Analyse des équations déterminées

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ANALYSE

DES ÉQUATIONS.

DE L IMPRIMERIE DE A. FIRMIN DIDOT ,

IMPRIMCUft DU FOI KT DE l.'lKSTITUT, RL'f. JACOB, N^ a^.

ANALYSE

ÉQUATIONS DÉTERMINÉES.

Par m. FOURIER,

«I. Dm FBAMCE, SBCBKTJtÎBE PEKfiTDEL DB L'tCADillII S

PREMIERE PARTIE.

PARIS,

CHEZ FIRMIN DIDOT FRÈRES, LIBRAIRES,

RUE JACOB, N* a4-

i83o.

r\

(XV\\y

Zv^.^o

AVERTISSEMENT

DE L'EDITEUR.

Ju JMPR£Ssioj^ de cet ouvrage était à peine commencée lorsque la mort
a frappé l'auteur, qui avait entièrement consacré aux sciences les der-
nières années de sa vie. Il a pu jeter les yeux sur les quatre premières
feuilles, mais aucun ordre pour le tirage n'avait encore été donné.
M. Fourier avait formé le projet de publier ses travaux sur l'analyse
algébrique en deux parties , dont l'une devait comprendre llntroduction,
un Exposé général du sujet, et les deux premiers livres. La deuxième
partie, comprenant les cinq derniers livres, aurait été imprimée dans
le cours de l'année -suivante. En jetant un premier coup d|œil sur les
papiers qui nous ont été remis , il nous avait paru que la rédaction de
la première partie était entièrement achevée, et qu'il ne restait plus qu*à
livrer le manuscrit à l'impression. Mais un examen plus attentif a fait
reconnaître qu'il manquait au second livre les détails annoncés dans les
n"** a et 19, et qui ont pour objet d'apprendre à régler les calculs d'ap-
proximation des racines de manière à n'effectuer que des opérations
nécessaires, et à ne déterminer jamais que des chiffres exacts. L'auteur
avait seulement commencé, sur deux feuillets séparés, la rédaction de
cet article. Cette rédaction a été complétée avec l'aide d'anciens manu-
scrits, et l'on y a ajouté comme exemple le calcul de l'approximation
delà racine de l'équation x^ — 2x— 5=o, que l'on a portée facilement
jusqu'à la 3^^ décimale. Cette addition a été intercalée dans le deuxième
livre, à la place que l'ordre des matières indiquait: elle commence à
l'article a4 et finit à l'article 3o inclusivement. Tout le reste de l'ouvrage
a été imprimé conformément à la rédaction préparée par l'auteur. Les
légers changements, en fort petit nombre, qu'exigeait l'exactitude ne
méritent pas d'être mentionnés.

A l'égard des livres suivants le travail n'en est pas à. beaucoup près
aussi avancé. Les matériaux existent à la vérité en grande partie, et
FEzposé synoptique que l'on publie aujourd'hui fait connaître d'une

I. a

ij AVEETISSEaiENT DE L'ÉDITEUR,

manière générale le sujet de l'ouvrage et l'ordre que l'on se proposait
de suivre. Cet ouvrage peut donc être en quelque sorte restitué, et
les recherches qui devaient en former le sojet ne seront point perdues
pour les progrès des sciences. Mais quelques soins que l'on puisse y
apporter, il manquera toujours aux. parties à la rédaction desquelles
l'auteur n'aura pas mis lui-même la dernière main, sans parler du mérite
du style, cet intérêt qu'un esprit supérieur répand toujours sur un sujet
dont il s'est occupé pendant tout le cours de sa vie, et qu'il a appro-
fondi par de longues méditations.

L'examen des questions qu'il était nécessaire de résoudre pour per-
fectionner l'analyse algébrique sont un des premiers objets qui aient
occupé M. Fourier. Les travaux de Viete, d'Harriot, de Descartes, de
Newton , et ceux même des grands géomètres qui ont brillé dans le der-
nier siècle, avaient laissé imparfaite ce qu'on peut nommer la partie
pratique de l'algèbre, c'est-à-dire les procédés au moyen desquels on
distinguerait avec promptitude et sûreté la nature des racines d'une
équation , et l'on en obtiendrait une évaluation numérique exacte ou
très-approchée. Les difficultés les plus importantes sont aujourd'hui
complètement résolues. Au moyen des propositions nouvelles qui ont
été découvertes par M. Fourier , on peut employer avec sûreté les diverses
méthodes d'approximation proposées pour le calcul des racines , et ces
méthodes ont reçu tout le développement et la perfection qui étaient à
désirer. Nous centrerons ici dans aucun détail à ce sujet. La Préface ^
riiCTUoDUCTioN et l'ExposÉ SYNOPTIQUE, apprendront au lecteur, mieux
que nous ne pourrions le faire, la nature et l'étendue de ces recher-
ches, quel est l'esprit dans lequel elles ont été entreprises, et sous quel
aspect l'auteur a considéré l'analyse algébrique. Mais nous nous pro-
posons de faire connaître, au moyen des documents certains que nous
avons sous les yeux, les diverses époques auxquelles les principaux ré-
sultats qui sont exposés dans cet ouvrage ont été obtenus et mis au jour.

Le plus ancien de ces documents est une copie d'un mémoire intitulé
Recherches sur Vatgèbre, Cette copie est incomplète : il ne reste que les
vingt-huit premières pages. L'écrivain avait laissé en blanc, dans plu-
sieurs endroits, la place des signes algébriques qui ont été en partie
écrits par M. Fourier. La dernière feuille porte l'attestation suivante,
donnée par une personne qui est vivante , et dont l'exactitude et la vé-
racité ne peuvent être suspectes.

a Je soussigné, ancien professeur de mathématiques et de physique au
collège JAuxerre, certifie que ce mémoire sur l'algèbre, composé de

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR. iij

quatorze feuillets que j'ai cotés et paraphés , est écrit (les notes et cor-
rections exceptées) de la main de M. Bonard, ancien professent de
mathématiques à l'école royale mihtaire d'Auxerre, décédé en 1819;
qu'à mon retour de l'école Normale en 1 795 , il me le montra , en me
parlant avec admiration de son auteur M. Fourier^ son ancien élève, qui
professait alors l'analyse à l'école Polytechnique, et qui l'avait composé,
me dit-il, étant à peine âgé de dix-huit ans; et il ajouta qti'une copie
plus soignée de cet écrit avait été envoyée à Paris en 1787. Auxerre, le
26 mars 1826. Signé Roux. » La signature de M. Roux est légalisée par
M. le maire d'Auxerre.

Nous donnons un extrait de la partie de ce mémoire qui a été con-
servée.

Article 1^'. L'auteur remarque que les équations du premier degré
sont résolues par la division numérique ou littérale, les équations binômes
par les extractions de racines, et que s'il existe une méthode générale
pour la résolution des équations, elle doit être analogue à ces opéra-*
lions qui n'en seraient que des cas particuliers.

II. Imperfection des méthodes connues.

III. Examen des méthodes particulières des 2®, 3® et 4® degrés. On se
propose dans la résolution des équations du 3^ et du 4^ degré d'exprimer
chacune des racines par une suite de radicaux , afin de n'avoir plus qu'à
évaluer ces expressions selon les valeurs particulières des coefficients de
l'équation donnée; en sorte que tout l'artifice consiste à exprimer les
racines de l'équation par certaines fonctions des racines d'équations
binômes qui sont censées résolues. On remarque à ce sujet i^ que cet
artifice n'est d'aucun usage pour les équations littérales, si ce n'est pour
celles du a® degré, et qu'ainsi si l'on peut trouver une îméthode géné-
rale pour résoudre ces équations, il faut pour atteindre ce but suivre
une route différente; a® qu'à l'égard des équations numériques, pour
que la solution en soit complète, il faut, indépendamment de la solution
de ces équations, pouvoir évaluer chacun des radicaux qui composent
l'expression <les racines : or on peut prouver que cette évaluation sup-
pose la résolution de certaines classes d'équations non moins composées
que celle qu'on veut résoudre, et ceci a lieu même dans le 2® degré
que l'on regarde comme entièrement résolu. L'auteur entre dans les
détails nécessaires pour justifier cette assertion. Il remarque par exemple
que l'extraction de la racine carrée du nombre 12346678 suppose la ré^
solution des quatre équations suivantes , a?" — 12=0, af"+6ox — 334=o,

/r*+7oo;c — 936=o, et a:*+702oar — 25578=0, dont la première seule

» »

a.

iv AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR.

est binôme, et qui sont telles que, résolues h moins d'une unité près,
une racine de chacune est un chiffre de la racine cherchée. De plus si
Ton voulait appliquer la méthode du a^ degré à Tune de ces équations,
on serait conduit à résoudre d'abord toutes celles qui la précèdent , puis
elle-même. Cette remarque s'étend à tous les degrés , et en général une
simple extraction de racine numérique suppose la résolution d'autant
d'équations du même degré qu'il doit y avoir de chiffres à la racine : la
première seulement de ces équations est binôme, les autres ont tous leurs
termes; et leur racine, qu'il faut obtenir à moins d'une unité près, est
un chiffre de la racine cherchée. La nature de ces équations est telle
qu'il suffit pour les résoudre de faire l'essai des neuf premiers nom-
bres.

ly. En ayant égard aux remarques précédentes , à l'inconvénient des
cas irréductibles, qui se présenteraient sans doute dans tous les degrés,
aux expressions incommensurables, tandis que les racines ne le sont
pas, à la complication des expressions et à la difficulté extrême de ré-
soudre tous les degrés de la même manière , enfin à ce que les formules
ne s'appliquent pas aux équations littérales, on est porté à croire que
ces moyens sont indirects, et que Ton peut leur en substituer de plus
simples et de plus généraux. L'auteur a donc considéré la résolution
des équations sous un point de vue différent des méthodes ordinaires,
en regardant la résolution des équations numériques de tous les degrés
comme une opération arithmétique absolument de la même nature que
les extractions de racines, et la résolution des équations littérales comme
une question semblable dans tous ses points aux extractions algébriques
des racines littérales. Il termine cet article par ces deux remarques:
] ^ que dans la résolution des équations littérales on doit supposer celle
des équations numériques ; a® que pour trouver un chiffre quelconque
d'une racine d'une équation numérique on ne peut se dispenser d'éprouver
successivement la suite des nombres naturels depuis i jusqu'à 9.

Les articles Y^ et suivants sont consacrés k la résolution des équations
littérales. Nous indiquons seulement ici les sommaires de ces articles
qui contiennent l'énoncé des principales règles, sans démonstration.

V. Remarques préliminaires.

YI. Règle pour connaître successivement les premiers termes des
racines.

YII. (Le contenu de cet article est effacé.)

YIII. Règle pour connaître le second terme d'une racine dont on
connaît le premier.

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR. v

IX. Règle pour connaître un terrae quelconque d'une racine dont on
connaît le ternie précédent.

X. Réflexions sur la roéthode précédente.
XL Applications de la méthode précédente.

XII. Extraction d'une racine carrée.

XIII. Équations indéterminées dans lesquelles on suppose l'une des
variables infinie ou infiniment petite.

La suite du manuscrit traite de la résolution des équations numé-
riques.

L'article XIV contient des remarques sur le théorème de Descartes.
L'auteur avance que l'énoncé de ce théorème n'est point borné au seul
cas où l'équation a toutes ses racines réelles, et il se propose d'établir
deux vérités nouvelles. La première consiste en ce que le théorème dont
il s'agit dort être entendu de la manière suivante : « i^ Quelles que soient
les racines d'une équation dont aucun des coefficients n'est zéro, elle
ne peut avoir plus de racines positives que de changements de signe ,
et plus de racines négatives que de permanences. S'il y a moins de
. racines positives que de variations, et moins de racines négatives que
de permanences, celles qui manquent sont imaginaires, en sorte que
si l'équation a toutes ses racines réelles, il y a autant de racines posi-
tives que de variations de signe, et autant de négatives que de perma*
nences. 2? Il ne peut manquer qu'un nombre pair de racines positives
et un nombre pair de racines négatives , en sorte qu'une équation qui
aurait un nombre impair de permanences ou un nombre impair de
variations , aurait dans le premier cas au moins une racine réelle néga-
tive et dans le second au moins une racine réelle positive, y*

XV. La seconde vérité que l'auteur entreprend d'établir est purement
historique : elle consiste en ce que Descartes a connu au moins la pre-
mière partie de la proposition précédente. Cette assertion est justifiée
en montrant que l'on doit attribuer aux expressions employées par ce
grand géomètre un sens différent de celui que De Gua leur a prêté.

XVI. L'auteur pense que l'on ne doit pas supposer, comme l'insinue
De Gua, que Descartes n'ait trouvé son théorème que par induction.
En effet il est possible de déduire de la composition des équations une
démonstration purement algébrique de ce théorème.

XVIL Cet article est employé à développer cette démonstration. Elle
consiste à prouver que si l'on considère un produit quelconque formé
par la multiplication de plusieurs facteurs imaginaires trinômes, et réels
binômes positifs ou négatifs, et que l'on multiplie ce produit par un

Tj AVERTISSEMENT DE UÉDITEUR.

nouveau fkcteur positif, ou par un nouveau facteur négatif, la multi-
plication introduira dans le premier cas au moins une variation de sif^ne
de plus, et dans le second cas au moins une permanence de plus; d où
il suit qu'une équation a au moins autant de variations de signe que de
racines positives, et au moins autant de permanences de signe que de
racines négatives; ou bien, conformément à l'énoncé de Descartes, qu'i/
peut y avoir dans chaque équation autant de racines réelles positives
qu'il y a de variations , et autant de racines réelles négatives qu'il y a
de permanences de signes.

XVni. L'auteur explique la formation d'une courbe parabolique dont
la description fait connaître la nature des racines d'une équation. On
considère l'inconnue x comme une abscisse , et le premier membre de
l'équation comme exprimant la valeur d'une ordonnée correspondante^*
Les points d'intersection de la courbe avec Taxe donnent les racines
réelles positives ou négatives. Il y a toujours au moins autant de racines
réelles que la courbe coupe de fois son axe<, L'auteur dit au moins parce
qu'il peut arriver que quelques-unes de ces racines coïncident en un
point multiple. Si le nombre de ces racines égales entre elles est pair,
la courbe touche son axe en donnant de part et d'autre du point de
contact des ordonnées de même signe ; dans le cas contraire la coiui>e
coupera son axe en donnant des ordonnées de signe différent de part
et d'autre du point d'intersection. Lorsque la courbe s'approchant de
son axe ne parvient pas à le couper, il y a un point de minimum : dans
ce cas deux racines sont imaginaires. Il peut arriver aussi que plusieors
racines soient imaginaires sans qu'il y ait dans ces. points autre chose
qu'une inflexion , ou même sans que la courbure de la ligne parabolique
soit altérée par aucune singularité.

XIX. Cet article indique la manière d'appliquer la considération des
courbes dont il s'agit à la théoriedes équations. 7=:r" -h/? a:"-'4- etc. étant
l'équation d'une courbe parabolique , on suppose que cette équation ayant

été différentiée , on en ait tiré successivement les expressions de -^ ,

v~T> "T^ ♦ ^^^"> ^^ enfin celle de — ^ qui sera toujours une constante.

Chacun de ces rapports étant regardé comme l'ordonnée d'une courbe
dont les abscisses sont les mêmes que celles de l'équation proposée , on
imagine que toutes ces courbes sont décrites sur les mêmes axes^ en
ayant un point commun pour l'origine des abscisses. Cela posé , il exis-
tera entre trois quelconques de ces courbes, pourvu qu'elles soient con-

AVERTISSEMENT DE I^'ÉDITEUR. vq

•

sëcutiTes, Les relations suivantes, i^ Les ordonnées croîtront ou dimi-
nueroiil eii faisant croître Tabscisse correspondante selon qu'à cette même
abscisse répondra dans la seconde courbe une ordonnée positive ou
négative. Si cette ordonnée de la seconde courbe est zéro , il y aura au
point correspondant de la première un maximum où un minimum , ou ^
pour parler plus exactement , la tangente sera parallèle aux abscisses.
!à^ £n un point quelconque de la première courbe , la ligne sera convexe
oo concave selon que le point correspondant de la troisième appartiendra
à une ordonnée positive ou à une ordonnée négative. Si cette dernière
ordonnée est zéro , le point considéré de la première courbe est un point
d'inflexion visible ou invisible. Ces principes sont d'une application
féconde dans la question présente , parce qu'en vertu de la dépendance
réciproque des courbes on peut juger facileinent des propriétés de la
première courbe en décrivant successivement toutes les autres en corn-*
mençant par les moins composées.

XX. L'auteur montre que les considérations précédentes font connaître
cdmplètement la nature des racines d'une équation du 3^ degré qu'il a
prise pour exemple^

XXL II remarque que dans cette équation la suite des signes des
ooeffîcients est telle que la nature des racines est entièrement déter-
minée, mais qu'il petit arriver, et ce sont les cas les plus fréquents^
que cette suite de signes ne soit pas suffisante. On peut être incertain ,
par exemple, si deux racines sont réelles où imaginaires , parce que
l'on ignore si la courbe coupera son axe ou si elle feindra seulement
de le couper. Il faudrait pour faire cette distinction employer non-seu-
lement les signes, mais les valeurs des coefûcients, ce qui supposerait
la résolution des équations, qui est l'objet même de la recherche. On
rencontre d'ailleurs des cas, et c'est alors que l'on doit employer la
méthode précédente , où certains coefficients étant égaux à zéro , la na-
ture des racines est entièrement connue.

XXII. On remarque que, pour la description de chacune des courbes
SQccessives, on ne fait usage que de son ordonnée correspondante à
Forigine des abscisses; qne cette ordonnée est toujours le produit d'un
des coefficients de l'équation par un Êicteur numérique positif introduit
par la différentiation ; enfin que l'on n'emploie que le signe de ce coef-
ficient. D'après cela on se propose cette question : Étant donnée la suite
des signes des coefficients d'une équation, trouver dans tous les cas
quelle est ou quelle peut être la nature des racines. On décrira donc suc*
cessivement toutes les courbes, au moyen des deux principes qui ont été

viij AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR.

énoncés précédemment, en commençant par la plus simple, et la der-
nière indiquera par ses points d'intersection avec Taxe le nombre des
racines, soit existantes, soit possibles. En effet dans la description de
plusieurs courbes on ignorera si deux racines doivent être faites réelles
ou imaginaires; mais dans ce cas il faut toujours les supposer réelles,
afin de connaître le plus grand nombre possible des racines. Au reste
il sera toujours facile, par les mêmes moyens, de trouver de quelle ma-
nière l'imaginarité des racines de quelques courbes précédentes peut
influer sur la nature des racines de la dernière courbe.

XXIII. La solution de la question précédente donne lieu à plusieurs
applications. On en déduit immédiatement la démonstration de la pre-
mière partie du théorème de Descartes, eu premier lieu pour le cas où
réquation proposée n'a pas de racines imaginaires, puis pour toutes les
équations. La seconde partie du théorème de Descartes est évidente
dans tous les cas où aucun des coefficients n'est zéro. Dans ce dernier
cas on trouvera facilement la troisième partie. Lorsqu'il manquera quel-
ques termes dans une équation on appliquera le théorème de Descartes
de la manière suivante : si le nombre des termes qui manquent est pair,
on comparera seulement les deux termes subsistants séparés par ceux
qu'on suppose évanouis, et la combinaison qu'on trouvera entre eux
indiquera une seule racine, toutes les autres étant imaginaires; si le
nombre des termes évanouis est impair^ on comparera seulement les
termes subsistants qu'ils séparent. Si ces deux termes font une perma-
nence, on n'en conclura aucune racine; s'ils font une variation on en
conclura deux racines, l'une positive, l'autre négative. En appliquant
la règle précédente on parviendra aux propositions connues sur les équa-
tions binômes et trinômes.

XXIV. L'objet de cet article est la recherche des limites des racines
d'une équation, recherche qui se réduit toujours à la solution du pro-
blème suivant: Deux nombres étant proposés, trouver combien l'équa-
tion a de racines entre ces deux nombres. Les principes précédents peu-
vent être appliqués de la manière suivante à la recherche dont il s'agit.
Supposons qu'on ait reconnu qu'une équation peut avoir cinq racines
positives , et qu'on demande combien elle peut avoir de racines entre o
et un nombre positif, cqmme lo. Substituant dans la proposée a:+ lo,
on diminuera chaque racine de lo unités. Admettons maintenant que
la transformée ne puisse plus avoir que deux racines positives : on en
conclura qu'il peut y avoir trois des racines positives de la proposée
entre o et i6. On dit « qu'il peut y avoir », parce qu'il peut arriver que

.*

AVERTISSEMENT DE L^ÉDITEUR. ix

iioelques-unes de ces racines soient imaginaires , mais elles seront tou-
jours, en noml:ire pair. Ainsi daiis l'exemple cité deux des racines entre
Q et 10 peuvent être imaginaires, mais il y en a au moin une qui est
réelle. En disant que deux racines peuvent devenir imaginaires entre o
«t lo, on ne prétend pas d'ailleurs donner des limites aux racines ima«»
ginaires*, mais énoncer seulement que si ces racines existent elles se
trouvent entre o et lo. Au reste il est facile de voir que les racines qui
seraient imaginaires ne peuvent être limitées que deux à deux , quatre
àq uatre y et ainsi de suite. En général si le nombre des racines comprises
entre deux limites est pair , on ignore si ces racines sont réelles ou ima-
ginaires ; mais si ce nombre est impair, on est assuré qu'entre ces limites
U se trouve au moins une racine réelle, t^ar conséquent pour qu'il n'y
ait plus aucun doute sur la nature des racines, il faut ou que chacune
d'elles se trouve entre deux limites, ou que, par un moyen quelconque,
on soit assuré si celles qu'on ne peut limiter ainsi sont réelles ou ima-
ginaires. En effet , quoique deux racines se trouvent toutes deux entre
deux limites très-rapprochées, on n'en peut pas conclure qu'elles soient
imaginaires , parce qu'on est toujours censé ignorer si en resserrant ces
limites on ne parviendrait pas à séparer les racines. U faut donc un* ca-
ractère auquel on puisse reconnaître l'imaginarité de ces racines , et c'est
le défaut de ce caractère qui rend entièrement défectueuse la méthode
des cascades. On trouvera deux moyens de s'assurer de l'imaginarité des
racines. Au reste cette dernière recherche, en y procédant directement,
est peut-être ce qu'il y a de plus difficile dans la question présente.
L'auteur termine cet article en annonçant qu'il va passer aux règles
pour la résolution des équations numériques , par lesquelles il se pro-
pose de trouver les valeurs exactes des racines commensurables, les
valeurs des racines irrationnelles aussi approchées qu'on le voudra, enfin
de discerner celles des racines qui sont imaginaires. Si ces règles sont
bien conçues il faut qu'elles tiennent lieu de la division numérique , de
l'extraction des racines de tous les degrés, et surtout qu'elles ne puis-
sent manquer de conduire au but dans tous les cas imaginables. U suffît
d'ailleurs de donner des règles pour les racines positives, parce que les
négatives peuvent facilement être rendues positives.

XXY. Cet article est intitulé: Règle pour connaître le nombre de
chiffres d'une racine quelconque et le premier de ces chiffres. lïous le
xropions textuellement. « On substituera o: + i à la place de l'inconnue
f&n observant de. commencer la substitution par les plus hautes puis-
sances de ^, de disposer verticalement toutes les parties de ohaoun des
T. b

T ATERTISSEMENT DE LlDnïUR.

coefficients mnnénquesy de ne fiûre anenae réductioH dans ces coett-
eients, enfin d^indiqner par des zéros eeUes des parties des coefBcîenta
qui monquanùent dans quelques cas particnliers. Toutes ces particcH
larités étant observées , lorsqu'il s'agira de substituer dans la proposée
pour l'inconnue x+ un terme numérique que je représente par N, on
procédera ainsi à cette substitution. Dans la transformée par jr-h i
on multipliera par N la première partie d*uti- coefficient de x ; rédui-
sant le produit avec la même partie du même coefficient, on liiuF*
tipliera le résultat par N. Ott continuera ainsi d'opérer sur le résultat
en le multipliant par la troisième partie et multipliant le résultat par N
jusqu'à ce qu'on ait fak la réduction de la dernière partie, auquel cas
le résultat de cette réduction sera le coefficient num^que qui , dans fat
fnmsformée par j? -h N , doit accomfpagner la puissance de x dont on
Tient de considérer le coefficient. Par ce moyen on formera la table sui*
TaitCe. On écrira les nombres o, i , lo, loo, en les disposant verticale*
nient. A côté de chacun d^e ces nombres on écrira les signes seulement
des termes des fran^rmées par x + o^ x + i ^ x+ lo, x+ loo, etc. ^
en continuant cette opération jusqu^à ce qu'une des transformées n'ait
que des signes positife , ce qui ne peut jamais manquer d'arriver. Alors
entre deux de» nombres o , r , lo , loo , etc. il j aura autant de racines
possibles que la transformée par le premier nombre aura de variations
de plus que la transformée par le second. On connaîtra donc le nombre
des chiffres qui composent l'expression de chacune des racines. Je sup-
pose présentement que l'une des racines ait été trouvée avoir trois chif»
f res : pour en connaître le premier on écrira les nombres aoo , 3oo ,
4oo y etc. , à côté desqaels on rangera les rignes des transfermées donnés
par chacun de ces nombres; puis on jugera par la combinaison des
signes quels sont les deux nombres consécutifs entre lesquels se trouve
la raeine cherchée, c'est-à-dire qu'on déterminera le premier chiffire
de la racine. •

XXYI. L'intitulé de cet article est : R^le pour trouver un chiffire
quelconque d'une racine dont on connaît le chiffire précédent. Nous en
donnons encc^e la copie textuelle. « On suppose que dans Fexerapite
précédent on ait connu que la-racine se trouve entre 600 et 700, auquel
cas so» premier chiffre est 6. On cherchera Ba transformée par x + 600^
qu'on a déjà calculée , puis appliquant à cette équation la règle précé*
dtente, on trouvera: le premier chiffi^ de la racine qni n'est composée que
dedeux cfaiffires. Ce premier dnffire sera le second* de la racine demandée.
GennsMMmtoe second ckÂffpty que je suppose 4 9 dans la transformée

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR- ^

fat x+IiOf qu'oA aura cakulée précédemment, ou chertherale pre*
mier chiffre d'une racine qui ût xi\pins de deux chiffres : ce premier
chiffre sera le troisième cherché. En général on observera la règle sui-
vanle. On choisira la ^ran^ocmée •donnée par la substitution de jr plus
la partie de la racine qui ^ent d'être .décomicerte. On ohereheca par les
sègles précédentes le premier cfaififee de celle de toutes ses racines qui
mica te moins de chiffires : ce premier chiffre sera celui qui dans la
Badse demandée snk ceux que Ton connaît déjà. Si {rfusîears racmes
de cette transformée doivent avoir un même moindre nombre de dnf»
fines 9 on pourrait eboisîr celle qu'on voudiaît de ces jradnes. On contt»
Biuera d'appliquer •cas règles jusqu'à ce qu'on ait troové tons les chifiireà
de la racine 9 anqiiei cas, si la vnkur est entière , on ive pourra manquer
de la connaître. Si la iracine est incommensurable on Perchera par le$
mêmes principes autant de dûffres décimaux qu'on le Jugera néces*
^aire* »

XXV IL L'auteur ranarque qu'en appliquant la méthode précédente^
ai deux ou plusieurs racines doivent avoir q[uelquefi-uns de leurs pre*
miers chiffras communs , on trouvera ces premiers chifSres multiples. Si
deux racines devaient être imaginaires on trouverait par cette méthode
une suite de dbi£6res doubles pour l'expression de ces racines. Par cou*
séquent si dans la recherche des racines on en trouve deux ou un plus
grand nombre qui soient incommensusahles, et en mâme temf» telles
que les chiffres des unités entières et d'approximation soient mulliplea
doubles , par exeoiple , on sera dans l'incertitude sur la nature de ces
racines y c'est^à-^lire si ellei» smit égales et inoomoiensurables^ in^les et
incommensurables^ ou bien imaginaires. A la vépté il est £aicHe de s'assurer
par les méthodes coïmues si le prenaôer cas a lieu , mab on ne peut dis-
tinguer les deux autres^ Il manque donc ioi un caractère auquel on
puisse reconnaître si les deux racines sont imaginaires. La question con*
siste , dans le cas où deux racines seraient exprimées par plosieurs chif-
fres communs à l'une et à l'autre, à trouver si ces deux racines sont
inégales ou si elles sont imaginaires.

XX VIIL Cet article est intitulé : Première Solution de la question pré**
cédente. Cette solution consiste à chercher une quantité moindre que
la plus petite différence de deux racines de la proposée* On substitue
x+j^ à la place de x dans la proposée, puis on élimine x entre la trans*
formée qui en résulte et la proposée elle-même. L'équation finale en^
est du degré m? : elle aura m racines égales à zéro , et par conséquent
sera, en divisant par /autant de fois qu'il sera nécessaire, du degré

b.

»j AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEtJR.

m(m'^i). Tous les termes pairs manqueront toujours. Ainsi faisant

^ = jB , l'équation en z sera du degré — ^ L Dans cette dernière équa-
tion on cherchera par les règles précédentes une quantité plus petite
que la plus petite racine positive , c'est-à*dire une quantité telle que la
transformée que donnerait la substitution de z plus cette quantité ait les
mêmes signes que Féquation en z , ou au moins qu'elle ai t le même nombre
de variations. Soit d cette quantité : [/^ sera plus petite que la plus petite
racine positive de Téquation en y. On approchera des racines dont il
8*agit jusqu'à ce qu'elles ne puissent différer que d'une quantité plus petite
que [/^d* Si en faisant cette approximation ces racines se séparent, elles
sont réelles. Si y cette approximation fiaiite, elles sont encore exprimées
par les mêmes chiffres, elles sont imaginaires si leur nombre est pair,
et dans le cas contraire une seule d'entre elles est réelle.

XXIX. L'auteur remarque « que cet artifice peut faire reconnaître 1er
racines égales; qu'on peut aussi s'en servir pour reconnaître si une
équation proposée a ou n'a pas toutes ses racines réelles, et que c'est
pour cet usage même qu'il a été imaginé. Toutes choses étant comme
dans l'article qui précède , si l'équation en js a toutes ses racines posi*
tives , ou , ce qui revient au même , si ses termes ont alternativement
les signes + et — -, la proposée n'a pas de racines imaginaires, et réci-
proquement. On peut aussi par ce moyen connaître dans bien des cas le
nombre des racines imaginaires. Au reste tous les cas possibles sont
prévus dans l'énoncé des règles précédentes. On trouvera dans les ap*
plications qui suivent des moyens plus directs et plus faciles pour dé-
couvrir l'imaginarité des racines. On se contentera de les appliquer à
quelques exemples qui suffisent pour faire voir qu'ils sont généraux ,
et qu'il ne leur manque que d'être mis en ordre et réduits à une pra<»
tique facile. »

XXX. Cet article est le dernier de la partie du manuscrit qui a été
conservée. Le discours est interrompu à la fin du i4^ feuillet ou de la
a8^ page, et sur cette dernière page, aussi bien que sur une partie de
Favant- dernière, lés intervalles laissés en blanc par l'écrivain pour y
placer les lettres et signes algébriques n'ont point été remplis. Les
figures indiquées dans le texte n'existent pas non plus. Nous rapporte-
rons ici le premier et le dernier des exemples donnés par l'auteur. Étant
proposée l'équation

;ç3 — 5f j:* + 524^ + ^760=0,

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR. xiij

on connaît d*abord que cette équation ne peut avoir que deux racines
positives et une négative. La racine négative est sûrement réelle; mais
les deux positives pourraient être imaginaires. Pour trouver les racines
positives on opérera comme il suit. Substituant ar+ i au lieu de ar, on
aura la transformée suivante.

— 5i — loa 4- 5i

+ 2760.

^^

Appliquant les règles prescrites , on formera la table suivante ,

o + — + +

I.... -H .-« 4- +

10.*.. ...4- — — +

100 ......4- + + +.

On connaît à l'inspection de cette table que les deux racines ne sont
ni entre o et i, ni entre i et 10, mais qu'elles se trouvent toutes deux
entre 10 et j 00 ; qu'ainsi chacune d'elles est exprimée par deux chif-
fres. Pour trouver la plus petite de ces deux racines on formera par
une pratique extrêmement facile la table qui suit.

ao -H + — +

3o + + + ~

4o..' + -*- + +.

Cette table fait connaître que la première racine est entre 20 et 3o, et
la seconde entre 3o et 4o. Ainsi 12 est le premier chiffre de l'une et 3
est le premier chiffre de l'autre. Pour trouver le second chiffre de la
première on substituera dans la proposée a:+ao à la place de o:, et
l'on trouvera

ûc^ + Qx* — 3i6a:4-84o=o, *

équation dans laquelle le premier chiffre d'une racine exprimée par un
seul chiffre sera le second demandé. Faisant dans cette équation a:=a: -i- 1 ^
4>n aura

x^+3x^ + 3ar+ i

+ 9 + 18 + g

— 3i6 — 3iG

-+•840

\

I

xiv AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR.

et d'après cela

o + + — +

a* + -I- _ ^

3. + + — o

3 étant donc la racine de la proposée exprimée par un seul chiffre , est
le second de la racine cherchée qui est par conséquent a3. On pour-
rait de même trouver la seconde racine, qui est incommensurable, en
cherchant son second chiffire, puis autant de chiffres décimaux qu'oa
Toudra Fexiger. Le dernier exemple présenté par l'auteur est Féquation

a^ — 5ar + 6=o,

qui a sûrement une racine réelle négative, et peut avoir deux racines
positives. L'auteur cherche d'abord la racine négative , dont le premier
chiffre est — ^a. Quant aux deox racines positives, il procède de cette
manière. Substituant ar+ i à la place Xy il a en premier lieu

■

V

'—5 —5

+ 6;

il forme ensuite le tableau

o. ....... + o —

l + + —, +

lo + -4- +

puis le tableau

I -h + —

a + -f- +

Les deux racines se trouvent entre i et a, et l'on peut soupçonner
qu'elles sont imaginaires. L'auteur reconnaît en premier lieu que les deux
racines sont effectivement imaginaires , en formant l'équation au carré
des différences, au moyen de laquelle on voit d'abord que la proposée
ne doit pas avoir toutes ses racines réelles, et de plus que l'unité est
plus petite que la moindre différence des racines de la proposée, d'où
il résulte que les racines cherchées sont nécessairement imaginaires ,
puisqu'elles seraient comprises entre i et a. Il ajoute ensuite les remar*
ques suivantes, que nous copierons textuellement. «On peut s'assurer

AVEHTISSÎMÉIST DE L'ÉDITEUR. xt

de cette ima^narité d'une autre manière , et on va donner une idée de
eette seeonck méthode, qui est plus directe et plus expéditive que la
précédente, en l'appliquant à ce dernier exemple. Si en effet on y applique
les principes précédents , en décrivant les courbes qui précèdent celle
qui doit représenter les racines de la proposée , on ne trouvera rien d'in-
déterminé. Mais à l'égard de cette dernière on ignorera si dans la des*
cription la courbe atteindra on n'atteindra pas la partie positive de l'axe;
car pour la partie négative il n'y a aucun doute. Dans le premier cas,
que représente la 5® figure, les deux racines sont réelles et positives;
dans le second (fig. 6^) ces deux racines manquent à Féquation. La
question est de trouver lequel de ces deux cas a lieu. Pour cela je place
dans les deux figures les axes désignés par les chiffres et , de

manière que le premier donne par ses intersections avec toutes les courbes
la suite donnée par la substitution de et que le

McQSid donne la suite • Alors je remarque que si la

figure 5* doit avoir lieu , c'est-à-dire si les racines doivent être réelles ,
la- sous-tangente de la dernière courbe au point où Taxe des ordonnées
coupe cehn des abscisses ne peut atteindre la [H'emière des racines. J'ob-
serve que dans le cas de la 6^ figure il est possible que cette sous-tan-
gentè qui répond à l'axe conduise au-delà du minimum , c'est-à-

dire que l'axe placé à son extrémité peut donner la suite

. Que conclura-t-on donc de cette remarque dans le cas pré-*
sent? qu'il feut calculer la sous-tangente qui répond à l'axe , exa-

miner si Taxe placé à son extrémité donne la suite des signes
Dans ce cas on est assuré que les deux racines cherchées sont imagi-
naires. Si cet axe donne* encore deux variations^ jtl restera encore le
même doute sur la nature des racines. Que faudra-t-il donc faire alors?
calculer un nouveau chiffre pour les deux racines. Si ce chiffre est encore
commun on réitérera l'examen de la sous-tangente, et on continuera ainsi
jusqu'à ce que les deux racines se séparent, ou que la sous-tangente en
indique Fimaginarité : car il est impossible, si les deux racines ne sont
pas égales , que l'un de ces cas n'arrive pas. Or dans tous les cas , en se
servant de la méthode des courbes, il ne peut y avoir de doutes que sur
la nature de deux racines. Ainsi on peut toujours employer Tartifice
précédent, qui, comme on va le voir, est d'une pratique très-facile.
Jj'expression de la sousrtangente est . Dans le cas présent ,

c*est-à-dire au point où répond l'axe , l'ordonnée est , et la

tangente ou l'ordonnée de la courbe précédente est , comme l'in-

dique la transformée par qui est . Ainsi la sous-

xvj AVERTISSEMENT DE ^ÉDITEUR.

tangente qui répond à l'abscisse ^ est , qui étant retrancké>

de cette abscisse donne pour l'abscisse qui répond à l'axe

Or la substitution de apprend que cet axe ne donne aucune va<^

riation. Donc les racines cherchées sont imaginaires. Je pourrais appli-
quer ce même artifice à beaucoup d'autres exemples : celui-là suffit pour
prouver qu'il est général. Ce même moyen renferme la méthode d'ap-
proximation de , quoiqu'il paraisse en difFérer beaucoup. On voit
delà que dans certains cas cette méthode d'approximation peut ne pas
conduire au but. »

Il est évident que le nom omis dans cette dernière phrase est celui
de Newton , et il ne serait pas moins facile de suppléer à toutes les autres
lacunes : mais cela n'est nullement nécessaire y puisqu'il ne peut exister
aucune incertitude sur le sens de l'article. Nous avons cru devoir donner
un extrait étendu de cet ancien manuscrit parce qu'il est intéressant de
yoir sous quelle forme l'auteur avait d'abord présenté ses recherches , et
parce qu'on y reconnaît que dès cette époque M. Fourier était en pos-
session des parties les plus importantes de l'ouvrage que nous publions
aujourd'hui : la résolution des équations littérales, la séparation des ra-
cines des équations numériques , et la distinction des deux cas où il existe
entre deux limites très-voisines ou un couple de racines imaginaires, ou
deux racines réelles presque égales, distinction fondée sur le tracé de
la tangente menée par le point de la courbe correspondant à Tune des
limites , et la comparaison de la valeur de la sous-tangente à la différence
des deux limites.

Ces premières recherches ont été présentées à Tancienne Académie
des sciences. 11 en est fait mention en ces termes dans le plumitif, séance
du 9 décembre 1769. « M. Fourier a commencé la lecture d'un Mémoire
sur les équations algébriques. MM. Monge, Legendre et'Cousin. » On
ne trouve aucune autre indication relative à ce travail dans les plumitifs
des années suivantes.

Le second manuscrit que nous devons faire connaître est un pro-
gramme ou résumé général du cours d'analyse fait par M. Fourier à
l'école Polytechnique. Cet ouvrage, composé de nc^uf feuilles , avait été
conservé dans les papiers de l'auteur. Il ne portait aucune signature ;
mais des recherches faites dans ces dernières années ont constaté qu'il
est écrit de la main de M. Dinet. Il suffira de citer le passage suivant.

« Il ne peut y avoir dans une équation numérique plus de racines
réelles positives qu'il n'y a dans la suite de ses termes de changements de
signes, ni plus de racines négatives que de permanences de signes, n

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR. xvij

Il Si le nombre des changements de signe est impair , il se trouve dans
l'équation au moins une racine réelle positive. Il y a au moins une racine
réelle négative si le nombre des permanences est impair , conformément
à l'article »

a Si dans les fonctions X,X\X'', etc. données par la différentiàtion
d'une équation Xi=:o, on substitue successivement deux nombres a
et ^, de même signe, et que l'on forme les deux suites des signes de
ces résultats, l'excédant du nombre des changements de signe de la
suite qui répond au plus grand nombre b sur le nombre des change-
ments de signe de la suite qui répond au nombre a indique le plus grand
nombre dés racines qui peuvent être comprises entré a et ^, en sorte
qu'il ne peut jamais y en avoir plus entre ces deux limites. »

<c Si l'une ou l'autre des substitutions précédentes réduk à zéro quel-
ques-unes des fonctions X, X', X", etc., on pourra donner le signe +
ou le signe — au terme qui s'évanouit. Si on choisit d'abord les signes
propres à donner le plus grand nombre possible de changements de
signe, puis ceux qui en donnent le moindre nombre possible, et que
ces deux nombres diffèrent, il y aura dans l'équation au moins autant
de racines imaginaires qu'il y a d'unités dans cette différence. »

'Voici maintenant l'attestation consignée par M. Dinet à la suite du
manuscrit. « Ces feuilles , au nombre de neuf, m'ont été présentées par
M. Fpurier : j'ai reconnu qu'elles avaient été -écrites par moi en 1 797 ,
dans les derniers mois que j'ai passés à l'école Polytechnique. Mon but
en les écrivant était de me former un tableau succinct des leçons que
j'avais reçues de M. Eourier à l'école Polytechnique, afin de me pré-
parer à subir l'examen pour l'admission au corps des. élèves ingénieurs
constructeurs de vaisseau. J'avais fait le même travail sur les leçonç de
mécanique données par M. de Prony. En sorte qu'il est constant que la
suite des propositions dont l'énoncé est inscrit dans très feuilles a été
développée par M. Fourier pendant les années 1796 et 1797. En rédi-
geant cette déclaration j'ai paraphé ces neuf feuilles au recto et au verso.
A Paris, le 5 avril i63o. » Signé Dinet.

Le troisième manuscrit qui se trouve dans nos mains est intitulé :
« Mémoire sur les limites des racines des équations algébriques. » Ce
Mémoire contient une exposition détaillée des parties les plus impor-
tantes des livres I et II du présent ouvrage. Il suffira de citer l'attestation
par laquelle il est terminé.

te Lé présent mémoire composé de vingt-six pages a été écrit dans le
I. c

xviij AVERTISSEMENT DE L*ÉDITEUR.

courant de l'anuée iSo4f M. Fourier , piréfet du département de FIsère,
nous donna connaissance dans cette même aqnée de divers théorèmes
sur la résolution de^ équations algébriques et pous en communiqua les
démonstrations. Le premier était textuellement énoncé comme il suit.
Étant donné une équation numérique f x=o d*un degré m, si dans le
piremier membre <fx et dans les m fonctions <f'x^ ^' Xy^'*Xy etc. que
l'c» déduit de la première par des différentiations successives , oo sub-
stitue deux nombres di^^érepts a et ^, que Toi^ observe pour chaçuue
de ces deux liiaites combien la suite des m + i résultats provenant de
la substitution contient de variations de signes , on connaîtra combien
l'équation proposé^ peut avoir de racines entre les deux limîte& sub*
stituées. »

<c L'équs^tion f arr^o ne peut avoir plus de racines entre a et A qu'il
n'y a d'unités de différence entre le nombre A des variations de signe
delà suite qui répond à la moindre limite a, et le nombre B des variations
de signe qui répond à U plus grande limite b. »

« Si l'équation n'a point entre a et ^ autant de racines réelles qu'il y
si d'unitéa dans La différence A — B, celles qui manquent sont en nooibre
pair, et correspondent à un pareil nombre de racines imaginaires, ^ns
la proposée 90^=0. »

« lie second tbéorème contenait une règle importante qui dispeMe de
recourir à la formation de l'équation au carré des différences, et s^rt à
distinguer promptement avec certitude les racines réelles des rj^c^nes
imi^in^ires dans les équations numériqi^s de tous, les degrés. »
. « Les autres remarques qui nous furent communiquées ont pour cibjet,
i"* de diriger par des règles certaines l'application de la méthode d'ap-
proximation de Newton,, a^ l'e^nploi des séries récurrentes pour trQuver
toutes^ ks racines tant réelles qu'imagipaires et 1^ diviseurs de bw^i les
degirés dans les équalions numériques. »

« Pésirant conserver les principaux éléments d^ cette nouvelle tj^orie
des ^nations, nous rédigeâmes du consentement de M. Fourîei? un
nombre assez considérable de notes qui contenaieot les démonstirat^ns
et les. vues prioc^i^ales. »

<^Le pj?^^ écriii; fut achevé le premier. Nous concourûmes tou^ les
deux à s^ réd^ctiop ; il a été écrit de la, main de Cbabect l'un de nous,
et BiÇAis déclarons qu'il n'y a été fait aucun chaqge«xent depuis ti8o4^ ^

« Nous avons rédigé avec plus de soin plusiei^ autres notes sur le
Qpeqi^ objiet d^ns le CQur§ des années suivantes i3a5 et 1806^ et npus

AVERTISSEMENT DE LTÈDITEUR. xîx

n'avdns cessé d'engager M. Fourier depuis Tannée i8o4 jusqu'aujourdliûî
à publier ses découvertes sur la théorie des équations algébriques. i>

Signés Chabert , doyen de la faculté des sciences de
rAcadémie de Grenoble; Bret, professeur à la
faculté des sciences de l'Académie de Grenoble.

« Et en outre ^ moi , soussigné Bret, professeur à la faculté des sciences
de l'Académie de Grenoble, déclare qu'il est à ma parfaite connaissance
que dans les premiers mois de l'an 1 8o3 M. Fourier expliqua publique-
ment à l'école Polytechnique èes dcKix théorèmes ci-dessus rappelés , sa-
voir I® celui qui fait connaître le plusgrand nombre de racines qu'une
ëquatioii puisse avoir entre deux nombres donnés , a^ la règle qui sert
à distinguer les racines imaginaires. J'étais alors élève de l'école Poly-
technique (*). Je me souviens très- distinctement que, sur la demande
d'un des élèves, M. Fourier voulut bien donner quelques développements
SOT ce second objet, et qu'il se servit d'une construction fort élégante
pour rendre sensible la vérité de cette démonstration. »

« Et pour que les faits ci-dessus énoncés demeurent constants nous avons
rédigé et signé la présente ^déclaration que nous afiSnnons siir notre hon-
neur être véritable. Grenoble, ce i5 mars 1812.

Signés Bret; Chabert.

a (*) Djins la seconde division, et j'assistai avec tous les élèves à cette
explication donnée par M. Fourier. Je rédigeai au sortir de la séance
la démonstration du i*' théorème. »'

« Quant à la règle qui sert à distinguer les racines imaginaires, elle
nous fut publiquement communiquée avec la démonstration dans la
raêine séance à l'École polytechnique. »

« Le présent est écrit de ma main , ainsi que la déclaration précé-
dente dcmt il fait partie. »

Signé Brèt, professeur de mathématiques transcendantes
à la faculté des scieiices.

Les deux citations précédentes établissent avec certitude que M, Fourier
à exposé dans les cours de l'école Polytechnique , avant et après l'époque
de l'expédition d'Egypte, les principales propositions qui servent de
base à ses méthodes de résolution des équations numériques.

L'auteur a fait mention de ces recherches dans son Mémoire sur la
statique qui a été imprimé en l'an 6 (1797) dans le 5*" cahier du Journal
de l'école Polytechnique. On lit , page tfi , « Nous avons dessein de

ïx AVERTISSEMENT DE L'EDITEUR.

publier dans ce recueil une suite de mémoires contenant des recher-
ches nouvelles sur la théorie des équations. On se propose de reprendre
dans son entier le problème de la résolution générale des équations. . . »

Les recherches dont il s^agit ont été également communiquées par
l'auteur pendant le cours de Texpéditlon d^Égypte, soit dans la conver-
sation , soit par des écrits présentés à ITnstitut du Caire. Nous n'avons
pas été à même de consulter les archives de cet Institut, mais nous
trouvons dans la Décade égyptienne diverses indications des Mémoires
lus par M. Fourier.

(c 26 fructidor an 6. Mémoire sur la résolution générale des équations
algébriques. »

<t 1^^ jour complémentaire- an 6. Sur une roue à vest destinée à l'ar-
rosage. »

« 16 frimaire an 7. Mémoire de mécanique générale. »

« 16 pluviôse an 7. Recherches sur les méthodes d'élimination. »

« 1 1 messidor an 7. Mémoire contenant la. démonstration d'un nou-
veau principe d'algèbre, i>

Nous avons sous les yeux des écrits de la main de M. Fourier, qui
ne portent à la vérité aucune date, ni aucune attestation étrangère,
mais qui néanmoins doivent être regardés comme étant certainement ,
ou les Mémoires mêmes lus à l'Institut du Caire , ou du moins les mi-
nutes de ces Mémoires conservées par l'auteur. Les sujets traités dans
ces écrits, qui se rapportent exactement aux indications précédentes,
et la nature du papier et de l'encre qui prouvent qu'ils ont été faits en
Egypte, ne laissent aucun doute à cet égard. Le dernier contient la dé-
monstration très-développée du théorème principal relatif à ta distinc-
tion des limites des racines réelles au moyen de la considération des
signes donnés par la substitution d^une suite de nombres dans hes fonc-
tions dérivées.

Nous possédons également plusieurs notes très-étendues, dont une
partie est écrite de la main de M. Chabert, et qui sont évidemment les
notes mentionnées dans l'attestation précédente. Les propositions rela-
tives à la distinction et au calcul des racines qui sont exposées dans les
deux premiers livres du présent ouvrage y sont développées fort en
détail.' 11 y a des exemples d'application de ces méthodes à diverses équa-
tions , pour lesquelles on a construit et discuté la suite des courbes don-
nées par les équations dérivées. La plupart des feuilles portent de la
main de M. Chabert et de la même écriture que le texte, la date dç
divers mois de l'an 12.

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR. xxj

IjC passage suivant d'une lettre adressée par M. Poisson à M. Fourier,
et portant la date^ du 24 avril 1 807 , confirme la vérité des faits que

nous énonçons ici «Un docteur en médecine vient de publier un

ouvrage sur la résolution numérique des équations Le docteur

a entrevu votre théorème sur les changements de signes ; il a de fortes
raisons de penser qu'il a lieu dans les cas des racines imaginaires ; j'en
ai une bien plus forte que toutes les siennes, puisque vous m'avez dit
autrefois que vous aviez une démonstration générale de cette proposi-
tion. Vous devriez bien publier au moins les différente théorèmes sur

lesquels est fondée voire méthode pour résoudre les équations »

Enfin nous citerons presque en entier une lettre qui nous a été adressée
par SL Corancez.

« Monsieur,, avant son dépapt pour l'Egypte, M. Fourier était' en pos-
session du théorème qui fait la base de ses méthodes, et qui sert à dé-»
terminer la limite du nombre des racines d'une équation algébrique
qui sont comprises entre deux nombres pris à volonté. C'est le même
théorème dont M! ^. a fait depuis tant d'usage dans son Mémoire
publié en rfto&ou rSôy. Fourier l'avait publié dans ses coursa l'école
Polytechnique avant 1797', comme peuvent Ta ttester Girard, et tous
les ingénieurs et élèves de l'école qui le suivirent en Egypte, et qjii
y parlaient de cette découverte comme d*tine chose connue. »

« Ce' n'est qu'en Egypte que j'eus connaissance de ce théorème que
Fourier me communiqua, et dont il m'a souvent parlé sans m'ihdiquer
comment il y était parvenu; J'en trouvai'tme démonstration que je lui
ai communiquée depuis Ibrs, à notre retour en France, sur lé brick
anglais Good Design où nous étions compagnons de captivité. M. Fourier
approuva cette démonstration, comme celle qui se présente le plus na-r
turellemenl. Mais elle a l'inconvénient de laisser de l'incertitude sur le
passage des raeines imaginaires. Dans sa démonstration Fourier. a re-
médié- à cet inconvénient. Il ne m'a au surplus communiqué cette démon-
stration que d'une manière trop générale pour que je puisse en parler. »
« JTavais inséré ma démonstration dans un Mémoire sur Tés séries qui
expriment les racines ou fonctions de racines d'une équation. Dans ce
Mémoire, que j'ai red^é à Alèp, je reconnais , comme dé raison, que le
théorème était dû à M. Fourier. C'est ce qui l'engagea , ily a deux ans ,
à me demander ce Mémoire. La déclaration qu'il contient est sans doute
celle qu'il désigne dans le passage que vous me citez. Ce Mémoire , resté
chez Fourier, doit se retrouver dans ses papiers. C'est un cahier car-
tonné pétitin-i2, et portant la date d'Àlep, an XII ou an XIII. »

Mîj AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR.

ce II est certain que M. Fourier a lu un Mémoire sur les équations à
l'Institut du Caire. C'était , autant que je puis m'en fier à ma mémoire,
un précis de l'esprit et des résultats de ses méthodes , mais sans aucun
détail de calcul. Vous en trouverez certainement mention faite dans la
Décade égyptienne et dans le Courrier du Caire. »

<c rajouterai qu'en Egypte Fourier était déjà en possession de sa mé*«
thode d'approcher de la vraie valeur des racines au moyen des fractions
continues , méthode dont il appuyait l'examen et la démonstration sur
l'inclinaison des tangentes dans les courbes paraboliques. Fort anté-*
rieurement à cette époque, lorsqu'il commença à Auxerre k s'occuper
de la théorie des équations , Fourier m'a souvent dit qu'il s'était long-
temps amusé à décrire graphiquement la proposée et toutes ses dérivées
en donnant à chaque courbe des couleurs différentes pour les distinguer
et en suivre le cours. »

Asnières, a février i83i. Signé Corancez.

Kous indiquerons maintenant les divers écrits relatifs à l'analyse aU
gébrique qui ont été pubUés ou présentés à TAcadémie des sciences par
M. Fourier depuis son retour à Paris en i8i5.

Le Bulletin des sciences par la Société Phîlomatique de Paris, année
1 8 j 8, contient un article intitulé : «Question d'analyse algébrique», dans
lequel Sont exposés sommairement les divers principes et règles d'après
lesquels on doit se guider en faisant usage de la méthode d'approximation
des racines due à Newton , lorsque l'on connaît d'aiUeurs deux limites
qui comprennent entre elles une racine réelle.

On trouve dans le même Bulletin pour Tannée 1 8ao deux autres arti-
cles intitulés : «Usage du théorème de Descartes dans la recherche des
limites des racines, page i56, et Seconde partie de la Note relative aux
limites des racines, page i8i. » Les théorèmes relatifs à la séparation des
racines, et à la distinction des cas où deux racines sont réelles ou imii«
ginaires par le calcul dessous-tangentes, ont été publiés pour la première
fois dans ces deux articles par la voie de l'impression. On a vu d'ailleurs
non-seulement que l'auteur^ ^ait en possession de ces théorèmes bien
antérieurement à cette époque, mais qu'il les avait exposés publique^
ment dans les cours de l'école Polytechnique avant le départ et après
le retour de l'expédition d'Egypte. Le mérité d'une découverte appar-
tient à celui qui la fait connaître le premier : la publicirtion par la voie
de l'impression n'est pas le seul moyen de faire connaître des propo«
sitions nouvelles: il en existe plusieurs autres, tels que le dépôt au-

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR. xxiij

tbeDiti({ue d'un ûianuscrit^ ou l'exposition de ces propositions dans des
leçons publiques* Ce dernier moyen exige à la vérité que cette expo-
sition soit prouvée par le témcMgnage des auditeurs. Nous produisons ici
piusi^urs témoignages dus à des personnes tout * à - fait désintéressées ,
et dont la véracité ne peat assurément être suspecte. Les droits de l'au-
teur à la découverte des propositions dont il s'agit antérieurement à
Tannée 1 797 sont donc établis d'une manière incontestable.

M. Fouri^ a.pcésaité à l'Académie des sciences, le j4 janvier 1812^
des Recherches sur l'analyse algébrique. Ce travail se composait de trois
manuscrits. Le premier , sur lequel l'auteur a mis à l'encre rouge un
nouveau titre et la date du 1 4 janvier 182a, est un exposé général des
principaux résultels relatifs à la résolution des équations numériques ou
littérales ; il est écrit de la main de M. André Raynaud , ancien employé
dia la préfecture du département de Flséré, qui en a paraphé toutes
les pages, et a mis sur la dernière un attestation constatant que cette
copi« a été faite dans le mois de novembre 1807. Le second manuscrit
Qst un exposé détaillé des recherches relatives à l'application des sé-
ries récurrentes à la résolution des équations algébriques : une partie
des feuilles est écrite de la main de M. Fourier, une autre partie de la
main de M. Chabert. Ces feuilles portent chacune les dates des mois de
ventôse et de floréalan i2« M. Fourier a eflacé ces dates à Tencre rouge,
et mis. à la fin sa signature avec la nouvelle date du 14 janvier 1822, Le
teoîsièake roaguacrît est un exposé succinct des résultats développés dans
le précédent. La« présentation de- ces recherdies est mentionnée dans
l'analyse de travaux de l'Académie pendant Parniée r8i:i : les principaux
points sont indiqués % et particulièrement les propositions relatives à l'ap-
pUoatîon des séries récurrentes qui formerotnt te sujet du YI* livre du
présent ouvrage..

Le la et le 17 novembre i8a3 ont été présentées la première et la
seconde partie d'un Mémoire d^analyse indéterminée sur le calcul des
eonditbOB& d'inégalité. L'objet de ce mémoire est exposé dans FAna*
lyse des trafaux de l'Académie pendant l'année 18a 3, page 39 et sui-
vantes. L'auteur indique diverses: sçplioatîons à- des questions qui appar-
tiennent à la mécanique ou à l'analyse générale, et psoticultèrement celle
qui se rapporte à l'usage des équations de coHi^tion lorsque l^on se
propose de trouverles valeurs des inconnues qui rendent la plus grande
err^eur , absiraetion faite du signe ,^ la moindre possible. Cette dernière
application est développée plus complètement dans l'Analyse des tra*
vaux de l'Académie pendant l'année iS^^y page 38.

xxiv AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR,

Le 3 janvier 1837, M. Fourier a préseuté ud Mémoire sur la distinc*
tion des racines imaginaires, et sur l'application des théorèmes d'analyse
algébrique aux fonctions appelées transcendantes et spécialement aux
questions de ce genre qui appartiennent à la théorie de la chaleur. Ce
Mémoire a été inséré par extrait dans le Bulletin des sciences de la Société
philomatique pour Tannée i8a6, et imprimé en entier dans le tome YII
des Mémoires de l'Académie des sciences qui a paru en 1827. L'auteur y a
énoncé la proposition qui est exposée page 45 du présent ouvrage, et qui
consiste principalement en ce que , dans le calcul par approximation des
racines des équations algébriques au moyen des fractions continues , on
peut dans tous les cas omettre l'emploi de l'équation au carré des diffé-
rences, en procédant immédiatement au calcul des fractions continues
comme si l'on était assuré que toutes les racines étaient réelles, et en se
guidant par l'usage du théorème qui fait connaître combien il peut exister
de racines entre deux limites données.

Enfin le dernier Mémoire relatif à l'analyse algébrique, qui est aussi
le dernier ouvrage de l'auteur, a été lu le 9 mars 1829. Il est intitulé :
a Remarques générales sur l'application des principes de l'analyse algé-
brique aux équations transcendantes », et a été imprimé dans le tome X
des Mémoires de l'Académie des sciences.

En exposant dans son ouvrage les découvertes qu'il a faites sur les par-
ties les plus importantes de l'analyse algébrique , M. Fourier a présenté
ces vérités nouvelles comme étant les fruits de ses propres travaux, dont
la propriété ne pouvait lui être contestée. Cette circonstance seule suffit
assurément pour donner sur ce point la plus entière conviiction à toutes
les personnes qui l'ont connu. Mais nous avons pensé qu'il était nécessaire
pour le public de montrer que M. Fourier était autorisé à s'honorer des
découvertes dont il s'agit, non-seulement parce qu'il les avait véritable-
Qient faites, mais aussi parce qu'il existait des témoignages écrits qui,
d'après les règles et usages littéraires, lui en assuraient la priorité!

Nous terminons cet Avertissement en déclarant que les manuscrits dont
flous avons fait mention seront déposés par la suite au secrétariat de l'In*
stitut, et que nous sommes prêts à les communiquer aux personnes qui
cultivent les sciences et qui désireraient en prendre connaissance.

Faris, I*' juillet i83i.

NAVIER.

Membre de V Académie des sciences de T Institut.

V*<^^»i%<^V^<*%«^%*^%^ ^'«'^«^•i;^kV«^«^'%'V«'*r« «■%, <

PRÉFACE.

Ljes philosophes d'Alexandrie ont connu quelques élé'^
ments d'un art qui a pour ohjet la grandeur mesurable ,
et qui consiste à suppléer aux opérations de l'esprit par la
combinaison régulière d'un petit nombre de signes. Cet
art a pris un grand essor chez les nations modernes ; il est
devenu l'analyse ma thématique^ science sublime ^ qui, en
nous découvrant les lois générales du mouvement et celles
de la chaleur, explique tous les grands phénomènes de
l'univers, et qui éclaire la société civile dans ses usages les
plus in^portants.

La théorie deS' équations déterminées , principal fonde-
ment de cette science analytique, a été long-temps arrêtée
dans ses progrès par des difficultés capitales que l'on peut
résoudre aujourd'hui. C'est le but que je me suis proposé
dans cet ouvrage ; il est le fruit d'un long travail entrepris
dès ma première jeunesse, et que les soins les plus divers
n'ont pour aiiiëi dire jamais interrompu.

La recherche des racines des équations est la question

principale de la théorie. Je me suis attaché à traiter com-

. plètement cette question , et je l'ai résolue par une méthode

2 PREFACE.

exacte et générale dont l'application est toujours facile
et s'étend à toutes les fonctions déterminées.

Elle ne dérive point d'une vue sin^lière, et en quelque
sorte indépendante des théorèmes déjà connus; au con-
traire , elle rappelle et emprunte tous ces éléments ; elle
montre les rapports qu'ils ont entre eux et en développe
les conséquences les plus éloignées.

Les découvertes capitales qui ont fondé l'analyse algé-
brique sont les théorèmes de François Viete sur la compo-
sition des coefficients; la règle que Descârtes a donnée
dans sa Géométrie concernant le nombre des racines posi-
tives ou négatives; celle du parallélogramme analytique
due à Newton et que Lagrange a démontrée ; la méthode
newtonienne des substitutions successives; les recherches
de Waring et de Lagrange sur les fonctions invariables des
racines et sur l'équation aux différences; la théorie des
fractions continues , telle qu elle est expliquée dans les ou-
vrages de Lagrange; enfin la méthode que Daniel Bemoulli
a déduite des séries récurrentes.

Nous avons rappelé ces éléments dans notre ouvrage ,
non |X>ur en expliquer les principes , qui sont connus depuis
long-temps, mais pour leur donner une extension entière-
ment nouvelle , et résoudre toutes les questions fondamen-
tales que les premiers inventeurs ont considérées. Il n'y
en a aucune qui n'y soit discutée avec le plus grand soin.
Il résulte de cet examen une méthode exégétique univer-
selle qui ne laisse^ rien d'incertain , parx^ qu'elle donne des
règles faciles et usuelles pour la distinction des racines .

PRÉFACE.

3

imaginaires. Le lecteur attentif pourra juger s îl est vrai
que ces problèmes difficiles soient tous complètement ré-^
sol us*

Ces principe^ appartiennent à l'analyse générale, et notre
théorie n'est point bornée aux équations algébriques; elk
résoud toutes les équations déterminées.

Les . questions les plus importantes de la philosophie
naturelle, comme celles qui ont pour objet d'exprimer les
dernières oscillations des corps, ou les conditions de la
stabilité du système solaire , bu divers mouvements des
fluides, ou enfin les lois mathématiques de la chaleur,
exigent une connaissance approfondie de la théorie des
équations.

J'indiquerai maintenant Tordre que Ton a suivi dans la
composition et la rédaction.

Les éléments de la science sont exposés clairement dans
plusieurs ouvrages qui ont rendu cette étude facile et com^
mune. Je suppose ici que les théorèmes principaux sont
connus du lecteur ; je les ai rapportés dans l'Introduction.
Je présente sous ce titre l'indication historique des sources
pnncipales, avec l'énoncé exact et précis de toutes les
propositions qu'il est nécessaire de se rappeler très-distinc-
tement avant de lire ce traitée Cette énumération marque
le point dont je suis parti ; toutes les recherches suivantes
sont nouvelles.

Parmi ces propositions élémentaires qui forment Tin-
troduction , j['ai compris quelques théories trè»-simples
de l'analyse appelée infinitésimale. On ne peut faire aucun

4 PRÉFACE.

progrès considérable dans la théorie des équations, sans
quelqu usage de l'analyse dififérentielle , ou, ce qui est la
même chose, de la méthode des fluxions. Les sciences
n'admettent pas toujours Tordre contingent et pour ainsi
dire fortuit qui s'est établi dans le cours des inventions.
Les connaissances mathématiques les plus diverses sont
toutes de la même nature , leur étude ne demande qu'une
attention persévérante ; on a appelé transcendantes celles
qui ont été découvertes les dernières.

J'ai conservé sans aucune innovation les déncmiinations
usitées,, afin de ne point exiger l'étude importune de no-
tations nouvelles, qui ne sont presque jamais nécessaires.
A la vérité plusieurs de ces dénominations ont été admises
avant que l'on eût acquis une connaissance très-exacte
des éléments. Il pourrait être utile d'y apporter quelque
changement; il est préférable d'attendre cet avantage du
progrès continuel des idées et de l'assentiment des géo-
mètres.

Toutes les recherches qui doivent composer cet ouvrage
sont achevées depuis long-temps. On publie aujourd'hui
les deux premiers livres qui contiennent ce que la théorie
des équations a de plus essentiel , et forment en quelque
sorte un traité distinct. La seconde partie, qui termine l'ou-
vrage , et dont l'étendue est à peu près égale à celle de la
première , paraîtra l'année suivante.

Comme les deux premiers livres ne donneraient qu'une
idée incomplète de l'objet de ces recherches, il m'a paru
nécessaire de pré^n ter d'avance une Exposition synoptique

PRÉFACE. ' 5

qui réunisse tous les résultats et fasse bien connaître leurs
rapports mutuels^

Une vue principale avait été indiquée par François Viète,
que l'on peut regarder comme le second inventeur de
l'algèbre. Harriot, Oughtred, Wallis et Newton l'avaient
adoptée ; mais on s'en est écarté , et Ton a suivi une route
très-différente, nécessairement bornée, et qui n'aboutit
qu'à des recherches purement curieuses, sans quon ait
pu résoudre une seule des difficultés qu'elles présentaient.
Je propose aujourd'hui de ramener la science à des prin-
cipes plus simples et plus féconds qui se lient à tous les
éléments déjà connus , et contribueront certainement aux
progrès des autres branches de l'ÂDalyse mathématique.

Pam, 1839.

Jh. FOURIER.

I.

/

INTRODUCTION

(i) JM ous avons reçu des Grecs et des Arabes les premières notions
de l'algèbre. Les livres de Diophante , qui sont aujourd'hui le plus
ancien monument de cette science , portent tous les caractères de
Tinvention. L'auteur résout par une analyse ingénieuse un prdre
assez étendu de questions relatives aux propriétés des nombres;
la lecture de la partie de cet ouvrage qui nous a été transmise, suffit
pour prouver que les rè^es élémentaires de l'algèbre étaient déjà
connues à l'école d'Alexandrie.

L'antique civilisation de l'Orient est attestée par les productions
admirables des arts; mais l'histoire n'a conservé qu'un souvenir
confus de ces temps qui ont précédé de plusieurs siècles les ori-
gines fabuleuses de la Grèce.

Les principes de l'algèbre indienne, tels qu'on en trouve quelques
vestiges, ont-ils été communiqués aux Arabes , aux Perses , et ensuite
à l'Europe, ou plutôt les géomètres grecs ne sont-ils pas les vrais
et seuls inventeurs? Le défaut de monuments ne permet plus de
résoudre entièrement cette question. Quoi qu'il en soit, les théories
fort étendues dont la science analytique se compose maintenant
sont toutes l'ouvrage des modernes.

Léonard Bonacci de Pise a écrit vers l'année ii5o, au retour
de ses voyages en Grèce et en Asie, le premier traité de cette science
qui ait paru dans l'Occident. Celui de Luc Paciolo fut publié au
commencement du XVI® siècle, époque à jai^ais mémorable dans
l'histoire de l'Europe. Scipion Ferrei parvint à résoudre les équations
du 3^ degré, ou plutôt il en donna une transformation ingénieuse

2.

8 INTRO DUCTION.

et inattendue. Tartaglia , Cardan et ensuite Raphaël Bombelli renou-
Telèrent ou répandirent cette découverte. Liouis Ferrari de Bologne
découvrit une solution du même genre pour les équations du 4^ degré.
Ces formules ne conduisirent point à la résolution des équations
supérieures, et même pour le 3^ et le 4^ degré elles sont inapplica-
bles dans un grand nombre de cas. On n'avait résolu complètement
par un moyen semblable que les équations du second degré; la for-
mule très-simple qui donne cette solution était connue dès l'origine
de l'algèbre.

François Viète, l'un des plus illustres fondateurs des sciences ma-
thématiques , considéra sous un point de vue beaucoup plus général
la question de la résolution des équations. Il entreprit de découvrir
une méthode exégétique propre à déterminer les valeurs effectives
des inconnues, et fonda ses recherches sur les vrais principes du
calcul algébrique. Mais oti ne pouvait point alors former cette
méthode parce qu'elle exige quelque connaissance de l'analyse dif-
férentielle.

Viète remarqua le premier la composition des coefficients , ce qui

est l'origine de la théorie des équations. Il fît connaître toute l'étendue

des formules de l'algèbre ^ et il en découvrit de nouvelles applica-

tions, en sorte qu'on peut le regarder comme le second inventeur

. de cette science.

Harriot, Oughtred, Wallîs suivirent la doctrine de Viète, et le
premier de ces géomètres donna aux équations une forme générale
que l'on a conservée.

Descartes exprima par des équations les propriétés des lignes
courbes, et fonda ainsi l'analyse générale des fonctions, qui devait
bientôt s'appliquer aux plus grands phénomènes de l'univers. II
enrichit Talgèbre d'une heureuse découverte , celle qui exprime les
rapports singuliers du nombre des racines positives ou négatives
avec les signes des coefficients. Wallis , l'un des plus ingénieux pro-
moteurs de Tanalyse moderne, mais historien partial, a fait d'inu-
tiles efforts pour attribuer l'invention de cette règle des signes à
Harriot son compatriote.

INTRODUCTION. 9

L*algèbre proprement dite a reçu de Newton deux méthodes
capitales: l'une est celle que l'on a désignée sous le nom ^eparallé^
logramme analytique; elle fut annoncée en 1676 à Leibnitz, qui
en désira la communication. Cette règle, dont Lagrange a donné une
démonstration analytique, et que Laplace a étendue à un autre
ordre de questions, avait eu pour objet la formation des séries;
mais elle appartient surtout à l'algèbre, comme un de ses éléments
principaux. C'est une des branches de la résolution exégétique que
Viète avait en vue. La seconde méthode algébrique due à Newton
est celle des substitutions successives; elle s'applique à toutes les
parties de l'analyse mathématique.

Albert Girard, qui écrivait en Hollande, a connu le premier les
propositions qui expriment la somme des puissances entières des
racines. Newton donna ces théorèmes dans son Arithmétique uni-
verselle, et il en indique l'usage pour trouver la valeur approchée
de l'une des racines. C'est en quelque sorte l'origine de la méthode
des séries récurrentes , que Daniel BernouUi a déduite d'autres prin-
cipes , et qui a été clairement exposée et discutée dans les ouvrages
d'Euler et de Lagrange. Ces propriétés des séries récurrentes for-
ment une des principales théories algébriques.

Les règles d'élimination , et les théorèmes relatifs aux fonctions
des racines , sont les conséquences générales des remarques de Viète
et d'Albert Girard sur la coriiposkion des coefficients. liCs propo-
sitions de ce genre ne conduisent point à une méthode applicable
qui ferait connaître effectivement les racines ; mais elles expriment
des rapports théoriques très-importants.

Hudde d'Amsterdam a découvert les propriétés des racines
égales. Ces théorèmes, qui ont été connus avant la méthode diffé*
rentielle, et qui toutefois dérivent des mêmes principes , forment
im élément simple et nécessaire de l'analyse algébrique.

Je ne rappellerai point les tentatives multipliées, qui ont eu pour
objet de réduire en formules analogues à celles de Cardan les
racines des équations de tous les degrés. Cette recherche aurait pour
objet de trouver toutes les racines d'une équaXion^ par un nombre

lo IiyTRODUCTION,

limite d'opérations simple.^ dont la nature est déterminée d'avance ,
et dont aucune ne peut donner plus de deux valeurs réelles dif-
férentes. On n'obtient ainsi que des transformations très-compli-
quées y où ia vérité que Ton clierche est beaucoup plus cachée qu'elle
ne l'était dans l'équation elle-même. Le temps y et pour ainsi dire
l'espace , manqueraient bientôt à l'analyste pour effectuer de tels
calculs, si le degré de l'équation était élevé. I^sybcs de Leibnitx et
de Thschirnhausen sur ce genre de questions n'ont pu être réalisées*
Les ouvrages de Lagrange , de Vandermonde et de quelques-uns de
leurs successeurs , ont assez fait connaître les limites de cette re-
cherche.

DeGua, de l'Académie des Sdences de Paris^ a considéré les courbes
paraboliques qui rendent si manifestes plusieurs propriétés impor-
tantes des équations, et il a donné une proposition remarquable
sur la nature des racines.

RoHe inventa une règle pour trouver les limite» des racines , en
diminuant successivement d'une unité le degré de l'équation. Cette
méthode, quoique imparfaite, conduit dans plusieurs cas à la con-
naissance des limites , et elle n^est autre chose qu'une application
très-simple de l'analyse différentielle, dont Rolle refusait d'admettre
les principes. Au reste cette tentative n'eut aucune suite, parce que
l'inventeur ne put surmonter l'obstacle principal qui avait arrêté
tous les analystes précédents , et qui consistait à distinguer avec
certitude les racines imaginaires. La règle que Newton a proposée,
à l'imitation de celle de Descartes, pour énumérer ces racines, n'est
point suffisante , et l'inventeur en reconnaissait l'imperfection; elle
atteste seulement la difBculté de la question. Lagrange et Waring
parvinrentà la résoudre an moyen de l'équation qui exprime la plus
petite différence des racines de la proposée; mais cette solution est
seulement théorique, l'application en serait impraticable si le degré
de l'équation était un peu élevé.

L'un des plus célèbres géomètres de l'Académie des Sciences de
Paris, Fontaine, avait proposé une méthode générale pour recon-
naître la nature des racines des équations. Une discussion appro-

INTRODUCTION. u

fondie de cette méthode a montré rimperfection inévitable à la-
quelle elle est sujette, et les recherches ultérieures ont confirmé
le jugement .qui en a été porté par D'Alembert et Lagrange.

J'ai cité dans des Mémoires précédents y et j'aurai occasion d'in-
diquer dans le cours de cet ouvrage , les recherches plu3 récentes
qui ont été publiées sur la résolution des équations numériques.
Quant à Tusage des fractions continues pour l'expression des racines,
ee procédé n'est pas un élément essentiel de Talgèbre ; il peut être
remplacé par un mode quelconque dedéveloppemetit arithmétique.

Je me sijis proposé dans l'éQurnération précédeute de rappeler
l'origine et les progrès de l'alg^re, en indiquant toutes les sources
principales de l'histoire de cette science ; et je viens d'exprimejr le
plus distinctement qu'il m'a été possible le caractère de chaque
découverte.

(2) L ouvrage que je publiea pour objet l'examen de toutes les ques-
tions fondamentales de l'analyse algébrique* l^iadeux, premiers livres
concernent la résolution numérique des équations, et l'on y trouvera
uue solution complète et facile de ee problème oélèbre.

Dans tes deux livres suivants, on a eu pour but de g^aéraUs£ur
les premières recherches, et de résoudre aussi p^r une méthode
ex^étique du même genre les équations littérales qui contiennent
une ou plusieurs inconnues.

J'ai traité, dans divers Mémoires lus à l'Institut de France,, d autres
questions qu'il imp<Mtait d'examiner pour donner plus d'étendue à
l'analyse algébrique.

i^ On a démontré dans ces Mémoires que l'emploi des séries ré-
currentes n'est point borné au qalcul de certaixiies racines réelle^,
et qu'il s'appUque à toutes les racine^ ou réelles ou imaginaire$ ,^ et
en général à chacun des eoefficienti» des facteurs composés de tous
les ordres..

%^ Oa a exposé les principes de l'analyse des inégalités , et des
applications variées de oette analyse, qui se lia è celle des proba-
bilités..

Ces recfaerehea sur les séries récurrentes et sur les luégalités,

la INTRODUCTION.

appartiennent aoMt ^ux théories algébriques: je les ai comprises
dari5 ce traité, parce qu'elles serrent à fonder les conséquences priiH
cipales. Je pense qoe cet ouvrage contribuera à fixer les âéments
généraux de l'analyse des équations , en donnant à cette analyse une
forme nouirelle qo'elle conservera toujours.

I^ résolution des équations numériques a été Fobjet d'un traité
spécial publié par Ijagrange, et connu de tous les géomètres. L'il-
lustre auteur a eu principalement en vue, dans cet ouvrage, d'exposer
de nouveau et de perfectionner la méthode qu'il avait donnée dans
le recueil des Mémoires de l'Académie de Berlin , années 1 767 et 1 768.
I>es notes qu'il a jointes à ce traité présentent aussi une discus-
sion très-ingénieuse et très-claire de diverses autres questions algé-
briques. \jsk méthode que j'ai suivie est fondée sur d'autres principes.
J'ai donné dans des Mémoires précédents (Société Philomatique ^
année i8ao, pag. i56 et 181) la substance de cette méthode. Je
reproduirai ici l'ensemble des propositions, avec toutes les démon-
strations et les développements nécessaires.

On rappellera d'abord quelques définitions et l'énoncé de plusieurs
théorèmes fondamentaux , dont la démonstration se trouve dans
tons les traités généraux. J'ai supposé la connaissance de ces élé-
ments, et je vais en rapporter l'énoncé en faisant connaître distinc-
tement le sens que j'attache aux définitions communes , et aux
propositions déjà établies.

(3) Nous considérons une équation algébrique de la forme suivante :

L'exposant m est entier, et les coefficients a,, <x. , «3 , . . .a« sont des
nombres donnés positifs ou négatifs. Nous désignons par X ou fx le
premier membre de cette équation. X est une fonction algébrique
et entière de x ; elle indique une suite d'opérations élémentaires
que Ton pourrait effectuer sur la variable x : la forme de ces opé-
rations est parfaitement connue, et le nombre en est limité.

Si un nombre a substitué au lieu de x dans la fonction algébrique
fx donne zéro pour résultat, on appelle ce nombre a uiie racine de

INTRODUCTION. i3

rëquatimi proposée ; et dans ce cas le premier membre y*;r est exac-
tement divisible par x — a.

Une équation peut avoir plusieurs racines différentes «, S, y. . . :
ces racines correspondent à autant de facteurs du premier degré
X — a , X — 6, X — y. . . ; le jwremier nï^nbre fœ est divisible par
chacun de ces iacteurs et par leur produit.

Si les coefficients a„ a,, a^^. . .^.dela proposée ne sont point des
nombres, mais s'ils contiennent des lettres a, b , c, etc. qui repré-
sentent des grandeurs connues , en sorte que ces coefficients soient

formés d'une somme de termes tels que Ha^^^, l'équation est ap-
pelée littérale : p, q sont des exposants numériques donnés, positifs
ou négatifs, entiers ou fractionnaires, et les coefficients H sont aussi
des nombres connus. La résolution de lequation littérale consiste

à trouver pour x un polynôme formé de termes tels que H' œ è^,
qui, substitué à la place de x^ réduise à zéro le premier membre
de l'équation.

Les opérations qui servent à extraire la racine carrée ou cubique,
ou la racine d'un degré quelconque d'un nombre donné A ou d'une
quantité littérale A , sont connues depuis long-temps ; on en exprime

Je résultat par le radical l/^Â. Les premiers inventeurs de l'algèbre
ayant résolu les équations du second degré par l'emploi du radical

|/a , on s'est long-temps proposé de résoudre les équations algé-
briques de tous les degrés par un procédé analogue, c'est-à-dire
au moyen des seules opérations exprimées par les signes radicaux.
Considérée sous ce point de vue, la résolution consisterait à assigner
pour une équation proposée d'un degré quelconque un nombre
limité d'opérations, tellement ordonnées que le résultat de la der-
nière fût une des racines, en n'admettant au nombre de ces opéra-
tions à effectuer que les règles élémentaires du calcul , et celles qui
sont indiquées par les signes radicaux.

Quelques auteurs ont appelé résolution générale des équations
celle qui exprimerait ainsi les valeurs des racines au moyen d'un
I. 3

'4

«

nombre fini de radicaax , ce qui est très-facile poin* les ëqoatioiis
du second degré.

On a trotffë aossi des fornudes de œ -genre pour les éqiHtioiis
du troisiènie et du quatrième degré; mais on a reconmi ensnîfee que
ces transformMion^ ne sont point propres à donner efiectÎTement les
Taleurs des racines numéri q ue s ou littérales, et qu au iXMitraîreeUes
s*écartent beaucoup du but réel que Ton se propose , qui est de con-
naître en nombres, ouen unesuitede monômes, les valeurs des raci-
nes. Nous proureronsdans le cours de cet ouvrage que Fcm parvient
facilementà trouver ces valeurs par des opérations spéciales effectuées
sur tous les coefficients à la fois, et qui ne consistent point à com-
biner entre elles un certain nombre d extractions de racines. Les
formules qui résultent de ces combinaisons ne font point connaître
les racines cherchées. En effet si ces racines sont des nombres ou
entiers ou irrationnels, on ne trouve pas ces nombres, mais des
expressions très-complexes dans lesquelles on ne reconnaîtrait point
les valeurs des racines : on peut seulement prouver que les valeurs
inconnues équivalent à ces expressions développées; la valeur
cherchée reçoit une forme singulière où elle est plus cachée que
dans réquation qu il fallait résoudre. Toutes les fois qu une équation
d'un degré quelconque a plus de deux racines réelles , ou est assuré
que toutes les racines se présenteraient sous la forme des quantités
imaginaires , et il faut une démonstration pour prouver qu'elles sont
réelles. Si la racine cherchée est un polynôme Gni , comme serait
a* — b* -i-a% Texpression en radicaux ne donnerait point ce poly-
nôme , elle ne ferait connaître les racines que si Téquation est du
second degré. Proposer de résoudre ainsi une équation élevée , c'est
assigner d'avance certaines opérations que Ton a voulu choisir,
savoir celles qui servent à extraire les racines carrées, cubiques, qua-
trièmes, etc., et demander dans quel ordre il faut effectuer un
nombre limité de telles opérations, en sorte que le résultat de la
dernière donne toutes les racines. On présuppose ce qui est inconnu,
savoir la nature du calcul qui doit donner ces racines. L'analogie du
second degré est trop incomplète pour fonder ce jugement a priori

INTR0DUGTK3IN. 1 5

%ur l'espèce des op^^tipns. ^1 était mên;ie as^çz %ilç dç prç^ç^^r qu '^^
i^>n^l^« Wm^ ^'ejf.SçHÇ^Ç/f^ de ra^cineç ^e d^V^^ ojrdres ne p^eut;
P9S ço^^uûre à \^ cp^n^is^n^ eiïçct^yfi dçs x^lçi^^ ch«;^ch^s , ç^i;
il fl'y s^ anÇW»^ ç>^^Tacti(>çi 4ç^raci9fi q^i dwVP ^n liOfl^t^neô ç^ls pl^j^
4e dev^ vîdeuFs di|férf nte^, et Yçff, if^ voit pis^i^ çoojimç^^^ i) ^^^^
possible qHçn efïççtnaQt ^n nombre fijjii de ces opp^a,tio^, oa a^r-
riv4t 21 iw.e dernière <jiii dw^Ç^aif Mp npml^.re 'mW^^ ^ Y^lf^iT»^
difirév?ate$.

Quoiqvie çe^çe rewayqMe np iw i^e poii3\t une 4^ mp^ti^atic^ yégu,-
Uère dç. rinipp5sibiUte dç |a^oiv\tiop, elle S^^ffir^it pa^r^ ^x^rtir
dç rii^\itilité de la recherçl^ç, qi^i p^çs^pte en e^t une sorte ^f epr^-
tradiction;4Mssipst-iUi;Tivéque Tftwçi^ pu trpuvef vt^^ç e;(^{^^*,es^^^pj^
réelle des racines de réq\\$i^jou du trQ^sième degré, jo^^^que Tçqpa-
tiou a plqs de deux raciues réelles. De là on peiiç çpuclure qu'il eji
serait de même de l'équ^ition gépé^le du quatrième 4p8F^> ^^ 4^
degrés supérieurs ; car si Fpn pouvait trouver en général pour ces
équations plus de deux racines réelles, la difficulté inhérente au
troisième degré ne subsister2^it pas. Il ^st manifeste qu'en présup-
posant la nature des opératipns , dpnt on demande un nombre fini ,
on imprime à la recherche un caractère trop particulier. Si la per-
fection de l'analyse algébrique e^igefiit une telle solution , i| faudrait
renpncer à connaître les racines des équations, et lasciepce, aii^si
bornée dès son origine , ne pourrait faire aucuq progrès : mais nous
prouverons par la ^uit^ que la marche dp cette science est à la fpis
plus assurée et incomparablement plus simple.

En effet on reconnaîtra qu'il est facjle fie découvrir toutes les
racines par une méthode générale de son propre genre, qui n'est
point une combinaison des règles élémentaires des extractions
de racines, mais qui dépend du calcul simultané de tous les coeffîr
cient$ de la proposée. Si les racines sont des nombres finis, l'opéra-
tion s'arrête d'elle-même , et donne ces nombres. Si ces racines sont
irrationnelles, on les détermine aussi exactement qu'on le veut.
Lorsque l'équation est littérale , et que les racines sont des poly-

3.

1 6 IXTRODCCnOS.

iKMDes finis « on trouTe inifiicdîa testent «s pohmoaes. non par
suite d'e&sais incertaiiis, coaraie on Fa proposé antrcfois dans TAritlH
o)étk|oe unheriHIe et <f autres oorraçics, mais par une opératîoo
r^oliere et facile dont b marche est tonjoun la même. Si les racines
ne peurent être exprimées par on nombre fini de termes, on troore
stHxessÎTement toutes les parties des racines , c*est-à-dire des soites
de monômes dont rttag-awné^ étant substituée par ordre dans le pre-
mier membre rend tous les termes nuls. La lecture de notre oorrage
ne laissera aocnn doute sur b Terité de ces oonséquenoes.

f^orsque les grandeurs inconnues sont exprimées par plusieurs
équations, par exemple si Ton propose deux équations algébriques
(KMir déterminer x et r qni entrent dans chacune des équations .
U résolution a pour objet de trouver deux valeurs de x et > qui ,
substituées ensemble dans chaque équation , en réduisent le premier
membre à zéro. Ces valeurs doivent être exprimées, soit en nom-
bres, soit par des suites de monômes tels que Ha^6^... , selon que
les équations sont numériques ou littérales: et il s*agit de déterminer
tous les systèmes possibles de deux valeurs de x et y propres à satis-
£ûre aux équations jHt>posées. 1^ même question s applique aux
équations qui contiennent trois inconnues , ou un plus grand nombre.

On a déduit des propriétés des lignes trigonométriques une ré-
solution des équations des premiers degrés , beaucoup plus claire
et plus utile que celle qui dépendrait de la combinaison des signes
radicaux ; et c'est encore dans les ouvrages de Viète que Ton trouve
l'origine de ce procédé. Mais on ne parvient pas par cette voie
à une résolution générale des équations.

( j) Nous traiterons dans les deux premiers livii^ des équations
à une seule inconnue, et dont les coefficients sont des nombres
donnés.

l>es nombres inconnus a, S, y, . . dont chacun aurait la propriété de
réduire à zéro le premier membre de Téquation X=o, sont appelés
racines réelles de Téquation. \jd nombre des racines réelles ne peut
|ias être pins grand que le degré m de Téquation , mais il peut être

INTRODUCTION. 1 7

moindre; et lorsque cela arrive, on nomme imaginaires ces racines
déficientes ^ en sorte que le nombre total des racines réelles ou ima-
ginaires d'une équation do degré m est toujours égal à m.

Il y a des équations qui n'ont aucune racine réelle , parce qu'il
n'existe aucun nombre a , tel que le premier membre X puisse être
rendu nul en donnant à x une valeur subsistantes; ou, ce qui est
la même chose, qui soit divisible par x — «. Mais quels que soient
les coefficients a,^ a„ a^, • . . a, de la fonction algébrique/a:, on peut
toujours trouver deux nombres positifs ou négatifs (i et v , tels que
la fonction /j? soit exactement divisible par le feeteur du second
degré a:* -h }lx + v.

On a remarqué depuis long-temps , et ensuite on a démontré cette
proposition fondamentale. Ainsi la fonction X peut toujours être
considérée comme égale au produit (a?' + fto: + ^)Fx: on désigne
ici par F a; une autre fonction algébrique.

Si l'équation du second degré j?*-f- por-h v=o a deux racines
réelles a et € , en sorte que le facteur j?* + (i or + v soit le produit
{x — a) {x — 6) , les nombres a et € sont aussi des racines réelles de
la proposée X = o. Il peut arriver qu'il n'y ait aucun nombre qui
réduise à zéro le facteur du second degré a?' -^ (Ait -f- v : ce cas est
celui des racines imaginaires.

On regarde ces racines imaginaires de l'équation ar' + |A^ + v=o
comme appartenant à l'équation X=o. Ainsi l'expression des ra-
cines imaginaires d'une équation algébrique n'est autre chose qne
le signe convenu d'un facteur du second degré jf -h |x a? -h v qui
divise le premier membre de cette équation, et qui ne peut être
rendu nul par la substitution d'aucun nombre mis à la place de x.
Cette distinction des racines imaginaires, et les dénominations qui
l'expriment, se sont introduites dans un temps où l'on n'avait point
encore acquis une connaissance complète de la nature des équations.
Il est certain qu'on pourrait les remplacer par des expressions plus
claires ; mais il n'y aurait aucun avantage à changer aujourd'hui les
dénominations usitées : il est seulement nécessaire d'en connaître
exactement le véritable sens.

i8 INTROWlCriON-

(5)Oo peut te^pdeff eomai^ Maeabscis$^ variable la qu^itité x qui
eatredans la fcwqtian al^briquey^ , et la valeuir iw«iéri<|uue cie k(
fonction eomnie Vordonnée <)orresp<mdaia^H jr- Sî l'oi^ çi^ppos^ût qm ^
reçoit toutes le&valetm po^cÂbla^piosititves ou n^aûves » et si 1 oi^dé*
tfirmîoâût la form^ d^ la courbe, on eonnaîtraU di$tii^ctenient la
ftature de la Ibnctîoii^x; les points d'intersection de U courbe et de
Taxe correspondraient aux racles réelles. Pour deternûuer U forme
de la courbe , en substituant de$ valeurs de x dau$ la fooctiov^yo? , il
faudrait attribuer à x toutes ses valeurs successives^ ce qui ue peut
s eflectuer ; mais bous prouverons par la wite qu^ lou parvient à
déterminer complètement cette forme par un nombre trè^-limité

de substitutions. Pour cela on ne considère pas sçul^m^ntla fonction
donnée/.!:^ on considère aussi toutes cell^ qui fn dérivent par d^^s
différentiations répétées.

Nous supposons ici que les principes et l'usage de l'analyse dif^
férentielle sont connus du lecteur. On ne pourrait point per^c-
tionner la théorie des équations sans recourir à ces principes; la
résolution complète des équations numériques doit être regardée
comme une des plus importantes applications du calcul différentiel.
Au reste nous indiquons expressément dans cette introduction
les propositions qui dépendent de l'analy&e infinitésimale^ et que
nous employons dans le coure de nos recherches. Ces propositions
sont démontrées dans tous les traites généraux , et il faut remar-
quer que les procédés de ces calculs sont très-simples, et que la vérité
en est pour ainsi dire manifeste lorsqu'on les applique aux fonc-
^ tions algébriques qui formant les premiers membres des équations.
En général , nous employons dans le cours de cet ouvrage les dé-
«nominations et notations las plu^ généralement reçues, et qui sont
presque toutes celles que les inventeurs ont proposées. Ainsi nous
coftservons le signe connu d'une quantité infiniment petite, c'est-
à-dire d'une quantité variable dont on considère une înrinité de
valeurs et qui devient plus petite que tpute grandeur donnée.
Nouft désignons aussi par i une quantité infiniment grande ^ c'est-
à-dire une quantité qui n'a point une valeur acIuéUe déterminée i

INTROmoCTlON. it,

mais qui est variable et qui augmente sans limite, en sorte qu'<eUe
devient plus grande que to«ite quantité donnée.

Soient /"o:, -^ f^y l^f^'^ T^^^^ etc., des Ibnetionfi aigébri-

r

•qbes désignées pmf^,f'xyf"x,f"tv, ete.,<et dorit chaoune se déduift
de k précédente en difHerentiant par rapport à a:, et divisant ^nr
^dvc. Oh substitue certains nombres dans cette suite de fonctions,
et la' comparaison des résultats coiuluit, comme qousle déobontM-
rons'bîemât^à hi dorniaissance des racines de KéquationyorssnOyetà
celle des lignes courbes dortt les équations sont js==i/a?, j^==/'ar,
y=fx, y=if"xy etc. Il ne suffirait point , pour découvrir les ra-
cines de la proposée J^^=o, de substituer certains nombres dans
la Tohctioti fx ; il est nécessaire ausisi de faire ces substitutions dans
les 'fonctions subordonnées J'x, f"x , f*"x , létc.

En substituant un nombre a à la place de x dans une'fonction don-
née, on connaît la valeur correspondante de la'fônction qui est repré-
sentée par l'ordonnée; mais si l'on substitue aussi* ce'même nombre

a dans la fonction -r-fxy o\\f^Xj on détermine un autre caractère

delà même 'fonétionyâ;/ on connaît si cette fonction «tend à^iitg-
menter ou à diminuer lorsque la v&aleur a de rabscifiâe.4uigmente^
et Fon a ta mesure exacte de l'augmentation ou de la diminution
"virtuelle. Cette mesureest la valeur corre^pondantede^a^ ou de la
fluxion du: premier ordre ; elle est représentée dans la figure par la
tangente trigonométrique de l'angle que l'élément de l'arc fait avec
la /parallèle ^ à l'axe des- abs^cisses.

Qn connaît de la même manière si la, pr^nière fluxion tend à
augmenter ou à diminuer ^ lorsque la valeur a de or augmente, et
cette disposition à augmenter ou à. diminuer est aussi une quantité
mesiiraUe : on la détermine ^d substituant le même nombre a dans
la seconde fluxion /"" or. Il enest de même des: fluxions de tous les
ordres.

^La quantité ;r-yar> ou/'ar/est,à.pr<^ement parier yla limite du
rapport de Taccroissemeilt de la^ fonction' à Faeeroissement eorres-

w PiTRODCCnON

piorii'!" .-:-:• L Tartjihîe. et ÎT^atT-**!»-!* des «x*arues rriMicr.: tm-
..>!: !ts :«Dutes les ctmstaaemtes dr et tcarr.

itf r

L^ ¥abnir de h loactîoo j-^ oa/^x, est nulle lorsqo aa poîaC de

b eoarbe dont Falisctsfie rst x U tangente est parall^ à Taxe des
afast-isscs. Si cette foactîoo ^/"x a une raletir por^itÎTe. rordosare
V oQ^/x au^rmente lorv]iie Tabseisse auevMute : ainsi la Ggne est
ascendante. Nais si /* x a une valeur nêzatxre. ronioooêe
lorv|iie X ao^^oMote : la brandie de la coarfae est

lar signe de la Taleur de la fla\ioa da sexXMid ordre j-^^oaJ*x.

£iit coonoLitre si la courbe est concave oo convexe an potnt dont x
est rabsctsse. Si cette fonction /"x a une Talenr positiTe, la courbe
est concave : etie toome sa conTexitê vers la partie inférieure de
la ^Mlinebe. Si f* x a une Taleur ne^atiTC* la courbe est convexe :
eiIe touroe sa c^aTexitê vers la partie s^iperîeure de la plane fie.
Lorsque la v^cur de U fiaxîoa du second onire^/*'x est nuDe. La
courbe a ooe ifidr\ion au point dont x est Fabsclsse. Ce point
dlfineûxi peut . daiis des cas siujruiîers . n être pas apparent : en
^meral il sépare deux arcs dk>nt l'un est convexe et l'autre concave.
Toiices ces propotsitioos sont très-lacîles à démontrer.

^ La ni^ti'^n d^^ limites était un des ektnents priocîpaux de la
zet^obetrie grecque: on en trouve pour la première fois Fissa^dans la
doctrine des incv^mmens^vables. et surtout dans le theorèate cfoi
sot à comparer les volumes de deux tétraèdres qui ont une base
comoiiiae et des hauteurs ê^ales^ En efllet on ne peut point prourver
régalitê de ces deux volumes par la superpobitiou efTeclive des par*
ties« comme cela avait lieu pour les tbèorèrpes plus ancveniiff nt
connus: il est nécessaire de coosidèrer ici une infinité lie parties^
Les aoKxiemes ont ensuite appliqué leur anaKse a cette nodicai des
Kmites^ et e^est Tori^ine du calcul infinitésimal.

L^équation ditTerentielle est celle qui exprime uoe relatioa eatre
les fooctiotis d'une ou de plusieurs variables, et les fluxions de divers
cirdres ptises pM' rtq>port à certakMs de ces vari^ Onareeonmi

!•

I

INTRODUCTION. 21

que ces relations n'appartiennent pas seulement à la science abstraite
du calcul : elles existent dans les propriétés des courbes et des sur-
faces , dans les mouvements des solides et des fluides, dans la dis-
tribution de la chaleur, etvdans la plupart des phénomènes naturels.
Les lois les plus générales du monde physique sont exprimées par
des équations différentielles.

(7) Le premier membre d'une équation algébrique dont le degré m
est un nombre pair peut toujours être décomposé en un certain
nombre de facteurs du second degré, tels que j?* -f- (a a? + v ; les nom-
bres (& et v sont positifs ou négatifs. Si le degré m est impair, l'équa-
tion contient de plus un facteur réel du premier degré, x — «. On
considère ainsi toute équation d'un degré /n comme ayant un nombre
m de racines, ou réelles ou imaginaires : à proprement parler, ces
dernières racines manquent dans l'équation.

Les coefficients a,, a,, a^. . .a„ pourraient être tels que si l'on con-
struisait la ligne dont l'équation estx==fx, le nombre d'intersec-
tions de la courbe avec l'axe des abscisses fut égal à m. Mais lorsqu'on
change les valeurs de ces coefficients, il peut arriver que certaines
intersections disparaissent ; elles manquent en nombre pair, lia forme
même de la courbe peut être changée, et cette ligne peut perdre plu-
sieurs de ses sinuosités.C'est ce défaut d'intersections ou de sinuosités
qui donne lieu aux racines imaginaires. Il faut remarquer, et nous
le montrerons distinctement par la suite, que ces racines déficientes
ou imaginaires peuvent n'être pas indiquées par la forme de la ligne
dont l'équation esty==fx. Il arrive souvent que les intersections
disparaissent d'abord dans l'une des lignes subordonnées, qui ont
pour équation y=ifx, y=f"x, y=zf'"x, etc. Nous prouve-
rons que l'on peut déterminer facilement les intervalles où ces in-
tersections manquent.

(8) Lorsque le premier membre de lequation contient plusieurs
facteurs réels du premier degré, tels que x — ol^x — 6,;r — y, etc.,
deux de ces facteurs, ou trois, ou un plus grand nombre, peuvent être
les mêmes: ce cas est celui des racines égales. On considère que le
premier membre étant divisible par (x — «)% {x, — 6)', etc., l'équation

aa INTRODUCTION.

a deux racines égales à « , ou trois racines égaies à é , quoiqu'il n*}
ait en effet qu^un seul de ces nombres qui ait la propriété de réduire
le premî^ membre à zéro. La construction rendrait sensible la coin-
cidence de ces racines.

Il'est facile de distinguer et de résoudre œ cas de» racines égales :
il suffit de comparer entre elles les ùmctioos /x ,J'x ,J^x, e|c.^
afin de connaître s'il existe un ou plusieurs facteurs communs à
/x eXf'x, ou ^fx,fx,f"x, etc. Dans le cas singulier oit une telle
condition a lieu , on doit considérer séparément k^ faiseur commun
que Ton a trouvé^ et qui est une fonction algébrique de x ; il ne reste
plus qu a résoudre cette fonction en se^ facteurs simples.

Il nous suffît d'énoncer ici ces théorèmes sur les propriétés des
racines égales. La démonstration en est connue, et d'ailleurs elle est
une conséquence évidente des différentiatious.

(9) Nous ferons principalement usage du théorème qui donne le
développement successif d'une fonction algébrique du binôme z-\-b;
mais il faut joindre à ce théorème l'expression du reste, qui complète
la série lorsqu'on l'arrête à un terme quelconque. Voici l'énoncé
de cette proposition , qui est un peu moins connue que les précé-
dentes, mais qui est entièrement nécessaire à l'analyse exacte des
équations : les développements successifs de la fonction f{z-^i^)
sont exprimés par les équations suivantes ,

f{z + b)=fz + bf{z . . . TÇb),

f{z+b)=fz+bfz+'^rz^^r\z...rrb)

ainsi de suite.

La fonction désignée par la caractéristique^/est supposée algébri-
que , et de même nature que la fonction fx rapportée article 3 , et
dont la valeur est a:^+a, jT"' + . . . + a^; ft exprime un nombre dé-
terminé ajoutée la variable z. La quantité ainsi représentée (z . . . i+^),
est un certain nombre inconnu compris entre 2 et x 4- ^; et il faut

INTRODUCTION. 23

remarquer surtout que ce nombre n'a pas ia même valeur dans les
équations qui se succèdent : seulement il est toujours compris entre
zetz+b. Ainsi la valeur complète de la fonctiony(z -i- b) est formée
!• d'un certain nombre de termes du second membre, savoir d'un
seul pour la première équation, de deux pour la seconde, de trois pour
la troisième, ainsi de suite ; 2° d'un dernier terme qui complète la série
et qui contient une fonction f (^) d'une certaine 4}uantilié , m étant
le nombre des termes, du développement. La q4ian4il:é< qui entre
comme variable dans cette fonction f (m) n'est pas connue , et il n'est
jamais nécessaire qu'elle le seit pour l'usage que nous voulons faire
du théorème; mais il est certain que cette quantité inconnue est plus
grande que z et moindre que z + b. he même théorème s'étend à
toutes les fonctions, mais on ne l'applique ici qu'aux fonctions
algébriques. On trouve l'origine de cette proposition générale dans
les écrits de Jean Bernoulli : c'est à Lagrange qu'on doit la remar-
que importante qui donne l'expression exacte du reste de la série.
(10) Soit j une fonction algébrique/o:^ et concevons que x ayant
reçu une valeur déterminée, on augmente cette valeur d'une quantité
infiniment petite dx, c'est-à-dire d'une quantité variable qui décroît
de plus en plus , et a zéro pour limite. L'accroissement dy de la
fonction est lui-même variable, ainsi que le rapport de cet accrois-
sement djr à l'accroissement dx. En désignant par h cette quantité
variable dx dont x est augmentée , le rapport dont il s'agit a pour

expression — — h ' owfx-^- \hf\x...'x+K). Cettç dernière

quantité, qui varie lorsque h devient infiniment petite, a évidemment
pour limite fx : c'est ce que les géomètres expriment en écrivant

'j^=^fXf ou dy:=zdxf'x. Ils énoncent la même proposition en

disant que y^o? est la dernière raison des accroissements dy et dx,
ou que la valeur Aef{x -h dx) est fx + dxf^x.

Il pourrait arriver que la valeur déterminée de x fût telle que
fx devînt nulle. Dans ce cas on trouve l'accroissement delà fonc-
tion par l'équation

4.

a4 INTRODUCTION.

f{x + h)=fx+hfx +^/"jr + o-^ "(*• • •*+*) '
rar le terme hf^x étant nul, on a

la limite du second membre est évidemment \f"x. Cest ce Ton
exprime en écrivant

f{x + dx) =/a: + \ dx'f'x.

La dernière raison de raccroissement de y au carré de Taccroisse*
ment de x est da^s ce cas une quantité finie égale à ^/^x. Les mêmes
conséquences s'appliquent aux cas où la substitution de la valeur
attribuée à x ferait évanouir plusieurs fonctions consécutives.

Après avoir rappelé c^ principes, nous traiterons l'une des
questions principales de l'analyse des équations, celle qui a pour
objet de déterminer les limites de toutes les racines.

^i<'»fc«i»% » »<% w/% fc^%«wni%<*<»<i^^*^^o^^**^*'*^*^<»

»r

EXPOSÉ SYNOPTIQUE

DBS

RÉSULTATS DÉMONTRÉS DANS CET OUVRAGE.

M ■■

(i) Lj£ premier livre a pour objet une méthode générale qui sert à
trouver deux limites de chaque racine réelle , et à distinguer les ra^
cines imaginaires. Pour résoudre l'équation algébrique

X=^a,jcr •^' a^xT^'-h a^aT"^ . . . . . + a._,x* + û;„x-+- a«^,=o

du degré m^ dans laquelle les eoefHcients ^o ^»r^if ^t^* sont des
nombres connus, on considère à la fois toutes les fonctions qui sont
dérivées du premier membre X par des dilFérentJaticftis successives.
Nous désignons ces fonctions comme il suit , en les écrivant dans
l'ordre inverse,

XW x<^->, X^-», ..... X"', X", X', X.

Si Ton attribue à la variable x une valeur donnée a qui croit suc-
cessivement depuis a= — 7 jusqu'à a = + ^ , et si l'on écrit le signe
du résultat de chaque substitution , on forme une suite de signes
qui répond au nombre substitué a. Dans cette suite de signes, que
nous indiquons par (a) , on remarque combien de fois il arrive qu'un
signe est suivi d'un signe semblable, et combien de fois un signe est
^suivi d'un signe différent ; on nomme "vqriaiion cette dernière suc-
cession de signes , et l'on compte combien de fois la suite (a) contient
de ces variations. Cela posé, le nombre a croissant par degrés insen-

26 EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

sîbles, la suite de signes (a) ne conserve pas toujours le nombre de
yariations quelle avait d abord, et que nous désignons par y; ce
nombrey diminue gradueUement; 'il «tait d'abord égal à m^ il de-
vient nul. On démontre qu'il ne peut que diminuer à mesure que «
augmente.

Le nombre j des variations de la suite (a) ne change que s'il
arrive que le nombre substitué a fait évanouir une des fonctions
dérivées; il peut arriver dans ce cas que le nombre de» variations
qui répond à une valeur infiniment peu plus grande que a, diffère
du nombre de variations qui répond à une valeur infiniment peu
plus petite que a. Dans ce passage d'une première valeur de a à une
seconde valeur infiniment peu différente , il est possible que la suite
de signes perde un certain nombre de variations. Il est possible aussi
que le nombre des variations qui répond à là première valeur de «t ,
soit le même que le nombre des vnriations qui répond à la seconde
valeur de a. Nous ne considérons point ce qui a lieu lorsque la suite
conserve toutes les variations qu'elle avait auparavant, mais seule-
ment ce qui a lieu lorsque la suite perd un certain nombre de va-
riations. Or ir se présente ici deux cas totalement différents : le
premier , lorsqne'dans la suite qui perd un certain nombre de ses
variations la dernière fonction X devient nulle; le wûond, lors-
que la suite (a) perd queiquen-ones de ses variations sans que ia
dernière fonction X devienne nulle. Le premier cas se rapporte au
nombre des racines réelles, et le second au nombre des racines
imaginaires. L'équation X =b a autant de racines réelles que la
suite perd de variations lorsque X devient nulle, et cette équa-
tion a autant de racines imaginaires que la suite des signes perd
de variations sans que X devienne nnile. Ce théorème ebt général ,
il n'est sujet à aucune exception : voici les deux applications prin-
cipales qu'il fournit.

1 * Il est aisé de connaître combien on doit chercher de racines
dans un intervalle donné. Si fon veut saToir combien l'équation
X :î=: o peut avoir de racines entre deux Kmites désignées par aetb,
on substitue la moindre limite a dans la suite totale des fonctions ,

EXPOSÉ SYNOPTIQUE^ 127

et Y on substitue aussi la plus grande limite b dans la même suite,
afin de comparer le nombre des variations de la suite (a) au nombre
des variations de la suiée (^).Si ces deux nombres de variations sont
les mêmes, on est assuré que la proposée X=:o ne peut avoir au*
cune racine entre a et b : il est impossible qu'aucun nombre plus
grand que a et moindre que b rende X nulle.

(A) Si le nombre des variations de la suite (a) surpasse le nombre
des variations de la suite (A), et que la différence soit t, il faut cher»
cher un nombre i de racines entre a et b. Il est impossible qu'il
y ait dans cet intervalle un nombre de racines plus grand que i; il
peut y en avoir moins , et celles qui manquent sont en nombre pair.

La règle que Descartes a donnée concernant le nombre des racines
positives ou le nombre des racines négatives qu'une équation peut
avoir, est un corollaire du théorème précédent(A); il suffît de prendre
o et ^ pour les limites a et b des racines dont' il s'agit. Lorsque
deux des racines que le théorème général (A) indique comme devant
être cherchées entre deux limites données n'existent point dans cet
intervalle , elles manquent dans l'équation proposée X=o , c'est-à-
dire qu'elles correspondent à deux racines imaginaires de cette
équation.

Si pour un autre intervalle a\ b' différent de a, ^, il arrive
aussi que deux des racines que le théorème indique comme devant
être cherchées entre a et &, ne se trouvent pas dans cet intervalle,
il arrive aussi que ces deux racines manquent dans l'équation X:==o ;
elles correspondent à deux autres racines imaginaires de l'équation
X=o. En général les racines imaginaires de l'équation X:=o sont
respectivement celles qui manquent dans certains intervalles où le
théorème indique qu elles doivent être cherchées. Nous avons dit
que la proposée X=o ne peut avoir aucune racine dans un inter-
valle lorsque la substitution des deux limites aètb donne le même
nombre de variations pour les deux suites de signes (a) et (b.) Il
suit de là qu'une méthode de résolution qui n'indique pas les inter-
valles où les racines doivent être cherchées est trèskiéfectueuse : car

»8 EXPOSaÉ SYNOPTIQUE.

m

les intervalles où il est impossible qu'il y ait des racines sont beau-
ooup plus étendus que les intervalles où les racines peuvent sd
trouver. C'est pour Cette raison qu'on ne dott point faire usage de
la méthode qui consiste à substituer successivement des nombres
A, aA^SA, 4A)etc«,dont la différence est moindre que la plus petite
différence des deux racines : car on peut opérer ainsi sur des in-
tervalles très-grands où l'on cherche des racines , quoiqu'il soit
facile de reconnaître d'avance qu'il ne peut y en avoir aucune. On
ne doit procéder à la recherche des racines que pour les intervalles
médiocres où le théorème (A) indique qu'il peut y en avoir.
* (a) Si pour découvrir les racines de la proposée comprises entre
deux nombres donnés a et &,on divise cet intervalle en parties , et
que l'on y substitue des nombres intermédiaires, on pourra diminuer
indéfiniment les intervalles où Ton doit chercher les racines; mais
on ne parviendrait point par ces seules substitutions à connaître
avec certitude la nature des racines. Il est nécessaire de joindre au
théorème précédent (A) une seconde règle qui fasse connaître avec
certitude si les racines que Ton cherche dans un intervalle donné
sont réelles , ou si elles sont remplacées par un pareil nombre de ra-
cines imaginaires de l'équation X=:ro.

Lorsque deux racines qui doivent d'après le théorème (A) être
cherchées entre deux limites données manquent dans cet intervaUe)
cela provient de ce qu'un certain nombre a, compris entre ces deux
limites, étant substitué à la fois dans trois fonctions dérivées con-
sécutives, rend la fonction intermédiaire nulle, et donne pour les
deux autres fonctions des résultats qui sont de même signe. C'est le
caractère général des racines imaginaires^ parceque la suite des signes
perd dans ce cas deux variations. Lorsque la fonction intermédiaire
s'évanouit^ ce nombre a est une valeur critique qui correspond à un
couple de racines imaginaires.

Ainsi en désignant par/*^'+*^4?,y^'^ 07, /<*^'^x les trois fonctions
coAsécutivM doint il s'agit, il e%ïste dans ee cas une certaine valeur
de a. comprise entre a et 6 dont la substitution rend nulle/^'^;r, et

i

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. ^9

MltI)ea^ donne pour /^"^'^x et f^'^'^x deux résultats dont le signe est

"^^«« commun.

^gedf Tant que le théorèftie indique qu'il faut chercher deux racines

îOffihns «entre les limites aetb, la nature de ces racines demeure incertaine:

lispetifc elles peuvent être toutes les deux réelles ou toutes' les deux imagi-

^ ûf naires.. Pour résoudre cette ambiguïté , ce qui est une question capir

VI

^ u soit taie de Tanalyse algébrique, et que Ion a dû regarder comme la plus

n^. On difficile de toutes, il ne faut point recourir au calcul d'une équaticm

?rraj^ dont les racines font connaître la moindre diflérence possible de deux

racines consécutives , car ce calcul n'est praticable que pour leséqua-
s entre lions peu élevées; et même en perfectionnant le procédé qui donne

tieSjtl un tel résultat, le trop grand nombre de substitutions exigerait un

ïmm calcul beaucoup trop composé. Nous allons énoncer la règle qui sert

; niais ^ distinguer dans ce cas la nature des racines: en la joignant au

laitiv théorème (A), elle complète la méthode de résolution; mais avant

ç ^g de rapporter cette règle, nous indiquerons quelques conséquences

générales des propositions précédentes.

On voit que depuis a? = — 7 jusqu'à x= + 7 , il y a trois sortes
d'intervalles. Les uns, d'une grandeur indéfinie, sont tels qp'il serait
entièrement inutile d'y chercher des racines de l'équation X=o:
on reconnaît immédiatement qu'il ne peut point y en avoir. Les deux
autres sortes d'intervalles sont : i"" ceux où se trouvent en effet les
racines réelles; st^ ceux où les racines manquent. Ce sont ces racines
déficientes qui correspondent aux racines imaginaires. Pour chaque
^'ouple de racines imaginaires, il existe une valeur réelle de la va-
riable a: telle que x devenant égale à cette valeur , la suite des signes
perd deux variations à la fois sans que x devienne nulle. Le nombre
des couples de racines imaginaires est nécessairement égal aux nom-
bres de ces valeurs critiques. On conçlud de cette proposition gé-
nérale celle de de Gua de Malves^ qui exprime les conditions
propres aux éqQations algébriques dont toutes les racines sont
réelles.

Nous avons remarqué plus haut que le caractère des valeurs cri-
tiques est de rendre nulle une fonction dérivée intermédiaire, en
I. 5

avef
m

(

3o EXPOSÉ SYNOPTIQUE. '

donnant un^ lAéme signe à k fonction qui précède et à celle qui suit.
Cette condition ne s'applique pas seulement à la fonction prin^
cipale X. Lorsqu'elle a lieu pour une des fonctions dérivées d un
ordre quelconque X^"^ , c'e8t-*à-dire lorsque la valeur réelle de x qui
rend cette fonction X^'^ nulle donne deu^ résultats de méine . signe

■

pour la fonction X^""*"^ qui précède, et pour celle qui suit, savoir
X^'''"^ ce caractère indique deux racines imaginaires de l'équation
X^"^=o, dont le premier membre est la fonction intermédiaire. On
en conclud avec certitude que l'équation principale X =:ê o manque
aussi de deux racines dans ce même intervalle de a^h. On connaît
par cette remarque que les racines imaginaires de l'équation X ti^: o ne
sont pas toutes du même ordre; les unes manquent dans l'équation
principale,et les autres dans les équations subordonnées qui en déri-
vent par la différentiation. Au reste la forme de toutes ces racines, de
quelque ordre qu'elles soient, est toujours celledu binôme a H-^l/ITî,
c'est-à-dire que deux de ces racines conjuguées correspondent à un
facteur du second degré dont les deux coefficients sont réels.

Les racines imaginaires qtii manquent dans l'équation principale
X = o y)nt indiquées par la figure de la ligne courbe dont l'équa-
tion est^ = X; chaque couple de racines imaginaires correspond
à ime ordonnée dont la valeur est un mininmm, abstraction faite
du signe. Il n'en est pas de même des racines imaginaires qui man-
quent dans les équations subordonnées : leur forme n'est point in-
diquée de la même manière par Ja figure de la ligne courbe dont
ré^quati^n est ^=:X ; mais si l'on se représente que toutes les lignes
comtes qui correspondent aux fonctions dérivées de tous les ordres
sont tracées, toutes les racines imaginaires de l'équation X=o de-
viendront apparentes : chaque couple de ces racines correspondront
à un minimum absolu dans la courbe dont l'ordonnée est la valeur
d'une fonction dérivée.

(3) fl reste à énoncer la règle que nous avons donnée autrefois
pour distinguer les racines imaginaires, et qui résoud complètement
cette question.

(B) On suppose que l'application du théorème (A) fasse connaître

' EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 3i

que r^n doit eberdij^f mtv^ les limiter a et à un certain nombre /
de racines; il ^'agit de reconnaître quelles sont^ parmi ies racin<Rs
amai indiquées celles qui fiTci^tçpt en efïet , çt celles qui ne plurent
$e trouviw dans cet înlïsryalle p^roe qu'elles correspondent à antant
de racines imaginaires de la proposée: le nombre entier y ^st par
hypothèse plus grand que o. Or il faut remarquer que le théorème
général (A) ne s'applique pas seulement à l'équation principale
K= o , îl indique aussi con^bien réquatiofi dérivée X' = o peut avoir
de racines dans un intervalle donné; il en e3t de même des éqga-
tions dérivée^ de^ ordres suivants , savoir X"=o, X'"=o, )C'''f=o,
etc- : on connaît immédiatement par l'application dw théorèn^e
combien on peut cberchier dans un intervalle donné de valeurs de
X propres à rendre nulles ces diverses fonctions. Concevons que
dans la suite totale des fonctions dérivéjpsy^"^ar^/^"'"'^a7,/'^""''^a:^ . . .

/''x, fxyfxf on marque au-dessu.s de chacune de ces fonctions
un nombre i, qui indique combiejri Féquation dont cette fonption
est le premier memtbre peut avoir de racines dans l'intervalle deç
deux limites a et ^. I^s nomJ|;)res désignées par i indiquent çom-
biien dans l'intervalle dpnné.on devrait chercher de jracines dpTéqua-
tion correspondant» , si l'on sç proposait d« réspudne cette éqnatipp.

• Ces nomtires respectif , que nous appelions indices y peuvent êt^e
écrits à la seule inspection de la suite totale des fonctions déi^ivées
Cola posé on remarque ^n parcourant la sUite totale de droite à
gauche qu'elle est là première des fonctions dont l'indice est l'unitéi
et l'on s'arrête à cette fonction que nous désignons ^^T f^'^oç. Il
est démontré que l'indice précédent placé à la droite de celui-ci
sera toujours 2. On examinera si l'indice suivant placé à, gauche de

f^^'^x est o. Si cela n'a point lieu, îî faut diviser l'intervalle a^ ^des
limites en d«ux parties , en dubstituant pour x un nooal^re intermé-
diaire flt- Qn remplacera çiinsi l'intervalle a^h par deux autres a^ %
et %^h, et l'on appliquera littéralement la présente règle à la re-
cherche des racines dans ces deux intervalles. Or en opérant ainsi
on parviendra toujours, et très-promptement, au cas mentionné ci-
dèssus, c'est^à'^dire qu'ayant pemârqnédans 1« nout^l (état de la suite

5.

32 EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

totale des signes, et en passant de droite à gauche, ta première fonction
qui porte l'indice i , on trouve que l'indice précédent à gauche est o;
Désignant donc peLv/^'^x la fonction pour laquelle cette condition
est satisfaite, on considérera les trois fonctions consécuti ves/'^'^'^ a:,
y^'^^^y^'^'^^^ dont les indices respectifs sont o, 2,3. On écrira la-
quantité — f(r)~^ ^' faisant a: égale à la moindre limite a, on con-
naît la valeur du quotient — fjpr^ \ ^î <^ quotient est moindre que la

différence b — a des deux limites , on est assuré que les deux racines
que Ton cherchait entre a et h manquent dans cet intervalle , et que
par conséquent elles répondent à un couple de racines imaginaires
de l'équation principale X = o. Dans ce cas on retranchera deux
unités de chacun des termes de la suite àts indices écrits à droite,
depuis et y compris celui qui répond à f^'^'^x, jusqu'au dernier
terme X et y compris ce terme. On conservera les indices précé-
demment trouvés pour les termes placés à la gauche de f^^^^'^x, et ,
cela étant , on aura une nouvelle suite d'indices pour ce même in-
tervalle des deux limites a et b. On continuera donc la recherche
des racines comme si cette nouvelle suite d'indices eût été celle que
l'on a trouvée d'abord. Par cet examen des valeurs des quotients ,
on parvient promptement et sans aucune incertitude à la séparation
de toutes les racines.

IjCs cas singuliers où les fonctions différentielles ont des facteurs
communs, se résolvent facilement au moyen des théorèmes connus,
sur les racines égales.

Au lieu de substituer Tune des li mites a dans l'expression

on peut substituer la phis grande limite b , et comparer le quotient

-^ f{r) L à la différence b — a. Si ce quotient n'est pas moindre que

b — a, on est assuré qu'il manque deux racines dans l'intervalle.
Enfin on tirerait la même conséquence si la somme des deux quo-

tients — ^-7Ç5 — ^IWb' ^^^^ P^* moindre que b — a. Ainsi toutes
les fois que la différence b — a des deux limites n'est pas plus grande

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 33

que la somme des deux quotients, il est certain que les deux ra^
ci nés que Ton devait chercher entre a et ^ manquent dans cet
intervalle, et que par conséquent elles correspondent à deux racines
imaginaires de l'équation X=o. Si au contraire la somme des deux
quotients est plus petite que la différence b — a, on est averti que
les limites a et & ne sont point assez voisines pour qu'on puisse re-
connaître la nature des racines par une seule opération. On substi-
tuera donc dans l'intervalle de a et & un nombre intermédiaire «,
et Ton formera deux intervalles a, a et ol^ ^ : le théorème (A) in-
diquera immédiatement celui de ces intervalles dans lequel on doit
chercher les deux racines. On continuera donc l'application de la
présente règle , et il est impossible qu'en continuant cet examen
on ne parvienne pas à distinguer la nature des racines.

(4) Les propositions' que Ton vient d'énoncer sont l'objet du pre-
mier Ivfvid : elles y sont démontrées avec tous les développements
cfue peut exiger nne étude élémentaire. Le théorème (A) et la règle
que nous avons donnée pour la distinction des racines imaginaires
eonduisent promptement et avec certitude à séparer les racines.
On reconnaîtra en multipliant les applications de cette seconde
règle (B) combien son usage est facile. Ge.t avantage provient de
ce que Ton op>ère d'une manière spéciale pour chacun des inter-
valles où l'on cherche les racines : on considère distinctement ce
qui est propre à cet intervalle, et .l'on ne fait que le calcul absoki*
ment nécessaire pour juger de la nature des racines qui doivent y
être cherchées. TiC plus généralement l'application de la règle (B)
exige peu de calcul , et la première ou la seconde opération suffisent
]x>ur connaître là nature des racines : toutefois il peut y avoir des
cas particuliers où la recherche ne se terminerait pas aussi promp-
tément. Cela arriverait si la différence des deux, racines réelles était
extrêmement petite , ou si le point qui répond au minimum absolu
était très-voisin de l'axe des or. Il faut remarquer à ce sujet i ^ que le cas
des racines égales est très-facile à distinguer, comme nous l'avonsdit
plus haut ; â® que si dans Fintervalle a, b la ligne dont l'ordonnée
représente la valeur de la fonction s'approche extrêmement de T^xe

34 EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

des X, flôit qu'il y aitoo non intersection, U distinction des racines né-
cessite dans cet intervalle un examen plusattentif^anquel rien ne|)eut
suppléer. L'avantage delarègie,et son principal caractère,c est qu elle
n'exige que le calcul indispensable ; et surtout qu'étant appropriée
à l'intervalle, elle permet de reconnaître très*proinptement la nature
des racines dans les autres intervalles oii deux racines' conséeuti ves
ne sont pas Crës^pea difiGérentes. Si au contraire on faisait dépendre
la distinction des racines du calcul de la plus petite différence pos*^
sible de deux racines consécutives , la recherche exigerait dans ce
cas des opérations très^longues et soperflues. Dans tous les cas pos*
sibles on parvient par l'appUcation du théorème (A) et de la règle (fi)
à séparer entièrement tes racines réelles : chacune d'elles se trouve
placée dans un intervalle déterminé, et Ion est assuré qu'aucuae
autre ne peut y être comprise. Il s'agit ensuite de procéder le plus
directement possible au calcul de chaque racine réelle, et d'évaluer
exactement la convergence de l'approximation : ces deux cpiestions
sont traitées dans le second livre.

(5) L'approximation que nons appelons linéaire est dérivée de la
méthode newtonîenne , après que l'on a satisfait à toutes les condi*
tions spéciales qui en asaarent et ràglent l'usage. Les constructions
rendent ces conséquences très^^ensâUes. On procède à Tapproxi*
mation lorsque les trois derniers indices sont devenus les nombres
o^o, I , condition qu'il «est toujoiu*s facile d'obtenir. Il s'agissait
ensuite d'éviter tou4fe opération superflue dans le calcul des racines.
!Pour cela il était néœssaâre de perfectionner la règle élémentaire
de la division des nombres. Il faut ordonner le calcul en «orte que
les chiffres du diviseur ne soient introduits que successivement, et
lorsqu'ils doivent concourir à faine connaître de nouveaux chif&es
exacts du quotient. Nous avons donné cette nouveUe règle ârith*
métique : elle dkfière de celle d'Oughtred , qui n'aurait pu satis-
faire à notre question. Cette même règle de la dKvÂsion ordowaée
pDunrait servir à nésoudre namédiatement l'équation du second de^
pw;^ pourrait même l'appliquer à la résolution des équatiosis des
tlqgrés supérieurs.

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 35

(6) Il nous restait à mesurer exactement la convergence de Fap-
proximation. L'analyse différentielle fait connaître le caractère de
cette approximation linéaire ; elle exprime la loi suivant laquelle le
nombre' des chiffre^ certains croît à chaque nouvelle opération.
L'erreur que Ion peut commettre , ou la différence entre Ja valeur
exacte de la racine et la valeur approchée, décroîtrapidement. Chaque
nouvelle approximation double le nombre des chiffres connus, ou
plus exactement ajoute aux chiffres déjà déterminés un pareil nombre
de chiffres certains augmenté ou diminué d un nombre CQUstant. La
fraction qui exprime Terreur correspondante à une certaine opéra-
tion diminue de plus en plus; elle est le produit du carré de l'erreur
immédiatement précédente par un facteur invariable et donné.

L'approximation linéaire est l'eprésentée par un système de tan-
gentes successives.

L'approximation du second ordre est celle qui résulte du contact
des arcs de parabole ; elle a un caractère propre que l'analyse pré-
cédente fait aussi connaître.La convergence est beaucoup plus rapide :
l'erreur correspondante à une opération est le produit d'un facteur
constant par le cube de l'erreur précédente: On démontre assez faci-
lement cette conséquence pour l'approximation du second ordre ,
mais la même considération ne pourrait pas s'étendre ^ux approxi-
mations de tous les ordres, parce qu'on aurait à résoudre par des
formules analogues à celle de Cardan des équations élevées. Désirant
connaître exactement le degré de convergence des approximations
des divers ordres , et le facteur constant qui leur est propre , j'ai em-
ployé pour cette recherche une analyse très-différente qui n'exige
point la résolution en fonction de radicaux. J'ai déterminé par la règle
qui a reçu le nom de parallélogramme analytique les premiers
termes des racines des équations littérales. Nous n'avons traité de
ces équations que dans notre quatrième livre, mais j'ai appliqué
d'avance à la question actuelle les règles qui y sont démontrées ,
et l'on trouve par ce moyen la mesure précise de la convergence
des approximations qui dépendent du contact de tous les ordres.
Le résultat est très-simple , et complètement exprimé comme il suit:

36 EXPOSÉ synoptique;.

Terreur correspondante à chacune des opérations qui se succèdent
décroit comme les puissances d'une très-petite fraction ; elle est pour
l'approximation d'un ordre quelconque i égale au produit de l'erreur

précédente par un facteur constant. Ce facteur est ^—, r— 7; —

en désignant par a? une certaine valeur qui demeure toujours la même:
la fonction/^o; au dénominateur esif toujours la première fluxion de
la variable; i marque l'ordre de la différentiatiôn. Au reste^ nous ne
considérons ici cette question que sous le rapport théorique, afin
qu'il ne reste rien d'inconnu dans l'examen des approximations al-
gébriques. Lorsque Ton compare entre eux des procédés qui sont
tous également exacts, c'est le plus simple et le plus facile que l'on
doit choisir dans la pratique. C'est ici l'approximation linéaire (elle
que nous l'avons expliquée plus haut.

(^)Nous avons aussi considéré sous divers points de vue la question
qui a pour objet de distinguer avec certitude les racines imaginaires :
cette recherche est dans la théorie des équations un point capital
qu'on né peut pas trop éclairer. Premièrement toute la difficulté
consiste à reconnaître le signe du résultat que Ton obtiendrait en
substituant dans une fonction donnée une valeur non-exactement
connue, mais seulement trës-approchée , d'une racine a qui réduit
à zéro une fonction donnée 9 x. Si cette fonction n'était point la
fluxion du premier ordreyo:, on connaîtrait le signe cherché par
les principes démontrés précédemment , et la même conséquence
s'applique aux fonctions d'un nombre quelconque de variables. Mais
dans le cas singulier où la fonction que a rend nulle est la première
fonction dérivée /^ a?, le signe du résultat demeure incertain. C'est
ce qui arriye lorsqu'après l'application du théorème (A), on se pro-
pose de reconnaître si les deux racines cherchées sont réelles ou
imaginaires : il fallait donc résoudre cette ambiguité dans le cas sin-
gulier où la fonction dérivée est y or. Nous avons donné une pre-
mière solution de cette question, et l'application est générale et facile ;
mais j'ai voulu remonter à l'origine même de cette difficulté, et con-
naître s'il n'existe point d'autre solution. Or il résulte de cet ^amen

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 3y

que si Ton remplace la fonctionna: par fx+fxy l'incertitude ne
subsiste plus : on ramène ainsi la question à un cas plus général, et
l'on découvre par ce moyen un procédé très-simple qui fait connaître
la nature des deux racines cherchées.

Secondement on peut encore résoudre cette même question en
faisant usage de l'approximation du second ordre. On considère
le contact des arcs de parabole qui coïncident avec la fonction prin-
cipale , aux deux extrémités de l'intervalle dans lequel on cherche
les deux racines. Nous formons ainsi une règle générale pour dis-
tinguer très-rapidement les racines imiaginaires : on y parvient même
par cette voie avant que les limites ne soient aussi rapprochées

que l'exige la règle de l'article 5; mais l'extrême simplicité de cette
règle de l'article 5 en rendra toujours l'application préférable, si
ce n'est dans des cas particuliers qu'il est facile de reconnaître.

(8) Les principes que l'on a démontrés dans les deux livres précé-
dents s'appliquent facilement, et dans tous les cas possibles, à la dis-
tinction des racines imaginaires et au calcul des racines réelles. Ces
méthodes suffi raient à l'objet de nos recherches si l'on ne considérait
que le but de la résolution , qui est la connaissance effective des ra-
cines. Mais ces questions, qui se rapportent aux fondements mêmes
de l'analyse , doivent être traitées sous différents proints de vue; car
un objet principal n'est bien connu que si l'on se forme une idée
juste de ses rapports avec tous ceux qui l'environnent. C'est poqr
cela que nous avons examiné les autres méthodes' qui pourraient
servir soit à la distinction , soit au calcul des racines. On découvre
par cette comparaison les principes communs à toutes ces métho-
des, et l'on acquiert ainsi des notions générales qui perfectionnent
la théorie.' Ces dernières considérations sont exposées dans le troi-
sième livre.

On remarque d'abord que lorsqu'on est parvenu à séparer les
racines réelles , en sorte que chacune d'elles se trouve seule dans
un intervalle distinct , on peut développer la valeur de la racine
par des procédés très-différents qui donnent une connaissance com-
plète de la valeur cherchée. L'expression en chiffres décimaux est
L 6

38 EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

la plus mitée et la plusclaire. La méthode que nous arons expliquée
donnant toujoora deox Talean qui ne dîilerent que par le dernier
einfire, et dont Tune est plus grande et I autre moindre que la
racine cherchée , il ne reste rien d*incertain. Mais ce déreloppement
élémentaire n est pas le seul que Ion puisse déduire de l'équation
algébrique; on pourrait aussi résoudre la racine, soit en fractions
continues , soit en fractions de Tunité assujéties à un certain ordre
que Ton peut choisir à rolonté»

Par exemple , une racine étant un nombre irrationnel dont on
veut développer la valeur , en exprimant par a la fraction qui doit
compléter cette valeur, on pourrait chercher d'abord combien de fois
Tunité contient cette fraction. On déterminerait le premier reste b.
En le comparant ensuite à l'unité, et connaissant combien de fois
ce premier reste y est contenu , on trouverait la valeur d'un nouveau
reste c. On porterait de nouveau cette fraction c sur l'unité, et Ton
continuerait ainsi indéfiniment de comparer chaque reste à l'unité,
et non au reste précédent, comme on le fait dans le calcul des frac-
tions continues. Cette opération , indéfiniment prolongée , donne

un développement de la forme «= 1 h etc.;

p,q , r,s, etc. sont des nombres entiers que l'on détermine facile-
ment* La valeur de a est toujours comprise entre deux limites qui
ne diffèrent qu'en faisant varier d'une unité le dernier de ces nom-
bres entiers : aipsi l'approximation est complète et très-convergente.
On pourrait encore choisir une suite M, N, P, Q, etc. de multi-
ples de l'unité, et comparer la valeur a qu'il faut développer au
premier multiple, et les restes successifs aux autres multiples; ainsi
de suite.

On peut aussi comparer de la manière suivante la fraction a avec
l'unité. Supposons que a soit contenue un nombre m de fois dans

Tunité , et qu'il y ait un premier reste. On prendra — pour la pre-

mière valeur approchée de a, et la différence « sera une frac-
tion € que l'on comparera de la même manière à l'unité. En conti-

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 39

nuant ce calcul la fraction a sera développée en une suite dont
chaque terme a lunité pour numérateur , et dont les dénominateurs
sont les nombres entiers que Ton a trouvée par la comparaison des
restes successifs avec Funité,

Ces divers développements , dont le calcul des fractions continues
est un cas particulier , ont des propriétés qui se rapportent à la
théorie des nombres ; mais nous considérons ici sous un autre point
de vue ces différentes formes d'approximation, comme servant à
exprimer les irrationnelles algébriques en suites de nombres entiers
indéfiniment continuées. On reconnaît premièrement qu'une équa*
tion numérique étant proposée, on peut développer la racine com-
prise entre deux limites a et b en choisissant à volonté ou l'expres-
sion en fractions continues , ou l'un des développements ci-dessus
indiqués. On détermine exactemerit les dénominateurs partiels, de
même qu'on le ferait si la valeur cherchée était donnée par une
équation du premier degré dont les deux coefficients seraient connus.
Dans ce dernier cas le développement serait terminé; il est indéfini
lorsqu'on exprime une racine algébrique irrationnelle : or l'équa-
tion proposée fournit immédiatement les dénominateurs successifs.
Quelle que soit la forme du développement que l'on a choisi , on
obtient toujours pour la racine deux valeurs de plus en plus appro-
chées , et entre lesquelles on est assuré qu'elle est comprise , car il
suffit de faire varier d'une' unité chaque dénominateur. Ainsi la
convergence n'est pas moins démontrée que pour les fractions conti-
nues , et en général cette convergence est du même ordre.

Deâ exemples particuliers rendent ces conclusions très-évidentes.
On voit par là qu'une racine d'une équation à laquelle on a appliqué
les deux règles (A) et (B) démontrées dans le premier livre , n'est
pas moins clairement connue que si elle était exprimée par une
équation du premier ou du second degré; car les coefficients de la
proposée d'un degré quelconque donnent sans aucune incertitude
toutes les parties du développement. Ainsi la racine d'une équation
algébrique quelconque n'est pas plus imparfaitement exprimée
quoique le degré de l'équation soit élevé; seulement le degré déter-

6.

4o EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

mine Tordre suivant lequel se succèdent les nombres qui entrent dans
le développement Cet ordre est propre à chaque degré : les nom-
bres qut le forment dans tous les cas sont également connus. Il
sufBt donc pour exprimer complètement- ces valeurs d avoir résolu
ainsi la recherche des irrationnelles algébriques. On exige seulement
que Ton résolve par une méthode exacte et facile la question qui a
pour objet de reconnaître si une racine est réelle, et de placer
chaque racine réelle dans un seul intervalle. Lorsque cette distinc-
tion des racines est achevée , la résolution ne consiste plus que dans un
développement arithmétique. La racine se trouverait toujours placée
entre deux limites que Ion peut rapprocher autant qu'on le veut.
Les nombres qui forment le développement ont des valeurs déter-
minées que Ion déduit des coefficients de la proposée, en sorte
que Ton connaît de la racine cherchée tout ce qui peut servir à
l'exprimer complètement.

(9) Pour donner plus d'étendue à cet examen de la nature des irra-
tionnelles algébriques , nousavons montré dans ce même livre qu'elles
peuvent être aussi développées en fonctions continues, et l'on a
rapporté les constructions géométriques qui rendent les résultats
très-sensibles. On ne pourrait point indiquer clairement cet usage
des fonctions continues sans des détails et des exemples que l'on
ne peut donner dans un exposé général : nous nous bornons aux
remarques suivantes. On considère une certaine relation entre une
première valeur approchée x que l'on supposerait à la racine cher-
chée , et une seconde valeur x plus approchée que la première x.

Par exemple soit entre x et x la relation très-simple a:'= î -

On donnerait à x une valeur quelconque que Ton peut ici regarder
comme arbitraire, et l'on en conclurait la valeur correspondante de
x\ Prenant ensuite pour seconde valeur de x celle que l'on vient
de trouver pour x , on déduirait de la même relation une nouvelle
valeur x\ qui étant prise pour x donnerait une valeur suivante x'.
En continuant ainsi on obtient de$ valeurs de plus en plus appro-
chées de la racine inconnue. La valeur de cette irrationnelle est
ici l/a , car Tapproximation a pour limite une valeur de x telle que

I

X

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 4i

Id relation a?' = i + - n'apporterait plus aucun changement à la

valeur que Ton donne à a;; on aurait donc a:= i + - , ou a;*= 2.

On trouverait une conséquence analogue pour une autre relation
récurrente , et ce procédé s'applique aux équations de tous les degrés.
La racine inconnue est une limite dont on s'approche indéfiniment,
et la différence devient plus petite que toute quantité assignable.
Les constructions qui répondent à ce genre d'approximation sont
remarquables. Par exemple elles consistent ici dans une spirale
rectangulaire 9 dont le point extrême s'approche continuellement
du point d'intersection correspondant à la valeur de la racine.

On trouve aussi par ce même procédé les racines des équations
exponentielles ou transcendantes : nous en avons cité divers exem-
ples dans la Théorie analytique de la chaleur, pag. 343 et suivantes.

Il faut remarquer que l'approximation indiquée par ces méandres
rectangulaires, quoique régulière, serait trop lente pour devenir
une méthode usuelle : notre but est seulement de rendre manifeste
le rapport singulier de la figure avec la marche de l'approximation,
et de prouver que l'on connaît un moyen certain d'approcher in-
définiment de la racine des équations. Mais ce même procédé des
fonctions continues donne des approximations beaucoup plus con-
vergentes lorsque la spirale orthogonale est remplacée dans la con*
struction par la suite des tangentes inclinées^ et l'on pourrait
augmenter la convergence de l'approximation en considérant le
contact du second ordre.

La fonction coritinue'qui donne les valeurs approchées a un rap
port nécessaire avec l'équation proposée. Il n'y a aucune équation
algébrique pour laquelle il ne soit facile de déterminer les fonctions
correspondantes aux tangentes inclinées. L'approximation newto-
nienne n'est elle-même qu'un exemple de ce procédé général. J'ai
fait un usage fréquent de cette forme d'approximation dans di-
verses recherches, et particulièrement pour la résolution d'une
équation transcendante qui m'a:vait été indiquée par mon illustre
confrère M. le baron de Prony.

Ot ^nnrc^oi fie% yAv^Jf'.tkA rnarJr*'>»s i At être dirigé par ks pro-
pr-r<,-^ 'V ^ £,' .r«^. Ort pr>om.t y *.r ;.i»nrr p^r des consideratioiis
^•r*r/.r^.t H:,A.',\*:'jr^: nru%!^ ^^ '-.•v.'-tTiar.t rexamen de la fiznrr oo
a-'^^.*/*r^i* ^>i^/-rr,»-p * kt à.îSr'iil*^ de la rec h er c he , qoi ao cootraire
dér-'i^tr.*. fr**^-Hi.v.' •>- :*i mo^,-™ de U eoa^tmctîoa. Cest un des cas,
#f;«.."^'..*% f^>rt f^^^. c»i U rrto^raction est pour ainsi dire néccs-
^^^.f"^. fi y^.t i^rr.^-^ q x^jm ne trouve par ce moven ({oe des valeurs
^f'?^''^ fifV^ . tr>ijf/^ iri^iiridre* rjrje U racine, ou toutes plus grandes
^'9^. ^^rtr/r nflti^: rr.^ï^ il «t torjjocirs fâfrile de former une seconde
î;rr.>^ ^j'ij comj>!r^ r;^pfiro\imation : elle est clairement indiquée
j/ifr I;* ^rffi^tnH^'i^ifï même. Il n'est pas moins facile de distinguer
U^ f'^\ inM la frjfwrtf^m continrje, an lieu de donner des Taleurs plus
^Êlffff^Mip^^ corKiuirait à dn résultats de plus en plus éloignés de
eé^hti que Ton cherche : c«t ce qui arriverait si Ton traçait la spirale
orfiiogonaled^ns une direr-tion opposée à celle que la figure indique.

lies considérations que Ton rient de présenter dirigent et faci-
li t/rri t remploi des fonrrtions continues ; elles excluent les expressions
analytiques divergentes, et montrent qu'il suffit de calculer les
premiers chiffres des résultats successifs. Au reste l'emploi des
ajijiroxi mations de ce genre n*est point nécessaire pour la résolu-
tion des équations numériques, et les méthodes que nous avons
expliqueras cronduisent plus simplement encore à la connaissance
de% racinf^s; mais il importait de remarquer des procédés généraux
qui donnent une étendue nouvelle à la théorie des fractions con-
tinues et montrent les rapports de ces fractions avec les propriétés
des figures.

(lo) Après avoir exposé dans le troisième livre lusage des frac-
tions continues pour approcher de plus en plus et indéfiniment des
racines irrationnelles dont chacune est placée entre deux limites
connues , nous avons considéré une propriété fort générale com-
mune à toutes les méthodes exactes d'approximation* Elle consiste
en CI5 c|u'il n^ a aucune de ces méthodes qui ne suffise pour distinguer
les racines imaginaires lorsqu'on dirige le calcul par l'application
du théorème général (A). Cette conséquence est pour ainsi direévi-

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 43

dente pour Tapproximatiou linéaire dérivée de la méthode new-
tonienne. En effet ce procédé d'approximation est représenté,
comme nous l'avons dit, par la suite des tangentes inclinées indi-
quées par les figures i ou t^. Supposons qu'il résulte du théorème
(A) que Ton doive chercher deux racines entre les limites aet b,
et que l'on connaisse par les principes démontrés dans les deux
premiers livres que l'arc mn n'a aucune sinuosité dans l'intervalle
ab. On ignore si les deux racines cherchées sont réelles (fig. i),
ou si elles manquent dans cet intervalle (fig. a). Or le procédé d'ap-
proximation peut résoudre cette question. En effet, ce procédé
consiste à déduire de la première valeur approchée a une valeur
plus approchée a', qui répond à l'extrémité a' de la sous-tangente;
ensuite on passe de a à une nouvelle valeur approchée a ' ; ainsi
de suite, en continuant le même calcul. Or dans le premier cas
toutes les valeurs approchées a, a\ a\ etc. ne peuvent dépasser
le point d'intersection qui répond à la racine réelle : par consé-
•quent si l'on détermine par le théorème(A) combien on doit chercher
de racines entre a etb, ou entre a etb, ou entre a" et b^ etc. , on
trouvera toujours que ce nombre des racines indiquées est 2 , comme
il l'était d'abord. Mais le contraire arrivera dans le second cas (fig. 2)
où les deux racines cherchées manquent dans l'intervalle : il est
impossible dans ce dernier cas que si l'on continue l'approximation,
on ne parvienne pas à une valeur telle que a", au-delà du point où
l'arc mn est le plus rapproché de l'axe ab; et lorsquon'sera arrivé
à un tel point a'' , si l'on détermine par le théorème (A) combien
on doit chercher de racines entre la dernière valeur a" et b, ori
trouvera que le nombre des racines indiquées entre a" et b n'est
plus a , mais zéro. Cette condition peut ne point arriver pour les
premières valeurs approchées telles que a' , mais il est impossible
que si Ton continue le calcul , et si la forme de l'arc est celle que
représente la figure s , on ne trouve point une valeur approchée
telle que l'extrémité a'^ devienne très-voisine du point b, ou ne se
porte au-delà de ce point. Le seul cas singulier où l'on ne pourrait
obtenir un tel résultat est eelui des deux racines égales, détermi-

44 EXPOSÉ SYNOPTIQUE

nées par le contact de Tare mn et de Taxe ab. On sait que ce cas
intermédiaire est très-£icile à distinguer : il suppose que les fooc-
ûon&fx elf X ont un facteur commun , ce que Ion peut connaître
d*abordy comme nous lavons expliqué précédemmenL Ainsi la
méthode d'approximation jointe au théorème (A) suffit toujours
pour reconnaître la situation de Tare m n par rapport à Taxe a b.
Voici le procédé qui indiquera la nature des deux racines. On cal-
cule une première valeur approchée a qui répond à Textrémité a
de la première soutangente. S*il arrive que cette seconde valeur a'
soit plus grande que la seconde limite 6^ il est évident que les
racines cherchées sont imaginaires. Mais si a est moindre que b,
on désigne une valeur intermédiaire a moindre que b et plus grande
que a'j et on la substitue dans/x. Si par cette substitution les
deux racines sont séparées , c*est-à-dire si le résultat de la substi-
tution est négatif, les deux racines cherchées sont réelles : Tune
est entre a et a et Fautre entre a et b. Mais si la substitution donne
un résultat positif, on déterminera par le théorème (A) le nombre
des racines qui doivent être cherchées entre a et b. Si ce nombre
est o, les deux racines sont imaginaires; mais si aucune des deux
conclusions n'a lieu , c'est-à-dire si les racines ne sont point sépa-
rées, et si le théorème (AJ indique que Ton doit chercher deux
racines entre a et b, on a deux limites ce et 6 entre lesquelles on doit
chercher deux racines^ et Ton ignore jusqu'ici si ces deux racines
sont réelles ou si elles manquent dans FintervaUe : la question est
donc la même cpie celle que Ton avait eue à résoudre , et alors les
limites tt et b sont plus voisines que les premières limites a et b.
On procédera donc , et de la même manière , à une seconde épreuve ;
c*est'4-dire quelon ajoutera à la nouvelle valeur m un second accrois-
semeot qui répond pour cette nouvelle valeur à lextrémité de la
soutan^^jte. On sui^Ta littéralement le procédé qui vient d être
indiqué pour la valeur approchée a , et Ton en déduira les consé-
qoeDces précédemment énoncrées. Il est impossible qu'en continuant
ce calcul , on n'arrive pas par la voie la plus briève à reconnaître la
natnredes racines. H faut seulement ajouter que le cas siuguliw de$

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 45

racines égales doit être examiné séparément, ce qui n'a aucune dif-
ficulté. On voit par ce qui précède que la règle donnée dans le
premier livre, article 3, pour reconnaître la nature des deux ra-
cines que l'on cherchait dans un intervalle donné, n'est autre those
que l'approximation linéaire appliquée à la distinction des racines.
Or cette conséquence n'est point bornée à l'approximation linéaire :
nous démontrons dans ce troisième livre qu'il n'y a aucun procédé
d'approximation qui ne donne un résultat semblable. En général
toute méthode exacte propre au calcul des valeurs approchées suffit
pour la distinction des racines imaginaires, lorsqu'on joint à cette
méthode l'usage du théorème (A) qui fait connaître combien de
racines doivent être cherchées dans un intervalle donné. Nous en-
tendons par méthodes exactes d'approximation celles qui étant fon-
dées sur les principes exposés dans le premier livre, donnent con-
tinuellement deux valeurs dont l'une est plus grande et l'autre
moindre que la racine.

(i ï) Nous avons appliqué principalement cette remarque à l'ap-
proximation qui résulte de l'emploi des fractions continues , parce
que cette méthode est plus généralement connue. Voici la consé-
quence remarquable que fournit cet examen.

Le théorème (A) du premier livre indique combien on doit chercher
de racines dans un intervalle donné. Considérons le cas où l'on serait
assuré que toutes les racines d'une équation sont réelles. Il faut se
représenter d'abord que l'on opère sur une équation de ce genre,
et que l'on cherche la valeur des racines par la méthode d'approxi-
mation des fractions continues. Cette métht)de est expliquée de la
manière la plus claire dans les ouvrages de Lagrange. L'illustre auteur
suppose qu'au moyen d'une équation auxiliaire on est assuré qu'il
n'existe qu'une racine dans chaque intervalle ; mais ici nous ferons
abstraction de tout calcul précédent, et nous admettons que la
réalité des racines est connue d'avance. Cela posé la seule applica*
tion du théorème (A), combinée avec le calcul des fractions con-
tinues, suffirait pour trouver les valeurs de toutes ces racines. En
renouvelant après chaque opération partielle l'application du même

L 7

4^ EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

diMreaie 'k^ , il arriTerait toojoon qam joignant aux racines déjà
réparé» par les opérations précédentes celles que Ton aurait à cher-
cber dans 1 uitenralle restant , on troorerait précisément autant de
ra^rioes que le théorème en avait primitiTeoient indiqué. Mais cela
ne peut arriver que si Téqnation prc^x>sée a en efiEet toutes ses rar
«^nes rédies. Si au contraire plusieurs de ces racines manquent dans
des intervalles oii le théorème indique qu'dles doivent être cher*
chées 9 nous démontrons que le calcul des fractions continues fera
di^iaraltre ces radnes déficientes; par là on reconnaîtra que Téqua-
tion n avait pas toutes ses racines réelles, comme on l'avait supposé,
et I on saura avec précision quel est le nombre des couples de ra-
cines imaginaires*

La remarque que Ion vient de faire exige une démonstration
complète, que nous avons rapportée dans le troisième livre. Elle
prouve que le calcul de l'équation auxiliaire qui ferait connaître k
limite de la moindre différence des racines est entièrement superflu,
de sorte que la partie de cette méthode que l'on peut justement
regarder comme impraticable est celle qui doit être omise ; il suffît
r d'employer le calcul des fractions continues tel qu'il est exposé
par l'inventeur de cette méthode ; 2* de combiner chaque opmitîon
partielle avec l'emploi du théorème général (A). Par ce moy^ii il
ne reste rien d'incertain, ni sur la nature des racines, ni sur les
valeurs de plus en plus approchées qui proviennent de la eonver-^
gence rapide des fractions continues.

Toutefois nous ne proposons point de recourir à cette dernière
méthode pour lé calcul des racines. L'approximation linéaire, telle
que nous l'avons expliquée dans le premier livide, est plus commode
et aussi convergente. Nous avons voulu seulement exposer une pro-
priété singulière et nouvelle des fractions continues.

Notre objet principal est de prouver dans ce troisième livre
r que les irrationnelles qui expriment les racines des équations
peuvent être développées sous différentes formes, et que ces ap-
proximations sont exactes ) parce qu'elles donnent toujours deux
valeurs entre lesquelles la racine est comprise;

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 47

a* que ces quantités irrationnelles ne sont pas moins clairement
définies et connues que si elles étaient des fractions. simples^ en
sorte que Ton peut toujours déduire facilement des coefficients' de
la }M*oposée les dénominateurs qui entrent dans un dévelappement
quelconque;

3"" que toute méthode exacte d'approximation résoud la ques-
tion difficile de la distinction des racines imaginaires , pourvu qu'on
y joigne l'emploi de notre théorème (A) du premier livre ;

4"* que cette remarque s'applique surtout au développement en
fractions continues, et que cette deitiière méthode n'exige aucune-
ment le calcul de l'équation aux différences, ou tout autre résultat
déduit des propriétés des fonctions invariables.

On a vu précédemment cjue la méthode d'ap|>roximation newto-
nienne ne pourrait point être appliquée généralement à la déter-
mination exacte des racines, et qu'il était nécessaire de résoudre
les difficultés auxquelles elle est suj^te. Il en est de même du jiro-
cédé des fractions continues , tel qu'il a été proposé par les inven^-
teurs, car il exigerait que l'on connût d'avance la plus petite dif-
férence de deux racines consécutives. Or cette recherche suppose
un calcul que l'on doit regarder comme impraticable , si ce n'est
pour les équations des premiers degrés. G'es|: pour cela que nous
avons examiné avec beaucoup de soin si cette difficulté peut être
résolue, et nous y sommes parvenus en prouvant que le calcul de
la plus petite différence des racines est superflu. La suite des opé-
rations à effectuer est toujours la même quelle que puisse être cette
différence. Ces opérations sont celles que l'on ferait si l'on con-
naissait d'avance que toutes les racines sont réelles. Seule ment d les
devieiihent moins nombreuses et plus simples lorsque plusieurs des
racines sont imaginaires, parce que l'application du théorème prin-
cipal (A) indique .que ces racines manquent en nombre pair dans
les intervalles où on les cherchait.

(12) L'objet du quatrième livre est la résolution des équations
littérales. Les coefficients de ces équations sont des polynômes aU
gébriques dont chaque terme est de la forme ha^b^o^ TiCS

7-

48 EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

lettres a, b,c, etc. sont des quantités connues. Les exposants n,
p,q, etc. sont des nombres donnés. Si A , B , C , représentent de tels
polynômes , et si l'on considère un produit (x— A) (x — B) ( j: — C) . . .
formé de plusieurs de ces facteurs , le résultat de la multiplication
est un polynôme d'un certain degré en x. On suppose que ce pro-
duit complet est donné , et que le nombre des facteurs est m : il
s'agit de trouver tous les polynômes du premier degré x — A,
X — B, X — C , etc., qu'il est nécessaire de réunir pour former le
premier membre de l'équation proposée. Il faut donc découvrir
une méthode générale qui étant appliquée à une équation d'un degré
quelconque m , fasse connaître les facteurs simples qui répondent
aux racines de la proposée. Si quelques-uns des pol}*nomes A, B,
C, etc. contiennent un nombre fini de termes, la méthode doit
faire connaître les racines exprimées par ces polynômes finis; mais
si l'on propose une équation littérale quelconque du degré m , la
méthode de résolution donnera le plus souvent des polynômes dont
le nombre des termes est infini. Chacune de ces racines aura tou-
jours la propriété essentielle de réduire à zéro le premier membre
de la proposée , lorsqu'on y substituera cette racine au lieu de x.
Ainsi la méthode qui est l'objet de notre rec*herche repixxluira
toutes les racines exprimées en un nombre fini de termes lorsqu'il
existe de telles racines , et doit ser\îr à développer en séries infinies
celles qui ne peuvent point Lvoir la forme de polynôme fini.

Cette question appartient à l'analyse spécieuse dont Viete est
rinventeur. Elle peut être résolue complètement , et le principe de
la solution existe déjà dans les écrits de Newton, de Stirlinget de
Lagrange. A la vérité on a toujours considéré cette recherche
comme un élément de la doctrine des séries, mais on verra bientôt
qu elle se rapporte directement à l'analyse algébrique. C'est sous
ce point de vue que nous la considérons ici.

Newton a ramené la partie principale de cette question à une
construction singulière, qui sera toujours regardée comme une des
plus belles inventions analytiques que nous ayons reçues de ce grand
géomètre. Lagrange en a donné une démonstration qui ne laisse

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 49

rien à désirer. Sans reproduire dans notre ouvrage ces premières
découvertes, nous nous attachons principalement à compléter la
méthode, et à montrer qu'elle peut devenir à la fois plus facile et
beaucoup plus étendue.

Nous avons employé une construction différente de celle de
Newton, mais susceptible d'une application plus générale. Elle
conduit pour le cas d'une seule variable au même résultat , savoir
à la règle analytique que Lagrange a démontrée.

Parmi les lettres qui. expriment les quantités connues on en dé-
signe une quelconque a, afin d'ordonner le calcul selon les puis-
sances de cette quantité, et l'on regarde comme le premier. terme
dune racine celui qui , dans l'expression de cette racine, contient
le plus haut exposant de la lettre choisie a. Cela posé on cherche
d'abord les premiers .termes de toutes les racines. L'exposant de la
lettre a dans un de ces premiers termes est une inconnue qui doit
satisfaire à certaines conditions: il faut déterminer cet exposant,
et en trouver autant de valeurs que la proposée a de racines. Or
on trouve cet exposants, qui sont en nombre m , par une règle
spéciale dont l'application est facile. Voici la construction que nous
ayons. employée pour représenter les résultats de cette règle analy-
tique. On considère une multitude de lignes droites différentes,
tracées sur un même plan. La position de chacune de ces lignes
est donnée par une équation du premier degré , dont les deux coef-
ficients sont connus , parce qu'ils se forment immédiatement de
l'exposant de la variable dans certains termes de la proposée et
de l'exposant de la lettre principale a dans ces mêmes termes. Le
système de toutes ces droites est toujours limité à sa partie supé-
rieure par un polygone dont les deux côtés extrêmes à droite et à
gauche sont infinis. Toutes les parties des droites tracées qui ne
se confondent point avec les cotés de ce polygome sont placées
au-dessous de ces côtés. Or on prouve que les sommets des angles
de ce polygone correspondent aux exposants cherchés. Toute ab-
scisse d'un de ces angles est une des valeurs que l'on peut donner
à l'exposant de a pour former le premier terme d'une racine. Les

5o EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

senb exposants que la lettre dioisie a puisse avoir dans les pre-
miers tntnes cherchés sont les abscisses des sommets do polygone.
La figure indique clairement le moyen de déterminer ces abscisses, n
Ëint descendre en suivant un des côtés extrêmes jnsqu a la rencontre
do premier sommet, continuer en suivant le coté que Ton vient
d'atteindre josqua la rencontre d'un second coté, pois suivre ce
nouveau côté jusqu a ce qu^on atteigne le côté contigii; ainsi de
suite. La règle analytique que ce procédé indique est celle que
Newton , Stirling et Lagrange ont considérée. Le calcu] est très-
simple , et il n'y a aucune voie plus courte pour découvrir les ex-
posants des premiers termes. On en déduit immédiatement les
coefficients dans les premiers termes cherchés , et Ton forme tous
ces premiers termes. La règle fait ainsi connaître autant de pre-
miers termes que la proposa; a de racines, et il n^est pas moins
&cile de former les termes suivants.

Nous avons supposé que les termes sont ordonnés selon les pois-
saoopsdéeroissantes de la lettre principale a. On pourraitaussi suivre
un ordre contraire , et il faudrait trouver en premier lieu le terme de
chacune des racines dans lequel cette lettre a le moindre exposanL
Dans ce cas la racine cherchée serait ordonnée selon les puissances
croissantes de a. Pour résoudre cette seconde question on emploie
une règle semblable à celle qui donne pour premier terme celui où
la lettre a a le plus grand exposant. En effet ce même système de
lignes droites que nous avons considérées plus haut est limité à
sa partie inférieure par un antre polygone, et tontes les parties de
ces lignes droites qui ne se confondent point avec un côté de ce
polygone inférieur sont placées au-dessiis de ces mêmes côtés. Il
en résulte un procédé parfaitement analogue à celui que nous avons
décrit plus haut , et Ton trouve par ce calcul les abscisses des som*
mets de ce polygone inférieur. Ces abscisses sont les exposants de
la lettre a dans les premiers termes des racines ordonnées selon les
puissances croissantes de a. Les exposants étant ainsi détermina ,
on trouve immédiatement les termes correspondants , et 1 on forme
les premières parties des racines cherchées. Il est paiement facile

EXPOSÉ SYNOPTIQUE- 5i

de trouver par la même règle tous les termes subséquents » et Ion
parvient ainsi à former tous les facteurs du premier degré dont le
produit est le premier membre de l'équation proposée.

En général l'application de ces règles donne sans aucune diffi-
culté les valeurs de toutes les racines de la proposée ordonnées selon
les puissances décroissantes ou selon les puissances croissantes de
la lettre choisie. S'il existe des polynômes finis qui satisfassent à la
proposée , on découvre successivement toutes les parties de ces po-
lynômes, et Ton arrive à une dernière opération qui montre que le
nombre des termes est fini : mab si la racine cherchée n^est pas
formée d'un nombre fini de termes y l'opération se prolonge con--
tinuellement et la racine est donnée par une série infinie. Cette ex-
pression est toujours telle qu'étant substituée dans la proposée au
lieu de la variable y tous les termes du résultat se réduisent succes-
sivement à zéro.

Cette méthode de résolution est générale. Elle s'applique aux
équations d un degré quelconqibe, et la lettre principale par rapport
à laqudle le calcul est ordonné peut toujours être prise à volonté.
Si l'équation proposée est très-simple, par exemple si elle n'a que
deux termes, en sorte que les racines cherchées contiennent un
seul radical, la méthode générale se réduit à celles que l'on connaît
depuis long-temps pour extraire la racine littérale d'un polynôme
donné. Non-seulement le résultat est le même, mais les procédés de
calcul sont précisément ceux des règles élémentaires de l'algèbre
On voit par là que la méthode comprend comme des cas particu-
liers les extractions des racines des quantités littérales.

Nous avons dit que la première partie d'une racine étant déter-
minée par la règle précédente , on découvre par te même procédé
toutes les parties subséquentes. En effet désignant par p la pre-
mière partie déjà connue de la racine, il suffit de substituer le
binôme p-^q stu lieu de la variable ;r ; on aura ainsi une trans-
formée du degré m dont la variable q sera l'inconnue. On pourrait
donc appliquer à cette transformée la règle que nous avons exposée ,
et chercher la première partie de la valeur de q : il est évident que

M EXPOSÉ SYNOPTIQUR

ces substitutions successives feroat connaître toutes les parties de
la racine convenablement ordonnées. Pour faciliter les applications,
nous nous sommes proposé d exclure de ce calcul toutes les opé-
rations superflues^ et nous avons formé une règle spéciale qui
donne la sec<Hide partie de chaque racine. Les mêmes considéra-
tions réduisent aux formes les plus élémentaires le calcul des troi-
sième , quatrième , etc. termes j en sorte qull ne reste plus à eflèc*
tuer que les seules opérations sans lesquelles les valeurs des racines
ne pourraient être connues. La règle se réduit à substituer dans
le premier membre de Téquation la partie déjà connue de la racine,
et à multiplier le résultat par une valeur constante. Quant à la con-
vergence de lapproximation , on la déterminerait par les mêmes
principes que ceux qui ont été expliqués dans le secoud livre. Cette
convergence est, généralement parlant, celle qui résulte de Fap-
proximation numérique linéaire.

Le caractère de cette méthode exégétique qui résoud toutes les
équations littérales ne peut être bien expliqué que par divers exem-
ples. Le quatrième livre en présente plusieurs. Nous citerons seu^
lement Téquation littérale

x* + x*;— «•+a + A) + x'(— a'— ii'A) + x'(a+ i)
+ x( — u^ + ai + a + i) + ^a* + a^b + a' + a*fc}= o.

En a{^liquant la règle générale à cette équation , et en ordonnant
le calcul suivant les puissances décroissantes de la lettre a , on trouve
£KnIement que les premiers termes des racines sont x= a* + etc. ;

'= — « -l-ete. ; x=i/^ — m + etc. Les termes suivants contiennent
de MoÂndrcs poissanccs dta.Si Ton cherche ces termes suivants
par Tappli^sàlioa des mêmes règles, on reconnaît que les termes qui
SKvent or sont tous nuls , que tous les termes qui suivent — a équi-
"^aimt à — 6. QauA à la troisième racine dont le premier terme

T

^st l^ — a.r eOe serait d'abord développée en série infinie, mais la
analyse ferait connaître «pie la Taleur complète esi\/'—(M+i),

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 53

On obtieodrdit ainsi par un calcul régulier tous les facteurs de la
proposée^ savoir

{x — a*), (a7 + a + ^), (a;^-ha+ i).

On pourrait aussi ordonner le calcul pat rapport à la lettre h, et
les opérations ne seraient pas moins faciles. Les mêmes règles s'ap-
pliquent à tous les cas, et il n'y a aucune équation littérale , quelque
composée qu'elle soit, qu'on ne puisse ainsi résoudre en ses fac-
teurs.

Nous avons dit que la règle qui fait connaître les premiers termes
des racines est représentée par une construction formée d'un sys-
tème de lignes droites. La figure 3 présente ce système de lignes
pour l'exemple que nous venons de citer. Lés équations des lignes
droites sont

7=r5a:, ^=:4ar+ii, j=:3a;+3, 7=:aa?+i , jra=^+3, 7«4.

Les coefïicients de ces équations sont formés des termes de la pro-
posée oii la lettre a a les plus grands exposants» La limite supérieure
est le polygone MABCN: le système est limité au-dessous par
le polygone (jLnêyv.

Toute équation littérale d'un degré quelconque est complètement
résolue par cette méthode en ses facteurs simples, et il n'est pas
moins facile de trouver ses racines que celles des équations à deux
termes que l'on sait résoudre. depuis long-temps par des règles algé-
briques élémentaires. On trouve dans les ouvrages de Newton
(Arithmétique universelle) , et dans ceux de Clairaut et autres, des
procédés particuliers pour découvrir les racines commensurables
des équations littérales : ils consistent dans une suite d'essais dont
le calcul est incertain. Il est plus facile et plus exact de résoudre
réquation proposée par la méthode générale que l'on vient de dé-
crire. Newton n'a employé la règle du parallélogramme analytique
que pour le calcul des séries , qui est le vrai fondement de sa mé*
thode des fluxions.

I. 8

54 EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

On pourrait faire usage de ces développements des racines en
séries^pour le calcul de leurs valeurs approchées, et si Ton ne poflr
sédait point aujourd'hui une méthode très-simple pour la recherche
directe des limites, il faudrait recourir à cette résolution des équa*
tions littérales. Mais les règles que nous avons expliquées dans les
deux premiers livres conduisent bien plus rapidement à la con*
naissance effective des racines , et dispensent de toute discussion
de la convergence des séries. La règle précédente qui sert à former
les premiers termes des racines des équations littérales est néces-
saire pour l'analyse des lignes courbes considérées dans leur cours
infini. On en trouve des exemples remarquables dans les ouvrages de
Newton , Stirling , Cramer et divers auteurs. On peut déduire cette
règle des constructions^ ou la réduire, comme Ta fait Lagra'nge, à un
procédé purement analytique. A proprement parler, cette recherche
appartient à l'analyse des inégalités linéaires dont nous exposons
les principes dans notre septième livre : c'est le point de vue le plus
général sous lequel les recherches de ce genre puissent être con*
sidérées.

(i3) Nous avons indiqué aussi dans le quatrième livre une ques^-
tion beaucoup plus composée que la recherche des racines d'une
seule équation littérale : elle a pour objet la résolution simultanée
de deux équations littérales à deux inconnues. Chacun des termes
de ces équations est de la forme H oTy^ : x tX y désignent les in-
connues , H est un polynôme littéral formé des grandeurs connues
a,b, c, etc. La question consiste à trouver pour x ttjr deux po-
lynômes contenant les lettres a^b , c, etc. , et tels que si on les sub-
stitue en même temps au lieu de or et de j^ dans les équations pro-
posées A=o, B = o, l'une et l'autre substitution rendent nulles les
fonctions A et B. Le système des deux valeurs de or et àey qui ont
cette propriété forme une solution des deux proposées. Il s'agit de
découvrir toutes les solutions possibles , en assignant les termes
dont se composent les valeurs de x et de y. Si les équations A = o,
B=o admettent des valeurs commensurables de i: et j, en sorte
que les polynômes qui expriment ces valeurs ne contiennent qu'un

•

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 55

nombre fini de termes, il faut que ces polynômes soient déterminés
par. la règle générale que nous avons en vue. Mais si les valeurs
de ;r et j ix'ad mettent point ces expressions finies , la règle doit
produire successivement tous les termes du développement de ces
valeurs.

Ainsi nous étendons à deux équations, et en général aux équa-
tions littérales multiples lorsqu'il y a autant d'équations que d'incon-
nues, les principes de résolution que nous avons appliqués précé-
demment aux équations littérales .où il n'entre qu'une seule in-
connue.

Ces développements des racines des équations multiples offrent
dans l'analyse des usages importants. Par exemple , pour le cas de
deux équations, ils servent à connaître la nature des surfaces cour-
bes dans leur cours infini et leurs nappes asimptotiques.

On pourrait aussi employer ces expressions des racines pour
résoudre d'une manière approchée les équations qui contiennent
plusieurs inconnues, mais ces applications ne sont point ici l'objet
de notre recherche. Nous avons seulement voulu connaître s'il existe
pour les équations littérales à plusieurs inconnues des règles algé-
briques analogues à celles qui donnent les racines des équations
littérales : et en effet nous avons démontré que les méthodes de ré-
solution ne sont point bornées aux équations littérales qui ont une
seule inconnue. Elles s'étendent à toutes l'es équations multiples dans
lesquelles le nombre des inconnues est égal au nombre des équa-
tions : le calcul est plus composé , mais il est de la même nature.
On trouve d'abord le premier terme de chaque racine, c'est-à-dire
celui où la lettre choisie pour ordonner le éalcul contient un expo-
sant plus grand que celui de la même lettre dans tolis les termes
suivants. On forme ainsi autant de premiers termes qu'il y a de
solijtions différentes. Chaque solution comprend deux valeurs de
X ety qui , étant substituées simultanément dans les deux équations
proposées, satisfont à l'une et à l'autre. C'est le calcul de ces premiers
termes qui fait connaître le cours infini des surfaces.

Si l'on considérait trois équations et trois inconnues, chaque so-

8.

96 . EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

liitîon sériait £ormée de trois valenrs Mitiultanëes de 3S, y, z. En
géuéral cette méthode de résolution des équations littérales consiste
à trouver successivement toutes les parties des racines où la lettre
choisie a le plus grand exposant. On peut désigner une lettre quel*
conque parmi celles qui expriment les grandeurs connues. Lorsqu'on
a ainsi trouvé les premiers termes de toutes les solutions, on peut
calculer les termes suivants par l'application de la même méthode.
S'il anrive qu'une ou plusieurs des racines puissent être expri-
mées par un nombre fini de termes , fa méthode s'arrête au dernier
terme subsistant; on reconnaît que tous les autres seraient nuls.
Mais en général ces opérations conduisent à des séries, filles pour-
raient servir à déterminer les valeurs approchées des racines des
équations numériques multiples , mais nous n'avons pas traité cette
dernière question. Si plusieurs équations algébriques sont propo-
sées, et que leur nombre soit égal à celui des inconnues, on sait
qu'on peut éliminer une de ces inconnues prise à volonté, puis une
seconde, une troisième, ainsi de suite, et parvenir ainsi à une équa-
tion -finale qui ne contient qu'une seule inconnue. Il y a plusieurs
cas simples dans lesquels cette élimination peut faire connaître les
solutions cherchées, et il est remarquable que dans tous les cas
il existe une équation finale. Mais cette conséquence est pure-
ment théorique : elle prouve que toutes les racines des équa-
tions algébriques ont une nature commune, parce qu'il n'y a
aucune de ces racines qui ne soit l'inconnue d'une certaine équa-
tion algébrique. Toutefois il n'en faut point conclure que ce
procédé d'élimination représente la méthode que l'on doit suivre
pour parvenir à la connaissance effective des racines : cette voie
serait beaucoup trop compliquée. Elle serait impraticable pour des
équations élevées, et même, dans la plupart des cas, cette méthode
nécessiterait un examen très-attentif pour éviter l'introduction des
facteurs étrangers à la question , c'est-à-dire de ceux qui ne rendent
point nuls à la fois les premiers membres de toutes les équations
proposées. Quoique l'on puisse éviter ou distinguer ces facteurs
superflus que proviendraient de l'élimination , l'extrême complica-

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 57

§ *

tien (ks calculs, et la difficulté de former séparémafit toutes les
difTérentes solutions , excluraient toujours Fusage effectif de ces
règles, si ce n'est daos des cas très-simples choisis d'avance comme
exemples. On peut dire qu'il faudrait se résoudre à ignorer les so-
lutions des équations multiples, si l'analyse ne pouvait les déter-
miner que par les procédés d'élimination.

• Nous envisageons la résolution des équations littérales multiples
sous un point de vue très-différent. Nous conservons aux équatloos
proposées leurs formes primitives, et comparant à la fois tous leurs
coeflÇçients, nous cherchons les racines par la résolution simultanée
de ces équations. Nous prouvons en effet qu'aucune élimination
n'est nécessaire, et que l'on peut déterminer immédiatement les
premiers termes des racines d'après la seule condition que la sub-
stitution simultanée de ces racines doit satisfaire en même temps
à toutes les proposées.

L'objet de notre quatrième livre est donc d'expliqué les prin-
cipes qui servent à cette résolution des équations littérales. Nous
employons immédiatement les équations telles qu'elles ont été pro-
posées , sans altérer en rien leurs coefficients , et nous parvenons à
eohnâitre les termes successifs qui doivent former les racines. Chaque
solution est composée d'autant de racines qu'il y a d'inconnues dif-
férentes y et la substitution simultanée doit rendre niils à la fois tous
les premiers membres des équations. Il faut d'abord découvrir les
premiers teriaes des racines qui forment une même solution. Cette
dernière question est beaucoup plus composée que celle qui se rap-
porte à une seule équation littérale ^ mais elle se résoud aussi par
un règle certaine qdi s'applique à des équations d'un degré quel^
conque.

Nous citerons ici l'exemple suivant, qui présente deux équations
à deux inconnues, savoir

x^ y^ — y^x(ù 4- I =0,
x^y^a — j^j;a' + 3=o.

Si l'an Implique à ces deux équations les principes qui nous venons

58 EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

d'indiquer , on trouve deux solutions différentes : la première est
formée de deux valeurs conjuguées de a; et ^ dont les premiers ter-
sont

la seconde solution comprend les deux autres valeurs de x et ^ qui
ont pour premiers termes

I — 14

ûp = a ,

Q —3
X = — oa :

ce sont les premières parties des inconnues x ety.

Pour découvrir les termes subséquents, il faut substituer le
binôme/? + q2M lieu de x et /?' + q' au lieu de^; p et pi désignant
les premiers termes connus , et 9 et q les sommes des termes sub-
séquents. Les nouvelles inconnues sont q et q\ et Ton a deux équa-
tions pour les déterminer. On applique la même règle afin de trouver
les premiers termes de ^ et q' ^ qui seront les seconds termes des
racines cherchées. En poursuivant le calcul d'après les mêmes prin*
cipes 9 on trouverait les parties suivantes des racines.

On voit que les deux équations proposées n'ont que deux solu-
tions possibles. L'une contient aux premiers termes les puissances
j et — \ àe a : aucune autre combinaison ne pourrait satisfaire à
la fois aux deux proposées.

Quant à la règle qui fait connaître les premiers termes des raci-
nes 9 nous nous bornons à dire ici qu'on peut aussi ramener cette
recherche à des constructions, et c'est par ce moyen que nous avons
formé les premiers termes des deux solutions ci-dessus indiquées. Au
reste la recherche des exposants de ces premiers termes est un
' problème de l'analyse des inégalités linéaires ; mais l'usage des
constructions peut ici suppléer à cette analyse. On parviendrait à
découvrir les premiers termes des solutions par les essais successifs
des combinaisons de différentes valeurs attribuées aux exposants :

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 69

l'emploi de l'analyse des inégalités , ou celui des constructions , sup-
pléent à ces essais. Au reste , cet emploi n'ast indispensable que si
le nombre des termes qui entrent dans les proposées était trop
grand ; et dans ce cas les règles elles-mêmes ne peuvent pas tou*
jours prévenir la longueur du calcul. Quoi qu'il en soit, il demeure
certain que l'on parviendra toujours à la détermination exacte des
premiei^s termes de toutes les solutions possibles. Quant aux termes
subséquents, non-seulement on les découvre par l'application des
mêmes règles, mais la marche des opérations se simplifie de plus
en plus, parce que ces termes ne peuvent avoir que des exposants
inférieurs à ceux que l'on a déjà déterminés , condition qui facilite
la recherche.

Les conséquences que l'on vient d'énoncer s'appliquent à toutes
les équations multiples, quels quen soient le nombre et le degré;
mais les opérations sont d'autant plus composées que le nombre
des équations est plus grand. Toutefois il est manifeste que la ré-
solution des équations littérales multiples s'opère au moyen de ces
principes, sans qu'il soit nécessaire de recourir aux éliminations
successives. La méthode de résolution donne en général les déve-
loppements des solutions en séries infimes. L'usage de ces séries,
ou plutôt le calcul des seuls premiers termes , doit s'appliquer prin^
cipalement à la discussion des propriétés des lignes ou des surfaces
courbes considérées dans leur cours infini. La conséquence la plus
générale de cette analyse est que la résolution des équations multiples
est indépendante de tout procédé d'élimination, et qu'elle doit con-
sister dans le calcul simultané des équations proposées^ sans ap-
porter aucun changement à leurs coefficients primitifs.

(i4) L'objet du cinquième livre est de montrer comment les
principes de l'analyse algébrique exposés dans les livres précédents
s'appliquent aux fonctions- transcendantes. Nous avons principa-
lement en vue celles de ces fonctions que les géomètres ont consi-
dérées jusqu'ici, par exemple celles que l'on trouve dans les ouvrages
d'Êuler , ou que plusieurs géomètres .ont successivement em{>loyées
dans des recherches de dynamique ou de physique mathématique y

6o EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

et spécialement celles que nous ayons nous-même introduites dans
la théorie de la chaleur.

N oùs considérons les équations déterminées formées d'expresatk)n&
transcendantes dont la valeur change par degrés insensibles , quelle
que soit d'ailleurs la nature delà fonction; ou du moins nous con-
sidérons les parties des fonctions transcendantes quelconques qui
varient ainsi par degrés insensibles. Ainsi on ne suppose point que
dans les parties de ibnctions auxquelles ces recherdies s'appliqueat
les valeurs passent du positif au négatif sans devenir nulles dans
rintervalle : mais lorsque cette condition n'a pas lieu, riea n'em«-
pèche d examiner séparément chacune des parties où la continuité
subsiste.

Le caractère propre des fonctions algébriques entières est de se
réduire toujours à une valeur constante par des différentialions
cotïtinues , et nous avons jusqu'ici admis cette condition. 11 faut
remarquer maintenant que les conséquences principales auxquelles
nous avons été conduits ne dépendent point de cette même condi-
tion. Nous l'avons d'abord supposée pour rendre les démonstrations
plus simples ; mais en examinant avec âoin ces démonstrations , on
reconnaîtra qu elles ont on objet beaucoup plus étendu, et qu'il n'est
nullement nécessaire que la différentiation indéfinie réduise les fonc-
tions à des valeurs constantes.

Par exemple, on a démontré dans le premier livre que si la sub*r
stitution d'une limite a dans la suite des fonctions dérivées de tous
les ordres donne des résultats qui soient les mêmes, terme pour
terme, que ceux qui proviennent de la substitution d'une autre
limite h dans les mêmes fonctions, l'équation principaleyir=o ne
peut avoir aucune racine dans l'intervalle des deux limites. Ce lemme
est important, et nous en avons souvent fait usage dans diverses
recherches d'analyse algébrique. Or il est certain que cette propo^
sition ne s'applique point de la même manière aux fonctions alg^
briques et aux expressions transcendantes. Par exeihple si la fono*
tion principale esit ûn.x, et si les deux limites â et ^ sont respec-
tivement a et a Ht 2 ip, les deox suites de résultats seront les mêmes ,

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 6i

terme pour terme. Or il est noanifeste qu'on ne peut point en con-
clure que réquation sin.^= o n'a pas de racines dans cet intervalle
de a à <z; tH 2tr : ni^is la d^i^Pfistratjpp que nous avons donnée du
lemiqe dont il s'agit prouve d^ns ce cas qu'une équation dérivée
4' un ordre quelconque , telle quey^"^yr î== o , pe peut psi,s avoir entre
les 4^u^ limites a Qt b plus de racines que n'en a dans le même
intervalle l'équation y ^•■*"^ a? =o d'un ordre, plus élevé, quel que
fpjt le. nombre L Or cette proposition est indépendante de la nature
ile la fonction différentielle , et l'on doit se bqrner à cette conclu-
sioUy parce qife l'intervalle des limites est trop grand pour que les pre-
mière&suhstituticms pjuissept indiquer les limites de chaque raciuç.

(i5) Nous allons maintenant énoncer quatre. propositions géné-
rales qui serveiit à déterminer les Ij^iites et les valeurs des racines,
lorsqu'on supplique les principes de l'analyse algébrique au^ fonC'
tions transcendantes.

I"^. Qn a expliqué dans le premier livre ks relations qu'ont entre
«ux les nCHnbves entiers appelés indices qui correspondent aux fonc-
tions dérivées. Si l'on connaissait l'indice i pour une certaine fonction
/*^"^â?<5ompri3e dans la suite des dérivées à^fx, aetb désignant les deux
limites auxqu^les cet indice se rapporte , on en conclurait que l'équa-
Ûony ^"^;r 3EC o ne peut pas avoir plu3 de i racines dans l'intervalle de
ces lipiite^ ; c'est-à-dire que $i l'on avait à résoudre l'équationy^"^ oc =o,
il faudrait dberoher un nombre £ de ces racines entre a et b. Gonsidé-
rantensuite Téquation dérivée placée à gauche de /^"^a?> savoir/^"^ '- jt,
et désignant par île nouvel indi^ correspondant h/^'"^''oû^ on en
conclurait que si l'on avait à résoiidre l'équation y^"'*"'^aî=:o,. il
faudrait cjberd^er qn nombre i' ^e ces racines dans le ipême inter-
valle des limites aet b. Or les indices i et i' peuvent être d'abord
inconnus ^ lorsque la fonction y*^ e»t tranaiCendaate, mais ces deux
indices ont une.riçlation wécewai^e. Le nondve i' est i, ou i-— i, ou
î-h ly et l'on connaîtra toujours lequel de ces trois cas a lieu- Il
suffît de comparer les iré^ltats.de la substitution de a daiïs/^*^a:
el/^"'^ ') x aux résultats de la substitution de b dans les .me^cts fonc-
tions. On les écrira donc comme il suit

I- 9

63 EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

/(-*-" a, /Wa,

et Ton examinera si la combinaison provenant des deux termes
consécutifs y^'"**'^ a ^y^"^ a est une variation de signe, ou si elle est
une permanence. Ensuite on examinera si la combinaison des deux
termes consécutifs y^'"*"'^ A, y^'^ft est une variation de signe, ou si
elle est une permanence. Lorsque la combinaison provenant des
substitutions est unevariationdansia première suite et une variation
dans la seconde , ou lorsque cette combinaison est une permanence
dans la première suite , et une permanence dans la seconde, le nouvel
indice i' est le même que le précédent L Mais si la première suite
donne une |>ermanence qui corresponde à une variation dans la
seconde, on a i' = i — i. Enfin si une variation dans la première
suite répond à une permanence dans la seconde, on a r = i+ i.
Ces conséquences résultent de la règle que nous avons donnée dans
le premier livre pour former les indices correspondants aux déri-
vées successives , et elles ne dépendent point de la nature de la fonc-
tion y^"^ a?. En effet ces conséquences sont fondées sur cette propo-
sition générale que le nombre substitué augmentant par degrés in-
sensibles, la suite des signes perd une variation lorsque le nombre,
substitué devient égal à une racine. Or la vérité de cette remarque
n'est pas bornée aux fonctions algébriques; c'est une propriété de
tout point d'intersec^tion, quelle que soit la figure de la courbe qui
coupe l'axe des œ.

On voit donc que si l'indice correspondant à une fonction dérivée
est connu, on peut facilement déterminer les indices qui, pour le
même intervalle des deux limites aetb, répondent aux fonctions
précédente ou suivante. Par exemple si les résultats de la substi-
tution de a dans la suite entière des fonctions dérivées sont les
mêmes que les résultats de la substitution de b dans ces fonctions,
la valeur de l'indice i ne subit aucun changement, en sorte que
l'équation y^"^a?=o ne peut avoir entre les limites aet b plus de
racines qu'une autre équation dérivéey^""*"'^ = o n'en peut avoir
entre ces mêmes limites, quel que soit le nombre y. Si la fonction
principale /a? était algébrique, on serait assuré que la différentia-

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 63

tion indéfinie donne une constante /^"^ a:, m étant le degré de la
proposée. On arriverait ainsi à un premier indice, qui est évidem-
ment nul ; et comme tous les indices sont les mêmes , il s'ensuit que
l'équation principale y*(a;) = o ne pourrait avoir aucune racine dans
ce même intervalle : c'est le lemme de l'article 34 du premier livre.
Si l'équation princîpaleya7=o n'est pas algébrique, il est manifeste
qu'on ne doit pas tirer la même conclusion, mais on connaîtra la

relation qui subsiste entre un indice i correspondant à une quel-

•

conque des dérivées désignée par f^'^x, et l'indice i correspondant
à la dérivée de l'ordre moins élevé d'une unité, savoir/"^*^" ^^x. Par
conséquent on déterminera par le même moyen la relation de l'in-
dice i de la fonction y^'^^r avec l'indice y de la fonction principale
f{x)^ et si l'on connaissait i on en conclurait la valeur dey. Or nous
démontrerons que l'on peut toujours assigner un certain intervalle Â
pour lequel l'indice correspondant à une fonctiony^'^o? est nul. Donc
à partir de cette fonction jusqu'à la fonction principaley^:, on déter-
minera les indices des autres fonctions pour ce même intervalle,
et l'on connaîtra ainsi combien on y doit chercher de racines de
la proposée fx=i o.

II®, fx désignant une fonction transcendante déterminée', et A
une valeur donnée de la variable x^ on peut toujours assigner un
intervalle A tel qu'on soit assuré qu'une équation dérivée quelconque
y^'^ j!: = o ne peut avoir aucune racine dans l'intervalle de A à A-l- A,
en sorte que l'indice i propre à cet intervalle est certainement zéro.
En effet la proposéeya:=o est, selon notre hypothèse, une équa-
tion déterminée, c'est-à-dire que l'expression /"(o;) détermine entiè-
rement la valeur de la fonction ^(a:) pour toute^^aleur de la varia-
ble X, soit qu'elle donne cette valeur exactement par un liojpbre
fini d'opérations , soit qu'elle en donne des valeurs approchées qui
en différent aussi peu qu'on le veut, comme cela a lieu par exemple
lorsque f{x) çst donnée en série convergente. Si l'expression/ (;«:)
ne déterminait pas la valeur de la fonction pour toute valeur de
la variable , il n'y aurait pas lieu de proposer de résoudre l'équation
/(x)=o. Il est nécessaire que l'expression ^/"(j?), quelle qu'en soit

64 EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

la natore, paisse serrîr à oonnaitre si , pour una Tdeor queloonqne
A de la variable x, la valeur de la fonctiiMiy(x) est plus grande ou
noîfis grande qu on nombre proposé R Ainsi lexpression f{x)
àonnc la fonction /If A) , on exactement , ou par une série couvct^-
gente, ou par tout autre procédé qui tiendrait lieu de cette série,
en sorte que I on puisse rapprocher indéfiniment les limites de la
valeur de /(A). Il en est de même d une fonction dérivée àtf{x)
d'an ordre quelconque : car la fonction principale étant entièrement
déterminée, la fluxion d*un ordre quelconque est aussi déterminée.
Cela étant , il s'ensuit rigoureusement qu en désignant par A une
valeur quelconque et donnée de la variable or, on peut toujours
assigner un intervalle A tel que pour une dérivée d'un ordre quel*
conquey*''^ x, Féquationy^'^x = o ne peut avoir aucune racine dans
Tintervalle de A à A + A, c est-à-dire que toutes les valeurs Aef^''x
dans cet intervalle ont un même signe. En effet quelle que soit l'ex-
pression àef{x)^ par exemple si cette fonction est donnée en une
série, la convergence de la série suppose une condition d'in^alité*,
qui par conséquent subsiste dans toute l'étendue d'un certain in-
tervalle. On connaît dans cet intervalle deux fonctions différentes
qui servent de limites à la valeur de/^'^x, et l'on peut déterminer
l'aciToissement A en sorte que l'une et l'autre limites donnent pour
/^' X , dans l'intervalle A + A, des résultats qui ont un même signe.
On en conclut qu'on ne doit chercher aucune racine de l'équation
y'>ar = o entre A et A + A : c'est un intervalle pour lequel l'indice /
est certainement nul.

On détermine ensuite ^ conformément à la proposition F^, la va-
leur de Tiadice qui, pour ce même intervalle, répond à l'équation
principale. On parvient ainsi , quoique la fonction proposée^far) ne
soit point algébrique, à connaître combien on doit chercher de
racines de l'équation /'(x)= o dans l'intervalle dont il s'agit, et il
n'y a aucun des intervalles suivants auxquels le même procédé ne
s'af)p1ique. On connaîtra donc les intervalles où les racines doivent
être cherchées, et l'on déterminera par les régies expliquées clans
tes premiers livres la nature et les limites des racines.

Nous avons rapporté dans ce cinquième livre divers exemples

EXPOSÉ SYNOPTIQUE- 65

propres à éclairer cette application des principes de l'analyse al«
gëbrique. Elle est fondée sur la notion générale des variations et
des permanences de signe : ce serait retrancher une partie consi-
dérable de Fart analytiqu'e que de ne point introduire cette notion
dans la théorie des équations transcendantes.

(i 6) III«. Une fonction transcendante ou algébrique 90? étant pro-
posée, si Ton fait Ténumération de toutes les valeurs réelles ou
imaginaires de x , savoir a, S, y, J, etc. qui rendent nulle la fonc-
tion (fX, et si Ton désigne pary(a?) le produit Ci )> (^ — |) >

f I — - V de tous les facteurs simples qui correspondent aux

racines de rÀ|uation çj;=:o, ce produit pourra différer de la fonc-
tion (fx, en sorte que cette fonction, au lieu d'être équivalente à
/x, sera le produit dun premier facteur /"(a;) par un second F(j?).
Cela pourra arriver si le second facteur F (x) ne cesse point d être
une grandeur finie , quelque valeur réelle ou imaginaire que Ton
donne à a? , ou si ce second facteur F (x) ne devient nul que par la sub-
stitution de valeurs de x qui rendent infini le premier facteur /"(a?).
, Et réciproquement si l'équation F (x) = o a des racines , et si
elles ne rendent point infini le facteur /"(a:), on est assuré que le
produit de tous les facteurs du premier degré correspondant aux
racines de ffx:=:o équivaut à cette fonction fx(*).

(^ En effet i^ s'il existait un facteur F x qui ne pût devenir nul pour aucune
valeur réelle ou imaginaire de x , par exemple si F ^ était une constante A et
sij'x était sin.o?, toutes les racines de A.sin. j?=o seraient celles de sin.^=o,
et le produit de tous les facteurs simples correspondant aux racines de A.sin. xzrzo
serait seulement sin.or, et non A.sin.â:. Il en serait de même si le facteur Fx
n était pas une constante A. Mais s'il pouvait exister un' facteur For qui ne ces-
serait point d'avoir une valeur finie, quelque valeur réelle ou imaginaire que
Ton attribuât à x, toutes les racines de Téquation sin.â:.Fx=o seraient celles
de sin.ar=Oy puisqu'on ne pourrait rendre nul le produit sin.or.For qu en ren-
dant sin. a: nul. Donc le ptoduit de tous les facteurs correspondants aux racines
de 9^=0 serait sin. a?, et non sin.ar.F^jr. On voit donc que dans ce second
cas il serait possible que le produit de tous les facteurs simples ne donnât pas (fx.

66 EXPOSE SYNOPTIQUE.

IV^ Étant proposée une équation algébrique ou transcendante
fX=zo formée d*un nombre fini ou infini de facteurs réels ou ima*
ginaires

0-1). 0-1). 0-p' 0-1)»*^'

on trouve le nombre des racines imaginaires , les^limites des racines
. réelles, les valeurs de ces racines, par la méthode de résolution
qui a été exposée dans les premiers livres^ et qui sera la même soit
que la différeutiation répétée réduise f x à une valeur constante,
soit que la différent iation puisse être indéfiniment continuée. L'équa-
tion f x=o a précisément autant de racines imaginaires qu'il y a
de valeurs réelles de x qui , substituées ^^ns une fonction dérivée
intermédiaire d'un ordre quelconque, rendent cette fonction nulle,
et donnent deux résultats de même signe pour la fonction dérivée
qui la précède et pour celle qui la suit. Par conséquent si l'on par-
vient à prouver qu'il n'y a aucune valeur réelle de x qui , en faisant
évanouir une fonction dérivée intermédiaire , donne le même signe à
celle qui la précède , et à celle qui la suit , on est assuré que la pro-
posée ne peut avoir aucune racine imaginaire. Par exemple en exa-
minant l'origine de l'équation transcendante

a* Si réquation Fx=o a des racines, ou réelles ou imaginaires, ce qui exclut
le cas où F a: serait une constante A, ou serait un facteur dont la valeur est
toujours finie, et si les racines de Fx=o rendeutyir infini, le produityx.F^r
devient ^, et peut avoir une valeur très-difTérente de fx. Mais si les racines de
Fâ7=o donnent pour yx une valeur finie, le produity,;r.Fa7 deviendrait nul
lorsque Fa:=o: donc 1 enumération complète des racines de Téquation ffxz=zo,
o^/x.Yxz=zOy comprendrait les racines de ¥x^o. Or nous avons représenté
par J^x le produit de tous les facteurs simples qui répondent aux racines de
f x=o : il serait donc contraire à Thjpothèse d admettre qu*il y a un autre
facteur For, tel que les racines de Fx=o sont aussi des facteurs de f a: = o. Cela
supposerait que Ion n a pas fait une enumération complète des racines de Téqua-
tionf :r=o, puisqu'on a exprimé seulement par /x le produit des facteurs sim-
ples qui correspondent aux racines de cette équation.

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 67

•

nous avons prouTC qu^elle est formé du produit d un nombre infini
de facteurs; et en considérant une certaine relation récurrente qui
subsiste entre les coefficients des fonctions dérivées des divers
ordres, on reconnaît qu'il est impossible qu'une valeur réelle de Xj
substituée, dans trois fonctions dérivées consécutives, réduise la
fonction intermédiaire à zéro, et donne deux résultats de même
signe pour la fonction précédente et pour la fonction suivante.
On en conclut avec certitude que l'équation (i) ne peut point avoir
de. racines imaginaires.

La règle que nous avons donnée dans le premier livre pour |rè-
connaître facilement si les deux racines que l'on doit chercher
dans un intervalle donné sont réelles, ou si elles manquent dans cet
intervalle , s'applique directement à toute équation algébrique ou
transcendante ainsi formée d'un nombre fini ou infini de facteurs
réels ou imaginaires. 11 en est de même des théorèmes que nous
avons donnés dans les premiers livres pour régler l'approximation
linéaire, en déterminant deux limites l'une toujours plus grande et
l'autre toujours moindre que la racine. La mesure de la convergence
est du même ordre que si l'équation était algébrique. Ainsi le nombre
des chiffres exacts que l'on détermine à chaque opération croît sui-
vant la même loi, quelle que soit la nature de la fonction algébrique
ou transcendante : le caractère de l'approximation linéaire n'est
point propre aux seules fonctions algébriques; il est déterminé par
le mode des substitutions successives, et convient à toutes les
fonctions.

On vieht d'énoncer dans cette analyse du cinquième livre les pro-
positions qui servent à généraliser la méthode de résolution des
équations déterminées. Si Ton bornait cette méthode aux fonctions
* algébriques , on ne s'en formerait qu'une idée très-incomplète. Il est
évident qu'elle convient à tous les genres de fonctions. Les divers
exemples auxquels nous avons appliqué ces principes rendent cette
conclusion encore plus manifeste.

68 EXK)SÉ SYNOPTIQUE.

(17) L'objet du sixième livre est de démontrer les rapports des
séries récurrentes avec la théorie des équations. Ces rapports sont
beaucoup plus étendus qu'on ne l'a pensé jusqu'ici. Nous avons
reconnu qu'ils comprennent toutes les racines, soit réelles , soit ima-
ginaires , et que l'on peut en général déterminer par cette méthode
tous les coefficients de tous les facteurs d'un degré quelconque. On
pourrait trouver dans les ouvrages de Newton la première vue qui
a conduit à cet usage des séries récurrentes , mais Daniel BernoulU
doit être considéré eomme le principal inventeur.

Nous rappellerons d'abord la propriété qui sert de fondement à
cette méthode. Dans les séries qui ont été nommées récurrentes
chaque terme est dérivé de ceux qui le précèdent , au moyen d'une
relation constante et très-simple. En général pour former un terme
d'une série récurrente, on désigne un certain nombre de termes
qui le précèdent immédiatement; on multiplie ces termes respec-
tivement par des nombres constants , positifs ou négatifs; on ajoute
les 'produits, et la somme est le terme cherché. La série est de l'ordre
m lorsque, pour former un terme, on prend les m termes qui le
précèdent immédiatement. On a appelé échelle de relation la suite
des m nombres constants. Pour former une série de cet ordre, il
suffit de connaître les m premiers termes de la série, et l'échelle
de relation. Il est évident que l'on en peut déduire tous les termes
qui suivent , et prolonger la série indéfiniment. Ces définitions étant
posées , voici en quoi consiste la règle de Daniel Bernoulli. .

Soit proposée une équation algébrique

of + ax*'^' + 6^~*+ caf^^ +gx + A = o,

dans laquelle les coefficients a, b, c g, h sont des nombres

connus. On écrira un nombre m de valeurs numériques prises à vo-
lonté pour les m premiers termes d'une série récurrente; par exemple
on peut supposer que ces premiers termes sont tous égaux à l'unité.
On prendra pour l'échelle de relation les coefficients a,b,c. . .g,h
de l'équation , et l'on prolongera indéfiniment la série , en calculant
chaque nouveau terme au moyen des m termes qui le précèdent

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 69

immédiatement. On formera donc ainsi une série récurrente dont
les premiers termes sont arbitraires, mais qui a dans tout le reste
de la suite une relation nécessaire avec l'équation proposée.

Cela étant, si Ton divise chaque terme delà série récurrente par
celui qui le précède, on forme une suite de quotients: or l'auteur
de la règle démontre que cette suite de quotients converge de plus
en plus vers une racine de l'équation. Chaque quotient est une valeur
approchée de cette racine , et ces valeurs deviennent de plus en plus
exactes. Elles ne diffèrent plus que par les derniers chiffres déci-
maux , et l'on parvient ainsi , par les seules opérations élémentaires
du calcul , à connaître la racine aussi exactement qu'on peut le
désirer.

Euler a expliqué en détail la règle que l'on vient d'énoncer ; c'est
l'objet du chapitre dix-septième de l'Introduction à l'Analyse infi-
nitésimale. Celle des racines qui esl^ ainsi déterminée par la série
récurrente est la plus grande de toutes , c'est-à-dire celle qui con-
tient le plus d'unités, abstraction faite du signe,

n faut concevoir que Ton a élevé au carré chacune des racines,
et que les carrés sont rangés par ordre de grandeur : on marque-
rait ainsi l'ordre des racines depuis la plus grande jusqu'à la plus
petite. Si l'équation a des racines imaginaires, on détermine encore
l'ordre suivant lequel les racines doivent être rangées. Pour cela
on conçoit que deux des racines imaginaires conjuguées ont été
multipliées l'une par l'autre : le produit est toujours réel, et c'est
ce produit qui , étant comparé au carré de c)iaque racine réelle ,
marque la place que doit occuper dans l'ordre des racines le couple
des deux racines imaginaires conjuguées.

La série récurrente fait connaître la première racine , lorsqu'elle
est réelle; elle fait aussi connaître la plus petite racine lorsqu'elle
est réelle. Quant aux racines imaginaires, si elles sont subordonnées
à la plus grande racine, c'est-àndire si le produit des deux conju-
« guées est moindre que le carré de la première racine , on détermine
par le procédé qui vient d'être énoncé cette première racine; elle
est encore la limite dont s'approche continuellement la suite con*»

70 EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

▼ei^ente des quotients continus. Mais si un couple de racines ima-
{[inaires occupe le premier rang, la série récurrente ne donne aucun
résultat. En prenant le quotient de chaque terme par celui qui le
précède , la suite de ces quotients continus n'est pas convergente :
elle donne des valeurs vagues et inégales , qui ne s'approchent d'au-
cune limite déterminée.

Dans les notes jointes au Traité de la Résolution des équations
numériques , Lagrange rappelle la règle découverte par Daniel Ber-
noulli, et les remarques d'Euler concernant l'exception des ra-
cines imaginaires. L'auteur de ce Traité ajoute que l'on pourrait
déterminer par le même procédé une racine quelconque, comme
l'inventeur l'a proposé , si l'on connaissait d'avance les limites qui
séparent cette racine de toutes les autres , et il montre que la marche
de l'opération est analogue à cdle de la règle d'approximation de
Newton. Mais comme cette application exigerait que l'on eût une
méthode certaine pour déterminer les limites des racines , il consi-
dère avec raison cet usage des séries récurrentes comme très-im-
parfait y soit parce que la règle est en défaut dans le cas des racines
imaginaires, soit parce qu'il est nécessaire de déterminer d'avance
les limites de chaque racine.

(i8) Les détails que je viens d'exposer font connaître d'une ma-
nière positive la nature de la question que l'on avait à traiter, et
son état actuel. L'extrême simplicité de cette méthode , et l'utilité
de ses applications qu'Euler a mise dans tout son jour, m'ont porté
à rechercher avec soin si elle peut s'étendre à toutes les racines, soit
réelles , soit imaginaires, et quels sont les rapports les plus géné-
raux des séries récurrentes avec la théorie des équations. Voici les
questions que cette analyse présentait, et que j'ai toutes résolues.

Premièrement : quelle est la mesure exacte de la convergence de
l'approximation ?

Secondement : peut-on employer un procédé analogue pour dé-
couvrir la seconde racine, la troisième, et en général toutes les
racines réelles de la proposée, sans recourir à aucune autre méthode
goun déterminer les limites de ces racines ?

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 71

Troisièmement : lorsque les racines cherchées sont imaginaires,
Cfi même emploi des séries récurrentes peut-il encore avoir lieu , et
comment en déduira-t-on les valeurs de plus en plus approchées
de la partie réelle de chaque racine et de la partie imaginaire?

Je vais rapporter maintenant la solution des trois questions pré*
cédentes : cet exposé suffira pour faire connaître clairement lobjet
et les résultats du sixième livre.

Lorsqu'on applique là série de Daniel Bernoulli à une équation
dont la première racine est réelle , la suite des quotients converge
vers la valeur de cette racine, et les erreurs finales des approxima-
tions diminuent comme les .termes d'une progression géométrique^
dont la racine est une fraction. Cette fraction est le rapport de la
seconde racine à la première , comme on le reconnaît au premier
examen. Si la première racine et la seconde ont des signes diffé-
rents , condition qu'il est toujours facile d'obtenir, les valeurs ap-
prochées sont alternativement trop grandes et trop petites. Ainsi
les chiffres comihuns à deux valeurs consécutives appartiennent
nécessairement à la racine cherchée. Cette propriété ne se rencontre
point dans les approximations nevs^toniennes.

Les applications très-remarquables qu'Euler a faites de la méthode
des séries récurrentes prouvent qu'elle est utile dans un grand
nombre de cas; mais la marche du calcul ne nous paraît pas en gé-
néral assez rapide. Ce n'est donc point sous ce rapport que nous
considérons ici les propriétés des séries récurrentes. Le caractère
principal que nous avons en vue, et qui distingue cette méthode de
toutes les autres, est qu'elle n'exige aucune connaissance antérieure,
et il résulte de nos recherches que le même procédé détermine les
parties, soit réelles, soit imaginaires de toutes les racines. Cette con-
séquence paraît en quelque sorte indiquée dans l'ouvrage de Daniel
Bernoulli , et surtout dans celui d'Euler , mais elle exigeait la solu-
tion complète de la seconde et de la troisième question. Voici en
quoi consiste cette solution.

Concevons que l'on ait formé la série récurrente primitive qui
dérive immédiatement des coefficients de la proposée, et de pre-r

è

72 EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

miers termes pris à Tolonté. Désignons par s,t,u,v,x, etc. les
racines de l'équation rangées par ordre de grandeur. Soient A , B ,
C, D , E , etc. les termes de la série récurrente. Si la racine qui occupe
le premier rang est réelle , on en approchera de plus en plus , et in-
définiment , en divisant chaque terme par celui qui le précède : c'est
en cela que consiste la règle déjà connue ; mais on ne trouve ainû
que la première racine. Pour déterminer les racines suivantes on
prendra quatre ternies consécutifs A , B , C , D ; on formera le pro-
duit AD des deux termes extrêmes, on en retranchera le produit
BC des deux termes moyens; on écrira le reste AD — BC au-des-
sous de la première série , et Ton opérera de la même manière pour
quatre autres termes consécutifs B,C,D,E; C,D,E,F; ainsi de

suite. On aura donc un seconde suite a,6,Y,^,c, dérivée de la

première. Or nous démontrons i^ que la seconde série est récur-

6 V i
rente; a^ que le quotient continu - 9 î* -9 • • • etc. a pour limite la

* T

somme s + t des deux premières racines de la proposée : et comme

la première est connue par uAe opération précédente , on connaît

aussi la valeur t de la seconde racine.

Si au lieu de choisir quatre termes consécutifs de la première
série , on prend seulement trois termes consécutifs A , B , C ; si du
produit A C des extrêmes on retranche le carré B* du terme moyen,
en écrivant tous les restes au^essous de la série primitive : on for-
mera une seconde série, et l'on démontre i^ que cette seconde série
est récurrente; oP que la suite des quotients continus que donne cette
série est convergente , et a pour limite le produit s t des deux pre-
mières racines de la proposée.

On déterminerait pareillement les trois premières racines x ^ t, u
de l'équation. Pour cela on formerait la série primitive, et l'on en

déduirait par les règles que nous'avons énoncées trois autres séries
récurrentes. La première ferait connaître , par la suite convergente
de ses quotients, la somme s ^t-^-u des trois premières racines; la
seconde déterminerait la somme jf+^i^ + fi^ des produits deux à
deux; la troisième série déterminerait le produit s tu.

Il en est de même de toutes les racines de l'équation proposée :

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 78

on les déterminerait par ordre, en quelque nombre quelles fussent.
En général , pour déterminer par ordre toutes les racines , on forme
en premier lieu la suite des. quotients continus dont la limite est
la valeur de s. On déduit ensuite de la première série récurrente
celles qui sont propres à faire connaître la somme s+t, puis la
somme s + t + u, puis la somme des quatre premières racines ;
ainsi de suite.

Il nous reste à énoncer la solution de la troisième question con-
cernant les racines imaginaires. On peut former d'après ce qui vient
d'être dit :

I ^ la série récurrente d'où Ton déduit les valeurs approchées de
la première racine s;

^^ une seconde suite de quotients qui donne la valeur du pro-
duit st;

3^ une troisième suite qui donne la valeur du produit s tu des
trois premières racines ; ainsi de suite.

Gela posé , si la première racine est imaginaire 1, c'est-à-dire »i le
produit des deux imaginaires conjuguées surpasse le carré de chaque
racine réelle , la première série ne donnera aucun résultat ; la suite
des quotients continus sera divergente et vague , comme Euler la
remarqué. Or nous démontrons que, dans ce même cas , la seconde
suite de quotients est convergente , et que la limite de ces quotients
continus est le produit réel st des deux racines imaginaires.

Si la troisième racine u est réelle , la troisième suite de quotients
est convergente.

Le contraire aurait lieu si la troisième racine était imaginaire;
mais dans ce cas la quatrième suite de quotients , qui répond à
s t usfy est nécessairement convergente*

Les mêmes conséquences s'appliquent aux séries que l'on formerait
d'après les règles précédentes pour déterminer les sommes s + t,
s+t-^-u, etc. En général toutes les fois qu'on applique ces règles
au calcul des quantités successives StSt, s tu, etc. ^ous+tySA-t+u,
etc. , il ne peut pas arriver deux fois de suite que la suite des quo-
tients soit divergente. Deux suites consécutives peuvent donner.

74 EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

toutes les deux des résultats convergents y mais elles ne peuvent pas
toutes les deux être divergentes : il y en a nécessairement une des
deux pour laquelle la suite des quotients a une limite fixe, qui est
la valeur cherchée.

Il résulte de ces théorèmes que, pour connaître dans tous les cas
les racines de la proposée, il suffit de former les séries qui se rap»
portent aux produits successifs des racines , et celles qui se rapport
tent aux sommes successives des racines. On aura ainsi les valeurs
de plus en plus approchées de toutes les racines réelles , et^ ce qui
est remarquable, on connaîtra pour chaque racine imaginaire la
partie rée|le de cette racine et le coefficient de l'imaginaire. Voilà
Tusage le plus étendu que Ton puisse faire de la méthode de séries
récurrentes. Ces séries ont donc en effet des propriétés très-géné-
rales, relatives à la théorie des équations, et c'est l'étude de ces
rapports qui est le véritable objet de notre sixième livre.

(19) On sait depuis long^temps qu'une fonction algébrique in-
variable de toutes les racines d'une éc^uation, c'est-à-dire une expres-
sion dans laquelle elles entrent toutes de la même manière, est
donnée par une équation du premier degré au moyen des coefB*
cients de l'équation. Cette proposition remarquable a sa premiàe
origine dans les théorèmes de François Viete, l'un des premiers
fondateurs de l'analyse des équations. Albert Girard a déduit des
théorèmes de Viete lexpression de la somme des puissances entières
des racines. On trouve ensuite ces formules dans les ouvrages de
Newton. Les nouveaux théorèmes que l'on vient d'énoncer font con-
naître que les fonctions qui ne contiennent qu'un certain nombre
de racines ont des propriétés d'un ordre différent, mais qui ne sont
pas moins générales. Ainsi , dans une équation d'un degré plus élevé
que le troisième, la somme de trois racines n'est point donnée par
une équation du premier degré, mais par une limite dont on ap-
proche de plus en plus. Cette limite est le quotient continu de deux
termes consécutifs d'une série qu'il est très-facile de former. II n'y
a aucun facteur provenant d'un nombre quelconque des facteurs
^impies de l'équation proposée rangés par ordre , dont on ne puisse

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 76

déterminer ainsi tous les coeflicients. L'examen de ces propriétés
générales nous fait mieux connaître la nature des nombres irration-
nels exprimés p^r les racines des équations algébriques. Ces racines
sont les limites de certaines suites , qui dérivent selon une loi très-
simple des coefficients de la proposée. Ce procédé, fondé sur l'usage
des séries récurrentes y est principalement remarquable parce qu il
tient lieu de toute autre méthode pour la distinction des racines
et de leurs limites j et parce qu'il s'applique à la recherche des coef^
fîcients des racines imaginaires. Au reste nous ne pensons point que
l'on parvienne assez promptement par cette voie à la connaissance
des racines. Les exemples cités par £uler sont ingénieusement choi-
sis, mais ce mode d'approximation exige en général trop de calcul.
Nous ne considérons donc cette question que sous les rapports théo-
riques. Les propriétés que nous venons d'énoncer sont incompa-
rablement plus générales que celles qui ont été connues des inven-
teurs, et des auteurs qui ont traité depuis la même question : elles
intéressent suitout la théorie. Nous avons eu pour but dans cette
recherche de compléter un des principaux élém;ents de l'analyse
algébrique.

(âo) Dans le septième et dernier livre , on expose les principes
de l'analysé des inégalités. Cette partie de notre ouvrage concerne
un nouveau genre de questions qui ofïrent des applications variées
à la géométrie, à l'analyse algébrique , à la mécanique et à la théorie
des probabilités. Nous allons indiquer le caractère principal de cœ
recherches, et nous citerons quelques exemples propres à en faire
connaître l'objet.

Une question est en général déterminée lorsque le nombre des '
équations qui expriment toutes les conditions proposées est égal au
nombre des inconnues. Dans la théorie dont il s'agit les conditions
ne sont pas exprimées pat des équations; c'est-à-dire qu'au lieu
d'égaler à une constante ou à zéro une certaine fonction des incon^
nues , on indique au moyen des signes > ou < que cette fonction
est plus grande ou moindre que la constante. Cest ce qui constitue
une inégalité.

76 EXPOSÉ S\7îOPnQUE.

On sappose , par exemple , que quatre indétermiiiées doivent être
assujéties a on certain nombre d'inégalités da premier degré , et qo'il
Êiut trouver tontes les valeurs possibles de ces inconnues. Le nombre
des inégalités pourrait être moindre que celui des inconnues , ou
lui être égal, et même il peut être beaucoup plus grand : il est,
en général , indéfini. Il s'agit de trouver les valeurs des quatre in-
connues, qui étant substituées simultanément, satisfont à toutes
les conditions proposées, soit que ces conditions consistent seule-
ment dans certaines inégalités , soit quelles comprennent aussi des
équations. Une question de cette espèce admet une infinité de so-
lutions ; elle est indéterminé : il faut donner une règle générale qui
serve à trouver facilement toutes les solutions possibles. Il est évi-
dent que des problèmes de ce genre doivent se présenter fréquem-
ment dans les applications des théories mathématiques.

Dans plusieurs cas on peut arriver à la solution par des remar-
.ques particulières propres à la question que Ton veut résoudre :
mais si le nombre des conditions est assez grand, et si elles se rap-
portent à trois ou à plus de trois variables, la suite des raisonne*
ments devient si composée qu'il serait presque toujours impossible
à Tesprit le plus exercé de la saisir tout entière. Il faudrait d'ail-
leurs recourir à des considérations différentes, selon la nature de
la question, comme cela arrive â l'égard de plusieurs problèmes
simples que l'on résoud sans le secours de l'analyse. Il était donc
nécessaire de ramener à un procédé général et uniforme le calcul
des conditions d'inégalité. On supplée ainsi, par une combinaison
régulière et constante des signes, aux raisonnements les plus difficiles
et les plus étendus, ce qui est le propre des méthodes algébriques.
Nous citerons en premier lieu un exemple très-simple de ce genre
de questions.

On suppose qu'un plan triangulaire horizontal est porté par trois
appuis verticaux placés aux sommets des arf^les. La force de chaque
appui est donnée et exprimée par i , c'est-à-dire que si l'on plaçait
sur cet appui un poids moindre que l'unité, ce poids serait supporté,
mais que l'appui serait aussitôt rompu , si le poids surpassait l'unité.

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 77

On propose de placer un poids donné , par exemple n , sur la table
triangulaire, en sorte qu'aucun des trois appuis ne soit rompu. La
question serait déterminée si le poids donné était 3; elle n'a point
de solution possible si ce poids surpasse 3; elle est indéterminée
s'il est moindre que 3. Désignant par d^ux inconnues les coordon-
nées du point où l'on doit placer le poids proposé , par trois autres
inconnues les. pressions exercées sur les appuis ; et supposant, pour
simplifier le calcul, que le triangle est isocèle rectangle, on voit
que la question renferme cinq quantités inconnues ^ et une qui est
connue, savoir le poids proposé. Or les principes de la statique
donnent immédiatement trois équations , et l'on y joindra pour
chaque sommet deux inégalités, qui expriment que la pression est
positive et moindre que i , ou plutôt ne peut pas surpasser i. Il est
évident que toutes les conditions de la question seront alors expri-
mées : il ne s'agit plus que d'appliquer les règles générales du calcul
des inégalités linéaires ; on en déduira toutes les valeurs possibles
des coordonnées inconnues , et l'on déterminera ainsi tous les points
du triangle où le poids donné peut être placé.

Si l'on forme cette solution, on trouve que les points dont il
s'agit se réunissent dans l'intérieur de la table , et composent un
hexagone lorsque le poids donné est compris entre i et 2. Cette
figure devient le triangle lui-même si le poids est moindre que
l'unité ; elle est un triangle plus petit si le poids est compris entre
a et 3 ; elle se réduit à un seul point si le poids est égal à 3; enfin
lorsqu'il surpasse 3 la figure n'existe plus , parce que les lignes
qui doivent la former cessent de se rencontrer.

Voici la construction qui sert à tracer ces lignes. Désignant par i
le coté du triangle isocèle-rectangle, on divise l'unité par le poids
donné qu'il s'agit de placer , et Ton porte la longueur mesurée par
le quotient i"" sur chaque côté de l'angle droit, à partir du sommet
de cet angle , ce qui donne deux points i et 2 ; 2^ sur un des côtés
de l'angle droit , à partir du sommet de l'angle aigu , ce qui donne
un troisième point 3; 3^ sur l'autre côté de l'angle droit, à partir
du sommet de l'angle aigu , ce qui donne un quatrième point 4-
I. II

78 EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

On élève par le point i une ligne perpendiculaire sur le côte ou
se trouve ce point, et par le point a une seconde ligne perpendi-
culaire sur Fautre coté; ^ifin on mène une troisième ligne droite
par les points 3 et 4- Ces trois lignes ainsi tracées terminent sur la
surface du triangle Fespace où le poids donné peut être plaoé sans
qu'aucun des appuis soit rompu.

Il serait focile de résoudre sans calcul une question aussi simple ;
mais si le nombre des appuis est plus grand que trois , si leur force
est inégale, si la table horizontale porte déjà en certains points
des masses données , ou si l'on doit y placer non un seul poids ,
mais plusieurs , on ne peut se dispenser de recourir au calcul des
inégalités. L'avantage de ce calcul consiste en ce qu'il suffit dans
tous les cas d'exprimer les conditions de la question , ce qui est
facile , et de combiner ensuite ces expressions au moyen de règles
générales qui sont toujours les mêmes. On forme ainsi la solution y
à laquelle on n'aurait pu parvenir que par une suite de raisonne*
ments très^compliqués.

' Les questions de ce genre sont toutes indéterminées , parce qu'elles
admettent une infinité. de solutions; mais elles diffèrent entre elles
quant à l'étendue. Dans les unes , les conditions exigées restreignent
beaucoup cette étendue; pour d'autres, l'énumération dé toutes
les solutions possibles est moins limitée. Il est nécessaire , dans
certaines recherches , de considérer les questions sous ce rapport.

Un examen attentif prouve que l'étendue propre à chaque ques-
tion est une quantité que l'on peut toujours évaluer en nombres : c'est
en cela que la théorie dont on expose les principes se lie à celle
des probabilités, et il y a en effet divers problèmes dépendants de
cette dernière science qui se résolvent par le calcul des inégalités.
Or on ne peut mesurer l'étendue ou capacité d'une question
sans comprendre dans l'énumération toutes les solutions possibles,
en sorte qu'on doit ici faire usage du calcul intégral ; et en effet
le nombre qui mesure l'étendue d'une question quelconque est
toujours exprimé par une intégrale définie multiple , dont les limites
sont données. Il est toujours possible et très-facile d'effectuer ees

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 79

intégratiops. succ^fiives , quel qu'en soit le nombre; et si Ton écrit
les limites des intégrales en se servant de la notation que j'ai pro-
posée' dans la Théorie analytique de la chaleur , la quantité que
Ton veut déterminer est ec^primée sous la forme la plus générale
et la plus simple.

Il est évident que les conditions proposées pourraient être telles
que la question n'admit aucune solution possible. Dans ce cas le
calcul développe l'opposition réciproque des conditions, et mcmtre
l'impossibilité d'y satisfaire. Ainsi la méthode a pour objet de re*
connaître si la question peut être résolue ; de trouver dans ce cas
toutes les solutions qu'elle admet; enfin de mesurer par un nombre
l'étendue propre à la question.

n arrive souvent aussi , dans ce genre de recherches , que l'objet
principal est de trouver les limites des solutions : alors la ques-
tion n'est pas indéterminée ; et il eh est de même de celle qui con-
siste à en mesurer l'étendue: mais ces questions dépendent de la
même analyse.

Nous avons rapporté un premier exemple d'une question àê
statique que l'on résqud par le calcul des inégalités. Voici une
seconde question du même genre, mais qui diffère de la première
en ce que la quantité inconnue est une limite^ et par conséquent
a une seule valeur.

On suppose qu'une surface plane et horizontale , de figure carrée,
est portée sur quatre appuis verticaux, placés aux sommets des
angles; chacun des appuis peut supporter un poids moindre que
l'unité , mais il romprait aussitôt s'il était chargé d'un poids plus
grand que cette unité. On marque un point quelcoilque sur la table
horizontale , et l'on demande quel est le plus grand poids que l'on
puisse placer en ce point donné sans qu'aucun des appuis soit
rompu. Ce plus grand poids , ou la force de la table en ce lieu ,
dépend évidemment de la position du point. Concevons qu'on y
élève une ordonnée verticale pour représenter le plus grand poids
qui répond à ce lieu , et qui détermine ce plus grand poids pour
chaque point de la table horizontale; il s'agit de tracer la sur-

II.

So EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

face courbe qui passe par tontes les extrémités sapérieures des
ordonnées*

Cette recherche appartient à la théorie analytique de Tâasticité :
il faudrait considérer les* appuis comme compressibles, et exprimer
aussi par le calcul les changements que subit le plan élastique dans
toutes ses parties. Cette question, quelque composée qu'elle paraisse,
peut être résolue aujourd'hui ; car les méthodes qur servent à inté-
grer les équations différentielles propres à la Théorie de la chaleur
ont donné à Tanalyse une étendue nouvelle, qui permet de soumettre
au calcul les effets de l'élasticité. Mais nous considérons ici la ques*
tion sous un autre point de vue. On suppose que la table élastique
ayant reçu la figure qui convient à l'équilibre, devient parfaitement
rigide, ce qui ne peut point détruire l'équilibre subsistant. Il faut
donc que les conditions nécessaires à l'équilibre soient satisfaites,
soit que la table soit flexible, comme tous les corps le sont en effet ,
soit qu'on la suppose rigide. Ce sont ces dernières conditions que
l'on veut exprimer par l'analyse des inégalités , et l'on n'a ici aucune
liypothèse physique à former.

On se propose de découvrir la nature et les dimensions de la
surface dont les coordonnées expriment le plus grand poids que
la table paisse' supporter en chaque lieu donné. Or la solution
déduite de notre calcul prouve que la surface dont il s'agit n'est
point assujettie à une loi continue : elle est formée de plusieurs sur-
faces hyperboliques, dififéremment situées. La question est résolue
par la construction suivante. On divise le carré en huit parties
égales, au moyen des deux diagonales et de deux droites trans-«
versalesf dont chacune joint le milieu d'un côté au milieu du côté
opposé* Chacune de ces huit parties est un triangle rectangle
que l'on divise en deux segments, dont l'un a trois fois plus de
surface que l'autre. Cette division s'opère en menant une ligne
droite de l'angle droit du triangle à l'un des angles du carré. On
considère comme base de chacun de ces segments celui de ses
trois côtés qui est parallèle à un côté du carré. Pour trouver le plus
grand poids qui puisse être placé en un point donné du plus grand
segment, il faut, par ce point, mener une parallèle à la base du

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. ' 8i

segment, jusqu'à la rencontre de celle des deux diagonales dont le
point est le plus éloigné, et mesurer sur cette parallèle la longueur
interceptée entre le point de rencontre et le point donné. L'unité,
divisée par cette longueur interceptée, est la valeur cherchée du plus
grand poids.

Si ce point donné est situé dans le petit segment, il faut, par ce
point, mener une parallèle à la base du segment, jtisqu'à la ven^
contre de celui des côtés du carré dont le point donné est le plus
distant , et mesurer la partie de cette parallèle qui est interceptée
entre le point de rencontre et le point donné. L'unité , divisée par
la moitié de la longueur interceptée , exprime la valeur cherchée
du plus grand poids. En appliquant Tune ou l'autre règle à chacun
des seize compartiments du carré, on connaîtra le plus grand
poids qui puisse être placé en chaque point de la table rectan-
gulaire.

On voit que la valeur de l'ordonnée verticale qui mesure le plus
grand poids n'est pas assujettie à une loi continue. Cette loi change
tout-à-coup lorsqu'on passe du grand segment au petit segment. Il
serait facile de trouver cette solution sans calcul , et nous l'avions
remarquée depuis long-temps. Mais si la figure du plan est diffé-
rente; si le nombre des appuis est plus grand que quatre; si la table
supporte déjà en certains points des masses données ; il est néces-
saire de recourir aux règles qui servent à la combinaison des in-
égalités.

(21) Parmi les applications que nous avons rapportées dans ce
septième livre, les unes ont, comme les deux précédentes, pour
principal objet de faire connaître la nature de ce nouveau genre
de problèmes, et là forme gaiérale du calcul. D'autres concernent
des questions plus générales, dont la solution est nécessaire au
progrès des théories analytiques. L'une se rapporte à l'usage
des équations de condition, si important. pour la formation des
tables astronomiques. Il s'agit de trouver les valeurs des inconnues
telles que la plus grande erreur, abstraction faite du signe, soit
la moindre possible; ou telles que l'erreur moyenne , c'est-à-dire

82 ^ EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

la somme des erreurs , abstraction faite du signe , divisée par leur
nombre, suit la moindre possible.

Une seconde application est cdle que nous avons donnée dans
le quatrième livre ; elle a pour objet de former les termes successif
de la valeur de chacune des inconnues qui doivent satisfaire à des
équations littérales données. Nous avona fait voir que la
de ces équations dépend de l'analyse des inégalités lii

Quel que soit le nombre des inconnues, il suffit d exprimer les
conditions propres à la question , et d'appliquer aux inégalités écrites
le& règles générales de ce calcul. On supplée ainsi par un procédé
algorithmique à des raisonnemaits très-composés , qu il faudrait
changer selon la nature de la question , et qu'il serait pour ainsi
dire impossible de former , si le nombre des inconnues surpassait
trois. Toutefois on ne peut pas toujours éviter que le nombre
des opérations ne devienne très-grand , mais on réduit beaucoup
ce nombre , en considérant les propriétés des fonctions extrêmes.
Nous appelons ainsi celles qui deviennent ou plus grandes ou plus
petites que toutes les autres.

Nous indiquerons maintenant le principe de la solution d'une
des questions les plus remarquables , celle qui se rapporte aux erreurs
des observations.

On considère des fonctions linéaires de plusieurs inconnues
^>y> ^> 6tc* Les coefficients numériques qui entrent dans les fonc-
tions sont des quantités données. Si le nombre des fonctions n'était
pas plus grand que celui des inconnues , on pourrait trouver pour
^yjff ^9 ^tc. un système de valeurs numériques tel que la substitu-
tion simultanée de ces valeurs dans les fonctions donnerait pour
chacune un résultat nul. Mais on ne peut pas en général satisfaire
à cette condition «lorsque le nombre des fonctions surpasse celui
des inconnues. Supposons mamtenant que l'on attribue à x,y, z, etc.
des valeurs numériques X , Y, Z , etc. , et qu'en les substituant dans
une fonction , on calcule la valeur positive ou négative du résultat
de la substitution. On considère comme une erreur, ou écart, le
résultat positif ou négatif qui diffère de zéro; et, faisant abstrac-

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 83

tion dû signe, on prend pour meàtife de Terreur le nombre d'unités
positives ou négatives que le résultat exprime.

Cela posé , il faut donner k x,y,z, etc. des valeurs X , Y, Z, etc.
telles que le phis grand écart , provenant de la substitution dans
lés diverses fonctions proposées, soit moindre que le plus grand
écart que Ton trouverait en substituant dans les fonctions tout autre
système de valeurs différent de celui-ci, X, Y, Z, etc. On pourrait
aussi chercher un système X, Y, Z, etc. de valeurs simultanées de
^9 y> 2, etc. tel que la somme des erreurs , abstraction faite du
signe, soit moindre que la somme des erreurs provenant de la
Substitution de tout système différent de X , Y, Z, etc.

La construction suivante représente clairement la méthode qui
doit être suivie pour trouver sans calcul inutile les quantités X ,
Y,Z, etc. qui donnent au plus grand écart sa moindre valeur.
Cette construction, quenous avons donnée depuis long-temps, est
le point capital de la question : elle en résoud seule toutes les dif-
ficultés. Non-seulement elle rend la solution sensible et la fixe dans
la mémoire , mais elle arert à la découvrir ; et quoique propre au
éas de deux variables x et y, elle suffit pour faire bien connaître
le procédé général. On suppose d'ailleurs que le nombre des fonc-
tions proposées est quelconque.

a? et ^ sont dans lé plan horizontal les coordonnées d'un point.
L'ordonnée verticale z mesure la valeur de la fonction linéaire. A
chaque fonction correspond un plan. La distance z d'un point du
plan au plan horizontal est eitprimée en x et y. Dans chaque fonc-
tion linéaire on changera les signes de x et y, ce qui double le
nombre des fonctions proposées , et par conséquent le nombre des
plans que Ton considère. Cela posé , on se représente que tous les
plans sont tracés, et Ton ne porte son attention que sur les par-
ties dès plans qui sont placées au-dessus du plan horizontal. Ces
parties supérieures des plans donnés sont indéfiniment prolongées.
Il faut principalement remarquer que le système de tous ces plans
forme un vase qui leur sert de limite ou d'enveloppe. La figure de
ce Vaàe extrême est celle d'un polyèdre dont la convexité est tournée

J

«4 EXPOSÉ SYNOPTIQUE

vers le plan horizontal. Le point inférieur du vase ou polyèdre a
pour ordonnées les valeurs X, Y, Z, qui sont l'objet de la question ;
c'est-à-dire que Z est la moindre valeur possible du plus grand
écart, et que X et Y sont les valeurs de x et'jr propres à donner
ce minimum , abstraction faite du signe.

Pour atteindre promptement le point inférieur du vase on élève
en un point quelconque du plan horizontal , par exemple à Fori-
gine des x et y, une ordonnée verticale jusqu'à la rencontre du
plan le plus élevé , c'est-à-dire que parmi tous les points d'inter-
section que l'on trouve sur cette verticale on choisit le plus distant
du plan des x et y. Soit m. ce point d'intersection : on connaît le
plan sur lequel il est placé. On descend sur ce même plan , et dans
un plan vertical, depuis le point m, jusqu'à un point m, d'une arête
du polyèdre; et en suivant cette arête on descend de nouveau
depuis le point m. jusqu'à un sommet m^ commun à trois plans
extrêmes. A partir du point m, on continue de descendre suivant
une seconde arête jusqu'à un autre sommet m^ ; et l'on continue
J 'application du même procédé, en suivant toujours celle des deux
arêtes qui conduit à un sommet moins élevé. On arrive ainsi au
point le plus bas du polyèdre. Or cette construction représente exac-
tement la série des opérations numériques que la règle analytique
prescrit. Elle rend très-sensible la marche de la méthode , qui con-
siste à passer successivement d'une fonction extrême à une autre ,
en diminuant de plus en plus la valeur du plus grand écart

Le calcul des inégalités fait connaître que le même procédé con-
vient à un nombre quelconque d'inconnues , parce que les fonctions
extrêmes ont dans tous les cas des propriétés analogues à celles
des faces du polyèdre qui sert de limites aux plans inclinés. En
général les propriétés des faces , des- arêtes , des sommets et des
limites de tous les ordres , subsistent dans l'analyse générale^ quel
que soit le nombre des inconnues.

(22) Les analyses que l'on vient de rapporter présentent l'en-
semble de nos recherches. Cette exposition était nécessaire pour
que l'on pût se former une idée générale de la théorie des équa-

EXPOSÉ SYNOPTIQUE- 85

tionSy et porter un jugement exact des méthodes qui étaient déjà
ccmnues. On voit que la notion la plus claire , et qui eût été la plus
propre à diriger toutes les recherches y est aussi la plus simple :
c'est celle que Viete avait proposée dès l'origine de l'analyse mo*
derne. Il pensait que la résolution des équations algébriques doit
dépendre d'une méthode universelle , qu'il appelait exégétique , et
qui consiste à considérer simultanément tous les coefficients de la
proposée pour en déduire par des opérations successives toutes
les parties de chaque racine. Viete n'a point formé la méthode uni-
verselle dont il proposait la recherche; il l'a seulement entrevue,
et il en a indiqué le caractère par divers exemples : on ne pouvait
point la découvrir sans connaître quelques éléments de l'analyse
différentielle. La justesse de cette vue générale n'a point échappé à
Newton ; il Ta même confirmée en donnant une première partie de la
méthode exégétique , celle qui fait connattre les premiers termes dés
séries. Mais il n'a point découvert le moyen de reconnaître les ra-
cines imaginaires des équations numériques, et de trouver deux
limites pour chaque racine réelle. On peut résoudre aujourd'hui
toutes les difficultés que ces recherches présentaient , et suppléer
aux imperfections des premières tentatives : c'est le but que l'on
s'est proposé dans cet ouvrage. Il contient l'exposition d'une mé-
thode qui sert à déterminer, facilement les racines de toutes les
équations.

On peut maintenant se former une idée complète de l'objet et
des résultats de nos recherches. Les points principaux sont pre-
mièrement la démonstration du théorème général qui fait connaître
combien on doit chercher de racines dans un intervalle donné , et
de la proposition relative au nombre des racines imaginaires. La
règle de Descartes est un corollaire de ces théorèmes , et je pense
qu'on ne peut pas les considérer sous un point de vue plus simple
et plus étendu.

a^ La règle qui sert à reconnaître avec certitude si les deux ra-
cines cherchées sont réelles ou si elles manquent dans l'intervalle.

> La résolution de toutes les questions que présente l'approxi-

86 EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

mation iiewtonienne. Ce procédé, Tun des plus simples et des plus
féconds de toute l'analyse , serait incomplet et vague si ces ques-
tions n'eussent été résolues.

4^ L'examen de la méthode qui suppose que l'on calcule d'abord
la moândre valeur de la différence de deux racines. Il résulte de la
discussion que ce calcul est inutile. Il faut appliquer immédiate-
ment les procédés des fractions continues, et la nature des racines
devient manifeste.

S"* L'exposé des principes qui servent à résoudre les équations
littérales, et l'extension de cette méthode au cas de plusieurs in-
içonnues.

6"" L'extension singulière de la méthode des séries récurrentes.
Nous avons prouvé que cette méthode suffit pour faire connaître
toutes les racines , ks Êicteurs de tous les degrés , et les coefficients
dès expressions imaginaires. Cette règle était bornée aux deux ra-
cines extrême^ et aux racines réelles ; nous avons montré qu'elle
donne toutes 1^ racines réelles ou imaginaires.

On voit par cette énumération que nous n'avons omis aucune
des recherches qui peuvent éclairer la théorie des équations ; on a
recherché dans chaque question les principes les plus généraux, et
qui pouvaient conduire par la voie la plus briève à la coiinaissàno>e
effective des racines. Oh doit regarder aujourd'hui cette question
célèbre comme complètement résolue. Nous pensons que la science
^du calcul conservera toujours cet élément principal.

LIVRE PREMIER.

MÉTHODE

POUR DETERMINER DEUX LIMITES DE CHAQUE RACINE RÉELLE
ET POUR DISTINGUER LES RAQNES IMAGINAIRES.

(i) Lj'équation proposée est

oT -^- a^af^^ + a^af"^ + a^x^'^^ + . . . . + a^_,a:+ a^=:o.

Nous désignons par X, o\if{x\ le premier membre de cette équation .
L'exposant m est entier ; les coefficients a, , a, , «3. . . • a^_, , a^ sont
des nombres donnés. Il s'agit de connaître combien il y a de nom-
bres réels a,ê,Y, etc. qui, substitués dans X à la place de x,
réduisent cette fonction f{x) à zéro , et d'assigner pour chacune
de ces racines réelles a, 6, y, etc. deux limites entre lesquelles elle
est seule comprise. Pour résoudre ces questions, nous considérons

les fonctions X,X', X", X''', X^"^, dont chacune se déduit de la

précédente en différentiant par rapport à a: et divisant par dx.
Le nombre de ces fonctions est m -h i , et la fonction X^"^ ne con-
tient pas X ; elle est une quantité constante positive. Nous écrivons
cette suite de fonctions dans cet ordre,

♦

XW ^ xf-^o ^ x^-') , . • . . X", X^ X.

Concevons maintenant que l'on donne à x une valeur déterminée

î2.

88 LIVRE PREMIER.

a, positive ou négative , et que l'ayant substituée au heu de x dans
la suite des fonctions, on écrive le signe de chaque résultat: on
formera ainsi une suite de signes , dont le premier , qui répond à
X^*^, est toujours +. Nous supposons que le nombre substitué à
augmente par degrés infiniment petits depuis une valeur négative
qui contient un nombre infini d unités, et que Ton désigne par — { ^
jusqu'à une valeur positive 7 qui croit aussi sans limite; et nous
examinons les changements que subit la suite des résultats , à mesure
que le nombre substitué a augmente. Cette suite de signes a des
propriétés très-remarquables , dont Tex^men attentif conduit à la
détermination des limites des racines.

Lorsque le nombre substitué a est — ~ , chaque fonction est ré-
duite à son premier terme : le signe du résultat de la substitution
de — V est évidemment -h pour la première fonction, — pour la
seconde , + pour la troisième , ainsi de suite alternativement. Lors-
que le nombre substitué est devenu égal à + ^ , la suite des signes
ne comprend que des signes +. Ainsi dans le premier cas , a étant
— 7, chaque signe de la suite est suivi d'un signe différent; cette
suite ne comprend que des changements de signe ^ dont le nombre
est m : et dans le second cas, a étant 7 \ chaque signe est suivi d'un
signe semblable ; la suite ne comprend que des permanences de
signes. Nous allons prouver que le nombre m des changements de
signe qui existaient dans la première suite diminue continuellement
à mesure que le nombre substitué a augmente , et que cette suite
perd un changement de signes toutes les fois que le nombre a de-
vient égal à une racine réelle.

• (2) Il est d'abord évident que la suite des signes demeure telle
qu'elle était auparavant tant que le nombre substitué a ne rend

pas nulle une ou plusieurs des fonctions X^"^, X^'*-'^ X", X', X :

car la valeur d'une fonction telle que X, ou X', ou X", etc. ne peut
point changer de signe , si elle ne devient auparavant égale à zéro.
Il faut donc examiner ce qui survient dans la suite des signes,
lorsque le nombre substitué atteint une valeur qui rend nulle une
des fonctions X(-> / X^-^'> , X (-•>... . X'', X', X. Supposons en pre-

SÉPARATION DES RACINES. 89

mier lieu que la seule fonction qui devient nulle soit la dernière
X, ou f{x). On a donc/(a)=o. Quanta la fonction /'(a), elle a
une valeur ou positive ou négative.

Nous considérons trois états successifs et infinement voisins du
nombre substitué a , savoir

x=^(i — du,

X=:tl + d(lf

et nous comparons les résultats des substitutions , savoir

/(a—da),

/(a •+■ da),

I

Puisque le terme y*(a) s'évanouit, ces résultats sont

• o

Si l'on écrit sur trois lignes horizontales correspondantes les signes
des trois suites que l'on forme en substituant a-^-^da, a, a + da,
ces suites différeront seulement par les signes qui les terminent.
En effet nous supposons que la valeur a de x rend nulle la seule
fonction f{x) ; et l'on peut toujours faire varier a d'une quantité
si petite da, ou — da, en sorte que la substitution de a — da,
ou de a + ^ a ^ ne fasse évanouir aucune des autres fonctions. Donc
ces autres fonctions conservent le signe qu'elles avaient lorsque la
valeur de x était a. Si le signe de/' (a) est + , les trois suites com-
parées seront terminées ainsi :

. . .+ o (i)

...+ + ,

90 LIVRE PREMIER

c est-à-dire que \aûnxi(m/'{a) étant positive , /(a?) augoiente de
valeur et est successivem<9it négative , nulle et positive. On voit , à

l'inspection de la table (i) , que le changement de signes H est

devenu une permanence de signes 4* -h .

Si le signe de /'(a) est négatif, les trois suites sont ainsi ter-
minées ,

• •

- o (a)

c est-à-dire que la fluxiorf f(a) étant négative, la valeur dej{x)
est décroissante, en sorte qu'elle est successivement positive, nulle
et négative. La table (2) fait connaître que le changement de signes

h est remplacé par une permanence . Donc soit que le

signe dey (a) soit positif ou négatif, il arrive dans l'un et l'autre
cas qu'un changement de signes est remplacé par une permanence.
Donc la suite des signes des résultats que l'on trouve en substituant
pour X une valeur a continuellement croissante, perd un change-
ment de signes toutes les fois que la valeur substituée atteint et
dépasse infiniment peu une des racines réelles de l'équation pro-
posée.

Nous supposerons maintenant que le nombre substitué n atteint
une valeur qui rend nulle une seule des fonctions intermédiaires

de la suite X^"*^, X^"^'\ X'"^*^ X", X', X , et ne rend point nulle

la dernière fonction X. Soit X^"\ ouf^"^ {x\ la fonction qui s'évanouit,
en sorte que Ton ay^"^(a) = o. Nous désignons par n l'indice de
différentiation, et par w-f- 1 ou n — i cet indice dans la fonction
qui précède ou qui suit. On comparera, comme on l'a fait plus haut,
les résultats des trois substitutions de a — da, a , a + da dans la
suite des fonctions; et l'on rembarquera d'abord que da étant une
quantité infiniment petite, les suites de signes ne diffèrent que par
les signes des résultats qui proviennent des substitutions dans
f'^^x). Les trois résultats sont

SÉPARATION DES RACINES. 91

f^'\a + da),
ou

~ d a f'^'^'> (a)

o

da/('^'\a):

à

or le signe dey^''*"^(a) peut être + pu — , et il en e$t de même du
signe dey^"~'^a, ce qui forme quatre combinaisons différentes-
Dans la première le résultat /("-*-') (a) est positif ainsi quey^"""^(a) :
il faut donc comparer ces trois parties des suites de signe , savoir

+ o + (3)

H- + +.

Dans un second cas le signe de/*^"'*"^(a) est — , et celui dey^""'^(a)
est 4- ; les parties correspondantes qu'il faut comparer sont donc

(4)

La table (3) fait connaître que la suite supérieure a perdu deux de
ses changements de signes , savoir H et ^ h , qui sont rem-
placés par + + et + -H. Il n'en est pas de même de la table (4) :
elle montre que la suite n'a perdu aucun changement de signes ;

car un de ses changements h est remplacé par Une permanence

. Mais en même temps la permanence + + est remplacée par

le changement h.

Nous avbns supposé que la fonction y^**"^ (a:) a le signé -f». Si
an contraire elle devient négative lorsqu'on substitue a au lieu de
^ ^ on aura les deux tables suivantes ,

H

■'':--■ ■ + o - (5) •

4- + —

93 LIVRE PREMIER,

et

(6)

L'une (5) montre que dans ce cas la suite supi^rieure n'a perdu aucun
changement de signes; l'autre (6) répond à un cas différent, où la
suite des signes 9 perdu deux changements , savoir ^- + et -«- -^ ,
remplacés par et -.

Il suit de cet examen que si le nombre substitué a atteint une
valeur qui rend nulle une seule des fonctions intermédiaires , et
ne fait point évanouir la fonction proposée X , la suite des signes
perd à la fois deux changements , ou n'en perd aucun. Il n'arrive
jamais qu'elle en perde un seul , ou qu'elle en acquière.

Lorsque le nombre substitué atteint et dépasse une racine réelle
de la proposée , nous avons vu que la suite perd nécessairement
un changement de signe ; et l'on vient de démontrer que si la fonc-
tion rendue nulle par la substitution n'est point la dernière X , mais
une des fonctions intermédiaires, la suite des signes perd deux
changements à la fois, ou qu'elle n'en perd aucun. Donc le nombre
substitué a croissant par degrés infiniment petits depuis -~ ; jus-
qu'à + ^ , la suite des signes perd ay moiQS autant de changements
qu'il existe de racines réelles. Le nojnbredc changements de signe
de la suite ne peut jamais augmenter ; il diminue nécessairement
d'une seule unité, lorsque jla seule fonction qui s'évanouit est la
dernière X , et il peut ou diminuer de deux unités , ou demeurer le
même qu'auparavant , lorsque la fonction qui s'évanouit seule est
une deSs fonctions intermédiaires.

(3) Nous avons supposé jusqu'ici que la substitution de a fait
évanouir qne seule des fonctions qui forment la suite , et c'est ce
qui arrive en général. Le contraire ne peut arriver qu'accidentelle-
ment, lorsqu'il existe de certaines relations entre les coefficients de
la proposée. Un changement infiniment petit dans la valeur des
coefficients détruirait cette relation , et une même valeur de x ne

SÉPARATION DES RACINES. 93

ferait plus évanouir en même temps deux ou plusieurs des foncv
tions. C'est pour cette raison que Ton peut toujours , dans les re-
cherches de ce genre , faire abstraction de ces cas singuliers. Mais
il est préférable ici de les considérer séparément, parce qu'il s'agit
de donner la démonstration rigoureuse d'une proposition fonda-
mentale.

Supposons donc qu'une même valeur a, substituée au lieu de a?
dans la suite des fonctions rende, nulles plusieurs fonctions consé-
cutives, et comparons, comme nous l'avons fait jusqu'ici, lés trois
résultats des substitutions de a — da, a, a -f- da. Nous désignons
pary^"^(*r) la fonction qui s'évanouit lorsqu'on y substitue a au lieu
âex, et nous supposons que plusieurs fonctions suivantesy*^""'^(.r),
J^'^*^(pci), etc. sont aussi rendues nuUespar la même substitution.
Soit ile nombre des fonctions consécutives y^"^(a),y^"""^(a),y^""*Yr?,),
/^'^^\à)j etc. qui s'évanouissent. Quant à la fonction précédente
yc-H-i) ^^^ ^ ç]ie ne donne point un résultat nul : elle prend le signe
Hh ou le signe — ;. et il en est de même de la fonction y^*^"^ (a?) qui
suit la dernière fonction évanouissante. Il s'agit de comparer la
suite intermédiaire qui est donnée par la substitution de <7 , à la suite
inférieure que l'on forme en substituant a + da, et à la suite su-
périeure qui répond à a — da. On ne considère d'abord que les
parties de ces suites qui se rapportent aux fonctions évanouissantes
et à la fonction qui les précède. On aura /^"^ (a + da) =/'^"^ (a) +
daf^'^'\a) , ou seulementy^"^ (a + da) = daf^""^"^ a, parce f^'\a)
est nulle par hypothèse ;

puisque /("^ a ety^"~'^(a) deviennent nulles. En général on aura
cette suite d'expressions ,

%

I. i3

94 LIVRE PREiMIER.

/« {a+da)=: da/c^'^ (a)

t

/(-) (a + da)= ^/''^'^ (a)

etc.,
et par conséquent

/(«) (a—da)=z — daf^^'\a)

. /(-)(a-.rfa)=^/'"*')(a)

9 • O

etc.
Il suit de là qu'en désignant par

/^"^'^(a), o, 0,0, 0,0, etc.

la partie de la suite intermédiaire que donnent les fonctions

/(.-HO (^) , /(.) (^) , /(^.) (^) , /(.-.) (-,) , /(^3) (^) , /(-.) (^) , etc.

lorsqu'on suppose x^=a, on trouvera dans la règle que nous
allons énoncer les signes de la partie correspondante de la suite in-
férieure que donne la substitution de a -h ^a^ et les signes de la
partie correspondante de la suite supérieure donnée par la substi-
tution de a^—da.

Il faut pour la suite inférieure écrire au-dessous de chaque zéro
de la suite intermédiaire le signe même dey"^"^'^(a) ; et pour former
la suite supérieure , il faut au-dessus du premier zéro à gauche écrire
le signe dey^"^'^(a) , au-dessus du zéro suivant écrire le signe con-
traire à celui dey^"^'^(a), et continuer ainsi à écrire alternativement
le signe de y^""*"'^(û), ou le signe contraire, au<lessus des signes
zéro de la suite intermédiaire.

SÉPARATION DES RACINES. 96

Cela posé , si Ton procède à la formation des suites en allant de
gauche à droite , il est évident que l'application de la règle précé-
dente introduit dans la suite supérieure des changements de signes
qui deviennent autant de permanences dans la suite inférieure, i
étant le nombre des fonctions évanouissantes^ on trouve que la
suite supérieure contient un pareil nombre i de changements de
signes remplacés dans la suite inférieure par autant de permanen-
ces. Il faut remarquer aussi que dans ces deux suites les signes cor-
respondants sont alternativement différents ou semblables. Ils sont
différents pour les fonctions dont le rang est indiqué par y^"^ ,
/'""*\ /^^""^^/^ "'"^\ etc.; et ils sont les mêmes pour les fonctions
dont le rang est indiqué pary^"^'\ y ^"""'^y^'""*^ , etc. Enfin les fonc-
tions qui deviennent nulles, et dont le notanbre est i, sont suivies
d'une fonction non évanouissante y^""'^ (a?) : la substitution de o
dans cette fonction donne le même signe pour les trois suites , et
ce signe peut être + ou — .

Il est facile de connaître maintenant combien la suite supérieure
a perdu de changements de signe, remplacés par autant de perma-
nences dans la suite inférieure. En effet si i est un nombre pair,
le signe de la dernière fonction évanouissante /^'^"*"\a) est le
même dans les suites inférieure et supérieure : il donne par consé-
quent dans Tune et l'autre la même combinaison de signes avec la
fonction extrèaie non évanouissante, qui est y ^"7'^ (a). Donc la suite
inférieure a perdu dans ce cas un nombre i de changements de
signe remplacés par des permanences.

Mais si le nombre i est impair, ce cas se subdivise en deux autres;
parce que le signe de la dernière fonction évanouissante y*^*"'"^'^ (a)
n'étant pas le même pour les suites supérieure et inférieure , il en
résulte que ces signes différents forment deux combinaisons con-
traires avec le signe de/^'^'^{a) commun aux deux suites. Si celle
de ces combinaisons qui se trouve dans la suite supérieure est un
changement de signes , elle répond à une permanence dans la suite
- inférieure : donc le nombre de changements de signes que la suite
supérieure a perdus n'est pas i: il est ('+1. Mais si la combinaison

r3.

96 LIVRE PREMIER.

de signes qui termine la suite supérieure est une permanence , elle
devient un changement de signe dans la seconde suite; dans ce cas
le nombre des changements de signe perdu par la suite supérieure
n'est pas i , mais i — i .

On conclut de ces remarques que le nombre des fonctions éva-
nouissantes étant i, le nombre des changements de signe perdus
par la suite supérieure est égal à i lorsque i est pair ; et que si le
nombre i est impair, la suite supérieure perd dans un premier cas
un nombre ^' + i de changements de signe , et dans un deuxième
cas un nombre i — î . Donc en délsignant par h le nombre total des
changements de signe de la suite supérieure , et par k le nombre
total de changements de signe de la suite inférieure, on voit i** que
le nombre k ne peut jamais être plus grand que h ; ^ que la dif-
férence h — ^ est égale à i lorsque i est pair ; 3® que si le nombre i
des fonctions évanouissantes est impair, la différence h — k est
/ -i- i ou i — i . Cette différence est donc toujours un nombre pair.

Lorsque la valeur de i est seulement i , la différence h — k est
2 ou o : c'est le cas général que nous avions examiné d'abord , en
supposant qu'une seule fonction intermédiaire s'évanouît : mais si
plusieurs fonctions intermédiaires consécutives s'évanouissent en
même temps, la différence h — k est 2, ou 4> ou 6, etc.-

(4) Nous avons aussi à considérer le cas où les fonctions éva-
nouissantes consécutives sont placées à l'extrémité de la suite des
fonctions vers la droite , en sorte qu'elles comprennent le premier
membre X de l'équation proposée. Or il suit de notre démonstration
précédente que, désignant par y le nombre de ces fonctions extrê-
mes qui s'évanouissent, la suite supérieure perd un nombre de
changements de signe précisément égal à y. On sait que dans ce
cas, qui est celui des racines égales, la fonction X contient le fac-
teur [x — (i)L Donc la suite des signes a perdu un nombre j de
ses changements de signes lorsque le nombre substitué est devenu
égal à la valeur a de la racine multiple. Cette diminution du nombre
de changements de signe de la suite a lieu toutes les fois que le
nombre substitué a, en passant par degrés de la valeur — i à la

SÉPARATION DES RACINES. 97

valeur 4-9 atteint et dépasse infiniment peu chacune des racines
réelles; et la suite perd pour cette cause autant de changements
de signe que l'équation proposée a de racine^ réelles égales ou
inégales.

(5) On peut enfin supposer que la substitution du même nombre
a fait évanouir plusieurs fonctions consécutives dans diverses par-
ties de la suite , savoir un nombre i dans une première partie , un
nombre i' dans une seconde partie , ainsi du reste ; et un nombre /
de fonctions extrêmes qui comprennent la fonction proposée X.

Désignant par H le nombre total de changements de signe que
la suite contenait lorsque le nombre substitué avait une valeur
moindre que a dont elle diffère d'une quantité infiniment petite ,
et par K le nombre de changements de signe que la suite conserve
lorsque la valeur de x est devenue plus grande que a dont elle dif-
fère d'une quantité infiniment petite , on voit que pour trouver la
différence H — K, il suffit d'appliquer à chacune des parties de la
suite oii se trouvent les fonctions évanouissantes les conséquenpes
que nous venons de démontrer. Si le nombre i est pair, il faut
compter pour cette partie de la suite un nombre i de changements
de signes remplacés par des permanences. Mais si le nombre i est
impair , il peut arriver que la suite perde un nombre t -*- 1 ou
/ — I de changements de signes. Il en est de même des nombres
i , i\ etc. Quant aux fonctions extrêmes qui s'évanouissent , et dont
le nombre esty^ elles indiquent dans tous les cas que la suite a
perdu un nombre de changements de signe précisément égal à y.

On voit que la démonstration précédente se réduit toujours à
comparer les expressions analytiques des résultats que l'on trouve
en substituant a — da^ a y a + da dans la suite des fonctions :
cette comparaison rend manifestes toutes les conséquences que nous
avons exposés concernant la diminution progressive du nombre
des changements de signes de la suite.

(6) Ces démonstrations nous font connaître comment la suite
des résultats des substitutions perd successivement les m change-
ments de signe qu'elle avait lorsque la valeur substituée était — \.

98 LIVRE PREMIER.

i'' Le nombre des changements de signe de la suite diminue
continuellement; cette suite ne peut poiht en acquérir de nouveaux,
ni reprendre aucuns de ceux qui ont disparu.

2° Lorsque la substitution fait évanouir la dernière fonctionyifj:),
la suite perd pour cette cause autant de changements de signes
que l'équation /(x)^=o a de racines réelles égales au nombre
substitué.

3^ Si cette valeur substituée rend nulles une ou plusieurs des

fonctions intermédiaires, et ne rend point nulle la dernière fonction

/ (po) , il peut arriver que la suite ne perde aucun changement de

signe, ou qu'elle en perde un nombre pair. Il est impossible que

dans ce cas il disparaisse un nombre impair de changements.

Cela posé, si Féquation a toutes ses racines réelles en nombre
m , la suite perdra un nombre de changements de signes précisé-
ment égal à m ^ et par conséquent elle ne peut dans ce cas perdre
aucun de ses changements de signes par la substitution d'une valeur
qui ferait évanouir une ou plusieurs des fonctions intermédiaires
sans rendre nulle la dernière fonction X{oci).

Si l'équation a un nombre m — a de racines réelles et deux ra-
cines imaginaires, il arrivera une fois seulement que la suite perdra
deux changements de signe, par la substitution d'une valeur qui
rend nulle une fonction intermédiaire sans faire évanouir la fonc-
tion extrême y (^); et les m — a autres changements de signe dis-
paraîtront successivement à mesure que le nombre substitué devien-
dra égal à chacune des m — 21 racines réelles..

Dans tous les cas chacune des racines réelles, égales ou inéga-
les , correspond nécessairement à un changement de signe perdu.
Par conséquent le nombre de changem^its de signe qui dispa-
raissent sans que la dernière fonction /"( a?) devienne nulle, est
toujours égal au nombre des racines imaginaires de la proposée.

(7) Qn parvient ainsi à démontrer la proposition que nous allons
énoncer , et que nous regardons comme un des éléments fondamen-
taux de l'analyse algébrique.

Étant proposée l'équation numérique y (j?) =20 dont le degré est

SÉPARATION DES RACINES. 99

m y on considère les fonctions /(j;) , /' {x) , f^\oc) , . . .y^"^ (a?) , dont
chacune se déduit de la précédente en différentiant par rapport
à a; et divisant par dx. Après avoir écrit -cette suite de fonctions

suivant cet ordre /^")(ar),/(—^(;r),/f-*K^),- • J\^)J\^)J^^\
on substitue au lieu de x une valeur déterminée a , et Ion marque

combien la suite des signes des résultats y^"^(a),/'^"'"^ (a),. . *f"{(i)^
r{cC)^f{a) présente de combinaisons de deux signes différents

consécutifs , tels que -4- — , ou h . Le Acmibre h de ces change-

menis de signes comptés dans la suite cpii provient de la substitu*
tion de a varie lorsqu'on substitue dans les mêmes fonctions des
nombres différents de a : la compsfraison des résultats offre les pro-
priétés suivantes. 1® Si l'on conçoit que la quantité substituée a
augmente par degrés insensibles depuis — 7 jusqu a + 7, le nombre
h des changements désignes comptés dans la suite diminue à mesure
que la quantité substituée augmente* La suite des signes ^ qui con-
tient un nombre m de changements lorsqu'on substitue — 7, perd
successivement tous ses changements de signe à mesure que Ton
substitue des valeurs plus grandes. Le nombre A de changements
de signe qui répond à la substitution de a ne peut jamais surpasser
le nombre k de changements qui répond à la substitution d une
valeur b plus grande que a.

%^ La suite perd un de ses changements de signes toutes les fois
que la valeur substituée a devient égale à une des racines réelles
de la proposée. Il disparait ainsi autant de changements de signes
que réquation a de racines réelles égales ou inégales.

3^ Autant l'équation /a? =0 a de couples de racines imaginaires,
autant il arrive de fois que la suite perd deux dé ses changements
de signe qui disparaissent ensemble.

(8) Cette proposition indique immédiatement combien une équa-
tion proposée f{x) =: o peut avoir de racines réelles comprises entre
deux limites données a et b. En effet substituant la moindre limite
a dans la suite des fonctions , on comptera le nombre h de chan-
gements de signe de cette suite ; substituant aussi la limite b^on
comptera le nombre^ des changementsde signe delà suite que donne

loo UVRE PREMIER.

cette seconde substitution; et la différence h — k fera connaître com-
bien on doit chercher 3e racines entre les deux limites proposées.
Nous avons démontré que cette différence h — k ne peut pas être
négative ; elle peut être nulle , ou égale à^ i , a , 3 , 4 9 etc.

Si elle est nulle, il est impossible que l'équation X = o ait aucune
racine réelle entre les limites a et b. En effet s'il existai^ dans cet
intervalle une racine réelle telle que a, qui rendît nulle la fonc-
tion X , il serait nécessaire que la quantité substituée au lieu de x
passant par degrés infiniment petits de la valeur a â la valeur b fit
disparaître au moins un changement de signes; et comme ceux de
ces changements qui ont disparu ne peuvent point être rétablis ,
la suite donnée par la substitution de b aurait moins de change-
ments de signes que celle qui provient de la substitution de a, ce
qui est contre l'hypothèse.

Si la différence h — ^ est i , l'équation a une racine réelle entre
a ^tb: car un seul changement de signe ne peut disparaître que
par la substitution d'une valeur qui rend nulle la fonction X. Et
il ne peut y avoir plus d'une racine réelle entre les mêmes limites
a et b : car dans ce cas la suite aurait perdu plus d'un changemeni
de signe.

Si la différence h — k est 2 , l'équation X == o peut avoir deux
racines réelles entre les limites a eXb : mais il peut arriver aussi
qu'il n'y ait aucune racine réelle dans cet intervalle. Gela aurait
lieu s'il existait un certain nombre ^^ plus grand que a et moindre
que b, qui, étant substitué dans la suite des fonctions, fit dispa-
raître à la fois deux changements de signe sans rendre nulle la
fonction X. Il est d'ailleurs certain que dans ce cas l'équation ne
peut avoir plus de deux racines réelles dans l'intervalle des limites
a et b : car, si «cela était , la suite aurait perdu plus de deux chan-
gements de signe , ce qui est contre l'hypothèse.

Dans tous les cas, l'équation X=o ne peut pas avoir plus de
racines réelles entre les limites a et b qu'il n'y a dunités dans la
différence h — k des nombres de changements de signe comptés

SÉPARATION DES RACINES. loi

dans les deux suites (a) et (b). Nous désignons ainsi les suites des

résultats de la substitution de a ou de b.

*

Si ce reste h — k est un nombre impair, il y a au moins une
racine réelle entre les limites a et b.

Si le reste h — k est un nombre pair , l'équation X = o peut
n'avoir aucune racine réelle entre a et b. En général si le nombre des
racines réelles comprises entre a etb n'est pas égal au reste h — k,
il ne peut en différer que d'un nombre pair A, et dans ce cas l'équa-
tion X = o a au moins autant de racines imaginaires qu'il y a
d'unités dans la différence A.

(9) Le théorème connu sous le nom de règle de Descartes, et
•dont le sejis général est depuis long-temps fixé , est un corollaire
de la proposition précédente. Il suffit de choisir pour Tes deux
limités a et b les quantités — ^ ©t o, ou o et 4- ^. En effet si Ion
substitue là valeur b au lieu de x dans les fonctions X^*^ , X^"~*^ . . .
X", X', X,- les signes de la suite des résultats sont évidemment les

mêmes que les signes des coefficients i , a, , a, , a^ de la

proposée. Donc pour connaître au moyen de la proposition pré-
cédente combien il peut y avoir de racines entre — 7 et o , ou
entre o et | , il faut marquer combien la suite des signes des coef-
ficients, e'est-à-dire celle que donne la substitution de o dans la
série des fonctions, contient de changements de signe, afin de la
comparer à la suite que donne la substitution de — ^, et à celle que
donne la substitution de -h.^. Or la suite ( — ^) contient un nombre
m de changements de signes , et la suite (+7) n'en contient aucun.
Donc l'équation proposée ne peut pas avoir plus de racines réelles
négatives qu'il n'y a de permanences de signes dans la suite des
coefficients, et cette équation ne peut pas avoir plus de racines
réelles positives que la suite des coefficients n'a de changements
de signe.

(10) L'application dç la proposition générale fait connaître clai-
rement les intervalles dans lesquels les rs^cines doivent être cher-
chées. Si deux limites a etb sont telles que les suites (a) et (6) aient
le même nombre de changements de signe , il est impossible qu'il

I. 14

loa LIVRE PREMIER-

se trouve aucune racine entre ces limites. Par conséquent toute
méthode de résolution qui conduirait à substituer au lieu de x des
nombres compris entre de telles limites serait par cela même très-
mparfaite, puisqu'elle exigerait un grand nombre d'opérations
superflues. Il est évident qu'on ne doit chercher de racines que
lans quelques intervalles, savoir ceux où le théorème précédent
udique qu'elles peuvent exister.

Avant de procéder à l'application de ce théorème , il est néces*
aire de s'arrêter à une remarque importante concernant les sub-
titutions qui rendent nulles une ou plusieurs des fonctions inter-
iiédiaires.

(il) I^orsqu'on a trouvé deux suites de résultats en substituant
es limites proposées aet b dans les fonctipns y ^"^ (x) ,/" ^""'^ (^) j • • •
f"{x)^f\x)^f(x)j il arrive fréquemment qu'un ou plusieurs de
ces résultats sont nuls. Il s'agit de connaître quels signes on doit
attribuer aux quantités qui s'évanouissent , et comment il faut
compter le nombre de changements de signe.

Nous considérons dans ce cas deux valeurs infiniment peu diffé-
rentes du nombre a qui est substitué, et ces valeurs sont ainsi in-
liquées : a — da, a + da, ou <a, >a. Chacune de ces valeurs
onnera maintenant le signe + ou le signe — ^ et non un résul-
tat nul.
Par exemple, si la suite qui provient de la substitution de a est

+ +000 o — ooo l-o+ooooo — ,

>
on trouvera

+ 4- + 4-+ 4-^ 1- + + + + + + + —

>our la suite que donne la substitution de la quantité désignée
)ar > a. Pour former cette seconde suite on procède de gauche
I droite, et lorsqu'on trouve dans la première suite un signe qui
l'est point o , on écrit ce même signe au-dessous dans la seconde
mite. Mais lorsqu'on arrive à un signe o de la première suite, on
e remplace dans la seconde par un signe semblable à celui que Ton
jient d'écrire à gauche dans cette seconde suite.

SÉPARATION DES RACINES. io3

Pour former la suite qui répond à la quantité < a , on procède
aussi de gauche à droite, et lorsqu'on trouve un signe qui n'est
point o dans la suite donnée par la substitution de a, on repète
ce même signe au-dessus. Mais lorsqu'on arrive à un signe o de
la suite donnée, on le remplace dans la suite supérieure par un
signe contraire à celui qu'on virent d'écrire à gauche dans cette
suite supérieure. Nous avons démontré dans l'article 3 les deux
règles que l'on vient de rappeler. Si, dans l'exemple cité, on rap-
proche les trois suites , on a la table suivante :
»

(<a) ...H k-'-7'\ 1 1 1 1 1 1

(a) ...H-oooo — ooo ho + ooooo —

(>a)... + + -h+H h-h + H-H- + 4-H .

Ayant ainsi remplacé la suite (a) par deux autres, on se servira
de la suite (>> à) lorsqu'on aura à comparer la limite a à une limite
plus grande b. Mais si Ton doit comparer la limite a à une limite
b' moindre que a^ on remplacera la suite (a) par la suite (< à). On
appliquera cette règle du double signe toutes les fois que la substi-
tution d'une limite quelconque donnera un ou plusieurs résultats
nuls, en sorte que dans aucun cas les suites comparées ne contien-
dront de signes zéro.

Il arrive le plus souvent que les deux suites (< a) et (>a) ne
contiennent pas le même nombre de changements de signe. Le
nombre h des changements de signe de la suite supérieure (< a)
ne peut pas être moindre que le nombre k des changements dt
signe de la suite inférieure, et si h surpasse k, ce qui arrive néces-
sairement lorsque deux ou plus de deux termes consécutifs s'éva-
nouissent, la différence h — k est un nombre pair A. Dans ce cas
l'équation proposéey(a?) = o a un pareil nombre de racines imagi-
naires, indépendamment des racines qui pourraient manquer en
d'autres intervalles.

Dans l'exemple précédent la suite inférieure a quatorze chan-
gements de signes de moins que la suite supérieure : l'équation
f{x) = o aurait donc, pour cette seule cause, quatorze racines ima-

i4.

io4 UVRE PREMIER.

■

ginaires. Ces racines manqaent à 1 équation dans l'intervalle infi-
niment petit compris entre a — da et a+da.

{\ïà) Les propositions qui ont été démentîmes jusqu'ici donnent
un moyen facile de distinguer les seuls intervalles dans lesquels
les racines doivent être cherchées. Nous citerons divers exemples
de l'application de ces théorèmes. Ij^ premier exemple est oelui de
1 équation

a? — 3ar* — a4«^ + 95a:* — 46^ — loi =o.

On a pour la suite des fonctions

X a^ — 3a:*— ^a^ + ^bx^ — 46ar — loi

X\. . . .5ar* — i^oc^ — 7^0:" -f- 190^7 ^ 46
X". . . .^oa^ — 36a?" — i44«^' + ^90
X'". . . .60a:* — 72X — 144
X*'. . . . 120 a; — 72
X\ . . . . 1 20.

Si Ton substitue au Heu de x les nombres .,. — 10, — 1,0,1,
10, . . . , et si Ton écrit les signes des fonctions

X^ X'^X'X" X' X,
on trouve

(—10) + 1 1

(-1) + - + _ + +

(o) + +

(1) + 4- h+ —

(10) + 4. 4- + 4.

En comparant la suite des signes qui provient de la substitution
ou de — 10 à celle qui provient de la substitution de -+- 10, on
voit que la première suite ( — 10) a cinq changements de signes et
que la suite (10) na aucun changement de signes : donc 1 équa-
tion ne peut avoir de racine que dans cet intervalle de — 10 à -h 10.
En comparant les deux suites (— 10) et( — i), on conclut qu'une

SEPARATION DES RACINES. ro5

des racines réelles existe dans cet intervalle ; car la seconde suite

*

n'a que quatre changements de signe, et la première en a cinq.
Les deux suites ( — i) et (o) étant comparées de la même manière,
on voit qu'il existfe une seconde racine réelle dans cet intervalle ;
car le nombre des* changements de signe de la première suite sur-
passe d'une unité le nombre des changements der signe de la seconde.
L'intervalle suivait de o à v ne peut contenir aucune racine ; car
la suite (o) à trois changements de signe, et la suite (i) en a un
pareil nombre. Quant à Tintervalle compris entre i et lo , on trouve
dans la première suite (i) .trois changements de signe, et la seconde
(lo) n'en a aucun. Donc on doit chercher trois racines entre i
et lo : l'une de ces racines est réelle, et l'on ignore jusqu'ici si les
deux autres sont réelles, ou si elles manquent dans l'intervalle.

Les seuls intervalles dansjesquels on doit chercher les racines
sont donc celui de — lo à — i , celui de — i à o, et celui de i
à lo. Dans chacun des deux premiers il se trouve une racine réelle
entièrement séparée des autres; et dans le troisième, savoir entre i
et lo, il existe aussi une racine réelle, mais il reste à découvrir
si les deux autres racines indiquées dans cet intervalle sont réelles
ou imaginaires: nous résoudrons bientôt cette question. Il serait
entièreoiént inutile de chercher dés racines dé la proposée dans
d'autres intervalle& que oeeuît qui viennent d'être désignés.

(i3) Soit réquiation proposée

x^ — 4^-^3jc + a3 = o.

La suite des fonctions est

X X* — 4^ — 3xH-a3

X'. ... .4^' — ^^^* — 3

X'" . . . .2^X- ^4
X''....24.

Si Ton substitue les nombres o, i , 10, et si Ton marque les signes

io6 LIVRE PREMIER.

des résultats dans les fonctions

X" X'" X" X' X ,
on trouve

«o)...

(o)...

(>o)...

«!)...

( I ).-.

(>!)...

(.0)...

O

Dans cet exemple la substitution de o au lieu de x fait évanouir
la fonction X": il faut donc employer la règle du double signe.
Elle montre que dans la suite supérieure (<o) on doit écrire le
signe + au-dessus du signe o , et que dans la suite inférieure on
doit écrire le signe -^^ Si actuellement on compare les deux suites
(<o)et (>o), on trouve quatre changements de signe dans la
première, et seulement deux dans la seconde. Donc l'équation a
deux racines imaginaires qui manquent dans l'intervalle infiniment
petit de < o à > o.

La substitution du nombre i fait évanouir la fonction intermé*
diaire X''', et en appliquant de nouveau la règle du double signe,'
on voit que le signe o de la suite intermédiaire (1) doit être rem-
placé par — dans la suite supérieure (< i), et par + dans la suite
inférieure (> i). Si maintenant on compare les deux suites (<i)
et (> i), on y trouve le même nombre de changements de signe :
donc il ne manque point de racine dans l'intervalle de < i à > i .
Cette substitution du nombre i , qui rend nulle une des fonctions
intermédiaires, conserve le nombre de changements de signes. Il
ïien est pas de même de la substitution de o , qui , faisant dispa-
raître deux changements de signe , montre que l'équation manque
de deux racines, dans l'intervalle de <[o à >o.

Pour comparer la suite des signes que donne la substitution de
o à celle que donne la substitution de 1 , il faut employer les suites

SÉPARATION DES RACINES. 107

(> o) et (< 1) : mais pour comparer la suite que donne la substi-
titution de i à celle que donne la substitution de 10, il faut em-
ployer les suites (> i) et (10). La comparaison des suites (>o)
et (< 1) montre qu'il ne peut y avoir aucune racine entre o et 1 ;
car les deux suites ont le même nombre de changements de sign#.
lia comparaison des suites (>i) et (10) montre que l'on doit
chercher deux racines dans Tin tervalle de 1 à 10; car la seconde
suite n'a aucun changement de signe et la première en a deux.
L'équation proposée a donc deux racines imaginaires , et les deux
autres racines ne peuvent exister que dans l'intervalle de i à i o.
Il restera à découvrir si elles sont réelles ou si elles manquent dans
cet intervalle, ce que nous examinerons ultérieurement.
(i4) L'équation

a^ + !ÀX^ — 3a: 4- 2=0

donne les résultats suivants :

X =j:?^4-2a:* — 3a?+2
X'=3^* + 4^— 3

X" = 6j? + 4

X'"= 6 ,
et

X'" X" X' X

( — lo), . . . + — + —

(— i) H h

(o) + + — +

(i ) + 4- + +.

La comparaison des suites ( — 10) et ( — i) montre que l'équation
a une racine réelle entre — i o et — i , et qu'il ne peut y en avoir -
plus d'une dans cet intervalle. Car la première suite a trois chan-
gements de signes et la seconde en a deux seulement.

On voit aussi en comparant les suites ( — i) et (o) que l'on ne doit
chercher aucune racine entre — i et o ; car les deux suites ont le
même nombre de changements de signe , savoir deux.

io8 LIVRE PREIVUER.

Quant à Tiatervalle suivant de o à c , on doit y chercher deux
racines , parpe que la suite que donne la substitution de o au lieu
de or a deux chang;ements de signes , et que la suite qui répond à
c n a plus aucun changement. Il reste à connaître si ees deux ra-
cines indiquées entre o et i sont réelles, ou si elles manquent dans
Tintervalle.

( 1 5) Si réquatian proposée est

x" 4-a:*-har' — 25a; — 36 = o,
on aura cette suite de fonctions,

X
X'

X":
X'"

X"
X

z^xf" + ^a? + aa: — aS

r 60 a:" + 24^
= 1200:+ 24
= lao;

et substituant les nombres

on trouve

10

etc.

o
I

, 10, etc.

X^ X'^ X"' X" X' X

(—10)..

(— l)..

«o)..

(o) ..

o) . •

( 10) ..

4- -f- o "f- — • —

+ + +

+ -h

On conclut de La comparaison de ces résultats

1" Que toutes les racines doivent être cherdiées dans Tintervalle

SÉPARATION DES RACINES. 109

de — 10 à 4- 10, puisque Tune des suites a cinq changements de
signe y et que l'autre nen a aucun ;

2^ que deux de ces racines doivent être cherchées entre — lo
et — i , parce que la première suite a cinq changements de signe
et que la seconde en a trois seulement, mais qu'il reste à dé-
<x)uvrir si ces deux racines existent en etTet, ou si elles sont ima-
ginaires ;

3® que la suite (< o) ayant deux changements de plus que la
suite (>o), I équation a deux racines imaginaires qui manquent
en cet intervalle infiniment petit;

4® qu'il ne peut y avoir aucune racine entre — i et o, parce que
les suites ( — i) et (<o) ont l'une et l'antre trois changements de
signes ;

5^ qu'il ne peut y avoir aucune racine entre o et i , parce que
les suites (> o) et (i) ont l'une et l'autre un changement de signe;

6** que l'équation a une racine réelle entre i et lo^ parce que la
seconde suite a un changement de moins que la première : cette
racine est entièrement séparée,

(16) Lorsqu'on applique la proposition énoncée à la fin de l'ar-
ticle 1 1 aux équations binômes de la forme

^ + a^ = o ,
ou à celles qui manquent de plusieurs termes consécutifs , comme

on connaît immédiatement, par l'emploi de la règle du double signe,
le nombre des racines imaginaires qui proviennent de l'omission
des termes. Si Jes équations sont binômes, la substitution de o au
lieu de x dans la suite des fonctions

i5

no UVRE PREMIER.

donne les résultats suivants :

«o)...

+

—

+

— ... + a„

(o) ...

+

o

o

o . . . o + a^

(>o)...

-H

-h

+

+ . . . + fl„.

Lorsque le nombre m est pair, et le coefficient a. positif, la
suite (<o) n'a que des changements de signes, et la suite (>o)
nen a aucun : ainsi toutes les racines sont imaginaires. Leur nombre
est m. Mais si le degré m étant pair, le coefficient a. est négatif, l'équa-
tion manque d'un nombre m — 2 de racines dans l'intervalle in6-
niment petit de < o à > o. Elle a une racine réelle entre — 7 et o,
et une autre racine réelle entre o et ^.

Si le degré m est impair , on conclut à l'inspection des suites que
l'équation a un nombre m — i de racines imaginaires, et une seule
racine réelle dont le signe est contraire à celui de a^.

Quant aux équations telles que

jT + a,a:*""' -h a, = o

qui manquent de plusieurs termes consécutifs, on reconnaît par
la même règle qu'elles ont nécessairement, à raison de cette omis-
sion, des racines imaginaires, et l'on en détermine le nombre comriie
il suit. Lorsque , entre deux termes subsistants , il manque dans
l'équation un nombre i +n de termes consécutifs , le nombre des
racines imaginaires qui proviennent de cette seule cause est n ou
/î + 2; savoir n lorsque les deux termes subsistants entre lesquels
manquent les termes consécutifs ont le même signe, et n H- a lorsque
ces deux termes sont de signes différents.

Par exemple on voit immédiatement que l'équation

x" + x+ 1=0

a quatre racines imaginaires, parce qu'il manque trois termes con-
sécutifs entre les termes x" et x qui ont le même signe.

SÉPARATION DES RACINES. 1 1 1

Les conséquences que nous venons d'énoncer sont trop faciles
à déduire de la proposition citée dans l'article 1 1 pour qu'il soit
nécessaire de les développer ; et d'ailleurs elles sont pour la plupart
connues, et on les démontre aisément par d'autres principes.

(17) En appliquant la même analyse à l'équation

' — txa? — 3 a:* + 4^ — 5a?+6 = o,

on trouve

0?

X =

X' :

X":

X^V
X':
X-:

x'^ — ^x^ — 3a?^ + 4^ — 5a; + 6
'j jf — 10 xf" — 9a:'-f-8a? — 5

4^^* —

aïoa;*-
84oar'^
aôaoo:*
5o4oâ;
5o4o ,

400:^ — i8aî-
-120X? — 18
-a4oa?
~a4o

8

' f 1 •" «

et l'on forme cette table

X"' X" X' X" X'" X" X' X

(-10)
(-1)

«o)

(o)

(>o)

(O
(10)

+ +

1' En comparant les deux suites ( — 16) et ( — i), on voit que la
seconde a seulement un changement de signe de moins que la pre-
mière. Donc l'équation a une seule racine réelle entre les limites
— 10 et — I.

*a La substitution de o au lieu de x donne plusieurs résultats
nuls. On formera donc les deux suites (< o) et (> o) ; et l'on voit t

i5.

112 LIVRE PREMIER.

en comparant ces suites que Tune a six changements de signe et
l'autre quatre. Donc l'équation a deux, racines imaginaires qui man-
quent en cet intervalle.

S"" Les suites ( — i) et (< o) étant oom parées , on connaît que
l'équation ne peut avoir aucune racine réelle entre — £ et o.

4** Les suites (>o) et (i) étant comparées, on connaît qu'il ne
peut pas y avoir phis de deux racines réelles entre o et i. H
restera à distinguer si ces racines existent en effet, ou si elles man-
quent dans cet intervalle.

5* On conclut à l'inspection des deux suites (i)et (lo) que Ton
doit chercher deux racines entre les limites i et lo.

Ainsi les seuls intervalles dan& lesquels on ait à chercher les ra-
cines de la proposée sont celui, dé — lo à — i , où il existe certai-
nement une seule racine réelle ; celui de o à i , où l'on ne peut
trouver plus de deux racines réelles ; et celui de t à i o où l'on doit
aussi chercher deux racines. On est a'ssuré d'ailleurs que l'équation
a deux racines imaginaires; elles manquent dans l'intervalle infi-
niment petit de < o à > o.

(i8) Nous citerons, encpre^devrx exemples du procédé qu'il faut
suivre pour distinguer facilement 1^ intervalles où les racines doi-
vent être cherchées.

Le premier est celui de l'équation

On a

a^ -h 3x^ -^ 7,x^ — 3^' — a a? — a = o.

X . . .a^ + '6ûc^ -¥ ax^ — 3j:* — a:r— a
X' . . . 5^+ lajr' + Ga:' — &x — a
X" . . . aoa;i'H-36a?'+ lax— 6
X" . . . 6oîr' + ']2x+ la
X'"" . . . iaoa?H- 72
X"" . . . I ao ;

et substituant les nombres — i , o, i , 10, on trouve

SEPARATION DES RACINES.

ii3

X' X" X'" X" X' X

(«-0
(-0.

(o)

(O

(lo)

— + —

— -I- —

+ +
+ +
+ +

+ +.

On voit à l'inspectiori de ces suites

1° que la proposée ne peut avoir aucune racine au-dessous de
— I , puisque la suite « — i) a cinq changements de signe ;

9.' qu'il manque deux racines dans l'intervalle dont les limites
sont <; — I et > — i , puisque la limite < — i répond à cinq chan-
gements de signe, et qu'il y a seulement trois changements de signe
dans la suite (>-r-i);

3° que Von doit chercher deux racines eïitre — i et o , car la
suite (> — i) a trois changements de signe, et la suite o en a seu-
lement un;

4** qu'il ne peut y avoir aucune racine entre o et i , car les deux
suites (o) et (i) cet le. même nombre -de changements cle signes,
savoir un ;

5"* qœ réqustiovi a une: seule racine réelle entre i et lo, car la
suite (lo) a un seul changement de moins que la suite (i).

' ( 1 9) Le second exemple efst eelut de l'équation

On a

a^-

-looî'-j- 6x+ i 0.

X =

= x^ — 10 a^ +-6x + I

X' =

= 5x* — 3oa;* + 6

X".=

zf^oa^ — 60 a;

X"'=

= 60 or' — 60

X"=

X =

= iao.

ii4

LIVRE PREMIER

et l'on, forme la table suivante :

(

(—10)-.

(-0 ..

(>-I>.

«o) ..

(o) ..

(>o) ..

«0 ••

(I) ..

oo ••

(lo) ..

X' X" X" X" X' X

+ — -♦- — + —

o — o

+

4- + o — — —

+ +.

On conclut

des suites ( — lo) et « — i ), qu'il y a une seule racine réelle
entre — lo et i;

des suites (> — i) et (< o)^ que Ton doit chercher deux racines
entre ~ i et o;

des suites (>o) et « i), que l'équation a une racine réelle et
seule entre o et i ;

des suites (> i) et (lo), que l'on doit chercher deux racines entre
I et lo. ,

(âo) n serait inutile de multiplier ces applications : nous les
avons choisies telles qu'elles offrissent un assez grand nombre de
cas différents.

Il est évident que ce procédé fait connaître sans aucune incerti-
tude les lieux des racines, c'est-à-dire les limites entre lesquelles
on doit les chercher : mais il ne détermine pas toujours la nature
de ces racines. On voit au contraire que si l'application du théo-
rème indique un nombre pair de racines dans un intervalle donnée
il peut arriver que toutes ces racines soient imaginaires. Nous
avons donc une seconde question à résoudre , celle qui a pour objet

SÉPARATION DES RACINES. 1 1 5

de découvrir la nature des racines indiquées. Nous donnerons par
la suite une solution complète de cette Seconde question: elle est
fort différente de la première que nous ayons traitée jusqu'ici, et
qui avait pour objet de désigner les seuls intervalles où Ton doit
chercher les racines.

Il faut se représenter que Ion a divisé en une multitude d'inter-^
valles la différence de deux valeurs attribuées à o;^ et dont. l'une
est au-dessous de o à une très^grande distance , et l'autre au-dessus
de o à une très-grande distance. Chacun de ces intervalles partiels
a deux limites a et h. Or ces intervalles sont de deux sortes.

I "" Ceux dans lesquels on ne doit chercher aucune des racines de
l'équation. On reconnaît ces intervalles au caractère suivant : qu'en
substituant leurs limites a et ^ dans la suite des fonctions y*^'"^ j; ^
/"^•""'^j?,. . •f"{x)jf'{x)yf{x)^ ce qui donne deux séries de résul-
tats , la seconde suite a autant de changements de signe que la
première.

a** Les intervalles dans lesquels on doit procéder à la recherche
des racines'. On reconnaît ces intervalles au caractère suivant :
qu en substituant les limites a et ^ dans la série des fonctions , la
suite donnée par la substitution de la plus grande limite b a moins
de changements de signe que là suite donnée par la substitution de a.

Les premiers intervalles sont exclus , et leur étendue totale est
incomparablement plus grande que celle des autres* A l'égard des
seconds intervalles , ils sont eux-mêmes de deux espèces différentes :
savoir ceux où les racines existent en effet , et ceux où les racines
manquent. Il nous reste à expliquer clairement cette distinction, et
à donner des règles certaines et d'une application facile pour dis-
tinguer ces deux espèces d'intervalles.

fa i) La question se présente, par exemple, dans l'analyse de l'équa-
tion o?' — 3^:^ — 24^-^95 a?* — ^()x — 101=0, citée art. la. Le théo-
rème général indique que l'on doit chercher trois racines entre les li-
mites 1 et 10. On pourrait diviser cet intervalle en deux parties, en
substituant dans la série des fonctions un nombre c plus grand que i
et moindre que 10; et l'on appliquerait les règles précédentes aux

1 1 LIVRE PREMIER

intervalles {partiels t et c, et e et lo. Or en continuant ainsi de
substituer des nombres intermédiaires, et de diviser les inter*
valles , on parviendrait à séparer les trois racines , si elles sont toutes
réelles, et Ion connaîtrait pour chacune d'elles un intervalle oii
elle est seule comprise , ce qui est le but de la recherche. Mais si
deux des racines cherchées sont imaginaires, la subdivision de Tin-
tervalle n aura aucun terme, et Ton ignorera toujours si la séparation
des racines est impossible, parce qu'dles sont imaginaires, ou si
elle est seulement retardée, parce que leur différence est extrême-
ment petite.

On nô' peut point résoudre cette difficulté en se bornant à sub-
stituer des valeurs intermédiaires, et à comparer les signes des ré-
sultats : la question exige une règle spéciale. C'est pour cette raison
que la méthode proposée par Rolle, sous le nom de Méthode des
cascades f ne peut servir à la détermination des limites des racines :
car elle manque d'un caractère pour la distinction des racines ima-
ginaires.

La règle d'approximation que l'on doit à Newton ne résoud
point cette question ; elle la suppose résolue. Cette méthode new-
Ionienne est un des éléments les plus précieux de l'analyse parce
qu'elle s'étend à toutes les branches du calcul ; mais elle n'a [>oint
|>our objet de distinguer les racines imaginaires. C'est pour y
]>arvenir que Lagrange et Waring ont proposé de rechercher la
plus petite différence des racines de l'équation , ou une quantité
moindre que cette plus petite différence. Considérée sous le rap-
port théorique, la solution est exacte. En effet si l'on était parvenu
à connaître que la différence des racines réelles qui diffèrent le
moins est plus petite qu'une certaine quantité A , il suffirait de sub*
stituer pour la variable œ des nombres consécutifs dont la diffé-
rence serait â , ou moindre que A« On serait assuré de distinguer
ainsi toutes les racines ; et si l'on n'en trouvait pas autant qu'il y a
d unités dans le degré m de la proposée , celles que l'on ne sépa-
rerait point par ces substitutions seraient en nombre pair, égal
au nombre des racines imaginaires de la proposée. Mais il est facile

SÉPARATION DES RACINES. 117

de juger qu'on ne peut point admettre une telle méthode de réso-
lution. En effet 1^ le calcul qui ferait connaître cette valeur de la
limite A est impraticable pour les équations d'un degré un peu élevé ;
2® on effectuerait des substitutions dans des intervalles où le théo-
rème général, art. 7, prouve qu'il ne peut y avoir aucune racine. Il
faudrait donc appliquer d'abord ce théorème , et ne faire des substi-
tutions que dans les intervalles où les racines doivent être cher-
chées. Cette opération diminuerait la longueur du calcul , mais elle
ne dispenserait pas de trouver la valeur de A , ce qui est la diffi*
culte principale. Il était donc nécessaire de traiter par d'autres
principes cette question très-importante qui a pour objet de re-
connaitre avec certitude la nature des racines. Je suis parvenu
depuis Ion g -temps à ia résoudre par des procédés dont l'applica-
tion est prompte et facile. La solution que nous allons exposer dans
les articles suivants a été donnée autrefois dans les cours de l'Ecole
Polytechnique de France; elle est la plus claire et la plus simple de
toutes celles que j'ai pu découvrir pour cet objet. Il s'agit ici d'un
élément essentiel , et que l'on a pu regardei^ comme le point le plus

difficile de toute la théorie : nous avons dû nous attacher à l'éclaircir
entièrement. Il ne suffisait pas de donner le principe analytique
dont nous avons déduit autrefois la solution : il est préférable de
rendre les conséquences très-sensibles par l'emploi des construc-
tions^ Rien n'est plus propre à montrer distinctement la nature de la
question. Nous rapporterons ensuite plusieurs exemples de la règle
générale qui sert à la résoudre.

(22) On suppose qu'après avoir substitué deux nombres a et b,
dont b est le plus grand , dans la suite des fonctions

*

/(-)(a;),/(-')(a;). . . /'" (ce) , /" (a:) , /' (x) , f(x),

il arrive que la suite (a) des signes des résultats , c'est-à-dire celle
qui provient de la substitution de a, diffère de la suite (è) en ce
que la seconde contient deux changements de signes de moins que
la première. Par exemple la suite (a) est terminée par les trois
I. 16

ii8 LIVRE PREMIER,

signes

et la suite (è) par ceux-ci

Nous supposons aussi que dans toutes les parties de ces deux suites
qui sont placées à la gauche des trois signes que Ton vient d'écrire,
chaque signe de la suite (a) est le même que le signe correspon-
dant de la suite (é). On voit que le nombre substitué passant de
la valeur a à la valeur ^^ la suite des signes perd deux changements.
Il suit donc du théorème précédent, article 7, que lequation
f{x) = o ne peut pas avoir plus de deux racines entre a etb; mais
on ignore si les deux racines indiquées sont réelles ^ ou si elles man-
quent dans cet intervalle : c'est la question qu'il faut résoudre. Or
si dans chacune des deux suites (a) et (b) on omettait le dernier
signe , la première contiendrait seulement un changement de signes
de plus que la seconde. Donc l'équation y^ (a:) = o ne peut avoir
qu'une racine entre a et h, et l'on est assuré que cette racine est
réelle.

De plus , en omettant les deux derniers signes de chacune des
suites (a) et (6), on trouve , par hypothèse , que la première suite n'a
pas plus de changements de signe que la seconde. Donc l'équation
/"(x) = o n'a aucune racine entre aetb; c'est-à-dire qu'il ne peut
y avoir dans cet intervalle aucun nombre qui, mis au lieu de o:^
rende nulle la fluxion du second ordre f"{x).

(^3) Il est facile de représenter par les propriétés des figures les
relations qu'ont entre elles les fonctions f {x) , f (x) , /(x). L'or-
donnée j^ de la courbe mp n (fig. 4 et 5) exprime la valeur que reçoit
la fonction f{x) lorsqu'on donne à la variable x une valeur quel-
conque mesurée par l'abscisse o x. Les limites a el b sont les ab-
scisses o a , o &. L'arc mp n qui répond à cet iatervalle a 6 n'a aucun
point d'inflexion , car la valeur de l'abscisse correspondante à chaque
point d'inflexion est celle qui rend nulle la fluxion du second ordre

SÉPARATION DES RACINEvS. 119

f (oc) , OU 2^ • Ainsi l'arc mp n est exempt de sinuosités , et comme

la valeur àef"{x) est positive aux deux extrémités de Tare, on voit
que cet arc a la forme que la figure indique. Il est concave dans
toute son étendue : sa concavité regarde le haut de la planche. En
un certain point p de cet arc la tangente est parallèle à Taxe des
abscisses. Ce point répond à la valeur de x qui rend nulle la fluxion
du premier ordre y (a:); et l'équation y (a:) = o ayant une seule
racine entre les limites a elb, il n'existe qu'un seul point p où
l'inclinaison soit nulle. Si Ton ajoute à ces conditions que lès or-
données extrêmes y(a) ^tf{h) sont positives , on voit que la partie
de la ligne courbe que l'on considère est celle que représente la
figure 4 ou la figure 5. Dans la première il existe deux points d'in-
tersection a et 6, et les abscisses oa, 06 expriment les valeurs des
deux racines réelles. Dans la seconde figure , l'arc n'atteint pas l'axe
des abscisses ; il n'y a aucun point d'intersection , en sorte que les
deux racines que l'on cherche sont imaginaires. La question con-
siste à distinguer celle des deux constructions qui représente la fonc-
tion proposée dans l'intervalle des limites a et b. Cette question
serait facilement résolue , si l'on connaissait la valeur exacte y de
l'abscisse Oy qui répond au point p oii la tangente est parallèle à
Taxe ; car il sufBrait de substituer cette valeur y dans la fonction
f{x)^ et d'examiner le signe du résultat. Si ce signe est différent de
celui qui est commun aux deux résultatsy(a) etf{b) , il existe deux
points a et ê d'intersection. Mais si le signe de /(y) est le même que
celui àef{a) et/Çb), les deux points d'intersection manquent, et
les racines sont imaginaires.

On pourrait substituer dsLns/(x) au lieu de x une valeur appro-
chée de la racine y de l'équation y (or) = o. Si le résultat de cette
substitution a un signe différent de celui de /"(a) ety(i), on est
assuré que les deux racines sont réelles, et elles se trouvent séparées.
Mais si le signe du résultat est le même que celui de /(a) elf{b) , là
nature des racines demeure incertaine : car on ignore si en sub-
stituant dans/'(ip) une valeur encore plus approchée de y, on ne

16.

lâo IJVRE PREMIER.

trouverait point un signe différent de cdui àef{a) et/(b). Cette
difficulté se présenterait nécessairement toutes les fois que les racines
seraient imaginaires, et elle subsisterait toujours quoique l'inter-
valle des deux limites pût être rendu extrêmement petit.

(24) Pour résoudre cette ambiguité nous considérons que la
seconde construction (fîg. 5) diffère de la première (fig. 4) P^ir ^^
caractère propre que le calcul peut exprimer. En effet concevons
que dans la construction représentée par la fig. 5 on mène par les
points m et n deux tangentes jusqu'à la rencontre de l'axe en a et
b' ; qu'en ces points a et b' on élève des ordonnées am\ V n\ qu'aux
points m et n on mène deux nouvelles tangentes jusqu'à la ren-
contre de l'axe. Il est évident qu'après une ou plusieurs opérations
semblables , il arrivera nécessairement qu'on ne pourra point tracer
ces tangentes successives sans qu'elles finissent par sortir de l'inter-
valle ab ; et la distance du point a à l'intersection de la tangente
et de l'axe, c'est-à-dire la sous-tangente, deviendra certainement
plus grande que l'intervalle ab. Si au contraire l'arc m/i a deux
points d'intersection entre a et 6, comme le représente la figure 4,
la condition qu'on vient d'énoncer n'aura jamais lieu ; dhacune des
sous-tangentes a a , a a\ etc. sera toujours moindre que l'intervalle
ab^ db\e\.Q. Il en sera de même des sous-tan gentessuccessivesèè',
è'è",etc., comparées aux intervalles ba,V a, etc. Dans cette même
construction de la figure 4? si l'on prend les valeurs de deux sous-
tangentes aa! ,bb\ et si on les ajoute sans avoir égard aux signes,
c'est-à-dire en attribuant le signe + à chacune de ces quantités ,
la somme sera toujours moindre que Fintervalle ab des deux limi-
tes. Il en sera de même de toutes les sous-tangentes suivantes : la
somme des deux sous-tangentes portées aux deux extrémités d'un
intervalle quelconque ab\ a!'V\ etc. sera moindre que cet inter-
valle. C'est un caractère distinctif du cas où l'arc mp n a ses deux
points d'intersection.

Nous avons supposé que le point rrî (fig. 4 et fig. 5) répond pré-
cisément à l'extrémité a de la sous-tangente aa\ Les conséquences

SÉPARATION DES RACINES. 121

seraient les mêmes si ce point wl répondait à un point voisin de
a! , et compris entre les points d et a.

(26) On appliquera aisément le calcul à l'énoncé de la proposi-
tion précédente, en se servant de l'expression conïiue de la sous-
tangente hV . Le rapport -^ est égal à celui des deux lignes nh et
h V , d'où Ton conclut

«'=„6:^=/(*):!^,ouW'=A

On aura donc la valeur numérique de la sous- tangente hV en for-
mant le quotient des deux résultats /"(è) tl f\b). On trouvera de
même, abstraction faite du signe, la valeur de la sous -tangente
*aa' en divisant /"(^i) parafa). En général l'expression de l'abscisse
ob\ qui répond à Fintersection V de la tangente nb' et de l'axe,

est X — ji(y En substituant dans cette expression a pour x, et

ensuite b pour x^, le second résultat b — jrrk sera toujours plus

grand que le premier a — jljk ^ si la ligne courbe est celle que re-
présente la figure 4- Cette condition ne peut cesser de subsister que
si la position de l'arc est celle que représente la figure 5; et dans
ce cas il arrive nécessairement , lorsqu'on trace les tangentes suc-
cessives, que la condition cesse d'avoir lieu. Le caractère propre
aux racines réelles est donc ainsi exprimé :

Il s'ensuit que les deux limites aetb étant proposées , et les résultats
/' (a) , f{a) , y {b) , f{b) étant connus , il faudra premièrement , pour
reconnaître la nature des deux racines indiquées, diviser y (a) par
f'{(i)j ^t/{b) psLv/\b). Si l'un des deux quotients, pris abstraction
faite du signe , ou si la somme de ces deux quotients , surpasse ou
égale la différence b — a des deux limites, on est assuré que les-
deux racines ne sont point réelles.

122 LIVRE PREMIER.

Mais si la diflerence h — a des deux limites est plus grande que
la somme des deux quotients , on est averti que la distalice des deux
limites entre lesquelles on cherche les racines n'est pas devenue
assez petite pour qu'on puisse reconnaître la nature de ces racines
au moyen d une seule opération. Il faut diviser l'intervalle ab des
deux limites, en substituant dans /(or) un nombre intermédiaire c
plus grand que a et moindre que b , et marquer le signe du résul-
tat. Lorsque le signe àef{c) n'est pas le même que le signe commun
Aef{a) et/(b) , on connaît que les deux racines sont réelles : l'une
est entre a et c , et l'autre entre c et b. L'intervalle b — a est ainsi
divisé en deux parties dont chacune contient une racine réelle en-
tièrement séparée.

Il arrive le plus souvent qu'un premier examen suffit pour indi-
quer la nature des racines cherchées. On trouve que la somme des

quotients _}, } . , "4^^ surpasse la différence b — a, ou que la sub-
stitution d'un nombre intermédiaire c donne un résultat y (c) dont
le signe diffère de celui qui est commun ^f{à) eX,f{b). Si aucune
de ces deux conditions n'a lieu , il faut conclure que les limites a
et b ne sont point assez approchées pour qu'une seule opération
détermine la nature des racines. Dans ce cas la substitution du
nombre intermédiaire c donne pour le signe àef{c) le signe commun
de y (a) etf(b). Il n'en est pas de même des résultatsy^(a),/^(è)
et f (c) : les deux premiers sont de signes différents , par hypothèse.
Donc un de ces deux résultats /"'(a) ^tf'{b) a le même signe que
f\c)\ l'autre a un signe contraire. Désignons par £^ celle des limites
a et b qui, étant substituée dans/*' (a:), donne un résultat de signe
contraire à celui àef\c). On voit que l'équation /' (ar) = o aura
une racine réelle entre les nouvelles limites c et d; et les deux ra-
cines , dont la nature est encore incertaine , doivent être cherchées
dans l'intervalle de c à c^. On appliquera donc à ce second inter-
valle de c à 6^ la règle qu'on avait appliquée à l'intervalle de a à
by et l'on recherchera la nature de ces racines par un procédé en-
tièrement semblable à celui que nous venons de décrire.

SÉPARATION DES RACINES. ia3

(a6) Il est nécessaire de remarquer que si les deux racines cher-
chées étaient téelles , mais égales , on n'en reconnaîtrait pas la nature
par la règle précédente. Mais on distingue facilement ce cas inter-
médiaire et singulier, puisqu'il suffit de comparer les fonctions /"(or)
ttf{x)j afin de savoir si elles ont un commun diviseur 9(0?) , et si
ce commun diviseur a une racine réelle comprise entre a et h. Liors-
qu'un tel diviseur 9(0?) n'existe pas, ou si l'équation ^{x)=i> n'a
point une racine réelle entre a elb , on parviendra toujours par
le procédé que nous avons décrit, et en continuant l'examen autant
que la forme de la courbe peut l'exiger , à reconnaître que les ra-
cines^cherchées sont imaginaires , ou à les séparer si elles sont réelles.
Dans ce dernier cas ^ l'intervalle a b des deux limites proposées sera
divisé en deux autres, dans chacun desquels se trouve une seule
racine.

(27) Les figures ^elb se rapportent au cas où le signe commun
dey(a)ety(è)est +.Si les deux suites de signes (a) et {b) que l'on
doit comparer , et qui ne différent que par l'avant-dernier signe — ,
sont ainsi terminées.

et

la construction est celle des figures 4' et 5'. L'arc mpn n a aucune
sinuosité, mais seulement un point p oii l'inclinaison est nulle*
Cet arc est convexe dans toute son étendue, parce que le signe
de la fluxion du second ordre est — . Il existe deux points d'inter-
section a et ë si la position de l'arc est celle que représente la fig. 4';
et ces deux points d'intersection manquent à la fois dans l'inter-
valle si la position de l'arc est celle que représente la figure 5'. I^a
règle qu'il faut suivre pour reconnaître si les deux racines cher-
chées sont réelles ou imaginaires est exactement la même que celle
que nous venons d'exposer.

(a8) Nous résumerons comme il suit , l'énoncé de cette règle.
Si après avoir substitué deux limites a et ^ d^ns la suite des fonc^

ia4 LIVRE PREMIER.

tions /^"^ (x) , /^"^'^ (^) • • • /" (^) î/' (^) î /(^) ^ et comparé les signes
des résultats de la suite (a) à ceux des résultats de la suite (é), on
remarque que la seconde suite (b) a deux changements de signes
de moins que la suite (a) , et qu'en omettant les deux derniers signes
de chaque suite , la seconde a autant de changements de signes que
la première, il faut pour juger si les deux racines indiquées sont
réelles, comparer les résultatsy'(a),y(a), et/'(h)^/(b)j abstrac-
tion faite de leurs signes , c'est-à-dire en attribuant à toutes ces

quantités le signe + . Si l'un des deux quotients ^rf\ j frrk > ou si

la somme de ces quotients, surpasse ou égale b — a , on est assuré
que les deux racines cherchées sont imaginaires.

Si la condition précédente n'a pas lieu , en sorte que la somme
des deux quotients soit moindre que la différence b — a, on exa-
minera si les fonctionsy*(a;)ety(j?) ont un facteur commun ç(.r),
et si 1 équation ç (a:) =o a une racine réelle entre a et b. Si ce divi-
seur commun <f{x) existe, et si de plus l'équation f(x) = o a une
racine réelle c comprise entre a et b, l'équation a deux racines
réelles égales à c.

Mais si les deux fonctionsy(^) etf\x) n'ont pas de diviseur com-
mun, ou si ce diviseur 9(3?) existant, l'équation ç(a:)=o n'a pas
une racine réelle entre aetb,ce que l'on connaît facilement par
les principes ci-dessus exposés , il faudra examiner si les deux ra-
cines de réquationy(j:)==o indiquées entre a et b peuvent être
séparées par la substitution d'un nombre intermédiaire c plus grand
que a et moindre que b. On substituera donc un tel nombre c dans
f{x). Si le signe àef{c) n'est pas le n\ême que celui àef{a) etf{b\
les deux racines cherchées sont réelles ; l'une est entre a et c, et
lautre entre c et b. Si au contraire le signe àef{c) est le même que
celui àef{a) etf{b)^ on en concluera que les deux limites a et b
n'étaient pas assez approchées pour que l'on pût connaître par un
premier examen la nature des racines. Choisissant donc celle des
deux limites a et b dont la substitution dans y (^) donne un ré-
sultat de signe contraire à celui àef^c)^ et désignant par d cette

SÉPARATION DES RACINES. laS

limite, on opérera pour FintervaUe compris entre c et d de même
qu'on vient d'opérer pour l'intervalle compris entre a et è. En con-
tinuant ainsi l'emploi de ce procédé, dont la pratique est très-
<»imple, on parviendra par une voie certaine à reconnaître qu'il
^'y a point de racines dans l'intervalle proposé, ou à séparer ces
iracines si elles existent.

(29) Nous appliquerons cette règle à divers exemples , et pre-
mièrement à l'équation

a^ + 2x* — 3x + 2 =0

citée dans l'article i4* On a vu que cette équation a une racine réelle
comprise entre — i o et — . i , et qui se trouve entièrement séparée.
La comparaison des suites qui répondent aux limites b et i indique
que l'on doit chercher les deux autres racines dans cet intervalle;
mais on ignore si ces racines existent en effet, on si elles ^ont ima-
ginaires.

Pour faire usage de la règle précédente , on compare les deux
suites

. /"'(^),/"(^)v/'(^),/(^)

(o). . . + H- — +

3 a

(l)... + 4- + +.

4 a

On écrit au-dessous des deux derniers signes les valeurs numériques
des résultats : car il est nécessaire de considérer ces valeurs pour
connaître la nature des racines. Les suites présentent le cas que
nous avons d'abord examiné, c'est-à-dire que l'équation /*" (oî) = o
ne peut avoir aucune racine entre o et 1, et que l'équation /^(o;) = o
a une seule racine réelle dans cet intervalle. Il s'agit de reconnaître
si l'équation y(a:) = o a deux racines réelles entre ces limites, ou
si les deux racines indiquées sont imaginaires. On écrira confor-
mément à la règle, et abstraction faite des signes, les deux quo-
tients ^TTs et yriÀ 1 savoir ^ et ^ ; et l'on examinera si l'un de ces
quotients, ou si leur somme, surpasse ou égale la difïerence î des

ia6 UVRE PREMIER.

deux limites. Cette conditioii ayant lîea , on est assuré que les deax
racines indiquées sont imaginaires* Aiiksi Féquaticm proposée a une
seule racine réelle entre — lo et «^ i. Elle manque de deux riMânes
dans l'intervalle de o à i .

(3o) Nous choisirons pour seccmd exemple de l'application de
la même règle l'équation

a^ + a:^ + x* — aSx — 36 =

citée dans l'article i5. On a vu que deux racines sont indiquées dans
l'intervalle de — i o à i : il s'agit de reconnaître si les deux racines
sont réelles, ou si elles manqpient entre ces limites. On résoud cette
question en comparant, selon la règle de l'article a8, les deux suites

/"(*),/'H,/H

( — 10).. • 4- — + — -4- —

45955 89686

16 10

Nous avons écrit au-dessous des deux derniers signes de chaque
suite les valeurs numériques des résultats. Les deux suites com-
parées satisfont aux conditions que suppose l'énoncé de la règle.

On examinera donc si l'un de ces quotients ? ^^ et -^ 9 ou si leur

somme, surpasse ou égale la différence 9 des deux limites; et comme
cela n'a pas lieu, on en conclut qu'il faut subdiviser l'intervalle de
— 10 à — I. Mais avant de procéder à la substitution d'un nombre
intermédiaire, on doit examiner si les fonctionsy(x) et/^{x)y ou

a •

"jr' + a:* + w* — !i5x — 36 et Sa:^ + ^x^ + ^x — a5,

ont un diviseur commun, et si ce diviseur a une racine réelle entre
— 10 et — I. Ce diviseur n'existant pas, on substitue au lieu de a?
un nom bre compris entre — 1 o et — i , et exprimé par un seul
chiffre. Si l'on prend -^2 pour ce nombre intermédiaire^ et si Ton
cherche les signes de la suite des résidtats que donne la substitution

SEPARATION DES RAGNES. la;

4e «*• a dans les fonctions

on trouve

( — lo)... + — + — + —
{—a)... + — + — + +

X)n compte cinq changements de signe dans la suite ( — lo), quatre
dans la suite (^--â) et trois dans la suite ( — i). Par conséquent la
substitution du nombre intermédiaire a séparé les racines indi-
quées. Elles sont donc réelles : Tune est entre — i o et — a , et Vautre *
'&itFe — a et — I.

Ainsi l'opération qui a pour objet de déterminer la nature et
les limites des racines , est achevée. L'équation a deux racines ima-
ginaires et trois racines réelles: l'une est comprise entre — lo et
— a , la seconde entre — d et — i , et la troisième entre i et i o.

(3i) Nous avons supposé jusqu'ici que les deux suites comparées
sont telles i^ que la seconde a seulement deux changements de
signes de moins que la première, et a® qu'en omettant les deux
derniers signes, les deux suites ont le même nombre de changements
de signes. Mais la succession des signes dans les deux suites est sus-
c^tibled'un très-grand nombre de combinaisons, et le nombre des
racines indiquées peut être plus grand que â. Il nous reste à mon-
trer que , dans tous les cas possibles , l'apfrfication de k même règle
suffit pour distinguer facilement les racines imaginaires. Cette dis-
tinction s'opère par la comparaison des résultats que donne la sub-
stitution des limites a et b dans les fonctions

/c.)(:c),/(—)(a:), /(-«)(*), . . . /"(:r),/'(;r),/(x).
Ces résultats sont

On comptera dans la première suite combien il se trouve cle chan-

17-

ia8 LIVRE PREMIER.

gements de signes depuis le premier terme /^"^ (a) jusqu'au second,
au troisième , au quatrième ^ etc. , en procédant de gauche à droite.
^ On marquera au-dessus de chaque terme, tel que/*^""'^ (a), le nombre
h de changements de signes contenus dans la suite jusqu'au terme
/"^""'^(a), en y comprenant ce terme. On désignera de la même ma-
nière dans la seconde suite combien il se trouve de changements
de signes depuis le premier terme jusqu'à mi terme quelconque
y(""^(é). Soit k le nombre de changements comptés dans la seconde
suite jusqu'à ce termey^*'~*^(^). On prendra la différence h — k
des deux nombres correspondants marqués dans l'une et l'autre
suites, et l'on écrira entre les deux termes cette difTérence, que
nous désignons par i^ et qui ne peut jamais être négative (art. 7).
On forme ainsi à l'inspection des deux suites une série à* indices.
placés entre les termes de ces suites.

(3a) Par exemple si les signes des résultats dans les suites com^
parées sont tels que les représente la table suivante ,

/(-)(^),yçj,>T4/ô?)»/"Si A4/("3, . . ' 'f\^)j"{x)j\x\f{x\

o I 1 % 9' 3 3445 66 7 89

(a) i- — -h + + — — +H h -h — -I- —

O O I I 12 iaa34 3 4 4^

o I I I I I ai9»a3 3 44

la série des indices formée selon la règle {précédente sera

ooi I iaiaa34 344 5*
Nous désignons en général cette série par

o & 4' r r A.

Le dernier indice A montre que l'équation proposée f{x) == o ne
peut pas avoir entre les limites a et b plus de racmes réelles qu'il
n'y a d unités dans A. En général un indice quelconque i qui cor-
respond à la fonction^ ^"^ (or) fait connaître que l'équationy^"^ (j?) = o
ne peut pas avoir entre les limites a et & un nombre de racines

SÉPARATION DES RACINES. 129

plus grand que i. Ainsi , dans l'exemple cité , l'équation proposée

/^(x) = o ne peut pas avoir entre a et b plus de cinq racines : on

est assuré que l'une de ces racines est réelle. Quant à l'équation

y'(j?)=o, le nombre des racines indiquées est 4: cette équation

ne peut donc avoir entre les mêmes limites a et ^ plus de qiiatre

racines. Il en est de même à l'égard de l'équation f" (œ) = o. Pour

l'équation y" (a?) = o le nombre des racines indiquées est 3 : une

, de ces racines est certainement réelle.

La valeur d'un indice quelconque étant désignée par ^, celle
de l'indice suivant est ^ , ou & — i , ou ^ + 1 : cela est une consé-
quence évidente de la formation de la série. Il est nécessaire d'in-
sister sur cette dernière remarque , parce que nous devons en faire
usage dans la suite de cet ouvrage en traitant des fonctions trans-
cendantes.

(33) Lorsque le dernier indice A est o, l'intervalle des limites a et 6
est , comme nous l'avons dit, un de ceux ou l'on ne peut chercher
aucune racine de la proposée y (a:) = o.

^ Si ce dernier indice A est 1 , l'équation y (a?) = o a une seule ra-
cine réelle entre a et b. Les indices précédents , qui répondent à
J'(po) et/"(x) , peuvent être différents de zéro ou de i ; mais il est
facile de voir qu'en diminuant à volonté l'intervalle de a k b par
la substitution de nombres intermédiaires , on peut faire en sorte
que l'indice pénultième qui répond kf\x) soit o. En effet y(^) et
f (x) n'ont point de diviseur commun ^ (x) qui puisse devenir nul
par la substitution d'un nombre compris entre a et b : car si cela
était, l'équation y*(a;) = o aurait deux racines réelles égales dans
l'intervalle de akb. Or le dernier indice étant i , réquationy(a?)=:o
ne peut pas avoir plus d'une racine réelle a entre a et b. Donc on
peut diminuer et ensuite augmenter la valeur de la racine réelle jus-
qu'à des limites a' et b' , telles que l'équation fXx) = o ne puisse avoir
aucune racine entre ces mêmes limites. Donc pour les limites a' et b'
le dernier indice sera i , et le pénultième zéro.

Les constructions rendent très-sensible la vérité de cette consé-
quence. En effet on est assuré que la ligne dont l'équation est j==/(j^)

i3ô LIVRE PREMIER.

coupe l'axe des abdcisses (%. 6} en un certain point « placé entre
aet b, puisque l'équation /"(or) = o a, par hypothèse, une racine
réelle dans cet intervalle. Or il est évident que, de part et d'autre de
ce point a d'intersection, il existe un intervalle a! b' tel que l'arc
[ta y situé au-dessus de cet intervalle n'a aucun point où l'inclinai-
son de la tangente soit nulle. Il n'y aurait qu'une seule exception ,
celle où, dans le point même d'intersection, l'inclinaison serait
nulle. Mais dans ce cas les deux fonctions/*(jp) et/'{x) s'évanoui-
raient ensemble pour cette valeur k de œ. Par conséquent l'équation
/(ai) = o aurait au moins deux racines réelles ^ales dans l'inter-
valle de a k b. Donc le dernier indice ne serait pas i , comme on
le suppose; il serait au moins a, puisque l'équation y*(x) = o ne
peut avoir [Jus de racines réelles inégales ou égales dans l'inter-
valle des deux limites, qu'il n'y a d'unités dans le dernier indice.

Lorsque l'intervalle des deux limites satisfait à cette condition ,
qui peut toujours être remplie, savoir que le dernier indice est i
et que le pénultième est o , nous disons que la racine rédle com-
prise dans l'intervalle est entièrement séparée; et nous donnons
dans le second livre de cet ouvrage les règles propres à en calculer
la valeur par la voie la plus briève.

(34) Si le dernier indice n'est ni o , ni i , l'intervalle est un de ceux
dans lesquels on doit chercher plusieurs racines. C'est alors seule-
ment qu'il peut devenir nécessaire d'appliquer la règle qui sert à
distinguer les racines imaginaires.

Supposons donc que le dernier indice soit a , ou plus grand que
2 : on f^océdera comme il suit à la séparation des racines.

Ayant formé, comme nous l'avons dit ci-dessus, la série des in-
dices entre les termes correspondants des deux suites {a) et (6),
on parcourra cette série de droite à gauche jusqu'à ce qu'on trouve
pour la première fois l'indice i. Soit/^*^(ar) celle des fonctions de
la suite

/(-)(x), /C-)(ar). . ./<'\x). . ./"(ar),/'(«),/(a:)
qui répond à cet indice. On voit que les racines sont sépaiées jus-

SÉPARATION DES RACINES. i3i

qu'à ce terme, c'est>à-dire qu'en s'arrètant k/^*\x) on est assuré
que réqoatioii/^*^(aî)=o a one seule racine réelle entre a et è. Il
faut maintenant poursuivre cette séparation en sorte que Tindice i
s'approche de plus en plus de l'extrémité de la série à droite , jus-
qu'à ce que le dernier indice A soit l'unité, ce qui est le terme de
l'opération.

L^ndice i auqnd on s'est d'abord arrêté, et qui répond à la fonc-
tion /^^ (x) , est nécessairement suivi à droite de l'indice a. Car nous
avons remarqué plus haut que l'indice ï qui suit l'indice i ne peut
être que ^, on i — i, ou # -f- 1 : donc l'indice i dont il s'agit ne pour-
rait être suivi qne de i , ou o, ou a. Or cet indice suivant n'est
pas I , puisqu'on s'est arrêté au termequè l'on trouve égal à r pour
la première fois. Si l'indice suivant était o ^ il faudrait que cet in-
dice o augmentât daàs la partie ultérieure de la série , puisque sa
dernière valeur est par hypothèse sl , on plus grande que a. Donc
l'indice o augmentant, passerait par la valeur i ; donc l'indice au-
quel on s'est arrêté Ae serait pa^ , comme on le suppose , le premier
terme que l'on trouve égal à i en procédant de droite à gauche.
Ainsi rindice i le plus voisin de l'extrémité à droite est certaine-
ment suivi de a. Ot si ce même indice i n'est pas précédé de zéro,
on peut diminuer l'intervalle des limites a et A , en sorte que cette
dernière condition soit remplie. En effet supposons que les indices
qui répondent aux fonctions ^^*^ («) , /^^"^ {x) étant i et a, celui qui
répond à la fonction précédente y^"^'^ (a?) ne soit pas zéro. On for-
mera dans Fintervalle des limites a et b un intervalle moindre com-
pris entre a' et ^',et dans lequel l'équation y^*'*"^(;r) = o n'ait
aucune racine. Nous avons prouvé précédemment , art. 33, qu'il est
toujours fecile de satisfaire à cette condition. On a donc à consi^
dérer dans l'intervalle des limites données a et b un intervalle par-
tie compris entre les nouvelles limites a^ et ^^ et tel que les in-
dices correspondants aux fonctions y^"^'^ (a?) et/^'\x) soient respec-
tivement o et I. Ainsi l'intervalle primitif de a à 3 se trouve formé
de trois autres , savoir celui de a à a', celui de a! à b\ et celui de
b'kb.

i32 LIVRE PREMIER.

II est manifeste que dans le premier de ces intervalles terminé

I

par les limites a et a, et dans le troisième entre lesUmites^ et b\
l'équation y^"^(a:) = o ne peut avoir aucune racine, puisque la seule
racine réelle entre les limites a et & est placée entre les nouvelles
limites a et b'. Donc pour chacun de ces intervalles extrêmes a et
a\ ou b' et b, l'indice correspondant à la fonction /^"^(a?) serait o.
Il s'ensuit que pour chacun de ces intervalles a et a' y aa b' et b,
la séparation des racines est portée au-delà de la fonction^ ^"^ (x) ;
c'est-à-dire que si dans l'un ou l'autre de ces intervalles partiels, il
existe après l'indice o un indice égal à i , il répond à une fonction
plus avancée que/*^*^ (x) vers la droite. Quant à l'intervalle partiel
dea' k b\ on sait que l'indice qui répond k/^'^Ça:) est i ; et il peut
arriver que le terme i ne soit plus le dernier indice égal à i , en
sorte qu'on y trouverait un autre terme égal à i et plus avancé vers
la droite. Dans ce cas , la séparation des racines est continuée au-
delà de la fonction^ ^"^ (a?). Mais il peut arriver aussi que l'indice i
qui répond k/^'\x) soit encore pour cet intervalle de a' et b' le
terme j le plus voisin de l'extrémité à droite. Dans ce second cas
l'indice i dont il s'agit est suivi de 2 ; par conséquent les indices
correspondants aux fonctions

/T.*.)(^),/(.)(a;),/(-)(a.),

sont

o ï a.

Il résulte de cet examen qu'en divisant l'intervalle primitif des li-
mites a et b, on fait avancei: de plus en plus vers la droite, dans chaque
intervalle partiel, l'indice i le plus voisin de l'extrémité, à moins
que dans certaines parties de l'intervalle on ne vienne à remarquer
que le dernier indice égal à i étant suivi de n est précédé de o. C'est
seulement lorsque cette dernière condition se présente, qu'il con-
vient d'examiner si les racines indiquées sont imaginaires» Dans
tous les autres cas, on doit poursuivre la séparation des racines jus-
qu'à ce que le dernier indice de la série soit i.

(35) Il ne nous reste par conséquent qu'un seul cas à considérer,

\

SÉPARATION DES RACINES. i33

celui pour lequel ou trouve que lé dernier indice égal à i étant suivi
de 2 est précédé de o.

Soit donc un intervalle compris entre deux limites a et ^^ et qui
a les propriétés suivantes.

En comparant la suite {a) des signes qui provieiment de la sub-
stitution de la limite a dans les fonctions

/<-^(^),/f-)(x),/(— ^(^),.:../"(^),/'(x),/(a;)

à la suite {b) que donne la substitution de l'autre limite 6 , et for-
mant par cette comparaison la série des indices , on marque dans
cette série le terme i le plus voisin de l'extrémité à droite , et l'on
voit que ce dernier indice égal à i est précédé de o et suivi de 2.
Ces indices consécutifs

o I â

répondent aux fonctions

/(•^•)(a:),/W(a?),/t-^(ar).

Ainsi réquationy^'^'^(a?)=:o ne peut avoir aucune racine entre a
et b. L'équationy^"^(a:) = o a dans cet intervalle une racine réelle,
et n'en peut avoir qu'une. Quant à l'équation y^*"'^(a?)=:o, elle ne
peut pas avoir entre a etb plus de deux racines réelles. Il s'agit de
reconnaître si ces racines existent , ou si elles manquent entre les
mêmes limites. Dans le premier cas la racine exacte de l'équation
/^">(^) = o étant substituée dans/*^""'^ (^) et dans/^"^'^(a:), donne-
rait deux résultats de signe contraire , et dans le second cas les
résultats des deux substitutions auraient le même signe. La ques-
tion consiste à distinguer lequel de ces deux cas a lieu. Or nous
avons résolu cette question par la règle énoncée dans l'article a8 :
il suffira donc d'appliquer cette règle aux trois fonctions y^"^'^ (a:),
/^■^ ( J?) , /^""'^ (j?) , et aux limites a et b. Si l'on reconnaît que les
deux racines de l'équation ^**'^ {x) = o sont réelles , elles seront
séparées, et l'intervalle des limites a et A se trouvera divisé en deux
autres , pour chacun desquels on aura la série d'indices qui lui est
I. 18

i34 IJVRE PREMIER.

propre. Dan» Tune et l'autre série l'indice i le plus voisin de Tex-
trémité à droite sera porté au-delà de la fonction f^'^ (x).

Mais si Ton reconnaît que réquationy^''~'^(j;)=o ma^c[ue de
deux racines dans Tinteryalle de a k b, on en conclura qu'il en est
de même de toutes les équations suivantes

/(-)(a:) = o, /f-')(^) = o. • ./"(^) = o, /'{x)=o,/(x)=o.

En effet l'équation y^"" "^ [x) = o manque de deux racines parce
qu'il se trouve entre ces mêmes limites une racine réelle 7 de l'équa-
tion /^")(a:)=o qui, substituée dans y^*"***^ (a:) et /^*""^(a:), donne
deux résultats de même signe. Donc la suite des signes des résul-
tats perd deux changements de signe lorsque la valeur de x devient
égale à celle qui rend nulle la fonction y ^"^ (a?) ; donc l'équation pro-
posée y*(j7)=: o manque aussi de deux racines dans l'intervalle des
limites a et b. Il s'ensuit que dans chacun des indices correspon-
dants aux fonctions

il se trouve une partie de cet indice égale à 2, et correspondante aux
deax racines qui manquent en cet intervalle dans les équations

/C")(a;)=o,/<"-"(a;)=o,/("-)(a:)=o,.../"(^)=o,/'(ar)=o,X^)=o.

Cette partie de chaque indice qui est égale à a doit donc être dis-
tinguée de la partie restante, et on peut l'omettre. Il n'y a plus que
la partie restante qui indique combien on doit encore chercher de
racines dans l'intervalle des limites. Par conséquent on retranchera
2 de chacun des indices qui répondent aux fonctions

en sorte que celui de y ^"""^ {x) deviendra zéro.

En rapprochant les propositions qui viennent d'être démontrées
on voit que dans tous les cas , soit que les deux racines de l'équation
y^"'"'\(a;)=o soient réelles, soit qu'elles manquent dans l'intervalle

SEPARATION DES RACINES. i35

des limites aetb, lopératiQu précédente donne de nouvelles séries
d'indices dans lesquelles le terme i le plus voisin de l'extrémité à
droite est plus avancé vers cette extrémité qu'il ne Tétait aupa-
ravant. On appliquera donc la présente règle à chacune de ces séries,
et Ton parviendra nécessairement à des séries d'indices donÇ le
dernier terme sera o , ou dont le dernier terme sera i .

(36) Les deux exemples suivants offrent des applications de la
règle que l'on vient de donner pour la séparation des racines.

On a vu article lâ.par l'analyse de l'équation

a?^— ' 3;r* — â^a^ + 960?* — Jl6x — loi =0

que l'on doit chercher entre les limites i et 10 trois racines, dont
une est certainement réelle. Il s'agit de reconnaître si les deux autres
existent, ou si l'équation. a deux racines imaginaires qui manquent
dans cet intervalle. On procédera comme il suit à cette distinctiou.
liCs deux suites que l'on doit comparer sont

tlj...

|90

48

i56

3o

+
65

•

78

I

â

a

3

(10). . .

lao

1198

5i36

+
i5i5o

+

3a654

54939

La série des indices, formée selon le procédé de l'article 3i, est
o 01 2 2 3. Le dernier indice étant 3, Tintervalle est un de ceux
auxquels on doit appliquer la règle de l'article 35. On a écrit au-
dessous des signes des résultats les valeurs numériques des fonc-
tions correspondantes.

En parcourant de droite à gauche la série de ceâ indicés depuis
le dernier terme 3, on trouve pour la première fois Fîndice i cor-
respondant à la fonction^''' (a?): ce tértae i est suivi de i, et pré-
cédé de o. Ainsi les trois indices consécutifs font connaîtrëque l'on
doit appliquer aux fonctions f'^{x),/'''{x) y/"' (/jc) la règle de l'ar-
ticle 28 qiii sert à distinguer les racines imaginaires. On écrira donc

18.

,36 LIVRE PREMIER.

les quotients ^ , ^^^; et Yon examinera si 1 un de ces quotients,

ou si leur somme , surpasse ou égalç la différence 9 des deux limi-
tes. Cette condition n'ayant pas lieu , on en conclut que les limites
I et 10 ne sont pas encore assez approchées pour que Ton puisse
déterminer par une seule opération la nature des racines. On sub-
stituera donc un nombre intermédiaire : mais il faut auparavant ,
conformément à la règle énoncée , examiner si les fonctions /" (a:^
et/"\x)j qui sont

20a?'— 36a?'— 144^+ 190 et 6oa?* — 72a; — §44 7

ont un diviseur commun. Ce facteur commun n'existant pas, on sub-
stituera dans les fonctions un des nombres compris entre i et i o,
et exprimé par un seul chiffre.

La substitution des nombres a et 3 donne les résultats suivants,
que nous joignons aux suites (i) et (lo).

r{x),/"iœ\r'{a:)J"(x

)>/'(^),/(^)

(I)'.. +

I90

48 iM 3o

-4- —

65 78

I

(a)... +

I-90

168 48 8V

3o 11

10

1 2

(3)... +

388 180 96

43 3>

I

I I

10)... +

-4-4-4-
iia8 5i36 i5i5o

3s654 S4939

La comparaison des suites (i) et (2) montre qu'il ne peut y avoir
aucune racine réelle entre les limites i et 2 , car les deux suites
ont le même nombre de changements de signe. Cela résulte aussi
de la. série des indices 000 i 00, puisque le dernier indice est o.
Il s'ensuit que l'on doit chercher les trois racines entre 2 et 10 :
si l'on comparait ces deux limites 2 et 10, on trouverait

SEPARATION DES RACINES. ^7

(a) . . . + + — — H- —
o o I I 2, 3

(ïo)..- -I- -H + + + -f

Lc dernier indice est 3. Si , à partir de ce terme et en se portant vers
la droite, on s'arrête au premier indice i , on voit qu il est suivi de
a, ce qui a lieu nécessairement. Mais il n'est pas précédé de o, et
par conséquent on doit immédigftement diviser' l'intervalle de 2 à
10. On a donc substitué un des nombres intermédiaires, savoir 3.
La comparaison des dçux suites (2) et (3) montre que l'on doit
chercher les deux racines entre ces limites. La série des indices
est o o i o 1 2. L'indice égal à 1, et le plus voisin de l'extrémité,
étant suivi de 2 et précédé de o, on connaît par là qu'il faut appli-
quer à cet intervalle la règle qui sert à distinguer les racines ima-
ginaires. On écrit donc ks quotients g" > t^» ^t 1^^^ somme étant

plus grande que la différence i des deux limites, on est assuré que
les deux racines indiquées entre 2 et 3 sont imaginaires. Il reste
l'intervalle de 3 à 10, pour lequel la série des indices est o o o i i f .
L'équation a donc une seule racine réelle entre ces limites. •

Ainsi l'opération qui a pour objet de déterminer la nature des
racines de la proposée, et d'en assigner les limites, est terminée.

L'intervalle de — 10 à — t comprend une seule racine réelle.

Une seconde racine est entre les limites — i et o.

II ne peut y avoir aucune racine entre o et i .

Il en est de même de l'intervalle des limites i et 2.

L'équation a deux racines imaginaires qui manquent entre 2 et 3.

Elle a une troisième racine réelle entre 3 et 10.

Les seuls intervalles dans lesquels se trouvent les racines réelles
et séparées sont celui de — 10 à — i , celui de — i è o , et celui de
3 à 10.

(37) On propose pour second exemple l'équation

x^ — ^x^ — 3a: + 23 = a
citée article i3.

i38 LIVRE PREMIER.

On a vu que la comparaison des suites (i) et (lo) indique deux
racines entre ces limites. Il s'agit de connaître si ces deux racines
sont réelles , ou si elles manquent dans l'intervalle.

lies suites comparées sont

X- X"' X" X'

(«)•••

a4 o i> II 17

001 12

(10)... •+--+-+ -h -h.

94 ai6 960 9797 5993

On a écrit au-dessous des signes des résultats les valeurs numéri-
ques , et l'on a remplacé le signe o par le double signe , conformé-
ment à la remarque de l'article 1 1 . La série des indices est pour
cet intervalle o o i i a. Le terme i le plus voisin de l'extrémité à
droite est le pénultième : il est suivi de 12 , mais non précédé de o.
Par conséquent il faut diviser l'intervalle des limites i et 10. Si l'on
substitue le nombre â, on trouve les résultats suivants

(a) ... -h + o — -h.

Le troisième terme devient nul , ce qui nécessite l'emploi du double
signe. Mais la suite donnée par le signe inférieur n'a pas moins de
changements que la suite donnée par le signe supérieur. Donc il ne
manque point de racines dans l'intervalle infiniment petit de < 2
à >a.

Si l'on compare la suite (i) à la suite (2), on voit qu'il ne peut y
avoir aucune racine entre i et 2 , et si l'on compare les suites

X"

X'"

X"

X'

X

(>a)..

*4

*4

«9

r

t

2

(ïo) . .

> • 1

»4

,16

960

»797

5993

/

SÉPARATION DES RACINES. i%

on trouve que deux racines sont indiquées entre 2 et 10. La série
des indices» est 00012. L'indice 1 le plus voisin de rextrémitë à
droite est suivi de 2 et précédé de o : par conséquent on doit ap-
pliquer la règle qui sert à distinguer les racines imaginaires. Écri-
vant les quotients — et -^^ , on voit que la somme de ces nom-
^ '9 3797 ^

bres est moindre que la distance 8 des deux limites : donc on doit
substituer un des nombres compris entre 2 et 10 , et exprimé par
un seul chiffre. Mais il faut auparavant s'assurer que l'équation
X = n'a point deux racines égales dans l'intervalle dont il s'agit.
Or cela n'a point lieu puisque les fonctions X et X', qui sont

x^ — 4^^ — 3.r-h23 et 4^ — ^'^^ — 3,

n'ont pas de diviseur commun. Substituant le nombre intermé-
diaire 3 , on trouve ces résultats que nous comparons à peux des
suites (2) et (lo) ,

(2) + 4- H h

(3) 4- + H

(10)

Donc les racines qui étaient indiquées entre i et 10 sont réelles.
Elles Qnt été séparées par la substitution du nombre 3: Tune est
entre 2 et 3, et l'autre entre 3 et 10.

Ainsi l'opération qui avait pour but de découvrir la nature des
racines de l'équation

a^ — 4^^ — 3 a: -H 23 = 0,

et d'en assigner les limites , est achevée.

En rappelant les conséquences énoncées art. iS, on reconnaît
que l'équation a deux racines imaginaires entre les limites infini-
ment peu distantes aur-dessqus et au-dessus de zéro;

qu'il ne peut y avoir de racine dams Tintervalle de o à ï , et qu'il
en est de même de, l'intervalle de i à 2;

que l'équation a une racine réelle entre 2 et 3, et une seconde ra-
cine réelle entre 3 et 10.

i4o LIVRE PREMIER.

(38) On voit par ce qui précède que la détermination des limites
des racines réelles, et la distinction des racines imaginaires, se ré-
duisent à l'application de deux règles principales. L'une est déduite
du théorème qui exprime les changements que subit la suite des
signes lorsque le nombre substitué augmente par degrés infiniment
petits depuis — 7 (articles 7,8, 10). La seconde règle fait connaître,
par un calcul numérique très-simple, si le nombre substitué qui
rend nulle une des fonctions intermédiaires donne deux signes sem-
blables ou deux signes différents à la fonction qui précède et à
celle, qui suit (art. 28 , 3 1 , 35). L'opération qui résulte de ces deux
règles combinées indique d'abord les seuls intervalles dans lesquels
on doit chercher les racines ; ensuite elle partage ces intervalles en
plusieurs autres ^ dont chacun contient une seule racine réelle. Pour
montrer l'ensemble de cette opération , nous en résumerons l'énoncé
en rappelant les règles qui ont été précédemment expliquées.

L'équation X=o étant proposée, ou formera par des diflféren-
tiations successives la suite des fonctions X , X', X", . . .X^*""\ X^'"^ ,
qui seront écrites dans cet ordre

XC-)^ X^— )^ XC"-•^ . . . . X", X', X;

et l'on substituera au lieu de œ dans cette suite de fonctions , les

nombres

— I, — 10, — 100, — 1000, etc.

o

I, iQ, 100, 1000, etc.

jusqu'à ce que l'on trouve deux suites de résultats telles cpie l'une
ne contienne que des changements de signes , et que l'autre n'en ait
aucun. On connaîtra ainsi les limites décimales des racines, c'est-
à-dire le nombre des chiffres qui les expriment, si elles sont réelles ,
et les divers intervalles dans lesquels ces racines doivent être cher-
chées.

Pour chacun des intervalles partiels, dont a et b désignent les
limites, on comparera comme il suit la suite (à) des signes que

SÉPARATION DES RACINES. i4î

donne la substitution de a, à la suite (b) que donne la substitu-
tion de la limite plus grande b. Il faut marquer dans chaque suite
combien il se trouve de changements de signe depuis le premier
terme à gauche jusquà un terme quelconque, et former, selon la
règle énoncée article. 3 1 , la série

o^rr A

des indices propres à l'intervalle. Si le dernier indice A est o, l'in-
tervalle ne peut contenir aucune racine. Si le dernier indice A est
•I , l'intervalle contient une seule racine réelle. Les autres racines
doivent être cherchées dans les intervalles dont le dernier indice
est 2 , ou plus grand que a.

Lorsqu'un ou plusieurs des résultats des substitutions sont nuls,
on emploie le double signe suivant la règle que nous avons donnée
article f i , et l'on connaît par la comparaison de ces signes mul-
tiples si la proposée a des racines imaginaires qui manquent entre
les limites infiniment voisines des valeurs substituées , et le nom-
bre de ces racines imaginaires.

Considérant un des intervalles 4ont le dernier indice est 2 , ou plus
grand que a, on remontera dans la série des indices depuis l'extré-
mité à droite en se portant vers la gauche, jusqu'à ce-que l'on trouve
pour la première fois le terme i : il sera toujours suivi à droite de
l'indice 2. Quant à l'indice placé à la gauche du terme i auquel
on s'est arrêté, cet indice précédent peut être o, ou i , ou 2. S'il
n'est pas o , l'intervalle des limites a et b est trop grand pour que
l'on puisse immédiatement distinguer la nature des racines. Il faut
choisir, conforménjient à la remarque de l'article 34, un nombre
intermédiaire c du même ordre décimal que les limites aeXb , ou
de Tordre immédiatement suivant , et le substituer dan^ la suite
des fonctions afin de former deux intervalles partiels a et c , et c
et b' Par ces substitutions des nombres intermédiaires on rappro-
chera de plus en plus de l'extrémité à droite l'indice i le plus voisin
de cette extrémité; et il arrivera nécessairement, ou que le dernier
indice A d\m intervalle sera zéro ou i , ou que l'indice i le plus voisin

de l'extrémité étant toujours suivi de 2 sera précédé de zéro.
I. 19

i42 LIVRE PREMIER.

Lorsque cette dernière condition se présente , on est averti qu'il
faut employer la règle qui sert à distinguer les racines imaginaires.
Désignant par

les fonctions auxquelles répondent les indices consécutifs

o ï a,

on examinera si les valeurs numériques des résultats

sont telles , abstraction faite des signes , que l'un des quotients

/(— )(a) /C— ') {b)

ou leur somme , surpasse ou égale la différence b — a des limites ;
et Ton procédera à cette comparaison suivant la règle spéciale ex-
pliquée dans l'article 28. L'emploi de cette règle fera connaître si
les deux racines de l'équation y ^""'^ (a:) = o , qui étaient indiquées
dans l'intervalle dont il s'agit, sont réelles et inégales , ou réelles
et égales y ou imaginaires.

Si ces racines sont réelles et inégales, elles se trouveront séparées
par l'opération que l'on vient de faire ; et l'on continuera de pro-
céder de la même manière à la séparation des racines dans les in-
tervalles dont le dernier indice ne serait ni o, ni i.

Si au contraire les deux racines dey^"~'^(:E:) = o sont imaginai-
res, il faut, à partir de l'indice 2 qui répond ày^""'^(j;) jusqu'à
l'extrémité de la série à droite , retrancher deux unités de chaque
indice, fce qui donnera pour ce même intervalle une autre série
d'indices dont les detniers termes seront moindres que dans la
série précédente.

Lorsque les deux racines de l'équation f^'"~^\x) = o seront égales,
on examinera selon les procédés connus si ces racines égales font
aussi évanouir toutes les fonctions Suivantes /"^"""^(o?) , f^'^^^x) , etc.,

SÉPARATION DES RACINES. i43

en y comprenant la dernière f{x) : dans ce cas , on connaîtrait les
racines égales que YéqusLtion^/(x) = o aurait entre les limites pro-
posées. Mais s'il n'y a point de facteur commun à la fonctiony^*"'^(^)
et à toutes celles qui sont placées à sa droite , les conséquences re-
latives à la nature des racines seront exactement les mêmes que si les
deux racines de réquationy^*^'^(a?)=o étaient imaginaires.On retran-
chera donc deux unités de chacun des indices correspondants aux
fonctions /("^'^ (x) , y ^•""•^ (^) > • • • /'(p^) > /(^) 9 ^* ^'^^ continuera , s'il
est nécessaire^ d'appliquer les mêmes règles aux nouvelles séries
d'indices jusqu'à ce que les racines soient entièrement séparées. L'opé-
ration se termine lorsqu'il ne reste plus que des intervalles dont le
dernier indice A est o ou i .

«

(Sg) Nous proposons , pour premier exemple de l'application de
cette règle générale , l'équation

j^ — a^ + ^x* + X — 4=0.

liCs fonctions dans lesquelles on doit substituer sont

X ar* — x^ -h ^x* + x — 4

X' 4a:' — 3a?*-h8x+i

X'' riaar'-ôar + S

X"' . . . . 24 ^ "" 6 '

Substituant les nombres

V

— I , — 10 , — etc.

o

I, 10, etc.
on trouve

X" X'" X" X' X

( — lo) . . . + — 4- — +
( — i.) ... + — + — —

( o ) . .^. + — + 4- —

( I ) ... H- 4- + + +.

19-

I

i44 LIVRE PREMIER.

Toutes les racines doivent être cherchées entre — lo ^t i , parce
que la suite ( — f o) n'a que des changements de signe > et que la
suite (i) n'a que des permanences de signe.

1 ^ En formant, selon la règle énoncée article 3 1 , la série des in-
dices entre les limitaes — lo et — i , on a

( — lo). . . . + — -h — +

r

O O O O I

( — I ) + — H .

Dans cette série o o o o i , le dernier indice est i : donc l'équatian
a une seule racine réelle entre les limites — lo et — i. Cette racine
est séparée de toutes les autres.

2® En comparant les deux suites ( — i) et (o), on voit que cet in-
tervalle est un de ceux où l'on ne doit chercher aucune racine,
parce que les deux suites ont le même nombre de changements de
signe. Si l'on formait pour ces deux suites la série des indices, on

trouverait

( — l) .. . -4- h

O O O I O

(o) ... H h + — ;

il s'ensuit que l'intervalle ne peut contenir aucune racine.

V Les deux suites (o) et (i) donnent pour la série des indices

X" X'" X" X' X

(o) . . . 4- — -h + —

«468x4

O I 2 a 3

(I)... + + -h

s4 i8 i4 lo I

Il s'agit de procéder à la séparation de ces racines , et de jraeon-
naître si elles sont toutes les trois réelles, ou si deux sont imagi-
naires. On parcourra la sérié des indices de droite à gauche , depuis
le dernier terme 3 jusqu'À ce l'on trouve pour la première fois l'in-
dice I : on le trouve sous la fonction X'". Cet indice est suivi de 2 ,
ce qui a lieu nécessairement; et comme il est précédé de o, on

SÉPARATION DES RACINES. i45

I

voit que la condition des trois indices consécutifs o i 2 est satis-
faite. On est averti par cette condition qu'il faut procéder à Fap-
plication de la règle (article a8) pour la distinction des racines
imaginaires.

Nous avons placé au-dessous des signes les valeurs numé-
riques qui proviennent des substitutions. Les fonctions aux-
quelles répondent les trois indices consécutifs o i a sont f^\x) ,
f"'{x)^f'\xyOn considérera, suivant la règle énoncée, les quotients

T. et -g , sans avoir égard aux signes de ces résultats. Si l'un de

ces quotients, ou si leur somme, surpasse la différence i des deux
limites, on est assuré que deux des racines indiquées dans l'inter-
valle sont imaginaires. Or cette condition a lieu , puisque la diffé-
rence des limites est seulement i : donc deux racines de l'équation
proposée manquent entre les limites o et i. On doit maintenant,
comme la règle le prescrit, retrancher 2 de chaque indice à partir
du dernier des trois indices consécutifs o i a. On formera ainsi la
nouvelle série de l'intervalle ,

X'^ X'" X" X' X

(o) . . •

o I o o I.

I^ dernier indice de la nouvelle série étant i , il s'ensuit que la
proposée a entre o et i une seule racine réelle : elle est entière-
ment séparée des autres.

L'opération de la distinction des racines est terminée , parce qu'il
n'y a maintenant aucun des intervalles partiels dont le dernier in-
dice ne soit ou o , ou i . On en conclut qu'une première racine réelle
est comprise — 10 et — i , qu'une seconde racine réelle est comprise
entre o et i , et que ks deux autres racines sont imaginaires.

(4o) Nous déduirons de la même règle la résolution de Téquatioii

a? ^ x/^ + a^ -- a*r* -f- ai?~ i =0.

,46 LIVRE PREMIER

Ayant formé les fonctions

X a:' + a:*-j-ar* — aaj' + aa: — i

X' 5x*-i-^a^ + 3x'—/ix + a

X". . . .200^+ mx' + 6x — 4
X'".... 6o a:' + a4 a; + 6

X". . .. iaoa? + a4

X' lao,

on trouve

X' X" X'" X' X' X

(-0 + - + — + —

96 4« s8 10 1

o I a a a a

(•) + -H + ^ + -

a4 6 4 > '

o o I a 3
(1) + + + 4- + +.

144 90 36 10 s

Nous avons écrit les valeurs numériques au-dessous de leur signe ,
et la série des indices propre à chaque intervalle : voici les consé-
quences que donne la comparaison des suites.

1® Toutes les racines doivent être cherchées dans l'intervalle de
— I à + I , parce que Tune des suites a cinq changements de signes
et que l'autre n'en a aucun.

a^ Deux racines sont indiquées entre — i et o. Le dernier indice
étant a, il faut, à partir de l'extrémité à droite, remonter vers la
gauche dans cette série des indices , jusqu'à ce qu'on trouve i pour
la première fois. Cet indice i correspond à la fonction X" ; il
çst suivi de a et précédé de o ; on appliquera donc la règle de l'ar-
ticle a8 aux fonctions X^, X'^ , X'" , qui répondent aux trois indices

consécutifs o i a. Il faut considérer les valeurs des quotients ^

et -T 9 abstraction faite des signes , et examiner si l'un de ces quo-
tients y OU leur somme , surpasse ou du moins égale la différence 1

SÉPARATION DES RACINES. 147

des deux limites o et — i . Cette condition n'ayant point lieu , on
en conclut que les limites — i et o ne sont point encore assez ap-
prochées pour que Ton puisse distinguer par une seule opération
si les deux racines indiquées sont réelles ou imaginaires : il faut
diviser cet intervalle. Mais avant de procéder à la substitution d'un
nombre intermédiaire, on doit, conformément à la règle de l'ar-
ticle 28 , s'assuter que l'équation X''' = o n'a pas deux racines égale»
comprises entre les limites — i et o. Si cela avait lieu, les deux
fonctions

60a;* + 24^ + 6 et iaoa? + 24

auraient im facteur commun; ce facteur n'existant pas, le cas des
racines égales est exclus.

II reste à substituer un nombre compris — i et o , et de l'ordre
décimal immédiatement suivant, c'est-à-dire exprimé par un seut
chiffre décimal. Substituant — o, 5, on forme cette table :

(-1)...

+

+

-h

•(-t).-.

+

36

+
9

s»

8

+

73
X 6

83
3»

o

I

a

2

2

2

(o) ...

+

4-

+

+

94 ^ 4 a I

Le premier intervalle partiel, qui est celui de — i à — t? '^^ P^"^
contenir aucune racine y puisque les deux séries sont les mêmes.
Pour le second intervalle partiel la série des indices est o i 2 2 2 2.
L'indice i le plus voisin de l'extrémité à droite étant suivi de 2 et
précédé deo, on doit, selon la règle de Tarticle 28, considérer les

valeurs numériques des quotients ^ ^^ ^ > pour connaître si l'un

de ces quotients, ou si leur somme, surpasse ou du moins égale
la différence \ des deux limites. Cette condition ayant lieu, on est
assuré que les deux racines indiquées dans l'intervalle de — 7 à o
sont imaginaires.

Il ne reste plus que l'intervalle de o à + 1 , dans lequel trois ra-

i48 LIVRE PREMIER.

cines sont indiquées. Il s'agit de découvrir si ces trois racines sont
réelles, ou si deux d'entre elles sont imaginaires. Il suffit pour cela
d'appliquer la même règle à l'intervalle

X" X" X'" X" X' X

(o) ... +

+

4-

—

+

— •

>4

6

4

9

r

O

O

I

2

3

+

•h

+

-4-

4-.

i44

90

36

10

1

(1) ... +

On voit que dans la série des indices 000128, l'indice 1 le
plus voisin de rextrémité à droite est précédé de o. La condition
relative aux trois indices consécutifs o i â subsistant, on écrira les

quotients 7 ^^ 36 > pour connaître si lun de ces quotients , ou si

leur somme, surpasse ou égale la différence 1 des deux limites. Cette
condition n'ayant pas lieu , on en conclut que les limites o et i ne
sont pas assez voisines pour qu'on puisse distinguer la nature des
racines par une seule opération.

Il faut donc substituer un nombre compris entre o et i , et ex-
primé par un seul chifTre décimal. Mais avant de faire cette substi-
tution , il faut s'assurer que l'équation X'= o n'a point de racines
réelles égales comprises entre o et i . Or cela est certain , parce que
les polynômes X' et X'' , ou

n'ont pas de facteur commun.

Si l'on substitue le nombre intermédiaire o^ on aura les résul-
tats suivants :

X' X" X^ X" X' X

(o) ... . -♦- -h -4- — + —

(r)
(0

%i s 4 » I
o 00 1 2 2

> • 31

84 33

SÉPARATION DES RACINES. 149

Le second intervalle partiel compriB entre j- et i contient une seule
racine réelle, qui est entièrement séparée. Quant à Fintervalle
partiel de o à 7, deux autres racines sont indiquées. La série des
indices o o o i a â offrant la condition des trois intervalles consé-

cutifs o I 2 , on formera les quotients 7 <5t -g : ^ , pour connaître

si Fun de ces quotients, ou si leur somme, surpasse ou égale la
différence \ des deux limites. Cette condition ayant lieu , on con-
naît avec certitude que les deux racines indiquées dans Fintervalle
de o à 7 sont imaginaires. En retranchant 2t de chaque indice à
partir du terme a qui est le dernier des trois indices consécutifs
o I â , on aura pour la nouvelle suite des indices o o o i o o. Donc
Féquation proposée a une seule racine réelle entre o, 5 et i : les
quatre autres racines sont imaginaires.

(40 On propose, pour troisième exemple, de résoudre Féquation

œ^ — 120:'^ + 60:1?* + laSo?* +45670: — 890121 = 0.

On écrit ces fonctions

X =x^ — iaa^ + 6oa?*-i- laSa:' -h 4567 «—8901a

X' ==6a?*— 600:* + a4oa:' + û46a?+ 4567

X" =3oa?* — a^oa^ + 7ao^ + a46

X'"=iaoj7* — 720 a:* + i44o«

X'^=:36oiP" — i44o«+i44o

X^ = 720 X — 1 44o

X"=s7ao;

et substituant les nombres

— I, — 10, etc.
o •
I ) 10, etc.,

on trojive les résultats suivants :

I.

ao

i5o LIVRE PREMIER.

•

X-

X'

X-

X'"

X"

X'

X

( — lo). . .

+

—

-f-

—

+

•

+

(_I)...

\

+

—

+

—

(o) ...

+

—

+

+

-4-

—

•4-

(I) ...

-1-

7S0

36o

-4r

■^

"^

^^"^

o

I

^

a

a

a

3

( lo) . . .

4*

5760

s3o4o

-♦-

-f-

•4-

^

 rinspection ^e cette table on voit que toutes les racines doivent
être cherchées entre les limites — 10 et + 10, puisque Tune des
suites a six changements , et que l'autre n*en a aucuri.

,La comparaison des suites (< o) et (> o) montre qu'il manque
daux racines dans rintervalle des limites < q et > o.

I^a suite ( — i) ayant cinq changementsde signe, et la suite ( — 10)
ayant six changements' de signe , l'équation a une seule racine réelle
entre — 10 et — i.

Les suites ( — i) et (< o) ont le même nombre de changements dé
signe; par conséquent il ne peut y avoir aucune racine entre les limites
— I et o. Il en e$t de même des suites (>o) et (i) qui ont l'une
et l'autre trois changements de signes. Ainsi l'on ne peut chercher
aucune racine entre les limites o et i.

Il reste Fintervalle des limites i et 10 , dans lequel trois racines
sont indiquées. La série des indices propres à cet intervalle est

o I 2 â â â 3.

I^ premier indice que l'on trouve égal à i , en parcourant la série
des indices de droite à gauche à partir du dernier 3 , est placé entre
les indices o et 2. On est averti par ces trois indices consécutifs o i 2
qu'il faut appliquer immédiatement la règle de l'article 28. On écrira

donc les quotients — et ^-^ , pour connaître ai l'un de cqs quo-
tients, ou leur somme, surpasse ou égale la différence 9 des deux

SÉPARATION DES RACINES. i5i

I

lioiita. Cette condition n'ayant pas lieu , on conclut que Fintervalle
de I à lo est trop grand pour qu'une seule opération fasse con-
naître la nature des racines. Mais avant dé diviser cet intervalle , il
faut examiner si les fonctions X'^ et X"", qui répondent aux deux
derniers des trois indices consécutifs 012, n'ont point un facteur
con^mun^ etxSi ce facteur n'est point rendu nul par une valeur de
^ comprise entre les limites. La comparaison des fonctions

36oa?' — i44oa? + i44o et yaox — i44o

*

montre qu'elles ont un facteur commun , savoir \x — i , et que ce
facteur est rendu nul par une valeur a comprise entre i et 10. Le
même facteur \x — i n'est pas commun à toutes les fonctions X''',
X", X', X : il faut en conclure, conformément à la règle de l'art. 35,
que l'équation proposée manque de deux racines dans l'intervalle
de i à jo. Par conséquent oh retranchera 2 de tous les indices,
depuis le dernier des trois indices consécutifs o i a, et l'on aura
pour la nouvelle série des indices de l'intervalle compris entre i et 10

o I o o o o I.

Ainsi la séparation des racines est achevée : l'équation proposée a
une racine réelle entre — 10 et i ; deux racines manquent dans
l'intervalle infiniment petit corapriSi entre < o et > o ; deux ra-
cines manquent également dans l'intervalle compris entre i et 10;
enfin, dans ce même intervalle , l'équation a une seconde racine réelle
entièrement séparée.

(42) Afin de mieux faire connaître la diversité des cas et l'usage
de là règle , nous réunissons dans un seul tableau les exemples cités
dans les articles précédents.

20.

iSa

LIVRE PREMIER.

P. Art.

X'X"X'"X" X' X
(-10) 4 1 1- —

104. (12) X ...j;5— 3x*— a4a?'-4-95^"— 4fi«— iw =
i35.(36)X' ...5ar*— laa:^— 72a:*-f-i90«— 4Ô

X'' . . .aoa:^— 36ar*— 144^+ «90
X'"...6ox*—j2X—i44

X^ ... lao

io5.(i3)X .:.ar^ — 4^'— 3ar+23=c>
137. (37) X' ...4^^— -la^* — 3

X" . ,.I2X* 24X

X'"...24«— a4

X'^..24 *

lo7.(i4)X ...a?'+2X* — 3ar4-2 = a

i25.(29)X'...34r'+4* — i .
X"...6ar + 4

X'^..6

143. (39) X _.ar^— a:*-|-4:r'+a:— 4=0
X' . . .4^:5— 3.r*+8^-M
X"-.,i2^'— 6x4-8
X"'...24a:— 6
X*^..,24

uae racine.

3o 91

deux nciiief todiq.

(3)
(10)

43 3a

WM racine.

X" X'" X" X' X

(o) . . . + — o —

dauncioctia^.
règledudonbjifK

O

(2)...+ + O
(3) ..•+ -f. +

(10)...+ + +

UBt noDe.
iineneiDe.

/ X"' X" X' X

(-10)...+ — + —

une racine.

(o) •..+ H- — 4-

Q l 0^ d«ixrtcin«»diq.

(.) ...+ + + + i+.î>«.i«r-

4 «

X'- X"' X" X' X
(— io),..H 1 +

oaenfiiiie.

(,)...+ _ +

(o) . . . + H H

6 8

o I a a 3 »«»»««"« i""!»
(,) ...+ + + + +l>^«'*«"-«-

^ 18 14

X"X»X"X"'X"X'X
■ 149.(41) X. ..a:«-i2x»+6<«;*+ia3x'+4567x-890ia=o; (-")•• + — +—+- + ^^_^^
X'..6a:5— 6ox«+a4o«»+246a:4-4567 I (_i),.-| 1 1

X"..3o:r<-24oar'+7=»o** + a46 | _i. 7 . . _d«.xim.gio«r«.

X'" . . laoar»— 72oar* + i44o« { W • • "« h « -l- 1- ,4giedudoabjig«e

X"..36oar»— i44o«-H44o j (i) ..h h ++H . ...

ir. //-. I~.»»A.4 trou rtciB» UMWJ-

X'..7aojr— i44o o i a a a a 3 ,1,^ i„,gîo«m^

X"..7ao \ (10) .. + + + + + + + •

X'^ a deux racinei égales qai oe font pas racîaes de a-

SÉPARATION DES RACINES.

i53

P. Art.

io8.(i5) X ...x^+x^+a:*— aSx— 36=o
126. (3o) X' ...5ar^+4^^+a^— a5

'Sj^\ . •120X+24
X^ • ..120

111.(17) X ...o?^— 20?*— 3ar3HH4jc»— 5x + 6=o*
X' ...yx^ — 10a:* — 9ar*4-8a:— 5
X" . . .42ar»— 4oJc5 — i8ar+8
X'". . •2ioar*— ^i20dF*
X'V. ,8400:3 — 24ox*-i8

X^ . . •2520or*-— 240
X~...5o4o

112. (i8) X ...a?*+3«*4-aar*— 3x* — 2a:— 2Si=o
X' .••5aî*H-i2a:3 + 6a:»- 6x— 2
X" ...2oar3-H36a:* + i2.r— 6

X'"...6oa:*+7a«-4-i2 *

X*^. . .120 0:4-72

X^ . . .120

X' ...5o:*— 3oo:*4-6
X" . • .2oa:3 — 60 or
X"'...6oo:' — 60
X*^... 120 or
sX' . • .120

145.(40) X ...x*+o:^-f-o:3 — 2o:*-f2o:— 1=0
X' ...5o:^+4^^ + 3o:»— 4«4-a
X". ..200:' + 12 or* 4- 60: — 4
X"'...6oor"4- 24^ + 6

X". • .i20o:-+-24
X^ • • .120

X^X"X'"X"X' X

(-10)... -I 1 1*- -^

nne racine.

(-2)... H h h -f

(-!)...-•- — + — '

(0) . . . + H

(1) ...+ H
(10) . . . H- -

une racine.

O

+

deox ima^nairet.

règle dadoab.«igne

une racine.

X™X*'X'X"X"X' X' X

(_,0)-*- -«. + — -»T h--

une racine.

(-1) 4- — + — + +^ —

/ \ . ^ _L _i_ deux imaginaîref .
(O) -♦- _7 — ^ ' ^ rè«ledndoub.tign

T

(0

(10) + 4- + 4- ■+-+ + +

règle d n aoub.tigne
deux racines indiq.

deux racines indiq.

(-1)..

X'X"X"'X"X' X

(o) . . + 4- H

(10).. + -t- -f- + + +

deux imagioairM.
règle dttdoab^gD*

deux racines indiq.

une racine.

X» X" X'" X" X' X

(-10). .4- — I 1 — ,

•^ nne racine.

(-1). . -f. — . o H h

j^ deux indiquées.

(0) ..-f- O — O + Hh

* une racine.

(1) . . + + O . —

une racine.

(lo) ..+ + + + + +

X^X''X'"X" X' X

r-ij...+ — h — h —
(—7)..-+ t^ ■'^ '

^ deux racines indiq.

o 1 a a a a jl-i- «=• !,„,„.
(o) ...4- 4- -f- — + — •• ** '

»4 04a deux racines indiq.

000122 i=:i.in,aginaires.

f: (t)-..+ + + + -4- — * • .

36 10 une racine.

(1)...+ + -+■ + 4- 4-

i54 LIVRE PREMIER.

(43) Nous avons expose jusqu'ici la première partie de notre
méthode de résolution^ celle qui avait pour objet de déterminer
les limites et la nature d^s racines. On écrit les fonctions différen-
tielles des divers ordres, on substitue les nombres les plus simples
dans la série de ces fonctions, et Ion marque les signes des résuU
tats. A l'inspection de ces suites on connaît les seuls intervallesnon
les racines doivent être cherchées. Il reste à découvrir si les racines
indiquées dans un intervalle donné sont réelles, ou s'il en manque
im nombre égal à a , ou 4 > ou 6 , etc. ; car il ne peut en manquer
qu'un nombre pair. Une seconde règle résout complètement cette
question , et par un procédé d'une application Êicile. Alors la nature
et les limites des racines sont déterminées; chacune des racines
réelles est placée seule dans un intervalle dont les limites sont con-
nues. Il faut maintenant poursuivre le calcul de chaque racine,
afin de connaître tous les chiffres qui l'expriment, si le nombre en
est déterminé, ou de trouver autant de chiffres décimaux exacts
qu'on peut le juger nécessaire. Cette question est l'objet de la
seconde partie de la méthode. Avant de passer à cette autre re-
cherche, nous insisterons sur une des conséquences principales
des théorèmes précédents, celle qui concerné les propriétés gé-
nérales des racines.

Nous avons vu, article 7, qu'en substituant dans la suite des fonc-
tions un nombre a qui croît* par degrés insensibles depuis — \
jusqu'à + ^ , la suite des signes perd successivement tous les chan*
^çments de signe qu'elle contenait. Il est évident que cette diminu-
tion du nombre des changements ne peut s'opérer que lorsque la
substitution de à fait évanouir une ou plusieurs des fonctions. Ces
valeurs de a dont la substitution rend une des fonctions nulle sont
de deux sortes : les unes sont telles que la suite des signes ne perd
aucun changement, et cela arrive parce que la même substitution
qui rend nulle une des fonctions , telle quey^'^ {x) , donne deux signes
différents aux fonctions précédente et suivante, savoir /'^■■^"'^(x) et
y^"~'^ {x) ; les autres valeurs de a sont telles que la suite des signes
perd un certain nombre de changements. Ces valeurs du nombre

SÉPARATION DES RACINES. i55

V

substitué sont elles-mêmes de deux espèces : \e^ unes indiquent les
racines réelles , et les autres les racines imaginaires. Lorsque la sub-
stitution fait évanouir la fonction f(œ) qui est le premier membre
de Féquation proposée, la valeur substituée est une des racines
réelles de l'équation. Lorsque la substitution d'une valeur a ne
fait pas évanouir f(x) ^ mais r«nd nulle une des fonctions inter-
médiaires/*^"^ (a?) , et en même temps donne deux signes semblables
aux fonctions précédente et suivante/"^"^^ (x) et/^"^'^ (x) , le nombre
substitué a n'est pas une racine réelle de l'équation, mais une
valeur indicatrice de deux racines imaginaires.

Il y a donc deux espèces d'intervalles, ceux oii il existe une seule
racine réelle, et ceux où il manque deux racines. Ainsi les racines
appelées imaginaires manquent en de certains intervalles , et non
entre d'autres limites ; c'est-à-dire qu'il y a de certaines limites a
etb, telles que si l'on prouve d'une manière quelconque que l'équa-
tion n'a point deux racines réelles dans cet intervalle , on est assuré
par cela même que l'équation a, pour cette cause, deux racines
imaginaires. La valeur indicatrice de deux racines imaginaires con-
juguées est celle dont la substitution fait évanouir une des fonctions
intermédiaires, et donne deux signes semblables aux fonctions pré-
cédente et suivante. Si l'équation proposée a toutes ses racines
réelles, il n'existe aucune de ces valeurs indicatrices que l'on vient
de définir. Dans ce cas toute substitution qui rend nulle une des
fonctions intermédiaires donne deux signes différents à la fonction
qui précède et à celle qui suit. En général l'équation a autant de
couples de racines imaginaires qu'il y a de ces valeurs indicatrices^
Au reste plusieurs de ces mêmes valeurs peuvent être égales, soit
entre elles , soit aux racines réelles.

La première partie de notre méthode de résolution numérique
a proprement pour objet de marquer i® les intervalles dont chacun
contient une racine réelle, 2® les intervalles dont chacun contient
une valeur indicatrice des racines imaginaires. On a désigné les uns
et les autres dans le tableau des équations choisies pour exemples.^

LIVRE DEUXIÈME.

MÉTHODE

POUR CALCULER LES VALEURS DES RACINES DONT LES LIMITES

SONT CONNUES,

ET REMARQUES DIVERSES SUR LA CONVERGENCE DES APPROXIMATIONS

ET SUR LA DISTINCTION DES RACINES.

(i) v^N connaît deux limites a et b entre lesquelles est comprise
une racine réelle d'une équation algébrique

/(a?) = o,

et Ton est assuré qu'aucime autre racine de l'équation ne se trouve
dans le même intervalle. On propose de déterminer des valeurs de
plus en plus approchées<»de cette racine, afin de connaître tous les
chiffres qui lexpriment, si le nombre de ces chiffres est limité, ou
de trouver autant de chiffres exacts qu onje juge nécessaire;

Le procédé d'approximation le plus propre à faciliter le. calcul
des racines est celui que Ton doit à Newton , et qui est générale-
ment connu. II consiste à substituer au lieu de x dans le premier
membre y(a7) la quantité a + ûo\ a désignant la première valeur
approchée.. On omet dans le résultat les termes qui contiennent les
puissances de oc' supérieures à la première, et Ton a pour déter-
miner x' une équation du premier degré. £n ajoutant la valeur de
a?' que fournit cette équation à la première valeur approchée a , on
trouve une valeur plus approchée a' / et Ton emploie cette seconde

I. 21

i58 LIVRE DEUXIEME.

valeur approchée a pour découvrir par le même procédé une troi-
sième valeur approchée d\ On peut continuer indéfiniment lap-
plication de cette règle, et Ton obtient des valeurs qui convergent
de plus en plus, et très-rapidement , vers la racine cherchée. Cette
méthode peut être présentée sous difTérentes formes : nous la regar-
dons comme un élément fondamental de l'analyse, et il est impor-
tant d'en conserver tous les avantages. Mais elle est sujette dans
l'application à des difficultés singulières , qu'il faut examiner avec
beaucoup de soin , et résoudre complètement.

La première condition qu'exige l'emploi de cette règle consiste
à trouver une première valeur approchée. Cette question est déjà
résolue par notre méthode , puisque nous connaissons , pour chaque
racine réelle , deux limites a et i entre lesquelles elle est seule com-
prise. Mais il. reste à satisfaire à plusieurs autres conditions sans
lesquelles l'opération pourrait être inexacte, et demeurerait tou-
jours confuse, INous énoncerons d'abord les conditions dont il s'agit ;
ensuite nous démontrerons les règles qu'il faut suivre pour y sa-
tisfaire.

(2) I** Quoique les limites données a et 6 ne comprennent qu'une
seule racine, elles peuvent, comme on le verra plus bas, n'être pas
assaz; voisines pour qu'il y ait lieu de procéder à l'approximation.
Dans ce cas on pourrait rapprocher les limites, en subdivisant
l'intervalle; mais il est nécessaire de recoimaitre, par un caractère
owtaio , que l'on est parvenu à des limites assez rapprochées.

2^ Quelque petite que soit la distance des deux limites, le pro-
cédé d'approximation ne peut être applique av^c certitude qu'à
lune de ces limites, et non à l'autre. Nous prouverons dans un
des articles suivants la vérité de cette remarque. Il faut donc dis-
tinguer la limite qui doit être choisie.

3® Les résultats successifs que l'on obtient sont des valeurs qui
s'approchent continuellement de la racine cherchée : mais nous
Tuontrerons bientôt que ces valeurs ne sont pas alternativement
plus grandes, et plus petites que la racine. Cette propriété , qui ap-
partient à d'autres modes d'approximation ^ n'a jamais lieu dans

CALCUL DES RACINES. iSp

remploi de la méthode newtonienne : les valeurs approchées et
successives a, a\ a'\ a\ etc. sont toutes plus grandes , ou toutes
plus petites que la racine. Il en résulte que Ion ignore combien
chaque opération donne de chiflres exacts , et cette incertitude est
la cause principale d'imperfection de la règle. On pourrait sans
doute faire varier la valeur approchée jusqu'à ce que la substi-
tution dans la fonction donnât un signe différent de celui qu'on
avait trouvé d'abord ; mais ces substitutions exigeraient beaucoup
de calcul y et, en opérant ainsi, on perdrait l'avantage principal
de la méthode , qui consiste dans la rapidité de l'approximation.
Nous résoudrons cette difficulté en assignant d'autres limites h y
b\ ll\ h'\ etc. qui sont moindres que la racine sî les précédentes
a , a^ a\ d'y etc. sont plus grandes , et qui au contraire surpassent
la racine si les précédentes sont moindres. Parla on est assuré que les
chiffres communs à l'une et l'autre limites appartienn^it à la racine
cherchée , et l'on ne conserve que ces chiffres exacts. Or nous dé-
montrons que le nombre des chiffres exacts que fournit une seule
opération croît rapidement, et qu'il augmente de quantités propor-
tionnelles aux nombres a, 4 9 8, 16, etc. de la progression double.
Nous en déduisons une règle certaine pour connaître d'avance ^ et
indépendamment du calcul des secondes limites , jusqu'où l'on peut
porter l'approximation des premières.

4^ On doit ordonner le calcul en sorte qu'il n'y ait point d'opé-
rations superflues, c'est-à-dire qu'on n'ait à effectuer que les opé-
rations qui concourent à déterminer la racine, et dont aucune ne
pourrait être omise.

Nous allons examiner successivement les questions que l'on vient
d'énoncer, et en expliquer la solution.

(3) Les deux limites a et ^^ déterminées par notre méthode,
comprennent une racine réelle « de l'équation f{pc) =r o ^ et l'oa est
assuré qu'il n'y a dans cet intervalle aucune autre racine de la même
équation, parce que la suite (a) des résultats de la substitution de
a dans les fonctions /^'^ (or) ,/^'*"'^ (a?) , . . *r{pi)yf\x)^f{x) a seu-
lement un changement de signe de moins que la suite (6) des résul--

ai.

ifio LIVRE DEUXIÈME.

tats de la substitution de la limite plus grande b dans les mêmes
fonctions. En omettant dans chacune de ces deux suites (a) et {b)
les deux derniers résultats, qui sont pour Y\xnef'{a) jf{à) , et pour
l'autrey {h) , f{b) , on comparera les deux limites restantes , et Ton ,
connaîtra si I équation y' (a?) = o peut avoir quelques racines entre
les mêmes limites a et b. Or s'il existe dans cet intervalle de telles
racines , c'est-à-dire des valeurs de x qui rendent nulle la fonction
f"{x)y chacune de ces valeurs diffère de la racine a qui résout Téqua-
ûonf{x) == o. Il faut seulement excepter le cas singulier où les fonc-
tions/"'' (a?) etj'(x) auraient un diviseur commun ^{x). Il est facile
de juger, par l'emploi du procédé connu , si ce facteur ^(x) existe;
et, dans ce cas singulier, on aurait à résoudre séparément Téqua-
tion ^(x) =o. On appliquerait donc à cette équation ^(a:)= o , et
non à l'équation plus composéey(aî) = o, les règles qui servent à
trouver les racines.

Si le facteur 4^ (.r) dont il s'agit n'existe pas, toute valeur qui ren-
drait nulle la fonction y*" (j?) diffère de la racine a de l'équation
-f(^x)=o. On pourra donc rapprocher les deux limites a et b, et
les remplacer par deux autres a' et b' assez voisines pour qu'elles
comprennent entre elles, comme les précédentes, la racine a de
réquationy(.r) = o , sans comprendre aucune des racines de l'équa-
tion /""(ar) = o. Pour obtenir ces nouvelles limites a' et b\ on divi-
sera l'intervalle des deux premières a et b en substituant un nombre
intermédiaire c ; et l'on connaîtra si la racine cherchée a est entre
a et c^ ou si elle est entre c et b. Il est évident que l'on pourra
facilement continuer la subdivision de l'intervalle jusqu'à ce que
Ton trouve deux nombres a et b' qui comprendront entre eux la
racine a , sans qu'il y ait dans ce même intervalle aucune racine
de l'équation y" (.r) = o.

On peut comparer de la même manière les deux fonctionsy^(x)
etf{x). Si elles avaient un facteur commun 9(^), ce qui est le cas
des racines égales, on résoudrait séparément l'équation ^{x)=o.
Si ce facteur <f{x) n'existe pas, ou si l'équation ç(a:)=o n'a aucune
racine y comprise entre les limites a et 6 ^ on peut rapprocher ces

CALCUL DES RACINES. i6i

limites par la division de l'intervalle , et obtenir d'autres limites
plus voisines d et h\ telles que l'équation f{pc) = o ayant une seule
racine dans l'intervalle de d et h\ l'équation /'(a?)=o n'ait aucune
racine dans ce même intervalle.

Il s'ensuit que dans la recherche qui a pour objet de calculer
la valeur d'une racine, nous pouvons toujours supposer les deux
limites données a et i telles que l'équation y (a?) = o ayant une seule
racine entre a exh , l'équation f [ce) = o ne puisse avoir aucune
racine dans cet intervalle, et qu'il en soit de même de l'équation
/» = o.

(4) Il est facile de reconnaître comme il suit si ces deux condi-
tions sont remplies. En effet les résultats des substitutions de a et
de h dans les fonctions /^-^ {x\ /^"-'^ {x\ . . .f\x\ f\x\ f{x) sont
déjà connus par les opérations qui ont servi à déterminer les limites,
et l'on a formé la série des indices propre à l'intervalle. On exami*-
nera si le dernier indice A étant i , les deux indices précédents soi)t
o et o. Si cela a lieu , on est assuré que le§ équations y (j?) = o et
f'\x) == o n'ont aucune racine entre les limites aetb, et nous prour
verons que ce cas est celui où l'on peut appliquer avec certitude
la règle d'approximation. Maïs si les trois derniers indices ne sont
pas o o I , on diminuera l'intervalle jusqu'à ce que cette condi-
tion subsiste ; ou, si cela est nécessaire , on considérera séparément
les facteurs communs que nous avons désignés par ^ (x) et 9 (x).

Si les deux suites comparées

/(-) (a) , /(-J (a) /"(a) , /' (a) , /(a) ,

/^"\*), f'-Kb) .... ./"(*), /'(b), f{b),

sont telles qu'en omettant les derniers résultats f{a) et f{b) , lés
signes soient les mêmes, il est évident que. les conditions précé-
dentes sont remplies: car la suite terminée pary'(a) aurait autant
de changements de signes que la suite terminée par/*'(i), et il en
serait de même des deux suites terminées, l'une pary*''(a),rautre
par r'{b). Donc si les suites (a) et {h) diffèrent seulement par lé
dernier signe , il ne restera plus qu'à procéder au calcul de la

i6a LIVRE DEUXIÈME.

racine. Oa verra dans l'article suivant que cet état des deux suites
ne constitue pas un cas particulier : il forme au contraire Tétat gé-
néral ; et c'est pour cela qu'on doit considérer avec attention cette
disposition des deux suites. Lorsqu'elle ne subsiste pas d'abord ,
on peut toujours l'établir en rapprochant les limites.
Par exemple si l'équation proposée est

x^ -+-30^ + ^a? — Sx* — aor — a==o,

on trouve , en désignant le premier membre de cette équation par
,/{x)j que les nombres o et lo substitués dans la suite des fonctions

donnent ces résultats

o o o I 1 I

(lo) ... -h + 4- H- 4- 4-.

Il y â une seule racine entre les limites o et lo: mais ces limites ne
sont point assez approchées pour que les équations f''{x)z=o et
y*'(a?) = o n'aient aucune racine dans ce même intervalle; car on
voit en formant la série des indices , qui est o o o i t i , que l'équa-
tion y*'' (a:)=o a une racine entre o et lo, et qu'il en est de même
de réquation/*'(ar) = o. Il faut donc substituer un nombre inter-
médiaire. Soit I ce nombre; on trouve les résultats suivants :

(i)...+ + + 4- + —
o o o o o . I
(lo) ... -I- 4- + + -h +.

Ainsi la racine cherchée est entre i et i o ; et ces limites sont telles
que l'équation y (o?) = o et l'équation y" (o?) = o n'ont aucune ra-
cine dans ce même intervalle. C'est ce que montre la série des in-
dices ooooo I.

(5) Nous placerons ici la démonstration de deux lemmes qui

CALCUL DES RACINES: i63

sont d'un usage très-fréquent daoâ le calcul des limites et des valeurs
des racines.

I® Si les deux suites

(b) . . ./<-)(*), /(-)(*) rÇb), /'(*), /(b)

sont telles que chaque 'terme de la première ait le même signe que
le terme correspondant de la seconde , la même condition aura
lieu lorsqu'on substituera dans les fonctions au lieu de;r un nombre
intermédiaire quelconque c plus grand que a et moindre que b:
chaque terme de la suite

aura le même signe que le terme correspondant de la suite (a).

En effet le signe àef (a) est par hypothèse le même que celui
de/'(b). Supposons que ce signe commun soit encore celui de toutes
les valeurs que Ton trouve en substituant dans /'(x) une valeur
intermédiaire quelconque prise entre les limites a et b, en sorte
■ que la fonction /*' (a:) conserve son signe pour toutes les valeurs
possibles de x qui tombent dans l'intervalle de a k b. Il faudra en
conclure que la fonction /{oc) est toujours croissante ou toujours
décroissante dans ce même intervalle, puisque la fluxion du pre-
mier ordre y (a;) conserve le même signe + ou — . Donc y (a)
ayant le même signe que /(b) , etf{x) étant toujours croissante ou
décroissante , cette même fonction f{x) ne pourra point devenir
nulle dans ce même intervalle. Donc en substituant dans y (or) toutes
les valeurs possibles comprises entre a et i, la fonction y(a?) con-
servera le même signe, savoir celui qui est commun kf{a) eXf{b).

On démontre de la même manière que si la fonction f"{x) con-
serve son signe dans tout l'intervalle des limites a exb, et si les
valeurs extrêmes^ (a) etf'{b) ont le même signe, la fonctiony"{jc)
conservera dans le même intervalle le signe commun dej' (a) elf{b).

En appliquant cette démonstration aux parties qui sont corres-
pondantes dans les deux séries, et qui sont de plus en plus reculées

i64 LIVRE DEUXIEME,

vers la gauche, on arrivera jusqu'aux deux signes qui précè-
dent tous les autres. Or il est évident que la fonction /^"-(oc) con-
serve son signe, puisqu'elle ne contient pas la variable x. Donc on
est assuré qu'une fonction /'(x) conserve le même signe dans un
intervalle donné, lorsque ses deux valeurs extrêmes ^'(a) ^tf{b)
ont le même signe , et lorsqu'il en est de même des valeurs corres-
pondantes/ (a) e\:f\b):f'{a) ft\ /"{h) , r\a) eXf^h), etc., que
Ton trouve en substituant les limites dans les fonctions différen-
tielles de tous les ordres.

Les valeurs extrêmes y*(a) et/(ft) d'une fonction /(a?) étant de
même signe, il pourrait arriver que les valeurs Aef{x) qui répon-
dent aux valeurs intermédiaires de x changeassent de signe, en
devenant nulles plusieurs fois dans l'intervalle. Mais cela ne peut
avoir lieu si le signe des deux valeurs extrêmes y'(a) et/^h) est le
même , et si cette condition subsiste pour toutes les autres fonctions
différentielles.

2® En général si Ton a comparé les deux suites

et si, ayant formé la série des indices, on trouve que le dernier in-
dice A qui répond à /(a?) est o, on est assuré qu'en substituant un
nombre intermédiaire c , et formant la série des indices propres à
l'intervalle de a à c^ et celle qui est propre à l'intervalle de c à &^
le dernier terme de chacune de ces deux séries d'indices sera o. En
effet si le dernier indice A', de la série propre à l'intervalle de a à
c n'était pas o, mais égal à y, il s'ensuivrait que la suite des résul-
tats perd un nombrey de changements de signe lorsque la gran-
deur substituée passe de la valeur a à la valeur c. Il faudrait donc
qu'à partir de la valeur intermédiaire c jusqu'à la valeur extrême
è, la suite des résultats pût acquérir un nombreyde changements
de signes lorsqu'on augmente par degrés insensibles les grandeurs
substituées. Or nous avons reconnu que cela est impossible , car je

CALCUL DES RACINES. i65

nombre des changements de signes ne peut que diminuer lorsqu'on
augmente la quantité substituée.

On prouve de la même manière que le dernier terme de la série
des indices propre à l'intervalle de c à & ne peut pas être un nombre
j différent de o. Car il faudrait que dans l'intervalle précédent la
suite des résultats eût acquis un nombre j de changements de
signe 9 ce qui est impossible.

Donc si les deux suites comparées (a) et (b) sont telles que le
dernier termç A de la série des indices propre à l'intervalle soit o ,
on. trouvera toujours le dernier indice égal à o si Ton divise l'in-
tervalle par la substitution de nombres intermédiaires : chaque in-
tervalle partiel aura zéro pour dernier indice.

Les deux lemmes que l'on vient de démontrer sont, pour ainsi
dire, évidents pour le cas où la fonction contient une seule variable,
qui est le seul que nous considérons ici; et le premier lemme est
un cas particulier du second. Il suffisait en quelque sorte d'énoncer
ces deux propositions, qui sont des conséquences manifestes de la
théorie précédente. Mais il a paru préférable de les développer,
parce qu'elles ^'appliquent aux fonctions formées d'un nombre quel-
conque de variables. Nous ne considérons point ici cette proposi-
tion générale , mais il serait facile de la démontrer par les mêmes
principes ; c'est un élément remarquable de l'analyse algébrique.

(6) Il nous reste maintenant à prouver que si les deux limites entre
lesquelles on cherche une racine ont été assez rapprochées pour
que les conditions énoncées dans l'article. 3 .soient remplies^ on
peut procéder sans aucune incertitude à l'approximation. Prenons
pour exemple le cas où les derniers signes des deux suites compa-
rées sont

(«) + + —

o o I

(*) + + -H,

et supposons que les conditions dont il s'agit ayant lieu , c'est-à-
dire que les trois derniers indices étant o o i , il s'agit de calculer

i66 LIVRE DEUXIÈME.

la valeur de la racine , que Ion sait être plus grande que a et moindre
que b. Nous présenterons d'abord la solution analytique de la ques-
tion ; ensuite nous donnerons les constructions qui s'y rapportent
et rendent les résultats très-sensibles , comme on peut en juger en
passant d'avance à l'article lo.

Soit S la quantité inconnue qu'il faut retrancher de b pour trouver
exactement la racine o;^ en sorte que a? soit égale kb — 6. On a donc

Si l'on développe cette expression jusqu'au second terme seule-
ment, on a

Ab)-e/Xb^€ *)=o.

On désigne parf^b — 6. . . .A) ce que devient la fonctiony"(j:) lors-
qu'on met au lieu de x une certaine quantité b-^S.. . .b, que l'on
sait être comprise entre les valeurs extrêmes de la variable. Ces va-
leurs extrêmes sont b — Set b, on x et b. On a donc

€

/(*)

On en conclut

X

On peut encore exprimer ainsi cette valeur àe x ,

f\aV..b) '

car toute valeur comprise entre x etb est afordoii comprise entre
a etb.

Il faut observer que la fonction y (a?) , qui est par hypothèse po-
sitive lorsque ;r = a et lorsque x=iby demeure constamment po-
sitive lorsqu'on donne à x une valeur quelconque comprise entre
a et b; car ce signe ne pourrait changer que si une de ces valeurs
intermédiaires rendait nulle la fonction/*' (or), ce qui est cooâraire
à notre hypothèse. Donc la fonction /'(a;) conserve le signe *v dans

CALCUL DES RACINES. 167

tout Tintervalle compris entre a et b. Il en est de iBeme de là fone^
tiony^'(a;), et on le démontre de la même manière. Donc la fonc-
tion y (j:), positive depuis a?=a jusqu'à a?=è, est toujours crois-
sante dans cet intervalle, puisque sa fluxion du premier ordre^
savoir y" (j?), est toujours positive dans ce même intervalle.

Il suit de là que parmi toutes les valeurs que reçoit la fonction
f'{x) lorsqu'on fait varier x depuis x^=a jusqu'à a:=è, la plus
petite est/"' (a) et la plus grandey'(è). Or la valeur exacte de x est
ainsi exprimée,

x=b

/(*)

/'{a...b)

Donc en remplaçant y (a. . .b), par/"(è) , on dîviseray(&) par une
quantité trop grande. On retranchera donc de b moins qu'on ne
devrait retrancher pour trouver la valeur exacte de la racine : donc

b — ^Wr est une quantité b^ moindre que ^, et plus grande que la

iracine cherchée. Ainsi l'on a déduit de la plus grande limite b une
valeur b' plus approchée de la racine que ne l'était la limite b , et
qui surpasse encore la valeur de cette racine.

(7) On peut aussi employai la moindre limite pour trouver une
valeur plus approchée de la racine. Soit a + a la valeur exacte de
la racine x, a étant une quantité inconnue. On a l'équation

/(a4-a)=o,

ou, développant jusqu'au second terme seulement,

f{a)+ oLf\a. . . . a + a) = o.

La valeur de la variable sous le signe /' est une certaine quantité
que l'on sait être comprise entre a et a + a ^ ou entre a et x. On a
donc

fl — — r ^ ^ t •

et parce que toute quantité comprise entre aetx est l'une des va-

i68 • LIVRE DEUXffiME.

leurs comprises entre a et b, on a

_ /(«)
Donc

*~~ r{a...b)

J'{a...by

Il faut remarquer que la valeur Aef{a) est négative, et que celle
àef\a. . .h) est positive: en sorte que le second terme de Texpres-
sion de x est une quantité positive ajoutée à la limite a. On a vu
précédemment que la plus grande des valeurs que Ton puisse trouver
en substituant dans y*' (a) une quantité comprise entre a et b est
f'(b). Si donc dans la dernière expression de la valeur dex, on
écrit/' (b) au lieu de/' (a. . .b)^ on rendra trop petite la quantité
qui est ajoutée à la limite a. Donc la valeur exacte de x est certai-
nement plus grande que

(8) Nous venons de déduire d'une première valeur approchée a,
moindre que la racine , une seconde valeur plus approchée que a ;
puisque, sans cesser d'être moindre que la racine x, elle est plus
grande que a. Soit a' cette nouvelle valeur approchée, on aura

Il ne reste plus qu a combiner cette nouvelle limite a' avec la seconde
valeur approchée b' que Ton a déduite de la première b, et qui est
ainsi exprimée,

b'=b^^i

Les limites a et b, dont l'une a est plus grande et l'autre b est moindre
que X , sont donc remplacées par des limites plus voisines a' et b\
dont l'une a est moindre, et l'autre b' est plus grande que la racine
cherchée x. Il faut remarquer que ce calcul des valeurs a' et b* se

a

CALCUL DES RACINES. 169

réduit à celui des quotients ^^ , ^rk • ^^ ^^* '^^^^ résultatsy(a),

f(b)^f{b) sont déjà connus par le procédé qui a servi à déter-
miner les premières limites a et b. Il est donc très-facile d'obtenir

. les nouvelles valeurs a' et b' plus approchées que a et b.

En se bornant à l'application commune de la méthode newto-
nienne, on n'obtient qu'une seule limite, et par conséquent on
ignore combien il faut calculer de chiffres lorsqu'on effectue la di-
vision indiquée. Mais le procédé que nous venons de démontrer
n'est pas sujet à cette incertitude, puisque l'on connaît deux nou-

'velles limites a' et b\ dont l'une est moindre et l'autre plus grande
que la racine. Dans le calcul des valeurs de a' et b\ qui sont

'7Hb\ ^* ^ ^ TjÀ y ^^ ^^ ^^^^ P^^^^ employer les valeurs exactes

des quotients, qui pourraient être trop composées. Il suffit de pro-
longer le calcul jusqu'à ce que les valeurs de a' et b' ne difïîèrent
que d'une très -petite quantité, en conservant cette condition que
la valeur de a doit être prise trop petite et la valeur de b' trop
grande. Désignant donc par a^ et b' les nouvelles valeurs que l'on
aura ainsi déterminées , on emploiera ces secondes limites a et b'
pour en déduire suivant le même procédé de troisièmes limites
a' et è". Si l'on continue indéfiniment ce genre d'approximation
on trouvera des valeurs de plus en plus exactes , et l'on connaîtra
toujours les limites de l'erreur.

(9) Nous allons maintenant chercher la mesure de latconvergence,
c'est-à-dire la loi suivant laquelle l'intervalle des limites diminue
continuellement : l'expression de eette loi est un des éléments prin-
cipaux de notre question.

Soit i la différence de deux limites a et b, entre lesquelles la ra-
cine X est comprise , et assez voisines pour que réquationy^'(a?) = o
et l'équation y (a:) = o n'aient aucpne racine dans ce même inter-
valle. Nous avons vu i** qu'il est facile de reconnaître si ces condi-
tions sont remplies ; 2® que si elles subsistent on déduit des limites
donnée» a et b d'autres limites plus voisines a! et b\ ainsi expri-

170 LIVRE DEUXIEME.

mées,

Soit i la différence b' — a des nouvelles limites ; les différences
b — a et V — ^', ou «et î', ont une relation quil s'agit de décou-
vrir. On résout immédiatement cette question en substituant b — i
au lieu de a dans l'expression de a : on trouve ainsi les équations

b'=b-^

f'{b)

Développant y (è — i) jusqu'au troisième terme, on a

f{b)-ir{b)+'lr{b-i...b)
d=b—i j^j^^

On désigne par b — i. . .b une valeur de la variable comprise
entre b — i et b, c'est-à-dire entre a et b. Retranchant de b' l'ex-
pression de a! ainsi développée , on trouve

^ «— ^ f'{b)^r{b) ^ + a r{b) '

ou

Ce résuhat est très-remarquable ; on voit que la différence i des
deux premières limites étant connue, on trouverait la différence i'
des deux nouvdles limites ^ en multipliant le carré de i par le coef-
ficient fi\i\ - Le dénominateur ^f{b) est connu; le numérateur

f"{a. . .b) est la valeur que l'on trouverait en substituant dans la
fonction y*'' (a;) une quantité comprise entre a et b. Nous désigne-
rons par G une valeur approchée ducoeffident y** ■, mais plus

grande que ce coefficient. Il est facile , comme on le verra dans les
articles suivants , de former cette limite G , et d'en déduire une va-

CALCUL DES RACINES. 171

leur approchée C i* de la différence i'.Nous montreroos aussi Tusage
pratique que l'on doit faire de cette valeur approchée C /", pour en
conclure le nombre de chiffres exacts donnés par chaque opéra-
tion. Nous ne voulons ici qye. faire remarquer le caractère de l'ap-
proximation qui résulte de l'emploi des deux limites.

En effet si la différence b — a des. deux premières est devenue
une quantité fort petite , par exemple une unité décimale de sep-
tième ordre, ou (-—)% l'expression de î', ou Ci% montre que la
différence i des deux nouvelles limites est de même brdre que
( tV) '^- Le nombre C a une valeur une fois déterminée^ qui ne change
plus dans le cours de l'approximatiout, et les différences i, i\ i'\ etc.
deviennent des unités décimales d'un ordre très-élevé. Les secondes
limites a' et 6' pourraient encore être assez distantes, lorsque les
premières a et ^ ont une différence considérable : mais la conver*
gence de l'approximation devient de plus en plus rapide , et chaque
opération fournit un nombre toujours croissant de chiffres exacts.
Nous développerons davantage par la suite ces conséquences , et
l'on reconnaîtra combien elles facilitent l'approximation*

(io) Après avoir indiqué les principes analytiques qui servent
de fondement à cette recherche, nous allons faire connaître les con-
structions géométriques qui représentent les résultats. Ces construc-
tions sont très-simples, et analogues à celles qui nous ont s^rvi pour
la distinction des racines imaginaires , article a3 du premier livre.

Nous prendrons pour exemple le cas cité d^ins l'article 6,* c'est-
à-dire le cas où les derniers signes des suites comparées sont

f\x),f{x),/{x)

(a) + -*• —

o a I

(*) -»- + +,

et les troilï derniers indices sont- les jiombres oo i.

L'arc m n (6g, 7) représente une partie de la ligne courbe dont
l'équation est

17a LIVRE DEUXIÈME.

Les abscisses oa,ob désignent les limites données a et b. Les or*
données extrêmes am,bn sont les valeurs de /(a) etX{b). Uarc
m an, qui correspond àFintervalle ab des deux limites, n'a aucun
point d'inflexion, parce que Findice antépénultième étant o , l'équa-
tion^" (a?)=o n'a aucune racine entre ces limites. La courbe tourne
sa convexité vers la partie inférieure de la planche, parce que la
fonctiony''(a?) conserve le signe H- dans tout l'intervalle ab, Lot
fonction y '(or) conservant aussi le signe + dans cet intervalle, il
s'ensuit que l'arc m an est ascendant. Ainsi l'ordonnée f(x) au-
gmente continuellement lorsque l'abscisse augmente; cette ordon-
née , d'abord négative au point a , s'approche de plus en plus de
zéro , et lorsqu'elle est devenue positive elle s'éloigne de zéro : il
y a un seul point d'intersection de la courbe et de l'axe au point a.
Supposons qne par le point n on mène une tangente à la courbe,
et que l'on prolonge cette tangente jusqu'au point b' où elle ren-
contre l'axe , il est évident que le point b' étant compris entre a et
b , l'abscisse o 6' sera une valeur plus grande que la racine , mais
plus approchée de cette racine que ne l'était l'abscisse o b. Si main-
tenant on mène par le point m une parallèle à la tangente nb\]e
point a où cette parallèle coupe l'axe étant compris entre a et a ,
labscisse o a' sera une valeur moindre que la racine, et plus approchée
de cette racine que ne l'était l'abscisse o a. Il ne reste plus qu'à
exprimer les valeurs de ces nouvelles abscisses ob' et oa'. Or au
point n le rapport de l'accroissement dy à l'accroissement dx, on

-^^-^, est égal au rapport de l'ordonnée /i& à la sous-tangente

bb'. On a donc

dxr{b) _nb_/{b) ^
dx ~hV~bV •

donc la ligne bV est égale à jrm- Ainsi la valeur de l'abscisse oV
est

\

CALCUL DES RACINES. 173

ce qui est Texpression de la valeur approchée désignée par }> dans
Tarticle 6.

Le rapport —^ au point n ^ ou ^"\ ^ ^ , est égal au rapport de •

• l'ordonnée am (prise avec un signe contraire) à la partie ad de

* Taxe interceptée entre l'ordonnée et la parallèle : on a donc

dxf\b)_ f{a)

dx

aa

7 , ou aa

Ainsi l'abscisse o d est égale à

a

'r{by

ce qui est l'expression de la valeur approchée désignée par a' dans
l'article 8.

Les deux résultats de l'approximation linéaire sont donc clai-
rement représentés par cette construction. Les abscisses oa, 06,
qui correspondent aux premières limites, sont remplacées par deux
autres o a et o V que l'on détermine en menant par le point n une
tangente à la courbe, et par le point m une parallèle à la tangente.
Désignant ensuite par ci et V les extrémités des sous-tangentes, ou
plus généralement deux points dont l'un est entre a et l'extrémité
d , l'autre entre h et l'extrémité II , on marquera sur la courbe les
extrémités rd et d des ordonnées qui passent par les points dé-
signés d et h\ et l'on procédera à l'égard des points rd et /l' comme
on a procédé pour les points m et n. Il est évident que l'on aurait
pu déduire de cette seule construction la connaissance des deux

■" 7^^ ^* ^ — fhh\ ' ^"^ ïious avons obtenue
par le calcul , articles 6 et 7. La première de ces valeurs est celle que
donne la règle newton ienne : en général cette règle consiste tou-
jours à corriger la première valeur approchée , considérée comme
une abscisse , en ajoutant à cette abscisse la valeur de la sous-tan-
gente. L'autre valeur approchée a — j^ complète l'approximation

valeurs approchées h — '^-^frk et a

f'{b)

1.

a3

174 LIVRE DEUXIÈME,

lioféaire, ou du premier degré. Nous appelons ainsi celle qui ne
dépend que des fluxions du premier ordre.

(il) La construction précédente rend manifestes les conditions
qu'exige l'usage de l'approximation linéaire. En effet lorsque le
point b (fig. 7) est très-voisin du point d'intersection a , la tangente
menée par Textrémité n de l'ordonnée bn rencontre Taxe en un
point b' placé entre 6 et a, et la nouvelle valeur b' représentée par
l'abscisse ob' est beaucoup plus approchée que la précédente b repré-
sentée par l'abscisse o b. Mais si la première valeur o B à laquelle le
calcul s'applique correspond au point B, ilest manifeste que la
tangente menée par le point N peut rencontrer l'axe en un point
fort éloigné de l'intersection a. Il arrive dans ce cas que la règle
nev^tonienne ne donne point avec certitude la valeur de la racine
cherchée : elle peut conduire à des résultats très-différents de celui
qui est l'objet de la question. Pour que cette incertitude n'ait point
lieu, il est nécessaire que le point n extrémité de l'ordonnée bn
soit moins éloigné de l'origine o que le point d'inflexion le plus
voisin r.

On voit aussi que l'approximation newtonienne ne peut pas être
appliquée indifféremment à la limite a et à la limite b; car la tangente
menée par l'extrémité m de l'ordonnée am pourrait rencontrer
l'axe en un point plus éloigné de l'intersection a que ne l'était le
point b. Les limites oa,ob (fig. 8) , entre lesqueUes il se trouve un
seul point d'intersection a, pourraient être assez éloignées pour
qu'il y eût dans cet inteirvalle a b plusieurs points /^^ p oà la tangente
est parallèle à l'axe, et plusieurs points d'inflexion r,r,r qui séparent
un arc convexe d'un arc concave. Dans ce cas on ne doit point
encore faire usage de l'approximation linéaire : il faut diminuer
l'intervalle jusqu'à ce que l'arc qui répond au nouvel intervalle a b'
ne contienne aucun point p de maximum ou minimum, ni aucun
point d'inflexion r.

Dans le Traite de la Résolution des éqnatiom numériques , on
avait déjà montré que la règle donnée par Newton est incomplète^
en ce qu'elle ne fX)rte point un caractère qui assure l'exactitude

CALCUL DES RACINES. 176

de l'approximation. L'illustre auteur fait obsei^er (Introduction,
page x) qu'en négligeant à chaque opération des termes dont on
ne connaît pas la valeur , on ne peut point juger du degré d'exac-*
titude de chaque correction; et ii ajoute (page 129, a* édition)
qu'il est difficile , et peut-être même impossible , de trouver a priori
vt caractère pour juger si la condition qui rend l'opération con-
vergente est remplie ou non. Cette question importante est com-
plètement résolue par la méthode que nous avons donnée dans le
livre précédent pour déterminer les limites des racines : car on con-
naîtra par cette méthode si réqiMition/'(a7) = o a une seule racine
réelle entre deux limites aet b^ et&i chacune deséquationsy*'(â7)=:o
et/\x) = o n'a point de racine dans cet intervalle. De plus on peut,
dans tous les cas, assigner pour chaque racine deux limites qui sa-
tisfont à ces conditions. Donc l'approximation linéaire, dont la règle
newtohienne fait partie, peut toujours être appliquée.

La construction rend cette conséquence évidente pour le cas
indiqué plus haut, car l'arc mn (fig. 7) ne peut avoir ni point
d'inflexion, ni tangente parallèle à l'axe, puisque les équations
/''(x) = o et/'(x)=^o n'ont aucune racine réelle entre a et h. Il
suffît donc dans ce cas d'appliquer la règle. La première valeur
approchée b conduira à l'extrémité de la sous * tangente ; ou si,
pour £sici literie calcul, on s'arrête en un point S' voisin du point b'^
et compris entre b' et b, on passera suivant le même procédé de
ce point ê' à un autre point €" plus rapproché du point d'inter-
section a. Cette approximation peut être continuée indéfîqiment.

(12) La disposition de la figure n'est pas toujours celle que l'on
vient d'indiquer. Il faut en général distinguer quatre cas , savoir ceux
que représentent les figures 9,10, ii,ia,«t dont nous venons de
considérer le premier. Dans ce premier cas (fig. 9), l'approxima-
tion se forme, comme nous l'avons dit, au moyen des tangentes
successives , dont la première est menée par le point n. Dans le
d^ixième cas (fig. 10) la première tangente passe par le point m.
Dans le troisième (fig. 11) eUe passe aussi par l'extrémité m de
l'ordonnée a m. Pour le quatrième cas (fig. la) la première tangente

23.

«

176 LIVRE DEUXIÈME.

part de Textrémité n de l'ordonnée bn. La seule inspection . des
figures démontre la convergence dès approximations : elle fait con-
naître aussi que, dans tous les cas, la condition de cette conver-
gence consiste en ce que l'arc m n doit être exempt de sinuosités
et de points d'inflexion. Or cela aura toujours lieu si les équations
f'(x)=o et f"(a:)==o n'ont aucune racine réelle entre a et b. On
s'en assurera , comme nous l'avons dit , en substituant les limites
a et b dans la suite des fonctions

/(-)(x),/(^-0(ar) /'», /», f'{x),f{x),

ce qui donnera deux suites de résultats , savoir :

(«) f''Ka),f^'-%a) f"'{a) , /"(«), /'(a), /{a),

{b) /W(A), r-'\b) /'"(*), /"(b),f{b), f{b).

m

On comparera les deux suites de signes (a) et (b). Si ces deux suites
ne diffèrent que par le dernier signe, qui est positif pour l'une
des limites et négatif pour l'autre , il est certain que les équations
f"{x) = o^ y'(a?)=o n'ont aucune racine dans l'intervalle. Donc
l'arc mn n'a aucune tangente parallèle à l'axe, et n'a aucune inflexion.
Par conséquent les limites sont assez voisines pour que l'on puisse^
sans aucune incertitude, faire usage de la règle d'approximation.
On voit aussi qu'il n'est pas nécessaire que les deux suites de
signes (a) et {b) ne diffèrent que par le dernier signe ; il sufHt de
comparer les nombres de changements de signes de ces deux suites.
On procédera à cette comparaison, en allant de gauche à droite ,
et l'on s'arrêtera d'abord à la fonctio;iy''(a;) inclusivement. Si Ion
trouve que les deux limites ont jusqu'à ce terme le même nombre
de changements de signes , on en conclura que l'équation f"{x) =^0
n'a aucune racine entre les limites a et b. On comparera aussi les
deux suites (a) et {b) en s'arrétant à la fonction y (j?) inclusive*
ment, et s'il arriveque les deux suites aient encore le même nombre
de changements de signes, on en conclura que l'équation /*' (or) = o
n'a aucune racine entre les limites a et b. On pourra sjors pro-

CALCUL DES RACINES. 177

céder immédiatement à Tapplication de la règle , et l'on sera assuré
de trouver des limites a et 6' plus approchées que les précédentes
a et è.

Cette comparaison des deux suites (a) et (è) se réduit, comme
on le voit , à former la série des indices propre à l'intervalle des
limites a et i&, et à examiner si les trois derniers, indices sont
001: cette condition est nécessaire et suffisante. Si elle n'était pas
remplie l'approximation serait erronée , ou du moins incertaine ;
on ne doit y procéder qu'après avoir rapproché les limites. Mais
lorsque les trois derniers indices sont devenus o o i , on est averti
que les deux limites a et ^ sont assez voisines pour que l'on puisse
faire usage de l'approximation linéaire. On passera ainsi des limites
a et ^ à deux autres a et h\ qui auront la même propriété que a
et h : l'une de ces nouvelles limites est donnée par la règle newto-
nienne ; elle est représentée dans' le premier cas (fig. 9) par

(i3) Les constructions font connaître très-clairement que la règle
newtonienne ne doit pas être appliquée indifféremment à l'une
où à l'autre limite; dans le premier cas (fig. 9) l'arc est ascendant
et concave ; il tourne sa convexité vers la partie inférieure de la
planche. Dans le second cas (fig. i o) l'arc est descendant et con-
cave. Dans le troisième (fig. 1 1) l'arc est ascendant et convexe; il
tourne sa convexité vers la partie supéjrieure de la planche. Dans
le quatrième cas (fig. m) l'arc est descendant et convexe.

Pour le premier cas les trois derniers signes de la suite (a) que
l'on forme en substituant a dans les fonctions

/»,/'(x),/(x)
sont

et ceux de la suite (b) sont

178 LIVRE DEUXIÈME.

Pour le second cas , les trois derniers termes des dmx suites sont

(a) + — -*-

(*) "+ - —

•

Pour le troisième cas, les trois derniers termes des deux suites, sont

(a) — + —

(*) - + +.

Enfin pour le quatrième cas , les derniers termes des suites sont

(«) — — -+-

(^b) — — — •

Dans le premier et le quatrième cas c'est à la plus grande limite
b que le procédé d'approximation doit être appliqué, parce que la
tangente menée par le point n donne certainement une seconde
valeur b^ plus approchée que b. Dans le second et le troisième cas ,
c'est à la moindre limite a qu'il faut appliquer la règle , car la tan-
gente menée par le point m donne certainement une valeur a' plus
approchée que a.

Pour distinguer celle des deux abscisses qui représente la limite
que l'on doit choisir, il suffit de remarquer que de l'extrémité de
cette abscisse on voit la convexité de l'arc mn, et non point sa
concavité. Cette limite peut être appelée extérieure, parce que le
poftfit qui la termine est hors de l'espace que la courbe renferme.
L'autre limite est intérieure.

Il n'est pas moins facile de reconnaître les limites par les signes
des deux suites (a) et (b). La limite extérieure est toujours celle qui
donne le même signe pour /{x) et y (x).

. ( 1 4) On a vu que , pour l'application régulière de la règle , il est

nécessaire de connaître deux limites aetb entre lesquelles est seule

comprise la racine dont on calcule la valeur , et de s'assurer , en

substituant les deux nombres a et b dans la suite des fonctions

/^"^ (x). . . . /" (x) , /\x) , /(p^\ que l'équation /(x) = o ayant une

CALCUL DES RACINES. 179

seule racine entre a et b, l'équation f\x)=^o n'a aucune racine
dans cet intervalle, et qu'il en est de même de réquationy''(a?)=:o.
On détermine ces limites par la méthode que nous avons expliquée
dans le premier livre , et si elles n'étaient point d'abord assez rap*
prochées pour que la série des indices propre à l'intervalle eût pour
derniers termes o o i , il faudrait diminuer l'intervalle jusqu'à ce que
cette condition fût remplie. Il est toujours facile d'obtenir ce der-
nier résultat , et les constructions rendent cette conséquence mani-
feste. L'arc de courbe mn dont l'intersection avec l'axe détermine;
la racine cherchée pourrait être assez étendu pour qu'il présentât
des sinuosités et des inflexions , quoiqu'il n'eût qu'un seul point
d'intersection : c'est ce qui arriverait , par exemple , si cet arc était
celui que représente la figure 8. On pourrait supposer les limites
a et b assez éloignées pour que l'arc mn eût deux points p et p
de maximum ou de minimum, et trois points d'inflexion r^r^r,
quoiqu'il eût un seul point d'intersection «. Mais il est manifeste
qu'en rapprochant les limites on parviendrait à des valeurs plus
voisines a et b\ telles que l'arc m/i fût entièrement exempt de
sinuosités. Il faut seulement remarquer les cas singuliers où Ton ne
pourrait pas séparer ainsi les points d'inflexion y d'intersection , et
de maxima ou minima. Gela arrive i^ si deux racines sont égales,
2^ si le point d'inflexion r coïncide avec le point d'intersection «.
On ne considère point ici le premier cas , parce que les deux ra*
cines n'étant point séparées , lia série des indices propres à l'inter-
valle ne serait pas terminée, comme on le suppose , par le nomjire
I : le dernier indice serait s. Quant au second cas , il est analogue
à celui des racines égales , et l'un et l'autre sont faciles à distinguer.
Pour le premier, les deux fonctions y*' (a;) et /(a?) ont un facteur
commun y et pour le second les deux fonctions/" " (a) ety(a?) ont
un facteur commun. Il suffit donc de comparer ces fonctions afin
de reconnaître si elles ont un diviseur commun y et nous avons vu
précédemment que cette comparaison fait partie de la règle qui sert
à déterminer les limites des racines.

i8o LIVRE DEUXIÈME.

(i5) Nous résumerons maintenant 1 énoncé général des consé-
quences que l'on vient de démontrer.

En appliquant à une équation proposée y (a:) =o la méthode que
nous ayons donnée pour la détermination des limites , on est par-
venu à distinguer un intervalle terminé par deux nombres a et ^,
et dans lequel il se trouve une seule racine : on continuera comme
il suit le calcul de cette racine. La série des indices propre à l'in-
tervalle a , par hypothèse , pour dernier terme i . On examinera si
les deux suites de signes données par la substitution des limites a
et b ne diffèrent que par le dernier signe, ce qui arrive le plus
communément. Lorsque cette condition a lieu , on peut appliquer
immédiatement la méthode d'approximation. On peut aussi pro-
céder à cette application si les deux suites de signes étant différen-
tes, les trois derniers termes de la série des indices sont o o i. Si
cette dernière condition n'est pas remplie, on est averti que les
limites ne sont point encore assez voisines pour que l'on puisse
faire usage avec certitude de la règle d'approximation : il faut di-
minuer l'intervalle des limites par la substitution d'un nombre in-
termédiaire. Mais avant de procéder à cette subdivision de l'inter-
valle, on examine si les fonctions y^'(a:) et/(x) ont un diviseur
commun 9(0?). Si ce cas singulier se présentait , et si de plus l'équa-
tion 9 (a?) = o avait une racine réelle a entre aetb, ce qu'il est très-
facile de connaître d'après les principes que nous avons établis , il

«

ne resterait plus qu'à déterminer cette racine a. On appliquerait
donc la règle actuelle à l'équation 9(a;)=o.

Lorsque le facteur commun n'existe pas , on arrive certainement^
par la division de l'intervalle , à deux limites a et b telles que les
trois derniers indices sont 001. On distingue alors celle des deux
limites qui ^donne le même signe étant substituée dans y ''(a?) et
/(/xi) , et désignant par c cette limite extérieure , on substitue c -h y
au lieu de c dans l'équation /*(^) = o; on omet dans le résultat les
puissances de y supérieures à la première , et l'on détermine ainsi ,
par la seule division numérique , une valeur approchée de y, en pre-
faant le quotient trop faible, abstraction faite du signe. On trouve

CALCUL DES RACINES. i8i

ainsi une seconde valeur approcliëe <c', et Ton pourrait continuer
le même procédé de calcul en opérant sur la nouvelle limite c' de
même que Ion a opéré sur la limite c.

(i6) On voit par ce qui précède que cette application de la règle
donnerait des valeurs de plus en plus approchées , mais qui seraient,
comme iious l'avons dit article a , ou toutes plus grandes que la
racine^ cherchée, ou toutes moindres que cett^ racine. Il en résul-
terait qu'en effectuant la division numérique pour connaître une
tnodvelle partie de la racine, on ignorerait jusqu'à quel terme cette
opération doit être portée. Si l'on se bornait à un seul chiffre du
quotient on perdrait un des plus grands avantages du procédé ;
car une seule opération peut donner plusieurs chiffres exacts, et
elle en donne d'autant plus que l'on en connaît déjà un plus grand
nombre. Si au contraire on portait le quotient au-delà du terme
où les chiffres cessent d'appartenir à la racine , on rendrait les opé-
rations ultérieures compliquées et confuses. Il est évident que l'ap-
plication régulière d'un tel procédé exige que l'on connaisse , par
une règle certaine, combien chaque opération donne de chiffres
qui appartiennent effectiA'cment à la racine. Or nous avons établi
plus haut les principes qui résolvent complètement cette question.
On en déduit la règle suivante pour le calcul des valeurs appro-
chées des racines , lorsqu'on a trouvé deux limites a et ^ qui, sub-
stituées dans les fonctions /"^"^ (^) • • • f" (^) ifi^y fip^ » donnent
deux suites de résultats dont les signes sont les mêmes , excepté
ceux des deux derniers résultats ; ou plus généralement lorsqu'on
a trouvé deux limites a et & qui , substituées dans ces fonctions ^
donnent des résultats tels que la série des indices a pour ses trois
derniers termes o o i. Il faut , désignant par 6 celle des deux limites
qui, substituée dans les fonctions /'' (or) ^lf{x\ donne deux résul-
tats de même signe, former Fexpression

/té'

et désignant par « l'antre limite qui donne des signes différents
I. a4

i82 ^ LIVRE DEUXIÈME,

pour /"(a) ety"(«) , on formera l'expression

/_ ./(a)
""""^/^^

Les deux quantités a et 6' sont de nouvelles valeurs entre lesquelles
la racine x est comprise, et qui sont plus approchées que a et 6.

(17) Ces nouvelles limites S — 4Wx et « — fnF\y d^^^ites des

premières S et a , ne sont pas les seules que Ton puisse employer pour
le calcul des racines : l'approximation linéaire comprend en général
cinq limites qui dérivent des deux premières a et 6. La construction
(fig. i3) suffit pour indiquer ces cinq limites, et leurs propriétés.
Il faut par l'extrémité de l'ordonnée qui répond à Tune des limites,
mener une tangente à l'arc , et prolonger cette tangente jusqu'à sa
rencontre avec l'axe des abscisses. On mènera aussi une seconde tan-
gente par l'extrémité de l'ordonnée qui répond à l'autre limite; puis
on mènera par l'extrémité de chacune de ces deux ordonnées une
droite parallèle à la tangente qui passe par l'extrémité de l'autre or-
donnée. Enfin on fera passer par les extrémités des deux mêmes or-
données une sécante, en marquant son point d'intersection avec l'axe
des abscisses. Cela posé , le système de ces cinq lignes droites repré-
sente toutes les conditions de l'approximation linéaire , ou du pre-
mier degré ; c'est-à-dire que l'on connaîtra ainsi les nouvelles va-
leurs approchées que l'on peut déduire des deux limites primitives
a et 6 par la seule résolution des équations du premier degré. On
peut choisir , selon la nature des cas particuliers , celle des cinq
limites qu'il est le plus facile de calculer ; mais il n'arrive pas tou-
jours que l'on est fondé à conclure que les deux nouvelles limites
sont nécessairement plus approchées que les deux précédentes. Cette
propriété n'appartient qu'aux deux quantités exprimées dans l'ar-
ticle précédent par

e-M et «-^)

et à cdlle des cinq limites qui est indiquée par la sécante. Cette dér-

CALCUL DES RACINES. i83

iiière a pour expression

Le facteur qui multiplie — f[€) est le quotient de la différence 6 — a
des deux abscisses par la différence /(€)—;/(a) des deux ordonnées;

et dans l'expression précédente ê — fTjk ^^ facteur *qui multiplie

— f{^) ^st le; quotient de la différentielle d& de labscissepar dî ./^(ê),
ou d./{€)^ qui est la différentielle de l'ordonnée : ainsi les deux
expressions diffèrent en ce que le signe de la différentielle est rem-
placé par celui de la différence finie.

Lorsque la différence des limites est encore assez grande, les cinq
nouvelles limites qui en dérivent diffèrent très-sensiblement les unes
des autres , et il convient de choisir celles qui donnent les valeurs
le plus approchées» Mais à mesure que l'intervalle des premières
limites diminue, les nouvelles limites que Ton en peut déduire se
rapprochent continuellement, et Tordre de la conv€;rgence devient
le même pour toutes. Nous ferons connaître par la suite la mesure
de cette convergence.

(i8) Le cas le plus simple de l'approximation linéaire est celui

que présentent les équations à deux termes de la forme

%

x" — A == o.

L'exposant m est connu , et A est im nombre positif : ainsi le
calcul se réduit à extraire la racine m**"* du nombre A. Or l'opéra-
tion arithmétique qui donne cette racine se déduit immédiatement
des principes que nous avons exposés. En effet, si l'on applique à la
fonction/(a:) , on oT — A , les règles énoncées dans le premier livre,
on connaît aussitôt le nombre des chiffres dont la racine est formée ,
et le premier de ces chiffres; on connaît donc ainsi deux premières
limites a et 6 entre lesquelles la racine est comprise, et qui diffè-
rent d'une seule unité décimale d'un certain ordre. Les trois der-
nières fonctions sont

24*

i84 LIVRE DEUXIÈME.

m (fltt — t) a::""* ma:*"" Jf — A.
La suite de signes qui répond à la limite a est

et la suite (^) est

{b) . -f- + + +»-

la série des indices a donc pour ses trois derniers termes

Or O ly

et l'arc est celui* que représente la figure i3. Si par le point mqup
repond à la moindre limite a on mène la tangente ma, on trou-
vera une sous-tangente a a qui , étant ajoutée à l'abscisse oa, don-
nera une nouvelle abscisse o or nécessairement plus grande que l'ab-
scisse oj: du point d'intersection. Ayant mené la tangente n^ par
Fextrémité n de lordonnée qui répond à la plus grande limite h,
si par le point m on fait passer une droite ma parallèle à cette tan-
gente, l'interceptée aa étant ajoutée à l'abscisse o a, donnera une
nouvelle abscisse o a nécessairement moindre que l'abscisse ox du
point d'intersection. Par conséquent la racine est comprise entre
oa' et oa : il faut donc ajouter à la partie déjà connue a la valeur

de aa, qui est jn-\ > ou "^, , et la somme surpassera certaine-
ment la racine x. Mais si l'on ajoute à la partie connue a. la valeur
de l'interceptée a a , la somme sera certainement moindre que la

racine. Or la ligne a a' a pour expression 4r/^, ou ^ ~ ^ : le nu-
mérateur a" — A est le reste R donné par l'opération arithmétique
qui a fait connaître une première partie de la racine. On en conclut
la proposition suivante : si l'on divise le reste R par m fois la puis-
sance m — i'^ de la partie a déjà écrite à la racine, le quotient
surpassera ce qu'il faut ajouter pour compléter la racine; mais si
Fou augmente d'une unité le dernier chifiTre écrit à la racine, ce quL

CALCUL DES RACINES, i85

donne par hypothèie une valeiar b plus grande que cette racine, et si
Ton divise le mente reste R par m fois la puissance m — r'*"' de b,
le quotient isera plus petit que ce qu'il faut ajouter à a pour cbm^

pléter la racine. Les deux quotients — --- , — tt— - diffèrent asser

au commencement de Topération pour que la comparaison de ces
quotients ne serve point d abord à faciliter le calcul de la racine i
mais lorsqu'on est parvenu à connaître un plus grand nombre de

chiffres exacts , le deux quotients — ;;^ ,, ,^_, diffèrent extrême-

ment^peu ; et comme on est assuré que les chiffres commims aux
deux limites appartiennent à la racine cherchée, il s'ensuit que
chaque opération fait connaître un certain nombre de chiffres'
exacts , et qu'il ne peut y avoir aucune incertitude sur le terme où
Ton doit s'arrêter dans la division numérique.

n est facihe de déterminer suivant quelle lor augmente le nombre*
des chiffres exacts que fournit chaque division numérique , et Ton
a fait depuis long-temps des remarques de ce genre au sujet des
opérations qui servent à extraire les' racines carrées et cubiques.
Mais ces conséquences ne sont point bornées à des cas aussi simples :
nous prouverons bientôt qu'elles conviennent aux racines de toutes
les équations algébriques, quel que soit le nombre des termes. Ces
propriétés sont même beaucoup plus générales; elles ne dépendent
point de la nature de l'équation déterminée dont on cherche la
racine; elles dérivent du caractère de l'approximation linéaire.

(19) On voit par l'article précédent que les règles élémentaires qui '
servent à^xtraire les racines numériques ne sont autre chose que des
applications très-particulières d'une méthode générale qui embrasse
les équations de tous les degrés. C'est sous ce point de vue que
Viete, Harriot, Ougthred, Newton et Wallis ont d'abord consi-
déré la question de la résolution des équations. Ils pensaient qu'it
devait exister une opération exégétique générale , propre à donner
successivement toutes les parties d'une racine quelconque d'une-
équation affectée. Ils désignaient par cette dernière expression,
réquation algébrique qui contient outre la puissance ocT de l'in^

i8f> LIVRE DEUXIÈME.

connoe et le dernier ternie connu A, diiTérents autres termes
formés des produits de coeiBcients donnés et des puissances infé-
rieures de l'inconnue. Newton découvrit la partie de cette méthode
générale qui s'applique aux équations littérales à une seule incon-
nue 9 et il en a fait un usage très-étendu dans l'analyse des séries.
Long-temps auparavant François Viete avait proposé les mêmes
vues ; mais les théories mathématiques étaient trop imparfaites pour
que l'on pût former à cette époque une méthode aussi étendue. Le cas
très-simple des équations à deux termes avait été facitement résolt»
parce que la nature des racines est manifeste , et que l'on i^'avait
besoin d'aucune règle pour en déterminer les limites. Mais si l'o»
suppose un nombre de termes et de coefficients quelconque, la dis-
tinction des racines réelles ou imaginaires, et la recherche de deux
limites pour chaque racine réelle, nécessitent un examen très-
approfondi : c'est cette question que nous avons traitée dans notre
premier livre.

Le calcul de la valeur numérique de chaque racine est fondé,
comme on l'a vu dans les articles 1 6 et 17, sur la comparaison de
deux limites de plus en plus approchées entre lesquelles cette racine
est nécessairement comprise. Les propositions que nous avons dé-
montrées suffiraient à la rigueur pour l'exactitude du calcul; mais
il importe beaucoup de donner à cette méthode un nouveau degré
de perfection, afin d'en rendre l'application usuelle et très-facile.
En général on ne doit pas regarder cette recherche comme ter-
minée tant que l'on n'est point parvenu à réduire l'opération aux
seuls calculs qu'il est indispensable d'effectuer. Il ne s'agit pas seu-
lement d'arriver avec certitude à la connaissance de la racine , il
faut donner à la méthode toute la simplicité qu'elle peut admettre
sans cesser d'être générale. Pour atteindre ce but nous avons à résou-
dre trois questions différentes dont on va faire connaître l'objet.

La première est purement arithmétique : elle consiste à ordonner
l'opération qui sert à diviser un nombre par un autre , en sorte qu'on
ne fasse concourir chaque chiffre du diviseur à la détermination
du quotient que lorsqu'il est devenu nécessaire d'appeler ce chiffra

CALCUL DES RACINES. 187

du diviseur pour qu'il n'y ait point d'incertitude sur celui que l'on
va écrire au quotient.

La seconde question^ a pour ob|et d'effectuer ïes substitutions
successives nécessaires au calcul de la racine dans un tel ordre
qu'aucune partie de l'opération ne soit répétée, et que l'on pour-
suive le calcul en ajoutant seulement aux opérations précédentes
le résultat correspondant à la nouvelle partie de la racine.

La troisième question consiste à assigner la mesure exacte de la
convergence de l'approximation, afin que l'on connaisse sans au-
cune incertitude combien chaque division numérique donne de
chiffres qui doivent être conservés comme faisant partie de la
racine.

(20) Si l'on examine la première question , on reconnaît d'abord
que la règle commune pour la division des nombres donnerait lieu
ici à des calculs superflus. En effet, pour déterminer les limites

a et b, on doit calculer les valeurs de quotients tels que irj^ ;

et le dénominateur y (a) provenant de la substitution de la partie
déjà connue a dans la fonction /' (a?) , peut contenir plusieurs chif-
fres décimaux, et contient en effet un grand nombre de chiffres
si l'opération est déjà très-avancée. Or les derniers de ces chiffres
du diviseur placés à la droite ne contribuent point à former les

premiers chiffres du quotient jrr^ 7 ^^ ce sont ces premiers chiffres

qu'il s'agit de connaître. Il faut donc n'employer que les chiffres
du diviseur qu'on ne peut pas se dispenser d'introduire daus le
calcul.

L'auteuf du traité intitulé ^rtis analjrcce praxis, Oughtred , a
laissé une règle de ce genre pour la multiplication des nombres;
et l'on cpnnaît aussi un procédé analogue pour simplifier le calcul»
de la division numérique lorsqu'on veut seulement connaître un
certain nombre de chiffres du quotient. Mais nous devons satis-
faire ici à une autre considération : elle consiste à n'appeler que
successivement les chiffres du diviseur, afin de pouvoir continuer

i88 LIVRE DEUXIÈME.

lopération à volonté; et surtout il faut reconnaître avec certitude
que le chîflfre écrit au quotient est exact Voici la règle que Ton
doit suivre dans tous les cas pour effectuer cette disfision ordonnée.

On marquera dans le diviseur quelques-uns des premiers chiffres
seulement, paf exemple les deux premiers, ou les trois premiers,
pu les quatre premiers; nous appelons diviseur désigné celui qui
est ainsi formé des chiffres que Ton a marqués. Gela étant , on di-
visera le dividende proposé par le diviseur désigné , en effectuant
cette opération selon une règle qui ne diffêre de la règle commune
qu'en un seul point. Voici en quoi cette différence consiste : toutes
les fois qu'on abaisse un chiffre du dividende à la suite du reste
donné par une opération précédente, et que Ion forme ainsi un
dividende partiel, il faut corriger ce dernier dividende en en re-
tranchant une certaine quantité ; on obtient ainsi un dividende par-
tiel corrigé. Alors on cherche combien de fois ce dernier dividende
contient le diviseur désigné , et l'on écrit au quotient le chiffre qui
exprime ce nombre de fois. On multiplie donc le diviseur désigné
par le chiffre écrit au quotient, et l'on retranche le produit du
dividende partiel corrigé. On abaisse à la suite du reste un nou-
veau chiffre du dividende , et l'on continue l'opération suivant la
même règle.

Pour trouver la correction qui doit être faite à un dividende
partiel, c'est-à-dire la quantité qu'on en doit retrancher, il faut
comparer comme il suit tous les m chiffres déjà écrits au quotient
avec un pareil nombre m de chiffres pris à la suite du diviseur dé-
signé. On suppose que les m chiffres du quotient sont écrits dans
l'ordre inverse , et placés respectivement au-dessous des m chiffres
pris à la suite du diviseur désigné. On multiplie chacun de ces chif-
fres par celui qui est placé au-dessous de lui , et ajoutant les m
produits , on connaît ce qui doit être retranché du dividende par-
tiel, et l'on effectue la correction.

Toutes les fois qu'en suivant cette règle on doit abaisser un chiffre
du dividende à la suite d'un reste donné par l'opération précé^
dente , on examine si ce reste surpasse , ou du moins égale la sornm^

* •

CALCUL DES RACINES. 189

des chiffres déjà écrits au quotient , et que Ton ajoute ensemble
comme s'ils exprimaient des unités. Lorsque cette condition a lieu ,
on est assuré que le chiffre qui a été écrit précédemment au quo-
tient est exact.

(ai) Si l'on n'a marqué pour former le diviseur désigné qu'un
chif&e, ou deux, ou en général un trop petit nombre de chiffres,
il arrivera que la condition ci-dessus énoncée n'aura pas lieu ; c'est-
à-dire que le reste d une opération précédente sera moindre que
la somme des chiffres déjà écrits au quotient: alors le dernier de
ces chiffres est encore incertain, et l'on est averti qu'on n'a pas
marqué un assez grand nombre de chiffres pour former le diviseur
désigné. Dans ce cas, on continuera d'abord d'appliquer la règle
précédente, en abaissant un chiffre du dividende et en effectuant
la correction prescrite. Si elle ne pouvait être faite on en conclurait
que le chiffre écrit au quotient est trop fort : il faudrait donc le
diminuer d'une unité. Mais si la correction peut être faite , on abaisse
à la suite du résultat de cette dernière soustraction un nouveau
chiffre du dividende, ce qui donnera un nouveau dividende partiel.
En même temps on marquera un chiffre de plus à la suite du divi-
seur déjà désigné, ce qui donnera un nouveau diviseur désigné.
On procédera , selon la règle énoncée , à la correction du nouveau
dividende partiel, c'est-à-dire que l'on comparera les m chiffres déjà
écrits au quotient à un pàrieil nombre m de chiffres pris à la suite
du nouveau diviseur désigné. Ayant formé par cette correction le
nouveau dividende partiel corrigé, on «continuera l'application de
la présente règle en faisant usage du nouveau diviseur désigné. On
pourrait aussi revenir au premier diviseur désigné : en général on
peut, dans le cours de l'opération, augmenter ou diminuer à vo-
lonté le nombre deschiflfres que l'on désigne au diviseur, il suffit
d'augmenter en même temps ou de diminuer le nombre des cor-
rections; ces détails se priésentent d'eux-mêmes.

On reconnaîtra par la pratique combien l'opération que nous
venons de décrire est facile lorsqu'elle est faite avec ordre. On peut
former à la seule inspection des nombres le résultat de chaque cop-
I. a5

190 LIVRE DEUXIEME.

rection. En effet si , après avoir écrit sur une feuille séparée , et
dans Tordre inverse, les m chiffres du quotient^ on les présente
aux m chiffres pris à la droite du diviseur désigné, en sorte qu'ils
se correspondent chacun à chacun , il est facile de compter la somme
des produits des chiffres correspondants, sans qu'il soit nécessaire
d'écrire ces produits partiels. Car il suffit d'ajouter ensemble les
seuls chiffres des unités de ces produits en comptant de la droite
à la gauche : on ajoute ensuite en revenant vers la droite les seuls
chiffres de ces produits qui expriment les dixaines.

Cette remarque conduit à une conclusion singulière, savoir que
l'on peut effectuer à vue la multiplication de deux facteurs pro-
posés, quel que soit le nombre des chiffres qui forment chaque
facteur. Par exemple si les facteurs proposés sont a34567 et
8909876, et si on les écrit sur deux feuilles séparées, on pourra,
à la seule insj^ection de ces deux nombres, dicter successivement les
chiffres de leur produit 208996^883692 sans écrire aucun des pro-
duits partiels, comme l'exigerait la règle commune.

Le procédé de la division ordonnée, tel qu'il est décrit article ao ,
fait connaître avec certitude les chiffres exacts du quotient, et l'on
n'a employé de nouveaux chiffres du diviseur que lorsqu'il est né*
cessaire de les introduire pour trouver de nouvelles parties du
quotient. Cette règle a l'avantage de prévenir tous les calculs super-
flus, et surtout de pouvoir être prolongée autant quil est nécessaire
jusqu'à ce que l'on ait trouvé le nombre de chiffres exacts que
Ton veut obtenir. On doit en faire usage toutes les fois que le divi-
seur contenant un grand nombre de chiffres, il s'agit de déter-
miner seulement quelques-uns des premiers chiffres du quotient.

Nous pourrions indiquer des applications très-utiles de la règle
de la division ordonnée, mais notre objet principal est ici de per-
fectionner le calcul des racines des équations numériques. Je ne rap-
porterai pas la démonstration de cette règle : il est facile de la sup-
pléer. Elle consiste à remarquer avec soin Tordre des divers pro-
duits. Chaque correction a pour objet de retrancher du dividende
la somme des produits dont Tordre est le même que celui du chiffre
du dividende qui vient d'être abaissé.

CALCUL DES RACINES. 191

PREMIER EXEMPLE.
Premier dividende partiel, i234; diviseur désigné , a34.

i2345'6'7'8'9'8y3647
II 70

~645' (64 > 5 : le chiffre 5 est bon)
aS =5.5

5a63 i 589

7

a^ divid. part, cor g^o

468

1526' (iSa > 5+2 : le chiffre a est bon)
40 =5.64-2.5

3^ divid. part, cor i486

i4o4

827' (8a >5+24-6:le chiffre 6 est bon)
77 =5.7 + 2.64-6.5

4* divid, part, cor y5o

702

488' (48 > 5+2+6+3 : le chiffre 3 est bon)
io5 =5.8 + 2.7+6.6+3.5

5* divid. part, cor 383

a34

1499' (ï49 > 5+2+6+3+1 : le chiffre i est bon)
126=5.9+2.8+6.7+3.6+1.5

6* divid. part, cor liyi

1170

2o38' (2o3 > 5+2+6+3+1+5 : le ch. 5 estbon)
i58 =5.8+2.9+6.8+3.7+1.6+5.5

7* divid. part, cor jggo

1872

87' (8 < 5472+6+3+1+5+8 : le chiffre 8

est incertain)
206 ( la correction ne peut s*effectuer : le chif-
fre 8 est trop fort)

i638 (on a écrit 7 au lieu de 8 au quotient)

242/ (24a > 5+2+6+3+1+5+7 • le chiffre
7 est bon)

201 = 5.7+2.8+6.9+3.8+1.7+5.6+7.5

8* divid. part, cor aaa6

aio6

lao (iao>5+a+6 + 3+i + 5 + 7+9: le
chiffre 9 est bon).

iga LIVRE DEUXIEME.

DEUXIÈME EXEMPLE.
Premier dividende partiel , a4 ; diyiseur désigné , 9.

a46'y3'5y9'a4
18

66' (6>a:lechifïreaestbon)
14 =2.7

97'5'3'8'6'4'579
953o64« • • •

a* divid. part. cor. ... 5a

45

78' (7= a -h 5 : le chiffre 5 est bon)
45 =2.5+5.7

3^ divid. part, cor 33

27

63' (6< a+5+3 : le chi£Fre 3 est incertain)
5a =:a.3H-5.5H-3.7

Nouveau dirid. partiel. ... 1 1 5' (la correction pouvant être faite, le chifIreS est bon :

mais on abaisse immédiatement le chiffre suivant
5 du dividende, et Ton prend 97 pour nouveau
diviseur désigné)*
46==a.8+5.3-h3.5

Nouv. divid. part, [cor 69

o

"697'

61 =a.6-f-5.8+3.3+o.5

a^ nouv. divid. part. cor.. .'. 636

58a

549 (54 > a+5+3 4-0+6 : le chiffre 6 est bon)
9a =;=a.4+5.6+3.8+o.3+6.5

3^ nouv. divid. part cor 457

388

59 (59 > a+5+3+o+6+4« le chiffre4 est bon).

, CALCUL DES RACINES. igS

(aa) La règle que Ton vient de proposer pour la division des
nombres résout aussi Téquation du second degré , et elle peut s'ap-
pliquer en général au développement de la racine d une équation
quelconque. Nous ne ferons qu'indiquer ce procédé de calcul.

Si Ton propose l'équation du second degré

x" + 765432 X = 1 23456 ,

on l'écrira sous cette forme :

I2I34S6

765432 -h X

On divisera donc 1 23456 par 765432 suivant la règle de l'art. 20, et
l'on pourra prendre 766 pour diviseur désigné. Le premier chiffre i
du quotient exprimera des dixièmes , et l'on trouvera ensuite 6 , en

sorte que la valeur de ce quotient a? est o, 1 6 Or il faut , pour

former le dénominateur, ajouter au nombre 765432 le quotient x,

ou 0,16 On écrira donc les chiffres 16 à la suite du diviseur

765432 , et Ton continuera la division. Chacun des nouveaux chif-
fres trouvés au quotient sera écrit à la place qu'il doit occuper , et
il sera employé dans le cours de l'opération suivant que la règle
Texige. La racine de l'équation du second degré est, comme on le
voit , le quotient d'une division dont le diviseur est variable. Or
la règle de l'article 20 n'employant que successivement les chiffres
du diviseur , il n'est pas nécessaire de les connaître tous au com*
mencement de l'opération : il sufBt de les découvrir les uns après
les autres, et d'écrire chaque fois à la suite du diviseur celui que
l'on vient de trouver au quotient. On ne pourrait point faire le même
usage delà règle commune, parce qu'elle suppose que tous les chif-
fres du diviseur sont connus au commencement de l'opération.

Nous rapportons ici le détail du calcul , comme im troisième
exemple de la division ordonnée.

»94

LIVRE DEUXIEME.

ia345'6',o'o'o'o'o'.
765

4

4691
4590

1016'

a?

989

a4

aai6
i53o

6860'
a4

6836
61H0

71 60'

5a .

7108
688S

2a3o'
loa

7654'3'a',i'6'i'2'..

^tmm

o, 161 28927. . .

i53o

5980'

5qi3
5355

558

(23) Dans l'exemple qui précède le diviseur variable se formé d'un
nombre constant auquel on ajoute le quotient Cette partie variable
du diviseur pourrait être le carré du quotient, ou oe carré divise
par un certain nombre , ou en général une petite quantité équiva-
lente à une certaine fonction du quotient. Il suffit de connaître
d'abord les premiers chiffres exacts du quotient , et l'on forme suc-

CALCUL DES RACINES. 196

cessivement la partie variable qui doit être écrite à la suite, du di-
viseur* Il en résulte que les nouveaux chiffres du diviseur sont con-
nus lorsqu'il devient nécessaire de les introduire dans le calcul
pour effectuer les corrections indiquées par la règle. On parvient
ainsi à l'expression des racines des équations d un degré quelcon-
que, ou même de celles que Ton a appelées transcendantes. Nous
ne nous arrêterons point à cette méthode exégétique, quelque gé-
nérale quelle soit, parce que les règles dont nous nous servons
pour le calcul des racines sont d'une application plus prompte et
plus facile. Cet. emploi de la division ordonnée suppose que l'équa-
tion est convenablement préparée. A la vérité cette transformation,
et celles qui peuvent devenir nécessaires dans la suite de l'opération,
se réduisent toujours à diminuer la valeur delà racine dune quan-
tité qui en est très-approchée, et Ton y parvient facilement au
moyen des règles données dans cet ouvrage. Or connaissant deux
premières limites très-approchées, il est plus simple de continuer
les premières opérations en suivant une méthode uniforme pour
découvrir successivement toutes les parties de la racine. Nous nous
sommes proposé seulement, dans les articles qui précèdent, d'in-
diquer des applications singulières de la nouvelle règle que nous
avons donnée pour la division numérique.

C'est dans cette vue que nous ajoutons l'exemple suivant. L'équa-
tion proposée est celle-ci ,

x^ 4-345a?= 12 :

on' l'écrira sous cette forme ,

12

X'

345 + ^'

On divisera donc 12 par 345 selon la règle de la division ordonnée,
et l'on écrira successivement à la suite du diviseur les chiffres qui
doivent le compléter. Il faut remarquer que ces chiffres ne sont
point connus au commencement de ^opération , mais on les trouve
successivement en élevant au carré la valeur du quotient, et l'on
procède comme il suit.

196 LIVRE DEUXIÈME.

Iiorsqu'on connaît quelques-uns des premiers chiffres du quo-
tient <» on détermine les premiers chiffres du carré du quotient, en
ne retenant dans cette valeur du carré que les chiffres qui sont
connus avec certitude : ce sont ces chiffres exacts qui doivent être
écrits successivement à la suite du diviseur On obtient ainsi la
racine de Téquation a^ + 345a;=: 12, savoir o? =0^034782486 . . .

Ces calculs sont présentés dans les tableaux suivants.

ia,o'o'o'o'o'o'o'oV

fit*

345,o'o'i'3'o'9'8'...

ioo5
i65o'

0,034783486. . . .

i65o

i38o

3700'

3700

34i5

3850'

3

3847
3760

870'

«

**o

s

860

690

1700*
i5

■

i685

i38o

- 3o5o'

49

, 3ooi

3760

3410'

78

a333

3070

96a

• i

t »

• ■

CALCUL DES RACINES. 197

h
34

34

736

Q^op 1 1 56 = (o,o34)*
68

. ' 1.

0,00 1 aaS = (o, o35)*

ii56
938
a38

49

0|Oo 1 20409 ^ (0|0347)^
694

: o/>o la i iq4 = (o/>348)*

120409
• \ . . . ^776 , ^
2776

64

0,00 1 2096484 = (0,03478)'

6956

I

P,0O|2 10344 1 1^ (0,03479)*

12096484
- 6956

6956

4

0,00 1 2697876 24 = (0,634782)*

69564
z

*ll l n

0,001 209857089 = (0,634783)*
12^9787524

1^9128

I39I28

16

0,00 1 aogS 1 534976= (0,0347824)^
695648
I

0,00120982230625 =(0,0347825)*

198 LIVRE DEUXIÈME.

(^4) ^ou8 avons énoncé dans Tarticle 19 les questions qu'il était
nécessaire de résoudre pour réduire le calcul des racines aux pro-
cédés les plus simples , en sorte que l'on ne puisse arriver par
aucune voie plus briève à la connaissance effective des valeurs de
ces racines. La première de ces questions est purement arithméti-
que : elle est résolue par la règle de la division ordonnée. La seconde ,
dont la solution est très-facile , consister régler le calcul des substitu-
tions successives de manière qu'il n'y ait aucune opération superflue.
La troisième question a pour objet de déterminer avec certitude
le nombre des chiffres exacts que donne chaque nouvelle opération.
Nous allons montrer quelle doit être la marche du calcul pour sa-
tisfaire à ces dernières conditions.

Premièrement supposons que l'on ait substitué dans le premier
membre f(x) de la proposée une valeur b, déjà approchée, de la
racine x, et que l'on ait déterminé par ces substitutions les valeurs
numériques des fonctionsy(i),/'(i),/'"(ft) , • . .y*^*"'^ (i). On a trouvé
en divisanty (6) par /"'(&) une nouvelle partie 6 de la racine , et pour
continuer l'approximation il faut substituer b +6 dans les fonctions

f{^)>f\^) > /"(f ) > • • •/'^*'"'^(^)- Il est manifeste que le calcul serait
mal ordonné si l'on substituait la quantité entière & -h 6 , car on
répéterait sans nécessité une grande partie des opérations précé-
dentes : il faut donc se réduire aux seuls calculs dont on ne peut
se dispenser pour ajouter aux résultats déjà trouvés les parties qui
proviennent de l'addition du terme S. On peut négliger cette réduc-
tion lorsqu'on n'a en vue qu'une approximation très-bornée , mais
si l'on veut déterminer un très-grand nombre de chiffres de la racine
on reconnaît combien il est préférable de donner une autre forme
au calcul. Or il est aisé de conclure des éléments du calcul algébri-
que que pour substituer la valeur 5 + 6 dans les fonctions /*(a:)^
/\x) ^ /" (x) ^ fXx) j on doit observer la règle suivante.

Ayant écrit sur une première ligne les valeurs déjà connuesy(5) ,

/ W 1 /"(*) j • • •/^"" W> /'"Wi ^n PÏ^^ ï^ fraction 6 au-dessous de
chacune des fonctions qui suivent la première/'(5) , et on multiplie
par ce facteur commun €^ce qui donne les termes d'une seconde ligne.

CALCUL DES RACINES. 199

On jécrit 1« facteur € au-dessous de chacun des termes de cette
seconde ligne qui suivent le premier à gauche; on multiplie par le
facteur commun 6, et Ton divise chaque produit par â, ce qui don^
nera les termes dWe troisième ligne.

On écrit 6 au*dessous de tous les termes; qui suivent le premier
lerme à gauche de cetle tratsièaie ligne; on multiplie par le facteur
Sf et Ton divise les produits par 3.

On continue ainsi à multiplier par 6 tous les termes de chaque,
lignes excepté le premier à gauche , et Ton divise tous les produits
par rindice du rang de cette même ligne.

Après ces (^rations on ajoute ensemble les seuls premiers termes
des différentes lignes : on connaît ainsi /(b + 6). On ajoute eor
semble tous les seconds termes des difiSérentes lignes, et la somme
est /"{b + 6). On continue ainsi de prendre la somme de tous les
troisièmes termes ^ ou de tous les quatrièmes termes des différentes
lignes, ce qui donne jT'^ (6 + €)^f"\b + 6); ainsi de suite jusqu'à
ce que Ton connaisoe les valeurs numériques de toutes les fonctions

/<^+e),A^ + e), /"(*+€), etc.

Lorsqu'on a formé ces valeurs numériques , on trouve une nou^
velle partie y de la racine en divisant f{b ^ S) pMf\b + 6). Il reste
donc à faire connaître combien cette division doit donner de chif^
fres exacts, c'est^^^dir&de chiffres décimaux qui appartiennent cer-
tainement à la racine , parce qu'ils sont communs à deux des limites
dont cm a expliqué les propriétés dans les articles 1 6 et 17.

(26) Après avoir calculé une des limites, par exemple celle qui
résulte de l'approximation newtonieàne , on pourrait oalcular ia
seconde limite que nous avons proposé de joindre à cette première,
et qui est en effet nécessaire pour définir l'approximation. Ce second
calcul étant effectué , on ne conserverait comme exacts que les chif*
fres communs aux deux limites, et l'on trouverait ainsi la fraction y
qui doit être ajoutée à la suite de 6. Mais en opérant de cette ma*
nière on répéterait une grande partie du calcul numérique précé-
dent : nous parvenons à réduire cette opération à sa forme la plus
simple en ne considérant que la différence de la seconde limite à

a6.

aoo LIVRE DEUXIÈME.

la première. En effet il a été démontré article 9 qné Ton peut
déterminer immédiatement la seconde limite lorsque la pi^mière
eat connue.

* Nous désignons par a et b deux premières Taleurs approchées^
dont l'une a est moindre que la racine, et Fautre b est plus grande
que la racine. Ces valeurs sont telles, par hypothèse, que l'équation
proposée y (x)=o ayant une seule racine comprise entre les limites
a et b, les trois équations subordonnées/^ (.i:)=o,y^' (a?) =0 et
/^"(x)^=zo n'ont aucune racine comprise entre ces mêmes limites.
On reconnaît que les deux nombres a et ^ remplissent cette conr
dition lorsque en comparant les deux suites de signes (a) et (b) , on
trouve que les indices correspondants aux fonctions f'Qx:) ^ f" (a:)
etf"\x) sont égaux à zéro; c'est-àrdire lorsque la série des indices
est ainsi terminée, 0001. Si les indices correspondants à chacune
des fonctions y (aj),/"' (a:), y '"(a?) n'étaient pas égaux à zéro, on
resserrait l'intervalle des deux nombres en substituant des nombres
intermédiaires, et l'on parviendrait bientôt à trouver deux limites
aetb, par lesquelles la condition dont il s'agit serait satisfaite. Nous
ne considérons pas ici , conformément à ce quia été dit art« \^^\eB
cas particuliers où Tune des fonctions/'(a;) , f'\x)^f'"{^) aurait un
facteur commun avec la fonction proposée.

Gela posé, on distinguera entre les deux limites a et 6 > celle de
ees deux limites qui , étant substituée dans les fonctions/*(ar) etf"{x\
donne deux résultats de même signe. Nous désignerons , comme dans
l'artide 16, par 6 la limité dont il s'agit « que nous avons nommée
limite extérieure, et qui répond au point de la courbe par lequel la
tangente doit être menée, a représentera l'autre limite, c'est-à-dire
la limite intérieure. Or on déduit de ces premières valeurs ê et « ,
comme on Fa vu dans l'article cité , de nouvelles valeurs plus ap*
prochées S' et a', entre lesquelles la racine est également comprise
et qui sont ainsi exprimées

De plus, si l'on nomme i la différence 6 — a des deux premières

CALCUL DES RACINES. aoi

limkes yttï- la difTerënce 6^' — «' des iktDuvellès limites' plus ràppn>
cAiëe^, la difTérence i' sera benucoup pliis petite que i , et Toa aura
(article 9) entre ces deux quantités la relation

f^\àL- . •€) t^resente la valeuir que prend /^''(ar) lorsqu'on donne
à X une certaine valeur qui est comprise entre les nombres connus

• * * * * * t

tx. Cl o* '

Si la difFérehoe i devenait infiniment petite, la différence i dcH
viendrait infiniment petite dti second ordre; et le rapport de cette
, quantité V au carré de i est une quantité finie que Ton peut déter^
miner. En effet les limites a et^S devenant alors toutes deuK
égalée à l'abscisse du point d'intersection , c'est-à-dire à la racine
X y l'expression du rapport dont il s'agit est

Plus les limites a et ê sont rapprochées , et plus le rapport de la dif-
férence i' des deux nouvelles limites a! et 6' au carré de la différence i

.des deux premières limites a et S approche d'être égal à }!^K 9 en

sorte que ce rapport peut différer aussi peu qu'on le voudra de
cette quantité.

La valeur de la quantité Jf(\ ^ c'est-à-dire de la defiuère raison

de la différence des deux limites au carré de la différence des
limites précédentes, ne peut être déterminée exactement, puis-
qu'elle dépend de la racine inconnue x; mais l'expression ^ fiti

donne un moyen facile de connaître entre quelles limites est
comprise cette dernière raison. En effet comme l'on a supposé
que l'équation f'"{x)=^o n'avait point de racine entre les limites
« et 6, la fonction y "(or) sera constamment croissante ou décroisa-
santé dans l'intervalle de ces mêmes limites. Il en est de même de
là fonction /'(x)^ puisque réquation\/"(^) = o n'a point de ra-
cine entre a et 6. Si Ton désigne ddnc par /'' (B) la plus grande

aoa UVRE DEUXIÈME.

des deux qoantitës/"(a) et /"(Q, abstcaction &ite da «signe, et
parf'ia) la phis petite des quantités /' («) et /'(£), abstractiaii
faite du signe , le quotient

sera nécessairement plus grand que -^yiffl^ ; et en général ce quotient

sera toujours plus grand que /^fg\ > <iuelle que soit la quantité

désignée par «• . .6^ qui doit toujours être comprise entre « et €.
n résulte de ce qui précède que si , après aToir formé au moyen
des valeurs approchées « et 6, dont la différenoe est i, une valeur
plus approchée 6' exprimée par

on ajoute à cette dernière valeur le terme

on aura ajouté une quantité plus grande, abstraction faite du ngne,
que la différence des nouvelles limites »' et €'. Par conséquent on
a la certitude que la racine cherchée est comprise entre les quantités

et

i désigne la différence Ç — a. On a représenté par B celle des quan-
tités a et 6 qui^ étant substituée à la place de or^ donne la plus
grande valeur, abstraction faite du signe, à la fonction f\^); et
par a celle des mêmes quantités a et 6 qui donne à la fonctiony^(^)
la plus petite valeur, abstraction faite du signe.

(â6) Pour déduire de la première valeur approchée S' , qui répond
à l'abscisse ofi" (fig. i4) ^ une seconde valeur approchée telle que h

CALCUL DES RACINES. ao3

raicme fut nécessairement comprise entre ces deux valeurs^ on pour-
rait, au lieu de la seconde limite «' qui répond à Tabscisse oa^
eonsidérer la Kroiie xys donnée par le pmnt d'intersection de la
sécante mn ainec Taxe. L'abscisse ox du point d'intersection de la
courbe est certainement comprise entre les abscisses o^ et 06' ; et
ces xiouveUes limites, étant moins distantes que les limites o«' et
o 6' , l'emploi que l'on en ferait aurait l'avantage de faire approcher
plus promptement de la valeur de la racine.

On connaîtra la différence ^^ s entre la première valeur appro-
chée et Fabscisse du point d'intersection de la sécante en partageant
Fintervalle J S\ que l'on a désigné ci-déssus par £', en deux parties
pn^HHticmneDes aux ordonnées n€ et ma* Ces ordonnées sont ex-
primées respectivement par y (6) et —/"(«) : la première partie €'s
est donc égale à

Cette différence étant moindre, abstraction faite du signe, que

on en conclut que la racine est oortainemait comprise entre
deux quantités,

^ m'

e AS) .. /'(B) /(g)

Mais quoique ces nouvelles limites offrent l'avantage d'une ap-
proximation plus rapide, l'usage des précédente» est plus facile,
et l'on trouvera qu'il est préférable de s'en servir dans le calcul des
racines. Il resté à montrer comment , au moyen de la connaissance

de la seconde limite S— /S— ^'•^^» ^" P^"* ^^^^ *® ^^"^
de manière' à ne déterminer jamais que des chiffres exacts, c'est-

ao4 liVRE DEUXIÈME.

à-dire des diiffires qoi appartiennent à la véritable, valeur dé la
racine* > ' . .

(^7) Si la diiTérenoe i des deux premières «valeurs approohées s
et S est une unité décimale d'un ordre assez âevé ^ la dififiérence i'
des nouvelles valeurs approohées a et €^ est en général une iinité
décimale dW ordre beaucoup plus éfevé. Par exemple si la valeur

du coefficient ' ^^;. l ne surpasse point Funité) la diflfërence i est

plus petite que le carré de la différence précédente i. On en conclut
que si le dernier chiffre décimal de la valeur approchée S est de
Tordre n, et que l'on forme une valeur plus approchée 6' en ajou-
tant ;à 6 le quotient <-->^^^ on est assuré de l'exactitude de tous
les chiffres décimaux dû résultat qui précèdent le chiffre décimal de
l'ordre an. En effet la valeur 6 — ^^. , qui est plus grande que •

la racine, deviendrait plus petite si Ton en retranchait £*, ou
une unité décimale de l'ordre un. Ainsi en calculant le quotient

— 77^ > oï^ peut conserver tous les chiffres décimaux jusqu'à celui

qui est de l'ordre 2 n : mais on ne doit point regarder les chiffres
suivants comme appartenant à la racine ; il est donc inutile de les
déterminer ^et l'on ne doitporisser la division que jusqu'au chiffre
qui exprime un certain nombre d'unités égales à (îV)*'- On voit
que chaque opération donne alot*â à ia racine cherchée un nombre
de chiffres décimaux exacts égal au double du nombre des chiffres
décimaux qui étaient déja^connus. .

Lorsque la valeur du coefficient f//{ ^t plus grande ou moins

grafide que l'unité, Iç nombre de noijive^x chiffres décimaui^ çxacts
que Ton <;d>tienten divisant jr(g) par y*'($) , est moins gr^nd ou plus
grapd que le nombre des chiffres décimaui: qui étaient déjà con-
nus* Pour déterminer avec certituçie jusqu'à quel chifft^e du quo-
tient cette division doit être continuée, on fera usage de la règle
liuivante.

On examinera quel est le rang du premier chiffre du quotient

CALCUL DES RACINES. ao5

.jA ^etVou remarquera quelle est Tunité décimale immédiatement

supérieure à la valeur de ce quotient. Si , par exemple, le quotient

' ^/i ' avait pour premiers chiffres o,oo3 , on prendrait 0,0 1 pour

cette unité décimale; et si le même qqotient avait pour premier
chiffre 3 au rang des mille, on prendrait loooo pour cette unité
décimale. Cela posé, soit (iV)* cette unité décimale plus grande
que la valeur du quotient dont il s'agit, l'exposant k pouvant être
positif ou négatif; et soit aussi (7V)" l'unité décimale qui est égak
à la différence i des deux premières limites désignées par a et 6.

Le coefficient -^^TT^ étant moindre que (:jV)*> le terme ^** /TTn sera

moindre que (rj)'""^- Alors en effectuant la division de/(ë) par
y (6), il faudra s'arrêter au. chiffre de l'ordre décimal txn-h k. En

effet lorsqu'on ajoute le quotient — ^W à la partie S de la valeur

de la racine qui est déjà connue, on obtient un résultat qui diffère
de la véritable valeur de la racine d'une quantité moindre que la

différence des deux quantités € — ^^U et a — 7r^\' ^^ cette diffé-
rence, exprimée par — ^*'l4~~F\ » ®^* elle-même moindre, ab-
straction faite du signe, que (tï)"'-(7V)*- donc en continuant la
division indiquée par — ^7^ jusqu'au chiffre décimal de Tordre

^n + k , on est assuré que l'erreur du résultat que l'on obtiendra
est moindre qu'une unité décimale de cet ordre. Il ne restera plus
qu'à avoir égard à la partie du quotient que l'on aura négligée.

(28) Il faut maintenant considérer que la limite désignée par g,
et que l'on emploie pour former une valeur plus approchée 6', en

ajoutant à 6 le quotient — ^ Çjl , est toujours la limite appelée ex-
térieure, c'est-à-dire celle qui, étant substituée dans les fonctions
/{x\ ^t f'\oo) j donne deux résultats de même signe. Dans les cas
représentés par les figures 9 et 12 cette limite € répond au point
h; et dans les cas représentés par les figures t o et 1 1 la même limite S

1- . , ^7

ao6 LIVRE DEUXIÈME.

répond au pointa. Or l'inspection seule des figures indique que, dans
tous les cas , on s'éloignerait de la valeur de la racine en prenant
la valeur de la sous-tangente un peu trop faible , abstraction faite
du signe, et que Ton s'en approchera au contraire en prenant cette
même valeur un peu trop forte. Il en serait autrement si la tangente
était menée par le point m dans les figures 9 et la, ou par le
point n dans les figures 10 et 11: on devrait alors au contraire
prendre un nombre inférieur plutôt que supérieur à la véritable
valeur de la sous-tangente. Mais en employant là limite extérieure 6,
qu'il est toujours facile de distinguer d'après la condition énoncée
ci-dessus, il est évident que Ton doit, pour former la nouvelle va-
leur approchée ^\ ajouter à ê une quantité qui soit plutôt au-dessus

de la valeur du quotient — 7775^ qui représente la sous-tangente,

qu'au-dessous de la véritable valeur de ce quotient.

Il résulte de cette remarque qu'après avoir continué la division

indiquée par — jttL jusqu'au chiffre de l'ordre décimal 2/i-i-^>

y compris ce même chiffre, on doit, au lieu de négliger tous les
chiffres suivants, augmenter d'une unité le chiffre de l'ordre !in-\-k
auquel on s'est arrêté. On ajoutera donc le résultat obtenu de cette
manière à la limite S, en ayant égard au signe de ce résultat, et
l'on connaîtra la nouvelle limite plus approchée 6' qui est l'objet
de la recherche.

Nous observerons d'ailleurs qu'en formant ainsi cette nouvelle
limite plus approchée g', c'est-à-dire en arrêtant la division indi-
quée par —-fuÀ ^" chiffre décimal de l'ordre an + ^ et augmen-
tant ce chiffre d'une unité, on ajoute à la véritable valeur de la
quantité 6 — jjjlx une quantité qui ne peut surpasser (tt)*""*"*^ fit
qui par conséquent ne peut surpasser la différence — i* ^ r,?'^ Â

des deux nouvelles limites. Donc la nouvelle limite 6' diffère à plus
forte raison de la racine d'une quantité moindre qu'une unité dé-
cimale de l'ordre a/i-h^. Mais cette limite 6' peut se trouver plus

CALCUL DES RACINES. ao7

grande ou plus petite que la racine : c'est ce qu'on reconnaîtra en
la substituant dans la fonction /"(.r). Si la limite 6' est plus grande
que la racine, on retranchera une unité du dernier chiffre décimal,
ce qui donnera la seconde limite a'. Si au contraire la limite ê' est
moindre que la racine, on formera la seconde limite en ajoutant
une unité au dernier chiffre décimal. On parvient donc de cette
manière à obtenir deux nombres entre lesquels la racine est néces-
sairement comprise, et qui ne différent plus l'un de l'autre que
d'une unité décimale de l'ordre a /i +v ^. ' ^

Si l'on veut pousser plus loin l'approximation , on opérera sur
lés deux nouvelles limites que l'on vient d'obtenir comme on
l'avait fait sur les deux limites précédentes. On distinguera celle
de ces deux limites qui, étant substituée dans les fonctions y (a?)
et y "(a?), donne deux résultats de même signe : soit €. la limite dont
il s'agit, et n, l'ordre décimal du dernier chiffre de cette limite. On

calculera le quotient — pTg x > qtii doit être ajouté à 6, pour former

une nouvelle limite plus approchée, jusquau chiffre décimal de
l'ordre :% /i« + ^ > et y compris ce chiffre : on augmentera ensuite ce
même chiffre d'une unité. Ainsi le nombre des chiffres décimaux
exacts que l'on obtient à chaque nouvelle opération augmente de
plus en plus. Si' n désigne le nombre des chiffres décimaux primi-
tivement connus, c'est-à-dire si les limites données a et 6 ne diffè-
rent l'une de l'autre que par une unité décimale égale à (tV)'» 1^
nombre de chiffres décimaux exacts qui sera connu par une pre-
mière opération sera a/iH- ^; ce même nombre sera 4 'H- 3 A", après
une seconde opération, 8/1+7^ après une troisième ^ et ainsi de
suite.

Le procédé d'approximation de la racine ne commence à avoir
qn cours régulier et rapide que lorsque le nombre a/^^-^ est
plus grand que n^ om lorsque l'oa a /z> — h , ce qui pourrait ne
pas arriver si k ou n étaient négatifs. Il est donc nécessaire, après
avoir déterminé le nombre ^^ qui est l'exposant de l'unité décimale
de l'ordre immédiatement supérieur à celui du premier chiffre du

27,

ao8 LIVRE DEUXIÈME.

quotient ^ A ■ > , de s assurer si la condition /i> — ^ est satisfaite.

Si elle ne Tétait pas on devrait rapprocher les limites donnée3 a
elb, par la substitution de nombres in ter mëdiaires^jusqu a ce que
la différence de ces deux limites fût égale au.pius à (tt)% ^^ nombre
n étant égal à i — h.

(29) Les considérations qui viennent d'être exposées oonduiseiit
à la règle suivante.

' Étant données deux limiter a et ^ entre lesquelles est com-
prise une seule racine de Téquation proposée /^(a;)=:o, tandis que
les équations subordonnées/*' (;r) = o , /" (a?) = o , /"'"(a?) =0 n'ont
point de racines entre ces mêmes limites, il s'agit d'obtenir deux
nouvelles limites aussi rapprochées qu'il est possible, et entre les-
quelles la racine de l'équation proposée soit également comprise.

On choisira la plus grande en nombre des deux quanti tés y*''(a)
ety"(6) , et on commencera à la diviser par la plus petite en nombre
des deux quantités ^f\a) et Sk/'{b) : il suffît de connaître le rang
du premier chiffre du quotient > et de re^narquer quelle est l'unité
de l'ordre décimal immédiatement plus grande que ce quotient. Soit
{-rzY cette unité : on connaîtra ainsi le nombre k qui petit être po-
sitif ou négatif.

Soit (-^y l'unité décimale qui est au moins égale à la différence
des deux limites données a et è. On examinera si le nombre n est
au moins égal à 1 — k. Si cette condition n'était pas remplie, il
faudrait rapprocher les limites a et b par la substitution de nom-
bres intermédiaires.

Ayant donc reconnu que la condition /i= i — ^^ ou w> 1 — k,
est satisfaite, on distinguera entre les limites a et ^ celle de ces
limites qui , étant substituée dans les fonctions /*(a?) etf'\x) , donne
deux résultats de même signe : soit 6 cette limite. On divisera, sui-
vant la règle de la division ordonnée ,y(6) pary'(6), en continuant
l'opération jusqu'à ce que le dernier chiffre trouvé au quotient soit
de l'ordre décimal mi + k. On augmentera ce dernier chiffre d'une
unité, et l'on ajoutera le quotient ainsi obtenu à la limite S, ou on

CALCUL DES RACINES. aog

le retranchera de cette limite, suivant que les quantités/(€) et/\€)
seront de signes différents ou de même signe. La nouvelle limite
€' formée de cette manière pourra être plus grande pu moindre que
la véritable valeur de la racine , ce qu'il sera facile de reconnaître en
substituant cette Valeur 6' dans f(x)\ mais elle différera toujours
de la racine d'une quantité moindre que (tî) *""***• P^^ conséquent
en diminuant ou en augmentant d'une unité le dernier chiffre de 6\
on formera une seconde limite moindre que la racine si la limite
6^ qu'on vient d'obtenir est plus grande, et plus grande que la racine
si la limite S' était plus petite.

On opérera ensuite sur ces nouvelles limites comme on l'avait
faitsur les premières limites données a et ^, et ainsi de suite. Chaque
nouvelle opération fera connaître un npmbre de chiffres apparte-
nant à la valeur de la racine de plus en plus grand. Les nombres
des chiffres décimaux exacts qui suivent la virgule après la pre-
mière, la seconde, la troisième, etc. opération sont respeetivement
an -{- k, 4a + 3A:> 8/» + jk, etc. La marche du calcul est assurée
et régulière; elle ne donne lieu à aucune opération superflue, et
l'on n'est jamais exposé à déterpiiner aucun chififre qui n'appartienne
point à la véritable valeur de la radine.

Nous avons d'ailleurs regardé l'exposant k comme un nombre
constant. Il peut arriver quelquefois qu'en calculant de nouveau sa
valeur au moyen des limites de plus en plus rapprochées que donne
la suite de l'opération , on trouve pour ce nombre k une valeur plus
grande que la première, ce qui rendrait l'approximation plus

rapide. '■^

(3o) Nous appliquerons les règles précédentes à l'équation

La suite des fonctions est

9 •

f{pc)=a^ — 2j» — 5

aïo LIVRE DEUXIÈME.

et en substituant d abord les nombres de la progression décuple,
on trouve

4
5

( — I ) + — +

I

«o) ^- — _

( O ) . é . . 4- O — —

(>o)..*. + + — —

(l) -h + -4- —

(lO) •., . + + + +

L'équation a deux racines indiquées entre - — i et o , et une autre
racine indiquée entre i et lo : on reconnaît iiiimédiatement que
les deux premières racines sont imaginaires, parce que la somme

des quotients - -h - surpasse la différence i des deux limites. Par

Conséquent cette équation a une seule racine réelle comprise entre
I et lo*

Pour avoir deux limites qui ne diffèrent entre elles que par une
unité de Tordre du dernier chiffre, on substituera des nombres
intermédiaires et Ton trouvera

^2J • • • 1 • • "T" "H "F" "•"^^

Il lO

O o o

i8 95 i6

Ainsi la racine est comprise entre â et 3, et la suite des indices
étant o o o 1 , on pourrait procéder à l'approximation. Mais en di-
visant la plus grande des valeurs de y "(x), qui est i8, par la. plus
petite des valeurs de 2/'(x), qui est a. lo, on obtient pour quotient

A

~=^79 • l'unité décimale de Tordre irapiédiatement supérieur au

premier chiffre de ce quotient étant i , on a donc A:=;=o. La diffé*
rence des deux limites entre lesquelles la racine est comprise étant

CALCUL DES RACINES. 211

aussi égale à i , on a également n=o. Par conséquent la condition
ir=î ou > I — k n'étant pas satisfaite, on est averti que les limites
12 et 3 ne sont pas assez rapprochées pour que Ton doive commencer
immédiatement l'approximation.

En substituant donc des nombres intermédiaires de Tordre dé-
cimal immédiatement inférieur, il viendra

/"'H, f"{x), /'{x), f{x)
(2,0) + + + —

19 10 I

(a,i) -h 4- + 4-.

19,6 11,93 o»of)i

Ainsi la racine est comprise entre les limites a,o et 2,1. La diffé-
rence de ces limites est — : donc /i= i. La plus grande des va-
leurs de /"{qc) divisée par la plus petite des valeurs de ^f\x) est
— l- = o,6. . . : Funité décimale immédiatement supérieure au pre-
mier chiffre du quotient étant toujours i , nous avons comme ci-
dessus ^ = 0. La condition /i= i —k est satisfaite : on peut pro-
céder à l'approximation, sans chercher à resserrer davantage les
limites par la substitution de nouveaux nombres intermédiaires.

La plus grande limite 2,1 est ici la limite extérieure, qui a été dé-
signée par S, puisque cette valeur donne le même signe + aux deux
fonctions y (x) et y" (or), tar conséquent la première valeur appro-
chée se formera en retranchant de g = 2, i le quotient jr^>. = '^ o -

la division doit être continuée jusqu'au chiffre décimal de l'ordre
2/j-f-X-^ c'est-à-dire ici jusqu'aux centièmes; et avant d'opérer la
soustraction, on doit augmenter le dernier chiffre d'une unité.

Comme l'on trouve -^ — -=0,00 , le nombre à retrancher de

I \yXO

2,1 est 0,01 : il vient donc pour première valeur approchée 2,09.
Cette valeur est exacte à moins de — près : mais on ignore jus-
qu'ici si elle est moindre ou plus grande que la racine.

ai 2 UVRE DEDXIÈME.

Pour le reconnaître, et continuer Tapproximation , on substituera
2,09 dans la suite des fonctions , conformément à la règle de calcul
expliquée dans l'article a4- Lé tableau suivant présente cette opé-
ration.

/(>) ,

/'W .

/'W .

/'"('»)

— 'I

10

la

6

o,P9

0,09

0,09

0,90

1,08
9

0,54
9

■

^11
0,0480

486
0,0243

9

•
•

3187
0,000729

d'où Ton déduit

/(a,o9)= 0,90 ,/'f2,o9)=io ,/''(2,o9)=i2 ,/"'(a,o9) = 6.

486 1,08 0,54

729 243

0,949329 11,1043

I

12,54

= — 0,050671

Le résultat de la substitution de 2,09 dans/(aî) étant négatif, cette
quantité est plus petite que la valeur de la racine, qui par consé*
quent est comprise entre les limites 2,09 et 2,10. La différence de

ces limites étant —, ou (—j , le nombre n est maintenant égal

à a : ainsi l'approximation suivante peut être portée jusqu'au chiffre

décimal du quatrième ordre. On continuera donc la division -^-t-ô

jusqu'au quatrième chiffre après la virgule inclusivement, ce qui
donnera 0,0054, et en augmentant le dernier chiffre d'une unité,
o^oo55. Ce résultat étant retranché de 2,10, donne 2,0946 pour
la deuxième valeur approchée. Cette valeur est exacte à moins de

l X

près.

10000

CALCUL DES RACINES. ai3

On ignore si le nombre 2,0945 est plus petit ou plus grand que la
racine : la substitution de ce nombre dans la fonction y*(âr) et dans
les fonctions dérivées s'effectue de la manière suivante.

/(a>09)

/'(a,o9)

/'(^,o9)

• /"'(a,o9)

-0,oSo67i

11,1043
0,0045

12,54
0,0045

6
0,0045

5552i5
444172

0,04996935

6270
5oi6

3o
a4

o,o5643o

45

0,0270

45

«

>

1

282 i5o
225720

2539350 .
«0,0001269675

i35a
1080

I2l5o

0^00006075
45-

«

^

3o375
24300

l'on d<^iût

273375
1,000000091125

•

/(a,0945)=

0,04996935

0,0001269675

0,000000091125

0,050096408625
- 0,060671

*

- 0,000574591375

/' (2,0945) =

11,1043
o,o5643o
.0,00006075

11,16079075

/'•(20945)=

12,54
0,0270

13,5670

k

/'"(2,o945)=

(S.

*

I.

n»

2i4 LIVRE DEUXIÈME. .

Le résultat de cette substitution donnant une valeur négative à
f{x) y on conclut que le nombre 2,0945 est plus petit que la racine,
qui est par conséquent comprise entre les limites 2,0945 et 2^0946-
Le dernier de ces deux nombres est la limite appelée extérieure ,
et par conséquent il est nécessaire , pour continuer Fopération , de
substituer le nombre dont il s'agit dans les fonctions proposées :
mais on peut se dispenser de répéter le calcul qui , vient d'être
effectué en employant la formule ^

/(e + /)=/(e) + if{€) + ^r (6) +o/"'(«) + ^^-

On déduira donc immédiatement des résultats précédents

/ (^90946)= 0,001 1 16079075

6a835

0,0011161419x1
— 0,000574591375

= o,ooo54i55o536

/' (2,0946)= 1 1,16079075

1^5670
3

= 11,1620474^

/" (2,0946) = 12,5670

6

= 10,5676

y -(2,0946)= 6.

Comme nous avons maintenant /i = 4i nous devons , en calculant

1 *• ^ /Tê) o,ooo54i55o536 . , ,. . .

le quotient yfj^ = ^ ^ ^6204748 > continuer la division jusquau

huitième chiffre après la virgule inclusivement. La valeur de ce quo-
tient étant o,oooo485 1 , on retranchera donc le nombre o,oooo4852
de la limite 2,0946 , ce qui donnera pour troisième valeur appro-
chée n^o^^bSi^^.

Le tableau suivant présente le calcul de la substitution de cette

CALCUL DBS RACINES,
vatkmr dans les fonctioos proposées.

ai

/(a,0945)
0,000874591375

/' (î»,o945)

11,16079075

o,oooo5i48

8928632600

44643 i63oo
II 16079075
5580395375

^0,0006745575078100

/"(^,o945) ,

12,5670

o,oooo5i48

ioo536o
602680
126670
628350

«

0,000646949 i 60
6148

5176693286
2687796640
646940160
3234745800

/"'(a,0945)

6

■

0,00006148

48
a4
6

o,ooo3o888
5 148

247104

123552
3o888
164440

333o494^7568o
0,0000000 1 666 247 1 37840

d'où Ton déduit

1690114^4
0,00000000796067 I 2

5i48

636045696
318022848
79606712
397628660

409296405376
o,ooooooooooooj[ 3643 1 80 1 792

/(2,o9455i48)=

0,0006745575078100

1666247 IS7840

I 36401 80 1792

0,000574674160417810201792
0,000674591376

s^^^ 0,000000017214582189798208

/'(a,09455i48)=

11,16079075

646949160

79506718

= 11,161437707110571a

/"(»,o94S5i48)=

13,5670

3o888

= ia,5673o888

/*'(a,09455i48)= 6.

a8,

ai6 LIVRE DEUXIÈME-

Comme le résultat de la substitution domie une valeur négative
à f{x) j on est averti que le nombre substitué est plus petit que la
racine : ainsi la racine est comprise entre les nombres a,09455i4S

et 2,094551 49-

Les résultats de la substitution du dernier de ces deux nombres,
qull est nécessaire de connaître pour porter plus loin Tapproxima-
tîon j se déduisent presque sans calcul dexeux qui viennent d'être
obtenus , par le procédé que Ton a déjà employé. On aura

/*(a,oo455i49)= 0,00000011161437707110571a

6a8365444

0,000000 I I I 6 I 437769947 I I 57
— 0,0000000 1 72 1 458a 1 89798208

= 0,000000094399795509672949

/'(ai09455i49)= 11,161437707110571a

I 256730888
3

= 1 1,1614378327836603

/" (2,09455 149) = ia,5673o888

6

12,56730894
/'"(2,ô9455i49)= 6.

liC nombre n étant maintenant égal à 8 , la division indiquée par

-^tJ doit être continuée jusqu'au seizième chiffre après la virgule

inclusivement Le quotient de cette division^ que Ton obtient
facilement au moyen de la règle de la division ordonnée , étant
0,0000000084576734, on retranchera ce nombre, après avoir au-
gmenté le dernier chifîre d'une unité, de la valeur précédente, ce qui
donnera pour quatrième valeur approchée â,09455i 48 154^3^65,
nombre qui ne dififere pas en plus ou en moiiïs de la rat^ine d'une
unité décimale du seizième ordre.

Dans l'exemple qui a été choisi , chaque opération double le
nombre des chiffres exacts qui suivent la virgule : par conséquent

CALCUL DES RACINES. 217

une opération de plus fera connaître la valeur de la racine jusqu'à
la trent&Hleuxième dëdmale. En continuant à opérer de la même
manière la substitution de la valeur précédente est facile y et donne
les résultats suivants :

f{x) ZZZL'^-' 0^00000000000000102107496044367984543249^ 18^8^375

f^(a;)=z 11,16143772649346472^644563309780675
f\x)=. 12,5673088892539590.

La valeur trouvée pour f{x) étant négative , on est averti que le
nombre substitué est plus petit que la racine : ce nombre forme
donc la limite inférieure, et la limite supérieure est par conséquent
i,09455i 48 15423266. Les résultats de la substitution de ce dernier
nombre se déduisent immédiatement des précédents, et sont

f{x) =rz 0,00000000000000009506881 aao566669oo486i 2670 iSSopfi
f'(jc):=z 1 1,16143772649346598317652202320268
/"ia:)=2 1 2,5673088892539596*

On divisera donc/(x) par /'(a:), en continuant la division jusqu'au
trente*deuxième chiffre après la virgule inclusivement, ce qui don-
nera pour quotient 0,0000000000000000085176134^942069. Ajou-
tant une unité au dernier chiffre de ce nombre^ que Ton retranchera
ensuite de la valeiu* précédente , il viendra pour cinquième ^valeur
approchée 2,09455i48i54232659i48238654o5793o. Le dernier
chiffre de cette valeur est exact , c'est-à-dirè cpie l'on s'éloignerait de
la véritable valeur de la racine si l'on augmentait ou si l'on diminuait
ce chiffre d'une unité : mais si l'on voulait pousser plus loin la divi-
sion, les chiffres que l'on obtiendrait à la suite du trente-deuxième
n'appartiendraient plus à la racine.

(3i) Nous avons fait connaître dans les articles 6 et suivants les
propriétés de l'approximation du premier ordre, c'est-à-dire de celle
qui résulte de l'omission des termes contenant des puissances de
l'inconnue supérieures à la première. Plusieurs analyistes ont consi-
déré l'approximation du second ordre , qui est beaucoup plus con-

^

ai 8 LIVRE DEUXIÈME.

vergente , et ont propose d'en faire usage pour le calcul des racint&
Ce procédé peut en effet être appliqué avec avantage dans un grand
nombre de cas ^ mais il laissait à résoudre les difficultés principales
que présentait aussi l'approximation newtonienne. Ëllesconsbtentà
distinguer avec certitude les racines imaginaires , à régler exacte*
ment le calcul en assignant une seconde limite , et à mesurer la
convergence de l'approximation. Je vais exposer dans les articles
suivants les principes qui servent à résoudre ces questions.

Pour éviter l'incertitude qui provient de l'omission des termes
subordonnés , nous avons introduit dans le calcul l'expression de
deux limites entre lesquelles la racine est toujours comprise. Nous
ferons usage de ce même principe, sans reproduire les détails de calcul
que nous avons donnés eu traitant de l'approximation linéaire ; car
après avoir montré l'exactitude rigoureuse des conséquences de
ce genre , il importe beaucoup de conserver toute la simplicité de
l'analyse différentielle.

Nous examinerons d'abord souâ ce point de vue la question sui-
vante, qui se rapporte à l'approximation du premier degré.

I/arc mxn (fig. ï5) appartient à une ligne dont l'ordonnée est
J{x) : le point o est l'origine des abscisses : l'abscisse oo: du point
d'intersection est la valeur d'une racine de l'équation /*(a:)=o.
Concevons qu'à partir du point d'intersection x on porte sur Taxe
des abscisses , et vers la gauche , une quantité très-petite xa, que
nous désignerons par <û. Au point a on élève l'ordonnée am; par le
point m on mène deux lignes mpt., mv. La première m^ est tan-
gente à l'arc au point m, l'a seconde mv est parallèle à la droite
txf qui touche l'arc au point x. On forme ainsi sur l'axe un in-
tervalle (JL V , qui serait beaucoup plus petit si le premier intervalle
xa avait reçu lui-même ime valeur beaucoup moindre. Il s'agit de
connaitre la relation qui existe entre ce premier intervalle xa,
que l'on peut regarder comme arbitraire, et l'intervalle |av qui
en dérive selon la construction précédente. On considère, ici la
dernière relation qui subsiste entre les intervalles aor et |av, c'est-^
à-nlire qu'on suppose que l'intervalle initial ax, dési^ par co^

CALCUL DES RACINES. ai 9

diminue pontinueUëment et a zéro pour limite; que par exemple
il Revient auoeeasivement » , 7 «a , 7 <» , etc. : il s'agit de déterminer
lœ valeurs correspondantes de {av, et d'en conclure ce que devient
la relation de (a v à ax lorsque p. v atteint sa limite zéro.

La. question étant ainsi distinctement, posée est très-facile à ré*
soudre. x désignant la valeur de l'abscisse ox^eX iù l'intervalle xa,
on voit que l'ordonnée a m est légale à/'(ar — w). La sous-tangen1;e

d^ est ainsi exprimée, — jh 1; la valeur de la ligne av est

— /v r^ • P^^ conséquent la longueur de l'intervalle piv est

â

f^x f\x — w) ' ^ ^ "^ V ' (d? — w) f x)

Il ne reste plus qu'à ^upppser ca une quantité infiniment petite.

f{x — to) est la valeur de^(aî) diminnée de sa différentielle dxf\x\

eXfx est nulle par hypothèse, puisque x est l'abscisse d'un point

d'inieraeoti^ii ^ donic- le premier facteur fix-^ «>) . de l^exprèSBioIl dé

av est — dxf'x. Le second facteqr est la différentielle de 7?^, où

l'on supposera dx négative. Ce second facteur est donc dx-f^r^*
Donc la valeur de j^v e§t • .

Il est évident qu'on trouvera ce^ meijrie résultat en développant l'ex-
pression précédente selon la puissance de a> , et omettant les termes
subordonnés.

On connaît par cette valeur de la ligne infiniment petite (iv que
cet intervalle devient incomparablement plus petit que l'interv aile a> :

f'x

il est égal au- carré de m multiplié pai: lequotient — ^^t- , quan-

tité finie qui exprime le rapport des deux fluxions f'x et — f'x
au point d'intersection a?^ et qui dépend de la forme de la courbe
en ce point.

(3a) Considérons «a comme une première erreur, parce que cet

aao LIVRE DEUXIÈME.

intervalle est la différence de la valeur approchée o a à la valeur
exacte ox. En menant la tangente /n(ji on détermine un point (& plus
approché du point x; et si Ion ajoute à Tabscisse oa la sous-tm-
gente a jt pour former une nouvelle valeur o jt de Tabscisse , on voit
que Terreur restante (t x est devenue plus petite que la précédente a x.

Soit «' cette nouvelle erreur : on conclut de l'expression — ' ^/;. v
de la sous-tangente,

f'{x^fù)

Si l'on développe selon les puissances de », en omettant les termes
subordonnés ; ou, ce qui est la même chose, si l'on emploie les
expressions différentielles , on a

«ft

^ f'x — «./"j? + etc.

On omet le Xi&cmefx, qui est nul par hypothèse , et Tcm trouve

/ ~iù./ x+\(ù^ .r x+^c ^

^ " f'x — «./"«+etc, '

OU, M^étant une quantité infiniment petite,

a f'x

Ainsi Terreur tt, supposée d'abord très-petite, diminue très-rapi-
dement, puisqu'elle devient égale au carré de Terreur précédente

I y^jt

t constante, savoir 77-

' a f'x

valeur finie qui se rapporte au point x de l'arc mxn.

L'équation a>'=:-^ — ■•-jt' exprime, comme nous l'avons dit, la

relation finale d'une erreur à celle qui la suit. Cette condition sub-
siste rigoureusement au point d'intersection ^r / c'est-à-dire qu'elle
fait connaître la convergence finale de l'approximation linéaire.
Ces résultats sont ceux que. nous avons dqa démontrés : on se pro-

jdéterminée et constante, savoir — t- 77—»

CALCUL DES RACINES- aai

posé fliaintenant d'étendre ces. considération M corïtea^l parabo-
lique des courbes.

(33) Soit o a (fig. 1 6) une première valeur approchée de Tabscisse
ox d'un point dlntersectîon. L'arc ma?n appartient à une courbe
dont Fordonnée est exprimée pary(aî). Nous désignons par a la
valeur approchée o a , et par x la valeur exacte o x. Soit x=a + i,
en sorte que e est l'erreur de la première approximation, et que
l'on ay(a + «)=o. Nous développons cette expression en omet-
tant les termes où il entre des puissances de e supérieures à la
seconde : on a aÎRst pour déterminer «l'équation

y a, y «, /"'a sont des coefficients connus. Si l'on résout cette,
équation

on trouve

fa fa

Soit <ù Terreur àe la première valeur approchée a ^ et cd' Terreur
de la valeur plus approchée que Ton trouve en ajoutant à la quan-
tité a la racine ^ que Ton vient de déterminer : on a xa^tt -f <» et
j;=:a 4- e H- <a'. Donc «'=&) — e. La question consiste à trouver la
dernière relation de *i et » : on y parviendra oomme il suit» On
déterminera e au moyen de l'équation précédente, en remplaçant
a par sa valeur w — a>; ensuite on supposera que o» est infiniment
petite. On a donc

«> étant infiniment petite, on conservera le premier terme subsis-
tant du résultat. Or on reconnaît que dans le numérateur, il ne
reste, en attribuant le signe — au radical^ que des termes multi-
pliés par iù ; toutes les puissances de o) inférieures à la troisième
I 29

aaa LIVRE DEUXIÈME.

disparaîtront. Quant au dénominateur y*'" (or — bi), il se réduit à
/"{x) lorsque ai est infiniment petite. Il reste donc à former le nu-
mérateur : voici le détail de ce calcul.

Si dans la première partie fùf"{x — w) +y ' {x — w) on développe
selon les puissances de a» , en ne conservant que la troisième puis-
sance et n'écrivant point la variable x sous le signe de fonction y
on trouve

Dans le produit y(a:— «)•/"' (a: — «») qui entre sous le radical , le
facteur /*(j: — ©) se réduit à — tùf H — f" — ~%f"\ parce que^j? est

nulle par hypothèse. Donc pour s'arrêter à tù dans l'expression du
produit, on écrira au lieu du second facteur /'"(a: — w) la quantité

/"—«/'"+ y/"- pe produit cherché /(a:— «)./" (or— I*) est
donc

- «/'/"+ «* (î/"-+/'/"') -«' (5 r/"'+ \rr) •

Le carré de/'(«— «), ou de/'— «/"+-/'"— -4/", est

f'^^Uu.f'f"+ »•(/"• +/'/'")-«'(/"/"•+ 1/'/").

Par conséquent la quantité affectée de l'exposant 7 est

/"-«*/7"'+«' (5/"/'"+ 1//") •

Si on élève à la puissance 7 on trouve , en attribuant le signe —
au radical ,

ou

r+.:\r-.'(j-/^^if'y.

CALCUL DES RACINES. aa3

et ajoutant la première partie de l'expression de t*' , on a

/ I r *^^ f"f""\ / »' /"

-=p(^— ^-7;-;, ou «=— ^^

résultat trè^-simple qui donne l^i m^ure de la convergonoe finale
pour l'approximation du second ordre. L'erreur tù décroît très-ra-
pidement : sa valeur est le, produit du cube de Terreur précédente
par un coefficient constant. Le nombre des chiffres décimaux exact
est, généralement parlant, triplé par chaque nouvelle opération.

Le coefficient constant est égal à ^Tt^ • ^ valeur dépend de

la forme de la courbe au point d'intersection.

(34) Ces conséquences s'étendent aux approximations de tous
les degrés. Pour découvrir le résultat général j'ai employé une autre
forme de calcul que je vais rapporter.

La première valeur approchée étant désignée par a ^ et • expri-
mant l'erreur de cette détermination , on a Arszsa + e , elf{a +e)= o.
On développe cette expression , et l'on omet les puissances de •
supérieures à la première, à la seconde, à la troisième , etc. , sdon
que l'on veut se borner à l'approximation du premier degré, ou du
second , ou du troisième , etc. Considérons ce dernier cas : l'équa-
tion qui sert à.dét^miner 1 est donc

Or cette équation est seulement approchée : il est évident que la ^
valeur de e qu'elle fournit n'est pas complète. Par conséquent si on
l'ajoute à la quantité a ^ on ne trouvera point exactement la racine
x; elle en différera d'une nouvelle erreur beaucoup plus petite
que la première : il s'agit de découvrir la relation finale qui sub-
siste entre une erreur et celle qui la suit. L'équation /"(a -1- e)=o
ne subsisterait que si la valeur de e était déterminée par l'équation
complète, et non par une équation approchée. Soit ai la valeur
exacte de s, en sorte que l'on a ar=:a + ai, ety*(a + c«>)=:o; soit »'
Ferreup qui remplace la précédente ai, et qui provient de ce que

afl4 LIVRE DEUXIÈME. .

l'on ne calcule qu'une valeur approchée de i :on aidonc^:=a+fi-l-# ,
la valeur • étant la racine de l'équation approchée (e). Donc
o' + s — fù^=:o et a =râ?-:^ai. Actuellement nous mettrons dans
l'équation (e) pour a sa valeur x — o, et pour f sa valeur ai — « :
on aura ainsi une équation entre m et «/• 11 liiudra déduire de cette
équation la valeur de «>' exprimée en «» , et supposer •> infiniment
petite. On connaîtra ainsi k relation finale eherchéé entre les deux
erreurs consécutives «» et ê/. L^équation (e) devient

^^(-^«7/"f(«— )«o: (E)

U faut y oomoK nouS; Tavons dît» tirer de cette ëquattoo la valeur
de la^ et supposer ensuite » iafrniment petite. Pour que eette re-
dierche soit générale, ou doit oonsklérer une équation d'ua degré
quelconque dont m' est l'inconnue.

On remarquera, d'abord que réquation (Ë) donne plusieurs va^
leurs de.«i', eteela doât être puisque le caleal se rapporte* jusqu'ici
à toutes les valeurs de âs^ et non pas seulement à eeUe qui est la
plus voisine de la i^aieur approchée a« La raeine m qui est l'objet
spécial de la recherche est celle qui deviendrait nulle si la^ait nulle,
et c'est ce caractère qui nous indique celles des racines que l'on
doit choisir parmi celles que donne l'équation (£).

On développera par rapport aux puissances de «»' le premier
membre de cette équation , et chaque coefficient d^une puissance
de iù' sera ordonné seTon les puissances croissantes de ». On aura
ainsi une équation de cette forme :

o=t A a>'^ + Bii>'* -^ CJ + D. (F)

AyB,CyO,«...^ sout des coeiBcients ordonnés selon les pui^*
sances croissantes de di , et cette équation pourrait être d'un degré
quelconque en ta. Gela posé ^ considérant «n comme une grandeur
connue, et l'équation (F) comme littérale^ nous ferons usage de la

CALCUL DES RACINES. , aa5

jnétfaod^ <|iii donne la racine » oorresp<H|dante à une valeur infi-
niment petite de I» ; et [larmi ces valeurs de m nous devons choiâir
celle qui devientia plu» petite lor^ue «» e&t infiniment petite. Ainsi
nous prendrons pour la valeur cherchée de «>' celle des racines »'
développées selon les puissances croissantes de a» qui contient à
son premier terme ki fAu9 bavte poissance de ».

Le terme D, qui dans l'équation (F) nç contient point co', est
évidemment

ou développant et omettant x sous le signe de fonction

+ «/'-«•/"+ :^/"'- ^/" -»- etc.
+!!:/"_ :îi/'"+J!l/" _etc.

H 5/ 0/ +elc.

a. 3-^ a. 3*^ .

Ijà valeur de y,ir est nulle par hypothèse , et après les réductions
on trouve

D = 7-? »^/*' + etc.

a. 4. 4

Quant aux ooelfieientâ C^ B, A qui entrent dans l'éqnâtion (F),
ils ne se réduisent point comme le précédent La valeur de C,
coefficient de m' dans l'équation (F), est .

C ;= —/'(x — ») — i . a«/"(« — «) Î71 . 3 m'f'Xx - «) — etc.

3 a • 3

Les autres coefficients B, A sont formés comme celui-ci de diffé-
rentes puissances 4e «> r et contiennent chacun un terme sans ai.

Il faut maintenant appliquer à l'équation (F) la règle générale
qm sert à vdétemriiier Us racines A0 l^incoanue a»' , ordonnées selon

aaG LIVRE DEUXIÈME.

les puissances croissantes d'une lettre choisie , qui est ici tù. Or les
coefTicients A , B , G contenant tous un terme où ai se trouve à la
puissance zéro, on a, selon la règle, les quotients ci-indiqoés

3!I

o:i o:% 3:3

o=A«^ + B«'' + C«+D.

On connaît par la comparaison de ces quotients que celle des ra-
cines tù' développées selon les puissances croissantes de «* qui con-
tient à son premier terme 1« plus haut exposant de » est donnée
par l'équation partielle

C«+D=o;

et il faut, conformément à la règle citée, réduire G et D à leurs
premiers termes selon Tordre des puissances croissantes de *>. On a
donc pour déterminer la racine cherchée m/ Téquation partielle très-^
simple

qui donne

»_ îiL/"

•

Ge résultat est analogue à ceux que nous avons obtenus danâ les
articles 3a et 33 par un procédé très-différent, fondé sur la résolution
effective des équations du premier et du second degré. On voit que
la méthode de résolution des équations littérales supplée ici aux
formules particulières qui exprimeraient en radicaux les racines
des équations.

Si l'on applique l'analyse précédente à l'approximation du qua-
trième ordre , c'est-à-dire à celle qui résulterait de Tomission dçs
puissances supérieures à la quatrième , on forme l'équation

■

CALCUL DES RACINES. 227

On résout ensuite cette équation par la méthode générale qui fait
connaître les valeurs de J correspondantes à co infiniment petite ;
et l'on trouve pour déterminer celle de ces racines dont le^ premier
terme contient la plus haute puissance de co l'équation partielle

^y— o \a K f' = ^*

Ainsi la convergence finale de l'approximation du quatrième ordre
est telle que chaque erreur w' est égale à l'erreur précédente tù
élevée à la cinquième puissance et multipliée par le facteur constant

2.3.4.5y jc

La loi suivant laquelle ces jrésultats se succèdent devient mani-
feste, et l'on connaît ainsi les propriétés générale^ des approxi-
mations d'un degré quelconque. Au reste ces considérations n'ont
point pour objet le calcul numérique des racines : les règles spé-
ciales que nous avons données dans les articles précédents ne laissent
rien à désirer pour la facilité des opérations. Mais il importait de
montrer toute l'étendue de cette théorie des approximations.

(35) La difficulté de distinguer le cas des deux racines imagi-
naires du cas des deux racines réelles est le point le plus important
de l'analyse des équations ; elle exige une méthode propre fondée
sur le calcul des limites entre lesquelles les racines sont comprises.
Les recherches de RoUe^ celles de De Gua, n'ont pu conduire à la
résolution numérique des équations, parce qu^elles manquaient
d'un caractère spécial pour distinguer les racines imaginaires. Le
calcul de l'équation aux carrés des différences a résolu pour la pre-
mière fois cette singulière difficulté; mais, comme on l'a remarqué
depuis long-temps, la solution est purement théorique, et les ten-
tatives que l'on a faites pour la perfectionner ont été presque en-
tièrement infructueuses. Il était donc nécessaire de traiter la question
d'une manière différente: nous avons démontré qu'elle admet une
autre solution, non moins exacte, et d'une application incompara-
blement plus facile. Mais il est important de considérer sous divers
rapports la question fondamentale dont il s'agit, parce qu'elle se

aa8 LIVRE DEUXIÈME.

reproduit dans les recherches relatives aux surfaces courbes, et
dans la théorie générale des équations. Nous indiquerons dans les
articles suivants les principes généraux qui serrent à la résoudre
de différentes manières.

Soient F (x) et f{x) deux fonctions algébriques dont les coeffi-
cients sont des nombres donnés. Concevons que Ton soit parvenu ,
en appliquant les méthodes précédemment exposées, à trouver deux
limites a ttb entre lesquelles lequation F(a?)=o a une seule ra-
cine , que nous désignerons par a : il s'agit de connaître le signe
du résultat que Ton obtiendrait en substituant cette racine a dans
Fautre fonction y (a?).

Sî la valeur exacte de « était connue, la question n'aurait aucune
difficulté : car on attribuerait cette valeur exacte à la variable x
dans la fonction y (a?) , et l'on connaîtrait le signe du résultat. Il
n'en est pas de même lorsque la racine a n'est connue que par ap*
proximation : car si au lieu de u, on substitue une limite a très-
rapprochée de a , on n'est point assuré que le signe de f{a) soit
le même que le signe dey*(a), et l'incertitude subsiste toujours,
quelque peu de différence qu'il y ait entre la racine « et la limite a.
Or la question qui a pour objet de distinguer le cas des deux racines
imaginaires de celui des deux racines réelles , se réduit à connaître
le signe que l'on obtiendrait en substituant dans une certaine fonc*^
tiony*(a;) une racine a qui rendrait nulle une autre fonction F(j?).
En effet prenons pour exemple l'équation

a? — 3a:* — 24^' -I- 95:c*— 46^ — 101 =0 ,

que nous avons traitée dans les articles i a et 36 du premier livre.
En subtituant les nombres a et 3 dans les fonctions

/'(â?), f"{x\f"\x),f"{x),f\x\f{xh
on a trouvé ces deux suites

(a) + + — — 4- —

I90 168 4^ Ss 3o II

o o I 01 2

(3)..... + ++---.

ISO a88 i8q %^ 43 3i

CALCUL D^ RACINES. 309

La aërie des indices, formée selba la règle dé Vaxûée 3i du pre^
mier Hrrra^ est terminée par les nombres o i a. Il «'ensuit; i^ que
Tequation /'(a:)a»o a une racine comprise eatrê 2 et 3, et que
œfelB équation a une. seule racinedalas ee même intervalle; â^ que
ron doit chercher entre les limâtes '»2iét3 deux, racines de lequii^
tidn /(x)&£:o^ ot que l'on ignore jusque-là si ces. deux racines
sont réelles ou si elles manquent dans-^riiitervalle^ Pour connaître la
nature de ces racines, il faudrait substituer dans /(x) k valeur
exacte de la racine a deTéquation y^(jr)»7t), et masquer le signe de
/"(a). Si ce dernier signe est positif, les deux racines cherchées sont
réelles : Tune serait comprise entre a et « , et l'autre entre a et 3.
Cela résfilte évidemment des principes* que nous avons démontrés
dans le premier livre. Si au contraire le signe dey*(a) est négatif,
on est assuré que les racines ^ont imaginaires , parce que la suite
des signes perd à la fois deux variations de signes lorsque le nombre
substitué passe d'une valeur infiniment peu inférieure à a à une
valeur infiniment peu supérieure à a. Mais pour la certitude de
cette dernière conclusion , il ne suffit pas de substituer an Heu de
X dans /"(a?) une valeur très-approchée de a : car on conçoit que le
signe àef{x) pourrait être positif lorsqu'on attribue à x une cer-
taine valeur, et devenir négatif lorsqu'on altère d'une très-petite
quantité le nombre substitué. Toute la difficulté consiste à pouvoir
conclure le signe de /"(a?), quoiqu'on n'attribue à x qu'une valeur
approchée a moindre que«, ou une valeur approchée i& plus grande
que oK. Nous avons résolu cette question en considérant-noB-seuIe^
tnent la grandeur des résultats y*(a) et/(b), maàs aussi les valeurs
/'(a) etf'{b) de la fluxion du premier ordre. Ët'Cn elTet si la vih
leur a est très-rapprochée de a, et si le résultat y (a) a une valeur
positiv/3 très-grande , on est pour ainsi dire assuré que le signe de
f{à) est positif; et toutefois- il reste à examina si la fluxion y '(a)
étant négative est exprimée par un nombre très-grand : car dans
ce cas la fonction y (a) décroissant très-rapidement, il serait pos-
sible qu'elle devînt négative lorsqu'on change extrêmement peu la
valeur de x; et qu'ensuite eile devînt positifve, parce que la fluxion
I. 3o

a3o LIVRE DEUXIÈME.

f'{x) deviendrait elle-même positive et très^grande. La solution
que nous avons donnée dans les articles ^4 et suivants du premier
livre, consiste à introduire dans le calcul les valeurs de/(a),/'{a)j
celles de/{b)j/\b)j et de l'intervalle b — a. Par la comparaison
de ces quantités , on parvient à connaître sans aucuii doute le signe
de/{ût). On peut aussi considérer la question sous un autre point
de vue qu'il est utile d'indiquer.

(36) Si Ton propose en général de connaître le signe do résultat
queTcNi trouverait en substituant dans /(x) la racine a de l'équation

F(a:)=o,

/{x) et F (x) étant deux fonctions algébriques données j et si Ton

excepte le cas singulier où F (or) est 'j-f{x) , il sufBra d^appliquer

les principes que nous avons démontrés dans le premier livre con-
cernant les limites des racinies.

On déterminera deux limites a et b entre lesquelles l'équation
F(a;)=o a une racine réelle, savoir la valeur a que l'on considère^
et ces limites aelb pourront toujours être assez rapprochées pour
que les deux suites de signes des résultats

F(-)(a), F->(a):....F'(a), F"(a), F(a), ¥{a)
F^-)(t), F— >(è) ¥'\b), r'ib), r{b), F(6) ^ ^

fassent connaître que l'équation F(a:)=o a en effet une racine
réelle entre a et b. Supposons que cette condition ait lieu : on sub*
stituera les mêmes limites a et b dans les fonctions qui dérivent
de l'autre fonction f{x) , savoir :

et l'on examinera s'il résulte de la comparaison des deux suites de
signes

/W(a), /(-)(a) r»» /"(«)» /'(«),/(«) (.^

CALCUL DES RAONES. a3i

que réqiiatioii /(â?)=o ne peut avoir aucun» radne entre a et b,
en sorte que la série des indiees propre aux suites (^) ait zéro pour
dernier terme. Si cette dernière condition a lien en même temps
que la précédente, on connaît avec certitude le signe dey*(a) : ce
signe sera celui qui est commun aux deux quantitésy*(a) et/{b).
En effet il résulte de la seconde condition que toutes les quantités
comprises entre a et b donneraient des résultats de même signe si'
on les substituait dansy*(^); et il résulte de la première condition
que la valeur exacte de a est comprise entre a et b. Donc le signe
dey^a) est connu : il est celui dey(o) et/(b). Il «iffit donc, pour
déterminer ce signe, de rapprocher les limita a et & en sorte que
la racine a ne cessant point d'être comprise entre a et b, ce que
l'on connaît par les signes des suites (1)9 la comparaison des suites
(2) donne o pour le dernier terme de la série des indices. Or si l'on
fait d'abord abstraction du cas où ces deux fonctions auraient cette

relation singulière F (j?) = ^ f(x) , il est certain que l'on obtiendra

facilement des limites a etb qui satisferont à l'une et à l'autre con-
dition : car la fonction F (x) étant exprimée par l'ordonnée d'une
certaine courbe, et la fonction algébrique;/(a?) étant aussi l'ordonnée
d'une seconde courbe, les deux limites a et ^ entre lesquelles se trouve
un point d'intersection de la première ligne avec l'axe des abscisses
peuvent, généralement parlant, répondre à deux ordonnées de la
seconde courbe entre lesquelles l'arc de cette seconde courbe n'aura
aucun point d'intersection , et sera exempt de toute sinuosité. Donc
la comparaison des suites (2) donnera o pour le dernier terme de la
série des indices. Donc les deux conditions énoncées subsisteront
en&emble et le signe àefio) sera connu.

- (37) Cette remarque n'est point bornée aux fonctions qui ne
contiennent qn'une seule variable. On peut en général résoudre la
question suivante, qui se présente dans les applications principales
de l'analyse algébrique. Une fonction algébrique f{x, j, z , . . . ) de
plusieurs variables étapt proposée, et les valeurs de ^, j, z, ,.. . étant
seulement connues par approximation, il s'agit de connaître avec

3o.

âSâ UVRE DEUXIÈME.

oertiteicle ht sigiM qoelfoa obdendrait en mbstkuaiit daii^ la fonc-
tion /"(â? , ^^ 2^^ . « « ) les ralenro «xaetes de œ,jr, z^.. . On suppose
quel'oa connaisse pour chacune de ces valeurs deux limites entre
lesquelles elle est coropiise. Il faat juger, d'après un oeatK^tère 4*er-
tain , si ces limites sont assez rapprodiées jxmr que les divers résul-
tats qu'on obtient en substituant dans la fonction /"(cr^j^ ^9* • •)
des valeurs quelconques de a; > ^^ z, . . . comprises entre ces limites ,
sont tous de même sigvie.

Nous avons assigné ce caractère pour le eas d'une seule variable
art. 36 : œtte proposition est générale^ comme on le verra dans
la suite de ces recherches. Il est toujours faeile de rapprocher les
deux limites qui comprennent chacune des valeurs x^y^z^ . . . en
sorte que l'on soit assuré que le signe du résultat de la substitution
ne change point si 1 on attribue aux variables des valeurs quelcon-
ques comprises entre ces limites.

(38) Cette proposition convient, généralement parlant ^ aux divers
points <les lignes ou des surfaces courbes , et aux valeurs quelcon-
ques des variables x, y, z^^ . . ; mais il y a des valeurs singulières
auxquelles on ne peut point l'appliquer immédiatement. Ces cas exi-
gent un procédé particulier dont nous allons indiquer l'origine.
On propose de déterminer le signe du résultat que 1 on obtiendrait
en substituant au lieu de x dans la fonction algébrique f{x) la
valeur a qui rend nulle la fonction différentielle ^ (or). Cette valeur
a n'est point connue exactement; mais on sait qu'elle est comprise
entre deax limites très-voisines et données a et b. Cette dernière
question est précisément celle que nous avons considérée d'abord ,
et qui a pour objet de distinguer le cas des deux racines réelles du
cas des deux racines imaginaires. On le voit distinctement dans
l'exemple cité art. 35. Si la seconde fonction /"'(^c) n'avait point
avec la première y(a?) le rapport singulier dont il s'agit, en sorte
qu'au lieu àtf{x) on eut une certaine fonction F {pc) indépendante
de/Çx), on examinerait si les deux limites ^ et ô, entre lesquelles
a est comprise , sont assez voisines pour que la comparaison des
deux suites de signes

» I

CAfcCOL Bis ItAGïNES. aS3

donnât o pour le deraier t«m« de k «àrie d«, indice. ; etsi
oonffition n avait pas Heu d'abord , on rapprocherait lesdeux li-
mites a Btb< jusqu'à «e qde la «onditic» eut lieu.^ ce qui, dans 3e
cas général , est très-facile. Alors le signe cherché dey*(a) serait
celui qui est commun ày(a) eXf{b). Mais dans le cas particulier
que nous considérons, oa ne pourrait point obtenir la dernière
condition , quelque rap|)rochéçs que fussent les limites a et b: le
dernier terme de la série des indices ne serait jamais o. Si les
deux rdoines<^h6refaMS dam rintervaiied€ o^et b étaient réeBes,
en parviendrait en rapprochant les limites à séparer les deux ra-
banes ; mais si elies étaient imaginaires , Fiiicertitude sutfisisterait
toujours , parce que je dernier terme de Ja série des indi<!^es donnée
par les mites prééédenftes ne serait jamais o , mais toujours égal
à 2« Gala proivient de ee cpie la valeur de x qui rend nulle Vor*-
donnée f{^ de la seconde courbe correspond dans^ la pnetifiièFe
coorbe à un point singulier où la tangente est parallèle à l^bxedes
abscisses. Or le ^temier ternie de la série des indices donné par
ces suites ne peut être o que dans le cas oii Tare de la courbe qui
répond à fintei^valle des limites n^a aucun point de maximum ou
minimum. On voit donc que la proposition énoncée dans Fart. 36
ne peut point s'appliquer ici de la même manière que si les deux
fonctions proposées n'avaient aucnn rapport spécial»

Après que l'on â reconnu distinctement l'origine de la difficulté
propre au cas dont nous nous occupons, il se présente dîvers
moyens -de la résoudre : l'un dés plus simples , et d une application
très^cile, est celui que nous allons indiquer. Au lieu de considct-èr
les deux fonetions y*(a?) et y (o?), on les remplacera pur celles- ci
f{pc) +f\x) exf\xy Une valeun a de ;c qui rend nulle/' (4?) e^t
comprise entre a et b : il s'agit de déterminer avec certitude le
signe de/(a). Soit 9 (x)=z/(x) +/\x) : on voit que le signe cherché
dey(a) est précisément celui de (p(a), puisque /'(a) devient nulle

a34 LIVRB DEUXIÈME

par hypqthèse. Il sufBt donc d'opérer de la nième manière que si
les fonctions proposées étaient 9 (x) et /' (x). Or dans ce cas le point
singulier où la tangente est parallèle à l'axe des x est déplace;
il ne se rencontre plus nécessairement dans l'intervalle des limites
a et b qui comprennent la racine a de l'équation/' (x) =3=0. Il faut
donc examiner si ces limites a et b sont telles que, pour l'équation
f (x) =; 6 les suites

9"K<^) TK ?"(«)»?». 9(«)

9"K^) t», ?"(*), 1>'(*), 9 (*)

t

ont une série d'indices dont le dernier terme soit ^ro ; et si cette
condition n'a pas lieu d'abord, on parviendra facilement, en rap-
prochant ces limites, à deux limites plus voisines a^ et^' qui don-
neraient o pour le dernier terme de la série des indices , en même
temps que les limites a et b' comprendront toujours la racine a de
l'équation /"(x)rszà. Ces conditions ayant lieu, on marquera le
signe commun de ^(a!) et f (&') : ce signe sera celui de ç (a), et par
conséquent le même que le signe de /{a) qu'il fallait déterminer.
Si le signe trouvé est négatif, les deux racines sont réelles ; s'il est
positif, les deux racines sont imaginaires.

Il faut remarquer surtout que la substitution des limites aetb
dans la fonction <f(x) et dans celles qui en dérivent, est très-facile
parce que cette fonction est égale ày*(.r) +f'{x). Or les opérations
précédentes qui ont servi à trouver les premières limites approchées
pqt fait connaître les résultats des substitutions dansy*(a7) et dans
toutes les fonctions différentielles qui en dàrivent; par conséquent
on distinguera le cas des racines imaginaires à la seule inspection
des résultats numériques que l'on a déjà formés, et l'on obtient
ainsi une solution exacte et très-simple de la question proposée.

(39) Dans l'exemple cité plus haut les suites correspondantes aux
limites a et 3 sont

CALCUL DES RAaNES. a35

/'(«), /"(x),/»,/''(^),/'(x),-/(a:),
(a)

+

+

.*«-

+

t%0

x68

48

8s

3o

O

O

1

O

I

II

(3) +. + + _ _ ^.

ISO 988 x8o 96 43 3i

On formera au moyen de la suite (2) une suite correspondante (la)',
en ajoutant à chaque terme de la suite (2) celui qui le précède à
gauche dans la même suite et marquant le signe du résultat ; oii
opérera de la même manière sur la suite (3) pour former la suite
correspondante (3)'. On trouvera ainsi

o o 01 o I

V

(3)' + + + + — —.

Comme le dernier terme de cette nouvelle série d'indices n'est pas
zéro ^ on en conclut que les limites a et 3 ne sont pas assez rap-
prochées poiir que la question puisse être immédiatement résolue.
On substituera donc un nombre intermédiaire a^â dans la série des
fonctions , et Ton obtiendra le tableau suivant :

/\x),/'\x\rXœ),r{œ\/'[x), f{x)
(a) + + — — + —

XSO 168 48 89 3o 91

(2,2)

(3)

ISO

19»

la .

88»o8

19,879

16^948

•

I

I

â

I90

+
988

180

96

43

•

39

Les limites des deux racines indiquées sont maintenant 0,2 et 3.
Si l'on forme les suites (a^ay et (3)' de la manière qui a expliquée
ci-dessns, c'est--à-dire en ajoutant chaque terme des suites (^^â)
et (3) au terme qoi le précède immédiatement à gauche dans la même
suite , on trouvera

a36 LIVRE DEUXIÈME.

(a,a)' .4- -♦- + — — —

o -e- -o 1 o. . -O

(3)' + + + + - - •

Le dernier terme de4a série Aes indiees doiméespar les suites (a,2)
et (3) étant â , on doit chercher entre les nombres â,â et 3 , deux ra-
cines, de l'équation /(a) = o ; et l'on ne connaît point encore si ce»
deux racines sont réelles , ou si elles manquent dans l'intervalle de ces
limites. Quant à l'équatioq/" (x) == o , elle a certainement upe racine
réelle entra, a^u et 3 ; et les trois derniers termes de la série des
indices étant o 1 52 , on connaîtra si les deux racines de l'équation
/(x)=o sont réelles ou imaginaires, en substituant dansy(j?) la
racine a dt l'équation y* '(a?) :i=o : <3ar si le signe de /(a) est positif
on est assuré que les racines sont réelles^ et dles sont imaginaires
si le signe àef^o) est négatif. Oren considérant les suites (û^a)'
et (vSy, qui ne correspondent point à la fonction y (or) , mais à la
fonction f{àc) ■^•/'(a?), on voit qu'il ne peut y avoir entre ii,a et 3
aucun nombre qui rende nulle rexpresfsiony(ar)+y(a?). Cela se
cohchit de ce q«fê la série des indices doifuiés par les stiites (fl^a/
et (3/ a poof dernier terme o. Donc tout -nombre compris entre
â,2 et 3 donne un résultat de même signe lorsqu'on substitue ce
nombre dans l'expression y (x) +f\x). Or la racine a de l'équation
f'(x)=zo est comprise entre a,a et 3. Donc le résultaty(«) +/*'(«)
a le signe — , eiy(a) étant nulle par hypothèse, il s'ensuit que
y (a) est.un. nombre négatif. Donc les deux racines cherchées sont
imaginaires.

(4o) Le procédé que l'on vient d'expliquer résout facilement et
dans tous les cas possibles la question qui a pour objet de distin-
guer les racines imaginaires : voici la règle qui en résulte.

Après.' avovr fortné les deux soiltes de signes (a) et Qi) 4}Qi vépoft-*
dtii|t mix limites 'entre lesquelles on doit chercher les devx raciné&
d'une équatâoci , il tkn t écrire ; la sëcie des indices que donne ia tùso^
ponôsoiidedesdéux siuiteswiLes tvois derâiiera termfs de etftto sérile
sont par hypothèse o i 2, en sorte que réquaftioii>y!'(j?)=:Q a

CALCUL DES RACINES. ^3;

une seale racine entre a et h, et l'on ignore si les denx racines de
réquationy*(2r)=: o sont réelles ou imaginaires. Pour faire cette dis*
tinction on remplace chacune des suites de signes {a) et(b) par deux
autres (A) et (B), en ajoutant à chaque terme d'une suite le terme qui
le précède à gauche dans la même suite. Si l'on compare les deux
suites (A) et (B) en formant une nouvelle série des indices, et si
l'on trouve o pour le dernier terme de cette nouvelle série, la
question est résolue. Mais si ce dernier indice n'est pas zéro il
faut rapprocher les. deux limites (a) et {b)j et en continuant
d'opérer selon la même règle il arrivera nécessairement, ou que
les deux racines cherchées se sépareront, ce qui prouve qu'elles
sont réelles, ou que le dernier indice de la nouvelle série donnée
par les suites (A) et (B) sera zéro. Dans ce cas, le dernier signe
de la suite (A) est le même que le dernier signe de la suite (B);
et si ce signe commun est celui àef'\(i) dans les suites primitives
(a) et {b) , les deux racines cherchées sont imaginaires. Mais si le
signe commun aux deux derniers termes des suites (A) et (B) est
contraire au signe de f'\a) et f"{b) dans les suites primitives (a)
et (^), les deux racines cherchées sont réelles. On connaîtra par
l'application combien Fusage de cette règle est facile : elle résout
promptement la question principale que présente la recherche des
limites. On pourrait donner des formes très-variées à cette solution ,
car il est évident que Ton serait conduit aux mêmes conséquences
en ajoutant à la fonction primitive y* (ar) des fonctions différentes
àef\x) , qui auraient aussi la propriété de devenir nulles lorsqu'on
donne à o; la valeur que nous avons désignée par a, : mais en em^
ployant la fonction y (a?) le calcul est réduit à une forme extrême-
ment simple, puisqu'il sufGt d^ajouter à chaque terme d'une suite le
terme précédent de la même suite.

(4 1 ) Si l'on avait seulement en vue de donner une solution exacte
et facile du problème de la distinction des racines imaginaires ,
on se bornerait à celle que nous avons démontrée^ dans les arti-
cles aa et suivants du premier livre; mais l'importance de cette re-
isherche , et ses rapports avec la théorie des équations qui contien-
I. 3i

238 LIVRE DEUXIEME.

nent plusieurs inconnues , exigent que Ton multiplie les moyens de
solution. Cest dans cette vue que je me suis propose d^appliqner à
cette même question le procédé de Fapproximation du second
degré , et ensuite celui des fractions continues.

Nous considérerons le cas où les signes des deux suites (a) et (h)

■

sont

/^-^* /"'*, /"*, /'*, fx

(a) .•.•+ + + — +

o o I â

(è) . . • • + + + + + :

il sera facile d'appliquer à tous les autres cas les conséquences que
fournit Texamen de celui-ci.

Les trois derniers termes de la série des indices étant o i a,
on voit que Ion-doit chercher entre les limites a et b deux racines
de réquation /'x = o , et qu'il s'agit de reconnaître si ces deux
racines subsistent en effet , ou si elles sont imaginaires. La fig. i^
représente dans l'intervalle des limites a et ^ l'arc dont l'équation
est jr=:/x. On écrira a + x-^a au lîéu de x dans fx, en dési-
gnant par a la première valeur approchée équivalente à l'abscisse
oa, et l'on développera comme il suit la fonction /(a + x — a) :

M

/x=/(a + X — a)=/a + (x — a)/'a + {x^--a)^\f"{a. . .x).

Le terme qui complète la série contienty"(a. . .ar), c'est-à-dire une
fonction y" d'une certaine quantité comprise entre a et o;^ que
l'on forme en ajoutant à a une valeur inconnue comprise entre o
et a? ' — a: on applique ici le théorème rapporté dans l'Introduc-
tion , art. 9. On considérera maintenant que les valeurs de la fonc-
ûonf'x sont toutes positives dans l'intervalle des limites a elh ,
et qu'elles vont toujours en augmentant lorsqu'on passe de la pre-
mière abscisse a à ta dernière b. Cela résulte évidemment des signes
que présentent les deux suites (a) et (b) au-dessous des fonctions
f'x etf'x. Donc la moindre valeur que puisse recevoir Texpres-
siony"(a. . .x) tstf'^a, et la plus grande e&lfb. On en déduit ,

fx >/a + {x— a) fa + (o?— a)* -./"a.

CALCUL DES RACINES. aSg

condition qui subsiste dans tout Tîntervâlle des limites. Donc si ,
après avoir déterminé fa , f'ael f" a , on décrivait une ligne qui ,
ayant x pour abscisse , aurait pour ordonnée

fa + {x — a) fa + {p— a)' if "a ,

Tare m ir V appartenant à cette ligne serait placé au-dessous de lare
mpn dont l'ordonnée e&tfjc; et cela aurait lieu dans tout l'inter-
valle ab. Au ppint m les deux ordonnées sont égales, 4pt leur valeur
commune est fa. Les fonctions dérivées du premier ordre sont
pour Tune des courbes/* V^ et pour Vautre fa'h(âp'^a)f "a. Ainsi
ces fonctions deviennent égales lorsque x==a, en sorte que les
arcs mpn et /nie v ont un contact du premier ordre au point m.
A partir de ce point les lignes se séparent et la seconde miç^ passe
au-desspus de la première mpn. Donc si TiE^rc mi?v delà parabole
ne rencontre point l'^xe a^^ on est assuré a fortiori que l'arc mpn
ne rencontre pas cet axe : dans ce cas les deux racines cherchées
sont imaginaires. On posera donc l'équation du second degré

çt Ton cherchera les valeurs de i. Si les racines de cette équation
du second degré sont imaginaires, c'e^t^à-dire si l'on 'a cette con-
dition

les deux racines de Féquation/a:=: p sont certainement imaginaires.
On peut aussi faire (disparaître le dénominateur , et Ton a la con-
dition

{f'ay<2fa.fa:

lorsqu'elle a lieu on est assuré que deux racines de la proposée
fx = o manquent dans l'intervalle des limites a et b.
Supposons maintenant que dans l'équation

/x=f(a + x — a)=/*a+ («— a)/'a+(«-— fl)'t/"(a. . .a?)

3i.

a4o LIVRE DEUXIÈME.

9

on remplace/"(a . . .x) par là plus grande de ses valeurs, qui est
/"b : on aura

fx <Ja + (a?— a) fa + (a? — a)' \f"h.
Si donc on décrivait l'arc m-K^' dont l'ordonnée est

«

/a + (a; — û)/' a + («— a)' i/" * ,

cet arc serait supérieur à l'arc mp n dans tout l'intervalle a b. La
valeur de la fluxion du premier ordre est pour l'une des courbes
f'x, et pour l'autre y a + (a: — a)fb.É\le est pour les deux
eourt>es égale k/'a au point m : ainsi l'arc mr v' de la parabole a
au point m un contact du premier ordre avec la courbe mpn, et
à partir de ce point l'arc miç^^ est placé au-dessus de la coifrbe
dans tout l'intervalle a b. Donc si l'arc parabolique m w v' coupe
Taxe abj on est assuré a fortiori que l'arc mpn coupe aussi l'axe,
e'est-à-diré que les deux racines cherchées sont réelles. On posera
donc l'équation du second degré

I

et Ton cherchera les valeurs de ^ : si ces valeurs sont réelles , c'est-
à-dire si l'on a là condition

«

on en doit conclure que la proposée y*â?=:o a deux racines réelles
dans l'intervalle des limites a et b.

On parvient à des conséquences semblables si l'on considère l'autre
extrémité n de l'arc mpn. £n effet en mettant b — (^ — x) au lieu
de X dans la fonction fx^ on a

f 9

l'expression (a?...&) désignant une quantité inconnue comprise
entre ^ et b. Or la phis grande ^es valeurs que l'ovi trouve en sub-

CALCUL DES RACINES. a4i

•titoant' au lieu de a dans la fonction /"'x une quantité comprise
entre aet b est, par hypothèse, /^'b; la moindre e&tf" a: on a
donc oes deux conditions ,

fx<fb-{b^x)f'b-\-{b^w)\^J"b
fx>fb—{b-x)f'b + {b—xy.^J"a.

Si maintenant, en considérant x comme abscisse variable, on dé*
oit les arcs qui ont pour ordonnées

fb-^{b-x)f'b + {b—x)\\f"b
fb^(b-x)/'b-^{b—x)\\f'a,

on aura deux arcs^ paraboliques dont le premier est toujours supé^
rieur à Tare mpn dans Fintervalle des limites aetb , et le second
est toujours inférieur à cet arc mpru On en conclut que si Tare
supérieur coupe Taxe ab, l'arc mpn coupera le même axe, et que
par conséquent les deux racines cherchées seront réelles ; mais si l'arc
inférieur ne rencontre pas Taxe des x on est assuré que l'arc mpn
ne rencontre pas ce même axe , et que par conséquent les deux
racines cherchées sont imaginaires. On posera donc l'équation du
second degré

«

et Ton prendra les valeurs de ^ : si ces valeurs sont réelles , c'est-
à-dire si Ton a la condition

les deux racines de l'équation fx = o sont réelles. Posant aussi
l'équation

on en conclut que les deux racines de l'équation fx^==^o sont ima-
ginaires si Ton a cette condition

a4a LIVRE DEUXIÈME.

(42) Si Ton réunit les résultats précédents, on parvient à cette
conclusion : i» on est assuré que les deux racines cherchées sont
réelles, lorsou'on a l'uqe ou l'autre des conditions ainsi exprimées

(/'«)•> a/a. /"ft (I)

(J'by>^fb.f"b; (a)

%^ on est assuré que les deux racines cherchées sont imaginaires
lorsqu'on a l'une ^es deux conditions

(/'a)-<a/a./«a (3)

(/'*)*< a/* ./"«. (4) .

Il peut arriver qu'aucune des quatre conditions Çi), (2), (3), (4)
ne subsiste, c'est-à-dire que les quatre conditions contraires au-
raient lieu toutes à-la-fois. Dans ce cas les limites a et & ne sont
pas assez voisines pour que l'on puisse reconnaître par une seule
opération si les racines sont réelles ou imaginaires : il faut rappro-r
cher ces limites en substituant à^n^fx une valeur numérique com*
prise entre q et If. Si le résultat de cette substitution sépare les
deux racines que l'on cherche, on recohnaît qu'elles sont réelles,
et la question est résolue; mais si la substitution ne sépare point
lesf deux racines, l'incertitude subsiste encore , et l'on doit procéder
à une seconde opér^^tion semblable à la précédente afin de distiq-
guer si les racines sont réelles ou imaginaires. On examinera donc
si en employant les deux nouvelles limites c^ et V qui remplacent a
etbf Tune des quatre conditions (i), (2),(3), (4) est satisfaite, et
alors la nature des racines serait connue. Or il est évidemment
impossible qu'en coi^tinuani de rapprocher les limites , on ne par-r
vienne pas promptement à satisfaire à l'une ou à plusieurs des quatre
conditions dont il s'agit. Dpnc on distinguera certainement les ra-
cines par ce procédé, qui se réduit à la comparaison de valeurs nu-
mériques connues. .

(43) Nous avons supposé que les^ deux suites de signes qui conr*
viennent aux lifnites a^th 90nt

CALCUL DES RACINES. a43

/^-^ar f"'x, f'x, fx, fx

(a) • . . H- + 4- — +

(*)••• +: + +, + +:

ainsi la valeur àe f" x croît avec x depuis â;= a jusqu'à x=^b,
parce que dans cet intervalle le signe de y '"^ est + . Nous exami-
nerons le cas opposé où les deux suites de signes (a) et {b) sont

{a) + — + — +

{b) + — + + +.

Les trois derniers termes de la série des indices sont encore 012/
et il s'agit de reconnaître si réquation/x=o a en effet deux ra-
cines réelles entre a et b. On écrira

fx=^/(a + x — a) =:/a + (x — à)/'a + (x — df.f"{a. . .x).

Or le signe àef'x étant — dans tout l'intervalle aè, la valeur de
f"x diminue lorsque x augmente depuis a?=a jusqu'à x=b: par
conséquent si l'on remplace y"(a. • .a?) Y>Bvf"a on augmente la
valeur de/x, et on la diminue si l'on écrit^^'è au lieu de/"(a...x).
On a donc

/x>fa + (x^a)/'a + {x-a)\\/''b
fx <ifa + (a: — a) fa + {x— a)' . \f" a.

Donc si l'on décrit une courbe dont x est l'absiîsse, et qui a pour
ordonnée ya + (a? — à)f'a+{x — CLf-hf'b, l'arc de cette courbe
est au-dessous de Tare mpn dans tout l'intervalle a &• Donc les
deux racines cherchées sont imaginaires, si cet arc inférieur ne

■

coupe pas l'axe des abscisses , c'est-à-dire, si l'on a cette condition :

La courbe dont x est l'abscisse, et qui aurait pour ordonnée
fa + {x — a) fa + {x— af .\f'a est au contraire placée au-dessus
de l'arc mpn dans tout l'intervalle ab : donc l'arc mpn coupe cer-
tainement l'axe des abscisses si l'arc supérieur coupe cet axe* Par

7'

a44

LIVRE DEUXIÈME.

conséquent les deux racines cherchées sont réelles si Ton a cette
condition

{f'ay>^fa.rh.

On considérera maintenant la seconde limite h ^ et Ton trouvera
les résultats suivants

fx>fb^{b-x)f'b+{b--xfAj"b
fx <fk^{b-x)f'b + (b^xy.^ra:

donc l'arc mpn de la courbe dont lordonnée est/x est au-dessus de
Tare parabolique qui a pour ordonnée^ft — {b — x)f'b+{b—xf,\f"bj
et au^essous de Tare parabolique qui a pour ordonnée^fc — {b—x)f'b
+ {b — xf.^f'a. On en conclut que les deux racine^ cberchées
sont réelle^ si Ion a cette condition ,

i/'by>^fh.ra;
et que les deux racines sont imaginaires si l'on a cette condition,

{/'by<^fb.f"b.

On comparera ces" résultats , qui conviennent au cas où le signe
àef'x est — , à ceux que Ton trouve lorsque le signe àef'x
est + , et l'on conclura plus généralement i ® que les racines cher-
chées sont réelles si le carré de la fonctionna; d'une des limite^
surpasse le double produit de la fonction fx de la même limite
par la fonction f"x de celle des deux limites qui donne la plus
grande valeur poury*":r; a** que le^ racines cherchées sont imagi-
naires si le c^rré de la fonction y*' :r d'une des deux limites est
moindre que le double produit de la fonctiony^ de la même limite
par la fonction^' x de celle de ces deux limites qui donne la inoindre
valeur pour y*" a;.

(44) 11^^ Te^iQ plus qu'à considérer les cas où Tare mpn{^g. i8)
est situé au-dessous de l'axe des abscisses , et tourne sa convexité
vers «cet axe. I^es deux suites de signes soii|:

CALCUL DES RACINES. a45

/c-)a; fx, f'x f'x ■ fx
{a) + -H — .+ —

(^):.... + ...'.. + — — —,

ou

(a) + — — + —

,(*) + - - - —

On a dans le premier cas pour la limite a

Jx ^fa + {x — a) fa + {x — a)' . t f"a
fx<fa+{x—a)fa^{x^ay.^^rb:

Donc Farç /wic'v' est supérieur à Tare mpn dans tout l'intervalle ab,
et Tare m irv est au contraire situé au-dessous de Tare mpn dans le
même intervalle.

Pour la limite h , on^

fx>fb-(b—x)fb + {b-x)\kf"a
fx<fb-{b^x)f'b-^{b-x)\kf"b:

ainsi le premier arc parabolique est au-dessous de l'arc npm dans
tout Fintervalle a h, et le second arc est toujours situé au-dessus
de cet arc npm.

En posant les équations du second degré qui donneraient, s'ils
existent, les points d'intersection des deux arcs paraboliques avec
l'axe des abscisses, on conclut que les deux racines sont* réelles
si l'on a l'une de ces conditions

{f'af>!ifa.f"a
{rby>^fb.ra;

et que les deux racines sont imaginaires si l'on a une de ces deux
conditions

\f'by<^fb.rb,

(45) Dans le second cas où les suites de signes (a) et (^) sont

(a) + — — + —

'W + - - - -, ,

L 3a

«46 UVRE DEUXIÈME.

on trouve pour la limite a

fx >fa + {x— a)fa + {x—aj . {/" b
fx <fa + {x-.a)f'a + (è— x)' . \f"a;

et pour la limite b

/

fx>fb^{b-x)f'b + {b—x)\y"b
fx <:fb^ib-x)f'b + (b—x)\ \f"a.

Donc les racines sont réelles si l'are m « v coupe Taxe , ou si l'arc
inférieur partant du point n coupe l'axe , c'est-à-dire si Ion a Tune
de ces deux conditions

{ray>o.fa.f"b .
{f'bY>fxfb.f"b;

et les deux racines sont imaginaires si l'on a l'une des deux con-
ditions

{f'ay<<xfa.f"a

■ {f'hy<^fh.ra

(46) il est facile maintenant de comprendre tous les cas possi*-
blés dans une règle commune, dont l'expression est simple et dis-
pense de toute construction. Il sufBt de considérer que ûf^x est
négative , sa plus grande valeur est celle qui contient sous le signe —
le plus petit nombre d'unités, et que la valeur minimum Aef'x
négative est celle qui sous le signe — contient le plus grand nombre
d'unités. Voici l'énoncé de la règle qui sert à reconnaître la nature
des deux racines que l'on doit chercher dans l'intervalle des deux
limites a et b.

On a formé les deux suites de signes qui conviennent aux limites,
et l'on suppose que ces limites soient assez approchées pour qiie
^ les quatre derniers indices soient o o i a , condition à laquelle il
est toujours très-facile de satisfaire. On s'est assuré que les deux
racines dont il s'agit ne sont point égales , et ce cas singulier est
facile à distinguer. Les valeurs des résultats

CALCUL DES RACINES. 247

/"a, fa, fa
f"b, f'b, fb

étant connues par ropëration mêiae qui a donné les limites a et by
<m coBcluera les deux propositions suivantes.

i^ Les deux racines cberchées sont réelles si le carré d un des
deux termes moyens /"'a owf'b surpasse le double produit du
terme placé à la droite de ce même terme moyen , et sur la même
ligne, par celui des deux termes extrêmes y "a ^tf'b qui con-
tient le plus d^unités sous le signe 4- ou sous le signe — . On a
donc ici deux conditions différentes : si une seule , et à plus forte
raison si toutes les deux subsistent , les racines sont réelles.

2® Les deux racines sont imaginaires sî le carré d'un des deux
termes moyens /'a oxxf'b est moindre que le double produit, du
terme placé à la droite dece même terme moyen ,etsur la même ligne ,
par celui des deux termes extrêmes /"'a onf'b, qui contient le
moindre nombre d'unités sous le signe + ou sous le signe — . Il
en résulte aussi deux conditions difTérentes : si une seule, et à plus
forte raison si toutes les deux' subsistent , les racines cherchées sont
imaginaires. ,

Si aucune des quatre conditions que Ton vient d'énoncer n'a lieu ,
c'est-à-dire si les quatre conditions contraires subsistent à la fois, on
est averti que les limites a et ^ ne sont point assez rapprochées pour
que l'on puisse, par une seule opération, déterminer la nature des
racines : on divisera donc l'intervalle a b des deux premières limites,
. et si, par la substitution d'un nombre intermédiaire, les racines ne
sont point séparées, on appliquera de nouveau la règle qui vient,
d'être énoncée. £n continuant cette application, il est impossible
que l'on ne parvienne pas promptement à séparer les racines si elles
sont réelles, ou à reconnaître qu'elles sont imaginaires.

On trouvera par l'usage de cette règle que l'application en est
facile, et il est évident que, par ce contact des arcs de parabole,
on parvient à distinguer la nature des deux racines dans les équa*
(ions où la première approximation fondée sur le contact de la

3a.

a48 LIVRE DEUXIÈME. CALCUL DES RACINES.

ligne droite n'aurait point encore fait connaître si les racines sont
imaginaires. Mais notre but principal n est pas de perfectionner
cette première approximation qui ne laisse rien à désirer pour la
facilité du calcul : nous avons eu seulement pour objet dans cette
dernière recherche de donner plus d'étendue à l'approximation de
second ordre , et d'en démontrer une propriété remarquable.

rizr DU LIVRE DEtXZiatK ET DE LA PEEMliEE PAaTlS.

* ^"^ ^^^ ^^^^^^ ^^^"^^"^^"^^ ■ t * > ^ * ^ *>^ ^^%^'^'V* i '%<rvfc%'v>%'fcrw%mfmmr>. trwm%^%^ %»%.'%. i

TABLE DES MATIÈRES

CONTENUES DANS LA PREMIÈRE PARTIE.

Pages

PRÉFACE. 5

INTRODUCTION. 7

•

(t) Origine de TAlgèbre. Principaux inventeurs* îtid^

(2) Objet de cet ouvrage. 1 1

(3) Définitions préliminaires, équations numériques. Racines de ces éqtta*
lions. Equations littérales. Signes radicaux ; leur usage pour la résolution

des équations. la

(4) Équations qui contiennent plusieurs inconnues ; leurs racines. Racines
réelles des équations numériques. Facteurs du premier degré. Facteurs

du second degré; racines imaginaires. 16

(5) Courbes paraboliques qui représentent les propriétés des équations.
Fluxions des divers ordres. Maxima et minima. Points d'inflexion. 17

(6) Notion générale des limites, fondement de l'analyse différentielle. , 20

(7) Décomposition en facteurs du second degré. Propriétés des couibes

de divers ordres qui indiquent les racines imaginaires. ai

(8) Propriétés des racines égales. ibid.

(9) Développement du binôme z+b. Terme qui complète la série. 2a

(10) Expression différentielle de l'accroissement infiniment petit d'une
fonction. 23

EXPOSÉ SYNOPTIQUE

DES RÉSULTATS DÉMONTRÉS DANS CET OUVRAGE. a5

(i) Recherche des intervalles dans lesquels se trouvent les racines réelles
des équations. Théorème désigné par (A). ibid.

aSQ TABLE DES MATIÈRES

Pages

(a) Valeurs critiques de Tinconnue indiquant Texistence d'un couple de
racines imaginaires. Ces valeurs réduisent à zéro une des fonctions dé-
rivées intermédiaires, ot donnent le même signe aux fonctions précé-
dente et suivante. aS

(3) Règle pour la distinction des racines imaginaires, désignée par (B). Elle
est fondée sur la considémtioii des indices des équations dérivées, c'est*
^-dire des nombres qui expriment combien chacune de ces équations
peut avoir de racines dans un intervalle donné. 3o

(4) Remarques sur l'application des méthodes précédentes. 33

(5) Calcul des valeurs des racines réelles. Approximation linéaire , dérivée
de la méthode newtonienne. Précautions qu'exige l'usage dç cette mé*
thode. Nouvelle règle arithmétique pour la division des nombres; elle
pourrait servir à résoudre immédiatement les équations du second degré

et des degrés supérieurs, 34

(6) Ekamen du degré de convergence de l'approximation linéaire, et de
l'approximation du second ordre et des ordres^ supérieurs. 35

(7) Nouvel examen de la question qui a pour objet de distinguer les ra^
cines imaginaires. Solution de cette question par la considération du
contact des arcs de parabole. 3G

(8) Autres méthodes pour le calcul des racines réelles, dont les limites
ont été déterminées par les règles (A) et (B). Développements en fractions
continues ou en fractions de l'unité. ij

(p) Expression des irrationnelles algébriques en fonctions continues. Con-
structions qui représentent la marche de l'approximation. 4<^

(10) Toute méthode exacte d'approximation sert à distinguer les racines
imaginaires , pourvu qu'on dirige le calcul par l'emploi du théorème (A).
Application au procédé d'approximation fondé sur U méthode new-
tonienne. 4^

(11) Application au procédé d'approximation résultant deTemploî des frac-
tions continues. Remarques générales. ^ 4^

(la) Résolution des équations littérales. Cette question peut être résolue
complètement, et le principe de la solution existe dans les écrits de
Newton , de Stirling et de Lagrange. Nouvelle méthode plus générale.
Construction au moyen de laquelle on trouva successivement les premiers
termes des facteurs correspondants aux racines de la proposée. Recherche
des termes siibséquents de ces facteurs. Exemples. ^7

(i3) Résolution simultanée de deux équations littérales à deux inconnues.
La méthode ji'étend aux équations multiples dont le iiombr^ est égal ^

CONTENUES DANS lA PREMIÈRE PARTIE. !i5!

Pagei
celui des incooiuies. Elle diffiàre beaucoup du procédé de rélimiuation.

. La recherche des exposants est, en général, une application de la nié«-

thode des inégalités. 54

(i4) Application des principes de l'analyse algébrique aux fonctions trans»
cendantes. 5g

(tS) et (x6) Propositions générale^ servant à déterminer les limites et les
valeurs des racines dans les équations transcendantes. Cas où le produit
de tous les facteurs simples qui réduisent à zéro le premier membre
d'une équation transcendante peut avoir une valeur différente de celle
de ce premier membre. ^ * 6t

(17) Les mpports des séries récurrentes avec la théorie des équations sont
plus étendus qu'on ne l'a pensé jusqu'à présent. On peut déterminer
par cette méthode toutes les racines , réelles ou imaginaires , et en gé-
néral tous -1m coefficients des facteurs dun degré quelconque. Règle de
Daniel Bernoulli; remarques d'Euler et de Lagrange. 68

(18) Questions nouvelles dont on s'est proposé la solution. Convergence
de l'approximation résultant de Temploi de la règle de Daniel BemoullT.
Détermination successive de toutes les racines réelles. Détermination

des racines imaginaires. 70

(19) Les premiers fondateurs de l'analyse ont exprimé les valeurs des fonc-
tions algébriques invariables de toutes les racines : les fonctions qui ne
contiennent qu'un certain nombre des racines ont des prc^riétés non
moins générales. Le procédé fondé sur l'emploi des séries récurrentes
peut tenir lieu de toute autre méthode pour la recherche et la distinc-
tion des racines , et s'applique à la recherche des racines imaginaires ;
mais ce mode d'approximation exige en général trop de calcul*. y 4

^20) Principes de l'analyse des inégalités. Elle s'applique aux questions '
dont les conditions ne sont pas seulement exprimées par des équations,
mais consistent aussi en ce que certaines fonctions des inconnues doi-
vent être plus grandes ou moindres que des constantes données. Ques-
tions de statique résolues par cette méthode. 7 5

(21) Application de l'analyse des inégalités à la résolution des équations
littérales , et à l'usage des équations de condition. Construction propre
à déterminer les valeurs des inconnues qui donnent â la plus grande
erreur la moindre valeur possible. 81

(22) Résumé. La notion que Yiete avait proposée des Torigine de l'algè-
bre y et qui consistait à considérer simultanément tous les coefficients
de l'équation pour en déduire par des opérations successives les parties

a52 TABLE DES MATIÈRES

de chaque racine, était la plus propre à diriger les recherches. Newton
a donné une première partie de cette méthode exégétiqué; mais il n*a
point découyert le moyen de reconnaître les racines imaginaires et de
trouTCT deux limites pour chaque racine. Ces difficultés sont au-
jourd'hui résolues. Objets principaux des recherches contenues dans cet
ouyrage,

LIVRE PREMIJER,

84

MÉTHODE

POUR DÉTERMINER DEUX LIMITES DE CHAQUE RACINE ttÉELLE

ET POUR DISTINGUER LES RACINES IMAGINAIRES, 87

(1) et (a) Substitution de plusieurs nombres dans les fonctions que l'on
forme par des différentiations successives. Suite des signes des résultats.
Proposition relative au nombre des changements de signe qui disparais-
sent successivement lorsque le nombre substitué augmente par degrés
insensibles depuis — ^jusqu'à +-^. Md.

(3) La même proposition subsiste lorsque le nombre substitué fait évanouir
plusieurs des fonctions intermédiaires. 92

(4) Cette proposition convient au cas des racines égales. 96

(5) Elle subsiste encore si la même substitution fait évanouir plusieurs
fonctions dans diverses parties de la suite. 97

(6) Ces démonstrations font connaître comment la suite perd ses change-
ments de signe selon que les racines sont réelles, égales ou inégales, ou
sont Imaginaires. ibîd.

(7) Proposition générale concernant la diminution progressive du nombre

des changements de signe. 9&

(8) Usage de cette proposition pour connaître combien une équation peut
avoir de racines entre deux limites données. gg

(p) La règle de Descartes relative au nombre des racines positives ou né-
gatives est un corollaire de cette proposition. 10 1

(10) La même proposition indique les seuls intervalles od les racines doi-
vent être cherchées, ibid.

CONTENUES DANS LA PREMIÈRE PARTIE. a53

Pages

(il) Règle pourd^tenniiMr le sigiiequ'il fiiut attribuer «uxraullats loreque
les fonctions s*ëYanouisaenl. Exemple de cette i^gU du dtmiil» signe.

Ck>nséqueii^ irelutiv^ w ««Huître des vecinee imegÎMÎrei* 102

{1%) Application des théorèmes précédents à divers exemples, savoiv à

(i?) àréqu%tiendf*m-4j?^T*^34H^$JaBO. ^ io5

(i4) à réquation x^ 4-a^* — 3jr*4^83tso, 1q^

(|5) à réquation «^t^ «4 H>^4d' ni* aSjr<rw36:xso» , log

(16) Aux équations binômes, oit en général à ei^lei qui numqttent de pH^
sieurs termes consécuti&. 109

{%j) à réquation x^ — ajc*— 3jp* •4-4***^5'«-*-6=e. m

(j8) àTéquatien 4p^ +3«^-^s)«'*^SAf*— Ajr— r73»a, \t%

(ig) à réquation x^ -^-^xox^ +tf ««{« mso, ii9

(ao) Intervalles dans lesquels on m doit point oherdier de tadnes* Inter-
valles où Ten doit chercher les racines réelles. Les raoiues réelles peuvent
4tre trouvées ou manqiier d|i9S ^e^ denii^s intewaU^ 'ii4

(ai) Question qui a pour objet de distinguer les racines imaginaires; Moyens

divers de la résoudre, . 1 1 5

(as) Conditions propres au cas élémentaire on la nature des deux racines

indiquées est incertaine. 117

(a3) Construction qui représente les conditions énoncées, les deux résul-
tats /(«) ety(^) ayant le même signe -!-• 118
(a4) Principe de la solutoon. lao
(a5) Expression «iMilTlÂqne du «Nidèit qui aeit à dUrfagner les lycines

imaginaires. 13 1

{^6) Distinction des racines égales. laS

(37) Construction sidatiM m cas e4 les dens résnllits/lfitf) etyi[^ ont le

même signa. ièid.

(aSj Énoncé de la règle qui sert à distinguer les racines imaginaires. Aid.

i[a9) Exnnples de lapplîoi^iiMa df eMe règle, wtPHm à Féqua^on

!a?^-^Ajr*r*-34î-4rascRO» laS

(3o) à l'équation jH» t^-^^^^^*— tS^— SÇscQ. lafi

(3i) et (3a) Application des mêmes principes au cas où, dans les deux

suites comparées ^ les signes sont disposés d'une nienière quelconque.

Règle pour la formation de la série des indices. Exemple. 137

(33) Relation entre deux indices eoiiaéoati&. Conséquence lelatiMeu der*

nier kidice. Procédé généni poar raeownekre k natare des raoînes. 1 99

33

25â TABLE DES MATIERES

(34) Dtns le cours de l'opération Tindice i le plus Toisin de Yeitréaâxi à
droite se rapproche continueUcment de cette extrémité. i3o

(35) La question est réduite dans tous les cas possibles à lapplication de la
règle de l'article 218. i3a

(36) Application du procédé de calcul qui sert à reconnaître la nature des
racines. Premier exemple, x^ — 3a:* — a4«^-+-95a:' — 46"^ — 101=0. i35

(37) Second exemple, ar* — 4^^ — ix+ a3=o. xiy

(38) Règle générale pour la détermination des limites des racines. i4o

(39) Application de cette règle générale à l'équation «*—«* + 4 «■-+•

X — 4=0. ï43

(40) à l'équation j?*^ -4- J?*+«' — a«* + a«r— 1=0, i45
(4i) à l'équation a?« — laa?' +6oàr*-Ma3x* + 4567a; — 89012=0. i4g
(4si) Tableau comprenant tous les exemples cités. i5i.
(43) Valeurs indicatrices des racines imaginaires. Conclusion du premier

livre. i54

LIVRE DEUXIÈME.

MÉTHODE

POUR CALCULER LES VALEURS DES RACINES DONT LES LUOTES.

SONT CONNUES,

ET REMARQUES DIVERSES SUR LA CONVERGENCE DES APPROXIHATYONS

ET SUR LA DISTINCTION DES RACINES. 167

(i) Principe do l'approximapon linéaiie. Méthode newtonienne* îbid.

(a) Conditions auxquelles cette méthode doit être assujétie. Question à
résoudre. i5S

(3) Les limites peuvent toujours être asses rapprochées' pour que l'équa-
tion proposée y (a;) =0 ayant une seule racine dans Fintervalle, l'équa-
tion y*' (a:)=:o et réquation/^'(x)=0' n'aient aucune racine dans ce
même interralle. i59-

(4) On connaît par la comparaison des suites si les conditions précédentes
sont remplies. Exemple. 161

(5) Lemme I^'. Si dans les deux suites comparées les signes des termes
correspondants ^ont les mêmes, cette condition subsistera toujours en

CONTENUES DANS LA PREMIÈRE PARTIE. 255

Pages
substituant des nombres intermédiaires quelconques. Lemme IV. Si,

pour un intervalle donné le dernier terme de la série des indices est o ,
le dernier indice sera toujours nul, quels que soient les nombres inter-
médiaires substitués. , i6a

(6) Approximation linéaire. Démonstration. Valeur approchée plus grande

que la racine. i65

(7) Valeur approchée moindre que la racine. 167

(8) Comparaison de ces deux valeurs. 168

(9) Convergence de l'approximation linéaire. La différence de deux Valeurs
approchées est proportionnelle au carré de la fraction qui mesure la
différence des deux valeurs précédentes. 169

(10) Construction qui représente 1° la valeur approchée donnée par la
règle nevrtonienne, 2? une autre limite nécessaire pour compléter l'ap-
proximation. 171

(11) Cette construotion fait connaître clairement les conditions que sup-
pose l'usage de la règle newtonienne. 174

(za) On ne doit faire usage du procédé d'approximation linéaire que lorsque
les trois derniers termes de la série des indices sont devenus 001. 176

(i3) Distinction des quatre cas de l'approximation linéaire. La limite à
laquelle la règle newtonienne s'applique est celle qui donne le même
signe poury''(x) et four/^^x). Lùnùe extérieure. Limite intérieure. 177

(i4) La construction prouve qu'en rapprochant les limites on forme
un intervalle pour lequel les trois derniers termes de la série des indices
sont o o I • Du cas singulier où les fonctions^^' {x) ex/{x) ont im &cteur
commun. 178*

(i5) Résumé des conséquences précédentes relatives aux conditions qu'il
faut observer en procédant au calcul de la racine. 180

(16) Règle qu'il faut suivre pour trouver deux nouvelles limites plus rap*
prochées que les deux précédentes. 181

(17) Propriétés des cinq limites différentes qui constituent l'approximation
linéaire. 182

(z8) Application au cas élémentaire de l'équation à deux termes. Construo-
tion. Conséquences relatives aux chifires conununs aux deux nouveUes
limites approchées. i83

(19) Remarques générales sur les méthodes exégétiques de Yiete. Énoncé
des questions qu'il faut résoudre pour n'introduire aucune opération
superflue dans le calcul des racines. i85

33.

• •

p»g«i

a56 TABLE DES MATIERES

(ao) Règle abrégée pour la division des nombres. Elle consiste à déterminer
avec certitude les chiffres du quotient , en introduisant successivement
les chiffres du diviseur à mesure qu'il devient nécessaire de les em-
ployer. '87

(21) Remarques diverses concernant cette règle. On peut former le pro-
duit de deux facteurs composés d'un nombre quelconque de chiffres
sans écrire aucun des produits partiels. Exemples de la division or*
donnée. 189

(112) La règle précédente peut servir à déterminer les chiffrea qui expri-
ment la racine de Téquation du second degré» ApplicatioQ à Téquation
j;»_l-y65432j:=: 123456. * ' 193

(23) La même règle pour la division à diviseur variable pourrait être ap-
pliquée ^ux équations nuAnériques d un degré quelconque. Application
à l'équation o:^ +34Sâ?= xa. 194

^24) Règle pour opérer la substitution , dans la fonction proposée et dans
les fonctions dérivée^ , des valeurs de plus en approchées que Ton ob-
tient pour la racine, de manière à éviter les calculs superflus. 198

(25) On peut éviter le calcul de la seconde limite qui est nécessaire pour
définir l'approximation newtonienne en considérant la différence des
deux limites. Expression de cette différence. Expression d'une quantité

que la différence dont il s'agit ne peut dépasser. 199

(26) Seconde limite déduite de la considération de la sécante, qui pour-
rait également servir à définir l'approximation. 202

(27) et (28) Indication de l'ordre décimal du chiffre du quotient auquel
.la division doit être arrêtée dans l'approximation newtonienne, afin

d'obtenir tous les chiffres exacts qui peuvent être donnés par chaque
opération, ^t de ne pas être exposé à déterminer des chiffres qui n'ap*'
partiendraient pas à la valeur de la racine. Loi suivant. laquelle le nom-
bre des chiffres exacts donnés par chaque opération augmente de plus
en plus. 204

(29) Enoncé de la règle d'après laquelle on doit procéder à fapproxima-
de la valeur de la racine. 208

(i^o) Application de cette règle à l'approximation de la racine réelle de
l'équation jc^ — a^r— 5=o calculée jusqu'au chiffre décimal du trente-
deuxième ordre.

(3i) Application de l'analyse différentielle au oas le plus simple de (ap-
proximation linéaire. Relation entre l'erreur d'une valeur approchée et'

aogt

CONTENUES DANS LA PREMIÈRE PARTIE. ^67

, • Page»

la différence de deux limites dont Tune est déterminée par la tangente
^en un point voisin du point d'intersection , et Tautre par une parallèle
à la tangente au point d'intersection. 21 y

(Sa) Relation finale entre Terreur co d'une certaine approximation et Terreur

(o'de l'approximation suivante. On trouve ^'ss 77^ 9 â? désignant.

l'abscisse du point d'intersection» 219

(33) Approximation du second degré. Mesure de la convergence finale.

m désignant Terreur d'une certaine valeur approchée , et «>^ Terreur de

la valeur plus approchée qui la suit immédiatement, on a cette relation

0)3 fa:
a. 3 /'or

(34) Expression générale de la convergence de l'approximation qui résul-
terait d'un contact du troisième ordre, du quatrième ordre, etc., ou
d'un ordre quelconque. On ne pourrait point former cette expression
par l'analyse que Ton vient d'employer pour le premier et le second
ordre ; on y parvient en appliquant la règle qui sert à la résolution d'une
équation littérale. On trouve ainsi que Tapproximation d'un ordre t de-
vient de plus en plus et indéfiniment convergente à mesure que le
nombre i augmente. L'erreur correspondante à chaque opération est
le produit de la puissance î de Terreur immédiatement précédente par

le facteur constant 5—; r--^, — • aa3

i.a.0.4* • .î y ^

(35) Remarques générales concernant la distinction des racines imagi-
naires. La question consiste à connaître le signe du résultat que Ton
obtiendrait en substituant dans une fonction donnée yir une valeur
très-approchée de la racine a qui réduit à zéro une autre fonction

(36) Si Ton fait abstraction du cas singulier où Ton aurait Yx'==f^ x la
question est résolue par les principes démontrés dans le premier livre. a3o

(37) Le même procédé s'applique aux fonctions d'un nomibre quelconque

de variables. a3x

. (38) Solution de la même question dans le cas singulier où la fonction

Fa; et/' or. ' aSa

(39) Exemple de cette solution. a34

(40) Nouvelle règle pour la distinction des racines imaginaires. a36'
(({i) Usage de Tapproximation du second ordre pour la distinction des

258

TABLE DES MA'IIÈRES, ETC.

racines imaginaires. Premier cas où le signe àef'^^x est +, et le signe

àefx est +.
(4a) Conditions générales pour le premier cas.
(43) Examen du second cas où le signe àe f" ac est — ^ et le signe de

fx est +• Condition relatives aux deux limites.
{^^i) "EjJàmen du troisième cas où le signe de/"'x est +9 et le signe de

fx est — . Conditions relatives aux deux limites.

(45) Examen du (piatrième cas où ^e signe àe/"'x est — ^ et le signe de
fx est — . Conditions relatives aux deux limites.

(46) Énoncé de la règle générale qui sert a distinguer les racines imagi*
naires par les propriétés du contact du second ordre.

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344
245

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