'Se  qui  rencontre  M  P  prolongée  au  point  S  }  foit 


des  Infiniment  Petits.        m 

prife  ME  =  — —  M  S  ,  ou  bien  foit  prife  P  K 
r  -    m  —  i 

—  — - —  TQ.:  il  eft  clair  que  fi  l'on  mené  par  le 
m  —  i 

point  E  une  parallèle  ,  ou  par  le  point  K  une 
perpendiculaire  à  l'axe ,  elles  rencontreront  M  G 
au  point  cherché  C. 

Si  m  eft  négatif,  comme  il  arrive  dans  les 
hyperboles ,  la  valeur  de  M  E  (  Fig.  74.  PI.  4  ) 
fera  négative  ;  ôc  par  conféquent  elles  feront  con- 
vexes vers  leur  axe  qui  fera  alors  une  afymptote. 
Mais  dans  les  paraboles  où  m  eft  pofitif,  il  peut 
arriver  deux  cas.  Car  ou  rn  (  Fig.  75.  P/.  4.) 
fera  moindre  que  1  ,  &  alors  elles  feront  conve- 
xes du  côté  de  leur  axe ,  qui  fera  une  tangente 
au  fommet  :oura(  Fig.  72.  PI.  4.  )  furpafle  1  , 
&  alors  elles  feront  concaves  vers  leur  axe  qui 
fera  perpendiculaire  au  fommet. 

Pour  trouver  dans  ce  dernier  cas  le  point  B 
où  l'axe  A  B  touche  la  développée.  On  aPQ, 

j            r — m 
(J-£  )  =.£ ;  ce  qui  donne  trois  différens  cas. 

Car  ou  m  —  2  ,  ce  qui  n'arrive  que  dans  la  para- 
bole ordinaire ,  &  alors  l'expolant  de  .y  étant  nul , 
cette  inconnue  s'évanouit  ;  &  par  conféquent  AB 
=  ; ,  c'eft-à-dire  ,  à  la  moitié  du  paramètre.  Ou 
m  eft  moindre  que  2  ,  &  alors  l'expofant  de  y 
étant  pofitif,  elle  fe  trouvera  dans  le  numérateur, 
ce  qui  rend  (en  l'égalant  (  Art.  83.)  à  zéro)  la 
fradtion  nulle  :  c'eft-à-dire ,  que  le  point  B  tombe 
en  ce  cas  fur  le  point  A  ,  comme  dans  la  féconde 


122  Analyse 

parabole  cubique  axx  =y*.  Ou  enfin  m  (Fig.  76. 
PI.  4.)  furpafie  2  ,  &  alors  l'expofant  de  y  étant 
négatif,  elle  fera  dans  le  dénominateur ,  ce  qui 
rend  (  lorfqu'elle  devient  zéro)  la  fraftion  infinie  : 
c'eft-à-dire  ,  que  le  point  B  eft  infiniment  éloigné 
du  point  A,  ou  (  ce  qui  eft  la  même  chofe )  que 
l'axe  AB  eft  afymptote  de  la  développée  ,  comme 
dans  la  première  parabole  cubique  aax  =j3.  On 
peut  remarquer  dans  ce  dernier  cas  que  la  déve- 
loppée CLO  {Fig.  77 '.  PI.  4.  )  de  la  demi-parabo- 
le A  D  M  a  un  point  de  rebroufiement  L  ;  de  forte 
que  .par  le  dévelopement  de  la  partie  LO  conti- 
nuée à  l'infini ,  le  point  D  ne  décrit  que  la  portion 
déterminée  DA  ;  au  lieu  que  par  le  dévelope- 
ment de  l'autre  partie  LC  continuée  aurïi  à  l'in- 
fini ,  il  décrit  la  portion  infinie  D  M. 

Gn  déterminera  le  point  L  de  même  que  dans 

1 

l'hyperbole.  Soit  par  exemple  aax  =y  ' ,  ou  y  —  x' , 

*  s 

on  aura  dy=j  x      %  âx ,  àày  ==  —  \  x      3  dx1    , 

dddy=~x  }  dx1  •  &  ces  valeurs  étant  fubfti- 
tuées  dans  l'équation  dx'dddy  +  dy^dddy  —  $dyddyl 

=  o,  on  trouvera (/?>•/.  86.  )  AH  (x)  =)/^rs 
Il  en  eft  amfi  des  autres. 

Remarque. 

88.£Ln  fuppofant  que  m  furpafie  1 ,  afin  que  les 
paraboles  foLnt  toujours  concaves  du  côté  de  leur 
axe ,  il  peut  arriver  différens  cas.  Car  fi  le  numéra- 
teur de  la  fraftion  marquée  par  m  eft  pair  ,  &  le 


des  Infiniment  Petits.  123 
dénominateur  impair  j  toutes  les  paraboles  tom- 
bent de  part  &  d'autre  de  leur  axe  dans  une  po- 
fition  femblable  à  celle  de  la  parabole  ordinaire. 
(F/g.  73-  Pi-  4-)  Mais  fi  le  numérateur  6c  le  dé- 
nominateur font  chacun  impair  ;  elles  ont  une  po- 
fition  renverfée  de  part  Se  d'autre  de  leur  axe ,  en- 
forte  que  leur  fommet  A  (F/g.  77-  PI  4-  eu:  un 
point  d'inflexion  ,  comme  la  première  parabole 

î 

cubique  x  —  y  '  ou  aax  =  /  ■  Enfin  fi  le  numéra- 
teur étant  impair,  le  dénominateur  eft  pair  ;  elles 
ont  une  pofition  renverfée  du  même  côté  de  leur 
axe ,  enforte  que  leur  fommet  A  (F/g.  76.  PI.  4.) 
eft  un  point  de  rebrouffement ,  comme  la  féconde 

1 
parabole  cubique  x  ==y  *  ou  axx  =/.  Tout  cela 
fuit  de  ce  qu'une  puiffance  paire  ne  peut  pas  avoir 
une  valeur  négative.  Cela  pofé  ,  il  eft  évident , 

i°.  Que  dans  le  point  d'inflexion  A  ^(F/g-  77; 
VI  4.  )  le  rayon  de  la  développée  peut  être  infini- 
ment grand ,  comme  dans  aax  =  y1 ,  ou  infiniment 
petit ,  comme  dans  aaxz  =j/<;- 

20.  Que  dans  le  point  de  rebrouffement  A  , 
(  F/g.  76.  PI  4.  )  le  rayon  de  la  développée  peut 
être  ou  infini  comme  dans  a'xx  =  ys ,  ou  zéro 
comme  dans  axx  —y3, 

30.  Qu'il  ne  s'enfuit  pas  (  F/g.  75.  PL  4.  )  de 
ce  que  le  rayon  de  la  développée  eft  infini  ou 
zéro ,  que  les  courbes  ayent  alors  un  point  d'in- 
flexion ou  de  rebrouffement.  Car  dans  a1  x  =  y4 
il  eft  infini ,  dans  ax>  =y*  i-1  eft  nul  ;  &  cepen- 
dant ces  paraboles  tombent  de  part  &  d'autre  de 


124  Analyse 

leur  axe  dans  une  pofition  femblable  à  celle  de 

la  parabole  ordinaire. 

Exemple    IV. 

89.  Soit  la  courbe  AMD  (F/g.  78.  79.  PI.  48c  5.) 
une  hyperbole  ou  une  ellipfe  qui  ait  pour  axe 
AH(a)  ,  Se  pour  paramètre  A  F  (  b  ). 

On  aura  par  la  propriété  de  ces  lignes  y  =■ 


V 


abx  -çltxx       ,  abdx  -p  lbxJx 


4aabx  +  ^abxxVaabx  qr  abxx 


,  dy  =—p=,  .  ,    &     ddy  = 

°-Vaabx  q:  ûixx 

Si  donc  l'on  met  ces  valeurs 


Va  2-Vaabx  +  abxx 

—  albbix 


dans  _^        —  exprefïïon  générale  de 

(  Art.  78.  )  MC,  on  trouvera  dans  ces  deux 

COUrbeS   M  C  aabh  +  'Jabbx-^-^bbxx-t-  4oabx  +  4abxx 

Za^bb 

Vaabb  -+  i,abbx  -+-  ibbxx  -+-   i,aabx  ~£  4abxx  4M  Q  . /• 

\~an~b  —  ~ÏT  '  puu* 


que  de  part  &  d'autre  MQ  (%■ —     "*"  dy    } 

Vaabb  "X  ^abbx  -+-  tbbxx  — (-  4uiifct  X  4a£,r.*     ,-,  .    1 

=  — — — - — -—.  Ce  qui  don- 
ne cette  conftru&ion  qui  fert  aufïï  pour  la  parabole. 

Soit  prife  M  C  quadruple  de  la  quatrième  con- 
tinuellement proportionnelle  au  paramètre  A  F  & 
à  la  perpendiculaire  MC?  terminée  par  l'axe»  le 
point  C  fera  à  la  développée. 

Si  l'on  fait  x  =  u,  on  aura  (  Art.  83.  )  A  B 
=  { b.  Et  fi  l'on  fait  dans  l'ellipfe  x  =  \a  ,  on 


des   Infiniment   Petits.     125 

trouvera  D  G  (F/g.  y  y.  PI.  5.  )  =  ^—  ,  c'eft-à- 

dire ,  égal  à  la  moitié  du  paramètre  du  petit  axe. 
D'où  l'on  voit  que  dans  l'ellipfe  la  développée 
B  C  G  fe  termine  en  un  point  G  du  petit  axe 
DO,  où  elle  forme  un  point  de  rebrouflement} 
au  lieu  que  dans  la  parabole  &  l'hyperbole  elle 
j  s'étend  à  l'infini. 

Si  a  =  b  dans  l'ellipfe ,  il  vient  MC  =  |«; 
d'où  il  fuit  que  tous  les  rayons  de  la  développée  font 
égaux  entr'eux  ,  &  qu'elle  ne  fera  par  conféquent 
qu'un  point  :  c'eft-à-dire  ,  que  l'ellipfe  devient  en 
ce  cas  un  cercle  qui  a  pour  développée  fon  centre. 
Ce  que  l'on  fçait  d'ailleurs  être  véritable. 

Exempie    V. 

90.  Soit  la  courbe  AMD  (  Fig.  80.  PL  5.) 
I  une  logarithmique  ordinaire ,  dont  la  nature  eft 
telle  qu'ayant  mené  d'un  de  ces  points  quelcon- 
que M  la  perpendiculaire  M  P  fur  l'alymptote 
i  KP  ,  &  la  tangente  MT;  la  foutangente  PT 
foit  toujours  égale  à  la  même  droite  donnée  a. 

On  a  donc  ?T(y^)  =  a  ,  d'où  l'on  tire  dy 

*  dy  '  ' 

|=  —  3  dont  la  différence  donne  ,  en  prenant  dx 
pour  confiante  ,  ddy  =r  ^L*.  ==  2UL.  ■  &  mettant 

ces  valeurs  dans  *_  d/  »  on  trouve  (  Art.  77-  ) 
ME=~aa~'yy  ;ôt  partant  EC  ou  PK  = 


126  Analyse 

— - — II,  Ce  qui  donne  cette  conflruction. 

Soit  prife  P  K  égale  à  T  Q.  du  même  côté  de 
T ,  parce  que  fa  valeur  eft  négative  ;  &  foit  me- 
née K  C  parallèle  à  P  M  :  je  dis  qu'elle  rencon- 
trera la  perpendiculaire  M  G  au  point  cherché 

C  CarTQ^:**-4-^. 

a. 

Si  l'on  veut  que  le  point  M  foit  celui  de  la  plus 
grande  courbure  ,  on  le  fervira  de  la  formule 
dx1dddy-^dy1dddy —  ^dyddy1  z=.  o,  que  l'on  a 
trouvée  (  Art.  86.)  dans  l'exemple  fécond  ;   Se 

mettant  pour  dy,  ddy ,  dddy  ,  leurs  valeurs  —  :  , 

—  ,  *— j-  ,  on  trouvera  ?  M.  (y)  ay\. 

Il  eft  clair ,  en  prenant  dx  pour  confiante  y 
que  les  appliquées  y  font  entr'elles  comme  leurs 

différences  dy  ou y—  ;  d'où  il  fuit   qu'elles  font 

aufîi  une  progrefîion  géométrique.  Car  fi  l'on 
conçoit  que  l'afymptote  ou  l'axe  PK  foit  divifé 
en  un  nombre  infini  de  petites  parties  égales  Pp 
ou  M  R  ,  pf  ou  mS ,  fg  ou  «H  ,  &c.  comprifes 
entre  les  appliquées  P  M  ,  pm  ,  fn,  go,  &c  Ton 
aura  P  M  ./;«::  Km  .  Sn  :  :  P  M  +  Km  ou  pm  . 
pm  -+-  Sn  ou  fn.  On  prouve  de  même  que  pw  . 
fn::fn.go,  ôc  ainfi  de  fuite.  Les  appliquées  PM , 
prn  ■>  fn  ,  go  ,  &j.  feront  donc  entr'elles  une  pro- 
greffion géométrique. 


des  Infiniment  Petits.        12/ 
Exemple      VI. 

ç)\.  S  oit  la  courbe  A  MD  (  F/g.   81.  PL  5.) 

une  logarithmique  fpirale ,  dont  la  nature  efl  telle 
qu'ayant  mené  d'un  de  les  points  quelconque  M 
au  point  fixe  A  ,  qui  en  eft  le  centre ,  la  droite 
M  A  &  la  tangente  M  T  ;  l'angle  A  MT  foit  par 
tout  le  même. 

L'angle  A  M  T  ou  A  wM  étant  confiant ,  la 
raifon  de  »îR  (dy)  à  RM  (dx)  fera  aufll  conf- 
iante. Il  faut  donc  que  la  différence  de   ~  foit 

nulle  ;  ce  qui  donne  (  en  fuppofant  dx  confiante  ) 
ddy=o.  C'efl  pourquoi  effaçant  le  terme  yddy 

dans  -~— — ,  y  "y  , ,    expreffion  (Art.  71.  )  ge- 

dxl  -H  dyx — yddy        r  N  /  /    /    D 

nérale  de  ME ,  lorfque  les  appliquées  partent  tou- 
tes d'un  même  point,  on  trouve  M  E  =y  ,  c'efl-» 
à-dire,  ME  =  A  M-  Ce  qui  donne  cette  conflruc- 
tion. 

Soit  menée  A  C  perpendiculaire  fur  A  M  ,  & 
qui  rencontre  en  C  la  droite  Ml  C  perpendiculaire 
à  la  courbe  ,•  le  point  C  fera  à  la  dévelopée  A  C  B. 

Les  angles  AMT,  ACM  font  égaux,  puif- 
qu'étant  joints  l'un  &  l'autre  au  même  angle  AMC 
ils  font  un  angle  droit.  La  développée  ACG  fera 
donc  la  même  logarithmique  fpirale  que  la  donnée 
A  M  D  ,  &  elle  n'en  différera  que  par  fa  pofition. 

Si  l'on  fuppofe  que  le  point  C  de  la  développée 
ACG  étant  donné  ,  il  faille  déterminer  la  lon- 
gueur" CM  de  fon  rayon  en  ce  point,  qui  {Art.  75.) 


n8  Analyse 

eft  égal  à  la  portion  AC  qui  fait  une  infinité  de 
retours  avant  que  de  parvenir  en  A  ;  il  eft  clair 
qu'il  n'y  a  qu'à  mener  A  M  perpendiculaire  fur 
A  C.  De  forte  que  fi  l'on  mené  À  T  perpendicu- 
laire fur  A  M  ,  la  tangente  M  T  fera  aufïi  égale 
à  la  portion  A  M  de  la  logarithmique  fpirale  don- 
née AMD. 

Si  Ton  conçoit  une  infinité  d'appliquées  A  M, 
Km  ,  An  ,  Ao,  &c.  qui  faffent  entr'elles  des  an- 
gles infiniment  petits  &  égaux  ;  il  eft  clair  que  les 
triangles  MA»i,  roA»,  »Ao,  &c.  feront  fem- 
blables  ,  puifque  les  angles  en  A  font  égaux ,  & 
que  par  la  propriété  de  la  logarithmique ,  les  an- 
gles en  m  ,  n ,  o ,  &c.  le  font  aufli.  Et  partant 
A  M.  Km  :  :  Km.  Kn.  Et  Km.  Kn  :  :  An.  Ko.  & 
ainfi  de  fuite.  D'où  l'on  voit  que  les  appliquées 
AM,  Km  ,  Kn ,  Ko ,  &c.  font  une  progrefiion 
géométrique  ,  lorfqu'elles  font  entr'elles  des  angles 
égaux. 

Exemple.''    VII. 

$2.  S  oit  la  courbe  AMD  (  Fig.  82.  PI.  5.) 
une  des  fpirales  à  l'infini ,  formée  dans  le  fecteur 
BAD  avec  une  propriété  telle  qu'ayant  mené 
un  rayon  quelconque  AMP,  &  ayant  nommé 
l'arc  entier  B  P  D ,  h  ;  fa  partie  BP  ,  ^  ;  le  rayon 
ABou  AP,a;  &  fa  partie  AM,;,-  on  ait 
cette  proportion  b.  Ç  :  :  am.yn. 

L'équation  à  la  fpirale  AMD  eft./a=^  , 

dont  la  différence  donne  w>m~-  Vy  =  -~.  Or  à 

caufe 


t>  E  S     I  N  F  I  N  I  M  E  N  T    P  E  T  r  T  S.  I  29 

cauié  des  fe&eurs   iemblables   AMR,   A  Vp  5 
l'on  aura  A  M  (;).Ai'(/i)::MR(^).  Pp 

(  ^K  )  =  — -•  Mettant  donc  cette  valeur  à  la  place! 

de  d^  dans  l'équation  que  l'on  vient  de  trouver  4 

tn  -t-  ijx 

on  aura  mymdy  = -—  dont  la  différence  (  en 

prenant  dx  pour  confiante  )  eft  mmym      Wj/1-,'- 

mymâdy  ==  0  ;  d'où  en  divifant  par  mym~~'  \  l'on 
tire  — yddy  =  ««/j/*  •  &  partant  M  E  (  Art.  77.  ) 

.         ydx1  -+-  ydy*  ydx1  -+-  ydy% 

\    dx-  -+-  dy*-r-ydiy  >      =    dx^^Ûp-  '     ^    ^ 

donne  cette  conftruction. 

Soit  menée  par  le  centre  A  la  droite  T  A  Q 
perpendiculaire  fur  A  M ,  &  qui  rencontre  en  T 
la  tangente  M  T  ,  &  en  Q  la  perpendiculaire 
MQ;  loit  fait  T  A  -t-  „,+  1"  A  Q  .  T  Qj  :  M  A  . 
AT  Ë.  Je  dis  que  menant  EG  parallèle  à  TQ, 
elle  ira  rencontrer  M  Q.  en  un  point  C  qui  fera 
à  la  développée. 

Car  à  caufe  des  parallèles  M  R  G  ,  T  A  Q. , 

l'on  aura  M  R  (  dx  )  +  ^T"i  RG(^-).MG 


dy* 


(^  +  ^)::TA+m-f«AQ.TQ::AM 

dx1  +  m -+.  ,  dy*      , 

Exemple.    VIII. 

93.  Soit  AMD  (  Fig.  85.  VI.  5.  )  une  demi- 
roulette  fimple  ,  dont  la  bafe  BD  eft  égale  à  la 
demi-circonférence  B  E  A  du  cercle  générateur. 

I 


130  Analyse 

Ayant  nommé  AP,x;PM,j/;  l'arc  AE  5 
u  ;  &  le  diamètre  A  B  ,  ia  ;  l'on  aura  par  la  pro- 
priété du  cercle  P  E  =  ]/ '  j.Ux — xx  ;  &  par  celle 
de  la  roulette^  =  u  -+-  j/^jx —  >*,  dont  la  dif. 

c  ,  .  ,  adx  -  xdx  Zadx  - —  xdx 

ference  donne  dy  z=.du  ■ 


V  îax — xx  V; 


oudxy   — -,  en  mettant  pour   du  fa  valeur 

;  en  iuppofant  dx  confiante  ,  ddy  =. 

-.   ;    &  en    mettant    ces   valeurs   dans 


Vzax  —  xx 
—  adxz 


xV  lax . 


1 s y—  ,  il  vient  (  Art.  78.  )  M  G 

—  dxddy 

=z  2}/^aa  —  zax  ,  c'eft-â-dire  ,  2BE0U  2M  G. 

Si  l'on  fait  x  — 0,  l'on  aura  AN=4<3  pour 
rayon  de  la  développée  dans  le  fommet  A.  Mais 
fi  l'on  fait  x  =  2a ,  on  trouvera  que  le  rayon  de 
la  développée  au  point  D  devient  nul  ou  zéro  ; 
d'où  l'on  voit  que  la  développée  a  fon  origine  en 
D  ,  &  qu'elle  fe  termine  en  N  ,  enlorte  que 
BN  =  BA. 

Pour  fçavoir  la  nature  de  cette  développée ,  il 
n'y  a  qu'à  achever  le  re&angle  BS,  décrire  le 
demi-cercle  DIS  qui  a  pour  diamètre  DS  ,  & 
mener  DI  parallèle  à  M  G  ou  à  BË,  Cela  fait, 
il  eft  clair  que  l'angle  BD1  efr.  égal  à  l'angle 
E  B  D  ;  &  par  conféquent  que  les  arcs  D I  ,  B  E 
lont  égaux  entr'eux  ;  d'où  il  fuit  que  leurs  cor- 
des DI,  BE  ou  G  G  font  auffi  égales.  Si  donc 
l'on  tire  1 C ,  elle  fera  égale  &c  parallèle  à  D  G , 


des  Infiniment  Petits.  i?i 
qui  par  la  génération  de  la  roulette  eft  égale  à 
l'arc  BE  ou  DI  ;  &  partant  la  développée  DCiST 
eft  une  demi- roulette  qui  a  pour  baie  11  droite 
NS  égale  à  la  demi -circonférence  DIS  de  Ion 
cercle  générateur  :  c'eft  à-dire  ,  que  c'eft  la  demi- 
roulette  raême'AMDB,  pofée  dans  une  fitua- 
tion  renversée. 

Corollaire. 

94.  1  l  eft  clair  (Art.  75.)  que  la  portion  de 
roulette  DC  eft  double  de  Ta  tang-ente  CG, 
ou  de  la  corde  correspondante  Dl.  Et  la  demi- 
roulette  DCN  double  du  diamètre  BNou  US 
de  ion  cercle  générateur. 

Autre     Solution. 

95-  On  V~ut  encore  trouver  la  longueur  du  ra- 
yon MC  lans  aucun  ca'cul  ,  en  cette  forte. 
Ayant  imaginé  une  autre  perpendiculaire  m  C 
infiniment  proche  de  la  .première  ,  une  autre  pa- 
rallèle me  ,  une  autre  corde  Be,  &  décrit  des 
centres,  C,  B  les  petits  arcs  GH,  EF  ,  on  for- 
mera les  triangles  rectangles  GHg  ,  FF<?  qui 
feront  égaux  &  femblables  ;  car  Ggc=.Ee,  puif- 
que  B  G  ou  M  E  eft  égale  à  l'arc  A  E ,  &  de  même 
Bgou  me  eft  égal  à  l'arc  A  e  ;  de  plus  Hg  ou 
m  g  —  MG  =  Fe  ou  B  e  —  B  E  ;  GH  fera  donc 
égal  à  EF.  Or  les  perpendicu'aires  MC,  mC9 
étant  parallèles  aux  cordes  EB  ,  eB  ,  l'angle 
MCm  fera  égal  à  l'angle  E  B  e.  Donc  puifque  les 
arcs  GH,  EF,  qui  mefurent  ces  angles  3  font 

1  s 


ïp  Analyse 

égaux  ,  il  s'enfuit  que  leurs  rayons  CG  ,  BE 
feront  aufli  égaux  ;  &  partant  que  M  C  doit  être 
prife  double  de  M  G  ou  de  Bi.. 

L  E  M  M  E. 

96.  S'il  y  a  un  nombre  quelconque,  de  quantites^ 
a ,  b ,  c  ,  d  ,  e  ,  tic  [oit  que  ce  nombre  foit  fini 
où  infini ,  foit  que  ces  quantités  [oient  des  Lignes, 
ou  des  [urfaces  ,  ou  des  [olides  ;  la  [omme  a  ~  b 
.+_  b  —  c  -h  c  —  d  h-  d  —  e  ,  Ôc  de  toutes  leurs 
différences  efi  égale  a  la  plus  grande  a  ,  moins  la 
plus  petite  e  ,  ou  Simplement  h  la  plus  grande  ,  lorj- 
que  la  plus  petite  efi  \ero.  Ce  qui  eft  vifible. 
Corollaire      I. 

97.  Les  feûeurs  CM«,  CGH,  étant  fem- 
blables ,  il  eft  clair  que  M  m  eft  double  de  G  H 
ou  de  fon  égale  E  F  ;  &  comme  cela  arrive  tou- 
jours en  quelque  endroit  que  l'on  iuppofe  le  point 
M  ,  il  s'enfuit  que  la  fomme  de  tous  les  petits 
arcs  M  m  ,  c'eft  à  dire  ,  la  portion  A  m  de  la  de- 
mi-roulette  AMD,  eft  double  de  la  iomme  de 
tous  les  petits  arcs  E  F.  Or  le  petit  arc  E  F  fait 
partie  de  la  corde  AE  perpendiculaire  fur  BE, 
&eft  la  différence  des  cordes  AE,  A  e,  parce 
■  que  la  petite  droite  e  F  perpendiculaire  fur  A  è 
peut  être  confiderée  comme  un  petit  arc  décrit 
du  centre  A  ;   Se  partant  la  fomme  de  tous  les 
petits  arcs  EF  dans  l'arc  AZE  fera  la  fomme  des 
différences  de  toutes  les  cordes  AE,  Ae  ,  ôcc. 
dans  cet  arc,  c'eft-à-dire,  par  le  Lemme  qu'elle 
fera  égale  à  la  corde  AE.  Il  eft  donc  évident 


des  Infiniment  Petits.  133 
que  la  portion  A  M  de  la  demi-rouierte  AMDeft 
double  de  la  corde  correfpondante  A  E. 

Corollaire      II. 

98.J_,'e  s  p  ac  e  MGgm  (  Art.  2.  )  ou  le  tra- 
pèze M  GHm  =  im»+|<SH  X  M  G  =  \  E  F 
X  BE ,  c'eft-à-dire ,  qu'il  eft  triple  du  triangle  EBF 
ou  EBe- 1  d'où  il  fuit  que  l'efpace  MGBA,  fomme 
de  tous  ces  trapèzes ,  eft  triple  de  l'efpace  circu- 
laire J3E  Z  A  ,  fomme  de  tous  ces  triangles.    ! 

Corollaire     III. 

59.Nommant  BP,  ç;  l'arc  AZEouEM 
ou  B  G  ,  u  ;  &  le  rayon  KA,  «;  l'on  aura  le 
parallelélogramme  M  G  B  E  =  u  \.  Or  l'efpace  de 
la  roulette  MGBA  ~  3 BtZ  A  =  3EKB-f-^w; 
&  partant  l'efpace  AMEB  renfermé  par  la  por- 
tion de  roulette  A  M  ,  la  parallèle  M  E  ,  la  corde 
BE  &  le  diamètre  AB  ,  eft  =  3E  K  B  +  \au 
—  u\.  D'où  il  fuit  que  fi  l'on  prend  BP  (ç)  —  \ at 
l'efpace  A  M  E  B  fera  triple  du  triangle  corref- 
pondant  E  K  B  ;  8c  aura  par  conféquent  fa  qua- 
drature indépendante  de  celle  du  cercle.  Ce  que 
M-  Hugens  a  remarqué  le  premier.  Voici  encore 
une  autre  forre  d'efpace  qui  a  la  même  propriété. 
Si  l'on  retranche  de  l'efpace  A  M  E  B  le  feg- 
ment  BEZA  ,  il  reftera  l'efpace  A ZE M  =  2EKB 
+  au  —  u\  ;  d'où  l'on  voit  que  fi  le  point  P 
tombeau  centre  K,  l'efpace  AZEM  fera  égal 
au  quarré  du  rayon.  Il  eft  évident  qu'entre  tous 
les  efpaces  AMEB  &   AZEM,  il  n'y  a  que 

13 


ï  34  Analyse 

les  deux  que  l'on  vient  de  déterminer  qui  ayent 

leur  quadrature   abfolue  indépendante  de  celle 

du  cercle. 

Exemple     IX. 

too.  Soit  la  demi-roulette  AMD  (  Fig.  84. 
P/.  5.  )  décrite  par  la  révolution  du  demi-cercle 
A  E  B  autour  d'un  autre  cercle  immobile  B  G  D  ; 
&  qu'il  faille  déterminer  fur  la  perpendiculaire 
M  G  donnée  de  pofition ,  le  point  où  elle  touche 
la  développée. 

Pour  fe  fervir  des  formules  générales  il  faudroit 
prendre  pour  les  appliquées  de  la  courbe  AMD, 
des  lignes  droites  perpendiculaires  fur  Taxe  O  A, 
&  chercher  enfuite  une  équation  qui  exprimât 
la  relation  des  coupées  aux  appliquées  ,  ou  de 
leurs  différences.  Mais  comme  le  calcul  en  feroic 
fort  pénible ,  il  vaut  beaucoup  mieux  dans  ces 
fortes  de  rencontres  en  tenter  la  folution  en  fe 
lervant  de  la  génération  même. 

Lorfque  le  demi-cercle  AEB  eft  parvenu  dans 
la  pofition  M  G  B  dans  laquelle  il  touche  en  G 
la  bafe  BD;  &  que  le  point  décrivant  A  tombe 
fur  le  point  M  de  la  demi-roulette  AMD  :  il 
eft  clair, 

1  p.  due  l'arc  G  M  eft  égala  l'arc  GD  ,  com- 
me auffi  l'arc  G  S  du  cercle  mobile  à  lare  GB 
du  cercle  immobile. 

20.  Que  M  G  eft  (Art.  43.  )  perpendiculaire 
fur  la  courbe  ;  car  confidérant  la  demi-circonfé- 
rence MGBou  AEB,  &  la  bafe  B  G  D  com- 
me l'affemblage  d'une  infinité  de  petites  droites 


des  Infiniment  Petits.  135 
égales  chacune  à  fa  corréfpondante  ,  il  eft  mani- 
fefte  que  la  demi-roulette  AMD  fera  l'auem- 
bîage  d'une  infinité  de  petits  arcs  qui  auront 
pour  centre  fucceflivement  tous  les  points  tou- 
chans  G  ,  &  qui  leront  décrits  chacun  par  le  mê- 
me point  M  ou  A. 

30.  Que  fi  l'on  décrit  du  centre  O  du  cercle 
immobile  l'arc  concentrique  ME;  les  arcs  M  G  , 
EB  du  cercie  mobile  leront  égaux  entr'eux , 
auiîi-bien  que  leurs  cordes  M  G  ,  E  B  ,  &  les 
angles  O  G  M  ,  O  B  E.  Car  les  droites  O  K,  O  K , 
qui  joignent  les  centres  des  deux  cercles  font  éga- 
les ,  piufqu'elles  panent  par  les  points  touchans 

B,  G;  c'eft  pourquoi  menant  les  rayons  O  M , 
OE,  &  KE,  on  formera  les  triangles  OK.tVi  , 
O  K  E  égaux  &  iemblables.  L'angle  O  K  M  étant 
donc  égal  à  l'angle  OKE;  les  arcs  MG,  BE 
des  demi-cercles  égaux  MGB,  BEA,  qui  me- 
furent  ces  angles  ,  feront  égaux  ,  comme  au  Ai 
leurs  cordes  M  G  ,  E  B  ;  d'où  il  fuit  que  les  an- 
gles OGM  ,  OBE  le  leront  aufli. 

Cela  po(é  ,  loit  entendue  une  autre  perpendi- 
culaire mC  (  F/g.  85.  PI.  5.)  infiniment  proche 
de  la  première,  un  autre  arc  concentrique  me  , 
&  une  autre  corde  Be  ;  foient  décrits  des  centres 

C,  B,  les  petits  arcs  GH,  EF.  Les  triangles 
rettangles  GHg,  EFe  feront  égaux  &  fembla- 
b;es;  carGgouDg —  DG  =  Eeou  à  l'arc  Be 
—  l'arc  B  Ë  .  de  plus  H  g  ou  m  g — MG=Fe 
ouàBe  —  BE  Le  petit  arc  G  H  fera  donc  égal 
au  petit  arc  EF  ;   d'où  il  fuit  que  l'angle  G  CH 


136  Analyse 

eft  à  l'angle  E  BF  ,  comme  BE  eft  à  CG.  Ainfi 
toute  la  difficulté  fe  réduit  à  trouver  le  rapport 
de  ces  angles.  Ce  qui  fe  fait  en  cette  forte. 

Ayant  mené  les  rayons  OG,  Og ,  KE,  Ke, 
&  nomméOGouOB  ,  i,-KEouKBouKA, 
a  j  il  eft  clair  que  l'angle  EBe=OBe-OBE 
=fb  Ogm  —  OGM=  (en  menant  GL  ,  GV  pa- 
rallèles à  Cm  ,  Og)  LGM-OGV  =  GCH 
—  GO g.  On  aura  donc  l'angle  G  C  H  =  G  O  g 
+  EBF.  Or  les  arcs  Gg  ,  Ee  étant  égaux  ,  l'on 
auraaufli  GOg  .  EKe  ou  2KBF  :  :  KE  (a  ) . 

OG(i);&  partant  l'angle  GOg  =  ~  E  B  F  , 
&GCH  =  2-^^EBF.Donc  GCH.EBFou 
B  E  .  C  G  :  :  ~— —  .  1  .  &  partant  l'inconnue 
C  G  =  — — r  B  E  ou  M  G.  Ce  qui  donne  cette 

2a-+-  b  * 

Canftruction. 

Soit  fait  O  A  (  F/g.  86.  PL  5.  )  (2a  -+-  fc). 
OB  (  i  )  ::  MG.GC;  le  point  C  fera  à  la  dé- 
veloppée. 

Il  eft  clair  i°.  Que  cette  développée  commen- 
ce au  point  D ,  &  qu'elle  y  touche  la  bafe  BGD  ; 
puifque  l'arc  G  M  devient  en  ce  point  infiniment 
petit.  20.  Qu'elle  fe  termine  au  point  N  ,  en- 
fprte  queOA.OB::AB.BN  ::OA  —  A  B 
ouOB.OB  —  BNouON,-  c'eft-à-dire  ,  que 
OA,  OB,  ON  font  continuellement  propor- 
tionnelles. 3°.  Si  l'on  décrit  à  préfent  le  cercle. 


des  Infiniment  Petits.  137 
NSQ,  du  centre  O,  je  dis  que  la  développée 
D  C  N  efl  formée  par  la  révolution  du  cercle  mo- 
bile G  C  S  ,  qui  a  pour  diamètre  G  S  ou  B  N  , 
autour  de  l'immobile  NSQ:  c'eft-à-dire  ,  qu'elle 
eft  une  demi-roulette  femblable  à  la  propoiée, 
ou  de  même  efpece  (  parce  que  les  diamètres  AB  , 
B  N  des  cercles  mobiles  ont  entr'eux  le  même 
rapport  que  les  rayons  O  B ,  ON  des  cercles 
immobiles  )  ,  6c  polée  dans  une  fîtuation  renver- 
fée  ,  enfoite  que  fon  fommet  eft  en  D.  Pour  le 
prouver  ,  fuppofons  que  les  diamètres  des  cercles 
mobiles  fe  trouvent  fur  la  droite  O  T  menée  à 
difcrétion  du  centre  O  ;  elle  parlera  par  les 
points  touchans  S  ,  G  ;  &  faifant  A  B  ou  T  G  . 
BN  ou  GS  ;:  M  G  .  GC  ,  le  point  C  fera  à  la 
développée ,  &  de  plus  à  la  circonférence  du 
cercle  GCS;  car  l'angle  GMT  étant  droit  , 
l'angle  GCS  le  fera  aufîî.  Cr  à  caufe  des  angles 
égauxMGT,CGS  ,  l'arc  TM  ou  GB  eft  à 
l'arc  CS  ,  comme  le  diamètre  GT  au  diamètre 
GS  ::  OG  .  OS  :  :GB.NS  ;  &  partant  les  arcs 
C  S  }  S  N  font  égaux.  Donc  ,  ôcc. 

Corollaire     I. 

10 1.  Il  eft  clair  {Art.  75.)  que  la  portion  de  rou- 
lette D  C  eft  égale  à  la  droite  C  M  ,•  &  partant 
que  D  C  eft  à  fa  tangente  C  G  :  :  A  B  h-  BN  . 
BN::OB  +  ON.  ON;  c'eft  à-dire  ,  comme 
lafommedes  diamètres  des  deux  cercles  géné- 
rateurs ,  ou  des  cercles  mobile  &  immobile  ,  eft 
au  rayon  du  cercle  immobile.  Cette  veriré  fe  dé- 


138  Analyse 

couvre  encore  de  la  manière  qui  fuit.  A   caufe 

des  triangles  iemb'iables  CM»;,  CGH,  (  Fig. 
85.  PI.  5.  )  l'on  aura  Mm.  G  H  ou  E  F  :  :  M  C  . 
GC::  OA  +  OB  (2a  +  2b  ).  OB  (b).  D'où 
il  fuit  (  comme  dans  l'art  97.  )  que  la  portion  de 
roulette  AM  eft  à  la  corde  correfpondante  AE  , 
comme  la  iomme  des  diamètres  du  cercle  géné- 
rateur &  de  la  bafe  ,  eft  au  rayon  de  la  baie. 

CoROILAIRE        II. 

ioz.Le  trapèze  MGHw  {Fig-  85.  P/.  5.) 
z=  iGH+îMfl,  x  MG.  Or  C  G  (  —^  M  G  )  , 

CM(2-^^MG)::GH.MW  =  ^^GH. 

v    2a  +   b  '  b 

Donc  puifque  GH=EF,6cMG  —  EB,  l'on 
aura  MG  Hm  =  2*  £  ^  EF  x  EB  :  c'eiVà-dire  , 

2b 

que  le  trapèze  MGHra  fera  toujours  au  triangle 
correspondant  E  B  F  :  :  2a  +  36  .  b. 

D'où  il  fuit  que  l'efpace  M  G  B  A  renfermé  par 
M  G ,  A  B  perpendiculaires  à  la  roulette  ,  par 
l'arc  B  G  &  par  la  portion  de  roulette  MA,  eft 
au  fegment  de  cercle  correlpondant  B  E  Z  A  :  : 
2a  «+-  3&  .  b. 

Corollaire      III. 

103.I  l  eft  vifible  que  la  quadrature  indéfinie  de 
la  roulette  dépend  de  la  quadrature  du  cercle  ; 
mais  fi  Ion  prend  OQ  (Fig.  87.  P/.  5-  )  mo- 
yenne proportionnelle  entre  O  K ,  O  A  ,  &  qu'on 
décrive  de  ce  rayon  l'arc  Q  EM  ;  je  dis  que  l'ef- 


des  Infiniment  Petits.  139 
pace  ABEM  renfermé  par  le  diamètre  AB,  la 
corde  BE  ,  l'arc  E  M  ,  &  par  la  portion  de  rou- 
lette A  M  ,  eft  au  triangle  E  K  B  :  :  2a  -+-  -$b  .  b. 
Car  nommant  l'arc  AE  ou  G  B  ,  «  ;  le  rayon  OQ, 
Ci  Ton  auraOB(fc).CQr^):--GB(«).RQ 

ou  ME  =  %  Et  partant  l'efpace  RGBQ.  ou 

MGBE,  c'eft- à-dire,  jGB  +  ;  KQ  X  BQ.— 

«"-**".  Or  (  Art.  102.  )  l'efpace  de  la  roulette 

MGBA  =  2-îii\BEZA=24^xEKB 

b  o 

_*_  rl±i£  x  KEZA  C  —  \  Si  donc  l'on  retranche 
le  précédent  efpace  de  celui-ci ,  il  reftera  ABEM 

laau  -+-  T,abu  -4-  bbu  —  [^         2a  H-  ^b    v    p  ]T  jJ 
2i  b 

___  2£-j-3_  g  j^g  ^  puifque  par  la  conftruction  m 

b 

—  iaa  +  3<3&  ■+■  &&.  D'où  l'on  voit  que  cet  ef- 
pace a  fa  quadrature  indépendante  de  celle  du 
cercle  ,  &  qu'il  eft  le  feul  parmi  tous  fes  fem- 
blabîes. 

En  voici  encore  un  autre  qui  a  la  même  pro- 
priété. Si  l'on  retranche  de  Telpace  ABEM  le 
fegment  B  E  Z  A  (  \au  -+-  E  K  B\  )  il  reftera  l'ef- 

.   „._  „,  2aau-*-2abu-i-bbii — ?7U         2a  -+-  2b 

pace  AZE  M  = —& ^r  -+- — ~b — 

E  K  B  =  2_1±£_3  E  K  B  en  faifant  ^  =  zaa+zab 

b 

■+■  bb  :  c'eft-à-dire  ,  que  fi  l'on  divife  la  demi-cir- 
conférence en  deux  également  au  point  E  ,  l'ef- 


ï40  Analyse 

pace  AZEM  fera  au  double  du  triangle  EKB , 

e'eft- à-dire  ,  au  quarré  du  rayon  :  :  O  K  (a-i-b  )  . 

OB(£). 

Corollaire    IV. 

104.S  1  le  cercle  mobile  A  E  B  (  Fig.  88.  PL  5.) 
roule  au  dedans  de  l'immobile  BGD,  fon  dia- 
mètre AB  devient  négatif ,  de  pofitif  qu'il  étoit 
auparavant  ;  &  partant  il  faut  changer  de  li- 
gnes les  termes  où  il  fe  rencontre  avec  une  di-r 
menfion  impaire.  D'où  il  fuit,  i°.  Que  fi  l'on 
mené  à  difcrétion  la  perpendiculaire  M  G  à  la 
roulette  ,  &  que  l'on  tafle  OA  (b  —  2«).OB 
(b)  :  :  M  G  .  G  G  .  le  point  C  fera  (  Art.  100.)  à 
îa  développée  DÇN  décrite  par  la  révolution 
du  cercle  qui  a  pour  diamètre  BN  ,  au  dedans 
de  la  circonférence  N  S  concentrique  à  B  D. 
20.  Que  fi  Ton  décrit  du  centre  O,  l'arc  M  E  , 
la  portion  de  roulette  A  M.  fera  {Art.  101.  )  à  la 
corde  AE  :  :  il—iaù.  y.  Que  l'efpace  MGB  A 
eft  {Art.  102.)  au  fegment  BEZA  :  :  ^b — za.b, 
40.  Que  fi  l'on  prend  OQ  =  l/2aa  —  $ab-+- bb , 
ceft-à-dire  ,  moyenne  proportionnelle  entre  OK, 
OA  ;  l'efpace  ABEM  renfermé  par  la  portion  de 
roulette  A  M  ,  l'arc  ME  ,  la  corde  EB ,  &  le  dia- 
mètre AB,  fera  (  Art.  103.  )  au  triangle 
EKB:  :  yj—ia.b.  Mais  que  fi  l'on  fait  OQ_ou 
OE  =  yJiaa.  —  iab  -+-  bb  ,  c'eft-à-dire  ,  que  l'arc 
A  E  foit  le  quart  de  la  circonférence  ;  l'efpace 
AZEM  renfermé  par  la  portion  A  M  de  roulette 
&  par  les  deux  arcs  ME,  A  E  ,  fera  (  Ibid.  )  au 


des  Infiniment  Petits.  141 
triangle  EKB  qui  eft  en  ce  cas  la  moitié  du 
quarré  du  rayon  :  :  2b  —  2a  .  b. 

Corollaire   V. 

I05-  S l  l'on  conç0*1  <lue  Ie  rayon  OB  (  F/g.  86". 
PL  s.  )  du  cercle  immobile  devienne  infini,  l'arc 
B  G  D  deviendra  une  ligne  droite ,  &  la  courbe 
AMD  deviendra  la  roulette  ordinaire.  Or  com- 
me dans  ce  cas  le  diamètre  A  B  du  cercle  mo- 
bile eft  nul  par  rapport  à  celui  de  l'immobile  ;  il 
s'enfuit  ,  i°.  Que  MG.GC::i.i.  Puifque 
b±2a  —  b,  c'eft-à-dire,  que  M  G  ==  G  C  ;  & 
partant  que  fi  1  on  prend  BN  =  AB,  &  qu'on 
mené  la  droite  NS  parallèle  à  BD  ,  la  développée 
D  C  N  fera  formée  par  la  révolution  du  cercle  , 
qui  a  pour  diamètre  BN  ,  fur  la  baie  NS.  20.  Que 
la  portion  de  roulette  A  M  (F/g.  85.  88.  PL  5.; 
eft  à  la  corde  correfpondante  AE  :  :  2b  .  b.  30.  Que 
1  efpace  M  G  B  A  eft  au  fegment  B  E  Z  A  :  :  5£  .  b. 
4°.  Puifque  BQ  (F/g.  87.  88.  PL  5.)  ou  ±  OQ 
q:  OB  ,  que  j'appeile  x  ,  eft  =  ~+bîi\/ 'zaa±^ab-^-bbt 
d'où  l'on  tire  (  en  ôtant  les  incommenfurables  ) 
xx  ±  2bx  =  2aa  ±$ab  ;  l'on  aura  x  =  \a  3  en  ef- 
façant les  termes  où  b  ne  fe  rencontre  point  , 
parce  qu'ils  font  nuls  par  rapport  aux  autres.  C'eft- 
à-dire  ,  que  fi  l'on  prend  dans  la  roulette  ordi- 
naire BP=  |  AB  ,  &  qu'on  mené  la  droite  PEM 
(F/g.  83.  PL  5.)  parallèle  à  la  bafe  BD  ;  l'ef- 
pacc  AMEB  fera  triple  du  triangle  EKB.  On 
trouvera  en  opérant  de  la  même  manière  ,  que  fi 
le  point  P  tombe  au  centre.  K  3  l'efpace  A  Z  E  M 


i^a  Analyse 

renfermé  par  la  portion  de  roulette  A  M  ,  la 
droite  ME,  &  lare  AE  ,  fera  égal  au  quarré 
du  rayon.  Ce  que  l'on  a  déjà  démontré  ci- 
devant  art-  y?- 

Remarque. 

io6.CoMMElesarcsnG,GM(F%  84.  PL  5.) 
font  toujours  égaux  entr'eux ,  il  s'enfuit  que  l'an- 
gle DOG  eft  auffi  toujours  à  l'angle  G  K  M  :  :  G  K  . 
OGC'eft  pourquoi  l'origine  D  de  la  roulette  DMA, 
les  rayons  OG  ,  G  K  des  cercles  générateurs,  Se 
le  point  touchant  G  étant  donnés  ,  fi  l'on  veut 
déterminer  dans  cette  pofition  le  point  M  qui  dé- 
crit la  roulette,  il  ne  faut  que  tirer  le  rayon 
KM ,  en'brte  que  l'angle  GK  VI  lbit  à  l'angle  donné 
DOG::OG.  GK.  Or  je  dis  maintenant  que 
cela  fe  peut  toujours  faire  géométriquement ,  lorf- 
que  le  rapport  de  ces  rayons  fe  peut  exprimer  par 
nombres  ;  &  partant  que  la  roulette  DMA  eft 
alors  géométrique. 

Car  fuppofant ,  par  exemple  ,  que  OG  .  GK  :  : 
13.  5  •  il  eft  clair  que  l'angle  M  K  G  doit  conte- 
nir deux  fois  l'angle  donné  DOG,  &  de  plus  \  de 
cet  angle.  Toute  difficulté  fe  réduit  donc  à  di- 
vifer  l'angle  DOG  en  cinq  parties  égales.  Or 
c'efi  une  chofe  connue  par  les  Géomètres,  qu'on 
peut  toujours  divifer  géométriquement  un  angle 
ou  un  arc  donné  en  tant  de  parties  égales  qu'on 
voudra;  puifqu'on  arrive  toujours  à  quelque  équa- 
tion qui  ne  renferme  que  des  lignes  droites. 
Donc.,  &c 


DES   ÎNF  I  N  I  M  ENT   P  ETI  TS.  143 

je  db  de  plus  que  la  roulette  DMA  eft  mé- 
canique ,  ou  ce  qui  eft  la  même  chofe  ,  qu'on 
ne  peut  déterminer  géométriquement  fes  points 
M  ,  lorique  la  raifon  de  OG  à  K  G  ne  le  peut  ex- 
primer par  nombres,  c'eft-à- dire  ,  lorfqu'elle 
eft  lourde 

Car  (F/g.  89.  PI.  5.)  toute  ligne,  foit  méca- 
nique ioit  géométrique  ,  ou  rentre  en  elle-même 
ou  s'étend  à  l'infini  ;  puifqu'on  peut  toujours  en 
continuer  la  génération.  Si  donc  le  cercle  mobile 
ABC  décrit  par  fon  point  A  dans  la  première 
révolution  la  roulette  ADE,  cette  roulette  ne 
fera  pas  encore  finie  ,  &  continuant  toujours  de 
rouler  il  décrira  la  féconde  EFG  ,  puis  la  troi- 
fiéme  GHI,  &  ainfï  de  fuite  jufqu'à  ce  que  le 
point  décrivant  A  retombe  après  plufieurs  révo- 
lutions dans  le  même  point  d'où  il  étoit  parti.  Et 
pour  lors  11  on  recommence  à  faire  rouler  le  cercle 
mobile  ABC,  il  décrira  derechef  la  même  ligne 
courbe  ,  de  forte  que  toutes  ces  roulettes  pri— 
fes  enfemble  ne  compofent  qu'une  feule  courbe 
A  D  E  F  G  H  I ,  &c.  Or  les  rayons  des  cercles 
générateurs  étant  incommenfurables  ,  leurs  cir- 
conférences le  feront  auffi  }*  &  par  conféquent  le 
point  décrivant  A  du  cercle  mobile  A  B  C  ne 
pourra  jamais  retomber  dans  le  point  A  de  l'im- 
mobile ,  doù  il  étoit  parti ,  fi  grand  que  puilTe 
être  le  nombre  des  révolutions.  Il  y  aura  donc 
une  infinité  de  roulettes  qui  ne  formeront  cepen- 
dans  qu'une  même  ligne  courbe  ADEFGHI, 
&c.  Maintenant  fi  l'on  mené  au  travers  du  cercle 


144  Analyse 

immobile  une  ligne  droite  indéfinie  ,  il  eft  clair 
qu'elle  coupera  la  courbe  continuée  à  l'infini  en 
une  infinité  de  points.  Or  comme  l'équation  qui 
exprime  la  nature  d'une  ligne  géométrique  doit 
avoir  au  moins  autant  de  dimenlions  que  cette  li- 
gne peut  être  coupée  en  de  différens  points  par  une 
droite  ;  il  s'eniuit  que  l'équation  qui  exprimeroit 
la  nature  de  cette  courbe  auroit  une  infinité  de 
dimenfions.  Ce  qui  ne  pouvant  être  ,  on  voit 
évidemment  que  la  courbe  doit  être  mécanique 
ou  tranfcendente. 

PROPOSITION   III. 

Problème. 

107.  L  a  ligne  courbe  BFC  (F/g.  90.  PI.  5.) 
étant  donnée  ,  trouver  une  infinité  de  lignes  A  M  , 
BN  ,  frtO ,  dont  elle  fait  la  développée  commune. 
Si  l'on  développe  la  courbe  B  F  G  en  commen- 
çant par  le  point  A  ,  il  eft  clair  que  tous  les 
points  A  ,  B  ,  F,  du  fil  A  BFC  décriront  dans 
ce  mouvement  des  lignes  courbes  AM,BN, 
FO,  qui  auront  toutes  pour  développée  com- 
mune la  courbe  donnée  BF  C.  Mais  il  faut  obfer- 
ver  que  la  ligne  F  O  n'ayant  pour  développée  que 
la  partie  F  C  ,  fon  origine  n'eft  pas  en  F  ;  &  que 
pour  la  trouver  ,  il  faut  développer  la  partie  ref- 
tante  B  F ,  en  commençant  au  point  F  ,  pour  dé- 
crire la  portion  E  F  de  la  courbe  E  F  O  dont  l'o- 
rigine eft  en  E  5  &  qui  a  pour  développée  la  courbe 

entière  B  F  C. 

Si 


des  Infiniment  Petits.  145 
Si  l'on  veut  trouver  les  points  M  ,  N ,  O  fans 
fe  fervir  du  fil  A  B  F  C  ,  il  n'y  a  qu'à  prendre  fur 
une  tangente  quelconque  C  M  ,  autre  que  B  A 
les  parties  CM  ,  CN  ,  CO  égales  à  ABFc! 
BFC.FC 

Corollaire. 

108.  Il  eft  évident,  1  °.  Que  les  courbes  A  M  , 
BN  ,  EFO  font  d'une  nature  très-différente 
entr'elles  ;  puifque  la  courbe  A  M  a  dans  fou 
iommet  A  le  rayon  de  fa  développée  égal  à  AB , 
au  lieu  que  celui  de  la  courbe  B  N  eft  nul.  il  eft 
vifible  aufli  par  la  figure  même  de  la  courbe  EFO 
qu'elle  eft  très  différente  des  courbes  A  M  ,  BIST. 
20.  Q_ue  les  courbes  A  M,  BN,  EFO  ne 
font  géométriques  que  lorfque  la  donnée  BFC 
eft  géométrique  &  de  plus  reftifiable.  Car  fi  elle 
n'eftpas  géométrique,  en  prenant  BK  pour  la 
coupée  ,  on  ne  trouvera  point  géométriquement 
l'appliquée  KC:&  û  elle  n'eft  pas  redifiable  , 
ayant  mené  la  tangente  C  M  ,  on  ne  pourra  dé~ 
terminer  géométriquement  les  points  M  ,  N  ,  O 
des  courbes  A  M,  BN,  EFO  ;  puif  qu'on  ne 
peut  trouver  géométriquement  des  lignes  droites 
égales  à  la  ligne  courbe  BFC,  &  à  fes  portions 
BF,FC. 

Remarque. 

109.01   l'on  développe  une  ligne  courbe  BAC 

(Fig.  91.  PL  5.  )  qui  ait  un  point  d'inflexion  en 

A  ,  en  commençant  par  le  point  D  ,  autre  que  le 

point  d'inflexion  ;  on  formera  par  le  développe- 

K 


146  Analyse 

ment  de  la  partie  B  A  D  la  partie  DEF;  &  par 
celui  de  la  partie  DC,  la  partie  reliante  D  G  : 
de  forte  que  F  E  D  G  iera  la  courbe  entière  for- 
mée par  le  enveloppement  de  BAC.  Or  il  eft  vi- 
fible  que  cette  courbe  rebroufle  chemin  aux  points 
D  &  E  ,  avec  cette  différence  qu'au  point  de  re- 
broufTement  D  les  parties  DE,  DG  ont  leur 
convexité  oppofée  l'une  à  l'autre  ;  au  lieu  qu'au 
point  E  les  parties  DE,  EF  font  concaves  vers 
le  même  côté.  On  a  enfeigné  dans  la  fection  pré- 
cédente à  trouver  les  points  de  rebroufiement  tels 
que  D  :  il  eft  quellion  maintenant  de  déterminer 
les  points  E ,  qu'on  peut  appeller  points  de  re- 
broufiement de  la  féconde  forte  ,  &  que  perfonne, 
que  je  fçache  ,  n'a  encore  confîdcré. 

Pour  en  venir  à  bout,  on  mènera  à  diferétion  fur 
la  partie  DE  deux  perpendiculaires  MN,  mn , 
terminées  par  la  développée  aux  points  N ,  n  ,  par 
lelquels  on  tirera  deux  autres  perpendiculaires 
NH,kH  fur  les  premières  NM,n?»;ce  qui  for- 
mera deux  petits  feéleurs  MNw ,  NH«  qui  leront 
femblables,  puifque  les  angles  MN»!,NHb  font 
égaux.  On  aura  donc  Na:Mw::  NH  .  NM.  Or 
dans  le  point  d'inflexion  A  le  rayon  N  H  devient 
{Art.  81.)  infini  ou  zéro  ;  &  le  rayon  MN  ,  qui 
devient  AE  ,  demeure  d'une  grandeur  finie.  Il  faut 
donc  qu'au  point  de  rebroufiement  E  de  la  féconde 
iorte  ,  la  raiion  de  la  différence  Nw  du  rayon  IViN 
ite  ta  développée ,  à  ladifFérence  M  m  de  la  cour- 
lie  ,  devienne  ou  infiniment  grande  ou  infiniment 
petite.    Et   partant   puiique   (  Art.  86.  )    N» 


des  Infiniment   Petîts-         147 

t 


._. — ^dxdyddy'Ldx'L-Jt-dy'L  *-*-dxdddydxz-+-dy:L  x  ^  &  J^^ 

</y *  dddy-+-dyzdddy—1  dyddy  % 


=\/dxl+dyt  l'on  aura /xddy* 

=:oou  00  ;  &  multipliant  par  dxddy* ,  on  tfoU- 
vera  la  formule  dxzdddy  •+-  dy*dddy  —  ^dyddy1 
rroou  00  ,  qui  iervira  à  déterminer  les  points 
de  rebrouffement  de  la  féconde  forte. 

On  peut  encore  concevoir  qu'une  rebrouffantè 
DEF  (  F/g.  92.  93.  PL  5.)  ouHDEFGde  la 
féconde  forte  ,  ait  pour  développée  une  autre 
rebrouffantè  BAC  de  la  féconde  forte  ,  telle  que 
fon  point  de  rebrouffement  A  réponde  au  point 
de  rebrouffement  E  ,  c'eft-à-dire  ,  qu'il  foit  fitué 
fur  le  rayon  de  la  développée  qui  part  du  point  E* 
Or  il  eft  clair  dans  cette  fuppofition  >  que  lô 
rayon  E  A  de  la  développée  fera  toujours  un  plus 
petit  ou  un  plus  grand  ;  &  partant  que  la  diffé- 


) 


rence  de  dx^-^dy1-1  expreffion  générale  {Art.  78.) 

— dxddy 

des  rayons  de  la  développée ,  doit  être  nulle  ou 
infinie  au  point  cherché  E  ;  ce  qui  donne  la 
même  formule  qu'auparavant  :  de  forte  qu'elle 
eft  générale  pour  trouver  les  points  de  rebrouffe- 
ment de  la  féconde  forte.  (  Confulte\  pour  toute 
cette  Seftion  la  Note  cinquantième. 


Ks 


148  Analyse 


SECTION     VI. 

Ufage  du  calcul  des  différences  pour   trouver  les 
Caujliques  par  réflexion. 

DÉFINITION. 

SI  l'on  conçoit  qu'une  infinité  de  rayons  B  A  , 
BM}  BD,  (F/g.  94.  95.  PI.  5.)  qui  par- 
tent d'un  point  lumineux  B  ,  fe  réfléchifient  à  la 
rencontre  d'une  ligne  courbe  AMD,  enforte 
que  les  angles  de  réflexion  loient  égaux  aux  an- 
gles d'incidence  ;  la  ligne  HFN,  que  touchent 
les  rayons  réfléchis  ou  leur  prolongement  A  H  , 
MF,  DN,  eft  appellée  Cauftique  par  réflexion. 

Corollaire   1. 

t  1  o  S  1  l'on  prolonge  H  A  en  I ,  (  F/g.  94.  PI.  5 .  ) 
de  forte  que  À I  =  A  B  ,  &  que  l'on  développe 
la  cauftique  HFN  en  commençant  au  point  I  ; 
on  décrira  la  courbe  IL  K  ,  telle  que  la  tangente 
FL  fera  (Art.  75.)  continuellement  égale  à  la  por- 
tion F  H  de  la  cauftique ,  plus  à  la  droite  H I.  Et 
fi  l'on  conçoit  deux  rayons  incident  &  réfléchi 
Bm  ,  mV  infiniment  près  de  BM,  MF,  ôc 
qu'ayant  prolongé  V  m  en  / ,  on  décrive  des  cen- 
tres F  ,  B  les  petits  arcs  MO,  M  R  :  on  formera 
les  petits  triangles  rectangles  MO/?/,  MRw, 
qui  feront  femblables  &  égaux  ;  car  puilque  l'an- 
gle  OmM  =  FȔD  =  R./3M  ,  &  que  de  plus 
i'hypotenule  Mm  eft  commune  ,  les  petits  côtés 


des  Infiniment  Petits.  149 
Om  ,  Km  feront  égaux  entr'eux.  Or  puifque 
Om  eft  la  différence  de  LM,  &Rw  celle  de 
BM,  &  que  cela  arrive  toujours  en  quelque  en- 
droit qu'on  prenne  le  point  M  ;  il  s'enfuit  que 
M  L  —  I  A  ou  A  H  +  H  F  —  MF  fomme  (  Art. 
96.  )  de  toutes  les  différences  Om  dans  la  por- 
tion de  courbe  A  M ,  eft  —  B  M  —  B  \  fom- 
me (  Art.  96.  )  de  toutes  les  différences  Km  dans 
la  même  portion  A  M.  Donc  la  portion  H  F  de 
la  cauftique  HFN  fera  égale  à  BM  —  BA 
H- MF- AH. 

Il  peut  arriver  diffcrens  cas ,  félon  que  le  ra- 
yon incident  B  A  eft  plus  grand  ou  moindre  que 
BM,  &  que  le  réfléchi  A  H  développe  ou  en- 
veloppe la  portion  H  F  pour  parvenir  en  MF: 
mais  l'on  prouvera  toujours ,  comme  l'on  vient 
de  faire ,  que  la  différence  des  rayons  incidens 
eft  égale  à  la  différence  des  rayons  réfléchi;. ,  en 
joignant  à  l'un  d'eux  la  portion  de  la  cauftique 
qu'il  développe  ,  avant  que  de  tomber  fur  l'autre. 
Par  exemple,  BM  — BA  (Fig.  95.  PI.  5.)=^ 
MF  +  FH-AH;  d'où  Ion  tire  FH  =  BM 
—  BA+AH-  MF. 

Si  l'on  décrit  du  centre  B  l'arc  de  cercle  Ap  ; 
(  Fig.  94.  95.  Pi.  5.)  il  eft  clair  que  pM  fera  la 
différence  des  rayons  incidens  BM,  BA.  Et  fi 
l'on  fuppofe  que  le  point  lumineux  B  devienne 
infiniment  éloigné  de  la  courbe  AMD-  {Fig. 
96.  PL  5.)  les  rayons  incidens  BA,  BM  de- 
viendront parallèles  ,  &  l'arc  A  P  deviendra  une 
ligne  droite  perpendiculaire  fur  ces  rayons. 

K3 


jço  Analyse 

Corollaire.    II. 

in.  Si  l'on,  conçoit  que  la  figure  B  A  M  D  (  F/g. 
94.  PL  5.  )foit  renverfée  fur  le  même  plan  ,  en- 
forte  que  le  point  B  tombe  fur  le  point  I ,  & 
qu'ajnfi  la  tangente  en  A  de  la  courbe  AMD 
dans  fa  première  fituation  ,  la  touche  encore 
4ans  cette  nouvelle  ;  &  qu'on  fane  rouler  la  courbe 
4M 4  fur  AMD,  c'eft-à-dire  ,  fur  elle-même, 
çnforte  que  les  portions  «M,  AM  foient  tou- 
jours égales  :  je  dis  le  point  B  décrira  dans  ce 
mouvement  une  efpece  de  roulette  ILK  qui  aura 
pour  développée  la  cauftique  H  F  N. 

Car  il  fuit  de  la  génération  ,  i°.  Que  la  ligne 
\jJÀ  tirée  du  point  décrivant  L  au  point  touchant 
$1  fera  ( /4r/.  43.)  perpendiculaire  à  la  courbe 
lt%  20.  Que  La  ou  IA  =  BA  ,  &  LM=r 
g  M  3°.  Que  les  angles  faits  par  les  droites  M  L  , 
BM.  fur  la  tangente  commune  en  M  font  égaux  ; 
&  partant  que  fi  l'on  prolonge  L  M  en  F  ,  le  ra- 
yon M  F  fera  le  réfléchi  de  l'incident  B  M.  D'où 
î'pnvoit  que  la  perpendiculaire  LF  touche  la 
cauftique  HFN  :&  comme  cela  arrive  toujours 
en  quelque  endroit  qu'on  prenne  le  point  L  ,  il 
g'enfuit  que  la  courbe  1 L  K  eft  formée  par  le  dé- 
veloppement de  la  cauftique  HFN,  plus  la 
droite  H I. 

Il  fuit  de  ceci  que  la  portion  F  H  ou  F  L  — 
Hî  =  BM-»-MF  —  B  A—  AH.  Ce  que  l'on 
yjenç  de  démontrer  d'une  autre  manière  dans  le 
Corollaire  précédent, 


des  Infiniment  Petits.         151 

Corollaire    II  T. 

1 1 2.  S  1  la  tangente  D  N  devient  infiniment  pro- 
che de  la  tangente  F  M  ;  il  eft  clair  que  le  point 
touchant  N  ,  &  celui  d'interfedlion  V  le  confon- 
dront avec  l'autre  point  touchant  F  :  de  forte 
que  pour  trouver  le  point  F  où  le  rayon  réfléchi 
MF  touche  la  cauftique  HFN  ,  il  ne  faut  que 
chercher  le  point  de  concours  des  rayons  réfléchis 
infiniment  proches  M  F  ,  m  F.  Et  en  effet  ,  fi 
l'on  imagine  une  infinité  de  rayons  d'incidence 
infiniment  proches  les  uns  des  autre?  ,  on  verra 
naître  par  les  interjections  des  réfléchis  un  poli- 
gone  d'une  infinité  de  côtés  dont  l'afTembiage 
compofera  la  cauftique  HFN. 

PROPOSITION     I. 

Problème  Général. 

1 1  5  •  1_j  a  nature  de  la  courbe  AMD,  (  F/g. 
yj.  PL  5 .  )  le  point  lumineux  B  ,  &  le  rayon 
incident  B  M  étant  donnés  •  trouver  fur  le  réfléchi 
MF  donné  de  pofition  ,  le  point  F  ou  il  touche  la 
cauflique. 

Ayant  trouvé  par  la  fection  précédente  la  lon- 
gueur MC  du  rayon  de  la  développée  au  point 
M  ,  &  pris  l'arc  M  m  infiniment  petit ,  on  tirera 
les  droites  Bw  ,  Cm ,  F  m  ;  on  décrira  des 
centres  B  ,  F  les  petits  arcs  M  R  ,  MO  ;  on  mè- 
nera les  perpendiculaires  CE,  Ce,  CG,  Cg 
fur  les  rayons  incidens  &  réfléchis  ;  enluite  on 
nommera  les  données  BM,;;  M  £  ou  M  G ,  a. 

K4 


jçî  Analyse 

Cela  pofé ,  on  prouvera ,  comme  dans  le  Co- 
rollaire premier  (Art.  1 10.  )  ,  que  les  triangles 
M  R  w  ,  MO»  font  femblables  &  égaux  ;  & 
qu  ainfi  M  R  =  M  O.  Or  à  caufe  de  l'égalité  des 
angles  d  incidence  &  de  réflexion,  l'on  a  aufïi 
CE=CG,  Ce=Cg;  &  partant  CE  —  Ce  ou 
£  q  ■==  C  G—  Gg  ou  S  G.  Donc  à  caufe  des  trian- 
gles femblables  BMR  &  BEQ  ,  FMO  &  FGS , 
l'on  aura  BM  +  BE  (  2j/  _«  )  .  B  M  (j>)::  M  R 
+  E  Cl  ou  M  O  -+-  G  S  .  MR  ou  M  O  :  :  M  G  (a). 

%y — a 

Si  le  point  lumineux  B  tomboit  de  l'autre  côté 
du  point  E  par  rapport  au  point  M  ,  ou  (  ce  qui 
eft  la  même  chofe  )  fi  la  courbe  AMD  étoit 
convexe  vers  le  point  lumineux  B  ;  y  deviendroit 
négative  de  pofitive  qu'elle  étoit  ,  6c  1  on  auroit 

par  conféquent  MF  =  — ^—  ou  -Ç--. 

f"  *  — iy — a        2y-+-a 

Si  l'on  fuppofe  que  y  devienne  infinie  ,  c'eft-à- 
dire  ,.  que  le  point  B  (  Fig.  96.  PL  5.  )  foit  infi- 
niment éloigné  de  la  courbe  AMD;  les  rayons 
jncidens  feront  parallèles  entr'eux  ,  &  l'on  aura 
MF  =fp  \a  ,  parce  que  a  eft  nulle  par  rapport  à  iy. 

Corollaire      I. 

ÏI4.ÇJ0MME  l'on  ne  trouve  pour  MF  (Fig. 
94.  95.  PL  5.  )  qu'une  feule  valeur  dans  laquelle 
entre  le  rayon  de  la  développée  ;  il  s'enfuit 
qu'une  ligne  courbe  A  M  D  ne  peut  avoir  qu'une 
feule  cauftique  HFN  par  réflexion  ,  puiiqu'elle 
(  Art»  80.  )  n'a  qu'une  feule  développée. 


des  Infiniment  Petits.        153 

Corollaire.    II. 

115.L0RSQUE  AMD  (F/g.  97.  VI.  5.)  eft 
géométrique  ,  il  eft  clair  (  Art  85.  )  que  la  dé- 
veloppée l'eft  auffi ,  c'eft-à-dire ,  que  l'on  trouve 
géométriquement  tous  les  points  C  D'où  il  fuit 
que  tous  les  points  F  de  fa  cauftique  feront  auffi 
déterminés  géométriquement ,  c'eft-à-dire  ,  que 
la  cauftique  H  F  N  {  Fig.  94.  95.)  fera  géomé- 
trique. Mais  je  dis  de  plus ,  que  cette  cauftique 
fera  toujours  rectifiable  ;  pufqu'il  eft  évident  (Art. 
1 10.  que  l'on  peut  trouver  avec  le  fecours  de  la 
courbe  AMD,  qu'on  fuppofe  géométrique , 
des  lignes  droites  égales  à  une  de  fes  portions 
quelconques. 

Corollaire       III. 

11  6. Si  la  courbe  AMD  (F/g.  97.  PL  5.)  eft 
convexe  vers  le  point  lumineux  B  ;  la  valeur  de 

M  F  (  -^- — )  fera  toujours  pofitive  ;  &  il  fau- 
dra prendre  par  conféquent  le  point  F  du  côté 
du  point  C,  par  rapport  au  point  M  ,  comme  l'on 
a  fuppofé  en  faifant  le  calcul.  D'où  l'on  voit  que 
les  rayons  réfléchis  infiniment  proches  feront  di- 
vergens. 

Mais  fi  la  courbe  AMD  eft  concave  vers  le 

point  lumineux  B,   la  valeur  de  MF  (-—■ — ) 

fera  pofitive  lorfque  y  furpafle  {a  ,  négative  lorf- 
qu'il  eft  moindre  ,  &  infinie  loriqu'il  eft  égal. 
D'où  il  fuit  que  fi  l'on  décrit  un  cercle  qui  ait 


154  Analyse 

pour  diamètre  la  moitié  du  rayon  MC  de  la 
développée  ,  les  rayons  réfléchis  infiniment  pro- 
ches feront  convergens  lorfque  le  point  lumi- 
neux B  tombe  au  dehors  de  fa  circonférence , 
divergens  lorfqu'il  tombe  au  dedans  }  &  enfin 
parallèles  lorfqu'il  tombe  deflus. 

Corollaire    IV. 

1 17.  S  i  le  rayon  incident  BM  touche  la  courbe 
A  M  D  au  point  M  ,  l'on  aura  M  E  (  «  )  ==  0  ; 
&  partant  MF  =  o,  Or  comme  le  rayon  réfléchi 
eft  alors  dans  la  direction  de  l'incident ,  &  que 
la  nature  de  la  cauftique  confifte  a.  toucher  tous 
les  rayons  réfléchis;  il  s'enfuit  qu'elle  touchera 
auffi  le  rayon  incident  B  M  au  point  M  :  c'eft  à-  | 
dire  ,  que  la  cauftique  8c  la  donnée  auront  la 
même  tangente  dans  le  point  M  qui  leur  fera 
commun. 

Si  le  rayon  M C  de  la  développée  eft  nul,  on 
aura  encore  ME(a)=o  i  &  partant  M  F  —  0. 
D'où  l'on  voit  que  la  donnée  &  la  cauftique  font 
entr'elles  dans  le  point  M  qui  leur  eft  commun  , 
un  ang'e  égal  à  l'angle  d'incidence. 

Si  le  rayon  CM  delà  développée  eft  infini,  le 
petit  arc  M?«  deviendra  une  ligne  droite,  & 
l'on  aura  MF  =  +  }'  ;  puifque  M  E  (a  )  étant 
infinie  ,  y  fera  nul  par  rapport  à  a  Or  comme 
cette  valeur  eft  négative  lorlque  le  point  B  tombe 
du  côté  du  point  C  par  rapport  à  la  ligne  AMD, 
&  pofitive  lorfqu'il  tombe  du  cote  oppofé  ;  il 
s'enfuit  que  les  rayons  réfléchis  infiniment  pro- 


des  Infiniment  Petits.  155 
ches  feront  toujours  divergens  lorfque  ia  ligne 
A  M  D  eft  droite. 

Corollaire     V. 

,  1 1 8. 1  l  eft  évident  que  deux  quelconques  des 
I  trois  points  B  ,  C ,  F ,  étant  donnés  ,  on  trou- 
vera  facilement  le  troifieme. 

Soit ,  i°  ,  la  courbe  A  M  D  (  F/g.  98.  PL   y  ) 
une  parabole  qui  ait  pour  foyer  le  point  lumineux 
B.  H  eft  clair  par  les  élémens  des  fe&ions  coni- 
ques ,  que  tous  les  rayons  réfléchis  feront  paral- 
lèles à  l'axe  ;  &  partant  que  M  F   fera  toujours 
infinie  en  quelque  endroit  que   l'on  fuppofe    le 
point   M.  On  aura  donc  az=2_y  :  d'où  il  fuit 
que  fi  l'on  prend  M  E   double  de  M  B  ,  qu'on 
mené  la  perpendiculaire  EC  ,•  elle    ira    couper 
MC  perpendiculaire  à  la  courbe  AMD  ,  en  un 
point  C  qui  fera  à  la  développée  de  cette  courbe. 
Soit  ,2°,  k  courbe  A  M  D  (  Fig.  99.  PI.  5.  ) 
l  une  ellipfe  qui  ait  pour  un  de  fes  foyers  le  point 
i  lumineux  B.  Il  eft  encore  clair  que  tous  les  rayons 
•réfléchis  MF  fe   rencontreront  dans  un  même 
point  F  qui  fera  l'autre  foyer.  Et  fi  l'on  nomme 

MF  ,  ^  ;  l'on  aura  (Art.  113.)^  =  ~^  i  d'où 

l'on  tire  la  cherchée  ME  (a)=^1L.    Mais    fi 

;  la  courbe  AMD  eft  une  hyperbole  ,  le  foyer  F 
tombera  de  l'autre  côté  ;  &  partant  M  F  {%)  de- 
viendra négative  :  d'où  il  fuit  qu'on  aura  alors 

ME  (a)  =  ~^^-  ou  -^-.  Ce  qui  donne  cette 

•         y  —  i      i—y 
conftrudlion  qui  fert  aufii  pour  l'ellipfe, 


156  Analyse 

Soit  prife  M  E  (  F/g.  99.  PL  5.  F/g.  1 00.  PL  6.  ) 
quatrième  proportionnelle  au  demi-axe  traver- 
fant ,  &  aux  rayons  incident  5c  réfléchi  ;  foit 
menée  la  perpendiculaire  EC  :  elle  ira  couper 
la  ligne  M  C  perpendiculaire  à  la  fedtion  ,  en  un 
point  C  qui  fera  à  la  développée- 

Exemple    I. 

1 1 9.  S  o  1  t  la  courbe  A  M  D  (  F/g.  1  o  1 .  PL  6.  ) 
une  parabole  ,  dont  les  rayons  incidens  P  M. 
foient  perpendiculaires  fur  fon  axe  A  P.  Il  faut 
trouver  fur  les  réfléchis  M  F  les  points  F  où  ils 
touchent  la  cauftique  AFK. 

Il  eft  clair  que  fi  l'on  mené  le  rayon  MC  de 
la  développée  ,  &  qu'on  tire  la  perpendiculaire 
C  G  fur  le  rayon  réfléchi  M  F',  il  faudra  (  Art. 
11  3.)  prendre  M  F  égale  à  la  moitié  de  M  G. 
IVlais  cette  conftru&ion  fe  peut  abréger ,  en  con- 
fiderant  que  fi  l'on  mené  MN  parallèle  à  l'axe 
A  P  ,  &  la  droite  M  L  au  foyer  L  ;  les  angles 
LMP,  F  M  N  feront  égaux  ,  puifque  par  la 
propriété  de  !a  parabole  LMQ  =  QMN,  & 
par  la  fuppofmon  P  M  Q.=  Q.MF.  Si  donc  l'on 
ajoute  de  part  &  d'autre  le  même  angle  P  M  F  , 
l'angle  L  M  F  fera  égal  à  l'angle  P  M  N  ,  c'eft- 
à-dire  ,  droit.  Or  l'on  vient  de  démontrer  (  Art. 
1  18.  num.  1.)  que  LH  perpendiculaire  fur  M  L 
rencontre  le  rayon  M  C  de  la  développée  en  fon 
milieu  H.  Si  donc  l'on  mené  M  F  parallèle  Se 
égale  à  LH,  elle  fera  un  des  rayons  réfléchis, 
6c  touchera  en  F  la  cauftique  AFK.  Ce  qu'il 
faîloit  trouver. 


DES     I  N  F  I  N  I  M  E  N  T   P  E  T  I  T  S  157 

Si  l'on  fuppofe  que  le  rayon  réfléchi  M  F  foit 
parallèle  à  l'axe  A  P ,  il  eft  évident  que  le  point  F 
de  la  cauftique  fera  le  plus  éloigné  qu'il  eft  poffi- 
ble  de  l'axe  A  P  ,  puifque  la  tangente  en  ce 
point  fera  parallèle  à  l'axe.  Afin  donc  de  déter- 
miner ce  point  dans  toutes  les  cauftiques  ,  telles 
que  AFK,  formées  par  des  rayons  incidens  per- 
pendiculaires à  l'axe  de  la  courbe  donnée  ,  il  n'y 
a  qu'à  confidérer  que  M  P  doit  être  alors  égale  à 
PQ..  Ce  qui  donne  Hy=zdx.  Soit  ax=zyy  ,  on  aura 

d  adx  =  d>QÙ    j,on    t.re   A  p    ^  _  ,     . 

2-Yâx 

c'efl-à-dire  ,  que  fi  le  point  P  tombe  au  foyer  L , 
le  rayon  réfléchi  MF  fera  parallèle  à  l'axe.  Ce 
qui  eft  d'ailleurs  vifible  ;  puifque  dans  ce  cas  MP 
fe  confondant  avec  LM  ,  il  faut  auffi  que  M  F  fe 
confonde  avec  MN  ,  &  LH  avec  LQ.  D'où  l'on 
voit  que  M  F  eft  alors  égale  à  M  L  ;  &  partant 
que  fi  l'on  mené  F  R  perpendiculaire  fur  Taxe ,  on 
aura  ARouAL+MF  =  ^.  On  voit  auffi  que 
la  portion  A  F  de  la  cauftique  eft  égale  en  ce  cas 
au  paramètre,  puifqu'elle  eft  toujours  {Art.  1 10.) 
égale  àPM+MF. 

Pour  déterminer  le  point  K  où  la  cauftique 
AFK  rencontre  l'axe  A  P ,  il  faut  chercher  la 
valeur  de  M  O  ,  &  l'égaler  à  celle  de  M  F  ;  car  il 
eft  vifible  que  le  point  F  tombant  en  K  ,  les 
lignes  MF,  MO  deviennent  égales  entr'elles. 
Nommant  donc  l'inconnue  MO  ,  t  ;  l'angle  PMO 
coupé  en  deux  également  par  MQ.  perpendicu- 
laire à  la  courbe ,  donnera  M  P  (;).MO  (t) 


1 58  Analyse 

::PQ.(y-S>OQ=:t-     Et     P^^    0P=* 

1  y~^y  y.  —  \/tt — yy,  à  caufe  du  triangle  rec- 

dx 

tangle  M  P  O  i  &  divifant  de  part  &  d'autre  par 
t  +y ,  on  trouve  -£  =  1/  l—2-  ,  d'où  l'on  tiré 

puifque  (  Art.  jj.  )  M  E  (a)  =  ^-^rf--  Ce  qui 

donne  ^  —  zyddy  =  dx*  qui  fervira  à  trouver  le 
point  P  ,  tel  que  menant  le  rayon  incident  P  M  5s 
le  réfléchi  MF,  ce  dernier  touche  la  cauflique 
A  F  K  au  point  K  où  elle  rencontre  l'axe  A  P. 

On  a  dans  la  parabole  y  —  x1 3  ày  ■=.  \x     a  dx  , 

ddy=: — ±x     %dx*  j  &  mettant  ces  valeurs  dans 

l'équation  précédente  ,  on  trouve  '-x     '  dx1  - 

\  x~'  dxz  =  dx*  ;  d'où  l'on  tire  A  P  (x)  =  \  du 
paramètre. 

Pour  trouver  la  nature  de  la  cauftique  A  F  K 
à  la  manière  de  Defcartes,  il  faut  chercher  une 
équation  qui  exprime  la  relation  de  la  coupée 
A  R  («  )  ,  à  l'appliquée  RF  (ç)  ;  ce  qui  fe  fait 

en  cette  forte.  Puifque  MO  (t)  =  y,xl y  \-  ? 

Ion  aura  P  O  (ifaZ^L)  =  ^ÈÈL .  &  à  eau- 

v        dx        '  dx  — oy 

fe  des  triangles  femblables  M  P  O ,  M  S  F  ,  on 


des  Infiniment  Petits.        159 
formera  ces  proportions  MO  Ç~j.  ZlLJLj  ,  MF 

(J-ÎjT)  ou  —  yddy.dx*--dy1-  ::  MP  (>) 

S  F  ou  PR  (a — x)  —    *y ,  •.   On  aura  donc  ces 

deux  équations  ^  ==y  +  __  , , —  >  &  «  =  x  ■+• 
-    7    ,  nui  ferviront  avec  celle  de  la  courbe  don- 

• —  ddy  7     * 

née  à  en  former  une  nouvelle  où  x  Scy  ne  fe  trou- 
veront plus ,  &  qui  exprimera  par  conféquent  la 
relation  de  AR  (a)  à  FR  (O- 

Lorfque  la  courbe  A  M  D  eft  une  parabole , 
comme  l'on  a  luppole  dans  cet  exemple ,  on  trou- 

-  3- 

vera^znr^x1  —  2x*  ,    ou    (en  quarrant  chaque 

membre  )  ^x—  6xx  -4-4*'  =r  Xt ,  &  «  =  3X  ;  d'où 

l'on  tire  l'équation  cherchée  a\^  =  Î-M%  —  \auu-*r 

\aau  qui  exprime  la  nature  de  la  cauftique  A  F  K. 

On  peut  remarquer  que  P  R  eft  toujours  double 

de  À  P ,  puilque  A  R  (a)  =  3*  ;  ce  qui  fournit 

encore  une  nouvelle  manière  de  déterminer  fur 

le  rayon  réfléchi  M  F  le  point  cherché  F. 

Exemple     IL 

1 20.  S  °  1 T  la  courbe  A  M  D  (  F/g.  102.  PL  6.  ) 
un  demi-cercle  qui  ait  pour  diamètre  la  ligne 
A  D  ,  ôc  pour  centre  le  point  C  ;  foient  les  rayons 
incidens  P  M  perpendiculaires  fur  A  D. 


160  Analyse 

Comme  la  développée  du  cercle  fe  réunît  eft 
un  feul  point  qui  en  eft  le  centre  ,  il  s'enfuit 
(  Art.  115.)  que  fi  l'on  coupe  le  rayon  CM  en 
deux  également  au  point  H  ,  &  qu'on  mené  H  F 
perpendiculaire  fur  le  rayon  réfléchi  MF  ,  il 
coupera  ce  rayon  en  un  point  F  ,  où  il  touche 
la  cauftique  AFK.  Il  eft  clair  que  le  rayon 
réfléchi  M  F  eft  égal  à  la  moitié  de  l'incident  PM  ; 
d'où  il  fuit,  i°.  Que  le  point  P  tombant  en  C, 
le  point  F  tombe  en  K ,  milieu  de  CB.  20.  Que  la 
portion  A  F  eft  triple  de  MF  ,  &  la  cauftique 
AFK  triple  de  B  K.  On  voit  aufll  que  fi  l'on  fait 
l'angle  ACM  demi-droit ,  le  rayon  réfléchi  MF 
fera  parallèle  à  AC  ;  &  partant  que  le  point  F  fera 
plus  élevé  au  deflus  du  diamètre  A  D  ,  que  tout 
autre  point  de  la  cauftique. 

Le  cercle  qui  a  pour   diamètre  M  H ,    pane 

parle  point  F;  puifque  l'angle  HFM  eft  droit. 

Et  fi  l'on  décrit  du  centre  C  &  du  rayon  CK 

011CH,  moitié  deCM,  le  cercle  K  H  G  ;  l'arc 

H  F  fera  égal   à  l'arc  HK:car   l'angle    CMF 

étant  égal   àCMP  ou  HCK,  les  arcs  \  H  F  , 

HK  qui  mefurent  ces  angles    dans    les    cercles 

MFH  ,    KHG  ,    feront  entr'eux  comme    les 

rayons  \  M  H  ,  HC  de  ces  cercles.  D'où  l'on  voit 

que  la  cauftique  AFK  eft  une  roulette  formée 

par  la  révolution  du  cercle  mobile  MFH  autour 

de  l'immobile  KHG,  dont  l'origine  eft  en  K, 

&  le  fommet  en  A. 


Exemple 


des  Infiniment  Petits,       i6t 

Exemple      III. 

121.  Soit  la  courbe  A  M  D  (  Fig.  103.  PL  6.) 
un  cercle  qui  ait  pour  diamètre  la  ligne  A  D  ,  & 
pour  centre  le  point  C  ;  foit  le  point  lumineux 
A  ,  d'où  partent  tous  les  rayons  incidens  AM, 
l'une  des  extrémités  de  ce  diamètre. 

Si  l'on  mené  du  centre  C  fur  le  rayon  inci- 
dent A  M  la  perpendiculaire  CE  :  il  efl  clair 
par  la  propriété  du  cercle  ,  que  le  point  E 
coupe  en  deux  parties  égales  la  corde  AM;  Se 
qu'ainfi  ME  {a)  =  ±y.  On  aura  donc  MF 

C2  __J)z=z\y  '•  c'efl-à-dire ,  qu'il  faut  pren- 
dre le  rayon  réfléchi  MF  égal  au  tiers  de  l'in- 
cident A  M.  D'où  l'on  voit  que  DK— |  AD  , 
C  K  =  i  CD  ,  &  que  (  Art.  1 1  o.  )  la  cauflique 
AFK  =  |AD,  de  même  que  fa  portion  A  F 
—  f  AM.  Si  l'on  prend  AM  =  AC  ,  le  rayon 
réfléchi  M  F  fera  parallèle  au  diamètre  A  D  ; 
&  par  conféquent  le  point  F  fera  le  plus  élevé 
qu'il  foit  poffible  au-deflus  de  ce  diamètre. 

Si  l'on  prend  C  H  =  1 C  M  ,  &  qu'on  tire  H  F 
perpendiculaire  fur  MF;  le  point  F  fera  à  la 
cauflique  :  ear  menant  H  L  perpendiculaire  fur: 
AM,  il  efl  clair  que  ML=^ME  =  ;-AM, 
puifque  MH  =  f  CM.  Le  cercle  qui  a  pour  dia- 
mètre MH  ,  paffera  donc  par  le  point  F  de  la 
cauflique  ;  &c  fi  l'on  décrit  un  autre  cercle  KHG 
du  centre  C ,  &  du  rayon  CK  ou  CH,  il  lui 
fera  égal,  &  l'arc  HK  fera  égal  à  l'arc  HF; 


162  Analyse 

car  dans  le  triangle  iiofcele  CM  A  l'angle  ex- 
terne KCH  =  2 CM  A  =  AMF  ;  &  partant  les 
arcs  HK,  HF  mefures  de  ces  angles  dans  des 
cercles  égaux  ,  feront  aufïi  égaux.  D'où  il  fuit 
que  la  cauftique  AFK  eft  encore  une  roulette 
décrite  par  la  révolution  du  cercle  mobile  M  F  H 
autour  de  l'immobile  KHG,  dont  l'origine  eft 
en  K ,  &.  le  fommet  en  A. 

On  pourroit  encore  prouver  ceci  de  cette  autre 
manière,  .i  l'on  décrit  une  roulette  par  la  révolu- 
tion d'un  cercle  égal  au  cercle  AMD  autour  de 
celui-ci  ,  en  commençant  au  point  A  ;  l'on  a 
démontré  dans  la  Corollaire  fécond  (  Art.  1 1 1 .  ) 
qu'elle  aura  pour  développée  la  cauftique  AFK. 
Or  (Art.  100.)  cette  développée  eft  une  rou- 
lette de  même  efpece ,  c'eft- à-dire  ,  que  les 
diamètres  des  cercles  générateurs  en  feront  égaux; 
&  on  déterminera  le  point  K  en  prenant  CK 
troifiéme  proportionnelle  àCD  +  DA  6c  à  C  D ,  ; 
c'eft- à-dire,  égale  à  y  CD.    Donc,  &c. 

./  E  X  E  M  p  l  e.    1 V. 

1 2  2.  5  o  1  t  la  courbe  A  M  D  (  F/g.  1 04.  PL  6.  ) 
une  demi-roulette  ordinaire  décrite  par  la  révolu- 
tion du  demi-cercle  NGM  fur  la  droite  BD, 
dont  le  fommet  eft  en  A  ,  &  l'origine  en  D  • 
foient  les  rayons  incidens  KM  parallèles  à 
l'axe  A  B. 

Puifque  (  Art.  95.  )  M  G  eft  égale  à  la  moitié 
du  rayon  de  la  développée  ,  il  s'enluit(/4r/.  113-) 
que  ii  l'on  mené  G  F  perpendiculaire  fur  le  rayon 


des  Infiniment  Petits.  1^3 
réfléchi  MF  ,  le  point  F  fera  à  la  cauftique  DFB. 
D'où  l'on  voit  que  M  F  doit  être  prife  égale  à  KM. 
Si  l'on  mené  du  centre  H  du  cercle  générateur 
MGN  au  point  touchant  G,  &  au  point  dé- 
crivant M  ,  les  rayons  H  G  ,  HM;  il  eft  clair 
que  H  G  fera  perpendiculaire  iur  BD,  &  que 
l'angle  GMH  =  MGH  =GMK:  d'où  l'on 
voit  que  le  rayon  réfléchi  M  F  pafle  par  le  cen- 
tre H  Or  le  cercle  qui  a  pour  diamètre  GH, 
pafle  auffi  par  le  point  F  ,  puifque  l'angle  G  F  H 
eft  droit.  Donc  >es  arcs  GN  ,  ~  G  F  ,  mefures  du 
même  angle  G  H  N  leront  entr'eux  comme  les 
diamètres  M  N  ,  G  H  de  leurs  cercles  ;  &  par- 
tant l'arc  G  F  =  G  N  =  G  B.  Il  eft  donc  évi- 
dent que  la  cauftique  D  F  B  eft  une  roulette 
décrite  par  la  révolution  entière  du  cercle  G  F  H 
fur  la  droite  B  D. 

Exemple     V. 

i23-SOIT  encore  la  courbe  A  M  D  (  F/g.  105. 
PI.  6-  )  une  demi-roulette  ordinaire  ,  dont  la 
bafe  BD  eft  égale  à  la  demi-circonférence  A  N  B 
du  cercle  générateur.  Et  foient  à  préfent  les 
rayons  incidens  P  M  parallèles  à  la  bafe  B  D. 

Si  l'on  mené  GQ  perpendiculaire  fur  PM  ,  les 
triangles  rectangles  G  Q  M  ,  B  P  N  feront  égaux 
&  femblables  ;  &  partant  MQ  =  PN.  D'où  l'on 
voit  (  Art.  95.  113.)  qu'il  faut  prendre  MF 
égale  à  l'app'iquée  correfpondante  PN  dans  le 
demi-cercle  générateur  ANB. 

Afin  que  le  point  t  foit  le  plus  éloigné  qu'il 

L  a 


ï6a  Analyse 

eit  poffible  de  l'axe  A  B  ,  il  faut  que  la  tangente 
M  F  en  ce  point  foit  parallèle  à  cet  axe.  L'an- 
gle P  MF  fera  donc  alors  droit  ,  fa  moitié  F  M  G 
ou  PN  B  demi- droit  ;  &  partant  le  point  P  tom- 
bera dans  le  centre  du  cercle  AND. 

G'eft  une  choie  digne  de  remarque  ,  que  le 
point  P  approchant  enfuite  continuellement  de 
l'extrémité  B ,  le  point  F  approche  auffi  de  l'axe 
A  B  julqu'à  un  certain  point  K  ,  après  quoi  il  s'en 
éloigne  jufqu'en  D  ;  de  forte  que  la  cauftique 
AF^KFD  a  un  point  de  rebroiuîement  en  K. 

Pour  le  déterminer  ,  je  remarque  (Art.  no. 
1 1  O  que  la  portion  AF  =  P  M  +  MF,  la  portion 
AFK  =  HL  +  LK  ,  &  la  portion  KF  de  la 
PartieKFD,eft  =  HL^LK-PM-MF: 

d'où  l'on  voit  que  HL+LK  doit  être  un  plus 
grand.  C'eft  pourquoi  nommant  AH,  x  i  H I  ,yi 
l'arc  AI,  u  ;  l'on  aura  H  L  +  LK  =  u  -*-  iy  , 
dont  la  différence  donne  du  +  2dy  =  o  ,  U  y 
^-2dy=o,  en  mettant  pour  du  fa  valeur  —  : 

d'où  l'on  tire  adx  =  —  V'é'  ==  2xdx  —  \aâx  * 
caufe  du  cercle  ;  &  partant  AHfx)=î«. 

Corollaire. 

124.  L'espace  AFM  ou  AFKFM  ren- 
fermé par  les  portions  de  courbes  A  F  ou  A  F  K  F', 
A  M,  &  par  le  rayon  réfléchi  MF,  eft  égal 
à  la  moitié  de  l'efpace  circulaire  A  P  N.  Car  fa 
différence,  qui  eft  le  fefteur  F  MO,  eft  égale 
à  la  moitié  du  reftangle  ^PpSN  ,  différence  de 


des  Infiniment  Petits.  165 
l'efpaceAPN;  puifque  les  triangles  rectangles 
MOm,  MRm  étant  égaux  &  femblables,  MO  iera 
égale  à  MR  ou  NS  ou  Pp ,  &  que  de  plus  MF  =  P  N. 

Exemple     VI. 

125.  Soit  la  courbe  AMD  (F/g.  106.  PL  6.) 
une  demi-roulette  formée  par  la  révolution  du 
cercle  MGN  autour  de  fon  égal  AGK,  dont 
l'origine  eft  en  A ,  &  le  fommet  en  D  ;  foient 
les  rayons  incidens  A  M  qui  partent  tous  du  point 
A.  La  ligne  BH  qui  joint  les  centres  des  deux 
cercles  générateurs  ,   parle  continuellement  par 
le  point  touchant  G  ,  &  les  arcs  G  M  ,    G  A 
comme  aufïi  leurs  cordes  ,  font  toujours  égaux  ; 
ainfi  l'angle  HGM  =  BGA,    &  l'angle  G  M  A 
=  G  A  M.  Or  l'angle  HGM+  BG  A  =  GM  A 
H-  G  A  M  ;   puifqu'ajoutant  de  part  &    d'autre 
le  même  angle  A  G  M  ,  on  en  forme  deux  droits. 
Donc  l'angle  H  G  M  fera  toujours   égal  à  l'angle 
G  M  A  ;  &  partant  aufïi  à   l'angle  de  réflexion 
GMF  :  d'où  il  fuit    que  MF  parTe  toujours  par 
le  centre  H  du  cercle  mobi'e. 

Maintenant  fi  l'on  mené  les  perpendiculaires 
CE,  GO  fur  le  rayon  incident  A  M  :  il  eft  clair 
que  MO  =  OA,&  que  O  E  —  1  O  M  ;  puif- 
que (  Art.  100.  )  le  point  C  étant  à  la  dévelop- 
pée, GC  =  j  GM.  On  aura  donc  ME  =fAM, 
c'eft-à-dire ,  a  ==  \ y  ;   &  par  conféquent   M  F 

(  n  •/__  ■  )  ={y  ■  d'où  l'on  voit  que  fi  l'on  mené 

G  F  perpendiculaire  fur  MF,  le  point  F  fera  à  la 
cauftique  A  F  K.  L  3 


166  Analyse 

Le  cercle  qui  a  pour  diamètre  G  H  ,  paffe 
par  le  point  F  ;  &  les  arcs  G  M  ,jGF,  mefures 
du  même  angle  GHM,  étant  entr'eux  comme 
les  diamètres  M  N  ,  GH  de  leurs  cercles,  l'arc 
G  F  fera  égal  à  l'arc  GM,  &  par  conféquent 
à  lare  G  A.D  où  il  eft  évident  que  la  cauflique 
AF  Ken  une  roulette  décrite  par  la  révolution 
du  cercle  mobile  HFG  autour  de  l'immobile  AGK. 

Corollaire. 

i  26.  S !  l'on  décrit  un  cercle  qui  ait  pour  centre 
le  point  B  ,  &  pour  rayon  une  droite  égale  à 
BHouAK-  8f  qu'il  y  ait  une  infinité  de  droites- 
para  ileîes  à  B  D  qui  tombent  fur  fa  circonférence  : 
il  eft  vifible  (  Art.  1  20.  )  qu'elles  formeront  en  fe 
réfiéchiu'ant  la  même  cauflique  AFK. 

Exemple     VII. 

1 17.  S  o  1  t  la  courbe  A  M  D  (  F/g.  107.  PL  6.  ) 
une  logarithmique  fpirale  ,  avec  les  rayons  inci- 
dens   A  M  qui  partent  tous  du  centre  A. 

Si  l'on  mené  par  l'extrémité  C  du  rayon  de  la 
développée  la  droite  C  A  perpendiculaire  fur  le 
rayon  incident  AM,  elle  le  rencontrera  (  Art  91.) 
dans  le  centre  A.  Ceft  pourquoi  AM.(y)  =  a  ; 

&  partant  M  F  (    i%a)= y.  Le  triangle  AMF 

fera  donc  ifofcele  ;  &  comme  les  angles  d'inci- 
dence &  de  réflexion  AMT  ,  F  M  S  font  égaux 
entr'eux,  il  s'enfuit  que  l'angle  AFM  eft  égal  à 
l'angle  A  M  T.  D'où  il  eft  clair  que  la  cauflique 


des  Infiniment  Petits.  167 
A  F  K  fera  une  logarithmique  fpiraîe  qui  ne  diffé- 
rera de  la  propoiee  A  M  D  que  par  ïa  pofition. 

PROPOSITION   II. 

Problème. 

128.  La  cav.Jlique  H  F  (F/g.  108.  VI  6?)  par 
réflexion  étant  donnée  avec  le  point  lumineux  B  • 
trouver  une  infinité  de  courba  ,  telles  que  A  M  , 
dont  elle  foit  cav.Jlique  par  réflexion. 

Ayant  pris  à  difcrétion  fur  une  tangente  quel- 
conque H  A  le  point  A  pour  un  des  points  de  la 
courbe  cherchée  AM  ;  on  décrira  du  centre  B ,  de 
l'intervalle  BA,  l'arc  de  cercle  AP  ,  &  d'un  autre 
intervalle  quelconque  B  M  ,  un  autre  arc  de  cer- 
cle. Et  ayant  pris  AHh-HE=BM  —  BAou 
PM  ,  on  développera  lacauftique  HF  en  commen- 
çant au  point  E  5  Se  l'on  décrira  dans  ce  mou- 
vement une  ligne  courbe  E  M  qui  coupera  l'arc 
de  cercle  décrit  du  rayon  B  M  ,  en  un  point  M 
qui  fera  (  Art.  1 10.  )  à  la  courbe  A  M.  Car  par 
conftruftion  P  M  m-  M  F  =  A  H  ■*-  H  F. 

Ou  bien  ayant  attaché  un  fil  B  M  F  par  fes  ex- 
trémités en  B  &  en  F  ,  on  fera  tendre  ce  fil  par  le 
moyen  d'un  ftile  placé  en  M  ,  que  l'on  fera  mou- 
voir ,  enlorte  que  l'on  enveloppera  par  la  partie 
M  F  de  ce  fil  la  cauftique  H  F  ;  il  eft  clair  que 
ce  ftile  décrira  dans  ce  mouvement  la  courbe 
cherchée  MA. 


L  4 


j68  Analyse 

Autre  solution. 
129.  Ayant  tiré  à  difcrétion  une  tangente 
FM  autre  que  HA,  on  cherchera  fur  elle  un 
point  M,  telle  que  BM  +  MF  =  BA  + AH 
-s-  H  F.  Ce  qui  le  fera  en  cette  forte. 

Soit  prife  FK  =  BA  +  AH  +  HF,  &  divi- 
fant  B  K  par  le  milieu  en  G ,  foit  tirée  la  perpen- 
diculaire G  M  :  elle  rencontrera  la  tangente 
F  M  au  point  cherché  M.  Car  BM  =  MK. 

Si  le  point  B  (  F/g.  109.  PL  S  )  étoit  infiniment 
éloigné  de  la  courbe  A  M  ,  c'eft-à-dire ,  que  les 
rayons  incidens  BA,BM  fuiTent  parallèles  à 
une  ligne  droite  donnée  de  pofition  ;  la  première 
conftruftion  auroit  toujours  lieu  ,  en  confidérant 
que  les  arcs  de  cercles  décrits  du  centre  B  devien- 
nent des  lignes  droites  perpendiculaires  fur  les 
rayons  incidens.  Mais  cette  dernière  deviendrait 
inutile  j  c'eft  pourquoi  il  faudrait  lui  fubftituer 
celle  qui  fuit. 

Soit  prife  FK~  AH  +  HF.  Ayant  trouve 
le  point  M  tel  que  M?  parallèle  à  AB  perpendi- 
culaire fur  AP  ,  foit  égale  à  MK  :  il  eft  clair 
X  Art.  1  io-  )  que  ce  point  fera  à  la  courbe  cher- 
chée A  M  ;  puifque  PM+MF-AH+HF. 
Or  cela  fe  fait  ainfi. 

Soit  menée  KG  perpendiculaire  fur  AP  •  & 
ayant  pris  KO=rKG}  foient  tirées  KP  paral- 
lèle à  0  G  ,  &PM  parallèle  à  G  K  :  je  dis  que 
le  point  V!  fera  celui  qu'on  cherche.  Car  à  caufe 
des  triangles  femblables  GKO,PMK,l'on 
aura  P  M  =?  M  K  ;  puifque  G  K  ==  KO. 


des   Infiniment   Petits.      169 
Si  la  cauftique  H  F  fe  réunifloit  en  un   point , 
la  courbe  A  M  deviendrait  une  ie&ion  conique. 

Corollaire    I. 

130. Il  eft  clair  que  la  courbe  qui  pafie  par 
tous  les  points  K ,  eft  formée  par  le  développe- 
ment de  la  courbe  H  F  en  commençant  en  A, 
&  qu'elle  change  de  nature  à  mefure  que  le 
point  A  change  de  place  fur  la  tangente  AH. 
Donc  puifque  les  courbes  A  M  naiffent  toutes 
de  ces  courbes  par  la  même  conftrudtion  ,  qui 
eft  géométrique;  il  s'enfuit  (  Art.  108.)  qu'el- 
les font  d'une  nature  différente  entr'elles  ,  & 
qu'elles  ne  font  géométriques  que  Iorfque  la 
cauftique  H  F  eft  géométrique  &  re&ifiable. 

Corollaire  II. 

131.  \J  n  e  ligne  courbe  D  N  (  F/g.  1 1  o.  PI.  6.  ) 
étant  donnée  avec  un  point  lumineux  C  ;  trou- 
ver une  infinité  de  lignes  telles  que  A  M  ,  en- 
forte  que  les  rayons  réfléchis  DA  3  NM  fe 
réunifient  en  un  point  donné  B  ,  après  s'être 
réfléchis  de  nouveau  à  la  rencontre  de  ces  li- 
gnes A  M. 

Si  l'on  imagine  que  la  courbe  H  F  foit  la 
cauftique  de  la  donnée  D  N  ,  formée  par  le  point 
lumineux  C  ;  il  eft'  clair  que  cette  ligne  H  F 
doit  être  aufll  la  cauftique  de  la  courbe  A  M 
ayant  pour  point  lumineux  le  point  donné  B  ; 
de  forte  que  FK  =  BA+  AH  +  HF  ,  &  NK1 
=  BA  +  AH-*-HF-*-FN  =  BA+AD  +  DC 


iyo  Analyse 

—  CN,puifque(/?r/,  no.)HD  +  DG  =  HF 
+  FN+NCCe  qui  donne  cette  conftru&ion. 
Ayant  pris  à  dilcrétion  fur  un  rayon  réfléchi 
quelconque  le  point  A  pour  un  des  points  de  la 
courbe  cherchée  A  M  ,  on  prendra  fur  un  au- 
tre rayon  réfléchi  N  M  ,  tel  qu'on  voudra ,  la 
partie  NK  =  B  A4-  AD  +DC-CN;  Selon 
trouvera  le  point  cherché  M  comme  ci-deflus, 
art.  129.  (Confulte^  la  Note  cinquante-unième.) 


des  Infiniment  Petits.        171 


SECTION   VII. 

Vfage  du  Calcul  des  différences  pour  trouver 
les  Caujiiques  par  réfraëlioh. 

DÉFINITION. 

SI  l'on  conçoit  qu'une  infinité  de  rayons  B  A  , 
B  M  ,  BD  ,  (  Fig.  ni.  PL  6.  )  qui  partent 
d'un  même  point  lumineux  B  ,  fe  rompent  à  la 
rencontre  d'une  ligne  courbe  A  M  D  ,  en  s'appro- 
chant  ou  s'éloignant  de  les  perpendiculaires  MC, 
enforte  que  les  finus  CE  des  angles  d'incidence 
CME  ,  foient  toujours  aux  finus  CG  des  angles 
de  réfraction  C  M  G  ,  en  même  raifon  donnée  de 
r/2kn;  la  ligne  courbe  HFN  que  touchent  tous 
les  rayons  rompus  ou  leurs  prolongemens  AH, 
M  F ,  D  N  (  Fig.  1 1  2.  PI.  6.  )  eft  appellée  Caufii- 
que  par  rêfraSlion. 

Corollaire. 

13 2.  Si  l'on  enveloppe  la  cauftique  H  F  N  en 
commençant  au  point  A  ,  l'on  décrira  la  courbe 
A  L  K  telle  que  la  tangente  LF  plus  la  portion 
F  H  de  la  cauftique  fera  continuellement  égale  à 
la  même  droite  A  H.  Et  fi  l'on  conçoit  une  autre 
tangente  F  ml  infiniment  proche  de  F  ML,  avec 
un  autre  rayon  d'incidence  Bm,&  qu'on  décrive 
des  centres  F  ,  B  ,  les  petits  arcs  MO,  M  R  : 
on  formera  deux  petits  triangles  rectangles  MR#?, 


172  Analyse 

MO  m  qui  feront  femblables  aux  deux  autres 
M  E  C ,  M  G  C ,  chacun  à  chacun  ;  puifque  fi  l'on 
ôte  des  angles  droits  R M  E ,  CM;»le  même  an- 
gle EMw,  les  angles  reftans  RM  m  ,  EMC 
feront  égaux  9  &  de  même  fi  l'on  ôte  des  angles 
droits  G  M  O,  C  M  ?»  le  même  angle  G  M  m  ,  les 
reftans  OMœ,  G  M  C  feront  égaux.  C'eft  pour- 
quoi Rw.Om::CE.CG::f».n.  Or  puifque 
R  m  eft  la  différence  de  B  M  ,  &  O  m  celle  de  LMi 
il  s'enfuit  (  Art.  96.)  que  B  M  —  B  A  iomme  de 
toutes  les  différences  Km  dans  la  portion  de  cour- 
be AM,  eft  à  M  L  ou  A  H— M  F  —F  H  fomme 
de  toutes  les  différences  Om  dans  la  même  por- 
tion A  M  ,  comme  m  eft  à  n  ;   &  partant  que  la 

portion  FH  =  AH  —  MF  +  -  BA  —  -BM. 

*  mm 

Il  peut  arriver  différens  cas,  félon  que  le  rayon 
incident  B  A  eft  plus  grand  ou  moindre  que  BM, 
&  que  le  rompu  A  H  enveloppe  ou  développe  la 
portion  H  F  :  mai?  on  prouvera  toujours  ,  com- 
me l'on  vient  de  faire ,  que  la  différence  des  ra- 
yons incidens  eft  à  la  différence  des  rayons  rom- 
pus (  en  joignant  à  l'un  d'eux  la  portion  de  la 
cauftique  qu'il  développe  avant  que  de  tomber 
fur  l'aut.e)  comme  m  eft  à  n.  Par  exemple ,  (  F/g. 
112.Pl.  6.)  BA  —  BM.  AH  — MF  —  FH:: 

m  .  ». d'où  l'on  tireFH  =  AH— -MF.h- -BM 

m 

_*  BA. 

m 

Si  l'on  décrit  du  centre  B  (  F/g.    m.  VI.  6.  ) 
l'arc  de  cercle  AP;  il  eft  clair  que  P  M  fera  la 


DES   In  F  INI  MENT   P  ETITS.  175 

différence  des  rayons  incidens  BM,  BA.  Et 
il  l'on  fuppole  que  le  point  lumineux  B  devienne 
infiniment  éloigné  de  la  courbe  AMD,  les 
rayons  incidens  B  A,  BM  deviendront  parallèles, 
&  l'arc  A  P  deviendra  une  ligne  droite  perpen- 
diculaire fur  ces  rayons. 

PROPOSITION    I. 

Problème  Général. 

I33-J_/A  nature  de  la  courbe  AMD,  (  Fig. 
1 11.  PI.  6.)  le  point  lumineux  B  ,  &  le  rayon 
incident  B  M  étant  donnés  •  trouver  fur  le  rayon 
rompu  M  F  donné  de  pofition  ,  le  point  F  ou  il 
touche  la  cauflique  par  réfraëîion. 

Ayant  trouvé  (  Secl.  5 .  )  la  longueur  MC  du  ra- 
yon de  la  développée  au  point  donné  M  ,  &  pris 
l'arc  M  m  infiniment  petit ,  on  tirera  les  droites 
B«,  Cm ,  F  m  ;  on  décrira  des  centres  B  ,  F  , 
les  petits  arcs  MR,  MO;  on  mènera  les  perpen- 
diculaires CE,  Ce,  C G,  C g  fur  les  rayons 
incidens  5c  rompus  ;  &  l'on  nommera  les  données 
BM,^iME,a;MG,i;  &  le  petit  arc 
M  R  ,  dx.  Cela  pôle , 

Les  triangles  rectangles  femblables  M  E  C  & 
MR»,  MGC&MOw,  BMR&BQ.e,  don- 
neront ME(a).MG(i)::MR  (^).MO 

=  ^.EtBM(>)  .BQ.ouBE(>-i-*)::MR 

(dx)  .  Qe=  a— — ^-4.  Or  par  la  propriété  de 
la  réfraction  Ce  .  C  g  :  :  C  E  .  C  G  :  :  m  .  n.  Et 


Xja  Analyse 

r-           m?         r\     f  aàx  ~^yix  \ 
partant  m  .n  :  :  Le-thouU.f( ;  • 

Cg-CGouSg=-B&+''^.  Doncàcaufe 
des  triangle?  rectangle?  femblables  FMO&  F Sg, 
l'on  aura  M  O-Sg  (fa'J— ff^gfr  )• 

MO(^)  :  :  MSou  MG (h)  .  MF=  fa|/ Tj,y_^ 
Ce  qui  donne  cette  conftruction. 

Soit  fait  vers  CM  (  Fig    113-  P/-  6-  )  1>angle 
E  C  H  =  G  C M  ,  &  foit  pnle  vers  B ,  MK  ==  y.| 

Je  dis  que  fi  1  on  fait  H  K  .  HE  :  :  MG  .  MF  .  le 
point  F  fera  à  la  cauflique  par  réfraction. 

Car  à  caufe  des  triangles  femblables  CGM  3 
CEH,  l'on  aura  CG  .  CE  :  :  n  .  m  :  :  MG  (  h  )  . 

EH  =  -.  D'où  l'on  tire  H£  —  M  E  ou  H  M 
n 

n       '  riy 

Se  partant  HK  (  im?  ~  'ff  ~  ""  )  .  HE  (^  ) 

MG(i).MF  =  - Ê2 . 

Il  eft  clair  que  fi  la  valeur  de  H  K  eft  négative , 
celle  de  M  F  le  fera  airffi  :  d'où  il  fuit  que  le  point 
M  tombe  entre  les  points  G ,  F  ,  lorfque  le 
point  H  fe  trouve  entre  les  points  K  ,  E. 

Si  le  point  lumineux  B  (Fig.  1 1 1.  1 1  3.  PI  6) 
tomboit  du  côté  du  point  E ,  ou  (  ce  qui  eft  la 
même  choie  )  fi  la  courbe  AMD  étoit  concave  du 


des  Infiniment  Petits.  175 
côté  du  point  lumineux  B  ;y  deviendrait  négative 
de  pofîtive  qu'elle  étoit  auparavant ,  &  l'on  au- 

roit  par  conféquent  M  F  =  my- 


—  bmy  -f-  any  —  aan 

ou .  Et  la  conftru&ion  demeure- 

brny  —  any  -+-  aan 

roit  la  même. 

Si  l'on  luppofe  quej'  devienne  infinie  :  c'eft-à- 
dire  ,  que  le  point  lumineux  B  foit  infiniment 
éloigné  de  la  courbe  AMD;  les  rayons  inci- 
dens  feront  parallèles  entr'eux,&  l'on  aura  M  F 

bbm  .  r  . 

=  7 — — —  5  parce  que  le  terme  aan  lera  nul  par 
rapport  aux  deux  autres  bmy ,  any  ;  &  comme  M  K 
(  —  )  s'évanouit  alors  ,  il  n'y  aura  qu'à  faire 
HM.HE::MG.MF. 

Corollaire.    I. 

134.  CJN  démontrera,  de  même  que  dans  les 
caurtiques  par  réflexion,  (Art.  114.  115.  ) 
qu'une  ligne  courbe  AMD  n'a  qu'une  feule 
cauftique  par  réfradion ,  la  raifon  de  m  à  n 
étant  donnée  ;  laquelle  cauftique  eft  toujours 
géométrique  &  reftifiable ,  lorfque  la  courbe 
propofée  A  M  D  eft  géométrique 

Corollaire      II. 

135-01  le  point  E  tombe  de  l'autre  côté  de  la 
perpendiculaire  M  C  par  rapport  au  point  G  3  & 
que  C  E  foit  égale  à  C  G  ;  il  eft  clair  que  îa  cauf- 
tique par  réfradion  fe  changera  en  cauftique  par 


lyS  Analyse 

réflexion.  En  effet  on  aura  M  F  (  imy__2y  +  u7n  ) 

=    ay  -  •  puifque  m  =  n  ,  &  que  a  devient  né- 

gative  de  pofitive  qu'elle  étoit ,  6c  de  plus  égale 
à  &.  Ce  qui  s'accorde  avec  ce  qu'on  a  démontré 
dans  la  fection  précédente. 

Si  m  eft  infinie  par  rapport  à  «  ;  il  eft  clair  que 
le  rayon  rompu  M  F  tombera  fur  la  perpendicu- 
laire C  M  :  de  forte  que  la  cauftique  par  réfrac- 
tion deviendra  la  développée.  En  effet  on  aura 
MF  =  t,  qui  devient  en  ce  cas  M  C  :  c'eft-à- 
dire  ,  que  le  point  F  tombera  fur  le  point  Ç  3  qui 
eft  à  la  développée. 

Corollaire     III. 

1 36.S  ï  la  courbe  AMD  eft  convexe  vers  le 
point  lumineux  B  ,   &  que  la  valeur   de    M  F 

( b±Hl )  foit  pofitive  ,•  il  eft  clair  qu'il 

v  bmy  —  any  —  aan 

faudra  prendre  le  point  F'  du  même  côté  du  point 
G,  par  rapport  au  point  M  ,  comme  on  l'a  luppo- 
fé  enfaifant  le  calcul  :  &  qu'au  contraire  il  elle  eft 
négative  ,  il  le  faudra  prendre  du  côté  oppofé.  11 
en  eft  de  même  lorfque  la  courbe  A  M  D  eft  con- 
cave vers  le  point  B  ;  mais  il  faut  obferver  qu'on 

aura  pour  lors  MF  —  -. ^— — .    D'où  il 

r  bmy  —  any  H-  aan. 

fuit  que  les  rayons  rompus    infiniment    proches 

font  convergens ,  lorfque  la  valeur   de  M  F  eft 

pofitive  dans  le  premier  cas,   &  négative  dans 

le  fécond  j  &  qu'au  contraire  ils  font  divergens 

loriqu'elle 


des  Infiniment  Petits.  177 
lorsqu'elle  eft  négative  dans  le  premier  cas ,  & 
pofitive  dans  le  fécond.  Cela  pofé;  il  eft  évident, 

i°.  Que  fi  la  courbe  AMD  eft  convexe  vers  le 
point  lumineux  B  ,  &  que  m  l'oit  moindre  que 
n  •  ou  que  fi  elle  eft  concave  vers  ce  point , 
&  que  m  lurpafle  n  :  les  rayons  rompus  infiniment 
proches  feront  toujours  divcrgens. 

2°.  Qiie  fi  la  courbe  A  M  D  eft  convexe  vers  le 
point  lumineux  B,  &  que  m  furp'fie  »  ;  ou  que  iî 
elle  eft  concave  vers  ce  point ,  &  que  m  foit  moin- 
dre que  n  :  les  rayons  rompus  infiniment  proches 

feront  convergens ,  lorfque  M  K  (  y  )  eft  moin- 
dre que  MH(^-«oua-y)j  divergens  , 

iorfqu'elle  eft  plus  grande  ;  &  parallèles ,  lors- 
qu'elle eft  égale.  Or  comme  MK  =  »,  lorfque 
les  rayons  incidens  font  parallèles  ,  il  s'enluit 
qu'en  ce  cas  les  rayons  rompus  infiniment  pro- 
ches feront  toujours  convergens. 

Corollaire     IV. 

1  xi-  S 1  le  rayon  incident  B  M  touche  la  courbe 
AMD  au  point  M  ,  Ton  aura  ME  (a)  =  0  ; 
&  partant  M  F  =  b.  Ce  qui  fait  voir  que  le  point 
F  tombe  alors  fur  le  point  G. 

Si  le  rayon  incident  B  M  eft  perpendiculaire  à 
la  courbe  AMD,  les  droites  ME  (a)  &  M  G 
{b  )  deviendront  égales  chacune  au  rayon  C  M 
de  la  développée  ;  puifqu'elles  fe  confondent  avec 

lui.  On  aura  donc  M  F  — **y  _  ,    ,  qui  de« 

my  —  fly  +  bn 


178  Analyse 

vjent  _^!L_  lorfque  les  rayons  incidens  font  pa- 

ttt Tl 

ralleles  entr'eux. 

Si  le  rayon  rompu  M  F  touche  la  courbe 
AMD  au  point  M  ,  l'on  aura  MG  (  h  )  ==  o.  D'où 
l'on  voit  que  la  cauftique  touche  alors  la  courbe 
donnée  au  point  M. 

Si  le  rayon  C  M  de  la  développée  eft  nul  ;  les 
droites  ME  (a)  ,  MO  (fc)  feront  aufli  égales 
à  zéro  ;  &  par  conféquent  les  termes  aan  ,  bbmy 
font  nuls  par  rapport  aux  autres  bmy  ,  any.  D'où 
il  fuit  que  MF  =  «;&  qu'ainfi  la  cauftique  a 
le  point  M  commun  avec  la  courbe  donnée. 

Si  le  rayon  C  M  de  la  développée  eft  infini  ;  les 
droites  ME(>),MG(Z>)  feront  aufli  infinies  ; 
&  par  conféquent  les  termes  bmy  ,  any  feront  nuls 
par  rapport  aux  autres  aan  ,  bbmy  :  de  iorte  qu'on 

aura  MF  =  ^-.  Or  (  Art.  135.  )  comme  cette 

quantité  eft  négative,  lorfque  l'on  fuppole  que  le 
point  F  tombe  de  l'autre  côté  du  point  B  par  rap- 
port à  la  ligne  A  M  D,  &  qu'au  contraire  elle  eft 
pofitive  loriqu'on  fuppofe  qu'il  tombe  du  même 
côté  ;  il  s'enfuit  (  Art.  1  56.)  que  l'on  doit  pren- 
dre le  point  F  du  même  côté  du  point  B  ,  c'eft- 
à-dire  ,  que  les  rayons  rompus  infiniment  proches 
font  divergens.  Il  eft  évident  que  le.  petit  arc  Mw 
devient  alors  une  ligne  droite  ,  &  que  la  conftruc 
tipn  précédente  n'a  plus  de  lieu.  On  peut  lui  fubf- 
tïtuer  celle-ci ,  qui  fervira  à  déterminer  les  points 
des  çauftiques   par  réfraction  ,  lorfque  la  .ligne 
A  M  D  eft  droite. 


D  ES   I  NF  INI  MEN  T    P  ET  IT  S.  I79 

Ayant  mené  BO  (F/g.  114-  PI.  6.)  perpen- 
diculaire fur  le  rayon  incident  BM,  &  qui  ren- 
contre en  O  la  droite  M  G  perpendiculaire  fur 
AD;on  tirera  O L  perpendiculaire  fur  le  rayon 
rompu  M  G  j  &  ayant  fait  l'angle  B  O  H  égal 
à  l'angle  LO  M,  on  fera  BM  .  BH  :  :  ML.  MF. 
Je  dis  que  le  point  F  fera  à  la  cauftique  par  ré- 
fraftion. 

Car  les  triangles  rectangles  MEC  &  MBO, 
M  G  C  6c  M  L  O  feront  toujours  femblables  de 
quelque  grandeur  que  l'on  fuppofe  C  M  ;  &  par- 
tant lorsqu'elle  devient  infinie  ,  l'on  aura  encore 

ME^).MG(J)::BM(j/).ML=^,   Et 

à  caufe  des  triangles  femblables  OL  M  ,  O  B  H  3 

l'on  aura  aufliOL.OB(».  w)::ML(^  )  . 

BH  =  fe  D'où  l'on  voit  que  BM(^).BH 

an  ■ 

an    *  a  aan 

Corollaire     V. 

1 3  8. 1  l  eft  clair  que  deux  quelconques  des  trois 
points  B  ,  C ,  F  ,  étant  donnés  ,  on  peut  faci- 
lement trouver  le  troifiéme. 

Exemple     I . 

1  3  9 .  S  o  1  t  la  courbe  A  M  D  (  F/g.  1 1 5 .  VI.  6.  ) 
un  quart  de  cercle  qui  ait  pour  centre  le  point  C  j 
foient  les  rayons  incidens  B  A  ,  BM,  BD  paral- 
lèles entr'eux ,  &  perpendiculaires  fur  C  D  j  foit 

Ma 


i8o  Analyse 

enfin  la  raifon  de  m  à  n  ,  comme  3  à  2  ,  qui  eft 
celle  que  fouffrent  les  rayons  de  lumière  en  parlant 
de  l'air  dans  le  verre.  Puiique  la  développée  du 
cercle  AMD  fe  réunit  en  un  point  C  qui  en 
eft  le  centre,  il  s'enfuit  que  fi  l'on  décrit  une 
demi-circonférence  MEC  qui  ait  pour  diamètre 
le  rayon  C  M  ,  &  qu'on  prenne  la  corde  C  G '  =± 
fCE;  la  ligne  M  G  fera  le  rayon  rompu,  fur 
lequel  on  déterminera  le  point  F ,  comme  l'on 
a  enfeigné  ci-devant  art.  133. 

Pour  trouver  le  point  H  où  le  rayon  incident 
B  A  perpendiculaire  fur  AMD  touche  la  caufti- 
que  par  réfraction ,  l'on  aura  (  Art.  137.)  AH 

(  )  =  zb—  zC  A.    Et  fi  l'on  décrit  une 

v   m  —  n  '  J  J 

demi-circonférence  CND  qui  ait  pour  diamètre  le 
rayoft  CD  ,  &  qu'on  prenne  la  corde  CN  =  j  CD  ; 
il  eft  clair  (  Art.  1  37.  )  que  le  point  N  fera  à 
la  cauftique  par  réfraction  ,  puifque  le  rayon  in- 
cident BD  touche  le  cercle  AMD  au  point  D. 
Si  l'on  mené  A P  parallèle  à  CD  ;  il  eft  vifible 
( Art.  132.)  que  la  portion  FH  —  AH  —  MF 
—  j  P  M  :  de  forte  que  la  cauftique  entière  HFN 

=  z  c  A  —  D  N  =  7-=^  C  A. 

3 

Si  le  quart  de  cercle  A  M  D  (  Fig.  1 1 6.  PI.  6.  ) 

eft  concave  vers  les  rayons  incidens  BM,& 
que  la  raifon  dewàw  foit  de  2  à  3  ,•  on  prendra 
fur  la  demi-circonférence  CE  M  quia  pour  dia- 
mètre le  rayon  C  M ,  la  corde  C  G  =fCE, 
&  on  tirera  le  rayon  rompu  M  G  fur  lequel  on 


D  ES   I  N  F  INI  M  ENT    PETITS.  l8l 

déterminera  le  point  F  par  la  conftruction  gé- 
nérale art.    133. 

hm 

On  aura  (  Art.  137.)  A  H  (  >=r  —  il , 


■  m 

A. 


c'eft-à-dire,  que  AH  fera  du  côté  (  Art.  136.  )  de 
la  convexité  du  quart  de  cercle  AMD,  &  dou- 
ble du  rayon  A  C  Et  fî  l'on  fuppofe  que  CG  ou 
f  CE  ioit  égale  àCMj  il  eft  manifefle  que  le 
rayon  rompu  M  F  touchera  le  cercle  A  M  D  en 
M  ,  puifqu'alors  le  point  G  fe  confondra  avec  le 
point  M.  D'où  il  fuit  que  fi  l'on  prend  CE-  \  CD, 
le  point  M  tombera  au  point  N  où  la  cauftique 
HFN  (  Art.  137-  )  touche  le  quart  de  cercle 
AMD.  Mais  lorlque  CE  furpafTe  \  CD  ,  les 
rayons  mcidens  B  M  ne  pourront  plus  fe  rompre  , 
c'eft-à-dire,  paner  du  verre  dans  l'air  ;  puifqu'il  eft 
impoiïible  que  C  G  perpendiculaire  fur  le  rayon 
rompu  M  G ,  foit  plus  grande  que  C  M  :  de  forte 
que  tous  les  rayons  qui  tomberont  fur  la  partie 
N  D  fe  réfléchiront. 

Si  l'on  mené  A  P  parallèle  à  C  D  ,•  il  eft  clair 
(  Art.  132.)  que  la  portion  FH  =  AH  —  MF 
-+- \  P  M  :  de  forte  que  menant  N  K  parallèle  à 
CD,    la    cauftique  entière   H  F  N  =  2C  A  + 

i^K  =  7— fCA. 
2. 

Exemple      II. 

140.  S  0IT  ta  courbe  AMD  (F/g.  117.  PI.  6.) 
une  logarithmique  fpirale  qui  ait  pour  centre  le 
point  A  ,  duquel  partent  tous  les  rayons  inci- 
dens  A  M. 

M  5 


i8î  Analyse 

Il  eft  clair  (  Art.  9 1 .  )  que  le  point  E  tombe 
fur  le  point  A  ,  c'e^l-à-dire  ,  que  a  =y.  Si  donc 
l'on  met    à  la  place    de  a  fa    valeur  y   dans 

li!^L valeur  (  Art.  1 3  3 .  )  de  M  F  lorf- 

bnty  —  any  H-  aan 

que  la  courbe  eft  concave  du  côté  du  point  lumi- 
neux ;  on  aura  M  F  =  b  ;  d'où  l'on  voit  que  le 
point  F  tombe  fur  le  point  G. 

Si  l'on  mené  la  droite  A  G,  &  la  tangente 
MT;  l'angle  A  GO  complément  à  deux  droits 
de  l'angle  A  G  M ,  fera  égal  à  l'angle  A  M  T.  Car 
le  cercle  qui  a  pour  diamètre  la  ligne  C  M  ,  paf- 
fant  par  les  points  A  &  G  ,  les  angles  A  G  O  , 
AMT  ont  chacun  pour  mefure  la  moitié  du  mê- 
me arc  A  M.  11  eft  donc  évident  que  la  cauftique 
AGN  eft  la  même  logarithmique  fpirale  que 
la  donnée  A  M  D  ,  &  qu'elle  n'en  diffère  que 
par  fa  pofition. 

PROPOSITION    II. 

Problème. 

1-41.  L  a  cauftique  H  F  (  F/g.  1 1  8-  PL  6.  )  par 
rêfraSlion  étant  donnée  avec  fon  point  lumineux 
B  ,  tS  la  raifon  de  m  an  ;  trouver  une  infinité  de 
courbes  telles  que  A  M ,  dont  elle  foit  cauftique 
par  rêfraSlion. 

Ayant  pris  à  difcrétion  fur  une  tangente  quel- 
conque HA,  le  point  A  pour  un  des  points  de 
îa  courbe  A  M  ,  on  décrira  du  centre  B  &  de 
l'intervalle  B  A  l'arc  de  cercle  AP  ,  &  d'un  autre 
Intervalle  quelconque  BM  un  autre  arc  de  cercle  ; 


des  Infiniment  Petits.  185 
&  ayant  pris  A  E  =  -  P  M  ,  on  décrira  en  enve- 
loppant la  cauftique  H  F  une  ligne  courbe  E  M  , 
qui  coupera  l'arc  de  cercle  décrit  de  l'intervalle 
B  M  ,  en  un  point  M  qui  fera  à  la  courbe  cherchée. 
Car  (  Art.  1 3  2.  )  P  M  .  A  E  ou  M  L  :  :  m  .  n. 

Autre     solution. 
i42.QN  cherchera  fur  une  tangente  quelconque 
F  M  ,  autre  que  H  A  ,  le  point  M  tel  que  H  F  -f- 

FM+-BM  =  HA+"  BA.  Ceft  pourquoi 

fi  l'on  prend  F  K  =  -  B  A+AH-  F  H  ,  & 
qu'on  trouve  fur  F  K  un  point  M  tel  que  MK- 
-  BM  ,  il  fera  (  Art.  132.)  celui  qu'on  cherche. 

m 

Or  cela  fe  peut  faire  en  décrivant  une  ligne  cour- 
be G  M  (  F/g.  1 1 9.  P/.  6.  )  telle  que  menant  d'un 
de  fes  points  quelconque  M  aux  points  donnés  B , 
K  ,  les  droites  MB,  M  K ,  elles  ayent  toujours 
entr'elles  un  même  rapport  que  m\n.\\  n'eft  donc 
queftion  que  de  trouver  la  nature  de  ce  lieu, 

Soit  pour  cet  effet  menée  MR.  perpendiculaire 
fur  B  K  ,  &  nommée  la  donnée  B  K ,  a  ;  &  les  in- 
déterminées BR  i  x  ;  R  M  ,y.  Les  triangles1  réc- 
tangles  BS.M  ,  KRM  donneront  BM  =i  y/xx+yy , 
&  KM  z=z  y  a*  —  aax-h  xx  -+■  yy  ?  de  forte  que 
pour  remplir  la  condition  du  Problème,  l'on  aura1 
y/xx  -+-yy  .  \/aa—2ux-hxx-hyy  '  -  m  .  n.  D'OU 

Pontireyv  =  — * **  y    <lul  elt 

•'•'  mm  —  nn 

M4 


184  Analyse 

un    lieu    au    cercle    que    l'on    conitruira    ainfi; 

SoitprifeBG=-^-,&  BQ  =  -^-  ,    & 

1  m  -+-  n  >         m  —  n 

foit  décrit  du  diamètre  GQ,la  demi-circonférence 
GMQ.:  je  dis  qu'elle  fera  le  lieu  requis.  Car  ayant 

QRouBQ-BR=~ x ,  &  RG   ou 


am 
m 
am 

m 


BR-  BG  =  x ;  la  propriété  du  cer- 
cle ,  qui  donne  QRxRGr:  RM* ,  donnera  en 

,      .  lammx  —  aamm. 

termes  analytiques  yy— xx. 

1      ^  mm  —  nn 

Si  les  rayons  incidens  BA,  BM  (F/g.  1  20.  PL  6.) 
font  parallèles  à  une  droite  donnée  de  position,  la 
première  folution  aura  toujours  lieu  ;  mais  celle-ci 
deviendra  inutile  ,  &  on  pourra  lui  lubftituer  la 
fuivante. 

Soit  prife  FL  =  AH  —  H  F  ;  &  ayant  mené 
L  G  parallèle  à  A  B  &  perpendiculaire  fur  AP,  on 

prendra  LOr=-LG,  &on  tirera  LP  paral- 
lèle à  GO ,  &  P  M  parallèle  à  G  L.  Il  eft  clair 
{Art.  131.)  que  le  point  M  fera  celui  qu'on  cher- 
che ;  car  puifque  LO=  -  L  G,  ML=--PM, 

r       7  m  m 

Si  la  cauftique  F  H  par  réfraction ,  fe  réunit  en 

un  point;  les  courbes  AM  deviennent  les  Ovales 

de  Defcartes ,  qui  ont  fait  tant  de  bruit  parmi  les 

Géomètres. 

Corollaire  I. 

M3-  O  N  démontre  de  même  que  dans  les  cauf-r 
tiques  par  réflexion  ,  (  Art.   130.)  que  les  cour- 


des  Infiniment  Petits.  185 
bes  A  M  font  de  nature  différente  entr'elles ,  & 
qu'elles  ne  font  géométriques  que  lorfque  la  cauf- 
tiqueHFpar  réfra&ion  eft  géométrique  &  rec- 

tifiable. 

Corollaire     H. 

1 44.  \J  n  e  ligne  courbe  A  M  (  Fig.  1  2 1 .  PL  7.  ) 
étant  donnée  avec  le  point  lumineux  B  ,  &  la 
raiion  de  m  à  n  ;  trouver  une  infinité  de  lignes 
telles  que  D  N  ,  enforte  que  les  rayons  rompus 
M  N  le  rompent  de  nouveau  à  la  rencontre  de 
ces  lignes  DN  pour  fe  réunir  en  un  point  donné  C 
Si  l'on  imagine  que  la  ligne  courbe  H  F  foit  la 
cauftique  par  réfraction  de  la  courbe  donnée  A  M , 
formée  par  le  point  lumineux  B  ;  il  eft  clair  que 
cette  même  ligne  H  F  doit  être  aufli  la  cauftique 
par  réfra&ion  de  la  courbe  cherchée  D  N  ,  ayant 
pour  point  lumineux  le  point  donné  C.  C'eft  pour- 
quoi ( Art.  i32.)^BA+AH=-?  BM  +  MF 

+  FH,&NF  +  FH--NC=HD-BDCi 
&  partant -BA  +  AH=  "BM  +  MN+HD 

—  -DC  +  -NC;&  tranipoiant  à  l'ordinaire  , 

mm 

-BA--BM+"  D  C  +  AD  =  MN  + 

m  m  m 

—  N  C  Ce  qui  donne  cette  conftruclion. 
m 

Ayant  pris  à  difcrétion  fur  un  rayon  rompu 

quelconque  A  H  le  point  D  pour  un  de  ceux  de  la 

courbe  cherchée  DN,  on  prendra  fur  un  autre 


1 86  Analyse 

rayon  rompu  quelconque  M  F  la  partie  MK  = 

-BA--BM+-DC+ADi  &  ayant  trou- 
vé,  comme  ci-deflus  (  Art.  142.  )  ,  le  point  N  tel 
que  N  K  =  -  N  C  ,  il  eft  clair  (  Art.  132.) 
qu'il  fera  à  la  courbe  D  N. 

Corollaire     Général. 
Pour   les  trois    Sedlions  précédentes. 

145-  Il  eft  manifefte  {Art.  80.  85.  107.  108. 
114.  115.  128.  129.  134.  143.)  qu'une  ligne 
courbe  n'a  qu'une  feule  développée  ,  qu'une  feule 
cauftique  par  réflexion  ,  &  qu'un  leule  par  réfrac- 
tion ,  le  point  lumineux  &  le  rapport  des  finus 
étant  donnés  ,  lefquelles  lignes  font  toujours 
géométriques  &  redtifiables  lorfque  cette  courbe 
eft  géométrique.  Au  lieu  qu'une  même  ligne 
courbe  peut  être  la  développée  ,  &  l'une  &  l'autre 
cauftique  dans  le  même  rapport  des  finus ,  & 
dans  la  même  pofition  du  point  lumineux  ,  com- 
mune à  une  infinité  de  lignes  très  différentes  en- 
tr'elles ,  &  qui  ne  font  géométriques  que  lorfque 
cette  courbe  eft  géométrique  6c  rectifiable  (  Con- 
fulte\  la  Note  cinquante-deuxième.  ) 


^.s^ 


des  Infiniment  Petits.         187 
SECTION    VIII. 

Vf  âge  du  Calcul  des  différences  pour  trouver  les 
points  des  lignes  courbes  qui  touchent  une  infi-' 
nité  de  lignes  données  de  pofition  ,  droites  ou 
courbes. 

PROPOSITION    I. 

Problème. 

C"^  O  1  T  donnée  une  ligne  quelconque  A  M  B , 
1  c3  (  F*S-  î22-  "PL  7-  )  qui  ait  pour  axe  la 
droite  A  P  •  fuient  de  plus  entendues  une  infinité  de 
paraboles  A  M  C  ,  A  m  C  ,  qui  paffent  toutes  par 
le  point  A  ,  Ù  qui  ayent  pour  axes  les  appliquées 
P  M ,  pra,//  faut  trouver  la  ligne  courbe  qui  tou- 
che toutes  ces  Paraboles. 

11  eft  clair  que  le  point  touchant  de  chaque 
parabole  A MC  eft  le  point  d'interfe&ion  C  où 
la  parabole  AwC,  qui  en  eft  infiniment  pro- 
che ,  la  coupe.  Cela  pofé  >  &  ayant  mené  C  K 
parallèle  à  MP,  foient  nommées  les  données 
A  P  ,  x  ;  ?M,y  ;  &  les  inconnues  A  K ,  »•» 
K  C  ,  i-  On  aura  par  la  propriété  de  la  parabole , 
ÂP*(xx).  FR*(aa  —  2«x  H-  xx)  ::  MP  (>)  . 
MP  —  CK  {y  —  ^)-Ct  qui  donne  \xx  =  2uxy 
—  uuy ,  qui  eft  l'équation  commune  à  toutes  les 
paraboles ,  telles  que  A  M  C.  Or  je  remarque  que 
les  inconnues  AK  («)&  KG  (  ^  )  demeurent 
les  mêmes ,  pendant  que  les  données  AP(x) 


iS8  Analyse 

6c  P M  (y )  varient  en  devenant  Ap  ScpmiSc 
qu'il  n'arrive  que  KC(z)  demeure  la  même, 
que  lorfque  le  point  C  eft  celui  d'interfeclion  : 
car  il  eft  vifible  que  par  tout  ailleurs  la  droite  K  C 
coupera  les  deux  paraboles  A  M  C  ,  AmC  en 
deux  différens  points ,  ôc  qu'elle  aura  par  con- 
féquent  deux  valeurs  qui  répondront  à  la  même 
de  A  K.  C'eft  pourquoi  fi  l'on  traite  u  &  ^  comme 
confiantes,  en  prenant  la  différence  de  l'équa- 
tion que  l'on  vient  de  trouver ,  on  déterminera 
le  point  C  à  être  celui  d'interfection.  On  aura 
donc  izxdx  =  luxdy  4-  îuydx  — ■  uudy  :  d'où  l'on 
■it-  a   -xr     /      \  zxxdy  —  zyxdx 

tire  1  inconnue  AK    (u  )  =  — ,— -, —  en 

v      '  xdy  —  2ydx 

mettant  pour  z  fa  valeur  -^^ — —  ;  &  la  nature 

r  V  XX 

de  la  courbe  A  M  B  étant  donnée  ,  on  trouvera 
une  valeur  de  dy  en  dx  ,  laquelle  étant  fubftituée 
dans  la  valeur  de  AK,  cette  inconnue  fera  enfin 
exprimée  en  termes  entièrement  connus  &  déli- 
vrés des  différences.  Ce  qui  étoit  propofé. 

Si  au  lieu  des  paraboles  A  M  C  ,  on  propofoit 
d'autres  lignes  droites  ou  courbes  dont  la  pofition 
fût  déterminée  ,  on  réfoudroit  toujours  le  Pro- 
blême à  peu  près  de  la  même  manière  :  &  c'eft 
ce  que  l'on  verra  dans  les   Propofitions  fuivantes. 

Exemple. 

1 47.  \£  u  E  l'équation  xx  —  qay  ■ —  qyy  exprime 
la  nature  de  la  courbe  A  M  B  :  elle  fera  une  demi- 
ellipfe  qui  aura  pour  petit  axe  ,  la  droite  A  B 


des  Infiniment  Petits.  i8j 
b==  a  perpendiculaire  fur  A  P  ,  &  dont  le  grand 
axe  fera  double  du  petit. 

On  trouve  xdx=z  2ady—$ydy  ;  &  partant  AK. 
(  g**fo-gx^*  ,  __  ^  =  M>  D.ou  il  fùit  qlle  fi 

xdy  —  2 ydx      J  y 

l'on  prend  A  K  quatrième  proportionnelle  à  MP, 
PA,  AB,  &  qu'on  mené  KL  perpendiculaire 
fur  A  K  ;  elle  ira  couper  la  parabole  A  M  C  au 
point  cherché  C. 

Pour  avoir  la  nature  de  la  courbe  qui  touche 
toutes  les  paraboles ,  ou  qui  paffe  par  tous  les 
points  C  ainfi  trouvés,  on  cherchera  l'équation 
qui  exprime  la  relation  de  AK(«)^C(Oen 

d.  X 

cette  forte.  Mettant  à  la  place  de  u  fa  valeur  — 

dans  \xx  =  iuxy  —  uuy  ,  l'on  en  tire/  ==  — ^—     ; 

ôc  partant  x ou—  =  — - — •  Si  donc  l'on  met  ces 
r  a  la.  —  1 

valeurs  à  la  place  de  x  &  y  dans  xx  =  ^ay  —  qyy , 

on  formera  l'équation  uu  =  4a  a  —  4^  où  x  &c  y 

ne  fe  rencontrent  plus ,  &  qui  exprime  la  relation 

de  AK  à  KC.  D'où  l'on  voit  que  la  courbe  cherchée 

eft  une  parabole  qui  a  pour  axe  la  ligne  B  A ,  pour 

fommet  le  point  B ,  pour  foyer  le  point  A ,  &  dont 

le  paramétre  par  conféquent  eft  quadruple  de  AB. 

On  vient  de  trouver  y  ■=. ,  d'où  l'on  tire 

Q.J.  l 

K  C  (  ^  )  =  — — .  Or  comme  cette  valeur  eft 

pofitive  lorfque  27  furpaffe  a  ,  négative  lorfqu'il 
eft  moindre ,  &  nulle  lorfqu'il  lui  eft  égal  :  il  s'en- 


190  Analyse 

fuit  que  le  point  touchant  C  tombe  au-deflus  de 
AP  dans  le  premier  cas ,  comme  l'on  avoit  fuppo* 
fé  en  faifant  le  calcul  ;  au  deflous  dans  le  fécond  ,' 
&  enfin  fur  A  P  dans  le  troifïeme. 

Si  l'on  mené  la  droite  A  C  qui  coupe  M  P  en  G  ; 
je  dis  que  MG  =  BQ,  &  que  le  point  G  eft  le 


foyer  de  la  parabole  A  M  C.  Car  1°.  A  K  (  —  )  . 


2ay 


■  aa 


KC(^ -)::  AP(x).PG  =  zy  —  a.  & 

panant  MG  =  a  —  j/  =  BQ_.  20.  Le  paramètre  de 
la  parabole  A  M  C  ,  eft  =  4#  —  47  en  mettant 
pour  xx  fa  valeur  ^ay —  qyy  ;  8c  partant  M  G 
(  a  — y  )  eft  la  quatrième  partie  du  paramètre  : 
d'où  l'on  voit  que  le  point  G  eft  le  foyer  de  la  pa- 
rabole ;  &  qu'ainfi  l'angle  BAC  doit  être  divifé 
en  deux  également  par  la  tangente  en  A. 

Il  fuit  de  ce  que  le  paramètre  de  la  parabole 
AMC  eft  quadruple  de  BQ,,  que  le  fommet 
M  tombant  en  A  ,  le  paramètre  fera  quadruple 
de  AB  ,  ôc  qu'ainfi  la  parabole  ,  qui  a  pour 
fommet  le  point  A  ,  eft  afymptotique  de  celle  qui 
paffe  par  tous  les  points  C. 

Comme  la  parabole  BC  touche  toutes  les  para- 
boles telles  que  AMC;  il  eft  clair  que  toutes 
ces  paraboles  couperont  la  ligne  déterminée  AC, 
en  des  points  qui  feront  plus  proches  du  point 
A  que  le  point  C.  Or  l'on  démontre  dans  la  Ba- 
liftique  (  en  fuppofant  que  A  K  foit  horizontale  ) 
que  toutes  les  paraboles,  telles  que  AMC  ,  mar- 
quent le  chemin  que  décrivent  en  l'air  des  Bom-» 


des  Infiniment  Petits.  191 
bes  qui  ieroient  jettces  par  un  Mortier  placé  en 
A  dans  toutes  les  élévations  pofîîbles  avec  la  mê- 
me force.  D'où  il  fuit  que  fi  l'on  mené  une  droite 
qui  divife  par  le  milieu  L'angle  BAC;  elle  mar- 
quera la  pofition  que  doit  avoir  le  Mortier ,  afin 
que  la  Bombe  qu'il  jette  ,  tombe  fur  le  plan 
A  C  donné  de  pofition  ,  en  un  point  C  plus  éloi- 
gné du  Mortier ,  qu'en  toute  autre  élévation. 

PROPOSITION    II. 

P  B.  OBLÉME. 

148.0  oit  donnée  une  courbç  quelconque  A  M, 
(  Fig.  1  23.  PL  7.  )  qui  ait  pour  axe  la  droite  AP  ; 
trouver  une  autre  courbe  B  C  telle  qu'ayant  mené 
a  diferétion  l'appliquée  P  M  ,  &  la  perpendicu- 
laire P  C  a  cette  courbe ,  ces  deux  lignes  P  M  ,  P  C 
foient  toujours  égales  entr  elles. 

Si  l'on  conçoit  une  infinité  de  cercles  décrits 
des  centres  P  ,  p,  &  des  rayons  PC,  pC  égaux 
à  P  M  ,  pm  ;  il  eft  clair  que  la  courbe  cherchée 
B  C  doit  toucher  tous  ces  cercles ,  &  que  le  point 
touchant  C  de  chaque  cercle  eft  le  point  d'inter- 
ie&ion  où  le  cercle  qui  en  eft  infiniment  proche, 
le  coupe.  Cela  pôle  ,  foit  menée  C  K  perpendicu- 
laire fur  A  P  ;  foient  nommées  les  données  Se 
variables  A  P  ,  x  ;  P  M  ou  P  C  ,  y  ;  les  inconnues 
&  confiantes  A  K  ,  u  ;  KC ,  ^  ;  &  l'on  aura  par 
la  propriété  du  cercle  Pc1  =  PK1  -+-KC1 ,  c'eft-à- 
dire  ,  en  termes  analytiques  yy  ==  xx  ■ —  iux-+- 
uu  -+-  ^  ,  qui  eft  l'équation  commune  à  tous  ces 
cercles ,  dont  la  différence  eft  2ydy  ==  2xdx  — 


192  Analyse 

nudx  :  d'où  l'on  tire  PK  (x  —  u  )  =  y-^-  ;  ce  qui 

donne  cette  conftruction  générale. 

Soit  menée  M  Q  perpendiculaire  à  la  courbe 
A  M  ;  &  ayant  pris  P  K  =  P  Q  ,  foit  tirée  K  G 
parallèle  à  P  M  :  je  dis  qu'elle  rencontrera  le  cer- 
cle décrit  du  centre  P  &  du  rayon  P  C=P  M  au 
point  C ,  où  il  touche  la  courbe  cherchée  B  C. 

Ce  qui  eft  évident  ;  puifque  P  Q  =<~. 

On  peut  encore  trouver  la  valeur  de  P  K  de 
cette  autre  manière. 

Ayant  mené  P  O  perpendiculaire  fur  C  p  ,  les 
triangles  rectangles  p  O  P  ,  P  K  C  feront  fembla- 
bles  ;  &  partant    P  p  (  dx  )  .  O  p  (  dy  )  :  :  P  C* 

Lorfque  P  Q.=  P  M  ,  il  eft  clair  que  le  cercle 
décrit  du  rayon  PC  ,  touchera  KC  au  pomt  K  i 
de  forte  que  le  point  touchant  C  le  confondra 
avec  le  point  K ,  &  tombera  par  conféquent  fur 
l'axe. 

Mais  lorfque  P  Q.  furpaflera  P  M  ,  le  cercle 
décrit  du  rayon  P  C  ne  pourra  toucher  la  courbe 
BC  ;  puifqu'il  ne  pourra  rencontrer  la  droite 
K  C  en  aucun  point. 

Exemple. 

I45>-S01T  ^a  courDe  donnée  AM,  (F/g.  125. 
VI-  7.  )  une  parabole  qui  ait  pour  équation  ax  == 
yy.  On  aura  PQ  ou  P  K  (  x  —  a  )  =  \  a  ;  &  par 

conféquent  x  ==  |  a  ■+■  u  ,  &  yy  ;=  £  aa  +  ?K  à 

caufe 


des  Infiniment  Petits.  icj$ 
caufedu  triangle  reétangle  PKC  Or  fi  l'on  mec 
ces  valeurs  dans  ax  =  yy  ,  on  formera  l'équation 
\  aa  -+-  au  =-l-aa  -+-  ^  ou  \aa  ■+-  au  =  ^  ,  qui 
exprime  la  nature  de  la  courbe  BC.  D'où  il  eft 
clair  que  cette  courbe  eft  la  même  parabole  que 
A  M  ;  puifqu'elles  ont  l'une  &  l'autre  le  même 
paramètre  a  ,  &  que  Ion  fommet  B  eft  éloigné  du 
fommet  A  de  la  diftance  BA=:^. 

PROPOSITION    III. 

Problème. 

l^O.  joit  donnée  une  ligne  courbe  quelconque 
A  M  ,  (F/g.  i  24.  Pi.  y.)  qui  ait  pour  diamètre  la 
droite  A  P ,  £}  dont  les  appliquées  P  M  ,  pm  foient  pa~ 
ralleles  a  la  droite  A  Q,  donnée  de  pofaion  •  &  ayant 
mené  M  Q  ,  mq  parallèles  à  A  P  ,  foient  tirées  les 
droites  FQC,  pqC.  On  demande  la  courbe  AC  qui 
a  pour  tangentes  toutes  ces  droites  :  ou  ,  ce  qui  eft 
la  même  chofe  y  il  j! 'agit  de  déterminer  fur  chaque 
droite  P  Q.C  le  point  touchant  C. 

Ayant  imaginé  une  autre  tangente  pqC  in- 
finiment proche  de  P  Q  C  ,  &  mené  C  K  parallèle 
à  AQ,  on  nommera  les  données  &  variab'es  AP^ 
x  1  P  M  ou A  Q.,  y  ;  les  inconnues  &  confiantes 
AK,h;KC,^&  les  triangles  fcmblables  PA.Q3' 
PK  C  donneront  A  P(x  ).AQ(;)::PK  (* 

4-  u  )  .  KC  (  ^  )  ==  y  -+-  —  .  qui  eft   l'équation! 

commune  à  toutes  les  droites ,  telles  que  K  C.  Sa 

différence  eft  dy  4-  ^-^ '^-?  =  0  ,    d'où  Î'or 

XX 

N 


194  Analyse 

tire  AK(a)  =  -  ,  xx  y  ,  .  Ce  qui  donne  cette 

x      '  ydx  —  xdy  ± 

conftru&ion  générale. 

Soit  menée  la  tangente  MT  ,  &  foit  prife  AK 
troifieme  proportionnelle  à  A  T ,  A  P  :  je  dis  que 
fi  l'on  mené  KC  parallèle  à  A  Q. ,  elle  ira  couper 
la  droite  P  Q.C  au  point  cherché  C. 

CarAT(^*7^).  AP(x)::AP(x). 

ydx  —  Xdy 

Exemple    I. 

15 1.  S  01 T  la  courbe  donnée  A  M  ,  (  Fig.  1 24. 
PI.  7.  )  une  parabole  qui  ait  pour  équation  ax  = 
yy.  On  aura  A  T  =  A  P  -  d'où  il  fuit  que  A  K 
(  u  )  =  x ,  c'eft-à-dire ,  que  le  point  K  tombe 
fur  le  point  T.  Si  l'on  veut  à  préient  avoir  une 
équation  qui  exprime  la  relation  de  AK(«)à 
KC  (O;  on  trouvera  KC(^)  =  2_y  ,  puifque 
l'on  vient  de  trouver  que  PK  eft  double  de  A  P. 
Mettant  donc  à  la  place  de  x  &  y  leurs  valeurs 
u  &  \\ dans  ax  =yy  ,  ort  aura  ^au  =  %$  :  d'où 
Ton  voit  que  la  courbe  AC  eft  une  parabole 
qui  a  pour  fommet  le  point  A  ,  &  pour  paramé- 
tre une  ligne  quadruple  du  paramètre  de  la  para- 
bole A  M. 

Exemple     II. 

1 5  2.  S  o  1  T  la  courbe  donnée  AM  ,  (  Fig.  1 1 5. 
PI.  7.  )  un  quart  de  cercle  B  M  D  qui  ait  pour 
centre  le  point  A,  &  pour  rayon  la  ligne  AB  ou 
A  D,  que  j'appelle  a,  Il  eft  clair  que  P  Q.  eft  tou- 


des  Infiniment  P  e  t  r  t  s.  T95 
jours  égale  au  rayon  A  M  ou  AB  ,  c'eft-X-dire  , 
qu'elle  eft  par-tout  là  même  :  de  forte  que  l'on 
peut  concevoir  que  Tes  extrémités  P  ,  Q  ghflent  le 
long  des  côtés  B  A  ,  A  D  de  l'angle  droit  B  A  D. 

On  aura  AK(«)=  — ,  puifque  A  T  =  —  :  & 

les  parallèles  K  C  ,  A  Q.  donneront  A  P  (  x  )  .  PQ 

(a)::AK(—  )QC  =  — .  D'où  l'on  voit  que 

pour  avoir  le  point  touchant  C ,  il  n'y  a  qu  à  pren- 
dre QC  troifieme  proportionnelle  àPQ8c  A  P. 
Si  l'on  cherche  l'équation  qui  exprime  la  nature 
de  la  courbe  B  C  D  ,  on  trouvera  celle-ci  , 
u6 — ^aau*  ■+•      -$cfuu —        a('  =  c 

+       ï 

Corollaire      I. 

1 5  3  •  S  1  l'on  veut  chercher  le  rapport  de  la  por- 
tion D  C  de  la  courbe  B  C  D  à  fa  tangente  CP  , 
l'on  imaginera  une  autre  tangente  cp  infiniment 
proche  de  CP  ;  &  ayant  décrit  du  centre  C  le  petit 
arc  PO,   l'on  aura  c  p —  CP  ou  Op  —  Cc=. 

■ ,  pour  la  différence  de  G  P  = : 

a    *  r  a 

d'où  l'on  tire  Ce  =  O  P  4-  2-^.  Or  à  caufe  des 

a 

triangles  redtangles  femblables  QT  A  ,  ?pQ ,  l'on 
auraPQ_(«;.AP(x)  :  :  ?p(dx)  .  OP  =  ^  . 


ig6  Analyse 

&  partant  Ce  =  *—  —  D  C  —  De.  Il  eft  donc 
manifefte  qu  en  quelque  endroit  que  1  on  prenne 
le  point  C ,  l'on  aura  toujours  D  C  —  D  c  (  :î— )  • 

CP  — cp  (  ~ -  '■  )  :  :  3   •   2-   D'où  il  fuit  que  la 

fomme  de  toutes  les  différences  D  C  —  De  qui  ré- 
pondent à  la  droite  FD  \  c'eft-à-dire,  {Art.  $6-  ) 
la  portion  D  G  de  la  courbe  B  C  D  ,  eft  à  la  fom- 
me de  toutes  les  différences  C  P  —  cp  qui  répon- 
dent à  la  même  droite  PD  ,  c'eft-à-dire  (  Art. 
96.)  à  la  tangente  CP:  :  3  .  2.  Et  de  même  que  la 
courbe  entière  BCD  eft  à  fa  tangente  BA  :  :  3  .  2. 

Corollaire    II. 

154.31  l'on  développe  la  courbe  B  C  D  en  com- 
mençant par  le  point  D  ,  on  formera  ,1a  ligne 
courbe  DN  F  telle  que  CN  .  C  P  :  :  3  .  2.  puifque 
CN  eft  toujours  égale  à  la  portion  DC  de  la 
courbe  BC  D.  D  où  il  fuit  que  les  feûeurs  fem- 
blables  CN»  ,  C  P O  font  entr'eux  :  :  9  .  4.  Se 
partant  que  l'efpace  DCN  renfermé  par  les  cour- 
bes DC,  DN  ,  &  par  la  droite  CN  qui  eft 
tangente  en  C  ,  &  perpendiculaire  en  N  ,  eft  à 
l'efpace  D  C  P  renfermé  par  la  courbe  D  C  ,  &  par 
lesdiux  tangentes  DP  ,  CP ,  comme  9.  à  4. 

Corollaire     III. 

1 5  5 .  l_j  E  centre  de  pefanteur  du  fecteur  CN/î 
doit  être  fitué  fur  l'arc  P  O  ;  pui.que  C  P  —  -  C  N. 
Et  comme  cet  arc  eft  infiniment  petit  ,  il   s'en- 


des  Infiniment  Petits.  197 
fuit  que  ce  centre  doit  être  fur  la  droite  A  D  ;  & 
partant  que  le  centre  de  pefanteur  des  efpaces 
DCN,  É  D  F  qui  font  compofés  de  tous  ces  fec- 
teurs ,  doit  être  fur  cette  droite  A  D  :  de  forte 
que  fi  l'on  décrivoit  de  l'autre  côté  de  B  F  une 
figure  toute  pareille  à  EDF,  le  centre  de  pe- 
fanteur de  la  figure  entière  feroit  au  point  A. 

Corollaire    IV. 

156.  A  caufe  des  triangles  rectangles  femblables 
PQA,pPO,  l'on  auraPQ,(«).  AQ.011  PM 


oxy'aa 


(V*a-xx)::?p  (dx).?0=  "  "*—".  Et 
à  caufe  des  fecleurs  femb'ables  CPO  ,  CN»  , 
l'on  aura  auflïC  P  .  CN  ,  ou  2  .  3  :  :  PO  (  4x^Jayx)  . 


N»  =  ldx^--xx..   Or  le  reûangle    MPxPp, 

c'eft-à-dire ,  (  Art.  2.  )  le  petit  efpace  circulaire 
M  P  p  m  =  dx  \/âa  ■ —  xx.  On  aura  donc  AB  x 
Nb  =|  M  P pm  :  d'où  il  fuit  que  la  portion  N  D 
de  la  courbe  D  N  F  étant  multipliée  par  le  rayon 
AB  ,  eft  fefquialtére  du  fegment  circu  aire  DMP  , 
&  que  la  courbe  entière  D  N  F  eft  égale  aux  trois 
quarts  de  B  M  D ,  quatrième  partie  de  la  circonfé- 
rence du  cercle. 

P  K  O  P  O  S  I  T  I  O  N    IV. 

Problème. 

157-0  oit  donnée  une  courbe  quelconque  AM, 
(F/g.  126.  PL  7.  )   qui  ait  pour   axe   la    droite 

N  3 


Ti)S  Analyse 

A  P  ,°  &  [oient  entendues  une  infinité  de  perpen- 
diculaires M  C  ,  m  C  à  cette  courbe.  On  demande 
la  courbe  qui  a  pour  tangentes  toutes  ces  perpen- 
diculaires :  ou  ce  qui  efl  la  même  chofe  ,  il  faut 
trouver  fur  chaque  perpendiculaire  MC   le  point 

touchant  C. 

Ayant  imaginé  une  autre  perpendiculaire  m  C 
infiniment  proche  de  MC,  avec  une  appliquée 
M  P ,  l'on  mènera  par  le  point  d'interfe&ion  C  les 
droites  CK  perpendiculaire,  &  CE  parallèle  à  l'axe  : 
ayant  enfuite  nommé  les  données  &  variables  AP, 
x  ;  P  M  ,  y  ;  les  inconnues  &  confiantes  A  K  ,  u  ; 

KÇtti  l'on  aura  PQ.^^,  PK  ou  CE  =  « 

— -  x ,  MEr=j  +  ^;&les  triangles  rectangles 
Semblables  M  P  Q  ,  M  E  C  donneront  MP  (y  )  . 

Pa(jg)  ::ME(^  +  O.EC  («  —  *}== 

yay  +?7  qUi  eft  une  équation  commune  à  tou- 

Ux  * 

tes  les  perpendiculaires  telles  que  MC,  &  dont  la 
différence  (  en  fuppofant  dx  confiante  )  donne  — 

_  ydiy  +  dy*+iddy  .  d,ou  ron  dre  M£  (^ 

dx 

ÈÙ,  Or  la  nature  de  la  courbe  A  M 


—  ddy 

étant  donnée ,  l'on  aura  des  valeurs  de  dyy  &  ddy 

dxx-+-dy'L 

en  dx\  lefquelles  étant  fubftituées  dans    _  , 

donneront  pour  M  E  une  valeur  entièrement  con- 
nue &  délivrée  des  différences.  Ce  qui  étoit  propofê. 


des  Infiniment  Petits.  199 
Il  eft  évident  que  la  courbe  qui  pafle  par 
tous  les  points  C  ,  eft  la  développée  de  la  courbe 
A  M  5  5c  comme  l'on  en  a  traité  exprès  dans 
la  Seclion  cinquième ,  il  feroit  inutile  d'en  donnes 
ici  des  exemples  nouveaux. 

PROPOSITION    V. 

Problème. 

15?- Deux  lignes  quelconques  A  M  ,  BN 
(  Fig.  i2j.PL  7.  )  étant  données  avec  une  ligne 
droite  MN  qui  demeure  toujours^  la  même  ;  on 
fuppofe  que  les  extrémités  M  ,  M  de  cette  ligne 
glijjent  continuellement  le  long  des  deux  autres  , 
&  l'on  demande  la  courbe  qu'elle  touche  toujours 
dans  ce  mouvement. 

Ayant  mené  les  tangentes^  MT  ,  NT,  & 
imaginé  une  autre  droite  mn  infiniment  proche 
de  M  N ,  &  qui  la  coupe  par  conféquent  au 
point  C  où  elle  touche  la  courbe  dont  il  s'agit 
de  déterminer  les  points.  Il  eft  clair  que  la  droite 
M  N  ,  pour  parvenir  en  mn  ,  a  parcouru  par  fes 
extrémités  les  petites  portions  Mm  ,  N  n  des 
lignes  A  M,  BN,  lefquelles  font  communes  à 
caufe  de  leur  infinie  petiteffe  ,  aux  tangentes 
T  M  ,  T  N  :  de  forte  que  l'on  peut  concevoir 
que  la  ligne  M  N  pour  parvenir  dans  la  Situation 
infiniment  proche  mn  ,  aitglifle  le  long  des  droites 
XM,TN  données  de  pofition. 

Cela  bien  entendu  ,  (oient  menées  fur  N  T  les 
perpendiculaires  M  P  ,  C  K  5  foient  nommées  les 

N4 


200  Analyse 
données  &  variables  T  P ,  x  ;  P  M ,  y  ;  les  incon- 
nues &  confiantes  TK  ,  u  ;  KG  ,  ^  ;  &  la  donnée 
MN  qui  demeure  par-tout  la  même  ,  a.  Le  trian- 
glercftangle  MPN  donnera  PN  =  j/«  —  3?» 
&  à  cauie^des  triangles  femblables  NPM  ,  NKC  , 
l'on  aura  N  P  (  }/aa—yy  )  •  PM  (y)  ::  NK 
> v  r*"t  J\  uy  —  xy 

(a_x_v/w_^j.KC(0-,^yy-;. 

dont  la  différence  donne  aaudy  —  aaxdy  —  aaydx 
'^.ydx  =  aaay  —  yydy*\/ **  —  yy  ■  d  ou  en  fai.ant 
\/+j.  —  y y  — m  pour  abréger, ion  tire  PK(?*  —  x) 

__  ^dy^-mmyJx  =  rr.*-*-m»x  en   meUant  pour 

Ujdy  d'I 

ydx  fa  valeur  x^/y ,  à  caufe  des  triangles  fembla- 

bleswRM,  MPT,- &  partant  MC  = : 

ce  qui  donne  cette  conftaiction. 

"Soit  menée  TE  perpendiculaire  fur  MN,  & 
foit  priie  Vl  C  =  N  E  :  je  dis  que  le  point  C  fera 
çe'ui  qu'on  cherche.  Car  à  caufe  des  triangles  rec- 
tangles femblables  M  N  P ,  T  N  E  ,  l'on  aura  MN 
M.NP(»)::NT(œ  +  x).NE  ou  M  G 


mx 


Autre  manière.  Ayant  mené  TE  perpendicu- 
laire fur  M  N  ,  &'  décrit  du  centre  C  les  petits  arcs 
3J$S,  NO,  on  nommera  les  données  NE,  r; 
£T,  s  ;  M  N  ,  a  ;  &  l'inconnue  C  M  ,  t.  On 
aura  S  m  ou  On  =  dt  ;  &  les  triangles  rectangles 
femblables  MET&»*SM,NET&»ON, 
Q  À  S  &  Ç  N  O  donneront  ME(r-  a).  ET 


des  Infiniment  Petits.        201 
(O  ::mS(dt).  SM=— .    Et  N  E  (r). 

ET(j)  ::hO  (&j  .  O  N  =  -  .  E;  MS  —  NO 

Ce  qui  donne  la  même  conftruûion  que  ci-defîus. 
Si  l'on  fuppofe  que  les  lignes  A  M  ,  BN  foient 
des  droites  qui  fafient  entr'elles  un  angle  droit  ;  il 
eft  vifible  que  la  courbe  cherchée  eft  la  même 
que  celle  de  Fart-  1 5  2. 

PROPOSITION     VI. 

Problème. 

159'OOIENT  données  trois  lignes  quelconques 
L,  M  ,  N;  (Fig.  128.  PL  7.  )  &  foient  enten- 
dues de  chacun  des  points  L  ,  1  de  la  ligne  L  deux 
tangentes  L  M  &  L  N  ,  1m  &  In  ,  aux  deux  courbes 
M  &  N  ,  une  a  chacune.  On  demande  la  quatrième 
courbe  C  ,  qui  ait  pour  tangentes  toutes  les  droites 
M  N  ,  mn  qui  joignent  les  points  touchans  des 
courbes  M  ,  N. 

Ayant  tiré  la  tangente  LE  ,  &  mené  par  un  de 
fes  points  quelconque  E  les  perpendiculaires  EF  , 
EGfur  les  deux  autres  tangentes  ML  ,  NL  , 
on  concevra  que  le  point  /  foit  infiniment  près 
du  point  L;  on  tirera  les  petites  droites  LH, 
LK  perpendiculaires  fur  ml,  ni;  comme  auffi 
les  perpendiculaires  MP37wP,NQ,wQfur 
les  tangentes  ML,  ml  ,  N  L  ,  ni  ,  lefquelles 
perpendiculaires  s'entrecoupent  aux  points  P  & 


202  Analyse 

Q,  Tout  cela  formera  les  triangles  rectangles 
femblables  EFL  ,  &  LH/  ,  EGL  &  LK/; 
comme  aufli  les  triangles  LMH&MPr/?,  L  w  K 
&NQ»reftangles-enH&  w  ,  K  &  N,  qui  fe- 
ront femblables  entr'eux ,  puifque  les  angles  LMH, 
M  ?m  étant  joints  l'un  ou  l'autre  au  même  an- 
cle  PM«,  font  un  droit.  On  prouvera  de  même  , 
que  les  angles  L«K,  NQw  font  égaux  entr'eux. 
Cela  pofé  ,  on  nommera  le  petit  côté  M  m  du 
polygone  qui  compofe  la  courbe  M,  du  ;  &  les 
données  EF  ,  m  ;  E  G,  n  ;  MN  ou  «à*  ,  «  ;  ML 
ou  /»(,  &  i  N  L  ou  ni ,  c  ;  MPoumP,/;  NQ. 
ou  »  Q ,  g  (  je  prens  ici  les  droites  M  P  ,  N  Q  pour 
données  ,  parce  que  la  nature  des  courbes  M  ,  N 
étant  donnée  par  la  fuppofition  ,  on  les  pourra 
toujours  trouver  (Art.  78.  )  ;  &  l'on  aura  ,  1°. 

M?(/).ML(6)::Mw(^«).LH  =  y.  2°. 

EF(*O.EG  (w)::LH  (y-)  •  LK  =  -^p 

3^LNouL«(0-»Q-(g)::LK(^)  .  «N 

jfc*&     0>  (  menant  M  R  parallèle  à  NL  ou  »/) 

cfm 
«/(*).  ln(c)::mM(du)  .  MR  =  ^--     5°- 

MR+N«(1^^)-MR(t)  :   ••   MN 

N    t  cjm  ° 

(«).MC=      /^^     -.  Ce  qu'il  falloir  trouver. 

Si  la  tangente  EL  tomboit  fur  la  tangente  ML, 
il  eft  clair  que  EF  (»*)  deviendrait  nulle  ou  zéro  5 


desInfiniment  Petits.  205 
&  partant  que  le  point  cherché  C  tomberoit  fur 
le  point  M.  De  même  fi  la  tangente  E  L  fe  con- 
fondoit  avec  la  tangente  L  N  ,  alors  E  G  (  n  )  de- 
viendroit  nulle  ,  &  l'on  aurait  par  conféquent  MC 
z=a  :  d'où  l'on  voit  que  le  point  cherché  C  tom- 
beroit aufïi  fur  le  point  N.  Et  enfin  fi  la  tangente 
E  L  tomboit  dans  l'angle  G  LI  ;  en  ce  cas  E  G 
(  n  )  deviendrait  négative  :  ce  qui  donnerait  alors 

MC  =  — - — — — —  ;   &  le  point  cherché  C  ne 

ccjrn  —  bbgn  l 

tomberoit  plus  entre  les  points  M  &  N  ,  mais  de 
part  ou  d'autre. 

Exemple    I. 

160. Su  pp osons  que  les  courbes  M  5c  N  (Fig. 
129.  PI.  y.  )  ne  faffent  qu'un  cercle.  Il  eft  clair 
en  ce  cas  que  b  =  c,  &  f=  g  ;  ce  qui  donne  MC 

3  d'où  l'on  voit  qu'il  ne  faut  alors  que 


am 


m 


couper  la  droite  M  N  en  raifon  donnée  de  m  à  n 
pour  avoir  le  point  cherché  C  \  c'eft-à-dire  ,  en- 
forte  que  M  C .  N  C  :  :  m  ■  n. 

Exemple.      IL 

161. Supposons  que  les  courbes  M  &  N 
foient  une  Scftion  conique  quelconque.  La  conf- 
tru£tion  générale  fe  peut  changer  en  cette  autre 
qui  eft  beaucoup  plus  fïmple ,  fi  l'on  fait  attention 
à  une  propriété  des  Sections  coniques,  que  l'on 
trouve  démontrée  dans  les  Livres  qui  en  traitent  : 
fçavoir  que  fi  l'oa  mené  de  chacun  des  points 
L,  /  d'une  ligne  droite  EL  deux  tangentes  LM 


204  Analyse 

&LN,fe&/»  à  une  Section  conique  j  toutes 
les  droites  MN  ,  mn  qui  joignent  les  points  tou- 
chans  ,  fe  couperont  dans  le  même  point  C  , 
par  lequel  paffe  le  diamètre  A  C  ,  dont  les  ordon- 
nées îont  parallèles  à  la  droite  EL.  Car  il  luit 
de  là  ,  que  pour  avoir  le  point  C  ,  il  ne  faut  que 
mener  un  diamètre  qui  ait  fes  ordonnées  paral- 
lèles à  la  tangente  EL. 

II  eft  évident  que  dans  le  cercle  ,  le  diamètre 
doit  être  perpendiculaire  fur  la  tangente  E  L  ; 
c'eft-à-dire ,  qu'en  menant  de  fon  centre  A  une 
perpendicu  aire  A  B  fur  cette  tangente,  elle  cou- 
pera la  droite  M  M  au  point  cherché  G. 

R    E    M    A    E.    Q_    V    Ê. 

162.  On  peut  par  le  moyen  de  ce  Problême 
(F/g.  12%. PL  7.  )  réfoudre  celui-ci  qui  dépend 
de  la  Méthode  des  Tangentes. 

Les  trois  courbes  C  ,  M  ,  N  ,  étant  données  , 
on  fera  rouler  une  ligne  droite  MN  autour  de 
ïa  courbe  C  ,  enforte  qu'elle  la  touche  continuel- 
lement ;  on  tirera  par  les  points  M  ,  N  ,  où 
elle  coupe  les  courbe?  M  &  N  ,  les  tangentes 
ML  ,  NL  qui  s'entrecoupent  en  un  point  L, 
lequel  décrit  dans  ce  mouvement  une  quatrième 
courbe  L/.  Il  s'agit  de  tirer  la  tangente  LE  de 
cette  courbe  ,  la  pofition  des  droites  M  N  ,  ML, 
N  L  étant  donnée  avec  le  point  touchant  C 

Car  il  eft  vifible  que  ce  Problême  n'eft  que  l'in- 
verfe  du  précédent,  &  qu'ici  M  C  eft  donnée  :  ce 
qu'on  cherche,  c'eft  la  raifon  de  EF  ,  EG,  qui 


des  Infiniment  Petits.  205 
détermine  la  pofition  de  la  tangente  E  L.  C'eft 
pourquoi  fi  l'on  nomme  la  donnée  M  C  ,  h  5  Ton 

accf>n  .       ,,    I    ,,  bfghn 

aura   — — — - —  =/;:doul  on  tire  rn  —  — ~ — -.; 

ccjm-+-  ùDgn  accj  —  ccjk 

&  par  coniéquent  la  tangente  LE  doit  être  telle- 
ment fituée  dans  l'angle  donné  ML  G,  que  fi  Ton 
mené  d'un  de  fcs  points  quelconque  E  les  perpen- 
diculaires K  F  ,  E  G  fur  les  côtés  de  cet  angle  , 
elles  loient  toujours  entr'elles  en  raifon  donnée  de 
bbgh  ùv  accf —  ccfh.  Or  cela  fe  fait  en  menant  MD 

parallèle  à  N  L ,  &  égale  à      f gh   CL. 
r  ,  acci  —  ccfh 

Il  eft  évident  (  Art.   161.  )  que  fi  les  deux 

courbes  M  &  N  (  Fig.  1  29.  PL  7.  )  ne  font  qu'une 
Section  conique  ,  il  ne  faudra  que  tirer  la  tan- 
gente LE  parallèle  aux  ordonnées  du  diamètre 
qui  pafîe  par  le  point  C.  (  Corifulte^  la  Note  5  3e.  ) 


206  A    N  A  L  Y  S  E     . 

■— — ^^— nrwmfflWfW"'— iinii   mu  mu  i   i  mini      i  un  imiHnii 

* ■  i  .     — —  ■  i  — — — — - '  ■'  ■■■  '    '  i— ^— ^ 

SECTION     IX. 

Solution  de  quelques  Problêmes  qui  dépendent 
des  Méthodes  précédentes. 

PROPOSITION    I. 
Problème. 

Ç^  Ol  T  une  ligne  courbe  AMD  (  Fig.  I  30. 
l65\3p/.7.)(AP=x,  PM^y,  ABr=à) 
telle  que  la  valeur  de  l 'appliquée  y  foit  exprimée  par 
une  fraclion  ,  dont  le  numérateur  &  le  dénomina- 
teur deviennent  chacun  \ero  lorfque  x  —  a  ,  cejla- 
dire  ,  lorfque  le  point  P  tombe  fur  le  point  donné  B. 
On  demande  quelle  doit  être  alors  la  valeur  de 
l'appliquée  B  D. 

Soient  entendues  deux  lignes  courbes  ANB, 
CO  B ,  qui  ayent  pour  axe  commun  la  ligne  A  B , 
&  qui  foient  relies  que  l'appliquée  P  N  exprime  le 
numérateur  ,  5c  l'appliquée  P  O  le  dénominateur 
de  la  fradlion  générale  qui  convient  à  toutes  les 

P  M  :  de  forte  que  P  M  =     pxQ    .  11    eft    clair 

que  ces  deux  courbes  fe  rencontreront  au  point  B; 
puifque  par  la  fuppofnion  PN  &  P  O  deviennent 
chacune  zéro,  lorfque  le  point  P  tombe  en  B.  Cela 
pofé ,  fi  l'on  imagine  une  appliquée  bd  infiniment 
proche  de  B  D  ,  &  qui  rencontre  les  lignes  cour- 
bes A  N  B  ,  C  O  B  aux  points  /,  g  ;  l'on  aura  bd 


des  Infiniment  Petits.         207 

=  — - — -  3  laquelle  (  Art.  2.)  ne  diffère  pas  de 

BD.  Il  n'eft  donc  queftion  que  de  trouver  le  rap- 
port de  bg  à  bf.  Or  il  eft  vifible  que  la  coupée  AP 
devenant  A  B  ,  les  appliquées  PN,  PO  devien- 
nent nulles,  &  que  AP  devenant  A&,  elles  de- 
viennent bf,  bg.  D'où  il  fuit  que  ces  appliquées  , 
elles  mêmes  bf,  bg ,  font  la  différence  des  appli- 
quées en  B  &  b  par  rapport  aux  courbes  ANB, 
C  OB  ;  &  partant  que  fi  l'on  prend  la  différence 
du  numérateur ,  &  qu'on  la  divife  par  la  diffé- 
rence du  dénominateur,  après  avoir  fait  x~a 
=  Ab  ou  A  B  ,  l'on  aura  la  valeur  cherchée  de 
l'appliquée  là  ou  B  D.  Ce  qu'il  falloit  trouver. 

E    X  E  M    T  L  B.       I. 

-     W                     1/ '24  >x  —  xi—  àyaax    .,     „ 
i64-O0IT  y  —  K : •  H  eft 


4 


ax 


clair  que  lorfque  x  =  a  ,  le  numérateur  &  le  dé- 
nominateur de  la  fraction  deviennent  égaux  cha- 
dun  à  zéro.  C'eft  pourquoi  l'on  prendra  la  diffé- 

aïix —  zx^dx         aadx       ,  , 

rence      .  ~ s —   du  numérateur  ,    & 

y  QMÏx  —  x*       31/axx 

on  la  divifera  par  la  différence  —  —■ —  du  déno- 
ta 3jt 
minateur  ,  après  avoir  fait  x  =  a  ,  c'eft-à-dire  , 
qu'on  divifera  —  *  aàx  par  —  |  dx  •  ce  qui  donne 
*  a  pour  la  valeur  cherchée  de  B  D. 


16 
0 


208  Analyse 

EXLMPLE         II. 


i  t  y  =  — — A  •   On  trouve  y  =  ta 


-Vax' 


165. So 

lorquex  =  #. 

On  pourroit  réfoudre  cet  exemple  fans  avoir 
befoin  du  ca'cul  des  différences ,  en  cette  iorte. 

Ayant  ôté  les  incommenfurables  ,  on  aura 
aaxx  +  zaaxy  -  axyy  -  2a}x-^at>-^aayy  -  2aly  zz  0  , 
qui  étant  divifé  par  x —  a,  fe  réduit  à  aax—  a> 
.+.  2aay  —  ayy  —  0  5  &  fubftituant  a  pour  x  ,  il 
vient  comme  auparavant  y  =  2a. 

L   E    M    M    E. 

1 66-  S  °  l  T  une  l'ëne  courbe  quelconque  B  C  G  , 
(Fig.  1  3  1.  PI-  7>  )  <^""  ""?  ^g"e  cfroz're  AE  qui 
la  touche  au  point  B  ,  &  fur  laquelle  foient  marqués 
a  difcrétion  deux  points  fixes  A ,  E.  Si  l'on  fait 
rouler  cette  droite  autour  de  la  courbe  ,  enforte 
quelle  la  touche  continuellement  ;  il  ejl  clair  que 
les  points  fixes  A  ,  E  décriront  dans  ce  mouvement 
deux  courbes  AMD,  E  N  H.  Si  l'on  mené  a.  pré- 
fent  VL  parallèle  a.  A  B  ,  &  qui  faffe  par  confé- 
quent  avec  D  K  {fur  laquelle  je  fuppofe  la  droite 
AE  lorfquelle  touche  la  courbe  BCG  en  G)  l'angle 
K  D  L  égal  a  l'angle  A  O  D  fait  par  les  tangentes 
en  B  ,  G  •  ù  que  l'on  décrive  comme  on  voudra  3 
du  centre  D  l'arc  K  F  L. 

J^/x^DK.KFL::AE.  AMD  ±  ENH  . 

fçavoir  -+■  lorfque  le  point  touchant  tombe  toujours 

entre  les  points  décrivans  ,  &  —  lorfqu'il  les  laifife 

toujours  du  même  coté,  c  . 


des  Infiniment  Petits.  209 
Car  fuppofant  que  la  droite  A  E  en  roulant 
autour  de  la  courbe  B  C  G  ibit  parvenue  dans 
les  portions  MCN,  mCn  infiniment  proches 
Tune  de  l'autre,  &  menant  les  rayons  DF,  Df 
parallèles  à  CM,  Cm  :  il  eft  clair  que  les  lec- 
teurs DFf,  CM «2,  CNh  feront  femblables  j 
&  qu'amfi  D  F.  F/::CM.M«::  CN.N«:: 
CM±CNouAE.Mw±Nb.  Or  comme  cela 
arrivera  toujours  en  quelqu'endroit  que  fe  trouve 
le  point  touchant  C ,  il  s'enfuit  que  le  rayon 
D  K  eft  à  l'arc  KFL  ,  fomme  de  tous  les  petits 
arcs  F/:  :  A  E .  AMD  +  ENH,  fomme  de  tous 
les  petis   arcs  M  m  ±  Nh.  Ce  qu'il  falioit  dé« 


montrer. 


Coroiiaire  I. 


167.  Il  eft  vifible  que  les  courbes  AMD, 
E  N  H  font  formées  par  le  développement  de  la 
même  courbe  B  C  G  ;  &  qu'ainfi  la  droite  A  E 
eft  toujours  perpendiculaire  fur  ces  deux  courbes 
dans  toutes  les  pofitions  où  elle  fe  rencontre  ; 
de  lorte  que  leur  diftance  eft  par-tout  la  même; 
ce  qui  eft  la  propriété  des  lignes  parallèles.  D'oii 
l'on  voit  qu'une  ligne  courbe  AMD  étant  don- 
née ,  on  peut  trouver  une  infinité  de  points  de 
la  courbe  EN  H  fans  avoir  befoin  de  fa  déve- 
loppée BCG,  en  menant  autant  de  perpendicu- 
laires que  l'on  voudra  à  cette  courbe  ,  8c  4e; 
prenant  toutes  égales  à  la  droite  AE. 


2io  Analyse 

CoROILAIRE       II. 

1 68.  S i  la  courbe  BCG  a  fes  deux  moitiés 
BC,  CG  entièrement  femblables  &  égales  ,  & 
que  l'on  prenne  les  droites  B  A  ,  G  H  égales 
entr'elles;  il  eft  clair  que  les  courbes  AMD, 
E  N  H  feront  femblables  6c  égales,  enforte  qu'elles 
ne  différeront  que  par  leur  polïtion.  D'où  il  luit 
que  la  courbe  A  M  O  fera  à  l'arc  de  cercle  KFL 
:  :  'r  A  E.  D  K.  c'eft-à-dire  ,  en  raifon   donnée. 

PROPOSITION    II. 

Problème. 

169.  Soient  deux  courbes  quelconques  AEV  , 
BCG,  (F/g.  1  3  2.  PL  7.)  avec  une  troifieme  AMD, 
telle  qu'ayant  décrit  par  le  développement  de  la 
courbe  BCG  une  portion  de  courbe  EM,/«  rela- 
tion des  portions  de  courbes  A  E ,  E  M  ,  Ù  des 
rayons  de  la  développée  E  C  ,  M  G  foit  exprimée 
par  une  équation  quelconque  donnée.  On  propofe  de 
mener  a" un  point  donné  M  fur  la  courbe  AMD 
la  tangente  M  T. 

Ayant  imaginé  une  autre  portion  de  courbe 
ém  infiniment  proche  de  E  M  ,  6c  les  rayons  de 
la  développée  CeF,GwR;  Soit  ,  1  °.  CH  per- 
pendiculaire fur  CE,  6c  qui  rencontre  en  H  la 
tangente  EH  de  la  courbe  AEV.  20.  ML  parallèle 
à  C  E  ,  &  qui  rencontre  en  L  l'arc  GL  décrit 
du  centre  M  ôc  du  rayon  M  G.  30.  GT  per- 
pendiculaire fur  MG  ,  &  qui  rencontre  en  T  la 
îangente  cherchée  M  T. 


des  Infiniment  Petits.  ±\\ 
On  nommera  enfuite  les  données  A  E  ,  x  • 
ÊM,j/i  CE,  «j  GM,^i  CH,  si  EH,?' 
l'arc  GL  ,  r  :  d'où  l'on  aura  Ee  =  dx  ,  Fe  ou 
Rm  =:  du  =  d\  ;  &  les  triangles  rectangles  fem- 
blableseFE,  ECH  donneront  CE  («).CH 

(j)::Fc  (^)-  FE=^.  Et  CE  («)•  EH 


(t  )  :  :  Fe  (^).  Ee  (rfx)  =  — ^.Or  par  le  Lem« 

me(A/.  1 66.  )  RF  — »7e  =  ^;  &partantRM 

t 

(KF  —  me ,  n-me  — ME  +  ME— -MF)==  — -^ 

f^  -h  — .  Donc  à  caufc  des  triangles  rectangles 
femblables  r/?  RM  ,  MGT ,  l'on  aura  m\\  (d\  )  . 

RM(ri+^+^)  ::   MG(0.  GT=  t 
~*~  ^-t-  ^r .  Mais  fi  l'on  met  dans  la  différence 

u        ai 
de  l'équation  donnée   à  la  place  de   du   Se   d% 

td7 

leurs  valeurs  dzSc-1-,  l'on  trouvera  une  valeur 
u 

de  ày  en    ^  ,    laquelle    étant  fubftituée  dans 

%t-  ,  il  viendra  pour  la  foutangente  cherchée  GT 

une  valeur  entièrement  connue  &  délivrée  des 
différences.  Ce  qui  étoit  propofé. 

O  % 


212  Analyse 

Si  l'on  fuppofe  que  la  courbe BC G  (F/g  i %%. 
FI.  y.)  fe  réunifie  en  un  point O  ;  il  eft  vifible 
que  la  portion  de  courbe  ME  O)  fe  change 
en  un  arc  de  cercle  égal  à  l'arc  G  L  (  r  )  , 
&  que  les  rayons  CE  («),  GM  (O  de  la 
développée  deviennent  égaux  entr'eux  :  de  lorte 
que  G  T  ,  qui  devient  en  ce  cas  O  T  ,  le  trou- 


ver  a  —  -  y  •+■  s  h-  szf- 


Exemple 


170.  Sony  ==%  ;  les  différences  donneront  dy  \ 

{FiS.  1 3  3.  VI.  7.)  =  fc^i  (  on  prend  (^rf .  8.)  | 
'. —  xd\  au  lieu  de-«-x/^;  parce  que  x  Se  y  croifiant , 
^  diminue  )  —  — — — ,  en  mettant  pour  dx  fa 

valeur ~-  ;  Se  partant  OT  (j/+j  +  1^ -  )  =  y 

+  j  +  -i 1-  = 1,  en  mettant  pour  — L  la 

<z  <z  a 

valeur  y. 

Remarque. 

171.  S  1  le  point  O  tombe  fur  l'axe  A  B  ,  (F/g. 
134.  PL  7.)  &  que  la  courbe  AEV  foit  urj 
demi-cercle  ;  la  courbe  AMD  fera  une  demi- 
roulette  ,  formée  par  la  révolution  d'un  demi- 
cercle  BSN  autour  d'un  arc  égal  èGN  d'un  cer« 


des  Infiniment  Petits.  215 
de  décrit  du  centre  O ,  Se  dont  le  point  géné- 
rateur A  tombera  dehors ,  dedans ,  ou  fur  la 
circonférence  du  demi-cercle  mobile  BSN,  félon 
que  la  donnée  a  fera  plus  grande  ,  moindre  ,  ou 
égale  à  OV.  Pour  le  prouver,  &  déterminer 
en  même  temps  le  point  B. 

Je  luppofe  ce  qui  eft  en  queftion  .  fçavoir  que 
la  courbe  AMD  eft  une  demi- roulette  ,  formée 
par  la  révolution  du  demi-cercle  BSN  ,  qui  a  pour 
centre  le  point  K.  centre  du  demi-  cercle  AEV  , 
autour  de  l'arc  BGN  décrit  du  centre  ()  ;  ôc  con- 
cevant que  ce  demi-cercie  BSN  s'arrête  dans  la 
iîtuation  BGN ,  telle  que  le  point  décrivant 
A  tombe  lur  le  point  M  ,  je  mené  par 
les  centres  des  cercles  générateurs  la  droite  OK 
qui  pane  par  conféquent  par  le  point  touchant 
G  ;  6c  tirant  K  S  E  ,  j'obierve  que  les  triangles 
O  K  £  ,  O  K  M  font  égaux  &  femblables ,  puif- 
que  leurs  trois  côtés  font  égaux  chacun  à  cha- 
cun. D'où  il  fuit  i°.  Que  les  angles  extrêmes 
MOK  ,  EOK.  font  égaux  ;  &  qu'ainfi  les  angles 
M  O  E  ,  G  O  B  le  font  auffi  :  ce  qui  donne  G  B  . 
ME::  OB.  OE.  2°.  Que  les  angles  MKO  . 
EKO  font  encore  égaux;  &  qu'ainfi  les  arcs 
GN,  BS,  qui  les  mefurent  ,  le  font  aulïi  :  la 
même  chofe  fe  doit  dire  de  leurs  complémens 
GB  ,  SN,  à  deux  droits  ;  puifqu'ils  appartiennent 
à  des  cercles  égaux.  Or  par  la  génération  de  la 
roulette,  l'arc  GB  du  cercle  mobile  eft  égal  à 
l'arc  GB  de  l'immobile.  J'aurai  donc  SN» 
ME::  OB.  OE.Cela  pofé , 


O3 


214  Analyse 

Je  nomme  les  données  OV,J;  KVouKA, 
ç  ;  &  l'inconnue  K  B  ,  a.  J'ai  OB=i+c  —  a  ; 
&  les  fe&eurs  femblables  K  E  A  ,  K  S  N  me 
donnent  KE  (c).KS  («)  ::  AE  (x).SN 

=  — .  Et  partant  OB  (6  -*■  c  —  u  ) ,  O  E  (  <  )  :  : 

SNf^.EM^)^^ =^.D«où 

îe  tire  KB(a)  == -.  11  eft  donc   évident 

i  x     '  a~i-   c 

que  fi  l'on  prend  KB  =z  -— ,&  qu'on  décrive 

des  centres  K  &  O  le  demi-cercle  BSN  &  l'arc 
BGN  •  la  courbe  AMD  fera  une  demi-roulette 
d'écrite  par  la  révolution  du  demi- cercle  BSN, 
autour  de  l'arc  BGN  ,  &  dont  le  point  décri- 
vant A  tombe  dehors ,  dedans  ,  ou  fur  la  cir- 
conférence de  ce  cercle  ,  félon  que  KV  (  ç  )  eft 

plus  Grand  ,  moindre  ,  ou  égal  à  KB(— — c), 

*  ,  •  tl  H—   C 

c'eft-à-dire  ,  félon  que  a  efx  plus  grand  ,  moindre  s 
çu  égal  àOV(i). 

COKOUAIRE,     I. 

I72,Il  eft  clair  que  EM  (;),AE(x)  :  : 
KBxO£(«^).OBxKV  {hc  +  cc  —  ac). 
Or  fi  l'on  fuppofe  que  O  B  devienne  infinie  ; 
la  droite  O  E  le  fera  aufïi  ,  &  deviendra  paral- 
lèle à  O  B,  puifqu'elle  ne  la  rencontrera  jamais  ; 
les  arcs  concentriques  BGN,  E  M  deviendront 
des  droites  parallèles  entr'elles ,  &  perpendicu- 
laires fur  O  B  3  O  E  ;  &  alors  la  droite  £  M  fera 


des  Infiniment  Petits.  215 
à  l'arc  AE::  KB.  KV.  parce  que  les  droites 
infinies  OE  ,  OB  ne  différant  entr'elles  que 
d'une  grandeur  finie  ,  doivent  être  regardées 
comme  égales. 

Corollaire.    I  T. 

173.  De  ce  que  les  angles  MKO  ,  EKO  font 
égaux,  il  fuit  que  les  triangles  MKG,  EKB 
feront  égaux  &  femblables  ;  &  qu'ainfi  les  droites 
M  G  ,  E  B  font  égales  entr'elles.  D'où  l'on  voit 
(Art.  43.)  que  pour  mener  d'un  point  donné 
M  fur  la  roulette,  la  perpendiculaire  MG,  il 
n'y  a  qu'à  décrire  du  centre  O  l'arc  M  E  ,  & 
du  centre  M  de  l'intervalle  E  B  un  arc  de  cercle 
qui  coupera  la  bafe  BGN  en  un  point  G ,  par 
où  &  par  le  point  donné  M  l'on  tirera  la  per- 
pendiculaire requile. 

Corollaire      III. 

174-XJn  point  G  étant  donné  fur  la  circon- 
férence du  demi-cercle  mobile  BGN  ;  fi  l'on 
veut  trouver  le  point  M  de  la  roulette  fur  lequel 
tombe  le  point  décrivant  A  ,  lorfque  le  point 
donné  G  touche  la  bafe  ,  il  ne  faut  que  prendre 
l'arc  S  N  égal  à  l'arc  B  G  ,  &  ayant  tiré  le 
rayon  KS  qui  rencontre  en  E  la  circonférence 
A  fi  V  ,  décrire  du  centre  O  l'arc  EM.  Car  il 
eft  évident  que  cet  arc  coupera  la  roulette  au 
point  cherché  M. 


O4 


2i6  Analyse 

PROPOSITION     III. 

Problème. 

Î75.O oi  t  une  demi-roulette  AMD  (  F/g.  135- 
136.  VI.  7.)  décrite  par  la  révolution  du  demi-' 
cercle  BGN  autour  d'un  arc  égal  BGN  d'un  autre 
cercle  ,  en  for  te  que  les  parties  révolues  BG  ,  BG 
f oient  toujours  égales  enîr  elles  •  [oit  le  point  dé-, 
crivant  M  pris  fur  le  diamètre  B  N  dehors  ,  de- 
dans ,  ou  fur  la  circonférence  mobile  BGN.  On  de- 
mande le  point  M  de  la  plus  grande  largeur  de 
la  demi-roulette  par  rapport  a  fon  axe  O  A. 

Suppofant  que  le  point  M  ioit  celui  qu'on 
cherche  ,  il  eft  clair  (  Art.  47.  )  que  la  tangente 
en  M  doit  être  parallèle  à  l'axe  OA;&  qu'ainfi  la 
perpendiculaire  MC  à  la  roulette  •>  doit-être  auiîi 
perpendiculaire  fur  l'axe  qu'elle  rencontre  au 
.point  P.  Cela  pofé  ,  fi  l'on  mené  OK  par  les 
centres  des  cercles  générateurs ,  elle  parlera  par 
ïe  point  touchant  G  ;  Scû  Fon  tire  K  L  perpen- 
diculaire fur  M  G  ,  on  formera  les  angles  égaux 
GKL,  GOB;  &  partant  l'arc  IG  qui  eft  le 
double  de  la  mefure  de  l'angle  GKL  ,  fera  à  l'arc 
G  B  mefure  de  l'angle  GOB,  comme  le  dia- 
mètre BN  eft  au  rayon  O  B.  D'où  il  fuit  que 
fiour  déterminer  lur  le  demi-cercle  BGN  le 
point  G,  où  il  touche  l'arc  qui  lui  fert  de  bafe 
îorfque  le  point  décrivant  M  tombe  fur  celui 
de  la  plus  grande  largeur  j  il  faut  couper  le  demi- 
cercle  BGN  en  un  point  G  ,  enforte  qu'ayant 
ciré  par  le  point  donné  M  la  corde  I  G  ,  l'arc 
ÏQ  foit  àl'arc  B  G  en  raifon  donnée  de  BN  ^ 


des  Infiniment  Petits.  i\yr 
O  B.  La  queftion  fe  réduit  donc  à  un  Problême 
de  la  géométrie  commune  qui  fe  peut  toujours 
réfoudre  géométriquement,  îorfque  la  raifon  don- 
née eft  de  nombre  à  nombre  ;  mais  avec  le  fe- 
eours  des  lignes  dont  l'équation  eft  plus  ou  moins 
élevée  ,  félon  que  la  raifon  eft  plus  ou  moins 
compoiée. 

Si  l'on  fuppofe  que  le  rayon  O  B  devienne 
infini ,  comme  il  arrive  Iorfque  la  bafe  B  G  N 
devient  une  ligne  droite  ;  il  s'enfuit  que  l'arc  1G 
fera  infiniment  petit  par  rapport  à  l'arc  G  B.  D'où 
l'on  voit  que  la  fécante  M  I  G  devient  alors  la 
tangente  MT,  Iorfque  le  point  décrivant  M 
tombe  au  dehors  du  cercle  mobile  ;  &  qu'il  ne 
peut  y  avoir  de  point  de  plus  grande  largeur , 
lorfqu'il  tombe  au  dedans- 

Lorfque  le  point  M  tombe  fur  la  circon- 
férence en  N ,  il  ne  faut  que  divifer  la  demi- 
circonférence  BGN  en  raifon  donnée  de  BN  à 
O  B  au  point  G.  Car  le  point  G  ainfî  trouvé  „ 
fera  celui  où  le  cercle  mobile  BGN  touche  la  baie» 
lorfque  le  point  décrivant  tombe  lur  le  point 
cherché. 

L  E  M  m  e     II. 

1 76.  E.  N  tout  triangle  B  A  C,  (  Fig.  1  37.  PI-  7.  ) 
dont  les  angles  ABC,  ACB,  er  C  A  D  com- 
plément a  deux  droits  de  ï angle  obtus  BAC,  font 
infiniment  petits  ,•  je  dis  que  ces  angles  ont  même 
y  apport  entreux  que  les  cotés  A  C  ,  A  B  ,  B  C  , 
aufquels  ils  font  oppofès. 

Car  fi  l'on  circonicrit  un  cercle    autour   du 


2i8  Analyse 

triangle  BAC,  ies  arcs  A  C  ,  A  B ,  BAC  ,  qui 
mefurent  les  doubles  de  ces  angles ,  leront  in- 
finiment petits ,  &  ne  différeront  (  Art.  3.  )  point 
par  conféquent  de  leurs  cordes  ou  foutendantes. 
Si  les  côtés  AC  ,  AB  ,  BC  du  triangle  BAC  , 
ne  font  pas  infiniment  petits ,  mais  qu'ils  ayent 
une  grandeur  finie  :  il  s'enfuit  que  le  cercle  cir- 
confcrit  doit  être  infiniment  grand;  puifque  les 
arcs  AC,  AB,  BAC,  qui  ont  une  grandeur 
finie ,  doivent  être  infiniment  petits  par  rapport 
à  ce  cercle ,  étant  les  mefures  d'angles  infini- 
ment petits. 

PROPOSITION    IV. 

Problème. 

177.  JLjES  mêmes  chofes  étant  pofées  ;  il  faut 
déterminer  fur  chaque  perpendiculaire  M  G , 
(  Fig.  135.  136.  PI.  7.  )  le  point  C  ou  elle  touche 
la  développée  de  la  roulette. 

Ayant  imaginé  une  autre  perpendiculaire  mg 
infiniment  proche  de  M  G ,  &  qui  la  coupe  par 
conféquent  au  point  cherché  C  ,  on  tirera  la 
droite  G  m  ;  &  ayant  pris  fur  la  circonférence  du 
cercle  mobile  le  petit  arc  Gg  égal  à  l'arc  Gg  de 
l'immobile ,  on  mènera  les  droites  Mg ,  \g ,  Kg  , 
Og.  Celapofé  ,  fi  l'on  regarde  les  petits  arcs  Gg, 
Gg  comme  de  petites  droites  perpendiculaires 
fur  les  rayons  Kg  ,  Og  ,  il  eft  clair  que  le  petit 
arc  Gg  du  cercle  mobile  tombant  fur  l'arc  Gg- 
de  l'immobile  ,  le  point  décrivant  M  tombera  fur 
m  ,  enforte  que  le  triangle  GMg  fe   confondra 


DES    I  N  F  I  N  I  M  EN  T    P  E  T  1  T  S.  219 

avec  le  triangle  Gmg.  D'où  l'on  voit  que  l'angle 
MGm  eft  égal  à  l'angle  gGg  =  GKg-f-GOg  i 
puifqu'ajoutant  de  part  &  d'autre  les  mêmes 
angles  KGg ,  OGg ,  l'on  en  compofe  deux  droits. 
Or  nommant  les  données  O  G  ,  &  ;  KG 3  a  - 
GM  ou  Gm  ,  W  ,  GI  ou  Ig ,  n  ;  l'on  trouve  3  Pre- 
micrement  OG.  KG::GKg,GOg.  EtOG 
(fc).OG  +  GKou  OK(&h-*)::  GKg  .  GKg 


GOg  ou  MG?n  =  ^-GKg.  2°.(Ar.i76.yg. 


b 


MI  ::  GMg.  Mgl.  Et  Ig±  MI  ou  MG  (»). 
Ig.  (w)::GMg±MgIouGIgou  ^GKg.  GMg 

ou  Gwg  =s  —GKg.  $°.(lbid)  L'angle  MC»j 


2/71 


ou  MGm  . —  Gwg  (  — —  — —  GKg  )  .  Gwg  (  — 
GKg)::  Gm  (m).  GC  = ^ — -.  Et 

°'  s        '  2am-+-  ibm — bn 

par  conféquent  le  rayon   cherché  MG  de  la  dé- 

d,      r                   2amm  -4-  ibtr.m 
oppee  fera  = : —• 

1 1  2am  H-  zbm  —  bn 

Si  l'on  fuppofe  que  le  rayon  OG(&)  du  cercle 
immobile  devienne  infini ,  fa  circonférence  de- 
viendra une  ligne  droite  ;  &  en  effaçant  les 
termes  ïamm  ,  iam  ,  parce  qu'ils  font  nuls  par 
rapport  aux  autres  ibmm  3  zbm  • — bn  ,  l'on  aura 

2mm 


MC  = 


2m  —  n 

Corollaire    I. 


*7  '  J_Je  ce  que  l'angle  MGm  =  a— — GKg, 
&  de  ce  que  les  arcs  de   différens  cercles  font 


220  Analyse 

entr'eux   en  raifon  compofée  des  rayons  &  des 

angles  qu'ils  meiurent  ;  il  luit  que  Gg .  M  m  :  :  KG  x 

GKg.  M  G  x — - — GKg.  Etparconféquentauffi 

que  KG  x  Mm  =  — - —  MG  x  Gg  ;  ou  (  ce  qui 

eft.  la  même  chofe  )  que  KG  x  Mm  .  M  G  x  Gç  :  : 
OK  (  a-\-b  ).  OG  (  b  ) .  qui  eft  une  raion  conf- 
tante.  D'où  l'on  voit  que  la  dimenfion  de  la  por- 
tion AM  de  la  demi-roulette  AMD,  d'pend 
de  la  fomme  des  MG  x  Gg  dans  i'arc  GB  •  & 
c'eft  ce  que  M.  Vafcal  a  démontré  à  l'égard  des 
roulettes  qui  ont  pour  bafes  des  lignes  droites. 
M.  Varignon  eft  tombé  dans  cette  même  pro- 
priété par   une  voie  très-différente  de  celle-ci. 

Corollaire     II. 

179.  i_j or  s  que  le  point  décrivant  M.  (  Fig, 
155.  PL  y.)  tombe  hors  de  la  circonférence  du 
cercle  mobile ,  il  arrive  nécessairement  l'un  des 
trois  cas  iuivans.  Car  menant  la  tangente  MT, 
îe  point  touchant  G  tombera  i°.  Sur  l'arc  TB  , 
comme  l'on  a  iuppofé  dans  la  figure  en  faifant 

le  calcul  ;  &  alors  MC  (    ^mm^2bmm    )    fur. 

v   iatn-+-  20m.  —  on  ' 

paffera  toujours  MG  {m).  20.  Sur  le  point  tou- 
chant T;&l'onaura  pour  lors  MC(  •— r1 — 7-) 

1  ^2a.m-t- 20m  —  bn' 

=  ;?z,  puifque  IG  (  n  )  s'évanouit-  30.  Sur  l'arc 
T  N,  &  alors  la  valeur  de  GI  (  n  )  devenant  né- 
gative de  pofitive  qu'elle  étoit ,   l'on  aura  MG 

2amm-\-  ïbmm        ,     r  -.*^r  •     1 

—  — — — :  de  lorteque  MC  iera  moindre 


des  Infiniment  Petits.        .221 

que  MG  (  m  )  ,  &  toujours  pofitif.    D'où  il  eft 

évident  que   dans  tous  ces  cas  ,  la    valeur  du 

rayon  MC  de  la  développée  eft  toujours  pofitive. 

Corollaire     II J. 

1 80.  L,  orsque  le  point  décrivant  M  (  F/g.  1 3  6", 
VI.  7.  )   tombe  au  dedans  de  la  circonférence  du 

...  .  ut  r>  iamm-i-zèmm 

cercle  mobile,  on  a  toujours  JV.  L,  = : 7-; 

'  2un-i-2bm — bn 

Se  il  peut  arriver  que  bn  furpaffe  2am-*-ibm  9 
&  qu'ainfi  la  valeur  du  rayon  MC  de  la  déve- 
loppée loir  négative  :  d'où  l'on  voit  que  lors- 
qu'elle cène  d'être  pofitive  pour  devenir  néga- 
tive ,  comme  il  arrive  (  Art.  81.)  lorfque  le 
point  M  devient  un  point  d'inflexion  ,  il  faut 
nécefîairement  alors  que  bn  =  iam  -+-  ibm  ;  & 

partant  que  Ml  x  m(j{mn — mm  j — • 

Or  fi  l'on  nomme  la  donnée  KM  ,  c  ;  l'on  aura 

.  iuTT-n/r/"'/'  2^7rtm  —S-  bmm  x 

par  la  propriété  du  cercle  MI  x  MO  { ) 

=BMxMN(W — ce),  ce  qui  donne  l'inconnueMG 
(m)  —  V**—±Z%  Donc  fi  l'on  décrit  du  point 
donné  M  comme  centre ,  Se  de  l'intervalle  MG 
__  \/aab--bcc      n  cerc]e      jj  coupera  le   cercle 

7.x  -f-  b 

mobile  en  un  point  G  ,  où  il  touchera  le  cercle 

immobile  qui  lui  fert  de  bafe  ,  lorfque  le  point 

décrivant  M  tombera  fur  le  point  d'inflexion  F. 

Si  l'on  mené  MR  perpendiculaire  fur  BN  ;  il 

eft  clair  que  cette  MG  (  1^^=^)  fera  moindre 


222  A  N   A  L  V  S  Ë 

que  MR.  (Vaa  —  cc  ) ,  &  qu'elle  lui  doit  être  égale 
lorfque  b  devient  infinie,  c'eft-à-dire,  lorfque 
la  bafe  de  la  roulette  devient  une  ligne  droite. 
Il  eft  à  remarquer  ,  qu'afin  que  le  cercle  dé- 
crit du  rayon  M  G  coupe  le  cercle  mobile  ,  il 
faut  que  MG  furpafle  MN  ,  c'eft-à-dire,  que 
|/  aab  —  bû  furpafle  a, —  c  ;  &  qu'ainfi  KM  (  c)  fur- 

pafle  -^—ç  D'où  il  eft  manifefte  qu'afin  qu'il  y 

ait  un  point  d'inflexion  dans  la  roulette  AMD  , 
il  faut  que  KM  foit  moindre  que  KN  ,  &  plus 

i  lia 

grande  que 7. 

L  E  M  M  E.       III. 

1 8 1  •  Soient  deux  triangles  ABb,  CDd  (F/g.  1 3  8. 
PL  8.  )  qui  ayent  chacun  un  de  leurs  cotés  Bb  , 
Dd  infiniment  petit  par  rapport  aux  autres  :  je 
dis  que  le  triangle  ABb  ejl  au  triangle  CDd  en 
raifon  compofêe  de  V angle  BAb  a  l'angle  DCd  ,  & 
du  quarrê  du  coté  AB  ou  Ab  au  quarré  du  coté 
CD  ou  Cd. 

Car  fi  l'on  décrit  des  centres  A ,  C ,  5c  des 
intervalles  AB  ,  CD  ,  les  arcs  de  cercle  BE ,  DF  ; 
il  eft  clair  (Art.  2.)  que  les  triangles  ABb  , 
CDd  ne  différeront  point  des  fe&eurs  de  cercles 
ABE,  CDF.  Donc,  &c. 

Si  les  côtés  AB,  CD  font  égaux  ,  les  triangles 
ABb ,  CDd  feront  entr'eux  comme  leurs  angles 
BA*,  DC^.  I 


des  Infiniment  Petits.'       22^ 

PROPOSITION    V. 

Problème. 

182.  JLjES  mêmes  chofes  étant  toujours  pofées  s 
on  demande  la  quadrature  de  l'efpace  MGBA  , 
(F/g.  155.  P/.  7.)  renfermé  par  les  perpendiculaires 
MG  ,  B  A  h  la  roulette ,  par  l'arc  GB  ,  à  par  la 
portion  AM  de  la  demi-roulette  AMD  ,  enfuppo- 
fant  la  quadrature  du  cercle. 

L'angle  GMg  (  ~  GKg)  eftà  l'angle  MGm 

(a  GKg  ) ,  comme  (/4r*.  1 8 1 .)  le  petit  trian- 
gle MGg  qui  a  pour  bafe  l'arc  Gg  du  cercle  mo- 
bile ,  au  petit  triangle  ou  lecteur  GM»j;&  par- 

le&eur  GMm  =  —  MGg  x  — —  — — - — 

n  00 

xMGg+^-i-^x  MGg  en  nommant  MI,  p  „ 

on 

&  mettant  pour  m  fa  valeur  p+».  Or  {Art.  1 8 1 .) 
le  petit  triangle  ou  fe&eur  KGg  eit  au  petit 
triangle  MGg  en  raifon  compofée  du  quarré  de 
KG  au  quarré  de  MG  ,  &  de  l'angle  GKg  à 
l'angle  G  M  g  ;  c'eft-  à-dire  ::  aa   x  GKg.  w#îx 

GKg.   &  partant  le   petit  triangle  M  Gg 


n 


KG<?.  Mettant  donc  cette  valeur    à  la 
place  du  triangle  MGg  dans  2ap  ~*"  ~  p  MGg,l'on 

°  on 

aura    le  fecteur    GMw  =  2a  *T"  2    M  Gg  + 


2  24 


Analyse 


*-t-fexPm  KGg.  Mais  à  caufe  du  cercle  ,  G  M  * 

ML  (pm)  =  Byi  xWN(cc-aa)  qui  eft  une 
quantité  confiante  ,  &  qui  demeure  toujours 
la  même  en  quelqu'endroit  que  le  trouve  le  point 
décrivant  M  ;  &  par  coniequent  GMw  +  MGg 
ou  wGg  ,  c'eft-à-dire  ,  le  petit  elpace_de_la_rou- 

,  _,_,  za-i-lb    ,„^  a~h  bx  ce  —  a& 

lette  GMmg  =  — j2-  MugH ~b 

KGg.  Donc  puifque  GM?rg  eft  la  différence  de 
l'efpace  de  la  roulette  MGBA  ,  &  MGg  ,  celle  de 
l'efpace  circulaire  MGB ,  renfermé  par  les  droites 
MG  ,MB,  &  par  l'arc  GB  ,  &  que  de  plus  le  pe- 
tit fe&eur  KGg  eft  la  différence  du  fecteur  KGB  ; 
il  s'enfuit  (Art.  96.)  que  l'efpace  dejajroulette 

MGBA  =  2-^MGB  +  *~+>*«—i  KGB. 

b  aab 

Ce  qu'il  falloit  trouver. 

Lorfque  le  point  décrivant  M  (F/g.  139-  Pi-  8-  ) 
tombe  hors  la  circonférence  BGN  du  cercle  mo- 
bile ,  &  que  le  point  touchant  G  tombe  fur  l'arc 
NT;  il  eft  vifible  (Art.  180.)  que  les  perpen- 
diculaires MG  ,  mg  s'entrecoupent  en  un  point 
C ,   &    qu'on  a  pour  lors  m  =  p  —  n.  D'où  il 

fuit  que  le  petit  fecteur  GM?»= -r—-   M  G  g 

+  aap  T  2èp  MG^_  ÎÎL-2?  MGg  + 

on  b 

— — — —  KGg ,  en  mettant  comme  auparavant 

aab 

pour  le  petit  triangle  MGg  fa  valeur  —KGg; 


Des  Infiniment  Petits,         iii 
&  partant  que  G  Mm  —  MG^ou  m  Gg  ,  c'eft- 

à-dire   MCffl-GC^-^MG.M^ 


— - KO  g,  en  mettant  pour  pm  la  va- 
leur ce  —  aa.  Or  fuppofant  que  TH  (bit  la  por- 
tion de  la  tangente  TM  du  cercle  mobile  ,  lorf- 
que  Ton  point  T  touche  la  bafe  au  point  T  ;  il 
eft  clair  que  MO/?  —  GCg=  MGTH  —  mgTtï , 
c'eil-à-dire ,  la  différence  de  l'efpace  MG1 H  ,  & 
que  MGg  eft  celle  de  MGT  ,  de  même  que  KGg 
celle  de  KGT.  Donc  {Art.  96.  )  l'efpace  MGTK 

ifM'GT  +  "f*xr"     KGT. 


b  aab 

JfV?ais ,  comme  l'on   vient   de  prouver  ,    l'efpace 
HTB  A  ==  2a  ~*~  3b  M  T  B  +a~&  *  ct ~  ■"■  KTB. 

b  aab 

Et  partant  on  aura  toujours  &  dans  tous  les  cas 
l'efpace  MGB  A  (MGTH-+-  HTB  A)  —  f±±_L* 


■IX 


;\;iB-MufouMGB  +  '^    c; ~ua  KTJT 

aab 

•+■  K  l'B  ou  K  G  B. 

Donc  l'efpace  entier  D  N  B  A  (  F/g.  1 35.  P/.  7.) 
renfermé  par  les  deux  perpendiculaires  à  la  roulet- 
te DN  ,  B  A  ,  par  l'arc  de  cercle  BGN,  &  par  la  de- 

mi-roulette  AMD,  eft  =:  - — ■ \- 


b  aab 

X  K  N  G  B  ;  puifque  le  fefteur  K  G  B  &  l'efpace 
circulaire  MGB  deviennent  chacun  le  demi- 
cercle  K  N  G  B  ,  lorfque  le  point  touchant  Q 
tombe  au  point  N. 


216  Analyse 

Lorfque  le  point  décrivant  M  (  Fîg.  136*. 
VI  7.  )  tombe  au  dedans  du  cercle  mobile  ,  il 
faut  mettre  aa  —  c c  à  la  place  de  ce —  aa  dans 
les  formules  précédentes  ;  parce  qu'alors  B  M 
xMN  =  w  —  ce. 

Si  l'on  fait  c~a  3  l'on  aura  la  quadrature 
des  roulettes  qui  ont  leur  point  décrivant  fur 
la  circonférence  du  cercle  mobile  ;  &  fi  l'on 
fuppofe  b  infinie  ,  l'on  aura  la  quadrature  de 
celles  qui  ont  pour  baies  les  lignes  droites. 

Autre     solution. 

183.  On  décrit  du  rayon  OD  (Fig.  140.  PL  7.) 
l'arc  DV,  &  des  diamètres  AV  ,  BN  les  demi- 
cercles  AEV  ,  BSN  ;  &  ayant  décrit  à  diferé- 
tion  du  centre  O  l'arc  EM  renfermé  entre  le 
demi  cercle  AEV  &  la  demi-roulette  AMD  , 
l'on  mené  l'appliquée  EP.  Il  s'agit  de  trouver 
la  quadrature  de  l'eipace  AEM  compris  entre 
les  arcs  A  E  ,  E  M  ,  &  la  portion  A  M.  de  la 
demi- roulette  A  M  D. 

Pour  cela  ,  foit  un  autre  arc  cm  concentrique 
&  infiniment  proche  de  E  M  ,  une  autre  appli- 
quée ep ,  une  autre  Oe  qui  rencontre  l'arc  M  E 
prolongé  (  s'il  efl  néceffaire  )  au  point  F.  Soient 
nommées  les  variables  OE ,  1  ;  VP ,  u  ;  l'arc  AE, 
x  ;  &  comme  auparavant  les  confiantes  OB,  &; 
F  B  ou  KN,«;KVou  K  A  ,  c  :  l'on  aura  Fc 
—  d\  ,  Pp  =  du  5  OP-«  +  ^f  +  a,   Fh.1 

Û.2CT 

=  i'cû  —  uu  ,  l'arc  E  M  (  Art.  1 72.  )  =  -—-;  6c 


des  Infiniment  Petits.  22* 
partant  le  re&angle  fait  de  l'arc  EM  par  la  petite 
droite  Fe ,  c'eft-à-dire  (  Art.  2.  )  le  petit  efpace 

EMme  =  — r~^.  Or  à  caufe  du  triangle  réctan- 

bc  ° 

gle  OPE;  z%  =  aa  -+-  iab  -*-bb  —  zac  —  2bc 
-t-  ce  -f-  2  au  ■+-  ibu ,  dont  la  différence  donne  \d^ 
^=  adu  -+-  bdu.    Mettant  donc  cette  valeur  à  la 

place  de  ^d\  dans  —±-±  ,  l'on  aura  le  petit  efpace 


EM  me 


bc 
aaxdu  -+-  abxdu 


bc 

Maintenant  fi  l'on  décrit  la  demi-roulette 
A  H  T  par  la  révolution  du  demi- cercle  A  E  V 
fur  la  droite  VT  perpendiculaire  à  VA,  &  qu'on 
prolonge  les  appliquées  PE  ,  pe  jufqu'à  ce  qu'elles 
la  rencontrent  aux  points  H  ,  h  :  il  eft  clair  (  Art, 
172.  )  que  E  H  x  Pp  ,  c'eft  à-dire ,  le  petit  efpace 

EH/ie  =  xdu  ;  &  qu'ainfi  EMr^(  aaxdu^bxdu  >  ; 

bc  ' 

EH/ze  (  xdu  )  :  :  aa  -+-  ab  .  bc  .  qui  eft  une  raifon 
confiante.  Or  puifque  cela  arrive  toujours  en  quel- 
qu'endroit  que  fe  trouve  l'arc  EM  ,  il  s'enfuit  que 
la  fomme  de  tous  les  petits  efpaces  EMwe  ,  c'eft- 
à-dire  l'efpace  AEM  ,  eft  à  la  fomme  de  tous  les 
petits  efpaces  EHhe ,  c'eft-à  dire  ,  à  l'efpace  AEH 
\:aa-\-ab .  bc.  Mais  l'on  a  (Art-yy.)  la  quadrature 
de  l'efpace  AEH  dépendamment  de  celle  du  cercle; 
&  partant  aufTi  celle  de  l'efpace  cherché  AEM. 
Ceci  fe  peut  auiîî  démontrer  fans  aucun  cal- 
cul ,  comme  j'ai  fait  voir  dans  les  A  des  de 
Leypfiç  au  mois  d'Août  de  l'année  1695. 

P2 


228  Analyse 

On  peut  encore  trouver  la  quadrature  de  l'ef- 
pace  AEfi  fans  avoir  recours  à  l'art.  99.  Car  fi 
l'on  achevé  les  re&angles  PQ. ,  pq  ,  l'on  aura 
Q«7  ou  HR.Pp  ou  R/z  ::EP  •  PAou  HQ,. 
puifque  (Art.  18.)  la  tangente  en  H  eft  pa- 
rallèle à  la  corde  AE  »  &  partant  HQxQq 
rrEPxPj?,  c'eft-à-dire  ,  que  les  petits  elpa- 
ces  HQqh ,  É?pe  font  toujours  égaux  entr'eux. 
D'où  il  fuit  que  l'efpace  AHQ.  renfermé  par  les 
perpendiculaires  A  Q. ,  Q.H  ,  &  par  la  portion 
AH  de  la  demi-roulette  A  H  T  ,  eft  égal  à 
l'efpace  AFE  renfermé  par  les  perpendiculaires 
AP,  PE,  &  par  l'arc  AE.  L'efpace  A  EH 
fera  donc  égal  au  rectangle  PQ  moins  le  double 
de  l'efpace  circulaire  APEi  c'eft-à  dire ,  au  rectan- 
gle fait  de  îE  par  KA  plus  ou  moins  le  rectangle 
fait  de  K  P  par  Parc  A  E ,  félon  que  le  point  P 
tombe  au  deflous  ou  au  deflus  du  centre. 
lit    par    conféquent    l'efpace     cherché    A  E  M 

pc 

Corollaire     î. 

1 84-  L  o  r  s  q  u  E  le  point  P  tombe  en  K  ,  le 
rectangle  K  P  x  A  E  s'évanouit ,  &  le  rectangle 
p  E  x  K  A  devient  égal  au  quarré  de  K  A  :  d'où 

t,    r  r.       »*■      n      1  aac -+-  abc 

l'on  voit  que  1  elpace  A  t  M  eit  alors  = ; 

&  par  conféquent  il  eft  quarrable  abfolument  & 
indépendamment  de  la  quadrature  du  cercle. 


des  Infiniment   Petits.      119- 
Corollaire.    II. 

185.01  Ton  ajoute  à  l'efpace  A  E  M  le  fecleur 
AKE,  l'efpace  A  K  E  M  renfermé  par  les  ra- 
yons AK,  K  E  ,  par  l'arc  E  M  ,  &  par  la  por- 
tion A  M  de  la  demi-roulette  AMD,  fe  trouve 
(  lorfque  le  point  P  tombe  au  deflus  du  centre  K; 

bec -t-  1JUC-+-  labc  • —  laau  —  labu    ,  ,-,        aa-+-  ab 

-  AE-4- 


AE),  l'on  aura 


ibc  bc 

P  E  X  K  A  ;   &  partant  fi  l'on  prend  V  P  (  «  ) 

Zaac-+-  labc  -f-  bec  ,  .  ,         ,,      ,  1  1 

: (  ce  qui  rend  nulle  la  valeur  de 

Zaa  -f-  2ab  v    ^ 

bec  -4-  laac  ■+-  labc  —  laau  —  labu 
abc 

l'efpace  AKE  M— ^—    PExKA.    D'où 

r  bc 

l'on  voit  que  fa  quadrature  efh  encore  indépen- 
dante de  celle  du  cercle. 

Il  eft  vifible  qu'entre  tous  les  efpaces  AEM  Si 
AKE  VI  ,  il  ne  peut  y  avoir  que  les  deux  que  l'on, 
vient  de  marquer,  dont  la  quadrature  foit  abfoluç. 

Avertissement. 

Tout  ce  que  l'on  vient  de  démontrer  a  regard 
des  roulettes  extérieures  fe  doit  avffi  entendre  des 
intérieures  ,  cefl-a-dire  ,  de  celles  dont  le  cercle 
mobile  roule  au  dedans  de  l'immobile  »  en  obfer- 
vant  que  les  rayons  KB  (a)  ,  KV  (c)  deviennent 
négatifs  de  pofitifs  qu'ils  étaient.  C'cfl  pourquoi  if. 
faudra  changer  dans  les  formules  précédentes  ,  les 
fignes  des  termes  où  a.  &  c  fe  rencontrent  avec 
une  àimenfion  impaire. 

f  3 


230  A  N  A  L  Y  S  E 

Remarque. 

186.  Il   y   a   certaines  courbes  qui   paroiffent . 
avoir  un  point  d'inflexion  ,    &    qui  cependant 
n'en  ont  point  ;  ce  que  je  crois  à  propos  d'ex- 
pliquer par  un  exemple ,  car  cela  pourroit  taire 
quelque  difficulté. 

Soit  la  courbe  géométrique  N  DM"  {Fi g.  141. 
J>1.  7.  )  ?  dont  la  nature  eft  exprimée  par  l'équa- 
tion *  =  -^=^=  (  A?  =  x ,  PN  =0, dans 
v  zxx  —  aa 

laquelle  il  eft  clair  i°.  Que  x  étant  égale  à  a  5  PN 
(  \  )  s'évanouit.  20  Que  x  furpaflant  a  ,  la  valeur 
de  ^  eft  pofitive  ;  &  qu'au  contraire  lorfqu'il  eft 
moindre  ,  elle  eft  négative.  30.  Que  lorfque  x 
==  \Z^aa  ,  la  valeur  de  P  N  eft  infinie.  D'où  l'on 
voit  que  la  courbe  N  D  N  parle  de  part  &  d'autre 
de  Ion  axe  en  le  coupant  en  un  point  D  tel  que 
AD  =  «;&  qu'elle  a  pour  afymptote  la  perpen- 
diculaire B  G  menée  par  le  point  B  tel  que  A  B 

5=5  V\aa- 

Si  Ton  décrit  à  préfent  une  autre  courbe  EDF, 
enforte  qu'ayant  mené  à  difcrétion  la  perpendi- 
culaire M  P  N,  le  rettangle  fait  de  l'appliquée  PM 
par  la  confiante  AD,  foit  toujours  égal  à  Tefpace 
correfpondant  DPN  ;  il  eft  vifible  qu'en  nommant 
PM,^i  &  prenant  les  différences,  l'on  aura  AD  X 

Rw(<K/y  )  =  NPp»  ou  NPxPp(    y )i 

&  partant  Rm  (  ày  )  .  Vp  ou  R  M  (  dx  )  :  :  P  N  . 
A  D.  D'où  il  fuit  que  la  courbe  EDF  touche  l'a- 


des  Infiniment  Petits.  231 
fymprote  B  G  prolongée  de  l'autre  côté  de  B  en 
un  point  E ,  &  l'axe  A  P  au  point  D  ;  &  qu'ainfi 
el  e  doit  avoir  un  point  d'inflexion  en  D.  Cepen- 
dant on  trouve  (  Art.  78.  )  —  ~  pour  la  valeur 

du  rayon  de  fa  développée  ,  laquel  e  eft  toujours 
négative,  &  devient  éga'eà —  -a  lorfque  le  point 
M  "tombe  en  D  :  d  où  Ton  doit  conclure  Art.  8  ! .) 
que  la  ourbe  qui  paffe  par  tous  les  points  M  eft 
touiours  convexe  vers  l'axe  A  ?  ,  &  qu elle  n'a  pas 
de  point  d'inflexion  en  D  Comment  donc  accor- 
der tout  ce'a  ?  En  voici  le  dénouement. 

Si  l'on  prend.}  M  du  même  côté  que  PN" , 
on  formera  une  autre  courbe  G  D  H  qui  fera 
toute  pareille  à  EDF  ,  Se  qui  en  doit  faire  par- 
tie ;  puifque  fa  génération  eft  la  même.  Cela 
étant  ainfi ,  l'on  doit  penfer  que  les  parties  qui 
compofent  la  courbe  entière  ne  font  pas  EDF  , 
GDH  comme  l'on  s'étoit  imaginé  ,  mais  bien 
EDH  ,  GOF  qui  fe  touchent  au  point  D  ;  car 
tout  s'accorde  parfaitement  dans  cette  dernière 
fuppofition.  Ceci  fe  confirme  encore  par  cet 
exemple. 

Soit  la  courbe  DMG(F/£.  142-  VI.  7.  ),  qui 
ait  pour  équation.?*  =  x4  -4-  ttaxx  —  V  (  A  P  =  x  , 
P  M  =jf  )•  H  fuit  de  cette  équation  que  la  cour- 
be entière  a  deux  parties  E  D  H  ,  G  D  F  oppofées 
l'une  à  l'autre  comme  l'hyperbole  ordinaire  , 
.  enforte  que  leur  diftance  D  D  ou  2A  D  = 
\/  —  iaa  ■+•  2)/^-+-  46-+. 

P4 


232  'Analyse 

Si  l'on  fuppofe  que  b  s'évanouiffe  ,  la  dif- 
tance  DD  (  F/?.  143.  PI.  7.  )  s  évanouira  auflî  ; 
&  partant  les  deux  parties  EDH  ,  GDF  fe  tou- 
ch.-ront  au  point  D  :  de  forte  qu'on  pourroit 
penfer  à  préfent  que  cette  courbe  a  un  point 
d'inflexion  ou  de  rebrouffement  en  D  ,  fUon 
<qu  on  imaginerait  que  les  parties  feraient  EDF, 
GDH  ou  ki)G,  H  F.  iv. ais  Ion  fe  détrom- 
peroit  aifément  ,  en  cherchant  le  rayon  de  la 
développée;  car  l'on  trouveroit  qu'il  ieroit  tou- 
jours pofitif ,  &  qu'il  deviendrait:  égal  à  \a  dans 
le  point   O. 

On  peut  remarquer  en  paffant  ,  (Fig.  14  r. 
Tl.  7.  )  que  la  quadrature  de  i'efpace  DPN  dé- 
pend de  celle  de  l'hyperbole  :  ou  (  ce  qui  re- 
vient au  même)  de  la  rectification  de  la  pa- 
rabole; fie  que  la  portion  de  courbe  DMF  fa- 
îicfait  au  Problême  propofé  par,  M.  Bernoulli 
dan?  le  Tome  fécond  des  Supplémens  des  A6t.es 
fie  Leipfîc  ,  page  29 1.  (  Confulte\  la  Note  54e.  ) 


des  Infiniment  Petits.       235 


SECTION     X. 

Nouvelle  manière  de  fe  fervir  du  calcul  des  diffé- 
rences dans  les  courbes  géométriques  ,  d'où  l'on 
déduit  la  Méthode  de  Mr"  Defcartes  &  Hudde. 

DÉFINITION. 

S  Oit  une  ligne  courbe  ADB  (  F/g.  144. 
145.  146.  PI.  8.  )  telle  que  les  parallèles 
KMN  à  fon  diamètre  AB  la  rencontrent  en 
deux  points  M,  N;  &  foit  entendue  la  partie 
interceptée  M  N  ouPQ.  devenir  infiniment  pe- 
tite. Elle  fera  nommée  alors  la  Différence  de  la 
coupée  AP  ,  ou  KM. 

COROLLAIRE      T. 

187.  Lorsque  la  partie-MN  ou  PQ.  de- 
vient infiniment  petite  ;  il  eft  clair  que  les  cou- 
pées AP  ,  A  Q.  deviennent  égales  chacune  à  AE , 
&  que  les  points  M  ,  N  fe  réunifient  en  un 
point  D  :  enforte  que  l'appliquée  E  D  eft  la 
plus  grande  ou  la  moindre  de  toutes  fes  fem- 
blables  PM,  NQ. 

Corollaire     II. 

188.  Il  eft  clair  qu'entre  toutes  les  coupées 
i\P,  il  n'y  a  que  AE  qui  ait  une  différence; 
parce  qu'il  n'y  a  qu'en  ce  cas  où  P  Q  de- 
vienne infiniment  petite. 


234  Analyse 

Corollaire     III. 

189.01  l'on  nomme  les  indéterminées  AP  ou 
K  M  ,  x  ;  P  M  ou  A  K ,  y  ;  il  eft  évident  que 
AK  (y)  demeurant  la  même  ,  il  doit  y  avoir 
deux  valeurs  différentes  de  x  ,  fçavoir  K  M  , 
KN  ou  AP,  A  a  C'eft  pourquoi  il  faut  que 
l'équation  qui  exprime  la  nature  de  la  courbe 
A  D  B  foit  délivrée  d'incommenfurables  ,  afin 
que  la  même  inconnue  x  qui  en  marque  les 
racines  f  car  on  regarde^  comme  connue  )  puiffe 
avoir  différentes  valeurs.  Ce  qu'il  faut  obferver 
dans  la  fuite. 

PROPOSITION    I. 

Problème. 

190.  JLf  A  nature  de  la  courbe  géométrique  ADB 
étant  donnée  ;  déterminer  la  plus  grande  ou  la 
moindre  de  fes  appliquées  E  D. 

Si  l'on  prend  la  différence  de  l'équation  qui 
exprime  la  nature  de  la  courbe,  en  traitant  y 
comme  confiante ,  &  x  comme  variable  ;  il  eft 
clair  {Art.  188.)  qu'on  formera  une  nouvelle 
équation  qui  aura  pour  une  de  les  racines  x  , 
une  valeur  AE  ,  telle  que  l'appliquée  ED  fera 
la  plus  grande  ou  la  moindre  de  toutes  fes 
femblables. 

Soit,  par  exemple,  x}-*-y  z=  axy  ,  dont  la 
différence ,  en  traitant  x  comme  variable  ,  &  y 
comme  confiante ,  donne  ixxdx=.aydx;  &  par- 


des  Infiniment  Petits.         235 
tant  y  =  — .  Si  l'on  fubftitue  cette  valeur  à  la 

r  a 

place  de  y  dans  l'équation  à  la  courbe  x'  h-;/* 
=  axy  ;    l'on    aura  pour  x    une    valeur    AE 

=  \a\/% ,  telle  que  l'appliquée  E  D  fera  la  plus 
grande  de  toutes  fes  femblables ,  de  même  qu'on 
l'a  déjà  trouvé  art.  48.  A 

Il  eil  évident  que  l'on  détermine  de  même 
non-feulement  les  points  D  ,  lorfque  les  appli- 
quées ED  font  perpendiculaires  ou  tangentes  de 
la  courbe  ADB  ;    mais    aufli   lorfqu'elles   font 
obliques  fur  la  courbe  ,  c'eft-à-dire ,  lorique  les 
points  D  font  des  points  de  rebrouffement  de  la 
première  ou  féconde  forte.    D'où  l'on  voit  que 
cette  nouvelle  manière  de  confidéjer  les  diffé- 
rences  dans   les  courbes   géométriques  eft  plus 
fimple  &  moins  embarraffante  en  quelques  ren- 
contres ,   que  la  (5etf.  3.  )  première. 

Remarque. 
1 9 1 .  O  n  peut  remarquer  dans  les  courbes  re- 
broufiantes  ,  que  les  PM  (F/g.  146.  PI.  8.  )  pa- 
rallèles à  A  K  ;  les  rencontrent  en  deux  points 
M  ,  G  ,  de  même  que  les  KM  parallèles  AP  , 
font  en  M  ,  N  :  de  forte  que  AP  (x)  demeu- 
rant la  même  ,  y  a  deux  différentes  valeurs  PM, 
P  O.  Ceft  pourquoi  l'on  peut  traiter  x  comme 
confiante  ,  &  y  comme  variable  ,  en  prenant  la 
différence  de  l'équation  qui  exprime  la  nature 
de  cette  courbe.  D'où  l'on  voit  que  fi  l'on  traite 
%  &y  comme  variables ,  en  prenant  cette  diffe- 


2}6  A  N  A  L  Y  S    E 

rence  ,  il  faudra  que  tous  les  termes  qui  mul- 
tiplient dx  d'une  part  ,  &  tous  ceux  qui  mul- 
plient  dy  d'une  autre  part  ,  foient  égaux  à  zéro. 
Mais  il  faut  bien  prendre  garde  que  dx  &  dy 
marquent  ici  les  différences  de  deux  appliquées 
qui  partent  d'un  même  point ,  &  non  pas  (  com- 
me ci -devant  Sedl.  3.  )  la  différence  de  deux 
appliquées  infiniment  proches. 

Corollaire. 

192.  S  1  après  avoir  ordonné  l'équation  qui  ex- 
prime la  nature  de  la  courbe  dans  laquelle  il 
n'y  a  que  l'inconnue  x  de  variable  ,  l'on  en, 
prend  la  différence  ;  il  eft  clair  i°.  Qu'on  ne 
fait  autre  chofe  que  de  multiplier  chaque  terme 
par  l'expolant  de  la  puiffance  de  x  ,  &  par  la 
différence  dx  ,  &  le  divife*  enfuite  par  x.  20.  Que 
cette  divifion  par  X  ,  auffi-bien  que  la  multi- 
plication par  dx  ,  peuf  être  négligée  ,  parce 
qu'elle  eft  la  même  dans  tous  les  termes  30.  Que 
les  expofans  des  puifîances  de  x  font  une  pro- 
greffion  arithmétique  ,  dont  le  premier  terme 
eft  l'expofant  de  la  plus  grande  puiffance  ,  & 
le  dernier  eft  zéro  ,  car  on  fuppoie  qu'on  ait 
marqué  par  une  étoile  les  termes  qui  peuvent 
manquer  dans  l'équation. 

Soit  ,  par  exemple  ,  x1  *  — ayx-*-yz  =  0.  Si 
l'on  multiplie  chaque  terme  par  ceux  de  la 
progreffion  arithmétique  3,2,  1  ,  o  ;  l'on  form- 
ulera l'équation  nouvelle  3X'  —  ayx-=-o- 


d'e  s    Infiniment   Petits.         237 
x3     *  —  ayx  -\-y3  —  0. 

3»   2  >       I  »     p- 

3X3  *  —  ayx     *  z=z  0. 
D'où  l'on  tire  y  =  —  ,  de  même  que  l'on  au- 

roit  trouvé  en  prenant  la  différence  à  la  manière 
accoutumée. 

Cela  fuppofé ,  je  dis  qu'au  lieu  de  la  pro- 
greffion arithmétique  3  ,  2 ,  1,0,  l'on  peut  fe 
iérvir  de  telle  autre  progreffion  arithmétique 
qu'on  voudra  :  m+  3,wz  +  2,w+  1  ,w-t-o,  ou  m 
(  l'on  défigne  par  m  un  nombre  quelconque  en- 
tier ou  rompu  ,  pofîtif  ou  négatif  ).  Car  mul- 
tipliant x3  *  —  ayx  +y  =  0  par  xm  ,  Ton  aura 
xnH-3*,  &c.  =  0,  dont  les  termes  doivent  être 
être  multipliés  par  ceux  de  la  progreffion  #h~3  , 
m-\-  2  ,  m-\-  1  ,  m.  chacun  par  fon  correipondant 
pour  en  avoir  la  différence. 

x™  -H  3  *         _  ay7£*  **"  '  +y}Xm  =  0. 

m. 


1  ayx       -\-iny  x   =■  0. 


.m  ■+-  1 


Ce  qui  donnera  m  -+-  3xm~f~ 3  —  ro+i  ayx" 
+OTyx"  =  o;  &en  divifant  par  xm ,  il  viendra 
m-+-  ^x3—  OT_i_  i^'x-»-/??^3  =  0,  comme  l'on  au- 
roit  trouvé  d'abord  en  multipliant  Amplement 
l'égalité  propofée  par  la  progreffion  m  ■+■  3  , 
m  ■+■  2  ,   w  4-  1  ,  m. 

Si  #?  =  —  3  ,  la  progreffion  fera  0,-1,-2, 

—  3  ;  &  l'équation  fera  layx —  %yJ  =0.  Si  ?».=: 

—  1  ,  la  progreifion  fera  2  ,  1,0,  —  ii  &  l'e- 
quation  2x3  — y}  f=  <?« 


238  Analyse 

On  peut  changer  de  fignes  tous  les  termes  de 
la  progrefllon,  c'eft- à-dire ,  qu'au  lieu  de  0, —  1, 

—  2  ,  —  3  ,  &  2,  1,0,—  1,  l'on  peut  prendre 
0,  1,2,  3  ,  &  —  2  ,  —  [  ,  o  t  1  ;  parce  qu'on 
ne  fait  par  là  que  changer  de  fignes  tous  les  ter- 
mes de  la  nouvelle  équation  qui  doit  être  égalée 
à  zéro.  Et  en  effet ,  au  lieu  de  iayx  —  3^'  =  0  , 
2x'  — y  =s  0  ,  l'on  auroit  —  zayx  ■+-  y3  =  0  y 

—  2x'  -Jryï  =  0  ;  ce  qui  eft  la  même  chofe. 

Or  il  eft  vifible  que  ce  que  l'on  vient  de  dé- 
montrer à  l'égard  de  cet  exemple ,  s'appliquera  de 
même  manière  à  tous  les  autres.  D'où  il  fuit  que  iî 
-après  avoir  ordonné  une  équation  qui  doit  avoir 
deux  racines  égales  entr'elles ,  l'on  en  multiplie  les 
termes  par  ceux  d'une  progreffion  arithmétique 
arbitraire ,  l'on   formera  une  nouvelle  équation 
qui  renfermera  entre  fes  racines  une  des  deux  éga- 
les de  la  première.  Par  la  même  raifon  ,  fi  cette 
nouvelle  équation  doit  avoir  encore  deux  racines 
égales ,  &  qu'on  la  multiplie  par  une  progreffion 
arithmétique ,  l'on  en  formera  une  troifieme  qui 
aura  entre  fes  racines  une  des  deux  égales  de  la  ie- 
conde  ;  &  ainfi  de  fuite.  De  forte  que  fi  l'on  mul- 
tiplie une  équation  qui  doit  avoir  trois  racines 
égales  ,  par  le  produit  de  deux  progrefllons  arith- 
métiques ,  l'on  en  formera  une  nouvelle  qui  aura 
entre  fes  racines  une  des  trois  égales  de  la  premiè- 
re ;  &  de  même  fi  l'équation  doit   avoir    quatre 
racines  égales ,  il  la  faudra  multiplier  par  le  pro- 
duit de  trois  progreffions  arithmétiques  j  fi  cinq  , 
par  le  produit  de  quatre  ,  &c. 


des  Infiniment  Petits.      239 
C'eil  là  pr-éciiemcnt  en  quoi  confifte  la  Métho- 
de de  M.  Huàâe. 

PROPOSITION   II. 

Problème. 

l93.L/'uN/>0/Hf  donné  T  (F/g.  147-  &■  8-)/«r 
/e  diamètre  AB  ,  ou  du  point  donné  H  /wr  A  H  pa- 
rallèle aux  appliquées  ;  mener  la  tangente  TH  M. 
Ayant  mené  par  le  point  touchant  M  l'appli- 
quée M  P ,  &  nommé  AT,  s;  AH,f;  dont 
1  une  ou  l'autre  eft  donnée  ;  &  les  inconnues  A  P  , 
x  ;  P  M  ,  y  :  les  triangles  femblables  TAH,  TPM 

donneront  y  =  £l±_ïf ,  x  =s  sy~st  ;  &  mettant 

ces  valeurs  à  la  place  de  y  ou  de  x  dans  l'équation 
donnée  ,  qui  exprime  la  nature  de  la  courbe 
AMD,  l'on  en  formera  une  nouvelle  dans  la- 
quelle y  ou  x  ne  fe  rencontrera  plus. 

Si  l'on  mené  à  préfent  une  ligne  droite  T  D  qui 
coupe  la  droite  A  H  en  G  ,  &  la  courbe  AMD  en 
deux  points  N  ,  D  ,  defquels  l'on  abbaifle  les  ap- 
pliquées NQ.,  D  B  ;  il  eft  évident  que*  expri- 
mant AG  dans  l'équation  précédente,  x  ou  y 
aura  deux  valeurs  AQ,  AB,  ouNQ.,  DB, 
lefquelles  deviennent  égales  entr'elles ,  fçavoir  à 
la  cherchée  A  P  ou  P  M  lorfque  t  exprime  A  H  , 
c'efl- à-dire  .  lorfque  la  fécante  TDN  devient  la 
tangente  TM.  D'où  il  fuit  que  cette  équation 
doit  avoir  deux  racines  égales.  C'eft  pourquoi  on 
la  multipliera  par  une  progrelîlon  arithmétique 


240  Analyse 

arbitraire ; ce  que  l'on  réitérera,  s'il  eft  nécefïaireâ 
en  multipliant  de  nouveau  cette  même  équation^ 
par  une  autre  progrefïion  arithmétique  quelcon- 
que ,  afin  que  par  la  comparaiion  des  équations 
qui  en  réiultent  ,  l'on  en  puiffe  trouver  une  qui 
ne  renferme  que  l'inconnue  xou_y,  avec  la  don- 
née s  ou  t.  L'exemple  qui  fuit  éclaircira  fufïiiam- 
ment  cette  Méthode. 

Exemple. 

1 940  o  1  t  ax  =yy  l'équation  qui  exprime  la  na= 
ture  de  la  courbe  AMD.  Si  l'on  met  à  la  place 

de  x  fa  valeur  — — ~  ,  l'on  aura  tyy ,  Sec.  qui 

doit  avoir  deux  racines  égales. 

tyy  —  asy  •+•  ast  =s  0, 
1  ,        o, —  1. 


tyy        — -ast=zo. 

C'eft  pourquoi  multipliant  par  ordre  ces  termes 
par  ceux  de  la  progrefïion  arithmétique  1,0, 
—  1 ,  l'on  trouvera  as=zyy  =  ax  ;  &  partant  A  P 
(  x  )  —  s.  D'où  l'on  voit  qu'en  prenant  AP  =  AT; 
&  menant  l'appliquée  PM,  la  ligne  TM  fera  tan- 
gente en  M.  Mais  fi  au  lieu  de  A  T  {s) ,  c'eft  AH 
(*)  qui  eft  donnée,  l'on  multipliera  la  même 
équation  tyy ,  &c  par  cette  autre  progrefïion  0  , 
1 ,  2  ,  &  l'on  aura  la  cherchée  P  M  ( y  )  =  2t. 

On  auroit  trouvé  la  même  conftruftion  en  met- 
tant cour  y  fa  valeur dans  ax=yy-  Car  il 

vient  ttxx  ,  ôcc.  dont  les  termes  multipliés  par 


dfs  Infiniment  Petits.  .241 
1,0,  —  1  ,  donnent  xx  ==  ss  ;  &c  par  confé- 
quent   AP(x)  =  j. 

Corollaire. 

195.  Si  l'on  veut  à  préient  que  le  point  touchant 
M  foit  donné  ,  &  qu'il  faille  trouver  le  point  T 
ou  H ,  dans  lequel  la  tangente  MT  rencontre  le 
diamètre  A  B  ou  la  parallèle  AH  aux  appliquées," 
il  n'y  a  qu  à  regarder  dans  la  dernière  équation  , 
qui  exprime  la  valeur  de  l'inconnue  x  ou  y  par 
rapport  à  la  donnée  s  ou  t ,  cette  dernière  comme 
l'inconnue ,  &  x  ou  y  comme  connue. 

PROPOSITION     II L 

Problème. 

196.  L;  A  nature  de  la  courbe  géo7r.étrique  AFD 
(F/g.  148.  PI-  8.  )  étant  donnée  $  déterminer  [on 
point  a'infléxion  F. 

Ayant  mené  par  le  point  cherché  F,  Papp1iquée 
FE  avec  la  tangente  F  L  ,  par  le  point  A  (  origine 
desxNi  la  parallèle  A  K.  aux  appliquée*  ,  &  nommé 
les  inconnues  LA,  j;  AK,  r;  E  >  x  ;  E  F  , 
y  :  les  triangles  femblables  LAK,  LE  F  don- 

neront  encore  y  = 3  &  x  — . ;  de 

forte  que  mettant  ces  valeurs  à  la  p'ace  de_y  ou  x 
dans  l'équation  à  ia  courbe ,  l'on  en  formera  une 
nouvelle  dans  laquelle  y  ou  x  ne  fe  rencontrera 
plus ,  de  même  que  dans  la  proportion  précé- 
dente, 

a     ' 


242  Analyse 

Si  l'on  mené  à  préfent  une  ligne  droite  TD  qui 
coupe  la  droite  A  K  en  H  ,  qui  touche  la  courbe 
A  FD  en  M  ,  &  la  coupe  en  D  ,  d'où  l'on  abaifle 
les  appliquées  M  P  ,  DB  :  il  eft  évident  i°.  Que 
s  exprimant  A  T  ;  &  t ,  A  H  ;  l'équation  que 
l'on  vient  de  trouver  ,  doit  avoir  deux  racines 
égales ,  fçavoir  (  Art.  193.)  chacune  à  A  P  ou  à 
P  M  félon  qu'on  a  fait  évanouir  ;cux,&  une 
autre  AB,  ou  BD.  20.  Que  s  exprimant  A  L  ; 
&  t  ,  A  K  ;  le  point  touchant  M  fe  réunit  avec 
le  point  d'interfection  D  dans  le  point  cherché  F  : 
puifque  (  Art.  67.  )  la  tangente  LF  doit  toucher 
&  couper  la  courbe  dans  le  point  d'inflexion  F  ; 
ôc  qu'ainfi  les  valeurs  A  P  ,  A  B  de  x  ,  ou  P  M  , 
BD  de  y  deviennent  éga'es  entr'elles,  fçavoir  a 
l'une  &  l'autre  à  la  cherchée  AE  ou  EF.  D'où 
il  fuit  que  cette  équation  doit  avoir  trois  raci- 
nes égales.  C'eft  pourquoi  on  la  multipliera  par 
le  produit  de  deux  progreflions  arithmétiques  ar- 
bitraires ;  ce  que  1  on  réitérera  ,  s'il  eft  néceffaire , 
en  la  multipliant  de  même  par  un  autre  produit 
de  deux  progreffions  arithmétiques  quelconques  , 
afin  que  par  la  comparaifon  des  équations  qui 
en  réfultent ,  l'on  puirTe  faire  évanouir  les  incon- 
nues i  &  t. 

Exemple. 

t  97.  S  o  1  t  ayy  ■===.  xyy -4- aax  ['équation  qui  ex- 
prime la  nature  de  la  courbe  A  FD.  Si  l'on  meta 

la  place  de  x  fa  valeur  ^ }  on  formera  l'équa- 
tion sji1  —  styy  —  atyy  3  &c 


des  Infiniment  Petits. 

sy  , —  styy  -+■  aasy  —  aast  =  0. 

i —  at 

I  ,  0  ,    —  l   ,     2. 

3  .       2  >        i) 


24Î 


0. 


3/j/5  *  — aasy  *  =  0. 
qui  étant  multipliée  par  3,0,  —  1  ,  0  ,  produit 
des  deux  progreflions  arithmétiques  1  ,  0,  - —  1  , 
. —  2 ,  &  3  ,  2 ,  1,0,  donne  ^j/  =  |««  ;  &  mettant 
cette  valeur  dans  l'équation  à  la  courbe  ,  l'on 
trouve  l'inconnue  AE(x)=i#.  Ce  qui  revient 
à  l'art.  68. 

Autre     solution. 

198.  On  Peut  encore  réfoudre  ce  Problême  en 
remarquant  que  du  même  point  L  ou  K  (  F/g.  1 49. 
150.  PL  8.  )  on  ne  peut  mener  qu'une  feule 
tangente  LF  ou  KF;  parce  qu'elle  touche  en 
dehors  la  partie  concave  AF,  &  en  dedans  la 
convexe  FD  ;  au  lieu  que  de  tout  autre  point  T 
ou  H ,  pris  fur  AL  ou  AK  entre  A  &  L  ou  A  & 
K  ,  l'on  peut  mener  deux  tangentes  TM,  TD  ou 
HM  ,  HD  ,  l'une  de  la  partie  concave  ,  &  l'autre 
de  la  convexe  :  de  forte  qu'on  peut  confidérer  le 
point  d'inflexion  F  comme  la  réunion  des  deux 
points  touchans  M  &  D.  Si  donc  l'on  iuppofe 
que  AT  (s)  ou  AH  (?)  foit  donnée,  &  qu'on 
cherche  (  Art.  1 94.  )  la  valeur  de  x  ou^j'  par  rap- 
port à  s  ou  t  ;  l'on  aura  une  équation  qui  aura 
deux  racines  A  P  ,  A  B  ,  ou  P  M  ,  B  D  qui  de» 
viennent  égales  chacune  à  la  cherchée  AE  ou  EF3 


244  Analyse 

lorfque  s  exprime  A  L  &  t ,  A  K.  C'eft  pourquoi 
l'on  multipliera  cette  équation  par  une  progref- 
fion  arithmétique  arbitraire  ,  &c. 

Exemple. 

i  99.  S  o  1  t  comme  ci-delTus ,  ayy  =  xyy  +  aax  ; 
l'on  aura  encore^3 — styy — atyy -t- aasy.  —  aast 
z=z  0 ,  qui  étant  multipliée  par  la  progreffion  arith- 
métique 1,0,-1,-2,  donne  y*  *  —  aay 
—  2aat  ==  0 ,  dans  laquelle  s  ne  le  rencontre  plus, 
&  qui  a  deux  racines  inégales  ,  fçavoir  PM  ,  ED, 
lorfque  t  exprime  A  H ,  6c  deux  égales  chacune  à 
la  cherchée  E  F  lorfque  t  exprime  AK.  Ceft  pour- 
quoi multipliant  de  nouveau  cette  dernière  équa- 
tion par  la  progreffion  arithmétique  3  ,  2  ,  1,0, 
l'on  aura  yy^-aa  =  o  ;  Se  partant  EF  O) 
~=:\/\aa.  Ce  qu'il  falloit  trouver. 

PROPOSITION    IV. 

Problème. 

200.  jVÎener  d'un  point  donné  C  (F/g.  151. 
P/.  8.  )  hors  une  ligne  courbe  AMD  une  perpendi- 
culaire CM.  h  cette  courbe. 

Ayant  mené  les  perpendiculaires  MP  ,  CK  fur 
le  diamètre  A  B  ,  &  décrit  du  centre  C  de  l'in- 
tervalle CM  un  cercle  ;  il  eft  clair  qu'il  touchera 
la  courbe  AMD  au  point  M.  Nommant  enfuite 
les  inconnues  A  P  ,  x  ;  P  M  ,  y  ;  CM  ,  r  ;  &  les 
connues  AK,î;KC  t  :  l'on  aura  P  K  ou  C  E 
-î^x,ME  =y  ■+- 1  ;  &  à  caufe  du  triangle 
ïeclangle  MEC  ,  y  =:  —  t  ■+  \/rr  -ss+  2«  — *x  3 


des  Infiniment  Petits.  245 
K  —  j  —  y'rr  —  tt  —  2ry  —  yj  :  de  forte  que  met- 
tant ces  valeurs  à  la  place  de  y  ou  x  dans  l'équa- 
tion à  la  courbe ,  l'on  en  formera  une  nouvelle 
dans  laquelle  y  ou  x  ne  fe  rencontrera  plus. 

Si  l'on  décrit  à  préfent  du  même  centre  C  un 
autre  cercle  qui  coupe  la  courbe  en  deux  points 
N ,  D  ,  d'où  l'on  abaiffe  les  perpendiculaires  NQ., 
DB  ;  il  eft  évident  que  r  exprimant  le  rayon  CN 
ou  CD  dans  l'équation  précédente  ,  x  ou  y  aura 
deux  valeurs  AQ ,  ABouNQ,  DB  qui  devien- 
nent égales  entr'elles ,  fçavoir  à  la  cherchée  A  P 
ou  PM  ,  lorfquer  exprime  le  rayon  CM.  D'où  il 
fuit  que  cette  équation  doit  avoir  deux  racines 
égales.   C'eft  pourquoi  on  la  multipliera  ,  &c, 

E    X  E  M    PIE. 

201.  S  oit  ax  —  /^l'équation  qui  exprime  la 
nature  de  la  courbe  AMD .  dans  laquelle  mettant 
pour  x  fa  valeur  s  — ■  \/rr  —  «  —  zty  —  yy  ,  l'on 
aura  as  — yy  =  a  \/rr  —  u  —  nty  —  yy  ■■  de  forte 
qu'en  quarrant  chaque  membre ,  &  ordonnant  en- 
fuite  1  équation  ,  l'on  trouvera/*,  Sec.  qui  doit 
avoir  deux  racines  égales  lorfque  y  exprime  la 
cherchée  PM. 

y*     *  —  2asyy  h-  iaaty  +  aass  =  0. 


+  aa                     —  aarr 
•+-  aatt 
4  ,      5,2,            1  ,           0. 

4j/4*   — <\asyy  -+-  laaty 
.+■  2aa 

*   =  0. 

246  Analyse 

C'eft  pourquoi  on  la  multipliera  par  la  progrefliott 
arithmétique  4 ,  3  ,  2  ,  1  ,  0 ,  ce  qui  donnera 
4j,s  — ^asy  -f-  2^/  -h  2aat  =  0 ,  dojit  la  refolu- 
tion  fournira  pour  y  la  valeur  cherchée  M  P. 

Si  le  point  donné  C  tomboit  fur  le  diamètre 
AB  (  Fig-  1 5  2.  PI  8.  ;  ;  l'on  auroit  alors  t  =  0  , 
&  il  faudrait  effacer  par  conféquent  tous  les  ter- 
mes où  t  fe  rencontre  ;  ce  qui  donneroit  4^ 
±~  iaa  —  /yy  —  /\ax  ,  en  mettant  pour  y  y  fa  va- 
leur ax-  D'où  l'on  tireroit  x  =  s  —  fd^c'eft-à-dire, 
que  fi  l'on  prend  C  P  égale  à  la  moitié  du  pa- 
ramètre ,  &  qu'ayant  tiré  l'appliquée  P  M  per- 
pendiculaire fur  A  B  ,  l'on  mené  la  droite  CM  , 
elle  fera  perpendiculaire  fur  la  courbe   A  M  D. 

Corollaire. 

©02.  Si  l'on  veut  à  préfent  que  le  point  M 
(  Fis-  152.  PL  8.  )  foit  donné  ,  &  que  le  point  C 
foit  celui  qu'on  cherche  ;  il  faudra  dans  la  der- 
nière équation  qui  exprime  la  valeur  de  AG  (s) 
par  rapport  à  AP  (  x  )  ou  P  M  (y  )  ,  regarder  ces 
dernières  comme  connues ,  &  l'autre  comme  l'in- 
connue. 

DÉFINITION      IL 

Si  d'un  rayon  quelconque  delà  développée  l'on 
décrit  un  cercle  ,  il  fera  nommé  cercle   baifant. 

Le  point  où  ce  cercle  touche  ou  baife  la 
courbe  5  eft  appelle  point  baifant* 


des   Infiniment  Petits.        247 

PROPOSITION      V. 

Problème. 

203.  L  A  nature  de  la  courhe  A  M  D  (  Fig.  1 5  3. 
PL  8.  )  étant  donnée  avec  un  de  [es  points  quelcon- 
ques M  ;  trouver  le  centre  C  du  cercle  qui  la  haife 
en  ce  point  M. 

Ayant  mené  les  perpendiculaires  MP  ,  CK  fur 
l'axe  ,  &  nommé  les  lignes  par  les  mêmes  lettres 
que  dans  le  Problême  précédent  ;  1  on  arrivera  à 
la  même  équation  dans  laquelle  il  faut  obferver 
que  la  lettre  x  o\\y ,  que  l'on  y  regarde  comme 
l'inconnue ,  marque  ici  une  grandeur  donnée  $ 
&  qu'au  contraire  s ,  t ,  que  l'on  y  regarde  com- 
me connues ,  font  en  effet  ici  les  inconnues  aufiî 
bien  que  r. 

Cela  pofé  ,  il  eft  clair  i°.  Que  le  point  cherché 
C  fera  fîtué  fur  la  perpendiculaire  M  G  à  la  courbe. 
20.  Que  l'on  pourra  toujours  décrire  un  cercle  qui 
touchera  la  courbe  en  M ,  &  la  coupera  au  moins 
en  deux  points  (  dont  je  fuppofe  que  le  plus  proche 
eft  D ,  d'où  l'on  abaiffera  la  perpendiculaire  DB  )  ; 
puifque  l'on  peut  toujours  trouver  un  cercle  qui 
coupe  une  ligne  courbe  quelconque  ,  autre  qu'un 
cercle ,  au  moins  en  quatre  points,  &  que  le  point 
touchant  M  n'équivaut  quà  deux  interférions, 
30.  Que  plus  fon  centre  G  approche  du  point  cher- 
ché C  ,  plus  aulli  le  point  d'interfeûion  D  appro- 
che du  point  touchant  M  :  de  forte  que  le  point 
G  tombant  fur  le  point  C ,  le  point  D  fe  réunit 

Q4 


248  A   N  A  L  Y  S  E 

avec  le  point  M  ;  puifque  (  Art.  76.  )  le  cercle  dé- 
crit du  rayon  CM,  doit  toucher  &  couper  la  cour- 
be au  même  point  M.  D'où  l'on  voit  que  *  ex- 
primant A  F  ,  &  t ,  F  G  .  l'équation  doit  avoir 
deux  racines  égales  ,  içavoir  (  Art.  200.)  chacune 
à  A  P  ou  P  M  tèïon  qu'on  a  fait  évanouir  y  ou  x  , 
&  une  autre  A  B  ou  B  D  qui  devient  aufli  égale 
à  ^  P  ou  u  M  ,  lo;fque  1  &?  expriment  'es  cher- 
chées A  K  ,  K  C  ;  &  qu'ainii  cette  équation  doit 
avoir  trois  racines  égales. 

Exemple. 

204.  Soit  ax—yy  l'équation  qui  exprime  la  na- 
ture de  la  courbe  A  M  D,&  l'on  trouvera  {Art.  20 1 ,) 
y* ,  &c.  qui  étant  multipliée  par  8  ,  3  ,  0  , 
i —  ï  ,  0 ,  produit  des  deux  progreflîons  arithmé- 
tiques 4,   3,    2,1,0,    &2,     1,0,—    I,  2 

donne  8^4  =  laaty. 

y*     *  —  zasyy  +  laaty  ■+■  aass  =  0. 
4-  aa  — aarr 

-+-  aatt 
4,3,2,  T  » 


0. 


2,     1  ,     0,      —  1  ,     —  2. 
8j*4    *       *        —  2aaty       *      =0. 
D'où  l'on  tire  la  cherchée  KCouPE(0  =  ~ 

v     '  aa 

Si  l'on  veut  avoir  une  équation  qui  exprime  la 
nature  de  la  courbe  qui  parte  par  tous  les  points 
G ,  l'on  multipliera  encore  y4 ,  &c.  par  0,3,4, 
3  ,  9  ,  produit  des  deux  progreffions  4  ,  3  ,  2 , 
I,  Oj  &(?,  1  ,  2 ,  s;  ?  4 }  &.  Ton  trouvera  8<wy 


des   Infiniment   Petits.     249 

. —  ^aay  =  taat  :  d'où  ,  en  fuppofant  pour  abréger 

1»  3at    o        ?      274*1} 

s  —  ;  a  =  u  ,  1  on  tirera  y  =  - — ,  &  4/'  =         , 

t=a<tt  ;  &  partant  i6a?=  27^.  D'où  il  fuit  que 
la  courbe  qui  pafle  par  tous  les  points  C  ,  eft  une 
féconde  parabole  cubique  ,   dont  le  paramètre 

=  ~  ,  <Sc  dont  le  fommet  eft  éloigné  de  celui  de 
16  ° 

la  parabole  propofée  de  \a\  parce  que  u-=.s  —  \a. 
Lorfque  la  pofition  des  parties  de  la  courbe  , 
voifines  du  point  donné  M  ,  eft  entièrement  fem- 
blable  de  part  &  d'autre  de  ce  point  ,  comme  il 
arrive  lorfque  la  courbure  y  eft  la  plus  grande 
ou  la  moindre  ;  il  s'enfuit  que  l'une  des  inter- 
férions du  cercle  touchant  ne  peut  fe  réunir 
avec  le  point  touchant ,  que  l'autre  ne  s'y  réunifie 
en  même  temps:  de  forte  que  l'équation  doit  avoir 
alors  quatre  racines  égales.  En  effet ,  fi  l'on  multi- 
plie^4 ,  &c  par  24 ,  6 ,  0 ,  0 ,  0 ,  produit  des  trois 
progreffions  arithmétiques  4 ,  3,2,  1  ,  o ,  8c 
3  ,  2  ,  1  ,  0  ,  —  1  ,  £c  2  ,  1 ,  0  ,  —  1  ,  —  2  ; 
l'on  aura  2^=0  :  ce  qui  fait  voir  que  le  point 
M  doit  tomber  fur  le  fommet  A  de  la  parabole  , 
afin  que  la  pofition  des  parties  voifines  de  la  cour- 
be foit  femblable  de  part  6c  d'autre. 

Autre     Solution. 

205.  O  n  peut  encore  (  Fig.  1 54.  P/.  8.  )  réfou- 
dre ce  Problême  en  fe  fouvenant  que  l'on  a  dé- 
montré dans  l'article  y  6  qu'on  ne  peut  mener 
du  point  cherché  C  qu'une  feule  perpendiculaire 


250  ÂNALVSE 

CM  à  la  courbe  AMD;  au  lieu  qu'il  y  a  une, 
infinité  d'autres  points  G  fur  cette  perpendicu-i 
laire  M  C  ,  d'où  l'on  peut  mener  deux  perpendi-  - 
culaires  M  G ,  G  D  à  la  courbe.  Si  donc  on  fuppo- 
fe  que  le  point  G  loit  donné ,  &  que  l'on  cherche 
(  Art.  200  )  la  valeur  de  x  ou  y  par  rapport  aux 
données  s  &  t  \  il  efl  vifible  que  cette  équation 
doit  avoir  deux  racines  inégales ,  fçavoir  A  P  , 
A  B  ou  P  M  ,  BD  qui  deviennent  égales  entr'elles 
lorfque  le  point  G  tombe  fur  le  point  cherché  C. 
C'elt  pourquoi  l'on  multipliera  cette  équation  par 
une  progreiïion  arithmétique  quelconque  ,  &c. 

Exemple. 

12.06.  Soit  comme  ci-deffus  ax  =yy  ;  &  l'on 
aura  (Art.   201.  )  ^  ,  &c. 

4yl  *  — •  ^asy  +  zaat  =  0. 
-J-  iaa 

2  î     I  s         0  ,    I. 


qui  étant  multipliée  par  la  progreflion  arithmé- 
tique 2  ,  1  ,  0  , —  1  ,  donne  comme  (Art.  204.) 

auparavant  t  = 


aa. 
CoROL    LAIRE. 


207. Il  efl  évident  qu'on  peut  (  Fig.  153.  154. 
PL  8.)  confidérer  le  point  bailant  comme  (Art. 
205.)  la  réunion  d'un  point  touchant  avec  un 
point  d'interfedtion  du  même  cercle  ,*  ou  bien 
comme  (  Art.   205.  )  la  réunion  de  deux  points 


des  Infiniment  Petits.  251 
toucKans  de  deux  cercles  différens  &  concentri- 
ques :  de  même  que  le  point  d'inflexion  peut  être 
regardé  {Art.  196.)  comme  la  réunion  d'un  point 
touchant  avec  un  point  d'interfection  de  la  même 
droite ,  ou  (  Art.  198.)  comme  la  réunion  de  deux 
points  touchans  de  deux  différentes  droites  qui 
partent  d'un  même  point. 

PROPOSITION      VI. 
Problème. 

208.  Trouver  une  équation  qui  exprime  la  na- 
ture de  la  caufiique  A  F  G  K  ,  (  Fig.  155.  VI.  8.  ) 
formée  dans  le  quart  de  cercle  CAMNB,p/« 
rayons  réfléchis  M  H  ,  N  L  ,  &c.  dont  les  incidens 
P  M  ,  Q.N  ,  iSc.  font  parallèles  a  C  B. 

Je  remarque,  i°.  Que  fi  l'on  prolonge  les  rayons 
réfléchis  MF,  N  G ,  qui  touchent  la  cauftique  en 
F  ,  G ,  jufqu'à  ce  qu'ils  rencontrent  le  rayon  C  B 
aux  points  H ,  L  ;  l'on  aura  MH  éeale  à  CH ,  &  NL 
égale  à  CL.  Car  l'angle  CMH  =  CMP  =  MGH;  & 
de  même  l'angle  CNL  =  CNQ  =  NCL. 

20.  Que  d'un  point  donné  F  fur  la  cauftique 
AFK ,  l'on  ne  peut  mener  qu'une  feule  droite  M  H 
qui  ibit  égale  à  CH  ;  au  lieu  que  d'un  point  donné 
D  entre  le  quart  de  cercle  A  M  B  &  la  cauftique 
AFK  ,  l'on  peut  mener  deux  lignes  MH  ,  NL  tel- 
les que  MH  ==  CH  &  N  L  =  CL.  Car  on  ne  peut 
mener  du  point  F  qu'une  feule  tangente  M  H  ;  au 
lieu  que  du  point  D ,  on  en  peut  mener  deux  MH, 
N  L.  Ceci  bien  entendu 

Soit  propofé  de  mener  d'un  point  donné  D  la 


252  Analyse 

droite  M  H  ,  en  forte  qu'elle  foit  égale  à  la  partie 

CH,  qu'elle  détermine  fur  le  rayon  CB. 

Ayant  mené  MP  ,  DO  parallèles  à  CB  ,  &  MS 
parallèle  à  C  A,  foient  nommées  les  données  C  O 
ouRS,  u  ;  OD  ;■&  ACou  CB, Rôties  incon- 
nues CP  ou  MS ,  xj  PM  ou  CS,  y;  CH  ou  MH,  r. 
Le  triangle  rectangle  MSH  donnera  rr  =  rr-~iry 

-hyy  +  xx  :  d'où  l'on  tire  C  H  (r)  —^±122.    De 

p'us  les  triangles  femblables  MRD  ,  MSH  donne- 
ront M  R  (x  -u).  MS  (x)  :  :RD(k— j).SH 

— ^.  &  partant  CS+Srï  ou  CH  =  ïfLZ^Z 


X 

xx  -+-  vy 


—  —  en  mettant  pour  xx  -\-yy  fa  va- 
leur aa.  D'où  l'on  forme  (  en  multipliant  en  croix) 
l'équation  aax  —  aau  ==  2^  —  luyy  ;  &  mettant 
pour  j y  l'a.  valeur  ^a  —  xx  ,  il  vient  z\xy  =  aax 
-+■ aau  —  2uxx  :  quarrant  enfuite  chaque  membre 
pour  ôter  les  incommenfurables ,  &  mettant  en- 
core pour  yy  fa  valeur  aa  —  xx  ,  l'on  aura  enfin 
4««x4  —  ^aaux%  —  <\aauuxx  -h  2a4ux  -+-  a*uu  =  0. 
4\\  - — -qua^X 

+  a* 
Or  il  eft  clair  que  u  exprimant  C  O  ;  &  ^ ,  OD  i 
cette  égalité  doit  avoir  deux  racines  inégales ,  fça- 
voir  CP,  CQ.:  &  qu'au  contraires  exprimant  CEi 
&  1,  EF  i  CQ  devient  égale  à  CP ,  de  forte  qu'elle 
a  pour  lors  deux  racines  égales.  C'eft  pourquoi  fi 
l'on  multiplie  les  termes  par  ceux  des  deux  progref- 
fions arithmétiques  4 ,  3 ,  2  ,  i,o,&0,i,2,  3,4, 
l'on  formera  deux  égalités  nouvelles  par  le  moyen 


des  Infiniment  Petits.  255 
defquelles  on  trouvera  ,  après  avoir  fait  évanouir 
l'inconnue  x ,  cette  équation. 

-+-  1 9  iv.u  —  9  iaanu  —  1  ^a'uu 
+  192a4    — 4%aau* 
+  64a6 

qui  exprime  la  relation  de  la  coupée  CE  (u)  à 
l'appliquée  EF  (O-  Ce  qu'il  falloir  trouver. 

On  peut  déterminer  le  point  touchant  F  en  fe 
fervant  de  la  méthode  expliquée  dans  la  huitième 
Settion.  Car  fi  Ton  imagine  un  autre  rayon  inci- 
dent pm  infiniment  proche  de  PM  •  il  eft  clan  que 
le  réfléchi  mh  coupera  M  H  au  point  cherché  F  , 
par  lequel  ayant  tiré  F  E  parallèle  à  P  M  ,  l'on 
nommera  CE ,a  ;  EF  ,  ç;  CP ,  x  ;  PM  ,y;  CM  ,a  : 

„      flc'X  -H  aau  —  2UXX 

&  l'on  trouvera  comme  ci-deiius — 

—  2^.  Or  il  eft  vifible  que  CM  ,  CE  ,  EF  demeu- 
rent les  mêmes  pendant  que  CP  &  P  M  varient. 
C'eft  pourquoi  l'on  prendra  la  différence  de  cette 
équation  en  traitant  «,a,x,  comme  confiantes , 
&  x  ,y,  comme  variables  ;  ce  qui  donnera  myxxdx 
-»-  aauyàx  —  aaxxdy  —  aauxây  -t-  lux'dy  =  0 ,  dans 

laquelle  mettant  pour  àx  fa  valeur — ^  (que  l'on 

trouve  en  prenant  la  différence  àzyy  =  aa  —  xx)  , 
&  enfuite  pour  yy  fa  valeur  aa  • —  xx ,  il  vient  en- 

fin  CE  («)  =  -—. 

Si  l'on  fuppofe  que  la  courbe  A  MB  ne  foit  plus 
un  quart  de  cercle  ,  mah  une  autre  courbe  quel- 
conque qui  ait  pour  rayon  de  fa  développée  au 


254  Analyse 

point  M  la  droite  MC  ;  il  eft  clair  (  Art.  76.  )  quel 
fa  petite  portion  Mm  peut  être  regardée  comme  unT 
arc  de  cercle  décrit  du  centre  C  D'où  il  fuit  quel 
fi  Ton  mené  par  ce  centre  la  perpendiculaire  CP  lurl 

le  rayon  incident  PM  ,  &  qu'ayant  pris  CE=:— - -I 

(  CP  =  x ,  CM  —  a  )  l'on  tire  EF  parallèle  à  PM  ;] 
elle  ira  couper  le  rayon  réfléchi  M  H  au  point  F  ,1 
où  il  touche  la  cauftique  A  F  K. 

Si  l'on  tire  par  tous  les  points  M,  m  d'une  ligne! 
courbe  quelconque  AMB  ,  des  lignes  droites  MC, 
mQ  à  un  point  fixe  C  de  fon  axe  AC  ,  &  d'autres 
droites  MH  ,  mh  terminées  par  la  perpendiculaire  I 
CB  à  l'axe ,  enforte  que  l'angle  CMH  =:  MCH ,  & 
Qmh  =  mCh  ;  &  qu'il  faille  trouver  fur  chaque 
M  H  le  point  F  où  elle  touche  la  courbe  AFK, 
formée  par  les  interférions  continuelles  de  ces 
droites  MH ,  mh.  On  trouvera  comme  auparavant 

n  u         xx-±-yy  7x  —  uy  ,,    N      ,, 

Cn= ^-  =  ï ±    :   d ou    1  on    tire  : 

ïy  x  —  u 

x*  -+-  uyy  -4-  xyy — uxx  ,  ,       ,.,<*, 
— — ==  27  ,  dont  la  différence 

(  en  traitant  w,  \  comme  confiantes ,  &  x  ,  y\ 
comme  variables  )  donne  ix^ydx  —  uxxydxl 
—  xVy  -><-  uxldy  -+-  xxyydy  -+■  uxyydy  —  uyîdx\ 
=  0  ;     &    partant    la    cherchée    CE    (  u  )] 

2x$ydx — x^dy  -+■  xxyydy  ._        . 

— - n ^—7-. —      -   ,>  Or    la  nature 

xxytix  —  x  $  dy  -+-  y>  ax  —  xyydy 

de  la  ligne  AMB  étant  donnée  ,  l'on  aura  une  va-L 
leur  de  dy  en  dx  ,  laquelle  étant  fubftituée  dans! 
l'exprefllon  de  CE  ,  cette  expreffion  fera  délivréef 
des  différences  &  entièrement  connue. 


des  Infiniment  Petits.         255: 

PROPOSITION    VII. 

Problème. 

209.  o  OIT  une  ligne  droite  indéfinie  AO  (Fig.  1  5  6. 
PL  S.)qui  ait  un  commencement  fixe  au  point  A;foit 
entendue  une  infinité  de  paraboles  BFD,  CDG  qui 
ayent  pour  axe  commun  la  droite  AO ,  tf  pour  pa- 
ramètres les  droites  AB,  AC  interceptées  entre  le 
point  fixe  A,  &  leurs  fommets  B,  C.  On  demande  la 
nature  de  la  ligne  AFGqui  touche  toutes  ces  paraboles. 

Je  remarque  d'abord  que  deux  quelconques  de 
ces  paraboles  BFD ,  CDG  fe  couperont  en  un  point 
D  fîtué  entre  la  ligne  AFG  &  Taxe  A  O  ;  que  AG 
devenant  égal  à  AB ,  le  point  d  interfedtion  D  tom- 
be lur  le  point  touchant  F.  Ceci  bien  entendu , 

Soit  propofé  de  mener  par  le  point  donné  D  une 
parabole  qui  ait  la  propriété  marquée.  Si  Ton  mené 
l'appliquée  DO ,  &  qu'on  nomme  les  données  AO, 
«;  OD,  ^;  &  l'inconnue  A  B,  x;  la  propriété  de  la 
parabole  donnera  AB  x  BO  ( ux  -  xx)  =  DO" (^)  j 
&  ordonnant  l'égalité ,  l'on  aura  xx  —  ux  +  ^  —  0. 
Or  il  eft  évident  que  u  exprimant  AO  ,•  &  ^ ,  OD  ; 
cette  égalité  a  deux  racines  inégales,  fçavoir  AB  , 
CA:  &  qu'au  contraire  u  exprimant  AK;&ç,  EF> 
AC  devient  égale  à  A  B  ,  c'eft-à-dire  ,  qu'elle  a 
pour  lors  deux  racines  égales.  C'eft  pourquoi  on  la 
multipliera  par  la  progrefiïon  arithmétique  1,0, 
—  1  :  ce  qui  donne  x  =  1  ;  &  lubftituant  cette  va- 
leur à  la  place  de  x ,  il  vient  l'équation  u  —  2<  qui 
doit  exprimer  la  nature  de  la  ligne  A  FG.  D'où  1  on 
voit  que  A  F  G  eft  une  ligne  droite  faifant  avec 
AO  l'angle  FAO  tel  que  ÂE  eft  double  de  J£F, 


2<j6  Analyse,  &g. 

Si  l'on  veut  réfoudre  cette  queftion  en  général , 
de  quelque  degré  que  puifTent  être  les  paraboles 
BFD,  CDG,*  on  fe  fervira  de  la  Méthode  expliquée 
dans  la  Section  huitième,  en  cette  forte.  Nom- 
mant AE,u ;  EF  ,  <  ;  A B ,  x  ;  l'on  aura  u< -  xra  x  x" 
—  "C  "*"  "  l1"  exprime  en  général  la  nature  de  la  pa- 
rabole BF,  dont  la  différence  donne  (  en  traitant 
«  Se  \  comme  confiantes  ,  &  x  comme  variable  ) 


—  m- 


m  x  u  —  x  dx  X  x"  -h  nx         dx  x  u  —  xm-  o  ; 


n- 


&  divifant  par  u  —  x         dxXx        ,il  vient— rnx 

~\-nu  —  nx  ■=.  o  :  d'où  l'on  tire  x  = u   ;      & 

m-i-n 


partant  u  —  x=z u.   Mettant  donc  ces  va- 

r  m-t-  n 

leurs  à  la  place  de  w> — x ,  &  de  x  dans  l'équation 
générale  ;  &  faifant  (  pour  abréger  ) =  p  } 

r     

=:«,»?  +  «=:  r ,  l'on  aura  z  =  u ]/bman* 

m  — t-  n         J  r    l 

D'où  l'on  l'on  voit  que  la  ligne  AFG  eft  toujours 
droite,  fi  compofées  quepuifîent  être  les  paraboles, 
n'y  ayant  que  la  raiion  de  AE  à  EF  qui  change. 

On  voit  clairement  par  ce  que  Von  vient  d'expliquer  dans  cette 
Section,  de  quelle  manière  Von  doit  fe  fervir  de  la  Méthode 
de  M".  Dcfcartes  &  Hudde pour  réfoudre  ces  fortes  de  quef- 
tions  lorfque  les  Courbes  font  Géométriques.  Mais  Von  voit 
aujfi  en  même  temps  qu'elle  n'efl  pas  comparable  à  celle  de  M» 
L°ibnits  ,  que  j'ai  taché  d'expliquer  à  fond  dans  ce  Traité  : 
puifque  cette  dernière  donne  des  réfolutions  générales ,  ou  l'au- 
tre n'en- fournit  que  de  particulières  ;  quelle  s'étend  aux  li- 
gnes tranfcendantes,  &  qu'il  n'ejt point  necejfairi  d'ôter  les in-y 
commenfurabhs  :  ce  qui  ferait  très  fouvent  impraticable. 

COMMENTAIRE 


2<C7 


57 


COMMENTAIRE 

Des  articles   les   plus   difficiles  de  l'Analyfe 
des  Infiniment  Petits. 

La  Préface  que  nous  avons  mife  a  la  tête  de 
VAnalyfe  des  Infiniment  Petits ,  nous  difpenfe  de 
donner  ici  une  idée  générale  du  Commentaire  que 
nous  mettons  a  la  fuite  de  cet  admirable  Traité.  Ce 
Commentaire  n'efl  pas  difîingué  des  Notes fuivantes. 


L 


NOTE    I. 

A  demande  ,  ou  plutôt  la  iuppofîtion  de 
j  l'article  2,  pag.  3.  que  les  Commençans  n'ac- 
cordent qu'avec  peine  ,  ne  contient  rien  dans  le 
fond  qui  ne  foit  bien  raifonnable. 

En  effet ,  l'on  regarde  comme  infiniment  exactes 
les  opérations  des  Géomètres  &  des  Aftronomes  ; 
ils  font  cependant  tous  les  jours  des  omiffions 
beaucoup  plus  confidérables  que  celles  des  A'gé- 
brifles.  Lorfqu'un  Géomètre ,  par  exemple  ,  prend 
la  hauteur  d'une  montagne ,  fait-il  attention  à  un 
grain  de  iable  que  le  vent  enlève  de  defius  l'on 
fommet  ?  Lorique  les  Aftronomes  nous  parlent 
des  étoiles  fixes ,  ne  négligent-ils  pas  le  diamètre 
de  la  Terre  dont  la  valeur  eft  d'environ  trois  mille 
lieues  ?  Lorfqu'ils  calculent  les  éclipfes  de  Lune  , 
ne  regardent-ils  pas  la  Terre  comme  ipherique  j> 

R 


258  Commentaire 

&  par  conféquent  ont-ils  égard  aux  maifons ,  aux 
tours,  aux  montagnes  qui  fe  trouvent  iur  Ta  furfa- 
ce  ?  Or  tout  cela  eft  beaucoup  moins  à  négliger 
que  dx  ,  puifqu'il  faut  un  nombre  infini  de  dx  , 
pour  faire  x  ;  donc  le  calcul  différentiel  eft  dans  le 
fond  le  plus  fur  des  calculs  ;  donc  la  demande  de 
Yarticle  2.  ne  contient  rien  que  de  railonnable. 
Toutes  ces  comparaifons  font  tirées  du  Cours  de 
Mathématique  de  Wolf,  Tom.  i.  pag.  418. 

NOTE    II. 

L'article  5.  pag.  5.  a  befoin  d'un  Com- 
mentaire dans  toutes  les  formes.  On  convient  que 
la  différence  de  xy  eftjv/x  •+-  xdy  -t-  dxdy  ;  mais  on 
ajoute  qu'on  peut  fans  erreur  fenfible  omettre  dans 
la  pratique  dxdy.  L'on  a  raifon  5  en  voici  la  dé- 
monftration  la  plus  rigoureufe.  Pour  la  mettre  à 
la  portée  de  tout  le  monde  ,  reprenons  les  chofes 
d'un  peu  loin. 

i°.  Toute  grandeur  infinie  fe  marque  par  quel- 
qu'un des  caractères  00  ,   00 x,  ce'  &c 

20.  Le  premier  de  ces  caractères  marque  un  in- 
fini du  premier  ordre  ,  le  fécond  un  infini  du  fé- 
cond ordre  ,  le  troifieme  un  infini  du  troifieme 
ordre  &c. 

3°.  Un  infini  du  fécond  ordre  eft  infiniment  plus 
grand  qu'un  infini  du  premier  ordre ,  &  ainfi  d'un 
infini  du  troifieme  ordre  par  rapport  à  un  infini 
du  fécond. 

40.  Une  quantité  infinie  ne  peut  pas  être  aug- 
mentée par  l'addition  d'aucune  quantité  finie, 


Des  Infiniment  Petits.  259 
ni  diminuée  par  la  louft.rac~t.ion  d'aucune  quantité 
finie.  A  infi  00  -+-  1  —  00  ;  de  même  00  —  4  =z  00  . 
Ce  que  l'on  a  dit  de  l'infini  par  rapport  au  fini  , 
on  doit  le  dire  de  l'infini  d'un  ordre  lupérieur  vis- 
à-vis  l'infini  d'un  ordre  inférieur.  A  infi  »'+  M 
^co1-  de  même  oo5 —  ooi=  coJ.  Voyez,-en  la 
preuve  dans  là  note  précédente. 

50.  Toute  grandeur  infiniment  petite  eft  repré- 
fentée  par  une  fraction  dont  le  numérateur  eft  un 

fini  &  le  dénominateur  un  infini.  Ainfi  — ,  — -  . 

OO  052- 

— j  &c.  font  des  fractions  qui  repréfentent  des 

grandeurs  infiniment  petites  du  premier  ,  du 
fécond  &  du  troifieme  ordre.  Une  grandeur  infi- 
niment petite  eft  encore  repréfentée  par  une  frac- 
tion dont  le  numérateur  eft  un  infini  d'un  ordre 

inférieur  à  celui  du  dénominateur.  Ainfi  — -     re^ 

préfente  une  grandeur  infiniment  petite.  En  effet, 


6°.  Un  infiniment  petit  du  fécond  ordre  repré- 
fente  une  grandeur  infiniment  plus  petite  qu'un 
infiniment  petit  du  premier  ordre,  &  ainfi  des 
autres  à  l'infini. 

70.   Une  quantité  infiniment  petite  n'eft  rien 

par  rapport  à  une  quantité  finie.    Ainfi  1  h ■ 

=  1  ;  1  —  — =  1 .  De  même  un  infiniment  petit 

du  fécond  ordre  n'eft  rien  vis-à-vis  un  infiniment 

R  a 


25o  Commentaire 

petit  du  premier  ordre.  Ainfi  —  ■+-  — £  =  —     î 

—  __  _L  —  — .  Vous  en  trouverez  la   preuve 

00  oo1  oo 

dans  la  note  précédente. 

8°.  xy  eft  le  produit  de  x  multipliant/. 

9».  Xy  ->t-ydx  -t-  x4y  -+-  dxdy  eft  le  produit  de 
x-\-àx  multipliant y  +  dy,  c'eft- à-dire  ,  eft  le 
produit  de  x  augmenté  d'une  quantité  infiniment 
petite  ,  par  y  qui  fe  trouve  aufîi  augmenté  dune 
quantité  infiniment  petite  ;  donc  ydx  ■)■  xdy  +  dxdy 
eft  la  différence  de  xy. 

io°.  dxdy  eft  une  quantité  infiniment  petite  du 
fécond  ordre  par  rapport  \ydx-±xày  qu'on  doit 
regarder  comme  des  quantités  infiniment  petites 
du  premier  ordre.  En  effet,  prenons  le  r  tftangle 
A  B  C  D  ou  xy ,  F/g.  157.  VI.  8.  Augmentons  fa 
bafe  CD  ou  y  de  la  quantité  infiniment  petite 
Bn  ou  dy  ,8c  fa  hauteur  B  D  ou  x  de  la  hauteur 
infiniment  petite  Dp  ou  dx  ;  il  eft  évident  que 
le  rectangle  infiniment  petit  Bm  Dn  ou  xdy  ,  & 
le  rectangle  infiniment  petit  CD  op  ouydxfont  des 
rectangles  infiniment  plus  grands  que  le  re&angle 
Dnpr  ou  dxdy  ,  parce  que  chacun  des  deux  pre- 
miers eft  le  produit  d'une  quantité  finie  par  une 
quantité  infiniment  petite  ,  au  lieu  que  le  fécond 
eft  le  produit  de  deux  quantités  infinimeut  peti- 
tes ;  donc  dxdy  eft  une  quantité  .infiniment  plus 
petite  qucydx  ou  que  xdy  ;  donc  on  peut  fans  er- 
reur fenfible  la  négliger  dans  la  pratique  ;  donc  fi 
la  différence  de  xy  eft ydx  +  xdy  +  dxdy  ,  elle  le- 
ra  ydx't-xdy. 


des  Infiniment  Petits.  261 
ii°.  Il  eft  donc  vrai  que  ia  différence  d'un 
produit  compofé  de  deux  quantités  contient  la 
différence  de  la  première  quantité  multipliée  par 
la  féconde  ,  -4-  la  différence  de  la  féconde  quan- 
tité multipliée  par  la  première.  Il  n'eft  pas  moins 
vrai  que  la  différence  d'un  produit  compofé  de 
trois  quantités  fe  trouve  en  multipliant  le  pro- 
duit des  quantités  pofées  de  deux  en  deux  par 
la  différence  de  la  troifieme.  La  différence ,  par 
exemple  ,  de  xy\  QÛy^dx  -t-  x\dy  +  xyi\  j  en  voici 
la  démonftration. 

Je  fais  xy=zu-,  donc  la  différence  de  u  fera  la 
même  que  la  différence  de  xy  ;  donc  ydx  ■+-  xdy 
=:  du- 

De  plus  xy  =  u  ,  donc  xy\  =  u\  ;  donc  la  dif- 
férence de  xy\  fera  la  même  que  la  différence  de 
«ç  ;  donc  la  différence  de  xy\  eft  \du  -h  ud\.  Mais 
\du  =yidx  ■+  x\dy  ,  parce  que  du  =ydx  -h  xdy  ; 
&  udz  -  xyd^  ,  parce  que  xy~u\  donc  \du  -+-  ud$ 
■=.y\dx->r  x\dy  -±-xyd\;  donc  fi  la  différence  de 
xy\  eft  \du  -4-  ud\  ,  elle  fera  par-là  même  y\dx 
+  x\dy  -+-  xyd\  \  donc  la  différence  d'un  produit 
compofé  de  trois  quantités  fe  trouve  en  multi- 
pliant le  produit  des  quantités  polées  de  deux  en 
deux  par  la  différence  de  la  troifieme.  Par  là  même 
raifon  l'on  aura  la  différence  d'un,  produit  com- 
pofé de  4  quantités  ,  en  multipliant  le  produit 
des  quantités  pofées  de  trois  en  trois  par  la  diffé- 
rence de  la  quatrième.  La  différence  du  produit 
uxy\  eft  donc  xy\du  -+-  uy^dx  +  ux\dy-\-uxyd\.  En 
général  la  différence  du  produit  de  plufieurs  quan- 

R3 


262  Commentaire 

tités  multipliées  les  unes  par  les  autres  eft  égale  à 
la  lomme  des  produits  de  la  différence  de  chacune 
de  ces  quantités  par  le  produit  des  autres.  M.  de 
l'Hôpital  avance  ,  par  exemple  ,  que  la  différence 
de  a-*-x  X  b~ ~y  eft  bdx  — ady  — ydx  —  xày.  Il  a 
raiion.  En  effet ,  à  -+-  « X  b~-~  ~  ah  +  bx  —  ay  - xy. 
Mais  ab  n'ayant  point  de  différence ,  celle  de  ce 
dernier  produit  eft  évidemment  bdx  ■ —  ady  — ydx 
■ —  xdy  ,  donc  &c. 

NOTE    111. 
JVL.  le  Marquis  de  l'Hôpital  affure ,  à  l'article  6. 
tae.  6.  que  y— eft  la  différence  de  -.  Pour 

f  *  yy  V 

le  démontrer  ,  je  fais  -  —  ^  ;  &  j'avance  que  dans 
cette  hipothéfe  l'on  aura  dz  dz=.<- -■ ,  donc 

yy 

l'on  aura  par  là  même  * pour  la  différen- 

r  yy 

ce  de  la  fraction  -.  Le  calcul  fuivant  en  fera  la 

y 

preuve  évidente. 

1.  -     =2     \    par  hypothéfe. 

2.  x     —   yi 

3.  dx     rrr    z^dy  -+-  yd\ 

4.  ydi   —    dx    —  \dy 

,  dx  rly 

y         y 
&   àx   =  —  —  zd 


des  Infiniment   Petits.         263 

dx  xd 

,                  ydx   —  xdy 
8.      dx     =  Z " 

yy 

Explication. 

i°.  La  première  équation  eft  une  pure  fuppo- 
fition  ,  qu'on  ne  peut  accorder  ,  qu'en  accordant 
que  la  féconde  équation  eft  inconteftable. 

20.  La  troifieme  équation  eft  fondée  fur  ce 
principe  ;  fi  x=y\ ,  donc  la  différence  de  x  fera 
égale  à  la  différence  de  y\ 

30.  La  quatrième  équation  a  été  formée  par  les 
régies  ordinaires  ,  c'eft-à-dire  ,  en  traniportant 
dans  l'autre  membre  de  l'équation  la  quantité 
-t-l4y,  après  l'avoir  affrétée  du  figne  —  . 

40.  En  divifant  par>/  la  quatrième  équation, 
l'on  a  eu  la  cinquième  équation ,  &  en  ôtant  dans 
celle-ci  les  lettres  qui  fe  détruifent ,  l'on  a  eu  la 
fixieme  équation. 

50.  Pour  trouver  la  feptieme  équation,  l'on  a 
fubfiitué  dans  le  fécond  membre  de  la  fixieme 


à  z  fa  valeur  -. 

y 

6°.  La  huitième  équation  eft  la  même  que  la 
feptieme  ,  aux  yeux  de  quiconque  fçait  les  pre- 
miers éléments  de  l'Algèbre;  donc  fi  celle-ci  eft 
bonne  ,  celle-là  le  fera  aufli  ;  donc  la  différence 
d'une  fraction  eft  égale  au  produit  de  la  diffé- 
rence du  numérateur  par  le  dénominateur,  —  au 
produit  de  la  différence  du  dénominateur  par  le 
numérateur ,  le  tout  divifé  par  le  quarré  du  dé- 

R    4 


264  Commentaire 

nominateur  ;  donc  la  différence  de  -  eft 


X  XX 


parce  que  le  numérateur  a  n'a  point  de  différence  ; 

x  a    adx  ~h  xdx  —  xdx 

donc  la  différence  de  —^    eft  -— — —^ 


aa  -+-  zax  -+-  xjc 


NOTE     IV. 

L'article  7,  page  7,  demande  une  foule 
d'éclairciffements  ;  ils  feront  renfermés  dans  les 
réponfes  aux  queftions  luivantes. 

Première  Ouejlion.  Comment  pourroit-on  prou- 
ver que  —  1  eft  l'expofant  de  -  ? 

Réponfe.  x— '  =  - .  En  effet  x  ~~  '  X  x1  =x*' 

=  x  ;  donc  x  eft  le  produit  du  multiplicande  x1 

par  le  multiplicateur  x      '  ;  donc  —l=x~       , 

parce  que  la  divifion  du  produit  par  le  multipli- 
cande   donne   pour  quotient  le  multiplicateur. 

Mais  4  =  -  i  donc  *~~  '  =  ~  >  donc  en  général 

XX  X  X 

une  quantité  élevée  à  une  puiflance  dont  l'expo- 
fant eft  un  nombre  entier  négatif,  n'eft  autre  que 
l'unité  divifée  par  la  puiflance  pofitive  de  cette 

quantité  ;  donc  x  ~ i  =  -^  i  donc  x  —  J  =  ^j  &c. 

Seconde  Qaejlion.  Eft-il  vrai  que  j/x  ait  pour 

çxpofant  -  ? 


des  Infiniment  Petits.        265 
Réponfe.  Cela  eft  vrai ,  &  en  voici  la  preuve. 

j/x  =  x*  h  mais  x1  a  pour  expofant  \ ,  donc  |/x 
a  pour  expofant  ;.  Il  s'agit  donc  de  démontrer 

2  1 

que)/*  =  x\  La  chofe  n'eft  pas  difficile.  Voici 
comment  il  faut  s'y  prendre. 

1       «         --4--  L 

xzXxl  =  xz      *  =  x'  =  x  ;  donc  x1  eft  la  ra- 

cine  quarrée  de  x.  Mais  \/x  eft  la  racine  quarree 

de  x  ;  donc  \/x  =  x1  ;  donc  en  général  une 
quantité  quelconque  élevée  à  une  puiflance  frac- 
tionnaire n'eft  autre  chofe  que  la  racine  d'une 
puhTance  dont  l'expofant  eft  le  numérateur  de  la 
fraction ,  &c  le  dénominateur  eft  l'expofant  de  la 

3i  sa 

racine  ;  donc  |/Y  =  xi  ;  donc  \/x*  =  x*. 

Troifieme  Queliion.  A  quoi  équivaut  — —  ? 

j/V 

T  i  » 

Réponfe.  ■ =  x      \  Je  le  démontre.   yx> 

==  x*  (  graf/rw»  2e.  )i  donc  -5 —  =  — .  Mais   — 

|/V         X1  X1 


i 


b=-x~    *  {que/lion    ire.  )  donc  - — ==  x        '  ," 

j/xJ 

donc  -5 —  =  x      *  ;  donc  — — ■  =  x 
|/xs  \/x7 

Quatrième  Que/lion.  Eft-il  vrai  que  1 ,  )/x  ,  x 
forment  une  progrefïion  géométrique  ? 


266  Commentaire 

Réponfe.  Il  eft  évident  que  i  :  |/x  :  :  yx  :  x  ,* 

car  ixx  =  x,  &  j/x  X  j/x  —  x  ;  donc  i  ,  yx  , 
x  font  trois  termes  en  progreffion  géométrique. 

Leurs  trois  expofants  0,7,1  forment  une  pro- 
greffion arithmétique;  car  0  +  i=?i  ,  &f +j=  1. 

Corollaire  1.    1  ,  |/ x  ,  |/xx  ,  x  font  en  pro- 

1  1  1 

greffion  géométrique.  En  effet,  1  :  x'  :  :  x3  :  x3     , 

1         *  1         ■  7-  1 

car  1   x  x1  =  x3 ,  &  x3  X  x3  =  x3.  De  plus  x3  : 
*        -  ï  1  -'         *  *        - 

x3  :  :x3  :  x',  carx3  x  x'  =x'      3  =  x' ,  &  x3  X  x1 

r=  x*  ;  donc  1  ,  x; ,  x3 ,  x  ,  ou  1  ,  \/x  }/xx  ,  x 
font  en  progreffion  géométrique. 

Pour  leurs  expolants  0 ,  \ ,  ^ ,  1  ,•  ils  font  en 
progreffion  arithm  tique.  En  voici  la  preuve. 
0  •  L  :  ~  •  3 \  y  puifque  la  lomme  des  extrêmes  0  -+■  | 
r=-,  &  que  la  lomme  des  moyennes  j-  ■+- j  =  j. 
De  plus  7  •  7  '•  j  •  1  ,  puifque  T+i=i,&  que 
~  -+- 1  =  |  ;  donc  les  expofants  0  ,  j ,  j  ,  1  iont 
en  progreffion  arithmétique. 

Corollaire  11.  Par  la  même  raifon  ,   1  ,  y  x  , 

5  5  5  I  *         I  4 

|/xx ,  |/V  ,  j/x4 ,  x  ,  ou  ,  I  ,  XS  ,  X*  ,  XS  ,  X5  ,  X 
font  en  progreffion  géométrique  ,*  Ôc  leurs  expo- 
fants "  5  j  »  f  3  «  »  f  >  iou{  font  en  progreffion 
arithmétique. 

Cinquième  Qucjlion.-^-^— ,  —    lont-ils    en 

|/x3 
progreffion  géométrique  ^ 


des  Infiniment  Petits-         267 

Réponfe.  x~"  '  ,  x~~  S  x~    *  font  en  progref- 

fion  géométrique  ;  car  x         X  x         ==  x        ,  6c 

x~~  i  xx—I  =  x~"7  =x~   '  h  donc  x  , 

x"  *  ,  x""'  ou  -  ,  4—  .  ~  font  en  progreffion 


• 


géométrique. 

Il  n'eft  pas  néceffaire  de  faire  remarquer  que 
leurs  expofants  —  1  ,  —  },  —  2  font  en  progref- 
fion arithmétique  ;  la  choie  faute  aux  yeux.  Il  en 
eft  de  même  des  autres  progreflïons  géométriques 
&  arithmétiques  que  propofe  M.  le  Marquis  de 
l'Hôpital  ;  elles  fe  préfentent  à  tout  Commençant 
qui  fçait  délivrer  une  quantité  quelconque  de  fon 
ligne  radical ,  en  lui  donnant  un  expofant  frac- 
tionnaire. 

Sixième  Quejlion.  Comment  peut-on  démontrer 
que  2xdx  eft  la  différence  de  xx. 

Rêponfe.  xx  eft  le  produit  de  x  par  x.  La  diffé- 
rence d'un  produit  compofé  de  deux  quantités 
contient  (  Note  2e.  )  la  différence  de  la  première 
quantité  multipliée  par  la  féconde,  ■+■  la  différen- 
ce de  la  féconde  quantité  multipliée  par  la  pre- 
mière ;  donc  la  différence  de  xx  eft  xdx+xdx 
z—  zxdx. 

L'on  prouvera  par  la  même  note  que  la  différen- 
ce de  x3  eft  tfdx  ;  que  celle  de  x4  eft  qx'dx  ;  & 
qu'en  général  la  différence  d'une  puiflance  quel- 
conque parfaite  ou  imparfaite  d'une  quantité  va- 
riable ,  eft  égale  au  produit  de  l'expolant  de  cette 


268  Commentaire 

puifiance,  par  cette  même  quantité  élevée  à  une 
puifiance  moindre  d'une  unité  ,  &  multipll  e  par 
fa  différence.  En  nommant  donc  m  un  expofant 
quelconque  entier  pofitif  ,  l'on  dira  que  la  diffé- 
rence de  x1"  eft  w  xm  '  dx.  De  même  en  nom- 
mant —  un  expofant  quelconque  fractionnaire  po- 

fkif ,  l'on  aura  -  xn~~    dx,  ou  —  x  ~*~    d  x  , 

n  n 

m 

pour  la  différence  de  x n.  Enfin  en  prenant  —  m 
pour  un  expofant  quelconque  entier  négatif,  Se 

■ —  -  pour  un  expofant  quelconque  fra&ionnaire  né- 
gatif, l'on  aura -mx~~m~~l  dx  pour  la  différence 

dex        ;•& x      n         dx  = x         n     dx 


n 


pour  'a  différence  de  x       n  . 

Septième  Qucjlion.  Comment  peut-on  démon- 

—  m — i       ,  — mxm        'dx 

trer  que  —  mx  dx  = — ? 

Réponfe.  Pour  démontrer  que  -mx  —  m  —  >    dx 

*= :m ,  multiplions  les  deux  membres 

de   cette    équation    par   x,m  ,    nous    aurons 

—  mx~m^m—  ,dx=  -  mxm  —  Vx,ou  -mxm—'  dx 

—  — mxm  '  dx  ;  donc,  après  la  multiplication  , 
les  deux  produits  fe  font  trouvés  égaux  ;  donc  les 
deux  multiplicandes  Pétoient  avant  la  multipli- 
cation. Mais  les   deux  multiplicandes  éto'ient  les 


des   Infiniment  Peti  t^  m_*s9 
deux  membres   de  l'équation  —  r/ix  '  dx 

m  — -  i 

—  —m<  dx  •  donc  ces  deux  membres  étoient 

réellement  égaux. 

L'on    prouvera    de    la   même    manière    que 

m  T 

n  v       »       x  dx  ;   donc  en 


■—  x 

n 


xn 


général  la  différence  d'une  puiflance  quelconque 
parfaite  ou  imparfaite  d'une  quantité  variable  eft 
égale  au  produit  de  l'expoiant  de  cette  puiflance  , 
par  cette  même  quantité  élevée  à  une  puiflance 
moindre  d'une  unité,  &  multipliée  par  fa  différen- 
ce. Concluez  de  là  qu'il  n'eft  pas  néceffaire  de  fai- 

re  x D  —  i  >  Pour  trouver  la  différence  d'une  puil- 

fance  quelconque  imparfaite. 

Huitième  Quejlion.  Quelle  eft  la  différence  du 
cube  de  ay  —  xx  ? 

Réponfe.  La  différence  demandée  eft   ^a'yydy 

—  éaaxxydy  +  $ax?dy  —  daayyxdx  -+-  i  rayx^dx 

—  6xWx  ,  parce  que  le  cube  de  ay  —  xx  eft  «y 
__  $aayyx*-i-iayx*  —  x6.  En  effet, la  différence  de 
ay  eft  ^a'yydy  (quejlion  6.)    La  différence^  de 

$aayyxx  eft  —  éaaxxydy  —  éaayyxdx  (  même 

queftion  ).  La  différence  de  +  ^ayx4  eft  •+  $ax*dy 
H-  i  layx'dx  (  même  queftion  ).  Enfin  la  différence 
de  —  xc  eft  —  6x'dx  ,  (  même  queftion  )  ;  donc  la 
différence  affignée  eft  la  véritable  différence  du 
cube  de  ay  —  xx. 


2/o  Commentaire 

Neuvième  Que/lion.   Quelle  eft  la  différence  du. 
radical  )/ xy  -*-yy  • 

Réponfe.   La    différence    demandée    eft 

ydx  -f-  xdy  — f-  ayd/y 


2\/.n 


En    voici   la    démonftration. 


*  y  -+-  y  y 

Pour  la  mettre  à  la  portée  de  tout  le  monde  ,  je 
fais  Yxy  ~*~  yy  '==- u-  Cela  iuppofé  »  voici  comment 
je  railonne. 

i°.  a  =  j/ary  n-_yy  >  donc  la  différence  de  a 
fera  la  même  que  la  différence  de  }/xy  -+■  yy- 

2°.  a  =  j/*y  ■+-  jy  i  donc  mm  =  xy  -fjy  ;  donc 
la  différence  de  uu  fera  la  même  que  la  différence 
de  xy  -\-yy  ;  donc  2udu  =ydx  +  x^J7  4-  iyày» 

3°.    2«â/«  =  ydx  •+-  xdj/  -h   2y*/y  3«  donc  du 

ydx  -f-  xdy  -f-  lydy     .  ydx-h  xdy  -f-  2yd[y 

^^ j  donc  du  — * .         — . —  i 

2u  2v  xy  — h- yy 

parce  que  u  =  ]/xy-i-yy  ;  donc  dans  l'hypothé- 
fe  propofée  la  différence  de  u  zft.y— — ^2. — zJLZ, 

2    yxy-i-yy 

Mais  dans  cette  même  hypothéfe  la  différence  de 
a  eft  la  même  que  la  différence  de  \/Xy  -+-  y  y  ,*  donc 

la  différence  de  \/Xy  -t-  y  y  eft  ^— ^ — *  y      ~y  it 

2    y  xy  -f-  y  y 

Corollaire  I.  En  faifant  \/fl4  -+.  âj^y  ==r  a  ,  vous 
trouverez  par  le  même  calcul  que  la  différence  de 

■  •      ,       n    a^  -+-  ayydx  -f-  2axydy 

ce  radical  eft   y  ^-^. 

2Vtft  —i-axyy 

Corollaire  1  î.  En  faifant  y~âx~^Tx~x  —  «  ,  l'on 
trouvera    que   la    différence    de    ce  radical    eft 

— 3  ;  en  voici  la  preuve  la  plus  détaillée. 

3  vax-t-  xx* 


des   Infiniment   Petits.      27  i 
1  °.  u  =■  y  ax  -+■  xx  i  donc  u=ax+  xx3  (quef- 

x 

tion   2e.)  ;    donc  uu  =  ax-t-xx*  j  donc  uu  — 

y  ax  -+-  xxx  (  même  queftion  ). 

20.  h  —  y  ax  -+-  xx  i  donc  uuu=ax  •+■  xx  ;  donc 
■^uuclu  =  adx  +  2xdx  (  queftion  6e.  ) 

HO.X  *  1    Q.xd.x 

30.  3wm<5/m  -  #dx  +  2x«'xi  donc  dw  =  — a 

parce  que  «m  =  [/«*  -h  xxx  (  nqm.  1 .  )  ;  mais  la 
différence  du  radical  y  ax  -+-  xx  eft  la  même  que 
celle  de  u  j  donc  elle  fera  — — . 

^\/ ax -i- xxz 

Dixième  Que/lion.    Quelle  eft  la  différence  du 

radical  \/ 'ax  ■+■  XX  -+-  y  a* -h  axyy, 

Réponfe.    La   différence  demandée   eft 

ad<  -+-  2xdx  ayyàx  -+-  2axydy 


2Va    +xx+]/a'+jsyy        *Va*  -+  axyy  X  zV  ax  +  xx  ■+-  vV  +  ax)y 


Pour  le  démontrer  ,  faifons  \/ax  +w  -+-  ya*  +  axyy 
—  u;  &  voyons  ce  que  vaudra  da  dans  cette  hy- 
pothéfe-  

I  °.  U  =  y/gx  -H-  arX  +  Va*  -H  axyy  '■>  donc  «a  =  ax 

■+■  xx  -+■  v/44  -+-  tfxjj  ;  donc  2«û/«  =  a^/x  +  2xix  + 

ayydx-y  aaxydy  .    ^  ^  fera  ^   j,  ^  +  ^ 

2   y  a+  -t-  axyy 

divifé  par  2«+à  «ZZ^B^  divifé  par  2M  ou 

2   |/ a+  -i-  axyy 

/— — ' — 

par  2  |/  ax  -t-  aw  -t-  Va4  -4-  <WJJ- 


ijï  Commentaire 

2°.    a  d  x  -\-  2x  d  x    divifé     par    iu    ~ 

adx  -+-  ixdx 
2  y  ax  -+-  XX  -+-  Va*  -+-  axyy 

ayyix  -f-  2axydy  ,.    .,.,  -  ,       , 

3°. ,  ^  divile par  2weît égal, parles 

2  \Aj4  -+-  axyy  r  &     '  r 

régies  de  ladivifiondesfraûionsà-^È^^L 

2V  a* -h axyy  X  2U 
ayydx  -+-  laxydy 

2  j/fl4  H-  a^jj/    X    2   J/  flje  h-  xx  H-  Va-»  -+.  axyy    ' 

donc  du  = 


adx 


2    J/'aX  -+-  XX  H-  \/at~haxyy 
ayydx  -h-  laxydy  i 

— ,  z  ,        — =j  donc 

2l/"4  +  ^JT  X   2  K    a*  "+■  xx  -+-  Va*  -+-  axyy 

le  problême  à  été  réfolu. 

Corollaire.  La  différence  que  M.  le  Marquis  de 

l'Hôpital  afligne  à  la  fradion  V**-*-**  t  ne  pa_ 

y   xy  -+-  y  y 

roîtra  pas  embrouillée  à  ceux  qui  fe  rappelleront 
ce  qui  fuit. 

i°.  La  différence  du  numérateur  \Za~x-*-xx  eft 

(  Cor.  11.  de  la  que/lion  9  ). 


3|/ ax  -+-  xx2- 
2".  La  différence  de  ^xJTyy  &yi*+*iy  +  *yil 

2\/xy-±-yy 

(  que/lion  9  ). 

30.  Le  quarré  de  \/xy  -t-  y  y  eft  xy  +yy. 

40.  La  différence  d'une  fraction  quelconque  eft 
égale  au  produit  de  la  différence  du  numérateur 

par 


des  Infini  ment  Petits.  27$ 
par  le  dénominateur ,—  au  produit  de  la  différence 
du  dénominateur  par  le  numérateur,  le  tout  divifé 
par  le  quarré  du  dénominateur  (  Note  3  )  ;  donc 
la  différence  de  la  fraction  propofée  eft  égale  à  la 

différence  du  numérateur  ~[/ax~h  xx  multipliée 
par  le  dénominateur  \/ Xy  -t-  y  y  ,  —  à  la  différen- 
ce du  dénominateur  \/xy-+-yy  multipliée  par  le 

numérateur  \/ax  -t-  xx  ;  le  tout  divifé  par  xy+yy^ 

quarré  du  dénominateur  \y  xy  -+-yy  h  donc  la  frac- 
tion propofée  n'a  pas  d'autre  différence  que  celle 
que  lui  a  aiïlgnée  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital  à  la 
iin  de  l'article  7.  pag.  1  2. 

NOTE     V. 

.Dans  toute  la  Seftion  féconde  M.  le  Mar- 
quis de  l'Hôpital  fe  fert  du  calcul  différentiel 
pour  trouver  les  tangentes  de  toutes  fortes  de 
lignes  courbes.  Il  fuppofe  que  le  Lecteur  a  étu- 
dié avec  attention  tout  ce  qui  regarde  les  fec- 
tions  coniques  ;  nous  le  fuppofons  auffi.  Malgré 
cda  cependant  nous  allons  lui  rappeller  en  peu 
de  mots  les  principales  propriétés  du  Cercle  ,  de 
la  Parabole,  de  PÉllipfe  &  de  l'Hyperbole.  Cette 
efpéce  d'abrégé  du  Traité  des  feftions  coniques 
eft  abfohiment  néceffaire  pour  rendre  intelligi- 
ble la  plupart  des  problêmes  &  des  exemples  que 
contient  cette  féconde  fection. 

i°.    Si  l'on  coupe  le  cône  ABC  ,  F/g.  158. 
PL  8  ,  parallèlement  à  la  bafe  circulaire  AlKCj 

S 


274  Commentaire 

&  plus  haut  ou  plus  bas  à  volonté  ;  l'on  aura  un 
cercle  LTH  ,  d'autant  plus  grand  ou   d'autant 
plus  petit ,  que  la  fe&ion  fera  faite  plus  près  ou 
plus  loin  de  la  bafe  du  cône.    La  propriété  de 
cette  courbe  eft  que  le  quarré  d'une  ordonnée 
quelconque  DF,  Fig.   159.   PL  8  ,  eft  toujours 
égal  au  produit  des  coupées  ou  abfcifles  corref- 
pondantes  A  F  ,  F  B.    Nommons   donc  DF;/, 
ABia,  AFx;Yon  aura  AC  ouCBa  ,  FB=2a 
—  x  ;  &  l'équation  fera  DF1  =  AFxFB  ,  ou  yy 
— -  2ax  —  xx  ■   c'eft  là  l'équation  au  cercle  ,  en 
prenant  le  fommet  A  pour  l'origine  des  x  ou  des 
abfcifles.  Si  l'on  prenoit  le  centre  C  pour  l'origine 
des  abfcifles ,  c'eft- à-dire  ,  fi  l'on  faifoit  CF  =  x; 
l'on  auroit  AF  =  «  —  x  ,  FB  =  a  h-  x  ;  &  l'é- 
quation précédente  fe  changeroit  en  celle-ci  ,  yy 


aa  —  xx. 


20.  Si  l'on  coupe  le  cône  ABC,  Fig.    158. 
PL  8  ,  obliquement  à  fa  bafe  8c  parallèlement  à 
un  de  fes  côtés  AB  ;  l'on  aura  la  parabole  1GK. 
Une  parabo'e  quelconque  MSw  ,  Fig.  1 60.  PL  8, 
a  pour  fommet  le  point  S  ;  pour  foyer,  le  point  F  ; 
pour  grand  axe  ,  S  P  i  pour  ordonnées  au  grand 
axe  ,  les  lignes  PM  ,  FN  ,  pK;  pour  coupées  ou 
abfcifles  correfpondantes ,  les  lignes  SP  ,  SF  ,  Sp  ; 
pour  paramètre  ,   une  ligne  quelconque  égale  à  la 
double  ordonnée  Nw  qui  pafle  par  le  foyer  F. 
La  propriété  de  cette  courbe ,  c'eft  que  le  quarré 
d'une  ordonnée  eft  égal  au  produit  de  l'abicifie 
correfpondante  &  du  paramètre  ;  ainfi  P  M''  = 
SPx'Ns.  Nommons  donc  y  une  ordonnée  quel- 


des  Infiniment  Petits.  275 
conque  :  nommons  x  fon  abfciffe  correipondante, 
&.  p  le  paramètre  ;  l'on  aura  pour  équation  à  la 
parabole  yy  =  px. 

2°.  L'on  a  dans  la  parabole  MSw  l'équation 
PAT'  =  P  S  x  Nw  ;  l'on  a  encore  dans  la  même 
parabole  pKz  —  pS  x  Nm  ;  donc  l'on  aura  PM'  : 
p\V  :  :  PS  x  N»  :/)SxNn;  mais  le  paramètre ?;N 
'eft  une  quantité  confiante  ,•  donc  l'on  aura  PM1 
:  /  R.1  :  :  PS  :  fS  ;  donc  dans  une  parabole  quel- 
conque les  quarrés  des  ordonnées  font  entreux 
comme  leurs  abtchTes. 

4°.  L'on  a  dans  la  parabole»  =  px  ;  donc  fi 
p—  1  3  l'équation  deviendra  yy—.  ix  =■  x. 

50.  L'on  a  dans  la  parabole»-  =■  px  ;  donc  x 
croiflant ,  y  doit  croitre  aufïi ,  parce  que  p  eft 
une  quantité  invariable  Mais  les  x  peuvent  croi- 
tre à  l'infini ,  parce  que  le  grand  axe  de  la  para- 
bole peut  être  prolongé  à  l'infini  ;  donc  les  >'  peu- 
vent croitre  à  l'infini  ;  donc  la  parabole  ira  tou- 
jours en  augmentant ,  &  ne  fe  fermera  jamais. 

6°.  Si  l'on  coupe  le  cône  A E  C ,  F/g.  1 5  8.  PL  3  3 
obliquement  à  fa  bafe&  à  fes  deux  côtés ,  de  ma- 
nière que  la  iection  coupe  les  deux  côtés  du  cône; 
l'on  aura  une  ellipfe  DMN.  Une  eilipfe  quelcon- 
que ,  par  exemple  ,  l'ellipfe  A  B  E  1)  ,  F/g.  161. 
\VL  H  ,  a  pour  grand  axe  ,  AB  ;  pour  petit  axe , 
ED  ;  pour  foyer ,  F ,  f;  pour  centre  de  figure ,  C  ; 
pour  ordonnée  ,  PM  ,  pm  ;  pour  ab.fciffes  corref- 
pondantes  à  l'ordonnée  PM  ,  les  lignes  AP  ,  PB  ; 
pour  ablcifles  correfpondantes  à  p???,  les  lignes  Ap, 
pB  j  pour  paramètre  du  grand  axe  ,  la  double 


S  2 


zj6  Commentaire 

ordonnée  N»  qui  paffe  parle  foyer  F.  Dans  cette 
efpéce  de  courbe  ,  l'on  a  toujours  la  proportion^ 
fuivante ,  le  quarré  d'une  ordonnée  quelconque 
eft  au  produit  de  fcs  abfciffes  correfpondantes , 
comme  le  paramètre  eft  au  grand  axe  ,  ou  PM1 
:APxPB::Nh:AB.  Nommons  donc  A  B , 
2a  j  ED  ,  2b  ;  ISn  y  p  ;  PM ,  y  ;  AP  ,  x  ;  Ion 
aura  PB  —  za—  x,  &  la  proportion  précédente 
fe  changera  en  celle-ci  ,  yy  :  iax  —  xx  :  :  p  :  2a  ; 

.  ,  2apx — pxx 

donc  iayy  =  2apx  — pxx;  aonc  yy  =  —  -j 


2a 

pxx 
2a 


àonc  yy  =  px  —  - —  ;  &  c'eft-là  l'équation  au  pa- 
ramètre de  l'ellipfe  ,  en  prenant  l'un  des  fommets 
A  pour  l'origine  des  ablciffes. 

70.  Si  l'on  avoit  pris  l'origine  des  abfciffes  au 
centre  C  ,  cefi-a-dire  ,  fi  l'on  avoit  CP  =  x  ,  l'on 
auroit  eu  AP  •=.  à  —  x,  &  PB  =  #  -f-  x.  La  pro- 
portion précédente  fe  feroit  donc  changée  en 
celle-ci  j  yy  :  aa  —  xx  ::  p  :  2a  ;  donc  2ayy  =  aap 

,  aap — pxx        j  . 

'. —  pxx:  donc  yy  = — - — '- —  ;  donc>'^  =.  -  ap 


2.  a 
pxx 


;  &  c'eft-là  l'équation  au  paramètre  de 
l'ellipfe ,  en  prenant  les  abfciffes  depuis  le  centre  C. 


2a 


2a 


8°.  iayy  =  aap  —  pxx  ;  donc  z-^-  =aa  —  xx  ; 

donc  x  augmentant ,  le  fécond  membre  aa  — xx 
doit  diminuer.  Le  fécond  membre  ne  peut  pas  di- 
minuer ,  fans  que  le  premier  membre  — <~  dimi- 
nue. Mais  dans  ce  premier  membre  ,  il  n'y  a  que  y 


des  Infiniment  Petits.  277 
qui  puiffe  diminuer  ,  parce  que  le  grand  axe  ia  & 
le  paramètre  p  font  des  quantités  confiantes  ;  donc 
dans  l'ellipfe  x  augmentant  ,  y  doit  diminuer. 
Mais  x  ne  peut  augmenter  que  jufqu'à  un  certain 
point ,  parce  que  le  grand  axe  de  cette  courbe  eft 
déterminé  ;  donc  l'ellipie  fe  fermera  dans  les  deux 
points  où  les  x  ne  feront  plus  fufceptibîes  d'aug- 
mentation ;  donc  elle  fe  fermera  aux  deux  forn- 
mets  A  &  B. 

90.  L'on  a  dans  l'ellipfe  P  M1  :  AP  xPB  :  :  N» 
:  A  B  ;  l'on  a  encore  p m%  :  A  p  x  pB  :  :  N  n  :  A  B 
(  num.  6  )  ;  donc  l'on  aura  P  M  :  A  P  x  PB  :  : 
pm%:Apx  pB  ;  donc  P  M1  :  pm%  :  :  A?  xPB: 
Ap  X  pB  ;  donc  dans  l'ellipfe  les  quarrés  des  or- 
données font  entr'eux  comme  les  produits  des  abf- 
ciffes correfpondantes. 

io°.  11  eft  encore  démontré  dans  tous  les  Trai- 
tés des  Sections  coniques ,  que  dans  toute  elliple  le 
quarré  d'une  ordonnée  quelconque  eft  au  produit 
des  abfciffes  correfpondantes  ,  comme  le  quarré 
du  demi-petit  axe  eft  au  quarré  du  demi-grand 
axe  ;  donc  l'on  aura,  en  prenant  l'origine  des  abl- 
ciffes  à  l'un  des  fommets,  la  proportion  fuivante; 
y  y  :  zax  —  xx  \:  bb  :  aa  \  donc  aayy  ~  zabbx  —  bbxx  ; 

,  labbx  —  bbxx         ,  2bbx 

doncyy  = ,'  donc  yy  ==  — 

■^  au  '  a 

— —  ;  Se  c'eft-là  l'équation  aux  axes  de  l'ellipfe,  en 

prenant  l'origine  des  abfciffes  à  l'un  des  fommets. 
1 1°.  Dans  toute  ellipfe  le  quarré  d'une  ordon- 
née quelconque  eft  au  produit  des  abfciffes  corref- 

s5 


ij%  Commentaire 

pondantes ,  comme  le  quarré  du  demi-petit  ax< 
eft  au  quarrc  du  demi- grand  axe  ;  donc  ,  en  pre- 
nant L'origine  des  abfcilïes  au  centre  C ,  l'on  aura 
yy  :  aa  — -  xx  :  :  bb  •'  aa  *  donc  aayy  =  aabb  —  bbxx, 

,  adbb  —  bbxx      ,  , ,         bbxx    „ 

donc  yy  = j  donc  yy  —  bb ;  6î 

a  aa  aa 

c'eft~là  l'équation  aux  axes  de  l'ePipfe,  en  pre-j 

nant  le  centre   de  la  courbe  pour  l'origine  des! 

abfciffes. 

i  2°.  Il  eft  enfin  démontré  dans  tous  les  Tr;; 
des  Sections  coniques  que  dans  une  eliipfe  quel- 
conque le  grand  axe  eft  au  petit  axe  ,  comme  le 
petit  axe  eft  au  paramètre. 

[  3°.  Si  Ton  coupe  le  cône  ABC,  (  Fïg.  158. 
PI.  8  )  ,  obliquement  à  la  bafe ,  &  aux  deux  côtes 
du  cône ,  de  manière  que  la  Section  prolongée  en; 
haut,  aille  couper  un  des  côtés  AB ,  aulïi  prolon- 
gé i  l'on  aura  l'hyperbole  FHE,  dont  le  grand 
axe  fera  H  R  ,  à  l'extrémité  duquel  on  pourra  for- 
mer un:  féconde  hyperbole  égale  à  celle  dont  nous 
venons  de  parler,  afin  d'avoir  deux  hyperboles  opj 
pofées  fur  un  même  axe  HR.  L'hyperbole  n  A  M, 
(F/g.  162.  PL  8),  a  pour  axe  principal,  ABi 
pour  petit  axe ,  DE  ;  pour  foyers  ,  F  ,  /,  pourj 
centVe  commun  aux  deux  hyperboles  oppolées ,  le 
point  C  j  pour  ordonnée ,  P  M ,  à  laquelle  corref-r 
pondent  les  abfciifes  AP  ,  BP  ;  pour  paramètre  du 
grand  axe  ,  la  double  ordonnée  Nh  qui  pafle  pari 
îe  foyer  F.  Faiions  donc  A  B  ==  2a  ,  A  C  ou  C  9 
z=a,DE=2bv  DCouCE  =  fc,N»=rp,  PMj 
zzzy  3  AP  =  x,  l'on  aura  B  P  =  %a  -+■  x.  Dans 


des  Infiniment  Petits.'  279 
cette  efpéce  de  courbe  l'on  a  toujours  la  propor- 
tion fuivante  ,  le  quatre  d'une  ordonnée  quelcon- 
que eft  au  produit  des  abfcifles  correfpondantes , 
comme  le  paramètre  eft  à  l'axe  principal  ;  donc 
PM*  :  AP  X  BP  :  :  N»  :  AB  ;  doncj^'  :  2«x  +  xx:: 
p  :  m  ;  donc  iayy=-  2apx  +  pxxi  donc  y  y  = 

*■>,*-*- Px*  .  donc;y  =  px  +  p--  s  &  c'eft-là  l'é- 

quation  au  paramètre  de  l'hyperbole  ,  en  comp- 
tant les  abfcifles  depuis  le  fommet. 

140.  A  quelques  lignes  près  ,  l'équation  eft  la 
même  pour  1  ellipie  &  pour  l'hyperbole-  En  effet, 
l'équation  commune  à  ces  deux  courbes  eft  yy  == 

Qx  —  F^l,  Dans  les  doubles  fignes  le  fupérieur  eft 

pour  l'ellipie ,  &  l'inférieur  pour  l'hyperbole. 

1 5°\  En  comptant  les  abfcifles  depuis  le  centre 
C  ,  c'eft-à-dire  ,  en  nommant  C  P  ,  x  ;  l'on  aura 
AP  =  x  —  #  ,  &  BP  =  x  -t-  «.  Dans  cette  hypo- 
théfe  le  produit  des  abfcifles  correfpondantes  fera 
xx  —  aa  •-,  Se  la  proportion  de  num.  1  3.  fe  change- 
ra en  celle-ci  ,yy  :  xx  —  aa  :  :  p  :  ta  ;  donc  nayy 

__pxx  —  aap  :  donc  ^2  =  xx  —  aa  ;  &  c'eft-là 

l'équation  au  paramètre  de  l'hyperbole,  en  comp- 
tant les  abfcifles  depuis  le  centre  C. 

1 6°.  A  caufe  des  quantités  confiantes  2a  &  p  , 
les  quarrés  des  ordonnées  PM  ,  pm  font  entr'eux 
comme  les  produits  de  leurs  abfcifles  correfpon- 
dantes. Le  calcul  eft  le  même  que  celui  que  nous 
avons  fait  pour  l'ellipfe  3  num.  9. 

S4 


280  Commentaire 

170.  L'hyperbole  va  toujours  en  s'élargiffant,& 
elle  ne  doit  jamais  fe  fermer.  En  effet ,  dans  l'équa- 

2ayy 

tion  — — -  —  xx -aa,  x  augmentant, y  doit  aufli 

augmenter ,  parce  que  les  quantités  repréfentéei, 
par  a  &  par  p  font  des  quantités  invariables.  Mais 
x  peut  augmenter  à  l'infini ,  parce  qu'on  peut 
prolonger  AP  à  l'infini  ;  doncj/  peut  augmenter  à 
l'infini  ;  donc  les  ordonnées  à  l'hyperbole  repré- 
fentées  par  y  ,  vont  toujours  en  augmentant  à 
mefure  qu'elles  s'éloignent  du  fommet  A  ;  donc 
l'hyperbole  va  toujours  en  s'élargiflant  ;  donc  elle 
ne  doit  jamais  fe  fermer. 

i  #°.  Dans  l'hyperbole  équiîatere  za~  p  ;  donc 

l'équation  générale  2^-  =  xx  —  aa  fe  réduit  pour. 

l'hyperbole  équilatére  à  yy  —  xx  —  aa  >  ce  qui 
donne  x  —  a  :  y  :  :  y  :  x  -+-  a ;  donc  dans  cette  ef- 
péce  de  courbe  l'ordonnée  eft  moyenne  propor- 
tionnelle entre  les  abfcifies  correfpondantes. 

190.  Dans  l'hyperbole  comme  dans  î'elîipfe,  2a 
î2b:-.2b:p,  c'eft-à-dire ,  le  paramètre  eft  une  troi- 
sième proportionnelle  au  grand  &  au  petit  axe. 

200.  Les  lignes  Q_q,  Gg,(Fig.  i6t.Pl.8.) 
qui  le  coupent  au  centre  C,  &  dont  la  première 
eft  parallèle  à  la  ligne  AE,  &  la  féconde  à  la  ligne 
AD ,  lont  les  affymptotes  des  deux  hyperboles  op 
pofees  »AM  ,  «rMB.  Il  eft  démontré  dans  tous  les 
Traités  des  Sections  coniques  que  le  redtangle  fous 
l'ordonnée  hn  &  l'abi'ciffe  Ck  eft  égal  au  quarré  de 
AH.  Faifons  donc  £»=;/,  Ch=x>6c  AH=a  g 


ces  Ikfinim  ent  Petits.  281 
nous  aurons  xy  =  aa ,  &  c'eft-là  l'équation  de 
l'hyperbole  rapportée  à  fes  affymptotes. 

2i°.  Tout  ce  que  nous  avons  dit  jufqu'à  préfent 
doit  s'entendre  des  Se&ions  coniques  ordinaires  , 
c'eft-à-dire  ,  des  Se&ions  coniques  tirées  d'un 
cône  qui  a  pour  bafe  un  cercle  ordinaire.  L'on 
trouvera  nurn.  1.  ce  qu'il  faut  entendre  par  cercle 
ordinaire. 

22°.  Les  Sections  coniques  d'un  genre  fupérieur 
font  tirées  d'un  cône  qui  a  pour  bafe  un  cercle 
d'un  genre  fupérieur  ,  "c'eft-à-dire  ,  une  courbe 
dont  Tes  ordonnées  &  les  abfcilTes  fournirent  une 
équation  d'un  plus  haut  degré  que  celle  que  don- 
nent les  ordonnées  &  les  abfcilTes  d'un  cercle  or- 
dinaire. 

230.  Suppofons  que  le  cône  ABC,  (F/g.  158.  VI. 
8)  ,  ait  pour  bafe  une  courbe  dans  laquelle  le  cu- 
be de  PQ  foit  égal  au  produit  du  quarré  de  A  Q 
multiplié  par  QC  ;  ce  cône  donnera  les  Sections 
fui  vantes. 

La  parabole  qui  en  fera  tirée ,  aura  pour  équa- 
tion y  z=zpixz. 

L  eilipfe  tirée  de  ce  même  cône  aura  pour  équa- 
tion y1  =  pxl~~F~  ,  ou  2af  =  2apxl  —  px}  ;  ce 

■*  la 

qui  fe  réduit  à  la  proportion  fuivante ,  y  :  x1  X 
(2a  —  x*  )  :  :  p  :  2a. 

L'équation  à  l'hyperbole  tirée  de  ce  même  cône 

fera  y1  =  px*  -4-  —  ,  ou  iay*  =  2apx*  -+-  px^  ;  ce 

qui  donne  la  proportion  fuivante,  y  ■  x1  X  fw 
=+-x'  )  :  :  p  :  2a. 


282  Commentaire 

24°.  L'équation  à  la  parabole  cubique  étant  y* 
~  p'x* ,  elle  fera  fera  par  là  même/1  "+~  *  =  p'x*  , 
&  elle  fera  en  général  pour  toute  parabole  d'un 
genre  fupérieur  ym^a==pmxa.  De  même  l'équa- 
tion du  num.  25.  fe  changera  ,  pour  l'ellipfe  & 
pour  l'hyperbole,  en  l'équation  générale  ym^n 

=  pxn  +  /- . 


2 50.  Il  faut  donc  que  dans  l'équation  générale 
appliquable  aux  eliipfes  &  aux  hyperboles  d'un 
genre  fupérieur  ,  l'expofant  de  y  foit  égal  à  la 
fomme  des  expofants  des  deux  abfciffes  Corref- 
pondantes  à  l'ordonnée  y.  Il  faut  encore  que  dans 
l'équation  générale  appliquable  à  une  parabole 
quelconque  d'un  genre  fupérieur  ,  l'expofant  dey 
foit  égal  à  la  fomme  des  expofants  de  l'abicifle 
correfpondan'te  &  du  paramètre.  Aufli  l'équation 
y} .— pV  eft-elle  autant  l'équation  à  une  para- 
bole cubique  quey  =pV;  parce  que  l'une  & 
l'autre  donnent  l'équation  généraley~t~n  =  pmx\ 

2 6°.  Tout  ce  que  nous  avons  avancé  dans  cette 
Note,  eft  dévelopé  &  démontré  dans  tout  Traité 
des  Sections  coniques.  On  peut  confulter  celui  que 
nous  avons  donné  dans  la  troifîéme  édition  de  no- 
tre petit  Dictionnaire  de  Phyfique  en  2  volumes 
in-S°,  imprimé  à  Avignon  chez  la  Veuve  Girard 
en  l'année  1767.  On  peut  encore  confulter  le 
Traité  des  Se&ions  coniques  de  l'Abbé  de  la 
Caille  ,  &  le  Commentaire  que  nous  avons  donné 
de  ce  Traité  dans  notre  Guide  des  jeunes  Mathé- 
maticiens ,  imprimé  à  Avignon  chez  la  même 
Veuve  Girard  en  l'année  1765. 


des   Infiniment  Petits.        285 

N  0  T  E    V I. 

8  jES  deux  qucftions  fuivantes  jetteront  un  grand 
jour  fur  Yarticle  9 ,  page  1 4. 

Première  Ouejliou.  Commçnt  peut-on  démon- 
trer que  les  triangles  î«RM,MPT,(  Fig.  3  •  PL 
1 .  )  font  femblables  ? 

Réponfe.  Les  deux  triangles  wRM  ,  MPT  ont 
d'abord  un  angle  droit  chacun  ,  l'un  en  R,  l'autre 
en  P.  Ils  ont  enfuite  l'angle  T  égal  à  l'angle  M  , 
parce  que  le  côté  infiniment  petit  Mm  étant  con- 
fondu avec  la  ligne  MT  prolongée,  &  cette  ligne 
coupant  les  deux  parallèles  T  P ,  M  R  ;  il  eft  im- 
polîible  que  l'angle  extérieur  M  ne  foit  pas  égal  à 
l'angle  intérieur  T;  donc  les  deux  triangles  ;??RM, 
MPT  font  èquianglirs  ;  donc  ils  l'ont  femblables  ; 
donc  ils  ont  leurs  côtés  homologues  proportionnels. 

Seconde  Quejlion.  Comment, la  connoiffance  de 
la  foutangente  PT,  (  Fig.  3.  PL  1 .  ) ,  peut-elle  con- 
duire à  la  connoiffance  de  la  tangente  MT.  • 

Réponfe.  En  connoiflant  la  longueur  de  la  fou- 
tangente  PT ,  Ton  a  le  point  T  auquel  doit  abou- 
tir la  tangente  demandée.  Le  point  M  d'où  cette 
tangente  doit  partir  ,  efl  donné  de  pofition;  donc 
en  connoiffant  la  longueur  de  la  foutangente  PT, 
l'on  a  les  deux  points  extrêmes  de  la  tangente  MT; 
donc  la  connoiffance  de  la  foutangente  P  T  con- 
duit néceffairement  à  la  connoiffance  de  la  tan- 
gente MT,  parce  que  d'un  point  quelconque  à  un 
point  quelconque  on  peut  toujours  tirer  une  ligne 
droite,  four  trouver  donc  facilement  une  tangen- 


284  Commentaire 

te  quelconque  M  T ,  il  ne  s'agit  que  de  fçavoîr 

manier  la  formule  générale  y—^-  ==  P  T  ,  en  diffé- 
renciant l'équation  de  la  courbe  à  laquelle  on 
veut  tirer  une  tangente. 

NOTE    Vil. 

JL»'  o  n  apprend  dans  Y  article  1 1  ,  pag.  1 5.  à  tirer 
des  tangentes  à  des  paraboles  &  à  des  hyperboles 
de  tous  les  genres.  Il  s'agit  d'abord  de  tirer  une 
tangente  à  une  courbe  dont  l'équation  eft  ax~yy. 
Cette  courbe  eft  évidemment  {Note  5.  num.  2.  ) 
une  parabole  ordinaire  dont  y  eft  une  ordonnée 
quelconque,  x  l'abfcifle  correspondante  ,  &  a  le 
paramètre.  En  différentiant  l'équation  ax  =  yy  , 
l'on  trouve  tout  de  fuite  que  dans  cette  courbe  dx 

=■  -^-.  La  foutaneente  P  T  eft  dans  toutes  les 
courbes  égale  à  —-.  Mais  dans  la  parabole  ordi- 
naire dx  ■=  -2-y.i  donc  dans  la  parabole  ordinaire 
l'on  aura  P  T  =  -HJL  —  ÏZÏ.  Dans  cette  même 


ad 


ly 


a 


parabole  l'on  a  yy  =  ax  ;  donc  * 


=  2x  ; 

a  a 


donc  dans  la  parabole  ordinaire  la  foutangente 
PT  =  2x  =  2/\P  ,  t  F/g.  3.  PL  î  )  ;  c'eft-là  le 
num.    1 .  de  Yarticle  1  1 . 

Le  num.  2.  du  même  article  apprend  à  tirer  une 
tangente  à  une  courbe  dont  l'équation  eft  aa  —  xy. 
Ceft-là  (  Note  5  ,  num.  20.  )  l'équation  de  l'hy- 


des  Infiniment  Petits.  285 
perbole  ordinaire  rapportée  à  fes  affymptor.es. 
Cette  équation  différentiée  devient,  à  caule  de  la 
confiante  a,j/dx  -+-  xày  =  0  ;  donc>'dx  =  —  xdy  ; 

1 

donc  dx  =  —  — •  La  foutangente  PT  eft  dans 

y 

toutes  les  courbes  égale  à  ^  ;    donc  l'on   aura 

xydy 

dans  l'hyperbole  ordinaire  PT  =  —  -~-    = 

—  x;  donc  en  prenant  PT  =  PA ,  (Fig.  4.  PI-  1  ), 
&  en  plaçant  PT  du  côté  oppofé  au  point  A  ,  l'on 
aura  la  longueur  de  la  foutangente  à  laquelle  ré- 
pond la  tangente  MT-  Iln'eftpasnéceffairedefaire 
remarquer  que  le  point  A  eft  le  point  d'ïnterfec- 
tion  des  deux  aflymptotes  de  l'hyperbole  reprélen- 
tée  par  la  figure  4  de  la  planche  1.  Il  eft  encore 
moins  néceffaire  de  faire  remarquer  que  les  Géomè- 
tres font  convenus  de  défigner  les  pofitions  oppofées 
des  lignes  par  les  lignes  -+-  &  —  .  Si  PT "==.  -fx , 
lorfque  le  point  T  eft  au  deffus  du  point  A  ,  c'eft- 
à-dire  ,  au  deffus  du  point  de  l'origine  de?  x  j  Ton 
aura  PT  =  —  x,  lorfque  le  point  T  fera  au  def- 
fous  du  point  A.  Ce  font  là  des  connoiffances  que 
l'on  doit  fuppofer  dans  tout  homme  qui  entre- 
prend de  lire  un  Traité  auffi  difficile  que  celui  des 
Infiniment  Petits. 

Le  num.  3  de  l'article  ir.  demande  un  long 
Commentaire.  Pour  le  rendre  plus  clair,  nous  al- 
lons le  renfermer  dans  les  réponfes  aux  queftions 
fuivantes. 

Première  Que/lion.  De  quelle  efpéce  de  para- 
bole parle-t-on  au  num.  3  del! 'article  1 1. 


286  Commentaire 

Réponfe.  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital  parle,  a» 
num-  3.  de  X article  1 1  ,  des  paraboles  d'un  genre 
fupérieur ,  puiiqu'il  a  parlé  des  paraboles  ordi- 
naires ,  au  num.  1  du  même  article. 

Seconde  Queftion  i  Pourquoi ,  dans  l'équation 
générale  y  =  x,  M.  le  Marquis  de  1  Hôpital  ne 
fait-il  pas  mention  du  paramètre  de  la  courbe  ? 

Réponfe.  Parce  qu'il  fuppofe  ce  paramètre  =  1. 
Or  i.v~x:  «Se  comme  toutes  les  puiffances  de  1 
donnent  1  ;  fi  p  =  i ,  l'on  aura  px  ~=.  x  ,  prx  =  x , 
p*x  =:  x  &c. 

Troifieme  Queftion.  Comment  l'équation  gé- 
nérale y"'  =z  x  peut-elle  convenir  aux  paraboles 
d'un  genre  fupérieur  ,  puilque  nous  avons  affuré 
(num.  24  Se  25  de  la  Note  5.)  que  ces  courbes 
avoient  pour  équatÎQn  générale  j/m-t-n=  pm  xn , 
ouj/m4-n  =paxm. 

Réponfe.  i°.  Nous  verrons  dans  la  réponfe  à 
la  queftion  5e.  ,  que  lorfque  l'expofant  m  eft  un 
nombre  fractionnaire  pofitif  plus  grand  que  l'uni- 
té ,  l'équation  ym  ■==.  x  équivaut  à  l'équation  gé- 
nérale ym+n  =  pmxn. 

20.  L'équation  ym  ==  x  équivaudra  à  l'équa- 
tion^m"~t~n:r=  paxm,  fi  l'on  fuppofe  que  l'expo- 
fant m  que  donne  à>  M.  Le  Marquis  de  l'Hôpi- 
tal ,  eft  égal  à  l'expofant  de  x  qui  eft  1  ,  -+-  à 
l'expofant  du  paramètre  qui  multiplie  x.  En  effet , 
fuppofons  m  ==--  3  ;  l'équation  /"  =  x  deviendra 
y  =  i3,  x1 ,  c  eft-à-dire  ,  le  cube  d'une  ordon- 
née quelconque  eft  égal  au  produit  de  -l'abfcifTe 
correfpondante  par  le  quarré  du  paramètre  égal 


des  Infiniment  Petits.  287 
à  l'unité  ;  ce  qui  eft  en  effet  l'équation  à  une  ei- 
béce  de  paraboles  cubiques. 

Quatrième  Ciujiion.  La  valeur  générale  de  la 

ibutangente  P  T  étant  y-^-  ,  comment  peut-il  fe 

faire  que  PT  devienne  =  mx  dans  les  courbes 
dont  l'équation  eft/"  =  x. 

Réponfe.  Le  calcul  iuivant  va  fervir  de  folu- 
tion  à  cette  qutftion.  ym  —  x  ,  donc  la  différence 
de  y"  fera  égale  à  la  différence  de  x  ,  donc 
mym~  '  dy  =  dx  ;  donc  en  faifant  entrer  la  nou- 
velle valeur  de  dx  dans  la  formule  générale-^-  , 

l'on  aura  P  T  =  CSfflÇI^!  =  m]r.  Mais  j* 

y  j 

=  x ,  par  hypothéfe  ,  donc  mym  =,  mx  ;   donc 

PT  =  mx. 

Cinquième  Qv.tfiion.    Comment  l'équation  y  l 
=  x  ,  peut-elle  devenir  y'  ===  axx  ? 

Réponfe.  Elle  le  devient  par  le  calcul   fuivant. 

y*=zzx  ,  donc  1/5^=  x  (  Noie  4e.  que/lion  2.) 
doncy  =  xx,-  doncj'!  =  ixx  ;  donc,  en  fai- 
fant le  paramètre  1  =  a  ,  l'on  aura./  =  axx  ; 

donej'^i=«,xîi   donc^m^n=^m^n. 

4 

L'on  trouvera  par  la  même  méthode  quey}=x, 

± 
devient  y  =  axxx.  En  effet,;'1  ==    x  ,    donc 

j/>4  —  x  ,  donc  y*  =j  xxx  ;  donc  y*  =  I  xxx  , 
donc  j/4  =  axxx  ,  doncj'  !"^5  =  «*  x1  ,  donc 
yV+'  —  tfx',  donc  nous  avons  eu  railon  d'af- 


288  Commentaire 

furer  dans  la  réponfe  à  la  troifieme  queftion  ,  que 
lorlque  l'expofant  m  eft  un  nombre  fractionnaire 
pofitif  plus  grand  que  l'unité  ,  l'équation  ym  =  x 
équivaut  à  l'équation  générale^""4" n  =pn  xn. 

Sixième  Quejlion.  Comment  peut-on  prouver 
(\uzy  '"  —  x  donne  l'équation  ai  =  xyy ,  la- 
quelle équation  convient  à  l'hyperbole  cubique 
rapportée  à  fes  affymptotes  ? 

Réponfe.  1  °.  11  faut  fe  rappeller  que  aa  =  xy 
eft  l'équation  à  l'hyperbole  ordinaire  rapportée 
à  fes  aflymptotes  {Note  5e.  num.  10.) 

20.  y  *  =  x ,  donc  -j  =  x  (  Note  4e.  ques- 
tion 1.  )  donc  1  =  xyy  ;  mais  dans  le  cas  pré- 
fent  1  —  a* ,  puifqu'on  ne  peut  pas  avoir  aa  —  xy  , 
fans  avoir  a>  —  xyy  ,  donc  y  l  =  x  équivaut 
à  xyy  =  a\ 

'■  Septième  Quejlion.  D'où  eft  tirée  la  proportion 
dx  :  dy  :  :  my m      '  :  1  ? 

Réponfe.  Cette  proportion  eft  tirée  de  l'équa- 
tion mym~"' dy  =  dx.  En  effet,  vous  aurez  cette 
équation  ,  en  multipliant  d'un  côté  les  extrêmes , 
de  l'autre  les  moyennes  de  la  proportion  donnée. 

Huitième  Qiieflion.  Pourquoi  ,  en  fuppofant>' 
=  0  ,  la  raiion  de  dy  à  dx  eft-elle  infiniment 
grande  ,  lorfque  m  furpafTe  1  ? 

Réponfe.    Lorfque  m   furpafTe    1   ,    l'expofant 
m —  1  eft  un  expoiant  pofiïif.  Sïy  =  0  3  &  que 
m  —  1  foit  un  expofant  pofitif ,  le  terme  mym      * 
devient  0  ;  donc  la  proportion  dx  :  dy  :  :  mym~~ 
:  1  devient  dx  :  dy  :  :  »:  1    ,   ou  dy  :  dx  :  :  1  :  0. 

Mais 


des  Infiniment  Petits.  289 
Mais  1  eft  infiniment  plus  grand  que  0  ,  donc  ày 
eft  infiniment  plus  grand  que  àx  j  donc  ,  en  iuppo- 
fantj  =  0  ,  la  raifon  de  ày  à  àx  eft  infiniment 
grande  ,  lorfque  m  furpaffe   1. 

Neuvième  Quejlion.  Pourquoi  ,  en  fuppofant 
y  =  o  y  la  raifon  de  ày  à  dx  eft-elle  infiniment 
petite ,  lorfque  m  eft  moindre  que  1  ? 

Réponfe.  Lorfque  m  eft  moindre  que  1  ,  l'ex- 
pofant  m  —  1  eft  un  expofant  négatif.  Supposons 
m  =  ~  ,  l'expofant  m  —  1  fera  —  | ,  &  le  terme 

mym~l  le  changera  en  \y~  \  =  7-7—  (  Note  4e. 
quejl.  1.  )  Suppofons  maintenant/  =  0  ,  le  ter- 
me — V—  fera  -  ;  donc  en  fuppofant/  =;«?,  &  m 

moindre  que  1  ,  le  terme  n7ym~~'  deviendra-  , 

&  la  proportion  dx  :  ày  :  :  my™  ' :  1  fe  changera 
en  celle-ci  dx  :  ày  :  :  5  :  1  ,  ou  ày  :  dx  :  :  1  if. 
Mais  1  eft  infiniment  plus  petit  que  5 ,  parce  que 
o  eft  contenu  une  infinité  de  fois  dans  1  ;  donc  , 
en  fuppofant  .y  =  0  ,  la  raifon  de  dy  à  àx  eft  infi- 
niment petite,  lorfque  m  eft  moindre  que  1. 

NOTE     [/ 111. 

\  1  a  formule  générale  PT  =  ~—    s'applique 

dans  l'article  1 2  ,  p#g.  17  ,  à  des  ellipfes  de  tous 
les  genres.  La  première  ellipfe  à  laquelle  on  l'ap- 
plique ,  eft  une  ellipfe  ordinaire  (  Note  5 .  nuffi.  6  ), 
puifqu  on  fuppofe  que  la  courbe  A  M  B  ,  (F/g.  5. 

T 


290  Commentaire 

PI.  1  )  ,  eft  telle  que  le  rectangle  fous  les  abfcilfesj 
AP  ,  PB  eft  au  quatre  de  l'ordonnée  PM,  comme! 
le  grand  axe  A  B  eft  au  paramètre  A  D  ;  ce  qui 

donne  l'équation  -^  =  ax  —  xx  ,  en   faifant  le  j 

grand  axe  AB  =  a,  &  le  paramètre  AD  =  J. 

Cette  équation  différentiée  devient  -^-j~-  =  adx 

—  ixàx  '  donc  àx  =    ,  ay  y,  -.     Mettons    cette 

'  ab  —  zbx 

nouvelle  valeur  de  âx  dans  la  formule  générale 
PT  =  &;  l'on  trouvera PT=        °'ayyày  À    - 

dy  ab  —  îbx  X  dy 

h—y \  •  ^ais l'équation  de l'ellipfe  AMB  donne 

avy                              1              zayy               iax  —  ixx 
^f-  =  ax  -  xx  ;  donc  — — ^~r-  = ; 

b  ab — zbx  a  —  2x         ' 

donc  PT  =  aax  ~  2XX .  Mais  AT=PT  -  AP^ 

a  — 2.x 
Stax  —  zxSS  2a.x  —  2xx  —  ax  -+-  2xx  ax 

—  x  — 


2v  a  —  2.x  a  —  2x' 


,.  AB  x  AP 

conc  Al  = 


AB  —  2AP* 

L'on  apprend  enfuite  dans  le  même  article  1 2 
à  tirer  une  tangente  à  une  ellipfe  d'un  genre  fu- 
périeur.  L'ellipfe  qu'on  fuppofe  eft  telle  ,  que  le 
cube  de  AP  x  le  quarré  de  PB  eft  à  la  cinquième 
puifîance  de  PM ,  comme  le  diamètre  AB  eft  au 

paramètre  A  D  ;  ce    qui  donne  l'équation  a2— 


A  s/  - z      nu    _Z —   v? 


X  X  a  —  x  »  OU  — -  =z  x5  X  aa.  —  zax  -+-  xx    3 


des  Infiniment   Petits.         291 
iou  enfin  —  =  aaxJ  —  2flx4-hxs.  Cette  équation 

différentiée  devient  ay    "  =  faaxxdx  —  "èax^dx 

-*-  cxMx  ;  donc  dx  =  __-_-_-?£_ ^     __ - .  Fai- 
J  %<idby.    — i-^x5 -4->ox^ 

fons  entrer  la  nouvelle  valeur  de  dx  dans  la  for- 
mule     générale     PT  r=  *~-    ;     nous     aurons 

Siiy^dy ___ $ay 5 

Ç~îaabx*  -  8a£x;  ■+  J3x+  )  k  ofy  ~~  ^aubx1  —  8a*x'  ■+  5Z.x4 

=  PT.  Mais^-  —  aax}  —  2#x*-+-xs  ;  donc  en 
fubftituant  cette  nouvelle  valeur ,  l'on  aura  PT 

— ; —  j  Se  en  divnant  le  nume- 

3aaxz  —  8ax>  -+-  $x* 

rateur  &  le  dénominateur  de  cette  dernière  frac- 
tion par  axx —  x5  ,  l'on  aura  pour  quotient  PT 

=  5ax  ~  5xx.  Mais  AT=dPT  -  Ù = Sax~  *** 
3<z  —  Sx  3*  —  5x 

$ax  —  $ xx  —  yax  -f-  Sxx  __  2ax 

oa  —  $x  9 a  —  5X   3 

donc  dans  l'ellipfe  dont  il  s'agit ,  l'on  aura  A  T 

aABxAP 
—  ?AB  —  }A?' 

L'on  pourroit  demander  ici  de  prouver  que  le 
numérateur  ^aax1  -^  ioax4-t- 5xs  divifé  par  ^xx 
— -x3  donne  pour  quotient  <^ax  ■ — •  5XX.  La  preuve 
fe  préfente  d'elle-même.  Multipliez  le  divifeur 
axx  —  x'  par  ^ax  —  5XX,  vous  aurez  pour  produit 
le  dividende  $aaxJ — ■  io<sx4-+-  5xs  ;  donc  le  nu- 
mérateur ^aw  —  \oaxx  -+-  5xs  divifé  par  axx  —  xi 
donne  pour  quotient  ^ax  —  5XX. 

T  z 


292  Commentaire 

L'on  prouvera  de  la  même  manière  que  le  dé-  à 
nominateur  ^aaxr  -  8#x5  -+-  5X4  divifé  par  axx  —  x1 
donne  pour  quotient  ^a  —  5X. 

M.  le  Marquis  de  l'Hôpital  termine  X article  1 2 
par  une  formule  générale  appliquable  à  toutes  les 
ellipfes  d'un  genre  fupérieur.  Cette  formule  géné- 

raie  eft  {Note  5  ,  num.    23  ,  24  ,   25  ).  ■=— — 

==  xm  x  a.  —  x  ".  Tout  ce  qui  peut  arrêter  un  Com- 
mençant dans  le  calcul  de  cette  formule  ,  eft 
éclairci  dans  les  queftions  luivantes. 

Première  Quejïion.  Quelle  eft  la  divifion  qui  a 

donné  le  quotient  m  ■    nx    "^—^  tiré  de  la  fraction 

*  ma — * — nx 


m  — f-  nx      x  a 


mx  X  a x    —  na x  XX 

Réponfe.  i°.  Le  numérateur  de  la  fra&ion  d'où, 
ce  quotient  eft  tiré  ,  eft  m  -+-  nxm  x  a —  /.  La 
quantité  m  -+■  nxm  a  été  divilée  par  x™'  "  '.  En  effet 
OTH-nx    divileparx  donne  m-i-nx 

z==m-+-  nx'  =  m-+-nx.  Pour  la  quantité  a  —  x"  , 
elle  a  été  divifée  par  a  —  x"~  '  ,   puifque  a  —  x" 


-n  +  1 


divifé  par  a  -  x         ~a~x  ~c=a-x—a-x. 

20.  Le  dénominateur  de  la  fraction  qui  a  donné 
le  quotient  dont  on  parle  ,  eft  mx™  '  x  a  —  x" 
• —  na  —  x"  '  X  xm.  Ce  dénominateur  eft  comme 
compofé  de  deux  parties  ;  la  première  eft  mx" 
X  a  —  xn-  La  première  quantité  de  cette  première 
partie ,  c'eft-à-dire ,  mxm      '  a  été  divifée  par  xm~  ", 


des  Infiniment  Petits.  295 
ce  qui  a  donné  m  pour  quotient.  La  leconde  quan- 
tité de  cette  même  partie  a  été  divifce  par 
a  —  x"  "' ;  ce  qui  a  donné  pour  quotient  ,  com- 
me ci-deffus,  a —  x.  Auflî  le  quotient  total  de 
cette  première  partie  eft-il  m  x  a  —  x  =  ma  —  x- 
La  féconde  partie  du  dénominateur  en  queftion 
eft  — na  —  x*~    '  X  x™.  L'on  a  divifé  —  na  —  xa~ 

par  a  —  x"  '  ,  &  l'on  a  eu  pour  quotient  —  «• 
L'on  a  enfuite  divifé  xm  par  xm  —  ' ,  &  l'on  a  eu, 
comme  ci-deflus ,  pour  quotient  x'  =  x.  Auffi  le 
quotient  total    de    cette   féconde  partie    eft-il 

—  »X-v  =  —  nx. 

3°.  Si  P T  =  EEh^a~-  ;  l'on  aura  évidem- 

■*  ma  —  x  — nx 


ment  PT  = 


■  n  x  ax xx  m  — (-  n  X  ax  —  xx 


ma  ■ —  mx  —  nx  ma  —  m  —  nx 

Seconde  Quejiion.  Comment  a-t-on  trouvé  AT 

nax 


ma  —  m  —  nx 

-n  X  ax  —  xx 


Rêponfe.  AT  =  P  T  —  A  P  = 


ma  —  m  —  nx 


m  -+-  n  ax  —  m  —  n  XX 


ma  —  m  —  nx 


nax  —  m  —  nXX    max    -\-  m  -*-  n  X  X 


ma  —  m  —  n  x 

nax 


j  à  caufe  des  quantités  qui  fe  dé- 


ma  —  m  —  nx 

truifent  dans  le  numérateur. 

Corollaire.  Toutes  les  opérations  que  nous  ve- 
nons de  faire  dans  cette  Note  8  prouvent  qu'il  eft 

S3 


294  Commentaire 

plus  facile  de  manier  une  équation  qui  a  des  chif- 
fres pour  expofants  ,  que  d'en  manier  une  dont  le^ 
expofants  iont  des  lettres. 

NOTE    IX. 

X  ,  article  13  ,  pag.  1 8  eft  pour  l'hyperbole, 
ce  que  X article  précédent  a  été  pour  l'ellipfe.  Voici 
quelques  remarques  qui  ferviront  à  l'éclaircir. 

i°.  La  leéture  delà  Note  5e  ,  convaincra  tout 
homme  qui  eft  au  fait  des  Seftions  coniques ,  que 

,    ,  .         aym  "^  "  m n      n  1 

1  équation  -2— —  =  x   X  a  -+  x  eft  une  équation 

o-énérale  à  toute  hyperbole  dont  on  fait  le  grand 
axe  A  B ,  (  Fig-  6.  Pi.  1  )  ,  =  a  ,  &  le  paramètre 
: —  b.  Cette  équation  maniée  comme  celle  de  l'el- 
lipfe dont  elle  ne  diffre  que  par  les  fignes  ,  fert  à 
trouver  les  tangentes  finies  de  l'hyperbole. 

20.  L'afymptote  eft  la  tangente  infinie  de  l'hy- 
perbole ,  c'eft-à-dire ,  la  tangente  d'une  hyper- 
bole qu'on  fuppofe  s'être  élargie  à  l'infini.  La  li- 
gne C  E ,  par  exemple  ,  ne  peut  être  regardée  com- 
me tangente  de  l'hyperbole  A  M  ,  (  Fig.  6.  PI.  1  ) , 
qu'autant  qu'on  fuppofera  infinies  l'abfcifie  AP  =  x, 
&  l'ordonnée  PM  =y.  Dans  cette  hypothéfe  l'é- 

quation ==-    devient  d  abord  - .  3 

*  ma  — t-  m  — t-  nx  m~+-nx 

parce  que  ma  eft  infiniment  petit  vis-à-vis"  m-î-nx 

y  , ,  \        nir    ■  nax  n 

(  Note  2  ,  nurn.  4  ).    Mais =  — ■—  a    * 

v  ^  '  m-hnx  ai-+-  n 

donc  dans  cette  hypothéfe  AT  devient  -  a. 


DES   INF  INI  MENT   PETI  TS.  295 

Mais  en  confidérant  CE  comme  tangente  ,  AT 
kevient  ACj  donc  en  confidérant  CE  comme 

tangente ,  l'on  aura  AC= a. 

3°.    Par  la  même  raifon  l'équation  générale 

^ .  =  xm  X  a-^-x  deviendra  ,  à  caufe  du  ter- 

b 

me  infiniment  petit  a  vis-à-vis  le  terme  infini- 

ment  grand  x,^ —  =  xmxxn,ou -^  =xra+a 

ouenfinfl/+"=t.vm  +  ". 

40.  Si  l'on  fait  m  -+-  n  =  p ,  l'on  aura  ayv  =  bxp. 

50.  Si  l'on  extrait  la  racine/?  des  deux  membres 

p  

de  cette   dernière  équation  ,    l'on  aura    yay* 

==  V/Ï7p  ou^  |/«  =  x  yb ;  donc  rfy j/«  —dxyb, 

p  p 

parce  que  les  confiantes  }/a  &  |/fe  n'ont    point 

de  différence  ;  donc  dx  :  dy  ::ya:  yb. 

6°.  En  fuppoiant  la  ligne  CE  prolongée  à  l'in- 
fini ,  on  concevra  au  point  où  l'afymptote  C  E 
rencontrera  l'hyperbole  A  M,  un  triangle  infini- 
ment petit  qui  fera  femblable  au  triangle  C  A  E  , 
c'eft-à-dire ,  qui  fera  vis-à-vis  le  triangle  CAE, 
ce  que  le  triangle  infiniment  petit  MR«,(  F/g. 
3.  PL  1  )  ,  eft  vis-à-vis  le  triangle  TPM.  L'on 
pourra  donc  dire  du  triangle  infiniment  petit  idéal 
MRm  &  du  triangle  fini  CAE,  que  ces  deux 
triangles  ont  leurs  côtés  homologues  proportion- 
nels ;  donc  M  R  :  wR  :  :  C  A  :  AE  j  donc  dx  :  dy 

:  :  C  A  :  AE.  Mais  (  nurn.  <j)dx  :  dy  :  '.y  a  :  yb; 

S4 


296  Commentaire 

p.      p      ' 
donc  y  a  :  y  h  :  :  C  A  :  A  E.  Mais  (  num.  2  )  CAj 

= a  z=  -  a  :  donc  i/o,  :  i/i&  :  :  —  a  :  A  E  ; 

m-k-n  p  P 

doncAE^^ ;  donc   AE  =  -% ; 

\/a  \/a 

donc  AE  =  —  l/la?      '  ;  donc  connoifîant  CA, 

P 
il  fera  très  facile  de  trouver  AE,  &  de  tirer  par  les 

points  C  &  E  l'afymptote  CE. 

70.  Dans  l'hyperbole  ordinaire  où  m  =  1   & 

n  =  1  ,  la  formule  A  C  = a  =  -   a  de- 

m-t-  n  /> 

vient  AC  =  i<3=ïAB,  c'eft-à-dire  ,  l'afymp- 
tote doit  partir  du  centre  du  grand  axe  A  B. 
8°.  Dans  l'hyperbole  ordinaire  ,  la  formule  AE 

._  1.  yV  —  ■  —  _1_  V7bam  + a  ~  '     devient, 

90.  Dans  l'hyperbole  dont  il  s'agit  ici ,  l'on  a 
fait  le  grand  axe  =  a  &  le  paramètre  =  b  ;  donc 
le  petit  axe  fera  =  VTb  ,  parce  que  dans  l'hyper- 
bole le  grand  axe  :  au  petit  axe  :  :  le  petit  axe  :  au 
paramètre  (  Note  5.  num.  19);  donc  en  faifant  le 
petit  axe  =  c ,  l'on  aura  a  :  c  :  :  c  :  b  ;  donc  ce  -  ab  ; 
donc  c  =  -]/ab  ;  donc  fi  A  E  —  {  \/ab ,  il  faudra 
que  la  ligne  A  E  par  l'extrémité  de  laquelle  paf- 
fera  l'afymptote  C  E ,  foit  égale  à  la  moitié  du  pe* 
tit  axe  de  l'hyperbole  donnée. 


d  es  Infini  ment  Petits.       297 

NOTE     X. 

T  i'o  n  fuppofe  dans  l'article  1 4  ,  pag.  1 9  une 
courbe  quelconque  A  M,  (Fig.  6.  PI.  1.)  dont 
l'équation  ibity  —  x3  =  axy  ;  l'on  apprend  dans 
cet  article  à  tirer  à  cette  courbe  des  tangentes  fi- 
nies &  infinies,  les  réponfesaux  queftionsluivantes 
le  mettront  à  la  portée  de  tout  le  monde. 

Première  Quejlion.  Comment    a-t-on   trouvé 

yix  5j3 — axy 

"~èy~         $xx  H-  ay' 

Réponfe.  La  différence  de  l'équation  donnée 
étant  ^yydy  —  ^xxdx  =  axdy  ■+-  aydx  ,  l'on  aura 
$yydy  — ■  axdy  =  ^xxdx  ■+■  aydx  i    donc    dx 

—  \nJL — ffLZ,  Mettons  cette  nouvelle  valeur 

$xx  -+•  ay 

de  dx  dans  l'équation  P  T  =  ^r-  >  nous  aurons  PT 

_3yldy  —  axydy  __  $yî  —  axy 

Seconde  Quejlion.  Comment  a-t-on  trouvé  AT 

a*y     , 

^jf jc  -t-  ay  " 

KeWe.  AT^PT  —  AP^* -'*•?--  x 

*  3*jf  H-  ay 

£y?  —  a«y  —  J^atx  —  axy  Jy5  —  jx'  —  o.axy 

%xx  -t-  ay  %xx  -+■  ay 

Mais  3_y?  —  ^x3  =  3«xj'  ,  puifque  par  hypothéfe 

,        ,              j       1.            3yl  —  ?*? — 2axy 
y  —  x3  =  axy  :  donc  1  on  aura  — - 

*  %xx  -t-  ay 

laxv  —  2axy  axy  .T  T7     ,\ 

t=  - — = -  = ^ —  —  AT.  Voila  pour 

%xx  -+-  ay  ^jfAr  -1-  ay  l 

les  tangentes  finies. 


i 

298  Commentaire 

Troifteme  Que/lion.  En  faifant  t  =        ^       ,    ^ 

comment  a-t-on  trouvé  7  =  —  ? 

Rêponfe.  Le  calcul  fuivant  le  fera  toucher  au 
doigt,  t  =±  — ^ —  ;  donc    ztxx  -+-  aty  =  «xj>  ; 

donc  3?xx =axy  -  aty  ;  donc^  =  ax  _  ^  Mais  en 

fuppofant  x  infini ,  l'on  a  ax  —  at  =  ax  (  iVofe  2  , 
raw.  4  )  ;  donc  dans  cette  hypothéfe  l'on  aura  y 
ytxx  %tx 


ax  •       a. 


Quatrième  Quejlion.  Comment  a-t-on  trouve 

ixêponfe.  On  l'a  trouvé  par  le  calcul  fuivant.  Par 
hypothéfe  l'on  a/  —  x3  =  «xj.  Mais^  =  —  , 

donc  l'on   aura  2-^-  - .  x>  =  ^   i    donc 
s7'***-.«**»        xx.donc  ijM-Mzztftxxi 

a.1' 

donc  27*3x3  —  3«3?xx  ==  «?x3.  Mais  à  caufe  de  l'in- 
fini du  troifieme  ordre  x3,l'on  aura  2jt3x>  -  $ahxx 
=  27?3x3  (  Noïe  2.  waw.  4-  )  ;  donc  277V  =  «'x'i 
donc  3?x  =  ax ,  parce  que  les  deux  racines  cubiques 
de  deux  cubes  égaux  font  égales  ;  donc  3*  ^  a  ; 
donc  »'=*  =  j*  i  donc  le  point  d'où  doit  partir 
l'afymptote  CE  eft  trouvé ,  puifque  AC  doit  être 
le  tiers  de  la  ligne  donnée  a. 


des  Infiniment  Petits.       299 
Cinquième  Quefiion.  Comment  a-t-on  trouvé 

Réponfe.  Au  point  où  l'afymptote  CE  ,  (F/g. 
6.  P/.  1  ) ,  touchera  la  courbe.  Imaginez  ,  comme 
dans  la  Note  précédente  ,  num.  6  ,  un  triangle  in- 
finiment petit  M  Km  dont  les  deux  côtés  dx  &  dy 
feront  en  proportion  avec  les  deux  côtés   AT  & 

AS  du  triangle  TAS.  Mais  AT^^    —  x 

__y  x  —  x  y     ^Qnc  pon       urra  ^ire  dx  :  dy:  : 

dy  

yrf*7^:ASidoncASx^=y-^=g^; 

dy  aJ 

1    j       a  c   ydx — x^y 

donc  ASxdx  =  ydx  — -  xdy  ;  donc  AS  = ^ — 

xiy 

Sixième  Quejîion.  Comment  a-t-on  trouvé  AS 

axy        , 


«X 


Réponfe.   i°.   L'on  a  trouvé  (quefl.  1.  de  cette 
note  )  3;^  —  axdy  —  $xxdx  -+-  aydx  ;  donc  dy 

_  qxxdx  ~+-  <zyix 
2yy  —  ax 

2°.  A  S  =y  —  ^-(quefiion  précédente)  donc 

x         ,  re  2XarJx  •+  aydx 

^y^tfjç   —   ajfytkr  _  _  _  3*>    —  aJfy 


jo©  Commentaire 

Jy*  —  axy  —  ^x^>  —  axy £y5  —  ?x*  —  2axy 

$yy  —  ax  2yy  —  ax 

3°.  Par  hypothéfe  ,  yJ  —  x'  =  axy  »  donc  ty* 
■ —  3x}  =  3/3xi/;  donc  fi  AS  =  ^   — -  ?*  -  3**y 

'  '     •"  jyy  —  <we 

t,  M  c  S^V  —  2axy  axy  , 

1  on  aura  A  S  =  - — *-  =  z — ;  donc 

3yy  —  ax        3yy  —  ax 

en  faifant  A  S  =  s ,  l'on  aura  s  =  — ^- — . 

Septième  Quejlion.  Comment  a-t-on  trouvé  s 

=  fai> 


Rêponfe.  i°.  s  = — ;  donc  zsyy 


tf.fX 


9yy.-r«x 

é=  axy  ;  donc  axy  +  asx  —  yyy^  donc  x  =  -         ■  • 
2°.  En  fuppofant_y  infini ,  l'on  aura  ay+as  =  ay 
(  Note  2.  »«ra.  4.  )  donc  x  —  ^^  =  i-=^. 

..  .  '  ay  a 

30.  L'équation  à  la  courbe  en  queftion  efty 

1 —  x5  r  <2Xy  ?  donc  elle  fera  y 's  y   =  yyy  ; 

donc  a%y%  —  27^'  — =  ^aïsyy  ;  donc  aly%  =  27^ 
■+■  ^a3syy.  Mais  à  côté  de  l'infini  du  troifieme  ordre 
y}  ,  le  terme  ^a?syy  devient  nul  {Note  2.  num.  4); 
donc  l'on  aura  27  s* y*  =  a^y1  ;  donc  l'on  aura  par 
l'extraction  de  la  racine  cubique ,  yy=zay  ,*  donc 

3/  =  —  ;  donc  2,s  =  a;  donc  J  =  -}  donc s  =  i  a  ; 

donc  lorfque  AS  devient  AE,  l'on  aura  AE  =  \a\ 
donc  en  prenant  les  lignes  A  C ,  AE  égales  cha- 
cune au  tiers  de  la  ligne  donnée  a ,  &  en  menant 
par  les  points  C  &  E  la  ligne  indéfinie  C  E  ,  l'on 
aura  l'al'ymptote  de  la  courbe  A  M. 


DES   ÏNFI  NIMENT    PETITS.  3OI 

Remarque.  Ceft  ainfi  qu'il  faut  lire  les  autres 
propofuions  de  ce  Livre ,  fi  l'on  veut  enfaifir  toute 
la  beauté  Se  toute  l'utilité.  Dans  les  Notes  fuivan- 
tes  nous  nous  occuperons  moins  à  faire  des  cal- 
culs,  qu'à  donner  une  idée  nette  de  certaines 
courbes  dont  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital  fuppofe 
que  fon  Le&eur  a  une  connoiflance  parfaite.   Ces 
courbes  font  la  cycloide ,  la  fpirale,  la  conchoide, 
la  cifloide  ,  la  logarithmique  ,  &c ,  & c.  Par  là 
nous  rendrons  un  véritable  fervice  aux  Commen- 
çans  qui  ne  feauroient  trop  s'exercer  à  trouver  s 
fans  le  fecours  d'autrui  ,  la  marche  que  notre  in- 
comparable Auteur  a  fuivie ,  pour  arriver  à  telle 
ou  telle  équation. 

NOTE  XL 
A  v  a  n  t  que  de  lire  l'article  1 5  ,  pag.  2 1 ,  il  eft 
néceflaire  de  fe  former  une  idée  nette  de  la  Cycloi- 
de que  l'on  appelle  quelquefois  Roulete,  &  quel- 
quefois Irochoiàe.  Ceft  une  courbe  produite  par 
une  entière  révolution  d'un  globe  ou  d'un  cercle 
fur  une  ligne  droite.  Imaginez- vous  donc  un  cer- 
cle qui  roule  fur  une  ligne  droite  ,  par  exemple  , 
fur  une  ligne  horizontale.  Lorfque  tous  les  points 
de  fa  circonférence  fe  feront  ex«&ement  applique 
fur  cette  ligne ,  il  aura  décrit  une  courbe  à  laquelle 
on  a  donné  le  nom  de  Cycloide.  Le  P.  Merfenne 
s'eft  apperçu  le  premier  que  le  clou  de  l'une  des 
roues  d'une  charéte  décrivoit  dans  l'air  une  Cy- 
cloide ,  parce  qu'il  étoit  animé  de  deux  mouve- 
ments fimultanés ,  l'un  en  avant  en  ligne  droite  3 


302  Commentaire 

l'autre  circulaire  autour  de  l'effieu  de  la  roue. 
Cette  découverte  fut  faite  en  1615- La  Figure  y 
de  la  Planche  1  repréfente  une  demi-cycloide.  Sa 
demi-circonférence  CM  A  a  été  produite  par  la 
révolution  de  la  demi- circonférence  circulaire 
A  PB  fur  la  ligne  CB.  Cette  ligne  CB  ,  néceffai- 
rement  égale  à  la  demi-circonférence  APB  ,  s'ap- 
pelle la  bafe  de  la  demi-cycloide  CM  A.  Elle  a 
pour  axe  le  diamètre  AB  du  cercle  générateur  , 
c'eft-à-dire,  du  cercle  par  la  révolution  duquel 
elle  a  été  produite  •  pour  fommet ,  le  point  A  ; 
&  pour  tangente  au  point  M  ,  la  ligne  MT  pa- 
rallèle à  la  corde  AP.  Il  eft  démontré  que  le  con- 
tour de  la  cycloide  eft  quadruple  du  diamètre  de 
fon  cercle  générateur  ;  l'on  a  donc  la  courbe 
C  M  A  double  du  diamètre  A  B.  Il  eft  encore 
démontré  que  ft  d'un  point  quelconque  M  de 
la  cycloide  C  M  A  ,  on  mené  une  ligne  quelcon- 
que MPQ.  parallèle  à  la  bafe  CB ,  &  qui  coupe 
en  un  point  quelconque  P  le  cercle  générateur 
APB  décrit  fur  l'axe  A  B  ,  il  eft  démontré  , 
dis-je  ,  que  l'arc  de  cercle  A  P  qui  dans  cette  oc- 
canon  prend  le  nom  de  coupée  ,  eft  égal  à  la 
droite  MP  que  l'on  regarde  comme  Y  appliquée 
correfpondante  de  la  coupée  dont  nous  venons  de 
parler.  Il  eft  enfin  démontré  que  la  corde  A  P 
de  la  coupée  A  P  eft  parallèle  à  la  ligne  M  T 
tangente  au  point  M  de  la  cycloide  CM  A ,  & 
que  cette  même  ligne  MT  a  pour  foutangente 
la  ligne  PT  tangente  du  cercle  au  point  P. 
Toutes  ces  vérités  font   démontrées  dans  tous 


des   Infiniment  Petits         305 


5V 


les  Traités  complets  de  Méchanique ,  &  nom- 
mément dans  celui  de  M.  l'Abbé  de  la  Caille  , 
fag.  1 80.  art.  515e"  fuiv.  Rien  donc  n'eft  plus 
facile  que  de  trouver  l'équation  à  la  cycîoide. 
Nommons  pour  cela  x  la  coupée  AP  ,  y  l'appli- 
quée MP,  b  la  bafe.  CB,  &  a  la  demi  -  cir- 
conférence A  P  B  ;  nous  aurons  x  :  y  :  :  a  :  b  , 
parce  que  x  =y  ,  &  a  =  &;  donc  bx  z=zay  ;  donc 

x  ==  -Z-  ;  &  c'eft  là  l'équation  à  la  cycîoide  fim- 

ple,  dont  il  eft  queftion  dans  cette  féconde  pro- 
position ;  &  en  général  dans  toute  cycîoide  la 
circonférence  du  cercle  générateur  eft  à  la  bafe  , 
comme  la  coupée  eft  à  l'appliquée. 

NOTE    XII. 

(Quoiqu'il  ne  s'agifTe  dans  les  articles  17  & 
1 8  ,  pag.  22  que  de  la  cycîoide  fimple  ,  il  eft  bon 
cependant  de  fçavoirce  qu'il  faut  entendre  par  cy- 
cîoide allongée ,  &  par  cycîoide  accourcie.  Dans  la 
première  la  bafe  eft  plus  longue ,  &  dans  la  fécon- 
de elle  eft  plus  courte  que  la  circonférence  du  cer- 
cle générateur.  Voyez-en  la  formation  phyfique 
dans  i'endroit  de  la  Méchanique  de  M.  l'Abbé  de 
la  Caille  que  nous  avons  indiqué  dans  la  Note 
précédente.  Ce  qu'il  faut  remarquer  ici  avec  at- 
tention ,  c'eft  que  dans  la  cycîoide  fimple  Ton  a 
néceflairement  MP  =  PT  ,  (  Fig.  7,  PI.  1  ) ,  parce 

queMP=rj<,  &que  PT  ==j^  devient  =  y 

dans  cette  courbe ,  à  caufe  de#  =  b.  M.  le  Mar- 


504  Commentaire 

quis  de  l'Hôpital  a  donc  raifon  de  dire  (  art.  1 8  ) 
que  dans  la  cycloide  fimple  le  triangle  MPT  efU 
ifofcéle.  Il  a  encore  raifon  de  dire  que  l'angle 
APQ.,  eft  mefuré  par  la  moitié  de  l'arc  AP, 
parce  que  fi  le  cercle  APB  étoit  fini  ,  l'angle 
APQjnfifteroit  fur  un  arc  de  cercle  égala  l'arc  AP. 


NOTE      XIII. 

[/article  21,  page  25  préfente  deux  dif* 

ficultés.  L'on  dit  i°.  que  puifque  PT  eft  -^  ,   il 


—  m  -+-  n 


rera  mst  "*"  nsty a.  Cette  valeur  ne  coûtera  prêt 


mt: 


que  rien  à  trouver ,  fi  l'on  prend  garde  que  l'équa 

~  'dx-nsfx™ — '" 

t 

mt-l-nty*-*-"       'dy 


mt?xm->dx-nsl°x*—idx 

tion  m  +  ny  ay=. 


donne  naturellement  dx=- 


ji 


L'on  fera  entrer  cette  valeur  de  dx  dans  —j— ,  & 

l'on  trouvera  à  l'inftant  ce  que  l'on  cherche. 

La  féconde  difficulté  que  préfente  l'article  2 1 
eft  beaucoup  plus  confidérable.  M.  le  Marquis  de 
l'Hôpital  y  avance  que  fi  les  courbes  AQC,  BCN", 
(F/g.  8  ,  PL  1  ),  devenoient  des  ligries  droites, 
la  courbe  MC,  feroit  alors  une  des  Sections  co- 
niques à  l'infini.  M.  Vangnon  a  rendu  cette  re- 
marque fenfible  par  les  Figures  163  &  164  de  la 
PI.  8.  fur  lesquelles  il  faut  continuellement  avoir 
les  yeux.  Soit ,  dit  il ,  un  triangle  quelconque  rec- 
tiligne  ECF ,  dont  C  ibit  le  fommet,  EF  la  bafe, 


& 


D  ES  1  NF  I  N  I  M  E  N  T  P  E  T  I  T  S.  305 

&  CE  ,  FC  les  deux  côtés ,  lefquels  repréfentent 
les  deux  courbes  A Q.C ,  BCN  dont  ils  étoient 
auparavant  les  tangentes-  Des  points  N  d'un  des 
côtés  C  F  ,  pris  &  prolongé  à  diicrétion  ,  , oient 
autant  de  NP  parallèles  à  CD  ,  lefquedes  ren- 
contrent la  bafe  EFen  P,  &.  l'autre  côté  en  Q.. 
Soit  pris  enluite  fur  ces  N  P  un  point  M  ,  tel  que 

-  m       —  m  . n n 

l'on  ait  partout  P  Q.  :  P  M  :  :  PM  :  P  N  ,  je  dis 
que  la  courbe  MMC  fera  une  des  fections  coni- 
ques à  l'infini.  Il  n'eft  pas  néceffaire  de  faire  re- 
marquer que  m  Se  n  reprélentent  des  expofants 
quelconques. 

Dém.  A  caufe  des  parallèles  P  N  ,  C  D  ,  l'on 
auraPQ:  CD::  EP  :  E  D  ,  &  P  N  :  C  D  :  :  PF 

m m         m m  n 

:DF;doncPQ  :  CD  ::  EP    :  ED   ,  &PN  : 


C  D  :  :  P  F  :  D  F  ;  donc  ,  en  multipliant  par  or- 
dre,  l'on  aura  PQ,  X  PN  :  CD  ::EP  x 
PF*  :  ËlTx  DFn .  Mais ,  par  hypothêfe  ,  P  Ci  : 
PM*:  :  PM":  P~n\  donc  PO.""  X  P  n"  = 
P  M  ;  donc  la  cinquième  des  proportions  pré- 
cédentes  fe  changera  en    celle-ci ,  P  M 


CD  ::EP   x  PF   :ED    xDF  . 

Suppofons  maintenant  m  =rz  1  ,  &  n  =  1  ,  l'on 
aura  PM1:  CD1  :  :  EPxPK  :  EDxDF  ,  c'eft-, 
à-dire  ,  le  quarré  de  l'ordonnée  P  M  :  au  quarré 
de  1  ordonnée  CD  :  :  le  rectangle  lous  les  ablcil- 
fes  qui  correfpondent  à  l'ordonnée  P  M  :  au  reo 

V 


%c6  Commentaire 

tangle  qui  correfpondent  à   l'ordonnée  CD;  ce 

qui  eft.  le  lieu  à  l'ellipfe  Se  à  l'hyperbole  ordinaires 

{Note  5,wa»7.g  &  i6)i  donoPM™     ":  CD™ 

m  _ n m  ■  n 

:  :  E  P  x  P  F  :  ED  X  D  F  eft  le  lieu  à  l'el- 
lipfe &  à  l'hyperbole  de  quelque  genre  qu'elles 
ioient;  donc  fi  les  courbes  AQ.C,  BCN,  F/g. 
8.  PI.  i.  deviennent  des  lignes  droites ,  la  courbe 
JVÏC  fera  alors  une  des  ferions  coniques  à  l'infini, 
fçavoir  une  eliipfe ,  lorfque  l'appliquée  C  D ,  qui 
part  du  point  de  rencontre  C ,  tombe  entre  les 
extrémités  A  ,  B  ,  &  une  hyperbole  ,  lorfqu'elle 
tombe  de  part  ou  d'autre. 

Enfin ,  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital  aflure  que  fi 
les  courbes  A  Q,C  ,  BCN  deviennent  des  lignes 
droites ,  &  que  l'une  des  deux  ,  par  exemple , 
A  Q.C  ibit  parallèle  au  diamètre  A  B  ,  la  courbe 
MC  iera  une  parabole ,  parce  que  dans  cette 
courbe  les  diamètres  font  parallèles  à  l'axe ,  & 
que  la  courbe  A  QC  transformée  en  ligne  droite  , 
deviendra  diamètre  de  la  courbe  MC  qui  aura 
AB  pour  axe. 


NOTE      XIV. 

1_jA  Propofition  5  ,  pag.  26  fuppofe  la  connoif- 
fance  de  la  fpirale  d'Archiméde  dont  voici  la 
conftrudlion  &  l'équation.  Divifez  la  circonférence 
ABCD,  Fig.  165.  PI.  8,  en  un  certain  nombre  de 
parties  égales ,  par  exemple  ,  en  4.  Faites-en  de 
même  pour  fon  rayon  # A.  Imaginez- vous  enfuite 
que  le  rayon  ah  parcourt  en  4  infîants  égaux  la 


des  Infiniment  Petits.  307- 
circonférence  A  B  C  D  ,  tandis  que  dans  le  même 
tems  le  centrer  monte  de  a  en  A.  Il  eft  évident 
que  par  ce  double  mouvement  ce  centre  décrira 
la  première  fpirale  a  ,  b  ,  c  ,  d ,  A.  La  féconde 
AghiF  fera  décrite  de  la  même  manière.  Le  cen- 
tre a  devra  monter  jufqu'au  point  F,  tandis  que 
le  rayon  a  F  parcoura  la  circonférence  F  G  H I. 

Pour  avoir  l'équation  à  la  première  fpirale  , 
nommons  b  la  circonférence  ABCD,  a  fon  ra- 
yon a  A ,  &  fuppofons  que  le  rayon  a  A  parcoure 
l'arc  AG  ,  tandis  que  le  centre  a  parcourt  aN  =  ac. 
Dans  cette  iuppofition  nous  aurons  l'arc  ACpour 
abiciffe,  8c  ac  pour  fon  appliquée  correipondante. 
Si  1  on  appelle  cette  abfcifle  x  ,  &  fon  appliquée 
correfpondante  ;'  ■-,  l'on  dira  la  circonférence 
ABCD  parcourue  en  4  inftants  égaux  :  au  rayon 
a  A  parcouru  dans  ce  même  tems  :  :  rabfuffe  AG 
parcourue  ,  par  exemple  ,  en  2  inftants  :  à  l'appli- 
quée #N  =  ac  parcourue  auffi  dans  2  inftants  , 
c'eft-à-dire  ,  &.:  a  :  :  x  :y  l  donc  by  =  ax  3  donc 

y  •—  —  ,  Se  c'eft  là  l'équation  à  la  fpirale  d'Ar- 

chiméde.  Deicartes  prétend  dans  le  livre  2  de  fa 
Géométrie  que  cette  courbe  n'eft  qu^  mécanique. 
Voyez  la  diicuffion  de  ce  point  de  Pv'lathémauque 
dans  ia  vie  littéraire  de  ce  grand  Homme ,  pag. 
301  &  fuivantes  \  elle  forme  le  premier  volume  de 
notre  Traité  de  paix  entre  Defcanes  &  Newton  , 
3  vol.  in- 12  imprimé  à  Avignon  chez  la  Veuve 
Girard  en  l'année  1763. 

V  2 


308  Commentaire 

NOTE      XV. 

\_i  A  Proportion  6,  pag.  2  8fuppofela  connoif- 
fance  de  la  conchoide  de  Nicoméde  ;  aulîi  allons 
nous  en  faire   la  defcription ,  &  afïîgner  eniuite 
l'équation  de  cette  courbe,  imaginez-vous  donc 
les  lignes  droites  indéfinies  AP,  CBr ,  F/g.  166. 
Pi.  8  ,  qui  fe  coupent  à  angles  droits  au  point  B. 
Sur  la  première  vous  déterminerez  A  B  &  B  P  ; 
Se  après  avoir  pris  le  point  P  pour  point  fixe ,  vous 
ferez  tourner  autour  de  cette  elpéce  de  pôle  la 
ligne  B  A  ,  de  telle  forte  qu'elle  pane  toujours  fur 
la  direëlrice  CBr.  Dans  toutes  les  pofitions  que 
AP  aura  vis-à-vis  CBr,  vous  couperez  au  deiïus  Se 
au  defîbus  deCBc  les  lignes  CD,  Cd ,  cD,  cd 
égales  à  B  A.  La  courbe  qui  joindra  les  points 
D  ,  D  fera  la  conchoide  fupérieure  ;  &  celle  qui 
joindra  les  points  d  ,  d  fera  la  conchoide  inférieu- 
re. Si  l'on  nomme  B  A ,  a  ;  PD ,  y  ;  PC ,  x  ,•  l'on  aura 
néceffairement  PD  —  P  C  =  D  C ,  donc  P  D  -  P  C 
t=  B  A  ,  donc;;  —  x  =  «;  &  c'eft-là  l'équation 
à  la  conchoide  de  Nicoméde. 


NOTE       XVI. 
JL/article  26,  page  30  peut  abfolument  fe 
parler  de  commentaire.  Si  cependant  l'on  fe  trou- 
voit  arrêté  fur  la  fin  de  cet  article ,  l'on  pourrait  ! 
confulter ,  non  pas  le  livre  3  ,  mais  la  feftion  4 
de  la  partie  1  du  livre  2  de  la  Géométrie  de  Def-  j 
cartes  commentée  par  le  P.  Rabuel  Jéfuite ,  &  im-  j 


DES     I  NFIN  I  M  EN  T    P  E  T  I  T  S.  309 

primée  en  un  vol.  in-4.0.  en  1750  à  Lyon  chez 
Duplain.  Au  refte  la  Paraboloide  donc  parle  M.  le 
Marquis  de  l'Hôpital ,  n'eft  pas  le  lolide  que  les 
Géomètres  appellent  conoide  paraboloide ,  c'eft  une 
ligne  courbe  du  troifieme  degré  formée  par  Tin- 
terieclion  continuelle  d'une  ligne  droite  &  d'une 
parabole  ordinaire.  Voye\  Defcartes  &  [on  Com- 
mentateur a  l'endroit  cité. 


NOTE       X  V  IL 

Pour  comprendre  fans  peine  la  propofition  8  , 
pag.  3  1  ,  il  faut  fe  former  auparavant  une  idée  de 
la  ciifoide  de  Dioclés  repréientée  par  la  figure  14 
de  la  planche  1.  En  voicUa  formation.  L'on  me 
donne  le  demi-cercle  B  AY  avec  la  tangente  infi- 
nie Bb.  Du  point  F ,  je  tire  jufqu'à  la  tangente  B& 
prolongée  à  volonté  ,  les  lignes  ¥b,  FA  que  je 
continue  mentalement  jufqu'en  V,FR  que  je 
continue  mentalement  jufqu'en  r  &c.  Parmi  les 
lignes  tirées  du  point  F  à  la  tangente  Bb  ,  je  fais 
enforte  qu'il  y  en  ait  une,  comme  F  A  ,  qui  pane 
par  le  milieu  A  de  la  demi-circonférence  BAF, 
Sur  la  ligne  ¥b  ,  je  prens  F  M  =  fcN.  Sur  la  ligne 
FA  prolongée  mentalement  jufqu'en  V  ,  je  prens 
FA  ~  AV.  Sur  la  ligne  FR  prolongée  mentale- 
ment jufqu'en  r ,  je  prens  Fr  =  Rr  ;  la  courbe  qui 
palTera  par  les  points  F ,  M ,  A ,  t  fera  la  ciflbide  de 
Dioclés.  Dans  cette  courbe  l'on  a  F  M  =&N  ,  & 
ar  conféquent  Vb  =  F  N  -t-  F  M.  L'on  a  encore 
?—?b9  Se  par  conféquent  F&  =  2F  P.  Mais 

v  i 


l 


%iq  Commentaire 

Fi=FN-*-FM,  donc  FN-+-FM  =  aFP. 
Nommons  donc  avec  M.  de  1  Hôpital  F  ¥\y  , 
FN^,FPx,l'on  aura  y  ■+■  %  ==  2X  ;  &  c'eft-là 
l'équation  à  la  ciffoide. 

NOTE       XV  I  II. 

I  j  a  connoiflance  de  la  quadratrice  de  Dinoftra- 
te  eft  néceflaire  pour  l'intelligence  parfaite  de  la 
Proportion  9e.  pag.  34.  Pour  en  laifir  facilement 
la  formation,  imaginez-vous  que  tandis  que  le 
Tayon  AF,  Fig.  17.  PL  1,  parcourt  par  un 
mouvement  uniforme  le  quart  de  cercle  A  B ,  la 
tangente  A  H  va  parallèlement  à  elle-même  le 
long  du  même  rayon  A  F ,  de  telle  forte  que  lorf- 
que  le  rayon  A  F  le  trouve  avoir  parcouru  le 
quart ,  la  moitié ,  les  trois  quarts  de  la  circonfé- 
rence À  B  ,  la  tangente  A  H  a  parcouru  le  quart, 
la  moitié  ,  les  trois  quarts  du  rayon  A  F  ;  la 
courbe  A  M  G  qui  pafleia  par  tous  les  points 
d'inttr ferions  du  rayon  A  F  &  de  la  tangente 
AH,  s'appelle  quadratrice.  Dinoftrate  ion  inven- 
teur s'en  iervit  pour  trouver  la  quadrature  appro- 
chée du  cercle,  xour  avoir  l'équation  à  cette  cour* 
be ,  nommons  b  le  quart  de  cercle  A  B  ,  a  le  ra- 
yon A  F  ,  y  une  partie  quelconque  de  la  circon- 
férence A  B  parcourue  par  le  rayon  A  F ,  x  une 
partie  quelconque  du  rayon  A  F  parcourue  par 
la  tangente  A  H ,  nous  aurons  par  conftruStion  b  : 

a  :  :y'X%  donc  ay=zhxt  àonçy  =  —  ,    équa- 

pon  a  la  quadratrice, 


des  Infiniment  Petits.        31  r 


NOTE      XIX. 

JL' article  31  ,  pag.  36  a  befoin  de  deux 
éclairciffements;  on  les  trouvera  dans  les  répon- 
fes  aux  queftions  fuivantes. 

One/lion  1 .  En  mettant  pour  x  fa  valeur  ^  ,  8c 

en  divifant  enfuite  le  tout  par  b  —y  ;  comment 

,  bss  —  yss      _  bss 

a-t-on  trouve *—  —  —  ? 

aa  —  ax  aa 

Réponfe.  i°.  En  iuppofant  x  =  y  ,  l'on    aura 

aay aab —  aay 

aa  —  ax  =.aa j-  —        ~b 

aab  —  aay      ,  bss  —  yss     r 

2o.  aa ax  = : — -  i  donc ^—    fera 

..,  aab  —  aay 

égal  à  bss  —yss  divile  par • 

...  aab  —  aay     ■>  i    . 

5o.  iss  —ySS  divifé  par ~b — -  donne    evi- 

bbss  —  byss 
demment  — -, — —  ■ 

aab  —  aay  ( 

40.  Divifez  par  b  —  y  le  numérateur  &  le  déno- 
minateur de  cette  dernière  fradion ,  vous  aurez 

bss 

Seconde  Quefiion.  En  fuppofant  F  T  =  —  , 
comment  peut-on  prouver  que  FT  eft  troifieme 
proportionnelle  à  FG  =— ,&arM=J? 

V4 


3i2  Commentaire 

Réponfe.  La  troifieme  proportionnelle  aux  quan- 

.    ,    a  a  B  n    bss  .  r         a  a  bss      , 

tites  -r-  oc  s  eit  —  ,  puilque  —  :  s  ::  s  :  —  ;  donc 

b  a.  a     L        x        b  a  a 

&C. 


NOTE      XX. 

es  remarques  fuivantes  ne  feront  pas  inutiles 
pour  l'intelligence  de  l'article  32  ,  pag.  37. 

i°.  On  peut  regarder  wR,  F;g.  18.P/.  2,  com- 
me parallèle  à  M  F  ,  parce  que  l'angle  MFR  eft 
eft  fuppofé  infiniment  petit  ,  &  par  conféquent 
fenfiblement  nul.  Par  la  même  raiion  les  lignes 
wS  &  m  O  peuvent  être  regardées  comme  pa- 
rallèles ,  l'une  à   M  G  &  l'autre  à  M  H. 

20.  Le  centre  commun  de  gravité  des  poids 
appliqués  en  C,  D ,  E  ,  que  j'appellerai  les  poids 
C,  D  ,  E  ,  eft  le  point  autour  duquel  ces  poids 
étant  fulpendus  comme  autour  du  point  fixe  d'un 
levier  quelconque  ,  refteroient  dans  un  parfait 
équilibre. 

3°.  Four  trouver  le  centre  commun  de  gravité 
des  poids  C  ,  D  ,  E  ,  je  cherche  d'abord  celui 
de?  poids  D  &  E  par  la  règle  fuivante  ;  la  fomme 
des  poids  D  &  E  :  à  la  longueur  de  la  ligne  qui 
marque  la  diftance  de  leurs  centres  :  :  le  poids  D 
:  à  la  diftance  du  poids  E  au  centre  commun  de 
gravité  que  je  cherche  ,  &  que  je  nomme  x.  Cette 
première  opération  faite ,  je  raflemble  mentale- 
ment es  poids  D  &  E  à  leur  centre  commun  de 
gravité  x }  &  pour  trouver  le  centre  commun  de 


des   Infiniment  Petits.        315 
gravité  des  trois  corps  donnés ,  je  dis,  la  Comme 
des  poids  C ,  D  ,  E  :  à   la  longueur  de  la  ligne 
qui  marque  la  diftance  du  point  x  au  centre  du 
poids  C  :  :  le  poids  C  :  à  la  diftance  du  point  x  au 
centre  commun  de  gravité  des  poids  C,  D  ,  E.  Ce 
centre  fe  trouvera  dans  la  ligne  M  P  à  laquelle 
font  perpendiculaires  les  lignes  CL,  KD  ,  1E; 
&  comme  la  tangente  au  point  M  eft  parallèle  aux 
lignes  CL  ,  KD  ,  IE  ,  il  s'enfuit  que  MP  eft  per- 
pendiculaire à  la  tangente  au  point  M  ;  donc  la 
perpendiculaire  que  l'on  cherche  pour  la  folution 
du  problême  propofé  ,  eft  celle  qui  patte  par  le 
centre  commun  de  gravité  des  poids  C  ,  D  ,  E. 

NOTE  XXI. 
D  e  s  lignes  a  ,  b  dont  il  eft  parlé  fur  la  fin  de 
l'article  34  ,  pag.  44  ,  l'une  b  eft  tirée  d'un  point 
quelconque  de  la  courbe  perpendiculairement  à  la 
directrice  ,  l'autre  a  eft  tirée  du  même  point  au 
foyer.  Or  il  eft  évident  que  dans  la  parabole  a  eft 
égal  à  b  ,  que  dans  l'ellipfe  a  eft  moindre  ,  ôc  que 
dans  l'hyperbole  a  eft  plus  grand  que  b. 


NOTE      X  X  II 
M.  le  Marquis  de  l'Hôpital  aflure  à  la  fin  de 
Y  article  36  ,  page  45  ,  que  M  R  ,  Fig.  25.  Pi.  2  , 
eft  égal  à  pP-MQ^QS-PM    Pour    ,e    faire 

toucher  au  doigt,  il  auroit  dû  tirer  la  ligne  O  V, 
parallèle  à  Q.P  ;  il  a  été  absolument  néceftaire  3 


514  Commentaire 

pour  nous  rendre  intelligible,  d'ajouter  cette  ligne 
OV  à  la  figure  25.  Cela  une  fois  fait,  voici  com- 
ment je  railonne. 

i°.  A  caufe  des  triangles  femblables  OVS  , 
OLR,  Ion  a  OV  :  OL  ::  VS:LR;  l'on  a 
donc  PQ,  :  PM  :  :  VS  :  LR.  Mais  VS  t=  QS  -  QV 
—  QS  —  OP,doncPQ:  PM  :  :  QS  —  OP  :  LR  i 
,  ,  n  PM  x  os  —  6? 
donc  LR  = 7775 * 

2°.   MR  =  LR  +  OPi    donc   M  R  =1 
PM  xqs  —  op  +  PQxOF 
PQ 

3°.  PQ-PM  +  M  Q.  ;    donc    M  R  = 
PMxqs-.>vh-£Pxpmh-mq   .     donc    ron 

aura  ,  en  ôtant  les  quantités  qui    fe  détruifent 

MR  =  PMxQSh-OPxMQ  n  ,     v, 
r^yr — .  Prenez  garde  a  la 

faute  qui  fe  trouve  à  la  page  46  ;  elle  eft  marquée 
dans  ['errata. 

NOTE     XX 111. 

1  our  mettre  à  la  portée  de  tout  le  monde 
Y  article  ^9  ,  pag.  48  ,  il  eft  néceffaire  de  faire 
connoître  la  logarithmique  repréfentée  par  la 
Figure  80  de  la  Planche  5.  C'eft  une  courbe  dont 
les  abfciffes  font  les  logarithmes  des  ordonnées  , 
c'eft- à- dire  ,  c'eft  une  courbe  dont  les  abfciffes 
fuivent  la  proportion  arithmétique  ,  &  les  or- 
données la  proportion  géométrique.  En  voici  la 
defcription.  Sur  la  ligne  KQ.  qu'on  pourra  pro- 
long er  à  volonté  ,  élevez  les  deux  perpendiculai- 


des  Infiniment  Petits.         315 
res  PM ,  fn.  Coupez  ?f  en  deux  parties  égales 
au  point  p.  Elevez  à  ce  point  la  perpendiculaire 
pm  qui  loit  moyenne  proportionnelle  aux  lignes 
PM  ôcfn.  Prenez  fg—pf  Elevez  au  point  g  la 
perpendiculaire  go  qui  (bit  troiiieme  proportion- 
nelle aux  lignes  pm  ,  fn  ;  la   courbe  que  vous 
tirerez  par  les  points  M  ,  m  ,  n ,  0  fera  une  por- 
tion de  la  logarithmique.  En  effet ,  tandis  que  les 
ordonnées  PM  ,  pm  ,  fn  ,  go  gardent  la  propor- 
tion géométrique  continue ,  les  abfciffes  correl- 
pondantes  ?p  ,  P/\  Pg  gardent  la  proportion 
arithmétique  continue  ;  donc  ?p  peut  être  re- 
gardé comme  le  logarithme  de  pm  ;  ?f  comme  le 
logarithme  de  fn  ;  ?g  comme  le  logarithme  de 
go  ,  &c.   Dans  cette  courbe ,  il  eft  vrai ,  la  ligne 
PM  n'a  point  de  logarithme  ;  mais  dans  le  fait 
elle  ne  doit  en  avoir  aucun  ,  puifqu'elle  eft  prife 
pour  l'unité ,   &  que  le  logarithme  de  Y  unité  eft  0. 
Ce  quil  faut  bien  remarquer  ,  c'eft  que  dans 
toute  logarithmique  les  foutangentes  font  égales, 
par  exemple  ,  les  foutangentes  pb ,  fe  ,  &c.  iont 
égales.   Cela  vient  de  ce  que  ?p  ,  pf,  &c.  font 
des  quantités  égales  entr'elles,  de  même  que  Mm , 
mn  ,  &c.  Voilà  pourquoi  M.  le  Marquis  de  l'Hô- 
pital  annonce  que  lorfque  la  foutangente   de- 
meurera par  tout  la  même  ,    la  courbe  L  M  , 
(F/g.  26.  PL  2.)  fera  logarithmique. 

NOTE     XXIV. 
Ç O  MME  l'article  40  ,  page  49  fera  appliqué  à 
là  logarithmique  fpirale ,  il  eft  néceflaire  de  don- 


3  r  6  Commentaire 

ner  ici  la  deicription  de  cette  courbe.  Divifez  le 
quart  de  cercle  BGD,  (F/g.  87.  PI.  5.)  en  un 
nombre  quelconque  de  parties  égales  Bb,  bG  , 
Gg  ,  gD.  Sur  les  rayons  Ob  ,  OG ,  Og  ,  prenez 
les  parties  ON,  O»,  Or  en  proportion  continue; 
les  points  N  ,  n  ,  r  appartiendront  à  la  loga- 
rithmique [pirate-  Cette  courbe  a  pour  appliquées 
les  lignes  ON.Oh,  Or,  ou  fi  l'on  veut ,  b  N  , 
Gn ,  gr  qui  font  en  proportion  géométrique  con- 
tinue ,  &  pour  abfcifîes  correfpondantes  les  arcs 
~Bb  ,  BG ,  Bg  qui  lont  en  proportion  arithméti- 
que continue.  Auffi  peut-on  regarder  celles-ci 
comme  les  logarithmes  de  celles-là. 

C'eft  dans  l'article  42  que  le  fait  l'application 
de  l'artitle  40  à  la  logarithmique  fpirale.  L'on  y 
iuppofe  que  la  courbe  F  Q  (  Fig.  27.  PL  2.  )  eft 
une  hyperbole  dont  AB  eft  l'une  des  affymptotes. 
Nous  avons  déjà  fait  remarquer  dans  la  Note  5. 
rrnm.  20.  que  AGxGQ  eft  un  redtangle  égal  à  un 
quarté  confiant  que  M.  de  l'Hôpital  nomme  ici 

ff 

ff;  donc  uy  —  ff;  donc  GQ  (a  )  =  —;  donc, 

en  luppofant  le  point  G  au  point  A  ,  l'on  aura 

ff 
GQ.=  —  =  00  y  auffi  GQ.de vient-elle  alors  fé- 
conde afTymptote  de  l'hyperbole  FQ.    L'efpace 
FEGQ  eft  donc  regardé  comme  infini  à  caufe  de 
fon  côté  infini  GQ.. 

Lorlque  A  G  devient  =  0  ,  l'on  a  A  M  (^) 
=  0  ;  donc  uy  =  ff,  devient  /"/"=  0  3  &  par  la 

même  AT  (J-^  )  devient  —  =  0  ;  donc  lorfque 


ce    '  ce 


des  Infiniment  Petit  s.         317 
le  point  M  de  la  courbe  ML  eft  arrivé  au  centre 
du  cercle  BN  ,  c'eft- à-dire  ,  lorfque  A  M  —  o  , 
l'on  a  AT  =■=  0.  D'où  l'on  voit  que  la  raifon 
de  AM  à  AT  eft  confiante  ;  ce  qui  eft  une  pro- 
priété  de  la  logarithmique   fpirale.    Tout  ceci 
s'éclaircira  encore  plus  par  la  lefture  de  l'article 
9 1  ,  pag  1  27  ,  où  l'on  verra  que  AM  :  AT  :  :  AG 
:  CM  ,  (Fig.  8  1.  VI.  5.  )  Nous  remarquerons  en 
finiflant  cette  Note  ,  que  l'on  donne  quelquefois 
le  nom  d'axe  à  la  ligne  des  abfciffes  ;  ce  n'eft 
qu'en  ce  fens  que  Ton  peut  regarder  l'affymptote 
AB  (  Fig.  27.  PL  2.)  comme  axe  de  l'hyper- 
bole f  a 


NOTE     XXV. 
Comme  la  manière  dont  M.  le  Marquis  de 
l'Hôpital  tire  dans  la  propofition  16  les  tangen- 
tes des  courbes  AM,  BN  ,  CO ,  (  Fig.  32.  PL  3.) 
n'a  aucun  rapport  avec  ce  qu'il  a  dit  dans  toute 
fa  féconde  Se&ion  fur  la  méthode  de  trouver  par 
le  calcul  différentiel  les  tangentes  de  toutes  for- 
tes de  lignes  courbes  ,  nous  ne  donnerons  aucun 
commentaire  de  cette  propofition  qui  dans   le 
fond  nous  paroit  ici  affez  déplacée.  Nous  remar- 
querons cependant  que  c'eft  par  fon  inertie  que 
le  poids  A  s'oppofe  à  la  direction  BF  du  poids  B. 
Nous  remarquerons  encore  que  ce  qu'on  a  dit  du 
'poids  A  par  rapport  au  poids  B  ,  doit  fe  dire  des 
poids  A  &  B  par  rapport  au  poid  C  ;  car  A  eft 

fenfiblement  égal  à  la  fraâion  -  Bc    • 


5 1 8  Commentaire 


NOTE     XXVI. 

a  régie  générale  dont  on  fe  fert ,  lorfqu'on 
veut  trouver  le  maximum  ou  le  minimum  d'une 
courbe,  eft  celle-ci  :  Dans  le  point  où  la  quan- . 
tité  ejî  devenue  la  plus  grande  ,  fon  accroiffement 
efl  devenu  nul ,  &  dans  le  point  ou  elle  ejî  devenue 
la  plus  petite  ,  fon  décroiffement  ejî  aufji  devenu 
nul.  D'où  il  fuit  qu'ayant  différent ié  l'équation  qui 
exprime  la  quantité  dont  il  s'agit ,  au  qui  convient 
a  la  courbe  dont  il  s" agit ,  il  faut  faire  =  o  la  dif- 
férentielle de  la  variable  qui  va  en  croiffant  3  puis 
en  dccroiffant  ;  ou  en  décroisant ,  puis  en  croiffant  • 
&  l'équation  différenciée  pouvant  être  réduite  par 
c'e  moyen  a  des  terme  finis  ,  elle  exprimera  le 
maximum  ,  ou  le  minimum  qu'on  cherche. 

Pour  trouver  ,  par  exemple  ,  la  plus  grande 
ordonnée  au  grand  axe  A  B  de  l'ellipfe  A  D  B 
(  Fig.  30.  PL  2.  )  nommons  2a,  le  grand  axe  AB  ; 
zb  ,  le  petit  axe  ,  &  par  conféquent  b  ,  le  demi- 
petit  axe  DE  ;  nommonsj/ ,  une  ordonnée  quel- 
conque au  grand  axe  ;  &  x  ,  fon  abfcifîe  corref- 
pondante.  Cela  fuppofé  ,  voici  comment  je  rai- 
lonne. 

i°.  L'équation  à  l'ellipfe  eft  aoyy  =  zabbx — 
bbxx  {Note  5.  num.  10). 

20.  Cette  équation  dilFérentiée  devient  laayày 
—z  iabbdx  —  ibbxdx. 

30.  Comme  l'ordonnée  qu'on  cherche ,  eft  fup- 
poîee  arrivée  à  fon  maximum  ,  elle  aura  à  ce  point 
la  différentielle  dy  =  0 ,  donc  iaay  ysdy  =.  2aay 


D  E  S   I  N  F  IN  I  M  E  N  T   P  E  T  I  T  S.  3  1 9 

X0j  donc  2aaydy  =  0  •  donc  iabbdx —  ibbxdx 
=  <?,*  donc  labbdx  =  zbbxdx  ?*  donc  ,  en  divilant 
tout  par  2iW,v  ,  l'on  aura  a  ==x$  donc  iorfque 
dans  l'ellipie  l'abfcifle  x  devient  a  ,  l'ordonnée 
correfpondante  y  eft  arrivée  à  fon  maximum  ; 
donc  Iorfque  dans  l'ellipie  l'abfciffe  devient  la  moi- 
tié du  grand  axe  ,  l'ordonnée  correfpondante  eft 
arrivée  à  fon  maximum.  Mais  le  demi-petit  axe 
DE  a  pour  abfcifle  correfpondante  AE  ,  moitié 
du  grand  axe  AB  ;  donc  dans  une  ellipfe  quel- 
conque la  moitié  du  petit  axe  eft  la  plus  grande 
ordonnée  à  Taxe  principal. 

Voilà  comment  il  faut  opérer  ,  lorfqu'on  veut 
trouver  le  maximum  ou  le  minimum  d'une  courbe 
quelconque  dont  l'équation  eft  donnée.  Voici 
ce  que  veut  dire  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital ,  lors- 
qu'il affure  qu'il  y  a  des  occafions  où  une  quan- 
tité ne  peut  pas  devenir  de  pofitive  négative  , 
fans  parler  par  l'infini.  Toutes  les  tangentes  TM , 
par  exemple ,  tirées  jufqu'au  point  D  exclufiye- 
ment  (  Fig.  30.  PL  2.)  ont  des  foutangentes  TP 
qui  vont  toujours  en  augmentant  jufqu'au  point 
E  ,  &  qui  jufqu'à  ce  point  font  regardées  comme 
des  quantités  pofitives.  Au  point  D  la  tangente 
TM  devient  infinie,  &  fa  foutangente  TP  qui 
lui  eft  parallèle,  fuit  néceflairement  le  même  fort. 
Après  le  point  D  ,  les  tangentes  TM  &  les  fou- 
tangentes  T  P  vont  toujours  en  diminuant ,  & 
celles-ci  font  regardées  comme  des  quantités  né- 
gatives ,  puifqu'elles  changent  de  côté  ;  donc  il  y 
a  des  occafions  où  une  quantité  finie  ne  peut  pas 


320  Commentaire 

devenir  de  pofitive  négative  ,  fans  pafler  par  l'in- 
fini. Ce  que  nous  avons  dit  de  la  figure  30  par 
rapport  au  maximum  DE  ,  fe  vérifie  dans  la  fi- 
gure  3  1   par  rapport  au  minimum  D  E. 

Il  y  a  des  occafions  où  la  tangente  fe  confond 
avec  l'ordonnée,  c'eft- à-dire  ,  où  la  tangente  de- 
vient la  pro'ongation  de  l'ordonnée  ,  comme  au 
point  D  de  la  figure  33  de  la  planche  3  3  auquel 
il  feroit  impoffib'e  de  tirer  une  tangente  ,  fans 
qu'elle  ne  fît  une  même  ligne  avec  le  minimum 
DE.  Alors  la  différentielle  Km  devient  infinie. 
Mais  avant  que  de  devenir  infinie  ,  elle  avoit 
été  pofitive,  &  après  être  devenue  infinie,  elle  eft 
négative ,  parce  qu'elle  change  de  côté  ;  donc  il 
y  a  des  occafions  où  une  quantité  infiniment  pe- 
tite ne  peut  pas  devenir  de  pofitive  négative,  fans 
pafTer  par  l'infini.  La  figure  34  de  la  planche  3  , 
prête  à  un  raifonnement  lemblable  ;  tout  le  mon- 
de voit  que  la  tangente  au  point  D  fe  confondroit 
avec  le  maximum  D  E.  Mais  ce  font  là  des  railon- 
nemens  qu'il  ne  faut  pas  pouffer  trop  loin  ,  de 
peur  de  fe  perdre  dans  une  métaphyfique  inin- 
telligible. Contentons-nous  de  differenrier  l'équa- 
rion  donnée  ;  de  faire  la  différentielle  =  0  ;  &  fu- 
yons affiné  que  fi  la  courbe  à  laquelle  appartient 
l'équation  donnée  ,  a  un  maximum  ou  un  mini- 
mum y  nous  le  trouverons  par  cette  méthode.  Je 
dis ,  fi  la  courbe  dont  il  s'agit ,  a  un  maximum 
ou  un  minimum  ,  parce  que  les  courbes  dont  les 
appliquées  croiffent  jufqu'à  l'infini ,  n'ont  point 
de  maximum  ,  &  celles  dont  les  appliquées  dé- 

croifîeat 


des    Infiniment  Petits.      321 
croifient  jufqu'à  0,  n'ont  point  de  minimum. 

NOTE        XXV  IL 

Comme  l'article  48  ,  pag.  5  9  ,  contient  le  pre- 
mier des  13  exemples  auxquels  M.  le  Marquis  de 
l'Hôpital  a  appliqué  la  méthode  de  Maximis  & 
Minimis ,  nous  allons  en  donner  le  calcul ,  fans 
omettre  la  moindre  des  équations.  Le  voici  ;  iî 
n'a  befoin  d'aucune  explication. 
x3  4- y        =  axy 

3  xxdx  •+-  $yydy  =  aydx  •+-  axdy 

3  xxdx  —  aydx    •=.  axdy  —  tyydy 

$xxdx —  aydx    z=zaxXO — ^yyxo 

3  xxdx  ■ —  aydx    =  0 

^xxdx  =  aydx 

3XX     =zay 

ixx 

V  => 

Mettons  la  nouvelle  valeur  de  y  dans  1'équatïorj 
x}  -t-yy=z  axy  ,  nous  aurons 


X5 

■+■ 

l'-fX6 

aï 

— 

%ax3 
a 

x' 

■+- 

— 

3x' 

2.-]X6 

. — 

2XJ 

tfî 


27X6  =  2«}X} 


5x 

3* 


=  3^2 


?22  COMMENTAIR 


NOTE      XXVlll. 

JL/  article  49  ,  pag.  60  a  befoin  du  Com- 
mentaire fuivant.  Pour  trouver  AE  =  «  ,  il  n'é- 
toit  pas  néceffaire  de  fe  jetter  dans  l'infini  ;  il  fal- 
Joit  élever  au  cube  les  2  membres  de  l'équation 
donnée,  &  opérer  par  la  méthode  ordinaire  en  la 
manière  fuivante  : 


y  —  a  ■=!  a*  x  a  —  x  3 


3 


y  —  a  =  \/a  x  ]/<!« —  iax  h-  xx 
j'3  —   ^ayy  -+-  3^?^  —  a?  =aX  aa  —  xax  -+■  xx- 
yJ  —  ^ayy  -+-  ^aay  —  a1  •=.  a1  —  2aax  •+•  axx 
En  différenciant  cette  dernière  équation ,  l'on  aura 
Syydy  —  Saydy  -}-  ^aady  ■==.  —  iaadx  -+-  2axdx 
$yy X 0  —  6ay X0-+-  ^aaxo—  -  taadx  +  2axdx 
0  =  - —  2aadx  -+-  2axdx 
2aadx==  2axdx 
adx  =  xfi/x 
a .    —  x 

NOTE       XXIX. 

\  ' article  50,  p<?g.  60  ne  peut paroitre  obf- 
cur ,  qu'à  ceux  qui  ne  connoitroient  pas  la  nature, 
ou  les  propriétés  de  la  roulette  ;  nous  les  avons  ex- 
pliquées dans  les  notes  1 1  &  12. 


NOTE     XXX. 

L'on  comprendra  l'article  5  1  ,  pag.  61 ,  fi  l'on 
fait  att>î;ntion  aux  remarques  fui  vantes. 


D  E  S   I  N  FINI  M  E  NT    PETITS.  525 

i°.  a  —  x""  '  multiplié  par  a  —  x  donne  évi- 
demment pour  produit  a  —  x" ,  parce  que a-x* 
multiplié  par  a — -x  ,  c'eft  a  —  xa~~  '  élevé  d'un 
degré;  donc  a  —  xa  divifé  par  a—  xn~  "'  doit 
donner  pour  quotient  a  —  x  ,  parce  que  le  pro- 
duit divifé  par  le  multiplicande  eft  toujours  égal 
au  multiplicateur. 

20.  Par  la  même  raifon  x™  divifé  par  x"  —  '  doit 
donner  pour  quotient  x  ,  car  x  *°  '  multiplié  par  x 
donne  pour  produit  xm. 

30.  En  fuppofant  x  infinie,  l'on  aura  — — —  =d 
*  {Note  2.  num.  4  )  ;  donc  en  fuppofant  x  in- 


X 

XX 


finie,  Tonaura>'  =  —,  &  par  conféquent^  =  x« 

NOTE     XXXI. 

î  ,'  article  52,  pag.  6  3  ,  eft  terminé  par  une 
équation  du  fécond  degré  qui  demande  les  éclair- 
cifTements  fuivants. 

1  °.  rxx  —  axx  —  Ixx  =  xxXc  —  a  — 'b  '-,  donc 
en  faifant  c  —  a —  b  =  e  ,  l'on  aura  exx  =  cxx 
—  axx —  bxx  ;  &  l'équation  qui  termine  l'article 
5  2  fe  changera  en  celle-ci  exx  -+-  iacx  ■==.  abc. 

,  lac  abc 

i°.  exx+  2acx—abc.  donc  xx-\ x  =  — . 

30.  Cette  dernière  équation  maniée  à  la  manie- 

...  ,  J  / 'abc         a  ac 

re  ordinaire,  donnera  x  =  $/ 1 — -• 

40.  Si  c  ~a  •+•  b ,  l'on  aura  c  —  a  —  b  —  o ,  & 

X  2. 


514  Commentaire 

par  conféquent  cxx  —  axx  —  bxx  =  0  ;  donc  l'é- 
quation qui  termine  l'article  52  deviendra  2acx 
=  abc  ;  donc  ix  =  b  ;  donc  x  =  -b. 

NOTE      XXXI I. 

V  oici  ce  qui  peut  arrêter  un  commençant 
dans  la  lecture  de  l'article  5  3  ,   pag.  64. 

i°.  Le  cône  que  décrira  le  triangle  rectangle 
A  E  F  ,  F/g.  40.  PL  3  ,  aura  pour  bafe  le  cercle 
dont  le  rayon  fera  l'ordonnée  F  E  ,  &  pour  hau- 
teur ia  ligne  EA.  De  même  le  cône  que  décrira 
ïe  triangle  rectangle  A  P  N  ,  aura  pour  baie  le  cer- 
cle dont  le  rayon  fera  l'ordonnée  N  P  ,  &  pour 
hauteur  la  ligne  A  P.  Voyez  la  formation  du  cône 
dans  les  élémens  de  Géométrie  de  M.  PAbbé  de  la 
Caille,  art.  658  de  l'édition  de  1764. 

2°.  Par  la  propriété  du  cercle ,  l'on  aura  A  E  : 
E  F  :  :  E  F  :  E  B  ;  donc  E  F1  ==  ax  —  xx  ;  donc 
E  F  ~=:  yax  —  xx. 

3°.  APzzEP+AE1;  donc  AP=ax 
1 —  xx  •+-  xx  ;  donc  A¥z  =  ax  ;  donc  A  F  =  ]/^. 

40.  La  fraction  qui  termine  l'article  5  3  ne  peut 
pas  être  ==:  0  ,  lans  que  l'on  ait  fon  numérateur 
laxâx  ■ —  $xxàx  ===  0  ;  l'on  aura  donc  alors  zaxdx 
z=z  $xxdx  ;  donc  2ax=$xxj  donc  2a=^x; 
donc  x  n=  |  a. 

NOTE      XXX 11  1. 

U  n  parallélépipède  eft  un  folide  terminé  par 
iïx  furfaces  rectangles ,  dont  les  deux  oppofées 
font  égales  ôc  parallèles ,-  &  un  cube  eft  un  fo- 


des   Infiniment   Petits.     325 

lide  terminé  par  fix  quarrés  égaux  ,  qui  font  tous 

à  angles  droits  l'un  fur  l'autre.  Tout  cube  eft  donc 

un  parallélépipède ,  mais  tout  parallélépipède  n'eft 

pas  un  cube.  11  s'agit  maintenant  de  bien  fe  con- 

r         1A?     1»  al       1/"' 

vaincre  que  11  x  -  y  —  ,  1  on  aura  —  =  y 

en  voici  la  démonftration. 


T 


**-T 


a".    Le  quarré  de    g   eft   ^  ;  donc  ^ 
«= -^  ==  ^  i  donc  fi  le  quarré  de  £  eft    ^- , 


aïbb   ~         b"*  ^  *#  ^ 


l'on  aura  £  =  j/7 


NOTE       X  X  XIV. 

Dans  le  triangle  re&angle  GIE,  F/g.  41. 
P/,  3  fi  l'on  prend  l'hypothénufe  GE  pour  finus 
total ,  le  côté  G I  deviendra  le  finus  droit  de  l'an- 
gle  GE  I.  Par  la  même  raifon  dans  le  triangle  rec- 
tangle G  L  E ,  l'on  ne  peut  pas  prendre  G  E  pour 
finus  total ,  fans  avoir  GLpour  finus  droit  de  l'an- 
gle GEL,  &defonfupplément  GEC;  ce  (ont  làles 
premiers  éléments  de  la  Trigonométrie  rettiligne. 

NOTE      XXXV. 
L'article    58,  pag.  69  me  paroit  traité 
avec  moins  d'exactitude  que   les  autres  ;  Se  les 
preuves  que  j'ai  à  en  apporter  ,  ne  font  par  mal- 
heur que  trop  démonftratives. 


326  Commentaire 

i°.  L'angle  FEG  étant  égal  à  l'angle  CE  G  , 
F/g-  42  »  P^-  1  '•>  les  angles  en  G  étant  droits ,  5c 
le  côté  GE  étant  commun  aux  deux  triangles 
FGE  &  CGE;  il  faîloit  faire  ces  deux  trian- 
gles égaux  en  tout  fens  :  c'eft  là  une  inadvertance 
qui  choque  la  vue  d'un  lecteur  exact  &  attentif. 

20.  En  fuppofant  que  l'angle  FEG  doive  être 
égal  à  l'angle  CEG ,  le  problême  eft  très  facile  à 
réfoudre.  Le  point  E  que  l'on  cherche ,  fera  celui 
par  lequel  pafîera  le  rayon  du  cercle  AEB  qui , 
après  avoir  été  prolongé  ,  ira  couper  perpendicu- 
lairement la  ligne  C  F  ,  c'eft-à-dire ,  la  ligne  qui 
joint  les  deux  points  donnés  C ,  F.  11  ne  fera  pas 
donc  néceflaire  de  chercher  ce  point  par  Tinter- 
(ection  du  cercle  &  de  l'hyperbole. 

30.  La  ligne  OB  =  a  ,  &  la  ligne  OC  =  b3 
ne  font  pas  les  données  a  &  h  dont  on  parle  dans 
les  articles  56  &  57.  En  effet  i'angle  FEG  n'eft 
égal  à  l'angle  CEG,  que  lorfque  a-=b.  Mais 
O  B  n'eft  pas  égal  à  OC  dans  l'article  5  8  ,  &  ce- 
pendant dans  cet  article  on  fuppofe  l'angle  FEG 
égal  à  l'angle  CEG  ;  donc  &c. 

40.  Quoiqu'il  me  paroifTe  fort  inutile  de  réfou- 
dre le  problème  de  l'article  5  8  par  l'interfection 
du  cercle  &  de  l'hyperbole  ,  nous  remarquerons 

cependant  que  yy  —  xx ^  -1 =  o  eft  un 

c  b 

lieu  à  une  hyperbole  équilatére  ,  dont  le  grand 


axe  feroit  %y    ^-r-  —  —  •  On  trouvera  ce  grand 

^xe  en  comparant ,  par  la  méthode  ordinaire ,  l'é- 
^uaçioiî.  donnée  avec  la  formule  générale  qui  fe 


des  Infiniment  Petits.  327 
trouve  dans  le  Traité  des  Seûions  coniques  de 
M.  le  Marquis  de  l'Hôpital,  pag.  234,  ou  avec 
celle  qui  fe  trouve  dans  le  premier  Tome  du  Cours 
de  Mathématique  de  Wolf  ,  pag.  382.  Or  le 
grand  axe  d'une  hyperbole  équilatére  étant  don- 
n-  ,  la  conftrudion  de  l'hyperbole  fe  prefente 
d'elle  même  ,  parce  que  dans  cette  courbe  le 
grand  axe  ,  le  petit  axe  &  le  paramètre  ont  la 
même  valeur. 

hôte     xxxru 

L'état  de  la  queftion  de  Y  article  59  ,  pag» 
7o  eft  très  mal  énoncé.  Auffi  les  remarques  Vi- 
vantes nous  paroiffent-elles  abiolument  néceffai- 

"i°.  *  &  h  ne  marquent  pas  les  efpaces  parcou- 
rus dans  un  tems  quelconque  c,  mais  la  nature  des 
différents  terreins  qu'il  faut  parcourir  en  deçà  &  en 
cHà  de  la  ligne  A  B.  En  effet  puisqu'on  (uppofe  le 
tems  c  égal ,  ou  plutôt  confiant  de  part  &  d  autre, 
&  que  l'on  (uppofe  inégaux  les  efpaces  parcourus 
CE  &  EF ,  on  ne  peut  pas  fuppofer  que  la  nature 
du  terrein  foit  par  tout  la  même. 

2°.  En  examinant  attentivement  la  ¥ig.  43  de 
la  VI.  3  ,  vous  vous  convaincrez  qu'en  prenant 
CE  pour  finus  total  dans  le  triangle  re&angle 
C  A  E  &  G  E  pour  finus  total  dans  le  trian- 
gle redlangle  GLE,AE&GL  deviennent  les 
finus  droits  de  deux  angles  égaux  ;  donc  A  E 
_GL.De  même  en  prenant  GE  pour  finus  to- 
tal dans  le  triangle  G  I E  ,  &  EH  pour  finus  to- 

/1  4 


528  Commentaire 

tal  dans  le  triangle  E  D  H  ,  G  I  &  ED  devien- 
dront les  finus  droits  de  deux  angles  égaux  ;  donc 
GI  =  ED.  6       5 

3°.  Pour  trouver  la  valeur  dex,  l'on  opérera 
fur  l'équation  propofée  fuivant  les  règles  mar- 
quées dans  tous  les  livres  élémentaires  d'algèbre  ; 
nous  avons  droit  de  fuppofer  qu'on  ne  lit  pas  les 
Infiniment  Petits  de  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital , 
fans  avoir  appris  auparavant  à  manier  une  équa- 
tion du  quatrième  degré. 

4°.  Pour  manier  plus  facilement  l'équation  pro- 
pofée ,  vous  ferez  aa  — ■bb  =  mi  —  imf-i-  ibbf 
=  n  ;  +  aaff+  aagg  —  bbff-  bbhh  =  p  ;  —  taafgg 
=  —  q  ;  aaffgg  =  r;  &  l'équation  propofée  fe 
transformera  en  celle-ci ,  mx*  -+•  nx*  -+-  pxl  —  qx 

»»-r  =  o;  donc  x4  -\ —  x}  <■+-  -  x1  --  >--+•  — —  o. 


m         m 


Pour  opérer  plus  facilement  fur  cette  équation 

transformée  ,  faites  ~=ay  —  =:£,—  crc,  —  — d 

m  m  mm  5 

vous  aurez  x4  -+-  ax*  ■+-  bx"'  —  ex  ■+■  d  —  o. 

5°.  Vous  ferez  évanouir  le  fécond  terme  de  cette 
dernière  équation  ,  en  faifant  x  =  %  —  \a,  parce 
que  fi  dans  une  équation  fupérieure  ,  le  fécond 
terme  ejl  pofitif,  l'on  augmente  la  racine  x  d'une 
quantité  fractionnaire  qui  ait  pour  numérateur  le 
coefficient  du  fécond  terme  ,  à  pour  dénominateur 
Pexpofant  du  premier  tçrme  de  l'équation  donnée  • 
l'on  a  par  ce  moyen  une  équation  transformée  dont 
le  fécond  terme  efl  évanoui. 

6°.  Vous  chercherez  la  nouvelle  valeur  de  l'é- 


DES   I  NFINI  MEN  T    PETITS.  ^î? 

quation  x4  -+-  ax'  -h  bx%  —  ex  -\-à  =  0  ,  en  fuppo- 
iant  x  =  l-  \a  ;  vous  trouverez  une  nouvelle  équa- 
tion dans  laquelle  le  fécond  terme  fera  évanoui. 

7°.  Pour  réduire  cette  nouvelle  équation  aux 
termes  les  plus  (impies,  vous  appellerez /les  diffé- 
rents coefficients  de  jr  ;  vous  appellerez  g  les  dif- 
férents coefficients  de  ^  ;  vous  appellerez  enfin  h 
l'aflemblage  des  connues  qui  forment  le  dernier 
terme  de  Y  équation  ;  &  vous  aurez  ç4  *  -4-  f?  +  êl 
-+-  h  =  o. 

8°.  Vous  opérerez  fur  cette  équation  du  qua- 
trième degré  ,  comme  ont  fait  en  pareille  occafion 
Wolf  dans  lbn  cours  de  Mathématique ,  Tom.  1. 
pag.^6  •■>  Clairaut  dans  fes  Éléments  d'Algèbre  , 
pag.  287  ;  Rabuel  dans  fon  commentaire  fur  la 
géométrie  de  Defcartes ,  pag.  473.  Tout  homme 
qui  entreprend  l'étude  des  infiniment  petits  doit , 
ou  avoir  lu  les  livres  que  nous  venons  de  citer ,  ou 
être  en  état  de  les  lire  fans  y  rencontrer  prefque 
aucune  difficulté. 


note     xxxvu. 

L  e  s  remarques  fuivantes  jetteront  un  grand 
jour  fur  Y  article   61.   pag.  74. 

i°.  L'on  ne  doit  pas  entreprendre  la  lecture  de 
l'article  61  ,  fans  s'être  auparavant  formé  une 
idée  nette  de  la  fphére. 

20.  Le  crépufcule  eft  un  jour  imparfait  que  l'on 
a  quelque  tems  avant  le  lever  ,  &  quelque  tems 
après  le  coucher  du  Soleil.  Voici  la  caufe  phy- 
sique de  ce  phénomène.  Lorfque  le  Soleil  n'eft 


55°  Commentaire 

pas  enfoncé  fous  notre  horizon  au  deffous  de  18 
degrés,  plufieurs  rayons  de  lumière  rencontrent 
des  couches  affez  denfes  de  l'athmofphére  terref- 
tre.  Quelques-uns  s'y  brifent  affez  ,  pour  que  leur 
refradfron  les  détermine  à  fe  porter  vers  la  terre. 
Quelques  autres  (  &  c'eft  le  grand  nombre  )  s'y 
brifent  affez  pour  pouvoir  fe  rendre  dans  des  cou- 
ches compofées  de  particules  capables  de  les  ré- 
fléchir fur  la  furface  de  la  terre  ;  donc  nous  devons 
avoir  un  jour  imparfait ,  lorfque  le  Soleil  n'eft  pas 
enfoncé  au  deffous  de  notre  horizon  de  1 8  degrés. 
Au  relie  lorfqu'on  parle  d'un  enfoncement  de  1 8 
degrés ,  on  entend  1 8  degrés  pris  fur  un  cercle 
vertical ,  c'eft-à-dire ,  fur  un  grand  cercle  que 
l'on  imagine  paffer  par  le  zénith ,  &  couper  per- 
pendiculairement l'horizon.  C'eft  pourquoi  les 
habitans  de  la  zone  torride  ont  des  crépufcules 
fort  courts ,  parce  que  les  cercles  que  parcourt 
îe  Soleil  étant  prelque  perpendiculaires  à  leur 
horizon  ,  cet  aftre  gagne  fort  vite  le  i  8e.  degré 
de  fon  abaiffemenr. 

3°.  La  ligne  CK  (  fig.  45.  pi.  3)  n'eft  pas 
précifément  le  finus  de  l'arc  EM,  mais  elle  eft 
égale  à  ce  finus.  Pour  s'en  convaincre  ,  il  faut 
chercher  fur  une  fphére  le  finus  de  l'arc  de  la 
déclinaifon  du  Soleil  pour  tel  ou  tel  jour.  Vous 
trouverez  qu'il  eft  égal  à  la  partie  du  diamètre  du 
cercle  de  déclinaifon  ,  interceptée  entre  le  centre 
de  la  fphére  &  le  diamètre  du  parallèle  que  décrit 
ce  jour  là  le  Soleil.  Mais  CK  eft  la  partie  du  dia- 
mètre du  cercle  de  la  déclinaifon  du  Soleil ,  in- 


des  Infiniment  Petits.  331 
td  ceptée  entre  le  centre  C  de  la  fphére ,  &  la 
ligne  F  G  ,  diamètre  du  parallèle  que  décrit  le 
Soleil  le  jour  du  plus  petit  crépu  feule  s  donc  la 
ligne  CK  eft  égale  au  fînus  de  i'arc  de  la  décli- 
nuifon  du  Soleil,  le  jour  du  plus  petit  crépufculc 
40.  Un  des  points  les  plus  importants  de  la  dé- 
monftration  de  l'article  6  1  eil  que  Dd  foit  égal  à 
Ee  ,  &  que  la  différence  entre  G  D  ,  gd  foit  égale 
à  ia  différence  entre  FEâ  fe.  Or  toutes  ces  égali- 
tés lont  necefîaires  dans  une*  figura  où  l'on  a  tiré 
les  quarts  de  cercle  ~?em  &.  Vdn  infiniment  proches 
des  quarts  de  cercle  PEM&PDN,  &c  dans  la- 
quelle l'on  luppofe  le  plan  fedg  parallèle  au  plan 
FE  D  G,  &  infiniment  près  de  ce  pîan. 

50.  Par  l'article  50,  i'onaces  2  proportions  , 
ÇO:CG::Dd:  à  la  différence  entre  DGScdg^ 
&  1 Q.  :  1  F  :  .  E  e  :  à  la  différence  entre  F  E  &  fe  • 
donc  CO:  CG::  IQ,:IF  ;  donc  CO  :  CG:: 
CO-<-lQ..CG-i-lF;doncCO  :  CG::OX: 
GL  Mais  à  caule  des  triangles  reftangies  fembla- 
bles  CVO,  CKG,  FLG,  l'on  a  C  O  :  CG 
:  : OV : GK;  donc  OV  : GK :  :  OX : GL ;  donc 
OV:OX  ::GK  :  GL  Mais  GK:GL::CK: 
FLouQX;doncOV:OX:  :CK:QX;donc 
OV:CK::OX:  QX  :  :  QX  :  XH  ;  donc  O  V 
:  CK::QX  :XH  ;  donc  QX  :  X  H  :  :  OV  : 
C  K  j  donc  le  fînus  total  :  à  la  tangente  de  9  de- 
grés :  :  le  fînus  de  l'élévation  du  poie  :  au  fînus  de 
la  déclinaifon  auftrale  du  Soleil  dans  le  tems  du 
plus  petit  crépufcule  •■>  &  voila  le  problème  réloîu. 

6°.  Il  eft  démontré  dans  tous  les  élémens  de 


332  Commentaire 

Trigonométrie  que  le  rayon  ou  finus  total  :  a  la 
tangente  :  :  la  cotangente  :  au  rayon  ,*  donc  la  co- 
tangente  de  9  degrés  :  au  rayon,  que  l'on  fuppofe 
==  1  ,  :  :  le  finus  de  l'élévation  du  pôle  :  au  finus 
de  la  déclinaifon  ;  donc  fi  l'on  ôte  du  logarith- 
me du  finus  de  l'élévation  du  pôle  le  logarith- 
me de  la  cotangente  de  9  degrés ,  le  refte  fera 
le  logarithme  du  finus  cherché  ,  parce  que  le 
logarithme  de  1  =  0.  Il  n'eft  pas  néceffaire  de 
faire  remarquer  que  dans  fon  calcul  M.  le  Mar- 
quis de  l'Hôpital  s'eft  fervi  de  Tables  qui  don- 
nent 0  pour  caractériftique  aux  logarithmes  dont 
la  cara&ériftique  eft  10  dans  les  tables  ordinaires. 

NOTE     X X  XVlll. 

1  l  fuit  évidemment  de  la  définition  1  qu'appor- 
te M.  le  Marquis  de  l'Hôpital  au  commencement 
de  la  Sedion  IV  3  que  Sn  (F/g.  46  ,  PL  3  ,)  eft 
la  différence  de  la  différence  wR,  ou  la  différence 
féconde  de  PM.  C'eft  cependant  Hw  qui  eft  la  dif- 
férence féconde  de  P  M  ,  comme  notre  Auteur  ei\ 
convient.  Je  voudrois  donc  dire  que  la  différence 
féconde  de  P  M  n'eft  autre  chofe  que  la  différen- 
ce qui  le  trouve  entre  la  différence  première  n?K  y 
&  fon  augmentation  Sn;  &  qu'en  général  une 
différence  féconde  quelconque  n'eft  autre  chofe  que 
la  différence  qui  fe  trouve  entre  la  différence  pre- 
mière &  fon  augmentation  ou  diminution  fuivante. 
En  effet  Hw  =  wR  —  Sn. 

Il  fuit  encore  de  la  même  définition  que  oT  de- 
vroit  être  la  différence  troilieme  de  P  M.  Cepen- 


des  Infiniment  Petits.  335 
dant  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital  nous  avertit  que 
la  différence  troifieme  de  PM  n'eft  autre  chofe  que 
la  différence  qui  le  trouve  entre  H»  &  ho.  La 
différence  troifieme  de  P  M  eft  donc  la  différence 
qui  fe  trouve  entre  fa  différence  féconde  Hn,& 
une  ii^ne  quelconque  ho  dont  les  propriétés  font 
1.  d'être  parallèle  à  H«  ,  2.  d'être  extérieure  à  la 
courbe  AMD,  5.  d'être  terminée  par  la  ligne  wL 
parallèle  à  ST.  Il  feroit  bien  difficile  de  donner 
une  définition  claire  de  la  différence  troifieme  con- 
fidérée  en  général. 

NOTE      XX  X  IX. 

JL/ avertissement  qui  fuit  la  définition  1 
de  la  Section  IV,  fait  toujours  quelque  peine  aux 
commençans.  Ils  s'imaginent  que  dy  X  ày  doit 
donner  ddyy  ou  dryr  ,  &  que  par  conféquent  le 
quarré  de  dy  doit  être  dryl ,  &  non  pas  dy1  >  fon 
cube ,  dlyï  ,  &  non  pas  dy1  &c  C'eft  là  une  erreur 
dont  il  eft  facile  de  fe  guérir ,  lorfqu'on  fait  atten- 
tion que  dy  eft  une  quantité  très  fimple  ,  ôc  non 
pas  une  quantité  compolée  de  d  multipliant  y. 
Par  la  même  raifon  le  quarré  de  ddy  fera  ddy*  3 
fon  cube  ddyi  &c 

NOTE      XL. 

Pour  comprendre  l'article  65 ,  il  faut  fe  rap- 
peler les  règles  que  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital  a 
données  à  l'article  6  ,  &  les  calculs  qu'il  a  faits 
fur  la  fin  de  l'article  7.  Il  faut  encore  fe  rappeller 


354  Commentaire 

ce  que  nous  avons  dit  nous-mêmes  dans  les  notes 
3  &  4.  Comme  il  s'agit  cependant  de  mettre  au 
fait  les  commençans  du  calcul  des  différences  fé- 
condes ,  troifiemes  &c.  nous  allons  commenter 
l'article  65  avec  toute  l'étendue  dont  il  pourra 
être  lufceptible  ;  notre  commentaire  fera  renfermé 
dans  les  réponfes  aux  queftions  fuivantes. 

Première  Queflion.  Comment  peut-on  prouver  , 
qu'en  prenant  dx  pour  confiante  3  la  différence  de 

ydy    ^    dyz  H-yddy 
dx  dx 

Réponfe.  i°.  La  différence  de  ydy  eft  dyxdy 
•+-yddy  =  dy1  ->t-yddy. 

20.  La  différence  de  la  fra&ion  y-2- ,  en  fuppo- 

fant  que  dx  eft  une    grandeur  confiante  ,   eft 

dx  x  dyz  -+-  dx  X  yddy  dyx  ~+-  yddy 

dxxdx  ■  =  dx  i   d°nC    &C- 

Seconde  Queflion.  Comment  peut- on  prouver 
que  la  différence  de  y-p-  eft  dxdy%  -  yW**        m 

■*■  dx  dxz  y 

prenant  dy  pour  une  quantité  confiante  ? 

Réponfe.  i°.  Quoique  dy  foit  confiante,  y  eft 
variable  ;  la  différence  de  ydy  eft  donc  dy  x  dy 
=  dy\ 

20.  La  différence  de  dx  eft  ddx. 

30.  La  différence  de  la  fra&ion  —  ,  en  fuppo- 

fant    dy   confiante  ,   eft  -x  *   y  ,       y  y  * — - 

dx  x  dx 

dxdy1  —  ydy  ddx        , 
= d    z      5 


des  Infiniment  Petit  s.        335 
Troifieme  Quefiion.  Comment  peut-on  prou- 
ter  que  la  différence  de  — — ^ —      eft 

d^+d^^-Jyddy      ^  nt  àx  une 

dxy'dx^-  -+-  dy* 
quantité  confiante. 

Réponfe.  i°.  La  différence  de  1  multipliée  par 

Ydx1-  -hdy^Sc  divilee  par  dx  eit dxxdx     '~ 

_di\/dxx-*-dy:L 

"  dx  '  

2°.  La  différence  dej/^x1  +dyx ,  en  fuppofant 
dx  confiant  ,  eft  -y^z^^T  —  v/^r^r  > 
donc  la  différence  de  x/dx^Tdf  multipliée  par^  & 

divifee  par  rfx  fera  ^^7^5*^5?  'd»^fTdfm 
3°.    Pour    avoir  la  différence   de  la    fraction 

<^!±±1     il  faut  joindre  les  différences  trou- 
vées  www.  1  &  2  i  donc  la  différence  de  la  iradhon 

^dyddy  -, 

propofée  fera  d\  \/dx*  -+-dy*  +  ^x  _-jyi  »   le 
tout  divifé  par  dx. 

-dyddy 


40.      dK    V^+dyT    +       ^-T^^ 
j^d^  +  d^-idyddy  v7-r-—   x 

j/j**+fl/  —dx'  +  4^  i  donc  la  différence  de  la 


336  Commentaire 

fraftion  ^'-"fr'  fera  dl  *  d*x  +  ^  ^  lhdh 

dx  dx^dx2-  -hdy2- 

d^dx2,  -f-  d^dy2-  -+-  çdyddy 
dx\Zdx2  -h-dy2- 

Quatrième  Que/lion.  Comment  peut-on  prou- 
ver qu'en  prenant  dy  pour  confiante  ,  l'on  aura 

drdx^  -f-  drdxdy2-  —  rdy^ddx  ,        *.„•,  , 

- ,■  — pour  la  ditterence  de 

dx2-  \Zdx2  H-  dy7-  r 

Rêponfe.  i°.  La  différence  de  \  multipliée  par 

)/dxx  -+-  dy1-  —  d\  ydx2-  H-  dy2-, 

2°.  En  iuppofant  dy  confiant ,  la  différence  de 

/ idxddx  dxddx 

1/ dx2- -i- dyz  — — ^r-.--      =  =•     J 

donc  cette  même  différence  multipliée  par  \  fera 
— }  Xi  x    -    ;  donc    la   différence     totale     de 

ydx^^-dy2- 

, r  ,         y rdxddx 

l  ydx2-  -t-  dy2-  fera  d\  y  dx2  -t-  dy2  - 


x/dx^-i-dyi 


_  d^xdx2,  ■+  dy2-  -f-  idxidx       d{dxx  -+-d^dyz  -f-  %dxddx 
ydx2  -h-dy2-  y 'dx2  -+-  dy2 

3°.  La  queflion  feroit  réfolue  ,  fi  on  ne  deman- 
doit  que  la  différence  de  \  \Zdxx  -+-  dy2-.  Mais  on 

demande  la  différence  de  ; —  ,   dans 

dx 

laquelle      fra&ion     on     fuppofe     dx    variable. 

Qu'on  fe  rappelle  les  régies   qu'il  faut  fuivre, 

lorfqu'il  s'agit  de  différencier  une  fraction  ,  & 

l'on    ' 


des   Infiniment  Petits.        337 
l'on   trouvera    que  la  différence   de   la  fraction 

.,  n      dx  x  djdx*  -h  d^dy*  -h  ^dxddx 

propolee  ,   eft    ,  /  ,  ,       ~7T ddx  X 

11  y  dx*  ■-+-    dy2- 

\  \/dxz  -+■  dyx  ,    le   tout    divifé     par     dx*  = 

dx  x  d^dx*  -+-  dfdy7-  -4-  ^dxddx  —  ddx  x  ~Ldxx  -+-  ;dy*    _ 

dx*  ]/ dx*  -+■  dy*  ~ 
j-jxl  -+■  d-dxdy*  -4-  ~dx*ddx—-  çdx*ddr  —  ~xdy*ddx 
dx1  y  dx1  -4-  dy* 

40.  Otons  les  quantités  qui  le  détruifent ,  nous 

,    ..  d?dx*--h  d^dxdv"1 — ?dy*ddx 

aurons  évidemment  - — ■ — -y    y       i_r         pour 

dx1  ydx*  -4-  dy*  r 

la  différence  de  la  fraction    v    x        ^  . 

dx 

Cinquième  Qucjlion.  Comment  peut- on  prôU^ 
ver  qu'en  prenant  dx  pour  confiant ,  la  différence 

,  vdy  i    .     a         dx*dy*  -+-  dy^  -4-  ydx'ddy 

de  J     —  doit  être        J         ^— -  J      _<  ? 

\/dX*  -4-  dy1  dx*  -4-  dy*  Vdx*  ~f-  dy* 

Réponfe.  i°.  La  différence  de  la  quantité  ydy  s 
folitairement  prife  ,  eft  dy1  -+-yddy. 

20.  La  différence  de  }/dx*  4-  dy* ,  eft    •r—l-y —  » 

v  dx1— t-dy1 

en  prenant  dx  pour  confiant. 

30.  La  différence  de  ydy ,  confidéré  comme  nu- 
mérateur d'une  fraction ,  eft  dy*  -i-yddy  x  \fd~xr^Tdf- 

■ —  yiy  *  'y"uy, ,  le  tout  divifé  par  dx1  -4-  dy* ,  quar- 
ré  de  }/dx*  -4-  dy*  ;    donc  cette  différence  fera 

dy*  -+-  y<iiy  x  Jx1  +  ay*  -  ydy* ddy  __  dx*dy*-hdy*  -\-ydx*àdy 
dx*-h'dy*  \/dx*  ~+-  dj*         ""  âV~T^'1  \fdx^Tdy^ 


33S  Commentaire 

à  caufe  des  quantités  qui  fe  détruifent  ;  ce  font 

•^-ydy^ddy  &  — ydy*ddy. 

4°.    On    prouvera   par  un    calcul    femblable 
qu'en  prenant  dy  pour  confiant ,  la  différence  de 

ydy  f.         dx*dy*  -+-  dy** — ydydxddx 

J/éS? -+-   dy*  dx*  H-   dy*  \/dx*  H-   dy*  ' 

Sixième  Queflion.  Comment  peut- on  prouver 
y i 

dx^  -4-  dy  y  dx*  -+-  dy     „     ,       .    v   dx*-hdy*1 

que ,  j, eft  égal  a ~-rr  ? 

i  —  dxddy  &  —    dxddy 

Réponfe.  i °.  dx* -+-  dy*  z  dx1  -t-  dy1    =  dx*  +dy*  l. 
a°-  \Sdx%  ■+■  dy*  ==  dx1  -+-  dy* t  ;  donc  la  fraction 


propofée  devient ^^/^^^/^^ 

r     r  —dxddy  —dxddy* 

Septième  Quefl.  Comment  peut-on  prouver  qu'en 

i 

prenant  dx  pour  confiant,  la  différence  de  x  ^^^ 

—  dxddy  _ 


^1  —  qdxdyddy"1  x  dx1  -4-  dy  *  -4-  dxdddy  x  dx*  H-  Jy1  * 

Réponfe.  i°.  En  prenant  dx  pour  confiant ,  & 
en  confidérant  dx*  -t-  </y* 7  comme  une  quantité 
ifolée,  fa  différence  eft  |  x  idyddy  x  dx*+dy**~ 

j 

—  $dyddy  x  e?*1  -+-  dy*  *. 

2°.  En  prenant  dx  pour  confiant ,  &  en  confi- 
dérant —  dxddy  comme  une  quantité  ifolée ,  fa 
différence  eft  —  dxdddy. 

3°.  En  confidérant  ces  deux  quantités  corn- 


d  es  I  nfini  ment  Petits.         339 

me  formant  une  fraftion  ,   leur  difF  rence  fera 

1 ? 


dxddy  x  iJydJy  x  dx*  H-  dy* z  -f-  dxdddy  x  dx1  h-  Jy 
~~  '        Ix^ddf 


i  » 


-  ^dxdyd.Y *  ^  -h  ^y1  *  -t- dxdddy  y  dx* -+- dyx  % 

Huitième  Ouejlion.  Comment  peut-on  trouver 
la  différence  féconde  d'une  quantité  quelconque  , 
élevée  à  une  puiffance  quelconque  »  par  exemple  , 
quelle  eft  la  différence  féconde  de  xm ,  ou  la  diffé- 
rence première  de  mxm      ldx  ? 

Réponfe.  La  différence  demandée  eft  mm 
—  mxm  ~~  *dxt  ■+-  mxm"~'ddx.  En  voici  la  démonf- 
tration.  Faifons  xm— "  '  =y  ,  ôc  dx  =  k- 

i°.  Puifque  xm— '  =J  ,  l'on  aura  dy  =±= 
r/?  —  ixm~*d>;  ,  parce  que  dans  cette  hypothéfe 
la  différence  àty  doit  être  égale  à  la  différence 
de  xm~  '. 

2°.  Puifque  dx  =  K  &  xm  ~l  -y  \  donc  x°  ^  ldx 
==j>î  ;  donc  mxm~~  ldx—my\\  donc  la  différen- 
ce de  mxa~ '  'dx  eft  égale  à  la  différence  du  pro- 
duit mjr\i  dans  lequel  m  eft  une  quantité  confian- 
te qui  n'a  point  de  différence. 

3°.  La  différence  de  my\  eft  midy-f-myd%. 
4°.  Mettons  à  la  place  de  \  fa  valeur  dx  ,  à  la 
place  àedy  fa  valeur  m  —  i*m  —  Vx ,  &  à  la  place 
dej'  fa  valeur  xm~  ' ,  nous  aurons  m\dy  =  Wx  x 
i»  —  i  xm  —  Vx  —  wffl  —  ;».vm  —  VxJ  ,  parce  que 
m  Xm  — ■  i  =  ffim  —  m  ,  Se  que  dx  x  d*  =-djc' j 
nous  aurons  encore  myd\z=mxm  'ddx;  donc 
#25^  "+■  wj^?  =  ww  — ■  mxm      ''dx1  +  wx™      Wx- 


Y 


34©  Commentaire 

Mais  le  premier  membre  de  cette  dernière  équa- 
tion eft  évidemment  la  différence  du  produit  my\, 
donc  le  fécond  membre  de  la  même  équation  fera 
évidemment  la  différence  de  mxm  ldx  ,  ou  la 
différence  féconde  de  xm,  parce  que  (  num.  2) 
my\  =  mxm      'dx. 

Corollaire.  La  différence  féconde  de  xm  eft  une 
véritable  formule  pour  quiconque  prend  garde 
que  m  vaut  2  ,  lorfque  la  grandeur  qu'on  veut 
différencier,  eft  élevée  au  quarré  ;  que  m  vaut  3  3 
lorfqu'il  s'agit  du  cube ,  &c.  La  différence  féconde 
de  x3  fera  donc  9  -  3X3  '~dx*  +  3X3  'ddx  =  6xdxx 
h-  2,x*ddx  ;  celle  de  x1  fera  4  —  2X1  ~  ~âx%  +  2x1-  'ddx 
=  2x°dxl  -4-  îxddx  ■=.  zdxr  ■+-  2xddx  ,  parce  que 
x°  =  1 ,  celle  de  x4  fera  1  6  -  ûtxA~~~rdxx  -*■  /\x*~~  lddx 
==  i2x*dx*-*-4x*ddx  ,  &c. 

NOTE     X  L  I. 

Voici  comment  on  met  en  pratique  les  régies 
marquées  dans  l'art.  66,  pag.  84.  Pour  trouver  le 
point  d'inflexion  ou  celui  de  rebrouffement  d'une 
courbe  dont  on  a  l'équation  ,  i°.  L'on  prend  les 
différences  premières  de  l'équation  propoiée ,  & 
l'on  met  dans  un  membre  dy  feule  ,  &  les  autres 
quantités  dans  le  fécond  membre.  Si  l'on  a  ,  par 
exemple ,  l'équation  axx  =:  xx^  +  aay  ,    l'on  fera 

axx  „  ,-,  , 

y  = ,    &    par    conlequent    dy    == 

XX    ~i —    iZtZ 

■Zax^dx  -4-  2a>xdx  —  aax^dx  2a^xdx        _  .,\ 

; =  »  ;  &  voilà 


xx  — l-  a  a 


ce  qu'on  nomme  la  féconde  équation. 


desInfinimentPetits.         341 
a*.  Il  faut  différencier  cette  féconde  équation  , 
en  regardant  dx  comme  conftante  ,  &  l'on  aura 

ddy  — 


xx  — t-  da 


Staîdx*  K  xx  H-  aa    —  Sa^xxdx'  x  xx  H-  ^ 


,  o.  ^  =  0  ■  donc  la  fraftion  qui  repond  a  ^ 
fera  =  0  ;  mais  dans  cette  fradion  ,  ce  n  eit  pas 
le  dénominateur  xT+âa     qui  eft  =  0  ,  car  cette 
fraâion  feroit  infinie  •  donc  ce  iera  fon  numéra- 
teur qui    fera  =  0  ;  donc   l'on   aura  ta  dx    X 
j^T^*-8«Wxl Xxx +  **  =  *;  donc  2a*dx* 
X  x~x~+a~à  =  Mxxdx1  x  xT^Ta  ;  donc  ,  en  divi- 
fant  tout  par  za'dx*  x  xx^7a  ,  l'on  aura  xx  ■+■  «a 
=  4xx  ;  donc  3XX  =  ««  ï  donc  xx  ==  y  j  donc  x 

=  \/-  ,'  donc  x  ==  ^l/f-  C'eft  ainfl  1u'on  °Pé' 

re  ,  lorfque  l'on  fait  ddy  =  0. 

40.  Lorfque  ^  ==  0  ne  mené  a  rien  ,  1  on  tait 
alors  ddy  =°o  ;  &  l'on  calcule  de  la  manière  qui 
fuit.  L'on  vous  donne  ,  par  exemple  ,  l'équation 

y-  a  =  T^a}-  Vous  aurez  d'abord^  ~\  x  -  a  s  «* 
==z\.—^ra'~\  àx.  Vous  différentierez  cette  fécon- 
de équation  ,  &  vous  aurez ,  en  prenant  àx  pour 

conftante,  ddy  =  —\x\7=r*~~*~    'àxxàx 

±ÏIZ-a—*dx*  =  — 7 >  parce  que 

■ —         *s  / 7 

3  5  \/x  ~  a1 


34^  Commentaire 

x  —  a      *  eft  évidemment    égal    à   la   fraction 

■■  ?  ,  &  que  cette  fraction  n'eft  pas  différente 
x  ■ —  a  5 

de -. 


v  x  —  a 

5°.  En  fuppofant  àây  =  o ,  l'on  trouve  —  6dx* 
i=z:o.  Mais  cela  ne  mené  à  rien,  donc  il  faut 
fuppofer  àây  •=.  oo  . 

6°.  En  fuppofant  àày  =  oo  ,  l'on  aura  le  déno- 
minateur de  la  fraction  qui  lui  répond  ==o  ;  l'on 

aura  donc  25  yx  —  a  7  —  0  $  donc  x  —  a  —  0  5» 
donc  x  ==  #. 

70.  Lorfque  àây  z=.  0  ,  l'on  a  le  numérateur  de 
Ja  fraction  qui  lui  répond  =r  0  •  &  lorfque  aWy 
:=  00  ,  l'on  a  le  dénominateur  de  la  même  fraction 
.azo.  C'eft-là  une  régie  qu'il  ne  faut  jamais  oublier. 

8°.  Voici  comment  M.  Varignpn  démontre 
que  lorfque  la  différence  de  AL  (  Fig.  5  2.  Pi.  3  3 

&  Fig.  5  3  PL  4  )  eft  — fê  =  0  ,  elle  eft  néceffai- 
rement  «Wj/  —  5-  Dans  la  fraction  —  ^~.  ce  n'en1 

dy 

pas  ^y1  qui  eft  0 ,  car  cette  fradion  feroit  infinie  » 
ce  n'eft  pas  non  plus  -hy  ou  —  j/ ,  car  ce  font  des 
quantités  réelles  ;  c'eft  donc  ^rfy.  Le  même  Au- 
teur paroit  d'abord  convenir  avec  M.  le  Marquis 
de  l'Hôpital  que  ,  pour  avoir  le  point  d'inflexion  , 
il  faut  faire  àây  ==  o  ,  &  que  pour  avoir  le  point 
de  rebrouffement ,  il  faut  faire  âdy  —  00  ,•  nous 
examinerons  cette  régie  dans  la  Note  45e. 


des    Infiniment   Petits.        343 
9°.    Voici  une  occaiion  où  A  L  devient  x  — 1 

-—  ,  au  lieu  d'être^  —  x.  La  foutangente  L  M 

dy  dy  ^ 

(  F/g.  63.  PI.  4)  eft  fuivant  la  coutume-^  ;  l'abf- 
ciffe  AM  eftx;  donc  AL  =  AM  —  LM  fera 
par  la  même  x  —  y~.  Jufqu'à  préfent  M.  le  Mar- 
quis de  l'Hôpital  n'a  parlé  que  des  courbes  dont 
les  appliquées  font  parallèles  entr'elles.  La  régie 
que  je  vais  commenter  regarde  les  courbes  dont 
les  appliquées  partent  d'un  même  point  ;  cette  lé- 
%\seftyddy  =  dx*-t-dy. 

io°.  Pour  comprendre  cette  régie,  il  faut  d'a- 
bord bien  le  convaincre  qu'à  caufe  des  angles  in- 
finiment petits  HBT&MB«(  Fig.  5  6.  PL  4  )  > 
BT  peut  être  regardée  comme  parallèle  à  B  H  ,  & 
B  M  à  B  m.  L'on  verra  alors  du  premier  coup  d'oeil 
que  les  triangles  reftangles  MRra,  MBT  ,  THO 
font  équiangles.  Il  faut  encore  bien  fe  convaincre 
que  MR:TH::TH:HO;M.  Crouzas  nous  en 
donne  la  démonftration  en  cette  manière.  A  caufe 
des  triamrles  femblables  wRM,  HOT,  l'on  a 

WR:  MR  :  :TH:HO,  ou  ,  dy  :  dx  :  :  4-;HO 
—  2L.  Mais  dans  la  proportion  MR  :  T  H  :  :  TH 

:  HO ,  l'on  trouve  HO  =  jp.  > donc  cette  propor- 
tion n'a  rien  d'imaginaire.  Enfin  il  faut  fe  rappel- 
ler  que  lorfque  Or  s'évanouit ,  comme  il  arrive  au 
point  d'inflexion  au  de  rebrouffement  ,  l'on  a 
*  *4 


344  Commentaire 

dxï    H-  dxdy'1 — ydxddy  ,,  ,  , 

=f-t — - =  o  '  Ion  a  donc  alors 

ây  ' 

ydxddy          dx^  -+-  dxdy1      ,  ...  1,111 

,  -z  -  =  1 j-t — —  5  donc  ydxddy  -  dx'  +  dxdy 

à  caufe  du  dénominateur  commun  ;  donc  ,  en  divi- 
fant  tout  par  dx,  l'on  aura  yddy  =  dxr-1rdyï.  Nous 
ferons  remarquer  dans  les  Notes  fuivantes  l'ufage 
qu'il  faut  faire  de  cette  équation. 

NOTE       XL  IL 

X-/ article  67  s  pag.  89  nous  prouve  que 
M.  le  Marquis  de  l'Hôpital  penfoit  que  dans  les 
courbes  dont  les  appliquées  font  parallèles ,  il  fal- 
loir faire  ddy  —  o,  pour  avoir  le  point  d'inflexion  ; 
de  ddy  =:  °°  ,  pour  avoir  le  point  de  rebroufle- 
rrjent.  Ce  même  Auteur  penfoit  encore  que  pour 
les  courbes  dont  les  appliquées  partent  d'un  même 
point  ,  l'on  a  au  point  d'inflexion  dx1  -+-  dyz  — 
yddy  =  0  9  &  au  point  de  rebroulTement  dx1  -f  dyx 
t. — yddy  z=z  co  .  Nous  allons  voir  dans  les  Notes 
fuivantes  ce  qu'il  faut  penfer  de  ces  régies  géné- 
rales. 

NOTE     X  L  1  1  L 

JLjEs  équations  de  l'article  68  ,  pag.    90  onç 
été  calculées  dans  la  Note  41  ,  num.  i.  2.  3. 

NOTE       X  L  J  V. 

JL/ES  équations  de  \' article    69  ,    pag.  91    ont 
été  calculées  dans    la  Note  41  ,  num.  4.  5.  &' 


des  Infiniment  Petits. 


345 


NOTE     X  L  V. 

JL  o  u  R  comprendre  X article  70  ,  pag.  9  2  ,  il 
faut  d'abord  relire  les  Notes  1  1  &  1  2.  Cette  lefture 
vous  convaincra  que  la  demi-circonférence  A  DB 
(F/g.  59-  Pi.  4.)  :  à  la  demi-bafe  BK  :  :  la  coupée 

AD  :  à  l'appliquée  DF ,  donc  DF  =  — .  Mais  DF 

=  EF  —  ED  — ;'  —  %  ;  donc  y  —  <  ==  —     , 

t                                bu 
donc  y  z=.  ^  ^ . 

a 

Il  faut  enfuite  former  mentalement  un  triangle 
des  différences  infiniment  petites  de  A  E  ,  de  E  D 
&  de  AD^Sc  l'on  verra  que  la  différence  de  A  D 
,  deviendra  la  bafe  d'un  triangle  reétangle  qui  aura 
pour  fes  deux  côtés  les  différences  de  AK&de  ED  ; 
donc  du1  —z  dxz  ■+-  d^  •  donc  du  =  \/dxx  -\-dix. 
Ainfi  à  l'article  70  ,  du  (  J/V*1  +  dix  )  lignifie  du 
=  \/dxz  -i-'df- ,  &  non  pas  du  X  ~\/dxx  -+-  d^. 
Il   faut  enfin  bien  fe  convaincre    que    fï  du 


"=■  \Zdxx  -+-  df- ,  l'on  aura  du  =  ■   ;_.  En 

V  2  CX  XX 


voici  le  calcul  :  d^ 


cdx 
x  — 

2cxdx'L  -+-  xxdxx 


2CX  XX 


donc  d\~  ■+-  dxz  =  '—^ **■■*"■* — ~^_f_ — f_  +  ^  . 

2.CX  —  XX 

de  en  mettant  dx1  fous  le  dénominateur  2çx  —  xxt 
Se  ôtant  enfuite  les  quantités  qui  fe  détruifent , 

l'on   trouvera    df~  -+-  dx'  ==   — - — - —   ;  donc 

2.CX  —  XX 


346  Commentaire 

cdx  i  ,  cdx 

ydi1-  -t-  dx7-  =  ■■ .  .;  donc  du  - 


V2CX XX  v  2.CX  —  XX 

Le  refte  de  l'article  70  n'a  befoin  d'aucun  éclair- 
ciflement  particulier. 

C'eil:  ici  que  M.  Varignon  a  remarqué  qu'en 
faifant  ddy  :=  00 ,  l'on  avoit  par  là  même  xcx —  xx 
X  \Zzcx — xx  =  0  ;  donc  2cx  X  \Zzcx  — xx  =  xx 
X  \Zicx  —  xx  ;  donc  2 ex  m  xx  ;  donc  2c  =  x. 
Il  conclut  de-là  que  ddy  =  00  ,  n'eft  pas  une  mar- 
que fûre  du  point  de  rebrouflement  ,  puilque  la 
roulette  allongée  n'eft  pas  une  courbe  rebrouffée. 
M-  Varignon  a  raifon ,  &  M.  de  l'Hôpital  n'a  pas 
tort.  Pour  les  accorder  eniemble,  il  meparoit  qu'il 
faut  préfenter  ainfî  la  régie  générale  :  ddy  =  co 
ejl  une  inarque  fûre  du  point  de  rebrouflement  , 
lorfque  ddy  =  o  n'a  donné  aucune  valeur.  Mais 
ddy  =  00  nejl  pas  une  marque  de  rebrouflement , 
lorfque  ddy=  o  a  donné  quelque  chofe.  Or  dans 

le  cas  préfent  ddy  =  0  a  donné  x  =  c  ■+■  —  ;  donc 

b 

dans  le  cas  préfent  ddy  =  00  peut  donner  une  va- 
leur de  x,  fans  indiquer  cependant  aucun  rebrouf- 
lement dans  la  roulette  allongée. 

NOTE     XLVL 

Avant  que  de  lire  Y  article  71  ,  pag.  93,  il 
faudra  relire  auparavant  la  Note  1 5  dans  la- 
quelle fe  trouve  expliquée  la  nature  de  ia  con- 
choide.  Vous  chercherez  enfuite  la  différence  de 

b  -+-  x  v  aa  —  xx  —  x  ?  dx  —  aabdx 

i  vous  trouverez 


V aa  —  xi 


xx  v  aa  —  xx 


des  InfinimentPetits.  547 
M-  le  Marquis  de  l'Hôpital  la  fuppoie  telle  , 
puifquil    lui    afligne     pour     différence     féconde 

mb—**xl  —  1**bxx*dx*       c,eft    donc    QU   une 
aux''  —  x">  X  v  aa  —  xx 

inattention  ,  ou  une  faute  d'impreflion  qui  a  fait 
donner  le  ligne  ■+•  à  un  numérateur  dont  les  deux 
termes  doivent  être  arR£Ls  du  figne  —  .  Cette 
féconde  différence  vous  donnera  l'équation  incom- 
plète du  troifieme  degré  x3  -+■  ^bxx  —  2aab  =  o. 
Pour  mettre  cette  équation  en  état  d'être  calcu- 
lée ,  vous  ferez  évanouir  le  fécond  terme  ,  en  fup* 
pofant  par  la  régie  ordinaire  x  —  y  —  h ,  &  vous 
aurez  pour  votre  équation  transformée  y1  —  3% 
H-  2£'  —  zaab.  Vous  ferez  -  3 bb  ==  —  p  ,  &  ■+-  2V 
—  iaab  =  —  q ,  &  vous  aurez  y1  —  py  — q=o9 
équation  du  troifieme  degré  qui  fe  trouve  calcu- 
lée dans  tous  les  Livres  élémentaires  d'algèbre  , 
&  nommément  dans  notre  Guide  des  jeunes  Ma- 
thématiciens dans  l'étude  des  leçons  élémentaires 
de  M.  l'Abbé  de  la  Caille  ,  pag.  3  2  &  fuivantes. 

La  féconde  manière  dont  M.  le  Marquis  de 
l'Hôpital  réfout  le  même  problême  ,  apprend  à 
un  Commençant  à  fe  fervir  de  la  formule  yddy 
==  dx*  -+-  dy\  Les  calculs  ne  demandent  qu'un 
peu  d'attention ,  &  l'on  parvient  comme  natu- 
rellement à  l'équation  du  3e  degré  2?  —  ?bbl 
—  abb  =  0.  Cette  équation  fe  change  en  celle-ci, 

?<_  1^-^  =  0. Vous  faites  —  ^  =  — P> 


2 

abb 


&^.ûll  —  —  q3  &  vous  avez ^J—^—?  =  °» 


348  Commentais,  e 

équation  du  troifieme  degré  que  tout  Commen- 
çant fçait  réfoudre. 


NOTE       XLVII. 

JL/ article  72  ,  pag.   95   a  befoin  ,  pour  être 
compris ,  des  remarques  fuivantes. 

i°.  y  —  b  -+-  x  y°—^  i  donc    y  =z  b    x 
|X'ÏEf+xX]/ÎEf.Maisx><"|/fEf  = 

X  X  x 

y ^\/ax  —  xxidoncy=:b  Y 


v. 


a  —  x 

x 


ax  —  xx. 


2°.    Pour  trouver  facilement  la  différence   de 
cette  dernière  valeur  de  y  ,  fouvenez-vous  d'à- 

boni  que  >  V--=:  =  Y^EEèE    ,     parce 

que  le  dénominateur  x  eft  auffi  bien  affe&é  du 
figne  radical  ,  que  le  numérateur  a x.  Souve- 
nez-vous enfuite  que  la  différence  del/  abb  ~  bbx 

r  Vx 

n  —  bbdx  x  y-x  _  dx  x  ^/abb  _  bbx 

2  V 'abb  -bbx    TVx *  b  t0Ut    dlVlfe 

par*.  Réduifez  ces  deux  fractions  à  un  même  dénomi- 
nateur ,  &  ôtez  les  quantités  qui  fe  détruifent ,  vous 


■ labbdx 


Ur£Z   2Yxx2*/M  -  bbx    '   IS  t0Ut   dlVlfô    Par     X' 

Vous  aurez  donc  — ~JZabb.dx      .  Mais  cette  der- 

^x  V  abbx — bbxx 


des  Infiniment  Petits.        349 

.      —  abbdx  —  ahdx 

niere  fraftion  eft  égale  a  ^7^^  =  IW 


ait-  xx 

—  abdx 


2X  \/ ax  —  xx 


donc  la  différence  de  h  y  *-~  eft 

30.  Ajoutez  à  cette  différence  celle  de  \/a»-x* , 
,    _  x    ..      ad»  —  ixdx  __  axdx—2XKdx    &  vQUS 

c eft-a-dire  77^=^  ~  >* V^r*~\  r 

trouverez  ,  aux  lignes  près ,  la  même  chofe  que 
M.  le  Marquis  de  l'Hôpital  ,  ceft-a-dire  , 
axdx  —  zxxdx  —  abdx ^  qq  n>e^  qU'en  confervant 

ces  derniers  lignes ,  que  vous  parviendrez  a  la 
féconde  différence  ,  telle  qu'elle  eft  marquée  dans 
l'Analyfeda  Infiniment  Petits.  Auffi  ne  voyons- 
nous  pas  pourquoi  M.  le  Marquis  de  1  Hôpital  n  a 
pas  confervé  les  lignes  qui  fe  préfentoient  natu- 
rellement. C'eft  ici  le  lieu  de  relever  une  faute  qui 
s'eft  gliffée  dans  les  deux  éditions,  &  qui!  eit 
difficile  de  regarder  comme  une  faute  d'imprel- 
fion.  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital   divifa  cUbord 

2aab-aax^ïaTxXdx*V*T4ax  —  4x1  ^T^l 
&  il  avertit  à  la  fin  de  fon  Ouvrage  qu  il  lefalloit 
divifer  par  Aax  -  4x\  U  ne  faut  faire  ni  l'un  ni 
l'autre-  Le  vrai  divileur  eft  ^axx  —  4*  ,  parce 
quelequarré  de  zx  l/^=^  eft  évidemment 
w  _  aX\  &  non  pas  4«xx  —  4*'  ,  comme  1  al- 
fure  M.  Crouzas.  Mais  la  faute  que  nous  relevons 
ici  n<>  peut  conduire  dans  aucune  erreur  ,  pun-. 
que  c'eft  le  numérateur  de  la  fraftion  que  l'on 
fait  —  0.  Nous  aurions  pu  la  corriger  dans  cette 


35°  Commentaire    • 

troifïeme  édition.  Mais  nous  nous  fommes  fait  une 
loi  inviolable  de  ne  rien  changer  au  texte  de  M. 
le  Marquis  de  l'Hôpital. 


NOTE      XLVlll 

JL'  a  r  t  i  c  l  e  73  ,  pag.  97  eft  terminé  par  une 
équation  du  cinquième  degré.  L'on  n'a  qu'à  ex- 
primer en  chiffres  les  valeurs  de  a  &  de  b  ;  &  alors 
cette  équation  ne  fera  pas  bien  difficile  à  refon- 
dre. Si  l'on  fuppofe  ,  par  exemple  ,  a  ~  2  ,  &  b 
=  2  ,  l'équation  propofée  fe  changera  en  celle- 
ci  ,  y  —  6y  +  1 2y  —  sy  -+-  i  iy  —  1 6  =  0  ;  & 

cette  équation  fe  refondra  par  la  féconde  des  mé- 
thodes que  donne  M.  l'Abbé  de  le  Caille  dans 
fes  Elémens  de  Mathématique ,  pag.  89  &  90  s 
parce  que  dans  cette  fuppofition  y  efl:  égal  à  un 
nombre  entier  joint  à  une  fraction. 

NOTE      XLIX. 

JL/' article  74,  pag.  98  a  befoin  des  trois 
éclaircifiemens  fuivants. 

i°.  t  a  — ■£—  ;    en  voici  le  calcul. 

dy 

A  caufe  du  triangle  reftangle  FEB  ,  Fig.  64.  PL 
4,  l'onaFB'^EP  +  EB'i  âonc¥B*=yy  + 

yy^xz  yydyx  -+-yyi<x        _  yy  x  dxz  H-  dyx      , 

dy- 7y — 7y >donG 

FB==-^EIE5! 


dy 


2°.  A  caufe  de  l'équation  à  la  courbe ,  l'on  aura 


des   Infiniment   Petits.     551 

nyiy_  _  nxdy  -  nydx^    ^   ^  ^  y,            ^  ^  ^ 
nx  my  x 

courbe  donne  m  :  n  :  :  xdy  • — ydx  :  y  v/j*1  -+■  dyx  ; 
donc  my  y'dxr+~dp-  =  nxdy  —  nydx  ;    donc 

/ ■ nxdy—nydx      ,»    .  ,- — • — . 

j/^1  _|_rfy*  —  — y        — .    Mais    |/^a-  -f-  OJ1 

_  my^y  #   _■  myJy n.vJy  —  nyAc 

n.v    '  nx  my 

3°.  Pour  trouver/  ~\/mm  —  ni  =  mx  ,  voici  le« 
opérations  qu'il  faut  faire.  i°.  Diviiez  par  dy  l'é- 

dyi/mmvv  —  nnxx       nnxxdy  —  mmyydy 

quation  — " = ■ •**-*■  y 

*  rt*  rcn.ry 


\/mmyy  —  nnxx  nnxx  —  mmyy 

vous  aurez    - — = ~  . 

nx  nnxy 

2°.  Multipliez  cette  dernière  équarion  par  nx  ,  & 
ôtez  les  quantités  qui  fe  détruifent ,  vous  aurez 

*/ —   nUXX  ~  mmyy     •      donr 

y  mmyy  —  nnxx  —  ,      uonc 

ny  \/mmyy — nnxx  =  nnxx  —  mmyy  •  donc 
y/mznzy~^  —  nù^xxy'L  =s  ««xx  —  mmyy  ;  donc 
—  K4x>'*  ■+■  mzn'~y*  =:  nnxx  —  mmyy  \  donc  ,  en 
divifant  tout  par  ,  «V  —  m'y1 ,  l'on  aura  —  ny* 
=  mV  —  «?ty*  j  donc  j'""  x  mm  —  ««  =  w«xx  ; 
donc  y  \/mm  —  nn  =  «X. 

Remarque.  Ceux  qui  nous  ont  fuivi  jufqu'à  pré- 
fent,  font  en  état  de  lire  fans  guide ,  à  quelques 
points  près ,  les  6  dernières  Sections  de  l'Analyfe 
des  Infiniment  Petits.  Ce  font  ces  quelques  points 
que  l'on  trouvera  éclaircis  dans  les  6  Notes  lui- 
vanr.es. 


35*  Commentaire 


NOTE     L. 

A  Seftion  5e  ,  contient  34  articles.  Ceux  qui 
fe  rappellent  nos  notes  5,  7,  11,  12,  23,  24 
&  40  ,  ne  peuvent  être  arrêtés  que  dans  la  lectu- 
re des  articles  77  ,  79  ,  84  ,  86  ,  87  ,  89  ,  90  , 
93  ,  101  ,  103  ,  105  ,  ôc  109.  Voici  l'explica- 
tion de  ce  qu'il  y  a  de  plus  difficile  dans  ces  1 2 
articles. 

i°.  L'on  allure  fur  la  fin  de  l'article  y  y  que  ^ 

ydx%  -±-ydy%  D 

~  j  '  x   ,   j  z        j j  '   "our  trouver  cette  valeur  , 

dxx  H-  dy1-  ■ — yddy  ' 

il  faut  manier  fuivant  les  régies  ordinaires  l'équa- 

■ — -  dyddy  y 

20.  Pour  trouver  ,  au  commencement  de  l'arti- 
cle 79  ,  la  valeur  de  R  G  (  Fig.  6y  ,  PL  4  )  ,  l'on 
dira,  MR:wR  :  :  ?»  R  :  RG. 

30.  La  valeur  de  PT  (Fig.  72.  PL  4  )  elt  en 

général  y—.  Cette  valeur  devient  2x  dans  la  pa- 
rabole dont  il  s'agita  l'article  84,  parce  que  dans 

cette  parabole  l'on  a  x  =  y-^-  .  &tdx=  QÎL1%  Dans 

a  a 

cette  même  parabole  l'on  a  PQ.=  ^  ,  parce 

qu'on  a  démontré  (  article  y  g  )  que  P  Q.=  y-^-. 

4°.  En  lifant  l'article  86  ,  l'on  pourra  deman- 
der comment  le  font  trouvées  les  valeurs  de  EC  ,  de 
MS  &  de  TQ.  (  Fig.  74 ,  PL  4  ).  L'on  aura  la  va- 
leur de  E  C  ,  en  imaginant ,  fuivant  la  coutume  , 

un 


des  Infiniment  Petits.  555 
Un  triangle  infiniment  petit  dont  les  deux  côtés 
foient  dx ,  dy  ,  &  qui  foit  équiangle  au  triangle 
MEC  L'on  dira  alors  dx  :  dy  :  :  M'E  :  E  G. 

Pour  avoir  la  valeur  de  M  S  ,  vous  direz,  à  eau- 
fe  de  l'angle  droit  .uTS,   M  P  :  PT  :  :  PT  :  P  S. 

Enfin  pour  avoir  la  valeur  de  T  Q.,  vous  direz, 
à  cauie  de  l'angle  droit  T  M  Q,  PT  :  PM  :  :  PM 
:  P  Q..  Il  n'eft  pas  néceflaire  d'avertir  que  PM  —  y> 

at  pr=tt. 

y  I 

5°.  L'article  87  auroit  befoin  d'un  éclaircme- 

ment  qui  eut  rapport  à  la  différence  féconde  de 
ym  ,  fi  cette  différence  féconde  n'eut  pas  été  cal- 
culée fur  la.  fin  de  la  40e.  note.  Il  y  a  encore  fur 
la  fin  de  cet  article  une  phraie  dont  le  fens  ne  fe 
prélente  pas  tout  de  fuite.  La  voici.  Ou  m  efi 
moindre  que  2  ,  à  alors  Fexpofant  de  y  étant  ffi- 
tif,  ellefe  trouvera  dans  le  numérateur  ,  &c.  Pour 
que  cette  phrafe  &  quelques  autres  fuivantes 
ayent  la  clarté  requife  dans  les  ouvrages  de  Ma- 
thématiques ,  il  faut  dire  :  V appliquée  y  fe  trouve' 
ra  dans  le  numérateur  ,  Sic 

6°.  L'ellipfe  dont  il  s'agita  l'article  89  ,  a 
évidemment  pour  petit  axe  yab ,  parce  que  (on. 
grand  axe  eft  a  ,  &  le  paramétre  de  ce  grand  axe 
eft  b.  Pour  avoir  le  paramétre  de \/ab,i\  faut  dire, 
~\/"ab  :  a:  :  a  :  au  paramétre  du  petit  axe  ;  donc  le 

ii  .  n    an  aaVab  aif/ j~> 

paramètre  du  petit  axe  eit  — -  =— - — —  s  — r— 

K  *  y  ai       Yab  xv 'ià         «■» 

a  Vab 


z 


354  Commentaire 

7°.  Pour  trouver ,  à  l'article  90  ,  la  valeur  de 
EG,  vous  direz  d'abord  PT  (a)  :  PM  (>):: 

PM  (y)  :  PQ„  =  22.  Vous  direz  enfuite  PM-:  PQ. 

::ME:EC 

8°.  L'article   93    a  befoin  des  éclaircifîemens 

fuivans.   i°.  Pour  trouver  du  = — ,  ,    il 

\/  zax  —  xx 

faut  imaginer  proche  du  point  E,  F/g.  83.  PL  5  , 
un  triangle  re&angle  infiniment  petit ,  femblable 
au  triangle  reftangle  EPK  ,  dont  le  côté  dx ,  dif- 
férence de  A  P  ,  &  la  bafe  du  ,  différence  de  Lare 
AE  ,  foient  homologues  à  EP  &  EK.  L'on  dira 
alors  EP  (  V^ax  —  xx  :  EK  Q  )  :  :  dx  :  du.  20. 

Pour  trouver  ày  =  dx  v  2a~  x  9  l'on  a  divifé  par 
v/2a  _  x  le  numérateur  &  le  dénominateur  de  la 
fradion  *ad'  —  *ix.  3°.  On  aura  la  valeur  de  BE 

y  ïax  —  xx 

en  faifant  BE1  =  A  B1  —  AE1.  40.  Ceft  au  point 
A  qu'on  ax=o;&  c'eft  au  point  B  qu'on  trouve 

x=  2a. 

90.  Pour  comprendre  la  dernière  conféquence 
de  l'article  101  ,  il  faut  fe  rappeller  que  la  por- 
tion de  la  roulette  A  M  n'eft  que  la  fomme  des 
arcs  infiniment  petits  Mm  ,  &  que  la  corde  A  E 
n'eft  que  la  fomme  des  E  F . 

io°.  On  avance,  à  l'article  103  ,  que  l'efpace 
RGBQ.(Fz'g.  87,  PL  5  )  eft  égal  à  l'efpace  MGBE. 
L'on  araifon,  puifqu'on  a  démontré  dans  la  figure 
84  de  la  même  planche  que  l'arc  MB.  =  l'arc  EQ., 


desInfiniment  Petits.         r^5 
par  la  même  que  l'angle  MOK  =  1  angle  ECK. 

Pour  trouver  ,  à  la  fin  du  même  arrirle  , 
t&  =  zaa  -+-  iab  -\-bb  ,  il  faut  que  l'arc  MEQ., 
(F/g.  87,  VI.  s  )  coupe  en  2  parties  égale^  b 
demi-cercle  AEB  au  point  E.  Alors  l'angle  EKO 
fera  droit  ;  &  en  tirant  le  rayon  OE  =  OQ.^=^  , 
l'on  aura  OE1  =  EK1  -*-  OK1  ;  donc  ^  =.  aa  -+-  aa 
H-  lab  -+-  bb  ;  donc  ^  =  2#fl  +  2ab  ■+■  bb. 

il0.  Pour  trouver,  à  l'article  105,  x  —  {a, 
il  faut  le  rappeller  que  xx  étant  nul  vis-à-vis  ibx  , 
&  2fld  vis-à-vis  ?,ab,  il  relie  ibx=  2,0b  ,  &  pat 
conféquent  x  =\a.  Il  faut  encore  fe  rappeller 
qu'en  fâifant  B  P  =  \  A  B ,  l'on  fait  par  là  même 
x  =  {a  ,  parce  que  BP^x,&  AB  =  2*2. 

1  20.  Pour  peu  qu'on  réfléchiffe  lur  la  figure  9 1 
citée  à  l'article  109  ,  l'on  verra  que  la  courbe 
DEeft  formée  par  le  développement  de  la  con- 
vexité AD  ;  'a  courbe  EF  par  le  développement 
de  la  convexité  A  B  ;  &  la  courbe  DG  par  le  dé- 
veloppement de  la  convexité  D  G. 

NOTE      L 1. 

1  l  y  a  dans  la  fixieme  fec~lion  quelques  articles 
qui  nous  ont  paru  mériter  quelques  éclaircifîe- 
mmts.  Ce  font  les  articles  110,113,118, 
119,   120 ,    121,    123  &    125. 

i°.  L'angle  de  réflexion  FwD(  F/g-  94-  VI.  5  , 
art.  1  10)  eft  égala  l'angle  d'incidence  B?#M  , 
&  par  conféquent  à  l'angle  RœM 

2°.  L'article  1 1 3  eft  un  des  plus  importants  du 
Traité  des  Infiniment  Petits.  Il  fert  à  démontrée 

Z  2 


35<S  Commentaire 

que  l'image  d'un  objet  vu  par  le  moyen  d'un  mi-» 
roir  ,  ne  paroit  pas  toujours  au  point  de  concours 
de  ]a  cathéte  d'incidence  &  du  rayon  réfléchi  > 
cela  n'eft  exactement  vrai  que  pour  les  miroirs 
plans  ;  pour  les  autres  il  foufTre  bien  des  excep- 
tions. Soit  y  par  exemple,  le  miroir  concave  AMD, 
(  Fig.  (jj  ,  PL  5  ).  Soient  les  deux  rayons  de  lu- 
mière infiniment  près  l'un  de  l'autre  BM,  B»î 
envoyés  par  le  point  B  fur  la  concavité  de  ce  mi- 
roir ,  &  réunis  au  point  F  après  la  réflexion.  Il  eft 
évident  que  ces  deux  rayons  donneront ,  après  leur 
réflexion ,  l'image  de  l'objet  B  au  point  F  ;  s'ils  la 
donnoient  ailleurs ,  par  exemple  ,  à  leur  point  de 
concours  avec  la  cathéte  d'incidence  ,  l'on  auroit 
deux  images  de  l'objet  B  j  donc  &c.  Ce  que  l'on 
peut  auancer  en  général  pour  toute  forte  de  mi- 
roirs ,  c'eft  que  le  lieu  de  l'image  eft  toujours  au 
point  F  où  deux  rayons  incidents  infiniment  pro- 
ches l'un  de  l'autre  BM,  Bw  viennent  fe  couper 
après  la  réflexion. 

3°.  L'on  allure  (  art.  1 1 8  )  que  lorfque  M  F  eft 
infini  3  l'on  a  ME  =  2MB  (  Fig.  98  PL  5  )  ou  a 
=  2#.   L'on  a  raifon.  La  valeur  de  M  F  eft  (  art. 

113)  =  SL~-.  Lorfque  MF  eft  infini ,  l'on  a 

MFzr^i  donc  dans  ce  cas  l'on  a  iy  —  a  =  0  ; 

donc  îy=p:a.  Pour  trouver  la  proportion  indiquée 
à  la  fin  de  ce  même  article  ,  il  faut  dire ,  la  moi- 
tié du  grand  axe  :  au  rayon  incident  :  :  le  rayon 
réfléchi  :  ME.  Or  par  là  même  que  les  rayons 


des  Infiniment  Petits.  357 
incident  &  réfléchi  font  donnés ,  le  grand  axe  l'eft 
au 'a.  Car  dans  la  figure  99  de  la  planche  5  ,  l'on 
aAD  =  BM  +  MF;  &  dans  la  figure  100  de 
la  planche  6  ,  l'on  aA^^MF-MB,  parce 
que  les  rayons  incidens  &  réfléchi  font  tirés  des 
deux  foyers  à  un  même  point  de  la  courbe  ellip- 
tique ou  hyperbolique. 

4".  L'article  119a  befoin  des  éclairciflemens 
fuivans.  L'on  demande  i°.  Pourquoi  MF  =  jMG, 
lorfque  les  rayons  incidens  PM  font  perpendicu- 
lairesfùr  l'axe  AP  ,  (  F/g.  10 1  PI.  6.  ).  L'on  répond 
que  lorfque  les  rayons  incidens  P  M  font  perpen- 
diculaires fur  l'axe  AP ,  ils  font  par  là  même  pa- 
rallèles entr'eux  ;  &  puifqu'àlors  l'on  a  eu  {art. 
115)  MF  =  \  M  G  ;  l'on  doit  avoir  (  art.  119), 
en  faifant  la  même  fuppoiition  ,  MF^jMG. 

L'on  demande  20.  Si  la  conftru&ion  abrégée 
dont  parle  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital ,  eft  préfé- 
rable à  celle  qu'il  donne  d'abord.  L'on  peut  ré- 
pondre hardiment  que  non.  Cette  conftru&ion. 
n'eft  bonne  que  pour  ceux  qui  voudroient  s'épar- 
gner la  peine  de  chercher  le  rayon  de  la  dévelop- 
pée de  la  parabole.  Ce  rayon  fe  trouve  très-facile- 
ment par  l'article  84. 

L'on  demande  3°.  Pourquoi ,  lorfque  le  rayon 
réfléchi  eft  parallèle  à  l'axe  ,  l'on  aMF^PQ 
(F/g.  10 1.  VI  6.  ).  Pour  répondre  à  cette  queftion, 
l'orf  n'a  qu'à  démontrer  que  dans  la  même  figure 
l'on  a  ML  =  LQ.  En  effet  l'angle  QJMA  =  l'an- 
gle QMD,  puifque  ce  font  les  deux  angles  droits 
formés  par  le  rayon  MC  de  la  développée  avec  la 

23 


358  Commentaire 

courbe  AMD.  De  plus,  l'angle  d  incidence  AML 
eft  égal  à  l'angle  de  réBéxion  NMD  ;  donc  l'angle 
reftant  L  M  Q.  eft  égal  à  l'angle  reftant  Q.M  N. 
Mais  à  caufe  des  parallèles  MN,  AO,  l'on  a 
LQ.M—  Q.MN;doncLMQ.=  LQ.Mî  donc 
les  angles  fur  la  bafe  M  Q.  font  égaux  ;  donc  M  L 
=  LQ..  Pour  trouver  dy  =  dx  ,  il  faut  imaginer 
au  point  M  un  triangle  infiniment  petit  ,  femb'a- 
ble  au  triangle  ifofcéle  M  L  Q.  dont  les  2  côtés  ««(y, 
dx  foient  homologues  aux  deux  côtés  ML,  LQ.. 
L'on  demande  40.  comment  \/7c  —  yy  divilé 

par  t-K-y  donne  -,  .         ■•  L'on  répond  que  -  "    yy~ 


\/t  —  )X(4»_  \/t  —  >- 


y 

.  Il  n'eft  pas  néceflai- 


\/t  -+-  y  x  t  -4-  y        }/t  H-  y 

re  de  faire  remarquer  que  ivon  trouve  dy1  —  tyddy 
===  dx1  ,  en  maniant  fuivant  les  régies  ordinaires 

.,,                  ydxx  -+• ydy%         d<.z  -+■  dyz       ,      ,  n 
iequauon- — : —-—-=: -——.  11  n  eit  pas 

^  dx     —  dy1-  —  zdiy  r 

plus  néceflaire  de  faire  remarquer  que  l'équation 
%Z  =z  -*7  u?  —  f  un  -+-\u  que  l'on  trouve  fur  la  fin 
de;  l'article  119,  n'eft  pas  différente  de  l'équation 
a^  =  -—u^  — ■  |  auu  -}-  -  a  au  ,  parce  que  a  —  1 , 
Ce  n'eft  que  par  la  loi  des  homogènes  qui  exige 
que  tous  les  termes  de  l'équation  ayent  les  mêmes 
dimenfions,  que  l'on  a  fait  entrer  tantôt  a  ,  & 
tantôt  aa  dans  l'équation  primitive. 

50.  Pour  comprendre  l'article  120  ,  on  fera 
attention  à  ce  qui  fuit.  i°.  Une  perpendiculaire 
cirée  du  point  C  fur  le  rayon  M  F  prolongé  (  F/g. 


des  Infiniment  Petits.       359 

102  ,  PL  6)  couperoit  ce  rayon  réfléchi  dans  un 
point  où  il  feroit  égal  à  la  ligne  appellée  a  à  l'ar- 
ticle 113,  comme  il  eft  aifé  de  s'en  convaincre  en 
examinant  la  figure  97  de  la  planche  5  ;  donc  une 
perpendiculaire  tirée  du  milieu  de  M  C  fur  le  ra- 
yon réfléchi  M  F  rencontrera  ce  rayon  dans  un 
point  où  il  fera  égal  à  {  a ,  c'eft- à-dire ,  le  rencon- 
trera au  point  F  ;  car  MF  =  ^,  lorfque  les  ra- 
yons incidens  P  M  font  perpendiculaires  fur  l'axe , 
comme  nous  venons  de  le  remarquer  au  num.  pré- 
cédent de  cette  note.  20.  Si  M  F  =  \  a ,  l'on  aura 
MF  =  :MP,  parce  que  la  ligne  M  P  de  la  figure 
102  repréfente  la  ligne  M  E  ou  la  ligne  a  de  la  fi- 
gure 07-  3°-  Pour  fe  convaincre  que  la  cauftique 
A  F  eft  triple  de  M  F  ,  il  faut  fe  rappeller  que  A  F 
(  an.  ,,o)  =  PM  +  MF.  Or  P  M  =  21M  F  ; 
donc  AF=  3MF.  4°.  Si  l'angle  ACM  ou  PCM 
eft  de  450 ,  l'angle  d'incidence  PMC  fera  de  450  ; 
donc   l'angle   de  réflexion  CM  F  fera   de  ^'\  ; 
donc  l'angle  total  P  MF  fera  droit  ,  &  par  con- 
féquent  M  F  fera  parallèle  à  A  C. 

6°.  On  peut  demander  en  lifant  l'article  121, 
pourquoi  K  D  =  \  A  D  (  Fîg.  1 03  ,  PL  6  ).  Pour 
répondre  à  cette  queftion  ,  on  fera  remarquer  que 
lorfque  AD  eft  le  rayon  incident,  alors  DK  eft 
le  rayon  réfléchi.  Or  de  même  que  M  F  eft  \  AM  , 
de  m5me  D  K  eft  f  A  D.  On  peut  encore  deman- 
der pourquoi  M  F  eft  parallèle  à  A  D  ,  lorfque 
A  M  eft  égal  à  A  C  L'on  répondra  que  lorfque 
A  M  —  AC  ,  alors  le  triangle  A  C  M  eft  équi- 
lateral  ;  donc  chacun  de  les  angles  vaut   60  de- 

Z  4 


560  Commentaire 

grés  ;  donc  l'angle  de  réflexion  C  M  F  néceffaire- 

ment  égal  à  l'angle  d'incidence  A  MC  ,  vaudra 

60  degrés  j  donc  "les  angles  alternes  ACM  ,  CMF 

feront  égaux  ;  donc  les  lignes  AD,  MF  feront 

parallèles. 

7°.  L'article  122  n'a  befoin  d'aucun  commen- 
taire. Il  n'en  eft  pas  ainfi  de  l'article  125.  En  le 
Jifant  ,  on  le  fouviendra  d'abord  que  M  G,  (  Fig. 
105.  PI.  6  )  eft  une  partie  du  rayon  de  la  déve- 
loppée, laquelle  partie  eft  parallèle  &  égale  à  NB, 
&  que  pour  trouver  M  F  =  MQ==  P  N  ,  il  faut 
imaginer  une  perpendiculaire  tirée  du  point  G  au 
point  F  ,  pour  avoir  le  triangle  rectangle  M  F  G 
égal  au  triangle  rectangle  M  Q_G  ,  à  caufe  du 
côté  commun  MG  &  de  l'angle  de  réflexion  GMF 
égal  à  l'angle  d'incidence  G  M  P.  On  fe  fouvien- 
dra enfui  ce  que  û  le  rayon  incident  PM  partoit 
du  centre  C  du  cercle  ANB  ,  l'on  auroit  l'angle 
d'incidence  F  M  G  de  45  degrés,  à  caufe  du  trian- 
gle rectang;e  ifofcéle  BPN.  On  fe  fouviendra  en- 
core que  ,  par  la  nature  de  la  roulette  ,  l'on  a  L  ï 

—  AI,  &  que  pour  trouver  du  =  —  ',     il    faut 

imaginer  prés  du  point  I  un  triangle  rectangle  in- 
finiment petit  ,  femblable  au  triangle  rectangle 
CKI ,  dont  la  différence  de  A  I  &  la  différence  de 
ÎH  feront  en  proportion  avec  CI  &  IH.  L'on  aura 

donc  du  :  dx  :  :  a  :  y  ;  donc  du  —  t^.  L'on  fe  fou- 

y 

viendra  enfin  que  îa  nature  du  cercle  donne  AH 
?  IH  ;  ;  IH  :  HB .,  ou  ,yy  =  zçix  —  xx  ;  donc  7ydy 


des  Infiniment  Petits.  561 

~  2adx  —  ixdx  ;  donc  —  iydy  =  ixdx  —  iadx. 
Les  défauts  de  proportion  qui  le  trouvent  dans  la 
6gure  105  ,  fe  corrigent  d'eux-mêmes,  &  ne  lçau- 
roient  induire  dans  aucune  erreur. 

8°.  L'article  1  24  fe  préfente  de  lui-même.  Pour 
comprendre  facilement  l'article  1  25  ,  il  faut  relire 

l'article  100  dans  lequel  GC= 7  M  G.     A 

l'article  1  25  l'on  a  b  =  a  à  caufe  de  l'égalité  des 
cercles  mobile  &  immobile  ;  l'on  aura  donc  G  G 

=  —  MG  ,ouGC  —  iMG(F/g.  106.  P/.  6). 

Les  autres  articles  de  la  6e.  fection  ne  font  ni 
affez  intéreffants ,  ni  aflfez  difficiles  pour  mériter- 
un  commentaire. 

NOTE     LU. 

D  a  n  s  la  fe&ion  7e.  M.  le  Marquis  de  l'Hôpi- 
tal fe  fert  du  calcul  des  différences  pour  trouver 
les  cauftiques  par  réfraction.  Il  fuppofe  que  celui 
qui  en  entreprend  la  lecture  ,  eft  au  fait  de  ce 
oui  arrive  à  la  lumière  ,  lorfqu.'elle  travene  les  ver- 
res convexes  &  concaves.  Nous  le  luppoierons 
auffi  dans  cette  note.  Ce  qui  nous  engage  à  fup- 
primer  une  pareille  diiïertation  ,  c'eft  que  nous 
avons  déjà  traité  cette  matière  aux  articles  de 
notre  Dictionnaire  de  Phyfique  qui  commencent 
par  les  mots  Réfra5lion>  Dioptrique ,  Lunette  ,  Mi- 
crofeope  &  Telefcope.  Cette  note  ne  roulera  donc 
que  fur  les  articles  135,  136,  137,  130»  J4T  •> 
142  &  144  ;  ce  font  les  feuls  qui  ayent  beioin  de 
quelques  éclairciffements. 


362  Commentaire 

i°.  Pour  comprendre  la  fin  de  l'article  135, 
vous  remarquerez  ce  qui  fuit.  i°.  m  eft  infinie  par 
rapport  à  n  ,  lorfque  n=^o.  20.  L'on  a  «  =  0 , 
lorfqu'il  n'y  a  point  de  réfraction ,  c'efl-à-dire  , 
lorfque  le  rayon  incident  B  M  (  Fis;.  1 1  1 ,  PL  6  ) 
eft  perpendiculaire  à  la  courbe  AMD.  30.  Lorfque 
le  rayon  incident  B  M  eft  perpendiculaire  à  la 
courbe  AiVID  ,  il  doit ,  après  avoir  traverfé  cette 
courbe  ,  fe  confondre  avec  MC  ,  perpendiculaire 
à  A  M  D.  40.  Lorfque  m  eft  infinie  par  rapport  à 
n  ,  l'on  a  i\lF=li,  parce  que  la  formule  M  F  = 


bb 


— devient  évidemment     M  F 


b<ny  —  any  —  aan 
Ibmy   , 

bmy 

2°.  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital  fuppofe  que  ce- 
lui qui  lira  l'article  136,  a  préfent  à  Tefprit  ce 
qui  arrive  à  un  rayon  de  lumière  qui  pafie  obli- 
quement ,  tantôt  d'un  milieu  plus  rare  dans  un 
milieu  pius  denfe,  tantôt  d'un  milieu  plus  denfe 
dans  un  milieu  plus  rare.  Dans  le  premier  cas  m. 
eft  plus  grand  que  n  ;  dans  le  fécond  c'eft  n  qui 
eft  plus  grand  que  rn. 

30.  En  lifant  l'article  137,  vous-vous  fouvien- 
drez  de  ce  qui  fuit.  i°.  Lorfque  les  rayons  inci- 
dens  B  M  (7  )  font  parallèles  entr'eux  ,  alors  ils 

font  infinis  ;  donc  la  formule  MF  = — r- 

my  —  ny  ■%  on 

devient ,  à  caufe  du  terme  infiniment  petit  ~jr  bn  , 

MF  zzr  — ■ =z  — _ — .  2°.  Lorfque  les  droi- 

my  —  ny  m  —  n  x 


des  Infiniment  Petits.  36$ 
tes  a  &  b  font  infinies  ,  alors  les  termes  bmy  ,  any 
font  nuls  par  rapport  aux  termes  aan ,  bbmy  ,  par- 
ce que  ceux-ci  font  des  infinis  du  fécond  genre  , 
&  ceux-là  ne  font  que  des  infinis  du  premier  genre. 
4°.  L'article  i  39  demande ,  pour  être  compris, 
les  remarques  fuivante^.  i°.  Dans  la  figure  1  15 
DN  eft  par  rapport  à  BD  ce  que  dans  la  figure  1 1 1 
M  G  {b)  eft  par  rapport  à  B  M.  20.  La  cauftique 
entière  HFN  =  AH  —  DN  —  f  AC.  Mais  AH 
=  3AC  ,  donc  HFN  —  3AC  —  \  AC  —  DN 

—  2  AC  —  \  AC  —  DN  =  1  AC  —  DN.  Mais 
DN'  =  CD-'—  CN*  =  CD1  —  \  CD1  ,  puifque 
par  hypothéfe  CN  =  \  CD  ;  donc  DN1  =  AC1 

—  ±  AC  ;  donc  DN"  =  |  AC1  ;  donc  DN  — 
|/|  A  C*  ;  donc  DN  =  i  AC  1/5  ;  donc  fi  l'on  a 
HFN  =  "  AC  —  DN,  l'on  aura  par  là  même 
HFN  —  Uc—  j  hC\/c,=7-^  AC.  Tout 
ce  calcul  le  rapporte  à  la  cauftique  HFN  de  la 
figure  115.  30.  Pour  ce  qui  regarde  la  cauftique 
H  F  N  de  la  figure  116,  vous  trouverez  HFN  = 
t=^ll  AC  ,  en  vous  rappellant  que  NK  =  \  A  C, 
&  que  la  cauftique  HFN  =  2  AC  H-  \  AK.En  effet , 
CK  —  C  N1  —  N  K"  =  A  G"  -NK'  =  A  C1  — 
4  AC'  =  î  ACï;doricCK  =  j/|.AcJ1;  donc  CK 
=  \  AC  }/<?.  Mais  AK  =  AC  — CK,  donc  AK 
=  AC^AC|/5,donctAK=:|AC-|AC7/5 
-  LAO  —  iACj/5.  Mais  la  cauftique  HFN 
-.  =CA  +  iAK;doncHFN  =  f  AC  +  iAC 

—  i  AC  |/5  =  2.  AC  —  i  AC  |/5  -  -;;5  AC. 
50.  L'article  141  fuppofe  que  l'on  a  préfent  à 

l'écrit  l'article  132.  il  fuit  de  ce  dernier  article 


364  Commentaire 

que  B  M  —  BA  :  LM  :  :  m  :  n.  Mais  l'on  a  dans  la  i 
figure  1 1 8  PM  =  BM  —  B  A ,  &  AE  =  LM  ;  l'on 
aura  donc  PM:AE::w:h. 

6°.  A  la  fin  de  l'article   142  ,  il  eft  parlé  des; 
ovales  de  Defcartes.  Cette  matière  eft  traitée  dans 
la  feétion  féconde  du  livre  2  de  fa  Géométrie.  Vo- 
yez-en le  Commentaire  qu'en  a  fait  le  P.  Rabuel 
Jéfuite,  pag.  340  &  fitivantes. 

7°.  Pour  comprendre  la  bonté  de  l'équation 

NF  ■+-  FH  —  -  NC  =  HD  -  -  D  C    de  l'article 


144,  il  faut  la  transformer  en  celle-ci ,  FH  =$  HD 
. —  NF  h-  -  NC  —  —  DC ,  &  fe  rappeller  enfuite 
l'équation  de  l'article  1 3  2 ,  où  l'on  lit  FH  =  AH 
-MF  +  -BM--BA.  Il  faut  encore  avoir 

m  m- 

en  même  tems  fous  les  yeux  les  figures  1  2 1  &  1 1  2 , 
parce  que  H  D  elt  pour  la  figure  121  ce  qu'eft  AH 
pour  ia  figure  112.  lien  eil  de  même  de  NF, 

-  N  C  ,  —  DC  ;  ils  font  dans  la  figure  1  2 1  ce  que 
font  dans  la  figure  112  M  F  ,  —  B  M  ,  -BA. 

0  m  m 


NOTE        LUI 

JLi  a  Section  8e.  contient  1 1  articles  qu'il  eft 
nécefiaire  de  commenter  ;  ce  font  les  articles 
147,  148,  151,152,  155 ,  156  ,  158  ,  159, 
160 ,  161   &   162. 

i°.  L'article  147  eft  très- difficile  5  en  voici  le 


des  Infiniment  Petits.  365 
commentaire.  i°.  L'équation  xx  z=z  ^ay —  /\yy 
eft  un  lieu  au  petit  axe  A  B  de  la  demi-ellipfe 
AMB,  Fig.  122.  PI.  7.  Ce  petit  axe  a  pour  pa- 
ramétre 4«  ,  parce  que  le  petit  axe  :  au  grand 
axe  :  :  le  grand  axe  :  au  paramétre  du  petit  axe. 
L'équation  a  ce  même  petit  axe  eft  la  fuivante , 
APl  :  A  Q.X  B  Q.  :  :  le  paramétre  du  petit  axe  : 
au  petit  axe  ;  donc  xx  :  ay  ~yy  y:  4a  :a',  ce  qui 
donne  évidemment  xx  =  4^'  —  W-  Relifez  la 


note  se-  2°-  Pour  trouver  AK=  —  ,  il    faut 

,  y  T 

d'abord  tirer  de  l'équation  xx  r=r  ^ay  —  ^yy  la 
valeur  de  2xx  =  Say —  %yy  ;  il  faut  enfuite  con- 
clure que  ày  —  -*  par  là  même  que  xdx  =■ 
2ady  —  %ydy.  Cela  fait  vous  introduirez  ces  nou- 
velles  valeurs  dans  l?équation  AK  -  • — d  __~2  ,jx  t 
Se  vous  trouverez  après  un  très- grand  nombre  d'é- 


quations &  de  transformations  AK  =  — .  30.  La 

parabole  qui  a  pour  fommet  le  point  A  eft  afymp- 
totique  de  celle  qui  pane  par  tous  les  points  C  , 
parce  que  toutes  ces  paraboles  ont ,  avec  le  même 
paramétre  4AB  ,  différents  fommets  fur  le  même 
axe  ;  donc  leurs  différentes  branches  s'approche- 
ront continu;i.ement ,  fans  pouvoir  jamais  le  tou- 
cher. 

20.  L'article  148  ne  demande  que  cette  feule 
remarque  :  l'on  trouvera  PQ.(  Fig.  1 2  3.  PL  7.  )  = 

-—  ,  en  imaginant  au  point  M  un  triangle  infini- 


àx 


3  56  'Commentaire 

ment  petit ,  femblable  au  triangle  MPQ,  dont  les 
deux  côtés  dx  ,  dy  feront  homologues  à  PM  ,  PQ. 
Il  n'efl  pas  néceflaire  d'avertir  que  dans  ce  même 
article  l'on  a  PC*  =  KC'  +  PK1  par  la  47e.  propo- 
fition  du  livre  1  des  élémens  d'Euclide ,  &  non  pas 
par  la  propriété  du  cercle. 

30.  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital  a  fuppofé  dans 
fon  article  1 5  1  que  1  on  avoit  prêtent  à  l'efprit 
l'article  1 1. 

40.  A  l'article  1 5  2  l'on  a  AT  (  Fig.  1 25.  PI.  7  ) 

,  parce  que  l'on  a  évidemment  AP  :  A  M  :  : 


a  a 
x 


A  M  :  AT  ,  ou  x  :  a  :  :  a  :  AT  =  — .    Mais  (  art. 

X  v 

15  o)  AT  :  AP  :  :  AP  :  AK  ,  ou  ^  :  x  :  :  x  :  AKi 

donc  AK  =  —  L'équation  que  l'on  trouve  à  la 

fin  de  cet  article  prouve  que  la  courbe  B  C  D  eft 
une  courbe  du  troifieme  genre.  M.  Varignon  eft 
parvenu  d'une  manière  plus  fimple  à  une  équa- 
tion qui  prouve  la  même  vérité.  Voici  comment 

il  raifonne  :  Puiique  QC  ±±  —  ,  l'on  aura  C?  =  a 


—  ^.  Ainfi  QP  (  a  )  :  QA  {y  )  :  :  CP  (a  —  -f  ) 

:  C1C  (  x  )  '•>  donc  a\  :=:  — —  5  donc  aa\  =  aay 

—  xxy  donc  a4^1  =  côyx  —  2aLxry'h  +x4jx. 
Mais  le  cercle  BMD  donne  AP  x  PT  =  PM1,  ou , 
az  -  x1  =y*  ;  donc  «Y  =  a6  —  $a*xz  -+-  3a  V  -  x% 

donc  Y'a^i1-  —a*- — x1.  Mais  u  z=  —  ,  donc  x* 


au 


des   Infiniment  Petits.        ^Sy 
k=  aau  }  donc  x  =  j/ auu  ;   donc  xx  =  ~\/ u*uu  ; 

3   3  3    

donc  V'^  V"  —  a~  —  X/^uu  ;  donc  a  y  a^-  == 

3 3 3    

aa  —  a  y  'au1-  ;  donc  j/^1  =  «  —  |/*"a  ;  donc 
l'équation  de  la  courbe  BCD  prouve  que  c'eft  ici 
une  courbe  du  troifieme  genre. 

5°.  La  propcfition  énoncée  par  l'article  155  eft 
démontrée  dans  tous  les  Traités  de  Méchanîque , 
&  nommément  dans  celui  de  M.  l'Abbé  de  la 
Caille  ,  art.   364  ,  pag.  113. 

6°.  Le  mot  fefquialtere  pourroit  embarrafîer  un 
Commençant.  Etre  lefquialtere  ,  c'eft  avoir  la 
moitié  en  lus  ;  a  lera  felquialtere  de  h ,  fi  l'on  peut 
dire ,  a  -  \  b.  Si  la  portion  ND  de  la  courbe  DNF 
(F/g  1  25.  P/.  7.  )  étant  multipliée  par  le  rayon  AB 
eft  felquialtere  du  fegment  circulaire  D  M  P ,  il 
s'enfuit  que  la  courbe  entière  DNF  eft  égale  aux 
trois  quarts  de  BMD  ,  quatrième  partie  de  la 
circonférence  du  cercle.  En  voici  la  démonftra- 
tion  ,  elle  eft  de  M.  Crouzas.  DNF  x  AB  eft  trois 
moitié  de    leipace    BADMB.    Mais     l'efpace 

BADMB^ABx^^onc   DNFxAB 

2 

=  |ABx~=  \  ABDMB;  donc  DNF 


4 


bjDM  B.  Ces  deux  remarques  ont  été  nécefTai- 
res  pour  l'intelligence  de  l'article  1 5  6. 

70.  L'article  158  préfente  deux  points  qu'il 
faut  néceflairement  expliquer.  r°.  Pour  fuivre  M. 
le  Marquis  de    l'Hôpital  ,    lorfqu'il  parle  de  la 


568  Commentaire 

différence  de  uy~^L  —y3i\  faut  fe  rappelîeij 

v  aa  —  x< 

qu'après  avoir  cherché  cette  différence  par  les  ré-J 
gles  ordinaires  ,  il  parvis .:  à  une  fraction  dont  ili 
fait  le  numérateur  ==  0.  20.  Après  avoir  trouva 

PK  _  ml  -+-  mmx  3  il  faudra  chercher  MC  (  FigM 

aa 

1  27.  PI .  7  )  —  mrn~+~mx.  Pour  le  trouver ,  il  fau-1 
dra  fe  fouvenir  que  NK=PK— PN=J 
gL±gg  _  m =-  ml ^  mm*  *~  aam.    Il    faudrJ 

aa  aa 

faire  enfuite  la  proportion  fuivante  ;  PN  (  m  )  M 
MN(a)::NK( — )  :  M  L  —  I 

am*>  -+- ammx  —  a3w  mm -4- ma:  —  aa     Mak    MCI 

=  MN^NC  =  g+w""*"W3f^<'aidoncMci 

a 
mm  -+-  mx 

a 

8°.  Prenez  garde  ,  en  lifant  l'article  159,  que 
les  lignes  LM  ,  lm  (  F/g.  1 28.  P/.  7  )  peuvent  êtrJ 
confidérées  comme  parallèles ,  parce  qu'elles  for-l 
ment  un  angle  infiniment  petit.  Il  en  eft  de  même! 
de  plufieurs  autres  lignes  qui  fe  trouvent  danJ 
cette  figure. 

9°.  L'on  aura  la  valeur  de  MC  énoncée  dans. 
l'article  1 60  ,  en  difant  m  -+-  w  '-m  :  :  M  C+  C Ni 
(«):MC.  ' 

io°.  Avant  que  de  lire  l'article  1 61  du  Trait! 

des'. 


Planche  1 


Huître  Scaivsit. 


Planche  2>. 


F  F E p_p 


Flanche  3- 


L   A 


JPlanche  ^ 


Faitrr  Sculpsit- 


FLmclw  \§  ■ 


M 


. 


E> 


Flanche    6- 


A 

C 

J3 

liRK           Q 

2 

^-^G 

E 

B 

B 

<^](k 

i/6\ 

B 

H 

A  1 

( 

B  AE 


JPcaure  ifciUpsit, 


Planclie  7- 


M*L*!*L".««J« 


Planche    8 


PE  Q 


^165. 


des  Infiniment  Petits.  369 
des  Infiniment  Petits,  il  ne  feroit  pas  mal  de  lire 
les  articles  155  &  156  du  Traité  des  Sections  co- 
niques de  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital. 

1  i°.  Dans  l'article  162  l'on  ne  peut  ^as  tirer 
M  D  parallèle  à  LN  (  F/g.  128  PL  7.  )  fans  avoir 
MD  :  ML  :  :  EF  :  EG;  en  voici  la  preuve  Si  les 
lignes  M  D  &  L  N  font  paralU  les ,  l'on  aura  l'an-* 
gle  MDL  égal  à  fon  alterne  ELG.  Cela  fuppofé  , 
voici  comment  je  raifonne  :  EF  :  EG  :  :  le  finus 
de  l'angle  ELF  :  au  finus  de  l'angle  RLG.  Mais 
M  D  :  M  L  :  :  le  finus  de  i  angle  DLM  ,  ou  ELF  : 
au  finus  de  l'angle  MULou  h.  LG  ,•  donc  fi  M  D 
&  LN  font  parallèles  ,  l'on  aura  M  D  :  M  L  :  : 
EF  :  EG  :  :  bbgh  :  acef—  ccfh  ;  donc  M  D  :  ML 

(  b  )  :  :  bbgh  :  acef-  ccfh  ;  donc  M  D  =  -^-^  ; 

eccj  —  c.jh. 

donc  par  là  même  que  M  D  fera  parallèle  à  LN  , 
l'on  aura  M  D  =  — c  g~  „. 

accj  —  ccjti 


NOTE        LIV. 

J  j  a  plupart  des  articles  de  la  feftion  neuvième 
que  nous  avons  éclaircis  ,  ne  pouvoient  gueres  fe 
paffer  de  commentaire.  Le  Lecteur  n'en  fera  que 
trop  convaincu ,  en  jettant  les  yeux  fur  les  numéro 
6 ,  8  ,  9  &  iode  cette  note. 

i°.  L'équation   que  donne  la  fuppofition  de 

PN 
l'article  163  eft  PM  =  —  (fig.  130.  pi.  7).  Il 

s'enfuit  de  là  que  lorfque  M.  le  Marquis  de  l'Hô- 

Aa 


570  Commentaire 

pitaî  dit  que  P  M  —  — =j^ —  ,  il  prend  évidem- 
ment la  confiante  A  B  pour  l'unité. 

2°.  Dans  les  articles  164  &  165  M.  le  Mar- 
quis de  l'Hôpital  différencie  le  numérateur  de 
chaque  fraftion  ,  en  le  confidérant  non  pas  com- 
me numérateur ,  mais  comme  une  quantité  ifo- 
lée.  Il  tient  la  même  conduite  vis-à-vis  le  déno- 
minateur. 

30.  Pour  comprendre  la  fin  de  l'article  169  7 
il  faut  relire  la  fin  de  l'article   89. 

40.  C'eft  par  1  article  170  que  l'on  fait  à  l'ar- 

ticie  171  y  —  — . 

'  a 

50.  La  proportion  de  l'article  178  n'efl  bonne y 
que  parce  qu'on  confidére  l'arc  infiniment  petit 
Mm  (  fig.  155  ,  136  ,  pi.  7  )  comme  la  mefure 
de  l'angle  MGm.  Or  on  a  droit  de  le  confidé- 
rer  ainfi,  puifqu'il  feroit  confondu  avec  un  arc 
de  cercle  infiniment  petit  M  m  qui  auroit  pour 
rayon  G  M,  pour  centre  le  point  G  ,  &  qui  par 
là  même  feroit  la  mefure  de  l'angle  MGm. 

6°.  L'on  a  ,  à  l'article  180  ,  MïxMG  = 
BM  x  MN,  (  fig.  136.  pi.  7  )  parce  qu'il  eft 
démontré  dans  tous  les  élémens  de  Géométrie 
que,  deux  lignes  qui  fe  coupent  dans  un  cercle, 
fe  coupent  en  raifon  réciproque. 

S'il  s'agit  de  prouver  dans  ce  même  article 
qu'au  point  d'inflexion  F  ,  la  ligne  MR  eft  plus 
grande  que  la  ligne  M  G  ,  il  faudra  d'abord  fup- 

porcr  pour  un  moment  que  \/ a.ah  ~bcc  =.\/a<i~cC' 


des  Infiniment  Petits.  571 
Cite  fuppofition  vous  donnera  a  =  c  ,  ou  KN 
—  KM;  ce  qui  eft  impofïïble.  Il  faudra  enfuite 

fuppofer  que  \/aab  ~  ***    eft  plus    grande   que 

\/aa  —  ce  ;  cette  féconde  fuppofition  donnera,  c 
plus  grand  que  a,  ouKM  plus  grand  que  K N  ; 
ce  qui  eft  encore  impofïïble  ;  donc  au  point  d'in- 
flexion F  l'on  aura  M  G  moindre  que  MR-  Enfin 
l'on  ne  peut  pas  fuppofer,  ainfi  qu'on  l'allure  fur 

la  fin  de  l'article   180,  que|/~=^c-  (bit  plus 

grand  que  a  — c  3  fans  avoir  KM  (  c  )  plus  grand 

que  ~ — .  La  preuve  en  eft  renfermée  dans  le 

calcul  fuivant  II  n'eft  pas  néceffaire  d'avertir  que 
le  ligne  >  fignifie  plus  grand. 


V 


aab  —  bec 


2j-t-  b 
a.ib  —  bec 


>  a  —  c  par  hypoîhéfe. 

>  aa  —  zac  h-  ce 


2-a-î-  b 

aab —  bec  >  iaJ  —  ^aac  +  2acc+aah  —  zalc-rlcc 
0  >    ta}  —  û^aac  -+-  iacc  —  talc  -i-  zbec. 

Cette  dernière  équation  fignifie  que  les  quantités 
/^aac  &  iabc  affectées  du  ligne  —  furpâiï;nt  ies 
quantités  20? ,  tacc  8c  ibec  affectées  du  ligne -h. 
Reprenons  ce  calcul. 

qaac   +  2abc  >    ia?  -r  wee  ■+-  ibec 
zaac  -+*  abc     >   a'     ■+■  ace     -+-  bée 
aac    ■+■  abc     >   a'    —  aaç    -h  ace  -,'-  bec 
aac    _}_  abc    -  ace—  bec     >   a1    — aac. 

Divifons  ces  deux  quantités  par  a  -f-  b ,  nous  aurons 

Aaz 


37?  Commentaire 

a$  —  aac 

ac CC   >    — — 

a  -+-  b 

aa  x  a  —  c 


~cXe> 
c  \ 


a-+-  b 
aa 
a  H-  b 


Donc  fi  l'on  fuppofe  j/'J±=±5  plus  grand  que. 

0  —  c ,  l'on  trouvera  c  plus  grand  que „ 

70.  L'on  peur  demander  en  lifant  l'article  182, 
pourquoi  GM??j  +  MGg(fig.  135.  pi.  7.)  = 

i — ~r  M  G  g  4-  - — ; K  G  g.  L'on  ré- 

o  aab 

pondra  que  GMw  +  MGg=  -^—b —  MGg  •+. 


MGg-4-a^Ax;c~^KGgr=^±-^MGg 


^  »  *  «—  «  +  4  X  «  —  aa    lr  ,-, 

*fc  -  M Gg  -j ; KG2,  parce  que 

o  .  aab 

=z  jj  &:  que  M  Gg  =  1 M  G  g.  Mais  2a  ~f"  ' 
IWG^4-iMGg  =  ™^  MGg-  donc  &c. 

O  O 

8°.  L'article  183  prélente  une  autre  folution 
au  problême  de  l'article  182.  Il  fe  comprend  à  la 
première  leéture  ,  lorfqu'on  fe  rappelle  que ,  par 
?a  propriété  du  cercle  ,  P  E1  (fig.  140.  pi.  7  )  == 

A  ?  X  P  V  ==  icu  —  uu  ;  &  que  EM(j/)  =  ^ 
(art,  171)3,  =  ~,  devient  parla  même  •**! 5 


des  Infiniment  Petits.  373 
parce  que  OBl*):KB(«)::KB(*):AK 
( c )  ;  donc  aa  —  bc  ;  donc  fi  l'on  aEM  = 

—  y  1  on  aura  E  M  =  -r1. 

aa    "  bc 

L'on  afîure  à  la  fin  du  même  article  185  que 
par  là  même  que  l'efpace  AEH  =  au  rectangle 
PQ.,  moins  le  double  de  l'efpace  circulaire  APE  , 
l'on  aura  AEH=PËxKA  +  KPxAE.  Le 
calcul  fuivanc  va  mettre  cette  vérité  dans  tout 
fon  jour, 

Je  nomme  A  K ,  «  ;  K  P  ,  &  ;  P  E  ,  es  EH, 
ou  l'arc  AE,  d.  Cela  fait,  voici  comment  je  rai- 
fonne  :  le  rectangle  P  Q=  ÂkTkT X Pfc  +  hH 
=  a-i-è  Xf-f  d  =  ac  -+■  bc-*-  ad  -\-bd. 

L'efpace  circulaire  APE  =  AKx;AE-i-KP 

X|PE  =  -+-;   donc   zA?E  =  ad  +  bc  , 

donc  le  rectangle  PQ. —  2APE  =  ac  +  bc-had 
•+-bd  —  ad  —  bc  =  ac  -4-  bd.  Mais  P  E  xAK  + 
K?xAEz=ac+bd.  Donc  fi  l'efpace  A  E  H  eft 
égal  au  rectangle  P  Q ,  moins  le  double  de  l'efpa- 
ce circulaire  A  P  E ,  il  fera  par  là  même  égal  à 
PE  x  KA  +  K  P  x  A  E.  L'on  a  fuppofé  dans  ce 
calcul  que  le  point  P  tomboit  au  deflbus  de  K  ; 
car  lorfqu'il  tombe  au  deflus ,  l'on  a  A  E  H  = 
PExKA  — KPxAE. 

90.  Pour  comprendre  l'article  185  ,  voici  ce 
qu'il  faut  fe  rappeller.  i°.  L'efpace    AEM  — 

aa  -+-  ai  ___ aa  ~j-  ab  -,    .     _,_ 

— yc — PExKAH y K^xAli.  MaisKP 

=  KV-YP=»-fj  donc  — K.P  =  c— «; 


374  Commentaire 

,  aa  -4-  ab       -— — aac-+-abc  —  aau  —  ahu 

donc  — KPx  A  E  = , — X 

bc  bc 

AE.  2°.Lefe6teur  ARE=-  x  AE  =  -  X 

2  2 

AE.  3°.  L'efpace  AEM  -4-  le  fe&eur  AKE  = 

aa  -4-  ab  -— ; — — — ,  aac  -4-  <2#c  —  aau  —  abu     .    _ 

—7 — piixKAH — - ; A  E 

bc  bc 

4-  -  X  AE  ;    donc  l'on   aura  l'efpace  AEM 
-f-  le  fêter  AKE  =  g*  7*"  ab  p  n  x  K  a  + 

aaac  -+-  2tfyf  —  2aau  —  2.z£z;  -4-  £<rc     .  t,  ^ 

- — - A  E.  4°.  On  ne 


tàc 


peut  pas  faire  dans  ce-jtiême  article   185  ,  a  =s 

2tf<zc  -f-  2dic  — (-  foc    r  r   ■  1 

• ; lans  faire  zaau  -4-  2 abu  ■==■  ïaac 

2aa  -+-  zab 

Hh  2abc  4-  £fc,  &  par  conféquent  fans  rendre  nulle 

1  .  2aac-h-  zabc-^-bcc —  ïaau  —  zabu    A    -r-i 

la  valeur ! A  E. 

zèc 

io°.  Le  dernier  article  de  la  neuvième  fection , 
c'eft-à-dire ,  l'article  186  préfente  quelques  diffi- 
cultés que  nous  allons  cclaircir  en  peu  de  mots. 
I  ° .  Si  x  =  \/\  aa  ,  l'on   aura  xx  =laa,&c  ixx 

—  aa  ;  donc  en  faifant  x  =  }/{âa  ,  le  dénomina- 
teur de  la  fraction  -—===='  deviendra  0  ,   ce 

V  2.x x  — aa 

qui  efl  une  marque  de  l'infini.    20.   Lorfque  le 
point  M  (  Fig.  141.  PL  7,  )  tombe  en  D  ,  l'on  a 

AM=AD,  ou  x  —  #  ;  donc  Ton  a  —  —  = 

2aa 

■y 

—  ~2  =  ^~la,  3e?.  Pour  tirer  de  l'équation  y 


des  Infiniment  Petits.'  57c 
=  x4  -4-  aaxx  —  &4  la  valeur  de  D  D  ou  1 A  D 
(  F/g.  142.  PL  7  ) ,  M.  le  Marquis  de  l'Hôpital  a 
iaitPM=0,  parce  que  dans  cette  fuppofition 
l'on  a  A  D  =  x.  lia  enfuite  cherché  la  valeur  de 
x  ,  en  maniant  fuivant  les  régies  ordinaires ,  l'é- 
quation x4  -+-  aaxx  —  &4  —  0  s  &  il  a  trouvé  x  = 
J/"  —  \  aa  ■+-  ~  \/a*  -t-  4*+  ,    &    par  conféquent 

;AD  ou  2X  =  J/  —  2aa  -+-  2  \/ a*x-+-  434. 

NOTE        LV. 

8  j  a  dixième  fection  eft  fans  contredit  la  moins 
importante  de  toutes.  Elle  n'apprend  que  ce  que 
fçavent  tous  les  Mathématiciens ,  c'eft-à-dire  , 
que  par  le  calcul  des  différences  on  réiout  beau- 
coup plus  facilement  que  par  toute  autre  métho- 
de ,  les  problêmes  propofés  dans  les  neuf  feétions 
précédentes.  Pour  fe  convaincre  de  cette  vérité , 
il  ne  fera  pas  néceflaire  de  lire  les  2  2  articles  qui 
compofent  la  dixième  fedlion  ;  on  pourra  fe  con- 
tenter de  la  lecture  de  Y  article  208  ;  on  verra 
combien  compliquée  eft  l'équation  que  donnent 
les  méthodes  qui  ne  font  pas  fondées  iur  le  cal- 
cul différentiel ,  dont  M.  le  Marquis  de  1  Hôpi- 
tal nous  a  donné  les  résjes  avec  autant  de  clar- 
té  ,  que  de  précifion  dans  fon  Analyfe  des  Infini- 
ment Petits. 


3/6 


TABLE. 


ECTION  I.  Ou  l'on  donne  les  régies  du  calcul 
différentiel  (  Page  i- 

Proposition  I.  Ou  l'on  en  feigne  à  prendre  la  diffé- 
rence de  plujïeurs  quantités  ajoutées  enfemble  ,  ou  fouf- 
tcaiies  les  unes   des   autres.  4 

Proposition  II.  Ou  l'on  enfeigne  à  prendre  la 
différence  d'un  produit  fait  de  plujïeurs  quantités  mul^ 
tipliées  les   unes  par  les   autres.  j 

Proposition  III.  Où  l'on  enfeigne  à  prendre  la 
diffenace  d'une  fraâion  quelconque.  6" 

Proposition  IV.  Oit  l'on  enfeigne  à  prendre  la 
différence  d'une  puiffance  quelconque  parfaite  ou  impar- 
faite d'une  quantité  variable.  j 

SECTION  II.  Ou  Von  fait  ufage  du  calcul  des 
différences  pour  trouver  les  tangentes  de  toutes  fortes 
de  lignes  courbes.  l4 

Proposition  I.  Ou  l'on  enfeigne  la  méthode  de 
tirer  d'un  point  donné  une  tangente  fur  une  courbe  dont 
on  connoit  la  relation  qui  règne  entre  la  coupée  &  l'ap* 
pliquée.  l4 

Les  15  Propofitions  fuivantes  de  la  même  Se&ion  con- 
tiennent des  Problèmes  analogues  aux  tangentes. 

SECTION  III.  Où  l'on  fait  ufage  du  calcul  des 
différences  pour  trouver  les  plus  grandes  ou  les  moin- 
dres  appliquées.  57 

Proposition  générale.  Où  l'on  enfeigne  la 
méthode  de  trouver  la  plus  grande  ,  ou  la  moindre  ap- 
pliquée ,  la  nature  de  la  ligne  courbe  étant  donnée.     38 

SECTION    IV.    Ou    l'on  fait    ufage    du  calcul   des 

différences  pour  trouver  les  points  d'inflexion  &  de  re- 

èrouffement,  D '.? 

Proposition  I. 


TABLE.  577 

PROPOSITION    I.    Ou   Von  enfeigm  à   prenne  la 
différence  d'une  quantité  compofée  de  différences  quelcon- 

P  ITp  osition   H.  Ou  l'on  apprend  à  déterminer  le 

point  d'inflexion  ou  de   rebrouffement  ,  la  nature  de   la 

ligne  courbe  étant  donnée.  4 

SECTION    V.  Ou  Von  fait  ufage  du  calcul  des  dijfe- 

rences  pour  trouver  les    développées.  l°Z 

Proposition    I.  Ou  Von  apprend  a  déterminer  la 

longueur  du  rayon  de  la  développée.  *o.5 

Proposition    II.  Ou   Von    apprend  a  trouver  le 

point  où  l'axe  touche  la  développée.  *l4 

PropositionHI.   Oh  Von  apprend  a  trouver  une 

infinité  de  lignes  qui  aient  la  même  développée.  144 
SECTION    VI.    Ou  Von  fait  ufage   du   calcul    des 

différences  pour  trouver  les  cauftiques  par  réflexion.  14b. 
Proposition   I.   Ou    l'on  enjeigne  a   trouver  fur  la 

rayon  réfléchi ,  donné  de  pofuion ,  le  point  ou  il  touche 

la  caujlique.  ..'*«■■««        1   ■ 

P  r  o  p  o  s  1  T  1  o  N  IL  0«  l'on  réfout  le  Problème  Jui- 
vant  :  la  cauftique  par  réflexion  étant  donnée  avec  le 
point  lumineux  ,  trouver  une  infinité  de  courbes  ,  dont 
elle  foit  caujlique  par  réflexion.  ,'  ?  j 

SECTION  VII.  Ou  Von  fait  ufage  du  calcul  des 
diffcrences  pour  trouver  les  cauftiques  par  réfraction.  1 71 

Proposition  I.  Ou  l'on  enfeigne  a  trouver  Jur  le 
rayon  rompu,  donné  de pofuion  ,  le  point  ou  d  touche 
la   cauftique  par  réfraction.  ZJ3 

P  r  o  p  o  s  1  T  1  0  N  1 1.  Où   Von  réfout  le  Problème  fui- 

vant  :  la  cauftique  par  réfraction    étant    donnée  ,   avec 

fin  voint   lumineux  ,   &  la   raifon  de  m  à  n  ;  trouver 

une  infinité  de  courbes  dont  elle  foit  cauftique  par  ré- 

traction.  .  , 

S  È  C  T  1  O  N  V  1 1  L  Ou  Von  fait  ufage  du  calcul  des 
différences  pour  trouver  les  points  des  lignes  courbes 
qui  touchent  une  infinité  de  lignes  données  de  pofuion  , 
droites  ou  courbes,  Bb  ' 


3?8  TABLE. 

Proposition  I.  Où  l'on  enfelgne  a  trouver  une 
ligne  courbe  qui  touche  une  infinité  de  paraboles  qui 
paffent   toutes  par  un  même  point.  18  y 

Les  S  Propositions  fuivantes  contiennent  des  Problèmes 
analogues  au   fujet  expofé  au  commencement  de    la 
Seftion  VIII. 
SECTION    IX.     Ou    l'on   trouve    la    Solution     de 
quelques  Problêmes    qui)  dépendent    des   méthodes  précé- 
dentes. zoG 
Les  Problêmes  réfolus  dans  cette  Se&ion  font  au  nom- 
bre de  $. 
SECTION    X.    Ou  l'on  trouve  une  nouvelle  manière 
de  fe  fervir  du    calcul  des  différences   dans  les  courbes 
Géométriques  ,  d'où  l'on  déduit  la  méthode  de  MTS.  Def- 
cartes  &  Hudde.                                                      233 
Cette  nouvelle  méthode  efl  employée  dans  les  7  Piopo- 

ficions  qui  forment  cette  Se&ion. 

COMMENTAIRE    des  articles  les  plus  difficiles 

de  l'Analyfe  des  Infiniment  Petits.  2,5.7 

Note    I.  Analogue  à  l'article  2.  23? 

Note  II.  Analogue  à  l'article  $.  238 

Note  III.  Analogue  à  l'article  6.  26 'z 

Note  IV.   Analogue  à  l'article  7.  264 

N  0  T  e  V.  Analogue  à  la   Seâion  féconde  conjidérée  en 

général.  273 

N  o  T  E  V  I.  Analogue  à  l'article  5).  283 

N  o  T  e  V  1 1.  Analogue  à  l'article  1 1.  284 

Note  VIII.  Analogue  à  l'article  12.  28$ 

Note    IX.  Analogue  à  l'article  13.  234 

Note  X.  Analogue  à  l'article  14.  23J 

N  o  T  e  X  I.  Analogue  à  ?  article  \$.  30  Z 

Note  XII.  Analogue  aux  articles    17  &   18.  303 

Note  XIII.  Analogue  à  l'article  21.  304 

Note  XIV.   Analogue  à  la  Propofition  $  de   la    z'. 

Seâion.  006" 

Note    XV.   Analogue  à  la  Propofition  6  de  la  même 

Section.  008 


TABLE.  379 

NoTB   XVI.    Analogue  à  l'article  0.6.  30S 

Note  XVII.  Analogue   à  la  Propofu'wn  8  de  la  2e. 

Section.  3°S 

Note    XVIII.   Analogue  à  la    Propojition  p   de  la. 

même  Section.  ■    3l° 

Note   XIX.  Analogue  à  l'article  31.  3ZZ 

Note  XX.  Analogue  à  l'article  32.  312 

Note  XXI.  Analogue  à  l'article  34.  313 

Note  XXII.   Analogue  à  l'article   26.  313 

Note   X  X  I  I  1.  Analogue  à  l'article  39.  314 

Note  XXIV.    Analogue  à  l'article  40.  31 S 

Note   XXV.    Analogue  à  la  Proportion   16  de  la  2e: 

Section.  3l3 
Note    XXVI.  Analogue  à  la  troifieme   Seàion  con- 

fiièrée   en  général.  3 

Note  XXVI  I.    Analogue  à  l'article  48.  321 

Note    XXVIU.  Analogue  à  l'article  49.  322 

Note    XXIX.  Analogue  à  l'article  jo.  322 

Note    XXX.    Analogue  à  l'article  %X.  322 

Note   XXXI.    Analogue  à  l'article  $2.  323 

Note    XXXII.  Analogue  à  l'article  $3-  324 

Note   XXXIII.  Analogue  à  l'article  54-  3Z4 

Note    XXXI  V.  Analogue  à  l'article  56.  325 

Note  XXXV.  Analogue  à  l'article  58.  32S 

Note  XXXV  1.  Analogue  à  l'article   50.  327 

Note    XXXVII.  Analogue  à  l'article  61.  329 
Notes   XXXV  III.  XXXIX-  XL.  Analogues  à 

la  Seâion  4e,   confiièrèe  en  général.  33z 

Note  X  L  1.   Analogue  à  l'article  66.  34° | 

Note    XL1I.    Analogue  à  l'article  67,  344 

Note    X  Ll  1 1.   Analogue  à  l'article  68.  344 

Note  XLIV.    Analogue  à  l'article  69.  344 

Note    X  L  V-   Analogue  À  l'article  70.  345 

Note  XLVI.  Analogue  à  l'article  71.  34ô 

Note  X  L  V  I  1.   Analogue   à  l'article  72.  348 
Note    X  L  V  I  I  I.   Analogue  à  l'article    73.          3*0 

Note   X  L I  X.  Analogue  à  l'article  74.  330 


380  TABLE. 

NoTB   L.    Analogue  aux  principaux  articles  de  la  $:, 

Section.  q  s  2 

Note   L  I.  Analogue  aux  principaux  articles  de  la  6e. 

Section.  33$ 

Note    L 1 1.  Analogue   aux  principaux  articles  de   la 

7e  feciion.  ^Sz 

Note    LUI.   Analogue  au*  principaux  articles  de  la 

Se.  feciion.  3&4 

Note    L  I  V.   Analogue  aux  principaux  articles  de  la 

pe.  feâion.  j6 \g 

Note   L  V.  Analogue  à  la   l6"e.  feâion  conjidèrée  en 

général.  jy^ 

F  IN. 


Fautes  a,  corriger. 


Page       6     ligne  20       -      life\     -. 

page  12  ligne  4  ayypx  life\  ayydx.  Ces 
deux  fautes  ne  font  que  dans  quelques  exem- 
plaires. 

page      38  ligne   20     de     life\     des 

page      46  ligne  24  NQ.    Ufe\    MQ. 

page     65  ligne  20    xx     Hfe\    xx 

page     1 3  3  ligne  2  3   forre   Ufeç    forte 

page     195  ligne     7  Q.G     Hfei   .QG 

page     297  ligne    19    aXy    life\    axy 

page       338    ligne       7     lJft\   dxx-\-dy1-  }/dxz-hdy* 

— 1  dr.diy