(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Children's Library | Biodiversity Heritage Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "Analysis, of Stelkunstige ontknoping in de meetkunstige wekstukken: vindende ..."

Google 



This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scannod by Google as part of a project 

to make the world's books discoverablc onlinc. 

It has survived long enough for the copyright to cxpirc and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject 

to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books 

are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover. 

Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the 

publisher to a library and fmally to you. 

Usage guidelines 

Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the 
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to 
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automatcd querying. 
We also ask that you: 

+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for 
personal, non-commercial purposes. 

+ Refrainfivm automated querying Do nol send aulomated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine 
translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encourage the 
use of public domain materials for these purposes and may be able to help. 

+ Maintain attributionTht GoogX'S "watermark" you see on each file is essential for informingpeopleabout this project and helping them find 
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. 

+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just 
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other 
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any speciflc use of 
any speciflc book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner 
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite seveie. 

About Google Book Search 

Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers 
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full icxi of this book on the web 

at |http : //books . google . com/| 



Google 



Dii is ccn digitale kopie van een boek dat al generaties lang op bibliotheek pi anken heeft gestaan, maar nu zorgvuldig is gescand door Google. Dat 

doen we omdat we alle boeken ter wereld online beschikbaar willen maken. 

Dit boek is na oud dat het auteursrecht erop is verlopen, zodat het boek nu deel uitmaakt van het publieke domein. Een boek dat tot het publieke 

domein behoort, is een boek dat nooit onder het auteursrecht is gevallen, of waarvan de wettelijke auteursrecht termijn is verlopen. Het kan per land 

verschillen of een boek tot het publieke domein behoort. Boeken in het publieke domein zijn een stem uit het verleden. Ze vormen een bron van 

geschiedenis, cultuur en kennis die anders moeilijk te verkrijgen zou zijn. 

Aantekeningen, opmerkingen en andere kanttekeningen die in het origineel stonden, worden weergegeven in dit bestand, als herinnering aan de 

lange reis die het boek heeft gemaakt van uitgever naar bibliotheek, en uiteindelijk naar u. 

Richtlijnen voor gebruik 

Google werkt samen met bibliotheken om materiaal uit het publieke domein te digitaliseren, zodat het voor iedereen beschikbaar wordt. Boeken 
uit het publieke domein behoren toe aan het publiek; wij bewaren ze alleen. Dit is echter een kostbaar proces. Om deze dienst te kunnen blijven 
leveren, hebben we maatregelen genomen om misbruik door commerciële partijen te voorkomen, zoals het plaatsen van technische beperkingen op 
automadsch zoeken. 
Verder vragen we u het volgende: 

+ Gebruik de bestanden alleen voor niei-commerciële doeleinden We hebben Zoeken naar boeken met Google ontworpen voor gebruik door 
individuen. We vragen u deze bestanden alleen te gebruiken voor persoonlijke en niet-commercicle doeleinden. 

+ Voer geen geautomatiseerde zoekopdrachten uit Stuur geen geautomatiseerde zoekopdrachten naar het systeem van Google. Als u onderzoek 
doet naar computervertalingen, optische tekenherkenning of andere wetenschapsgebieden waarbij u toegang nodig heeft tot grote hoeveelhe- 
den tekst, kunt u contact met ons opnemen. We raden u aan hiervoor materiaal uit het publieke domein te gebruiken, en kunnen u misschien 
hiermee van dienst zijn. 

+ Laat de eigendomsverklaring staan Het "watermerk" van Google dat u onder aan elk bestand ziet, dient om mensen informatie over hci 
project te geven, en ze te helpen extra materiaal te vinden met Zoeken naar boeken met Google. Verwijder dit watermerk niet. 

+ Houd u aan de wet Wat u ook doet, houd er rekening mee dat u er zelf verantwoordelijk voor bent dat alles wat u doet legaal is. U kunt er 
niet van uitgaan dat wanneer een werk beschikbaar lijkt te zijn voor het publieke domein in de Verenigde Staten, het ook publiek domein is 
voor gebniikers in andere landen. Of er nog auteursrecht op een boek mst, verschilt per land. We kunnen u niet vertellen wat u in uw geval 
met een bepaald boek mag doen. Neem niet zomaar aan dat u een boek overal ter wereld op allerlei manieren kunt gebruiken, wanneer het 
eenmaal in Zoeken naar boeken met Google staat. De wettelijke aansprakelijkheid voor auteursrechten is behoorlijk streng. 

Informatie over Zoeken naar boeken met Google 

Het doel van Google is om alle informade wereldwijd toegankelijk en bruikbaar te maken. Zoeken naar boeken met Google helpt lezers boeken uit 
allerlei landen te ontdekken, en helpt auteurs en ui tgevers om een nieuw leespubliek te bereiken. U kunt de volledige tekst van dit boek doorzoeken 

op het web via |http: //books .google .coml 




r 



Gel ?^U 



^ 

^ 



i 

f 



\ 



^ 



f 



• ■ 



i 



I 



X 



A N A L Y S I S, 

Of 

STELKUNSTIGE 

ONTKNOPING 

Inde 

Meetkunstige Werkstukken: [ 

yindaiie van hm 

DeGrootfieenKlcenftci deRaaklynenopdeErom- 

me; dePlsutzen; de Ontbindioeder bepaalde 

Werkltukkcn door de Plaatten j eu de 

Qiiadratura Tan eenige Kroffl- 

. linifche GroochedeD. 

Abrahau DB Graaf. 



t*A H S T £ IL D A M, 

% JoAHNES LooTS, BoekveTkc^)criodeNictnreBnigflecg, 
iodcJoogcLoottaun. 1701S. 



VOORREDEN. 






m 9 




Waaide Leczsh. 

Ier werd UI. voorgedragen do Vrochtcn 
van onze Wiskunftigebengheden 9 ze- 
dert veele jaren zo nu en danby een ver- 

gadert5 eneyndelyk^ by ledige tyd^ tot 

> *■■ "-^'^ een Lichaam gebragc. *t Is een Stellcan» 

ftige Ontknoping in de Meetkunftige Werkftuk^ 
ken : in vier Stukken 9 of Boeken afgebandelt : het 
eerfte wyft aan de Vinding van de Grootfte en 
Kleenile (de UHaximis ^ Mmimis^ waar onder dac 
van de Raaklynen mede begrepen is : het tweede 
vind de Plaatzen , en toont haar gebruyk in de Op- 
löflTifig der onbepaalde Meetkundige Werkftukkcn: 
het derde ontbind de bepaalde Werkftukken door 
middel van deze Plaatzen : en het vierde handelt van 
de Qu^drarura, aanwyzende de overeenkoming van 
het Kromme met iiet Rechte : zaken zynde die wy 
meenen dat een curieufe liefhebber zullen konnen 
voldoen 9 te meer om dat het doorlopen is met ver- 
fcheyde Speculative Queftien en Methodens. Wy 
zyn bewogen dit de Nederlanders mede te delen ^ 
OQ dat , m haare moeder Taal , weynig daar van te 
vinden is. Dit Werk gevoegt by ons voorgaande van 
'deMatbeliS) zo heeft men in een kort begrip van de 
Wiskunflt, -niet alleen het nootzakelyke, maar ook 
genoegfaara alle het aanmerkelyke dat zedertderyd 
van Cartefus , door verfcheyde uy themende Mathe- 
matici » töttiu toe is uytgc vonden. . V 

Wy4iebbehin deze alles naaktelyk verhandelt, 
geen Queftien (bellende zonder haare Ontbinding daar 

#2 ^y 



VOORREDEN. 

by te voegen » uy tgenomen ia eenige wey nige die uyc 
de voorgaande openbaar zyn. Wy hebben echrer 
de oplomng veeltyts niet volflagen gedaan » nalaten- 
de dat geene aan te wyzen dat gemakkelyk om te 
vinden is$ en dat UL zou walgen indien lïien het 
daar by voegde. Zomtyts, wanneer de vinding van 
de iËquatie zeer licht isj zo zetten wy maaralleen 
de Conftrud:ie > en byna altyd de Conftrudie 9 zonder 
tetoonen datze het begeerde voldoet, om dat deze 
proef in alle op een en dezelfde wyze kan gefchieden. 

Als wy iets willen bewyzen» zo trekken wy niet 
aan de Voordellen uyt de Meetkun(l> of van Eucli- 
des, ofvanons^ waar uyt zodanigen befluyt volgt : 
dit hebben wy in 't voorgaande Werk al vroeg nage- 
laten : wy meenen ook dat het UI. niet zoude beha- 
gen 9 ten waare dat men van die Beginfelen nog on- 
kundig was » of dat men veel van hen hadde vergeten, 
en dan kan men niet als met veel moey ten en wey nig 
vracht in deze vorderen. Wy hebben gemeent het ge- 
noeg te wezen , iets willende bewyzen , dat men van 
deze Beginfelen begint ^ enaanwyft hoe daar uyt het 
ycreyfte volgt. 

Wy hebben niet aangewezen op wat wyze dat men 
de Trek van de Kromme lynen kan vinden , die ho- 
ger als die van het eerfte geflagt zyn^ waar van zomtyts 
een voorbeelt in dit Werk te vindenis: ditgefchiec 
met voordagt, om 171. geen ongeneugte aan te doen 
wanneer gy hen kundig zyt geworden : de manier 
van vinding is in alle Kromme lynen een en de zelf- 
de ^ en is ook niet ver te zoeken. 

Dewy 1 wy dan alzo , als in een fchets > hebben aan - 
gewezen wat dingen dat in deze verhandelt werden» 
en de manier die wy daar in houden > zo zullen w v 



VOORREDEN. 

afkorten 9 alleenlyk dit nog daar by voegende » dat 
die Werk t'cenemaal Theoretifch is » dat het niet 
zal konnen dienen tot nuctigheit van de menfchely« 
ke handeling 5 dat het alleen vérgéhoeging kan ge« 
yen aan de geeft wanneerze ifmaak vind in waarher 
den te befchouwen die onfeylbaar zy n j en zaken té 
ontdekken die als in den Afgrond verborgen warent 
zonder zig te bekreunen waar toe datze konnen die* 
nen* Vaar weL 



Rynshurg den i Decmher . . i 

1706, 

A.deGraap. 

* 






•i\ 



RE- 



REGISTER. 

I B o È K 

yimdeGrwtfiem KhenJU. fsg.i 

I Deel. XHoofiftuk , van de bewerking met de onbepaalde 

Dimenfien. i 

U Hoeft fiftk^ van het onbepaalt Kleen en Groot. 4 

II Deel. Van deRaaklynen, of de vinding van de Raaklynen 

op de Kromme lynen door ^onbepaalt kleen 14 
'Bjigel opdeRedudietothet onbepaalt kleen. 17 
X Bjigd om de Onderrakende (Subtangens) te 
vinden. 19 

2 S^el om het (hik van de Onderrakende te 

vinden begrepen tuflchen de Top en de Raak-, 
lyn. 21 

3 Bjtgd om de Onderlootlyn te vinden. 24 
Vtorhttldtn tot Toepafling. 2 j 
Als de making van de Kromme door Draden 

gcf chict. 3 y 

Van de Buy ging der Kromme lynen. 42 

III D E E L. Van de Grootfte en Kleenfte volftrekt geno- 

men. 47 

Regtl om een iEquatie op te loflen waar in twee 

gclyke Wortelen zyn. yo 

Voorhttldtn totOeflfening. j £ 

II B O E K. 

y^m de KrmUnifche Plaat zen. 70 

I D B E L. Vinding van de Kromlinifche Plaatzen. 70 

I Hooftfluky vinding der Plaatzen door opgemaakte 

^Equatien, en de T^/ op deze. 7 c 

Het gebruyk van deze iEquatien. 74 

II Hoopftuk , vinding van de Plaatzen door x oïy 

' of iets anders gelyk nul te nemen ^ ofgelyk 
aan een bepaalde quantiteyt. 79 

UlHoofifiukf de 0(»louing V4Q fommige onbe- 
paalde iSquatien. 98 

% II Deel. 



REGISTER. 
II D E 6 L. DeOplofling van eenige onbepaalde MeetkunfUge 

*WerkUiikken. xop 

III B O E K. 

Vm deO$almdmg der bepaalde Meet- 
kmfiigefFerkfiMkkin doormiddelvM 
dePQatzen. 148 

I De el* Ontbinding van de Meetkunftige bepaalde iEqua- 

tien van drie en vier Dimenfien door de 
Plaatzen. 148 

I Hmfifisik^ hoc men een bepaalde iEquatie kan 

deelen in twee cf meer onbepaalde. i^p 

II Hooft fiuk, vinding vaq de Kromme lynen die- 

nende tot de OplolSmg van een gevonde of 
vaneen g^ve iEquatie. z 5 3 

III Hooft/bik ^ Oplofling van de bepaalde JEcfaz- 

tien van drie en vier Dimenfien door bemdp 
van een gegeve Kegelfnede. 158 

IV Hoofiftuky vinding van de algemeene Regelen 

tot 4e OplolSng der Meetkunftige bepaalde 
iGquatien van drie en vier Dimenfien. 1 6^ 

I AlgemeeoeR^el^yde tweede Tetnfontbre- 

kende. Kfp 

% AlgemeeneRegel^de tweede Term daar by 

sjmde* 1 70 

^ AlgemeeneRegel, de tweede Term daar by 

zynde,.endooreengegevePdrabole. 174 
De Regel van Ff. van Schooten. 1 8 x 

II Deel. Ontbinding van eenige bepaalde Meetkundige 

Werkft ukken door middel van de Plaatzen. 18^ 
MtfiléAum » of de vinding van twee midden 
evenredige tufTdhen twee gegeve lynen op 
veele onderfcheydene wyzen. 221 

Ontbinding van twee Vraagftukken door Al-- 
Ir4.uif vooi^eftelt , aangaande de Bultige en 
holle Circukre Spiegels i op veelderley wyze 
gefol veert. 239 

Het eerfce Vraagftuk • 240 

Het tweede Vraagftuk* 260 

• * 



REGISTER. 

Uyt een g^geve punt, tot een gegeyeKcgelfhede, 

de korifte lyn ce trekken. 2 6 f 

Een gegere boek te dcelen in drie gelyke (leelen.2 84 

in t^f gelykedeelen.288 
in/^mgelyke deelen.295 
Het Stuytpnnt te vinden als de Spiegel de ge- 
daante neeft van een der KegeUheden 
van het cerfie geflagt. 302 

vanhetlu^^^^^geflagt. 305^ 

IV BOEK. 

Van de^adratum^ cf de vergtlyking 
van bet Kromme met het Rechte. 312 

I Debl. De vergelyking van het Kromme met het Rechte 

wanneernet onbcpaalt kleen is. 31^ 

II D E E L* De Quadratura van fommige Vlakken en Lichamen. 322 

De Quadratura vaneen Rond j van een£llip(i$ > 
envaneenHyperbóIe. 340 

III D B E L. De vinding van een Rechtelyn zodang als een 

Kromme. ^6z 

I Hwffdnk^ volgensde manier van Af. //ir«rMr. ^62 

II Hoofijfuk , volgens de manier van C Huj/gens. 3 ci 
De Brandlini van Themhms op een andere manier. 382 
Tomft^ wegens de Vinding van het Centrum 

Gravitates, of het fwaarheits Middelpunt in 
alle Parabolifcbe Vlakken en Lichamen. 3.88 



SceU 




Pag. i 

« 

Stelkunftige Ontknoping 

H £ T I. B o B K. 

V^aadc 

GROOTSTE en KLEENSTE, 

Anders genaamt 

Ve Maximis é" Minimis. 

Y geven het deze beiiaming, om dat in dit Boek 
niet anders zal verhandelt werden als van grooC** 
heden die volftrekt deGroofte of de kleenfte zyn, 
of die men daai* onder kan betrekken, of die in 
w haare groote ónbcpaalt zyn .: het. tweede zeg- 
gen wy ) om dat men in de Vinding van de Raaklynen, & 
wy in dit Boek mede zullen verhandelen , niet en vraa^ na 
een grootfte of na een Ideenfte , maar men kan echter dit daar 
mede onder betrekken , om dat men daar in begeert eenLyn 
tetrekken die met de kromme de kleenfte hoekmaakt, of de 
grootfte met de rechtftandige op hen : het derde z^gen wy, ^ 
om dat we hier by zullen voegen een bewerking met de Di- 
menden , wanneer haar getal door een letter afgebeeld werd ^ 
die in haare menigte onbepaalt is. 

I. D £ £ L. 

TWee dingen zullen wy in dit Deel verhandelen ; de be- 
werking van de Diménfien door Letters afgebeeld , en 
eenige Eygemchappen van de grootheden onbepaald groot en 
onbepaald ideen. 

.1. H o o F T S T ü X;; 

ykn de bewerking tnet de onbepaalde Vimenfien. 

ALs men een equatie hedt , van de welke de Dimén- 
fien veelderley konnen wezen , hoedanig is de^^quatie 
op de Parabole , om dat die van ontallyke geflagten en foor- 

teozyn^ vqtQODtv^erdende door yyxr^t door y^os^^^^ 

A doof 



% HetIBoek, 

doory^CD r» x , enz. ook door y^ zorxx , door jK 30 rx^ , 
enz. ook doorns x^^*^'» ch 20 in ^t oneyndig, zokanmen 
ckze jdleafbolden door cencemgc -equatie, te weten 
doorjf'Gor^ — 'j^Sofdoorjr'X'**^' — %ofdoorjF*+»c30^'Ar' 

Verilaat by x en f alle getallen , of ten minften zodanige 
die onbep^t zyQ \x^ haare Jboeveelheit. 

Indien men dan van de ÏParabole^ in 't algemeen , iets wil 
ondeiToeken , zo heeft men alleenlyk daar toe te gebruyken 
dcsie eene ^Equatie. £n om dat dit de weeduft voldoet , en 
ibmtyts dienftig kan wezen, zo zullen wy deze Stelling al- 
temets gebruyken ^ en daarom zal men genootzaakt wezen , 
in de VermentgvuUing » in de Deeling , en m de Worteltrekking , 
ïo wd te konnen omgpan met de letteren x en ^, of met an- 
dere die de hoegrootheit van de Dimenden vertonen , als men 
zulx.gewQonistedoenmetde getallen x, 3» enz, die dat ge- 
mcentyk afbeelden. En alhoewel men hier in niet nieuws 
heeft, waar te nemen» om dat ixvsn met de letters x en r even 
zodanie moet handelen alsmen anderfints doet met dfe getallen , 
zo zuUonwy echter daar van hier tserplaatzeeeni^e bewerking 
terjoederfteUen^.op dat, naderhand oenige Dutting hier in ont 
moetende , men een plaacszoude konnen vinden die ons weder« 
Qmdaar.i]^reddcrde: enwynemeiulitheteerftebyderhand, 
<»ndathetin4het volgende, zomiendaa, gébruykt werd. 

I. Van de MftltipH^ane mee de -onbepaalde Dimenfien. 

Op de gelyknaminge, 

In getallen. Hebbende n^ mét n^i te Muldpliceren , zo is 
. meagëwoon voor hetfn-oduft te^Uen éfi , dat istf^+' , 
vergaderende de getallen der .^metingen : daarom ook , 

Met Letters. Moeteo^e^iS' vermenigvuldigen met a'^ 

men Stelt voor de uytkomft a^+'^mcdcvergaderendedc 
ho^ootheden ^ en x, die haare Dimenlien vertonen. 

Hierom , aimet a muldpücerende, komt aa^^ of 4^+< : 
Txilx doende van 4 < — < met a, komt 4'; en met aa» komt 
4»+»: a^ — ' vermenigvuldigende met 4 s komt tf< — '+Sof 
s^: <i»~'meti^, komtii^+'. 

Het zelfde wülende, doen van a^ met tf'; of willende a* in 
H, vierkant muldpliceren, komt é^i a* driemaal in zig, of 
zyn.Cubicq,is4ii«S^ynvierkantsvierkantis^: maarwil 

men 



Van de Grootste en Klkenste. .^ 

men hen r maal in ug multipliceren , 20 is het produa a^. 
en dan beelt dit af, niet dlleen aUe het voorgaande, maar ook 
alle andere vermenigvuld^dens in 2ig sdifs y hoe meniginaal 
ook godaan, verftaande by r alle getallen. 
Op dc.Ongelyknamige. 
IngetêOen. Moetende tf» vermenigvuldigen mot fcS zoftclt 
men voor de uytkomft 4» b^ :- daarom oók,^ 
fnet Letters a ^ met h * multiplicerende , men ftelt voor het Pro- 
duftü'^S hen nevens elkander vocgondck' Hierom v it^met 
10 ^' multiplicerende, kpmt^'+zf»'^ dit laaftemeti^^, komt 

IL Van de JAotfa met de onbepaalde Dimeofien. '^*< - 

OpdcGelyknamsge. 
In getallen. Dcelende éfi door ifi , men ftelt voor bet quo- 
' Öent JJ"— '», of^ï*, i^hemenJedeDhnenJienvdndenDeeler 
van de TAmenfien van het Dhidemlupi : daarom ook ,. 
met Letters. Dcelende a*+* doorü', komt 4':**doör4',kotó 
41* — ': il' door il, komt 4^ — »: «^door^S komt i. 
Op de Ongelyknamige. 
In getallen. 4» *» door *», men ftelt voor het quotiënt *»: 
daarom ook, 
met Letters, a'b» door*',komtii»:ii'+^fr» door/i%kpmuf'': 
4l'+»*'+^^door*l^,4'+Ifcsenditlaaftedoor4f>^komtil^ 

a^ door b'^ men ftelt de uytkomft in gedaante van een 
Breuk, te weten ^:4«+«fr' door— , komt ^^tli-Z-l. 

in. Van de Worteltrekking in de onbepaalde. Dimepfiai. 

In getallen. Willende uyt a^ de y"* trekken, men ftelt voor 

zyn Wortel 4/ , dat is 45 , deelende de Di^fn/liM ^^i^ief 
geene v)aar uyt ke Wortel getrokken moet ^wr^n door de 

Dimenfitn van de Wortel: hierom y 

t ... ,fv 

met Letters. Uytü'dey», komt 4^; de y* komt #•-• daar- 
om de yr uyt a^ getrokken, komt a^ : XP^^ftaande by y^allc 
Wortelen, Uyt a^b' de y% komt a^b^: uyt abb de -/% 
Itomt 4^" F , uyt a* dc^S komt 41 j en uyt ~ dè y^skomt 
^. A X In 



^ HetI'Boek, 

In ^ kort 9 in alles doende met de Letters die de Dimen- 
fien afbeelden, als men gewoon is te doen met de getal* 
Jen die de Afinetingen vertonen. 

Il HOOFTSTUK. 

Van het (mbepaalt Klem en Groot. 

DEwyl het onbepaalt kleen de middel is waar door men 
het Rechte met het Kromme kanvergelyken,datvoor- 
namelyk plaats heeft in de vinding van de Quadratura , die 
op 't ïeft zal verhandelt werden , waarom wy dit ook in 't 
begin van het lefte Bock hadden seftelt : maar om dat wy 
bevonden hebben , dat men het zefvige ook nuttelyk kan ge* 
bruyken in ibmmige gevallen van het andere, en wel bezon- 
derlyk in de twee voLzende Deelen van ditBoek, zozynwy 
te rade geworden dit hier voor aan een plaats te geven. Het 
4mbepaalt groot voegen wy hier by om oat het altemets mede 
kan dienen, echter op 'ver na zo veel niet als hetandere^ Wy 
zullen van deze maar weynige voorftellen beantwoorden , en 
by na met meer als in het volgende zal aangeroert werden : 
ontmoet men iets van deze , die wy overgeflagcn hebbep, 
men zal zig ligt kpnnen redden volgens de manier die wy 
hid: in gebruyken om hen te bewyzen. 

1. Bepaling. Onbepaalt Kken^ of meyndig kleen 
is groot heit aan wiens kkenhettgeen paal te Jlelkn ts: of 
is Üeender ah de kleênfie bepaald. 

2. Bepaling. Onbepaalt Groot ^ of meyndiggroot 
isgrootheit aan wiens groote geen paal te pellen is ; . of is 
grooter als degrootJU bepaalM. 

In deze ziülen afgebeelt werden y 

de Bepaalde door a:b:c 

dt Onbepaalde kleeneóoovfigib 
de Onbepaalde groote door rnmio 

IVOORSTEL. 

Onbepaalt Kleen en onbepaalt Groot koanen bey^ 
de veelderley wezen 'm groote zo wel als de bepaal^ 

. de 



*• •i 




Vande Grootste en Kleenste.^ f 

de : en twee van de eerfte , óf twee van de laatfte 
kennen evenredig zyn mecongelyke bepaalde groot- 
heden. ^ 

Toepafftng. Men zal dit licht kon- 
ncn toefban , aanmerkende ABC A 
voor een Driehoek wiens driewdcn 
bemalde grootheden zyn; DE en 
V FÓ yder gelykwydig aan BC. Zio 
nu AjD is onoepaald kleen , zo zui- 
len DE en AE mede zodanig wezen , en echter zyn deze 
AD DE AE ongelyk in groote, als evenredig wezende met 
de bepdaldie AB BC AC , die ongelyk van lengte zyn. Zo is 
't mede , AF oneypdig groot zvnde , zo zuUen FG en AG 
mede zodanig wezen , en ongelyk in léngce zyn , om datze 
mede evenredig zyn' met de ongelyke be^aldc AB BC CA. 
V Bewys. Kon men twyflBen , AD oneyndig kleen zyn* 
de, of d^ DE mede zodanig was^ zo laat DE grootheit be- 
paalt wezen , en gelyk zyn aan p ; AD cDg , oneyndig kleen , 
en ABco^, en fiCx*, bepaalde: rjozyng/ pjl al bcvcih- 
redig, en daarom bgzoap , of/30^ : dat is^ , onbepaalt 
kleen , zoude dan wezen x ^ 9 grootheit bep^t , dataanloopc 
tegens de eérfté Bepalinc : zo moet DE dan mede wezenon- 
bqpaalt kleen ; want onoepaalt groot kan hy voor al niet we- 
zen. Op de zelve wyze blykt mede dat van h onbepaalt 
groot. En met eenen is aangewezen datze tonnen evenre- 
dig wezen met ongelyke bepaalde grootheden. 

II. Voor s t e l^ 

Onbepaalt kleen vergaart by onbepaalt kleen , of 
daar van afgetrokken : de fom j en ook de reft is 
onbepaalt kleen. 

Het laatfte is openbaar ; of beyde blykenze op deze wyze. 
'/ Beivys. Konf±g wezen x <», een bepaalde : 
laat ƒ tot ^ wezen als b tot c, zo is^co4^ • 

en dan zou /±^ wezen x«, of/x»^: ^t is onbepaalt 
kleen gelyk grootheit bepaalt , t^ens de cóïte Bepaling : to 

A 3 kao 




c 



5 HbtIBoek, 

kan d3inf±g geen groothdt wezen bepaalt groot^ veel min 
groothcit onbepaalt groot , daarom onbepaalt kleen » dat te 
oewyzcn was. • 

III. Voorstel 

Onbepaalt groot vergaart by onbepaalt groot , of 
daar van afgetrokken : de fom ^ en ook de reft is 
onbepaalt groot. 

Het ecrfte is openbaar, of beydc blykenze op deze manier. 
•/ Bewys. Kon m±n wezen x^» grootheit bepadt: 

kat I» tot 19 wezen als fr tot ^, zo IS nQO -r-: }, • 

eQdanzbUf»±^ wezenoD^» ofiwooj^- dat ^^^^* 
paalt ^oot gelyk grootheit bepaalt , t^ens de tweede Bepa- 
ling: zo kan aajim±n geen grootheit wezen bepaalt groot , 
veel min onbepaalt kleen , daarom onbq)aalt groot , 't geen 
te ^wyzen was. 

IVr Voorstel. 

^ ••♦».•,« ■ • .- 

Onbepaalt kleen vergaart by grootheit bepaalt, of 
daar van afgetrokken : de fom, en ook de relt is de 
2elfde grootheit bepaalt. 

*/ Bevfys. Kon s^f, of «— ƒ wezen gelyk ft , een an- 
dere betmlde als a , grooter of kleender , zo zou ƒ , onbe- 
paalt kleen , wezen gelyk b — a^ of gelyk a — b : dat is on- 
bepaalt kleen gelyk grootheit bepaalt ^tegens de i bepaUng, 
daarom enz. : «. i . 

V. Voorstel. 

Grootheit bepaalt vergaart by onbepaalt groot , of 
daar van afgetrokken: de fomj eaookde reftis het 
zelfde onbepaalt groot. 

V Bmys. Kon m±a wezen co ^ » een andere onbepaalde 
groote. laat mtotn vrezen als b tot ^» zo is n co^^ zo zou 

dan «±ii wezen CD X» of^OO^r^, dat is onbepaalt groot 

gdyk grootheit bepaalt, t^ens&c. Zo dan, grootheit bepaalt, 

veigaart of afgetrokken van onbepaalt groot, kan niet voort* 

brengen een andere onbepaalde groote, grooter ofkleender als 

de eafte, daarom de zclfUe, 't geen &c. 

VI. Voon- 



Van de Grootstecii Kleemste. j 

VI. Voorstel. 

Onbepaalt kleen gemulcipliceert met grootheit be- 
paalt • of daar door gedivideert : komt onbepaalt 
kleen. . 

'tBtwys. Kon/i, of ^wezcn oo^ , bepaalt, 20 zou ƒ 
wezen co 7in deMultipUcatio, dlfzo^h in de Divifïo, dat 
is onbepaalt kleen gelyk bepaalt , t^ens Sec. Yionfa^ of ^ 

wezen GO ^ 9 onbepaalt groot , zo Z0U ƒ wezen CD 7- > of X ^ ^> 
dat alzo nkt minder kan wezen al$ groodidt bepaalt: het ko« 
mende kan dan niet wezen bepaalt, ooknies onbepaalt groot, 
20 is het dan onbepaalt kleen ^ 't geen enz* . 

VIL Voorstel. 

Onbepaalt groot gemultipliceert met grootheit be« 
paalt 9 of daar door gedivideert : komt onbepaalt 
groot. 

^tBewys. Konma^ of* wczenco*,202ou»wczenco 7, 

of x^^ ,dat is onbepaalt groot gelykbepaalt , t^emdexBep. 

veel min luM^neii deze «^4 ën 7-. weKncoƒ9 onbepaalt kleen, 

want dan zoiiiT», onbepaalt groot, wczencb-^ ,ofc6^/> onbe- 

paak kleen na het 6 Voórft^l: zo kan dan de uytkomfl: niet 
wezen bepaak ,. x>ok niet onbepaak kleen , "Zo is ze dan on- 
bepaalt groot, 't geen epz-^ ^ . . , 

VUL Voorstel. 

Onbepaalt kleendoor onbepaalt kleen gedivideert» 
of onbepaalt groot door onbepaalt groot: het quo- 
tiënt is. gitoQt&ic bepaak. 

"t Btwys. af'is onbepaalt kleen na *t^6 Vóiópftcl , gedivi- 
deert door/, onbepaalt kleen, komt ^i bepaalt : zo ook, i»f» 
is onbepaak groot na ?t7Voorfbel , gedivideert door 1», on«- 
bepaalt groot, konit 4 bqpaalt, , _ 

Anders. Ijaxmfj^llblc^oollimlnUb 

(iV.) zoisinbcydciooy, rag-cbf: 



\ 



8 HetIBoeic; 

maar 4^ is onbepaak kleeiv door oabepaalc kleen ^ en A [^ ^j^ 
bqnak groot door onbepaalc groot , en beyde zynze gelyk ^- 
gpoot bepaalt , 't geen enz. 

IX. Voorste t. 

I. Grootheit bepaalt gedivideert door onbepaalc 
kleen I of door nul: komt onbepaalt groot. 2. en^ 
doo^ onbepaalt groot : komt onbepaalt kleen. 

V Bevys. Op' tl. Kon j wezen gelyk*, grootheit bepaalt^ 
wzouook/wezencof-» grootheit bepaalt, tc^ns de i Be- 
fkaling.: ved inin kan 4- wezen onbepaalt kleen > daarom on*' 
bepaalt groot, en by gevolg mede ~ . 

Op't%± is dan onbepaalt groot ( i Ut) door dit gedivi- 
deert 0, grootheit bepaalt, komt /onbepaalt kleen. Of* ge- 
divideert door j- , komt ^ , ( of/ gemultiplicecrt met -^) on- 
bepaalt kleen volgens het 6 Voorftel. 

X Voorstel. 

. Onbepaalt kleen gemultipliceert met onbepaalt 
groot y of met een oneyndig groot getal : komt 
grootheit bepaalt. 

UBen»ys.fy onbepaalt kleen, gemultipliceert met j-, on- 
bepaalt groot (9 V.), komtü, grootheit bepaalt. 

XL Voorstel. 

Een oneyndige menigte van grootheden onbepaalt 
kleen , gelyk of ongelyk in groote : haar fom is 
grootheit bepaalt* 

'/ Btwys. Zynze gelyk in groote, zo is 't een gevolg van 't 
ro Voorftel , om <kt de mmtiplicatie is een behendige addi- 
tie, zynze ongelyk in groote , als/, g^ b. enz. 

laat ƒ tot g wezen als ü tot ^ : zo is ^ oo^ 

ftotb -— alsütptc: zois*co — 

maar 



Vande GnooTSTECnKLEENSTE. 9 

oiaar /+^+^enz. is het vermenigvuldigde van/, onbc- 
paalt kleen, met 1 + ^+ jcnz. in 't oneyndig, een groot- 
heit onbepaalc groot: diesis/+-^+-^enz.of/W-^+*cnz. 
groothcit bepaalt na 't 10 Voorftel. 

XÏI. Voorstel. 

Indien ran vier evenredige » twee relative zyn 
bepaalt groot » en een van de twee andere is onbe- 
paalt kleen » of onbepaalt groot : zo is de vierde me* 
de onbepaalt kleen , of onbepaalt groot. 

. Toepafftng. 7jo al bil f l py ook af bllmlqevenredigzyni 
acnb bejnalt , ƒ onbepaalt kleen, en m onbepaalt groot : za 
is p mede onbepaalt kleen , en q onbepaalt groot. 

V Bevys. ^ is oo-—» of 00 ^met ƒ, bqxialtmet onbepaalt 
ideen, dies is ^ onbepaalt kleen na 't 6 Voordel ^ daaromook 
p. jisoo-f > of GO-^inet m vermenigvuldigt, dat is , be- 
paalt met onbepaalt groot, dies is ~ onbepaalt groot na t 
y Voorftdy daarom ook q. 

XIII. Voorstel. 

I. Onbepaalt kleen is mu in vergelyking van 
grootheit bepaalt, i. En srootheit bepaalt is nktiin 
vergelyking van onbepaalt groot. 

'^ Betssys. Op V i. Kon -^j onbepaalt kleen (9 V.) eenig 

overeenkoming hebben met b^ grootheit bepaalt, zo laathet 

wezen als ^ tot ^: dan zyn ^/fr//^/ievenredig,offv, on* 

bepaalt groot, is OO;^ » grootheit bepaalt, t^ens de xbepa- 

ling ^r zo kan dan onbepaalt kleen geen overeenkoming heb* 
ben met grootheit bepaalt : zo is deeerfte dan niets in vetgp» 



X. Kon^, grootheit bqpaalt , eenigeovereenkoming 
met j , onbepaalt groot (9 V.) zo laat het zyn als 
dan zyn bIj /lel Jcvcnro^^jof f , onbepaalt kleen» 
grootheit bepaalt, t^ens de eerfte bepaling : zo kan dan 

B groot 



ro He t I B o b k, 

grootbcit bepaalt geen overeeni&oming hebben met onbepaalt 
root : zo is het eerfte dan niets in vergelyking vanhettwee» 
j 't geen enz. 
Men kan dö bewytung ook doen door middel van het li 

Voorftcl. 

XiV.* Voorstel. 

I . Het gemultipliceerde van twee onbepaalde klcc- 
ne is niets in vergelyking van onbepaalt kleengemul- 
tipliceert met bepaalt groot s drie onbepaalde klee- 
ne gemultipliceert is niets ten opzigtc van twee onbe- 
paalde kleene gemultipliceert met een bepaalde ^ vier 
niets ten aanzien van drie en een bepaalde ^ en zo in 
^C oneyndig. 2. Ja aUe die meer als eene onbepaalde 
kleene by zig hebben zyn niets in vergelyking van 
diegeene welke maar eene onbepaalde kleene by zig 
hebben. 

Hhensays.Dp'tx.f^ onbepaalt kleen , is niets in vergelyking 
van a , grootheit bejwalt ( 15 V. ) bevde met g , onbepaalt 
kleen gemultipliceert , ( waar door ae produSren de -zelfde 

Eroportie behouden ) komt fg niets iq vergelyking van ^ a : 
cyde nog met b^ mede onbepaalt kleen , \omtfgb niets in 
yergelyking van bga {cm ast ae de zelfde pvereenkoming 
behouden ) nog 'eens met k , mede onbepaalt kleen , komt 
fghk niets in vergelyking van kbga^ en zo in 't oneyndig, 
't geen enz. 

* Op "i 2, Van/i, ƒ a yffa a , fn^ , is ffa a nietS'in veigelyking 
van/ijJ : wantbeydc dóór fa a godiyideen-, komtfrüet» iti 
vergelyking van a : om. de zelve reden is^^ a: ni^ts. csnbpsigr 
te -s^siffaay cnfi niets ten opzigte vsLciJfa. De eerde is dan 
niets ten opzigte van.de tweede , de tweede niets ten opzigte 
van de derde , en de derde niets ten opzigte van de vici^: 
daarom, de i , >, en. 3 niets, ten opzigte yaa de vierde » 't 
geen enz. 

Leering. Hebbende een iEquatic 
—iyyf—'ijff—fi'-%xxg~ixgg— p-^xyf+xjf 

4^ yyg^yfgr¥ffg---'i'xy^g— ygg^-<>cxf—^xfg 

— Xbyf-^ bff+%bxg^bggr{' bbf^bbg^j^o 

zo 



Vande QuooTtfTE^cn-Ki^EEKsTE. ii 

jo inag men ftellen dat 

:^%bxff^ bbf—bbg:Do]s. 

"^ Afktende ^e de Termen waar in dat twtt en n^ 
paalde klocne ƒ en g gevonden werden. 

XV. Voorstel. 

' Zo van een Driehoekig Vlak , of van een Naald- 
achtig Lichaam , of alle de ly nen rechte wezende y öf 
eenige ook krom ^ van wellce geen boek onbepaalc 
^leen is 5 de peefen van de krdmme 2odanigen hoek 
niet makendemec elkander 3 ofmecandcK rechte zy^ 
den : zo dan de eene zyde is onbepaalt kleen ; zo 
zyn alle de andere zyden mede zodanige mitsgaders 
alle de lynen die binnen de ügttur getogen zyn , ën 
ook buyten , van een hoek töt zyn overdaande zy- 
Öc, Df Vlak. 

V Be^ys. Dewyl de andere zyden van deze figuur , en alle 
lynen getogen als boven 9 met deze eene onbepaalde kleene 
zekereovereenkoming hebben als bepaalt tot bepaglt, zo volgt, 
na het 1% Voorfiel , dat ze alle onbepaalt kloen zyn alsdeeeoc 
zodanig is. 

XVI. Voorstel. 

^ Indien van een rechriinifchè 
Driehoek ABC , de hoek ABC is 
bepaalt wydj en de zyde EC be« 
paalt groot :.zo dan AB is ooeyn- 
dig lang > zo is AC medeiK)da* 
tilg) en de hoek A is onb^aalt kleen ^ of kleender 
t^ls de kleenfte rechtftrepige liock : ja AC is eveii- 
wydig aan AB; 

*t Btwys, Dat AC dan onbepaalt lang is ^ blykt uyt het 
ƒ Voorftcl , om dat zyn verfchil met AB is grootheit be- 
pak kleender tds BC . Dat de hoek A kleender is als de kleen- 
fte »eclit$i^ig&, 'is Incr uyt bekent ^ hoe klcen men deze o(^ 




1% HetIBo£K, 

2X>ude mogen verbeelden, A overtreft hem altytnc^ inkleen^ 
te. Maar dat AC evenwydig zoude wezen aan AB, is vds^ 
en echter moet het voor een waarheit aangenomen werden^ 
om dat haar verfchil met de waarheit nWtex is als de minfte 
onwaarheit : 't word hier in ook nergens gebniykt als in ge- 
vallen daar in AB de grootfte onbepaalde groote is , en hy is 
dan zodanig als AB is co -^ : om dat nul kleender als ƒ is 
daarom ook~-groterals J-. 

XVII. Voorstel. 

Als een Kromme is onbepaalt kleen : zo is zyn 
Fees » en ook zyn Raaklyn zo groot als de Kromme. 

'tBevys. op* tl. Laat COD eenKrom- 
mewezen, enCDzynPees: dezeiskor* 
ter als de Kromme. Stelt O in de Krom* 
me te wezen tuilchen C en D, in'tmid« 
den, of daar buyten , en haalt de Peefen 
CO OD : deze twee te zamen zyn langer 
ds CD^en evenwel nog korter als de Krom- 
me : daar is dan meerder gdykheit tuA 
icben de Kromme CO en ^yn Pees , als tuflchen de Krom- 
me CD en zyn Pees : hoe de Kromme dan kleender werd, 
hoe nader overeenkoming de Pees heeft metzynBoog : daar- 
om, de Kromme oneynmg kleen werdende , zo is de over-^ 
eenkoming ook oneyndig mder, of word gelyk. 

Op 't ^. Laat CM en DM raakende wezen in C en D» 
en NT in O. Dewyl NO +OT kleender is als NM+MT, 
zo zyn deRaaklynnens CN+NO+OT+TD tezamen, 
korter als de Raaklynen CM+MD, en, sJhoewelzebeyde 
langer zyn als de Kiiomme.COD , zo is 'er , om dezereden , 
echter meerder gdykheit tuflchen een Boog en zyn Raaklyn 
wanneer de Boog kleen is, als dan wanneer hy groot is: de 
Boog dan oneyncug kleen zynde, zo is de gdykheit ook on- 
cyn£g nader, of ze zyn gelyk. 

XVIII. Voorstel. 

Als in een Kromme twee punten genomen werden 
oneyndig digt aan elkander : zo is de verlengde Fees 
Raaklyn van beyde deze punten • Die 





Van de Grootste en Klsenste. 15 

Dit fchynt tegenz^elyk te wezen. Om dat tuflchen twee 
aodanige punten gecnbepaalde grootheit is , hoe kleen ook 
genomen, daarom zo kan men deze twee pimten aanmerlosn 
te wezen als eenzelfde punt. 

Zo in de Kromme GCDH genomen 
werden twee Punten C en D oneyndig 
digt aan een : zo is de verlengde Pees 
CD,als CA en DB^Raaklynvanbey» 
de deze punten. 

V Bevys. Kon CM de Kromme in 
Craken, en MD in D, zo zou CM 

+MD zolai^ wezenals CD, omdat 
ze beyde, CM+MD en de Pees CD , zo lang zyn als de 
Kromme CD ( 1 7 V. ) dat onmogelyk is : zo kan dan ook 
geen andere als de verlengde Pees Kaaklpi wezen van de 
punten C eix D : zo is de verlengde Pees Raaklyn , 't geen 
enz. 

Gevolge K* 

I. Raakt een Ijn CK de Kromme 
inC, enftelt men in de Kromme nog 
éénpunt D , oneyndig digt aan Cf zo 
Haakt CK , if zyn ^verlengde ook de 
Kromme in D. 
1. Ook magwmzeggen dat D is in deRaaÜyn CK» 
rf in zyn vermgde. 

3. Stellende D te wezen in de Raaüjn CK , of in 
zynverlengde: zomagmen ook zeggendat Dismdo 
Kromme, 




B 3 II. DBEt> 



14 H E T I B o E K, 

II D E E L 

Van de 

RAAKLYNEN, 

Of de vimütgvan de RMkljnm of de 

Kr$mmehnm. 

Door 't onbepaalt klcen. 

Dit is van een groot gebruyk ^ gelyk in 't gevolg zal 
blyken. Andere hebDcn deze zaak ali-ede verhandelt: 
Cttmjms vind hcii toeftellcndc een iEquatie waar in 
tvrcegplyke Wortelfen zyn , brengende die tot de gcft^ 
tïöi de ^eve , óf de gevondc ^Equatie , en de gelyknaimge 
Termen dan tóet elkancfer vergelykcnde , gelyk te ïicn is in zyn 
tweede ]3oek van zyn Gcometna. KmU^zen , ca axidere , 
multipliceren de ge^e , of de gevondc iEouatie met een 
Arithmetifche progrCTSe^ uyt aanmerking van aattser twee ge- 
lyte Wonrieaih'zynS gdykwyTulx mede eedaan hebben in 
ons ƒ Voorftel vande aanhang op heti^Boek. NuzuUenwy 
bet Degeerde vinden door middel van het onbepaalt kleen, en 
piet eenen aanwyzcn een Regel waar door men het begeerde 
^anitonts bekomt , en die toépaflèn in verfcheide Voorbeeld&i. 

De natuur van de Kromme kan afgetwelt werden : 
ï . Door een gegeve iEquatie : 2 door g^cve e3^ertrGhaj^)en: 
jdoor aanwyzing van haare making. 

I. Als ie'nat^r nm^ deiLr&mfm éo&r emgegroe Mfwaiever* 
mM'mrd^ 20 zyn dnr in geq^eenWk twee onbepaldequan- 
titeytcn x enjf, rechte lynen afbeeldende: x begmnendevan 
een vaft pimt, lopende m een gegeve lyn ; y beginnende daaf 
X eyndigt, ftaanoe op de lyn x in een g^evehoek , eneyn- 
digende in de Kromme. 

Om dan te beginnen, zolaatNCD 
een Kromme lyn wezen, waar van dat 
N de Top 'is^ NE deMiddellyn, en 
CL DE Applicaten : laat de rechte 
KCD de Kiomme fhyden in de pun- 
ten C en p ; en Taat getrokken wezen, 
CF evcnwydig aan KE : 20 zyn 

NLoo* 




\ 



Van de GnoaTSTE en Ki-EEir&TE. i ^ 

NLgqat KL/ LC// CF/ FD evenredig 
LCcoy of zl y II f I g. 

CRco/ en daar<Mn is /bo -. 

Y^^z '^ * nafuu$( van de Kromme rfgéeelt dow 

y^ZDrrx. 

Een ^emeeneParabole Van het tweede geflagt 9 wiens Rcch- 
tezyde IS gelykeeng^pvelj^nr, wicnsInterceptaNLisco^r 
ai welkm Applicata CL is co j'- 

DeiEquaüej^Jporrx, to^raifl: wezende aandelynen. 

NL LC5 laat om die ook toepoflcn aan de lyncn NëI&D. 
en laat ons daarom x^^fü&Uen voor x 

enjf+^ — ! — — voorjf 
dit doende zo heefi: men voor de .Squatie^) cb rr^ 

y^ + ^yyi+ws + ^ co nx^nf 

ïkx4y^ , CQiT» onxüg^.^quft. 



■■MMM^MMM 




- - J 

^ : "-: — r-: ^ — ^ JT 

Indien ƒ en ook ^ evénrcdigl jk 
veranden werden , 20 vol^ met; 
alleen dat een nieuwe lyn kei 
evenwydig blyft aan de oiide 
KCDj, omiitde hoek V/V altyt 
zo wyd ipoet blyven als de hoek 

k^k5& e 'l — CFD^ of als de hoek NED ,die 

g^even is , waar door men alty d 
de voornoemde proportie */, z\ i^/yll ^yflfiy £i^^oud^ 
maar ook dat de eene f co o- werdende. ^ de andere g mede ge- 
lyk o word : zulx dat 'in zódamgeÊi êeval de punten C en D 
te zamen komen j waar door de Kécnte^ KCD » die te voren 
de Kromme fhee , hem nu zal Raken'in de veteemgiiig van de 
punten C en D. 

^ dan 00 o nemende 
zo behoud men+^^S ^^ ^rrxo^rrz /of^xcüzca^ÏM 

Is demumur v^'^ HfOfftme p^tniig. da^, fl^ is^y^öD^f^* ' 

2oiS'i-^ + ^g'^^gg'^g}SC>rxx+j2^xf+rff' \ 

c(^yg+^gg+g^:ï32rxf+i^. .: , . . 

' :' Nu 



i6 




H £ «" .1 B o E K9 

Nu tjou men wederom dezelve 
weg konnen itiflaan j de ƒ weg 

reducerende door /co — » en dan 

alles door g dividerende , tn daar 
na^ 00 o nemende : maar hetzal 
veel gemakkelyker vallen dat men 
aan merkt de Boog CD te we- 
zen onbepaalt kleen , dan zullen 
de punten C en D dog evenwel in elkander vallen volgens 
het 4 Voorftd , om (kt de Boog NC is bepaalt groot , en 
daarom de Boog NCD gelyk de Boog NCf , en dan is niet 
alleen KC Raa&yn* na net 18 Voorlfel , maar ook CF en 
DF , ó£fcng zvnbeyde onbepaalt kleen na het t^Voorftel.^ 
Daarom , in de laatfté iËquade uj^tgedaan die Termen 
waar in f en ook g meer als enkelt zyn (Leerii^ 14 V. ) 

zo heeft men 3)(y^ 00 *^^pO *^^ 



N 



g— — y 

ofjjf* 00 3^** 30 2rrx« , ofzool^OoKL 

Werd if natuur. van ie Kromme vertoont door 
_^i — x^'^xyy — xxy — ayy+axx+aay — aax — éfioDO 
en fteUende als voren x^fin pkats van x,crky+g in plaats van jr , 

zois— >» 00— J'* —pyi—ivi^—g^ 

^xyyj^+vyy^'t^yg^vigg 

+ yyf'^^ygf'¥ggf 

^xxyo:)^xxy— '^'^yf—yyf 

—xxg—%xgf—gff 

— ^y co~«!y —'layK—Agg 

+ii«jroo + Afy+ ^^/ 

— tfiixoo — MX — aaf 

—4^ CD— «* C 
om vooigaande reden zo heeft men alleenlyk hier uyt te ne« 
men de Colom C , en die te ftellen 00 o. Maar om dat het 
Wat veel moeyten in heeft zodanigen equatie, als hier bo-^ 
ven, te fbnneitn , zo laat ons een R^d toeftellen» waar 
door men de Colom C ten eerftoi vind, zonder alle de an- 
ideit l[ennen« 

Mea 



Van de Grootste en K-leenste. 17 

Men ziet dat de Colom C beftaat uyt een vergaring van alle 
de tweede Termen van de ho^oothedendiemenDekomt, fteU 
lende jr+/in plaats van >, en^+^in plaats van> , jgelyk 
2ynde aan elke Tenn van de g^eve iËquade daar in x ofjr 
is 9 of waar in ze beyde te zamen zyn : waar uyt dan volgt 
I . Dat de Tekens de zelfde zullen moeten wezen van de ge« 

§cve iEguatie wanneer ƒ en ook^ beyde zynecn + , alsin 
it Voorbcelt ( zynde x ■+•ƒ en y^g ) of alle de Tekens om^ 
gekeert wanneerze beyde zyn een-r- {^x — fcny — g) dat 
met de + een zelfde uytkomft geeft : maar de eene een — 
wezende, zo zullen de Tekens contrary zyn aan de Tekens 
van de g^eve equatie. %. Dat de getallen , voor de Ter- 
men van de Colom C ftaande, overeenkomen met de afme- 
tingen die jir en j^ hebben in de gegeve iEquatie , daar f in 
is met die van x , en daar^ in is met die vanjf. Zo volgt 
dan deze. 

Regel. 
Op de Reduitie tot het onbefaalt kleen. 

Vindende de hoegrootheden die men behouden moet , (lel- 
lende, van een gegeve iEquatie, x+of— /inplaats van.^, 
en J^+ of — g m plaats van jr. 

FertnemgvuUtgt alk de Termen van de gegeve <y£<7i«^ 
tie^ die x byzig hekben, meteen getal over eenkemende met 
de Dimenjien die x daar in heeft , aflatende eenx , enitide 
plaats ftüUnde een f-, en diey by zig hebben , met een getal 
dat even is aan de Dimenjien vany , eeny aflatende en 
eeng daar byvoegende: de Tekens behoudende zo f eng 
hebben gelyke Tehms , maar ongelyk z^nde zo keert m 
Teken om wegens de geene die een — is. 

^ Is 'er nog een derde onbepaalde z inde g^eve ^quatie^ 
die ook met b verandcrlyk is , gelyk de * met een ƒ, en de 
y met een g^ zo handelt ten opzigce van z als hier bovenge* 
2^t is van x o£y , multipliceerende enz, een z aflatendeen 
een i& in de plaats voegenoe : zo dmfig^b allc+of — zyn 
men behoud de Tekens , maar zo niet menkeert dcTekois 
om w^ens die geene de wdke een --> is. 



Toe- 



iS H E T I B o B K, 

Ttiq)afliiig. Gegevm zyniè ^ $p*i ^bepèak khen u rédu- 

^^^^^ 

— g^ ft I o I o o, wegenes de jr« 

+b, o A I o I o^wegettdez, 

vcrm. kt. +yyf +%z9f^ f— 4Xf+*^ 

— xy^zb^xxb^ (^ +*** 

+ƒ, <^5 I ftö aoio 

*i-^, 30 % lioïoo 



■aMi^U.— ^ ■■ I I I I I i a I 



komt , -3**/J;jyjy/-i^^/ +^^*/ -^^/loDo 

overeenkomende met de Colom C hier voren gevonden. 

Alle deze Termen zyn gemultipliceert met onbepaalt kleen, 
en daarom is yder Term ohbepaalt kken ( 6 V. ) en daarom 
ook dt foiA van haar alle (a V. ) en om deze reden hebben 
wy in het begin gezegt een Rèduébietót hdtonbepaaltkleen : 
men brcngt echter wederom yder Term tot grootheit bepaalt ^ 
cerft wegnemende een van de twee ƒ of ^ door de equatie 
fy 0D£ z , en alles declende door de andere : dit gedaan heb- 
bende , 20 heeft men een gereduceerde ^Equatie , voortgeko- 
ihen uyt een andere waar in yder bnbej^ldc , xtny , hadde 
t^ee gelyke Wortelen : de reden hiervan is , omdathet ver- 
Ichil tu{k:h6&L twee en twee Wortelen van de gegevc iEqua- 
tie^ genomcai k;;^ w^ens de x gelyk f^ en wegens ó&y ge* 
lyk g » en men heeft met deze verichillati gehandek als met 
grootheden onbepaalt kleen, verwerpende net geene waarin 
ƒof^, of zy beyde, toeer ds enkdt waren , aS nïets zynde 
in vei^ykiïig vtm hét géêne daar in ze ma^ ei&elt zyn,' 
dat ïnen niet ooen tiiag v»i ^öotheden niet onbepaalt kleen 
Wezende: fiiu%o\s 'tztkerdiat'mee grootheden^ nvtikers verjiiit 
is imbepailt kleen , gelyk "xyn (4 V.) Men heeft de waarheit 
hïcar van ook gpzten ofp ten andere wyze, in het begin van 
dit Deelj want wy hebben getoont , als men de tem f of g 
eerft w^ oeemt, en dan alks door de andere deelt, en dan 

. > - deze 



Van de Grootste en Kl^enstjs. 19 

deze andere gelyk nul neemt ( waar door do ongelyke \yor- 
telen zekerlyk gdyk werden) dat men dan even zod^nigea 
uytkomft vind als men zal bekomen, ƒ en g voor onbq)aa}t 
kieen aanmerkende. Dog dit als in 't; voorbygaan: nu weer 
ter zake. Wy hebben dan 

—yyg—yxfiH^yg+yyf--%xy f xng %éVg 'h^étf ffi ^aag—aéfa:^o 
of—^yg-Hxyg— x^g—^9^g+aag^+^x9^-^yf^zx^taxf^aif 
o£—pygi^xyg— xxg—xayg+aagocrhl x x—yy +a x y—^ax+gg /Jl 

( met y gemultiplioeert , en door g gedivideert ) . 
of — 5y ^-H^Xy — xxy — l4)öf+4^3c>5Jc«=^jf=4s'^2^j?-^^ » « 

Indien men deze bewerking van naby beziet , 90 zal meii 
daar uvt een zeer korte Regelkonnen trekken , die van an- 
dere airede is ujngevonden. . 

I R E G B I^. 

Om deOnderrakende ( Subtaogens ) KL te vinden 
De gcgeve equatie x o ftellende , 

Zo maakt een Breuk die gelyk aan ZfOfKLisB' 

fFelkers T e l l b r beftaat uytalle de Termen van dé 
gegeve (^/Equatie diej by zig hebben , elke TermgemuU 
tipUceert met een ^etaï overeenkomende met de Dimenfien 
dte y daar in heeft: de Tekens behoudende y afaUeomke^ 
rende. 

fFelkers Noemer bejiaat uyt alk deTermenvande 
gegeve c^quatie die x hy zig hebben, y der TermgemuU 
tipUceert met eenietal overeenkomende met de Vimenjkn 
die X daar in heeft : een x aflatende ^ en deTekens behou^ 
dende, rf alk omkerende. 

Nota. Dat wy zeggen de Tekens behoudende , gefchiet 
daarom op dat men Jteur zoude hebben : Een Breuk blyft 
even groot, of men de Tekens van de Teller omkeert of niet, ^ 
of die van de Noemer j alleenlyk verandertzc daar dpor van 
een + in een — , of vaneen — in eqn +, waar aan ons , 

in deze gel^enthcit , niet gdqgm is. _ .1. 

- . * 

C X Toepaffing. " 



zo HbtIBoek, 

Toepafling. Gegeven xynde de laatfie Mquatie. 

de Termen die jr by zig hepben 
zyn— >J-f- xyy—xxy— óyy^êoy 
met 3x121 gemultipliceert 

kotnt — gyJ-t-x^xy — xxy — 'tayy'\-aay^ voor dcTeller. 
de Termen die x by zig hebben , de Tekens omkerende , 
2yn+ x^ — xyy'^xxy—axx+aax 
met 5 I X a i gem.cn een xa%elaten 

komt+3^x — yy+z^ — 2«p+ aa^ voor de Noemer. 
a»bc dat =l^|^-=S=.^^ is 30 ^ 30 KL , ak voren . 
jEV r^if» bier va» is. i. Om dat alle de Termen daar^ by 
ftond, uyt maakte de Teller, endaar ƒ by was,dcNoemer. 
%. Dat die waar ƒ by is , voor zig heeft een getal overcaiko- 
mende met de Dimenuen die y heeft in de Termen van de ge- 
geve iEquatie, endaar ƒ by is, een getal dat celyk is aan de 
Afmetinge die x daar in heeft. 5. Eht door de reduftie, of 
door de multiplicatie met y , en door deeling met ^ , alle de 
Termen daar ^ in is, of die de Teller uytmaken , wederom 
komen in die gedaante alze^eceven zyn , om dat de ^ een jf 
hadde weg genomen , die 'er door deze bewerking wederom 
by komt : maar die met ƒ gemultipliceert zyn , of die de 
Noemer uvtleveren , verliezen een jc, om dat voor/, die 
een x hadde weg geftoten, een z. komtteftaan , welkeinde* 
ftelling van de Breuk uytgelaten werd. 

Indien men ftelt KN x2J » en niet 
KL; of zo men de lengte van KN 
b^eerde A^ebeelt te hebben , zo heeft 
men maar van de gevonde Breuk 
NLooAf af te trekken, en men heeft 




of , miutiplioercnde de Noemer met 
— AT, en de ujrtkomfl voegende by de 

Teller, behoudende de zelve Noemer, 
men heeft — ^y^r^ixyy — xxy — livyy+^aay de Teller 

« —3^+ xyy—ixxy '^axx—aax^dcti. met— a? 

^is—^^--^xi'\-yyy—^xxy—^ayj+a^'hiaxx—aax 

■ — I 00 « 00 KN 

door +3*x— . yy+ixy^^a x+a a Dewy 1 



Van de Grootste en Klbeksb. ^ ai 

Dewyl door deze bewerking de Tekens van de Noemer 
zig wederom omkeren , en daarom zodanig werden als zege* 
geven zyn, en de x, die yder Term van de Noemer verlo- 
ren hadde ^ daar wederom by komt , zo bly kt dat de Teller 
van deze laatfte Breuk wederom de gedaante verkrygt van de. 
gegeve iEquade in Tekens en in Afmetingen van x cxï y 
(omdat in de Teller van de eerfte Breuk geen omfètting van 
Tekens , nog afneming van qjuantiteyten gefchiet is ) dog 
yder Term van hen is' vermenigvuldigt met een getal over- 
eenkomende met de Dimenfiendie x/ ofdiejr , of diezy bey- 
de te zamen , in yder Term van de gegeve iËquatie , heo- 
ben. Door de vooi^aande R^el vertonen de getallen van de 
Teller de afmetinge van dcy, en de getallen van de Noemer 
de Afinetinge van de x , en daarom , door haare vergaring» 
venonenze nu die van de x en van de v te zamen welke m 
een Tenn gevonden werden. 
Nu zo is 't kenlyk, indien men van deg^eve equatie, 

gemultipliceert met^ het getal van zyne Dmieniien , dat is 
ier met 3, 
dat is van — gy» — 3^'+5^)jy — yxy — ^ayy+^axx'^^aay — yuix^-ys^ 30 o 
aft :de Teil. — Jjr ^ — J^^'+S^W — y^^y — i^xy+i^Jjrjrf- 1 <wy — \aax 
en de reft neemt voor r^//^r — 4Xy+ axx-^xa^ —xaax—yfi 

en daar onder voegt de voorn. i^^w. + ycx — yjf + x«y — xax^ aa 
Dat deze Breuk wederom isoo^GoKN: maar ze zal een 
— wezen als de voorgaande een + is, ofeen + alsde voor- 
gaande een — is , om dat ze van nul is afgetrokken. 

Om dat alle de Termen 9 waar in geen andere quantiteyten 
zynalsdexendey, nootzakelyk moeten ve^dwynen , omdat 
ze in alles gelyk zyn , in Tekens , in getallen , en in hoegroot- 
hedenj en om dat de andere Termen, waar in bekende zyn , 
alleenlyk blyven , aangedaan met de Tekens van de gegeve 
equatie, voor hen b3)bende een getal dat zo veel eenenhe^ 
grypt als de x, of de>, of deze beyde , in hen minder zyn 
als haare afinetinge is, of zo veel eenen als de bekende quan- 
titeyt in zodanigen Term Dimenfien heeft, zo volgt daar uyt 
een Pweeék Rqgel y welke de H\ Thembaus ons voorftelt als 
zyne inventie , gelyk te zien is in de Affa Eruimrum van Lyp- 
zig , of in zyne Mfdecina Mcmis. 

c 5 n. Ri- 



12 H £ T I B O B K> 

II R E G £ L. 

Om de lengte van KN tevinden, hetjluk vandeOn^ 
derrakende begrepen tudchendeTap, êfhetbegmvgn x^ en 
de RaaUyn. 

De gcgeve iEquatie co o ftellende 

Zo maakt een Breuk die gelyk aan z ^ of KN is » . 

fVelkers Teller bejiaat uyt 'alle de Termenvande 
gegeve <iy£quatie die de bekende byzig hebben y elke Term 
gemultifUceert met een getal overeenhmende met de Vü 
menjien die bet bekende daar in heefi : de Tekens latende 
Zó als z^ zyn^ cfdüe omkerende. 

JVelkers Noemer bejiaat uyt alk de Termenvande 
gegeve ^yEquatie die x byzdg hebben , yder TermgemuU^ 
tipliceert nut een iet al overeenkomende met de Dimtnfien 
dte X daar in heeft ^ een x aflatende , en deTekentbehou* 
dende^ of alk omkerende. 

Toepaflïng. Gegeve xynde de laatjie jEquatie. 

— y^ — xi'^xyy — xxy — ayy + axx'+aay^'aax — d^ODO 
DeTennen die de bekende by zig hebben 

zyn — ayy+axx+ aay — aux — es^ 
met II X X 3 gemuldpliceert 

komt — ayy^axx^xoitf — xaax — yfiy voor ó&Teller 

De Termen die x by zig hebben, de Tekens omkerende, 
zyn + xi — xyy + xxy — axx +aax 
met 3 I x X igem. en een X afgelaten^ 

komt+ j^-jT — yy^zxy — xax+ aa^ voor de Nóetner. 
zukdat ~^^4--'^>'+>^v-*^^^?^' OO^-OoKN. 

overeenkomende met het voorgaande. 

Door deze Regelen kanmenaanilonts, zonder ecnigeuytT 
rekening voor af te doen , zelfs die niet welke wy zo eveq 
gedaan nebben , de Breuk opnamen die coa^s is, alleen- 
Ivk halende een ftreep ^ daar boven {lellende de Termen di? 
de Teller zullen moeten uy tmakcn , vder Term gpmultipli- 
ceertmetSc, en daar onder (lellende de Termen daar ;r in is, 
yder Term Sec , gelyk de Regel tekennen gedt. * 



Van de Girootstè en Klébnste. 4^ 

Is de natuur van de kromme zodanig dat — y^'^axx — üox 
^xyy-^xxy iscoo, 20 vindmen op deze wyze aanftonts, 

m de I R^ , « of KL OD ^- 1^+; vrrr; » en , 
mdenR^d, z of KN2D ^,+1':--!1„^ . 

Aémmerkingt 0/ deze tweede Regel. 

Deze Regd vooronderftelt dat dq equatie zodanig gei^ 
duceert is , dat de Term , of de Termen waar in de meeflc 
cmbekoide quantiteyten zyn , geen bekende by zig hebben ; 
en ook dat ze niet door een beende gedeelt is \ van gely- 
ken mede datter geen Breuk in is. 

Heeft de Term , of de Termen » die de meefte onbokeo- 
de bevatten, bekóide by zig , zo kan men de iËouade door 
die bekende deden: maar dan vervalt men in Breuken , waar 
mede het moeylyk te werken is: men kan zedan zo laten, 
en aanmerken in vder Term een bekende minder \c wezen 
» TJ^.een by zig neeft; twee zo 23e twee heeft, enz. 

Is 'er een Breuk in die men wil behouden , zo moetmen 
hen voor zo veel bekende aanmerken als 'er bekende in de 
Teller zyn min die welke in de Noemer zyn : daarom , zyn 
'er in de Tello: eeen meer als in de Noemer, 70 moetmen 
\tt voor geen benende nemen. 

Toepafflng. Hebbende — éy^ + bx^ — axyy + aaxy + ^jf 00 o, 
zo moet menaanmerken dat — ity^ + bxi — axyy geen beken- 
de by zijg hebben, en dat +aaxy maar een, en +i^jf maar 
twee bekende by zig heeft : hier door vind men , na deze 
tweede Regd. 

dat KN IS OD ^ ^^ ^-_ ^ -^ ;^^ 
hebbende— 4xy +*xjp+iW)r cx) o , 20 vindmen KN 00 ^fj^* 

Reduceert men deze op-^yy^'—xx+^y co o , zo moet 
men ;-voor geen beketsde aanmerken. * 

• danviadincnKN 00 jrfe " ^ ^3^ +^» ^ '^^*^- 

m 

R.eduoeert menhen op — fyy^^^^^T^^^ ïonioet 
men |-Vöbr geen , en -^ voor een bekende nemeifS 

dan vindmcnKN 30+ -T">»^3ö+Ï^«» °^^^^^^'^- 

■ " •'''■' Wy 



14 HetIBobr, 

Wy zullen hier nog een Regelde 

^^ by voegen ', om de lengte van LZ ten 

y/\\ ccrften te vinden, wanneer NLdeAs 

^r^f I \ is , of dat CL rechthoekig op NL 

— ItM — X, X ^^ » aanmerkende ZC rechthoekig te 

ftaan op de kromme NC , af op de ra- 
kende KC. Deze LZ werd cemakkelyk gevonden, deolcn- 
dc het Vierkant van CL, of jf.y, door de lengte van KL: 
maar om dat men dan cerft KL moet zoeken, en menfbm- 
tyts niets anders van doen heeft als deze LZ ; en om dat men 
aeze zo vaardig kan vinden uyt de gegeve iÉquatie als KL, 
S9D meenen wy geen ondienft te zullen doen met deze hier 
by te voegen. 

IIL Regel. 

Om de lengte van LZ ^Onderlootlyn} te vinden, 
ziynde het ftuk van de As begrepen tufjchen de Toegepafie 
CL en ZC, die de Krtmme in C rechthoekig ftoot. 

Do iËquatie co o gereduceert hebbende , 
Zo maakt een Breuk die gelyk ain LZ is. 

fFiens Teller bejlaat uyt alk de Termen die x by 
zig hebben , yder Term gemultipUceert met een getal over^ 
eenkamende met de Dimenfien die :( daar in heeft : afla^ 
tendeeenx^ en byvoegende een y -^ de Tekens behoudende ^ 
cf omkerende. 

ff^iensNoEMEK beftaat uyt alle de Termen dieybi 
zig hebben 9 elke Term gemultipliceert met een getal over- 
eenkomende met de Dimenjkn diey daar in heeft: eeny 
aflatende^ de Tekens behoudende » ef omkerende. 

Taepêffmg. Gqgeven zyndc — y^ — x^+xyy — xxy — i^y 
+4«x+A9f — aax — tfJaoo, onze voorgaande -equatie, zo 
vind men na deze R^el , een fbeep halende, en ckar boven 
en ook daar onder ftellende gelyk de Rqgel aanwyü; , 

IsgegevenjfJ— %— ^/ö' + *ir//+^30O, de iEquatie 
die des Cartes vind op de kromme befchrcven door de fiiyding 
van een Parabole en een rechte lyn 9 zoyindmen» dejf aan- 
merkende 



Van de Grootste en Kleëitstê. tf 

merkendealseën » , endeiealseen^ jnadczeRj^dLZ, ofby 
hemMPoo ~'''^"*"*!!'*"^^'~''*% ofjo- *'" * **' 



9« 



4 ^ d ^ 






— '^, ofx— ^"+^+3^, zoekende— iJi doordegegc- 

ve .^uarie — *fyco+>' — hy — cdy + bcd ^ hen verme- 
nigvuldigende met X, en deelende door dyy , waardoor men 

: dit lefte dan in plaats 



ex 

y 



ben 



heeft -^03 + ^. , ^ ^^ 

van— — ftellende , men vind— •ip-»-^+~, deboveo- 
flaande quantiteyt. En is*! datmen de x weg reduceert , zo 






vind men MP co^-i^+g-if +=^+^'-. 
de zelfde hoegrootl^t die Caiteiius heeft pagina ; ƒ9. 

jiJgemeene Toepaffsng. 

^ In een gemeene Parabóle , daar in 

yyzorx is , vind men na de I Regel 

KLgoijip, ennadeüRjegelNKoox: 

daar in 7^ qd rrx is ; na de I R^el 

KL co gj»> en nade n R^el KNcoi^r 

daar in 7*a:>r»;ip is , na de I R^I 

KL304^> en nadc'II Regel KNxiJ?: dair mj^o^rxx 

is, is nadèlR^el KLgOi^» ennadeüRegelRNxi^t 

gelyk hier voren daar voor gevonden is. 

ïs NLdeAs^ ofisiNLCrecht,zovindmehnadeIIIRc« 

gel LZco^r op r/COfx : x^op;rioorr% : M^j^opj* 




%rie 



ZOf^x: en -rrOJfJ^ZDrxx. 



V 








Is de neven(bande Kromme 

een gemeene EUipJü , zo zyn 

^liïjiyli^ — ;rx evenredig , of 

^ 9yy ^OD^i* — ^*** Dantind 

men na de I Regel KL 00;^^^ 

ofa> ';!rfV'> ^°^^°^^^ 
.RNboT^^: enisNLdeAs; 
zo vind mennadeinR^el LZ 



cotii^ii 



2U) ved vind men mede indien de Kromme i$ eea i(tf«^ 



In 



i6 HbtIBobr, 

In rjoêaoQaaFfyperboU is KhaD' ^'^'\ KNx-i^- 
cn,aIsNLdcAsis,LZxi^i±-" *' '' 



bcydc deze Kromme zyn van het tweede geflagt , 
en zodanigdat rwl f ff y^fqx:fxx cvtNe&gzyn, waardoor 
men heeft jy^oorffrqprrATjr, zovmdmealCLcQ ^^''^^''% 
K^No^ï^J^, enLZco^^^ds NLC Rechtls*- in 
de Eil^to ca + itt de Hjy eiS)lc. 

Heen: men ryoc^xx, een gemeene Pa- 
ra h al e y 20 vind men KL a? l^, enKN 
Bttcdeoo-i* r iwar LZ co ^^als NLG 
Recht i&. Is rr>oo«S 20 is KLoo^at, 
KN 00 i^f >enLZ X Ht^ wanneer NLG 




Jsg^pven'y » 00 r '-"'X', dat een -/Equa- 
tie is jpoflbide op aUe Iborten en geflagten van 
Paidbolicn » waar van dat y de Applicata 
- i& , ca jr in de Middellyn loopt , begin* 
neóde van de Tcp. 

2oisKLaD ,,r^7^— . ><>fa3 ,r«^^'/'^« ftdknde r^—'x' 
in {4»£s van jf ^ » Qf ^^, ,ide Teller en Noemer deelèndc 
door r «^— ' ^ of KL 00 7^ » <ic zelve nogdeelendc door «'"^ *. 

EnKKisx '7^>VT^\\ ofaa'-^=^i^, of KN co ^^=t^'. 
Afaar had mm de iEquatic op dicze ()'+'cor'«0 wyzc 
vooF gfcdragm^ aou me» vkidcn KL co '-^i^ 

big» ir KL f0t KN atst'^rtottj of als di Dimenjienvan 
dt .AfpS^êtm fH dt Dmmffim vm de Reehtezjde : of KN tot 
NL sii $ t^s '^ 9félt ét Dimewfen van de Recbtezjdc tot ik 

Óimefffin van de InUrcepta^ , ' ^ 

h óm r» jri cpT', *> ia KL & tegens KN 5 , of KN 3 tc- 
geiB NLf. 

Isg^(ÈVcar^7'C0Jt'+S datmcdeecn 
iEquatie is op alle foorten en geflagten 
van Paraboïeh , maardaarin de y eenge- 
lykwydigp^is' aan de midddlyn ^ en de x 
een even wydige aan de Applicata , gaande 

door 




Van de Crootst» en Ki-«fiïï5TE. ty 

door de Top , en dsax van ook zyn begin naneode. 
zoisKLoof^ y en XN oör^- 

Dies is KN lof KL^ƒ tHt s^ Attisy mUêeDmmfonvm 
4t Recbtczyée M Je Dimtt^kn vm de ApfïiaHg. 

is gpgcvcn xy^a^T^-*" , dat ccti 
IEé<{vtstit IS op dïc HypcAofcn , daar 
van dat ƒ cvcnwydig is aan de ecnc 
AiymptoCus , ca daar van dat x loopt 
in de andere , zyn begin nemende m 
Imrc ihyding, of in het midddipunt 

Mis KL CO;;^^, «f KL 00^1^, 

cnKN3ó ''^';;:i:;;^'*-'*^V 

ofKNco^^. 

bat is KL /^ LN als s tot t. Jat is, als JeDimef^vmt 
T tot die vên x. 

Hebbende zekare Kromme die ons uytlevert » 
-— r' — s^+x^^y' — a*^^ j^ -¥ a^—' 9^ — tf'Xo,zovindmen 

KLx--r 




— /y'^/x' 'f' — r4* — *'y 



«"•H» 



t i»»* f-^^Xyt ,4* /«/- 

7»<» '«' f4» 



■7' + i«»-— '«^— 



en KN 30— ^?=x5^=;^^ 

Alganemt fTerkftukken. 

Is gegeven de Kromme , de lyn daar in x loopt, en de 
hoek die X en jr bepalen. 

I. Zo Jan een Punt in Je Kromme gegeven is : zo kgn men 
nyt dit Punt een lyn trekken die, Je Kromme Jaar in raakf. 

Qm dat als dan bekent is CL enNL^ ofyenx, encbar« 
om ook z. ^ of de lengte van L tot aan K , of van N tot 
aan K. 

z. Maar zo een PvntK. , hatende trekjoan de Kromme ^ inde 

Ifn X y vfin zyn verUngJe , gegeven is : zo kan men ujt 

K een rechte &.C trekken , Jie Jeze Kromme in C raa)(t. 

Om dat % a}s dan era bekende quantiücyt is, waar do^ 

men x kan vinden <de^ eerfl;wcggcraInceerthd>bendedoor 

micUd van de gegcve equatie, 2x> z'er in is) wiens iong^ 

te men dan hem te nemen van N af tot aan L toe , en te 

D X ' trck-> 



a8 H fc T I B o E Kj 

trekken LC l in de g^evc hoelc van *? en ƒ , (lotende de 
Kromme in C , en dan te halen KC. 

Of, de » weg gereduceert hebbende , en dan een cven- 
wydigc aan de lyn x trekkende , in de diftantie van de leng- 
te van y , met de lyn x de gegeve hoek van x eny bepa- 
lende : die zal de Kromme ontmoeten in C ; dan getogen 
KC» die raakt hem in C. 

5. Wii men i^t een gegeve Punt van ie Kromme , een rechte 
balen , die rechthoekig op deze Kromme fiaat, 

Tjo 7x>ekt de Raaklyn op de bovenftaande manier , en 
trekt door het Raakpunt een rechthoekige op de rakende : die 
flaac rechdioekig op de Kromme. 

Toepaffing. Indien gege- 
ven is de Kromme CC •> 
de lyn NLK daar in x 
loopt, endehoekNLC, 
begrepen van NL co-^ en 
LC 00 J^ ' en dat de natuur 
yan de Kromme bepaalt 
werd door 

+)fy — xxyk'rny'^nn co o 
waar door men volgens de 
tweede Regel vindNK» 

ofaxw+T- 

Is dan C in de Kromme gegeven , 
"^ Zo haalt CL in de gqgeve hoek van ^ en ^ : dan neemt 
hl NL, van N na L toe , NO cd» ; en OK , mede na L 
toe , OQ ~ , en trekt KC : die raakt de Kromme in C. 

fs gegeven het Punt Yiin de lyn x^ of in NL. 
. Dewyl wy hebben z 3Q» + -y- » geen x daar in zynde, 
of TGOr-— » zo heeft men maar KI te trekken op KN, in 
de gegeve hoek van x en ƒ ,- en die 20 lang te nemen alsde 
derde evenredige tot OK en ON , en dan te halen IC even- 
wydig aan NK , om het punt C te hebben. Maar had men 
y weg gpreduceert , door middel van de gegeve ^Equatie , 
men zoude iif'oa ^^"^ - ^ gevonden hebben, en daarom het punt 

C,ma- 




Van de Grootste en Kleenste. ay 

C, makende dat x O K: KN : NL gedurig eveliredig zyn , 
en halende LC op NK inde gegevenc hoek van x en.y. 

Is gegeven de Kromme van Cartefius , die hy voorftelt in 
zyn 4i|.«- Brief van het derde Deel zyner Brieven pagina 146, 
waar in AG30* en GC zoy zynde, altyt n + x^ Go»jty is : 
en wil men uyt een g^eve punt van deze Kromme, alsu^ 

C, een rakende Cl 
trekken, zo haalt CG 
inde hoek van x en 7, 
en daar aan evenwyd^ 
AI , en neemt daar in 
AO ODy» : dan haalt 
OG, en ookGQ^zo- 

danigdat dehoekAGCL 
zo wyd is als de hoek 

AOG: dan trekt Qg;, 
en CL evenwydig aan 
GA,enhaalt IE even- 
wydig aan QC , en 
trekt £C: die raakt 
deKromme in C. ,De 
reden is, om dat men na de II. R^l vind 




AEco 



*L 



j'— 



i" 



, of co 



XX 



—7 



om dat AQ^is Xj^ » en daarom Qï CD de Nooner : en om 

dat QI is tot Cl, of tot AG, als AI, of GC is tot AE. 

Maar was E gegeven , en men wilde dan het Raakpunt 
C in de Kromme zoeken, zo zoude men de jt dieaen wegte 
nemen door de gegeve ^Equatie , en men zoude vinaen 
%jz^x^ — tfix^ZD — ^ifizzx+%n^t^y endaar door het punt 
G , en by gevolg het punt C : .zoekende de lengte vanx docMr 
^liddel van een rarabole- 

H. Als de nMtmr van de Kromme door een eygenfchap bepaalt 
nverd, zo zoekt op hen een vergelyking, en doet dan als voe- 
ren. By Voorbeek 



^i 




f 



Het I B o B K, 

Is de Kxütnmt NC een 
GffoiJe, beftbreyea door het 
halfiood NM(]^ 

Dewyl iijrt de natuur yan 
de Ciflbide het a van NL al- 
r^dgelykisaan d^cMAiXX 
CM rechthoekig door NQ, 
e«mdc: daarom 
IS xx^jy.xqx — xx 

ot *4 Qo 2 j^J97 — xxjy 

hierdooriTuidmcnNKoo-ii^^ 

Hebbende dsui QP zo langgenomen als de helit vanNQ^ 
ZO wyft deeerflse Breuk aan dat men het punt K vind (C 
tyode 9 en CL getogen wezende ) makende dat 
^// PQ/ NK evenredig zyn j en de tweede Breuk 
dat JLP/ LN //Let/ LK gelykwiigzyn : of, halende MK 
rcchthoddff cj) PM. 

MaarisdeKxiommeg^eveny en het punt K, zo vind men 
LN, en by gevolg het pxnt C, en daarom ook de rakende KC, 
makende dat QP+NK/ NK// NP /NL evenredig zyn. 

Dog ingeval de Kromme deze Eygóifchap had , (kt altyd 
(^ was tot LN , als het vierkant van NO tot het vierkant 
van LC (O het middelpunt van het halfix)nd wezende) zo 
zou men K vinden , de ICiocnme en C daar in cegeven zyn* 
de, tndkkeade OM, enaandezeevoiwydig Ni, zolangals 
NL, en halende IK xechthoejkig op NQ:^ 

Men kande Cj^/dr gmakkelyk door 

Cnten befchryven , op deze wyze. 
At NRQMN een kring wezen, 
wiens midddlyn is NQ^: en R een 
punt in de zdve , in hec midden tuf^ 
fcben N en Q^ Neemt twecpunten S . 
en T in de kring, even ver van R af, 
en haalt lynenuyt N tot T én doorS, 
en trekt door S en T lynen , die ver- 
ft/ lengt zynde , de middellyn rcchthoe- 
kigfnyden, als S r, ontmoetende NT 

in 




Van de GitaoTSTÈ; en Klbe jtste. p 

in r, en TC, ftottiidc de rcch» door S in C : dan zyni: en 
C twee punten van de Ciflütdö. Andere punten S en T,even 
ter van R, mdckoog netnende , en doende als voren , men 
heeft twee andere punten van deze Kmmme. 

^t Bewys. Vcrler^ CT neerwaarts , ontmoetende de Mid- 
dellyn in L, en <fe kring in M,, enhaalt MN. OmdatCM 
de Middelyn in L rechthoekig fiwt, zo is de Boog QM eé- 
lykdeBoogQF, of^lfkdc Boog SN: dies S STOM 
een halve kriM , en daarom dehoek CNM recht , en by ge- 
volgishet vierkant. vaa.NL gelyk aan de rechthoek CLM, 
en daarom is C een punt van de Ciflbide , 't geep enz. 

IIL // de mOunr vm Je Kr$mme bepaalt door aanwy zing van 
tyfne makjng , 20 zoekt op hen een iEquatie , en gebruykt de 
voorgaande Rcg/dejx. By voorbedt. 

Laat de Kromme QC 

de eerfte Schulptrek(Con. 

. choïdes) van de Oiide we- 

. zen , werdende bcfchie- 

ven door C , het eene 

^ndr van een gfgCfclytk 

^ Ce. Wien^ aBkder e«iide 

^ £r a%d verkarochi hMk 

aan een andese lonrypègc 

rechte AB j^en zod^g dat 

CE , of zyn verlengde, 

loo^ ddot ccft gegeve 

puntN,. bttyteirdieg|cg&. 

ve AB zynde » tcxwjTc^t 

CE bcwofipa wera. 

Aanmerkt NAQjrcht. 
hockiff te gaan door de ge- 
geve AB ,. cnr CL zodanig 
te daan op de verlengde 

voor ée iEqnaric-^rfbeeh de i&Jr J! dTK^S^. . 
—voor ae eerfte cn-f-voer de tweede figuur. 

hier 



z 



• • ••►^•^^•p** 





3z 



Het I Boek 




hier door vind men volgens de 
ffl Regel 

deyjf w^ reducerende , welke 



x-ftK 



amxx 



ofLZco±'4=- 



XX^ 



'X , ftellcn- 

de/x^T^ooAL. 
hier uyt vinden wy deze 

Camruffie. Het punt C in de 
Kromme segevenzynde, zohaalt 
CN , weS:e of zyn verlengde de 

f^eve AB ontmoet in E ; ook 
4 AQ^ rechthoekig door AB, en 
CLzodanigopNQ^ Danmoetaf, 
in CE, CD zolang als AL, en 
trekt uyt D een rechte DF, zo lang 
als EN, en evehwy(Kgaan AN , nadiezydevan D afals N 
is van A : dan haalt FC , en op deze recnthoekig CK : 
raakt de Kromme in het gegeve punt C. 
want: AL x / CE 4, / AN *? komt 7 x ENxDF. 

'CE a I AL s I CD s} komt -^' x GD 




Mh 



éétkic 



GD^/ DF -/ NL *? komt^'x NZ 
is LZxqp^^ +Ar na behoren, eigo &c. 

deze Conflrud:ie komt overeen met die van Cêrtejks. 

Indien het eene eynde E , van de gegove l]m EC , loopt 
Sn de omtrek van een Rond (in plaats van in een r^te lyn) 
dat door N gaat, welk punt N met E en\net C gedurig 
in een rechte lyn is ; zo maakt het ander eynde C een ander 
flag van eenSchulpü^ (Conchoides.) 

Indien EC karteir is sds de Middellyn van het Rond , zo 
loopt de Kromme door N , en maakt een krul binnen het 
Rond, en ook een daar buy ten om , gelyk in de volgende 
fïgutxr vertoont werd : maar is hy Umger^ of is hy gelykaan 
de Middellyn vtm het Rond, zo maakt hy alleenlyk een krul 
om het Rond : langer wezende , zo vereenict hy in de ver- 
lengde AN aan N t maar gelyk zynde , zo geichietz^lxin N. 

Aan 




Van de Grootste èn Klebnste. 5^ 

Aanmerkende AN voor de Mid- 
dellyn van bet gcgeve Rond N EA, 
en CL daar op rechthoekig, of op 
zyn verlengde , en getogen AE : 
20 zyn de L/iehoeken N AEN en 
(^ NCLn gelykhoekig , en daarom 
2ynNC/NL//NA/NEcvenre. 
dig, 

(SteUcndeAO, ofECxtf 

ANoo* 

NC NL NA NE DLxjf) 

dB^isy.xx+yy I xjl bj +4+V'.«^J»^+)jy^dei^^w^krul, 

— a-^y^.xx+yyjmdcgrootekiui^ 

dies is ± ayxx+yy+xx+yyoD^x, 

o£ ± a y.xx +yy OD^x — xx — jry ,beyde in 't Vierkant, 
ofaaxx ^ aayy zohbxx'¥x^y^ — zhx^ — iJfxyy^^xx^j . 
daar door vind men na de IHR^el. 

uy t de gevonde equatie op de Copchoides is 

y^:oaiyfy'^^bxyy — txxyy^xbx^ — x^ — bbxx+aaxx 
hier door gezogt wat yy is volgens de Regel op de vierkan- 
te equatie 

komtjy^ CO [aa +bx — xx±asj ftellende x co Y-^m + bx, 
hier door in de Breuk de yy weg genomen 9 komt 

Waar uyt blykt deze 

OmftruSie. Het punt C inde 
Kromme g^even zynde, en 
daar uytgetogen wezende CL 
icchthoeKjgopNA, ofopzyn 
verlengde, zoisLOoo^* — x 
ft (O het midden van NA zynde) 

zo moet danOZ wezen xi; ^^f 

+ op de groote en — op de 
kleenekrul. Hebbende dan OS genomcnxx, enOToo-Jtf, 
gehaalt SA , en daar aan evenwydig TZ : zo paft deze Z 
op de groote krul i en deze OZ gezet van O na de linker 

E zyde, 




34 HbtIBobk, 

xyócy men heeft Z paflènde op de klecnekrul : dan getc^en 
ZC ZC, codaiir opieduhodugCfC CK, dieraaktenz. 
InScn de Kromme NCcenee- 
dcdte is vaneenRollyn (Cydoi- 
dc) befchrcven door de beweging 
van het punt C op deze wyzc : 
CinNzypde, en bewogen wer- 
dende van N tot aan C , Jat Je 
Boog NG tol de (^md GC ^^i 
bebbe een gegeve reden alt p tot q: 
aanmerkende NG voor een ftuk 
vaneen kri^ , wiens Middelpunt 
is O , en CGL rechtboek^ op 
N0,ofGOx* NO. 

deboogNGaov 'Dcvry\lJ^]&ix>y.iax—xx 

NL»* »>i» GC »ƒ— |/.2«f— **■ 

LCco^ en daarom zyn evenredig . 

UCxz HGvlGCy-^.iMX—xxIlplq 

daar door vind men 
ifpax — ppxxcDPpyy — xpqvf-^qqvv. 
Laat in Kromme NC nog een punt D gnomen werden « 
oiieynd^ digt aan C , en getx^en werden DE evenwydig 
aan CL, ook CF en GH zodanig aan NO ; en kat GI bet 
Rond raken in G : de verleidde pees DG is dan Raakl yn in 
C f i8V.) en de rechte GFis zo lang als het boogie GI 
(>7V.) 

Stellen CFoo/, DFgo^. enGIco*, onbepaalde kleene. 
Om dat , in de bovenflaande iËquatie , drie quantiteytcn x , y 
en V zyn, waar voor moet geftelt werden *■+/", y-\-g , en 
»+*, zo kennen om de ecrfte nog de tweede Regel niet die- 
nen om KL of KN te bepalen , dewyl die Regelen maar op 
twee onbepaalde kleene /en g genmkt zyn : hierom moet 
men nu de aldereerfte generale methode gebruykcn, of de 
Rtgel op de Reduöie tothetonbepaaltkken: die Regel dan 
daar toe nemende 

^fpax ^pp X X -Xippyy — rpqyy + ??w 

I » o o o,w^ens+/ 

o,wMens-i-^. 
Yk 



komt %ppüf—'%ppxfzi%ppyg—nT^è 

Voorts. 



Van de GftooTSTEen Klbenste. Jf 

Voorts. Om dat z / ƒ /////evenredig zyn, 3ö heeft men^ OO^: 
enomdat GL/GO//GH/GI, of v'.ï*^—**X''/ «//>?* 
mede evaiiedig zyn , 20 beeft men b OO-v ■ 
Door deze twee ócg en de ft weg genomen, endoor x/gc- 
deelt, men beeft 

en om dat vj y— n H pf q mede evcarei^ zyn, gplyk m 't 
begin gezegc is, zo hoeft men tco^^^~^: hierdoOTdevwcg 
genomen, en gcrcduoeert , 

men heeft zx^i—^^^ CoKL 

Uyt deze j£^tie volgt, op alle CycloidcB» ^cn^gegevcn 
zynde na believen , deze 

CM0niSif^ Het punt Cio 
de Kromme NC g^Kvea 
zynde , en ook bet kiUt(hk1 
NGAwaardoOT hyginnaakt 
is , daar af dat O het Mid- 
delpunt is : zo haalt uyt O 
een rechte , en neemt daar in 
OToap , en OSooj : dan 
haalt TA , en aandezecven- 
wydig SV : dan CL recht- 
hoekig op NA, fnydendede 
kring in G : dan VG , en 
door de verlengde van deze. 
rechthoekig , CK ; die raakt de Cydoidc in C. 

Is^ gelyk y, of is de Cycloide een gemeene, zo valtVin 
A. Men heeft dan maar AG te trekken , en door zyn ver- 
lengde rcdiiiiockig , CK . 

jils de makgHg der Kromme gefihkt dtcr D r a d e r . 

Om dit met kermifiè te verrichten, zo moet menvaft tel- 
len dat ai/i i& Deelen van de Draat , in de bcichryvlc^ van de 
Kromme, ëlVjid evenfirak i^tgejpannen zyn. 



El By 




.1 



^6 HetIBoek, 

By voarheelt. De kromme DCE 
is befchrcven door de Draat 
BCAC , waar vaii het ecnc eyn- 
de vaft is aan B, en het ander 
eynde aan de Pen C , terwyl de 
B l3niat eens geilingert is om de 
Pen A : zulx dat de Draat altyt 
langs AC dubbelt , en langs BC 
enkelt is. 

In de befchryving van deze Krommelyn moet men dan 
onderftellen dat alle de deelen van de Draat , die in AC dub- 
belt en in BC enkelt is , even ftrak uytgeipiannen (han. Als 
men onderftelt dat in A en in C ronde Ichyven zyn , waar 
over deze Draat loopt , zo kan men dit licht todhan ; en 
ichoon'ser niet en zyn, zo moet men evenwel vaft (lellen 
dat de Draat in A en in C zo onbelemmert (chuyftalsof^ser 
waren : indien men dit niet deê , men zou van alle kromme 
lynen , die door Draden befchreven werden , niets zekers 
konnen befluyten : alle zyne punten zouden niet een zelfde 
betrekking hebben tot zyne Brantpunten , dat echter noot* 
zakelyk is om hen te bepalen. 

Nu zo is ^t even vcd of men 
de Draat BCAC uytrekt in de 
befchryving van de Kromme 
door ae Pen C , dan of menin 
C confidereert een gewigt te 
hangen , gelyk hier neven : in 
welK geval aile de Deelen van 
de lyn eencelykefpanningver- 
krygen ; en by gevolg moet men 
aanmerkea dat de Pen A twee* 
maal zo veel draagt van hetge- 
wigt K als de Pen B : endaar- 
om , trekkende uyt eenig punt 
van de verlengde KC , als uyt F , Lootl vnen op AC en BC , 
als FG en FH , zo loert ons de We^daat, dat FG tot FH 
is y als de trekking aan ^ tot de trekkjng aan A , of als de Dra- 
den aan B tot de Di'aden aan A , dat is , in dit Kval , als i 
tot a : of, trekkende uyt C door F een boog LFM , en uyt 
L en M de Perpendicularen LN MO, zo is LN tot MO, 

of 




Van de Grootste en Kleenste. 57 

of LP tot MP j als de Draden in B tot de Draden in A; om 
dat LN gelyk FG , en MO gelyk FH is. 

Nu, Densyfl bet zeker is dat bet Punt C niet ruften zal, door 
dejioaarte die daar aanhangt y tenzy dat C op bet alderiuufie 
aan de Horizont is , zo zal 't nootzakdyk moeten volgen, dat 
de lyn , die door C gaat recbtboekjg doorCF , de begeerde Raakz 
lyn zal moeten wezen als C bet gegeve punt van de Kromme is. 

Kon eenig ander punt 
van deze rechthoekig 
door CF , in de Kromme 
wezen ; zo laat Q^het 
konnen zyn. 

Hebbende getogen 
QR rechthoekig op de 
verlengde AC , en C^ 
zodamg op BC • zo is 





daarom is dan CR tot CS als FG tot FH , dat is in dit ge« 
val als I tot 2 : zo is dan 2 maal RC gelyk i maal SC , of 
2RCC01SC. 

maar2AR — 2RC+ 1 BCiscodehedeDraat 
daarom ook2 AR— i SC -h 1 BC 

of2 AR-f- 1 BS : kon nu Q^in de Kromme wezen 
n zo is2 AQ^t- I BQ^ook OD de heele Draat 

cndaarom2 AR4. 1 BScT) 2 AQ^ I BCt 
dat kenlyk vals is , om dat AR korter is als A(^en BS kor- 
ter als BQ: zo kan dan Q^niet te gelyk in de IOx>mme we» 
zen en ook in de rechthoekige door CF : of deze rechthoekige 
door CF is de Raaklyn op de Kromme in het punt C. 

Als 'er twee Brantpunten zyn. 

Men ziet dan , heeft de 
Kromme maar Pwee Brant- 
punten A en B,datmen>om 
door een gegeve punt van de 
Kromme , als door C j een 
Raaklyn te trekken, men al^ 
leenlyk^ Pwee punten L en M, 
in CA enin CB, evenver van 
E 2 Caf, 




3S HetIBqek, 

C rf, bafi iffe tmttn , tn derechte LM zodanig in P deelen^^ 
dat LP tot PM /V, dt bei getal der Draden mViCtat betge^ 
tal deir Draden k AC: in^Fo^en, inBCi, en in ACi Dia- 
den tynde , zo moet LP wezen i tegei^dat MP is % : maar 
mBC2,enin AC^Dradenzynde, xomoet LP 2 wezen 
D^ens dat MP ^ is, en zo in'tone^dig. Dandoor C getrol^ 
kfn een reekte dk ioit Ql^ rechthoekig goi^ ^ ée is de begeerde 
JRaakip^. 

En het zal even veel we- 
zen } of B is een vaft en 
onbewe^lyk punt, gelyk 
wy hen tot nog toe geno- 
men hebben , of dat het 
vaft is aan een Rey BV , 
die om V drayt in de be- 
fchryving van de Kromme: 
ja» of V uMs net vaft i^, 
mm dtt BV übiniyft langs 
cm vafte «xy WV , Si 
een grieve hoek WVB* 

Zo Qo Dxaat ia A mede 
cnkelt was , ao is 't bekent 
dat , daar B ocAxweeglyk 
vaft is , de Pm C zal bc- 
fchryven een cemeene-E/- 
liÉfisi B aan de Rey BjV 
vaft wezende, draycnde om V , en CV knger zyndc als CA, 
«en gcmcene tfyperbole ; en BV fchuyvenSs langs de vafte 
Rey WV, in een rechte hoek WVC, CV zo lai^ wezen- 
de als CA, eengemeooe Parahole. £n om dat als dan LP zo 
lang is als PM, zo ziet men dat ia deze drie Kromme lynen 
de hoek ACP zo wyd is als de hoek MCP, en daarom ook 
VCX 20 wyd als ACXT, zaken die bekent zyn, en in ons 
'tiende Voorftd derK^fihedén te vinden zyn , dog hier op 
een veel gcmakkelyker wyze : dat deze de zelfde ICromme 
lynen zyn WyktuytheteHSeVoorftel. 




Als' er 



Van de GrootsteoiKlbbnste. 
Als 'er meer tls twee Braitfim$m zyn. 



39 



^A,f= 



■e 



^^^^:^~-^ _ 




By Voorheitt. Laat de Kromme DCE bdchrcvenzyodoor 
de Draat ACWVCBTC , beginneodc van A en eyndigeii- 
de in de Pen C : zo heeft deze Kromme vyf Bnmcpuotco 
A,'B,T,V,W: immers ik geefzcf deze bemming. 
Algemeskb Regel hm de Raakiyntetr^it/n. 

Trekt uyt een pont van een der buytenlte Drvkn , s&s 
hier uyt L , Perpendicularen op"' de gcgcVB. Draden , of <to 
haare verlengdcns, als bier U LK, LM LX : dan meettf , 
in de buytenfte Draat, CZ 20 lang als CL pluf de lengte 
van C rot 'aan deze Perpendicularen, zo veel als 'erPefport- 
dicularen op de Draden zelfe vallen ,, m'mat zo Vtel aw %■' 
Lootlynen op de verlengde Draden aan C vallen « ilat it^ 
itiditveorbeeit,CZzolm£aitCl^-^Cl-hCK~CX — CM. 
Dan trekt uyt Z, binnewaarts, dereclite ZY, rechthoekig 
op CZ , zo kng als alle de voornoemde Perpendicularen te 
zamcn, de wel& uyt L op de Dnideni ofophaafcretlM^ 
dens, getrokken zj^i, «to it hUrlX z* littëüs LI+LK 
+LX+LM: duigccEoklEendefechteYCi dkvahrKbt; 
hoekig op de Kronae in C : daajom door C gaiogen ecq 
diel^hthoekig ^at door YC, zo is d«ze getrokkenede be- 
geerde Raaklyn. 
Ammerk^g. Zo der meer als een Drut in een Bomtpunt 



40 



Het I Boe», 



is 10 moet men van het mzeyde zo vcd malen nemen als 
'er Draden in dliander vallen ; indien T in B was, lo zou- 
de K in I wezen , en daarom zou men als dan LI en Cl 
yder 1 maal moeten gebniyken; valt daar en boven nog V 
ilW, zokomtX inM i en CZ moet dan zo kng wezen als 
CL+aCI — iCM: vallenTen Q beydein A, zokomen 
I en K beyde in L : CZ moet dan zo hnR wezen als 5 CL 

CX — CM; en is daar en boven nog V in W , zomoet 

CZ wezen gclyk 5CL— zCM, en ZY gelyk xLM. 

'» Bmys. Trekt door L een lyn rechthoekig door CZ, 
Tnydende de andöe Draden , of haarc verlei^dens , in de 
l)untenR,Q,P,S, en CY in F ; en haalt uyt F Loot- 
fynen op de Draden, als FN FO FG FH. 



Stelle 
LCx' 
I.Q.00* 
LRx« 
LSxil 
LPx' 
LI x/ 
LKx« 
LXx» 
LMxt 
Cl X' 
CKx» 
CXx» 
CMxp 
LFx« 



OmdeEelykhoekigheit van de Driehoeken CU, FQN: 
CLK , FKO : CLX , FSH : OLM , FPG , zo is 't 
CL»/ Cl / / FQ.*— *? komtii^ xFN 
CL«/CKi«/FR*'— c? komt'ï^^'xFO 
»xFL 
Vc^. komt "+'-^7~ " ' xFN+FCH-FL 



Van de GfiooTSTB en Klbknstb* 41 

CL^/ CM/>/ FPi:*+^?komt .^^ifti^ao PG 

Verg. komt *"**f"+'^"^-^f' . x FH+FG 

(in FS en in FP is+* als de Pcrpendiculaïen LX en LM 
in de verlengde Draden aan C* vallen, gelyk in deze Figuur, 
anders is het — x) 

Dcwyl de drie Lootlynen FN FO FL 20 lang zyn als 
de twee FH FG , als FC rechthoekig op de Kromme ftaat, 
volgens de wetten van de Weegkunff , gelyk in ^t begin is 
aangewezen y daarom , dewyl de Noemers gelyk zyn , za 
is ook 

ax'^tx'^mx — Ib — mco:^±nx±px^^nd+pe 

ofax+'Ix^mx^:nx^pxo:^lb'^mc'i^nd'^^pff 

of i+/ +» ^» TMOo/+^+*rH*>f 
om datyix/* : gacofnc : ba:j^ndyen kaoDP^ is 
daarom zyn dan gelykredig , 

n+Z+m — n — ptotf-^g + b+k^^is a tot x 
dat is , CZ tot ZY , als CL tot LF 

om dat YZ en FL beyde rechthoekig op AC ftaan. 

waar uyt dan blykt de z^aheit van de geftelde Regel in 
dit geval. 

Is T in B, of is de Draat alleeplyk dubbelt in B; zo is 
fffODlj en /co/*: en daarom is danCZx^+x/T»T^» 
enZYcox/;+*+*. Is T in B, en V in Wj zo is de 
Draat enkeltin A, dubbeltinB, oi ook dubbeltin W: om 
datdanmco '9 /x/» bo^yl^^enno^P^' daaromisdanCZ 
00tf+x/=pxp> en ZYooi/"+i*. Zyn Ten B beyde in 
A, of is de Dmt drievoudig in A } zo zyn 1» en / yder 

00^, en/cn/beydeaoo:diesisdanCZc3o3^T»Tjp, en 
ZYx*+i: maar is daar en boven n<^ Vin Wi zoisCZ 
00947x^9 en ZYxzib Waar uyt blykt de waarheit van 
onze aanmerking. 

Indien men het punt L in een van de binnenfte Draden 
genomen hadde , zo zou men dezelfde equatie vinden , uyt- 
genomendatalsdaneenige Tekens van -W", +^, +*, +* 
zouden — wezen, die nu alle + zyn, dat geinakkelyker is. 
Zo men L in CB neemt, zo zal ƒ een — wezen, enzomen 
L in CT nam , men zoude voor f en voor g beyde een — 
vinden, 

F Hier 



4» HetIBoek, 

Hier uyt is openbaar hoe toefi een Rakende zal trekken^ 
uyt een g^eve punt van de Kromme die Cartejtus voordraagt 
in zyn viercnveertigfte brief , in het derde Ded zyncr Brie* 
ven, pagioa ifx, vier punten g^v^ndey^aar ever een Dr aa moet 
fopen van tep gegeve lengte , zynde niek anders als of wy al- 
Iceülyk de punten B, T> V en W genomen hadden, AC 
daar van aflatende. 

En wil men 
een Raaklyn 
trdkken op 
Zyne Krom- 
me die hy 
door eenDraat 
befdiryft, in 
zyn tweede 
Boek van de 
Meétkunftpa* 
gina366, het 
punt C daar 

van gcgeve zynde. Zo haalt uyt K een rechthoekige opCG. 
en ook'een opde verlengde Ë(J , als KO en KM; cnneemt 
in de verlengde CK aan K,KQLgelyk KC,QS gelyk CO, 
en SZ gdiyK CM : dan uyt Z getogen ZY rechthoekig op 
CQj en (faar ia genomen ZR gdyk KM , en RY gelyk 
KO,. en getrokken YC, die ftaat rechthoekig op de Krom* 
me : dan enz. 

Wy zullen hier nog iets byvocgen dat (bmtyts kan die- 
nen, 'te weten 

Fan de Buyging der Krommelynea. 

Uyt de gedaante van de Breuk die aan z gelyk is , de jr 
daar uyt gercduceert hebbende , door middel van de gcgeve 
equatie , zo z'er in is , kan men veeltyds nafoeuren de 
Buyging van de Kromme j of ze èenkeerneemt of niet , en 
zo ja , waar dit beginti 

AU alle de Termen van de Breuk een + voor zig heb- 
,ben • zo neemt de Buvsing ceen keer , de koers die ze in ^ 




begin gpapDicn heeft behoud ze 
in de Hyperbole van 't eerfte 



m 




Van de Grootse b en Klèekste. 45 

in die tan het tweede geflagt ; de reden is , hoe men de x 
ook neemt 9 ^öot of kleen, deze Breuk blyft altyd een + , 
en hoe groter dat de .^ is , hoe langer dat ook KN werd. 

Maar ak 'er eenige Termen van ondcrfcheydcne Tdkens 
in zyn^zd kan de Brcuk, of x., of KN, veranderen van 
een + in ecn,-r- y en. van een — ineen+; en inzodanigen 

geval neemt dfe Buyging een keer. Als in zzo J,\jc ^*^^ 

KN in eeii Rond , of iti een Èllipfis : z6 kii^ aB i i klebn- 
der is als f , 6^ se fcleendcr als j y, iö^ngbljHftdéBrèuRèeh 
4- , en de Kromme Seioud cje zelfde Èiij^ng die zé vdn H 
I>^n van x af, dat is van Nt ,^ geheimen heèff : ina^ ^ 
txooq, of ifcxil/ward, zo ftaatdc Buygmgftii; t héött 

dan eei) oneyndigp lengtfc ;• om 
dat de Nócmcf db o i^ , Vo^m 
het 9 Voorttcl: lüaif* wórd %x 

zo IS de Noemer een — ^ ; enom 
dat de Teller een +Js, zö is 2 ceii — -, die te yörèh éen+ 
Was : dies neemt de Buyging een keer: iiadcrcnde wecferom 
Óp lyn X, da^ ze eerfl van afweek : K vdt dan aan de an« 
dere zyde van'L , dat is in de verlengde van NL aan L. 
In de Ellipfis Van het tweede geflagt Slykt het zelfde öp 

gelykewyzc, waar indatNK, ofzai^^zrir^» oihdat 
de Teller altyd een + blyft , öf noit ccn. -^ lön werden, 
öhi dat men x niét ^oter mag nenicn als.f ; zal het een EU 
lipfis blyven , dat is NL niet groter als NÓ. 

Indien men neemt 
de Kromme van Siu^ 
fitsi y^ 1 10, van 
deze iwtuui: .^tyndc, 
dat -het yierl^t van 
de gegeve AP is tot 
het vierkant yan AC, 
AftsD^ alsBetot.CPi dat 

AC 00^ ö, Aitot^x, ^ê—x 

Ct)x> tot y i ^^^^^ doormca 

APooz heeft 

DPtenRaaklyn. off/^axx+x^xDO 




Fx 



en 



^ H B T I B o B K, 

cnvolgcnsdc II Ri^eï 




de^ door de ^Equatie 
aayx^axx — x^ daar 
uvt reducerende. 
Men ziet uyt de Teller dat die gelyt nul zal werden als 
a.^Xi9, oix^\a\&\ dat is als AC IS x^AB ;' en uyt de 
Noemer dat die geljk nul werd ^Xx'S^ia is , of ;i^oo | ^ , 
of ak ACoo} AS is : dies zal de Teller een + wezen zo 
lang als AC minder is als ^AB, eneen — als AC groter werd; 
en de Noemer een + zo lang als AC korter is als de | van 
AB, en een — als hy langer werd. 

Zio is dan in 't b^n de Teller een +9 en de Noemer 
ook een + : en om dat dit duurt tot dat C komt in het 
midden van AB , zo zou men konnen denken dat de Krom- 
me tot dus verre met zyn Bult na.AB zoude neygen : maar 
de zaak nader inziende , zo zal men bevinden , dat de Bult na 
AB toe , zig niet verder uytfhekt als tot dat C gekomen is 
tot aan het \ van AB; de reden is, om dat tot nier toe P 
van A afgaat, en C verdervan A afgaande, zonadertP we- 
derom het punt A (^xjtf nemende, zo is + 2x^4; en 
1^X741 nemende, zo is +zx^tf, minder als Jtf) waar uyt 
vol^ dat de holte dan na AB toe gekeert is : C gekomen 
zynde tot aan het midden van AB , zo komt P m A ; C 
nos meer de B naderende , zo valt P in de verlengde van 
A)s aan A , om dat z dan een — werd {xrx>\a nemende, 
zo is — zx}4) : C tot aan \ van AB gekomen zynde i zo 
is de Noemer een nul \ dies is z> of AP als dan van een on- 
eyndige lengte : C de B no^ meerder naderende , zo word 
de Noemer een — , en om dat de Teller mede aliede een 
— is , zo i$ jc wederom een + , en daarom valt P dan we- 
derom aan die z^de van A daar C is ; maar om dat P dan 
verder van A ai is als C van A (xx^tf zynde,, zo is+ z 
X \\a^ zo blyft de holte als nog gekeert na de lyn ABtoe; 
en om dat de vergrotii^ van de x de Breuk doet kleender 
werden , zo nadert P gedurig het punt B , en. hy komt in 
B als C daar in komt \x^a zynde, zo is + z medexj) 
dies komt ook D daar in , of de Kromme loopt door B. 

Het 



r 



Van de Grootste en Kleëkste* 45* 

Het zelve blykt mede uyt de JEquaxkaay — axx+x^o:)o^ 
waar in de xooa ftellenoe, zo is^ycno, ofyoo o. 

Komt C in de verlengde van AB aan B , zo gaat P we- 
derom van B]af, in de verlengde van A Baan B; dogPisaltyd 
digter aan B'alsC daaraan is (^ooi-^^ wezende, zo is +z 
00 i^a-y xooiazynic^ zo is +zoo.i-;4i; .vxi 04 nemende, 
zo vind men +zoo6|7tf } ^^ daarom neygt de Bult altydna 
de verlengde van AB aan B , en loopt op die wyze ge- 
durig nederwaarts. Van A ^ ter linker zyde loopt de Krom- 
me gedurig opwaarts 9 de Bult zig mede keerende na de 
verlengde van AB aan A , om dat de x dan oen — is , zo 
vind men voor de z ook eep — ^ zubc dat C en P altyd aan 
de linker zyde van A blyven ; evenwel •zodanig dat P altyd 
digter aan.Ablyft als C (— .^xitf zynde, zo is — »x}^, 
en — xooa wezende, zo is — zoQ^a) 

Deze Kromme be(bat eygqitlyk uyt tWee Parabolen van 
het tweede geflagt , wiens Cubiquen der Applicaten even* 
redig zyn met de Intercepten, de welke in £> te zamen ge- 
laft zyn, AC 00^ van AB wezende , wiens gemeene Nfid- 
dellyn is DC., en welkers Apolicaten evenwydig zyn aan 
I^P 9 ë^y^ Slupus ziilx aanwyft. 

Indien men zulx onderzoekt van 
de Kromme die Cartejius aantekent 
in zyn 44^. Brief , van het derde 
Deel zyner Brieven , Pagina 1 47 , 
deze natuur hebbende , dat , nemen- 
de L in de Kromme na believen, 
het D LN istothet D AN , als NK 
tot AK-f- 3 AN , of dat jfjf / xx // 
n — x/ «+3*^ evenredig zyn, waar 
door men volgens de tweóie Regel 
vind , LE een rakende wezende , 




AKoo» 
ANoo*" 



EAcp v;-"v; 



of E A GO J^ll^ A^yy weg nemende. 
Met deze Breuk handelende als nu even gedaan is^ men 
zal bevinden dat do Kromme zal wezen vin gedasmte als 
hier boven vertoont werd , lopende door A en K. Zyn 
grootfle afwykine van AK , onder en boven , zal wezen 
als X , of als AN is T^^^nn : het bovenftc deel van het 
. . . i ■ p g Blad 




HètIBoek, 

Btad, na'A toe, zal dalen onder de 
verlengde van KA aan A i ch het 
diidecfb: ded tai zodanig irièn. 
j. AHoo^ AR netecndé mdeverteig. 
de AK aan A i en irefckcndo e^ 
onOTiidige reththoek^ door de As 
Alt , 2» zil dt KronËtte deze HG 
, ■ *d altyd mdèren , maar vóit beti 

otitinoeten , of HG zal' wezfcri ccn Afyrirötotos : wint, -~^x 
cO;j« nemciiidc, zo vind (Weridoör deze Breuk, dat AE mede 
is X— ^|«, iüli dat E dan valt in N j <rf" LE ft^ dm zo 
«rel rechtmeïtife- o^ AH als Vbi ; en by gevolg h JL oneyn- 
digvèr van Na. 

^^y zullen dit Deel befluyten j met té ï^gert, fcortntn- 
dc uyt ccn gïgeve punit tart de Kromme een Raaklyn trek- 
ken , d» mn tiihielfk, itn 
Kring km halen die deKnm- 
fut in Mtpugi iraakt, in met 
'eeöen ren gegeve Rethtelyn: 
tfJie «ok^gsatdoor een gegt- 
•Pepvnt. 

Want , KF deze rechte, 
en ACD de Kromme we- 
zende , daar in gegeven is 
i : zo haalt uyt C de rakmde ck , 
rechte in K : dan in deze rechte ge- 
»lai^ als KC, engetogen uyt F, F 
^^ ontmoetende derechte gehaalt door 
m B, B: dan getc^en uyt B , B, 
, ydër een Kring, dieraken de rechte 
inF, en de Kromme in C. 

Maar is F eên gcgeyc piiht waar door de Kring moet lo- 
pen, en te gdyk de kromme in het gïgeve punt C raken, 
ZQ zoekt B door de £iee van de gel^ afllandige tulTchen 
C en F en een andsr diere(^thQeijg ^ac doorde kromme 
in het punt C. 




III. Deel. 



Van de GnooTfTp en KPeenstb. 47 

T 

III. Deel. ' 

Van de 

OROOTSTEeiiKLEENSTE. 

ALs men in een Qiieftie vraagt na een grao^e^ zó 
onderftelt dit dat 'er aan weentyden van deze gróót* 
fte kleender konnen zyn, en iia een kleen^e^ dat 
'er aan yder zyde van hen groter konnen wezen : anders zou 
men te veigeete vragen na een grootfte, rfna een klcenfte. 
Men kan niet ey fTchen een punt te vinden in een Pgrabc^e^ 
of in een Hyperbole dat op hpt verfte van de middellyn af 
is, om dat alle haarc punten , van de top af te rekenen, 
eedurig van de middellyn af verwyderen : men kan zulx wel 
begeren in een Ellipies, of in een Kond, en in alle Krom- 
me lynw die yan de middellyq yer^dereo cü hem ook 
wederom nadeitn; en ii) 't algerpeen kan men yn^en ^ yan 
alle Kromme , nadegroorik Ijroete , of afliand der Kromitnc 
van zekeise ipcbte lyn die hem twieeïnalen /nyjCi' en danis 'er 
ook aan weeizyden van <k grpotfte afibnd- loen mindere : 
inaar de jkleq^fte , of eygemtf y k het pimt van de Kronmie 
te vinden dat de kortjie afljband heeft van een gegeve punt, 
is toepaflelyk op alle Krommp ^ynen. 

Zooanige Vraagihiklcen konnen mede ontbonden werden 
doQf *i fimyndig l^eu ; by Voorbeek 

I^ Kjnwüme NCDO is die van 
g^ — -^^ Cartefius^. ,wdke wy laaftnebben aan- 

glObDokkeo, daarin iiXy + ^xyy —êxx 
itf ■t^^'^oooi^^ men vraagt na het punt 
van 4^ Kromme dat op liet verfte 
• NQco it* van de toiddellyn NQ^af is. 

Yh^ ^ Aanmerkt GD voor een evenwy- 

T ü ^ /• ^^8^ ^ ^^ midddlyn NQ, fiiyden- 

l^Ki a>/ dende de Kromme in C en in D : 

dcae CD gelykwydig blyvende aan N(!^ en verder van de 
middcUyn amykaide , zo is 't zeker 'dit de jpunten C en 
D elkander zuUen naderen , en óp t left in een komen, en 
dm is CL, of D£, die als dan een zd^^yn^^yn , delai^* 





48 HbtIBobk, 

fte , of het punt daarze te zamen ko- 
men is op net verfte van de middel- 
lyn af. 

Laat ons dan ftellen dat C en D 
oneyndig digt aan een 2yn , en dat 
Jiaaie afihnd CD is co/, onbepaalt kleenj zo is dan NE 
X X •+•ƒ*: dit in de Kgeve equatie geftelt in plaats van *", 
of gebraykende de Regel op de Reduétie tot het onbe- 
pam klcen^ 
de eegeve ^Equatie ayy^ ycyy — «af^+^f'qoo 
multiplicerende me t o i 23 

komt + \yyf— i^/H- ycxfzo o 

of 5 jf jf X xax — ycy 

* 

of ^^tjTjL*' ^ 1^— %xx , of^ooi/jAf. 

\7aar uyt blykt , de Kromme gegeven zynde, dat men al- 
leenlyk een midden evenredige teeft te zoeken tulTchen NQ^ 
en zyn | , en NX^ zo groot te nemen, en dan te halen LC 
in de hoek b^epen van x cny : zo zal die deKrommefny« 
den in het punt dat op het verfte van de midddlyn af is. 

Indien men uyt een gegeve punt 
H , tot deze zelve Kromme , de Icor* 
fte lyn wil trekken : menonderftd- 
Ie dat C en D twiee punten van de 
Kromme zyn, dieeven ver van H af- 
|it ftaan, en oneyndig digt aan elkander 
zyn. 

Aanmerkende HG regthoekig op 
de As NQ. en DO ook FCI zo- 
danig ^p HG 
Dewyl Hlisoo* — ƒ, en CIooj^ — ^,zo 
vind men bb — z by^yy^xx — %}px 
+ ^^cx)'ta HCx^^. Eü om dat het 
D HD mede zogroot is, ènmendat vin- 
den zal gebruykende y +^ in plaats van 




HGx» 
NGxtf 
NLéOOx 

LCxy 

CFx/ 



FDcDg 

jf , en x^fin plaats van x (want HO is»* — y — ^, en 
DO x^+/— ^) zo mag mendande bovcnftaandc equatie 
reduceiieo op 'conbepaakkleen. 



Van de Grootste en Kl-eenste. 49 

bb — %by+yy + xx — zcx + ccoopp 

gcm.met o i x x i 0.0 

komt — ^bg+zyg-^xxf — 2 cfoD o, of^ x *{ll ''^ - 

De iEquarie op de gcgeve Kromme mede zo handelende , 
dat is ayy^^xyy — axx+xiODo 
o 125 

2 200 

men heeft + ^yyf— ^ a oef— 5 x xf 7 ^ 

cndaardoor^oQ -^;^^;+;-^^ 

Hier door vind men 

— '^fjyy^xahx — ^bxx'^^yi x doxy^^^xxy — xacy — 6^xy. 
aanwyzende dat het waare punt C , waar door HC de kor- 
fte is , gevonden werd door de fiiydihg van de gegeve Krom- 
me en een andere Kromme van het tweede geflagt. 

Neemt men weg de yy en y^ door de g^eve jfiquatic , 
men zalder een vinden daar in alleeniyk x is : maar ze zal 
opklimmen tot een van feven Dimenficn zo 'er niet uyt valt. 

Maar zodanige Werkfhikken, als deze laatfte is, laten 
zig alzo gemakkelyk ontbinden , zoekende eerftdeOnderraak- 
lyn KL , of de Onderlootlyn LZ , op de wyze als in 't 
tweede Deel geleert is , want dan zyn evenredig KL / LC// 
Hl/ IC; ofLZ/LC//IC/HI, waar door men ten eerften 
een equatie heeft , gclyk hier na in verfcheyde Voorbeel- 
den zal aangewezen werden , dog niet voor dat de Plaat- 
zen verhandelt zyn , om dat de Solutie daar door meeften- 
dcel veel korter en aardiger gefchiet : maarwatdeeerftefbort 
belangt , daar van zullen wy nog eenige in dit Deel door de 
Ondcmdcende ontbinden : dog deze laatftc , en nog veelc 
andere , daar in geen kromme lynen gegeven zyn, werden 
gemakkelyker ontbcmden door de Regel in onze Algebra 
aangetekcnt , waar door men een iEquatie folveert die twee 
gelyke wortelen heeft : en , om dat. wy nu • volflagen van 
deze zaak handelen , zo zullen wyze hier wederom herhalen, 
dog een weinig anders gefchikt ^ gemakkelyko* tot het ge- 
bruyk. 

Re- 



^0 HbtIBoek, 

Regel. 

Om een zyEquatie op te hffen daar in een mbekende 
quantiteyt is die tweegefyke wortelen heeft. 

Stelt een nul onder een van de Termen die men begeert 
weg te hebben; -f- 1 onder die Term daar in de x {o(y , of 
z , noe ze ook mag wezen) van een Dimcnfie meerder is als 
die waar onder de nul gevoegt is ; en — i onder die Term 
daar in de Jir een Afmeting minder heeft : + % onder die 
waar in de x twee Dimenfien groter is als die waar onder 
de nul ftaat; en — 2 daar in hy twee Afinetir^en minder 
heeft: +5 daar in de x drie Dimenfien meerder, en — 5 
daar in hy zo veel Dimenfien minder is als waar onder 
de nul gcftclt is ; en zo in 't oneyndig. Of in ^t tegen- 
deel. — 1 onder de geene daar in een x meerder is als waar 
onder . de nul ftaat , en + i onder die waar in een x min- 
der is : — % daar in twee x meerder zyn, en + x daar in 
twee *• minder zyn» en zo voort : dan vermenigvuldigt y- 
der term met zyn onderftaande ^etal , de Tekens waarne- 
mende , men heeft een gqreduceerde iÉquatie , die men dan 
oploft volgei^ de gemeene wyze. Een nul onder eeii andere 
Term voegende, en doende als boven gezegt is, men heeft 
nog een andere gereduceerde vergelyking. 

Toepafflng. ayy+^^yy — tfJi^Ar + J^*xo,eengegeveiEquatic 
gcm. met o i x 5. A 

of met — I o +1 +2.B 

ofmrt — z — I o+i.C 

of met — 5. —X — I o.D 

komt *+lxyy — zsxx^^^x^ 00 a , een gered. iEquadc 
ook — é^ * — axx+zx^oDOyCcndito. 
ook — za^—^xyy *+ x^xo, een dito. 

ook — 3<5r7 — 6xyy+ axx ♦ x o , een dita. 

welke twee dat men van deze neemt, of een van hen en de gcgc- 
vc iEquatie , de yy weg reducerende , men vind xx:x)j^^' 

De zekerheit van deze Regel heeft Kinkhuyfin aangewe- 
zen : ze is mede een gevolg van de Regel gegeven om een 
iEquatie te reduceren tot net onbepaald kleen : want , als 
er maar een onbekende , als *■ , in is , wiens twee wortelai 

eveö 



Van de Ghootste en Klëekstb. fi 

van groot moeten wezen, 20 behoeftmen geen ƒ in plaats 
van een x te ftellen , om dat de ƒ door de Divifio dan al- 
ty d uytvalt . De Multiplicade dan doende na die Regel , zo is 



afg. 
a%. 



afg. 



+itfy^ycyy — 0XX'^x^:x>o 

o 125 

■ I iii i ai I ■ ■■ I ■ ■ 

*+:jAr)or — iiMc*+gx3Xo. i produ& 
+€Xy + 3'*'Jty— ^^+ -^'00 o. gqg. ^q. 

— W * — axx+%xio^o. xproduft 

+ <yy + ?^ay — *^^ + ^' 00 o. geg. -*q. 

— lajiy — ^xyy •4-JirJOOO. ^produft 

+ w^ + 3^yy — ^-^ •♦- ^» X Q. geg. .ffi,q. 



t eveneens 
of men de 
overfbande 
Regel ge- 
bruykte,hen 
muidplicee- 
rende met 
de getallen 
A;en daarom 
is deze uyt- 
komftgelyk 
met het eer- 
de produft 



— ?97 — 6^yy+^^^ * »o. 4produft 
van hier over : trekt men van deze uytkomft de'gegeve 
iËquade af, de left Tal wezen als het tweede produ£t van 
hier over , en gelyk met het geene dat men zoude vinden 
de muldplicatie van 't b^in afdoende met de getallen B : 
trekt men van deze reft wederom af de gegeve iEquatie , 
men vind het derde produéb van hier over , en daarom het 
zelfde als of men in t eerft devermenigvulding gedaan had- 
de met de getallen C : nog eensafgetogen, men heeft het vier- 
deprodu&, endaarom enz. als of 't met D geichiet was. 

Zo is dan deze laatfle Regel een gevolg van deeerfte: en 
van de eerfte hebben wy aangewezen datze t^ee ongelyke 
wortelen van een -ffi,quarie gelyk maakte, (met/", haarver- 
fchil , tot onbepaalt kleen te doen werden) daarom ook de- 
ze laatfte 

Voorbeelden tot OefFcning. 

I. Gegeven zpide een hoek ABC ^ 
en een punt Ü^ binnen deze hoek: 
door D een lyn ADC tetrekken tot 
aan de Beenen van deze hoek, waar 
door de Driehoek ABC A dekkmfte 
is. Vivianus II Boek 6 Problema. 




BEootf 
DE30* 
ECoo *• 
ABxjf 



Laat DE evenwydig wezen aan AB # 
zo zyn evenredig 

Gx AB 



5* 




Het I Boek, 

AB> /^ «4-*- // DEfr / ECx : 

dies isj^GO — ^^7 — • 

De,r>riehoek ABC A zal dan de klecn- 
fto wezen als het vermenigvuldigde 
van AB met BC de kleenfte is : dies 
isa^^xy CDP9 de kleenfte 

ohoD/^ co -^ 

ofaab + labx+ixx ODpqx 
_ I o + I o 




Vermcnigv .komt —aab + bxx 00 o , oixzoa 
. Aanwyzendealsmen DE evenwydigaan AB haalt, en dan^. 
EC zo lang neemt als EB, en trekt CDA , dat ABCA dan. 
de kleenfte Driehoek is. 

IL Gegeven zynie een hoek 
ABC , en een punt D , bin- 
nen of buy ten deze hoek: door 
D een rechte ADC te trek- 
ken y ontmoetende de Beenen 
van deze hoek in A en in C , 
zodanig dat de Rechthoek 
ADC de kleenjie is. Vivia» 
nuslIBoek, 4 Werkftuk. 

Getogen hebbende DE even- 
wydig aan AB . , en DF recht- 
hoekig op BC , zo vind men DC x l/. ^>^ =F ^.rx + bb: — ak 
D in binnen, en + als D is buyten de gegeve hoek. En om. 
dat EC / EB // DC / DA evenredig, zyn , zo vind men 

. DA OD — ]/'^^ =P 1^^ •*•**> ^^ overzulx is 
de □ ADC GD -7 * xx:j:icx + bbcDpq de kleenfte. . 

of XX X zcx + bb 00^' 
progrcffie+ i o — i o 

vermenigvuldigt , komt xx — /^A oo o , of ^ co * 
Dies moet men EC zo lang nemen als ED ,.cn halen 
CDA ; zo is de CZ3 ADC de kleenfte, 
Uyt deze twee Voorftcllen volgen twee andere ,. die Vi- 

vianiis 



BEx^ 
DE GO* 

E F co 4: 
ECcoa; 



Van de Grootste en Kleenste. ^j 

vianus ons voordraagt In zyn- tweede Boek van de Grootfte 
en de Kleenfte. Gegeven zynde een Kegeljhede ABC , en een 
punt Y) in de zelve: door D tot aan de Kromme een rechte ADC 
te halen , zodanig dat ze van de Kegeljhede eenfluk ABCA af- 

Jhyt dat het Kleenfte is. 7 Werkftuk. 

Want : in de Parabole , door D getogen een evenwydige 
aan de Middcllyn , en in. de twee andere door D en het 
Middelpunt : de garokkcnc de Kromme ontmoetende in B, 
zo haalt door B een Raaklyn, enaandezcevcnwydigADC: 
deze voldoet bet begeerde , om dat D als dan in het midden 

. van AC is , even als hier even in 't eerfte Voorbeelt ; en 
jetogcn derechte AB CB, zo is het rechtftrepige ABCA 
iet kleenfte , en daarom ook het Kromlinifche ABCA , de 
wylder een bcpcuilde overccnkoming is tuflchen het een en 
het ander , volgens het geene hier na ia de Quadratura zal 
aangewezen werden. 

Maar zal de- Rechthoek van AD met DC de kleenfte wezen 
( f Werkftuk ) zo moet men ADC rechthoekig door de As 
halen. Dit volgt uyt het tweede Voorbeelt j halende daar ii> 
uyt B een rechte door het midden van AC , zo zal die- AC 
ook rechthoekig fhyden , om dat EC gelyk ED , of BC 
gelyk BA is. 

IIL In de laatfte Figuur. Gegeven zynde een hoek 
ABC^ en een Punt D^ binnen rfbuyten deze hoek: door 
D een reihte ADC te trekken, zodanig dat DC + DA 
de kleenfte is. ^ 

BEootf Aanmerkt DE evenwydig 

DE 00 * aan AB , en DF rechthoekig- 

EFco^ ♦ ' opBC. 

ECx^ Stelle DC + DAx», de 

kleenfte. Het D DC is xx^:icx 
+ W : — als D is binnen de gcgeve hoek, en + als hydaar. 
buyten is. 

Voorts. tf+:v/»/x-? komt j—^OoDC 
dkskxxj^xcx + bb:^,-^;,^^ 

Gj 



rf 




W H E T ï B o E K, 

ofx^Xuxi^ bbxx + tabbx+aabbo^nnxx 

+ aaxx 
+ i +i o ^^ _i progrcffic 

komt x^qp cx^ — dbbx — adbb:Qo 
+ 4m:J± aacx 

lykc Conftmaic. Stek men r x o , of b de gcgeve h2k 

recht , 2» heeft men x*+ax» 
~-Mbx — Mbbcoo'y gedeelc 
door x+acoo , men heeft 
ifi~Mzoo , oSxizDobb op 
beyde de gevallen. 

Daarom: hebbende door O, 
het midden van DE , als Top, 
op OE als As , met DE ais 
Rechtezydc, befchreven een 
Of. 'ji Parabole, neerwaarts; enuyc 

H, het midden van BE, gehaalt eenRond datdoorOgaat. 
feydcnde de Parabole in I j en getrokken IC rechthoelug op 
fcBj ai genomen EC aan de andere zyde van E, 2oIai£aÉ 
deze ECj en getogen uyt C tot D een rechte, welke o^yn 
^^dc het ander Been ontmoet in A j zoisDC+DAdc 

ÏV. Gegeven zynde een 
Beelt BC, lang lo voeten: 
men vraagt waar das menhet 
Oog O suil moetenvoegen , om 
dit Beelt op zyngrootfte te zien: 
^gemeten hebbende GA gelyk 
aan HO, en bevindende daf 
AB « 8 voeten. Uyt D. Rcm- 
brancz. 

, . , Aanmerkt èen Kring te eaan 

door de punten C, B, O, fnydendc de verlengde AO i£ F. \wem 
middelpunt IS D. ^ 

Dewyl BOC de helft is van BDC, en de laatftc groter 
^rd als BD of OD klecnder won! ; zo volgt datmSi hcc 
«eelt op zyn grootfte zal zien als DO op zyn idecnftc is. 

Std- 




Van de Grootste en Klbknsts. ff 

SteUcnde AOx*, k> » AFcoi«^, of EOcx> ~^ —lx, 
aanmerkende DE voor een rechthoekige op AF. 
Stellende DE cd^, en DO x J> 20 heeft men 

~ — 7^+\xx'^ppo^qq dckfeenfte. 
of 5*184 — 7Z^^'^i^^^ppxXQ;)qqxx 

— X o +2 o o prc^reflSc 

Verm. komt-^ 10368 + ,x4 30 o, ofx co 12, voeten , 

voor de aflbnt die het Oog van A moet af wezen om het 

Beelt op zyn grootfte te aden. 

V. Gegeven zynde twee Cubiquen^ evengroot: inde 
eene eengat te maken, waar do&r de ander kan gefiokm 
worden. 

VL Gegeven zynde twee even- 
wydige lynen CD en AB> m 
een mdir EBC, hen beydejhf^ 
dendei ityt af door eengegeve punt 
Af ineen van de evcnwydigey 
een rechte AED te hakn-^ ont'^ 
moetende de andere geljkwydige 
m D > «n defnydenSe in E, zodanig dat de Driehoeken 
ABEA en DCED, te zomen genomen , de kkenflezyn. 
Viv. App. Probl. 3. 

Stellende AB GO «9 BCqo^» en BEx^^ 
20 is ECx*T*f €ö daardoor vind menCDoo^^^^- 
En om dat de hoeken ABC ECD gelyk zyn, en de Drie- 
hoeken ABEA ECDE evenredig zyn met het gemultipli- 
Geerde vandezyden om de gplyke hoeken , daarom is 
fiiïi^£i±lf5-f. êxzopq. de kleenU. 

ofdbb:f:%sbx^%axxo^fqx 
— i o +1 o 




of — abb + xêxxooo^ ofxo^y \ bb. 

Daarom, uyt H, het midden van BC, getrokken de per^ 
pcndiculaar Hl ,zo lang als HB i en uyt B door I eenKnng, 
toydende BC inE,Ej dan gehaalt de rechte AED EAD: 

za 



5*6 HetIBoek, 

zo zyn de driehoeken ABE A en DCED , te zamen geno- 
men, de kleenfte. Om dat a verdweenen is, zo blykt dat 
alle de lyncn , die door en uyt deze zelfde punten E , E op 
de eezcyde manier getrokken werden , het begeerde zullen 
voldoen , A nemenoe in de Jyn AB , na believen. 

Vil. In een gegeve ïyn BC, afin zyn verlengde aan 
B 9 het punt E te vinden , waar door BE , en de derde 
evenredige tot BE en EC^ te zamen gen(men , de kortjle 
is. Viv^App. Prob. 2. 

Men vind BE wederom a> Vibb, BCco^ zynde j en 
daarom kan de ConfhuAie van hier boven mede hier toe 
dienen. 

VIII. In een gegeve lynBC^ en ook in zyn verlengd 
de aan B y de punten E E te vinden ^ even ver van B 
af^ waar door de Balk ^ van BE , EC kortjle ^ en EC 
^£fi^9 de grootjie is. 

Men vind dat het Vierkant van BE zo groot moet wezen 
als het derde deel van het Vierkant van BC. 

IX. Gegeven zynde een KegeU 

fnede NC, en een punt A in de 

Mtddellyn: een Jpplicata CL zo^ 

danig te trekken dat AL+ LC de 

langjle is. 

Zo is a—x-^y co »> de langfte. 
NA GO* In de Parabole 'isyyo:)rx, daarom 

NLco^ js daar in 




of ar — yy^ryoDm 

o X i o 

Vermenigvuldigt, komt — ojy + tycoo^ 

ofyoojr, 

In de EUipJts en in de Hyperhole, ftellende de Dwarfe x ? » 
zo is 2Xy GO ^?'^ T '••^'*' 5 oiyyzorx'^^'j-xx. Vyta—x+y 

COi^, isjryGO»»+-*''^+^*+^"^— ^''^— ^^-^ • 2^ is dan 

rxvp, 



Van de Ghootste en Kleekste, 57 

I XOXO I o 1 




komt rx:f:—xxo^^xx'^^nx — lax 

f 

%X**'^ ■' I ■ ■ ! ■■ ■ ■ ■ >i I ■ 1 I ,, 

of irqp-^AT G0^4-»— «GOjr 

cfiqrqprxoDiy: of i^T^/j^// iJ/ ii^zyncvcftredig. 

Hierom , M het mid« 
delpunt van beydc de 
Kromme zynde , en N 
haar bey der Top, en NS 
de heltt van ydersRech- 
■ tezyde , evenwvdig ge- 

-A. I- y« 3U ^ A haalt zynde aannaarbey- 

der Applicata ; zo trekt 
MS , deze , en zyn verlengde de Krommelynen fnydende in 
de punten C C , zo haalt CL CL evenwydig aan NS : zo 
is AL+LC, in elke Kromme, de langm. 

Uyt de vinding van C in de Ellipfis , blykt mede hoe 
men C zal vinden in een Rond« NS is daar in <le Straal , en 
SNM recht. 

X. Het zelf degegeven zynde: de AffUcataCL zoda» 
fdgte trekken dat daar door de Rechthoek van AL m LC 
degrootfie ts. 

. ia de Parabok is ay — xj x^^» de grootfte 

oïay — ^ zonm 
ofary — y* zomm 

1 J Q 



rfMMMiMMMMidka«BBft^iMi*aiaaa^i« 



Vötncnigv. komt aty — ^y J co o , 

oiar.zo%yy:oy^9 ofxo:)\é. 

Op de EUipJif on de HjperboU. Laat in deze wederom M haat 
beyder middelpunt wezeneen geftdt werden AM oo a^ ML 00 jr, 
AM GO 4 LCoo>,endel5warfeoo2j'^waardoorwyhel>- 
MLgoj^ ben ijxy 00 r jT jT — rxxindeEllipfisjenxgyyoorjifJC 
CL Xv — ^^* ^ Hyperbolej of, inbeyde, xxooqq 
NMXj? T"^»* Danis ALxiïA^C+indcEllipfis, 

H en 



yS H ET I B O s K , 

en ^- m de Hyperbole) waar door wy hebben 9±;gfX«r/99 
de grootfte ; ot±xyoDnm — ^ , 



of± xoD- a 



TW 1 ' 



V 



of *xco^^ — ~^+ « X q9 T^Jiy 

o I X 2 4 



■«■ 



VtrmeqJgv^.koim-~ xanmy + xaajy oo xjjxy -F ^J'* 

of »« — iiy 0D—^y±fly^03±xy 

van qqii^yycox* 

■ I I f ■■ ■ ■ 

• Anderf. Door \ onbepaalt Iclecn; gebniykondc de Regel 
op de redudie tot het onbepaalt kleen. 
4{y a: Jipr oQ nsf , de grootfte 

wegens/ o ^ 

wegens^, i i , getallen na de Regel. 

Verm- komt ^fy . Het TAm w^cns de ƒ omkerende , om 
^g ± xg. dat/en j' van ongelyke Tekens zyn. 

Uyt de Kromme is x;r co i'? ¥ -^>^ 

a o, a , get^llea na de l^e) 

t. 

■^ywf '' - . .1 '' J - ' ' ' i J i'^^^ v Jlfy 

of ¥4S?:-r-ixArooqpM>jfao**— ïj^ r 

of ATXXïWTi^^» alsvoren. Zo 




•- 



Van de GrootIté en Kléenste. 5^9'^ 

Zo men dan uyt M , 
haar middelpunt , haalt 
MS rechthoekig opN A, 
26 lang als "^{qq , en 
neemt MR , in MA , 
gelyk^^MA; en zo men 
dan RJL. 20 langneemt 
als RS , van A af in de 
Ellipfts, en. na A toe in dè Hy^^bote ; en trekt de Appli- 
cata LC : zo zal de cd ALC de grootfte wezen. De Con- 
ftruébie op de Ëllipfls paft mede op het Rond, om dat men 
daarin mede heeft xa: 00 ^ j^j — {ax. 

Aanmerking. Stelt men in de Ellipfis , en ook in het Rond , 
het gegeve punt A in Q^y zo is a^q , of MR 00^5^ , en 
daarom RS, ofRLxy^^j'y^ ofxijr : dies is MLx^^j 
of L valt in het midden van MN. En dit is het geene ^7. 
vianus heeft van deze twee Kromme , in zyn 1 6 en 1 7 Werk- 
ftuk van het tweede Boek. Hier uyt is openbaar , boe men 
sA déze twee dé gtmüfie Driehoel^k^ befcbtyven : ook boe men 
int een gegeve Kegel een Parabole kan Jhydep die de grootfte is 
(het 19 Werkftuk) om dat de As vaix de Parabole eenbe- 
paalde overeenkomin^ heeft met de Petpendiculaar van de 
prootfte Driehoek in het Rond , of inde Bafis van de Kegel 
in^fchreven ; en om dat de Parabole , en een zyde van deze 
Dfitfhöek eeii gemcene grond hebben ^ 

XL G^fWfuNCDN, eenPees^ 
deel van Me (harten en gejlagten vm 
Parabolen, daar af dat NE de Mid- 
dellyn en DE de Afplicata is : in dit 
Peesdeel CG te trekkm^ evenwydig 
aan DE , efaan NE , zodanig dat 
hy de lang/ie is. ' 

Laat CK een rakende wezen in C , 
en CG verlengt werden tot aan de Mid- 
lyn in L ; 20 moet dan CK cVeftwydig 
wezen aan ND , zal CG, evenwydig 
aanNE de langftewezen, en bygevolg 
mede CG evenwydig aan DE. 

Om dat in deze alle KL. is x^x 
H% Ode 




K N 



NEx^ 
DEx* 

NL CD* 




It N I« 



€ek HbtIBoek, 

<> ■ - . — 

(^deDimenfienvandeRecfitezyden, en 
s die van de Tuflènfcheptc wezcnde) 
20 tyn dan evenredig 

KL'-^^xf CLyll NEalEDb 

en daarom is ^4^ ^;t 00 iiy , of ~« + ft;r 00 jy 

of— -^b f- a lly jx zyn evenredig. 

Hierom , hebbende in de verlengde 
van £D aan D , genomen DF zo lang 

als — *, en gehaalt FN , fnydendc de 
Parabolc in C ; dan CG CG tot aan de 
Pees y cncvcnwydig aan DE en NE : zo is yder van deze 
de langfte die ia dat Pcsefdeel op die wyze kan! getrokken 

wei'den. 

Is , van de g^eve Parabole , r^x^f oo>J : zo is ƒ003 en 
/x 1 i en daarom DF gelyk i^maal DE : ea zo in de an- 
dere. 

^\\ Gegeven zjn^ 
de HCIH, een 

Peefdeel van dk 

Jwrten en gejlagten 

van Hyperbolen 3 

daar af dat ÜD en 

HE de Afymptoti 

zyn c in de Kronh 

tne het Punt C te 

vinden^ waar uyt 

getogen CG tot dt 

Pees , evenwydig 

aan di Naderende- 

KD öf NE , zodanig dat hy de tang/Ie ir. 

Laat CK een rakende wezen in C , en GC verlengt zyn 
tot aan de Naderende NE in L, ook Hl wecrzyts tot in D 
en E. 

Om dat CK evenwydig moet wezen aan Hl , zal CG , 

celykwydig aan NE , en by gevolg ook de andere CG , de 

kngfte wezen, _ 

^ Om. 




NEootf 
NDgo* 

NLcojf 

LC Goy 



Van de Grootste en KcEENSTE. .6% 

Om dat in deze alle KL is oo-jx-^ t deDimenfïenvanx» 
en / die van y zynde : daarom zyn 

KLi-x/LCjf//NEii/ND*, evenredig, 
dies is-j-*Arx^ ; of-y */ a/l y/ x zyn gclykredig. 

Hierom , genqmen NF oo j- * , NM, in de verlengde NE- 

aan N , zo lang als NE, gehaalt FM , enaan dezeevenwy* 
dig NC, ftoten4e de Kromme in C ; dan CG CG gelyt- 
wydig aan NE en ND : zo is yder van deze de langde die 
enz. 

Is de gegeve Hyperbole zodanig dat xxy^ isoor^ : zo is 
/;]Oxen/co39 en daarom NF gelyke i^maal ND : en zo 
in de andere. . . 

XHI. Gegeven zjnde de tweede Schulptrek der Ou^ 
de s hier varen pagina ji aangewezen, daarin dat het 
punt E hapt in een rechte Ijn y en die een krul maakt : 
van deze krul het punt C te vinden dat $p het ver ff e van 
de Middeüyn ANQ^ix. 

- Stelle NE X v: zo. zyn vf b/l a — v/ x evenredig 

dies IS 



XX- 



Ctt tf^f— ^4Wt* W- 



aa 



hb — n.Abhv'^hb 



vv 



vv 



saw — 2 ms^ + ^4 — adblHrxabbv — bln v ooyyz « 

0+I+2 — 1 — I O O 



vv 



komt — 2in;5 + vtA'^raabb — ^abbv x o.gedeeltdoor iv — mxó^ 

komtv' — ahbzoo^ o£v^ODabb. 

Daarom j, hebbende in de lyn 
daar E in loopt , genomen AI x ^ 
AN , en getrokken een Parabole 
door lals Top , op IA als As , met 
AN als Rechtczyde , fnydende de 
Jq^ Kring die uytH, het midden van 
AQ^, getrotken werd door I , in 
V; zo haalt VR evenwydig AI , 
en uyt N met RA als Straal een 
Boog , fhydende AI in E ; dan 
H 3 ENCi 




6% 



Hkt l B 



o E K 




ENC : zo is C hét punt dat op 
het verftc van AQ^at is. 

Anders. Hier voren is deOnder- 
lootlyn LZ op deze gevonden 

^aahx+'^x . en om dat de Tel- 

Ier van deze is selyk de Noemer 
van dcOnderrmlyn KL, gelyk 
men zien kan uytdeVergelyking 
van de de derde Regel met dé 
eerfle 5 zo. is dan de Noemer van de 
Ónderraaklyn KLoo — aabx+f^ xj 
dczeoooftcllendc, zoisKLVan eenoncyndigelen2te(9V.) 
of KC is cvenwydig aan AQ^( i6 V. ) of C is dan op hrt 
verfte van AQ^af. Stollende dan— 4»fe% + x> * öoo , zó heeft 
men /J 00 Al* j dies vind men het zelfde punt C , makende 
Alx^AQ^ nemende H in het midden van AN, endeRech- 
tezyde van de Parabolc zo lang als AO : dan uyt H door I 

?;etogen een Kring , fnydende de Parabole in V : zo zal de 
yn uyt V getrokken evenwydig aan Al , de gcgeve Krom- 
me fnydenm het b^rdc punt G- OvQ^ceidcomefldemetde 
Conftraétie van K'mkhuyfen. 

XIV. Gegeven zynde de Schuif trekdiê daar aan volgt, 
waar in het pint E bewogen werd in de Omtrek van èen 
Rond : daar in het punt C te vinden dat de groot (ie af- 
ftand heeft van di Midddljn NQ: 

Stelle NCxv, Tozynbl v±all v/ x evenredig 

dicsis— ^7 — 00^ 

cn daarom vv -jj 



m avv 



ooyy de grootjifé 
-: bb 



o(bbvv^J~v^:f:2av^ — a4ivv:x)bbyy 
245x0 



komt ifr*— vvqp i{av — ^aaa^o 
ofvo:^q:^a+y.riiaa+{bb 

waar uyt wy hebben deze 



verm. 



Coft" 



Van de Grootste en Kleenste. 



^? 




Confiruaie. Zoekt M in het 
midden van de halv^ kring NMA, 
en haalt MA: neemt daar in MP 

co AQ , en MO co i AQ,,en trekt 
NO; neemt daar in OI OI yder 
3oOP: dan haalt bogen uyt N 
ft* door 1,1: deze fnyden de Krom- 
me in de begeerde punten C C, 
welke op het verfte van AQ^af 
2yn. 

j , - _ ^ ^ • ^, Anders. De Teller vandeOn- 
do-lootjyn LZ. of de Noemer van de Onderraaklyn KL, 
15 hier vorfti gevonden op±itf*+'*/_jr/: ditoooftellen- 
de, zoheeft rocn„Aï¥-^**4-^«^^xx^Aifó: cnomdat 

20 heeft men xoo— i^+ « i±y^3|-!+^4tf. 

overeenkomende met bet gecne Kinhhuvffn vind, en daaiom 
dient ook zyne Conftruaie. 

XV. Gegeven zynde de 
Kromme van CzïKfms^ daar 
mf + x^:j:>nscyts: in deze het 
punt C te vinden dat of het 
verjle van NB af is. 

y^ + xio:)nxy 

o 3 I 

.CU daarom ïKi+^ta>5^' 

C^tuêie. Hebbende op NM 

00 j», geftelt NA rechthoekig, 

en half 20 hmg ; en befchreven 

den Paiabole door A ak Top , op AN als As , met NM ab 

Rechtexyde , fi^ydendê de itring getogen uyt M door A in 

O, en getrokken OLC fcchthoekigdoorNB, fnydcndehet 

bovenfte gedeelte* van de Kromme m C : 10 is C het puot 

dat op het verfte van NB af is,.. 

XVÏ- Maat 




NMxi» 

NLoo* 

LCco> 



6^ H E T I B o E « , 

XVI. Maar wil men C 
in deze Krommehebben dat de 
grootfte afwyking heeft van de 
As NQ: 

Zo moet men de ^^uade ver- 
anderen , om onze vonge manier 
te konnen gebruyken , dewylde 
g^<^e iEquatie aanwyft debe- 
trekkmg van yder punt der 
Kromme op NB , en wy moe- 
tenze dan hebben op N(^, die 
met NB een halve rechte hoek 

maakt als NLC recht is, om 4it ;r en jr inde^Ëquatieeven- 

eens gevonden werd. 

Aanmerkende dan CD rechthoekig op NQ^ en (tellende 

nuNDöOJc en DCooy, 20 isNVoojr+jf, endaaromLN 

en LV yder 00^^^ : en om dat CVxjr|/2 is, zo is dan 
GL 00^^^ : dit vermenigvuldigt met NLx^^ , komt, 
*'~7f : nog met n , komt - "~v; in plaats van n xy. 

De Cubicq vanNL is ^'+5-*'*>+5*»+7' door tyxiin plaats van x%. 
De Cubicq ^^ L C is x^ — ^^xy-^^^xyy—yi door zy'xcin plaats van^' . 

Verg^rt , komt ^"^'^J^"^^ 9 in plaats van y^ +^». 




Zo is dan 



*»» 



V* 



«fZl 



co 



Hxjr 



—v: 



of zx^+óxyy 30 sixx yi — 9Pyyy% 

- ^ I a" o 

Verm. komt 6xi+6xyy zo inxx |/x 

oiyyzo — JifJif+;iMryx.Ditindebovenftaandc 
iEquatie geftelt in plaats van ji^y. 

Men vind 4Jif » X f if»x- , ofxooyi»», voor de lengte die 
ND moet hebben 2^ DC op zyn grootfte weien', hetzelfde 
zynde dat de Hr. J. Hudde vmd , als te zien is in de Mathema* 
afche Oef&ning van Fr. "van Scbotenypsigim, 46x,en uyt gewerkt 
pagina 467 , op een andere manier , overeenkomende met het 
geene een gevolg is van dat Cartejius gevonden heelt. 

Wil men dit laatfte ontbinden door 't onb^aalt kleen, 
ftcUende ƒ zo groot te wezen als ^ > of door deOnderraken- 
de KL, nemende die zo lang als Lc , op dat C{C een even. 

wydigc 



i 



Van de Grootste en Klssnstc. 



«r 



wy dige IS aan NQ^, men zal voel moey ten hebben om het punt 
C te vinden : 

Want, LK ^ J^I^^J^^^ ^y bellende, 20 heeft men 

ook IS gy > 30 — yci + ypcy uyt de gcgeve equatie 
20 is dan — Jjwry + ujry + nyy:j^ — '^^'^Tflxy . 

of nyyo^ — ^x^+^xxy + inxy 
o£yfyy co — 9%' + 9xxjf + 6nxy 
A door jf en met n , komt 5»x)fx — ^nxx + tmx + fifrf 
zo is dan — 9^5 + pxjgr + tf ujiry x — g«x* + ««* + »»y 



ofjfx 



g'^'-^i 



n »« 



n nx 



in 't Vierkant, 



aan-^^+i>>^+ ^V:7^;::±ir" ,uytAdoor3y. 

Alles met de grootfte Noemer gemultipliceert , komt 
8iJr« — ^é^nxi + zjnnx^ — 6n^xi'^n^xx:x^ — 8i*« — ^4**^ 
+a7iawx4+ 1 X n^x^ — zn^xx , 

of 162*^ — 1 8 «'*' + 5»*xx X o 

of «♦ — ^n^x +jin^ coo, gplykGirf^^irxvind 
Hier uyt geformeert de Cubicq equatie, komt z^ — ^|»^^ 
— vjii^x o: deze is deelbaar door zz — -;ii» x o: dies is zx^^/f. 
En de wyl een van de Vierkante i&quatien , waar door x4 ficc. 
deelbaar is, 

isxx — zx+{zz — iü-'xo 

zo is dan xx— nxy\ + iiwi — ^ x o,of xx x nx^\ — {nn +i^, 
ofxxx x^\ — In^f: « X d'eenheit nemende 

o 

Waar uyt volgt, is de Kromme gegeven, deze 

. QmfiruSie. Maakt op 
NBxiy, een Halfrond} 
neemt daar in BE X 4BN, 
trekt de Lootlyn £D , 
en meet afBIxBD: zo 
is Nïx I — y|. Dan 
maakt NHxi NI, haalt 
de hangende HF, en op 
NGx^BI , befchryft 
eenHalfrond, daaringe- 
nomen NOxNF » en 

I GL 




^ 




GL GLydcrxGO, en 

getogen de Toegepafte 
LC LC:2o zyn CC twee 
punten die op het verftc 
van NQaf zyn. 

Maar de Kromtne met 
gegeven zynde^ 

TjO moet men hen vin* 
den gclyk des Cartes ge- 
daan Ivxft 9 nemende 
NLC recht. 



of % X «ry'Ti "*V-^i~n »»^ NL , de gtiootfte. 

o£ X X n^j\ — V^'^~^^ *• ^ ^^ • ^^ kleenftc. 
deze twee van elkander getrokken 

Rcftx|/.^p^«/ixLL, ofCP 

ofy.-^,— T«» 

4/» 



ft«aki 



ofj/.j^— j«»xCC, 't begeerde, 

20 des Cartes vind. 

Wy zullen hier byvo^en de vinding van het punt eener 
Kromme, daar hy een keer neemt in zyn bogt eer hy aan 
de Middcllyn k<mit , alwaar zulx gemecnlyk gefchiet. 

Gelyk in de Kromme van Stiffius , Pagdia 43 aangetekent; 
het punt D , die eerft , van A afterekenen, met zyn bult 
na AB toe gekeert was , in D vaandert , en keert zyn 
bult van AB af, gelyk zulx aldaar is aangewezen. Wy 
hebben wel gezegt dat D aldaar in de Kromme was als AC 
is gelyk fAfi, maar wy hebben de vinding daar van niet aan- 
gewezen: laten wy dan nu zulx onderdaan. 

't Is kcnlyk dat in dit geval , uyt een zelfde punt P , twee 
Raaklyncn tot de Kromme zullen konnen getrokken wer- 
doi, een tot de bult die na AB neygt , en een tot de bult 
die van AB afidet : of , zo D het keerpunt is i een die de 
Kmmme naakt tuflchen A en D, en een ander diehem raakt 
tuficben D en B. AP 



Van de Gröotstb en Kleekste. ^7 

bepaalt 



lengte, en dat 20 lang tot dat D komt in het keerpunt , wan- 
neer deze ongelyke AC en AC gelyk werden , of de lynea 
DC en DC in elkander vallen. 

2Lo moet dan, in de -fiquatie AP, of »oo^^^^=~^,ofz« 
— yczzoax—^zxx , de x hebbai twee gelyke leii^^ens , of 
woitelen, zal de jr aanwyzen het begeerde punt C 
daarom, Mz—^jczxtfx — iatx, gemulüpliceert 
met o 1 I X 
en ook met — i o o +1, 

ïohebbenwy — ycz^ax — 4XX 

enook — zaz co — %xx ^ 

doorwelketweetnenvind*x|^ , voor AC wanneer D m 
het keerpunt is . 

Deze omkermg der Bult heeft mede plaats in de eerftc 
Schulptrek van Kuimedes , Pagina 5 1 aangetekent ; waar in ^ 
van Qjaf te rekenen , cerft de bult van AB afgekeert is, en 
daar na na AB toe, waar door uyt een zelfde punt K , inde 
verlengde van AQ^aan Q^zynde, mede twee Raaklynenkon- 
ncn getrokken werden, gelyk Kinkhuyfen ook gedenkt, waar 
doorKL^ofNL, of AL mede heeft twee ongdykelengtens, 
welke gdyk zuUcn werden als C in het keerpunt komt. 

Laat ons nu ALooit ftellen in plaats van NL, zo heeft 

men op deze Kromme 

—aahh—xaah^—MXx+hhxx'^^x^^x^^^xyy^Oi 

hier door v'md men volgens de i Regel op de Raaklyncn 

xrr ^ iexjy . 

^Sy weg reducerende door middel van de gegeve equatie, 

men heeft KLx ^ ^^frfr^^*«+*«*-K»4 • 

De Teller en Noemer "beyde delende door fr +*» 

menheeftKLx^i^i^^^ff^^^ 

men heeft AKx *^"'"*7r:r''' ^^ 

of2Afft.«r+ oêxx — bx^ OQ aabv + x^v 

i X 3 ö 3 
—X —I 0—50 

komt ^aabx^^aaxx—^bx^:!o +3*»tr 
en — 44tf*x— saxx ao — j^atv 



*8 HbtIBokk, 

door deze twee ^qmticn de vw^ genomen, men Beeft • 

—^bxt—x^-i^xaabb+taaBx—Mxxooo 
i+x ^ .-___^_^__ 

of — XJ — ^bxx'i^zaabcoo 

of .^'oo3Wz+i^_xii,de 
«idanis»oox+if> dat IS zxNL 

Qm/fruffif. Hebbende in 
de verlengde NO aan N 
genomen NVgelvk NA, 
en in de zelve VM, ter 
rcchtcrzydevan V, VM 
20 lang ds de derde even- 
redigetöt NAenAQ-en 
NQ rechthoekig op NO 
gehaalt 20 lang als VA , 
en gemaakt een Parabolc 
waar van dat O de Top 

is,NOdeAs,enNAdc 
Rechtezyde; en ook een 
Rond uyt M door O ge- 
trokken , fhydende de Pa- 
rabole in P,en gehaalt uyt 
P een rechthoekige door 
AQj dczedeSchulptrek 

-Mders. Indien men dow de iEquaric "-^ «. 

11 t^ —*\~^xx+iaaB 00 o, 

WW^5/^ Schutptrek,de termen ~Lb en + :^ 
het komaiac door xx divideert , 20 heeft men — .•. BbI.^ 

^,, ofjïJ'» j55 + 44+ liBx, een ParaBok , 
waar van AL K de * , enLCder: dies vind men hef ««♦ 
Cmede aW deze Pambole de sJhulptrek ko^%^ 
Deze werd befchrcven uyt R als Tod od R A ,.lc a^ 
Hnual NA als Rechtezyi:vindldel'nS^^^.'^ 
en makende SR ooil!, of 4 VM. ' * 

Nog Mders. Door deze laatfte iEquatieis aioo^ ■«« _ i -^je 
+7/ (mcti^gemultfpüccertl di^'^J^T^^ilVj^y 

dit 




Van de Grootste en Klbemstb. ^ 

dit laatfte geftclt in de iEquatic — xi — ^ixx + tasB oo o ^ 
in plaats van zaoBjuomt — x^ — ^bxx — b^ — ^bBx + 2byy x o, 

of xi -¥ ^bxx + ^bbx + bi 00 zbyy 

of(zoojr+iooNL) z5 oDzbyyj een Parabolcvan 
het tweede geflagt , waar van de Ciibiquen der Applicatcn 
evenitd^ zynmct de vierkanten van defntercepten, wiens 
Rechtezyde isootJ^j dat is gelyk NO , welkers Top is N , 
en As NO. Deze gaat mede door het keerpunt C ; maal- 
leen van deze Schumttek, maar ook van alle andere 'die N 
tot Centrum , en AB tot R^el hebben , om dat de qiiantiteyt 
j> dat is de lengte van AQ, in deze iËquatie niet ingefl(v> 
ten is , die overzulx mag genomoi wei-den na beheven. 
T c dan een andere Schulptrek wezende, waar van Nmede 
het Centrum , en AB de Regel is ; deze de cezeyde Pani- 
bole (hydende in c, zo is ^ het keerpunt van <£zc Kromme. 
Siet hier van Slufius Pagina 1 19 ^ ixo ^ 121» 



Ij 



Std- 



fO HEtlIBoSK, 

Stelkunftige Ontknoping 
Het II Boek. 

Van de 

KROMLINISCHE PLAATZER 

I Deel. 

Panding van de Krmlifdfche Plaat zm. 

DE vinding dcf Plaatzen, tygentlyk genomen, isby 
ons niét anders als de Ontoinding der onbepaalde 
iEquarien , waar van de onbekende hoegrootneden^ 
rechte lynen afbeeldende , met een gegeve hoek aan een ge- 
bonden zyn. En gelyk het van een laftigc arbeyt zoude we- 
zen , Regelen té vinden , waar door men de bepaalde ver- 
gelykingen zoude konnen oploffen , c(ie hoger opklimmen 
als tot die van vier Dimènfien , zo zou het ook in deze on- 
bepaalde zyn , indien men daar in verder wilde gaan als tot 
die van twee Afinetingen : en hierom zullen wy ook alleen- 
lyk de Plaats léren vmden van yEquatien waar in de onbe- 
kende maar zyn van twee Dimenüen. Wy b^innen van 
deze , om dat die van een Afmeting , waar in de Plaats een 
rechte lyn is , airede verhandelt zyn in onze Inleyding tot 
de Wiskunft Pagina x6^ : ook is 'er alree iets gozegt van 
die van twee Dimenfien Pagina 54^ ^ dog alleen van zoda- 
nige waar in de Plaats een Kring is. En om dat *er nog 
verlcheyde andere vergelykingen zyn , mede van twee Di- 
menfien ,. waar van de Plaats valt , of in een Parabole , of 
in een Ellipfis , of in een Hyperbole ; en om dat , deze drie 
Kromme daar by nemende , men de plaats heeft paflende op 
alle zodanige iEquatien , zo zal 't niet ondienftig wezen de^ 
ze hier ter plaatze nog te verhandelen. 

Op twee onderfcheydene manieren kan men dit verrich- 
ten ; een waar in men alles vind zonder eenige ftudie , toe- 
ftellende op yder geval van de gezcyde Krommelynen >Equa- 
tien i waar door men dan niet anders te doen heeft , een 
iEquatie hebbende wiens plaats men begerig is te vinden , 
als een iEquatic op te zoeken uyt de opgemaakte/ die met 
deze overeen komt in Termen en in Tekens j en deze met 

elkan- 



i » 



Van de Kromlikischb p-tAAtiBW." 71 

elkander vci^lykendc , zoeken de hoegrootheden van de 

3uantiteytcn die afbeelden de lynen dewelke nodig zyn tot 
e opmaking van zodanigen figuur , die pft op die i£(]|ua- 
tie waar mede men de zyne vergeleken neeft : maar dit is 
een Methode waar toe men van noden heeft die Schriftxw 
waar in deze iEquaticn en figuren vervat zyn. 

De andere manier heefi: meerder opmerking van noden : 
K vind de gezeyde lynen , die tot opmaking van de figuur 
dienftig zyn , met x , of > , of iets anders gclyk nul te ne- 
men , of ook wel M ofy gelyk aan een bef»alae quantiteyt 
te (feilen , gelyk in 't gevolg zal blyken. 

Beyde de manieren zyn wy voornemens te verhandelen : 
om reden dat de eerfte kan dienen om de begeerde plaats te 
vinden op een gemakkelyke wyze , wanoeer men juyft niet 
gcdilboneert is om. de tweede te gebruvken ; en de tweede 
om dat men als dan aan de voornoemde Schrifture niet ge- 
bonden is i en ook om dat het van meerder achting is een 
zaak te verrichten by wyzé van vinding. 

De eerfle hebben wy wydlc^g verhaidelt in onze par- 
ticuliere Algebra : maar om dat dit Boek niet wd meer te 
bekomen is , en nu niet licht j;al herdrukt werden , omdat 
de Inleydingis uyt^koipen, daarom zullen wy , tot voldoe- 

nvan die geene welke dit Boek niet hebben, die Metho- 
ier wederom verhandelen , dog zo kort, en echter ge- 
noeg tot verftanii^, dat het brv na geen plaats in dit werk 
zal bdlaan, en by gevolg dat net alseen toegift kan aange- 
merkt werden. 

I. Hoofdstuk. 
Vmdkig der plaat zen door of gemaakt e ^^quatien. 

Tapel -vaiide iEojATiEN 
op de Kegdfiieeaen 

ILooJ^r, vervolgende na de rechter zyde op +*", 

en na de linker zyde op^^if^ 
ÏjC 00 jr , opwaiuts lopende voor+>, en 
neerwaarts lopende voor — y^ 

f deRechtezydb 

Op 



7* 




I. jr 00 ±y . rx 

n. yo:y±y.rx 

in. jraoiV-*^-^ 
IV. yGO±v^. t*-* 



H E T II B o B K, 

Opdc Par abole 

In deze is M de Top. 

I . als Jf , of IL is de Middellyn 
cnjf , of LC is de Applicata 

de Top de Parabole omlopende 

. : M /Il •...*..•• I I : na de rechter zydi 

rx : M ter rechter zyde van I : na de rechter zyde 
rx: M ter rechter zyde van I : na de linker zyde 
r/ : M ter linker zyde yml: nade rechter zyde 




a . als flf , of IL even wydig is aan de Applicata» 
cnjf , of LC evenwydig is aan de Middellyn 

de Top de Paraboleomlopende. 

V.xzo±y.ry : M iif .*• I: cpviearts. 

VLxoQ±y.ry — rs: M iaven I: cpwaarts. 
VIl.xoo±y.rs — ty: M boven I: neerwaarts. 
VIII.Aroo±|/. ry + r/ : M onder I: opwaarts. 

» _ _ 

Op de Ellipsis en het Rokd. 

In deze is M de Midftip, N en Q de Toppen. 

C MN, ofMQoo^ 

In het /?(?»</ is ILCi?/^*/, carcotf 

X, of IL is in de Middellyn, en 
y, of LC is de Applicata. 

de Midftip 




J00±|/. qq — XX 

n yoo±y.lrq—^^+^x ^ ^^xxiEWi^is ^M ter 
y', flr^'— jx+a/;^— ., ^xi^nd—lzydey 



MIL yo^±y.irq 



rts 



— X — ^ jtjr : Ellipfis "j 
*^ ^ x« : Rond— J zjrifevan I. 



rechter 
vanL 

M ter linker 



JfX±y. J^ SS — zsx — 

IV. yoQ±y. rx — '-XX : EUipfis -» M ter w*/^r 

IL^. :Rond-.C2y*vanI,ai 



JfXiy. 2JX XX 



deTopQinL 



Op 



Van de Kromlikische Plaatzek. 
Op de Hyperbole en de Middellyn. 



75 




ij^MN 




^ In deze is M de Midftip , N en Q, 
^ de Toppen. . 

MN , of MQx q. 

I. Als^, of I L is in de Midddlyn, 
en y , of LC is de Applicata. 
de Midftip 

:M/»I 




l.yo:^iV.—{rr¥^xx 

n.jfCX)±V''— ï''3+57 — 7 ^+r;*''^: M ter recbterzyde van I. 
ni.jfao±y,— irj;4-rJ+7 ■^+i^^^-^ ^^^ Hnkerzy ik yznl. 

I V.>3o±l/.— ^*+r ^"^^ : M ter rechter zyde van I,enQ/ii t 

V.jfoo±V.+ ''H-— -^-^ . • 'M texlinkfr x-j^ife vanI,enN wL 

X. Ak 4r , of I L is evenwydig aan de 

Applicatajopende door 
de Midftip , 
oL cnjf, of LC is evertwydig aan de 

y/^ "nL Middellyn. 

/ \ deMidftip 

VI.j^CO±y.??+-^'^Ar :MmI. 

VII.jfGO±l/.??+~— *^'^+l**''*^= Mterwj&^^ajy^vanl. 
VIII. yoD±V^qq+^+^'^+Y^^ • ^ ^^^ linkerzyde vanl. 

Op de Hyperbole en zyn Ajymptoti. 

In deze zyn MD en MT de Afymptoti ^ te zamen komende 
inM, de Midftip. 

» 

MT Go^ > is in de eene Afymptótus 
TN GO w , is evenwydig aan de andere 
Afymptótus. 

I . Als x,ofI L is inde eeneAfymptotus MT. 
enjfjof LC is evenwydig aan de andere 
Afymptótus MÖ. 

de Midftip. 

Ï-J' 30-^ • M % •.,•..!: Taan d^^echterzydeymïM. 

D' J' 00 ^ : M ter rechiet zyde vin f: Ydsxa de rechter zyde vnri M. 




Dl.jfOO^: Mter //»^^r zyrffvani: Taande r^rk^rzy *variM. 



»4- 



^- J' 00 ,-ir;. • M ter rechter zyde van I : T aan de linker xyde van M. 



74 Het II Boek, 

2. Als^joflLisevenwydigaande cene Afymptotus MT^ 
cnjf , of LC is evenwydig aan de andere Afymptotus MD. 

deMidftip. 
V. *• oc>y^ • Min . . . I : TN opwaarts. 
Vl.^ODyrr;t Mbovcnl: TN opwaarts. 
Vn.^'GO^^: Monderl: Tli opwaarts. 
Vin.*X,^: Mbovenl: TN neerwaarts. 

Hetgebruyk van deze c/Equatien. 

Heeft men een gereduceerde ho^oochdt , wiens Plaats 
dat men b^eert te vinden door middel van de aangetekende 
i£quatien en Figuren waar <^ ^y paflètt, als 

hebbende jfX 4-^ ^ — »±l/.frfr — cx'^-^xx^ 

20 zoekt een iEquatieuyt de aangetekende, diemethetSur» 
difche van dit overeenkomt in Tekens, in Termen, en in de 
Dimefi/lm van x , men vind 



JfC0±y.-ir,+V--7*+^ 



XX 



Het II geval van de Hyperbole op deMiddellyn, waarin 
X loopt in de Middellyn, en> de Applicata is. 
Qm dat by de g^eve iEquatie is een Radonalequantiteyt 

+ ^ x^^n, en dit de plaats is van een rechte lyn, zozoekt 




iQrftdjóe(Ahetb^¥aa;r^ ABx^» cnBCoo>) nemen-^ 
dcAHso^i HR» evcowycIigBCp oo^} KGqpi», neer« 



Van de Kromlinische Plaatï^em. 75: 

waarts^ en getogen door G een gelykwydige aan AK , fhy- 
dende de eyénwydige aan BC , door A getrokken , in I : 

io is deze IG de pbais van +-^- — n , hier afgebeelt wer- 

dende door BL. Deze IGL is dan de Middellyn van de be^ 
geerde Hyperbolê. En om dat deze Middellyn niet die lyn 
is waar in dat de x loopt, maar een andere , diecygendyk 

afgebedt werd door y ( AK»* fteUende) «> moet «en 

in de iEquatie uyt dp Tafel , in plaats van x, die daar in de 

Mkidellyn is, ftellcnV^, 

mcnheeft>a)±y.-ir4+I^-:-~^ + i7^ 

Nu de vergelyking doende van de gelyknamige Termen , 

men heeft ^—4r?xW:';yxr: en^^^aof. 

Drie .£quatiea iynde , waar door men heeft te vinden 
drie onbekende x, ?^ r , welke dienftig zyn tot de making 
van de Figuur, De icdu6tie doende , men vind 

X, oflMoo;^: ^ 

enr,deRfiditcryde, co '7^1/.^-^, ofx'-'^ 



etv 



En om dat dit tweede geval aanwyft dat M valt ter rech- 
ter zydc van ï , zo moet men , in de Middellyn IL , afine- 
ten IM , terTechter zyde van I , zo lang als ^ j en dan, 
in de zelve Middcflyn , MN en MQ, ter rechter en ookter 
flinker zyde van M, ydcrzo lai^ ^'^V-'-^—*-T' *"**" 
fchryven een Hyperbolê door N als Top , op KI ak Mid- 
dellyn, met NIAalsbeweeglyke hoek, met NQ^als'Dwar- 
fe, en met t^V-'^-T^ ^"'^ Rfichtezydc (ofdie*)t QN 
is als Alt toteev) en ook zyn tegcngcftclde : deze ijcydè zjrn 
de plaats van het puntC , pai&nde op de^egcvc Mtpaüe , 
wanneer '-^ groter is als ^% of <:«» ^rooter als ^Wr. 

Maar ii^eval, dat iffeif groteris , als «y, oF^gwtcrals 
"-^, zo moetJnon de vergelyfcii^ maken met 

Het VII Geval vandeHyperbole, in de welke d<j xcven- 
wydig loopt aan de Applicau, en door de ,^4idftip♦ <cnde j> 
ewcnwvdic aan de Middellyn : of cygentlyk met 



7« 



Het II Boek 



iü 

tff 



««f 



JTjir, 



Stdtendc — voor x , om reden als voren : 20 hebben wy 
daar door vind men 



ƒ, oflMoo^, afe voren: 
j, ofMN,ofMQ;Dl/.W 



t€9 



♦ » 



enr , de Rechtezydc , 00 TTrV'^^^'i^' ^^20 



«4« * 



Nu moet 4^^/ groter wezen als ^rv. 




Genomen hebbende 
inIG , ter rechter zyde 

vani, IMx'^^; za 

haalt door M een even- 
wydige aan HK , daar 
in nemende MN en 
MQop en neerwaarts^ 

ydei' C30|/. bb 



ccv 



41 



dan befchryft door N 
en door Qals Toppen, 
Hyperbolen,waar van 
de Rechte;&ydc is 



hebbende AIL voor 
beweeglyke hoek : 20 zyn beyde deze Krommclynen de plaats 
van het punt C , paflcndc op de gegeve equatie wanneer 
/^bt groter is als ccv. 

Is gegeven jf 00 + -^ 3>f — «±1/. — bb+cx — —xx. 
Zo moet men. het Siurdifche van hen vcrgelykcn met het 
n geval van de Ellipfis: en daar in '^ (lellende inplaatsvan 

X y men heeft 

y30±|/. jrf— — +— ^ — -^^^^: en daarom 



»f 






\rq—'i'^ZO—hb:- oor: en— ^xv 

• j ecvv 



tcv 



hier door vind men xoo 4^, 






♦« 



€$U 



En, 



Vandc Kromlinische Plaatzen. j7 



■ 




^ En , om dat M , in 
dit geval , moet geno- 
men werden ter rechter 
zydevani, zoontfengt 
de F^nr een gedaante 
als de nevenftaande 



zo moet men het Surdifche, hier 
van , vergdykch met het IV ge- 
val van de Parabole : daar in Hel- 
lende ~ in plaats van x , zo heeft 
men ƒ C30±l/. r^-4-^'x : en om- 
dat men dan heeft rs:x^bb ^ en 
"7 GO r f zo vind men / , of IM 
00 77i en de Rechtezyde r co y** 

Om dat de Top M moet geno» 
men werden aan de linker zyoeva^ 
I , en de Paraixde moet omlopen na 
de rechter zyde , zo geeft dit een 
Figuur van de ncvenftaande gedaante. 

Heeft men een equatie waar in xy is, en geen jy r zo moet 
men ben divideren door alle het geene met y gemuHipliceert 
is y zo lang tot dat' er niets overblyft als een bekende quan^ 
tityts en dan vind men y x ^^ ^^^ Rationale hoegrootheid. 

Hebbende xy + cy oo-j xx — nx-^—x — cn'+dg 

zo moet men hen divideren door x+c^ en dan bekomt men 
de volgende iEquatie. 




Isgegeven>x-7TV— «+7:^,, 
zo moet men de Breuk -j^ met -—-^ veigelyken , zyndc 

het in geval van de Hyperbole opde Afymptoti, of eygent- 

lyk met t"^, ftellende -^ voor x , om reden -hier vorm 









gezegt , of met -^— ^pj ien multiplicerende met ^i, endividc- 



rende door e , op dat « geen bekende by zigbebbe. 

K 3 



wr 




7$ H I T II Bo E I, 

Wy hebben dan i 30 -'f- 

•+^ •+' 

zoisdan-^'x*"» en ^twx-è: 

of/3o-7,en*».33-;4r- nemende van deie 
t3D V» »>iswao ƒ. 

Hebbende gevonden IL, de 
Plaats van +-i *■— ..zoncemt 
daarin, na de linker lyde , IM 
X7-, en trektdoof Mcenevcn- 
JTKligfaanBC: zoïvnMIcn 
ME de Afymptoti. Dan meet 
af, in MI, van M na de rech- 
ter zydc , MT za'-i ; en trekt 
,. ,,_ , , "ytTderechti:TN,evenwy- 

digaan ME, zolangalsj: 20 is Neen Punt van de Krom- 
me , waar door men een Hypcrbole moet befchryven , en 
ook zyn iMengeflddc , mits dat MT en ME de Afvmp- 
toa lyn. MinTiadde ook MT en TN yder konnen nim£ 
aoy-7 i^, en dan 20U N de Top wezen. 

Bteftmtn ten Mquat'te waitr in xy is ^ enmk yy geen xx 
zokf «»" tn J"lm dmr all, bel g,mi m,t « gmullï. 
plictirl IS, zo lang lot dafir nitts nirblyfi als ial gihtil 
blkim IS 1 en Jan mnjan X gelyi, aan ei, Rationale g„an. 
titeyt. ^ 

Is gegeve * X +-f » — « +^^ . 

Zo moetmen de Breuk ver- 
gelyken met het VII geval 
van de Hypeibole op de A- 
fymptoti , ectft voor y Hel- 
lende ^ , én dan y door ic- 
du£tie vanhetbekendeweder- 
om ontblotende , men heeft, 

*0[>-^—^: dies is:i-'x',en 



•—kgt 



Van de Kroiilikiscre Plaatxek. 79 

-tfe»a>^: of/ aD"T-voorIM:-7-i co ^nemeAdc, waardoor 
iloo-7- is voor MT, 20 is «loo^ voor TN» 

Is'er geen *• , of geen y in het Radonale ^ dat de plaats va» 
de rechte lyn geeft , zo heeft men geen herftelling te doen 

om voor x , of voor y te fteHen ^ , of ^ : men vergclykt 
fl^tsde eelyknamdge Termen met elkander ^ en daar door de 
onbeken^/, f, r gevonden hebbende, zo handdt men daar 
mede als voren, ellende I in A wanneer men geen plaats, 
van een rechte lyn heeft. 
Had onze eerue iËquatie gewodd 

oijrco ±y»W — fx^~xx 
en men hen vergeleek met de vorige 

zohadmen— ^rf+~ooM: ~cd^: cn—cov- 

Endaardoor zou men vinden /Xrr> jooV-^rf— — 
en rnn -l/.^~r' r^* dcze dan nemende als voren, men 

vind het b^cerde. 

En om éa. hier in niet nieuws is waar te nemen, maar 
dat men alleenlyk iets heeft na te laten, zo vinden wy geen 
leden om hier van meerder te zegden , en derhalven zuUeii 
wy afkorten. Wil men zig echter m deze Methode nojg ver- 
der oef&nen , ia het volgende Hooftftuk , en ook m het 
tweede Deel van dit Boek zullen daar toe Voorbeelden ge- 
noeg te vinden zyn : en om dubbelde vergeno^ng te hdv 
ben , men nemen hier toe de j£quatien van Carteuus, aan- 
getekent in het b^in van zyn tweede Boek , g^vondenop 
bet werkftuk van Pappus als*er vier lynen gegeven zyn» 

IL H o o F T S T U K. 

ymdk^vandePhatzendaor Xy of jf af iets m^ 
ders gelyk nul té nemen^ cf geljk aan een be^ 

faalde quantiteyt. 

Hierin zuIlengeenwettenofR/^len voorgedragen wer- 
den; alleenlyk zal men zekere wyze van vinding ge* 
bruyken» dienienzalkonneayéribnnwanneaiiuDureen^ 



8o 



Het II BoÉK 



1 



IA 

m 

m 

i 

t 

/o 




wcj^ge Voorbeelden omftandig verhandelt werden : daarom 
zullen wy ons veigeno^en , met maar een Exempel van yder 
fbort , op deze wyzc te ontbinden. Wy zullen uyt de gege- 
ve iËquatie alles vinden , niet alleen welke Kromme op zo- 
daniccn vei^elykii^ paft , maar ook de punten en lynen wel- 
ke dienftig zyn om hen te befchryven , als de Top , of Toppen, 
de MidddUyn , en de Reditezyde , en de bewe^lyke hoek , 
of de hoek welke de Toe^epafte met de Middelyn bepaalt. 

Wy zullen , even als hier voren , het moeylykfte cerft by 
der hand nemen, dewyl het echter licht zal Konnen veiibaii 
werden, door het onderwys daar bygevo^t : de andere, lich- 
ter zynde, zullen dies te mmder uydegging van noden hebben. 

Algemeene Voorberyding. 

Treki een onbepaalde rechte lyn AB , . 
en door deze, ter rechter zyde van A , 
een andere onbepaalde BC, makende met 
^_^^ dè eerfte een hoel^ ABC gelyk^aan de hoek, 
begrepen v/m de lynen x eny: 

Aanmerkt ABco *• , en BC ODy f 
wiens lengte wy moeten zoeken in ver^ 
gelyking van dat de lyn x zo lang is 
als deze AB: Aanmerkt ookS^AO voor 

een evewwydige aan CBC 

Indien men een ^Equatie hadde , dewelke gcrcduceert zyn- 
de, voortbragt 

yOD+^x—n±y^.rrsx + -^xx. 

Dewyl de^ is co +-^ ^ — «dt-Zcnz. , zo zoekt eerft de 



BCxjr 
AHoDq 

KGc3o» 

AKco^ 



plaats van het Rationalc +iAr~», nemende AHoöj^» 

HKao/>, evcnwydigaanBC, KGco», en GI gelykwydig 
aan AK : zo is IG de plaats van het Ratiooale, of BL is 

C0 + 




Vande Kroiilikisghe Plaatzbn. 8i 

^j^-i^x — ffinvergdykingdatABisx^: dies moet van L 

tot aan C zo lane wezen als hetSurdifche ; op en ook neer<- 
vraarts , om dat iJet een 4- en ookeen — is. 

Omdenatuur vande Krommete kennen, waarinhetpunt 
C zal moeten lopen , zo laat ons eens ftellen dat dit (urdi&hc 
g^lyk nulis : danvsdt C inde lynlG : dit doende, zo isook 
zyn Vierkant , of 

rr—sx-^-^xxoDO 



o£xxzD+^^ — 

of ^00+,^±V-,,, , 



vt .. vrr 
t 
vvst vrr 



daarom, genomen in AB, om dat x in deze lyn is, AË 
co ^\ aan de rechterzydc van A , om dat het een + is, en 
ER ETydcrooV.^— ^', ter lechtn- en ook ter flinker- 

zyde van E , om dat dit een-f- en ook een — is , en gehaalt 
RN en TQ^,beyde evenwydigaan BC , tot aan de verleng- 
de van IG : zo zyn N en Q twee punten van de Kromme, 
en ook van de rechte IG , waar m C zal komen te vallen 
wanneer ÏX is xo, of wanneer B isin ReninT* 
Voorts, dcwyl BRis OD—x-^ IL^^.-^^^Ji^ 

_ nrr« . vi / Wis vrr 

Verm. 

ZoisdeaRBTco+^AT— ^x + ^'^ , even de zelfde 

.Quantitytwezendediehiervorenooois, dat altyt zo zal moe- 
ten volgen , om dat het bekende in BR en in BT de wor- 
telen «zyn van deze hoegrootheit hen co o flellende : maar B 
buyten R ch T zynde , welke hier boven daar in viel , zo is 
deze quantiteyt geen nul. (wy zullen dan voortaan befluyten > 
zonder deze M mtiplicatie te doen y dat ik CD RBT gelyk is 
aan de uytkpmjl multipHarende bet vierkgnt van het gegevejuv 
difibe met de Noemer van de breuk byxXj en bet produS deelen^ 
de door de Teller. ) 

Om dat de Q RBT is tot de a NLQ, als het Vieikant 
van RT tot het Vierkant van NQ* of als het Vierkant van 
AH co S^!7 tot het Vierkant van Ak x ^^ ^ zois dan 

L' (want 



SX H B T II B o B K, 

(wwt RB/ NU/ RT/ NQzyn evenredig, 
ook TB/ QL// RT/ NQ. 

venneni|[v. 



i»Wi^W^^^i ■ H > ■■■ ! ■» ■ <■!!■' 



, daarom ook aRBT/aNLQ//pRT/aNQ^evcnredig) 
dca NUijotdccaRBTy^— T *^^f aU #r tot w 

#f,dc CZiNLQtot 't ^D IJi^x — X jr + rr , als ^f tot ^ 

^^ ^QN 

of, als QN tot ff;f ,QN. 

dat is, als Lyn tot Lyn. 
Men ziet dan dat het punt C loopt in ccn Kromme , waar 
yan dat IG de Midddlyn is , pm dat LC onder en boven hen 
even lang moet genomen werden , dewyl het C<^cvc furdi- 
fchc zo wel een — als een -f- is . en waarvan O0X, Qjen ook 
N de Toppen sjm , hebbende deze cygc^öiap , dat altyd , 
AB giOQt o£ klecn nem^ide , de RedithèppTlLQ^is tot het 
VierkaiM: van IjC« «Is een lyn tot een lyn; en om dat een £llip- 
& , ^n ook fCH Hyporbole deze hoedanigheden hebben , zo 
lal het punt C dw moeren k>p^ in een van deze twee: ftaat 
dm te Qi)d^iK>ckeQ in welke. 

Dcwyl in ons gegeve Surdiiche is+-f xx^ daarom moet 
men ook in de CP RBT hebben + atjt ; en, om dat deze 
Rechthoek beflaat uyt de voipcnigvulding van RB met TB , 
zo blykt dat in RB en in, TB cfe Tekens van x even eens 
moeten vallen , pf beyde een + , of beydc een — : maar zo- 
danig is het ak Q is m de vertei^de van RTaan T, of aan 
R, on ander» niee: aan T, g[dyk in de fi^ur, zo hebben 
wy gn&ien dat in RB en odk in TB yder is oen -- x: ^lan 
R, M :^ RB weaea co-^-Jr^êcc, cnTaco+^+&c, 
dat ts in boyde 4-4f. 

SoeteoitaB tevaUmtuflSrhm R en T ih, zozal RB heb* 
hpd-^^t ennn&"4"^9 pfdeeerfte zal hebben ^x^ en de 
«weediB -««-«r; ^K*Mrdooir, inhaare yercnemgvuidir^ , komt 
-**^4r; iwi dM dit ni^ ka«| dienen tenzy dat men in het ge- 
geve furdifche heeft — xx. 

MoiiT^daa, heblKiQdie4«^>Arinhdtgogeveftivdi(che, dat 

B daflfc allec^rUyk iinoetwczïOft %i de verlengde van RT , of L in 

' de verkegde Yftn NQ^ £ftbjrgcvc%datdcKraawe^ waar 

in 



I 



VandeKROMLiJriseRi ptAATZEN. i| 
in ak dm het pont C loopt, am Andere is als een Hfptt^ 
bolc, wau:vanNQ^deDw»riciB,ofN«aQjdeTopijeö, 
en waar van3f|,,(^ de Rechtezyde is, als zyndc de fior- 
de enmcdige tot C3 QLN/ oLC/ (^.daarom. 



\ 



Mctor 




letX^ als Dwarfê, met AKH als beweeglyke hoek, en 

met ^jQ^ als Rechtezjde: zo Tal OQP^ nutsgaders de 

geheeletegengidbddenCNC , de Plaats wezen Tan hetpuntC , 
of van het onverknochte eynde vaa de lyny ^ paflende op 
— sx , gelyk wy in onze JExfüzuc hebben : maar het oneyn- 
dige van de eerfte Hyperbole , ter linkerzyde van OAO , pat 
lende op + sx: of op onze gcgeve iEqüatie als ^ een —is. 

Welvcrftaandeals^*"^— ^'tóeen+, dÊ^vss grooter islls 
4rr/; want, deze gelyxzynde^ zo vaUenbeydc de punten Ren 
TinEyofNenQJ^ejdemM^ofdeDwarieissao: jrzcude 

dan wezen CD ■+• 4- -^ — 9^±jsy^ q;:xy j^,o(dc]^È3iX:^V7n 
het punt C zoude wezen in een Rcchtdyn. 

Maar vss kteinder als 4nt wezcnde, 5K) i&V"^-^ T"*^ 
Aird y en daarom vindmeade ponten R en T als dan niet in 
AB j of de Toppen N en (^nfct in IG j of deze IG is niet 
de Middellyn. En, gelyk wy BC, ofdelyn^, hierboven 
genomen hebben evenwydig aaiï de Applicata, zo Iaat ons 



w-^^ 



^»- 




84 Hét II Boek, 

cem onderzoeken , of wy dan het b^eerde zullen konnen 
vinden, als wy BC, cfy gdykwydig nemen aan de Mid- 
dpllyn. 

Laat dan de onbe» 
paalde em , evcnwy- 
dic aan BC , de Mid- 
dcfiyn wezen van de 
Kromme wiens Ap- 
plicata CP evenwy- 
dig is aan IG , waar 
door dan mPis gelyk 
LC. ^ 

Om in deze Mid- 
dellyn em de Toppen 
te vinden , zo ftaat 
hierop teletten^ dat 
C in aeze Toppen zal 
vallen als LC op zyn 
langfte is, of op zvn korfte: opzynlangfte als LC de holte 
ftoot , en op zyn Korfte als hy de bul t ontmoet. 

Zoisdany.rr — sx + '^xxcoky degrootfteofklcenfte. 

: — ^ 

01 X o progreffie 

Verm. komt — sx'ir^x^ODO^ ofjiroo^ 

AlsmendaninAB, afinectAf co 77-, ter rechtenyde van 

A , zo valt C in de Top als B in f komt , en by gevolg C 

mede in de Middellyn : daarom , getogen e m Évenwydig 

aan BC ; zo is deze em de Middellyn. 

Ni», dewyl Cinem komtaIsLvaItin;9v,of B in r, of als 

^iscOT; • daarom -ygeftelt in plaats van ;rinLCco±|/.rr 
— sx+^xx^ men heeft LC ao±|/.rr— ^VannccrLin 
M 9 en C in if en ook in q komt. 

Hia- uy t ziet men dat rr gooter moet wezen als ^ , of ^rrt 
grooter als vis , hoedanig het nu ook genomen werd > en daar- 
om kan dit geval ons nu ook dienen. 

Aan* 



Van de Kromlinische Plaatzekt. 8f 

Aanmerking. Denxyl men ziet , dat men door Middel vm de 
Progrejpe te gebruyken , niet mders vindy en ookj^iet anders kgn 
vinden ^ om dat da bekende Term nootzakelyk^ moet 'weggenomen 
wrdeny en bet eenMquatie is van tnvee dimenfien, als dat x de 
helft is van bet bekende der tweede Term , de hooft term geen be^ 
kende by zig hebbende ^ en om dat wy deze helft air ede hadden^ 

zynde het nationale van x:x^+^^±y,^ — ^^ dat is dexje^j. 

daarom , alsmen ziet dat dit furdifche ab(urd is , zo heeft men 

flegs het Radonale 77 te ftellen yoor x in het gegeve furdifche , 

of in dat furdifche het welke de lengte van LC vertoont, en 
da» zal men het zelfde vinden dat men bekpmen zoude deprogreffia 
gebruy kende. Wy hebben dit V L. voorgedragen ^ om dat wy van 
meening zyn ditJaatfte veeltyts te gebruyken, om dat het korter 
is y hoewel het niet kgn verftaan werden zonder het eerfte. 
Voorts zyn evenredig , 

pBf xx—^•x + '^|UCVHUAHqqlUAXiee. 
^ 1 V 1 

qqi y ^^i 

of, als »WJ^»»Ï- 

Iht^xx — /x-f-^dcCDisvan qV met P»,blyktom dat 

hctzogrootisalshetD vanLC, of van w F cd^ ^x — sx 

•4-rr, minrr — ^'co'tDw», ofmq. £n daar uytblykt met 

cenen dat P is in de verlengde van qn. 

En alzo zien wy dat het punt C zal lopen in twee tegeD* 
gefielde Hyperbolen, wiens MiddeUyn is em. Toppen n en 

f, of wiens Dwariè is nqo:^!^. rr — "-ii, wiens beweegly- 

ke hoek is CPff, of AKH, enwiensRechtezydeis ^,«9, 

G^cvenzyodejr X -f* — tiiy» — rr+zx-^-f «f. 



L 3 ABx« 



86 



H K T II B.O B k^ 




AB x** 
BCx> 
AHcof 
HKoo/> 

AKoor 



IGde plaats van het Radonale wezeode, of BL gelyk hoc 
Radonale, zo moet dan LC wederom wezen gelyk ha fur- 
difche. 

LC voor een Applicata nemende , zo is IG de Middellya 
Om hier in de Toppen te vinden, zo Iaat ons wederom UC, 
of het Surdifche co o nemen» waar door wy vinden ^ hen 
door het bekende by xx gevoegtdelende ^ 



vrf 

f. 



Diesnecmt, inAB, ter rechter zyde van A, AEcx) ^^cnER 
öokET, ter rechter en ter flinker zyde van E, yderao|/.^' 
— !Z.% engctogenEM RN TQ.,,alleevenwydigaan BC, 

totaandcMiddcUyn: zozyn Nen Q^dc Toppen, waarvan 
M bet midden is. 

Dcwylwy mi— ^;^jr hebben, «ngccn+, ïozalBtut 

fchen T en R inmoeten vallpn, en niet daar bityten , opdat 
de zn TBR mede —xx heeft; of, opdat in BK en in BT 
de * van oi^dykc Tekens zyn. 

Want dan is BR 00— ^-f 77 +|/ &c. en BT 30 -f- -^ 
— jf+y&c waar door deC3TBRisoo—^^+rAf^r.'. 

de quandteyt hier even gevonden , deelende het vierkant vao 
het fiini^he door faet bekende by xx gevo^* 

Voorts zyn evenredig, 
a NLQ/ a RBT— Arj^+7-x— 7^//D AK^r/DAH j? 

of,a NLQy D LC —{ xx-^ Sx — rr // te/ 



te 



of, ak NQ/ 



Hf 

— NQ. 
waar 



Vandc KitOMLiKiscns Plaatzen. 87 
waar oyt wy zien dat bet punt C lal lopen in een EUipfis, 
daar van dat NQdc volftrekte Middellyn is , en Jf;,NQ^dc 
Rechtczydc , welkers bewccglyke hoek is AKH. En dezA 

Schcek Kromme zal de plaats wezen van het punt C , pailènp 
c op de Tfckens van de g^eve iEquatic. 

Men zoude konnen denken of niet wel ^' giMer zoude ken- 
nen wezen als^, of rr groter als^', en dat men daarom^ 

even als in de Hyperbole , wel mogte onderzoeken , of niet 
wel het punt C mogte lopen in een kromme welkers Mid- 
dellyn evenwydig is aan LC : maar dit zal in deze niet ge- 
lukken: daar gefehiede een omkering in de Tekens, maar 
hier niet: im, de halve Mkidellyn, zou men dan vinden 

CD y ^' — rr^ waar door zig de zelve fwarigheit opdoet. Maar 
het g^eve Surdifche wd inziende , zo zal men bevinden dat 
daar in rrkleender zal moeten wezen als ^, of dat anders het . 
gegevc Surdifche , ofde^inhen, abfiird is : want , /x*> 
vco5> enxoo^fteücndctc wezen, zozal^'zyno)!?!: rr 
dan «r/«^tfy aki 31 nemende, by voorbeek cd 9 , zovindmen 
doorhctgcgeveSurdifche*'X4i±V'.acM: — igi, datgoet . 
is : maar rr grotertk 1 3; nemende , genomen cd 1 6 , zo vmd- 
nicnroo4j±V-*oi— a4,databfm-dis. Zo dan LC co enz. 
is voort gekomen uyt een Voorftel dat niet cnunogelyk te 

folvere» was, 10 zal in LC de rraltyd minder wezen als ^, en 

by Ktvolg zal ons boven gievoadene het begeerde voldoen. 

Wy hebben dan fflszien. 
Is in het Surdiicbe van de g^eve iEquatie 

4»jrar, zo is de Kromme» daar C in loopt, eenHypirbêlc 
cn<->4rx, zo is de Kromme» dbarCin loopt, ccnEUipJif, 

Wy bebben ock bcvooden 

dat de Hechte zyde is X J*;,QN : als jf de Jtpplicêta is, 

cncD^,(^: ^ j^ evamfég éBm Sê 

MiddeUyn is. 
Aanmerkpig. Dewyl men vceltyts zeer gemakkclyk oen 
THint van de Kromme kan viaden , behalvcn de twee N ca 
O waar in de Topnni vallen , wanneer in het gegeve Sürdi- 
fcSccoa bekende Term is, aangedawmethet te£en4-: en 
ooadatmeo dan daar door fHB^sutf die aytickcawg waar do^ 

sncn- 



8S He r II B o k k, 

men de quantiteyt vind welke de Rechtciyde bepaalt 
( hier even aangetekent ) allccnlvk maar zoekende de Top- 
pen N en Q, zo mcenen wy u I geen ondienft te zullen doen, 
met een Werkftuk u 1 voor te draaeen , waar door mende 
Rechte zyde Meetkundig vind , de voomoebde Toppen 
bekent z^idc , en uyt dit punt van de Kmmme , dat wy 
O zullen noemen , . een Applicata OI op de gevonde Middel- 
}yn halende. 

WERKSTUK 

VauemHjperbdUy mookvanemEUMs^ beydedeTofm 
ftn en cm punt van de Kromme bekent zynde: de 

Rechtezyde te vinden. 

Laat Qen NbeydedeTop-' 
pen, O een punt van de Krom- 
me, en OI een Applicata we- 
zen. 

't Werk, Neemt in lO, of 
in zyn verlengde , IS zo lang 
als IN , en trekt SWevenwy- 
di^aan NQ^ ftootende QÖ, 
otzyn verlengde , in W : dan 
haalt WV gelyk wydig aan 01 , 
ontmoetende QN 9 of zyn ver- 
lengde , in V : dan trekt door 
Q^een even wydige aan lO, en 
neemtdaarin, naOtöe, QX 
zo lang als lO: dan getogen 
VX , en, aan deze evenwymg, 
NZ , ftotende QX , of zyn ver- 
lengde,inZ : zo is QZ de Rech- 
tezyde. 

'tBtwys. Stellende QT co», NI»/, enIOcor, zois't; 

lOr IS / 0.1»? komt^ooQV; 

QV-^. QXr QN/T»? komtiïJLLLTxQZ: 

pat is, &, jde a QI, NI , beyde de Intercepten, tot rr^ 
het Dyande Applicata, als /T» deDwarfc QN, tot QZ, 

, is de Rechtezyde, 't geen enz. 

Is 




Van de Kr'omlinische Plaatzen. 89 

Is 10 in de Figuur geen Am>licata , als in de tweede Hy- 
pcrbole , 20 haalt 'er een uyt O op de Middellyn (^ , en 
ilelt I in het punt daar hy hem ontmoet. 

Dat men gemakkelyk net punt O kan vinden / wanneer 
een bdkende Term , die + is , is in het gegeve Surdifche , 
blykt uyt de iEquatie op de Hyperbole , waar in LC oo |/, rr 

— /.y + -^jrxis:de^COonemende,zoheeftmenLC3oV'rr, 
of cor: omdat danB in A valt^zois L in I, en CinO: 
daarom lO zo lai^ nemende als f^» zo is O een punt van de 
Kromme , en lO is een Applicata. 

Wy hebben de iEquatien volflagen genomen , waar door 
alles in de opmaking van de figuur moefte waargenomen wer^ 
den dat kan voorvallen : hadmen in hen eenige Termen ach- 
ter gelaten j of zo men eenige Quantiteyten gelyk nul neemt , 
de figuren zullen eenvoudiger vallen. 

Is in de Rechtlinifche plaats , of is in het Rationale geen be* 
kendeTermj of is in deze»GOo; zoisKGcoo, ofGvaltin 
K, linA; of AK is de Middellyn : zodatdelynlG verdrwyn$. 

Is in het JRatianale geen Term die met x gemultipUceert is , of 

is in deze ƒ co o , waar door de Term-^ x te niet gaat, 20 is 
HK 00 o : K valt in H : AK is dan gelyk AH , of ^ x j', 
waar door de Rechtezyde is co -^ >QN , als y de Applicata is , 
anders co 7->QN. AK werd dan in de figuur niet gevonden : 

IG loopt dan evenwydig aan AB. 

Is Vr in 't geheel geen Rationale quantiteyt , of zynze beyde 
fienpooo ; veelpunten vallen dan in elkander : Q^ M , N , 
I, L vallenin T, E, R, A, B: alsdanbehoevenH, K, 
G, L, E, T, R niet gctiocmt te werden. AB is dan in 
plaats van IG de Middellyn \ cfAB is de Middellyn zelfs ^ en 
de figuur is merkclyk eenvoudiger. 

Heeft het Surdifche geen Term die met X enkelt gemultipUceert 
is , of is in deze x 00 o ; zo is AË cx> o^ of E valt mh^ en 
daarom is My de Midftip , in I. 

Heeft het Surdijcbe geen bel(ende Term , allecnlyk een die met 
X j en een die met xx gemultipUceert is : of is in deze r x o, 
20 zyn ER en ET ycter gelyt AE, en daarom valt T of R 
in A, en de eene Top QofN is in I. 

Alle zaken zynde welï^e zig in de Conftru&ie van zelfs o jpen- 
baren ^ en hierom hebben wy het zo tér loops maar willen 

M indflg- 



^o H £ T II Bo k k) 

ittkgog msJccn : ïüUcii edicet hier tó tenige Voöïfcecldcn 
ftelkn t^^aat in dèw diftgcn Mlkft voorv^alleö. 
/f w het gegeve ^rMfibè g^en T^m iwfctfr hy M iV. of 

gegeven zyndejf 00+^ *•— »±y'.rf-|-^^. 

Hebbende door het Rtóomfege- 
voiiden IG , de Middellyn , 20 moet 
LC gelyk wezen aan het Sürdifche,. 

Dit Surdifche OD o nemende , om 
de Top ofToppen xt hebben , 

20 is rr+^xoöD 

of .VOO — Y 

Aanwyzende dattjer msar een Top 
tie vinden is ) en daarom kan <fe kixni)!- 
me^waar vmi IC de Applicatais,gectt 
Hyperbi^e , oi óok geen ElBpfis 
wezen , <Mmdat die yder twee Top* 
pen bsbbeA. 

Da)aiv>m, in AB ^ genömieïi AE 3Ö7 , aan de linkerzydc 
^PM A om dat het een — is , engetogenuyt E eenevenwy- 
dijge aan BC , ftóC^idG de veiflengde GI in M : zo is M 
een punt van de Kromme daar in G loopt. 

Voorts : dewyl evenredig zyn 

BEx4-v/I-M[ //AHj/AK^: 




?/ 



e^ 



waardoor^toLG^^-f^rrsöLM,^' is- 

ebt is , het Vierkafflt vtó de ApipS<siTa LC> geiyk^nde 

Rechdio* van -^ ïntercepte LM met -^ , «n bepaalde 

rechte: en dewyl dit (^ cj^enfchapis die een Aïr^*ö/f heeft , 
20 mag men bdlüyten dat het punt C zal wezen in een Pa- 
raböle , wièiis ^Top iS M ^ wiens Middellyn is MÓ , en wel- 
kcxs Rechuezyde- is ^ ; 4aar van dat AKH is de beweeg- 
lyke hoek 9 en LG de Applióata. 

De Rediüsi^nde .is dan ten vierde cvenrodbgè tot AK, 
AH , en s. 

Anders, «xx^o ncdieiidè &i het g^eve Sardiftbe ^ sx> is 
LC, oflOaor: daarom ge2x^ een ebde ci^nröd^ge töt 
Mi ai 10, men heeft de Rdühtezyde, 

Is 



Van de KRo.MttK]scH£ Pi,A atzen. ^i 

Is im bfit imdijck^ gem hekfnde Term , dat is in deze, is r 
oob 9 zo is ook AË xo; (^ Ë valt in A , m daarom ook^de 
Top M M I. 

Is Vr 10 Tiodmngtm geval gw plaats van een Recbtelyn , of 
heeft Doen fimpclyk yix^^sx , zo is \ de Top , |ftB ^ iW/iL 
^Mfy« , BC de Apfdieaea, €» x » bet bekgnde by xzevoegt , is 
ét Rjsehuzydet. ^ 

i Isnoedb de Recbteayde wanneer alleenlyk ^xo is, om 
dat alsdan ^x f is, ofGL^, deMiddellyn, is evenwydig aaa 
AB : ^ftken aynde die haar van z^er openbaren. 

.Amm^rhing. De ^quaticn tbt nog toe verkuyfelt > zya 
van zodanigen gedaante geweeft, eerze opygereduceertw*» 
icn, dat 'fer in ^nsyy^ dat isj dubbelt: mMr in ge^ai dat 
'ew inken alteenkfk gevmUm niifri xXy da^is x dubkehmy cik 
kelt , zonder xy : zo zal men geen Surdijche qttantiteyÈ vimdendt 
men zeop y reéfcasrty maar watkmofi xkeiieyimde. By voor* 
beek 

hebbende xu+aij^r-t-a» — rr— xjfooo 
Waar in de y enkeèt, en de x dubbét is, en geen x^i lUi te^ 
ducéert ben op x, 

komt ^ X—»i: y. rr +ir)f 
Dewyl in het Radonale noit x km komen , so i& AB 
altyd evenwydig aan de Middcllyn , of aan de AppUcata^ 

en om te weten a^n weike van 
dezetwee, zo laat ons voor eerft 
aanmerken het Rationale > en 
om dat wy hebben — » , zo 
laat ons in AB neiioen AIxn, 
ter linker z^yde van A oia dac 
het een — js, eo daar doorha- 
len een even wydige aan BC : zo 
is deze de plaats van hetRatio- 
nale, en BI iax.v + «i^ en om dat dit gelyk ïs aan hetSur- 
difche ; daarom CL , evenwydig aan BI , voor de Applica- 
ta, en IL voor de Middellyn nemende, zo zal de Top daar 
vaUen alwaar CL, of het Surdifche y.rr + syocfo werdj 

dat is, als — jfX 7 is: hierom, in LI, IM neerwaarts nee- 
mende, om dat het een — is, x~, zoisMdeTop: enom 
dat LM , de Intercepta , isxjr + ^ i en dit met s gemul- 

M % tipli- 




9* 



Hbt II 



II 

\ • 








r 




/ 


/ 


M 


^ 


/W B 



B o EK, 

riplicecrt voort brengt sy + rrs 
het Vierkant van de Applicata , 
zo ziet men niet alleen dat de 
Kromme , daar C in loopt , is 
een Parabole, wiens Top is M, 
wiens Middellyn is ML, een 
cvenwydige aan de lyn ƒ , en 
welkers Applicata CL is een ge- 
lykwydige aan de lyn x , maar 

ook dat zyne Rechte zyde is x , hict bekende by y ^evocgt 

in het g^eve Surdifche i hebbende ABC als beweegly& 

hoek. 

Is «OOG, zo valt I in A ; is rooo , zo valt M in I ; en 

zynze beyde n en ook rxo, zoheeftmenxxyxy} zo val- 

I^ I en M beyde in A. 
Wy zien dan, is in het Surdifche van de gegeve , of van 

de gereduceerde equatie , de onbekende quantiteyt enkelt^ 

dat de Plaats van h^ punt C zal wezen in een Parabole. 
Is .y in het Surdifche : zo &jf de Applicata. 
hy in het Surdifche : zo is jf evenwydig aan de Middellyn. 

Maar zo in de gegeve Mquatie is xx , en ool^xy , engeenyy • 
TA zou men hen op x reducerende , in bet Surdifche vinden yy* 
By voorbeelt. 

Hebbende xx — ^xy-^inx — i^j^ + xy+iw — rr ooo 

n»aar in x dubbelt ^ y maar enkglty en xy is : hen op x reduce- 
rende, 

kamtxoo^ y — n±\/^.^yy — sy + rr. 
een Hyperbolc , om dat -^yy c^ + is. Dit is altyd ecn+ , 
om dat het is het Vierkant van het Rationale -^y. 

Nu moet men op AO , evenwydig aan BC , die bewer- 
king doen die wy nier voren op AB gedaan hebben ; en nu 
de gdykwydige aan AB zodanig aanmaken als toen BC. 



Daarom 



Van de Kromliktische PLAAxztN* 95 

Daarom , in AO , ge- 
nomen AH opwaarts 
00 jT , HK ter rechter 
zyde 00^, en KG ter 
Imker zyde X » ; inge- 
togen cfoor G een even- 
wydigeaanAKy zo is 

PLx-^jf— » (aan- 
merkende PC even wy- 
dig aan AB) dies moet 
iJC wezen gelyk het 
Surdifche. 

LC voor een Appli- 
cata nemende , zo mt 
ons, om de Toppen te 

vinden, LC, of het Surdifche nemenxo, waar door men 

vind 




yy-^y+^o:^o,c£y 



11 






daarom, genomeninAO, AE opwaarts xj^, en ER ET, 
op en ook neerwaarts, yderx-^-j/.^ — rr ^ en getogen 
tot aan de lyn GI, derechte EM RN TQ^cvenwydig aan 
AB: zo is M de Midftip, en N en Q^zyn de Toppen. 
En om dat evenredig zyn 

NUL/aRPTyjf— J^jr+ii^V/DAK^^/DAH^y 

jTj : pp qq pp 

tel pp 

QN 



ofaNLQ/ n LC J±yy — sy + rrll 



of,als.QN/ if,QN. 

Waar uyt Wykt dat de Rechtezydê is ff- ,QN. 

of, in het Surdifche jF x onemende, zo isLC , oflW x r- 
dies is W een punt van de Kromme: overzulx befchryfteen 
Hyperboleenz. 

Maarisrrgrooteralsüii, of r gixx>terals/^,zoftdt*^in 

plaats van jr in het gegeve Surdifche , om reden hier voren 
gcz^t , men vind de Toppen n en .q inde verlengde EM« 

nemende M « en M 9 yder x V-^^ — ^^'' ^ ^^^ ^ 
RcchtczydcvindmenT;,^». M 3 



♦/? 



Is 



5f 



94 H B T II B o fi K, 

Is in ik geg^^ equatie de y dubbelt , en niet de x: of is 
gegeven jfy——^jr+2»y — ^ x-^sx+nn—rry^o 

o£y^^x — n±V.^xx — sx + rr. 

Zo is de plaats van het punt C mede altyd in een Hypcr- 
bole, om <fat de Term daar xx by is , het Vierkant is van 
de Tenn met x gcmultipliceert in het Rationalc , en daarom 
altyd een + : maar om dat deze alredc in 't b^in verhandelt 
is, w xulkn wy het hier by laten. 

Nu is 'cF alleenlyk nog te verhandelen die iEquatien waar 
in xy komt^ of alleca, of daar en boven negeen , ofbeyde 
de onbekende enkelt : welke daarom op geen Surdiiche quan- 
titeyt konncn gpbwgt werden , en by gevolg niet toepaflèlyk 
^yn aan deApplicata: maar om dat ze alle vallen in een Hy- 
perbole ^ dog betrekkdyk tot zyne Afymptoti j en om dat 
ze alle zuUen openbaar zyn , met eemge termen gelyk nul 
te nemen , wanneer de laatfte (bort verhandelt zyn , waar in 
de eene onbekende daar en boven nog dubbelt is , die. mede 
konnen toegepaft werden aan de Hy perbole en zyne Afymp- 
toti, zo zuUen wy de twee laacfte gevallen , welke toepaffi;- 
lyk zyn aan de Hyperbole en de MiddeUyn , gelyk wy nu 
even gezien hebben » ook eejus tocpaüibn aan & Hyperbc^ 
en zyne Afymptoti. 

Men zal bevinden, zodanigen equatie (henx.ogeredu- 
ceert hebbende , en zodanig dat xy in hen zonder bekende 
is , en dat zyn Teken een + is) deelende door alle hetgeenedat 
met y gemultipUceert is ^ zo x daar in dobbelt is , en met x , 
29 y daar w dubbelt it , zo bug tot dat 'er niets over blyftals 
dat gchcellyk beketrt is , dat'er zal uytkomen een Quantiteyt . 

reheel Rationaal , en waar in de jf en de at beyde maar en- 

Lelt zullen weZcn. 

By Voorbeelt* Nemondede. eerfte van de twee laatfte iE- 
quatien, of hever eeixaoder van de zel£k gedaantsé , diewat 
eenvoudige uytkooaft geeft , te wenen 

xy — J- xx-^nx + sy — ^-x^^sn — km^o 

Mm 

gedeelt dooi- x^^s^ komty — -j- x^n , en fchiet over kp^. 

Hier ziet men dat de uyötomft is geheel Rationaal , hoe- 
danig ook de EXvifbi' is j itt beyd^ is de onbekende maar-ei^ 
kelt. 

Wy hebben dan twee Rationalc quontiteytcn ^ x^s en 

y — J-x 





Van deKRoMLiKiSctie Plaatzen. 95 

y— •^*'+», wdke yder een rcchtdyn vcnoncn , die met 

elkander vermenigvuldigt zyndc , gelyk zyn aan een gegevc 
Vlak kffi^ en dat op ailc hocgroot£Kden van x enyi en de- 
wyl dit zodanigen evgenfchap is , die yder punt van een Hy- 
pcrbole heeft betrdckelvk tot de ecne Afymptotus evenwy- 
dig aan de andere , zo laat ons het gevondene eens aan de» 
coepaitöi. 

Laat dan OC wezen een Hy- 
perbole , vrieas Aiypiptoti zyn 
MËenML Laat BE wezen 00 k 
+s^ de eeae mukipUcatory en C L, 

gdyfcwydigtoa ME , 03 y — ^x 
+n, de andere multipbcator; zo 
zal de tz] van BEX<^ 
woKn aan Jtm j of, de O 

LC Kal wezen 00 J^»^^. Nup 

dewyl wy weten daac dcüe £ygcn- 
fchap in een Hypcrfiöle is op feyn 
Aiymptöti , 230 mogen t^ bcfluyton, >vm9ïttk jEfumim^ dk 

£edeelt kannen teerden door een Quaf^iteyt f^aar in ie tmbepoéU^ 
/Ie enkelt is, en dat bet quotiënt mede xjbdmüg is , nkts merla^ 
' tende als dat gebeelfyk Ment is , dat de f laats van bet onver*- 
knocbte punt C is in een Hyperbole betrekj^yk ta zyn Afymp- 
tori. 

Drie dingen zynder te bepakn } bcyde de Afyuiptoti^ ea 
een punt van de Kromiae. 

Het is kenlyk , volgens het 9 Voorftel , als B oney ndig digt 
tian *Ë komc, of als BË is onbepoalt kleen , dat <ian BC zal 
wezen onbepaalt groot » en by gevolg ook danals BE » of 
-« + ƒ 000 is : ja BG Toi <ie Afymptotuszelfs wezen. Daarom, 
A'+xoooiïemende ,of — «ooj* ; dat is AEc»^, ter linker 
^yde van A nemende ^ en hal^c door E een evenwydige 
^aan BC : 20 is deze deeene Afymptotus. 

Wederoto : VM , t>f CL oneyndia klcen zynde ^ zo is 
VC oncyndig laog: of , V in M ftclknde , of C in L* zo 
valt Vü op de Aiyn^peotus die evenwydig aan AK is. 

Daarom, CL, ofy — ^jr+iPxofteilcndc^ofjoo-^*"— **> 
i^aar door men faet pudt C viad^ zo beeft men ikgsdcorG 



96 H E T II B o E K, 

een evenwydige aan AK te halen : en deze is de andere A- 
fymptotus. Hy de eei*fte in M fhydende , zo is M het Mid- 
delpunt. 

Om een punt van de Kromme te hebben. In de g^evc 
j£quatie ^xo nemende, dat is B in A, en C in O, zo is 

sy + sn — fawxo, en daarom^x — — »xAO. Derhalven 

AO dus lang nemende , men heeft O een punt van de Krom- 
me. 

0£j aanmerkende dat alle het bekende , dat na de Divifio 
^ overblyft, de tekens omkerende , gedeelt doordeeenemul- 

tiplicator , uytlevert de andere , dat is -j^^ooy — iL at + « 

ooCL i daarom , in het eerfbe de .^ x o nemende ^ dat is B 

in A, ofLinI, en C in O, zo is LC, of lOxy^; waar 

door men O vind. 

Of y aanmerkende dat de c=3 EB,CL gelyk is aan het be« 
kende dat 'er door de Divifio overblyft , de tekens omke- 
rende , dat is in deze gelyk 1^. Daarom EB xü:. nemende , 
en halende door B een gelykwydige^aan ME , tot aan MG i 
en dan nemende LCx m: zo is C een punt van de Krom- 
me. Of nemende EBxw, enCLx/t. 

Maar wil men dat C het punt is , waar door uyt M ge- 
togen een rechte , dat deze de As is. Het punt O airede ge- 
vonden hebbende , zo maakt ML en LC yder zolang als de 
midden evenredige tufTchen MI en lO ( of , in deze , maakt 

yder zo lang als -/ ^. ) Dan kan men de Rechtezyde vin- 
den , uyt O een recnthoekige op de As gehaalt hebbende , 
volgens het Werkftuk hier voren aangetekent. 

Nota. Dewyl wy gezien hebben , met de Multiplicatorcs 
X o te nemen , dat de Tekens van de Termen , oehal ven 
die van x en jr , zig omkeren, zo zullen wy voortaan, over- 
al » ^ ^ Dhijor voegen de contrary tekens van bet gegevene, 
waar door de tekens van het quotiënt zig mede zullen om- 
keren , en alzo zullen de Termen ten eerften zodanige tekens 
hebben , als ze verkrygen zouden met de geheele ho^root* 
heitx o te nemen , bdialven de Term van x en van jr , die 
dog in de vinding van de Afymptoti niet gebruykt werden. 

Men zoude dan. de Deeling gedaan hebben door — x — s^ 

en het quotiënt zoude gewcefl hebben — .y + ^x — n : wajö: 

door 



Vande Kromlinische Plaatzen. 97 
door de Term j-, en de Termen -^* ens, zodanige Tekens 
hebben als dienftig is om de punten E en G aan te wyzen 
■waar door de Afjnnptoti moeten getrokken werden. 

Getogen hebbende een Hyperbolc met ME en MG als 
Afymptoti , die door O gaat : 20 is die de plaats van het 
punt C. 

Gegeven zyndejrv—^jry+cy+jjt—^jr+jw—j^ co o. 
Gedcelt door alle het geene met x gemultipliccert is , om 
dat > daar in dubbelt is , zo lang tot dattcr niets ovcrblyft 
als datgcbcellyk bekent is, en fteUendebydeDivilbrdecon. 
trary Tekens van bet geene gedeelt werd : dat is hier 
gedeelt door— j — / / komt— *•■+• -J-^— » 

Daarom , in AO , evcnwy- 
digaan BC,"of aandelynj», 
genomen AEod j , neerwaarts 
om dat hy een — is , en geto- 
gen door E een evênwydigc 
aan AB : zo is die de eene A- 
fymptotus. Dan, in AO, ge- 
nomen AH , opwaarts, xy, 
HK ,evenwydig AB , ter rech- 
ter zyde , zap , en KG ter lin- 
kei'zydeco», en door G ge- 
haalt eenevenwydigeaan AK : 
die is de andere A fymptotus ; en haare fnyding M is het Mid- 
delpunt. 

In de gegeve equatie yzoo nemende , zo heeft men 
tx+sn — i^ooo , of *x^— » : dit in AB afmetende, 
ter rcchOT of Kr linker zyde van A , na dat het een + of 
een — is , men heeft W een pxmt van de Kromme. 

Getogen hebbende een Hyperbole met ME en MG als 
Afymptoti, die door W g^t, men heeft de plaats van het 
punt C. 

Men kan ook andere punten van de Kromme vinden : 
maar om dat dit in deze gefchict op de zelfde wyze als in het 
laaft voor^ndc , 20 zullen wy dit hier by laten. 

Is 'er geen onbekende dubbelt m de gegeve Mquatte , of is in 

dezctwecf aoo, 2ohedtmcaxy-\-nx-{-ty+tn — kmzoo, 

N tn 



98 HetIIBobk, 

ca xy^ny+sx'^sn — üifiixo» en dan valt Kin H, of 
GM is evenwyd^ aan A£ : zo dat dm bejde de AJymptoti 
evemvydig zyn aan de onbekende s de eene aan AB , en de an- 
dere aan BC. 

Is 'er daar en boven geen x tnhelt in^ of k in de eetfte ^- 
quatie p cnn beyde 00 o , en in de tweede^enx , waar door 
men heeft xy + sy — l^xo, en Ary+wy-^-itwooo^ zo valt 
I ïn A: dies gaat de eene AJymptotus door A. Of hy is AB. 

Is 'er dan ook geen y enkelt in , of is in beyde^,», s yder 
00 o , waar door men heeft xy — j^^woo o , zo valt E mede 
in A : en alzo gaan beyde Je AJymptoti door A , fngelyk^tvydig 
aan de onbekgnde. Of ABen AO zyn beyde de Afymptsoti. 

Alzo zyn dan verhandelt alle iborten van iïlquatien , waar 
in de ontiepaalde üp^ ofy, ofbey de tezamen, opklimmen tot 
twee Dimenfien , zynde alle net geene wy voorgenomen 
hadden in dit Hooftftuk te verrichten : daarom zullen wy 
afkorten. 

II I. HOOFTSTÜK. 

De ofhffing van fcmmige onbepaalde c^quatien. 

Dit Tal dienen tot ocf&ning van 't voorgaande , om dat 
aldaar cnaar een eeni^e van yder iboit is verhandelt ; en 
voonmnelyk tot «de manier in het tweede Hooftdeel voor- 
gediasen; om dat die van 't eerfte alles op een zelfde wyze 
verricnt. Wy zulien^fc vinding , na de tweede manier, hier 
wederom byvoegen , daar wy oordeelen 'dat liet van noden is , 
en zullen dit verminderen na dat wy gifièn dat uwe kr^tca 
2Xiiten to^enomen hebbecu 

I • Gegeven zynde — jjy + 2 *■ƒ — "Zny — i»»aoo, en de 
hoek van x eny recht 

oiyojX'^nJz'^^xx — inx. eax Hyperbole. 

Door het Radooalc vind men 
de Middellyn IV, nemende 
Al , in AO , evenwydig BC , 
en AV, in AB, yder 00», BL 
is dan 00^ — » j zo moet dan 
LC zo lang wezen als het fiirdi- 
fche. Dit CD o ftellende , zois ;if 
co » ± ynn. Hierom, AE,na de 
|-echterzyde, genomen :»'>, en 

*ER 




Van de Kromlinische Plaatzen. 99 

ER ET ydei* 00 1/ »» , dat is mede co » , en getoecn TQ^ 
en RN gelykwydig aan BC : 20 is QNdeDwarfe. Voorts 
□ NLQ/aRBTAr^ — x»ArGoaLX://QlVx/aAVi 

iQN 

of, als ,QN/ iQN 
wcikc hatfte de Rechtèzydc is : Om datze nu beydc in lengte 
bekent %yn, 20 behoeft men niet verder te .gaan : anders zou 
men C^ vinden co 2» V^» , en de Rechtefcyde x » t/2. E 
valt in dcfiiyding van IV en AB, en daarom ook M cieMid- 
tüp : dies is EN de Rechtezyde. 

AB is een Afymptotus : want de iEquatie op x reduceren- 
de, tois 3^x ^^Y^ ."" ; hier. yan de jf GO o nemende, 20 
isx 00—, datis van eea oneyndige lengte (^ V.) eu daaroio 

AB een Afymptotus. De geheelc Hypcxbole CNC is de pl$^ts 
vanbetpunt C: delangfte BC paftop+V^nz, endekorfte 
op — yenz. 

2. Gegeven zyndeJf^X2Jifif4-»y+ ff», en de hoek van Ji^ 
enjf recht. 

of ^ X J' ± Y-yy +ny + ff»,een Hyperbole. 
I Hebbende in 

^ AO genomen 

AH na believen, 
en HL mede zo 
lang , en gelyk- 
wydig aMi AB; 
zo is ALfdc plaats 
vanhetRatxona- 
le: dies moet LC 
wezen het furdi- 
fche.'ditooQne- 
mcnde, zo vind 
ïncnjroo — ]**y — \^* omdatditabfurtis, zo blvktdat 
LC geen Applicata kan wezen, of dat AL geen Miadellyn 
kanzyn: laatdanCP> evenwydig aan AL , eenToegepafte, 
en PM, evenwydig aanLC , de Middellyn wezen. 

Om de Toppen N en CLte vinden , zo flèlt LC oo*> een 
kleenfte, ofyy +ffj^ + ff» go ^*; vermenigvuldigt met een 
'Arithmetifche progreflïe , men vind — y 00 i » : aanwyzendc 
dat LC opzynkleenfteisals H onder AB valt in E , nemen- 
de AE 00 i ff : daarom , door E eengclykwydigcaan AB ge- 

N X togen, 




ICO 



Het II Boek 




togen , 20 IS deze 
deMiddellyn.En 
om dat als dan 
— >C0i»is,2ois, 
LC,of«»MN, 

— !»»+«», dat 
kcdV^«»: dies 
isdeDwarfeQN 
coy^wi.Dewyl 
HEiscüjf+i», 

zo is zyn D jfy -4" 
»y+i»», dit met X gcmultipliccert , komt yyi-ny^^nn^z 

CDD lm, ofaCP. Vm\ntCoDyy+ny+nn, af- 

getogcn'tD MNco^«»> reftdeCDNPQpoj7+«y+i«».- 

en dewy 1 deze CD is tot het O CP als i tot x j zo is de Rechtezy- 
de 2 maal langer als de Dwarfe N<^ 

Dit blykt ook aanftonts uyt het geene hier voren is aan- 

getekent, te weten dat de Rechtezyde is co '-7,» QN 9 om 

dat/, venyj'yderzyn i,en^^ao2- Dog dan is men gebonden 
aan dc2e Quantiteyt. 

In de gegeveiEquatiey oo o nemende, dat is C in AB, 
2ois*-aD». Daarom AWgelyk» nemende, zoisWecnpunt 
van de kromme. 

Proef, verlengt CB tot aan de Middellyn in V , zo is CV 

CO>+ï», zoveelisookVPienomdatMVisGOï»+*', 20 
is MP X ^ — j' jhier van en by MN en MQ^der co V 4 «»,men 
heeft .V — y — VliwooNP, en*- — ^jr-f-|/iii»GoQP:deze 

femuldplicoert , komt xx — ^xy -^yy — ^ »» 00 de C] QPN. 
Jytdegelykheit van PV en VC volgt, dat het Vierkant van 
Cr is gelyk tweemaal het Vierkant van CV , dat is 't D CP 
C02J7H"*»y+i«»- en om dat de Rechtezyde X maal langer 
is als de Dwarfè, daarom zyn x/ ijl %yy + % ny +1 nnl 
XX — %xy+yy — :i»» evenredig j o£%yy + tny +\nnv^ 
^yQZXX— ±xy + xyy — i inn^ ofxx j;^ zxy^ny^'nn, 
de gegevê iËquatie. 



3- Gege- 



Van de Kromlinische Plaatzen. ioi 

• • • 

3* Gegeven zyxAtyy :s:yjxy^^dd 

o£ys)j^±V.jlXx—dd^ een Hyperbole. 

Door het Ratio- 
C/ nale vind men AK; 
en deze is de Mid- 
dellyn. 

Het Surdifche zo 
oftellende, zois 

hbdd 



of jrx o 

AE is dan go o i of 
£ valt in A: zo is 
danAdeMidftip. 
ER en ET zyn 

•I td 

yder co " > waar 

door de Top N en Q^opcnbaar zyn (of nemende HD zo dy 
en halende DN evenwydig aan HA , want dan zyn AH * / 

HKtf//ER-^/ RN ^evenredig: waar uytQdan openbaar is) 

Voorn. RB x—^^ 

bd 




TB ^ + ^ 



Vcrm. 



ciiNLQ/aRBTArAr_^^//DAK^//DAHi& 

hh aa. hh aa 

ofo NLCL/ D LC ji^x—Jd/l eel aa 

te— QN 

of, als QN ^,QN 

Anders. Dewyl HK j/ AK^//RNrf/ AN of MN even- 

redigzyn, zoisMNco-y, cndeDwarfeQNx'v: diesis 

T;» T-» of ^de halve Rechtczyde; die men vind zoekende een 

vierde evenredigp tot AK , HK , HD. 

Door de gegevc iEquatie hceftmen x oo^^tJt^ • ncmcn- 
dchiervan>GOO,zohccftmen;rooil^, aanwyzendedatAB 

is een Afymptotus. 

N 5 Bcydc 



lo^ H E T II B o r k, 

Bcyde de gcheele Hyperbolen zyn de plaats van het punt C , 
om dat X en jf konnen wezen , ofbeyde een + , ofbeyde een — . 

4. G^even zyndc xyoo ~xy+dd 

of jf X j « ± y . ^-^ xjc + diyCSXi HjiperhoU, 

AK is wederom de 
plaats van L , of vanhet 
Radonale : LC moet dan 
wezen gelyk het Surdi- 
fche. dit gelyk o nemen- 
de, men vind 




^roóoiy 



yyid 



MéL 



dat abiurt is : «dies is AK 
niet de Middellyn : maar 
een andere cvcnwydig 
aan BC. 

^xx-Y-ddo^kk , de 

kleenftc ftellendc , zo vind men ^ 00 o ; aanwyzcnde nietal- 
leen , dat de Middellyn door A , cvcnwydig aan BC moet lo- 
pen, maar ook, dat men daar in AN en AO yder zo lang 
moet nemen als 1/, om de Toppen N en Q^te hebben , dcw]^ 
als dan het Surdifche is x ydd. 
Voorts. AH*/ AK^/ ABat ? komt -y 00 AL cd PC. 

Van 'taLCx7j'^'*^+^, afgetogen 't d AN oo ^, reft 

deoNPQpof7A-Ar:daarom,aNPQ^^j^j^/ UVCl'^xxl 

NQ^a d ? komt ^^ voor de Rechtezyde. Beyde de gehcele 

Hyperbolen zyn de plaats van het punt C. 

AB is wederom een Alymptotus , naderende de bovcnftc 
Kromme ter linker zyde, en de onderfte ter rechter zydc. 
y. G^evenzyndejyr cDA*r+*";r 

of iü' 00 o Ary + 4Ar -f- AT Af 

oi y zoo±,^.ax + xx^ ccnHyperboU. 

Dit geefi: een zeer eenvoudige Fi- 
guur , van gedaante als de neven*- 
ftaailde. 

A is de Top : de Dwaric AQ^ 
m dcveriengdt AB, ter linker zydc, 
isxü : zo lang is mede de ^Rcaitt* 

^y^ 6. Gcge. 





Van de Kromi-inischc Plaatzen. lo^ 

hoek van ^ en j redit. 

of >30^ — n±i/.im — XX ^GsaEU^fis. 

Dit geeft een Figuur vange* 
daanite als de neven&ande : daar 
in zyn AI en AV ydcr oo» • 
de DwarfeNQ^is zo^n^%y en 
de Rsechtezyde x^ Vx , dat is 
half 7x> lang. 

De Krcsmme loopt door A en 
ook door R : want , jf oo o ne- 
mende , in de gegeve equatie , 

zo is Jr^ 00 »* jOf *■ GO ^ » ± yiff^j 

dat is, .^00» en ook xo; 

vraaraiytblyktbetgezeyde. DeecneTopN komt mede in R. 

7. Gegeven zynde^jf co — xy+^^ax — xx. de hoek van 

X enjf om)epaalt. 

Dewyl. de hoek van x en jf be- 
grepen , onbepaalt gelaten is , zo 
kat ons maken dat de Applicata 
rechthoekig op de Middellyn valt , 
•om te zien of wy , in plaats van 
een tiUipËs, konnen vinden een 
Rond. 

Daarom, op A£, jgenomen na 

believen , gemaakt een halfrond^ neerwaarts ; en m de omtrek 

genomen BL cd i AB , en gehaalt AL: zo is deze de plaats 

van hetRadonale, en daarom de Middellyn , en ALG is recht. 

Het Surdifche x o nemende^ zo is x x f ^ ± f^ • daarom 

AE zol de rechter zydenemende co^ü, en ER en ET, aan 

weerzydenvanE,medezolang, waar door T in A valt , waar 

in danook de ecae Top Qjs j en getogen EM RN , even- 

wydig BL, tot aan de verlengde AL: zo is QNdeDwarfè. 

Nu moet de cdNL,CLzo groot wezen als het D LC, zal 

de Kromme een Rond wezen. Ditblykt op vorige wys, dus : 

ONLQJ aRBT^4iAr_ArAr/7 uAl.\xxl dABj^;^ 

of,t3NLQ/ dLC ax—}xx/l xx j xx 




Waaruyt blykt dat de C3 NLQjsx 't D LC ,enby gevolg 

dat 



104 



Het II B o E K9 



dat de Kromme eenKondis , wiens Middelpunt is M, g^tan* 
de door A, om dat at co o nemende , ookjfxo is. 
8. Gcgevenzyndejjyoo»»»— -^-ATAT, m^Ellipfis. 

Dit geeft de aldereenvoudigfte figuur.' 
AB is de Middellyn ^ A het Cen- 
trum: AQcnAN2ynyderxw|/yj 

20 dat de Dwarfe QN is co i« V~' 
de Rechtezyde is co 2. ypm. 
hpzoff^ 2» heeft n^enyyoDf»^» — ^^i en is dan de hoek 
ABC recht • 20 is de Kromme een Rond , wiens Middellyn 




IS C02«». 



ft» 



hh 




9. Gegeven zyndeyjf co — V-^i^ — 2^>+**' — TT •*'•*' — ^^* 
of jrx — ^x—ciy.^x-^bx^ccn Parabole. 

Door het Rationalc j^ co — t-** 

— ^ vind men VIL de Middellyn: 
nemende van hen de^ x o , 20 is 
— y co c ; dies moet men AI , 
cvenwydig aan BC , neerwaarts 
co c afmeten j en nemende jf co o , 

zo heeft men — ji^oo^; diesmoet 

men AV , in AB, ter linker 2yde van A , 2x> lang nemenals 

^, en halen VIL. Het Surdifchex o nemende, 2ois;rooo; 

dies is I de Top. VI c» ^ we2ende , 20 is IL 00-^: hierdoor 

dcelende het Vierkant van LC , dat is-ï--^jir+ftj^ , komt ^^±^ 

voor de - Rechtczyde. De beweeglyke hoek is VIA. 
10. G^cvcnzyndejjyco^^ — bx 

of j^COi^±V»iA' — *•*■> W^ Parabole. 
Dit geeft een figuur vandenevenftaan- 
de gedaante. Alis coi^i IM, evenwy- 
dig aan AB 2ynde» is de Middellyn, en 

co ^; en de Rechte2ydeis co b. 

De Parabole loopt door A: want** 00 o 
nemende, 20 is > co {^±1/^^^, dat is 
jrco^enookcoo: heteerfte wyflaandat 
AO is x.^ > en bet tweede 't gezeyde. 

II. Gege- 





Vande K&omlinische Plaatzen. ioj 
II. Gegeven zyndcjfjr co '^x±cd 

o ^ . 

Hier opvind men een figuur van 

geftalte als de nevenftaande. 

Om dat wy in deze geen Ratio- 
nale quantiteyt hébben ^ zo is AB 

de Middellyn, AM is co 7- M, ter 
ünkerzyde van A , is de Top op + 
^rf , en M , ter rechterzydc , is de- 
zelve op — cJ. 

Haar beyder Rechtezydc is cd v- 

IX. G^evenzynde;fAroo^;K'+^ — «Il 

o£xoD{d±y/.idd—nn+dy^ccnParabolf^ 
waar van de jf moet evcnwydig lopen aan dcMiddellyn, en 
de ^ aan de Applicata. 

Dit maakt een figuur van ge- 
daante als hier nevens venoont 
werd. AE is 00 ; </, het Ratio- 
nale: door £ isgehaalt een ge- 
lykwydige aan BC, die is de ^fid- 
oellyn. Zo is dan EB , of de Ap- 
plicata CL , gelyk het Surdifche: 
daar dan^i^ — «»+/^ cx)o is, 

daar is de Top, of daarjr» ~ 

— ^^is: daarom , in de Middel- 

lyn EL, genomen EM x^ — {d: opwaarts als n groter is 

dsy, en neerwaarts als hy kleender is. De Rechtezyde is 

OQd, 

Volgen eentge Voorbeelden , die wy zullen toepéfffin op de Hy^ 
perbole en zyn AJymptoti^ alboewelze ook.aanzyn Middellyn ^a«- 
nen toegeeygent werden. 

13. Gegeven zynde—y^jr+j^j—~jf-»-~ ^+^300 
gedcclt door —x+ -/ /komt— jf+ ^ ^—t±^^^. 
Verwerpende het overfchot — ^— '-|f'+ *-^,omdathet 

niet kan dienen als om een punt van de Kromme te vinden , 

O dat 



\ 


"Lé 




7 


f/ 


V 






> 


/ 


\ 






/ 


y 




£ y 


' B 





1 


i« 








106 H E T II B o E K, 

dat op een vcd gcmakkdyker wyic kan gcfchicdcn , omdat 

in dit ovcrichot wat ved quandtey ten zyn. 

Om de Afymptoti te 
vinden, zo maakt in 
AB , ter rechter zydc 

van A,,AE gOt> ^ 
haalt EM evenwydig 
aan BC : deze is de ec- 
ne Afymptotus. Dan 
neemt in de zelve AB , 
ter rechter zyde van A , 

AH 00*, en HK 00^, 

opwaarts, en gclykwydig aan BC -• danK^ neerwaarts 30 t, 
en^G opwaarts gelyk co ^; en door G getogen GM, even- 
wydig aan KA : die is de andere Afymptotus. 

Om een punt van Kromme te viiKien , zo neemt , in de ge- 
geve ^Equatie , de X co o, zo is 4->CÖ^: daarom, AO, 
evenwydig aan BC , opwaarts nemende zo lang als dezc'jö!. 

zo is O een pimt vande Kromme waar in C loopt. Haaltmen 
OMN, en neemt men MN zo lang als MO, zois N éénpunt 
van zyn t^engcftclde Hyperbole , waar in C mede is. 
Had men jr go o genomen , zo zou men gevonden hebben 

J»f » *f^ ± V- ^^f^^ 4^/Aoor AW,nicde tó^ 

noemde Kromme. 

14. G^cvcnzyndc xy — xx+ax — ay^bb^o 
gedeeltooór — x+sj komt— jf-f-*- 

Dit geeft een figuur van 
de nevenflaande gedaante: 
daar in is AE en ëM yder 
zo^i waar door AM en EM 
de Afymptoti zyn. 

Nemende Jif 30 o , zo is 

+jf 00 v 9 voor AO : zois 

dan O een punt van de te^ 
genftdde waar in C loopt. 




IJ. Gege- 



V^:?i«i» ' 



Van de Kromlikischv Plaatzen. 107 

!ƒ. Gegeven zynde^jf — ^x^bh:xiQ^ 
gedeelt door — xl komt — y+x. 

AO, cvcnwydig aaa 
BC, is de ane Afympto- 
tus : de andere vind men 
nemende BL x BA , en 
halende een oneyndige 
door L en A. 

^ CD ^ nemende, zo hy 
Gooop+W, en 002* 
op — bb: daarom, geno- 
men AW co*, 'cn WN 
00 2*, evcnwydig aan 
BC: zozyn W<3i W 
twecDuntenvandetegpn- 
geftelde pa(Ièndex)p '^hb^ 
en'N enN rwee van de 




1 1 



'.■* U*1kUwi»««4 tl 



paflbade of ^^ bbi ^ ^ 

wtcsgaden van de geene die door'W lopen, onTdat S^ 
30 SN*^ yder coi'zynde. 

t6. GtSf^enxjtide^^yy+xy-^Y^ 



Gedeelt door. — jf 4- ^ , 
komt-^+^jF-^+T^'. 

Dit maakt een figuur ids de ne- 
venftaande, zynde in alles gelyk 
aandyie van't i^ ExeaaapisI, u^ 
Ijeoomen dat hier op de Ijfii AO 
gewerkt is fils aldaar opxfelya 




0% 



17. G^e- 




..••MC, 



lo8 H E T II B o EK, 

17. Gegeven zyndc jty 00 ixy — %ny — nn. Zyndc het 
1 ExempeL 

Hier door vind men een fi- 
^ur als de nevenftaande : daar 
in is HK half 20 lang als AH;. 
KGgelyk», van gelyken mede 
AO. AB en GM , cvenwydig 
aanAK, zyndeAfymptoti. 

Nemende NfN zo lai^ als 
MO , zo is N een punt van de 
t^ec^eftelde van de geene die 
door O gaat* 

18. Gegeven zynde xx ^%xy + ny + nn. Zyndc het 
X ExempeL 

Hier door werd de figuur 
^an de nevenftaande ge^n- 
te: daar in is HK wcdcrcMn 
halfzolangalsAH; KG ge* 
lyk 1 «, en AE gelyk 1 ». 
—Nemende AW, enAÖ, c- 
venwyd^aanBC, yder ge- 
lyk», zozyn W enOtwec 
punten van de Hyperbolc 
waar in C kx)pt. GM , ge- 
lykwydigaan AK , en EM , 
zodanig aan BC , zyn de Afymptoti. 

Tr^. Aanmcikt WFP evenwydk aan BC, of aan HK, 
BC verlengt tot aan de verlengde AK « en CS gelykwydig 
aan BE. £Sisdanao^+ï»>enCLaDiJr — ^n — y: deze 
met elkander vermenigvuldigt, )RovQLt\xx—xy — i«y — ^nn^ 
OoCDLCS. Omdat WPiscoi», zoisWF ooi»; dit ge- 
multipliceert met WE 00 1 » , komt 4 »» co ^^ FWE , zynde 
gelyk aan de CD IXS; diesis^^^— *>~i»y~i«»0O^twi^ 
oïxx GO xxyJ^fiyJ^M^ de g^evc equatie. 




»> 




Van de Kromlinischb Plaatzen. io^ 
^9'GegcycnzYnócyy:p^xy:fdd. Het 3 en 4 Exempel. 



Dit geeft: een fi-r 

guur van gedaante 
als de nevenfhan- 
de. AH is daar in 
0024; HKco*; 
AO c» d: ON is 
evenwydig aan 
AB;daarvanShee 
midden is. AKen 
ABzyndeAiymp- 
tod. 




IL Deel. 

Ofloffing van eenige onbepaalde Meetkunfiige 

ff^erkjiukken. 

NU zal men zien waar toe het vooi]gaande^ in 't eerfte 
Deel verhandelt , kan dienen , en nog meer zal men zulx 
befpeuren in het volgende Boek. Om Sax de oplofling van 
de onbepaalde Werkftukken c^endyk tot de Plaatzen be* 
hoort , daarom laten wy ook haare Ontbindii^ een deel we- 
zen van dit Boek. 

Om dat men tot de oploflii^ van deze niet anders van no^ 
den heeft als hec geene m 't eerfte Deel airede wydlopis is 
vóoigedragpn , daarom zullen wy kort wezen : meeftendeel 
maar (lellende de Opmaking , of de 0>nftrudie , zonder aan-- 
wyzii^ te doen hoe wy daar toe gekomen zyn. 

Men moet verdagt wezen, dac men de onbepaalde x en jr 
wederom zodanig neme alsze in de Plaatzen genomen zyn : 
JT b^innende van een vafl punt , lopende in een gi^eve lyn » 
cn^ daar aan verknogc in een gf^eve hoek. 



\ 



03 



L WeaK' 



IIO 



Het II Boek, 
T. Werkstuk. 



Gemjen zynde de rechte AB , 
eneenJynk: op AB^ ofopzynver- 
lengde y eenhn CD te trekkeny in 
een gegeve hoek ACDy zodanig 
dat de Rechthoek ACB zo groot 
is als de Rechthoek van CD en de 
gegeve lyn k. Pappus , de laatftc 
van het vierde Boek. 

Aanmerkende E voor het midden 
van AB , en ftellende AE of EB co o , 
EC GO ^ , en CD oo J' : 20 vindmen 

ol-...- \p X a:^ y. aa ±ky Een Parabole, 

waar van dat y loopt evenwydig aan 
de Middellyn. 
Couftruffie. Haaltuyt E , het midden van AB , een rechte 

EF opwaarts , evenwydig aan CD, 20 lang als ^ j en bc- 
fchryftecn Parabole , door F als Tm), op EF als Middel- 
Jyn, mctiLals Rcchtezvde, en AEF als bewe^yke Jhpek ; 
«zcjgaat door A en ook door 8, en daarin zyn alle depra- 





•tea 



jö: 



«M 




IL W S H X S T X7 X. 

Gegeven zynde een rechte lyn AB^ 
munf^untiZ,: süedepmtM D teniin- 
Jen, maaruyttrMendeDC, enook 

_I>B reffhPhoekig op AB, dat DC m 
'DB fezamen, en ook haar verJftM, 

' zo 'hmg is als een gjEifftve lyn a. 



Hébbende nvt C getogcnCA^ 4iedichod[%op AB, mt/ü^ 
twcmende * : AeUende Afi 3G>^«ricn i&D 00^ , '2» vi^ 

cnxxoo+zay—xby^aa—bblophetyer/cbU. 
Een Parabole, waar in jr evenwydig is aan de Middellyn. 
Om dat de tweede iEquatie in alles overeenkomt met de 
eerfte^ uytgenomen dat het teken van jr zig daar in omkeert, 

van 




Vande K&oiix«iKiscHS Pi^AATZEK. tu 

van een + in een — , 20 blykt dat deze twee gevallen in een 
zelfile Parabole zullen konnen gevonden werden ; het laatftc 
y onder AB, als jp in 't cerfte daar boven is. 

K Ctmfirueit. Neemt AN» 

opwaarts, in de lootlya 
AC, gelykjüH-;*; en 
D trekt uy t N als Top , op 

AN als As , met 4 maal 
GNalsRêchtezyde, een 
- Parabole: dezedegege- 
ve lyn AB fhydende in 
9, Oi zo is ONO de 
plaats van D op de Jom^ 
en het overige van de 
geheele Parabole, is de 
plaats van D op het v^r- 
fchil. 

III. W B R K S T V K. 

Drie geiurtge evenredige 
te vinden ^ van de welke de 
eene uytttrjle gelyk is aan ee» 
gegevelyna. 

fhMSHe. Maakt op AH, 

^elykiïV een Vierkant; enbe- 

chryft een Parabole, met AH 

als Rechtezy de , uyt A als Top, 

cnopAGaisAs, als AC FCi 

ofopAHals As, alsArFr: 

beyde nanze door F: haalt ook de lioeklyn AFD. 

Hebbende dan getogen een lyn evcnwydig aan AG , wel- 
ke, of zyn verlengde, ontmoet AH en GF, of haare ver- 
lengde, in Ben in E, de hoeklyn in D , cndeKronunely- 
neninCeninr: zo zullen BE : BD: BC,ook BEiBriBD 
gedurig evenredig zyn, daar af de ccnc uyttcrftc BE gelyk^is 
aan de g^cve lyn a. 




% 



H X 



IV. Wbrk- 



IIZ 



Het II Bock, 
IV. Werkstuk. 




yier evenredige te vinden y van de welke de eerfie is als 
een gegeve lyna^ ende vierde gelyk de Sim van de twee 
middelfte, of dat ^/x/Z^/x +7 evenredig zyn. 

Conftru3ie. Maakt een Vier- 
kant of een Ruyt AEMF, 
waar van ydcr zyde zo lang 
is als de g^eve lyn a^ en 
haalt de hoeklyn AM^ 
neemt, in zyn verlengde, 
MN gelyk MA. Dan be- 
fchryft een Hyperbole die 
door N g^t, en waar van 
dat EM CU FM de Afymp- 
tod zyn. Dan getogen uyt 
eenig punt van deze Krom- 
me , als hier uyt C , een gelykwydige aan ME , ontmoetende 
deverlengdeAEinB: zozyn AE/AB//BC/AB-J-BCdc 
begeerde evenredige. 

Haalt men zyn tegengeftelde , die door A saat: zo zal die 
konnen dienen , als men begeerde dat de vieroe evenredige zo 
lang zoude moeten wezen als het verfibil tuflchen de twee mid- 
delue. Dat deel van heax 9 dat boven de verlengde van EA 
valt, paft op X — y voor de vierde , en dat daar onder valt 
opjf — X voor dezelve. EAjAbllbclbc — A* zyn dan de 
begeerde. 

V. W E R K S T U K. 

P^an een gegeve lyn agelykbenige Drie- 
hoeken te maken. 

Stellende AD of DC 00 *• , de hangende 
DBooj', zovindmenjty coi^— ^;r, een 
Parabole, en daar uyt deze 




Qm/lrac^ 




Van de Kromlxkischb Plaateen. 113 

OmftruSie. Neemt AN gelyk^^; 
en befchi'vft een Parabolc uyt N als 
Top , op W A als As , met a aïs Rech- 
tezydc. Getogen hebbende uyt A 
een rechthoekijge op AN , (nydende 
de Kromme m O, 20 is ON de 
Plaats van het pun t . Nemende daar 
in B na welgevallen , zo trekt uyt 

B een boog diedoor A gaat , fhyden- 

c K C «deAN, onsyn verlengde, in C; dan 
gehaalt BA BC 9 20 is ABC een gelykbenigen Driehoek, 
wiens drie zyden zo lang zyn als de gegeve lyn s. 

Wil men dat de Beenen min de grond zo lang zullen ivezen als 
de gegeve lyn a^ zo is de oneynde verlengde NBO aan O , of 
het overige van de Parabole , de Plaats van het punt B. 

VI. Werkstuk. 

Achthoekige Driehoeken te maken van etngegeve Omtrek. 

Conjlruffie. Maakt een Vierkant AM, 
waar van yder zyde zo lang is als de 
drie zyden van de b^eerde Driehoek: 
dan befchryft een Hyperbole met IM 
en MD als Afymptoti j die door het 
midden van AD , of van AI gaat, 
dat is door O of O: zo isdatde^van 
de Kromme , begrepen binnen het 
Vierkant , de plaats van het punt C : 
waar uyt getogen CB rechthoekig op AD , en gehaalt CA, 
zo is ACB een van de begeerde Driehoeken. 

Het overige van de Hyperbole dient om Rechthoekige Drie-' 
hoeken te vinden , voiens Schuynze en het eene Been ko lang is als 
het ander Been 4- een gegeve lyn AD. De tegengeftelde dient 
wn Rechthoekige Driehoeken te vinden, mens firn der Beenên — 
de Schuynze gelyk^is aan een gegeve lyn AD : A voor het punt 
nemende waar uyt de Schuynze getrokken werd. 




Vn, Werk- 



"4 



H t T II Bo B K. 

VII. Werkstuk. 




Gegeven zynde drte 
5/ punten AjB.C^ineen 
rechtelyn zynde, even- 
ver van elkander af : 
alle de punten D tevm- 
den^ waar uyt £etegen 
DA DB DC, datde 
aADC is gelyk aan 
het u DB .• flf. dat 
AD: BD." CD gedurig evenredig zm. 

DE een Perpendiculaar zynde , en ftdiendc AB of BC x «, 
BE»* , en ED»)», zo vind men voor de Vierkanten van 
AD BD CD. 

xx-\-yy + iax-\-aa: xx-^yy: xx-^yy-^iax-^as. 
Vermenigvuldigt de uytterftc, en vei^elekcn met het Vier- 
kant vannctmiddelfte,engereducoert, komtyyxxx — iod, 
een gelykzydigc Hypóbole. 

VIII. Werkstuk. 

Gegevek xynde tenGrkil: de plaatsvan het Oogte vin- 
dm, om dezehe ciratlariter op ee» gegeve Glas te zien. 
Uyt de Mathemacifche Oeffening van Br. vanScho- 
ten, voorgeflelc enverktaatc ^ooiClauMus Mylon. 

' De g^cve Cirkel 'a 

VtJ; AKB: men b^certal- 

'^ Ie de punten E te vin- 

den , daar in men het 
O^ moet houden, op 
dat , indien men van 
daar na de Cirkel AKB 
liet , de zelve hem op 
het gegeve Glas GF 
mede circularitcr ver- 
toont , dat is zodanig , 
dat NO medecen Cir- 
kel is. 

Aan- 



if'ji^ 




fo 



Van de Kromlikischi Plaateen, iijp 

Aanmerkt dat BCR, gaande door het Middelpunt H , recht- 
hoekig loopt door GI , oc grond van het Glas ; of defnee van 
het Glas en het Vlak waar in het gegcve Rond AKB. is , en dat 
CS, in het Glas getogen, mede op GI rechthoekig (biat, 7S} 
meet de hoek SCB af , na de 6 Bepaling van het 1 1 BockEu- 
clides, ofnaonze44Bemling, de helling, ofdeneygingvan 
het Glas GF en het Vlak in de welke het Rond AKB is. 

Dewyl , na 't 5 Voorftel van 't I Boek der Conifche Sec- 
tien van Appollonius, de Driehoek EON eelykhoekiff moet 
wezen aan de Driehoek E A B , en zodanig , dat ENO zo 
wyd is als EBA , zal NO zo wel een Cirkel wezen als AB, 
2o volgt dat de Driehoeken EBR en EAR mede gelykhoe- 
kig zyn , dewylze in R een hoek gemeen hebben , en de 
hoek EBR, of ENO, gelyk is aan de hoekAER, omdat 
ON en ER evenwydig zyn. Overzulx is 't, 

A Bco> ER tot RA , als RB tot ER 

ARoO'*' J( *• // ^+* y 

ER x> dies is yyxoxfC'^-bx^ een gelykzydige Hy- 

pcrbolc , wiens Top is A , en Dwarfè AB. 
Indien men dan uyt A als Top , op AR als Middellyn , met 
AB als Dwarfe, en ook als Kechtezyde, en NCA als be- 
wcc^lykc hoek , in 't Vlak ACN , een Hyperbolebefchryft : 
20 zal dat gedeelte , 't welk aan de andere zyde van het Glas is 
als daar het Rond is, de Plaats van het Oog zyn, omhetge- 
;cve Rond , op het g^eve Vlak GF , als een Rond te zien : 
iet zyof GF ïchieef ot rechthoekig Ifcaat op het Vlak waai* in 
Jbct gegeve Rond is. De tegengeirelde kan mede hier toe die- 
nen: maar dan valt NO in de verlengde NC aan C. 

Men vind mede dat het Oog O in 
een Hyperbole moet gehouden wer- 
den ( in het 316 Voorbeelt van de 
InleydingtotdeWiskunft) om DE 
\ altyd zo lanjg te zien als EF , de 

\ wyl men alc&ar gevonden heeft yy 

;\\ oo^fATAT + ió (BCco4,BOa>Ar, 
•••'•• ,\ en van C tot aan x , de Applicata 
J2::i;^o 00 jr zynde) welke Kromme valt in 
"^ het verlengde Vlak van DOBD , 
4^ neerwaarts 5 wiens Top is B , Mid- 
delpunt C , en welkers Rechtezy- 
dc is4i, of de helft van BD. 

P 2 rmi 



ti6 



Het II B o Ê K, 



IX. Werkstuk. 

y$nd een Gcomctiïce Progrejfie van drie Terthen^ 
zodanige indien men van de s^ve aftrekt driegegevely- 
nena.byCydat de refien zjn een AnihmtticcfrogreJ/ie. 

StcUc de Arithtnetice progreflie te wezen ^ 

*■: *+/: -y + iy 
zo is de Geometrice progreflie 

yan deze laatfte , het gemultipliceerde van de twee uytterftc 
vergeleken met het Vierkant van het middelfte , en geredu- 
ert, komt 

jy'G0+2.^y+^wr + ^ — rby^cx — hb — ^bx 
Stellende ^00^+^—2*, en qoDa—b^ menvind 

y 30 J+ V* ap 'i'px , een Pai-abole. 

ConflruSie. Nemende A voor 
het begin van x , en AB voor 
zyn vervolg: zo maakt AI xy, 
in een hoek B AI na believen , 
en trekt 1 L evenwydig aan AB: 
verlengt deze van I af tot N , 
zulxdat IN is 00 4: en trekt uyt 
N alsTop,op NI als MiddcUyn, 
metp alsKcchtezyde, en BAX 
als beweeglyke hoek , dcParsu* 
bole NOC ; zo is OC de bc 
geerde plaats van y ^ dat is, 
trekkende uyt eenig punt van 
de zelve , als uyt C , de rech- 
te CB, evenwydig aan AI, 
zoisdiexy, cnABx^r^waar 
door al de reft openbaar IS. Maar 
om hen alle meteen trek te vin- 
den y ZO maakt NM gelyk en 
evenwydig aan AI ; en trekt 
uyt M als Top , op de even- 
wydige aan AB als Middellyn , 
met 4^ als Rechtezyde , en 
B AI als beweeglyke boek , een 

andere 




Vande Kromlinische Plaatzen. 117 

andere Parabole NOD. Trek mede de evenwydi» lynen 
AE QF KG PH, zulx dat BE is gelyk AB , ÉGcdo^, 
EFcDO*, en EHxr. Trekkende dan de rechte DH, ge- 
lykwydig aan AI : zo zal £B EG ED de begeerde Arith^ 
meticcj en GB FC HD de begeerde Geometrice progreflic 
wezen , om dat DC is gplyk CB , en BE gelyk BA . Trekt 
men een andere rechte DH , evenwydig aan de eerfte , men 
heeft wederom twee andere zodanige Progreilien. 

X. Werkstuk. 

Drie gedurige evenredige te vinden , van de welke de 
forti , rf ook het verfchil der middelfie en een der uyt^ 
terfie , gelyk is aan een gegeve lyn a. 

Stellende de eerfte xjr , de tweede 00 jf , zo is de derde 
zoa — y op de fbm , en ooa+y op het verfchil : dies heeft 
mcnyyo^ax — .x-yopdefom, en 17 Xüx + xy op het ver- 
fchil. 

cfyoDT{^±y^-ix^'haXj een Hyperbole. 

Qm/iruffie. AB de lyn 
van X zynde , en A zyn 
begin, zo maakt op AH, 
genomen na believen , een 
halfrond; en in de Omtrek 
HK 30 ^ HA nemende , en 
trekkende AKL , zo is die 
de Middellyn , of de As» 
om dat AKH recht is : 
daarom , bcfchrvft opdeze 
als As , door A als Top, 
met 1 4 1/5 als Rechtezyoe, 
en ia 1/3 als Dwarfe , een 
geheele Hyperbole CAC. 
Nemende dan iii AH , of 
in zyn verlengde , een punt 
B na believen , en daar door 
halende een rechte CBC , evenwydig aan HK , ftotende de 
Kromme in C C: zo is ABoo Jif en BC ooy . De koi-fte BC 
paft op de fbm, en de langfte BC op het verfchil. 
En , hebbende getogen AE evenwydig aan KH , en zo 

P 3 lang 





ii8 Het II Boek. 

lang genomen als ^ , en gehaalt ED gelykwydig aan AB, 

fnydendc de verlengde BC in D : zo is de korfte E)C x a jr, 

en de langfte DCaxi+j^ , de derde evenredige : 20 dat 
AB, BC korfte, DC korfte ; oök AB , BC langfte, DC 
langfte, gedurig evenredig zyn. 

Men kan deze iEquatie mede toepaflèn op de Hypcrbolc 
en zyn Afymptoti. 

Ete gevonde iEquatic ± %y -¥yy — êx 00 o , • 
deelende door Tj' + ^ j komt — x t j^ — ^ 

ConfiruSie. Hebbende AE, 
rechthoekig op AB , ge- 
nomen oou , en getc^en 
door E een evenwydige 
aan AB , en daar in geno- 
men EG , ter linker zyde, 
00 EA, enGM, mede ter 
linker zyde, ook 00 EA, 
en gehaalt MF evenwydig 
^ ^^ , _ aan GA : zo zullen ME 

en MF de Alymptoü zyn , waar van de Hyperbole moet 
lopen door A. Dan getogen DCBC evenwydig aan AE , 
of rechthoekig door AB : zo zullen AB BC DC van bete- 
kenis zyn als hier voren : ja het is de zelfde Hyperbole, om 
dat AM isx^yj. 

XL Werkstuk. 

Gigevm zjfidt 
twtt oneyndige 
rechte lynen AB en 
AD, elkander fny- 
dendeinA\ aïlede 
punten C te vin-^ 
den , wagruyt ge- 
togen CB rechthoe- 
kigop Ah, enCD 
zodanig op AD, 

dat de^'d^QXi zo 
groot is ah het 
n van een gegeve 
lyn AF. Trek- 




Van deKnoMLXNiscHE Plaatzen. n^ 

Trekke FK rechthoekig op AB, ftotendc AD in K, en 
vcrlcngc BC mede tot AD in E. 

Stelle AF 00 », de gegcvc lyn 
FKoo* 
AKio^ 
ABco** 
BCcDj^ 

20 is CD 00 7. 
AF»/FK*/ABAr? komt^^ooBE, 

AF n/AKc / CD2^ ? komt y ooCE. 

560 is dan *-~xj±-y, ofxy — j-jyfT'-y^xo 

gcdeclt door — y j komt — ^+"f-J^* 

Stellende at 00 o , zo vind men y 00 yen. 

Conjlrudie. Uyt de Deeler — y Wykt dat AB is de cenc 
Afymptotus , en uyt het quotiënt , dat AD is de andere A- 
fymptotus: want nemende AH, evenwydigaan EK,oot, 
en HK , cvenwyd^ a» AF ,00», 20 valt K in AD. En 
uyt^ooy^wblykt, AG ooAK nemende, en makende op GF 
een halfrond, ihydende AH in O , dat O een punt is van 
de Kromme : en halende OSN evcnwydig aan AB , en ne- 
mende SN X SO , 20 is N een punt van de weergade der 
oeene die door O gaat. Befchi-yvende dan Hyperbolen die 
door O en ook door N gaan , met AF en AK als Afymp- 
toti i zo zullen deze , en ook haare tegengeftelde , bevatten 
alle de punten C« 

Reduceert men de i£quatie op j^ , zo vind men 

> 00^7 *• ± V'^^^ T <r» , oen Hyperbole op de Middellyn, 

waar door men vind de zelve Kromme , maar met meerder 
moeyte. 

XIÏ. W £ H K S T V K. 

Drit ^wrigt ivemrtSgt u vmien 9 welkers fomgélyk 
is urn tm gigtve lyn a. 

Stelle de eerfte 00 ^r , de tweede 00 y , zo is de derde'óo a—x 
— y , en daarom is jryx — xy'¥ax — xx , ofyoo — ^x± 
y.Mx — ixx , zyndc de zelfde ^Equatie die hier voren pagina 
105 bevonden is aat in een Rond kan vallen , die anders ichy nt 
een EUipfis te zullen wezen. 



IIO 



Hbt 




II Boek, 

OmftruSie. Maakt ccn gelyk- 
zydigen Driehoek AOE A , waar 
van yder zyde zo lang is als de 
gegevc lyn a j en befcnryft hicr^ 
om een Rond j enhaaltGOeven- 
wydigaanËA. Halende dan door 
eenig punt van AO een lyn even- 
wy^g aan OE , tuflchen A en 
O, ontmoetende het Rond in C, 
AÓ in B, OG in G, en AEin 
F: zo zullen FB, BC, CG ge- 
durig evenredig zyn , en haare 
lom FG is zo lang als EO , of 
als de gegeve lyn 4. 




XIII. W E^R K S T ü K. 

Gegeven zynde een rechte lyn 
AB 9 en éénpunt D : aUedepun^ 
ten C te vinden , waar uyt geto- 
gen een rechte tot D , en eenan* 
der tot AB in een gegeve hoek, 
ah CB 9 zodanig dat CD mid^ 
den evenredig is tuffen CB en een 
gegeve lyn b. 

Trekke DA tot AB in de gege- 
ve hoek , of cvenwydig aan C B : 
hale DE rechthoekig op AB , DF 
zodanig op BC , en AK evenwy- 
dig aan DF , fhydende de verlengde CB in K. 

men vind met wcy nig moeyte^y 00 i^iy + ^ — aa- 

een Rond, om dat de hoek van x ea y bcfloten recht is. 
Waar uyt wy hebben deze 



ADxii 

DEx^ 

AEoo^ 

AKco^ 

KCoojr 



hd 



éd 



X — XX 



Cón^ 




Vande KnoMLiNiscHfi Plaatzbk. . 121 

Con^ruffie. Trekt DAtotAB 
in de gegcvc hoek , en verlengt 
hem opwaarts als men BC boven 
c AB wil hebben,anders neerwaarts, 
zodanig dat Dl zo lang is als de 
helft van de gegevc lyn b j en 
trekt door I een rechthoekige op 
Dl , (hydende de verlengde UE , 
rechthoekig op AB , in M : dan 
maakt op AI een halfrond , en 
neemt, m zyn omtrek , AS zo 
lang als AD, en, inde Middel- 
lyn, IP zo lang als IS: dan be- 
fchryftuyt M Soor P een Rond: 
hier in zyn alle de punten C. 

Uyt eenig punt van dit Rond 
getogen hebbende een evenwydi- 
ge aan AD , als hier CCB , en ge- 
trokken CD : zo is CD midoen 
evenredig tuflchen CB en de ge* 
geve lyn b. Deze lyn b moetin de 
tweeue figuur,alwaar het punt D, 
en de lyn CB, aan onderfcheydenc 
zyden van AB zyn , lanecr wezen 
als 4 maal AD, op dat AI groter is als AD, of als AS. 

Is D in AB, zo verdwynt het halfrond op AI : het Rond 
loopt door D: men heeft dan ook yoo\b ±Y.ibb — xx^ 
Is ae gegeve hoek recht , zo valt E in A , endaaromMinI : 
zo is dan MP co MS : dies gaat het Rond door S. Is daaren 
boven nog D in A , dat is D in AB , zo valt S mede in 
A, en IA is de Straal van het Rond waar in alledepunten 
C zyn. 

XIV. Werkstuk. 

Gegeven zynde een rechte lyn AE» 
en éénpunt D , buyten deze lyn : alk 
de punten C te vinden^ uyt dewelke ge^ 
togen een rechte tot D, en een ander 
rechthoekig op AE ; dat CD tot CË 





bebbe een gegeve reden ds n tot p. 



Trekt 



IlX 




DAco^ 
BCoo> 



H ^ T II B o E K, ^ 

Trekt DA rechthoekig op AE, en CS 
zodanig op AD , of op zyn verlengde. 

In deze is DB cd •*• — a ; hy kari ook 
wezen m — x: by welkers Vierkant ver- 
gaart het Vierkant van BC , - komt yy 
J^xx — itfAT+iM voor het Vierkant van 
CD : en om dat CE is oo .^ , zo is \yy 
^xx — ^ax'^aa tot xx , als nn tot pp: 
hier doe»* heelt men 
tpyy GO — aapp + lapp x + nnxx —ppxx. 

Is dan p groter als n , 



Zoisj^OO±V-— ^+2^— ^-^TT^**"-^» ccnEUipJif. 

Maar is p kleender als n , 

zoisjrco±V'- — Ai+2AV+^^^^^^xx, ccn Hyperbole. 
Dcwyl alhier geen Rationale is, zo is AD de Middellyn. 
In het Surdifchc xooa nemende, dat is B in D , zo vind 

men jf 00 y , waar door men heeft een punt van de Krom- 
me. 

Op èt ElHpfis. Om de Toppen te vinden , het Surdifche , 
ofjrxoflelknde. 

Zo heeft men xx:x^ ^ïl^j^,l^—x 

of Ar;r co— i/+ 24^ 'Aftellende do3-^^— 
of xo^+d±i/.d—a^ 

Confiruéfie. Maakt AF x » , 
in AE of in zyn verlengde, en 
trekt door F een evcnwydige 
aan AD, alsFG: dan haalt uyt 
A als Middelpunt , met p als 
Straal, een boog, fnydendeFG 
in G : dan trekt AG , Ihydende 
DK , dit rechthoekig op AD 
ftaat , in H : haalt HM recht- 
hoekig op AG , ontmoetende AD iri M : ( zo is AMxi/, 
enHMxj/.i' — a^d): danneemtMNenMQjrderxMH, 
zo is NOde Dwarfc. Haalt Dl evenwydig MH , en maakt 
DO , in DK , X Dl , zo is O een punt van de Kromme , 

omdatDIx^is. • \ 

^ Dl 







Van de Kromi^ibtiscbe Plaateen, iï; 
IA is ook dfr lulve Rcchfêzjde. Vo^fD» de aaEekening 

p^naS/ , M is de halve Redwzydc so^^^p^ nwt MN , 
of met MH ganultipliccrrt ; dies zyii ppf pf—mU MH/ 
de halve Rjechtezyde , evenredig , dat is, 't D AG tot 't D FG , 
oTraAM tüthet DAH, ofj\MtotAD, ah MH tot de 
halve Rechtezyde , dat is Iner tot Dl. 

Hebbende , dan bcfchrcvcn een ElHpJis , op NQ^als As , 
Toa het tweevoud van Dl als Rechtezyde , ao is deze gebeele 
Kromme de Plaats van het punt C , om dat ji lo wel een 
— kan wezen als een + , en om dat geen gedeelte van de 
Kromme kan vallen ter Hnker lyde van AE , om dat AM 
gnater is als MH , of als MN. 

OpdeHyferhott. HetSnrdifeheotïoftellende , omdc Top- 
pen te bepalen , zo »I men, rfco^-^^^^fteilende, vinden 
*30 — d±^.d-¥a^ 

COj/Iraffif. Haalt DV even- 
wyd^ aan AE , en neemt 
dflgtrm.DKcop : haalt ook 
KG gelykwydig aan DA , 
en maakt dat DG iscow. 
Trdtt door H , defneevan 
AE en DG , een reChte 
MHV , rechthoekig door 
DG, ontmoetende oc ver- 
lengdcDA inM, endever* 
lciifflieDKinV:(zoisAM 
»J, cnMHooy'.</+*,-rf} : 
dan neemt MN en MOydcr x MH , zo is NOde D warfc. 
Genomen hebbende in DV, DO zo lang als HV, ao is O 
een punt van de Kromme. 

Ows is HV de halve Rechtezyde. Volgens de voornoem- 
de aantekening zo is -—^^ met MNgemuItipliceertdchalvc 
Rechtezyde, of />^/ m — pplf MN/ halve Rishozyde, zyn 
evenredig, ^tis, het O DK tot het D KG, of het DMA 
tot het DAH, ofMAtotAD, als MH, ofMNtotHVi 
die daarom is de halve Rechtezyde. 

Hebbende dan bcfchrcven twee Hyperbolen , door N en 
Q als Toppen , met QN als Dwarie , en ook als As , en 
met X maal HV als Rechtezyde : zo zullen deze twee te- 



1^4 H E T II B o Ê K, 

«gengeftelde Hyperbolen de Plaats wezen van het punt C : 
xiict alleen om dat , als voren , de jf zo wel een — kan we- 
zen als een + , maar ook om dat de x in deze een — kan 

Is ^000, zo verdwynt de Term met ocx gemultipliceert , 
en ésssi heeft men in oeyde de ^quatien 

j^x±y. — aa+xax ^ een ParaboJe. 

ditx oftellende , zo is*- » 1 tf ; aanwy- 
zendc dat de Top M is in het midden 
van AD , en dat de Rechtczyde is 
GO 2tf , of GO X maal AD , of dat ze 
4 maal groter is als DM : en alzo 
blykt, in deze , dat D het Brantpunt 

hao^Oy ofvaltDinA, zohebben 
wy ppyy oo nnxx — pfxx 

ofy ^ •'"»— ff j^ ^ een Recbtelyn. 
f 

XV. Werkstuk. . 

Indien mm hebben wil dat het vieT'- 
kant van CD zo groot is ahdegelykzy- 
dige driehoek (7p BC » mits dat de hoek 
ABC recht is, en dat AB en D gege- 
ven zjn. 

Aanmerkt DA rechthoekig op AB, en 
DF zodanig op CB , 
Txyy'mdmcnxx +yy — %ay+aaa:)yyy^ 
ofyy — yyY-iz oo a^ — ^^ — xx 
of j'GO^iy''»» — » — f*^^ 

Stellende a go d'eenheit ^ en »go r — V4 





DAgo^ 
ABgoj^ 
BCgojt 



Hier 



-•5 — 




Van de Kromlinischs PLAATXEK. 'iij- 

Hier uyt vinden wy deze 

OmjlruSie. Trekt DA recht- 
hoekig op AB , en neemt AG, 
in de lyn AB , zo lang als AD : 
hier op befchryft een halfrond , 
en meet af, in zyn middelly n y 
AI gelyk ^ van AG , en trekt 
delootlynlH, ftotendc de om- 
trek in H : dan genomen AK 

;elykAH,zoisGKoo i—^-^. 

Dan trekt KS gelyk en evenwy- 
digaian AD , engetocenGSM , 
ontmoetende de verlengde AD 

aanDinM,zoisAMco ._!v t 

of CO». Dan befchryft op AM 
een halfrond , fiiydende de ver^ 
lengde SD in P : dan haalt PR evenwydig aan MG , fto- 
tende de verlengde MA in R. Getogen hebbende door M 
een cvenwydige aan AB , zo neemt daarin aan weerzyden van 
M , de lynen MN en MQ^yder 2» lang als DP. Dan be- 
fchryft een £%& op QN als As, methettwovoudvan DR 
als Rechtezyde : deze zyne geheelc Omtrek is de plaats van 
het punt C. 

XVI. Werkstuk. 

Maar wil men dat het Vierkant van 
^ hCzo groot zal wezen ah de gelykzy- 
dige Driehoek op CD > 

2k) zal men bevinden dat het punt Czal 
vallen over d in de Omtrek van een Hyper- 
bok , en ook in zyn tegeMefteWe. 

Multiplicerende het D CD .00 ^^ + JQT 

ofyyco—ipyi-f-hp^x: ^xi, en/xi:^^ 
o£ yoj—p±V^PP+P+P^^ 




aj 



Hier 




llé H fi T II B o £ K, 

Hier uyt vinden wy deze 

OmfiruBie. Trekt 
Da rechthoekig op 
AB, en maakt hier 
op een halfrond , en 
neemt, inde Middel- 
ïyn, AI 00 Tï van 
AD,enhaaltdeper- 
pendicuIaarIH,fto- 
tcndc de Omtrek in 
H: dan neemt, in 
AD, AKzolangals 
AH, en zoekt een 
vierdecvenredige tot 
DK,KA,DA:dc 
gevondene zet neer- 
waarts in de verleng* 
deDA aan A jdittot 
in M vallende, zo is 
AM X p* Dan beichryfi; <^ MD een halfrond , (hydende 
AB, of zyn verlengde m P : dan haak MPS, ontmoetende 
de evenwydtjge aan AB» door D getogpti, in S. Dan neemt 
in AD , en m zyn verlengde aan A , MN en MQ^, op en 
ook neerwaarts , yder zo lang als MP. Befchreven heboen- 
de Hyperholen door N endoor Q^alshaareToppen , of op NQ^ 
als Imre As, met het tweevoud van PS als Rechtezyae : zo 
zullen de gieheele Omtrekken van deze twee Kromme de plaats 
^anwyzefi waar in het punt C mag genomen werden na be- 
lieven. 

XVII. Werkstuk. 

Maar wil men dathetVierkantvan 
CD zê groot zal wezen ds de Recht* 
hoekvoM CB en BA ; de lyn AB en het 
punt D gegeven zynde, DA en CB bej* 
de rechthoekig op AB vallende. - 

Zo vind men het punt C wederom te 
wezen in een Ellipfis, dicwyopdczcwyze 

Om* 




vinden. 




Van de Kromi^iniscbe Pi^a^atzen. ixy 

CmftrtiéHe. Tiekt ÖA wfhtiockig 

op AB , en door D een even wydige 

aan AB : neemt daar m DE en ER 

yder gclyk 4 DA j ook RN , even- 

wydig aan BC, van AB af, mede 

;elyk | AB: dan haalt DN; en, in 

iMO, cvcnwydigaan BC , geno- 

men MO od y^^sa , DA ao* wezen- 

de, zobefchryfteenEUipfis, op DN 

als Middellyn , met DMÓ als beweeg- 

lykeboek, die door O loopt , of waar 

van dat MO «de halve Verkeerde is ; of wiens halve Rechte- 

2yde is de derde evoiredige tot DM en MO : in deze ÉÏrom- 

me zyjD » in dk geval , alle de punten C. 

XVIÏL Werkstuk. 

Gegtvm zynde twee pun- 
ten A en E : alk de punten 
C te vinden, waaruyttrek^ 
kende CA en CB, dat haar 
verfchily afhaarfomj gefyk 
is aan eengigevelyn Q. 

Stelle , in 't eerfte geval op het verfibil^ 

ACpoz+*, zoisBCcoz — *. 
en, in't^w^^ifgevalopdeySw, 

ACaD*+2, zo is BC 30* — 2. 




AHofHBoo^ 
Qpox* 
HDco^ 



DCcoj^ . 

zo is 't in bcyde , om dat ADcx)^+^ 9 «i DBoo j 

óf cx)*" — ^ is. 

't O AC COZZ+ ite + W X AI+ U^ + JTAT +J5y 

'tDBCx2J25 — afe + Woo^^ — lax'^xx'^yy 



■•» 



afgetc^cn , rcft i^z 
<rf^2;oox • dies isrzco ^^ 



CO 

AtLXX 



en xhz X ^ax 
daarom is ^-^ + %ax+bbZoaa^tax'{-xx+yy 



ofyyoD—aa+bk-^ 



éé — yy 



XX 



een Ityperbole als a groter is als * 9 gelyk dan wanneer ib 
het verfchil is: maar een Etlspjls als b groter is als n, 
dan plaats hebbende als ifr ditjom is. 



Hier 



fls 



H 



E T 



II Boek 



Hier uyt vinden wy deze 
\fig. op Qj oï%h\verfchil. 




%fig. op Q^ of X* dcyS;», 



CwfiruSie. Trekt 
AR in de i*. , maar 
AV in de x*, figuur 
rechthoekig op AB, 
en maakt op AH een 
halfrond : dan trekt 
uytH^met b alsS(raal; 
een boog , fhydende 
AB, of zyn verleng- 
de in Q^enin N, en 
het halfrond inde i^, 
maar de perpendicu- 
laar uyt A inde xefi* 
guurmV: dan haalt 
HV, welkers verleng- 
de, in de 1^ figuur, 
ftoot de jperpendicu- 
laar uyt A in R , en 
fiiyt in de x* fijguur , 
het haIfi*ond m R. 
Danbefchryftop QN 
als As, met het twee- 
voud van VR als 
Rechtezyde , in de 
i«. figuur een Hyper- 
bole , en in de i"" fi- 
guur een Ellipfis : deze haare geheele Omtrek is de plaats 
van het punt C. 

A en B zyn de Brantpunten. 

XIX. Werkstuk. 

Gegeven zynde twee pun- 
ten hen ^: alle de punten 
C te vinden j waar uyt trek- 
ken CA en CB ^ en ook de 
hangende CD op AB, zo^ 
danig dat AC+CB is tot 
AB, ^AD— BD is tot 

AC— CB 





AH,ofHBcotf HDco*- 
DCxjr BCco2 



Van de Kromliniscitb Pl a Atzek. 12^ 

AC — CB t éds een gegeve lyn b tot a. Kinkhuyzcn 
in zy n Geometria pagina 115. 

Dewyl , na 't eeffte , evenncdigzyn AC + CB/ %a}l b ja : 
zo is AC + CBoox*, en daarom ACoox* — z. 

En, om dat na het tweede, evenredie zyn AD — BE)/ 
ACf— CB//t/tfjenAD— BDisoo2Ar,daaromisAC— CB 



O) 



xax 



en derhalven ACe» 2; 



xax 



Op de manier van 't laatfte voorbeelt , vind men z x * 

— ^' , en vervolgens 
yyo:>—aa + bb+tlzz^xx , een £///>/&, om dat * gro. 

ter moet wezen als tf. 1 1 zl 

En om dat deze iEquatie overeenkomt met de laait ge- 
■vondene , ^ kan ook dienen de zalfde Conttruftie voor zo 

veel de Ellipfis aangaat. ^ ^ ^ . ,,tx 

Maar had men gewilt /&^ AC— CB tot AB, o/ AD + BD 
m AC+CB umde %.yn als b tot a y zo zou men het zelfde 
vinden: maar om dat b dan kleender moet gegeven werden 
als tf , zo zal het punt C dan vallen mccaHyperboie: en men 
vind de As en de Rechtezydc als hier even is aangewezen. 

XX. Werkstuk. 

Gegevenzynde een Rond 
wiens middelpunt is Af en 
een punt B: alle de punten 
Cte vinden 9 waar ujt men 
Ronden kantrekken, raken- 
de het gegeve Rond , 
gaande door B. 

Trekt AB AC BC , 
CD rechthoekig op AB. 

Lïwt E het raakpunt we- 
zen ; H het midden van AB, 
en P het midden van AE. 

* 

Stelle AH, ofHBco* 

AP, ofPEco* 

HD30* 
enDCcojF „ , 

R, Stcl- 




m 



en 



t^ H E T II Boek, 

StdfcndePC»»,2oie,indcccrftefiguur, ACx«+*, 

cnBCoo^ — i^: maar, in de tweede figuur, is dan AC co* 4- 2, 
en BCoo*— 2- 

Dewyl de drie zydenvan de Driehoek ABCA op de zelf- 
de wyze , en met de zelfde letteren^ afgebedt zyn als in 





het 1 8 Wcrkftuk , zo zal men ook vinden de zelfde -fiqua- 
cie» en daarom zal ook konnen dienen de zelfde Conflni&ie 

tot 



Van de Kromliniscitk Plaateen. i^i 
tot de vinding van de plaats van het punt C , en by gevolg 
zullen het ook de zelfde Kromme lynen wQZcn : een Hyper- 
bole als de Ronden elkander van buyten raken , en een El- 
lipfis als ze elkander van binnen aanroeren ; gclyk te zien is 
in de twee voorgaande figuren. 

XXI. Werkstuk. 

Gegeven zynde twee 
Ronden wiens mddehun-^ 
ten zyn A mB: alle de 
punten C te vinden y waar 
uyt Randen konnengetrok' 
ken werden y rakende de 
gegevene RandeninE en¥. 

Getogen hebbende CA 
CB , en de perpendiculaar 
CD, op AB , of op zyn 
verlengde, zo laat H het 
midden wezen van AB j AO 
het veifchil tuffchen AE 
en BF in de eerftc figuur, 
en AO gelyk de ibm van 
AE en BF in de tweede 
en derde figuur ; en P het 
midden van AO. 

Stelle AH,ofHB co iï 
AP,ofPOco* 
HDco^ 
DCx> 
cnCPx» 
Zo is wederom ACcD^+^y en BCooz — * in de i*en 
2* figuur ; maar AC isco*+2;, en BC is oo * — z in de 
5* figuur: en daarom vinden wy wederom de zelfde .£qua« 
tien , en alzo volgt wederom de zelfde Conftruftie » als te zien 
is in de drie volgende figuren. 





R X 



XXn. Werk. 



tp, 



H B « II Boek». 





Vandc Kaomlm^ische Plaatzen. 1.3.5 





AEoo* 



XXII. W E R K 8 Tü K.. 

Gegeven zynde een rechte 
ïjnB yen een Rand mens tnid- 
delfunt is A : alle de punten C 
t e vinden j waar uyt men Kon- 
den kan trekken, rakende dege^ 
geveljnin L^enhetRondinE. 

Trekt AIF rechthockigdoor 
de gegcve lyn B , hem ohimoe- 
tendc in I, en de Omtrek van- 
LC coy het gegeve Rond in F F. Haalt 

ook CL cvenwydig aan AI, en AD zodanig aan IL; ook 

AEC. 

20 is, inditgcval, ACcD*+y» en CDooj^— ^', w»r 
door men vind 

fcfr+ zby + yycoyy — lay A^aa+xx 
of^rAToo ih + iay + bb—aa^ een Parabete , 
Wiens Rechtezyde is ao 2* + m > dat is tweemaal langer ah 
IF boven de lyn B. 
Stelt men AT 00 o , 20 is — ^y — rayzo^b — aa^ 

of—y 00 ^-^ : annwyzendc 

dat de Top onder delyn B valt,in het midden van IF neerwaarts. 



1^4 H E T II B o E K, 

Stelt men jiooo, zo is xooy'.AA — aa : dies loopt de Pa- 
rabole door W , de fnyding van de lyn B en het gegeve 
Rond. A is het Brantpunt, 

Stelt men C in AE, of wil men dac het getrokkene Rond 
het gegevene inwendig zal raken , zo vind men voor de 
Rccntezyde iM — i*», dat is tweemaal langer als IF onderde 
lyn B, en men vind dat de Top moet wezen in het midden 
van IF boven de lyn B : ~ook dat ze mede door W loopt , 
en dat A het Branmunt is. 

Is I in F, of raakt de lyn ^ het gegeve Rond, zo is 'er 
maareen Paiabole, wiens Top in de mking valt , deandcre 
. wort een rechte lyn , om dat zyn Rechtezydeooo is. 

Cot^rnéiie. Trekt uyt A ccn lyn rechthoekig door de ge- 

Seve lyn B, tot dat hydeOmtrdc weerzyts ontmoet in F, 
' , en de lyn B in I : dan zoekt M het midden van IF. 
Dan befchrytt Parabolen , door M als Top , op MA als As , 
met viermaal MA als Rechtezyde : in deze zyn alle de pun- 
ten C , gclyk te zien is in de volgende figuren. 




XXIII. Werkstuk, 

Gegeven zynde drie punttn A, D, 
E , even ver van elkander af: aUe de 
funten C te vmden , de wéüte van het 
eene gegeve punt alleen zover if is alt 
van de twee andere te zamen. 

Laat C van E alleen zo ver af wezen 
als van A én D te zamen ; of laat CE zo 
BCcoi 1^ ^"^" *^5 CA+Cp. Trekke AF 
AFojz ^°^ '^ midden van DE, zo valt hy ctiar 
op rechthoekig : haale ook CB en CH 
rechthoekig op AF en op DE. _ _ 




Vande Kromlinische Plaatzen. 135* 
Dewyl CE 2x> lang moet wezen als CA en CD te zamen, 
zoishetaCE3oaCA+DCD+2i=iACD, dat is 
aa + ^ay +yy + zz — zzx '^xx^xx +yy +aa — zay + yy 
-¥zz — xzx + xx'^'xyera. of 

A0y-xx-yy:x^V ^ \ 4^^^-84y^^8^^j^jH-4zz^^-8z^3+4 

. i4^J(y — ö^JfJ +4J;* -^-^zyy—^zxyy 

bcyde in *t vierkant en gereduceert , mits ftellende T^aa voor 
en tfj/t^ voor z , die gelyk zyn , 



x^ 



zz 



yzoa^ 




mammam<^m»t»»mJÊ ^\ 



komty^+x^^^xxyy + f\aaxx — ^axyyy^ — l^ax^y^ 30 p 
hier uyt getrokken de Vierkante wortel 
komt yy + XX— i^axi/^ OD o 

of ycoy^^V^ — ^^9 ccn Rond. 
Het fiirdifche cd ofldlende, zo is .y 00 H^V^ » en ook co o. 
zo loopt dan de Kromme door A ; hy loopt ook door D : 
want, B in F zynde , of x 00^1/5 wezende , zo vind men 
en daarom C als dan in D. 

Gmftruffie. Indien men dan AF , die 
Go^Vg is , met FGcOyAF verlengt, 
en óp AG als Middellyn een Rond be- 
fchryft, zo zaldeboogb^rcpentuiTchen 
A en D , de plaats wezen van alle de 
punten C , wanneer CE zo lang is als 
de twee andere : maar dewyl de punten 
A , B , G onderling even ver van elkan- 
der af zyn, en om dat het Rond loopt door A en door D , en 
ook door E , om dat EF is x FD , en AG de Middellyn is, 
zo volgt dat ook C zal mogen genomen werden in de boog 
DE , mits dat CA dan zo lang is als de twee andere CD 
en CE y ook in de boog AE, mits dat CD dandelangfteis: 
zo dat de geheele Omtrek van het Rond , gaande door de 
punten A, D, E, de Plaats is van het begeerdepunt C. 

XXIV. Werkstuk. 

Gegeven zynde een plat Flak 
AH , ftaandefcheefhoekig op de 
Hmzont H K , langs wm Vlak 
men een Kloot laat ajhpen 9 van 
A beginnende^ tot in u: allede 
Punten C te vinden , tot waar 
toe dat uyt A 9 langs het plat 

Vkk 




1.^6 




Het II Boe k;^ 

Flak AC, de zelfde Kloot. kan 
af open : Jiellende de tjd die de 
Jiloot van doen heeft om van A 
tot in D te komen , tot de 7'yd 
die hy van doen heeft om van A 
tot in C over te^aan, als r 
tot s. 

Aanmerkt AK voor een han- 
gende op de Horizont , en C G 
voor een rechtftandige op AH. 

Stelle de Tyd die de Kloot van 
doen heeft om van A tot in D te 
komen oo ^ t en van A tot in 
BcDv. 

Door de gelykhoekigheit van 
de Driehoeken AHK en CBG , vind men AC ödV-^^ 

Om dat de bev^eging m een zelfde tyn gejchkdende , 'de door • 
gelopene lengte evenredig is metdevierkgntenvandeTyden: daar- 
om zyn evenredig , 

ADj / ABa: // ddl w^ ofwisGO— . 
Om dat de herweging in onderjcbeydene Jjnen gefihiedende , de 
doorgeloopene lengte evenredig is met de Tyden zelfs , vxtnneer 
ze in deze door loping de Horizont beyde evenveel naderen : daar- 
om ^yn gelykredig (dewyl ^ de Tyd is die de Kloot van 
doen heeft om van A tot in C te komen) 

ACy.xx+yy±^'/ ABx/l '^/ V. 

waar door men vind 



AKx^ 
HKgo* 
AUddc 

ADoDq 
A^ODX 

BCoDy 



cssddxx 



crrxx^cTryyi^ xbtfxy 

rr .» 



oov^x 



ddx 



en hier door j^yooT 

ofjrcoqp^±l/.^-^^+^, 

ofj^GOÏ— ±V'' — -^ XX 'i^ —qx ^cen Ellipjis ^o£cen Rond. 

Stelt men x oo 0,20 is ookjf x o: dies loopt de Kromme door 
A. Door het Rationale vind men dat AK is de Middellyn. 

Om het middelpunt en de Toppen te vinden , het Surdi- 
fche co o nemende , 

20 



»57 



Van de Kromlikische Plaatïen. 

20 vind men jf 30^^^^ ± -^^^-. 

cerftc voor AE , en het tweede voor ER en EA. 

rts.CD ALN/a ARK— xx+^lifsni ja AKaa/n AHcc 

CC aa cc m 

o£,C}AUJinU:—^xx+LLqxl/ aal 



aa 



waar uyt blykt dat het D LC 20 groot is als de a ALNj 
en om dat CLA is een rechte hoek , 20 wyft dit aan da bet 
punt C trveral h ia de Omtrekjcan bet Rond ^ wiens Middellyn, 

AN in deze is x-f/ > om dat ^ tot 4 is , ak AR '-^-^^ tot 



AN'" 

mrr 




Isrcoi'enxx?; 20 is ANqo-^: en dan zal deKloot 
i^maal lateer Tvd van doen hebben , om uyt A tot in C te 
komen langs de lyn AC , als hyTyd van noden zal hebben 
om van A tot in U over te gaan , langs de lyn AH. 

MaarzyndeTydenevcnlang, 20 

is AN cb"~ * en dan vind mendezet 

halende uyt D een rechthoekige op 
AD , ontmoetende AK in N ; zo is 
AN de Middellyn : dies zal de Kring 
T door D lopen ; en om dat ze me£ 
door N gaat , zo zalder evenveel Ty d 
van nocfen wezen , om van A af te 
dalen tot yder punt van de kring, 
waar men het ook neemt , langs de lyn van A tot dit punt 
getogen. En by gevolg, drie kloten, in allesgelyk, opeen 
zelRfe Tvd afdalende uyt A , de eene langs AC , de andere 
langs Au , en de derde langs AN , die zullen alle op een 
zelSe ogenblik komen in de ^ring in C , in D , en m N. 
Ja drie andere te gelyk beginnende af te dalen , de eene uyt 
A langs AN , de tweede uyt O langs ON , en de derdeuyt 
P lang^ PN , zullen op een zelfile tyt by elkander komen 
in N. 

Om dat wy bezig zyri de Plaatzen te ver- 
handelen, en niet de eygenfchappen van de af- 
daling , daarom hebben wy dit Werkftuk 
op de gezeydewyzc voorgedragen: ludmen 

Vgezegt , gegeven zynde een punt A in de lucht: 
allé de punten C te vinden , tot dewelke uyt A, 
volgens de rechte lyn AC » een Kloot kfn afroU 
N S ieny 




158 




BCooj^ 



Dies is 






Het II B o E K« 

len ^ in zodanigen tyd als de zelfde Kloot van 
doen beeft om t^an A neder te dalen tot in N , 
men zoude veel korter het zclfiie gevonden 
hebben .• want , ftellende d de tyd te wezen 
die de Kloot van doen heeft om van A te 
komen tot in N , of van A tot in C, en v 
voor die van A tot in B , CB rechthoekig 
op AN zynde , zo zyn evenredig 

ANü/ ABx II ddl ot: ofwx-/^ 
ookJiCy. xx-^-yyl ABx/jdlv, 
of, xx'^yyl xxllddiw. 

dd» 



of, yyo:)ax—xx^ een Rond om dat ABC recht is. 
7 00 o zynde, zo is ^ cd o en ook co tf ; dies loopt hetRond 
door A en ook door N : of AN is de Middellyn van het heele 
Rond waar in alle de punten C zyn , om dat de > zo wel 
een — kan wezen als een +: ja C is over al inde Superficie 
van de Kloot , die befchreven werd draijende het halfrond 
ACNA om f^ als Spil. Galileüs de motu loeali. Prop. VL 

XXV. Werkstuk. 

Indien zeker Lichaam^ 
fwaarte hebbende , in A 
mtfangt een beweging 
volgens de lyn AH , en 
zodanig dat hy in deze 
lyn AH y ingelyhetydge- 
lykeveerheit zoude af eg-- 
gen } maar door zyn 
fwaarte zo daalt hy on- 
dertujjen rechthoekig na de Horizont: men vraagt na de 
Kromme lyn die hybefchryft in zyn beweging van A af 
beginnende. 

Aanmerkt AG BC BE voorlynenftrekkendelootlynigna 
de Horizont , en CF EG voor evenwydigc aan AH. 

Als het Lichaam na H toe bewogen is delengte van AB, 
2x> laat het door zyn fwaarte gedaalt zyn tot in C , en de 

lengte 







Van de Kromlini^che Plaatzek. 1^9 

lengte van AD ^ zo Iaat het ge^t wezen tot in E. ACE 
zal dan de Kromme wezen die het voortgedreven Lichaam 
doorloopt , wiens natuur wy moeten vinden 
ABco-^ Stelle deTyd in de welke her Lichaam daalt 

BCao> vanB totUoo^^'cn van D tot EooJ, 

AD GO 2 Volgens de bcwcgii^ na de Horizont , zo 

DExv zyn BC,>/ DE, v// ff /<i/ evenredig. 

en volgens de bew^ing langs de lyn AH » 
zozyn AB , at/ AD,z// f/ ^evenredig 

V 

of, XX I zz/l eej dd 
boven is yl vff eeldd 

zo is danjf tot v\ als xx tot zz, dat is, AF tot AG, als't 
D CF tot het aGE. Waar uytblykt dat de Kromme ACE 
is een gemeene Parabole» wiens Top is A , Middellyn AG, 
en AppUcaten FC en GE, 

XXVI. Werkstuk. 

Gegeven zynde een Parabok^ 
wiens Tap , tot de Ai behoren^ 
de.is A: aUe de punten C tevin^ 
den 9 waar uyt men Kringen kan 
halen, gaande daw de Top A, en 
rakende de Parabok^ als hier 
inD. 

Laat AB de Aswezen, endaar 
op getrokken zyn de Popendicu- 
laren CB en DG, en Cr zodanig 
op de verlengde DG. > 

Om dat AC is 00 CD» zovind 
men lichtdyk door de ADFC 

ofw+iiy— *^+-^a>o, omdat^ao«is. 

V aa 

cfaav+taof — xéfvx^v^oyo 
Uyt kragt van de laking in D , zp isGEoDi^» en daarom 
GEia/ DGvll FCx—^^l FDv+J evenredig, 

S X dies 




deR.zyde304 

ABoo*' 
BCoo^ 

AGoo» 
DGcov 



'ïj^o Het II Boek, 

dies is vx — ^ooi^ + i^or 




of — {sav — {oitjf^ avx — v^ooo 
boven is+ aav+xagj^ — %avx+v^ x o 

verg. 

komt'^ {aav + i{aay — avx co o 
a 

of+\av+ iiay — vxzoo 
Stellende van deze de jf x o , 20 
is VAT X 5« » of XX ;tf : dies komt C in AB , dat is hier in 
H, als ^, of AH isx;<i. Laat ons dan HB , datis^^f — {a^ 

.ftdlenxj^, zo hebben wy — vj+ij^jfxo , ofvx^- 
dit gcftelt in plaats van v in de equatie — {aav — {Mtf + avx 
— v'xo, ornu4j"i; — ^najf — v'xo, 

men heeft Aiy — %*/ 000, ofj^Jx-y-Aay. 

Een Par^le van net tweede geflagt , aanmerkende HB , 
of j' voor een cvcnwydigc aan de Applicata , en CB, ofjr 
voor een gelykwydige aan de Middellyn , of aan de As. 

Qmftruffie. Nemende in de As, AHxï^> zoisHBxi'^ 
daarom , trekkende uyt H als Top , op de Perpcndiculaar 
door H op AB als As , een Parabolc van het tweede ge- 
flagt, waar van de Cubicquen der Applicaicn evenredig zyn 
met de Intcrceptcn , wiens Rcchtezyae is 5, maal langer als 
de Rcchtezyde van de gegeve Parabole : 20 zullen , in deze 
Kromme , alle de Micfielpunten der voornoemde Kringen 
begrepen zyn. De ontbinding van deze is my behandigt van 
de Heer J. Macrccl. 

Is dë Kromme AD een EUipCs , of een Hyperbolc , zo 

is wx^T^^, en GEx;^Ty-( — inde Ellipfis en + 

in de Hyperbole ) nemende a voor de Rechtezydc , en^ voor 
de D warle ; waar door men , op de zelfde wyze , door quan- 
titeyten kan afbeelden de natuur van de Kromme HC , nc- * 
mende wederom qzDX — ^ 4f , om dat GE xi ^is , wanneer 
AG , of 2. is onbepaalt klecn , of x o. 

Maar wil men zig vergenoegen mctde Kromme HC door 
punten te bcfchryven , zo kan men zulx verrichten op de 
wyze als hier voren is aangewezen op het eynde van het 
tweede Deel des eerftc Bocks : en dan kan men HC niet al- 
leen 



Van de Kromlinische Plaatzek. 141 
leen vinden op de Kromme die nuaangehaaltzyn , maar ook 
op alle andere , waar van men uy t een gegeve punt van hen 
een Raaklyn kan trekken. 

XXVII. Werkstuk. 

Gegeve zynde een Para^ 
bóU wiens Top is A , Mid^ 
deUyn AB, en JppUcataBC: 
alle de funten D te vtnden, 
wezende in de verlmgdevm 
BC aan B ^ zodanig dat de 
Rechthoek CBD altjdgelyk 
is aan het Vierkant van een 
gegeve lyn a. 

Laat ons ftellen dat 
yfcor^ — 'xf is 
een iEquatie paflènde op ]alle 
Parabolen. 




DeR-zydeoo»" 

BCcojr 
BD30Z 



door 't gegeve isjz 00 -J^, ofyco^ 



— 7^ 

diesisycx)^ 

2oisdanr' — *J<^'00^,ofz'^'CX);rr:r» een equatie 
paflcnde op alle Hyperbolen, waar van dat ABj enookAE, 
cvenwydig aan BC5 , de Afymptoti zyn. 

Stelt men CB een cvenwydige te weaen aan de Middel- 
lyn 9 en AB een zodanige aan de Applicata , zo is de .£- 
quade 

^'00^' — 'y'j enmen vind dmz'xfrQéfi'r^ — *, 
paflende mede op alle Hyperbolen , waar van de verlengde 
van de voornoemde AB en AE de Afymptoti zyn. 

Wil men dat de Rechthoek CBD zo gi-oot is als het Vier- 
kant van de Rechtezyde der Parabole , zois^x^» enby 
gevolg heeft men 

op het ecrftez'x'x^' + S en op het tweede z'.^' CO ^+' 
^ Is als dan de gegeve Parabole van het eerfte geflagt , zo 
is ^ GO 2 5 en ƒ co I i en by gevolg heeft menzz^ enookz.^.^ 
yder co n , een Hyperbole van het tweede geflagt. 

S 3 Is 



14^ 



H E T II Bo 



B K 




h t cns ydcTGO i 9 20 heeft men in beyde zxo:^rr een 
nyperbole van het eerfte gcflagt: maar dan is /— /Joo- 
de geftelde generale iEquaüe op de Panibole is dany x ^' * 
ofx^coy'i dat IS m beyde jfGOJ^: dies is AG , in dit eo! 
val , een Rechulyn , enzodanig dat BC is x BA 

Het omgekeerde blykt Is D gegeven te lotxiincenHy. 
perbole, waar van dat AB is de eene Afymptotus , en AE , 
evenwydig aanDB deandere: 20 zal G lopen in een Rechte 
lyn mdira de Hvperbole is van het eerfte geüagt , maar in 
ccn Parabole 20 hy van een andere foort is. ' 

XXVIII. Werkstuk. 

Gegeven zyndeeenhalfirmd ABC: 
alk de punten E te vinden ^ zo^ 
damgdat EB .ftrekkmdena A toe^ 
zolang is als ED, die recbt hoekig 
fiaat op de Middeüyn AC , of n 
zyn verlengde. 

Stelle AGco^, DCco*-, EB,ofEDGojf, ABgq^. 
Makende de ^Equatie op jf , achter latende de z, 
men vindvoo /**'* , 

Aanwyzende dat het punt E 
niet gevonden werd in een van 
de Kegclfhede , maar in een 
andere Kromme lyn (van het 
tweede geflagt , om dat men , 

hen gereducecrt hebbende, vind 
ayyT^yy — dxx^:xio:^Q) 
van de welke een van zyne 
punten gevonden werd , na- 
kende ABE na believen , en 
nemende dan CD zo lang als 
CB , en halende uyt D een 
rechthoekig op AC : zo zal de 
fnyding van deze en de eerfte 
ABE, aanwyzcn het punt E: 
want y,aa — xx is tot.v, als 
a±x tot jf, dat is, AB (om 
dat BC»GDxA:is) totBC, 

als 




Vande Kromlikische Plaatzen. ia^ 

als AD tot DE : (of CD zolang als CB genomen hebben- . 
de, 20 haalt FE, gelykafftandig tuflchen B en D,fhyden- 
de de rechte door A en B getogen in het zelfde punt E. ) 
Een andere lyn AEE trekkende, en doende sds boven, men 
vind wederom een ander punt van de Kromme : zuJx ver- 
volgende, men zal bevinden dat ze is van gedaante als in 
de nevenftaande figuur vertoont werd : lopende van E , 
boven AC, door C tot in het onderfte haürond, en van 
daar door A tot in het bovenfte , en vervolgens wederom 
door C neerwaarts. 

Nemende CH g^yk CA , en door H trekkende een on- 
eyndige , rechthowig op AH , of evenwydig aan ED : 20 
zal deze boven en onder AC , de Kromme altyt naderen , 
zonder hen oit te komen ontmoeten : of hy zal wezen de 
Afymptotus van deze Kromme. De reden is , CD , of x 
CO CH, ofcD^ nemende', zo is de Noemer van de Breuk, 
die GO j^ is, dat is y.aa — xx , gelyk nul , en daarom is^, 
of ED , buy ten het Rond vallende , als dan oneyndig lang. 

Indien men , in plaats van 
een Halfrond ^ geeft een Boog 
ABC na helieven , zo vind 
men op de zelve wyze het 
punt E , en b V gevolg de 
kromme. HAoende de ge- 
daante van de laaft voor- 
gaande,cvenwel met een an- 
dere buyging,gelyk hier ne- 
vens. ÉI) moet dan zoda- 
nig getrokken wezen , dat 
de uytwendige hoek van 
ADE gelyk is aan de hoek 
ABC. CH is wederom ge- 
lyk CA. 

Indien men , in plaats van een Kring , waar in het punt B 
loopt» neemt een Rechte lyn CB, gaande door AD in een ge- 
geve boek ACB , zo zullen alle de pimten E vallen in een 
ander Kromme lyn , die a%ebeelt werd door aaxx ± lax^ 
+x^0^aayyii%éfxyy , wanneer ACB recht is, of door 

Een 




Het II Boek, 

Een van zync pun- 
ten vind men , trek- 
kende op AC een 
Boog AFD na belie- 
ven, alleenlykdatzc 
doOT A gaat, cndac 
daar in een bock 
AFD kan getrokken 
, werden zo wyd als 
de uytwendige van 
ACB: dan in ifc Om- 
trek genomen DF zo 
lang als DC, en trek- 
kende uyt A door F 
een lyn : zo zal de- 
ze , en de rechte door 
D» evenwydigaan CB, elkander fiiyden in het punt E, een 
van zyne punten. Deze Kromme gaat mede door C, welkers 
ATymptotus gaat door H , het midden van AC , cvenwydk 
aanCB. 

XXIX. Werkstuk. 

Gegeven zynde een Horizontale Jyn CD: de Kromtae te 
vinden die de zehe in *t Oog befadt » hen uyt A zknde. 




Stelle A Beo*» Aanmerkt BE cvcnwydig aan CD, 
BC^ofEDao^ en Horizontaal met bet Oc^ y en de 
BE, of CD x> boeken ABE ABC recht. ^ 

Om 




Van de Kaomlinischb Plaatzen. 14; 

Om dat BE Horizontaal met het O^ is , zo zal alle de 
verkorting van alle de lynen ED in het Oog vallen op de lyn 
CD : Trekke dan uyt u de lyn DF , rechthoekig op BC , 

^ en ftcUe CF co *". 

P Dewyl de hoek ABC recht is, zo vind 
men ACo^Y-aa+bboDc: en, omdat 
de hoek EBA mede recht is , zo vind men 
hctUAE oDaa+yy: hier by het DED, 
B om dat AED ook recht is , men heeft 
^tnADx^+**+Jiy» ofADa^Y-cc+yy. 

Voorts. Laat , in de nevenftaan- 
de figuur , de lynen CB en DE , 
cnz.de zelfde wezen als ze in de ccrflc 




figuur met de zeletters afgebeelt zyn, 
* met dit ondcrfcheyt dat ze hier in 
een zelfde vlak zyn , en dat Ad is gelyk AC , en daiu* en 
boven nog dat ^ rf rechthoekig op AE ftaat ; zo word ED 
niet groter uyt A gezien als de lyn ed: en om dat deze even* 
wydig aan ED is , daarom , 

ADy.cc+yyl DE*/ Ad,c} komt ^ ^^/^ OD ed 
dicsis / ^/' X*— *'CoBF,omdat//FcvenwydigaanAEis. 
deze ifequaue in 't Vierkant gemultipliceert , en gcrcdu- 
ceert. 

Afbeeldende de natuur van de Kromme lyn die CD in het 
Oog bepaalt, hen uyt A ziende , zynde een van het derde 
;dlagt, dewyl wy xxyy — 2Mxyy+bbyy+ccxx — xbccx x o 

bben. 

Om hen door punten tebe- 

fchryven, zohaattuytB, met 
BC, of met b als Straal, een 
boog Cd , en neemt CF na 
believen , en trekt FD recht- 
hoekig op BC , fnydende de 
eetc^ene boog in d: dan ver- 
kngt BC tot G, zo dat BQ 
is x^» en trekt GH evenwy- 
dig aan FD. Dan haalt uyt B , door d , de rechte BH, 

T ont- 



fie 




^•j> 



1^6 




^••j> 



om rcD*, 



H E T II B o E K, 

ontmoetende GH in H : dan 
uyt H getogen een hanjgende 
op FD , ftotende FD m D : 
zo is D een punt van de 
Kromme, . 

wam: BF is tot BG/ als F dtot GH,of FD 
^—xl € ll^.xbx—xxl y 

Indien men het Oog in B 
houd, zo is ^ CD o, en daai'- 



•X 



dies beeft men dan y od ^ 

Om deze Kromme door punten te vinden , zo doet als vo- 
ren, alleenlyk BG gelyk BC nemende, of G inC. Diseen 
van zync punten. 

Zo men in beyde deze gevallen neemt ^^ go * , dat is F 
inB, zoisjfOO^ in'tecrfte, en^GOv^n'ttweede: dat 
is>, of FDin beyde van een oneyndige lengte : of, de Per- 
pcndiculaar uyt B op BC is van beyde de Kromme de A- 
fymptotus. 

Deze zelfde Kromme lyn vind men mede ds men een Toom in 
een rechte lyn nadert , of als men daar af zodanig verwydert : 
ja alle Horizontale lynen , met het Oog niet Horizontaal zynde^ 
hoedanig geval dia men ook neemt , zullen alle de zelfde Kromme 
lyn in bet Oog bepalen. 

XX X, Werkstuk. 

Gegeven zynde drie punten ABC, 
zodanig van elkander afjlaande y trek* 
kende AC, endaar op recht hoekig hD, 
dat DA DB DC alle even lang zyn: 
alle de punten E te vinden , waar uyt 
halende EA EB ECydat de Rechthoek 
van AE met CE zo groot is als het 
yierkant van BE. 

Hale EF irchthoekig op DB , en EG 

zodimig op AG, of op zyn verlengde. 

Men vind AE GO|/.Aa — iay'\-yy^xx^ 

BE 30 yj^a — 2 ax-^xx+yy^ 

'en CE zo Y^aa i-zay-j-yy-j^xx, 

zo 




c 

DA, of DB, 

ofDCco^ 
DFcoAT 

FEco> 



Van de Kromlinische Plaatzen. 147 

+ ixxyy + x^. 

beyde in 't Vierkant , en gercducecrt , 

komt axx — aax+iryy — x^ — xyy x O , 

of— ^G0;iz--^: 
ELen Kromme van het tweede geflagt. 

Twee van zyne punten vind men , 
kiefende in DB een ount F na belie- 
ven , daar door halenae FI evenwydig 
aan AC , fnydende AH , gelykwydig 
aan DB, in I : dan trekt Si, en hier 
aan evenwydig FK, ontmoetende DA, 
of zyn verlengde , in K : dan gezoj 
een midden evenredige tuffchen Dj 
en DA; en met deze als Stnud, uyt D 
als Middelpunt , en Boog halende, fny- 
dende FI en zyn verlengde , in de pun- 
ten E E : zo zyn deze E E twee pun- 
ten van die Kromme daar ze alk ia 
zyn. 

Deze Kromme raakt AC in D , en 
nadert gedurig HB, die evenwydig aan 
AC getrokken is. 




Tx 



Stel- 



»48 

Steikanftige Ontknoping 

Het III Boek. 
Van de 

ONTBINDING der BEPAALDE 

MEETKUNSTIGE WERKSTUKKEN 

Door middd rande 

P L A A T Z E N. 

DOör middel vaode Plaatze» een bepaalt Werkftuk tr 
Ontbinden , is een manier die nog met lang in 't ge- 
braykisgewecft: het komt my voor als of R.P.Slu-^ 
fius de eerfte is die deze methode heeft toegepaft in zyn Me- 
iblabum : 't is gelooflyk dat Cartejms hen wel heeft gewe- 
ten, maar dat hyze niet heeft gebraykt als tot de vmding 
van zyne Regelen tot de oplofiing der iËquaden. 

Onder de bqpaalde Werkftukken is wel het voomaamftc 
de ontbidding der bepaalde Meetkundige iËquatien : alles 
wat mem hier in ten nutte kan voortbrengen zal niet te ver- 
geefs zyn \ en daarom zal deze zaak de eerfte plaats in dit 
Boek bekleden : in een afgefbndeit Deel , om dattcr vcrfchey- 
de dingen toe vereyft werden die in de andax^juift nietnoot- 
zakelyk zya. 

I D £ E L. / 

Ontbiniing van de Meetkunjlige bepaaïdeti^/fuatim van 
drie en vur Dimenfim door middel van de Plaat zen. 

BY een bepaalde ^Equatie verflaan wy een zodanige waar 
in dat maar eeiïeenige onbekende is. Hoewel men deze kaa 
oploflèn door de Regelen gegeven in het dertiende Boek 
van de Mathefis , zo kan men hen echter mede ontbinden 
door middel van de Plaatzen , hen deelende in twee , drie en 
in meer andere vergelykingen , die elk de plaats van een der 
K^elfneden vertonen, het Rond daar onder gerekent, waar 
van twee te zamen gevocgt , wederom de onbepaalde quan- 
titeyt zullen afmeten : een zaak zynde , waar door men zo- 

dani* 



Vandc Ontbinding doordePLAAxzEN. 149 

danigcn iCquatie , en by gevolg mede een bcpaiüt Wcrk- 
ftuk, op vcelderley wyze kan ibl veren; dat vergenoeging 
moet geven , om aat men een vrye verkiezing heeft , aan 
peen wetten gebonden zynde , die men elders van daan moet 
nalen. 

I HOOFTSTÜK. 

Hoe mm een bepaalde cyEquatie kan deekn in twee 

üftneer ome f aaide. 

Laat X de onbekende wezen in de g^cve .£quatie. 

DEze deeling gefchiet door middel van een equatie paC^ 
lende op een der Kegelfhedén die een korte vergely- 
king geeft , en n»aar tn de x maar dubbelt , of dubbelt en enkeit 
is ^ en de y alleenlyk enkeit. En om dat de Parabole , waar 
in ócy evenwydig loopt aan de middellyn, zodanigen ^qua-- 
tie uytlcvert , en geen amiere van de k.egelfneden , daarom 
kan ons deze alleen daar toe dienen,. 

dzt\Sj xx:x^ayj of XX bx^xi^ay. 
nemende voor a een quantiteyt na welgevallen , of liever 
een zodanige die het meefte in de gevonde iËquatie te vin- 
den is , om de kortfle Conftruftie te hebben : b zal bepaalt 
moeten genomen werden , gelyk hier na zalblykenv 

De eerfte van twee Termen geeft dé kortfte bewerking j 
men kan die altyd gebruyken wanneer de tweede Term ont- 
breekt , en ook dan als die daar by is , mits geeh Rond be- 
gerende : maareen Kring willende hebben , zo is men genoot- 
zaakt de andere van drie Termen te gebruyken , mits nemende 
voor b de helft van het bekende des tweede Terms , en daar 
voor ftellende zodanigen teken als voortkomt uyt de multi- 
plicatie der tekens van de eerfte en tweede Term , dat is een 
-+- als de eerfte en tweede Term hebben gely ke , en een — als- 
2c hebben ongelyke tekens ^ op dat de tweede Term daar 
door verdwync. 

De gcgcve, of de gevonde ^Equatie gelyk aaa 
nul geftelt hebbende, en zodanig > om gemaks hal- 
ven , dat de hooft Term een — \s^ zo reduceert de' 
gevonde c^auatie, door middel van de aangenomene 
op de Paraboky zodanig dat men een andere bekomt % 

T 3 waar 



ifö Het III Boek, 

"waar in de onbekende x eny niet hoger opklimmen als tot 
twee Dimenjien : op wat wyze dat men zulx doet, en 
hoe dikwils , men is nergens aangebonden : men mag ook 
de (lyEquatie op de Paraboky hemgelyk nul gejlelt heb' 
bende, by de alree gevondene adderen ^ of daar vanfub- 
ftraheren^ of zulx doen met twee alree gevondene : men 
kan ook de aangenomene op de Parabole > of een van de 
gevondene , eerji multipliceren en divideren met twee 
quantiteyten genomen na believen; of een ^ of beyde ge- 
nomen uyt de gegeve (lyEquatie; (f men kan daar voor 
nemen getallen die men witj endande/lddity of de Sub^ 
ftracty volbrengen : in 't kort , alles is gcoorloft waar- 
nemende de wetten van de reduffcie. 

Door de ontbinding vaneen Queftie gevonden hebbende , of 

I. Geg€vcmyndc—x^±apx X —'üaqx'+'a^rzoo 
waar in de tweede term ontbreekt. . Stelle daarom dac de 
XX zo groot is als ay^ ofxxooayy ofxx — ayooo (zyn- 
de een iËquatie op de Parabole, waar in de lyn x evenwy* 
dig is aan de Toegepafle , en de lyn y aan de Middellyn) 
Stellende aayy in plaats van x^ , en gedeelt door aa^ men heeft 

— J?y ± ^^x — qx+aroc>o. i . een HyperbolCy of een ElUffis* 

een Hyperbole als tncn heeft -^apxx ^ en een EUipfis als 
men heeft — apxx. 

Stellende in deze gevonde i£quatie ay in plaats van x x\ 
men heeft 

— yyi^Py — j'-^ + ^ï^xo. IL ca\ Parabole. 
vergaart men hier by — x x+ayo:>09 onze aangenomene 
Parabole, men heeft 

^-yy — xx'^ay±py — qx^rx>o.Vl. een Rond yofcehgelz. ElL 
een Rond als de hoek van x en y begrepen Recht is, en een 
gelykzydige EUipfis als die Scheef is. A&/4,dewyl deze dÜftinftie 
altyd kan gemaakt werden , zo zullen wy voortaan maar 
fimpelyk zeggen een Rond. ^ 

Trekt men het daar van af, men heeft 
—yy+^x — ay±py — qx^^'arzoo.W.Gcagelyl^ydige Hyperbole. 
multipliceert men xx — tf;y xo met k.^ endivideert men de 

uytkomft door / (of door a ) men heeft -^ ;ir ^ — ^oo o. 

- vergaart 



Vande Ontbinding doorde Plaateen, i^i 

vergaart men dit by de II iEquatie , men heeft 

~P'^'r^^ — T^y±Py — qx'^aro:>o, V. een Hyperhole. 

Ontelbaar veranilerlyk^ om dat hy in de gedaante van zyn 
IWk t'elkens zal veranderen als men ü:^, of / ^ of die beydc 
t'elkens anders en anders neemt. 

Subftraheert men , men heeft 

— yy — ^ •*^'^+-y>±py — qx + aro^o. VI. een £///]g/2r. 

mede ontelbaar veranderljk. Ook heeft men 

— ;fAr+tfyooo. VII. De aangenomene Parabole. 

En zo voort , zo veel verandering makende als men wil , 
of als men kan : addercnde twee van de gevondene , of iiib- 
ftrahercnde ( dog dit laatfte geeft veelty ts de aangenomene 
Parabole ) acht gevende dat de Termen liiet te veel werden, 
om dat die de Conftruftie verfwarcn. 

. a. Gegeven zyndc — x^'±inxiipapxx'^aaqx — a^rooo. 
waar by de tweede Term is. Stellende daarom xxqpnxoD éry^ 
zyndc een Parabole., waar van de Term»** de «byzig heeft, 
zynde de helft vaii het bekende des tweeden Terms , en voor 
zig T 9 de tekens van de uy tkomft , multiplicerende de Te- 
kens van de eerfte en tweede Term met elkander. 

Deze xx:pnxooa^ in 't Vierkant gemultipliceert , komt 
xzfinx^ + nnxxooaayy^ of — x^±znx^o^ — aayy + nnxx : 
dit laatfte geftelt in plaats van de eerfte en tweede Term , en 
gercduceert , komt 

—yy + ^ ^'•y =F '^^^ "*■ ?* — 4r X o. I. een Hyperbote o£ElL 

Stellende ± ^-x + ~^ym plaats van l\ xx^A\t gelyk zyn,komt 

— J7T^«^^±J;^ + ~jf + jjr— iirxo.II.een/]öf/r.of£//. 

een EUipfis op — apxx^ en een Hyperboleop+^j^jrjr. 

voor ^l^xx geftelt — ^x:ppy , die gelyk zyn , komt 

—yy — '^ *■ Tpy±~^x + ^y + jat — <iroo.III.een Parabole. 

hier by vergaart de aangenomene Parabole — xx ±nx +ay 
xo, men heeft 

~yy—xx±nx+ay—f^ x:fPy ±'^^x+^y + qx — arooo. IV, 
'een Jtonrl. Ook heeft men 
. — xx±nx+ayooo. V. de aangenome Parabole. 
multipliceert en dividecrt men de aangenome equatie op de 
Parabole met twee quantiteyten genomen na bcheven , en 

addeeit 



IJX H ET III BO E K, 

addcert of fubftrahcert men Je uytkomft by of van een der 
gevende iEquarien , men vind nog andere vergely kingen op 
een Kromme , gclyk hier -even gedaan is met de eerfte iE- 

quatie. 

Indien men de helft van de tweede Term , dat is n , had- 
de gcbruykt, om de gegevc iEquatie tot deze — x^±2nxi 
T npxx + nnqx — »Jr oo o jgedaante te reduceren , 26 zou men 
het bovenftamdc merkelyk eenvoudiger gevonden hebben ; 
dewyl men dan n 2X)ude gehad hebben daar men nu a heeft. 
Is de gegeve ^Equatie van drie Afmetingen , zo multipliceert 
bem eerftmet zyn 'wortel^ en doet dan als in ^t voorgaande. 
a.G^evenzynde — xi±apx — aaq xx>o 

. *,2yn wortel,gem. 

of — x^±,(^xx — aaqxoQo 
men vind door middel van — xx+iiyooo. I. een Parabole. 

— yy ±^^^ — j'-*' GO o II. GcnHyp. oiEllipJis. 

— yyit py — q^ZDO III. ccnParabole. 

— yy — ^xx^' ay±py — qx^oo. IV. een Rand. 

— jf)F+ XX — ay±py — qxoDO. V. eengelykz.Hyperb. 

— yy + ^ *'*' — ^y i^Py — ^'*' co o. VI. een onbep. Hyperb^ 

— yy — ^xx'^^y^py — qx COO. Vn. een onbep. Ellipfa. 

zynde de zelfde iËquatien die op het eerfte voorbcelt gevon- 
den zyn , uytgenomen datter de Term ar niet by is. 

Maar laat men hem ongemultipliceert met zyn Wortel 9 
zo vind men nog 

'- — ocyiipx — 4j X o. Vin. een Hyperbole op de AJymptoti. 
vergaart men hier by — xx+ay 00 o , 'en trektmen het daar 
van af, men heeft nog twee andere iEquatien op de Hyper- 
bole en zyn Alymptoti : enz. 

4. Gegeven zynde —*^5±i«^^T<y^ +aaq coo 

of — x^±%nxi Tapxx'^aaqxo:^o 
men vind door middel van — xxTiwr+^yooo. I. eenPardb. 

'~yy +H *"'*^ T -^ •*^'*" + ?•*■ GO o. II. een Hyperbole, dlEllipJis. 

~yy^^^xx^:—x+!^y'+'qxoDO.lU.e€nHyp.o(Ellip* 

•-j^y — xx':fnx'\'ay-\^x:fpyTfi~^ Ar+^jf+J^XO.V.eeaRww/. 

maar 



Van de Ontbinding door de Pla atzen- 155 

maar laat men hen ongemulriplicecrt met zyn wortel, 
20 vind men door — JtiV + ixyooo. I. een Parabole. 

Ary ± --^JirTA^+^CO o.II. ccnHyperboleppdeA/ymptoti. 

xy±z^y lrp^'^^9 GO o. Ill.ccn Hyperboleop de AJymptoti. 

multipliceert men deze met x , en ftelt men ay voor xx , komt 

yy ± — Ary =F -^ -^-^ + ï-*^ . IV. ecn Hyperbole of een Elllpjis, 

— yy^^^y^ Py +?'^* Y.tcnHyp.opdeAf.ofopdeMid. 

multiplicerende en dïviderende de aangenome iËquatie op de 
Parabole, xx — i?yxo , met twee quantiteyten genomen 
na believen , of hen multiplicerende met een getal , zo men 
wil , en de iiytkomft adderende of fubftraherende by en van 
een der gevondene : of ook twee van die gevonden zyn zulx 
doende , men heeft wederom andere veigelykingen die ecn 
plaats van een der Kegelfnedcn vertonen. 

Dit meenen wy dat genoeg zal wezen , om daar uy t te 
konnen zien op wat wyze dat men handelen moet , om uy t 
een gevonde , of een gegeve equatie van drie of vier dimen- 
fïcn , andere te vinden die yder de plaats van een der Kegel- 
fheden afbeelden : zullen dan overgaan tot het tweede , zy n- 
de de 

II. H o o F T S T Ü K, 

Vinding van de Krommelynen dienende tot de ophjjing van 
eengevmdej of een gegeve cyEquatie. 

Dit behelft niet anders als het gcene airede in het ccrftc 
deel van het tweede Boek is verhandelt : zullen daarom 
dit niet voornemen te doen op de nu zo even gevonde iE- 
quatien , maar alleenlyk op eenige weynigc die wy zullen 
vinden door de oploffing van een queftie. 

Gegeven zyndeeenrechtelyn AD: 

— .. 1 .. ■■■ . . f ■ M , , f . .i,.f— O M f f ¥^ ^ 

g ^ 5 B ^^ ^'^ verlengde het punt B te 

vinden 9 zodanig dat de Cubicqvan 
AD zo groot is als de Balk wiens grond is het Fier kant 
van DB , en wiens hoogte is AB. 

Stelle AD 30 i» , en ABxatj zoisDBx^— tf , en ook 
oox'^a: en men vind 

— xi±xaxX'^aêX +4' 000, 

. X 

of — x^i;zaxi-^aaxx'^éfixjjo. 

V +als 



154 Het III Boek, 

4-als B is in de verlengde van AD aan D, en— als B is iit 
de verlengde van AD aan A. 

Om dat hier in de tweede Term is, en wy een Rond wil- 
len hebben , zo ftelle xx-^axzoay ^ dat een Parabole is ; 
dit in 't Vierkant en gcreduceert , komt — x^± zax^ co — a^y. 
+aaxx : dit laatfte geftelt in plaats ran de eerfte en tweede 
Term , en gcdeelt door aa , 

komt — yy + av co o , een Parabole. 

hier by — xx+ay ± ax cooj de aangenome Parabole , 



Tüomt—^yy'^-xx+ay+zax oo o,een Rondfop B inde verluianDj 
cn ook— yy—xx'^ity oo o,ecn Rond^p B in de verLaan Al- 

door deze iEquatien op het Rond vind men , wegens 

dteerjle ^yZDjA±V' i^+xax—xx^ 

cnxoD a±y i{aay het Surdifchea> o (lellende :. 
dcPweede^yCO{a±y. {aa — xjr, 

enx^^ja het Surdüche oo o ftellende. 

Om dan door de Tnyding van twee Krommelynen het. 
punt C te vinden , het loflè eynde van de lya CB , of van 
de lyn jf , waar door het punt B dan bekent werd, zamoet 
men deze twee Kromme zodanis te zamea vo^en , dat ia 
beyde de x en ook de y een zelöle lyn is : dit in de lyn x 
waarnemende , zo volgt het in de lyn jf van.zelis : ot, op 
cenzelfÜe lyn^r de plaats van het punt C in beyde de Krom- 
me zoekende, zo voldoet men aan het bovenftaande. 

Dit laatfte dan waame^ 
mende ^ zo vind men de 
Kring waar in C moet lo- 
pen , halende , op 't eerfte 
§;evaluytM, enop'ttwee- 
e uyt^m een Kjing die 
door A gaat : aanmerkende 
dat DM en A m beyde recht- 
hoekig op AD ftaan, en dat 
yder zo lang is als de helft 
van AD. 

Wil men dan voor de 
tweede Kromme de gevon- 
de Parabole yycoax gc- 
bruyken , gelyk indeecme 
figuur gedaan is ^ zo moet 
Dien uyc A als Top , op 

AD 





Vande Ontbinding door de Plaatzen. tff 

AD als As , en ook als Rechtezyde, een Parabole halen: 
Maar wil men de aangenome Parabole hier toe nemen, waar 
mxoJ±j^±V' i^'^^y is » zomoet men uyt E , het mid- 
den van AD , trekken ENcoi van AD, neerwaaits, en 
rechthoekig op AD , en maken een Parabole , opwaarts lo- 
pende , wiens Top is N , As NE , en Rechtezyde AD ( of 
waar van dat E het Brantpunt is ) gclyk in de tweede fi- 
guur gefchiet is. Daar deze Parabolen de voornoemde Krin- 
gen fiiyden, daar is het punt C dat ons dienen Itan. Halen- 
le dan uyt C een lyn CB , rechthoekig op de verlengde van 
AD : zo zyn B B de begeerde punten : en deze hebbra wy 
gevonden door een particuliere Regel , het gecne zyndc dat 
te doen was. 

Wy hebben AE ter rechtcrzydc van A genomen , daar 
nochtans zyn teken — {a aanwyft dat men hem ter linker zydc 
van A behoorde te nemen : maar dit is daarom gefchiet , om 
dat in dit tweede geval de AB zo x ter linker zydc van A 
moet vallen. 

Indien men de reduftic van de gcvonde iEquatie ver- 
volgt , men zal n(« andere vereelykmgen vinden , paflènde 
op andere Krommelynen , en daarom ook nog andere Ont- 
bmdingen. 

PFil mm dat de Cubicq van AB zo groot is aJsdeBalk 
wiens grond is het Fterkant van AD, en wiens hoogteis 
gelyk DB , 

Zo zal B niet konnen vallen in de verlengde van AD aan D: 

zulx dat nu is DB X ^ — jr, en ookx^-r-'^. 
dan vind men — x^ — aax 4-i«J coo,als B in AD is, 

' ■ ■ ' X 

of — Jr4 — aAxx+a^x:xyo. 
deze gereduceert door xxzDV ^ ^n Parabole , en gededt 
door aa^ 
komt — J7-^ XX ^ **■ co o, een Rmi. 
hier by + %xx — z^or go o , de aangenome Parabole. 

komt — yy -^ xx — xay^ax 30 o^GcngelykzydigeHyperboIe. 
Stelt men in de gevonde iEquatie — x^ — 40^+^ 00 o» 
êy in plaats van xx , en deelt men de uytkomft door a^ 
men heeft — xy — ax + 4W x o^tcnHy^rboleopdeAfymptoti. 

W % Meo 



lytf H E T III B O E K, 

Menvind— J^J+^Av 4-^ G0O,alsBindcvcrl.ADaanArs. 
- — X 

of — x^ -^aaxx + a^x oo o. 
Wederom door xxzo^ gercducecrt , en door aa gedcelt , 
komt — yy+ xx+ ax:£iOj ccngelykzydige Hypcrbole. 
hier by — ^xx+ laycoOy dt aangenome Parabole 

komt — yy — xx^^ïay + axoDO^ een Rond. 

Stelt merf éty voor xx in de gevondeCubicq iEquatic , en 
gedeelt door a, 
men heeft — xy-^ax+aazDOj een Hyperbole op de Ajymptoti. 

Indien men tot de Ontbinding neemt de iEquaticn op het 
Rond , en die op de Hyperbole op de Afymptoti , 20 ïal men 
het begeerde vinden ( aanmerkende dat men in het tweede 
geval , alwaar B in de verlengde van AD aan A valt , aan de 
hnker zyde moet nemen ^ dat men anders , volgens de tekens, 

aan de rechter zyde behoor- 
de af te paficn, om dat x 
dan loopt van A af , na de 
linker zyde) trekkende uyt 
A een rechthoekige op AD^ 
opwaarts , daar in nemende 
AI gelyk AD , en halende 
door I een evenwydigeaan 
AD, alswIF: danbefchry- 
vende een Hyperbole met 
AI en IF als Afymptoti die 
door D gaat , en ook zyn 
t^cngeftcldeigenomen heb- 
bende I «r ter linker zyde van 
I zo lang als de helft van 
AD, en getogen Kringen uyt «» , en ook uyt M , hetmid- 
den van AD , die door A gaan , fnydendc de Hy|)crbolen in 
C , C ; en getogen hebbende de Lootlynen CB CB : zo zya 
B, B, de pua^ndie het begeerde voldoen.. 




Maar 




m 

V. 



Van de Ontbinding door de Plaatxen. 157 

Maar wil men de gclykzy- 
dige Hyperbolen gcbruyken, 
in plaats van de Hyperbolen 
op naarc Afymptoti , zo haalt 
fwES neerwaarts , cvenwy- 
dig aan AI , 20 lang tot dat 
ES gelyk is aan Em j en 
maakt op deze ES een halt 
'b rond; en neemt, in de Om- 
trek , ET gclyk EA , en 
SN , in de Middellyn , gc- 
lyk ST. Dan befchryft een 
Hyperbole door N alis Top, 
op NE als As , met 2maal 
SN als D warfe , en ook als Rechtezyde : ook een andere door 
A als Top , op AE als As , met AD als Dwarfe , en ook 
als Rechtezyde. Deze twee Hyperbolen zullen de voornoem- 
de Kringen fnyden in de zelfde punten C , C j en daarom 
zullen de Lootlyncn CB CB weaerom vallen in de begeerde 
punten B , B. 

Maar gebruykt men de aan- 
genome Parabole , in plaats 
van de Hyperbolen , zo heeft 
men flegs uyt A als Top, 
op AI ais As , met AD ^3^ 
Kechtezyde , een Parabole te 
trekken : .deze zal de gczcy-^ 
de Kringen fnyden in de ge- 
^"^j^^g D melde punten C , C. 

Dewyl deze Conftruftie 
over een komt met de geene die de gpnerale Regel uytle- 
vert , gelyk men lichtelyk kan onderzoeken , of gpyk men» 
zien kan in het Boek van de Mathefis folio 288, de r8^ que-^ 
ftie> alwaar deze op die wyze ontbonden is , zo ziet mea 
dat deze algemeene Regel fomtyts , ja ook veelmalen geeft 
de kortftc Ontknoping , 'die geen reduftie n(^ Conftruótic 
onderworpen is. Hier by zullen wy dit op deze tyd laten ,. 
om dat hier na deze zaak , in andere voorvallen , nog om- 
ftandelykcr zal verhandelt werden , en voomamelyk m die 
qucftic waar in men twee midden evenredige zoekt tuflchen; 
twee gcgeve lyncn. Wy zullen hier byvoegen de 

V 3 lil Hooft- 




rjS H E T III B o E K, 

III HOOFTSTUK. 

Oploffing van de bepaalde zyEquatien van drie en vier 
Dimenjien dotnr behulpvan een gegeve Kegelfnede. 

MOnfieur la Hire {chynt de vinder hier van te wezen : 
immers hy doet hier van een befchryving. Het geeft 
gemeenlyk zeer moeylyke Gonftruófcien , om dat de gegeve 
Kromme maakt , dat de Termen van de iËqiiatie op de an- 
dere Kromme , die men vinden moet , gemeenlyk merkelyk 
vermeerderen , en in quantiteyten groter vallen, 't Is eer om 
te toonen wat men kan , als wat men behoorde te doen. 
't Kan echter dienen als in de Queftie een K^elfnede gageven 
is , om dan de zelve tot de Ontbinding van de gevoncfe jBS^ 
quatie te ^ebruyken, zo men als dan genootzaaKt is een ver- 
gelyking te vinden waar in maar een onbekende is ; ander- 
uns zal men het veeltyts op een andere wyze konnen ver- 
richten , die veel eenvoudiger en korter is , gelyk hier nk in 
eenige Voorbeelden zal getoont werden. 

Wy zullen zync Methode een weynig na de onze (chik-^ 
ken , om dat het ^cmakkelyker is by zyn oude gewoonte te 
blyven , als een nieuwe op te volgen ; en voomamelyk in de 
Vinding der Plaatzen , waar in men zeer licht kan miflcn , 
1^ men in hen niet procedeert volgens een vafle methode. 

' De geheele wetenfchap beftaat hier in, dat men de 
gegeve ayEquatie om te ontbinden , deele in twee ande* 
re , waar van de eene zodanigen Kromme vertoont als ge- 
geven is , mits invoerende , niet Jimpelyk een onbekende' 
quantiteyt jj als hier even gefchiet is, maar daar en bo^ 
ven nog een, twee^ of meer andere ^ na dat menvanno* 
den heeft om de lengte van eenige lynen te konnen bepalen ^ 
die dienjiig zyn o/n de figuur te trekken : daar na ont* 
ledigt men de (lyE quatie die op de gegeve Kegelfnede pa(i^ 
en men maakt vergelykingen op de hoegrootheden van de^ 
ze de welke overeenkomen met de hoegrootheden van de 
gegeve Kromme ^ om daar door de ingevoerde onbekende, 
behdhendey^ endiegeene^ die in plaats van xmgebragt 

zyn, 



Van de ONTBiNDiNGdoordc Plaateen, if^ 

zyn y te bepalen : dan zoekt men de andere Kromme die 
niet gegeven isj volgens de ^yze als in de Plaat zen ge^ 
leert is , handelende ten deele met de Tekens recht anders 
als ze aanwyzen , om dat nu iets gegeven is waar af 
men de bewerhng moet beginnen tot de vinding van A , 
efbet punt waar van ^ begint , daar men anders van 
A af begon y, waar toe ons de zelfde Tekens naar behoren 
diende. 

I. Is de gegeve Kromme een Parabolc. 

Dcwyl deze bepaalt , of gegeven is , als gegeven is de 
Rechtezyde tot de As behorende , zo ziet men dat dit al- 
rede waargenomen is in de generale Regelen op de Ontbin- 
ding van de ^quaticn vaö drie en vier Dimenfien , waar in 
de tweede Term ontbreekt , en ook in die van drie , waar 
in de Tweede Term gevonde werd , als men de Regel van 
van Schoten gebruykt , om dat de eenhcit daar in onoepaalt 

felaten is , en die genomen werd voor de Rechtezyde van de 
*arabole : hierom , die g^even zynde cd ^ , zo heeft men 
flcgs de gevonde ^Equatie tot zyn bchoorlyke form te redu- 
ceren , gebruykende deze d voor de eenbeit , en dan de AU 
gemeene Regel op te volgen. Heeft men een iEquarie van 
vier Dimenfien alwaar de tweede Term by is , zo kan men 
die eerft weg reduceren^ en doen dan als boven gezegt is- 

Wy behoeven dan , een Parabole gegeven zynde , UL 
niet anders voor te dragen als het geene dat airede gefchiet is : 
wil men echter een ftaaltje daar van zien y laat ons daar toe 
nemen de eerfte iEquaüe van het laatfte voorbeelt , zynde 

— x^ — aax ^ifi 00 o« 

■ X 

of — x^ — aaxx'i'éfix oo o 
laat d de Rechtezyde van de gegeve Parabole wezen paflcnde 
op zyn As ,. en geltelt werden dyoDxx : hier door gereduceert, 

komt — yy — ~ j +~f x oo o , een Parabole 

hier by — xx^dy goo 

komt — yy—xx—^y^dy^^^xo:^Q^ eenRond. 



ofyo^—^^+{d±Y^i*^,+Ldd-\aa^^,x-xx 



het 



i6o Het III Boek, 

het Surdiichc go o nemende , om het Centrum en de Straal 
te vinden, ^^, ^^, 

20 IS «GO+-^±V. V+^+i^— i^- 
hier riet men dat dit hoog opklimt , in Termen en in quanti- 
tey ten , en by gevolg dat het een moeylyke Conftmftie zal 
moeten geven , alles hier van daan komende , om dat men 
nu rf, de Rechtezyde , niet mag nemen na believen ; want, 
zulx mogende doen, en hem oo^ nemende , 20 zoude jfwe- 
2£no^Y.aa — xx, enxo^ i^a^y^aa. Dog de figuur zal ech- 
ter de zelfde wezen als of men de Rcjgel gebruykte, eerftde 
gegeve iËquatie door J reducerende als de eenheit , waar door 

dan/)isoo~cn^ao~. 

Aanmerking. Het kfin evemvel dienen , om alle /Equatien van 
drie en vier Dimenfien , de tweede Term weggenomen hebbende^ 
of daar niet by zynde^ volgens de algemeene Regel 4e ontbinden 
met behulp vjn ten zelfde Parabole^ zyn Rechtezydevoordeeen^ 
heit gebruykende , om de equatie tot de gefielde form te reduce^ 
ren. Hierom ^ van koper ^ van hoorn , of vangoet boutgemaakf 
hebbende ten zeer nette Parabole door vinding van zyne punten , 
zo kffn men de motyte ontgaan om telkens een Parabole te hefchry^- 
ven , dat dog niet wel anders kan gefchieden als door de vinding 
van zyne punten , welke by gevolg veel onvolmaakter zal wezen , 
als die ge ene die men trekt met behulp van dit wel gemaakte kg" 
pere, boome , ofhoute Infirument. De Top en de As, dien- 
de wel op dit Werktuyg afgebcclt te wezen , op dat men 
het na behoren op het Papier kan brengen, en ook de lengte 
van de Rechtezyde. 

IL Is de gegeve Kegelfnede een Hyperbole op zyn 
Afymptoti, endezi/EquaUevandtitDimenfien. 

Laat gegeven zyn de voorgaande iEquatie 

— x^ — aax'^a'^ZOO. 
nemende , als voren ydyzoxx^c^xi Parabole , en gereduceert , 

komt xy +-^^ — -7 00 o , een Hyperbole op de AJymptoti. 

gedcclt door — x , komt — y — -^. 

yZDO nemende , zo is + jj; cx) ^ï- 

het overfcbot is ~ : zynde het gemultipliceerde van de twee lynen 

getogen uyt e enig punt van de Kromme , evenwydig aan de eene 
AJymptotus , tot aan de andere. 

Hierom 




Van de Ontbinding door de Pl a atxen. i6i 

Hierom : gegeven zynde de Hy^ 
perbole CD , wiens Top is N , en 
AfymptotiMA ME. Getogen heb- 
bende uyt N een evenwySge aan 
de eene Aiymptotus tot aan de an- 
dere , en deze co/ ftellendc , W) heeft 

mcnffzo^ j en daar door dzo^z 
of, nemende MEx^, en halende 
ED tot aan de Hyperbole , en even- 

wydig aan MA , en noemende ED zog » 20 is>!?GD-j, of 
4zD — • waar door dan de lyn d bepaalt is- 

Wil men de tmngcnome Parabole ^ dycD^x , tot de op- 
loiling gebruyken , 20 moet men van M af , tot aan A ^ 

opwaarts nemen x-^ » om dat wy — ^ hebben , en wy 
van M moeten bannen om A te vinden , contrarv de voor- 
gaandemanier van Dewerkinjg , daar in men van Alxgonom 
M te vinden. Dan bcfchryft een Parabole , uyt A als Töp , 
op AM als Middellyn , met AME als beweeglyke hoek , en 

met J , ,of met — als Rechtezyde , opwaarts giandc : deze 

de gegeve Hyperbole in C fiiydende , 2x> haak CB cvenwy- 
dig aan AM , ftotende AD, gelykwydig aan ME, iii Bi 
20 is AB GO*". 

Want , verlengende CB tot aan ME , 20 is CF xj' +7 i 
dit gemultiplicecrt met MF cx) ^ > 

komt xy +^ X 00-4" ' '^ gemultipliceerde van DE met EM. 
. — d 

of dxy+aaxq:^é^ 

Maar wil men het Rond gebruy- 
ken , dat in 't eerfte lid op oczc iÉ- 
3uatic gevonden is, mede door de re- 
u Aie van dfOi^xx ^ po moeten de 
Afymptoti , van de gcgevc Hyper» 
bolc , elkander rechthoekig fhydiai : 
en dan moet men van M af. 




men Ml opwaarts x V , cnlAnecr- 

vaartscoii/, coatrary de tekens, om 
X xtdea 



i6% Het III Boek, 

reden vermeit , en halen AD evenwydig aan ME : dan ge- 

nomen in ME , ter rechter zyde van M , Mm cd ir» en 
getogen uyt m een Rond dat door A gaat. Dit Rond de ge- 
geve Hyperbole fhydendein C^ zo haalt CB evenwydig aan 
MA, ontmoetende AD in B, zo is ABco*'. Deze AB is 
zo lan^ als AB hier boven gevonden : de Proef zal dit mede 
beveiligen. 

III . Is degegeve Kegeljhede een Rond , een gelykzydi- 
ge EUipfis , een gelykzydigc Hyperbole, 

Monfieur/4 Hire gebruykt tweêrley manieren in de reduc- 
tie : de eerfte hebben wy UI. voorgedragen , de tweede moet 
men nu waarnemen , om dat de onbekende quantite yt J op- 
klimt tot een Cubicq iEquatie van (es Dimenfien indien men 
de voorgaande manier opvolgt , gelyk men zien kan dat hy 
zo .hoog geklommen is m het Surdilche dat de halve MiddeK 
lyn van het Rond vertoont. Daarom » een Rond gegeven, 
zytyicj wiens halve Middellyn is ODg> 20 zou men hebben 

^+^ +\dd—{aazogg. 
_4rff 

Hier ziet men dat d niet zal konnen gevonden werden of 
men zal zodanigen Cubicq ^Equatie moeten fblveren. 

Makende dan dat de quantiteyt // , die de Noemer is Sran 
de Breuken , door d^ reduftie met de iEquatie op de Para- 
bole , mede komt in de Teller , zo zal dit de opfteyging van 
rfmerkelyk verminderen. 

Indien men in plaats van x ftelt ^ , zo zal men daar door 

de d in de Noemers vinden , en de « in de Tellers , van zo- 
danigen hoogte als mca^ heeft in de Termen van degegeve 
iEquatic : en dan wederom voor zz ftellende dy , zo komt 
de d mede in ds Teller. Aanmerkende dan z voor een quan- 
titeyt zodanig geconditioneertals*^,. beginnende van een vaft 
punt , maar m^ lengte onbepaalt , aan wiens ander eynde be- 
gint j;, lopende in een gegiivé hoek met z tot in de Krom- 

Tjo TjaX dj :j^ zz wederom een Parabole wezen. 
De quantiteyt z gevonden hebbende , op de manier als of 
mch X zogt ) en ^onbepaalt wczénde , zo zalmen daardoor 

konnen 



Van de Ontbinding door de Pl a atzen. -fifij 

kotmen vinden de «y , om dat hy de vierde evenredige is tot 
dy a^z. Aanmerkende a voor een hoecrootheit die het meefte 
in de gegeve equatie gevonden werd. 
G^even zynde om te ontbinden 

— x» — aax -i-tf' 00 o > onze vorige iEquatie, 

— — X 

of — x^ — aaxx^ifix:x^o^ 

20 ftelt overal ^ in plaats van^ir , 

kotnt-^-^+^opo . 

In de ecrfte Term geftclt ddyy in plaats van «♦ , volgens de 
iËquatie óp de Parabole ^ co z^ , 



komt 



<4 ddyy if4fcac 



4t^ 



dd 



+-TC0O 



U 



oï—yy — z z + rfz co o, een Rondfiïgelykzydlge EUipfis. 
hierby +122 — a^ooo 

komt — yy + zz — nly +dz co oficngelykzy^geFiyperboU. 
Aanmerkende de z van die gedaante te wezen als anders 
de *• , gelyk in 't begin ^ezegt is. 

Is dan de gegeve Kegelfhede een Rondy oStcag^lykzydigé 
Elïipfis , wiens Middellyn is j", zo heeft men 

yyzodz — zz ofycoy.& — «»» 

cnzzcoA (hetSurd.coonem.) ofzzo\d±'^^dd. 
waar door men voor de halve Middellyn heeft "^^^dd. 
zo is dan :i*/coi^^, of i/co^. 

Hier ziet men dat de d txia^ opklimt 
tot een fimpele douarie van twee Di- 
menfien : en alzo zal meuL het mede be- 
vinden in de andere Kegelfneden. 

QN de Middellyn , en M het Middel- 
punt wezcnde van het Rcgcve Rond , 
of van de sely kzydige Ëmpüs , zo neemt 
in de Mid&Uyn , ter linker zyde van M, 
MAx^^, of cOï^ , om datwv+^il 
hebben j dit komt in Q. Dan trett AD 
xechthoekig op QN inliet Rond , maat 
evenwydig aan de Applicaca in de £1* 
lipfis; en oefchryft uyt A als Top, op 
AD ^ As in het Rond, maar als Micf- 
Xj. — dellyn 




mm:^' 





H E^ T III Bob k, 

dellyn in deËllipiïs, eenParaboIe, met 
rfals Rechtjezyde,wiens bcwceglykc hoek 
is DAN , fnydende de gegevc Krom- 
me in C : dan haalt CL , evcnwydig. 
aan DA , tot aan de MiddcUyn (^ ; 
2V1 i, j^ 20 is CLcoy , en AL 002: daarom, 
' AD 20 langzyndc als de gegcve lyn a , 
Tjo trekt ND, en aan deze evenwydig 
LB:'2o is ABoo*", om dat AN rfis 

tot AD ^ , als AL z tot AB ~ , of x, 

volgens de onderftelling.. 

Is de gegevc Kejgelfnede een gefykzy^ 
dige HyperboU , wiens Dwarfe NCL tot 
de As behorende , is 00 ^ , en wiensMid- 
i . - ,. , . delpunt is M, zo hebben wy 

of yzD — d±\^.dd'^dz+zz. 
Het Suniifche cd o nemende , 20 vind men z OD — i^J: 
y . — {d3 , dat abfurt is : hierom , het rarionalc — -; d geftelt 
voor z in het bovenflaande Surdifche , men heeft Yldd voor 
éc halve Dwarfc, zyndecoi^: dies is ^ooi/jiSf- 

Overzulx , van dè gp- 
I c/^ ^^ Hyoerbole , de halve 

^'^" V Dwarfe MN in drien ger 
^ deelt hebbende , waar af 
dat NS twee deelen zy n j 
en uyt M door N een 
Boog getrokken , gehaalt 
ST rechthoekig op MN , 
tot aan deze Boog ; zo is 
NT ooi: daarom , ME 
opwaarts genomen gelyk 
NT, en door E getogen EL rechthoekig door de As, fny- 
dende de Hyperbole ter rechter zyde in A ; ze^ is A het be- 
gin van z, om dat E;A isoo;i: want QE^cod+yidd^ 
gerimltipriceert met NEoorf— 1/{^ , komt ^dd voor het 
Vierkant van E A , of { d voor zy ne lengte , gelyk het bly kt dat 
hy behoorde te wezen , om dat wy hebben 2; 00 — {d±y enz. 
A»ders. de ycx)o nemende in de cerfte iE.<iuatiejryoDz2; 
—xdy^dz , zoblyftzz + ifeoooy of zoo— i^iVi^i/» 

of 




Van de Ontbinding door de Plaatzen. léf 

of 200O en ook zoo — dr waar uyt volgt, als CL, dicoojr 
k, gelyk nul werd, dat is als C Komt in de Inycfing van de 
Hyperbolc en de lyn door E getogen , dat is hier in A , 
dat dan L komt in het begin van z: en om dat hy dan me- 
de komt in de Hyperbole, zo valt by dan in A; otA is enz. 
als boven ^ 

Willende de aangenome Parabole gebruy ken , zo befchryft 
tem uyt A als Top , met NT als Rechtezyde , wiens As 
cvenwydig loopt aan de Dwarfè NQ^, opwaarts gaande.. Én, 
wil men een Rond daar toe uyt kiezen , zo maakt Am , iade 
verlengde E A aan A ^ zo lang als AE , en Baalt uyt m door 
A een Kring. Deze twee de gegeve Hyperbole in C'fiiydeiv 
de, en getogen CL recbthoekig op Axv , zoisALooz: dan 
gezogt een vierde evenredGge tot NT, 4, AL, die is oo x. 

IV. Is de gegeve KegisUhede eea ongeljkzydsge 
EUtpfisy oiHyftrbok. 

• Nu moet men meer afs een onbepaalde i invoeren , omdat 
de Rechtezyde nu niet zo lang is als de Dwarfc. 

Laat ons daarom de iEquatie op de aangenomêne Parabole- 
multipliceren met * , en divideren door L 

£71 — dyix)o 
/ M^ 

bit vergaart by de laaft gcvonde iEquatie op het Rond*,, 
inenheeftj7G0 — zz^'jz^iS5L — ^i, A. 

of jfG0-i^±y:^+^-«5+^% B 
Een EUipfis,. of eea Hyperbole. 
Is'tcenEUipfis, zohccftmcn-jca — ^,. of 

~^2zoo+^r-'+ik, het Surdifche 00 o nemende^ 

■ iU^^ I idz 

of zG0+rzr^±y.p:^+^r7r. 
Maar is 't een Hyperbole ,. zo heeft men — «^+-7^$ ca 
daar door , het Surdifche co o nemende , 

2^00— •^±V'..^— i^F=^ 

X 5 of 



j66 H ft t III Bc b k, 

of 2 00— ifi^±V'.S7^ ^,alsditlaatfteSur- 

Jifchc abfurt is, ftcUendc het Rarionale — ^^^irfb plaats van 
het Surdifche in de iEquatie B. 
Om dat men in bet Surdifche van de iEquade A heeft 

—zz+^, of ^*az in de Ellipfis, en ^zz in de Hy- 

perbole , en om datter geen z in het Rationale gevonden 
werd , 20 blykt , volgens het geene in de Plaatzen verhan- 
delt is, dat / — k, de Teller van het bekende waar mede zz 
fcmuldplicoert is , moet zyn gelyk de Rechtezyde in de 
lllipfis , en kj—l gelyk de Recntezyde in de Hyperbolc 
als y evenwydig loopt aan de Applicata ^ en dat /, de Noe* 
mer , moet wezen de Dwarfe : maar in de Hyperbole daar 
in de y evenwydig aan de Middellyn valt, dat /, de Noe-* 
mer , daar in moet wezen de Rechtezyde , en i^' — / , de 
Teller , de Dwarfe. Hierom , de Rechtezyde van de sege^ 
ve Kromme ftellende co/» co de Dwarfe xf> zo h^ben 
wy 

en koDg. ofKo:>g-A^^^^P^' 

kr- i 00 ƒ , of it GO / +/1 ïo ^ Hyperbole als y evenwydig 
en Izog^ oïksog+fi aan de Applicata is. 

* — 'co^, ofi^X^4-/| In de Hyperbole akjf evenwydig 
en ^x/, of*GO^+/\ aan de Middellyn is. 

Zo zyn dan i^en / beyde bepaalt : flaat nog d te vinden. 
Deviryl het Surdifche, in de equatie opz, is de helft van 
de Dwarfe, zo js in de El|i^s, 

ofijoV fjj"^^ , in de Ellipfis; 
Op gefykc wyze vind men 
^00 V jï^^^^yin de Hyperb., jr cvcnwydigaan de Applicata; 

en ioo V gFi/'^p ^ ^^ Hyperb.^ evenwydigaan de Middellyn. 
Om dat ^fg de Verkeerde is , zo zyn gedurig evenredig » 
Inde Ellipfis i /// de Verkeerde/ en|/,^+"^. 
Inde 1^ Hyp. ; dj de VerkeerdeV cai/.sg-^^. 

Indexc.Hyp.j rf/ de Verkeerde/ aiy.iyL— — . 

Voor 



Vandc Ontbikding doorde Plaatxen. 167 

Voor 't haft. Indien men in de -equatie A ftclt > 36 o 
20 ziet men dat dan ook zoo o zal moeten wezen, ofdat AL 
000 werd als C en L tezamen komen, ofdat A, hetb^in 
van z. , wederom in de Kromme valt , om dat als dan CL 
en A vereemgt zyn, en C altyd in de Kromme is. 

Is de gegeve Kegelfnede een 
EUipJts , wiens As is QN , en 
Middelpunt M , 20 maakt ME, 
opwaarts , en rechthoekig op de 




N 



ofals 



Kd 



dan 



^ 
>» 



As, zo lang als *7-, 

getogen door E een evenwydige 
aan de As , fnydende de Kromme 
ter linker zyde in A, en daar in genomen A» , ter rechter 
zyde van A, zo lang als { rf, en uyt m door A getc^en een 
Rond , fnydende de Elhjpfis in C : dan gplw^lt CL recht- 
hoekig op AE, zo is ALxz. 

^ ^ g%<^vt K»cUi)Qde een 
Hy perbcJe , wiens halve Dwar- 
le , tot de As behorende , is 
MN : bevint men dan d^ 

^;iir;;p groter is als 'fTTTiTT, of 
^^ groter al$i^^ of*^ groter als 

&; zo doet als hier fcvefa in de 

EJlip^ gedaan is , uytgenomeh 
dat men ËA neme ter rechter 

zyde van E ^ n^aar is ^ kleender 

als—, zo neemc ME in de As : 

waarnemende in yder Kromme 
de hoegrootheden die op elk van 
hen gevonden zyn. Dan gezogt 
een vierde evenredige totiï, AL, en 4; die isxat. 

Alhoewel men verzekert kan wezen dat de^ bewerking 
de iEquatie na behoren ontbind » uyt nafpeuring of men over- 
jj wel eeprocedeert heeft; zo zullen wy echter , tot meerder 
voldoemng , hier by voegen een Proef op de Ellipfis : in de 
andere gachiet het op de zelve wyzc. 




'•••••••••••«••«•••••••«•««tt* Vf • 



Verlengt CL tot aan de As in F. 



Vol- 



1^ H E T III B o E K , 

Volgens de onderilelling is-^a:>x: overzulxis AL, oS 

zao~\ óitvaa AGood 

reft ,/_ Jl5 30 LG 

^xLA 



Venncnigy. komf^'— ^-^ co □ CL 



•«■«ki 



BierbyMEx^ , of^xLF 



kamt^+d^. ^ — ^ 30 CF, int Vkrkant , 
of^'+i^_-^+^V-T-^^aCF 

Dcwyl AE is oo|r^, of*7-,cnAL»-T j zo is MEx 
— ^j en omdat QM, ofMNisooy.-^+^, 
aoisQFoo +T— *^+v'.^'+i^ 



vcnn. 



komt de ca Q.FN ooi^ +«^ — ^«. 

Omdat dexeCD QfN istothct o CF ials^tot/: daarom,dcze 
c=3 gemulópliceerc toet f, en gedivideert door^, men heeft 

a^.±,<ldx f<l<l'.* — i'^<*' i^dix ddnxt_kdd^/ X ï! 
^-hddxx 35 »^ ^/. Ji__ « 

kéd—n — ' ' ", 

V 









of ^5 Cö ^ — *«f , onze gcgcvc equatie* 



IV. Hooft- 



Van de Ontbinding door de Plaatzen. 169 

IV. H *6 o F T S T ü K.- 

Vinding van de t^ïgemeene Regekn tot de Oplqffing der 
Meetkunftige bef aaide a^Equatien van drie en 

vier Vimenfien. 

Dit is een- curieufetyt die ook met eenennuttelykis. Een 
gedeelte van 't geene te vinden is ftaat wel aangetekent 
in onze Wiskunft : maar om dat wy in hen een andere fchik- 
king gemaakt hebben, die in alles overeenkomt met die or- 
der welke wy in de Plaatzen hebben waargenomen , 20 zul- 
len wy deze Regelen , in die order , eerft voor aflaten gaan> 
en dan komen tot de vinding. 

overal is AB de lyn van x , beginnende van A : 
voortlopende na de rechter zyde met +, 
en na de linker zyde met — . 

Algemeene Regelen tot de Ofhfflng der Meetkunjlige 
xiyEquatien van drie en vier Dimenjkn. 

de + nemende na de rechter zyde , en opwaarts : 
de — nemende na de linker zyde^ en neerwaarts. 

L Algemeene Regel. 

De tweede Term ontbrekende. 

dat is op i^J CO px q^ 
cnopAr4 3Q pxx qx rr. 

de eenheit na bdüeven, 

I. f Neemt in AB (of de lynx) AMxifj aan 
de rechter zyde van A als men heeft +^ > en aan 
de linker zyde als men heeft — q. 

2. Trekt door A een Perpendiculaar op AB, en 
neemt daar in AI 00 \f \ opwaarts als men heeft +p^ 
en neerwaarts als men heeft— p : ook lO altyd op- 
waarts gelyk de helft van de eenheit. 

3. Trekt door O als Top , op lO als As , met 
de eenheit als Rechtezyde een Parabole neerwaarts. 

4. Heeft men xS zo trekt uy t M door O een Rond. 

Y Heeft 



j7o Het III Boek, 

Heeft men x^y zo haalt MO, en maakt OPx^> 
in de Perpendiculaar op OM als men heeft + rr *^ 
maar inde Omtrek van het halfrond op OM als men 
heeft _ rr 5 en trekt uyt M door P een Rond. 

5. Uyt C, C &c , de fnyding van het Rond en 
deParabole, haalt Lootlynen tot AB> (lotende AB 
in Bj zo is AB AB&coox 

De+x^ of de waare Wortel^ valt aan de rechter zy de van A; 
en de — x ^ of de valje Wortel , valt aan de linker zyde van A^ 

Het blykt is poD o, zo valt I in A. 




^^OD+f^ — i 

IL 



xi^ 30 — P^x + qx — rr 

Algemeens Regel. 
De Pweede Term daar by zynde 
datisopJt-jQo ^nxx px 



cnop*'+Go ^^x^ pxx 
n zo d'eenheit 



9 



r» 



I. Neemt in AB (of de lyn y) AE00115 aan de 
fechter zyde van A als men heeft + 2» , en aan de 
linker zyde als menheeft — 2»: ook EFooJpi aan 
de rechter zyde van Ë als het gemultipliceerde der 
tekens van p en ziiiseen+j maar aan de linker zyde 
als het is een — : nog FM 00 J^> aan rechter zyde van 
F als men heeft +2' ^^ ^^ de linker zyde als men 
heeft — ^. 

z- Trekt 



Vandc Ontbinding doordepLAATZEN. 171 

2. Trekt uyt H, het midden van AE, een Per- 
pendiculaar door AB » en neemt daar in HloD-^p*, 
opwaarts als men heeft -|-/^ , en neerwaarts als men 
heeft —p: ook IN altyd opwaarts cd ï?w. 

3. Haalt door N als Top, op NI als As, met n 
alsRechtezyde, een Parabole neerwaarts : ook door 
A een rechthoekige op AB , fnydende de Parabole 
in O. 

4. Heeft men x^ , zo trekt uy t M door O een Rond . 
Heeft men X4, zo haalt OM, en maakt OFodT: 
inde Perpendiculaar op OM als men heeft + ir > 
maar in de Omtrek van het halfrond op OM als 
men heeft —rr: en trekt uyt M door Peen Rond. 
5- Uyt C, C &c 9 de fnyding van het Rond en 
de Parabole, haalt Lootlynentot AB, ftotendeAB 
in B^ zo is AB ABêcccox. 

De^x, of denvaare Wortel y valt aan de rechter zyde van A; 
en de — x , of de valje Wortel , valt aan de linkgr zyde van A. 

Het blykt, is^ooo, 20 valt I in H, en F in E. 
Is in de iEquatie vanx^^ de jrxo, zo valt M in F : enis 
daarin^ en j*ry^irxo,2ovaltIinH, cnFenMbeydeinE, 




^^0^+inxx+px—q x^:x^—%nxi-^qx + rr 

Men kan deze Regelen gemakkelyk in zyn geheugenis in- 
drukken : cenige wcynige dingen heeft men flcgs te ont- 
houden. 

Y^ AM 



17^ 



Het III B o £ K^ 




AM ]soo{q^ of de helft van de vierde Term als de Pweede 
Term ontbreekt : 
maar oq n ip \q , of de helft van de Pmeede , derde en 
vierde term als de tweede term daar by is : het teken van 
ip , of van de derde term zo latende als het gevonden 
werd indien de tweede term een + is ^ maar hen om- 
kerende als die een — is. 

AO is X -l^ + ï, of de helft vande derde term+de helft 
van de eenheit als de tweede term ontbreekt. 

HN is 00 ^^+ li , of de helft van de derde term + i^ 
maal de eenheit als de tweede term daar by is. 

Het Rond moet g^n door O als men heeft .^3 , endoor P 
als men heeft x^. 

Dewyl de reft overal eveneens is, zo is dit nietlaftig voor 
de Memory. 

Aanmerking. Dewyl, volgens deze tweede Regel , de 
Rechtezyde van de Parabole is bepaalt , als wczende de helft 
van het bekende des tweeden Tcrms , ckt hier gelyk fn is , zo 
zal men genootzaakt wezen een nieuwe Parabole , of met een 
trek , ofdoor punten te befchryven , wil men de iEquatie 
werkdadig oploflèn , ten waare dat men in plaats van n^p^qca 
r te gebruyken, name een vierde evenredige tot » , ^ , j^ ,r, 
waar van dat n de ecrfte , en j/ ( de Rechtezyde van de gegeve 
Parabole ) de tweede in order is : invoegen , wil men de van 
hoorn gemaakte Parabole tot de ontbinding gebruyken , wiens 
Rechtezyde wy d noemen , zo moet men de lengte van d 

nemen 



Van de Ontbinding door de Pla atzen. 175 

nemen in plaats van » , ^ in plaats van /> , ^ in plaats van y, 
en — in plaats van r : en , om als dan de lengte van de wor- 
telen X te bekomen, zo moet men tot AB mede een vierde 
evenredige vinden , waar van d de eerfte en n de tweede ia 

order is, zulx dat -^AB de lengte van de lyn x is. 

En wil men weten waarom men op deze wyzemoet han- 
delen als men zodanigen Parabole wil gebruyKen , zo ftelt 

ix:onzy oi X x-^ » en ftelt ^ overal in plaats van ^ in 

de gegeve ^Equatie 

jr4 3o a»-*"' ^P^^ »»?•*' nnrty 

men heeftop 00 -^ ^tr a ^"^^ 



»4 



rf* 



n ""^ n nn 



of korter, multiplicerende de gegeve iEquatie meteenGeo- 
metrice I^ogreflie , waar van de eerfte Term is t , de twee- 
de — , om dkt z CD - •*" is , en z geftelt in plaats van x : dus,, 

.y+CX) ^^^ npxx nnqx nnrr 
verm. met i v r» S" ^ 



komt z4 30 2rfz3 ^^zz ^z ^', als boven. A^ 

n n na 

of z4 30 ^dz^ -^zz ^z ^ , doD d'eenheit 

zoheeftmenpoo^, ïCO-f, ^30 ^. 
en men heeft nu %din plaats van hier voren 2», 
Waar uyt men ziet de waarheit van dat men imoet nee- 

men in plaats van »; -^ voor/>, -^ voor q^ cn-^ voor r. 

En om dat men dan z Tal vinden , de Regel gebruykcn- 
dc , dewyl men dan oploft de gevonde iEquatie A , en niet 

de gcgevene iEquatie ; en dewyl ^ oo^^is , zo ziet men 
waarom men -j- AB moet zoeken om de lengte van x te be- 
komen. 
Indien men dan , volgens deze tweede Regel , neemt AE 

30^, EF en ook Hl yderx^r^, FM30 t^,INx li^/, en 
OP 30 ''^ , en men haalt het Rond uyt M door O , en men 

legt de Parabole met zyn Top in N , en zodanig dat zya 
^ Y 5 As 



174 Het III Boek, 

As leyt langs NH , en men baalt de Kromme, en men vind 
de punten B, B enz. zo is ABooz : en dan gezogt een vier- 
de evenredige tot rf , » , en AB , men heeft oe lyn- Jir, 

Maar dewyl dit een zaak is die veel voorvalt , zo laat ons 
liever de Inhoud van deze Regel zodanig veranderen, dat men 
daar uyt , op de gemakkelyfte wyze , zodanigen uytkomft 
vind , als wy hier even hebben aangewezen is dat men vinden 
kan door de alree gefielde Regel. 

III. Algemeene Regel. 

De tweede Term daar by zynde. 

Door een gegeve Parabole , wiens Rechtczy de is x ^. 

datisopj^r^GO ^nxx px q 
en op Ji^* 00 2»^* pxx qx rr 
n 00 d'eenheit. 

1. Neemt in AB (ofdelyn^) AEoo»5 aan de 
rechter zyde van A als men heeft + 2n y en aan de 
linker zyde als men heeft — 2»: ook EF ooipj aan 
de rechter zyde van E als het gemultipliceerde der 
tekens van p en tn een + isy maar aan de linker zy- 
de als het een — is: nog FM 00 2^ j aan de rechter 
zyde van F als men heeft -h^t en aan de linker zyde 
als men heeft— ^, ook AR oor. 

2. Trekt door A een rechte bAb^ en neemt daar 
in Aeo^dy aan die zyde van A daar E is , en haalc 
E iy en daaraan evenwydig, tot aan b b, F/, Mm$ 
Rr: dan haalt uyt h^ het midden van A ^ , een recht- 
hoekige door bAb', en neemt daar in ^ I oo ef-, op- 
waarts als men heeft +p, en neerwaarts als men heeft 
— p: ook IN altyd opwaarts oo lid. 

3. Legt de gegeve Parabole met zyn Top op N, 
en zodanig dat zyn As leyt langs NI > en haalt de 
Kromme, fnydende de rechte door A getrokken , 
evenwydig aan ^ I , in O. 

4. Heeft men x' , zo trekt uyt fw door O een Rond. 
. Heeft men x+ , zo haalt Om , en maakt OP 

ooAfi 



Van de Ontbinding door de Plaatzen. 175» 

co Ar } in de Perpendiculaar opO m als men heeft 
+rry maar in de Omtrek van het halfrond op O ^ 
als men heeft —m en trekt uyt m door Peen Rond. 
5. UytC,C&c: de fnyding van het Rond en de 
Parabole , haalt Lootlynen totb^Ab y hen ftotende 
inb^ b &c: dan uyt b, b &c. evenwydigc aan Eer 
ontmoetende B AB in B, 6 8cc: zo is AB> A B^ &c oo x. 

De+x^ of de ijoaare Wortel^ valt aan de rechter zy de vanA\ 
en de — x ^ of de valfè }yórtel , valt aan de linker zyde vanA. 

Het blykt , is ƒ ooo, 20 valt I in * , en F in E. 

Is, in de -equatie van x^, de j'ooo , zo valt M in F; 
en is daar in p en q beyde xb , 20 valt I in * , ea Fen ook 
M beyde in E. 




op x^CD'¥'7Jtx^ — pxx-^qx+rr 

Dewyl^isco^,>oo^, Arcx)v» enABcoT^o"^ 
dat A* co 2 is , 20 ziet men dat deze Regel voortbrengt het 
geene wy hier even te voren hebben aangewezen dat ze moeftc 
uytleveren zouze wel zyn. 
rfu zullen wy de vinding van deze Regelen aanwyzen- 

Vinding van de tweede Regel ^ daar de tvoeede Term by is. 

Wy beginnen van deze , waar door die van de eerfte dies 
te gemakkelyker zal vallen , om dat ze eenige dingen gemeem 
hebben». 

jLaat 



176 Het III Boek, 

Laat gegeven zyn een equatie at* 00 TMXi pxx qx rr 
of — x+ 8 2»^* 8 P^^ 8 J-^ 8 rro:^o 
verftaande by 8 en 8 zekere tekenen , zonder te bepalen 
of het een + dan of het een — is : zullende ons dienftig we- 
zen , om te bekennen of de Tekens van de gcgeve iEqua- 
tie omgekeert zyn of niet : Als 8 zig omkeert daar voor- 
ftcllencfc 8 , en voor 8 dan ftellende 8 • gedagtig zyndc 
dat de multiplicatie van zodanigen Teken met een + het zelf- 
de uytlevert , en met een — hem omkeert ; en met zig zclfi, 
dat ziilx geeft een +. 

Laat, van de g^eve iEouatie, wezen de 

XX CD 4-/V 8 ^^,dat cenParabole is:in *t Vierkant, 

zo is x^ :D+my ö '^fg^ +ggxx 

o£—x^:o—ffyy 8 ^g^y— gs^^' 
ook is 8 i»«' 00 8 'ifr^y+wg^^ 

fipxxco 8 Pfy SS Pg^fODO 

8 9^0D 8 9^ 

8 r^OD 8 ^r 

wy zeggen xo, om dat de gegevc ^Equatie, waar aan deze 
gelvk IS , co o geftclt is. 

Om een Rond , en geen Hyperbole , of ook geen Elhpfis te 
hebben , zo moeten de Termen , die met xy gemultipliccert 
zyn , verdwynen : en dewyl zulx gefchiet met n in plaats 
van g te ftellen , om dat haare Tekens airede contrary ge- 
vonden werden , dat hier door gefchiet , om dat wv by de 
gx zodanigen Teken gevoegt hcobcn als by de tweede Term 
vras : daarom dan , deze twee Termen uytlatende , en een 
n ftellende in plaats van een g , men heeft voor de gevonde 
equatie 000— jg^y 8 Pfy+nnxx S S P*^^ S 9^ S ^^ j^ 
voor de aangenome xx co tK^ 8 nx. 

Of, uy t de gevonde de xx weg reducerende , door mid- 
del van de aangenome , men heeft 
voor de gevonde o oo—^j' 8 Pfy 

+/»»ƒ 8 f^^x 
8 Spnx 

8 ?•*■ Srr. 

Aanmerkende dat de gegeve ^Equatie ^+30 2«^' pxx 
qx rr, zo wel tot die gedaante kan gebragt werden met «, de 
helft van de tweede Term , voor de eenheit te nemen , als 
met ccnige andere hoegroothcit daar voor te erkennen. 

Laat 



) 



Van de Ontbinding door dcPLA^ATZEN. ijy 
Laat ons dm ftdlcn dat » co d'ccnhcit is,en ƒ co »i2o hebben Wy 



ooD—yy spy 

8 8/^ 

8?-^ 8^^ 
cnocx) — ^^'^y 8nx 



vcrg^ 



v> 



komtyya^—xx^fiy Sinx 

+%yS 8 P^ 

8 3^^ 8 ^'' > ccn iEquatic 
opccnRmuf. oFy:x> 8?^+ i ±V-wgrr82«;^— at^. 

8 8 ^AT 

8 y*^ 
door de iEquatie op de Parabole heeft men a-qo 8]»±|/.iwi. 

+ny : uvt deze twee iEquatien moet dan volgen de gellcl- 
de Regel. 

Voor eerft blykt dat de gegevc quantiteyten n ^p^q , f r ,be- 
houden hebben haare eygene Tekens, zonder datter een van hen 
is omgekeert : in het Surdifche is de Term^x, welke van het be- 
gin athet Teken 8 byzig behouden had, nog gcmultipliceert 
ïoet 8 f het teken van de tweede Term. 

Indien men in de Fi- 
^^ guren , die deze Rj^l 

uytlevert , door O een 
Ijm haalt evenwydig 
aan AB, ihydendede 
verlengde Cfi in L, en 
de As in V, als hier ne- 
ven, zo is OLzowel 
CQ^'als AB, enOV 
iscx)AHaoiif. 

UytdeuEquatieop 
de Parabole blykt dat 
OVmoetzyn coji^, 
het lationale , zal V 
indeAswezen: me- 
de, dat V aandiezy- 
devan O moetaf zyn 
ais E daar van af is , om dat dit rationale een gelyke teken 
heeft met de tweede Term , gelyk wy hem in 't oegin go- 

Z gcvoi 




Ar4 X + aiwr J — ƒ Af Jir + jr4r + rr 




178 H E T III B o E K, 

geven hebben , en in 

Secn vanbeyde veran- 
ering is geu:hiet;inaar 
beyde is dit zxxlanig na 
uy twyzing van dcRc- 

gcl: AEiSGO», en 
aandiezydcvan A als 
het TeKcn van de 
tweede Term mede 
brengt, en H is het 
midden van AE; dies 
isOVooi», enVis 
aan die zyde van O als 
E vanA, dewylOV 

AHenHVAOeven- 

wydige lynen zyn. 

Het Surdifchc 000 nemende , men heeft jr 33 — i» voor 
VN, opwaarts om dat^ of LC neerwaarts loopt. Het Vier- 
kant van OV 00 im hier door deelende , men heeft n voor 
de Rcch^ezydc : maar de Regel neemt hem ook 20 lang ; 20 
voldoet dan de R^el de iEquatieop deParabole : 20 is dan 
OL, of ABoOi^ zynde, ook CLxjf in de2c ^Equatie , om 
dat C in zyn Omtrek is , en CL evenwydig aan 2yn As 
loopt. 

In de iCquade op het Rond is het Rationale 9 \p+n: 
dit moet dan wezen x LB , of HV , om dat het Middelpunt 
M in HB is , die evenwydig is aan OL , of aan .^ : maar de 
Regel doet 2ulx, om dat 2e wil dat men Hl , op of neer- 
waarts , in HV zal nemen co -J p » naar dat 2yn Teken een + of 
een — is, en dan, dat men IN altyd opwaarts moet nemen 
GO i:J «, waar door IV altyd opwaarts go» is, en by gevolg 
HV , of BL gclyk aan het voornoemde Rationale. 

Het Surdsfehc van de2egevondei£quatie op het Rond x o 
ftellende , 

of jrx 8»8 8:/>8i?±'/-^^+w8rr 

s 

uyt het Rationale ziet men waarom dat AM 2odanig moet 
genomen werden ak de Regel aanwyft* ncn{q hebben haarc 
cygpne Tekens behouden i ^/> heeft voor hem 2yn cygen Te- 
ken 



Van dcONTBlNDIMcdoordcPLAATZEN, 179 

ken 8 ,' en ook het Teken van de tweede Term 8 » waarme- 
de hy gemultipliceerc is. 

Om dat het Surdifche , ^.ss+w^rr^ de lengte is van 
de Straal, en het Vierkant van OM is ODss+w\ om dat 
AO30V, en AMco^is, 20 ziet men, OPcorzynde, in 
de perpendiculaar op OM als rr een -+• is, en in deOmtrck 
van het halfrond op OM als rr een — is, waarom dat MP, 
die de R^el vind voor de halve Middellyn van het Rond , 
zo groot IS als dit Surdüche hebben wil dat ze zal zyn : zo 
dan , de R^el voldoet de gevonde w£quatie op het Rond. 
OL, of AB dan ^ zynde, zo zal CL gelykzynaandejr van 
de equatie op het Rond ,. om dat C in zyn Omtrek is. 

Nu : C een punt van bcyde de Kromme zynde , zo is 
dan ook CL gclyk de y van beyde de iEquatien; en by ge- 
volg is ook OL, of AB gelyk aan de x van beyde de verge- 
lykingen : maar deze x isdcx van de gegeve equatie : zo 
voldoet dan de Regel het begeerde, 't geen enz. 

Vinding van de eerfte Regel daar in de Pweedi Term ontbreekf. 

Dit is de Regel van Cartefius , alleenlyk is ze een weynig 
anders gefchikt. 

Laat ons in aanmerking nemen de eerft gevonde equatie 
inde vinding van de tweede Regel, te weten 

— ^* GO —flyy 8 ^fg^y —gi^x'X 
8 mx^ co 8 ^fi^y + ^'fgxx 1 

8/>^^ao 8 PfySSPg^yoDo 

8 ï^co 8 ?•*• 

8 rrcx> 8 ^^ 

en ook xx x+jtv Sg^ 9 deiEquadeopdeParabolc. 

Dewyi de tweede Term ontbreekt, zo is nu de» cd o, 
en daarom verd wynen , in deze gevonde equatie , alle de 
Termen waar in dat » is , 8 V**> en + tngxx j en om dat 
wy dan nog een Term behouden waar in ^y is 9 welke een 
Hyperbole of een Ellipfis geeft , zo diende 8 Tjè^y "^^^ ^^ 
tot niet te lopen ; en om dat zulx gebeurt als jrxo geno- 
men werd , zo laat ons dit doen , en uy t deze ^quatien 
nog weg nemen alle de Termen waar in de g komt : en al^ 

zo oehouden wy van de iEquatieopdeParalx)le^^ C0+^* 
en van de andere 

Z z — ^'* 



iSo H B T III B o EK» 

8 rrcD firr 



vergaart 



komt oüp—ffyySP/yS9^Srr 

maar mi is de eenheit , die anders gelyk n was , onbepaalt , en 
daarom mag men hem nemen na E>elieven, om daar door een 
JEquatie te brengen tot die gedaante waar in wy hem voor 
dragen , dat ïs in dezedcbovenftaande —^x^Qpxx ^qx g rr^ 
• Stellende dan ƒ , de Rechtczyde van de Parabole , mede 
gelyk de eenheit , 2x> hebben wy 

—yy SPyS i^S ^^O0>o^ cndie opdc 
Panibole is — xx-ï^y ooQ 

Wg.komtyj^G0 8/^J^+j'8^r8yjr — xx^ ccn Rond^ 

V 

en ^OD\^y op de Parabolc. 

P Dezevergelykingentoepaflcn- 

de op de laaA voorgaande h^ur , 
zo. ziet men uvt de iEquatie op 
de Parabole aat OV nu is oo o, 
of dat AO nu de As moet we- 
zen, behoudens dat zyn Rechte-- 
zyde wederom is.de eenheit , de- 
wyl by yy niet toders als de 
eenheit kan gevoegt werden. 
Uyt het Rationalc op het Rond , S^p+i, süet men'dat 
nu AI moet genomen werden als Hl aldaar , met de zelfde 
bcpling, als zynde nu mede coS-zPi ^n dan lO opwaarts 
co de ; van de eenheit. 
Het Suixiifche op het Rond oo o Hellende , zo vind men 

Uyt dit Rationale ziet men dat nu AM niet langer moet 
genomen werden als ; y , ea uyt het Surdifche , dewyl het 
Vierkant van MO is 0Diqq'i"v^^9 dat men OP heeft te ne- 
men als de Regel aanwyft, om MP, deftraalvanhetRond, 
gelyk aan deze |/. ~ jj+w 3 rr te vinden. 

Wy 




Van de Ontbinding door de Peaatzen. ï^t 

Wy zullen hier van niet meer zeggen, om dat het overi- 
ge aangewezen is in de vinding van^e tweede Regel. 
. Dewyl het fomtyts veel beter Conftruótie geeft, in een 
Qucftie , als mea de eenhcit mag nemen na zyn wel geval- 
len, en niet juyft de helft van de tweede term, zo zullen wy 
hier by voegen de Regel van Fr. van Schoten, om dat daar 
in de eenheit onbepaalt gelaten werd : dog wy zullen hei» 
mede op vorige wyze hafchikken.. 

Anderc fchikking in de Regel van Fr. van Schoten, 

diende tot de oplofEng van een ^Equatie van drie Dimenfien; 
db tweede Term by zig hebbende , dat is op 

de eenheit nemende na believen. 
Regel. 

I. Trekt uyt A een> 
rechthoekige op AB,. 
als KW y opwaarts > 
en befchryfceenPara-^ 
boledoor A als Top», 
op AH als As , mee 
de eenheit als Rechte- 
zyde^^ opwaarts. 
». Neemt in AB, 
^ » (of de lyn *) AD 
*» 00 +»*■*— /**■+? X» > na de rechter 

»yde van A als men heeft +». en na de linker z)rde 
«Is men heeft - » i en trekt uyt D een evenwydige 
aan de As , (lotende de Parabole m G : dan uyt C» 
een gelykwydige aan AB, foydendc de AsmH». 
en ontmoetende de Parabole in O. 

3. Neemt in de As Hl ao/>, opwaartsalsmen heeft 
4-p, en neerwaarts als men heeft —f: ook IN altyc 
opwaarts op de eenheit.. 

4. Trekt door E , het midden van A N , een even- 
wvdige aan AB , en neemt daar in EF oo.i»f > aan. 




lt% 



Het lil 




B o B K, 

de rechter zyde ran E 
als het gemultipli- 
ceerde der tekens van 
nen van * een + is, 
maar aan ae linker zy- 
de als het een — is : 
dan FM y^iq-, aan de 
rechter zyde vanF als 
men heeft Hpf> en aan 
de linker zyde als men 

heeft — q : dan uy t M door O een Kond. 

5. Uyt C, C &c 9 de fnyding van het Rond en 

deParabole, trekt Lootlynen totA3i ftotendeAB 

in B: zo is AB o^x. 

De+x^ of de vioare Wortel^ valt aan de rechter zyde van A, 
en de — x^ ifde valfe Wortel , valt aan de linker zyde van A. 

Uyt het geenehier vorengcTcgt is op de cerfte Regel , 20 
blykt dat men tot de Ontbinding van deze mede altyd een 
2elfiie Parabole kan gebruyken j en by gevolg kan men alle 
de iSquatien van drie Dimenfien , fchoon 'er de tweede Term 
by is 9 door een zelfile Parabole ontbinden. 

VinAng %an deze Regel. 

Laat gegeven zyn een ^Equatie x^ zo ^^x px q^ 

of — xi nxx px q zoo 



NIP* 



of — x^ nxi pxx qxzoo 
onderftelle dat hier van de xx is zofy , een Parabole. 

i^is—x^zo—ffyy 

nxi OD nfxy • 

pxx OD pfy 

q^zo qx 

Dewyl wy hebben nfxy , dat oen Hyperbolc geeft , enwy 
een Rond moeten hebben j en om dat wy geen twee zoda- 
nige Termen hebben , en men ze ook niet kan doen verdwy- 
nen met f zon te nemen : f zo o te ftellcn mag niet wezcp. 
Laat ons dan een van de Wortelen co » pofèrcn , dewyl de 
gegeve equatie maar van drie Dimchilcn is : dit doende zo 

hebben 



Van de Ontbinding door de Plaatzen, 183 

hebben wy wffy in plaats van nficy , ax by gevolg 20 vCr- 
dwynt de Hypcrbolc. 

de geeevciEquatic — ^> 8 n9cx ^px 8 ?3D o 
gemultipliceertmct+^ 8» CD o 

komt —x^K "ènx^^pxxi^qx 

B 8 «•^•+««wr* 8 9^nfx^ 8?»xo 
De Termen A en B diende te verdwyncn , of van onge-* 
lyke Tekens te wezen , om dat van Schoten zvn x Iaat val- 
len op de As van de Parabole. 2^ dit geichieaen zo moeten 
nxx en n van gelyke Tekens wezen , gelyk wy haar ook 
zodanig geftelt hebben, waar door »»x^ een + werd, A en 
B dan uytlatende , 

menheeft— ^* S/^-*"^ 8 5^* 

J^nnxx^<^npx^f^qn'j:^o 

Dit gereduccert door de ^Equatie op (fc Parabole^ 

komt — x^zo—ffyy 

^pxx c» : ^Pfy 

8** ^ 8?*^ 

8 8«^^ 30 8 8»/^^ 

8 8 ?« » , , ^ ^.88?», 
of, nemende de Rechtezy de ƒ x de eeohat, 

zo heeft men —jy ^py ^i^ 

-4-»f9y8 é^P'^S 8?^30o,eenParabole 
hier by — xx+y 00 o , de aang. Par. 

komtjyf ao+«»y ^pr¥y 8 ï^ 8 8 ^P-^ 8 ^ qn—xx.ccn Rond. 
of jf 30 =^^ V^*^ ±V.vv 8 8 ï*^ 8 8 npx^qx—xx. 

Uyt het Rationale blykt de vinding van het punt E, omdat 
AH 00»» is, en^ met omgekeertis. Het Surdifchex o ne- 
mende 

zo ]&xx:q 8 8 ^P^ 8 j-^^+vv 8 8?^ 
of ^008 8 1»/^ 8 i j^±|/cnz. 
Uyt dit Rationale blykt de vinding van het punt M : uyt 
8 8 > voor : np ftaande, volgt dat daar voor zodanigen Teken 
moet ftaan als voortkomt uyt de multiplicatie van het Teken 
dat voóf ^ ftaat met het Teken van de tweede Term: ^jheeft 
zyn eygen Teken behouden. ^ 



1S4 Het III BoEKy 

HctSurdifchc, dicnftigzyadcom de halve Middellyn van 
het Rond te bepalen , werd niet gebruykt, om oat het 
Rond nu airede kan getrokken werden, dewyl M zynmid- 
delpunt is , en O een punt is waar door het lopen moet , om 
dat n gdyk AD , gelyk GH , gely k HO een van zyne Wor- 
telen IS. 

Dat wy het punt O aan de overzydc van G nemen , ge- 
fchiet daarom om dat het Teken van de tweede Term , waar 
na AD genomen is aan de rechter óf linker zyde van A , al- 
tyd contrary is aan het T^en van de aangenome Wortel» , 
om dat wy haar gelyk genomen hebben , -en by de Wortel 
H een+^ (bat , waar door de n , aan iie andere zyde over- 
brengende , zyn Teken omkeert : hier voren heeft men 
+x 8 » 00 o , overbrengende , komt Jif a> 8«. Is dan de 
tweede Term een +, «> is deze een — , of een valiè Wor- 
tel, of moet vallen aan de linkerzyde, daar het Teken van 
de tweede Term hem dan vo^ aan de rechter zyde, gelyk. 
tezienisin de voorgaande figuur: is de tweede Term een — , 
waar door AD genomen werd aan delinker zyde van A , zo 
is deze +»9 of is een waare Wortel , of moet vallen aande 
rechter zyde van de As , dat ook de Regel uytwerkt met O 
aan de overzyde van G te nemen. 

De equatie op de Parabole , xx zoy » werd voldaan met 
de eenheit voor de Rechtezyde tenemen, cnmetdeAsdoor 
A te laten lopen, het b^n van x. 



H. Dbbl» 



Van de Ontbinding door de Plaateen. i8^ 



IL Deel. 

Ontbinding van eenige bepaalde CHeetkunJiige Werk- 
fiukken door middel van de Plaatzm. 

Dit Deel zal het voomaamfte behelfen van dit Bock : 
het voorgaande is een vooibereyding hier toe gewccft. 
Wy zullen gemeenlyk twee onbekende quanciteyten x eay 
nemen, met die bepaling als in de Plaatzen ; x b^nnenck 
van een vafte punt , lopende in een gegeve lyn , en j^ daar 
aan verknogt m een gegeve , of in een bepaalde hoek : en wy 
zullen , twee >Equatien gevonden hebbende , waar van in 
yder de x en ook dej^ is, zoeken de Plaats van elkeiEqua- 
tie , op de wyze als in het eerfte Deel van het tweede Boek 
geleert is ; en dan zal de zamen voeging van deze twee, door 
Kaare fiiy ding , aanwyzen het punt , of de Punten van hef 
onbq)aalde eynde van y ; waar door niet alleen de y en ook 
de X gevonden zyn , maar ook veeltyds de Queftie volko- 
men ontbonden is. Ik zc^e van beyde de iEquatien indien 
geen van beyde gegeven is ; maar die van de eene bekent 
zynde , zo behoeft men allecnlyk die van de andere te vin- 
den. 

Deze Methode zal fbmtyts geven een zeer beknopte Con- 
ftruétie , en meeft dan wanneer de Plaats van de eene iEqua- 
tie gegeven is : evenwel niet altyd , om dat daar door ge- 
mam werd dat alle het bepaalde van het Werkftuk betitk- 
kelyk moet vallen op de twee onbekende jt en> , die genomen 
zyn op een bepaalde wyze , gelyk boven gezect is , net welk 
veroorzaakt dat fbmtyds de Termen veel werden , en de Di<- 
menfien hoog klimmen. 

I. ' W B R K S T U K. 

Gegeven zynde een Ke» 
l^^^f NCs eneenPunt 
D buyten de Kromme ^ en 
ook buyten zyn As: uyt D 
een rechte DC te trekken 
A ^die de Kromme raakt in C 




Aa 



Laat 



M 




Parabolc 

EUipfis ., 

Hypcrbole x — AJ 



Het III Boek, 

Laat NV de As , N Je 
Top , en A het Centrum 
wezen in de Ellipfiscn-indc 
Hypcrbole ; maar ook de Top 
in ac Parabole. 

Aanmerkt CV voor een 
;j7die de Kromme rechthoekig 
ftoot, of zodanig ftaat op de 
rakende DC ; CR en DE 
voor Lootlynen op de As, 
en CF vooreen zodanige op 
de verlengde van ED. 

Dewyl de Driehoeken 
CFD en CBV gclykhoekig 
zyn, daarom 

^^ ^T. «^ ?i^^ ^P ^ Parabolc, 

b+x-] DF BC I _\ 

^,_;r U— n/ykomtBVoo^^tr-» ^P ^^ EJlipfis ; 



deR.zydeao»' 
dcDwarfe 33^ 

DEco^ 

AEx* 
ABx^ 

BCoDy 



l-^h ^^^ Hypcrbole. 
Om dat BV ook isGOir in de Parabole, en OD^in de 
twee andere ( want zo NB in deze twee oo x was , zo zou ^ 

na de derde Regd der Raaklyncn BV wezen x^^^~^, en 

oir dat als dan AB is oo \q^^^ » en wy die nu po ^ gcno- 

men hebben , zo heeft men nu BV o^j) M vind men 

yy 00 47 4- ; **'4" i ^-iv op de Parabole , een Parabole. 
qyy 0C> ^jy^r brx — rxxop de EUipfis > een Ellipjis. 
-qyy oo oqy -^ brx + rx,x op de Hypsrbplc , een Hyperbole^ 
aanwyzende dat het punt Ó kan gevonden werdeij door de 



fnyding van de gegeve Kromme en een andere van de zelfde 
benaming. Maar uyt de natuur van de Kromme is ook 

op de Parabole, 



J!^2prr ^ 

qyy 00 "+" i ^99 — ^^^ ^P ^P EUipfis. 



jyy 00 — i ^?? + ^^^ op de Hyperböle. 
vcrgélykende dan rx met tfjf4-i*r+]r^, enzovoort, en 
gereduceêrt ^ men vind 



jroo 



Van de Ontbinding door de Plaateen, 187 

jrao— ^ + *r^, öp de Parabolc , 
J' 00+^ — TÏ^ f op de ElUpfis, 



^r, 



> CO— ^-4-^ , op de Hyperbole. 
«anwvïendc dat het punt C mede zal konnen gevonden wer- 
den door de fnyding van de gegeve Kromme en een Rechtelyn , 
op deze wyzc. 

C(mflru8ie. Trekt AI cvcnwydig 
aan DË. In de Ptfr^i^^/^ : makende 

AI neerwaarts 20 lang als ^ , en 
AH , in de As , ter reücbter zyde van 
A, 00* 1 ofgo AË. Inde Ellipfis: 

nemende AI opwaarts x^ , en 
AH , in de As , ter linker zyde van 

A, :o^^. IndcHyperboUinemexh' 
de AI neerwaarts 00^ 5 en AH , 
in de As , ter rechter zyde van A , 

CD ^. Dan getrokken door I en 

door H een onbepaalde rechte , (hy- 
dende de gegeve Kromme in C,C, 
en getogen DC DC : die raken de 
gegeve Kromme in C, C. 

Menziet, is 41000, ofisDinE, 
dat is in de As , zo is AI oneyndig 
lang, of IH is evenwydig aan AI : 
dies heeft men dan maar door H te 
halen een rechthoekige door de As: 
die zal de Kromme £by.dcn in de 
raakpunten C,C. 

Werkstuk. 

Gegeven zynde de Pdrabok 
ADEC A , hoedanig ook van nam 
tuur ; waar van AD de Mid^ 
deUyn , Adefop^ en DE een 
jlfpUcata is: BC evenwydig 
Aa z aan 





lS8 H E T III B o B K, 

aan DE te trekkm , die de Pa- 
rabcie ADECA in tweên ge* 
h/k deelt. 

Dcwyl de Driehoeken AED en 
ACB evenredig zyn met de Par*- 

^ "^ ^ bolen waar in ze befchreven zyn , 

' *" . _ 20 volgt dat de Driehoek ACB 

^^ *^ * half zo groot zal moeten wezenals 

Yè ^ de Driehoek AED ; en om dat 

AB co * deze in B en in D een hoek ge- 

B V-. GO J' lyjj iiebben , daarom zynze tot 

elkander als het vermenigvuldigde van de zyden om deze 
hoeken , dat is als *y tot «*. , , , . 

Zo moet dan wezen *■> coi«*. . ^t '«» Hyperbole ts op 
vfH A/ymptoti. xo^a zynde , 20 is jroo^*, <karom, 

Cmflrume. Hébbende AG Rctogen evenwydigwn DE, 
en gehaalt een Hyperbole die door het midden van DE gaat, 
waS van AD en AG de Afymptoti zyn , fnydende de Para- 
bole in C , en gehaalt CB gclykwydig aan DE : zo deelt 
deze de gcgeve Parabole in twcên gelyk , van wat foort 
of geflagt de gcgeve ook m^ wezen, omdat wy zyn natuur 
niet aangemerkt hebben. 

Indien de natuur van de Parabole gegeven is, 20 kan men 
nog andere Ckïnftruaicn vinden : by voorbeelt , zo het een 
gemeene is , zo is»coH^ i "**^^ ^^ ^^ vergaart of af- 
trekt by of van xxy 30 tib , men vind een equatie 00 en 
Hyperbole en zyn Middellyn. Maar laat ons liever een Rond 
vinden, AD de As zynde. Otn dat in de iEquatie op de ge- 
gcve Parabole* de y dubbelt en de * enkdt is , zo laat ons 
v^r^^xyzoab j en yyzD—~ , de iv weg reduceren , komt 
y^ZD\bi -y met jr vcimenigvuldigt , komt j»*ao 5 b^y '• «laar 
y+ is ook co~. zo is dan •^xi**^» 



of^-A-xl^y» een Parabole, 
hier hy yy oo -^-^ » de gegcve Parabole , 

]aovDX.xx'\^yyzO-f^>f'\-h-y 

of *• 00 ii-*±i/.^* +'^J'— J!y»«n ^W. 

het Sürd. 00 o zynde,zo isy 00 ii;± i/.4^+ ^• 




Vandc Ontbinding doofde Pla atzen. ig^ 

"" Canftruaie. Hebbende gezoj 

F en H , het midden van DL 
en DA, cngehaaltHF HE: 
dan getrokken FG rechthoc- 
kig op HF, en HL zodanig 
op EH. Voorts, genomen in 
de As, AK gelyk DG, en 
KM gelyk DL, opwaarts en 
cvenwydig aan DE : dan uyt 

r , , ^ , , M door Agehaalt een kring, 

fnydcndc de ff ege ve Parabole in C : dan getrokken CB irra- 
wydigaan ED ; zo deelt CB enz. ^ 

ni. Werkstuk. 

Wïlmmdat CB even^ 

wydig aan de Middeüyn 

zal wezen ^ wanneer de 

gegeve Parabole een ge^ 

/ B « fneeness. 

Zo vinden wy , nemende AA oo**» en C* , evenwydig 
aan ED , co V 

( om dat de Parabole ACft is | xy tegens dat de Raam CD 
is ay — xy j en tegens dat de Parabole ADE is ^ab) 

ofxy — J/iy + ^* 00 o , een Hyperhole op de AJymptoti. 
gedeelt door — y , komt — **+3^- -^00^ zynde j zo is 

ConjlruBie. Genomen A^ , na D toe , zo lang als ^ maal 
AD, en ag evenwydig aan DE getogen, engehaalteenHy- 
perbole dié door het midden van ED gaat , waar af dat ka 
en ag de Naderende zyn : deze de gegeve Kromme in C fiiy- 
dende, zo trekt CB gelykwydig aan AD: deze deelt enz. 

Maar is AD de As , zo kan men wederom een Rond vin- 
den^ welke het punt C zal aanwyzen. 

Door^jf — 7^érf+ab:x^o ^ caayy:x:)bbx ^ de *• wegge- 
nomen , komi y^ zo Tjbby — b^ , oïy^ZD^bbyy — b^y, IjS)r 
ayyzobhx dty^ en ook de jry w^cnomen , en gercdu- 
cccit, ' 




Aa 3 



komt 



i90 Het III B o b x, 

komt XX 30 y^ —^-y 9 een Parabolc , 
hicrbyyjfoo-^^ , de g^evc Parabolc, enge- 



« fH«««< 



i^y 



komt ^3^^a+^ ±Y.w--^^y—yyjxnR<md, 




n 



IictSurd.aoozyndc,2ois>oo— '^±y.if+w.daarom, 

ConflruSie. Door H en 

F, het midden van AD 

en DE , getrokken HF , 

en daar op rechthoekig FG 

HL : dan genomen GK 

gclyk TM , en get^en 

K KM evenwydie aan ED, 

ontmoetende Ol , gelyk* 

wydig aan AD,in M . Dan 

uyt M als Middelpunt een 

^. , ^ , Kring getrokken die door 

A gaat: deze fnyt de Parabolein >t voornoemde Punt C 

IV. Werkstuk. 

G^evmzyn* 
de een Q^a^ 
drant AEF^ 
en het funt D 
in een van zy 
nezyden:doar 
D een rechte 
DGC Utrek^ 

hen,fbtendede 
Omtrek (f zy» 
verlengdemC^ 
F en ontmoetende 
de verlemde 
van de andere 
zyde i of die 
andere s^de 
zélfs 




Van de Ontbinding door de Plaatzen. 19J 

de Straal oo^ zelfa in Gy zodanig dat AG za 

ADoo* lang is ah CB j die rechthoekig 

Ln r^"^"" op AF (faat. ^ 

AG,0fBCXJ^ TUf • J 1 . / r 

Men vind jf[yaDfty+ijir, ofy»{fr 
^y.lhb-^bx^ een Parabole^ wiens Recbtezyde is 00 AD. 
Zyn As loopt door I , het midden van AD , evenwydigaan 
AF : wiens Top N is ter linker zydc van AD. De Krom- 
me loopt door A en D , en 1 13 zyn Brandpunt. 

Dewyl M , de Straal van het Q^adrant , niet gebruykt is , 
zo wyfl dit aan , dat deze zelfde Parabole mede zal koiinei^ 
dienen om de punten C te vinden in alk Quadranten , en in 
haarc verlengde Omtrek, hoe groot of kleen ook vanStraal, 
indien A flegshaar aller middelpunt is, en dat D in AE valt: 
maar D in de verlengde A£ aan Ë zynde , zo moet IN , die 
nu ter linker zyde genomen is , ter rechter zyde genomen wer- 
den. De geheclc Parabole is de Plaats van het punt C. Ha- 
lende uyt ecfiig punt van hen een rechthoekige op AB , en 
uy t ckt zelfde punt een ander door D , ontmoetende de ver- 
lengde AB in G : zo zal AG zo ki^ wezen als AB. 

Maar gebruykt men de boegrootheit van het gegeve Qua- 
drant, zo hecK men nog yyo:>aa — xx : dit lefte geftelt in 
plaats van yy ^ m de eerft gevonde iËquatie , men vind xx 
00 — bx'^sa^^by^ ofxao — ï*±y'.iW-4-« — by^ rioedc 
een Parabole , ja de zelfde , om dat zyn Rechtezyde mede 

ooi is. Het Surdifche 000 nemende, zo is +jf»ifr+^. : 
daarom, 

Conftruaie. Verlengt de Omtrek , en ook FA , tot dat ze 
elkander fnyden in H. Dan haalt FDK tot aan de Omtrek , 
en trekt HKL tot de verlengde AE. Dan LM gelyk^ AD> 
cvenwydig FA , na de linker zyde , en MO daar op recht- 
hodcig 00 { LM. Dan gemaakt een Parabole wiens Top is 
O , wiens As is OM , en welkers Rechtezyde zo lang is als 
AD : zo zal deze de Omtrek van het Quadrant , en van zyn 
verlengde , fnyden in de zelfde punten daar de eerfte Para- 
bole han in fnyd. Is D in de verlengde van AE aan E, zo 
moet LM ter rechter zyde van AL valleiu 



V. Wbrk^ 



192^ 



Het III B o £ K, 

V. Werkstuk. 




AD, of ACco^ 

ABoo*' 

de Sinus CBxj^ 



ex 



Gegeven zynde een Rond wiens 
middelpunt is A : van hen een Boog 
DC af te fnyden , wiens Sinus Tan- 
gens en Secans te zomen genomen zo 
lang zyn als eengegeve Ijn b. 

Om dat de Tangens is x^ , en de 

Secans oo -,2x> heeft men jr +^ + V^ K 
o£xy+êy+ aa — bxoD o^en Hyp. op de Af. 
gedeeltdoor — y^b^ komt — x — a. 
^•xo zynde, zo is — j^x<»* 

H ^ Coff/huau. Hebbende DA verlengt tot 
de Omtrek in F, 20 haalt FG^rcchthoe- 
kig op FD , en neemt daar in FG, op- 
waarts, ^elykdegegevclyn* : danOH 
cvenwydig aan FD : dan met FG en 
GH als Afymptoti befchreven een Hy- 
pcrbole die door 1 gaat , ( Dl gelyk FI 
zynde) zo zal deze het g^evc Kond 
fnyden in het begeerde punt C : of DC 
IS de Boog wiens Sinus Tangens en Secans tezamen zolang 
zyn als de cegeve lyn b. 

Anders. Multipliceert men de gevonde iEquatie xy^ay 
aa — bxzDo niet x , en vergaart men de uytkomft by 
XX ^yy — aazoOy de vergelyking op het Rond , men heeft 
xx^yy'^%xy'\r'^ — 2A^+iW»o, 

ofj^OO — ^ — ^±y'.24*-+2**', cexk Parahole. 
. Wiens Rechrezyde is i»+*,|/x. Het Surdifche 00 o zyn- 
de, zo is xoooi cni^oóo wezende, zóis—j^co^: daarom, 

Confiruaie. AD verlengt hebben- 
de tot aan deOmtrek inF , enge- 
nomen ADL zo langalst , endaar 
op gcftelt LK rechthoekig en neer- 
waarts , zo lang als LF , en ge- 
haalt hebbende FK , fnydendchet 
Rond in I, zo befchryfteenPara- 
bole door I als Top , op IK als 
Middellyn , met FK als Rechte- 
zyde , en FKL als bewe^lykc 

hoek 






AD, of AC GO tf 
ABooAT 

BCoDy 




VandcONTBlMDlKG door dcPLAATXEN. 19} 

hoek : die fnyt het gegeve Rond mede in het begeerde 
punt C. 

Had" men de gevondc jfiquatie niet getnultipliceert , men 
zou een EUipfis gevonden hebben , en met meer als x , een 
Hyperbole op de Middellyn, 

VI. Werkstuk. 

fFd men een Boog D C hebben wiens 
Sinus en Tangens te zamen genomen zo 
lang is ds de Secans-^ 

om dat men heeft ^y+êy — 4fjaoo 

* /,- Zo vind men deze 
^^y^ * B002, DIgelyk FI 
Q zynde, en GFD recht, 
bcfchry vende een Hy- 
-^ perbole die door I 
gaat, en waar van dat 
FG en FD de Afymptoti zyn. Ofeen Parabole , waar van I 
de Top is , IK de MiddcUyD , Fl de Rechtezyde , en IFG 
de beweeglyke hoek. 

Deze Parabole bekomt men,aftrekkende xx ^yy — ^41 x o, 
van de gevonde iEquatie met x gcmultipliceert. 

Is men begerig op deze nog andere Conftruftien te vin- 
den , door de manier in het voorgaande Deel gebruykt , zo 
zoekt ecrft door xy + ayzOM en xx^yy oo ^ » een iE- 
quatie waar in alleenlyk x is , 

men vind — x^ — %ax^ + ^él^x zo o. 
aannemende xx+ax:x:^iiy^ dat een Parabole is » ivaar van 
de jf een andere lyn is als de ^ hier boven , 

Zo heeft men + Jif 4 +■ i^iifJ +■ Af Jirx 00 Aiy y 
hier by — x^-^^ax^ ^xifix zoo 
komt aaxx + 2 ^«^ 00 ^y 

of XX +^sx coyyyCcngelykzydigeHyp. 

In deze voor xx geftelt ay — aXj deaangenome Parabole , 

men heeft tf>+ ax ojyy 9 een andere Parabole. 
hier by — xx'^ajf — ax zoo , de aangenomene Parabole^ 
komt — xx'^^iyzoyyy een Rond, 

Bb Öm 



• . 




00*-, ctiACotj, zoblyktdatbetSur- 
difctK iscoCB, ófdat het g^evc Rond 
deze .equatie — xx + ijty coyy voldoet, 
mits dat NL , (evenwydig aan AD, 
en zodanig dat ook AN evenwydig is 
aan BC) is de lyn van *■ , want dan ts 
CLsoa+y'.*» — xx , ofoodc aange- 
nomen , welke Jn deze gevondene Kromme voor> gaiomen is. 
Wfllcnde dan de Ontbinding doen door het gegeve Rond 
en de gclykzydige Hyperbolc, zo heeft menflegs uyt N als 
/ Top, op NL als As, met FD als Rechtezydc, zodaniccn 
Hyperbole te befchryven : die fnyd het gcgevc Rond in net 
begeerde punt C; of DC is de b^^rdc Boog. 

Wil men ha door degevonde Parabo- 
'le verrichten, zo zoekt I , het midden van 
AN , die rechthoekig op AD ftaat , en 
^ trekt daar door 10, na de linker zyde, 
evenwydig aan DA , en zo lang als de 
helft van AI. Danbelchryft ccn Parabo- 
- Ie door O als Top , op ÓI als As, met 
AD als Rechtezydc : deze fnyd het ge- 
geve Rond in het begeerde punt C , en 
rt mede door A en door N j of E>C is 
Boog wiens Sinus en Tangens zo lang 
is als zyn Secans. 

Maar wil men de aangenome Parabolc 
daar toe gcbruyken , zo zoekt I, het mid- 
den van AF, en haalt lO, neerwaarts en 
evenwydig aan CB » zo lang als i i maal 
AD. Dan befchryft een Parabole door O 
als Top, op 01 als As, met AD alsRechtczyde: deze fnyd 
het gegeve Rond mede ïn het b^cerde punt C , en Mat 
ook door N. ja de Solutie zal men bevinden overeen te to- 
rnen met de geene die men vind de tweede Algemeene Regel . 
gcbraykcnde. 

Men ziet dan , dat men door deze middel nc^ drie 'erlcy 
ontknopinge gevonden heeft , en dat op een gemakkdyke 
wyze onderfchcydcn van de twee hier voren daar op gevonden : 
wil men meerder mocyte docn,nien Bal der nog meerder vinden. 





Van de Ontbinding door dcPLAAxZEN. ipj 
VII. Werkstuk. 

ff^il tnen dat de Secans zo veel langer is als de Tan^ 
gens 9 als de Tangens langer is ah de Sinus. 

Zo vind men xy — ^ay+aa:x>Q , ccn Hypcrbolc op de 
AiVrnptoti ; en door middel van xx +jry co ^ ^ , heeft men 
ooKjfX24 — xiiV.yia — 44* , cenParabole: daarom, 

Con/lruffie. Maakt DG gelyk 
^ DA , en GH daar op rechthoe- 
kig. Dan bcfchryft een Hypcr- 
bole waar van dat AG en GH 
de Afymptoti zyn , die door het 
midden van Al loopt, welke 
rechthoekig op AD ftaat. Of, 
' maakt IL gelyk AI , haalt LG , 
en meet af Lk gelyk 4 LG. 
Dan befchryft een Parabole door K als Top , op KL als 
Middèllyn, met ILK als beweeglyke hoek, en met LG 
als Rechtczyde. Beyde deze Kromme lynen fiwden het ge- ' 
geve Rond op twee plaatzen C C , waar van DG die Boog 
IS welke het b^eerde voldoet : maar DCIC , of de Boog FC is 
een ander , wiens Secans min de Tangens :so lang is als de Tan^ 
gens en de Sinus. 

VUT. Werkstuk. 

Wtl men hebben dat de Sinus langens en Secans Har^ 
mmice evenredig zyn , cfdat de Secans tot de Sinus is, 
als de Secans min de Tangens tot de Tangens min de Si- 
nus. 

Zo vind men xy — iax + aao:>o^ een Hyperbole op de 
Afymptoti: daarom, 

OmJlru3ie. Maakt IG zo lang als AI, 

o\ ^ die rechthoekig op AD ftaat, en trekt 

GH evenwydig aan AD. Dan befchryft 
een Hyperbole waar van AG en GH de 
Afymptoti zyn, en welke door het midden 
van Aügaat : deze de Boog Dl in C fny- 
dencte , zo is DG de b^eerde Boog. Men 
vind ook een Parabok die het zelfiie doet. 

Bb X Dewyl 




laaft voorgaande, ws*"jf — ^ax^eaa:io,cnxy — a^y+fljxo, 
nergens anders in vöfchillen, als dat indecenede*- zodanig 
js als in de andere de y » 20 blykt , dat de Bo(^ DC , in 
dit Werkftuk , het Complement is van DC in 'tlaatfte , of 
20 groot als Cl aldaar. Men kan dat ook mede zien uyt de 
Conftruftie. De eene dan gevonden hebbende , zo bedt men 
ook de andere, 

IX. Werkstuk, 

Van em gegeve "Rond een Boog af tt fi^den i zodanig 
dat de Tangms min de Sinus isgefykaan een gegevelynb. 
Confiruélie. Trekt DG , nederwaarts 
en rechthoekig op AD y zo lat^ als de 
gegeve lyn * , en GH , na de Linker- 
zyde, evenwydig aan AD: dan.be- 
^ fchrj^ een Hyperbole die door A gaat, 
waar van DG en GH de Afymptoti 
zyn, fnydende de Omtrek van hctgc- 

fcve Rond in C C : zo is DC opwaarts 
c begeerde Boog: maar FC neerwaarts 
is een Boog wiens Tan^ns en Sinus te 
zamen zo lang is als ^. 

X. Werkstuk. 

Het zelfde gegeven zynde i van hen een Boog af te 
Jhyden wiens Secans min de Sinus zo lang is als een ge- 
geve lyn b. 

Confiruélie. Maaktin AD,of inzynver- 
lengdcjAWzolangals ^,enAI,necrwaans 
en rechthoekig op AD , gelyk b ; ook IG na 
de rechter zyde evenwydig aan AD. Dan 
befchryft met AI en IG als Afymptoti een 
HyperbolediedoorWgaat: dezehetRond 
in C C fnydende, zo is DC boven AD de 
& . begeerde Boog: maar DC onder ABiscen 
Bo^ wiens Secans en Smus te zamen zo 
lang zyn als de gegeve lyn K 





Van de Ontbinding door de Plaatzbn. rg/ 
XI. Werkstuk. 

EenDriehoek ABC temaken zogroot 

ah het Vierkant van eengegevelyn C , 

j ^ ^ ii>aar af dat AC zo lang is ah een ge- 

^--■ri-" geve lyna ; en hebbende uyt A door C 

Inh. ABCA cd cc getogen een Kring , fnydende BC «» D. 




ACgo* 

BDco* 

CO, of DO 30^ 

OAoojf 



dat BD 20 lang is ah eengegeve lyn b. 

Aanmerkt AO voor een hangende op 
BC>. 
men vind xx^yy:^^ ga een Rond^ 

cnxy+ibyooccccaHyp.opd^A/: 

bekomt— y. Nemende 




dit laatftc gedeelt door — x 
*+ï*X^, w is+jf30^. 

ConftruSie. D voor 
ccn vaft pmit nemen- 
de , en cfaar door ge- 
haalt hebbende BDC, 
zo is deze de cene A- 
fymptotus, om dat — y 
;een bekende by zig 
teeft r dan genomen 
DE , ter linker zydc 
van D , gelyk ^ ^ , en uyt E gehaalt EF rechthoekig ooED,. 
20 is die oe andere Afymptotus : dan genomen EP ge- 
lyk r , en get<^en FG , cvenwydig aan ED , mede zo lang^ 
als ^ > en ooor G als Top , met ED en EF als Afympto*. 
li bdchreven ccn Hyperbolc , 20 heeft men de Plaats van 
de iEquatic xy+{ by co cc. Omzc van xx'^yy rQaat€ 
hebben , zo haalt uyt D als Middelpunt 9 met a als Straal, 
een Kring : deze de Hypecbole in A A ioydende , zo haalt 
de hangende AO AO: dan genomen OC OC gelyk OD 
OD , ook EB gelyk ED , en gehaalt BA BA, en AC 
AC , 20 heeftmen twee Driehoekca ABCA en ABCA dier 
bcyde het begeerde voldoen» 



Bbj 



XII. Werk* 



J 




Ve ntvenfiaande f guur te 
tnakm. recht in C min D. 
zodamgdat AB, CE.m ËD 
zo iane zyn ah drie gegevely- 
nma,i,c. 

Nemende BC co * , en CA 
COjf» zo heeft men 
x^ ^yy 30 « eco Rond f 
en *> + fr* 30 «f ttn Hyperboie op de Afyfi^toti. 
wcUtc laatfte gedeelt door — *, komt — y — b. Nemende 
«"ao"» Zois+J'CDf — b. 

Cot^ruSie. Hebbende BC 
getogen na believen , zo trekt 
door B een rechthoekig op 
BC : neemt daar in BF neer- 
waarts gelyk b , en FG op- 
waarts gclyk c. Dan haait 
FEcnGI, beydeevcnwydig 
aan BC. GI zo lang genomen 
hebbende als « , zobefchryft 
eenHypcrbdc die door I gaat, 
en waar van dat FE en FG 
de Afymptotizyn. Dan haalt 
uyt B met a als ftraal , een 
Kring : dcM de Hyperboie in A , A fiiydcnde , zo trekt AE 
AËrcchtbodtigdocrBC^dan AB AB, en daar op rechthoekig 
ED ED, men heeft twee figuren CBAED en CBAED dic 
yder het beende voldoen. 




XIII. 



:\_i 



Werkstuk. 

Em figuur te makt» iim di m- 
vmfiiióult geioMte , richt m B 
enmX> ) en zodamg dat AC zo 
Img is ds eengegeveljn a, en EB, 
mk ED yder zo lang als een ander 
gegeve lyn b. 



r 




Vande Ontbinding docx-de Plaatzen. 199 

Nemende ABx^» en BCooy; en aanmerkende dat 
AB/ AC // AD/ AË ereoredig zjn 

en xx-^hxj^yaa — ay 

of xcoib±Y.ibb+aa—.éy cca ParaboU. 
waar van de jf erenwyd% loopt aan de As. 

Omfiruffie. Hebbende 
GTi een Parabole getrokken 

met a als Rjt^tezyde» 
zo haalt door de Top F 
een rechthoekige door de 
As, en neemt daar in , 
ter linker zyde, FG ge- 
lyk i Ajen trekt uyt G een 
evenwydige aan de As , 
fnydcnde de Parabole in 
H'y en in de zelve , aan 
de verlengde aan H, ge- 
nomen hebbende HC gelyk a , zo haalt uyt C door H een 
Kring : deze de Parabole en A , A , A fnydende, zo trekt 
CA CA CA : dan AB AB AB rechthoekig op GrC, ofop 
zyn verlengde , (hydende IE , evenwydieCB ( GI x * zyn- 
de) iri E, E, E i dan gphaalt ED ED ED rechthoekig 
op AC , of op zyn verlengde , zo is de figuur gemaakt. 

Maar aanmeikende dat ook BC/ CA// ED/ EA evenre- 
dig zyn, 

2k) vind men xy — byoD^b, een Hyperhole op de A/jmptoti. 

Con/lru3ie. Hebbendein 
Cl gcnomenCF gelyk b^ 
en uyt C en ook uyt F 
yder getrokken een per- 
pendiculaar op Cl , op- 
waarts i en in de laatfte 
a%emeten FG gelyk a , 
en getrokken GH, na de 
rccnter zyde , gelyk en 
cvenwydig aan CF ; zo 
maakt een Hyperbole die 
door H gaat , waar van 
dat FGcnFI de Alymp- 

toti 





Van de Ontbinding door de Pl a atzen. idi 

Conjiruffie. Haalt FE recht- 
hoekig op FC , en zo lang 
als a : dan befchry ft een Pa- 
rabole door F als Top , op 
FEtils As, en met dezelftte 
als Rechtezyde : deze de 
cvenwydige aan AC , door 
E getogen , fnydende in O 
en in vj , zo haalt uyt M, 
Q— het midden van GE , een 
Kring die door O gaat, fny- 
dende de Parabole in P : dan PA nangende gemaakt op 
FC : dan haalt AEB , en door O daar op een rechthoekige , 
de eerfte ontmoetende in B , en AF in C : zo is ABCA de 
begeerde Driehoek. 

XV. Werkstuk, 

Een Driehoek te maken zodanige dat de lynen getrok-^ 
hm up de Hoeken tot het Centrum van het ingejchréve 
Rond, zo lang zyn ah driegegeve lynen a^ b^ c. 

Wy zullen de ontbinding van deze UL. voordragen op 
die wyze alsze gedaan is door myn Soon IJaac de Graaf . 

Aanmerkt ABCA voor 
zodanigen Driehoek , en 
G voor het Centrum van 
het ingcfchreve Rond. Om 
dat de driehoeken A, B,C 
te zamen even zyn aan twee 
rechte hoeken , en een ie- 
der van deze in tweên ge- 
lyk gedeelt werd door de 
5^eve lynen AG BG 
ZO^ zo volgt dat dehoe- 
ken GAB GBC GCA te 
zamen gelyk zyn aan een rechte hoek j waar door het Pro-i 
blema kan gebragt werden tot deze gedaante. 




Cc 



M^t 



Y 




Het III Boek, 

Maakt met GA , ccn van de gcgcvely- 
ncn , aJs Straal een Quadrant GNAMLXj. 
Oiklcrftcllende NGA zo wyd te wezen als 
GAB of als GAG in de Driehoek , AGM 
als GBA of als GBC , zo is MGL zo 
wyd als GCA of als GCB. Nemende dan 
Gb hier als GB hier voren , en GC als 
GC ; en halende iiyt ABC lynen recht- 
hoekig op GN , op GA, en op GM , of 
op haarc verlengde , als AD BE CH , zo 
zullen deze ydcr in 't bezonder zo lang we- 
zen als GF hier voren , de Straal van 't iMcfchrcvc Rond, 
Eyndclyk , trekke uyt M de lynen MI MP MK rechthoe- 
kig op GA op GN en op GIL. 

Stelle GAgo^, GBgo*, GCx^, GDco*, en CH, 
of BE, of ADao>. 

Om dat de Driehoeken GBE en GMI, ook GCH en 
GMK gelykhoekig zyn , zo is 't 
GBfc/ BEjf/GMiJ? komt^xMI. 

GCr/CHy/GMtf? komt -i^ x MK , of GP. 

Eu om dat de Driehoeken GPO GDA MIO evcnhoc- 
kig zyn , daarom is 't 
GDj^/GAi^/MI^? komt--^^c3oMO 

GD a: / AD^ / GP-^ ? komt '^ 30 PO. 

vergaait 



komt^^ + ^OoPM 



men heeft 






i4»y» 



bxit 



+'.i22.30DGP 



y 



x««,'taGM. 

hhccxx 

c&uceyy + xdbey^ + hhy^ + hhxxyy x hhccxx . 
6£aa(eyy^xabcyi-^a4ibbyy:XibbccxXt 
weg acmende xx in de Term bbxxyy , tkar voor {tellende 
aa — yy , om dat wy ook hebben. *■*■+ xy 3q a». 
of AT* X """+'***+ "'*7'/; , 

Een Kromme van het tweede geflagt. 
Ook hebben wy xx zo aa—yy , een Rond. 

Door 




Van de Ontbinding door de Pla atzen. xoj 

Door de fnyding van deze twee zal dan konnen bepaalt 
werden de lengte van jf , of de halve middellyn van hetinge- 
fchreve Rond. 

Hebbende dan een Rond 
getrokken uyt zeker punt 
A , met a als Straal , wiens 
Middellyn is AF , en deze 
aangemerkt voor delynda^r 
X in loopt, beginnende ven 
A ; en uyt de voornoemde 
-equatie geformeert de 
Kromme van het tweede 

§eflagt , zo zal men bevin- 
en dat hy zodanigen ge- 
daante heeft als in de ne- 
venftaande figqur vertoont werd , lopende door A met een 
Krul onder AF , fnydende het voornoemde Rond op vier 
plaatzen , twee maal onder AF en twee maal daar boven , waar 
van de twee ter linker zyde van A cvenzodanigen afftand 
hebben van de lyn AF als de twee andere ter reehtcr lydc. 
De fnyding boven AF kan maar dienen , om dat de y geen 
— kan wezen, of om dat de Term ^êbcy^ geen — kanzyn, 
dewy 1 MO en PO moeten vergaart werden om PM te helv 
ben. Trekkende dan^uyt G ; de {hyding boven AF , een 
rechthoekige op deze , als GF : zo is niet alleen AF hier zo 
lang als AF in de eerfte figuur , maar ook GF hier als GF 
aldaar^ of AF is x^ en GFcx)j^> waar door de opmaking 
van de begea*de Driehoek openbaar is 

Wy hebben écifi Kromme genomen om dat wy het Rond 
van, het Quadrant, waar af # de ftraal is, tot de ontbinding 
zoude konnen jgebruyken : maar dit Rond nalatende , en de 
#r weg nemende uyt de iEquatie aaccyy+zêbcy^^aabbyj 
:X)bbccxx, door middel van xx^^aa — yy^ menheeft. 
labiyi+MCcyy^éébbyy'^bbccyy — sabbcc OD o. 

£en i£ouatie van drie Dimenfien , waar by de tweede 
Term ia , die men kan ontbinden door de Algemeene Re* 
gel , of door de ihyding van een Parabole en een Rond ; 
ook door een Parabole en een Hyperbole , want , (lellende 
dat yy is o^ax , zynde een equatie op een Parabole , en 
fdaar dopr de^ wegnemende , en reduccerende , men heeft 

Cc» zabffcy 




Een Hypcrbole van het eerfte geflagt 

Hebbende dan een Parabolè 
befchreven uyt A als Top, op 
AF als As , ma « ab Rechte^ 
lyde; en ook een Hypcrbole die 
doorBgaat,ABco;;^^ 
wezende , waarafHAC , recht- 
Boekig door AF , de eene A- 
fymptotusis , en CE, cvenwy- 
dig aan AF , de andere , AC 
neerwaarrs 03"'"*""/*+**" 
zynde : zo isi deze laatftc de 
Parabole fnyden op drie plaat- 
sen , waar uyt getogen lootly- 
nen ojpAF, zo zal men hebben 
de dne Wortelen van de voor- 
noemde Cubicq. jEquarie : de 
twee valfe onder AF komien niet dienen , om reden als gc- 
leyt is, maar de waare boven AF, als GF, wyft aan tfc 
lengte van jr, of van de halve middellyn van bet ingcicbrcve 
Rond. 

XVI. Werkstuk. 

Gegeven zyndede Krom^ 
melynvanC^Tts-^iMs, daar 
*»Ti+K'30Ba^ «f in hen 
het punt C te vinden dat op 
het verfie van NB af is. 

Dewyl * in dtze iEquatie 

dan moet hebbt n twee gelyke 

wonclen, daarom 

yi ■+■*> ZD »*j»igemultipliccert 

met o 3 I , Arith.Progr. 

komt ^^'co'wj' (of*»30ï"*J') 
K 




Van de Ontbinding door dcPLAAxZEN. zo-f 

Aanwyzcnde dat men bet punt C kan vinden , belchry- 
vende op NA, rechthoekig op NB, als As, uytNalsTop, 
met' j n als Rechte zyde , ten Parabole : deze fhyt hem m 
C , welk punt op het eerfte van NB af is. 

Vooraf 3, in de gegeve yEquatic , gefteltj«Ary, menbeeft 
^ï -h -} nxy GO »>5y , of jfy GO 4 »-*■ > te kennen gevende dat men 
het zelfde punt C vind makende een Parabole op NB- als 
As , door N ak Top , met ^ » als Rechte zyde. 

Multipliceert men xxo:y^ny met yyöD^nx ^ men hoeft 
xxyy GO 'nnxy , of Jry go > »» j een Hyperbole , waar van dat 
NB en NA de Afymptoti zyn : NÉgOt» > en ÈI , even- 
wydig aan NA, go 4^ wezende, zo is I eenjpunt waar deur 
hy moet lopen. Deze dan makende,, zo fhyt hy mede de ge- 
geve Kromme in het punt C dat op het verftcvan NB afisi 
en nog in een ander punt dat van NA het verfte is. 

Vergaart men xx^o^ny by yy go 1 »* , of trektmenze van 
elkander af, men.vind jr oo ± / » ± y-yinn+^fp^ T xx , een 
Rond ,. of een gelykzydige Hyperbole. 

Willende het Rond gcbruyken , het Surdifchc go o ne- 
mende , men heeft xxo:)^nx.+jinft, of.vxi«+V'.i»» 

. Daarom , genomen in £1 , EM gelyk ; EN , en uyt M 
door NT een Kond getogen , d^t gaat mede door Q^ en fnyt 
dt gegeve Kromme in het punt C dat ophctveiite van N^ 
af is. 

De Hyperbole zal het zelfde verrichten : zyn As valt on«r 
Jkx NB, en de Kromme loopt mede door N. 

Indien men CP rechthoekig op de As NQ trekt, zo zal 
NP -f- PC de iém^e wezen die men in deze Kromme on die 
wyze kan hebben : want, halende CTcvenwydig aanNB^ 
tot aan de verlengde As , zo is de boek PCT^ gelyk PNB , 
dat is halfb^ , en- daarom CP gelyk PT ; en om dat TC' 
een Raaklyn is , zo zou ƒ wezen als^ ; en daarom C een< 
punt in de Kromme waar in CP zo veel afneemt als NP 
toe neemt, of waar in NPHhPC de langile is. 



€c j, XVH-.Wbïijcw 




^Q. De zelve Kromme gegeven zyn* 
de : m hen het Punt C te vinden dat 
op het verfie van de k^s N(Xafis. 
In dit geval moet CK , de Rakende 
in C , cvenwydig aan N(i wezen : ea 
daarom is de oDdeirakojdc KL zo lang 
als CL. 

Hierom , ay tj« + af» — «jy 33 o , gezogt deOnderrakcndc, 
men vind KLood^jT^qp^ooCLco)' 
gereduceeit, komtj^cojfly-f-T"*— ** 

of y30l"±y.Tl'"'+T''*~**'i"*'''"'* 
bet Surd. co o , 20 is * CD i « ± V V. »»■ 

Waar uyt blykt, NM gclyk ^ NCt.zyndc, datmcnmaar 
uyt M , met MN als Straal , een Kring heeft te balen, die 
zal de gegcve Kromme fnyden in de Punten C C die op het 
verfte van de As NQ,aflmn. 

XVIIi: Werkstuk. 
Ve zelve Kromme gegeven zynde , en ook een rechte 
IjnHA : m de Kromme de pmten Q C te vinden, die 



J 








\y c 


V 


BK N 

C 


^ ' 


B 



JtmUli , meokie mujie i^jttai htUm vm ieze gt- 
lemfyu Laat 



•1 



HNooa 

NBgo;» 
NLx*" 

LCx7 



VandcONTBiNöiNG ^oor de Plaatïen. ^oJ 

Laat CK de Kromme raken in C; 
zo is die cvenwydig aan HA : en zo 
dan NA evenwydig is aan LC, zo 
zyn HN / NA //KL/ LC even- 
redig , dat is 

W * // z^^fi^ / jy. 

Hier door vind men ^ '^ 

jrao^''±V^.^^^jf^+i»-^ — T^->^e^^ £///>/f , tfongelyfc 
aan * zynde : maar gelyk wezcnde , of HA cvenwydig aan 
de de As NQ zynde , een SonJ: en dan zynde punten C C 
in het laatftc Voorbeelt gevonden , de naaft aan HA , of de 
verfte daar van af. 
HetSurdifclK^CX)ozynde,zoisAr x^± V.2^"+lil 



ann 



>Mn 



xo^o wezende , zo is jr CQ-y- , of go o : dies loopt de 
EUipfis door N. 

Conjhuffie. Maakt NE co i NB; haalt EF rechthoekig na 
HA toe, ontmoetende NA , in F ; en trekt door F een 
cvcnwydigc aan NB ; die is de As : dan maakt EG recht- 
hoekig op EF, en neemt FM zo lang als NG, zoisMhet 
Centnnn. Dan gezogt FO midden evenredig tuflchen NF 
en NE , en genomen MncnMq ydcr zo langals MO; en 
gemaakt oen EUiniis op «rf als As ^ die door ^4 gaat : zo zal 
leze de gegeve Kromme fnyden in de begeerde punten C C. 

XIX. Werkstuk. 

Gegeve zynde een Rtmdwiem 
mtddelfunt is D ^ en een recht e 
Ijn KE ; en daar in éénpunt 
N: een Kegelfnede te trekken, 
waar van KE de As is , N 
de7(^^ en die het gegeve Rand 
raakt, als hier in C. 

De figuur kan hebben veel-* 
DE 00 * derley gedaante : wy zullen al- 

N£ ^ j lecnlyk de uytrckemng doen op 

DC 30 r ^^ nevenflaande. 

N L GO *• Aanmerkt CK voor een rechte 

LCoo^ rakende 





net itaaitpunttJ: Ut CL <Jt 
voor pei-pendicularen. 

DF B a— jr.ïyu QÜM— i#r47)' 7 
CF s K—b,zja Dis*»— i*x+** J " " 
of yy CO 2'*)' + 2,**" — ** — '*': 
ftellende J4zoM-\-bh — «. 

Om de gelykhoekighcit van de 
Driehoeken DFC en KLC is 't , 
^ K E L FC X -b I DF a-y I CLy? 

komt ^^CD KL. 
Wil men dat de Kromme NC zal "wezen een Parabole. 
lo is KNgoNL, en daarom KLcozJi: 
20 is dan^l^^COi-*', oïyy^ay-\-%bx — ia-* 

_of> Go;«±V'.iM+l*ar— !*■*, ccaElIip/s, 
Het Surdifche x o zynde , 

2o is * X i* ± V' -i ** +i<w: waar door wy vinden deze 
Omftr»3ie. Getogen heb- 
bende DE rechthoekig op 
Je gegcvc lyn , zo haalt 
door A en B, hetmidden 
van DE en NE , de ly- 
nen AM en BM , evcn- 
wydig aan FN en ËD , 
zig onderling Inydende in 
M : dan gemaakt op AD 
ccn halfrond , en uyt het 
middelpunt 1 getix)kkea 
IH rechthoekig op AD j 
en genomen AO gelyk 
AH : ian , in de verlengde MA , genomen MF en MG yder 
gelyk aan MO. Dan "bcfchryfi: een Ellipfis waar van dat F 
en G de Toppen iyn, GF de As, en tweemaal GF de 
Rechtezyde: deze fnyt het gegeve Rond indeb^eerdeRaafc 
punten C , C. Dan maakt Parabolen gaande door C , C . 
waar van N de Top , en NE de As is. 

De Ellipfis loopt door D , E en N , om dat a" 30 o , en 
ook XX ^nemende, > xi^» en ookx o is. 

Indien 




'^ 



Van de Ontbinding doordepLAATZKN. 109 

Indien men van J7 co ay^xbx — ^xx^ 

^i!^cktyyoD^ay + ^bx — xx — dd^ 

menhccftoGO — ay — xx+ddy 

ofx co y^.dd — tfj^,een ParaboU^vncns Rech- 
te xydeisao^* •^'OOo nemende, zois+jfco~r- waar uyt 
wy vinden deze 

OmfiruSie. In de voorgaande figuur,deLootlyn DE getrok- 
ken hebbende,zo haalt uyt N, met DE als Straal een Boog; deze 
het gcgeve Rond in R fnydende^zo trekt NRS^ftotende of fiiy- 
(fende de omtrek in S (is DE te kort » zo maakt op DN een half- 
rond, (hydende het Rond in Z , en zoekt oen derde evenredige 
tot DE en NZ ) dan trekt NQ^ rechthoekig op NE , aan cfic 
ïyde van NE daar D is ; en neemt daar m NQ^zo lang als 

NS, of als de voornoemde derde evenredige; zoisNQco ^' 

Daarom befchryft een Parabole uyt O als Top , op QN ab 
As , met DE als Rcchtezyde : deze zaï het gegcve Kond me- 
de (hyden in dezelve punten C C : dan getrokken Parabo- 
len, enz. 

Indien de gcgeve lyn loopt door het Centrum van het ge- 
geve Rond , zo vind men de punten C C door de fnydmg 
van CLC en het gegeve Rond , nemende NL zo lang ab 
de Raaklyn getogen uyt N tot dit Rond , en door L een recht- 
hoekige door NE. . 

Had men weg cenomen de xx , in plaats vandatwy w^ 
genomen hebben de jry , men zoudejry co 5^+2**" — ^dd 
gevonden hebben , dat mede een Parabole is. 

Aanmerking. Dewyl in alle Parabolen » (choon van een ho- 
ger ^eflagt y altyd KL tot NL is als een getal tot een getal, 
zo Ziet men dat men de zelfde gedaante van ^quaden zal 
vinden o^ alle geflagten en fborten van Parabolen , of dat de 
punten C C altyd zullen konnen gevonden door de fhyding 
van een Ellipiis, of van een Parabole van het eerfte geflagt 
en het gegcve Rond. 

Indien de Kromme NC moet wezen een gemeene Parabo- 
le van het tweede geflagt , zo is KLco ^^ , en daarom 

^j^GO?^, ofjf)rco^ + 5*^— ?.yj^, of )rooiii±|/.i#* 
4- ^hx — ycx , dat mede een EUipfis is van 't eerfte geflagt , 
die men vind op vorige wyze, uyt genomen dat AI bu moet 

D d wezen 



tezyde nu is driemaal lateer als GF. En gcbmykt men de 
tweede methode , door bcyde de jEquaticn de jyr w^ ne- 
mende, eo reducerende, men heeff ar jc co — ï'»)' + i**+-;</</, 
dac mede een Parabole is van 't ecrfte geflagt. 

Wilmf«dattlfKrommeUCzalwtzenee»'E\\ipCiSjefeenliyiy. 

zo is KL CO '-^p~^ in de EllipGs, cnaDM^p^indeHyp. 
j nemende voor de halve Dwarfe. 

zois dan^J^^ ca '^^^^in de E31ip. en co ^^^i^ in de Hypi. 
StelleiMk — ij^-\-xx — xbx-\-dd in pmts van yy , die 

gelyk zyn uyt de iËquatie op het Rond , en reducerende ^ 

men vind 

xy — iZZ^xx — —X — jy+*;px «wegens de EUipfis 

tnxy-^i^xx—~x-\'^^^o:ioyfc§p)s6x:Hypf:A3.. 

beyde zynde een Hyperhok op zyn Afymptoti. 

de i*^.door— *+}, komt — jr+^^J^ + r+ ^~ ^ » 

de x'gcd.door— Jf — y , komt — y — '^-■*' + — +*-^^* 
Inbeyde, a-coo nemende, zois+jco — 

■waar uyt wy getrokken hebben deze 

Gmflruliie. Zoekt Het punt Q_als hier even gedaan is op- 
de Parabole : dan neemt NB in de gegeve lyn zo lang au 
ED, na de rechter zyde inde 
EUipfis , en na de linker zyde 
in de Hyperbole : daa neemt 
NA na welgevallen voor q , 
of voor de halve Dwarlè ; na 
de rechter zyde in de Ellip- 
fis, en na de linker zyde in de 
Hyperbole : dan haalt door A 
een cvenwydige aan DE, als 
AMj deze is de eene Afymp- 
totis : dan trekt uyt B eengc- 
lykwydige aan ED , en daar 
in, na D toe , genomen BF 
gclykAE, en getrokken NF, 
welke of zyn verlengde de A- 
lynjpiotus AMfnytm P : dan 




Van de Ontbindikg door de Pl a atzen. au, 

NQ, genoioen QG 
Ki\ t opwaarts gclyk AP , 

en door G getogen 
een rechte even wvdig 
aan NF , als GM ; 
deze is de andere A- 
fymptotüs. Dan b6- 
(chryft , met de ge- 
vonde AM en mG 
als ATyiqptoti eenHy- 

Erbole die door Q^ 
3pt , en ook 2yn 
t^engeftelde 20 't 
nodig is : deze het 
gegeve Rond in C 
Cltivdende, zo trekt 
in ae eerfte fi^ur 
twee Ellipfèn^en m de 
tweede figuur twee Hyperbolen » door N als Top , op AN als 
As, en A alsmidftip, diedoor C lopen: deze rakenbetge- 
geve Rond in de punten C C. 

De zekerheit van deze Conftruólie ziet men op deze wyze. 

Trekt door O een lyn RTL evenwydigaan DE ; fiiydcnde 

NF, of zyn verlengde inT, en(^, evcnwydig aan NF, 

in S : dan is 't op de Etlipfis. 

NB AE,ofBF NA 

a I q — bl j? komt -2=^00 AP, QG,ofSR: 

ook l q — b I l^Lx} homt^^xoDVr. 

OttidatNQ^ ofTSisx^ , 20 vind men CR 00 —> 
+ *=^r+-^+*=^: met LAco — ^+4 vermenig., 

komU-xy—V:zl^x—^x—qy+^-^1^=^ 
het gemulripliccCTde van QG 1'^J*t met NA 00 y« 

^^—©r+^GOo, degevonde 




het gemuldpliceCTde 
of +4rjF — tzrlxx 



equatie op de EUipfis. Op gelyke wyze vind men mede de 
equatie die gevonoen is op de Hyperoole. 

ts 4G0O , of loopt de gegieve lyn door 't Centrum van 
*t gegpve Rond , zo vcrdwynen de Termen die met a gc- 
mmtipliceert zyn j en ook met ecnen de y : men behoud 

Dd z -^qxx 



^ix Het III B o E Ky 

— jxjr+i'Jirjr — ddx-^qdiloDO inde Ellipfis , en +qxjt 
^bxx — ddx — qddoDO in de Hvperbcdo, zyncje iriükance^ 
MqvMen. De x gpvonden hebbende y zo heeft men het 
Punt L., waar door C openbaar is. 

Wil men dat de Kromme NC zal wezen een Ellipfis ofeeo; 
Hy perbole van bet tweede geflagt , zo zal men de punten C niet 
konnen vinden als door een Kromme van zodanigen geilagt. 

XX. Werkstuk. 

Gegeven zyn^ 
deeenRmdwienr 
nnddelfunt is E > 
M twee aneyndige 
Reshte lynm AC 
m BC, elkander 
fnydendemCieen 
hn AB te trek^ 
ken tuffchen deze 
twee lynm , zo 

langzyndealsem 
gegeve lyn (niet 

tekartwezende) 

enrakende.ofzyn 




ABoo^ 
EDx* 

Cl ODC 

KEoo^ 

IK 30^ 

EFx^ 
FPoDy 



verlengde f het Rmd in D. 

Trekt door E, bet Centrum , een lyn 

evenwydig aaa een vaa de ei^eve lynen , 

genomen aan BC , fiiydcn^ AC ia K^ 

en AB , of zyn verlencde in T : trcktook 

ED, cndepcrpcndicuTaraiCI TV DFj 

en DS evenwydig aan AC 

Door de gelykhockigheit van de Driehoeken KIC en DFS, 

DFE en TVB , DFRen DFT vind men SFcö^, BT 

co-T- , DTco^,^cn FToo-^ : dies is STco^T-^ , 

TKGO-^+x±rf, enATco^ + 4-- de bovenfte* Tekens- 
voor de ecrfte figuur D in AB zyndc , en de ondcrfle voor 
<fe tweede D in zyn verlengde wezcndc. 

Om 



VandcONTBiNDiHodoordcPLAATZEN. 

Om dat SD cvcnwydig is aan KA , daarom zyn 
ST DT TK AT 



XI i 



-ï-T 



evenredig. 



XOj 



waar door men vind xy q: ^xx +^jr T ^ * T^x 
een Hyperhele op de Afymptoti, 

Gcdcelt door — *• — ^ ; komt —y ± — x ± ü 

x^o nemende, zo is +y x-p* 

Aanmerkende dat in de tweede figuur de x loopt van de 
rechter zyde na de linker , waar'door men alles na de linker 
zyde van £ moet nemen , dat men anders , volgens de Te- 
kens 5 na de rccBter zyde neemt , wanneer x van £ na de 
rechter zyde loopt , als io de eerfte figuur , en omgekeert r 
dit dan waarnemende, zo vinden wy hier op (die wy mee*^ 
nen dat algemeen is ) deze 

ConfiruSie. Trekt door £, het Middelpunt , twee lynen,. 
<de eenen evenwydig aan de oene gegeve lyn , als hier aan BC,^ 




fel« 



H BT III B O B Kj 




fiiydende de ander in K, en het Rond in ^ ; en de andere 
daar door rechthoekig , fnydende BC in 4, en het Rond in 
ƒ: Neemt in de eofte ER 20 lang als de gcgeve lyn « , en 
trekt R ƒ; en hier aan evenwy dis K0, ontmoetende 4 E in 
n j ook a Z rechthoekig op K./» fnvdende ER in / : dan 
haalt agy endaaropreanthoekig go^ ftotende « E in o : dan 
neemt aan de andere zyde van E, in de zelfde lyn , EL ge^ 
lyk E /, EN gelyk É», en EO gelyk Eo: dan trekt door 
Teen rechthoekige door BC , en door N een rechthoekige 
door AC j deze zyn de Afy mproti op D in AB ; ook nog twee 
andere op dezelfde wyze getrokken door L en door n ^ deze 
zynde Afymptoti op D in de verlengde van AB. Dan bc- 
fchryft Hyperbolen met de twee ccrfte en ook met de twee 
laatite als Afymptoti die door O gaan , en ook haare tegen- 
gefielde : deze het gegeve Rond m D D enz. fnydende , zo 

trekt 



TU 



Van dc Ontbinding door de Plaatzen. %if 

trekt lyncn die dit Rond in D, D o», nkcn : 20 zal het 
ftuk van deze , begrepen tuflchen de gegeve lyncn AC en 
BC , 20 lang wezen als de gegeve lyn a. 

Loopt een van de gegeve lynen aoor 't middelpunt van. 
het gegeve Rond , zo trekt ER evenwydig aan die l)rn die 
niet door 't Centrum loopt, op dat c niet gelyk nul werde ,. 
en men daar door O niet zoude konnen vinden als voren. 
Dan is evenwel doD o , om dat K in E is : daarom vallen 
E>cyde de punten » en N ook in E , of de twee Afymptoti 
n men NM vallen in elkander, maar de twee andere blyven 
als voren gcfcheyden. 

Indien bcyde de gegeve lynen door \ middelpunt lopen , of 
2o ^ en ook J beyde co o zyn , zo vallen de punten « en N ,, 
ook / en L alle in E , waar door de twee andere Afymptoti 
l M cal^m mede verecnigen. Maar dewyl ^ nu co o is , zo' 
moeten wy een punt van de Kromme vinden op eenandere 
wyzc. 

Om dat het overfchot van de Divifio , zynde ±-~^- — 7» 

gelyk is aan het vermenigvuldigde der afltanden, evenwydig 
genomen mrt de lynen *" en j , die yder punt van de Krom- 
me heeft met de Afymptoti , zo volgt dat dit vermenigvuL 

digde moet wezen 4- ~ , om dat de andere Term vcrdwy nt ,. 

het Teken omkerende. Nemende dan^c ecne aflbmd + .j^ co *> 

zo is de andere +J CO v"- Diesmoetmen, omO, éénpunt 

van de Kromme te vinden , aan t eynde van de middellyn ^'^ 

E ^ , een peijpendiculaar opwaarts maken , en van het punt 

daar hy de Alymptotus fhyt , nog opwaarts nemen de lengte 

van ~ , om het punt O te hebben. 

Maar fnyden de gegeve lynen daar en boven elkander recht- 
hoekig , zo heeft men deze perpendiculaar maar zo lang te 

nemen als -^ , om dat de gegeve lynen als dan de Afympto- 
ti zyn. 

XXI. W E R K S TUK. 

ff^il men hebben dat de Rechthoek van DA met DB 
zo groot zal wezen als het Vïerkant van een gegevt 
hnax 



door de fnyding vaD een Hypcrbolc en het g^eve Rond. 
' Nu is 't. ST 2^T-/- / DT^' / SKf-±*+rf? 
korot *'J'**"+**^ CoAD: ditgem.mei*-J~iaoBD. 

komt "'*^^*"">-*-"'^^j-;;^'JT**"»-»»^^.. 

Voor ibeyy gcftelt b*e~bhexx , die gelyk zyn uyc de iE- 
quatie op bet Rond , en gereduceeit 

tomt+ «f*> T Miexx ± bhccx — bhcdx + bbced 

^bicxy + bbfxx -^bbeey — b^e coo, 

^xy:^-Lxx-'^=^y ±;^ *+'.iJ=^* xo. 
gcd.door-*+t^/komt-jf±f*Tï7^,±f:^. 
Stellende a croter ais.fr. 

I ■ ■ eti — kit e ik* — "' 

Jtr 03 O nemende, zo is +^C0 jttttt-' *" — y^' d—,.t ' 
Her uyt hebben wy gevonden deze (die wymoenendtt mede 
algemeen is) 

Qm/truSie. Haalt door E, het middelpunt, twee Wnenals 
Voren , een rechthoekig door de eeae g^evc lyn BC , hem 
ihydende in « , en een ander daar aan evenwydig , Ihydendc 
de andere g^eve lyn AC inK, en hec Ronding': danhaalc 
0g, en daar op rechtnocldg ^it , ontmoetende de vcrlcngdedË 
in b i dan fri^ evenwydig aan KE , ftocende AC in i^ i dan 
ip gelykwydig aan AE , ontmoetende KE in p : dan getrok- 
ken Cl rechtlwekig op EK , en genomen KX gelyk KI : 
dan gehaalt Xd, endaar aan evenwydig^ O , ilotende E« 
in O. Dan neemt in KE , ER zo lang als de gegcve lyn «. 
Jn de i". figuur D m AB zynde. Maakt op ER een halfrond, 
fnyilendc het gegevc Rond in Z : dan haalt EZ , en daar 
doorrechthooéigXfr, llotcndetfEinfr: dan frL rechthoekig 
op Xfr, ftotende KE in L: haalt door L een peroendiculaar 
door KE ; die is de cene Arymptotus : dan getrokken ZE d, 
ontmoetende BC in rf; dan de daar oprechthoekig, ftotende 
«E inf. In dei. figuur Tim deverUngde van AB %yndt. Laac 
/ het punt wezen daar de verlengde j E het Rond fnyt : 
dan haalt R ƒ, en daar op de Lootlyn EZ : dan trekt X h 
hier op rechthoekig : dan. door * een rechthoekige door CB; 
deze is de ecne Afymptotus : dan ad rechthoekig op de ver- 
lengde ZË, en de zodanigopEji. In beyde de figuren. NeemE 



Van de OntbindxH'O door de Pl a atzbk. %if 




ai8 Het III B o b k, 

in KE , E / gelyk EL , en trekt / N gelyk en cvcnwydig 
aan u , zo dat de koers van / na N is alsdievan ^ na 4f : dan 
haalt door N een rechthoekige door AC ; deze is , in beydc 
de figuren, de andere Afymptotus. Danbefchryftmetde ge- 
vonck Afymptoti in yder fi^ur een Hyperbole die door O 
gaat, cnookzyntcgengefteldc: deze fiiyaen bet gegeve Rond 
in de Raakpunten D , D enz. daarom getrokken enz. 

Indien men hebben wil dat de Rechthoek ADB zo groot 
moet wezen als het vierkant van de Straal van 't gegeve Rond, 
of dat 4G0 ^ is , zo ziet men, in 't geval alwaar D in AB is, 
dat de Termen met xy , en ook met xx cemultiplicecrt zul- 
len verdwy nen , en datter niets zal overbly ven ds waar in x 
en y cnkeft zyn , en by gevolg dat het punt D als dan zal 
konnen gevonden door de (nee van het gegeve Rond en eent 
rechte lyn. 

Heeft men luft deze Qucftic verder te vervolgen : willen* 
de dat AD tot DB zal hebben een gegeve reden, zozalmea 
bevinden dat de Raakpunten wederom zullen vallen in de 
faee van een Hyperbole en het gegeve Rond , uytgenomen 
dan wanneer de gegeve lynen elkander rechthoekig fnyden ,. 
in welk geval ae voornoemde punten zyn in de fiiee van 
een Rarabole en dit Rond : en loopt daar en boven een vaa 
de gegeve lynen door 't Centrum , zo vind men D door de 
Ihyding van een rechte lyn en het gegeve Rond. 

XXII. Werkstuk. 

Gegeven zyndeeen Rondr 

en een lyn AQ,» fnydende 

dit Rond in E enCl\ eneen 

punt A in deze lyn : door A 

— een andere te trekken , het 

^ Hond fnydende in CeninD^ 

zodanig dat de boog van Q^ 

A n ï t tot D driemaal £roter is als 

BC^y de boog van dot E: mits 

dat *er een zelfde (trekking 
van cours is van C tot E als 'er is van Q^tot D ^ bey- 
de met of tegen de Sononh 

Trekt 




Van de Ontbinding <Joor de Plaatzen. zig 

Treki CQ^ Dewyl de Boog QD 5 maal groter is als de 
Boog CE, zois QCDook^maalgrootcralsCQA, en daar- 
om CAQ^a moal grooter als CQA. 

Vorder. Trekt CB rechthoekig op AQ, en neemt BFgc- 
lyk BA, en haalt CF; zo is BFC gelykBAC, datisgelyk 
a maal CQA : dies is FCQ^elyk CQF , en daarom CF ge- 
lyk FQ. 

Dewyl FQ^ CF, of AC is cx)^— 2.v, 20 hebben wy 
aa — ^ax + ^xx 00 ^^ +>y , 

ofyy 00 aa — ^ax -^^xx^ een HyperhoJe. 
waar van AQ^is de As , wiens Rechtezydc driemaal langer 
is als de Dwarfc, om datter een 3 by de .vat gevoegt is, en 
men geen enkele y heeft 

J^coo zynde, 20 is *'C0+|<»±|/;^, dat is*" 00+^, 
ttxQo\iixzo+^a. 

^y^ Conftrufiie. Deelt AO in N en 

in M in drie gelyke declen , en 

befchryft op AQ^als As , met 

NQ.als Dwarfe , en met x maal 

AQals Rechtezyde , ecnHyper- 

'^ bole door N als Top : deze het 

geve Rond in C C fnydende , 

zo trekt twee onbepaalde rechte 

door A en C : deze fhyden het Rond in D , waar door de 

Boog van Q. tot D driemaal grooter is als de Boog van C 

* tot Ê , beyde een zelfde koers omlopende. 

Indien de gegeve lyn AQJoopt door 't Middelpunt van 't ge- 
geve Rond, zo valt F in dit middelpunt, en daarom is AC 
als dan gelyk aan de Straal van dit Rond. Hierom uyt A als 
Centrum , met de halve middellyn van dit Rond aïs Straal^ 
een Rond trekkende , men vind de voornoemde punten C 9 
C : daarom getogen door A en C een rechte , deze fhy t het 
zelfde Rond ook in D, 

Aanmerkinge. Dewyl men in de Conftru£tie geen ding ge-, 
bruikt heeft die de ho^ootheit van het Rond kan bepalen , 
zo ziet men dat de zeude Hyperbole NC ook kan dienen 
tot alle Ronden , hoe groot ook van Straal , alsze flegs zo- 
danig getogen zyn datze gaan door Q^ en datzc de Hyper- 
bole fnyden. Zulx ziet men to^epaft in de volgende figuur, 

Ec % XXm. Werk* 






XXIII. We UK» TUK. 

H^ii men , met de zelfde bt* 
paUng , dat de Boog QP vier- 
madgrooter is als de Boog CE. 
Aanmerkt CF en FG ydcr za 
lang als CA, ontmoetende AQcn 
CQJn F en in G. 

Dewyl nu DCQ_is 4tcgensdat 
CQA is f , zo is CAQ_3 ,endaai- 
om ook CFA \ en ovcrzulx is FCQ., of FGC i ; dies is 
GFQ_i 2o we! als'GQF : zo is dan GQ^als GF , of als 
AC xy*- ■*■■«' H-jj»; en dePerpendiculaar GH valtio'tmïd- 
dcn van FQ. 

Om dat FQ^^is oo« — 1« > zo is HQ^cOjO — * : en de- 
wyl QB a~x is tot BC^ , als QH [a — x tot HG , zo 

vind men ^'/_,''^ voor HG ; by welkers Vierkant vci^aart 
^■^Act Vicricant van HQ_^, men vind een hoegroothek die co 
■^ aan jr*+yjr , het Vierkant van GQ_: welke gercdu- 

eccrt, 
mcnvindiü' — i\M»x + 2.\axx — x' — \ayy-\-xyyzoOt 




Van de Ontbinding door de pjLAATZBK. zxt 

een iEquatic paflcndc 
op ccn Kromme van 
het tweede geflagt , 
wiens trek hier nevens 
te zien is , welkers Top 
N de lyn AQ^fnyd op 
2yn i van A af te re- 
kenen. Hier in is me- 
de toepaflclyk de Aan-^ 
merking van hier vo- 
ren. 

Indien men wil dat 
op vyfmaal grootcr is 
als CË , zo zal men op 
^eze wyze een iEquatie vQiden van vier dimenfien. 

XXIV. Werkstuk. 

l^pjjchen tweegegeve lynen aenb t uee midden evenre^ 
digi te vinden , af veele mderfcheydene wjzm. Fappus 
de 5 Propofitio van 't i Boek. 

Wy vocgender dit laatfte by , om in dit ecne Werkftuk 
aan te wyzen de Methode waar door men een Qiieftie op veele 
anderfcheydene wyzen kan ontbinden , eerft te voorfchyn gebragt 
door R. F. Slufius , gelyk te zien is in zyn Mejolabum : wy 
hebben het al ten deele aangewezen in de voorgaande voor- 
beelden , maar in dit zullen wy het volflagcndcr doen : wy , 
nemen daar toe dit Werkftuk om dat het de aldereenvoudigfte 
iEquatien geeft y welke door vcclderley iamenvoeging , at 
trekking, enz., die in deze manier van doen gebruykt werd , 
merkelyk in Termen toenemen , dog in de kleender minder als 
in de grooter. 

Laat ons dan nemen dax.a\ x\y\h gedurig evem*edig zynr. 

20 is ^'XGO^yf JtyX**"» en ^yx^*. 

-^quaticn zynde die yder een Plaats afbeelden , om dat in 
elk van hen twee onbekende zyn ; welkers hoek tuflchen»^ 
beyden begrepen men zal mogen nemen na believen ,. om dat. ^ 
ze onbepaalt is. 



Ec j 



1^ 



AD 30 * , Dtgtnnenac van a \ 
BCooj» , cvcnwydig aan AI; 
OCdcplaatsvanlictpuntC, b^innendevanO. 
Wy zullen , als voor dezen, nemen AB altydaandercch- 
ttr zydc van A , en BC altyd opwaarts. 

Volgens dit gcfteldc zo levert de cerfte 
jEquanc , ar* co -«y , uyt een fignur als de 
eerfie van de ncvenftaande, waar in de Krom- 
me AC is een Parabole, welkers Top is A, 
Middcllyn Al , en wiensRechtezydclsx'»• 
Detwea^c^quatic, jarco*-*", gecftons 
een figuur als de tweede; waar in de Krom- 
me AC mede is een Ptrabole , welkers Top 
is A, Middcllyn AB, cnRcchtczydcx*. 
De derde equatie , *yco«K brengt 
voort een figuur als de Jerde \ van de wa- 
ke de Kromme NC iscenHyperiwle, heb- 
bende AI en AB toe haarc Atymptoti , en N 
tot haar Top ; in de welke AT en TN 
yder zyn ddV**» mits dat TN cvcnwydig 
aan AI is. 

Ttoee vm deze figuren zodanig te zsmen- 
voegende , dat Al vm de eene k^mt te vallen 
op Ai van ée andere^ en AB van de eene op 
AB van de andere , zo zulten deze Kromme 
elkander J^den in bet •aaare punt C i noaar 
uyt dan getogen CB evemvydïg aan AI , men 
heeft de twee begeerde midden evenredige ABn» BC ; gelyk 
zulx vertoont werd in de volgoide figuren , paffende op de 
.£quacien die onder yedcr van ben aangetekcnt zyn. 




opxyzot^ 




I en 3 figuur, 
op *-*C0«)', op xxo^ayy 

cuyyo^bx, cn*jFOo«*. 



1 en ^ figuur, 
opjiyco**, 
caxyzot^. 



Vande Ontbinding door dcpLi 

Deze dric'erlcy ontbindingen kan men maj 
voornoemde drie iEquatien , om dat ze geci 
wiflêling toelaten : nad men nog een vierd( 
zoude nog drie andere konnen vinden , oi 
vierde met yder van de dri# vooi^aande zou 
mcnvocgen ; nog een vyfde hebbende , mei 
andere , en zo voort , yder nieuwe iEquati 
levert uyt zo veel nieuwe Solutien als men j 
deze gevonden heeft : in 't kort , de menigu 
ne ontbindingen zyn de Jbmme van een jtrithi 
beginnende van o , opklimmende met i , en bei 
men als men Mquatien heeft : en om dat me 
menigte van iEquatien door twee, ik laat 
kan vinden , zo volgt dat het ons in dit W 
ftof zal gebreken om de ontbinding te doen 
dcrfchcydene wyzen : zynze niet alle onden 
danigheit , ze zullen ten minften on4pr{ct 
hoegrootheit. 

Deze Methode r om door twee Mquatien t 
is deze : reduceert ze gclyk aan nul , dan 
I . Addecrt ze , of 
a. Subftrahecrt ze, of 
5. Multipliceert en Divideert cerft een 
' door twee Quantiteyten genomen na believer 
komft geaddecrt ot gefubftraheert by of vai 1 
Deze quantiteyten konnen zyn of ly nen* : 
*t getallen , een enkelde multiplicatie 19 gen : 
een heel tsd, van een heel en oreuk, vane< 
een Surdifch. 

Op deze wjrzc handelende t'elkens met 
andere y men vind een menigte van andere c i 
tien j gelyk gezc^ is. 

Toepassing. 

De gevonde ^auatien xx^x^ay , jryx ! 
biagt gelyk aan nul , men heeft 

*•*— 4jrxo, A 
jr>~*^00O, B 



ï. Gevdl. Vei^rt A** — «yojo, byBjrjr — ix^oö, 

komt^Jf + yjr — ay — *afxo, D. eea Rond Tis de hosk. 

oïyyxioy+bx — *■*■, ._ van * en y Ix^rcpcn 

of yx>-,»±V-{M'^hx — *■*■. recht genomen werd, 

hctSurdifchccoo nemende, maar Tien fchcef ne- 

zois**' ooiJc+i*», mende eengelyizyJi- 

of *cOï^±V'.i** + i«. ge EUipfii. 

X 30O nemende , zo tt4->X« : cnjrooo nemende, zo 

r Waar uytvolgenfiguFen vande 

nevcnfbande gediantc : 
daar in is Alco^^, 
en IM co i *" 
IM is evenwydig aan AB. 
MN en MQzyn ydcr ocy.:*H-;«. 
BAI is recht m de 4'. figuur. 
BAI isfcheefin de f. figuur. 
In welke j*. figuur dcRechtezyde 
zo lang is als (^ de Dwarfc. 
- De Kromme gaan inbeydede fi. 
, £uren door A. 
AOis3D*en AWco*. 
OCW is de plaats van fietpuntC. 
1. Gevat. Vagaart A *•*— «yxo , by C xy — «000, 
komt*> + *"jr — ay — ab:xio ,'^.tcnHyperhoUopdt 
gcdecltdoor — Jf-|-'» komt — y — x — *. Afyfiptoti, 
*GOO nemende, zo is — yzo^- 




Van de Ontbinding door de Plaatïek- ^^^ 

lMmtxy+yy — bx—abaDO. F. ccn Hyperbole. 
gcdccltdoor— jf + *, komt-^x—^—b. 

y GO o nemende 9 Zo is — ^o^s. • 

Hier uyt vind men ccn 
figuur van gedaante als de 
nevenftaande : 
daar inzyn 
AEl 

AFWderoo*, 

ME VS even wy dig aan AI, 

MNxMQ: 

MF en ME zyn de A- 

iymptoti. 

II. Lid. door Subjirath. 

1. Geval. VanA*"*-— ^30 o, afgetrokken Bjöf—*J^ 30 o, 
komt XX —yy —of + bxoDOyG. ccü gelykzydige Hyperbole. 
of yOD—is±y.iaa+bx+xx. 
het Surdifche co o nemende , 
»>is ^DD~ib±y.ibb—iaa 
^OOO nemende, zo isjFOOo, cnook— >oo4. 

Hier door bekomt men 




^^^toacf^ 




figuren van de nevenftaan« 
de gedaante: 
in beydc is AE x 5* > 
cnEM cp {a. 
EM is cvenwydig aan AI ; 
MI is cvenwydig aan AB } 
de Rechtczyde is gelykdc 
Dwarlc : 
de Kromme loopt door A. 

Is tf i(/f fii^r als ^ zo dient 
de eerfte figuur ; daar in 
zyn MN en MO ydet 
OoV-i**— i^ii; o? NQ^ 
de Dwarfe , en ook de 
Rcchtezyde \s zo V- bb 
—sa. 

Ff Is 



%%6 



Het III B o B K 




Is a groothr als ft zo dient de tweede figuur : daar in zyn 
MN en NC^ydercotZ-i^i-^i** : ofNQjdeDwarfe , en 
ook de Rcchtezyde is ODV.aa — bb. 

a. Geval.VmCxy—ab cx) o, afgetrokken A ^«'— ^y GOO, 

komt xy^xx+gy—ab aoo,H. een HyperboJe of Je Afjffi^. 

gedeek door —ir — #, komt— jf+ x—a. 
nemende ir 00 o, zois+yno*- 



Waar door men vind een figuur 
als hier nevens : daar in zyn 
AEi 
AFVyderx^j 

AOgo*, 

EM is evenwydig aan AI ; 
EM en MF zyn de Afymptoti, 



3. Gevü. VanC xy—ab cd o,afgctrokkcnBjry — ft^ cd o, 

komt xy —yy + bx— tf* 30 o , I. een HyperboU. 
gcdcelt jloor — y — b , komt — x •+■> — b. 
yxo nemende, zo is +.vcotf. 

Dit geeft een figuur als hier 
nevens : daar in zyn 
AE] 

AF Syder x * » 
AlJ 

AWcD«, 

EM is evenwydig aan AI ; 

EM en MF zyn de Afymptod. 

« 

Nbtê. ïk»tmdecxidtfevendefi!gi\xcy beydegeconftrueert 
op de Afymptoti , konnen mede opgemaakt werden zoekende 
de Middellyn , de Dwariè , en £ Rechtezyde : maar om 
dat die op de Afympcoti de kortfte ConftruOie geven , de 
iDinfbuytrekenin^vcreyft, en de zelve Kromme voorbrengt, 
'20 zullen wy dit hier by laten , en ons vergeno^en met te 
2e^en dat de rechte, diedoor M endoor A ^t, deMid- 
ddlyn zoude wezen , om dat EP evenwydig is aan de Ap- 

plicata , en om dat AF 20 lang genomen is & AE. 

Dit 




Van dcONTBiKDiKodoordc Plaatïen, aay 

Dit is alle het geene dat wy konnen vinden met twee » 
▼an de cerft gevondc iEquatien A , B , C te adderen , of te 
Subftrahercn: indien men verder gaat, adde^endecnSubftra* 
herendecen van de gevondeneD ,E,F,G,H, I, en een van 
de ccrfte A , B , C j of twee van de gevondene , en 20 voort, 
men zal wel andere en andere iEquatien vinden , en by ge- 
volg ook wel andere en andere figuren, maar ze zullen ech« 
ter een zelfde gedaante hebben met de geene die airede gevon- 
den zyn, alleenlyk daar in verfchillendc, dat de lyncn AE, 
AI , AF , Ap , AW , MN , MQ^, en de Rechtezyden zul- 
len of langer of korter wezen : ja het zal niet anders te we^ 
brengen , als of men een van de ^Equaticn A , B ^ C eerft met 
x, met ^, en zo voort, mtiltiplicccrdc , endandeuvtkomft 
addeerde by een ander : want , D vergaderende by A , zo b 
't even eens als of men A eerft multipliceerde met 2 , en het 
prodruék addeerde by B. En om dat dit een zaak is die men 
onder de derde manier kan betrekken , zo zullen wy dit hier 
by laten, en daar toe overgaan. 

III. Lid. Multiplicerende en Dividerende eerfi een vsm ben 
met en door twee quantiteyten genomen na believen , en dm 
de nytkomfi geaddeert qfgejubftfobeeri met een van de andere» 

Indien men dit doet aan een van de drie ccrfte A, B, C, 
en dan de uytkomft , en een van deze ccrfte, vergaart , of 
aftrekt, zo vind men wel andere ^quatien, maar ze geven 
echter de zelftie figuren ; evenwel zodanige waar in dcTynen 
AE , AI enz. gedurig veranderen , en daarom mede de Trek 
van de Kromme , naar dat men n ofp , waar mede men hen 
multipliceert en dividecrt , t'clkens andei*s en anders noemt, 
ter ooizake dat hier doOT alleenlyk verandert werd het be- 
kende : geen Tekens , nog ook geen vermeerdering of ver- 
mindering in de Termen , gclyk m 't volgende zalkonnen 

gezien werden. 

Op de Additio. 

Axx — ^ X o, geroultipliceèrt met 1» , en het produft 

gedividcert door p , komt -yx x — y-jr co o , hier by ver- 

Byj—bxoDOj 

komtjxx+yy—Yy — bxoDOjK.ecaElli£fir. 

Ffx Het 



%Z^ H E T III B o E K^ 

Het Surdifcbc co o nemende , 20 is 

/^coo nemende, lois+jrx-y. ofxo* 

yojo nemende, Töis+^roo-^, ofcDO. 
Dit geeft een figuur van gedaante als de vyfde^ uy^cno-- 

men dat AI nu is o:^^ 9 IMoo^, MN en MQ^ydcr go 

yiUli^i^^ cndeRcchtczydexV-W+^fdiemea 

vind muldpuoeréndeNQ^met --, ha bekende by xx) De- 

wyl men deze n , en ook de p t'elkens anders en anders kan 
nemen, zo ziet men dat men een oneyndig getal van figu- 
ren kan vinden op ditoenegeval , die echter de zelfde godaaur 
te behouden. 

Ammerki men n en p voor ghsHen. Stek men nco^ en 
^ X x: of lud men de iËquatie A gemultipliccert met 3 en gedi* 
videert door i j of had men ze alleenlyk gemultiplicecrt met i {^ 

zo zou men voor^ vmden ^a , voor ^ vinden ^* , voor 

l/-^+^vLden|/.itó+i^, cnvoory.WH-^ 

vinden y. bh + ji aa. 

Stelt men » 00 y^x en p go i , of multipliceert men A alleen- 
lyk met |/z, zo vind mcn;4|/x, i*|/x>V-iW+i-MV2, 
y.*A+2^/x voor de zo cvaigcnoemdc quantitcyten. 

Nota. Had men B gemultipliceert met n en gcdivideert 
door ^ , en de uytkomtt vergaart by A , men hadde nog een 
andere Trek der Kromme gevonden , hoewel mede een El- 
Upfis, van gedaante als de vyfte figuur. AI zou men dan ge* 

vonden hebben x ^,IM x^,MN enMQydcrx y/.^^^^ 

+^% en de Rechtezyde x l/. bb +^Verfchillcnde Mt 
het zo even gevondene nergens anders in als dat p komt te 
fiaaninde plaats van de », en de n in de plaats van de p: 
Vel^e verandering in de figuur mede te weeg kan gebragt 
werden, nemende , in het voorgaande^ de 9 zo groot alsaï» 
daar de/> genomen is, en de ^ als de ». 

Het produa van A fxx^ jyoDO, vergaart by C xy 

~tf^XO> 

komt 



Van de Ontbinding door dcPLAATïEN. 1^9 
komt xy^-y XX — y-y — ** ao o , L. een HyperboU. 
gcdcek door— ^-^-ï^, komt— y — ^x^üli. 

xojo nemende, 20 is — ^jfoo v- 
Dit geeft een figuur van de gedaante als de JeJSe^ uytge- 
nomen dat AE en AF nu yder zyn x-r f AI 00^^^ en 
AOx^- ' '' 

Byy—bxrQo^ gemuttipticeert met n engcdivideertdoor 
/, komt yyy~'~xcoOy hier by C xy — aboDO 
komt xy + —yy —y-x — 4* 00 o , M. een HyperboU. 
gcdeelt door —y — — , komt — x — ^y — ^. 

jrooo nemende, 20 is — xoo^. 
Dit geeft een figuur van gedaante als defivendfj maarnu . 
xyn AE en AF yder coy , ^Ico^, en AW x^- 

Op de Subfira3io. 
A XX — ayzo^j gemultipKceert met «engcdivideertdoor 
/,komt-j-^.v — y-yoö o, hier vangetrokken Bjry — *^XO, 
komt-~-^jr —yy — y jr + ftjr x o , N. een Hyperhak. 

ofyüD—Y±V.^yfr+bx+Yxx 
Het Surdiiche x o nemende , zo is 

JTXO nemende, zois^xo, en ook — j^5o-y- 
Dit geeft een figuur van gedaante ab' de acbtpe. Ab de 

cerfte daarvan wanneer ^^^grooter is als y^ ; aJs dan is 

AEx^',EMxi^\ MNenMayderxV.-*^'-^; 
cndeRcchtezydexi/.W— y^-Maaris^* klecndcr als 

^~f zo is de figuur als de tweede van die twecj daar in AE 
en EM zyn als voren , maar MN en MQ.zyn yder x 

y.i^_i£l\ cndeRechtczydeisxV-^^— '^^^^ 
de lopen de Kromme mede door 't punt A. 

Het produft van A, 7-^^— 7-j^xo, gefübftrahccrt 

vanCary — ^xo, 

Ff l i^offlt 



gedeeltdoor— *—■ J^, komt— >+ ƒ-*—- JJ^. 
jf 30 o ncmcDdc , ro is +> co ■^. 

Die geeft een figuur hebbende een 'gedaante alsdcfV/M^; 
maar nu zjo AEenAFydcrooy , AIcot^, en AOojV 

B jfy — **■ co o, gcmul tiplicecrt met « en golivideert door^, 
komt-jyy — -y-Jccoo. ditvanC*> — «fr x o afgenMnen, 
koxatxy — 7»+-^*' — «*C0O, P. een Hyberpole. 

godecit door— jF— y-, komt— *+■ƒ->— ■^., 
jFCOo nemende, 2ois+*co^. 

Dit geeft een figuur van gedaante als de t'tendt-^ maar nu 
cyn AE en AF ydcr coy-. AI 00^*, en AW co-^. 
Vm drie Moutten. 

Indien men de drie .£qu^enA,B,C tegetykgebruykt, 
zo vind men wederom andere godaantens van figuren. 

Cxy — abix) Ojmultipliccrcnae met « en divïderende door^, 
komt-^*>— ^coo i hier by veraart B^y — A*xo, 
en ook Aar*- — 4)FX9» 

komt**+^+-J-J<7 — «y — *«— y-'cDO, Qj 

neemt men 

^ eelyk aan ^«,10 geeft deze ^q. een P«r*J«/:f. 
f kleenderals;», zo geeft ze een Hypcrbulf. 

p groocer alsi», zo geeft ze eeaEllipfa. 

ook een Rond, in dien men 
maakt dat CB rechthoekig door de Middcllyn gaat. 

Neemt men ^ ao (i , ofhecft men C met x gcmultiplicecrt 
eer men hem by A en B addeerde, 

iois>ao—*+-;*±y.— «*+■**+! *f+i«>. 
Het Surdilche 00 o nemende, 

K>is+^M ^';±;'* , of-«x ^';:!:."* - 

xxo nemende, zo is +>30,<*+/.^«+i4^. 




VandcONTBiSöiMGdoordfcPLAATZEN. ^51 

Dit geeft een figuur als hier 
nevens, waar in de Kromme 
twee Parabolen zyn. 
AI en AF zyndkooj*; 
AE, tcrrecnorzydeVanAjis 

O0) ^"JZ.Y als4grooteris als*. 
A£, ter linkerzydevan A, is 

10 is in beydc 00 -/.V *» + »«>. 
De derde evcnredigp tot MI en lO isdeRcchtczydc , om 
datM MhaargcmccneMiddellynis, en om dat M Mhaarc 
Toppen zyn. Om de figuren op de andere Kromme te ma- 
ken, zo Itelt, van de eerfte iEquatie , het Surdifche co o j 
komt daar door 
(^) 

^oo=^^^±V.^+^g^. op de £//#,. 

Deze iEquaticn geven figuren van gedaante als de onder- 
ftaandc; io bcvdc u AHao/», HKooii», KG»i*, 




AE ooi, aan die zydc van A als hier getekent is , ^^^i'f 
grooter is als frj» , anders aan de andere zydc. ER fti ER »« 



%^ 



Het III Boek, 




yder x het Surdifche in de Ëllipfis ; ook in de Hfperbole 
als dd grooter is als ^ ^, __"' J^ , Maar is dd kkeoder aU 
\nm—f/ ^ 2K) moet löcn, in de figuur op de Hypcrbolc, 
MN en MQ in de lyn EM af meten , yder zo lang als 



^.i^^!ttt_,i!t!L:r^ InaUedrieis IOcoy.i4#+*7-*- 
Men kan een Rond in plaats van een Ellipfi$ vinden, in- 

"* dien men op AH 

x/ een Halfrond 
nmkt, en daarin 
neemt HKx^if, 
en dat men voor 
de reft handelt als 
in de EUipfis ge- 
daan is : want , 
DAKoo/^— Jwf, 
geeft het D AH 
:x)pp, watdege- 

vonde + 




«a 



XX 



— Ar^rPkomt — y^, zynde het merkteken van een RonSalsd 
bock MLC recht is , gelyk t^ hici- zodanig valt, omdatzc 
gelyk is J^ de hoek AKH. 

Indien 



Van de Ontbinding door dePLAATZ EN. 15% 
Indien men neemt^oon, zo is 

yoQ—ix-h{a±y.—lxx — {ax—bx+iaa+ah,ccnEllip. 
of een Rond. Zyndc de zelfde iE^uatie die men bekomen 
zoude wanneer men de drie iEquatien A , B , C te zamen ad- 
deerde , zonder een van hen al vorens te multipliceren en te 
divideren. 

Het Surdifche x o nemende , zo is 

of + *-XIt* + t^» Cn — ATOCtf. 

Hier uyt volgen figuren van gedaante als de i^«.en 14*.^^ 
met dit onderlcheit , neemt men AH ooa ^ 20 moet HK en 
ook KG yder wezen 00 jj j dies valt G in H. AE is ooj& 
— ^ay en ER ER yder oo ^* + \a ; of AR ter rechter zydc 
00 i^b+{ay en AR ter linker zy de xü. 10 isooy.laa+ab. 

Indien men A of B multipliceert en divideert gelyk wy 
aan C gedaan hebben , zo 2al de » en de ^ haar in andere 
Termen van de -^Equatie anders vertonen als ze nu doen , 
en by gevolg zo zullen de lynen van de figuren wederom 
anders werden als ze nu* gevonden zyn. 

Imlien men twee van hen tfergaarde , en de firn aftrok van de 
derde y of de derde aftrok van de firn ^ of zonder voorgaande mul^ 
tiplicering en dividering , of met hen ; getallen voor n en p ge^ 
hruy kende y of lynen y zo ziet men dat men daar door nog ver^ 
Jcbeyde andere gedaantens van Mquatien zal kgf^nen vinden , en 
daarom ook^nog verfcheyde andere figuren die zoude kgnnen die-» 
nen tot de ontbinding. Maar wy zullen afkorten , om dat het 
UI. en ook ons zoude verveelen meer dies aangaande op te 
halen. 

Tot befluyt , gelyk in 't begin gezegt , en ook ten dedc 
is aangewezen^ Indien men twee van de gevonde figuren zjodanig 
te zamenvoegt , daty van beyde , de A kgmt te vallen op de h^ 
de AI op de PA y waar door B ks^t aan de rechter zydevan A, 
en BC opwaarts y zo zullen de twee Kromme elkgnder fityden in 
het waarepunt C. In alle figuren zal het gezcyde konnen 
gefchieden , behalven in twee Ronden. 

Indien men twee van die fikren te zamen vo^, dewelke 
gevonden zyn uyt de j£quatien waar in geen van de onbe« 
paalde ncnp zyn , zo kan men weynig verkorting in haare 
Conftrudie vinden : het voomaamfte zalzig opdoeaalsmen 
de hoek ABC recht neemt; 

Gg lodiqi 



voegt , zo geeft het een zeer eenvoudige Conftn)£bie. 

Maakt ecnRcöangulum AOX W, 
daarvan AO isco«, en AWooAj 
en befchryft daarom ccn Rond , 
men heeft de vierde 6guur van 
hier voren. 

Dan trekt een Parabolc uyt A 
als Top , met AO als As , en ook 
als Rechtczyde,alsindeeerftevan 
de nevenftaande: 
Of, met AW als As, en ook als 
Rcchtezyde , als in de tweede : 
Of met AO en AW als Afymptoti, 
ccn Hyperbole die door X gaat, 
als in de derde vandenevenman- 
de figuren : 

Zo zal yder van deze Kromme 
het Rond fnyden in het waare 
punt C. Getogen hebbende CB 
cvenwydig aan AO , zo zuUcn 
AO AB BC AW gedurig even- 
redig wezen: ofABcnBCzyndc 
beerde midden evenredige. 

Gebruykt men de 'wy/ffc figuur, 
zo zal alles wezen gelyk nu even 
gezegt is: maar bet Parallelc^ram 
zal Icheefhoekig moeten wezen, 
en ook zodanig de bewe^lyke 
boek ; als te zien is in de vierde 
■_ van de nevcnflaande üguren. 

Maar als » of/) , ofzy beyde, 
in een van de iï!.quatien is , waar 
uyt ccn van de figuren geformeert 
werd, door welkers tezamcnvoc- 
ging dat men de Solutie wil vol- 
breiigpn , zo zal men door een naukeurige ondcriocking , 
de aangetekende Conftruftie , vccltyts nogmerkclyk konncn 




Van de Ontbinding door de Plaatzen. x^y 

de vierde en "vyfde figuur van hier voren : de vierde nemende 
zodanig als ze gevonden is uyt de iËquatie ( D ) j^ x ^y 
^bx — XX ^ en de vyfde zodanig als ze gevonden is uyt de 

-ffiquaw (K) xyooyy+*.v — j-xx , waar door , in de 

vyfde figuur, AI moet wezen x y^, IMx^jof AOx-y^ 
cnAWx^i QNcDl/.^' + 7-', en de Rechtczyde 

30 y.^* 



ffl éü 



P' 



Aanmerkende dat het gemultipliceerde van AO oo ^^> met 



AW OD-^ j voortbrengt ab ^ en dat de hoek OAW nu 

recht moet wezen , zo ziet men dat de CD*» OAW , in het 
Rond en in de ËUipfis , beyde even groot zyn » of (kt faaare 
zyden weerkerig e\'^enredig zyn. 

Nemende, om kortheits wille, 11x^9 zo is indeElIipfis 

AOx~-, en AWx/> ; QN (zynde nu de As) coV-pf 
+ ^-ji endcRechtezydexi/.W+~r^. 
Hebbende gemaakt de Rechthoek AOXW, waar van dat 

AOisx^, en AW 

C ^ Q g V x^ 9 enckarombe- 

^^'^T'N. fchrcven een Rond : 
c ^^" j \ en hebbende nog een 

' I andere Rechthoek 
-.. — y^ A o .Jif w gemaakt , zo 
y' groot als de eerfte , 
-^ nemende de lengte 

A^ii?, of OV nabc- 
lieven , dat isxp , 
zo heeft men alleen- 

lykom deze laatfte een Ellipfis te befchryven : of een wiens 
As, evenwydigaanAw, isx |/./'^+y^» en wiens Rcchtc- 
zyde is xV- W+~^ , of x— 1/./>?+^ : of wiens As 
is A Y , en wiens Rechtezyde is AZ , die men vind , ma- 
kende op Vw een halfrona, fnydendede verlencdfe ox in S, 
nemende w Y, in de verlengde Vw aan w, zo lang als wS, 
halende AY , fnydende de verlengde X W in Z ( want, het 
□ wS, of het DwYisxde cuVwjr, of x het vermenig- 
vuldigde van Vwx« xnet wxoj— j en om dat Atoxp 

Ggx is, 




V 



« •••'•■•••• 



• »•••••«••• •••• 



i 



156 H E T III BO E K, 

is, zo isdan AYGOV'./!?+~jdc As : en om dat de As 

tot de Rechtczydc is als ^ tot * , zo is dan ook AZ de Rech- 
tczvde.) Deze Ellipfis het Rond fnydcndc in C , en daar uyc 
trekkende CB recnthockig op Aiü , zo zyn AO AB BC 
AW gedurig evenredig. uci£, Conftruftie vind menhy Slu^ 
fys pagina 5*^ aangeteïkent , uytgcnomen de vinding van 
de As en de Rechtezyde. 

Wil men de Ontbinding doen door de vierde tnach^ê 
£guur \ deze laatfte opgemaakt zy nde na de iEquatie ( N ) 

yyzD — y^y^hx'^^'j'Xx ^ waar door AIisx'~, en AE 

co ^: of, nemende no^b^ AO 00-^ » en AWxjp. 

Nemende we- 
o ^ — ^.X derom het voor- 
op gdande Rond , 
endehoekOAW 
recht in de Hy- 
pcrbole , zo o- 
penbaren haar 
de nevenftaande 
figuren, waar in 
deCD«AOXW 
Aoxv) wederom 
even groot zyn: 
de Hyperbolen lopen mede door de 
punten A,o, w, xi haarcAs, of 
de Dwarfc is A Y , en de Rechtezy- 
de AZ , aanmerkende WZ en OZ 
voor Perpendicularen : in deeerfte 
figuur is w Y GO w S,en in de tweede 
öYgoöS, om reden dat de D war* 

fe in de eerfte figuurisy'./ip— — , 

en in de tweede figuur |/.^^ — pb 

en deze tot de Rechtezyde is , in 
de eerfte als ^ tot * , enm de twee- 
de als b tot p. 

Hebbende dan met AY als As , 
en AZ* als Rechtezyde, gemaakt 
Hyperbolen , gaancle in de eerilc 

door 




I-i'-.. 



V 5 ^\ 



^ 




n ^^ nn 

-^-— jen 



Van de Ontbinding door de 1 
door A en o , en in de tweede door A e 
het gctogene Rond fnydende in C : dan 
CB ; zo zyn AO AB BC A W gedurig 
Neemt men tot de Oploffing de vierdi 
laatftc opgemaakt zynde uyt de iEquati» 

— ^y — abzD o, welkers multiplicatores : 

— y--*^— ^- **X0 2ynde, 20 is —> cc 
Stellende^ coa^ 20 zyn de multiplicatc 

-J'ao-V-als^'oooi 

Hel 

AOcc 
OAW 

puntet 
veneei 
menA 
in len{ 
getogc 
rechtb 
de verl 
gehaah 
cvenw 
£M:( 
gelyk^ 
genomi 
gelyk j 
Danl 
perbolc 
Afymp 

rt, < 
: ee 
hetgetc 
inhecvi 
uyt gel 
CB, 21 
AWgc 
Indie 
ven noj 
verccnij 
cnW , en by gevolg mede de punten 1 

Gg 3 




aj8 Het III B o e k^ 

gelyk AO , en EI raakt het Rond. ê grooter als h z^de , 
zo valt de Hyperbole buurten , en kleendcr zynde binnen 
de hodc IMË, gelyk te zien is in de twee volgende figuren. 




Het is kennelyk, indien men de selykzyd^e EUipfisge- 
bruykt in plaats van het Rond , of de vffde figuur in pmts 
van de vierde , dat alles zal wezen als voren , uytgencxnen 
dat de hoek ÓAW zal moeten fcheef genomen weraen , die 
nu recht genomen* is. 

Op deze wyze handelende in de andere gevallen , men zal 
de Ontbinding beknopter konnen vinden als het aangetekende 
zoude uytlevercn. 

Uier x>y zullen wy afkorten. Men ziet dan , indien men 
door twee van de gevonde ^quatien de Ontbinding doet ^ 
hen verwiflelende zo menigmaal als men kan , dat men al 
een soet getal van onderfcheydene Conftruftien op dezeQue- 
llne Kan vmden , vraar van veele , yder in 't bezonder ^ nog 

Seichieden kan door een oneyndige menigte van Kegelfiieden, 
ie alle van a&onderlyke groote zyn: en wil men 'er by voe- 
gen^ een gegeve K^elinede daar toe te gebruyken, zo vind 
men nog veel andere. 

ByvoegfiL Indien men een Ciflbïde heefi: van hoorn , op* 
geomkt door vinding van zyne punten , op de wyze als pa- 
gina ^ö gelecrt is y waar op afgetekent fmt de lengte van 
de Middellyn van het halfrond waar uyt hy beichreven is , 
en ook de As gaande door de Top ^ met een doorgeboort 
punt in deze As, zo kan men op een zeer gemakkelyke wy- 
ze dit Werkftuk Iblvcrcn. 
Stellende yy f xx // xxq^ — x evenredig te wezen ( 2 j ao d^ 

Mid- 




o L/ 



Vandc Ontbinding door de Plaatzen. 259 

Middellyn van het halfrond ) 2x> heeft men x^ 00 ^ixy — ^yy^ 
een >Equatic op een Ciflbïde , als blykt pagina :^o : ftellcn- 
de dan ay in pmts van xx , en ^x in plaats van jyf , zoheefi: 

menfrAT/ itfUxl xq—x^ ofy GO— -7^+-/^, een Rechte 
lyn : zulx dat de Ontbinding kan gefchieden door de Ihy- 
ding van de Ciflbïde en een rechte lyn , op deze wyze. 

Is NC de Ciflbïde , waar van N 
de Top, en NW de As is, zo haalr 
NQ^ rechthoekig op de As zo lang als 
aj, de Middellyn van het halfrond, 
en neemt daar in NO co ^ , en in de 
As , N W co fr ; haalt OW , en daar 
aan evenwydig Qf^ , fnydendedeCif- 
fbïde in C : dan getrokken CL recht- 
hoekig op NQ^ zo zyn NL en LC 
de twee oegeerde midden evenredige: 
want NO tf/ NW*// UXi^q—xf 
LCy zyn evenredig , of ay is oo '2,bq 

— bx Q^of jfco^ — V" > de boven- 
gevonde iEquatie. 
Ontbinding van twee Vraagftukken , aangaande de Bul- 
tige en holle Spi^els , in oude tydc voorgeftelt door 
M.HAZEN. 

Vyt de Oploffkg van iezie fwee Vraagftniien , zal men kgnnen 
%ien hoe tnenfimtyts een Quefiie heel naukgurig kan uytvoeren^ 
fchoünze ons in V eerft vry reuiv voorkomt : hoe men beknopte 
ConjlruSien kgn vinden , en datofr veelderley vDyze , alhoewel de 
yEqnatie zig breet voordoet y hebbende veele Termen , en dat van 
hooge dimenfien ^ een ZAok zynde die niet alleen een naukeurige 
geefi votdaet , maar die ookhet cieraat geeft aan een Algebraift 
Sólntie. 

Wf zyn tut de Ontbinding van deze Vraagjlukken gekomen 
door eenège Brieven die ons bebandigt wierden , gefehrevenvande 
Heeren Huygens en Slufius over en weer aan elkgnder , in de» 
jare 1669 a 1672. wegens de Ontbinding van deze Quefiien^ 
enbyna atteen van de eerft e , daar in zy lieden verfcheyde Con- 
flréSien hebben geftelt , zonder aan te wyzen op wat wyze men 
daartoe kfin komen , aüeenlykjonende deMquatie, hoedanig wyze 
VL zullen voordragen. Wy dan begerig zynde om baare Conftruffien 

te 



z^o Het III Boek, 

te vinden \ %yn eyndelyk geraakt tot een generale , vh 
door de baare by verkorting. Vyt deze Brieven kan men mrt 
noaarfibynlykbeit befluyten dat Slufius de eerfte vinder is ^ en dat 
Huygens door attdere^daar van iets was ter band gekomen s die 
dan bet zyne mee daar toe gedaan beeft ^ gelyk wy al mede van 
bet onx^ daar by Voegen. Kinkhuylcn beeft op bet eerfte Vraagt 
ftuk^ wel een JEquatie gevonden , maar beeft bet daar by gelaten , 
waarftbynlyk^ om dat by te veel Termen vondy en die nog van een 
hooge rfmeting , gelyk te zien is in zyn Meetki^nft folio 6z en 63. 

XXV. Werkstuk. 

Eerfte Vraagftuk. Gegeven zynde een Circulare BuU 
tige of Holle S f tegel , de f laats van het f^oin-werf en die 
van het Oog: de f laats van het Beelt te vinden. 

Aanmerkt het neven-^ 
ftaande te wezen in een 

E lat Vlak, gaande doorV 
et Voorwerp , door O het 
Oog, en door C !« Cen- 
trum van de Spi^els. 

Het Stuy tpunt S gevon* 
den hebbende , zo is de 
Plaats van het Beelt B 
openbaar, om clat die daar is , alwaar de Stuytftraal, of zyn 
verlengde , de lyn ontmoet gaande van 't Voorwerp door 
*t Centrum van de Spiegel. 

Laat ons de betrekking van hot gegeve, en ook van het be- 
geerde , maken op een lyn die door C getogen is na believen , 
even gelyk Slufius gedaan heeft , op dat wy door zyne verplaat- 
zing,alle veranderingen zoude vinden die de Queftie toelaatidos 
laat ons deuytrekenmg doen alleenlyk op dat geval daar hy tUN 
fchen V en O onbepaaltdeurgaat, om geen verandering in de 
Tekens onderworpen te wezen ; ja ook alleen maar op de 
Bultige , om dat aie op de Holle met deze niet zal konnen 
Verfcnillen als in de Tekens : wy zullen echter de Figuur 
op de Holle daar by voegen , op dat men zoude konnen zien 
dat de uytrekening zo wel op de eene paft als op andere , 
uytgenomen op twee plaatzen in de Tekens. 

Laat 




Van de Ontbinding door de Plaatzek« ^^^ 

Laat CM deze 
lyn wezen , en 
ciaar op getogen 
werden rechthoe- 
kig VMOLSF, 
en gefneden van 
VS en OS , of 
van haare ver- 
lengdens , in K 
en in G, en van 
de Raaklyn door 
Y S gaande in E. 
Laatgefteltwer^ 
den 

CMx^, 
VMx*, 
CLco^, 
CSoorf^ 
OLx», 
CF 00*, 
FS.ao>, 
CKooz, 

CGx/>, 

CEcov. 

Dewyl CSE 
recht is, en SE 
de hoek GSK in twcên gelyk deelt, om datCSG, of OSP gelyk 
is aan KSPuy t de natuur van de weerftuyting , daarom zullen 
CK CE OG Harmtmiceevtnrcdigzytï'jofdegrootfiezalzulken 
reden hebben tot de kfeenjle^ als bet verfchtltisffchende grootfle en 
middeljle^ tot het verfibiltuffchen de Middel/leen de kl^e^éy dat is 

CK tot CG, als EK tot EG, 
want , getogen hebbende KP evenwydig aan GSO , fiiy- 
dende de verlengde van CS in P , zo is P zo wyd als CSG, 
of als OSP, of als PSK, en daarom is SK zo lang alsKP : 

dic3isCKtotCG,alsKP 

of KS tot GS 
of, als EK tot EG , 't geen enz, 
dewyldari CKz/CG/>//EK2—v/ EG !;—/> evenredig zyn , 

H h msixom 




»4% H E T III B o BK, 

dsarom is pz — pvoi^vz — pz 
ofipzx :r>txx -{-zyy -^-pxx+pyy. 

voorts kyO¥ x—pi SFyll GL c—p , OL» 

of />co-ïz=/-co»„_„_^, 

rtf ,,,. — .««— »«rT->-«««»-t-*y 
oï ^ JIJ _,x»+iiTT — ««y — j''+»*y 
nog is FKz—xr SFyll KMa—zl VMb; 

of «x^^i^T^ 
door deze twee Quantiteytcn, dicydergelykaanzzyD, viaï 

men , na voot^jaande rodu&ie , 
— MXX'^xacxy'^aityy—axxy—iyi—bxt — bxyy 

•^bcxx-^ %bnxy — beyy — cxxy — ey* + nxi + nxyy 
Een equatie paffende op een Kromme van het tweede 
'cQagt , waar in alle de Stuytpunten zullen gevonden wer- 
Jen , de Spiegek nemende zo groot of 20 kleen alsmenwil, 
mits de QaeüSe mogdyk zynde, om datdequannteyt rf, die 
de hoegrootlteit van de Spiegels bepaalt , in do vergelyking 
nog niet is ingevoert. 

Wy hebben dan twee ^uaticn, een die wy nuevengc« 
vonden hebben , en een op de gegeve Spiegek 

ddoo^x+yy, ofdd—yyoD^'Xf otdd—xxcoyV' 
JJ — yy in plaats van xx (t ellende, men heeft 
■■¥-%dcxy-\-ianyy—a'\-c^(Uy +n—b,ddx —f^xo 
•^ibnxy^xbcyy , '^'^^^ 

Een iEquatic atbeeldcndc een Kromme van het ccrftc geflagt. 

Alles deelende door itte-\-'ii>n, 

^,y^_^yy^-:Ï2-^y.^~-^X---^ XO. 

•+7" . '^ t * « . . 

deelende de Tellers en de Noemers beyde door é. ^ 

Stelknde/xf-t-7^, rx;^+3«. en f X-7-. 

mcnhccft, x>+-^7>-^jr+f ^-??XO,i«.iEquatie. 

ook ;vy-4-*«— 7;f+-7-^+9^XOA*.-«q"aOe' 
^ . Stellende 



VandcONTBiNDï>ïG doordcPtAATXEN, 24J 

Stellende dd— xx in plaats van yy. 

j£quatien zynde mSkxïdc op ccnHyperboU op zynA/ymptoti^ 
om dat de onbekende ^ en j^ niet beyde dubbelt in hen ge- 
vonden werden. 

de i«. JEq. ged. door— jr — j , komt— x—jry+ 7+77, 
dex^.iEq.ged.door— *+y,komt— >+-^;^~ii+^. 

inde i*.iEq.>30oftellendc, zois+^oo |^-* 

in de X*. iEq. ^ 30 o ftellende , 20 is +ƒ X ^* 

Hier uyt vinden wy deze 

Generale ConftruSie. Trekt VO , en uytZ, zyn midden, 
ZC: dan uyt C totV (of tot O) eenrecnte, fnydendeLO, 
of zyn verlengde in P : dan uyt het ander punt , dat is nu 
uyt O , een op deze CV rcchtnoekip , fhycfende CM of zyn 
verlengde in K : dan neemt in CM en m LO , aan weer- 
zyden van L , LH gdyk LK , en LG gelyk LP : daa 
Imlt GH , en hier aan gelyk en evenwydig OË > en xx^ 
£C: dan zoekt D in CM zodanig dat MC : CS: CD ge- 
durig evenredig zyn : dan trekt HZ , en uyt D een 1^ aan 
dezelIZ evenwydig , ontmoetende CZ of zyn verlengde in I » 
Dan haalt door I een lyn rechthoekig door CE of zyn ver- 
lengde als men heeft yy^ gelyk in de i^ figuur, maar door 
CM als men heeft xx , gelyK in de i<. figuur : dcse is de 




Hhx 



/- 




\ J^'* 




z..._ 


^\^.^' 


\ 


""a 


^."'Oi^ G 


■Cr^r:— >m 


-.^■"^ 


'■'^ As,.^- 


"xK 




^^ 


S K/'l 


^■.H 




"--■■■Ti 


M-? 


I. r\ 


M 




j/--^ -..\ 






n 





eene Afymptotus, fnydendc in de i*. figuur CM. en in de 
a*. feuur CE in N. Dan neemt NA (in de verlengde NI 
aan N ) gclyk NI , en trekt door A een Jyn evcnwydig aan 
CM in de i'. figuur als rocn heeft jy , maar gelykwydig aan 
CE in de i*. figuur als men bccfi: xx : deze is de andere 
Afymptotus. Heeft men jry, zo maakt, als inde i'. figuur, 
in MV , MY Rclyk x maal de PcrpendiculaarZR , en YT, 
na M toe , gelylt GO : dan getroltkcn YC , en aan deze even- 
wydig TW, fiiydende CM of zyn verlengde in W : zo is ' 
W een punt van de Kromme. Heeft men xx , zo trekt , ■ 
als in de i'. figuur , uyt C een rechthoekige op CM , na de 
Afymptotus toe die evenwydig aan CE is , en neemt daar in 
CT gelyk de helft van GO : dan haalt ZT , en aan deze 
evenwyaig uyt B , de fnyding van CZ en VM , of van haar 
verlengdens , BW tot aan CT of zyn verlengde : zo is W' 
een punt van de Kromme. Dan befchryff met degcvonde 
Afymptoti een Hyperbolc die door W gaat , en ook zyn te- 
genftelde : deze fnyden het Rond van de Spiegels in vier 
punten , daar van , in deze figuren , alwaar V en O beyde 
Duyten het Ropd van de Spiegels zyn , de twee S , S de be- 
geerde Scuytpuntcn zyn , de cene tot deBultigccn de andere 
tot de Holle Spiegel behorende*, om dat in tkze bevde, de 
Raak en Stuytftraal op de bult of op de holte vallen : de 
andere Qj Q konncn niet dienen , om dat de eene van deze 
twe& llnüen de bult en de andere, de holte fioot. 

Bevde 



Van de Ontbinding door de ï 
Beyde deze figuren vinden de zelfde 
uyt een zelfde iËquatie zyn voort gekoi 

't Bev>ys. Dewyl de hoeken KOL e\ 

daaromis^t, CMalMVb/ OL»? kc 

of LH: dicsis CHgo^+~^go/ 

ookis't, CUal MVbl CLr? kc 

ofLG: dies is GO, of HE cd»- 

Om dat Z het midden van OV is , en 

is op CM , of om dat hy cvenwydig is a 

VM y daarom valt R in het midden van 

dies is CRcoi^+i^oo'', en ZR: 

om dat MC : CS : CD gedurig evenredij 

en CS X <^ is 1 daarom is CD zo^OZ 
Hebbende getogen de Perpendiculiaar S 

tin SFcr)y. 

Trekt S mp evenwydig aan de Afymp 
Laat, in de i«. figuur, uytivallendel 

Tcrlengc werden tot aan de Afymptotus : 
Dewyl Dl evenwydig is aan HZ , en 

daarom is 't, HC// RCr / DC/? koi 

ook , HC// ZR^ / DCx? kon 

Om dat de verlengde van IN gaat recl 
ki de 1^. figuur , en door CM in de 2^. fi 

^ \JACfl HE^ / SF y ? k 

in de 1*. iïcuurJ •' * -f 

^ \HC/ / HE/ / CF AT ? 1 

DewylNA is gelyk. NIjzoisFj'aoIXoo 
in de a«. figuur is IN , oïfm , of C n co XIs 

Voorts. Om dat in de i«. figuur TW 
YC , en in de a«. figuur BV gelykwydig as 

MY^* / Tig / CM tf ? komt^, oo' 
CZ ƒ CB 
of CR r / CUtt } CV{g'i komt-^*oo< 

Hh j 



oen xtnyp 

i«. figuur. CF F« CX XN CW CX XN 

SF F ? 

tenn.komt +*>+}^J9'— 7^— |^J'X+^— ^— ^- 

a«. figuur. SF F» /» CW O 

XFao+'— 7 CX3D + 7 

CF CX 

vcrm.komt —*ƒ+ƒ**■— 7 *'+^*X+^+^— '-7?. 

of— jrj-+ t Jf*+y ƒ — y *_i^COO 

of + *y —■ 5" **■ -^J' + 7 * + ^ CO o,onze i«. jEq. 

Ena1u> is aangewezen <]atde gefteldc ConftruSie uytle- 
vert bet goenc men van hem verwagte. Wy hebben daar in 
geen tekens van + of — waargenomen , en ook niet van 
groter of kloender, om reden dat de Conftmöic zodanig ee- 
itek is dat alles in die gcftahe komt te vallen als behoorlyk 
is : ze paft niet allen op dat geval , waar in de lyn CM de hoek 
OCV fiiyt, of waar m se tuflchcn de punten V en O deur- 
loopt , co zodanig dat L en M aan een zelfde zyde van C 
vallen, waarop wyonzc uytrekcning allecnlyk gedaan heb- 
ben , maar ze is generaal in alle gcvalten, hoedanig men ode 
de lyn CM trdtt , fchoon dat daar door de tekens merkelyk 
veranderen : die de moeyte gelieft te nemen om dit te on- 
derzoskon , gclyk wy gedaan hebben , twyfEJe niet of hy 
zal 't ook zodanig bevinden. 

Wy 



VandeONTBtNTDiNG door de PL.AATZEN. 147 

Wy zeggen hoedanig men ook^ de lyn Cyi trekt ^ en voe- 
gen nu daar by , mits H niec in C vallende , want dit ge- 
fcbiedende , zo zal de Kromme wezen een Parabole » gelyk 
hier na zal getoont werden. 

Deze Metbode , waar door men alle het gcgcve en het be- 
geerde betrekkelyk maakt op een lyn getrokken na believen, 
gelyk wy op CM gedaan hebben , geeft wel in 't ecrft een 
groote iÈquatie , maar ze geeft ook met eene de gelegentheit 
om ze op alle mc^elyke wyze te verkorten , en dat op een 
zeer gemakkelyke manier , zonder genootzauüiLt te wezen de 
uytrekening te vernieuwen , want , 

I. Trekt men CM evenvsydig aan VO , 

Zo is *ao«, cnncot: hier door vind men ^^1=:^^ voor 

-^ , en»voor ^: dies is W, het punt vandeKromme, in 

R als men de eerfte ^Equatie gebruykt ; maar in VO , of 

in zy n verlengde , al- 
y waar de Ferpendicu- 
laar uyt C op CM 
getogen hem myd za 
men de tweede iE- 

Suaticgcbruykt.voor 
e reft vinden wy 
;een verkorting» Dte 
guur heeft de ne- 
vcnftaande gedaante 
eebruykende de eer- 
fte iËquatie. 

n. Treks men CM rechthoekig op CO , of op CV. 
OpCO. 2^is^xo: depuntenL, P en G vallei alle 
inC:/is X^,^X« , rco{ax waar uyt volgt dat^is. 

0^—9 en^ co» : dies loopt de Hyperbole door O als. 
«en de tweede iËquatie gebruykt , waar op het geeft ecn^ 




•figuur 




iLiiiiiiut: gcuiuiiLC. ivuai 

in is D gevonden trekkende 
uyt Reen boog die door C 
gaat, fnydenoehct Rond 
van de Spit^cl in ƒ, en 
getogen de Perpcnïculaar 
ƒ D , om dat R nu het mid- 
den van CM is. CE isge- 
trokken rechthoekig op 
CV , ontmoetende OE , 
_cvenwydig aan CM , in 
"E; enisgenomen CHgc- 
lykOE, om dat nu HG, 
of/cov"**' dereftkomt 
overeen met de generale 
Conttruflie. Gebruyken- 
de de eerfb .equatie zo vind tnen W in de verlengde van 
CM , trekkenck OW evenwydig aan ZM. 

Op CV. Zo moet men de V gcbruyken in plaats van de 
O, en handelen Ósai mede als wy hier even met O godaan 
hebben. 

III. Laat men CM lopen doortenvrndegegevepuntenVofO. 
DoorV. Zo is frsDO, en daarom is/co^, of HC gelyk 
CL: dies vallen de punten K,H,P,G allcinL, cnover- 
zulx is E in O. Dewyl als dan is ^20«, en ook «301*, 
20 is dan ^ CD « ; of *■ is co « wanneer j» go o werd : dies 
loopt de eene Hypcrbole door M als'cr» in de equatie is: 
waar door de Conftrudie in dit geval zeer kort werd. 

Getogen hebben- 
de VO, CO. en CZ 
tot aan het midden 
vanVO; ookZL; 
Zo maakt op CM een 
halfrond, fnydcnde 
het Rond van de. 
Spiegels in/; en laat 
vallen de Perpendi- 
culaar/ D; dan trekt 




VandeOKTBiKDiNGdoorde 
Dl cvenwydig aan LZ, en haalt door I 
kig door CO gaat ; deze is de eene Afj 
ze genomen NA gelyk NI , en door 
Ivkwydige aan CM j zo is deze de andc 
dewyl de Kromme moet lopen door M 
geve punt V , zo is de Conftruftie volb 
Door O. Zo is »coo, endaaromwed 

{jelyk CL : zo zouden dan de punten K 
en in L : maar om dat men nu het pu 
gebruyken , gelyk hier even het punt V 
om nu ook M als toen L : zo vallen dj 
P , G alle in M , en E in V. Het pui 
W is daarom ook nu in L. 




iO J 






hier even gefchiet is , halende Dl evcnwydii 
door I een lyn gaande rechthoekig door C 
AlVmptotus, fnydende CV in N: danda 
gelyk NI, en door A een evenwydige aa 
zo is die de andere Afymptotus. 

IV. Gaat CM door het midden van VO 
Dat is door Z, zo is *x» , endaan 
^ 00 o; en by gevolg, dewyl jf x o zynd 
X van een oneyndige lengte in 't cerftege^ 
de iËtjuatie : waar uyt blyktdat als dan C 
totus is. 




I>:W7Ï nn Z in R valt, zo kontt ook I io X : daarom 
I willende zoeken, 20 moet men maken dat HC/ ZC (of RC)//, 
CD/ Cl (ofCX) evenredig zyn , om dat ze in de gpne- 
lale Conftru&e deze Proportie nebben > In l vaUen nu mede 
de punten N en A. Daajom door I getogen een lyn recht- 
JboeJcig door CE; deze is de andere Afyinptoms. 

Om in dit gpval eea punt van de Kromme te vinden op- 
de kortüc manier, zo neemt vandc 

equatie *y+-J-jf)F—y-jr — ^'xo, de*x-J-^ 
zo isjrxVï*''» ofy'idtf, vow de lengpevanlW rechthoe- 
kig op O, om dat CN, of CIxj-is. 

Of men kan de tweede manier ^^yken. , zoekende \V 
ak voren, aanmerkende dat na B in M valt. 

V. Im^ cm r*{b$b»ekig door VO, tfdtfr sym vtrïtngde^ 
zois<a>«, en daarom 41 cnocA^ydcroD»— *, enrco*. 
waar uyt volgt dat van x co-^ de x co " is i of dat het punt 
van de Kromme , als W, valt in M gebraykende de ccrfte 
jEquatie waar inj^y is , om. dat van jr co t^, dejicoif ii,. 
of gelyk de helft van GO \ of dat CW , evenwydig aan' 
OL , IS gelyk ZM , gpbraykcndc de tweede iEijnane waar 
ifl XX is. 

Aanmerkende dat LK ^ of LH nu is co ~ * dat is gelyk 

het 



Van de Ontbinding door de Plaatzen. xyi 

het gemultipliceerde van OL met LV gedcelt door CL , of 
dat de CD CLH nu is gelyk de cd OLV, 20 volgt dat het 
Rond, 't welk door de punten C, O en V getrokken werd, 
•ook zal gaan door het punt H. Dewyldan H indeOmtr^ 
is, zo zal ook E daar m moeten wezen, omdatCHËrccht 
18 : ja CË zal de Middellyn van dit Rond zyn. 

Vorder. Dcwyl MC / CS // CS / CD evenredig zyn na 
<Jc Conftruaie, en ook HZ / CR // CD / CX gelyk hier 
voren getoont is ; en nu CR gelyk is aan CM , om dat R 
nu in M valt : zo zyn dan nu evenredig 

HZ /CS// CS/ CX- 
En dewyl IX rechthoekig ftaat op CM , zo volgt dat men 
het punt I kan vinden op deze wyze. 

Bclchryft door de punten 
C , O, V een Kring, deze 
CM of zyn verlengde in H 
fnydende, zo maakt dat HC: 
CS : CX gedurig evenredig 
zyn. De lyn door X rechte 
hoekijg door CM gaande fhyd 
CZ m het begeerde punt L 
dan enz. als voren. 

Tjo H buytcn het Rond 
van de Spi^el valt , als in 
deze figuur , zo kan men uyt 
het midden van CH een boog trekken die door C gaat ; de- 
ze het Rond van de Spiegels insy a fnydende , zo haalt de 
irechte ê a ; deze of zyn verlengde fhyd CZ in het b^eerde 
punt I. 

Dit komt byna over een met het gecncHuygens en SluJSus 
op dit geval genuakt hebben. 

VI. Gaat CM door bet midden van de hoeVJ^COj 
zo zyn a I b fl cj n evenredig, waar door -j 00 » is» ïulx 

dat ^, of HE nu gelyk nul werd ; of G valt in O 9 en £ 
in H : waar door CE en CM nu een zelfde lyn zyn : en 
daarom gaat , in beyde de gprallen , de eene Afymptotus 
rechthoekig door CM , en de andere aan CM evcnwydig 9 
of fnyden elkander rechthoekig. 




lix 



De- 



^fZ 



Het III B o e k. 




Dcwyl r 
of CH nu 



nn 



om dat-~ CO 

-^is, ofoiiv 

dat nu LH 

C0~ is, 2xy 

beeft men , 
om H te vin- 
den, de boek 
COHaUeen- 
lyk recht te 
maken. 
Om dat 

CWGOifin. 

*t ccrftc, co 30*7^ in \ tweede geval, nu beyde ooo zyn, 
om dat g xo is 9 daarom is in deze beyde W in C : of in 
beyde moet de ccnc Hyperbole lopea door C. 

Of makende dat HC : 
CS: C i/gedurig evemrdig 
zyn, en trekkende i/I even- 
wydig aan ZM : 20 zal de- 
ze I het zelfde punt wezen 
van I bier even gevonden : 
want , volgens, de Con-- 
ftru&ie is 




f- 



HC ƒ tot CD 4-^ 



of MC a tot ^^ , als CZ tot Cl* aldaar 
hier is MC tot Cd, als CZ tot Cl alhier 
maar C// is cd 7^ , daarom ook Cl alhier gelyk Cl aldaar-, 
.of beyde de punten 1, 1 zyn een zelfde punt. 

Oï trekt d I evenwydig aan CO^ dan behoeft men VM 
en MZ niet te trekken : de reden is om dat nu CO evenwy- 
dig.. is aan MZ. want, getogen hebbende ZR : dewyl na 



Van de Ontbinding door deP 

^ I b II ^ r^ cvcnredie zyn , zo is ü 
\a — {ctot\b — ;»,als^tot»; dat ii 
CL tot LO : en daarom is CO evenwjw 

o Of makende 

gedurig evenrei 

Ie van C na O 

P d evenwydij 

cvenwydig aan 

derom het zelft 

-K voren : want ( 

vonden is X"~ 




C' 



waar uyt blykt 

cc+nn is tot /W, als c tot ' 

maar nu is ^^4-»» tot dd^ als CO tot < 

dies is CO tot CP, als CL^ tot C//, en 

wydig aan OL, gelvk wy hem getrokke 

zulx IS d hier gevonden het zelfde punt v 

Het punt P is een punt van de Kromn 

Stellende in onze gevonde iEquatien ^ 

voor bcyde xy ^:'y^ll.xojo 

Tdd tdi ^ J 

ófxy ^y+-y^ODO, ofaxy—'-jy 

Stellende van dezeiEquatie de xzogro 
dat is in de voorgaande figuren als C rf, 
— rxy + txxzoo^ ofay — ty^MOD Oy 
+{nx—^JxoDO^of{ay—±€ya^\bX'^ 

waar uyt blykt dat {a — {c is tot \b — {i 
dat c is tot n als x toty: dat is , CL tot 
maar om dat d P evcnwydig is aan LO , < 
is ook CL tot LO als Cd tot dV : erj 
boven gevonden is een punt van de Kroi 
pnverknochte eynde van> ,. dat is hier P , 

me is. 

' Dewyle het kennclyk is , een ander j 
wyze zoekende in C V , makende dat YQ 
Vig evenredig zyn , dat deze p zo wel 
Kromme zal wezen als P is van de zync ( 
op de zclVe manier konnen bewyzen ) En 
ding v^n de Afymptoti , zal moeten vallei 

I i 1 




am/tr»aie. Trekt COenCV.enCM 
door het midden van de hoek OCV:dan 
zoekt P in CO , en /> in CV , zoda- 
nig dat OC : CS : CP , ook VC : CS : 
C^ gedurig evenredig zyn : dan trekt 
ĥ P , en door zyn midden A tweely- 
—n. nen die elkander rechthoekig fiiyden , 
en waar van de eene aan CM ercn- 
wydig is : deze zyn de Afymptoti, 
wiens Hyperbolen moeten lopen door 
^enP. 

Dit is de Conlhu^ van Huygens op dit geval. 
Sliyius Confbiioert dit geval op een andere manier, diemen 
van deze kan af leydcn : ze gecK ook de zelfde Hyperbolen 
ca ATympcoti. 

Hy wil dat men 
door P en / als 
Toppen , met p P 
als bwaric en ook 
alsRechtezyde , op 
de verlengde p P 
ab Middcllynen , 
Hyperbolen zal be- 
fchry Ven , welkers 
Appiicatcn even- 
wydig zyn aanVO: 
en dat men de A- 
fymptoti vind ma- 
kende qc gelyk q A, 
en trekkende A/, 
datdtedeoenc,en 
door A een recht- 
hoekige door deze, 
dat (uc de andere 
Afymptoms zal we- 
zen. 

Wy Icydcn dit af uyt het voorgaande op deze wyzc. De- 
wyl p t P punten in de Hyperbolen zyn , en A , het midden 




Van de Ontbinding door de I 

▼an pP , het Centrum is , 20 volgt dat ^ 
zyn verlengde de middellyn is. Ook is p \ 
om dat haare Afymptoti elkander rechthc 
dat dcHyperbole gclykzydigis. Vinders. I 
is gelyk de a VQ, 20 zyn OC / VC 
redig > en om dat de Driehoeken PC p en ! 
C gclyk hebben , en de zyden om deze h< 
ledig zyn , zo is CP^ gclyk CVO , en 1 
CVO+AiiP, of gclyk CVO+MCV 
of gelyk kcq^\ dies is r^ zo lang als kq. 
r& gelyk j Ar, en om dat hkc recht is, : 
lyk A^9, Kj^hquö lang als A ; , of als c 
ten de Applicaten evenwydic aan OV wc : 

En alzo blykt niet alleen de waarheit vs : 
beveiligt , maar ook met cene dat zyn m: 
perbolen en Alymptoti uytlevert die wy 1 i 
ven hebben. 

Slufius: gcbruykt deze methode mede ; 
van het tweede Vraagftuk , zeggende , c i 
is van een oneyndige lengte, dat daarom ^ 
en by gevolg dat A zal wezen in het mid( 1 
auet de waarheit hier van om dat de hoe ; 
gdyk nul , en daarom ook de hoek CP^ , 
ayn : of p P valt op CP, en daarom p ii 
midden van CP.- 

^ VII. Qaat CM doar bet midden van de b > 
^ merkende C v voor een Perpendiculaa ' 

Zo zal de hoek COL zo wyd wezen alj 
en daarom zullen a I h jj n f c evenredig i 

of tfx-7, of<: — -7-300. Enomdatwy 

ƒ zullen vinden c— *? , zo is dan /oo o^ , 

in de gevondc iEq uaticn , hcnecrftmct/gcii 
bende,en \ dd in plaats van \ as ftellende, die ge ! 

tnxx-^^^ 7—jX—iddzo 



indceerllc i$yoD + ^ iY^—'^^+idA 



iade tweede 



^ 



%^6 - H E T III B o E K, 

in decerftê is de Rccbtczyde ^t en in de tweede ^. 
Het SurdUche oo o (tellende » zo is 

indci«.^q.4rco|^+*jj^'gedeeltdoory , en 

in de x«. ^q. jf 30 1 ^+ *^gcdeelt door^ . 

waar door de Toppen gevonden werden : dies volgt deze 

OmfiruSie. Het punt D gevonden hebbende als in de ge- 
nerale Conftruftie , en ook G , die men vind alwaar de ver- 
lengde van OL de lyn C v ontmoet , en getogen hebbende 
de Pcrpendiculaar ZR, zo maakt dat GO/ ZR// CD/ Cr 

evenredig Z3m 




itellende in 

aan die zyde van 

C als Ris (zo is 

Cf X^)An haalt 

uyt f, rechthoe- 
kig door CZ , de 
rechte f /, ontmoe- 
tende de Peipcn- 
diculaar op CM 
uyt C getogenin 

/(zo is C/oo -j-) 
dan uytü 9 het 
midden van C/, 
getrokken «Ir even* 
wydig aan CM , 
aan die zyde van C daar R is , en daar in genomen ad co |/i dd^ 
7jo maakt dat Cf : Cd: ab gedurig evenredig zyn (zo is tffr 



rrtt 



COidd+'~' gedeclt door ~, omdatCi/x|/«i^+ 



'^rrtt 



is ) Dan befchryft op ii^ als As , door b als Top » met C e 
als Rechtezyde , een Parabole ; die fhyd het Rond van de 
Spiegels in de begeerde punten S , S , Q^, (^ 

Of trekt uyt n , het midden van C e , een Pcrpendiculaar 
op CM, na i toe; hier in ngoc^Y^dd genomen hebbende, 
zo maakt dat C / : Cg : n m gedurig evenredig zyn ,( zo is 



4/// 



nmoD{ dd+ ^ gedcelt door j- ) Dan befchryft een Para- 
bole door fv als Top , op nm jis As y met C/ als Rechte- 

zyde: 



VandcONTBiNDiKGdoorde ] i 

xydc : deze fnyd het Rond van de Spie 
ten S,S, CtQ;. 

Men kan CM nog anders trekken als 
ben , te weten rechthoekig door deze ( I 
lynen GO CM CL ZR CR merkely 
ze brengen de zelfde Kromme voort die 
den heboen. 

Vorder. Dewyl {xx-^iyy kan geftel 
zo zal men in dit geval het punt S wipd 
door een Hypcrbole. Dit doende, met 
iËquaden 

yyzo+~y~^x+xx^ ecngelji 

o£yOD + f±V.^-^x+xx,dit : 
ïoh xoD+'f±y/j^-'-iii. DitSurdl 
^grooteris alsr, of ZR langer als CR, 
een evenwydigeaan deApphcata; maar i 
is CR langer als ZR, zo heeft men voor 
^TF^ en dan is>, of SF evenwydig a^ 

Kucr uyt vinden wy deze 

Cof^ruSie. ] i 
de punten e : 
maaKtvanCi 

;ulum CA. 

Ie A/, of^ 
rond , en trcl ; 

;rootfte is , 1 1 

e grootfte is 
C gaat , fny d( 
b : haalt dan ) i 
Rond , (hydc 
van 't halfronc 
dein »en in ü 
Hyperbolen d 
pen, op deve: 
fcn, wiens Dwi 
tezydenzyn»i9i 
Rond van de ü 

noemdepuntei: 
Kk 




ajS 




iEquadcn op de Parabolen zyn 



Het III Boek, 

Anders. A gevonden hebbende 
als boven , zo trekt door A twee 
lynen die vder met A e een halve 
rechte^hoeK bepalen ; enixfchryft 
met deze als Afymptod een Hy« 
perbole die door C gaat , en ook 
zyn tegecgeftelde : deze fnydcn 
enz. 

Dat de eene door C moet lo» 
pen , is , om dat van de gevonde 
equatie, dejrco o nemende, de 

Jirx^'cnookxo is. 

ïncUen , in dit geval » CMrccht^ 
hoekig gaat door de verlengde 
van VO, zo kan men verkortmg 
in de Conftruftiegebruyken^om 

datdan^ao*+»,/Xi*+i»f 
XX of/ooi/f enrcD^is» waardoor 

X ^ ff . dd 



tt dd 
en— 00 Ti 



en de 






dd 



Xdd 



n-'+i-w+Z+ijn 



^dd 



dd 



^dd 



Waar uyt volgt deze 




Cof^ruSie. Ttekt 
U3rr M eenbpogdie 
door C gaat , fhy- 
dende de Omtrek 
van deSpi^elsinj^; 
en ook de lootlyn q e 

(2oisCeoD~)dm 

haalt el rechthoekig 

door CZ , ftotende 

C/, rechthoekig op 

o CM, in/(zoisa 

COf^) dan trekt 

uyt a en , uyt n , het 

midden van C / en 

^ van C ^ , 4r gelyk en 

even- 



Van de Ontbinding door de] 
cvcnwydig aan CM , en » /gelyk en c 
en verlengt hen met eb cnfm , zodanig 
ook C / : Cn : fm gedurig evenredig i 
Parabolen waar van * eni» de Topper 
Aflèn , cn C ^ en C / de Rechtezyderi : 




ftelde: deze fhyden enz. 
Dit zyn de ó)nftru(9ien die Slujtus op 
Indien CM , die VC v in twcên gelyt 
aan VO valt , 2» trekt» CM op aczc eerfl 
na VO toe , zo loopt hy rechthoekig do 
VO , en de hoeken COL VCM zyn wc 
dan is de Conibuftie als boven. 

Voor 't laaft. Indien O, V enC in een 

2k) zyn a en ook c beyde oo o , en ma 

cerft gevondc -/Equatie niet anders als zbn 

ooo, zode«grooterisalsde*, maarklecn 

+nddx — bddx 00 o : of ^ tot een gebragt 

Men heeft xbnxy — n-zzb ^ddx:x^Q^ o 

Het welk te kennen geeft dat het Wcr 
plat is. 



Kkx 




OCVi (aan V zo co langer is alsCV. 
maaraan O zo CO kortcris ) zodanig dat 
CO =CV / CO // CV / CD evenredig 
zyn , en trekkende uyt D door C een 
^S bo(^, fnydcndehecRondvandeSpi^ls 
in S , S , de bt^arde Stuytpunten. De 
reden is, om dat door deze proportie de 
halve middellyn CD is 3oi^ï» ™ daar- 
om de hcclemiddellyn^, door de welke gedeelt«iW, het 
Vierkant van CS, men heeft^^^^^vow CQ^ dicovcrccn 
komt met SF OD > in de eeitt gevonde ^uatie , of in de 
geene die wy hier toe gebruyken, en om dat wy hier even 
y dus groot gevonden hebben. 

XXVI. Werkstuk. 
Tweede Vraagftuk. Gegeven zyndeeen Circulare Bul- 
tige of Holle Spiegelt een lyn komende van een omwerp dat 
eaeyndig ver van de Spiegel af is j en de plaats ven het 
Oog : de plaats van het Beek te vinden. 

Aanmerkt bcrne- 

SïtV venftaande te wezen 

^ in een plat Vlak, 

gaande door V bet 

voorwerp , door O 

hetOog, cndoorC 

=■ het Centrum van de 

Spiegels. 

Het Stuytpunt S 

gevonden hebbende , zo is de plaats van het Beelt B opcn- 

wir. 

Aanmerkt de Raakftrüen Sv Sv evenwydig te wezenaan 
degegcvc lyn CV. 

Dit komt in alles over een met het voorgaande , uy tgenomcn 
dat nu CV evenwydig looptaan Cv, diehiervoreninVteza- 
men quamen. Laat ons onder7,ocken wat verandering dit geeft in 
de aytrekening die wy op hec eerfte Vraagftuk gedaan hebbCTi. 




Van de Ontbinding door de 





Door vcrgelykmg van deze twee, dii 
zyn , vind men na voorgaande reduftie 
— cnxx^iccxy+cnyy — cxxy — cy^- 
+ cbxx -i- %bnxy — ehyy 
mede een Kromme van het tweede gcd 
lende met de voor^umde als in de Tenm 
X cnkelt gemultiplicecrt zyn , en dat in 
den werd , dieook nu zo groot is als ^ , 
€ vind te ftaan daar anders de a ftond. 

En om dat men ook heeft dd'j^xx + jy i 
daarom dd--yy geftclr in plaats van xx , 

Kk 5 



20 heeftmcn ayr+^-jijr— xy — j*" — tgzoo. i*. equatie 
caookxy—^xx — sy — ï*+/^coo. z'.JEqusaie 
StellcndciW — *■* voor^y. zyndebeydcccn HyperboU ^de 
Afymptoti. 

de le.jEq. gcd.door — y¥i\ komt — *: — -4^>+* — ƒ*• 
dcz'.iEq.ged.door— *+ƒ ƒ komt— j + ^^+ï+^- 
ncmendeïnde le.jlEq.jr qqo, Zois — * 03^. 
in dci«. iEq. *■ co o , zo is+j» CO^. 
Hier uyt hebben wy getrokken deze 
Ge»erée OmflruSie. Trekt OLP rechthoekig door CM , 
ontmoetende de gcgeve lyn CV , of haarc verlengde in P : 
dan haalt uyt O een andere rechthoekig op Cv , fnyden- 
jde CM , of haare verlengde in JC : dan neemt LH gelyk 
LK , aan de andere zydc van L als K ts ^ ook OG gelyk 
LP , Zodanig dat G en P aan een zelfde zyde van O zyn : 
dan trekt GE gelyk en cvenwydig aan LH , en haalt EC : 
dan trekt uyt H door C een boog , fnydende het Rond van 
de Spiegels in « , « ; en trekt aa , fnydende CV in I , en 
CM in X ( of maakt dat % CH : CS : CX gedurig even- 
redig zyn , 
en haalt XI 




Van de Ontbinding door de I 




afisvanPalsLafisvanG, cntrekt^Wa: 
fnydende CM of zyn verlengde in W, a 
de Kromme. 

Op de 2«. equatie behhendc xx. De re< I 
Afymptotus , fnydende CV in I , en Q i 
verlengde : dan in deze a a genomen NA . ! 
A gehaalt een evenwydige aan CË ; dezeii 
totus. Gemaakt hebbende GW gelykene^ ' 
ao is W een punt van de Kromme. 

Dan befchryft met de gevondc Alympt i 

die door W gaat , en ook zy n tegenfteldt : 

Rond van de Spiegel» in de oqgeerde Stny ; 

Qok in Q, Q^ 

, 'i Bew . De wyl de hoeken KOL PCL gelj 

CLr/ LP bl OL»? komt v ooLl 

dies is CHco^+-y oo/ Uyt deConftnil 

of HE is 00»— *oo/ , en CX X ijöDs, 

CL^/ LP*/ CX/? komt IXai 

HC// HE^/ IXy? komtXNcci 

HC// HEg/ CXs} komtXNcr 

Getogen hebbende Spm cvenwydij! 

;. . HC/7 HEg/ SFy? komtFiwco 

HC// HEgl CF;^? komt F/w x 



%6^ H e T III B o E K, 

Dcwyl NA is gelyk NI , zo is in de i«. figuur FJ ao DC, 
en inde a«. figuur^wcolN, of xIX+XN j dat is /w 

VoöTts. LP*/ LCtf/ Vgg^ komtCWao^, i'.figuur. 

Dies is de aflhnd die S en W, twee punten van de Krom- 
me, hebben van de Afymptoti, evenwydigaandelynenvan 
X enjr, 
je. figuur. CF F« CX XN CW CX XN 

Ni»,ofA^30+*+f y-x+*?: NWa5+-?-+*— «^ 

SfOO+J' — f jF 30+^ 

SF ¥q 

venn.k'. +Arjf-h^jry— /y+«.^ co +^+j/— ^ 

of + *)f + ^ jry — /jr — J4f — jy X o, de cerilö Aq.; 

ftelicnde */ voor cq , die gelyk zyn. 

2«. figuur. SF Fm pm CW pm^Cr 

Spx— y+f-*+J+^: Wrco+^— y— 5. 

XFao+*— * CX30+* 

CF CX 

vc^m.k^ — ^v+-^Ar4r+yx+^j^C0 +^g—^i—^., 

of -4- Jirjf — ^-jir^r — sy — qx ^sgzo Ofdc tweede S/\. 

Deze Conltruftie is van die natuur als de vooi^aande,pa& 
(ènde op alle gevallen van de trekking der lyn CM , zo lang 
als het Stuvtpunt S i& ineen Hyperbole^ zondsr waamemilig 
van de Tekens. 

Indien men CM trekt met eenige bepaling , gelyk als ia 
't eerfte Vraagftuk , zo zal der verkorting in de Conftrudie 
konnen wezen , om dat eenige punten als dan in elkander 
zullen vallen. ^ 



I. Léut$ 



Van de Ontbinding door del 

I. Loêf men CM lopen door bet gegeve 
7o vallen de punten L en H beyde in C 





in P. Na 4e eerfte iEquade is g mede in 
W : volgens de tweede is CW gelyk O] 
van de bovenftaande gedaante : de eerfte 
de eerfte, en de tweede volgens de twep 

1 1. Laat men CM lopen langs de gegeve 

20 vallen de punten P K H alle in L, < 
Dit geeft figuren van de volgende gecka 



K-O 




\i 




opgemaakt na de eerfte iEquatie , is CM 
(us. W, een punt van de Kromme , is e 
in aa^ IWxVi^f dat men vind fl^lk 
iEquatie xzos^ dat is hierooCl» waar 
ooVi^f aanmerkende dat 9 000 is » om 

LI 




%66 Het III B o t k, 

III. Gaat CM door bet midden van de- hoek OCV, 

Zo gaat hy ook met cenen door het midden van OP : zo 
Valt dan G in L, E in H , N in X , ^ in P, en W in C. 

De Afymptoti fnjrden 

elkander rechthoekig : 

bcyde iEquatien leveren 

uyt een zelfde figuur. 

Om dat nu «oo^ is, 

zo is LH 00 V i ^^ 
vind men H trekkende 
OH rechthoekig op CO. 
De lyn aa^ die de ecne 
Afymptotus is , fnydOC 
inA. Dewvl de hoeken 
CANCHOgelykzyn, 
durom tyn CH/ CO// CA/ CN/ evenredig, ofdeCDzCO, 
CA is gplyk de a iCH , CN, dat is bcyde gelyk aan het 

Vierkant van Co : dies vind men 
het punt A ten eerften , makende 
dataCO: CS: CA gedurig even- 
redig zyn. OftrékkcndeuytOeen 
boog bCb^ welkers pees bb deJyn 
CO fhyd in het voornoemde punt 
tV. Dan genomen A r en Cl yder 
^elyk AC , en getogen AI , en 
[oor A een andere die door AI gaat 
met een rechte hoek : deze tweo 
zyn de Afymptoti , waar van do eene Kromme moet lopen 
door C. 

Dit is de Conftruftie welke Slufius heeft gevonden op dit 
vraagftuk , gelyk wy hier voren gezcgt hebben. £nom dat dit 
het kortfte is dat wy hier op hebben konnen vinden , en deze 
manier ook de kortlte was die wy hier voren op het eerftc 
Vraagftuk gevonden hebben , en om dat ze beyde de Quc- 
ftien op een zelfde wyze oploft , en men niet kan denken dac 
deic twee korter en aardiger zoude konnen gelbl veert wer- 
den» «>mag men met recht befluyten , dat%\M&x& deze twee 
Qmfiien op de befte voyze heeft ontbonden. 

Aanmerking. Dewyfdepmtén C, O, H, E, Faltydinde 
Omtr^van een Rond zirihn. moeten vallen j opvsatv)yzedatmen 

de 





Van dcONTBiNDiNodoorde 

ie lyn CM ook trekt ^ om reden dat OLI 

kopt ; ja ook W het punt van de Kromme 

quatie gebruykt y zo zal oien deze puntct 

opcenan 
Trekt tx 
^elykafft i 
in een f i 
en haalt : 
kring, f i 
verlengd 
V bende de i 
neemt in 
IjrkOE 

contrary loop is van P tot H als'cr is va ; 

gelyk ÉH, mits dat W zulkcn koers va 
Neemt men het Middelpunt D in de ! 

in ^ , zo is 't ak of men C;M liet gaan ( 

in P , en H in O. 
Neemt men D in CO , dat is hier in i 

CM liet loopen langs CV. E valt dan \ 
Neemt men D zodanig in ed dat d i 

dCD DC^ evenwyd werden, zo is 't 

f aan door het midden van de hoek OC i 
L, en Win C. ^ 

Welke vercening der punten Sereen ; 
wy onlangs daar van gezegt hebben in d : 
De Afymptoti vind men als voren. 

IV. Trekt men CM door bet midden van 
ivanneer Cv rechthoekig floot \ 

Zo valt H in C , en daarom kan niets 
ons dienen : men zal bevinden dat de h< ; 
wezen aan de hoek VCL, of PCL, wj. 
gelyk bn. 
Voornemende de gevonde ifiquatie 
+icexy +xcnyy — cddy — bddx-^ 
-f- 2 bnxy — xcbyy -f 

cn gedenkende dat nu VL boven CM vj 
van deze ^Equatie daar onder genomen 
teken van die termen waarin b enkelt g! 
men heeft 

LI z 



1Ö8 H E T III BO EK, 

— %bnxy^icbjy —ebdd 

dcwyl in dit geval cco:^bn is , daarom vcrdwy ncn de tcrmoi 

waar in .^^ is , en men behoud 

+ %cnyy--c{Uy+bddx—cndd^^ 

J^xcbyy —cbdd 

ookxx+ij^^y-^^—Ï^O^o,ccridao. 
ofjfco+|^,±V--;^^+i^+-^5^° 

Hier uyt vinden wy deic 




OmfiruBie. Trekt CB rechthoekig op CM , en haak door 
O een lyn BOM , dié rechthoekig door CO gaat ( zo is CB 

zon+b, en CMx"-^^^' , om dat OCB is gelyk VCH 
gelyk CMB) dan trekt uvt B en ook uyt M yder eenbo^ 
die door C g^t , fnydenoe het Rond van de Spi^els in K 
en in q;. de perpendicularen ¥il ca qe getogen hebbende, 

za 



Van de Ontbinding door de ] 

20 is C/cD-'^rj» ^ C^3D-^^ : dan \ 
van /C , en » het midden van Cr , en j 
kig x>p /ly 9 en ad zodanig c^ ea : dan 
en evenwydig aan ^B , en uyt a een ze 
nm en ab. Dan befduvft een Parabolc 
j fr als As , met C r als Rechtezyde ; c 
als Top , op nm als As, met C / als Re 
den het g^eve Rond van de Spiegels } 
punten , en ffoai mede door M en door 




XXVIL W E R 




dcR.iydc30»' 
de Dwariê x f 

DEoo< 
AEco* 
ABoo*- 
BCcay 



K S T 

G 

Kegi 
punt 
ujtl 
hrtt 
'keUii 
both 
nius 
Boei 
Viv 
ff^er 
Boek 



LU 




voorby gegaan hebben , ten loaare wy meenden dat bet volgende 
VI. foeertler voldoening zoude geven. 

Laat NV de As . N 
de Top, en A het Cen- 
trum wezen in de EtlipGs 
en in de Hypcrbole ; maar 
ook de Top in de Para- 
bole. 
Trekke DE en CB 



Ja 



A E B VA rechthoekigopAV, CF 
zodanig op DËi en ver- 
Icngc DC tot aan de As in V. 

ZoisDFoo*— >,enFCay* — ftindeParab.enHyperb. 
maar FCx*' — JfindeEUipfis. 
Om de gelykhockigheit van de Driehoeken DFC en CBV is *t^ 
DF a — >/ FC * — A/ CB> ? kofat^^fEj^ oo BV. Par. en Hyp. 
DFrf — jf/ FC b ~x/ CBy} komt ^i^ o) BV. EUipfis. 

Op de Parabole. 
IndeieisBVXïr, en daarom heeft raen^^^^r^ co ï»-, 

ofxy — by+lry — i*rcoo, ocnHyp.opdeAfympioti. 
gedeeltdoor — x-^b^^\r} komt— j 
A- co * nemende , zo is ƒ co« ; waar uyt blykt dat de Hy- 
perbole moet lopen door D. Waar uyt wy vinden deze 



X ^ 


]> 


/ 






ConBrttSie. Trekt UVt D een refhthrvieia 



Van de Ontbinding door de Plaatzen. 271 

DE ; en neemt in deze As EM go 1 r , aan de linker zyde 
van E , en haalt MR evcnwydig aan ED. Dan befchryft 
een Hyperbole die door D gaat, en w?ar van MR en ME 
de Afymptoti zyn , en ook zyn tMcngefteldc zo 't nodig is, 
als in de tweede figuur : deze de Parabolc in C fnydende , 
zo haalt DC ; deze is de kortfte die uyt D tot de Parabolc 
kan getrokken werden,of by ftaat rechthoekig op de Kromme. 

Op de Ellipfis en op de Hyperbole, 
Indien men in deze NB ftelt cx) ^ , zo vind men , na de 

derde Regel op deRaaklynen, BV oo *^^"\ en om dat als 
dan AB is OD^qT^ , en wy die nu cx)*^ nemen , zo heeft 
men nu BVoD—-- Wy hebben dan 

tZ=iL^co-r:iLmdcEllipfis,cn^^f^XY 
waar door wy vinden 

+xy—-f~y^~^0DOfifxy—ny+pxa^o,^^^ 
+^y—f^,y—:^r^o:^ofi(xy — ny—fxcooJLnd^^^ 
Stellende n oo 4r7 ^ ^^ Ellipfis, en » go -^^ in de Hyperbole. 
cn^ GO -^ in de Ellipfis, en^ GO -x" ^^ de Hyperb, 

beyde de ^ouatien wyzcn aan dat het punt C is in een Hy* 
perbole betrekkelyk tot zyn Afymptoti. 

Qmjlruffie, Getogen hebbende DE rechthoekig op de As > 




20 trekt uyt A , het Centrum ; een Perpendiculaar op QN, 
opwaarts, en neemt daarinAKx?f cnKPoo^ » J^ccr- 

waarft 



17* 



H K T III B O E K» 




waarts in de EllipCs , en opwaarts in de Hyperbole : daa 
haalt AD en PE , fnydende elkander , of haare verlengdens 
in O: dan trekt KOI, ontmoetende DË of zyn verlengde 
in Ij ook KH èvcnwydig aan PE , ftotende de As in H. 
Dan haalt door I en door H lynen evenwydi^ aan AE en 
DE, als IM en HM, deze zynde AfVmptoti : met deze 
belchryft een Hyperbole die door A of door D gaat, en ook 
zyn tegengeftelde : deze de gegeve Kromme (hydende in C 
C Sc , zo trekt DC DC : deze (ban rechthoekig op de ge- 
geve Kcgelfnede , om dat AH is cx) «t en EIcxD^. 

Anders. Door defnyding van de gegeve Kegélfmde em 
een Rtmd. 

op de PariAole. y 

De gevonde iEquatie op deze xy — hy-^^ity — i^rooo, 
gemultipliceert met y , 

komt*» — *yy +T ry> — J ^O' oo o 
uyt de natuur van de Piuabole '^yy:x>rx \ daarom rx ge- 
ftelt in plaats van yy , en gedividcert door r , 
men heeft 1^.^ — bx + ^^rx — ^ayzoo A 
hierbyjfjr — r^ 00 o 

^^omlyy+xx—bx — ^rx—Lay':£^o^ eenRmJ^ 
of yo:)ia±y.jiaa + bx + Lrx — xx 
en xoDib+ir±y.w'i-jlaay hetSurd.coozyndc. 



Waar 




Van de Ontbinding door de Plaatzen. 275 
Waar uyt volgt deze 

C<mfiruSie, Getogen halben- 
de DE rechthoekig op de As , 
zo maakt EI , in £,D , gelyk 
t^EDy en haalt door leen e venr 
wydige aan de As : dan neemt, 
in de As , AG zo lang als ^ r , 
en trekt uyt H , het midden 
van GE , HM gelykwydig 
aan ED , fhydende de getoge- 
•ne door I in M : danhaalr uyt 
M door A een kring , (nyden- 
de Parabolein C : zo is Cenz. 
overeenkomende met die van Kinkhuyjèn. 

ByvoegfcL Uyt de iEquatie A, xx — hx:\-\rx — \(Vf'j:^ o, 

s 

Vind men de punten C mede op deze wyzc 

ConftruSic. Getogen hebben- 
de DE rechthoekig op de As , 
en in de zelve genomen EM 
CD i »• , aan de linker zyde van 
E, zo haalt uyt R en W, het 
midden van AM en DE , RT 
cvenwydig aan DE, en WT 
gelykwydig aan AE , elkander 
inydende in T : èxa TM , en 
daar op rechthoekig MS, fhy- 
dende de verkngde TR in S. 
Dan maakt een Parabole wiens 
Top is S , As ST , en Recbtczyde TR : deze gaat door 
A en M , en fhyd de gegcve Parabole in de begeerde pun- 
ten C. 

Op de Ellipfis en op de Hyperbole. 

Uyt de natuur van de Kromme is ±qyyoDi^99 — rxx. 
Kon men nu door verg^ing , afixekking , enz. , van deze ± qyy 
ODirqq'—rxx , en de gevonde*^ — ny±pxo^o , komen 
tot een vergelyking paf^de een Rond , gelyk hier even in 
de Parabole is gefchiet, zo had men maar de zelve w^ in te 

Mm flaan: 




men ac metnooc van ia tiire georuylcen ( by ons verhandelt 
in het IV lid van bet III Hooftftufc , pagina i6f ) een jE- 
quatic zoekende waar in maar een onbekende is , de _y wm 
reducerende , waar door men een vind van vier Dimenfien , 
de tweede Term by zig hebbende . 
nytxy — «y±^*cooi vind men j'x.zi^^ 
*'f yy^ lV—xH, '. ^ l^> met ±j vennenigvuldigt , 

of — x*-\-xtiX>+\qqxx~»nxx:^^xx — [nqqx-\-]mqq ■:x> o 
of — *4+aiw» ^nixx — »nxx q: tmxx — xnnlx-^ail 33 o 

Stellende /cov^, camzo^ 
of — »» + tt» + ■« — » 5: KdH — ifc +/ 30 o,ftclIende » co d'eenbeit 

— mxx inde Ellipfis, en -^-mxx in de Hyperbole. 

Om nu deze .^Equatie te ontbinden door een Rond en de 
gcgeve Ellipfis of Hyperbole , zo zal 't van noden zyn, niet 
alleen dat men deze jEquade in tweên deelc , waar van de 
cene paft op een Rond , en de andere op een Ellipfis y of op 
een Hyperbole , maar ook dat men nog eenige cmbekendc 
quandteyten in deze equatie in voere , op dat men de ge- 

tcve Elüpfis of Hyperbole daar toe zoude konnen gebruy- 
cn. 

Laat ons dan ftellen dat * a>-^ is , of «co-t^z en ook 
d onbepaalde grootbeden wezendc ) hier door de x w^ ge- 
nomen uyt de gevondc jEquatie , 

men hccft-S-+-/+'J^-^T=,y-!i-'+;ooo,A 

Laat ons aannemen zz — dz ~-dy oo o , een jEquatie pat 

ièndc op een Parabole : z. beginnende van een vaft punt , 

lopende m een gegeve lyn, en 7 (zyndc een andere als jr hier 

voren) daar op llaande ineen gcgeve hoek, 

Dezezz — dz — <^coo , gcdeelt door^W, menhecft^^- 

— -^ J- 30 o: welkers Vierkant vergaart by de jEquatie A, 

menheeft— ^+';;^^T-^~4^+/30o 

dd 



Van de Ontbinding door de Plaatzen. 27^ 

kotnt — yy — idz+ldy^imdz^ifndy'i^UJo^o^ B 
hierby — zz'^dz'^Jy 00© 

"f 

k«. — yy — zz — ldz:fmdz'^ib^Uy^:mdy+Jy'{*ldJojo^ 
ccn Rand. 

Om ^quatien op de Ellipfïs en op de Hvperbole te vin- 
den , en zodanig dat men de g^evene tot de ontbmding zal 
konnén gebrayken. 

Zo multipliceert zz — dz — dy 0:^0 metit, een^ onbe- 
paalde 

komt kzz — k^ — kdy coo 
dit laatfté afgetogen van B , en ook daar by vergaan / komt 
— yy^-idy — fndy+kdy^ldd—ldz--^dz-\^kdz--^z X o . EU. 
— :yy+'^"N^ —kdy+ldd—idz^^mdz — kdz'+^kfz x o. Hyp. 

En alzo hebben wy iEqiiatien op het Rond , en op de 
twee g^eve Kromme na behoren. 

Uyt de iËquade op het Rond vinden wy 
>a)+'T»»+ ij'd±y.^d^ldd—ldz^:n$ds^dz~zzjm 

f 

zoj—lTf»'hij\d±{dy.gg+^+^lyhet Surd. xo. 

— I» als men dit Rond gcbruykt tot de gegeve EUipfis , en 
+199 als men het ^ebruykt tot de g^eve Hyperbcde. 

Uyt de iEquatie op de EUipfis vind men 
y 0:)'i'l—m'^k,[d;tV'\ssdd+ldd—ldzr^'-mdz+kdxr^^^^^ 



s 

V 



z 30 —±^^\ { d± 1 dy. ^ +ii±il ,. het SukI. 00 o. 
Uyt de iEquatic op de Hyperbolc vind men 



f 



«00+ ^ %{d± { d^. ^ — '- ^^\ y evenw.aan de Ap, 



fÊ^mm^^^^ 



2 00 + i^-^-i-V; d± -; rfy'.w+4A_^ jr evcnw.aan de Mid. 
Nu zynder twee onbaaalde ingcvocrt , die eeril liioetcn 

Mm z bcpasdt 



%76 H É T lil B o ï «, 

hcpsalt wezen eer men de folurie kan beginnen, te weten k. 
en d (want z en jf iuUen door de fnyding der Kromme, of 
door de oploffing van de ^Equatie bekent werden. ) 

Dewyl nu z reprefenteert de ji^ , en zz in het Surdifche 
op> gevonden , gemultipliceeit is met ^^ en om dathetgee- 
nc met 22 gemulapliccert is, is de Rechtezyde gedcelt ooor 
Dwariè ( om dat geen onbekende , welke hier z is , in het 
rationale gevonden werd ) volgens het geene in de IHaatzen 

is aangewezen , dat is kjDD — in de Ellipfis , en ook in de Hy- 

peibole als y evenwydig aan de Applicata is, maar kjOD-^ 

ak jf in de Hyperbole evenwydig aan de Middelyn valt. 
k is dan daar door bepaalt. Qm te vinden hoe lang dat ^moet 
wezen , zo ftaat aan te merken dat het Surdifche , dat by z 
gevoegt is, is de halve Dwariè van de gegeve Kromme; of, 
zal men de g^eve Kromme tot de ontbinding gebruyken, 
dat men de hd ve Dwariè zo lang moet nemen als dit Sur- 



difche is , dat is CD i j' 9 wd^ uyT volgt dat wy hebben 
.V. . ,^ïpindeElrii 



^^ \v . , ■ .^ deEmpfis 



^^ T^s — vp4,./ in de Hyperb. j^ evenwydig aan de AppL 
^CD— -^— 7— - — 7-,indeHyperb. y evenwydig aan deMidd. 

Om de Conftruaie gemakkelyk te maken , zo ftaat aan 
te merken dat n zo groot is als AH in de voorgaande figu- 
ren , dewyl hy is GO^,. Om dat / is co ^, zo vind men 
die , nemende in AK de AX gclyk i van AK , en door X 
trekkende een lyn die KH rechthoekig ftoot , en de As fhyd 

Hl W, zo is AWx— I ofco/. w vind men trekkende uyt 
I een rechthoekige op AD , of op zyn verlengde , fnydendc 
deAsin Z, zo is EZx«», omdat ze CD^ is,enditao-^ 
is , gelvk men kan proberen : In de Ellipfis en ook in de 
Hyperbole wanneer y evenwydig aa% de Applicata is , is 
k GO EH , om dat deze co — , of co - is : maar in de Hyper- 
bole ,y evenwydig aan de Middellynzynde, is i^oo een derde 

evenredige tot EH en AH, om dat hy ais danx-V^,ofx -f is. 

bm 



j 



Van de Ontbinding door de PLAATZ EN, 1,77 

Otn dan de lengte van z te vinden , dooi: de bovenfhan- 
de iEquatie op y en op z gemaakt , zo km men opvolgen deze 

OmfiruSif. Trekt uyt A , het Centrum van de gegeve 
Kromme , een rechthoekige door de As , en neemt daar in 
A^ezx^isd in de EUipfis , en cOi 'ï?^ in de Hyperbole als 

j^grooter is als '^ ""j^^^ of als-^grooterisaIsvi;+4/; maar 

kleender zynde, zó neemt A^ inde As zo-t'^^- beyde , \sd 
ca\vd y neerwaarts als ze een + zyn , en opwaarts süs ze 
een — zyn. 




Dan haalt door e een itchtftandigeop fie i en neemt daar 

in eazo^ir^ ^ Ellipfis , en CQ-^in de Hyperbole , ter 
rechter zyde van ^ als het een — , en ter linkerzyde als bet 
een + is. 

Dan haalt door 4 een perpendiculaar op #/, en neemt daar 
in tf/xi/i/, opwaarts als men heeft -f-A en neerwaarts 
als men heeft—/: dan door i een rechthoekige op tfi , en 
daar in genomen imij^\gd , aan de rechter zyde van i als 
ƒ een + is , en aan de Imker zyde als hy een — is : dan 
haalt vna^ en daar op rechthoekig ag rj^^ldd^ ofx^V- 

Dan trekt uyt m door^ een Kring , deze de gegcvc Krom- 

Mm 3 löc 



178 



Het III BoBK, 




me in cc ihydendc, zo laat uyt c vallen eenlootlyn 01^ ae^ 
ofopzyn verlengde j dezc^i^zynde, zo is ^^ co 2 (enr^xy) 
daarom gezogt een vierde evenredige tot d^ », en ab^ die 

is 00 ^> ofco^» dat is 00 AB in de ecrfte figuren: over- 
zulx deze lengte geftelt in de As van A af na de rechter zy- 
dc, of liever als een + ^ als b aan de rechter zyde van « is, 
en als een — x als fc aan de linker zyde van a gevonden werd; 
dit in B eindigende ^ zo trekt uyt B een rechthoekige op de 
As, ftotcnde de Kromme in C; dan getogen DC, dicftaat 
rechthoekig op de gqgeve Kromme. 

Hoewel deze Conlmiöie geen bevefting van noden heeft, 
om dat men fimpelyk opgevolgt heeft de manier in de Plaat- 
zen gèbruykclyï^ f ^ ^ygcvolg dat men niet anders te doen 
heeft als na te fpeuren of men die wetten heeft waargenomen; 
zo zullen wy echter tot meerder voldoening de Proef op de 
twee geftelde figuren , die na deze Conftni£iie gefbrmccrt 
zyn , nier by voegen. 

Froefl Laat uyt c vallen een porpendiculaar op de As , als 
r^ , en im verlengt werden tot dat hy eb , of zyn verlengde 
ontmoet in /. 

Dcwyl 



Van de Ontbinding door de Pl aatzen. 179 
Dcwyl bc is COJF ; Ae 00 i^d in de Ellipfis, tnooivd'm 

de Hypcrbole: esoD^in de Ellipfis, en 00^ in de Hy- 
pcrbole. . ^^^ 

IndcEllipfisis/>NcD+iJ'— ^]^ z, cn/>Qpo+.'^ 

+^+z, waardoor dcoQ/Nisx+i??—^—i^ 

In de Hypcrbole is/>N GO +jf—^W—jjr, en/>Q;]o+y 
•— i vrf4- -; ïjWaar door de czi Q^ N is oj^yy — v<^ +iw^ 

Omdatiisx-^^q^^indeElLcnx— * j^indcHyp. 

of +^ M CD + \^^ — h *nr +T ^"^ d^ EUipfis 

. cn—iqq:x)—iwdd—Idd+^^m de Hyperbolc 
het geenc aan ^ j j» gelyk is gcftclt in zy n plaats 

komtdea(^NcD-^+'^+^-zzindeEllipCs 

. en de □ Q/> N 30 -hyy — vdy—ldd+^^indc Hyp- 

fpisx+i^rf— yin de Ellipfis, cnoo+«— ^indeHyp. 
20 is dan *t D r^ OD'^issdd—sdy+yy in de Ellipfis, 

en'tn ^00+22— ^+*7— in de Hyperbole. 
In deEUipCs isjtot r ,of 1 tot-L,of i tot*,alsdeC3QpN 

tot het D cpj waar door men vind 

— yy^^dy — vdz — k?z + lddcDO 
in deze is j 00' — 'w+iL» ^ voo/+«» — f^* door deze de 
X en V weg genomen, komt 
— yy^ldy — mdy^kdy — Idz — mdz'^kdz — kzz'^lddzoo 

In de Hyperbole is if tot r, of -Z- tot 1 ,of it tot 1 , alsde 

CD Q^ N tot het D r^ , waar door men vind 
— yy'^vély+ldd+'k3^ — sdzo^o 
indezeis vx'+w — k, en ƒ 00' — m+k: hier door de v 
en de s weg genomen , komt 

— yy^ldy + mdy — kdy+ldd+kzz — Idz'^mdz-^h^zzoo 
of in bcyde, in de Ellipfis en ook in de Hypcrbole 
'^yy'^léfy^fffdyXi^dy'^ldz^mdzX^dzT:kzz+ldd CDO. 

Op 



aSo Het III Boek, 

Op het Rond , paffende op de Ellipfis en ook op de Hypcrbolc. 
Om dzt ai isüDifil', ifn OD-^gdy cnagzoV^dd, 
Zo is het DfwrjT , of het D mc:x:)i,ffdd-)riggdi+ldd. 

Om dat iw/ is GO 2 ± -; ^rf,+ in de Ellipfis en — in de Hyperbole, 
Zo is het D wl od zz ±gdz + i ggdd ^ hier by het D van 

^ / CO T J^ ± i-/^ ( de bovenftc tekens in de Ellipfis , en de cm- 

derfte in de Hyperbole) zynit+yy—fdy+^fjfdd^ zo heeft 

men 

ijfdd^iggdd'i-lddo:)ZZ ±gdz + iggdd+yy —fdy + ^JftU^ 
of — yy^fdy^gdz — zz + lddoDO 

+/isao+/=F«+i, cnqp^CD— /T»»+i (i^'^cggcTgj 
omdat — / — iw+icen — bcvondenis, en— l+m+i een 
+ ) door deze de f en dtg weg genomen ; ( ' 
fct. — yy+ldy^:mdy+dy — Idz'^mdz+dz — zz+//ifooo,op 'tRont 
ook hebben wy — yy + Idy T ^V ^iy^ — ldzTfndz±kdz.':rkzz 
+lddoDO jopdc EU . en Hyp . deze twee van elkander a%etogen 

reft dy:fhfy+dz'rkda^ — zz±kzzoDO 
gedeelt door i =Ft» komt^y+rf^ — ^zxo, onzeaangeno- 
me iËquadc op de Parabole , 
of> 00 — 2; + " hier door dcy weg gcrcducccrt uytcen van 

de bovenflaande iËquatien, of die op het Rond , of die op 
de Ellipfis en Hyperbole , men vind 

— 57"*"^'^'2;z— zzTwzz — zldz. + IddoJ o ^doordd gcd. 
^^ ^^rf» ^IT TI + 'Td -J-^^^OO 

voor -^ geftelt x , om dat rf , » , ab ( 00^) , AB (x«^ ) 
evenredig zyn , komt —x^^^x^ + lxx~xxq; mxx — zlx 
+ 'xo, onze gevonde j^quatic, ergo enz. 

Byvoegsel. 

I* Het punt C te vinden in alk Parabolen. 

Laten deze alle afgebeelt werden 
door 

ytrjQr* — 'X': 
en laat CK de Kromme raken in C » 

zoisKBco^. 
Om dat de Driehoeken KBC en 
DFC gclykhockig zyn j daarom zyn 

de 




A. £ B 



FC *-*/ FD a-^ll BCi/KBIi cvenr, 
ofyy cx) ay-hj bx —f xxfic^ngemeeneEU. 
of y:x^{a±Y.iaa+^bx 



XX 




Van de ONTBiNDiNo.door dcPL a atzen. %%% 
dcR. zydcoot* 

AEco* 

ABcoJ^ 

BCgoj^ cn^ooi*±l/.^**+^^,Suid.doo. 

Uyt de tweede iEquatie ziet men , de at x* nemende, dat 

dan aty is ootf enookooo : dies zal deEUipfis moetenlopen 

door D en ook door E, en nemende Jir co o, zpisookyxo.} 

dies loopt de Kromme mede door A. Wy vinden dan deze 

Confiruffie. Haalt DA , en door zyn 
midden M een rechte evenwydig aan de 
As AB ; en neemt daar in , aan weerzy- 
den van M, MQen MN yderooy. ^W 

+ ^ Al , en bcfchryft een ÉUipfis op NQ^ 
- als As , met -f maal NQ als Rcchtczyde : 

deze loopt niet alleen door D , door E , 
en door A , maar fnyd ook de gegeve Parabole , van wat 
geflagt en fbort dat hy ook zoude mogen wezen y in alle de 
b^eerde punten C. 

Vorders. Dewyl de Rechtezyde van de 
regeve Parabole in deConftruckienietge^ 
>ruykt is , zo wyft dit aan dat een zelfile 
Ellipfis kan dienen om depuntenCtevin-» 
den in een oneyndige menigte van Parabo* 
len van een zeUde geflagt en ibort die alle 
op een zelfde As en uyt een zelfde Top ge- 
trokken zyn , met Rechtezyden van on- 
gelyke lengte. Siet bier vm^M&aspagina i jo. 

2. Het punt C tt vinden in alk Hyperbakn » wiens 
Afympoti eUumder rèchtboekigfnfden. 

Laten deze alle afgebeelt wer- 
dendoor 

KB is nu wederom 30 -7^ • en 

b—xj a—yl/yl -^ zyn nu^ 
ook evenredig , 
en daarom is 





aSs 



H B t III B o ft K 




» 30 <?y — \'bx^-^xx^ een ^^«f ^^ HyferhoU. -' 

of ycó.i^±y'-i^ — r**'+-f*-*' 
c[ixo:)ih±y.ibh—^M\ hctSurd.GOO 

- Uyt de tweede iKquatk ziet men wederom, JTcx)* nemende, 
datcfanyiig3o*cnookGoo : dies zal de Hyperbolc lopen door 
D co ook door E , en A- ooo nemende, ïo is jr X o ; hy loopt dan 
inedcdoorA,ofzyntcgcngcftdde, Hier uyt hebben wy de?» 

ConftruSie. Haalt DA, en 
door zyn midden M , een 
rechte QMN cvcnwydig aan 
de lyn daar x in loopt , of 

aan A£ als ^ aa kleender is 

als^M; maaraande lynjf,. 
of aan AG ak het anders is : 
daa in deze genomen MN 

en MQjder 30 V -i** — -sk 

als QJ^ cvenwydig aan AE. 

is ; raa^ co y.\üa—^bi 

als hy zodanig aan AG is. 
Dan befchryft Hyperbolen 
door N en Q^als Toppen,, 

op QN als As, met -f-maal 

QN ds Rechtezyde als QN 
cvenwydig aan de lyn ^ is ^ 

maar met ~- maal QN al&QN 

gclykwydig aan de lyn r Wt 
tcfk varf deze zal de gcgcve Hy pcf bok , en de ander z^yn te- 
gcngcfteldcfoydcn in het begeerde punt C. 

Forders. Dewyl * in de 
Conftniétie niet gcbruykt is. 
Zo wyft dit aan dat een zelf- 
de Hypcrbole kan dienen A)t 
vinding van de punten C in» 
ontallyKc andere die van dat 
geflagt en dicfoortzyn waar 
óp hy gemaakt is- ^ en dat 
AE en AG haar aller Afymp*. 
totizyn. XXVUL 






AQjjoq 

DE toa 

ABgo* 
BCoojr 



Vandc Ontbinding door de Px^AATZEN. aSj 

3tXVlII. We r k s tü k. 

• . . . ■ 

Gegeven zjnde em Cijfoide AC i 
waar van AQ^^ CHiddeUynvan 
het Rmd is waar door hy gemaakt 
is 9 en een punt D: Uyt tftöideze 
Krèmme de kürtfte Ifn te tnkkin » 
€fdiè hem rechthoekig ftoót. 

Oen dat uyt de natuur vandcICxom^ 
me altyd evenredig zyn 

C^l ÈAtJ DBA/qBC 
txyi$qyy~xyy~xioDO' 

Aanmerkt J)E en CB voorrcdtitr 
hoekige op A(X CF voor ccn zoda- 
nige op DE y en CK voor een rakende in C. 

men vind BK X ^*^=^ . 
doof dégcTykhoekighdt vancle A*» KBC DFC zyn evenredig 

Hier door vind meA 

li{fXy — Kdqy—xyy+axyé3hqx—bx^—qx^4-x^ 
hieraf fyy —^yy GÖ *•* 

Reft ; j^yjf — i\aqy + «^ry x ^9^ — l^^^ — j^* 

óf»rx5»y-^-y*y+^^ — — AT^ — 24f4ir 

óf 'yo:>i{a—'^x±y.ziaa—^x + j^xx 

+ zbx——xx 
-^xxx 

Een ^Equatie iyhde waar van het Surdifchc paft' op ccn 

Èilipfis indien ^kleender is als ?i +i , o^-^klccnder als 
'• • ff f f . 

%b+2q\ en op een Hyperbole als hét ccrftc grootdr is als 

het tweóie, maar op een Parabole als ze celvk zyn. 

Is X 00 o,zo isjf OD ^a en ook co o:dies loopt de Kromme doorA. 

Is4cx>o , of isD gegeven in AQ^ of m zyn verlengde , zo 

heeft men 

. . Nnz Is 



'XX 

I 

'X 



284 H K T III B o E K, 

Is D in Q^ ZO heeft men «go? — -/Vjyj cnishvinhcc 
midden van AQ^zo heeft men JT GO ? — Vi??> waar door de 
Gonftruftien zoer eenvoudig vallen. 

XXIX. Werkstuk. 

Eengegeve hoek in dvkgel^ke deéUn te deekn. 

Dit is een over wd Werk/fuk^ , Jat Pappus ons voordraagt in 
zyn vierde Boek. ium de twe^enderti^e en verdere Fropoptien^ 
*t is van andere airede gefilveert y in onze Algebra van ons me* 
de voor geftelt , en Mquatien gevonden niet alleen om ben in drie^ 
maar ook in vyfenfeven gelyke deelen te deelen. Maar om dat 
Slufius een andere v>eg inflaas om ben te ontbinden wanneer ze in 
driën gedeelt v^rd ^ en wy op die voet voort gegaan zyn om hen 
in vyfen ook. injeven zodanige deelen te deelen , zo beeft bet ons 
goet gedagt dit Problema , op deze vjyze verbandelt , bier by te- 
voegen , meenende dat bet VI. niet onaangenaam zal wezen. 

Laat BAC de gegcve Hoek we- 
zen : Al zodanig te trekken waar 
door lAC het derde deel van BAC 
is. 
G A. T) «/c ft. Trekt uyt A als middelpunt ecu 
• AB j of A I 00*" Boog , of een Rond, fnyaende de 
: HG , of B D 00 ^ Beenen van de gegeve Hoek in B ea 
-AG , of AD 00 » in C : laat Cl het derde deel wezen 
ARoo^ van BC 

RI CDJ^ Trekt BH evenwydig aan AC^ 

ilotcnde het Rond in 'H ^ ookHIQ: 
zo is BHCLgclvk de helft van BAI j of BHCt, of lAQ^is 
zo wyd als IQA. 

Trekkende de perpendicularcn BD HG IR , zo is HG 
gclyk BD, AG gelyk AD, en RQj)oRAa>Ar. 

Zo zyn dan QR Jif / Rl>// Q^xx-^nl HG rfevenredig, 
diesis i£v 00 liVy -h »y , ofxy^^ny — Jivxo. ccnHyperbole 
óp de AJyifiptoti. 

gedeelt door — x — ; » , komt — y + ^ //. 
i" po o nemende , zo is ook j^ 00 o , dies loopt de Hyperbolc 
dootA: en j^ 00 ii zyndc , zo is — ^ooa, claarom loopt zyn. 
tcgcngeftelde door H : en alzo hebben wy deze 




Van de Ontbinding door de PUAATZ ÉN. %Sf 

Conftruffie. Trekt uyt 
.A een Rond met een ftrsuil 
na believen , (hydende de 
Beenen van de gege ve hoek 
in B en C : dan baaltBH 
evenwydig aan AC , fto- 
tendcdc Omtrek in H: 
dan trekt AH , en door 
zyn midden M twee lynen 
die elkander rechthoekig 
fnyden; waarvandecene 
even wydig is aan AC Met 
deïc sus Afymptoti be- 
fchryft een Hypcrbole die 
door A gaat indien de ge- 
geve Hoek of fcherp of 
meer als Bot is , maar Bot 
zynde , een die door H 
gaat : deze de boog over 
de gegeve Hoekin 1 fny- 
dende , zo haalt AI , dc« 
ze voWoet het b^ccrde. 

De Boog Cl neerwaarts 
is het dercfc van CISB , het 
vervultfel van de Boog 
BC tot een heel Rond ^ 
en SI opwaarts is het derde van SB ^ het complement van 

BC tot een halfrond. _^ , 

Anders. Verlengt BD tot aan de 
Omtrek in L, en trekt IT rechthoe- 
kig op BL, ook IL. 

De Driehoeken» ITL en IRA zya 
gelykhoekig , om 'dat BLI gelyk is 
aanlAR, dewvl BI tweemaal grootcr 
is als Cl, CR daarom zyn 
AR x/RI ƒ //TLrf+y/TI x^n evenredig. 

ofxx—tpcoD^+yy 

of jfoo — id±y.\Jd—nx+xx,ixrïgel. uMyp^^ 
cnxoQ+'{n±y^^inn—ldd^ hetSurd.xo. 
neemt men^ ooOjZais xoDncn ook oo o: ^ 
dies loopt de Hyperbole door D en ook door A. Zo dat wy 
vinden deze Nn 5 ^'^ 





%%6 



Het III 




Boek, 

ConfiruSie. Getog^ 
hebbende BDL als 
hier voren , zo trekc 
uyt V,het midden van 
AD , een cvenwydigc 
aan BL, en uyt W, 
het midden van DI^ , 
een parallel aan AC , 
ontmoetende elkander 
in M:dan maakt op de 
lancfteVMofWM, 
als hier op VM , een 
halfrond , en neemt in 
de Omtrek VXgelyk 
VA, en meet af, in 
MV , MN en UQ^ 
yder gcfyk MX. Dan maakt een Hyperbole , waar van QV 
ie As , (^ de D warfè en ook de Rechtezyde , en N de Top 
k indiafi de gegcve hoek Icherp of bot is : maar door Qjals 
Top indien DJ mees als Bot is: deze fnyd het getogene Rond 
ia het voornoerade pont I. 

jlmbrT. Trekt door M twee lynen die met MV een halve 
redite hoek bepalen , en elkander rechthoekig fhyden ; en 
maakt een Hypsrbole, met deze als Afymptoti die door A 
loopt indien, de gegeve boek fcherp of bot is : maar meer als 
bot: zynde: die door L.loopt: deze fnyd het getogene Rond 
in hcc selflle punt I. : 

xx« nemende, zo is — y^d^ het welk aanwyd dat die 
sloor Qr gptrokken door L gaat.- ^ 

Andirs door een Parabole. Indien men de gevonde iEquatie , 
en — XX —yy -h *A oo o , de .^uatie op het Rond , addecrt 
of fubftrahecrt , men vind een vcrgclyking paflcnde op een 

Pmbok. 

Ihdlcn jnen — %xy — ny^ dx cQ o,dc eerfte gevonde iEquape, 

en— xx—yy^blizöOy die op het Rond, 
Addêerty komt— yy — %xy-^ny'k*dx — *^^ + **ooo, 
Subjlr. , homt^yy-^ixy-^ny+dx-^xx — bbzoo: 
uyrdécerfte isj^x — ^- — \n±'\(,^nx+dx'\rinn+bh 
uytdrtwecdci8>x4-'*^ + i^±i/-+»^ — dx^{nn'\^bb 
\xjóc ccn PéUTiêboie xytïóc: xooa nemende, zo is 



Van de Ontbjnpinö door de PlAatzen. ^y 
in de eerfte yco — {n±y,^nn'^bk^ 
inde tweede y 30+1»* V-i^ï-f***- % 

Waar door wy vinden deze 

QmfiruSie. Trekt door A een recbthodLige op AC, ai< 
zoekt V het midden van AD : dao maakt AF ia 4c ver-^ 
kngde AC aan A , en AM AM in de perpendiculaar door 




A » yder zo lang als. AV ; mede y in de zeilde perpencCcn*^ 
kuu-, MO MO dk als MC, en DXL DX , aan wecrzyden 
van D, elk aU DB y en trekt door F en M twee rechte , ea 
op deze de rechthoekige AW XZ. X2 : dan vind MN MNT 
zidanig dat WZ': mO : MN gedurig evenredig zyn. VhXi 
BefchryfeParabokn op MN MJN als middeByn» door N N" 
als Top, roet WZ WZ als Rcchtezydc, en OMN OMN 
als bewceglyke hoek : deze fiiyden het getomie Rond in de 
voornoemde punten 1 1 1 ^ lopen mede door H en ook door CX 
Indien men + jyj-h ir + «* — ** oo ©, de x^evonde iEquatie^ 
tn+yy + xx — bb aoo,die ophetRond,, 

Subftr. , komt — ax%-h»*+4'' + **cpo: 

uyt de eerfte is> oo — i d± \^: ridd^ i ^* — { «x.cen Parabole. 

liytdt tawödftiiJB ».+ i n^* Tt«irlri:W+-j djtfimdim.;, 

Waar 



20 trdit AL , en neemt daar in AM gelyk zyn vkrdcdecl: 
dan haalt AX cvcnwydig aan DL , en door L een rechte 
XLX, nkcode het gctogenc Rotid in L, co ontmoetende 



ry 

J \ a7 


? 


D / ^""""-^OC 




-M 


' ° -^i^T 


i\i^ 


\ 





AX , rechthoekig op AC, en ook de verlengde AC, in X 
en X, en fnydeadedelyDcndoor M getccencvenwydigaan 
AX en aan AC in P en ïn P : dan trekt XZ XZ rcchthac- 
kig op MP MP y en neemt indczelaatfte ZN ZN yderge- 
lyk het vicrdedccl van ZP ZP, in de verlengde MZaanZ. 
Dan befchryft Parabolen door N en N als Top , op MN MN 
als As , met j AD ab Rechtezyde in die gccne wiens As 
cvcnwydig aan AD is , en met ^ DL in die geene wiens As 
mrallelaan DL is : deze fnyden het getogen Rond mctfc in 
de gezeyde punixn III , en gaan ook door L. 

XXX. Werkstuk. 
Eengegeve hoek in vyigtlyki deden tedeekn. 

op de eerjle manier. 
Getogoi bebbendc lyoco als voren, zois audeboekI<^ 



Van de Ontbinding door de Plaatzsk. 189 

Pa^eméUfl zo vryd 9is de 
hoek lAR : daarom is 
nu 

want , nemende Rf 

30 RQ^. ^ trdckendc 
9I, zo is deze zo lang 
als j^ A. StellenjrRxst 

G A 1> f RjC ^ ^ loisqAfifqlo^X^z, 

^ of zyn Vierkant xx — %xz+zz iscoaaHhjjf, waar door 
' men z, of ; R, of QR vind als boven is aangetekent. 
Nu is 't wederom 

^Q'-^^l Rïy// GQP=^+x+nl HG4, 

xx %x 

pfxjr — yyl y/l xx — yy+xxx+inxl J. 
of — y^'^dyy^^xxy — ^;r.^+i»^X o, een Kromme van 
het tweede geflagt. 
Door deze iEquadc vindmen Kromme lynenvan de voU 





ffuk 



^ Het III Boek, 

leende godaante, N*. t en x gaan beyde door A , hebbende 
cm geoMeiie AlVittüCOtus, fhydende DB , van D af tercke-^ 
nenop zj9 dcrae dkl. N^j gaat door H. 




Deze Kromme fhyden het getogene Rond op vyfplaatzen 
IIIIL Cl opwaarts is het yyfile deel van de bo(^ CB over 
de g^eve hoek } Cl neerwaarts is het vyfde van zyn Com^ 
plement tot een heel Rond : SI q>waarts is het vyfde van 
SHBj en " 
een heel 
BC» 



iQt ccii iKXii xvuuu ; oi upwaiiris is ucl vyiuc van 

Q SI neerwaarts het vyfde van zyn complement tot 
Rond : en YI is l)et vyfde van xB, ichilboog vaa 



Of 



Van dcONTBiKoiMadoöT de Plaateen. 191 

Op de tweede mmier» 

Getogen hebbende Xyf^ax ds 
voren , zo 1$ nu de hoek TUE 
Pweemsat zo wyd als de hoek 




lAR : hierom , IQ^^s^^daniff gecrok- 

AldeelvS is 

lAR, ofgelykxO. Omdat dan 



ken zynde dat AIQedy 
lACL, zo is I(m, R^k 4 



twsemtal 



wedemn 

RCtisopS«=K 

ZQ zp im evenredig. 



«n Kmmme a]s vof)^. 
Door doe .equatie deKrommeijneaMckeiid^ daar 




op 



axuitc , myacndc net getogcne K^na op ae zeixac piaaczen 
daar de Kromme van dé figuur A hen ince ; ook zyn bet 
de zelfde Kromme lynen. in deze is N°. i als N°. i aldaar, 
N^.a als N».x, N». 5 als N", 5 : maar nu loopt de Afymp- 
totus door het derde van AD , die hier voren liep door het 
derde van BD: en hy is ze van N°.3. en ^ , daar hy ze tn 
de figuur A is van N». 1 en i. 

jindrrs. door jtdditio en SubJlraQ'ta. 
Men kan door middel van de Additio en Subftraftie nog ver- 
Ichcyde andere Kromme lynen vinden , die het gctogenc Rcnd 
alle in de voornoemde punten II enz. zullen myden, omdat 
wy iMg hebben een JËquade op het getrokkene Rond. 

wanc>j'+ XX — ■ H30<^« de equatie op het Rond 

gem. met y 

komt+y»+**y — WjfXö, hier by vergaart. 

— ^y*+^**y"h'jy)' — ^»+iiweya>o,o nze i*..^q. 
Ixmt^xy-^tfyy — dxx-¥ zmy — byy :i^Q 
De Kromme lynen zoekende die hier toe dienen . men 
vind ze van gedaante cc wezcnalsïn de volgende figuur isaan- 



H^ 


■^ 


'b 




/y c 


/ 


\ \ 


\ 


7''^ -<fli«. 


/ 


^ — 


-\r 


I -* 


/ 


. . \ - 


S y^^ 


^ 


/■ 


\c_ 




-V 


/ 



V«ldeOHTBINDlKG doOT dc PlAATÏEM. 1(>5 

gewcTCD , hier in zyn wederom drie Kromme lynen , waar 
van de twee boven AC tuflcben H en I met elkander vcr- 
ccnigen , hebbende een gemeeneAfi^mptotOsevenwydigaan 
AC , fnydende DB op zyn vierde deel van onderen af tcre- 
kenen : deze Kromme fiiyden het getogene Rond wederom 
in de voornoemde vyf plaatzcn : dc eene boven AC , ter lin- 
ker zyde t gaatmedc door H. 

Indienmen**'+ yy — bbzoo^ multipliceert met,* 
komtxi^xyy — ift^xo, enditaftrekt 
van xt~~^xyy — nxx + t^y — i^fej» co o/Mize x*. ^q. 

Relt — ^yy — nxx + nyy — idxy + bbxcoo 

Hierdoor vind men Kromme lynenvan de volgende Trek: 




daar in zyn wederom drie bczondere Kromme : detwcedÜc 
ter rechter zyde van AY vallen , onder en boven* AC , zou- 
den hen onder AC verecnigen indicnze voor 't getrokken 
waren : haare gcmecne Afvmptotus , cvenwydig aan BD, 
fnyd AD op zyn vierde tfccl van A af te rekenen : dc on- 
dccfteraai ooorL, cndicter linker zyde door A: dczeenz. 
' po,} Had 



danyeraartinpiaaisvanaigcaDiiBcn, zuzuuutu^ui — j»^ 
halben verdveenen, en men zoude bekomen hebben 

4*ï — nxx -^nyy —ittxy — ^hhx^OO 
waar door men zoude verkregen hAbcn Kromme lynen van 
de ondcrftaande gedaante, dauvandeeene, ter rechter zyde. 



T J. 


fx 




\/ E 

Ï l 


/ 


\ 


S \ A 


D 


IJ 



het Rond fnyd op vier plaatzcn , waar van L de eene 
is , en raakt AY in A : de andere ter linker zyde , die byna 
een rechte lyn gclykt . voor zo veel ze hier vertoont wad, 
fnyd hem m twee plaatzcn : tülc de zcUdc zyode van hier 
voren. 

Indien mcxiik iËquatie xk 4*» — ^^ x o , muldpHocert 
man, oEroKd, Smeteen andere <]uaatiteyt genomen na 
believen, en hendan AddoertofSublhahoertalsvorcn, men 
viod wodeFom «Klere en «idac .^utficn , en by gcvo^ 
mede andere cd sodcic Kramoip lyocn dienflig zyode tot » 



Van de Ontbindiii g door de Plaatzen. I9f 
XXXI. Werkstuk. 

Emgegwt boek in fcvcn gelijke deelen te deekn. 

Lyncn getogen heb- 
bende als voren , zo 
is nu de hoek IQR 
driemaal zo wyd als de 
hoek I AR , en daar- 
om is nu 

volgens deze uy trckc- 
nirtC. 

Gemaakt hebbende 
op AI een halfrond » 
en verlengende IQtot 
aan zyn Omtrek in 
M , zo is de Boog 
ANM tweemaal zo 
groot als de Boog 
IR : daarom , N het 
midden van de Boog 
ANM zynde, enge* 
togen hebbende AM en AN , en de Perpendiculaar NV , zo is 
de rechte AN zo lang als de rechte IR ,« of is cx)> 9 en de 
Driehoek ANV is gelykhoekig aan de Driehoek AIR. QR 
dan wederom co z ftellende , zo is 't 
My.xx+yyl AKxl ANj? komt ;^r;7^^ CO AV. 

zyn tweevoud is co AM : en dewyl Ql is co Voiy+^J^^ 

daarom zyn 

(^V.yy+zzl IRy// AQx-zl AM ^:^^^ evenredige 

hier door vind men 

^xxz^x, — yyuL co — i*"'^ — 2Xyyx, +x^ — J^^xy > 
of & co *'J7— *^^ » ^ boven gezcyt is. 
nu is 't wederom. 

Of de eerfte manier. 

hier door vind men 

eea KrooaSK van bet derde gcflagc, _ 




Hier door vind men 

*•♦ — 6xxyy — HXi-¥yucyy — jJlüfAry+rfy' + y+xOjhicr 
van *■♦+!**»»— *♦ +>*xo.lKt 

Vierkgnt van xx-^yy 30 ** 

mede een Kromme van het derde geflagc. 

Op deze laacfte iCquade hd>ben wy de Kromme gezogt 
die daar op paft , vindende hem te wezen van die gedaante 
als de volgende figuuraanivyft. (hydende het gsto^ne Rond 
op acht plaatzen, waar van L de ocne is. 






De eerfte bo(^ Cl opwaarts ïs het Tevende van de boog 
CB : de tweede Cl opwaarts is bec levende van een heu 
Rond -l" CB : maar C[ neerwaarts is bec fëvende van een 
iw*i iimui rm • Ai^ «vil-* er a«t«««<^ » i.» j^.mh/4* im« 




Van de Ontbinding door ó 
-de ecrfte SI neerwaarts is het léven 
—SYB, of van SVCJB : en de twee» 
l»cdRond + SVCB. 

XXXII. Werk 

Gegevi 
ECEA I 
HCA>/(5 

dat altyd 
A is tot het'i 
DH tot 1 
uyt P lyf^ 
te trekken 
ontmoeten. 

Aanmcr ! 
deze. EK 
raakt in Ë: 
kig op H 
op PC^ 
. Uyt de 

oe vma men dat ayy^xyy — uxx+a 
men vinc} 

en dewyl KD/ DE// PR/ RE even 
men 

Wï Kromme van het tweede geflagt , 
ynd hen te zyn van de navolgende ge 
dit geval byna door P , entothetoneyr 
zynde, zo is y abfurt) fiiydende do gei 
het punt oneyndigdigt aan C, nog op dr 
een onder AC en twee daar boven : oc 
de andere zyde van de Afymptotus door 
dit geval uyt P drie lynen trekken dit 
g^eve Kromme vallen , en nog eeo op 

Pp 



CH, of CAx* 

CQa3^ 
CDx* 
DEzoy 





XXXIII. W Z R K S T D K. 




Cigroa zjnJe it 
Kromme CD , wiaa 
JsüCB, m/^Uata 
DF , vm dcu mttuur 
zynde, dat ebjd Ut 
l^krkmt vm BF ii ttl 
5 httyierlumtvmtmte' 



CB, of NB 30* 
PCbo^ 
QPoo» 

foi «^TO« pmtt ?,<f 
deze Krmm FD fe rnife» , ««Se rahthoeUf daar 
tfput. 



ftveIync,akdeJiecht- 
>ik eva tot het fier- 
lumtvtm DF, (B /«t 
midden van ie gmvt 
Ijn CN wézende) mjt 



Van de OntbindiKg door de PiiAATZfiK. 299 

DcwyldanW — %bx+xxf cc ff ihf-^^xf jry evenredig 
tyn^ 20 vind men 



yj!) 



k—x 



te kennen gevende dat deze de zelfÜe Kromme is die ten Hori- 
zontale lyn in het Oog maakt, pagina 145: gevonden. 

Aanmerkt PQ^rechthockig op de verlengde BC , Cü DR 
zodanig op PQj DK voor een Rakende. 

Om dat men 4iyt de bovenfbande proportie vind 

bbyy — %hxyy + xxyy — xbfcx^ c€XX zo O 

ZO vind men de Subtangentum 

KF GO >^^*--;^>-+^^ , ofoo "'^";,^~'^^ 

En om dat de A«" KFD en PRD gelykhoekig zyn,daarom zy n 
KF ^^~7/""^'* / FDjf// VKd—yl RD^ -f- ^evenredig, 

dies is "^^^'^7;'^^^^'"^ (oo/ftdl.) 3D//jr;Hwr 
oiyyzoJl~f>oiyjd\d±\^.^Jd—f. 

ir 00 o ftcllende , ook xzob , ook xco^bf 20 is ƒ000, 

en daarom y 00 ^ • dies 
loopt de Kromme, 
wefice door deze -fi- 
quatic afgebeeld werd, 
en door welkers fhy- 
ding en de gegeve 
Kromme de b^ccrdc 
punten D D bepaalt 
werden, doorde pun- 
ten I , E ,0 , aanmer- 
kende PIEOcvenwy- 
dig aan CB , en Cl 
BE^ NO voor lootly- 
nen op CN. £n , om 
dat y .dan ook is x o , zo is 'er nog een andfere Kromme die 
door C, B en N gaat: maar omoat deze degegpve Krom- 
me nei^cns anders fnyd als in deze punten , zo kanze niet 
dienen. 

Men vind in dit geval maar een punt D in de gegeve 
Kromme • en ook maar een punt in zyn wecrgade, ^ 

Pp X Tc 




^00 Het III B o e k. 

Om in dc2e het punt te vinden waar in de bogt van* db 
Kromme een keer neemt , zo vergaart FB o^b—x , by 
KF 

oïhbx — ^ixx + .vJ + *J X ^*v ^ een iEquatie hebbende 
1 X 5 o o tweegelykeWoitclen. 

komtWJT— 6*4rj(r+5jrJooo, ofjroo*±|/f*K 

.Daarom, op CB gemaakt een halfrond , en in de Mid* 
dellyn genomen BV col BC ^ en getogen de Perpendiculaar 
VS , fnydende de Omtrek in S , en BT genomen gclyk 
BS 9 en gehaalt TX rechthoekig op CB , diefhyd de Krom- 
me in het keerpunt X. 

XXXIV. Werkstuk. 

Gegeven zyndeeenRand 
wiens Middelpunt is A, 
en twee punten Y> en ^^ 
niet in de Onttrek wezen^ 
de : in deze Omtrek het 
- punt C te vinden » z$da^ 
nig, indien men door dit 
punt tweelynentrektgaan^ 
de door D m E » dat de: 
hotlynen uyt A op deze^ 
ofophaare verlengde vaL- 
lende y ah AG AH» tot 
elkander hebben eengegeve 
reden als g tot h. Des 
Carces in zyn 44^. Brieft 



1 




AC 00* 
AFoo* 
FD OD* 

AM 00* 



ABxJ^ 

BCcoy 
AGzogz 

AUx'^z 



^Veél,pag. 14.8:. 

Laat uyt A een rechte getoson werden na believen , als 
AM, en d^r op gehaalt vrerckn rechthoekig CB DF £M: 
aanmerkt CNI voor een gelyJkwydige aan i^i. 

DN 



Van de Ontbinding door dePLAATZEN. joi 
"DNc—yl CN*— *•/ CBy ? komt^f^i^ooBKi 

diesis'-^E^^aoAK. 
EJd+yf Clf—xfCBy? komt^^xBL; 

dicsis'-^ooAL, 
doorBCenBKvindmcn **rr-'fay-K«gH;^-M>'-hy^ ao OCK. 

door BC cnBL vind men '^^'^'ffi^^^^ X tl CL, 

Om dat □ CK/DCB/yD AK/ö AG evenredig zyn, 20 vind men 

ccxx—^ycxy+kkyy ^^ ^ 

éh — xkx^xx'^ci — ^cy+yy,ii^^ 

Om dat D CL/aCB//a AL/D AH gclykredig zy n,2o vind men 

• éeyy^'Xdixy + dJxx 
ee—%ix+x:c+dd+%dy+yy»bb^'^^ 

Stdlende aa in plaats van *■*■ + yjf , om dat ze gelyk zyn> 
cndanj^bo^+**+^^> cnwuxtf^+^^+^^zoheeftmcn 

cexx — t hexy-^kbyy ^^^ €eyy^%dexy^dd xx 
ff — xkx — % cy*gg nn — Xix^^xdy^bh 

vermenigvuldigt in 't kmys , en aan een zyde gebragt , komt 

4- bhnnccxx — ^bnnbcxy^ bhnnbbyy — %bbfvcxr 

+ ^bebcxxy — ^bbebbxyy 

+ zbhdccxxy — éfibdbcxyj^ ibbdbby^ 

— ggfflixx—lggffdexy— ggffetyy^^ggbddx^ 

+ \gghdexxy + xggbeexyy 

+ rggcddxxy + /^gcdexyy + ^ggceey^ 

Een iEquatie zynde paflènde op een Kromme van het 
tweede geflagt , dewelke op gemaakt zynde » het gegeve 
Rond zd fhyden in alle de punten C. 

Laat men AM lopen door een van de gegeve punten , of 
door D of door £ , genomen door E : zois ËM, ofi/oDo, 
en men heeft 

'+iémrmar — Mnnboff + hhmUjy^ Mecttfl + ^hhehexiy — thhMotyy 

—aifteyy ^tggbtayy^ tg^cily} ao o 

dat merkelyk korter is : en dan is nn x ^^ +^^* 



Pp 5 Hfcr 



^30 o 



30» 



H B T III B O B X^ 




Hier OD een Kromme zoekende (nemende OE en DF yder 
gdyk AÓ , F in het midden van OE , cn^oo x tcgcns 
if 00 y^ } men zal bevinden dat hy de gedaante heeft als in 
de bovenftaande figuur is af^beelt, lopende door A meteen 
Kruly ihydende het g^eve Kond op vier plaatzen C C enz. 
Trekkende uyt D en uyt E lynen door yder van deze pun- 
ten , en uyt A Lootlynen op deze , of op naare verlengde , als 
AG , en AH : zo zullen deze de gegeve reden hebben als g 
tot A, dat is nu als i tot y^x. 

Laat men AM lopen op een andere wyze , men zal mür 
fcbien nog meer verkorting vinden. 

XXXV- W E R K S T UK. 

Gegeven zynde een bultige of holle Spiegel^ hebbendede 
gedaante van een der Kelgelfneden: het^uytpunt tevin^ 
den y wanneer het Ooggeplaaji is in het plat Flak datdo&r 
de As van de Spiegel gaat ^ en ook door het yporwerp* 

Wy zullen nu alle het gegeve , en ook het begeerde , al- 
leenlyk op de As , en op zyn verlengde betrekkc^k maken, 
om dat wy meenen dat men anderfints in een zeer moeye- 

lykc 



Van de Ontbinding doöt de 
lyke rekening zoude vervallen. In I: 
hoemenze ook neemt , altyd de As ^ n 
in de KegeUheden. Men zoude hier t< 
de rechthoekige door de As ; dan dit 
X verwiflèlt in ecnjr, en de j^ in een 




NMcD^ 

VMoo* 
NLcD^ 

OLco^ 



NG-F c£ 



CF XV 
EFco/ 

NFcD^ 
SFxj 



Om de gelykhoekigheit van de Drieh 
ook SVI en KSF is 't 

OTff— jr/ STc—x/ SF;? komt 

diesisv+- 
Vly—b/Sla^-x/ SFy? komt 

dies is v+- 
Om dat CK/ CG// EK/ EG evenrc 
Ronde Spiegels pagina 24 1 is aange wes 
lykredig. 

evenredig. Hier door vind men 
ixxyy^iaxyy — asyy + nsxy^2 
^ivxyy — cvyy — bvxy^ 
— icxyy — xvsyy — nvxy +• 1 
isxyy^iacyy-^bsxy^- 
csyy — . 

avyy — i 

i (lellende yy in plaats van w , dewyl dl 
gicdcdt door jr ) 



^04 Het III Boek, 

-f-2V4f)f — cvy — bvx^ ans 

—xcxy— ^fi-^nvx+^byy 
-^isxy — lacy^'btx^ bcv 

«f- csy — amy 

+ avy — bes 

en V — xxz) 

Tot iK^ toe is de natuur van de Kromme niet gebruykt. 

He^ de Spiegel de gedaeme ven een Parabole , 

wiens Rechtezyde is co ^; 20 is r^ co» : en om dati^danis 
OO^r, en fcoi^i daarom isdansjx^r— inV. 
tx dan geMtvoorjp^, cn^r — xxvoorz, engercducee^ 

men vind y co — -^r* — T lL-, — • 

Hier door vind men een Kromme hebbende een gedaante 
als in de volgende figuur , door de ongeftippdde , werd a£- 




tebcclt, fnydende de Parabole op drie plaatzen, S, Q, Qj 
Ie eene Qjs onder de As digt by de Top , en de ander bo- 

VCtt 



Vandc Ontbinding door de Plaateen. 30^ 
Tcn de As , in de figunr niet aangewezen : de eene , S , kan 
maar dienen , als ftuytcnde op de rakende ; maar de andete 
Q , Ommaken gelyke hoeken met de gcene die rechthoek^ 
door de Parabole gaat : multipliceert men de quantiteyt die 
wy gelyk te wezen aan y gevonden hebben mct^, enilelt 
men dan rx in plaats van yy , 
men vind joo >^^+^^-ir.+t.>... 

dat is , hier de Noemer als hier voren de Teller, en hier de 
Teller als hier voren de Noemer , uytgenomen da^ ze met 
rx cemultipliceen is. 




vind men de geftippelde Kromme lyn, (hyden- 
de de Spiegel mede in de zelfde punten S , Q, Q: de eene 
gaat door de Top N. Deze heoben twee Alymptoti , de- 
welke re(^hthoekig lopen door de As , op die twee plaatzen 
daar de eerfte Kromme de As fnyd. 

't Is kenlyk dat men nog een menigte van andere Krom- 
roe lynen zal konnen vinden met rx in plaats vanjry te Hel- 
len , oiyy in ftee van rx , op een andere wyzc als wy nu 
f^aan hebben, of met rx — jfycoo, oiyy — tj^cdo daar 
y te vo^en , hen eerft met at , of y , of oen andere quan- 
titeyt gemultipliceert hebbende , gelyk bekent is. 

Hiefi de Spiegel de gedaante van een EUipfis , of van een Hyperbok* 

wiens Rcchtezyde is co ^ , en As co ? , 

zo \&yyiy^l!ïl^^d^iv:j^^ll^tll\szo^^^^-^^ 

en daarom v — / , of z co = — * • 

door het geene aan jry en ook aan z. gelyk is, Acyy én de 
x. w^enomen uyt de gevonde generue iËquatie, en gere- 
duceert , me^ heeft 

± xxy'¥^x^—{qxy'^%txX'¥\bqy'¥ltqx—^rgq:x^o 
'¥^xxy'3p—xi:fi bxy+Llxx — eqy±rgx 
— -1 xxy ± lexy — ^J-xx • + gqx 

^yxxy :f: gxx 

ofyco ^ —z 1 r^ -^• 

Qq de 



3o6 H B T III B o B K 9 

de boyenfte tckjeiis paften op de EUiplis i de onderfte op do 
Hypcrbole 9 en de cdDclde op beyde. 




Hier op vinden wy zodanige Kromme lyncn als in debo« 
venftaande figuren is afgeheelt 

Die 



VandcONTBiNDiNG door de Plaatzen. 507 

Die op de ElUpfis fnyd de zclveop vier plaateen , twee daar 
van zyn Stuytpunten ; een op de Bult , en een op de Holte : 
maar die op de Hypeibolc fnyd hem maar op twee plaatzen , 
daar van het eene een Stuy tpunt is ; dog hy fiiyd ook de te- 
gengeftelde Hyperbole in een Stuytpunt , en nog in een 
ander. 

Wil men de plaats van het Bcclt hebben , 20 moet men uyt 
V tot de Spiegel de korlle lyn trekken , of een die hem 
rechthoekig ftoot , op de wyzc als in het 27 Werkftuk is 
Aangewezen. De plaats van het Beelt is in de ontmoeting 
van deze en de lyn OS , of in haar verlengde , gelyk in het 
25 Werkftuk is gez^t. 

XXXVL Werkstuk, 

Heeft het Vrnwerf V een (meyndige affiand van 

de Sf tegel , 

Volgens de lyn 
NV , wiens ver- 
lengde OL ftoot 
inP. 

Stellende LP 
00^, zo is *t 

LPiiJfLNr/S.Fy> 

komt-^CoFK, 

diesisv + '^/ooCK 

En dcwyl het 
overige is sus vo* 
ren , zo zyn dan evenredig 

^H^tyfnv — yy^^—^yU cy-^^dsjnt — sy—cy+xy. 
Hier door vind men » fbllenck yy in plaats van v/> alks 
dodende door j^, en t* voor v — s nemende. 

— xc^y-i-idyy^iccf — n.y—é&x+dmzoDO 

— lifey + «fc _^ 

(&d\codc cl OD cc — dit, €nfo:^n'^J) 
of— icxy+zJyy+2 cly—czy —dzpc+cfz 00 o,voor de gener • iEq. 

lüefi de Spiegtl de gedêmte vm eem Parabole « 

zo is ;LXi^ — 2^9 bier door de x. weggenomen, menviod 
idyy^^cly—idrx+zdxx+^ifrojo 
— {cry — %^ 

Q.q X of 




Na F ex» 



3o8 



H B T III Boek, 



c(foa—^±V^r^-^+irx+^x--xx, een JRaiuf, 
StdÜeaócikrnl—ir. HecSurdiicbecooaemende.zais 



«ƒ 



il. iit 



Hier uyt vinden wy dca 

Cm^ruSit. Hasdt uyt O een rechthoekig door de verleng- 
de NP , ontmoetende de As in K : dan neemt L.H gelyk 
LK> en LG gelyk LP} ook Hl» in deverlengde LHaaa 




H, eelyk \r\ dan haalt uyt R » het midden van NI , eea 
rechthoekige door NG , ontmoetende NY , rechthoekig op 
de As getogen , in M. Ook trekt uyt Z , het midden van 
OP , een lootlyn op OP , onmoe(endb deverlengde NP in 
E. Dan haalt EDB rechthoekig door de As , fnydendc de 
zelve in D , en MA , evenwydig aan de As , in B. Dan 
neemt BA , in de verlengde MB aan B , zo lang als de helft 
van Hl. Dan genomen , in de verlengde As , NT gelyk 
% maal IH, en getrokken uyt V, het midden van TD, een 
boog gaande door T, fnydende NM in Y ; en gehaalt op 
NA. ais Middell]^ een halfh>nd , en. uyt N door Y een 
boog , fnydende dit halfrond in X : dan uyt A door X een 
kring : deze fhyd de ParaboliTche Spiegel op vier plaatzen y 
waar van maar een , met S getekent, een Stuytpunt is. 

Had 



Van de Ontbinding door dcPi-AATZEN. 509 
Had men yt w% genomen. , ftellende %drx in plaats van 
^yy 9 ^^^ zoude gevonden hebben 

xxa^—lrx-^-^x — ^y+^y^^-^^ ecnParabole. 




en had men gcfkdtyy voor rx in de term -^{Jrx , men 
2oude vinden 

Is dcoo , of is het Voorweip V in de verlengde As van 
de Spiegel, zo is /co ^, eri/oo»; en 
men heeft zcy — ±iy — a»iV+i«^00O, een Xecbte lyn. 
yzoo zynde , zo is at co i^ ^ dies loopt deze Rechte lyn 
door het Brantpunt. 

Jfcoozynde, zozyn r — ir/ »// ir/—> evenredig: daar* 

om zal de Rechte die men uyt O door het 
Brantpunt b haalt, de Spiegel fhyden in het 
Stuytpunt S , en ook in een anaer Q. Of 
beyde zynze Stuytpunten als*' het Oog is 
binnen de omtrek van de Spiegel , en V mede, 
maar in de As : maar het Oog zynde buy- 
ten de omtrek van de Spiegel , en het Voor- 
werp daar binnen in de As , zo is Q^het 
Stuytpunt en S het ander. 

Is lA dit geval , V oneyndig ver van de Spiegel aJFwezen- 
de , de Kiommc van de Spiegel een EUip^s , of een Hyper^ 
bole , ( de 2; uyt de generale /Equatie weg reducerende ) uo 
vinden wy wederom een /Equatie paflendc op een Krom* 
me van het tweede gellagt , en wy meenen cfat men byna 
de zelfde trek van Kromme lynen zal vinden indien men de 
eygenite weg in flaat. 

XXXVU. Werkstuk. 

Hebben de Spiegels de gedaante van ie Kegelfnedenvan 
het tweede gejlagt : in de Parabak vu aar in f is ojrxx, 

en in de twee andere waar in y^ is co '^**^^"'' } —inde 

EUiffisen+indeHjferboU. 

Heeft de Spiegel de gedaante ven zodanigen Farabole , 

Zois ^ CO I -^jcn V co tV'-^-^ j<>f'^30i w,flell. wcoi/'.rrjr^ 

dies is v— x, of zcOi*» — i*"* Hier door in de generak 

Q^q } iE.quar» 



ITeeftil>SpUiclilg,iun,vm ztdmiga Ellipfis <HypeH»b 
ead»r4«ryü.d»a,3,;^,^^, w«r door . dan „pa,. 





Van de Oktbinping door de 




In de generale iEauatie weg genom< 
of door .^^^t en yy door jri/J.liAA*^ 

men heeft y 30 * ■- u i ■■■ «* ■ ■ ■ i m 

door dc2e tvec -fiquatien vinden wy 

Sedtiante als in de voorbaande figuren 
rie lopenzc door N de Top , om d 
jf CQO IS. ze dalen alle na de rechter zy 
maar rylên aanftonts ; Ihyden de Spiegc 
Stuytpunt: die op Ellipüs keert haaft ^ 
Spiegel op de Holte in nog een ander Si 
me op de Hyperbole ihyd de weergade 
Stuytpunt. 

Wil men deze Spi^els mede toepaffi 
neer het Voorwerp een oneyndige , of 
ftand van de Spiegel af is , men gebru] 
rale equatie , in het laaft voor^ndi 
gevonden ^ nemende v en / zodanig alz 



Hkt IV Boek 

Van de 

QUADRATURA, 

Of de vergAyking van het Kromme met bet 
Rechte. 

WV zullen in dit Bockaanwyzenhocmendeover- 
eoikoming kan vinden die fommige Kromme 
lynen, Kromlinifche Vlakken, enookzodan^ 
Lichamen hebben met Rechte lyncn, RechtUnifchc Vlakken, 
en met Rechtlinifchc Lichamen : of ook ma andere Kromli- 
nifche. Wy zeggen van fommige , om dat wy het niet zul- 
len konnen vinden van alle. Dit is van outs «"een mocyly- 
fcc za^ gcwcefl. Arcbtmedei heeft dit al by der liand gerna , 
en cenigc van hen uylgevondcn, dog op cenongctnakkclykc 
wyze; Mcctkunftig, zonder de Steikunft daar toe te gebray- 
kcn : volgens welke Methode , in onic Eeuw , verfcheydc 
andere deze dingen hebben uytgcbreyt, als CavslUriux ^cnz. 
Naderhand Wailifius door de Algebra mee behulp van de 
Arithmetica Intinitorum ; en nu op *t teil nog zeer breet en 
bchending door de H^ B. Niemvfutyd , .gelyk te uen is tn 
xyn Analyfis Infinitorum ; mede door de Algebra ; de Ey- 
gcnfchappen. van het KromliniTche afieydeade uyt de natuur 
vande veelhoeken. Wy zullen deze zaak niet zo omftandig 
verhandctcnf mecnende dat het niet aangenaam zoudewezen: 
alleenlyk zullen wy die dingen ter necrflellen waar in iets 
bepaalt werd voorgedragen , en dat byna opdïe wyze alsdc 
H'. ^leoToenPyd gedaan Tjceft. 

Om dat het onbepaalt kleen de middel is waar door men 
het Kromme met het Rechte kan veraelyken, zo zalhetntec 
alleen dienft^ wezen dnt roen zig incËgtig makc dieEygen- 
fchappen welke wy in het ccrftc Dief van het ecrfte Boek 
hebben verhandelt, maar ook zal het nootzakelyk wezen dac 
men nog meerder daar van wete , en dat zodanige die eygcnt- 
lyk tot de Quadratura behoren , of die daar toe dienlbgzyn. 



Van^ Q^ü A DK A TV r a. jrj 
I Deel! 

De vtrgtlyking va» bet Kromme met het Rechte wamer 

het mbefadt kken is. 

\rT ÈiX jayft niet alle tot deze Tytel behoren ^tvnr in dit 
iLi Deel zuUen komen te verhandelen , "waaraan ook wei- 
nig gelegen is : 't zal evenwel behelzeh het Reene pien voor 
af behoorde te weten. Wy zullen het on&r de bemming 
van Prapofaien verhandelen , om het af te fcheyden van het 
andere dat wy de naam van Voorftellen hebben Kleven. Als 
wy dan zeggen dat iets volgt uyt het zo vjccl* Voorftel , 
zo meenen wy daar mede het verhandelde in het eerfte Deel 
van het eerfte Boek^ én na de zo veelde Propö&tb» zovêr- 
iban wy daar by van dit t^enwoordige Deu. 

I Propositio.. 

Als een Krommelyn in een oneyndigc menigte Viaa 
gelyke of ongelyke deelen gedeelc is, diéaile onbe-: 
paalt kleen zyn : zo zyn alle de Feesjéns van deze 
deelen , of ook alle de Raaklyntjens te zamen ge- 
nomen zo lang als de Kromme. 

Dit is een gevolg van het 17 Voorftel, 

II P R o p o s I T I o. . 

Als van een Driehoekig Vlak, of vaneen Naald- 
achtig Lichaam ^ of alle de lynen rechte wezende^ 
of eenige ook krom » van welke geen hoek onbe- 
paalt kleen is , de p^en van de Kromme ook zo« 
danigen hoek niet met elkander» ofook met andere 
rechte zyden makende: zo dan de eene zyde is on- 
bepaalt kleen > zo is de hoegrootheit van het Vlak 
als het gemultipliceerde van onbepaalt kleen met on- 
bepaalt kleen. ^n de hoegrootheit van het Lichaam 
als drie onbepaalde kleene met elkander. 

V Bev)ys. Na 't 1 jr Voorftd kan geen Perpendiculaar ve- 
trokken werden of hy is oübepaalt kleen, en om dat na net 
zelve Voorftel alle de andere zyden mede. zodanig zyn , zó 
zal de Inhoud van de figuur, die eene zyde ohbqpaalt kleen 

R r heeft 



haan » ,• \ geen enz. 

III.' ,P ROPOSITIO* 

«k-k^. ; IjMÜieo LC 0B E0 cvenwydige 

Ji«-B lyneazyBjOokLE CF QD,eQ 

y^ I } 20 LE of CP is Qnb^a.alt klèta: 

f' \ zO-isdcVierhoefcLCDEzogroot 

■;..„:, EG. 

'f Ani{]f«. Dewyl LE of CD isonbepaak kleen, ctnzyds 
van de Driehoekjens DCF DCG, en geen yanhaareliodten 
oobepaalt klecn zyn . zo Is haare grpote on^Kpaalt kleen mee 
onbepaalt kleen gemultipliceert (2 ?rop. ) maar de grootc 
VaR'de'Vierhodc 1.CPË is onbepaalt kleen getnultipTicserc 
Bfli gnodiek bepaalt} (om i^x. de. Perpeiiaicuraar van d9 
mm I/^ o^ ^Q 9p de an4:i(e getrokken is osbepa^t ktooi, 
W dq zyde LCofXQ. daatzpopvalt, isgroothcit bepaalt), 
daarom is het Driehoekic DCF , of DCG niets in veigely- 
kÏBg van de Vierhoek LCDÈ na 't 14 Voorftel : nu , niets 
elders by gedaan , of daar van afgenomeg geeft ^a veran- 
dering : 20 is dan dp ^M^?' ^^\ ^t^ RiUm LF zogroot 
alsxle Vierhoek L,CDE„ t geen enz, 

ÏV. PllOpOSITIO. 

'' Tndieade Vlakken LC f L 

n ËD4EovcBwydig 2yni 
>n fnydcn of oncmoecca 
te Vlakken ONP ON/> 
^Njp, en zo dan LE of 
!^D onbepa^t kleea is : zo 
'!7^ het ftuk des Rols ge- 
maakt van hec Vlak ëD<^ë 
caLE, dacis hc'tLichaam D^ELG^LD» ofhec 
ftukdes Rols gemaakt van het Vlak LCrL en de 



Van de Qtf a^:r ut b r a. ^ï^ 

zo groot wezen als het kegelachtig Lichaam 
LCD^ELrC: aanmerkende DG CF% ^alleeven* 
wydig te wezen aan L£> e;i Gg zodanig aan Dd, 
en C ^ aan ¥f. 

't Brmys. Dewyl van de Driehoekjens DCG , of DCF 
de eene zyde is onbq^aalt klcen, zo is haaregrooteonbepaalt 
klcen met onbepaalt klccn gemultipliceert (2 Prop. ) , dit 
nog gemultipliceert met groothdt bepaalt, om dat 'v^ ofJid 
bepaalt is , men he^ de Inhoud van het Lichaamtje 
/GCDdK:;^, of vanhetLkhaamtje/FCDAC/, zyndchct 
vermenig^loigde van twee onbep^lde kleene met een be- 
paldè. Dcwyl de Vliakken LCA^ EDiL ïyn ^ootheit be- 

Eialt mcttepaalt gemultipliceert, etiliaare ondeningcafibnd 
E , of een ander die uyt bet eehc Vlak rechthoekig valt 
op het ander, is ofibejsa^t kken , zo is de Inhoud van het 
I^qhM:htig Lichaam LCD^liC het vermenigvuldigde 
van eehe onbepaalde kleene met twee b£|)aalde : zo zyn aao 
5e lichaamtijens ^GGt)dcCg en /FCD^QT niets in veige- 
ly king van clit kegelachtig Lichaam ( i i. V. ) en by gevolg 
is het ftük des Rols VdELGgUD , of het ftük des RoS 
OLEF/ EC 9 yder zo groot als het keg^lachtig Lichaam 
LCDdELd<Z , 't geen enz, 

V. Propositio. 




K Ku e 




Indien NCFO een plat Vlak 
is 9 beiloten van de Kromme 
NCP en de rechte NO OP j 
en zo CK een rechte is ralwnde 
de Kromme in C> ontmoetende 
NO of zyn verlengde in K, en 
gehaaltwerd CL evenwydigaan 
Rn PO 



^tc 



Hbt IV BOBK, 




KKX.B 




PO, en CQ zodanig aan NO. 
Indien dan in de verlengde van 
CQ^enomen .werd Q^ of CS 
yder zo lang als de Onderrakende 
KL , en zo dit zelfde gedaan werd 
van alle de punten der Kromme 
NCP welke oneyndig digt aan 
een zyn , en zo dan uy t O door alle de punten X t 
en uyt N door alle de punten S ,' gehaalt werd een 
lyn OXM NSR (RPM evenwydig aan NO wc- 
zende}: zo zal de figuur OPMXO^ en ook de 
figuur NCPRSN yder zo groot wezen als deeerfte 
figuur NCPON. 

V Bev)ys. Laat in de Kromme NCP nog een punt D ge- 
nomen werden oneyndig digt aan C ; en daar uycgehaalt 
wezen DE evenwydig aan CL , en DZY en ook DT zo- 
danig aan CS : de reft als te zien is. * 

Stelle KL ,of QX,of CS 3o«;LCGOjr iLE,ofCFooyï 
en DF, of QZ, of CG, of SV, of XWod^ : zozynevcn- 
redig ( om dat KC Raaklyn is van beydc dejpunten C en 
D na 't 18 V. igev.) KL?./ LCjr//CF// FD^jen daar- 
om gz zofy • dies is het Raamtje QW, en ook het Raamtje 
SG , yder zo groot aU het Raamtje LF , of, na de 3 Pro- 
pofido , de Vierhoekjens QX YZ^ en CSTD yder zo groot 
als bet Vierhoekje LCDE ; en , om datter zo veel van de 
eerfte Man in de figuur OPMXO , en van de tweede in de 
figuur NCPRSN , als 'er van de derde gaan in de figuur 
NCPO , zo zyn deze drie figuren alle evengroot , 't geen 
enz. 



VI. Pro- 



Van de Q u a d r iS 
VI. P R o p o s I 




o groot 
deelt^ 

D in d 
tiomen 
aanC , 
werden 
CS, pc 
nigaan 
in maar ( 
aan Ol 
En laat in beyde NZ evenwydig wc2 
KC is Raaklyn van beyde depunten< 
Om dat het Driehoekje CND , en ] 
op een zelfide Grond CD ftaan , en ti 
KD en NZ paflcn , daarom is het Ra 
Raamtje CX , of het Raamtje LV ( o 
gclyk NK zyn) of, na de 5 Prop 
LSTE twee maal zo groot als het 1 

Rr ^ 




figuur NSRON als *cr Dnehoekjcns CND gaaninhctPccs- 
éed NCPN : lo is hit Vlak NSRON twee maal 20 groot 
^ het Pofideel NCPN, 't geen enz. 

Vn. PaoposiTio. 
Indieb twÈc Vla^fceft door lynea gefaeden wer- 
den in een ontelbare mcenigte van Reepjens of Riemt- 
jens, die alle gelyke breetc hebben , welke breetc 
ooN^aak kleen Is; of twee Lichamen door Vlak- 
ken ih ïEodanigeSichyfjens gesneden zynde: zo zyn 
de Vlakkeh evenredig mtt de Som der lynendiehet 
in zodanige'RieWtjens heeft gefnedcn , en de Lic- 
hamen mee de Som der Vlakken diehetinSchy^ens 
heeft verdeelt. 

Toepaffmg. Indien de 
Vlakken A en B door 
de lyncn *, c, d, f, g 
en delynen k, /, m,». 
o,p,q in Retpjens ge- 
deelt zyn , alle van een 
gelyke breetc ; of de 
Lichamen A en B door 
Vlakken in zodanise 
fdiytjens, en zodanig aat 
een zel£Je onbepaalt 
kleen haar aller breete is : 
zo is het Vlak A tot het 
«Vlak B , als de fom der 
j lynenb + c-^-d-^f^g 
■ tot de fom der lynen 

+5 ; en het Lichaam A tot het Lichaam B , als de fom 
der Vlakken ft+f+rf4-<f+5' tot de fom der Vlakken 

't Brwys. Op de Vlakken. Dewylde Reepjens onbepaalt 
fmal zyn, en dit gelyk/ ftellende , 20 zynde Inhouden der 
Reepjens vandefieuurA (^Prep.) af, bf^ cf^ df, ^, gft 
en van de figuurB, *ƒ, if^ If^ mf, ^^ of, ^^ qf\ en om 




Van de Q^u a 9 n 4 

^ 4c eerfte te zamcQ genomen to. c 
A , en de tweede als de figuur B : d 

'i^Sf^qf: 4c2c twee laacftc beyde.dc 
totB, sisa-h'b^^+d+^rirg toKt 
+^4-?, of , aflatende de" eerfte van 

B,^sb + c+d+e^gt9tk,+H' 
f Voorftel, om dat de lynen *, r, « 
ook de lyneip k^ /, ff^^n^o.f^qtci 
heit onbepaa)t groot , dey^vt ^ 9 ( $Cq. 
in 't bczonder è grootheiti ompaalt ^ en 
ontelbaar i$ ij en om dat ^ ep ^ ^ de 
grootheden zy». ^t gepn te bewyz^ v 

Op de Lichanyn blykjt het opi de 
Hellende dat , b^ c, d, fyg de Inh 
ken van het Lictmm A ,. en ^ » i^ , i 
Inhouden der Vlakken van het Lichaa: 

't Is kenlyk , %o d^zc 6gurf n evenh 
cvenwydi^e pafl^ > dat dan i|i de eenc 
of Vlakken ziillen wezen als in de and< 

VUL P n o p o s I 

Indien '«r e^n ontelbare menig) 
X zyn, waar van de eerfte is onb 
tweede tweetnaal zo groot > de d 
2Q in 'c; oncyndig , altyd met een 
kleen opklioimende^ waardoord 

lyk jcen hef>aaUie gW)otfac« b: zq\ 
%t oRCelbare mevigce grootk^den . 

20 veel malen T^.tfT. 

Ikvoêgem , ƒ X I en f ook oo 1 tynd 
bare menigte van grootheden ^ GO oe^ 
grootfte b : of, alle x is gelyk de 1 vai 

/ 3) X en / 00 1 wezende : zo zyn t 
Vierkantoi der grootheden x^ dat is al 
malen ^ bb. 

/30^ en rsoi wezende: zo zyn alle 




/SOI en<x3 wezend( 

/CO* en*aD3 zynde : 

ai zo in 't oneyndig : zuT i 







T 






* 


XX 


«* 




7 


T 




1^'- 


i 


? 




v- 


i 


J_ 




y^ 


j_ 


I 




V- 


j 


T 


y.. 


j 


s 


V- 


i 


T 


V"- 


T 


7 


V- 


i^ 







en zo in 't oneynd' 
Noemer met de ee 
mer alleeoWk y w: 
gefielde order ver 
»( Beviyt. Indie 
alle jr tot zo vee' 

malen e, tot f b 

veel malen *T , 

zen aan zo veel 

Maar als alle 
Zo veel malen . 
»+ƒ. Dat wy 




HP^ofNOx* 
NH,ofOPao^ 




Van de (^ü a d h a t u r a: jif 

jf JkiSen NOPH een R4am is ^ en doe 
een punt C daar in bevlogen werJ^ 
beginnende van U en eyndigende in 
F (ftellende CL evemvydig^um PO, 
enCnaanNO) zodanig dat altyd 
X' is toty*^ als b' tot c* 

«özn/NCPONwéww/o/NCPHN 
als t tot s\ of^ als de Dimeffpenvan 
de lyn CL tot de Dimenfien van de 
lyn Cn. 

Om de waarbeit bier 
vantedoenblyken^ 
%jo laat in de Krom» 
iwf NCP {byis 
krom om dat de 
evenredige x^y^ bp 

— ^ z j^ Ta "^~o ^ '^^ ongelyke Di* 

een puntjy genomen werden oneyndig £gtaan C, endoorD 
en C getogen wezen een recbte tot aan de verlengde van ON» 
alsVCK: baaltdan Kg evenwyiSgaan LC^enDg zoda^ 
nig aan NO, en verlengt Cn tot in k y en ook^toi /n F , 
ontmoetende EDf^ gelykwydig aan LC < , in F. bet Raamtfe 
kg is zo groot ais bet Raamtje LP> omdat J^Kboèklyn is. 
Dérwyl de Kromme CD is oneindig kleen y zois ( i8f^.) KCD^ 
Raakiyn van beyde de punten C en D. En , omdatvyuyt 

' de voornoemde proportie bebben c^x' ZO ^'y* 9 zo vinden wy 
voor de Onderraaklyn 

KLx7t~&x» ofKLx ,>/^?!l« CJey'wg genomen^ 
zynde uyt de bovenflaande Mquatie x ^p^) </KL cd ^t 

IVivy/iiwKL, ofkCiscDT'i en nCoD^ ^ zo is bes 
Raamtje kq, efbet Raamtje LF , /(^f i&^ Raamtje nq, of 
(3 Prop.) betvierboekjeVCDEtothetvierboekje nCDo$ 

als — tot x; of als t tot s. Nu zo is 't kennelyk datter zo 

veel vierboekjens LCDE zullen gaan in de figuur NCPO 
als 'er Vierboekjens n CD o gaan in de figuur NCPH .• 
dies is de figuur NCPO tot de figuur NCPH, als ttat 
s : betgezeg van dit Tbeorama. 
Waar uyt volgt dat de figuur NCPO is tot de Raam OH 
alsttott+s. Sf Jlan 



W^O^'^nm, aij Digf d», pLj, i-.c,, enzovoort, 
m dtt wft yier dttl gttrak^e» zyn lynen evemoydig met 
OS MM» PH, gts My hd, t.e, Efy enz. fnydm^ Jt 
Knmme m de pmtttnh^ l, Cj D enz. Is N« dEa«co-^» 

tio h ékzojn '* NAoo*", !w // hlzoy'x is NL co*» 

WO ir UZ coy t f 3W voort , de lyn x étyd toenemende 
met gelyte traden , daar vmyder trap onbepeait kken ir, 
eaim geiyi bet Voorflel vereyft dat ze "weijn moeten. En , 
em dat na de j Propojhie 'als dan de figuur NCEH!) is tot 
de Raam OH , of t tot * + / , als alle de lynen ab, W, 
tna. dei it als a3e de lynen y f tot aSe^ lynen ac, bd, enz. 
liatis tatxe veel malen de lyn c, zozietmendetsaarbeit 
van bet gene wy aangenomen badden te onderzoektn. 

Zo dan , alle xj zyn gelyk zo veel malen -j— hT {x 20- 
(liuiig gecondidoneert zynde als het Voorftclwüïki ze wezen 
öl) 't geen te bcwyzen was. 

II D B E L. 

'. De Qttodratura vanfommigt yiaJtkm en Lkbatnen. 
IVbrtoog. 

EenRcchtlimfcheDriehoekjcn een Recht- 
ftrepige Raam , die op een zelfde grond ftaan, 
en tuflchen evenwydige lynen paffen , zyn tot 
elkander als i toti. 

WY beginnen met een Taak die alrcdt bekent is , en ran 
wiens waarhcit men verzekert is, op dat men zoude 
zien, dat men door middel van het onbepaltklcen» dillen 
kan vinden die waarachtig zyn. 

^ ^ _ . Laat NOP de Driehoek. 

- en PI de Raam wezen, ftaan- 

de tuflchen de evenwydige 

OP en NH , en op een ge- 

mccnc grond OP. 

Verbeek uw dat de Drie- 
hoek , en ook de Raam door 
rechtcivnen . tn een nnr^Ibare 




Van de Q^u ft ó t a 

NOsD^ menige van Rcej 
OP CD* allecvaibircctzyn 
NLoo*' dcwyaealsindefi 
téCcoy door dan -de lyn 
• .in een dneyndige 
kn die alle onbepaalt kleéri.zyn. 
. Gevende yder lyntje, cüe de voori 
kn 9 in de Uriehoek hC de naam 
YS de naam van jr ; zo zal , na de : 
Driehoek NOP wezen tot de Raam 
tot alle de lynen b. ; 

Zo toen m de lyn NO, van N ai 
yder deeltje , waaar in NO door de 1] 
30<^ 9 zo is ^ een hoegrootheit toene 
pen , welke trappen alle onbepaalt kl 
wyze als x bepaalt is in de acntfte Pi 
- Dewyl <bn NL is 3o ^ als LC is c 

evenredig , waar door yhco^^ 

Om dat alle de ly nen y zyn tot all< 
nu ook 

alle ^tot alk* 



a 



of, alle X tot alle j , als de A tot de 
met j gemultipliceert , na de aamxyi 

komt \a tot « , als de A tot de 
of, als I tot X, 't geen enz. 

Je plaats van de x ^ om dat xop zyn gt 
é, datisgelyk NO. 

II V E R T o o 

Als een Naaide en een Ba 
gel en een Rol op eenzelfde 
tufTchen evenv^ydige pallen 
de tot de Balk > en ook de I 
als I tot 3. 

Sf X 



PIXH de Balk en de Rol, 
ibande op eoi zelftJe Grand 
OXPO , en paflènde tuf- 
ichen de evcnwydige OP 
en NH. Laat LS gelyk- 
wydig wezen aan OP . en 
^ de Vlakken . LCVL en 
XSTX evenwydig aan het 
VlakOPXO. 

Om dat NL*/ N0«// 

s LCyf OP* evenredig zyn, 

daarom i« J» 30 ~ » of j»y zo 

Dewyl de gcIyWormige fi- 
jTQ . «uren evenredig zyn met de 

OF ^ b Vierkanten van haarc gelyk- 

j^ ^ ftandigc zvden , en de Ron- 

1Q r: den met de Vierkanten van 

L4\^ZOj jjggj^ middellynen, daarom 

tyn alle de Driehoeken LCV tot alle de Driehoeken Y8T 
ook alle de Ronden LCV tot alle de Ronden YST, 

of de NiulJe tot de Baltf 
ook de Kegel tot de ^u/ , ha de 7 PropoCtio, 
als alle ^^ tot alle bb 




of, als ^^^ tot bb 



gemuttipliceert/iMttytwfxJngvMbei 
■Tafè/tje , om dat -wy xx Ratmaal 
hebben , en t gejïelt h pUatt vm 
*■ , om dat X op zyn groetjtezyndf 

f '7 . - •. D '=0"*"» onderfteUende dat x toe- 

of, als iiot;. tgeen&c.„,^^,^^;.,^^^.^^^^P^^^ 

fa , yder deel onbepaatt kjeen z.ynde ^ <^ dt tayzt ais m de y*^ 
lïl .Vertoog. 

Een Kloót is tot zyn omgefchreve Rol , 
en ook een Ovaals Lichaam tot zyn omge- 
fchreve Rol als z tot 3.' 





Van de Q^u a r> tl a r v tl a. ^%f 

De ccrftc figuur ver- 
I toont een Kloot , en de 
^ tweede een Ovaals Li- 
chaam , beydein een Rol 
befchreven. 

O is het middelpunt in 

beyde de figuren , en LCS is 

even wydig aan OP , ofaan 

NH; de reft als te zien is. 

In beyde de figuren zyn evenredig 

dLC dOP aNLQ^aNOQ, 

yy f ** //2r« — **/ ^^ 

Dewyl, na de 7« Propofitio , de Kloot» 
en ook het Ovaals Lichaam , tot yder omgefchreve Rol is » 
als alle de Ronden daar van LC deStrad is, totalledeRon^ 
den waar van LS hen is: of, als alle de Vierkanten van LC 
'tot alle de Vierkante van LS i dat is, als alle yy tot alle bb^ 

dP, als alle lax — xx totalle ai 

gemultip. mtt ^ f , en a gefielt in plM$s 



NOcoi» 

OPCD* 

NLx-^ 
LCoojf 



van X j om reden bier 



of , als Af— «jAi tot aa evengemelt. 

c£j als \aa tot aa 

of , als i tot 3 , het geene te vinden was. 

Btvoegsel. Dm halve Khot y q% ook bet hahjt 
Ovad Lichaam is tot zyn itigefchreve Kegel z\s 2 tot i . 

Dewyl een Kegel het derde deel is van zyn omgefchreve 
Rol , ( % Vertoog ) en een halve Kloot , of het halve Ovaals 
Licimm % is tegens zyn omgefchreve Rol 5(3 Vertoog ) , 
daarom zyn de gezeyde Lichamen > yder in 't bezonder , % 
tegens haare ingefchreve Kegels i , 't geen enz. 

IV y E R T o o G. 

Een ftuk van een Kloot minder als de haL 
ve Kloot , ook een ftuk van een Ovaals Li- 
chaam minder als zyn helft, is tot yders om- 
;efchreve Rol , als de halve middellyn min 
iet derde deel van de Intercepta , tot de heelc 
middellyn min de heele Intercepta, 

Sfj Laat 



^t6 Het IV Bo eIc, 

|jsat na , in de figuren van het derde Vertoog , NO« de 
InfiCGcepUf minder wezen als de halve MiddeUyn, en laat de 
hecle Midddlyn NQ^geftelr werden te wezen oo?, zo is de 
CD NLQpo q^ — ^^ »«de cd NOQpo qa — ai , of het Vier- 
kant LXÜoo?^ — ^^» en het VicrkantLScof^— ai: daar- 
<aa nu, 

allejAT— A-jrtotallejj— Al, als enz. 

gtmMltip. met { ^ ena gepelt VQ9r x 

men heeft \qé — ^ai tot qs—M 



of, \q — ja tot q -— éi 9 voor de overeenko- 
ming van een Stuk 
des Kloots minder als zyn helft tot zyn on^efdueve Rol^ 
of van zodanisen ftuk van een Ovaals lichaam tot zyn onb- 
gdcbrcve Rol : aanvryzende de waarheit van het gezeyde. 

Hier uyt had men bet derde Voorftd, als een gevolg hier 
van, konnen vinden , nemende in deze ^xif : dan heeft 
men s — 44 tot xê — «, q£% tot ^. 

Men ziet dan de proportie van hetgezeydeinLynen : wü 
men de overeenkoming in getsdlen weten , men ftelle q ea 
ook tf op getallen. 

qOJ 16 en 40 00 3 wezende: zo is dit fhik van de Kloot , 
en ook dit (hik van de Ovaaize K^el , tot yder zyn omge- 
fchi'eve Rol als 4 tot 7. 

Wil men het gezeyde in getallen weten 
van een Schyf des itloots , of des Ovaals 
Lichaam , ais van VTSPO , gediuytom 
VO als Spü. 

Stelt VL co •*^, en LCooj^. ' 
De Middellyn , co 10 , NVoQZ > en 
VOooi zynde, zo vind menj^yxi^ 
+ 6x — xx^cnbbojxj. 
Zo is dan alle i6+6x — xx tot alle ai , als enz, 
gemultip. mi$ i 7 » en i gefteltvoor^r 

komtals 16+ % — j tot 21 ; of als 8 tot 9 voor 
de overeenkoming van deze Schyf des Kloots , of des Ovaals 
Lichaam tot zyn omgefchreve Kol. 



V Ver. 





Van de Q,7 a *x) R a t o r a. ^y 

V V te R T o o &. 

Een Hyperbolifche Kegel k tot zyn omgc- 
jfchreve Rol, als de halve middellyn en het 
derde deel van de Intercepta , tot de heele 
middellyn en de heele Intercepta. 

Laat de figuur van betekenis we- 
zen als in het derde Vertoog. 
Nu zyn ook evenredig 

dLC dOP oNLQ^cziNOQ 

yy / bb /Iqx+xx/ qa^aa 
en daarom ook alle jfy tot alk J^^y of 
alle qx'^xx tot alle qa + ^>als enz. 
met I I vermenigv. 

kt. {qa^^aa lot qa-\^aa 

a ■ — 

of, 1 jr + |tf tot y + tf , als een 
G>noKlei Hyperbole tot zyn om- 
gefchreve Rol : aanwyzende het 
^eene hier boven daar van gez^t 

IS. 

In getallen. fCDio Ctttfoo^we- 
zende: zo Is de gezcydc Kegel tot zyn omgefchrcveRolals 
6 tot 1 ^. . 

Necmtmeniixy, zois de proportie als f tot ix: azD^i^ 
zo is 2e als 7 tot 18 : ^go W» als o tot 14 : het ccrftc getal 
opklimmende met x en het ander met 6. 

VI Vertoog. 

I. Indien twcèPeesdelcn van Ellipfcn , of 
van twee Hyperbolen, die eengemcen middel- 
punt hcbben,tu(ïchen twee evenwydige lyncn 
paffen : zo zynze evenredig met haare Ver- 
keerde. 1. en zo haare Verkeerde gelyk zyn, 
of zo de Recbtezyden met de Middellynen 

weer- 



OPco* 

NLx« 
LCcoy 



pa H e T IV B o E Ky 

wcerkerig evenredig zyn: zo zyn deze Pees- 
delen evengroot. 

Laten CNC en cnc dczcmrec 
Pccsdelen wezen , hebbende M 
tot haar gemeene middelpunt , en 
hienze paffen tuiIchen^ti9 enC^ 
die evenwydig zyn.- i 

Zullen de Peesdelen tullchea 
Cc en Nn paflên» zo moetende 
Krommelynen de rechte N0 in 
N en ook in n maar aanroeren ^ 
en niet fnyden , en daarom ra- 
ken : zo dat N0 is Raaklyn van 
beyde de Kromme, enbygevols 
zyn N en n de Toppcaj NM 
en f»M de halve Middellynen » 
en LG en U de halve Peeien, 
en ook de Applicaten. 

Kromme NC //Kromme»^ Men vind jfcoi/ /^*^'*' f 
deR.zyde oor// oox cnzooi/.ï^iï^- 

— inde EUip. en + in deHyperb. 
Om dat ze een gemeen middel* 
punt hebben , daxrom 
NM fiM 




ftellende van de 



dehalv.Mi. 00 qf/ ODp 



NL 

X 



nl 



zyn ^ I v II q I p evenredig 
dies is V3>^: dit hier boven geftelt in plaats van v , 
men heeft z 30 -/. 'J-^T '^. 

zoisdanytot«, alsy.^¥^toty.^'T'-J~^ 

de twee katfte beyde door |/.-^T-^gedeelt, 

komt jr tot z., als ^rq tot y/sp. 
Maar ^rq is de Verkeerde van de Kromme NC , wieni 
Applicata is y, en yx^is de Verkeerde van de andere» wiens 
Toegepafte is ». Zo is dan de To^epafte van yjers Pces- 
dcel, of elke pees van ydcrs Pccsded is evenredig metyders 
Verkeierde. Nu , om dat N n evenwydig is aan de Peefèn 
CC cc , tx} zuUender zo veel Piefen. gaan in bet Peesdeel 
CNC als ^er Pee(èn zullen gaan in het Peesdeel cnc ( NL in 

gclykc 



Van de Q^u a d r 

gclykc deelen verdeelt zynde , en i 
lynen ) dies is het Peesdeel CNC t 
een Pees van de eene tot een Pees v 
CC tot cc^ of als LC tot /r, of als. 
Verkeerde van de ecrfte , tot ^sp 
tweede. Het ecrfte zynde van het ge 
Het tweede is een gevolg van cfit 

zoisook^GO^j ofCCx^^i cndaj 
cvengroot. 

Dat wy zeggen , oi zo de Recbtez' 
zyn met de Middellonen : dit is een { 
keerde gclyk zyn : want , dan is i 
zyn evenredig , dat is de Rechtezyci 
met de Middellynen. 

1. Ge volg. Zr L /» M 9 . 

halve Ellipfen , en daarom zyn de 
mede de heele Ellipfen evenredig 
ze zyn evengroot indten de Ferht 

2. Gevolg. h^hCrech 
van de Kromme NC zo groot ah 
tiC een Rond (of een gefykzydig 
bóle^ en men heeft de overeenki 
heeft met een fchcve Ellipfis ( c 
hoekige Hyperbok met eenfcheve^ 
eene met een ftuk van de andere 
Middellyn van het Rond tot d 
Ellipfis } ofy ah de MiddeUyn vat 
hoekige Hyperbole tot de Verkeerde ' 

"3. Gevolg. Is de Ferkeerde 
als de Middellyn van het Rond y c 
00 4^^5 of is de Middellyn van het 
redig tujfchen de Rechtezyde van ei 
dellyn : zo is het Rond zo groot d 
Peesdeel van het Rond als een peei 
Het zelfde heeft mede plaats ia 

Tt 




^ HktIVBöek, 

lykzydige Hypcrbole en een fcheefhoekige onge» 
lykzydigc. 

4« GivoLGr Lodt men daar en kóvendeTopn 

nrd^détkn têt mde T&p N y zê 

zyn de hahe mddeRynen even* 
groot , en daarom ook de hede^ 
en men heeft de overeenkomiog 
van een Rond meteen EllLpUs 
Q of van een rechthoekige gefykzv^ 
dige en een ofigelykzyé^e Hjfer-» 
Mr) die beyde op een zeifiie 
As ftaan : ojy van haarcgdyke 
Feefdeelen, te weten ^ atsde As 
tot de Verkeerde } fa , zio mem 
Of de Ferkeerde van deEl^Jisook 
een Rènd befchrjft^ zt^ zal men bevinden dat de hlkpps 
midden evenredig zal wezen tu/^hen deze twee Ronden 
(het eerjie Rond is tot de Ettipjls als yrq totysq , en zo^ 
aanigen reden heeft ook de Eikpjis tot het laatje Rond. 

t)ie begerig is het Bcwys van deae dingen Meetkundig te 
zien , die kan d^: in vokïaan werden dcx)r Fr. van Schoten ^ 
irt zyn vicrcfc Bo^ der Mathcmatifchc OefKnndng , pagina 

290, 191, 294, 29jr, 5^8, 309, 510. 

5 . Gevolg. Men kander by voegen , ^Zr^ Mid* 
dellyn van een Kloot gelyk is aan Je As van een Ovadfe 
Klóót: dat de Kloot is tot deze Ovaalje, afeenjiukvan 
de eerjie tót een gelyk affnydfel van de tweede , als het 
Fierkant van de Middetlyn des K/9ots tot het ykrkant 
van de êndete As der Ovaalfe. 

De fcdcn hier van is , om datter 20 veel Ronden , wiens 
Scraftl LC is , g^n in de Kloot , ah 'er Ronden , wclke« 
Sttaal Ilmc h^ ^aïk in de Ov^lfe; of ineenftuk vandecerfte 
en in een gelyk peesddig ftuk wn de tweede , en ooi dac 
deze Rondi^n alk gclykredig zyn met de Rooden van de 

Vetkeerde, of met haare Vierkanten. 

""• - \ Ett 



Van <JC QfrAI>RAT{TRA. ^^1 

En in 't algeiMen ^ «/ üm^ vergeleken ie met ii Vjtrkemrde^ 
imkS'^üok vergeleken werden mei ie ApflicêUn, om diitilie^- 
tfd^oa uÜdc «eden hd>bei]. 

VII V E R T -ö o G. 

Van aUe Parabolen » is de Parabale tot zyii 
omgefchreve Raam , als de Dimenfien van de 
Applicata, toe de Dimenüen van de lnter« 
cepta en die van de Applicata te zamen. 

2Lodac^ wrcrd haar oatuur uy tgedinkt door r*~'x':x>y^ 
(r de Rcchtczyde , *• de Intercepta, en j^ de Applicata wc- 
•2cnde) zo zal de f^abole wezen cotzyn omgefchreve Raam, 

9k t tot ^+ Sj 

Lom NCPO «een f>1at Vlak weaen, 
^ hegpqpcn vm de Krc^mne NCP , «ap 
trek van een Pambole , en de rechte 
NO zyn middellvn , en OP zyn Ap- 
plicata : en Iaat OH zyn omgefchreve 
Raam wezen. 

Laat getrokken wezen LXUS cven- 
wydig aan OP , of aan NH. 

Werd haar natuur afgebeeld door 

r*—'x*0Dy*j 
tjozynx'/ y*ll a'j fc» evenredig. 




NO 30^ 

OP 30* 

LCxjr 



èfx* 



en daarom jr^ 00 "^f cffjroo 



Dewyl alle lynen y zyn tot alle lynen ^^ sds de Farabole 
tot de Kaam , ^^ 
daarom ook alle — ^ tot alle >, ak enz. 



êt 



of, alle x^T tot alle ar 
met 






verm . na de 8^ Propofitio 



of, als ~ aT tot 



<^» als ^ tot *+' » gelyk boven is gez^. 

Ttx 



Heeft 



J^t H E T IV B o E K , 

Heeft men rx zoyy , dat is een gemeene , of een van het 
ccrfte gcflagt , zo is / co i en/ x * : en dan is de Parabofe 
tot zyn omgefchrevc Raam als 2 tot 3. heeft men rr*- go J'S 
een van het tweede geflagt , 20 is ƒ oo i.cn /qo 3 : en dan 
is de Parabole tot zyn omgcfchreve Raam als 5 tot 4. maar 
heeft men rxx ODy^$ zo is ƒ x 2 en / 30 5 : en de proportie 
van de voornoemde Vlaktens zyn als j tot ƒ . 

Gevolgen, i. Het blykt dat de Hoïk ParaboU 
NCPHN is tot de Raam OH ah s tot t+s. 2. dat de 
Bulttge Parabole ON C? is tot de Holk HPCN ah 
t tot s. 3. dat het Peesdeel NCPN is tot deze Buhige 
Parabole ds t—s tot ity en tot de Holka/s t—stot is. 
4. dat de ingefchreve Driehoek NPON is tot de Bultige 
Parabole ah t+s tot it ; tot de Holle ah t+s tot is-, 
in tot het Peesdeel NCPN ah t+s tot t—s. 

An ders , door middelvan de Onderrêaklyn , en een ver-- 
'wijfeling na de^^. Propofitio. 

Indien de natuur van de 
Ki'omme afgebeeld werd door 

aanmerkende CK voor een 
J Raaklynzzovindmen-^voor 

de Onderraaklyn LK,of CS: 
en om dat NL of TC is co*" , zois CS totCT als — tot^> 
of als t tot f. Dewyl dan yder lyn CS is t tegensdat yder 
lyn CT is ƒ ; en om dat er zo veel lyncn CS gaan in het 
Vlak RSNCPR , als 'er lynen CT gaan in het Vlak 
HNCPH: zo is het Vlak RSNCPR, of na de voornoem- 
de f «. Propofitio , de Parabole NCPO tot het fupplemcnt 
NCPH als f tot SI en daarom de Parabole tot zyn omge- 
fchreve Raam als ^ tot /+ƒ , gelyk wy hier even daarvoor 
gevonden hebben. 

Anders, d^or middel van bet ft uk der Onderraaklyn ie^- 
grepen tujjcben de rakende en de Top , evenwydig aan de jtppli^ 
catay en een verwiffeling na de 6« Propofitio. 




Laat 




Van de Q.ü adratüra. 555 

P Laat de Parabolc wederom a%ebcclt, 
werden door 

aanmerkende CK voor een Raaklyn; 
20 vind men KN', of LSco^j^: 
Ó en om datter 20 veel lynen LS gaan 
in de figuur NSRO als 'er lynen LC 
, gaan in de Parabole NCPO : 2» is 
^^ NSRO tot de Parabole NCPO als 
i=-'> tot y , of als / — ƒ tot ^ : en om dat het Peesdeel NCPN 
de helft is van de figuur NSRO na de voornoemde 6*. Pro- 
pofitio : 20 is dit Peesdeel tot de Parabole als \t—\stoiti 
of de Driehoek NPO tot de Parabole als i^+^x totr j en 
over 2ulx de Raam OH tot de Parabole als t+stoU^ even 
als hier voren. 

Gevolg- Indien twee eenjlagtige geljfkaardigePoi- 
rabokn tujfchen evenwydige fa^en , en cp mgelykegrm- 
denjlaan: zo zynzeevenredtgmethaare Gronden, of met 
haare jifpltcaten: enopgelykegrondenfiaande: zozpze 
even groot. 

Laten NPON en npOn twee 
halve eenflagtige gelvkaardige Pa- 
rabolen 2yn, paflawetuflchcnN» 
en OP^ , twee evenwydige lynen: 
wy zeggen en2. als boven. 

Om dat 2e Paflèn , 20 is N» 
'Raaklyn , van beyde de Krom* 
me , en daarom 2yn OP en Op 

Applicatcn. 
Om dat 2e beyde van een geflact , en daar en boven nog gelyk 

van aart 2yn , 20 2yn de Dimenüen van haar beyder Intercm- 
ten, en ook van haar beyderApplicaten even eens. Zyndandc 
Dimenfien van de Intercepten co ^,en die van de Applicaten OD ^ 
20 is de Parabole NPO tot deRaam OHals/ tot ^+ / , ook 
de Parabole npO tot de Raam Oh als / tot H-x , 20 is 
dan de Parabole NPO, tot de Parabole npO , als de Raam 
OH tot de Raam Ob^ of als de grond OP tot de grond O^ 
Waar uyt blykt , zyn deze gronden gclyk ," dat ook als 
dan de Parabolen even groot zyn. Dies is &c. als boven ge- 
iegtis. Tt3 En 




heeft plaats te hebben in twee van 't ecrfte gcflagt , ats te 
zien is m zyn w'kpóc Boek van de Mathematifchc Ocfifening 
Pagina 541. 

VÏII V E » t o o o. 

Een Piraboliichc Kegel (Conoïde Para- 
bolc) istotzynomgefcfereveRol, alsdeDU 
menuen van de Applicata tot de Dimenfïea 
Tan de Applicau en tweemaal de Dimeofiea 
Tan de Interccpta. 

Zo dat , werd de natuur van de Farabole ^g^bcdt éxir 
r*—' X' 00 J ' : 20 is de Conoïde Parabole tot zyn omgefclirc- 
TcCflindcr, als t tot r-f-i^. 

Laat NCPON een haWc Panibofc wtu 
?i*l «en; NO de Middellyn , OP de A{roli. 
GBta , <X^ zyn cmgcldncve Raam. Bi^ 
, wegende deze om NO als Spil , zoxalde 
Pambolc befchry ven een Conoïde , en de 
Rechrhoek OHeenCylindcr, diedc Pa- 
rabolücbe Kt^el omgefchrevcn t$. 

Laat tttroEken werden LCS evenwy- 
dig aan OP. 
Js de natuur van de Parabole afgebeelt 
f, doorr'— '*-'co>S 

Xo zynx'f >'// «'/ ft' evenredig, 

*•■• **r 

entlaarom^'ao':^» ofj'X— ri 

**" 

oïyyzo — ij-t 

Dewyl de Ronden evenredig eyn met 
de Vierkanten van hacu'e Straten , zo is 
het Rood waar van LC de Straal is , tot 
het Rond waar van LS hen is ^ als het 
Viokaat van IX tot bet Vieckant van 
LS: 




Van de Q^u a n r j 

LS r m , en darter sd red Rondn 
Keed gaan , als 'cï Ronden LS gaai 
RoT^ 20 volgt ( y Prop.) dat de C 
2yn omgcfchrcv^ Cylimler » aJa alk c 
tot aUe de Viorkanten vaa LS^ ^. g 

ak alk *lll. tot alle W. 



BV' 






of, ak aJle Jf~ tot alle aT 
het eerfle gemukijdiceenMnet j^^, ( 
fdaats van * , en gercduceert » men 
gdyk in *t begin gezcgt is. 

Vtsét men rx^ayy , xois de Patal 
omgefchreve Rol ak i tot i : heeft m 
«^ tot f : heeft men rxx goj>» , t© 
heeft mcniT*» x>5 » 20 is bet al» 5^ a 

Gevolg. Hier uyt volgt , 
Complement NC TH krfchr^ , « 
omUOgefihiet , istotdevoormemdi 
en de ParaMtfche Kegel tot deze Rt 

Nata. Dewyl wy in de uytrekeniM 
hebben op de hoek NOP of hy reet 
alleenlyk hem recht nemende om de 1 

§in^ bepalen: maar hen ièheefhoeki 
e , als m de tweede figuur , so giet 
net gez^ «> wd pft op een fchcve C 
ea» rechte ; mits dat van de fchcve ( 
of dat alle fneden, evenwydig aan de 
dit zdftJe moet mede verftaan werden 
vo^fcis. 

Byvoegsei 



1. Gefchiet de beweging van 
cata OP: 20 zal de ConoïdePan 
omgcfcbreve Rol als 1 ^ / tot 3 
Dimennen van de Inrercepta , ei. 
cata wezende. 



356 



Hbt IV Boek 



Laat IC f cvcnwydig aan NO wcaen. 
Nu is 't , alle Vierkanten /C tot alle 
Vierkanten Is^ alzo de Parabolifche Kegel 
tot zyn omsefchreve Rol ; 
dat is als alle aa — zax rf- xx tot alle aa. 
Maar om dat deze // op OP fhat , zo 
moet F/, of O/ de lyn wezen die met een 
^ ArithmeticeProgreflie toeneemt, opklim- 
mende met een zelfde onbepaalt kleen» 
dat is met de breete van de lyn //, hen altyd een zelfde bree- 
te , dog onbepaalt klcen , toeeygenende. Laat ons dan O/ voor 
een zod^ige aanmerken , die co LC , of C30J^ is. y is dan een 
lyn toenemende enz. als boven gezegt is, en niet ^ gelykia 
*t voorgaande. 
Uyt de Proportie x'J y^H a^/ h^j blykt dat^-isao 







Dit laatfte geftdt in plaats van x , en zyn Vierkant in plaats 
van XX ia de quantiteyt aa — xax+xx^ men heeft 



%t 



%4éy 



^*J 



met 



alle Jii— '-"\r — — tot alle ^, als enz» 

irr irj- 

j^^ gemultiplicecrt , en * geftelt in plaats 

van y , om 'dat j^ , op zyn grootfte gelyk b word , en dan 
nog door aa gedivideert , men heeft 

ii+TiTTtot I , als enz. 



I — 



of, ^tt tot %tt -\- ys -{- SS als de Conoïde Parabole tot zyn 
omgefchreve Rol, als boven gezegt is. 

Heeft men rx ^oyy ; zo is de overeenkoming als 8 tot i^: 
is rrx goJ'' i 2o is ze als 9 tot 14 ; maar is rrx^ coy^ j zo is 
ze als xf tot fi. 

Hft blykt Jan , dat de Ring van 't Complement NCPHN 
om OP bewogen , is tot deze Rol , als ^st + ss tot itt + yp 
4-xx; en tot de Pai-abolifche Regel als yt+ss tot itt. 

2. Gefchiet de beweging van OH om PH: zo zal 
de Holle Conoïde befchrcven door NCPHN we- 
zen tot zyn omgefchreve Rol als zss tot 2ss+^st 
+tt. s de Dimenüen van de Intercepta> enf dievaa 
de Applicaca wezende. ^ 

Dewyl 



Van de Q^uadiiatuiia. 5^7 

Dcwyl CS isx* — y'j ïoisallc W — xhy+yy tot alk hh 
als deze Conoïde tot de Rol j dat is 

alle W— ^— ^ + -\/ tot alle W, als enz. 

kt, bb ^^bb^j^^bh totbb^ 

cfiss tot 2X/+ jx^+^ als de Holle G>noide Paiabole tot 
zyn omecfchitve Rol. Heeft men rxzoyy > zo is de Pro* 
portie ab i tot 6: heeft men rr^co^S zoiszealsi fotio: 
en is rrxi j^ys , zo is ze als 9 tot 44. 

Men ziet bier tsyt^ dat de Paiaboliiche Rins van NCPON 
om PH bewogen , is tot de voornoemde Kol als ist+n 
tot 2//+ ist+tt'^ en tot deze Holle Conoïde Parabole als 
3x/+//tot +2//. 

3. Maargefchiet de beweging van OH om NH: 
zo zal de Holle Conoïde befchreven door NCPHN 
om NH als zyn As » wezen tot zyn omgofchreve 
Rol als s tot s^it. xde Dimenfien van de Inter* 
ceptai en / die van de Applieata zynde. 

Nu is 't, alle de Vierkanten van xC, dat is alle ^Jir, of 



%t 



alle l^ tot alle aa^ als enz. 



*— 



met J^^^ gemuldpliceert, en * geftelt voor jr 

komt— I--M tot Af. 

of ƒ tot x+af , als de voornoemde HoUeConoïde Ptoibole 
tot zyn omge(cbreve Rol. 

Is rx o^yy , zo is de overeenkoming als i tot ƒ : is rrx 
^yt ^zoiszeals itot7:enis rrx^ xj' » zo is ze als } 
tot 1^. 

Hier nyt volgt ^ dat deParabolircfaeRing van NCPONom 
NH bewogen is tot zyn omgeichreveRol sds 2^ toe /+!/» 
en tot de Holle Conoïde Paxabole als 21 tot /. 



C --•—"-•*.,.. 




558 H E T IV B o E K, 

IX Vertoog. 

I. De Superficie van een Stuk des Kloots 
is 20 groot als het Rond wiens Straal is de 
Pees van de halve Boog van ditftuk: 2. en de 
Vlakte van de heele Kloot is 20 groot als het 
Rond wiens Straal is de Middellyn van het 
Rond : of is viermaal groter als 2yn grootfte 
Rond. 

. Laat NC ( een gedeelte van de hal- 
ve Krine NCQJ bewogen werden, 
rondom JN L , een (hik van de Mid- 
dellyn NQ^: 20 zal de Boog NC 
io een bultige Vlakte befchry ven , in 
gedaante van een Kloot ^ die zo groot 
zal wezen als de platte vlakte van het 
Rond daar af de Pees NC de Straal 
is : en de Superficie van de heele 
Kloot , die befchreven werd drayen- 
de NCQ^om NQ^, zal zo groot we- 
zen als het Rond waar af de Middel- 
lyn NO de Straal is. 
V Bewys. Laait in de boog Nu genomen werden een punt 
D , oneyndig digt aan C , en laat door C en D verdagt we- 
zen de rechte CDK, zo raakt deze de Kromme in C en ook 
in D ( 1 8 V. ) Laat ook uy t C getogen -wcrden CL recht- 
hoekig op NQ^, en Dl zodanig op CLi ook de rechte CM,, 
M het middelpunt wezende- 

Om de gelykhoekigheit van de Driehoeken CLM KLC 
DIC , is CL tot CM ^ als KL tot KC, of als Dl tot DCi 
dies lyny/ q/ffj b evenredig, en daarom qfzoyb. 
De Omtrek van het Rond , waar van dat CL de Straal is, 

isco-^; dit gemultiphceert metDCoo^i komt i5^ voor de 

bultige Vlakte die het boogje DC zal befchryven hen dra- 
yende rondom LN, om dat de Kromme DC zo lang is als 
de rechte DC ( 1 7 V. ) Voor yh in de Teller geftelt y ƒ,. 
om dat ze gelyk zyn , komt d f voor dej^ bultige vlakte i 
Kiaar alle d^ maken uyt de geheele bultige vlakte drayendc 

NDG 



K N I^ M 

de heele Omtrek 

van 't Rond 00^ 

NMgo j 
NLxx 

LCooy 

Dl 00 ƒ 
DCx* 



Van de Q^u ad ba 

NDC rondom NL ; en alle Dl , of al 

of als x; dies is de geheele Superfici( 

l^iat ons de Straal van het Ront 

bultige vlakte is ftellen oo s. , zo is z 
menigvuldigt met {z , zo is zyn Inl 
dit Rond GO 7^. dat derhalven zo g 

blykt dat jc is oo V^^•^ , dat is gelyk 
dat te bewyzen was. 

Het tweede volgt uyt het eerfte , 
Pees is van deboogNCQ, de halve 1 
als NC de Pees is van de halve booe 
en om dat het Rond , waar af NQ 

{jroter is als het Rond waar af hy d< 
aatfte het grootfte Rond is dat uyt < 
werden j zo blykt dat de fuperficie \ 
maal groter is als zyn grootfte Rond. 

V X V E R T o 

I. Indien een Kloot, er. 
ve Rol , beydc door een ph 
verden , dat rechthoekig d 
Rol gaat : zo is de Superhcii 
deae ftuk des Kloots zo gr( 
vlakte van het afïhytfèl des P 
perficie van de heele Kloot 
bultige vlakte van de heele F 

Dit is een gevol 
O- toog. Laat de recl 
zyn om het halfrot 
getogen wezen L 
^ Middellyn NCL L 
yen ronaotn NQ , 
ficie van de Kloot befchryven , HG 
NC zal de Superflcie van een ftuk di 
HS een Stuk van de bultige vlakte d« 
een zelfde plat vlak a%e{nedea -vrerdt 

Vv % 





340 H BT IV B Ó BK, 

het welke rechthoekig door de As na\ dé 
* * l© Rol gaat , om dat SL hangende op N(^ 

is. 
_ ^ '^Bwyj.DeSuperficiedieHSbefchryft 

K" i. M ^ is 20 groot als het gemultipliceerde van de- 
ze HS» of van mL, diex^is» metde 
Kring die het punt S maakt^ datism^t d^ om dat deze kring 
zo groot is als de heele waar vandat NCeen fhik is, dcwyl 
SLoo NM is : maar deze i^ is zo groot als de Superfidc 
van het ftuk des Kloots dat NC befchry ft ; gelykin het laat- 
fte Vertoog is aangewezen : dies blykt de waarheit van hit 
cerfte gezeg. Het tweede blykt : S nader aan G komende ^ 
zo komt C ook nader aan Q^; S in G komeftde , zo is C 
ook in Qj HS is dan zo groot als HG , en NC alsNCQ: 
dies is de Superficie van de heele Kloot zo groot als de bul- 
Oge Superfiae van de heele Rol. 

XI Vertoog. 

I. Van een Rond is een Peesdeel ^ kleender 
als het halfrond^ tot zynomgefchreve Recht« 

zo in 't oneyndig y tot i. aanmerkende q voor 

de Straal, a voor de Pyl, cnccoiq — 4f. a. het; 

' heele Rond is tot zy n omgefchreve Vierkant 

aisi— jH-^— f+j— ^, en zo in 't oneyndig, 

tot I» 

XIÏ Vertoog. 

Van een Ellipfis is een Peesdeel , kleender 
als zyn helft , tot zyn omgefchreve Raam 9 als 

oneyndig) tot 1. aanmerkende ^voorde halve 
Middellyn,^ voor de lntercepta,en CoDiq—a. 
2. en de heele Ellipfis is tot zyn omgefchreve 
Raamalsi— i+f— ^+i— ïl^cnzoin'toneyn- 
dig, t0tl4 " XUI Ver. 



Van de Qj3 A » it J 
XIII Vertc 

Van een Hy perbole is een 
omgefchreve Raam^ als i+ 

-V;"-^.cnzoin'tpneyii 
merkende q voor de halve 1 
de Intercepta^en cojiq +a. 

Nota. Als wy zeggen en m in V m 
daar mede te kennen geven het geen 
kende alitde kan bemerken , te wetci 
het fhik, de Tellers altyd moeten to! 
de Noemers met een ^ ; dat de gecsü! 
voegt moeten toenemen met i ; en d 
nomen de twee eerfte die -H 2yn , o 
overhants in het Rond en in de EUij! 
de Hyperbole, En , ten opzigte van 
dat de TeUers der breuken altyd m; 
Noemers opklimmen met z ^ en de 
en— • 

*i Bevys op déze drie F 

U 

hoeki 
iloteii 
Mid( 
Appll 
me J 
of va 
een ] I 
perb 
Al 
dig t 
de Rechte zyde zo%r ^an 

de Middellyn cd %q omg I 

NOxi» NCl 

OPao* Kroi 

NL 00** over; 

LCoojf omgi 

dePerp. PZoo^ bov< 

NKofLToov Vv 




OYZ 




34* 




OYZ 



H B T IV Boek, 

H Bewys. Omdat men heeft 

^rx^:-J•xx—yyo^o 

( — in het Kond en in dcEl- 
lipfis , en + in de Hyperbole) 
zo heeft men jfao>/.xrx 

qi^-jxx 

Dewyl alle de lynen LC 
zvn tot alle de lynen LS , 
ais het inge(chrevene tot bet 
om^efchrevene ; en om dat 
wy aaen dat LC , of jr is een Surdifche quantiteyt van twee 
Termen, en de 8^ Propofitio, die wy zouden hebben te ge* 
bruyken om aan te wyzen'de hoegrootheit die aan alle -/.arx 

^p-jxx gelyk is , niet anders paft als op Surdifche quanti- 
teyten die uyt een Term beftaan : 20 laat ons zien of wy de 
Quadratura van het Pec^deel NCPNkonnen vinden, zyridc 
het irreguliere vanhctKromlinifcheNCPON, waar door de 
reft openbaar zal wezen. 

Aanmerkt CK voor een rakende in C ; NK doet zuk in 
N. Getogen hebbende C / evenwydig aan LN , zo is deze 

po^, en N/xy • en om dat wy hebben irx^p-^^^ — Vy 
000, zo vind men NK 00— : deze NK fteltenae in de lyn 

CL > van L na C toe , als hier LT , en dit overal doende , 
C nemende overal in de Kromme NCP , men heeft de fi- 
guur NTRON , welke tweemaal grooter is als het Peesdeel 
KCPN, volgens het geene in de 6^. Propofitio is aangewe- 
zen. 
Omdat NL co ^ is 9 zo zou mendehoegrootheitvandeze 

NTRON konnen bepalen , indien in LT, die GOy"is, 
geen onbepaalde y in de Noemer was ; en wil men — 



die hier aan gelyk is , daar toe gebruyken , men heeft het 
zelfde , en daar en boven nog dat de Noemer een Surdifche 
is van twee ïermcn : wy konnen ons dan hier van niet be- 
dienen. 

Laat ons aanmerken RW evenwydig te wezen aan NO. 
Kon men de Inhoud van NTRWN vmden , zo had men 
ook zyn Complement NTRON , en by gevolg het 



Van de Q^v a d it A 

Pecsdcel NCPN. Haalt men KT5 
NO IS , zo is 't , alle KT tot alle K 
als NTRWN tot OW. Stelt men 

is vcD-v^O — , » ofwx— ^ 

^ f 

hier door vind men x co ~ït; • ^^ 
lynen KT, of alle ^^j zyn tot al 
deze *^'"' is in de Noemer zo wel c 

de Teller, en daarom al w^r niet dit 
konnen te boven komen , indien me 
met de Quadratura door een aflopend 
bepalen , deelende de Teller door de 
oneyndig , om datter altyd een quani 
blyft , die altyd kleender werd. / 
Zfw door qr ± w deelende 



av».^tv4. . 1 V* .^ t V* 



en 



men vmd — T 7;! + ^ITtT 7, ^ 

Altvd een + en een — overhandts 
EUipus , maar altyd een .+ in de Hyf 
nemende met vv , en de Noemers m' 
om dat V van nul begint , miet een zei 

neemt , en eyndcly k niet groter werd als 
ftcUendc in w ao / '!L - een U iii plaats 
LT op zyn grootfte werdende , dat is 
L in O valt, of dat dan xco^ word] 
van de Breuken , gely k p— , dat^ 1 

heit is* Een breuk met minder als de e 
werd altyd kleender. 

Zo zyn dan alte KT tot alle KX, 

of alle^-PT *-^ +^T-^cnz. total 

«ff y 7 7 i &'""•"* x^. 

— gtfitix 

komt ^'zpH^+il^lTil^: enz. tot 
tot de Raam OW. 

de twee eerfte beyde met -g- ^ ^4c Pet 




^44 H B T IV B o s K, 

als NTRWN tot de Ibain OW. 
maar het tweede is gdyk het vierde, daarom ooik beteerfie 
gdyk het derde, dat is 

^ï^+V^T^cnz.mec-Jy'J^aoNTRWÏf 
dit afgetogen van 7^1/^ xOW, rcft 

-f -i^ ±V^--V?* V5««-°«Ty *rco ntron; 

zyn hdft is 

hy^sJojdeA NPON , komt 



wv hebben dan , iiet ingefchrevene NCPON tot het omger 
icnrevene OH> als 



of 9 alles door ad gedeelt » als 



1 + i--f;*ff.-H^'±J^<»«-mctvff:tot 1. 

Maar uyt zrx qp-^ xx-^^yy oo o , ftellcode a inphatsvari 
x^ en ^ in plaats van jf » blykt dat && is co ^ra:p —aa^ of 
00 Y • ^^ *° P^^ ^^ ** gcftcit in y^9 men heeft y fjjf t 
of-ï^: daaromi— ^±^^— ^±j7^cnz.met-lgcmultipli- 

ceert, men heeft voor de proportie van het ingefchrevene tot 
het omgelchrevene , 

2ynde het geene de Vertoogen z^en ten opzigte van eèd 
ftuk. 

Men ziet ^ dewyl J verdweenen is, die de hoek NOP 
bepaalt , dat deze uytrekening zo wel paft op de gdklde Krom« 
me als NOP fcheef is of recht Men kan dan de uytrekening 
op de Ellipfis mede toepaflen aan het Rond , aanmerkende 
r, die w^ gegaan is, zo lang als q. 

Om de aangetekende overeenkomingte vinden tuficheoeeih 
heel Rond en zyn omgelchreve Vierkant » of tuflchm een 
hede Ellipfis en zyn omge(chreve Raam , zo ftsut aan te 
merken , zal NCPON het vierde van een Rond , of vaneen 
Ellipfis wezen $ dat dan O moet vallen in het Middelpunt, 

of 



Van de Q u a d r 

of dat a moet wezen gelyk q , en daar< 
dan in het laaft gevondene waarnemen 
mer tegens een 4 , en ook t^ens een q 
men 2al hebben voorde Proportie vai 
de, ofvanhethceletothcthcele, als 
tot I , gelyk wy in 't begin gczegt 
Stelt men in de Hyperoole ^co^ 
2x> kan men zyne Series mede in g( 
nemende; om dat rcoi?+tf is , 20 

heeft i+i, off— ^i— rir— r^r— a 
4 X iiZ > nien heeft een andere Series 

De getallen 1— i+j— •4-'—- 
de de overeenkoming van het Rond 
Vierkant, is de zelfde die de H^ G. 
heeft uytgevonden , als te zien is in < 
Lypzig , van den Jare 1 682 ; welker 
gearagen werd van de H''. Oz$nam , i 
tique , op genoegfiam de zelve wyze 
aangewezen , onze leydiog alleenlyk 
lenoe. 

Wil men liever alle de Tekens + 1 
tweede breuk van de ecrfte , de vierd 
voort : of men ftelle een ontelbare me 
kers Tellers alle x zyn , en welkers \ 
is 3 , en van de andere in 't oneyndig 
I maal ^2, 2 maal 22 , ^ maal ^2» en 
hebben voor de Inhoud van een Rom 
fchrcve Vierkant doet i , 

En wil men alle de Termen behalv 
men trekkc dederd^ van de tweede, d 
en zo voorty men heeft, 

de Tellers mede alle 2 zynde, en de 1 
de met2maali69met;maal 16, met 7 
de getallen ^ » f > 7 niet 2 toenemende 
Een gevolg. Om dat de Inhoud van 
door de ^ van de Middellyn , geeft z^ 
1— l+f— ^+i--TTcn2;* gcdcclt dï 
de Middellyn , komt j — ^-H$ — ^^ 
lengte van de Kriqg wiens Middellyn 




^^ Indien de Kromme 

NCPZ een gemeene Hy- 

perbole is, MH en MX zyn 

Aiymptoti: enzodanuyc 

twee punten Tan deze 

- Kromme als uy t N en P, 

.,„ twee lynen NW en PR 

OR. 05* getogen verden evenwy- 

NWaot dig aan de Aiymptoti, 

ÏJè S^ elkander fnydende in O: 

zo zal de Driehoek NCP 

ON wezen tot de Raam van NO en OR , al» 

77+ffi+r^+fs> enzoin'toneyndig, tot i. 

en de beeleraymte ZPCNWX, oneyndig 

nytgeftrekt na Z en X , zal tot de Raam vaa 

NW en WM wezen, als i+j+j+j, enzoia 

*t oneyndig, toti. 

't Btvyr. L<aac CLS, en ook NH cvcswydig wezeoaan 
POR, of aan MX. 

Uyt de natuur van de Hyperbolc is het vermenigvuldig- 
de van CS met SM, dat is van y+* met e- — «, gelykaan 
liet gemultipltceerde van NH met HM, dat is van b met c: 
dies iscy + bc — xy — bx^bc^ of^ co-^. 

Dewyl de Driehoek NCPON is tot' de Raam NR, als 
alle de lyncn CL tot alle de lyncn LS , dat is als alle j , of 
(delende de Teller door de Noemer , om dat in beyde de 
onbepaalde 4r is) 
tUalle-^+— +l^-J-i^, en 20 in 't oneyndig, totalle*. 

met i T i 7 gimuUipliceertenagt^eltvinirXy 

k'. als-^+5^+-i + ^ enz. tot I. 



r 



Van de Qv a d r 

Een Series beftaande uyt een on 
men , waar van de Tellers toenemen 
t : de getallen by de Noemois gevoegt 
men op met i . en al2x> blykt net gezc 

Het onbepaalde bekent men uyt 1 
naderende , 20 gaat C gedurig vei 
ilelleode te komen , 20 is C oneync 
Öriehoek NCLN zal dan wezen Z< 
bepaalt na Z éh X : nu , om dat x 
Raam NS d^ word gelyk de Raan 
in M komt , zo hd>ben wy voor 
ZPCNWX , onbepaalt na Z en X , 
en WM, als i+^-f-^-H^ , en zo j 
ftellende c in ]^ts van x , daar w 
gcftelt hebben. 

Nota. Uyt het gevondene zal blyi 
zal konnen bepakn de overecnko 
NCPN zal hebben tcgens zyn < 
NPON : PO efi NO gdykwydig a 

Want, OPcD^ftclteide. 

NCPON is tot de 2=7 NR, als-J7^ 

dcr:7NRis tot deANPON,als-l- 
dc Raam NR in beydc de proporriei 
derftaande met elkander gemultiplicet 

NCPON totdcANPON, als^-f 

de eerfte afgetogen van de tweede , ei 
de , zo blykt dat het Peesdeel 

NCPNis totde A NPON,als J d—^ 

XV V E R T o < 

Z X ] 




D 






■^-^ni 


L 


V— 


■-1 /Il 




^ 


H K l^£ 


M 



pnnt N genomen 

werd na believen, en 

daar uyt getrokken 

word NH evenwy- 

digaanMX,enNVS^ 

zodanig aan MH: 

zo zal de Raam HW' 

ML, of C Sao» zyn tot de raymte 

^^^ ZCNWX,oneyndig 

FDa>/ uytgcftrekt na Z of 

% jalst—stots, fdcDimcnfïczyndcTande 

lynen CL evenwydig aan NH,en s die van de 

lynen CS evenwydig aan N W. 

't Bewyt. Ncemi , behalven C , nog ccn punt D in de 
Kromme, oneyndïg digt aan C j en laat daar uyt getogen 
wezen DE en DT eelykwydig aan CL en CS. Dcverleng- 
de Pees van DC, als CK raaKt dcKromme in C enookui ' 
Dna'i i8 Voorftel. 

hebbende *■' y • co '"'*" ' 
een equatie paflènde op alle Hyperbolen , zo vind nten KL 

en KL-^/ LCy// CF/"/ FD^ zyn evenredig; 
en daarom is txgzoyfr, o(yff xgjjtjs zyn gelykrcdig, 
dat is , de Raam FL tot de Raam FT , of ( 5 Prop. ) de 
Vierhoek CDELC tot de Vierhoek CDTSC als ï tot j: maar 
daar gaan zo veel Vierhoekicns CDELC in de figuur ZCNH 
MXals'er Vierhoekjens CDTSC gaan in de figuur ZCN WX; 
daarom, allcji/, of Vierhoekjens CDELC, loi alle jc^, of 
ViCThdck^nsCDTSC; ofüe figuur ZCNHMX tot de figuur 
21CNWX, als »tot j: afgetogen de tweede van de eerfte, 
en de vierde van de derde, komt de Raam HW, tot de figuur 
ZCNWX , als * — j tot j, 't geen te bewyzen was. 

Heeft men «xyOD»-*, zo is szo icnïcoii endanisHW 



I 

1 



Van de Q^u A d it a 

tot ZCNWX als 1 tot I ; of de Rj 
ZCN WX , oncyndig uy t geftrekt nj 
00 r5 , zo is de Raam HW half zo groo 
onbepaalt na Z : maar heeft men xxy x 
wezen als YNHV , oneyndig uytgd 
x^yy 00 rS zo is de Raam half zo groo 

XVI V ER T < 

Een CiflToïde is tot het hs 
hy gemaakt werd als 3 tot i • 

B. Indien de ] 

^ Ciflbïde befchi 

NrQN, endï 

opQN, zozal 

eindig uytgeftp 

tot het halfrond 

T *t Bewys. Lé 

S de Kromme C 

aan elkander , g 

Q^ ^ rechthoekig d 

daar aan evenw 

wecrzyden ver: 

CKenC*deK 

Uyt de natu 

zoyz, en uyt < 

is zz 00 IJ*" — 
— xi +22xy- 

KLoo^r' 

/LCjf/ CSiq—A 




NQpoij 

NLoo^ 

CFx/ 
dan,KL^ 



x»x 



vermenigvuldigt xx zr^yz 

metzzoo2j — «,* 

komt xxzz 00 2 J — *■> • 

xz 

of XX 00 2? — -^j: 

of X 00 ;^4^ j di 
plaats van x , en gerediiceert , men 
Maar CF/ FD// CS/ Sl^zyncv 




E K 



Ifó H E T IV B O 

act3CF,SJL03&C3Fp,CS: maaralle de laatftc mafcoi 
OYt de lobood van de Ciflbïdc ; daarom ook alle de C3<»« 
CF, S*i of allel 2/4-ijr/zyn gelyk de Ciflbide j of alle 




a$ het halfrond, en alle^zo groot alsdeCiflbïde: zo is aan 
2 maal het halfirond , + 1 maal de Ciflbïde , gelyk % maal 
de Ciflbide : of, % maal het halfrond gelyk i maal de Ciflbïde. 
't geen enz. Dit is de Methode gebruykt by de H% I^eu^ 

Anders. Hebbende gehaalc CL ^recht- 
hoekig door NQ, en hier aanevenwy- 
dig N T , ontmoetende de verlengde Qf 
in T } zo is TN zo lang als C ^ , om 
dat de hoek CNr zo wel recht is (ge- 
lyk blykt uyt xx zoy^ ) als de hoek 
NirQyofalsdehoek N^T; en daarom 
ft, is NC evcnwydig aan cT j of NT is 
gelyk C €. 

Haalt men cV rechthoekig op rM, 
of die het halfrond in c raakt ( M het 
Middelpunt zynde) zo is NV gelyk 
VT: want , de Driehoeken VM^en 
VMN zyn dan in alles gelyk , en daarom is VM c gelyk VMN, 
of MV gaat rechthoekig door N^ , even gelyk Q/ doet, of 
MV is evcnwydigaan QT , en daarom is V het midden van 
NT 9 om dat M liet midden van NQ^is. 

Nu : alle ly nen NV , begrepen tuflchen N en L , zyn 
% nnal zo groot als het Peesdeel NiirN na de 6 Propofitio, 
en daarom ook zo veel malen de lynen NT , of de lynen C ^ge- 
lyk 4 ma^ dit P^sdeel : maar ook zo veel lynen C c makeQ 
uyt de figuur Nfr^CoN ; zo is dan 4maal het Peesded 
N«^N gelyk i maal het zelfde Peesdeel + de AN^LN+ 
hct ftuk van de Ciflbide N o CLN i of 5 maal het Peesdeel 
N«^N is gelyk de A Nr LN+ het ftuk van de Ciflbïdc 
NoCLN. 

Laat men Lofr in Omkomen, 20 word het Peesdeel N»rN 
gelyk het halfrond NrQN , de ANrLN gelyk nul, en het 
ftuk Ni^CLN gelyk deheelc Ciflcnde: zo is dan ^ maal het 
halfrond zo groot als de heele Ciflbide , 't geen enz. 




XVII. Ver. 



Vzn de 0,0 A D |t A 

XVII V BR T 

Een Cycloïde is tot 2 
Rechthoek als 3 tot 4 > en t^ 
door hy befchreven werd als 

In 
veC 

door 
en ds 
veR 
halve 
Red 

tothi 
'tl 
punt 
men 
zyn ( 

NQ, 

en la^ 




no] 



4e Kromme NrQj of 
de rechte QP 00 * 

werden oneyndig digt aan C , en daa 
DE en DTgelykwydigaanCLenCS 
voor een rechte , zo raakt die de Kron 

Volgens het geene in de Vinding va 
hier voren Pagina 2 f. is aangewezen, : 
rechthoekig &or oe verlengde Qf , 
aan ^N: dis zyn NL / Lr// DG/ 
C3NL,GCisgclyk deoLr, DG 
of de Vierhoek SCDT zo groot als 
Ci Pr4j^. ) en om datter zo veel van ó 
guur NDCSN als 'er van de tweedegaar 
zo is het ftuk NDCSN niet alleen zogi 
hsdtfrond N i/r LN , maar ook de heek J 
het hede halfiüod ; C onderfteUcodc 
door L komt in Q. 

Varders. De CD QH is c» ^qh , en h 
aso is dan de CJQH 4maal groter alsl 
Complement van de Cydöftcfe NCPH 
4 t^ent het Complement i , of tegeos 



( I 




^f% Het IV Boek, 

p gens het halfrond i . 't geen 
te bewyzcn was. 

jinders. Dcwyl Ni( 20 
lang is als C^, zo volgt uyt 
de 6 Propofido niet alleen dat 
het ftuk tufTchen de twee 
Kromme Ni/rCDN twee 
maal groter is als het Pees- 
ded NDCN, maar ook dat 
de heele ruymte tuflchen de 
twee Kromme NrQPCDN 
ft* twee maal zo groot isalshet 
heele Peesdeel NCPN. Voorts. Stelt men het Complement 
NDCSN 00 i«, het Peesdeel NDCNx*, 20 is de cdLS 
00 w+i*, hier van xfr, het ftuk tuflchen de twee Kromme 
Cic CDN, reft %a voor het Complement + het ftuk NifcLN; 
hier van a het Complement , blyft a voor dit ftuk : 20 is 
dan het ftuk van het heele Complement NDCSN 20 groot 
als het ftuk van het halfrond N //^ LN , waar uyt volgt dat 
het heele Complement is als het heele halfrond. QH is ge« 
lyk 4 maal het halfrond , als boven is aangewezen , daarom 
ae Cycloïde gelyk gmaal. 

Hetblykt dat de fpatie tuflchen de twee Kromme zo groot 
is als het heele Rond. 

XVIII Vertoog. 

Indien NCQLN de Maan 
is van Hippocrates (of zo NO 
H de Middellyn is van het 
RondNCQPN, NPgelyk 
QP, en P het Centrum van 
de Boog NLQ) cngehaalt 
werd PLC na believen , CO recïithoekig op 
NQ^>enook OP: zo zal het ftuk van de Maan 
NCLN zo groot wezen als de Driehoek 
NPON,en de heele Maan NCQLN zo groot 
als de D riehoek N QP N. v Bnvys. 




Van de Q^ ü A D n 

V Bevjys. Aanmerkt M voor het 
NCQPN : haalt CM en ook PM. 
QP , zo ftaat PM rechthoekig op . 
dig aan CO , en daarom is C PMC g( 
is gelyk OPRO. Voorts. Dewyl 
twee maal grooter als het Vierkant 
waar van NP de Straal is ook twee 
waar vai) NM de halve Middellyn i 
drant NLQPN 20 groot alshethalj 
de afgenomen, het gemcene NLQN 
zo groot is als de gezeydc Driehoek 
te bewjrzen was. ) en om dat de hoci 
is als de hoek NPL , zo is NMC 
van het Rond daar af NM de St 
is van het Rond waar van NP de 
volgt , om reden als voren , dat I 
NpLn ; van de eerfte afgetrokke 
tweede ORPO, diegclykzyn , blyf 
-f- A OPN O ; van elk nog afeenomcr 
20 groot als de Driehoek NOPN , i 
2en was. 

Komt C in Q, zo vallen L en C 
by gevolg is de hcelc Maan zo groot 
dat boven airede is aangewezen* 

XIX V E RT< 

Een Rond te vinden dai 
Superficie van een gemeene 
gel , rechthoekig door de i 

Laat d< 
mecne Pa: 
isNM, 
mende in 
puntD, c 
IS deverle 
lyn van h 
(18V.) ; 
aan KL , 

Yy 





3f4 



Het 




de 



. zydc OD '' 
NL co*" 
LCcoy 
CM co a 
Dl co/ 
DCx* 



IV B 0£ K^ 

KC, 20 zyn de Driehoeken KLC 
DICCLMgelykhoekig,en daar- 
om is KL tot KC , "of 
CL tot CM, als Dl tot DC 

y f ^ II f I f' 

en daarom t.fo^y^ 

Laat van een Rond de Straal tot 

de Omtrek wezen als q tot //, 20 

is de Omtrek vJln het Rond waar 

van CL de Straal isx-f ; ver- 

tnenigvuldigt met DC x ^ » komt 

— » gelykaan de Supcrficie drayen- 

cfe DC om NL , daarom alle^' 

;elyk aan de Superficie drayender 
^DC om NL, ot gelyk de geheele 



Ylakte van de Conoïde Parabole,.zynde gelyk alle ^, of ge- 



%k alle-yy'.:Jrr+rjir, om dat CMaDV-irr+rxis. 

Deze CM gcftelt in de verlengde CL aan *L , en zulx overat 
doende, nemende C overal in de Kromme NC , en balende 
dan t'blkeiis CM in de verlengde Applicata : zo sul de Krom- 
Knifche Vlakte NLSTN zo groot wezen als alle fy.irr+ rx^ 
en de Kromme ST zal wezen een gemecne Parabole , wiens 
Rechtezyde mede is oo ^, en wiens Intercepta VL is co i ^ + "^» 
zulx dat VN is 00 i '' » of N is zyn Brantpunt. 

Dewyl .dan de Kromme TS een Parabole is , en by ge- 
volg dateer een rechtlinifchVlak kan gevonden werden zo groot 
als net Kromlinifcb NLSTN , zo laat ons dit , als gevonden >. 



dsb 



ah noemen , zo is —zo groot als de fiiperficic van de Co- 
noïde Parabole : zo wy nu de fti^aal van het Rond , dat zo 

groot zal wezen als deze Superficie, ftellcn zdz^tjois^zo — » 

of 2 CX) |/3L ^ft : waar uyt blykt hoe men het begeerde meetkun* 
flig zal konnen vinden. 

XX Vertoog. 

i. Een Spirale die befchre ven werd door de 
Ontwinding van een Rond , w tot dk Rond , 
als een derde deel van 'c Vierkant vaa de Om^ 

uek 



Van de Q^u A. D n i 

trek desRonds tot het Vierl 
1. en de Omtrek van de Sp 
trek van het Rond, als dej 
Rond tot zy n Middellyn. 




I 
C 

s 

V 

ei 

V 

rs 
^ 



ei 

m 
al 
V 
to 

de Straal NM x f ? 

deOmt.NLQRNoo^ ^^ 

de Boog NL zo^ T 

deBoogLEoo/" J^ 

Middellyn NQ^ 

'/ Bewys. Laat L genomen werde] 
Rond na believen , en E oney ndig dii 
ontwondene wezen van de boog N I 
boog NLE : 20 raken CL en DE het ] 
ftaan beyde rechthoekig op de Spirale v 
tweede Hooftftuk van het volgende '. 
daarom, trekkende CF rechthoekige 
op DE , 20 raken deze de Spirale. 

Hebbende CL verlengt tot aan Dl 
hoeken ILMEI en FCIDF gelykfon 
zyn gelyk twee rechte hoeken, zo veel c 
om oat de hoeken in L eninEbeyde 





ora aai ae noeicen in \j 
en in D mede recht zyn ^ 
daarom is CFD eclyk 
LIE. 

Om dat de boog LE is 
onbepaalc kleen , daarom 
ook deboog CD(i2V.) 
om dat zetotelkanderzyo 
' als bepaalt tot bepaalt, als 
LM tot Cl: deDriehoek- 
jens LIEL CFDC zyn 
dan onbepaalc kleen met 
onbcpaalt kleen gemulti- 
pliceert , en dewyl de Vier- 
hoeken ILMEI FCIDF 
zyn cmbepaalt kleen met 
" grootheit bepaalt gcmulri- 

plicecrt, lo zyndcgezeyde Driehoekjens niets m vei^elyking^ 
van deze Vierhoeken ( 14 V. ) dies-ïs de Driehoek LMEL. 
zo groot als de Vierhoek ILMEI , en de Driehoek CIDC 
als de Vierhoek FCIDF, ja akdc Vierhoek FCIDF 
+ A ILEI. 

Halende IM, zo zullen de A"> IML IMElweezydcnge- 
lyk hebben , en een rcchtehoek over de gemecne LM i dies is 
LI gelyk IE, en om dat ze te zamen zo lang zyn als de boog 
LE ( 1 7 V. J daarom is, LI of IE yder 30 i ƒ , dies Cl 30 *" 

Dewyl'er zo veel Driehoekjcns CIDC (of Ajcns CIDC. 
+ Ajens LEIL) gaan in het ftuk NLEDCNals 'er Driehoek- 
jem LMEL gaan indeSeftor NMELN : en omdat CIDC 

felykfoi'mig is aari LMEL , gclyk boven is aangewezen , 
aarom is NLEDCN tot NMELN, als alle Dnchoekjens 
CIDC tot alle Driehockjcns LMEL , of als alle Vierkanten 
Cl tot alle Vierkanten LM , dat is 
als alle xx+fx + ^.fftot alle qq, 
of, als alle *■*■ tot alle jy, omdat/icnietsisinvergelykingvan 
XX , veel meer iffl 
met^verm. om dat*" kan aangemerkt werden op te 
klimmen met een zelfde on- 



^ Van de Q u A d a j 

m plaats van Xjhya verftaande een 
groter als i 9 op dat bet mede zoud 
Quadratura van een ftuk. 

Is dan tf GO I , zo Is de Inhoud var 
RQLN tot het Rond NLQRN, a 
hetderde van 't Vierkant van de Oi 
Vierkant van zyn Straal ; het eerfte c 

Om de lengte van de Spirale te be 
fidereren, dat CF+FD is tot LI H 
tot de boog LE, als Cl tot LM: er 
jens CD gaan in het ftuk van de Spii 
jens LE gaan in het ftuk van deKrin 
Cl tot alte LM , of 

alle j^ + ^/tot alle q.y als enz. 

©f, alle X tot alle q , de ] ƒ verweq 

opzigte van 
met j verm. en ap geftelt in plaa 



I 



boven 



komt , als ^ ap tot q , als de SpiraU 
azty I , zo is j /> tot jT^ of /> tot 2j, 
Kring , als p tot 2 j , dat. is als de Kïïn 
tweede dat te bew)^zen was. 

Stelt men de Middellyn van een I 
wezen als 14 tot 44 , (of als 7 tot 
van de hccle Spirale tot het heele R 
als 645:1 tot 49 , of als 1 ^rV? tot i : 
en de Omtrek van de Spirale befloten 
Rond , als 14^^ tot r. De lengti 
NCSTO , is dan torde lengte van4el 
als 2x tot 7, of als 3; tot i. 

Is NL gclyk het vierde deel van ( 
zo is NLCN tot NLMN als 40 j to 
als 5"^ tot 7 . Is NLQ^de halve Kring,of 
tot NLQN als 161^ tot 49; enNC! 

XXI V É R T o 

Vindende de overeenkonr 
en zyn omgefchreve Kond 
fluk tot een ftuk. 

Yy3. 





3jr8 H E T IV B ó E K, 

Definitie. Indien in de Straal van een Rend éénpunt 
bewogen werd f van het Centrum tot aan de Omtrek^ 
cf van de Omtrek na het Centrum , terwyl deze Straal 
een keer doet om het Middelpunt : zo zal dit punt een 
Kromme befchrjven die menSpiraks ofSlangtrek noemt. 

C dit punt in de Straal 
ML zyndc , inOwczcn- 
de als L in N is , enhen 
bewegende van O na L , 
terwyl dat ML gedrayt 
wercl om M van N door 
^iuy en zodanig dat C in 
in L komt wanneer L 
weer in N is. Of, C in 
L wezende alsL in Nis, 
«1 C in de Straal bewe- 
gende na O toe , onder- 
wfTchen dat ML gedrayt 
werdvanNnaR, en zo- 
danig , C in O komende 
datcfen L wederom in N 
as : zo zal C de Slangtrek 
OVCTN befchryvcn. 

Gchaalt hebbende ON, 
zo bepaalt de Spirale met 
deze eenbeflote VlakOV 
CTNO , welkers over- 
cenkoming metNSQRN, 
zyn omgefchreve Rond , 
wy hebben te vinden. 

De beweging van het 
punt C , en de draying 
van de Straal ML, konnen 
zyn, of onderling ^tf/yi^, 
en dan is de KruUyneen 
van de gemeene (borè^^ of 
ongelyk na veclderley bc- 
palinge: en, omecnuytzoniering temaken, zo Iaat ons met 
Slii/ws {tellende dat altyd is 

y^tot 




de Kring NLRN oo/> 

NO 00? 
MO 301; 

de Boog NSL, of NRL co ^ 

OC, ofLCoojf 



Van de (^ü a d r a 



y*tot j^S als^-'tot^': ol 

Aanmerkt, in de Omtrek van het] 
eyndig digt aan L , en haalt ËM , : 
in D , waar door CD mede is onb 
hebbende uyt M door C een boog C 

f root als MCDM na de 3^. Propofit 
)riehoekjens MCDM gaan in het 
MOVCM, als 'er Driehoekjens LN 
van het Rond MNLM , bcyde dooi 
gefiieden : of, om datter 2x> veel van ( 
vlakte van de Spirale OVCTNO, al 
in het heeleomgefchreveRondNLRl 
of CMFC tot LMEL is , als het Vi< 
Vierkant van ML, dewylze.gelykfo) 
befluyten dat een Stul^ van de Spirale 
gelykdelig Stuk van het Rond MNSl 
tot het heele Rond , 

(i. Word C bev)ogen vtm O 0^1 L, 4 
S en L. 

zoisNSLco^, en 
op dat > groter word als ^ in lei 

'i'+j'OoMC 

^ 

als alle in; + tvy^yy totzo veclmalc 



\t 



€f , als alle w + 



tü^X-^ 



vcrnx. met 



f 
t 






tot all 



,-+ï7, cn^ 

min 

datl 
dieni 
van( 



komt, ^h'ov+^vqa—^j—jqqa- 

ftellende bqzo'^ ^ op dat het zoude 1 
getallige overeenkoming tuflchen q en 
f;, komt 




?^ 



Het IV Boek, 




<t H 




pallende op alle gevallen : op eenftuk totecnftuk , nemen- 
de é gelyk een breuk minder als i , en op een heel 4 co it 
nemende ; in welk geval a met zyn bygevoegde Dimenfien 
daar van afgenomen kan werden, om dat als dan yder vaa 
deze GO I is : zulx dat men heeft 

als W4-^^*+;qp7;totW+z*+ 1 , op de heele Spinde, 
O buyten M. 

fc CO ï nemende , zo is ^ g co^ 9 of OM half zo groot als 
ON : * co i wezende , zo is OM co ON j en fc x 2 zyndc, 
zo is OM xmaal zo lang alsON : maar b co onemende, zo 
is oq^ of ocov ; of O is in M j en dan verdwyncn alle de 

Termen met b gcmultipliceen : 

tl 

men hoeft dan,als ^jr-^^ a— tot i : op een ftuk, O in M. 

en,alsj^T^ tot i : öp een heel, OinM. 

dit laatfte wyft aan de proportie die Slufius vind 

Is dan ^ co i en X co ?( of is het Vierkant van OC tot het 
Vierkant van OL , als de Cubicq van de Boog NL tot de 
Cubicq van de Kring NLRN , nemende L over al waar 
men wil) zo is de Inhoud van de heele Spirale (OinMzyn- 
de) tot de Inhoud van zyn ongefchreve Rond , als i, of^ 
tot I , of als 1 tot 4. 
/CO 3 en ƒ X2r zynde , of is jJ tot ^ als xx tot fp , zo 

is 



Van de (^a a d r ü 

h zodanigen Spirale tot zyn omcdc ! 
maar isT go -^ f of is dcKrommcOV» 
lyn , de beweging van C en van 
voortgaande ; zo is de Spirale tot 2 , 
I tot 3 , gdyk ook WaU^s vind i 
nitorum Prop XXIV, zyndcookdc 
van de Spirale« 

Maar is O buyten M. rooxcn>f 
nemende, of OM eelyk ON; 20 i 
omgefchreve Rona als i +7+? t 
Is*qp2, ofOMoo^niaalON, z 
maaris in deze 4 00 y » ^ is bet ftuk^ 
tot het Ihik des Ronds MNSLM 
kring zynde) als 4+7^17+1^ te 

Is de Spirale een gemeene, of is 
oox, C03; ofOMooimaalON,:; 
ON ; zo is de heele Spirale tothetb: 
:i\s 7»t \%i als 19 tot %7'y en als :| 
adderende i2« 18 , 24 enz , en by i 
jcn zo voort , beyde op klimmende a 
't oneyndig. 

Maar is dan NSLcOy van de heel 
en ïsdan*coo, coi > ooz, ooj 
MNLM als 2 tot 27» als ^7 tot ic 
als 271 tot 4^2. 

2. Word C b^ivêgen van L na O, ji 

N M R <» L, 

ZoisNRLx*"» cnLCcojy, 01 

En dan is een ftuk van deSpinle, 
van zyn Omgefchreve Rond ; of de 
hcele Omgefchreve Rond 
v+q — jfxMC 

als alle w^ivq^qq — xvy — %qy^\ 

of,al$alle«v+2t;j+jj— ^^— — — ^4 

rr fT 
verm.met j;^^ j^^ ,; 

kK^vv+zvq+qq — j^^jvqaT — ; 
totw+ivq+qq. 

Zz 




Zynde een proportie op alle, een ftuk of een gebed, O 
buyren M zynde. 

tf co I fteliende , men heeft 

Als bb-{-zb+ 1 —-^ j_-^^+ ' tot&A+i*H- I. 

Op een heel tot een heel , O buyten M zynde. 
maar, als i — ;^_*7 + ,-^^,«T tot i:opecnftuk,enOinM> 
en I — nfr,+;ir, ^°^ i:opeenhceI,cnOinM^ 

Dit laatfte wyft aan de proportie van Slu^ui , zynde als 
itt tot «+ pi + isr. 

Is dan *xi en jco?» en O in M; 20 is de hceleSpiralc 
tot zyn Omgefchreve Rond als 9 tot 10 (dïe hier voren 
was als I tot 4» of als y tot io) en het derde deel MNTM 
tot het derde deel MNRM, alsi— ïy^^+T^ tot i, ftel- 
iende de boog NR te wezen ^ van de heele Kring : maar is. 
dan *co I , of OM co ON , 20 is de bcelc tot de heele als 
53 tot 8o. 

Dojg is deSpiralecengemeene,of is*a3'Jcnisdan*0Dcv 
ofO in Mi zo is de bcclcSpirale wederom tot betheelcOm- 
gefchrcvc Rond als i tot j: maarisdan ft 30 i » 3Di » CO},. 
ofOMooON, co*ON, x?ON; zo is ook wederom hajffc 
proportie als 7 tot ii, als ig tot 17, en als 57 tot 4.8. zo 
dat het een zelfde Spiralc geeft , of de bewegiiw b^int van 
het Centrum na de Omtrek , of van de Omtrek na net Cen- 
trum, te weten zhy/ qH x{ p limpelyk evenredig zyn. 

III D E E L. 

De Plnètngvan een Rechte lyn sso lang ah een Kromme. 

IN het voorgaande Deel hebben wy aangewezen boe men 
een Rechtlinüche grootheit kan vinden zo groot als oen 
Kromlinifche , dog zeer onvolmaakt: nu zullen wy tonen 
hoe men ccn Rechte lyn zal vinden zo lang als een Krom- 
me , maar dit zal niet oeter uytvallcn ; en gelyk wy aldaar 
weynig hebben voortgcbragt dat alrêe van andere niet was 

Uvr0f>vrinHen in. >Illlltn m-v in Ar-il^ nnlr hir na nioTs tinnTt- 



Van de Q^ü a o r a 
brengen als dat Heuraat en Huygens 
en dat nog op de zelfde manier, alle< 
fchikt. 

I* H o o P T s 

Volgens de manier van 

De manier die Heuraat gebruyi 

i>latte figuur bejlotenvanrechtelynen 
Inhoud zo groot is ah hetgemultk 
ffKy ^iens lengte hyèegeert te vmdi 
rechte lyna: zo hy dan bevind da\ 
^an die natuur is dat men een Red 
ffoot als deze figuur i zo deelt hy < 
Mngenomene lyna, en alzo bekon 
*en Rechte lyn zo hng ds degegex 

T H E o R E M 

Indien N 
Kromme lyr 
tuflchen NT 
rechthoekig 
deze natuur 
een punt C n 
halende CLS 
door NO , I 
rakende in C 
tot KC als e 
LS: zozald( 
LSao« ^o groot wc 
Dl co/" hoek van de 
DCoo* Kromme NC 
. t Bewys. Laat in de Kromme NCP 
men werden oncyndig digt aan C , e 
F 5!:5?^y<J'g aan NO ; en , om da) 

Zz % 





364 . H B T IV Bo fi Ky 

daarom is KL tot KC , als Dl/ toe DCifr ; 
na 't gegeve is KL tot KC, als tot t. : 
cdcszynfl b// af z evenredig, offzo^ba, 
DewyPcr zo vcd l]rntjens Dl, of/ gaan in rechte NO^ 
als 'er peesjens CD , of boogjens CD ( 1 7 V. ) ofB gaan in' 
de Kromme NCP ; daarom zvn alle>& gelyk ^ücba : maar 
alle yS; maken uyt de fi^ur NORTN, en alle /^^i de Recht- 
hoek vaa de Kromme NCPmet a: 20 is de figuur NORTN 
zo groot ab de Rechthoek van de Kromme NCP met de 
gegeve lyn 41, 't geen te bewyzen was» 

Hier uyt volgt. 

Ts NCP ien Krammi mens nsiuur door een gegeve JEqimtie 
tepaM werd , zjo xmI konnen gevonden werden KL m KC, en 
daarom ook zs en alto zal de Kromme TSKmedebefaalt wezen. 
door een Mquatie. Indien dan dete laa$JU Mqiaatie ammy^ dat da 
figuur NORTN quadrdbel, rfVhrkfnteljk is^ of dotter een 
Recbtboek zal kgnnen gevonden werden zo groot als deze figuur^ 
zo beeft men aOeenlyk^ deiue Recbtboek^ te deelen door de gegeve 
tyna^ om voor bet quotiënt te hebben een Recbte lyn zo lang als 
dè gegeve Kromme NCP. 

l^indmgvMealUchteljfni&olMgdséen Kromme. 

L. V o o R B K £ L T. 

Laat de Kromme NGF van 
zodanigen natuur wezen ^ dac 
altyd het Vierkant van CL ge* 
lyk is aan de Cubicq^ van N L 
gedeelt door de gegeve lyn ü., 

dat is jfy co -7-, oiayy:QxK 

hier door vind men KL oo } ^ • wel- 
kers Vierkant $xx, vergaart byhet 

Vierkant van CLoo ~-, menheeft 
|jrjr-f-^ voor het Vierkant van 

KC : dies ly n , volgens het Theo-, 
rema, evenredig 

i^x/^xx+^/i aai *** 
waar door men vind 




NLcöJ^ 
LCxy 

LSxt^ 



Van de Q v A D r 

Aanwyzende dat de Kromme T 
bole, en om dat deze zyne Qua^at 
fffogeiyt^ een Rechte lyn te vinden zö t 
die een Parabole is van het tweede 

Zoeke dan de Inhoud van de Psirabc 
dus. 

Laat de Kromme RST, en der 
men in V ; 20 is V de Top. Om 
ftellezz, of^tf^+^xo» menho 
Van !«•+ Af dcxoDO nemende , 
voor NT. Deelt menditdoor NV c 
de Recbtezyde van de Paiabole VI 

NT GO ^9 vermenigvuldigt met I 
de a VNT , dit met j , komt 5 
VNTV. 

Stellende VOxvj dit met ia , 
nigyuldigt, komtl^rv^diesisORco 

gcmültipiiceert , komt y^av^ voo 
it met I y komt ^av^ voor de Inli 
Zo is dan de Inhoud van de Parabc 
CO — j^aa-^yav^: dit gpdeeh dooi 

— ï|#+y-^ voor de lei^ van d 

De lengte NO bepaalt zyade , 2 
cenheitfteDende, zohedftmen— '|4^ 

Kchtelyk Meetkunftig vind een recht 
me NCP 9 't geen te vinden was. 

higetaUen. Stdt men azo%7 , v 

en i7«oo8 : dies is de lenece van d 
een weyn^ langer wezencfe als de 
de wdke is xV 30249 of ten naai 



Zfrj 





%66 H E T IV B o E K, 

VOORBEELT. 

Indien de Kromme NCP is 
een gemeene Farabole, waarvan 
CL evenwydig aan de As is 3 en 
NL aan de Applicaca ^ en wiens 
Rechtezyde is de gegeve lyn a. 

Om dat men heeft ay go xXyioyind 
men de Onderrakende KL go ^ at: dit 
Vierkant vergaart by het Vierkant van 

CL , men heeft ^ +ixx voor het 

Vierkant van KC j en daarom zyn even- 
redig 

hier door vind men zt go ^ + 4^^ 9 dat 

een gemeene Hyperboleis, wiens Mid- 

»• delpunt is N, wiens Top is T, of wiens 

NL GO X hj^iyc d warfe is N T , en welkers Rech- 

L C GO ƒ tezyde is ^ NT ; en om dat men deze 

LS G02 2yne Inhoud kan afbeelden door een 

Series , zo zal men de lengte van een gemeene Parabole mede 

konnen afbeelden door een Series. 

In de bovehftaande figuur aanmerkende TSR voor deze 
Hypcrbole ; TW en R 1 beydc evenwydig aan NO , zo is 
NTRON de figuur die zo groot is als de Kromme NCP 
gelnultipliceert met de gegeve lyn a i en TRYT is het ftufc 
van de Hyperbole wiens Inhoud door een Series werd aange- 
wezen in vergelyking van de Rechthoek YW , in her ijc. 
Vertoog van het voorgaande Deel. 

Stelt men TY zo lang te wezen als TN , zo is OR , of 
2G0KJ» of zzG04iWGO^+4^'*^, of J^rx'^y'i voor NOj 
dies is de aNW, of de cd Y W go ai |/i. 

Om dat als dan TY is gelyk de halve Dwarlë , zo is ^ 
yolgcns aanwyzing van hec voornoemde Vertoog , deRuymte 
TRYT tot cle QYW , als 4— .i_^— ^— ^i^ enz. 
tot I j of het Complement TRWT tot de a YW, als 
l+iy+TTr+Tb+mT ^nz. tot I. Om dat dan evenredk 
xytH-jh-^^+Tir+w+ïTW enz/ I // Compl. TRWT/ 

ZO 



Van de Q^v A d r i 

asoishetCompl.TRWToo i^ay^ 
htcrby DNWcD 'aay^l 

komtNTRONooii^tfVl 
gedeelt door de aangenomene lyn a 
Tan het ftuk der gemeene Parabole f 

* ^■*Iïtv**^'*"^+7nr7 enz. gen 
laaet NO, ^ 

III. V o o R B E 

Is de Krom 
de befchrcvei 
NGO. 

Zo is CK , d( 
dig aan NG , or 
de verlengde OG 
hier voren in de 
IS aangewezen. 

StelTende NL 
aangenomene ree 

öm dat KL is 

totNGxV^M^j 
xiyaxllai 
aanwvzende dat het punt 5 loopt in 
tweede geflagt j en om dat zyn Qu 
zynde (na 't i5'«.Vertoogvan*t voorna 
onbeflotene Vlakte NXZSLN twc 
Rechthoek NS (NX, evenwydig 
de Afymptoti aanmerkende ) om dat 
Dewyl dan de C3 NS , gelyk xz 
venftaande 15 x^^/av , zo is < 
NXZSLN co IJ |/jjir , zynde gelyl 
/an de Kromme van N af tot aan C 
NC met a , de aangenomene rechte 
gedeelt door a^ hmt %yaxvQordeh 
dat is Pwee maal zo lang als de recbte . 
de heele NCP, of een halve Cycloïde^ 
NO , de Middellyn van het Rond iva 
9fde keele Cyvhide is zo lang als vieri 





3^ H B T IV B o B K, 

IIHOOFTSTVK. 

Volgens de manier van C. Huygens. 

Huygens zoéki eerfi een Kromme Ijn door wiens ont^ 
winding emgegeve Kromme kan befchreven werden^ m 
danisdeVindingvaneenRecbtelyn, zolang ab de Kronu 
me die mtwondm werd^ een gevolg daarvan. 

Indien menaanmerkt kngs 
de bult van de Kromme 
ADSE een draat ce leggen, 
die niet uytgeibkt kan wer* 
den, vaft na E toe , en dac 
men het eynde in Al^gen» 
de van de bult afdiavt ; zo 
zal het punt dat in A gele- 
een heeft, befchryven de 
Kromme ABCF:deze laatfte 
zegt men befchreven te zyn 
door de Ontwindiag van de 
cerftc. De Kromme ABCF 
g^even zynde , zo zoekt Huygens de Kromme ADSE. 

Hier uyt volgen deze Eygenfchappen 

1. De ontwondene Draat ^ een rechte lynzynde^ is al* 
tyd Ztf lang als het deel van deKrommedat ontwondenis^ 

DB is zo lang als de Kromme DA; SC alsSDA , en£P 
als de Kromme ESDA. dit is een gevolg van de uydpanning. 

2. Deontwondene Draat 9 offyn^ raakt de ontwon- 
dene Kromme in dat funt alwaar' hy nog met de Kromme 
vereenigtis. 

BD raakt de Ontwondene Kromme in D , CS in S » en 
FE in E. Ik z^ge raaken de Kromme , om datze verlengt 
zynde , de Kromme niet zullen konnen fnyden. dit i$ mede 
een gevolg van de uytfpanning. 

3. De ontwondene Draat , oflyn^ ftaat altyd rechte 
hoekig op de Kromme die door de omwindingbefihrwen is. 

DB SC EF ftaan alle rechthoekig op de Kromme ABCF. 
Qf 9 door oenig punt van de Kromme , als door C , een 

recht- 




in C. 

't Beayt. Kon ecnig ander punt va 

C, in deze rechthoekige op CS door 

V en W. Verlengt BD tot aan C£ 

EF in Ij en trekt DR en SX bcyd. 

RS is korter als de Kromme — 

RC is korter aIsDV,of als de Krc 

kotnt SC korter als de Kromme 

tcgensdceerfleEygenfchap, om da 
is als de Kromme SDA , ergo enz. 

IX is langer als I S 

IE is gelyk aan lË , vei^aart 

komtEX langer als IS+IE, of als 
E Wis zo lang als de Krotnme • 

komtXW korter als de Kromme - 
en daarom SC oc^ korter alsdeKrotn 
de cerfte Eygenfcnap. ergo enz. Ge 
Itan dan vallen in de rechthoekige o{ 
C : zo Aaat dan SC rechthoekig op i 
wyzen was. 

T H E o R B M I 

Indien B en D twee punten zyn 



\ h/o_^ 



Aaa 




{cgere Kromme AB ,. ea de tweede D vaa de oot* 
wondene Kromme DE , beyde in de ontvondene 
rechte BD. Zo dan BK en DQbeydc rechthoekig 
ftaan op ees zelfde AKj en zo HK ODdenakendc 
isvandeRaaklynKB» en KYOnderrakeadcraade 
Raaklyn YT (diezekcreKrommeraaktia T, wel- 
ke Kromme gemaakt werd nemende aUyd KT ge> 
lyk KM, in de verlengde BK aan K,, verkiezende 
B over al in de Kromme AB} zo zalHY tot HM 
wezen , als KY tot KQ. 

'* Bfviys. Neemt ia AB nog een punt F, wiens ontwon- 
dene lyn is FE , ontmoetende de verlengde BD in G , fny- 
dcnde , of ftotende , verlengt zyndc , AK in N : aanmerkt 
FLV rechthoekig te gaan dcorAK, daar van dat LV zo lang 
is als LN; zo is V in de lelÖe Kromme waar in T is; voorts 
BPO, en ook TX cvenwydig aan AK. 

KNiscoTX+LV, indci,i,3 figuur. 

KMisco LX 

a%.reftMN coTX iXV.+ indcienj.cn— indcafig. 



Van dcQ^w A d r 

M^T is dan zo lang als TX-f-X 
«Is LN , of als H en Y aan een a 
maar MN is coTX—XV als H i 
zyden van K zyn. 

^__ Önderftelc nu d 

^Yco» wezen: of KL BC 

KMoo/ kleen:HBofzyn 

MnSJ F, en YT of zyn 

5*?^' en men heeft de V.; 

DGx/ KY«/KT// 

BOx/ 20 K dan MN 00*, 
MN co* boven. 

HLm±ejBl?e, 

daarom isgm±ge 00 *» ■ 
±/5 en ±?* weg genomen , om dsi 
lykmg van de andere , 

Wyft/wxm+*/, of^cDi 
voor'tlaaft. BG MG BO 

/>+ƒ/ f +////+-': 
diesis^tf ±'f' +ƒ. ± ^' 30 j , 

of, pmn ±plm +finn ±flm 30 qti 1 
idlcs wat met ƒ vermenigvuldigt is 1 
nemende , waar door G komt m D . 
in Dj ook F in B, en V in T: of 1 
gen op de Ivncn BD en BT. 

h\yfipmn±plmzoqmn+qln 
dies IS ^ tot y, 

ofBDtotMD, ^Sfnfi+ In tot ffm ; 

• 

Is BD groter als MI , 
aïgetogenhet tweede van 't **»/?r, ei 
komt BM tot BD , als In ^ lm tot mn \ 

»T«w . 

of, als (/, of) KM tot ^ : 
-- als H en Y aan een zelfde , n^ ! 
derfcbeydene zyden van K vallen : oi 
— als men ▼ind+«, en + als ma i 

Aaa X 




37* H E T IV B o E K, 

Is BD kUtnder als MD. 
agogen het eerfie van het Pv^ede , en het derde van het 
vierde ; aanmerkende dat men in dit geVal h^ -f- lm. 
komt BM tot BD, als//» — In tot mn+ln 



I 



m 



••+/.• 



of, als(/,of)KMtot^^^xK(i 



Zoisdan^T^ 



jdan^T»»!^ ^ ■_, i ^ rrr^ 

af, ^_ Jtotiw+/als»totK(^ 



dat is HY rot HM/alsK Y tot KQ,'t geen te bewyzen was. 
Is dan B gcgLven, zo is ook m gegeven, en ook/: door ƒ 
vind men ». Hier uyt trekken wy deze 

Generale Constructie. 

Om D) éénpunt van de antwondenef te vinden. 
Neemt in AK, KH gelyk m^ na de linker zy de 




van K af te rekenep als men beeft HhM » en na de 

rcch- 



k 



I 



Van xic Q u a d r 

rechter zydc als men heeft— i» 
en daar op rechthoekig MB. 
KYgelyk fiy na de linkerzyd 
+n'y en na de rechter zyde als 
haalt Y/evenwydigaan KB^ 
de BM in f: dan door B een ( 
en tot deze getrokken^ Y^ en 
I HB: dan gehaalt /if ) en aan c 

ontmoetende de verlengde ME 
punr van de ontwondene Krom 
het gegeve punt B in de gegev 

V Bev>ys. Laat DQ^een rcchthoel 
Bi? is tot Brf //als B/tot I 
datis» — ml , ,.. 

of«+«Jf°^«+'// '■ 

TOEPASSI] 

I. Is de gegeve Kromme AB 

AKgo^, KBxj^, cndcRcchtt 

Daar door vind men + iw co i*". 
tyd CD i r : dies is TY cvcnwydig a 

oneyndige lengte) of XV is gclyk 
onbepaalt klcen ( 9 V. ) 

- Om dat BM istot BD , als ln±/t 

n 

of, als/ ±^ 
cnomdat(i^V.) ^ niets isinvJ 
ttrmen : daarom is in deze BM tot 



Aaa 




174 



Hs r 




IV Boe 

Hierom ^ genomenKQjsoli 



rucroiDf genomen r^v^zo lang 
«Is KM+ amaal AK , of MQ^ 
Klvk imaal KA , en getrokken 
I^ rechthoekig op AK, ontmoe- 
tende de verlengde BM in D : zo 
is D een pont van de <Hit woudene 
Kromme. 

!• Is de gegeve Kromme 
AB etniemeene ElUp/is oiBy^ 
perMe. 

^mcDs Middelpunt (in de oyerfyzrr 
<]efiguur)i8l : (lellende de Dwadè 
AE GO «• en de Recfatezy (k X r. zo 
nw^^^^^^^^* — ifideEllip^ en +indeHypex1x>le; 
mdeiR^elderRaaklynen vind menixr co ^^^ 

cnnadejR^el 'aoi****!^-* 

of, al-^^ar^rxoDO , waar door men na de i Regel ^ 
aanmerkende / alhio* als> aldaar, vind 

KY, of »oo^, of/ weg reducerende, T^^oai^^px, 

zo is dan — na^\a — x in deEUipfis, en+»0Di*+*'iii 
de Hyperbole : dies valt, in deze twee Kromme , Y in het 
Middelpunt I. 

On dan in deze het punt D te vinden indeKTX)mmedoor 
wiens ontwinding de EUipfis en ook de Hyperbole kan bc» 
ichreven weixlen , BH en BM gecrokkoi Hebbende (maken* 
de dat KI / KE // KA/ KH evenrcdigzyn , en BM ixïcht* 
hoekig op HB) zo haalt uyt I , het Middelpunt , een even* 
wydigeaan BK, ontmoetende de verlengde BM in/: don Ie 
en M i bcyde gelykwydig aan HB , ftotcnde de rechte door 
B getogen evenwydig aan AK in # en in ^ : dan getrok- 
ken efy en daar aan gelj^kv^ydig iD , ontmoetende de ver* 
lengde BM in D : zo is D een punt van de ontw;ondene 
Kromme. Op deze wyze een menigte van punten D zoekende, 
en over hen nalende een Kromme, men htefi eenfiukjvanéc 
wPwondene Kromme lyn. 



Fm. 



Van de Q,0 A d r a 




P%dïng van een Rechte Jyn z» S 

In 't algimten gefchiet dit zoekende 
de ontwondcnc , op de wyze als n 
want dan 2al fiet verfchil vm ietwei i 
lyn nvezen die zo la»g zal zyn sis be, 
Kromme begrepen titffchen de twee pm^i 

In \heamder werd xulx verricht 
hebbende als voren ) zoekende waar 
geve lyn ontmoet, aU hier AK in I 
zo veel als of men no^ een punt D 
de gevonden : maar hier toe is van c 
èt iMtuur van de gegeve Kroipme A 




BMisinaUcR.rommeljrncnoDV'.jiy+H, KomtBmA. 
20 is>xoj dies isalsdanBM, ofAMxi/. Nu- lisoo-r 
in de Parabole, gdyk bekent is : in de twee amiere is ga. 
ïondcn/a)j^TA:,f, of/cDirT-^. KomtBinA, 2a 
ïsookxx>o; dies is in deze twee mede /x-r. Nu de- 
wyl M in AK en ook in BD is, zo zal D in AK koniendc 
vallen in M; dit punt dan R noemende, zo is R een punt 
van de Ontwondenc Kromme;, en AR isindezcdrieKarel. 
Tneden x i >■ , of gelyk de helft van de Rcchtczyde. 

Zo IS dan BD— ; r , of de Ontwondenc rechte BD min 
de helft van de Rechtezyde is , in de drie Kmelfneden zo 
lang als de Ontwondenc Kromme van R af tot aan D toe. 

Undaig van di Natuur dermtwmdeiuKrmmilnr 
afheeldó^ van tm z^quatit. 

Als de Kromme AB een Parabole is van het eerlfc Keflaet. 
M IS de Kromme RD mede een Parabole , maar MnSÏ 
tweede gellagt, . »iaar van net 

wantKM / KB // MQ/ QD zyn evenrcdie, 
datis ir / j/r*-// ix /» . CPooi ftellSde. 
daardoor vind men ïrczoo^jci. 
ftdlcndc RQpDj, zo isyoaj* 

of,*,J'0O+«'xiifai 
_ j „ °? tïfv"^ . een Parabole van het 
tweede geflagt, wiens Vierkanten van de Interccpten even- 
redig zyn met de Teerlingen van de Applicatcn. 
In de Ëllipüs is 't 
^IH IM HK 

ir=f +i«— * / ;•— *— ^=^/ j^'f . 

komt*- '~'"~"— — -a'M(^. j^_ " 
KM KB MQ. Qp 

dies is i=iii=7ia>00«> — ;««+3Mrar_*-i,;ri,datisxde 
Cubicqvaotf — *■,*. Voorts. 

RK 



•^•[•)ii v,» 



j nml 



Van de <^ü a d s a r v k A. '377 

RK KM MQ. 

ii_r -^41» 

'door beyde de gevondene iEquatien de x w^ g( 
yind'er ccn waar in allcenlyk Zjfyrena zyn. 

In de Hyperbole vind men hetzelfde, uytgenomen datdè ' 
tekens alle + 2tyn. 

Andere Voorbeelden. 

Is AB die Parabolc vm het tweede geflagt door 
wiens ontwinding de gemeene Farabole befchrevea 
werd 4 

dat is , is rxx x J^^ 
20 is+jwoo i{ J^;en + » CO ? ar»omdatKM,of/co fl/' rr^is; 

dies is KOpo^^^Xj^'+iZ- 
daarom vind men D , een punt van deOntwondenc , ma- 
kende KH gelyk i^maal ICA , trekkende HB , en daar op 

rechthoekig BM ; en nemende dan 
MQ^zo lang als KM -Hg maal 
KA , en halende QP » evenwy- 
dig aan BK , tot dat hy de ver- 
lengde BM'inyd in D. 

Ahders. Genaak hebbende AZ 

jelykwydig aan KB , fnydendc 

Ie verlengde BM in Z ; zo neemt 

BD zo mng als ^ maal BZ en 

zmaal BM, om dat KOgelyk 

3KA+xKMis. 

BD is zo lang als de Kromme 
AD, omdat R in A valt: want; 
uyt /co T V* ^^ blykt , KA of 
j^aoo nemende, dat/, of KM dan mede oo o word : Bdait 
in A zynde, zo valt K mede in A , en daarom nu ook M: . 
èn by gevolg is R mede in A. 




%i k 



Bbb 



Msbu: 




20 is +» 30 3*" * cn— •3oyr« 
«ttdtt/oDïV» 'ir'*' 

zo moet dan MQ zo lang wezea 
alsiKH— ^KM:ofBDzo lang 

O ah i^maal BZ+^nml BM. 

Om iodeze bet pont R te vin- 
den, zolaatonsMQj diezot^x 
-~'J is, xo nemen (wantcfan 
koQitD ioM , en M is dan hcc 
punt R) zo is '003^ * of KM 
OdKH, cndaarom'BKxKM, 
dat isji co 5*)0fj'» 30 IJ-** 33 tX; 
dies isxof AKooy'iï»'»", en a* of AM33y'i|rr. Alsdan 
AKoo'/st'''' >s, zovalt DinM, en AR is dan 33 yi? rr. 
Mair om diit B na niet in A komt als BD de Kronme EiC 
raakt in R; of omdat BM dan niet lan^ AK leyt, of niet 
is xAR» za moet men nu BM , die ifci is aoy'ï"' » 'i" 
&D aftrekken , om een rechte iya te hebben die 30 lang is 
^ de Kromme RD. 

Isdenatuorran cïePkrabole zodanig dat rx* is 33j*. 

zois+fwooi*» en+«XUf, om dat /ooV'ïi''* is. 
RQisdanco4v+5/, of BDaolangab 4BZH-3BM. 
R vak dao in A , om dat a^coo zynde , ook /xo word: 
dies i& de rechte BD zo laag als de Kromme RD, of AD. 

Maar is de natuur van de Parabole dat r^x3:iy*is. 
20 is+mx4*'ï en— «X»*, om dat Izoy/^^is. 
diesisKCixiT* + T^. of BDx ItBZ+|BM. 

Omdat Ij* — 4/ 30 o moet wezen zal D in M, ofin AK 
fcoDWn, of /3ox>v vo(» KM; die vermenigvuldigt metKH 
C04f 1 komt 3fv X Sjs* » of>*x64J=+X'^*' . of*x i»" : 
di£si8)[yx^''»"t enom Aa KM isx^r, zoisBMxv'i'* 
wanoeer M in R komt : zo is dan de Kroame DRx i4 
BZ+iBM — i/irr. 



Van de Q u A d 1 




pcrbc 

fx> is AR 3) AS ; om dat B m A 
feyde komen in S: BD— AZ, of| 

zo lang als de Kromme RD. 

Is xxy 00 r^ 

2x> is — iwGOi*, cn^— «oor^f 
daar door vind men KQjo^Ar+j 
BM. en daarom is | BZ + 1 BM — . 
me RD ,. om reden als boven. 

Is de gegeve Kromme AB 

of is %qyy — xyy — ^''XO 
^is+moD^f~r, endaarom^^' 
of 4f j/— 4f ^/+ xxi~ 3i 

Hier door vind men +» X ^~XT/ > ' 
Qmftruffie. B in de Kromme gei 

ven , zo haalt BK rechthoekig op 
het halfrond ontmoet in I : dan nee 
QP gelyk de helft \'an AQ,: haalt 
kig IH : dan HB , die raakt de C 
ken BM rechthoekig op HB : dan 
•4"gmaal KA: gelmlt lO, en da: 
getogen Y/ cvcnwydig aan KB , 

Bbb X 




38» .- Het- IV B o » k. 



AQp i? AK co * BK ODJ» 

WB in f: ook door Beea gelykwydige aan AK : dan Mi 
eaYe , beydeParalld aan BH, ontmoetende die door Bfti 
den e: dan gchaalt e f, en daar aan ercawydig JD , Hoten- 
de de verlcnade MB in D : zo is D eai punt van dcKröm- 
me betrekkefyk tot B , door wiens Ontwinding de Cillöi- 
de kan belcbrevcn werden. 

De rechte BD is zo lang als de Kromme AD, om datR 
in A valt: want, Bin Azynde, of K in-A, ofjfxo we- 
zcnde, 20 is KM , of /mólcaoo , om dat iiyt bet bovcn- 
ftaande blykt dat /co^ i r^ia : zo valr dan M mede in A, 
en daarom ook D, of R. 

Is de gegevc Kromme AB die van Cartejiks, 

waar inj»ï+*'— itjtrycoow, 
zois»co ^~^']^ , en 

daarom is; ^ - '~^"^' Ooyj»» of 
yyl — \nxl — i «}r)> + XAf y CQ O : 
-f^ daar door vind men 

hier door vind men de punten H en Y ^ en daar door het 
punt D. 

BD is zo iang als deOntwondene Kromme AD , om dat 
D in A is als B daar in komt. 

Men ziet dat de Metbode v<m Huygens toepaffèly}^ U cp alle 
Kromme lynen loient natuar door een Mjuatie afgebeelt ■werd': 

het 




H JC M 



toeroea oMr baart hygenjcbap, oféoa 
«ns vteytiig Kromme vaorgekomen z.yn. 
tie zoude kgnnen brengen , zo oordelé 
tot een groote menigte van Kromme 
van datze niet en vmd de lengte van e, 
die vim Hcuraac iü>et , maar van een 
^g evenwel de gegeve Kromme ion 
^t ook. f» andere aamny-ijng van t 
lengte de gevonde rechte gelyk is , alt 
eenige van zyne punten , dat niet alken 
ook veel moeyten in heeft .- ibg dit x.yi 
ondemiorpen , dat men ze niet itan btjiï 
van veele ponten waar door ze moeten l 
Wy zuUcn hier by voegen de Kn 
H'. Tbemhaue , daar in wy zyne kn 
len aanwyzen op een andere manier, 
dertwee voerende, op dac men zii 
dere wegen zyn om de lengte van 
Rechte te bepalen. 

Deze Brandlini werd gemaa 
ming der Stuycftralen , waar 
onderling evenwydig zyudc , 
Spiegel , wiensgedaante Circu! ; 
de door een pUt vlak dat 4oo] 
'de Spiegel gaat. 

I, ' India 

Circular 
deMidd ! 
enMDI 
is: zo z I 
1 lingc c\ 
> * die, gt 

RuymO 
daar van hier GE en HF twee zo" 
gel ontmoetende , en weerom ftuyt i 
■de ruymte van het halfrond , zoda 
Itomft zou uytmakcn een Krommi 
beo deze eyecnfchap, dat emer al d> 
Bbb 3 




1$% Het IV B o B X, 

l^tm, «Cr AB zfflM£ MitmM êU BE+EG (ie&g^t0rsêt 
tm dl SÉokjlrsêi U tijmen) ABCzolmig êU CF-hFH, fmd^ 
taUABCD L» /«ff êls DL-f-LM ( DmbttmMnvmMU 

zpidt) <f i\mMÉl de firëd vm-de Spiegel: ook zdl over oldê- 
Sti^tfirMl Mf»o ImiwVMUziynRM^êtli EBf«/yi^ËGw, 




ibnmcrkt hctbovcnibinde Rond gedcelt te wezen ineenige 
gelyke dcetcn , als hier ki ^£ , of het quadrant in g , en laat 
getogen ïyn tot ydcr deel de Raakftralen WY , PQj TR ,, 
enz. en ook haait Stuytftralen Yb , Q*, KA, enz. twee- 
ran deze taatfte , wiens Raakltralen het naafte aan elkander 
zyn ', liiyden elkander in de punten f y,f,C, h,d^c, dat 
by gevolg punten van de &andlini zouden wezen inüen de 
deelen van de boog oneyndig kleen waren , en de rechte 
lyntjens D; ,//,/«,#C, CB,Brf,^c, cR. RA zouden 
dan Kromme wezen., ca gezameotlyk de BrandUni uytmft- 
ken. 

Om 



Van de Q^u a d k a 

'M L 00 » Om een van 2 

VIYODP beeltC, tebq» 
PQ^ooi^ zoftdleCI 

TKoor FC 

HF 00 X zoisOC 

GE co/ cnNC; 

VZ 00 V Om dat de Bc 

X S 00 10 is als de Boog Fl 
IR 00*- AEx*,enEFc 

ooii, en FLN 
a>a*+g/; hiervan ELOoDit, bh 
of gclyk 3 maal de boog EF) daaroii 

mende, 20 is de Pees NOxjz ~ 

En om dat de Driehoeken ECf'( 
ïyn , 10 zyn evenredig 

NOgz-fi/EFz/ZNCir 

ook ^O^x-^/EFz/fOCit 
dicsisa/— jpoo?^— ^, cnit—x 

Pewyl de Raakftralen GE en HF 
kander zyn , of om dat GH onbcpaali 
de Pees EF , of z mede zodanig is , 1 

^" 7ir ^^^^ zy" ^ vergdykiog. van c 
<iics hebben wy 

2x— >oo5^, cmt—x: 

of^OO^^— i/^enjoo^^- 
Foorts. Dewyl de Driehoeken OBI 
hoekig zyn , en om dat haare Peefen i 1 
als de vorig£ NO en EF, en bjgcvc 
de wyze z^ vinden dot EB is oo^v - 
van ÉCooix— i^,refl;BCa>^x— iv;( I 
dat is, BC ^ #ni gedeelte va» deSeuy^t 
fivoêl EG hy is Ko laug als bat\vanh 
Xaakjiralen aan^ Vieerxjfden va» ham. ( 
ir—iti Bd aU |#— ^w, en zo ove 

Na dtzc wyac is R roD ^ w — :J:van 1 
AR ookx^^r, dat eefchieden mag o 1 
wk IR is onbqmlt kken) zo Ikokx 








ARoDÏJtr 

Rf cOïTO 

BC X ï f ^- ï "i welkers lom 



AR+Rf+<;rf+*^+BCis30ïf+ÏJ;ofxiJ*;of30lïi" 
aaamerkende de boc^ FE oneindig kleen te wezen , waar 
door het verfchil dat t groter is als * mede is oncyndig kleen, 
en daarom sxt.' Zo isdan de Kromme 6randlini| van A be- 
^nneode tot aan C toe , zo lang is als t -j f ; indien -men C 
neemt te wezen alwaar deStuymraalj komende van E, hem 
ontmoet , of aanroert : maar als i^f zo hy van F komt. 

Vervolgt men deze vei^ring , hy het vooi^ndc adde* 
rende CfcoJr^J/, zoial delengte van de Kromme, van 
A af tot aan e toe.» zo lang wezen als ^s^ir ; of dsrjr 
zo / komt van F, of als i!r 20 ^ komtvan K. 

De. 



Van de Q^tr a d r 

. Dcdricoverigc «/colf-—»/ 

^ Ml de bccle Kromme van A te 
acnak|^+^»,ofals li», aam 
xomen : en alzo blykt de waarhc 
zegt is. 

Het tweede aai wy «yt het ge 
gevonden is. Daar is gevonden ;^ 
yso^t—is^ dies is x+yoi)is-+ 
ten F en C in elkander vallen, ze 
ten C en B, ook de lynen x en / 
A^',V*?/.^y gevolg is xooit, o 
itraal half 20 lang als de Raakftnia] 

Hter i^t is openbaar hoe nun de 
he/ibryven. want , een pimt E in ( 
lieven, halende EM, endeRaakft 
iioekjg door aut : dan MEB 20 ^ 

en genomen EB half zolangals E( 
Brandlini. 

^ ^*i men deze Kromme do» een Ml 
«reen vuiden 

Laat de 
Kromme , 
wydige aa 
/* en de I 
^ gehaaltwc 
Om dat 
of gelyk h 
'is B/ zo li 
of 00 ir. 

Voorts. ] 
HE te zaï 
hoeken BE 

i,r. • t , dat/EKn 

ViJ/is als de andere BE/, zoisdï 
ovenge BE* : dies is B^ gelyk BE 
om kj gelyk EG : overaulx is /G | 
KE. /Eis dan co 7-, endaarom/Io 
MAzynde) hicrby^xj— i<, koi 
3) EG, ccc 




IC 





5» 03 i{taM 
off CD Vï «w 



zenoc ae oetrcKinng van yaer punc 
dcT Brandlini door een equatie 
ten opzigte van y , f , en « , of ten 
aanzien van yder punt der halve 
middcllyn AM , en van elk pum 
des vierendeel ronts AEL. 

Indien men deze jEquaciemulti- 
3H i^icccn met een Arithmetice pro- 

frcffie , overeenkomende met de 
Kmenfien van * , zo vind men 
fOoVi»»: te kennen gevende dat 
E Qp het wydfte van MA af zal 
wezen wanneer EG is od y'^ «» , of 
wanneer de boog AE is van 4^ grar 
den. Dat men ook lichttlyk tan 
zien waancbtig te wezen zonder deze uytrekening. 

Wil men ayt B , een 
punt vak de BrmJlmi, 
een rechte BE trekken 
^ hem in B raakt^ 
20 werd het punt E 
gevonden zoekende 
uytff X li "«' — "«y 
de hoegrootbeit van 
t , die men vind als 
men hAQ zo lang 
neemt , als i^maal 
MA, A«cOï*B; en dat men een Pürabole belchryfr door 
O als Top , op OA als As , met MA als Rechtczyde , foy- 
dende het Rond uyt m door O getogen in ^ , en dat men 
door p haalt een evenwydigc aan AM ; want deze zal het 
vierendeel ronds AL fnyden in £ ; dan getogen EB , die 
raakt de firandliniin B. 

Wtlmenzyn Q»airgturéiiseteninverge!y}(}ngvanhet Quairtmt: 
zo haalt, in de volgende Figuur , Bc evenwydigaanj^Ej en 





^ 


'7....'Rt^ 


J 


^ r./ 


/»_ — ;üjr 








r 


r 





A, 







Van de Qu a d n 




'Pcrpcndiculaar uyt F op E ^ is c 
Driehoek EFfiE isonbepaahklecn 
heit bepaalt i om dat EB bepaalt g 
niets in vergelyking van EFBE : 
£BCFE : maar EBFE is half zo gi 
of als het vierendeel van het Raan 
het middbn van EG valt , dewyl 1 
die zo lang is als EG , gelyk hier 
merkende het Vierhockje qGHdq 
Raamtje E^, om dat het verfchil i 
bepaalt klecn) voorts. Dewyl 'er ze 
gaan in de Ruymtc FBAEF , als '< 
gaan in de Ruymte FHAEF } zo 
deel te van EGAE. £ komende in 
'G in M : zo is dan ook de heele 
vierde deel van hctQuadrant; of 
"het Quadrant , het gcene dat wy z 
Indien men om de Brandlini een 
dat men het ejmde in A leggende I 
komt in de verlengde ML aan L 
floten door deze daar door gemaak 
ni 9 en de verlengde ML , driem 
Ruymte begrepen tuflchen xie B) 

Ccc X 




7"^T^ 



1 



i%9 



MCT IV BosK 



T o E Q I F T. 

Vinding van het Centrum Gravitatis^ cfhetfwaar^ 
keits nüdielfunt in alle foorten van ParaboUfche P^Ukhm 
en Lichamen^ zo wél van degeene welkers bogt inwaarts 
loopt , als van die geene welkers buyging ujtwaartsge^ 
fchiet. 

Vypwaarts valt de bogt wanneer dclntcrccptcnvanw/uifer, 
en imvaarts alsze van meerder Dimeniien zyn als de Dimen- 

fien van de Applicateo. 

Laat NDPON een hal- 

I» ve Parabolifchc figuur we- 
zen , waar van NO is de 
middellyn, PO en DEap- 

Ïlicaten; en EOonbepaalt 
leen. 
Het is kennelyk dat 
3^^ de (waarheitsmiddelpunten 
p zulten wezen in . de middel- 
lynNO. 

Laiat dan A het (waar« 
heits middelpunt wezen van 
de Parabole NPO , B dat 
vandeParabole NDE, en 
C het zelve vande Vierhoek 
EDPO; 

Laat PDK een rechte 
wezen ontmoetende de mid« 




X 



^o""^ / 


EA 


J^ 

s 


1 


NO00-» 

ÉOx/ 
ACxj' 








lyn , of^^n, verlengde in 



en DF evenwydigaan 
Nö: zoisPDKRailyn 
van beyde de punten P en 
D(i8V.) 

Wy zullen onderftellen dat de Middellynenvan de Para- 
bolen NPO en NDE, als NO en NE, door haare fwaar- 
heits middelpunten A en B evenredig gefneden werden, de- 
wyl de ingefchrevc Driehoeken zulx ooen , die met deom- 
gefchreve Parabolen een bepaalde overeenkoming hebben , 
en te meer. om dat S, Stevin zulx bewezen heeft. in die van 
het eerfte geflagt : daarom 

N04, 



Van de Q u A ix r 
NOif, NAa-, NE4— ƒ? komi 
NAoo^, rcft^xAB. 

O^ ^e ParaboUjche pJa 

Dewyl de rechtlinifcbe Driehoel 
in O en in E een gelyke hoek hebl 
redig met het vermenigvuldigde va; 
ken j ook de Parabolen NPÖ en > 
voornoemde Driehoeken evenredig 
^t voorgaande Deel : daarom 

NOgo 
PO 00 

Je Par. NOP tot de Par. NDE,als 
of,dePar.NOPtot EDPO , als ^ 

Trekkende de tweede van de eer 
derde 9 en ^ verwerpende, omdat 
van bfcn ag na *t 14 Voorftel van 
men fg daar in houd , en in de leftc 
ducccrt , en dan alles door ƒ dividec: 
waar door E en C beyde vallen in 
men het zelfde bekomen dat wy nu : 
pende») 

Om dat de (Waarheden wecrkeri| 
Ermen , daarom is AC tot AB , al 
de Vierhoek EDPO: aanmerkende I 
jende aan A , waar van AC en AB 
:ers eyndcn B en C hangen NDE i 

Dies is AC> tot AB-^, als o* u 

Voorts. Om dat in alk Parabolen K< 

t voor de Dimenfien van de Applia 
de Intercepten. 

Zo zyn KO^/ PO* // DF// 1 

Dies is ^ X — • dit gcftelt voor g 

20 is hCy tot AB ^ , als db tot bf* 

en daarom bfxoDbfy'^'-^ 

hf 1 

of tx^Qty +ƒ> 
Ccc j, 



I 




^ 



MBTf IV 





B O B K^ 

^ of^tjotjf, ófNAtot AC^ 
F af NA tot A0 

(om dat EO onbepaalt kleen 

is, en daarom OOK CO 9 en 

by gevolg AO gdy k AC)ak 

$+s tot tz dsitïs j ais de 

Dimenfien van de Applicaia 

£ O en de Dimenfien vandelnter* 

T ^epta te zamen , tot de Di^ 

menfien van de Applicata ^ \ 

F geen enz. 

Is deParaboIe emgemee-- 

ne , of is yy:x^rx (y de 

Applicata , x de Intercep- 

Jq ta , en r de Rechte zydc 

lï wezende) zo is ^00 2 , en 

/ X 1 : en daarom is NA tot AO als 2 tot x , gclyk S. Stevin 

heeft aangewezen in zy n i % Voordel van het tweede Boek 

der Wcegkunft. 

Werd ny a^ebeelddoorj3,30fTiV j zo is ^X? en xoo li 
en dan is NA tot AO als 4 tot j : door y^ zo ^^^ » zo is het 
als 5 tot 2 : door ys x ^^-^^ , zo is het als 8 tot ƒ. 

Werd de Kromme vertoont door xxzo^y^ een gemeene 
Holle^ zo is toD I , en xxx s en daarom NA tot AO als 
3 tot I : door x^ x ^Ky > ^s 4 tot i : door x^ x ^yy » als f 
tot 2 : door x^ zory^ , sds 7 tot 5* 

Zyn / en ƒ beyde x i ( of van evengroote getallen ) zo is 
de Kromme NDP een rechte lyn , en dan is NA tot AO 
als a tot I , voor de proportie m een rechtlinifche Driehoek, 
gelyk Stevin aanwyft in zyn 6 Voordel ^van het x Boek der 
Weegkunft. 

Op de ParaMifihe Lkhamen. 

Nu zyn OP en ËD de halve Middellynen van Rx>nden. 
NOP recht zyndc , en dravende NDPO om NO als Spil , 
zo befchryvcn OP en ED deze Rx>ndcn , en NDPON 
maakt een Conoïde Parabole. 

Nu moet men NO x a met hh , en NE x a — ƒ met bb 
— ^g'^gg^ of met bb — ibg(gg verwerpende om reden 
als voren ) multipliceren , om quantitey ten te hebben die even- 
redig zullen zyn met de Kegels door de rechtftrcpige Drie- 
hoeken 



Van de Q^u A d R ü 

hoeken NPO en NDE befchrcven 
Kegels befchreven door de Parabole 

J^ies is de Conoïde Parabole van 
Parabole van NDE , als abb tot M 
pende zbgf 

Of de Conoïde Parabole van NP< 
EDPO befchreven , of de Erm AC 

ACy tot AB -^ , als Ab tot labi 

of, ay tot fx , als abb tot ï-^ 

bb 

of, 4ytot /V, als ta totzsf 

of tfx OD isfy + tfy 
of tx coi-ry + ry 
of.*" tot jf , of NA tot AC , 

of NA tot AO , als is 4 
Dimenjien van de Applicata en % maal a 
cepta^ tot de Dimenjien ^ van de Applicat 

Is dan de P^rafa^lifche Kegel gefbi 
van het eerftc geflagt , afgebcelt we 
yyo^rx^ en de holle door xxo:)ry 
NA tot AO als 4 tot x , of als x tot 
wyft in het 23 Voordel van het twe 
als 5 tot I. 

Is y^O^rrx^ 20 is het in de bultige a 
als 6 tot 4^ is jf' GO rxx^ als 7 tot 3 
in de holle als 7 tot i : is x^oD^y ^* 

Maar is tcD^j 20 is de Parabolifcl: 
of de figuur is een Keed i en dan is 
zodanigen proportie hebben zy mede 
Driehoek , of eenige andere rechtftrep 
zulx bewvft in zyn 1 8 Voorftel va 
Meetkunft. 

E Y ND 




u- 



• 

\ • 



• I 




\ 



f