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Full text of "Annales de la Société scientifique de Bruxelles"

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\ 






— II — 

Faget. 

III. Assemblée yénérale da lundi 3 mai 1886 77 

Rapport du Secrétaire. /6. 

— da Trésorier 80 

IV. Assemblée générale da mardi 4 mai 4886 85 

V. — — da mercredi 5 mai 1886 85 

VI. - -- du jeudi 6 mai 1886 86 

Liste des ouvrages offerts à la Société scientifique de Bruxelles ... 90 



AUTEURS. 

Bourgeat, 66, 68. — Brlfaut, 80. — Buisseret, 58. — Carbonnelle, 47, 52, 77. — 
Jos. Camoy, 52, 54. — Cuylits, 72. — Delsaulx, 53. — Desplals, 69, 71, 72. — 
De Tillj, 53, 55. — DoUo, 58, 60, 66, 68.— D^ Dumont, 70, 71. - ÉUenne, 66, 67. 

— Gilbert, 46, 47,53, 55. — Heymans, 71. — Kennis, 87. — Lagasse, 48, 32. — 
Lamey, 47. — A. de Lapparent, 66, 67, 68, 82. — A. de Limburg-Slirum, 61 . — 
Mausion, 46, 47, 52 — M. d'Ocagne, 52. 54. - Pasquier, 53. — Proosl, 60, 67, 75. 

— V** de Salvert, 47. — Schneider, 69, 72. — Smets, 58, 60, 61, 68. — R. Storms. 
68. — Tbirion, 47. — Cli. de la Vallée Poussin, 61, 73. — Vanden Gheyn, 60, 66, 
67. — Van Segvelt, 60. — Verriesi, 70, 71. — Visart, 85. — Domel de Vorges, 67. 

— Warlomonl, 72. — Witz, 83. 



QUESTIONS AU CONCOURS. 



i* On demande de$ recherches nouilles sur des combinaisons renfer- 
mant le noyau C„ — Cfi^ 

2* Des foyers à gaz au point de vue hygiénique, 

3<^ Expliquer la dualité des deux types^ Vun brun et l'autre blond, 
qui se constatent dans tous les grands rameaux de la race aryenne, en 
opposition avec l*unité linguistique, 

4* Donner une théorie rigoureuse de la différentiation sous le signe 
dans les intégrales définies^ en assignant les conditions précises qui 
limitent l'application de la règle de Leibnitz, principalement dans le cas 
de limites infinies ou de fonctions passant par Vinfini. Faire tappli- 
cation de ces principes à quelques intégrales définies célèbres. 

Le 1'^ octobre 1887 est la date de rigueur pour l'envoi des mémoires 
au secrétariat. 



/ 



PREMIERE PARTIE 



DOCUMENTS ET COMPTES RENDUS 



STATUTS 

Article l*''. — Il est constitué à Bruxelles une association qui 
prend le nom de Société scientifique de Bruxelles, avec la devise: 
« Nulla unquam inter fidem et ratiotiem vera dissensio esse 
potest (*). » 

Art. 2. — Cette association se propose de favoriser, confor- 
mément h Fesprit de sa devise, Tavancement et la diffusion des 
sciences. 

Art. 3. — Elle publiera annuellement le compte rendu de 
ses réunions, les travaux présentés par ses membres, et des rap- 
ports sommaires sur les progrés accomplis dans chaque branche. 

Elle tachera de rendre possible la publication d'une revue des- 
tinée à la vulgarisation (*). 

Art. 4. — Elle se compose d'un nombre illimité de membres, 
et fait appel a tous ceux qui reconnaissent l'importance d'une 
culture scientifique sérieuse pour le bien de la société. 



(*) ConsL de Fid. calh. C. IV. 



^*i Depuis Je mois de janvier AHll, cette revue paraît, par livraisons trimestrielles, sous 
''ti*e de Hertie dea quesiionn scientifiques. Elle forme chaque année deux volumes in-i<«' 
® "^^ pages. Prix de l'abonnement : 20 francs par an pour tous les pays de l'Union pos- 
'^' les aewbi'cs de lu Société scientifique ont droit à une réduction de 25 pour cent. 



a 



Art. 5. — Elle est dirigée par un Conseil de vingt membres, 
élus annuellement dans son sein. Le Prcsideni, les Vice-Prési- 
denis, le Secrétaire et le Trésorier font partie de ce Conseil. 
Parmi les membres du Bureau, le Secrétaire et le Trésorier sont 
Sf'uls rééligibles. 

Art. 6. — Pour être admis dans Tassociation, il faut être 
présenté par deux membres. La demande, signée par ceux-ci, est 
adressée au Président, qui la soumet au Conseil. L'admission 
n est prononcée qu'à la majorité des deux tiers des voix. 

L'exclusion d'un membre ne pourra être pronoricée que pour 
des motifs graves et à la majorité des deux tiers des membres <lu 
Conseil. 

Art. 7. — Les membres qui souscrivent, à une époque quel- 
conque, une ou plusieurs parts du capital social, sont membres 
fondateurs. Ces parts sont de 500 francs. Les membres ordinaires 
versent une cotisation annuelle de 15 francs, qui peut toujours être 
raebetéepar une somme de 130 francs,versée une fois pour toutes. 

Le Conseil peut nommer des membres honoraires [)armi les 
savants étrangers à la Belgique. 

Les noms des membres fondateurs figurent en tète des listes 
par ordre d'itis('ription,et ces membres reçoivent autant <rexem- 
plaires des publications annuelles qu'ils ont souscrit de parts du 
capital social. Les membres ordinaires et les metnbres honoraires 
reçoivent un exemplaire de ces publications. 

Tous les membres ont le même droit de vote dans les Assem- 
blées générales. 

Art. 8. — Chaque année, il y a trois sessions. La |)rincipale 
se tiendra dans la quinzaine qui suit la fête de Pâques, et pourra 
durer quatre jours. Le public y sera admis sur la présentation 
de cartes. On y lit les rapports annuels, et Ton y nomme le 
Bureau et le Conseil pour Tannée suivante. 

Les deux autres sessions se tiendront en octobre et en janvier. 

Klles pourront durer deux jours, et auront pour objet princi- 
pal de préparer la session de Pâques. 



compte détaillé des recettes et dépenses de Texercice écoulé. 
L'approbation de ces comptes, après examen de TAssemblée, lui 
donne décharge. 

Art. 16. — Les statuts ne pourront être modifiés que sur la 
proposition du Conseil, à la majorité des deux tiers des membres 
votants, et dans TAssemblée générale de la session de Pâques. 

Les modifications ne pourront être soumises au vote qu'après 
avoir été proposées dans une des sessions précédentes. Elles 
devront figurer à Tordre du jour dans les convocations adressées 
à tous les membres de la Société. 

Art. 17. — La devise et Tarticle 10 ne pourront jamais être 
modifiés. 

En cas de dissolution, PAssemblée générale, convoquée extra- 
ordinaircment, statuera sur la destination des biens appartenant 
à l'association. Cette destination devra être conforme au but 
indiqué dans larticlc 2. 



— 6 — 

7. — Ne sont admis que les ouvrages et les planches manu- 
scrits. 

8. — Le choix de la langue dans laquelle seront rédigés les 
mémoires est libre. Ils seront, s'il y a lieu, traduits aux frais de 
la Société; la publication n*aura lieu qu'en français. 

9. — Les auteurs ne mettront pas leur nom à ces mémoires, 
mais seulement une devise qu'ils répéteront dans un billet 
cacheté renfermant leur nom et leur adresse. 

10. — Les jurys des concours seront composés de trois mem- 
bres présentés par la section compétente et nommés par le Con- 
seil. 

11. — Les prix seront décernés par le Conseil sur le rapport 
des jurys. 

12. — Toute décision du Conseil ou des sections relative aux 
prix sera prise au scrutin secret et à la majorité absolue des suf- 
frages. 

13. — La Société n'a l'obligation de publier aucun travail cou- 
ronné; les manuscrits de tous les travaux présentés au concours 
restent la propriété de la Société. En cas de publication, cent 
exemplaires seront remis gratuitement aux auteurs. 

14. — Les résultats des concours seront proclamés et les 
médailles remises dans Tune des assemblées générales de la ses- 
sion de Pâques. Les rapports des jurys devront être remis au 
Conseil six semaines avant cette session. Le 1^' octobre de Tan- 
née précédente est la date de rigueur pour l'envoi des mémoires 
au secrétariat. 

IS. — Pour être admis à demander un subside, il faut être 
membre de la Société depuis un an au moins. 



LETTRE 



DB 



S. S. LE PAPE LÉON XIII 

AU PRÉSIDENT ET AUX MEMBRES 
DE LA SOCIÉTÉ SCIENTIFIQUE DE BRUXELLES. 



Dilectis Filiis Praesidi ac Membris Societatis Scienti/icae 

Bruxellis constitutae. 

LEO PP. Xlll. 

DiLECTl FiLll, 8ALUTEM ET APOSTOLICAM BENEDICTIONEM. 

Gratae Nobis adveiierunt lilterae vestrac una cum Annalibus et 
Quacstionibus a vobis edilis, quas in obscqucnlissiinum crga Nos et 
Apostolicam Sedcm pielatis testiiiioniuiu obtulistis. Libeiiter sane 
agnovimus Societatem vcstrain quac a scientiis sibi nomen fecit, et 
quae tribus tantum abhinc annis laetis auspiciis ac lesu Cbristi 
Vicarii beiiedictione Bruxellis constituta est, magnum iam incremen- 
tum cepisse, et uberes frnctus polliceri. Profccto cum infensissimi 
relligionis ac veritatis hostcs nunquam désistant, imo inagis magisque 
studeant dissidium rationem inter ac fidem propugnare, opportunum 
est ut praestaotes scientia ac pietate viri ubique cxurgant, qui Eccle- 
siae doctrinis ac documentis ex animo obsequentes, in id contcndant, 
ut demonstrent nuUam unquam inter fidem et rationem veram dis- 
sensionem esse posse; quemadmodum Sacrosancta Vaticana Synodus, 
coDstantem Ecclesiae et Sanctorum Patrum doctrinam affîrmans, 
declaravit Constitutione IV* de ûde catbolica. Quapropter gratula- 
mur quod Societas vestra hune primo finem sibi proposuerit,itemque 
in statutis legem dederit, ne quid a sociis ccmtra sanam christianae 
philosophiae doctrinam committatur; simulque omnes hortamur ut 



i 



— !• — 

L*Iiistitut Saint-Ig.nace Anvers. 

Philippe Gilbert Louvaiii. 

Le R. P. Provincial de la Compagnie de Jésus en 

Belgique Bruxelles. 

Le Collège d'ÂLOST Alost. 

Le chanoine de Wouters Braine-le-Comte. 

Antoine d'Abbadie, membre de Tlnstitut . . . Paris. 
S. E. le cardinal IIaynald, archevêque de Kalocsa 

et Bacs Kalocsa (Hongrie). 

S. Ë. le cardinal Van.nutelli Vienne. 

S. G. Mgr Du RoussAux, évoque de Tournay. 

S. G. Mgr GoossE.Ns, archevêque de Malines. 

R. Bbdel Aix. 

S G. Mgr Belin, évéque de Namur. 



Liste des membres honoraires. 



Le P*" B. RoNCOMPAGM, de l'Académie pontificale 

des Nuovi Liiieei Rome. 

Antoine d'Abbadie, membre de l'Institut . . . Paris. 

Charles IIermite, membre de l'Institut .... Paris. 

Le général Newton New-York. 

Le docteur Foerster Aix-la-Chapelle. 

Le R. P. Perrv, s. L, de la Société royale de 

Londres Stonyhurst. 

A. DE Lapparent Paris. 

A. Béchamp Lille. 

Camille Jordan, membre de l'Institut .... Paris. 

WoLF, membre de l'Institut Paris. 

Haton de la Goupilliére, membre de Tlnstitut Paris. 

Lr vice-amiral de Jonqu iéres, membre de Tlnstitut. Paris. 



— 14 — 

Bapst (Germain), 215, faubourg Saint-Honoré. — Paris. 
Barcia Caballero (Juan), Ayudante de Clases pràcticas de Anatomia 

de la Universidad, Puerla de la Pcna, 10. — Santiago 
(Espagne). 
Bardin (Abbé Louis), professeur de Géologie à la Faculté, 19, rue de 

la Préfecture. — Angers (Maine-et-Loire — France). 
Baule (Albert), lieutenant de vaisseau, 133, chemin de Magudas, 

— Caudéran, près Bordeaux (Gironde — France). 
Bauwens (Abbé), vicaire h Sainte-Anne, boulevard du Château. — Gand. 
Baybt (Adrien), 30, nouveau marché aux Grains — Bruxelles. 
Bayet (Ernest), 68, rue Joseph II. — Bruxelles. 
Beaucourt (Abbé Léopold), curé des Ecaussines d'Enghien. 
BécHAMP, doyen de la Faculté catholique de médecine, 36, rue des 

Fossés. — Lille (Nord — France). 
Beckers (Augusle), avocat, rue Gérard. — Woluwe- Saint-Lambert. 
Bedel (Abbé R.), prélre de S*-Sulpice, directeur au Grand-Séminaire 

d'Aix (Bouches-du-Rhône. — France). 
Belin (S. G. Mgr.), évêque de Namur. 
Bellefroid (Victor), 13, rue Hors-Château. — Liège. 
Bellemans (Charles), comptable, marché aux OEufs. — Anvers. 
Belpaire (Théodore), directeur du service provincial, 18, rue des 

Sœurs-Noires. — Gand. 
DE Benazé, S. J. (R. p.), 18, rue Lhomond. — Paris. 
DE Beugeyck (C'), château de Bevcren-Waes (Flandre-Orientale). 
Berleur (Adolphe), ingénieur, 17, faubourg Saint-Laurent. — Liège. 
Berlingin (Melchior), directeur de l'usine de la Vieille-Montagne. — 

Panchol (Aveyron — France). 
Berna LDEz (Fernando), inspector gênerai del cuerpo de Ingenieros de 

minas de Espaiîa, calle Ancha de S. Bernardo, 37, pral. 
izq. — Madrid (Espagne.) 
Bernardin (Monsieur), conservateur du Musée commercial-industriel, 

au Pensionnat. — Melle (Flandre-Orientale). 
Bertrand (Dieudonné), docteur en médecine, 36, rue du Nord. — 

Bruxelles. 
Bertrand (Léon), 9, rue CrespeL — Bruxelles. 
Bétiiune-Eliaert (B"*"), sénateur, rue du Pont. — Alost. 
Béthune (Mgr Félix) , rue d'Argent. — Bruges. 
BiCHOT (Abbé), professeur au Petit-Séminaire, 19, rue N.-D. des 

Champs. — Paris. 
BivoRT (Alfred). — Fontaine- l'Évéque. 



— !• — 

Brusselhans (Jules), docteur en médecine, 10, marché aux grains. — 

Malines. 
Brutlants, professeur h rUnivcrsité catholique, de l'Académie royale 

de médecine, rue de Malines. — Louvain. 
Buisseret( Anatole), professeur au Collège communal, rue de Soignies. 

— Nivelles. 

DE Burlet (Constantin), ingénieur principal des ponts et chaussées, 

directeur général de la Société nationale des chemins 
de fer vicinaux, 35, rue de la Vanne. — Bruxelles. 

DE BussY (L.), inspecteur général des constructions navales, 7, rue de 

Jouy. — Paris. 

Cambier (Vital), industriel. — Morlanwelz (Hainaut). 

Campelo (Âbbé), prof, de chimie à l'Université. — Séville (Espagne). 

de Cannart d'Hamale (François), 2, rue du Poivre. — Malines. 

Cappellen (Guillaume), avocat, 4, place Marguerite. — Louvain. 

Carbonnelle, s. J. (R. P.), docteur en sciences physiques et mathé- 
matiques, 14, rue des Ursulines. — Bruxelles. 

Carlier (Joseph), ingénieur. — Thuin (Hainaut). 

Carnoy (Abbé J.-B.), professeur à TUniversité, il, place du marché 

aux Grains. — Louvain. 

Carnoy (Joseph), profess. à TUniversité, place du Peuple. — Louvain. 

Cartuyvels (Mgr), vice-recteur de l'Université. — Louvain. 

Cartuyvels (Jules), professeur & l'Université, 12, place de l'Université. 

— Louvain. 

CASARès (Antonio), catedrético de Quimica y rector de la Universidad. 

— Santiago (Galice — Espagne). 

Casarès (Dcmetrio), farmacculico. — Santiago (Galice — Espagne). 

Casarés (Firmino), en la Corufia (Espagne). 

César (Docteur), 14, rue Chaudronnerie. — Dijon (Côte-d'Or— France). 

du Chastel (C** Henri), 55, rue de Trêves. — Bruxelles. 

Chautard, doyen de la Faculté catholique des sciences, 5, rue Saint- 
Martin. — Lille (Nord — France). 

Chédaille (Abbé C.-A.), chanoine honoraire, supérieur de l'Insti- 
tution Saint-Charles. — Chauny (Aisne — France). 

Choné, S. J. (R. P.), 18, rue Lhomond. — Paris. 

Claes (Paul), 79, boulevard de Tirlemont. — Louvain. 

CoGELs(J.-B.-Henri), 58, longue rue de THôpital. — Anvers. 

Collège d'Alost, 13, rue de Bruxelles. — Alost. 

Collège Notre-Dame de la Paix. — Namur. 

Collège Saikt-Micdel. — Bruxelles. 



— 18 — 

DeJaeh (Jules), ingénieur des mines, Vicux-MarchcauxBètes. — Mons. 

De Lantsueehe (Léon), docteur en droit, 17, rue Caroly. — Bruxelles. 

Delcour (CIl), professeur émérite h 1 Université, ancien ministre, 

rue Marie-Thérèse. — Louvain. 

Delebecque-Vergauwen, 12, rue aux Drap«î. — Gand. 

De Leyn (Abbé A.), principal du Collège Saint-Louis. — Bruges. 

Delgeur (D"" Louis), 15, rue Léopold. — Anvers. 

De Lorge (Abbé J.), professeur au Séminaire. — Roulcrs. 

Delsaijlx, s. J. (R. P.), docteur en sciences physiques et mathéma- 
tiques, 11, rue des Réeollets. — Louvain. 

Delvigne (Chan. Adolphe), curé de Sainl-Josse-ten-Noode, 14, rue 

de la Pacification. — Bruxelles. 

De Mahbaix, professeur ù l'Université de Louvain. — Eynthout par 

Westerloo (Anvers). 

De Meester (Augustin), propriétaire. — Saint-Nicolas. 

Depbyre (Octave), ancien niinislre, 97, rue du Bac. — Paris. 

De Prêter (Herman), ingénieur, 28, boulevard du Jardin Botanique. 

— Bruxelles. 

Deprez (Max), juge au tribunal de 1" instance, 5, rue des Domini- 
cains. — Mons. 

De Prins, place du Peuple. — Louvain. 

De Ridder (Abbé J.-B.), curé-doyen de Saint-Pierre, 13, rue des 

Vaches. — Louvain. 

De Ridder (Paul), G8, chaussée de Haecht. — Bruxelles. 

Descamps (Abbé A. J.), inspecteur des Ecoles du canton de Mous, 

curé d*Acoz, par Chàtelineau. 

Descamps (É.), professeur à l'Université. — Louvain. 

Desplats (Docteur), professeur aux Facultés catholiques, 52, boule- 
vard Vauban. — Lille (Nord — France). 

Dessain (Charles), libraire-éditeur, rue de la Blanchisserie. — Malincs. 

Detierre (Abbé), aumônier de TÉcole vétérinaire. Institut Saint-Louis, 

121, rue du Marais. — Bruxelles. 

DeTilly(J.), lieutenant colonel d*artillerie, directeur de TArsenal de 

construction, de l'Académie royale de Belgique. — 
Anvers. 

Devivier (A.), professeur à l'Université, rue de Namur. — Louvain. 

Devolder (Joseph), ministre de la justice, 141, rue de Stassart. — 

Bruxelles. 

Dkwalque (François), professeur à l'Université, 20, rue des Joyeuses- 
Entrées. — Louvain. 



Félicien (Monsieur), supérieur-général des Joséphites. — Grammont. 
Fbliù y Ferez (Bartolomé), profesor en la Universidad, Ariban, H. — 

Barcclona (Espagne). 
Fernandez Sanchez (José), catedràtico de Historia universal, en la 

Universidad. — Santiago (Galice. — Espagne). 
Ferrand de MissoL (Amédée), 40, boulevard Montparnasse. — Paris. 
de Fierlant (B*"" Albert), ingénieur à lu Société générale des chemins 

de fer économiques, 10, rue d'Idalie. — Bruxelles. 
FiNLAY (Carlos), medico. — Habana (Cuba). 
FiTA Y CoLOMÉ s. J. (R. P. Fidel), calle del Lobo, 34, pral. — Madrid 

(Espagne). 
Flahault (Charles), docteur es sciences naturelles, chargé de cours à la 

Faculté des sciences. — Montpellier (Hérault — France). 
Floren (Gustave), chez M. le D' Floren. — Brecht (Anvers). 
FociLLON (Ad.), professeur en retraite de TUniversitc de France, 

15, rue Vauquelin — Paris. 
Foerster (D'), professeur d'histoire naturelle. — Aix-la-Chapelle. 
Fontaine (Théodore), professeur à l'Université de Louvain. — 

Moustier-sur-Sambre (Namur). 
FoRNi (C* Paul). — Bozen (Tyrol — Autriche). 
DE FoviLLE (Abbé), Grand-Séminaire d*issy-sur-Seine. — Paris. 
Franc (Anatole), Villa Franc. — Saint-Raphaël (Var) ou 16, rue de 

Montgolfier. — Lyon (Rhône — France). 
François, S. J. (R. P. Alexis), professeur au Collège de la Paix, rue 

de Bruxelles. — Namur. 
Francotte (Xavier), docteur en méd., i5,quai de l'Industrie. — Liège. 
Gallez (Louis), docteur en médecine, membre de TAcadémie royale 

de médecine. — Châtelet. 
Garbe (J>-B.), ingénieur aux usines de Bleybcrg-Montzen. — Montzen 

(Liège). 
de Garcia de la Vega (B»° Victor), docteur en droit, 37, rue du Luxem- 
bourg. — Bruxelles. 
Gauthier-Villars, 55, quai des Augustins. — Paris. 
Gautier (Chanoine), 79, rue Notre-Dame. — Malincs. 
Gelin (Abbé), professeur au collège Saint-Quirin. — Huy. 
GÉNARD(Léonard), ingénieur au charbonnage de Bracquegnies(IIainaut). 
DE Gerando (B"*" L.), chef de service de la marine de FÉtal, 1, rue 

S*-Evraull. — Angers (Maine-et-Loire. — France). 
Gérard (Alphonse), ingénieur aux minières de Lamadclaine (Grand- 
Duché de Luxembourg). 



— 14 — 

I^LED (Abbé), curé de Lois, par La Couarde (Charente-Inférieure — 

France). 
Lamarche (Emile), 81 , rue Louvrex. — Liège. 
Lambert (Camille), ingénieur, 29, rue Fabry. — Liège. 
Lambiottb (Victor), ingénieur, Oignies-Aiscau, par Tamincs (Namur). 
Lamey (R. p. Dom Mayeul) 0. S. B., prieuré de Saint-Jean, Grignon 

par Les Laumes (Côte-d'Or — France). 
LkUY (Mgr.), président du collège Marie-Thérèse. — Louvain. 
de Lapparent(â.), membre correspondant de la Société géologique de 

Londres, professeur à Tlnstitut catholique, 5, rue de 

Tilsitt. — Paris. 
Latine, docteur en médecine. — Marbaix-Marbisoux (Brabant). 
Latinis (Victor), ingénieur, chef de service des forges et aciéries de 

la Société du Nord et de TEst. — Trith-Saint Léger 

(Nord — France). 
Lava (Jules), ingénieur honoraire des Ponts et Chaussées, 27, rue 

Gilion. — Bruxelles (Saint-Josse-ten-Noode). 
Lavaud de Lestrade, prêtre de Saint-Sulpice, professeur de sciences 

au Séminaire. — Clermont-Ferrand (Puy-de-Dôme — 

France). 
Lebesconte (P.), pharmacien, 1 5, Bas de Lices. — Rennes (Ule-et- 

Vilaine — France). 
Lebon, docteur en médecine, place Saint -Paul. — Nivelles. 
Ledresseur (Charles) , docteur en médecine , professeur à l'Univer- 
sité , 75, vocr des Capucins. — Louvain. 
Lefebvre, docteur en médecine, professeur à TUnivcrsité, membre 

de TAcadémie royale de médecine , 3(] , rue de Bériot. 

— Louvain. 
Lefebvre (Abbé Bruno), professeur de sciences et de mathématiques, 

au Petit-Séminaire — Floreffe (Namur). 
Lefebvre (Abbé Ferdinand), professeur h l'Université, 36, rue de 

Bériot. — Louvain. 
Lefebvre (Paul), avocat, 7, rue du Pépin. — Bruxelles. 
Lbgouis, s. J. (R. p.), docteur ès-sciences, 98, rue de Vaugirard- — 

Paris. 
Legrand-Benoit, 51 , rue de Bruxelles. — Namur. 
Le Grelle (C* Ferdinand) , 2i, rue Van Brée. — Anvers. 
Leirens-Éliaert, sénateur, rue du Pont. — Alost. 
LEiECJNE-SiMONjs, chàtcau de Sohan par Pcpinster (Liège). 



Martinez y Saez (Francisco de Paula), professeur de zoologie au 

Musée d'histoire naturelle, plaza de ministerios, 5% 
3^ izquierda. — Madrid (Espagne). 

Mas, s. J. (K. P. Bartolomë), colegio de S. Ignacio. — Manresa. 

Masoin (E.), professeur à TUniversitë, membre de rAcadémie royale 

de médecine, 15, place Sainte-Anne. — Louvain. 

Massalsri (U.), professeur à TUniversité. — Louvain. 

Matagne (Jules], docteur en médecine, 21, rue de la Fontaine — 

Bruxelles. 

DE Maupeou (C''),ingénieurdela marine, 50, rue Vital. — Passy (Paris). 

M AVER (Henri), avocat, 51, rue Saint-Jacques. — Tournay. 

DE Meeus (C** Henri), ingénieur, 72, rue du Vertbois. — Liège. 

Meeus (Eugène), membre de la Chambre des Représentants , 42, rue 

Houblonnière. — Anvers. 

Meeus-Honnorez (L.), distillateur. — Wyneghem par Anvers. 

MéUNGE (Abbé Calixte), docteur en théologie, 6, rue des Petites- 
Allées. — Rocheforl-sur-Mer (Charente-Inférieure. — 
France). 

Mello (Rev. J. Magens), Rectory, Brampton. — Chesterlield (Angle- 
terre). 

Mbngeli.e (Bertrand), ingénieur de TÉcole centrale des arts et manu- 
factures, 75, rue Royale. — Bruxelles. 

Mercier (Abbé I).), collège du Saint-Esprit, rue de Namur. — Louvain. 

Mertens (Gnil.), ingénieur, directeur de l'usine à gaz, 73, rue de 

Tourcoing. — Roubaix (Nord — France). 

MiCHA, professeur à TCniversité, 8, place du Peuple. — Louvani. 

Michaux (B°°), professeur à l'Université, membre de l'Académie 

royale de médecine. — Louvain. 

MiciiiELs (Chanoine), inspecteur diocésain de l'enseignement moyen, 

longue rue Neuve. — Malines. 

MiBST (tjnile), ingénieur aux établissements de S^'-Marie d'Oignies. 

— Tamines. 

MiOT (Léopold), docteur en médecine, de l'Académie royale de méde- 
cine, 1 5, rue de Beaumont. — Charleroi. 

MiR (R. P. Michel), S. J. Membre de l'Académie Royale d'Espagne, 

3, ealle de dos Amigos. — Madrid (Espagne). 

MiRANDA BisTUER (Julian), canénigo magistral de la catedral, canongia 

nueva, 18. — Segovia (Espagne). 

MisoNNE (Lucien), directeur-gérant des charbonnages du Hasard. — 

Tamines (Namur). 



— »8 — 

Ortiz (Juan -Miguel), Jcfe superior de Administracion, Guanabacoa. 

— Habana (Cuba). 
Ortiz (I1"° Sp. Dr. D. Luis Felipe), obispo de Copia (Espagne). 
OsY DB WiCHEM (B®"), longue rue de THôpital. — Anvers. 
Otto (Jean), 36, Marché-aux-Herbcs. — Bruxelles. 
OovERLEAux (Fëlix), étudiant en droit, 112, chaussée de Charlcroi. — 

Bruxelles. 
Pardon (Gustave), ingénieur. — Maurage, par Bracquegnies (Hai- 

naut). 
Pasquier (Ern.), professeur à l'Université, 22, rue Marie-Thérèse. — 

Louvain. 
DE Patin de Langemarcr (V*®), château de Langemarck (Flandre- 
Occidentale.) 
Patron! (Monsign. Giuseppc), dott. in filosofia, in teologia ed in arabe 

le leggi, 47, piazza del Gesù. — Rome. 
Pelligebo (Gonzalo), avocat, rédacteur en chef de la Vozde Cuba, — 

La Havane (Cuba). 
DE Penaranda (Frédéric), 21, rue de la Science. — Bruxelles. 
Pépin (R. P. Théophile), S J., 14, rue du Juge-de-Paix. — Lyon 

(Rhône — France). 
Perry, s. J. (R. p.), directeur de l'Observatoire de Stonyhurst, de la 

Société royale de Londres. — Stonyhurst near Black- 

burn (Angleterre). 
Petit (Chanoine), rue de TArsenal. — Naraur. 
Peyrot (Gérard), 33, rue Vieille- Bourse. — Anvers. 
PiCHADLT (Stéphane), ingénieur, chef de section h la Société John 

Cockerill. — Tilleur (Liège). 
Pierrot (Abbé), vicaire à Rhinau (Basse-Alsace — .Allemagne). 
DE PiLLON DE S. Philbert (A.), 2, ruc St-Thomas. — Douai (Nord — 

France). 
PiNEDA (D' Juan Miguel), Rosa, 50. — Cadiz (Espagne). 
PiRARD (Abbé), vicaire général, 6, boulevard Léopold. — Naraur. 
PiRET (Caraille), ingénieur à Monceau-Fontaine. — Monceau-sur- 

Sarabre (Hainaut). 
PiscÊ (Chanoine), rue des Bateaux. — Malines. 
Planté (Gaston), licencié-ès-sciences, 12, rue des Vosges. — Paris. 
PoisoT (Maurice), avocat, 4, rue Buffon. — Dijon (Côte-d'Or — France). 
DE PoNTHiÊRE (Albert), propriétaire-agriculteur, 25, rue d'Archis. — 

Liège. 



i 



— se — . 

RoLLiER (Emile), ingénieur, 37, rue Léopold. — Malines. 
RoMERO (Narciso), director dcl Colegio de i' y 2' enscnauza de S. Fran- 
cisco de Borja, calle del Desengano, 27, prâl. — Madrid 

(Espagne). 
DE Rouillé (C**), 44, avenue des Arts. — Bruxelles. 
Roussel (Lucien), professeur à TEcole forestière, 11, rue de la Ravi- 

nelle. — Nancy (Meurthe-et-Moselle — France). 
deRubempré (P^^), rue aux Laines. — Bruxelles; ou à Westerloo. 
Saey (Henri) , notaire. — Renaix. 

Saey (Joseph), 18, avenue de la porte de liai. — Bruxelles. 
Saey (Ahbë Pr.), vicaire à Saint-Ëtienne, 20, cour du Prince. — Gand. 
Salterain (Pedro), ingénieur des mines. — La Havane (Cuba). 
DE Salvert (V**), professeur aux Facultés catholiques, i57, boulevard 

de la Liberté. — Lille (Nord — France). 
Sanchez, S.J.(R. p. Hilario), Colegio. — Carrion (Palencia — Espagne). 
DE Santa Cruz (Ivan Armada Hernandez de Cordova, M^') , 9, rua 

Nucva. — Santiago (Galice — Espagne). 
Sanz (Pclcgrin), ingeniero civil. — Gastellon de la Plana (Espagne). 
Sanz y Lopez (Cesareo), profesor de matemâticas, calle del Colegio de 

Donccllas. — Toledo (Espagne). 
Scarsez de Locqueneuille (Anatole), château de S^-François — Far- 

ciennes (Hainaut); ou i53, chaussée de Vleurgat — 

Ixelies. 
ScHHiDT (Henri), intendant de la maison de Croy. — Le Rœulx. 
Schneider, docteur en médecine, 26, rue Bclliard. — Bruxelles. 
ScHOBBENs, docteur en médecine, 49, longue rue Neuve. — Anvers. 
ScHOEMAKER (VV.-J.), profcsscur à rÉcole moyenne.— Nimègue (Pays- 
Bas). 
DE ScHouTHEETE DE Tervarent (Cil"), — Saiut-Nicolas. 
SiMONis (Alfred) , sénateur. — Verviers. 
SiMONis (Iwan) , industriel. — Verviers. 
SiMONis (Louis), industriel. — Verviers. 
Smekens (Théophile), président du tribunal de i^' instance, 31, 

avenue Quentin Metsys. — Anvers. 
Smets (Abbé Gérard), docteur en sciences naturelles, professeur de 

sciences au Collège S^-Joseph. — Hasselt. 
Snyers, docteur en médecine, 10, rue de l'Evéché. — Liège. 
del Socorro (José Maria Solano, M'*), professeur de géologie au Musée 

d'histoire naturelle, calle de Jacometrezo, 4i-bajo. — 

Madrid (Espagne). 



— s» — 

Toussaint (Charles), ingénieur, 54, rue Delocht. — Schaerbeek. 

Tras, s. J. (R. p.), professeur au collège de la Paix. — Namur. 

DE Trazegnies (M"). — Corroy-le-Château, par Gembloux. 

Troch (Pierre), inspecteur provincial des écoles primaires. — Lierre. 

DE T*Serclaes (Af Charles), président du Collège belge. — Rome. 

DE T'Serclaes (C*"* Jacques), capitaine au i*' rég. d'artillerie, 37, 

rue Belliard. — Bruxelles. 

t*Serstevens (Léon), 52, boulevard Bischoffsheim. — Bruxelles. 

Tykort (Emile), ingénieur civil. — Perck, par Vilvorde. 

d*Ursel (C** Aymard), capitaine d^artillerie, 25, rue de la Science. — 

Bruxelles. 

d'Ursel (C^* Charles), conseiller de légation, 22, rue du Luxembourg. 

— Bruxelles. 

DD Val DE Beaulieu (C**), 55, avenue des Arts. — Bruxelles. 

DELA Vallée Poussin (Charles), de PAcadéniie royale de Belgique, pro- 
fesseur à l'Université, 190, rue de Namur. — Louvain. 

Van Abrtselaer (Chanoine), directeur de l'Institut S'-Louis, 121, rue 

du Marais. — Bruxelles. 

Van Biervliet (Alb.), chargé de cours h l'Université catholique, 

39, rue des Joyeuses- Entrées. — Louvain. 

Van Biervliet (Joseph), professeur à l'Université, i, rue Saint- 
Hubert. — Louvain. 

Vanden Berg (Charles), notaire, place Saint-Paul. — Liège. 

Vanden Branden de Rebth (Mgr), Évéque d'Erythrée. — Malines. 

Vanden Broeck (Arthur), 12, rue des Paroissiens. — Bruxelles. 

Vanden Gheyn (R. P. Joseph) S. J., 11, rue des Récollets. — Louvain. 

Vanden Peereboom (E.), ingénieur, 15, rue d'Artois. — Liège. 

Vanden Peereboom (Jules), ministre des chemins de fer, postes et 

télégraphes. — Courtrai. 

vanden Steen de Jehay (C^* Hermann), capitaine d'état-major, 

6, avenue Louise. — Bruxelles. 

VANDER Bruggen (B"" Mauricc), rue du Gouvernement. — Gand. 

VAN DER Elst (Léou), Rvocat à la cour d'appel, 62, boulevard de 

Waterloo. — Bruxelles. 

Vander Haeghen (William), avocat, 44, rue Berckmans. — Bruxelles. 

VANDER Straten-Ponthoz (C** Frauçois), 13, rue de la Loi. — 

Bruxelles. 
Vander Voordt (Ju]cs),ingénieur, 85, marché aux Chevaux. — Anvers. 
Van de Woestyne (Chanoine), professeur au Grand-Séminaire. — 

Bruges. 



— S4 — 

Vilain XIIII (V"), sénateur, 11, rue du Trône. — Bruxelles. 
ViLLAFUERTE (Eliûdoro), presbitero, calle de las Delîcias. — Santiago 

(Chili). 
DE ViLLEGAS DE Saint-Pierre (O*), 28, rue Marie de Bourgogne. — 

Bruxelles. 
DE ViLLEGAS DE Saint-Pierre (C** Ulric). — Ganshoren par Jette (Bra- 

bant), ou 1, rue de Spa. — Bruxelles. 
DE Villers-Vergauwen, 12, marche au Lin. — Gand. 
ViLLié, professeur aux Facultés catholiques, 78, boulevard Vauban. 

— Lille (Nord — France). 
Vines (R. p. Bcnilo), director dcl Observatorio, colegio de Belen. — 

La Havane (Cuba). 
ViSART (C^' Amëdée), bourgmestre de Bruges. 
DE VocHT (Abbë), curé de Zceist, par Eindhoven (Brabant-Septen- 

trional. — Pays-Bas). 
DE VoRGEs (E. Doraet), 74, rue Miromesnil. — Paris. 
Walravens (Abbc Adelson), directeur du collège d'Enghien. 
Ward (John), ingénieur civil, 73, boulevard de Waterloo. — Bruxelles. 
Warlomont (René), docteur en médecine et en sciences naturelles, 

médecin de bataillon au 2* chasseurs à cheval, 1, rue 

Longue. — Bruges. 
Wasseige (Armand) banquier, â****, rue Godefroid. — Namur. 
Wautelet (A), ingénieur à l'usine a gaz. — Roubaix (Nord — France). 
DE Wavrin (M"), 49, boulevard du Régent, — Bruxelles. 
DE Weck (Abbé A), missionnaire apostolique. — Fille-Dieu sous 

Romont (Canton de Fribourg — Suisse). 
Wéry (Vincent), président du tribunal de l'*' instance, 4, rue des 

Tellicrs. — Mons. 
WiTTMANN (Jules), doctcur en médecine. — Matines. 
WiTz (Aimé), professeur aux Facultés catholiques, 104, boulevard 

Vauban. — Lille (Nord — France). 
WoLF, membre de l'Institut, 95, rue des Feuillantines. — Paris. 
DE Wouters (Chanoine). — Brainc-leComte. 
DE V^ouTBRS (Ch" Lambert), Rotselaer, j)ar Wespelaer (Brabant). 
Wouters (Abbé Louis), professeur de sciences naturelles au Collège 

Saint-Rombaut. — Matines. 
Zech (Guillaume), négociant. — Soignics. 



MM. Goedseels. 
B«n G. GreindI. 
de Grossouvre. 
0« François de Grunue. 
Guyétaod. 

Ilatoo de la Goupillière. 
Charles Uermile. 
Général Jacmart. 
Jenner. 
Jimeno. 

Amiral de Jooquières. 
Camille Jordan. 
R. P. Joubert, S. J. 
Lacor. 
Lava. 

R. P. LafoDt, S. J. 
Charles Lagasse. 
Camille Lambert. 
R.P. DomLamey. 
Abbé Bruno Lefebvre. 
C. Le Paige. 

C^^ Charles de Liedekerke. 
de Lisleferme. 
Léon de Locht. 
Paul Mansion. 
de Marsilly. 
O* de Maupeou. 
Micha. 
Général John Newton. 



MM. Nisot. 
J. Nyssens. 
P. Nyssens. 
d'Ocagne. 
Pasquier. 
R. P. Pépin, S. J. 
R. P. Perry, S. J. 
Chanoine Piscé. 
\^ de Salvert. 
Sanz y Lopez. 
P. Sanz. 
O' de Sparre. 
Stoffaes. 
Suttor. 
Teixeira. 

Fernand Thiébaut. 
R. P. Thiriou, S. J. 
François Timmermans. 
C»« Jacques de TSerclaes. 
C**Aymard d'Ursel. 
Albert Van Biervliel. 
E. Vandenpeereboom. 
Abbé Van Zeebroeck. 
Varquez Illâ. 
Vicaire. 
Villafuerie. 
Villié. 
John Ward. 
Aimé Witz. 



— s» — 



2< Section. 



Physique. — Chimie, — Métallurgie. — Météorologie et Physique du Globe. 



MM. Alfageme. 
Ascbman. 

C*« Ch. d'Âspremont-LyndeD. 
A. Béchamp. 
Charles Blas. 
Alfred Bloodel. 
Booamis. 

Auguste Boonevie. 
Branly. 

Alfred Brémen. 
Bruylants. 
ADtouio Casares. 
Cbautard. 
R. P. Chooé, S.J. 
Pierre De Heen. 
Abbé J. Delorge. 
Herman De Prêter. 
A De vivier. 
François Dewalque. 
Dincq-Jordan. 
André Dumont. 
B.P. Dumont, S. J 
Datordoir. 
Feliù y Perez. 
B" A. de Ficrlant. 
R. P. François, S. J. 

L. de Gerando. 

Gérard. 

GiUet. 

R. P. Granero, S. J. 

Gravez. 

GrJsar. 

Hector Henry. 



MM. Louis Henry. 
Kennis. 
René Kerviler. 
Jules Lagasse 
Lambiotte. 
Lemoine. 
Malisoux. 
Malou. 
(J. Massai ski. 
Mertens. 

Chanoine Micbieis. 
Lucien Misonne. 
Joseph Mullenders. 
Oldenbove. 
R. P. O'Malley, S. J 
Louis Nève. 
Ouverleaux. 
Picbault 
Abbé Pirard. 
G. Planté. 
Abbé Raclot. 
Abbé Ravain. 
R. P. de Regnon, S. J 
Salterain. 

de Souza Gonzalvès 
Springael. 
Auguste Tbeunis. 
R. P. TraSjS.J. 
Tykort. 

Jules Vander Voor<U. 
R. P. Van Tricht, S. J. 
R. P. Viûes, S. J. 



— S8 — 



S« Section. 



Géologie, Minéralogie. — Botanique. — Zoologie. — Paléontologie. — Anthropologie ^ 

Ethnographie, Science du langage. — Géographie. 



Mgr Abbeloos. 
MM. d^Acy. 
Fr. Alexis. 
Aimera. 
ArceliD. 

€<• Alb. d'Auxy de Launois. 
Ch. Bafcuet. 
Baillou. 
Bapst. 

Abbé Bardin. 
Abbé Bauwens . 
Eni. Bayet. 
Bernardin 

M** de la Boessière-Tbiennes. 
Abbé Boulay. 
Abbé Bourgeat 
C»« L. de Briey. 
Buisserel. 
Abbé Campelo. 
Abbé Camoy. 
Firmino Casares. 
Chanoine Cotson. 
Dassonville. 
Àbbé De Brouwer. 
Docteur Louis Delgeur. 
Chanoine Adolphe Delvigne. 
Max Deprez. 
Abbé Descamps. 
Abbé Detierre. 
Gustave Dewalque. 
Dollo. 
Abbé Ducrost. 



MM. Max Dugniolle. 
R. P. Etienne, 0. P. 
R. P. Fita, S.J. 
Flahault. 

Docteur Foersler. 
Fontaine. 
Abbé de Foville. 
Grand*Ëury. 
Grinda. 
Abbé Hamard. 
Ct« d^Hemricourt de Grunue. 
Abbé Joseph Hervier. 

R. P.Heude,S.J. 

R. P. Kirsch. 

Charles de Kirwan 

Godefroid Kûrth. 

Abbé Laleu. 

A. de Lapparent. 

Lebesconte. 

Abbé Ferdinand Lefebvre. 

C^" G. de Lichtervelde. 

C^< Adolphe de Limburg StiruncL 

Abbé Lonneux. 

Edouard Martens. 

Martinez y Saez . 

Abbé Mélinge. 

R. P. Mir, S. J. 

Mello. 

Abbé Monchamp. 

M» de Nadaillac. 

Abbé Noël. 

Oomen. 



49 



MM. Michaux. 
Miol. 
Mœller. 
Obet. 
Proosi. . 
Reynaert. 
Schneider. 
Schobbens. 
Snyers. 



MM. Strueleos. 
Vao Dorpe. 
VaD Goidsnoven. 
Van Keerberghen. 
Venoeman. 
Verriest. 
Verstraeten. 
R. Warlomont. 
Wiltmann. 



5« Section. 



Agronomie, — Économie sociale. Statistique. — Sciences commerciales 

Économie industrielle. 



MM. Auguste Beckers. 
Adolphe Berleur. 
Vicior Bonnevie. 
Armand Brifaut. 
François de Caunart d'Uamale. 
Jules Cartuyvels. 
Davignon. 

P«« Gustave de Croy. 
P«« Juste de Croy. 
Herman De Baets. 
Tony De Bruyn. 
Ernest De Hults. 
Camille De Jaer. 
De Lantsheere. 
De Marbaix. 
Ë. Descamps. 
Ferdinand Dohei. 
Focillon. 

Paul de Gerlachp. 
Grandmont. 
B«o de Haulleville. 



MM. Victor Jacobs. 
Claudio Jannet. 
Y*« Eugène de Kerckbovc. 
Paul Lefebvre. 
Legrand-Beuoil. 
C« Ferdinand Le Grelie. 
O* Edouard de Liedekerke. 
Emile Limpens. 
Henri Ma ver. 
Léon de Monge. 
Ch" de Moreau d'Andoy . 
Otto. 
Pelligero. 
A. de Poni bière. 
De Poscb. 
P«« de Rubempré. 
Henri Saey. 
Henri Schmidi. 
Théophile Smekens. 
Emile Slingthamber. 
Charles Thiebauld. 



41 — 



MM. LéoD t*Serstevens. 

O* Fr. valider Stralen-Pontboz. 
Gustave Van ZujIeii-OrbaD. 
V»' Vilain XIIII. 
C»' de Villegas de Sainl-Piei re. 



MM. Visarl. 

Abbé Adelson Walravens 
Armand Wasscige. 
Vincent Wéry. 



— 4« — 

On trouve, à la page 22 du Traité lliéorique et pratique 
iVArmengaiid aine (2° édition), un tableau réunissant, en 
aliré^é, les divers cas et les valeurs du coefficient qui y corres- 
pondent. Les orifices y sont supposés disposés de telle façon 
que In contre-action de la veine fluide soit complète. 

Dans le même traité d'Armengaud se trouvent des tables 
donnant, pour diverses hauteurs d^orifices et diverses charges, le 
débit par une vanne de 1 mètre de largeur disposée pour que la 
contraction complète puisse s*y produire. Le coedicient de la 
dépense compris dans les cubes renseignés par ces tables est 
généralement égal h 0,G02. Il est facile de les étendre. Ce sont 
ces tables, convenablement élargies, et c'est par conséquent le plus 
souvent ce coefficient 0,602, qui servent à calculer les débits par 
\annes au moulin d*Aa. 

Il est vrai que les débits calculés de cette façon devraient, 
diaprés Armengaud, être multipliés par 1,125, 1,072 et 1,035 
respectivement dans les cas où la contraction se produirait seu- 
lement par un, deux et trois côtés. 

Dans la pratique du service auquel ressortissent les expé- 
riences dont il s'agit, ces corrections ont été jugées trop faibles 
pour en tenir compte. 

M. Lagasse résume les dispositions nouvelles qu'il a prises 
pour approprier à la situation des lieux la méthode employée 
par le capitaine Cunningham sur le canal du Gange, à Roorkee 
(^Indes anglaises). Elles ont été publiées dès 1883 (*). 

L'emploi de bâtons lestés comme flotteurs comporte une seule 
hypothèse, qui a été vérifiée par de très nombreuses expériences 
de Cunningham, sur le canal du Gange: la vitesse de ces bâtons, 
ayant une longueur égale aux 94/100 de la profondeur d'eau 
au droit de laquelle ils sont lancés^ est sensiblement égale à la 
vitesse moyenne suivant la verticale. 

Le calcul du débit 9, à travers une section du cours d'eau, peut 
s'opérer de deux façons. Étant données les vitesses moyennes u 
et u' suivant deux verticales ayant respectivement les hauteurs h 



Bepue des quettioni scientifiques, juillet 1883. 



— 5» — 

développement aura pour expression une fonction dans laquelle le 
débit calculé par voie directe entrera au numérateur et le 
coefficient invariable 0,625, au dénominateur. 

Lundi, 5 mai 1886, — Le R. P. Carbonnelle présente, au nom 
de M. Maurice d*Ocagne, un mémoire où Fauteur traite des 
propriétés de certaines suites de fractions irréductibles (voir 2* 
partie, pp. 90-108); M. Mansion est nommé commissaire. 
M. Maurice d*Ocagne adresse également à la section une note 
sur les sous-invariants des formes binaires; sont désignés pour 
prendre connaissance de ce mémoire MM. Carnoy et Mansion 
(voir 2* partie, pp. 75-78). 

M. Lagasse donne ensuite quelques renseignements complé- 
mentaires au sujet de son travail sur le jaugeage des cours 
d*eau. 

M. Lagasse fait observer que son savant collègue, M. le pro- , 
fesseur Pasquier, lui avait signalé^ dans la séance du 28 janvier 
dernier, louvrage d'hydraulique de feu M. Tinspecteur général 
Graêff, comme renfermant des recherches expérimentales sur 
les coeQictents de la dépense. 

Après avoir complété la communication, qu'il a faite précé- 
demment, des tableaux de comparaison de jaugeage par pertuis 
et par voie directe dressés en \ 884 et 1885 pour la porte d'Aa, sur 
la Senne et sous Anderlecht, près de Bruxelles, Tauteur résume 
les remarquables travaux de Graëff sur le coefficient de la 
dépense que cet ingénieur appelle coefficient du débit, 

Graeffy opérant sur une vanne d'un robinet-vanne dont es( 
muni un tuyau de conduite aboutissant au réservoir du Furens, 
a pu vérifier la constance du coefficient du débit pour de petites 
levées, variant de Qi^fi\ 1 à 0°',Ô385, et de hautes charges allant 
jusqu'à 40 mètres. 

Les expériences auxquelles s'est livré l'auteur depuis plus de 
trois ans s'appliquent à des dispositifs usités dans un service 
ordinaire d'ingénieur. Ces expériences ne rentrent donc pas 
dans la catégorie de celles qui ont été opérées par Poncelet, 
Lesbros, Graêff, à l'aide de dispositifs spéciaux. 



— ftS — 

Mais la partie pratique (^ du grand ouvrage de Graêff^ 
publiée en 1883, confirme pleinement les doutes que M. Lagasse 
a soulevés, dès mai-juin de cette même année 1883, au sujet de 
remploi de coefficients de dépense invariables ou à peu près; 
elle prouve ainsi combien la section a eu raison d*appuyer, de 
son autorité, la mise en pratique des idées qui ont été exposées 
plus d*une fois devant elle par Tauteur des jaugeages comparatifs 
de la Senne, à Aa, sous Anderlecht, près de Bruxelles. 

M. Pasquier expose brièvement les deux méthodes de Gauss 
et d'OppoIzer pour la détermination des orbites des planètes. 
M. Pasquier insiste sur les caractères distinclifs de chacune de 
ces méthodes et fait ressortir par cette analyse la supériorité du 
procédé Oppoizer. 

Mardi, 4 mai 1886. — M. Gilbert présente un mémoire du 
R. P. Delsaulx sur Thypothèse de la tension superficielle dans 
la théorie de la capillarité. Le R. P. Delsaulx démontre dans ce 
travail que la théorie de Laplace, laquelle ne considère que des 
actions mécaniques entre points à distance, suffit à rendre compte 
de tous les phénomènes capillaires; de plus, que cette théorie 
amène à considérer des forces identiques h celles qu'introduit 
rhypothèse de la tension superficielle. 

La section, se ralliant à Tavis de M. Gilbert, qui a examiné le 
travail du R. P. Delsaulx, propose d*insérer ce mémoire aux 
Annales de la Société (voir S'' partie, pp. 43-74). 

M. Gilbert présente un mémoire sur la forme du reste dans 
la série de Binet. La section renvoie ce travail à TexameQ de 
M. De Tilly. 

Plusieurs membres de la section sont amenés ensuite à dis- 
cuter sur divers points de la théorie des infiniment petits, ainsi 
que sur les principes fondamentaux de la théorie des nombres. 
Enfin M. Gilbert fait connaître aux membres de la section le 



(i) Traité d'hydraulique, précédé d'une introduction nur les principe» généraux de 
la mécanique, par Graeff, ancien Tice-président du conseil général des ponts et chau»- 
nées, inuréat de l'Institut, U \\, p. 49. 



résultat de ses recherches sur les suraccélérations des points d'un 
solide et sur la suraccélération angulaire. 

Il est procédé ensuite au dépouillement du scrutin pour le 
renouvellement du bureau, qui se trouve ainsi constitué : 

Président^ MM. Général Jacmart. 

Vice-présidents, Witz et Goedseels. 

Secrétaire, Van Biervliet. 

sur une Note de M. Maurice d'Ocagne, intitulée : 
Sur les sous-invariants des formes binaires. 

Nous désignerons par a une fonction quelconque d'une variable 
indépendante ; par a', a", a"\ etc. ses dérivées successives; en 
employant la lettre D pour indiquer la dérivée, on sait que 

D(/.a) = ^'. 
a 

On en déduit pour les dérivées suivantes: 

aa" — a" 



D'(/.a) = p-, 



tt' 
aV" — 3aa'a" -f- 2a" 



D»(/.a) = 

o 



etc. 

Si, dans toutes ces dérivées, depuis la deuxième jusqu'à la n'*"% 
on remplace les lettres a, a', a".,, respectivement par les coeffi- 
cients ao, Oi, O)... de la forme binaire 



nin — i) 

1 . 2 



•'» _i_ M/f.nc*— *#» _j ^ 1/» /*<«— ••!• 



chaque numérateur devient le coefficient du premier terme d*un 
covariant de celte dernière. Telle est la propriété que renferme 
la note de M. d'Ocagne. 



hé 



ièmt 



Soit (f^ la fonction des coefficients Qq, a^, etc., tirée de lap 
dérivée ; fauteur regarde a^, a^, etc., comme étant des fonctions 
d'une variable fictive Ç telles que : 

Par suite, on a : 



En différentiant cette équation, on trouve la relation 

Au moyen de cette égalité on arrive sans peine à démontrer 
que 7^ satisfait à Téquation caractéristique d'un sous-invariant. 

Le théorème de M. d*Ocagnc est très curieux et mérite Tim- 
pression dans les Annales de la Société. 



Sur le reste de la série de Binet, par Ph. Gilbert, 
professeur à TUniversité de Louvain. 



mmpp^w^i «fa M. Jta TU9ff 



Dans le tome XLI des Mémoires de TAcadémie royale de Bel- 
gique, M. Gilbert a publié des recherches étendues et impor- 
tantes sur le développement de la fonction F et sur certaines 
intégrales définies qui en dépendent. 

On y trouve, entre autres, une démonstration de la série de 
Binet : 

n(fi)^- I x\x — ']dx-\ : -/ jr(I — x)\x )r/x-t--- 



-4- — ■ --— / x(l-x)--(w— i-x)(x--)rfx4-R„, 



— »« — 

avec: 





or (fjt) est lié à rintégrale eulérienne de seconde espèce F (fx) 
par la formule 

Pour se rendre compte de Terreur commise dans le calcul de 
w (y) en s*arrétant au n"* terme de la série, Fauteur a transformé 
le reste R„ et démontré que sa valeur absolue est inférieure à 

i i.2.5...(n — 1) 

puis (par une transformation facile) que cette valeur est infé- 
rieure, à plus forte raison, à 

i i 

(B) 



où G=' 0,577... (constante d'Eulcr ou de Mascheroni ?) 

Dans le travail actuel, il démontre que la valeur absolue de 
R„ est même inférieure au huitième de ces limites, de manière 
que Terreur commise en s'arrètant au n® terme est inférieure aux 
deux valeurs suivantes : 

1 i.2.3... (n — 1) 



J \ 



(B') 



Les formules (B) et (B') démontrent la convergence de la 
série de Binet, quelle que soit la valeur (positive) de fx. En outre, 
elles seront plus commodes que (A) et (A'), pour déterminer la 
limite de Terreur commise, si n est grand. 



— *1 — 

Si, au contraire, n est petit, (A) et (A') n'ont pas besoin d'être 
transformées. 

Il va sans dire que les formules (A') et (B) seront toujours 
préférées, rcspectivemeni, à (A) et (B). 

M. Gilbert indique d*aulres valeurs limites de R„, qui pourront 
être plus avantageuses dans des cas particuliers. Je citerai celles- 
ci : 

i I 

'_ ; /Q 

64(/4— 1)(n-f- 1)1 -4-(a* — i)C-+-(p — l)/.n * 

î:Wle^(--0 (D) 

64 /in^ ^ 

(D) est vraie pour toutes les valeurs de ix et w; (C) suppose 
fji > 1 ; toutes deux seront avantageuses quand fx er ^ seront assez 
grands. 

Si fx est petit, il faut nécessairement recourir à (A') ou à (B') et 
de préférence à (B), puisque Ton sera probablement obligé, pour 
obtenir une approximation convenable, de prendre n assez grand. 

M. Gilbert dit à ce sujet: « Pour des valeurs de fx comprises 
entre zéro et Tunité, il nous parait didicile d'obtenir une limite 
plus resserrée du reste, du moins en suivant cette marche ». 

Je me rallie à cette appréciation et je ne vois pas quelle marche 
on pourrait suivre pour trouver une limite plus resserrée, du 
moment que Ton veut employer directement la série de Binet 
dans le calcul de m (fx) ou de F (fx), avec fx< 1 . Il est bien vrai que 
dans ce cas la série est désavantageuse, mais je dois rester dans 
les termes où le problème a été posé par M. Gilbert. 

En sortant de ces termes, et en élargissant la question pour 
mon compte personnel, j'ai été amené à des réflexions, peut-être 
utiles, sur la théorie et le calcul des intégrales eulériennes ; mais 
comme le temps me manque pour les développer, et qu'elles ne 
sauraient, en aucun cas, infirmer les résultats de M. Gilbert, je 
me borne, pour le moment, à proposerez la section de voter l'im- 
pression de la note, et d'adresser des remerciements à notre émi- 
nent collègue pour sa très intéressante communication. (Voir 
2« partie, pp. 191-200.) 



— 6S — 



Troisième section. 



Jeudi, 29 octobre 1885. — M. Tabbé Smets, docteur en sciences 
naturelles, présente un travail sur trois testudinides de TAfrique 
australe. 

Cette communication provoque un échange d'observations 
entre Fauteur et M. Dollo. 

La section propose l'impression aux Annales des notes de 
M. Fabbé Smets (voir 2" partie, pp. 1-10). 

M. Dollo montre une grenouille monstrueuse polymèle et fait 
Fhistoire de ce cas tératologique chez les Amphibiens. 

M. Dollo traite ensuite différents sujets d'anatomie comparée 
et de paléontologie; il signale notamment la présence d'un anar- 
cual ossifié dans i atlas d'un jeune éléphant d'Afrique. 

Puis il démontre Vhomodynamie des hypapophyses vertébrales 
ou intervertébrales avec les os chevrons vertébraux ou interverté- 
braux. 

La section demande qu*un résumé des notices de M. Dollo 
soit inséré aux Annales. 

M. Buisseret, docteur en sciences naturelles, signale la pré- 
sence d*un pore génital supplémentaire sur un individu A'Encope 
emarginata. 

La section propose Finsertion de cette note aux Annales. 

Un pore génital supplémentaire sur un individu d'Encope 

emarginata. 

En examinant les oursins actuels du Musée d'histoire naturelle 
de Belgique, j'ai remarqué une anomalie sur un individu 
d'Encope emarginata^ espèce appartenant à Fordre des Clypéas- 
troïdes : un des espaces interambulacraires possède deux pores 
génitaux au lieu d'un seul (fig. 1 et 2.) 

Cette anomalie mérite peut-être d'être signalée, car elle con- 



cenie un appareil de la plus haute importance, l'appareil apical, 
qui est toujours ei partout constitué très nettement. 





On sait qu'il se compose de trois parties constantes : t° (es 
pièces ocellaires, toujours au nombre de cinq, situées au sommet 
de chaque ambulacre; S" les plaques génitales qui terminent les 
espaces interambulacraires à leur càté apical ; leur nombre habi- 
tuel est aussi cinq, mais il est souvent réduit k quatre ; 3* enfin, 
le disque central. 

Or, dans ce système si bien déûni, on n'a jamais signalé, à ma 
connaissance du moins, de malformation ressemblant à celle qui 
m'a frappé. 

Ainsi S. Loven, qui a étudié si minutieusement, genre par 
genre, toutes les parties essentielles du test des Échrnoïdées (<), 
ne parle jamais que d'un seul pore génital dans chaque espace 
inierambulacraire. 

Son silence me parait d'autant plus significatif qu'il se 
demande, au contraire, s'il n'y a jamais deux pores sur chacune 
des plaquettes ocellaires, ainsi qu'on en voit d'ailleurs chez plu- 
sieurs oursins paléozoïques tels que Palaechinus et Meloniies. 

Il note, à ce propos, que plusieurs genres présentent ■ une 
division de l'ouverture externe (du pore ocellaire), devenue irans- 



1<) ÊtuduiurUi EchimniUa, 1S7G. 



versale, en deux parties séparées par une cloison mitoyenne, Tai- 
blement indiquée dans le pore très petit de la Diadema, plus 
prononcée chez le Temnopleurus. Mais c'est dans le genre 
remarquabledesBcliinocidarisque l'on rencontre une disposition 
plus compliquée et en quelque sorte comparable à relie des 
mêmes parties chez les types paléozoîques ■ ('). 

Mais, à aucune place, il ne soulève une question semblable à 
propos des pores génitaux. 

On ne trouve pas davantage la moindre allusion à l'existence 
de deux ouvertures génitales dans un même espace interambu- 
lacrairc, ni dans les traités de Ziitel ou de Claus, ni dans la 
monumentale Revision ofthe Echini d'Alexandre Agassîz. 
Quoi qu'il en soit des pores génitaux chez les Oursins actuels, 
on peut rappeler, sans vouloir tirer 
de ce rapprochement une signi- 
lication quelconque, que les pla- 
ques génitales des Echinides pa- 
léozoîques possèdent normalement 
trois à cinq pores (Hg. 5.) 

Fin- s. - PalBKJii'iiiu (kjant, H* Co];, MM. Dollo, PrOOSl, SmClS et 

r." 'dt»V"o"« ^«^^^^««"iM «r Van Segvelt discutent Thypothèse 
dtoV-" ■"'"'"' '"'"*■'"" ''''" <le l'évolution. M. l'abbé Smm 
croit qu'il est possible de renver- 
ser la phylogénie de n'importe quel groupe, celle du cheval 
par exemple, telle qu'on rétablit parmi les darwinistes; on 
pourrait démontrer que la Torme regardée comme la plus jeune 
dans les essais tentés jusqu'aujourd'hui peut être interprétée avec 
autant de raison comme la forme ancestrale du groupe, et cela 
en appliquant la méthode et les principes des naturalistes qui se 
sont livrés à ces essais. 

Le B. P. Van den Ghcyn expose l'origine des langues polyné- 



(•) Lonn, loM eilaie, p. 66. 




— 61 — 

siennes; ce travail donne lieu à un échange d'observations entre 
MM. Delgeur, Dollo, Proosl, Van den Gheyn et Van Segvelt. 

(Voir les Annales de la Société scientifique de Bruxell^Sy \, IX, 
1884-1885, pp. 286 et suivantes.) 

Jeudiy 28 janvier 1886. — M. Tabbé Smcts décrit une tortue 
nouvelle du crétacé de Maestricht. A ce propos MM. de la Vallée 
Poussin et A. de Limburg-Stirum posent difTérentes questions à 
Tauleur. 

M. Tabbé Smels fait ensuite une communication sur les tor- 
tues rupéliennes. 

La section propose Tinipression aux Annales des deux mémoires 
de M. Tabbé Smets (voir 2" partie, pp. 11-25). 

M. de la Vallée Poussin décrit un granité à deux micus : 

Sur un galet de granité trouvé à Wépion. 

Nous présentons à Texamen de nos confrères une portion 
d*un galet de granité, de 1 2 à 1 5 centimètres de longueur, lequel a 
été trouvé par un de nos amis à 6 kilomètres au sud de Namur, 
au Pairy-Bonnicr (Wépion). Ce galet était dans un jardin en 
terrasse, à une centaine de mètres environ de la rive gauche de 
la Meuse, et on trouve à peu de distance du même point beau- 
coup d'autres galets faisant partie du diluvium du pays. 

L'inspection des lieux rend éminemment probable que le 
fragment de granité appartientàla même formation. D'après cela, 
le granité serait au nombre des éléments lithologiques qui se 
rencontrent parmi les conglomérats amenés du sud dans la 
vallée de la Meuse à Tépoque quaternaire. 

Dans ces dernières années, des débris épars de roches cristal- 
lines étrangères aux terrains anciens connus dans le pays et le 
nord de la France ont été signalés sur beaucoup de points des 
alluvions anciennes des Flandres, de la Campine et même dans 
leBrabant. Plusieurs géologues, en tête desquels on doit nommer 
M. Delvaux, ont fait à cet égard des découvertes intéressantes, 

dont on pciit voir Pcx posé dans les Annales de la Société géolo- 



f 



— et — 

gique de Belgique (*), mais on n'avait pas indiqué jusqu'à 
présent de débris de ce genre dans la région sud-est du pays. 

M. Delvaux et les autres géologues qui se sont appliqués à ces 
recherches, inclinent à reconnaître à ces fragments cristallins 
sporadiques une origine septentrionale, et à les rattacher au dépôt 
erratique de la Scandinavie. Les découvertes de M. Delvaux ont 
prouvé qu*il en est ainsi pour certains spécimens ; car il a trouvé, 
à proximité de la frontière septentrionale de la province d'Anvers, 
un petit bloc de Rhombenporphyr dont Tauthenticité est incon- 
testable. Or le Rhombenporphyr n*est connu m situ que dans 
le fiord de Christiana. D'après cela, le dépôt erratique du Nord, 
que Dumont arrêtait à la rive gauche du Rhin et au Zuiderzee, 
s*est étendu beaucoup plus loin au sud-ouest. 

La plupart des roches granitiques reconnues dans le terrain 
quaternaire de Belgique ne possèdent pas des caractères litho- 
logiques tels qu'on puisse assigner leur provenance avec certitude, 
et il est probable que beaucoup d'entre elles ont une tout 
autre patrie que la Scandinavie. En eiïet, dans ces derniers 
temps, M. Ed. Van Reneden a dragué, au large d'Ostende, nn 
grand nombre de débris erratiques disséminés sur le fond de la 
mer du Nord. Ils ont été soumis à l'examen de M. l'abbé 
Renard(^). D'après ce savant lithologiste, une partie des fragments 
dragués appartiennent incontestablement aux assises jurassiques 
et infra-crétacées des falaises de Boulogne. 

Les roches cristallines qui leur sont associées comprennent 
des spécimens qu'on ne saurait distinguer des granités à grains 
moyens, des granités porphyroïdes et des cornéennes métamor- 
phiques, qu'on rencontre en Normandie, en Bretagne, aux îles 
Jersey et Guernesey, et notamment près de Cherbourg. Il en 
résulte que beaucoup de roches transportées par les glaces flot- 
tantes à l'époque quaternaire ont pu arriver du sud-ouest, et 
échouer sur les plaines et collines des Flandres, quand elles 
étaient abaissées au-dessous du niveau de la mer. 



(«} Tomes XI, Xli et XUI. 

(<) Conf. BuU, de VAcad. royale de Belgique, i883, n<» i\, p. 4S8, et 1886» no 4, p. 389. 



— es- 
ta présence de galets granitiques parmi les débris charriés de 
Fancienne Meuse nous indique la région française du sud-est 
comme une troisième direction de transport possible pour les 
roches cristallines erratiques trouvées sur le sol belge. La Meusii 
et ses affluents ne traversent aujourd'hui qu'une seule région 
renfermant des roches granitiques: c'est TArdenne française, dont 
le terrain cambrien est accompagné, comme on sait, de micro- 
granites porphyriqiies, de porphyroïdes, et de diorites dans le 
district de Deville et de Revin. — Mais je ne connais pas dans 
cette région de roche éruptive identique au galet de Wépion. 

En effet, cet échantillon est formé par une roche d'un blanc 
grisâtre, parsemée de petites taches plus foncées et d'un noir 
bronzé. Elle est à grains Gns ; la texture en est granitique. On y 
reconnaît à la loupe un agrégat cristallin de feldspath, où sont 
enchâssés de petits grains de quartz grisâtre, des lamelles de 
mica noir et des paillettes de mica blanc. La roche est massive et 
on n'y remarque pas d'alignement des éléments constitutifs. 

En plaque mince au microscope, on observe des plages de 
cristaux d'orthose, en grande partie kaolinisés, ayant perdu 
ou peu s'en faut leur transparence. On y retrouve néanmoins, 
malgré cet état d'altération, la macle de Carlsbad et aussi des 
traces de mîcroperthite. Outre le mica noir, ces orthoses enve- 
loppent de petits cristaux de plagioclase maclés, que les direc- 
tions d'extinction rapprochent de l'oligoclase. D'autres plagio- 
clases occupent une partie de l'espace qui sépare les orthoses. On 
y observe les macles de l'albite et du péricline. Leur contour 
est souvent plus nettement cristallin que celui de l'orthose, qui 
semble être postérieur et avoir fait à certains égards l'oflice de 
remplissage. 

Les plagioclases, un peu moins altérés que l'orthose, sont 
néanmoins parsemés d'innombrables paillettes de mica secon- 
daire. 

Le quartz assez abondant offre dans cette roche des plages 
médiocrement étendues, mais ces plages sont formées générale- 
ment d'agrégats qui résultent certainement de la rupture en plu- 
sieurs fragments d'une masse homogène primitive. Cela ressort 



— 64 — 

de la grande proximité des directions d*extinction qu'on observe 
très souvent entre deux fragments voisins, ainsi que de la pro- 
longation du même alignement d'inclusions d'un fragment dans 
Tautre. Mais le quartz se présente aussi dans la roche en grains 
à contours complexes, indépendants, mais engrenés les uns dans 
les autres : en un mot, on retrouve ici plus ou moins Taspectdu 
quartz granulitique. C'est pourquoi ce granité se rapproche des 
granulites. Outre des inclusions liquides avec bulles parfois 
mobiles, on rencontre souvent à Tintérieur du quartz le mica 
noir en lamelles ou en cristaux plus ou moins déformés, d'aspect 
assez semblable au mica noir, extérieur au quartz, dont il va être 
question. L'apatite en petites aiguilles a été enveloppée égale- 
ment par le quartz. 

Le mica noir extérieur à cette dernière substance se rencontre 
en lamelles droites ou ployées, parfois brisées et généralement 
déchiquetées. Le polychroïsme y est intense, les sections don- 
nant des nuances d'un brun jaunâtre très clair suivant a, et 
des nuances d'un brun foncé et même le noir suivant le plan 
^y. On y constate fréquemment des noyaux beaucoup plus 
foncés que l'entourage et qui sont des points d'absorption 
maximum. 

Dans le nombre, il est des plages de mica noir formées d'un 
certain nombre de bandes juxtaposées suivant le plan de clivage 
basique et qui sont très diversement colorées quand on les observe 
entre les niçois. Il faut attribuer à des groupements par hémi- 
tropie ces apparences, cju'on a assez rarement l'occasion de 
constater dans les roches éruplives. Les micas noirs du fragment 
de Wépion se montrent souvent aiïectés d'une altération qui, 
sans modiGer leur forme, fait disparaître en grande partie leur 
forte coloration. Ils deviennent d'un jaunâtre très pâle et perdent 
leur dichroscopisme. Cette altération est généralement accom- 
pagnée d'un décollement partiel des plans de clivage, qui déter- 
mine à l'intérieur du mica un grand nombre de petites lignes 
parallèles qu'on pourrait prendre pour les prismes allongés de 
quelque microlithe, si aux forts grossissements ils ne présentaient 
les caractères d'une fente allongée. On remarque parfois la macle 



— 65 — 

géniculée du rutile, qui se développe souvent à Tîntérieur des 
biolitos ('). Dans le cas présent, ces cristaux de rutile, n'appa- 
raissant que dans les plages très pâlies de mica noir, doivent 
être considérés comme un produit secondaire formé aux dépens 
de ce dernier minéral. Il arrive aussi que le mica noir passe à 
des agrégats verdâtres faiblement dichroscopiques, polarisant en 
bleu-noirâtre très foncé entre les niçois. C'est la transformation 
en chlorite, qui est une des plus fréquentes. 

Enfin on voit apparaître dans les préparations un minéral la- 
mellaire ou fibreux, plus ou moins contourné, incolore à la 
lumière ordinaire et présentant les couleurs jaune et rouge très 
vives à la lumière polarisée. Ces caractères décèlent le mica 
blanc. Quelques grains polyédriques tout à fait opaques et de 
couleur noire doivent être de la mngnétite. 

D'après Tensemble de ces caractères^ la roche recueillie à 
Wépion appartient à un granité voisin du type granulitique, 
espèce lithologiquc que nous n'avons pas encore vue dans les 
Ardennes. Mais elle peut s'y trouver, car notre connaissance des 
roches cristallines de cette région est encore très imparfaite. Il 
est très probable qu'une partie des arkoses dites de Fepin dérivent 
de la désagrégation d'un granité qui se rapprochait des pegmatites 
ou des aphtes (^) ; et on connaît la parenté des pegmatites et 
des granulites. Nous n'hésiterions pas à regarder TArdenne fran- 
çaise comme patrie originaire du galet de Wépion, si nous ne 
savions que l'on trouve parfois en amont de Charleville dans le 
gravier de la Meuse des cailloux granitiques ou porphyriques pro- 
venant des Vosges ('), et si Ton n^avait déjà constaté l'extension 
du diluvium vosgien dans le bassin de la Meuse par Tintermé- 
diaire du bassin de la Moselle. 



(*) RosE!fBCSCH, Mikroskopische Physiographiey 3* Aufl., t I, p. 484. 
{*} Rer ABD, Notice sur la composition minéraiogique de Varkose d'Haybes, (BULL. DU 
OTSÉEBOYAL DHIST. NAT., t. UI, pp. i27-i28.) 

(^ Conf. Sauvage et Buvignieb, Statistique minéraiogique et géologique du départe- 
"•«»< des Ardennes, p. 422. 



e 



Lundis 5 mai 1886. — Le R. P. Van den Gheyn lit un travail 
du R. P. Etienne sur les restes de la langue koushiie conservés 
dans le sanscrit et dans Tliindoustani. 

Après quelques observations de MM. de Vorges, Dollo et du 
R. P. Van den Gheyn, celui-ci est désigné pour examiner le 
mémoire du R. P. Etienne (voir 2» partie, pp. 201-214). 

M. Dollo parle de Sphargis rupeliensis. 

La section demande qu'un résumé de sa note soit inséré aux 
Annales. 

M. Dollo décrit ensuite un os particulier qu'il a trouvé dans la 
mandibule de Tlguanodon ; il propose de le considérer comme im 
basl-mandibulaire; cet os serait homodyjiame du basi-hyoïde. 

La section propose l'impression aux Annales de la communi- 
cation de M. Dollo. 

M. Dollo fait ensuite l'histoire : 

a) Du Post'Orbitaire des Lacertiliens^ 

b) De l'os épiotique des Idityosaures et des Caméléons, et de 
la Columella cranii de ces derniers. 

La section propose l'insertion aux Annales de ces travaux de 
M, Dollo. 

Mardi, 4 mai 4886. — M. de Lapparent expose son opinion 
sur l'origine du limon; il signale ce point à l'attention des géo- 
logues belges. 

La section propose l'insertion aux Annales de la note de 
M. de Lapparent. 

Le R. P. Van den Gheyn expose ensuite ce qu'on connaît 
aujourd'hui du peuple des Hittites; il signale, en terminant, 
l'importance que les recherches récentes qui concernent ce 
peuple possèdent au point de vue de la critique biblique. (Voir la 
Revue des questions scientifiques, 20 juillet 1886 et 20 avril 1887.) 

M. Dollo décrit l'appareil du vol chez Ptéranodon; il expose 
la signification de la crête occipitale osseuse de ce reptile. 

M. l'abbé Bourgeat, professeur aux Facultés catholiques de 
Lille, envoie un mémoire sur les accidents orographiques du 
Jura (voir 2- partie, pp. 215-250). 



M. de Lapparent est désigné pour Texaminer. 
La section procède à Télection du bureau pour Tannée 1886- 
1887. 

Sont élus : 

Président, MM. de Lapparent. 

Vice-Présidents, le D' Delgeur et le R. P. Van den Gheyn. 

Secrétaire, Boisserbt. 

Mercredi, S mai 4886. — M. de Vorges demande au R. P. Van 
den Gheyn si le peuple des Hittites ne peut pas être assimilé à 
celui des Gètes. 

Le R. P. Van den Gheyn répond que cette opinion n'est plus 
acceptable après les récentes découvertes archéologiques. 

Jl«l»f»0rf iIm m, iP. Wmn d^m €ahm^n 

sur le travail du R. P. Etienne, intitulé : Les restes de la langue 
koushite conservés dans le sanscrit et dans l'hinsdotutani. 

« Je proposerai à la section Timpression dans les Annales du 
travail du R. P. Etienne sur les traces du koushite dans le sans- 
crit et rhindoustani. Une seule réserve me parait devoir être 
présentée, comme pour Tarticle du R. P. Etienne inséré dans le 
dernier volume des Annales : elle porte sur la thèse de Fauteur 
relativement à la parenté linguistique du koushite et du polyné- 
sien. Les objections que j'ai fait valoir sur cette identité n'ont 
rien perdu de leur force; il faut donc abandonner ce côté de la 
question à la responsabilité de Tauteur. • 

M. de Vorges discute les rapports de la vie et de la sensation. 

Ce travail donne lieu à un échange d'observations entre l'auteur 
et MM. Mercier, Fontaine, Monchamp et Proost. Il a, depuis, été 
été publié par les Annales de philosophie chrétienne, décembre 
1886. 

M. Proost fait hommage de V Année scientifique et agricole. 



— «8 — 

Jeudi, 6 mai 4886, — M. R. Slorms fait le récit de la pêche 
à la baleine à laquelle il a assisté 

M. Dollo explique pourquoi les poules retournent leurs œufs. 

M. Tabbé Smets, empêché, envoie une monographie de Chelone 
van Benedenii. M. Dollo est désigné pour Texaminer. 

Vne discussion sur révolution des Cétacés termine la séance. 



n«ppoÊ*t fie M, lie ÏÏjuppaÊ'mni 

Sur un travail de 31. l'abbé Bourgeat, relatif à l'orographie 

du Jura. 

Le travail de M. Tabbé Bourgeat traite de Tune des questions 
les plus intéressantes de la géologie européenne. La structure du 
Jura y est exposée avec méthode et sans détails inutiles. On peut 
se demander si, au point de vue bibliographique, Fauteur ne s'est 
pas arrêté un peu trop tôt dans ses citations. Les cartes et les 
notices explicatives de Besançon et de Lonsle-Saulnier, publiées 
par M. Bertrand pour le service de la carte géologique de France, 
sont des documents qui, ce nous semble, méritaient d'être men- 
tionnés dans un travail sur le Jura. De même, à propos de la 
relation étroite qui unit le Jura aux Alpes, citer les noms de 
MM. Suess et Heim n'eût été que justice. Mais si ces oublis 
peuvent attirer à l'auteur quelques reproches ou des réclama- 
tions de priorité, ils n'enlèvent rien à l'intérêt de son travail, 
que nous croyons digne de figurer dans les Annales. 

Nous avons une remarque h faire au sujet de la page 3. L'au- 
teur y écrit que « les différences observées entre les épaisseurs 
des sédiments remontent à une époque fort ancienne, antérieure 
sans doute au modelé actuel du Jura ». Il nous semble que 
M. l'abbé Bourgeat doit avoir mal traduit sa pensée. L'épaisseur 
d'une assise se mesure toujours entre son couronnement et son 
substratnm. Dés lors, elle résulte des conditions mêmes du dépôt, 
et c'est faire une tautologie que d'attribuer la décroissance des 
épaisseurs vers l'ouest a un phénomène ancien. 

A la page 31 , ligne 3 du haut, nous pensons que l'auteur a 



se demande s'il est d'ailleurs toujours bon de guérir de vieux 
ulcères. 

Le D' Dumont rapporte ensuite un cas de vomissements 
incoercibles dans le cours de la grossesse. Il expose les moyens 
pharmaceutiques auxquels il recourut sans succès, et il estime 
que le régime alimentaire et la position horizontale peuvent 
exercer une influence considérable dans le traitement de cette 
pénible affection. Il a constaté que le régime sec, et en particulier 
les aliments salés, étaient le mieux tolérés etque souvent la position 
horizontale suffisait, à elle seule, à faire digérer les repas. Voulant 
se rendre compte d'une nutrition qui semblait compromise, le 
D' Dumont analysa la quantité d'urée émise par les urines, et il 
obtint une moyenne de 18 à 20 grammes par jour. Il se demanda 
si pareille analyse ne peut en semblables circonstances permettre 
d'apprécier l'état d'une patiente et servir à décider l'opportunité 
d'une intervention. 

M. le professeur Verriest parle ensuite des moyens antither- 
miques et hydrothérapiques à employer dans le cours de la 
fièvre typhoïde. Il passe en revue les bains froids, la quinine, la 
kaîrine, l'antipyrine et autres substances utilisées jusqu'ici. Les 
médiraments, dit-il, offrent divers inconvénients et n'influencent 
pas d'ailleurs la marche et la durée de la fièvre. Les bains à la 
température de 28** à 30^ C. donnent de bons résultats, mais on 
ne les emploie pas volontiers dans notre pays. Agissent-ils uni- 
quement en abaissant la température? On ne saurait l'admettre, 
car il est impossible de méconnaître la puissance des réflexes que 
le froid met en jeu en impressionnant le système nerveux péri- 
phérique. C*est même à cette influence qu'il faut rattacher la 
stimulation générale de l'organisme, le relèvement du cœur, 
l'ampleur de la respiration, la contraction des tuniques muscu- 
laires de l'intestin. 

Mais, pour produire pareil résultat, le bain n'est pas néces- 
saire; les lotions froides suffisent. Quoi qu'on en ait dit, les 
typhiques ne succombent guère à l'élévation directe de la tem- 
pérature, pas plus que les phtisiques, dont le thermomètre 
révèle l'ardente fièvre pendant de longs mois. 



— 71 — 

M. le professeur Desplats profite de la communication de 
M. Verriest pour rappeler que, depuis Tusagc des antilliermiques 
et des antiseptiques, la fièvre typhoïde est devenue moins grave. 
On n'observe plus aujourdluii comme autrefois ces vastes 
calharreSy ces suppurations abondantes et toutes ces complica- 
tions si justement redoutées de nos prédécesseurs. 

A vrai dire, la marche de la fièvre typhoïde n'a guère été 
modifiée, mais il est très utile, d'après M.Desplals, de combattre 
une grande élévation de température, source pour lui de nom- 
breuses complications. 

Enfin, M. Desplats nous entretient de la compression hydrau- 
lique appliquée à la thérapeutique. Il a eu à s'en louer dans le 
traitement de l'hydarthrose. 

Mercredi^ S mai 1886. — Le secrétaire de la section lit un 
rapport fait au nom d'une Commission dont il a fait partie avec 
MM. Desplats et Mœller et qui a été chargée de l'examen d'un tra- 
vail présenté par M. Heymans, préparation du cours de physiologie, 
à Louvain.Ce travail, favorisé du concours pécuniaire delà Société 
scientifique, a pour titre : Recheixhes expérimentales sur le curare 
et le manganèse. Il expose toutes les particularités de l'intoxica- 
tion curarique et conclut à l'ineflicacité du manganèse dans le 
traitement du diabète causé par le curare. Sur la proposition du 
rapporteur, la section vote des remerciements à l'auteur et l'im- 
pression de son remarquable travail dans les A nnales de la Société. 
Il est publié dans la seconde partie de ce volume (pp. 2ol-292). 

M. le professeur Verriest présente une malade atteinte de 
myxœdème. Elle est âgée de cinquante-cinq ans. Les premières 
manifestations de son mal se sont montrées il y a six ans, c'est- 
à-dire deux ans avant la suppression du flux menstruel. Bien 
portante, cette personne était maigre; aujourd'hui elle parait 
chargée d'embonpoint. Au palper, on éprouve la sensation d'une 
résistance élastique donnée par le tissu sous-cutané et rappelant 
celles du tissu muqueux. La peau est amincie et, en certaines 
régions, aux mains et aux avant-bras, elle oiïrc un aspect écaillé 
rappelant la peau du crocodile. Au cuir chevelu, considérable- 



— li- 
ment épaissi, elle est parcourue par des sillons qui limitent çà et 
là des ilôts plus ou moins volumineux. Au-dessus des clavicules, 
on constate d^épais coussinets de production myxœdémateuse. 
Aux talons et au coude, il existe des plaques de lichen. Nulle 
part la pression du doigt ne détermine aucun enfoncement. 

La température est légèrement abaissée. La malade a toujours 
été intelligente; mais, depuis le début du mal, elle fait preuve 
d'une lenteur d'esprit qui se développe progressivement. 

M. le D*" Schneider, sans nier lexislence du myxœdème, rap- 
porterait volontiers le cas actuel à Therpétismc. Il ne trouve pas 
le faux œdème assez généralisé chez la malade de M. Verriest, 
ni les facultés intellectuelles assez obscurcies pour admettre sans 
réserve le diagnostic de myxœdème. 

M. Desplats traite ensuite la question de la vaccinisation pen- 
dant la période d'incubation de la variole, en vue de prévenir 
Téclosion de cette dernière maladie. On sait que la vaccinisation 
consiste dans des inoculations successives de vaccin, à des inter- 
valles de six à sept jours, jusqu'à ce que Ton n'obtienne plus que 
des résultats négatifs. Tout en inclinant à admettre l'influence 
de la vaccinisation comme mesure prophylactique de la variole, 
M. Desplnts ne connaît pas un ensemble suffisant de faits pour 
trancher la question. 

MM. Warlomont et Guylits communiquent à rassemblée deux 
sujets qu'ils savent rendre très intéressants. Le premier expose 
diverses innovations de la chirurgie oculaire; le second, tm cas 
de canitie ab irato. 

Enfin, M. Schneider développe le cas curieux qu'il eut der- 
nièrement l'occasion d'observer en donnant ses soins à un malade 
qui avait visité Panama, où il avait contracté une fièvre jaune 
très grave. Dans le cours de sa maladie, il fut à un certain 
moment couvert d'un essaim de mouches de toutes grandeurs 
et de toutes couleurs. M. Schneider constata chez son client une 
tumeur logée dans l'interstice qui sépare les deux premiers 
orteils et présentant un orifice fistuleux. Elle contenait un der- 
maiobia noxialis, larve d*œstre, de la famille des taons, qui 
tourmente souvent nos animaux domestiques. 



— »8 — 



ASSEMBLÉES GÉNÉRALES 



ASSEMBLÉE GÉNÉRALE DU JEUDI 39 OCTOBRE 188». 

M. de la Vallée Poussin, professeur à TUniversité catholique 
de Louvain, fait une conférence sur Les excavations naturelles 
du Colorado. 

Il rappelle Taclivité que les Anglo-Américains déploient dans 
le domaine de la science, activité qui n*est pas indigne de celle 
qu'ils montrent dans le commerce et Tindustrie. Après avoir 
indiqué rapidement l'organisation des expéditions scientifiques 
patronnées par le gouvernement des Etats-Unis dans le Far 
West et signalé quelques-uns des travaux les plus remarquables 
auxquels elles ont donné naissance, M. de la Vallée choisit comme 
objet spécial de sa lecture les mémoires qui ont paru sur les 
contrées traversées par le Colorado. Ce fleuve est célèbre entre 
tous les fleuves du monde par la profondeur et le développement 
des sillons ou caiions au fond desquels il coule, dans le territoire 
d*Arizona. 

On se faisait naguère encore une idée fausse de ces carions à 
parois presque verticales descendant à 1 ,000 ou 2,000 mètres 
au-dessous des plateaux voisins. Le pays où ils existent est aride, 
désert et très diflicilement abordable. Mais le gouvernement 
américain y a organisé depuis une dizaine d'années des stations 
scientiflques. Grâce à elles et aux publications splendidcs qui ont 
vu le jour, on peut aujourd'hui se faire une idée plus juste de 
ceue contrée extraordinaire. 

M. de la Vallée expose, d'après l'ouvrage de Clarence Dutton 
sur le district du Grand Canonf les principaux caractères de ce 
pays, où le travail des eaux courantes, joint aux dégradations 
d'origine atmosphérique, a découpé en tous sens les assises du 
globe de manière à y sculpter de véritables monuments. 



— 14 — 

Il signale, diaprés les Américains, le caractère architectural de 
CCS monuments, la beauté de leurs teintes, et leur grandeur colos- 
sale, auprès de laquelle les plus grandes constructions humaines 
apparaissent comme un travail de Lilliputiens. II met sous les 
yeux de lauditoire Ics^planches d'un grand allas annexé au livre 
de Dutton, et qui représentent, en chromolithographies, quel- 
ques-unes des vues les plus remarquables du pays de Colorado. 
Il est telle de ces vues que les géologues américains mettent 
au-dessus de tout ce quHs ont jamais vu et déclarent être le 
plus subh'me des spectacles terrestres. 

Après quelques réserves, M. de la Vallée résume les doctrines 
géologiques qui permettent d'élucider le mode de formation de 
ces coupures et de ces entailles gigantesques. En se basant sur 
rhistoire géologique du plateau dii Colorado et en même temps 
sur le pouvoir mécanique bien connu des eaux torrentielles, il 
établit la possibilité du creusement des canons durant les der- 
nières périodes du globe, et Tindépendance réciproque que Ton 
remarque souvent entre le trajet des rivières et le relief d'un 
pays. Il expose aussi dans le cas spécial du Colorado la raison 
d'être des escarpements taillés en murs verticaux et qui se pour- 
suivent sur des centaines de kilomètres. Quant au temps précis 
nécessaire à l'accomplissemeut de cet immense travail de démo- 
lition, M. de la Vallée dit qu'il est impossible de le formuler, la 
nature étant encore muette pour nous dans cet ordre de pro- 
blèmes géologiques. 

La Revue des Questions scientifiques (janvier 1886) a publié, 
sous le même titre, un article de M. de la Vallée, où nos lecteurs 
trouveront la plus grande partie de la conférence précédente. 



— 16 — 

agricole de la Seine-Inférieure sur la question des champs d*ex- 
périencc, campagnes auxquelles M. Proost a pris une part active, 
et dont les résultats ont été concluants dès la première année. 

L'orateur a examiné tour à tour la question des champs 
d'expérience dont il fut le promoteur en Belgique, de Tutilisation 
des eaux d*égout, de la mise en valeur des terres sablonneuses, 
de la culture intensive dans les terres avec ou sans fumier de 
ferme, avec ou sans bétail. Il conclut à la substitution de la 
culture scientifique à la culture empirique. 

Mais il estime que, pour obtenir ce résultat, le concours de 
rËtat,des provinces et des communes est indispensable. M.Proosl 
constate avec M. Risler, directeur de l'Institut agronomique de 
Paris, et M. Tisserand que la crise sévit surtout dans les pays à 
fermage et particulièrement dans les pays à grandes fermes et 
à culture intensive, parce que c'est dans ces pays que les fermiers 
riches et instruits sont les plus indispensables. Il faudrait modi- 
fier les rapports de propriétaire à fermier, et les associer. Ce 
serait revenir à peu près à l'ancien métayage ; seulement, jadis 
l'association avait lieu entre un propriétaire et un fermier igno- 
rants des progrès agricoles, aujourd'hui tous deux devraient pra- 
tiquer scientifiquement l'exploitation de la terre. 

Le propriétaire doit devenir le banquier et le guide du fer- 
mier. Comme le dit M. Risler, « des baux longs^ une entente 
cordiale du propriétaire et du fermier, dont les intérêts sont 
éminemment solidaires, plus d'instruction de part et d'autre, tel 
est le premier progrès à réaliser ». La science aidée du capital 
peut donc relever ragriculture. L'exemple de l'étranger atteste 
éloquemment la possibilité de cette métamorphose. 

La crise agricole est peu sensible dans tous les pays où le 
propriétaire fournit assez de capital pour bien exploiter ses 
terres, et où il donne lui-même à la culture une direction intel- 
ligente et bienveillante pour le métayer. 

On n'a rien fait chez nous depuis un demi-siècle, pour l'en- 
seignement professionnel des classes rurales, tandis que Ion 
créait partout des écoles industrielles. 

L'intelligence et le travail, qui triomphent de tout lorsqu'ils 



— 11 — 

s'appuyenl sur le savoir, sont impuissants aujourd'hui dans ce 
duel implacable avec les éléments qui s*appelle la culture inten- 
sive. 



III 



ASSEMBLÉE GÉNÉRALE DU LUNDI 3 MAI i886. 

Le R. P. Garbonnelle, secrétaire de la Société scientifique, 
lit le rapport suivant : 

Messieurs, 

Dans les dix premières années de notre existence sociale, 
de 1875 à 1885, la mort a supprimé de nos listes, comme je 
vous le disais dans le dernier rapport, les noms de 102 membres. 
Elle n'en a elTacé que six pendant la onzième année; mais, 
parnn' ces six noms, il en est un qui s'impose tout particulièrement 
à nos regrets. C'est le nom d'un savant illustre, dont In longue 
et brillante carrière a été une démonstration vivante de celte 
grande vérité qui nous à réunis et qu'exprime notre devise, à 
savoir qu'il n'y a pas la moindre opposition, qu'il y a plutôt un 
harmonieux accord entre l'esprit scientifique et l'esprit religieux. 
M. de Saint-Venant, mort le 6 janvier dernier dans sa 89- année, 
a été pendant toute sa vie le type du savant chrétien. Il n'était 
pas savant à certaines heures, chrétien à d'autres heures, il fut 
toujours à la fois l'un et Tautre. Elève du lycée de Bruges sous 
le premier empire, admis a 15 ans i\ l'Ecole polytechnique d'où 
il sortit le premier de sa division, élève et plus tard professeur 
à l'Ecole des ponts et chaussées, membre de l'Académie des 
sciences, il fut réellement un ingénieur de premier ordre. C'est 
lui qui fut le créateur de la théorie générale de la Torsion, 
Comme le disait sur sa tombe un de ses disciples, également 
membre de l'Institut, < ses travaux de science pure, confirmés 
par de nombreuses observations, et que, d'une part, leur carac- 
tère rationnel et exact rend définitifs, tandis que, d'autre part, 
leur simplicité relative et leur élégance marquent leur place 



— 1» — 

dans les éléments mêmes de la mécanique appliquée, ont gravé 
à jamais son nom dans les annales de la science. Toujours 
la question générale des déformations des corps allongés, qui 
remplit en majeure partie le cours si important de la résistance 
des matériaux enseigné dans les écoles techniques, s*appeilera 
le Problème de Saint- Venant, comme on le désigne en Allemagne, 
en Angleterre et en Italie, à la suite de Clebsch, Kirchhoff, 
William Thomson et Tait, et d'autres maîtres encore •• Si 
M. de Saint- Venant a ainsi attaché son nom à une vérité fonda- 
mentale destinée à traverser les siècles, il a mérité cet honneur, 
comme le remarque le même membre de Tlnstitul, < par son 
ardent dévouement à la vérité, par son travail de tous les instants 
pour la découvrir, qui a été la grande passion de sa vie, et qu'il 
regardait comme un devoir strict de sa vocation. Pour lui, en 
effet, Tétude des lois naturelles était la recherche, par les lumières 
de la raison, au sein du désordre apparent des choses, d'un 
ordre profond et simple, image et effet de Tintelligence souve- 
raine que sa foi lui faisait adorer et aimer. Et il jugeait que 
l'obligation du savant, sa mission ici-bas, est de mettre dans tout 
leur jour ces belles lois, pour les faire, tout à la fois, admirer 
comme reflet de leur auteur et tourner à l'utilité commune. » 

C'est à ces vues élevées sur le rôle de la science que nous 
devons en particulier les quatre-vingts pages consacrées par lui, 
dans le second volume de nos Annales, à la constitution des 
atomes. Dans ce beau travail^ on peut voir « combien cet homme 
de foi croyait à la puissance de la raison », et quelle hardiesse 
il apportait à Télude des plus difficiles problêmes de la nature; 
mais ce que nous ne devons pas non plus oublier de signaler, 
c'est combien sa foi était simple et sincère. Il y a parmi ceux qui 
m'écoutent en ce moment plusieurs de ses amis, qui le recon- 
naîtront surtout à ce trait, et, pour ma part, en relisant derniè- 
rement les nombreuses lettres qu'il m'a fait Thonneur de m'écrire, 
j'avoue que c'est là surtout ce qui m'a frappé. Comment n'être 
pas touché en voyant au bas de ces lettres, au lieu de ces formules 
banales qu'on ne prend plus la peine de lire^ des phrases 
comme celle-ci : < Veuillez, mon révérend père, ne pas m'oublier 



— IS — 

au saint sacrifice, pour que Dieu m^accorde toutes les grâces 
dont j*ai si grand besoin pour contribuer à sa gloire. » Aussi 
Ton a pu répéter sur son cercueil avec le savant géomètre que 
j'ai déjà cité : « Sa mort a été aussi édifiante et aussi sereine que 
sa vie. Il a eu le bonheur de s*endormir du dernier sommeil 
Téme tout imprégnée d*immortelles espérances que le doute 
n*avait jamais ternies. > 

En recevant la lettre de faire-part, je m'associai sans doute aux 
prières de sa famille et de ses amis; mais en outre, vous ne le 
trouverez pas étrange. Messieurs, je songeai aussi à lui demander 
à lui-même sa protection pour notre Société scientifique, à laquelle 
il avait toujours été si sympathique et si dévoué; il continuera, je 
n'en doute pas, au delà de la tombe, à contribuer à sa prospérité. 
Les quelques renseignements que je dois maintenant vous 
donner suivant l'usage vous montreront, du reste, que cette pros- 
périté n'est pas menacée. 

Nous comptons aujourd'hui 582 membres, dont 394 Belges et 
i88 étrangers. Le faible mouvement de décroissance, qui s'était 
accusé les deux ou trois années précédentes, s'est donc arrêté 
cette année; mais, il est peut-être utile de le constater, c'est 
parce que le gain fait à l'étranger a compensé la perte faite en 
Belgique. 

Comme beaucoup d'autres revues sérieuses, mais à un moindre 
degré pourtant, la Revue des Questions scientifiques a perdu des 
abonnés à la fin de l'année 1885. Le 20 janvier 1886, en expé- 
diant notre première livraison, nous avons constaté un déficit de 
36 abonnés, comparativement à la même date de 1885; mais 
déjà au 20 avril suivant, ce déficit était réduit à 15; et nous avons 
bon espoir de le voir disparaître complètement. 

Le rapport que vous allez entendre vous prouvera d*ailleurs 
que les finances de la Société sont dans un excellent état; et le 
conseil a pu accorder cette année 1,500 francs de subsides pour 
travaux scientifiques. 

Je me hâte donc de céder la parole à M. le Trésorier, afin de 
laisser ensuite plus de temps au brillant et sympathique confé- 
rencier que vous êtes venus écouter. 



— 84 — 

Ces propriétés appartiennent essentiellement aux composés 
azotés. Pourquoi? Parce qu'ils sont tous des composés endo- 
thermiques, formés avec absorption de chaleur; dans Pacte de la 
décomposition, ils restituent Ténergie qu'il a fallu accumuler 
pour leur constitution. Ce sont des édifices moléculaires instables, 
qui croulent quand on heurte leur base fragile. Les faits les plus 
étonnants peuvent être expliqués de la sorte et la mécanique 
nous livre le secret de ces corps étranges. C'est une des pages 
les plus curieuses de la science. 

M. Wiiz montre alors à Tœuvre les agents explosifs dans les 
opérations de la guerre et dans les travaux de la paix. Il décrit 
les torpilles et les torpilleurs, et il retrace la lutte de ces engins 
nouveaux contre les forteresses flottantes auxquelles paraissait 
appartenir Tempire des mers. Les cuirasses et les filets ne sauvent 
pas les monitors; les bateaux Thornicroft et Nordenfeldt, les 
torpilles Berdan et autres ont raison presque toujours des plus 
formidables navires. 

Voyons les ingénieurs à Tœuvre; en comparant les travaux du 
mont Cenis et du Saint-Gothard, on constate les progrès réalisés 
par remploi de la dynamite. On calcule aujourd'hui mathéma- 
tiquement les charges nécessaires pour disloquer un massif; 
l'exposé des méthodes nouvelles présente le plus grand intérêt. 

Quelle colossale réserve d'énergie dans les 15 millions de 
kilogrammes de dynamite qui se fabriquent annuellement! 
M. Witz développe ce sujet avec complaisance, et il montre que 
ce n'est pas une utopie de chercher à employer utilement cette 
énergie; le moteur à gaz dérive des moteurs à poudre, et l'homme 
a su discipliner déjà les mélanges tonnants les plus dangereux. 
Il a asservi la foudre; il domptera des agents qui sont l'œuvre 
de ses mains, et ces éléments de mort et de destruction devien- 
dront des éléments de richesse et de progrès. 

On trouvera dans la Revue des Questions scientifiques (avril 
1887) un article de M. Witz, intitulé également les agents explo- 
sifs^ où l'auteur reprend le même sujet et le traite d'une manière 
plus étendue. 



— 8ft 



ASSEMBLÉE GÉNÉRALE DU MERCREDI 5 MAI 1886. 

A la séance d*aujonrd'hui M. Amédée Visart fait sur La syl- 
viculture et la crise agricole une communication à laquelle les 
circonstances actuelles donnent beaucoup d*intérét. Il rappelle 
d^abord les avantages que le boisement des terrains monta- 
gneux ou incultes et la conservation des forêts existantes présen- 
tent au point de vue des finances publiques et du bien-être 
général comme à celui de l'amélioration du climat et de la 
régularisation du régime des eaux. 

Tous les hommes compétents sont d'accord à ce sujet, et 
aujourd'hui TEtat et toutes les administrations publiques en 
Belgique et dans les pays voisins conservent les anciennes forêts 
et s'effon^ent d'en créer de nouvelles, en se préoccupant plus de 
l'intérêt général et des résultats définitifs que des profits immé- 
diats. 

Cependant les améliorations les plus désirables ne peuvent se 
réaliser sans l'intervention des particuliers qui possèdent la plus 
grande partie du territoire. Il est donc très intéressant de recher- 
cher si, dans bien des cas, les boisements ne peuvent donner des 
résultats rémunérateurs et permettre l'utilisation des terres aban- 
données ou avilies à cause de la crise agricole. 

De là trois questions à élucider : l"" Est-il probable que les 
produits forestiers soient moins exposés que les produits agri- 
coles aux effets de la crise agricole et à la baisse excessive des 
prix? 2* Y a-t-il encore en Belgique des terrains propres à être 
boisés dans des conditions telles qu'on puisse espérer des béné- 
fices supérieurs ou égaux à ceux de la culture? S"" Les boise- 
ments présentent-ils des avantages spéciaux dont les particuliers 
peuvent tenir compte. 

Le conférencier traite successivement ces points. Au moyen de 
renseignements statistiques et d'appréciations raisonnées, on peut 
démontrer que, dans un avenir prochain, ni la production natio- 



— s« — 

nale, ni celle des pays pratiquement accessibles ne pourront 
suffire aux besoins. 

La concurrence des contrées lointaines est impossible pour 
les bois ordinaires, qui forment la grande masse de la consom- 
mation. Le conférencier passe ensuite en revue les régions prin> 
cipales de la Belgique, et constate quil y a dans nos provinces 
de Test, dans la Gampine et même dans les parties les plus peu- 
plées du pays, beaucoup de terres qu'il est peu lucratif de culti- 
ver ou de défricher. Cependant les particuliers ne sauraient faire 
une opération avantageuse, si Ton tient compte de Taccumulation 
des intérêts des capitaux, en créant de véritables forets où la 
futaie doit dominer. Ils sont condamnés par conséquent à faire 
seulement des plantations qui peuvent être exploitées au bout de 
trente ou trente-cinq ans au maximum. Les résineux, les taillis 
et les essences propres à des usages spéciaux constituent donc 
nécessairement pour les particuliers la première étape des boise- 
ments. Les pins sylvestres dans les terres sablonneuses de la 
Belgique inférieure, les épicéas et des essences analogues sur les 
plateaux élevés et froids des Ardennes peuvent donner assez 
promptemeni des produits rémunérateurs. 

Le conférencier fait ressortir les avantages particuliers des 
boisements au point de vue de rembellissemenl et de Tassainis- 
sement des domaines ruraux, du bon aménagement des travaux 
de la campagne dans les diverses saisons et de la certitude d*un 
bénéfice net ou d*une rente régulière. 

Il termine en exprimant la conviction qulls sont nécessaires 
pour Tutilisation du sol en présence de la crise agricole. 

Neu segnes jaceant lerrœ. 



VI 



ASSEMBLÉE GÉNÉRALE DU JEUDI 6 MAI 1886. 

Lesdeuxcommissaires,nommés lundi dernier, MM. Gh.Lagasse 
et Otto, proposent à rassemblée d'approuver les comptes. Cette 
proposition est adoptée. 




— 87 — 

M. l'ingénieur G. Kennis fait ensuite une conférence sur 
V assainissement des villes. En attendant qu'elle paraisse dans 
une des publications de la Société scientifique, nous la résumons 
ici brièvement : 

L'assainissement des villes exige une bonne organisation des 
bureaux d'hygiène. Le bureau d*hygiène de la ville de Bruxelles 
a servi de type à la création des bureaux des villes du Havre, 
Nancy, Reims, Louvain el Amiens. 

Le docteur Janssens, membre de l'Académie rovale de méde- 
cine de Belgique, est le créateur de ces utiles institutions, qui 
établissent des relations entre les grands centres de population 
du monde civilisé. 

Ces observatoires dans le domaine sanitaire permettent de 
surveiller la marche des maladies épidémiques et de prendre 
les mesures préventives nécessaires pour les arrêter. 

Des graphiques empruntés aux publications des bureaux 
d'hygiène, affichés dans la salle des conférences^ mettent sous 
les yeux des auditeurs la mortalité typhique de plusieurs grandes 
villes depuis Tépoque de lexécution des grands travaux d'assai- 
nissement. Ces tracés constatent que le tribut mortuaire prélevé 
par cette terrible maladie zymotique décroit partout en même 
temps que les grands travaux d'assainissement se sont développes 
et que l'on a éloigné, non seulement des maisons, mais encore 
de la ville, les déjections humaines, immédiatemcnl, au fur et à 
mesure de leur production. 

A Francfort et dans un grand nombre de villes d'Amérique, 
on a établi en tète de chaque tronçon d'égout des réservoirs de 
chasse fonctionnant automatiquement et rendant presque nuls 
les frais de curage. Un spécimen de ces intéressants appareils 
fonctionne devant rassemblée. Il constitue une application 
du principe des fontaines intermittentes : de l'eau introduite 
lentement dans un réservoir s'est précipitée avec une grande 
vitesse dans une rigole aussitôt que Feau eut atteint un niveau 
déterminé dans le réservoir. Et cela par une simple disposition 
donnée aux tubes d'évacuation, sans l'intervention d'aucune 
pièce mobile. 



— H» — 

L'emploi de ces appareils évite la formation de dépôts autre- 
ment inévitables en tète des tronçons d*égouts. 

Les égouts qui ne sont lavés que par l'admission des eaux 
pluviales présentent des causes d'insalubrité. Par des pluies non 
persistantes, les matières sont simplement délayées dans Teau. 
Cette eau souillée s'élève le long des parois de l'égout et les 
laisse recouvertes de matières fermentesciblos, lorsqu'après la 
pluie le niveau de Peau a baissé dans l'égout. Cette circonstance 
et d'autres ont fait imaginer en Amérique par le colonel Waring, 
en Angleterre par l'ingénieur Griffith, en France par l'ingénieur 
Pontzen» un système de canalisation souterraine excluant de son 
régime les eaux pluviales et toutes celles dont le débit ne peut 
être réglé. On réduit ainsi à un minimum les variations dans la 
hauteur des liquides. 

Des conduites souterraines à diamètre restreint, toujours 
parfaitement ventilées, amènent les eaux ménagères et les 
matières fécales de toute une localité vers une halle aux machines 
avec pompes spéciales pour conduire le tout vers des champs de 
culture par irrigation. 

Traitant de la question des irrigations, M. Kennis rend compte 
d'expériences faites à l'instar de celles de Franckland en Angle- 
terre. Il résulte de ces expériences que les eaux d'égout peuvent 
ou être simplement épurées par le sol, ou bien être affectées par 
leurs matières organiques à l'utilisation agricole, suivant la nature 
des terres et la quantité d'eau d'égout employée par hectare. 
Dans l'un et dans l'autre cas, il faut opérer par la méthode de 
déplacement, c'est-à-dire qu'il ne faut introduire dans le sol de 
nouvelles quantités d'eau qu'au fur et à mesure que des quantités 
proportionnelles ont trouvé leur évacuation par un drainage 
parfaitement assuré. 

Dans ces conditions, toutes les matières organiques sont brû- 
lées par l'air introduit dans le sol à la suite de l'eau et transformées 
en produits ne pouvant plus occasionner aucune pollution, ou 
bien en produits immédiatement assimilables par les plantes. 

La ville de Paris irrigue 600 hectares dans la plaine de Gen- 
nevilliers. La valeur locative à l'hectare, constatée sur baux enre- 
gistrés, a été majorée de 400 francs l'hectare. 






— »• — 

Cette plus-value du loyer de 240,000 francs par an pour la 
plaine, au denier 20, constitue une création de richesse de 
4,800,000 francs. La ville de Paris a dépensé environ 3,000,000 
de francs pour ces travaux. Bientôt elle augmentera les champs 
d'irrigation de 800 nouveaux hectares. 

L'un des grands propriétaires de la Flandre-Occidentale, M. le 
sénateur van Ockerhout, fait depuis Tannée dernière, avec succès 
complet, de la culture par irrigation à son château de Lophem. 

M. Steinmetz, industriel à Bruges, par les soins de Tiiigénieur 
Van Maldeghem, agronome de TËtat pour la Flandre-Occiden- 
tale, cultive par irrigation plusieurs hectares entourant son 
usine. 

Les journaux ont rendu compte des brillants résultats obtenus 
par M. Gillekens, agronome de TÉtat, dans l'utilisation des eaux 
ifégout de la ville de Bruxelles pour la culture des betteraves 
fourragères, des légumes, d'arbustes, dans les plaines de 
llaeren. 

M. Kennis exprime le vœu que les autorités compétentes, don- 
nant suite aux études faites par la Société centrale d'agriculture 
de Belgique, arrivent à organiser avec autant de soin le service 
de l'aménagement rationnel et de l'utilisation agricole des eaux 
d*égout que l'on en apporte au service et à l'aménagement des 
eaux destinées à la navigation. 

M. le Président proclame ensuite le résultat des élections 
(voir page 43, la composition du bureau et du conseil), et déclare 
la session close. 



lilSTE DES OVVRÀOES 

f 

OFFERTS A LA SOCIÉTÉ SCIENTIFIQUE DE BRUXELLES. 



Abdruck aus dcn Comptes rendus der achlen Sitzung des intemationalen 
medicinischen Kongresses, — Ropenhagen, 4884. Prof. D' Âlbrecht : 
Ucbcr die Wirbelkôrperepiphysen und Wirbelkôrpcrgelenkc zwischen 
dem Epistropheus, Atlas und Occipitale der Sâugethiere. 

Professer D' Paul Albrecht. (Erwiderung auf die Besprechung des Herm 
Profcssors D^* Pb. Hôbr : « P. Albrecht. Ueber die morphologische Bedeu- 
tung der Riefer-, Lippen- und Gesicbtsspalten. Archiv. fur klinische 
Chirurgie. Band XXXI, Heft 2, in den Fortschritten der Medicin. » ~ 
Berlin, 4885. 

Sur la non-homologie des poumons des Vertébrés pulmonés avec la vessie 
natatoire des Poissons, par M. le professeur Paul Albrecht, docteur en 
médecine et en philosophie, suivi d*une annexe contenant une discussion 
sur ce sujet entre M. le D^ Rcnsoo, agrégé à la Faculté de médecine de 
rUniversité de Bruxelles, et M. Albrecht. — Paris -Bruxelles, 1886. 

Extrait des comptes rendus de la 8' session du Congrès périodique interna- 
tional des sciences médicales. — Copenhague, 1884. Communications du 
D' Albrecht. 

Ungedruckte wissenschaftliche Correspondenz zwischen Johann Kepler und 
Herwartvon Hohcnburg, 1599. Ergânzung zu: Kepleri Opéra omnia, éd. 
chr. frisch. nach den MSS. zu Mûnchen und Pulkowa edirt von C. Anschiitz 
(Sépara ta bdruck aus den Silzungsbericbten der Rônigl. Bôhw.Gesellschaft 
der Wisscnschaftcn). — Prag, 1886. 

Rapports sur le Congrès d'histoire et d'archéologie tenu à Anvers, les 
!28-30 septembre 1885, et sur Texcursion à Beaumont et ses environs 
faite le 4 novembre 1886 par la Société archéologique de Charlcroi, par 
le C^* Albéric d'Auxy de Launoy. (Extrait des Annales du Cercle archéo- 
logique de Mans.) — Mons, 1887. 

Sur la provenance de Tétain dans le monde ancien, par M. Germain Bapst. 
(Extrait des Comptes rendus des séances de l'Académie des inscriptions cl 
belles-lettres.) - Paris, 1886. 

De la plaine maritime depuis Boulogne jusqu'au Danemark. 1** partie. 
Mémoire sur la plaine maritime depuis Anvers jusqu'à Boulogne, par 
M. Antoine Belpaire, membre de l'Académie royale de Belgique. 2' partie. 
Etude sur la plaine maritime depuis Boulogne jusqu'au Danemark, par 
M. Alphonse Belpaire, ingénieur des Ponts et Chaussées de Belgique. — 
Anvers, 1855. 

Thèses présentées à la Faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade 
de docteur es sciences mathématiques, par l'abbé B. Berloty. 1'* thèse : 
théorie des quantités complexes à n unités principales; !2« thèse : proposi- 
tions données par la Faculté. — Paris, Gauthier-Villars, 1886. 

Conférences de Paris. La vie universelle et la rage, par Hubert Boëns, doc- 
teur en sciences. — Charlcroi, 4886. 

Hommages rendus à la mémoire de M. Engelbert Cappuyns, curé de la 
paroisse des Minimes, à Bruxelles, à l'occasion de ses funérailles, les 2 et 
5 mars 1886. Éloges funèbres prononcés par le B**^ Victor de Garcia de 
la Vega, M. de Posch et le M'* de la Boessière-Thienncs. — Bruxelles, 4886. 



— SI — 

Étude sur la marche des bateaux dans les courants rapides, par M. du Boys, 
ingénieur des Ponts et Chaussées. (Extrait des Annales des Pouls et 
Chaussées,) 

Berichte von dem Erzbischôflich-Haynaldschen Obserratorium zu Kalocsa 
in Ungarn ûber die daselbst in den ersten fûnf Jahren ausgefûbrtcn 
Arbeiten, von Cari Braun, S. J. — Munster i. W., 1886. 

La chronologie des premiers âges de Inhumanité, d'après la Bible et la 
science, par le P. J. Brucker, S. J. (Extrait de la « Controverse et le con- 
temporain *.) — Lyon, 1886. 

Téléphonie et télégraphie simultanées. Exposé théorique et pratique du 
système de téléphonie à grande distance de M. P. Van Rysselbcrghe, 
dans ses rapports avec la télégraphie, précédés de notions préliminaires 
sur rinduction électrique, le téléphone et le microphone par E. Buels, 
fonctionnaire de TAdministration des Télégraphes de TÉtat belge. — 
Bruxelles, 1885. 

Notice sur les travaux et titres scientifiques de M. L. de Bussy, directeur 
des construclions navales, membre du Conseil d'amirauté. — Paris, 
188». 

El Eclipse de Sol del 5 de Marzo de 4886. — Observacionrs prncticadas en 
el obscrvatorio del Colegio Catolico del Sacrado Corazon de Jésus, en 
Pucbla, por Enrique Cappellctti, S. J. — Mexico, 1886. 

Antropologia mexicana. — El hombrc del Peilon. — Noticia sobre el hal- 
lazgo de un hombrc prehistôrico en (>l valle de Mexico, por los profcs- 
sores de geologia Antonio del Castillo y Mariano Bârccna. — Mexico, 
4 885. 

Manuel de la Flore de Belgique, par François Crépin. — Bruxelles, 4860. 

Observatoire de Zi-ka-wey, près Chang-hai, Chine. — L'inclinaison des 
vents; un anémomètre pour observer celte inclinaison, avec un appendice 
sur les courants verticaux dans les cyclones. Deuxième note par le R. P. 
Mare Dechevrens, S. J., directeur de TObservatoire. — 4886. 

Note sur la discordance du dévonicn sur le silurien dans le bassin de 
Namur, par Tabbé H. de Dorlodot. — Liège, 4885. 

Du liien au point de vue ontologique et moral, par Léon De Lantsheerc, 
docteur en droit. — Louvain, 1886. 

Les dernières découvertes en Afrique. — Voyage de Brito Capellu et Ivens. 

— Descente du Kassaî. — Problème du Welle, par M. le IK Louis Del- 
geur. (Extrait des Bulletins de la Société royale de géoffraphie d'Anvers.) 

— Anvers, 4885. 

Mélanges géologiques par G. Dewalque , docteur en médecine. — Cin- 
quième série. — Liège et Bruxelles, 4883-1885. 

Quelques observations au sujet de la note de M. É. Dupont sur le Pou- 
dingue de Wéris, par G. Dewalque, membre de T Académie royale de 
Belgique. (Extrait des Bulletins de l'Académie royale de Belgique.) — 
Bruxelles, 4885. 

Discours prononcé au nom de i*Académie royale de Belgique, lors des funé- 
railles de M. F.-L. Cornet, membre de rÀcadémie. par M. G. Dewalque, 
membre de TAcadémie royale de Belgique. (Extrait des Bulletins de 
i' Académie royale de Belgique.) — Bruxelles. 

La constitution de TÊtre, suivant la doctrine péripatéticienne, par E. Domet 
de Vorges. (Extrait des Annales de philosophie chrétienne.) — Paris, 4886. 

Biografia del S^ D. Jaimc Arbùs y Tor, Pbro, leida por Don B. Feliu y Perez. 

— Barcelona, 4885. 

L^année scientifique et industrielle, par Louis Figuier. — Paris, 1886. 



— et — 

Petite climatologie de Famateor et de Tagriculteur belges, par M. Folie, 

directeur de TObservatoire royal. — Bruxelles, 1886. 
Un cas de paralysie cérébrale spastique de renfancc,par le D' X. Francottc. 

(Extrait des Annales de la Société médico-chirurgicale de Liège,) — Liège, 

4886. 
Contribution à Tétude de la névrite multiple, par X. Francotte, assistant à 

rUniversité de Liège. (Extrait de la Revue de médecine.) — Paris. 
Clinique de M. le professeur Masius. — Chylurie non parasitaire, par le 

D*" X. Francotte. (Extrait des Antiales de la Société médico^chirurgicale 

de Liège.) — Liège, 4886. 
La France coloniale (Algérie, Tunisie, Congo, Madagascar, Tonkin, et autres 

colonies françaises) considérée au point de vue historique, géographique, 

ethnographique et commercial , par A.-M. G., membre de la Société de 

géographie de Paris. — Tours, 4886. 
Note sur Tiodol, dans le traitement de Petite purulente chronique, par le 

D' Ch. Goris. — Bruxelles, 4887. 
En Irlande. — Impressions et souvenirs, par M. Tabbé Hamard, de TOra- 

toire de Rennes. (Extrait de la Revue du Monde catholique.) — Paris, 

4887. 
Les sciences et Tapologétique chrétienne. — Bulletin scientifique (4886;, 

par labbé llamard, de TOratoire de Rennes. (Extrait de la Controverse 

et le cofUemporatn ) Lyon, 1886. 
Cours de machines, par M. Haton de la Goupillière, t. I<% \" fascicule : 

hydraulique et moteurs hydrauliques. — Paris, 1886. 
Écoulement varié des gaz, par M. Haton de la Goupillière, membre de Tin- 

stilut. (Extrait des Comptes rendus des séances de V Académie des sciences.) 

— Paris, 4886. 

Annalen des k. k. naturhistorischen Hofmuseums, redigirt von D' Franz 

Rittcr von Hauer. Jahresbericht fur 4885. — Wien, 4886. 
Projet d'une tour de 300 mètres en bois, par MM. llennebique et Ncve. 

— Bruxelles. 

La nouvelle cosmogonie. — Lecture faite à l'Académie delphinale, le 
17 juillet 488!5, par M. de Kirwan, membre correspondant. — Grenoble, 
4886. 

Le climat de la Belgique, en 4886, par M. Lancaster, météorologiste inspec- 
teur à rObscrvatoire royal de Bruxelles. — Bruxelles, 1887. 

Le niveau de la mer, par M. A. de Lapparent. (Extrait du Bulletin de la 
Société géologique de France ) — Lagny, J 886. 

Le niveau de la mer et ses variations, par Albert de Lapparent. (Extrait du 
Correspondant.) — Paris. 4886. 

La formation des combustibles minéraux, par Albert de Lapparent. (Extrait 
du Correspondant.) — Paris, 1886. 

La certitude dans les sciences, par M. A. de Lapparent. (Extrait des Annales 
de philosophie chrétienne.) — Paris, 4886. 

Abrégé de géologie, par Albert de Lapparent. — Paris, 4886. 

Un arbitrage pontifical au XVI« siècle, par Méthode Lerpigny. — Bruxelles. 

Détermination du reste dans la formule de quadrature de Gauss, par 
P. Mansion, professeur ordinaire a TUniversité de Gand, membre corres- 
pondant de rAcadémie royale de Belgique. (Extrait des Bulletins de l'Aca- 
démie royale de Belgique.) — Bruxelles, 1886. 

Philosophie du surnaturel : thèse pour le doctorat présentée à la Faculté de 
théologie de Paris, par Tabbé Callixte Mélinge, docteur en théologie. - 
Surgères, 4876. 



— 93 — 

L*électricité à TExposition universelle d'Anvers, par Charles Mourlon. — 

Bruxelles, 488K. 
La thermodynamique et ses principales applications, par J. Mouticr, exami- 
nateur à rÉcole polytechnique. — Paris, Gauthier-Villars, 4885. 
The Chair of Peter, by John Nicolas Murpliy. Burns and Oatcs, London- 

New-York. 
Les Pierres i cupules, par M. de Nadaillac. (Extrait de la Bévue d'anthropo- 
logie,) — Paris. 
La Guadeloupe préhistorique, par M. le M'* de Nadaillac. (Extrait de la Revue 

Matériaux pour l'histoire primitive de l'homme,) — Paris. 
Découvertes dans la grotte de Spy, province de Namur, par M. le M'* de 

Nadaillac. (Extrait de la Revue Matériaux pour l'histoire primitive de 

l'homme.) — Paris, 1886. 
Mémoire sur les trépanations préhistoriques, par M. de Nadaillac. (Extrait 

des Comptes rendus des séances de V Académie des inscriptions et belles- 

lettres.) — Paris, 1886. 
Géologie de Jersey, par le P. Ch. Noury, S. J. — Paris et Jersey, 1886. 
Sur une quartique unicursale, par M. Maurice d'Ocagne, ingénieur des 

Ponts et Chaussées. (Extrait du Journal de mathématiques spéciales,) — 

Paris, 1886. 
Sur Falgorithme [abc, /]<"\ par M. Maurice d'Ocagne. (Extrait des Aouvclles 

Annales de mathématiques.) — Paris, 1886. 
Sur une suite récurrente, par M. Maurice d'Ocagne. (Extrait du Bulletin de 

la Société mathématique de France.) — Paris, 1 886. 
Sur Tenveloppe de certaines droites variables (suite), par M. Maurice 

d*Ocagne. (Extrait des Nouvelles annales de mathématiques.) — Paris, 

1886. 
Sur le cercle orthoptique, par M. Maurice d'Ocagne. (Extrait des Nouvelles 

Aiuuiles de mathématiques,) — Paris, 1886. 
Sor un problème de limite, par M. Maurice d'Ocagne, ingénieur des Ponts 

et Chaussées. (Extrait de Mathesis.) — Gand, 1886. 
Étude de géométrie segmentaire, par M. Maurice d'Ocagne, ingénieur des 

Ponts et Chaussées. (î'xtrait du Jomal de Sciettcias mathematicas e astro- 

nomicas,) 
Sur certaine classe de suites récurrentes, par M. Maurice d'Ocugne. — Paris. 
Logica por don Juan Manuel Orti y Lara, catedrâtico de Mctafisica de la 

Universidad de Madrid. — Madrid, 1885 
Théodore d'Oppolzer, par Ern. Pasquicr, professeur d'astronomie à l'Univer- 
sité de Louvain. (Extrait de la revue Ciel et Terre,) 
I Papi e le Università. Ragionamcnto letto nella Romuna accadcmia dcgiî 

arcadi da Mons. Giuseppc Patroni. — Roma, 1886. 
Le Encicliche di Leone Xlll inlorno al potere politico ed alla cristiana costi- 

tuzione degli stati, per Mons. Giuseppe Patroni. — Roma, 1887. 
Théorie des fonctions homogènes : deuxième mémoire par le P. Th'' Pépin. 

S. J. (Extrait des j4tti deW Accademia pontificia de' Naovi Lincei,) — 

Rome, 1886. 
Étude sur quelques formules d'analyse utiles dans la théorie des nombres, 

par le P. Thi« Pépin, S. J. (Extrait des Jlti deW Accademia pontificia de' 

Nuovi Lincei.) — Rome, 1 885. 
Sur quelques congruences binômes. Extraits de lettres adressées par le 

P. Théophile Pépin, S. J. à D. D. B. Boncompagni. (Extraits des AttidelV 

A ccademia pontificia de' iXuovi Lincei.) — Rome, 1 885. 



— SA — 

Sur trois théories de Gauss. Extrait d'une lettre adressée par \e P. Théopbîle 
Pépin, S J. à B. Boncompagni. (Extrait des Atti deW Accademia ponfifi* 
da de' Nitùvi Lincei.) — Rome, 1885. 

Notions de géologie : accord de la cosmogonie scientifique avec la cosmo- 
gonie sacrée, par M. A. Raingcard, prêtre de Saint-SuJpice. — Rodez, 
4886. 

Commission météorologique de la Gironde. Observations pluviomé- 
(riques et thermométriques faites dans le département de la Gironde de 
juin 1883 » mai 4884 et de juin 188i à mai 4885. — Note de M. Rayet, 
vice-président de la Commission météorologique départementale. — Rap 
port sur les orages de 1885 et sur ceux de 4884, par M. Lespiault, secré- 
Uiire de la Commission météorologique. (Extrait des Mémoires de la Société 
des scietices physiques et naturelles de Bordeaux.) — Bordeaux, 1884 et 
1 885. 

Sténarithmie-Richard, ou Tart de calculer aussi vite que la pensée, par 
Léopold Richard. — Calcul mental. — Calcul écrit. — Paris, 1885. 

Rapport triennal sur Tœuvre de Tapostolat des jeunes gens à Liège, lu en 
séance du conseil, le 7 mai 1886, par M. Amédée De Ryckel. — Liège, 
1886. 

S. Schack, major de Parmée danoise. — La physionomie chez Thommc et 
chez les animaux dans ses rapports avec Texpression des émotions et des 
sentiments; avec figures. — Paris, Bailliérc et fils, 1887. 

Einhcitliche Zeit, von D' Robert Schram (Separatabdruck aus der « Wiener 
Zeilung».) — Wien, 1886. 

Sur la réduction aux fonctions elliptiques de l'intégrale 



/ 



dx 



l/Ax* -♦- Bx" -I- Cx* -*- Dx -♦- F 

par M. le C^^^ de Sparre, professeur aux Facultés catholiques de Lyon. 
(Extrait des Antiales delà Société scientifique de Bruxelles.) — Bruxelles, 
1885. 

Sur rherpolhodie dans le cas d'une surface du second degré quelconque, par 
M. le C*' de Sparre, professeur aux Facultés catholiques de Lyon. (Extrait 
des Annales de la Société scientifique de Bruxelles.) — Bruxelles, 1885. 

Des Prairies, par E. Tykort, ingénieur-agronome. — Bruxelles, 4886. 

Les excavations naturelles du Colorado, par C. de la Vallée Poussin, pro- 
fesseur à rUniversité de Louvain. (Extrait de la Revue des questions scien- 
tifiques.) — Bruxelles, 1886. 

L'homme préhistorique d'Anvers, par J. Van den Gheyn. (Extrait d'Anvers 
à travers les âges.) — Bruxelles, 1886. 

Les livres saints et la critique rationaliste. Histoire et réfutation des objec- 
tions des incrédules contre les saintes Écritures, par F. Vigouroux, prêtre 
deSaint-Sulpicc. Vol. I et II. — Paris, 1886. 

Vida de la Sierva de Dios sor Mercedes de Jesùs, por cl rdo. D. Eliodoro 
Villa fuorle, phro. — Barcclona, 4886. 

Tâgliche Verandcrung des Luftdrucks in den Cyklonen, von Johann Vin- 
cent, in Auderghem (bei Brûssol). 

Étude de quelques points de la structure des firoles, par R. Warlomont, 
docteur en médecine et en sciences. (Extrait du Journal de l'anatomie et 
de la physiologie normales et pathologiques de l'homme et des animaux.) — 
Paris. 



/ 



— •» — 

Éloge de saint Thomas d*Aquin, prononcé dans Téglise du collège Saint- 

Michel, à Fribourg, par le R. P. Albert de Week, M. A., le 7 mars 1885. 

(Extrait des Monat-Rosen.) — Lucerne, 4885. 
Intensité du champ magnétique terrestre dans les édifices, par M. Aimé 

Witz. (Extrait du Journal de physique.) — Paris, 4887. 
Société industrielle du Nord de la France. — Réponse à quelques objections 

contre Paction de paroi dans les moteurs à gaz, par M. Aimé Witz. — 

Lille, 4886. 
Les hypothèses cosmogoniques. — Examen des théories scientifiques 

modernes sur Torigine des mondes, suivi de la traduction de la théorie 

du ciel de Kant, par C. Wolf, membre de Tlnstitut. — Paris, 4886. 
What the church bas donc for science. — A lecture, by the Rev. John 

A. Zahm, C. S. C, of the University of Notre-Dame. — Notre-Dame, 

Indiana. 
The catholic cbnrch and modem science. A lecture by the Rcv. J.-A. Zahm, 

C. S. C. —Notre-Dame, Indiana, 4883. 
American Journal of mathematics. — Volume VII, number é, — Balti- 
more, 4885. 
Annuaire de TObservatoire royal de Bruxelles, par F. Folie, 4887, 5i* année. 

— Bruxelles, 4886. 
Annual report of the Board of régents of the Smithsonian Institution for the 

year 488i. — Washington, 4885. 
Idem for the year 4883. 

Archives italiennes de Biologie. — Revues, résumés, reproductions des tra- 
vaux scientifiques italiens. Tome I, fasc. f . — Paris, 4882. 
Archivos do Museu nacional do Rio de Janeiro; vol. VI, 4885. 
Biblioteca nazionalc centrale Vittorio Enianuele di Roma. Bolletlino dcllc 

opère moderne straiiierc acquisitatc dalle bibliotcche pubbliche gover- 

native del regno d'Italia, n»* 4 et 2. — Roma, 4886. 
Bulletin of the California Academy of sciences, n* 4. January, 4886 et vol. !2, 

n* 5, seplembcr, 4886. — San Francisco. 
Bijdrdgen tôt de taal- land- en volkenkunde van Nederlandsch-Indic, uitgc- 

geven door het koninklijk Instituut voor de taal- land- en volkenkunde 

van Nederlandsch-Indië, vijfdc volgrceks, ecrste deel, derde aflevering. — 

s' Gravenhave, 4886. 
Catalogue de la Bibliothèque de PÉcole polytechnique. — Paris, Gauthicr- 

Villars, 4884. 
Discursos leidos antc la Real Acadcmia Espaflola en la recepeion publiée dcl 

R. P. Bliguel Mir, el dia 9 de Mayu de 4886. — Madrid, 1886. 
Giornale délia Société di Letture c conversazioni scientifiche di Genova, 

anno IX, dicembre, fasc. VI. — Gcnova, 4885. 
The Irish Ecclesiastical Record, a monthly Journal, undcr Episcopal Sanc- 
tion. Third séries, vol. VI, n" 7, 8, 40el 44. — Dublin, 1885. 
Journal de TÉcole polytechnique, public par le conseil d'instruction de cet 

établissement, 55* cahier. — Paris, Gauthier- Villars, 48K5. 
Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 

3* série, tome I. — Paris, Gauthier-Villars. — Bordeaux, 488-4. 
Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 

3* série, tome II, 4" cahier. — Paris, Gauthier-Villars. — Bordeaux, 
4885. 
Memorias de la Sociedad cientifica « Antonio Alzatc » . Tomo I, cuaderno 

num 2. — Mexico, 4887. 



— •« — 

Le mouvement colonial. — Missions, émigrations, prises de possession, 

voyages, exploration, n** 1 à 7. — Marseille, 1885-1886. 
Den norske Nordhavs-Expcdition 1876-1878, XV. — Zoologie. — Crus- 

tacea, II. Vcd G. 0. Sars. — Christiania, 1886. 
Notarisia, commentarium phycologicum. — Rivista trimestrale consacrata 

allô studio délie Alghe. Anno I, n» 1 et 2. — Padova, 1886. 
Observaciones roetcorolôgicas del Colegio catolico del Sagrado Corazon de 

Jésus, en Puebla. — Ano de 1885. 
Observaciones nieteoroLôgicas del Colegio catolico del Sagrado Corazon de 

Jésus, en Puebla. — Ano de 1884. 
Observaciones astronomicas del Colegio catolico del Sagrado Corazon de 

Jésus, en Puebla. — Ano de 1884. — Puebla, 1884. 
Observaciones magnéticas y metcorologicas del real Colegio de Bclcn de la 

Compania de Jésus, en la Habana. l*' trimestre, Enero-Marzo, 1885; 

â* trimestre, Abril-Junio, 1885, et 5* trimestre, Julio-Setiembre, 1885. — 

Habana, 1885. 
Observaciones metcorologicas. Colegio de San Juan Ncpomueeno. Saltillo. 
Post-graduate course of lectures. In abstract, third year, 1881-1882 ; fourth 

year, 1882-1883; fifth year, 1885-1884; sixth year, 1884-1885; 

seventh year, 1885-1886. S*-Louis University, S*-Louis, Mo. 
Revista contemporanca. Ano XII, tomo LXIII, vol. III et IV. 15-50 de 

Agosto 1886. — Madrid. 
Revue internationale de Télectricité et de ses applications. 1' année, n®* 2, 

3 et 4. — Paris-Bruxelles, 1885. 
St-Xavicr's collège observatory. Observations météorologiques; juillet- 
décembre 1885. 
La section d'apologétique au Congrès de Rouen. (Extrait des /ÉMiales de 

philotophie chrétienne.) — Paris, 1886. 
Société d'encouragement pour Tindustrie nationale, rue de Rennes, 44, à 

Paris. Séance du 26 mars 1886. 
Société géologique de Belgique. Procès-verbaux de rassemblée générale du 

21 novembre 1886. - Liège, 1887. 
Société royale malacologique de Belgique. Procès- verbaux des séances des 

l'** août, 5 septembre, 3 octobre, 7 novembre et 5 décembre 1885. 
Sodalité des étudiants de TUniversité catholique, érigée à Louvain, sous le 

titre de la Purification de la T. S. Vierge. Année 1885-1886. — Louvain, 

1886. 
Science and Education. December, 1 886. Volume I, n* 2. 



FIN DB LA PREMIÈRE PARTIE. 



SFXONDE PARTIE 



MÉMOIRES 



NOTES 



SUR 



TROIS TESTUDINIDES 

DE L'AFRIQUE AUSTRALE 



FAK 



Tabbé ii. SMETf» 

Doeieur en teicoM», 
ProfetMur aa Collège ëpiseopal de Uattelt. 



A son retour en Europe, le R. P. Croonenberghs, l'intrépide 
missionnaire de l'Afrique australe, apportait du pays des Méta- 
bélés et des environs du Zambèse moyen un assez grand nombre 
de tortues terrestres, appartenant, d'après le savant jésuite, à 
sept espèces différentes. Nous avons pu étudier des individus de 
trois de ces espèces. Ayant eu le plaisir d observer ces animaux 
vivants et d*avoir ensuite deux individus morts de Cherstna angu- 
lata^ Dum., et de Homopus areolatus, Thunb., nous avons pu 
faire quelques observations intéressantes, qui font le sujet de cette 
communication. C*est d*abord un fait important à noter que ces 
trois espèces s'étendent au moins jusqu'au Zambèse et probable- 
ment encore au delà de ce fleuve. 



X. 



2. — 2 — 



Diagnose d'après Dumeril et Bibron (') : 

Test ovale, oblong, très convexe en arrière, écbancré antérieurement, une 
plaque nuchale, la suscaudaie simple ; écailles du disque jaunâtres, bordées de 
noir; sternum étroit en avant, plus long que la carapace, recouvert de 
11 plaques. 

Le R. P. Croonenberghs en avait rapporté deux couples, dont 
les individus mâles différaient des femelles par les mêmes carac- 
tères de coloration. Les auteurs ne sont pas complètement 
d*accord sur la coloration de ce chélonien : Strauch (^) et 
d*autres ont signalé vaguement des différences entre le mâle et 
la femelle, mais aucun n*a signalé les caractères de coloration 
qui distinguent nettement les deux sexes. L'illustre savant russe, 
comme la plupart de ceux qui se sont occupés de cette espèce, 
n'avait à sa disposition que des individus conservés dans Falcool 
ou morts depuis longtemps. 

Chez le mâle, les plaques (^) du disque, les neurales et les 



(*) Gray, Calai, of shield reptiles^ App., p. 14, et Ou te skiill and alveolar surface* 
of Land Tortoiite» ; ïrom Ihc Proceedings of ihe zooloyical Society of London, iSlS, 
p. 722. 

Dans ce dernier travail, Tillustre savant caractérise comme suit le genre Chersùia : 
« Intergular plates uniled togelher and produced forwards. Alveolar process of the upper 
» jaw simple, with a slight groove on the hinder part of ihe latéral margin. The internai 
r nostrils in the front of a deep concavity tbat is very slightly contracted on the sides 
» behind. Lower jaw shar|)-cdged and concave on the inuer surface in front, and with a 
» prominent inner edge on the hinder part of the sidc fittiug into a groove in the upper 
« jaw. Front of beak rounded, with a groove on the lower side of each nostril towards 
» the margin, which is marked with three close teeth. » 

{*) Dumeril et Bibron, Erpétologie, t. II, p. 130. 

(S) D' Alexander Strauch, Chelonologische Studien. St-Pétersbourg, 4862, p. 94. 

(*) Les plaques cornées des chéloniens sont d'origine ectodermique. Comme les écailles 
des poissons, des gymnophiones et de beaucoup de reptiles sont d'origine mésodermique, 
nous réserverons le terme de plaque» aux parties durcies de l'ectoderme, tandis qae les 
éléments constitutifs de l'exosqueleite, homologues des écaille» des poissons, etc., porte- 
ront exclusivement le nom d'écaillés. 



— o — o. 

costales sont jaunes au centre, noires ou plutôt noir- brun 
dans leur pourtour : le noir forme une sorte de bordure au 
jaune; dans les dernières plaques costales, la base de la bordure 
est interrompue en un et parfois même en deux points; mais ce 
dernier caractère est loin d'être constant (<). 

L'étendue relative de la partie centrale jaune est variable et 
semble diminuer avec Tàge et, en tout cas, elle n'occupe qu'une 
faible partie des plaques. On ne peut pas dire que le disque est 
jaunâtre; pris dans son ensemble, il est plutôt noir et il porte 
des taches jaunes. 

Si on enlève les plaques des écailles dermiques, leur partie 
centrale jaune ou jaunâtre est translucide et parfois même trans- 
parente. Nous verrons plus loin à quoi est due la coloration par- 
ticulière du centre des plaques. 

Les plaques marginales portent chacune une bande jaune cen- 
trale verticale et deux raies noires latérales également verticales. 
1^ base de ces plaques recourbées sous le plastron est entière- 
ment blanc jaunâtre. 

La plaque caudale porte trois raies noires, la raie jaune étant 
divisée en deux par une bande verticale noire, incomplète dans 
un individu. En tenant compte de la distribution des raies dans 
les autres plaques marginales, on peut conclure que la plaque 
caudale provient de la fusion de deux marginales et que primiti- 
vement elle était double. « Wie es scheint, dit Strauch (^), 
haben die Analplatte eine entschiedene Neigung zu versch- 
roelzen. > Dans une des femelles, la plaque caudale est partielle- 
ment divisée â sa partie supérieure, au milieu de la bande noire 
médiane. Nous verrons plus loin que ce n'est ni un caractère 
embryonnaire, ni un caractère atavistique. 

Le plastron présente aussi les deux colorations jaune et noire; 
cette dernière domine autour de la linea alboy sans atteindre 
l'extrémité antérieure de la plaque gulaire; elle n'est pas uni- 
forme, des raies plus pâles, jaunâtres dans le mâle, prenant leur 



(•) Cf. Strauch, op. cit., p. 95. 
(*) Op. cit., p. 37. 



4. — 4 — 

origine sur la ligne médiane, rinierrompent. Une bande jaune, 
dont la largeur est variable, circonscrit tout le plastron. Ainsi 
chaque plaque du plastron, prise isolément, est noire dans sa 
moitié intérieure et jaunâtre dans sa partie extérieure ; si on la 
itctaclic, cette dernière partie est également translucide. 

Cntre les écailles noires qui recouvrent le corps, la peau du 
mâle est aussi jaune. 

La femelle présente cette différence notable que le rouge 
remplace partout le /at/ne du mâle, lant sur le disque que sur le 
plastron et la peau. Le centre des plaques costales parait plus 
blanc, tout en conservant une teinte rougeàtre. 

Ce caractère de coloration permet de distinguer aisément les 
sexes. Cette différence est exprimée nettement dans les deux 
couples qui ont été en vie à Hasselt; le savant jésuite qui les a 
apportés la dit générale. 

Au premier abord nous avions cru, malgré les grandes affi- 
nités des individus row/esBxec les individus yatine^, avoir affaire 
à une forme nouvelle, tellement ce caractère diiïérenciel est 
tranché. 

A la mort de notre individu femelle, nous avons détaché une 
plaque costale et une plaque abdominale. Entre celles-ci et Tos 
dermique s'étend une mince membrane presque complètement 
rouge. Le microscope y constatait le sang coagulé en assez 
grande abondance. Les autres plaques restèrent en place : après 
quelques jours, la coloration primitive disparaissait lentement, 
virait au jaune et, au bout de quelques semaines, la carapace pré- 
sentait ces caractères vagues de coloration tels que Strauch et 
Dumeril les décrivent. 

Outre des lignes concentriques anguleuses, la plaque gulaire 
présente à sa partie inférieure et supérieure des lignes longitudi- 
nales profondes, suivant lesquelles elle se déchire aisément. 
Cette division des plaques se produit même spontanément dans 
ranimai vivant. Ainsi, dans notre individu adulte, deux de ces 
sillons longitudinaux, prenant leur origine à Tcxtrémiié anté- 
rieure et se poursuivant sur toute la longueur de la plaque, ont 
détaché une bande large de la partie supérieure. Si cette division 



— 5 — 5. 

se fui continuée jusqu'à rextrcmité antérieure, on aurait pu 
croire à l'existence d'une plaque gulaire supplémentaire. C'esi 
par le même procédé que la plaque caudale a été partiellement 
divisée. II est fortement probable que la division anormale des 
plaques dans divers chéloniens s'eflTectue de la même manière. 

Les plaques correspondantes du côté droit et du côté gauche, 
comme celles des deux individus, ne présentent pas rigoureuse- 
ment la même forme ni la même coloration. On a évidemment 
exagéré l'importance des caractères tirés des plaques et de leur 
coloration pour la distinction des espèces. 

La forme extérieure de la boite osseuse correspondi presque 
dans tous ses détails, avec celle décrite par les auteurs de l'erpé- 
loiogieet par Strauch. A la réunion des écailles 1 et 11, sur la 
ligne médiane, la carapace présente une arête longitudinale 
saillante, arête qui s'imprime au milieu de la première {)laqu(* 
dorsale. 

La carapace, disent Dumeril et Bibron, est très convexe en 
arrière, le pourtour est complètement vertical sur les côtés et à 
l'extrémité postérieure du corps, mais il est fort incliné au-dessus 
des pieds de derrière. Vn de nos individus s'écarte de celte des- 
cription, en ce que sa convexité est la plus forte au ^/g de la 
carapace et que ses écailles margino-caudales sont également 
inclinées : ce n'est, sans aucun doute, qu'un caracière dû au plus 
grand développement de cet individu. 

Nos exemplaires ne présentent pas « einen an der Verei- 
> nigungstelle der Abdominal- und Femoralplatten stark 
■ gehôhlten Brustchicld ■ (*). Notre femelle présente, au con- 
traire, une dépression longitudinale le long de la Itnea alba. 

Dans ce même individu^ le plastron est plus long que la cara- 
pace et il ne laisse d'autre passage à son extrémité que pour la 
queue et les pieds; dans les individus jeunes, le plastron, plus 
court que la carapace, n'a pas encore atteint les écailles margi- 
nales du disque. 



M) Strauch, op. cit., p. 9S. 



6. — 6 — 

Le plastron a 16 centimètres dans une femelle, la carapace 15 ; 
dans un jeune mâle, celle-ci a 13 centimètres, celui-là 11 centi- 
mètres de longueur. 

Dans le premier individu, nous avons observé une légère 
mobilité du xiphiplastron. On retrouve encore ce caractère dans 
Testudo maurilanica, Dum. et Bib., et 7. marginala ('), Schœpf., 
que Wagler (^), pour celte raison, avait réunies dans son genre 
Chersus. Ce nouveau cas de mobilité du xiphiplastron confirme 
ce que les auteurs de Terpétologie pensaient de cette mobilité : 
« Il y a (3) plusieurs chersites chez lesquelles le plastron est 
(loué de mobilité, soit dans ses pièces antérieures, soit dans la 
région postérieure. Le genre Pyxis de Bell est dans le premier 
cas; celui que Wagler avait proposé sous le nom de Chersus 
nous offrirait la seconde disposition. Nous avons déjà dit que 
nous n'avions pas cru devoir séparer cette espèce, désignée sous 
le nom de Bordée, du genre Tortue, où elle avait été inscrite : 
d'abord, parce que cette mobilité, qui en ferait le caractère 
essentiel, est bien peu sensible, puisqu'f/ n'y a pas de véritable 
charnière ligamenteuse, comme dans les Pyxis et les Cinyxis ; 
ensuite on a dit qu*on avait rencontré, parmi les tortues propre- 
ment dites, des individus femelles qui, à Tépoque où elles 
pondent, n*ont pas cette portion postérieure du sternum tellement 
sondée à Fantérieure qu'elle ne puisse un peu s'écarter de la 
canipace et oiïrir un léger mouvement. Il résulte de là que la 
mobilité de la portion postérieure du sternum, chez la tortue 
Moresque et Bordée, ne peut véritablement être considérée 
comme un véritable caractère de genre. » 

Chersina angulata possède des ongles longs, pointus et peu 
usés; « elle s'écarte en cela de toutes les autres chersites > (^). 
On ne peut nullement comparer ses extrémités aux pieds des 



(*) Strauch a adopté pour ces deux espèces les noms spécifiques de Pusilla, Shaw, et 
de Campanulata, Walb. 
(«) D»^ J. Wagler, Kniuralischer System der Amphibien. Munich, i830, p. ^38. 
(») Op. cit., t. ir, p. 46. 
(*) Erpétologie, l. II, p. 480. 



— 7 — 7. 

éléphants et des ongulés, cl autant plus que les doigts nous ont 
paru doués d*une certaine mobilité. 

« Ses bras sont plus comprimés que chez aucune autre tortue 
terrestre », disent les mêmes auteurs. Cette tortue nage aisément, 
comme nous avons pu nous en assurer. Si Ton tient compte de 
la somme de tous ces caractères, on voit que Ch. angulala com- 
mence déjà à établir la transition des Chersites aux tortues palu- 
dines et Ton ne peut qu'approuver Strauch d'avoir modifié la 
classification trop ariificielle des erpétologistes français. 

Les auteurs (*) disent communément que les vertèbres dor- 
sales des chéloniens sont dépourvues d*apophyses transverses. 
Cependant voici ce que nous observons dans les deux squelettes 
que nous avons sous les yeux : les quatre premières côtes sont 
normales et se réunissent à deux corps vertébraux. La cinquième 
côte s'unit principalement à la cinquième vertèbre et à partir de 
là les neurapophyses des dernières vertèbres dorsales, parfaite- 
ment coossifiées avec les écailles neuralcs, portent des diapophyses 
bien accentuées, atteignant 6 et 7 millimètres de longueur et 
s'articulant avec les côtes. Celles-ci s'unissent aux vertèbres, non 
plus à la réunion de deux corps vertébraux, mais au milieu de 
la vertèbre. Ailleurs « das proximale Ënde der Wirbein ent- 
• springt ungegabelt aufdieGrenze zwischen Wirbeikorper und- 
» bogen, meistens zwischen zwei Wirbein » (*). 

Ce caractère semble être en rapport avec l'état cartilagineux 
que conservent longtemps les corps des vertèbres dorsales. Car, 
dans le mâle non encore complètement adulte, toutes les vertè- 
bres dorsales avaient conservé ce caractère embryonnaire, tandis 
que toutes les autres vertèbres étaient parfaitement ossifiées. 

Cette tortue habite Madagascar et toute l'Afrique australe; elle 
n'est pas rare sur les bords du Zambèse. 

D'après ces observations, nous croyons devoir modifier la 
diagnose de cette espèce comme suit : 



(*) Cf. Huxley, Anatomie comparée (édition française], p. â09. — DuM. et BiB., t. 1, 
p. 969, etc. 
(*) WiEDKHSHEIM, Lehrbuch der Vergleichenden Anatomie. 



8. ~ 8 — 

Chersina (Gray) (*) : tortues terrestres à earapnee fortement 
bombée, légèrement comprimée dans sa partie antérieure, plas- 
tron recouvert de onze plaques (^). 

Chersina angulata (C. Dumeril) : test ovale, oblong, très 
convexe vers son extrémité postérieure, échancré antérieurement, 
une plaque nuchale, la suscaudale simple ou incomplètement 
divisée, centre des plaques neurales et costales jaune dans le 
mâle, rouge dans la femelle et bordé de noir ; plaques marginales 
avec trois raies verticales ; plastron étroit en avant, plus long que 
la carapace dans Tanimal adulte, noir-brun au centre et, dans son 
pourtour, jaune dans le mâle, rouge dans la femelle. 



II 



T^êtudo ëuleata^ Nillbii. (Torlue ■llloniiée.) 

Diagnose diaprés Dumeril et Bibron : 

Test fauve, ovale, convexe, déprimé, profondément strié, dentelé devant et 
derrière, point de plaque nucbale, la suscaudale simple, bras hérissés de tuber- 
cules coniques. 

Cette remarquable espèce est représentée par un individu de 
grande taille, actuellement en vie à Hasselt. Ses caractères con- 
cordent, presque dans tous leurs détails, avec la description des 
auteurs. 

La carapace de ce bel animal a une longueur de 4S centimè- 
tres et une largeur de 30 centimètres, vers la région fémorale ; 
ranimai debout atteint 27 centimètres de hauteur. 

Ses mâchoires sont très puissantes et fortement denticulées. 
Au-dessus des membres postérieurs, les écailles marginales, for- 
tement obliques, se recourbent en dehors en formant une gout- 
tière. 



(*) Gray, Catal. ofshietd reptile,^, p. 4. 

(*) Il est très probable que la présence de diapophyses aux vertèbres dorsales est un 
caractère générique; car Ch. Vosinaeri (Fitz.)< nous assure-t-on, en possède également. 



— 9 — 9. 

Les plaques axillaires sont très développées. Les ongles des 
membres antérieurs sont massifs et fortement usés ; le cinquième 
est très réduit; ceux des pieds sont plus longs, moins usés, mais 
moins robustes. 

La force de notre individu est remarquable : il traîne aisément 
un poids dépassant 50 kilogrammes, attaché au moyen d'une 
corde passant par un orifice pratiqué dans I écaille caudale. 

Ses allures, au moment de son arrivée et au commencement 
de son séjour en Europe, étaient très vives, n ayant rien de com- 
mun avec la démarche lourde et nonchalante des tortues malades 
de nos jardins zoologiques. Il ne se (raine nullement, il n*avance 
pas non plus, comme les auteurs se plaisent à le répéter, en traî- 
nant son plastron sur le sol ; mais il se soulève alertement, il est 
parfaitement équilibré sur ses quatre pattes et sa démarche est 
assez élégante. Notre climat est délétère pour ces animaux ; aussi 
notre individu perd de jour en jour de sa vivacité. 

Quand on Tinquiète, il pousse un cri rauque et il lance une 
bave fétide. 

Il mange indiiTéremmcnt de toutes les herbes ; il les saisit 
dans sa mandibule et, selon leur consistance, il soulève brusque- 
ment la tète pour les couper, ou il appuie un pied sur la feuille 
de chou qu'il doit déchirer. 

Cette tortue habite presque tout le continent africain : on la 
connaît en Abyssinie, au Cap, au Sénégal, au Sennnar et, comme 
nous rapprenons par les missionnaires, elle pénètre au cœur du 
continent. 

D'Orbigny $*est trompé très probablement en supposant qu'il 
avait apporté, de la Patagonie (*), un individu de celte espèce, 
ou, si le fait est exact, cet individu y avait été introduit. Outre 
qu'il est très diflicile de supposer qu'une et même espèce habite 
le continent africain et américain, il serait plus étonnant encore 
que depuis d'Orbigny on n'ait plus signalé un seul individu de 
cette grande espèce en Amérique. 



(*) Cf. Strauch, op. cit., p. 79. 



10. —lo- 



in 



tfOUê^gÊMë af^oitttêtëf TUVIVBBKtt. 

Homopus (Dum. et Bibron) : tortues terrestres à quatre doigts seulement et 
tous onguiculés à chaque patte, carapace et sternum d^une seule pièce. 

0, areolatus (Thunb.) : carapace ovale, oblongue, déprimée, à limbe relevé en 
gouttière le long des flancs et en arriére; la suscaudale simple; écailles de la 
carapace à aréoles larges, enfoncées et à stries concentriques et fortement pronon- 
cées (*). 

Nous maintenons le genre HotnopuSy créé par les erpétologistes 
français et abandonné par Strauch (^). Le chélonographe russe 
adopte le genre Chersina^ proposé par Gray (^) et fondé sur la 
présence d'une plaque gulaire impaire; il rejette le genre Homo- 
pus établi sur la présence de quatre doigts seulement aux mem- 
bres antérieurs et sur la dépression du disque. En faisant abstrac- 
tion de ce dernier caractère, la présence de quatre doigts 
seulement aux extrémités antérieures est évidemment un carac- 
tère plus important que la présence d*unc plaque gulaire impaire. 
S'il fallait rechercher Tenchainement des chéloniens, on dirait 
que les Homopus représentent une étape de leur évolution ; ils 
établissent évidemment une liaison, une transition et, par consé- 
quent, offrent une importance suffisante pour être classés dans 
un genre à part. Qu'importe si la T. grœca (*) présente, comme 
anomalie, ce caractère; tient-on compte, dans la même mesure, 
des caractères atavisiiques que présentent d autres animaux, 
comme le cheval? Ces animaux présentent, dans leur organisa- 
tion interne, quelques caractères particuliers qui, étudiés de plus 
près, pourront décider définitivement. 

Un couple de cette belle espèce a été apporté par le mission- 



(*) Dum. et Bib., t. 11, pp. i46 et suiv. 

(«) Op cit., p. 21. 

(*) Gray, Calai, ofshield reptile», p. 4:2. 

(♦) Strauch. op cit., p. 24. 



— H — il. 

naîre. Leurs ongles minces, allongés et pointus sont à signaler, 
de même que les plaques inguinales et axillaires petites et trian- 
gulaires. Nous espérons revenir sur cette tortue; quand des 
matériaux plus amples, que nous attendons de l'Afrique, seront 
à notre disposition. 



I. — 12 — 



LES 



TORTUES RUPÉLIENNES 



PAR 



rabbé G. SHETIH 

Doetcur en •cleneec, 
Frorf«*far au Cullrge épitcopal «Je HaMelt. 



L'argile rupélienne renferme un grand nombre de tortues, 
dont jusqu'ici une seule espèce a été décrite, c'est le Sphargis 
rupeliensis (*), Van Beneden. 

Déjà en 1843, M. de Koninck (^) annonçait, à TAcadémie de 
Belgique, que Ton avait trouvé, dans ces terrains, des fragments 
d'une chélonée. En 1869, M. Van Beneden (3), en faisant la 
revision des reptiles fossiles de la Belgique, désignait une tortue 
nouvelle de Pargile de Boom, et dont il possédait divers frag- 
ments, sous le nom de Bryochelys Waterkeynt, Van Beneden. 

Plus tard, le même savant en a reconnu une seconde espèce, 
à laquelle il donnait dans ses cours le nom de Chelyopsis litto- 
reus, Van Beneden. 

D'autres travaux ont détourné l'attention de notre éminent 
paléontologiste, qui espérait faire un jour la monographie de ces 
reptiles fossiles, dont il continuait à recueillir les ossements. 

Par une générosité dont nous ne saurions assez le remercier, 
notre illustre maître a confié à un de ses élèves le riche trésor 



(») Van Beneden, Bullet. de l'Académie royale de Belgique, sér. lit, t. VI, n" 12, 1883. 
(•) Bulletin de l'Académie royale de Belgique, t. X, U* partie, p. 32. 
(■) Van Beneden, Patria Belyica, l»"» partie, p 37îi. — Bulletin de l'Académie roycUe 
de Belgique, t. XXXI, p. 12. 



— 13 — 2. 

qu'il était parvenu à réunir et il l'engageait, en même temps, à 
faire la monographie de ces intéressants animaux. 

En attendant raehèvement de ce travail, je ne ferai qu'indi- 
quer brièvement, dans cette notice, les tortues des couches 
rupéiiennes, autres que Sphargis rupeliensis, Van Beneden. 



MÊw'ffehety Wat»i*9ieyHUf Tau llBif. 

C'est une petite tortue marine, dont la face intérieure des 
écailles costales se fait remarquer par « des expansions foliacées 
qui les font ressembler à une mousse pétrifiée » ('). 

De plus toutes les écailles costales sont légèrement concaves 
à leur face supérieure. 

Outre des écailles costales, nous possédons diverses écailles 
vertébrales, des vertèbres dorsales, un fragment d'humérus, un 
fémur, un tibia et divers os du bassin, etc. 

Par sa taille, comme par divers autres caractères, elle se rap- 
proche de certaines tortues marines du London-Glay décrites par 
M. R. Owen («). 

€h09ypëi9 iiit^r^M», Tan Bbiv. 

Cette tortue, dont nous n'avons que de rares fragments, devait 
être de grande taille à en juger par un ilion de 17 centi- 
mètres de long, un corps d'une vertèbre dorsale de plus de 
1 centimètres et un fragment d'écaillé costale qui a près de 
2 centimètres d'épaisseur. Nous en possédons également un 
fragment d'humérus et, probablement, il faut encore attribuer 
à cet animal un autre humérus presque complet dont la lon- 
gueur est de 15 7t centimètres. 



(«) Van Beneden, /oc cit., p. 12. 

(*) Monograph of the J'ossil reptilta oj the Loudon Clay. (PAhKONTOGKAPHiCAh SO- 
CIETY, 4849.) 



3. — 14 



Cli«f«M« Wmn M^M^ti^Êêiim •mbts. 



Cette nouvelle espèce était de taille moyenne, mais elle 
dépassait en longueur toutes les tortues décrites par M. Owen. 
Nous en possédons d'intéressants fragments de la tète, qui la 
rapprochent du Dermatochelys. Ses vertèbres cervicales sont 
remarquables par la longueur du talon, qui passe sous le corps 
de la vertèbre suivante. Nous en avons en outre plusieurs écailles 
costales, un humérus, divers os du bassin et du plastron, etc.; en 
sorte qu'il sera possible de faire la restauration complète de cette 
espèce. 

Heureusement nous possédons, de ces trois espèces, des 
parties du membre antérieur et du bassin. De Sphargis rupe- 
liensis on connaît également un os du bassin. La comparaison de 
tous ces restes permet de démontrer à Févidence que, dans la 
mer rupélienne, vivaient^ outre Tintéressant Sphargis, au moins 
trois autres espèces de chéloniens. 

Ajoutons encore que nous sommes en possession d'un frag- 
ment d'une écaille costale, que nous ne pouvons rapporter à 
aucune de ces trois espèces, et qui porte un de ces « runden 
Knœpfchen », que Von Meyer signale, en si grand nombre, dans 
son genre Helochelys (*). 



(*) VoN Meyer, Jahrbuch, etc., 185i, p. 575. 



— 15 — 1. 



UNE 



TORTUE NOUVELLE 

DU CRÉTACÉ DE MAESTRICHT 



PAR 

Tabbé G. «METS 

Docteur en teieocei, 
ProfctMur «u Collège rpiMopal de MaMelt. 



« Un des faits les plus remarquables de la distribution géo- 
graphique des chéloiiiensy dit M. Pictet (<), est le mélange qui 
existe souvent entre les tortues de mer et celles d'eau douce ; 
tandis que de nos jours les chélonées sont toujours exclusive- 
ment marines et que les émydes et les trionyx n'habitent que les 
fleuves, les lacs ou les marais d'eau douce. 

> On trouve, par exemple, quelques chélonées ou tortues 
marines fossilisées dans les terrains jurassiques et néocomiens, 
dans le grés vert et dans la craie, qui sont des dépôts formés par 
la mer, tandis que d'autres espèces ont leurs ossements dans le 
calcaire de Purbeck ou dans les terrains wealdiens, qui ont été 
formés par les eaux douces. 

> Ainsi on trouve des émydes dans diverses localités marines 
des terrains jurassiques, et d'autres dans des terrains d'eau douce, 
tels que le wéaldien, les molasses, les schistes d'Oeningen, etc. 
Les trionyx présentent le même mélange. 

> Il en résulte que quelquefois un même gisement renferme 
des débris confondus de tortues de mer et de tortues d'eau douce. 
Ainsi les terrains wealdiens ont des émydes et des chélonées et 
les argiles de Sheppy renferment, en quantité considérable, ces 
deux genres réunis avec des trionyx. » 



(•) Pictet, Traité de paléontologie, 1. 1, p. 4^19 1853. 



!2. — 16 — 

Ce curieux mélange de tortues marines et d'eau douce, au lieu 
de constituer une exception, semble devenir règle, à mesure que 
les découvertes se multiplient. 

Ainsi M. Preudhomme de Borre (*) signale dans les terrains 
tertiaires des environs de Bruxelles (système bruxellien et laeke- 
nicn), outre Trionyx bruxelUensis, Winkler (*), Emys Camperi, 
Gray (') (= Emys Cuvieri, Gai. (*)), des débris d'une tortue 
marine et encore une seconde espèce de la famille des pota- 
mites. 

En 1870, M. Delfortrie (^) a décrit des tlialassites (Chelonia 
fjlerundica, Dcif.) et des potamites (Trionyx aquitanicus, Delf.,et 
Trachyaspis miocœnus, Delf.) provenant de la molasse falunienne 
des environs de Bordeaux (miocène supérieure de la Gironde). 

De même Leidy (^) a décrit une écaille costale de Trionyx 
priscus, Leidy, provenant du crétacé de New-Jersey, etc. 

Nous avons trouvé dans le rupélien marin de la basse Bel- 
gique une écaille costale que nous attribuons à uneémyde. 

Jusqu'à présent, Ton ne connaissait, dans le crétacé de Macs- 
tricht, que la célèbre Cfielonia Uoffmanni, Gray, et Chelonia 
Suyckerbuykii, Ubaghs (J), 

Nous venons de recevoir du tuffeau de Maestricht, par Tinter- 
médiaire de M. P.-J. Van Beneden, notre illustre maitre, deux 
fragments d'une tortue, dont les affinités sont assez multiples, 
mais qui dénotent certainement Texistence d'une troisième tortue, 
appartenant au groupe actuel des tortues d'eau douce. 

La coloration et les caractères de la gangue qui enveloppait ces 
fossiles indiquent qu'ils sont sortis du maestrichtien moyen. 

Nous avons vu, au musée de M. Ubaghs, à Maestricht, des 



(') Bulletin de l'Académie royale de Belgique, 2« série, t. XXVil, p. 4^0. 1869. 

(*) Winkler, De^ toriuex fossiles conservées dans le Musée Teyler. Harlem, 18(W, 
p. 135. 

(5) Gray, Synopsis rrptilium, p. 3J1 

(♦) (fALEOTTi, Mémoire sur la constitution géoynostique de la province de Brahant. 
1837. (Tome XII des Mémoires couronnés par l'Académie royale de Belgique.) 

(5) Actes de la Société linnéenne de Bordeaux, t. XXVII. 

(6; Créiac. Bept., p. 113. 

C'i Description géologique et paléontologique du sot du Umbourg. 1879. 



— 17 — 5. 

fragments (') d'une tortue inconnue, provenant également du 
maestrichtien moyen et de Ciply. Ils portent le n' 1547 du cata- 
logue et la rubrique : ■ Ossements d'un Chelonia, espèce 
inconnue, du maestriehlien moyen et de Ciply, trois pièces ■ (*). 
Il est possible que ces restes appartiennent à la même espèce que 
celle dont nous allons décrire deux fragments. 

Le premier, figures t et 2, est une portion d'une vertèbre cer- 
vicale, que nous croyons être la partie antérieure de la septième 
de cette région. La longueur du fragment conservé est de 1 8 mil- 
limètres, en sorte que la longueur totale, présumée, de la ver- 
tèbre est au moins de 40 millimètres. 




La largeur de la vertèbre à sa face céphalique, les prézygapo- 
physes y comprises, est de 52 millimètres. 

Le condyle du corps est divisé nettement en deux eotyles arti- 
eulaires, caractère inconnu dans les tortues marines tant vivantes 
que fossiles, excepté pour l'articulation de la dernière vertèbre 
cervicale avec la première dorsale. La largeur du condyle est de 
\ a millimètres. Les prézygapophyses sont assez élevées et placées 
irès obliquement par rapport à l'axe de la vertèbre. La suture 
neuro-cenlrale les sépare d'un tubercule assez volumineux placé 
obliquement sur le corps de la vertèbre et dépassant la base de 
re dernier. 



4. - 18 — 

Le canal rachidien est large et arrondi à sa face inférieure. 

La face ventrale de la vertèbre se distingue d'abord par l'ab- 
sence de la crête énorme, caractérisque des tortues marines, et 
par les deux tubercules proéminents dont nous avons déjà parlé. 
A peu de distance du condyle nait une légère crête, qui s'élève 
insensiblement jusqu'à la cassure. 

En comparant ce fragment avec des vertèbres cervicales de 
trionyXy par exemple avec celles de Trionyx incrassattis 
d'Owen ('), on est frappé de leur grande ressemblance et l'on 
n'hésiterait pas longtemps à attribuer ce fragment à un Triony- 
chidoy si l'écaillé (2) vertébrale qui a été trouvée avec cette portion 
de vertèbre ne s'y opposait. Si l'affinité est grande, surtout avec 
les tortues fluviatiles, cependant ce type de vertèbre cervicale se 
rencontre également dans les tortues paludines. 

Le second fragment que nous possédons est assurément la pre- 
mière des écailles vertébrales; elle est heureusement conservée 
intégralement, sauf les neurapophyses qui ont été brisées et une 
légère partie de la pointe antérieure. Les figures 3 et 4 donne- 
ront une idée complète de sa forme extérieure. Sa longueur est 
de 56 millimètres ; sa plus grande largeur de 24. Au delà des 
trois quarts de sa longueur, elle donne,, de chaque côté, une 
pointe correspondant aux sutures postérieures des écailles cos- 
tales. Il est très intéressant à noter que les écailles costales du 
second rang venaient se souder à la première écaille vertébrale, 
comme on l'observe également dans les trionyx. Sur les bords 
on remarque encore les dentelures qui servaient à l'enchevêtrer 
dans les écailles costales, en sorte que nous sommes certain de 
l'intégrité de la pièce. 

A sa face supérieure on observe d'abord un petit sillon trans- 
versal vers la pointe antérieure. Ce sillon a diî exister durant la 
vie de Tanimal; si on l'examine à la loupe, on voit des lignes bien 



(>) OwËN etBhLLfMouograph on the fossU Reptilia oj the London-clay, p 5^, tab. XIX. 

(S) Comme nous l'avons dit dans notre Notice sur trois Testudinide* de l'Afrique 
australe, nous réservons le terme plaques aux parties durcies de l'ectoderme, tandis que 
les éléments constitutifs de Texosquelette, d'origine mésodermique, portent exclusive- 
ment le nom à'écaiUes. 



régulières s'avancer vers le bord dit sillon et se réunir 1» au 
moyen d'une eourbc avec la ligne voisine. Que si le sillon éiait 
dû à l'aclion d'un corps étranger, il est infinimeni probable que 
ces lignes eussent été brisées en ce point. 




Ce sillon représente- 1- il la trace <le la séparation de plaques 
épidiTmiqucs ? D'abord, il ne ressemble pas au second sillon, 
placé à Tesitrémilé postérieure de la pièce et qui est dû certaine- 
ment à l'impression de la réunion de plaques épidermiques. 

Si le dessin d'une loriue — Pleiiroatemon ovatum, Owen — 
qui présente avec la nâire d'étroites aflinilés, si ce dessin de 
H. Winkter (<) est exact, nous pourrions dire que nos deux sil- 
lons sont elTeciivement deux Grenzeindrucke, comme dit von 
Meyer. M.' Winkler dit, en effet, page 116, que dans sa figure 
■ les lignes doubles nous présentent les bords des plaques >. II 



4 Op. fil., ptanchc XXIII, fig. til el m*. 



6. — 20 — 

indique donc un premier sillon à la pointe de la première écaille 
vertébrale et un second au tiers de sa longueur. Dans ce cas, 
les deux tortues devaient avoir une plaque nuchale impaire, si 
le rang attribué par le savant directeur du Musée Teyier aux 
plaques vertébrales est le vrai; et la plaque que M. Winkler 
indique comme « plaque nuchale » (pn) n'est pas la plaque 
nuchale proprement dite. Cependant Pleurostemon otmtutn, 
Owen, représenté par R. Owen (*), n'a pas de plaque nuchale 
impaire. 

Si réellement ce sillon indique la réunion de deux plaques 
épidermiques, ne faudrait-il pas dire qu'il indique la séparation 
des deux premières vertébrales, dont Tantérieure s'avance tou- 
jours notablement sur Técaille nuchale? 

Le sillon postérieur, plus large, décrit une légère courbe, 
dont la convexité est tournée en avant. 

La surface de cet os est plus ou moins granuleuse, un peu 
ponctuée, excepté dans ses contours, où elle est striée perpendi- 
culairement aux bords. La partie centrale, examinée à la loupe, 
ne représente pas le relief des os dermiques des émydes, mais 
elle a plus ou moins d'analogie avec les os dermiques des 
trionyx. 

A la face inférieure, on note surtout la partie antérieure, 
relevée en dos d'àne, sur la ligne médiane. Les neurapophyses 
sont brisées et du canal rachidien ne reste qu'une légère trace h 
la partie postérieure de la pièce. 

Sur ses bords, la face inférieure est striée tantôt perpendicu- 
lairement, tantôt obliquement aux bords et ressemble encore, sous 
ce rapport, à s'y méprendre, à la première écaille vertébrale de 
trionyx. 

Quand il s'agissait de déterminer ces ossements, notre 
attention fut d'abord portée vers les Tretosternon d'Owen et 
les Trachyaspis de von Meyer, ces trionyx qui portent des 
plaques épidermiques, mais l'analogie faisait défaut. 



(») R. Owen, A monograph oj the fossil Chelouian Reptiles oj ihe Wealden-clay 
and Purbeck Limestones, pi. VII 18' 3. 



— 21 — 7. 

En 1853, sir Richard Owen (*) a décrit un genre remar- 
quable de tortues, qu*il range dans les tortues paludines, auquel 
il a donné le nom de Pleurostemon et qu'il déGnit comme suit, 
page 2 : « Testa dcpressa latà, complanata; sternum integruni, 
ossibus undecim compositum, ossiculis marginalibus cum testa 
conjunctum; scutis submarginalibus inter scuta axillaria et in- 
guinalia positis. » 

En 1869, M. Winkler a décrit, comme nous Tavons déjà dit, 
un individu de ce genre, qui se rapproche beaucoup de notre 
tortue. Malheureusement ni Tun ni Tautre de ces paléontologistes 
n'ont connu des vertèbres de ces reptiles. 

Sir Richard Owen dit, page 4 : « The exterior surface of ail 
ihe above described cléments of the carapace is minutely wrinkled 
and granulaied; except near the suturai borders, where it is 
impressed by numerous close set fine lines, directed at right 
angles, or nearly so, with those borders. » 

M. Winkler, page 112 : « La peau (?) de Tédhantillon est 
d'une couleur brune, tachetée de noir. Elle est un peu rude au 
toucher, à cause d'une multitude de petites cavités rondes et de 
petits sillons peu profonds, qui ornent la surface supérieure. Ces 
petits sillons se voient surtout aux bords des pièces du bouclier, 
tandis que les petites cavités se montrent principalement sur le 
milieu des pièces et par conséquent aux bords des plaques. » 

Décrivant la première écaille vertébrale, il dit :« La première... 
est longue de 0,06 et large à son bord antérieur de 0,02. Plus 
en arrière, aux trois quarts de sa longueur, elle devient plus 
large et forme de chaque côté une pointe correspondant aux 
sutures postérieuses des premières pièces costales , et pour 
redevenir ensuite moins large et s'unir avec la deuxième pièce. » 

Ainsi, la dimension de la pièce, son étroitesse, les caractères 
de sa surface^ comme la disposition des écailles costales, que l'on 
peut inférer des pointes suturalesde Técaille vertébrale, même la 



(«) R. Owen, A monograph ofthefossU Chelonian Reptiles ofihe Wealden-clay and 
Purbeck Limeitones. London, i853. — Paleontograpbical Society, FossU Reptûia oj 
Great Britain, part IV, pi. i, iSKIi 



8. — 22 — 

disposilruri des plaques épidermiques, tout semble faire attribuer 
ces ossements à "un Pleurosternon. 

Les individus décrits par Tillustre paléontologiste anglais sortent 
du purbeckien (dépôt d'eau sauiiiàtre et d'eau douce) et du 
wéa^dien (eau douce). M. Winkler n'indique pas Torigine de son 
individu et il semble Tignorer. 

Si nos débris ont été rencontrés dans un dépôt marin, on peut 
répondre que, à maintes reprises, on a trouvé cette anomalie — 
sic en est une — dans la distribution géographique des chéloniens. 

Notre chélonien se distingue : 

1** De PL concinnum, en ce que celui-ci a la première écaille 
vertébrale double, par la disposition des écailles costales et celle 
des plaques vertébrales; 

2® De PL emarginatum. Celui-ci a la première écaille verté- 
brale double; la disposition relative des plaques vertébrales et des 
écailles costales diffère également; 

3** De PL ovatum, de M. Owen, par la forme de la première 
écaille vertébrale et par la place du sillon des plaques épider- 
miques ; 

Du PL ovatum, décrit par M. Winkler, par la place du sillon 
postérieur des plaques épidermiques. Lu première plaque verté- 
brale dans notre exemplaire a dû s'avancer sur les écailles cos- 
tales du second rang, ce qui n*a pas lieu dans l'exemplaire du 
Musée Teyier ; 

i** De P. latiscutatum, par la forme de la première écaille 
vertébrale, par la disposition des écailles costales du second rang, 
qui ne se réunissaient pas à la première écaille vertébrale, et 
encore par la place du sillon. 

En somme, notre exemplaire se rapproche le plus de l'indi- 
vidu décrit par le paléontologiste hollandais et attribué par lui 
à P. ovntum. 

Malgré ces affinités et malgré ces différences, ce serait témé- 
raire que de vouloir dès aujourd'hui désigner cet animal sous un 
nom quelconque. Nous croyons seulement avoir établi qu'il existe 
dans le maestrichtien des débris d'une tortue paludine, qu'il faut, 
peut-être, attribuer au genre Pleur os ternon. 



— 23 — 9. 

Nous avons vu que l'association de chéloniens marins et d'eau 
douce est très fréquente dans les diverses couches géologiques 
et que, au lieu de constituer une exception, cette association se 
montrait de plus en plus générale. 

« Doit-on conclure de ces faits, se demande Pietet (*), que les 
tortues du monde ancien avaient une habitation moins stricte 
que celles du monde actuel, et que les émydes pouvaient vivre 
dans la mer et les chélonées dans Teau douce? Cette supposition 
n'est pas absolument impossible, car l'étude de ces espèces 
montre des transitions qui manquent aujourd'hui, et l'on connaît 
quelques émydes fossiles plus thalassines de formes qu'elles ne 
le sont actuellement, et surtout quelques chélonées qui présentent 
des transitions aux émydes. » 

Cette première interprétation du phénomène dont il s'agit 
s'applique parfaitement à la famille (^) des thalassémydes, si 
bien décrits par MM. Rutimeyer et Zittel et dont un représentant 
nouveau a été trouvé dans les charbonnages de Bernissart. Mais 
outre des thalassémydes rencontrés à la fois dans des dépôts 
marins et d'eau douce, on rencontre des émydes et des trionyx 
véritables dans les mêmes conditions. 

« Il est possible aussi, continue M. Pietet, que des inondations 
subites, en augmentant les fleuves et en accélérant leur cours, 
aient transporté dans la mer les animaux qui les peuplaient et 
les aient mélangés avec des êtres exclusivement marins... 

» Il est possible aussi que la différence de salure entre les 
diverses eaux du globe n'ait pas été toujours aussi prononcée 
qu'aujourd'hui. Nous verrons, dans l'histoire des poissons, des 
faits qui semblent montrer qu'aux époques géologiques anciennes, 
les eaux qui recouvraient la surface du globe n'offraient pas des 
différences aussi tranchées que celles qui distinguent de nos 
jours les eaux pélagiques des eaux terrestres. 

• On peut enfin remarquer que quelques-unes de ces loca- 



(<) Op cit., 1. 1, p. 440. 

(*) L. DoLLO, Première note sur les Chéloniens de Bernissart (Bulletin du Musé 
ROYAL, t. lU, p. 73.) 



\0. — 24 — 

lités, où sonl réunies des tortues d'eau douce et de mer, ont des 
caractères paléontologiques mixtes qui peuvent faire penser que 
ces terrains ont été formés dans des estuaires, auprès des embou- 
chures des grands fleuves. Ainsi les argiles de Sheppy renferment 
des coquilles marines et des coquilles fluviatiles, dont la réunion 
a été expliquée en supposant qu'elles aient été déposées naturelle- 
ment, les unes par la mer, les autres par un grand fleuve qui y 
versait ses eaux. Il peut s'être passé quelque chose de pareil pour 
les tortues. Je dois toutefois faire remarquer que cette explication 
ne parait plausible que pour quelques localités. » 

Ces différentes causes ne peuvent rendre compte que de 
quelques découvertes de chéloniens, actuellement d'eau douce, 
dans les dépôts marins, mais non pas de l'ensemble des faits. 
Quant au degré de salure de l'eau de la mer, les dépôts immenses 
de sel gemme, qui se sont effectués durant l'ère secondaire et 
tertiaire, attestent une salure des eaux peut-être supérieure encore 
à celle d'aujourd'hui. 

Une autre cause peut rendre compte de ces faits : on sait qu'au- 
jourd'hui les eaux continentales sont généralement beaucoup plus 
chaudes que les eaux des mers. Les récentes explorations scienti- 
fiques ont montré avec quelle rapidité la température de l'eau des 
mers s'abaisse avec la profondeur. Cette différence n'était pas si 
f^rande aux âges géologiques et les eaux chaudes des océans per- 
mettaient aux reptiles gigantesques, comme aux tortues, de vivre 
et de se développer au sein de la mer. Mais avec l'abaissement 
graduel de la température, les grands reptiles se sont successive- 
ment éteints, les crocodiles se sont réfugiés à l'embouchure des 
fleuves et les chéloniens ont été, pour la plupart, refoulés dans 
les eaux intérieures possédant une température plus élevée. 
Seuls quelques rares thalassites ont pu s'habituer aux eaux 
froides de TOcéan. A l'abondance et à la variété des débris de 
chéloniens marins, dans les diverses assises géologiques, on 
remarque que ce groupe est à son déclin. Les autres groupes de 
chéloniens ont pu se perpétuer et conserver encore une grande 
richesse, grâce à leur acclimatation dans les eaux continentales. 
On pourrait donc dire que les émydes, les chélydes et les trionyx 



— 25 — H. 

sont actuellement d'eau douee^ mais que primitivement ces ani- 
maux, en grande partie du moins, étaient marins. 

Si cette interprétation de faits géologiques est vraie, on pour- 
rait mieux se rendre compte de la distribution des chéloniens à 
la surface du globe. Ainsi Thémisphère boréal (') est habité 
presque exclusivement par des émydes^ tandis que Thémisphèrc 
austral n'a que des chélydes : si les premières habitaient de pré- 
férence les mers boréales, les autres les mers australes, elles ont 
dû se répandre, au moment du refroidissement de notre planète, 
sur les terres avoisinantes. 



(*) D' Alb. Strauch, Die Vtrthedung des Schildkrôten fiber den Erdball, p. ^97. — 
Sl-Pétersbourg, 1865. 



— 26 — 



MÉMOIRE 



SIR LES 



MONTAGNES CRATÉRIFORMES 

DE LA PLANÈTE VÉNUS 

OBSERVÉES EN 1884 
par Dom LAMEY 



L'observation des taehes de Vénus présente certaines difficultés 
très propres à décourager au premier abord, surtout si Ton n'use 
pas de quelques moyens de confrontation capables de nous ren- 
seigner sur la valeur des apparences perçues ou soupçonnées. 
L'éclat scintillant de la planète et laspect houleux que son disque 
présente presque toujours rendent les détails que Ton y observe 
trop souvent vacillants, incertains et instables. Ils disparaissent 
au bout d'un instant, il faut les épier pour les revoir et saisir 
parfois d'un clin d'œil leur configuration. Quelques taches cepen- 
dant sont plus particulièrement persistantes, mais encore faut-il, 
du lieu où Ton observe, jouir d'une atmosphère favorable. 
Dominique Cassini ne put jamais revoir à Paris les grandes 
taches rondes, claires ou obscures, qu'il avait observées sous le 
beau ciel de l'Italie, en 1666 et 1667. Bianchini les revit h Rome 
en 1726 et 1727, au nombre de sept principales, et la carte 
topographique qu'il a publiée a fait, jusqu'à ces derniers temps, 
les frais principaux des publications d'astronomie populaire. 

t« Les premiers essais que je fis, peu après le passage de 
Vénus sur le soleil en 1882, m'ont prouvé qu'il était possible 
d'obtenir avec les instruments de notre observatoire quelques 
résultats nouveaux et intéressants. Aussi, dès le 3 janvier 1884, 
je commençais avec trois de mes confrères une série d*obser- 



— 27 — 2. 

vations formant jusqu'à la date du 2 novembre un total de 
78 dessins ou croquis. La comparaison de toutes ces observations, 
faites dans des conditions très différentes d'instrument, d'organe 
visuel et, si Ton veut, de préoccupation intellectuelle, permettent, 
grâce à la concordance des résultats, de formuler avec une 
entière certitude les conclusions que voici : 1*" les grandes taches 
claires de Vénus affectent en règle générale une forme arrondie ; 
^ elles sont ordinairement entourées d'une bordure étroite et 
brillante cratériforme, souvent suivie d'une deuxième et troisième 
bordure, toutes parallèles entre elles et formant des circonval- 
lations concentriques ; 3*" la corne australe parait fréquemment 
plus large que la corne boréale ; i*" de hautes montagnes con- 
trastant avec des vallées très profondes existent au voisinage des 
calottes polaires, sur l'hémisphère austral principalement. 

9. La première de ces conclusions concorde avec tous les 
dessins publiés jusqu'à ce jour, depuis Cassini en 1666 jusqu'au 
D' Terby en 1880; il n'y a que la généralité de cette conclusion 
qui pourrait être contestée, à cause de l'irrégularité de certaines 
taches vues trop de biais pour paraître arrondies de contour. 

La deuxième constitue la partie la plus nouvelle de ce travail. 
L'aspect si particulièrement cratériforme des taches de Vénus 
semble avoir échappé jusqu'à ce jour à l'attention des astronomes. 
Il y a pourtant plus d'un demi-siècle que le P. de Vico avait 
signalé l'analogie de configuration que la surface de Vénus offre 
avec celle de la lune et il est étrange que cette analogie une fois 
signalée n'ait pas engagé les observateurs à constater au moins 
le fait. Pour moi, lorsque j'annonçais à l'Académie des sciences 
de Paris l'existence de ces formations cratériformes, que j'étais 
en train d'étudier alors (^), j'ignorais complètement que cette 
constatation avait déjà été faite autrefois à Rome à l'observatoire 
des Pères Jésuites. Comme les mémoires de cette époque de 
l'observatoire du Collège romain sont devenus très rares et ditli- 



(«) Comptée rendus, L LXXXXVIII, pp. 1533-i5;ii. 



3. — 28 — 

cîles à trouver, M. le D' F. Terby, de Louvain, a bien voulu, en 
m'annonçant le fait, m'adresser l'analyse des travaux de de Vico 
sur ce point particulier. Qu'il reçoive ici nnes meilleurs remer- 
ciements. La valeur de ce document est trop grande pour ne pas 
le transcrire intégralement. Le voici donc : 

< Le P. de Vico n publié plusieurs mémoires sur Vénus et ils sont 
de la plus haute importance*. 

Le premier mémoire a paru dans : Memoria intorno a parecchie 
osservazioni fattenella specola deW Universilà Gregoriana net Colle- 
gioRomanOy l'annoi839y p. 42. Rotazione di Venere sul proprio asse. 
Ce mémoire est accompagné de 5:2 dessins exécutés en 1839; ceux- 
ci représentent les taches sombres de Vénus; Fauteur ne voit pas encore 
de cratères; il reconnaît les taches de Bianchini, confirme les obser- 
vations de ce dernier astronome, les explique en montrant comment 
Bianchini a pu déduire de ses observations une durée de rotation 
de 24 jours, tandis que la durée réelle est de 23 heures.... De Vico 
confirme donc la durée de rotation donnée par Schrôter. L^auleur 
s'occupe aussi accessoirement de la position de Taxe de Vénus. 

La réapparition des taches de Bianchini dans les dessins de de Vico 
est un fait excessivement intéressant. » 

o Le second mémoire se trouve dans la même collection negli 
anni 1840-4844 , page 32. Rotazione di Venere. Celui-ci est accom- 
pagné de 91 dessins faits en 1840; nous y voyons encore les taches 
de Bianchini et pas de cratères, dans les figures du moins; mais les 
dernières pages du texte contiennent les observations de cratères 
auxquelles je faisais allusion. Ce mémoire confirme les résultats pré- 
cédents, précise davantage la durée de rotation et la position de Taxe; 
c'est une œuvre capitale. » 

Voici les observations de cratères (je copie textuellement mes 
notes) : 

1841, 12 avril, 6^ soir. «Près de la pointe de la corne boréale», 
« e propriamente mezzo délia parte illuminata si vedeva molto 
nettamente una macchia nera bislunga. Sembrava un corto e 
sottil filo di seta nera, posto agiacere su quella parte. » 

1841, 19 avril, 6^ soir. Mêmes apparences que le 12. 



— 29- 4. 

iSil, 21 avril, 6^ soir. « La tache de la corne boréale est plus 
près de la limite de Tombre » e forse in parte già era immersa 
nella penumbra; « gross. de 241. » — « A 6**23" » si vedeva 
circondata di luee piu viva; « avec 824 fois, elle était tout à fait 
semblable à un cratère lunaire » quando le sue più alte sponde 
sono illuminate, dal vertice ai due terzi in giù. 

1841, 22 et 23 avril. Le stesse apparenze del giorno innanzi. 
« La tache * sembra alquanto ingrandita in ampiezza. 

i841, 30 avril, 7**30"* soir. « Tache très noire et » chiara a 
vederla « entourée » da un ellissi lucida « comme » le sponde di 
un cratère lunare visto obliquamente. « La limite de Tombre » 
benchè già roolto inohrato dentro alla macchia, pure non copriva 
ancora la sud<letta sponda, la quale colla sua meta luminosa com- 
pariva assai bene dentro la parte oscura; « gross. 824 ». A la 
corne opposée Ton commence aussi à voir quelque chose de 
semblable. 

1841, 2 mai. « D'autres observateurs curieux de voir le cratère 
se joignent aux premiers » ed ebbero agio di remaner soddisfatti; 
« à GHS"" soir, on voyait nettement tout le globe de Vénus (') » 
e per quanto Tombra paresse avanzata, pure non copriva nessuna 
porzione délie sponda illuminata che circondava la macchia. 
« Grossissement 241 et 824. > 

1841, 3 mai, GHO"" soir. La sommità del contorno lueido 
délia macchia verso la parte oscura di Venere non si vedeva più. 
c Gross. 240 », « avec 824 se voyait à peine ». « Avec gross. 
moindres » appariva dentellata in quel punto Tombra sul disco. 

1841 , 4 mai, même heure. « L'ombre a couvert entièrement » 
meti délia sponda ellittica del cratère; c ne appariva il corno 
boréale terminato in una triplici punta. Due di tali punte erano 
Teffettoche produceva il taglio deir ombra sulla sponda del cratère, 
la quale con due bracci lucidi vedevasi penetrare nella parte 
oscura. « Gross. 824 et 1128. » 

De Vico conclut de la position de Vénus par rapport à la terre 



(*) Ce mémoire renferme encore beaucoup d'observations de la lumière secondaire, 
ceodrée, de Vénus. 



5 — 30 — 

que la tache de la corne boréale était la tache polaire nord de 
Bianchini ; celle-ci est donc formée, dit-il, de chaînes très élevées 
de montagnes entourant de profondes vallées. La longueur totale 
de la tache sourendait, le 21 avril, un angle de i^5 au moins. 

Un troisième mémoire figure dans Tannée 1842 du même 
recueil; en voici le sujet : étant donné un globe de Vénus 
représentant toutes les taches observées, voyons comment se 
présenteraient ces taches : 1® dans Thypothèse de Tinclination 
de Taxe d*après Bianchini; 2^ dans Thypothèsc de celle de 
de Vico, aux époques des observations de Mâdier en 1833, et 
cherchons dans laquelle des deux hypothèses les taches rendent 
le mieux compte des inégalités que Màdier a observées au termi- 
nateur. De Vico met en regard dans sa planche les phases obser- 
vées par Mâdier et les aspects des taches selon Bianchini et selon 
lui-même aux mêmes instants (aspects théoriques, résultant du 
calcul évidemment). Bianchini donnait à l'obliquité de Téclip- 
tique pour Vénus une valeur de 75®; de Vico a trouvé 53®; il 
conclut de ces dernières comparaisons que la valeur de 75* est 
trop forte, que 53° est un minimum, qu'une valeur plus grande 
que 65® n'est pas admissible. 

Presque toutes les observations de de Vico et de ses colla- 
borateurs ont été faites en plein jour. Objectif de Cauchoix de 
6 pouces. 

Dans ces derniers temps on a beaucoup parlé des taches bril- 
lantes vues aux pôles de Venus, aux pôles apparents du moins; 
des observations très suivies de ces taches ont été faites dès 1813 
par Gruithuisen. 

Les mémoires de de Vico forment un ensemble de 78 pages 
environ. ■ — Tel est le résumé du D' Terby. 

Je suis bien aise d'avoir été précédé dans cette voie par un 
observateur d'une notoriété aussi grande que celle du P. de Vico. 
Au moins je n'ai pas à craindre le vœ soli si facile à encourir 
en pareil cas. 

8. En jetant un regard sur les deux planches ci-jointes, le 
lecteur remarquera : 1° que les formations annulaires sont une 



— 31 — 6. 

règle générale ; 2^ que certaines de ces formations présentent 
plusieurs circonvallations concentriques ; S*" que des (races lumi- 
neuses de cirques» comparables aux susdits cratères, se voient 
dans la partie non directement illuminée; je les ai marquées au 
pointillé. Ces arcs de cercles sont-ils les sommets devenus visi- 
bles de cratères de Vénus? C'est là une question que Ton peut 
se faire, mais à laquelle il serait prématuré de répondre aflirma- 
tivement ('). 

Pour compléter ces données, j'aurais pu entreprendre un tra- 
vail de recensement de toutes les taches et chercher à identifier 
celles qui se sont présentées deux ou plusieurs fois à lobserva- 
tion. Mais, réflexion faite, j'ai préféré attendre une plus grande 
abondance de documents avant d'aborder ulilement ce travail. 

4. La troisième conclusion qui ressort de l'ensemble de ces 
observations est relative à la grande inégalité de largeur des 
cornes du croissant. Il est facile de constater, sur la plupart des 
dessins que je publie, une prépondérance très marquée, en 
faveur de l'hémisphère austral, de la largeur du croissant. Ce 
fait démontre que les montagnes de l'hémisphère austral sont 
à un niveau généralement supérieur. Cette remarque relie la 
troisième conclusion à la quatrième. Cette dernière est aujour- 
d'hui mise hors de doute par les mesures si rigoureuses aux- 
quelles les photographies du dernier passage de Vénus ont été 
soumises par MM. Bouquet de la Gryc et Arago. Ces savants ont 
trouvé que la plus haute montagne qui s'est présentée en sil- 
houette sur le soleil pendant la durée du passage appartenait à 
rhémisphère sud et que sa hauteur atteignait 116 kilomètres ('). 
Cette conclusion a été confirmée peu après par M. E.-L. Trou- 



ci) Je me souviens d'avoir vu à Paris, sur une plaque photographique du dernier pas- 
sage de Vénus, un cratère parfaitement marqué et visible à la loupe; il répondait, je 
crois, à la tache a des planches de ce mémoire. Il a donc été photographié grâce k la 
lamière cendrée de la planète. M. Bouquet de la Grye. auquel j'indiquai le fait, l'a par- 
faitement reconnu. 

(*) Étude êur le contour apparent de Vénus, Comptes rendus, t. LXXXXVIII, p. 1406 
et soi?. 



7. — 32 — 

velot (*) et par moi (^) ; en calculant la hauteur d'après ies des- 
sins qui accompagnent ce mémoire, j*ai trouvé 290 kilomètres, 
valeur peut-être exagérée, mais qui indique néanmoins des sur- 
élévations énormes. 

Tels sont les faits généraux et les plus saillants qui résultent 
des observations dont je vais maintenant donner le détail pour ce 
que j ai vu moi-même. 

6. La première de ces observations date du 27 mars 1884. 
De 6^30" à 6**50"*, temps moyen de Grignon, je dessinai 
Vénus à laide de notre équatorial de 6 pouces d'où ver ture^ le 
grossissement étant de 250 fois. A ma souvenance, je n'avais 
jamais vu une image de la planète aussi calme que ce soir-là. 
La corne supérieure (voir fig. 1) était arrondie» et les ombres, 
évidemment parsemées de petites taches claires, étaient très diQi- 
ciles à exprimer. Malgré moi et même en faisant des efforts, je 
voyais plusieurs cirques sombres et lumineux, comme j'en ai vu 
sur Mars. Ces apparences analogues me causèrent tant de sur- 
prise que je craignais une illusion d'optique. Réflexion faite, je 
pris le parti de marquer ceux que je verrais, mais sans les cher- 
cher. Celui en ab a été vu plusieurs fois, celui du milieu aussi. 
La teinte lilacée de Vénus m'a frappé dès que j'ai vu la planète 
dans le champ de la lunette. 

e. Le 28 mars 1884, de 6^26*" a 6^6°' je dessine l'aspect, 
en employant deux oculaires, n®' V et III ('). (Je mets entre guil- 
lemets les phrases transcrites mot à mot de mes notes d'observa- 
tion et entre crochets les mots nécessaires pour suppléer à la 
brièveté de la rédaction.) « Atmosphère très agitée, au commen- 
cement surtout. En a (fig. 2), une petite tache brillante déborde. 
En P une [autre] tache brillante. Au-dessous de a, les cercles 



(t) Comptes rendus, t. LXXXXVllI, p. 1481. 

(*) ib., p. 453;. 

(3j Pour plus de brièveté, je désigne les grossissements par des numéros de conven- 
tion des oculaires employés. Ainsi le no II! désigne un oculaire grossissant au 6>pouces 
110 fois; n« V grossit 350 fois, no VI im fois. 



— 35 — 8. 

concentriques sont certains quant à leur parallélisme, non quant 
au degré de courbure. Au bord de Tombre, au milieu du disque, 
deux cirques brillants, vus plusieurs fois »; une fois, ils parais- 
sent concentriques et accolés comme le montre la figure 2. « Le 
reste est moins certain. Sur la limite de la phase, on voyait des 
ondulations, sombres, selon Tagitation de Timage, lesquelles 
étaient plus accentuées vers ^ que vers le bas. » 

1. Le 29 mars 1884, de 6H7» à T^^SS"; oc. V, figure 3. 
« Atmosphère agitée. En a portion plus étendue que hier, peut- 
être proéminente, mais peu. En dessous, des circonvallations 
parallèles comme hier, mais moins accentuées. En ^ et ^' seg- 
ments plus clairs. Sur Tourlet lumineux [de la circonférence du 
disque] les petits arcs [que j'ai dessinés] foncés ne le sont pas 
plus que le reste des parties obscures. » J*ai constaté avec une 
certitude assez grande que l'ombre, très accentuée sur le pour- 
tour de Tare, va en s*atténuant vers le centre du disque. 

9. Le 31 mars 1884, de 6»»23°» à 6H7°; oc. V, figure 4. 
« Les cirques m'ont paru assez enchevêtrés et rendus très irré- 
guliers par le nombre considérable de petits cratères accumulés 
les uns sur les autres. Un aspect des plus remarquables et que je 
n'ai vu qu'à un moment, mais avec une netteté admirable, est repré- 
senté en id'i^. Ce sont deux cirques tangents en S. En dehors, tout 
était beaucoup plus clair qu'en dedans. Désespérant d'arriver à 
quelque chose d'exact, j'ai préféré recommencer une autre figure.» 

•. Le 31 mars 1884, de 6U8™ à 7M8-; oc. V, fig. 5. « CeUe 
figure a été faite en partie en enfumant roculaire avec une bougie. 
En a on voyait au travers du bouillonnement des bords une partie 
plus lumineuse. Parmi les cirques les plus persistants, il y avait 
celui marqué yy' qui était sombre dans son pourtour, et déchi- 
queté, comme si une foule de petits cratères ou cirques y exis- 
taient. Dans ce dessin (un peu plus pourtant que dans le précé- 
dent), je n'ai pas porté une grande attention à la disposition des 
ombres. Atmosphère assez bonne, mais le mouvement d'horlo- 
gerie ne marchait pas. » 

X. 5 



9. -« 34 — 

Un petit croquis fait è Toc. III montrait que la région voisine 
de la partie non illuminée du disque était ce qu'il y avait de 
plus foncé sur la planète. 

to. Le 2 avril 1884, de 7»»55°» à 8»'29-; oc. V, fig. 6. 
« Image agitée par le vent, mais pas trop mauvaise. En a, vers 
8 heures, partie lumineuse vacillante au bord, débordant peut- 
être. En P, segment circulaire, blanc lumineux; en ^' aussi, 
mais moins. Traces de cirques lumineux, plus ou moins concen* 
triques à a pris pour centre. En dd' arc sombre assez persistant 
vers la fin de l'observation. Les cirques vus au premier abord ne 
sont plus visibles ensuite. » 

tt. Le 11 avril 1884, de 6»»46'» à 7»'3'»; oc. V, fig. 7. « En a 
partie plus brillante. L'image est bonne. En d la région est em- 
brouillée et assez difficile. » Les régions les plus sombres se 
voient vers la bordure lumineuse du limbe. 

i t. Le 11 avril 1884, de 8'*28- à 8H3«; oc. V, fig. 8. « Je 
ne vois plus bien net, car l'image est très vacillante. En 6 et 6' 
portions très lumineuses ; en a aussi, où il y a un peu proémi- 
nence aplatie. » 

18. Le 12 avril i884, de 8*»24" à 8*»34-;oc. V, fig. 9. « Image 
médiocre. En y le cirque est blanc, bordé d'un cirque sombre 
sans brillant. En |3 cirque clair (cratériforme?). En a proémi- 
nence lumineuse. En d deux cirques clairs, assez sûrs; le reste 
douteux. J'ai été un peu lestement dans ce dessin, plus que 
d'habitude. » 

14. Le 19 avril 1884, de T" à 7»»25-; oc. III, fig. 10. Oc. V, 
fig. il, de 7*^25" à 7*^35", t. m. de G. « J'ai commencé par 
observer avec l'oculaire III. Un liséré brillant se voyait très 
bien sur le contour du disque. En a j'ai soupçonné souvent ime 
éminence. La tache ronde ^ était bien accentuée et l'arc 
obscur yy' était assez prononcé. Les apparences avec l'ocu- 
laire V laissaient présumer plusieurs formations annulaires. J'ai 



— 35 — 40. 

marqué les plus prononcées, mais je n*ai pu voir positivement 
des cirques lumineux. » 

16. Le 2i avril 1884, de eHS"* à 7M0«, t. m. de Grignon; 
oc. V, fig. 1S. « L*atmosphère n'était pas fameuse. En regardant 
fixement je ne pouvais voir aucun cirque, mais bien en jetant de 
temps à autre un simple coup d'œil. L*arc SS' était le seul pré- 
sentant un trait lumineux. Je me suis assez convaincu, en mar- 
quant tout ce que je voyais comme formations annulaires, qu'elles 
se superposaient et s'entrecoupaient. Il y avait vers la partie 
supérieure une légère tendance à une proéminence, mais si 
faible et si incertaine que je ne l'ai pas marquée. Il en est de 
même des zones parallèles et concentriques à ce point; je les ai 
soupçonnées deux à trois fois, mais je ne les ai pas dessinées 
avec assurance. • Avec l'oculaire III, j'ai marqué les régions 
où la teinte était plus foncée; c'était vers le limbe du haut de 
l'image. 

te. Le 26 avril 1884, de y^^G"» à T^'IS"; oc. V, fig. 13. 
« J'ai été un peu vite en faisant cette figure; les détails empê- 
chaient de voir la configuration générale des cirques. Ces cirques 
paraissaient un peu polygonaux, tant ils étaient accolés les uns 
contre les autres, en sorte que la surface présentait l'aspect d'un 
madrépore. Dans le commencement j'avais remarqué des cirques 
concentriques vers ce que je crois le pôle, mais les ombres sub- 
séquentes ont dissipé cette apparence. Image médiocre. » 

II. Le 26 avril 1884, de 9»»21" à 9»»38«; oc. V, fig. 14. 
« Je n'ai pu observer longtemps bien^ car les nuages d'abord 
ténus sont devenus bientôt trop épais. La décroissance d'ombre 
paraissait alors » bien mieux, la région la plus foncée se trouvant 
vers le centre du disque. « La figure est donc inachevée. En (3 
c'était brillant. » 

1 S. Le 22 mai 1884, de 9^29"» à 9»»49» ; oc. V et III, fig. IS. 
« La tache ^ brillante, bordée de noir, est persistante. En a il y 
a comme un enfoncement, avec cirques concentriques, mais très 



^1. — 36 — 

peu marqués. Les autres cirques dessinés n*ont été vus que 
vaguement; Timage était fort troublée par Thorizon. La partie 
en d était très vacillante. Les deux cornes sont certaines. Quant 
aux cratères que j*ai marqués, ils paraissaient par moments très 
vagues et estompés; je les ai vus dans le commencement de ces 
observations beaucoup plus distinctement. Celui au-dessus de d 
me semblait posséder de nombreuses circonvallations concentri- 
ques. » 

M. Le 23 mai 1884, de 9^30"" à 9^50»; oc. V, fig. 16. 
« Atmosphère détestable; image vacillante au possible. Cepen- 
dant, malgré les vagues lumineuses, on distinguait parfaitement 
les formes des cratères, fort semblables à ceux de la lune. Il n*y 
a rien de bien certain ; tout est à peu près. » 

tO. Le 26 mai 1884; oc. V, fig. 17. « Image assez agitée, 
mais cependant je crois distinguer les cratères comme je Fai 
marqué et je les crois assez exacts en position, car voici la double 
concordance obtenue : la démarcation d*ombre et de lumière a 
d'abord été tracée, puis les cratères ont été dessinés; or il se 
trouve qu'ils correspondent avec la susdite démarcation. Enfin, 
en examinant la partie obscure, avoisinant la lumière, j'y ai 
reconnu les traces (indubitables) de cratères ; j'étais occupé à 
dessiner les deux plus visibles c et & quand les nuages sont 
arrivés. Entre c et c' il y en avait trois ou quatre petits. En (3 
partie très brillante et constante. En i point lumineux isolé 
dans les ténèbres. Liséré lumineux (*). En a inégalité soup- 
çonnée un instant, mais peu certaine. La partie éclairée de Vénus 
était un peu plus large que le dessin ne l'indique. • 

tt- Le 27 mai 1884, de 8*^18'- à 8»»40»; oc. V, fig. 18. 
« L'image est très satisfaisante comme calme, et malgré cela je 
ne puis bien saisir les détails. La démarcation d'ombre et de 



(1) J'entends par liséré lumineux la bordure brillante du disque; j'emprunte cette 
expression au docteur Terby. 



— 37 — 12. 

lumière est peu accidentée. Les traces de cirques lumineux dans 
la partie obscure varient et sont de diamètre plus grand en bas 
qu*eQ haut. » 

M. Le 5 juin 1884, de 8»*20- à 8»'38; oc. VI, fig. 19. 
« Image très vacillante; les ondes lumineuses vont dans le sens 
de la flèche a6, laissant paraître des ombres craiériformes 
charriées comme par ces ondes. En P rempart lumineux d'un 
cratère. En a portion élevée. A la limite d'ombre et de lumière, 
les deux cornes étaient creusées par deux cratères, d'une façon 
très nette. Les intermédiaires ne présentaient que des irrégula- 
rités. L'agitation (outre les nuages) était trop grande pour voir 
les traces de cratères dans l'ombre. J'en ai aperçu un seul. J'ai 
été gêné par les nuages qui m'ont forcé de terminer promptement.» 

M. Le U juin 1884, de 8M8» à 8»»33-"; oc. V, fig. 20. 
« Atmosphère très agitée dans le sens de la flèche v. Tout est 
incertain dans la partie lumineuse, sauf les contours du côté de 
l'ombre. En a je soupçonne très vaguement, très douleusement, 
la trace de la tache habituelle à celte région. Los cirques que 
j'ai marqués sont à peine soupçonnés. A l'intérieur du croissant, 
vestiges confus de cirques lumineux. » La flèche allant à gauche 
indique le sens apparent du mouvement diurne. 



Le 12 juin 1884, de 9H-, à 9»»29'-; oc. V, fig. 21. 
« J'ai essayé d'un diaphragme de 4 pouces [pour l'objectif], ce 
qui rend l'observation bien plus facile que hier. Le cirque lumi- 
neux P frappe de suite le regard et cela d'une manière quasi 
constante; cependant il disparaît de temps à autre et laisse voir 
la tache lumineuse (3'. En a tache peu accentuée. Je n'ai pas vu 
d'arc lumineux dans la partie obscure. En résumé, le diaphragme 
m'a donné une image beaucoup plus calme, exempte de ces 
vagues lumineuses si gênantes. Cette figure vaut bien mieux que 
celle de hier, n* 20. » 

M. Le 15 juin 1884, de 8M6- à 8»»29-; oc. V, fig. 22. 
« Diaphragmé à 4 pouces d'ouverture. La tache P est brillante 



13. •- 38 — 

et certaine d*une manière absolue. Celle en a est vague quant à 
sa forme» mais presque certaine quant à son existence; elle est 
bien moins brillante que la tache (3, laquelle, par moment, sem- 
blait cratériforme. A la limite d'ombre et de lumière, les renfon- 
cements obscurs d et S' sont bien accentués, mais les petits détails 
entre ces deux points ne sont que à peu près. Les autres portions 
du contour sont plus exactement dessinées et présentent bien les 
formes arrondies observées. La pointe de la corne inférieure était 
très aiguë par moment. Vent, nuages, image assez bonne. Le 
bord du disque était moins brillant que la partie médiane, où j'ai 
marqué des ronds brillants, se présentant tels comme aspect, non 
comme position, nombre et dimension. » 

te. Le 18 juin 1884, de 8'*23" à 8H5; objectif diaphragmé 
à 4 pouces, oc. V, fig. 23. « Bonne atmosphère. En a soupçons 
assez fondés de la tache habituelle à cette région. Vers le centre, 
j*ai aperçu quelques cratères dont j'ai marqué l'aspect plutôt 
que la position. En (3 tache brillante, débordant légèrement en 
dehors du disque et en dedans, ainsi qu'en (3', quoique moins. 
Petites éminences entre (3 et ^'. Les arcs lumineux dans la 
pénombre sont bien visibles; certains sont très persistants, sur- 
tout 2; et {. La pénombre envahit presque tout le disque obscur. » 

t'y- Le 19 juin 1884, de 8»»19™ à 8»'45»; objectif diaphragmé 
à 4 pouces, oc. V, fig. 24. « Bonne image télescopique. En a pas 
de proéminences ni de taches bien visibles. En ^ tache blanche 
brillante, cratériforme par moment. Au-dessus cratère ombi- 
liqué. En d série de pics proéminents, de O^^S environ. Les 
cirques lumineux de l'intérieur [obscur] sont assez visibles mais 
inconstants, sauf ceux du bord. La corne supérieure était plus 
épaisse que celle du dessous, c'est-à-dire de l'hémisphère nord. • 

9S. Le 22 juin 1884, de 8M3» à 8^30-, t. m. de Grignon; 
objectif diaphragmé à 4 pouces, oc. V, fig. 25. « Assez bonne 
image. En ^ tache brillante, indécise de position. En dessous, 
point émergeant de chaque côté. En a légères taches claires. Le 
limbe de ce côté est rosé et les vagues lumineuses descendent 



— 39 — U. 

comme l'indique la flèche F. Les cirques lumineux dans Tombre 
me paraissent être un pur phénomène d'optique. En dehors du 
disque je ne vois pas des ronds» mais des traits lumineux ana- 
logues. Les cirques intérieurs, dans le disque, seraient-ils illu- 
soires? En n pics nombreux. » 



K Le 24 juin 1884, de 8»'29'» à 8»»39-; objectif diaphragmé 
à 3 pouces; oc. V, fig. 26. « Image houleuse même avec le 
diaphragme de 3 pouces. Le croissant ne forme plus un demi- 
arc de cercle, mais un peu moins. En s' aflaissement et en e suré- 
lévation mais très légère. En c cirque soupçonné. En ap aplatis- 
sement évident. La corne du haut m'a paru plus large que celle 
du bas, mais peu ; de plus, l'extrémité australe était arrondie. En 
e ou vers ce point, tache claire (e sans doute). » La corne australe 
était encore plus qu'hier teintée de rouge, la boréale était bleu- 
verdàtre. La planète était trop près de l'horizon. 

80. Le 26 juin 1884, de 8M0~ à 848»; objectif diaphragmé 
à 3 pouces; oc. V, fig. 27. « Image agitée avec le diaphragme 
de 3 pouces. A l'intérieur du croissant [dans la région non 
éclairée directement], une bordure noire ou très obscure. En Ç> 
tache claire mais peu. A la pointe australe, partie saillante, mais 
moins que les soirées précédentes. Le rouge de la corne supé- 
rieure est moins intense [que hier]. Bordure verte à la limite 
supérieure d*ombre et de lumière. En à se trouve la sinuosité la 
plus nettement prononcée. Le sommet de la corne australe est 
comme aplati et la pointe plus aiguë que la boréale. Cercles 
lumineux à Tintérieur du croissant, trop pâles pour les marquer. 
Corne boréale brillante plus que l'australe. » La flèche ascen- 
dante à gauche marque le sens apparent du mouvement diurne. 

81. Le 27 juin 1884, de 8M2- ft 8''20-; oc. V, fig. 28. 
« Image agitée, houleuse. Des proéminences sont soupçonnées 
en P' et p. En ^, i\ d" concavités assez certaines; les autres 
moins. A l'intérieur de la corne boréale, teinte rouge cramoisi 
comme h l'extérieur de l'australe, laquelle va jusqu'à (3. Les 
couleurs sont plus intenses parce que je n'ai pas mis de dia- 
phragme. Arc noirâtre en N. » 



15. — 40 — 

89. Le 22 août 1884, de 17^0" à IT'^SÔ"; oc. V (VIII et III), 
fig. 29. « La figure est faite au jour. Je suis frappé de ne pas 
mieux voir les cirques malgré la netteté de limage. Cependant 
ce que j'ai vu, je Fai vu très nettement, en particulier y et d. La 
corne supérieure (sud) est plus large que celle de la région 
nord. La limite d*ombre et de lumière est bordée par une bande 
plus sombre que le reste. Cirques lumineux soupçonnés dans 
Fintérieur du disque. » 



t. Pour rintelligence des deux planches où j'ai dû con- 
denser les 29 figures, je dois dire tout d'abord que, si j'ai 
souvent désigné par une même lettre une même région apparetiie 
du disque, je suis très éloigné de vouloir en inférer qu'elle répond 
en réalité à une portion identique de la planète. Ainsi, par 
exemple, la proéminence marquée a ne saurait être la même 
tache, à moins d'être située au pôle même. Or, en confrontant 
chaque figure, il est clair que, si elle n'en est pas très éloignée, 
elle Test du moins assez pour osciller, à droite et à gauche de sa 
position moyenne, d'une manière très sensible. 

Je prierai encore le lecteur de vouloir bien remarquer que les 
notes accompagnant la description de chaque figure sont la 
reproduction fidèle du journal d'observations que je rédigeais 
sous l'impression du moment. Or, cette impression du moment 
ne saurait s'entendre au pied de la lettre, sans tenir compte des 
observations subséquentes. Ainsi, par exemple, la première fois 
que la tache a m'a paru proéminente, elle a dû l'être beaucoup 
plus que les autres soirées, alors que, l'attention une fois éveillée 
sur ce sujet, les apparences même moins prononcées n'ont pu 
sans doute parvenir à m'échapper. 

C'est encore ainsi qu'il faut juger les termes dont je me 
suis servi pour exprimer les apparences faiblement lumineuses 
observées dans la région obscure du disque; elles étaient plus ou 
moins circulaires et, le 22 juin (n* 28), j'en vis d'analogues en 
dehors du disque. Il y avait certes là de quoi faire douter de la 
réalité du phénomène. Or, ces apparences ont été revues plus 
tard par l'un de mes collaborateurs, et celles décrites par 



— 41 — 16. 

M. 0. Callandreau, d*après ses observations faites à Haïti en 1882, 
avec un instrument de puissance égale à celui de Grignon, 
semblent indiquer un même ordre de phénomènes bien réels. 
Outre le croissant principal, « Tare central >, Tobservateur dis- 
tinguait deux autres arcs plus faibles, nommés par lui « Tare 
interne » et « Tare externe > ('). La description et les Ggures 
répondent assez bien à Tobservation du 23 juin et conGrment 
donc d*une certaine façon la réalité du phénomène observé 
par moi. 

Dans les deux planches de ce mémoire, les flèches descen- 
dantes et barbées qui accompagnent le numéro d'ordre des 
figures représentent la direction de la verticale du lieu d'obser- 
vation, par rapport à Timage télescopique renversée. Dans la 
figure 25, la flèche F indique à la fois la direction de la verticale 
et le sens du mouvement ondulatoire de Timage lumineuse. Dans 
les figures 20, 23, 27 et 29, les flèches ascendantes de droite à 
gauche indiquent le sens du mouvement diurne apparent. 

S4. Je termine ce mémoire sans avx)ir pu recueillir jusqu'à 
ce jour (16 décembre 1885) qu'un petit nombre de nouveaux 
aspects de Vénus. Les taches les plus saillantes ont été revues, 
mais il y a lieu d'augmenter encore de beaucoup le nombre des 
dessins avant d'entreprendre une discussion utile et une identi- 
fication complète des taches. Un autre problème me semble devoir 
être résolu auparavant: c'est la détermination très précise de 
l'angle et de la direction de l'axe de rotation de la planète par 
rapport à notre orbite. En procédant autrement, en se guidant 
seulement sur les apparences comparables, on risque de com- 
mettre de graves erreurs; les cratères lunaires nous avertissent 
assez de quelles énormes variations d'aspect de pareils objets 
peuvent être susceptibles, selon qu'ils sont éclairés; là nous voyons 
que certaines formations circulaires très déprimées ne se révèlent 
que dans des conditions d'éclairement très tangentiel. Mais pour 
Vénus le travail d'identification des taches se complique, non 

(•) Bulletin astronomique. Paris, 1884, in-8o, l. h pp. 221-233. Voir les figures. 



17. — 4« — 

pas seulement parce que ses cratères se présentent éclairés dans 
des positions toujours diverses, mais encore parce que Taligne- 
ment des taches ne peut se faire ordinairement que sur une petite 
échelle, en raison des phases totijours restreintes aux époques où 
la planète est bien visible pour nous. Mais ce qui donne surtout 
de grandes difficultés à ce travail de réduction, c'est la nature 
éminemment volcanique de la surface. Vénus ne semble pas 
offrir dans ses grandes lignes orographiques la présence de 
vastes plaines facilement reconnaissables par leur uniformité 
comme celles de la lune. Toute la surface parait criblée d'érup- 
tions volcaniques, aussi étendues peut-être que celles de notre 
satellite, mais plus profondes assurément; il en résulte un enche- 
vêtrement pour ainsi dire inextricable. Le lecteur pourra en juger 
par la confrontation des dessins et en tenant compte de mes 
efforts et des difficultés vaincues; il voudra bien, j'espère, excuser 
avec indulgence les imperfections, sans doute nombreuses, des 
configurations représentées. 

Prieuré de S. Jeao, à Gri^DOD (Côte-d^Or). 

Ce 16 décembre 1885. 

Fr. Mayeul Lamey, 0. s. fi. 



n.i. 




Lamty ■vd.nê/. de? uth. VPerssnaire s Brux ? 

Montagnes cralériformes de Vénus 
dessinées è l'observatoire de GrlgnonÊote d'Or) enl884'. 



~A-^' 




limty ati. nat de] LiikVPerselutiresmw' 

Monlaqnes oralerlformes de Vénus 
dessméesàl'observatoire de (;rlqnon(ColE d'Or) en 1884 



— 43 — 1. 



SUR 



LA TENSION SUPERFICIELLE 

DANS 

LA THÉORIE DE LA CAPILLARITÉ 



PAR 



le P. JMcph DEL8AULX 

Profetseur au Collège de la Compagnie de Jé^us, 

à Louvain. 



Les physiciens sont fort partagés au sujet de la tension super- 
ficielle considérée dans ses rapports avec la théorie mathématique 
de la capillarité. Les uns, comme M. Pellat (*), croient pouvoir 
rattacher cette tension à la théorie de Gauss, par voie de déduc* 
tîon; les autres, comme M. Violle (**), y voient un élément 
complètement étranger à cette théorie. Quelques-uns, comme 
M. Duhem (***)^ n*aperçoivent dans riiypothèse de la tension 
superficielle qu*un principe non justifié par la mécanique ration- 
nelle; d*autres, comme M. Groméka('^), et, avant lui, Lamarle (^), 
prétendent y trouver une conséquence rigoureuse des théorèmes 
de la statique. 

Dans le conflit de ces opinions contradictoires, il nous a paru 
tout à la fois convenable et opportun de chercher à faire la part 



(*) Cours de physique, t. Il, p. 162. 1885. 

(") Cours de physique, U l, p. 60:1. 1884. 

(***) Annales scientifiques de l'École normale supérieure, 3* série, t 11, p. ilO. 1885. 

(■^ Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, S* série, t. in,p. 467. 1879. 

(^ MtMOlRES DE L'ACADÈmE ROYALE DE BELGIQUE, Sur la Stabilité dcs systèmes 
iiquides en lames minces, pp. 18 et 19. — Comptes rendus des séances de l'Académie 
des sciences, t. LXIV, p. 739. 



2 _ 44 — 

de la vérité. Développant, à cette Gn, une idée déjà énoncée en 
substance par M. Moutier (*), et lui donnant toute la portée dont 
elle est susceptible, nous montrerons que le système des tensions 
superGcielles est un système de forces fictives équivalant au 
système des forces moléculaires dans tous les phénomènes d'équi- 
libre capillaire. Nous ferons voir ensuite que la considération 
de ces forces est souvent très avantageuse; car elle est de nature 
à simplifier, en maintes circonstances, l'interprétation des phéno- 
mènes capillaires, et à servir de fil de conduite dans les recherches 
expérimentales. 

Nous démontrons ces propositions en nous mettant successi- 
vement au double point de vue de la théorie de Gauss et de la 
théorie de Laplace. En établissant ainsi un lien entre la doctrine 
de la tension superficielle des liquides et la théorie de Laplace, 
nous exprimons, croyons-nous, une idée nouvelle. 

Notre intention a aussi un côté pratique : nous serions heureux 
que ces quelques pages pussent être utiles aux jeunes géomètres 
abordant pour la première fois Fétude mathématique de la capil- 
larité. C'est pourquoi nous joindrons, à la démonstration des 
propositions indiquées ci-dessus, lexposé d'un certain nombre 
d'observations qu'un examen attentif de la théorie nous a amené 
à faire et que nous croyons pouvoir être lues avec fruit. 

Ce dernier but a décidé de la forme de notre travail : une 
série de réflexions suivie, en guise de résumé, de l'énoncé des 
principales conséquences que ces réflexions nous paraissent 
entraîner, voilà notre plan. 

La théorie de la capillarité dont nous nous sommes occupé, nous 
l'avons déjà dit, est celle que Laplace et Gauss ont fondée. Les 
liquides y sont regardés comme des fluides incompressibles (**), 
et leurs éléments, en dehors des actions moléculaires proprement 
dites, y sont soumis à l'action de forces de liaison capables de 
transmettre les pressions au sein de la masse, conformément au 



(*) Journal de physique théorique et appliquée^ t. II, p. S9. 
(**} Cette supposition est légitime, en toute théorie, à titre d'approximation trèsToisine 
de la réalité. 



— 45 -. 5. 

principe dTuler. De plus, ces forces de liaison sont censées 
telles que leurs travaux disparaissent dans Téquation des vitesses 
virtuelles. 

La nature de notre exposé exigeait que nous signalions quel- 
ques-unes des propriétés que Tanalyse est parvenue à reconnaître 
dans les phénomènes capillaires. Notre dessein n*a pas été de 
reproduire, à cette occasion, des démonstrations connues; nous 
nous sommes contenté de simples renvois aux sources les plus 
autorisées. Le lecteur trouvera dans les ouvrages que nous citons, 
en même temps que d excellentes démonstrations, tous les rensei- 
gnements qu'il eût été en droit d*attendre de nous, si nous avions 
eu en vue de faire un traité de la capillarité. 



Dans les phénomènes capillaires où un seul liquide intervient, 
nous convenons des notations suivantes : 
p est l'expression de la densité du liquide ; 
p' celle de la densité de la paroi solide avec laquelle le liquide 

est en contact ; 
dv et dv' sont des éléments de volume de la masse liquide ; 
d V est un élément de volume de la paroi ; 
f (r) désigne l'intensité, fonction de la distance r, de la force 

attractive qui sollicite mutuellement les éléments p dt; et p dv' ; 
F (R) représente Tintensité, fonction de la distance R, de la force 

attractive qui agit entre les éléments p' dV et p dt; ; 
z est l'ordonnée verticale de l'élément de volume dv comptée 

en sens contraire du sens d'action de la pesanteur. 

Cela posé, dans une déformation infiniment petite quelconque 
de la masse liquide, on a, pour la somme des travaux virtuels 
des forces qui sollicitent l'élément p dr, jointe à celle des travaux 
des réactions corrélatives, l'expression 

— pdr [gdz -f- ^/th'fir) dr -+- ^'fd\F (R) r/R |, . . (1) 

et, pour la fonction de forces correspondante, 

-prfi?[9r-p/c/t''(p(r)-p'/dV<D(R)J,. . . (2) 



4. — 46 - 

en désignant par 9 (r) et par 4> (R) des fonctions de r et de R 
telles que les dérivées de ces fonctions par rapport à r et à R 
soient égales respectivement aux fonctions f(r) et F (R) changées 
de signe. 

L*expression (2) est la fonction de forces de la masse liquide 
dans rtiypothèse, peu réalisable, il est vrai, que la déformation 
consiste uniquement dans un déplacement relatif de Télément pdv 
par rapport au reste de la masse. 

En posant 

» = \'- ffd^^'f ir) et S = il^dt,m(R), 

la fonction de forces de la masse liquide est déterminée, dans son 
expression générale (*), par Tégalité 

a = — jp {^J^zdv — « — 2S) (3) 

Toutes les fois que la masse liquide est en équilibre stable, ce 
qui a lieu dans presque tous les phénomènes capillaires, la fonc- 
tion de forces Q est maximum (**). 

II 

L'expression analytique des fonctions de forces (2) et (3) se 
compose de deux parties : Tune qui se rapporte à Taction de la 
pesanteur, et Tautre qui a trait à Faction des forces molécu- 
laires 

Lorsqu'on suppose que les actions moléculaires deviennent 
insensibles à partir d'une certaine distance-limite, appelée com- 
munément rayon d*activité moléculaire, la masse liquide se par- 
tage naturellement en trois portions : deux couches dites 
superficielles et une partie centrale ou intérieure. 



• ') MoUTiER, Théorie des phénomènes capillaires : 3* volume de U 2* série des 
Annales scientifiques de l'École normale supérieure, pp.Ti et 1± — Cours de physique^ 
t. 1, pp. 69 et 70. 

••) RÉSAL, Traité de mécanique générale, 1. 1, pp.i:rr, 242 et 261. 



— 47 — 5 

L'épaisseur de la couche superficielle libre est égale au rayon 
d activité du liquide agissant sur lui-même; celle de la couche 
superficielle adjacente à la paroi est égale au rayon d'activité de 
la paroi dans son action sur le liquide, quand ce rayon surpasse 
le rayon d'activité du liquide; sinon, elle est égale au rayon 
d'activité du liquide agissant sur lui-même. Au reste, Texpérience 
montre que ces rayons d'activité ont très sensiblement une 
valeur commune (*). 

Au sein de la masse intérieure, la partie de la fonction de 
forces (2) qui se rapporte aux actions moléculaires se réduit à 
une constante; par suite, le travail virtuel de déplacement y est 
égal au travail de la pesanteur. 

Dans les petites déformations de la masse liquide, le travail 
moléculaire effectif résulte des variations d'étendue des couches 
superficielles. Une partie notable de ce travail est déterminée 
par le passage des molécules liquides des couches terminales 
dans la masse intérieure ou réciproquement. 

Dans l'estime du travail moléculaire, on néglige d'ordinaire, 
comme quantités très petites d'ordre supérieur, les travaux molé- 
culaires qui accompagneraient, le cas échéant, les altérations de 
la ligne de bord. 

On appelle ligne de bord, la ligne qui sépare la surface libre 
du liquide de la surface de contact de ce liquide avec la paroi. 

Représentons la surface libre de la masse liquide par /; la 
surface de contact de cette masse avec la paroi par T ; les varia- 
tions d'étendue que ces surfaces éprouvent dans une déforma- 
tion virtuelle très petite de la masse liquide par dt et dT, et 
posons, en outre, comme définitions, les égalités 

<r/ = 2rf/ et ^T = 2dT. 

Cette dernière convention signifie que nous décomposons les 
variations St et^T en éléments infinitésimaux plus petits. 
Construisons ensuite dans la couche superficielle terminée 



(*) ViOLL£, Cours de physique, t. 1. p. 665. 



6. — 48 — 

par la surface /, et normalement à cette surface, les divers cylin- 
dres qui ont pour bases les éléments dt et dont la hauteur est 
égale au rayon d*activité du liquide agissant sur lui-même. Les 
éléments dt peuvent d'ailleurs être juxtaposés ou séparés les uns 
des autres. Faisons aussi les mêmes constructions dans la 
couche superficielle terminée par la surface T. 

Le travail moléculaire des déformations virtuelles de la masse 
liquide se compose, en grande partie, ainsi que nous Tavons dit 
et comme la plupart des auteurs de physique le font remar- 
quer (*), du travail des molécules passant des couches termi- 
nales dans la partie intérieure du liquide, ou réciproquement. 
Toutefois on se tromperait si Ton prétendait mesurer le travail 
moléculaire qu'entraînent les variations de surface dt et dT^ en 
évaluant seulement, d'après l'expression (1), le travail développé 
par les forces moléculaires dans le passage des cylindres, ayant 
pour bases dt ou dT, de la couche superficielle k laquelle ils 
appartiennent dans la partie intérieure de la masse liquide, ou 
inversement; car, en agissant ainsi, on négligerait le travail des 
couches superficielles s'ouvrant ou se refermant pour maintenir 
la continuité de leur étendue et se disposant, au besoin, suivant 
les exigences des variations de volume de la masse intérieure, 
toutes choses physiquement nécessaires. 

Pour tenir compte de tous les travaux moléculaires, il faut 
substituer à la considération de l'expression (1) celle des fonc- 
tions de forces. 

Dhus ce nouvel ordre d'idées, il ne suffit pas ni^annioins 
d'étendre la fonction de forces élémentaire (2) aux deux couches 
superficielles limitées par les surfaces / et T, et d'exprimer la 
valeur de la partie de cette fonction qui a trait aux forces molé- 
culaires par le moyen des variables t et T. Il est bien vrai que la 
variation de la fonction de forces ainsi étendue est de la forme 

\ât -+- BSt, 



(*) Jamin et BouTY, Cours de physique de t'hcole polytechnique, t. 1, 3< fascicule, 
pp. 42 el 43. 



— 49 — 7. 

A el B représentant des constantes, et que cette variation 
exprime une somme de travaux corrélatifs aux variations de sur- 
face d< et dT; mais cette somme ne coïncide pas encore corn- 
plècement avec la somme intégrale des travaux moléculaires. 

En effet, dans la déformation de la masse liquide, la fonction 
de forces étendue à la partie intérieure subit, elle aussi, une 
variation : cette variation est égale au produit de la variation du 
volume de la partie intérieure dont il s'agit par une constante. 
Or, eu égard à Tinvariabilité du volume de la masse entière du 
liquide, l'expression de cette variation peut également se mettre 
sous la forme 

aêt -♦. 6<rT, 

a et 6 désignant des constantes algébriques. 

Pour obtenir une évaluation exacte des travaux moléculaires, 
dans les petites déformations de la masse liquide, il est indispen- 
sable d*étendre la fonction de forces élémentaire (2) à la masse 
entière, conformément à Tégalilé (3), et d'exprimer les quantités 
« el S en fonction du volume de la masse liquide et des surfaces 
leiT. 

Ces opérations se font aisément; elles donnent pour Texpres- 
sion de la fonction de forces de la masse liquide 

a = C — jp [yzdi? ^ (a« — 2p') T + a««] . . . (i) 

Dans cette égalité a\ (3^ et C désignent des constantes, ofi est 
une constante qui ne dépend que de la nature du liquide; |3> 
dépend à la fois de la nature du liquide et de la nature de la 
paroi (*). La constante C s'introduit dans l'équation (4), par la 
considération de l'invariabilité du volume de la masse liquide, et 
aussi par l'exigence de l'intégration. 

L'équilibre de la masse liquide dans les phénomènes capillaires 
est un équilibre stable. Par suite, la fonction de forces Q relative 
à cet équilibre est maximum, et la variation SQ, est nulle, pour 



n MOUTIER, Cours de phyuhiue, 1. 1, pp. 70 à 73. 

X. 



8. — 50 — 

toutes les petites déformations de la masse liquide dans les- 
quelles les directions des normales à la surface libre varient 
infiniment peu durant le cours de la déformation (*). 

Cette restriction tient à la nature de la déformation infiniment 
petite envisagée diaprés les usages du calcul des variations. 

L'équation 

Jn = (4^) 

n'est pas autre chose que Péquation des vitesses virtuelles, et la 
quantité 

— 9p [êfzdv ^ (a' — Sp*) âT ^ a^ât] ... (5) 

exprime le travail de la pesanteur et des forces moléculaires 
dans le phénomène de la déformation de la masse liquide. 

III 

Les termes de l'expression (5) 

— jp (a' — 2p') JT et — JpaV« .... (6) 

peuvent recevoir une interprétation très propre à faciliter les 
raisonnements en maintes circonstances. 

Supposons que la couche superficielle, terminée par la sur- 
face /, soit plane et assimilons-la à une membrane tendue égale- 
ment dans tous les sens. 

Soient X Tépaisseur de la membrane et / le périmètre de 
Tune quelconque des bases. L'intensité de la tension sur l'élé- 
ment Idl sera représentée par f^ldl et, pour une extension dn, 
normale à dl et tangente à la surface de la membrane, le travail 
correspondant sera exprimé par le produit 

— fBxdldn. 

Si on fait la somme de ces travaux pour toute l'étendue du 
contour /, on obtient, comme expression du travail total, 

n EMILE Mathiec, Théorie de la capillarité, p. 90. 



— 51 — 9. 

attendu que Ton a 

dt =fdUn. 

Le produit 6A s'appelle la tension de la membrane. 

On arriverait au même résultat, dans le cas d'une membrane 
courbe, étendue sur un corps solide et tirée tout le long de son 
contour par des forces normales au contour et tangentes à la 
membrane. Il suffirait de diviser cette membrane en éléments 
plans et d appliquer à chacun d'eux ce qui vient d*étre dit, en 
tenant compte, dans la sommation finale, des réductions que 
les travaux égaux et de signes contraires y introduisent néces- 
sairement. 

A la suite de cette remarque, il devient manifeste que dans 
la seconde des expressions (6), par exemple, la quantité gpcfi 
est analogue à une tension de membrane. 

Il en est de même de la quantité gp (ofl — 2(3') dans la 
première des expressions (6), si ce n'est que cette dernière 
quantité peut parfois être négative, comme nous le ferons voir 
plus bas. Lorsque cela a lieu, la quantité gp (a' — 2(3') n'est plus • 
analogue à une tension, mais bien à une force d'extension (*). 

Cela admis, rien ne s'oppose assurément à ce que, dans les 
phénomènes capillaires, on assimile les couches superficielles 
terminées par les surfaces f et T, à des membranes tendues, ni 
que Ton regarde les expressions (6) comme représentant, dans 
cette hypothèse, le travail des forces de tension. Mais cette assi- 
milation, bien que légitime, n'est nullement nécessaire. Les 
petites déformations de la masse liquide, au sein des tubes capil- 
laires, sont des phénomènes fort différents de la contraction ou 
de l'extension d'une membrane tendue; l'analyse que nous avons 
faite dans le paragraphe précédent le montre surabondamment. 
Que le travail moléculaire résultant des déformations de la 
masse liquide puisse s'exprimer par les quantités algébriques (6)^ 
c'est une propriété des forces moléculaires, quand l'action de ces 
forces est supposée ne pas s'étendre au delà de la distance dite 
rayon de la sphère d'activité. 

(*) EMILE Mathieu, Théorie de la capillarùé, p. 2i. 



iO. — 52 — 

Toutefois, nous Favons déjà dit, rassimilation des couches 
superficielles terminées par les surfaces ; et T à des membranes 
tendues est légitime, pourvu que les forces de tension que Ton 
introduit au sein des couches superficielles^ en remplacement 
des forces moléculaires, aient partout la même intensité, et que 
celte intensité reste invariable dans les variations d'étendue des 
couches. 

Ces conditions sont exigées par la constance des coefficients 
a* et (a* — 2(3*). La dernière exprime une propriété qui ne se 
rencontre pas dans les membranes tendues : à mesure que 
celles-ci se rapetissent, Tintensité de la tension diminue. Cette 
différence tient à la nature fictive des forces de tension dans les 
liquides. 

L'introduction de ces forces dans les couches superficielles de 
la masse liquide doit se faire, en outre, sans altération du sys- 
tème des forces de liaison, afin que les pressions exercées sur la 
surface du liquide par les forces de tension puissent se propager 
à rintérieur de la masse, comme elles le faisaient sous Faction 
des forces moléculaires. 

Dans ces conditions introduction des forces de tension dans 
les couches superficielles, à la place des forces moléculaires, ne 
trouble en aucune façon l'équilibre de la masse liquide. Cela 
résulte du principe des vitesses virtuelles et de la propriété 
donnée aux forces de tension d'avoir, dans les petites réforma- 
tions de la masse liquide, des travaux virtuels exprimés par les 
quantités (6). 

On sait, en effet, que le principe des vitesses virtuelles 
s'énonce comme suit : pour que l'équilibre ait lieu entre plusieurs 
forces dont les points d'application sont assujettis ù des liaisons 
quelconques, il est nécessaire et il suflit que la somme des tra- 
vaux virtuels de ces différentes forces soit égale à zéro, dans tous 
les mouvements virtuels compatibles avec les liaisons (*). 



{') Gauchy, Exercices de mathémaiiqueSf seconde année, p. 16. Les liaisons quel- 
conques dont parle Gauchy sont soumises, en réalité, à certaines restrictions. Dans la 
théorie de la capillarité, ces restrictions se trouvent vérifiées, ainsi que nous l'avons dit 
en commençant ce travail. On peut consulter, au sujet de ces restrictions, le Cours de 
mécanique analytique, par M. Gilbert, pp. 87 à 89. 



— 53 - il. 

Or, il est évident que la condition imposée aux forces d'un 
système par le principe des vitesses virtuelles est vérifiée, dans 
les phénomènes capillaires, par le système des forces de tension 
et de la pesanteur, attendu que Texpression (5) est égale à zéro 
dans le système primitif des forces, et que les travaux virtuels 
des tensions sont exprimés, comme il vient d'être dit, par les 
quantités (6). Cela étant, on peut parfaitement, sans altérer 
réquilibre des colonnes capillaires, substituer les forces de ten- 
sion aux forces moléculaires. 

Cette substitution, que le principe des vitesses virtuelles légi- 
timCi permet de résoudre, dans le domaine de la capillarité, un 
grand nombre de questions relatives à l'équilibre dont la solution 
serait certainement beaucoup plus laborieuse par les autres pro- 
cédés. Nous le ferons voir ci-après. 



IV 



De réquation (4/^* on tire successivement, par des procédés 
connus, d'abord l'équation de la surface capillaire, c'est-à-dire 
l'équation générale de la surface libre de la masse liquide dans 
les phénomènes de la capillarité. Cette équation est 



■•(54; 



m (7) 



Dans cette égalité z représente Tordonnée verticale d'un point 
quelconque de la surface, R et R' les rayons de courbure princi- 
paux de la surface en ce point, et m une constante dont la valeur 
est nulle quand on prend la partie plane de la surface du 
liquide pour origine des ordonnées. 

On tire ensuite de la même équation (4*"') la valeur de l'angle 
de raccordement t; cette valeur est donnée par la formule 

23' — a' 
C08t = -1— — ...'.... (8) 
a 



12. — 54 — 

Puis on obtient également, à Taide de la même équation, 
l'expression, si remarquable, du volume du liquide soulevé dans 
un tube capillaire vertical, ou entre deux lames, ou autour d'un 
cylindre plein, ou même contre une simple lame (*). 

Cette expression est 

V = a'Lcost (9) 

Dans Pexpression (9), L désigne le périmètre de la section 
droite de la colonne soulevée. 

La formule (8) montre que dans Téquation (4) et dans toutes 
les expressions qui en dérivent, le facteur (a* — SP') est négatif 
toutes les fois que Tangle t est aigu; on dit alors que le liquide 
mouille la paroi. Ce même facteur est positif toutes les fois que 
Tangle de raccordement est obtus. Enfln, sa valeur devient nulle 
quand Tangle de raccordement est égal à un droit. 

V 

Dans son Traité de la capillarité, M. Emile Mathieu considère 
une lame plane faisant partie du système des parois d'un vase. 
Cette lame est mobile. Dans ces conditions, Pauteur se propose 
de déterminer la force produite par la capillarité sur la lame 
dont il s'agit. Par une application du principe des vitesses vir- 
tuelles, il arrive à cette conclusion que la paroi plane est solli- 
citée par une force normale à la ligne de bord, tangente à la 
surface du liquide et égale en intensité à gpcfi par unité de 
largeur (**). 

Cette propriété peut être établie fort simplement par la consi- 
dération des tensions des couches superfîcielles de la manière 
suivante (***) : 



(*) MouTiER, Cours de physique, 1. 1, pp. 74 à 82. — Emile Mathieu, Théorie de la 
capillarité, pp. 46 et 47; item, pp. 28 et suivantes. 

(**) EMILE Mathieu, Théorie de la capillarité, pp. 22 et 23. 

(***) Les tensions des couches superficielles ne s'exercent pas simplement à la surface; 
leur action s'étend jusqu'à une profondeur très petite. Néanmoins, cette profondeur est 
si faible que les résultats ne sont pas altérés lorsqu'on en fait abstraction. De plus, on 
aurait pu très bien, dans l'hypothèse, si ou l'avait voulu, n'appliquer les forces de tension 
qu'à la surface du liquide. 



— 35 — 13. 

Lorsqu'une masse liquide prend une forme différente de sa 
forme naturelle, c'est-à-dire différente de la forme sphcrique 
que cette masse prend quand elle est abandonnée à la seule 
action de ses forces moléculaires, il est évident qu'elle ne le fait, 
en partie du moins, que par l'influence déterminante de forces 
extérieures. 

La considération des tensions des couches superficielles per- 
met, dans la plupart des cas, de déterminer la direction et l'in- 
tensité de ces forces. 

Dans le cas étudié par M. Emile Mathieu, par exemple, 
l'action de la paroi plane doit nécessairement neutraliser la ten- 
sion de la couche superficielle, terminée par la surface t, tout 
le long de la ligne de bord. La force trouvée par M. Emile 
Mathieu n'est, dans cet ordre d'idées, que la réaction du liquide 
sur la paroi. 

Quant à la couche superficielle terminée par la surface T, 
elle fait corps avec la paroi dans les mouvements de cette der- 
nière : sa tension n'imprime aucune sollicitation dont il faille 
tenir compte ici. 

La légitimité du raisonnement précédent, que j'ai présenté, à 
dessein, en raccourci, est fondée sur l'équivalence, dans l'état 
d'équilibre de la masse liquide, des tensions des couches super- 
ficielles et du système des forces moléculaires, équivalence qui a 
été établie ci-dessus par la considération du principe des vitesses 
virtuelles. 

En effet, cette équivalence n'est pas seulement une propriété 
de l'équilibre de la masse liquide considérée à part, ainsi qu'il a 
été fait au ^ III, c'est de plus une propriété du système de la 
masse liquide et des parois solides. Car, quand on forme l'équa- 
tion des vitesses virtuelles relative au système de la masse 
liquide et du corps solide, le premier membre de l'équation se 
compose uniquement de l'expression (5) jointe à l'expression du 
travail virtuel des forces extérieures appliquées au corps solide 
pour le maintenir en équilibre. 

Eu égard à son importance, je vais donner au raisonnement 
dont il s*agit un peu plus de développement. 



14. — 56 — 

L'exactitude des propositions suivantes ne peut pas élre mise 
en doute : 

Premièrement, c'est à l*aide des conditions d'équilibre des 
forces agissant sur le système de la masse liquide et de la paroi 
mobile que Ton peut et que Ton doit déterminer la direction et 
rintensité des forces spéciales qu'il faut appliquer à la paroi 
pour maintenir celle-ci au repos, nonobstant les pressions qui la 
sollicitent. 

Deuxièmement, ces pressions du liquide sur la paroi s'exer- 
cent par le moyen des forces de liaison, ainsi que cela a lieu 
pour les pressions au sein du liquide. 

Troisièmement, les forces qui sollicitent le système sont, 
outre les forces de liaison, la pesanteur, les forces moléculaires 
et les forces inconnues dont il vient d'être question. 

Quatrièmement, dans le système de points formant la masse 
liquide et la paroi, points reliés entre eux par les forces de 
liaison, il est permis de substituer aux forces moléculaires les 
tensions des couches superticielles : l'équilibre n'est nullement 
altéré par cette substitution, attendu que, dans les petits mouve- 
ments du système, l'expression (5), jointe à l'expression du travail 
des forces extérieures appliquées à la paroi, représente, après 
comme avant la substitution, le travail virtuel total de défor- 
mation. 

Nous ne cherchons pas à évaluer en ce moment les pressions 
normales exercées sur la paroi en pleine couche superficielle T: 
cette recherche ne présente pas de difficulté. Ce qu'il faut déter- 
miner, c'est l'action exercée sur la paroi, le long de la ligne de 
bord, par les forces de liaison. 

Pour limiter la question, supposons que la paroi soil la sur- 
face de révolution d'un corps flottant. La tension de la couche 
superficielle t peut être décomposée, pour chaque élément de la 
ligne de bord, en deux composantes rectangulaires, perpendicu- 
laires à l'élément, l'une tangente, l'autre normale au corps. Cha- 
cune des premières, eu égard à l'équation (8), est neutralisée 
par la force d'extension de la couche superficielle T ; tandis que 
les secondes transmettent leurs sollicitations au corps, par le 



— 57 — i5. 

moyen des forces de liaison. De plus, la couche superflcielle T 
est le siège de forces d'extension d*intensité constante dont Tac- 
tion détermine sur le corps des tractions que Poisson et M. Emile 
Mathieu ont démontrées équivaloir au système des composantes 
tangentieiles dont il vient d'être question (*). Il résulte de cet 
examen que la sollicitation du corps peut être attribuée légitime- 
ment aux tensions de la couche superficielle t le long de la ligne 
de bord. Or, c'est précisément cette conclusion qu'il s'agissait 
d'établir. 

VI 

La sollicitation de la paroi, normale à la ligne de bord et tan- 
gente à la surface du liquide, rend raison d'un grand nombre de 
phénomènes : entendue de la façon que nous venons d'indiquer, 
elle apporte dans les raisonnements la simplicité et la clarté des 
conceptions synthétiques. 

Lorsqu'un corps, par exemple, est immergé en partie dans un 
liquide qui le mouille et que la forme de ce corps est celle d'un 
cylindre vertical, du moins dans le voisinage de la ligne de 
bord, la force qu'il faut lui appliquer pour le maintenir en équi- 
libre est égale, d'après le calcul analytique, au poids du corps 
diminué de la poussée, telle qu'on l'estime habituellement, et 
augmenté du poids du liquide soulevé autour de la partie cylin- 
drique (•*). 

Or, dans ces conditions, en représentant par L la longueur de 

la ligne de bord et par t Tangle de raccordement, on a, comme il 

a été dit, pour l'expression du volume du liquide soulevé, le 

produit (9), c'est-à-dire 

a*L cos t. 

D'autre part, la composante verticale de l'action tangentielle 
du liquide sur le corps est égale au produit 

9pa'L cos t. 

(*) ËMaB Mathieu, Théorie de la capillarité, pp. 118 et suivantes. 
(**) MOUTIER, Cours de physique, 1. 1, p. S7. 



16. — 58 — 

Cette composante, qui agit dans le sens de lapesanteur^estdonc 
égale au poids du liquide soulevé et, dans Tordre d'idées que nous 
développons, pour maintenir le corps immergé en équilibre, il 
est nécessaire de la neutraliser par une action égale et contraire. 

Cette conclusion est précisément, comme on le voit, celle 
de Fanalyse. 

Quand la forme du corps immergé n*est pas celle d'un 
cylindre vertical, dans le voisinage de la ligne de bord, Taction 
tangentielle du liquide intervient encore, pour une part notable, 
dans Tintensité de la poussée vraie (*). 

Cette force intervient aussi dans Téquilibre d'un petit corps 
placé à la surface d'un liquide moins dense que lui; elle inter- 
vient de même, comme Poisson l'a remarqué le premier, dans 
l'attraction et la répulsion de deux lames verticales flottant à la 
surface d'un liquide (**). 

Bref, il faut avoir égard à cette action tangentielle toutes les 
fois que l'on doit considérer, dans l'interprétation des phéno- 
mènes, l'action d'un liquide sur le corps solide avec lequel il 
est en contact. 

VII 

Puisque l'équilibre n'est pas troublé, dans les phénomènes 
capillaires, par la substitution du système des tensions des cou- 
ches superGcielles de la masse liquide au système des forces 
moléculaires, toute propriété établie à l'aide de cette substitution 
doit être considérée comme une propriété légitimement démon- 
trée et la réalité objective de cette propriété, toutes les fois qu'elle 
n'implique pas celle des tensions, ne doit pas être révoquée en 
doute; de même qu'en statique, on ne suspecte pas la réalité 
objective d'un grand nombre de propriétés de l'équilibre, par 
cela que ces propriétés ont été établies par la considération des 
forces Actives, dites forces résultantes. 



(*) EMILE Mathieu, Théorie de la capiUarUé, pp. 106 et suivantes. 
n /(>ïd., p. iiSetp.iOft. 



— 59 — 17 



C*est ainsiy par exemple, que le système des tensions de la 
couche superficielle terminée par la surface libre t, donnant 
naissance, par voie de composition de forces (*), à un système 
de forces normales dont Tintensité est, par unité de surface, 



fl'p» 



(f-^.) "«' 



on peut substituer légitimement ce système à celui des tensions 
composantes. 

Laplace a fondé son explication théorique des phénomènes 
capillaires sur la considération de ces forces normales; il les 
fait dériver des forces moléculaires par voie de composition, de 
sorte que leur réalité dans Tordre objectif est, an point de vue 
de rilluslre géomètre, la réalité d'équivalence des forces résul- 
tantes. La manière dont nous venons de les obtenir par la com- 
position de forces fictives n'introduit pas un point de vue nou- 
veau en opposition avec le premier, attendu qu'il est toujours 
possible de donner naissance par voie de composition à un sys- 
tème de forces, d'une infinité de façons différentes. 

L'introduction des forces normales (10), dans les raisonne- 
ments relatifs aux phénomènes capillaires, conduit à des consé- 
quences extrêmement intéressantes. On démontre par leur moyen, 
entre autres théorèmes, que les pressions normales aux parois 
sont, à l'intérieur des colonnes soulevées, des pressions négatives, 
quand on ne tient pas compte de la pression atmosphérique. Le 
rôle de cette propriété dans l'interprétation des phénomènes de 
l'équilibre et du mouvement des corps flottants est fort impor- 
tant (**). 



(*) Briot, Théorie mécanique de la chaleur, î2« édition, pp. 174 et suivantes. ~ 
Journal de physique théorique et appliquée, U I, p. ;^54. et t. IV, p. XH3. 
(••) EMILE Mathieu, Théorie de la capillarité, pp. 103, 108 et suivantes. 



18. — 60 — 



VIII 

L^action tangentielle de la masse liquide sur les parois se 
rattache, comme corollaire, à la théorie de Laplace aussi bien 
qu'à celle de Gauss. 

Dans la théorie de Laplace, les pressions moléculaires normales 
à la surface libre t ont pour valeur, par unité de surface, 



K 



i«(ïï*^-) (") 



Dans l'expression (1 1), K et H représentent des constantes qui 
dépendent uniquement de la nature du liquide. Laplace a exprimé 
la valeur de ces constantes par le moyen d'intégrales définies (*). 

La partie de ces pressions dépendante de la courbure de la 
surface libre forme, sur l'étendue de cette surface, un premier 
système de pressions normales; la partie indépendante de la cour- 
bure en forme un second. 

Le premier système de ces pressions normales peut être décom- 
posé en tensions superficielles ayant, sur toute Tétendue de la 
surface libre, la valeur constante iH. Le second système ne peut 
pas subir cette décomposition, toutes les fois du moins que la 
courbure de la surface libre est variable. 

Le système des tensions iH requiert, dans Tétat d'équilibre, 
une action tangentielle du liquide sur la paroi et une action réci- 
proque, égale et contraire à la première de la paroi sur le liquide : 
le raisonnement développé dans le § V et appliqué au cas pré- 
sent le montre (**). 



(*) Traité de mécanique céleste, t. IV, pp. 366 et 361. 

{'*) Ce raisonnement, dans le cas présent, est le suivant : tout le long de la ligne de 
bord, les composantes des tensions ^ H, normales à la paroi, sont neutralisées par les liai- 
sons du liquide à la paroi; cette neutralisation est une condition obligée de l'équilibre. 
Partant, la neutralisation des composantes des mêmes tensions parallèles à la paroi de- 
mande, dans la couche superficielle adjacente à la paroi, une nouvelle tension, semblable 
de tout point à celle dont il est question dans le S V. L'angle de raccordement est déter- 
miné dans sa valeur par l'égalité exprimant cette seconde neutralisation et toutes les con- 
séquences énoncées au | V demeurent applicables à la théorie de Laplace. 



— 61 — 19. 

Par suite, si les théories de Laplace et de Gauss sont exactes, 
il est nécessaire que les constantes gpci^ et iH des expressions 
(10) et (ii) aient même valeur numérique. 

Poisson, dans sa théorie de faction capillaire, a fait plusieurs 
objections à la théorie de Laplace. Il est reconnu aujourd'hui 
que ces objections reposent sur une inadvertance : Téminent 
contradicteur de Fauteur de la Mécanique céleste n*a pas tenu 
compte dans ses raisonnements des forces de liaison (*). Quand 
on introduit ces forces de liaison dans le calcul, toute contradic- 
tion disparaît. 

IX 

Les faits apportés par quelques physiciens pour prouver que 
les forces de tension des couches superficielles ont dans les phé- 
nomènes capillaires une réalité formelle et non une réalité de 
simple équivalence peuvent être interprétés facilement sans qu'il 
soit nécessaire de recourir à une hypothèse que, pour me servir 
des expressions de M. Duhem, la mécanique rationnelle ne jus- 
tifie pas. 

En effet, nous Tavons dit, l'action de forces extérieures est 
requise toutes les fois que la forme de la masse liquide est diffé- 
rente de la forme naturelle. La détermination de ces forces exté- 
rieures peut se faire fort simplement par la considération du 
système des tensions des couches superficielles. Bien que ces 
tensions soient des forces fictives, la détermination dont il s'agit 
n'en est pas moins légitime; nous l'avons prouvé. 

Or, les faits apportés en faveur de la réalité formelle des ten- 
sions superficielles s'expliquent, les uns par la présence de ces 
forces extérieures, les autres par le retrait plus ou moins subit 
des mêmes forces. 

Dans ce dernier cas, les forces moléculaires tendent à donner 
à la masse liquide une forme d'équilibre nouvelle et on les voit 



(*) Rapport iur les progrès de CélectricUéf du magnétisme et de la capillaritéf par 
M. Quet, p. â53. 



20. — 62 — 

nalurellement imprimer aux molécules des mouvements corré- 
latifs proportionnés. 

Dans le procédé proposé par Alhanase Dupré pour évaluer 
rintensité des tensions superficielles (*), p r ^ tiéL qui est regardé 
comme le plus exact, on mesure en réalité Faction tangentîeffe du 
liquide sur le disque, c'est-à-dire qu'on détermine la valeur nu- 
mérique de la constante capillaire gpa^. Dans le procédé clas- 
sique de M. Van der JMensbrugghe (**), on mesure la compo- 
sante verticale de cette action tangentielle. Les autres procédés 
donnent lieu à des remarques analogues. 

La méthode de détermination relative des tensions superfi- 
cielles, dite du compte-gouttes, méthode employée pour la pre- 
mière fois par Hagen, est fondée sur ce principe, admis comme 
évident, que les poids de deux gouttes de liquides diflërents sont, 
dans le procédé, proportionnels aux tensions superficielles de ces 
mêmes liquides (***). 

Ce principe n'est pas tout à fait exact. Avant de se détacher du 
tube, les gouttes se creusent tout le long du cercle de gorge, et 
c'est à l'endroit où se trouve ce cercle que la séparation se fait. 
Or, les volumes compris entre le sommet et le cercle de gorge 
des gouttes sont sensiblement proportionnels aux constantes 
capillaires a^, ainsi que le calcul analytique le fait voir; mais la 
proportionnalité rigoureuse n'existe pas ('^). 

Quant à l'expérience de M. Pasteur Q, elle montre la réac- 
tion de la paroi dans l'action tangentielle du liquide et l'adhé- 
rence de la couche superficielle de ce dernier à la matière du 
tube quand celui-ci se trouve au sein de la masse fluide. 

L'équilibre des lames liquides, dans le phénomène des bulles, 
équilibre que l'on invoque aussi très souvent pour appuyer l'hy- 
pothèse de l'existence réelle des tensions superficielles, est dû à 



(*) Théorie mécanique de la chaleur, p. 246. 

("i Bulletins de l'Académie royale de Belgique^ 2« série, t. XXII, p. î^ii. 

(•'•) ViOLLE, Cours de physique, 1. 1, pp. 657 et 658. 

(1^) EMILE Mathieu, Théorie de la capillarité, p. 486. 

(») ViOLLE, Cours de physique, t. I, p. 608. 



— 63 — î21. 

Taction des forces normales considérées par Laplace dans Tex- 
plication des phénomènes capillaires. 

Athanase Dupré a fait à la théorie de Laplace une objection 
Cirée de Timpossibilité du mouvement perpétuel (*). Cette objec- 
tion s'évanouit d'elle-même dés qu'il est démontré, comme je l'ai 
fait ci-dessus, que la théorie de Laplace comporte, tout aussi 
bien que celle de Gauss, les actions tangentielles de la masse 
liquide sur la paroi. Cette action tangentielle ne disparait pas 
dans le cas d'une surfece libre sensiblement plane et horizon- 
tale, attendu que la tension i H est indépendante de la courbure 
de la surface. 



La théorie de Gauss s'applique également aux phénomènes 
capillaires des liquides superposés. 

En conservant les notations adoptées dans le paragraphe pre- 
mier, sauf à y introduire l'indice 1, toutes les fois que, sans 
changement de définition, elles se rapportent au deuxième 
liquide, et en désignant par U la surface commune aux deux 
liquides, par 7* et yj deux constantes, analogues à ^^, reliées 
entre elles par la relation 

py' = pirî, 

on a (**), pour l'expression de la fonction de forces, dans le cas 
des liquides superposés, 

n = _gfp [/zdv ^(a' — 2?«)T H-a'« ^ («' — r') u] 
- 9?i (f^dv, -h («î - 2PÎ) T| H- aî^ + («î - rî) U] 

H-C, 



{*) Théorie mécanique de la chaleur, p. î{98. 

(**) MOUTIER, Théorie des phénomènes capillaires, dans les Annales scientifiques de 
l'Ecole normale supérieure, ^ série, t. III, pp. 75 el 76. — Cours de physique, 1. 1, p. 89. 



22. - 64 — 

ety pour l'expression du travail virtuel de la pesanteur et des 
forces moléculaires, dans les petites déformations des masses 
liquides, comptées à partir du système des positions d'équilibre 
des points matériels qui constituent ces masses, la somme des 
deux quantités 

— 99 y/zdv H- (a« — 2P') êT ^ aVt H- («• — r*) <îU] \ 

et {m 

- 9?i [^fzdv, + (aj — 2p«) ^Tt H- aî«rt. ^- (oî — rî) c«J]. ) 

Rien ne s'oppose à ce que Ton considère de nouveau, dans la 
somme des quantités (13), les termes 

— gp, (aî - 2pî) âT, , 

— fl'paV*, ) . . . (13) 

— Spiaî(î«, , 
et — [sp (a« — r*) -^ SPi W — rî)] «^U 

comme exprimant des travaux de forces de tension. 

Il suffit, pour cela, que Ton convienne d'introduire dans les 
couches superficielles terminées par les surfaces T, f, T|, f| et U, 
à la place des forces moléculaires, des systèmes de tensions, d'in- 
tensité constante, ayant respectivement pour valeur, par unité 
de longueur, les coefficients des variations de surface dans les 
expressions (13), changés de signe. Celte substitution doit se 
faire d'ailleurs avec les restrictions déjà mentionnées et sans 
altération du système des forces de liaison. 

Il y a avantage à faire ce changement, car il devient alors 
beaucoup plus facile de déterminer les sollicitations tangentielles 
des masses liquides sur les solides avec lesquels elles sont en 
contact. Nous entrerons tout à l'heure dans quelques développe- 
ments à ce sujet. 



- 65 - 23. 



XI 



Dans le voisinage de la position d'équilibre, la somme des tra- 
vaux virtuels représentés par les quantités (12) est nulle. L'équa- 
tion qui exprime cette propriété est Pcquation des vitesses vir- 
tuelles pour le cas des liquides superposés. 

Appliquons cette équation à un exemple. 

Lorsqu'un tube capillaire vertical plonge dans un liquide et 
qu'on introduit dans le tube, par la partie supérieure, un liquide 
différent du premier, il est aisé de déterminer, par Téquation des 
vitesses virtuelles, la forme et Tangle de raccordement des sur- 
faces terminales dans le tube {*). 

En désignant par l'indice 1 les constantes capillaires du liquide; 
dans lequel le tube est plongé, l'équation de la surface terminale 
du liquide supérieur est donnée, comme dans le cas d'un seul 
liquide, par la formule (7), et la valeur de l'angle de raccorde- 
ment par l'égalité (8). 

L'équation de la surface terminale du liquide inférieur dans 
le tube est donnée de même par la formule 

p(a«-r*)H-pi(«»-rî)/l 



(i-i)-.-., . (U) 



pi.— P 
et l'angle de raccordement par l'égalité 

P. (Î2 pî - aï) - p (2p' - g ») 

(!OSt = — --. . . . (I.)) 

Pi («Î — rî) -h p (a' — r') 

J'indiquerai plus bas la méthode à suivre dans la détermina- 
tion de la valeur de la constante m^ {**), 



(') MODTIER, Théorie dex phénomènes capillaires, dans les Annale* scientifique^ de 
rEcole normale supérieure, 2« série, t. III, pp. 77 et 78 ; item, pp. «S et 86. — Emile 
Mathieu, Théorie de ta capillarité, pp. 61 et 6â. 

•;••) Les formules (U) et (15) coïncident avec celles trouvées par M. Emile Mathieu; 
elles sont indépendantes de la manière dont M. Moutier prétend expliquer les faits 
ohserfés par Voung et M. Quincke. Celte explication a été reconnue défeclueuse par 
l'autear. 

X. 5 



24. — 66 — 



XII 



Le cas de deux liquides superposés dans un tube capillaire 
présente une propriété remarquable. 

Il est aisé de montrer, à Faide de Téquation des vitesses vir- 
tuelles, que la somme des poids des liquides soulevés au-dessus 
du niveau dans le vase ne dépend que de la nature du tube et de 
celle du liquide inférieur, et qu elle est égale au poids de la 
colonne soulevée, alors que le liquide inférieur est seul dan9 le 
tube (*). Ce théorème a été énoncé pour la première fois par 
Laplace. Gauss et Poisson ont trouvé qu'il découlait également 
de leurs principes. 

Eu égard à Téquation (9) et au théorème dont il s'agit, la 
somme des poids des liquides soulevés est donnée par Texpres- 
sion 

r/piafL cos t, , (t6) 

L représentant le périmètre de la section droite du tube, et t\ 
Tangle de raccordement propre au liquide inférieur. 

D autre part, la somme des composantes verticales des ten- 
sions de la surface t, tout le long de la ligne de bord, est 

^pa*L cos I , 

ou, par la formule (8), 

y^L(P'^a-j; (17) 

celle des composantes verticales des tensions de la surface V 
t'st de même 

[g? ('»' — r*) H- jfp, («î — rî)J L cos /', 
ou, en vertu de la formule (13), 

[p.(i>;3î-«î)-:p(v?*-a*)J.7l (18) 



{') Bertrand, Mémoire sur la théorie des iihénoinèiirs capillfiires, S VIII. — ÉMII.G 
Mathiku, Thvoiic de la capillarité, p. 81. 



— ()7 — 23. 

ê 

Or, on peut voir facilement que la somme des expressions (17) 
et (18) se réduit à la quantité (16). Il faut en conclure que les 
tensions des couches superficielles le long des lignes de bord, 
dans le cas de deux liquides superposés, aussi bien que dans le 
cas d*uii seul liquide, peuvent être considérées comme soutenant 
par leur action les colonnes liquides au-dessus du niveau dans 

le vase. 

• 

XIII 

Dans un mémoire justement remarqué (*),M- Van der Mens- 
brugghe a signalé des écarts notables entre les faits et la loi de 
Laplace mentionnée au § XII. L'existence de semblables écarts 
n*a rien qui doive étonner. L'auteur lui-même en convient. 

Les déterminations numériques que nous possédons, au sujet 
des constantes capillaires des liquides, sont peu nombreuses et 
fort imparfaites. Ces constantes capillaires sont, pour chaque 
liquide, la constante a^ et Tangle de raccordement dans les 
diverses circonstances de contact du liquide avec des parois 
solides. 

De plus, il est des liquides pour lesquels Tangle de raccorde- 
ment, donné par la formule(8), est imaginaire. Gela arrive toutes 
les fois que la constante [3^ est numériquement supérieure à la 
constante a^; alors la valeur de cos i est positive et plus grande 
que Tunité. 

Dans CCS conditions, l'équilibre de In masse liquide, tel que 
nous l'avons envisagé jusqii'ici, est impossible; le liquide monte 
le long de la paroi et forme, ù la surface de celle-ci, une gaine 
adhérente au tube. C'est dans celte gaine que se fait Tascension 
capillaire. 

Lorsque la gaine liquide ne se forme pas spontanément, par 
les exigences mêmes de la nature du liquide, on peut la produire 
d'une façon accidentelle en faisant osciller légèrement, de haut en 
bas et de bas en haut, la colonne liquide dans le tube. 



(') Mémoires couronnés et Mémoires des saKWts élran fiers publiés par l'Académie 
royale de BeltjitjuCf l. \LI. 



26. — 68 — 

Dans les deux cas, si Tépaîsseur de la gaine liquide est égale 
au rayon d'activité du liquide agissant sur lui-même^ les 
constantes (3* et a* des formules (7) et (8) ont une valeur com- 
mune et Fangle de raccordement du liquide avec la gaine est nul. 
Siy au contraire, Tépaisseur de la gaine est inférieure au rayon 
d'activité du liquide agissant sur lui-même, la constante cfi con- 
serve la valeur qu'elle avait dans les conditions précédentes, mais 
Fangle de raccordement du liquide avec la gaine n'esfplus égal 
à zéro. 

Cela étant, toutes les fois que dans le phénomène des liquides 
superposés, à Fintérieur d'un tube capillaire, Tascension des 
colonnes liquides se fait dans la gatne du liquide inférieur, la 
vérification de la loi de Laplace devient à peu près impossible par 
rjgnorance où nous sommes de la valeur exacte de l'angle de rac- 
cordement du liquide inférieur dans son contact avec la gatne. 

Quand l'ascension des colonnes liquides se fait en partie dans 
la gaine du liquide inférieur et en partie dans la gaine du liquide 
supérieur, il y a lieu d'ordinaire de faire entrer en ligne de 
compte, dans la vérification de la loi de Laplace, un résultat 
théorique assez important. La théorie fait connaître, en effet, ce 
que devient la loi de Laplace dans le cas où le tube capillaire est 
formé de deux parties hétérogènes séparées par une section droite. 

Si le liquide supérieur se trouve tout entier au-dessus de cette 
section, le théorème de Laplace doit s'interpréter conune il suit : 
la somme des poids des colonnes soulevées au-dessus du niveau 
du liquide dans le vase est égale au poids de la colonne soulevée 
lorsque le liquide inférieur est seul dans le tube et que l'extrémité 
supérieure de la colonne est censée atteindre la partie supérieure 
de la paroi. Si le liquide supérieur est en partie au-dessus et en 
partie au-dessous de cette section, le théorème de Laplace passe 
par un énoncé compliqué où la considération du liquide supérieur 
s'ajoute à celle du liquide inférieur. Dans ce cas, les vérifications 
expérimentales pourraient fort bien être défectueuses par le 
défaut du raisonnement (*). 

(') EMILE Mathieu, Théorie de la capillarité, pp. 82 et 8îl 



— 69 — 27. 

Lorsque les liquides ne peuvent pas se superposer dans le tube 
capillaire sans se mêler, il est fort douteux, pour ne rien dire de 
plus, que les conclusions de la théorie soient applicables à des 
conditions aussi anormales, attendu que les hypothèses fonda- 
mentales du calcul ne s'accordent pas avec ce mode de constitu- 
tion physique. 

XIV 

Il est facile de trouver la valeur des constantes m et m^ des 
équations (7) et (14) dans le cas des liquides superposés, 
lorsqu'on fait connaître la hauteur moyenne de la colonne supé- 
rieure. 

Le théorème de Laplace donne une première relation entre 
ces constantes et les densités des deux liquides; la hauteur 
moyenne de la colonne supérieure, déterminée par Texpérience, 
comme je le suppose, donne une seconde relation entre les mêmes 
constantes, les densités des liquides et les hauteurs moyennes des 
colonnes soulevées, alors que chacun des liquides est seul à l'in- 
térieur et à Textérieur du tube. De ces deux relations, qui sont 
des équations algébriques du premier degré, on tire les valeurs 
de m et m^, 

XV 

La plupart des remarques que nous avons faites au sujet des 
liquides superposés dans les tubes capillaires peuvent être appli- 
quées aux liquides superposés compris entre deux lames paral- 
lèles. 

Dans les deux cas, la démonstration de Texistence et la déter- 
mination de rintensité des actions tangenticlles du liquide sur les 
lames, dans la sollicitation de ces dernières au mouvement, se 
font, soit par le procédé analytique employé par M. Emile 
Mathieu dans le cas d'un seul liquide, soit par la considération 
des tensions des couches superficielles. 

Dans l'équilibre de la colonne liquide renfermée entre deux 
lames solides, la substitution du système des tensions des couches 



28. — 70 — 

superficielles, au système des forces moléculaires, est légitime, 
pour les raisons alléguées au § III. 

Dès lors, dans la détermination des causes qui influent sur la 
sollicitation des lames au mouvement, il devient évident que Ton 
doit tenir compte, non seulement des pressions normales exercées 
sur les différenls éléments de la surface des lames, dans la partie 
baignée par les liquides, mais encore des actions tangentielles des 
liquides sur les lames, le long des lignes de bord. Cette dernière 
considération avait été omise par Laplace. Poisson fil remarquer, 
le premier, la nécessité d'y avoir égard. 



XVI 



Du moment qu'il est légitime, dans toutes les questions d'équi- 
libre des liquides superposés, de substituer au système des 
forces moléculaires le système des tensions des couches super- 
ficielles dont les travaux virtuels sont exprimés par les quantités 
(15), le problème de la goutte liquide déposée sur un autre 
liquide plus dense peut être résolu fort simplement. 

Les tensions des surfaces libres t, U, et celle de la surface U 
commune aux deux liquides, dont les intensités respectives sont : 

5fpa*, ^p.exf , go (a* — v^) ^ ^fp, (aj — y]) , 

doivent s'équilibrer tout le long de la ligne de bord de la goutte. 

Cela exige que la plus grande des trois tensions soit plus petite 
que la somme des deux autres. Les tensions au contact de deux 
liquides sont généralement, comme on sait, peu considérables. 

Pour que le liquide le plus léger se rassemble en goutte à la 
surface du liquide le plus dense, il faut donc que la tension du 
liquide le plus dense soit inférieure à la somme de la tension 
du liquide le plus léger et de la tension qui s'exerce à la surface de 
séparation des deux liquides (*). Dans le cas contraire, le liquide 
le plus léger s'étale à la surface du liquide le plus dense. 

(*} La condition énoncée est nécessaire, mais elle n'est pas toujoifrs suflSsante. 



— 71 — 29 

Si une lame liquide s'appuie sur un contour horizontal etqu*un 
second liquide forme une lame mince à Tintérieur du premier, 
cette dernière lame s'étendra jusqu'à ce que la tension du second 
liquide n'ait plus à équilibrer qu'une composante de la tension 
du premier liquide, toutes les fois que la tension du premier 
liquide est supérieure à celle du second. Dans la supposition 
contraire, on observera le phénomène inverse : la lame du pre- 
mier liquide s'étendra et le second liquide se rassemblera en 
goutte. 

Lorsqu'une goutte de liquide est déposée à l'intérieur d'un 
autre liquide de même densité et que la tension au contact des 
deux liquides, exprimée par le coefficient de la dernière des 
quantités (13), est positive, la goutte se concentre sur elle-même 
et prend la forme sphérique; c'est le cas des célèbres expériences 
de Joseph Plateau. Dans l'hypothèse contraire, la goutte se désa- 
grège et entre en diiïusion dans le liquide ambiant. 

XVII 

Les conclusions suivantes rossorient, si je ne me trompe, des 
observations qui précèdent. C'est par ces conclusions que je 
terminerai ce travail. 

Première conclusion. — La théorie de la capillarité, telle qu'elle 
a été inaugurée par Laplace et perfectionnée par Gauss, ne s'oppose 
nullement à ce que, dans la recherche des conditions d'équilibre 
des phénomènes capillaires, on introduise la considération des 
tensions des couches superflciclles. 

Dei^xième coNCLisioN. — Pour étrc légitime, la substitution du 
système des tensions des couches supeiTicielles aux forces molé- 
culaires doit se faire sans altération du système des forces de 
liaison. Les travaux de ces forces doivent disparaître, en eiïet, de 
l'équation des vitesses virtuelles après la substitution comme 
avant, et l'aptitude que ces forces confèrent au liquide, pour 
propager au sein de la masse les pressions exercées à la surface. 



30. — 72 — 

ne peut subir aucune modifleation. Il fautyde plus, que rintensité 
de ces tensions soit indépendante de la forme et de retendue des 
surfaces. 

Troisième CONCLUSION. — Il est souvent avantageux, dans Fétude 
des phénomènes capillaires, de faire intervenir la considération 
des tensions des couches superficielles de la masse liquide. 

D une part, en effet, cette considération est légitime, puisque 
le système des forces moléculaires et le système des tensions des 
couches superficielles sont deux systèmes de forces équiva- 
lents (*). Cette équivalence résulte du principe des vitesses 
virtuelles et de la forme de l'expression (5). 

D'autre part, maintes déterminations que le calcul analytique 
n'exécute qu'avec peine se font avec une facilité extrême et 
presque immédiatement par la considération des tensions des 
couches superficielles. 

Quatrième conclusion. — Ces tensions, par cela qu'elles n'exis- 
tent pas réellement au sein des couches superficielles, forment 
évidemment, dans fa théorie mathématique de la capillarité, un 
système de forces fictives. Si on veut les appeler forces réelles, 
il faut dire, dans ce cas, que leur réah'té est une réalité de simple 
équivalence et non une réalité formelle. 

L'absence de réalité formelle est commune aux forces de ten- 
sion des couches superficielles des masses liquides et aux forces 
résultantes, dont on fait un si grand usage dans les questions de 
mécanique : celles-ci n'existent pas réellement au sein des corps 
et leur réalité est aussi une réalité de simple équivalence. 

Il y a toutefois des différences très marquées entre les forces 
résultantes de la mécanique et les tensions des couches superfi- 
cielles des masses liquides. Je n'en veux signaler que deux. 
' D'abord dans la suite logique des idées, le concept de la force 
résultante est beaucoup plus immédiat que celui des tensions des 
couches superficielles : le premier se présente, dès le début, dans 



(*) Deux systèmes de forces sont équivalents, quand ils peuvent être substitués l'un à 
l'autre, dans un système de points matériels en équilibre, sans que l'équilibre soit troublé 



— 75 — 31. 

letude de Téquilibre, tandis que pour aboutir au second, dans 
I étude de la capillarité, il faut faire un long circuit de raisonne- 
ments. En outre, la portée objective des forces résultantes est plus 
considérable, même dans le domaine des phénomènes capillaires, 
que celle des tensions. Les forces résultantes régissent à la fois 
les phénomènes de l'équilibre et les phénomènes du mouvement, 
tandis que les tensions des couches superficielles ne dépassent 
guère, dans leur portée, les phénomènes de I équilibre. 

Cinquième conclusion. — Les mesures expérimentales destinées 
à apprécier Tintensité des tensions des couches superficielles ne 
peuvent pas être invoquées en faveur de la réalité formelle de 
ces forces. 

Ces mesures, en effet, ne font que déterminer Tintensité des 
forces extérieures quil faut appliquer aux masses liquides pour 
leur donner desformes d*équilibreautres que leur forme naturelle, 
ou pour les y maintenir, en même temps qu'elles font connaître 
la valeur numérique de ce qu'on est convenu d'appeler les con- 
stantes capillaires des liquides. 

J'ajouterai à ces conclusions une observation finale. 

La constitution physique des liquides, aussi bien que celle des 
solides, est aujourd'hui encore fort peu connue. La division des 
masses en éléments distincts et les attractions mutuelles de ces 
éléments forment, de l'aveu de tous, la partie la moins douteuse 
de nos croyances à ce sujet. Mais, cela admis, comment se fait 
dans l'état d'équilibre, réel ou apparent, des masses liquides, la 
neutralisation de la résultante des forces attractives en chacun 
des éléments, soit de la couche superficielle, soit même de la partie 
intérieure? Faut- il, dans l'hypothèse de Timmobilité relative 
des éléments, imaginer une force, égale et contraire à la première, 
résultant des actions répulsives que les éléments les plus rappro- 
chés de rélément que Ton considère exercent sur celui-ci ? Ou 
bien, comme le suppose la théorie cinétique des liquides, la 
neutralisation se fait-elle par les chocs incessants des éléments {*) ? 



(*) Les chocs maintiennent les positions moyennes des éléments h des distances oU 
l'action mutaelle de ces éléments peut être considérée comme attractive. Il n'en es pas 



32. — 74 — 

Voilà des questions qu'il est facile de poser, mais auxquelles, 
même à Theure présente, il est fort difficile de répondre. 

Laplaee et Gauss n'ont pas cru devoir attendre la solution de 
ces questions pour asseoir sur ses bases véritables la théorie des 
phénomènes capillaires. A la cause ignorée dont Taction produit, 
avec celle des forces attractives, l'équilibre de chaque point 
matériel d'une masse liquide quelconque et permet la propaga- 
tion des pressions, au sein de la masse, ils substituèrent la 
causalité fictive et équivalente des forces de liaison. L'événement 
montra la justesse de coup d'œil dont les deux illustres géomètres 
firent preuve en cette circonstance. 

La théorie de la capillarité est, sans contredit, un des plus 
beaux chapitres de la physique mathématique. On ne sait ce 
qu'il faut le plus y admirer, de l'élégance des formules, de la 
fécondité de la méthode ou de l'accord des faits avec les consé* 
quences des raisonnements. Vienne donc, à la suite des recher- 
ches habilement conduites et patiemment poursuivies des phy- 
siciens, la connaissance de la constitution vraie des liquides : les 
forces de liaison disparaîtront de la théorie de la capillarité; 
la réalité prendra la place de la fiction ; mais, on peut le croire, 
l'édifice élevé par Laplace et Gauss n'en sera pas ébranlé; il 
restera debout, à côté de la théorie de la gravitation, fort de la 
solidité de ses principes et de la parfaite cohérence de sa doctrine. 



moins vrai cependant que l'action répulsive s'exerçant entre les mêmes éléments, lorsque 
ceux-ci sont placés à de très petites distances Tun de Taulre, intervient dans le phéno- 
mène du choc et en constitue une partie essentielle. 



— 73 — i. 



SUR 



LES SOUS-INVARIANTS 



DES FORMES BINAIRES 



PAR 



M. Maurice d'OCAG^iE, 

INO^RIBUII DBS VONTS BT CHACSSilBS. 



Le (héorème qui fait l'objet de la présente Note a été commu- 
niqué à l'Académie des sciences de Paris, dans la séance du 
19 avril 1886. Cest M. Halphen qui nous fit Thonneur de le 
présenter à TAca'démie (voir Comptes rendus, t. Cil, p. 916). 
Nous nous contentâmes d'en indiquer la démonstration^ sans la 
développer; c'est ce que nous allons maintenant faire ici. 

Voici d'abord l'énoncé de notre théorème : 

5i dans l'expression de la p'*^ dérivée du logarithme d'une 
fonction quelconque a (Tune variable indépendante, on rem- 
place les accents de dérivation par des indices correspondants, 
de façon que a, a', a", a'", ... soient remplacés par ao, a|, a^, 85, ... 
l'expression ainsi formée, pour toutes les valeurs de p, depuis 2 
j'usquà n, est un sous-invariant (*) de la forme binaire 

n . n(n — i) 



(*) On sait que les fonctions des coefficients d'une forme, appelées par M. Sylvester 
(les êouS'itivariants de cette forme, sont identiques avec ce que M. Roberts a nommé des 
sources de covariant» de cette forme. Chaque sous-invariant est, en effet, le coefficient 
«lu premier terme d'un covariant de la forme, dont, comme on sait, se déduisent les coef- 
ficients de tous les autres termes. 



2. — 76 — 

Il va sans dire que Ton rendra eette expression entière en la 
multipliant par aj. Ainsi les dérivées seconde, troisième et qua- 
trième donnent les sous-invariants 

Ootti — a\ 

aUz — 3aoa,aj -♦- 2aî 

a^^ — iaôaiOs — Zcici -f- lâocaja, — 6aî . 

Représentant par cp^ le sous-invariant, rendu entier, fourni par 
la dérivée p*'^, il faudra, pour que le théorème soit démontré, 
faire voir que (p^ satisfait à Téquation aux dérivées partielles 

Or, dans le cas de p = % on voit immédiatement que cette 
condition est satisfaite par f, es a^a^ — a\. Tout se réduit donc 
à démontrer qui si la propriété a lieu pour Tindice p, elle a lieu 
aussi pour Tindice /> -f- 1 , c'est-à-dire que, si Ton suppose la 
condition (1) vérifiée, on a aussi 

Remarquons d abord que, pour cette démonstration, on peut 
considérer Oq, a^ , o^, ... comme des fonctions d'une variable fic- 
tive Ç, telles que 

da^ da^ da^ 

On a alors 

fonction homogène, du degré p, en Oq, a|, a^, ... a^. Nous utili- 
sons plus loin cette remarque. 
Puisque 



- 77 — 3. 

OD a 

d*où 
De là découle que 

^?±î=ra — — po ^» 



enfin 



da^ da^ da^ 



car f^ ne contient pas a^^.!* Multipliant ces égalités respective- 
ment par iio, 2a,, ..., pa^.,, (p -+- \) a^, faisant la somme, et 
tenant compte de (1), on voit que Téquation (2) peut être rem- 
placée par 

dç' rfffi' dm' 

L^équation (3) deviendra donc 

ùo-, H 2a, h ••• -^- (P -♦- 1 ) a, -— 

aao (/a< rfa, 

; -♦- a, laoT-—--^ 2a,j— Î---+- •. -^pap_,-— — 
(4) / \ da^da^ dc^da^ dooda^,! 






4. — 78 — 

Mais, réquation (1) étant supposée satisfaite par la fonc- 
tion (p^ , on a, en dérivant le premier membre de cette équation 
par rapport à 2;, 

o, -p -^^(h ^' -^ ••• H- pa,-^ 



2a, [ 



a, H Oj- — 1- ••• -+- a^+i 



dOf/ifh da^dOi ^ daf,duil 



^9p . . ^'^p 



P«i-« «iTTTT-^û» 



daoila„ doida. 






D^ailleurs, le théorème des fonctions homogènes, applicable 
en vertu de la remarque faite plus haut, donne 

«0 -; ^- ûi -; h ••• -4- Op y- = P?p • 

Ajoutant membre à membre les deux dernières égalités, on 
voit que Ton tombe précisément sur Fégalité (4) qu^il s'agissait 
d'établir. Le théorème est donc complètement démontré. 

Il est digne de remarque que les sous-invariants représentés, 
avec les notations précédentes, par (p^ et 93, jouent un rôle dans 
le problème de Tinvcrsion des intégrales elliptiques traité par le 
moyen de la fonction p de M. Wcierslrass (*). 



(•) Voir Halphen, Traité des fouettons cUipiiqncs, t. I, p. i-20, fonnules (54). 



— 7!» — 



NOTE 



SLR 



LE LOESS ET LE LIMON 

DES PLATEAUX 



PAR 



A. DE LAPPARENT. 



li est peu de formations dont Forigine ait été plus discutée 
que celle du limon, cette terre brune, à grain impalpable, qui 
couvre de si grands espaces, sur les plateaux comme dans les 
plaines basses et sur les flancs des vallées, particulièrement dans 
le nord de la France, la Westphalie, la Belgique, etc. Ce n est 
pas que personne hésite à y voir de la boue, tout à fait semblable 
à celle qui se dépose dans la dernière phase du débordement 
des rivières, ou qui demeure en suspension, lors des grandes 
pluies, dans les eaux qui ruissellent à la surface d*un sol quel- 
conque. Mais quelle cause a pu étaler cette boue sur les étendues 
considérables qu'elle couvre aujourd'hui? Comment expliquer 
sa présence à des altitudes de 200 mètres et plus, sur dos pla- 
teaux que rien ne domine? 

Les uns ont imaginé des inondations gigantesques, des nappes 
d*eau énormes, submergeant d'un coup toute TËurope et lais- 
sant le limon comme résidu. C est la théorie diluvienne. D'autres, 
se fondant sur Tancienne extension, aujourd'hui mise hors de 
«loute, des glaces septentrionales, ont pensé que le limon repré- 
sentait le produit du remaniement, par les eaux, de la moraine 
profonde ou terminale des anciens champs de glace. Aussi Pont- 
ils qualifié de boue glaciaire. Enfin, à la suite de ses voyages en 
Chine, où le phénomène revêt une ampleur qu'il n'atteint nulle 



(). — 84 — 

ferait sur le sol ou se déposerait à la partie inférieure des rigoles 
de ruissellement. 

Cette observation se fait sans peine sur les sables jaunes ton- 
griens des environs de Paris. Mais elle est encore plus nette 
avec les sables éocènes, soit avec ceux du suessonien inférieur, 
comme les sables que nous citions tout à Pheure sur le prolon- 
gement de la faille du Bray, soit, mieux encore, avec les sables 
nummulitiques du Soissoimais, à grain si fin, à teinte déjà brune 
ou jaune et si souvent mélangés de petites veines argileuses. 
Enfin on peut dire que les sables qui sont le mieux prédisposés 
à cette transformation, par la nature de leur grain, sont les 
sables yprésiens de la Flandre et de la Belgique, lorsque Faction 
de Pair a oxydé la glauconie dont ils sont chargés. 

Les marnes, les calcaires mélangés d'éléments siliceux ou 
argileux, la craie elle-même donnent par altération un produit 
limoneux. Certains calcaires oulithiques et ferrugineux, un peu 
mélangés de marne et de sable, y sont éminemment propres, au 
point que les géologues habitués à Taflleurement de ces calcaires 
ont pu soutenir que le loess résultait toujours de Taltération sur 
place des roches sous-jacentes. Il en est de même de certaines 
roches éruptives, telles que les basaltes et beaucoup de tufs. Au 
contraire, le granité fournit, par sa décomposition, un mélange 
d argile tenace, kaolinique et de sable grossier ou arène, impro- 
pres à la transformation en loess, ce qui suffit à expliquer 
Tabsence habituelle de ce dépôt dans les régions purement gra- 
nitiques. En revanche, certaines variétés de micaschistes, dites 
micaschistes pourris, s'y prêtent parfaitement, ainsi que bon 
nombre de schistes argileux et terreux sans consistance. 

En un mot, nous le répétons, toute roche qui, au contact de 
Pair et de Peau, est susceptible de donner une boue jaunâtre, a 
dû fournir, aux abondants ruissellements de 1 époque quater- 
naire, la matière première du loess et ainsi ce produit ne saurait 
être le privilège exclusif d'aucune région. Partout où la nature 
du sol n'était pas récalcitrante à la formation de ses éléments, à 
la fois meubles et impalpables, il a dû prendre naissance et s'ac- 
cumuler, d'autant mieux que l'abondance des pluies était plus 



— 85 — 7 

grande et la disposition topographique du terrain plus favorable 
à réfalement ainsi qu*à la stagnation momentanée des eaux 
boueuses. 

C*est ainsi, par exemple, qu'il nous parait très facile de conce- 
voir la formation de la couche si régulière de limon qui, dans la 
région parisienne, couvre les plateaux du Valois et de la Brie. 
La Brie est une plate-forme consistante, formée de travertin 
siliceux, originairement recouvert par une épaisseur de 40 à 
50 mètres de sables fins, jaunâtres, appartenant à Fétage ton- 
grien (sables de Fontainebleau). De ces sables il n'est resté que 
des chaînes plus ou moins discontinues, parfois des mamelons 
tout à fait isolés. Ce morcellement de la nappe tongrienne a dis- 
posé, pour s'accomplir, de toute la durée des temps miocènes 
et pliocènes, puisque le bassin de Paris s'est définitivement 
asséché à la fin de l'époque aquitanienne. On comprend donc 
que, dès le début du quaternaire et même avant, l'action com- 
binée de l'air et des pluies, alors si abondantes, ait suffi pour 
étaler fréquemment, sur la plate-forme de travertin et de meu- 
lières, des nappes d'eau chargées de limon. 

Le même fait s'est produit dans le Valois et le Soissonnais, et 
par la même cause, sur la plate-forme de calcaire grossier ou 
de travertin éooène (calcaires de Ducy et de S*-Ouen). Les 
éléments du limon ont été fournis, en partie par les sables fins 
de rétage de Beauchamp, plus encore par les sables tongriens. 
Car si ces derniers ne se trouvent plus aujourd'hui au delà du 
Mont-Pagnotte et de la chaîne qui domine Villers-Cotterets, on 
ne peut douter qu'ils n'aient couvert toute la contrée, établis- 
sant sa jonction avec le Limbourg, et c'est à leur disparition pro- 
gressive que doit être attribuée la formation du loess. 

De fait — et c'est à nos yeux un argument de la plus grande 
portée, — il est aisé de constater, dans la Brie comme dans le 
Valois ou le Soissonnais, que le limon des plaines est d'autant 
plus sableux qu'on se rapproche des chaînes de sables demeurées 
eti place. Nous citerons, comme particulièrement démonstratifs 
à ce point de vue, les plateaux qui s'étendent de Pierrefonds h 
VillersCotterets, où le sable fin et jaunâtre de l'étage de Beau- 



8. — 86 — 

champ forme des buttes importantes. Nous rappellerons aussi 
que le plateau de calcaire grossier supérieur des foréls de Goye 
et de Chantilly est recouvert d*une mince couche, d^ailleurs 
irréguliëre, de limon sableux, contenant assez souvent, à sa base, 
des blocs de grès rubéfiés, seuls restes de Tétage de Beauchamp, 
autrefois superposé aux caillasses et enlevé par les agents 
d'érosion. 

Ces exemples et bien d'autres qu'il serait facile d'y joindre 
prouvent à quel point, sur les plateaux dominés par des chaines 
de matériaux meubles, la nature du limon est dépendante de 
celle des matériaux en question et rien n'atteste mieux le carac- 
tère local des formations limoneuses. 

Il convient maintenant de passer à Tétude des régions de 
plaines, à la surface desquelles les buttes de matériaux meubles 
font aujourd'hui défaut. De ce nombre sont les plaines qui 
s'étendent de S^-Quentin à la frontière belge, et où la craie 
est recouverte par un manteau à peu près continu de loess, 
capable d'atteindre par endroits une puissance de 15 mètres. Or 
cette contrée est précisément celle sur laquelle devait s'étendre 
la mer tertiaire franco-belge, qui, aussi bien pendant les temps 
éocènes qu'à l'époque tongrienne, y déposait partout des sables 
argileux à grain fin, sables glauconieux du suessonien inférieur, 
sables yprésiens et nummuiitiques, sables bruxelliens et laeke- 
niens, sables tongriens, etc. Ces sables ont été presque partout 
enlevés, à la suite du mouvement qui, les portant dans le nord 
à de grandes altitudes, a déversé au sud-ouest les eaux du grand 
lac de la Bcauce. Mais leur résidu impalpable est demeuré sur 
les plateaux capables d'amortir la vitesse des eaux boueuses et 
c'est ce résidu qui forme aujourd'hui l'épais limon de la Flandre 
et de la frontière franco-belge. 

La même explication convient au limon de Picardie; car la 
contrée a éié couverte de dépôts tertiaires et notamment de 
sables suessoniens; presque partout le limon renferme, à sa 
base, des blocs de grès de l'étage de fargile plastique (landé- 
nien supérieur), et même dans les endroits où ces formations en 
place ont aujourd'hui complètement disparu, on a la preuve de 



— 87 — 9. 

I 

leur ancienne existence par des poches, disséminées dans la 
craie, et où les sables éocènes sont tombés par effondrement. Il 
n^est donc pas nécessaire, pour expliquer le loess, d'aller 
chercher, comme Tont fait certains auteurs, des inondations 
diluviennes ou glaciaires venant du nord. Ce limon que nous 
voyons aujourd'hui n'est que le dernier résidu des dépôts ter- 
tiaires que la craie portait autrefois sur sa surface et que les 
érosions miocènes et pliocènes ont fait disparaître. 

Ce que nous venons de dire de la Picardie convient, mieux 
encore à la Normandie, où abondent, en mille endroits, les 
lambeaux de sables et de grès éocènes, souvent entremêlés d'ar- 
gile. Là aussi une nappe continue de dépôts tertiaires a couvert 
la craie, laissant comme résidu un limon avec blocs de grès. 
Ainsi partout l'origine locale du loess est facile a reconnaître si 
Ton veut bien reconstituer, par la pensée, l'état de la région à 
l'ouverture de la période miocène. 

La Champagne donne lieu à des observations analogues. 
L'épaisseur du limon, sur les plateaux crayeux, est assez grande 
au nord-ouest, c'est-à-dire au voisinage immédiat de l'ancien 
détroit tertiaire franco-belge. Mais elle va sans cesse en dimi- 
nuant quand on s'avance vers le sud. Entre Reihel et Reims, le 
loess ne forme plus que des taches, éparses çà et là sur le sol 
crayeux. Encore ces taches se relient-elles sans difficulté aux dé- 
pôts tertiaires de l'Ile de France, et des monticules isolés, tels que 
ceux des environs de Reims, notamment le Mont de Berru, mon- 
trent assez que les sables éocènes dépassaient un peu, vers l'est, 
les limites actuelles du plateau tertiaire; de telle sorte que les 
taches en question peuvent facilement s'expliquer par la dispari- 
tion des ilôts tertiaires correspondants. Au delà de Reims et de 
Cbàlons, sur ces plaines de la Champagne pouilleuse, où la for- 
mation tertiaire sableuse ne s'est certainement pas étendue, on 
chercherait vainement une trace quelconque du limon ; cepen- 
dant l'altitude de ces plaines est plutôt inférieure à celle des 
plateaux plus septentrionaux, et, si le dépôt du loess était du à 
une cause générale, il n'aurait certainement pas manqué de les 
recouvrir. Mais l'apport local des matériaux meubles silico- 



10. — 88 — 

alumineux a fait défaut, et ainsi le seul dépôt qui se soit formé 
sur cette partie de la Champagne, par Faction du ruissellement, 
est la groise, c'est-à-dire une boue crayeuse à grain variable, 
de couleur blanche et dont on fait, dans le pays, des briques 
séchées au soleil. C'est Téquivalent géologique du loess; mais au 
point de vue minéralogique comme à celui de Taspect ou de la 
culture, la différence est considérable. 

Dans tous les cas qui viennent d'être examinés, la présence 
du limon, étalé en nappes régulières sur de grandes surfaces, ne 
parait pas difficile à expliquer, parce que, à proximité de ces 
surfaces, il existe ou il a certainement existé des massifs de 
formations meubles, dont le limon représente le résidu. Il n'en 
est plus de même à l'égard du limon qui couvre les plaines de 
la Beauce. Car cette contrée, depuis la disparition du lac qui la 
couvrait, n'a reçu de dépôts que dans sa partie tout à fait méri- 
dionale. Encore ces dépôts, sables et argiles de la Sologne, sont- 
ils impropres à fournir du limon. Le fond de l'ancien lac de la 
Beauce est donc resté à découvert depuis son émersion et il est 
difficile de supposer que la dégradation des bancs marneux 
subordonnés au travertin ait suffi pour constituer la couche de 
loess. La chose n'est cependant pas tout à fait impossible. En 
effet, d'une part, le limon de la Beauce est toujours très peu 
épais et, d'autre part, la transformation qui, en beaucoup de 
points, a donné naissance aux meulières, est le fait d'une action 
destructive qui a du faire disparaître une portion des couches 
lacustres originairement existantes. 

Cependant nous inclinons à croire qu'il y a lieu, dans ce cas 
particulier, de faire appel à la théorie éolienne de M. de Rieht- 
hofen. Il est à remarquer que, si le plateau de la Beauce propre- 
ment dite csl géologiquemenl supérieure toutes les autres forma- 
tions tertiaires du bassin de Paris, il est, au contraire, topographi- 
quement dominé par bon nombre d'entre elles. Ainsi le bord 
septentrional, le plus élevé, du plateau, atteint auprès d'Étampes 
145 mètres d'altitude, tandis qu'on le retrouvée environ 100 mè- 
tres sur la Loire. Or l'altitude du sommet des collines lon- 
griennes est de 200 mètres entre Paris et Creil, de 220 mètres au 



— 89 — 11. 

Mont-Pagnotte, de 250 mëires au delà de Villers-Cotterets. Lors 
donc que Térosion du massif tertiaire a commencé, dans le nord, 
où cetie érosion s'est exercée avec le plus d'intensité, des sables 
éooènes se sont trouvés à découvert à des altitudes notablement 
supérieures à celles de la Beauce. Il est très admissible que les 
vents du nord et du nord-est, se saisissant de ces sables à grain 
Gn, les aient transportés au loin et étalés en couches minces sur 
la Beauce. Remaniés par les pluies à mesure qu'ils s'accumu- 
laient, ces sables impalpables seraient devenus du limon. Mais si 
le vent a pu être l'agent du transport, la source du loess devrait 
élre cherchée dans les sédiments tertiaires du nord et l'on pour- 
rait trouver une confirmation de cette hypothèse dans le fait que 
l'épaisseur et l'importance du loess de la Beauce diminuent à 
mesure qu'on se rapproche de la vallée de la Loire, c'est-à-dire 
à mesure qu'on s'éloigne de l'ancien massif tertiaire. 

En résumé, le loess est un produit dont l'origine première 
peut être essentiellement variable, mais où se manifeste, par- 
dessus tout, l'iiifliience du ruissellement à l'air libre. 



I. — 90 — 



SUR 
CERTAINES SUITES DE FRACTIONS IRRÉDUCTIBLES 



PAR 

M. Sauiice d'OCACNE 

INGÉNIEUR DES PONTS ET CHAUSSÉES. 



t. Lorsqu'on se propose — par exemple dans certains calculs 
de statistique ou de probabilités — d'approcher le plus possible 
d'un nombre fractionnaire donné au moyen d'une fraction ordi- 
naire dont le dénominateur ne surpasse pas un nombre donné, 
on se trouve amené à effectuer l'opération suivante : 

Ranger par ordre de grandeur les fractions irréductibles dont 
le dénominateur n'excède pas un nombre donné, 

afin de reconnaître quelles sont les fractions de cette suite qui 
comprennent le nombre donné, et en fournissent l'expression la 
pins approchée soit par défaut, soit par excès, sous la condition 
qu'on s'est imposée. 

C'est peut-être une question de ce genre qui amena le mathé- 
maticien Farey, vivant au commencement de ce siècle, à faire la 
très curieuse remarque que voici (*) : 

Si l'on prend, dans la suite qui vient d'être définie, deux 
fractions distantes de deux rangs, et que l'on compose une nou- 
velle fraction ayant pour numérateur la somme des numérateurs 
des deux précédentes, pour dénominateur la somme de leurs 
dénominateurs, on obtient une fraction égale à celle qui, dans la 
suite, est placée entre les deux fractions considérées. 



(•) Bniletin dex sciences {1816, 



— 91 — 2. 

Ce fut Cauchy qui apporta la démonstration de cette singulière 
propriété (*) ; elle se déduit immédiatement du théorème sui- 
vant découvert par Tillustre géomètre : 

Le numérateur de la différence de deux fractions consécutives 
de la suite est égal à l'unité. 

Comme corollaire immédiat de ce théorème, on voit que tes 
dénominateurs^ de même que les numérateurs, de deux fractions 
consécutives de la suite sont premiers entre eux. 

Les suites de Farey ne sont pas les seules qui jouissent de ces 
curieuses propriétés. M. Halphen, dans une remarquable étude 
sur ce sujet (**), a, en effet, démontré le théorème vraiment 
extraordinaire que voici : 

Soit une suite de nombres commensurables réduits à leurs plus 
simples expressions, rangés par ordre de grandeur, et choisis 
suivant une loi telle que, si un nombre en est exclu, tous les 
nombres dont les deux termes sont au moins égaux respectivement 
aux termes de ce dernier efi soient aussi exclus : cette suite jouit 
des propriétés qui viennent d'être éfioncées pour celle de Farey. 

En particulier, si f(a, b) représente un polynôme entier, à 
coefficients posixifs, et que Ion astreigne f(a, b) à ne pas dépasser 
une limite assignée, les nombres ^ forment une suite qui vérifie 
le théorème précédent. 

Mais, ce théorème lui-même ne cojnprend pas toutes les suites 
qui jouissent de la propriété énoncée. 

M. Halphen a remarqué, en effet, quelle a lieu à l'égard des 
suites dans lesquelles l'excès du dénominateur sur le numérateur 
ne dépasse pas une limite donnée, et ces suites ne présentent pns 
le caractère requis par le théorème qui vient d^ètre énoncé. 

Il serait intéressant de trouver la définition générale des suites 



(•) Bulletin det sciences (i816). 

(•*) BuUetin de la Société mathématique de France (t. V, 1877, p 170). 



3. — 9î2 — 

qui jouissent des mêmes propriétés que celles de Farey, mais 
cette recherche présente de grosses difficultés. 

Nous allons seulement, dans le présent mémoire, exposer 
quelques résultats que nous avons obtenus au sujet de certaines 
suites qui généralisent celles de Farey, espérant ainsi provoquer 
de nouvelles recherches sur ce sujet très curieux. 

9. Nous rappellerons tout d abord certaines remarques qui ont 
été faites relativement aux suites de Farey par M. Stouvenel (*), 
remarques qui simplifient la formation de ces suites. 

M. Stouvenel, comme Farey, ne considère que les fractions 
proprement dites, c'est-à-dire celles qui sont inférieures à Tunité; 
dès lors, il trouve que : 

1* Toute suite de Farey a un nombre impair de termes, le 
terme du milieu étant g ; 

2° Les termes équidistants des extrêmes sont complémentaires, 
c'est-à-dire que leur somme est égale à Tunité; 

3* Les premiers termes de la suite sont ^y nUT» n^I* •*' 

jusqu'à w-»-i si N est impair^ N si N est pair. Dans le premier 

cas, le terme suivant est ^ ; dans le second, il est ^^^ . N est le 
nombre que ne doivent pas surpasser les dénominateurs des 
fractions de la suite. 

S. Il n\ a aucune raison pour limiter, comme Tout fait les 
auteurs précédents, ces suites aux fractions proprement dites. 

Si on les prolonge au delà -- et c'est ce que nous ferons 
pour notre part, — on voit d'abord que le premier terme qui 
viendra après celui auquel s'arrêtait Farey (qui est la plus grande 
fraction proprement dite satisfaisant à la condition de déGnition) 
sera égal à | • 

Soit p le rang de ce terme égal à Tunité. Ce nombre p sera 
pair, en vertu de la première des remarques faites ci-dessus. Il 
est d'ailleurs bien aisé de le voir directement. En effet, les déno- 



;•) Journal de mathématiques de LiouviIIe(t. V, i840). 



— 93 — 4. 

minateurs des fractions qui figurent dans les p premiers termes 
de la suite sont les N premiers nombres entiers. Chacun d'eux 
donne naissance à autant de fractions qu'il y a de nombres 
premiers avec lui et qui ne lui soient pas supérieurs. Donc, en 
faisant usage de la notation bien connue, on a 

Or, <p (A) est, comme on sait, un nombre pair, sauf pour fc =1 
et ^ = 2; par suite ;; est pair. 

Nous appellerons Tensemble des p premiers termes qui 
viennent d'être définis la première phalange de la suite. Les p 
suivants formeront la deuxième phalange ; encore \es p suivants, 
la troisième phalange, etc. 

On voit immédiatement qu'une phalange quelconque s'obtient 
en ajoutant l'unité à tous les termes de la phalange précédente. 

Pour s'en rendre compte, il suffit d'observer que si ^ei?^' 

sont deux termes consécutifs de In suite, °^7*"^"* et i"Lhl±_^' en 
sont aussi deux termes consécutifs. En eiTet, ces deux fractions 
satisfont aux conditions requises; d ailleurs, s'il existait entre elles 
un autre terme de la suite g' <x et p seraient premiers entre eux 
et on aurait 



ou 



p^x et .Ji_-::<-< 

bm p b 

|3<N cl -:i<__r< 



Ces dernières inégalités jointes à la remarque que, de même 
que a et P, a — (3 et (5 sont premiers entre eux, montrent 
qu'il rxisterait alors dans la suite un terme ?-^ compris entre 
^ ^' T^i'^^ ^"' ^^^ contraire à l'hypothèse. Les fractions "'"^ "* 
cl °*^fc^^"^'* constituent donc bien deux termes consécutifs de la 
suite et la proposition est établie. 



5. — 94 - 

4. Soit 

(I, flj a^ 

6, bf h^ 

une suite de Farey indéfiniment prolongée, telle que 6» ^ N 
|)our toute valeur de m. 
Formons la suite 

telle que 

ff'm = ^« — «Om » 

la constante a étant un nombre entier positif ou négatif. 

Tons les termes de la suite ainsi formée sont irréductibles, 
car, a^ et 6^ étant premiers entre eux , a^ et 6^ — exa^ le sont 
aussi. 

Puisque 6« = Al H- out^, on a pour chaque fraction de la 
seconde suite 



Les termes de cette suite sont rangés par ordre de grandeur, 

Om ««+1 



car.si r^ < r^^» 



An. ««m A^ + l — «O 



m4-l 



Enfin, il ne saurait exister d'autre fraction irréductible satis- 
faisant à la condition 6^ + aa^ ^ N que celles qui figurent dans 
la seconde suite. Pour le voir, il suffit de supposer qu'entre ^ 
et ^^j il existe une autre fraction irréductible répondant à cette 
condition. On en conclut alors, par le même raisonnement que 
celui qui a été fait au numéro précédent, qu'il y aurait néces- 
sairement, dans la première suite, un terme intercalé entre 
^ et ^^> ce qui serait contraire à l'hypothèse. 

Représentons par 

A.KN)' 6t(«,lV)''"'M«»N)''" 



— 95 — 6 

la suite des fraeiions irréductibles rangées par ordre de grandeur 
qui satisfont à la condition 

a étant un nombre entier positif, nui ou négatif, N un entier 
positif, différent de Funité (*) 

Abréviativement nous désignerons une telle suite par la 
notation S(a, N), et nous dirons que a est la caractéristique et N 
la base de la suite. 

Dès lors, le résultat qui vient d^étre obtenu pourra s'énoncer 
ainsi : 

Théorème I. — Toutes les suites S(a, N) répondant à une base 
iN donnée se ramènent immédiatement à la suite de Farejf 0(0, i\) 
de même base y par les formules 

^ U« («, N) = 6^(0, N) - « . a^(0,N). 

Corollaire. — On a 

1 6ja, N) = fc^(« - 1, N) ~ a^a - I, N). 

&• Nous placerons ici une observation importante. A partir 
du p -+- 1**^ terme de la suite S(0, N), c'est-à-dire à partir du 
premier terme de la seconde phalange de celte suite, ous les 
termes ont leur numérateur supérieur à leur dénominateur; il 
en résulte, par application des formules (2), que les dénomina- 
teurs des termes correspondants de la suite 0(1, N) seraient 
négatifs. Pour rester sur le terrain de l'arithmétique ces termes 
doivent être exclus. Il en est de même du terme qui correspondrait 
au p**^ terme, [» de S(0, N), et qui serait -» En somme, au 



(') Nous laissons de côté les suites pour lesquelles N = 1, qui consiiiuent, à certains 
égards, un cas exceptionnel. 



7. — 96 — 

point de vue arilhmélique, la suite 5(1 , N) est limitée, et possède 
p — 1 termes, ou, en se reporiant à l'expression précédemment 
donnée du nombre ;?, 

2 ?(^) termes. 

La même observation s'applique quand on passe, par le moyen 
des formules (2), de la suite 6(1, N) à la suite 5 (2, N), de la 
suite Ô(2, N) à la suite S(3, iN), etc. On peut donc dire d'une 
manière générale que les suites S(a, N), pour les valeurs positives 
de a, sont arithmétiquement limitées. 

Le problème qui consiste à trouver le nombre des termes de 
la suite S(a, N) entendue comme il vient d'être dit, pour une 
valeur positive de a, présente quelques diUiciiltés (*). Ce problème 
revient à celui-ci : 

(ombien une suite S à caractéristique positive a-t-elle de termes 
inférieurs à l'unité? 

En effet, le nombre des termes de la suite S(«, N) est égal au 
nombre des termes de la suite S (a — 1, N) inférieurs a l'unité. 
Dans le cas où a = 2, le problème se résout ainsi : 

Au terme de la suite 5(0, N) égal à ^ correspond, dans la 
suite 5(1, i\), en vertu du théorème I, le terme -. Donc, le 
nombre des termes de la suite 5(1, i\) inférieurs à l'unité est 
égal au nombre des termes de la suite 5 (0, N) inférieurs à ^« 

Or, les dénominateurs de ces termes sont les nombres 
3, 4, 5, ..., N et chacun d'eux donne évidemment au groupe qui 
nous occupe autant de fractions qu'il y a de nombres premiers 
avec lui et inférieurs à leur moitié, c'est-à-dire, en vertu d'un 
théorème bien connu, ^ pour le nombre m. On voit ainsi que 
le nombre des termes de la suite 0(2, N) est donné par 



(*) Voir lii Noie additionnrilp qui fait suite à ce mémoire. 



— 97 — 8. 

Le problème devient plus compliqué pour les valeurs de a 
supérieures à % 

Quant aux suites de caractéristique négative, elles sont illimi- 
tées et les formules (1) montrent que tous leurs termes sont 
inférieurs à Tunité. 

•. On a, par application des formules (1), 

a^(a, N) . 6^.|(«, N) - fl,_,(«, N; . />.(«, N) 
= a^{0, N) ffc«>.(0, N) ~ aa^.,10, N)J 
~ fl-i:0. N)[6.(0, N) - «a^(0, N)] 
= CI JO, N) . 6^.,(0, N) - a..,(0, N) . 6.(0, N). 

Donc, en vertu de la propriété fondamentale des suites de 
Farcy démontrée par Cauchy et rappelée au début de ce mémoire, 

(3) . . Ma,N).6...(a,N) — a._,(«.N).6..,(«,N) = i, 

et Ton voit ainsi que la suite S (a, N)/otit7 de la même propriété 
fondamentale que la suite 6 (0, N). 

Dans le cas où a est posiiif ce théorème rentre dans le théo- 
rème général de M. Halphen énoncé plus haut, mais il n'en 
est pas de même dans le cas où a est négatif. 

9. Loi d'enchaînement des termes successifs de la suite d (a, N). 
— Cette loi se déduit de la formule (3) comme on va le voir. 

Remarquons d*abord que le premier terme de la suite l^^^^ 
est égal à ^ziâ- ^" ^^*^^' P^"^ chaque valeur du dénominateur, 
la plus petite des fractions correspondantes est celle qui a pour 
numérateur Tunité. La première fraction de la suite aura donc 
forcément pour numérateur Tuniié 

et son dénominateur aura évidemment la plus grande valeur qui 
puisse accompagner cette valeur spéciale du numérateur en 
satisfaisant à la condition de définition 

6 -♦- aa <. N. 
X. 7 



9. — 98 — 

Ce dénominateur 6| (a, N) sera doue donné par 

6,(a,N)-+.a = N, 

et le premier point est établi. 

Cherchons maintenant le second terme. 

Pour un numérateur donné a, le dénominateur maximum h 
correspondant est donné par 

6 + aa = N 

ou 

6 = N — «fl. 

Le second terme ne saurait donc être que j^—]^ -, , ou la plus 

petite irréductible des fractions f^zr^ > fi — Mx > fT^^Ji » ••• fl"' 
vont évidemment en croissant. Nous désignerons cette plus petite 
fraction irréductible par ^_^^ • 
X: étant au moins égal à 2, on a 

<2. 



k-\ 



Mais dans notre définition (voir au n° 4) nous avons supposé 
N au moins égal à 2. Donc 



fc — 1 



ou 



ou encore 



ou enGn 



c'est-à-dire 






N — a*< A-(N — a — i), 



1 ^ k 



N — a — 1-"N — aik 



— 99 — iO. 



L 

Mais, puisque nous avons supposé ^zr^ irréductible, Fégalité 
ne saurait avoir lieu. Donc, finalement 



k 
< 



On voit ainsi que le second terme ne saurait être que j^__^__^ > 
c cst-à-dire que 

6, (a,N) = N — a— 1. 

Cest sur ce point que les suites de base égale à 1 font excep- 
tion à la règle générale. 

Considérons maintenant, dans la suite, trois termes consécutifs 
quelconques 

) — — » • 

6^_. b^.t b^ 
Puisque Ton a, en vertu de la remarque faite au n*" 6, 

il en résulte que 

^ étant un coefficient que nous allons déterminer. A cet effet, 
considérons les fractions 

En vertu d*un théorème bien connu, la première est supérieure 
à ^^ , et chacune des autres est comprise eiitre celle qui la 



. * 



i\ — 100 — 

précède el ^-^ . D'ailleurs, toutes ces fractions sont irréduc- 
tibles puisque Ton a 

d'après la formule (3). 

Elles appartiennent donc toutes, jusqu'à un certain rang, à la 
suite considérée, et la fraction ^ est, par suite, égale à la plus 
petite des fractions de ce groupe, c'est-à-dire à celle, ;"'* *Z6'^_* ' 
où X a la plus grande valeur compatible avec la condition 
requise, c'est-à-dire 

Cette valeur est évidemment donnée par 



fc—i -♦- a». 



7 /' 



la notation £ (x) désignant, suivant l'usage, la partie entière de 
la quantité x. 

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant : 

Théorème II. — La loi de formation de la suite 6 (a, N) est 

donnée par 

a, = 1 a, = i 



0« = >0«-l — Om-l 
6m= ^^m-l bm-t 



avec 



V 6«_, -h aa^_4 / 



8. Loi d'enchaînement des phalanges, — Le théorème qui 
vient d'être établi montre comment les termes d'une suite S 
s'enchaînent les uns aux autres, c'est-à-dire comment chacun 
d'eux se déduit de celui qui le précède. 

Or, nous avons, lorsque la suite est illimitée, ce qui a lieu 
si la caractéristique est négative, introduit la notion de phalanges 
successives. Nous allons faire voir comment chaque phalange se 
déduit de celle qui la précède. 



Rappelons d'abord que les phalanges sont les groupes succes- 
sifs de p termes pris dans la suite à partir de son origine^ p étant 
le rang du terme \ dans la suite S (0, N). 

Le p**^ terme de la suite S (a, N) sera, par application des 

formules (1), 

i 



i— a 



Puisque nous supposons ici la caractéristique a négative, 
mettons son signe en évidence en posant 

Nous pourrons dire alors que la première phalange de la suite 
S ( — P, N) se ferme avec la fraction ^^75 • 

D*après ce qui a été dit au sujet des suites de Farcy prolon- 
gées (voir au n" 3), si l est un terme d'une telle suite, le terme 
correspondant de la phalange suivante, c'est-à-dire le terme qui 
occupe le />**"• rang après celui-ci, est ^-^ • 

On peut donc écrire que 

6»^^(0,N,c=6.(0,N). 

Transformant ces formules au moyen des formules (1), où 
on a remplacé a par — P, on obtient 

( «•+,(- 13, N) = 6^(- p, N) - (p - 1 ) . «4- p, N) 
^ ^' ' \ 6.+,(- p, N) = (P ^ I ) . 6.(- p, N) - p«. a J- p, N). 

Ces formules, permettant de déduire un terme quelconque de 
celui qui le précède de p rangs, contiennent la loi d'enchaînement 
des phalanges successives de la suite 5 ( — p, N). 

Remarque J. — Les coefficients des formules (4) étant 
indépendants de N, si l'on prend dans des suites ayant toutes 
même caractéristique négative avec des bases dilTérentes, une 
fraelion qui leur soit commune, les fractions correspondant a 



43. — 102 — 

celle-ci dans les phalanges successives seront les mêmes pour 
ces diverses suites. 

Remarque IL — On déduit des formules (4) 

(5) 6^^(- p, N) - p . «.+,(- p, N) = 6^(- p, N) - p . a,(~ p, N). 

Potir fej termes qui se correspondent dans les phalanges 
successives la somme du dénominateur et du produit du numé- 
rateur par la caractéristique est constante. 

Remarque IIL — Les formules (4) peuvent s'écrire 

o^p — a- = hm — ptfm 
^•+,1 — b^^ P(b^ — ?aj. 

Par suite, de même 

bm^fp K+p = PC^m+F P0^J^.J,). 

Donc, si on se reporte à la formule (5), on voit que 

Les numérateurs et les dénominateurs des termes qui se cor- 
respondent dans les phalanges successives forment des progressions 
arithmétiques. 

On déduit de là que 

(^m+Ap = o^ -¥- k(b^ — Pc) 

s Représentation géométrique. — Toutes ces remarques, et 
d'autres encore, prennent une forme particulièrement parlante 
à l'esprit, lorsqu'on fait usage du mode de représentation géomé- 
trique que nous allons indiquer. 

Portons sur deux axes rectangulaires Ox et Og des divisions 



103 — 



U. 



égales, et par les points de division numérotés sur chaque axe 
1, 2, 3, 4, ... menons des parallèles aux axes. Nous formons 
ainsi dans Tangle droit xOy un réseau à mailles carrées (fig. 1). 
Cela fait, nous conviendrons de représenter la fraction l par le 
point dont les coordonnées sont 

x = b y = fl. 

Dans ces conditions, chaque sommet du réseau représente un 

nombre commensu- 



y 

5 



i ' 



H > — » ~ '» >• ■ ■ --< •— i > -H > 

Il • ( ►- <»■ !>■ . (I ■ 

I ■ H>— ■< ►— !► n — <►• 

♦ '> <,. . . -Hl — Hl Il 



2 



3 ^ 



rable. Ce nombre a 
pour numérateur le 
numéro de la paral- 
lèle à Ox qui passe 
par le point représen- 
tatif, pour dénomina- 
teur le numéro de la 
parallèle à Oy. 

La grandeur de la 
fraction est donnée 
7 — j; par la tangente de 
Tangle que fait avec 
*^' *' Ox la droite qui 

joint Torigine au point représentatif de cette fraction. 

Si une droite menée par passe par un point du réseau, 
elle passe par une infinité de points de ce réseau définis par 

a et P étant deux entiers premiers entre eux, m un coefficient 
qui prend successivement toutes les valeurs entières 1, 2, 3, 4,... 
Toutes les fractions représentées par ces points ont même gran<- 
deur, et celle qui correspond à m = 1, cest-ù-dire celle qui est 
irréductible^ est représentée par celui de ces points qui est le 
plus près de Torigine. Nons appellerons ce point le point irré- 
ductible du nombre auquel sont égales toutes ses fractions. 
En résumé, un sommet du réseau est irréductible si le segment 



15. — i04 — 

de droite qui unit ce point à Torigine ne contient pas d'autre 
sommet du réseau. 

Nous placerons ici une petite observation. 

A un nombre incommensurable correspond, dans ce mode de 
représentation, une droite issue de Torigine et ne passant par 
aucun sommet du réseau. De chaque côté de cette droite, on 
peut prendre des sommets du réseau qui s*en approchent de plus 
en plus au fur et à mesure qu*on s'éloigne de Forigine mais sans 
jamais venir se placer sur cette droite. On peut donc dire que 
ces points tendent vers une limite située h Tinfini sur la droite 
considérée. Pour abréger le discours on dira que cette droite n*a 
de point commun avec le réseau (réduit à ses sommets) qu*à 
l'infini, ou encore que le point irréductible d'un nombre inœm- 
mensurable est à l'infini. Tel est dans ce mode de représentation 
le caractère géométrique des nombres incommensurables. 

Revenons à lobjet spécial qui nous occupe. 

Imposer à la fraction ^ une condition telle que 

c'est astreindre le point représentatif de cette fraction à être 
compris dans une certaine région du plan, limitée par la courbe 

n^^ y) = 0, 

ou situé sur cette courbe elle-même. 

Déterminer les fractions irréductibles répondant à la condition 
précédente, cela revient à déterminer les points irréductibles 
compris dans cette région ou situés sur cette courbe. 

Ranger ces fractions irréductibles par ordre de grandeur 
croissante, cela consiste à prendre ces fractions dans Tordre où 
les points irréductibles correspondants sont successivement 
atteints par une droite pivotant d'un mouvement continu autour 
du point 0, dans le sens de Ox vers Oy. 

En particulier, si la condition imposée est de la forme 



aa 



<N, 



— 105 — 



16. 



Topéralion qui vient d'être indiquée devra être étendue à la 
région comprise entre les axes Ox et Oy et la droite dont Téqua- 



tion est 



-♦- ay — N = 0. 




Fîg. «. 

Si Ton donne à a Tune des valeurs 1, % 3,... celle région est 

fermée; si Ton donne à a Tune des valeurs 0,-1, — 2, 3,... 

elle est ouverte. Cela montre clairement pourquoi les suites à ca- 
ractéristique positive sont limitées quand les autres ne le sont pas. 

La figure 2 montre que la suite ô (3, 9) se compose de 



i M i 1 2 i 2 
654323ÎT* 

C'est ce que donne le 
calcul direct au moyen 
du théorème II. 

On aperçoit bien aisé- 
ment la traduction géo- 
métrique de la propriété 
fondamentale des suites 
envisagées dans ce mé- 
moire, à savoir : 




m. '2 



Fig. S. 



En effet, soient A^_, et A^ les points représentatifs des termes 
consécutifs 5^ et ^ (fig. 3). 



\7 — 106 — 

On a 
AireOA^A^.i = aire OA^^P^ -♦- aire P^A^Ai, iP«_i — aire 0A»_4P„.t 



La propriété fondamentale des suites que nous considérons 
consiste donc en ce que le triangle formé par l'origine avec le$ 
points représentatifs de deux fractions consécutives d'une de ces 
suites a une aire constante, égale à -. 

Le théorème I, on le voit sans peine, se traduit graphique- 
ment comme suit : 

Les points représentatifs des termes de même rang^ dans toutes 
les suites de même base, sont régulièrement espacés sur une parai" 
léle à l'axe Ox ; féquidistance de ces points comprend autant de 
divisions qu'il y en a entre cette parallèle et l'axe Ox, 

La formule (5), jointe à une remarque faite au cours du n* 8, 
montre que : 

p étant le rang du terme -^- dans la suite S ( — (3, N), si Con 
prend, dans cette suite, tous les termes dep en p, à partir d'un 
terme quelconque, les points représentatifs de ces termes sont 
régulièrement espacés sur une droite dont le coefficient angulaire 
est égal g . 



— 107 — 18. 



NOTE 

ir le Mombre des termes de la salle («, N) lersqae 
la earaclérlsUqae « esl positive. 



Nous venons de retrouver une formule, due à M. Minine (*), 
et qui permet de donner une expression de ee nombre. 

Cette formule fait connaître la quotité (pp(N) des nombres 
premiers avec N, compris dans la suite 1, 2, 3,...., P, où P est 
un entier quelconque. 

E|^] désignant suivant Tusage la partie entière de la quantité^, 
si Ion convient de poser symboliquement 



\nl n 



amsi que 



Câ • Ij • • • Cj = JCi 



m n q mU'-^q 



la formule de M. Minine s^écrit, sous forme symbolique, de la 
manière suivante : 

a,b, Cf... l étant les facteurs premiers de N, de telle sorte 
que N = a^b^c^ ... /^, on a 

(,) , „,N)-P(.-E<l>)(.-E'l!)...(.-E!i'). 

Or, dans la suite (a, N) figurent les dénominateurs 

1 ) A) O, • • • « «'j • • • j i 1 ' S f 



(') Société mathématique de Moscou, séance du 15 janvier 1880. (Voir le Journal de 
mathématique i élémentaires et spéciales, 1880, p. 378.) 



49. — 108 — 

et chacun d*eux, 6^ donne à la suite autant de fractions qu*il y a 
de nombres premiers avec 6 et compatibles avec la condition 

6 4- aa < N , 
c'est-à-dire compris dans la suite 






Le nombre des fractions données par le dénominateur 6 sera 
donc 

et le nombre total des termes de la suite (a, N), a étant positive, 



2 ?E/îl-*x(6)l 



expression que la formule symbolique (1) permet de calculer. 



— 109 — i. 



CHELONE VAN BENEDEM 



PAK 

rabbé C «MBT« 

Docteur en sciences naturelles. 
Professeur au Collège épiscopal de Hasselt. 



Dans une communication (*) faite récemment à la Société 
scientifique de Bruxelles, nous avons énuméré les trois espèces 
de tortues, autres que Sphargis rupeliensis (^), Van Ben., dont 
les couches rupeliennes (oligocène moyen) (') de la basse Bel- 
gique renferment de nombreux débris. 

Nous commençons la description détaillée de ces animaux par 
Tespèce nouvelle dédiée par nous à Tillustre paléontologiste 
qui a bien voulu nous charger de Pétude de ces intéressants 
reptiles. 

Chelone Van Benedenii est évidemment une tortue marine, 
comme Tattestent les caractères tirés du crâne, des écailles 
costales, la crête ventrale énorme des vertèbres cervicales, la 
nature de Thumérus et du plastron, etc. La disposition des plaques 
cornées épidermiques est la même que dans les Cheloniidœ, qui 
n'ont que huit paires d*écaillcs osseuses costales. Nous pouvons 
en inférer que cette tortue ne possédait que ce nombre d*écailles 
et que, par conséquent, elle se dislingue des genres Catapleura, 
OsteopygiSf Lytoloma, Propleura et Peritresius de Cope (*). 



(*) L'abbé Smets, Les Tortues rupeliennes, t. X, â" partie, p. i% des Annales de la 
Société scientifique de Bruxelles. 

(S) Van Beneden, Bulletin de V Académie royale de Belgique, série III, t. VI, n^ \% 
1883. 

(') MouRLON, Géologie de la Belgique. Bruxelles, d88d, 1. 1, p. 249. 

{*) E.'D. Cope, Contributions to the History ofthe Vertebrata ofthe Lower Eocene, etc, 
(Froxn the Proceed. Am. Philos. Soc, 1881, p. U3.) 



2. -. liO - 

Les xiphiplastrons n'étaient pas réunis par suture sur la ligne 
médiane, comme dans le genre Puppigerus (*), Cope. 

Elle vient donc se placer dans le genre Chelone, Brongniart (^). 

Elle présente un ensemble de caractères qui pourraient 
peut-être justiGer la création d'un genre nouveau; mais, à 
Texemple de la plupart des naturalistes qui ont décrit des tortues 
marines fossiles, nous conserverons le nom générique Chelone. 
Il est très probable qu'une étude comparée des nombreuses 
formes fossiles amènera la division du genre Chelone. 

La plupart de nos fossiles sont dans un parfait état de con- 
servation. Les arêtes les plus vives ont été conservées ; malheu- 
reusement la pyrite encroûte d'autres pièces de notre collection. 

Ils proviennent tous de l'argile de Boom et de Basele et appar- 
tiennent à la couche marine du rupclien. C'est de la même 
assise que sont sortis les ossements de Crassilherium (^) (Hali- 
therium) robustum, Van Ben. 

Les portions du crâne que nous possédons, ainsi que l'ilion, 
ont été trouvées à part; comme nous sommes en possession d'os 
du bassin de Bryochelys Waterkeynii (*), Van Ben., et de Che- 
lyopsis lUtoreus (^), Van Ben., nous avons pu attribuer ces 
restes à l'espèce qui nous occupe ; ils concordent d'ailleurs par 
leur taille, comme par d'autres caractères, avec les ossements 
trouvés ailleurs. Nous avons reconnu, parmi les fossiles rupe- 
liens conserves au Musée royal de Bruxelles, d'autres ossements 
de cet animal, notamment des vertèbres dorsales. 



(«) E.-D. Cope, toc. cit., p. iAA. 

[*) Pour la raison donnée par Strauch (Chelonologische Studien, p. $9), nous préférons 
le nom générique Chelone au terme Chelonia, introduit postérieurement. 
(5) Van Beneden, Bulletin de l'Académie royale de Belgique, i. XXXH, 4871, p. 464. 

— MOURLON, Géologie de la Belgique, 1. 11, p. 193. 

(*) Van Beneden, Bulletin de l'Académie royale de Belgique, t. XXXI, p. i% 1869 

— Patria Belgica, 1»* partie, p. 376. 
(5) Smets, loc. cit., p. 12. 



Les figures I et II représentent la partie antérieure du rostre. 
Celle-ci indique une tète allongée, peu étendue dans le sens 
transversal. Sous ce rapport Chelone Van Benedenii s'éloigne 
notablement des tortues actuelles, notamment de Chtlone iVydas; 
elle présente, comme Cltetow longicepi (<), Owen, . a prolonged 
poinled muzsie >. 




Pi|. I. Fif. II. 

Les prëmaxillaires dépassent de 9 millimètres les maxillaires 
supérieurs. On distingue, dans riniéricnr des fosses nasales, les 
deui apophyses de ces os qui se soudent au vomcr par suture 
dentelée et entre lesquelles se termine le canal vomérien. Sî ce 
n'esta la suite d'une cassure, les prcmaxillaires présentenl entre 
eux une échanerurc médiane, comme on en observe une profonde 
dans le Sphargh coriacea (*). Maïs la s'arrêterait la ressem- 
blance. Il n'y a pas d'échancrures latérales. 

Un peu au delà de sa jonction avec les prémnxillaircs, te 
vomer se relève subitement, en formant un ongle droii, comme 
d'ailleurs chez les chélonées vivantes, mais à un moindre degré. 



11 OwEH and Bell, Monagraph cf ihe foml Bepiilla ofthe Lonifan CJoy. LondoQ. 
lBi9, p. 10. 

1*1 Pagl GEKT*1^ Ontologie du SphargU Luth, {NOUVELLES AHcaiTES DD MostoM, 
L Vtli, p. 301. CI pUDclic V. Hg. 5.) 



4. — «12 — 

Dans la courbure, le canal vomérien est fortement rétréci et il 
disparaît au delà. 

Tous les os de cette partie du rostre sont remarquables par 
leur solidité. Leur épaisseur est plus considérable que celle des 
mêmes os d*une tète adulte de Chelone Mydas, de 24 centi- 
mètres de longueur, que nous avons sous les yeux. 

Les maxillaires supérieurs présentent la forme caractéristique 
des tortues marines. L'apophyse montante qui s'articule au frontal 
antérieur et limite latéralement les fosses nasales est conservée 
du côté gauche. 

Les choanes sont très larges, le vomer antérieurement et les 
maxillaires latéralement, et en arrière les palatins les limitent. 
Comme dans le Sphargis (') des temps actuels, les palatins ne 
bordent pas antérieurement les choanes, ainsi que c'est le cas des 
thalassites actuels à un degré variable. La tète que nous décri- 
vons est adulte, et par conséquent ce caractère est spéciGque. La 
présence d'un vrai canal conduisant de Torbite dans les fosses 
nasales atteste un âge avancé : nous avons affaire à un canal, 
long de 8 millimètres, à bords épais et arrondis, tandis que 
dans les jeunes individus, ce conduit prend plutôt Taspect d'une 
fontanelle à bords minces. Ce canal est pour ainsi dire percé 
dans les palatins; il n'est que très faiblement limité latéralement 
par le sus-maxillaire. 

A la face palatine, on observe une cavité creusée dans les inter- 
maxillaircs attestant que la mandibule était terminée en une 
pointe saillante. 

Les palatins, par suite de la forte courbure du vomcr, sont 
surtout étendus dans le sens vertical. Us présentent l'aspect de 
lames assez épaisses s'engrenant d*un côté avec le maxillaire 
supérieur et de l'autre venant s'appliquer sur la face dorsale du 
vomer. Ainsi, par sa face palatine, CA. Van Benedenii diffère de 
toutes les chélonées que nous connaissons. Il existe néanmoins 
une certaine ressemblance avec Ch. Cuneiceps (*) d'Owcn; mais 



(«) Paul Cervais, Op. cit , tab VIII, fig. 1 
(*) OwEN and Bell, Op. cit., tab. XV. 



— H5 — 5. 

dans cette tortue du London-Clay, les palatins s'avancent nota- 
blement au delà des choanes, sans les limiter antérieurement ,e( 
ils sont plus élargis dans le sens transversal. 

Par ce qui est conservé des orbites, on peut juger qu'ils 
étaient allongés; ils devaient se rapprocher de la forme orbiiatre 
de Chelone longtcfp» (') et de Chelone cuneiceps ('). 

Un simple coup d'oeil jeté sur les figures de l'éminent paléon- 
tologiste anglais démontre que toute identification avec notre 
espèce est impossible ; ce qui est confirmé encore par les dimen- 
sions des ossements. 

Longueur totale du fossile décrit : 7 centimètres. 

Largeur de 3 centimètres à l'extrémité antérieure, de 7 n la 
postérieure. 



Pariétal. — Nous possédons le pariétal gauche (fig. III). Il 
présente par ses contours et par la bosse, 
située au milieu de sa région antérieure, 
une certaine ressemblance avec le même 
os de Sphargis coriacea ('); mais la pré- 
sence de sillons démontre qu'il a appar- 
tenu ô un Aspedochelyida (*). 

Si nous le comparons avec le pariétal 
des diiïcrentes chélonées lertraires, nous 
trouvons la plus grande analogie avec 
Chelone longiceps (*) d'Owen. Ils ont de 
commun l'allongement de l'os dans le sens 
antéro-postérieur, le bord aniéricur ar- 
rondi, la même disposition des plaques 
cornées delà tète, la présence d'une plaque interoccipitale {inte>-- 




Fit. m 



(■) Orna and Bell, Op. ca., ub. IIL 

(*1 Idtm, Ub. IV. 

(>} PUL Cehvais, C ttéologie du Spharglt Luih. {NanvELLES Aucrives du Mi'sëum. 
t.V]Il,pl.V,) 

{*i Proteueur H.-G .Seelt, flou on Psephophorus POLTCONUii, Frnin thc quaiertij 
Jvanal ofthe gtological Sùeiay, aunusl, 18S0, p, il j. 

il OwtH and Bkll, Op. cil., Ub. Ut. 

X. 8 



6. — H4 — 

occipital sente, Owen). L*élat imparfait de notre échantillon ne 
permet pas de constater de visu si Chelone Van Benedenii possé- 
dait un angle rentrant dans le pariétal, ce qui est si caracté- 
ristique de la tortue de Téocéne de Sheppey. Nous croyons, vu 
la minceur de los à son bord posiéro-latéral, justifier la restau- 
ration telle que nous la proposons dans la figure III par les lignes 
pointilléos. 

Cinq plaques céphaliques recouvraient le pariétal; ce sont, 
d'après la terminologie de R. Owen : 1** antérieurement et 
au bord interne, la plaque sincipitale; 2"* au bord externe, la 
plaque supraorbitale; Z^ postérieurement et au bord sagittal, la 
plaque inlei'occipitale, touchant 4" à la plaque occipitale^ qui 
occupe le milieu de la pièce osseuse à sa partie postérieure; 
enfin 5° la plaque pariétale recouvre l'os au bord latéral. 

A la face interne du pariétal, un reste de Tapophyse descen- 
dante de cet os est conservé, ainsi qu'une partie de la cavité céré- 
brale. Le cerveau parait avoir été assez allongé, mais rétréci et 
moins volumineux que dans les chclonées de nos jours. 

L'os est très épais et atteste un crâne très solide. 

A voir la solidité de cet os, ainsi que le peu d'étendue de la 
cavité cérébrale, on ne peut s'empêcher de se ressouvenir d'un 
fait analogue observé dans les mammifères. 

Le professeur Marsh, pour les mammifères de l'Amérique du 
Nord, le professeur Lemoine, pour les mammifères tertiaires du 
Nouveau Monde, comme M. Van Beneden, pour les cétacés ter- 
tiaires du crag d'Anvers, observent que le cerveau, petit d'abord, 
s'accroît dans la suite des âges géologiques, à mesure que le cer- 
velet et les lobes olfactifs diminuent. « Les os qui forment la 
boite des espèces vivantes ne sont plus que des lames minces 
et écailleuses comparativement aux parois des espèces fos- 
siles. » (*) 

Dimensions : longueur maxima, au bord interne, 9 centi- 
mètres. 



(•j Vax Bkneoen, Annales du Mune royal d'histoire naturelle de Bclgiiiue, 1. IX, 
p. 9, genre Plcsiocetits. 




— 115 — 7. 

Largeur : à rextrémilé antérieure, 2 7) centimètres. 
Largeur maxima : 4 '/s centimètres. 

Os DE L*0REiLLE. — Nous possédous un complexe osseux très 
intéressant, bien qu'il soit fortement mutilé et corrodé. Il appar- 
tient è la région temporale gauche (fig. IV). 
Le quadratum est solide et allongé; il est creusé peu profon- 
dément à sa face interne, mais la 
dépression temporale est étendue 
dans le sens de la longueur du 
crâne. La surface articulaire pour 
la mandibule, d'après l'inspection 
^*** *^" de la partie conservée, a été con- 

cave. Chelone Van Benedenii se rapproche, par la région tempo- 
rale et par la surface articulaire du quadratum, plutôt de Chelone 
imbricata que de Chelone Mydas et de Chelone caounna. 
L*opisthotique est perdu. 

Le prootique est soudé avec le quadratum, mais sur une plus 
grande étendue que dans Chelone Mydas. Entre ces deux os et 
percé dans le tympanique surtout, passe le canal postérieur qui 
débouche dans la fosse supra-latéro-temporale entre le quadra- 
tum, le prootique et Topisthotiqùe. 
Les deux autres canaux sont également conserves. 
En dessous et en avant de la capsule auditive, se trouve une 
masse osseuse corrodée, néanmoins encore d'une épaisseur de 
plus de 12 millimètres. Ce peuvent être le corps du sphénoïde 
et le ptérygoïdien unis sans laisser de trace de suture. Cependant 
cette partie présente un caractère si anormal, si irrégulier que 
nous croyons avoir affaire à une anomalie ou à un accident de 
fossilisation. Dans les tortues actuelles on ne rencontre rien de 
semblable. 

A rentrée du conduit auditif dans la capsule, il y a un os 
appuyé sur le quadratum et tapissant le méat auditif ainsi que la 
partie postérieure de la cavité périotique. 

La signification de cet os nous échappe et, à moins d'avoir un 
crâne plus complet, on ne pourra décider si cet os dépend de 



8. — H6 — 

l'opisitiotique, du plérygoîJien ou même de l'exoccipilal, ou si 
c'est un os aiiionome, un ptérotique. Dans les espèces actuelle- 
ment vivantes, l'opisihotique, le plérygoidien, lanlôi aussi l'exoc- 
cipital s'étendent plus on moins dans la capsule périoiîque. A 
considérer cette ossiGcaiîon en elle-même, nous croyons plulAl 
avoir affaire h un os autonome. 

Ainsi, CAf/one Van Benedenti aurait un ptérotique, d'après le 
diagramme des os de l'oretlle, tel que le donne Huxley, dans son 
Anatomie comparée ('), 

Longueur totale de l'os conservé : 75 millimètres. 
Pour compléter la description de la région temporale, il nous 
reste h décrire un squamosal droit, ainsi que la 
partie supérieure d'un quadratum du même 
) côté (fig. V). Le squamosal est court et ré- 
tréci, mais par contre il a gagné en hauteur. 
La surface pour l'articulation de l'opislhotique 
est perdue, la surface quadratique est large, ce 
que confirme l'extrémité du quadralum. Le dé- 
Fif. V. vcloppement des apophyses posl-quadra tique et 
squamoso-opisthotîque indique un animal parfaitement adulte. 

Si la relation du squamosal avec le quadralum est telle que 
nous la comprenons, ce que l'on ne peut suffisamment constater, 
vu la corrosion du second os, le premier prenait peu pan à la for- 
mation de la voûte du crâne et occupait presque exclusivement 
la région dorsale de celui-ci. 

Rëgio:< cervicale. — La première vertèbre que nous figurons 
est un axis (fig. VI). Le corps est opistocœlique; la surface arti- 
culaire antérieure pour l'odonloTile est large comme dans les 
chélonées actuelles. Les prézygapopliyses ont leur surface articu- 
laire plus oblique que dans Ch. Myda$. La suture neurocenirale 
traverse les apophyses transverses volumineuses et larges et 
s'ètendant en dehors en ligne droite. Le canal raebidicn, élargi 
on avant, se rétrécit un peu vers le milieu du corps de la ver- 

(') Huxley, Anatomie comparée des animaux vtnébréi, p. 38, édilion rnaftiM. 




lébre, où il est pnrraiiement rond. La partie supérieure des 
neunpophyses est penlue. 

La erëte ventrale est très développée et le lalon de la verlèbre, 
également très allongé, passait notablement sous le corps de la 
vertèbre suivante. Ce lalon est subdivisé & son exlrémilé par une 
gouttière. 
On peut se demander si ce lalon est un développement 
exagéré du corps de la vertèbre ou un élé- 
ment étranger à cet os. L'anatomie du 
Luik permettra, peut-être, de résoudre 
cette question. Paul Gervais(') représente, 
entre les quatre premières vertèbres du 
Sphargit coriacea, un petit os terminé par 
deux prolongements latéraux, qui semblent 
vouloir embrasser la crèie ventrale de la 
vertèbre suivante. Il fait allusion à ces os 
dans son beau travail; nous sommes obligé 
de donner une citation assez longue pour 
Imtelligence du contexte (>) : ■ L'atlas est formé d'un arc supé- 
rieur... dont les deux moitiés ossifiées sont disjointes, et tl est 
complété inférieurement par une bande répondant à celle qui 
existe à l'étal osseux dans les mammifères et les oiseaux..., t7 y 
a au-dessous d'elle une pièce accessoire de consistance osseuse, 
semblable à celle que Cuvier signale dans la Chélonée Mijdas, 
comme ayant une apparence roluliforme.... une masse en partie 
ossifiée, analogue â celle dont il est ic iqucslion, se remarque en 
arrière de la partie inférieure du corps de plusieurs des vertèbres 
suivantes;... il en existe même une, celle-ci entièrement osseuse, 
sous la masse odontotde. ■ 
Ces os sont évidemment les hypapophyses de M. Albreelii. 
Remarquons, en passant, que M. Albrecht considère (^) l'arc 



(■] OtUalagU du Sphargit luth, pl^ncbe VI, fig. t. 
(>) Op. cil., p %9 ri 9ia 

(■] V. k\XMX,Kt, Hole mr U pTOatlat ehei aiiTAKCkCVi KV.CtaoLi.iBaHeWi du ^aiée 
rofal dhittoire nalurtUt dt Belgique, U 11, p. Ï93 ) 




10. - H8 - 

ventral ou le pseudo-centre de l'atlas comme une hypapophyse 
proadanto-allantique; il ne pourrait donc plus y avoir d'tiypa- 
popliyse sous cet arc. Cependant M. Gervais (<) en distingue et 
en figure une;de plus une seconde ■ sous la masse odontoîdc ■- 
La première serait alors la proatlanlo-ailantique, la seconde 
l'atlanio-axoldienne ; mais aussi le pseudo-centre ne pourrait 
(ilre une hypapophyse. Une observation ultérieure permettra de 
décider cette question. 

Revenons à nos fossiles. 

Nous possédons deux vertèbres cervicales, l'axts et la troisième, 
terminées par un talon volumineux portant une échancrure 
médiane : ce talon ne serait-il pas formé, en partie du moins, par 
les hypapopliyses soudées au corps de la vertèbre? Eflective- 
menl, quand on l'examine attentivement on croit observer les 
traces d'une suture presque complètement oblitérée. L'hypapo- 
physc soudée au corps de la vertèbre servirait à augmenter la 
cavité de réception de la lèLe articulaire convexe de la troisième 
vertèbre cervicale pour faciliter les mouvements de rotation de 
la léte. L'échancrure que nous signalions â rextrémtté du talon 
livrait très probablement passage aux vaisseaux nourriciers. 

Longueur de la vertèbre : 4 cenlimélres; le talon conservé 
atteint 13 millimètres; s'il éLaii intégralement conservé, il en 
atteindrait au moins 15. 

Troisième VEiiTÈBnE cervicale (Gg. Vil). — Corps opisihoece- 
tique; tète articulaire trc!< développée et 
en rapport avec la coviié articulaire de 
isisuture neuro-centrale traversant les 
diapophyses; neurapopliyses très dévelop- 
pées et limitant même partiellement la 
base du canal rachidlen.Postzygapophyse 
''" ■ droite conservée et très élevée. 

La crête ventrale est enlevée, mais nous l'avons retrouvée avec 



(<1 OtUotogie du SphargiiLui.'i, pp. yy) et i\0,f\iini:he\l,fig. I,3,4«l8. 




— 119 — i\. 

son talon moins volumineux que celui de Taxis; nous avons fait 
dessiner le talon en place. La trace d'une suture de Thypapo- 
physe avec le corps vertébral semble exister, mais nous ne 
pouvons en acquérir la certitude. L'échancrure du talon est 
presque transformée en un canal. 

Dimensions : longueur 38 millimètres ; celle du talon est de 
9 millimètres. 

La collection de M. Van Beneden renferme encore une partie 
de la huitième vertèbre cervicale, diaprés notre détermination. 
Son corps est légèrement concave à la face antérieure. 

De la région dorsale nous possédons un corps de vertèbre 
assez mutilé. La partie conservée, longue de 5 centimètres, donne 
une longueur de 7 centimètres pour la pièce entière, ce qui est 
en rapport avec la largeur des écailles costales. Volumineux à sa 
surface articulaire conservée, ce corps se 'rétrécit notablement au 
milieu. 

Au Musée royal de Bruxelles, nous avons vu une vertèbre 
complète de cet animal ; elle présente les mêmes caractères. 

Malgré la rareté des vertèbres dorsales des tortues rupe- 
liennes conservées, nous pouvons dire dès à présent que ces 
os présentent dans chaque espèce un faciès à part, que Ton 
saisit du premier coup d'oeil. Nous espérons revenir sur ces par- 
ticularités, quand nous aurons fait connaître les deux autres 
espèces. 

Humérus (fig. VIII et IX). — Un humérus droit parfaitement 
conservé atteint 13 ^s centimètres. Le grand trochanter dépas- 
sant notablement la tète articulaire et fortement incliné vers 
la région postaxiale accuse les habitudes franchement marines 
de cette espèce. La petite tubérosité, confondue ni avec la tète, 
ni avec la crête deltoïdienne, est placée obliquement sur Taxe de 
rhumérus et se projette en dehors. 

La diaphyse s'aplatit et se dilate assez brusquement, conser- 
vant sa plus grande épaisseur au bord interne, et de l'autre 
s'amincit en une crête supinatrice fortement développée. Cette 
dernière indique un grand développement de Thuméro-radial, 



13. 



■ lao - 



ce que conGrme le grand développement de l'entépicondyle, 
comme de l'cciépicondyle. 

L'extréniiié distale esi très intéressante ; elle est Tortement 
oblique & l'axe de la dïa- 
physe. Colle-ci esi per- 
uée, pour le passage du 
nerf radial, par on ca- 
nal ectépicondylien très 
' bien formé ; ce dernier 
commence à la face post- 
axiale par une gouttière 
très longue. 

L'ectépicondyle dé> 
passe tous les autres con- 
dyles; il est séparé net- 
tement de l'eciocondyle. 
Oelui-ci, également bien 
disiincl des deux con- 
dyles voisins, est sur- 
monté, à la face pré- 
e dépression suicondylienne, comme au-dessus de 
l'eniocondyle on observe la fosse coronoîdienne ; mais ces deux 
dépressions sont fsiblemrnt séparées par une crôte à peine visible 
sur l'os pétrifié. A la face pnstaxîale, une dépression sépare l'enio- 
condyle de l'eniépicondyle. Nous n'avons jamais observé un 
humérus de chélonée vivante aussi complet. 

Au-dessus de l'entépicondyle cl presque sur la face posiaxiale, 
on observe une créie allongée et saillante, qu'on ne retrouve pas 
sur les humérus des espèces vivantes. 

Cet os trahit un animal bon nageur : une léte allongée, peu 
large, une carapace déprimée et relaiivement beaucoup plus 
longue que large permettaient à l'animal de fendre rapidement 
les Qois, sans essuyer trop de résistance. 




Main (fig. X, XI et XII). — Nous avons retrouvé trois os de la 
main, d'abord le métacarpien et la première phalange du doigt 



— i^\ — 



iZ. 



Fif 
X. 



Fig. 
XI. 



médian. L'extrémité antérieure arrondie du premier présente une 
surface articulaire concave pour le troisième car- 
|)ale (*). Le diamètre de Tos diminue jusque vers 
le milieu de sa largeur pour reprendre une épais- 
seur plus considérable au delà. L'extrémité distale 
est faiblement convexe ; ce métacarpien a 5 centi- 
mètres de largeur. 

La première phalange n'a que i centimètres; 
son extrémité proximale offre une surface articu- 
laire concave et allongée traversalement. Le corps 
de Pos s'arrondit vers le milieu de sa longueur et 
s'étend en largeur, en reprenant un diamètre plus 
considérable, à l'extrémité distale. 

Un troisième os de la main est brisé ; il me parait 
appartenir au métacarpe; mais nous ne trouvons 
nulle part une extrémité aussi élargie dans les ché- 
lonées vivantes. La surface articulaire de l'extrémité 
proximale est concave et simple; ce ne peut donc 
être le métacarpien des doigts 1 et II, mais celui du 
doigt IV; la longueur de la partie conservée, près 
de 4 centimètres, ne permet pas de le rapporter au 
cinquième doigt. 

Ilion (fig. XIII). — Cet os a été rencontré avec 
les ossemenls de la tèie. Nous n'en possédons que 
l'extrémité distale ayant conservé la surface glénoïde pour le 
fémur et les deux surfaces suturales pour 
le pubis et l'ischion. La grande épaisseur 
de ceue partie proximale et la diminution 
rapide du volume de l'os, ainsi que son 
aplatissement, au delà de sa tète, caracté- 
risent l'ilion de Clielone Van Benedenii. Il 





Fig. XIII. 



(«) Gegeubauer, Unterauchungen zur vergleichenden Anatomie det Wirbelthiere, 
Carpus und Tarsus, pp. 19 et suivantes, planche II, fig. % 



i4 — 122 — 

se distingue par là du même os des ehélonées actuelles, de celui 
de Chelyopsis littoreuSy Van Ben., de celui de Bryochelys Water* 
keynit, Van Ben., ainsi que de celui du Sphargis des mêmes 
couches rupeliennes. 

Nous lui trouvons le plus de ressemblance avec Tilion de 
Chelonia Gerundica (*), Delfortrie. Ces deux ehélonées se ressem- 
blent encore par d^autres caractères, quoique toute identifi- 
cation soit impossible; la chélonée du miocène de la Gironde 
atteignait 2 mètres. 

La cassure montre que la surface de Fos a une texture très 
compacte et que le centre est tout à fait spongieux. 

Pied (fig. XIV et XV). — De Texlrémité des membres posté- 
rieurs nous n'avons retrouvé que deux phalanges, 
qui nous semblent être la première et la deuxième 
Fig. \^\ du doigt II; elles ont respectivement 23 et 26 milli- 
^'^ mk i^ètres de longueur. Leurs surfaces articulaires sont 

tellement nettes que, si on trouvait ces ossements 
seuls, on hésiterait à les rapporter à une chélonée. 
XV. l ' l Elles permettent de constater que le membre posté- 
rieur est réduit relativement au membre antérieur. 

Dermatosqielette. — De la série des écailles vertébrales 
notre collection ne renferme que la dernière sus-caudale. Elle 
affecte une forme grossièrement triangulaire; le sommet de 
Tangle postérieur est arrondi. Elle n'atteint que 28 millimètres 
de longueur sur 26 de large, dimensions trop faibles pour 
Pattribuer à un individu adulte. 

Ecailles costales. — Pour assigner leur rang aux écailles 
costales (^) des Chelone, on s'appuie d'abord sur ce fait constant 
que le sillon longitudinal, tracé par les plaques costales ou 



(*) Delfortrie, Les Chéloniens du miocène supérieur de la Gironde. (Actes DE LA 
Société linnèenne de Bordeaux, t. XXVII, planche XXVI, fig. iS.) 
(«) Delfortrie, Op, cù., p. 8. 



— 123 — 15. 

parles plaques vertébrales, est toujours plus rapproché du bord 
postérieur que du bord antérieur. 

Les écailles costales de rang impair — il faut en excepter 
assez souvent la septième — portent deux sillons se coupant 
sous un angle dont le sommet est tourné vers le bord vertébral 
et de ce sommet part, vers le bord vertébral, un troisième sillon 
séparant deux plaques cornées vertébrales. Les écailles costales 
de rang pair présentent, au contraire, un angle, formé par deux 
sillons, dont le sommet est tourné vers le bord marginal et d'où 
part un sillon, séparant deux plaques dorsales, vers le bord 
marginal. 

Les écailles costales du milieu de la carapace ont leurs bords 
sensiblement parallèles; les autres ont leurs bords obliques. De 
plus, la première écaille dorsale se reconnaît en ce qu'elle porte 
presque toujours une impression faite par la première côte dor- 
sale, qui reste petite, un peu au-devant de la seconde côte soudée 
à la première écaille costale. Cette seconde côte est généralement 
considérée comme étant la première. De même la huitième écaille 
costale se distingue par une impression semblable faite par une 
côte analogue derrière la côte soudée à la carapace. Il y a donc 
en réalité dix côtes dorsales dans les tortues (*). 

Malgré ces règles, des difficultés surgissent encore, quand les 
sillons sont effacés, comme c'est le cas pour la première écaille 
que nous représentons et à laquelle nous assignons le premier 
rang à drof/e, à cause d'une impression causée très probablement 
par la première côte dorsale : la courbure de la seconde côte, 
soudée à la carapace, concourt à lui assigner celte place. 

Nous possédons sept écailles dorsales, dont quatre sont suffi- 
samment conservées pour nous donner une idée du dermalo- 
squelette de ces reptiles. Elles se distinguent aisément des mêmes 
os de Bryochelys par l'absence des expansions foliacées (^) carac- 



(*} Delfortrie, Lex Chéloniem du miocène supérieur de la Gironde, p. 6. 
(S) Van Beneden, Bulletin de l'Académie royale de Belgique, t. XXXI, p. i% et Patria 
Belgica, i^ partie, p. 375. 



lérisiiqiies de celle dernière espèce ei aussi en ce que les écailles 
— connues de celle dernière — sont louies légèremenl concaves 
à leur face dorsale. 

PnExiËRe ÉCAiLU DORSALE DBOiTB (fig. XVI Cl XVII). — Celle 
pièce semble s'écarter un peu de la forine habiiuellc des pre- 
mières écailles cosialcs. Le bord vertébral est brise; les sillons 
des plaques cornées sont effacés; au milieu de la longueur de 
l'éceille et au bord antérieur se trouve un sillon semi-circulairo, 
qui ne peui être dû h l'impression d'une plaque cornée. A Ib Tace 
inférieure, l'os y présente un arréi dans son développement, il y 
est comme excavé. 




Pi|. XVI. 



Fig. xvii. 



La face ventrale de l'os conserve une légère empreinte de la 
première vraie côte dorsale, tandis que la secondées! complète- 
ment coossifiée avec l'os dermique ei est peu apparente. La forme 
de cette écaille est grossièrement triangulaire. 

Longueur : 13 ceniimèlres. 

Largeur : 7 ceniimèlres. 



— i25 - 



17 



Épaisseur : au bord vertébral de 13 millimètres, elle dimintiR 
sensiblement vers le bord marginal, excepté là où l'écaillé est 
soudée à la côte. 

Deux autres écailles prennent le rang 1(1 et IV gauclie 
(6g. XVIII et XIX), comme le démontrent les sillons des pla- 
ques, leurs bords sensiblement parallèles et la position des côtes 
au milieu des écailles. 




Les sillons des plaques cornées sont assez profonds; leur dis- 
position indique de grandes plaques vertébrales. Les cèles sont 
comme écrasées, très larges, peu distinctes de l'os dermique : 
Chelone Van Bmedenii est donc sous ce rapport nettement dis- 
iiDcl de Cfulonia Gerundka ('), Delfortrie. 

Troisième costai^ gauche. — Longueur de la partie conservée, 
11 Vj centimètres; largeur moyenne, 7 centimètres; épaisseur 
constante de près de 1 centimètre. 



18. — 126 — 

La pièce était parliellement ossifiée et la c6tc se prolongeait 
librement au delà pour se réunir aux écailles marginales. 

La lubérosiié de la càieest étendue en longueur et elle atteste 
par sa faible courbure, comme celle de l'écatlle suivante, une 
carapace déprimée. Au boni vertébral, à la face dorsale, quelques 
rides s'étendent de la côte aux bords; au delà quelques autres 
suivent obliquement la direction de la côte. 

QuATREÉHE DORSALE GAUCHE. — Elle 8, à peu prés, les mêmes 
dimensions cl les mémos caractères que la précédente. 

SixiÉHE DORSALE GAUCHE (Gg. X\). — Cette ccaille est plus 
large vers le bord marginal qu'au bord 
vertébral. 

Longueur : 10 '/, centimètres. 
Largeur, au bord vertébral : 4 '/i ^^^i^' 
timctres cl atteignant 6 centimètres. 
Épaisseur de près de 1 centimètre. 
La côte, plus rapprocliée du bord pos- 
I térieur, est aplatie et large, mais son pro- 
i longement au delà de l'écaillé semble 
f avoir été peu large. 

Outre ces quatre écailles, nous possé- 
dons encore trois autres trop mutilées pour 
que nous puissions leur assigner leur 
*'' " plaoe. 

La carapace de cette tortue devait donc être solide, quoique 
incomplète dans ses écailles costales, déprimée, relativement 
longue et peu large. Elle pouvait atteindre 80 centimètres 
de longueur; nous estimons sa plus grande largeur à 50 centi- 
mètres. 

Plastron (Bg. XXI et XXII). — Nous ne possédons que deux 
pièces du plastron; elles ont été attribuées au Bryochelys Water- 




— 127 — 



19. 



keytiii, alors (') qu'on ne possédait encore que de rares débris 
des chélonces rupeliennes. Mais les découvertes ultérieures onl 
montré qu'il existait plus d'une forme fossile de tortues dans 
ces dépôts; ces deux pièces du plastron ont dû être attribuées, 
avec une pièce costale exhumée en même lemps, à l'espèce qui 
nous occupe. Nous sommes en possession aujourd'hui du xiphi- 
pksiron de Bryockelys. 
Le plastron était conformé d'après le type ihalassile actuel, 
et s'écartait, par conséquent, notablement 
du plastron de la plupart des «hélonées ■ 
de l'éocène d'Angleterre, décrites par 
R. Owen. 

Une première pièce (6g. XXI) est une 
partie de l'hypoplasiron, dilatée, avec des 
stries et des rayons brisés. 

Le xtplii plastron (lig. XXIl), dont une 
partie de l'extrémité dislale est perdue, 
al teint encore 12 centimètres de longueur. 
II a 3 centimètres d'épaisseur à son extré- 
mité proximale; au delà, l'épaisseur dimi- 
nue, mais l'os s'élargit notablement, attei- 
gnant 4 'ji centimètres. 

L'extrémité antérieure montre à sa face 
interne deux gouttières pour loger les pro- 
longements rayonnants de l'Iiypoplastron. 
Sa pointe est brisée. Le bord fxiérieur est 
dentelé. 

L'épaisseur de la plupart des os de 

Chelone Vati Benedenii semble être un 

caractère particulier de cette espèce, si 

l'on tient compte de la taille moyenne 

qu'elle devait atteindre. 




[<) Vak Bemiden, Les Repiites foaiUs en Belgique. {Bclletis DE l'Acauéhie rovâlï 
DE Bei.ciuue, ir itni-, i. XXXI, p. \±\ 



20. — i28 — 

A l'instant où nous corrigeons les épreuves de ce travail, nous 
recevons le mémoire (^) de M. Dollo sur les Chéloniens lande- 
niens, dans lequel le naturaliste du Musée de Bruxelles divise les 
espèces du genre Chelone en deux genres : Chelone et Pachy- 
rhynchus. L'espèce qui nous occupe doit rester dans le premier 
de ces genres. 



(1) L- D0LL0« Chéloniens landéniens de la Belgique. (BULLETIN DU MusÉE royal, etc. 
l. IV, p. 129.) 



— 139 — i 



COURS 

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES 

PROFESSÉ 

A LA FACULTÉ CATHOLIQUE DES SCIENCES DE LYON PENDANT L'ANNÉE iSSfi 

PAR 

M. le G'« de SPARRE 

Professeur aux Facultés catholiques de Lyon. 



Je me propose, dans les pages qui vont suivre, de reproduire 
les parties principales d'un cours sur les fonctions elliptiques que 
j'ai professé dans Tannée qui vient de finir devant quelques 
élèves qui se proposaient de pousser leurs études au delà du 
programme de la licence. J'en retrancherai toutefois certaines 
parties, en particulier celles relatives au pendule conique et à 
l'intégration par les fonctions elliptiques, parce que ces points 
ont été traités précédemment par moi dans ce recueil. 

I. — Quelques propriétés des fonctions doublement 

périodiques (*). 

1* Si Ton considère les zéros et les infinis d'une fonction dou- 
blement périodique qui sont situés dans un même parallélo- 
gramme élémentaire, la somme des zéros ne diffère de celle des 
infinis que par un multiple des périodes. 

Soit aj^a^ ... a. le zéro de la fonction doublement pério- 
dique f{z) a^a^.,.a^ ses infinis, compris dans un parallélo- 



(*} Ce premier paragraphe est extrait de l'ouvrage de MM. Rriot et Bouquet. 
X. 9 



2 — 150 — 

gramme élémentaire, 2K ei 2iK' les périodes de /(z), prenons o^ 
de façon que Ton ail 

(I) «1 -♦- a,-» -4- a, — (oi -+-01-4- ••• -f a,^, -4- a'J = 2iw'K -♦- 2wtK' 

où m et m' sont des nombres entiers et où al est situé dans le 
parallélogramme élémentaire considéré (condition toujours pos- 
sible et qui détermine m et m'), 
La fonction 

=^ \l{z - a.) ... H( z-a„OH(z-a:) 

'^^ ^ H(2 — a,)... H(Z- cxj 

est doublement périodique, ainsi qu'on le voit tout de suite en 
se rappelant les relations 

H(z-^2K)=— H(z), H(z -4-2iK') = — e » U(z) 

et tenant compte de l'équation (1). 

Le rapport ^ est aussi doublement périodique, et comme il 
n'aurait dans le parallélogramme qu'un seul infini al il se réduit 
à une constante, et on a a^ = a,, donc 

2 «* — 2 «A = 2mtK'-4- 2m'K; 

2** La somme des n valeurs de la variable qui dans un même 
parallélogramme correspondent à une même valeur de la fonc- 
tion est constante, abstraction faite des multiples de périodes. 

Soit a^ ... a. les n infinis de la fonction doublement pério- 
dique f(z) la fonction 

f{z) - u 

où u est constant a les mêmes infinis, elle a aussi n zéros 
Z|Z2 ... z^ et d'après ce qui a été dit plus haut on a 

2 «* - 2^* = 2m/K' -♦- 2m'K. 
Donc la somme z^ -h Zj ... -h z, des n valeurs de la variable 



— 43i — 3. 

qui correspondent à une valeur donnée de la fonction est donc 
constante aux multiples de périodes près; 

3® Une fonction doublement périodique du deuxième ordre 
dont les infinis sont a et ^ satisfait à la relation 

f(z) est du deuxième ordre et a les infinis a et p. A une valeur u 
de f(z) correspondent dans le parallélogramme deux valeurs 
de z, Zi et z^ et Ton a diaprés ce qui précède 

z, -♦- z^ = a -♦- p -*- 2mi K' -f- 2m'K 

doù 

z, «= a -f- p — r, -f- 2mtK' -f- 2w'K 

et par suite 

puisque par hypothèse Z| et z^ sont les deux valeurs de z qui 
correspondent à une valeur u de f(z); 

4"* La dérivée d'une fonction doublement périodique du 
deuxième ordre aux périodes 2K et 2tK' et ayant deux infinis 
simples a et P admet les quatre zéros 

a-*-ô a ••- ô a-t-6 .. aH-6 



2 2 



Soit d*abord une fonction doublement périodique telle que 

fie -z) /-(z). 

On aura en faisant : 



i. r(î)=-rfâ-j:«. 



en faisant 



Î^K. a(|-hk) ^(^-k) = J"ou. 



4. — i32 — 

en faisant 



'=i-'»^'. /(|-'K')=-a(Î-.-K') = J"o«. 

en faisant 

z=|-^ K + t-R', a(^ + K + «K-') = - /(^ + K + t-K') = jou. 

o 

La somme des autres zéros deux à deux et de même eelle des 
infinis est égale à c, car les deux fonctions f{z) et f{c — z) 
admettent les mêmes zéros et les mêmes infinis, par suite si a est 
un zéro c — a en est aussi un, si cl est un infini c — a en est 
aussi un. 

Soit en second lieu une fonction telle que /"(c — z) = f{z) 
(les zéros et les infinis de cette fonction ont encore deux à 
deux une somme égale à c), on aura alors pour cçtte fonction 
/"'(c — z) = — /'(^j; donc les quatre valeurs -,» | -*-K, \ -htK', 
I 4- K H- iK' sont des zéros ou des infinis de f{z). 

Pour une fonction doublement périodique du deuxième ordre 
on a diaprés ce que nous avons vu 

Donc tes quatre valeurs 

2 ' 2 "2 2 

rendent /"'(z) nul ou infini. 

Si la fonction f{z) a deux infinis simples a et P la dérivée ayant 
les deux infinis doubles, a et ^ est du quatrième ordre, ses 
quatre zéros sont les quatre valeurs précédentes. 

Si la fonction a un infini double a, la dérivée ayant Tinfini 
triple a est du troisième ordre et ses trois zéros sont 

a^-K, a-*.?K', a + K-f-tK'; 



— 433 — 5. 

5* Une fonction méromorphe doublement périodique n=/'(2), 
du deuxième ordre, satisfait à une équation différentielle de la 

forme 

du , 

— ^V A -*- Bm -f- Cm* -+- Dm* -^ Fm*. 
dz 

Le polynôme sous le radical étant du troisième et du quatrième 
degré. 

Lorsque u a deux infinis simples a et (3, sa dérivée u' est du 
quatrième ordre et u'^ du huitième avec quatre zéros doubles et 
deux infinis quadruples. 

Soit 



i^K 



-(^)-[fl')-At-^)][AW-A(- 

[^,„_f(î^.,-K.)][A„-,(lii.K..K-)]. 
qui admet les mêmes infinis quadruples et les mêmes zéros 

/y i (Il 

doubles (puisque —~^ par exemple, annule le premier facteur 
e( aussi sa dérivée /'(jz) ), donc u'^ et (p(j3) avant les mêmes zéros 
et les mêmes infinis sont dans un rapport constant. Le polynôme 
sous le radical est donc dans ce cas (ou u a deux infinis simples 
OL et ^) du quatrième degré. 

Lorsque u a un infini double a, u' ayant un infini triple est du 
troisième ordre, ses trois zéros sont a h- K, a -h iK', a -h K h- iK', 
n'^ est du sixième ordre avec un infini sextuple a et les zéros 
de u' seulement au deuxième ordre, donc 

y(z) = [(X) - A« -^ K)][A^) - A« ^ i^')\m - /*(* ■*- ^ -^'^)\ 

ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis que u'' et au même 
degré (a + K, par exemple, annule le premier facteur et aussi sa 
dérivée f{z) ), sera dans un rapport constant avec cette fonction. 
Le polynôme placé sous le radical est dans ce cas du troisième 
degré. 



6. — 134 — 

II. — Identité des fonctions elliptiques définies au moyen de 
l'inversion des intégrales et de celles définies par les fonctions 
H et e. 

Considérons la fornnule 

1 H(îi) , .- H,(0) 

sn u = ou V k= — — - , 

i/lB[v) e,(0)' 

snti étant la fonction définie par Tinversion de l*intégrale 

dx 



-./■ 



l/(l_x')(i— AV) 



cette première formule ne sera pas exacte si Ton prend pour 
H(u) et e(ti) deux fonctions formées avec les constantes K et t'K' 
assujetties à la seule conditioa que la partie réelle dans le rap- 
port 1^ soit positive, et sans cela quelconques. 

En effet, dans snu défini au moyen de Tintégrale considérée 
plus haut, on a 






iK'== / 



• ir 



dx 



V/(i-x^)(l_ittx«) 
pour K', d*ailleurs la dernière équation se transforme en posant 

A»x« H- ife' V = \ , d'où x« = — — — , 

kr 

dans la suivante 

J 1/(1 _ z')(l — A'«z») 

Ces deux constantes K et K' ne dépendent donc que d'un seul 
paramètre k et par suite il n'y en a qu'une seule d'arbitraire. 



— 135 — 7. 

Posons maintenant dans le cas général où K et K' sont assu- 
jettis à la seule condition que la partie réelle soit positive dans le 
rapport |^ 

;i(m)== — KA:=s • 

V/fc0(ii) 0,(0) 

Il résulte des propriétés des fonctions H et 6 que X(u) est une 
fonction doublement périodique aux périodes 4K et 2iK' avec les 
deux infinis simples iK' et 2K + iK'. 

Diaprés ce que nous avons vu dans le paragraphe précédent, 
sa dérivée admettra les quatre zéros simples 

K ^ iK', 3K -*- iK', K ^ 2iK', 3K -♦- 2tK' 
et on aura, comme nous Tavons fait voir, 



»«a[^a»-1J|a»-1]. 



A désignant une constante. On a en effet en vertu des propriétés 
des fonctions et H, 

i 0,(0) 1 

1 H,(0) 

A(K 1- 2iK') = - M3K -H 2iK') « >(K) == —^^^ = ^• 

Si donc nous désignons par g la valeur de X'(m) pour ti = 
nous pourrons écrire 

i'«(ii)=»9«[i-A»][l-*V(t/)]. 

Cette équation différentielle est évidemment celle à laquelle 
satisfait la fonction doublement périodique sn^ru et comme 
d^ailleurs sn gu et 'k{u) sont tous deux nuls pour ti = on en 

conclut 

x(u) = sn gu. 



8. ~ 136 — 

La quantité constante g est ce que Ton appelle le multiplica- 
teur, et on a alors pour déterminer K et 9 les deux équations 

J |/(i _ a») (i — *V) 

•/ 1/(1— x«)(l— *'V) 

car les périodes de sn gu étant 4K et S/K' celles de sn z sont 

45fK=>K, et 25f/K'=2tK;. 

D*ailleurs g étant, d*après ce que nous avons vu, la valeur de 
la dérivée de sn gu pour u = on déduit de la formule 





1 H(«) 
sn au — , 

V~k e(«) 


Puisque l'on a 


1 H'(0) 

^ Vk « (0) 

1 H(«) 
sn «M , 


on en déduit (*) 


• 



, /k' w 

ou 

il suffit, pour s en convaincre, de remarquer que dans chacune 



(•) En supposant cns et dn z définis par les équations cn's = i — sn*5, dn'8=l — ic*sn*s 
auxquelles on joint la condition cnO = dnO = H- 1, ce qui les détermine complètement. 
Il résulte de là que les zéros de en: sont Kf et — Kf ses infinis iK'i et - iYi\, que les 
zéros de dus sont K| -4-iK', et - Ki — /K'|, ses infinis ilk\ et - /K'|. 



— 457 — 9. 

des deux équations écrites ci-dessus les deux membres sont des 
fonctions doublement périodiques aux mêmes périodes admettant 
les mêmes zéros et les mêmes infinis et que de plus ces deux 
membres se réduisent à Tunité pour u = 0. 

Nous allons maintenant faire voir que réciproquement si Ton 
considère la fonction sn u comme provenant de Tinversion de 

rintégrale 

/"" - (Ix 

u= I 

•/ l/(|-x')(1- ^V) 

cette fonction sn u peut être exprimée au moyen des fonctions 
6 et H. Il suffit pour cela de faire voir que les deux constantes 
K et K' définies par les deux équations 

■J 1/(1 .- 3?)(\ — k'x*) J VT^k^&xn'f 







K'= r ^'^ r '^^ -- ■ 

K' 

sont telles que la partie réelle dans le rapport ^ est positive, 

c'est en eflet la seule condition nécessaire et suflisante pour que 

Ton puisse former avec elles des fonctions 6 et H. 

Voici pour ce fait la démonstration de Riemann {*), 

Posons 

A:' = -H bi. 

Nous aurons, les deux intégrales étant supposées rectiligncs 



'/ l/i — («H-6i)sinS •/ 






•« d 



(a H- 6i)sin*ç? •/ \/ \ — (l — ti — 6/)sin\ 

Soit encore Kq la quantité imaginaire conjuguée de K 



/ 1/1 — (a — 6i)siii*'^ 



(*) Donnée par M. Hennite dans son cours lithographie de la Sorl)onne. 



10. — 138 — 

Nous envisagerons le produit KqK' en le mettant sous la forme 
d*une intégrale double 



/ / 1/ 1 — (1 — a ~ 6t)sin% l/F— (a — 6i)sin^' 
Nous ferons en supposant 6^0 



\/i_(1_-a — 6i*)sin»î. V/i — (a — 6i)sin«^ = X -♦- t6Y, 
de là on tire en élevant un carré et égalant les coefficients de i 

[1 — (I — a)sin'ç»]sin*^ h- (i — a sin* ^) sin* ^^ = 2XY, 

ou bien 

sin'/» cos'? -♦- sin*f = 2XY, 

et Ton voit que le produit XY est toujours positif et ne s'annule 
que pour cp = et ^ = 0. Mais dans ce cas c'est le facteur \ 
qui s'évanouit, tandis que X a la valeur initiale du produit des 
radicaux y c'est-à-dire l'unité positive. Par suite lorsque les 
angles 7 et ^ croissent de zéro à ^, X, qui ne passe jamais par 
zéro, garde son signe et reste toujours positif. Cela étant, il suffit 
d'écrire 



T ?r T 



/• /■ 






m 

et l'on reconnaît que la partie réelle de KqK' est positive, il en 
est par conséquent de même pour celle de^-g^ = g-, car KK© 
produit de deux imaginaires conjuguées est réel et positif. 

Lorsque b est nul et a supérieur à Tunité ou bien négatif, une 
des quantités K et K' est réelle et positive et l'autre imaginaire. 
Dans le premier cas, par exemple, le radical l^t — asin^ 9 passe 



— 159 — il. 

du réel à Timaginaire pour une certaine valeur fo de <f de sorte 
que K est imaginaire, mais sa partie réelle étant exprimée par 
rintégrale 

Q l/l — asin'f 

K' 

est essentiellement positive, de sorte que le quotient ^ a aussi 
sa partie réelle positive. Lorsque Ton suppose au lieu de cela 
a négalif K est réel, et le radical 1^1 — (1 — a)sin*ç passe du 
réel à Timaginaire pour une valeur f^ de f , par suite K' est 
imaginaire, mais sa partie réelle est positive puisqu'elle est 
exprimée par l'intégrale 

*^i df 



/^i df 

l/l — (1 — a)sin''^ 



III. — Rappel de quelques formules supposées connues 

sur les fonctions elliptiques. 

Ces fonctions sont définies par les séries suivantes : 



2K 






nru 



.(«) = ! +«2 (-l)Veos — 






nnn 

1 



OU 






7=c 



42. — 440 — 

Elles jouissent d'ailleurs des propriétées données par tes 
relations suivantes {*) : 

H (x -^ K) = H,(x), e (x ^ K) = ei(x), 

H|(x -f- K) = — H(x), e,(x -f- K) = e(x), 

H(x ^ iK) = ie ^ e(x). e(x -f- iK') = te ** 'fl(x), 



H,(x-+-tK')«=e *''^*"'*'''^e,(x), e,(x -+- iK') = e *''^*'"^'''' H,(x), 



formules dont on déduit les suivantes : 

H (x -^ 2K) = — H (x), H, (x ^- 2K) «= — H|(x), 
e (x -H 2K) = 0(x) , 0, (x -I- 2K) = e, (x), 

H(x -^ 2iK')= — e" ^*"^*'^H (x), 0(x ^ 2tK') = — c" "^^'^'''^©(x), 
H,(x -f. 2iK') = c~"^^'"*'"'^H,(x), Q,{x -*- 2iK') = c" ■^^'*"' 0,(x), 
En supposant le multiplicateur égal à Tunité, on a 

snxe= , cnx=\/_ , dnxs=K« 



V'r 



l/jfc0W' V T©(x)' e(x)' 

ou 

«,(0)' e,(0)' 

et l'on déduit des formules prccédenles 

en X sn X A> 

sn (x -h K) = - — , en (x H- K) = — k' - — , dn (x -f- K) = 



dnx* dnx' dnx' 

4 4 idnx cnx 

8n(x-+- iK') =■- , cn(x -f- «K') = — , dn(x-»- tK')= — i » 

«snx Arsnx snx 

4 dnx ilc' 4 snx 

sn(x-f-K-+-tK')=7 , cn(x-»-K-f.tK')= — ; , dn(x+K-f-tK')=* — , 

*cnx * cnx ^ cnx 



(*} J'ai cru utile de réunir en un même tableau les formules précédentes» que je 
suppose connues, et dont l'emploi est constant. 



— 141 — 13 

ec aussi 

80 {x -♦- 2K) = — sn X, sn (x -♦- 2tK') == sn x, 
en (x -♦- 2K) = — en X, en (x -♦- 2iK.') = — en x, 
cln(x-t-2K)==dnx, cln(x -f- 2tK') = — dnx. 

IV. — Fonctions doublement périodiques de deuxième espèce. 

Soit une fonction F(x) satisfaisant aux conditions 

F(x-^2K) = A*F(x), 
F(x-^2tK')=/*T(x), 

où K, K', fx et II' sont des constantes, cette fonction est, d après 
une définition donnée par M. Hermite, dite doublement pério- 
dique de deuxième espèce aux périodes 2K et 2tK'. fx et fx' sont 
les multiplicateurs correspondants à ces deux périodes. 

Cette fonction F peut 8*exprimer au moyen des quantités BetH. 

Soit A désignant un facteur constant 

Les relations rappelées plus haut 



-^(x + .-K') 



H(x -f- 2K) = — H(x), 
H(x^2tK')= — H(x)e 

donnent celles-ci 

/•(x-f. 2K ) =» /•(x)e«\ 
/'(x-*-2iK') = ^(x)c 

disposons donc de co et A de manière à avoir 









i4. 



— 442 — 



on voit que le quotient ^| est ramené aux fonctions doublement 
périodiques ordinaires, d'où cette première formule générale 

F(x) = /-(x)*(x), 

<t (x) étant une fonction doublement périodique ordinaire ou de 
première espèce. 
Mais desl^lations 

^""^7i^+ 2K) = f^M 



on déduit 



dique, ordi- 




/•(x — 2K)=>f(a-)i 

/•(x-2iK') = -^Ax 

de sorte que le produit 

*(z) =- ?{z)f(x - z) 

sera quel que soit x, une fonction doublement péi 
naire ou de première espèce de z. 
On a en effet par hypothèse 



F(z -^ 2K) = fiF(z), F(z ^ 2iK') = f*T(z;, 
et, d'après ce que nous avons dit à l'instant, 

/•(x — z — 2K) = ^f{x — z) , F(x — z — 2iK') = -/"(x — 

Cela étant, nous allons calculer les résidus de 9{z) par les 
diverses valeurs de z qui le rendent infini dans l'intérieur du 
rectangle des périodes, et nous égalerons leur somme à zéro. 

Remarquons à cet effet que f(x) ne devient infini qu'une fois 
dans le rectangle pour x = et que son résidu a pour valeur 

AH(cj) 



— 143 — 



15. 



On peut disposer de A de façon à le faire égal à Funité, il 

suffira de prendre 

H'(0) 



A = 



H(«) 



Nous poserons donc en adoptant cette détermination 

H^(0)H!xH-«) ^ 
'^""^ H(«)H(x) ' • 

De cette façon le résidu de $ (z) correspondant à jz => x sera 
— F(x), car le résidu de f(x) pour x = étant 1, celui de 
f(x — z) pour z = ac sera — i . 

Nous aurons les résidus qui proviennent des pôles de F (z) 
, de la façon suivante : 

Soit z = a un de ces pôles, et posons en conséquence, e étant 
in6mment petit, 



F(o+f)=Ar' 



A|D,f *-*-A,Dj£ *H hA^D΀-*H-ao-+-a,f 

= /-(x - a) - î D. Ax -a) ^ ^-^ Dî/(x 



Ojf -+-•••, 



-a) 



i .2... a 



Dif(x - a). 



Ce qui est possible puisque a est un pôle de F(z) et un point 
ordinaire pour f(x — z). 

Ije coefficient du terme en | dans le produit des seconds 
membres se trouve tout de suite en remarquant que 



1.2. n 



r«-*-l 



ce coefficient aura pour expression 



A^x — a) + A.D.^x — m) -+- ... -♦- A^Dî/'x — a). 

La somme des résidus de la fonction $(z) égalée à zéro nous 
conduit donc à la relation 

F (ar) =2[AAa: — a) -^ A.D.^x — a) -^ ... -h A^OJ^x — a)], 



i 



46. — i44 — 

puisque — F(x) est, ainsi que nous Pavons dit, le résidu de ^(z) 
relatif au pôle z = x. 

Telle est la formule très importante obtenue par M. Hermite 
pour la décomposition en éléments simples des fonctions double- 
ment périodiques de deuxième espèce ; la démonstration précé- 
dente est d*ailleurs celle qui a été donnée par Téminent géomètre. 

Dans cette formule le signe S se rapporte, comme il a été dit, à 
tous les pôles de F(z) qui sont à Tintérieur du rectangle des 
périodes. 

Remarque importante. — La fonction /*(x), qui sert d*élément 
simple dans la décomposition, est, ainsi que cela résulte de la 
démonstration, assujettie aux seules conditions : d'avoir les 
mêmes périodes et les mêmes multiplicateurs que F(x), un seul 
infini simple dans le parallélogramme correspondant à x = et 
le résidu correspondant égal à Tuniié. On peut évidemment s'af- 
franchir des deux dernières conditions (c'est-ànlireque Tinfini cor- 
responde à X = et que le résidu correspondant soit égal à 1). 

Soit en effet cp(x) une fonction ayant les mêmes périodes et les 
mêmes multiplicateurs que F(x) et un seul infini simple dans le 
parallélogramme correspondant à x = c et R pour résidu cor- 
respondant, on n'aura qu'à poser f(x) = ^^^^^^, /"(x) remplira 
alors toutes les conditions primitives et Ton aura pour la formule 
donnant la décomposition en éléments simples 

TA Aj Aa "I 

F(x)^^\:'f{X'¥-c-'a)-^--D,f{X'^c^a)'^'''-^ — 

sous cette forme la formule sera parfois plus avantageuse, parce 
qu'il arrivera assez souvent que l'on pourra trouver tout de suite 
une fonction (p(x) ayant les mêmes périodes que F(x) avec les 
mêmes multiplicateurs et un seul zéro dans le parallélogramme. 
Il est souvent utile pour l'application du théorème précédent 
d'avoir le développement suivant les puissances croissantes dex, 
de snx et de — . Il existe des procédés particuliers pour obtenir 
ces développements, mais lorsque l'on n'a besoin que de quelques 
termes, on peut les obtenir par le procédé suivant. 



- 445 — 17. 

Posons 

sn X == A,x -♦- Asx' -H Ajx" -♦- A7X' -♦- ••• 

on ad ailleurs 

dsn X 



dx 



=3 en X dn jr, 



c/'snx 

-— — = — (i -+- A') sn X -f- 2Jfc' sn^x, 
ax' 

et remplaçant snx par son développement dans les deux membres 
de cette égalité, on aura 

3 .2AsX -¥■ 5. 4AsX* h- 7. 6A7X* -♦- ... 
=.-(1 -♦-ik*)A,X4-[2ik'Aî-(l -^*«)A3]x»-^[6ii;'A;A, -(1 H.ik')A5]x'^-+-- 

Comme d'ailleurs pour x = , ^^ est égal à t , on a A| = 1 , 
tenant compte de cette relation et égalant les coeflicients des 
mêmes puissances de x dans les deux membres, on obtient 





^ +*' 




i H-U*«-+- 


** 


A, = - 


3.3 


t An '• 


2.3.4.5 






1 -*■ 


iZW-^ i35Jk* -♦-*• 




A,= 


■■* 


2.3.4 


.5.6.7 


• • 


Posons ensuite 










. 


' . 


-♦- OjX* 


-♦- QiX* -♦- ..• 





sn X 



Nous aurons, en multipliant les deux membres par snx et 
remplaçant dans le résultat snx par le développement que Ton 
vient d obtenir, 

X = X -♦- (ot -♦- A5) jr* -I- (04 H- OtAj -*- Aj) X* • • . 

D*où Ton déduit en tenant compte des valeurs de A3, A^ ... 

i-^k' 7 — 22A* -4. 7A* 



(I, s — — — , a^ 



2.3 5.2. 3.4. 5 

X. JO 



18 — U6 — 

Proposons-nous comme application du théorème précédent de 
retrouver l'expression de 8n(x -^ a). 

Remarquons pour cela que cette fonction devient in6nie pour 
X = — a 4- iK' et X = — a 4- 2K •+- iK', de sorte que Texpres- 
sion 

sn (x -4- a) [sn x — sn (t'K' — a)] [sn x — sn (2K -*- t'K' — a)J, 

qui peut s'écrire en la multipliant par k^su^a 

f{x) ^= sn (x •♦- a) [fc* sn*x sn'a — I] , 

peut être considérée comme une fonction doublement périodique 
de deuxième espèce aux périodes 2K et 2tK' admettant le seul 
infini x «=3 t'K' qui est un infini double et ayant pour multiplica- 
teurs ceux de snXy — 1 et 1. 

Comme d'ailleurs snx n'a qu'un infini dans le parallélogramme 
qui est précisément tK', c'est ^ qui servira d'élément simple en 
désignant par R le résidu de snx correspondant à x=:tK', 
d'après une remarque faite plus haut. 

Mais 

i i 

sn (x -f- tK') = 7 I d'où R = -» 

A; snx k 

la quantité qui servira d'élément simple sera donc A: snx. 

Reste à trouver la partie principale du développement de f(x) 
pour X = iK' -h e. On aura 

'^ ^ A:sn(a-t-f)L8n»f J 

.Mais en se bornant aux termes qui contiennent des puissances 
négatives de e on pourra remplacer ^ par ^^ car cette fonction 
étant paire ne contiendra pas de terme en ^ dans son développe- 
ment. 

On aura ensuite 

i i en a dn a 

t. 



X; sn (a -4- f) A sn a A: sn *a 



►■ 



— 147 — 19. 

Donc 
, . 80 a i en a dn a 1 en a dn a , sn a _ . 



Par suite 



^ , sna 

f(x) = — en a dn a sn X 7- I),k sn x 

K 



OU 

^(x) = — en a dn a sn X — sn a en x dn x. 

On retrouve donc la formule connue 

sn X en a dn a -t- sn a en x dn x 



sn (x -♦- a) = 



i — fe'sn'asn'x 



M. Mittag LefQer a fait remarquer que le théorème de M. Her- 
mite était en défaut lorsque Ton a 

(\) «=db2iwKrb2fiiK', 

où m et n sont des nombres entiers positifs. 

En effet, dans ce cas la valeur de la fonction f(x) qui sert 
d'élément simple se présente sous une forme illusoire, H(6>) 
étant nul. 

On pourrait déduire la formule pour ce cas de celle donnée 
par M. Hermite, mais nous allons l'établir directement en don- 
nant la démonstration de M. Mittag-Lefller. 

Nous remarquerons d'abord que si &> a la forme (1), on peut 
mettre les deux constantes fx et /x' sous la forme suivante 

(2) ic*=:c«^', A*' = e**'''. 

On a en effet, dans le cas général, 

et remplaçant &> par sa valeur (1) on a 



20. - U8 — 

Mais la valeur de ii peut évidemment s'écrire aussi 

a=e«(''-"-?). 
puisque n est entier. 

La condition nécessaire et suffisante pour que la formule 
donnée précédemment soit en défaut est par conséquent que les 
deux constantes /x et fx' puissent être mises sous la forme (2). 

Ceci posé : 

Soit F(z) une fonction uniforme quelconque avec le seul point 
singulier essentiel O ^= ^ et soit A la somme des résidus des 
différents pôles de cette fonction qui sont situés dans Tintérieur 
du parallélogramme ju + Ç 2K + >? 2tK' (on entend par là le 
parallélogramme qui contient tous les points que Ton obtient en 
donnant à { et >7 des valeurs réelles quelconques comprises 
entre et 1). Nous supposons de plus qu'il u\ a pas de pôles 
sur le contour du parallélogramme. 

On a alors 

I 2TtA=-- 2K f\F{p -♦- 2K0 - F(;i -4-2iK'-^ '2Kt)]dt 

(3) ! 

-2iK'/''[F(p -♦-2tK'«)— F(p-«- 2K ^2iK'l)](/l. 



Soit maintenant F(x) i^ne fonction doublement périodique de 
seconde espèce pour laquelle les deux constantes fx et fx' ont la 
forme (2) et mettons en supprimant Tindice de X 

H(î) 

F(z)=F(z)f{x-z), 

on a alors 

F{z-*-iK) = F(z), 

F{z-^ 2iK') = F(z), + ^ «'"-" F (z). " -v 



(*) Un point singulier essentiel s = a est un point oti la fonclion présente si l'on |)^ 
s = a -hs un développement qui contient des puissances indéfiniment croissantes de X 
Nous rcTicndrons d'ailleurs sur ce point. \ 

V. 



S.. 
i 



] 



— 149 - '2i. 

En effet, la formule 

donne si on en prend la dérivée logarithmique 

H'(; ^ 2tK ) in \V(z) 

H(r ^ 2/K')""~'K "*" vTi^) 

et en changeant z en z — 2tK' 

H'(z — 2fK')_iV W(z) 
H (z — î2iK')"~ K "^ hI?)* 

el on a par suite 

H'(x — z) . i 

H (X — r) M 

fl.-.-.,K,=[;;';^5.:|.^].'..--.-in..H-i,^-. 

En employant la formule (3) on aura alors 

(4) . . . A = — e^'y*e-^<'^«" F ( p -h 2K/) fil. 



Supposons maintenant que a soit un des pôles de F (z) situés 
à rintérieur du parallélogramme et que 

(5) F {a ■*■€) = Af- * -f- A.Df-' h- ... -f- A^D^f "« h- /> 4- 6,f -4- .- 

e étant très petit. 
Comme d^ailleurs 



f' 



Comme 

^ . , V i.2...n 

D"€-* = (— i)" ; 




22. — 450 — 

le résidu de F(z) relatif au pôle a sera 

Af{x — a) -4- A,D/(x — a) H- ... -*- \J)ff(x — a). 

Mais le résidu de F(z) relatif au pôle z = x sera — F(x), 
puisque celui de f(x — z) pour z = x est évidemment — 1 . 
La formule (4) donnera alors 

(6) F(x) = AoC^ -4- 2 [A/'Cx- a)-4-A.D/-(x-o)4-...-i-A«D«(x-a)], 

où 

(7) . . . . Ao=/'*e-^^''+"'^F(p^2K0rf^ 







et la sommation embrasse tous les pôles de F(x) qui sont situés 
en dedans du parallélogramme des périodes. 

En mettant dans (6) x -»- 2tK' au lieu de x on obtient immé- 
diatement 

• 

F (xH-2iK')=e'^«T(x) - - c''+«'^ J (A + A,x-4- . .. -f- A«A*)c-'-. 

Iv 

En effet la formule 

H'(z-*-^iK') __iV H'(z) 

H(z-f-2iK')"'""K "*'F(«j 
donne 

(puisque fx'= e'^^')» en différentiant plusieurs fois cette équation, 
on a ensuite 

D/- (z + 2iK') == a'D/- (z) — ^ XM'e*', 

K 

DY(z -i- 2|-K') = f.'DY(z) - j^ aV'«*'. 



D*/(z -i- 2i"K') = fi'D«/l(z) — 1^ A«(B'e'', 

K 

et remplaçant z par x — a on tombe sur la formule donnée 
plus haut. 



— 451 — 23. 

On doit donc avoir 

(8) . . ^{A-*- A|A -f. A,x« -♦- ... -♦- A,A*) e- ^- = 0. 

La formule (6) avec les formules adjointes (7) et (8) donnent 
ainsi la représentation de F(x) dans tous les cas où la formule 
de M. Hermite est en défaut; Aq est une constante ainsi que cela 
résulte de la formule (7). 

Si X = OF(x) devient une fonction doublement périodique 
ordinaire ou de première espèce et la formule (6) se réduit alors 
à la formule très importante donnée par M. Hermite» dans la 
note publiée par ce géomètre éminent à la fin de la G"" édition du 
Calcul différentiel et intégral de Lacroix. 

On a donc dans le cas des fonctions doublement périodiques 
ordinaires ou de première espèce 



W 



^' ^l H(«-a) H(x-tt) "^ H(x-a)J 



Aq étant, comme nous Tavons dit, une constante donnée par la 
formule 

A,= f'F(p-^^Kt)dt, 



mais que Ton déterminera habituellement en donnant dans 
réquation (9) une valeur particulière à x. 
De plus dans ce cas Téquation (8) se réduit à 

qui donne ce résultat bien connu que dans une fonction double- 
ment périodique ordinaire la somme des résidus, relatifs au pôles 
compris dans un parallélogramme élémentaire est égale à zéro. 



24. — 152 — 



V. — Formule importante due à M, Halphen. 

Nous allons donner maintenant une formule donnée par 
M. Halphen et qui est souvent fort utile pour Papplication des 
théorèmes de M. Hermite. 

Soit f{u) une fonction quelconque, et soit aussi a et v deux 
constantes. 

Posons 

Jr|^=F(ti), a = x-F(r), 
et envisageons le développement suivant 

^ iL« F, („ 4- ^^ F« (•) + ^ F" . (V) 

w' fi' M* 



= 1 -4- P, -♦- Ps h P^ 



1.2 1.2.3 1.2.3.4 

en fonction des coeflicients de ce développement, on obtient 
celui de e"*/'(u -i- v) sous la forme suivante : 

-4- (X -4- py"> 



M"* 



1 .2... m 

Le symbole {x h- Py*^ désigne 

m (m — 1) ._ m(w — l)(fM — 2) 

x" -^ \ ^ «""•Pî -♦- — ■ X— 'P, H- ... 

1.2 1.2.5 

Cette formule se prouve très aisément ainsi : 
Mettons pour un instant 

F (u) = / (u), 
alors 

/(w) 



— 153 — i5. 



en eoofiéqaence on a 



I «s •> 



/■(e) 



«' II* 



1.2 f.z.d 

D'où Ton déduit, en remplaçant F(r) par sa valeur (x — a) 

ce qui en remplaçant e" par son développement 

XII xHi* x^u^ 



1 1.2 1.2.3 

prouve la formule en question dans sa généralité. 

L'avantage qu*on a à employer cette formule consiste en ce 
qu'elle amène immédiatement des fonctions doublement pério- 
diques ordinaires dans les coefficients du développement, lorsque 
f(u) est une fonction doublement périodique de deuxième espèce, 
car alors y^. est doublement périodique de première espèce. 



VI. — Application de la formule précédente et du théorème 

de M, Uei^mite. 

Nous avons obtenu dans une note publiée dans ce recueil, 
tome IX, 2* partie, pour les coordonnées horizontales du pendule 
conique (en prenant pour unité la longueur du pendule). 



X -4- t y = — c^*' 



1/1 _ 6« e«(0) H (u - «0 e. (M -V PO 



H («t) e, (PO e* (u) 



Proposons-nous de décomposer le second membre en éléments 
simples, il est doublement périodique de deuxième espèce aux 
périodes 2K et 2tK' avec les multiplicateurs correspondants 



>t/k< 



et —e «'ii'-i^u-/S), 



26. — 154 — 

il a de plus le seul infini double H = iK\ On prendra donc 
comme élément simple 

H(û,)H(w — iK') H(«)e(tt) 

et on aura pour déterminer les deux constantes fx et co les deux 
équations 



D^où Ion déduit 



ri 



«=— K^lK' — (a — p)l. 

La quantité qui servira d*élément simple sera donc 

IH- (0) H, (U - ai H- PO ^;,,_9,3.,>^;,. 

(ti) e, («t - PO 

Reste maintenant à calculer la partie du développement de 



Vi— 6*e«(Q) H(u — «oe,(uH-po 
"h (ao e. (PO ©*(w) 



qui, pour u = tK' + e, contient des puissances négatives de e, ce 
que Ton appelle la partie principale de ce développement. 
En faisant u = t'K' -h £ cette expression devient 



H («0 B, (PO FT (£ ) 



Mais g|r^ étant une fonction paire de e, la partie principale de 
son développement se réduit^'à 



I 



— 455 — 27. 

On a d^ailleurs 

Nous aurons donc à chercher la partie principale du dévelop- 
pement de 

Considérons pour cela les deux expressions 



e^^> e(t — «0 el c "«^^ H,(e-f.pt-), 

et appliquons-leur la formule de M. Halphen. 
Pour la première on prendra 

«'M 

f{u) = H (II), a = —-.^ . i; = — al, 

e (al) 

d*où Ton déduit 

^ ' (II) ^0 (ai) e (ai) 

et Ton en conclut tout de suite que le développement de 

e^ <«•) e (f — al) 

n^aura pas de terme en e. 

Il en sera de même pour la seconde expression et on aura en 
définitive pour la partie principale cherchée 

ic >*'-^tt(^-^)l/riry e*(tf) e(ai)ii4(pi) 

H(ai')0,(j3i)H"(o) ? 



te-^'-^fi*^ «>l/l - 6* 



è'/r sn al dn ^i 



en ^1 



,e-U'+â[(^-jt)j/, _{,« 



*'snai8n(K-*.iK' — PO 



. Df \ 



28. — 156 — 

ou bien en se reportant aux valeurs données 



^ /l -H 6 ' /i _6 

sn (K -4- t'K' — fil) = \/ r » sn ai ==i\/ -, » 

^ — « "o — a 

A:«= ; -» ; c-'*'+21^^-«)Df-*. 

i -♦- 2ao -f- o' 6 -H a 



On aura donc enfin 

1 -I- 2a6 -♦- 6* H'(o) 
X -4- ly = — t — -- 






Lorsque l'on esl arrivé à une expression de cette nature, si Ton 
veut calculer effectivement les coordonnées à un instant quel- 
conque, on est conduit à développer en série trigonométrique la 
quantité périodique "*^"~?[|"*'^*\ c'est le problème dont nous 
allons nous occuper 



VII. — Développement en sens trigonométrique des quatre 
fonctions 

W{o)S{x -^ «) \V{o)Hx -*- ») 

H (a) e ( jj ' e («) e (x) ' 

H' (o) e, (x -4- «) H' (o> H, (x -4- a) 

rf, {a) e (x) ' e, («) « (x) 

Nous allons, pour atteindre ce but, suivre une marche donnée 
par M. Hermite. 

Considérons la formule suivante qui résulte du théorème de 
Cauehy 

f F (xo -4- x) rfx -4- / F (xo -f- 2K -4- x) dx 

n 

— / F (Xo -4- 2iK' -4- x) rfx — /' F (xo -4- x) dx = âtVp, 







où, les quatre intégrales étant rectilignes, p représente la somme 



— 157 — 29. 

des résidus de la fonction F(x) qui correspondent aux pôles situés 
à rintérieur du rectangle dont les sommets ont pour affixes les 
quantités Xq, x© h- 2K, Xo h- 2K h- 2iK', Xq -h 2iK'. 
Supposons que Ton ait 

F (x + 2K) = fi¥ (X), F (X -♦- âiTC') = ,^'F (x), 

on obtiendra la relation 

(f-a')/ F(x„-^x)f/x — (i— f*)y F(Xo-*-x)rfx==iiTp. 



Si Ton admet, en outre, que le multiplicateur u. soit égal à 
Tunité, on en conclura le résultat suivant 



r F(Xo-*-x)rfx=- 



2lirp 



Cela posé, soit en désignant par n un nombre entier quelconque 



On aura 



H'(o)9(»-«-«) -'.y 
*^''^- H(«)e(x) 






et en limitant la constante Xq de telle sorte que le pôle unique qui 
est à rintérieur du rectangle soit x = tK', nous obtiendrons pour 
le résidu correspondant, et par conséquent par p la valeur 






de là résulte pour l'intégrale définie l'expression suivante 



/ 



F (Xo -I- x) (ix = — 



iJT/^.j^.-,,. TT 



i —e ^ sm -- (fli* -4- 2niK ) 



30. — 158 — 

Sr nous posons donc 



H («) e { j„ -♦- x) 



-oe 



Le second membre représentant le développement en série 
trigonométrique de la fonction qui figure dans le premier. 
Pour déterminer A. on n*aura qu'à multiplier les deux 

membres par e~ * • ' et à intégrer de à 2K. 

Dans rintégrale du second membre tous les termes sont nuls» 
sauf celui en A., qui sera égal à 2KA., et on aura 

2KA„=/"'F(xo-+-x)dx, 



et par suite 

2K i 

— A„= 

sin ^ (« -4- âriîK') 
2K 

La constante j-q, introduite pour éviter que le pôle de F(x) se 
trouve sur le contour d'intégration, peut maintenant, sans diffi- 
cultéy être supposée nulle. Nous parvenons ainsi à une première 
formule de développement 



2K If'(o)e(x-H»)^ * e «^ 



T H(«)e(x) - . T 

sm — (« -♦- 2itiK ) 

2K^ ^ 

dont les trois autres résultent, comme on va le voir. 
Qu'on change u en &> -f- tK' on aura d abord 

2K ir(o)H(x-*-e.)c"«'_ * e ^ 



sin — [a ■*- (2w -4- i ) «K J 
^1% 



C) La sommation doit être étendue de — oo koo pour que les coefficients des cosinus 
et des sinus des multiples de Tare puissent prendre les uns et les autres des valeurs 
quelconques. 



— 159 — 31. 

n par 

2K H'(o|H(x-fr-si * e 



•T _ 

M 






sin— [«^ (S» ^ !)•¥•] 



Mettons enfin, dins les deux formules que nous venons dVti- 
blirtt «4- K à la place de i», on obtiendra les suivantes qui nous 
restaient à trouver 






T B,(«)e(x) _ 

«>s — (o -♦- !2«iK') 
SE H' 10) H.(x + k) ^ ^^«»M.i).. 



tr 0,(3) e(x) _^ T 

«>s — [«-l-(^-*-1)lï] 

On peut ensuite, ainsi que Fa Clément fait voir M. Hermite, 
déduire de ces formules celles données par Jacobi. 

Pour cela réunissons les termes qui correspondent à des 
valeurs de Tindice égales et de signes contraires. Il vient en 
désignant par m un nombre qu*on fera successivement pair et 
impair 






sin -—(»-+- miK') sin — (w — miK') 

mnx mitiK' nu 

2 cos -- — cos sin — 

2R 2K 2K 

sin — (« -♦- miK') sin — (a — miK') 

mTX , mniK' nu 

2 sm sm cos — 

2K 2K 2K 
t 

n T 

sin — (» -4- miK') sin — (« — mtK') 

2K^ ' 2K^ ' 



32. — 160 — 

Mais si l'on pose 

_£JL' 



mTK' WTK' 






mniK' e«-i-c« i-4-e * 1-4- o' 
cos 



âK 



v/7^ 2 1/7-' 






sin — -— = = i =t 

Î2K 2t 



^J,'-^^' 21/r' 



T . , . «■ 1 iWtKV 1 Ta 

siii — (a -♦- miK ) sio — (« — iwtK ) = - cos cos — 



^00 

- • ^' mr !L' 1 — 2o"' COS h O*'" 

t= cos — = . 

4 2 K iç"* 

Par suite 



siD — (« -+- wiiK'l sin —- (w — miK') 
2K^ ' 2K^ ' 



— — TU 

iVq'"(i H- fDsin — 

cos 

1 — 27"* cos h (/'"* 



4 l/ô^ (1 — o'") cos — 
sin 



T» , 2K ' 

1 — 27*" cos -r -*- 9 



- 161 _ 

el en changeante en .>+K on a«™en«n 







^aisani u^O on obtiendrait le développement en série 
^igonoméirique des fonctions elliptiques (*). 



VIII. — Delà fonction Z(u). 
La fonction Z (u) est définie par l'équation suivante 
Z(u)=f'k^m*udu. 

Considérons la fonction A*sn*u, elle est doublement périodique 
avec les périodes 2K et 3tk' et a le seul infini double u = t'K'. 
Cherchons la partie principale de son développement pour 
(( = l'K' + e, on a 

fc'sn'(iK' + f) = — j~=- + - 
(le déve]o|ipemem n'a pas de terme en { puisque ,-^ est une 



ri RcniarqiioD9que,(l*aprÈsla manière même dont elles ont M éUbliu, t 
s appliqui^at k louies les valeurs réelles de x, nui* Mulement lui Til«nn 
rionileeoefficienlde/esl compris entre — K'el 4-K'. 




— 460 - 



is si Ton pose 

fon< 
réd 

On aura ti 



m» 



= e 



"•TU' 




C désignant une constante, oq 



^ '^^ -éS -^ F 



— SOD(^é^j)^^ 



Cx*w« — «) 25 



S03 




LjittU + «) ^ 



H^ 



S09 



J et • 
qu'ur 
cela ' 






«»ua une uo v -f. m ..^ „ . „ 



'«'.Il 
Si, en effet, on jfub^ uauo ««. ^ . ^ 

deviendra, en divisant par t\ 



. »' ^« ^ti « .* 



A:* en * iz 
du* tr 



dz. 







Or en iz et dn iz sont deux quantités réelles lorsque z est réel 
(on sait en effet que z variant de à K' sn iz est de la forme ai 
où a est réel et croit de à oo et que en iz et dn iz sont deux 
quantités réelles et positives qui croissent de 1 à oo ). 



— 163 — 35. 

Ou faisant n = K dans la formule obtenue plus haut 

B'(m) 

^ ^ B (li) 

ou aura 

J = CK, d'où C = - • 

Iv 

On a donc enfin 

j e'(t/) 
(^> ^^<^^ = k"-^' 

Si Ion change u en u + 2k, Z(ti) est augmenté de 2J, si Ton 
change ti en m -h 2iK', Z (m) est augmenté de ^^ h- '^. 
En effet, la formule 

donne, en en prenant la dérivée logarithmique, 

e'(x -+-î2/K')__ m e'(x) 
B (j -♦- Î2/K') "k "*" e (x) ' 

Mais si dans la formule (I) on fait ti =» K -4- iK', le premier 
membre sera égal à J -»- ii' d'après la définition même de J et J' 
et on aura 

K^ e(K4-iK') K 2K 

car la formule 

e (x -+- K -♦- iK') = e,(x -+- iK') = e-Tk'^''+'^'^ II, (x) 

donne 

H'(x -^ K -♦- iK') iV li; fx) 



d*oii 



H (X + K -4- /K') 2K H, (x) 

eVK -f- ÎK') _ ITT 
B (K H- /k") ~ "" 2K 



56. — 164 — 

Mais en réduisant la formule (2) on obtient 



2 



et on conclut de cette formule 

si donc on change u en ti + 2iK', Z(ti) augmente de 2tJ'. 
Addition de Fargument dans les fonctions Z(ti). 
Considérons l'expression 

Z (t« -4- a) - Z (u) — Z (a), 

en appliquant aux différents termes la formule (1), on aura 

e'(M) e» s\u H- a) 



(5) . Z(m -f- a) — Z(tt) — Z(a) = 



e(M) e(a) e(MH-a) 



Or on voit tout de suite que le second membre est une fonction 
doublement périodique de u, décomposée en éléments simples 
et qui admet les infinis tK' et t'K' — a et les zéros o et — a, on 
a donc C désignant une constante 

Z(m -*- a) — Z(w) — Z(a) = C sn (u -♦- a) sn u. 

Mais en vertu de la formule (3) le résidu du second membre 
pour u = tK' doit être égal à 1 ; faisons donc u = tK' + e, le 
second membre deviendra 

C i Cl 



A* sn (a + f ) sn e k* sn a s 

on doit donc avoir 

C = A' sn a, 

D où la formule pour Taddition des arguments 

Z(ti -*- a) = Z(u) -♦- Z(a) + A' sn a sn u sn (u -♦- a). 



/ 



— 465 — 37. 

Nous avons vu que lorsque le multiplicateur est quelconque, 
on a 

Les constantes K et K' relatives à ces fonctions étant liées à 
celles pour lesquelles le multiplicateur est égal à Tunité par la 
relation 



Mais si nous nous reportons aux séries qui définissent les 
fonctions 6 et H (que nous écrivons comme il suit pour indiquer 
que le multiplicateur g est quelconque), 



1 

00 



nrz 



* tlTZ 



cos 



I- ' 



e (z, s) = 1 -*- 2 2 (- 1)"7"' cos —^, 

OÙ Ion a, comme on sait, 

On voit tout de suite que ces fonctions sont liées à celles dont 
le multiplicateur est égal à Funité par les relations suivantes 

® (^. ?) = ® to^)» «I (2. ?) = ^1 (ff«)i 

car les séries écrites plus haut ne changent évidemment pas si 
Ton remplace en même temps z par gz, K par 9K = K^ et K' 
par gK* s Kj. 

Or comme nous Tavons fait remarquer, les séries formées avec 
les constantes K^ et K| ont leur multiplicateur égal à Funité. 



X*) 



38. — 166 — 

Ceci posé, considérons la formule (1) que nous avons obtenue 
plus haut 

J S'(u) 

où 

JtVsn'i/rfw, K= / 

/ |/(i - X') (1 - A« 

/ ./ i/(r-.x»)(i-*v) 

En différentiant cette formule (1), on en déduit 

D.— ^' = fc*sn'tt. 

e(M) K 

Cette formule est très importante pour les applications des 
fonctions elliptiques, mais elle suppose, d'après la manière même 
dont elle a été obtenue, que le multiplicateur correspondant aux 
constantes K et K' est égal à 1. 

Supposons au lieu de cela qu'il soit quelconque et égal à g. 

Posons 

le multiplicateur correspondant à K| et Ki étant alors égal à 1. 
On a 

et en différentiant cette équation 
Donc 

Puis en différentiant de nouveau 



- «67 — 39 

Mais, en posant 

gu = z, 

on aura 



IV 



^'f^")=n,^Uii-_*«sn^., 



(^(gu) 'e(z) K. 

ou 

Ki = 9K , i, = f 'k'sn^zdz = g / k*sn*(gu)du. 



Si donc on pose 



« 9J l/M — a'WI — itVt 





on aura 
et aussi 

en posant 



f J' = f A'* sn* (91/) r/ti. 



Done lorsque le multiplicateur est quelconque on a la formule 
trèi importante 



D, -^ = o» [i— t* sn* (at/)l 
e )m) ^ [k ^^ ^J 



Diaprés ce qui précède, la formule 

2 

devient, dans le cas où le multiplicateur est quelconque, 

r/'[KJ'-JK'] = ^; 

car pour obtenir cette formule il suffit de remplacer K^, Kj, 
Ji et Jj par leur valeurs données plus haut en fonction de K, K', 
J et i'. 



40. — 468 — 



IX. — Des fonctions Al de M. Weierstrass. 

Les fonctions Al de M. Weierstrass sont définies par les 
équations suivantes, où je suppose le multiplicateur égal à 
l'unité. 



Posons 



on aura 



J 



Al Ix) = U 

' e(o) 

Ai,(x) = - 



A/,(x) = 



W(o) ' 



H.(o) 



on déduit de là 



^ ^ e,(o) 



A/,(x) A/,(x) ^ A/3(x) 

snx = -— ; — -, cnx = — - — , dnx= — 

A/(x) A/(x) A/(x) 

Ces quatre nouvelles fonctions étant uniformes et ne devenant 
infinies pour aucune valeur finie de x sont holomorphes et 
développables en séries convei^entes pour toute valeur de x. 
Elles sont aussi des fonctions holomorphes de k et les coefficients 
des séries sont des fonctions entières de k; cela résulte de ce fait 
que les séries doivent être convergentes pour toute valeur de k ; 
on le voit également en remarquant que Ton a, en vertu de 
Téquation (1) du paragraphe précédent, 

/ 2 0(0) 



— i69 — 4i. 

et par suite 

puis 

A/,(x) =3 sn xA/ (x), A/,(x) = en xA/(x), A/3(x) = dn xA/ (x). 

Les coeflicients des développements sont les suivants : 

A/ x) = i — X* H x« 

' 3.4 3.5.6 ' 

A«,(x) = x —x'* -4- -—— x* x', 

^ î2.3 2.3.4.5 2.3.4.5.6.7 

* , . X - ^* 4 -4- 2fe'' , i H- 6it» -♦- 8il* . 

Aijfx) = 1 1 X* x% 

^^ 2 2.3.4 2.3.4.5.6' 

, . , , . A« 2A* -♦- ik* , 8A* -f- 6A* H- *• . 

^ ^ 2 2.3.4 2.3.4.5.6 

Ces coeiBcients pourraient se calculer en suivant la marche 
que nous venons d*indiqucr à Finstant, mais on les obtient 
beaucoup plus simplement au moyen d'équations aux dérivées 
partielles par rapport à x et A que vérifient ces fonctions ; nous 
n'établirons pas toutefois ces équations aux dérivées partielles , 
nous réservant de traiter une question analogue pour.les fonctionsa 
de M. Weierstrass. Lorsque Ton ne veut obtenir que quelques 
coefficients des développements on peut aussi suivre une marche 
que nous allons indiquer plus loin. 

Équations différentielles que vérifient les fonctions A/. 

L'équation 

peut s'écrire 

y^" A» sn'tt rftt = — D ^A/ (ti) , 



et on en déduit 

(1) D'4;*A/(w)-t- A«sn«tt = a 



42. — 170 — 

On a d*ailleurs 

et en changeant dans cette dernière équation u en n + K, 
M -h t'K', M -4- K + iK', on en dédm't 

D»4'A/(m -4- K) = - ?: + 1)|4^! = D'^'A/^lu), 

^i(w) 

D'PA/(ii -+- K -4- iK) î: -+- D^îi^ ^ D«-Pa/,(m). 

Ces résultats se déduisent tout de suite des relations 

e (u -4- K)" H, (m) ' e (tt + /K') H (tt) ' 

e'(u + K -4- iK') HWti) 

e(M-4-K-4- /K') H,(tl) 

qui sont, elles, uncconséquence immédiate des formules rappelées 
dans le tableau donné précédemment. 
Comme d'ailleurs 

1 en* u 

sn'(tt -4- tK'j = 75 — T-, sn*iM -h K) = — — -, 

«'sn*tt an* M 

1 dn*u 
sn«(i/-hK-4.tK') = --^, 

on déduira de Téquation (1) les suivantes : 

A*cn*î/ 

m D*4^A/3tt) + -— — = 0, 

dn'w 

(3) D»4M/,(i/)-*--4- = ^^ 

sn' M 

(4) D'4^A/,(M +-^ = 0; 

en* ti 



— i7i — 43. 

en remplaçant dans ces formules (1), (2), (3) et (4), sn u, en ti, 
dn Uj par leurs valeurs exprimées par les fonctions aile on aurait 
les quatre équations difTérentielles simultanées auxquelles satisfont 
ces fonctions. 

Nous allors maintenant faire voir comment ces équations 
peuvent au besoin servir au calcul des coeflicicnts des dévelop* 
pements en nous bornant à la fonction A/^ (ti). 

Posons 

Ali (") = UiU -¥- a^u^ •+■ (ijfi' -4- ••. 

Nous avons obtenu précédemment 

snu u 2.3 3.2.3.4.5 

D où Ion déduit 

\ I I H- A* I — A' H- A* 



sn* MM* 3 3.0 



M* 



/ 



du ^ \ 1 ^ A» I — it« -*- A* 
== C 1 Il -♦- u^ 



sn' M u 3 5.3.5 



C désignant une constante. 

L'équation (3), intégrée une fois et où Ion remplace A/|(m) 
par son développement, devient donc 

a, -♦- 3tf,u* -♦- ba:iu* 1 1h-A* I — A'-4-A*, 

-*• C 1 u H V; = 0. 

OiM -♦- ttfU* -¥- a^ir u 3 3 . o . 3 

On doit d'ailleurs prendre C = puisque tous les autres 
termes sont des fonctions impaires de u; de plus, Téquation qui 
définit A/| fait voir tcut de suite que a^ = 1, tenant compte de 
ces valeurs et chassant les dénominateurs, on aura 

oa,M'-*-003tt*H- [—^ oJm*-*- — «jH — a* 4- ^ ^ ^ m*=0, 

\ 3 / \ 3 3.3.5 / 

d'où 

i -^ A* I H- 4A' -+- A* 



a, = — _ , a 



2.3 2.3.4.5 



44. _ i7î2 — 

Comme nous Tavons dit, s'il s'agissait d'obtenir un nombre 
considérable de coefficients, il faudrait recourir à l'équation aux 
dérivées partielles, mais le procédé précédent peut être employé 
lorsqu'on n'en a besoin que d'un petit nombre. 

Les fonctions Al appartiennent comme les fonctions 9 et H 
à la classe des fonctions appelées par MM. Briot et Bouquet 
fonctions intermédiaires. 

En effet, si l'on change x en a: + 2K, elles se reproduisent 
multipliées par 

et si l'on change x en x + ^iK\ elles se reproduisent multipliées 
par 

à cause de la solution 

Nous avons, dans tout ce qui concerne les fonctions A/, sup- 
posé le multiplicateur égal à l'unité; on passe tout de suite au 
cas du multiplicateur quelconque en remplaçant x par gx. 



X. — Des fonctions p et a de M. Weierstrass. 

Les fonctions p de M. Weierstrass peuvent être définies par 
l'équation suivante : 



»=/• 



/»(•) jg 



V 45» — g^ — gz 



Par suite de cette définition, la fonction p(u) a pourti = 
un infini, qui, d'après ce que nous avons vu dans le premier 
paragraphe, est un infini double puisque la quantité sous le 
radical est du 3' degré. Comme d'ailleurs la fonction est du 
second ordre, elle n'a pas d'autre infini dans le parallélogramme 
et le résidu correspondant à u = est nul. 



— 173 — 45. 

Appliquons à la fonction p(u) le théorème de M. Hermite pour 
la décomposer en éléments simples. 

Pour trouver la partie principale du développement corres- 
pondant à u = 0, il suffit, puisque le résidu est nul, de trouver 
la limite de u^ p(u) pour t4<=0y ou, ce qui revient au même, 
celle de 



/ 



M K p (m) «= ^ 



]/z 
pour z infini. 

En prenant le rapport des dérivées, on aura à trouver la limite 

pour z infini de 



i^iz' — a*z — 



Jfi^ — Jfs 



— 1 



2»/z 



3 



limite qui est évidemment — 1, celle de u^ p(t4) est donc 1, et 
Ton a pour la partie principale du développement de p(e) 



U-D.-. 



e« 



Le théorème de M. Hermite nous donnera donc 

W(u) 



p(ti)=C-D. 



H(w) 



Mais si le multiplicateur est quelconque et égala y, on a, comme 
nous Tavons établi , 



"•il- -'[s -'■•"■ H 



et, en changeant ti en u + tK', 



"H(«) ^ [k sn''{rM)J 



46. — 174 — 

en tenant compte de cette relation on aura donc 

(1) ;>(w) = -^-hC,. 

Sir7'M 

(ii désignant une nouvelle constante. 

Mais désignons par e^, «2 ^^ ^s '^s trois racines de I équation 

(2) 4z^ ~ c/,^ - j3 = 0, 

et par 2K et 2tK'les périodes de;}(t4), ces racines e^, ej et e^ sont 
les valeurs de p(u) pour lesquelles la dérivée p'(u) est nulle; 
or, d après ce que nous avons vu dans le premier paragraphe, 
la fonction ayant un infini double u =» 0, les valeurs de u qui 
lendent sa dérivée nulle sont 

K, tK', et K + iK'. 
On a donc 

p,=p(K), e,=p(*K'j, e5=p(K + iK'). 

Comme d ailleurs 1 équation Çî) donne 

e. H- et -H es = 0, 

on a 

p (K) -f- p (iK') + p (K -4- <K') = 0. 

Mais si nous remplaçons p(u) par sa valeur (1), cette dernière 

équation donne 

5C, H- ?'* -f- r*it* =• 0, 

d'où Ion déduit 

J -4- A* 

D 

et enfin 

Lsn*7'U o J 

On déduit tout de suite de cette équation 



- 175 - 47. 

Nous remarquerons d'ailleurs que Téqualion de définiiion 



peut s'écrire 



1/42' — g,z — Jf, 



c'dz 
du = 



ou en posant 



|/' c« V/U' — gf,z — ^j 



^, = c'r, ti| = -» 



= rfM,, 



d'où 
Mais 

on a donc 






■^ = p(u.gi.gz), 



c> (m, ^«, flfs) = 7M -' <9t» «^'ffsj. 



Cherchons maintenant l'expression de A^ et y en fonction 
<'e fl^i et gfj. 
Nous avons 

e,=p(K), c, = p(iK'), e, = p(K + tK'), 

et, à cause de la relation e^ h- ^j -»- 65 = 0, 

fl'i = — 4 (e^e, -f- f «e, h- 6464) = 4 (ej — <*,e,) ; 

mais en remplaçant e^, e^, e^ par leurs valeurs déduites de l'équa- 
tion (3), 

j,^4r^^-^j 5 J' 

ou enfin 



48. — 176 — 

de même 

55 = 4c|CjC5, 

c'est-à-dire en remplaçant e^, €2 et e^ par leurs valeurs 

Ces valeurs obtenues, il y a à trouver le développement de p(u) 
suivant les puissances croissantes de u. 
Posons 

p(ti) = -5 -f- fliu* -+- flju* -I- ajti* -I- ••• 

Le terme constant faisant défaut ainsi que cela résulte immé- 
diatement de la formule (3) et du développement connu 

i 1 i -f- A» 



sn*ti w' 



on déduit du développement écrit pour p(u) 



î2 
«' (u) == -h 2a,tt -4- 4o,ti' -f- 6asu^ 



On a d'ailleurs en vertu de Téquation de définition 

p'«(tt) = 4p'(ti) — g,p{u) - ff,; 

en remplaçant dans cette équation les fonctions par leur dévelop- 
pement, on aura 

4 8a« 

«6 — i6a, -h (4a; — 2405) u' 

4 1 SOf i 

= -6 -+- -^ -*- ^2ai -+- (1 2oî -H 1 205) m" — j, -— Jiflitt' — 5f5, 



— 177 — 49. 

d'où Ton déduit en identifiant 



9* 
20 






lâoo 



On a donc 



' ^ ^ tr î20 28 1200 

De la fonction (j{u) de M. Weierstrass. 
(Àitc fonction peut être définie par Téquation 

en astreignant de plus la fonction (j{u) à être nulle et sa dérivée 
égale à I pour m = 0. 

Partant de cette délinition il sera facile d'obtenir l'expression 
de (s{u) au moyen de la fonction H(u). 

On a, en effet, 

. r « i - A-n 

p{u)=^r'\— ^- 

LsnVw d J 

Mais de la formule établie plus haut (le multiplicateur étant 
ici désigné par y). 






on déduit en changeant u en n + /k' et remarquant que 

*- sn*vM 

Il (II) ■ [k sn*r«J 
X 1â 



50. — 178 — 

On aura donc 

^^ ^ K H (M) 3 

Donc 

G désignant une constante. 
On en déduit 

<r{ii) = CII(îi)e*L » i^J . 

Gomme, d^ailleurs, on doit avoir 

on en conclut 

i 
C = 



\V(0) 
et on a enfin 

H{n) (l±i-'-i,)7u. 

^^ H'(0) 

dans cette formule le multiplicateur de la fonction H(u) est 
supposé, ainsi que cela résulte de ce qui précède, égal à y; si 
Ton voulait employer une fonction H dont le multiplicateur fut 
égal à 1, il suffirait de se servir de la relation 

H(m, r) = H(rM), 

d'où Ton déduit 

H'(0, r) = r n'(0)» 

et on aurait pour (t{u) Texpression suivante : 

^ ' rH'(0) 
De la relation 

Ai.(x)=e ^y 
OÙ le multiplicateur est supposée égal à 1 comme dans la 



— 179 — 51. 

fonction H de la formule précédente, on déduit encore celle-ci, 

0' 

Nous donnerons plus tard une équation aux dérivées partielles, 
par rapport à ?i, g^ et g^, à laquelle satisfait la fonction (7(t«, ^29 ^s) 
et qui est due à M. Weierstrass. 

Cette équation permet de calculer très simplement les coefli- 
cienisdu développement deo'(i«) suivant les puissances croissantes 
de u, mais comme rétablissement de cette équation exige 
quelques développements, nous donnerons pour le moment une 
méthode différente pour calculer ces coefficients. 

Considérons pour cela Téquation 

et posons (j(u) étant impaire d'après les formules établies plus 
haut, 

Mais, d'après ce que nous avons vu, 

— «(!/) = — 4—- w' — ^w*, 
on aura donc 

du u -H a(u^ -4- OgM* -4- ajtt' 



^^ ^ w 3.Î20 



3 •' M* 



5.28 



sans qu1l y ait à introduire de constante puisque— ^^ est 
impair. 

On aura donc en chassant le dénominateur 

1 -*■ ôoiti* H- 5«j?<* ■+■ 7(N,M* 
\ 5 . 2(»/ \ 5 . 2(» ;i . 28/ 



32. — 180 — 

El) iilemifiant on en déduit 

((, = (), cr, == , a^ = ^, 

Î25î 7! 

en désignant, ainsi quon le fait souvent, le produit I, 2, .../i 
par n ! 
On a don<' 

^ î2 5î 7! 

Dans l'application des deux théorèmes de M. Hermite pour 
la décomposition en éléments simples des fonctions doublement 
périodiques de V'' et 2** espèces, on peut substituer les fonctions o* 
aux fonctions II, ce qui est utile dans certains cas. 

Occupons-nous d*abord des fonctions doublement périodiques 
de 1 '" espèce. 

De la formule 



on déduit 



puis 






T'(t/) \\'(u) /1-f-A'* J\ ^ 
<r(w) H (II) \ 3 K/ 



,, ^'(") , H'(ii) /1-f-A'* 4\ .. 
(t(m) H(//) \ o K/ 



1):--^= d;— ^• 

"a(li) -H(«) 

Mais si P(n) est une fonction doublement périodique ordinaire 
le théorème de M. Hermite sous la forme où nous lavons établi 
(eomme cas particulier de celui de M. Mittay LefHer) donne 

-[ \\(u—a) \\(u — a) '' H(M — a)J 



— 181 — 53 

iMais si l'on remplace "'|||2ni ^' ^^^ dérivées par leurs valeurs 
en fonction de ^^'^ et de ces dérivées, on aura en tenant 

/7 \H — a, 

compte de la relation 

F(,i) = C, -H^ A- \ -4- A.I) -) -^ .. - \J)^- [ l 

C^ désignant une nouvelle constante liée à la première par la 
relation 

Le théorème s'applique donc sans changement lorsque Ion 
remplace les fonctions H par les fonctions o* (seulement la 
valeur de la constante n'est pas la même dans les deux cas). 

Occupons-nous maintenant des fonctions doublement pério- 
diques de 2*" espèce; il est évident ici que Ton peut substituer In 
fonction 



à la fonction 







(T(«)<7(U-) 




ir(o)n(x -H. 


") 



IIiw)H(x) 



puisque, d'après une remarque que nous avons faite, la fonction 
prise pour élément simple est assujettie aux seules conditions 
d'avoir pour or = un infini simple qui doit être le seul dans 
le parallélogramme et le résidu correspondant égal à 1 ; or la 
première fonction vérifie cette condition aussi bien que la seconde. 
Nous ferons remarquer que les multiplicnleurs de la fonction 

ff (j? -+- w) , 

e^' 

T (co) (7 (or) 



sont 



r/*jj I -=— K-J |+i>k 



54. — 182 — 

et 

en tenant compte de la relation 

fxet ^' étant les multiplicateurs de la fonction que Ton considère, 
on aura alors pour déterminer go et X les deux équations 

Transformation du premier degré dans les fonctions />(u). 

Supposons que Ton forme une fonction p(u, co, (ù'i) ayant 
pour périodes au lieu de 2K et 2tK' les périodes 2&) et %sli liées 
aux premières par les relations 

K = a« -4- 6w'i, tK' = c« -h (/«'t, 

où les constantes a, 6 et c vérifient la relation 

tt(/ — 6c = I , 

et cherchons Texpression de la nouvelle fonction p(u, go, gû'i) 
en fonction de lancienne /)(u). 

La fonction p(Uy ot), tùi) admet aussi les périodes 2K et 2tk\ 
en vertu des relations qui lient K et tK' à (ù et tùi. Comme 
d'ailleurs à cause de la relation ad — bc= \ les deux parallélo- 
grammes élémentaires ont même surface, la fonction p(u, co, oj't) 
n'admettra qu'un seul infini double u =0 (*) dans le parallélo- 
gramme des périodes, en la considérant comme doublement 
périodique de f" espèce aux périodes 2K et 2iK'. Si donc on la 
décompose en éléments simples en introduisant les fonctions o 
au lieu des fonctions H (ces fonctions 7 que Ton introduit ici 



(*) u = sigaiHe que la fonction a pour zém m = augmenté au ttesoiu d'un nombre 
entier de i>ériodes. 



— 183 — î)5. 

étant construites par hypothèse avec les périodes 2K et 2fk'), 
on aura 

(t'{u) 

p («, », ui) = C — D^ -^ =c-+-p(w) 

<t{u) 

puisque nous avons vu que la partie principale du développe- 
ment d'une fonction p(u, (ù, <û'i) pour u = & est 

p (f, a, -)'t) = - = — Dg-'. 

€ 

Mais Ion doit avoir C = par le développement de p{e) ne 
doit pas contenir de terme constant tout aussi bien que celui 
de p(£, «, w'i). On a donc 

p{u,u,ai)=p(u), 

c'est-à-dire que la fonction p(u) n'est pas altérée par une trans- 
formation du premier degré quelconque. 

Lorsque nous aurons vu les transformations du premier degré 
dans les fonctions elliptiques ordinaires, on pourra vérifier 
facilement que l'expression 



Lsn*7'ti 3 J 



reste, en effet, invariable lorsque l'on y effectue une transfor- 
mation du premier degré quelconque. 

Détermination de k ci y en fonction de jtj et g^. 

Si nous nous reportons aux deux équations qui donnent ^2 ^^ 9z 
en fonction de k'^ et y* 



i 



ô 

i/5 = ~^(l 4-A')C2-A«)r2&*-i), 

en éliminant y entre ces deux relations, nous aurons pour Téqua- 
tion qui détermine k^ en fonction de gz ^^ 9z 

iOSgl (i — A* ^ k'f — (I -f- k'f (2 — k'f ('2k' — 1 )« 9î = 0. 



56. — i84 - 



Celte équation est du 6^ degré en k^, mais elle ne change pas 
si Ion remplace k^ par Tune des quantités suivantes : 






Li 



A*' ' i—k'' k' ' A' — r 

il résulte de là que si Tune des racines de cette équation 
est A-^ = AJ, les cinq autres seront 

i \ k'^ i k* 

1 i_)t« _J 1^ 1 _li_. 

Af '"*' i_itf A1 ' itï-1 

Il devait en être ainsi, car nous verrons que les cinq quantités 
que nous venons d^écrire sont les valeurs du carré des modules 
qui se déduisent d'un module donné k^ par les six transformations 
du !•' degré. 

On conclut de ce que nous venons de dire que si féquation 
en A-* a une racine réelle, elles le seront toutes les six et qu'il 
y en aura une et une seule dans chacun des six intervalles 
compris entre les sept quantités suivantes : 

I 

— oc, — I, 0, -» I, 2, -+- y. 

En effet, si les racines sont réelles, en vertu des propriétés 
données plus haut, il y aura une comprise entre et ^; si nous 
désignons pour un instant celle-là par A:^, on aura, puisque par 
hypothèse < A** < ^ 

A*— 1 1 I 

'-' I ._ I f 



kr— \ 



0<**<-<l-A-^<l< < 2 < 

1 \ — K^ 



Or, en substituant dans le premier membre de notre équation 
que je désigne par /"(A**), — 1, ^ et 2 on a 

/•(- |)= I08(/|>0, /'(i) = I08(,î(l ^ 1)'>0, 

/■(2)=I0«(/Î{5)^>0 



— 185 — 57. 

et en substituant et 1, on a 

f(0) = i{^27gl^gl)^f(i) 
De plus pour — oo et -+- oo /"(A*) aura aussi le signe de 

Les valeurs de A* seront donc toutes réelles et il y en aura 
bien une dans chacun des intervalles indiqués si Ton a 

g\ - 27^5 > 0. 

■ 

C est-à-dire si IVquation 

dont le premier membre est la quantité qui figure sous le radical 
dans Finlégrale qui a servi à définir p(u\ a elle-même ses 
racines réelles. 

Donc si l'on veut pouvoir prendre pour k une valeur réelle 
il faudra que la réduction de Tintégrale à la forme type soit faite 
de façon que les racines de la quantité sous le radical soient 
réelles. 

Les valeurs de k^ étant réelles, il y en a, d après ce que nous 
avons vu, deux qui seront comprises Tune entre et ^ et l'autre- 
entre ^ et 1. 

Mais si Ton se reporte aux valeurs de g^ et g^^ 

4?'* 

g. = - ^(1 -*- k'Ki - k')c2k^ - 1 ) , 

on voit, à cause de la relation gl > Hglqwe nous supposons remplie, 
que g^ sera positif et par suite aussi y*, puisque 1 — k^ -h A* est 
positif pour toute valeur réelle de k'^. Quant à y', la valeur «le f/^ 
fait voir qu'il sera également réel mais positif pour Tune des 
valeurs de A* comprise entre et 1 et négatif pour l'autre, 
puisque (1 h- k^) (2 — A*) est positif pour ces deux racines, et 
que 2A' — 1 sera positif pour l'une et négatif pour l'autre. 



58. — 186 — 

On voit donc que si les racines de la quantité sous le radical 
sont réelles, on aura toujours pour k une valeur réelle et plus 
petite que ^ qui donnera pour y une valeur également réelle. 

L'équation qui donne k^ en fonction de g^ et g^ est du G"* degré, 
mais comme ses racines sont réciproques, sa résolution peut se 
ramener à celle d'une équation du S"* degré. 

Posons en effet 

, I 

k 
cette équation deviendra 

\OSgî(x^ — 5)' — x*(2x* — 9fgl = 0, 

ou en faisant x* = y, 

\OSgliy - 7^f - y(:>y - ^Ygl = 0. 

Il resterait à faire voir comment on peut réduire les intégrales 
dépendant des fonctions elliptiques à la forme 



J Vkz^^g^- 



33 



Mais cette question nous entraînerait un peu loin et nous 
supposerons que l'intégrale ait été préalablement réduite par 
Tune des méthodes que nous avons exposées dans ce recueil à 
la forme 



/» dx 



où A' est réel et plus petit que 1. 
Si Ion pose ensuite 

j* = m{z -4- a), 
l'intégrale deviendra 

•^ dz 

%J V/ 4(r -H a)( z ^ a |(mÂ''z -^ wA*a — 1) 

On posera ensuite 



— i87 — 59. 



on aura par suite 



J*=T. 



et rintégrale deviendra 



/ dz 



ou 

5, = ^(i - A* -H A-*), g, = ^ (2 - A*) (i -f- k^ (l -2A*). 

Résultats qui coïncident, ainsi que cela devait être, avec ceux 
donnés plus haut lorsque Ion fait dans ceux-ci y= i. 

Remarquons que lorsque les racines sont en évidence il y a 
souvent avantage à suivre cette voie, parce que si Ton avait 
ramené directement Tintégrale à la forme 



,y {/^z^ — g^z — g. 



on aurait du déduire la valeur de k^ d'une équation du G"* degré 
(réductible, il est vrai, au 3") au lieu de lobtenir directement et 
d'en déduire ensuite gzQi g^ par des équations du premier degré (*). 

XI. — Théorème de V addition de fonctions p(u). 

Pour terminer ce que nous proposons de dire pour Tinstant 
au sujet des fonctions p{u) nous allons donner Texpression 
de p(u H- v) en fonction de /)(u), p{y) et leurs dérivées. 

Considérons pour cela l'expression 

f\u) = p(u ^ v)[p(u) - />(i;)]*, 

qui est une fonction doublement périodique de u aux périodes 
2K et 2tK', elle admet dans le parallélogramme un seul inGni 
u ^ qui est un infini quadruple, car u = — v qui est un 
infini double pour le premier facteur est un zéro double pour 
le second. 



(*) On irouTera plus loin dans une note la rûduiiion (lire<:te aux fonctions // (m) et 
l'examen du cas ob g^ — â7j/J < 0. 



(>0. _ 188 — 

Posons dotïc u = £ et cherchons la parlie principale du dévc- 
loppemcnl de /"(s), on aura 

ou 

,;, /'(") P» p"{v) — ip'{v) p'"(v) - i2p(v)p\v) 

Mais si Ton diiïërentie plusieurs fois réqnation 

P"(v) = V(«^) — 9«P («) — 9^^ 
on obtient 

p'"(y) = 12p'{i?)p(i;); 
en tenant compte de ces relations on a donc 

/•(f)= _- ^- __ ^ _ ^ ... 

0(1 

Donc, en appliquant le tliéorènie de M. Hermite sous la 
dernière forme que nous lui avons donnée, nous aurons 

'^ ^ 6 <7 (M) 

"2 (t(u) L 4 J <7(m) 

Mais 1 équation qui nous a servi à définir a (h) donne 






et on en déduit 



ff (u) s 



— 189 — 61. 

On aura donc 

i I 1 

/(M) = ;i*(i0;'(r)-j^3i;>(r)— -/i'(i;)p'(w)H-;>'(r>(ti)— 9,;)(w)-^<:. 

Mois /"(«) doit èire nul pour a = v; on a donc 



-...., ,^ 



ou à cause de 



;>'* (v) = 47>' (w) — r/,/> (V) - .73, 
I 1 



Donc enfin 



/>(M + r) = 



I ;> (M) -^ ;> [v) ] '2p {h] p [v) — - ffM — ;>' (y) />' ( w) — 5/. 



:l[p(u)--p(v)Y 



Cette formule est en défaut dans le cas où u = Vy mais nous 
aurons occasion de revenir sur ce point lorsque dans la seconde 
partie du cours nous nous occuperons de la multiplication de 
rargumeni dans les fonctions p(ti). 

Si Ton changeait t; en — t% il suflirait dans le second membre 
de remplacer p'(v) par — p'(^)> ^^^ pW ^st pair et par suite 
p'(n) impair. 

Un des avantages des fonctions p ot o* c'est que ces fonctions 
présentent une lacune dans leur développement suivant les 
puissances croissantes de u; cette lacune simplifie notablement 
le calcul des parties principales des développements, ainsi que 
cela a eu lieu, par exemple, dans la rchercho de la formule 
précédente où on a pu remplacer dans rp(e) — p(t')]^ p(£) 
par ^^ ce qui n*aurait pas été permis s'il y avait eu un terme 
constant dans le développement de p(c). 



62. _ 190 — 



TABLE DES MATIERES 



DE LA PREMIÈRE PARTIE DU COURS. 



Quelques propriétés des fonctions doublement périodiques .... i 

Identité des fonctions elliptiques définies par Tin version des intégrales 
et par les fonctions H et (> 

Happel de quelques formules supposées connues sur les fonctions ellip- 
tiques 41 

Fonctions doublement périodiques de deuxième espèce. — Théorèmes 
de M. Hermite et Mittag Lefller 45 

Formule importante due à M. Halphen âi 

Application de la formule précédente et du théorème de M. Hcrmitc . 25 

Développement en série trigonomélrique des quatre fonctions 

H'(O)0(a:H-«) H'(0)H(a7-f-») H'(0)ei(a?-HK) H'(0)H,(aJH-«) 
H(«)©(j) e(«)e(d:) Hi(K)0(a7) 0i(«)^(^) 

De la fonction Z(/i) 33 

Des fonctions \l de M. Wcicrstrass 40 

Des fonctions p et a de M. Weierstrass 44 

Théorème de Taddition dans les fonctions p 59 



- 491 - 1. 



SUR 

LES PRODUITS COMPOSÉS 

0*UN GRAND NOIBRE DE FACTEURS 

ET SUR LE RESTE DE LA SÉRIE DE BÏNET 

PAR 

Ph. GILBERT 

KrofetMor 4 l'IInivenilé de Louvsin. 



f • La formule connue, dans laquelle fx est une qualité positive 
quelconque et n un nombre entier, 

r (ac -4- u) 

/xifjL -^ \) ...{fi -+- w — 1)= 7-7-' 

r (^) 

peut être combinée avec la relation de Stirling 

r (u -^ n) = l/ï^ (/u -V n)^-^'l e " <^+"' f»^(/*+-) 



' \/M-K— ~ 



a(/*+ii) 



tzr(|ui) désignant la fonction connue qui se développe par la série 
de Binet. Mais si Ton suppose p < n, on a 



l.M.^p' 



= (^-^"-i)'-(^"^)' 



et comme on a 



\ ni H \ ni n 2n* 



2. — 192 - 

il s'ensuit que l'expression 



1 -h 



sera comprise entre les deux suivantes : 

U'un autre eôlé, on sait que la valeur de la fonction w{ij.) est 
comprise enire zéro et —, donc on a 

I 

1 :2 (a^ -4- m) 

et par des substitutions convenables, on aura 






U+ll) 



r (a* -^ n) > l/2;r w**-^- îe-" c' ''" ^ «^«- . 

Ue là résultent les deux limites suivantes pour le produit 
considéré d abord : 

p(a.-^ 1)...(a*-.- »— l)< n'*+-ïe--c'^ *''- "^'*-^-> 

^ ' ^ ' r(p) 

Lorsque n devient très grand par rapport à /x, le dernier 
facteur de chacune de ces expressions diffère très peu de Tunité, 
ei Ton a approximativement 

résultat que j'ai donné dans le § 1 de mon mémoire sur la 
fonction F (Mém. de l'Acad, royale de Belgique ^ t. XLI.) 



# 




— 193 — 3. 

Dans rhypothèse /x < n on peut simplifier les limites ci-dessus, 
et écrire 

car les expressions ^ — ^=^(' — n)':^ ^^"^ positives, de 
sorte qu'en supprimant ces termes dans Texposant de e nous 
diminuons encore la limite inférieure (^). 

9. On sait que, dans la série de Binet 

o(a)=- / xlx ]dx -\ / x(l — x)\x ]dx 





I 



_.yx(l-x)(î2-x)[x-i)rfx 



3/*(f* -4- l)(fX 

o 

le reste R, après le n"** terme peut être mis sous la forme 



et j*ai donné une limite supérieure de cette quantité qui suffit 
pour établir la convergence de la série {**). Je me propose ici 
d'assigner des limites plus resserrées et d'un calcul également 
facile. 

Désignons par S l'intégrale qui figure sous le signe 2 ; nous 
aurons 

/' r*x(i—x)...(n — x)l 1\, 



1 

1 



(') Sur diverses expressions moins simples du produit y..\L -+- 1) ... ;[j. -f- « — I), on peui 
voir Jacobi, Journal de Crdle, t. XII, pp. itJI^ et suiv.; i\i}ib\iiGjntegraltal'ehi, p.4()i; 
Helmling, Tramf. uml AusniiUelung best. lutetjr., pp. 1-4. 

r*) Voir mon mémoire rappel ci-dessus, S IV. 

X. t.î 



4. — 194 — 

et en remplaçant dans la seconde x par 1 — x, on trouvera sans 
peine 

./ v2 1 1 fi-hk-^x fi-^k-i-i—x J 



Mais, X étant, sous le signe /j compris entre zéro et 7, on aura 

2 — x^(i -^ x), (5 — x)^(2 -♦- x), ..., (n — x)^n— I -♦-x 

donc, des deux fractions positives qui figurent sous le signe /| 
la première est supérieure à la seconde pour toutes les valeurs 
de X entre et 7, et par suite S a une valeur négative, plus petite 
numériquement que 

/**" f* ^l^ \Ci-x)...(«-x) 
/ x(1 — x) X ^ dx. 




On a donc 



(4). . '^■K<2^^^^j.^^^^j._^^^^^^^^_^j,_^^^ 



1 

i \(2 — x)... (w — x) 



/^{^-^)Q-^^ 



fJL -i- k -\- X 



dx. 







On a évidemment, a fortiori, 

w ^ ^ 1.2... n / » /l \ 
U.R < y / xi— x) X dx, 


ei comme celle intégrale a pour valeur *~, on aura 

1 . 2 ... n ^^ î 

ce qui, diaprés une formule de Stirling bien connue, est égal à 

1 1.2...(n — 1) 



(5) . . . U.R,X:: 



64/a^(^ -4- 1) ... (fA -♦- n — 1) 



— 195 — 
Cette inégalité peut s'écrire encore 



AA.R„< 



"'■(-îK--.)-!-;^) 



1 i 



64a* I i i 

1 -♦- AcM H -♦- •••-♦- 



2 n — 1 

et comme on sait, d'ailleurs, que Ton a 

(6). . . i ^---i---4-...-^--i-^>C-*-l.(w-1), 

G étant la constante de Mascheroni et I. un logarithme népérien, 
on conclura enfin que Ton a 

1 1 



Le second membre tend vers zéro lorsque n croit à Tinfini, ce 
qui suffit pour établir la convergence. Pour des valeurs de fx 
comprises entre zéro et Punité, il nous parait difficile d'obtenir 
une limite supérieure plus resserrée du Reste, du moins en 
suivant cette marche. Mais si /x est > 1, ce qui est le cas ordi- 
naire pour l'application de la série de Binet qui convient surtout 
aux grandes valeurs de fx, on peut procéder autrement. 

S. On peut d'abord, suivant une marche analogue à celle de 
M. De Tilly (*), mettre l'inégalité (4) sous la forme 

*=oc j 

I 

'* '* ^ (2 — x) ...(/< —x)f/x 



/x(i-x)[l-.^ 



{!2-*-/t4-+-Â — 1)(3-4-A^A — l)--(«-+-tt-+-A' — 1) 



de l'Acad. royale de Bely., ir série, t. XXXV, p. 3^1. 



6. — i96 ^ 

eCà fortiori 

k=eo 





La série est convergente et a une somme finie, donc R„ tend 
vers zéro lorsque n croit indéfiniment. 

Ou bien, ce qui conduira à une limite plus petite et plus facile 
à calculer, on écrira 



>*R,.<2 



tio(f*-t-k)(fc-hk-i-i)—{fi-^k+n) ^ 

'^ in.2i 






i.2.. ii^« 1 

i 1 . 2 ... n 

64 (n -+- 1)(^ — 1)fi(/A -♦- 1) -. (/i -H n — i)' 

toujours en vertu de la formule de Stirling déjà rappelée. 
On aura donc 

i i 



64(/a — 1)(»-^i) 



(..-)(..-)...(..!iri) 



i i 

<7. 



64(a*— l)(w -4- 1) 



/il 1\ 

^ '\ 2 3 n/ 



ou enfin, en faisant usage de la formule (6), 



(7) . . W R„ < 



64(f* — 1)(w + 1) lH-(fx — 1)Ch-(a«— Ol-» 



Cette limite supérieure du Reste sera très commode pour des 
valeurs considérables de /x et de n. 



— 197 — 7. 

4. La limite supérieure de R« que j'avais donnée dans le 
mémoire cité plus haut, 



8fi'1 H- Cfi-^ fil(n—\y 

avait été trouvée trop élevée par le savant rapporteur, qui avait 
proposé (*) la suivante : 



R„< 



8fx« (n — 1 )^ 



Mais, à part une faute de calcul (Sfx^ au lieu de S/x), cette 
limite a le double inconvénient 1° de n'offrir aucune sécurité; 
2^ de supposer dans Tapplication ix assez petit et n très grand, 
ce qui est précisément Tinverse de ce qui convient, la série de 
Binet s'appliquant surtout pour de grandes valeurs de fx, et le 
nombre n des termes de la série devant être aussi petit que 
possible. 

En effet, Fauteur, pour arriver à ce résultat, part de la formule 

i 1.2... (n— I) 



8/**(^-*- l)(f*^2)...(f* 1- n— I)' 



et applique à l'évaluation du numérateur et du dénominateur les 
formules approchées 



I 



1.2...(w — i) = l/27r(w — 1) «e-^"-*> . 

1/2^ fx + n-i 

Or, ces égalités ne sont approchées que si n est un très grand 
nombre, et dans la première on a négligé au second membre le 
facteur e^^*~*^ qui est > 1, tandis que dans la seconde on a 
négligé un facteur qui peut être moindre que Tunité. Il n'est donc 
pas sur que le sens de l'inégalité ne soit pas renversé. 



Bull, de VAcad, royale de Belg., ^ série, t. X\XYI, pp. 8 et 15. 



/ 



8. — 198 — 

Mais on peut, en profitant d*une remarque faite plus haut, 
arriver par eette voie à une limite supérieure sure et commode 
de la valeur absolue de R„. 

Reprenons, en effet, Tinégalité (5) et rappelons que Ton a, 
d'après la formule de Stirling, 



I 



i.2...{M — 1) = r(n) = V/î27rn *e-"e°^">, 



d'où, 'US (n) étant < -^^, 



1 

n-— - 



l.2..(n — 1) <|/27rn ""'e-'e*»^. 
D'autre part, d'après la seconde des formules (3), on a 

ac(a. 4- I)... (m -4- n — 1)> "-— n 'e—c *•; 

on aura donc, à fortiori, 

Cette formule sera vraie pour toute valeur de p et de n, 
mais elle donnera une limite d'autant plus resserrée que u et n 
seront plusgrands, le rapport ^ étant d'ailleurs assez petit. Dans 
l'exemple cité par le savant rapporteur, on aurait |:a=1,m = 101, 

1 1 ,0006 

\\ R < e".0006 ^ j 

" 646i 6464 

5. La série plus générale que j'ai donnée au n"" 13 du mémoire 
déjà cité comporte une étude du même genre. On a trouvé 

1=30 J 

K„ = 5 

fio(i>- -*■ p -*- k)(fi -t- p -^ k ■*- p) ••• (fi -*■ p ■*• k •*- np) 

f (^ — j)(|S-<-p-T)-"(P -hnp — x) n _ _^\ ^^ 
,/ u -t- k -i- X \2 / ' 



— 199 — 9. 

P est une ''quanlité positive arbitraire, p un nombre entier arbi- 
traire. Les seuls facteurs qui puissent devenir négatifs sous le 
signe y sont ({ — x) et, si P < 1 , P — a:. Comme d'ailleurs la 
valeur absolue du facteur (P — x) (\ — x) ne peut jamais sur- 
passer celle de \(^ -h x) entre x = et x = 1, et que les autres 
facteurs sont tous positifs, on aura nécessairement 



"./■ 



' (^-x)(p-4-p-j)-(.8-4-np — x) /l ^^^^ 

u -h k -t- X \2 



2 AC -H A' / 



U^ -*• P)(^-^ 2p) .-. (3 -f- np) 



'' (f ^ s)- 



d'où 

p)(^-t-2pV--(p* np) 






A) (ju -*- 3 -♦- A-«- p 1 —(/t-*- p -4- <•-+- »»p) 



et à fortiori 



^ «.. < ^ (? -•- l) <? -•■ /») <? -^ 2p) ••• (p + «p) 



2 



i 



^0 (a* -♦-?-♦- i*) (/K -H 6 -H A' -♦- ;>) •.• (^ -+- p -f- A' -H np) 

Mais, d'après une formule donnée dans mon mémoire, cette 
inégalité revient à 

" '2fi V 2/ np 

2 



*=o (ytt -H p -+- A) (/t* -^ j3 -♦- t -♦- p) ..• (f* -♦- ô -H fc -t- w — \p) 



i 



\0. _ 200 — 

d'où Ton aura, enfin, 



^Rn < t;^ — : fp -*- -] fp 



1 
fipi 



1 



Or, on sait que la série 

\ i i 



p -+- p p ^ 2p p ^ snrîp 

est divergente et a pour somme Tinfini, donc la limite supérieure 
de R. tend vers zéro lorsque n croit indéfiniment, ce qui suffit 
pour prouver la convergence de la série générale. 



/ 



— 201 — 1. 



SLR 



LA PRÉSENCE DU KOUSHITE 



DANS LE SANSCRIT ET DANS L'HINDOUSTANI (*) 



PAR 



le WL P. ÉTIENNB, O. P , 

Missionnaire au Leftrs Asylum, Cocorite (Trinidad). 



Une grande méprise a maintenu robseurité sur la famille 
koushite et sur lorigine des illustres empires qui lui doivent 
naissance, c'est que la langue koushite n*a pas été reconnue dans 
un de ses premiers sièges, les Indes primitives, et que, par le 
plus inconcevable anachronisme, on a voulu retrouver aux pre- 
miers Ages de ces contrées le sanscrit, le sanscrit qui n'y aborda 
cependant qu'avec les Aryas, et resta longtemps restreinte leur 
usage, et seulement dans un angle des Indes septentrionales. 
Pour ne citer qu'un exemple, cherchait-on le berceau des popu- 
lations égyptiennes; c'est avec le sanscrit, venu près de vingt 
siècles après la fondation de l'empire du Nil, que l'on prétendait 
confronter l'égyptien (}). Comme de juste ces idiomes offraient 
peu d'analogie ; et l'on en concluait que les Egyptiens n'avaient 
rien à faire avec les Indes, tandis que c'était cependant une 
langue apparentée à la leur qui, avant les Aryas, dominait sur 
une large portion de la péninsule. Ainsi faisait-on à Tégard des 
Polynésiens et d'autres peuples encore. 



(*) Ce travail en suppose un autre antérieur sur l'occupation des Indes par les Koushites 
aTint Farrivée des Aryas. Il fait partie d'un ouvrage en voie d'achèvement sur la famille 
de Koush. 

(■) KSMRICX, Ancient Egypt., 1. 1, p. 407. 



I 



2 _ 202 — 

Dans les Indes anté-aryennes on parlait koushite, le primitif 
koushiie (le dravidien du Sud et les idiomes de quelques autres 
populations secondaires mis à part), comme le prouvent surabon- 
damment, non seulement le parler de toutes les colonies koushires, 
mais les échantillons très nombreux qui sont restés sur place, bien 
plus, comme le prouve la composition du sanscrit lui même Tard 
venu^ le sanscrit ne fut même jamais la langue du pays, comme 
on a toujours Tair de le supposer. Il fut celle des Aryas restés en 
dehors de toute fusion avec les anciens habitants, la langue des 
castes supérieures, la langue savante, mais en aucun temps celle 
de la foule, qui dans sa grande majorité appartenait à la race 
autochtone. Le prâcrit, qui aussitôt commença à se former, ne 
fut pas un fils légitime du sanscrit, mais un enfant de couleur, 
un métis. 

Les Koushites ayant occupé un immense espace dans ce pays 
de nombreux siècles avant les Aryas, et même, dans le principe, 
dominateurs de ces nouveaux venus, ne pouvaient facilement 
abandonner leur patrie. Ils y étaient attachés par mille liens, 
par ses richesses abondantes et de nature variée, que seuls 
ils savaient faire valoir, qu'ils échangeaient toujours avec les 
nations étrangères et avec les Aryas eux-mêmes, attachés par 
leur agriculture et les travaux accomplis sur le sol, par les avan- 
tages de leurs grandes villes, par dos vaisseaux, qui leur créaient 
d'autres patries, de larges débouchés, sources d'opulence. On ne 
les aperçoit pas, et ils sont partout : on ignore s'ils furent et, cent 
fois plus nombreux que les Aryas, à l'heure actuelle ils forment 
toujours la grande masse de la population. Il était donc inévitable 
que leur langue se maintint longtemps et pénétrât celle des vain- 
queurs. C'est ce qui arriva. Le sanscrit cessa de bonne heure 
d'être une langue courante. Il y a là un fait capital de linguis- 
tique, sans lequel on ne se rend compte du sanscrit et des idiomes 
actuels de l'Inde que d'une manière très imparfaite. 

Tout parsemé de koushite, ou de ce que Ton nomme à tort 
sémitique, le sanscrit est donc souvent inexplicable par le sans- 
crit lui-même, par la raison très simple qu'un certain nombre de 
termes ne lui appartiennent point en propre. Il n'est pas jusqu'au 



— 205 — 5. 

Rtg, dont la composition s'étend sur une longue période, en 
partie écoulée dans les Indes, qui ne renferme son conlîngenl de 
ridiome des Dasyous. Déjà les Aryas sont en rapports d'amitié 
awc beaucoup d entre eux; ils les ont admis dans leurs rangs, 
accueillis même dans leur sacerdoce, comme ce Viçvamitra, qui 
se fait gloire d*étre un kauçika, et n'en compose pas moins de 
beaux hymnes insérés dans le Rig; on commence à accepter 
leurs dieux, et, sur une large échelle (nous le ferons voir), leurs 
traditions religieuses, on achète, on vend, on emprunte de ces 
préteurs « qui ne connaissent que les jours d'échéance », on 
imite leur industrie ; ainsi devait-on, bon gré, mal gré, laisser 
s'infiltrer dans le sanscrit leur langue, inséparable des choses et 
des idées du pays. 

Après avoir dépassé THindou-Koush, les Aryas tombèrent dans 
un monde tout nouveau. La géographie et les peuples étaient 
nouveaux, Uindou-Kush, Kapila^ Kusa, Nishânasy Nâgas, fils de 
Kadrou, Anou, Takshasila, et ainsi jusqu'aux bouches de l'Indus, 
à Polala, Abhira, Kusasthaliy même jusqu'aux dernières limites, 
à Kumâri (le cap Comorin). Nouveaux dieux, nouveaux rites, 
nouvelles traditions, nouveaux usages, nature nouvelle, avec ses 
métaux à peine connus, ses pierres précieuses, ses plantes et leurs 
parfums, le nard^ le mhendi, le missiy le cinnamomnm , le bdel- 
/tum^ ses animaux, comme l'éléphant, iMa, qui déjà joue un grand 
rôle dans le Rig, et sert de monture aux rois (*), les paons, les 
singes, les serpents divins. Tout cela, c'est-à-dire les mille et 
mille éléments de cette sphère ignorée, avait un nom, qui n*était 
pas, qui ne pouvait pas être sanscrit, un nom indigène, un nom 
koushite. 11 fallut apprendre ces noms, qui n'étaient pas seule- 
ment des noms propres, mais souvent des noms commtms; on 
les répéta, on les adopta, et à la seconde ou troisième génération 
on s*imagina de bonne foi qu'ils avaient toujours été aryens. Us 
eurent leur place dans les Védas, et les lexiques qui les inscrivent 
traitent ces mots évidemment koushites comme s'ils étaient du 



(«) Rig, Sect. m, L V,Hym. XIJ. 



4. — 204 — 

plus pur sanscrit. Alors on s'évertua à tourmenter Tidiome pour 
lui faire rendre Tétymologie de noms comme nishânaSy nâgas, 
nala, ibha, qui lui étaient totalement étrangers, et que Memphis 
ou Tahiti eussent bien mieux expliqués que les savants de 
Benarès. 

Et si la langue des castes privilégiées subit un tel mélange, que 
Ton juge ce que fut le langage d*un vulgaire composé en très 
grande partie des anciens habitants. 

Afin de constater que les Koushites des Indes parlèrent la 
langue koushite (!) et la firent partiellement accepter aux Aryas, 
nous n'allons pas suivre d'un bout à l'autre le sanscrit, puis 
rhindoustani, Thindoui, le bengali, etc., pour en dégager ce qu'ils 
renferment de la parole de Koush; nous nous contenterons de 
prélever un certain nombre de termes, soit dans le sanscrit, soit 
dans rhindoustani, soit dans les dialectes modernes de l'Himalaya* 

Faute d'apercevoir cette incorporation de l'ancienne langue 
dans la nouvelle, on tombe en de grandes erreurs. F. Lenor- 
mant va nous fournir un cas (M- L'illustre archéologue pense que 
dès le temps de Salomon (1019-978) les Aryas avaient établi 
leur domination jusqu'aux bouches de Tlndus, « lorsque les 
flottes équipées à frais communs par le roi d'Israël et Hiram, roi 
de Tyr, vinrent aborder à la côte d'Ophir. » Il se fonde sur ce 
fait que « dans la liste des objets que la flotte de Salomon rap- 
portait d'Ophir, l'ivoire et les singes sont désignés dans le texte 
hébreu de la Bible par leur nom sanscrit, l'ivoire étant appelé 
habbi, sanscrit ibha « éléphant », et le singe koph, sanscrit 
kapi. » Or ibha et kapi sont des locutions essentiellement 
koushites et qui ne devinrent sanscrites que par adoption. Lenor- 
mant, qui connaissait parfaitement les Koushites Kapisi, homo- 
nymes et adorateurs du singe kapi, établis dans les Indes occi- 
dentales bien des siècles avant l'arrivée des Aryas, aurait pu 
soupçonner que le nom du kapi relevait de la langue des Kapisi. 

En outre, comme on embarquait à Ophir du bois de sandal 



(<) F. Lenormant, Histoire anc. de l'Or., 1. 111, p. 439. 



— 205 — 5. 

et des paons, que Fauteur pense venus du Malabar, il on conclut 
qu'à la même date les Aryas « n étaient pas seulement en posses- 
sion des côtes, mais qu'ils avaient un commerce maritime régu- 
lier avec le Malabar. » Mais, en premier lieu, ces objets, achetés 
à Ophir, Tétaient, comme les précédents, des mêmes hommes ; 
ensuite les noms du sandal et des paons, algoummim et tuki, 
reproduits par la Bible, sont encore koushites. 

Cette origine des mots fait donc tomber toutes les conclusions. 
On n'est autorisé à dire, ni que les Aryas étaient descendus 
jusqu'aux bouches de Flndus, ni qu'ils occupaient les côtes, ni 
qu'ils commerçaient avec le Malabar, ni qu'ils le faisaient avec 
l'Asie antérieure à l'époque de Salomon. Ce qui parait à peu près 
certain, c'est qu'alors les choses persistaient dans l'état où elles 
avaient été de temps immémorial, c'est-à-dire que les Koushites 
occupaient les mêmes ports et se livraient avec leurs anciens 
compatriotes, les Phéniciens, aux mêmes navigations et au même 
négoce que par le passé, navigations et négoce qui étaient dans 
le génie de leur race et nullement dans celui des Aryas. 

Venons à l'examen particulier de quelques termes diis sanscrits, 
qui ne sont pas sanscrits et ne peuvent pas l'être, mais qui sont 
koushites et ne peuvent pas ne pas l'être (*). 



(*) C'est au lexique sanscrit de Monier Williams que vont se référer nos observations. 



ê 



6. - 206 - 



sArNscniT. 

1. Gosâin, la divinité, un saint homme. — On range ee 
terme sous la rubrique go, bœuf ou vache, pour y avoir un 
gO'SvàîHtn « possesseur de vaehes » . Les vaches arrivent presque 
invariablement quand on traite des Aryas, mais les Aryas pas 
plus que leurs vaches ne sont ici absolument pour rien. 

Gosàin (Gosainyà, Gosaiyàn) est uniquement appliqué à 
rÉlre suprême, et par extension à une personne honorable, 
comme notre Dominus. Extrêmement en usage parmi les Hin- 
dous, tous les jours nous Tentondons proférer avec ce sens, sans 
qu'il soit jamais fait la moindre allusion à un propriétaire de 
bestiaux. 

La nature véritable est parfaitement reproduite et élucidée 
par le copte et Téthiopien, tous deux koushites. 

Le copte dit : Ghs pour GhoiSy Ghoeis, Joeis, Dominus, Deus, 
xVltissimus. Aussi en usage pour Thomme. 

La racine est ghisi, jise, extollere, cxaltare, extolli, exaltari 
(ghasi-hèt, elalus corde, superbus), etc. 

De son côté Téthiopien a le verbe geza dominari, dont un 
composé, agezeabeher « maître du monde », reçoit le sens de 
Dominus Deus, que Ion identifie avec 6 Kùpioç et Adonai. 

Privé du g et du ^, le polynésien d'Hawaï est descendu à Kei^ 
être élevé, glorieux. 

2. Ibha, éléphant. — On veut tirer son nom de i, aller. 
Quand les Aryas pénétrèrent dans les Indes, ils y trouvèrent 

réiéphant, qui leur était inconnu, mais qui depuis des siècles 
portait déjà le nom que Ion croit sanscrit. Nous sommes assurés 
de ce dernier fait par les noms égyptiens et éthiopiens. La ville 
iïAb ou Ebo (Ëléphantine),avee cette même appellation, existait 
sous TAncien Empire, 1500 ou 2000 ans avant que les Aryas 
eussent vu un éléphant. Naturellement le nom de lanimal, 
identique à celui de la ville (àby àbu\ est aussi vieux que celui-ci 



vn Ej|;ypte, et bien plus vieux encore dans les Indes. 



— 207 — 7. 

Mais ce qui est h considérer, c'est que le ternie égyptien^ 
explicatif du nom du pachyderme, signiGe aussi dent» ivoire, 
corne, ongle, ce que la Polynésie va répéter. 

Les pauvres insulaires de Tocéan Pacifique, n'ayant plus ni 
éléphant ni ivoire à désigner, et, en outre, dépourvus du 6, sont 
réduits à dire : 

ivi, os, corne, écaille, arête de poisson. 

Dans le nom de Tos, qui s'étend h la dent et aux défenses, est 
l'origine du nom de lëléplianl, le dcntu, comme l'appelle encore 
le sanscrit, le « père aux dents » (fa-gnik) suivant les Sérères 
(Afrique). 

3. Nàga signifie en sanscrit, serpent, crocodile, éléphant; 
cheville, clou, crochet implanté dans un mur pour supporter des 
ohjets. On le donne comme dérivé du sanscrit daA, hrùler, ce qui 
n'est pas admissible. 

La population des Nàgas ou du peuple-serpent faisait partie 
des Dasyous ou ennemis qui barrèrent la route aux Aryas, et par 
conséquent ne pouvait être aryenne ni de nom ni de fait, mais 
était koushite. Encore une fois donc le mot proposé appartient à 
cette dernière famille et ne saurait être sanscrit. 

L'éiymologie se tire d'une autre appellation koushite de la 
dent, qui se porte ensuite sur les clous, crocs et chevilles, sur le 
crocodile, le serpent et l'éléphant. 

ÉG. : iiajhe, lïeiWj jekh, mordre; agô, akô, destruction; ajô, vipère. 

PoL. : niho mhi, nifo s, dent; nahn mh, inordre, déchirer; niga s, 
naheka, nahelo h, serpent. 

HéB. : nâgah^ feriil, vulneravit; nâhash, serpent (que Gescnius, 
à tort, fiense à sibiiando diclus). 

Batak (Malaisie) : ngigi, malais, gigi, dent; gigit^ mordre (*). 

On passe naturellement de la dent aux chevilles et porte-man- 
teaux du temps, qui paraissent avoir été demandés quelquefois 
aux défenses d'éléphant. 



(*; Dans ce gigi on reconnaît le gnik (fa-gtiik) du Sérèrc, indiqué plus haut. 



8. — 208 — 

L'éléphant nàgay comme ci-dessus pour ibha, se réclame de 
ses défenses pour trouver ici une plare. L'éthiopien, qui est 
d'origine koushile, et n'a pas été prendre ses significations dans 
le sanscrit, dit tout à fait de même, nagé dent, ivoire, éléphant. 

Que dans le terme de néga on considère le serpent, ou le 
crocodile, ou Tétéphant, ou la dent, ou la cheville, ou encore 
mieux la population pré-aryenne des Nâgas, il n'y a donc rien 
qui puisse venir du sanscrit, et qui ne vienne directement du 
koushite-indien. 

4. Kadru, brun. — On le donne comme venu du sanscrit 
kav, teindre. 

Kadru était une déesse regardée comme la mère des Nâgas ; 
son nom, ainsi que celui de son peuple, les Kadraveyas^ était 
donc encore pré-aryen, et la famille de Koush doit le réclamer. 

Héb. : kedar, peau noire, de i'd(/ar sordidus. De là les Arabes 
Kedar, les Cedrei. 

Rien par conséquent aux Aryas. 

5. Kapi, singe, brun. — On le prétend issu du sansc. kamp, 
trembler (!). 

Les singes kapi, qui pullulent dans les Indes, y furent adorés 
de tout temps par les Koushites. Le kapi avait donné son nom 
à une multitude d'individus, d'objets, et même au peuple des 
Kapilàs. 

Le mot, qui signifie brun, a son correspondant dans le pol. 
kefu, éthiop. kehe roux. A ce sens se rattache le nom de la Phé- 
nieie (également koushite) kefa ou keft. 

La racine première doit être comme l'égyptien kap (héb. 
kaphar) couvrir, cacher; hawaïen kapulu. On retombe dans 
le sens de kadru. 

Le sanscrit n'a encore rien à voir là-dedans. 

6. Kaserii, épine dorsale. — On le dit dérivé de sri blesser, 
avec ka préfixé (!). 

L'égyptien kas, os, suivi d'un préfixe, semble bien préférable. 



— 209 — o: 

7. Kumâra, enfant prince. — Prétenda venir de ku-mâra, qui 
meurt facilement (I). 

En polyn.y suivant les dialectes, kâma ou tôma signifie enfant. 
Les chefs et pères sont (avec la pesante déplacée) kamâ, lamây 
du verbe kumu, iumu, engendrer. Le premier est Tengendré, le 
second le générateur. 

En égyp., tam, tamu^ jeunes gens, jeunesse, de tomto, engen- 
drer. 

De là les thum, gouverneurs actuels dans THindou-Koush. 

Nouveau mot évidemment koushite. 

8. Kumâri^ le cap Gomorin. — On le rattache au précédent (!). 
Le polynésien est autrement vrai : komala agréable. Tel est 

en effet ce fort beau cap. 

9. Kûbara, agréable, beau. — Sans indication d'étymologie. 
Ce n'est qu'une variante du précédent terme koushite. 

10. Eota, forteresse. — Est dit venir de kut, courber. 

Kôt^ en égyptien veut dire aussi forteresse; mais son étymo- 
logic est certaine, puisque le même kôt signifie construire. 

Ce sont les forteresses koushites qui à Tentrée du Sapta-Sifi" 
dhou arrêtèrent les arias, et n*y ont encore aujourd'hui pas plus 
abandonné leur nom que leur site. 

11. Mangala, bonheur. — Dit de mang^ se mouvoir (!). 

Il est plutôt, suivant le polynés., de magalo^ ma'aro, doux, 
frais, agréable, assyr. magiru, bonheur, heureux; magaru^ être 
heureux. 

13. Nala, odeur, parfum, nard indien, lotus. — Il est rap- 
porté au sanscrit nada, roseau. 

Le premier sens, dont les autres ne sont que des applications, 
est celui d'odeur; or, le mot est précisément (avec un n préfixé, 
dont le souvenir subsiste dans la double voyelle polynésienne), 
X. 14 



I 



iO. — 210 — 

le aala, ala, (PHawaï, odeur, parfum, odoriférant; sentir. Une 
foule de rois et de héros koushites ont porté ce nom du nard, 
inséparable de la qualiGcation d'indien. 

A la langue antique de Tlnde, à celle de ces rois ou héros 
koushites apparlient.donc le vocable ; et son étymologie est prise 
évidemment de aala, sentir, odeur, parfum ; car ni le nard ni le 
lotus ne sont des roseaux, mais bien des plantes aux plus suaves 
arômes. 

Les lexiques sanscrits donnent aussi un nal, sentir, et cour- 
ber ; mais ce double sens montre qu*il y a eu confusion de deux 
homonymes provenus de deux langues différentes. 

13. Nàman, dans le composé kapi-nâman, encens. 

Le sanscrit ndmanf qui signifie nom, n*a pas ici de sens. Mais 
le polynésien dit nàmu s, odeur (et kapi, brun), très conve- 
nable à Tencens, et à un encens probablement de couleur brune. 

14. Nîda, nid. — Indiqué de ni et sad, se reposer. 

Nous préférons les rapprochements suivants, qui ont une ori- 
gine koushite : 

PoL. : nofo sf, noho mbt, s'asseoir, siéger, nid. 
Ég. : nèj\ jacere, accumbere; nt-t, demeure, salle. 
Ass : nadû^ poser, placer. 

15. Pota, bateau. — Dit de pu, /m, produire (!) 

La ville koushite de Potala « cité des vaisseaux », vers Tcm- 
bouchure de Tlndus, a de beaucoup précédé les Aryas. 

Pol. : poti mt, bateau; sans doute de potee^ potaa t. rond, 
ovale, d'autres dénominations étant apphquées à d'autres formes 
dembarcations. 

16. Shiva est un dieu trop particulier aux Koushites, quoique 
introduit postérieurement dans le brahmanisme, pour qu'il soit 
nécessaire de montrer que son nom n'appartient pas au sanscrit, 
où cependant on lui donne et une place et une étymologie de 
fantaisie. 



1 7. Sttvm est le nom d'un mois, qui ne peut être que le mois 
koushîie de timn, dénommé du thiva qui précède. 

18. Taksh, couper. — La ville fameuse de Takiha-shitâ se 
trouvait comme place koushite sur la route des Aryas, et par 
conséquent ne tenait d'eux ni son nom ni la racine de ce 
nom (<), malgré la désinence qu'ils y ont ajoutée. Cette racine 
takth, couper, tailler, façonner, n'est donc pas sanscrite : c'est le 
tuki, frapper, des Polynésiens, le tekh, frapper, des Égyptiens. 

Le grand dieu artisan, égyp. Thotou, Tekh, polyn. TtJti, eut 
sans doute Taksha-shilà pour berceau. 

Tous les dérivés du verbe takth réclament naturellement la 
même origine, comme takthaka ou takshana ou takshan, etc., 
charpentier, forgeron, etc. 

19. Tira, Jtini , étain. — Rapporté à tij, être aigu (I). 
L'éiain ayant été trouvé, le bronze fabriqué, et leur commerce 

en activité aux mines de l'Hindou-Koush, alors que les empires 
de Hemphis et de Babylone n'existaient pas encore, les Koushites 
de ces montagnes ne pouvaient manquer de leur avoir imposé 
un nom, lequel se répandit et avec les métaux et avec les inven- 
teurs. Le nom de l'éiain était kat-ttra, où le premier terme lot» 
s'appliquait au cuivre. 

Dans un autre travail nous avons montré que l'éiain, désigné 
comme alliage et mélange du cuivre dans la production impor- 
tante du bronze, prenait son nom du langage koushite : 

Pou : tara, tira l, tarare t, mêler, remuer. 
Éa, : iterler. 

SO. Valguka, bois de sandal. — On le dit venirdc valgu, beau. 
Le bois de sandal recherché et dans le négoce des Indes, long- 



La nt une teraiiDaisan m 
laiiuaiui; en sorte quel 
)■ Ptolémte, Td;(Xa. 



iâ. 



— 2iî2 — 



temps avant les Aryas, dut avoir un nom indigène préaryen. Ce 
qui lui donnait du prix était non sa beauté, mais son parfum, 
Fétymologie proposée ne peut donc être vraie. Elle a dû être 
fabriquée après coup pour être adaptée au sanscrit. 

Malabar, valgum, sandal; très probablement d'une racine 
répondant au malais wângi (samoan et futuxien rnanogi), odori- 
férant. 



niNDOusTAm. 

Le fonds de FHindoustani est aussi bien koushite que sanscrit ; 
et si Ion voulait extraire ce] qui appartient à la première de ces 
langues, c'est un dictionnaire qu'il faudrait composer. 

Nous en prendrons au hasard quelques termes. 

miWDOIJVTAlfl. KOVVIIITO-IIÉMITIQPB. 

6at7/^nâ,8'asseoir,6aiMa/r, siège, place. £g. baith, haita^el tout le sémitique; 

poly. vai mhl. 

6anânâ, faire, construire . .... Héb. (et autres laug. sémit) banah^ 

aediûcavit. 

60, odeur Pol. poh'jég. behi. 

dàr. dâr. branche Ég, tor. 

» • ■ 

d/ii, dhiyâ^ tille Pol. tei, teine s, le plus jeune, frère ou 

sœur. 

fW, talon Éc. teri, 

ghaVj maison Pol. fare t, haU h. 

gha^nà, décroître, tomber » gcise s, décroître, mourir. 

godnât percer, piquer Éc. ghôth^ jôlh, 

gosotn^ rËtre suprême, un saint 
homme » Ghoeis. 

gung, gûngâ muet Pol. ^ti^u s; ar. 'aggun, 

Aamt, biche Héb. aran, chèvre sauvage. 

kachiâr, terre basse et humide; kach, 
lie Pol. A'u^ao m, mouiller. 

fcâ(na, couper. » koti m] 2ir, kata'; ég. shat. 

/ra^â, serrer, lier Ég. Ar()5, fasciis obvolvere; pol. ^^, 

kahai h, ceindre, réunir. 

ilraprâ, étoffe, vêtement Pol. fcaoe/a h, se vêtir; ^pa b, topa ni, 

IcUape; ég. kap, couvrir. 



— 213 — 



13. 



lllliB«0«TAlil. 



koviibito-iiAmitiqijb. 



khoj\ recherche Pol. koho h. 

Aoi , qaelqu*an » kahi h. 

kosh, qui s'efforce Éc. kesas, 

malnâ, frotter, oindre Pol. mali h, flatter, adouci. 

marAâ, couvrir Éc. morttnour, 

ma(, ne (prohibitif) Pol. mat mh ; ég. em. 

fnot, molh^ faisceau Ég. tnote, moutf lien. 

motâ, gros, épais Pol. motou m. 

mû, poils » umi th, barbe. 

muhrât Tavant, proue » rei mua t, tau mua sf, proue (de 

mua, avant, et rei ou tau^ bout). 

nahânâ, laver » natu m. 

fiâA:â, crocodile Cest le nom du serpent nâga, en 

pol. naheka h. 

nanAâ, petit » nom' t. 

naf, pilier, obélisque » ad't m ; héb. ndto', dresser. 

nâ/â, parenté » na/i, tribu; nad'moe, parenté. 

nâtnà^ fuir » natu f, partir; élh natea\ ar. nal, 

béb. nod^ fuite, d'où la terre de 
Nod oh s'enfuit Gain. 

pakkà^mhr Ég. peHu. 

pakhân, pierre Pol. pakea mh. 

pal, voile » pale h. 

pankh, atle. » pekehu m ; ég. (en/rA. 

par, aile » pererau t. 

pa(aAma, briser « patai m, puteete t. 

fMi^Sfc, explosion » patatu s. 

pff, plante, arbre Ég. per. 

pusài chat « pa^Ar, 6(m( (devenu déesse). 

rom, homme (langue des Tziganes). . » rom«. 

ronâ, pleurer Pol. rot mata t (m€Ua, yeux). 

«S^pur ÉG. seffSefi;9iT. sàf. 

sans, respiration « ses, sesL 

Mr,chef » «ar, chef (dans TAncien Empire). 

singht lion » shend. 

m, cheveux » «e«; pol. «oe^às, barbe. 

sûnghnâ, adorer Pol. sogi s. 

takhâ, regarder Ég. teka. 

fAâ/S, grand plat Pol tanoas. 

fAa/Mâ, jeu, plaisanterie » tatitiL 

thûknâ, cracher » tuha m. 



14. — 214 — 

BIHBOOIITAIII. KOU«BITO-«ÉMITIQiril. 

thokna, battre^ marteler Pol. tuki m. 

r/iorâ, un peu. » taruri i. 

tar, partie, division Ëc. tere, 

iâr, fil Ar. tarr^ cordeau. 

Ar, mftt Pol. tira u 

|op, couYerture, tapnà^ couvrir. . . » fapot t, couverture, couvrir. 
tyûn, coutume » liai m. 

timâ, voler Éc. her\ pol. r^e t. 

u/Anâ, s*élever > iz/Am; pol. /^o/ut. 



— 215 — 1 



APERÇU SOMMAIRE 



SDR LES 



PRINCIPAUX ACCIDENTS OROGRAPHIQUES 

DE LA RÉGION DU JURA 
COMPRISE ENTRE LA FAUCILLE ET LA BRESSE 



PAR 

l'abbë BOURGEAT. 



Parmi les chaînes de montagnes de TEurope, il en est peu dont 
Topographie ait plus attiré Inattention que celle du Jura. De Saus- 
sure s*en occupe déjà dans le récit de ses voyages, Thurman en 
fait ensuite Tobjet d*un remarquable travail, puis viennent 
Studer,Marcou,Parandier,Gresly,Etallon,Pidancet,Lory,yézian, 
Jaccard et Favre, qui tantôt sur un point, tantôt sur un autre s*ap- 
pliquent à compléter Tébauche tracée par cet éminent géologue. 

Toutefois, malgré de si nombreuses recherches il est plus 
d*une région de la chaîne qui n*a encore été qu*imparfaitement 
décrite, et de ce nombre se trouvait il y a quelques années la 
bande de terrain qui s'étend en forme de parallélogramme de 
la Faucille à la Bresse, entre les deux grandes cassures de S'-Ger- 
gues et de Nantua. Lorsque j'en commençai Tétude, cette lacune 
me frappa tellement que, tout en m'occupant de sa stratigraphie, 
je ne négligeai rien de ce qui pouvait m'en faire mieux connaître 
les caractères orographiques. Aussi, bien que mes recherches sur 
ce dernier sujet soient encore incomplètes, j'espère que l'exposé 
sommaire que je vais en faire ici et que les conclusions que j'en 
déduis seront favorablement accueillis de la part de la Société 
scientifique (*)• 



(*) Ce petit travail était achevé et je venais d'en donner un résumé succinct i l'Académie 
des sciences, lorsque j'eus connaissance des remarquables travaux de M. Bertrand sur le 



2. — 216 — 

La région dont il s*agit mesure à peu près une cinquantaine 
de kilomètres de large sur 80 de long transversalement à la 
direction de la chaîne. Lorsqu'on Faborde par Touest, on quitte 
le tertiaire bressan pour atteindre d'étroites bandes de Trias ou 
de Lias, surmontées çà et là de calcaires jurassiques, dont les 
plus récents n'arrivent pas au Porllandien. On arrive de là à un 
grand escarpement que beaucoup de géologues désignent sous 
le nom de falaise bressane parce qu'il domine comme une falaise 
élevée toute la région basse de la Bresse depuis Salins jusque plus 
loin que S'-Amour. Son pied est presque partout formé de Lias et 
son entablement des couches jurassiques inférieures du Bajocien 
et du Bathonien sans aucune trace de dépôts sédimentaires plus 
récents. Lorsqu'on l'a gravi, on se trouve sur ce que l'on appelle 
le premier plateau et l'on peut marcher pendant 8 à 10 kilo- 
mètres normalement à la falaise sans rencontrer de Lons-le- 
Saunier à Salins autre chose que du jurassique inférieur. Vient 
alors la chaîne de THeute, dont quelques couches sont oxfor- 
diennes, puis la Combe d'Ain et puis enfin toute la région des 
sapins, des pâturages et des lacs, où l'on s'élève par degrés 
de 600 à 1,600 mètres d'altitude, passant des premières assises 
du jurassique supérieur aux plus récentes, et du néocomien qui 
forme taches au fond des vallées à quelques légers nids de 
mollasse répandues çà et là dans la région. 

C'est, comme on le voit, dans la partie la plus élevée de la 
chaîne que les formations sont le plus complètes; en sorte que, si 
delà on redescend vers la plaine en sens inverse de la marche que 
nous venons de suivre, le revêtement sédimentaire apparaît de 



Jura bisonlin et des savantes études de M Hccm sur les liaisons qui existent entre les 
Alpes et le Jura. Des circonstances que je n'ai pas à faire connaître ici ne m'ayant pas 
permis de le publier alors, on a vu les connaissances orographiques de la région qui en fait 
l'objet s'accroître encore des intéressantes notes dont M. Bertrand a accompagné sa carte 
géologique de Besançon et des savants aperçus que M de Lapparent a formulés dans son 
Traité de Géologie; si bien qu'il aurait fallu en modifier sensiblement la rédaction pour 
tenir compte de toutes ces découvertes. Je ne l'ai pas fait néanmoins afin de con server au 
travail son caractère d'originalité; mais je me réserve de le compléter et de le corriger 
même dans une nouvelle élude, où je ferai connaître mes recherches et où j'analyserai les 
travaux en question. 



— 217 - 5. 

plus en plus aminci. Ici c*est le Portlandien qui cesse; plus à 
Touesi c'est le Virgulien, plus à Touest encore^ le Séquanien, 
rOxfordien et le Kellovien jusqu'au moment où Ton atteint les 
dépôts de la Grande Oolithe, du Bajocien et du Lias. Quelques 
observateurs ont cru ne voir là que le résultat d'une ablation qui 
aurait agi plus puissamment qu'ailleurs sur les assises les plus 
voisines de la falaise; mais il paraît difficile d'expliquer les parti- 
cularités qui s'y présentent sans admettre que, très peu de temps 
après le dépôt de la Grande Oolithe, cette partie du Jura ne fût à 
l'état d'ilot ou de sel sous-marin. S'il est au moins une chose 
certaine, c'est que les différences observées entre les épaisseurs 
des sédiments y remontent à une époque fort ancienne, antérieure 
sans doute au modelé actuel du Jura. 

Les divers accidents qui se présentent dans l'ensemble de la 
région se ramènent à trois groupes : les failles, les soulèvements 
en voûte (*) et les cassures transversales. Les failles sont plus 
spéciales à la plaine et au premier plateau, les soulèvements en 
voûte à la montagne et les cassures transversales ont le privilège 
de s'étendre par tronçons discontinus et parallèles de la mon- 
tagne aux extrémités de la plaine (voir planche I). 

Nous allons d'abord les passer en revue en faisant ressortir 
les caractères qui leur sont propres à chacun, puis nous exami- 
nerons les rapports qu'ils ont entre eux, et nous chercherons 
enfin comment on peut en expliquer l'origine. 

I. — ÉTUDE DES FAILLES. 

Sans parler des cassures secondaires qui masquent souvent 
les grandes failles et qui n'en sont qu'une dépendance, on peut 
compter sept failles principales dans la région qui nous occupe. 
Elles se succèdent à des distances graduellement décroissantes 



(M Le mot de toulèvements en voûte devrait être reniplacé par celui de plissements ; 
je le maintiens néanmoins pour ne pas changer les locutions admises. On verra plus loin 
que je n'admets pas de soulèvements verticaux. 



4. — 2i8 — 

depuis les escarpements qui dominent la courbe d*Ain vers TE. 
jusqu'aux formations tertiaires de la Bresse. Quatre d*entre elles 
s'observent au couchant de la grande falaise et sont propres au 
Bas-Jura ; les trois autres appartiennent au premier plateau. Je 
commencerai par celles du Bas-Jura, en prenant pour ligne de 
repère la falaise elle-même, et j'indiquerai ensuite leurs princi- 
paux caractères. 

AILLES DU BAS-JURA. 

Première faille, — La plus orientale des failles du Bas-Jura 
s'observe au pied même de la falaise. Elle en suit la direction 
générale et se fait remarquer par les curieux glissements et par 
les ruptures multiples auxquelles elle a donné lieu. C'est en effet 
par suite de cette faille que quelques lambeaux d'Oolithe infé- 
rieure et de Bathonien, qui se trouvaient sur le front de la falaise, 
ont été projetés vers l'ouest beaucoup plus bas que les forma- 
tions du Bajocien et du Lias. Telle est en particulier la pointe 
rocheuse sur laquelle s'élevait, au nord de Poligny, l'ancien 
château de Grimont. Les traces de glissements sont tellement 
visibles sur ce rocher, et la ligne de séparation des couches fait 
un angle si grand avec celle du front de la falaise, qu'il est 
impossible d'y voir un simple phénomène d'érosion. Ajoutons 
qu'en dehors des lignes de stratification vraie, on y rencontre 
comme sous toutes les roches qui ont subi une puissante action 
mécanique des lignes de faux joints, capables de tromper le 
géologue non prévenu. Tel est aussi le monticule qui domine 
Pupillien et qui est formé de Bathonien projeté sur les marnes 
du Lias. 

Mais la partie de la falaise où ces glissements sont le mieux 
accusés est celle qui s'étend de Poligny vers Plasne. C'est dans 
cette direction en effet que se trouve la curieuse disposition du 
Bathonien que Pidancet a signalée depuis longtemps dans une 
note à la Société d'Agriculture de Poligny. Elle consiste en ce 
que ce terrain qui recouvre le Bajocien au voisinage de Barre- 
taine parait au contraire presque recouvert par lui dans les cscar- 



— 219 — 5. 

pements qui dominent le territoire de Montevillards et de Miery. 
Quant aux cassures, elles sont tellement nombreuses dans eette 
faille que souvent celle-ci se perd au milieu d'elles. Pidancet 
nous a représenté celles qu*il a pu observer dans le bois de 
Vaivre entre Poligny et S'-Loihain. Elles sont au nombre de 
cinq et Ton ne saurait dire quelle est celle d^entre elles qui est 
la plus importante. Mais à partir de là, elles diminuent de nom- 
bre; on n'en compte plus que deux, tant au nord de Buvilly 
qu'au sud de S'-Lothain; après quoi, dans Tune comme dans 
Pautre direction, la faille reprend son unité et s'accuse très bien 
soit au levant de Villeite,soit au levant de S*-Lamain. De grandes 
sources, telles que celles de la Glantine, de TOrliain, de la 
Seille, etc., la jalonnent de Poligny jusque vers Lons-le-Saunier. 

Seconde faille. — La pointe nord*est de la seconde faille com- 
mence à se montrer dans le voisinage de Villeneuve, où elle met 
en contact le Trias avec les formations supérieures du Lias ; puis 
elle se suit parallèlement à la précédente par les bois de S'-Gyr, 
le territoire de TAbergement-le-Peiit et les granges Longin, dans 
la direction de Montchauvier vers le S.-O. On la reconnaît à 
quelques sources, mais surtout à la grande bande dlnfra-Lias 
qui la borde au levant et qui, impropre à la culture, à raison de sa 
texture gréseuse, forme le sous-sol des principales forêts de la 
plaine. 

Troisième faille. — La troisième faille s'observe très bien vers 
le S.-O., près du village de Monchauvrot, où Ton voit les marnes 
de Keuper en contact avec les calcaires à Gryphées. Elle passe 
ensuite au levant de Toulouse et de Montholier, puis à TAber- 
gement-le-Grand, et se poursuit par Vadans jusqu'à S*-Gyr. La 
bande de terrain qu'elle soulève est notablement réduite à xMont- 
chauvrot; elle s'élargit en vue de Monay et de l'Abergement-le- 
Grand et s'atténue de nouveau vis-à-vis Vadans. Sur cette bande, 
les forêts ne se succèdent pas comme sur la précédente, parce 
que rinfra-Lias y est notablement moins visible. Mais en retour 
les formations liasiques affleurent largement et se trouvent aussi 



6. — 220 — 

complètes qu'elles peuvent Tétre dans la plaine; il n*y a pas seu- 
lement du calcaire à Gryphées comme dans la bande précédente, 
mais on y rencontre encore les marnes du Lias moyen et peut- 
être un peu de Lias supérieur. Il s'ensuit une plus grande ferti- 
lité du sol; aussi voit-on reparaître déjà près de Vadans et de 
TAbergement les vignes devenues si rares au nord de Grozon. 
Les sources qui s'en échappent ont un plus fort débit que sur la 
précédente; mais elles ne se transforment pas toutes en ruisseaux; 
quelques-unes donnent des eaux croupissantes ; et c'est ainsi que 
s'expliquent les deux petits marais que l'on rencontre l'un au 
sud de l'Abergement-le-Grand, l'autre au couchant de Brainans. 

Quatrième faille. — La quatrième faille se montre sous la 
forme d'un soulèvement en voûte, qui se serait brisé avec déni- 
vellation en faveur de la lèvre qui regarde le couchant. L'action 
mécanique n'y a donc pas affecté une seule, mais deux bandes de 
terrain, dont la plus orientale est dans les conditions des précé- 
dentes, tandis que la plus occidentale est très étrangement contour- 
née. Elle atteint le Keuper, le Lias, le Bajocien, le Bathonien et 
jusqu'aux formations coralliennes du voisinage de Sellières. L'axe 
suivant lequel la voûte s'est rompue passerait au couchant de 
Toulouse, à Monay, à Montholier et à S'*Pierre les Mathcnay. 
Mais comme la première faille, cette dernière se résout vers son 
milieu en cassures parallèles qui donnent un relief extrêmement 
varié à la région comprise entre Montholier et Molamboz. 

Les couches atteintes dans la partie méridionale de cette faille 
appartiennent surtout aux formations du Lias et du Jurassique. 
Les eaux pluviales, trouvant là des couches perméables, s'enga- 
gent dans le sol jusqu'à la nappe aquifère des marnes liasiques 
d'où elles jaillissent en sources régulières. Telle est l'explication 
qu'il faut donner des ruisseaux qu'on voit naître à Toulouse, à 
Monay et au sud de Montholier. Plus au nord les formations 
keupériennes et liasiques deviennent prédominantes, l'eau plu- 
viale ne produit plus que des marais. C'est également dans la 
région la plus méridionale que la culture offre le plus de variétés. 
Toulouse et Monay se distinguent facilement sous ce rapport de 
Montholier et de l'Abergement. 



— 221 — 7. 



PAILLES DE l'est DE LA FALAISE. 



Première faille. — La plus occidentale des failles de Tesl de la 
falaise est très nettement accusée dans la vallée de Baume, où 
Ton voit le Lias d'un des flancs de la vallée porté à la hauteur 
du Bajocien. Elle se continue de là vers le nord-est par derrière 
Chéteau-Chélon, Ghampvaux, Combe-Froide, les Grands-Mole- 
vaux et la Châtelaine, ramenant sur plusieurs points du premier 
plateau les assises du Bajocien au niveau de la Grande Oolithe et 
donnant lieu près de Molain à un puissant escarpement. Vers le 
S.-O. sa trace se perd quelque temps, mais on la retrouve dans 
le voisinage de Macornay où elle donne lieu aux ruptures multi- 
ples signalées là par le frère Ogcrien. Le point où elle est le mieux 
visible est le bourg de Chàteau-Chàlon. Un simple coup d*œil 
suffit en effet pour voir que le Bajocien qui supporte le Bourg 
et le Château est sensiblement plus bas que celui de la mon- 
tagne voisine. C'est à elle qu'on doit les sources de Frontenay, 
de Champvaux et quelques-uns des filets d'eau qui alimentent la 
Cuisance près d'Arbois. 

Seconde faille. — La faille qui vient ensuite est la grande 
faille de THeute. Celle-ci se suit très facilement de Pont- 
de-Poitte, à Pont d*Héry, par Mirebel, Bcsain, Monrond et 
Valempoulières. On sait qu elle correspond à une longue arête 
qui sépare le premier plateau de la vallée de TAin et dont Texis- 
tence est généralement due à la surélévation de sa lèvre orientale. 
Toutefois elle ne présente pas partout la même dénivellation. 
Celle-ci est généralement plus grande vers le sud-ouest que du 
côté de Salins. On la trouve divisée vers son extrémité méridio- 
nale en deux branches très raccourcies qu'il est facile d'observer 
au chemin de la Doye. C'est dans ce chemin à 1 7s kilomètre 
de Nogna, lorsque l'on descend vers Pont-de-Poitte qu'apparais- 
sent les marnes irisées mises en contact avec du Bajocien et du 
Lias. De là jusqu'à Montrond, la faille s'accuse en portant le 
Lias supérieur de la lèvre orientale au niveau des formations 
inférieures de l'Oxfordien. Il s'ensuit une barrière infranchis- 



é 



8. — 222 — 

sable pour les eaux du côté de la faille; et comme les formations 
diverses du premier plateau présentent vers cette faille une légère 
déclivité, Teau devient stagnanteainsiqu on le remarque à Besain, 
ou bien se creuse péniblement un chemin à travers les forma- 
tions calcaires du Bathonien et du Bajocicn. Cette eau recouvre 
forcément une partie des prairies au moment des grandes pluies 
et transforme en marécages toute la langue de terre adossée à 
THeute. Au voisinage d'Andelot, la faille perd à nouveau son 
unité et se résout en cassures multiples qu'on peut observer à 
la tranchée du chemin de fer allant sur Monchard. 

Troisième faille. — La troisième grande faille court de Moi- 
rans au Frasnois et se continue avec un léger changement de 
direction vers la vallée des Nanes. A rencontre de la précédente, 
c'est vers le nord-est qu'elle donne lieu à la plus forte dénivella- 
tion et met au jour les marnes irisées, en s'atténuant ensuite 
de plus en plus à mesure qu'on se dirige vers le sud. Au cou- 
chant de Chaux-du-Dombief elle met en contact l'Oolithe infé- 
rieure (Bajocien et Bathonien), avec les formations portlan- 
diennes ou néocomicnnes. A la Crochère, le contact a lieu entre 
le Bathonien qui s'étend jusqu'à Prénovel, d'une part, et le Port- 
landien qui s'infléchit vers la vallée d'Étival, de l'autre. Aux 
Grozets c'est le Jurassique supérieur qui bute contre les forma- 
tions moyennes du Lias dans le lit du petit ruisseau qui traverse 
la route de S'-Lupicin pour aller vers la ferme du Gopet. C'est 
là qu'on trouve dans le Jura le plus beau développement des 
schistes bitumineux de Boll avec nombreuses Posidonies. A 
partir de ce point, la faille n'offre plus rien d'intéressant à 
noter. 

CARACTÈRES PRINCIPAUX DES FAILLES. 

Les caractères principaux des failles peuvent être étudiés sous 
les titres suivants : 
1" Direction; 
2* Distance; 
3° Dénivellation ; 
i"" Influence sur Thydrographie. 



-7- 223 — 9. 

1* Direction. — La direction des failles est généralemenl 
celle de la grande falaise occidentale, c'est-à-dire IV. 40'* E. Les 
failles supérieures à la falaise n'en dévient que fort peu. Pour 
celle qui passe par la Crochère et Hay, cette direction se pour- 
suit très régulièrement sur une longueur d a peu près 30 kilo- 
mètres, depuis Grand-Châtei jusqu'au Pont-de- la- Chaux ; 
seulement, à partir de ce dernier village, elle subit Tinfluence 
de la Gluse-de-la-Laime qui la rejette un peu vers le IV. ; mais 
c'est un accident purement local, car elle reprend ensuite sa 
marche régulière dans la forêt de la Joux. La faille de l'Heute 
échappe à l'influence de la Cluse et on la suit sans discontinuité 
de l'autre côté de la vallée de Salins, à Pont-d'Héry, à Dour- 
non et à Nans-sur-Sainte-Anne. Quant à la faille la plus proche 
de la falaise, elle s'infléchit un peu vers l'E. à partir de Salins ; 
mais vers le S., elle continue sa direction générale, donnant lieu 
aux affleuremens liasiques de Beaufort et de Gizia. 

Des quatre failles de la plaine, deux sont très régulières : ce 
sont les deux du milieu. Quant à celle qui jalonne la falaise et 
celle qui se trouve sur les confins de la Bresse, leur division en 
cassures secondaires ayant pour effet d'élargir la bande de terrain 
qu'elles afi'ectent, il s'ensuit que chacune de ces dernières cas- 
sures n'a plus exactement la direction des failles plus simples. 
Il arrive souvent qu'une de ces cassures vient mourir à angle 
aigu sur sa voisine, mais la direction moyenne n'en est pas sen- 
siblement modifiée. La loi générale se retrouve au milieu des 
petits accidents qui tendent à la masquer. 11 est à noter néan- 
moins qu'au N. de la vallée de la Cuisance toutes subissent un 
infléchissement vers l'E. et qu'ensuite elles viennent mourir 
brusquement sur les formations jurassiques de Mouchard et 
d'Aiglepierre. 11 n'y a donc pas dans ces dernières failles la 
régularité de marche et la longue continuité que présentent les 
failles plus orientales. 

2"* Distance. — Ce qui frappe surtout à la première inspec- 
tion d'une carte représentant les failles du Jura, c'est leur iné- 
galité de distance. Cette distance décroit progressivement des 




10. — 224 — 

hautes régions vers la plaine. Si l*on représente par 5 la distance 
qui sépare la faille des Crozets de la foret de THeute, 2 7i ^^^ 
à peu près celle de cette dernière faille à celle de GhampvauXi et 
1 celle de la faille de Champvaux à la direction moyenne de la 
faille de la falaise. A partir de là, la distance diminue encore jus- 
qu'aux dernières failles qui se pressent Tune contre Tautre sur un 
espace très restreint. En comparant ces résultats avec ce que 
nous savons de Tépaisseur des couches visibles, on voit que plus 
celles-ci ont de puissance, plus les failles sont distantes. Bien 
que le rapport de l'épaisseur aux distances ne soit pas toujours 
rigoureusement le même, on remarque cependant qu'il présente 
peu de variations. Ainsi le rapport entre les couches visibles 
affectées par la première et la deuxième faille est à peu près de 
1270 mètres à S49 mètres, ce qui donne 2. Celui des couches 
atteintes par la deuxième et la troisième est de 549 mètres à 
340 mètres, c'est-à-dire donnant à peu près 2. Or les distances 
5, 2 '/s cl 1 suivent une progression géométrique dont la raison 
serait à peu près 2. Nous n'attachons pas trop d'importance à ces 
rapprochements, car il peut bien se faire, et nous croyons même 
que c'est le cas, qu'il n'y ait pas seulement les couches visibles qui 
soient atteintes par les failles ; cependant les conséquences aux- 
quelles vont nous conduire les considérations sur la dénivellation 
ne seraient pas favorables à la théorie qui ferait descendre les cas- 
sures jusqu'à la pyrosphère. Notre avis est donc que, si elles 
dépassent les couches observables, elles ne vont pas sensiblement 
plus bas. Nous pourrions bien ajouter en faveur de cette opi- 
nion le fait des petits plissements dont le Néocomien est affecté 
au-dessus des couches porilandiennes restées en place à IMonté- 
pile; mais ces considérations viendront en leur temps. 

S"* Dénivellation. — La dénivellation des failles n'a pas partout 
la même amplitude, c'est-à-dire que les deux lèvres ne sont ni sur 
le trajet d'une même faille, ni sur des failles différentes distantes 
verticalement de la même longueur métrique. Pour une même 
faille, la dénivellation est d'abord presque toujours plus forte 
qu'ailleurs aux points où le sol est disloqué par des cassures trans- 



— 225 — il. 

versales. Ainsi, la faille de Prénovel, qui met le Ptérocérien en 
contact avec le Bathonien dans les bois qui surmontent la ferme 
de la Crochère, accuse dans la cluse des Crozels une dénivellation 
telle que c'est le Lias qui vient buter contre le Néocomien. Même 
phénomènedans la vallée de la Laime^où Ton passe brusquement 
de rOxfordien au Crétacé. La faille de THeute présente sa plus 
grande dénivellation au ravin de la Doye, qui correspond à une 
cluse. Il en est de même pour celle de Champvaux, au voisinage de 
Voiteur. Quoique cette influence des cassures soit moins visible 
dans la plaine, elle se manifeste cependant très bien près de la 
vallée de la Cuisance, à Vodans, où des lambeaux d'Oxfordien 
sont mis en contact avec le Trias. L^unité d'une faille joue aussi 
un rôle important dans la dénivellation; toutes les fois qu'elle se 
dédouble, la dénivellation de chaque faille secondaire devient 
plus faible, comme s'il fallait faire la somme de leffet produit 
par les petites cassures pour retrouver l'effet de la grande faille 
qui leur a donné naissance. Le phénomène est surtout visible 
au pied de la falaise et l'on peut s'en rendre compte en jetant 
les yeux sur la coupe du Trias de Poligny, donnée par Pidancet, 
où l'on voit que ces failles n'ont eu généralement pour résultat 
que de mettre les couches inférieures du Keuper en contact avec 
d'autres plus élevées de la même formation. 

D'une faille à l'autre la dénivellation change aussi d'amplitude 
et l'on peut dire que celle-ci est d'autant plus prononcée que 
l'épaisseur des couches disloquées est plus forte. Nous venons 
de voir que la faille des Crozets avait porté le Lias et les forma- 
tions jurassiques inférieures au niveau du Crétacé. La dénivella- 
tion y atteint ainsi une valeur très voisine de 600 mètres. A la 
faille de l'Heute, c'est presque toujours le Kellovien ou l'Oxfordien 
inférieur qui bute contre le Lias, ce qui suppose une moyenne 
de 200 à 250 mètres de dénivellation. Au pied de la grande 
falaise, à l'endroit où l'on peut le mieux saisir le déplacement 
subi par la lèvre en regard vers l'occident, les formations du 
gypse et du sel marin sont apportées au niveau des Dolomies 
supérieures du Keuper, ce qui suppose 120 ou 130 mètres de 
dénivellation. Dans les failles de la plaine, la dénivellation ne 
X. m 



I 



i± — 226 — 

dépasse pas 100 mètres. Elle met les marnes irisées en contact 
avec les formations liasiques au bajociennes. 

Or, si Ton rapproche ces particularités de dénivellation des 
rapports que nous avons signalés entre les épaisseurs des 
terrains visibles et les distances des failles, on ne pourra s*empé- 
cher de conclure que les faits se passent comme si, dans leurs 
distances respectives et leurs dislocations, les failles avaient 
voulu respecter aussi la progression des épaisseurs relatives des 
terrains. Une coïncidence de ce genre ne saurait être tout à 
fait fortuite, et voilà une des raisons pour lesquelles nous incli- 
nons à croire que les cassures des failles ne pénètrent pas très 
profondément dans le sol au-dessous des couches observables. 

Quoi qu'il en soit de cette coïncidence, les failles, dans leur 
dénivellation, présentent toutes un caractère que les coupes de la 
planche 111 font parfaitement ressortir. En les suivant, on n'a pas 
de peine à saisir que, des deux lèvres, c'est celle tournée vers 
Foccident qui est la plus relevée. 11 peut y avoir des exceptions 
particulières à cette loi lorsque, surtout une faille simple, se 
réduit en cassures secondaires et la coupe de la Bocale à Aumont, 
donnée par le frère Ogérien, en offre un exemple. Mais lorsque 
la faille maintient son unité, on trouve presque toujours réalisée 
la disposition qui vient d'être indiquée. Les coupes de Pidancet 
sur le Jura bisontin offrent aussi le même caractère, en sorte qu'on 
peut dire que le Jura dans ses ruptures rappelle assez bien la 
disposition du massif de la Grande-Chartreuse, telle qu'elle a été 
figurée par M. Lory. (Voir M. Lory, Bull. Soc. géol.y 1851, IX, 
planche I.) 

4* Influence sur l'hydrographie. — Dans la description qui a 
été faite de la marche des failles et des moyens de les reconnaître, 
il a été assez souvent question des sources et des prairies maréca- 
geuses auxquelles elles donnent lieu. De fait, dans la plaine, comme 
les failles mettent en contact les marnes du Keuper avec celles du 
Lias, elles doivent jouer le rôle d'un fossé de drainage. Les eaux 
qui tombent sur le pan relevé d'une faille s'écoulent vers l'orient, 
en vertu de l'inclinaison des couches, jusqu'à la faille suivante et 



— 227 — iZ. 

ainsi de suite, tant qu^on n'a pas dépassé la falaise occidentale. 
A partir de là, les couches en contact ne sont plus toutes de 
nature marneuse; à THeute, c'est le Kellovien ou la Dalle nacrée 
qui touchent le Lias; à la faille de Combe-Froide, ce sont les 
marnes vésuliennes qui touchent le Bajocien. Dans les deux cas, 
tantôt Teau devient stagnante, tantôt elle parvient à s écouler, 
soit contre les bords de la cuvette, soit par les fissures du fond. La 
faille des Crozets présente alternativement sur sa longueur les 
caractères de la faille de THeute et de celle de Combe-Froide, et 
donne encore lieu aux mêmes phénomènes. Lorsque les eaux du 
fond de la cuvette ne peuvent pas s'infiltrer, elles produisent de 
petits lacs ou des plaines marécageuses. Ainsi sont nés les lacs 
des Ronchauds, d'Etival et du Maclus. 

Je n*ai pas à signaler ici le rôle des failles dans les phénomènes 
d'affaissement, si communs au voisinage de Lans-ie-Saunier et 
dans les autres régions salifères. Fournet et Boyer ont traité 
complètement la question. Ils ont montré que les affaissements 
avaient lieu suivant des lignes déterminées qui sont précisément 
des lignes de fracture et qu'ils étaient dus à la dissolution du sel 
marin suivant ces mêmes lignes de moindre résistance. 

Pour résumer maintenant en quelques mots ce qui concerne 
les failles, disons qu'elles sont parallèles à la direction générale 
de la chaîne, progressivement rapprochées avec une dénivellation 
de plus en plus faible à mesure que l'on descend du Haut-Jura 
vers la Bresse et que c'est d'elles que dépend le régime des 
sources sur le premier plateau et dans la plaine occidentale. 

II. — SOULÈVEMENTS EN TOUTE. 

Les soulèvements en voûte affectent surtout, comme nous le 
savons déjà, la partie la plus montagneuse de la région qui est 
aussi celle où les dépôts sédimentaires sont le plus nombreux. 
Les uns n'ont qu'une étendue très limitée et peuvent varier 
beaucoup dans leur orientation. Les autres, au contraire, se 
développent sur une grande longueur et présentent à peu près 
la même orientation. C'est de ces derniers seulement qu'il sera 



i 



H. — 228 — 

question dans Texposé qui suit. Ils sont au nombre de cinq, que 
nous allons passer en revue en marchant de KO. vers TE. ou de 
la faille des Crozets vers les arêtes dominant la plaine suisse. 

Premier soulèvement. — Le premier soulèvement commence 
au nord-est à la forêt de la Joux-Devant et rejette de part et 
d*autre de son axe les couches portiandiennes vers Taucua et 
vers la vallée du Grandvaux. 11 se continue suivant la même 
direction par Château des Prés, les Crozets et les Prés de Valfin. 
Sur tout ce dernier parcours, son arête est rompue, et il met au 
jour rOxfordien et les autres formations jurassiques jusqu'à 
rOolithe inférieure inclusivement. L'axe stratigraphique forme 
alors le fond de la vallée de la Loutre. A partir de là, sa direction 
qui était N. 50** E, s'infléchit un peu et se redresse vers le N. de 
1 5"* à 20°. En même temps, sa voûte se referme et on le suit 
facilement à ta ferme des Saumoires entre Leschères et ValGn, 
où de part et d'autre on voit s'incliner en forme de toit des cal- 
caires dolomitiques exploités comme dalles et renfermant quel- 
ques débris de poissons. 11 se poursuit ensuite par le bois de 
Cuttura toujours constitué par le Portiandien, mais à partir de là 
il se divise en trois rameaux, dont le premier court au S.-E. 
de la direction générale vers Ponthoux et le pont de Lizon. Le 
second continue cette direction, et bien qu'il soit masqué par le 
Néocomien sur une grande partie de son parcours, on peut 
cependant le suivre à travers les boutonnières qui mettent au 
jour le Portiandien entre Ravilloles et Cuttura, et entre Saint- 
Lupicin et Bief-d'Etraz. Quant au troisième, il s'accuse assez par 
les petits soulèvements jurassiques que l'on observe au levant 
de Ravilloles, derrière Saint-Lupicin et dans le voisinage de 
Champ -André. Sa direction est au N.-O. du soulèvement 
principal ce que celle du premier est au S.-E.; l'angle d'écart 
est à peu près 10° pour l'un comme pour l'autre. Tous les deux 
disparaissent à égale distance de la bifurcation, après 20 à 30 
kilomètres de parcours, et lorsqu'on arrive à Molinges, l'unité du 
soulèvement reparaît pour se continuer vers Rogna et la forêt 
d'Arbent. 




— 229 — 15. 

Second soulèvement. — Le second soulèvement en voûte con- 
stitue la crête orientale de la vallée de la Bienne. On le suit faci- 
lement de Morez à Cinquétral le long des abrupts de la Mouille; 
à Cinquétral il est coupé par la Bienne, et se continue de là dans 
la forêt d* Avignon, au S.-O. de laquelle il est traversé une 
seconde fois par la même rivière. Très près de cette dernière 
section, la voûte s'entr'ouvre et met au jour le Bajocien que Ton 
observe à Chevrv, Ranchette et Choux. 

De Morez à la forêt d'Avignon, il se dirige du N. 50* E. vers 
le S. 50* 0.; h partir de là, il devient sensiblement parallèle à la 
partie méridionale du soulèvement précédent. Il ne présente pas, 
comme ce dernier dans la région qui nous occupe, le Néoco- 
mien sur son arête; mais son flanc oriental en porte de larges 
bandes à la Mouille, à Longchaumois, à Cinquétral, etc. 

Près de Morez, son axe se dédouble en deux branches, dont 
l*une passe par le bois de Chinceval et se continue par Entrr- 
Roches, vers le levant de Bellefontaine, et dont Tautre coupée 
par la Bienne entre Morez et Morbier forme Tescarpement qui 
limite à TO. la vallée de Bellefontaine. 

Troisième soulèvement. — Le troisième soulèvement est celui 
de la forêt du Fremois. 

H s*accuse nettement au mont Fier par une voûte rompue qui 
met au jour TOxfordien et se poursuit vers le S.-E. dans la forêt 
du Fresnois, où il se résoud en plusieurs petits soulèvements 
parallèles à crête corallienne. Vis-à-vis Cinquétral, ces soulève- 
ments se ramènent à deux : un grand soulèvement dont louver- 
ture donne lieu à la Combe de Tressus et un petit soulèvement 
parasite qui passe par la vallée de Vaucluse et se termine au 
Chabot. Plus au S., ils*ouvre pour constituer la grande vallée de 
Villars-Saint-Sauveur, dans laquelle coulent le Tacon et le ruis- 
seau de la Queue de Cheval. Ce soulèvement se présente ainsi tour 
à tour en forme de toit, de plateau ondulé et de vallée profonde. 

Quatrième soulèvement. — L'arête du quatrième soulèvement 
se prolonge du Noirmont par la forêt de la Frasse vers la 



i6. — 230 — 

Joux et le Cret au Merle. Elle est généralement néocomienne 
dans la vallée des Dappes et devient portlandienne de Prémo- 
non au voisinage de Belle-Combe; à partir de là, la voûte s*ouvre 
comme dans les trois premiers soulèvements, pour laisser 
paraître, à mesure qu'on s'avance vers le S.-O., l'Oxfordien et les 
formations inférieures du Jurassique jusqu*au Lias qu'on observe 
au crètdeChalame. On retrouve dans ce quatrième soulèvement 
Tunité qui caractérisait le premier et quelque chose de semblable 
dans la disposition des sédiments de part et d'autre de Taréte, et 
de même que la vallée du Grandvaux se prolongeant par Chaux 
des Prés est plus élevée que la vallée de la Bienne, de même la 
courbe du Lac et celle de Moussières sont à une altitude plus 
grande que la dépression de la Valserine. Rien d'autre à noter 
quant à la direction générale ; c'est absolument celle des soulè- 
vements précédents. Le point à partir duquel l'orientation vers 
le N. devient plus grande correspond à peu près au village de 
Belle-Combe, où la voùle s'ouvre largement pour laisser appa- 
raître l'Oxfordien. 

Cinquième soulèvenienL — Le cinquième soulèvement a pour 
axe la partie la plus élevée de la chaîne. On le suit de la Dôle au 
Reculet par le Colombier de Gex et le Crèt de la neige. A la Dôle 
son arête est portlandienne avec flanquements néocomiens ; à 
partir de là, il est principalement constitué par le Virgulien 
coralligène. Dans son développement longitudinal vers le S.-O., 
il présente assez d'inflexions pour avoir fait dire à M. Benoit que 
c'est une chaîne tordue avec cirque à l'E., celui de Gex, et 
cirque à l'O., celui de Chézery. Cependant, en examinant de loin 
la direction générale, on voit qu'elle est à peu près celle des 
autres soulèvements. 

CARACTÈRES PRINCIPAUX DES GRANDS SOULÈVEMENTS EN VOUTE. 

Ces grands soulèvements connus, il nous reste à traiter pour 
en faire connaître les caractères : 
1"* De la largeur de chacun d'eux; 



— 231 — 17. 

2® De leurs rapports de direction et de distance; 
3** Des particularités que présentent leurs pentes et leurs 
sommets ; 

4"* De Tinfluence qu'ils exercent sur Thydrographie du Jura. 

l" De leur largeur. — La première chose qui frappe le géo- 
logue dans rétude générale des soulèvements en voûte, c'est 
rinégalité de surface soulevée par chacun d'eux dans son parcours 
longitudinal. Généralement parlant, elle est plus grande du côté 
de la Suisse et du déparlement du Doubs que du côté du dépar- 
tement de TAin. Il en résulte ainsi une différence sensible dans le 
relief. Vers le N.-E., les vallées sont plus resserrées et ont des 
pentes plus voisines de la verticale. V^ers le S.-O., elles s'élar- 
gissent davantage et se relèvent plus doucement vers les chaînes 
qui les encadrent. Ce fait est surtout sensible pour les deux 
principales vallées du Haut-Jura, celle de la Bienne et celle de 
la Valserine. De Morez à Lézat, la Bienne coule resserrée entre 
des escarpements pittoresques qui la dominent en surplomb d'une 
hauteur de 300 mètres. A partir de là, la vallée double au moins 
de largeur, et l'on voit succéder aux pentes raides de Tancua et 
des Mouillez les pentes régulières et relativement douces de la 
Rixouse et de Valfin. A partir de ce dernier village, la Bienne 
quitte sa vallée d'origine pour descendre à Saint-Claude par une 
cluse transversale ; mais ta vallée n'en conserve pas moins son 
caractère à Grand-Essart et au S.-Ë. de Lavans. Elle se perd 
momentanément par le fait d'un brouillage local entre Molinges 
et Arbent. Mais à partir de là, on la retrouve dans la dépression 
largement ouverte qui suit la route d'Oyonnax à la Cluse. 

Quanta la Valserine, on peut dire qu'à part le petit cirque de 
Lavatay qui élargit un peu sa vallée dans le voisinage de Mijoux, 
elle coule jusqu'auprès de Chevry dans une dépression étroite et 
profonde. Ce n'est qu'à partir de là que les pentes deviennent 
moins raides et que les chaînons s'écartent. 

Le même rétrécissement de la partie septentrionale se pré- 
sente dans la vallée de Seplmonel qui se continue vers Prémanon 
par la combe étroite de la Chaux-Berthaud et de la Sambine, et 



i 



48. — 232 — 

dans la vallée Cinquétral qui se poursuit vers la Doye, réduite à 
la petite combe des Adrets. 

Il n'y a d'exception que pour la vallée de Villards-Saint-Sau- 
veur. Mais comme elle correspond à la rupture d'une voûte, elle 
n^est plus dans les conditions des vallées précédentes et sa 
largeur dépend d'un coefficient spécial dont nous n'avons pas à 
nous occuper pour le moment. 

Passons maintenant en revue d'une façon rapide chacun des 
soulèvements. 

Le premier présente son maximum de surface exhaussée dans 
la forêt de la Joux-Devant et à la Combe des Prés, où la largeur 
totale est de 3 kilomètres ; son minimum est entre les Combes et 
les chères, où il se réduit à 1 kilomètre au plus. 

Le second présente deux renflements, l'un au bois de Chin- 
ceval (largeur 2 7i l^î'Oy Tatitre dans la forêt d'Avignon (largeur 
3 kil.). 

Le troisième oifre surtout une grande largeur au levant de 
Longchaumois, où il se résout en petits soulèvements parallèles. 
Il n'est plus que de 2 kilomètres à Saint-Claude et se réduit 
encore davantage au voisinage de Bouchoux. 

Le quatrième, déjà fort élargi entre la forêt de la Frasse et le 
bois de Bonc le devient plus encore auprès des Hautes-Molunes 
et de Belle-Combe, où il produit sur son regard occidental les 
plissements secondaires du Flumen. Il s'amincit ensuite progres- 
sivement vers le Crêt de Cholom et le cirque de Champformies. 

Le cinquième diminue peu à peu de largeur de la Dôle au 
Reculet. Cette largeur est à peu près (base comprise) de 6 ^2 l^tlo- 
mètres vis-à-vis Lelcx. 

Chose importante à noter, partout où la largeur augmente 
sensiblement, on voit se multiplier les plissements de second 
ordre parallèles au soulèvement principal. Nous venons de les 
signaler au Frasnois et aux cascades de Flument. La forêt de la 
Joux-Devant n'en est pas exempte, non plus que la montagne 
d'Avignon. Pour nous en tenir à cette dernière, elle présente 
entre Saint-Claude et Valfin des ondulations qui ramènent à deux 
reprises l'Oolithe corallienne au niveau du chemin. 



— 253 — 19. 

En résumé donc, on voit que les soulèvements en voûte ont 
exhaussé des surfaces inégalement larges et que généralement 
la largeur du bombement est plus considérable vers le N.-E. 
Il s'ensuit que les vallées y sont plus étroites et plus raîdes 
et qu*en même temps les soulèvements s'y résolvent plus facile- 
ment en soulèvements secondaires, comme si Tindividualité d*un 
soulèvement variait en raison inverse de sa largeur. Il y a là 
entre les soulèvements en voùle et les failles un rapport facile à 
remarquer. 

S"* Rapports de direction et de distance. — Mais quelles que 
soient les variations de largeur de nos cinq soulèvements, ils pré- 
sentent tous un remarquable parallélisme. Le premier et le 
second, par exemple, ont beau s'élargir vers le N.-E., leurs deux 
axes de stratigraphie n'en conservent pas moins la même direc- 
tion, qui est celle de la Combe-des-Prés et des rochers de Noire- 
Combe. Dans le premier, cet axe se laisse suivre de la forêt du 
Rivon, au Grèt-des-Bois dans la forèl de la Joux-Devant, par la 
petite vallée de la Loutre et les escarpements de Pré-Marchais et 
dans le second, il se continue du bois de Ghinceval aux côtes 
de la Mouille et à la ferme de la Montagne, près d'Avignon. 
L'axe du troisième apparaît au crét des Arcets, à 6 kilomètres 
au S. de Morez sur le chemin de Prémanon et, après s'être perdu 
un instant dans le brouillage de Fresnois, se retrouve à la combe 
de Tressus et à la vallée de Villars-Saint-Sauveur. Celui du 
quatrième est jalonné par la forêt de la Frasse, les affleurements 
oxfordiens du Manon et le pointement liasique du crêt de Cha- 
lame. Quant au cinquième soulèvement, bien qu'il soit une 
chaîne tordue, sa direction est encore celle des précédents. Ainsi 
sous le désordre apparent produit par les élargissements se 
révèle la disposition la plus simple, et l'on finit par retrouver 
dans les soulèvements en voûte les rapports de direction signalés 
dans les failles. 

Ce n'est cependant pas qu'il y ait similitude complète entre 
ces deux sortes d'accidents. Les failles ne présentent pas d'in- 
flexions sensibles dans toute l'étendue longitudinale des terrains 



20. — 234 — 

où nous avons pu les suivre. Il n'en est pas de même des grands 
soulèvements en voûte. Tous se brisent à peu près suivant une 
ligne orientée du S.-E. au N. SS"" 0. et dont le milieu se trou* 
verait dans le voisinage de Saint-Claude. Cette ligne correspond 
à peu près à la direction des cluses du Flumen, de Saint-Maurice 
et de la vallée de Poligny, dont nous aurons bientôt à parler. A 
partir de là, la direction des soulèvements qui était N. tëi^ E. se 
rapproche du méridien et devient N. SO*" E., avec léger rappro- 
chement des axes stratigraphiques. Il est intéressant de noter 
que ce changement de direction correspond pour les cinq sou • 
lèvements aux points où le Néocomien se présente aminci. 

Quant à la distance des axes stratigraphiques, elle est sensi- 
blement la même d'un soulèvement au suivant. Elle est environ 
de 4 </2 ^ ^ kilomètres, excepté pour le deuxième et le troisième 
soulèvements qui sont légèrement plus rapprochés. 

3" Particularités que présentent le sommet et les pentes. — La 
première des particularités à signaler pour les sommets des 
soulèvements en voûte est leur passage à des failles. Nous 
avons vu que ce caractère se présente généralement au S. de la 
ligne de commune inflexion à partir du moment où les axes stra- 
tigraphiques se rapprochent Tun de Tautre. 11 n'y a guère que le 
cinquième soulèvement qui échappe à cette loi commune; car 
dans le troisième on trouve la faille du Tacon, et dans le quatrième 
la rupture de voûte de Belle-Combe met en contact au voisinage 
des Moussières TOxfordien avec les assises inférieures du crétacé. 
Ces failles accidentelles obéissent assez bien à la loi de dénivel- 
lation des failles de la plaine ; la lèvre qui regarde la France est 
presque toujours portée plus haut que la lèvre opposée. 

Je citerai comme exemple de ce fait la combe oxfordienne des 
Prés qui constitue un de ces cirques si communs dans la Suisse. 
Dans la coupe CD de son Esquisse géologique^ Etallon suppose 
bien que TOxfordien y est brisé, mais il semble ignorer que 
la grande Oolilhe s'est fait jour à travers la cassure. La dénivella- 
tion qu'il indique n'est pas la vraie. Quiconque voudra bien 
observer le petit chaînon qui limite à l'E. la vallée de la Loutre 



— 235 — 2i. 

verra qu'il est composé de Jurassique luférieur, en regard de 
rOxfordien et du Corallien formant les escarpements opposés. 
La coupe A de la planche III représente assez bien cette dispo- 
sition (voir la planche III, (ig. 7). 

On doit conclure de là qu^il n*y a pas de différence essentielle 
entre les failles qui continuent vers le midi nos soulèvements et 
les cirques que présentent leurs voûtes en tr'ou vertes. D*un côté 
comme de lautre, il y a rupture avec dénivellation; seulement 
dans les cirques la dénivellation lorsqu'elle se produit est 
généralement plus faible que dans les failles proprement dites. 

La même dyssymétrie se remarque sur les pentes des soulève- 
ments étudiés. Thurmann avait dit que sur cent et vingt chaînes 
dont il connaissait les escarpements, quatre-vingt-dix faisaient 
face à la France. Je ne sais comment Roger avait pu écrire en- 
suite que les flexions particulières sont toutes du côté des Alpes 
(d'Archiac, vol. VII, p. 25). Le fait est qu'on ne peut suivre long- 
temps un soulèvement en voûte sans être frappé de l'excès de 
pente qu'il présente du côté de l'O. Ce n'est que par suite d'excep- 
tions fort rares que le contraire a lieu. 

Je citerai comme exemple le bombement de la Joux-Devant 
dont les pentes vis-à-vis de Lézat sont tout aussi inclinées vers 
l'E. que vers l'O. Mais le soulèvement longitudinal dont ce bom- 
bement fait partie retombe dans la loi commune sur tous les 
autres points de son parcours, à la Combe-des-Prés, au bois de 
Cutlura et jusqu'aux petits chaînons qui en sont la continuation 
dans le voisinage de Saint-Lupicin. La pente vers Chaux-des- 
Prés et vers Ravilloles est presque double de ce qu'elle est 
dans la direction de la Rixouse et de Valfin. 

Dans le second, le troisième et le quatrième soulèvement, la 
loi se vériûe aussi presque toujours. 

Quant au cinquième, il mérite une mention spéciale. Ce n'est 
pas à proprement parler un vrai soulèvement en voûte. Lorsqu'on 
voit ses calcaires passer à l'état bréchiforme et ses couches 
plonger de part et d'autre vers le centre de la chaîne, on n'a pas 
de peine à comprendre avec M. Favre qu'il répond à un plisse- 
ment en éventail analogue à celui de M. Blanc. Mais alors il ne 



à 



22. — 236 — 

peut rien y avoir d'étrange à ce que, sortant de la loi commune, 
il ne présente plus les dispositions des autres chainons et qu*asscz 
souvent les pentes les plus prononcées soient en regard des 
Alpes. 

La pente vers FO. est tellement accusée sur les autres qu'il 
en est résulté des fractures partielles, des glissements et des ren- 
versements analogues à ceux que présentent les Alpes et les 
Ardennes. 

Les ruptures partielles se remarquent bien sur les pentes 
occidentales des deux premiers soulèvements en voûte. Elles 
ont atteint surtout les couches supérieures du Portlandien, 
comme on peut s'en rendre compte en visitant les escarpe- 
ments qui s'étendent de l'Abbaye à Saint Lupicin, ou en étu- 
diant les monts de Bienne et la forêt d'Avignon. Partout on voit 
les couches supérieures disjointes, à la façon des fibres ligneuses 
d'une branche d'arbre à laquelle on aurait fait subir une poussée 
trop grande contre un obstacle immobile, présenter un bâille- 
ment d'autant plus fort que l'abrupt est plus accusé. 

Celles qui sont orientales s'avancent jusqu'au sommet de 
l'anticlinal tandis que celles qui sont occidentales semblent, au 
contraire, s*étre disposées en retrait sur les pentes, comme l'in- 
dique la figure schématique (pi. III, fig. 4). Cette figure est 
presque la reproduction de ce que Ton observe du sentier de la 
Cbaumette et au chemin qui descend de Cinquétral à Noire- 
Combe. 

De ces ruptures partielles on passe sans peine à des glissements 
sur la plus forte pente. Quelles que puissent être les causes d<* 
ces glissements, il n'en est pas moins vrai qu'ils existent et qu'on 
trouve tous les intermédiaires entre les simples ruptures et les 
glissements les plus compliqués. Ainsi sur le bord oriental de la 
Bienne, tout près du coude qu'elle forme avant de s'engager dans 
la Cluse de Saint-Claude, on observe du Portlandien qui est 
descendu d'au moins un huitième de la longueur totale de 
l'escarpement vers le lit de la rivière. La figure 6, planche III, en 
représente l'aspect. 

Le même fait se reproduit au levant de la Combe de la 



— 237 — 23. 

Landoz, au couchant de la forêt d'Avignon, et entre le bois de 
Guttura et le village de Ravilloles. On comprend que plus le 
glissement est considérable, plus les couches doivent être for- 
cées de se loger dans des espaces restreints. De là les plissements 
si curieux de Guttura et de Grand-Essart que nous reproduisons 
planche III, figure 5, et qui affectent surtout la dolomie portlan- 
dienne. 

On en rencontre de semblables à Ilay, sur la lèvre occidentale 
de la dernière falaise, ainsi que sur le chemin du Pontet dans le 
massif du Bayart qui domine Saint-Glaude. 

Mais ce qui confirme encore la loi de plus grande pente vers 
rO., ce sont les renversements dont le Jura offre tant d exemples 
et sur lesquels M. Lory insistait en 1860. On sait que si une 
couche relevée dépasse la verticale, elle va progressivement par 
un mouvement de rotation sur sa tranche recouvrir les couches 
qu elle devait supporter. Un renversement n'est donc qu'un 
phénomène exagéré de surplomb qui n'est pas inconnu dans les 
autres parties de la chaîne, car on peut en avoir un exemple 
dans les Esquisses orographiques sur la chaîne du Jura, de 
Thumann. La treizième coupe, qui va de l'Aar au Rhin par 
Efiingen, représente à quelque distance de l'Aar les couches 
jurassiques repliées sur elles-mêmes en forme de V horizontal, 
dont l'ouverture regarderait le nord, c'est-à-dire dans la direction 
opposée aux Alpes. Même disposition dans la coupe de Besançon 
à la Vèze, donnée par Pidancet. Mais ce qui parait n'être qu'un 
fait particulier daps le Jura bernois et le Jura bisontin devient 
presque la loi commune en tous les endroits où le Néocomien 
s'amineit en pointe. Il est alors renversé sur lui-même et comme 
écrasé entre les puissantes pinces du Portiandien. Il en résulte 
une stratification confuse, un appauvrissement dans la faune, un 
développement sensible de la structure bréehiforme, indice 
certain d'une forte compression. 

La première observation qui me mit sur la voie fut celle du 
Néocomien du Rivon. Je l'avais parcouru bien des fois et toujours 
avec élonnement, remarquant que du Valenginien je passais à 
rUrgonien, puis de l'Urgonien au Valenginien sans apparence de 




24. — 238 — 

faille. Le terrain jurassique que je trouvais ensuite était trop bou- 
leversé et trop brisé pour pouvoir me donner quelques indica- 
tions. Je cherchai longtemps, jusqu'au moment où je découvris 
sur le chemin du Rivon à La Landoz quelques couches néoco- 
miennes inclinées tout autrement qu'elles ne devaient Tétredans 
le cas d'une stratification en fond de cuvette ; j'eus dés lors la clef 
de l'énigme. Depuis cette époque, j'ai retrouvé le Néocomien ren- 
versé à Guttura, à Grand-Essard, aux moulins de Montépile, à 
Ponlhoux, i Etival, à la combe du Lac, sur le chemin qui va 
de Saint-Claude à Cinquétral et en beaucoup d'autres points. C'est 
par exemple i un renversement de ce genre qu'il faut attribuer 
le plongement vers le S. que présente le Néocomien aux abrupts 
du lac de l'Abbaye et la stratification confuse qu*il offre près du 
lac d'ilay. 

Les coupes du Rivon, de Cinquétral et de Montépile surtout 
ne laissent aucun doute sur ces phénomènes de renversement. 
Je reproduirai seulement ici celle du Rivon et celle de Cinquétral 
qui me paraissent les plus simples (pi. III, fig. 1,2 et 3). 

A celle du Rivon, on remarque que les marnes nacrées du 
Purbeckien se trouvent de part et d'autre du Néocomien avec 
pendage vers le S.-E. II en est de même des marnes à Ostrea 
couloni et des calcaires chloriteux toujours subordonnés à 
rUrgonien ; quant à ce dernier, ses assises se touchent, mais 
elles sont tellement rompues qu'elles passent aux calcaires 
bréchiformes. 

Sur la lèvre occidentale du bassin, les couches portiandiennes 
ont leur allure normale. Sur la lèvre orientale, les cassures 
qu'elles ont subies ne permettent pas de constater leur inclinaison ; 
mais on peut facilement s'en rendre compte de Tautre côté de la 
Montagne de Sur-les-Roz. La tranchée du chemin qui va du 
Rivon aux Prés-de-Valfin montre ces couches portiandiennes 
redressées visiblement suivant la verticale et passant progressi- 
vement à un pendage justement contraire à celui qu'indiquerait 
un simple exhaussement. 

Vers le S.-O. du Rivon, le Néocomien s'élargit sensiblement et 
ses couches reprennent peu à peu leur allure régulière. Elles 



— 239 — 25. 

sont très nedementdisposéesen fond de bateau vis-à-vis Leschéres 
ainsi que le montre la coupe (pi. III, fig. S****). 

Lorsqu'on s'avance vers le nord-est, la lèvre orientale reste 
encore quelque temps perpendiculaire à Thorizon, elle retombe 
dans son inclinaison normale lorsqu'on s'avance vers la couche 
du Grandvaux, pour se renverser i nouveau près du lac de 
l'Abbaye. 

Quant aux abords de Cinquétral, le renversement y est visible 
de loin, lorsqu'on observe le massif du Pain de sucre en 
gravissant le chemin du Pontet. On voit très bien que ses assises 
se dirigent vers le ruisseau de Vaucluse au lieu de plonger vers 
la Bienne, comme elles devraient le faire s'il n'y avait pas ren- 
versement. A l'O. de ce pic élevé, le Néocomien se montre 
comme une tache prise entre deux nappes blanches de calcaire 
jurassique. De près le renversement est accusé par deux horizons 
marneux identiquement les mêmes, où l'on trouve abondamment 
la Pholadomya elongata. C'est grâce à ce renversement qu'on voit 
le ruisseau de Cinquétral, qui a reçu les eaux pluviales du bassin 
néocomien, dévier de sa direction et se précipiter vers la 
Bienne en petites cascades élagées. A S*-Claude, l'amincissement 
du Néocomien est tel et le renversement si fort que les couches 
portlandiennes viennent presque au contact. C'est à peine si l'on 
trouve entre elles 1 à 1 2 mètres de marnes et calcaires renfermant 
la Pholadomya elongata. 

En voyant combien ces phénomènes de renversement sont 
communs dans le Jura, je suis surpris qu'ils n'aient pas encore 
fait l'objet d'un travail spécial. Ils semblent avoir échappé à la 
sagacité d*Etallon. Car, ni dans sa coupe de l'Ain du M^-Rond, 
ni dans celle d'Étival à Longchaumois, le lecteur ne pourra 
saisir quelque chose qui ressemble à un renversement. Dans la 
première, il multiplie les failles sans raison, et dans la seconde, 
il oublie même de représenter le Néocomien de Leschéres, bien 
qu'il l'ait signalé sur sa carte. 

Le caractère le plus remarquable de ces plissements néoco- 
miens est l'orientation du V; car l'ouverture en est presque tou- 
jours tournée vers l'O., dans le sens général des abrupts. Il y a 
là une coïncidence importante à noter. 



I 



26, — 240 — 

ht* Influence des soulèvements en voûte sur l'Hydrographie 
du Jura. — Cette influence se fait surtout sentir dans la distri- 
bution des sources et des puits perdus que Ton désigne dans 
le pays sous le nom d*embossieux. On comprend que, si le Jura 
formait un plateau continu, Teau des pluies s'cngageant à travers 
les couches perméables des calcaires pour aller constituer 
des nappes souterraines, soit sur les marnes à OstreaCouloni du 
Néocomien, soit sur TOxfordien et le Lias, qui sont les nappes 
aquifères par excellence, la région ressemblerait au Karst et aux 
Gausses de la Lozère ; ce serait un pays affreusement desséché. 
Le premier effet des soulèvements en voûte a été de diviser la 
région en une succession de cuvettes penchées, où les eaux 
s'écoulent et d'où elles peuvent trouver une issue vers le dehors. 
C'est évidemment sur la partie la plus bouleversée que cette issue 
doit se rencontrer communément. On comprend dès lors que, 
puisque les soulèvements en voûte ont plissé plus violemment 
les couches en regard vers la France que celles qui sont tournées 
vers la Suisse, c'est de ce côté que les sources doivent apparaître 
en plus grand nombre. Aussi, quelques courses dans le Jura 
suffisent-elles pour montrer qu'il en est ainsi soit dans la vallée 
du Grand-Vaux, soit dans celle de la Bienne, soit surtout dans 
celle de la Valserine. Dans cette dernière en particulier, les 
sources sont si abondantes au revers occidental de la Faucille 
qu'on ne saurait faire dix pas sans en rencontrer quelques-unes. 
Quant aux puits perdus, leur répartition est à peu près soumise 
aux mêmes lois que celle des sources, elle tient encore à l'irrégu- 
larité des soulèvements. Lorsque, en effet, l'un de ces derniers 
vient à s'ouvrir pour constituer ces boutonnières en forme de 
cirque que l'on désigne dans le pays sous le nom de Combe, 
l'eau qui tombe sur ces dépressions ne peut trouver une issue 
qu'en suivant l'inclinaison des couches imperméables qui forment 
le fond du cirque. Et comme celles-ci ont leur plus long pendage 
vers l'est, c'est de ce côté que le drainage doit se faire; ce qui 
revient à dire que c'est encore à la base occidentale d'un abrupt 
que l'eau disparait. 

Inutile d'ajouter ici que la répartition des lacs et des marais 



— 241 — 27. 

tient encore à la même cause. Les lacs du Jura, et en particulier 
ceux des hautes chaines, ont pour fond de cuvette des couches 
imperméables plissées en forme de V. Puisque ces plisse- 
ments abondent sur le revers occidental des soulèvements en 
voûte, c'est naturellement là que les lacs doivent se montrer. 
Quant aux marais, leur position ne peut être qu'identique, 
puisque la plupart d'entre eux proviennent d'anciens lacs 
desséchés. 

III. — CASSURES TRANSVERSALES. 

Les cassures transversales du Jura ont attiré déjà en 1852 
l'attention de Thurmann. Mais, soit que leur étude parût trop 
difficile, soit qu'on ne les comptât que comme des quantités 
négligeables dans l'orographie de la chaîne, les géologues qui 
suivirent cet éminenl observateur néghgèrent généralement d'en 
parler. 

Celles qui s'observent dans la région dont il s'agit ici présentent 
une remarquable simplicité de direction et se suivent facilement 
de la plaine vers le Haut-Jura. J'en compte cinq, y compris 
celles de Lons-le-Saulnier vers Conliége et de Salins vers 
Campagnole. 

Cette dernière, qui est la plus septentrionale, se suit sans 
peine de la vallée de Salins au col de S*-Cergues en passant par 
Pont d'Héry, Champagnole, le col de la Savine et la cluse de 
Morez. Elle exagère sur son passage la dénivellation des failles 
longitudinales et présente dans la vallée de Salins les caractères 
d'une faille transversale. Les principales particularités à signaler 
sur son trajet sont sa bifurcation par Morillon et Syam, la 
déviation qu'elle fait subir vers le nord à la faille des Crozels et 
le déplacement qu'éprouvent sous sa direction les formations 
jurassiques supérieures à Morillon ('). C'est elle qui donne nais- 



(*) Cette déviation a été très bien mise en lumi re par M. Bertrand dans sa carte de 
Lons-le-Saulnier, et l'on sait qu'en 1885 la Société géologique de France a pu la constater 
sous la direction de cet éminent observateur. 

X. i6 



ê 



28 — 242 — 

sance aux vallées de la Furieuse, de la Laime et à Taffluent de 
la Bienne qui descend de la Doye près de Morez. 

A 5 kilomètres plus au S. vient la seconde cassure, dont 
l'origine est au couchant d'Arbois et dont rextrémité est au col 
de la Faucille. Elle se suit par la cassure de Montrond, la vallée 
de Balerme, le cirque de Chaux-du-Dombier, le col de Château- 
des-Prés et les cascades de la Chaumette jusqu'au-dessus de 
Gex. C'est la moins accusée de toutes. Souvent elle ne donne 
lieu qu'à des fractures insignifiantes ou à de légers contourne- 
ments en forme de voûte. 

La troisième cassure nait vis-à-vis la petite vallée de Vaux, 
près de Poligny, et va mourir au col de Crozet entre les deux 
Colombiers. Elle donne naissance au bassin du lac de Chalin, 
au col de Combe-Raillard, à ceux de Piards et de la Landoz, à 
la cluse de la Bienne, entre Valfin et Saint-Claude et, enfin, au 
ruz du Flumen jusqu'à Montépile. C'est dans sa partie centrale 
que ses effets s'accusent le mieux. Elle y exagère l'inflexion des 
soulèvements en voûte et favorise les renversements du Néoco- 
mien. De plus, elle produit à la Combe-des-Prés une faille dont 
la dénivellation est en faveur de la lèvre méridionale. Une faille 
se remarque encore dans la vallée de Vaux, mais la dénivellation 
y est en sens opposé. A Saint-Claude, il semble que le pa.ssage 
de cette cassure ait contribué à donner naissance aux contour- 
nements des couches portiandiennes du Mont-Bayard. 

La quatrième commence vers la vallée de Baume par une 
faille dont le frère Ogérien a publié la coupe. Elle passe ensuite 
à la Doye, où elle accroît la faille de l'Heutc et produit elle- 
même une faille presque perpendiculaire à cette dernière. Puis 
elle se dirige par les lacs de Clairvaux, le ruz des Crozets et le 
défilé Pont-du-Lizon, vers le voisinage du Crèt-de-Chalame. Elle 
n'est pas étrangère à l'apparition du Lias dans la vallée de Belle- 
Conibe et répète aux Crozets la déviation des formations juras- 
siques produite par la première à Morillon. 

La cinquième enfin va du S.-O. de Conliègc vers Marnézia et 
Vaucluse, où elle produit l'inflexion du cours de l'Ain. De là elle 
se continue par Molinges vers Chézery, où elle détermine encore 
une déviation du cours de la Valserine. 



— 243 — 29. 

Si I*on jette les yeux sur la carte qui représente ces cassures, 
on voit qu'elles sont toutes sensiblement parallèles et qu'elles 
font avec le méridien un angle d'à peu près 20® vers TO. ou de 
70® avec les accidents longitudinaux. Il faut noter cependant 
que, si elles se présentent le plus souvent à Fétat de déchirures 
très nettes passant même aux failles, elles se réduisent parfois à 
une alternance de cassures complètes et de plissements secon- 
daires qu'on a de la peine à suivre. Lorsqu'elles constituent des 
failles, la dénivellation s'effectue tantôt sur une des lèvres et 
tantôt sur l'autre, sans obéir à aucune loi. 

Les rejets que les cassures font subir aux divers accidents 
longitudinaux établissent entre elles et les déchirures transver- 
sales des Alpes une remarquable analogie. Cette analogie parait 
plus étroite encore lorsque l'on constate que la ligne de cassure 
de Lons-le-Saulnier vers Orgelet se continue près du lac d'An- 
necy, que celle de Salins à S*-Gergues va jusqu'à la déchirure de 
Sallanches, et que plus au N. les grandes déchirures de Martigny 
et du lac de Thun dans la Suisse ont leur pendant dans la 
vallée de la Loue, près d'Ornans, et dans la cassure par laquelle 
le Doubs s'échappe vers Saint-Hippolyte. 

Quel est maintenant l'âge de ces cassures? Sont-elles contem- 
poraines, plus anciennes ou plus récentes que les failles et les 
grands soulèvements en voûte? Elles sont incontestablement 
postérieures au dépôt du Néocomien qui a subi leur contre-coup 
et même au tertiaire qu'elles affectent. Elles ne sont donc pas 
antérieures aux accidents longitudinaux. 

A voir les rejets qu'elles ont produits sur ces accidents, les 
accroissements de pente et de dénivellation auxquels elles ont 
donné lieu, on serait tenté de les croire postérieures. Mais lors- 
qu'on les étudie attentivement, on voit qu'elles ont subi à leur 
tour le contre-coup des failles et des grands soulèvements. Ainsi 
la première présente une bifurcation sur le trajet de la plus 
orientale des failles et subit un rejet visible qui reporte à 4 kilo- 
mètres de la direction générale le pins méridional de ses tronçons. 
Même rejet, mais en sens inverse, au village des Rousses, à la 
rencontre du soulèvement de la forêt du Fresnois. La deuxième 



\ 



32. — Î246 — 

velée dans ces derniers temps par M. Vezian dans ses Éludes 
géologiques sur le Jura Franc-Comtois. 

La seconde est celle que M. Marcou formula en 1846 dans 
un travail sur le relief du Mont Jura. Il admit alors que la 
chaîne avait obéi à deux actions distinctes : Tune, postérieure au 
dépôt du Portiandien, qui se serait transmise par un mouvement 
ondulatoire du N.-E. vers le S.-O. en produisant ses plus grands 
effets dans le voisinage de Soleure; Tautre, postérieure au dépôt 
de la Molasse, qui aurait fait sentir surtout son influence sur la 
partie S.-E. du Jura jusqu'à la vallée de TAin. Dans la première, 
les forces verticales auraient prédominé; la seconde aurait eu le 
caractère d*un refoulement latéral. 

La troisième hypothèse n'admet plus que des forces latérales; 
elle a été soutenue successivement par MM. Thurmann, Studer, 
Favre, Lory et Pidancet. 

« L'ensemble des lois exposées, disait Thurmann en 1853, 
me conduit à éliminer toute action soulevante appliquée verti- 
calement...; au contraire, les faits s'interprètent en tout point par 
rhypothèse d'une action latérale procédant du côté suisse vers 
le côté français. » M. Studer admettait dijà en 1837 que le 
massif du Jura était une dépendance des Alpes, et il en donnait 
pour preuve « l'absence des caractères éruptifs, le peu d'altéra- 
tion des roches, la hauteur croissante des chaînes vers les Alpes 
et enfin la tendance qu'auraient les couches soulevées du Jura 
à venir buter contre les Alpes si elles étaient rétablies sur un 
plan horizontal. » Dans un travail plus récent publié dans les 
Archives des sciences physiques et naturelles, il est d'avis que 
« tous les faits nous portent à reconnaître une action latérale 
immense, qui se serait propagée de Taxe des Alpes sur les bords 
de la chaîne ». MM. Lory et Favre se sont moins prononcés que 
M. Studer sur l'origine de l'action latérale; mais tous les deux ont 
fait remarquer les rapports qu'il y avait entre les accidents des 
Alpes (disposition en éventail et ruptures transversales) et ceux 
du Jura; et, comme aux Alpes les traces d'une action latérale 
sont évidentes, on doit croire qu'il faut attribuer à la même action 
les accidents de la chaîne jurassienne. Quant à Pidancet, il con- 



— 247 — 33. 

naissait trop bien le Jura pour ne pas voir dans les soulèvements 
en voûte la preuve d'une action latérale. Aussi est-il très expli- 
cite sur ce sujet lorsqu'il dit à la page 21 de sa remarquable 
note de 1848 : « Les ploiements en voûte semblent avoir été 
formés par une force latérale agissant normalement à la direction 
actuelle de la chaîne et dont Fintensité, ayant son maximum sur 
le bord du bassin helvétique, allait en diminuant rapidement à 
partir de là vers la Haute-Saône où elle parait avoir été à peu 
prés nulle >. Malheureusement ces idées si justes étaient mêlées 
de conceptions fausses sur Tàge et Torigine des failles, que 
Pidancet regardait comme antérieures aux soulèvements en voûte 
et dues à une tout autre cause. C'était à Texpérimentation à 

fournir les éléments nécessaires à la complète solution du pro- 

* 

blême, et ce n'est pas un des moindres titres de gloire de 
M. Daubrée d'avoir comblé cette lacune. 

Rappelons d'abord sommairement les résultats auxquels il 
est parvenu. 

1** Si l'on place dans un châssis des feuilles de plomb et qu'on 
exerce contre leur tranche une poussée horizontale, les feuilles 
présentent une série de plissements rappelant en tout les soulè- 
vements en voûte; 

^ Si les feuilles ont partout la même épaisseur et si elles sont 
homogènes, les plissements sont à peu près équidistants (fig. 75 
à77, p. 293); 

3® Si les feuilles ne sont pas homogènes et de même épais- 
seur ou bien si la pression du châssis est moins grande en un 
point qu'en un autre, c'est au point de plus faible épaisseur, de 
plus faible résistance ou de plus faible pression que les ploie- 
ments s'accusent le plus et se rapprochent davantage les uns des 
autres (fig. 78 à 83) ; 

4° Dans les expériences de ploiement qui viennent d'être 
rapportées, lorsque la poussée jatérale continue d'agir on voit 
les figures sinusoïdales se déformer graduellement et passer à 
des ploiements avec surplomb ou renversement de couches. Le 
surplomb a généralement lieu du côté de la moindre épaisseur; 

S"" Si la poussée continue, le surplomb fait place à une rup- 
ture avec dénivellation dans le sens du «urplomb (fig. 97 à 98); 



34. - 248 — 

6"* Tous ces accidents sont sensiblement parallèles lorsque 
Taction se réduit à un simple refoulement latéral; 

7** Si ce refoulement latéral est accompagné de torsion, la 
torsion par elle-même tend à produire des cassures orientées 
suivant deux directions croisées et la pression transforme ces cas- 
sures en failles. 

Voilà les faits, tels que Texpérimentation les produit. Or, ne 
semble-t-il pas que, d'après la description faite plus haut des 
failles et des soulèvements en voûte , notre région du Jura 
réalise dans ses traits généraux cette simplicité des résultats de 
Texpérimentation? Et d'abord le parallélisme des grandes failles 
et le sens de leur dénivellation ne s'expliquent -ils pas faci- 
lement par une poussée latérale énergique venue des régions 
alpines et qui aurait diminué progressivement d*effet en s'avan- 
çant vers la Serre ? Et, puisque les couches sédimentaires 
s'amincissent à mesure que Ton descend des régions élevées vers 
la plaine bressane, n'est-il pas naturel de voir sous cette poussée 
les failles se répéter d'autant plus nombreuses que l'épaisseur 
devient moindre? C'était donc sur l'ilot que nous supposons 
émergé depuis le dépôt du Bathonien que les cassures devaient 
être le plus nombreuses, et reproduire en grand les ruptures 
multiples des lames amincies dont se servait M. Daubrée. 

Pour ce qui est des soulèvements en voûte, l'orientation des 
abrupts, les ruptures partielles, les glissements vers l'O. et le 
reploiement des couches sur elles-mêmes n'ont plus rien d'énig- 
matique dans cette idée d'un refoulement venant du S.-E. Tous 
ces accidents divers ne sont que des manifestations différentes 
de la même force. L'épaisseur des couches sédimentaires étant 
à peu près la même dans tous les points du Haut-Jura, on 
comprend que les soulèvements en voûte se soient disposés 
parallèlement entre eux, et à peu près à la même distance l'un de 
l'autre, comme cela a lieu pour les plaques d'épaisseur uniforme. 

Le passage enfin des soulèvements en voûte aux failles 
devait s'effectuer aux endroits où les strates devenaient sensi- 
blement plus réduites, c'est-à-dire dans le voisinage de la Combe 
d'Ain; mais il ne pouvait pas, vu les variations d'élasticité d'une 
même couche et les accidents locaux, présenter ce degré de 



— 249 — 55. 

simplicité que les expériences de M. Daubrée réalisent. Il n'est 
donc pas surprenant que le soulèvement en voûte reparaisse 
parfois sur quelques-unes des failles et que des failles se montrent 
sur le trajet des soulèvements en voûte. 

Quant i cette particularité que les soulèvements en voûte 
sont plus rapprochés Tun de l'autre que ne le sont les deux der* 
nières failles, il me semble qu*elle n'a rien d*étrange dans Tidée 
d'une poussée latérale venant de la Suisse, car dans les expé- 
riences de M. Daubrée sur une même épaisseur de feuilles c'est 
près du point de poussée que les courbes sont moins distantes. 
Il serait plus difficile de rendre compte du défaut de parallé- 
lisme rigoureux entre les failles et les soulèvements en voûte si 
les moyennes que nous avons prises ne ramenaient à ce parallé- 
lisme. Il a très bien pu se faire, en effet, que l'homogénéité des 
couches ou leur épaisseur n'aient pas été en décroissant graduel- 
lement comme dans les feuilles de plomb de M. Daubrée. Un 
point de plus grande ou de plus faible résistance suffisait soit 
pour provoquer le dédoublement d'un plissement, soit pour 
modifier légèrement sa direction. C'est généralement lorsque les 
soulèvements passent à l'état de failles ou que leurs voûtes s'ou- 
vrent largement que le changement de direction devient sensible. 

L'idée d'un refoulement latéral, malgré ce qu'elle a de fécond, 
ne suffirait pas i elle seule pour expliquer les petits soulèvements 
en voûte, les failles transversales et les ruz dont le Jura offre 
tant d'exemples; mais il est difficile de supposer que pendant 
leur pression les couches aient trouvé partout le même appui 
contre l'obstacle fixe où elles butaient, et de là l'origine des 
torsions d'où sont nées les vallées d'Arbois, de Poligny, de 
Voiteur et la magnifique cluse de la Laime. On arrive ainsi par 
des procédés plus rigoureux aux conclusions que formulait 
Marcou. L'action soulevante du N.-E. au S.-O. de cet éminent 
géologue serait l'action de torsion; et l'action ondulatoire du 
S.-E. au N.-O. ne serait pas autre chose que la pression latérale. 
Mais entre les conclusions de Marcou et les nôtres il y aurait 
une différence considérable. Pour le géologue salinois, les deux 
phénomènes auraient été successifs; pour nous, ils ont été simul- 
tanés et intimement liés l'un à l'autre. 



56. — 250 — 

Avant de finir cette étude, je dois répondre i une objection 
qu'ont faite et que peuvent renouveler les partisans des actions 
verticales multiples. Elle se formule ainsi : « Puisque les diffé- 
rences de distance que présentent entre eux les soulèvements et 
les failles tiennent principalement aux inégalités d'épaisseur des 
couches refoulées et que les soulèvements en voûte se trans- 
forment seulement en failles dans les points où 1 épaisseur devient 
sensiblement plus faible, le Jura ne doit pas présenter deux espè- 
ces d'accidents de ce genre, ni des variations de distance aussi 
sensibles; car c'est tout au plus si, de la plaine à la montagne, 
la différence entre les couches sédimentaires visibles est de 
1200 mètres. Or, qu'est-ce qu'une différence de 1200 mètres prise 
sur l'ensemble de l'écorce terrestre? » J'avoue que l'objection 
aurait une grande valeur, s1l était impossible de démontrer que 
ce sont les couches sédimentaires visibles, et principalement les 
plus récentes, qui ont subi la pression latérale. Mais la preuve 
de cette action que j'appellerai presque tangentielle se rencontre 
à chaque pas dans le Jura. Elle est donnée par nos petits sou- 
lèvements en voûte qui affectent les couches supérieures sans 
atteindre les formations plus anciennes : le Néocomien de Sept- 
moncel en offre un bel exemple précédemment cité. On la 
retrouve dans les phénomènes de glissement du Corallien et des 
autres formations jurassiques supérieures par-dessus les marnes 
oxfordiennes; spécialement dans l'affaiblissement en épaisseur 
vers rO. des marnes du Pontet, par suite d'un glissement de ce 
genre. On la retrouve enfin dans les inflexions et les glissements 
du Bathonien dans de la grande falaise sur les couches bajo- 
ciennes à peine dérangées. Aussi un observateur qui étudie 
sérieusement quelques jours les environs de Septmoncel, de 
Valfin, de Morez, de la Faucille et de Clairvaux constate-t-il 
que l'action latérale plus forte sur le Néocomien que sur le 
Portiandien s'est fait sentir de moins en moins jusqu'au Keuper. 
Dès lors, rinégalité des couches visibles conserve son importance 
et la théorie des refoulements latéraux se trouve moins embar- 
rassée qu'il ne parait par l'objection. 




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— 251 — 1. 



ÉTUDES EXPERIMENTALES 



SDR 



LE CURARE ET LE MANGANÈSE 



PAR 

H. J.-F. HETHAHS 

Docteur en sciences naturelles. 



lBtro4«eUoB. 

« Lorsqu*on se place au point de vue de la (bérapeutique, dit 
Dujardin-Beaumetz (*), les théories du diabète, qui sont si nom- 
breuses, peuvent se ramener à trois principales : la tbéorie hépa- 
tico-intestinale, ou si Ton aime mieux, la tbéorie alimentaire; la 
tbéorie bépatique proprement dite, et enfin la tbéorie nerveuse. 
Toutes ces bypotbèses ont eu, en effet, une consécration théra- 
peutique. Pour la théorie alimentaire, nous avons le merveilleux 
ensemble de moyens diététiques conseillés par le professeur 
Bouchardat. 

» La théorie nerveuse peut invoquer les médicaments nervins 
et à leur tète le bromure de potassium. 

> Enfin la tbéorie bépatique proprement dite peut revendiquer 
les médicaments qui agissent directement sur le foie, comme 
Tarsenic, le manganèse. > 

L*influence thérapeutique de Tarsenic s*est trouvée confirmée 
par Texpérimentation physiologique : les recherches de 
Saikowsky (*), de Quinquaud (') et de M. le professeur 



(1) Dujardin-Beaumetz, Bulletin de l'Académie de médecine de Paris. 1883, â< série, 
t. XII, p i006. 

(<) Saikowsky, Centralblati fur die medicinischen Wistenschaften, 1865, p. 769. 

O QuiKQUAUD, Bulletin général de thérapeutique médicale et chirurgicale, 18812, 
p. %M. Compte» rendu* des séances et mémoires de la Société de biologie, séance du 
18 juillet 1883. 



2. — 252 — 

Masoin (*), tendent à prouver que Taeide arsénieux prévient ou 
atténue le diabète artificiel, par exemple celui que détermine le 
curare. 

Le manganèse, entré dans la thérapeutique du diabète, n'a pour 
lui que les recommandations des cliniciens ; à notre connaissance 
aucune expérience sur des animaux n'a ni justifié, ni infirmé 
remploi de ce médicament. Nous avons entrepris cette étude 
encore vierge et institué dès Tété de Tannée 1884 des séries 
d'expériences dont nous analyserons plus loin les principales. Ces 
recherches ont été faites au laboratoire de physiologie de l'Uni- 
versité de Louvain, sous la direction bienveillante de M. le pro- 
fesseur Masoin. Qu'il reçoive ici l'expression de notre reconnais- 
sance pour les nombreux conseils qu'il n'a cessé de nous donner. 

Ce travail a pour but de déterminer si l'intoxication chronique 
par le manganèse préserve du diabète curariquc. Il se divise en 
deux parties : la première comprend la technique expérimentale 
et l'étude des modifications fonctionnelles déterminées par le 
curare; la seconde, la description et l'analyse des expériences 
faites sur des animaux soumis d'abord au manganèse, curarisés 
ensuite. 



(*) Masoin, Bévue médicale de Louvain, i8S4; p. 97. 



W 



— 253 — 



PREMIÈRE PARTIE. 

TECHNIQUE EXPÉRIMENTALE. 

Animaux mis en eocpérience. — Les animaux dont nous nous 
sommes servi sont des chiens et principalement des lapins. Les 
chiens devraient être préférés, mais il est assez difficile de se les 
procurer dans un état comparable, c*est-à-dire ayant même âge, 
même constitution, etc., toutes conditions qui sont autant d'états 
organiques capables d'influencer la marche des phénomènes et de 
masquer les légères différences. 

Quant aux lapins, nous pouvons nous résumer en un mot et 
dire que nous avons opéré sur une seule et même catégorie, sur 
des lapins pris par séries successives, de même nichée, âgés d'au 
moins huit mois, et pesant de 1800 à 2500 grammes; de pré- 
férence nous prenions même les femelles. Les lapins de même 
descendance, gardés séparément dans des garennes voisines, 
recevaient une nourriture identique. Les garennes sont d'un type 
spécial lorsque l'urine doit être recueillie, des cages en zinc où 
les lapins reposent sur un treillis en fil de fer, le fond forme un 
plan incliné et la partie centrale est percée de trous pour écon- 
duire les urines. Celles-ci sont reçues sur un On tamis placé dans 
un entonnoir en verre et se déversent de là dans des vases à 
goulot étroit. Nous atteignons de la sorte plusieurs avantages : 
les excréments tombent à travers le treillis, et s'amassent sur le 
fond en zinc, d'où ils sont enlevés journellement. Les urines 
coulent sur le plan incliné, passent par le fond troué, filtrent 
par le tamis et se réunissent dans les vases, dépouillées de toute 
impureté : elles n'attendent que l'analyse journalière. Le lapin 
est conservé ainsi dans une grande propreté, d'autant plus que 
sa nourriture est déposée en petits morceaux dans une crèche 
qu'on a fixée à la paroi de la cage de zinc. Dans des garennes 
semblables nous mettions en observation parallèle des lapins de 
même nichée : dans les unes des lapins soumis au carbonate de 
manganèse, dans les autres des lapins ingérant journellement 



4. - 254 — 

une certaine quantité de permanganate de potassium ; dans d*au- 
très enfin, des lapins dits de contrôle, qui, soumis au régime 
alimentaire des deux premières catégories, ne recevaient aucune 
dose de manganèse. 

Nourriture. — Les chiens ont eu comme nourriture du pain, 
des pommes de terre et de la viande ; ces aliments se donnent 
d'une manière variable. Les lapins, qui ne sont pas mis en ration 
d'équilibre, reçoivent alternativement et successivement des 
feuilles de chou, des feuilles et des racines de carotte, du son et 
du pain. Certaines expériences exigeaient pour plus d'exactitude 
de mesurer les ingesta afin de juger sûrement des modifications 
journalières des egesta : è cet effet la ration était pesée journel- 
lement et répétée identiquement tous les matins. Prenant régu- 
lièrement la même quantité d'aliments, le lapin arrive au bout 
de deux à six semaines à consommer autant qu'il absorbe et 
conserve alors un poids fixe ; il est en ration d'équilibre. De tels 
animaux, qui mangent journellement la même nourriture et en 
même quantité, nous ont servi de pierre de touche pour juger de 
l'influence qu'exercent sur leur organisme le carbonate de man- 
ganèse, le permanganate de potassium et l'intoxication par le 
curare. 

La ration d'équilibre que nous avons adoptée consiste en pain 
et en feuilles de carotte, quand la saison Ta permis, sinon, en 
racines. La carotte, dit Gossin (^), est un précieux légume qui plait 
à tous les animaux de nos fermes ; ceux qui en mangent s'entre> 
tiennent dans un excellent état de santé. Les feuilles de carottes, 
toujours fraîches quand elles étaient données, provenaient d'un 
même champ ; les racines aussi étaient de même provenance. 
On peut dire que le pain a été identique durant tout le temps ; 
c'était du pain de munition, fourni par le même boulanger. Pain 
et feuilles de carotte, ou pain et racines de carotte constituaient 
ainsi la ration d'entretien; nous indiquerons à l'occasion la pro> 
portion et la quantité de chacun de ces éléments. Nous ne 



(1) Gossin, Encyclopédie de l'agriculture de Mo Gnyot, 1876, t. IV p 54S. 



— 255 — 5. 

pourrions dire de cette alimentation qu'elle est parfaite sous tous 
les rapports, mais Texpérienee nous autorise à la considérer 
comme très convenable : nous avons pu en effet tenir en obser- 
vation durant le long espace de huit mois deux lapins recevant 
exclusivement tous les jours 300 grammes de carotte et 30 gram- 
mes de pain. Ils étaient tous deux bien portants et le poids de 
Tun oscillait régulièrement entre 2300 et 2400 grammes, celui 
de Tautre entre 2100 et 2200 grammes. Nous finissons ainsi les 
généralités concernant les animaux mis en observation; nous 
indiquerons les particularités à Poccasion de chaque expérience. 

Procédé analytique des urines. — Au cours de nos expériences 
nous avons examiné et analysé un nombre considérable d'urines. 
Nous y avons observé les préceptes de la chimie analytique, tels 
qu'ils sont consignés, surtout dans Frésénius (*), et en même 
temps nous avons strictement suivi les règles indiquées par 
Hoppe-Seyier (*), Neubauer et Vogel ('). La réaction fut déter- 
minée à l'aide du papier de tournesol rouge et bleu, la densité 
par l'uromètre en amenant souvent l'urine à la température 
del5-C. (♦). 

Le dosage courant de l'azote et concurremment de l'urée était 
pour nous d'une grande importance. Cependant nous n'avons 
suivi ni la méthode de Liebig, généralement en usage en Alle- 
magne, ni la méthode indiquée par Pflùger (^). De bonne 
heure nous nous étions habitué au dosage à l'hypobromite de 
sodium, procédé de Knop-Esbacb, nous l'exécutions à l'aide de 
l'appareil de M. Depaire (^). Des dosages de contrôle nous ont 
appris que le volume de l'azote varie à peine d'un demi-centi- 



(*} R. Frésénius, Traité d'analyse chimique qualitative. Paris, 1879; Traité de 
chimie quantitative. Paris, 1885. 

(*) Hoppe-Seyler . Traité danaUjie chimique appliquée à la physiologie et à la 
pathologie. Paris, 1877. 

(') Neubauer ci Vocel, De l'urine et des sédiments urinaires. Paris, 1877. 

(*) Dans les autres cas nous nous sommes servi des tables construites par A. Bou- 
CHAHDAT, De la glycosurie. Paris, 1875, p. xix. 

(') PflOger et Borland, Eine einfache Méthode zur Bestimmung des Stickstoffs im 
Hame. Archiv fOr Physiologie, 1884, Bd XXXV, p. 454 

(V) Défaire, Bulletin de l'Académie royale de médecitte de Belgique, 1876, 3« série, 
t. X, p. 898, 



6. — 256 — 

mètre cube, ce qui peut donner une erreur de 0,2 pour mille. 
L'expérience acquise par des milliers de dosages faits avec 
cet appareil, nous a donné une grande confiance dans ce procédé 
si simple, si rapide et, nous semble-t-il, suffisamment exact 
pour nos recherches. Nous pouvions nous y fier d'autant plus 
que nous travaillions toujours sur des urines très analogues. 

Faisons ici une remarque importante : dans les chiffres que 
nous citerons plus loin, il n'est jamais défalqué le volume d'azote 
dû à la décomposition de l'acide urique et de la créatinine. Nous 
n'avons point cherché à calculer la quantité de ces substances, 
car pour nous il était seulement important de savoir combien de 
substances azotées étaient éliminées par jour. 

La recherche du sucre s'est faite à l'aide de la liqueur cupro- 
potassique, composée d'après la formule Fehling; dans des cas 
douteux, nous avons eu recours au réactif de Bôtger et au pola- 
rimètre Laurent. Ce dernier appareil nous servit encore au 
dosage, lorsque les chiffres fournis par la liqueur de Fehling 
nous parurent sujets à caution. Le dosage au polarimètre se fait 
avec des urines traitées à l'acétate de plomb ; cette clarification 
préalable est encore exigée parfois quand on veut titrer par la 
solution cuivrique ; on précipite alors l'acétate de plomb par le 
carbonate de potassium. Quand il existe seulement des traces de 
glycose, il est toujours difficile de la déceler; nous ne pouvons 
croire le docteur Lutz (*) qui dit que la solution cupro-potassique 
décèle un cent millième et même un millionnième de glycose. 
Pour les urines douteuses nous en prenions une grande quantité, 
par exemple 200 centimètres cubes, et nous la réduisions au 
bain-marie au dixième de son volume : le sucre y était ensuite 
recherché et dosé d'après les méthodes indiquées ci-dessus. On 
découvre ainsi plus sûrement la présence des traces de glycose. 
Nous n'avons pas mis en usage la méthode à alcool de Brûcke. 
Pour nous assurer davantage de la nature des précipités, nous 
les avons au besoin examinés au microscope. 



(M Lutz, Dictionnaire encyclopédique des sciences médicales de Dechambre, 4« série, 
t. IX, p. 418. « Une solution, dit-il, qai ne contiendrait qae 0,00(KH de glucose donne 
encore un précipité rouge sensible; une solution de 0,000001 produit encore une colora- 
tion sensible suivant la position dans laquelle on la tient contre la lumière. » 



— 257 — 7. 

Sels de manganèse. — Ceux que nous avons employés sont le 
permanganate de potassium et le carbonate de manganèse. Le 
permanganate est en prismes volumineux; pour en peser de 
petites quantités, il est pilé dans un mortier de porcelaine. Le 
carbonate est en poudre blanche, terreuse, contenant 7 à 13 7o 
d'eau; il est purifié des traces de fer. Les modes d'administration 
des deux sels diffèrent entre eux. La dose de la poudre de carbo- 
nate était mêlée intimement dans la crèche à la ration journalière 
de pain ; en même temps que cet aliment, elle était ainsi soigneu- 
sement absorbée par les lapins. Nous avons d'abord tâtonné pour 
l'administration du permanganate. Le donnerait-on en solution ? 
Cette solution, mise en contact avec les tissus organiques, se 
décompose et exerce avant tout une action oxydante et par 
cela même désinfectante ; à cette propriété est du ^n emploi 
fréquent en chimie et en thérapeutique externe. La solution 
de permanganate, introduite dans le tube digestif, y exerce sur 
son passage dans la bouche, le pharynx, l'œsophage et l'esto- 
mac cette action oxydante, s'y décompose et s'engage dans des 
combinaisons nouvelles pour entrer ainsi dans le torrent circula- 
toire: «l'action du permanganate, comme le dit J.W. Jordan (*), 
doit dépendre d'un autre sel de ce métal. » 

Cependant les médecins, qui prescrivent le permanganate, 
soit en solution, soit en pilules avec une poudre inerte comme 
le kaolin, cherchent à obtenir un double effet, l'action immé- 
diate d'oxydation déterminée par le permanganate qui se 
décompose, ensuite l'action médiate exercée sur la nutrition 
générale par le manganèse devenu basique. Dans la thérapeu- 
tique du diabète pourrait-on juger de la valeur du manganèse 
en donnant indifféremment soit son sel, soit le permanganate? 
Nous pensons que non, car nous connaissons trop imparfaite- 
ment d'un côté la nature du diabète, d'un autre côté l'action 
intime de n'importe quel agent thérapeutique, pour pouvoir 
nous permettre légitimement de négliger l'action première 



(■i Jordan, DriUsh médical Journal, 1885, p. 820. 

X. 17 



8. — 258 — 

du permanganale. Aussi nous avons essayé de le donner en 
solution ; cependant pour les lapins nous avons du y renoncer, 
leur digestion est troublée par Tingestion de la quantité de 
liquide nécessaire ici pour enlever la causticité à la solution du 
permanganate; ils meurent même, si fadministration se pro- 
longe. Quatre chiens ont été soumis au permanganate en solu- 
tion; ils n'ont pas présenté de phénomènes différant de ceux 
qui Tont pris sous la forme suivante. Le permanganate à donner 
aux chiens est mis au centre d*un morceau de pain d'une ving- 
taine de grammes, il vient partiellement du moins en contact 
avec la muqueuse digestive et agit sur elle, lorsque le chien 
écrase et avale cet aliment. L'administration aux lapins s'est 
faite d'une manière analogue. Au voisinage de la croûte du pain^ 
nous découpions de petits cubes d'environ cinq millimètres de 
côté, puis sur une des faces nous extrayons un cône allongé. Un 
centigramme de la poudre du permanganate est pesé, puis divisé 
en dix parties d'un milligramme chacune, nous faisons tomber 
un milligramme dans la cavité de chaque cube et la refermons 
ensuite par le petit cône extrait. De tels morceaux, déposés le 
matin dans la crèche, sont immédiatement pris d'une pièce par 
les lapins à jeun. Le permanganate, lors de la mastication et de 
la déglutition, agit encore partiellement sur la muqueuse de la 
bouche, du pharynx et de l'œsophage; l'estomac du lapin étant 
continuellement rempli de nourriture, nous croyons que l'action 
caustique du permanganate est nulle sur la muqueuse gastrique : 
à ce point de vue, il y a une différence d'action chez les herbi- 
vores et les carnivores.. A part ces imperfections inévitables, 
nous croyons avoir administré les composés manganiques d'une 
manière très analogue à celle qui sert chez l'homme ; leur in- 
fluence sur les organismes des animaux sera donc aussi analogue. 
Si d'une part ils ont, comme le prétendent certains cliniciens, 
une action favorable sur la maladie du diabète pathologique, et que 
d'autre part ils n'en ont point sur le diabète artificiel du curare, 
on devra conclure à une différence de nature entre ces deux 
diabètes, et refuser à la thérapeutique de chercher confirmation 
dans l'expérimentation physiologique pour le cas en question. 



— 259 — 9. 

Curare et son action sur l'organisme, — Presque toutes nos 
expériences se terminent par des curarisalions; les animaux, 
ayant été soumis ou non au manganèse, étaient curarisés, et nous 
observions le jeu des fonctions organiques, principalement celle 
de Fexcrétion urinaire. La curarisation constitue ainsi une des 
bases de notre expérimentation. Nous avons pris connaissance 
des règles d'administration du curare telles qu'elles sont consi- 
gnées dans les auteurs; nous avons constaté et contrôlé leurs 
observations un grand nombre de fois. On nous permettra donc 
d'émettre nos idées concernant Faction de ce poison que nous 
avons concurremment étudié avec quelque attention. 

On sait que les observations contraires faites par divers auteurs 
s'expliquent en partie par la composition variable, du curare (*) ; 
afin que nos expériences fussent comparables, nous n'avons 
employé, durant toute la durée de l'expérimentation, qu'un 
même échantillon de curare. Nous en faisions dans l'eau distillée 
une solution extemporanée au centième, nous l'injections à l'aide 
de la seringue de Pravaz dans le même endroit de l'animal, 
toujours dans un des gastro-cnémiens, en passant dans une même 
séance de celui de droite à celui de gauche. 

Dock a dit sans doute avec raison que « l'empoisonnement 
curarique détermine l'apparition de sucre dans les urines, 
même chez des animaux depuis plusieurs jours à jeun (^) > ; 
cependant, il ressort de nos observations que letat de jeûne ou 
de digestion influe dans une certaine mesure d'abord sur le 
moment d'apparition de la glycosurie, ensuite sur son degré 
d'intensité. Nous ajouterons que, selon nous, la qualité de la 
nourriture influe de même sur la glycosurie. Pour échapper à 
toutes ces causes d'erreur, nous avons donné à tous nos lapins 
une nourriture très analogue, si pas identique; ceux d'une même 
série étaient toujours soumis à un régime exactement le même. 
Donnons ici d'une manière générale le dispositif de la journée : 
le matin vers huit heures les animaux reçoivent leur ration quo- 



(*) COUTY et Lacerda, Archives de physiologie normale et pathologique, 1880, t. XII. 
pp. 555 et 697. 
(«) Dock, Archiv fur Physiolo4jie, 4872, Bd V, p. 58;i 



iO. — 260 — 

tidienne; s'ils sont en ration d*équilibre, ils sont pesés chaque fois. 
A la nourriiiire est ajoutée la dose de sel de manganèse ; nous 
déversons les urines et les analysons ensuite. 

Sans rien changer au régime les jours de eurarisation, nous 
procédons vers midi aux injections de curare et les continuons 
dans Taprès-midi et même jusqu*au soir. Les animaux sont ainsi 
eurarisés durant la digestion; ils ont mangé avant, et si durant 
la nuit ils consomment le restant de la ration ils en sont au même 
point au lendemain matin que la veille ; toutes les modifications 
survenues dans les sécrétions doivent être imputées au curare. 

Dans les annotations du temps nous avons fait après coup une 
transposition : par elle nous en arrivons à ne plus marquer 
ni date, ni jour, ni heure ordinaires; pour toutes les expériences 
indistinctement nous tenons comme premier jour celui d'où date 
Tobservation; pour les eurarisations nous comptons Theure du 
moment de la première injection; pour la sécrétion urinaire nous 
prenons comme point de départ le moment où lanimal entre en 
résolution musculaire; nous cherchions en effet à déterminer 
quelle est Tinfluence de la résolution sur Texcrétion et la sécré^ 
tion de Turine. Cette modification fait ressortir l'uniformité des 
expériences, elle nous permet actuellement d'embrasser d'un seul 
coup d'oeil les différents tableaux, de les comparer ensemble et 
enfin d'en tirer des conclusions. Dans les tableaux publiés par les 
auteurs sur des questions analogues, la comparaison des diffé- 
rentes expériences demande toujours un certain calcul qui 
empêche la lecture courante des travaux. Nous croyons donc 
utile la modification faite par nous. 

Pour servir de base à l'étude des modiûcations produites dans 
l'organisme par le curare, donnons ici l'histoire de deux animaux 
mis en expérience. 



Expérience I. — Grande lapine, âgée d'un an, recevant jour- 
nellement le matin à huit heures 500 grammes de feuilles de 
carotte et 100 grammes de pain. 



1er jour, poids 2âl0 grammes. 
13" > > S4â8 • 
24* > > 2SâO » 
24« > » !2500 » 



1 n. lu m. — 


1 


b 


lh.:«m. — 


0,5 


6 


ih.40iii. - 




« 


i h. 55 m. - 




u 


2 h. 5 m. - 




l> 


2 h. 55 m. 




1 


H h. 20 m. - 




l> 


4 h. 10 m. - 




T 


•'ih.20iii. — 




it 


5 h. Om. — 




y 


6h.l0m. - 




•■ 



— 261 — il. 



Curarisation vers tnidi. 

Oh. Om. — 4,5 milligr. (le curare. 

0h.25m. - 1,5 » 

h. îiO m. — Késolution musculaire. h. m. — La vessie est vidée; urine trou- 

h. .*J0 m. — 0,6 milligr. de curaro. ble, jaunâtre, alcaline. 

i h. m. — 25 centim. cubes d'urine plus 
' claire; = 1.010; traces 

h de sucre. 

5 h. 40 m. — 45 centim. cubes d'urine légè- 
rement acide; D = 1,014; 
■■' 2,5 û'oo de sucre, 

ï 7 h. iV) m. — 20 centim. cubes d'urine acide; 

r. 5 o/oo de sucre. 

Total durine 90 centim. cubes. 



Total de curare 17,1 milligr. 

25<^ jour, poids 24'*8 grammes, uriiic presque ordinaire, sans sucre, seulement un peu 
plus trouble. 



Expérience H. — Petite chienne fauve, bien nourrie au pain, 
aux pommes de terre et à la viande. 

l" jour, poids ;^002 grammes. 

Curarisation A, vers midi. 

Oh. Om. — 7 milligr. de curare. 

Oh. 45 m. - Résolution musculaire. b. m. — Urine nulle. 

h 35 m. — 1,5 milligr. de curare. h, 15 m. - 2 centim. cubes d'urine claire, 

incolore, alcaline et sans 
•■^ sucre. 

» 2 h. m. — 8 centim. cubes d'urine jau- 

nâtre, alcaline, sans sucre. 
2h.r)0ni. — 5 centim, cubes d'urine jau- 
» nâtre, alcaline, sans sucre. 

H h. 45 m. - - 9 centim. cubes d'urine claire 

presque incolore, alcaline 
:: sans sucre. 

7 h. 30 m. — 6 centim. cubes d'urine clairt*. 
Total de curare 19,5 milligr. légèrement jaunâtre, alca 

line sans sucre. 

5' jour. Total d'urine *M) centim. cubes. 



Ih. 3 m. - 


1 


r- 


4h.20m. - 


0,5 


1 


i h. 30 m. — 


i 


'j 


3 h. 5 m. — 


i 


j' 


4 h. 5 m. — 


2 


)' 


5h dOm. - 


i 


i. 


6h. Om. - 


2 


i- 


6h.30m. — 


0,5 


k 


7 h. 20 m — 


2 


•n 



i2. — 262 ^ 



Curarisation B, vers midi. 

h. m. — H milligr. de curare. 
Oh. 12m. — 0.5 » » 

Oh.iS-m. — Résolution musculaire. Oh. m. - Pas d'urine. 

1 h. m. — i milligr. de curare. h. 3i m. — 5 centimètres cubes d'urine 
Ih.iSm. — d,5 8 » claire, incolore, neutre (?)> 
1 h. 33 m. — i • » sans sucre. 

1 h. 5S m. — d » « 1 h. 52 m. — 10 centimètres cubes d'urine 

âh. 5m. — 0,î) B • claire, incolore, légère- 

!2b. ti5m. — 4 » v ment aical., sucre 0,75 */o«. 

âh.45m. — i » » 2h.îiî)m. — i8 centimètres cubes d'urine 

3b. 7 m. — d,o >» » claire, incolore, légère- 

Hh. 15 m. — i » > ment acide, sucre 2,50/00. 

3 b. liOm. — d » • ih.ifim. — 4 centimètres cubes d'urine 
3b. 40m. — d » » claire, incolore, acide, 

4 b. m. — 0,5 » B sans sucre. 

4h. 10m. -- 2 » 3 4 b. 52 m. — 6,5 centimètres cubes d'urine 

4 b. 30 m. — l » * claire, incolore, acide, 

sans sucre. 



Total de curare 22,5 milligr. 
lO** jour, poids 2830 grammes. 



Total d'urine 38,5 centimètres cubes. 



Curarisation C, vers midi. 



Oh. Om. — 7 


milligr. 


de 


curare. 


0h.30m. — 


Résolution musculaire 


b. 45 m. d,5 


milligr. 


de 


curare. 


lb.25m. — i 






B 


lb.40m. — 1 






1) 


:îb 20m. — 1 








3 b. 4-) m. - i 








5h.15m. — d 








<>b. Om. — 1 








7h.d0m. - 1 








8h.35ra. - d 









Oh. m. — Pas d'urine. 

7 h. m. — 15 centimètres cubes d'urine 
claire, incolore, légère- 
ment acide ; D = 1,090; 
sucre H,66 o/©©. 

12 11. Om. — L'animal mourait ; lors de 

l'autopsie nous recueil- 
lions dans la vessie sen- 
icment 2,5 centim. cubes 
d'urine sucrée. 



Total de curare 18,5 milligr. 



Total d'urine 17,5 centim. cubes. 



Analysons Thistoire de ces deux animaux. Les quatre séances 
de curarisalion indiquent suffisamment notre mode d adminis- 
tration de ce poison. La dose classique pour mettre les animaux 
en résolution est de deux milligrammes de curare par kilo- 
gramme ; cette quantité est généralement suffisante pour les 
animaux à jeun. Nous Tavons reconnu par des expériences non 



— 263 — 15. 

signalées ici. Par celles qui sont décrites plus haut et où les 
animaux sont en digestion, on voit que la dose de deux milli- 
grammes a dû être dépassée. Si la quantité nécessaire pour la 
résolution est injectée du premier coup, Tanimal tombe géné- 
ralement au bout de quinze minutes; si après ce laps de temps 
il n'est pas pris, on peut généralement dire que la dose est 
insuffisante et que tout passera sans paralysie. 

Toutes choses égales d'ailleurs, il semble découler de nos 
expériences (\uune seule dose de curare, injectée à deux animaux 
semblables, l'un à jeun, l'aulre en digeslion, produit un effet plus 
rapide et plus intense sur le premier que sur le second. Cette 
différence s'explique par l'absorption plus rapide qui se fait chez 
l'animal à jeun, par une action toxique plus profonde exercée 
sur celui-ci, enfin par une élimination plus lente. Ce fait trouve 
d'ailleurs son application dans l'absorption de toute substance 
toxique, soit par la voie hypodermique, soit par la voie digestive. 

Qu'entendons-nous ici par résolution musculaire? — Nous 
regardons comme tel l'état toxique où les muscles de la vie 
animale sont paralysés complètement, tandis que ceux de la vie 
végétative, comme les muscles cardiaques et respiratoires con- 
servent leur fonctionnement régulier. Il s'agit principalement de 
conserver intacts ceux de la respiration. Durant la résolution, 
l'animal est impuissant à faire des mouvements volontaires, il 
ne répond à aucune excitation venant du dehors, il est flasque, 
incapable de se soutenir et se trouve couché sur le flanc. Cepen- 
dant la respiration se fait régulièrement et largement; le thorax 
et l'abdomen se dilatent en même temps durant l'inspiration. Un 
tel état ne se prolonge pas longtemps: le curare, qui a atteint son 
maximum d'effet, s'élimine bientôt en quantité plus grande qu'il 
ne s'absorbe ; il arrive alors un moment où l'animal, excité par 
un bruit soudain, par une impression cutanée, réagit partielle- 
ment, contracte certains muscles et s'agite comme pour fuir. En 
ce moment il faut intervenir par une nouvelle injection de curare 
pour le maintenir en résolution. A notre point de vue, noti^ 
considérons la curât isation comme parfaite, lorsque, durant toute 
la durée de la séance, l'animal n'a pu se relever et qu'en même 
temps la respiration n'a pas été gênée. 



14. ^ 264 - 

Pour bien conduire une lelle curarisation il faut une parfaite 
connaissance du curare dont on se sert, de Tanimal sur lequel 
on opère et enfin de la marche de la sécrétion urinaire. Ce 
qui frappe dans rexpérience H, curarisation 6\ c'est la résolution 
musculaire prolongée (12 heures de temps), par une dose relati- 
vement plus petite de curare, 18,5 milligrammes; lors de la 
curarisation À, 19,5 milligrammes n avaient déterminé qu'une 
résolution de 7 à 8 heures, et principalement à la curarisation B, 
22 milligrammes, qu'une résolution de 4à o heures. Nous trouvons 
l'explication de ce fait dans l'élimination urinaire de cette chienne 
durant les trois séances. Lors de la curarisation A, elle élimine 
régulièrement de l'urine jusqu'à concurrence de 30 centimètres 
cubes en 7 heures 30 minutes; à la curarisation fi, elle élimine 
38,5 centimètres cubes en 4 heures 52 minutes; au contraire, 
durant la curarisation Cy en comprimant la vessie pendant les 
deux premières heures, nous n'obtenons aucune urine; de la 6* à 
la 7" heure, il y a sécrétion assez rapide et nous recueillons 15 cen- 
timètres cubes. Après cette élimination, l'animal étant revenu peu 
à peu à lui, nous lui injectons encore à deux reprises un milli- 
gramme de curare : il rentre dans une résolution musculaire d'où 
il ne devait plus sortir. Vainement nous agissons sur la vessie par 
la compression abdominale, nous n'obtenons plus aucune urine ; 
vers la douzième heure il succombe à l'action toxique du curare ; 
sa vessie contenait à peine, comme nous rindiquons plus haut, 
2 à 3 centimètres cubes d'urine, quantité insignifiante pour l'es- 
pace de 5 heures. L'animal, n'ayant pas éliminé d'urine^ n'avait 
pu se débarrasser du poison qui le paralysait de plus en plus, et 
il y succomba. 

Des exemples analogues, où les phénomènes toxiques ont suc- 
cédé à l'arrêt de l'élimination urinaire du curare, se sont présentés 
cinq fois durant le cours de nos recherches. Nous nous souvenons 
entre autres d'un chien à éciromélie bithoracique (<) que 
M. le professeur Masoin avait mis à notre disposition pour recher- 



(*) Cas analogue à celui publié par Bochefontaine, ^c/romé//> bithoracique chez 
une chienne. Archives de physiologie normai.e et pathologique, iSSl, S* série, t. VIII» 
p. S86. 



— 265 — 15. 

cher Fatrophie médullaireeicérébrale; en attendant nous croyions 
l'utiliser et étudier sur lui Tinfluence du curare : nous le perdions 
malheureusement dans la première séance. L'animal se montrait 
d'abord assez récalcitrant aux doses classiques, nous faisions de 
nouvelles injections et il entrait en résolution: au bout d'une 
heure, pas d'urine, et l'animal, loin de se relever, commençait 
à être pris de troubles respiratoires. On pratique artificiellement 
la respiration, on applique l'électricité, on excite la muqueuse 
nasale par l'ammoniaque; rien n'y fait, l'animal ne revient pas à 
lui, les battements du cœur diminuent en nombre, et il se meurt. 
A l'autopsie la vessie était fortement contractée et complètement 
vide. Durant les trois heures qu'avait duré la curarisalion, il n'y 
avait eu ni élimination d'urine ni élimination de curare. Celui-ci 
absorbé continuellement dans les muscles gastro-cnémiens où il 
avait été injecté, s'était accumulé dans le sang, de là était allé 
empoisonner le système nerveux tout entier et produire ainsi la 
mort de lanimal. D'une manière générale ces expériences nous 
semblent apprendre que le curare injecté en même quantité dans 
deux animaux semblables ne déterminera chez l'un aucun phéno- 
mène toxique lorsque l'excrétion urinaire continue régulièrement, 
tandis qu'il tuera l'autre, si elle est arrêtée. La cause de cet arrêt 
dans la fonction urinaire, nous ne pourrions la nommer. Les 
nerfs vasomoteurs des artères rénales interviennent-ils ? Faut-il 
mettre en cause la tension générale du sang et par suite l'activité 
fonctionnelle du cœur? Une modification dans la nutrition 
générale arrète-t-elle toute exosmose rénale? — Nous ne savons 
répondre à ces questions pour le moment. 

Le curare paralyse en agissant sur le bout périphérique des 
fibres nerveuses. Cl. Bernard l'a démontré; de plus, quand on 
étudie son action sur l'animal entier, on remarque que cette 
action paralysante est progressive et débute par les muscles 
les plus éloignés du centre, par les muscles qui reçoivent les 
fibres nerveuses les plus longues. Cependant il parait rationnel 
d'admettre, et rien ne l'infirme sur le terrain expérimental, que 
le curare agit d'une manière égale et simultanée sur toutes 
les fibres motrices de la vie animale; mais comment mettre ces 



16. — 266 — 

deux données en accord avec la loi de Tavalanche de Pflâger? 
Diaprés cette loi» si toutes les fibres sont également empoison- 
nées, les muscles de la jambe et de Tavant-bras devraient se 
contracter les derniers de tous, ce qui est contraire à rexpérieoce 
puisqu'ils sont atteints les premiers. Ainsi la loi de Pflûger, dont 
la démonstration péremptoire nous parait encore à faire, ne 
trouve *pas d'application dans le cas présent. D'ailleurs, on sait 
que Vulpian (<) vient de la combattre par des expériences 
directes qui tendent à faire admettre que Tinflux nerveux, ren- 
trant sous la loi générale qui règle l'action des puissances, dimi- 
nuerait d'intensité en proportion du chemin parcouru. Si une 
telle règle régit la propagation du courant nerveux moteur, 
nous comprendrons pourquoi la paralysie déterminée pair le 
curare est progressive, quoique en réalité il agit uniformémeiit 
sur toutes les fibres, nous comprendrons pourquoi les musclés et 
particulièrement ceux de leurs extrémités sont paralysés les pre- 
miers ; c'est qu'une même incitation nerveuse, partie du cerveau 
et de la moelle, perdant en route de son énergie, lutte encore 
avec avantage contre l'empoisonnement du curare dans les 
muscles du tronc, tandis qu'elle devient impuissante quand il 
s'agit d'organes plus éloignés. V 

L'action progressive du curare nous met en main le moy)^ 
d'immobiliser l'animal en expérience, en même temps que ïei 
mouvements respiratoires restent réguliers; aucun mouvement 
volontaire ne lui est impossible et pourtant les muscles, préposés 
à la respiration, se contractent d'une manière rythmique et 
déterminent la dilatation parallèle du thorax et de l'abdomen. 
Cependant si l'intoxication devient plus intense, les mouvements 
respiratoires s'altèrent. Les muscles scalènes, intercostaux et 
autres sont paralysés à leur tour; il ne reste intact que le dia- 
phragme, car, comme le dit H. Chouppe « c'est sur le muscle 
animé par le nerf phrénique que l'action du curare parait agir en 
dernier lieu (^). » Ce fait est exact, nous l'avons observé biea 

(<) Vulpian, Comptes rendus de r Académie des sciences, 4885, t. C, p. 1038. 
[*) CnovfPE, Dictionnaire encyclopédique des sciences médicales, i** série, t. \yiiy^ 
p. 397. 



— 267 — 17. 

des fois, il se caractérise par un mouvement respiratoire particu- 
lier dont nous voulons dire un mot. Le thorax et Tabdomen au 
lieu de présenter, comme à Tétat normal, des mouvements paral- 
lèles dans inspiration et dans Texpiration, exécutent respective- 
ment des mouvements opposés : Tabdomen se soulève encore 
durant l'inspiration parce que le diaphragme en se contractant 
refoule les viscères, mais en même temps la poitrine se déprime 
durant cette première période respiratoire. Dans la deuxième 
période, c'est le phénomène inverse qui se présente. Ce mouve- 
ment respiratoire est signalé par Lukjanow : « il n'est pas rare, 
dit-il, d'observer chez les lapins, pendant l'inspiration, une dépres- 
sion de l'ensemble du thorax (*). » L'auteur n'indique point dans 
quelles circonstances. Gomme nous l'avons observé, c'est quand 
le muscle diaphragmatique se contracte tout seul. Un vide tend 
à se former par cette contraction dans la cavité thoracique et la 
pression atmosphérique y répond de deux manières, l'air s'y pré- 
cipite par les voies respiratoires, puis il agit en même temps sur 
les parois externes du thorax et détermine la dépression inspi^ 
ratoire que nous avons signalée. Ce mouvement respiratoire, 
artiCciel et passager ici, s'établit définitivement dans certains 
cas de pleurésie chronique et de tuberculose. M. le professeur 
Desplats (^) a appelé dernièrement l'attention sur cette altération 
pathologique et cherché à en déterminer la cause. Elle serait, 
d'après lui, d'origine nerveuse; les fibres qui président à la 
contraction des muscles intercostaux seraient atteintes primiti- 
vement par le processus inflammatoire et de là laisseraient 
dans l'inaction ces mêmes muscles. Ceux-ci permettent ainsi, 
comme dans la paralysie curarique, la dépression inspiratoire 
de la paroi du thorax; ce n'est que durant cette période d'inac- 
tivité qu'ils se dégénèrent. Cette priorité, accordée aux altérations 
nerveuses, trouverait nécessairement son indication thérapeu- 



(*) Lukjanow, Ueber die Verànderungen der Intercostalràume bei der Respiration, 
cUs Beitrag tur Lehre von der Function der Intercostalmuskeln. Archiv fOr PHYSIO- 
LOGIE, 1883, Bd. XXXIII, p. 82. 

(S) Desplats, Journal de médecine de Lille, 1885, p. 340 







18. — 268 — 

tique. Diaprés rinterprétation de M. Desplats, ce phénomène 
respiratoire aurait donc une cause tout à fait analogue à celle 
déterminée par le curare. 

Il est prouvé que le curare agit directement sur les Cbres 
nerveuses motrices et produit ainsi Timmobililé du système loco- 
moteur. Agit-il encore sur les autres fibres nerveuses, sur les 
vaso-motrices et les sécrétoires, si tant est que ces dernières 
existent? On pourrait difficilement dire s'il agit d'une manière 
directe sur elles; seulement nous voyons les fonctions auxquelles 
elles président subir des modifications assez profondes : les sécré- 
tions, la calorification et sans doute la circulation s'écartent de 
leur marche normale. 

Depuis Cl. Bernard on a décrit un grand nombre de pertur- 
bations survenant dans l'animal eurarisé, on parait même les 
multiplier outre mesure. Sont-elles toutes dues à l'action immé* 
diate du curare? Il est difficile de le dire et impossible de faire 
le triage complet. Ailleurs nous trouvons des auteurs qui, dans 
le but expérimental qu'ils poursuivent^ ont cherché à atténuer 
et à couvrir ces niodiOcations par les circonstances où ils opè- 
rent : ils prétendent même les supprimer complètement. Ainsi 
Zuntz se croit autorisé à dire « qu'on peut, durant des heures, 
déterminer la résolution musculaire par le curare, sans que la 
circulation et les autres fonctions de l'organisme, à l'exception 
du mouvement volontaire, en souffre d'une manière sensible »(*). 
Cette affirmation nous parait trop absolue; nous serions plus 
catégorique si nous avions expérimenté dans des circonstances 
identiques, mais nous n'avons pu que les rendre très analogues. 
Nous avons immobilisé les animaux en évitant de les rendre 
dyspnéiques, au besoin nous les avons mis dans une atmosphère 
de 35® à 40" C. Cependant des modifications fonctionnelles sont 
toujours survenues ; nous allons les signaler en nous arrêtant 
particulièrement sur la sécrétion urinaire qui a surtout fixé 
notre attention. 



(^ Zuntz, Uebitr die Benutzung curarisirter Thiere zu Stoffwechteluntertuchungen, 
Archiv for Anatomie umd Physiologie. Physiologische Abtreilumg, 1884, p. 381 



— 269 — 19. 

Le premier effet du curare c'est de déterminer une hyperex- 
citabilitc nerveuse, accompagnée d'une exaltation des autres 
fonctions organiques. L'animal réagit fortement conlre la moindre 
impression, en même temps il est très agité. Les battements du 
cœur se précipitent, les mouvements respiratoires s'accélèrent, 
la température s'élève. Ce dernier phénomène avait échappé à 
Cl. Bernard (*), parce qu'il injectait des doses trop fortes du 
curare, la période d'hyperexcitabilité étant alors trop courte pour 
avoir son écho sur la température. Plus tard Tscheschichin ('), 
Fleischer ('), Hogyes (^) et Faick (^) ont cité des expériences où 
une élévation d'un degré s*était produite; dans quelques-unes de 
nos séances de curarisation, elle a même été plus forte. Nous 
avons observé chez des lapins la température rectale de iO^'S, 
lorsque la période d'hyperexcitabilité a eu une durée plus longue. 
Si la dose de curare a été insuffisante, tous les phénomènes de 
la curarisation peuvent se borner à ceux de la première période; 
on peut même prolonger indéfiniment celle-ci en injectant à 
nouveau des quantités trop faibles pour produire la résolution : 
l'animal persiste alors dans un état d'intoxication que nous qua- 
lifions de curarisation insuffisante. I/hyperthermie est manifeste. 
Ce stade de la curarisation correspond à celui indiqué chez 
l'homtne par A. Voisin (^). Avec cet auteur on pourrait dire 
que le curare administré à de telles doses détermine la fièvre en 
produisant l'accélération du cœur^ la précipitation de la respira- 



(*) Cl. Bernard, Cours de médecine, Leçons sur les substances toxiques, 1857, p. «^. 
L'expérience citée par l'illustre physiologiste n'a duré que dix minutes depuis le moment 
de l'injection du curare jusqu'au moment de la mort de l'animal. Il parait naturel que ni 
rélévation ni l'abaissement de la tem))érature n'aient pu être obser?és alors. 

(*) TSCHECHICHIM, Zur Lehre von der thierischen Wàrme. Archiv fPR Anatomik 
UND Physiologie, 1866, p. 15d. 

(S) Fleischer, Die Wirkung der Blausàure auj die Eigenwàrme der Sàutjeth.in'. 
Archiv for Physiologie, 1869, Bd II, p. 4:^. 

(^) Hogyes, Archiv Jur experimenielle Pathologie und Pharmakologic, Bd XIV. 
p. 113. 

(B) Falck, Die Wirkung einiger Alkaloide auJ die Kôrpertemperatur . ARCHIV FlMt 
Physiologie, 1881, Bd XXV, p. 865. 

(®) Voisin et Liouville, Recherches cliniques sur l'action du curare, emploi de cette 
substance dans le traitement de l'épilepsie. Paris, 1865. — Voisin, Article curare. Dic- 
tionnaire des sciences médicales de Jaccoud, 1872, vol. X, p. 573. 



20 — 270 — 

tion, réiévalion de la température; nous verrons plus loin ce 
qu*il faut penser de rexcrétion de Turée. 

Dans nos expériences, cette période ne durait généralement 
qu'une quinzaine de minutes; puis survient la résolution muscu- 
laire, la circulation et la respiration descendent alors à leur 
rythme normal ; la température baisse de même, revient à la 
moyenne, puis passe en dessous si Tanimal n'est pas conservé 
dans un milieu de 37*^ à 40^ Pleischer(^), dont les observations 
nous ont paru exactes, indique dans ses tableaux 34 degrés cen- 
tigrades comme la température la plus basse observée; durant les 
longues curarisations auxquelles nos lapins ont été parfois sou- 
mis, nous avons observé des températures bien inférieures, nous 
avons vu la température de 36^2, prise dans les oreilles, des- 
cendre à 26®. On comprend de là ce fait que le curare, comme 
le dit M. le professeur Fredericq ('), peut tuer par le froid ('). 

Passons aux sécrétions, question capitale dans le sujet qui 
nous occupe. Nous ne dirons qu'un mot de la sécrétion salivaire. 
Chez les lapins nous n'avons jamais observé de modifications 
dans la fonction de ces glandes, jamais la salive ne découle de 
leur bouche. Chez les chiens, au contraire, il y a presque 
toujours hypersécrétion salivaire ; ainsi chez la chienne de l'ex- 
périence II, un liquide clair et abondant a découlé lentement 
entre les lèvres durant tout le temps de la curarisation. La 
présence de cette hypersécrétion chez le chien et son absence 
chez le lapin s'explique par les différences anatomiques et fonc- 
tionnelles des glandes salivaires chez ces animaux. 

L'urine excrétée durant les séances de curarisation varie-t-elle 
soit en quantité, soit en qualité? La qualité se modifie sûrement; 
il parait en être de même pour la quantité. Nous allons confirmer 
ces assertions par des expériences instituées sur des lapins mis 
en ration d'équilibre. 



{•) Fleischer, /. c, p. 443. 

(*) Fredericq et Nuel, Éléments de physiologie, dS85, p. 69. 

(3) L'effet du curare sur la calorification se traduit ainsi par uoeéléTatioQ et un abais- 
sement de température en rapport exact avec la durée et l'intensité de Thyperexcitabilité 
et de la résolution curariques. Comparez Falck, /. c, p. 591. 



— 271 — 



21 



Expérience III. — Lapine de huit mois, bien portante. 



l"" jour, [)oi 


ds 1835 grammeK, ration 460 gr. de feuilles de carotte et liO gr. de pain 


«• . 


> > ration indiquée. 


.3» • 


» » id. 


4e . 


id. 


5« . 


» id. 


e« . 


18^>5 grammes, id. 


7« . 


1 * id. 


8» . 


V id. 


9« . 


> i id. 


10« . 


id. 



Depuis le 1 1"" jour l'analyse des urines est faite. 





Poids. 


Qaaniii^ 
d'uriae. 


DeasiU. 


•totért pour 
miUe. 


Poids toUl 
des mstiérM 
•loMss. 


Ration 
iadiqaée. 


14« jour, 1874 gr. 


260centim. c. 


1,022 


7.6:1 


1,98 gr. 


id. 


13« . 


I 1903 


250 


1.024 


6 


1,5 


id. 


i» . 


. 1903 


305 


1,023 




1,62 


id. 


14» . 


> 1955 


265 


1,02:1 


5.8 


1,54 


id. 


iS' 


. 1945 


:i65 


1,022 


5.8 


2.12 


id. 


d«« . 


. so:io 


310 


1.024 


5.5:1 


IJl 


id. 


17* 


> âOSO 


:mo 


1.024 


5.8 


1,97 


id. 


18« . 


> 9050 


325 


1,021 


4.5 


1,45 


id. 


I9« . 


. 3075 


325 


1,022 


4,5 


1,45 


id. 


20* . 


» â055 


370 


1,022 


4,2 


1.55 


id. 


âi« . 


. 2100 


:i35 


1,023 


4,5 


1.5 


id. 


î» . 


2070 


350 


1,022 


4 


1,38 


id. 


!23e > 


> 2085 


310 


1.021 


6.3 


1.97 


id. 


44« . 


> 2060 


:ii5 


1.021 


5,3 


1,81 


i<I. 


as« . 


2070 


3i() 


1,020 


4.5 


1,42 


rien. 


9&> 1 


> 19i5 


80 


1.018 


1:1.4 


1,07 


ration indiquée 


47« . 


2055 


420 


1,022 


5,8 


2.4:1 


id. • 


sa* > 


. 2075 


290 


1.021 


4,21 


1.22 


id. 


«• . 


2095 


3H5 


1.020 


5,5:1 


2.09 


id. 


:iO« 1 


. 2070 


360 


1.020 


5 


1,8 


id. 


31« . 


* 2090 


;160 


1,022 


5,63 


2.09 


id. 


32« . 


» 2120 


;«5 


1,02:1 


VI 


2.31 


id. 


:^ ■ 


> 212i 


275 


1.02:1 


6,8i 


1.88 


id. 


'M^ > 


> 2140 


325 


1.022 


6.31 


2,06 


id. 


35- . 


. 2140 


3M) 


1,021 


5,2t> 


1,79 


id. 


36^ . 


> 2125 


:i75 


1.020 


5,26 


1,97 


id. 



Curarisatiou de ce lapin à 10 heures, 



Oh. Om 
Oh. 25 m. 
0h.:i5m. 
h. 55 m. 



4 milligi'. de cunire. 

1,2 

0.8 



â 



22. 












272 — 




Ib 10m. 


_ 




Résolution musculaire. Oh. m. 


— La vessie est vidée, ou obtient 


Ih.â0m. 


— 


0,8 milligr. 


de 


curare. 




quelques centimètres cubes 


Ih.dOm. 


— 


0,5 






B 




d'urine semblable à celle 


lh.40in. 


— 


1 






» 




des jours précédents. 


i h. 55 m. 


— 


1 








2h.30m. 


— 40 centimètres cubes d'urine 


2 h. 5 m. 


— 


1 










jaune, peu trouble; D. = 


ï2b.â5m. 


— 


1 










1,020; 10,53 pour mille 


2h.55m. 


— 


1 










de matières azotées, total 


3h.î20m. 


— 


0,5 










0,42 grammes; sans sucre. 


4 h. 10 m. 


— 


2 








5 b. 5 m. 


— 75 centimètres cubes d'urine 


4h.d0m. 


— 


1 










jaune, moins trouble ; D.= 


5 h. 00 m. 


— 


1 










1,017; 10,5:1 pour mille 


5 b. 35 m. 


— 


1 










de matières azotées, total 


6 h. 10 m. 


— 


1 










0,79 grammes; sans sucre. 


6 h. 40 m. 


— 


i 








8 h. 15 m. 


— 45 centimètres cubes d'urine 


7 h. 5 m. 


— 


1 










jaune rougeâtre, un peu 


7h.35m. 


— 


! 










claire; D. =» 1,015; 14,21 


Sh.iOm 


— 


1 










pour mille de matières azo- 


8 h 20 m. 


— 


1 










tées; total 0,64 gr. ; sucre ? 


8 h. 55 m. 


a 


1 








Tnifll ri 'il ri 


n» ^éiA iv«ntim piiKpc 



Total de curare 25,8 milligr. Total de matières azotées 1,85 grammes. 

La résolution musculaire n a pas été continue, le lapin a pu 
se relever à plusieurs reprises. Il est remis dans la garenne a 
7^ 25°* du soir ; il mange la nuit la plus grande partie de sa ration, 
excepté 50 grammes de feuilles environ. 

37" jour, poids 2128 grammes; urine de la nuit 100 centi- 
mètres cubes, très trouble; D. = 1,040; 12,7 pour mille de 
substances azotées : total, 1,27 grammes. Ainsi du 36* au 37'' jour 
le lapin avait excrété 260 centimètres cubes d*urine, renfermant 
3,12 grammes de matières azotées. 

Matières Poidt total 

(faaatité aiotëea pour dei matières Ratfoa 

Poids. d'arioe. Densitif. mille. asotées. indiquée. 

38» jour, 2155 gr. 340centim. c. 1,023 5.26 1,79 gr. id. 

39« > 2195 320 1,021 5,2() 1,68 id. 

40» » 2170 340 1,021 6,42 2,15 id. 

4I« . 2160 370 1,020 4,73 1,73 id. 

Analysons cette expérience. Elle nous montre à nouveau que 
les animaux en digestion résistent davantage à laction toxique 
du curare. La dose initiale et classique a dû être augmentée, puis 
la quantité totale de curare a été considérable. Cependant 



— 273 — 23. 

malgré elle la résolution musculaire n'a pas été complète, Tini- 
mobilisation n'a pas été constante et nous considérons la curari- 
sation comme insuffisante. 

L'expérience suivante est de même ordre et démontre encore 
la résistance au curare des animaux bien nourris et en digestion. 

Expérience IV. — Un lapin analogue au précédent a été en 
observation durant 62 jours, recevant tous les matins à huit 
heures la ration de 480 grammes de feuilles de carotte et de 
72 grammes de pain. Avant de déposer cette nourriture dans la 
cage, nous pesions lanimal et prenions les urines ; on détermi- 
nait ensuite leur volume, leur densité et la quantité de substances 
azotées qui y étaient contenues. Pour abréger nous ne citerons 
Tobservation qu'à partir du cinquième jour qui précède la cura- 



nsation. 












Poidt. 


Qusotilé 
d'urine. 


Densité. 


MaliérM 

•tolée» pour 

mille. 


Poidt total 

dcc maiiére» 

•toUcs. 


Ration 
indiquée. 


58« jour, 2450 gr. 


270 centim. c. 


i,027 


7,63 


2,16 gr. 


id. 


59« . 24;« 


285 


d,024 


7,41 


2,05 


id. 


60e , 2485 


270 


d.027 


7,9 


2,03 


id. 


61' - 2475 


320 


1,024 


6,31 


2,02 


id. 


es* > 24a'S 


ai5 


1,023 


7,11 


2,24 


id. 



Curarisalion à 10 heures^ le même jour que l'expérience III. 

Oh. m. — 4,5 milligr. de curare. 
Oh. 28 m. — 1,5 d 



Oh. 35 m. 


— 


0,8 


B 




» 






Oh. 50 m. 


— 


1 


n 




n 






Oh. 55 m. 


— 


1 


» 




a 






Ib. Om. 


— 




Résolution musculaire. 


Oh., Om. 


— Pas d'urine. 


Ih.l0m. 


— 


1 


milligr. 


de 


curare. 






lh.20m. 


— 


0,8 












Ib.SOm. 


— 


0,5 








2 h. 35 m. 


— 35 centimètres cubes d'urine 


lh.40in. 


— 


1 










jaune, trouble; D. = 1,028; 


lh.55m. 


— 


1 










substances azotées 14,47 


2h. 501. 


— 


1 










pour mille, total 0,51 gram- 


2 h. 25 m. 


— 


1 










mes ; sans sucre. 


S h. 55 m. 


— 


1 








5 h. 15 m. 


— 25 centimètres cubes d'urine 


3h.â0m. 


— 


0^ 










jaune, presque claire; D. » 


4h.l0m. 


— 


2 










1,018; substances azotées 


4 h. 30 m. 


— 


1 










16,31 pour mille, total 0,41 


5h. Om 


— 


1 










grammes; sans sucre. 


X. 














iS 



â 



u 



— 274 — 



5h.20m. - i 


[ milligr. de curare 


5h. 55 m. — ' 


1 > > 


6 h. 15 m. — ] 


l » > 


6h.45m. — ^ 


1 r> » 


7 h. 5 m. — i 


1 


7h.40m. — i 


» » 


8h.30m. — i 


1 » » 


8h.40m. - ' 


l J. 



8 h. !25 m. — dS ccDlimètres cubes d'urine 
jaune rougeâtre; D. =■ 1,016; 
substances azotées 47,37 
pour mille, total 0,31 gram- 
mes ; sans sucre. 

Total d'urine 78 centim.- cubes. 

Total de substances azotées if!28 grammes. 



Total de curare 28,6 milligr. 

Gomme dans la séance de eurarisation de inexpérience III, la 
résolution n'a pas été complète et Tanimal s'est relevé à plusieurs 
reprises. 

63' jour, poids 2508 grammes, urines 100 centimètres cubes; 
D = l,042, substances azotées pour mille 17,37, total 1,74 
grammes. La quantité d*urine émise du 6!2'' au 63"* jour est 
donc de 178 centimètres cubes, renfermant 2,97 grammes de 
substances azotées. La ration donnée est celle indiquée plus 
haut. 

64"" jour, poids 2545 grammes, urine 300 centimètres cubes; 
D= 1,025, substances azotées 6,05 pour mille, total 1,82 
grammes. 

Reprenons les expériences citées, en portant notre attention sur 
la quantité d'urine sécrétée pendant que les animaux sont sous 
rinfluence du curare. L'urine n'est augmentée d'une manière 
absolue que dans l'expérience III; là le fait est patent : durant 
le temps de la eurarisation, c'est-à-dire l'espace de 8 h. 15 m., 
il y a élimination de 160 centimètres cubes d'urine, ce qui ferait 
465 centimèù*es cubes pendant 24 heures; or, la moyenne de la 
quantité d'urine éliminée en ce laps de temps est d'environ 
325 centimètres cubes. De plus, il faut tenir compte de cette 
circonstance que le lapin, qui mange presque constamment, a 
été tenu, par le fait même de rexpérience, dans l'abstinence 
complète durant 9 heures; par là on aurait, en l'absence de la 
eurarisation, une diminution considérable dans l'élimination de 
l'urine. Cela ressort très bien de l'observation de ce même lapin 
au 26"" jour; nous appelons l'attention sur elle pour signaler la 
sensibilité organique de l'animal en expérience. Le 25" jour il 



— 275 — 25. 

n*avait reçu aucune nourriture, et voyez comment cette absti- 
nence de 24 heures retentit sur Télimination urinaire : la quan- 
tité d'urine tombe de 340 centimètres cubes à 80 centimètres 
cubes, la densité n'est plus que 1,018, et au lieu de 1,42 gramme 
de matières azotées, 1,07 gramme seulement est contenu dans 
ces urines. Celles ci diminuent donc par un jeûne de 24 heures; 
il en sera de même par le jeune de 9 heures, et la quantité de 
465 centimètres cubes indiquée pour le jour de la curarisation 
serait encore plus considérable si Ton pouvait opérer dans les 
circonstances habituelles. Il découle ainsi de Texpérience III 
que Texcrétion urinaire a été augmentée par la curarisation, qu'il 
y a eu polyurie; ajoutons qu'elle n'est point due à la glycosurie 
concomitante, car cette dernière s'est tout au plus montrée vers 
la fin de la séance. Les curarisations des expériences I, II et IV 
sont-elles également accompagnées de polyurie? Le fait n'y est 
pas très évident, cependant nous croyons que, si nous tenons 
compte de l'influence exercée par le jeûne, la sécrétion rénale y 
était aussi accélérée. D'une manière générale nous inelinons à 
dire que la sécrétion urinaire est augmentée chez les animaux 
soumis à Vintoxication par le curare. Cette conclusion trouvera 
encore sa confirmation dans les expériences que nous citons plus 
loin à propos de l'action du manganèse. 

Quelles sont les causes de la polyurie curarique? — Elles 
peuvent être de deux ordres : d'abord on pourrait songer à 
la circulation sanguine dont la rapidité ou la tension augmenterait 
localement et temporairement dans les artères rénales; par ce 
phénomène fexosmose et la filtration y deviendraient plus 
rapides et donneraient ainsi dans le même temps une quantité 
plus considérable de liquide urinaire. Nous ne savons rien sur 
l'existence de cette cause ni sur l'importance qu'on pourrait lui 
attribuer. Le second ordre de causes consisterait dans les 
variations de la composition même du sang et consécutivement 
de l'urine éliminée. Injectons, par exemple, de la glycose dans 
une veine, elle sortira du torrent sanguin par l'émonctoire rénal 
et entraînera pour son compte une certaine quantité d'eau. 
L'animal présentera une glycosurie passagère, accompagnée de 



Û 



26. — 276 — 

polyurie. Il en est de même pour les animaux eurarisés : s*ils 
deviennent diabétiques, ils sont en même temps polyuriques et 
Ton peut invoquer Tinfluenee de la glycose pour expliquer Taug- 
mentation de la quantité d*urine. Dans la maladie du diabète la 
glycosurie serait antérieure à la polyurie, ou plutôt serait la cause 
de cette dernière. L'observation suivante confirme cette manière de 
voir. Nous avions en observation depuis six mois deux lapins, tenus 
en ration d'équilibre au moyen de pain et de carottes; à deux 
semaines d'intervalle, l'un et l'autre ont présenté une glycosurie 
passagère assez intense, allant jusqu'à 21,2 pour mille de sucre. 
Nous en ignorons encore la cause, mais quelle qu'elle soit, nous 
avons observé que la quantité d*urine à sucre sécrétée en 24 
heures était supérieure à la quantité d'urine sans sucre. La gly- 
cosurie s'accompagne donc ici encore de polyurie. 

Cependant dans l'expérience où la quantité d"urine éliminée 
durant l'état curarique est manifestement supérieure à la normale, 
il n'existait point de glycosurie : un autre élément parait y avoir 
stimulé la fonction rénale, c'est l'urée, c'est l'azoturie. Nous y 
voyons, en effet, que les substances azotées contenues dans Turine 
des animaux eurarisés sont plus que doublées, et comme il est 
probable que l'excrétion plus abondante d'urée détermine aussi 
des urines plus copieuses, nous pouvons lui imputer la polyurie 
signalée dans nos expériences. Nous reviendrons bientôt d'ailleurs 
sur fazoturie curarique. 

Durant les curarisations, comment la densité se comportent- 
elle? Nous parlons surtout ici des urines de lapins. Assez sou- 
vent la première urine recueillie est plus trouble et plus dense 
que l'urine ordinaire; dans quelques expériences elle était de 
plus d'une blancheur de lait de chaux, due effectivement aux 
carbonates comme l'acide chlorhydrique le démontre. Par exem* 
pie, la première urine de l'expérience IV était plus trouble que 
d'ordinaire et en même temps plus dense. Peu à peu le trouble 
et la densité diminuent parallèlement; témoin, entre autres, l'ex- 
périence III, densité 1,020; 1,017; 1,015, et fexpérience IV, 
densité, 1,028; 1,018; 1,016. Les sels basiques comme les 
phosphates, sulfates et carbonates y disparaissent presque entié- 



— 277 — 27. 

rement et Turine acquiert une transparence assez complète ; elle 
a pris les caractères de celle d'un Carnivore. 

Dans Tétude des urines il nous reste deux questions impor- 
tantes encore à traiter, celle de Tazoturie et celle de la glycosurie. 
Abordons la première. 

D'après Voit (<), il n'y aurait point, durant la curarisation, de 
modification dans l'élimination des substances azotées; Penzoldt 
et Fleischer (^) ont trouvé une légère augmentation. Zuntz (') 
n'admet point cette augmentation et a promis de confirmer par 
des expériences nouvelles les conclusions de Voit; elles n'ont 
pas encore été publiées. A notre connaissance, aucun autre auteur 
n'a étudié l'élimination de l'urée durant les curarisations pro- 
longées. 

Par les chiffres cités dans les expériences HI et IV, il est 
démontré que les substances azotées ^oxydables par l'hypobromite 
de Na augmentent considérablement pendant les curarisations 
faites dans ces circonstances. Analysons à ce point de vue ces deux 
observations. Dans l'expérience III, à part quelques oscillations 
plus larges, le pour mille des substances azotées est compris 
avant la curarisation entre 5 et 6; la première urine recueillie 
pendant la curarisation en contient 10,55, la deuxième encore 
10,53, la troisième 14,21 , enfin celle de la nuit 12,7 pour 
mille. Dans l'expérience IV, la moyenne est de 6 à 7 pour mille : 
or, la première urine éliminée par l'animal curarisé renferme 
14,47 pour mille, la deuxième 16,51, la troisième 17,57, enfin 
celle de la nuit encore 17,57. Ainsi le pour mille a plus que 
doublé dans ces deux expériences. 

Il en est de même pour le total des matières azotées éliminées 
par jour. Le lapin de l'expérience III donnait journellement 
environ 2 grammes, jamais il n'a dépassé 2,45 grammes : le jour 
de l'expérimentation cette quantité s'élève à 5,12 grammes. Pour 
le lapin de l'expérience IV, il existe de même une différence 



(») Voit, ZeUnchrijt fîir Biologie, Bd XIV, p. U7. 

(«) Penzoldt et fLZ\^cxLZh,ArchivfûrexperimenteUe Pathologie und Pharmacologie* 
188S, Bd LXXXVII, p 1210. 
(») ZUKTZ, /. c, p. 388. 



â 



28. — 278 — 

notable : les jours qui précèdent la eurarisation, 2 à 2,24 grammes 
de substances azotées, le jour même 2,97 grammes. Le fait de 
Tazoturie devient encore plus évident, si nous ne considérons 
que le temps de la résolution musculaire. Le lapin de Texpé- 
rience III a sécrété 78 centimètres cubes d'urine en 7 h. 15 m., 
contenant 1,23 grammes de substances azotées; ce qui fait en 
24 heures, la quantité de 5,58 grammes, donc presque le double 
de la normale. 

Dans les expériences citées, il y a donc eu azoturie très mar- 
quée. Si nous remontons le cours des phénomènes, nous pou- 
vons dire que Tazoturie est due à Thypérurémie, comme la 
glycosurie est déterminée par Fhyperglycémic ; mais d*où pro- 
vient cette urée du sang? D'où est-elle déversée dans le torrent 
circulatoire? Pour ceux qui n'admettent point la suractivité de la 
fonction glycogénique du foie durant les curarisations, la glycose 
des urines est due à un non-emploi, soit d'origine musculaire et 
cellulaire, soit d'origine respiratoire; la glycose s'accumule dans 
le sang, soit que les muscles immobilisés ne la détruisent plus, 
soit que l'oxygène arrivant moins abondamment dans les pou- 
mons ne la combure plus. Pour l'interprétation de l'azoturie, 
rien de tel n'est admissible. La molécule urée est le dernier 
terme de la dialyse de la molécule albuminoïde; si donc l'urée 
augmente durant la curarisation, c'est que cette fonction dialy- 
tique est devenue plus grande : de là urémie plus intense, de là 
azoturie. 

On a cherché depuis longtemps à localiser la formation de 
l'urée. Il parait que l'exerciee musculaire ne l'augmente point, 
les expériences de Pettenkofer, Voit (*), etc., tendent à le 
prouver. Mais dans quel organe et par quel tissu la décomposi- 
tion des matières azotées se fait-elle? — D'après une idée émise 
d'abord par Meissner et confirmée expérimentalement ensuite 
par V. Schrôder ('), ce serait le foie. Sigrist a vu l'élimination de 



(«) Pettenkofer et Voit, Zeitschrift JTir Biologie, 4866, Bd II, p. 538. 

(*) V. SCHRODER, Ueber die Bildungsstàtte des Hamstoffs.AîicmyTdK EXPERIMENTELLE 
Pathologie bnd Pharmakologie, iSS'i, fid LXXXVIII, p. 364. Id. Inaug. diss. Strass- 
burg, 1881 



— 279 — 29 

Turée devenir plus abondante par Télectrisation de cette glande. 
Cette ihéorie tend à gagner du terrain. Cependant la molécule 
albuminoïde en se scindant dans le foie et en donnant d'un côté 
de Turée, que donne-t-elle de Tautre? quel est le nom à donner à 
Fautre fragment? Seegen dit à ce propos « die Endprodukte der 
Spaltung sind wahrscheinlich Harnstoff und Zucker(}) ». Peut- 
être nous nous trouvons ici devant un fait apportant une certaine 
probabilité à Thypothèse de Fauteur. Le curare détermine Tazo- 
turie, phénomène qui devance même la glycosurie; le curare 
détermine la glycosurie — nous en parlerons à Tinstant — et ces 
deux phénomènes, peut-être parallèles dans une certaine mesure, 
auraient comme organe commun la glande hépatique. Malheu- 
reusement notre attention a été jusqu'ici trop attirée sur Téli- 
mination du sucre, et nous ne possédons pas des données suffi- 
santes sur la dépendance qui pourrait exister entre la glycosurie 
et lazoturie. Cette question demande des recherches nouvelles. 
La dernière question que nous avons encore à traiter avant 
de finir cette première partie de notre travail, c'est la glycosurie 
curarique. Cl. Bernard signala le premier ce phénomène, et 
depuis lors ce fait a été constaté de toutes parts; citons seule- 
ment Winogradoff (*), Schiff(*), Dock(*), etc. Cependant cer- 
tains auteurs, tels que Penzoldt et Fleiseher (^), citent des 
expériences où le curare n a point fait apparaître la glycose 
dans les urines ; Zuntz dit même : « j'ai tenu pendant une série 
d'heures, eine Reihe von Stunden, en paralysie curariquc plu- 
sieurs lapins dont la ventilation pulmonaire était faite artificiel- 
lement, en même temps que je les conservais soigneusement à 
la température normale. L'urine restait complètement dépourvue 
de sucre, der Lrin blieb tollkommen freivon Zucker{^). » 



{*) Seegen, Zucker tm Ulule, seine Quelle uml seine Bedeutung. Archiv rOR PHYSIO- 
LOGIE, 1884, Bd XXXIV, p. 4i5. 

(*) WiNOGRADOFF, Archiv fîir experimentelle Pathologie und Pharmakologie , 
Bd XXVII, p. 5.U 

{?) SCHIFF, Monographie iiber den Diabètes. 

(*) Dock, Archiv fur Physiologie.Bd V, p. 571. 

{*) Loc. Cit. 

(•) Loc. cit., p. 387. 



30. — 280 — 

D'après l'opinion de cet auteur une respiration artificielle, 
pratiquée d'une manière régulière, préviendrait la glycosurie 
tant de fois signalée chez les animaux curarisés. Nous ne dispo- 
sions pas d'un appareil perfectionné pour la respiration artifi- 
cielle; celui qui nous a servi est le soufBet de Ludwig; ainsi nous 
n'avons pu contrôler assez directement les assertions du physiolo- 
giste Zuntz. Si les lapins, curarisés au même degré que ceux des 
expériences VIII-XI, pouvaient être tenus 4 à 6 heures sous l'in- 
fluence paralysante de ce poison, sans présenter de la glycose 
dans les urines, alors nous serions convaincu du fait qu'il y a 
eu défaut d'oxygène dans nos expériences et que, ce défaut a 
pu déterminer l'hyperglycémie et la glycosurie. Mais ce fait ne 
ressort point du travail de Zuntz : aucune expérience n'y est 
citée en détails, puis son affirmation est malheureusement trop 
vague. Quels sont les lapins employés? Quelle est la dose de 
curare? Enfin, un dernier point très important, que devons-nous 
comprendre par une série d'heures, eine Reike von Stunden? 
Une durée de quatre heures mérite amplement cette dénomina- 
tion, et d'après nos expériences on voit que cette curarisation est 
insuffisante pour la glycosurie, même sans respiration artifi- 
cielle. Zuniz est donc loin de nous avoir donné la conviction que 
ceux-là ont raison « qui rapportent la glycosurie curarique au 
trouble des mouvements respiratoires, aux symptômes asphyxi- 
ques, au défaut de combustion du sucre par insuffisance de 
l'apport d'oxygène (*) » . 

« D'autres, dit M. Masoin, attribuent la glycosurie à la paralysie 
générale qui laisserait s'accumuler sans usage dans les masses 
musculaires la glycose en circulation. » Par les travaux de 
Lavoisier, Séguin, Pettenkofer et Voit, Smith, Speck, etc., l'on 
sait, d'une part, que le travail musculaire s'accompagne d'un 
dégagement plus abondant d'anhydride carbonique; d'autre 
part, il parait assez bien établi que ce même travail musculaire 
ne s'accompagne pas d'une élimination plus abondante de matières 



(*) Masoin, Diabète artificiel. Revue médicale de Louvain, 1884, p. 98. 



— 281 -^ 31. 

azotées : on parait ainsi autorisé à admettre que les mouvements 
consument la glycose, que le repos, la résolution- musculaire 
par exemple, la laissent non utilisée dans le torrent circulatoire. 
Mais le repos, est-ce assez pour produire la glycosurie? — Evidem- 
ment non. Le sommeil, la paralysie anesthésique devraient alors 
s'accompagner au même degré d*un diabète passager. Cette 
absence ne s'explique bien que par la fonction glycogénique du foie. 
D'après les expériences faites par Cl. Bernard, confirmées par 
un grand nombre d'auteurs et dernièrement encore par Seegen, 
la glande hépatique exercerait survie sucre une action double, 
mais en même temps opposée : elle fabriquerait du sucre et le 
déverserait dans le torrent circulatoire, elle absorberait le sucre 
alimentaire et le transformerait en glycogène. Dans l'intervalle 
des digestions la première fonction aurait la prépondérance ; pen- 
dant les digestions, ce serait la seconde. Si les deux fonctions 
s'équivalent durant une immobilité musculaire quelconque, nous 
comprenons pourquoi elle ne détermine ni hyperglycémie ni 
glycosurie; nous comprenons pourquoi le sommeil, la paralysie 
cbloroformique ne déterminent point l'apparition dans l'urine 
de cette quantité de sucre qui aurait été consumée durant un 
même espace d'activité musculaire ; en même temps nous 
croyons pouvoir en inférer qu'un non-emploi de glycose durant 
la curarisation n'entraine point la glycosurie : le foie peut la pré- 
venir de la même manière qu'il prévient celle d'origine alimen- 
taire. Elle pourrait survenir si la glande hépatique devenait 
impuissante à conserver l'équilibre glycémique ou si de plus la 
fonction glycogénique était augmentée. 

« D'autres enfin, dit encore M. Masoin, l'inlerprètent par la 
dilatation neuro-paralytique du foie (paralysie des vaso-moteurs), 
d'où résulterait une fabrication plus abondante de glycose dans 
l'organe. » La théorie delà glycogénie hépatique de Cl. Bernard 
parait de jour en jour, malgré les assauts périodiques des Alle- 
mands, s'asseoir sur des bases de plus en plus solides : durant 
l'intoxication curarique le sucre se formerait plus abondamment, 
soit aux dépens du glycogène, soit aux dépens d'une substance 
plus complexe, la matière albuminoide. La fragmentation de la 




32. — â8â — 

molécule azotée nous expliquerait Thyperséerétion de Turée 
signalée plus haut. Nous inclinons à comprendre de la sorte le 
mécanisme de la glycosurie curarique. Les auteurs qui regardent 
Tarsenic comme un agent inhibitif de ce diabète artificiel doivent 
sûrement adopter cette théorie; c*est leur unique planche de 
salut; jamais en effet on ne comprendrait Faction de cet agent 
thérapeutique contre une glycosurie effectivement d*origine 
asphyxique ou musculaire. 



— 283 — 33. 



SECONDI PARTIE. 

INFLUENCE DU MANGANÈSE SUR LA GLYCOSURIE CURARIQUE. 

Le cadre de ce travail ne demande pas que nous écrivions 
ici rhistoire de Temploi thérapeutique du manganèse, ce serait 
même sortir de notre sujet; nous renvoyons à cet effet aux 
monographies. Il nous suffira de dire qu'il est prescrit, quoique 
assez rarement, contre le diabète par les auteurs qui localisent 
cette maladie dans le foie. Si nous tenons compte des expériences 
déjà anciennes de Gmelin (*), Hûnefeld (^) et Goolden (') qui 
tous reconnaissent au manganèse une action stimulante sur les 
fonctions du foie et principalement sur la sécrétion biliaire, nous 
croyons pouvoir en déduire que ce sont ces expériences qui ont 
amené Sampson (*), Turner(^), M. Masoin (% etc., à diriger ce 
métal vers cette même glande dans certains cas de diabète. Ces 
auteurs paraissent avoir eu pour guide une idée a priori. Nous 
n analyserons pas les succès et les cures qu'ils signalent; seule- 
ment nous avons institué une thérapeutique expérimentale en 
administrant le manganèse à des animaux et en observant ensuite 
s'ils avaient acquis l'immunité contre le phénomène pathologique 
de la glycosurie curarique. Ces recherches ajouteront quelque 
chose à l'histoire de l'action physiologique et pharmacodynamique 
de ce médicament. Parmi les nombreux travaux dont il a été l'ob- 
jet, aucun n'a été fait à notre point de vue; tout au plus trouvons- 
nous dans le mémoire très complet de Kobert(7) deux expériences 
où l'auteur a recherché si l'intoxication par le manganèse fait 



{*) Gmelin, Versuche ùberdie Wîrkungen des Bar y ts, etc. Tubingen, iBâ4. 

(*) HONEFELD, Effets physiologiques de quelques poisons non examinés jusqu'ici. 
Archives générales de médecine de Paris, 1832, t. XXVIII, p. 128. 

(5) Goolden, Ueber den Nuizen des Mangan sulphuricum in verschiednen Krank- 
heiten. Lond. Gaz., 1845, febr. 

(^) Sampson, The Lancet. 1853. 

(») Turner, fidiTO^. med. Journ., i864, t. VI, p. 903. 

(<i) E. Masoin, Traitement du diabète par le permanganate de potassium. BULLETIN 
DE l'Académie royale de médecine de Belgique. iS^% 3« série, t. XVI, p. i099. 

(7) KOBERT, Zur Pharmakologie des Mangans undEisens. Archivf. experimentellk 
Pathologie und Pharmakologie, 1883, Bd XVI, p. 361. 




34. — 284 — 

disparaître le glyeogène du foie; il conclut en disant : « Il est 
donc certain que le glyeogène ne disparait du foie ni par Tintoxi- 
cation aiguë ni par l'intoxication chronique du manganèse aussi 
rapidement qu'il Test dans Tempoisonnement phosphorique, 
comme Ta démontré Rosenbaum ('). » Si parmi les lecteurs il y 
en a qui désirent connaître les auteurs ayant expérimenté avec 
le manganèse, nous leur signalons la bibliographie très complète 
de Robert (^); depuis lors ont paru les travaux de Cahn (3), 
Schulz (^) et JVIanmené (^). Sans nous arrêter à d'autres considé- 
rations, nous entamons Tétude et l'exposé de nos expériences. 

Expérience V. — Deux lapins, l'un de 1711 grammes, l'autre 
de 2333 grammes, sont soumis au carbonate de manganèse ; jour- 
nellement ils en reçoivent 60 centigrammes en trois prises : une 
à huit heures du matin, une à deux heures et une à six heures 
de l'après-midi. L'administration dura 14 jours, et cela sans pro- 
duire aucun phénomène anormal. Le IS'' jour ils pesaient l'un 
1940 grammes et l'autre 2380 grammes; ils sont sacriGés. A 
l'autopsie tout l'intestin grêle présentait l'aspect blanc terreux de 
la poudre du carbonate; cependant ni les tissus ni les urines ne 
présentaient aucune trace de la bile; de plus, les foies de l'un et 
de l'autre nous ont paru normaux. Celui du premier lapin pesait 
77 grammes, celui du second 86 grammes; le tissu hépatique 
observé soit à l'œil nu, soit au microscope, ne laissait voir aucun 
signe de dégénérescence. Sans avoir fait des dosages précis, nous 
pouvons dire que le glyeogène y existait encore en quantité 
notable. 

Expérience VL — Lapin du poids de 2225 grammes, recevant 
journellement comme ration 300 grammes de racines de carotte 

(t) L. c, p. 388. 

(*) L. c, Licerarischer Nachweis, p. 39i. 

(') Cahn, Ueber die Résorptions und Ausscheidungsverhàltnisse des Mangans im 
Organismus. Archiv F. expcrimentelle Pathologie und Pharmakologie, 4884, 
BdXVIII,p. 129. 

(*) Schulz, Ueber die Giftigkeit der Phosphot- Scuierstoffi/erbindungen und ueber 
den Chemismus der Wirkung unorganischer Gifte. Archiv F. EXPER. PATHOLOGIE UND 
Pharmakologie, 1884, Bd XVIII, p. 474. 

(S) Maumené, Sur l'existence du manganèse dans les plantes et les animaux et sur 
son rôle dans la vie animale. Journal de pharmacie et de chimie, 4884, p. 48S. 



— 285 — 35. 

et 30 grammes de pain, en même temps qu'un centigramme de 
permanganate de potassium administré de la manière que nous 
avons dite plus haut.ll fut soumis à ce régime pendant 28 jours et 
sacrifié alors; il pesait 2240 grammes et n'avait donc fait ni gain 
ni perte sérieuse de substance. Le foie contenait du glycogène, 

Expérience VII. — Lapin de 2545 grammes, mis depuis long- 
temps à la ration journalière de 480 grammes de racines de ca- 
rotte et 72 grammes de pain; il recevait depuis 22 jours 1 ceniigr. 
de permanganate tous les matins ; il est curarisé le 23'' jour. 

Oh. m. — 7 milligr. de curare. 

Oh. 15m. — Résolution musculaire. Oh. Om. — 10 ceotimëtres cubes d'urine 

0h.â5m. — 3 milligr. de curare. blanc laiteuse, alcaline; 

h. tW m. — 1 > i sans sucre. 

h. 35 m. — 2 i • h. 50 m. — 6 centimètres cubes d'urine 
Oh. 40 m. — Respiration artificielle. blanc laiteuse, alcaline; 

1 h. 5 m. — 1,5 milligr. de curare. sûrement de la glycose. 

2 h. m. — 4 centimètres cubes d'urine 

Total (le curare i4,5 milligr. un peu plus claire; environ 

i pour mille de sucre. 
2 h. 5. m. — Mort subite du lapin. Le foie 
extrait immédiatement pèse 
115grammes,il ne présente 
pas d'altération macrosco- 
pique ni microscopique. Le 
décocté alcoolique renfer- 
mait du glycogène en abon- 
dance. 

Comme on le voit, les lapins de l'expérience V, VI et VII ont 
été soumis à de fortes doses de manganèse ; cependant aucune 
de leurs fonctions n'a été troublée d'une manière sensible; ils 
étaient armés contre le poison par une bonne alimentation et 
une bonne constitution. La nutrition générale et principalement 
la fonction glycogénique s'est-elle modifiée? — Les observations 
citées permettent de tirer une conclusion analogue à celle de 
Robert, et nous autorisent à dire que des doses considérables de 
manganèse administrées par la voie digestive ne font pas dispa- 
raître le glycogène du foie. C'est un fait assez important à noter, 
car il existe d'après la théorie de Cl. Bernard un lien très étroit 
entre la glycogénie et la glycosurie, et par suite entrela glycogénie 
et les médicaments inhibitifs de la glycosurie. Le manganèse, qui 
parait donc ne pas posséder d'action spéciale sur cette fonction du 



36. — 286 — 

foie, peul-il quaad même être regardé comme un agent edieaee 
contre le diabète artificiel du curare? L*expérimentation nous 
permettra de répondre. 

Expérience VIII. — Lapin du poids de 1 820 grammes, recevant 
journellement 30 centigrammes de carbonate de manganèse en 
trois fois: à huit heures du]matin, à deux heures et à six heures 
de raprès-diner, et cela durant huit jours, absorbant ainsi avant 
d'être soumis à l'intoxication curarique la quantité de 240 centi- 
grammes. 

Curarisation au 9^ jour. 

Oh. Om. — 3 milligr. de curare. 

Oh.âOm. — Résolution musculaire. Oh. Om. 

h. SO m. — i milligr. de curare. i h. m. — Urine claire, jaune; sans sucre. 

1 h. 20 m. — -1 > » i h. 15 m. — Urine claire, jaune, acide; sans 

1 h. 45 m. - 1 » > sucre. 

3h. Om. — i » » âh. 40m. — Urine claire, incolore, acide; 

H h. 10 m. — i » » sans sucre. 

— 5 h. dS m. — Urine claire, incolore, acide ; 

Total de curare 8 milligr. traces de sucre. 

L'urine des 13 heures qui suivent est rou- 
geâtre, sirupeuse, acide et légèrement sucrée. 

Du dixième au seizième jour le lapin esta nouveau soumis au 
carbonate de manganèse, il en absorbe ainsi 180 centigrammes. 

Curarisation au 17^ jour. 

Oh. m. — 3 milligr. de curare. 

Oh. dOm. — Résolution musculaire. Oh. Om. 

h. 45 m. — 0,5 milligr. de curare. 4 h. i5 m. — Urine rouge, franchement acide; 

i h. 35 m. — 0,5 » » sans sucre. 

S h. 30 m. — 045 » » 3h.l5m. — Urine jaune, épaisse, acide; 

2 h. 55 m. — 0,5 » >* traces de sucre. 

3 h. 10 m. — 0,5 » * 4 h. 25 m. — Urine claire, jaune, acide; 15 

> B l)our mille de sucre. 

» » B h. 25 m. — Urine claire, jaune, acide; 16,66 

* * pour mille de sucre. 
» * 9 h. m. — Urine claire, jaune, acide; 22,7 

* * pour mille de sucre. 

Total de curare 10,5 milligr. 

D*après la première séance de curarisation on pourrait croire à 
une absence ou à un retard considérable de la glycosurie, nous 
Tattribuons plutôt à la résolution musculaire un peu incom- 
plète; la seconde séance confirme pleinement cette opinion. Le 



4 h. 5 m. — 
4h.45m. - 

5 h. 55 m. — 
6h.45m. - 
7h.40m. — 



— 287 — 



37. 



carbonate eùt-il été réellement actif, alors l'apparition d'urine 
sucrée aurait dû y être plus tardive encore ou ne pas se faire du 
tout; mais ce phénomène ne se produit point, au contraire la cura- 
risation à peine plus forte détermine une glycosurie plus hâtive, 
plus intense, allant jusqu'à 22,7 pour mille. L'expérience IX 
montre encore mieux que le manganèse, employé ici sous forme 
de permanganate, ne retarde pas le moment de l'apparition du 
diabète artificiel. Comme on verra, la dose de curare est relati- 
vement plus faible dans la seconde séance, et cependant la 
glycosurie y apparaît et même un peu plus tôt. 

Expérience IX. — Lapin du poids de 1640 grammes, 
recevant journellement 3 centigrammes de permanganate de 
potassium, en trois fois, aux heures indiquées pour le lapin 
précédent. Au bout de huit jours il avait ingéré 24 centigrammes. 



CurarisatUm au 9^ jour. 

Oh. m. — 3 milligr. de curare. 
h. 90 m. — RésolutioQ musculaire, 
i h. dO m. — i milligr. de curare. 
4h.35m. — i B . 



Sh.aOm. — i * 
2b.55m. -1 i 
dh.30m. — i I 

Total de curare 8 milligr. 



Oh. Om. 

h. 30 m. — Urine jaune orange. 

i h. âO m. — Urine encore ordinaire. 

S h. 40 m. — Urine claire, acide; sans sucre. 

3 h. 45 m. — Urine claire, acide; sans sucre. 

L'urine des iS heures qui suivent est rou- 

geâlre, acide, sirupeuse; la présence de 

glycose y est douteuse. 



Du dixième au seizième jour il est soumis à nouveau à la 
même dose de permanganate et curarisé le dix-septième jour. 



Oh. m. — 3 milligr. de curare. 
h. iO m. — Résolution musculaire. 
h. 45 m. — 0,5 milligr. de curare. 
ih.45m. — 0,5 • 
3h. 15 m. — 0,5 • 

4 h. 45 m. — d » 

5 h. 55 m. — i » 
6h.25m. — i i 
7 h. 26 m. — i » 
7 h. 55 m. — i • 

Total de curare 9,5 milligr. 



CurarisaXim au f 7® jour. 

Oh. Om. 

i h. 40 m. — Urine assez épaisse, claire,fran* 
chement acide; sans sucre. 

3 h. 45 m. — Urine jaune claire, acide; fai- 
blement sucrée. 

4 h. :^ m. — 8 centimètres cubes d'urine 
acide; il, 90 pour mille de 
sucre. 

6 h. 35 m. — -17 centimètres cubes d'urine 
claire, jaune, acide; 33,20 
pour mille de sucre. 

7 h. 45 m. ~ 20 centimètres cubes d'urine 
claire, jaune, acide; 37,50 
pour mille de sucre. 



38. — 288 — 

Par Texpérience VII, où Ton voit en même temps combien la 
curarisalion accompagnée de phénomènes asphyxiques précipite 
l'apparition de la glycose et par les expériences VIII et IX il est 
donc démontré que le manganèse ne prévient pas la glycosurie 
curarique. 

S'il ne la prévient, ne diminue-t-il pas son intensité? Ou bien 
n'a-t-il point parfois une action inverse et au lieu d'atténuer ce 
phénomène pathologique, ne peut-il le rendre plus durable et plus 
profond? Car il arrive aux expérimentateurs d'obtenir un résultat 
tout opposé ik celui qui paraissait indiqué. Ou bien enfin n'a-t-il 
aucune influence sur la marche ordinaire de ce phénomène? — Les 
expériences suivantes nous permettront d'élucider cette question ; 
elles comprennent l'histoire de deux lapins de même nichée, 
à peu près de même poids, et qui ont présenté une série de 
phénomènes tout à fait analogues; on peut s'en convaincre par 
la comparaison des deux tableaux qui résument cette histoire. 

Expérience X. — Lapin du poids de 2350 grammes. 

i" jour. — Première curarisation vers midi. 

Oh. Om. — 5 milligr. de curare. 

Oh.aOm. — i » • 

Oh. 40 m. — i » 

1 h. 5 m. — i > » 

i h. 10 m. — Résolution musculaire. Oh. m. 

i h. 35 m. — i milligr. de curare. h. 45 m. — 46 centimètres cubes d'urine 



i h. 55 m. — i • 

2h.i5m. — 0,5 

2h.20m. — 0,5 

3h. im. — i » 

3h.1om. - 1 

3h.30m. - 1 » 

4h.dOm. - i •» 



jaune, trouble, alcaline; 

sans sucre. 
4 h. 5i m. - 40 centimètres cubes d'urine 

jaune, trouble, alcaline; 

sans sucre, 
â h. 50 m. — 5 centimètres cubes d'urine 

jaune, trouble, alcaline; 

sans sucre. 

Total de curare 45 milligr. 4 b. m. — â centimètres cubes d*nrine 

jaune, trouble, alcaline; 

sans sucre. 

Total d'urine 63 ceutim. cubes. 

î2« jour. 
3« » 

5« i Seconde curarisation vers midi. 



— 289 — 



39. 



Oh. Om. - 
Oh. 45 m. — 
Oh. 45 m. - 
Oh. 85 m. — 
4h.58m. — 
S h. 15 m. — 
8h.â2m. — 
8h.80m. — 
3h.47m. — 
4h.55m. - 
5h.35m. - 
6h.S8m. — 
7 h. 45 m. — 



6 milligr. de curtre. 

Résolution musculaire. Oh. Om. - Urine ordinaire. 



4 

4 

4 

4 

0,5 

4 

0,5 

4 

4 

4 

4 



milligr. de curare. 



Total de curare 46 milligr. 



6« jour. 



h. 30 m. ~ 8 centimètres cubes d'urine 

jaune, un peu trouble, 
acide; sans sucre. 

S h. 45 m. — S9 centimètres cubes d'urine 

claire , jaune brunâtre , 
acide ; sans sucre. 

Sh.âOm. — 44 centimètres cubes d'urine 

claire, jaunâtre, acide; 
44,56 pour mille de sucre. 

7 h. m. — 87 centimètres cubes d'urine 

claire, presque incolore, 
encore un peu jaune,acide; 
D. = 1,023; 29,33 pour 
mille de sucre. 

7 h. 30 m. — 48 centimètres cubes d'urine 

claire avec teinte jaunâ- 
tre, acide; D. ^ 4,024; 
34,18 pour mille de sucre. 

Total d'urine 404 centimètres cubes. 

Total de sucre 4,804 gramme. 



7' jour, 40 centigrammes de carbonate de manganèse ^ 6 h. du soir. 

8« > 30 • » > à8h. à2h. età6h. 

40* • 20 • > > 

Total 420 centigrammes de carbonate. 
40* jour. — Troisième curarisation vers midi. 

Oh. Om. — 6 miliigr. de curare. 

h. 40 m. — Résolution musculaire. 

h. 47 m. — 4 milligr. de curare. 



4 h. 20 m. ~ 1 » 
4h.25m. - 1 » 
2h.45m. - 
3h.90m. — 
3h.35m. - 
4h.30m. — 
6h.37m. — 
7 h. 40m. — 

Total de curare 45 milligr. 



X. 



Oh. m. — Urine ordinaire. 

4 h. 42 m. — 40 centimètres cubes d'urine 
jaune brune, très trouble, 
alcaline; D. » 4.042; sans 
sucre. 

4 h. m. — 8 centimètres cubes d'urine 
un peu moins épaisse, trou- 
ble , jaune , neutre ; D. » 
4,034; sans sucre. 

6 h. 45 m. — 48 centimètres cubes d'urine 

très légèrement trouble, 
jaune, neutre ; D. = 4,048; 
9,8 pour mille de glycose. 

7 h. m. — 47 centimètres cubes d'urine 

claire, incolore, alcaline; 
D.» 4,049; 46,6 pour mUle 
de sucre. 
9 h. 30 m. — 29 centimètres cubes d'urine 
claire, incolore; D. » 4,020; 
25 pour mille de sucre. 

Total d'urine 82 centimètres cubes. 
Total de sucre 4,484 gramme. 

i9 



M 



40 



— 290 — 



Expérience XI. — Lapin du poids de 2160 grammes. 

l'»" jour. — Première curarisation vers midi. 



Oh. Om. 


— 


4 


milligr. 


de 


curare. 




Oh. 7m. 


— 




Résolution musculaire. 


Oh. Om. 


Oh.SSm. 


— 


4 


milligr. 


de 


curare. 


Oh. 52 m. 


Oh. 40 m. 


— 


4 


> 








i h415 m. 


— 


4 


1 








Ih.aSm. 


— 


4 


> 






2h.40m. 


1 h. M m. 


— 


0,5 


> 








4 h. 58 m. 


— 


0,5 


■ 








2 h. 45 m. 


— 


0^ 


• 






2h.47m. 


3 h. 24 m. 


— 


0,5 


» 








Sh.;45m. 


— 


0,5 


1 








ah. 4 m. 


— 


0,5 


y 






5 h. 2 m. 


8 h. 45 m. 


— 


0,5 


i> 








H h. 30 m. 


— 


4 


B 








4 h. 40 m. 


— . 


4 


II 









3 centimètres cubes d'urine 
jaune, alcaline, trouble 
sans sucre. 

44 centimètres cubes d'urine 
moins troable, jaune, alca- 
line ; sans sucre. 

40 centimètres cubes d'urine 
encore moins trouble, légè- 
rement alcaline; sucre it). 

46 centimètres cubes d'urine 
claire, incolore, alcaline ; 
3,28 pour mille de sucre. 



Total d'urine 33 centimètres cubes. 



Total de curare 43,5 milligr. 



2* jour. 

3« . 
4« , 

5* » Seconde curarisation vers midi. 

Oh. m. — 5 milligr. de curare. 

Oh. 20 m. — Résolution musculaire. Oh. Om. 



h. 35 m. — 2 milligr. de curare. h. 25 m 
Oh. 55 m. — 4 » » 

1 h. 30 m. — 4 » » 
2h. m. — 0,5 » » 



3 h. 5 m. — 



2h.45m. - 0,5 » 

2h.50m. - 1 

3h.27m. - 4 > 

3h.45m. — 4,5 » 

ih. 55 m. — 4 » 

6 h. 45 m. — 4 »> 

7 h. 45 m. — 4 » 

Total de curare 46,5 milligr. 



Urine ordinaire. 
3 centimètres cubes d'urine 
jaune, acide, peu trouble ; 
sans sucre. 
60 centimètres cubes d'urine 
presque incolore, avec 
teinte jaunâtre, claire, 
acide ; D. = 4,023 ; 0,856 
pour mille de sucre. 

5 h. 5 m. - 55 centimètres cubes d'urine 

claire, incolore, acide; 
D. =4,044; 40,88 pour 
mille de sucre. 

6 h. 50 m. — 45 centimètres cubes d'urine 

claire, jaunâtre, acide; 
D. = 4,046; 40,89 pour 
mille de sucre. 
6 centimètres cubes d'urine 
claire, jaunâtre, acide; 
7 pour mille de sucre. 



7h. 25m. - 



Total d'urine 439 centimètres cubes. 
Total de sucre 0,855 gramme. 



— 291 — 



41. 



iSfi jour. 

7« jour, 10 centigrammes de carbonate de manganèse à 6 h. du soir. 
8« > 30 > > » à 8 h. à S h. et à 6 h. 

9* » 60 > > » » » » 

10< » 20 > » > > 

Total 490 centigrammes de carbonate de manganèse. 
iO* jour. Troisième curarisation vers midi. 



Oh. Om. — 
Oh. 27 m. — 
0h.30m. — 
Oh. 47 m. - 
Ih.aOm. — 
3h.20m. — 
4h.30m. — 
7 h. 40 m. — 



5 milligrammes de curare. 
i > 

Résolution musculaire, 
i milligramme de curare. 

i » a 

i » 9 

i 

1 > 



Total de curare H milligrammes. 



6 h. Om. 



6h.40m.— 



Oh. m. — Urine ordinaire. 

Uh. 55 m.— S centimètres d'urine jaune 

rouge, peu trouble, alca- 
line; sans sucre. 

8 h. 35 m. — 10 centimètres cubes d'urine 

jaune, rougeâtre; moins 
trouble;légèrement acide; 
D. = 1,025; 44,8 pour 
mille de sucre. 
48 centimètres cubes d'urine 
claire, jaune, légèrement 
acide ;D.c. 4,029; 32,26 
pour mille de sucre. 
5 centimètres cubes d'urine 
claire, incolore, neutre; 
D. =: 4,028; 28,42 pour 
mille de sucre. 

Total d'urine 35 centimètres cubes. 
Total de sucre 0,869 gramme. 

Cette série d'expériences nous présente de beaux exemples à 
examiner pour Texcrétion des urines, leur coloration, leur 
réaction, leur densité, leur abondance. Voyez, par exemple, quelle 
forte polyurie lors de la seconde curarisation préliminaire de 
Texpérience XI ; mais passons à Tétudedela modification la plus 
importante qui nous occupe, c'est-à-dire la glycosurie. Le carbo- 
nate de manganèse a-t-il retardé le moment de son apparition? 
Si nous comparons dans chacune des deux expériences les deux 
curarisations préliminaires avec la curarisation faite après intoxi- 
cation par le manganèse, les annotations horales nous montrent 
que dans aucun cas la glycosurie n'a été plus tardive. Ne s'est- 
elle pas montrée plus tôt et le manganèse n'a-t-il pas accéléré 
l'élimination du sucre? Les chiffres ne l'indiquent guère non plus; 
toutes ces différences de temps rentrent en effet dans les limites 




42. — 292 — 

des variations possibles à chaque eurarisation. Quant à Tintensité 
de la glycosurie, la troisième eurarisation de Texpérience X 
indique que le sucre a été sécrété en moindre quantité que dans 
la séance précédente; mais nous ne pouvons attribuer cette 
diminution à Tinfluence du manganèse ; elle provient sans doute 
d'une résolution musculaire qui a été moins intense par suite 
de la dose plus faible de curare. L'expérience XI semble le 
démontrer : là nous avons approximativement produit des in- 
toxications de même degré, là le sucre s'est éliminé en quantité 
presque égale. Ainsi nous sommes amené à n'attribuer au man- 
ganèse aucune action soit sur le moment d'apparition, soit sur 
rintensité de la glycosurie curarique. Telles sont nos opinions 
d'aujourd'hui ; elles sont basées sur les expériences analysées dans 
ce travail et encore sur d'autres tout aussi nombreuses que nous 
ne citons point ; disons seulement que dans toutes, les animaux 
curarisés d'une manière suffisante pour devenir diabétiques 
normalement, le sont devenus encore lorsqu'ils avaient été 
soumis préalablement au manganèse. Cependant n'exagérons pas 
la portée du résultat négatif donné par nos recherches; si elles 
tendent à prouver que le manganèse n'influe pas sur le diabète 
curarique, elles ne permettent pas non plus de conclure qu'il 
est sans action dans les cas de diabète pathologique, car il 
existe en effet une différence profonde, quelquefois essentielle 
même, entre cette redoutable maladie et le phénomène de la 
glycosurie curarique. 

En terminant ici l'exposé de nos recherches, nous résumons 
les résultats par les deux propositions suivantes : 

I. Le curare, injecté dans l'organisme, détermine une éléva- 
tion suivie d'un abaissement de la température avec azoturie et 
glycosurie. 

II. Le manganèse, soit sous forme de carbonate, soit sous 
forme de permanganate de potassium, ne peut prévenir ni atté- 
nuer la glycosurie curarique. 

Louvain, 22 octobre 1885. 



k 



— 293 — 1. 



MEMOIRE 



SUR l'bMPLOI 



DES COORDONNÉES CURVILIGNES 

DANS LKS PtOBLtilS DE lÉClRIQDI 
ET LES LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES ISOTHERMES 



PAR 



M. le V^ de SALVERT 

DOCTEUR àS SCIENCBS, 
PROFESSEUR A LA FACULTÉ LIBRE DES SCIENCES 

DE LILLE. 



Dans un mémoire assez étendu Sur la théorie de la courbure 
des surfaces, publié il y a quelques années dans les Annales de la 
Société scientifique de Bruxelles (5* année, 1881), nous avons 
été amené à établir à nouveau par des procédés plus simples, et 
à Taide d'une autre notation plus claire et plus expressive, les 
formules générales que Lamé a données pour Temploi des coor- 
données curvilignes; mais les bornes nécessairement imposées à 
ce travail, déjà trop long peut-être eu égard au peu de nou- 
veauté du sujet, nous ont empêché de présenter aucune applica- 
tion de ces formules, en sorte que le lecteur qui n'eût pas connu 
les travaux originaux sur la matière aurait pu être amené à 
penser que ces formules n'ont qu'un intérêt purement théorique, 
et à juger comme conséquence que l'utilité qu'elles peuvent 
offrir ne vaut pas la peine encore assez sérieuse que l'on s'est 
donnée pour les établir. 

Nous voudrions aujourd'hui combler cette lacune, à laquelle 
nous ne nous étions résigné qu'à regret dans notre précédent 
travail, et nous nous proposons, dans celui-ci, de reprendre de 
même à nouveau, avec les notations et à l'aide des procédés dont 
nous avons fait usage pour l'étude de la courbure des surfaces, 




2. — 294 — 

Tune des trois questions principales que Lamé présente comme 
application de sa théorie, savoir la détermination directe du mou- 
vement d'un point matériel par le moyen de ses coordonnées 
curvilignes, nous réservant de revenir un autre jour sur les deux 
autres questions, savoir le problème de Féquilibre de tempé- 
rature dans un corps homogène et la recherche d'un système 
orthogonal triplement isotherme. 

Après avoir passé en revue dans un premier chapitre les 
formes diverses que Pon peut donner aux équations du mouve- 
ment d*un point en coordonnées curvilignes, nous nous en servi- 
rons dans le second chapitre, pour traiter l'important problème 
du mouvement d'un point matériel assujetti a rester sur une 
surface donnée, et dans le troisième et dernier chapitre pour 
faire une étude détaillée des lignes géodésiques des différentes 
surfaces, que l'on a le plus souvent l'occasion de considérer. 

Ce nouveau travail formant donc la suite naturelle et comme 
le prolongement de notre Mémoire sur la théorie de la courbure 
des surfaces, nous lui emprunterons avec les notations (*) et les 

(*) Pour le cas où le lecteur n'aurait pas ce travail à sa disposition, et afin de permettre 
néanmoins l'intelligence du présent mémoire, nous rappelons que nous faisons nsage 
\\ouT les dérivées partielles relatives aux variables x, y, z. d'une notation abrégée qui 
consiste à supprimer partout, haut et bas, dans les symboles ordinaires de ces dérivées, 
la caractéristique d, mais en laissant subsister l'exposant dont elle est affectée, en sorto 
que, quelle que soit la quantité f, les symboles 

m m ça ûjl çpi at ^5 çjS mj 

X y z X* y* ys x^ xy* xyz 

représenterons pour nous respectivement les dérivées 

df df rff d*f d^f d*f d'y d*f d^f 



dx* dy^ di' dx** dy*' " dydz '" dx^' ' dxdy* dxdydz^ 
tandis que nous aurons soin de dénoter par 

U/ \yl ' '' y z' '" \x) "* X \yl '"xyz 

les puissances ou produits 

/t/f\« jdfy df df /dfy df fdfy df df df 

[cTxj • i;^J ' • * d'y Jz '" [Txj ' "- Jx \Ty] '"'diTy Tz' '" 

Nous prévenons également que nous ferons un usage très fréquent de la notation des 



^ 



— 295 — 3. 

conventions originaires, les résultats et les formules qui nous 
serviront aujourd'hui de point de départ. Nous demanderons 
en conséquence expressément au lecteur de vouloir bien s*y 
reporter, principalement au paragraphe IV de ce mémoire, qui a 
rapport aux propriétés du système triple orthogonal. 



paramétres différentiels des premier et second ordre de Lamé, c'est-à-dire des 
symboles 

/ Idf .« ~df} idf * d'y d^f d*f 

le radical du prciiiier étant toujours supposé essentiellement posiUl. 



A 



4. — 296 — 



É^aaflans da mauTemeBl d*aB polnl matériel en coordOBBéoi ear- 
Tlll^nes. — Formes sISBalées par I«Amé. — Foraiee BoaTellee. 
— RayoB de eoarbare d'oBe eeurbe dOBBée eB eoordOBBéee 
earTlII^Be*. 

But et objet de ce chapitre. — Toutes les fois que dans 
rétude du mouvement d'un point matériel ce point est assujetti 
à rester sur une certaine surface fixe, il y aura évidemment 
avantage, si cela est possible, à prendre un système de coordon- 
nées telles que cette surface puisse être considérée comme une 
surface individuelle de Tune des familles qui composent ce sys- 
tème, parce qu'alors Tune des coordonnées du point devant 
conserver ainsi une valeur constante et connue à Tavance, on 
n'aura plus que deux coordonnées au lieu de trois à déterminer 
en fonction du temps. Cest ainsi que, si Ton considère le mou- 
vement d'un point matériel astreint à rester sur un cylindre 
de révolution, il faudra évidemment prendre des coordonnées 
semi-polaires ou cylindriques, parce qu'alors la coordonnée r 
conservant une valeur constante, on n'aura plus à déterminer 
que la hauteur z et l'azimut 9, qui sont a priori les inconnues 
naturelles de la question. De même dans le cas d'un point 
pesant assujetti à demeurer sur une sphère, la distance r à l'ori- 
gine étant fixe et donnée, les inconnues naturelles de la question 
sont l'azimut i/y et l'angle d'écart 9 du rayon vecteur avec la ver- 
ticale, qui déterminent la direction de ce rayon, et le système des 
coordonnées sphériques ou polaires se trouve pour ainsi dire 
imposé de lui-même à l'avance par la nature de la question; car 
on ne sort pas au fond de ce système, en prenant, comme on le 
fait dans les formules classiques relatives au problème du pen- 
dule conique, au lieu de l'angle 9, son cosinus que l'on appelle z, 
et il en serait de même dans tout autre cas analogue. 

Mais les équations du mouvement, telles qu'on les considère 



— 297 — IJ. 

habituellement, étant exprimées en coordonnées rectilignes, cette 
simplification ultérieure dans l'intégration exige au début du 
calcul un changement de variables, c*est-à'dire en fait Félimina- 
tion des neuf quantités 

dx dy dz d*x d*y (Pz 

'^' ' dt dt dt dt' di" dt* 



entre les équations différentielles du mouvement, Téquation de la 
surface donnée, les formules de transformation de coordonnées, 
et les deux premières équations qu*on en tirera par la différen- 
tiation. 

C*est précisément cette élimination préalable que Ton devra 
opérer dans chaque cas particulier, et qui, énoncée dans ces 
termes généraux, ne manque pas d*une certaine complication, 
que nous nous proposons de donner le moyen d'éviter, en pré- 
sentant à l'avance et une fois pour toutes le résultat de cette 
opération pour un système de coordonnées curvilignes quel- 
conque. — En d^autres termes, nous voulons former le système 
d'équations différentielles du second ordre, entre les inconnues 
9, ^ et o, qui par l'intégration fournirait directement la valeur 
de ces coordonnées en fonction du temps, en effectuant l'élimi- 
nation des neuf quantités que nous venons d'énumérer, entre les 
trois équations différentielles du mouvement, les trois équations 
des surfaces coordonnées et celles qui en proviendraient par la 
différentiation (*), 



(*) Nous résoudrons tout d'abord la question ainsi posée, en nous servant pour cet 
objet, à l'exemple de Lamé et de Guiraudet (qui les a produites le premier), des formules 
relatives à la courbure du système orthogonal, que nous avons établies dans notre Mémoire 
sur la théorie de la courbure des surfaces; mais le lecteur trouvera un peu plus loin une 
exposition de la même question indépendante de ces formules, qui aura le mérite de ne 
supposer en aucune façon l'existence d'un système triple orthogonal, avantage précieux 
qui permettra de faire usage dans tous les cas de cette théorie, pour la détermination du 
mouvement d'un point sur une surface donnée. 




6. 



— 298 — 



Équations du mouvement en fonction des vitesses. — Le but 
que nous avons en vue étant ainsi nettement formulé, soient donc 
u, V, w les trois composantes de la vitesse du point matériel 
suivant les normales aux trois surfaces coordonnées f , ^ et «r, 
et U^ y, W les trois composantes, suivant les mêmes directions, 
de la force extérieure qui le sollicite, rapportées à Tunité de 
masse, ses composantes suivant les axes de coordonnées reeti- 
lignes étant toujours désignées par X, Y, Z. Nous aurons à la 
fois, en projetant d'une part la vitesse successivement sur ces 
trois axes coordonnés, puis d'autre part la force sur les trois 
normales précitées. 



dx 

—- = lu -¥- x'v -♦- A"w;, 

dt 

-1- = ^M -+- fjiV -¥■ fJi'W, 

dt 



dz 

11 



= vu -¥- v'v -t- v"«*, 



U = XX H- /xY -♦- vZ, 



V = >'X -4- /ji'\ -*. v'Z, 



W = À"X^fx"Y-+-y"Z, 



)., |UL, V, /', (/, v\ ).", a", /' désignant toujours les neuf cosinus 
directeurs des trois normales aux surfaces (p, ^ et w. 

Les équations du mouvement du même point étant en coor- 
données rectilignes 



d*x 



d*y 



d'z 



— Y _1 Y 7 



dV 



dt 



dt' 



les trois équations de droite précédentes deviendront d'une part 



rf«- 



d^z 



dt^ '^ df* df" 



, d'x d'y 



df" 



V 



w 






dt' 



d*z 
d^z 

V — — I 

dt' 




— 299 — 7 

tandis que les trois équations de gauche étant différentiées don- 
neront d*autre part 

cPx du dv , du) dx dx' dx" 

— r = A-— -4-A ---t-X'-— -+-11----+-!? -—- -♦- W -— -, 

di^ dt dt dt dt dt dt 

d*y du dv dw d/uL du! dfL" 

-—--= M T •♦- A*' T -*- A«" -r -+- w -r -*- V --- ^ w — --, 
rf(* di dt dt dt dt dt 

d*z du dv dw dv dv dv" 

-7-r==y-7--t- >'---♦-/' -7--t-w— --t-v — -- -*- w — r-; 
de dt dt dt dt dt dt 

en sorte que si Ton substitue ces valeurs des dérivées secondes 
dans les équations immédiatement précédentes, celles-ci devien- 
dront, en ayant égard aux formules (42) de notre Mémoire sur 
la théorie de la courbure des surfaces (p. 49), c'est-à-dire aux 
relations connues entre les neuf cosinus directeurs de trois droites 
rectangulaires : 

,, du I dy dfji' dv'\ I dx" d/x!' dv"\ 

dt \ dt ^ dt dtl \ dt ^ dt dt I 

, ] dv I dx" du" dv"\ I dx dfi dv\ 

1 dt \ dt dt dtl \ dt dt dtl 

„^ dw I dx dfjL dv\ / dx' , dfx! , dv \ 

dt \ dt dt dtl \ dt dt dtl 

Cela posé, il nous sera facile d'obtenir l'expression des déri- 
vées relatives au temps des neuf cosinus qui figurent dans ces 
équations, en fonction des dérivées de 9, ^ et lo-, car ayant pour 
l'un d'eux par exemple 

rfA xd^ xd^ X dts 
Vt^^di^Jdt'^âVt' 

le tableau (63) de notre Mémoire (p. 76) nous fournit immédia- 
tement la valeur de leurs vingt-sept dérivées partielles, relatives 
aux coordonnées curvilignes, exprimées en fonction de ces cosinus 
eux-mêmes, et des six courbures principales du système que l'on 
peut supposer remplacées par leurs valeurs (59). Mais aupa- 




8. _ 300 — 

ravant nous observerons qu'en vertu de la formule (40^^) (p. 44) 
du mèroe travail, si Ton désigne par dn, dn\ dn" les éléments 
des trois normales aux surfaces coordonnées, on aura 

dn 1 d'f dn' 1 dp i drs 

(3) ti = _ = __, r= — = — — , w = — —, 

d*où Ton tirera : 

, . df d^ dfs 

(4) ^ = A.?«. dl^^'^-"' rfT^^"-""- 

Or, si nous reportons ces valeurs dans Texpression (2), ce qui la 
transformera dans la suivante 

dx X A X 

— = -A|'f .1/ H — Aif • V H — AiW. u?, 

al ^ ^ cr 

puis que nous remplacions les coefficients de u, v, w par leurs 
valeurs tirées du tableau (63) du Mémoire précité, nous obtien- 
drons la première des trois expressions suivantes 

À // A \ i > 



dt 


\K r;/ 


R. R* 


dft 
dt 


\ r; "*" r;/ 


W H V H W 

R, Rt 


dv 


^/' •/') 


/ n 


dt 


\ r: "*" r;j 


I"-"r/'"r,'" 



les deux autres résultant de la permutation circulaire des trois 
axes de coordonnées rectilignes, laquelle revient à permuter 
simplement entre elles les trois lettres X, |:x, v, sans modifier leur 
accentuation. 

De ce premier groupe nous conclurons immédiatement deux 
autres qui s'en déduiront par la permutation des trois surfaces 
coordonnées, ou ce qui est la même chose des trois normales, 
opération qui revient dans le cas actuel à permuter les trois 



— 301 — 



9. 



lettres ti, v, w, et simplement les accentuations des autres lettres, 
savoir : 

I dx' 



i dt 



{ 



'df 

dv 
IT' 

dx- 

~dr 

dfi" 
11 

d-y 

dt 



u,.-u. 



\R. r;I r; r; 
\R, kJ r; r; ' 

=» — 1 ]V •* 

\R, R,7 r; 

/A' A\ X V 

\r; r,/ r; r; ' 

= — ITtH ]W -i U H V, 

\r; r,/ r, r; 

== — 1 1 «: ■ 

\r; r./ 



V y 



Nous conclurons dès lors de ces valeurs, en ayant égard aux 
mêmes équations (42) déjà citées, 



A — : h jUL 



ff 



dt 

dx 
It 



dt 

' dt 






</a' diJi' 

dt dt 



dv 

n 

dt 

d-y 



-(>■■ 



dx' 

d>r_ 
HT 



,,df^' 



jT ■*"*' "d7/ "" r; "~ r[' 
/"'ïû^r;' 



/,, dx 



(fr 









, dv\ u V 

rfr/""R;" R^' 



et en reportant ces dernières expressions dans les équations (1) 



^^ du lu v\ lu u;\ 

"=in-"MR;-R:J*"'lR^-R;]' 

dv I V w\ I V u\ 

''=d7-^"'lRï-R;J^"lR:-R;J' 

dw I w u\ Iw v\> 

'''=-d?-""lR;-R;)-"''lR:-RïJ 




10. 



— 302 — 



ou encore en intervertissant les deux membres : 



(S) 



f 



du I V w\ r* w* ,, 

h 11 1 «=sU, 

di \r; r;7 r, r, 

dv fw u \ tr* M* 

Uw lu v\ M* v' 



C*est la troisième forme donnée par Lamé aux équations du 
mouvement, et présentée par lui au § XC de ses Leçons sur ies 
coordonnées curvilignes (p. 165). 



Nous n'adopterons pas cette forme qui se présente ainsi à nous 
la première, à cause de son défaut absolu de symétrie, mais 
nous la transformerons de manière à en déduire une seconde 
qui se rapproche beaucoup plus d'une autre forme notablement 
plus élégante également donnée par Lamé, quelques pages aupa- 
ravant. Pour effectuer cette transformation sur la première 
équation^ par exemple, il suffira de développer la dérivée de la 
vitesse qui figure dans le premier membre de la façon suivante : 

du d I u \ K ^ i ^ \ ^ ^^^^ 

dr^di[^'''^;fi^^''dt[i;fi'^Kr9 

d lu 



= A 



if 



di 



\àifl 



Aif dt 
d.làif 



dt 



Or, comme nous avons, en vertu des valeurs (4), 



(6) 



'^dT 



lAif df /A|f d'if làif da 
4f dt u 



f dt 
= Aif .u 






dt 

Ata . M% 

a 



nous aurons en reportant cette expression dans la précédente : 



du 
di 



d I u\ / , lAïf 






irj. 



— 305 — il. 

Si maintenant nous substituons à son tour cette dernière 
expression dans la première équation (S), et que nous y remet- 
tions en même temps à la place des rayons de courbure qui y 
figurent leurs valeurs fournies par le tableau (59) de notre 
Mémoire (p. 70), elle deviendra par ces substitutions 

^ d I u\ I /A,? . /A,? /A,? A 

Al? T T~ -♦- 1/ I A|f M -¥■ Ci\^ 1? -h Aia W] 

dt \Aiî»/ V ? ^ fs I 

/A,? /A,? \ /A,^ , /A,«5 , 



w (— Ar 



•f a / ? 



et, par conséquent, en réduisant et divisant tous les termes par 
le facteur Ai?» nous aurons définitivement la première des trois 
équations suivantes 

A,p 
1 c/ / t? \ /Al? , /A|.f ^ /A,a , V 

^ \ di \Aif/ «f ^ ^ A,tf 

W 



M 

? 


-t- 


1; 

? 


-t- 


f 


/Al? , 

• 


- 


/A,f , 


-H 


/A|cr 


/Al? , 


-♦- 




-♦- 


/A|a 



— H tt* -♦- r* H — U?* = 

dt \A,o/ 



A|cr 



les deux autres se déduisant de la première (sauf interversion 
des termes) par la simple permutation des trois surfaces coor- 
données, puisque les trois équations (5), ainsi que les différentes 
formules dont nous avons fait usage pour les transformer, se 
déduisent elles-mêmes suivant cette loi. 

Telle est la forme simple et élégante, que nous proposerons 
d'adopter dans le cas le plus général, pour les équations du 
mouvement d*un point matériel en coordonnées curvilignes, 
exprimées en fonction des vitesses et de leurs dérivées par rap- 
port au temps, de préférence à toute autre à cause de sa parfaite 
symétrie, qui la rend assez facile à retenir. Mais nous croyons 
néanmoins devoir faire connaître encore les deux autres formes 
que Lamé donne aussi à ces mêmes équations, et qui peuvent se 
déduire également assez facilement des deux formes précédentes. 




12. 



— 304 



du 



Tout d'abord nous développerons de nouveau la dérivée ^ 
d'après la valeur (3) de u, ainsi qu'il suit 



(U dl\ ' ' dt 



_ . d', df r/Ar V 

^' '^lê'^dû'dr 

A| v.-r; 7- «A, > 



dt 



dt 



et par conséquent, en ayant égard à la même valeur de ti et à 
l'expression (6), 

du d\ I /A,y ^^,'f . ^^i? \ 
--=^ A, f-7\ — M Aj? — u -f- A,/* r -f- AjCT tu . 



f// 



f/(^ 



expression que nous pourrons encore écrire, si nous supposons 
les trois surfaces coordonnées isothermes, ce qui est le cas le 
plus fréquemment considéré, en vertu des formules (79), (71) 
et (59) de notre Mémoire : 



du 



dh 



— =Ar*? - 
dt * Uli' 



u 



1 \ u -\ t? -h , W\ 

_\R, rJ r; r; J 



Dès lors, en reportant cette valeur dans la première des équa- 
tions (5), elle deviendra 



i rf> r/ 1 1 \ I I 

i,'fdt^ \\}\i rJ r; r; 



M) 



V W 



y* w* 



r; r;/ r. r, 



-u, 



et en ordonnant, nous aurons définitivement la première des 
trois suivantes 



1 d^f 



A, 'r dt* 

1 dh 

^ ^ Ai^dt^ 

\à^'dF 



-[( 
[( 



1 1 

4- ^ I M' 



Ri R. 

1 1 

— I — j v 

r; r; 



k; r; 



i>' w'i r/ 1 n V wi „ 

-. — i-;r- -+-2« —H — « H 1 — =11, 

R. R,j L\R. R./ Ri r;J 

— h— -+-2» — I )v H 1 — =V, 

r; r;J [W, h;/ rï r,J 
r;-^r;J-"'«'|.(r;"r;)«'-^r;-r[J=^^' 



— 305 — 13. 

qui ne sont, sauf interversion des termes et introduction pour In 
symétrie d^un terme ajouté et retranché à chaque équation, autre 
chose que la première forme des équations de Lamé, c*est-à-dire 
les équations (6) du § LXXIX des Leçons sur les coordonnées 
curvilignes (p. 145). 

Si, enfin, dans la même hypothèse des trois surfaces coordonnées 
isothermes, nous multiplions les trois équations (7) respective- 
ment par Aj'^, Ai^, At^zr, puis que nous remplacions dès lors les 
coefficients des carrés des vitesses par leurs valeurs tirées des 
formules (79), (71) et (59) du Mémoire (pp. 90, 83, et 70), 
elles se transformeront immédiatement dans les suivantes : 

'^•".^{Ï;)-[(5;*^)"'*S;"**5;''']-*- 

qui sont de même, sauf interversion des termes, celles que 
Lamé présente comme seconde forme, sous le numéro (19), au 
§ LXXXIX de l'ouvrage déjà cité (p. 162). 



9 

Equations du mouvement en fonction des coordonnées elles- 
mêmes. — Mais replaçons-nous de nouveau dans le cas le plus 
général, c'est-à-dire ne supposons plus que les surfaces coordon- 
nées appartiennent toutes trois à la catégorie des surfaces iso- 
thermes, et poussons maintenant jusqu'au bout la solution de la 
question que nous avons entreprise. 

En eiïet, bien que les équations (7) que nous avons présen- 
tées nous paraissent préférables à celles de Lamé, principalement 
au point de vue mnémonique, elles ne rempHssent pas encore 
complètement le but que nous nous étions proposé, à savoir de 
former trois équations différentielles du second ordre entre les 
trois inconnues cp, ^l^^m seulement, et le temps comme variable 
X. 20 



V 



14. — 306 — 

indépendante. Il reste donc encore, pour achever la solution, 
à remplacer dans ces équations u, v^ w par leurs valeurs (3), et à 
développer ensuite les trois dérivées qui figurent dans leurs 
premiers membres. Celle de ces dérivées qui entre dans la 
première équation se développera ainsi de la façon suivante, 
eu égard à la valeur (3) de u : 



dt\A,fl di\ ' ^' dl) ' ^\W ■*■ di 



dt 



* * ^'f df[i^;^ydf A^^odi A,"*s) da\ 
^' dt* dt\ f dt i, dt o dtl' 

D'autre part les termes, qui contiennent les carrés des vitesses 
dans la même équation, peuvent eux-mêmes être transformés par 
la substitution des valeurs (3) de la façon suivante 









2L f \dtl '^ V [dtl "^ y [dtl y 



en sorte que, par la substitution de ces deux dernières expres- 
sions, la première équation (7) se transformera définitivement 
dans celle-ci : 



' ' dt* '^ dt[ f dt "*" ^ dt '* a dtl 

2[ ^ U/ "*" ç> [dt) '^ f U(/ J""A,'/ 

Pour écrire ces trois équations, nous poserons donc, en vue 
seulement de simplifier l'écriture, 

(8) H = ArV, ^ = àj\, J^Ar'a, 



— 307 — 15. 

et avec ces notations, les équations différentielles du mouvement 
d'un point sous leur forme définitive seront les suivantes: 

,^]d\ d^iKd^ Kd^ Kda\ i\\i(d?y Kfd^y jidayi ._ ^ 

cPo dfslS d> }_dp J (/p\ l_rH/rf?\' K/r/A« J /«^oVl^ . ^ 
di^'*'î/r\7 dt'^^ dt'^Z dil'~'^lû\dt) "*"â\</7/ '*'ÔU7r/ J" ** 

Telle est la forme d'équations du mouvement que nous pro- 
poserons donc de substituer aux différentes équations de Lamé, 
que nous venons successivement de passer en revue ; la ques- 
tion importante que nous allons traiter dans le paragraphe sui- 
vant suffira à montrer combien cette forme est d*un emploi facile 
et se prête commodément aux applications qu'on en veut faire. 
Mais auparavant, à titre de vérifications des calculs qui précè- 
dent, nous allons nous proposer de retrouver par le moyen de 
ces équations Tintégrale des forces vives. 

Pour cela il suffira de multiplier respectivement ces trois 
équations par rf(p, d\p, dm et d'ajouter, en remarquant que les 
premières parenthèses de chaque équation sont respectivement 
les dérivées totales ^ > -5^ > ^ » et réunissant par colonnes verti- 
cales les termes contenus dans les secondes parenthèses, car Ton 
obtiendra en opérant ainsi 

2\d(/ dt ^\dtl dt "lUtl dl A,?> A,^ ^^fs 

c'est-à-dire simplement en réduisant: 



-*-J 



»- - — — r/e= Udw -^Vrfn'-f-VV(//4 '. 

di dt* 'iUll dt] 



M 



16. — 308 — 

Or le second membre représente évidemment, d'après les 
théorèmes connus de la Mécanique, le travail élémentaire de la 
force qui sollicite le point, travail qui aurait pour expression en 
coordonnées planes 

Xdx H- Xdy -i- Zdz = rfF(x, y, z), 

en admettant qu1I existe une fonction des forces. Si Ton imagine 
ce même travail élémentaire exprimé en coordonnées quelcon- 
ques, on aura donc de même 

(1 0"') Vdn H- \dn' h- Wr/n" = rf^(?, ^, a), 

la fonction ^procédant de la fonction F parla simple substitution 
à la place des variables x, y, z de leurs valeurs données en 9, 4^ 
et -ST. Dans ces conditions les deux membres de Téquation (10) 
sont bien ainsi des différentielles exactes, et Ton a en intégrant 

équation dont le premier membre peut s'écrire successivement, 
eu égard aux définitions (8) des symboles H, K, J et aux va- 
leurs (3) 

ce qui donne bien, en reportant cette valeur et supposant la 
constante C déterminée par Pétat initial, Téquation connue des 
forces vives 

(1 2j - (u* H- v« H- u?«) = g(f, ^, o) ^ c, 

car tel est bien le résultat auquel on fût arrivé en calculant d*abord 
cette intégrale en coordonnées rectilignes, et la transformant 
ensuite en coordonnées quelconques. 



— 309 — 



17. 



Autre procédé direct pour établir les mêmes équations. — 
Nous avons cru devoir, avant d*établir la forme d'équation pré- 
cédente que nous proposons d'adopter pour les équations du 
mouvement, et dans le but d'exposer loyalement l'état de la 
question, faire connaître les différentes formes que Lamé leur 
avait antérieurement données, et la moitié du chemin se trouvant 
ainsi faite, partir de celles-là pour arriver dès lors rapidement à 
celles qui nous appartiennent en propre. Mais nous eussions pu 
tout aussi facilement établir directement celles-ci, sans passer 
par aucune des équations de Lamé, et cette voie nous eût per- 
mis d'obtenir du même coup deux autres formules importan- 
tes, qui ne se trouvent pas dans Lamé, à savoir celles qui font 
connaître la grandeur et la direction du rayon de courbure 
d'une courbe quelconque, dont l'équation est supposée donnée 
en coordonnées curvilignes. 

A cet effet, rappelons d'abord quelques formules que Ton 
trouve dans tous les traités d'analyse, relativement au système 
orthogonal considéré; savoir, en premier lieu, celles-ci : 



(13) 



X 
X 



X a 



? y 


z 9 

f - 


^ y 




y a 
is y 


z T3 
- = J — , 

a Z 



qui résultent immédiatement des neuf relations 



XyX^XcT y^ yp yu Zf z^ Za 

f X p X uX yX ^-X aX fX ^ X aX 

M^^< ^^ ^ ^^ -X. ^^ n •Vï' y^ y« - «? ^"P ^"^ ,, 

(\^)\ --->■ 1 =0, h---f---=l, 1 1 =0, 

fy py ay yy ^y ay fy ^y ay 

Xf Xip Xo yf y^ yu Zf Z^ Za 

H--H---=0, 1 -»---t=0, 1 1 =1, 

\ y Z 'p z a z f Z rp Z rs Z '^ Z p Z n Z 



18 — 3iO — 

que Ton obtient elles-mêmes en différentiant les trois équations 

(15) x = /;(f, ^ct), y=A(?, *, c), 2 = /i(?, *, «), 

qui définissent le système en coordonnées curvilignes, puis sub- 
stituant aux différentielles df, di//, dm leurs valeurs 

d'f = - (ix -^ - dy -¥■ - dz, dtp= -dx-^ -dy-^- dz^ 

X y z X y z 

f/c= - ax -H - rfw -♦- - dz, 
X y z 

et identifiant enfin les coeflieients des différentielles arbitraires 
dxy dy, dz. En effet, si Ton ajoute les trois équations de la 
première colonne de ce dernier système, multipliées respective- 
ment d'abord par ^»->^, puis par^»|»^, puis enfin par|»^»j^ 
en ayant égard aux conditions connues d'orthogonalité du sys- 
tème, qui figurent sous le numéro (48) dans notre Mémoire sur 
la courbure des surfaces, il viendra simplement : 

(16) -Aîi. = ^ 

9 X 

équations qui, en ayant égard à notre définition (8) des quantités 
H, K, J, sont précisément celles de la première colonne (13), et 
Ton obtiendrait celle des deux autres colonnes par un procédé 
analogue. 

Rappelons en second lieu ces autres formules, qui se déduisent 
immédiatement des précédentes, savoir 





X .^ o 


-Aîa=-, 


^ X 


o X 






XX V V ^ ^ 
H^--4- — «=0. 

XX V V ^ ^ 

U f U f U f 

XX V y ^ ^ 

-- -^-- H =0, 



— o\\ — 19. 

dont les trois premières s obtiennent en élevant au carré et 
ajoutant les trois équations de chaque ligne horizontale (13), et 
les trois autres en prenant deux à deux les différentes lignes 
horizontales, multipliant entre elles les équations de même 
colonne, et ajoutant en ayant égard aux conditions d'orthogona- 
lité précitées (48) du Mémoire. 

On obtiendrait également les mêmes formules, en remarquant 
que les trois équations (1 6) que nous venons d obtenir permettent 
d*écrire Texpression des trois cosinus X, X', l'\ sous la forme 

\ Y X , i ^ X i Vf X 

A=- = A,j.-, l =- = A,|-, ^"«^T = A,!r-, 

A|» X V A|fx -i A,ox CT 

et agissant de même pour les six autres, on aura pour les neuf 
cosinus les nouvelles expressions 



(18) 



' r 
1 


< 


'j = A,y -, 









• " \ '•A*' ''A 

CT O CT 



lesquelles étant substituées dans les six relations 

A« H- ^« H- v« .-^1, ;; X"^. A*' A." + •/ v"= 0. 

A'* -^ /t*'- H- v'« = 1, X"A H- ^'V + •/'v = 0, 

A"*-4- ^'^H- v"*= 1. A ;.' ^- ^ ^' H- V / = 0, 

fourniront précisément les relations ci-dessus (17), que nous 
venons de rappeler. De ces deux séries de relations, celles de 
la colonne de gauche peuvent être substituées, comme nouvelle 
définition, à celles précédemment admises pour les quantités 
H, K, J, et celles de la seconde colonne aux relations (48), de 
notre Mémoire, comme conditions d orthogonalité du système. 
Ces préliminaires admis, considérons un point mobile, dont les 
coordonnées, de quelque nature qu'elles soient» seront supposées 



20. — 312 — 

des fonctions déterminées d'une variable indépendante que nous 
appellerons s, sans lui attribuer pour Tinstant de signification 
concrète; puis, envisageant les dérivées secondes ^ir' rf^' a^ 
comme représentant en grandeur et en signe les composantes 
suivant les axes rectilignes des x, des y et des z, d'une certaine 
droite définie de cette façon en grandeur, direction et sens, for- 
mons Texpression des composantes de cette même droite suivant 
les normales aux trois surfaces coordonnées 9, 4^ et t«r. Si Ton 
convient de désigner U, V, W ces nouvelles composantes, il est 
clair qu'elles auront pour expression 



(lî)) 



[ (Px (l'^y d'z ;d\x ,d^y //^z 

) ds" ^ds' ds^ j/.e ds^ ds* 



ils* 


•4- 


d'y 

^ ds' 


-»- 




v_ 








W — 


X' 


d^x 


,,'^y ^ 
" ,/«' ^ 





c'est-à-dire, en remplaçant les neuf cosinus /,fjt,v, /', fx',v', X", fx",y", 
par leurs valeurs ci-dessus (18) : 

. /x rf*x y (i'v z d^z' 

\yirfs* -f ds^ y ds^> 

1 Ix d^x y d^ii z (Pz\ , 

Ix d^x y rf*v z dh\ 

\o7/5* o.r/s* rsdS^J 

Or, si l'on suppose résolu par rapport h x, y^z le système des 
trois équations 

f(x, y, z) = f, ^ (x, y, z) = <^, ct(x, y, z) = cr, 

qui définit le système des coordonnées curvilignes, c'est-à-dire 
si l'on part des formules de transformation inverses 

^ = fi (?, h o), y = /;(?, ^, o), ^ = /i (?, «/', cr), 

et qu'on les différentie par rapport à la variable indépendante s, 
Ton aura par une première différentiation 

dx X , a: X , dy y ^ y y ^ dz z ^ z z 

a^f^T7 as f ^ u ds f ^ a 



— 343 — 2i. 

(p', v//', tir' désignant les dérivées des trois coordonnées (p, ^, tir, 
par rapport à s; puis une seconde différentiation nous donnera, 
pour la première de ces trois dernières équations en particulier 

d*x X , X X /x* X* , x* \ 

— T-=-f H ^ H o "^ l~ï? "^ ^ "^ ® J? 

OS ^ tf o \j> yO» fa / 

/X* , X» xM , /*' , ^' , *M 

et, par conséquent, en calculant de même pour les deux autres 
équations, et réduisant, on aura les trois expressions : 

d^x XXX X* X* X* X* X* x^ 

y-ss-ç) -+- — (^ -t--o -H—ç» '-f- — ^ '-+--- CT '-+-2 — 1|> cr -+-2 — o ç> -Hz — j» ^ , 
as f '^ o y -f o ^zs vjf ^ 

(21) ( 7^=~? H — ^ -♦--a H — -ç>M-— -if -♦---a*-l-2 — 4» o -f-2 — ct ç? -h2 — f <!» , ^ 

d*z Z Z Z 2' Z* Z* Z' Z' z* 

—-==: — y -♦--(// -+- — a -+- — f -♦---^'H — -a M-Z — <^ CT -H2 — o^-+-Z — f> f , 

lesquelles étant multipliées toutes par A|(p et respectivement par 
^' »' I' P^'^ ajoutées, donneront, en ayant égard aux relations 
(17), pour la première des expressions (20) : 

1 Vf o f o 3» or / \9 tfo y (^a <f ^ul 

Ixx^ yy" X2*\,, o/^** V!/' «*'\ ,,,1 

H-2 ^ 1 lof -+-21 1 1 !?</' . 

Or, de ces six relations (17), d*une part, la première de la 
colonne de gauche étant différentiée successivement par rapport 

à (p, \//, isr, donnera 

(2a) ', 






22. — 3U — 

tandis que les deux autres de la même colonne» étant différen- 
liées par rapport à cp, donneront : 



K ixx' y y- z z^ 






D autre part, la seconde éq^iation de la colonne de droite étant 
différentiée par rapport à m, et la troisième de la même colonne 
par rapport à ^, donneront 

^ ^* .y y* ^ ^' ^ ^^ y y' ^ ^^ 

--4-' -H -H 1 1 =0, 

^o yc3 ^CT a^cT cr^o vs 9zs 

X X* y t/* z z* X x' w y* z z^ 
ou, en multipliant par 2 et ayant égard aux deux précédentes : 

/^.v ^(^^^ y y' ^2'\ J /^«* vv" zz''-\ K 

Enfin, si Ton pose un instant pour abréger 



(25J 



L = 


X 


X" 




y ,y* 




Z 


Z' 


= — 




-H 




-4- 


— 


— — 




? 


^u 




? 'f^ 




f 


^X3 


m« 


X 


X* 




.y y* 




Z 


z* 


M = 


^ <•- 


— 


-*- 




-♦- 


— 







«^ 


»? 




fp Uf 




V 


JSf 


N = 


X 


x' 




y .y* 




z 


z" 


= — 


-— 


-♦- 




-♦- 


— 






tJ 


ç,^ 




a î»*// 




a 


?^ 



et que Ton différentie les trois équations de la colonne de 
droite (17) respectivement par rapport à cp, ^ et m, il est clair 
que Ton obtiendra pour résultat 

équations, qui, en retranchant chacune de la somme des deux 
autres, équivalent évidemment à celles-ci : 

(26) L = 0, M=0, N = 0. 



315 - 



23 



Dès lors, fn tenant compte des égalités (23), (24), (25) et (26), 
Texpression (22) de la composante L' deviendra 



(27) 



U = A.,^H, H----, ---..f ~--. ^-.,^-,,J^ 



1 H 



OU en ajoutant et retranchant pour la symétrie le terme | -^9'^, 
et remplaçant A^f par sa valeur en fonction de H, on aura la 
première des trois formules suivantes 



U 



(28) 






W=J i 



•[^"" -(; 



H 

— a 


•A 


H 

CT 


■■)^' 


K 

-? 
? 




K 

-H -a 
o 


-')+' 


J 

- f 

9 

S 


/-^-f 
* 


-h-c 


.')o' 



2\f » ? 'j 



les deux autres se déduisant de la première par la simple permu- 
tation circulaire des trois groupes (U, V, W),(H, K, J),(<p, ^, m), 
du moment que toutes les formules sans exception, dont nous 
avons fait usage pour y arriver, subsistent en s'échangeant 
simplement entre elles par cette triple permutation. 

Si Ton remarque que Ton a évidemment, en désignant par 
H', K', J' les dérivées de H, K, J par rapporta la variable s 



? 



H , H , 



K K K 

? 4> ^ 



on pourra écrire les trois formules qui précédent sous la forme 
abrégée : 

u = H « ; © * H J/ * -♦. - CT * 



(29) 



iVdiK^') 1 /H , K , J ,\1 
L ds itX^ ^ -p ^ I _ 

\_ as ' 2 \cr CT CT /^ 



24. _ 316 — 

Le résultat purement analytique que nous venons d'obtenir 
est susceptible d*une double interprétation , mécanique d'une 
part, ou simplement géométrique d'autre part. 

Pour la première, imaginant que le point mobile considéré 
est un point matériel, c'est-à-dire une masse soumise à Faction 
de forces données, on remarquera qu'en prenant le temps pour 
la variable indépendante s, les valeurs (19) des U, V, W sont 
précisémentcelles des composantes de son accélération suivant les 
normales aux trois surfaces coordonnées. Les expressions (28) 
ou (29) que nous venons d'obtenir seront donc celles de ces 
mêmes composantes, exprimées à l'aide des coordonnées curvi- 
lignes (p, v/;^ vT du point matériel et de leurs dérivées par rapport 
au temps, et conséquemment il suffira, conformément aux théo- 
rèmes fondamentaux de la dynamique, de supposer que dans ces 
mêmes équations (28) ou (29), U, V, W soient remplacées par 
les composantes données suivant les mêmes directions de la 
force qui sollicite le point matériel, rapportée à l'unité de masse, 
en y écrivant en même temps ^ à la place de «, pour avoir pré- 
cisément les équations différentielles du mouvement de ce 
point en coordonnées curvilignes. On retrouve bien ainsi, en 
multipliant les trois équations (28) respectivement par H, K, J, 
notre système d'équations (9), que nous nous étions proposé 
d'établir directement, sans passer par les formes antérieures dues 
à Lamé; et en traitant de même les trois équations (29), et 
substituant en même temps ti, v, w à leurs .valeurs (3) et à H,K, J 
leurs valeurs (8), on retrouve semblablement les équations (7). 

Expression du rayon de courbure d'une courbe donnée en coor- 
données CURVILIGNES. — Théorêmes DE Lamé. — Pour la seconde 
interprétation, nous envisagerons le point mobile dont les coor- 
données sont (p, v//, tî7, comme un simple point géométrique, 
destiné à engendrer par son mouvement, indépendamment de 
toute considération de temps ou de force, une courbe déter- 
minée, supposée définie, à l'aide de la variable auxiliaire s, par 
trois équations de la forme : 

(30) ?=?(<), 'P^^(S), o = a(5). 



— 317 — 25. 

Si maintenant nous choisissons expressément pour cette varia- 
ble auxiliaire s Tare de la courbe elle-même, compté à partir 
d'une origine fixe sur cette courbe, et que nous convenions de 
représenter la courbure en chaque point de la courbe par une 
droite dirigée suivant le rayon de courbure et égale en grandeur 
à rinverse de ce rayon, les trois composantes de cette droite 
représentative suivant les trois axes rectilignes des x, des y et 
des z auront, comme Ton sait, pour expression respectivement 
~, ^, ^, et conséquemment les valeurs (19) de U, V, W 
exprimeront les trois composantes de la même droite suivant les 
normales aux trois surfaces coordonnées. Si donc Ton suppose 
les équations d*une courbe quelconque mises sous la forme (30), 
les expressions (29) seront celles des composantes de la courbure 
suivant les normales aux trois surfaces coordonnées, et par con- 
séquent, les trois cosinus directeurs de la normale principale à 
la courbe, ou du rayon de courbure, et la grandeur de la cour- 
bure auront respectivement pour valeurs 

U V W 

cosa = — » cosp= — , cos>^ = 



V/U» H- V* -♦- W« v/U* -+. V* -f. W* l/U* -+. V* H- W 

1 



R 

formules dans lesquelles U, V, W représentent pour abréger 
les expressions (29). 

Telles sont donc les formules qui donneront le moyen de 
déterminer directement, sans être obligé de revenir aux coor- 
données rectilignes, la grandeur et la direction du rayon de 
courbure d'une courbe, dont Téquation sera donnée en coor- 
données curvilignes. Ces formules correspondent donc exactement 
aux formules usuelles relatives aux coordonnées rectilignes 

(Px d^y (Pz 

as* as* as* 

qui nous ont servi de point de départ pour arriver à celles-ci, et 
avec lesquelles elles se confondent visiblement, lorsque le 
système des coordonnées considéré se réduit aux coordonnées 



26. - 318 — 

rectilignes, c'est-à-dire lorsque l'on fait ? = x, 4^ = y, w = z, 
puisque Ion a dans ce cas, comme l'on sait, H = K = J = 1 . 
Nous verrons dans le paragraphe III une importante application 
de ces formules. 

Pour rinstant, nous ne voulons, comme exemple de leur 
utilité, qu'en envisager trois cas très particuliers, qui nous con- 
duiront immédiatement à deux théorèmes élégants formulés par 
Lamé, au sujet des courbures d'un système orthogonal, et 
démontrés par lui au moyen d'une méthode toute différente. 

Considérons dans ce but, pour leur faire l'application des 
formules qui précèdent, les courbes d'intersection des trois 
surfaces coordonnées entre elles, lesquelles, d'après le théorème 
de Dupin, ne sont autre chose que les lignes de courbure de ces 
mêmes surfaces, et désignons respectivement par (U), (V), (W) ; 
(13'), (V), (W); (U"), (V"), (W"), les expressions particulières 
des fonctions U, V, W, qui sont relatives à ces trois courbes. 
Les équations (30) qui correspondent à la première intersection, 
c'est-à-dire celle des surfaces v// et m, sur laquelle la coordonnée 9 
seule varie, étant de la forme 

f = f («), tf = const, CT = const, 

d'où l'on conclura, par la formule déjà rappelée {W'*) de notre 
mémoire, 

(/s = fin = -I- = H^/jP , 

donneront par conséquent 

(If -i 

et par suite les expressions (29) de U, V, W seront pour cette 
courbe 

(U, =.„ :ri^)_l»H-.l=H-:riH-:5^-?-iH-lîl=o, 

^ ' l ds 2 y J l'i fdH 2 ?J 

1 . r < H „1 I ... H I , m 

j(V)=K.[---,"J=--K-m-.-=--K-^-, 



(W 



m 



/ 



— 3i9 — 27. 

La première de ces valeurs exprime^ comme cela doit être, que 
le rayon de courbure est situé dans le plan normal de la courbe, 
et les deux autres déterminent la grandeur et la direction de ce 
rayon dans ce plan, en exprimant dès lors que la courbure 
proposée est simplement la résultante des deux composantes (V) 
et (W), dont nous venons d'écrire les valeurs. Or, si Ton se 
reporte à Texpression des six courbures principales du système 
orthogonal, dont nous avons déjà fait usage, et que nous avons 
donnée après Lamé sous le numéro (59), (page 70) de notre 
Mémoire sur la théorie de la courbure des surfaces, et si Ton 
remplace dans ces expressions les trois paramètres A|? A|^/^, A^t? 
par leurs valeurs H""", K""", J~"*, ces mêmes expressions deve- 
nant alors 

I 1 o l 'K \ 1 „ . /J 1 1 . , /H 

Ri 2 Y r; ^ ^ r; -2 o 

i i , /J 1 I . /H I 1 . /K 

.- = -H-i— . — = -K-.— , _ = _j-î — , 

\ Rj 2 y R; 2 ^ R; 2 tr 

on voit que Ton aura en particulier, en désignant par R le rayon 
de courbure de la première courbe : 

(U) = o, (V)=--^,' <^^="-ïï;' 

'' *(ir-,v,.,w,J(i)'.(i)-. ■ 

On trouverait exactement de même pour Parc d'intersection 
des surfaces m et 9, et son rayon de courbure R', 

(33) (V') = 0, (W') = -^., <^') = -^' 

;i)-_,wo..,u.,:(i)'.(ir; ■ 

et enfin pour le troisième arc, intersection des surfaces 9 et '^ et 
son rayon de courbure R" : 

(34) (W") = 0, (U") = -J' ^^"^ = "F' 

(i)-_,„.,.,v,L(<)-.(i)-, • 



28 — 320 — 

résultat remarquable que Lamé formule en théorème, à Taide 
des dénominations introduites par lui (que nous relatons égale- 
ment dans notre mémoire, pages 86 87), en disant que : 

TnÉonÉME 1. — « La courbure propre^ de l'arc d'intersection 
de deux quelconques des surfaces du système est la résultante 
des deux courbures principales du système conjuguées suivant 
cet arc » ; ou inversement : « les deux courbures du système 
orthogonal, conjuguées suivant un des trois arcs d'intersection 
des surfaces j sont les composantes de la courbure propre de 
cet arc » (*). 

Si de plus on considère à présent les angles formés par les 
trois normales principales à ces mêmes arcs d'intersection entre 
elles, ou ce qui est la même chose par les trois rayons de cour- 
bure, et que Ton désigne par u Tangle de R' et de R", par tù' 
celui de R" et de R, et par u" celui de R et de R', ayant pour 
le cosinus du premier de ces angles par les valeurs des compo- 
santes (33) et (34) 

(U')(U") -^ (V')(V") -f- (W')(W") 



cos« = 



i 



R'R" 

il est clair qu'en permutant les trois surfaces, on aura les trois 
valeurs 

R'R' , , R'R , RR' 

C0Sea=3b , COS«=±: , COS « ' = zb , 

R.R/ r;r; RiR,' 

qui multipliées entre elles donneront la relation 

R'R*R'* 



ces « ces «' ces ^" = dr 



R|R|Ri . RjiRjRj 



(*) Lamé, Leçons sur les coordonnées curvilignes, % \ XXVI II, page 65. 




— 32i — 29. 

de laquelle on conclura iminédiatemenl ce second théorème 
également formulé par Lamé : 

Théorème II. « Lorsque deux des trois normales principales 
des arcs d'intersection des surfaces du système deux-à-deux 
feront entre elles un angle droite une des six courbures prin- 
cipales du système sera nécessairement nulle^ ou réciproquemen ?, 
lorsque Fune des six courbures principales du système sera 
nulle, si en même temps l'une des trois arcs d'intersection n'a 
pas son rayon de courbure infini, deux des trois normales 
principales de ces mêmes arcs feront entre elles un angle 
droit . (*). 

Un dernier mot avant de revenir au mouvement d'un point en 
coordonnées curvilignes. 

Le procédé de double interprétation, mécanique et géomé- 
trique, qui nous a permis de tirer des mêmes formules (28) 
et (29), à la fois une expression des composantes de la courbure 
d'une courbe quelconque, et une forme corrélative des équations 
du mouvement d'un point matériel, peut évidemment être 
appliqué à Tune quelconque des formes de ces dernières équa- 
tions que nous avons successivement passées en revue, et 
fournira pour chacune une forme correspondante des compo- 
santes de la courbure, à la seule condition d'y remplacer t par 5, 
et par conséquent, en vertu des formules (3), t<, t;, u^, respec- 
tivement par 

^ à? ..î, i d^ *., i d. i 



aifds iiiiias A|oa« 



o . 



En particulier les équations (7*") de Lamé, que nous avons 
établies pour le cas du système triplement isotherme, fourniront 



(*) Lamé, ibidem, S XLI, page 70. — L'énoncé réciproque que nous formulons ne se 
trouve pas, nous ne savons pourquoi, dans Lamé, bien qu'il constitue exactement, au 
même titre que le précédent, l'interprétation en langage ordinaire de la formule ci-dessus. 

X. 21 



50 



- 322 — 



\ 



ainsi dans ce même cas, pour l'expression des composantes de la 
courbure d'une courbe quelconque, définie par les équations (30), 
cette nouvelle forme très symétrique, dans laquelle figurent les 
six courbures principales du système coordonné, 



1 



V = RÎi (Kf ) 












et les formes (5) et (7**'') donneraient naissance à des expressions 
analogues, mais moins simples. C'est pourquoi nous ne les 
récrirons pas ici. 

Extension des mêmes formules a un système de deux coor- 
données SUR UNE SURFACE QUELCONQUE. — Lcs formulcs qui 
précèdent seront très commodes pour résoudre les deux questions 
connexes du mouvement d'un point matériel sur une surface 
donnée, ou de la détermination du rayon de courbure d'une 
courbe située sur une surface donnée, toutes les fois que cette 
surface sera susceptible de faire partie d'un système triple 
orthogonal, car on n'aura pour cela qu'à prendre ce système 
orthogonal pour système coordonné, de telle sorte que la surface 
donnée devienne celle de la famille au paramètre m qui cor- 
respond à une valeur particulière wq de ce paramètre. La 
troisième coordonnée étant ainsi constante et donnée, la solution 
de l'un ou l'autre problème sera dès lors fournie, suivant le 
mode de double interprétation que nous avons indiqué, par les 
trois équations (29), dans lesquelles on aura fait à la fois 



o = cro; 



dt 



= 0, 



— 323 — 31. 

et dont les deux premières se réduiront par conséquent dans le 
cas actuel simplement aux suivantes : 

"" ! — 1^-î("'-r-)]- 

Il nous reste à montrer que ces deux dernières formules 
subsistent indépendamment de Texistence du système triple 
orthogonal, en sorte qu'elles fourniront toujours la solution des 
mêmes problèmes (*) pour une surface donnée absolument quel- 
conque^ sans qu'on ait besoin de connaître un système triple 
orthogonal auquel on puisse la rattacher, ni même qu'on soit 
astreint à la supposer susceptible de faire partie d'un pareil 
système, condition qui exige, comme l'on sait, d'après un théo- 
rème important du à M. Ossian Bonnet, la vérification d'une 
certaine équation aux dérivées partielles du troisième ordre. 

En effet, quelle que soit la surface donnée que nous repré- 
senterons encore par analogie par zor (x, i/, z) == 0, on pourra 
toujours supposer tracées sur cette surface deux séries de courbes 
orthogonales entre elles, comme le seront par exemple les deux 
systèmes de ligne de courbure, et prendre les paramètres 9 et ^ 
de ces deux systèmes pour coordonnées d'un point quelconque 
situé sur cette surface. Ayant ainsi entre les trois coordonnées 
rectiligne s de l'un de ces points et ces nouvelles coordonnées les 
trois relations 

o{x, y, r) = 0, f (x, .V, z) = f . ^ (x, y, z) = Or, 

dont la première n'est autre par hypothèse que l'équation même 
de la surface donnée, et les deux autres les équations corres- 
pondant isolément à chacune des deux familles de courbes 



(*) En y joignant, pour le second problème, l'expression de la troisième composante W, 
que nous indiquons un peu plus loin. 



52. — 324 — 

choisies, on pourra toujours en résolvant le système de ces trois 
équations par rapport à x, y, z, le supposer mis sous la forme 

(36) x = /;(?,^), y = /t(?,*), ««=/i(?,^)» 

laquelle ne difTère pas de celle que Ton avait à considérer tout 
à rheure, dans Thypothèse d*un système triple orthogonal dont la 
surface donnée fit partie, en attribuant dans le système (15) à la 
coordonnée m la valeur constante donnée mQ, 

Dès lors on voit d^une part, qu'en partant de ce dernier 
système (56), les équations (14) subsisteront encore, sauf que les 
termes qui contiennent les dérivées relatives à m n y figureront 
plus. On en déduira donc exactement comme tout à Theurc 
les deux premières équations (16) et leurs homologues, c'est-è- 
dire les deux premières lignes horizontales (15), desquelles on 
déduira encore exactement de la même façon les trois suivantes, 
empruntées au groupe (17), savoir : 

-.-■,-(:)V(!)V(:)-. K-, v=(J)Vg)V(i)*. 

(37) l . . r 

XX y y z z 

D'autre part, on pourra envisager les trois équations (36) que 
nous venons d'écrire comme représentant isolément à volonté 
l'une ou l'autre des deux familles de courbes considérées sur la 
surface, à la condition d'y regarder comme une constante celui 
des deux paramètres 9 ou 4^ qui lui est relatif, et l'autre comme 
une variable auxiliaire, analogue au temps ou à l'arc de courbe, 
en fonction de laquelle les coordonnées d'un point quelconque 
à la courbe sont exprimées, et qu'il y aura avantage, dès lors, par 
une raison évidente de symétrie, à prendre pour variable indé- 
pendante dans tous les calculs relatifs à cette courbe. 

Avec ce mode d'interprétation, il est clair qu'en un point 
quelconque situé sur la surface, les deux tangentes aux deux 
courbes coordonnées qui s'y rencontrent, auront des cosinus 
directeurs proportionnels respectivement à '• *^' ^ pour la pre- 



' '' ''^''çpJrijrfaritft, #rl de riiéme ilef eosinuf diree- 

1*1*1 \*^^**^ '^ •e^:oridft courlie au para- 
r||«! la variakiif irid^pi;ridan(#; e^t f. Il futt 



*'5i;> 55, 

m/érpcoiirl 

*:* T'. pour /a,., 

^''^^'ï* encore Sr*'^ ci-d«»*iH (37; de II ni K, que ni noun dé»î- 
's/iuée dlai^^ f^ ^r K t^f v kn tutninu* dirvMUturn de la normale 
^^'^te dor . _Jr plan InriK^rril A I21 ninhcA: donnée) à la première 
'^ <aij^' J0l^^. panirn/fln? ^'«l 'f/, normale qui n*e«t autre chose que 
\n\v iî lu muu}wUi courlH! dont le paramétre est 4/ ; et de 
fifir >\ //', v' cm% di* la normale (/*galemenl située dans le 
taoK^'ol h la mijiTik;^!; A In muujuAk i;ourbe au paramétre t^, 
iU*. la irin|(i?nf«' A la pnTmién% ei*H coMinus auront encore, 
'ominr diHiH Ir lablfau MK;, n!Hpi;<;(ivement pour expressions : 



f (riHj 



rio 



'ïiii 



II 



j" 



.1 



Il J-^ 

w ■ • Il - 



y 



y 



1 « 

y II *- 



f 









y 






z 



i!rN rdrnnili'H prrliriiiniiin'N demcurunt donc Iv» mêmes que 
(liiii<( lr<'ii<( du HyMK^nir (»rilii»^onal, les deux prrmièroH formules 
(11)) ot Cid) NiilHÎMirront ^^giilrninil, pendant que les expressions 
(^1) Ne réduiront, en rniNon iW TahMenee de lu vuriublet? dans 
leN ronchons f ^C»)» simplement iiux huivantes : 



(.-.U) 



lin' 






t V 7 

iT J X 



V 



» I 



'f- y I yf 



y 
.1 






LVM|uiilion (42) Me réduira pnr suite henihlablenient » eeile>ei 



V \ 



II, . 






îr*^ 



.— .1 






•t 







34. — 326 — 

dans laquelle les coefficients qui multiplient <p'* eX^p^' conservent 
évidemment les valeurs (23), à savoir 5^-^ et ^» puisque H a 
conservé sa même valeur; et de même, le èioefficîent de ^f^'* aura 
encore sa valeur fournie par la seconde équRption (24), et sera 
par conséquent égal à — j ^» puisque celte seconde équation (24) 
provient uniquement de la combinaison algémDque de deux 
équations fournies par la difiërentiation des dêl^ dernières 
équations (37), dont nous venons d'établir la persislStf^e dans 
rhypothése actuelle. On arrivera donc ainsi, par la subs\^"^^^" 
dans la dernière équation qui précède, à la formule 

r , i H , 1K , H 1 

qui, en ajoutant et retranchant encore le terme ^ - 9'^ et rem- 
plaçant AfÇ par sa valeur H' s fournira définitivement la pre- 
mière des deux formules ci-dessus (35), que nous nous propo- 
sons d'établir dans cette nouvelle hypothèse; la seconde se 
déduisant de la première en y changeant à la fois U en V, H en 
K, et (f en 4^, changement qui laisse subsister toutes les formules 
dont nous venons de faire usage pour arriver à cette dernière, en 
les échangeant seulement parfois avec d'autres analogues appar- 
tenant au même type. 

Les deux formules (35) suffiront dans tous les cas pour déter- 
miner le mouvement d'un point soumis à des forces quelconques 
sur une surface donnée, puisqu'il n'y a alors que deux inconnues; 
mais pour le problème connexe de la détermination de la cour- 
bure d'une courbe située sur une surface donnée, il sera 
nécessaire de posséder, outre les deux composantes U et V 
parallèles à la surface, l'expression de la troisième composante W 
normale à la surface, à savoir 

(Px d*v (Pz 

>", \i'\ v" désignant encore les cosinus directeurs de la normale 



^ 



— 327 — 35. 



à la surface donnée, expression qui s'obtiendra de même en 
remplaçant les dérivées secondes ^> ^'d^ P^^ '^^*^® valeurs 
(39), ce qui donnera en ordonnant par rapport aux dérivées 

?', *', <P". ^" : 

\ f f f I ^ ^ ^ ^ ' 



Or, ayant évidemment entre les cosinus (>", fx", v ') et les 
cosinus (>, p, v), (X\ |[x', v'), qui correspondent par hypothèse à 
des directions situées dans le plan tangent de la surface, les rela- 
tions connues 

s=» py — vp , fi =3 vA — Av , V s= Xfi — ^A , 

lesquelles deviennent dans le cas actuel, en remettant à la place 

1, fi, V, V, p', v', leurs valeurs (38), 



f ? ? ^ ^ ,^ 

;.»=(HK) Jpf-^?^). ^"«(HK)-i(î^-ff), ."=(HK,-Jp-^-?^f). 



on voit qu'en remettant ces dernières valeurs dans l'expression 
qui précède de W, les dérivées secondes (p" et ^" disparaîtront, 
et qu'elle prendra la forme simple 

(40) W - A/* ^ Bf'* -^ 2C/^', 



r 



36. — 528 — 

dans laquelle les coefficients A» B, G ayant respectivement pour 
valeurs 



(41) 






c=-(HK) 









ne dépendent, par suite, que de la surface donnée, et nullement 
de la courbe considérée, qui n'intervient dans cette formule (40) 
que par les deux dérivées <p' et v//'. 

Il est facile de déduire de cette dernière remarque une inter- 
prétation simple de ces coefficients, dans le cas où Ton aura fait 
choix pour les lignes coordonnées des deux systèmes de lignes 
de courbure de la surface, et d'en conclure que dans ce cas le 
troisième coefficient G est encore identiquement nul, tout 
comme dans Thypothèse particulière du système triple ortho- 
gonal, car il suffira dès lors de montrer que pour une courbe 
individuelle, choisie à volonté, ce coefficient s'évanouit. 

Or, considérons dans ce but, ainsi que nous allons le faire en 
détail dans notre troisième chapitre, une des lignes géodésiques 
de la surface. En un point quelconque d'une pareille ligne, 
d'après sa définition même, le rayon de courbure se confond 
avec la normale à la surface, et par suite notre droite représen- 
tative de la courbure se réduit n sa seule composante W, en 
sorte que l'on a alors W = ^ , p désignant le rayon de courbure 
de cette ligne. En vertu de cette même définition le plan osculateur 
de cette courbe étant une section normale de la surface, le rayon de 
courbure de cette section normale se confondra évidemment 
avec celui de la courbe elle-même, en sorte que l'on aura alors 
par la formule classique d'Euler 

\ \ 

(42) - = — cos*u H — jjsin*^. 



\ 




1 






1 


— 


— i 




COS*u 


-f- 




p 




R' 






R 



— 3à9 



57 



R' et R" désignant les deux rayons de courbure principaux de 

la surface au même point, et 
V Pangle formé par la ligne 
géodésique avec Tune des 
lignes de courbure, par 
exemple celle dont le para- 
mètre est 9. Ayant alors 
dans le triangle infinitésimal 
"^ MM^M', dont le côté MM' 
figure réiément ds de cette 
Fij. 1. ligne (fig. 1), d'une part 

MM| = d/i = rfjjcosu, MM' = rfw'=s(fesinu; 




et, d'autre part, dn et dn' représentant par hypothèse la distance 
de deux points infiniment voisins pour lesquels soit 9, soit;// reste 
constant, d'où il suit que Ton a par les valeurs (37) 



T I 



-df 

? 



? 






M^i$' 






-4- - 



Z 

}l J 



rf^« == Hdp« 



df » = Krf^« 



ou en extrayant les racines 



(45; 



dn- l/Hrf?, d/i =l^Kd^ 



on voit qu*on aura en égalant respectivement ces deux valeurs 
de dn et dn', et divisant ensuite par ds : 



cosu = i^H--î = l/H/, 
as 



ds 



et dès lors, en remettant ces dernières valeurs dans l'expression 

(42) de ^ , on aura définitivement pour la ligne géodésique en 
question 

(44) W=i=^,''.l,''. 



(47) 



38 — 330 — 

La comparaison de cette dernière expression de W pour cette 
ligne avec celle fournie par notre formule générale (40) montre, 
les coefficients A, B, G étant, avons-nous dit, indépendants de la 
ligne considérée, que Ton a alors 

(45) A = i B=p, C = 0; 

et, par suite, sous la seule condition de prendre les lignes de 
courbure de la surface pour système coordonné, Texpresçion de 
la troisième composante cherchée de la courbure d'une courbe 
quelconque située sur cette surface sera dans tous les cas 

les coefficients ^, et gr^^qui représentent les courbures princi- 
pales de la surface, résultant de Tidentification des valeurs (41) 
et (45), c'est-à-dire étant définis par les égalités suivantes (*) : 



(*) L'expression de ces rayons de courbure principaux R' et K'\ en fonction des coor- 
données curYilignes f et ^, ne se trouve nulle part dans les Disquisitiones générales circa 
superficies curvas de Gauss, mais il est facile néanmoins de constater l'accord de notre 
théorie avec celle de Gauss, en déduisant de l'expression ci-des* us (47) que nous donnons 
pour les deux courbures principales, l'expression inverse de leur produit k = j^, que 
l'illustre géomètre adopte pour mesure de la courbure de la surface en un point quelconque 
iloc, cit., S 8, théorème V). 

En effet, d'une part nos formules (37) permettent d'écrire le produit HK sous la forme 



\?? fl'l \f^ pi] \f^ f w ' 



— 531 — 39. 

Les formules (35) et (46) déterminentcomplètement la grandeur 
et la direction du rayon de courbure d'une courbe située sur la 
surface donnée et supposée définie par les équations de la 
forme (30). Dès lors pour appliquer ces formules à une courbe 
quelconque tracée sur la surface donnée v (x, y, z) <=» 0, et 
qu'on suppose, en conséquence, définie par une équation telle 
que 

F(î», *) = 0, ou t^ = f(f), 

entre les deux coordonnées 9 et i/; relatives aux deux lignes de 
courbure de cette surface, ayant encore, en vertu des formules 
ci-dessus (43), pour Texpression de Pélément ds de cette ligne 

(48) ds" « dn' -♦- rfn'* = Br/f » -♦- Kdf ', 

on écrira cette dernière équation, en y remettant à la place 
de ^ et d\if leurs valeurs /*(?) et f\f)d% puis extrayant la racine, 
sous la forme 

ds = g{f)drf Hou s -h C ^fg(f)df ; 

puis joignant cette dernière équation intégrale à Féquation 
donnée de la courbe, et les résolvant par rapport à ? et 4^, on 
aura finalement les deux autres équivalentes 



d'autre part, si nous récrivons dans ce but nos formules (4i) et ^47), ainsi qu'il suit : 



X llb G «' H^"HK* «" K^^liK' 



il sera visible que les quantités appelées par Gauss D, D'', D' seront précisément ces nou- 
Telles quantités cil), llii, Q, et que, par suite, la dernière, D' ou Q, sera nulle si l'on prend 
les lignes de courbure pour système coordonné, en vertu de notre troisième équation (45). 

Dès lors il est manifeste que l'expression du produit k — —7 a ^^j^- » qui résulte 
des valeurs précédentes, coïncidera exactement avec celle que donne l'illustre Gauss, à 1» 
fin du 9 iO de l'ouvrage cité. (Gauss Wercke, Bd. IV, pp. £U.) 



40. — 332 — 

qui, conjointement avec féqualion de la surface supposée mise 
sous la forme (36), et les expressions (37) qui en résulteront, per- 
mettront alors Tapplication immédiate de nos formules (35), (46) 
et (47), et fourniront Texpression des composantes de la cour- 
bure cherchée en fonction des seules coordonnées curvilignes 
'f et v/; du point considéré. 

Dans le problème du mouvement d'un point sur une surface 
donnée, cette dernière formule (46) que nous venons d'établir, 
bien qu'inutile à la détermination du mouvement, c'est-à-dire de 
l'expression des coordonnées du point mobile en fonction du 
temps, fera connaître la réaction normale de la surface ou, ce 
qui est la même chose au sens près, la pression exercée par le 
point mobile sur la surface. 

Remarquons cnGn en terminant que l'expression delà troi- 
sième composante W, donnée par les formules (29) dans l'hypo- 
thèse d'un système triple orthogonal, se réduit elle aussi à la 
même valeur (46), lorsqu'on y fait zDr=const., et que Ton a égard 
à l'expression (31) des deux rayons principaux R'/ et R'J de cette 
surface -sr : coïncidence qui était nécessaire a priori, du moment 
que cette hypothèse de l'existence du système triple orthogonal 
peut être envisagée comme un cas particulier du problème plus 
général, que nous venons de traiter en dernier lieu. 

Les trois formules (35) et (46) fourniront donc dans tous les 
cas la solution de ces deux problèmes connexes et en quelque 
sorte parallèles que nous venons d'envisager, lors même qu'il 
n'existerait aucun système triple orthogonal auquel on la sup- 
posât rattachée. Cette généralisation, bien qu'assez facile à pres- 
sentir, n'était d'ailleurs nullement évidente a priori, et devait de 
toute nécessité être établie rigoureusement, pour donner aux 
méthodes et aux formules, qui vont faire l'objet des deux para- 
graphes suivants, toute leur portée, sans quoi ces méthodes et 
ces calculs perdraient beaucoup de leur intérêt par suite de 
l'étendue trop restreinte de leur champ d'application. 



— 333 — M. 



II 



■■•«▼ement d*aa p«liil Biatérlel •«•njelll à rester «or nne sarfaee 
donnée. — Cmm de rédnellon dn problème ans ^nndmtnreo. — 
Bxempleo relnilfo à l*elllpooTde9 nu cène dn oeeond ordre, à In 
sphère et nn pnrnboloTde. 



Equation différentielle de la trajectoire. — Les équa- 
tions (9), que nous avons établies dans le paragraphe précédent, 
très remarquables par leur symétrie, permettent de ramener 
dans tous les cas à la détermination de la trajectoire, c'est-à-dire 
en fait à Tintégralion d*unc seule équation différentielle du 
second ordre, la détermination complète du mouvement d'un 
point matériel soumis à des forces quelconques et assujetti à 
rester sur une surface donnée quelconque. 

En effet, si on la suppose d^abord susceptible de faire partie d'un 
système triple orthogonal, prenons pour système coordonné un 
système tel que la surface donnée puisse être considérée comme 
une surface individuelle de la famille au paramètre m. 11 suffira 
dans ce cas d'imaginer que la coordonnée tir du point matériel con- 
serve à toute époque la valeur particulière de ce paramètre qui 
caractérise la surface donnée, et dès lors la solution cherchée 
devra consister dans une certaine relation entre chacune des 
variables 9 et ^ et le temps. 

Si nous désignons toujours par U, V, W les composantes de la 
force extérieure donnée suivant les normales aux trois surfaces 
coordonnées, les équations (9) définiront le mouvement du 
point, à la condition d'adjoindre à la troisième composante W 
la n'^aetion N de la surface sur le point, laquelle est par 
hypothèse toujours normale à la surface, c'est-è-dire en 
d'autres termes d'écrire simplement W -^ N au lieu de W dans 
la troisième de ces équations, et de supposer, en outre, la 
variable m remplacée partout dans ces équations par la valeur de 
ce paramètre relative à la surface donnée, c'est-à-dire d'y faire à 



42. — 534 — 

la fois w = taro = const., ^ = et ^ = 0. Avec ces hypo- 
ihèses la troisième équation (9) se réduira à 



ou 



et n'aura d'autre utilité que de déterminer la grandeur de la 
réaction inconnue a priori N, lorsqu'on aura déterminé à laide 
des deux premières équations les coordonnées 9 et 4/ du point 
en fonction du temps. Mais les deux premières équations, qui 
deviennent dans les mêmes circonstances 

^d^'^Jt\7di~^Tt)'~ïy\cû) '*' j\dll j~^ ^' 

fourniront l'expression cherchée des coordonnées 9 et t^ en 
fonction du temps, en opérant de la façon que nous allons 
indiquer. 

Si, au contraire, on ne suppose pas que la surface donnée 
fasse partie d'un système triple orthogonal, on se souvient 
que ces mêmes équations (49) subsisteront encore, en prenant 
un système de deux coordonnées orthogonales 9 et \i; sur la 
surface, comme par exemple les lignes de courbure, et fourni- 
ront par conséquent de nouveau la solution du problème 
proposé. 

Dans ce dernier cas la grandeur de la réaction inconnue N de 
la surface sera de même fournie par l'équation (46), dans 
laquelle on aura encore écrit W 4- N à la place de W (ainsi 
que t comme variable indépendante au lieu de 5), et aura par 
conséquent pour expression 

N = — W -♦ I ^ 



mr^m 



— 355 - 43. 

Dès lors, dans Fun et l*autre cas, pour déterminer 9 et «// en 
fonction du temps, on remarquera tout d abord, ainsi que nous 
Tavons déjà dite Foccasion du théorème des forces vives, que les 
premières parenthèses de chacune de ces deux équations ne sont 
autre chose que les dérivées totales ^ et ^ , attendu que, m étant 
par hypothèse constant, on a simplement dans le cas actuel 

Il II K K 

en second lieu, qu*en se reportant à la définition de la fonction 
^((p, \f/, m), qui consiste dans Féquation (tO^^) ou, ce qui est 
la même chose, en remplaçant les trois éléments de normales 
dn, dn!, dn" par leurs valeurs, dans celle-ci 

i i 1 ^ dS dS dS 

U . H*rff ■♦. V. K^^ -+- W. JVo = c/<^('^, <f , o) = -^dy + —d^ -+- — do , 

a» d'if do 

les seconds membres de ces deux mêmes équations (49) peuvent 
être écrits sous la forme plus simple et plus expressive : 

df d^ 

A Taide de ces remarques, nous commencerons par écrire ces 
deux équations (49), après réduction, sous la forme plus 
concise 

\ dF-'^^dilt '^'^\jdi'di~f\dil J df' 

dV id^dK XTKd^df H/dî)\«l_dJ 
d? "^ ^di'cÛ '*' ^{^ didt ^ ^\dtl J'"d^' 

ou, en les multipliant respectivement par ^ 7^ et 2 ^ , sous 
celle-ci 

l ' dt dt'"^ \dt) de "*" ^ \dll dt f \dil di df dt' 

dpd\ fd-^ydK KfdAUf H /d^^df _ d^d^ 
^'^dtdi''^\dtl d7"*"7\dr/ d7""ï;\dr/ dï~^di^'di' 



44. — 336 — 

ou enfin, en mettant en évidence des quantités faciles à aper- 
cevoir, 

.^['■(^>-^!■"fë)■•^[-K^4'r-â^'•• 

Or, si Ton se reporte aux équations (3) et aux définitions (8) 
des deux quantités H et K, on voit que les deux expressions 
^(t)* ^^ ^(^y» ^"® "^"^ venons de faire apparaître ainsi 
dans ces équations, ne sont autre chose que u^ et t*^; en multi- 
pliant donc les deux équations par dt, on pourra les écrire plus 
simplement encore, ainsi qu'il suit : 

/H / /K (i^\ 

^ \ f d'f I 

/K , / /H (/^\ 

d, i?* H- i7«— c/?— M»— -h2— rf^ = 0. 
? \ ^ d^l 

Gela posé, pour obtenir Téquation différentielle de la trajec- 
toire du point matériel, nous multiplierons ces deux dernières 
équations respectivement par v^ et u^, et nous retrancherons la 
première de la seconde, ce qui nous donnera 

dt 



. . r, . ^ 'K d5^ 
vVH (m« -4- v') — -4- 2— =0, 



résultat que nous écrirons ainsi : 



Y lin 2 d^\ 

\_\^ tt' -4- v*d^ I 
^^^^ i //K 2 rf^\ 1 



— 337 — 45. 

Or, réquation des forces vives (12) nous donnant 

si nous reportons cette valeur dans l'équation qui précède, on 
voit que les coefficients de u^(/\/; et v'c/f sous les crochets pour- 
ront s'écrire simplement 

I dg 

di> i> 



) ^ 


-♦- 


2 


V*d4^ 




d^ 

dg 


1 '^ 

1 f 


-+- 


!2 


d0 

vUf 


f 





en convenant de représenter dorénavant par H^ et K^ les deux 
fonctions données 

(5â) H. = H(<r(?, ^, «) -*- c), K. = k(^(?, ^, a) + c), 

en sorte qu'avec ces notations, en séparant en deux membres, 
réquation précédente (SI) prendra la forme très simple : 

(53) u«d. v« — vV.w' = (II* ^ v«)(ti«— d^ - v«— dA 

Si Ton fait attention qu'en divisant, soit par (u*)*, soit par(t;^)^ 
cette équation ne contiendra plus u' et t;' que par le rapport 
^1 ou ^ et la différentielle de ces rapports, et que par consé- 
quent la différentielle dt se trouvera éliminée, on reconnaîtra 
que l'équation que nous venons d'écrire équivaut à une relation 
différentielle entre les coordonnées 7 et <p seulement à l'exclusion 
du temps, et que par conséquent elle peut être considérée comme 
réquation différentielle de la trajectoire, écrite avec une certaine 
notation conventionnelle. 

Pour l'obtenir sous forme explicite analogue, d'une équation 
X. 3â 



46. _ 338 — 

différentielle entre 9 et \py il n'y aura d*ailleurs qu*à la multiplier 
par dt^, et, en se rappelant que, le temps étant par hypothèse 
la variable indépendante, dt doit être considéré comme constant, 
récrire sous cette forme 

{udtYd.{vdtY - (vdtYd.{udty 

[lu tv -I 

^udty—di.^{vdt)*—dfl 

puis y remplacer (udty et (vdty par leurs valeurs respectives 
Hrf(p^ et Kcfv/^^ ce qui donnera définilivement Téquation : 

(^*) i = {Udf' -+- KdAlldf^' — d^ — Krf^«.— rfyl. 

V L ^ f J 

Telle sera donc en réalité pour nous féquation différentielle 
de la trajectoire d'un point matériel soumis à des forces données 
et astreint à demeurer sur une surface donnée, exprimée au 
moyen des coordonnées cp et xf/, qui déterminent la position de 
chaque point sur cette surface. Mais il est évident que, pour la 
clarté et la simplicité des calculs, il y aura grand avantage â 
conserver pour cette même équation la forme simplifiée (53), 
qu'on peut d'ailleurs considérer, non seulement comme équiva- 
lente, mais comme adéquate à cette dernière, en entendant que 
M* et v* y désignent non plus les carrés des vitesses elles-mêmes, 
mais les quantités proportionnelles lld<f^=u^dfl et Kdv//^ =r2cf/*; 
et nous emploierons ainsi cette forme (53) dans tout ce qui va 
suivre, en attribuant à u^ et t;^ tantôt leur sens réel, tantôt le 
sens conventionnel que nous venons de dire, suivant qu'il nous 
sera plus commode pour le raisonnement ou plus avantageux 
pour le calcul. 

La connaissance de la trajectoire, en supposant que Ton par- 
vienne à intégrer cette équation du second ordre, suffira d'ail- 
leurs pour achever ensuite complètement la détermination du 
mouvement du point, car ayant ainsi obtenu pour équation de 
cette courbe la relation v// = /'((p), qui donnera dtf/ = /''((p)cf<p, si 



— 339 — 47. 

l*on reporte cette valeur de ^ dans les expressions de H et de K, 
réquation (11) étant résolue par rapport à dfl deviendra, en 
extrayant les racines et y faisant ~ = 0, 

^''^ '' ^ i7i If (,. /•(,)..) -*- ci ''" 

et fournira dés lors par une simple quadrature une nouvelle 
relation de la forme t^=F((f)^ qui résolue par rapport à 9 
deviendra (p = ^(<), et donnera en substituant dans Téquation 
de la trajectoire la nouvelle relation ^ = ^f (t), qui, jointe à la 
précédente, constitue la solution complète du problème. La ques- 
tion est donc ainsi ramenée tout entière, comme on le voit, à 
rintégration de Téquation (53) ou (54), laquelle introduira deux 
constantes arbitraires. Ces deux constantes, jointes à la con- 
stante G, qui figure dans Féquation des forces vives, et à celle 
introduite par la quadrature de Texpression (55), se détermine- 
ront simultanément, en se donnant les valeurs 

qui définissent la position du point matériel et sa vitesse sur 
la surface donnée à Torigine du mouvement. 

Cas d'intégration de cette équation. — La forme simple et 
remarquable (53), que nous avons obtenue pour Téquation dif- 
férentielle de la trajectoire, permet d*apercevoir facilement plu- 
sieurs cas assez étendus, dans lesquels il est possible d*en former 
rinlégrale générale à Taide de simples quadratures. 

On est conduit en effet tout naturellement, par cette forme 
même, à examiner successivement les trois cas suivants : 

1° Supposons en premier lieu que l'on ait à la fois -^* = 
et Y* = ®» ^"> ^" d'autres termes, que Ton ait simultanément 

(56) H, = *(^), K. = >r(^), 



48. — 340 — 

$ et Y étant deux fonctions entièrement arbitraires d'une seule 
variable. L'équation (S3) de la trajectoire se réduisant alors à 

ou, ce qui est la même chose, en divisant par (u^)' ù d (^) = 0, 
admet pour intégrale première 

- = (?. 
u 

Or, si Ton remplace u' et v' par leurs valeurs, soit réelles, soit 
conventionnelles, on aura, en se rappelant les définitions (52) de 
H| et K, : 

y' ^ Ke/^' ^ K (<^ -^ C) .rf^' ^ K,(f^^ 

Si Ton tient compte des hypothèses (56), l'intégrale première 
qu'on vient d'obtenir pourra donc s'écrire 



=3 C; ou ^—^=1 — = C| , 

ou encore, en séparant les variables, 



et donnera par conséquent pour intégrale générale 

(58) yV^d^ — C, fV^^df^ == C. 

Il est inutile d'écrire le double signe introduit par l'extraction 
des racines devant le coeflicient C|, puisque cette constante est 
complètement arbitraire : la solution dans ce cas sera donc tou- 
jours renfermée dans le type unique (58). 

Il* Supposons en second lieu que l'une des deux dérivées ^ 
OU — * seulement étant nulle à présent, V par exemple, l'autre 



— 341 — 49. 

dérivée ne soit, comme la quantité Hj, fonction que de la va- 
riable 9 seule; en d'autres termes, nos hypothèses sont pour ce 
cas 

m, d //K,\ 

ouy ce qui revient au même, 

(60) H.«F(^), K, = *(.)tW, 

les symboles F, <Py Y désignant des fonctions entièrement arbi- 
traires d*une seule variable. En introduisant les hypothèses (S9) 
dans réquation de la trajectoire (S3), et divisant tous les termes 
par (^y^ cette équation pourra s'écrire dans ce cas 

— (.V — -^-i^ry'^'h 

ou sous forme plus simple 



-0-(-S(-^4 



ou encore, en changeant tous les signes et ayant égard aux hypo- 
thèses (60), 



1-.^. "^^ 

«' 



équation immédiatement intégrable par quadrature, qui donne 
pour intégrale première : 

l{i ^^]) = /4»(.) + /.Cî ou 1 ^- ^[ = CÎ<fr(y). 

Or si Ton substitue au rapport ^ sa valeur, inverse de celle 



50. — 342 — 

du rapport (S7), et qui sera par conséquent dans le cas actuel, 
en tenant compte des hypothèses (60), 



cette intégrale première pourra s*écrire 

équation dans laquelle les variables se séparent immédiatement, 
en récrivant ainsi, après avoir extrait les racines, 



*(f)l/CÎ*{y)— d 

et qui donnera par conséquent, au moyen de simples quadratures, 
l'une ou Taulre des deux solutions renfermées dans la formule : 

Il est bien clair que si nous eussions admis inversement les 
hypothèses 

— = 0, et _ _î =0. 

ou, ce qui revient au même, 

(62) K, = F(^), H, = 4>(y)>r{^), 

qui se déduisent des précédentes par la simple permutation de 
H^ et de K^, ou ce qui est la même chose de H et K, de 9 et de ^, 
et des symboles correspondants 4> et ^, pendant que Téquation 
différentielle elle-même (54) n'est pas atteinte par cette permuta- 
tion, nous eussions obtenu pour solution Téquation 



(63) 






— 343 — 31. 

déduite de la formule (61), en y effectuant les mêmes permu- 
tations. 

La solution dans ce second cas appartiendra donc à deux types 
différents, suivant le signe que Ton devra adopter devant la 
seconde intégrale. 

1110 Examinons enfin le cas où les dérivées ^* et ^' n'étant 
nulles ni Tune ni rautre, ces dérivées sont proportionnelles à 
deux fonctions quelconques Tune de ^ et. Tautre de (f, c'est-à- 
dire, en d'autres termes, le cas où Ton a 



(64) 



m, iKt 

^ 9 1 



YU'^) —*;(?) "' 



en désignant par ^[ et ^^[ deux fonctions complètement arbi- 
traires d'une seule variable, et représentant provisoirement par <ù 
la valeur inverse de ces rapports dont nous nous réservons de 
préciser un peu plus loin l'expression. Tirant alors de ces rela- 
tions (64) les valeurs 



/H, 1 „ , /K, i ,^ 



et la reportant dans l'équation proposée (53), elle deviendra, en 
multipliant en même temps par &> : 

Sous cette forme, reconnaissant dans le second facteur du second 
membre la moitié des termes de la différentielle de l'expression 
^1 (^) ï'* -*- *i (?) «^*» à 'a seule condition de poser 

/M;(^)(i^== 4,(^) et y*;(y)dy = *,(^), 

on est amené à compléter cette différentielle en ajoutant aux 



â 



52. — 3H — 

deux membres le produit (u' h- i?«) [*F^ (+) d . u« + <P, (?) d.»*], 
ce qui permettra d'écrire ainsi l'équation : 

ou en ordonnant, et rapprochant les termes convenables : 

= (u» -♦- t;*)rf[v,(^)ii' -4- *i(f)t?']. 

Dés lors on voit qu'il suffira de poser 

(65) » = Y,(<,) _ ♦,(,) \ 

S 
"•^ 

ou V 

Y, (^) — « = *,(y) et «, (?) -*-\-= Yi W > 

\ 

pour que cette dernière équation puisse s'écrire, en faisant passer 
tous les termes dans le premier membre, \, 

l^My -*- ««(fK] .cZ(u' -+. v') — (u» -+- v«).rf[Y|(4.)u« ^- *,(f)ù'']= ^' 

etson premier membre ayantdès lors la forme simple LdV — ^^ 
elle deviendra immédiatement intégrable en la divisant simpi^' 
ment par V* ou (m* h- i;*)*, et conduira ainsi à l'intégrale prf'' 
mière \ 

(66) ^ , = — tn 

u' H- v' 

ou en chassant le dénominateur, ordonnant, et remplaçant u^ 
et v^ par leurs valeurs réelles ou conventionnelles : 

(67) [y.(^) + c;\ lidf' = - [Hf) -+- C,] Krf^«. 

Donc en résumé, toutes les fois que l'on aura entre les quan- 
tités H| et K^ les relations (64), où &> a la valeur (65), ou bien. 



— 545 — 53. 

en d^autres termes, toutes les fois que H| et K| vérifleront simul- 
tanément les conditions 



? 



c'est-à-dire chacune séparément les équations 



ou, ce qui est la même chose, en intégrant, 

(68) H, = <l>,(f )L«i(f) - Y,(^)J, K, = T.(rt [m'iW - ♦.(?)], 

O2 ^t ^9 désignant deux nouvelles fonctions arbitraires, toutes 
les fois, disons-nous, que ces conditions seront remplies, ou, en 
d'autres termes, que H| et K| seront réductibles à la forme (68), 
réquaiion différentielle proposée admettra pour intégrale pre- 
mière réquation (66) ou (67), que nous venons d obtenir. 

Admettant donc qu'il en soit ainsi, c'est-à-dire supposant que 
les quantités H^ et K| aient des expressions de la forme (68), 
l'intégrale premiëre(67), qui, multipliée par <7+ G, peut s'écrire, 
en ayant égard aux définitions (52) de H| et K^ , 

[y.(^) ^ C,]H,df' = - [^,(f) -+. C,]KW*', 

deviendra, en y substituant à la place de Hi| et K| ces expressions 
(68), et supprimant le facteur commun î»^ (?) — ^^ (v|;), 

OU, en séparant les variables, et extrayant les racines, 



(69) V-^^ 'if-^ x/-J^tL_ ,,, 

^ V ♦.(?)-♦- C, ^ ^ V <r,(*)+C, *' 

et donnera, pnr conséquent, à l'aide de simples quadratures, pour 



54. - 346 — 

intégrale générale l'une ou Tautre des deux solutions renfermées 
dans la formule 

(70) r\/z^,,:^r\vzîMZd,^c^ 

suivant le signe que Ton sera conduit à adopter pour le second 
radical, dans Téquation immédiatement précédente. La solution 
dans ce cas encore appartiendra donc à deux types distincts, cor- 
respondant chacun à Tun des signes de ce radical. 

On aperçoit sans peine que le résultat que nous venons d'ob- 
tenir pour ce troisième cas, et les hypothèses (68) qui nous y 
ont conduits, comprennent, comme cas particuliers, respective- 
ment les résultats et les hypothèses correspondantes relatives 
aux deux premiers cas, savoir ceux du cas II en supposant que 
Tune des deux fondions iPi ou ^| se réduise à une constante, et 
ceux du cas 1 en supposant qu'elles s'y réduisent toutes les deux 
simultanément. On pourrait donc se contenter de conserver seu- 
lement ces dernières formules (68) et (70), en faisant abstraction 
des formules relatives aux deux cas précédents. Nous avons dû 
toutefois établir celles-ci séparément, attendu que les raisonne- 
ments, dont nous avons fait usage pour arriver à la solution (70), 
ne subsistent plus avec les hypothèses des cas I et II. Les calculs 
relatifs aux deux premiers cas préparent d'ailleurs par une gra- 
dation naturelle des diflicultés, les calculs plus compliqués qui 
nous ont fourni la solution relative à ce troisième cas. 

CoffDlTlONS ET FORMULES DE RÉDUCTION DU PROBLÈME AUX QUADRA- 
TURES. — Nous présenterons, dans le paragraphe suivant, un 
grand nombre d'exemples de ces méthodes d'intégration, pour 
le cas particulier où la force est supposée nulle; avant d'en 
donner également quatre exemples relatifs au cas général, savoir 
celui où il y a une force extérieure donnée, il importe de bien 
préciser l'étendue de leur champ d'application, c'est> à-dire de 
spécifier nettement les conditions qui devront être remplies 



— 547 — 55. 

séparément par la surface donnée d^une part, et par la force 
extérieure de Tautre, pour que ces méthodes soient applicables. 
A cet effet nous remarquerons en premier lieu que les hypo- 
thèses du cas III, qui comprennent celles des deux cas précédents, 
comme nous venons de le dire, exigent tout d'abord une condition 
qui devra être satisfaite par la surface donnée, quelle que soit la 
force que Ton suppose appliquée au point matériel; à savoir que 
les quantités H et K relatives à cette surface, qu'on pourra 
toujours calculer par les formules (37), en partant soit des 
équations (15), soit des équations (36), soient proportionnelles 
à deux fonctions arbitraires Tune de cp, Tautre de ^, car les 
conditions (68), en y remplaçant H| et K| par leurs valeurs de 
définition (52), peuvent évidemment être mises sous la forme : 

j7^j H K *.(?)- H'X^) 



H?) — Hi) ,f{?, 'f, «) -*- C 

Il y a lieu dès lors d'examiner successivement les deux cas 
subsidiaires suivants : 

1" Surfaces isothermes. — Cette première condition (71), 
qu'on pourrait croire assez restrictive, laisse par le fait une fort 
grande latitude pour le choix de la surface, attendu qu'elle sera 
toujours remplie pour toute surface isotherme susceptible de 
faire partie d*un système orthogonal, et Ton sait combien est 
vaste la catégorie de ces dernières surfaces. Nous verrons, en 
effet, à la fin du paragraphe suivant, que pour tout système 
triplement isotherme, l'expression des quantités H et K relatives 
à la surface considérée sera de la forme 

(72) H = <l>,(?)[M^) - ^ Ml K = M ,(^)[w(i) - *(.,)J, 

et satisfera par conséquent à la condition que nous venons de 
dire. 

Admettant donc cette première condition comme remplie, et 
supposant dès lors que les fonctions ^^ et ^2 ^ui entrent dans 
l'expression (68) des quantités H^ etK| soient précisément celles- 



5C. — 348 — 

là mêmes qui figurent dans Texpression de H et de K qui précède, 
on voit, en substituant ces valeurs (72) dans Téquation précé- 
dente (71), que la fonction des forces <^ devra satisfaire en outre 
à la condition suivante, dans laquelle, les fonctions 4> et V étant 
déterminées par la constitution du système^ les fonctions 4>| et W^ 
restent, elles, complètement arbitraires, savoir 



ou 

(73) ^(„^..)^C=-^^-^-^. 

condition que Ton peut écrire encore sous forme plus simple 

rf, , , H?) — ^ »(^) 
^(f 1 i'y w) = — - - — — — , 

en représentant par 4>3(cp) et ^zi^) 1^^ ^^^x fonctions arbitraires 
*i(9) -H C*((p) et V|(i) -h CW{^). 

Cette dernière condition sera d'ailleurs seule suffisante, lorsque 
la surface donnée sera susceptible de faire partie d*un système 
orthogonal triplement isotherme, car les conditions (72) étant 
alors remplies, comme nous Favons dit, Tensemble des valeurs 
(72) et (73) redonnent pour H^ et K^, d'après les définitions (52), 
précisément les expressions (68). 

Nous plaçant donc en ce moment dans ce cas particulier d'une 
surface isotherme donnée, pour intégrer l'équation des forces 
vives (H), ou 



de 



2<f(?,^,o) -^C 



laquelle peut s'écrire alors, en multipliant au second membre 
haut et bas par ^(% ^, cr) + G, et tenant compte des valeurs 
(68) de H, et K„ 

(74) di =^-z .^ x^nt =5 r<f/ , \ — T^tVHfm -Y,(*)rfif'Ji 



— 549 — , 37. 

nous introduirons pour un instant une variable auxiliaire u (que 
nous aurons soin de ne pas confondre avec la composante de la 
vitesse désignée jusqu'ici par la même lettre), en égalant à du 
chacun des deux membres de Pintégrale première (69), c'est-à- 
dire en posant 



puis nous tirerons de là successivement 

et en substituant ensuite dans Téquation précédente (74), elle 
deviendra simplement 



2 [^{?. ^ o) + C]' 



ou en extrayant les racines, puis ayant égard à notre hypo- 
thèse (73), 

(75-) rft = ± -^ ^r T^vir?''" = * .-7=[*^'') - " Wl**"' 

ou enfin, en remplaçant du dans chacun des termes du dernier 
membre successivement par ses deux valeurs de déGnition (7((), 



«/t = ± — 






équation qui s'intégrera comme Tintégralc première (69) à laide 
de simple quadrature, en ayant soin de se rappeler que, le double 
signe qui figure dans Tintériour de la parenthèse étant introduit 
par réquation (75) ou (69), les signes que Ion devra prendre 
dans réquation intégrale pour chacun des deux radicaux corres- 
pondront exactement à ceux de Téquation (70), le signe qu'il 



(77) 



58. — 350 — 

faudra prendre ensuite devant la parenthèse étant alors déter- 
miné par la condition primordiale que la valeur de t qui en 
résultera soit positive. 

En résumé donc pour ce premier sous-cas, lorsque les fonctions 
Hii, Kl, et i^+ G, auront des expressions de la forme 

/ H = *,(?) mf) — M'(.f )] , K == T,(^) [m-(«a) — <l>{f)] 

(76) j f( . ^^c ^M-^M 

lesquelles satisfont elles-mêmes pour H^i et K^i aux conditions (68), 
les inconnues 9 et ^ seront déterminées complètement en fonction 
(lu temps par les deux équations 



fVr^^iM. ±fV-^^'m = ± l/2(r ^ C") 

(le choix qu'il faudra faire pour chacun des doubles signes étant 
subordonné aux conditions que nous venons de dire), après toute- 
fois que l'on aura exprimé en fonction des données initiales 
(po, ^o> %> ^o> 'es quatre constantes C, C|, C, C", car la con- 
stante C figure implicitement dans ces équations par les fonctions 
$1 et Yi, ainsi qu'il résulte nécessairement de Thypothèse (73). 
Cette détermination peut d'ailleurs s'opérer très simplement 
en général de la façon suivante. Pour obtenir tout d'abord les 
valeurs des constantes G et C^, il suffira de se reporter aux 
équations qui les définissent, c'est-à-dire à l'équation des forces 
vives (12), et à l'intégrale première (66), lesquelles étant prises 
l'une et l'autre pour l'instant initial, donnent séparément, pour 
la valeur de C 

(78) C = -(a* -4- vl) — 3^{fo, ^0, a) , 



— 351 — 59 

et pour la valeur de Gf : 

(/yj c, = 

MÎ -4- Vl 



(') Dans le cas particulier où Ton supposerait nulle la vitesse initiale, cette expression 
de C| prendrait la forme ^' Il faut alors opérer comme il suit: 

Différentiant deux fois de suite par rapport au temps la première équation (T7), ou ce qui 
revient au même, une fois l'intégrale première (69), préalablement divisée par c/c, et y 
faisant ensuite c » 0, on trouvera 



car les termes qui contiennent les dérivées premières ^ ei ^ disparaîtront lorsqu'on 

fera /«O, en vertu des valeurs{4; qui donnent (^)jj=(Aiî>)oMo=0,et(Jt)^=(Ai^)#ro=0; 
séparant donc en deux membres, et élevant au carré, ce qui donne 

nous y remplacerons (^)jj et (^i). par leurs valeurs tirées des deux premières 
équations du mouvement (9), lesquelles se réduiséht pour t — O^k 

en ayant égard aux valeurs ($0), et donneront par conséquent, en tenant compte des 
expressions (73) de H et de K : 

\di' j, u; ~ ♦,(f.)*[<-(f,) - T(j-,)]«' 

/d«^\*_ W/o \(/J//o 

U* ]o"" "kJ Y,(^o)*[*(P«)- Y(^o)?' 

Par cette substitution, l'équation qui précède deviendra , en simplifiant, chassant les 
dénominateurs, et supprimant le facteur [4»(fo) — 'ï'(^o)]*» 

d'où l'on tirera par conséquent dans ce cas particulier, pour C| la valeur : 



(A) C, = 



Id-jy id9\* 

Y.(■!>.)T.(^-)-^(>'.)vf.)[-J^ 



(80) 



60 — 352 — 

Toutefois la dernière de ces deux expressions contenant en 
général la constante C par les fonctions 0^ et ^i, ainsi que 
nous venons de le faire observer, ne fournira Texpression défi- 
nitive de G| en fonction des données initiales, qu après que Ton 
y aura remis à la place de C la valeur (78) que Ton vient de 
trouver. 

Puis les valeurs de G et C^ ainsi obtenues étant supposées 
reportées dans les équations (77), pour déterminer les deux 
autres constantes G' et G", il n*y aura qu*à faire r = 0, dans 
les deux équations (77), et les deux valeurs ainsi obtenues devront 
être remises à la place de G' et G" dans les mêmes équations, 
opération qui revient dès lors à éliminer ces deux arbitraires par 
soustraction, et dont le résultat peut s*indiquer à Faide de la 
notation des intégrales définies ainsi qu'il suit 






J ^ *«(ç») -4- C, ./ V M',(^) -I- C, 

équations qui constitueront dès lors, G et G| représentant les 
valeurs (78) et (79), la solution complète et définitive du 
problème proposé. 

Remarquons enfin, avant de passer au cas suivant, que Féqua- 
lion de la trajectoire étant ainsi supposée obtenue, à Taide de 
simples quadratures, sous forme d'une équation finie entre les 
deux coordonnées cp et 4>, nos formules (29) dans Thypothèse 
d'un système orthogonal, ou plus généralement nos formules (35), 
(46) et (47), nous permettront aisément la détermination en 
grandeur et direction du rayon de courbure de cette trajec- 
toire, à Taide de simples diiïérentiations, c'est-à-dire par le moyen 
de formules dans lesquelles n'entreront que les seules fonctions 
4>, % *ii ^j. *î, Vi, qui figurent dans les hypothèses (86), et 
leurs dérivées, sans aucune intégration. Gette détermination étant 



— 355 — 61. 

toutefois d'importance secondaire, nous nous contenterons d'en 
indiquer ici les résultats, qui consistent dans les formules sui- 
vantes : à savoir, pour les deux premières composantes U et V de 
la courbure 



. 1/ 



— =— I— ^-^Fh^ ' 

-(M'.-C,) l/*,-*-C, 2(*,-T,^«L f ?» 



et pour la troisième composante W 



«') w — l-î:Lrfîî(*,^c.)-'-l^(..*c4 



(80 



dans rhypothèse d'un système orthogonal, ou plus généralement 

w=;;^[^C-c.)-l:(..^c.)]. 

R' etR" désignant toujours les deux rayons de courbure princi- 
paux de la surface donnée, si Ton n'impose aucune condition à 
cette surface; et nous reporterons en appendice (voir la note III) 
à la fin du Mémoire, les calculs simples et faciles qui conduisent 
à ces formules. 

Nous donnerons tout à l'heure quelques exemples d'application 
de ces formules, en résolvant par leur moyen notamment deux 
problèmes simples, absolument rebelles à l'emploi des coor- 
données classiques. 

^ Surfaces non isothermes. — Dans le cas où la surface donnée 
n'étant pas isotherme ne pourrait être rattachée à un système 
triplement isotherme, supposons que les quantités H et K relatives 
à cette surface aient des expressions de la forme 

(81) H = ♦,(,.) Y,(^)Q, K = *^f)wJif)a, 

(en désignant par Q une fonction quelconque des deux variables 

9 et ^, û =3 f((p, ^)) lesquelles expressions satisfont encore à la 

X. 25 



M 



62 _ 354 — 

condition sus-énoncée qu'exprime la première des équations (71) 
(où les fonctions 4>2 ^^ ^a représentant deux fonctions arbitraires 
quelconques, ne sont pas par hypothèse les mêmes qui figurent 
dans Texpression (81) deK), car on a de même avec ces valeurs : 

IM?)\ 

H *,(f)H-,(^) U(f)/ Il K 

ou 



Pour que les conditions d'intégration exprimées par les 
équations (68) soient vérifiées, c'est-à-dire pour que les quantités 
Hii et Ki| aient des expressions de la forme 

(82) H. = ♦3(?)[*{f ) - ^M , K. = f-5(f ) [m'(^) - ^(f)] 

(en écrivant 4> et ï^ à la place de *| et Wi, et 4>5 et ^^5 au lieu 
de 4>2 et W^, afin de prévenir la confusion des notations), ayant 
alors par les hypothèses (81) 

H, = H (,f H- C) = iu (f) T, (^) a(^-^ C), 
il faudra que Ton ait 

*i (?) M^i M û (S -+- C) == *3 (?) [* (?) — ^ (^)], 
*î (f ) ^t W a (^^ ^ c) = T3 M [t (^) — * {f)l 



ou 

(83) 



^t (?) ^ t (^) ^ ^a(?)H»(^) ^ ^(y) — y(rt 
*,(?) "" — H'5(^) û(J-f-C) 



Or la première de ces conditions équivalant à Tégalité des 

deux rapports 

*i (?) - ^î M 



=sr, 



dont le premier ne contient que 9, pendant que le second ne 
contient que ^, montre que la valeur commune c de ces deux 
rapports est une constante. 



— 353 — 63. 

Tirant donc de là 

i *, (f ) I — M-, U) 

(84) *, (,) = - -;^^, H^5 (^) - - —^ , 

et substituant dans les égalités (83), elles se réduiront à la seule 
condition 

*(y)_H(^) , C^ ^^' ^^^J 

'^"^^ ''^^ û{.f-4-C) ÛM^(^)*,(y) 

ou simplement 

en écrivant c* et c^^ à la place de * et de W, condition qui sera 
ainsi la seule nécessaire et suffisante, étant données les hypo- 
thèses (81), pour que les conditions d*intégration (68) ou (82) 
soient satisfaites. 

Supposant donc cette condition remplie, l'intégrale première 
(^69), qui est avec le changement de notation dont nous sommes 
convenus un peu plus haut (page précédente m medio) 



V 4.(y) -f. Q '^ ^ V T(^) ^ Q 
deviendra par les valeurs (84) 

d^ 



(86) %/ ^>i(y) df ^ ^_^ / -M^,(^) 



i^M'l^) ^ C, 



et fournira par conséquent, pour équation de la trajectoire dans 
le cas actuel : 



(87) f\/^_M_jh__ ^ A/zIîW _ 



d^ 



(^).-^ c, 



Dans les mêmes circonstances, l'intégration de Téquation des 
forces vives pourra également être ramenée aux quadratures de 



64. — 356 — 

la façon suivante. L'ayant mise comme tout à Theure, sous la 
forme 



et substituant les valeurs de H| et de K^i, qui sont dans le cas 
actuel y en introduisant les hypothèses (81) et (85) dans les 
expressions (52), 

cette équation deviendra : 

Or si nous égalons comme tout à Theure à du chacun des 
membres de Tintégrale première (86), c'est-à-dire si nous 
posons 

(89)- \/^ --±— ^=. \/^ —^i— = du. 
nous en tirerons de même 

et en substituant dans Téquation des forces vives (88), celle-ci 
deviendra simplement 

2 (g H- C)* 

OU en extrayant les racines, puis ayant égard à l'hypothèse (85), 

\/-2 i{f> *, o) -^ C v/2 




— 357 — 65. 

équation qui pourra s'écrire, en remplaçant du successivement 
par ses deux valeurs de définition (89), sous Tune ou Tautre des 
deux formes 






lesquelles s'intégreront Tune et Tautre par quadrature, après 
que Ton aura remplacé simplement, pour la première, dans QW^^ 
^ par sa valeur en fonction de cp tirée de Téquation de la trajec- 
toire (87), ou pour la seconde, dans Q4>j, cp par sa valeur en 
fonction de ^, tirée de cette même équation. 

Si pour symboliser cette opération, nous convenons de repré- 
senter par (QQ^i)^, (Q4>2)^ le résultat de ces substitutions, on 
voit ainsi pour le second sous-cas, qu'en résumé, lorsque les trois 
quantités H, K, et ^+ C, auront des expressions de la forme 

/ H = *,(î»)T4(^)Q, K = 4>,(î»)m',(<^)Q 

( ûY,(^)i',(î>) 

U, <l>, ^1^, <!>,, V„ cl>2, qi'j, représentant sept fonctions arbitraires 
quelconques, la solution complète du problème sera fournie par 
les deux équations 






et 



' ou bien 



6«. — 358 — 

en tenant compte des mêmes observations pour les doubles 
signes et pour les constantes que dans le cas précédent. 

La détermination des constantes G et G| s'effectuera d'ailleurs 
exactement de la même manière que dans ce premier cas, à Taide 
de réquation des forces vives (12), et de Tintégrale première (66), 
sauf qu'il faut se souvenir que nous avons changé de notation, pour 
traiter le cas actuel, et que nous sommes convenus d'écrire dans 
les formules du cas III, partout $ et ^^ à la place de ^^ ^elW^ 
d'où par conséquent pour G et G^ encore les deux valeurs : 

n 

(92) C = -(w;-^r;) — ^(yo>fo,o), 1^1 = i i 

2 t^o "*" Vo 

Puis ces valeurs de G et de G| étant supposées reportées dans 
les équations (91), les deux autres constantes G' et C" se déter- 
mineront encore en faisant simplement t =& 0, dans les mêmes 
équations. 

Enfin, comme dans le cas précédent, si Ton applique à l'équa- 
tion de la trajectoire que nous venons d'obtenir (la première 
équation (91 )) nos formules (29), ou (35) et (46), en même temps 



(*) On déduira également la valeur de Ci, pour le cas particulier où la vitesse initiale 

era supposée nulle, de celle (A) obtenue dans le cas précédent, pour la même hypothèse, 

en se souvenant que pour traiter le cas actuel, nous avons d'abord écrit <1> et Y ii la place 

àe <&i, Wif et ^5, Yj au lieu de 4>«, Y^ dans les formules du cas III. ce qui change tout 

d'abord cette valeur (page 59, en note, in fine) dans celle-ci 



c, = - 



--rD:-''-'(l): 



puis remplaçant ensuite les fonctions <t>5 et Yj par les expressions (84) que nous leur 
avons substituées dans le cas actuel, nous aurons définitivement, en multipliant haut et 
bas par 'i i(^o)*s(fo) pour 'es valeurs de Ci dans l'hypothèse précitée : 



(B) C. = \^ih y^i\ 



'^ 



— 559 — 67. 

que les formules (47) à Téquation de la surface, supposée mise 
sous la forme (36), on arrivera sans peine pour déterminer en 
grandeur et en direction le rayon de courbure de cette trajectoire 
en un point quelconque, aux formules suivantes, qui ne diffèrent 
des formules (8(y*'*) et (80"') que par le changement de 0,, >F^ 
en ^ et W, et pour la démonstration desquelles nous renverrons 
encore à la note III de Tappendice qui termine ce Mémoire; 
savoir, pour les deux premières composantes de la courbure 






et pour la troisième composante Tune ou Tautrc des deux sui- 
vantes 



/ 



(92»*') 



W = -(* -4- c, - -(M -4- C.) L 

2 * M' L CT a J 



ou bien 



\ 



VV = [-(«v -*- C|) Of + C,)l, 



suivant que Ton supposera ou non la surface donnée rattachée 
à un système triple orthogonal. 

Nous présenterons également un exemple de ce second type 
de calcul, à propos d'un nouveau problème, que nous croyons 
encore complètement impossible d'aborder avec les coordonnées 
usuelles. 

Les formules (90) et (91) relatives à ce second cas subsidiaire 
sont beaucoup plus générales que celles (76) et (77) relatives au 
cas précédent, et les comprennent en réalité à titre de cas parti- 
culier. 

On reconnaît aisément en effet que les hypothèses (90) 
coïncident exactement comme forme avec les hypothèses (76)^ 



68. — 360 — 

en y faisant simplement V^ (^) = eonsl., ^^(cp) = const., 
Q = cl>(cp) — W(^), et les solutions (77) se déduiraient de même 
des solutions (91) en y faisant les changements de notation 
correspondant à ces hypothèses particulières {*), Nous eussions 
donc pu, à la rigueur, nous contenter d'établir ces dernières 
seulement, sans prendre la peine de formuler auparavant celles 
relatives au cas spécial des surfaces isothermes, qu'elles com- 
prennent ainsi comme cas particulier. Nous avons néanmoins 
jugé utile de le faire pour ces deux motifs : d'abord parce que ce 
dernier cas est de beaucoup plus fréquent, presque toutes les 
surfaces que Ton considère habituellement appartenant à la 
catégorie des surfaces isothermes; puis en second lieu, et surtout, 
parce que les formules (77) relatives à ce cas sont immédiate- 
ment applicables, tandis que les formules générales (91) ne le 
deviennent qu'après l'une ou l'autre des subsitulions préalables, 
que nous avons indiquées par les symboles (Û^O^ et (Û4>j)^. 
Nous exposerons en appendice à la fin du Mémoire (voir la 
note I), un autre mode d'arriver directement aux mêmes formules 
générales (91), pour en déduire ensuite les formules (68) et (70) 
du cas 111, procédé qui peut être considéré comme la générali- 
sation de ceux employés pour les cas 1 et H. 

Exemple relatif a l'ellipsoïde. — Gomme premier exemple 
d'application des méthodes que nous venons d'exposer, propo- 
sons-nous de déterminer le mouvement d'un point matériel, 
astreint à rester sur un ellipsoïde donné, et soumis à une force 
d'attraction ou de répulsion, émanant du centre de cet ellipsoïde, 
et proportionnelle à la distance. 

Pour traiter cette question, nous adopterons le système des 
coordonnées elliptiques introduit en analyse par Lamé et Jacobi, 
lequel se compose de trois familles de surfaces du second ordre 
homofocales, appartenant, la première au genre hyperboloïde à 
deux nappes, la seconde au genre hyperboloïde à une nappe, et 



(*) Au sujet de la concordance de ces résultats, Toir en appendice, les deux dernières 
pages à la fin de la note I. 




— 361 — 



69. 



la troisième au genre ellipsoïde, surfaces que Ton démontre 
aisément être orthogonales entre elles. Si Ton désigne para^, 6^,c^, 
trois constantes réelles, supposées rangées dans Tordre de 
grandeur a* > 6' > c', et par X, fx, v, les paramètres des trois 
surfaces, c'est-à-dire les coordonnées elliptiques elles-mêmes, 
astreintes essentiellement par définition à varier entre les limites 
suivantes 



(93) 



— a«<A<-6»</.<— r*<v< + x, 



ce système de coordonnées sera défini par l'un ou Tautre des 
deux systèmes de formules 



! x^ 



oVa 6Va C'-I-A 



=1, 



(94) 



..« 



y' 



à'-t-ii b*+/t c'-*-/it 






l a 



Z-^ y 



y 



6* H- y c*-4-v 



= 1, 



2^ ( «*H-A) ( a«-^/t.)(a«i>v) 
^"^ (a«— '6*)(a'-.c*) ' 

, (6^-^A)(6*-^fx)(6«-^v ^ 

^ - (6« — c')(6'' — a*) ' 

^^ (c^^A)(c*-4-/.)(c»-^v ) 
^ (c*— «»)(€*— 6») ' 



qui permettent de passer des coordonnées elliptiques aux coor- 
données rectilignès, ou inversement, et que Ton trouve établies 
(par voie de généralisation, pour un nombre n de variables) dans 
les 26'' et 27* des Vorlesungen ûber Dynamick de Jacobi. A ces 
deux séries de formules nous joindrons celle qu*il donne également 
pour réiément d*arc, et qui est la suivante 



(95j 



^n^-^(^^v) i(j^^--A) i (v->) 

4 f(x) 4 /V) ^ 4 /i.) 



en faisant pour abréger quel que soit p : 



(96) 



/•(p) = (a'H.p)(6*^p)(<;«^p). 



Cela posé, faisant pour appliquer littéralement nos formules 



70. 



— 362 — 



^ = cp, |jL = ^, V = tïT, dans ces équations, et récrivant à cet effet 
les six premières ainsi qu*il suit 



X' 



-*-T-:='' 



(97) 



0*-t-ç) 6'-hf C' f-f) 



y 



a'-t-<|' 6*-t-^ c'-i-<// 



a?' 



y 



a'-+-a 6'-t-o C*-Hcr 



=i, 



=1, 



, (a*-t-î>^(a*-^«f')(o*-Ha) 

(6«_c«)(6'— a») • 
(c»-a«)(c*— 6«) ' 



y 



Z'= 



ce système comprendra la surface donnée parmi celles de la 
troisième famille pour une certaine valeur du paramètre m, que 
nous supposerons dès lors constant dans tout ce qui va suivre, 
et nous aurons en outre, pour la surface donnée, par les 
formules (95), pour H et K les valeurs : 



(98) 



4 f{^) ' '^4 A*) 



J = A. 



-« 






I (a — y)(o — ^) 



A«) 



D*autre part, si nous convenons de désigner par 2A: Tattraction 
exercée sur Tunité de masse à Tunité de distance, nous aurons 
pour expression du travail élémentaire 

Xrfx -I- Yrfy -+- Zdz = ^k(xdx -f- ydy -*- zdz) = d.fcr*, 

(la constante k étant positive ou négative, suivant qu*il s*agira 
d'une répulsion ou d'une attraction) et par conséquent pour celle 
du travail total ou de la fonction des forces 



(99) 



F(x, y, z) = f[\dx -+- Yrfy -♦- Zdz) = *r*, 



expression qui transformée en coordonnées elliptiques nous 
donnera par définition la fonction /. 

Pour faire cette transformation, nous observerons que les trois 



— 365 — 71. 

équations de gauche (97) expriment que 9, ^, w sont les trois 
racines de Téquation du S""" degré en p 

(99bu, ^ _y_H--p- =1, 

a'-Hp 6'-+.p r-t-p 

ou ce qui est la même chose, en chassant les dénominateurs, 

x'(6' -f p) (c' -h p) -h y'(c« -^ p) (a« -h p) -h z« (a« ^ p) (6« + p) 

= (a* -f p) (6' ^ p) (c« H. p), 

ou encore, en développant, faisant passer tous les termes dans le 
second membre, puis ordonnant par rapport à p : 

p5 ^ [a* ^ 6« + c» — (x' -+- y* -1- z*)] p' -♦- ... -♦- aViV = 0. 

On aura donc, en particulier, entre les coefficients et les racines 
la relation 

d où Ion tirera immédiatement 

r* =r » -♦- ^ -+- o -H a* -4- 6' -»- c* = '^ -4- ,|» -+- D, 
en convenant de poser, pour abréger l'écriture, 
(99»*') D = a H- o« H- 6* -+- r*, 

et par conséquent, en substituant dans Texpression (99) de F, 
nous aurons pour celle de la fonction ^ 

(100) ,^(?,^,«) = A(?+^)-i-An. 

Or cette dernière expression étant écrite ainsi, en lui ajoutant 
la constante G, 

= [kf^-*- (kD -4- C)p — I V-i-(*D -hC)^ n, 



7î2. — 364 - 

et étant rapprochée des expressions (98) de H et de K, nnontre 
que les conditions (76) du cas III, 1% spéciales aux surfaces 
isothermes, sont satisfaites dans le cas actuel, en faisant simple- 
ment : 

* (?) = ?. ^' M = h 

♦l (?) = t ?« -H (^1) -4- C) y, M', (^) = A^« H- (*D ^- C)^, 



(102) 



If — o i ^ — or 



La solution complète du problème est dès lors fournie par les 
deux équations (77), qui sont, avec les valeurs qui précèdent 
(en multipliant psrr % et écrivant C à la place de 2C' au second 
membre de la première) 



(103){ 






/ ?— p ^ 



---r/^==C', (•) 



/•WfA^*^(ArDH.CH-+.C,] 






/*(f)[A^*-^(A-D-+-(:)f-«-C|J 



''' ° ^rf<|.=±î2l/2(«-^C"), 



/'(^)[/t^*-i-(AD-*-C)^-4-C,] 



O Longtemps après que ce mémoire était composé et rédigé, nous avons eu connaissance 
que la première de ces deux équations (celle de la trajectoire) avait déjà été rencontrée 
i l'aide d'un procédé absolument spécial à l'ellipsoTde, et incapable de généralisation, par 
M. SCHELLBACH, et signalée par lui sous le numéro i!28), dans une courte note, insérée à 
la fin dH 54< volume du Journal de Crelle (18K7) (page 880). Mais pour déterminer les 
coordonnées du point mobile en fonction du temps, au lieu de notre seconde équation, qui 
est exprimée à l'aide de deux intégrales analogues à celles qui figurent dans la première. 



— 365 — 73. 

dans lesquelles les valeurs des constantes C et C| sont celles 
fournies par les formules (78) et (79), c*est-à-dire pour la première 
d*abord, eu égard à l'expression (100) de la fonction ^^ 

(104) C=-(iiî-+-rî) — A(>o-4-^o) — AfD. 

Or cette première valeur donnant 

(1 04»"') fcD 1- C = 1 (uî H- v\) - Ar (yo -*- U\ 

on en déduira séparément, en ayant égard aux expressions (102) 
de 4>i, et V^ , 

I *,W=*?î-^(*dh-c),po 

(105; ^ 

' M',(^o) = *rf ■+-(*!> -f-O^o 

et par conséquent, en reportant ces deux expressions dans la 
valeur (79) de Gf, on aura de même pour celle-ci 



et calculables chacune sans aucune opération préalable, son équation (!26) qu'il indique 
par cet objet (page 385) n'est autre chose que notre équation ci-dessus (74), dans laquelle 
les fonctions ^|, Y|, <&«, Y«, et la fonction dcsforcesjf seraient remplacées par leurs 
valeurs relatives à la question actuelle, c'est-à-dire par les expressions (lOS) et (iOO), et 
sous cette forme on voit alors qu'elle n'est inlégrable par quadrature qu'à la condition d'y 
supposer l'une des deux inconnues f ou y remplacée par sa valeur en fonction de l'autre, 
tirée de l'équation de la trajectoire supposée calculée et résolue explicitement par rapport 
à l'une des variables. Or cette dernière opération n'étant pas réalisable effectivement dans 
le cas actuel, vu la nature des fonctions hyperelliptiques qui entrent dans cette équation, 
on ne peut pas dire que pour cette seconde partie du problème la solution ainsi présentée 
soit réellement, de même que pour la première, ramenée, comme nous le faisons, à de 
simples quadratures. 



74. — 366 — 

c'est-à-dire simplement : 

Si maintenant on fait attention qu'avec les expressions (102) 
des fonctions *^(cp) et W^(^), et les deux valeurs (104"') et (106) 
de (kD H- C) et de C^, les deux quantités <b^ -*- C^ et W^ -+- C^ 
peuvent s'écrire ainsi 

puis, qu'ayant remis dans les équations (80) à la place de 7, ^, w, 
les coordonnées \ fx, v, qu'elles étaient censées représenter, on 
convienne ensuite, pour plus de simplicité, de faire la constante 
arbitraire v égale à zéro, c'est-à-dire en fait de prendre pour les 
constantes a, 6, c précisément les demi -axes de Tellipsoîde donné, 
on obtiendra, en divisant par \/k ces deux équations (80), tenant 
compte des valeurs (106^'') qui précédent, et supposant que 
chaque radical emporte avec lui son signe, pour solution com- 
plète et définitive du problème, les deux équations 

■ ' ^ "^ 0. 



(406"') 







l/A/-(i)A J 1/^AC)M 






(*) Od s'assure immédiatement que, pour le cas particulier où l'on suppose nulle la 
vitesse initiale, la valeur de C| fournie par cette formule est bien celle que donnerait la 
formule (A) que nous avons établie pour cette hypothèse, dans le même cas i» (page 59 en 
note, in fine); car les valeurs (105) ci dessus de *|(fo) ^^ Y|('^oJ se réduisent dans ce cas 
particulier à <^l(fo) = Yil'^o) = — ^fcr^o. on voit que la valeur de C| fournie par cette 
formule (A) peut s'écrire alors : 



— 367 — 75. 

dans lesquelles les symboles A et M représentent, pour abréger 
récriture, les deux polynômes du 4" degré 

A = [2*(i — io) -^ ul] [ik (i — ^) -♦. vl] — ulvl 
M = [2A;(/u — Ao) 4- !/«] \U[fi — A*o) -^ vl] — y>l 

la fonction f(p) désignent toujours celui du 3' degré 

/•W = (a«^p)(6«^p)(c'H.p), 

et qui dépendent en conséquence des fonctions hyperelliptiques. 

Dans rhypothése de la force attractive, la constante k affectant 
alors une valeur négative, il sera nécessaire, pour avoir des 
expressions réelles, de multiplier par V^ — 1 les deux membres 
de chacune des équations (106^*'), ce qui revient à introduire le 
facteur — 1 sous chacun des radicaux qui y Ggurent, et qui sont 
par hypothèse les mêmes dans les deux équations. 

Dans les mêmes circonstances nos formules (80****) et (80**') 
nous donneront, pour définir en grandeur et en direction le 
rayon de courbure, en un point quelconque de la trajectoire 
représentée par la première de ces deux équations, les expres- 
sions suivantes des trois composantes U, V, W de la courbure 



U 






\^lk(l — )o -+- f* — A*o) -+- MÎ -+- Vjf 



abc fx.A — XM 



W = 



n (;^ _ f^)[n(\ — \,H-A* — A*o)-^ti;-+- v;i(^f*)* ' 



pour le calcul desquelles nous prions encore le lecteur de se 
reporter à la note III de Tappendice, à la suite de ce Mémoire. 
Le signe qu'il faudra prendre devant la seconde intégrale de 
chacune des équations (103) ou (lOG*") sera évidemment, d'après 
Tintégrale première (69), le signe contraire du rapport^, lequel 



76 — 368 — 



est déterminé pour Tinstant initial, eu égard aux valeurs (4), par 
celui de la quantité donnée 






et se décidera ensuite d'une façon analogue, chaque fois qu*il y 
aura lieu, à Taide d'une discussion pareille à celle que Ton fait 
pour chaque problème avec les coordonnées classiques. 

La solution contenue dans les formules (103), où G et Ci sont 
censées représenter les valeurs (104) et (106), comprend comme 
cas particulier en y faisant A: = 0, c'est-à-dire en supposant nulle 
la force d'attraction, celle que l'illustre Jacobi donne sous les 
numéros (3) et (4) dans la 28** de ses Vorlesungen ûber Dynamick 
(page 214), pour le problème du mouvement d'un point matériel 
astreint à rester sur un ellipsoïde sans éfre soumis à l'action 
d'aucune force extérieure, solution qu'il présente comme appli- 
cation de sa belle méthode d'intégration des équations de ia 
Dynamique, basée sur les travaux de Hamilton, laquelle paraissait 
ainsi indispensable pour traiter ce genre de problèmes (*). Il 
n'était donc pas sans intérêt, croyons-nous, de montrer que l'em- 



(*) Pour faire coïncider nos résultats avec ceux de Jacobi, il faut substituer à notre 
seconde équation (103) celle que l'on obtient en ajoutant à cette seconde équation la pre- 
mière multipliée par ^, équation qu'on peut écrire, en faisant passer le facteur f +^ 
sous le radical, et écrivant dans le second membre C"i à la place de la constante 




(r-.)(.H.|y 



f{f)[k<,*^(kD-^C)^+C,] 



f 







f(^)[kp* -^ ikb -\- C)^ -^ C,] 



— 569 — 77. 

ploi seul des coordonnées curvilignes, inlroduit en analyse par 
Lamé, suffisait, à Taide de procédés usuels et purement classiques, 
pour traiter les mêmes questions, ou même d*aulres d*une com- 
plication plus grande encore, sans être obligé d'avoir recours aux 
profondes méthodes du Maitre de Kônisberg, qui par leur étendue, 
leur fécondité, et le jour nouveau dont elles ont éclairé toute la 
théorie des équations aux dérivées partielles, constituent, à pro- 
prement parler, un chapitre à part de l'analyse moderne. 

Exemples relatifs au cône du second ordre, et a la sphère. 
1" Cône. — Comme seconde application de nos méthodes d'inté- 
gration, proposons-nous de déterminer le mouvement d'un point 
matériel astreint à rester sur un cône du second ordre (non de 
révolution), et soumis à deux forces d'attraction^ Tune émanant 
du sommet et variant on raison inverse du carré de la distance, 
et l'autre émanant de l'axe réel (ou intérieur) de ce cône, et 
variant en raison inverse du cube de la distance à cet axe. 

Pour traiter cette question par notre méthode, la première 
chose à faire est d'adopter un système de coordonnées auquel 
on puisse rattacher la surface donnée, c'est-è-dire qui comprenne 
parmi ses trois surfaces ime famille de cônes du second ordre. 

A cet effet, bien que le système des coordonnées elliptiques, 
défini par les équations (94), que nous avons employé pour 
traiter l'exemple précédent, ne comprenne jamais comme surfaces 
coordonnées que des ellipsoïdes et des hyperboloïdes, quelles que 
soient les valeurs des constantes a^, b^, c^, qui entrent dans sa 
définition, on peut néanmoins s'en servir pour traiter les 

cl dès lors en faisant dans c<'ltc dernière (^(juntion. ei dans noire proinière f\(ïS) : 

c>=:)j, •^rrrijj r:7=i,, 

on retrouve Uuéralcmvnt les ('•qualions (8) et (i) sus-indiquées de Jacobi. (Au sujet de la 
roncordanee des n^ultats de notre méthode avec ceux fournis ])ar la méthode de Jacohi, 
voir la note II, en apjjcndice. à la fin du Mémoire.^ 

X. 24 



78. — 370 — 

questions relatives au cône du second ordre, en le modifiant 
légèrement de la façon que nous allons expliquer (*). 

Pour cela nous remplacerons dans ces deux systèmes d'équa- 
tions (94) a, 6, c, i, (i, V, respectivement par ka, kb^ kc, k% A:*//, 
et r^ (changement qui laisse subsister sans modification, quel que 
soit ky les quatre premières inégalités de définition (93)), ce 
qui transformera d abord ces deux systèmes dans les suivants 



««H-fi 6*-t-fi r^-^-fi '' (6«— r')(fe-— a*) 

U-V-4-r* k'b'+r* A-Vn-r^ ' (c^^a'){c'-^by ^' 

et les trois surfaces coordonnées, représentées en coordonnées 
rectilignes par le premier de ces systèmes, ne cessant évidemment 
pas d'être orthogonales entre elles après ce changement de nota- 
tion, quelle que soit la valeur attribuée au coefilcient k, nous y 
ferons A: = 0, ce qui nous donnera définitivement les deux nou- 
veaux systèmes équivalents entre eux 

= X' =s= — r 

(o'-t'Xa'— c») 

, - ., . (/>'-t-i)(6'-+-M) . 

(107) ( -_,- -. --- ^ .-^^ 0. y' = (k-TJlftri^ '•■ 

z = •" 



X" 


-t- 


y* 


-♦- 


Z' 


a'+x 


fc'-t-i 


C*-+-X 


i' 


-1- 


• 


-t- 


4W 


a'-4-(t 


c'-+-,tt 




X» 


H- y* -+- z 


' = r' 



(c^— a*)(c*— 6*j 



C) Le syslùiiH' des coordonnées roniijm's, donl nons donnons ei- après les formules, a 
déjà été employé pnr plusieurs auteurs, notamment par M. <<. ^FA'MA^^, dnns un très 
curieux et intéressant mémoire, dont nous retrouvons les résultiits par notre méthode 
quelques page-t plus bas, intitulé De probirmate quodam nieehanico, quod ad primam 
intetjrahum ultra-eUipticarum dassem revoratur, et inséré au tome LVl du Journal de 
Crelle (I8r>8, pages 40-(>^; voir formules ['A;, pa«;e W). Mais comme ce système de coor- 
donnéeSf ainsi que celui formé de trois familles de paraboloTdes, dont nous faisons usage 
un peu plus loin, sont en somme fort peu connus (nous avouons, pour notre part, ne les 
avoir encore jamais rencontrés, lorsque nous avons composé ce mémoire), nous croyons 
accomplir une œuvre qui ne sera peut-être pas sans utilité pour le lecteur, en indiquant 
dans ce travail même, avant d'en faire emploi, comment on peut les obtenir Tun et l'autre, 
comme limites du système des coordonnées elliptiques. 



— 571 — 79. 

qui dé6nissent un système coordonité, composé d'une famille de 
sphères concentriques au paramètre r, et de deux familles de 
cônes du second ordre aux paramètres ) et u, ayant leur sommet 
commun au centre de la sphère, et dont il est facile de vérifier 
immédiatement Torthogonalité, car les trois équations du second 
système donnent par une combinaison facile 

x' y" z« 



(o* -♦- A)(a« ^ ^) (6' -4- A) (6' -♦- fji) (c« -♦- A) (c' -+- fi) 

(6*-c')(c*-a*)(a« — 6') '' 

ce qui est précisément, comme on le reconnaît de suite, la con- 
dition de perpendieularité des deux surfaces en chacun de leurs 
points communs. 

Enfin l'expression (95) de réiémcnl d'arc en coordonnées 
elliptiques^ devenant par les mêmes substitutions 

,< (r--A'A)(r'-AV) 

4 (AV + r'XJtV H- r'')()kV + r*) ^ ' ' 

c est-à-dire en simplifiant 



-»- 



r«(r'-*'i)(r'-JkV) 



(*'o' -4- r')(itV +. r')(AV -4- r') 



-Li rfr' 



et se réduisant par suite lorsqu'on y fera A;= 0, à 

* A*) 4 f{iA 

= Ar'A . dx' -4- A; V . rf^' •+- ^*r . dr\ 



80. — 372 ~ 

montre que Ton a dans le système des coordonnées coniques, /,p.,/' 

1 fji — A ^ ^1 A — u. _. 

(108) A.'A = -^-- r^ -^rV^-- ~t\ a. v=i. 

delà pose, pour faire emploi de ces formules dans la question 
proposée, nous prendrons pour axe des z Taxe réel (ou intérieur) 
du cône donné, cl pour axe des x le plus grand des deux autres 
axes, de telle sorte que l'équation de ce cône sera alors nécessai- 
rement de la forme 

.r y z'' 

— -*- — -0, 

A- B- Ç} 

A, B, G étant réels, et remplissant la condition A > B. On voit dès 
lors sans peine que cette surface pourra être considérée comme 
Tune de celles de la famille des cônes au paramètre fx, car les 
constantes a^ 6^,c*, et fx, élant assujetties par définition simple- 
ment aux conditions 

— a' <—/>-< /^ < — r", 

ou ce qui est la même chose 

«* > h\ a' H- /^ > 0, 6^ -f- /. > (^ r* H- A* < 0. 

on reconnaît de suite qu'on y satisfera en prenant : 

«'» = K\ 6' = B\ r' =- - C, /. = 0. 

Convenant donc d'attribuer, dans tout le calcul qui va suivre, aux 
constantes a^, 6*, c*, et fx ces valeurs, il suflira pour pouvoir 
appliquer littéralement nos formules d'intégration de faire de 
même 

(108»'") r=o ^=f» ^ = ,.^0, 

et avec ces nouvelles notations, les formules (108) nous donne- 



— 575 — 81 

ront, en ne supposant pas tout d'abord ia coordonnée w égale à 
zéro, pour les quantités H, K, J, les valeurs 

et en particulier pour la surface donnée , pour laquelle on a 

„o,, H^,, <^—,y; '-iy. 

D'autre part, si nous convenons de désigner par kei k^ les con- 
stantes d'attraction correspondant aux deux forces données, sup- 
posées inversement proportionnelles, la première au carré de la 
distance r au sommet, et la seconde au cube de la dislance p à 
Taxe intérieur du cône, que nous avons pris pour axe des z, la 
fonction «les forces F sera par délinition : 

/' kdr I %d^ k 1 A, 

Or, la troisième des formules de droite (107) donnant avec Thy- 
pothèse |[ji = cr =3 



p* = X* -♦- \f = r* — z* = H 






(c* — a') (c* — />") - (a^ — c*)(6* — O 



on aura, en substituant cette valeur de p^ dans celle de F qui pré- 
cède, pour Texpression de la fonction ^ la suivante 

. K-. * i (a'-c*)(6* — c*)A, 1 

(109»»' .T(r, X, A. = - -f- - 4, »/; M \. -V 

r :> a*o* — c^(a^ •¥• fr -♦- A) r* 

ou bien, en effectuant pareillement le changement de notation 



82. — 374 — 

(108%elfaisantpoursîmpIifierrécritureA' = ^(a^-6^)(a«--c«)ifc,, 
pour celle de la fonction <^+ G, celle-ci : 

(HO) %,.^a) + € = --+.— TTi—jz T^-+-C. 

f arb^ — r(a^ -t- 6* h- ^) f* 

Ces préliminaires étant admis, la question que nous nous 
sommes proposée peut être résolue par la méthode d'intégration 
du cas III, soit à Taide de formules du sous-cas 1% soit par le 
moyen de celles du sous-cas 2^, ainsi qu'il est nécessaire, la sur- 
face étant encore isotherme d'une part, et d'autre part du moment 
que nous avons reconnu que les premières sont plus générales, 
et comprennent en réalité les secondes comme cas particulier. 
En effet les expressions (109) et (110), que nous avons trouvées 
pour la question actuelle, coïncideront avec les expressions (76) 
du cas 1^, en faisant 

i 

Hf) = ?% *i (?) = *f + c r, i^^f) = - 

? 



et elles coïncideront également avec les expressions (90) du sous- 
cas 2*, en faisant pareillement : 

a =r const. = 1 , 

( Hf)^k'Y'*'Cf\ *i(?) = l, *i(f)=»f', 

(110^") ) _ —A' , 1 ^ 

( ttV — r(a'-+-o'-t-^) ^fM 

Ayant ainsi le choix des deux procédés de calcul, comme nous 
avons déjà présenté par Texemple précédent une application 
du calcul relatif au cas 1% nous traiterons en conséquence le 
problème actuel par les formules du cas 2% afin d'en montrer 
également une application. 

Nous plaçant donc au point de vue des hypothèses (90), c'est- 



— 375 — 83 

à-dire admettant pour les sept fonctions <J>, W^ <l>|, W^, *l>2, Vj, et 
ûyCes dernières vaIeiirs(ll(V'''), la solution du problème sera dès 
lors fournie intégralement par les équations (91), dont la seconde, 
qui est susceptible d'une double forme, sera, en choisissant le 
premier type, immédiatement intégrable par quadrature sans 
substitution préalable, attendu que Ton a par les valeurs (110^") 

Ayant donc, avec ces valeurs (HO'*"), 






4; r/f 






*) 



2 V m)(G_c'C,+) '" 



/•{ JÔTj u'b' ~c\ii*-4-h'+f,) le,-*'] * 



/■(*)(G-c'C,+) 
en désignant pour abréger par D et G les constantes 

la solution du problème consistera d'après les formules (91) dans 
les deux équations 

[ r --JL ■ « n/ ^(D-c'JÔ~ ., p, 



! / ./c, ..lu .v -^*^^"" *=••'• 



dans lesquelles les deux intégrales en ^ sont de celles que Ton 



m 



84. — 376 — 

peut obienir aisément à i'aide des proecdés classiques, Tintégrale 
en 4^ dépendant seule des fonctions hyperelliptiques. 

La forme des deux expressions que donnent ces deux quadra- 
tures en cp dépendra du signe des constantes C et C^, dont les 
valeurs fournies par les formules (92) sont dans le cas actuel : 
savoir pour C, eu égard à l'expression (110) de la fonction ^, 



{M^2) 



,_I , ,^ Vk k- 1] 



et pour (]|, en ayant égard aux expressions (1 10'''*) des fonctions 



I 






Mais cette dernière expression doit être amenée à sa forme défi- 
nitive, en y remettant à la place de C sa valeur qui précède. A cet 
effet, ayant par cette valeur (112), en multipliant par t-î^?, , 

1 k'vt 

(A'vo -^ C'rl)rl = -(î/.l -H vlivlyf, ,- " ,^ r, 

la valeur de C, deviendra, en y reportant cette dernière expres- 
sion, 

k Uu -+- »'o) 



M* -4- rô L- " '' " " < '/* ■*" '^ "^ ^«l 

c'est-à-dire simplement : 

(112»"') C. = --—-*- ^^. - - vlrl C). 



;') On \o\l de suiio ciiruir que la valeiir puriiculièrr 

A' 

à laquelle s? réduit (cric t^xpri-s^iou do (*.,. d;ius lliypDllu'so do la vitesse iuiliale nulle, 
esl bien la môme qui? fournil la formu'f JH) que nous avons donnéi! pour cette hypothèse 



— 577 — 



85 



(Hd) 



Les expressions de ces quadratures seront, en effets savoir : 
1® a) pour la première, dans Thypothèse de C| > 0, 

b) et clans le cas contraire de C) < 

/ 



I ifcy -+- ^JC, 

arccos 



î»l/C,-+-^'^C-^?* 1/ -C, 



ç>l//t*— 4CC, 



2" c) pour la seconde, dans Phypothèse de C > 



J l/f 



^d 



? 



l/Q -4- k^ -+- Ci>' 



i 1/ c, ^ ^^ ^ C^* 

/ (a/C -♦- — - -^. l/C,-4.it^-+-Cî»*), 



î2C^^(: 



21/C 



rf) el dans Thypothèse contraire de C < 0, 



/■, 



t"/? 



l/C,-^A?-*-C?^ 



- I/C. H- A> -4- C^* 



arc eos — 

^2Cl/ — C 



Vk"" — 4CC, 



dans le même cas !2" (voir |)H{;l> 0<) en noto, injine, ; car TcMiuation '.1 \% étant multipliée 
par rô» ("t traitée comme plus haut, donnera on «général pour résultat : 

1 

et se réduira par conséquent dans le cas particulier en question à 

d'où il suit que la valeur de C| fournie itar cette foinmle .B; sera alors : 




86. — 378 — 

Si Ton convient donc de représenter pour abréger par F(ij;) 
rîntégrale hyperelliptique 



=./v^ 






où D et G représentent les constantes (111), et qu*on remette à 
la place des variables cp et 4* l<^s coordonnées coniques r et X 
qu'elles représentent pardéGnition dans les calculs qui précèdent, 
la première équation (91), ou équation de la trajectoire du point 
matériel, sera en conséquence, d'après le tableau (113) : 
a) pour le cas de Gf > 



, -*- /tr-*- Cr) |zt-F(i) = C', 



d'où, par conséquent, en faisant f = 0, pour C! la valeur 

ety en retranchant la première équation de la seconde, puis mul- 
tiplant par i^Ci, 

/ 1 - («^C; H- -~ -h l/C, -4- /kr + (>* )1 

- / [Ifl^C; ... -^ -4- l/C. ^ Ar„ ^ Crj] 1 = =b 1 1/c;F(A), 
L'-.^ 2V/C, ^J 2 

et Gnalement, en repassant des logarithmes aux nombres, on aura 
entre r et > Téquation 

- [VT:, ^ — ^ -+- I/C, H- A:r -^ Cr») 

^^ 21/c; ^ 

(113'") ) * 

= -l/C,H 3= -^ V^C, -+- itro •♦- Crî c • 



^. 



— 579 — 



87. 



b) pour le cas de C^ < 



1 Ar^2C, i ^ 

arccos d=-FU)=(:', 

r 2 



I/-C 



rl/jt* — 4CC, 



d'où par conséquent dans cet autre cas, en faisant /= 0, les va- 
leurs 



C 



i kro -t- Î2C| 

arc eos 



^-c, 



rXA« — 4CC, 



. C08 C K — Cl «= zzziziz: _ 

rol/ifc« — 4(:C, 



> 



in C l/- C, = ifc 



-il/ZTc, l/C, ^ fcro -^ Cr; 



sin 



To l/A' — 4CC. 



or, en supposant cette valeur de C remise dans Téqualion qui 
précède, et multipliant par \^ — C^, cette équation deviendra 



kr -4- !2Q — - 

arc ces — == k — C, 

rl/jfc» - 4CC| 



C'=F^PWj. 



ou, en prenant les cosinus des deux membres, 



2C, 

r 



— jt ^ l^Af' — 4CC,cos h/— C, [^ F(A) - c] I 

— fe -+- y/k^ — 4CC, Uosf d= il/^=rc;F(x)JcosC' l/^^ 

-^ sinfdz -V^ir(;F(A))5inCV^^, 1 

— A-*-— î !cosf-l' -C,F(A)j 



2«^-^../7T 



^1 — •' |/C, -H Arr, H- Cri sin {-V/3c;F(i)J, 



J 



88. — 380 — 

d'où finalement Téquaiion simple pour déterminer r en fonetion 
deX 

-= H M * cos -l -(1«F(A) 

I ± ;— 1/ C,-4 *r„-HCr?, sin ( - l/_C,F(A) j. 

De même la seconde équation (91), qui donne l'expression de 
(f ou r en fonction du temps, sera, en effectuant le même chan- 
gement de notation dans les expressions du tableau (113) : 

c) pour le cas de C > 

doù par conséquent pour C" la valeur 

C" = d= -— \Ï^C,^kr,-^Crl — I Uv'C -»- — !— ^.l/c.-^A'ro-f-Crî)!, 

qu'il faut supposer remise à la place de C" dans I équation qui 
précède; et de même 

d) pour le cas de C<0 

\ f^ 2('r-HA' — 

(J 15) -\ C, -H A/-4- Cr* H =::^arccos =zfcK^2(l-t-C") 

^' lia -C yk'—ux, 

d'où dans ce cas pour C" la valeur 
J 



C" = zb 

1/ 



^- y C| -f- A'r„ H- CrJ h arc cos — - 



(|u'il iiuidra encore remettre à la place de G" dans l'équation 
précédente : et par conséquent dans tous les cas la coordonnée r 
sera déterminée en fonction du temps, par une équation trans- 
cendante où n'entreront que les seules transcendantes classiques 
log, sin, et cos. 



— 381 — 89. 

Si l'on remarque que les deux formes (113^') et (114) de 
réquation de la trajectoire sont algébriques en r, et fournissent 
l'expression de r en fonction de X par une équation du premier 
ou du second degré seulement, en résolvant cette équation, et 
reportant cette valeur de r dans la seconde équation (H4*"') ou 
(113), on aura de même la relation entre la coordonnée X et le 
temps, exprimée à Paide des seules transcendantes classiques, et 
de la transcendante liyperelliptiqueF(X),qu on peut toujours sup- 
poser calculée, à défaut d'autres moyens, à l'aide des procédés de 
quadrature approximative. 

Comme problème plus simple, dont la solution peut être 
déduite à titre de cas particulier de celle que nous venons d'ob- 
tenir, supposons en terminant que la seconde force d'attraction, 
c'est-à-dire celle émanant de Taxe du cône devienne nulle, en 
sorte que le mobile soit simplement attiré par le sommet, en 
raison inverse du carré de la distance. 

L'hypoihcse A'i = ou A''.-=0, introduite dans les formules 
(112), (11 2"'), (111) et (113**''), donnent successivement: 

C = -(ul -f- vl) - - , C, = - 1 vlfl G = I)C. , 

G — r*C,t^ = DC, — c'C.rp = C,(D — r^), 



nous en déduirons en récrivant encore dans ces dernières valeurs 
r et X à la place de ? et i{/, 



\ ri A'I I 

C, -4- Ato -*- Cri = — -rjrj -+- ÂTq -h -(w„ ^ rj) r* = -t/jrj 



w) 






-9 

) 



et dès lors la trajectoire, qui sera toujours dans ce cas exclusive- 



90. — 382 — 

ment représentée par Téquation (t 14), vu la valeur toujours 
négative de C^ qui précède, deviendra dans ce nouveau pro- 
blème 

i_ J- .. (i - J-) ... (1 /-' ___^^L_ ) 



(H5"') 



îîî si„ (1 r '"' — )■ 



et ne dépendra plus alors, comme Ton voit, de même que la 
relation (114**'*) ou (il 5) entre X et ï, que des fonctions ellip- 
tiques seulement. Et alors nos formules (92**") et (92**) nous 
donneront presque immédiatement, pour la grandeur du rayon 
de courbure en un point quelconque de cette trajectoire, Texpres- 
sion suivante, où C représente la valeur que nous venons de 
spécifler pour ce cas : 

^ ^ 2ir' (h ^ Cr)lxi O 

v,r, Vk'rx^ -«. 2a*6Vt^:r; {k h- Cr) 

Les deux équations (113*") ou (114), et (114**") ou (IIS) 
résolvent la question que nous nous étions posée en premier 
lieu aussi complètement qu on peut le demander, à Taide des 
coordonnées coniques r, \ et jex, définies par nos équations 
(107), et qui seules, croyons-nous, permettent de pousser jus- 
qu'au bout la solution d'un semblable problème. Elles nous 
rendront de nouveau un précieux service dans le paragraphe 
suivant, à Foccasion d'un problème important, en nous en 
fournissant encore une solution plus simple et plus complète 
que tout autre système de coordonnées. 



(*) Le lecteur trouvera le calcul de cette expression, ainsi que la description exacte du 
mouvement correspondant à ce problème restreint, déduite de la discussion des équa- 
tions intégrales ainsi obtenues, à la fin de la Note III de l'Appendice qui termine ce mé- 
moire, sous la rubrique : IIo Cône du tecond ordre; mouvement d'un point attiré parle 
sommet, en raison inverse du carré de la distance. 



— 383 — 9«. 

2" Sphère, — Mais auparavant nous voulons encore faire res- 
sortir Futilité de ce nouveau svstème de coordonnées, et en même 
temps présenter un nouvel exemple de l'application de notre 
méthode/eii traitant avec ce système, à la suite deM.G.NEUMANN, 
un intéressant problème, dont Téminent géomètre fournit une 
solution simple etélégante^par le moyen des équations d'Hamilton 
et Jacobi (*). 

Le problème en question consiste à déterminer le mouvement 
d'un point matériel astreinte demeurer sur une sphère, et soumis 
à l'attraction exercée, suivant la loi newtonienne, par la masse 
entière d'un ellipsoïde homogène immobile, dont le centre coïn- 
cide avec celui de la sphère, et qu'on suppose renfermer dans 
son intérieur le volume entier de ladite sphère. 

A cet effet observons tout d'abord qu'en prenant les axes des 
coordonnées rectilignes dirigés suivant les axes mêmes de l'ellip- 
soïde en question, le point attiré étant par hypothèse constam- 
ment intérieur à la masse attirante, les composantes de la force 
qui le sollicite auront des expressions de la forme 

X --= — 2«* j , Y = — î26*//, / = — 2c^z, 

et par suite la fonction des forces correspondante sera exprimée 
en coordonnées planes par 

F(ar, y, z) = f{\dx -\- \dy -+- Zdz) 

= — f^a*xdx -4- b*ydj/ -+- c*zdz) = — (a*x^ -¥- h*y* -+- cV), 

les constantes a^^ b^^ c^, étant exprimées en fonction des axes de 
l'ellipsoïde attirant par des intégrales elliptiques que l'on trouve 
indiquées dans tous les traités de mécanique. 

Cela posé, nous adopterons pour traiter ce problème le système 
des coordonnées coniques défini par nos formules (107), en ayant 
soin de prendre pour les constantes a^, 6*, c', qui y figurent, 



(*) « De problemate qundam mechanico, qitod ad primant integralium uUra-rllip- 
ticarum claxsem revocatur. • (Journal dk Grelle, t. LVl, pp. 'S-ihi, iSTiB.) 




92. — 384 — 

précisément les mêmes valeurs qui entrent dans Texpression des 
composantes ci-dessus X, Y,Z. Dès lors, pour transformer dans ce 
systènïc de coordonnées Texpression qui précède de la fonction 
des forces F, il suflira d'observer que, les deux premières de ces 
équations (107) exprimant que X et fx sont les deux racines de 
réqiiation du second degré 

x' if r* 



a' -\- p Ir -\' p r -\- p 

ou ce (|ui est la même chose, en chassant les dénominateurs, 
réduisant et ordonnant, 

donne immédiatement la relation,en faisant toujours r^x^H-yVr*, 

> ^ ^ _-. _ 1 [j:-^6« h- v^) -+- y\c^'\- ar) -+- ^'(a* -f- 6*)] 

^—\\ r\a' -+- 6- -t- r) — (aV -+- bh/ + c'z») ;, 

d'où Ton tire aisément 

a*x'* -h 6*r/* -♦- cV = r'(A -+- f* -+- r.* -♦- 6^ -+- r). 

Par suite Ton aura en substituant dans Texpression ci-dessus 
de la fonction des forces F, pour celle de la fonction ^ 

(1 15'") .f (>, fji. r) = — r'(A -H /z -f- a' -+- h^ -^ c*), 

et par conséquent enfin pour lexpression dCrT'+C, en posant 
encore, comme dans Téquation (99''''), D = «* -f- ^* -h c*, 

^(A, a, r) 4- C = — r*(À -f- /^) — rM) -^ C. 

Convenant donc, pour faire l'application de notre méthode à 
la question proposée, de prendre dans cette dernière expression, 



— 385 — 



93. 



comme dans toutes les équations dont nous allons faire usage, 
pour unité de longueur le rayon de la sphère donnée, et récrivant 
en conséquence pour plus de clarté cette expression de ^ r»- C, 
ainsi que celles (108) de H et K, en y faisant > ^=3 <p, et|xc=s4^, 
r = i, ainsi qu'il suit 



H 



(fH-C = — [y+^ + D-C] 



K = Ar5 = TT7i(*-f), 



¥W 



y«^(D-C)^-[^«-f-(D — C)^] 



? 



on voit, en comparant ces dernières valeurs avec celles expri- 
mées par les formules (76), que les conditions exigées seront 
encore remplies, en prenant simplement 



(116) 



! ♦ (f) = ?> 

♦i(f) = — ff'^-(I>-C)f], 

— i 

♦l(?) = 






H^) 



— \ 



Par conséquent, nos formules intégrales (80) nous fourniront 
immédiatement, en remettant A et jx à la place de f et 4^, et 
multipliant par 2 chaque équation, pour solution du problème 
les deux équations 



/ 



dx 



'.^ I/Aa)[x«^(D-C)x — C] 
j "^'i I//'(ac)[m* + (D-C)p-C.] 



0, 



i 



/MX 
,^ |/AWr^'-»-(D-C)a-C, 

V l//^(p)[^«H.(D-C)/.-C,] 



±21/2. t, 



X. 



35 




94. — 386 — 

dans lesquelles les valeurs des coefficients des trinômes sous les 
radicaux s*obtiendront très aisément, en calculant celles des 
constantes G et C^ par le moyen de nos formules (78) et (79), 
en tenant compte des expressions (1 IS^O et (116) des fonctions 
iy ^1, ^1, et seront alors les suivantes : 

D — C = - ( Ao -t- /^) - i ( ti J H- r î) , 

Les équations, auxquelles nous venons de parvenir, ne diffèrent 
que par un simple changement de notation de celles qu'obtient 
comme résultat M. Neumann (Joc. cit.y formules (6), page 49), et 
dont il déduit ensuite, h Taide d'une discussion savante et appro- 
fondie, la connaissance détaillée de toutes les circonstances du 
mouvement. 

Exemple relatif au paraboloïde; discussion, et description 
COMPLÈTE DU MOUVEMENT. — Proposous-nous cniin, comme dernier 
exemple, et pour terminer ce chapitre, de connaître le mouve- 
ment d'un point matériel, astreint à rester sur un paraboloïde 
donné (elliptique ou hyperbolique, mais non de révolution), et 
soumis, sans vitesse initiale, à la seule action de la pesanteur, 
dont on suppose la direction coïncider avec Taxe de figure de 
cette surface. 

Pour traiter cette question, nous déduirons encore du système 
ellipsoïdal (94), à l'aide de considérations de limites analogues 
à celles qui nous ont fourni le système des coordonnées coniques 
employé pour les deux exemples précédents, nous déduirons 
encore, disons-nous, un nouveau système orthogonal, formé celui- 
là de trois paraboloîdes homofocaux, dont deux elliptiques, et le 
troisième hyperbolique, système auquel il sera toujours possible, 
comme nous allons le voir, de rattacher la surface donnée, et dont 
nous ferons usage pour appliquer nos formules. 

Dans ce but, contrairement à ce que nous avions fait dans les 
exemples précédents, nous supposerons dans le système ellip- 



— 387 — 95. 

soldai (94) les trois constantes a*, 6^ c^, rangées par grandeur 
dans l'ordre suivant a* < 6* < c', cette dernière étant supposée 
expressément positive (hypothèse nouvelle, qui ne change évidem- 
ment rien à Texactitude des raisonnements et des calculs basés 
sur ce système, du moment que les trois équations de ce système 
sont parfaitement symétriques par rapport à ces trois quantités 
a',6',(^)y en supposant alors, bien entendu, au lieu des inégalités 
(93), les trois coordonnées elliptiques X,fji,v, renfermées de même 
respectivement entre les limites suivantes : 

Dès lors, pour obtenir le système orthogonal formé de trois 

paraboloïdes dont nous parlons, convenant de désigner pour un 

instant par p Tune quelconque des trois coordonnées \ jx, v, en 

sorte que chacune des équations du système (94) puisse être 

représentée par 

x' y' z' 



o' -f- p 6' -♦- c c' 



puis changeant d'abord dans celte équation a', 6', p, etz, respec- 
tivement en q[>, cqj cp, et z — c, ce qui la transformera dans la 
suivante 



c{p-^9) c(9-+-p) c(c-+-p) 



1. 



équation qui peut encore être écrite en réduisant, puis multi- 
pliant par c, 

«' v' z* ^z -^ g 

p-+-p 9-+-P C-+-P p 

1 H 

C 

nous y ferons ensuite c «= oo , hypothèse qui la réduira simple- 
ment à : 

(H6»"') -^-^— = 2z-^p. 

P-^ 9 9 -i- P 



D'où l'on voit que les trois surfaces qui composaient le 
système ellipsoïdal (94), lesquelles par cette transformation 
n'ont évidemment pas cessé à un instant quelconque d'être 



# 



96. _ sas — 

orthogonales entre elles, sont devenues trois paraboloîdes dont 
les sections principales ont toutes leurs foyers sur Taxe des z^ et 
situés quel que soit p, c'est-à-dire X, fx, v, aux deux points, 
z' =:|pour les sections principales situées dans le plan des zx, 
et z'' = | pour celles situées dans le plan des yz. 

Pour voir d ailleurs à quel genre appartiennent séparément 
ces trois familles de paraboloîdes, il suffit d'introduire les mêmes 
changements de notation et hypothèses dans les inégalités de 
définition (93), lesquelles devenant alors 

— c' < cA < — cç < fiu < — cp < ry, 

ou en divisant d*abord par c = -+- l^c* (c* étant supposé pris 
positif), puis faisant ensuite c = oo , 

(\\7) —00 <X<— y<Ai<— p<v<-4-Q0, 

donnent respectivement pour chacune des trois surfaces 

p-+-A<0, p-^f*<0, p-*-y>0, 

9 -+- a < 0, 9 -4- A4 > 0, 9 -t- y > 0; 

d'où il suit que la seconde surface, au paramétre |x, seule, est un 
paraboloïde hyperbolique, et que les deux autres sont elliptiques, 
ayant bien tous deux pour axe de figure Taxe des z, mais leur 
concavité tournée chacun en sens contraire Tun de Tautre. 

En opérant les mêmes changements dans les trois formules de 
droite (94), elles deviendront semblablement : 

f , (cp -^ CA)(cp -^ Cfi)(cp H- C») _ (p -H A)(p ^ fi){p^ y) 

(cp-cç)(rp-0 - (p_,)(?_^) 
, (c? -H cX)(cqr -H cn){eq ^ çy) ^ (y ^ x){q -^ n){q -^^ y) ' 

(c* H- cx){c* -+- Cfi){c^ -♦- cv) (^{c -H i)(c -+- fi)(e -♦- y) 
(z — c) = — 



(c* — cp){c' — cq) 



i'-^)H) 



— 389 — 97. 

Les deux premières donneront donc immédiatement pour 
c= 00 : 

^117 ; x= , y= 

p—q q^p 

Quant à la troisième, si après Tavoir développée ainsi qu^il 
suit 



Z* — 2C2 -4- c' 



C 



[' -'-f^ - ?] ' 



on chasse le dénominateur, et qu'on fasse attention dans le 
développement des deux membres aux seuls termes en c^ (les 
termes en c' disparaissant d'eux-mêmes), ce qui donnera 

— (2z -h p -♦- q)c* -*- (••.) c -H ••• = (a -H /x -+- y)c* -♦- (•••)c -♦- •••, 

il est clair qu'en divisant alors par c*, puis faisant ensuite cs=a x , 
ces mêmes termes subsisteront seuls, et l'équation se réduira par 
suite à 

ou 

(118) z = — i(>^ -^ fit -*- y -*- p -^ q)f 

ces valeurs (117"*) et (H8) de x*, y', et z coïncidant, bien 
entendu, avec celles que l'on eût obtenu directement en résol- 
vant le système des trois équations (1 1 6^**). 

Enfin, le même changement de notation opéré de nouveau 
sur la formule (95), nous donnera, en n'écrivant pour abréger 
que le premier terme, 

I . ^ (ex — C/x)(cA — Çy) 

4 (cp -+- cx){eq -+- cx)(c* -¥- cl) 

_i (A - fi)(X - v) ^^, 



••• 



(p H- i)(9 + i)(i +^) 




— 391 — 99. 

valeur zéro du paramètre, soit à la deuxième, soit à la troisième 
famille du système des trois surfaces (116^"). Car les quatre 
quantités p, 9, p et v, n^étant assujetties par déflnition, diaprés 
les inégalités (117), seulement qu'aux trois conditions 



ou bien 






( P <?. 




q + y>0. 



on voit de suite, d'après ce que nous venons de dire, que ces 
diverses conditions seront bien remplies en prenant simplement 
p = p et 9 = Q en même temps que jtx = 0, si la surface (1 1 9) 
est un paraboloïde hyperbolique, ou que v = 0, si c'est un para- 
boloïde elliptique. 

Plaçons-nous donc, pour Gxer les idées, dans cette dernière 
hypothèse, et supposons également que l'action de la pesanteur 
s'exerce en sens contraire de l'axe des z que nous avons choisi sans 
ambiguïté dans ce cas, ainsi que nous venons de le dire, les compo- 
santes de la force accélératrice qui sollicite le mobile étant alors 
X=0,Y=0,Z= — g (dans l'hypothèse contraire relative au sens 
de la pesanteur, il suffirait évidemment d'attribuer à la constante 
g une valeur négative) la fonction des forces correspondante 
F(x, i/,z) aura pour expression, dans les mêmes circonstances, 
en coordonnées rectilignes — yz, ou ce qui est la même chose, 
en coordonnées paraboliques, par suite de la valeur (118) de z : 

(119"') <?(A, p, v) = ig{x ^f^^y^p^q)^ 

et par conséquent pour tous les points de la surface v = 0, sur 
laquelle le mobile est astreint à rester, l'on aura : 

^{X, p, 0) -*- C = i J(A -+- p 4- p ^ 9) -+- C. 

Récrivant donc cette dernière valeur, ainsi que celles (1 18^) que 
nous venons de trouver pour FI et K dans ce système de coor- 




100. — 392 — 

données, en y faisant à la fois > = 9, u=^ \^, v = 0, les expres- 
sions 

i f 

K = Ar V = (* — *). 



I 



î»' H- U -+- 7 H- — jç» — L' ^. (p -I- 7 H- -Jjf 



(i20) 



2-' y— ^ 

étant rapprochées des formules (76), montrent qu*il suffira encore 
pour appliquer notre théorie de faire comme plus haut 



moyennant quoi nos formules (77) ou (80) nous fourniront 
encore immédiatement la solution du problème. 

Mais pour obtenir ces résultats sous une forme simple et facile 
à interpréter, il convient de déterminer préalablement la valeur 
des constantes G et C|, à Taide des formules (78) et (A) (note de 
la page 59, in fine)y cette dernière tenant lieu de la formule (79), 
à cause de Thypothése admise de la vitesse initiale nulle. A cet 
effet, la première de ces deux formules nous donnant, en ayant 
égard à la valeur ci-dessus (il9^^') de la fonction ^, 

valeur, d'où nous concluerons successivement 

âC 2C 

— = — (fo-*- 'f'o-*-P -«- 9) et p -4- g -»■ — *= — (f -♦- 'f'o), 




— 393 — 101. 

les expressions ci-dessus (120) des fonctions <>f (9) et W^ (f^) 
deviendront^ en substituant cette valeur, les suivantes 

lesquelles donnant à leur tour 

réduiront à première vue la valeur de C| fournie par la for- 
mule (A) précitée (le dénominateur apparaissant alors comme 
Tun des facteurs du numérateur), à Texpression simple, 

^1 = — [i 9(— ?oh) 1 = i 9?o^o; 

et par suite Ton aura enfin, en se reportant aux valeurs des fonc- 
tions 0| (<p) et V, (<p) que nous venons d'écrire, 

(120^'") I 

Avec ces expressions ainsi calculées, et celles écrites plus haut (1 20) 
des fonctions <>(f), W(^)^ *2(?)> ^«(4')> "o® formules (80) 
nous donneront pour solution complète du problème les deux 
équations 

fo 

/ v^ *» ■' '*-" 



/v 



r 

f 


4(p + 


?)(9-+- rtlisKfo- 


-f)(fo- 


-f) 






* 






*(P-^ 


f)(9-^^)(49)(f«- 


~+)Uo- 


-♦) 


r 


4(p-»- 


^)(q-*-f)(i9){?o' 


-?)(*•- 


-r) 


t 



y V/tt:^— T7T— t77z;t tt: -.f^f 



4(p -^ ^)(9 -^ 'f')U 9){fo — '/')(*o — #) 



102. — 394 — 



ou définitivement, en multipliant tous les termes par 1^2^, et 
remettant ensuite à la place des lettres ^ et ^y les coordonnées 
i et A*, qu elles étaient censées représenter, puis convenant, pour 
plus de simplicité, que chaque radical emporte avec lui son signe, 
ces deux autres équations 



/' 



A. 






V^X{p H- X){q -4- X)(>o — A)(^— A) 

/Lcdu 

= 0, (*) 



-«)(? •+-^)^^•— f»)K — f) 



(i21) 



/ 



* >?dx 



-f 






^^ 1/a* (P -+- a*) (7 -4- A*) (io— p) (/*o — A*) 



et en même temps nos formules (80****) et (80*") fourniront 
aisément pour les composantes de la courbure, en un point 
quelconque de la trajectoire représentée par la première de 



(*) Il semble à première vue» la constante g (dunt le signe spécifie, ainsi que nous 
TaYons dit. le sens de la pesenteur) n'apparaissant pas en évidence dans la première 
de ces deux équations, que la trajectoire ne dépende en rien du sens de son action 
relativement à la surface, résultat évidemment absurde; mais ce n'est là qu'une illusion, 
attendu les limites absolument différentes, entre lesquelles chacune des coordonnées 
Xet\L est astreinte à varier dans les deux cas, comme nous allons le montrer. Hais sans 
aborder même cette discussion, on peut également réduire à néant cette apparente contra- 
diction, en se rappelant que c'est par hypothèse le même radical qui entre dans les deux 
intégrales relatives à chaque coordonnée > ou /i, dans Ie« deux équations. Or, la seconde 
équation (121) fait voir que lorsque g est négatif, il y a nécessité de multiplier tous les 
termes de la seconde équation par 1^ — i, ou ce qui est la même chose, d'introduire le 
facteur — 1 sous chaque radical, pour que l'équation ait lieu entre quantités réelles. Si 
donc on se borne à considérer les points réels de la trajectoire, qui offrent seuls un 
intérêt au point de vue du problème mécanique, on voit ainsi que ce ne sont pas en réalité 
les mêmes intégrales qui figurent dans la première équation (ISl) pour les deux hypo- 
thèses deg "^ Oeig <. 0, ou en d'autres termes que l'équation de la trajectoire est bieu 
véritablement différente dans les deux cas. 



— 395 — 103. 

ces deux équations, les expressions (voir la note III de Tappen- 
dice) 

/ U V 



V 7(P-*-^)(?-*-^)(^o~/*)K-/*)-f- y -(p+a)(9+a*) (io->)(A*o-A) 



(A — io -+- /* — f^Y 



w= 



V ^ U(>o--A)(a^ — A)---(Ao--/i)(A^ — a) 



(a — /x) (Ao — A -+- /Ko — A*) 



Ces formules, qui résolvent complètement la question, per- 
mettent de se rendre compte, a Taide de considérations pure- 
ment élémentaires, de toutes les principales circonstances du 
mouvement. 

Pour faire cette discussion d'une façon complète, il conviendra 
d'examiner séparément les trois cas suivants. 

1* Le paraboloïdc étant supposé elliptique, et la pesanteur 
attirant le mobile vers le sommet, c est-à>dire la constante jetant 
positive, comme il résulte immédiatement des inégalités de déGni- 
tion (117) que, parmi les cinq facteurs qui entrent sous le radical 
dans la première des intégrales de chacune de ces deux équa- 
tions, les trois premiers c'est-à-dire i, /> -H X, ç -f- > sont néga- 
tifs, le dernier ijlq — À étant au contraire positif, le facteur 
restant Xq — A devra donc être aussi négatif pour que l'intégrale 
reste réelle, c'est-à-dire que i sera astreint à varier entre Aq 
comme limite inférieure et — q comme limite supérieure. Et de 
même, parmi les cinq facteurs qui entrent sous le radical de la 
seconde intégrale, trois sont encore négatifs, savoir fx, p + fx, 
Ïq — fx, et un positif, savoir 9 + fx; il faudra donc encore que le 
facteur restant, à savoir iiq — fx, soit aussi négatif, ce qui signifie 




104. — 396 — 



que la coordonnée fx sera astreinte à varier entre (Xq comme 
limite inférieure, et — p comme limite supérieure. (*) 



(') Lorsque la valeur initiale donnée Xq sera précisément égale à l'autre linaite que 
nous venons de reconnaître pour la coordonnée X, à savoir la valeur —q, le champ 
assigné k sa variation se réduisant alors à zéro, il suit de là nécessairement que cette 
coordonnée restera alors pendant toute la durée du mouvement constamment égalée 
cette valeur Jig « — g. L'équation ). = — q sera donc dans ce cas l'équation même de la 
trajectoire, en remplacement de la première équation (lâi), qui est alors indéterminée, 
en raison de ce que la première intégrale le devient également. Or la seconde équation 
(iiT*»'*), qui pour X =^ —q donne y* « 0, quelle que soit la valeur finie attribuée à /ut, 
montre que cette trajectoire ne sera autre que la section principale des xz, à laquelle on 
suppose alors qu'appartient la position initiale. Semblablement si la valeur initiale de la 
coordonnée /ui est supposée égale à l'autre limite — p, assignée k la variation de /tt, on 
aura forcément à toute époque (i = {i^ = — p, et la trajectoire représentée alors par cette 
équation au lieu et place de la première équation Jâl) qui perd encore toute significttioo 
déterminée, sera de môme l'autre section principale ou des yz, attendu que la première 
équation (IdT^i*) donne constamment x* » 0, pour (i =» — p, quelle que soit la valeur finie 
attribuée à X- Ces deux résultats étaient d'ailleurs évidents a priori, la vitesse initiale 
étant supposée nulle et la force constamment parallèle à l'axe de figure de la surface, par 
une simple considération de symétrie (qui se produirait quelle que soit la position initiale, 
si l'on supposait la surface de révolution), aucune raison d'aucun genre n'intervenant alors 
pour faire sortir le mobile à un instant quelconque de la section principale sur laquelle 
on le suppose placé à l'origine de son mouvement. 

Dans ces deux hypothèses, la trajectoire du mobile passera donc par le sommet du 
paraboloTde ; mais il est facile de voir que, hormis ces deux cas simples qui étaient aisés 
à reconnaître a priori, et une autre hypothèse ])articulière plus complexe que nous 
allons indiquer tout à l'heure, en général le point mobile ne se trouvera à aucune époque 
du mouvement au sommet du parabololde; car pour que le sommet fût un des points de 
la trajectoire, il faudrait que ses deux coordonnées, savoir >= — get/uiBB — p, véri- 
fiassent simulianémeut la première équation (121), c'est-à-dire que l'on eût en séparant 
en deux membres : 

^- « XdX 



f 






=y 



Or, il est évident que ces deux intégrales qui sont des fonctions différentes de Xq et /liq* 
et des mêmes constantes p et 7, ne représenteront des quantités égales, que si l'on 
suppose que les coordonnées initiales Xq et /iio vérifient une certaine condition, à savoir 
celle exprimée par cette dernière égalité elle-même. 

On se rendra compte d'ailleurs également sans difficulté, par voie intuitive, de cette 
conclusion (dont l'énoncé pourra peut-être au premier abord causer quelque élonnement, 
en raison de ce que le sommet du paraboloTde est par hypothèse le point le plus bas de la 
surface), en réfléchissant qu'en général le motif de symétrie que nous signalions tout à l'heure 
n'existe pas, quant au point de vue géométrique, relativement à la section verticale menée 
par l'axe de la surface et la position initiale du mobile; qu'il n'y a donc plus aucune raison 



— 397 — i05. 

Ce premier point acquis, il est facile de voir que chacune de 
ces deux coordonnées X et /x parcourra effectivement d*une façon 
continue tout Tintervalle que nous venons de lui assigner, et que 
la loi de sa variation consistera dès lors en une succession d'os- 
cillations entre les deux limites correspondantes. 

En effet nos deux équations (75) et (75^0 (dans laquelle 
on fera abstraction du membre intermédiaire), étant dans 
le cas actuel, en y introduisant à la place des fonctions 
4>, % 4>„ ^2, 4>, H- C^, V| H- Q, les valeurs qui précèdent (120) 
et (120^"), dans lesquelles on aura remis X et /x au lieu de <p et ^, 



V 



i(p -*- X){q -4- X) . ii/(\,— A)(f*o — A) 



dx 



(121"*) < — =P\/— — ^ —dfj^^du, 

1 

dt = ± (X — /ji)du. 

Vit 

on aura en les divisant membre à membre, après les avoir éle- 
vées au carré, 

A IdxV 

f^ l(hY ^ 1 

"-^gip -^ M)(q -^ i^)(h- l^){lh — f^)\dtl i(>-f*)*' 
ou séparément 



de penser que cette section sera précisément la trajectoire; et que dès lors, une fois sorti 
de cette section, les vitesses normales relativement à ce plan dont il sera alors animé 
constituent en général une raison sufiBsante pour qu'il ne passe plus par le point le plus 
bas de la surface, de même que dans le problème du pendule conique le mobile ne passe 
pas non plus pour cette même cause par la verticale du point de suspension, qui est dans 
ce cas le point le plus bas de la spbère. 



# 



106. — 398 — 

valeurs qui monireront, eu égard aux limites de définition (,117), 
que les dérivées —^ et ^ ne peuvent s'annuler, et par conséquent 
aussi changer de signe, que pour les seules valeurs X = XqOU 
X = — q pour la première, et ^jl = fx^ ou u = — p pour la 
seconde, d'où il suit que les valeurs des coordonnées X et p 
oscilleront bien indéfiniment entre les mêmes limites. 

En outre la dernière des équations ci-dessus (121^*'), que Ton 
peut adopter comme définition de la variable auxiliaire u (avec 
la condition u = pour /==0), en prenant arbitrairement une 
fois pour toutes Tun des doubles signes qui y figurent, montre 
également, le facteur X — fx restant constamment de même signe 
en vertu toujours des mêmes inégalités de définition (117), que 
la variable auxiliaire u variera constamment, soit dans le même 
sens que t, soit en sens contraire, suivant le signe que Ton aura 
adopté. D'où Ton peut conclure immédiatement qu'elle prendra 
sucessivement, de même que t, tous les états de grandeur en 
valeur absolue depuis zéro jusqu'à l'infini, car si après l'avoir 
intégrée de à u, ce qui donnera 

H M 

' 

Ion fait ensuite f = oo , il faudra nécessairement que l'une au 
moins des deux intégrales du premier membre soit infinie, ce 
qui ne pourra arriver, l'élément de cette intégrale Xrfu où prfu 
restant constamment fini, que moyennant que la limite supérieure 
u sera elle-même infinie. On pourra donc dès lors la prendre 
pour variable indépendante à la place de tj en vue de faciliter la 
discus3ion des résultats qui précèdent. 

Cela posé, les deux premières équations (121 **'•), que Ton peut 
écrire séparément, en entendant encore que chaque radical 
emporte avec lui son signe. 



(122) { '^^^^^(P ■*- ^)(9 -^ A)(A«- A)(mo- A) 

= — — ■ =iau, 

V^lg)/^(p -f- iL)(q ^ ^)(Ao - i^)(^ - m) 




— 399 — i07. 

ou ce qui est la même chose, leurs intégrales 

xdx 



(^22>»'-) 






= u, 



A)(7^ A)()o— A)(/i«— A) 
fid/x 



= u 



^l^iP -*- /*)(? -*■ /")(>o — /*)(/*o— A*) 



montreront de nouveau que chaque fois que Tune des variables 
X ou p passera par Tune de ses limites, il faudra en même temps 
changer le signe du radical qui y Cgure, car dans les mêmes cir- 
constances la différentielle cfk ou d/x changeant à chaque fois de 
signe, c*est le seul moyen que le second membre du de ces 
mêmes équations conserve indéfiniment le même signe, ainsi que 
cela est nécessaire, d'après ce que nous venons de dire. 

On déduira immédiatement de Tensemble de ces conditions, à 
Taide d'un mode de raisonnement très connu, que si Ton consi- 
dère les deux coordonnées X et /x comme deux fonctions de la 
variable auxiliaire u, définies séparément par ces deux dernières 
équations intégrales (l^^*"*'), et même en se bornant à considérer 
simplement les valeurs réelles de cette variable indépendante u, 
ces deux coordonnées seront des fonctions périodiques de cette 
variable, dont les périodes seront respectivement ^Ui^ et 2u2, 
u^ et U2 désignant les deux quantités de même signe (*) 

xdx 



W| = — :^ I ■— z 



l/a^«/^ l/>(p^ A)(7 ^ \){\ — Aj(f*o — A) 






Itdu^ 



V^g^^ [/fi(p ^ fi)(q -4- A*)(Ao — ii)(f^ — fi) 



(*) En effet, supposons que dans la dernière équation (iSfi^i*) nous ayons fait choix du 
signe + de manière que, le facteur ^ — /tt étant par définition constamment négatif, du 
sera toujours de signe contraire à dt, c'est-à-dire négatif. Alors, pour ce qui est de la 
coordonnée A par exemple, dans les premiers instants du mouyement X partant de )o 
comme limite inférieure, dl est positif, et par ailleurs X étant lui-même négatif par défi- 
nition, le numérateur de la première valeur (1S3) de du, k savoir \dx est donc négatif, et 



S 



408 — iOO — 



(le radical étant supposé pris avec le même signe dans les deux 
expressions) quantités qui seront toujours finies, attendu que 
Vordre d'infinité (*) de la fonction sous le signe /"est pour Tune 



par conséquent tant que > n'aura pas atteint sa limite supérieure — 7. il faudra prendra 
au dénominateur de la même expression le radical avec le si{;ne +. Gela posé, désignons 
pour plus do clarté par {u) la valeur de la première intégrale (132^'"), correspondant dans 
ce premier intervalle à la valeur particulière [\) de la coordonnée ), et examinons pour 
les époques successives la loi de variation de cette intégrale u, considérée comme fonc- 
tion do À. Lorsque ) atteindra sa première limite - q, la fonction u aura acquis la valeur 
que nous désignons dans le texte par u, (en entendant pour le raisonnement présent que 
le radical 7 soit pris avec le signe +). A partir de cet instant, et pour toute la durée pen- 
dant laquelle > varie de —g à /o, il faudra, comme nous l'avons expliqué, changer le 
signe du radical qui entre dans les équations (iâ$, c'est-à-dire sous le signe/ dans l'ex- 
pression de la fonction u. Il s'ensuit que l'accroissement de cette fonction u correspondant 
à cet intervalle sera 

1 /^'« Xi) 






-V 



= «',. 



et sa valeur au bout de cette période, lorsque X est revenu à sa valeur initiale )ot ^r* 
ainsi 2U|. A partir de cet instant, et jusqu'à ce que X atteigne de nouveau la valeur — 7, 
le radical de l'intégrale reprend le signe -i-, comme dans le premier intervalle, et par con- 
séquent l'accroissement de la fonction u à partir de cet instant, jusqu'à ce que la coordon- 
née X repasse de nouveau par la valeur (>; sera encore (u); d'où il suit que sa valeur totale 
acquise depuis l'origine du mouvement, c'est-à-dire sa valeur effective à ce dernier instant 
sera âuf -4- (u}; résultat qui suffit pour établir la périodicité de la coordonnée A, considé- 
rée comme fonction de u, du moment que l'on peut continuer indéfiniment ce même 
mode de raisonnement, et l'on reconnaîtrait exactement de la même façon la périodicité 
de la fonction (i définie parla seconde équation intégrale [MH^^*]. 

Serret dans son excellent Cours de calcul différentiel et intégral (tome U, % 509-JH4, 
pp. 456-i68) prétend établir par ce seul raisonnement, et sans avoir égard à la considéra- 
tion des valeurs imaginaires de la variable, le caractère fondamental de la périodicité 
dans les fonctions circulaires ou elliptiques, les fonctions x — sin u, ou 2 = sin am u 
étant définies comme les fonctions inverses des intégrales que l'on saii. A la vérité, dans 
cette question d'analyse pure, môme pour l'objet restreint qu'il se propose, ce mode de 
raisonnement paraîtra sans doute à tout le monde tout à fait insuffisant, attendu qu'en se 
bornant, comme il le fait, à considérer les seules valeurs réelles de la variable r, rien ne 
montre qu'il faille néceMairement changer le signe du radical, toutes les fois que cette 
variable atteint l'une de ses limites. Mais l'on ne saurait adresser le môme reproche au 
raisonnement qui précède, du moment que nous avons fait voir expressément que cette 
nécessité résultait clairement dans le cas actuel des équations antérieures de la théorie 
c'est-à-dire en fait des conditions mécaniques de la question elle-même. 

(*) Voir JoBDAN, Cours d'analyse de l'École polytechnique, t. U, | 76, p. 85. 




— 40i — i09. 

et I autre intégrale égale à i ; et Ton reconnaîtra en même temps 
qu^aux époques successives correspondant aux valeurs 0,Uf,2u|, 
3u|,... de la variable u, les valeurs de la coordonnée X seront 
alternativement \ei — 9, et de même qu*aux époques corres- 
pondant aux valeurs 0, U2, Suj, Suj,... de la même variable, les 
valeurs de fx seront alternativement (Iq et — p. 

En conséquence, sauf le cas ou les deux quantités u^ et U2 
seraient deux nombres incommensurables entre eux-, comme on 
pourra toujours trouver deux nombres entiers positifs, m et n, 
tels que Ton ait : 



iii n 






— = — 


ou 


mfi| = nii|, 


tit tn 







il est clair que lorsque la variable u se sera accrue de la quantité 

les deux coordonnées A et fx reprendront simultanément la même 
valeur, et par conséquent en général (sauf la restriction que nous 
venons de dire), le mouvement sera périodique relativement à 
la variable auxiliaire u. 

Ce premier résultat acquis, on reconnaîtra sans peine que Tin- 
tervalle de temps T correspondant à des accroissements succes- 
sifs égaux ù U de la variable t/, est bien aussi une quantité 
constante, en sorte que le mouvement sera également périodique 
relativement au temps, et la durée T sera précisément ce que 
Ton appelle la période du mouvement. 

Pour s'en assurer il suffira d'intégrer entre les limites AU et 
(& + 1) U, & désignant un nombre entier quelconque, la der- 
nière équation (121^") qui déflnit u en fonction de t, ou ce qui 
revient au même, qui exprime t en fonction de u, opération qui 
fournira, comme on va le voir, un résultat indépendant du nombre 
entier k qui particularise le rang de Taccroissement U donné à 
la variable u. 

X. 26 



# 



no. — 402 — 

En ciïei, ayant posé par définition 



pour calculer chacune des deux intégrales qui figurent dans cette 
expression, nous partagerons le champ d'intégration de la pre- 
mière, à savoir U = 2muf en 2m parties égales chacune à U|, 
et de même le champ d'intégration de la seconde, qui est sembla- 
blement U == ^nu^, en 2n parties égales chacune à Uj, ce qui 
permettra d'écrire ainsi cette même expression : 



Àdu 



ÎW4", 'î«l*-f-I.JI| rijNi+fM-l>H| 

«n'Mt (fnX + ljMt (tili+lii-l)>. 

Or, sous cette dernière forme, si Ton remplace dans les 2m 
intégrales de la première ligne la dilTérentielle du par la pre- 
mière de ses valeurs (122), ce qui les transformera chacune en 
une intégrale relative à \ et de môme dans les 2n intégrales de 
la deuxième ligne du par sa seconde valeur (122), ce qui les 
transformera toutes en intégrales relatives à fji, puis qu'on se 
rappelle les valeurs que nous avons reconnues séparément à 
chacune des coordonnées A et fx, pour chacune des valeurs de la 
variable u qui forment les limites de ces intégrales, on recon- 
naîtra tout d abord que les deux premières intégrales dans chaque 
ligne seront égales entre elles, car pour la première ligne, par 
exemple, elles seront respectivement 






'-» xVa 



"^9-^,^ »/ A (;> H- A) [q -f- A) (Ao - /) (a*o — ^) 
cl 



— 403 -^ m. 

attendu que, lorsque l varie de — 7 à X^, le signe du radical dans 
Tex pression (122) de du n'est plus le même, avons-nous dit, 
pour ce second intervalle que pour le premier, dans lequel X 
variait de io à — 7. El comme ensuite chacun des groupes de 
deux intégrales qui suivent les deux premières, dans chaque ligne, 
reproduisent exactement les mêmes circonstances, il est clair 
que les 2w intégrales de la première ligne deviendront par cette 
transformation toutes égales entre elles, et scmblablement toutes 
les 2n intégrales de la seconde ligne égales aussi entre elles. 
D'où il suit que l'expression précédente de T donnera, en opé- 
rant ainsi, et supprimant haut et bas le facteur % pour la durée 
de la période du mouvement, la valeur 

T = =fc-^ m/ . 

l/g L •>:^ I/a(p ^ X)(q -H A)(Xo— ^)(m. - A) 

- nf" ^" -- " 

résultat qui est bien, indépendant, comme nous l'avions annoncé 
du rang de l'accroissement U donné h la variable u, et qui con- 
rorde exactement d'ailleurs avec celui donné par M. Neumann, 
à propos des équations analogues rencontrées dans l'exemple 
précédent, en invoquant implicitement la théorie supposée connue 
des iranscendantes hyperelliptiques. (Journal de Crelle, t. LVI, 
toc. «7-, S 10» P- S9.) 

Gomme dernière indication propre à renseigner sur la nature 
du mouvement, remarquons enfin que, d'après les formules de 
transformation (1 1 7"*"), la valeur limite i = — q donnant ;/ 1= 
quelle que soit la coordonnée fji, pourvu qu'elle soit finie, ce qui 
est le cas, et de même la valeur limite a = — p donnant scmbla- 
blcment x=0, quelle que soit la valeur finie attribuée à la 
coordonnée )., il résulte de la périodicité que nous avons reconnue 
séparément aux deux coordonnées ). et fx par rapport à la 
variable ti, qu'aux époques successives correspondant aux 
valeurs u^, 3ti|, Kii|, ...(2m — 1)U| de cette variable, le point 



# 



ii2. — 404 — 

mobile se retrouvera dans la section principale des xz^ qui est 
par hypothèse celle qui correspond au plus petit paramètre, et 
de même qu'aux différentes époques correspondant aux valeurs 
t/ji, 3113, Stiji, ... C2n — l)ti2 de la même variable, il se trouvera 
dans la section principale des yz, c'est-à-dire celle dont le para- 
mètre est le plus grand. Mais il importe de bien remarquer 
que la périodicité relative h la variable u que nous constatons 
dans ces phénomènes, se produisant pour chaque coordonnée 
indépendamment de Taulre, n'engendrera pas comme consé- 
quence une périodicité correspondante relativement au temps 
pour la succession de ces mêmes phénomènes, ou en termes 
plus précis qu'aucune indication ne permet de penser que dans 
chacune de ces deux séries, les différentes époques qui ramènent 
le même phénomène soient en réalité équidistantes, de même 
qu'aucun moyen élémentaire ne s'offre plus pour calculer effec- 
tivement par l'intégration la durée de leurs intervalles, sans passer 
par l'intermédiaire des transcendantes hyperellipliques elles- 
mêmes. Le seul fait précis à retenir au sujet de cette dernière 
observation, et sur lequel nous voulions appeler Tattention, 
consiste donc en ce que, dans l'intervalle d'une période T, le 
point mobile se retrouvera m fois dans la section principale 
des xjz, et n fois dans la section principale des yz. 

2' Le paraboloîde donné étant toujours elliptique, si l'on 
suppose au contraire que la pesanteur s'exerce dans le sens 
même de l'axe des z, comme tous les raisonnements et les 
calculs, qui nous ont fourni nos équations intégrales (121), 
subsisteront encore dans ce cas à la seule condition d'y considérer 
la constante g comme négative, ce qui obligera pour avoir des 
quantités réelles à multiplier par l^ — 1 tous les termes de la 
seconde équation, ou à introduire le facteur — i sous chacim des 
radicaux qui figurent dans ces deux équations, on voit, en reprenant 
le même mode de raisonnement que nous avons employé tout 
à l'heure, qu'il faudra pour la réalité des intégrales qui entrent 
d^ns ces formules, que les deux mêmes facteurs Iq — ) et fXQ — u 
soient au contraire positifs, c'est-à-dire que les deux coordonnées 



^ 405 ^ H3. 

i et |tx seront astreintes à varier entre les limites io et — oo d'une 
part, et /xq et — 9 d'autre part; et l'on verrait exactement de même 
qu'elles parcourront d'une manière continue, toujours dans le 
même sens d'une limite h l'autre, chacun de ces intervalles. Le 
champ assigné de cette façon à la variation de la coordonnée / 
fait voir que dans tous les cas le point s'en ira à l'infini, car les 
formules de transformation (11?*"') et (118) donnent également 
aî = oo, // = oc,z = oo, pour A = — 00 . Quant à la coor- 
donnée fx, elle sera comme tout à l'heure une fonction périodique 
de la variable h, définie par la seconde équation intégrale (122''") 
(ou plutôt par cette même équation multipliée par V^ — 1, 
afin de n'avoir encore dans les deux membres que des quantités 
réelles), fonction dont la période relative à celte variable 
H sera cotte fois 2?/;^, en désignant de môme par n^ la quantité 






fidfi 



qui sera toujours finie de même que les quantités analogues u^ 
et tiji, et pour la même raison. Mais il importe d'observer que, 
dans le cas actuel, on ne pourra plus afïirmer comme tout à 
rheure que cette même variable i<, bien que variant toujours 
dans le même sens, de même que f, prendra encore tous les 
états de grandeur absolue depuis zéro jusqu'à l'infini, attendu 
que dans l'équation (I2P') la première intégrale, dont l'élément 
htu peut alors devenir infini, pourra être infinie elle-même avec 
une limite supérieure finie. Désignant alors par u == U| la limite, 
quelle qu'elle soit, finie ou infinie, vers laquelle tendra u pour 
t = oo (valeur dont le calcul exact exigerait l'intégration effec- 
tive figurée par l'équation (121'"), en supposant qu'on y ait 
remis sous les deux signes /l à la place de X et fx, les fonctions 
hyperelliptiques qui expriment leurs valeurs en u, d'après les 
deux équations (122^")); et si, de plus, on désigne par (2m — 1) 
le plus grand nombre entier impair compris dans la valeur 
numérique du rapport -^, si ce rapport est plus grand que l'unité, 
ou ti3<Ui en valeur absolue, la dernière équation ci-dessus, qn 



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