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Full text of "Annales de la Société scientifique de Bruxelles"

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SOCIÉTÉ SCIENTIFIQUE 



DE BRUXELLES. 






SOCIÉTÉ SCIENTIFIQUE 



DE BRUXELLES. 



— II — 

III. Assemblée générale du lundi 13 avril 1885 85 

Rapport du Secrétaire [b. 

— du Trésorier 87 

IV. Assemblée générale du mardi 14 avril 1885 90 

V. — — du mercredi 15 avril 1885 92 

Toast de M. G. Dewalque, président, au banquet de ce jour . 94 

VJ. AssenibléegénéraledH jeudi 16 avril 1885 96 

Approbation des comptas présentés par le Trésorier ib. 

Proclamation du résultat des élections 97 

Liste des ouvrages ofTerts à la Société scientiGque de Bruxelles ... 98 



AUTEURS. 

Baule, 54 — Blondel, 81. — Bourgeat, 68. — Brifaut, 87. — Carbonnelle, 48, 
85. — Charlier, 68. - D"" Cousot, 89. — Cuyiits, 79, 80. — De Heen, 60. — 
Delgeur, 01. 62, 68, 73. — Delsaulx, 48. ~ Desplats, 73. 78, 82, 96. - De Tilly, 
o6. — F. Dewalque, 60. - G. Dewalque, 62, 68. 04. - Dollo, 61, 62, 68, 92. — 
Gelin, 59. — Gilbert, 48, 53, 54 56. 59. - D' Lcfebvre, 77. — Le Paige, 48. - - 
A. de Limburg-Stirum, 61, 62. — Mansion, 48, 53, 54, 56, 59. — Mœller, 74. - 
d'Ocagne, 48, 56, 59. - Oomen, 62. — Pasquier, 59. - Raclot, 61. — Schmill. 
59. — Smets, 68, «0, 93. - de Sparre, 48. — Swolfs, 62 — de la Vallée, 62. 63. 
— Van den Gheyn, 68, 69, 83. — Van Tricht, 60, 61 . — Venneman, 74. — Verriesl 
74. — Warlomont, 74, 79. 



SECONDE PARTIE 



MÉMOIRES 



Princi|M s d'uno théorie nouvelle des fonctions élémentaires d'une variable 
imaginaire, par P. Mansion j 

Sur riplégralion des équations linéaires aux dérivées partielles du premier 
ordre, par Pb. Gilbert 4j 

Sur le mouvement d'un solide autour d'un point fixe et sur le pendule 
conique, par le 0«S parnd( 49 

Sur une lacune qui semble exister au début de renseignement de la géomé- 
trie descriptive, par M. le major De Tilly 95 

Notice liihologique sur les îles Columbretas, par le R. P. Antonio Viceut, S. J. 105 
Note sur le néocomien du haut Jura français par Tabbc Bourgeat .... 119 
Propriétés nouvelles du paramètre difTérentiel du second ordre des fonctions 

de plusieurs variables indépendantes, par M. Haton de la Goupillière . . 151 
Note sur la tête d'un fœtus de Ralsenopiera Sibbaldii (Gray), par M. l'abbé 

Gérard Smets 187 

Sur la réduction aux fonctions elliptiques de l'intégrale /l/]ïgil^^^^2 ïr^;r'f ' 

par M. le C»« de Sparre 205 

Sur une suite de polygones tels que chacun d'eux soit formé en joiguaut les 

milieux des côtés du précédent, par M. Maurice d'Ocagne 23! 

L'Atropbie des muscles du thorax et de l'épaule chez les pleurétiques, par 

le D"- Desplats 239 

Sur l'herpolodie dans le cas d'une surface du second degré quelconque, 

par M. le C»* de Sparre 249 

La Théorie du navire, par M. Albert Baule 259 

Les Affinités linguistiques des langues sémitiques et polynésiennes, par 

J. Van den Gheyn, S. J 1^86 

Note sur quelques dépôts littoraux des environs de Bruxelles, par le C^^ 

Adolphe de Limbnrg-Stirura 305 

Notes d'ostéologie erpétologique, par L. Dollo 309 

AUTEURS. 

Baule, 251). — Bourgeat, 119. — Dosplats, 239. — De Tilly, 93. — Dollo, 309 
— Gilbert, 41. — Haton de la Goupillière, 151. — de Limburg-Stirum, 305. — 
Mansion, 1. — d'Ocagne, 231. — Smets, 187. — de Sparre, 49, 205, 249. — 
Vau den Gheyn, 286. — Vicent, 105. 



QUESTIONS AU CONCOURS. 



i* On demande des recherches nouvelles sur des combinaisons renfer- 
mant le noyau C„ — CjHs. 

S* Des foyers à gaz au point de vue hygiénique. 

3° Expliquer la dualité des deux types^ l'un brun et l'autre blond, 
qui se constatent dans tous les grands rameaux de la race aryenne, en 
opposition avec l'unité linguistique. 

4*" Donner une théorie rigoureuse de la différentiation sous le signe 
dans les intégrales définies, en assignant tes conditions précises qui 
limitent l'application de la règle de Leibnitz, principalement dans le cas 
de limites infinies ou de fonctions passant par l'infini. Faire Inappli- 
cation de ces principes à quelques intégrales définies célèbres. 

Le i «'octobre 1886 est la date de rigueur pour Tenvoi des mémoires 
au secrétariat. 



PREMIÈRE PARTIE 



DOCUMENTS ET COMPTES RENDUS 



STATUTS 

Article l*'^ — Il est constitué à Bruxelles une association qui 
prend le nom de Société scientifique de Bruxelles, avec la devise : 
« Nutla unquam inter fidem et rationem vera dissensio esse 
potest (*). » 

Art. 2. — Cette association se propose de favoriser, confor- 
mément à Tesprit de sa devise, l'avancement et la diffusion des 
sciences. 

Art. 3. — Elle publiera annuellement le compte rendu de 
ses réunions, les travaux présentés par ses membres, et des rap- 
ports sommaires sur les progrès accomplis dans chaque branche. 

Elle tâchera de rendre possible la publication d^une revue des- 
tinée à la vulgarisation (^). 

Art. i, — Elle se compose d*un nombre illimité de membres, 
et fait appel à tous ceux qui reconnaissent Fimportance d'une 
culture scientifique sérieuse pour le bien de la société. 



(*) Const de Fid. cath. G. IV. 

{*) Depuis le mois de janvier 1877, cette revue parait, par livraisons trimestrielles, sous 
le titre de Revue des questions scientifiques. Elle forme chaque année deux volumes in-8* 
de 700 pages. Prix de l'abonnement : 20 francs par an pour tous les pays de l'Union pos- 
tale. Les membres de la Société scientifique ont droit à une réduction de 25 pour cent. 

IX. a 



_ «I — 

Ant. 5. — Elle est dirigée par un Comeil ( 
c\m onnuclleinent dans son sein. I.e Présidci 
dents, le Secrétaire et le Trésorier font pan 
Parmi les membres du Bureau, le Secrétaire t 
seuls rééligihlcs. 

Ant. 6. — Pour être admis dans Tassoei 
préscnlé par deux membres. La demande, sijiji 
ndiTsséc au Pn^sidenl, qui la soumet au Co 
n es! prononcée qu'A la majorité des deux lier 

LVxclusion d*un membre no pourra être p 
des motifs graves cl à la majorité dos deux tioi 
Conseil. 

Art. 7. — Ixîs membres qui souscrivent, à 
conque, une ou plusieurs parts du capital so 
/bitrf<ï/ef/rs. G*s paris sont de SOO francs. Les ? 
versenl une cotisation annuelle de 1 5 francs, qi 
rachetée par une somme de 1 oO francs, versée i 

ï^ 0>nscil peut nommer de^î membres ho 
savants étrangers à la Belgique. 

Ix*s noms de^ membres fondateurs fiiruren 
par ordre d'inscription, et ces membres reçoi\ 
plaires des publications annuelles qu'ils ont s 
capital social. Les membres ordinaires et les n 
roçoivenl un exemplaire de ces puliiicaticms. 

Tous les membres ont le même droit de v( 
blées générales. 

Art. 8. — Chaque anni'X'., il y a trois sos^ 
se tiendra dans la quinzaine qui suit la feto d 
durer qualn* jours. Le public ) sera admi> 
de cartes. On y lit les rapports annuels, et 
Bureau et le Conseil pour Tannée suivante. 
Les deux autres sessions se tiendront en o« 
Elles pourront durer deux jours, et auroi 
pal de préparer la session de Pâques. 



Art. 9. — Lorsqu'une resolution , prise dans TAssemblée 
générale, n'aura pas été délibérée en présence du tiers des 
membres de la Société, le Conseil aura la faculté d'ajourner la 
décision jusqu'à la prochaine session de Pâques. La décision sera 
alors définitive, quel que soit le nombre des membres présents. 

Art. 10. — La Société ne permettra jamais qu'il se produise 
dans son sein aucune attaque, même courtoise, à la religion 
catholique, ou à la philosophie spiritualiste et religieuse. 

Art. H. — Dans les sessions, la Société se répartit en cinq 
sections : L Sciences mathématiques y 11. Sciences physiques y 
111. Sciences naturelles^ IV. Sciences médicales^ V. Sciences éco- 
nomiques. 

Tout membre de Tassociation choisit chaque année la section 
à laquelle il désire appartenir. Il a le droit de prendre part aux 
travaux des autres sections avec voix consultative. 

Art. 12. — La session comprend des séances générales et les 
séances de section. 

Art. 13. — Le Conseil représente l'association. Il a tout pou- 
voir pour gérer et administrer les aiTaires sociales. Il place en 
rentes sur l'Etat ou en valeurs garanties par TËtat les fonds qui 
constituent le capital social. 

11 fait tous les règlements d'ordre intérieur que peut nécessiter 
l'exécution des statuts, sauf le droit de contrôle de l'Assemblée 
générale. 

Il délibère, sauf les cas prévus à l'article 6, à la majorité drs 
membres présents.Néanmoins, aucune résolution ne sera valable 
qu'autant qu'elle aura été délibérée en présence du tiers au moins 
des membres du Conseil dûment convoqué. 

Art. 14. — Tous les actes, reçus et décharges sont signés 
par le Trésorier et un membre du Conseil, délégué à cet effet. 

Art. 15. — Le Conseil dresse annuellement le budget des 
dépenses de l'association et présente dans la session de Pâques le 



fi- 

r 



compte détaillé des recettes et dépenses de Texercice écoulé. 
L'approbation de ces comptes, après examen de TAssemblée, lui 
donne décharge. 

Art. 16. — Les statuts ne pourront être modifiés que sur la 
proposition du Conseil, à la majorité des deux tiers des membres 
votants, et dans l'Assemblée générale de la session de Pâques. 

Les modifications ne pourront être soumises au vote qu'après 
avoir été proposées dans une des sessions précédentes. Elles 
devront figurera Tordre du jour dans les convocations adressées 
à tous les membres de la Société. 

Art. 17. — La devise et l'article 10 ne pourront jamais être 
modifiés. 

En cas de dissolution, l'Assemblée générale, convoquée extra- 
ordinairement, statuera sur la destination des biens appartenant 
à l'association. Cette destination devra être conforme au but 
indiqué dans l'article 2. 



REGLEMENT 



ARRÊTÉ PAR LE CONSEIL POUR L'ENCOURAGEMENT DES RECHERCHES SCIENTIFIQUES. 



1. — Le Conseil de la Société scientifique de Bruxelles a 
résolu d'instituer des concours et d'accorder des subsides pour 
encourager les recherches scientifiques. 

2. — A cet objet seront consacrés : 

l"" Le revenu du bénéfice acquis à la Société jusqu'à la ses- 
sion de Pâques 1879; 

2'' La moitié du bénéfice acquis pendant l'exercice qui précède 
Texercice courant. 

3. — Chaque année, Tune des sections désignera une question 
à mettre au concours. L'ordre dans lequel les sections feront cette 
désignation sera déterminé par le sort. Toute question, pour être 
posée, devra être approuvée par le Conseil^ qui donnera aux 
questions la publicité convenable. 

4. — Les questions auxquelles il n'aura pas été répondu 
d'une manière satisfaisante resteront au concours. Le Conseil 
pourra cependant inviter les sections compétentes à les rempla- 
cer par d'autres. 

5. — Aucun prix ne pourra être inférieur à 500 francs. Une 
médaille sera en outre remise à l'auteur du mémoire couronné. 

6. — Ces concours ne seront ouverts qu'aux membres de la 
Société. 



— 6 — 

7. — Ne sont admis que les ouvrages et les planches manu- 
scrits. 

8. Le choix de la langue dans laquelle seront rédigés les 
mémoires est libre. Ils seront, s'il y a lieu, traduits aux frais de 
la Société; la publicalion n'aura lieu qu'en français. 

9. — Les auteurs ne mettront pas leur nom à ces mémoires, 
mais seulement une devise qu'ils répéteront dans un billet 
cacheté renfermant leur nom et leur adresse. 

10. — Les jurys des concours seront composés de trois mem- 
bres présentés par la section compétente et nommés par le Con- 
seil. 

11. — Les prix seront décernés par le Conseil sur le rapport 
des jurys. 

12. — Toute décision du Conseil ou des sections relative aux 
prix sera prise au scrutin secret et à la majorité absolue des suf- 
frages. 

13. — La Société n'a Tobligation de publieraucun travail cou- 
ronné; les manuscrits de tous les travaux présentés au concours 
restent la propriété de la Société. En cas de publication, cent 
exemplaires seront remis gratuitement aux auteurs. 

14. — Les résultats des concours seront proclamés et les 
médailles remises dans Tune des assemblées générales de la ses- 
sion de Pâques. Les rapports des jurys devront être remis au 
Conseil six semaines avant cette session. Le 1'*^ octobre de Tan- 
née précédente est la date de rigueur pour l'envoi des mémoires 
au secrétariat. 

15. — Pour être admis à demander un subside, il faut être 
membre de la Société depuis un an au moins. 



— » — 

16. — Le membre qui demandera un subside devra faire con- 
naître par écrit le but précis de ses travaux, au moins d'une 
manière générale; il sera tenu, dans les six mois de Tallocation 
du subside,de présenter au Conseil un rapport écrit sur les résul- 
tats de ses recherches, quel qu'en ait été le succès. 

17. — Le Conseil, après avoir pris connaissance des diverses 
demandes de subsides, à Teffet d'en apprécier l'importance rela- 
tive, statuera au scrutin secret. 

18. — Les résultats des recherches favorisées par les subsides 
de la Société devront lui être présentés, pour être publiés dans 
ses Annales s'il y a lieu. 

Note. — Le tirage au sort, ordonné par Farticle 3, a rangé les sections dans 
Tordre suivant : 2«, 4«, 3% 5« et 1«. 



LETTRE 



DB 



S. s. LE PAPE LÉON XIII 

AD PRÉSIDENT ET AUX MEMBRES 
DE LA SOCIÉTÉ SCIENTIFIQUE DE BRUXELLES. 



Dilectis Filiis Praesidi ac Membris Societatis Scientificae 

Bruxellis constitutae, 

LEO PP. XIH. 

DiLECTI FiLII, 8ALUTEM ET ApOSTOLICAM BENEDICTIONEM. 

Gratae Nobis advenerunt litterae vestrae una cum Annalibus et 
Quaestionibus a vobis cdilis, quas in obscquentissimum erga Nos et 
Apostolicam Sedera pictatis lestiruoniiim oblulîstis. Libenter saoe 
agnovinius Socielatem vestrain quae a scientiis sibi noruen fecit, et 
quac tribus tantum abhinc annis laetis auspiciis ac lesu Christi 
Vicarii bcncdiclione Bruxellis constituta est, magnum iam incremeo- 
tum cepisse, et ubercs fructus polliceri. Profecto cum infensissimi 
relligionis ac verilalis hostes nunquam désistant, imo magis magisque 
studeant dissidiura rationem inter ac fîdem propugnare, opportunum 
est ut praestantes scientia ac pietale viri ubique exurgant, qui Eccle- 
siae doctrinis ac docu mentis ex animo obsequentes, in id contendant, 
ut demonstrent nullam unquam inter fidem et rationem veram dis- 
êensionem esse posse; quemadmodum Sacrosancta Vaticana Synodus, 
constantem Ecclesiac et Sanctorura Patrum doctrinam affirmans, 
declaravit Constitutione IV* de fide calbolica. Quapropter gratula- 
mur quod Societas vestra hune primo finem sibi proposuorit,itemque 
in statutis Icgem dederit, ne quid a sociis contra sanam christianae 
philosophiae doctrinam commitlatur; simulque omnes hortamur ut 



— 9 — 

nunquam de egregio eiusmodi laudis tramite deflectant, atque ut 
toto animi nisu praestitutum Socielatis finem praeclaris exemplis ac 
scriptis editis continuo assequi adnitantur. Deum autem Optimum 
Maximum precamur, ut vos omnes eaclestibus praesidiis confîrmet 
ac muniat: quorum auspicem et Nostrae in vos bcnevolentiae pignus, 
Âpostolicam benedictionem vobis, dilecti filii,. et Société ti vestrae ex 
aoimo impertimur. 

Datum Romae apud S. Pctrum die 15. lanuarii 1879. Pontificatus 
Nostri Anne Primo. 

Lko p. P. XIII. 



A nos ehers fils le Président et les Membres de la Société 

scientifique de Bruxelles, 

LÉON XIII, PAPE. 
Chers fils, salut bt bénédiction apostolique. 

Votre lettre Nous a ëtë agréable, ainsi que les Annales et les Ques- 
tioos publiées par vous et offertes en témoignage de votre piété 
respectueuse envers Nous et le Siège apostolique. Nous avons vu 
réellement avec plaisir que votre Société, qui a adopté le nom de 
Société scientifique, et s*est constituée à Bruxelles, depuis trois ans 
seulement, sous d'heureux auspices avec la bénédiction du Vicaire 
de Jésus-Christ, a déjà pris un grand développement et promet des 
fruits abondants. Certes, puisque les ennemis acharnés de la religion 
et de la vérité ne se lassent point et sobstinent même de plus en 
plus à proclamer l'opposition entre la raison et la foi, il est opportun 
que partout surgissent des hommes distingués par la science et la 
piété, qui, attachés de cœur aux doctrines et aux enseignements de 
rÉglise, s'appliquent h démontrer qu'il ne peut jamais exister de 
désaccord réel entre la foi et la raison, comme Ta déclaré, dans la 
Constitution IV de fide catholica,\e saint concile du Vatican affirmant 
la doctrine constante de TÉglise et des saints Pères. C'est pourquoi 
Nous félicitons votre Société de ce qu'elle s>st d'abord proposé cette 



— to — 

fin, et aussi de ce qu'elle a mis dans les Statuts un article défendant 
à ses membres toute attaque aux saines doctrines de la philosophie 
chrétienne; et en même temps Nous les exhortons tous à ne jamais 
s*écarter de la voie excellente qui leur vaut un tel éloge, et k pour- 
suivre continuellement de tout l'efTort de leur esprit Tobjet assigné 
h la Société, par d*éclatants exemples et par leurs publications. Nous 
prions Dieu très bon et très grand, qu^il vous soutienne tous et vous 
fortifie du céleste secours : en présage duquel, et comme gage de 
Notre bienveillance envers vous. Nous accordons du fond du cœur i 
vous, chers fils, et à votre Société la bénédiction apostolique. 

Donné à Rome, h Saint-Pierre, le 15 janvier 1879, Tan i de notre 

Pontificat. 

Léon XIII, Pape. 



LISTES 



DES 



MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ SCIENTIFIQUE DE BRUXELLES. 



Liste des membres fondateurs. 



S. E. le cardinal Dechamps (*), archevêque de. . Malines. 

François dr Cannart d'Hamalb Malines. 

Charles Dessain Malines. 

Jules VAN Havre (*) Anvers. 

Le chanoine Maes (*) Bruges. 

L*abbë A. De Leyn Bruges. 

Lbirbns-Eliaert, sénateur Alost. 

Joseph Saey Bruxelles. 

Frank Gillis (<) Bruxelles. 

Le Ch" de Schoutmeete de Tervarent .... Saint-Nicolas. 

Le Collège Saint-Michel Bruxelles. 

Le Collège Notre-Dame de la Paix Namur. 

Le duc d*Ursbl, sénateur (*) Bruxelles. 

Le P" Guslave de Croy .... .... Le Rœulx. 

Le C»« de TSerclaes (*) Gand. 

Auguste DuMONT de Chassart (*) Mellet (Hainaut). 

Charles Hermite, membre de Flnstitut .... Paris. 

L'École libre de TImmaculée Conception .... Vaugirard -Paris. 

L*ÉcoIe libre Sainte-Geneviève Paris. 

Le Collège Saint-Servais Liège. 

Le C^ de Bergbtck Bevcren-Waes. 



(«) Décédé. 



— t« — 

L*liistitut Saint-Ignacb Anvers. 

Philippe Gilbert Louvain. 

Le R. P. Provincial de la Compagnie de Jésus en 

Belgique i Bruxelles. 

Le Collège d^ÂLOST Alost. 

Le chanoine de Wouters Braine-Ie-Comte. 

Antoine d*Abbadib, membre de rinstitut . . . Paris. 
S. E. le cardinal Haynald, archevêque de Ralocsa 

et Bacs Kalocsa (Hongrie). 

S. E. Mgr S. Vanndtblli, nonce apostolique . . Vienne. 

S. G. Mgr Du RoussADx, évêque de Tournay. 

S. G. Mgr GoossBNS, archevêque de Malines. 

R. Bbdel Aix. 

S. G. Mgr Belin, ëvéque de Namiir. 



Liste des membres honoraires. 



Le P*' B. BoNCOMPAGNi, de l'Académie pontificale 

des Nuovi Lincei Rome. 

Antoine d'Abbadie, membre de rinstitut . . . Paris. 

Charles Herhite, membre de l'Institut .... Paris. 

Le général Newton New-Yopk. 

Le docteur Foerster Aix-la-Chapelle. 

Le R. P. Perry, S. J., de la Société royale de 

Londres Stonyhurst. 

A. DE Lapparent Paris. 

A. Barré de Salnt-Venant, membre de l'Institut . Paris. 

A. Béchamp Lille. 

Camille Jordan, membre de l'Institut .... Paris. 

WoLF, membre de l'Institut Paris. 

Haton de la GoupiLLiÈRB, membre de l'Institut . Paris. 



18 — 



Liste générale des membres de la Société scientifique 

de Broielles. 



o*Abbaoie (Antoine), membre de Tlnstitut, i20, rue du Bac. — 

Paris; ou Abbadia par Hendaye (Basses-Pyrénées — 

France). 
Abbeloos (Chanoine), docteur en théologie, vicaire général. — Matines. 
D*AcY (E.), 40, boulevard Malesherbes. — Paris. 
A DAN DE Yarza (Ramon), ingénieur des mines. — Lcqueitio (Viz- 

caya — Espagne). 
Albear y Lara (Brigadier D. Francisco), ingénieur, directeur du canal 

de Vento. — La Havane (Cuba). 
Alcolado, s. J. (R. p.), professeur d'analyse, Colegio de S. José, 

plazuela de Santa-Cruz. — Valladolid (Espagne). 
Alexis, M. G. (Frère), 27, rue Oudinot. — Paris. 
Alpageme (José), catedrâtico de Fisica y Quimica en el Instituto. — 

Santiago (Espagne). 
Almain-oe Hase, architecte, 157, rue de la Loi. — Bruxelles. 
Almera (Abbé Jaimc), profesor de Gcologia en el Seminario de Bar- 

celoua (Espagne). 
André (J.-B.), ingénieur^ 18, rue de la Fausse-Porte. — Givet 

(Ardennes — France). 
Arcelin (Adrien), secrétaire perpétuel de l'Académie de Mâcon. — 

Chalon-sur-Saône (Saône-et-Loire — France). 
Arddin (Abbé Alexis), à Aiguebelle, par Grignan (Drôme — France). 
Arnodld (Colonel), directeur de TÉcole industrielle, 59, rue Princesse. 

Lille (Nord — France). 
AscHMAN (Camille), professeur à l'Institut agricole. — Ettelbrûck 

(Grand-Duché de Luxembourg). 
d'Aspremont-Lynden (C^ Charles), château d'Haltinnes par Andenne 

(Namur). 
AuGiER, docteur en médecine, professeur aux Facultés catholiques, 

48, rue Henri Kolb. — Lille (Nord — France). 
d'Adxy de Launois (C*« Alb.). — Jurbise. 

Bagdet (Charles], avocat, receveur de l'Université, 6, rue des Joyeuses- 
Entrées. — Louvain. 



— 14 — 

Bâillon, 10-11, place de la Calandre. — Gand. 

Bapst (Germain), i55, boulevard Hausmann. — Paris. 

Barcia Caballbro (Juan), Ayudanle de Clases prâcticas de Anatomia 

de la Universidad, Puerta de la Pena, 10. — Santiago 

(Espagne). 
Bardin (Abbé Louis), professeur de Géologie i la Faculté, 19, rue de 

la Préfecture. — Angers (Maine-et-Loire — France). 
Barff (Frédéric), 100, Abbey Road, Kilburn. — Londres (Angleterre). 
Baulb (Albert), lieutenant de vaisseau, 135, chemin de Magudas, 

— Caudéran, près Bordeaux (Gironde — France). 
Bauwens (Abbé), vicaire à Sainte-Anne, boulevard du Château. — 

Gand. 
Baybt (Adrien), 50, nouveau marché aux Grains — Bruxelles 
Bayet (Ernest), 68, rue Joseph II. — Bruxelles. 
Beaucourt (Abbé Léopold), curé des Ecausslnes d'Enghîen. 
BéCHAMP, doyen de la Faculté catholique de médecine, 56, rue des 

Fossés. — Lille (Nord — France). 
Becrers (Auguste), avocat, rue Gérard. — Woluwe- Saint-Lambert. 
Bedel (Abbé R.), prêtre de S*-Sulpice, directeur au Grand-Séminaire 

d'Aix (Bouches-du-Rhône. — France). 
Bblin (S. G. Mgr.), évéque de Namur. 
Bellefroid (Victor), 15, rue Hors-Château. — Liège. 
Bbllemans (Charles), comptable, marché aux OEufs. — Anvers. 
Belpaire (Théodore), directeur du service provincial, 18, rue des 

Sœurs-Noires. — Gand. 
de Benazé, S. J. (R. p.), 18, rue Lhomond. — Paris. 
DE Bergeyck (C^*), château de Bevcren-Waes (Flandre-Orientale). 
Bbrleur (Adolphe), ingénieur, 17, faubourg Saint- Laurent. — Liège. 
Bbrlingin (Melchior), ingénieur à rétablissement de la Vieille-Mon- 
tagne. — Bray-et-Lû (Seine-el-Oise — France) 
Ber^ialdez (Fernando), inspector gênerai del cuerpo de Ingenieros de 

minas de Espana, calle Ancha de S. Bernardo, 37, pral. 

izq. — Madrid (Espagne.) 
Bernardin (Monsieur), conservateur du Musée commercial-industriel, 

au Pensionnat. — Melle (Flandre-Orientale). 
Bertrand (Dieudonné), docteur en médecine, 56, rue du Nord — 

Bruxelles 
Bertrand (Léon), 9, rue Crespel. — Bruxelles. 
Béthune-Eliaert (B*"*), sénateur, rue du Pont. — Alost. 



— iô — 

Béthunb (Mgr Félix), rue d'Argent. — Bruges. 

BicHOT (Abbé), professeur au Petit-Séminaire, 19, rue N.-D. des 

Champs. — Paris. 
BivoRT (Alfred). — Fontaine-l*Évéque. 
Blariaux (Jean), ingénieur civil. — La Haye-du-Puits (Manche — 

France). 
Blas (Ch.), professeur à l'Université, de l'Académie royale de 

médecine. — Louvain. 
Blonoel (Alfred), ingénieur, 14, me de la Magdeleine. — Tournay. 
Blondiaux (Auguste), ingénieur, 7, rue des Plantes. — Bruxelles. 
Blot (Abbé), 25, avenue de Messine. — Paris. 
DE LA BoËssiÈRE-TuiENNES (M''), 23, ruc aux Laines. — Bruxelles; ou 

château de Lombise par Lens (Hainaut). 
BoNAiiis(Florimond), ingénieur. — Jambes (Namur). 
BoNCOHPAGNi (P'*" B.), de l'Académie pontificale des Nuovi Lincei, 

palazzo Piombino, piazza Colonna. — Rome. 
BoNNEViE (Auguste), ingénieur, 119, rue des Coteaux. — Bruxelles. 
BoNNBViE (Victor), avocat, 7, rue du Congrès. — Bruxelles. 
BoRGiNON (Gustave), docteur en médecine, 58, rue Dupont. — 

Bruxelles. 
DE BoRMAN (Ch*' Camille), 29, place Saint-Jean. — Liège. 
Bossu (Abbé L.), professeur à TUniversité, rue de Bériot. — Louvain. 
BouLAY (Abbé), professeur aux Facultés catholiques, 9, rue des 

frères Vaillant. — Lille (Nord — France). 
BouQDiLLON (Abbé Th.), professeur aux Facultés catholiques, 54, 

boulevard Vauban. — Lille (Nord — France). 
BouRDEAD (Abel), médecin de bataillon de 1'* classe, École des Pupilles 

de TArmée. — Alost. 
Bourg (Victor), ingénieur des mines. — Bois-du-Luc, par Houdeng 

(Hainaut). 
Bourgbat (Abbé), professeur aux Facultés catholiques, 15, rue Charles 

de Muyssart. — Lille (Nord — France). 
DE BousiES (C" Adhémar), rue d'Havre. — Mons. 
DU BoYS (Paul), ingénieur des ponts et chaussées. — Valence-sur* 

Rhône (Drôme — France). 
Brarandt (Louis), 161, avenue Louise. — Bruxelles. 
Braet (Gustave), au Ministère des chemins de fer. — Bruxelles. 
Branli (Edouard), professeur à l'Institut catholique, 4â, avenue de 

Breteuil. — Paris. 



— !• — 

Brassinb (J.-J.)) gënëral commandant la â* division d*infanterie. — 

Anvers. 
Bradn, s. J. (R. p.), directeur de TObservatoire de Kalocsa (Hongrie). 
Breithop (N.), professeur à l'Université, 52, rue du Canal. — Louvain. 
Brêmen (Alfred), pharmacien, 2, rue Louvrex. — Liège. 
Bribosia, docteur en médecine, membre de l'Académie royale de 

médecine, 16, rue Neuve. — Namur. 
DE Briey (C** Louis), 25, rue Joseph II. — Bruxelles. 
Brifadt (Armand), avocat, 14, rue Crespel. — Bruxelles. 
Bruno (Monsieur), supérieur du Collège de la Sainte-Trinité. — 

Louvain. 
Bruylants, professeur à TUniversité catholique, de l'Académie royale 

de médecine, rue de Malines. — Louvain. 
Buisseret (Anatole), docteur en sciences naturelles, 50, rue Vivegnis. 

— Liège. 
DE BuRLET (Constantin), ingénieur des ponts et chaussées, directeur 

de la Société nationale des chemins de fer vicinaux, 
rue de la Vanne. — Bruxelles. 
DE BussY (L.), inspecteur général des constructions navales, 7, rue de 

Jouy. — Paris. 
Camauër (Jules) , avocat. — Dinanu 
Campelo (Abbé), professeur de chimie à l'Université. — Séville 

(Espagne). 
DE Cannart d'Hamalb (François), 2, rue du Poivre. — Malines. 
Cappellen (Guillaume), avocat, 4, place Marguerite. — Louvain. 
Carbonnelle, s. J. (R. P.), docteur en sciences physiques et mathé- 
matiques, 14, rue des Ursulines. — Bruxelles. 
Garlier (Joseph), ingénieur. — Thuin (Hainaut). 
Carnoy (Abbé J.-B.), professeur à l'Université, 11, place du marché 

aux Grains. — Louvain. 
Carnoy (Joseph), profess. à TUniversité, place du Peuple. — Louvain. 
Cartdyvels (Mgr), vice-recteur de l'Université. — Louvain. 
Cartuyvels (Jules), professeur i l'Université, 12, place de rUniversitë. 

— Louvain. 

Casar&s (Antonio), catedrâtico de Quimica y rector de la Universidad* 

— Santiago (Galice — Espagne). 

Casarés (Demetrio), farmaceutico. — Santiago (Galice — Espagne). 

Casarès (Firmino), en la Coruna (Espagne). 

César (Docteur), f 4, rue Chaudronnerie. — Dijon (Côte-d'Or — France)- 



— t » — 

Charneux (A.), rue de la Croix. — Namur. 
DO Chastel (C** Henri), 55, rue de Trêves. — Bruxelles. 
Ghautaro, doyen de la Faculté catholique des sciences, 3, rue Saint- 
Martin. — Lille (Nord — France). 
Choné, s. J. (R. p.), 18, rue Lhomond. — Paris. 
Clabs (Paul), 79, boulevard de Tirlemont. — Louvain. 
CoGELs (J.-B.-Henri), 58, longue rue de THôpital. — Anvers. 
Collège d'Alost, 15, rue de Bruxelles. — Alost. 
Collège Notre-Dame de la Paix. — Namur. 
Collège Saint-Michel. — Bruxelles. 
Collège Saint-Servais. — Liège. 

Colson (Chanoine). Château de Bierbais par Mont S^-Guibert (Brabant). 
CooLS (Auguste), ingénieur. — Lierre. 

CoopMAN (Louis), ingénieur, 21, quai du Midi. — Nice (Alpes-Mari- 
times — France). 
CoppiETERs DE Stockhove (Abbé Ch.), vicaire à Sainte-Walbnrge. — 

Bruges. 

DE CoRSWAREM (Ch" AdHcn) , avocat. — Hasselt. 

Cousin (L.), professeur h TUniversité, !26, rue Léopold. — Louvain. 

CousoT, docteur en médecine, membre de l'Académie royale de 

médecine. — Dinant. 

CousoT (Georges), docteur en médecine. — Dinant. 

Cranincx (Oscar), 125, rue de la Loi. — Bruxelles. 

Cranincx (P.-J.-E)., professeur à l'Université, membre de TAcadémie 

royale de médecine. — Louvain. 

Criqdillion (Louis), ingénieur provincial, rue du Progrès. — Saint- 
Nicolas (Waes). 

DE Croy (P** Gustave). — Le Rœulx. 

DE Croy (P" Juste), 55, rue de la Loi. — Bruxelles; ou Le Rœulx. 

Cuylits (Jean), docteur en médecine, 44, boulevard de Waterloo. — 

Bruxelles. 

Dassonville-Lepèe, (A.), rue de Bruges. — Menin. 

Davignon (Julien), 35, avenue de la Toison -d*Or. — Bruxelles. 

De Baets (Ilerman), 16, rue du Bélier. — Gand. 

Debaisiedx, professeur à l'Université. — Louvain. 

De Beys (Louis), avocat, 10, rue Van Maerlant. — Bruxelles. 

De Bladwe (Jean), juge de paix, Grand'Place. — Courtrai. 

De Bloo (Julien), ingénieur, 89, boulevard Frère-Orban. — Gand. 

De Brouwer (Abbé), supérieur du Petit-Séminaire. — Roulers. 
IX. 6 



— 18 — 

De BmocwEM, me d'Osteode. — Bruges. 

te BftCTK (Taoj), juge au tribuoal de 1'* instance, 96, me da 

Trône. — Bruxelles. 
Oc DfOLEm (Eugène), membre de la Chambre des Représentants, 

34, rue de Vénus. — Anvers. 
te Heeh (Pierre), ingénieur, 28, rue des Joyeuses-Entrées. — Louvain. 
te HcLTs (Ernest), juge. — Alexandrie (Egypte). 
te Jaeb (Camille), avocat, 56, boulevard de Waterloo — Bruxelles. 
De Jâea (Emile), professeur à TUniversité, rue de la Station. — 

Louvain. 
De Iaee (Jules), ingénieur des mines, Vieux-Marché aux Bétes. — 

Mons. 
te LA5TSHEERE (Léou), docieur en droit, i7, rue Caroly. — Bruxelles. 
Deixoce (Ch.), professeur émérile à TUniversité, ancien ministre, 

rue Marie-Thérèse. — Louvain. 
DELEftEOQDE-VERGADWEN, iS, rue aux Draps. — Gand. 
te LsY.""! (Abbé A.), principal du Collège Saint-Louis. — Bruges. 
Dblgeci (D' Louis), 15, rue Léopold. — Anvers. 
Db Lobge (Abbé J.), professeur au Séminaire. — Roulers. 
DcLSACLX, S. J. (R. P.), docteur en sciences physiques et mathéma- 
tiques, il, rue des Récollets. — Louvain. 
Dblvigxe (Chan. Adolphe), curé de Saint-Josse-len-Noode , 14, rue 

de la Pacification. — Bruxelles. 
te Mabbhx, professeur à l'Université de Louvain. — Eynthout par 

Westcrloo (Anvers). 
te Meesteb (.\ugustin), propriétaire. — Saint-Nicolas. 
tepBTEE (Octave), ancien ministre, 97, rue du Bac. — Paris. 
te PtETEB (Herman), ingénieur, 34, rue de Ligne. — Bruxelles. 
Défiez (Max), juge au tribunal de f* instance, 5, rue des Domini- 
cains. — Mons. 
te Pai?cs, place du Peuple. — Louvain. 
te RiDDEB (.Abbé J.-B.), curé-doyen de Saint-Pierre, 13, rue des 

Vaches. — Louvain. 
te RiDDEE (Paul), 68, chaussée de Haecht — Bruxelles. 
Descabps (.Abbé A. J.), inspecteur des Écoles du canton de Mons, 

curé de Nimy (Hainaut). 
Descaxfs (E.), professeur k FUniversité. — Louvain. 
DesTLATs (Docteur), professeur aux Facultés catholiques, 5i, boule- 
vard Vauban. — LîUe (Nord — France). 



— •» — 

Dessain (Charles), libraire-éditeur, rue de la Blanchisserie. — Malines. 

Detierrb (Abbé), aumônier de TÉcole vétérinaire. — Bruxelles. 

De TiLLY (J.), lieutenant colonel d'artillerie, directeur de TÂrsenal 

de construction, de FAcadémie royale de Belgique. — 

Anvers. 
Devivier (A.), professeur à l'Université, rue de Namur. — Louvain. 
Devolder (Joseph], ministre de la justice, 141, rue de Stassart. — 

Bruxelles. 
Dewalque (François), professeur à TUniversité, 26, rue des Joyeuses- 
Entrées. — Louvain. 
Dewalque (Gustave), professeur à TUnivcrsité, membre de TAcadémie 

royale de Belgique, 17, rue de la Paix. — Liège. 
DiAZ DE Arcaya (Manuel), docteur es sciences, professeur d'histoire 

naturelle au Lycée de Saragosse (Espagne). 
DiNCQ-JoRDAN, ingénieur et industriel, Pont-Canal, Jemappes (par 

Mons-Station). 
Dohbt (Ferdinand), avocat, membre de la Chambre des Représentants, 

place S*- Aubin. — Namur. 
Dollo (Louis), aide-naturaliste au Musée d'histoire naturelle de Bel- 
gique, 69, rue du Cornet. — Etterbeek (Bruxelles). 
DE Dorlodot (Sylvain), château de Floriffoux, par Floreffe (Namur). 
DE Dorlodot (H.), docteur en théologie, vicaire h Ciney. 
DoucET (Auguste), avocat, membre de la Chambre des Représentants, 

rue du Collège. — Namur. 
DucROST (Abbé), curé de Solutré (Saône-et- Loire — France). 
DuGNiOLLE (Max), professeur à TUniversité, 57, Coupure. — Gaod. 
DuMONT (A.), docteur en médecine, 18, chaussée de Charleroi. 

— Bruxelles. 
DuHONT (André), ingénieur, 51, longue rue d'Argile. — Anvers. 
DuMONT (Madame), 20, rue Soufflot. — Paris. 
DuMONT, S. J. (R. P.), 10, Parkstreet. — Calcutta (Bengale). 
Durant (Henri), inspecteur-général des charbonnages patronnés par 

la Société générale, 3, Montagne du Parc. — Bruxelles. 
Du RoussAux (S. G. Mgr), évéque de Tournay. 
Dusausot (Clément), professeur à l'Athénée royal, 1 1 7, chaussée de 

Cour.lrai. — Gand. 
DuTORDOiR (Hector), sous-ingénieur provincial , 1 04 , rue Digue de 

Brabant. — Gand. 
École libre Sainte-Geneviève, rue Lhomond. — Paris. 



École libre de L'InMACULéE-CoNCEPTiON. — Vaugirard, Paris. 
Eloin, docteur en médecine, Gesves par Assesse (Narour). 
DE l^Escaille (Joseph), ingénieur. — Achel, par Neerpcll (Limbourg). 
d'Esclaibes, s. J. (R. p.), doyen de la faculté des sciences; internat 

des Facultés catholiques. — Angers (Maine-et-Loire. — 

France.) 
Fabry (Henri), 3â, rue du Charop-de-Mars. — Bruxelles. 
Faucon (A.), docteur en médecine. — Le Rœulx. 
Feijeiro (Maximino), catedràtico de Patologia y Clinica en la Univer- 

sidad. 7- Santiago (Espagne). 
Félicien (Monsieur), supérieur-général des Joséphites. — Grammoot. 
Feliù y Perez (Bartolomé), profesor en la Universidad, Ariban, H. — 

Barcelona (Espagne). 
Fernandez Sanchez (José), catedràtico de Historia universal, en la 

Universidad. — Santiago (Galice. — Espagne). 
Ferrand de MissoL (Amédée), 40, boulevard Montparnasse. — Paris. 
DE FiERLANT (B®** Albert), ingénieur à la Société générale des chemins 

de fer économiques, <0, rue d'Idalie. — Bruxelles. 
FiNLAY (Carlos), medico. — Habana (Cuba). 
FiTA Y CoLOHÉ S. J. (R. P. Fidel), calle del Lobo, 34, pral. - Madrid 

(Espagne). 
Flahault (Charles), docteur es sciences naturelles, chargé de cours à la 

Facul té des sciences. — Montpellier (Hérault — France). 
FociLLON (Ad.), professeur en retraite de TUniversitè de France, 

15, rue Vauquelin — Paris. 
FoERSTER (l)*"), professeur d'histoire naturelle. — Aix-la-Chapelle. 
Fontaine (Théodore), professeur à l'Université de Louvain. — 

Moustier-surSambre (Namur). 
DE FoNTENAY (HcnH), ingénieur des Arts et Manufactures, château de 

Crécez par Is-sur-Tille (Côte-d'Or — France). 
FoKNi (C»* Paul). — Bozcn (Tyrol — Autriche). 
DE FoviLLE (Abbé), Grand-Séminaire dlssy-sur-Seine. — Paris. 
Franc (Anatole), Villa Franc. — Saint-Raphaël (Var) ou 16, rue de 

Montgolfier. — Lyon (Rhône — France). 
François, S. J. (R. P. Alexis), professeur au Collège de la Paix, rue 

de Bruxelles. — Namur. 
Francotte (Xavier), docteur en médecine, 15, quai de Flndustrie. — 

Liège. 
Gallez (Louis), docteur en médecine, membre de l'Académie royale 

de médecine. — Châtelet. 



— »t — 

Garbb (J«-B.), ingénieur aux usines de Bleyberg-Montzen. — Montzen 

(Liège). 

DE Garcia de la Vbga (B*"* Victor], docteur en droit, 57, rue du Luxem- 
bourg. — Bruxelles. 

Gauthier-Villars, 55, quai des Âugustins. — Paris. 

Gautier (Chanoine), 79, rue Notre-Dame. — Malines. 

Gelin (Abbé), professeur au collège Saint-Quirin. — Huy. 

Génard (Léonard), ingénieur au charbonnage de Bracquegnies (Hai- 

naut). 

DE Gerando (B**" L.), chef de service de la marine de TÉlat, i, rue 

S'-ÉvrauU, — Angers (Maine-et-Loire. — France). 

Gérard (Alphonse), ingénieur aux minières de Lamadelainc (Grand- 
Duché de Luxembourg). 

de Gerlachb (Paul), gouverneur de la province de Luxembourg. — 

Arlon. 

Gilbert (Alfred), docteur en médecine. — Givet (Ardennes — France). 

Gilbert (Jules), industriel. — Givet (Ardennes — France). 

Gilbert (Ph.), professeur à l'Université, de FAcadémie pontificale des 

Nuovi Lincei, 20, rue Notre-Dame. — Louvain. 

Gillet (Camille), ingénieur, professeur à l'Institut agronomique et 

vétérinaire de Santa Catalina. — Buenos-Ayres (Repu 
blique Argentine). 

Goedseels (Edouard), sous-lieutenant au iP régiment de ligne , 

137, rue de Namur. — Louvain. 

Goehans (Jean), commissaire-voyer. — Westmeerbeek, par Westerloo 

(Anvers). 

Goethals-Malfait (C**), 8 , rue des Foulons. — Gand. 

GoFFiN (Joseph), ingénieur en chef à la Société industrielle d'électri- 
cité, 18, rue de France. — Bruxelles. 

Goix (Alph.), docteur en médecine, 40, rue de Joinville. — Paris. 

GoossENS (S. G. Mgr), archevêque de Malines. 

DE Gordon (D** Antonio), catedratico de Fisiologia en la Universidad. 

— Ilabana (Cuba). 

GoRis (Charles), 105, rue Hogier. — Schaerbcek. 

GrandTury (Cyrille), ingénieur, correspondant de l'Académie des 

sciences, rue de Paris. — Saint-Etienne (Loire — 
France). 

Grandhont (Alphonse), avocat. — Antibes (Alpes-Maritimes. - France). 

Granero S. J. (R. P. Juan), colegio de N S" de] Recuerdo, Chamartin 

de la Rosa. — Madrid (Espagne). 



Gravez (Adrien), président du Comité houiller du Centre. — La Loa- 

vière (Hainaut). 

Greindl (B*»" Gustave), 20, rue du Luxembourg. — Bruxelles. 

Grinda (Jésus), ingénieur des ponts et chaussées, Valverde, 22% 2% 

— Madrid (Espagne). 

Grisar (Armand), 5, rue Hoboken. — Anvers. 

Grob (Abbé Jacques), vicaire h Michelbuch, par Ettelbrûck (Grand- 
Duché). 

DE Grossocvre (A ), ingénieur des mines. — Bourges (Cher — France). 

DE Grunne (C** François), capitaine d'artillerie, 67, rue Belliard. — 

Bruxelles. 

IIaan, docteur en médecine, professeur à TUnivecsité, 153, rue 

Tirlemont. — Louvain. 

Hahn, s. J. (R. P.), i I, rue des Récollels. — Louvain. 

Hairion, docteur en médecine, professeur h TUniversité , membre 

de FAcadémie royale de médecine, 9, boulevard de 
Tirlemont. — Louvain. 

Halleux (Emile), rue du Vieux-Bourg. — Bruges. 

Hamard (Abbé), 12, rue des Dames. — Rennes (Ille-et- Vilaine — 

France). 

Banquet (Ferdinand), 16, rue du Laveu. — Liège. 

Hap (Joseph), étudiant, 534, chaussée de Wavre. — Etterbeek (Bru- 
xelles). 

DE Harlez (Mgr), professeur à l'Université, 8, rue au Vent. — Louvain. 

Haton de la Goupillière, (J. N.), membre de Tlnslitut, inspecteur 

général des mines, examinateur d'admission à l'Ecole 
polytechnique, 9, avenue du Trocadéro. — Paris. 

DE Haulleville (B*°) , 155, rue de la Loi. — Bruxelles. 

DE LA Haye (Auguste), capitaine adjudant-major à l'École de volon^ 

laires. — Louvain. 

Haynald (S. E. le cardinal), archevêque de Kalocsa et Bacs (Hongrie). 

Hayoit, docteur en médecine, membre de l'Académie royale de méde- 
cine, professeur h l'Université, 66, rue de Namur. — 
Louvain. 

d'Hemricourt de Grunne (C**), sénateur, 10, rue Montoyer. — 

Bruxelles, ou château d'Hamal, parTongres. 

Henry (Hector). — Dinant. 

Henry ( Louis ) , professeur à l'Université, de l'Académie royale de 

Belgique, 2, rue du Manège. — Louvain. 



Hermite (Charles), membre de Tlnstitut. 2, rue de Sorbonne. — Paris. 

Hervier (Abbé Joseph), 5i, grande rue de la Bourse. — Saint- 
Etienne (Loire — France). 

Heude, s. J. (R. p.) — Zi-ka-wey (Chine). 

HooTART (Jules). — Monceau-sur-Sambre (Hainaut). 

HouTART (Octave), industriel, 22, boulevard Baudouin. ^ — Bruxelles. 

Hubert (Eugène), docteur en médecine, professeur à TUniversité, 

15, rue Léopold. — Louvain. 

HuET (Charles), industriel, rue des Jardins. — Lille (Nord — France). 

Ihperiali (M'*) des P"" de Francavilla, 10, rue Mon loyer. — Bruxelles, 

ou château d'Hamal par Tongres. 

Institut Saint-Ignace. — Anvers. 

Jacmart, lieutenant général, 4, rue Verboeckhaven. — Bruxelles. 

Jacobs (Victor), avocat, membre de la Chambre des Représentants, 

49, chaussée de Charleroy. — Bruxelles. 

Jannet (Claudio), professeur aux Facultés catholiques, 74, rue de 

Vaugirard. — Paris. 

Janssens, docteur en médecine. — Puers (Anvers). 

Janssens (Guillaume), rue de la Station. — Louvain. 

Jenner (Ch. I.), ingénieur en chef des ponts et chaussées, directeur 

des travaux hydrauliques de la Marine, 38, rue de la 
Rampe. — Brest (Finistère — France). 

JiMENO (Joaquin), ingeniero de caminos. — Castellon de la Plana 

(Espagne). 

DE JoiGNY (B***" G.), 29, rue de Tlndustrie. — Bruxelles. 

JoLLY (B**") lieutenant-général, 16, rue de Livourne. — Bruxelles. 

JoLY(Léon), avocat, 28, rue de la Concorde. — Bruxelles. 

Jordan (Camille), membre de Tlnstitut, 48, rue de Varennes. — Paris. 

JooBERT, S. J. (R. P.), 18, rue Lhomond. — Paris. 

Jourdain (Louis), ingénieur, 19, rue Léopold. — Bruxelles. 

Juliens (Herman), régisseur du comte de Mérode. — Weerde (Brabant). 

de Kerckhove (V** Eugène), ancien membre de la Chambre des Repré- 
sentants. — Malines. 

Rerviler (René), ingénieur des ponts et chaussées. — Saint-Nazairc 

(Loire-Inférieure — France). 

Kirsch (R. P. Alexandre M.) C. S. C. — Notre-Dame (Indiana, États- 
Unis). 

de Rirwan (Charles), inspecteur des forêts, 15, rue Yaubecour. — 

Lyon (Rhône — France). 



— «4 — 

Klein S. J. (R. P. Léopold Martial), calholic University G)]iege. — 

Dublin (Irlande). 
RuRTH (Godefroid), professeur h rUniversitë,62,rueLairesse. — Liège. 
LicoMPTE (Camille), docteur en médecine. — Tamise. 
Lacor (E.), professeur à la Faculté catholique des sciences, 18, rue 

des Fossés-S'-Jacques. — Paris (France). 
Lafont, S. J. (R. P.), directeur de TObservatoire héliospectrosco- 

pique, 10, Parkstreet. — Calcutta. 
Lagasse (Alexandre) , pharmacien , 4, rue Saint-Maurice — Nivelles. 
Lagasse (Charles), ingénieur principal des ponts et chaussées, 53, rue 

de Hollande. — Bruxelles. 
Lagasse (Jules), notaire, 112, chaussée de Charleroi. — Bruxelles. 
Lamarche (Emile), 81 , rue Louvrex. — Liège. 
Lambert (Camille), ingénieur, 29, rue Fabry. — Liège. 
Lahbiotte (Victor), ingénieur. — Morlanwelz (Hainaut). 
Lahey (R. P. Dom Mayeul) 0. S. B., prieuré de Saint-Benoît, Gri- 

gnon par Les Laumes (Côte-d*Or — France). 
Lahv (Mgr.), président du collège Marie-Thérèse. — Louvain. 
DE Lapparent(â.), professeur à l'Institut catholique, 5, rue de Tilsitt. 

— Paris. 

Latine, docteur en médecine. — Marbaix-Marbisoux (Brabant). 
Latinis (Victor), ingénieur, chef de service des forges et aciéries de 

la Société du Nord et de TEst. — Trith-Si>int Léger 

(Nord — France). 
Lava (Jules], ingénieur honoraire des Ponts et Chaussées, 4, rue des 

Cendres. — Bruxelles. 
Lavaud de Lestrade, prêtre de Saint-Sulpice, professeur de sciences 

au Séminaire. — Clermont-Fcrrand (Puy-de-Dôme — 

France). 
Lebesconte (P.), pharmacien, 1 5, Bas de Lices. — Rennes (Ille-et- 

Vilaine — France). 
Lbbon, docteur en médecine, place Saint-Paul. — Nivelles. 
Ledresseur (Charles), docteur en médecine, professeur à l'Univer- 
sité, 75, voer des Capucins. — Louvain. 
Lbfebvre, docteur en médecine, professeur à TUniversité, membre 

de l'Académie royale de médecine , 36 , rue de Bériot. 

— Louvain. 

Lefebvre (Âbbé Bruno), professeur de sciences et de mathématiques, 

au Petit-Séminaire. — Floreffe (Namur). 



Él. 



— «5 — 

Lbfebvre (Âbbë Ferdinand) , professeur h l'Université, 36, rue de 

Bériot. — Louvain. 
Lefebyre (Abbë J.), professeur à la faculté de théologie. — Rouen 

(Seine-Inférieure — France). 
Lefebvre (Paul), avocat, 7, rue du Pépin. — Bruxelles. 
Lbgouis, s. J. (R. p.), docteur ès-sciences, 98, rue de Vaugirard. — 

Paris. 
Lbgrand- Benoit, 51 , rue de Bruxelles. — Namur. 
Le Grelle (C** Ferdinand), 2i, rue Van Brée. — Anvers. 
Leirens-Eliaert, sénateur, rue du Pont. — Alost. 
Lejeune-Simonis, château de Sohan par Pepinster (Liège). 
Lbhoi.'ve, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, examinateur 

d'admission à l'Ecole polytechnique, 76, rue d'Assas. 

— Paris. 

Lehonnier (Abbé Th.), professeur au Pelit-Séminaire de Mont-aux- 

roalades, par Rouen (Seine-Inférieure. — France). 
Le Paige (C), professeur k l'Université de Liège, 21, rue des Anges. 

— Liège. 

Lherhite (Edmond), ingénieur. — Ciney. 

DE LiCHTERVELDE {O^ Goutrau), Secrétaire de légation, 29, rue du 

Luxembourg. — Bruxelles. 
DE LiEDERERKE (C** Gharlcs) , 24, rue de l'Industrie. — Bruxelles. 
DE LiEDEKERKE DE Pailhe (C^* Edouard), 47, rue des Arts.— Bruxelles. 
DE Lihburg-Stiruh (C Adolphe), 50, rue du Luxembourg. — Bruxelles. 
DE Limburg-Stirum (C^* Samuel), 50, rue du Luxembourg. — Bruxelles. 
DE Lihburg-Stirom (C^^ Thierry), sénateur, rue Hautport. — Gand. 
DE LiimiNGHE (C^*), château de Gesves, par Asscsse (Namur). 

« 

LiHPENs (Emile), avocat, place Impériale. — Alost. 

DE LiSLEFERHE (Henry), ingénieur de la marine en retraite. — Taille- 
bourg (Charente-Inférieure — France). 

DE LocHT (Léon), ingénieur. Mont- Saint-Martin. — Liège. 

LoFfFfEDX (Abbé), chez M* la B°* 0. de Dieudonné, rue Léopold. — 

Louvain. 

Mabillb (Léon), professeur à l'Université. — Louvain. 

Maertens (Chanoine), professeur au petit Séminaire. — Saint-Nicolas. 

Malcorps (Ernest), avocat, 5, rue des Vaches. — Louvain. 

DE Maleingreau d'Heiibise(B'*° Georges), 99, rue Braemt. — Bruxelles. 

Malisoux (Emile), ingénieur principal des mines. — il, rempart 

ad aquam. — Namur. 



94 



Klein S. J. (11. P. Léopold Martial), (m{- 

Dublin (Irlande). 
KuRTii (Godefroid), professeur à rUnivc 
Lacompte (Camille), docteur en niédcc: 
Lacor (E.), professeur à la Faculté c 

des Fossés-S*-Jacques. 
Lafont, s. J. (R. p.), directeur de 

pique, 10, Parkstrect 
Lagasse (Alexandre), pliarmaeieii . ' 
Lagasse (Charles), ingénieur princi|< ' 

de Hollande. — lîn 
Lagasse (Jules), notaire, 1 12, ehaii^ 

9 

Lamarciie (Emile), 81 , rue LouM'i 
Lambert (Camille), ingénieur, "lii, ' 
Lambiotte (Victor), ingénieur. — ^ 
Lamey (R. p. Doni Mayeul) 0. > 

gnon par Les Lauf 
Lamy (Mgr.), président du eoliri:'" 
DE Lapparent (A.), professeur à : 

— Paris. 
Latine, docteur en inédeciiie. 
Latinis (Victor), ingénieur, « " 

la Société du >< 

(Nord — Fi.'i: ' 
Lava (Jules), ingénieur lioiioi 

Cendres. — iu- 
Lavaud de Lestrade, prêtre ■ 

au Séminaire. 

France). 
Lebesconte (P.), pliarmaiMt i* 

Vilaine — I 
Lebon, docteur en médecin* 
Ledressei'R (Charles), dorii 

site, Tîi, v<i»' 
Lefebvre, docteur en uu'\ 

de rAriuli'ii.. 

— Lou\aiii. 
Lefebvre (Abbé Urniio), |. 

au Petit S' u 



\cllcs 

N Dominicains. — 



\uxcrrc (Yonne — 
:", rue Marie-Thérèse. 

- Moulins (Allier — 

;iie. — Guéret (Creuse 

■ ./Nseur de zoologie au 
.M-A de ministerios, 5% 

'% Uiiacio. — Manresa. 
...liv de FAcadémic royale 
.^ .1' Anne. — Louvain. 
I.ouvain. 
M, rue de la Fontaine — 

..^ , »M), rue Vital — Passy 

^%i»4cs. — Tournay. 

.. au Verlbois. — Liège. 

«V Jvs Représentants, 42, rue 



•l)iiv|(hem par Anvers. 
......i';i»*». — Chcsterlîeld (Angle- 

,., ...O.UWI Saint-Bcrthuin. — Ma- 

ViMur). 

c^v«c iH*ntralc des arts et manu- 
llnixelles. 



%i^ »«v» 



V .% 



\\»a"4t% rue de Namur. — Louvain. 
,xxA^i vIo Tiiaine à gaz, 73, rue de 
.,..v.\,V«'*' -France). 

\ ^iKH* Ju Peuple. — Louvain. 



— »7 — 

Michaux, professeur à TUniversité, membre de TÂcadémie royale de 

médecine. — Louvain. 
MicHiELS (Chanoine), professeur au collège Sain t-Romba ut. — Malines. 
MiBST (Emile), ingénieur aux établissements de S^'-Marie d*Oignies. 

— Tamines. 

MioT (Léopold), docteur en médecine, de l'Académie royale de méde- 
cine, 15, rue de Beaumont. — Charleroi. 

MiR (R. P. Michel), S. J. Membre de l'Académie Royale d*Espagne, 

3, calle de dos Amigos. — Madrid (Espagne). 

MisoNNE (Lucien), directeur-gérant des charbonnages du Hasard. — 

Tamines (Namur). 

MoELLER, docteur en médecine, 1, rue Montoyer. — Bruxelles. 

MoNCHEUR (B****), 54, boulevard de Waterloo. — Bruxelles; ou Naméche 

(Namur). 

DE MoNGE (Léon), professeur h l'Université, rue aux Joncs. — Louvain. 

MoNSARRAT (G.), 14, ruc des Capucines — Paris. 

DE MoREAU d'Andoy (Ch^*^), ministre de Tagriculture et des travaux 

publics. — Andoy par Jambes (Namur) ; ou rue Verte — 
Namur. 

MoRETDS (René), place de Meir. — Anvers. 

MoTAis (Abbé AI.), prêtre de l'oratoire, professeur au Grand-Sémi- 
naire. — Rennes (Ille-et- Vilaine. — France). 

Mdllenders (Joseph), ingénieur, 21, rue Duvivier. — Liège. 

de Nadaillac (M"), 8, rue d'Anjou. — Paris. 

Nahèche (M***), ancien recteur magnifique de l'Université. — Louvain. 

DE Namur d'Elzée (C^'], sénateur. — Dhuy par Eghezée (Namur). 

de Nédonchel (C^' Léon) , 80, rue de la Loi. — Bruxelles. 

NèvE (Félix), professeur h l'Université, membre de l'Académie royale 

de Belgique , 52 , rue des Orphelins. — Louvain. 

NèvE (Louis), ingénieur. — Brecht ^Anvers). 

Newton (Général John), 279, Adelphi Street. — Brooklyn, New-York. 

NicoT (Rev.), S. J. — Maison S*- Louis. — Saint- Hélier (île de lersey). 

Noël (Abbé François), professeur de religion à l'École normale. — 

Mons. 

NoLLÉE de Noduwez, 116, rue Royale. — Bruxelles. 

Nyssens (Julien), ingénieur des ponts et chaussées, 190, rue de la Loi, 

— Bruxelles. 

Nyssens (Pierre), ingénieur honoraire des ponts et chaussées, 19, rue 

Sainte-Marguerite. — Gand. 



— «8 — 

Obbt deGhbyvel, docteur en médecine. — Honfleur (Calvados — 

France). 
D*OcAGNE (Maurice), ingénieur des ponls et chaussées, 8, rue des 

Fonderies. — Rochefort (Charente- Inférieure. — 

France). 
Oldenhove (Philippe), ingénieur, propriétaire h Florival-sur-Dyle, 

par Grez-Doiceau (Brabant). 
O'Mallbt, s. J. (R. p.), S'. Patrick's collège. — Melbourne (Victoria 

— Australie). 

OoHEN (A.), 18, rue S' -Laurent. — Anvers. 

Ortiz (Juan -Miguel), Jefe supcrior de Administracion, Guanabacoa. 

— Habana (Cuba). 

Ortiz (Abbé L. Ph.), doyen de la cathédrale. — Léon (Espagne). 

OsY DE WiCHEM (B*»"), longuc ruc de FHôpitaL — Anvers. 

Otto (Jean), 56, Marché-aux-Herbes. — Bruxelles. 

Odverleaux (Félix), étudiant en droit, 442, chaussée de CharleroL — 

Bruxelles. 
Palgen (Charles), ingénieur des hauts-fourneaux d'Audun-le-Tiche 

(Lorraine allemande). 
Pardon (Gustave), ingénieur. — Maurage, par Bracquegnies (Hainaot). 
Pasquier (Ern.), professeur à TUniversité, 2^, rue Marie-Thérèse. — 

Louvain. 
DE Patin DE Langemarck (V*"), château de Langemarck (Flandre- 
Occidentale.) 
Patroni (Monsign. Giuscppe), dott. in filosofia, in teologia ed in ambe 

le leggi, 47, piazza del Gesù. — Rome. 
Pelligero (Gonzalo), avocat, rédacteur en chef de la Voz de Cuba, — 

La Havane (Cuba). 
DE Penaranda (Frédéric), 24, rue de la Science. — Bruxelles. 
Pépin (R. P. Théophile), S. J. — Cluses (Haute-Savoie — France). 
Perry, s. j. (R. P.)> directeur de TObservatoire de Stonyhurst, de la 

Société royale de Londres. — Stonyhurst near Black- 

burn (Angleterre). 
Petit (Chanoine), rue de TArsenal. — Namur. 
Petrot (Gérard), 53, rue Vieille- Bourse. — Anvers. 
PiCHAULT (Stéphane), ingénieur, chef de section a la Société John 

Cockerill. — Tilleur (Liège). 
PiÉRABRTS (M»'), recteur magnifique de l'Université. — Louvain. 



Pierrot (Âbbé), vicaire au Bonhomme, par la Poutroye (Haute-Alsace 

— Allemagne). 

DE PiLLON DE S. Philrert (A.), 2, Fuc St-Thomas. — Douai (Nord — 

France). 
PiNEDA (D** Juan Miguel), Rosa, 50. — Cadiz (Espagne). 
PiRARD (Abbë), vicaire général, 6, boulevard Léopold. — Namur. 
PiRET (Camille), ingénieur à Monceau-Fontaine. — Monceau-sur- 

Sambre (Hainaut). 
PiscÉ (Chanoine), rue des Bateaux. — Malines. 
Planté (Gaston), licencié-ès-sciences, 56, rue des Tournelles. — 

Paris. 
PoisoT (Maurice), avocat, 4, rue Buffon. — Dijon (Côte-d'Or — France). 
DE PoNTHièRE (Albert), propriétaire-agriculteur, 23, rue d^Archis. — 

Liège. 
DE PoscH (Major), sous-intendant militaire de 1'* classe, 152, Chaussée 

d'Haecht. — Bruxelles. 
Powis DE TEN BosscHE, conscillcr provincial, 8, rue Belliard. -r- 

Bruxelles. 
DE pRELLE, 44, rue Kipdorp. — Anvers. 
Proost (Alphonse), professeur à TUniversité, 19, rue Notre-Dame. — 

Louvain. 
Provincial (R. P.) de la compagnie de Jésus, i5i, rue Royale exté- 
rieure. — Bruxelles. 
Pritdham (Abbé), directeur du collège Stanislas, rue N.-D. des Champs. 

— Paris. 

Quairier, 28, boulevard du Régent. — Bruxelles. 

Rachon (Abbé Prosper), curé de Ham et Saint-Jean, par Longuyoo 

(Meurthe-et-Moselle — France). 
Raclot (abbé), curé, h In station météorologique de Marac, par Saint- 

Loup-sur-Aujoii (Haute-Marne. — France). 
Radel (0.). — Saint-Loup-sur-Aujon (Haute-Marne — France). 
DE Radiguez(F.), inspecteur provincial de la voirie vicinale.— Namur. 
Rathouis, S. J. (R. P.). — Zi-ka-wey (Chine). 
Ravain (Abbé J.-R.), 14, rue Bernier. — Angers (Maine-et-Loire — 

France). 
Réchin (Abbé), professeur au Collège de Mamers (Sarlhe — France). 
Redier (D*^ Jean), professeur aux Facultés catholiques, 1, rue de Pas. 

— Lille (Nord — France). 



— SO- 
DE Regnon y (R. P. Théodore), S. J., 15, rue de la Vielle-Estrapade. 

— Paris. 
Renard (Alphonse), conservateur au Musëe d'histoire naturelle. — 

Bruxelles. 
Reynaert, docteur en médecine , rue du Progrès. — Saint-Nicolas. 
DE RiBAUCOURT (€*') , sénatcur, 35, rue Ducale. — Bruxelles. 
RoBERTi (Jules), notaire, membre du Conseil provincial du Brabant. 

— Louvain. 
DE LA Roche (Ch*' Camille), rue de Houdain. — Mons. 
DE LA Roche (Chanoine Ch.), rue du Chambge. — Tournay. 
DE LA Roche de Marchiennes (Emile). — Harvengt, par Harmignies 

(Hainaut). 
Roderburg (Fritz), docteur en sciences naturelles, 119, rue Marie- 
Thérèse. — Louvain. 
Rodillon (Abbé), 16, rue Tramassac. — Lyon (Rhône. — France). 
RojAs, S. J. (R. P.), professeur d'histoire naturelle, Colegio. — Car- 

rion de los Condes. — Espagne). 
RoLLiER (Emile), ingénieur, 57, rue Léopold. — Malines. 
RoMERO (Narciso), direcior del Colegio de l' y 2' ensenauza de S. Fran- 
cisco de Borja, calle del Desengano, 27, prâl. — Madrid 

(Espagne). 
DE Rouillé (C*), 44, avenue des Arts. — Bruxelles. 
RouRE Y RoviROLA (Pablo), 5, Acequia. — Gerona (Catalogne. — 

Espagne). 
RocssEL (Lucien), professeur a l'École forestière, 11, rue de la Ravi- 

nelle. — Nancy (Meurthe-et-Moselle — France). 
DsRuBEMPRé (P**), rue aux Laines. — Bruxelles; ou à Westerloo. 
Saet (Henri), notaire. — Renaix. 

Saev (Joseph), 18. avenue de la porte de Hal. — Bruxelles. 
Saey (Abbé Pr.), vicaire à Saint-Élienne, 20, cour du Prince. — Gand. 
Saint-Hilairb (M^ de Queux de), au château de Saint-Hilaire, par 

Soubize (Charente-Inférieure. — France); ou 5, rue 

Soufflot. — Paris. 
DE Saint-Venant (A. Barré), membre de llnstitut. — Saint-Ouen, près 

Vendôme (Loir-et-Cher — France). 
Salterain (Pedro), ingénieur des mines. — La Havane (Cuba). 
DB Salvert (V»'), professeur aux Facultés catholiques, 1 57, boulevard 

de la Liberté. — Lille (Nord — France). 



— SI — 

Safîchbz, s. J. (R. p. Hilario), Colegio. — Carrion (Palencia — Espagne). 
DE Santa Cruz (Ivan Armada Hernandez de Cordova, M") , 9, rua 

Nueva. — Santiago (Galice — Espagne). 
Sanz (Pelegrin), ingeniero civil. — Castellon de la Plana (Espagne). 
Sanz y Lopbz (Cesareo), profesor de materaàticas, calle del Colegio de 

Doncellas. — Toledo (Espagne). 
ScARSEZ DB LocQUENEUiLLE (Anatolc), cliâleau de S^-François — Far- 

ciennes (Hainaut); ou 155, chaussée de Vleurgat. — 

Ixelles. 
ScHviDT (Henri), intendant de la maison de Croy. — Le Rœulx. 
ScBMiTZ (Gaspar), 2, avenue de Wilryck. — Anvers. 
Schneider, docteur en médecine, 20, rue Belliard. — Bruxelles. 
ScHOBBBNS, docteur en médecine, 49, longue rue Neuve. — Anvers. 
ScHOEHAKER(W.-J.),professeurà rÉcoIe moyenne.— Nimègue(Pays-Bas). 
de Schootheete de Tervarent (Ch''^), vice-président du Conseil pro- 
vincial de la Flandre-Orientale. — Saint-Nicolas. 
Serret (Paul), professeur à l'Institut catholique, 240, ruede Vaugi- 

rard. — Paris. 
SiMONis (Alfred) , sénateur. — Verviers. 
SiMONis (Iwan) , industriel. — Verviers. 
SiHONis (Louis), industriel. — Verviers. 
Smekens (Théophile), président du tribunal de i**' instance, 31, 

avenue Quentin Metsys. — Anvers. 
Shets (Abbé Gérard), docteur en sciences naturelles, professeur de 

sciences au Collège S*-Joseph. — Hasselt. 
Snyers, docteur en médecine, 40, rue de TEvêché. — Liège. 
Snyers (Raymond), ingénieur, i3, rue Ma rie -Thérèse. — Bruxelles. 
DEL SocoRRO (José'Maria Solano, M*'), professeur de géologie au Musée 

d'histoire naturelle, calle de Jacometrezo, 4i-bajo. — 

Madrid (Espagne). 
SoLVYNS (Albert) , 7, avenue de la Place d'Armes. — Gand. 
SoREiL, ingénieur. — Maredret sous Sosoye, par Anthée (Namur). 
de Sousberghe (M* la V^'*'*), 6, rue Guimard. — Bruxelles; ou château 

de Virelles. près Chimay. • , 

DE SoDZA GoNZALvès (José), ingénieur civil, rua de Jungueira, 79. — 

Belem-Lisbonne (Portugal). 
DE Sparre (C^), professeur aux Facultés catholiques de Lyon, château 

de Vallière. — Saint-Georges-de-Reneins (Rhône — 

France). 



— s» — 

Spina (R. p. Pedro) S. J., directeur de l'Observatoire du collège 

catholique — Puebla (Mexique). 
Springabl (Auguste), ingénieur. 47, rue Vander Kinderc — Uccle. 
Stappaerts (Eugène), juge au tribunal de 1'* instance. — Anvers. 
Stasse, professeur au collège de la Sainte-Trinité, rue Marie-Thérèse. 

— Louvain. 

Stillehans (Chanoine a.), docteur en philosophid et lettres, supé- 
rieur du Séminaire. — Saint-Nicolas. 

Stinglhamber (Emile), docteur en droit, 51, rue des Minimes. — 

Bruxelles. 

Stoesser, (Alphonse), directeur-gérant de la Société anonyme du 

charbonnage de Sacré-Madame. — Dampremy (Hai- 
naut). 

Stoffaes (Abbé), licencié ès-sciences, professeur au collège Saint- 
Joseph. — Lille (Nord -France). 

Storms (Abbé Camille), curé de Ganshoren par Jette (Brabant). 

Storms (John), 32, rue des Champs-Elysées. — Bruxelles. 

Storms (Raymond), 13, rue du Président. — Bruxelles. 

Struelens (Alfred), docteur en médecine, 24, rue de THàtel-des- 

Monnaies. — Saint-Gilles (Bruxelles). 

SucHETET (André), iO, rue Alain Blanchard. — Rouen (Seine-Infé- 
rieure. — France). 

SuTTOR (Eugène), 1 24, rue Potagère. — Bruxelles. 

SwoLFS (Abbé), professeur au Petit-Séminaire. — Malines. 

Tatmans (Emile), avocat, 90, rue de Stassart. — Bruxelles. 

Teixeira (Gomes), professeur à l'Université. — Coimbra (Portugal). 

Tercelin (Félix), rue du Mont-de-Piété. — Mons. 

Theums (Auguste), répétiteur à l'Université, 85, rue de Tirlemont. 

— Louvain. 

Thibaut (L.), ingénieur. — Sars-Longchamps, par La Louvière (Hai- 

naut). 
Thibaut (Xavier). — Jambes. 

Thiébauld (Charles), avocat, 60, rue Saint-François. — Bruxelles. 
TuiÉBAUT (Fcrnand), ingénieur. — Marchienne-au-Pont (Hainaut). 
Thiernesse (Abbé), curé d'illrc, par Virginal (Brabant). 
Thirion (Alphonse). — Sclayn par Namèche (Namur). 
Thirion, s. J. (R. p.), H, rue des Récollets. — Louvain. 
TiMMERMANs (François), ingénieur de la Société de Couillet, par Char- 

leroi. 



— 88 — 

Toussaint (Charles), ingénieur, 54, rue Deloeht. — Schaerbeek. 

Tras, s. J. (R. P.)j professeur au collège de la Paix. — Namur. 

DE Trazegnies (M''). — Corroy-le-Châleau, par Gembloux. 

Troch (Pierre), inspecteur provincial des écoles primaires. — Lierre. 

DE T*Serclabs (M'' Charles), président du Collège belge. — Rome. 

DE T'Serclaes (C" Jacques), capitaine au i" rég. d'artillerie, 27, 

rue Wiertz. — Bruxelles. 

tSerstevens (Léon), 52, boulevard BischofTsheim. — Bruxelles. 

Tykort (Emile), ingénieur civil. — Perck, par Vilvorde. 

d*Ursel (C^ Aymard), capitaine d'artillerie, 25, rue de la Science. — 

Bruxelles. 

d'Ursel {O^ Charles), conseiller de légation, 22, rue du Luxembourg. 

— Bruxelles. 

d'Ursel (C^^ Ludovic), sénateur, 22, rue du Luxembourg. — Bruxelles. 

DO Val de Beaulieu (C^), 55, avenue des Arts. — Bruxelles. 

Valette (Madame), 20, rue Soufflot. — Paris. 

DE LA Vallée Poussin (Charles), de l'Académie royale de Belgique, pro- 
fesseur h l'Université, 190, rue de Namur. — Louvain. 

Van Aertselaer (Chanoine), directeur de l'Institut S*-Louis, i21, rue 

du Marais. — Bruxelles. 

Van Biervliet (Alb.), chargé de cours à FUniversité catholique, 

59, rue des Joyeuses- Entrées. — Louvain. 

Van Biervliet (Joseph), professeur à l'Université, i, rue Saint- 
Hubert. — Louvain. 

Vanden Berg (Charles), notaire, place Saint-Paul. — Liège. 

Vanden Branden de Reeth (Mgr), Évéque d'Erythrée. — Malinps. 

Vanden Gheyn (R. P. Joseph) S. J., ii, rue des Récollets. — Loûvaio. 

Vanden Peereboom (E.), ingénieur, 45, rue id'Artois. — Liège. 

Vanden Peereboom (Jules), ministre des chemins de fer, postes et 

télégraphes. — Courtrai. 

vanden Steen de Jehay (C** Hcrmann), capitaine au 3* régiment d'ar- 
tillerie, G, avenue Louise. — Bruxelles. 

VANDER Bruggen (B**" Muurice), rue du Gouvernement. — Gand. 

VAN DER Elst (Léou), avocat à la cour d'appel, 62, boulevard de 

Waterloo. — Bruxelles. 

Vanderesse (Chanoine), rue de FArsenal. — Namur. 

Vander Haeghen (William), avocat, 44, rue Berckmans. — Bruxelles. 

VANDER Straten-Ponthoz (C** Frauçois), 13, rue de la Loi. — 

Bruxelles. 
IX. c 



— »4 ^ 

VANDER Strâten-Ponthoz (G^ Ignace), général d*artillerie en retraite* 

27, rue Joseph II. — Bruxelles. 
Vander Voordt (Jules), ingénieur, 83, marché aux Chevaux. — 

Anvers. 
Van de Woestyne (Chanoine), professeur au Grand-Séminaire. — 

Bruges. 
Van Dorpe (Jules), docteur en médecine, 297, rue Rogier. — Bru- 
xelles. 
Van Drèche, docteur en médecine, rue de TOuvrage. — Namur. 
Van Dromhe, docteur en médecine, rue des Chartreuses. — Bruges. 
Van Gameren (Chanoine), rue du Bruul. — Malines. 
Van GoiDSNOVEN, docteur en médecine, 45, rue de la Casquette. — 

Liège. 
Van Gulicr, S. J. (R. P.), 2257, rue de Tongres. — Maastricht (Pays- 
Bas). 
Van Keerberghen, docteur en médecine, 461, chaussée d*lxelles. — 

Bruxelles. 
Vannutelli (S. E. Mgr S.), nonce apostohque. — Vienne (Autriche). 
Van Ortroy (Fernand), sous-lieutenant au 1*'' régiment de chasseurs 

à cheval. — Gand. 
Van Overloop (Eugène), banquier, 48, rue Royale. — Bruxelles. 
Van Schendel (Théodore), ingénieur, industriel. — Malines. 
Van Segvelt (Edmond), 142, boulevard des Arbalétriers. — MalincF. 
Van Tricht, S. J. (R. P.), Institut S*-Ignace, 47, courte rue Neuve. — 

Anvers. 
Van Zeebroecr (Abbé) , directeur à TÉtablissement des Sœurs-Grises. 

— Diest. 
Van Zuylen-Orban (Gust.), industriel, 8, quai de l'Industrie. — 

Liège. 
Vaultrin, inspecteur des forêts. — Foix-sur-Ariège (Ariège — 

France). 
Vazqubz Illa (Ricardo) Jefe del Batallén Réserva n"" 68. — Sarria 

(Espagne). 
Vennehan, docteur en médecine, professeur k FUniversité. — Lou- 

vain. 
Vercrutsse (Victor) ,61, rue de France. — Courtrai. 
Verhelst (Abbé), professeur à Tlnstitut Saint-Boniface, chaussée 

dlxelles. — Bruxelles. 
Verhoustraeten (R.), ingénieur, chantier John Cockerill. — Anvers. 



— »5 — 

Verriest (G.), docteur en médecine, professeur à TUniversité, S5, rue 

des Écrenîers. — Louvain. 

Verstraeten (Camille), docteur en médecine, professeur h l'Univer- 
sité, 50, rue Charles-Quint. — Gand. 

Vicaire (Eugène), ingénieur en chef des mines, 50, rue Gay-Lussac. 

— Paris. 

ViGBNT, S. J. (R. P. Antonio), Colegio de San José. — Valencia 

(Espagne). 
ViGORDAN,S. J. (R. P.), rector del colegio del Jésus. — Tortosa (prov. 

de Tarragona — Espagne). 
Vilain XIIII (V" Stanislas), il, rue du Trône. — Bruxelles. 
ViLLAFUERTE (Elîodoro), presbîtero, calle de las Dalicas. — Santiago 

(Chili). 
DE ViLLEGAS DE Saint-Pierre (C**), 28, rue Marie de Bourgogne. — 

Bruxelles. 
DE ViLLEGAS DE Saint-Pierre (C** Ulric). — Ganshorcu par Jette (Bra- 

bant), ou 1, rue de Spa. — Bruxelles. 
DE Villers-Vergacwen , 12, marché au Lin. — Gand. 
ViLLié, professeur aux Facultés catholiques, 78, boulevard Vauban. 

— Lille (Nord — France). 

ViNES (R. P. Benito), director del Observatorio, colegio de Belen. — 

La Havane (Cuba). 

ViSART (C* Amédée), bourgmestre de Bruges. 

DE VocHT (Abbé), curé de Zeelst, par Eindhoven (Brabant-Septen- 

trional. — Pays-Bas). 

DE VoRGES (E. Domet), 74, rue Miromesnil. — Paris. 

Walravens (Abbé Adelson), professeur au séminaire de Bonne-Espé- 
rance, par Binche. 

Ward (John), ingénieur civil, 75, boulevard de Waterloo. — Bruxelles. 

Warlomont (René), docteur en médecine et en sciences naturelles, 

hôpital militaire. — Louvain. 

Wasseige (Armand) fils, banquier, 2*'**, rue Godefroid. — Namur. 

Wautelbt(A), ingénieur h l'usine k gaz. — Roubaix (Nord — France). 

DE Wavrin (M"), 49, boulevard du Régent. — Bruxelles. 

de Wecr (Abbé A.), missionnaire apostolique. — Fille- Dieu sous 

Romont (Canton de Fribourg — Suisse). 

WéRY (Vincent), président du tribunal de l**' instance, 4, rue des 

Telliers. — Morts. 

WiTTMANN (Jules), doctcur en médecine. — Malines. 



WiTZ (Aime), professeur aux Facultés catholiques, 104, boulevard 

Vauban. — Lille (Nord — France). 
WoLP, membre de Tlnstitut, 95, rue des Feuillantines. — Paris. 
UE WouTERS (Chanoine). — Braine-le-Comte. 
01 WouTBRS (Ch'^ Lambert), Rotselaer, par Wespelaer (Brabant). 
WoiiTBRS (Abbë Louis), professeur de sciences naturelles au Collège 

Saint-Rombaut. — Malines. 
YsEiRANT DE Lenoonck (Albéric), place Liëvin-Bauwens. — Gand. 
Zech (Guillaume), négociant. — Soignies. 
ZouDE (Abbé Léopold), boulevard Cauchy. — Namur. 
Z\^-AENEP0SL (Alfred), avocat, 4i, rue du Conseil. — Ixelles. 



— »1 — 



Liste des membres décèdes. 

(Janvier à décembre 1885.) 

V** Joseph DE BiOLLEY Verviers. 

P* Emmanuel de Groy Le Rœulx. 

Joseph EvERÂRTs Hévillers. 

Hubert d*Hoop Gand. 

Eugène Lavaux Saint-Lëger. 

Abbë NoYTs Bruxelles. 

SoLVYNs, sénateur Tronchiennes. 



Listes des membres inscrits dans les sections. 



i'< Section. 



Mathématiques, Astronomie, Géodésie. — Mécanique. — Génie civil et militaire. 



MM. Antoine d*Abbadie. 
Adan de Yarza. 
Albear y Lara. 
R. P. Alcolado, S. J. 
Arnould. 

A. Barré de Saint-Venant. 
Baaie. 

Théodore Belpaire. 
R. P. deBenazé, S. J 
P«« Boncompagni. 
du Boys. 

R. P. Brann, S. J. 
N. Breithof. 
Constantin de Burlet. 
L. de Bussy. 



MM. R. P. Carbonnelle, S. J. 
Joseph Carnoy. 

Abbé Coppieters de StoclthoYe. 
L. Cousin. 
Louis Criquillion. 
Louis De Beys. 
R. P. Delsaulx, S. J. 
J. De Tilly. 
Dusausoy. 

R. P. d^Esclaibes, S.J. 
Fabry. 
Franc. 

Gauthier-Villars. 
Abbé Gelin. 
Ph. Gilbert. 



1. Goodseels. 
B» G. GKlDdl. 
Abbé Grob. 
de Grououvre. 
C" Fnuïoisde Grunne. 
H*ton de la GoupUlièrf. 
Charles Henniie. 
Génénl Jacmart. 

Jimeno. 
Ctmille Jordan, 
R. P. Joubert, S. J. 

R. P. UfODi, S. J 

Charles Ligasse. 

Camille Lambert. 

R.P. Dom Lamey. 

Abbé BniM Lefebvn'- 

C. U Paige. 

O' Chartes de Licdrkprke 

de Lisie ferme. 

Léon d« LochL 

Paul Maasion. 

de HarsillT. 

C" de Maapeou. 

Hkha. 

Général Jobn !tewiou. 

i. Nfssens. 



HH. d'Ocagoe. 
Pasquier. 
R. P. Pépin, S. J. 
R. P. Perrj.S. J. 
CbanoJDe Placé. 
V"deSaWert. 
Sanz jr Lopei. 
P. Sani. 
Paul Senti. 
R. Sojers. 
C* de Sparre. 
StofTaes. 
Suttor. 
Teiieira. 

FernandThiébaoï. 
R. P. Thirioa, S. J. 
Fraocois TimmermaDS. 
G» Jacques de rSerdaes. 
C Ajmard d'Ursel. 
Albert ViD Bieriliet. 
E. Van lien peerehiX)» 



Abbé Vau Zeebroect, 

Varquei IIU 

Vicaire. 

Tjllatuene. 

Tillié. 

John Ward. 

Aimé n'iU. 



nytifNr. — Ckimi*- - MHMtrfit. 



«' 8«cU«a. 



O* Ch. d'AifWMaoM-LjadM. 



MM. Alfred Blondel. 
Booamis. 

Aagusle Bonnevie. 
Branly. 

Alfred Brêmen. 
Bruyiants. 
Antouio Casares. 
Chautard. 
R. P. ChoDé, S.J. 
Pierre De Heen. 
Abbé J. Delorge. 
Hermao De Preler. 
A Devivier. 
François Dewalque. 
Dincq-Jordau. 
André Dumont. 
R. P. Dumont, S. J. 
Dutordoir. 
Feliù y Perez. 

B»» A. de Fierlanl. 

R. P. François, S. J. 

L. de Gerando. 

Gérard. 

Gillet. 

R. P. Granero, S. J. 

Gravez. 

Grisar. 

Hector Henry. 

Louis Henry. 

René Rerviler. 

Jules Lagasse. 



MM. Lambiotto. 
Lemoine. 
Malisoux. 
Malou. 
U.Massalski. 
Mertens. 

Chanoine MicbieU. 
Lucien Misonne. 
Joseph Mullenders. 
Oldenhove. 
R. P. O'Malley, S. J. 
Louis Nève. 
Ouverleaux. 
Palgen. 
Picbault. 
Abbé Pirard. 
G. Planté. 
Abbé Raclot. 
Abbé Ravain. 
R. P. de Regnon, S. J. 
Roderburg. 
Salterain. 

de Souza Gonzalvés. 
Springael. 
Auguste Tbeunis. 
R. P. TraSjS.J. 
Tykort. 

Jules Vander Voordt. 
R. P. Van Tricht, S. J. 
R. Verhoustraelen. 
R. P. Viûes, S. J. 



40 



5« Section. 



Géologie, Minéralogie. — Botanique. — Zoologie. — Paléontologie. — Anthropologie, 

Ethnographie, Science du langage. — Géographie. 



MM. Chnnoine Abbeloos. 
d'Acy. 
Fr. Alexis. 
Aimera. 
ArcelîD. 

C»« Alb. d'Auxy de Launois. 
Cb. Baguet. 
Bâillon. 
Bapst. 

Abbé Bardin. 
Abbé Bauwens . 
Ern. Bayet 
Bernardin 

M'« de la Boëssière-Thiennes. 
Abbé Boulay. 
Abbé Bourgeat 
C«« L. de Briey. 
Buisseret. 
Abbé Campelo. 
Abbé Carnoy. 
Firmino Casares. 
Chanoine Colson. 
Dasson'ville. 
Abbé De Brouwer. 
Docteur Louis Delgeur. 
Chanoine Adolphe Delvigne. 
Max Deprez. 
Abbé Descamps. 
Abbé Delierrr. 
Gustave Dewalque. 
Diaz de Arcava. 
Dollo. 



MM. Abbé Ducrost. 
Max Dugniolle. 
R. P. Fila, S J. 
Flahaull. 
Docteur Foersler. 
Fontaine. 
Abbé de Foville. 
Grand'Eury. 
Grinda. 

Abbé Hamard. 
C'« d'Hemricourt de Grunne. 
Abbé Joseph Hervler. 
R. P.Heude,S. J. 
R. P. Kirsch. 
Charles de Kirwan. 
Godefroid Kùrth. 
A. de Lapparent. 
Lebesconte. 

Abbé Ferdinand Lefebvre. 
C«« G. de Lichlervelde. 
O* Adolphe de Limburg Stirum. 
Abbé Lonneux. 
de Maleingreau. 
Edouard Martens. 
Martinez y Saez. 
R. P. Mir, S. J. 
Mello. 

Mi' de Nadaillac. 
Abbé Noël. 
Oomen. 
Abbé Rachou. 
R. P. Rathouis, S. J. 



— 41 — 



MM. Abbé Renard. 
Ëm. de la Roche. 
R. P. Rojas, S. J. 
6. Scbmitz. 
Abbé Smets. 
M** del Socorro. 
Albert Solvyns. 
John Storms. 
R. Storms. 
Abbé Swolfs. 
Gt« Charles d'Ursel. 
Charles de la Vallée Poussin. 



MM. R. P. Van den Gheyu, S. J. 
Van Drèche. 
Van Ortroy. 
Van Overloop. 
Van Segvelt. 
Abbé Verhelst. 
R. P. Vicent, S. J. 
Abbé de Vochl. 
de Vorges. 
M'« de Wavrin. 
Abbé Woulers. 



4' Section. 



Ànatomie, Physiologie. — Hygiène. — Pathologie, Thérapeutique, etc. 



MM. Angier. 

Barcia Caballero. 

D. Bertrand. 

Rorginon. 

Abel Bourdeau. 

Bril)0sia. 

César. 

Coasot. 

G. Coasot. 

P. J. E. Cranincx. 

Caylits. 

Debaisieux. 

Desplats. 

A. Damont. 

ÉloiD. 

A. Faucon (Le Rœulx). 

Feijeiro. 

Finlay. 

Xavier Francotte. 

Gallez. 



MM. Alfred Gilbert. 
Goix. 
Haan. 

R. P. Hahn, S.J. 
Hairion. 
Hayoit. 

Eugène Hubert. 
Janssens. 

Alexandre Lagasse. 
Latine. 
Lebon. 

Charles Ledresseur. 
Lefebvre. 
£ Masoin. 
Jules Matagne. 
Michaux. 
Léopold Miot. 
Mœller. 
Obet. 
Alphonse Proosi . 



— 4» — 



MM. ReyDaert. 
Schneider. 
SchobbeDS. 
Sojers. 
Strueleos. 
Van Dorpe. 
Vao Goidsnoveo. 



MM. Van Reer bergben. 
Vennemao. 
Verriest. 
Verstraeteo. 
R. Warlomoot 
Wittmann. 



5* Section. 



Agronomie, — Économie sociale, Siatittique, — Sciences commerciale». 

Économie industrielle. 



MM. Auguste Beckers. 
Adolphe BeHeur. 
Victor Bounevie. 
Abbé Th. BouquîUoo. 
Armaud Bril^ut. 
François de Canoart d*Hamale. 
Jules Carluyvels. 
Davîgoou. 

P^ Gustave de Croy. 
P«« Juste de Croy. 
Hermao Dt^ Baets. 
Tony De Bruyn. 
Ernest De Hults. 
De Lantsheere. 
De Blarbaix. 
&, Descamps. 
Kerdiujuid Dohet 
Doucet. 
KocUlou. 

Faut de GerUcbe. 
iirauduàont. 
Il«» de UauUeville. 
Victor JaoolM. 



MM. Claudio Jannet 

V*« Eugène de Kerckhove. 

Paul LefebTre. 

Legrand-BenoiL 

O* Ferdinand Le Grelle. 

O* Edouard de Liedekerke. 

Emile Limpensw 

Henri Blayer. 

Léon deMooge. 

Ch*' de Moreau d*Andoy. 

C«* Léon de Nédonchel. 

01 to. 

Pellîgero. 

A. de Pooihière. 

DePoscb. 

F. de Radigiiei. 

P«« de Rubempré. 

Henri Saey. 

Henri Schaudi. 

Théophile Stt^ens. 

limile Stinglhamber. 

Charles Thiebauld. 

Léon t^rsteveos 



48 



MM. GhaooJDe Vanderesse. 

C*« Fr. vander Stralen-Ponihoz. 
Gastave Van Zuylen-Orban. 
V»« SI. Vilain XIIII. 
C<< de Villegas de Saint-Pierre. 



MM. Visart. 

Abbé Adelson Walravens. 
Armand Wasseige. 
Vincent Wéry. 
Zwaeuepoel 



44 



I884-I88K. 



Président, M. Gustave Dewalqub. 
i** Vice-Président, M. L. Cousin. 
2* Vice-Président^ M. Ch. Lâgassb. 
Secrétaire, R. P. Garbonnblle, S. J. 
Trésorier, M. Armand Brifâut. 

MM M^ DE LA Boëssière-Thiennes. 
Fr. DE Cannart d*Hamale. 
L. Dblgeur 
Chanoine Delvigme. 
F. Dewalque. 
André Domont. 
Paul de Gerlachb. 
Ph. Gilbert. 
L. Henry. 
Général Jacmart. 
D' Lefebvrb. 
P. Mansion. 
A. Proost. 
Léon t'Serstbvens. 
G** Fr. YAMDBR Stratbn-Ponthoz. 



Secrétaire adjoint. 



— 46 



»<}B3»<8I«,}B3S I>XJ OO^SESII^. 

I88K-I886. 



Président, M. le D' Desplats. 
V Vice-Président y M. Paul Mânsion. 
2* Vice^Présidenty M. Alphonse Proost. 
Secrétaire, le R. P. Cârbonnelle. 
Trésorier j M. Armand Brifaut. 

MM. le M*' DE LA Boëssiére-Thiennes. 
Fr. DE Cannart-d'Hamale. 
L. Cousin. 
L. Delgecr. 
Chanoine Delvigne. 
Fr. Dbwalqub. 
G. Dewalqce- 

A. DUHONT. 

Ph. Gilbert. 

L. Henry. 

Général Jacsiaiit. 

Ch. Lagasse. 

D"^ Lbpebvre. 

Léon t*Serstevens. 

C** Fr. VANDER Straten-Pontiioz. 



Secrétaire adjoint. 



âm 



1884-1888. 



i'« Section. 

Président, M. Gilbert. 

Vice-Présidents, MM. le V** de Salybrt et Pasquier. 

Secrétaire, M. Alb. Van Biervliet. 

2« Section. 

Président, R. P. Van Tricht. 

Vice-PrésidentSy MM. l'abbé De Lorge et G. Bruylants. 

Secrétaire^ M. le B*" Alb. de Fibrlant. 

3* Section. 

Présidents M. Dohbt i>b Vorgbs. 

Vice-Présidents, MM. le chaooioe Dblvigiib et le D* Delgbur. 

Secrétaire, M. A. Buisserbt. 

4* Section. 

Président^ M. Vbrribst. 

Viet-Présidtnts, R. P. Habî« et M. Ccylits. 

Secrétairt^ M. ,\ch. Dpno.Tr. 

«• Section. 

Président^ M. Paul m itERLAcnc. 
Vkt-Prtsidtnts^ MM. I>t MARtJiix f I Ch. Tviebacld. 
S<rrrfliiiiY« M. I^èon Ik |jixn4iinK. 



— 41 — 



8XJRB3AXJX. I>E2S SE3017IOI^S. 

1885-1886. 



i'« Section. 

Président, M. Pasquier. 
Vice-Présidents, MM. d Ocagne et Ch. Lagasse. 
Secrétaire, M. Âlb. Van Biervliet. 

â« Section. 

Président^ R. P. Van Tricht. 

Vice-Présidents, MM. l'abbé de Lorge et G. Bruylants 

Secrétaire, M. le B"" Alb. de Fierlant. 

3« Section. 

Président, M. G. Dewalqub. 

Vice- Présidents, MM. Delgeur et Dollo. 

Secrétaire, M. Buisseret. 

4« Section. 

Président, M. Verriest. 

Vice-Présidents, R. P. Hahn et M. Cuylits. 

Secrétaire, M. Ach. Dumont. 

tf« Section. 

Président, M. Paul de Gerlache. 

Vice- Présidents, MM. De Marraix et Ch. Thibracld. 

Secrétaire, M. Léon De Lantsheere. 



— 49 



SESSIONS DE 1884-1885 

IXTRIITS DES PBOCÈS-YKBBIDI. 

La Société a tenu trois sessions pendant cette neuvième année: 
La première, le jeudi 30 octobre 1884; 
La seconde, le jeudi 29 janvier 1885 ; 

Et la troisième, le lundi 13, le mardi 14, le mercredi 15 et le 
jeudi 16 avril 1885. 

SÉANCES DES SECTIONS 



Première Section. 

Jeudi, 30 octobre 1884. — M. le C** de Sparre envoie un mé- 
moire : Sur le mouvement d'un solide autour d'un point fixe et le 
mouvement du pendule conique (voir S* partie, pp. 49 et suiv.). 

M. Gilbert présente au nom de M. d'Ocagne une Note sur la 
transformation des propriétés barycentriques. 

M. Le Paige est nommé commissaire. 

M. Gilbert communique à la section Une démonstration nou- 
velle de l'équation fondamentale de la théorie de la chaleur. 

Le P. Carbonnelle et le P. Delsaulx sont nommés commis- 
saires. 

sur le travail de M. Mansion intitulé : Principes d'une théorie 
nouvelle des fonctions élémentaires d'une variable imaginaire. 

Dans ce mémoire, dont quelques parties ont déjà été livrées à 
la publicité, M. Mansion sVsl proposé d'établir, sans sortir des 



— 49 — 

considérations élémentaires, le développement de Taylor pour les 
fonctions d'une variable imaginaire, et d'en faire Tapplication aux 
fonctions élémentaires e',sinz,... définies sans Temploi des séries, 
mais particulièrement à /.(l -hz) et (1 h-z)"* [z et m étant ima- 
ginaires], ce qui offre les difficultés spéciales quand le module 
de z est égal à Tunité. Dans la pensée de Tauteur, la valeur de 
son travail réside plus dans le point de vue didactique que dans 
les résultats nouveaux qui s'y trouvent; car, sans parler des théo- 
ries récentes sur lesquelles je reviendrai plus loin, on sait que 
dès 1829, dans ses Leçons de calcul différentiel (XI% XII* et 
XIIP leçons), Cauchy avait défini avec précision les fonctions élé- 
mentaires d'une variable complexe et établi, pour les fonctions 
d'une telle variable qui satisfont à certaines conditions, des for- 
mules équivalant à celle de Taylor. Seulement, dans la pensée 
de Cauchy, l'idée d'une fonction de variable complexe n'avait pas 
pris sa forme définitive; elle implique une certaine condition, 
vérifiée dans les fonctions élémentaires définies par Cauchy, mais 
sur laquelle il ne s'est expliqué que beaucoup plus tard (1846). 
II tire de la formule de Taylor pour les fonctions réelles le déve- 
loppement pour le cas des variables imaginaires, avec une expres- 
sion du reste de la série dans laquelle entrent deux quantités 
inconnues Q^ et Gj, comprises entre zéro et l'unité. C'était une 
première solution; mais Cauchy, dans son livre, n'a pas fait l'ap- 
plication de son théorème aux fonctions /.(l-4-z)et(l H-z)'"dans 
les cas difficiles. 

Le but poursuivi par Abel dans son célèbre mémoire sur le 
binôme (*) est beaucoup plus restreint. Après quelques théo- 
rèmes généraux sur les séries, Abel considère directement la 

série 

m m{m — 1) , 

1 H — z H z^ H — , 

1 1 .!2 

détermine ses conditions de convergence et cherche la fonction 
de m et de z qu'elle représente. Par une analyse très ingénieuse. 



(•) Journal de Crelle, 1. 1. — OEuvres d'Abcl, 2» éd , 1. 1, p. 219. 

IX. d 



— 50 — 

mais compliquée, fondée sur les propriétés de la fonction, il arrive 
à reconnaître le développement de (1 h-jz)"*, m et z étant réels ou 
imaginaires. Il déduit de cetie/^iormule un grand nombre de 
résultats demeurés célèbres et, par un artifice très curieux, 
montre dans quels cas la série est applicable lorsque mod.z=l. 
Malheureusement, malgré la préoccupation évidente de rigueur 
que le grand géomètre norwégien a apportée dans la rédaction 
de son travail, il s'y est glissé des fautes, notamment dans la 
démonstration du théorème V, qui implique certaines restric- 
tions en relation étroite avec la notion des séries équiconver- 
gentes. 

Dans Tordre d'idées de M. Mansion, j*ai surtout à signaler le 
mémoire fort remarquable publié en 1876 par M. Darboux (*), 
qui s'est élevé à des considérations très générales en étendant la 
formule de Taylor aux fonctions de variables complexes. Un 
lemmc géométrique à peu près évident lui donne immédiate- 
ment une formule fort importante, exprimant le rapport des 
accroissements de deux fonctions d'une variable complexe, et 
généralisant la formule connue 

F (^oj»7_/0_:i_f (^_o) _ F' (xq -4- eh) 

1 (Xo -4- h) — f'iXo) "" / ' (Xo -4- ôh) ' 

Un cas particulier de ce théorème lui fournit, par la même 
voie et avec la même facilité que pour les variables réelles, la 
série de Taylor avec diverses expressions du reste. Ce que ces 
expressions offrent de remarquable, c'est qu'elles renferment 
comme les autres (Cauchy, Mansion) deux quantités inconnues 
à module compris entre zéro et 1, mais dont l'une figure en 
facteur et l'autre seulement sous le signe fonctionnel. 

Au point de vue de l'élégance, c'est là un avantage, et dans 
l'application aux fonctions particulières, cet avantage doit se 
maintenir, au moins dans certains cas; mais M. Darboux ne s'est 
pas arrêté aux détails de cette application ni à la démonstration 



(•) Journal de mathématiques de M. Resal, -1876, p. 29i. 



— 51 — 

des résultats d'Abel, se contentant de les mentionner. C'est, au 
contraire, par la richesse et la généralité des résultats que son 
mémoire me semble digne d'être étudié. Généralisant une for- 
roule de calcul intégral bien connue, puis remplaçant, dans la 
démonstration de la série de Taylor, la fonction (t — 1)* par un 
polynôme entier de degré n, M. Darboux établit une formule très 
générale pour le développement de /"(a: -h A) — /■(x),avec le reste 
sous forme d'intégrale déCnie. Celte formule lui donne, comme 
cas particulier, la célèbre série de Maclaurin ou d'Euler avec 
diverses expressions du reste, entre autres celle-ci : 



1 .2... n 



f^-^-'ix-^ eh), 



B, désignant les nombres de Bernoulli, 1 un facteur à module < 1 . 
Il déduit encore de $on théorème général diverses formes de 
développement connues ou nouvelles, et je pense qu'il n'a pas 
épuisé la série des résultats intéressants qu'on en peut tirer. 

J'arrive au travail qui nous est soumis. C'est aussi par un 
théorème général, extension de celui de Lagrange, que débute 
le mémoire. Après avoir défini exactement ce qu'il entend par 
une fonction d'une variable imaginaire z = oc h- yi, 

u = F (z) = î» (x, y) -f- 1> (x, y), 

et rappelé certaines propriétés de ces fonctions, M. Mansion 
montre que si F (z), F' (z) sont fonctions continues de z sur la 
droite y =^ ax -^ b, zq et Z étant deux points de cette droite» on 

aura 

F (Z) - F (zo) = (Z - zo) F' (z). 

en entendant que dans la partie réelle du deuxième membre on 
remplace z par Z|, dans la partie imaginaire z par z^, z^ etzj se 
rapportant à deux points inconnus compris entre zq et Z. Appli- 
quée à la fonction bien connue que l'on emploie d'habitude pour 
démontrer la série de Taylor, cette équation conduit à l'expres- 
sion du reste de cette série, sous la forme 



— 5t — 

OU Ton a 

«I = «0 -♦- ôi (Z -— Zo)> 2, = Zo -f- e^ (Z — «o). 

Ici Ggurent donc encore deux inconnues 9^ et O^, mais toutes les 
deux sous le signe fonctionnel. Les formes habituelles du reste 
répondent à /) = w, /) = 1, et Inapplication de ces formes à 
rélude de la convergence du reste vers zéro, dans les fonctions 
élémentaires, remplit la deuxième partie du mémoire. 

Les fonctions e% cos z, sin z, Gh z, Sh z ne donnent lieu à 
aucune difficulté. Pour la fonction /. (1 + z) , la discussion 
montre que, si z = re"*, la série est toujours convergente si r <1, 
divergente si r > 1; et que, si r= 1, la série est convergente 
pour toute valeur de «, sauf «= ir; mais l'expression du reste 
ne donne pas immédiatement ce résultat si cos o) < 0, il faut 
recourir an développement de(l -4- z) /. (1 -4- z), artifice ingé- 
nieux analogue à celui d'Abel dans la série du binôme. Les séries 
réelles, très importantes, que Ton tire de ces séries imaginaires» 
sont développées par M. Mansion. 

L'auteur définit ensuite la fonction (1 -h z)"* pour z et m 
imaginaires; il développe cette fonction (série de Newton) par la 
formule de Maclaurin, donne les deux expressions du reste et 
discute ensuite la question de convergence. Une condition à 
laquelle la série doit satisfaire lui montre d abord que r doit 
être < 1 , ou, s'il est égal à 1, il faut que la partie réelle de m •+- 1 
soit positive. Je pense que ce passage admettrait quelques sim- 
plifications. M. Mansion examine ensuite les différents cas que 
comportent les valeurs de r et de « et démontre que la série est 
applicable si r < 1 ; et encore, si r = 1 avec <3\ (^ h- 1 ) > 0, 
cos (ù étant > — l ; enfin, pour z= — 1 si cR. (m) > 0. Il fait 
usage, dans un cas, de l'artifice d'Abel. 

Dans une sorte d'appendice, M. Mansion met le reste de la 
formule de Taylor sous la forme 



r 



i .2... (w— 1) 
et, en s'appuyant sur un lemme qu'il démontre, arrive à l'exprès 



— 58 — 

sion du reste donnée par M. Darboux. II termine par un histo- 
rique de la question. 

Le mémoire de notre savant confrère atteint parfaitement son 
but. II rendra de grands services aux professeurs qui visent à 
introduire, dans la partie élémentaire du calcul différentiel, 
rétude des fonctions usuelles d'une variable imaginaire; car il 
est à la fois très clair, très simple et, sauf peut-être un certain 
point, très rigoureux. « Surtout la partie relative à la série du 
binôme, comme le dit fort bien M. G. Jordan, est parfaitement 
discutée et d'une manière infiniment plus simple que celle 
d'Abel. » C'est donc là un excellent travail dont nos Annales 
s'enrichiront, je Tespère. 

Mon savant confrère me permettra cependant de ne pas par- 
tager absolument son opinion en ce qui concerne Tétude géné- 
rale des fonctions d'une variable imaginaire. Les critiques qu'il 
adresse à la démonstration du célèbre théorème de Gauchy sur 
les intégrales des fonctions synectiques me semblent, en ce qui 
concerne du moins celle de Riemann, assez peu fondées. D'ail- 
leurs, il se trouvera bien plus tard quelque démonstration simple 
et rigoureuse de ce principe fondamental, et sans être parvenu 
à vaincre certaines difficultés, il me semble entrevoir le chemin 
par lequel on y arrivera. Mais mon opinion est que, tôt ou tard, 
la théorie générale des fonctions descendra dans l'enseignement 
élémentaire, sous la forme que Gauchy lui a donnée en dernier 
lieu, sans qu'on se préoccupe du réel ou de l'imaginaire, et ren- 
dra moins utiles certaines théories de transition qui sont aujour- 
d'hui encore fort précieuses. 

Le mémoire de M. Mansion est publié plus loin (2** partie, 
pp. i et suiv.) 

Jeudi, 29 janvier 1885. — M. Gilbert fait hommage à la sec- 
tion d'un Mémoire sur la théorie du potentiel inséré au Journal 
de Liouville. 

M. Gilbert présente une note Sur la généralité de l'intégrale 
dans les équations linéaires aux dérivées partielles du 4*^ ordre. 
M. Mansion est nommé commissaire. (Voir 2" partie, p. 41 .) 



— 54 — 

M. Gilbert fait connaître, d'après les récents travaux de M. de 
Sparre, la vraie forme de Therpolodie. 

M. Mansion présente quelques considérations sur le principe 
de substitution des infiniment petits. 

Lundi, 13 avril 1885. — M. Baule envoie une note où il 
montre la possibilité de résoudre ce problème : Étant donné le 
port de construction d'un navire, déterminer l'orientation de son 
chantier. 

La théorie de la régulation des compas ou boussoles marines, 
aidée des excellents instruments de sir W. Thomson, permet 
de mesurer les forces magnétiques provenant du navire qui, 
indépendamment des forces terrestres, agissent sur le compas. 
Ces forces perturbatrices, très considérables sur les navires en 
fer, proviennent de deux sources distinctes : 

l"" Des fers restés doux ou à peu près doux, dont faimantation 
varie par suite avec Torientation du navire et sa position sur 
le globe ; 

2"" Des fers qui ont atteint un état d'aimantation à peu près 
stable. Les forces qlii en proviennent sont sensiblement con- 
stantes et constituent ce que Ton appelle le magnétisme perma- 
nent ou sous-permanent. 

Il est naturel de supposer que ce magnétisme a été contracté 
pendant la construction, alors que le martelage nécessité par la 
mise en place des rivets ou autres opérations analogues déter- 
minait, dans diverses pièces de fer, une aimantation correspondant 
à leur orientation. La direction du chantier doit donc avoir une 
influence marquée sur les propriétés magnétiques du navire. 
D'après les résultats obtenus à bord du paquebot Niger des 
Messageries maritimes, celte influence semblerait prépondérante. 

Pour déterminer séparément les forces dues au fer doux et 
au magnétisme permanent, il est nécessaire de recueillir des 
observations dans divers parages où les conditions magnétiques 
terrestres sont très diiïérentes. Les voyages réguliers qu'effectue 
le NigeTy depuis six mois, de part et d'autre de Téquateur 



- 55 - 

magnétique, m'ont donc permis d'observer mes boussoles dans 
des conditions favorables. En désignant, pour plus de clarté, par 

P, la composante horizontale du magnétisme permanent qui 
attire vers l'avant le pâle nord de Taiguille aimantée, 

Q, la composante horizontale qui attire le même pôle vers 
bâbordy 

j'obtiens (Funité étant la force horizontale à Greenwich), pour 
le compas n"" 1 : 

P = -♦- 0,098, Q = -H 0,2S8. 

La résultante de ces deux forces fera donc, avec Taxe longitu- 
dinal du navire, un angle compté de Tavant vers bâbord 

arc . tg — = 69<». 

Or, si on suppose la direction de cette résultante tracée sur 
le pont, et si Ton reporte, par la pensée, le navire sur son chan- 
tier, cette direction coïncidera à trois degrés près avec le méridien 
magnétique. L'orientation du chantier est, en effet, 87^0 magné- 
tique. 

Pour la boussole n° 2 : 

P = + 0,031, Q = -+- 0,148, arc.tg^ = 78«. 

La coïncidence ne serait plus qu'à six degrés prés ; mais il faut 
tenir compte de ce que la boussole n" 2, beaucoup plus élevée 
au-dessus du pont, est moins soumise à rinfluence de la masse 
du navire, et, par contre, l'est beaucoup plus à celle d'une 
passerelle garnie de fer, construite tout récemment, c'est-à-dire 
plusieurs années après le lancement du Niger. 

Une pareille coïncidence n'a jamais été signalée, que je sache, 
sur aucun bâtiment ; je ine garderais donc bien de lui attribuer 
une généralité qui ne pourrait être établie que par des vériCca- 
tions nombreuses et obtenues avec des compas bien placés, 
c'est-à-dire éloignés, comme ceux du Niger, de toute masse 
de fer considérable. Je me borne donc à constater un fait que 



— 56 — 

je crois de nature à attirer Pattention des navigateurs ou des 
ingénieurs qui s'occupent de Pimportante question des boussoles 
marines. 

M. Gilbert expose Une généralisation du théorème de Kcenîg 
sur la force vive. 

M. Mansion présente Une démonstration élémentaire du théo- 
rème de Darboux. 

M. Gilbert fait connaître d'après les travaux de M. Mannheim 
une construction géométrique de l'herpolodie. 

Mercredi^ 15 avril 1885. — M. Mansion présente un mémoire 
de M. De Tilly Sur une lacune qui semble exister au commence- 
ment de la géométrie descriptive. D'accord avec M. Mansion, la 
section propose Tinsertion de ce travail aux Annales. (Voir 
S** partie, p. 93.) 

M. Gilbert fait Une rectification au calcul de M. Helmholtz 
concernant la conservation de la chaleur solaire. 

M. d'Ocagne développe les considérations suivantes au sujet 
des courbes qu'il appelle isométriques. 

« Considérons doux systèmes (C) et (K) de courbes planes, et 
supposons que les arcs découpés sur toutes les courbes K, par 
deux quelconques des courbes C, soient égaux entre eux. Nous 
dirons que les courbes K sont des trajectoires isométriques du 
système (C). 

» Le système (C) étant donné, on pourra évidemment former 
pour ce système une infinité de systèmes de trajectoires isomé- 
triques; on peut, en effet, se donner arbitrairement une courbe 
K| dans le système (K); les autres courbes K s'en déduisent, et 
nous dirons que celles-ci sont les isométriques de la courbe K| 
par rapport au système (C). 

» Le cas le plus simple et aussi le plus intéressant est celui 
où la courbe Ki est une droite. L'étude de ce cas fait l'objet 
d'un travail que nous avons donné au Bulletin de la Société 
mathématique de France. 



— 57 — 

» Nous démontrons dans ce travail, ce qui d'ailleurs est très 
facile, que le problème dépend d'une équation différentielle du 
premier ordre et du second degré et nous intégrons cette équa- 
tion dans plusieurs cas. 

» Qu'il nous soit permis de citer un de nos résultats. Soil(C) 
un système formé par les positions successives d'une courbe 
invariable glissant parallèlement à une droite D; nous disons 
qu'un tel système est parallèle à la droite D. Le système (C) 
orthogonal au premier est aussi parallèle n D. Le lieu du milieu 
d'une corde parallèle à D et dont les extrémités glissent respec- 
tivement sur une courbe C et une courbe C est une courbe K ; 
le système des courbes K est également parallèle à D; nous 
l'appelons système moyen des deux premiers. Cela posé, nous 
énoncerons ainsi le premier des théorèmes que nous avons 
obtenus : 

» 5t les systèmes (C) et (C'), parallèles à la droite D, sont 
orthogonaux entre eux, le système moyen (K) de (C) et (C') est 
isométrique de la droite D par rapport à l'un ou à l'autre de ces 
deux systèmes. 

» En particulier, si la courbe C est une parabole ayant la 
droite D pour axe, la courbe G' est une logarithmique ayant 
cette droite pour asymptote, et la courbe K est la fameuse 
courbe du chien, en supposant que le maître parcoure la droite D 
et que le chien ait à chaque instant la même vitesse que son 
maître. 

> Notre mémoire contient ensuite plusieurs cas d'intégration 
où nous introduisons les fonctions elliptiques sous la forme de 
la fonction p (u) de iM. Weierstrass, dont l'importance a été 
affirmée, en outre des travaux du grand géomètre, par les 
recherches de MM. Kieperi. Mittag-Leffler, Halphen, etc. Parmi 
les problèmes traités à cet endroit, nous signalerons le suivant : 
Trouver les isométriques d'une droite par rapport à un système 
de droites concourantes. On voit que la loi de rectification des 
courbes ainsi définies est une des plus simples qui se puissent 
imaginer. Soit, en effet, C l'une des isométriques de la droite D 
par rapport au système des droites qui passent par un point ; 



— 5S — 

si A et B sonl deux points de la courbe G et que Ton tire les 
droites OA et OB qui coupent la droite D aux points a et A, là 
longueur de l'arc AB de la courbe G est égale à la longueur du 
segment de droite ab, 

» Nous nous bornerons à ces rapides indications sur les ques- 
tions que nous avons résolues, nnais nous y ajouterons quelques 
remarques. La considération des isométriques donne naissance à 
beaucoup d'autres problèmes intéressants sur lesquels nous nous 
proposons de revenir, si nous en avons le loisir; en premier lieu 
celui-ci : 

Trouver deux systèmes de courbes qui soient chacun isométrique 
par rapport à l'autre, ou, si l'on veut, isométriques réciproques. 

» Ge problème semble assez difficile, mais il devient bien plus 
ardu quand on Télend aux surfaces, et voici comment : 

» Soient (S), (S') (S") trois systèmes de surfaces; prenons 
deux surfaces du système (S'), S'j et S'2, et deux surfaces du 
système (S"), S"| et S"2. Ges quatre surfaces déterminent sur 
chaque surface S une aire limitée à quatre courbes. Si les aires 
ainsi déterminées sur les surfaces S sont toutes égales entre 
elles (quelles que soient d'ailleurs les surfaces S'i, S'j, S"^, S"j 
choisies dans les systèmes (S') et (S")), le système (S) sera dit 
isométrique par rapport aux systèmes (S) et (S"). 

» Le problème qui consiste à trouver trois systèmes de sur- 
faces tels que chacun d'eux soit isométrique par rapport aux deux 
autres est, croyons-nous, digne de tenter les efforts des géomètres 
les plus exercés. 

» On peut aussi se poser le problème des isométriques pour 
les courbes tracées sur une certaine surface, ou encore recher- 
cher les courbes gauches, trajectoires isométriques d'un système 
de surfaces donné Il y a là toute une mine de questions déli- 
cates qui ne semble pas avoir été exploitée, de l'avis même d'un 
maître éminent, M. Ossian Bonnet, à qui nous avons commu- 
niqué notre premier essai dans cette voie. » 

Une discussion sur les nombres incommensurables termine 
la séance. 



— 59 — 

Jeudis 46 avril 1885. — M. Tabbé Gelin fait connaître Une 
méthode de division abrégée. 

M. Gilbert présente une note de M. Mansion sur une ques- 
tion de mécanique et demande à Texaminer. 

M. d'Ocagne communique à la section la solution d'un pro- 
blème de géométrie. La section propose l'insertion de ce travail 
aux Annales. (Voir 2* partie, p. 231 .) 

M. Gilbert présente une note Sur un problème de combinai- 
sons. 

La section procède à Félection d'une Commission chargée de 
préparer la question à mettre au concours. Sont nommés : 

MM. Pasquier, Mansion et Gilbert. 

II est procédé au dépouillement du scrutin pour l'élection du 
bureau, qui se trouve ainsi constitué : 

Président, MM. Pasquier. 

Vice-Présidents, d'Ocagne et Ch. Lagasse. 

Secrétaire, A. Van Biervi.iet. 

Deuxième Seetion. 



Jeudi, 30 octobre 4884. — M. Schmitt, professeur à la Faculté 
catholique des sciences de Lille, à la suite d'expertises ordonnées 
par le parquet, a été conduit à faire de nombreuses analyses de 
beurre comestible, notamment en vue de reconnaître la présence 
de la margarine. Les caractères physiques sont insuffisants. 
L'analyse pour le dosage des acides gras volatils et solubles ou 
fixes et insolubles ne donne pas de résultats satisfaisants. Reste 
Fanalyse immédiate, qui constitue le meilleur procédé. On dis- 
sout les matières grasses par des essences de pétrole et on dose 
le sel, le sucre, etc. 

Le point de fusion du beurre varie de 36** à 38°. La présence 
d'une quantité notable de margarine fait monter le point de 
fusion à 40°. 

La détermination de la quantité d'eau contenue dans le beurre 



— es- 
sence de végélation rendaient plus facile Taction du nivellement. 

Cette communication donne lieu à un échange d'observations 
entre MM. G. Dewalque, Delgeur, Swolfs, Dollo et de Limburg- 
Stirum. 

La section engage Fauteur à poursuivre ses intéressantes 
recherches de manière à en faire l'objet d'un travail complet. 

M. Oomen communique la note suivante sur un cas de longé- 
vité de VA gave Americana. 

Le 28 juin 1882, j'ai pendu dans une salle très sèche une 
espèce A^ Agave Americana avec les racines. C'était une plante 
âgée de 5 à 6 ans. La première année^ la plante resta fraîche et 
continua à croître. C'est seulement à la fin de la seconde année 
que quelques feuilles commencèrent à jaunir; la feuille enroulée 
du milieu restait toujours verte et saine. 

Enfin, le 14 octobre 1884, j'ai constaté que la plante était tota- 
lement morte. 

Ainsi la plante a pu vivre sans terre et sans humidité pen- 
dant 2 ans et 106 jours. 

Happort ifo Jf. «l9 ta Vaité^ FouêHn 

sur une note de M. le C*' Ad. de Limburg-Stirum, relative à des 
dépôts littoraux des environs de Bruxelles. 

« Les observations de M. de Limburg-Stirum relatives à cer- 
taines couches coquillières éocènes étudiées par lui dans le Bra- 
bant me paraissent très intéressantes à faire connaître : et j'en 
propose volontiers l'impression dans les Annales de la Société 
scientifique. Je propose aussi la publication de la feuille de 
coupe qui accompagne ce travail et qui met en parallèle la série 
des dépôts tertiaires dans les deux vallées de la Senne et de 
la Geete. » 

La note de M. de Limburg-Stirum est insérée à la 2* partie, 
pp. SOS et suivantes. 



— es — 

Jeudiy 29 janvier 1885. — M. de la Vallée Poussin lit le tra- 
vail suivant, sur les couches à Acervularia des environs de 
Ghaudfontaine et d'Embourg. 

Les massifs de calcaires dévoniens des environs de Ghaudfon- 
taine et d'Embourg sont teintés comme calcaires de Givet sur les 
cartes géologiques de Dumont. M. Gosselet les- a indiqués comme 
appartenant à la série de Frasnes (*). II en est ainsi, en effet, 
pour la majeure partie de ces calcaires. Les couches supérieures 
sont remarquables par Tabondance des polypiers du genre 
Acervularia, On peut les étudier dans les carrières actuellement 
exploitées à côté de la route de Ghaudfontaine à Nimane, comme 
aussi dans les excavations plus anciennes qui sont situées sur le 
plateau d*Embourg à Test et à louest de la route d'Aywaille, et 
également au pied des beaux escarpements qui bordent la rive 
droite de TOurthe vis-à-vis de Colonstère. Les ondulations répé- 
tées du système dévonien dans cette région ramenèrent au jour 
à plusieurs reprises les bandes à Acervularia. En explorant les 
excavations situées au sud-est du hameau de Trihay, où les 
couches se succèdent avec régularité, on voit qu'il existe au 
moins deux zones principales de couches à Acervularia, qui sont 
séparées par 8 à 10 mètres de calcaires de structures diverses, 
les uns massifs, traversés de veines spathiques, à stratification 
souvent peu distincte, parfois dolomitiques, les autres formés 
de couches minces soudées entre elles et présentant un aspect 
stratocompacte. Dans ces couches intermédiaires, on rencontre 
des Stromalopores, des Favosites et des Pachypora, quelques 
Spirifères, et aussi des traces d'algues à étui calcaire rappelant 
un peu nos Gorallines. 

La zone à Acervularia^ qui surmonte les couches précédentes, 
commence aussi par des bancs stratocompacts, qui ont fourni 
de bonnes pierres de taille et qui reparaissent souvent dans les 



(*} Etquisse géologique du nord de la France, p. 100. 



— 64 — 

travaux d'art entrepris pour la construction du chemin de fer 
de Verviers. Ces couches de calcaire à peu près pur sont sur- 
montées à leur tour par des couches plus feuilletées, schisto- 
noduleuses, où les éléments argileux s'associent au calcaire dans 
des proportions plus ou moins considérables, et où persistent 
néanmoins la plupart des polypiers et notamment les Acervularia 
avec la même abondance qu'auparavant. 

L'aspect de ces bancs est très caractéristique. On sait que les 
Acervularia constituent des zoanthaires composés, formant des 
plaques acquérant depuis moins de 1 centimètre jusqu'à 75 ou 80 
millimètres d'épaisseur. Ces plaques sont aisées à reconnaître, 
même au milieu des bancs les plus massifs, par suite de la 
cassure finement saccharoïde qui leur est propre comme à la 
plupart des polypiers paléozoïques. Elles y sont distribuées en 
lentilles, en lits interrompus, généralement séparés veriicalemént 
par de faibles intervalles qui peuvent être comblés par un calcaire 
à grains serrés et compact, et il en résulte une bonne pierre 
d'appareil. Mais d'autres fois ces lits de polypiers sont enveloppés 
et comme noyés dans une masse calcaréo-schisteuse d'un gris 
noirâtre très foncé, par suite des matières charbonneuses qui 
l'imprègnent quand elle n'a pas été exposée très longtemps à l'air, 
et ce mode de stratification se prolonge sur de grandes étendues 
en conservant partout une puissance de plusieurs mètres. 

La spécification des diverses formes d' Acervularia laisse 
encore à désirer. 

Ferdinand Rœmer, dans son dernier ouvrage, parait aban- 
donner une partie des espèces établies autrefois par son frère 
Friedrich dans la grande monographie des fossiles dévoniens du 
Hartz insérée dans la Palaeontographicade Duncker etMeyer (*). 
Les localités que j'ai parcourues aux environs de Ghaudfontaine 
et d'Ëmbourg m'ont fourni les deux espèces désignées comme 
Acervularia pentagona et A. Davidsoni (Edwards et Haime), 
dans le dernier fascicule publié par F. Rœmer de la Lethœa 



(*) Beitràge zur geologltchen Kenntmsi des Nordwegtlichen Harzgebirge, Dritte Abu, 
pp. 30-:«, 1805. 



— 65 — 

geognosHca (*). Je n*ai pas observé Tespèce à plus grands calices, 
nommée A. Goldfussii par les mêmes auteurs, bien qu'elle ait 
été signalée en Belgique sur le même horizon par plusieurs 
savants (2). 

Quelle que soit la nature lithologique de la zone qu'ils 
caractérisent, ces polypiers y sont associés à d'autres familles de 
la même classe, en particulier aux Alvéolites, qui se sont servis 
fréquemment des Acervularia comme d'une base pour édiûer 
leurs constructions pierreuses. Alvéolites suborbiciilaris (Edw. et 
Haime) se rencontre assez souvent en incrustation sur l'autre type 
de polypier. Il est remarquable que les uns et les autres ne 
paraissent pas avoir souffert du changement qui s'opérait au 
fond de la mer dévonienne dans la nature des sédiments pen- 
dant qu'ils florissaient ; car leurs agrégations sont aussi nom- 
breuses, aussi serrées quand elles sont entrelacées dans les 
feuillets d'une roche calcaréo-argileuse ou marneuse que lors- 
qu'elles sont enchâssées dans du calcaire compact. Ce sont 
précisément ces bancs en grande partie formés de polypiers qui 
sont exploités pour la confection des chaux hydrauliques dans 
les carrières établies le long de la route de Chaudfontaine à 
Nimane, tandis que les bancs intermédiaires où les Zoanthaires 
sont plus clairsemés ne fournissent pas cette qualité de chaux. 
Il en va de même de la zone sous-jacente aux bancs intermé- 
diaires; elle est remplie des mêmes coraux que la zone supé- 
rieure, en possède habituellement à un haut degré la structure 
nodulo-schisteuse et elle est employée aux mêmes usages. 

Il faut conclure de ces circonstances que la parfaite limpidité 
des eaux marines n'était pas la condition indispensable au déve- 
loppement de certaines familles de polypiers paléozoïques. Des 
eaux tenant en suspension des particules terreuses ne les empê- 
chaient pas de prospérer dans certains cas. Des faits semblables 



(«) Lethœa palœozoica, Slullgard, 1883, pp. 352-353. 

(«) G. Dewalque, Prodrome, ctc , p. 318. — MOURLON, Géologie de la Belgique, t. H, 
pp. 16 et SUIT. La figure donnée dans l'atlas de M. Gosselet {E$quisse.ki\2i\^\AS, fig.SO) 
comme Acervularia Davidsoni (Rdw. et H.) ne peut appartenir à ce genre et ne ressemble 
pas à Tespëce de F. Rœmer. 

IX. e 



à ceux que je viens d'indiquer se retrouvent en beaucoup 
d'autres points de Fétage dévonien de Frasnes, soit dans la 
bande de Rhisnes comme à Huecorgne et sur le territoire 
d'Émines, soit dans le bassin de Dinant comme, entre autres, à 
Profondville et dans les environs de Givet. Cest un fait assez 
général. Il s'accuse d'une manière au moins aussi frappante dans 
la série de Couvin, laquelle, comme on sait, est très antérieure 
à celle de Frasnes, mais qui s'en rapproche, au point de vue 
lithologique, par un mélange intime des nodules et des lentilles 
calcaires aux sédiments argilo-schisteux. On peut observer, par 
exemple dans les belles tranchées des environs d'Aubrives 
(département des Ardennes), que les amas d'Héliolithes,deFavo- 
sites, d'Alvéolites, de Cyaihophyllines y sont parfois étrange- 
ment entremêlés à des feuillets schisteux. Il arrive que ces feuil- 
lets schisteux se retrouvent au milieu de masses calcaires ayanl 
jusqu'à plusieurs mètres cubes et constituées par des colonies de 
Stromatopores. En voyant ces sortes de lentilles marneuses ou 
de membranes argileuses enveloppées on quelque sorte dans un 
rocher construit par des Stromatoporides, il est bien difficile de 
ne pas admettre que, pendant la durée d'une même colonie de 
ces petits êtres, il arrivait des moments où ieau se troublait plus 
ou moins, sans entraîner forcément la ruine de la république. 

Nous savons d'ailleurs que des faits ayant de l'analogie se pas- 
sent aujourd'hui chez les principales tribus d'Actinozoaires for- 
mant des récifs. L'accroissement des massifs édifiés actuelle- 
ment, dans les mers tropicales, par une même colonie de 
Madrépores, d'Astrées ou de Poritcs n'est pas absolument 
arrêté par une précipitation dans des eaux troubles. Certaines 
portions de l'agrégation et surtout le sommet périssent, tandis 
que les côtés continuent de vivre. On connaît même, chez les 
Fungides, des cas où un seul individu à large disque périt d'un 
côté sous l'action des eaux troubles, mais résiste de l'autre côté(*). 

Nonobstant ces faits, les relations habituelles des polypiers 
composés de répoque dévonienne avec les fonds limoneux 



(«; Conf. J. Dana, (Umiis and coralUlands, pp. lîO-ilil. 



nous paraissent prouver chez ces organismes des aptitudes d'ac- 
Gomniodation et une résistance que Ton n'a pas constatées, à 
beaucoup près, au même degré chez les Actinozoaires vivants. 
Cette conchision paraît encore mieux appuyée si Ton remarque, 
à propos de Tétage de Couvin, que, sur des zones puissantes, les 
blocs corallaires y sont distribués à toutes les hauteurs, et que, à 
côté de ces blocs, comme au-dessus et au-dessous d'eux, se trou- 
vent des lits réguliers de schiste argilo-marncux, où fourmillent 
des spécimens calcaires de Brachiopodes, de Fenestelles, mêlés 
à des Gastropodes, à des Lamellibranches, à des Céphalopodes et 
à beaucoup de polypiers sporadiques. Il en ressort évidemment 
que la fixation par les organismes du carbonate de calcium dis- 
sous dans les eaux marines marchait de pair avec la précipita- 
tion des matières détritiques; et, le fait étant accordé sans diffi- 
culté pour les mollusques, nous ne voyons pas comment il 
pourrait être nié pour les corallaires. 

Les circonstances étant telles, on ne peut accepter au pied de la 
lettre, du moins à propos de certains Anthozoaires de Tère pri- 
maire, la maxime suivant laquelle les formations corallines 
exigent des eaux limpides et sont incompatibles avec des dépôts 
limoneux. Dans Pétat des connaissances, cette assertion est à très 
peu de choses près acceptable pour les organismes qui construi- 
sent actuellement des récifs ; mais elle comporte des restric- 
tions sérieuses si on l'applique aux Zoanthaires des périodes très 
anciennes. Dans cette difTérencc du passé et du présent, comme 
dans la non distinction, aux temps anciens, des coraux de récifs 
et des coraux de mers profondes, et dans l'association à la même 
époque des bancs de polypiers à des coquilles fragiles, incapables 
de résistera de violents coups de mer, telles que sont celles de 
beaucoup de Brachiopodes, nous voyons des difficultés qui ne 
sont pas résolues. Elles doivent être prises en considération dans 
l'interprétation des étages à polypiers trouvés dans les anciennes 
formations du sol belge, et dans le jugement à porter sur les ten- 
tatives récentes où l'on cherche à éclairer l'histoire des anciens 
récifs en partant des phénomènes qui se passent actuellement 
dans l'occan Pacifique. 



M. Dollo fait plusieurs communications paléontologiques. 
M. le D' Delgeur expose, au point de vue géographique, les 
opérations de la Conférence du Congo. 

Lundi, 15 avril 1885. — M. Tabbé G. Smeis, docteur en 
sciences naturelles, donne lecture de quelques observations faites 
sur le Balœnoptera Sibbaldii. Ce travail donne lieu à un échange 
d*observations entre M\I. Dollo et Smets. La section propose 
rimpression aux Annales du mémoire de M. Tabbé Smets. (Voir 
2* partie, pp. 187 et suiv.) 

Le R. P. Van den Gheyn fait diverses communications sur 
des points de linguistique et d'ethnographie. 

Mardi, 14 avril 1885. — M. Dollo démontre Thomodynamie 
des chevrons et des hypapophyses. Ce travail donne lieu à une 
discussion entre MM. Dollo et Smets. 

M. Charlier expose les procédés dont il use pour mouler les 
fossiles et spécialement les fossiles végétaux; M. Dollo fait 
observer que sa méthode ne peut être appliquée à la reproduc- 
tion des fossiles animaux; car on ne peut ni les humecter, ni les 
mettre en contact avec un corps chaud. 

Il est procédé à l'élection du bureau de la section pour Tannée 
1885-1886. Sont élus : 

Président, MM. G. Dev^alque. 

Vice- Présidents, Delgeur et Dollo. 

Secrétairey Blisseret. 

M. Tabbé Bourgeai, professeur aux Facultés catholiques de 
Lille, envoie un travail sur le néocomien du haut Jura français. 
La section désigne M. G. Dewalque comme commissaire. 

Jeudi, 16 avril 1885. — M. G. Dewalque, rapporteur, conclut 
dans les termes suivants à la publication dans les Antiales du 
mémoire de M. Bourgeat : 

« J ai lu avec beaucoup d'intérêt le mémoire de notre hono- 
rable confrère sur lu géologie du haut Jura. Ce mémoire, qui a 



exigé un grand travail sur le terrain, est fort bien fait et il appor- 
tera un important contingent à nos connaissances sur cette 
région, particulièrement sur sa stratigraphie. G*est dire que j'en 
propose très volontiers l'impression dans les Annales de la 
Société. > 

A propos d'un article publié par le Cosmos (n** du 9 février 
1885) et intitulé : L'Audition colorée, le R. P. Van den Gheyn 
fournit à la section quelques détails complémentaires sur les 
phénomènes physico-psychiques signalés dans le travail. 

Il rappelle d'abord brièvement les recherches de MM. Bleuler, 
Schmann, Ughetii et Lussana sur les relations particulièrement 
intimes qui,chez certaines organisationSytendent à faire confondre 
les sensations du son et de la couleur. Pour bien des personnes, 
parait-il, un son entendu produit sur les organes une sensation 
de couleur. Chose étrange, le phénomène se présente générale- 
ment dans des conditions de si parfaite régularité que les mêmes 
voyelles répondent à une même couleur déterminée, non seule- 
ment chez les mêmes individus, mais chez des sujets différents. 
Ainsi presque toujours l'a éveille la perception de la couleur 
noire; l't, celle du rouge; l'o, celle du blanc; Ve, celle du 
jaune. 

Ce phénomène est moins rare qu'on ne le pense. Sur 596 
personnes examinées, les D" Bleuler et Schmann en ont trouvé 
75, soit 12,5 7o> qui offraient cette anomalie. 

Ces observations ont été faites surtout en Italie et en Allemagne, 
mais le R. P. Van den Gheyn a pu les constater lui-même d'une 
manière très frappante sur un sujet qui jouit de cette étonnante 
propriété de l'audition colorée. Sans avoir été aucunement pré- 
venu que d'autres éprouvaient le même phénomène, ce sujet a 
été prié de mettre ses impressions par écrit, et voici le résumé 
qu'il en a rédigé. On verra que les faits concordent d'une 
manière étonnante avec ceux qui ont été signalés dans l'article 
du Cosmos. 

• Les voyelles d'un mot prononcé devant moi produisent 
invariablement sur l'organe de la vue la sensation d'une couleur 



toujours la même. Ainsi, que j'entende dire le mol particulière, 
aussitôt je vois déHler devant mes yeux une série de teintes 
disposées dans Tordre suivant : rouge foncé, noir, violet, noir, 
jaune clair brillant, jaune mat. Autre exemple : le mot régularité 
me fait voir du jaune clair brillant, du violet foncé, du rouge, 
du noir, du jaune clair brillant. 

» Les premières perceptions de celte singulière affection 
remontent au temps où je maniais mes premiers abécédaires ou 
du moins 5 l'époque de mes premières lectures. Je me souviens 
parfaitement que, tout jeune enfant, les premiers sons auxquels 
j'ai pu réfléchir étaient ceux de la langue hollandaise et que la 
lettre qui me frappa le plus était le if (aï). Elle me fait voir 
un splendidc vert de France avec feu d'émeraude. L'i/ est comme 
le soleil dans celte pléiade d'astres alphabétiques. Après cela, 
vient Va qui me donne une impression de rubis clair partout 
où il a le son long-aigu, et qui perd de son brillant à mesure 
qu'il se rapproche de Va grave. 

» Voici du reste toute ma gamme chromatique : 

a = rouge; ï = noir; m = violet; 

e = jaune; o=blanc; t; = verl. 

» Les consonnes n'ont pas de couleur propre; mais, dans 
certains cas, elles participent à un reflet de voyelles. 

* Chose curieuse, le phénomène se produit aussi quand je 
vois un mot imprimé ou écrit, et alors la couleur que je perçois 
ne dépend plus de la prononciation de la lettre. Ainsi, quoique 
t et ij aient le même son dans les mots ice (anglais) et ijs 
(hollandais), cependant à la lecture du mot ice je vois le noir 
de l'i et ijs me donne la sensation régulière du vert de Vij. 

» Je dois aussi faire remarquer que cette audition colorée est 
pour moi tm moyen mnémotechnique. Un mot m'échappe-t-il, je 
parviens à le reconstituer par les couleurs correspondant aux diffé- 
rentes voyelles. Très souvent, lors même que je ne me rappelle 
pas du tout le terme à retrouver, il me suffit d'y penser : une teinte 
vague se présente; en y pensant encore, le brouillard s'éclaircit, 
les couleurs apparaissent et les couleurs ramènent les voyelles. » 



— 11 — 

On le voit, le phénomène observé sur le sujet dont parle le 
R. P. Van den Gheyn se présente avec des conditions identiques 
à celles qui ont été constatées par MM. Bleuler, Schmann et 
tJghetli en Allemagne et en Italie. Deux voyelles seulement ont 
des couleurs différentes, et encore y a-t-il simple inversion des 
deux mêmes couleurs : les personnes dont parle leCosmos voient 
l'a noir et Yi rouge ; c'est le contraire pour celle que connaît le 
R. P. Van den Gheyn ; Vi est noir et Va rouge. 

On a tenté plusieurs explications de ce phénomène. M. Bleuler 
Tattribue à Thallucination. Mais Thallucination est passagère et 
variable; ici, au contraire, les impressions sont persistantes et 
identiques, non seulement chez la même personne, mais chez 
des individus différents. 

M. Barreggi a cru trouver la clef du mystère dans une exagé- 
ration de la faculté d'associer des idées. L explication aurait 
quelque valeur si, au cas présent, il s'agissait d'une perception 
intellçctuelle. Mais, qu'on ne l'oublie pas, il s'agit de sensations 
associées, confondues, et non pas d'idées. En outre, dans cette 
hypothèse, chez différentes personnes les associations d'idées ne 
varieraient-elles pas? En effet, il n'existe aucune analogie natu- 
relle entre tel son et telle couleur déterminée. 

D'autres ont fait valoir les grandes similitudes constatées par 
la physiologie entre la vue et l'ouïe, similitudes confirmées aussi 
par le langage. On relève, en effet, dans toutes les langues des 
expressions métaphoriques confondant les sensations de la vue 
et de l'ouïe. Le R. P. Van den Gheyn a cité quelques exemples 
curieux. 

On lit dans Sophocle, Œdipe roi (v. 187) : Ttaiàv ùï Xà[jL7rei, 
le péan brille^ c'est-à-dire résonne. Dans Philoctète (v. 188, 202, 
216) se rencontrent les expressions suivantes : i^^^ti TT^Xecpavriç, 
l'écho qui s'aperçoit de loin, pour l'écho qu'on entend au loin; 
icpouçàvTi xTUTioç, Ic bruit s'est vu, c'est-à-dire s'est fait entendre; 
TTiXayjcov ^(oàv, un cri qu'on voit de loin. 

Virgile a dit (Georg,^ IV, 50) : Vocisque offensa résultat 
imago. Que dire de cet accouplement de mots vocis imago? En 
latin fuscuSf quand ce mot s'entend de la couleur, veut dire : 



— 1» — 

sombre, brun, car Cicéron en disant purpura fusca désigne une 
pourpre presque brune. Or le même Cicéron {N. />•, II, 58), 
quand il veut définir les différentes espèces de voix, distingue la 
voix blanche (*) et la voix sombre : « Vocis gênera permulta : 
candidum, fuscum.,. » 

En français les exemples abondent. Il suffit de se rappeler 
Tusage des mots : éclatant, brillant. On dit également un son écla- 
tant, une couleur éclatante, des teintes criardes. Aussi, quand on y- 
pense bien, on n'est pas tenté de trouver étrange la réflexion de 
Victor Hugo dans le réveil des cloches du vieux Paris, lorsqu'il 
dit : « Il semble qu'en certains instants l'oreille a aussi sa vue ». 

Terminons par quelques exemples empruntés aux langues 
germaniques. On dit en flamand helle kleur et helle stem, une 
couleur et une voix éclatantes. L'anglais associe les termes sui- 
vants : scarletf piirple warcry, « un cri de guerre écarlate ». 

L'explication qu'on donne généralement pour justifier ces 
manières de parler se borne à dire : ce sont des figures de lan- 
gage, des métaphores. Fort bien, mais n'est-ce pas reculer la 
réponse? La métaphore elle-même ne dcmande-t-elle pas à être 
expliquée? Or, la métaphore n'est le plus souvent, sinon tou- 
jours, que l'expression réelle et fidèle de ce qui se passe vrai- 
ment dans la nature, et Ton a dit un jour avec infiniment de 
raison : « Le style figuré est et a toujours été le style le plus 
naturel, le style ordinaire, nous dirions presque le style propre. 
Les peuples furent de tous temps les meilleurs linguistes et sou- 
vent ils ont exprimé d'instinct dans leurs mots ce qu'une science 
approfondie est venue découvrir des siècles après eux. i 

Si donc la langue a pu ne choisir qu'une seule et même 
expression pour désigner des sensations de la vue et de l'ouïe, 
c'est que la logique du langage avait pressenti dos analogies 
entre le son et la lumière. D'ailleurs, dans un autre ordre de 
choses, le physiologiste Bichat avait déjà fait remarquer que les 
expressions telles que « la fureur circulant dans les veines, la 



(') On voit que M. Champflcury aurait pu s'autoriser de l'exemple de Cicéron pour 
donner à son héros une voix blanche. 



— 7» — 

joie faisant tressaillir les entrailles » ne sont pas des mêla- 
phoreSy mais renoncé de ce qui est réellement dans la nature. 

Un exemple célèbre vient à Tappui de celle assertion. Tous 
les poètes du temps ont décrit les tortures morales de Napo- 
léon !•', le prisonnier de Sainte-Hélène, rongé par le chagrin et 
rinaetion forcée à laquelle on Pavait condamné. Eh bien, oui, il 
il se rongeait. L'autopsie révéla qu'il avait un squirre au pylore. 

En un mot, la métaphore répond plus souvent qu'on ne croit 
à une réalité. En particulier, pour ce qui concerne les expres- 
sions relatives tout à la fois au son et à la couleur, elles sont 
fondées sur les analogies réelles qui existent entre ces deux 
sensations. 

L audition colorée est donc un état pathologique très expli- 
cable. Elle résulte d'une confusion faite dans le cerveau entre 
les vibrations moléculaires transmises par deux organes diffé- 
rents. Cette confusion tient évidemment à une disposition parti- 
culière du système nerveux. 

En tout cas, l'on est en présence d'un phénomène curieux à 
étudier et, latlenlion une fois éveillée sur co point, il est à 
désirer que les observations se multiplient. Conime pour le 
daltonisme, qui fut ignoré pendant des siècles, on arrivera sans 
doute à faire d'utiles découvertes, qui jetteront un nouveau jour 
sur l'étude de la perception sensorielle et par suite aussi sur le 
travail de la pensée. 



M. leD' Delgeur,s'inspirant notamment des fouilles d'Edouard 
Naville, retrace l'itinéraire de l'Exode. Cette communication a 
depuis pris la forme d'un article publié dans la Revue des ques- 
tions scientifiques, tome XIX, pages 39 et suivantes. 

Quatrième Section. 

Jeudis 30 octobre i884. — M. le professeur Desplals, de Lille, 
traite la question de l'atrophie des muscles du thorax et de 
l'épaule chez les pleurétiques. Ce travail est publié plus loin, 



— 1» — 

sombre, brun, car Cicéron en disant purpura fusca désigne une 
pourpre presque brune. Or le même Cicéron {N. Z>., II, 58), 
quand il veut définir les diiïérentes espèces de voix, distingue la 
voix blanche (*) et la voix sombre : « Vocis gênera permulta : 
candidunij fuscum... » 

En français les exemples abondent. Il suffit de se rappeler 
l'usage des mots : éclatant^ brillant. On dit également un son écla- 
tant, une couleur éclalanie, des teintes criardes. Aussi, quand on y- 
pense bien, on n'est pas tenté de trouver étrange la réflexion de 
Victor Hugo dans le réveil des cloches du vieux Paris, lorsqull 
dit : « Il semble qu'en certains instants Toreille a aussi sa vue ». 

Terminons par quelques exemples empruntés aux langues 
germaniques. On dit en flamand helle kleur et helle stem^ une 
couleur et une voix éclatantes. L'anglais associe les termes sui- 
vants : scarlety purple warcry, « un cri de guerre écarlate ». 

L'explication qu'on donne généralement pour justifier ces 
manières de parler se borne à dire : ce sont des figures de lan- 
gage, des métaphores. Fort bien, mais n'est-ce pas reculer la 
réponse? La métaphore elle-même ne demande-t-elle pas à être 
expliquée? Or, la métaphore n'est le plus souvent, sinon tou- 
jours, que l'expression réelle et fidèle de ce qui se passe vrai- 
ment dans la nature, et l'on a dit un jour avec infiniment de 
raison : « Le style figuré est et a toujours été le style le plus 
naturel, le style ordinaire, nous dirions presque le style propre. 
Les peuples furent de tous temps les meilleurs linguistes et sou- 
vent ils ont exprimé d'instinct dans leurs mots ce qu'une science 
approfondie est venue découvrir des siècles après eux. i 

Si donc la langue a pu ne choisir qu'une seule et même 
expression pour désigner des sensations de la vue et de l'ouïe, 
c'est que la logique du langage avait pressenti des' analogies 
entre le son et la lumière. D'ailleurs, dans un autre ordre de 
choses, le physiologiste Bichat avait déjà fait remarquer que les 
expressions telles que « la fureur circulant dans les veines, la 



(•) On voil que M. Champfleury aurait pu s'autoriser de l'exemple de Cicéron pour 
donner à son héros une voix blanche. 



— 15 — 

OU suspects de tuberculose. Toutes ces méthodes sont basées sur 
un double fait : 1* comme la plupart des microbes, le bacille de 
Kocb se laisse imprégner par les matières colorantes du groupe 
des anilines (fuchsine, bleu de méthylène, etc.), mais ici l'opéra- 
tion exige certaines conditions spéciales, à savoir : un certain laps 
de temps (1^ à 24 heures) ou, si Ton veut aller plus vite, Tin- 
tervention de la chaleur et femploi d'une substance adjuvante, 
à base alcaline, dont le rôle est peu connu ; 2° une fois coloré, le 
bacille conserve sa coloration avec une grande ténacité. Ainsi, 
tandis que, sous Tinfluence d'agents énergiques tels qu'un acide 
étendu, les autres éléments (noyaux, microbes divers) sont 
décolorés, le bacille reste seul imprégné du principe colorant. 

> La méthode d'EhrIich, si précise dans ses résultais, n'a pas 
tardé 5 devenir en quelque sorte classique et à supplanter le pro- 
cédé primitif de Koch, abandonné bientôt par son auteur lui- 
même (*). Cette méthode, qui forme la base d'une foule d'autres 
procédés sans importance, consiste, en résumé, à décolorer par 
une solution acide une préparation préalablement imprégnée 
d'une matière colorante (fuchsine, violet de méthyle) ; les bacilles 
de la tuberculose conservent seuls leur coloration ; on fait ensuite 
agir une seconde aniline faisant contraste avec la coloration 
imprimée aux bacilles par la première. Voici le détail du modus 
faciendi : 1° on dessèche à l'air libre ou en la passant deux ou 
trois fois rapidement dans la flamme d'une lampe à alcool la 
lamelle sur laquelle on a étalé le crachat en couche mince; 2'' on 
verse dans un tube une solution aqueuse saturée d'huile d'ani- 
line et Ton filtre. Ce liquide, qui doit jouer le rôle du milieu alca- 
lin, doit être préparé au moment de servir. On le verse dans 
un récipient quelconque et l'on y ajoute plusieurs gouttes d'une 
solution alcoolique concentrée de fuchsine; 3* on dépose dans 
cette solution ainsi colorée la lamelle de verre chargée de la 
matière expectorée, et on l'y laisse pendant 12 à 24 heures; dix 



(*) Koch colorait la préparation par le bleu de méthylène alcalinisé, puis il la soumet- 
tait à l'action de la vétuvine qui colorait tout en brun, à l'exception des bacilles tuberca- 
lenx qui consenraient la coloration bleue du début. 



— »• — 

à quinze minutes d'immersion snflisent, si Ton a eu soin de 
chauffer au préalable le liquide; i?" la lamelle est lavée dans 
Teau distillée, puis plongée dans une solution d*acide nitrique à 
30 7o» jusqu'à ce que toute coloration ait disparu, cVst-à-dire 
pendant quelques secondes seulement; 5"* on plonge la lamelle, 
après lavage, dans une solution concentrée de bleu de méthy- 
lène; 6° on lave encore, on sèche, puis la préparation est montée 
dans le baume de Canada. 

» Au lieu de fuchsine, on peut se servir de violet de méthyle; 
dans ce cas, on a recours, comme seconde matière colorante, à la 
vésuvine. 

» Cette méthode donne d'excellents résultats, les bacilles 
tranchant très nettement sur la coloration du fond. 

» Elle présente cependant un inconvénient : elle exige, on le 
voit, une série de manipulations assez longues, et elle demande 
au moins 25 minutes de préparation, ce qui est beaucoup pour 
le praticien dont le temps est compté. 

* Le D' B. Frânkel a modifié récemment d'une manière très 
avantageuse le procédé d'EhrIich ('). L'huile d'aniline ne doit 
plus être préparée au moment même de la recherche, mais peut 
être conservée grâce à l'alrool qu'on y ajoute (alcool 50 c. c, 
huile d'aniline 5 c. c, eau distillée 90 c. c). Il n'est plus néces- 
saire de filtrer. En second lieu, la solution colorante de fond ren- 
ferme l'acide destiné à enlever à tout ce qui n'est pas bacille la 
coloration première. La marche à suivre est celle-ci : 1* dessé- 
cher, comme on l'a dit plus haut, la petite lamelle (couvre-objet 
ou deck-glass des micrographes) qui porte la matière expectorée; 
2" verser dans un petit récipient (verre de montre, etc.) la solu- 
tion d'aniline alcoolisée dont nous venons de citer la formule, et 
y laisser tomber quelques gouttes d'une solution alcoolique con- 
centrée de fuchsine jusqu'à opalescence. Chauffer jusqu'à déga- 
gement de légères vapeurs et déposer dans le liquide la lamelle 

{«) Berliner klinisch Wochemchrift, i88i, pp. 493 el 244. Une Iraduciion de cet 
important travail, qui traite de la valeur sémiologique du bacille de Koch aussi bien que 
de la technique des procédés de coloration, a paru dans le n» d'août 4884 du Journal de 
médecine, etc., de Bruxelles. 



— 17 ~ 

à examiner; 3** après avoir laissé flotter la lamelle pendant 3 à 
6 minutes dans ce liquide, on Yen relire délicatement au moyen 
d^nne petite pince et on la lave en lagitant rapidement dans un 
verre d*eau pure, puis on la dépose dans la solution acidulée de 
bleu de méthylène (alcool 50 gr., eau 30 gr., acide nitrique 
20 gr., bleu de méthylène en quantité suflisante pour obtenir 
une solution complètement saturée); 4" laver, sécher sur du 
papier buvard et, au besoin, passer la lamelle à la flamme de la 
lampe à alcool; puis laisser tomber sur la face qui porte le cra- 
chat coloré une goutte de baume de Canada et déposer cette 
lamelle du côté où Ton a mis le baume sur une lame de verre 
porte-objet. Cette opération, pour peu qu'on en ait acquis quel- 
que habitude, ne demande pas plus d*une dizaine de minutes. Si 
Ton ne tient pas à conserver la préparation, on peut remplacer 
le baume de Canada par Tessenee de girofle, qui éclaircit encore 
les éléments. 

» Il n'est guère possible de constater clairement la présence 
des bacilles et d'en découvrir les contours, sans l'emploi d'un fort 
grossissement : avec l'objectif F de Zciss, surtout si Ton y ajoute 
le condensateur d'Abbe, on distingue déjà fort bien ces orga- 
nismes; mais c'est surtout l'objectif à immersion qui les fait voir 
avec une netteté remarquable. 

» Il est à noter que les préparations de crachat séché sur 
lamelle peuvent être conservées plusieurs jours sans subir aucune 
altération, avant d'être colorées et montées dans le baume de 
Canada. » 

M. Warlomont termine sa communication en faisant, sous les 
yeux des membres présents, la démonstration du procédé de 
Frankel tel qu'il vient de le décrire. Il fait voir aussi, au micro- 
scope» quelques préparations de crachats de phtisiques renfermant 
des bacilles. 

Enfin, M. le professeur Lefebvre clôture la séance en exposant 
le procédé opératoire qu'il a suivi pour délivrer un malade des 
végétations qu'il portait à la lèvre inférieure. Il a taillé dans 
l'épaisseur de celle-ci un lambeau sous forme de prisme triangu- 



laire qu'il a enlevé. Quelques points de suture ont permis une 
réunion par première intention. M. Lefebvre estime que Ton re- 
courrait avec avantage à ce procédé dans le cas de lèvres lippues. 

Jeudiy 16 avril 1885, — M. Desplats traite la question de 
riiystérie chez Thomme et il cite divers exemples. L'un d'eux a 
rapport à un jeune homme qui, à certains moments, se trouvait 
atteint de paraplégie avec paralysie du rectum et de la vessie. 
Puis les phénomènes disparaissaient entièrement. Leur mobilité 
ne pouvant permettre de les rattacher à une lésion de la moelle 
épinière, on doit les considérer comme étant de nature hystérique. 

Un autre malade de M. Desplals se plaignit un jour de vives 
douleurs de tète avec élévation de température. Sans attacher de 
signification grave à cet état, iM. Desplats apprit, non toutefois 
sans étonnement, le lendemain, qu'une crise convulsive s'était 
déclarée et qu'un médecin appelé brusquement avait jugé qu'il 
s'agissait d'une méningite. Le malade avait une respiration 
râlante et la téie était renversée convulsivement en arrière. 
M. Desplats admit donc ce diagnostic d'autant plus que le 
malade présentait de l'inégalité des pupilles et restait sans con- 
naissance. Le lendemain et le surlendemain, de nouvelles crises 
se déclarèrent, et comme elles se renouvelaient presque aux 
mêmes heures, M. Desplats fit en sorte d'assister à l'une d'elles. 
Il acquit alors la conviction de leur nature purement nerveuse 
et, en soulevant brusquement la tète du patient et en lui faisant 
une forte insufflation sur le visage, il le rappela à un état normal. 

Enfm l'histoire d'un autre malade est encore plus étrange. Il 
se présente atteint d'hémiplégie dans le service de M. Desplats 
et accusant des vomissements et des pissements de sang. D'après 
son dire, il était tombé à Anvers du pont d'un navire sur la tra- 
verse d'une soute au charbon. En était-il résulté un trauma- 
tisme qui avait occasionné les différents signes objectifs qu'il 
présentait ? C'était très probable. Il était depuis six mois dans le 
service, quand il entendit parler d'un pèlerinage que Ton devait 
faire à Lourdes. Il voulut y prendre part. Il s'y rendit avec beau- 
coup de peine. Le premier bain qu*il prit dans la piscine n*eut 



— 7» — 

aucun résultat; mais un second bain le guérit radicalement. Et 
en effet M. Desplats le revit entièrement rétabli» jusqu'au point 
de pouvoir reprendre son ancienne profession. Ce malade avait 
beaucoup voyagé et avait fréquenté les hôpitaux d'Angleterre et 
de Belgique. Aussi sa guérison fit-elle énormément de bruit. De 
toutes parts arrivèrent à M. Desplats des leUres lui demandant 
sur un fait aussi extraordinaire des renseignements que l'on 
voulait publier comme attestation d'un miracle. M. Dcsplats se 
disposait à faire une relation de tout ce qu'il avait vu, quand on 
vint lui apprendre que son ancien malade avait subitement 
quitté Lille et était entré à l'hôpital de Vaienciennes, avec tous 
les signes d'une hémiplégie compliquée de vomissements et de 
pissemcnts de sang. Cette fois le malade affirmait qu'il était 
tombé du haut d'un toit. Inutile de dire que, tout en paraissant 
de bonne foi, il était victime d'une hallucination et que la nature 
de sa maladie ne trompa plus personne. 

De tous les faits qu'il a rapportés, M. Desplats se dit naturelle- 
ment en droit de conclure à l'existence de l'hystérie chez 
l'homme. 

M. Cuyiits croit aussi à l'existence de l'hystérie chez l'homme, 
et il estime même que le sexe masculin a le privilège de la pré- 
senter sous la forme la plus caractéristique. 

Après cette communication de M. Desplats et la courte discus- 
sion qui s'ensuit, M. le D' René Warlomont soumet à l'assem- 
blée une série de préparations d'histologie normale et patholo- 
gique de l'œil. Il décrit, à cette occasion, les procédés qu'il a vu 
employer à Londres, à la Royal London ophthalmic Institution, 
Moorfields, pour l'exécution des coupes de l'œil faites m toto, 
L*obstacle à éviter ici, c'est la déformation des tissus et l'altéra- 
tion de leurs rapports anatomiques. Voici comment on procède : 
l'œil fraichement énucléé est plongé dans un liquide durcis- 
sant ou Gxateur, le liquide de Mûller (bichromate de potasse 
2 grammes, sulfate de K. 1 gramme, eau distillée 100 grammes). 
L'échantillon séjournera trois à quatre semaines dans ce liquide, 
puis on l'en retirera, et on le sectionnera avec soin, au rasoir, en 
deux hémisphères bien symétriques; ceux-ci seront lavés dans 



— 80 — 

Teau ordinaire pendant quelques heures, dans le but de leur 
enlever la coloration jaune que le liquide de Mûller leur a com- 
muniquée. 

L'hémisphère que Ton voudra étudier sera plongé ensuite 
pendant vingt-quatre heures au moins dans l'alcool ordinaire, 
puis sera soumis pendant un jour encore à Faction de Palcool 
absolu. On le transportera alors dans une solution de celloîdine, 
composée de celloldine (variété de nitro-cellulose) dissoute dans 
parties égales d'éther sulfurique et d'alcool absolu. On laissera la 
pièce s'imprégner et se remplir lentement de ce liquide mucila- 
gineux; puis, au bout de vingt-quatre heures, on la placera dans 
une boite en papier ou en métal ad hoc que Ton remplira de la 
solution de celloïdine. Cette solution, laissée ainsi à Pair libre, ne 
tardera pas à se solidifier et à se prendre en une masse élas- 
tique, transparente, emprisonnant dans son épaisseur la pièce 
orientée comme il convient pour le corps. Ce bloc achèvera de 
se solidifier dans Falcool ordinaire, où il pourra être conservé 
indéfiniment. Au moment qu on voudra, il pourra être soumis à 
la coupe par le microtome. Le microtome à immersion dans 
Talcool, de la maison Katsct, donne d'excellentes coupes, très 
régulières et très complètes, que Ton soumet, après lavage, à un 
liquide colorant, et que Ton monte ensuite d'après le mode ordi- 
naire (passage dans l'essence de bergamote, de préférence à l'es- 
sence de girofle, puis montage dans le baume de Canada). 

M. Cuyiits expose un cas remarquable d'atrophie unilaté- 
rale, intéressant à la fois les membres, le tronc et le crâne. Il ne 
peut malheureusement pas faire voir le malade, mais il donne 
les mesures de chacune des parties du côté atrophié en regard 
de celles des parties correspondantes du côté sain. 

Le malade présentait cette affection grâce sans doute à une 
influence hérétiitaire, car plusieurs membres de sa famille en 
étaient également atteints. M. Cuyiits incline à reconnaître à la 
maladie une origine centrale. D'après M. Desplats, il faudrait au 
contraire en accuser une lésion du grand sympathique. 



— 81 — 



ASSEMBLÉES GÉNÉRALES 



ASSEMBLÉE GÉNÉRALE DU JEUDI 30 OCTOBRE «884. 

M. ringénienr Blondel a, dans une intéressante causerie, 
décrit les choses qui I ont le plus frappé lors d'un voyage qu'il a 
fait en Chine et en Mongolie. 

Parti de Shanghaï, il a gagné Tien-tsin par la mer Jaune et 
le golfe de Pé-lchi-li, remontant le fleuve du Pei-ho. 

Puis il a continué son voyage, passant par Pékin, Nang-kao, 
Shuen-hoa-fou et Kalgan. 

De cette dernière ville, qui est située sur la grande muraille^ 
il a visité divers campements mongols, et s'est rendu à Si-wan- 
Izé, lieu de la résidence de Mgr Bax et des missionnaires belges 
sortis du séminaire de Scheut. 

Le conférencier rappelle que récriture chinoise se compose 
de 212 signes, qui, réunis et combinés ensemble, forment autant 
de caractères qu'il y a de mots dans la langue. Ces 212 signes 
représentent des choses parfaitement définies ; ainsi, tels signes 
veulent dire ciel, homme, terre, chien, bœuf, oiseaux, plantes, 
métaux, etc. Or, si on accole le signe qui veut dire homme au 
signe qui veut dire ciel, on aura un caractère qui exprimera Tidée 
homme du ciel ou un ange. Le signe métal, uni au signe cheval, 
formera un caractère qui donnera la conception d'un métal 
appliqué au cheval ou d'un mors, et ainsi de suite. Plus un 
caractère renferme de signes et plus il est diflicile à comprendre, 
sa compréhension n'étant que la résultante des divers signes qui 
le composent. Cela explique la difficulté qu*ont les Chinois pour 
représenter des objets tels que machine à coudre, pile électrique, 
téléphone, etc., car leurs divers signes combinés ensemble 
n'éveillent encore qu'une bien faible idée de la chose représentée. 

L*empereur de Chine est une espèce d'idole pour ses sujets; 
IX. f 



— H9 — 

quand il sort de son palais, les rues de Pékin par où il doit passer 
sont désortes, les maisons sont couvertes de tentures et les sol- 
dats qui forment la haie tournent leur visage du côté des 
murailles. Il est défendu, sous peine de mort, à tout sujet chinois 
de chercher à voir l'empereur. 

La misère des artisans est extrêmement grande; il faut nourrir 
femme et enfants en ne gagnant souvent que la valeur de cin- 
quante centimes par jour. Quantité de gens en Chine n'ont pas 
d'abri, ils naissent et meurent dans les rues. 

La seule monnaie qui existe est la sapèque, qui vaut un demi- 
centime — jugez du poids de deux et trois cents francs en sapé- 
ques! — aussi dans le cours de ses voyages M. Blondel devait-il 
faire porter sa bourse par un mulet. 

Près de Chi-ming-i le conférencier a visité une mine de houille. 
L'exploitation y était des plus primitives ; en fait d'épuisement, 
il a vu des équipes d'ouvriers occupés à descendre toute la 
journée pour remplir des seaux d'eau au fond de la mine et venir 
ensuite les vider à la surface. Ailleurs c'est un canal sans écluses 
qui nécessite de nombreux transbordements. 

S'il n'y a pas de chemins de fer en Chine, c'est à cause de 
l'opposition systématique des mandarins, qui auraient trop à 
redouter Tingérence de Pékin dans leurs affaires. 

La grande muraille de Chine se trouve dans un pays très 
accidenté ; cette construction extraordinaire escalade les pics et 
descend au fond des précipices. 

C'est de kalgan que partent les caravanes pour la Sibérie; les 
convois de charrettes mettent trois mois pour traverser l'immense 
désert de Gobi, et le courrier de la poste russe qui court jour et 
nuit, ne faisant aux relais que sauter d'un cheval sur un autre, 
arrive à faire en 10 jours ses 1500 kilomètres. 

Le peuple mongol est pasteur; il ne se nourrit que de viande ; 
n'ayant aucune culture, il ne mange ni grain, ni riz, ni pain. Ces 
gens, d'une force extraordinaire, restent 15 et 20 heures à cheval. 
Ils sont extrêmement sales. Le Mongol, qui ne se lave jamais, dort 
tout habillé ; l'hiver, par des froids très rigoureux, il pose au- 
dessus de ses vêlements deux, trois et quatre jaquettes en peau 



— 8S — 

de mouton ; il ne change jamais d'habits et vit avec toute cette 
charge sur le dos. 

No.n loin de la grande muraille M. Blondel a retrouvé en 
Mongolie quantité de villages chinois. La Chine, avec ses 500 
millions d'habitants, fourmille de monde ; chaque année le trop- 
plein de la population déborde et vient s'établir en Mongolie. 

Dans une étude rapide, le conférencier a terminé par Texposé 
de nombreux documents ciiinois qui ne laissent aucun doute sur 
la fréquence et la multiplicité des infanticides chinois, malgré 
les tristes articles de M. Sarcey. 

II 

ASSEMBLÉE GÉNÉRALE DU JEUDI 29 JANVIER <885. 

A Tordre du jour de la séance était inscrite une conférence 
du R. P. Van den Gheyn sur V Ethnographie des Balkans. Parmi 
les populations nombreuses et variées qui occupent les régions 
danubiennes, le conférencier s'est arrêté aux Roumains et aux 
Bulgares. Ces deux peuples représentent, en elTer, los antiques 
races de la péninsule balkanique aux époques primitives, et ils 
ont réussi à se maintenir jusqu'à nous avec un caractère d'origi- 
nalité plus marqué. 

Les Roumains descendent des colons envoyés par l'empereur 
Trajan sur les rives du Danube après la conquête de la Dacie. 
Du mélange des vétérans romains avec les anciens Daces sortit 
un peuple nouveau, celui des Daco-Romains, connus au moyen 
âge sous le nom de Valaques et aujourd'hui sous celui de Rou- 
mains. Le P. Van den Gheyn développe les preuves de cette thèse 
ethnographique : les bas-reliefs de la colonne Trajan en sont 
rimpérissable document; l'histoire des colonies romaines en 
Dacie, en expliquant la transformation du peuple dace, donne 
aussi la clef du caractère essentiel sur lequel devait reposer l'idée 
de sa nationahté future. Enfin, la philologie, qui a fait rentrer 
rîdiome roumain dans la famille latine, et l'archéologie, qui a 
démontré la persistance des usages du Latium en Valaehie^ ont 
apporté à la thèse de l'origine daco-romaine des Roumains une 
solennelle consécration. 



— 84 — 

Pour être d'origine tariare, les Bulgares ne s*en sont pas moins 
complètement slavifiés, et ils sont entrés profondément dans 
Funité des populations européennes. On peut en trouver la cause 
dans rinfluence exercée sur les Bulgares par Tancienne popula- 
tion des Thraces, qui occupait encore, vivace et forte, plusieurs 
régions de la Roumélie quand, au V* siècle, les Bulgares vinrent 
se jeter dans les plaines de THèbre. 

Dans la seconde partie de sa conférence, le P. Van den Gheyn 
a établi la parenté dés Daces et des Thraces et résumé briève- 
ment Tétat actuel des recherches sur les origines du peuple daco- 
thrace. Cinq systèmes principaux sont encore en présence. Les 
uns, à la suite de Hugo Grotius, voient dans les Thraces des Ger- 
mains; d'autres les rattachent aux Slaves. M. Urechia les identifie 
avec les anciens Pélasges, ancêtres des Grecs. Une quatrième 
thèse, défendue surtout par Henri Martin, Guillaume Lejean et 
un savant roumain, M. Obédénare, affirme la provenance cel- 
tique des peuples des Balkans. Le P. Van den Gheyn soutient 
ridée de MM. Tomaschek, Lenormant, Picot, Evans, etc., qui 
ramènent les Thraces et les Daces au rameau éranien ou persan 
de la race aryenne. 

Sur quels arguments s'appuie cette opinion? Il en est trois 
principaux : c'est Téranien qui explique le plus naturellement 
les tangues dace et thrace; le culte des Thraces porte Tempreinte 
des religions asiatiques; enfin les témoignages de l'antiquité clas- 
sique sont formels à cet égard. 

En terminant, le conférencier a brièvement esquissé Thistoire 
du rameau thrace, détaché à des époques préhistoriques de la 
grande souche aryenne. A leur arrivée en Europe, les Thraces 
se fractionnèrent : les Daces peuplèrent la région des Carpathes^ 
tandis que les tribus thraces descendirent dans la péninsule 
hémique. Sous les coups des invasions barbares, les Thraces dis- 
parurent comme nation. Les Daces survécurent et le sang romain 
infusé dans leurs veines leur donna une vie nouvelle. Les voici 
qui, dégagés de Tétreinte étrangère, se présentent au milieu des 
autres peuples latins, ayant reconquis leur place comme nation 
indépendante et redisant leur vieille devise : Romoun 7io père, 
le Roumain ne périra pasi 



— s* — 
m 

ASSEMBLÉE GÉNÉRALE DU LCIfDI 19 AVRIL 1885. 

Le R. P. Carbonnelle, secrétaire de la Société scientifique, lit 
le rapport suivant : 

Messieurs, 

La Société scientifique de Bruxelles existe depuis dix ans. 

Pendant ce temps, non contente d*exister, elle a vécu; non 
contente de vivre, elle a travaillé. 

Ce fut, en effet, le l*' et le 23 mars 1875 qu'une dizaine d'amis 
appartenant à renseignement supérieur et à d'autres professions 
savantes se réunirent à Bruxelles pour discuter l'opportunité et 
les chances de succès de la future association. Ils déterminèrent 
les traits essentiels du projet, et promirent, en se séparant, de le 
faire connaître autour d'eux dans la capitale et dans les provinces. 
Ce fut le 10 et le 17 juin de la même année que, grâce à leurs 
démarches, on put convoquer des réunions plus nombreuses, où 
l'on vota les statuts et où l'on décida qu'au mois de novembre 
suivant la Société se constituerait définitivement si, condition 
expresse et rigoureuse, l'on pouvait avant cette époque recueillir 
au moins 250 adhésions. L'événement prouva que cette condition 
prudente n'était pas présomptueuse. Beaucoup d'entre vous se rap- 
pellent encore la belle séance du 48 novembre 1875, et le magni- 
fique discours prononcé par notre premier président devant une 
nombreuse assemblée, où non seulement Bruxelles, mais la plu- 
part des villes du pays étaient représentées. Anvers, Beaumont, 
Bruges, Cbarleroi, Chiévres, Gand, Grammont, Hasselt, Huy, 
Li^e, Lierre, Louvain, Halines, Mons, Nivelles, Saint-Nicolas, 
Tennonde, Tonmay, Verviers, Vilvorde, plusieurs autres com- 
munes et même des pays voisins, la France et la Hollande, avaient 
envoyé des adhérents à cette séance d'inauguration. Ce n'était pas 
seulement 350, mais 453 adhésions que nous comptions ce 
jour-là. Il est clair qu'avec un pareil nombre nous pouvions 
déclarer que la Société existait, et proclamer définitivement nos 
statuts, dont le premier article porte : < Il est consutué à 



— SA — 

Pour être d'origine tartare, les Bulgares ne s*en sont pas moins 
complètement slavifics, et ils sont entrés profondément dans 
Tunité des populations européennes. On peut en trouver la cause 
dans rinfluence exercée sur les Bulgares par Tancienne popula- 
tion des Thraces, qui occupait encore, vivace et forte, plusieurs 
régions de la Roumélie quand, au V* siècle, les Bulgares vinrent 
se jeter dans les plaines de l'Hèbre. 

Dans la seconde partie de sa conférence, le P. Van den Gheyn 
a établi la parenté dés Daces et des Thraces et résumé briève- 
ment Télat actuel des recherches sur les origines du peuple daco- 
thrace. Cinq systèmes principaux sont encore en présence. Les 
uns, à la suite de Hugo Grotius, voient dans les Thraces des Ger- 
mains; d'autres les rattachent aux Slaves. M. Urechia les identifie 
avec les anciens Pélasges, ancêtres des Grecs. Une quatrième 
thèse, défendue surtout par Henri Martin, Guillaume Lejean et 
un savant roumain, M. Obédénare, affirme la provenance cel- 
tique des peuples des Balkans. Le P. Van den Gheyn soutient 
ridée de MM. Tomaschek, Lenormant, Picot, Evans, etc., qui 
ramènent les Thraces et les Daces au rameau éranien ou persan 
de la race aryenne. 

Sur quels arguments s'appuie cette opinion? Il en est trois 
principaux : c'est Féranien qui explique le plus naturellement 
les tangues dace et thrace; le culte des Thraces porte Tempreinte 
des religions asiatiques; enfin les témoignages de l'antiquité clas- 
sique sont formels à cet égard. 

En terminant, le conférencier a brièvement esquissé Thistoire 
du rameau thrace, détaché à des époques préhistoriques de la 
grande souche aryenne. A leur arrivée en Europe, les Thraces 
se fractionnèrent : les Daces peuplèrent la région des Carpathes^ 
tandis que les tribus thraces descendirent dans la péninsule 
hémique. Sous les coups des invasions barbares, les Thraces dis- 
parurent comme nation. Les Daces survécurent et le sang romain 
infusé dans leurs veines leur donna une vie nouvelle. Les voici 
qui, dégagés de Tétreinte étrangère, se présentent au milieu des 
autres peuples latins, ayant reconquis leur place comme nation 
indépendante et redisant leur vieille devise : Romoun 7io père, 
le Roumain ne périra pasi 



— s* — 
III 

ASSEMBLÉE GÉNÉRALE DU LUNDI 18 AVRIL 1888. 

Le R. P. Garbonnelle, secrétaire de la Société scientifique, lit 
le rapport suivant : 

Messieurs, 

La Société scientifique de Bruxelles existe depuis dix ans. 

Pendant ce temps, non contente d'exister, elle a vécu; non 
contente de vivre, elle a travaillé. 

Ce fut, en effet, le l"*' et le 22 mars 1875 qu'une dizaine d'amis 
appartenant à renseignement supérieur et à d'autres professions 
savantes se réunirent à Bruxelles pour discuter l'opportunité et 
les chances de succès de la future association. Ils déterminèrent 
les traits essentiels du projet, et promirent, en se séparant, de le 
faire connaître autour d'eux dans la capitale et dans les provinces. 
Ce fut le 10 et le 17 juin de la même année que, grâce à leurs 
démarches, on put convoquer des réunions plus nombreuses, où 
l'on vota les statuts et où l'on décida qu'au mois de novembre 
suivant la Société se constituerait définitivement si, condition 
expresse et rigoureuse, l'on pouvait avant cette époque recueillir 
au moins 250 adhésions. L'événement prouva que cette condition 
prudente n'était pas présomptueuse. Beaucoup d'entre vous se rap- 
pellent encore la belle séance du 18 novembre 1875, et le magni- 
fique discours prononcé par notre premier président devant une 
nombreuse assemblée, où non seulement Bruxelles, mais la plu- 
part des villes du pays étaient représentées. Anvers, Beaumont, 
Bruges, Charleroi, Chièvres, Gand, Grammoiit, Hasselt, Huy, 
Liège, Lierre, Louvain, Malines, Mons, Nivelles, Saint-Nicolas, 
Termonde, Tournay, Verviers, Vilvorde, plusieurs autres com- 
munes et même des pays voisins, la France et la Hollande, avaient 
envoyé des adhérents à cette séance d'inauguration. Ce n'était pas 
seulement 250, mais 453 adhésions que nous comptions ce 
jour-là. Il est clair qu'avec un pareil nombre nous pouvions 
déclarer que la Société existait, et proclamer définitivement nos 
statuts, dont le premier article porte : « Il est constitué à 



— se — 

Bruxelles une association qui prend le nom de Société scientifique 
de Bruxelles, avec la devise : Nulla unquam interfidem et ratio^ 
nem vera diss^nsio esse potesl » . 

Mais depuis lors, comme je le disais, nous ne nous sommes 
pas contentés d exister, nous avons vécu ; je veux dire que, 
suivant la loi naturelle de tous les corps vivants, nous avons 
continué d'attirer à nous et de nous assimiler de nouveaux élé- 
ments. Je viens de parcourir la plus ancienne liste complète de 
nos membres, écrite quelques jours après notre séance d'inaugu- 
ration; et il m'a semblé instructif de la comparer à la liste 
actuelle. J'ai trouvé dans celle-ci 395 noms qui ne sont pas dans 
la première. Ces 395 noms représentent la majorité des éléments 
que la Société s'est assimilés depuis sa naissance; ils sont donc 
la preuve de notre vitalité. 

Seulement, je liens à le dire ici pour ne rien déguiser, pendant 
que nous acquérions ces nouveaux éléments, nous en perdions 
d'autres. Des 460 noms qui figurent sur la liste de 1875, il n*y 
en a que 191 qui restent sur celle de 1885. La mort nous a, en 
dix ans, enlevé 102 membres. D'autres nous ont quittés, quoique 
à regret, pendant ces dernières années, à cause des grands sacri- 
fices que les Belges devaient alors s'imposer pour la défense de 
leur foi et de leur liberté. Enfin, permettez-moi de Tajouter, 
tandis qu'au début beaucoup de nos premiers adhérents tenaient 
à honneur de nous amener leurs amis, on compte un peu trop 
aujourd'hui sur la puissance naturelle d'attraction d'une société 
prospère. On oublie que l'attraction d'un corps n'est que la résul- 
tante des attractions de ses parties. Le soleil lui-même, malgré 
son éclat et même malgré sa masse, ne pourrait retenir les pla- 
nètes autour de lui, s'il ne se composait que d'éléments impondé- 
rables. Ne soyons pas des impondérables. Messieurs; notre succès 
dépend de nous. Le nombre actuel de nus membres est de 586, 
dont 410 Belges et 176 étrangers; nous comptons donc 10 Belges 
et 5 étrangers de moins que l'année dernière. Je suis persuadé 
que, si nous le voulofls, ces 15 lacunes seront comblées avant la 
fin de cette session. 

J'ai dit aussi que la Société, non contente d'exister et de vivre, 
a travaillé; j'ajoute qu'elle a travaillé heureusement et utilement. 



~ 81f — 

Il suffit, pour le prouver, de montrer les huit volumes de nos 
Annales et les dix-sept volumes de notre Revue. Ces publications 
commencent à faire bonne figure sur les rayons des bibliothèques; 
on en trouve souvent les titres au bas des pages des ouvrages 
sérieux. Depuis longtemps les travaux publiés dans les Annales 
sont cités dans les discussions académiques et dans les recueils 
scientifiques. La Revue, qui compte des abonnés dans tous h s 
pays de l'Europe et de l'Amérique, qui en a même quelques-uns 
dans chacune des autres parties du monde et qui est encore plus 
connue à l'étranger qu'en Belgique, recueille de plus en plus des 
témoignages de sympathie. Elle a même pénétré et trouvé des 
lecteurs assidus dans certains milieux d'où le fanatisme irréli- 
gieux semblait devoir l'exclure. Nous pouvons nous applaudir de 
ce succès; mais nous devons en remercier Dieu et, de notre côté, 
travailler sans relâche à l'augmenter et à l'étendre. 

M. Brifaut, trésorier, lit le rapport suivant : 

Compte détaillé des recettes et des dépenses de l'exercice écoulé 
du /'•' avril 188â au 3/ man^ 1885. 

Recettes. 

Encaisse au! "avril! 884 fr. 29,819 24 

502 cotisations 7,d30 » 

2 rachats perpétuels 300 » 

Une part de fondateur 500 » 

Vente de publications. 290 80 

818 abonnements à la Revue des questions scienti- 
fiques 14,506 88 

Remboursement d'une obligation Guillaume-Lu- 
xembourg 500 » 

Coupons du portefeuille 2,436 » 

Intérêts en banque au 30 juin 1884 . ^ . . . 440 08 

— — au 3! décembre 1884 .. . 534 90 



Total. . . fr. 56,857 90 



— 88 — 

Dépenses. 

Frais de bureau et voyages fr. 318 3S 

Frais de recouvrement et salaire d'un commis . . 199 40 

Frais de sessions 487 10 

Impression et expédition des Annales et des circu- 
laires 4,507 29 

Revue des questions scientifiques : 

a) Direction et collaboration 6,413 70 

6) Impression et expédition 9,915 11 

Indemnité au secrétaire 500 » 

Indemnités aux secrétaires des sections .... 450 » 

Achat de fonds publics (reliquat de compte) 67 30 

Subside pour recherches scientifiques 250 » 

Encaisse au 31 mars 1885 33,950 65 

Total. . . fr . 56,8S7 90 

Situation du capital au 51 mars 1885. 

Capital social. 

Actif, 7400 francs. Emprunt de TEtat 
belge 4 7o ancien à fr. 102,50, 
intérêts non compris 7,585 » 

1,500 francs. Emprunt de TEtat 
belge 3 Vo à fr. 87,25, intérêts non 
compris 1,308 75 

30 actions privilégiées du chemin 
de fer de Bruxelles-Lille-Galais, à 
fr. 415, intérêts non compris . . 12,450 » 

Espèces à placer en fonds publies 
provenant : 

1** De cinq rachats perpétuels . 750 ■ 
2"* D'une part et demie de fonda- 
teur 750 » 

22,843 75 

Passif. 29 */a parts de fondateur de 

500 francs 14,750 . 

32 rachats perpétuels de 150 fr. 4,800 » 

19.550 . 

Excédent d'actif fr. 3,293 75 



S9 



Réserve. 

10,000 francs. Emprunt de TÉtat belge, 4 7o ^^^u- 
veau, à fr. 102,40, intérêts non compris . . fr. 10,240 » 

10,000 francs. Obligations de la Caisse d annuités 
dues par l'État à 4 ^2 Vo> à 111 francs, intérêts 
non compris 11,100 » 

52 obligations du chemin de fer Guillaume-Luxem- 
bourg 3 7o9 à 406 francs, intérêts non compris. 21,112 » 

Total. . . . fr. 42,452 . 

L'assemblée nomme, pour vérifier le compte rendu du tréso- 
rier, MM. Gh. Lagasse et Otto. 

M. le D' Cousot donne ensuite une conférence sur Le Microbe 
et sa fonction^ que nous résumons ici brièvement, bien qu'elle ait 
été publiée in extenso dans la Revue des questions scientifiques 
(t. XVIII, p. 103). 

Le conférencier présente un rapide tableau du monde des 
microbes; il décrit leurs formes, leurs habitudes, leur prodigieuse 
fécondité, sans s'arrêter à des classifications encore discutables. 

Il indique les milieux dans lesquels on les trouve et les lois 
de leur diffusion dans les eaux, le sol ou l'atmosphère. Il montre 
leur influence sur la pureté des divers milieux de la vie, où ils 
pullulent en raison de la densité des populations; il indique les 
conséquences qui découlent de ces faits pour la santé publique. 

Avant d'aborder la fonction du microbe, M. Cousot indique, 
parmi les problèmes que soulèvent ces études, celui de la géné- 
ration spontanée, qu'elles renversent, et celui du transformisme 
auquel elles semblent peu favorables. 

Abordant la fonction du microbe, le conférencier montre dans 
le microbe l'organe essentiel des fermentations; il constate 
l'énorme puissance de réduction des infiniment petits. Il montre 
le microbe, ouvrier invisible mais tout-puissant de la mort, dont 
il complète l'œuvre, et auxiliaire essentiel de la vie, dont il rend la 
permanence possible en restituant à des existences nouvelles les 
éléments chimiques dégagés. 



— - se — 

Il indique certaines expériences nouvelles qui semblent don- 
ner une extrême importance à la présence des microbes dans la 
végétation et la nutrition des êtres supérieurs. 

Bienfaisante jusqu*ici, la fonction du microbe devient nuisible; 
le conférencier indique a grands traits Thistoire de la doctrine 
des microbes morbigènes, il la montre établie scientifiquement 
pour bon nombre d'alFections, très probable pour certains groupes 
de maladies. Il fait remarquer la rigueur des procédés de démon- 
stration employés et le peu de fondement des objections qu*on 
oppose à la féconde doctrine des germes animés. 

De quelle manière agissent les microbes dans la production 
des maladies; quelles sont les conséquences acquises ou promises 
par ces études à la thérapeutique? Tels sont les deux derniers 
points traités par le conférencier, qui termine son étude en mon- 
trant qu'ici encore la science justiGe la belle devise de la Société 
scientiiique : Nulla unquam inter fidem et rationem vera dis-- 
sensio esse potest, 

IV 

ASSEMBLÉE GÉNÉRALE DU MARDI U AVRIL I88S. 

M. l'abbé Gérard Smets, docteur en sciences de l'Université de 
Louvain, fait une conférence sur les Cétacés à fanons. La Revue 
des questions scientifiques (t. XVII, p, 435) a publié cette confé- 
rence sous le titre : Les Mystacocètes, Nous en donnons ici un 
court résumé. 

La mer nourrit un grand nombre de véritables mammifères^ 
les phoques, les sirénéens et les cétacés. C'est à ce dernier 
groupe qu'appartiennent les cétacés à fanons ou mystacocètes 
dont il a été question dans cette conférence. 

Après avoir jeté un coup d'œil sur l'ordre des cétacés, le con- 
férencier aborde les mystacocètes. Un de leurs caractères dislinc- 
tifs est l'absence de dents à l'âge adulte et la présence au palais 
de lames flexibles, les fanons, qui servent à l'animal de tamis 
pour expulser l'eau engouffrée dans son énorme gueule avec la 
nourriture. Ce n'est donc pas par les narines que ces animaux 



— •! — 

expulsent cette eau ; les artistes ont tort de représenter les baleines 
comme lançant des colonnes d eau par les narines. Le « souffle » 
des baleines est composé de vapeur d'eau qui se coqdense et 
aussi d*un peu d'eau pulvérisée. 

Le conférencier décrit en détail le squelette de ces animaux et 
il montre que chaque partie du squelette, et surtout la caisse 
tympanique, peut suffire pour distinguer les espèces. 

Les mystacocètes sont les colosses de la création : le conféren- 
cier montre qu'ils confirment ainsi la loi, connue pour les ani- 
maux terrestres, que « leur taille est proportionnée à l'étendue 
du continent qu'ils habitent ». Ils présentent d'ailleurs sous ce 
rapport un curieux contraste avec les mammifères terrestres. 
Ceux-ci sont arrivés à leur apogée par le nombre, la variété des 
formes et la taille des individus aux époques aiitérieures de 
notre globe, tandis que les mystacocètes ont continué à croître 
en taille jusqu'à l'époque actuelle. 

Les mœurs, les jeux, les voyages, les parasites de ces animaux 
ont été successivement décrits. 

A la distribution géographique, le conférencier a insisté forte- 
ment sur le fait que les baleines véritables sont confinées dans 
leur océan et leur hémisphère, qu'elles ne se rencontrent pas 
sous l'équateur, tandis que les autres mystacocètes, les mégap- 
ières comme les balénoptères, se rencontrent sous l'équateur et 
passent d'un hémisphère à l'autre. 

Parmi les mystacocètes, il y a d'abord les baleines véritables, 
qui ont la lète très développée, les fanons très longs, pas de 
nageoire dorsale, la gorge et le ventre lisses. 

Les mégaptères ont la tète moins développée, les fanons 
courts, une bosse sur le dos, des plis sous la gorge, les nageoires 
ihoraciques très développées. 

Les balénoptères ont aussi la tète moins grande, les fanons 
courts, une nageoire dorsale, des plis sous la gorge et le ventre. 

Le conférencier les passe successivement en revue en don- 
nant les particularités de leur squelette, de leurs mœurs, de leur 
distribution géographique, etc. 11 insiste à différentes reprises 
sur la grande variabilité de l'espèce dans les cétacés et surtout 



dans ce groupe. La fixité absolue de Tespèce n'existe pas^ dit-il ; 
l'espèce a varié et variera encore; mais, si l'on consulte les faits, 
il existe des limites à cette variabilité, limites entre lesquelles 
oscillent les caractères de l'espèce. Le conférencier montre com- 
ment les races peuvent se former dans ces animaux. 

Tous les mystacocètes vivent dans la haute mer, ils ne se 
rapprochent que rarement des côtes. 

Ceux qui échouent sur notre littoral sont souvent des indivi- 
dus répudiés par leur gamme, ou blessés, ou frappés de mort 
naturelle. Le conférencier rend compte du gisement d'Anvers, 
si riche en mystacocètes fossiles, par des échouements réguliers, 
rendus plus fréquents qu'aujourd'hui par l'abondance même de 
ces animaux, par la disposition des côtes et de la terre ferme. 

M. l'abbé Smets a rendu hommage aux travaux des cétolo* 
gistes de ces dernières années ; il a montré surtout la part que 
notre illustre compatriote, M. Van Beneden, a prise à l'avance- 
ment de la cétologie. 



ASSEMBLÉE GÉNÉRALE DU MERCREDI 18 AVRIL 1885. 

La conférence de ce jour, donnée par M. Louis Dollo, avait 
pour sujet : Les Iguanodons et les Mosasaures. La Société &*est 
réunie, pour lentendre, au Musée royal d'histoire naturelle, près 
des beaux exemplaires que possède cet établissement. 

M. Dollo, aide-naturaliste au Musée, prend d'abord la parole 
devant la cage des iguanodons, dans la cour intérieure des 
musées. Il expose l'histoire de la découverte de l'iguanodon, 
puis celle des iguanodons dé Bernissart. Il passe ensuite à une 
description succincte de l'animal et retrace, selon les données 
actuelles de la science, les mœurs probables de ce reptile. 
M. Dollo dit alors un mot de la sous-classe si remarquable des 
dinosauriens, à laquelle appartient l'iguanodon, sous-classe qui 
semble avoir joué, durant les temps secondaires, le même rôle 
que les grands mammifères pendant les époques tertiaire, qua- 



ternaire et actuelle. II montre qu'il y avait deux espèces, recueil- 
lies d ailleurs à des niveaux différents, parmi les dinosauriens de 
Bernissart. II appelle encore Tattention sur les autres fossiles : 
crocodiles, tortues, salamandres, poissons et végétaux, trouves 
avec les iguanodons, et termine par quelques considérations sur 
Tàge des dépôts qui renfermaient cette faune et cette flore, et sur 
le mode vraisemblable d'enfouissement de tous les êtres qui la 
composent. 

Immédiatement après, la Société se rend dans la salle dite 
d*Ânvers, où Ton voit un certain nombre des poissons et des 
plantes dont il vient d'être question. Ayant fourni les explica- 
tions nécessaires sur ces précieux restes, M. Dollo cède la parole 
à M. Tabbé Smets, docteur en sciences et conférencier de la 
veille, qui entretient la Société des cétacés tertiaires réunis dans 
la salle d'Anvers. Quelques pas plus loin, M. Dollo signale le 
Pachyrhynchus Gosseteti, tortue marine landenienne qui se 
nourrissait de coquilles, et le Gastomis Edwardsii, grand oiseau 
de la même époque, qui habitait en ces temps reculés la Bel- 
gique et le nord-est de la France. On arrive enfin devant les 
mosasaures, dont M. Dollo raconte la découverte et décrit la 
structure, ainsi que les mœurs. 

L'auditoire se dirige alors vers le moulage du fémur, ou os 
de la cuisse, de VAtlantosauruSy le plus gigantesque des dino- 
sauriens connus. Ce fémur dépasse la tailled'un homme ordinaire. 

On traverse ensuite la salle d'ostéologie, où M. l'abbé Smets 
reprend la parole pour montrer diverses pièces anatomiques 
auxquelles il a fait allusion le jour précédent, et l'on descend 
dans les ateliers de paléontologie. M. Dollo y explique l'extrac- 
tion, la préparation et le montage des iguanodons de Bernissart, 
ainsi que les opérations qu'on fait actuellement subir à l'énorme 
mosasaure de Mesvin-Ciply. 



e4 



Tooal prononcé par M. G. Detfvalqne, président, nn banquet 

dn mercredi Ift avril ASUS. 

Messieurs, 

Fiiléle aux excellentes traditions de la Société scientifique de 
Bruxelles, je me lève pour vous proposer un double toast, écho 
sincère de deux nobles sentiments qui se confondent pour ainsi 
dire dans toute cause catholique : la foi et le patriotisme. J*ai Thon- 
neur de vous proposer de boire à la santé du Pape et du Roi. 

Il y aura tantôt dix ans, vous avez inscrit, Messieurs, à la pre- 
mière page de votre programme, cette grande parole d*un grand 
concile : Entre la Foi et la Raison, il ne peut exister de dissenti- 
ment sérieux. Vous teniez à signaler, au seuil même de votre 
œuvre, Tesprit qui anime votre société, le principe lumineux et 
fécond qui vous dirige et vous soutient dans vos recherches. Je 
suis donc sûr d'être Tinterprète de vos sentiments en vous pro- 
posant d acclamer le nom glorieux entre (ous de Tincorruptible 
gardien de la vérité, de Tinfaillible chef de TEglise catholique, le 
nom de Léon XIII. 

Messieurs, nous cultivons tous quelque coin de ce vaste champ 
de la science que le Créateur a livré aux investigations de Tintel- 
ligence humaine. Notre tâche quotidienne est d'y découvrir le 
trésor caché de la vérité, les lois générales de Tunivers, les 
divines harmonies de la nature. Or, nous savons et nous affir- 
mons que les lois du monde physique et celles du monde moral 
s'accordent à merveille et ne forment qu'un vaste et incompa- 
rable monument, dont Tunité fait la beauté. 

Eh bien, Messieurs, dans ces jours troublés, où tout est remis 
en question, même les principes immuables de la logique, nous 
devons bénir mille fois la Providence d'avoir allumé pour nous 
ce grand fanal qui s'appelle l'Eglise catholique. Il nous est doux 
de nous reposer dans cette fortifiante conviction que son divin 
fondateur est la voie, la vérité et la vie, et qu'il nous a laissé sur 
cette terre un représentant infaillible. 

Pourrions-nous, d'ailleurs, oublier sans ingratitude ce que 
rÉglise et les papes ont fait pour la science, comme ils l'ont 
constamment honorée, protégée, récompensée? Pourrions-nous 



— «5 — 

oublier qu^au lendemain de la chute de Fempire romain, ils ont 
recueilli et sauvé des mains des barbares victorieux les précieuses 
épaves de Fantique civilisation? que les cloîtres chrétiens ont 
abrité ces illustres débris? que d'innombrables abbayes ont été 
des foyers de lumière pendant cette longue et féconde nuitqu*on 
appelle le moyen âge? qu'à Tépoque de la Renaissance, c'est 
encore aux papes que nous devons la conservation des richesses 
classiques échappées au sac de Byzance, et qu'ils en ont fait don 
aux générations dont nous sommes issus? que la Papauté a créé 
par toute TEurope ces nombreuses universités dans lesquelles le 
flambeau de la science et des lettres a jeté tant d'éclat? 

Ai-je besoin de vous dire, Messieurs, que Léon XIII est l'une 
des figures les plus remarquables de cette série de pontifes aux- 
quels la science doit tant de gratitude? Ai-je besoin de rappeler 
ses efforts pour la restauration des éludes philosophiques et his- 
toriques, ou son zèle infatigable pour la diffusion de l'Évangile 
dans le mondeentier? Ah! l'histoire impartiale lui conservera des 
pages glorieuses et pleines d'une reconnaissance bien méritée. 

Messieurs, enfants soumis de l'Eglise, nous avons une autre 
mère, la Patrie, dont nous nous proclamons les (Ils dévoués. 
Cette patrie, où nos pères ont lutté et souffert pour nous la rendre 
pacifique et heureuse, où nous luttons à notre tour pour assurer 
la liberté et l'honneur de nos enfants, elle règne dans nos cœurs 
et peut compter sur tous nos dévouements. Qui, d'entre nous, 
Belges, ne serait prêt à tout pour la conserver indépendante et 
libre sous la dynastie de son choix? Et comme la patrie s'incarne 
en quelque sorte dans l'auguste personne de son chef, nous por- 
terons tous ensemble la santé du Roi, de Léopold II, qui est la 
personnification la plus haute de la Belgique, le i^ardien invio- 
lable de nos libertés, de cette Constitution qui nous est d'autant 
plus chère qu'elle est plus menacée, et pour laquelle nous sen- 
tons battre dans nos cœurs le sang généreux que nous ont 
transmis les grands citoyens de 1830! 

C'est au non) d'une de ces libertés que nous sommes réunis 
pour proclamer que la Foi, loin d'être l'ennemie, est Falliée de 
la Science. Honneur au Roi, qui a juré de protéger et de défendre 
ces inappréciables libertés! 



Notre Société, Messieurs, connaît les titres particuliers de S. M. 
Léopold II à la reconnaissance des amis des sciences et des let- 
tres; ils sont trop nonabreux, trop publics, dirai-je, pour être 
rappelés ici ; personne n'ignore la protection qu'il accorde aux 
nobles travaux de Fesprit humain et la munificence avec laquelle 
il sait les récompenser. Mais vous ne me pardonneriez pas de 
passer sous silence la glorieuse entreprise du Roi des Belges pour 
la civilisation du Congo, entreprise à laquelle le congrès de Berlin 
vient de donner une suprême consécration. Il y a dix ans, dans 
votre première session annuelle, vous avez appelé les bénédic- 
tions d'en haut sur une œuvre destinée à porter les bienfaits du 
christianisme jusqu'au cœur de l'Afrique : en remereiant la Pro- 
vidence de sa protection, félicitons aujourd'hui le Roi des Belges 
d'avoir heureusement exécuté ce grand dessein, qui fera la gloire 
de son règne et fournira un beau chapitre à l'histoire de l'Eglise. 

Ainsi donc. Messieurs, portons d'une seule voix la santé du 
Pape et du Roi ! A Léon Xlil et à Léopold II ! 

ASSEMBLÉE GÉNÉRALE D(j JEUDI 16 AVRIL 1885. 

Les deux commissaires nommés lundi dernier, MM. Ch. 
Lagasse et Otto, proposent à l'Assemblée d'approuver les 
comptes. Celte proposition est adoptée. 

M. le D' Desplats fait ensuite une conférence sur la Suggestion 
dans Vélat hypnotique, que nous résumons ici brièvement. 

On ne peut plus contester la réalité des phénomènes de sug- 
gestion; ils ont été trop souvent constatés depuis quelques 
années. Le difficile est de savoir dans quelles conditions et sur 
quels sujets ils peuvent être provoqués. Quelques expérimen- 
tateurs prétendent que bien peu de sujets sont réfraciaires; mais 
ce n'est pas Fopinion générale, un certain degré de maladie 
serait nécessaire. Quant aux conditions dans lesquelles la sugges- 
tion pourrait se produire, elles sont très diverses : l'acte suggéré 
peut être provoqué et exécuté pendant le sommeil hypnotique; 
provoqué pendant le sommeil, il peut être exécuté pendant la 



— ei — 

veille; enfin il peut être provoqué et exécuté pendant la veille. 

Ces faits, s'ils sont exacts et aussi fréquents que le disent 
MM. Liégeois et Bernheim, doivent avoir d'importantes consé- 
quences au point de vue médical, au point de vue moral etau point 
de vue social. M. Desplats s'efforce de démontrer que le dogme du 
libre arbitre et de la responsabilité n'est pas atteint par ces faits. 

Il termine en recommandant de ne pas se laisser hypnotiser 
et de ne pas hypnotiser sans motif et sans garanties. Si Fhypno- 
tisation et la suggestion produites dans un but thérapeutique et 
par un médecin prudent sont sans inconvénients et ont même 
des avantages, il n'en est pas de même de l'hypnotisation et de 
la suggestion expérimentales. Quant à l'hypnotiseur, il court le 
risque, s'il n'a un esprit très ferme et des principes très arrêtés, 
de sortir du monde réel pour entrer dans un monde imaginaire 
où il ne trouvera que déceptions. 

Le conférencier a peine à admettre la suggestion absolue, 
complète. Il ne croit pas que le sujet à qui l'on suggère un crime, 
quelque acte contraire aux principes moraux profondément gra- 
vés dans son esprit, accomplisse cet acte et se jette bénévole- 
ment dans des situations que sa conscience réprouve. De bons 
esprits, s'appuyant sur des faits bien établis, semblent se rallier 
à la thèse contraire. Quoi qu'il en soit, il faut admettre que la 
suggestion existe avec la plupart de ses conséquences, et l'on ne 
saurait trop approuver le conférencier quand il engage le public 
à ne pas abuser de ces choses merveilleuses. Il faut laisser aux 
pionniers de la science le soin d'élucider ces difficiles problèmes. 
Eux seuls ont le droit de s'exposer à ces dangers qui ne sont 
pas imaginaires, et le public aura le loisir d'en profiter. Après 
tout, ce n'est pas le rôle le plus difficile; c'est celui auquel il ne 
coûte rien de se rallier. 

M. le Président proclame ensuite le résultat des élections 
(voir p. 45 la composition du bureau et du conseil). 

M. le D' Dcsplats, président élu pour 1885-1886, prend place 
au fauteuil, et, après avoir remercié l'assemblée, il déclare la 
session close. 

IX. 



LISTE DES OU ¥R ACES 

OFFERTS A LA SOCIÉTÉ SCIENTIFIQUE DE BRUXELLES. 



De la pseudo-taillc des silex de Tbenay, par Ë. d'Acy. (Extrait des BulMitu 
de la Société d'anthropologie, séance du 5 mars 1885.) ~ Paris, i88«'S. 

Bibliothèque de la nature. — Les métaux dans Tantiquité et au moyen Age. 
— L'étain, par M. Germain Bnpst. — Paris, 1884. 

Caverne sépulcrale du bel âge du bronze, à Sinsin (Namur), par Alf. Bcquct. 
(Extrait des Annales de la Société archéologique de ^amur.) 

Traité élémentaire des mesures électriques par H.-R. Kempe, traduit de 
l'anglais sur la troisième édition, par H. Berger, directeur-Ingénieur des 
télégraphes. — Paris, 1885. 

Intorno ad una leltera di Carlo Federico Gauss al D^^ Enrico Guglielmo 
Mattia Olbers. Memoria di B. Boncompagni. (Estratto dagli Atti deW 
Acccuiemia pontificia de'niiovi lincei,) — Roma, 1884. 

Grundlagen einer allgcmcinen Mannichfaltigkeitslehre ; ein mathematisch- 
philosephischer Versuch in der Lehre des Uncndlichcn von D' Gcorg 
Cantor. — Leipzig, 1883. 

La première page de Moïse et l'histoire de la terre, par le P. A. Casteleîn, 
S. J., 1884. 

Traité élémentaire d'électricité, avec les principales applications, par 
R. Colson, capitaine du génie. — Paris, Gauthicr-Villars, 1885. 

Détermination, à Paide d'un appareil nouveau, du coefficient de dilTusion 
des sels en solution et des variations que cette quantité éprouve avec la 
température, par P. De lleen. (Extrait du Bulletin de l'Académie royaU 
de Belgique,) — Bruxelles, 1884. 

Détermination d'une relation empirique entre le coefficient de frottement 
intérieur des liquides et les variations que celui-ci éprouve avec la tem- 
pérature, par M. P. De Heen. (Extrait du Bulletin de V Académie royale 
de Belgique,) — Bruxelles, 1884. 

Relations théoriques entre le coefficient de dilatation, la chaleur interne de 
vaporisation et les chaleurs spécifîques des corps pris à l'état liquide et à 
l'état de vapeur, par M. P. De Heen. (Extrait du Bulletin de l'Académie 
royale de Belgique,) — Bruxelles, 1884. 

L'obélisque de Salmanasar II. — Une curiosité assyrienne au Musée royal 
des antiquités, à Bruxelles, par Alph. Delaltre, S. J. (Extrait de la revue 
Précis historiques, 1885.) — Bruxelles. 

Mémoire adressé à M. Jules Vandenpeereboom, ministre des chemins de 
fer, postes et télégraphes, à l'appui do la demande de concession télé- 
phonique formulée pour l'agglomération liégeoise, par M. Léon De 
Locht-Labyc, ingénieur honoraire des mines. — Liège, 1885. 

La renaissance de l'art religieux au XIX* siècle, par Ad. Del vigne, curé de 
Saint-Josse-ten-iNoode. 



Stries glaciaires dans la vallée de rAmblève. — Filons granitiques et pou- 
dingues de Lamersdorf, par G. Dewalque. — Liège, 1885. 

Les découvertes de Bcrnissart, par M. L. Dollo, ingénieur, aide-naturaliste 
au Musée royal 4e Bruxelles. 

De quelques cosmologies récentes, par E. Domet de Vorgos. — Paris, i 885. 

Du tabac. — Troubles physiologiques et maladies de ceux qui en abusent. 

— Hygiène et thérapeutique, par le D*" Dubois, de Libin. — Namur, 1885. 

Apologie scientifique de la foi chrétienne, par le chanoine F. Duilhé de 
Saint-Projet. — Paris, 1885. 

Intorno ad un episodio non ancora chiarito del proccsso di Galileo. — Nota 
del prof. Antonio Favaro. — Vcnezia, 1882. 

Intorno ad una nuova edizione délie opcre di Galileo, per Antonio Favaro. 

— Venezia, 1881. 

De la sensation et de la pensée. — Dissertation pour le doctorat en philo- 
sophie selon S^ Thomas, par Th. Fontaine, docteur en droit. — Louvain, 
1885. 

La diphtérie considérée principalement au point de vue de ses causes, de sa 
nature et de son traitement, par le D** X. Francotte, seconde édition, 
1885. 

De Tagaricine comme antisudorifique,par le D''X. Francotte. — Liège, 1885. 

Un cas de paralysie alcoolique, névrite dégénérative multiple d'origine 
alcoolique, par le D^* X. Francotte. — Liège, 1885. 

Recueil de problèmes d'arithmétique, à Tusage des écoles moyennes, des 
écoles normales, des classes d'humanités et des cours professionnels, par 
Tabbé E. Gelin, docteur en philosophie et en théologie, professeur de 
mathématiques et de physique au collègeS^-Quirin, à Huy. — Namur, 1885. 

Traité d'arithmétique élémentaire, à l'usage des cours professionnels, des 
candidats aux écoles spéciales des universités et à l'école militaire de 
Bruxelles, par l'abbé Gelin. — Deuxième édition, 1885. 

Précis d'arithmétique à l'usage des écoles moyennes, des écoles normales et 
des classes d'humanités, par l'abbé Gelin, 1885. 

Les fers et les aciers modernes, consi lérés à un point de vue rationnel et 
sous celui de leurs propriétés mécaniques et électriques, par L. de 
Gerando, ingénieur de la marine de l'Etat. — Paris, 1884. 

Nouveaux procédés de régulation des galvanomètres (boussoles des tan- 
gentes). Nouvelles méthodes de détermination des forces électromotrices 
et des résistances des piles, par L. de Gerando, ingénieur de la marine de 
l'État. Seconde édition. — Paris, 1885. 

Sur quelques conséquences de la formule de Green et sur la théorie du 
potentiel, par M. Ph. Gilbert, professeur à l'Université de Louvain. 
(Extrait du Journal de mathématiques pures et appliquées.) — Paris, 1884. 

L'équation du beau, conférence faite au Cercle polytechnique de l'Université 
de Bruxelles, par Hilaire Giuresco, polytechnicien, rédacteur au Telegra- 
phul, — Ixelles-Brnxelles. 

Théorèmes relatifs à l'actinométrie des plaques mobiles, par M. Haton de la 
Goupillière. (Extrait des Comptes rendus des séances de V Académie des 
sciences.) — Paris, 1885. j : 






_ too — 

Sur les fonctions b(»iomorphcs, par M. Hermitc. (Extrait du Journal de 
mathématiques pures et appliquées,) — Paris, i 885. 

Sur quelques conséquences arithmétiques des formules de la théorie des 
fonctions elliptiques, par Ch. Hermitc. (Extrait des Aelamathematica,) — 
Stockholm, 1884. 

Recherches sur la flore de la Loire, par Tabbé J. Hervier. Premier fascicule. 
— Saint-Étienne, 1885. 

Électricité et magnétisme, par Fleeming Jenkin, professeur de mécanique à 
rUniversité d'Edimbourg. (Traduit de Tanglais.) — Paris, 4885. 

Construction des voies ferrées dans les stations, traversées et bifurcations, 
par V. Lallemand, conducteur principal des ponts et chaussées. Première 
partie (avec supplément) : voies droites; seconde partie: voies courbes. 
In-8%avec planches in-4». — Bruxelles, 4881 et 1882. 

Discussion des observations d'orages faites en Belgique pendant Tannée \ 879, 
suivie d'un appendice comprenant les observations recueillies depuis un 
siècle, par A. Lancastcr, météorologiste-inspecteur à TObservatoire royal 
de Bruxelles. — Bruxelles, Hayez 1885. 

Sur Torigine du limon des plateaux, par M. A. de Lapparent. 

De la nécessité de renseignement chrétien pour la complète intelligence de 
la langue française, par Tabbé J. Lefebvrc, agrégé des lettres, professeur 
à la faculté de théologie. — Rouen, 1884. 

Le père, la mère et l'enfant, par le D*" Lefebvrc. Troisième édition, revue et 
corrigée. — Louvain. 

Essai sur la synthèse des forces physiques, par le P. Ad. Leray, prêtre 
eudiste. Constitution de la matière. Mécanique des atomes. Élasticité de 
rélhcr. — Paris, 1885. 

Les secrets du coloris, révélés par l'étude des harmoniques, par G. De Lcs- 
cluze, pbr. — Bruges, 4885. 

Accord de la science avec le premier chapitre de la Genèse, par M. Lavaud 
do Lestrade, prêtre de S*-Sulpice — Paris, 4885. 

Transformisme et darwinisme, réfutation méthodique, par M. Lavaud de 
Lestrade, prêtre de S'-Sulpicc. — Paris, 4885. 

Nouveau cours d'histoire naturelle. Zoologie. Anatomie et physiologie ani- 
males, par Paul .Maisonneuve, docteur en médecine. — Paris, 4885. 

Discours sur les travaux mathématiques de M. Eugène-Charles Catalan, par 
P. Mansion, professeur ordinaire à l'Université de Gand. (Extrait des 
Mémoires de la Socicfé rm/alc des sciences de Liège,) — Bruxelles, 1885. 

Recherches expérimentales sur le mécanisme de fonctionnement des centres 
psycho-moteurs du cerveau, par le D"" J.-M.-L. Marique, chef du service 
des autopsies à l'hôpital S^-Jean. Thèse d'agrégation présentée à la faculté 
de médecine de Bruxelles. — Bruxelles, 1885. 

Traité élémentaire d'électricité, par James Clerk Maxwell, M. A., traduit de 
l'anglais. — Paris, Gauthier-Villars, 4884. 

Traité d'électricité et de magnétisme, par J. Clerk Maxwell, M. A., traduit 
de l'anglais, l*"" fascicule. — Paris, Gauthier-Villars, 1885. 

Leçons élémentaires de télégraphie électrique, par L. Michaut et M. Gillet. 
L Paris, GaurliiAr-Villars, 1885. 



— toi — 

Le chauffage à flamme libre de Frédéric Siemens, par E. Miest, ingénieur. 
(Extrait des Mémoires de l'Union des ingénieurs de Louvain, 1885.) — 
Bruxelles. 

De raccord entre les indications des couleurs dans la scintillation des étoiles 
et les variations atmosphériques, par Ch. Montigny, membre de TAcadémie 
royale de Belgique. (Extrait du Bulletin de l'/lcadémie royale de BeU 
giqttc, 3* série, t. IX, n» 2.) — Bruxelles, 1885. 

Le déluge biblique devant la foi, récriture et la science, par Al. Motais, 
prêtre de POratoirc de Rennes, professeur d'Écriture sainte et d'hébreu 
au Grand-Séminaire, chanoine honoraire. — Paris, 1885. 

Les Chnmites en Europe. — Essai sur Porigine des Ibères, des Ligures, 
Sicanes, Sicules et des Basques de France et d'Espagne, par Pedro Nada. 
Supplément du Muséon, août 1885. — Louvain, 1885. 

Les anciennes populations de la Colombie, par M. le marquis de Nadaillac. 
(Extrait des Matériaux pour l'histoire primitive et naturelle de l'homme.) 

— Paris, 1885. 

L*homme tertiaire, par le marquis de Nadaillac, correspondant de Tlnstitut. 

— Masson, Paris, 1885. 

Sur les isométriques d'une droite par rapport à certains systèmes de 
courbes planes, par M. Maurice d'Ocagne. (Extrait du Bulletin de la Société 
mathématique de France,) — Paris. 

Coordonnées parallèles et axiales, méthode de transformation géométrique 
et procédé nouveau de calcul graphique déduits (fc la considération des 
coordonnées parallèles, par Maurice d'Ocagne. — Paris, Gauthier-Villars, 
4885. 

Sur une transformation polaire des courbes planes, par M. Maurice d'Ocagne» 

Note sur les raccordements paraboliques, d'après M. d'Ocagne. (Extrait de 
Mathesis, t. V, 1885.) 

Sur quelques propriétés générales des surfaces algébriques de degré quel- 
conque, par M. Maurice d'Ocagne. — Paris. 

Monographie de la symédiane, par M. Maurice d'Ocagne, ingénieur des ponts 
et 'Chaussées. (Extrait du Journal de mathématiques élémentaires.) — 
Paris. 

Transformation des propriétés barycentriques au moyen de la méthode dos 
polaires réciproques, par M. Maurice d'Ocngne, ingénieur des ponts et 
chaussées. 

Sur les transformations centrales des courbes planes, par M. Maurice 
d*Ocagne, élève-ingénieur des ponts et chaussées. 

Sur la droite moyenne d'un système de droites quelconques situées dans un 
plan, par M. Âfaiirice d'Ocagne. (Extrait du Bulletin de la Société mathé- 
matique de France,) — Paris. 

Ueber die Einfuhrung eines Normalmeridians und der Weltzeit nach den 
Resolutions der Washingtoner Konfcrenz, von Prcf. Th. von Oppolzcr. 
(Einzet-Abdruck ans dem Mai-Heft der ûeutschen Bévue.) — Breslau, 
1 885. 

Ucbcr Weltzeit. — Ein Vortrag gehaltcn im Vercine zûr Verbrcilung natur* 
wisscnschaftiicher Kenntnisse in Wien, am 8 April 1885, von Theodor 
von Oppolzcr. — Wien, 1885. 



— t09 — 

Théorie de la décomposition des nombres en une somme de cinq carrés, par 
le P. Th'* Pepin« S. J. (Extrait des A iti dcW Aceademia pontifieia de' Nuovi 
Lincei.) — Rome, 4884. 

Théorie des fonctions homogènes du troisième degré à deux variables, par 
le P. Thi« Pépin, S. J. (Extrait des Atti deW Aceademia pontifieia de' Nuovi 
Lineei.) — Rome, 4884. 

Solution des deux équations 43aï* — 4 4y' = 22f*, 8»* — 3y* = 8if*, par le 
P. Th'« Pépin, S. J. (Extrait des AttidelV A eeademia pontifieia de' Nuovi 
Lincei), — Rome, 4885. 

Traité de géométrie élémentaire, par Aug. Poulain, — i'" partie. — Lille, 
4885. 

La crise agricole et Tavenir de l'agriculture, par A. Proost, professeur à 
rUniversité de Louvain. — Louvain, 4885. 

Manuel de chimie agricole et de physiologie végétale et animale appliquée à 
Tagriculture, par A. Proost, professeur à TUniversité de Louvain. — Lou- 
vain, 4884. 

Eléphant pipes in the Muséum of the Academy of natural scienees Daven- 
port, lowa, by Charles E Putnam. — Davenport, lowa, 4885. 

Patents. — India, Ceyion, Straits-Settlements, and Hong-Kong, by 
H. H. Remfry. — Calcutta, 4 885. 

Comice agricole de Lille. — Essai des beurres par le dosage des acides gras 
volatils, par M. Ch.-Ernest Schmitt, professeur à la Faculté libre des 
sciences de Lille. — Lille, 4884. 

Océan and air currents, by Thomas -D. Smellie, Fellow of the Snrveyors* 
institution. — Glasgow, 4885. 

La création et Pœuvre des six jours, études scientifiques et apologétiques, 
par J.-J.-D. Swolfs, professeur au Petit-Séminaire de Malines, 3* édit., 
4885. 

Identité des principes de dualité et de polarité, par M. Gaston Tarry. — 
Alger, 4885. 

S. Tbos y Codina. — Andorra; reconocimiento fisico-geologico-minero. — 
Barcelona, 4885. 

Something about natural Gas : its advantages, use, supply and économies, 
by Georgu-H. Thurston. — Pittsburgh, 4885. 

Sur Péquation de Riccati et sa double généralisation, par J. De Tilly, membre 
de TAcadémie royale [Bulletin de l'Académie royale de Belgique, 3* sér., 
t.lX, pp. 246-235). 

Les langues de TAsic centrale, conférence faite au VI* Congrès international 
des Orientalistes à Lcide, par J. Van den Gheyn, S. J. — Leide, 4884. 

L'origine européenne des Aryas, par J. Van den Gheyn, S. J. — Anvers, 
4885. 

Histoire d'une goutte d'eau, par G. Vander Mensbrugghe. — Bruxelles. 

Notice sur J.-A.-F. Plateau, membre de l'Académie, par G. Vander Mens- 
brugghe. — Bruxelles. Hayez, 4884. 

Téléphonie et télégraphie simultanées. — Exposé théorique et pratique du 
système de téléphonie à grande distance de M. F. Van Rysselberghe 
dans ses rapports avec la télégraphie, par Éd. Buels. — Bruxelles, 4885. 



— 108 — 

Compositions d*analysc et de mécanique données depuis 1809 à la Sorbonne 
pour la licence es sciences mathématiques, suivies d'exercices sur les varia- 
bles imaginaires, par £. Villié, ancien ingénieur des mines, docteur en 
sciences, professeur h la Faculté libre des sciences de Lille. — Paris 
Gauthier- Villars, 4885. 

Climatologie de Bruxelles, par J. Vincent, météorologiste à TObservatoire 
royal. — Bruxelles, Hayez 1884. 

Pouvoir calorifique du gaz d'éclairage par M. Aime Witz. (Extrait des 
y4 finales de Chimie et de Physique, sixième série, t. Vf, octobre i 885.) — 
Paris. 

Le café, sa culture et sa préparation. Essai publié à Toccasion de l'Exposition 
universelle d'Anvers, par Josef Zuntz. — Bonn, 1885. 

La profilaxis Ferran. — El colera expérimental atenuado y la inmunidad 
dcl cèlera natural, por el D*" D. Manuel Zuriaga. — Valencia, 4885. 

Annales de la Société royale mnlacologique de Belgique, t.XVHI et t. XIX 
(troisième série, t. III et t. IV). — Bruxelles. 

Annales de la Société malacologique de Belgique. — Tome XV (deuxième 
série, t. V). Fascicule I, année 4880. — Bruxelhis. 

Bulletin de la Société belge d'électriciens, tome II, 4885. — Bruxelles. 

Congrès de navigation intérieure. — Map of tbc Manchester ship canal, 
with a description of the plans prepared for the session 4885. 

Fortieth annual Catalogue of the Officers, faculty and students of the 
University of Notre-Dame, for the académie year 1883-84. — Notre- 
Dame, Indiana, 4884. 

Giomale délia Società di letture e conversazioni scientifiche di Genova. — 
Marzo, aprile-maggio, 4885, supplemento al fasc. VI, giugno 4885. — 
Genova. 

Guide-Programme du premier congrès international de navigation inté- 
rieure. — Bruxelles, 4885. 

L'Idrologia e la climatologia medica, Gazzetta délie slazioni idrologiche e 
climatichc specialmente italianc, diretta dai signori L. Chiminelli e 
G. Faralli. — Anno Vil, n» 7, 25 luglio 4885. — Firenze. 

Journal de l'École polytechnique publié par le Conseil d'instruction de 
cet établissement. — Cinquante-quatrième cahier. — Paris, Gauthier- 
Villars, 4885. 

Journal of the New York Microscopical Society, february, 4885. — New 
York. 

Mémoires publiés à l'occasion du Congrès international de navigation 
intérieure, tenu à Bruxelles du 24 mai au 2 juin 4885. — Bruxelles, 4885. 

Den Norske Nordhavs-Expedition, 4876-1878; XII, Zoologi, Penna- 
tulida; XIII, Zoologi, Spongiadœ; XIV, Zoologi, Crustacea 4a et la. 

Notice sur les travaux et titres scientifiques de M. L. de Bussy, directeur des 
constructions navales. — Gauthier-Villars, Paris, 4885. 

Les nouveaux remèdes, journal bi-mensuel de chimie médicale, de pharma- 
cologie, de thérapeutique et d'hydrologie, i^' année, n» 4. — Paris. 

Observaciones magnéticas y meteorologicas del real colegio de Belen de la 
Compania de Jésus en la Habana. — Afin de 4875. — Habana, 4884. 



— t04 — 

OEuvrc des Ecoles ehrétîennes dans le diocèse de Bourges. — Réunion géné- 
rale du 18 janvier 1885. 

Proceedings of the Roval Society of Edimburgb, session 1881-82 et 
1882-83. 

Procès'verbaux des séances de In Société royale malacologique de Belgique, 
tome XIH. — Bruxelles. 

Procès- verbaux des séances du Congrès international do navigation inté- 
rieure, tenu à Bruxelles du 2i mai au 2 juin 1885. — Bruxelles, 1885. 

Publication der Norwcgischen Commission dcr Europâischen Gradmes- 
sung. — Geodâtische Arbcitcn, Heft IV. — Das nôrdliche Dreiccknctz 
zur Verbindung der Haupt-Dreieckseiten HaarskallenStokvola und 
Spaatind-Nâverfjeld. — Christiania, 1885. 

Anno 1885. — Rivista di artiglicria e gcnio, Gennaio. — Roma. 

S^-Xavier's Collège Observatory. Observations météorologiques. — Juillet- 
décembre 1884; janvier-juin 1885. 

Société belge de miscroscopie. — Annales, tome X. — Année 4883*1884. 
— Bruxelles, 1885. 

Société géologique de Belgique. — Annales, t. XI, 1883*84. 

Stonyhurst Collège Observatory. Results of mctcorological and magnetical 
observations, 1883. Manresa Press, Roehampton, 1884. 

Transactions of the Royal Society of Edinburgh, session 1881-82 et 
1882-83. 

Udgivet af den norske Gradmaallngskommission. Vandstandsobservationer. 
111 Hefte. — Christiania, 1885. 

University of Notre-Dame. — The Notre Dame Scbolastic. — Vol. XVIII, 
n» 19. 



Kli\ DE LA PREMIÈRE PARTIE. 



SECONDE PARTIE 



MÉMOIRES 



PRINCIPES 

D'UNE 

f 

THÉORIE NOUVELLE DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 

D'UNE VARIABLE IMAGINAIRE 

PAR 

Professeur à l'Université de Gand (•). 



Préliminaires. 

t. Objet de ce travail. La théorie des fonctions d'une varia- 
ble réelle repose sur un lemme fondamental que Ton peut énoncer 
géométriquement comme il suit : « Si une courbe plane MB, con- 
tinue entre les points A, B, et dont la tangente sHnfléchit d'une 
manière continue entre ces points, est coupée par la sécante AB, il 
y a un point intermédiaire I, oii la tangente est parallèle à AB ». 



(*) Noas avons troufé l'idée fondamentale de ce travail en décembre 1875, mais en y 
iotrodnisant une erreur, qui nous a été signalée obligeamment par M. Hermite. Nous 
avons fait connaître les points principaux de notre théorie à la Société scientifique de 
Bmxelles en janvier et mai 1878 {Annale» de la Société scientifique, t. III, première partie, 
pp. 53,57-58). Nous les avons publiés, en substance, dans le Messenger of Mathematics, 
*» Séries, t. VIII, pp. 47-20 (n« 86, juin 1878), et dans Mathesis, 1. 1, pp. 3-6 (janvier 1881). 

IX. 1 



2. — 2 — 

Traduit en analyse, ee lemme équivaut au théorème de Rolle 
et à ceux de Lagrange et de Gauchy, contenus dans les formules 
suivantes : , 

= Fx., ^^^= Xo<x. <X. 

Le deuxième de ces théorèmes, FX — Fxq = (X — Xq) F'x^ , 
et, par suite, le premier et le troisième, qui sont équivalents, 
peuvent se déduire aussi de la relation plus précise 

FX- Fxo=/*rxdx, 

le signe /"signifiant, bien entendu, limite de somme. 

Toutes les démonstrations rigoureuses du théorème de Taylor 
données jusqu'à présent pour les fonctions d'une variable réelle 
s'appuient, en dernière analyse, sur Tune ou l'autre des quatre 
propositions précédentes et procèdent toutes, au fond, de la même 
manière. On peut donc dire que, en réalité, il n'y a qu'une 
démonstration de ce théorème célèbre, celle de Cauchy. 

Nous nous proposons de montrer, dans le présent travail, que 
le lemme géométrique énoncé plus haut contient aussi en germe 
les principes fondamentaux de la théorie des fonctions d'une 
variable imaginaire, et, en particulier, le théorème de Taylor 
étendu à ces fonctions. 

On peut donc regarder ce lemnie comme la source unique d'où 
découlent toutes les propriétés élémentaires des fonctions; ce qui 
ne paraîtra pas éloimant, si l'on réfléchit qu'il établit une relation 
élémentaire entre l'accroissement d'une fonction et la dérivée de 
celle-ci. 

9. Notations. Dans ce qui suit, pour abréger, nous écrivons 
partout avec Gauss et Cauchy, î au lieu de \/ — 1, et nous em- 
ployons les notations <R (a -4- 6i), 5 (a -+- bi) de M. Weierstrass, 
pour désigner la partie réelle a et la partie imaginaire bi d'une 
expression imaginaire a + bi. 



— 3 — 3. 

Par fonctions élémentaires, nous entendons les fonctions algé- 
briques rationnelles, entières ou fractionnaires, les irrationnelles 
qui peuvent s'exprimer au mçyen de radicaux, enfin les fonctions 
logarithmiques, les exponentielles et les fonctions circulaires (*). 

8. Autres méthodes d'exposition de la théorie des fonctions 
ÉLÉMENTAIRES d'une VARIABLE IMAGINAIRE. La théoric dcs fonclions 
élémentaires d'une variable imaginaire a été exposée plusieurs 
fois, par deux méthodes différentes de celle qui est donnée ici. On 
peut appeler ces méthodes, méthode de Gauchy et méthode d'Abel. 
La première s'appuie sur la théorie si délicate (**) des intégrales 
définies prises entre des limites imaginaires et est loin d'être 
élémentaire (***). D'ailleurs elle ne permet pas, croyons-nous, de 
trouver aisément les développements de 1(1 -h z) et de (1 ■+- z)*, 
dans le cas où le module de z est égal à l'unité ^****). 



n Nous avons indiqué comment on peut définir les fonctions élémentaires d'une 
Tariable imaginaire, sans recourir aux propriétés des séries, et comment on peut en 
trouver les dérivées, dans notre Résumé du cours d'analyse de l'Université de Gand 
(Gand, 1877), n"* 63-75, et dans la Nouvelle correspondance mathématique, t. VI, 
pp. 358-364, 385-393. 

(**) Délicate i» parce qu'il est diflScile de démontrer rigoureusement le théorème fonda- 
mental de Cauchy : L'intégrale, le long d'un certain contour, d'une fonction synectique 
à l'intérieur de ce contour et sur ce contour, est nulle. Dans la démonstration de 
Cauchy, par déformation du contour, on n'est pas certain que les déformations successives 
conduiront à réduire à zéro l'aire comprise dans le contour. La démonstration de Riemann 
par les intégrales doubles suppose établie, pour celles que l'on considère, la légitimité 
de l'interversion des intégrations; !2o dans la démonstration du théorème de Taylor, basée 
sur le théorème de Cauchy, on démontre la formule 2^i/"y = i.2.3 ...nl ^ -'r\*n-it i * P'*^ 
différentiation sous le si(^e par rapport à y, de 27r{/V=rr/ ^fi, procédé dont la légiti- 
mité peut être établie rigoureusement, mais ne l'est pas dans la plupart des traités. Sur 
le théorème de Cauchy rappelé plus haut, voir Falk, Démonstration du théorème de 
Cauchy sur t intégrale d'une fonction complexe (Mémoires de la Société des sciences 
d'Upsal, 7 février 1883). Upsal, Berling, 1883; 18 pages in-4». 

(***j M. Bertrand, qui expose les innombrables conséquences du théorème de Taylor 
quand la variable est imaginaire, dans son Calcul différentiel, est forcé de renvoyer, 
pour la démonstration de ce principe fondamental, à un chapitre assez avancé de son 
Calcul intégral. 

(****) Nous indiquons toutefois, dans le dernier alinéa de ce travail, un moyen pour 
déduire notre formule fondamentale de la théorie de Gauchy. On peut trouver le dévelop- 
pement de 1 (1-4-s), dans tous les cas où il existe, en intégrant la série 1 — z-4-z* - :'-t- •- 
de 1 à z (Thomae. Àbriss einer Théorie der complexen Functionen und der Thêta- 
functionen einer Verànderlichen. Zweile Auflage, Halle a/S, 1873. Voir pp. 36-37, note). 
Ce procédé ne diffère pas au fond de celui qui est exposé ici. 



4. — 4 — 

La méthode d'Abel est exposée, comme on sait, dans Tadmi- 
rable Mémoire du géomètre norwégien sur le Binôme. Malgré le 
peu de connaissances préliminaires qu'elle suppose, elle est 
regardée à bon droit comme difficile , à cause de la subtilité des 
raisonnements et de la complication dos calculs. D'ailleurs, comme 
la fait remarquer Tun des nouveaux éditeurs des Œuvres corn- 
plètes, M. Sylow, les passages du Mémoire sur le Binôme où 
Abel se sert de son second théorème sur In continuité des séries 
doivent être modiGés, parce que ce théorème ne subsiste que 
moyennant certaines restrictions (*). 

La méthode que nous exposons ici nous semble plus simple 
dans son principe que les précédentes, et elle conduit, par des 
calculs faciles, aux mêmes conséquences que celle d*Abel pour 
les fonctions élémentaires. Elle permet d'exposer simultanément 
les principes de l'analyse pour les fonctions d'une variable réelle 
et pour les fonctions d'une variable imaginaire et, à ce titre, elle 
sera bien accueillie, espérons-nous, par les géomètres qui s'inté- 
ressent aux perfectionnements dos méthodes. 

Elle a été esquissée avant nous, au reste, par Cauchy (1829) 
et récemment, à la forme près, par M. Darboux (1876) et M. Falk 
(1877), comme on le verra dans l'historique. 



II 



Fonction d^nne vnrinble Imnglnnlre. 

4. Fonction d'une variable imaginaire. Nous dirons, avec 
Kiemann, qu'une expression u = v-hwtesi une fonction Fz 
de z = x -+- yi, ou, avec Cauchy, qu'elle en est une fonction 
monogène, si r = cp (x, /y), u? = ^ (x, y) sont des fonctions réelles 
de X, y, telles que la limite de 

A M Av -4- /Au? 
Az Ax -+- ïAy 



(*] Voir Œuvres complètes de N.-H. Abel, publiées par MM. L. Sylow et S. Lie 
(Christiania, GrOndahl et S«n. \SHi\ tome deuxième, pp. 302-305. 



— 5 — 5. 

existe et soit unique, de quelque manière que Ax, Ay tendent 
simultanément vers zéro, même si le rapport de Ay à Ax ne tend 
vers aucune limite déterminée. On appelle cette limite la dérivée 
de Fz et on la désigne par F'z, si elle a elle-même une dérivée. 
Les fonctions algébriques rationnelles de z, les fonctions irra- 
tionnelles qui peuvent s'exprimer au moyen des radicaux et les 
transcendantes qui se groupent autour de Texponentielle, ont 
une dérivée et sont des fonctions de z, dans le sens indiqué ici (*), 

5. Conditions nécessaires que doivent vérifier 9 et ^. Soit 
lim (AF: Az) égale à une quantité bien déterminée, que nous 
appellerons F'z. De la relation 

Fz == 9 ;x, y) -f- i^ (x, y), 

on déduit, en donnant dans z, à x seul un accroissement Ax, 

F(z-4-Ax)— Fjî (p(x-*-Ax, v)— 9(JP, y) .^(x-4-Ax, y) — ^{x, y) 
Ax Ax Ax 

puis, à la limite, 

rfF 

^ = 9x (^> !/)-+- «fx (x, y). 

De même, en donnant à y seul un accroissement Ay, ou à z 
un accroissement t'Ay, on trouve successivement 

F(z -*- 1 Ay) — Fz ^ 9 (x, y -♦- A.y) — (p(x, y) . ^(x,y4-Ay) — ^(x,y) 
îAy lAy t'Ay 

^.=-7 9y(-ï»y)-+-4'i(^iy)- 

Mais, par hypothèse, la limite de [(F (z -t- Az) — Fz) : Az] est 
la même que Az = Ax ou que Az = tAy. Donc 

dF rfF 

F'z = -- = — . 
ax Uyi 



(*) Voir les articles cités dans la note du n« 1 Toutes les fonctions considérées dans la 
suite ayant une dérivée qui est elle-même une fonction de s, nous représentons toujours 
la dérivée par F's. 



6. — 6 — 

ce«t-à-dirc 

?'. (^» y) -^ >+i (^> y) = ■;^ 9i (^. y) -^ ^'i (^» y)- 

Par conséquent, 

?i (^. y) = +i (^> y)' <f i (^> y) = — ^i (a^, y). 

Exemple : La fonction m = c' == e*^*, définie par Tégalité 

u== e' (cos y -♦- 1 sin y), 
est telle que 9 = c' cos t/, '| = c' sin y. On trouve 

(p; = e* cos y = ^;, cp; = — e* sin y = — ^;. 

6. Conditions suffisantes (*). Rien ne prouve que les condi- 
tions 9^ = 1};^, (f/ = — \\i[ soient toujours suffisantes pour que 
9 + 1*4^ soit fonction de z. On peut indiquer un cas assez général 
où il en est ainsi. C'est celui où 9^ = ^y, 9'^ = — ^i sont fonc- 
tions continues de x et de y. On a alors, en désignant par (X|, yi), 
(xj, y^) des valeurs de x et de y, comprises entre x et x h- Ax, 
y et y -h Ay, comme nous le rappelons au numéro suivant, 

At;= Ax9;(x, , yi) -^ Ay9;fx, , y,), Atr= Ax4^;(x„ y,)-*- Ay^;(x„ y,). 

Par suite, en ne conservant que des dérivées par rapport à x, 
on trouve 

Au « Av -4- lAti? = (Ax -+- t'Ay) [9; (x,, y,) -+- 4; (x,, y,)] 

^ lAx [^; (x„ y,) — ^; (x„ yOj -+- t'Ay [9; (x,. y,) — 9; (x„ y,)]. 

Au 

— = 9;(x,,y,)^t^;(x„y,) 

* A * A 



(') CelU démonstration est nouvelle, crojons-nous. Nous ne nous appuyons en rien, 
liant la suite, sur ce n« 6. Toutes les fonctions considérées ont une dérivée, comme nous 
t'avons remarqué dans la note précédente. 



— 7 - 7. 



Si Axy Ay tendent vers zéro, XijXj tendent vers x, et ^i, j/j vers y; 
les rapports [lAx : (Ax -4- tAy)] , [lAy : (Ax 4- /Ay)] ne peuvent 
avoir une limite infinie, comme on le voit en posant Ax = r cos a, 
Ay = r sin a. Donc enfin lim ^ = 9I (x, .?/) h- t ^y, (x, y). 



7. Corollaire I. Si /a dérivée F'z d'wnc fonction Fz rf^ z csf 
constamment nulle^ F e5^ une constante par rapport à x et à y. 
En effet, les dérivées 

(IF , (IF 
(/x r/i/ 

sont nulles en même temps que F'z, Donc F ne dépend ni dex, 
ni de y. 

II. Par syite, deux fonctions de z qui ont même dérivée ne 
différent que par une constante. 



III 



Théorème fondamenCal. 



8. Première FORME. Soit Fz=cp(x,i/)-4-f\{/(x,y),ouM=t;-*-u;i, 
une fonction de z, de manière que 

^{x,y) = fy (x , y) , cp; (x, y) = — f, (x , y) , 

F'z = (pu^,y)-^t+:(^,y) 

Supposons cette fonction (c'est-à-dire cp et ^) continue, ainsi 
que sa dérivée (c'est-à-dire (pi, ^]^), pour les valeurs de z corres- 
pondant aux points dé la droite y =* ax h- 6, passant par les 
points A (xq, yo), B (X, Y), de sorte que 



Y-yo , :, Y-y 



a=-: '"^ 6 = yo — X, 











A — Xg A — X| 



• 

La fonction Fz est supposée continue depuis z^^^^^j^-^ y^^i 



8. — 8 — 

jusque Z = X -h Yt inclusivement, F'z depuis zq jusque Z, inclu- 
sivement ou exclusivement (*). 

Si x^ et i/i = aX| -4- 6 sont les coordonnées d'un point I con- 
venablement choisi entre A et B, on a, diaprés le théorème de 
Lagrange, rappelé au n" 1 , 

(p(X. Y) — cp{a:o, yo) = cp(X,ttX -♦- 6) - 9(xo, axo-^b) 
=(X-Xo)[D,(p(x, rfx-i-6)]«,,=»(X-Xo)[(p;(a:, ax-»-6)-t-a9;(x, ax+fr)J^,^ 

=(X — Xo) [cp; (X,, axj -V 6) -+- cp; (x,. ax» -f- 6)] 

A — Xo 

= (X — Xo) (p;(x,, y,) -4- (Y - yo) 9i (aci, yi). 

On peut encore écrire ce résultat sous la forme suivante, en 
remarquant que cp^ = — ^x, 

Avo = Axoç; (x,, .Vt) — Ayo^J'i (x», t/,). 

Ajoutons au second membre 

tAyo?'. (a*,, .y,) H- tAxoij;;(x,, y,), 
et posons Z| = x^ -h y^ t, il deviendra 

A«o [?« (Jfi, yi) -^ t^L (x, , y,)] = AzoF'zi. 
Donc enfin 

On prouve de même que 

Atii;o = 3AzoF'«f, 

jZj=^X) + y^i désignant une valeur de z correspondant à un 
point de AB intermédiaire entre A et B. 



(*) Le théorème de Lagrange rappelé au n« A et que nous allons appliquer, ne suppose 
pas que la dérivée de la fonction considérée soit continue pour les valeurs extrêmes de 
la variable. 



— 9 — 9. 

Par conséquent, puisque Auq = Avq -f- i^WQ = FZ — Fz(„ 
FZ — Fz^ = (RAzoF'zj -f âAzoF'z,. 

On peut écrire, pour abréger, quand F'z a une expression com- 
pliquée, 

FZ — F;2ro=[AzoF'4,.,„ 

le second ndembre signifiant que Ton met à z Tindice 1, dans la 
partie réelle, Tindice 2 dans la partie imaginaire de Az F'z, 

•• Corollaire. Théorème de Rolle généralisé. Soit FZ = Fzq. 
On aura alors 

^ (Z - Zo)rz^ = 0, (3 (Z - zo) F'z, = 

ou, en abrégé, 

[(Z-Zo)F'zJt,.„ = 0. 

Remarques. I. Dans les expressions sous les signes Si et dt 
posons Z — ZQ=i re"'. On pourra faire sortir le facteur r de ces 
signes et écrire 

Sie^ F'z, = , 3e«< F'z, = , ou [e"' F'z](,.„ = 0. 

II. On ne peut pas démontrer, pour une variable imaginaire, 
un théorème analogue au théorème de Gauchy rappelé au n** 1, 
sauf si le rapport [AFz^ : Afz^] est réel ou purement imaginaire. 
Dans le cas général, on a 

FZ — Fzo _ a (c"* F'z,) -i- A (c"* F'z,) 
/Z - fzo "" Sie^^r^z) -*- 5{e^'r^i) 

comme corollaire évident du théorème fondamental, z, et Z4 
étant des valeurs de z, intermédiaires entre zq ei Z, probablement 
différentes de z\ etzj. Si le rapport est réel, Z3 = Z|,Z4 = Z2. 



10. — 10 — 



IV 



Théorèpie de Taylor. 

iO. Forme du reste. Soient /z, f'zyf'z, ... /"""'z une fonction 
et ses (n — 1) premières dérivées continues de zq = Xq h- y^i 
à Z =X -f- Yî inclusivement, f*z sa dérivée n**"*, continue entre 
les mêmes limites, inclusivement ou exclusivement. La variable 
z passe par toutes les valeurs données par la formulez — zo=rc"', 
où r varie de à R, co étant constant, de manière que 

Z — zo = Rc"^. 

Considérons Tégalité 






f7.=fz^'^ — - — /^zo^ — rir~/^ go-»---^- : ^- , — ^rT %-*-p; 



p est un reste, défini par cette égalité même, dont il s'agit de 
trouver une expression nouvelle. Posons 

p = (Z — z:y p, 

p étant un exposant positif, et prenons la fonction auxiliaire 

r 7 2 (Z 1* (Z zY-^ 1 

Fz=fZ- fz-*- r^+^ — li/-z-K...-f- J 1 /^ i;j+^z-z)''P . 

' L > *'^ 1.-2...(/«-l)' ^ ' J 

On trouve immédiatement 

Fzo = 0, FZ = 0, 

(Z — 2)-» 

La fonction Fz et sa dérivée F'z sont continues de zq à Z; de 
pIu8,FZ=Fzq. On a donc, d'après le théorème de Rolle généra- 
lisé (n« 9), 

c^ (Z — zo) F'Z, = 0, A (Z ^ Zo) F'z, = 0, 
où 

Z| «= Zo -♦- 0| (Z — 2«), Zj = Zo -*- e, (Z — Zo), 



— 11 — \\. 

ô)y 63 étant compris entre et 1. La première de ces égalités 
devient, en remplaçant F'z^ par sa valeur 

« [p(z-.,).-'g-..)p- "--f^;'^-'-v -».]-o. 

ou, en remarquant que Z — zi = (1 — 0i) (Z — Zq) et divisant 
par p (1 - 9,)'-' , 

Mais (Z — ^o/P == P« Donc, en faisant passer un terme dans le 
second membre, 

^ i.:l...{n— i)p^ *' ' 

De 

3 (2 — zo) F'zj = 

on déduit, de même (*), 

Donc, enfin, en réunissant S{p h dp, il vient 

p =^ rë(^V/' -^')"-^"^'-5 rê^(^ -^*'"-'^"^'- 

Dans la suite, nous ferons p = n, ou p c= 1, et nous écrirons 

_ (Z — ZoY w (Z — Zo)" ^ 



(*) Oq pourrait donner à p une valeur différente dans la partie réelle et dans la partie 
imaginaire du reste. 



12 — 12 - 

ti. Vraies valeurs des expressions prenant la forme ^. Soient 
fz, gz deux fonctions de z vérifiant les conditions du théorème 
de Taylor et, de plus, nulles ainsi que leurs (n — 1) premières 
dérivées pour z=zq. Le rapport [/"(zq •+- h) : 9(zo-+-h)] sera égal 
à celui des quantités p/ relatives è ces fonctions. Supprimant 
dans ces restes p, le facteur [R** : (1 .2.3...n)]y après avoir 
posé h = Z — zq= Re"*, nous trouverons 

f(z, -^h) ^ Sie^Ti^o -♦- e,h) -^ Se^ri^, -4- ôji) 

Supposons pz, g^z continues pour z =Zq, Il viendra, si R tend 
vers 



lim 



y (zo *+- h) ^^ e'^Yzo -♦- '3e'^'9"Zo »"zo 



19. Développement en séries. Faisons zq = 0, Z = z, dans la 
formule qui donne fZ (n" 10), de sorte que 



z z* Z-* 



^,=/D-.-ro-.-ro- -,,_;,_(„— ,yr-o-.p, 



-" z** 



Supposons que le module de p soit inférieur à une fonction M. 
de n pour toute valeur de 6, de à 1, et que, pour n = oo, 
lim M, = 0. Alors, on aura aussi lim p == 0, pour n ^a oo et l'on 
pourra écrire 



3 -» 



A=/o-h^ro-^^ro-+.etc., 

le second membre étant une série indéfinie {*). 

(*) Si Nu est toujours inférieur à M. quand u varie de à 2^, et si lim Mn=0, pour 
n = 00, on i)eut établir le théorème de Cauchy, rappelé n* 3 (note 1. i^), en multipliant la 
première relation du n® 12 parc— *«'r/w, k étant entier, et intégrant entre les limites 
Oet!2T. 



— 13 — 13. 



V 



•éveloppemenls en série de «'• Chz^ SJbs, eomz^ min t. 



18. Exponentielle. Si fz = c% on trouve 



Z JZ* Z^ 2""* 
e* = 1 -f- - -4- 1 1- ••H ; -+- D/, 

I 1.2 1.2 3 1.2 ...(n-1) 

Quelle que soit Ja valeur que Ton attribue à 6|, Q^, les modules 



gô^r COI « . gG^r eo» o; 



1.2... n ' 12 ...n 

de la partie réelle et de la partie imaginaire de p/, obtenus en 
faisant z = re^*, sont inférieurs à 



r" 



1.2... w 



e% 



quantité qui a pour limite 0, quand n= ex. On peut donc écrire, 
quel que soit z, 



z z' z' 



e' ==i H 1 1 H etc., 

1 i.2 1.2.3 

ou, en séparant la partie réelle et la partie imaginaire, 

r cos w r' cos 2« r' ces 3« 

e''*""cos(rsmM) = 1 h 1 1 h etc., 

^ ^ 1 1.2 1.2.3 

. , . r sin « r* sin 2m r' sin 3w 

^ 1 1.2 1.2.3 



formules que Ton peut aussi obtenir par multiplication de séries 
connues. 



U. — 14 — 

14. Fonctions hyperboliques et circulâmes. Le développement 

z z* z' 

e' = i -+---*- --— ■ -t- — — —- -♦- Ole, 

subsiste quel que soit z. On a donc aussi 



etc., 



C-' 


= 1 


— 


z 

h 

1 


12 




^3 

A, 


i.2.3 


e*' 


= 1 


-♦- 


zi 


z^ 




z^t 


1 


1.2 




1 .2.3 


/»-«< 


= i 


— 


zi 
\ 


1.2 


-*- 


zH 


c 


1.2.3 



etc., 



etc. 



Par conséquent, 
Chz = -«.-. e-) = 1 H- ^ H- -j^^^ -. -~^^^--- -. elc, 

Shz =i(e' - e-') =^ .*- ^g H- ^^^ H- ,^3;^^^ -^elc, 

1 X* s* z® 

cos z e= - (e" -H e"*') = i — —- -4- , ^^ , . ^ ,^. ^ i-etc, 

2^ ^ 1.2 1.2.3.4 1.2.5.4.56 



3 ^5 ^7 



sin Z = — (e** — e~") = — i i-etc. 

2r ^1 1.2.3 1.2.3.4.5 i. 2.3.4.5.6.7 

On peut séparer, si Ton veut, la partie réelle et la partie 
imaginaire dans ces formules. On trouve ainsi des séries 
représentant 

Ch (r cos u) cos (r sin »), Sh (r cos u) sin (r sin u), 

cos (r cos u) Ch (r sin w), sin (r cos u) Sh (r sin w), 

Sh (r cos cj) cos (r sin «), sin (r cos w) Ch (r sin w), 

Sh (r sin «) cos (r cos «), sin (r sin «) Ch (r cos w), 

que nous croyons inutile de transcrire. 



— 15 — 15 



VI 



développement de I i ((-4- z)). 



15. Forme générale du développement. Supposons que z ne 
soit pas une quantité négative égale à — 1 ou plus petite {*) et 
représentons par 1((1)), la valeur de I((l -4- z)), pourz = 0. En 
appliquant la formule du n"" 12 à celle fonction, on trouve 



z z^ z^ . 2"-* 



i 2 '> Il 1 



p. = S^. 



n \i -^ Sizl n \\ -*- OjCi 



'* ^^ (1 -f-e,z)« ^ ^ (1 -f-e,z)" 

Pour prouver que lini p = 0, quand n = oo, il suflit évidemment 
de montrer que Tune ou Tautre des deux expressions 

1 / z Y (1 — or-* 

n \\ -h-Bzl (\ -*- BzY 

a pour limite zéro, quand n croit indéfiniment, de quelque 
manière que varie enire zéro et Tunité. 

16. Premier cas : z = re^*, cos « est nul ou positif, r égal 
A l'unité ou inférieur a l'unité (*). Posons 

i ^ ez = Re^S 
c'est-à-dire 



1-4-arcos&>=rRcosn, ersin»=Rsiniî, R=3l/l-4-29rcos«-+-ôV*. 



(*) Le cas où le module de z est supérieur à 1 est exclu, parce que le module de j croit 
indéfiniment avec k dans cette hypothèse. 



i6. — 16 — 



Dans le cas actuel, puisque eos &> est nul ou positif, R est supérieur 
ou égal à t et, par suite, à r. Donc le module de A, c*est-à-dire 



i Ir 
n\R 



est inférieur à ^ et a pour Iin)i(e zéro, quand n croit indéfiniment. 
On peut donc écrire 



z z" z' "* 



I((!h.z)) = 1((1))^---^---h. 



etc. 



il. Deuxième cas : z = rc"', cos w est négatif, r inférieur a 
l'unité. En posant encore 

1 -^ 62 = Re^', 
on trouve 



modB = rM 

\ R / R 



Le module R n'est jamais nul. Ensuite, quelque valeur que 
prenne 6 entre et 1, on a toujours 

1 — e < R; 

car cette égalité revient successivement à celles-ci : 

(! — e)* < i -♦- 2ôr cos « -*- eV*, 
ô (1 -+- r) (i — r) < 2 (1 -H r cos w), 

dont la dernière est évidente. Pour n= oo, lim r* = 0, ^-^ est 
au plus égal à Tunité. Donc lim mod B = 0, et Ton a encore 

l((l +c)) = l((l))+f-iV^'_^' ^ etc. 

12 5 4 

19. Troisième cas : z = c^', cos w négatif, mais différent 
de — 1. Dans ce cas, nous chercherons d'abord le développement 



— 17 — 17. 



de {i -h z)l ((1 -f- z)), dont les dérivées successives, jusqu'à la 
n**^, sont 

. . X 1 ^ i-2 , , i.2.3...(»-2) 



On trouve immédiatement 

2* Z* Z* 2*-« 



1.2 2.3 3.4 ^ ' (n — 2)(n-i)' 

Pour prouver que pê a pour limite zéro pour n = oo, il suffit 
de prouver que 

n — 1 M -h te/ 

a pour limite 0, quand n croit indéfiniment, de quelque manière 
que 6 varie entre et 1. Or 

1 / 1 — e V ' 

mod C = ( ■ . 

^ — ^\[/\ -♦. 2ô cos « -*. eV 

On a toujours 

i — < V\ -♦-2«cos« -♦• e', 

car, cette égalité revient à celles-ci : 

1 — 2e -». e* < i -*- 2e cos M -+- fl', — i < cos », 

dont la dernière est évidente. 

Par conséquent, pour n => oo, lim mod C = 0, lim p\ = 0. 
L^expression G peut s'écrire : 

i \i 2/ \2 3/ ^ ^ U — 2 w — 1/ 

IX. 2 



18. — 18 



Par suile, le développement de (1 -h z) I ((1 -f- z)) est 

( z z- Z^ 2*~' z"~' 

(1-f-z) 1((1))+ — + -...H-(-i)"-' — -^(-J)-« — ^ 



\ii-i 



JZ" 



(-iy r . fc 



f< — 1 



Donc, en divisant par (1 -h z), 

I (0 H- z)) == 1((1)) -H J - ^ + i' - ... + (- 1)"-' ^ -4- p" . 

Pour n croissant indéfiniment, les deux parties de p" tendent 
vers zéro. Donc, on a encore 

l((l + z)) = l((l))-f.î-^+|— ^*^etc. 

Remarque. Cette démonstration, comme nous la fait remar- 
quer M. Gilbert, peut s'appliquer au cas où r est inférieur à 
l'unité. 

19. Séries réelles contenues dans les précédentes. Posons, 
comme plus haut, z = re^\ et supposons, pour fixer les idées, 
û) compris entre — tt et h- ti. Soit ensuite 

1 ^z = r'e"'', 

w' étant aussi compris entre — tt et -+- tt. On aura, comme on 

sait, 

1 (({ -+- z)) = log. arithmétique de r' -♦- ai -+- 2ik7ri, 

k étant un entier quelconque. On a, d'ailleurs, 

i -*. re"^' = r'e«'', 
c'est-à-dire 

i -*- r cos « = r' ces »', r sin » =: r' sin w', 

r' = )/\ -♦- r*-«- 2rcosa*. 

Il résulte immédiatement de ces formules, ou des constructions 



— 19 — 19. 

géométriques correspondantes, que (o et gd' sont tous deux positifs 
ou tous deux négatifs ; de plus, co' est, en valeur absolue, plus 
petit que «. Si z tend vers zéro, c'est-à-dire si r tend vers zéro, 
u restant fixe, r' tend vers Tunité, tù' vers zéro, et, par suite, on a 

Dans le cas particulier où r = 1, on trouve 

I 

r' = y^ -♦- 2 cos w =s 2 cos- «, 

2 

sans ambiguïté de signe, puisque cos \ tù n'est jamais négatif. On 
a ensuite 

4 i \ 

r'cos«' = l -♦- cosM=2cos*-cy, r' sinM'=sinw = 2sin~«co8-« , 

2 2 2 

c'est-à-dire, en tenant compte de la valeur de r\ 

i \ 

ces »' = cos--cd, sin w' = sin-«, 
2 ' 2 

et, par conséquent, 

« = — «. 

Nous pouvons maintenant séparer la partie réelle et la partie 
imaginaire dans la série 

1((1 -^ z)) = l((i)) + ^- iV ~ ^ + etc., 
ou 

, ^ - OL • ai • ^^' '•'«^' '^^^ ^^*''' 

Ir -*-«!-»- 2«7rt =3 Sfcjri -♦- 1- 1- etc. 

12 5 4 

On trouve ainsi 

,y rcosw r'cos2« r'cosSw r*cos4cj 

1k l-+-r*-»-2rcos»= 1 i-elc., 

12 3 4 

r sin « r* sin 2« r* sin 5» r* sin 4» 
eu = 1 -♦- etc. 



20. — 20 — 

L'angle tù' est compris entre — ;r et + n et est donné par les 
relations 

r sin u i -k- r ces a 

a = arc sln — -———-—-——-—— = arc ces 



[/i -♦- r* -f- î2r ces « V^i -♦- r' -i- 2r ces « 



En particulier, si r=l, on a &)'=i(o, Kl h- r* +2rcos(o=2cosici). 
Donc 

(1 \ ces a ces 2» ces Su ces 4a) 

i sin o sin 2cd sin 5» sin 4» 

- w = 1 ; h etc., 

Î2 i 2 3 4 

formules dont la démonstration rigoureuse se déduit aussi des 
principes fondamentaux relatifs aux séries de Fourier. 



VII 



90. Préliminaires. Soit m^^^a-h 6t. Nous représentons, avec 
Gauchy, par ((1 H- je))* l'expression 

Soient, comme au n"" 19, (o et &>' des angles compris entre — n 
et -+- TT, et tels que 

et, par suite. 



1 -♦- rcos«=r'cos«', rsincp==:r'sin«', l/l -♦- r*-i-2rcos»Œar'. 
On aura 

= r'-c-*<"'+**'^) I cos[6lr'H-a(« -f-!2AT)]-i-t sin[61r Va(«' -^ 2*ir)] j . 



— 24 — 21. 

Représentons par (1 -f- z)* celle des valeurs de ((1 -h z))* qui 
correspond à k=:0. On aura 

(i -4- z)*» = r"e- *"' [ces (6lr' -♦- ci«') -^ i sin (6lr' -4- au')]. 

Supposons que (o reste Qxe et que r tende vers zéro. Alors r' 
tend vers l'unité et tù' vers zéro. Donc, à la limite 

({i ))« = e- *"^ (cos 2o jfc;r -4- t sin SoAtt) , {"* = {. 

Il résulte de là, d'après les propriétés des exponentielles 
imaginaires, que 

Par suite, il suffit de chercher le développement de (1 -+- z)*, 
celui de ((1 + z))"* s'en déduisant immédiatement. 

On trouve sans peine, pour les dérivées successives de (1 -+- z)* , 

m (I -4- z)"»- *, m ()w — 1 ) (1 -4- z)--% 
w(m — i)(w — 2j(1-4-z)"— ',...,m(m — l)...(fii — n-4-1)(l-i-z)"-". 

Pour n suffisamment grand, ces dérivées cesseront d'être 
finies et déterminées, si z = — !• En effet, quand z = — 1, 
r =i H- z = 0, et les expressions 

(i -f- Z)'«, (i -4- 2)-*, (i -4- Z)— *, {i H- Z)— »,..., (i -4- Z)— -, 

contiennent les facteurs 



— '• m,'a - l «,'• — * -'• - 3 ,.'o - N . 



or, si n est supérieur à a, r'"~" est infini. 

Par conséquent, on ne pourra pas appliquer le théorème de 
Taylor à la fonction (1 -h z)*, dans le cas où z s=a — 1 ; mais alors 
on peut obtenir ce développement d'une manière élémentaire. 



22. — 22 — 

91. Forme générale du développement. On trouve» comme 
dans le cas où m est commensurable et z réel, la forme générale 
du développement de (1 ~h z)*, savoir : 

m m(m— i) , mim — 1)...(m— n-4-2) 

^ ^ i 1.2 1.2 ...(n—0 ^ 

et p a Tune ou l'autre des formes suivanies : 



m(m — 1)...(m — n-4-1) 1 

pl = ûTV. T-- i2 



1.2 ...n (1 -4-d, z)"-•• 

^m(m — 1) ... (m — n-4-1) ^ 1 



z' 



1 2...n I -4-0,2)-— 

^ (m-1)(m-2)...fm — n^l) (1 — fl,)« « 

1.2 ...(n — 1) (1 H-d,zj-" 

^ (m— l)(/w — 2)...(m — n-t- 1) (i — e,)""* 

-4- c) mz : -1 ^"-* ^^ 

1.2 ...(n—1) 1 -♦- ôjs) 



«—■I 



Ces formules supposent que la variable z ne passe pas par la 
valeur — 1. 

Pour que lim p = 0, quand n = oo, il suffit que lim A = 0, 
ou lim B =» 0, de quelque manière que 6 varie entre et Tunité, 
A et B étant déflnis par les relations, 



m (m — 1) ... (m — n-4-1 ) 1 



H— m » 



1 .2 ... n (1-4- Bz) 

(m — 1)(m — 2)...(m — n-4- 1) , (1 — e)"-« 

B = mz^ '-^—- — : — ^ -' z" * ^ . 

1.2... (n — 1) (i -4-0Z)- — 

Chaque fois que lim p =» 0, pour n = oo, on a, en série indéfinie» 

/M x.„ M ^ m(m— i) , m(m — 1)(m — 2) ^ 



— 23 — 23. 

Par suite, la limite du terme général 

m [m — I) ... (m — « -4- 1) 

w„ = — ^^ — î^ ^ z» 

i.-2...w 

de cette série , doit être nulle chaque fois que lim p = 0. 
Cherchons les conditions impliquées dans la relation lim ti„=0. 

99. Le module r doit être inférieur a l'unité, ou s'il est égal 
A l'unité, a -h i doit être positif. Le carré U du module de u„ 
peut s écrire 



— z — r' X ri r* X ••• X ^ ~ r\ 



ou, en abrégé, 

U = Fj . Ft . F3 . . F„ , 



si Ton pose 



(o -4- 1 — A)' -H 6' 



Premier cas : r* < 1. Pour k croissant indéflniment,Iim F^^pr^. 
Donc, si n est suffisamment grand, on peut assigner une quantité t 
inférieure à Tunité et plus grande que F,+i, F,^.,, ..., F^; par 
suite, on aura 

<U <F,F,.. F,r-' 

et pour n = 00, lim U = 0. 

Deuxième cas : r* > 1. On prouve de même que 

U>F,F,... F,r-', 

t étant une quantité supérieure à Tunité. Donc lim U = oo et la 
série 1 -»- wz H- etc., ne peut être convergente. 



24. — 24 — 

Troisième cas : r' == 1 . Alors, on a 



{a + ! — *)'-♦- 6» , 2(a-4-i) (a -♦- i)' -*- 6» 
' k" k k^ 



Si a + 1 est nul ou négatif, F^ est plus grand que Tunité ou 
égal à l'unité et U aussi. Donc, pour que lim U =:= 0, il faut que 
a H- 1 soit positif. 

Cette condition est d'ailleurs suffisante. L'expression de F) peut 
se mettre sous la forme 






a-4-i 



Fi=4— c*, c*= — = n— 



Pour k suffisamment grand, c^ est positif et inférieur à Tunité. 
Supposons que cela arrive pour toutes les valeurs de A: à partir 
de /h- 1. On a 



Par suite 

I 

(1 •— Cl+i) (1 — c,+0 ... (1 — c,) < 



(1 -♦- C,^) (1 H- C^,) ... (1 -I- c.) 



et, à fortiori, puisque (1 H- c,^.,) (1 -h c^^,) ... (1 -+- cj est supé- 
rieur à c^, -h c^, H h c„, 

I 

(i — c,^,) (1 — c,+0 . . (1 — c,)< 



Or 

fil il 

C/+I -♦- Ci+t H H f^ = 2 (O -f- 1) , -♦- , H- - -f- - 

L* -4- 1 I -♦- 2 nj 

— \{a + I)' -♦. fc'l [— î — + — î — ^ ... ^. il 



— 25 — 25. 

et, pour n = 00^ cette somme est infinie. Par suite 

lira U = (FiF, ... F4) lira (i — c^^) (i — Ch-i) ... (1 — O == 0. 

En résumé, pour que u„ ait pour limite zéro, il faut et il suffit 
que le module dej; soit inférieur à runité,ou s'il est égal à Tunité, 
que la partie réelle de m -+ 1, savoir a -4- 1, soit positive. 

MB. Limite de p. Premier cas : z = re^, cos (o est nul ou 
POSITIF, r inférieur a l*unité. Soit 

e'est-à-dire 



1-4-drcosfi}=Rcosû, 6rsin»=Rsinû, R=\/4 -♦-e*r*-f-2«rcos». 

Le module de A est égal à 

\ 

(mod M J 



R"— 



et a pour limite zéro, quand n^^» 00, puisque R est égal ou 
supérieur à 1 et que lim mod u^ = 0, d après le n** 22. 

•4. Deuxième cas : z = e"', cos u nul ou positif. Le module 
R est encore supérieur à 1 . D'après le n** 22, il faut et il suffit 
que a + 1 soit positif pour que lim ti, = 0. Cette condition est 
suffisante pour que 



i 

mod A = (mod « J —3^ 



ait pour limite zéro. 



•6. Troisième cas : z === re"', cos &> est négatif, r inférieur a 
l'unité. Le module de B est égal à 

(w-1)(m — 2)...(w — wH-1) . /1— e\"-i 

mod mz X ^ \^ ^z- * X -^ X R-* • 

I.2.ô...(n— 1) \ R / 



26. — 26 — 

D'après le n* 22, le second facteur a pour limite zéro ; on a vu 
au n* 17 que le troisième est inférieur à funité; le quatrième ne 
peut être inâni, parce que R n est ni nuIniinûni.DonclimB=>0. 

•6. Quatrième cas : z = e"', cos « négatif, mais différent 
DE — 1. 1** R est encore différent de zéro, mais, pour que le 
second facteur du module de B, savoir, dans Thypothèse actuelle, 

(m — i) (m — 2) ... (m — n -4- i) 
i.2... (n — i) ' 

ait pour limite zéro, il faut que la partie réelle de (m — ^) ■+- U 
c'est-à-dire a, soit positive, d'après le n*" 22. Mais cette condition 
suffisante n'est pas nécessaire, comme nous allons le montrer. 
2** D'après ce qui vient d'être démontré, on a 



^ ^ i 1.2 



(m H- i) m (m — 1)... (m — n -4- 2) , 

1.2.3 ...n ^ 



et lim p' = 0, pour n = oo, si «SR. (m -+- 1) = o -+- 1 est positif. 
Mais on sait que 

m -t- i m (m-*- i)m m{m — i) m 

= — hi, = h — » 

1 1 i.2 i.2 i 

(m-*- i)m{m — 1) m {m — i)(wi — 2) m(m— i) 

^2^3 "" ÏJ^ "^ r2 '" 

(m -4- i) m (fw — i) ... (m — n -♦- 2) 
i.2.3 ... n 

m (m — i) ... (m — n -*- \) m (m — i)... (m — n -♦- 2) 
i.2.3... n i.2.3... (n — i) 



— 27 — î27. 

Par suite^ ie développemenl précédent peut s'écrire 

, ^. r w m(m— i) . m(in — 1)...(m— n-»-2) ,1 

^ ^ L ^ ^-2 1.2 ...(n — i) J 

[m m(m — 1) , m(m — 1)..(m — n-t-2) ,"| 

i i.2 1.2 ...(n — 1) J 



m (m — 1 ) ... (fw — n -♦- 1 ) 
1.2... w 



f*t 



Z-+ p, 



ou, en représentant la somme entre parenthèses du second mem 
bre par S., 

V .. , V fn(m — 1)... (m — n -H 1) 

(i H- z)-+« = (1 H- z) S, -4- -^^ ^-^ U^ -f- p'. 

1.Z ... n 



Divisons les deux membres par 1 + z, il viendra 

m(m — 1)...(m — nn- 1) z" 

(1 ^z)* = S„-+. 



1.2 ... n 1 H- z 1 -+- z 

Si n croit indéâniment, lim p' =3 0. Il en est de même du premier 
facteur du second terme du second membre, d'après le n° 22, 
puisque a + 1 est > 0. Donc enfin 

^ ^ "1 1.2 

•9. Cinquième cas: z = — 1. Ce cas exceptionnel se traite 
directement. On a 

m fw(m--l) m (m — i)(m — 2) 

(1 - 1)- = 1 H- — ^ ^ ^ -4- etc. 

^ ' 1 1.2 1.2.5 

si Si (in) est positif. En effet, 

m m — 1 m m (m — 1) (m — 1 ) (m — 2) 



28. — 28 — 

et de proche en proche 

m m{m — \) . iw (m — i)... (m — n-t-1) 

i 1 •'• -4- ( — ir ;; 

1 i.2 ^ ' 1.2 ...n 

^ ' i.2...n 

D'après le n"^ 22, la dernière expression n*a une limite déter- 
minée que si la partie réelle de m est positive, ce qui établit la 
formule du binôme dans le cas considéré; car, dans cette hypo- 
thèse, (1 — 1)"=0. 

•8. Résumé ; formules spéciales. Le reste p a pour limite zéro, 
d'après la discussion des n""' 23-26, chaque fois que le module 
de z est inférieur à Tunilé, ou si, étant égal à Tunité, on a 
^ (m H- 1) > 0, sauf toutefois quand z = — 1 . Dans ce dernier 
cas, il faut de plus que Si. (tn) = 0. 

On peut encore dire que Ton a 

m m{m — i) ^ 

(i -♦- zr = 1 -4- — z H z' -♦- etc. 

^ i 4.2 

si la série du second membre est convergente. Elle est conver- 
gente d'ailleurs, si pour n = oo, ti., terme général, a pour limite 
zéro, sauf si z = — 1 ; alors, il faut que llm nu. = comme il 
est aisé de le voir. 

Il est facile de séparer la partie réelle et la partie imaginaire 
dans chacun des deux membres de l'égalité 

m m (m — i) . 

(i ^- z)*" = 1 -4- -- z H : z' -4- etc., 

i i.2 

ou de l'égalité plus générale 

(o-x)r=((i)rji-.^..î:ii!izil),.^e.c. 



— 29 — 29. 

Dans son Mémoire sur le Binôme, Abel a énuméré tous les 
cas particuliers remarquables, parmi lesquels il faut surtout citer: 

V Celui où 6 = 0, modj5 = i, «'=!«, r'=2cos^&), 
a + 1 > 0. On trouve, dans tous les cas possibles, la valeur de 
sin'x, cos'x, en fonction des sinus et des cosinus des multiples 
de x; 

^ Celui où z s:= t tang x, x étant au plus égal à d: ^. On trouve 
alors cos ax, sin ax exprimé en fonction des puissances de cos x, 
sin X. 



VIII 

ABire fornie donnée «ax résaltal* précédente. 

K Formes nouvelles du théorème fondamental. I. Si Fz est 
la fonction dont il est question au § III, on a 

FZ — Fzo=yVzdz, 

le second membre signifiant la limite de la somme de toutes les 
expressions F'z Az, quand x, y prennent successivement les 
valeurs correspondant aux différents points d'une courbe AB dont 
réquation est y ^= %x, de sorte que dy = ^j^'xcix. Le point A 

correspond à Zq ==» Xq H- yo »> 1^ P^*"^ B à X h- Yi. 
On a, en effet, 

F'zAz = (?; + f 4/,) (Ax -4- 1 Ay) = (cpiAx ^ ^^Ay) h- i (cp^At/ -4- ^;Ax), 

puis, à cause des relations du n"" 5 et de Ai/ = %'xAx + eAx, 
e étant infiniment petit avec Ax, 

d(p 
çiAx— <j/^y =(f4Ax -♦- cpyAi/=((pl-+- cpy%'x)Ax-+- e9yAx=» — Ax -♦- f ç'^Ax, 

ddf 

<ç>s^y-^^x^X'='^'g^y'^'Vxàx=['YyX^'^'¥.)^^ -*■ f+iAx=-p Ax-4-f<j/yAx. 

dx 



30. — 30 — 



Par suile, les termes en e pouvant, en général, être laissés de côté 
sous le signey, 

= ? (X, %X) -4- i^ (X, y\) — <p (Xo, xXo) — 4 (xo, xxo) 
= (p(X,Y)-4-iti/(X,Y)-(p(xo,yo)-t4/(xo,yo)=FZ-Fzo. 

Remarque. Si %'x devenait infini en un nombre fini de points 
entre A et B, on démontrerait le théorème pour les diverses 
parties de AB obtenues en supprimant des ares infiniment petits 
contenant ces points exceptionnels ; puis on passerait à la limite. 

II. Le module Atf*Y'zdz est tout au plus égal à la limite de 

la somme des modules des produits Y'zdz. Or, le module de 
rfjj = rfx -+- idy est d« = \/ {dx^ -4- dj/*), % désignant Tare de la 
courbe AB; le module de Y'z est une partie du module de F'C, 
^ étant la valeur de z, le long de AB, qui donne à mod F'j; la 
valeur la plus grande. On peut donc écrire 

mody**F'zdz = ay^(mod F'ç) d% =- \ mod F'ç X «, 

\ désignant une quantité au plus égale à Tunité, z Tare AB. Une 
expression imaginaire ne différant de son module que par un 
facteur exponentiel purement imaginaire, on a 

/*Vzdz=ae^«rçx«, 

et, par suite, 

FZ — Fzo = Ac^F'ç . «. 

Si AB est une droite, « est la distance des points A, B, égale à 

(Z — zo) c-«'. Donc 

FZ — F?. = AeP' (Z — ?o) F'ç , p = a - u. 



— 31 — 51. 

SO. Théorème DB Taylor. Appliquons la première des formules 
préeédentes à 

fz étant la fonction du n"" 10. Nous retrouverons la formule de 
Taylor avec la forme suivante du reste : 

^TJ 1.2.3... (n — l)' 

Par un raisonnement analogue à celui de la fin du numéro 
précédent, si Ton intègre suivant une droite AB, allant de Zoà Z, 
seul cas que nous ayons intérêt à considérer, on trouve que 

/' = ^T^^— -(^-®)""'/*"^' ç=Zo+e(Z-Zo), 0<e<l 
4.2.3 ... n p 

forme du reste due à M. Darboux. Si en particulier zq = 0, 
Z = z, on obtient la formule de Maclaurin, 

/i « /O -^ - ro H- -^ T'O -+. ... -4- -r—^ /*"-*0 H- p, 

' ' l' i.2 ' 1.2... (n — 4) ' ^ 

/\z~-tY-^f"tdt ^ z'' n , 

4.2.3 ...(n- 4) 1.2 ...np^ ^ ' ^ ^ 



St. Applications. La nouvelle forme du reste, sans intégrale 
définie, où Ton suppose p^^^n ou p= 1, permet évidemment 
de faire les discussions des § V, VI, VII, absolument comme plus 
haut. La forme du reste en intégrale définie semble utile seule- 
ment pour prouver que lim p = 0, dans le cas du n"" 18. On a 
dans ce cas, où r = e^', /i = I (1 -h z), fz = ( — 1)"(1 •+- z)~", 

\ =(— 4)"-*e""* / - — 

(4 -f- 0" ^ ^ / (1 + re«r ' 



32. 



— 32 — 



la seconde forme étant obtenue en posant t == re"*. Soit 



1 ^ rc"' «r» r'e"', r'=\/\ -^ r* -+- ir cos ». 



L'expression de p deviendra 



p 



t (\— r)*'*e''*''''dr 



dont le module est tout au plus égal à 



« -/'i^^-A^n -A-^r %■ 



Construisons un triangle isocèle OAB, où OA = OB=I, et 

Tangle AOB = tt — «, et pre- 
nons sur 08 la longueur va- 
riable OC «= r. On aura 

BC = i — r, 




AC = V\ -4- r* -+- 2r cos cp = r', 



puis 



4 — r BC sin BAC 



t' AC sin ABC 

La plus petite valeur de AC correspond à la position de C où AC 
est perpendiculaire à BO et, par suite, est égal à sin (o; le rapport 
de BC à AC décroit de 1 à quand r varie de à 1. Donc 



! \ r' y "7 ./^hT^ 



ou 



sin a 



■ -1 



dr 



"le cos« i l/i -4- f* -+- 2e 



coscj 



— 33 — 33 

011 



./"C^î"* 



\V\ -4- e* H- 2ecos w/ 

On a donc 

f / i —e 



sin « \yi -*- £« ^ î2£ cos «y 

Pour e quelconque compris entre et 1, le second terme du 
second membre est aussi petit que Ton veut, quand n est suffi- 
samment grand ; il en est de même du premier pour e suffisam- 
ment petit. Donc G devient inférieur à une quantité donnée quel- 
conque, pour n suffisamment grand et, par suite, lim G = et 
lim p = 0. 



IX 



Démoiislratlon directe da théorème de Darboax. 

St. Lemmes préliminaires. I. Si z^x-^yi est une valeur 
intermédiaire entre z-i =x^ -^ y^i et z^=x^ h- .Vj»» c'est-à-dire 
si X est compris entre x^ et x^, y entre y^ et y^^ la dérivée 
¥'z de Fz est égale à la limite de 

¥z^ — Fx, 

■ * » 

Zi— Zi 

quand z^ et jz^ tendent simultanément vers z. En effet, de 

lim = F z, 

2, — Z 

on déduit 

Fz, — F-s = (z, — z) F'z -f- f j (z, — z) , 

E^ ayant pour limite zéro, en même temps que z^ — z. De même, 

Fzi — Fz = (z, — z) F'z H- F, (Z| •— z 
IX. 3 



34. _ 34 — 

£) ayant pour limite zéro, en même temps que z^ — z. De ces 
égalités on déduit 

Fz, — F2, = (z, — z,) ¥'z -f- f, (z, — 2) -+- £| (z — r,), 

Fz,— Fz, z, — z z— Z| 

^ F z -+- fi h fj (I ) 

Zj — Zi 7j Z| Zs — Zi 

On a, ensuite, d'après les hypothèses, 

2t— ^1 (a-î— X,) -+■ t (yi— i/i) V (X,— X|)* H- iyt—yt) 



quantité plus petite que Funité. 
De même, 

mod < 1 

z, - z, 



Donc, à la limite, Fégalilé (1) devient 



Fz,-Fz. 

hm = F z 



Corollaire. On a, évidemment, 



lim mod = mod F'z. 

-Zj Zi 



II. Soient Zq, z-i, Zj, ..., z^_,, Z, (n -f- 1) valeurs successives de 
la variable z, telles que 

^i — Zo = z, — z, = ZTj — z, = ...== Z — z„_j = ^ H- At; 
^o> ^^1' ^2' ••*> ^.-.n t) les valeurs correspondantes delà fonction 



— 35 — 35. 

« = Fz, r, -+- s^i, Ta ■+- «2«» —, ^n -^ sj leurs différences succès- 
sives, de sorte que 

Wi — Wo ==^ r, -4- Sii, w, — w, =r r, H- v , .. » U — t/,_ , = r„ -^ s„t. 

Le module de Tun, au moins, des rapports 

• r -*- si 



h -+- ki 



est égal ou supérieur à celui de 

En effet, 

= — I 1 1- ... -I I . 

Z ■— Zq n \^h -¥- ki h -^ ki A -4- ki j 

Si tous les rapports [(r -+- si) : (h -¥- ki)] sont égaux, on a pour 
Tun quelconque d^entre eux 

U — Mo r -^ si , U — Uo , r H- st 

= J-.» mod = mod -.. 

Z — Zo h -\- kl Z — Zo h -¥- hi 

Si ces rapports sont inégaux, soit [(r^ -h s^i) : (h -+- ki)], celui 
dont le module est le plus grand. On aura, d'après un théorème 
connu, 



'''''t=:^.< n[V Ji^^^V kT^^ 



ec, à fortiwi, 



mod- < 






Donc, dans les deux cas, le lemme est démontré. 



36. — 36 — 



III. Subdivisons Z — Zq en n parties égales, eonome dans le 
lemme précédent, mais désignons, cette fois, par Z^ — Z|=A|-hArft 
celle des parties où le rapport [(r -+■ si) : (A -+- Ai)] a le module 



s/ 



rî-4-.s? 



le plus grand. Subdivisons Z| — zi^ aussi en n parties égales et 
soit Z2 — Zj = Aj -I- /:2t celle des parties où le rapport de l'ac- 
croissement de la fonction à Taccroissement de la variable a 
encore le module 



v/ 



hi -4- k\ 



le plus grand ; et, ainsi de suite. La suite indéfinie des valeurs 
correspondantes de x, savoir : X|, Xj, X3, etc., est ou croissante, 
ou décroissante. Elle a, par conséquent, une limite Ç; de même, 
la suite des valeurs //i, j/,, .Vs, etc., de y a une limite >?. La série 
croissante des modules 






Ti' etc. 



tend aussi vers une limite. Cette limite, d'après le corollaire du 
lemme I, est le module de F'(4 -h >?t). 

SS. Théorème de Darboux. I. 5t | + ni est une valeur inter- 
médiaire entre Zq et Z, correspondant à un point convenablement 
choisi sur la droite qui joint le point (x^,, y^) au point (X, Y), on a 

FZ — Fz„ 

L Zq 

1 étant un facteur positif, au plus égal à l'unité. En effet, d'après 
les lemmes II et III, 

, FZ — Fzo 
niod— = A mod F' (§ -♦- i^i), 

Z Zq 



— 37 — 37. 

{ + Yji étant la limite dont il est parlé dans le lemme III. Toute 
expression imaginaire est égale à son module multiplié par une 
exponentielle purement imaginaire. Donc 

II. De même, en généraly 

fZ — fz^ t'[li-^-n%) 

Posons, en efiet, 

de sorte que ¥'z =y!t,f'z. On aura 

X^ — Xh ..j.. , 



T— t 



= xe^'x>, 



t étant une certaine valeur intermédiaire entre ^ et T. S'il y 
correspond une valeur Ç = | -+- >;f de z telle que x=fXy la 
dernière égalité équivaut à la relation (1) à démontrer. 

S4. Théorème de Taylor. Cette circonstance se présente si 
/z=(Z — zf. Dans ce cas, on aura donc, puisque /Z = 0, 

FZ - Fzo .,, F'Ç 



= \e'' 



— 2!^P-* 



(Z-Zo)' p(Z-ç) 

Appliquons cette dernière formule à la fonction Fz définie 
au n*" 30, nous obtiendrons le théorème de Taylor, avec la 
forme du reste 

- (Z — Zn)" n . 
i.2.D...n p 

due à M. Darboux. 



38. — 38 — 



X 



Blatorique. 

S6. Recherches de Cauchy, Darboux et Falk. I. Cauchy, dans 
la treizièmede ses Leçons de calcul différentiel (i 829),a le premier 
démontré, d'une manière élémentaire, le théorème de Taylor 
pour les fonctions d'une variable imaginaire. 

Soit z= x-hyi=sr (cos w -h t sin w) et 

Fz = F (re"') = (pr -+- i\\ir. 
On en déduit, en dérivant n fois par rapport à r, 

Soient çr, vpr et leurs (n — 1) premières dérivées nulles pour 
r = 0. On aura, d'après des formules connues, 

Par suite 

F2 = — i e-''<[(p'' (fl.r) -H »4/" (6,r)]. 

En appliquant cette formule à la fonction 

[Z ** 2""' 1 

' i' 1.2' 1.2 ...(n-i)' J 

on trouve le théorème de Maclaurin. 

Gauchy déduit de ce qui précède la vraie valeur des expressions 
qui prennent la forme (0 : 0), mais il n'en tire pas le développe- 
ment de I (1 H- z), (1 H- z)"*, comme il aurait pu le faire, en 
modifiant quelque peu la forme du reste, dans la formule de 
Maclaurin. 



— 39 — 39. 

II. M. Falk a publié, en 1877, à Toccasion du quatrième 
centenaire de l'Université d'Upsal, un mémoire intitulé : Sur les 
fonctions imaginaires, à l'égard spécial du calcul des résidus 
(Upsal, Berling, 1877; 32 pages in-4**). Il y démontre le 
théorème de Taylor en ajoutant le développement connu de 
9(a:oH-Axo,y-f-Ayo)— 9(^o»î/o) * celui de î^(xo-hAxo,yo+A2/o) 

— «^ (3Co> 2/o)- 

Notre procédé de démonstration ne diffère pas au fond de celui 

m 

de Gauchy et de M. Falk, puisque le théorème fondamental du 
§ 111 s'obtient en ajoutant des développements analogues réduits 
à leur premier terme. M. Falk applique les résultats obtenus à 
la recherche de la vraie valeur des expressions indéterminées et 
à la théorie des résidus, mais il ne traite pas la question du 
développement des fonctions spéciales, e', 1(1 -h z), (1 -4- z)*. 

III. M. Darboux a publié un travail intitulé : Sur les dévelop- 
pements en série des fonctions d'une seule variable^ dans la 
livraison de septembre 1876, du Journal de Liouville^ continué 
par M. Resal (t. Il, pp. S91-312) dont le § I contient, sous une 
forme cinématique, la démonstration des formules des n"" 29 et 
30, ou même de formules plus générales, mais faciles à en déduire. 
Il fait observer que ces formules peuvent donner les développe- 
ments de e*, I (1 -^ z), (1 -h z)", sauf que, dans ce dernier cas, 
on doit recourir à une remarque d'Abel, si le module de z est 
Tunité et si ^ (m + 1) est positif. La remarque d'Abel à laquelle 
!V1. Darboux fait allusion est sans doute Fartifice de calcul que 
nous avons emprunté à Tillustre géomètre norwégien pour établir 
le S"" du n"" 26. C'est en imitant cet artifice au n"" 18, que nous 
avons pu démontrer le développement de 1(1 -»- z), quandz=e"*, 
cosco étant négatif, mais différent de — 1. 

IV. Dans la théorie des fonctions d'une variable imaginaire de 
Cauchy, on prouve que le reste dans la série de Taylor est 



— 1. r{i^2^''JlÉL 

^%^ij \i — zj i — z' 



40. — 40 — 

rintégrale étant prise le long d'un contour sur lequel et à Tinté* 
rieur duquel fz est une fonction synectique et zq et z étant dans 
le contour. On peut prouver rigoureusement (*) que 



Par suite, 



=/ 



(z — Zo)- V"Zorfzo 

p 



J.2...(n— 1) 

formule équivalente à celle du n* 30. Elle se trouve, pour le cas 
d'une variable réelle, dans louvrage intitulé : Cour^ de Jf. Her- 
mite professé pendant le S* semestre 4881-1882 ^ rédigé par 
M. Andoyer (Paris, A. Hermann, 1882), pp. 59-60. Pour que 
Ton puisse, par cette voie, établir le développement de (i -4- z), 
(1 + z)"*, même dans le cas où le module est égal à Tunité, il faut 
prendre pour contour d'intégration, dans la première valeur de p, 
une courbe qui dépasse aux environs de z, le cercle de conver- 
gence du développement de fz. 



(*) Voir, à ce sujet, une petite note publiée par nous, dans le Bulletin de l'Académie 
de Belgique, 2« série, t. VIIl, pp. 183-185 (août 1884). Citons encore, sur le théorème de 
Rolle, un article publié dans V American Journal of Mathematics, 1882, t. IV, pp. S82-39S, 
et intitulé : Forms ofBoUe's Theorem, by J. C. Glashan. 



— 4i — l. 



SUR 

L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES 

AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE 

PAR 

Ph. GILBERT 

ProfesMor k rCnivenitë de Loavain. 



Présenté à la séance du 2 g janvier 188 S, 



i. Dans une note qui n paru aux Annales de la Société (*), 
j'ai montré que les raisonnements par lesquels on prouve la 
généralité de Fintégrale, dans ces équations, sont insuffisants et 
conduisent même à des conséquences erronées. 

D'accord avec moi sur ce point, M. P. Mansion(^^) publia dans 
le volume suivant des Annales une démonstration exacte C**)^ et 
communiqua ensuite à la Société, en avril 1882 C^), une 
remarque de M. A. Mayer, d'après laquelle Jacobi aurait déjà 
exposé, dans son mémoire Dilucidationes de equationum vulga- 
rium systematis etc. Q, une théorie des équations partielles 
linéaires du premier ordre à Fabri de mes objections. 

Ayant eu l'occasion récemment d'examiner ce mémoire, j*avoue 



{•) Tome IV, p. 273, 2« partie. 

l") Ibid, p. 59, i" partie. 

(•••) Tome V, p. il, 2« partie. 

(r») Tome VI, p. 56, i»« partie. • 

(^} Journal de Crelle, t. XXIII, p. i. 



± — 42 — 

n*y avoir pas trouvé la confirmation de ce que dit M. A. Mayer, 
car la théorie qui s'y trouve exposée tombe précisément sous le 
coup des critiques que j*ai présentées. Sans doute, Jacobi ramène 
rintégration de l'équation 

(i) X;i-*-Y(/ = Z 

(pour ne prendre ici que le cas de trois variables) à celle de 
réquation homogène 

oF DF )F 

(a) X — -♦- Y— -4-Z— = 0, 

en ce sens qu'il prouve que toute fonction F(x, y, z) qui vérifie 
cette dernière, étant égalée à une constante arbitraire, fournit une 
solution de la première, et il part de là pour former Fintégrale 
générale de celle-ci, mais Jacobi n'a pas Fair de s'apercevoir que 
l'équation F(x, y, z) = peut fournir une valeur de z vérifiant 
l'équation (1), sans que F satisfasse identiquement, quels que 
soient or, y, z, à l'équation (a) : il suffit qu'elle y satisfasse en 
vertu de l'équalion F (x, y, z) = 0. Il se place donc à un point 
de vue trop restreint et, par suite, ne démontre pas complètement 
la généralité de l'intégrale. 

La théorie que je propose ci-dessous me parait lever ces dif- 
ficultés. Par la forme remarquable sous laquelle elle présente 
l'équation (1), elle met immédiatement en évidence la généralité 
de l'intégrale connue. 

9* Soit l'équation 
(i) XpH-Y9 = Z, 

p eiq désignant les dérivées partielles ^» ^; X, Y, Z des fonc- 
tions de X, y, z. Formons le système d'équations différentielles 
ordinaires 

dx dy _ dz 
^ ^ X Y Z 



— 43 — 



d. 



ei soient w = a, t; = (3 les intégrales générales de ce système, 
résolues par rapport aux constantes arbitraires a, (3. On sait que 
Il et V vérifient identiquement, quels que soient x, y^ z, les éga- 
lités 



, Ou Dm Dm 

X— ^ Y— -4-Z— = 0, 

Dx D// Dz 

Dy Dr Dr 

X h Y— ^Z — = 0. 

Dx Dy Dz 



d'où Ton tire, en désignant en général par D (^) le déterminant 
fonctionnel 



du 


Du 


Dx' 


'^1/ 


Dt? 


DV 


Dx 


^y 



les relations identiques 



(3) . 



/u, t7\ /u, ïA , /m, v^ 

Dp- D — D U- 

\y, zl \z, x/ \X, t// 



L'équation (1) peut donc s'écrire, 



(4) . 



. D 



u, 17' 



pD 



u, \y 



2, y^ 



çI) I — I = U. 



lX, Zi 



Supposons maintenant que dans les fonctions u et t;, on 
regarde z comme une fonction de x et de t/, et que Ton forme, 
sous ce point de vue, les dérivées partielles 



du\ 
Dx/ 


du du 

Dx '^ dz 


:iu\ 

Dy/ 


du du 

Dy ^ dz 



♦ • • 



En désignant par de doubles parenthèses le déterminant fonc- 



— 44 — 



tionnel correspondant et le développant par les règles connues, 



on aura 



D 



M, u 












/ Uy. 



Dm 
Dr 

Dv 

Dx 



Du 

'^ DZ 



Dw 
Dz 



Du 

Du 
^7 



Du 

Dr 

'3? 



« 

L équation (1) peut donc se nnettre encore sous cette forme : 

i^) ■■■•■■ ' ï>((l7^)) = «- 

Ainsi, pour qu'une fonction z de \ et de y satisfasse à l'équation 
aux dérivées partielles {\), il faut et il suffit que^ mise dans les 
fonctions u et v, elle rende identiquement nul ce déterminant (5), 
ce qui, d'après un théorème connu, est la condition nécessaire 
et suffisante pour qu'il existe entre u et t; une relation indépen- 
dante de X et de ?/, 

u == cp (u). 

Cette relation renferme donc toutes les solutions de Téqua- 
tion (i) et n'en renferme pas d'autre. 

S. Vérifions ces remarques sur Texemple cité dans ma pre- 
mière note, 



(A) 



a 



On a ici 



d'où 



u = ax — 6y, v = ze'^", 



Dm ^u ^u 

Dx ' Dy ' D« ' 

Du . ^v Du . 

— = — 2aze-^, — = 0, — = e»", 

Dx Dy Dz 



ae'^j 



— 45 — 
d'où encore 

\x, yl \z, y/ \x, z/ 

et réquation (4) prend ici la forme 



Elle se confond, à un facteur près qui ne peut s'annuler, avec 
réquation (A). D'après ce qui précède, il faut et il suffit, pour 
que cette équation soit vériflée, que z satisfasse à une équation 
de la forme 

ze~^ = (p (ax — by). 

Or, l'intégrale z = e"^*", substituée dans le premier membre, 
donne 

qui rentre bien, en effet, dans l'intégrale générale. 

4. Passons au cas général où une fonction z de n variables 
X|, Xji,..., x„ est définie par une équation 

(6) . . . . X^p^ -♦- XtPi -*-"-*- X^p^ = Z; 
formons le système d'équations simultanées 

dxi dxf dx„ dz 



X, X, 



'n 



et ses intégrales générales 



fii, ti2, ..., tin étant des fonctions de X|, X2,...,x„, js, et «i, «^Eo,...,^,^ 



6. —io- 

des constantes arbitraires. D'après un théorème connu, on a iden- 
tiquement, quels que soient x^, Xj,..., a:„, z, 

Dw, Dm, Dmj dwi ■ 

X, H Xj — -H ••• -4- X„ h Z — =0, 

Dx, OXî Da:„ Dz 

c^Mî Dwj Dti, Dm, 

/7\ ; A| -4- Aj -T- ••• -t- A„ -♦- Mà = U, 

V) ' ' \ DXj DXî DX,, DZ 



X, 1- Xj 1- ••• -4- X„ H Z — = 0, 

DX| DXj Dx„ Dz 



équations qui, résolues au moyen des déterminants par rapport 
à Xf : Z, X^ : Z, etc., donnent immédiatement 

X| Xj 



/ t/|, Ma, ..., t/„ \ / Uh Ma,-»> t#, 

\ Z } Xg , • . . , X^ / \ Xf , z , . . ) X,j 



X, 



\ Xj f X,) *»*y À> I *X|f X,, •••« '^11 



L'équation (6) est donc identiquement la même que celle-ci : 



^ . U|, ?<t. ...,M,A _^ / M,, tig, ,..,M„ 

1 »X|, Xj, ..., Xj \Z, Xg, ..., x„ 

\X|, z, ..., X,^ / \ Xf , X] , • • t , z / 

Concevons que, dans les fonctions ti^, tig, ...,^n9 on considère 
z comme une fonction de Xf,X3, ...,x„, et que l'on forme, sous 
ce point de vue, les dérivées partielles 

/Dm,\ DMi Dtt, ptlA DMi DMi 

— = H p, — » — = H »2 — , etc., 

\DX,/ Dx, Dz xDXj/ DXj '!iZ 



— 47 — 



7. 



ainsi que le déterminant fonctionnel 



1) 



W|, Wj, ..., u^ 






A f^l ... f^' 

\3x,/ \3Xs/ \3x„/ 

(^) pJîi'] ... (^M 



En substituant à ces dérivées partielles leurs valeurs ci-dessus, 
développant le déterminant par les règles ordinaires et suppri- 
mant les déterminants nuls comme ayant deux colonnes iden- 
tiques, on a 

\\Xi.X4,...,X„// \X|, Xj,...,X„/ ' \jS,Xî,...,X„/ 



p,D 



Wn Wji •••» W*i 



^Xf, z, .«• , X^i 






et Ton en conclut que l'équation (6) n'est autre chose que l'égalité 



(9) . . . 



D 1 1 '!il^' -iJL" , , = 0. 

kXj . Xj, ..., X^i 



Sous cette forme, on voit clairement qu^elle exprime la condi- 
tion nécessaire et sufiisante pour que u^, ii^, ..., u„, considérés 
comme fonctions de x^, x^, ... , x,,^ soient liés entre eux par une 
relation indépendante des variables, 



(10) 



(p(t/,, ttj, ..., wj = 0, 



et que, par conséquent, pour qu*une fonction z de X|,X2,...,Xa 
vérifie Téquation (6), il faut et il suffit qu'elle soit comprise 
dans une relation de la forme (10). 



8. — 48 — 

&• Ce qui précède me parait aussi donner la clé d*un passage 
énigmatique de Jacobi (*), signalé à M. Mansion par M. A. Mayer. 
Bornons-nous au cas simple de l'équation 

X/) H- \q == Z. 

Il résulte des formules (3) que les coefTicients X, Y, Z sont 
identiques, à un facteur M près qui ne peut renfermer que x,y,Zy 
aux déterminants respectifs 

\y, Zl \Z, Xl VX, Xfi 

L^équation (1) peut donc être remplacée par (4), ou par (5), 
multipliée par M. Donc, s'il existe des solutions de Féquation (1) 
non comprises dans Féquation (5) ou dans la relation équivalente 
v = (f (u), elles ne peuvent appartenir qu'à Féquation M = 0, 
et par conséquent on les trouvera sans intégration. 



(*) Page 21 du mémoire cité. 



— 49 — 



SUR 



LE MOUVEMENT D'UN SOLIDE 

AUTOUR D'UN POINT FIXE 
Eï SUR LE PENDULE CONIQUE 

PAR 

le C* de SPARRE 

Professeur à la Faculté catholique de Lyon. 



I.HTROOIJC TIOM 

Il existe déjà un nombre considérable de mémoires traitant 
des sujets dont je m'occupe ici, mais ce qui m'a semblé faire 
un peu défaut, c'est un exposé en quelque sorte classique de ces 
deux questions^ et qui donne cependant les principaux résultats 
que Ton peut obtenir à leur sujet, par l'emploi des fonctions 
elliptiques. C'est cette lacune que je me suis efforcé de combler 
d'une façon, je l'espère, aussi simple que possible. 

Pour la première question, celle du mouvement d'un solide 
autour d'un point fixe, je me suis largement inspiré des beaux 
travaux de M. Hermite sur le même sujet en employant, toute- 
fois, une voie toute différente de manière à rendre l'exposition 
indépendante de l'étude de l'équation de Lamé à laquelle 
M. Hermite l'avait rattachée. 

J'ajoute de plus quelques résultats à ceux auxquels était 
parvenu M. Hermite. Je fais voir en particulier que les points 
stationnaires (points d'inflexions de Therpolodie) sont toujours 
imaginaires. Ce dernier fait, assez important, n'avait pas été 
établi par M. Hermite, mais on aurait pu, ainsi que je le lui ai 
indiqué dans une lettre, le déduire de ses calculs en rectifiant 
une petite erreur qui s'y était glissée. 

IX. 4 



2. — 50 — 

Pour la seconde question, le pendule conique, j'ai suivi, en 
y introduisant quelques simplifications, la marche que j'avais 
adoptée dans ma thèse sur le mouvement du pendule conique à 
la surface de la terre; j*ai eu soin toutefois de dégager cette 
étude de toutes les questions incidentes de manière à en donner 
un exposé aussi simple que possible. 



MOUVEMENT D LN SOLIDE AUTOUR D UN POINT FIXE LORSQU IL 
n'y a pas DE FORCES EXTÉRIEURES. 

i\ous adopterons pour déterminer la position du solide les 
trois angles d'Euler 9, etip et nous désignerons par p, 9, et r les 
composantes, suivant les trois axes principaux d'inertie du corps, 
de la vitesse angulaire de rotation instantanée. 

Les équations du mouvement seront alors comme on sait 

(i) A^ = (B-C)7r, 

dq 
(2) B-^=(C-A)r^>, 

(3) c'i^ = (A-B)p,, 

de déf 

(4) . . . . p= — coso -4- — -sinosin 0, 
^ ^ '^ dt ^ dt ^ 

de . ddt 

(I)) . . . . 7 = — -p sin 9 -H — ^ ces © sin 5 , 

dt di 

dm rfiL 
(6) . . . . r= -J- -+- -^cosdC), 
' dt dt ^^ 

A, B, G étant les moments d'inertie principaux du corps. 



(•) Voir Traité de mécanique, d^E. Collignon. t. III, pp. 5<)8 vi suiv.. ou Ph. Gilbert. 
Mécanique analytique, pp. S85 et S86. 



- 51 - 3. 

Des trois premières équations on déduit les deux suivantes 
où A et M désignent des constantes 

(7) Ap* -^ Bç« -^ Cr« = h\ 

(8) Ay^BY^CV» = M«. 

Ces deux équations sont, comme Ion sait, celle des forces 
vives et celle des moments des quantités de mouvement. 

Si maintenant on prend pour axe des z du système de compa- 
raison fixe, Taxe (fixe, dans le cas qui nous occupe) du couple 
résultant des quantités de mouvement, on aura de plus les trois 
équations suivantes, qui résultent de ce fait que cet axe est égal 
à M et que ses projections sur les axes principaux d'inertie sont : 
A/}, Bç, Cr. 

A» 

(9) sin 4 sin 9 = — » 

M 

Bf/ 
(10) sin e cos CD = — » 

Cr 
(M) ^'"'^^'m* 

Des équations (7) et (8) on déduit 

M* — œ — Bg« (B — C) 

^''' ■ ■ ■ ■ ^= MÂITc] 

, AA* — M' — Ba» (A — B) 

(^^) • • • • '•= c(^) ■' 

et en portant ces valeurs de p et de r dans Téqualion (2), on 

obtient 

Bl/ÂCf/a 

l/[M'— CA«— Bç'(B — C)] [A/i*— M'— Bç'tA— B)] 
équation que Ton peut écrire de la manière suivante : 



(14) (h 



. / AC dq 

-^*^ V (M'-C/i*KÂ/i*-M*j /l B,B-C) ,w B(A-B) ; 



4. — 52 — 

Supposons maintenant que l'on ait : 
Soit A > B > C hypothèse I, 
Soit A < B < C hypothèse II. 
Comme 

M' — C/i* = Ap» (A — C) + Bq* (B - C), 
Ah* — M« = B7«(A - B) ^ Cr' (A — C), 

l'on aura dans ees deux hypothèses 

Je dis de plus que l'on pourra toujours choisir Tune on 
l'autre des deux hypothèses de façon que Ion ait : 

M' — œ AA« - M' 
B (B — C) ^ B(A— B)' 

en effet, (A — B) (B — C) étant positif dans les deux hypothèses, 
celte inégalité revient à 

(A — C) (M» ~ Bh^) < 0. 

Or, B étant dans tous les cas le moment d'inertie moyen, on 
satisfera à cette condition en prenant Thypothèse (II) si 
M« > BA« et rhypothèse (I) si M« < Bh^. 

Ceci établi, nous poserons : 



(*^^ ^^-^BiB^rcj^"'''' 

(M» — CA*)(A — B) 
(16) it* = ^ — — ' 

On en déduit 

^ ' (AA'— M*)!B — C) 



— 55 — l). 

Or, d après les hypothèses admises plus haut, A'^ et k'^ seront 
tous deux positifs et par suite aussi (ous deux plus petits que 1. 

Remplaçant alors q par la valeur (15) dans la formule (i4) et 
faisant croître u et ^ dans le même sens, on aura 

(18) . . . . (n==\/ -du. 

En prenant t = pour ti = 0, il viendra donc 



= v/(if^ 



ABC 

M. 



C) (A^* — M») 

On aura ensuite en portant la valeur de 7^ dans les formules 

(12) et (13) 

^ A (A — C) 

r^ = dn*M. 

C (A — C) 

Extrayons maintenant les racines carrées des valeurs île y;*, q^, 
r^ et désignons par e, s', s" des quantités égales à -»- i ou à — I, 
nous aurons 



V 



en II 



A (A — C) 



/m* — c/<* 

' V B(B — C) 



/ A/r — M' 

r=f"\/ du M. 

V C(A — C) 

Sur les trois quantités e, e', e" on peut toujours choisir arbitrai- 
rement le signe de deux d entre elles; on peut, par exemple, 
prendre e et s" égaux à -4- i ; il suffira pour cela de choisir con- 
venablement le sens de Taxe des x et de Taxe des z, dans le 
système de comparaison mobile, car ce sens est complètement 
arbitraire. Mais le sens de ces deux axes étant choisi arbitrai- 
rement, celui de l'axe des y, dans le système de comparaison 
mobile, se trouvera déterminé puisque la rotation de OZ vers OX 
doit être positive (de gauche à droite) par rapport à OY; le signe 



% 



6. —bi- 

de t devra donc se déduire de celui de e ei e". On fixera ce signe 
de la manière suivante : en portant les valeurs obtenues plus 
haut de />, q et r dans les relations (i), (2) et (3), on devra avoir 

l/B — C 

^, .5-(C-A) 

i/rA - c)* ' 

— ," 1/ bIIT: _ re' 

En prenant e = e"t= 4- 1, on voit que l'on satisfera à ces 
relations en prenant : 

Dans rhypothèse (!)£' = — 1, 
Dans l'hypothèse (II) s' = -h 1. 
Nous aurons donc en résumé 

(19) 0= V en M, 



(A - C) 



les radicaux étant tous pris en valeur absolue, et dans la 
valeur de q le signe supérieur correspond à Thypothése (I) et le 
signe inférieur à l'hypothèse (II). 

On déduit ensuite des formules (9) (10) et (H) 

. /A(B— C) en u 
(22) .... ,gcp==p>/^i_,^_. 

(25) .... cos6 = V/-L^-^^--. 

Puis on tire des équations (4) et (5) 

p sin sin (p H- q sin Ô cos (p = sin' — » 



— 55 — 7. 

c'est-à-dire à cause des relations (9), (10) et (7), 

dé 
/i« — Cr* = M sin- -pî- • 

dt 

Remplaçant maintenant r*, sin* 9 et dl par leurs valeurs en 
fonction de u déduites des formules (21), (23) et (18), on aura 



B — C 



sn* u 



A — B m / AB . 

^^^^'^ ACB-^O V c (B ^ C) (A/i- - M») ^^' 



C (A — B) 
Posons maintenant 



sn* M 



V /B — C 
(24) sn ai = zp i y — 



B 



f^x^ r- .v/a(B-C) 
(25) sn 6t = qp i \/ » 

où a et (3 sont des quantités réelles, les signes supérieurs corres- 
pondant toujours au cas de Phypothèse (I) et les signes inférieurs 
au cas de Phypothèse (II). 

C esl-à-dire que si 

W > M', 
nous supposons 

A>B>C et |3<a<0, 
et si 

Bh^ < M*, 
nous supposons 

A < B < C et a > ^ > 0. 

On aura d'ailleurs dans tous les cas 



m /a — C 

(26) ciiai= y--—, 

(27) cnpe= V^^IÏEîîî , 

^ ^ y C(A— B) 

(28) dn a. = // \/ -All£. , 



(29) dnpi = M\/ * *^ 



C (AA* — M') 



8. — J)6 — 

Avec les conventions admises pour les signes de a el {3 nous 
pourrons, dans tous les cas, écrire les valeurs de p, 9 et r des 
deux manières suivantes : 



(30) 



(31) 



• • • P= V 



M* — C/i» en u 



A (A — B) en ai 



_ . /W - œ sn u 

~~ * V R ^A __ m en»} ' 



(32) r 



B (A — B) sn a? 
h dn u 



ou aussi 



(55) . . . . p= y 



1/ c ^" ** 



B(M* — C/l*) OHM 

AC (A — B) cnji 






(35) 



iM dn u 



C dnpt 
Kn introduisant de plus [3 et a, les formules (22) et (23) ainsi 

d'r 

i sn p/ en t/ 



que la valeur de ^ deviendront 



(5^0 lg9 = — 



(37) cos = 



en pi sn ?/ 
dn t/ 



dnpt 



(58) . 



d^ / AB sn*w — sn*ai 

àvT^ V c (B — C) (A/i* — M') sn' w — sn* pi 



les radicaux étant tous pris positivement, ainsi que nous Pavons 
déjà dit. 



Pour obtenir ^ décomposons maintenant ^ en éléments simples 
par le théorème de M. Hermiie. 

Les inûnis de la fonction sont évidemment (3/ et — (3i; reste 
à obtenir les résidus correspondants. 



— 57 



Celui relatif à m = (3t sera 



V C(B — 



^ / AB sn*|3i — sn'ai 



C) (A/t* — M*) 2 sn pi en pi dn pi 

Mais dans tous les cas 

(B-C){A-C) 



sn* pi — sn* ai = — 



C (A — B) 



sn 



.■ .'A o- »M(A — C). /AB(B-C) 

ôt en ôt dn ôi = =F — î^ \/ i 1 

^ ^ ^ ^C(A — B)Vc (A/i* — M*) 



Le résidu de — relatif à u = 8t sera donc 

ou ' 

\ B — c 
2t v/(B — C)* 

C*est-à-dire dans les deux hypothèses 

li^ 

puisque les radicaux doivent être toujours pris positivement et 
que le signe supérieur correspond au cas de B> G (hypothèse I) 
et le signe inférieur au cas de B<C (hypothèse II). 

On aura donc dans tous les cas avec les conventions adoptées 



d^ _ i rn'{u — pi) H'(m -+- pi) H'(ai ^ p 



/) H'(ai - pi) l 

i) H (ai - PO J • 



du 2t [H (m — pi) H (M -^ pi) H {ai -^ p 

Car le résidu relatif à w = — (3t est, comme on sait, égal et de 
signe contraire à celui relatif à u = [32 et de plus ~ doit admettre 
les zéros ai et — ai. 
Posons maintenant 

^ *~ 2t [h (al ^ pi) """ H (ai — pi)J 



s 



I - - 30 

■ '* ^ ?0 * 

^.î.>moiis, en fonction de w. des 
^^ui\ m s> sienne de comparaison 
. .> .'oordonnées, par rapport au 

..c. -oui ^, >î, ^. 

..u.i'> de transformation d'Euler : 

. ,> .. \ >f (sin (p ces 'i^ -f- cos 9 sin 'v cos e) 
♦- % sin ^ sin 6, 

> os- •: --)j(sincp sinv[/ — coscpcosvj; cos9) 
- 1 cos ^ sin 6, 

. .jvvVv-^'^ >îe'*'*(sin(p — icoscpcosô) — tÇsinee'?''. 

. .«i.ii*K* ambiguïlé, puisque est toujours 
»^* iio>on de la formule (57) 



\ ' sn* u — sn* Si. 
,iii ^i 



* . V 10^ donnent ensuite 



V/' _ K(/ 



— » cos Cp = 



M Niu 9 M sin 6 

.,, uo.uu dos l'ormules (53), (54) et (40) 



i VH^M"- C/i*)dnfi en m 

V ^ i: (A — B) en pi V/sn' ^ — sn* 6/ 



VB ^.\r — C/i«) dn pi snii 

H^v \ r (A B) sn 61 V/sn*a — sn*6i 



— 59 — il. 

Ces formules donnent d'ailleurs cos tp et sin 9 sans aucune ambi- 
guïté, puisque le signe P se détermine comme nous Favons dit 
plus haut et que les radicaux doivent, d'après ce qui précède, 
être tous pris positivement. 

En remplaçant sinf, cos 9, sin G et cos G par leurs valeurs 
(4-1), (W), (40) et (37) dans l'expression de X -4- lY, on aura 



X -^ I Y = \/ ^«(^'-^^') __J ^^' 

■*"* "^ V C(A — B) MA:snpicnpiV/sn*M— sn*pt 

[Çi (sn u en pidnpi-¥- en t/ dn ti sn pi) — jf (en w sn pi dn pi-4- sn wdn u en pt)] 



dnôi 
Mais au moyen de la formule (39) on a d'abord 



(43) ct. = e'-\/-^ ^^ 

ce radical devant être, comme tous les autres, pris positivement 
puisque pour m = on doit avoir ^ = ^ 

Si Ton considère maintenant la fonction doublement périodique 
de première espèce 

sn* u — sn* pi, 

comme elle admet les zéros — (3i et (3i et l'infini double t'A' elle 
est égale en désignant par S une constante à 

g H(y-pOH(ii-4-pi) 
0* (u) 

et en déterminant la constante pour u = on a 

/£ix t te 0'(O)H(ti — pt')H(ti-4-pi) 
(44) . . sn' n — sn* 61 = — — — ^ — — ^ !li 

^ A0*(pi)0«(M) 



12. — 60 — 

Si l'on considère maintenant la fonction 

sn u en pi du pi + en u dn u sn pi 

qui admet la période 2iK' et qui change de signe lorsqu'on 
remplace u par u -4- 2K, on voit d'abord qu'elle admet le zéro 
?i = — Pi et rinfini double u = /K' ; mais si l'on change dans 
celle fonction u en u ■+- iK', elle devient 

sn u en pi dn pi — en u dn t/ sn pi 
ksn'' u 

On en conclut que la fonction proposée admet aussi le zéro 

u = îK' -4- j3î , et par suite, en désignant par T une constante, 

elle est égale à • 

il (n -4- 130 (1/ ~ pi) 

et en déterminant la constante pour n ==0, on aura 

i U(M-*-ôi)e(M — pt)M*(0) 
(45) sn«cn6idnôi-f-sn6tcn?/dnw= ^-—r — i-— : . 

On obtiendra d'une façon semblable la relation 

(46)cnMsn[3idnÔt>-snudnwcnSt = \/-; '^ /. ' .^ > 

Il suflit de remarquer que le premier membre, qui change de 
signe lorsqu'on remplace u par u -+- 2K ou par u -4- 2iK', a 
d'abord l'infini double îK.' et le zéro — ^i et que de plus en y 
changeant w en ti h- K -+- iK' on met en évidence le zéro 
K -j- iK' -h p/. 

Au moyen des formules (43), (44), (45) et (46) on aura 



(47) .x..t=\/^m:=i^) 

V C(A — B) 



c^'- (0) 



Miksnpicnpi (pCj (u) 



-' dn 01 (60 6 (m) 

en changeant i en — i on en déduira X — lY. 



— 61 — 13. 

On aura ensuite 

dn u 



(48) z^lx/ AB(M'-a') r^jnu ,^snul 
^ ' M V C(A — B) lenpi snpi] 



Y 



dn pi 



Cherchons maintenant l'équation de Therpolodie. 
On peut l'obtenir en faisant dans les formules précédentes 

f=^ ;f=^^ %=.^1 

iû u a 

où (ù désigne la vitesse angulaire de rotation instantanée et p le 
rayon vecteur de Tellipsoïde d'inertie dirigé suivant Taxe instan- 
tané. 

Mais comme Ton sait, ^ n'est autre chose que la face vive 
totale h^; on devra donc pour avoir Péquation de Therpolodie 
faire dans les formules (47) et (48) 

^~A' ^~A' '^h' 
Nous prendrons donc à cause des formules (33), (34) et (35) 



h y AC(A— B) cnji' '^""Â V BC(A — B) sn^i" 



n ^ Ai^iA— B) en pi 

M dn ti 



Ch dn pi 
La formule (48) donne d'abord 

_ i M' — Çy reen^M Asn*wl M dn'w 
"" MA C (A — B) [ en* pi sn* pi J "*" cfi dîFpî' 

ou en réduisant 

h 
Z = — . 
M 

C'est un résultat connu d'avance, et qui n'est qu'une vérification 
des calculs précédents. 



a. - 62 — 

On aura ensuite 



M» — CA» ic'- 0(O)0(u — Si) 



C (A — B) AMA- sn» pi en' pi e ((3i) (ti) 

r ... M*ii:»sn«Sicn»6i(A-B) 1 

Bsnptcnu-Asnticn(3idn(i/-pi) (M«^a')dn'pi ^"^^"(^~P<)J 

Mais Ton a 

IVW sn' pi en' pi ( A — B) _ A B 
dn^'^lVl^— Œ) c" ' 

La fonetion entre crochets devient donc 

AB 

B sn pi en M — A sn t/ en pi dn (m — pi) -♦- — dn m sn (11 — pi) . 

\j 

Cette fonction change de signe lorsqu'on remplace u par u + 2K 
et u par u + 2iK'; elle admet donc la périodicité de cnti, elle 
semble à première vue admettre les infinis iK' et tK' + (3t, mais 
si l'on fait u = iK' -4- e, elle devient 



! Lcnpicn(.-pO-Bdn.snpisn(.-pO-^cn.l . 



Arsncsn 



Or pour e == la parenthèse devient nulle, car on a, ainsi qu'il 
est bien facile de le vérifier, 

AB 
Acn*pi -+- Bsn'pi— — = 0; 



u = tK' n'est donc pas un infini pour la fonction. 

Celle-ci ayant donc un seul infini w = iK' h- ^i dans le paral- 
lélogramme des périodes 2K et 2iK' et admettant la périodicité 
de en (u — ^i), elle est forcément égale à cette quantité multipliée 
par une constante. (On vérifierait d'ailleurs bien facilement que 
la fonction est nulle pour m = K 4- (3i.) 



- {\ô — 15. 

On a donc en désignant par H une conslante 

AB 

Bsn pt en u— A sn u en pt dn (w — pi) -+- — dn m su (m — |3i) = Il en [u — p» ) 

et en faisant u = ^i on a 

H = — (A — B) sn pi en pi, 

La fonction entre crochets se réduit donc à 

— (A — B) sn pi en pi en (ei — pi) 
et Ton a 

CMkIt sn 6i en pi s (pi) (m) 
ce qui avec une réduction facile donnera enfin {*) 



. ^y/ (Ay M»)(M*-C/0(A-B) e^"' . /F 0(Q)H,(u-pe) , 
^♦)x-*-iy y AB(A — g Mh^ k ^(pi)e(u)^ 

en changeant i en — i on aura ensuite 



. _. / (M*-W)(AA^-M»)(A~B) ^->'" /^- e(0)U,(u^pi) 
( )^ 'y V AB(A-C) MA V it e(pi)e{u)' 

Cherchons les coordonnées polaires / et t; de Fherpilodie, on a 

/e'"' =^ X -4- 1 r/ , 
/c~"=x — If/, 

et par suite 

X — xy 
Donc 

(M*— CA^(AA* — i>r)(A — B)/t' e»(0)H,(M — |5i)H,(u-4.pt) 
■^ M*AB (A — C) A' I 0* (PO e* (t/) 

Mais la fonction 

. e' (0) H, {u — pt) H, (m -+- pi) 
e' (pi) e' (m) 



(*) En remplaçant de plus dans ne qui suit X et Y par .r et y, pour plus de facilité dans 
l'écriture. 



16. — 64 — 

qui admel les périodes 2k et 2iK\ a les zéros K -f- |3t, K — j3t 
et rinfini double tk' est égal, à un faeteur près, à 

sn'w — sn* (K -♦- pi). 

On a par suite, en déterminantconvenablementeette constante, 

k' e' (0) H, (w — 6t) H| (w -4- pi) 



k e« (pi) e* (m) 

Donc en définitive 



= en* pi — sn* Il dn' pi. 



„ (M' — œ) (A --- B) rB(A/i*— M') , 1 



Ensuite 



,,.^e*^.H.(u^pi) 



H, (ti -f- pi) 



d*où 



i H, M — PO 
^ ^ 2i H, (w -4- pi) 

/ oscillera entre deux valeurs-limites /| et /^ correspondant à 
ti s U et n =3 k qui seront donnés par les formules 



(M» — œ) (AA' — M*) 

* mtkrkt 



11 = 



(M' — C/i') (BA' — M*) 



M'BCA 



Ces valeurs de /| et {^ seront toutes deux réelles d'après les 
conditions que nous avons posées et / ne s'annulera jamais; 



^ est toujours positif. 
On a en effet 



dv _ j^ H;(u — PO i^ h; (m -+- PO _ „ sn* " — sn'(K -4- ai) 
dû"'^ 2i II, (1/ -^PO " 2i I!, (u -4- PO "~ sn' «f — sn*TK -4- PO 



— 65 — 17. 

où H désigne une constante que Ton détermine en faisant 
ti = tK'; on a ainsi (*) 

H (ai -f. pi) H (pi — at) 0, (pi) 

Pour obtenir cette valeur de H sous une forme plus simple, 
nous remarquerons que 

H'(x -f. ai) H'(x — ai) e;(x) 

H (x H- ai) H (x — at) 0, (x) 

est la dérivée logarithmique de 

H (x ■«- at) H (x — at) 

ou, ce qui revient au même, de 



sn' X — sn* at 



dn*x 



On a donc 



H'(x-*-at") Hïx — ai) ^0'i(x) ^snxcnxdnx ^, snxcnx 
H (x-*-ai) H (x — ai) " 0,(x) sn* x — sn* at dn x 

On en déduit 

_ sn pi en pi dn' ai 2iA^ y / ABC 

Donc 



rfr ____ A' \ / ABC sn» m — sn» (K -t- ai) 

dû^My (B — C) (AA*— M*) sn» w — sn»(K -♦- pi)' 

valeur toujours positive puisque sn^ (K h- ai) et sn^ (K -f- pi) 
sont tous deux plus grands que un. 

Pour M = on a f = ; 
pour M = K on a t == iK i^ ,, , 



{') A cause de la valeur de i (p. i)j. 

IX. 5 



18 -^ 66 — 

le signe supérieur correspondant à l'hypothèse (I) , le signe infé- 
rieur à l'hypothèse (II). 

On peut le voir de la manière suivante, qui fait connaître en 
mèn)e temps une propriété du mouvement. 

Supposons que l'on rapporte Therpolodie à des axes mobiles 
dans le plan des xy autour du point et faisant un angle x 
variable avec les premiers; on aura oc^ et y^ étant les nouvelles 

coordonnées 

x, -f- iyi = (x -f- iy)e 



— X» 



et par suite en vertu de la formule (49) 



. _. /(AA*— M«)(M*-C/i*)(A— B) e(^-'^)' / k' c-)(0)H,(m— pt) , 
et si l'on prend 



on aura 



. _> / (AA*— M')(J»P— C/t^)(A— B) i . /it'0(O)H,(ii — pt) 
x,-+-ty, — y AB (A — C) MA V 'k (pj) (u) 

On en conclut que par rapport aux axes mobiles qui font avec 
les axes fixes un angle % = ht le pôle instantané décrit une 
courbe fermée; car en changeant m en u + iK, X| h- t^i ne 
change pas. 

Les axes mobiles tournent par rapport aux axes fixes avec une 
vitesse angulaire constante 



dx du y y(B — C)(AA* — M*) 



u'v au • / 

dt dt y 



ABC 



Sur la courbe mobile le mouvement se fait dans le sens positif, 
c'est-à-dire de oXi^ vers oy-i si (3 est positif, hypothèse (II), et dans 
le sens négatif, de oy^ vers 0X| si P est négatif, hypothèse (I). 

Pour M = on a en effet 



i y / (Ah* — M*) (M' — œ) (A — B) 

Xi = — 7 V en S?, 

m ^ AB(A — C) 



— 67 ^ i9. 

ou 



'.=4\/ 



(A/i« — M*) (M* — W) 



m y Ac 

et pour M = K 



'^^ = mV x^(X^rô * ^" ?^' 



c'esl-à-dîre 






_— CA*) 
MA V BC 



le signe supérieur correspondant toujours à Thypothèse (1) 
où P<0 et le signe inférieur à l'hypothèse (11) où P>0. 

On voit donc bien que t/i est négatif dans Thypothèse (I) et 
positif dans Thypothèse (II). 

On conclut aussi de ce qui précède que Ton a, comme nous 
l'avions annoncé, pour u = K, 

^ étant d'après ce que nous avons dit toujours positif dans le 
cas de l'hypothèse (1)^ on doit avoir 

n TV 

>fc > - OU A> —- » 

2 ^k 

la valeur de t; pour u = K devant être positive. 

Je dis de plus que lorsque (3 > on a / > 0. 

Supposons donc a et (3 positifs, on a alors, d'après les hypo- 
thèses que nous avons admises, 

A < B < C. 
Mais au moyen de formules bien connues on a 



sn 



\ sn ai . /B — C 

«.A)=T ■.= Vl r' 

« en al " A — C 



^ , , i sn 6t . /a (B — C) 

sn 6, k') = !- = V — » 

^^' ^ i en fil V B (A - C) 



20. — 68 — 

et par suite 

(54) . . sn' (a, k') ~ sn» (p, k') = ^^ ~^^ !! g ^^ > ^^ 

et comme a et (3 sont tous deux plus petits que K\ on en déduit 

K' > a > p > 0. 



Mais 

> = 



2t' [h (ai -t- âi) "■ H (ai — POJ 



Or de la relation 

e'ix -f. tK') __ W(x) tir 
(x -♦- tK') "~ ir(i) "" 2Ît 

on déduit en changeant x en — x 

H'(x) 0'(iK^-x) tV 

(55) .... = 

^ H(x) 0(tK' — X) 2K 

On aura donc 



Posons 



_ 1 r0'(tK' — at -+- PO ^'(i¥J — ai - pt)"| 



K' — a ^ p = A^, K' — a — p = V, 

à cause de la relation 

K' > « > p > 0, 

on aura 

< ^ < K', - K < V < ^. 

La relation 

0'(X) 



(X) 

donne alors 



x) J /•' 

X) K c/ ' 



y 



= — iu. — v) / fc* sn* udu H / k' su' iir/w 



(•) J= /""^Aisn^ JTc/x. 



— G9 ~ 21. 

ou 

udu. 






VI 



Mais en posant u = tz et tenant compte de la relation 

W L\ ^"' ^^» *') /*x 



on aura 



1 = — (u — y) -♦- - / k* — — — ■ dz, 

V 

et comme fx > v on voit que dans ce cas X est positif. 

Dans le cas où a et (3 sont négatifs, nous avons vu que Ton 
doit avoir ?• > ^j^ ; on peut d'ailleurs établir directement celle 
propriété de la manière suivante : 

Soit donc a = — a,, S = — (3,, comme dans le cas qui nous 
occupe A > B > C, la relation (54) fait voir que Ion a 

K' > pi > «,. 
Mais on aura dans le cas qui nous occupe 

2iLH («,i + p,i) "*" h (p.i-a|t)J' 

et au moyen de la relation (55) 

TT i re' (iK' - a,t — p,t) €)' (iK' — p,t -f. a,i)"l 

^ "" âk"*" 2Ï [e (tK' — a,t — p,i) "*" (,K' — p,i -+- «,i)J • 
Posons ici 

/^i = K' -♦- aj — ^p„ V, = K' — «, — p,. 

On aura 



(*) Briot et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques, p. :ni 



22. — 70 — 

Mais en opérant comme plus haut on aura 

Ce qui fait bien voir que, ainsi que nous Pavions déjà établi 
autrement, on a dans ce cas 

T 

2K 

Cherchons maintenant le rayon de courbure R de Therpolodie. 
On a 

(56) R= •' 



" ..' 



y X —X y 
Nous allons nous proposer de calculer 

x'- -+-!/'* et y"x' — x"y\ 

Pour cela nous remarquerons que ces deux quantités sont des 
fonctions doublement périodiques de première espèce. 
En eflet on a d'abord 

(57) . . . X'* -^ t/'* = D. (X -f. ly) . D. (X - ly). 

Or X -h iy est une fonction doublement périodique de se- 
conde espèce aux périodes 2K et 2{K' qui admet les multiplica- 
teurs correspondants — e*^"^* et — e~^^'^ iret il en est de même 
de ses dérivées, x — iy est une fonction doublement périodique 
de seconde espèce aux périodes 2K et 2tK', admettant les multi- 
plicateurs correspondants 

— e-*^*' et — e ^, 

et il en sera de même de ses dérivées. 

Il résulte de là que x* + j/'« est une fonction doublement 
périodique ordinaire. 



— 71 — 25. 

II en sera de même de y"x' — x"y\ car on a 

(58) 2%''ar'-x'\v')=D;(x+iV)-D«(x-tV)-D:(x~«V)I>«(^ -*-«>) 

De plus .T + iy eix — iy ad menant dans le parallélogramme 
le seul infini iK', il en sera de même de leurs dérivées et par suite 
aussi de x'^ h- t/'- et de x'y" — y'x". 

Ces deux fonctions sont donc bien des fonctions doublement 
périodiques de première espèce avec les périodes 2K et 2tK' et 
le seul infini iK\ 

Proposons-nous d'abord d'obtenir la décomposition en éléments 
simples de x'^^ -+- //'^ ; il nous faut pour cela obtenir la partie 
principale de son développement pour u = îK' h- e. 

Mais Ton a 

(59) . . x'*-f-i/'^ = (a:^-»-y')D,L(x-4-iy)D,L(a:-iV); 

il nous suffira donc d'obtenir le développement des trois facteurs 
du second membre pour u = /K' -h e. 
On a d'abord par la formule (51) 



j:*^y*=/* = 



(M- — a*)(A — B) rB(AA' — M') 



//'ABC 
ou 



rB(A/i'-M') , 1 

(60) ,., . _ (A/^^-^n(B-c) r^w^-^^.^„, 1 

(bU) . X -^ y =. ^^, ^^^ 1^ ^^, ^ . A: sn tij , 



et pour M = iK' -+ e 



_ (A/.^ - M') (B - C) p' en' fo- 1 i ^ tn 
^ ^'"'' /l'ABC [«>•>*?« «* 3 J' 

à cause de la relation 

1 \ 1 -4- ifc' 

A' sn' (tK' -I- f) = -— = - -*- — — . 

sn' f r 5 

On a ensuite 

ni, • ^ •■ H.'fu-p.-) e'(«) 

D, L (x -1- ««) = /n ■ , 

H, (« — pi) 0(tt)' 



u. — n — 

et par suite pour u = iK' h- e 

0, (f — pi) H (t) 
Mais 

0, (f -f- PO 0, (pi) "*" ' 0, (pi) "*" i .2 0, (pi) ' 

et de la relation bien connue 

©'(w) J ... 

D— ^ = i!:*sn«w 

(m) K 

on déduit 

(PO (pi -4- K) K ^^ ^ K dn' pt ' 

D»-i^^=— 2A'sn(?t+K)cnpî^-K)dn(piVK)=2*'A'*_^^ 
0, (PO dn'pi 

et par suite on a 

0; (e -+- PO _ ©; (PO . / J A' en' pA , A»A'* sn p*' en p/ 



/ J A« en* pA 
\k"~ dn'SiJ 



0, (e H- PO ©i (PO vK dn« pi / dn' pi 

On a ensuite 

H (f) (£ -^ ÎK') K ^ ' K sh* f 

ou 

H'(f) _ J \ ^ 1 -»- A* 

¥([7) "~ K "" «"« "" 5 

et par suite en intégrant 

A' 
= --f- |-_ ^ 

(0 



H(f) £ \K 



sans qu'il y ait à introduire de constante puisque jj-j^j est une 
fonction impaire. 



— 75 — 25. 

La formule (61) deviendra donc 

D.L(x -^ ly «. = -♦- Al — — -— — ;: — f 

k*k'^ sn pt en fa' , 

Mais nous avons déjà obtenu plus haut, formule (53), 

©! (Sî) sn Si en Si dn* ai 

il — 



0, (pi) (sn* pi — sn* al) dn pi 
On aura donc enfin 



(62)D.L(x-f-iy)«.=-- 



1 sn 6t en pi dn* ai 
f (sn*pi — sn*ai)dnp 






/:-^'«snpienpi 



dn' pi 
en changeant t en — t on aura 



f 



î. 



__ £ sn pt en pi dn* ai p* en* pi i -f-AH 
D„L(x- lyU.- - - - (5„ip,._s„,^.)d„p. - [-^j^ 5-J 



***'* sn pi en pî j 



f î 



dn' pi 
et par suite 

.. , , . V ^ . . .V 1 sn' Si en* Si dn* ai 

D.L (x -♦- ly).,. D,L (x — ly),». == -5 — 7-7^-. 



f* (sn* pi — sn* al)* du* pt 

L dn' pt 3 J 

en posant 

(63) (AA'-M')(B-C)^ 

^ ^ ^ ABCA' 

on aura donc au moyen des formules précédentes 

1 ,, _ 1 I rcn' pi (sn' pi — A' sn* a») I -t- A'] 
-q(x' -h y )„ ^1 -V - [^ (sn' p.- - sn' «•)' "*■ ^~J 



26. — 74 — 

On voit donc qu'en désignant par S une constante il viendra 

x'-ny -Q[S-[— -^ (sn'pt-sn'a.r J""^^6"-7(^)] 
Mais de la relation 



e'(t/) J J 

D„ = /c^ sn' M = i -+- dn' « 

e (m) K K 



on déduit 



0(U) L ^ ^ • J 

et par suite S^ désignant une nouvelle constante 

x"-*-!/'^ = Q S,-4- A-^^— — ^^^ dn*t/-dn*i/ l 

I L (^" P* — sn' al)* J J 

ou enfin 

IL (B — C)(A— C)(AA^— M*)J I 

Pour déterminer S^ nous remarquerons que, pour M==K-i-tK', 
on a, en vertu des relations (S9), (60), (61) et (63), 

, „ .,, ^[B{M'-œ) 1 f . e'(pi)T 

Mais la relation 

H (w — ai) H (u -+- at) « (w) ^ ^ 

donne 

H'(u — at) H'(m -♦- ai) çj®'(w) snwcnwdnti 

H (m — at) H (m -♦- ai) e («) sn* u — sn* ai 

et par suite 

0' (pi) sn pi en pi dn pi 

(^^) . • . . ^i TT- = — rr: 7—^ 

t) (pt) sn'pt — sn'at 



— 75 — 27. 

Od en déduit 

^ TB (M* — Ch-] 1 sn* S/ cir Si' dn* Si 

(x" -^ V W« = — Q < —^ 

K y «^* ''[3P(B— C) J (snVSt — sn* al? 

et par suite on en conclut en réduisant 

kWB 



S.Q = -Q 



(A~C)(B-C) 

ou 

_ A-^AB 

^'■""(A-gcB-c)' 

On aura donc enfin 



_ r ^ 



AB 



C)(B — C) 
(65) < i_ ^ M ; 

L^ B [A ( AA* — M') -^ C (M* - a») '1 , ^, T 

Cette expression permet de voir que x - -r- y-, qui n'est 
autre chose que le carré de la dérivée de Tare, ne s'annule par 
aucune valeur réelle de ti. 

En effet l'équation du second degré en dn-u que l'on obtient 
en égalant à zéro le second membre de l'expression (65) a ses 
racines réelles. Tune comprise entre et A'*, l'autre entre 
I et -I- oc. 

On voit en effet que pour dn ti =0 le second membre de 
(65) est négatif. 

Pour dn* m = k'^ il est égal à : 

Qt'»BC (M* - CA*) 



(B — C)(A-C)(AA*- M*) 

pour dn* u = 1 il est égal à 

AC (M* — C/i*) 
Q — > 0, 

enfin pour dn* ti = + oc il est négatif. 



28. — 76 — 

Il y a donc bien une racine de Téqualion en dn*M enire et k'^ 

(qui correspond à une valeur de u de la forme K h- m", où fx 

est réel, positif et plus petit que K'), et une autre entre 1 et + oo 

(qui correspond à une valeur de u de la forme vi où v est réel, 

. positif et plus petit que K). 

Passons maintenant au calcul de 

f/ X —X y ; 
pour cela remarquons que Ton a 

^^ x' -^ xy ^ x -^ly X — ly^ ç,,y x — x' y 



X' — ly' X -4- ly X' — ly' x'* -f- y'* 



Mais 



x' -♦- iy' x' H- ùi' x' — iii' x' -♦- iu' x' — it/' 

x' — ly' X -¥■ iy x — iy x -^ iy x — iy 

Donc enfin 

/ 2i(/v-x'y) 

(**«) L(x'Vy'')rDLi:î:^_DLÎ:=^ +mîL_iz:!î!. . 

^ L JP-+-'y Jc — iy x-^iy X — <yj 

Proposons-nous, en partant de cette formule, d'obtenir la 
décomposition en éléments simples de 2t (j/'V — x'y'). Celle 
fonction qui est doublement périodique de première espèce avec 
les périodes 2K et 2tK', ayant le seul infini f'K', il nous faudra 
avoir la partie principale du développement du second membre 
pour u = iK' -+- e. 

Posons pour cela 

r- = 1- a, -+-«,€ -♦- Ose', 

\x H- ty /,K. s 

où Ton a en se reportant à la formule (62) 

sn pi en ^i dn^ at 

(sn* pi — sn' ai) dn pi 

k^k'^ sn St en pi 



_ p^cn'^i i-^-kn 



dn' pi 



-- 11 — 29. 



on aura par suite aussi 



I r- = a, -4- Ojf — . ajf*, 

\x — %y U. 6 



et on en déduit 

\ 

. - -4- a, -4- âajf 

/x H- ly \ -* 

\x-f-ty/,K. 1 



-f- Oi -+- «tf -4- «jf* 






puis 



DL ( ^ "*" !-^ ] — DL ("'^^ %] = — !2a, — 2 (a? -4- ôa.aj -4- oaj) t*. 

Mais on a aussi 

et par suite on déduira de la formule (66) 

ou en définitive 

Q 1 

{y"x' — x"y%. = - (aî -4- 3a,a4 -f- 203) - • 

Mais en se rapportant aux valeurs, données plus haut, de 
a^, a<^ et aj, on aura 

sn pi en ,6i M' (A — B) C [(A -h B -h C) A* — 2M*] 
a\ -4. 3a,a, ^ 20^ = --^j^^^ (b ^ C)' (A/** - M^ 



-iM\/ 



ABC (A^B-4-C)/t'— 2M 



(B — C) (A/r — iM*) (B — C) (AA* — M*) 



50. — 78 — 

Donc en posant 



r - QM \/ ^^^ (A -^ B -h C) h' - 2M' 

^' V (B _ C) (AA* — M») (B — C) (A^i* — M*) 



On a pour la partie principale cherchée : 



P 






et par suite en désignant par S uiTe constante 

e'iu) 
^ (w) 

Mais à cause de la relation 

D„ — — =- — /:* sn* M = - — 1 -f. dn' u, 

C-) (m) K K 

on aura Sf désignant une nouvelle constante 



jj"x' — x'y' = Si -*- P diru] 

pour déterminer Sj nous ferons m = K -*- iK'. 
Pour cette valeur de v on a par la formule (65) 

ik''AB 

on a ensuite 

x' -^ it/' . h; (m — PO e'(u) 

— = Ai + — -; -— -— » 

X -^ ly H, (m — pi) « (m) 

et par suite 

^ x' -4- ly' ^ h; (w - PO B'(u) 

D — = D — — — D — --^ , 

X -^ iy Hj (m — PO (u) 



— 79 — 31. 

ou à cause des relations 

D — -— = - — k^ sn' M, 

(m) K 

D -^î !li=D— ^ __L-== __ik'sn*(ti-^K-4-tK'--6 , 

H,(i4 — PO 0(M^K-f-iK'— PO K ^ ^^ 

• # . * 

D ^ "*" ? = A;' sn» M — ik* sn' (m -♦- K -♦- iK' — pO 

Donc pour m = K h- îK' : 






Xt — 



0(PO 

c'est-à-dire à cause de la formule (64) 

Cx'-t- iy'\ sn* 6i — sn' ai , 
DL ^ = — "— r- dn p/. 
X -^ ly /k+.k- sn pe en pe 

On a d'ailleurs par la même formule (64) 

x' 4- v/'\ sn pi en pi dn pi 

^^ -*" *y Ln'+tL sn' pi — sn* ai 

et par suite, en vertu de la formule (66), on aura pour la valeur 
de 2i (y"x' — x"y') pour u = K h- îK' 

_ A;''AB r sn' pi — sn» ai sn pi en pi dn pi l 

""^(B — C)(A — C)L^ snpicnp7~ " ^* "^ sn' pi — sn« ai J 

.(Ah-B-C)*' / ÏBC 



^{B-C)(A-C) V(bt: 



C) (A/i* — M«) 
Donc 



-_C) V (B — 



MQ(A-*-B — C)*'\ / ABC 



= — P 



(B-C)(A — C) V (B — C) (A/i« — M«) 

it'« (A ^ B — C) (AA' — M') 
(A - C) [(A -t- B -♦- C) A« — SM*] * 



32. — 80 — 

et par suite en définitive 

r k'^ (A/i« — M*) (A -♦- B — C) 1 
xV — t/V= P dn' w —= — —, . 

Sous cette forme on peut voir facilement que x'y" — y'x" ne 
devient nul pour aucune valeur réelle de u, et que, par suite, le 
rayon de courbure de Therpolodie n'est jamais infini. 

1" La valeur de dn^u qui rend x'y" — x"y' nul est positive, 
car ^^^ est dans tous les cas positif et (A + B h- C) A* — 2M* 
peut s'écrire de la manière suivante : 

(A -^ B -+- C) (Ap' + Bq' -f- Cr') — 2 (Ay -4- B'ç* -♦- CV) 
= Ap' (B + C — A) -♦- Bç* (A + C — B) -4- Cr» (A -♦- B — C). 

Mais d'après la définition même des moments d'inertie, on a, 
en désignant par m la masse du point du corps dont les coor- 
données sont X, y, z, 

A = 2m (y* -4- z'), B = 2m (x» -4- z*), C = 2m (x' -♦- y'), 

et par suite 

B -4- C = 2m (y» -4- z') -4- 22mx* > A. 

On obtiendrait d'une façon toute semblable 

A-4-C>B, A-4.B>C. 

On voit donc que dans tons les cas 

(A -4- B ^ C) A' — 2M« > et A -4- B — C> 0. 

La valeur de dn^u qui rend x'y'' — y'x" nul est donc bien 
dans tous les cas positive. 

2° Je dis que cette valeur est plus petite que k'^. 
Il suffit pour cela de faire voir que 

(A/i« - M*) (A -4- B — C) 

îiï ^ 



(A — C) [{A -4- B + C) A* — 2M»] 



— 81 — 53. 

Mais Ton a 

(A/t»— M')(A-i-B — C) (M* — a*) (B -t- C — A) 

^ "" (A-^C)[(A-i-B ^C)/»«— î2M']~' {A-C)[(A+B-4-C)A*— 21VPJ ^ ' 

car, d'après ce que nous venons de voir, 

B ^ C — A > et (A + B -f- C) A' — !2M* > 0, 
et, ainsi que nous Pavons vu en commençant, on a aussi 

M* - CA« 



A-C 



>0. 



Donc la valeur en question de dn^u est toujours positive et 
plus petite que k'^; il en résulte que la valeur correspondante de 
u est imaginaire et de la forme K + yi, y étant réel positif et 
plus petit que K^ 

On voit donc que les points stationnaires (point d'inflexion de 
rherpolodie) sont toujours imaginaires. 



IX. (i 



54. 



— SS- 



II 



MOUVEMENT DU PENDULE CONIQUE. 




_-.Y 



Soit le point de suspension 
du pendule; 

OZ la verticale dirigée vers le 
bas; 

6 Pangle du pendule avec la 
verticale OZ ; 

7 Tangle du plan vertical con- 
tenant le pendule avec le plan 

ZOX, angle compté de à ZGO^ de gauche à droite par rapport 
àOZ; 

Vq la vitesse initiale du pendule ; 

Gq la valeur initiale de 9. 

Nous supposerons de plus que Gq corresponde à un maximum 
de G ; ce qui, comme on sait, ne nuit pas h la généralité, et nous 
considérerons Vq comme positif si la vitesse initiale est dirigée de 
gauche à droite, par rapport à OZ, et comme négatif dans le cas 
contraire. De cette façon Vq aura le signe de^à Tinstant initial. 

On aura alors pour les équations du mouvement déduites du 
théorème des forces vives et de celui des moments des quantités 
de mouvement par rapport à OZ, en désignant par / la longueur 
du pendule, 



(1) 



(^^) 



dti 



(16' 

dt' 



sîn* ô I ^ 1 -f- — == ^ (cos Q — CCS Sq) -f- -^ 



2^ 



l' 



. , r/cp Vo sm 00 

sm -r = ; 

dt l 



Des équations (1) et (2) on déduit 



'dey ^2g^ ^ vil sin'9o 

-j ==_.(cose-cosô«)-.--^1- 



>in*e 



Posons 



d'où Ton déduit 



— «5 — 35. 



29/ ' l ' 



Vo 



-7=ABl/2. 



Cette dernière équation supposant bien entendu que B a le 
signe de Vq, 

Nous aurons alors les deux équations 

(d&V 2 A» r 
(3) ( - 1 = -:— [(cosô — ces êo) (i — cos*6) -f- B«(cos'do — cos*d)] , 

c/© ABl/Ssinôû 
(^) 



c/f sin' ô 

Posons maintenant 

ces ô = z , ces ôo = a. 

Nous déduirons de Téquation (3) pour déterminer t la suivante 

(S) . . rf( = 



A l/!2 l/(z — a) (1 — B«a — B'z — z*) 

Soient 6 et — c les deux racines de Téqualion 

2» -+- B'z — i -+- B'a = 0. 

Puisque nous avons supposé que 69 était un maximum pour 9, 

on a, comme on sait, et comme il est d'ailleurs facile de le 

vérifier, 

0<6<i, b^>a\ c>1. 

Des relations entre les coefficients et les racines 

c __ 6 = B', 1 — B'a = 6c 

on déduit 

\ ^ ab , i — 6* 

c=- -, B* = -, 

a -*- a -4- 



36. — 84 — 

et la dernière donne 



▼ a -\- 



le signe supérieur correspondant au cas où v^ est positif et le 
signe inférieur au cas où il est négatif. 

On aura alors pour les équations du mouvement déduites de 
(5) et (4) 

dz 

(C) . . dt = . 

A V/2 \/(z — a){b — z)iz + ^~Tïl 



(7) 



dy_^^%/ 2(1-a')(l-6') i 

' ' dt V a -t- 6 1 — 2* 

Posons maintenant 

6' — a' 



z = 6 en' M -*- a sn' M , k* = 



i + 2a6 -+- 6' 

d'où Ton déduit 

i -*■ 2o6 -♦- o' 

Les valeurs de A* et k'^ seront toutes deux positives, et par 
suite aussi plus petites que un. 
On aura alors 

A V 1 + 2a6 + 6' 
et en prenant / = par u = 



«./ 2(a + fc) 
A V 1 ^. 2a6 -t- 6' 



On a ensuite 



df ./(l _«')(!_ 6') 



V 14-2 



c^u V i4.2a6-f-6* [1 + 6 — (6 — a) sn» m] [1 — 6 4.(6— a) sn» m] 



— 85 — 37. 

Mais en décomposant la fonction 



o 



[i -f. 6 — (6 — a) sn' w] [i - 6 -*- (6 — a) sn' ti] 

qui est doublement périodique de première espèce avec les 
périodes 2K et SiK, en éléments simples, par le théorème de 
M. Hermite,on aura 



db2 



>-a)sn'wl ■" 2^* V (i-a*)(i — 6*) 



[1+6— (6— fl)sn^«][i— 6-+-(6>-a)sn'w] '2i V (!_«*) (i — 6*) 
( [e(«i) H,(pt)J"^H(w— aO H (m 



ai) e\{u-^^i) ©;(m— pi)] 
ai) ©,(«-+- pî) 0,(M— pt)i 



ce et |3 étant des quantités réelles plus petites que K' en valeur 
absolue et définies par les équations 



sn ai = dt t \/ ] , sn (K -f. tK' — ôi) = V/r^^ » 

^ — a ^ b — a 

a et P étant tous deux positifs si ro>0 et tous deux négatifs 
si Vq < 0. 

|3 sera réel parce que Ton a ainsi qu'on le voit facilement 

^<7 <7^- 

b — a A: 

On déduit d'ailleurs des valeurs précédentes de sn ai et 

sn(K-htK' — (3i) 



/{-a , . /(I -^a)(l-*-6) 

en (K -f- iK' - pi) = — i% / — — , 



/(i— o) I —6) 
dn(K + iK'-pi) = ± \/\ -^4 rr^. 



38. — 86 — 

et aussi 



. /(i — a)(i— 6) . / i -^ 2a6 -^ a* 



sn&i = 



/ (i -4- 2a6 -f- g') (1 .^^ 6) 
"P* V (1 -4- 2a6 -♦- 6») (1 -t-a) 



De la décomposition en éléments simples que nous venons 
d'effectuer on conclut 



^ i l& {ai) H, (POJ 



1 rH'(t4 — at) H'(u + ai) e; (m ■+■ pi) e; (« — p»r 

2Ï' [h (m — aï) ~ H (u -*- a») "*" 



;(» + PO _ e; (w - m ^^^ 



Par suite, en supposant <f = % pour u = et posant 

^ . _ Q' («0 _ IMPO 
(«.) », (PO ' 

1 , r H (m — al) 0, (u -♦- P»)1 

'' = f'-^'"-^2i''rH(«-H«O0.(u_p.-)J" 

Nous allons maintenant chercher l'expression des coordonnées 
horizontales du pendule. 

Proposons-nous, pour cela, de trouver 1 expression de 

jc -h ty = i sin (ces (p -♦- 1 sin <p) = / sin ec''', 

on aura en remplaçant cp et 6 par leurs valeurs 



-^ y H (M -i- a») 0, (M — Pl) ' 



Mais Ton a 



1 — z*= (6 — «)« [sn' (K H-iR' — pi) — sn« u\ (sn» u — sn« «e). 



su* u — sn* (K -^ iK' — Si) = Q 



— 87 — 59. 

Or on a P, Q et R désignant des constantes 

H (u — aï) H (u -+- «i) 

sn' M — sn' al = P — > 

0* (u) 

0, (u — PO 0, (u -+- p») 

0' (u) 
et par suite 

II {u — aO H (u -♦- at) 0, {u — pi) 0j (m -f- pi) 

i Z s= R ;; — î 

0* (w) 
en faisant m = 0, ce qui donne z = by on a 

^_ (i-6')0MO) 

H* (ai) 0* (pt) ' 

et par suite 



/ 



H(ti- «1)0,(11-+- Si) KÏ--P0^O) H(u-at)0,(M-+-pt) 



H(M-f-a«)0,(M— PO • H(aO0,(Pl) 0*(M) 



Nous avons pris le signe — en extrayant la racine carrée parce 
que nous supposons que pour u=0, 1^ 1 — z^ est égal à -h 1^1 — 6^, 
On aura donc pour l'expression cherchée de x -+- iy 



l/| — 6*0^(0) H(tl — aO0i(M-f- 00 

•^ »(«t)0.(PO ®*(") 

En changeant i en — i nous aurions Texpression de x — iy. 

Supposons maintenant que nous rapportions la courbe décrite 
par la projection horizontale à des axes mobiles dans le plan 
des xy autour du point et faisant un angle x, variable, avec les 
premiers. 

On aura, Xj et y^ étant les nouvelles coordonnées, 

X, -♦- «yi == (x -+- iy) e~ ^' 



40. — 88 — 

et par suite, en vertu de la relation trouvée plus haut, 



/ \/i _- 6* 0* (0) H(u — ai) 0, (u -H fit) e<?o+ >« - X) • 

X, -t- ît/i = ^ ^ 

^ H (ai) 0, (PO 0*(m) 

Si Ton prend 

X == cpo -+- Aîl , 

on aura 

/ l/i - b' e* (0) H (w — ai) e, (u -H pi) 



X, -+- If/, = — 



H(aO©,(PO ©*(m) 



On conclut de là que, par rapport aux axes mobiles qui font 
avec les axes fixes un angle % = (pQ + hi, le pendule décrit une 
courbe fermée, car en changeant w en m -h 4K, ar^ -+- ty^ ne 
change pas. 

Les axes mobiles tournent par rapport aux axes fixes avec 
une vitesse angulaire constante 



dt dt V 2 /« + 



(a -+- 6) 

Les axes de la courbe mobile correspondent aux valeurs m = 
et M = K, ils font donc entre eux un angle de 90", 

Nous allons faire voir maintenant que les axes mobiles tournent 
par rapport aux axes fixes dans le sens du mouvement. Il suflit 
pour cela de faire voir que^ a le signe de t?o, ou, ce qui revient 
au même, que si a et P sont positifs il en est de même de X, 
puisque si v^ change de signe il en est de même de a et ^ et par 
suite aussi de ^^t-^. 

Nous avons 

^._^eV) h; (PO 

e(at) H.(?o' 
ou, à cause de la relation 

Hl(pi)_ e'(K -4- i^' — PO tV 
H, (PO"" "" e (K -^ t'K' — PO ~2K ' 

.__e'(aO e'(K^tK' — PO jV 

^' "~ B («0 "*" e (K -H tK' — PO "^ âK * 



— 89 - 
Mais à cause de la formule connue 



/ 



«* sn'« cr« = — M — 

K e(i/) 



on pourra écrire 



>.i = - (al -♦. K -4- îK' — pO ~ J — il' 
K 

A* sn*« rfî/ H- / \i- sn'w r/u -+- — 

K4.|-K'-,3i 

formules où comme on sait 



J= / k'siviidu, iJ' = / A-'sh'm 



• K-fiK' 



K 



Mais à cause de la relation connue 



KJ -K'J = -. 



celte valeur deviendra 



>t = — (a — p) i — / k* sn'tt (lu •♦- / A:* sn' «/ du 



K-HiK'-^i 



Mais en posant dans la première intégrale n = iz et dans la 
seconde « = K -+- iK — iz et tenant compte de la relation 

sn (K -H iK — ?z) = » 

A* en is 

on aura 

J /^* /^^ dn' iz 

X =-(a-5) - / k'sn'izdz -»- / — — rfis. 
K .y ,/ en' î^ 



42. — 90 — 

On a maintenant au moyen d'une transformation du premier 
degré bien connue (*) : 

. sn (r, k') 
sn (îz, k) = i 



en (iz, k) = 



dn (ir, A) = 



en (z, A:') 

i 

en (z, fc') 

dn (z, k') 



en (z, A') 
et par suite la valeur de X pourra s'écrire de la manière suivante : 



Mais comme 

i = f A:* sn* M du , 







et que u variant de Oà K sn^u est positif et plus petit que I, on a 

n 

c'est à-dire 

D'autre pari, z variant de à p qui est réel et positif, on a 

dn (z, k') > k, 
et par suite 

f^dn' (z, k) dz > k\f^ dz = k*^. 



Donc 



j dn' (z, A) - - p > 0. 



{*) Briot el BOUQUKT, Théorie des Jonctions elliptiques^ p. 372. 




— 91 — 45. 

Gomme d'ailleurs on suppose a positif, 



— a et I 1^ — —■ dz 

K J cn»{z, *') 



sont évidemment aussi tous deux positifs; il s'ensuit que l a 
toujours le signe de a et p. 

On conclut de là — cette propriété du mouvement démontrée 
par M. Puiseux — que Tangle formé par deux rayons vecteurs 
maximum et minimum consécutifs de la courbe fixe est toujours 
plus grand que | ; il est en effet égal h ^ augmenté de la valeur 
absolue de XK. 

Pour terminer, nous allons nous proposer de donner pour le 
cas où le pendule s'écarte peu de la verticale le résultat obtenu 
par M. Resal dans son Traité de mécanique générale. 

Soit 6q la valeur maxima de 6, G, sa valeur minima. 

On aura 

a = ces 9o = i » = ces ôi = I » 

2 "2 

et par suite, en supposant a et ^ positifs, 

sn al = ■ » sn fit = » 

en al = — ^^^^:::^ > k = î 

A^ ayant une valeur très petite, on pourra dans ce qui va suivre 
remplacer les fonctions elliptiques par les fonctions circulaires. 

On voit de plus que a a une valeur finie et que P est très petit. 

Pour calculer la valeur de X dans le cas qui nous occupe nous 
allons d'abord la mettre sous une forme un peu différente de 
celle dont nous nous sommes servi jusqu'à présent. 

En prenant la dérivée logarithmique de l'expression 



on a 



en // = \ / 


k B(e/) 


h; (m) h- 00 


sn u (In {/ 


»i (m) e (m) 


en u 



44. — 92 — 

On pourra donc écrire 

. _ sn j3i dn (3i 8' (ai) 0' (pi) 
* en pi "*" e(ai)"" e(pt)' 

c'est-à-dire en tenant compte des valeurs données de sn[3t, 

en Pî, dn (3i 



M = iy/ 



(i _ a) (i — />) (i -+- 6) e' («i) 0' (St) 
(i + 2a6 -4- 6') (i -^ a) "^ (ai) "~ {pi) 



on en déduit au moyen d'une formule déjà employée plusieurs 
fois 



/(i _ a (4 — 6 1 -4- 6 J ^ ^ 4 /•«• , . 

y/ (i -4- ïo6 -+- 6*) (1 -♦- o) K^ ^^ ij 

Or ici on a, en s'arrétant au même degré d'approximation que 
plus haut, 

i= / *k*s\n*uilu= — . 
./ 4 



par suite 

i —'Ù 

A = -^-*--(a — (3) — T / k* sin*u f/u, 

> = 1 — : (sm al cos al — sm 3i ces Si) = 1 

4 2i ^ ^ ' 4 8 



ou 



Donc enfin 



et par suite 





30400 

8 


dx 

dt '' 


3e,eo 
- 8 V 



/: 



— 95 — 45. 

On a aussi pour le temps d'une oscillation complète T 




Quant à la courbe mobile, son équation se déduit de la relation 



Mais lorsque le module tend vers zéro le développement 

TU 2tm ^ 3tu 

(m) =1 — 2(jf ces —- -♦- 2ç* ces — ^(f ces h 

K K. K 

nous fait voir que B (m) tend vers Tuniié, car 

K' 

a pour limite zéro, puisque K' devient infini pour k=0. 
Par suite des formules 

H(x) = l/Âsnxe(x), 



en X (x) , 



H. (X) = y/| 

0, (x) = — r-dnx0(j). 



46. — 94 — 

On déduit pour le cas où le module tend vers zéro 

,. H(x) . . 
Iim = sin X, 

,. H.(x) 

lira 0|(x)= i. 

On aura donc en s'arrétant toujours au même degré d'approxi- 
mation 

sin (m — al) CCS at . , 

3Ci -♦- »Vi = — *0i : : = — *^i -; : sm M -♦- l&t COS w, 

sm at sm at 

c'est-à-dire en supposant, ainsi que nous Pavons dit, a positif, 

x^ •+• tyi = t76j sin u h- /e, cos u ; 
d'où Ton déduit 

X, = /ô, €08 îi , J/i = '^0 sin M. 
L'équation de la courbe mobile est donc 

équation d'une ellipse dont les axes sont 

2/ô, et 2^0, 



et, d'après ce que nous avons vu, les axes de cette ellipse tournent 
avec une vitesse 

dt 



=l'''\/r 



Nous retrouvons bien les résultats donnés par M. Résai dans 
son Traité de mécanique générale pour le cas où le pendule 
s'écarte peu de la verticale. 



— 95 — i. 



SUR 

UNE LACUNE QUI SEMBLE EXLSTER 

AU DÉBUT DE 

LENSEIGNEME.NT DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 

PAR 

M. le major DE TILLY 

Membre de U Société scientifique de Bruxelles. 



t. La théorie de la mesure exacte des objets à trois dimen- 
sions, comprenant Tétiide de la position relative de leurs diverses 
parties et la détermination de leurs éléments principaux (autant 
que possible avec la règle et le compas), me semble devoir 
constituer un complément, peut-être même une introduction, 
sinon indispensable, du moins très utile, des cours de géométrie 
descriptive. 

Cette dernière science doit, comme son nom l'indique, décrire 
les objets; mais pourquoi ne décrirait-elle que des objets idéaux, 
au lieu des objets réels? 

Je m'explique en prenant un cas à la fois simple et probant : 
répure de Tellipsoïde de révolution. Celui qu'on représente est 
un ellipsoïde idéal ou en projet, c'est-à-dire dont on donne les 
axes. Pourquoi ne re présente- t-on pas un ellipsoïde donné, 
existant, matériel? Je l'ignore, mais c'est peut-être parce qu'il 
faudrait commencer par mesurer les axes, et que cela embarrasse. 

Pour la sphère, le cas est prévu. Avant même d'apprendre la 
géométrie descriptive, on a résolu ce problème élémentaire : 

Étant donnée une sphère solide, construire son rayon. 

Mais pour un ellipsoïde, et en général pour un corps quel- 
conque donné matériellement, comment faut-il exécuter son dessin 



2. — 96 — 

sans faire d'hypothèses (ou en faisant le moins d'hypothèses pos- 
sible) sur ses dimensions ou sur ses formes, mais en appliquant 
les instruments sur les solides aussi bien que sur le plan, eomme 
on le fait pour le problème simple que je viens de rappeler? 

J'ai traité cette question, d'abord dans une instruction 
(autof;raphiée pour TEcole militaire) sur les levers du matériel 
et sur le dessin géométrique; ensuite, en ce qui concerne spécia- 
lement les surfaces du second degré et leurs combinaisons, dans 
plusieurs articles de la Nouvelle correspondance mathématique. 

J'ai montré, le premier, je pense (*), que la détermination géo- 
métrique complète, exécutée dans les éléments pour la sphère, 
peut aussi s'exécuter rigoureusement^ avec la règle et le compas, 
pour le cylindre et le cône du second degré, rellipsoîde et l'hy- 
perboloïde de révolution. 

9. Mes réflexions sur les bases de la géométrie descriptive 
étaient déjà anciennes, mais elles me sont revenues à l'esprit en 
lisant les premières pages du nouveau cours de géométrie des- 
criptive de l'École militaire, par le capitaine du génie Chômé. 

L'auteur explique, d'après Monge, pourquoi il est plus avan- 
tageux de déterminer un point par ses distances à trois plans 
(ce qui est, au fond, le procédé de la géométrie descriptive) que 
par ses distances à (rois points. Ce serait l'occasion, me semble- 
t-il, de faire observer que si cet avantage existe en général, c'est- 
à-dire pour toutes les constructions intermédiaires entre les 
données et les résultats, il en est autrement lorsqu'il s'agit de 
transporter les données, de l'objet à trois dimensions sur le plan 
de l'épure et aussi de transporter, le cas échéant, les résultats 
de l'épure sur l'objet à trois dimensions. 

Alors il faut nécessairement déterminer chaque point par ses 
distances à trois autres points, parce que la distance entre deux 
points est la seule qui se mesure directement sur un solide, au 
moyen des instruments usuels. 

En admettant cette idée, on donne au mot descriptive sa signi- 
ez Voir, toutefois, ce qui est «lit plus loin, en note, à propos du principe H. 



— 97 — 3. 

fication complète, sans être obligé de supposer que toute appli- 
cation de celte science commence et finisse par un tâtonnement, 
ou par un à peu près. 

S. Pour transporter les données de Tobjet à trois dimensions 
sur le plan de 1 épure, on se servira des principes suivants : 

I. Un point quelconque d*une figure peut être projeté sur 
le plan déterminé par trois points A, B, C de celte figure, en 
décrivant, dans le plan ABC (ou dans tout autre plan où les 
points A, B, C seront reportés avec leurs distances mutuelles), 
trois circonférences ayant respectivement pour centres ces trois 
points et pour rayons les distances AO, BO, CO, mesurées dans 
Tespace; le point unique, intersection des trois cordes, communes 
à ces trois circonférences considérées deux à deux, sera la pro- 
jection du point sur le plan ABC (*). 

Par deux points du plan de projection, A et B par exemple, 
on peut faire passer un second plan, qui sera déterminé, dans 
Tespace, par A, B et un troisième point arbitraire D. 

Nous pourrons supposer alors que Ton prenne les deux plans 
dont nous venons de parler comme plans de projection. On les 
représentera dans le dessin, rabattus Tun dans le prolongement 
de lautre, AB formant la ligne de terre, et Ton exécutera géomé- 
triquement comme ci-dessus, la représentation de Tobjet par 
autant de points que Ton voudra, sur les deux plans, si cette 
double représentation est jugée utile. 

On pourra construire Tangle des deux plans de projection, au 
moyen d*un simple triangle rectangle, en observant que le point D, 
situé dans le second plan, peut être projeté sur le premier, d'après 
la méthode indiquée. 

Si Ton veut que les plans de projection soient perpendiculaires 
entre eux, ou aussi pour pouvoir utiliser les connaissances que 



(*) On le voit immédiatement par l'intersection de trois sphères, mais on peut aussi 
T«coorir aux rabattements, comme on le fait, dans les traités, pour construire le qua- 
trième sommet d'un tétraèdre, dont on donne la base et les longueurs des arêtes. Seule- 
tnent, il résulte de notre étude que ce problème, au lieu de figurer parmi les applications, 
devrait logiquement prendre place au début de la géométrie descriptive. 

IX. 7 



4. — 98 — 

l'on posséderait sur la nalure géométrique de Tobjet à décrire, il 
faudra employer un second principe. 

II. Étant donnée une figure à trois dimensions, on peut, en 
général, trouver sur cette figure autant de points que Ton veut, 
appartenant à un même plan, en décrivant de deux points quel- 
conques, comme centres, deux courbes sphériques de même 
rayon, se coupant sur la surface donnée, puis répétant la con- 
struction avec autant de rayons différents que Ton voudra. Tous 
les points d'intersection obtenus appartiendront à un même plan. 
Il suffira d'en construire trois pour déterminer le plan; mais il 
sera souvent avantageux d'en construire davantage, par exemple 
cinq, lorsque le plan coupera la surface donnée suivant une sec- 
lion conique (*). 

Pour obtenir, sur l'objet, deux plans de projection perpendi- 
culaires entre eux, on déduira, d'un premier couple de points AB, 
un second couple A'B', tel que AB et A'B' soient perpendicu- 
laires entre elles (en direction). Alors les plans respectivement 
normaux au milieu de AB et au milieu de A'B' (plans obtenus 
comme ci-dessus, principe II), seront deux plans perpendicu- 
laires représentés sur l'objet. A' et B' sont dans l'un des plans de 
projection. La ligne de terre passe par le milieu de A'B' et est per- 
pendiculaire à cette droite. On peut, d'ailleurs, la construire dans 
chaque plan de projection séparément, en y projetant deux 
points de l'autre, puis mettre les deux projections en concordance. 

4. La construction des projections sur les deux plans choisis 
se fera au besoin par points, mais on pourra la simplifier et la 
compléter au moyen des indications que l'on possédera sur la 
nature géométrique de l'objet à représenter, ou de quelques-unes 
de ses parties. 

L'objet peut comprendre, d'abord, des droites, des cercles, des 
plans, etc. 

Examinons un certain nombre de cas plus compliqués, en 



(*) Dans l'intcnalle entre la remise de cette note et la correction des épreuves, M. Mansion 
m'a fait observer que le principe II a été employé par Pappus, pour trouver le diamètre 
d'un cylindre de révolution, étant donnée une partie de la surface. 



— 99 — 3. 

cherchant à déterminer les éléments principaux des figures dans 
l'espace, ce qui en donnera évidemment une représentation plus 
complète et plus utile que si Ion ne projetait (d'après les prin- 
cipes précédents) que des points isolés, même en grand nombre. 

5. Etant donnée une sphère solide, trouver son rayon (*). Cher- 
chant, d'après le principe II, (rois points dans un même plan, il 
se trouve que ce plan est celui d'un grand cercle; donc le rayon 
s'obtient immédiatement. C'est à peu près la solution du Traité 
de géométrie de M. Catalan. 

6. Etant donné un cylindre dont la base est une courbe du 
second ordre, construire une génératrice passant par un point 
pris sur la surface. 

Construisons (II) les projections A', B', C, D', E' de cinq 
points A, B» C, D, E du cylindre, situés dans un plan. Sur ce 
même plan projetons (I) cinq autres points du cylindre, situés 
dans un autre plan. 

Cherchons, avec la règle et le compas, les centres 0, 0' des 
deux sections (ou les sommets, s'il s'agit de paraboles). 

Soit M' la projection du point M, donné sur le cylindre. 

Par M', menons une parallèle à la droite 00', et déterminons, 
avec la règle et le compas, l'intersection N' de cette parallèle 
avec la section conique A'B'C'D'E'. 

Rapportons N' en N, au moyen de ses distances aux points 
A', B', C ; iMN sera la génératrice demandée. 

7. Etant donné un tronc de cône dont les bases, situées dans 
des plans parallèles, sont des courbes du second ordre, con- 
struire la génératrice qui passe par un point M, pris sur la sur- 
face conique. 

Construisons, dans un plan, l'une des courbes de base, par 
cinq points; puis projetons (I) cinq points de l'autre, sur le plan 
de la première. 

Déterminant, avec la règle et le compas, les centres de ces 



(*) La solution de ce problème comme je l'ai déjà fait observer) se trouve dans tons 
les traités de géométrie, mais presque toujours, elle est trop particulière au cas de la 
sphère, et non susceptible de généralisation. 



6. — 100 — 

sections projetées (ou les sommets, si ce sont des paraboles), ei 
joignant par une droite ces points homologues, on aura un pre> 
mier lieu sur lequel se trouve la projection du sommet du cône. 

Pour en avoir un second, on mènera par les centres (ou som- 
mets) projetés, deux parallèles quelconques; on déterminera 
leurs intersections avec les courbes de base, projetées, et Ion 
joindra ces intersections. 

Ayant ainsi le sommet projeté, on le joindra par une droite, à 
la projection M' du point donné; on déterminera Tintersection 
N' de cette droite avec la première base construite; on repor- 
tera N' en N sur le cône : MN sera la génératrice demandée. 

Si les deux droites, lieux géométriques du sommet projeté, se 
coupaient en dehors du dessin, la droite qui joint ce sommel 
projeté au point M' pourrait cependant être construite par une 
méthode bien connue. 

Dans ces trois problèmes simples (5, ti, 7,) j*ai opéré de 
manière à n*employer qu*un seul plan de projection; c'est d'ail- 
leurs la cause unique des restrictions qui subsistent encore dans 
les énoncés; mais, quelque compliqué que soit le problème, s'il est 
susceptible d'une solution, celle-ci s'obtiendra toujours par l'em- 
ploi des deux plans de projection, en opérant comme dans les 
exemples suivants. 

9. Problème auxiliaire. Reporter, par autant de points qu^on 
voudra, sur la figure dans l'espace, un plan représenté dans l'épure. 

Construisons, sur la figure dans l'espace, trois sections planes, 
chacune par un nombre suffisant de points (cinq, si ce sont des 
coniques, comme nous le supposerons) (*), puis représentons 
dans l'épure les plans de ces sections, ainsi que les droites sui- 
vant lesquelles ces derniers plans sont coupés par le plan donné.' 

Construisons aussi, avec la règle et le compas, les intersections 
respectives de ces trois droites avec les trois coniques dans les 
plans desquelles elles sont situées. 

Enfin, reportons ces six points, ou seulement cinq d'entre eux, 



(*) Dans les autres cas, la construction avec la règle et le compas serait, généralemeit, 
impossible. 



— 101 — 7. 

sur la figure dans Tespace, chacun au moyen de ses distances 
aux autres points de la même conique, déjà représentés. 

•• Etant donnée une portion quelconque d'une surface conique 
(ou cylindrique) du second ordre, mener une génératrice par un 
point donné et représenter complètement la surface. 

On construira une conique sur la surface (II); on construira 
son plan dans Fépure (I) ; par un point quelconque pris sur la 
surface, et reporté sur Tépure, on mènera, dans cette dernière, 
un plan parallèle au précédent ; on reportera ce plan sur la sur- 
face (8). On se trouvera alors dans les mêmes conditions qu'au n® 7. 

On pourra représenter complètement les surfaces données, 
par exemple le cylindre par sa section droite, le cône par une 
section quelconque et le sommet. 

t#. E(ant donné un ellipsoïde de révolution solide, trouver 
la grandeur de ses axes et la position de ses sommets. 

Déterminons, comme ci-dessus, deux sections parallèles, tant sur 
fépure que sur la surface; joignons leurs centres dans Tépure; 
i:^ar la droite obtenue, menons un plan, que nous reporterons sur 
l«i surface (8) par cinq points; cherchons, dans Tépure, les inter- 
dictions de la droite avec la section conique des cinq points. Ces 
clcux points sont les extrémités d'un diamètre. 

Prenons, dans Tépure, le milieu de leur distance. Ce sera le 
centre. 

Imaginons une sphère concentrique à rdlipsoïde et passant 
par un point pris sur sa surface. 

Nous pourrons, dans Tépure, déterminer neuf points de Tinter- 
section de cette sphère avec rdlipsoïde, par Tintermédiaire de 
plans sécants, passant par le centre et reportés sur la surface 
(8); car les points de rencontre d'une section conique détermi- 
née, avec une circonférence concentrique, s'obtiennent avec la 
règle et le compas. 

Des neuf points obtenus, cinq au moins seront dans un même 
plan. Menant par le centre, dans l'épure, une perpendiculaire a 
ce plan, puis déterminant ses intersections avec l'ellipsoïde, par 
l'intermédiaire d'un plan sécant, on connaîtra Taxe de révolution 
et ses deux sommets, que l'on reportera sur l'ellipsoïde. 



8. — 102 — 

On achèvera en menant, par le centre, un plan perpendicu- 
laire à Taxe obtenu, et en cherchant le rayon de la section. 

tt. Etant donnée une portion quelconque d'un hyperbo- 
loîde de révolution, à une nappe, trouver la grandeur de ses axes, 
la position du cercle de gorge, et construire les deux généra- 
trices passant par un point donné. 

On opérera comme dans le problème précédent pour déterminer 
les axes, la position du cercle de gorge sur Tépure, et reporter 
sur la surface autant de points que Ton voudra de ce cercle. 

Projetant sur son plan le point donné; menant, par cette pro- 
jection, deux tangentes au cercle, et joignant les points de con- 
tact au point donné, on aura les deux génératrices demandées, 
sur répure. 

On reportera sur la surface un point quelconque de chacune 
de ces génératrices, assez voisin du point donné pour qu'il 
tombe dans la portion de surface existante. 

19. Pour un ellipsoïde à trois axes inégaux (et à plus forte 
raison pour des surfaces plus compliquées), je ne vois pas le 
moyen d'opérer en n'employant que la règle et le compas; mais 
on pourra toujours, par un calcul aussi précis que Ton voudra, 
fixer la position des axes et les dessiner. 

Parmi tous les moyens possibles, je signalerai le suivant. 

On construira trois diamètres conjugués, etaussi trois diamètres 
rectangulaires entre eux, aussi facilement que si Tellipsoïdc était 
de révolution (*). 

Dès lors, les longueurs a, 6, c, des demi-axes, seront liées 
entre elles par les trois équations 

abc = m 
à^ -+- />* -f- c* = w . 

. , , • <" 

o* b r 
m, II, p étant des quantités construites. 



n La différence n'apparaît que quand on cherche l'intersection de lellipsolde avec 
une sphère concentrique. 



— 105 — 9. 

. On pourra résoudre ces équations aussi approximaiivement 
que Ton voudra. Il suffira, évidemment, de connaître Tune des 
trois valeurs a, 6, ou c, pour pouvoir en déduire les deux, aulres 
en n'employant plus que la règle et le compas; si Ton veut, non 
seulement obtenir les longueurs des axes, mais en outre con- 
struire ceux-ci à leur place dans le dessin, c'est Taxe moyen 6 
qu'il faut calculer de préférence (*). 

En effet, la sphère de rayon b coupe l'ellipsoïde suivant deux 
cercles, dont on pourra construire autant de points que l'on 
voudra, par l'intermédiaire de plans sécants, comme nous l'avons 
fait pour l'ellipsoïde de révolution. 

On pourra donc construire les plans cycliques de l'ellipsoïde 
et, les plans bissecteurs de leurs dièdres étant les plans de? axes, 
le reste s'achèvera comme si l'ellipsoïde était de révolution. 

18. 11 serait très intéressant d'examiner à fond s'il n'existe 
aucun moyen de faire toute la construction avec la règle et le 
compas. Il ne suffit pas, pour établir le contraire, d'observer que 
les équations (i) ci-dessus ont pour résultante une équation du 
troisième degré, car, outre les constructions que l'on peut faire 
dans le plan de l'épure sur les données r/i, n, p, on dispose tou- 
jours de l'ellipsoïde solide, sur lequel on pourrait imaginer une 
construction plus ou moins ingénieuse, conduisant à des données 
nouvelles. Le doute peut donc subsister dans le cas de l'ellip- 
soïde à trois axes inégaux, et à plus forte raison pour d'autres 
surfaces plus compliquées, mais les surfaces du second ordre, 
de révolution, se laissent décrire complètement avec la règle et 
le compas. 

14. Quelquefois, dans les surfaces du second ordre, la nature 
du problème rendra inutile la connaissance des axes, et alors on 
pourra résoudre avec la règle et le compas, même quand ces 
surfaces ne seront pas de révolution. En voici un exemple : 



(*) Au premier abord, il semblerait encore plus avantageux de résoudre par rapport 
» a ou à c, mais la sphère ayant a ou c pour rayon serait tangente à l'ellipsoïde et la 
détermination géométrique des points de contact (dans l'épure) serait impossible. 



10. — 104 — 

Étant donnés deux solides formant un seul système invariable 
et limités par des surfaces du second ordre, à centres; con- 
struire, avec la règle et le compas, la distance des centres de ces 
surfaces (*). 

Tout revient, évidemment, à construire les deux surfaces dans 
une même épure; or, les principes posés précédemment n'im- 
pliquent nullement que les points déterminant les plans de pro- 
jection soient choisis sur la surface même à représenter : il suffit 
qu'ils y soient reliés d'une manière invariable. On pourra donc, 
dans une même épure, construire les deux centres, comme aux 
n®' 10 et 11, puis Ion mesurera leur distance. 

15. Les constructions dont nous avons parlé dans les numéros 
précédents pourront servir, non seulement à représenter les 
objets, ou à résoudre sur eux certains problèmes, mais aussi 
à reporter les résultats sur la figure dans lespace. Ici encore des 
circonstances particulières peuvent faciliter le report des points, 
mais le seul procédé général consiste à mesurer leurs distances 
à des points déjà reportés et à décrire des courbes sphériques 
sur la ligure dans Tespace. L'emploi de trois courbes sphériques 
constituera le cas ordinaire; deux suffiront dans le cas exception- 
nel où ces courbes n'auront qu'un point d'intersection sur l'ob- 
jet à représenter et où il n'y aura, d'ailleurs, aucun doute sur 
la correspondance de ce point avec celui du dessin; enfin il fau- 
dra quatre courbes dans le cas, également exceptionnel, où les 
points d'intersection des trois sphères employées d'abord appar- 
tiendraient tous les deux à l'objet à représenter. 



(*) Ce problème est proposé, comme application, dans certains traités de géométrie, 
mais seulement pour deux sphères. 



— 105 - i 



NOTICE LITHOLOGIQUE 



SUR 



LES ILES COLUMBRETAS 



PAR 



le R. P. Antonio VICENT, S. J 



Les échantillons des roches décrites dans cette notice litholo- 
gique ont été recueillis à Tile Columbreta-Mayor par mon élève 
et ami M. Pelegrin Sanz, ingénieur civil de la province de 
Castellon-de-la-Plana. Les roches volcaniques qui forment les 
Iles Columbretas appartiennent toutes à des types connus, par- 
faitement étudiés déjà par H. Rosenbusch (<), par F. Zirkel dans 
sa description des roches des Etats-Unis (*), par Al. Penk (') et 
par J. Rothy qui en a donné la composition chimique (^). Ces 
travaux nous permettront d'être bref et nous dispenseront de 
joindre des planches à notre travail. 

Les échantillons que nous possédons ne sont pas en nombre 
suffisant pour nous permettre d*écrire une monographie lilholo- 
gique complète des lies Columbretas. Nous nous proposons de 
réah'ser ce dessein à notre retour en Espagne, quand nous 
aurons rassemblé un plus grand nombre de faits et d'échantil- 
lons. Toutefois, comme il n'existe pas encore de description 
pétrographique de ces îles et que nous avons eu en Belgique 



(f) Mikroskopitche Physiographie der pelrographisch Wichtigen Mineralien, i873. 

(<} Microscopical Petrography, 4874. 

(3) Zeitschriji deuischen geologUchen GeselUcha/t, p. 304. 

(^ Beilràge zur Pétrographie der pluionischen Gesteine, 1883. 



2. — 106 — 

ia bonne fortune d avoir des rapports fréquents avec des géo- 
logues et pétrographes distingués, MM. Charles de la Vallée- 
Poussin et Tabbé A. Renard, nous avons cru ne pas devoir 
retarder la publication de cette notice préliminaire. L'examen 
des roches volcaniques des lies Columbretas a été fait dans le 
laboratoire pétrographiquc de M. A. Renard. Le savant conser- 
vateur du Musée de Bruxelles a eu Tobligeance de mettre a 
notre disposition toute la bibliographie du sujet, ainsi que sa 
riche collection de plaques minces. 

Nous ignorons s'il existe, écrite en espagnol, quelque descrip- 
tion géographique détaillée des Columbretas. Nous n'avons pu 
consulter que la notice publiée en 1831 par le capitaine 
Smyth (0* E^llc confirme plusieurs des faits que nous avons pu 
recueillir nous-méme. 



Courte description géographique des îles Columbretas. 

Tout près de la côte orientale d'Espagne, à 7 ou 8 minutes 
du 40'' degré de latitude nord, il y a un groupe d'ilôts, connu 
sous le nom d'iles Columbretas. Le centre de l'ilot principal, 
qui est à o9<>53'38" de latitude nord et à l'35'42'' de longitude 
est de Paris, est situé en face de la capitale du Maestrargo, 
Castellon-de-la-Plana (^), et seulement à la courte distance de 
67 kilomètres. 

Les Iles Columbretas se divisent en quatre groupes d'ilôts. 
Au nord, nous avons la Columbreta-Mayor. A l'extrémité 
septentrionale, s'élève une montagne qui affecte la forme d*une 
cloche : c'est le mont Calibre. L'Ilot tout entier s'étend en fer-à- 
cheval dont une extrémité, celle du nord, est occupée par le 



M] Journal ofthe royal geographical Society 0/ London, t. 1, 1S30-183i. 
{*) Vivien de Saint-Martin, Nouveau dictionnaire de géographie universelle, 1. 1, 
p. 779. 



— 107 — 



d. 



mont Coiibre et l'autre par deux rochers coniques, appelés pour 
cette raison Mammeolibre. 

La forme de la Columbreta-Mayor montre qu'elle est le reste 
du centre ébréché d'un ancien volcan, ouvert d'un côlé et 
envahi par les eaux de la Méditerranée. Ce cratère a créé une 
petite baie nommée port Tofino. Cette baie sert de retraite et de 
refuge aux barques de pécheurs en cas de tourmente. Sa profon- 
deur est de 5 à 20 brasses ; les embarcations viennent s'y garer 
contre tous les vents, mais surtout contre celui du nord-est, de 
l'est et du sud-est. 

A Touest du mont Colibrc et à une distance d'environ 
1,600 mètres, se trouve le second groupe d'îlots volcaniques. Le 
plus considérable ressemble à une selle de cheval, on le nomme 
Malespina; les autres, plus petits, s'appellent respectivement 
Banza, Espinoza, Valdes et Navarrele. 

Au sud du mont Coiibre et à environ 5556 mètres, on ren- 
contre Galiano, rocher qui a la figure d'une barque avec ses 
voiles enflées par le vent. Tout autour sont disséminés les Ilots 
de Cerquero de Baleato et le récif de Luyando. 

Entre les groupes de Malespina et de Galiano s'élève Ferrer, 
ilôt considérable d'aspect semblable à celui de Malespina. Tout 
prés de Ferrer se dresse le rocher de Joaquin. Enfin, entre 
Ferrer et Malespina, s'élève le récif de Fidalgo. 11 s'étend à 
1 ouest, et près de Joaquin il y a le banc de Lopez. 

Tous ces groupes d'ilôts sont manifestement d'origine volca- 
nique. L'aspect de la majeure partie des roches qui les compo- 
sent et surtout la présence des tufs palagonitiques montrent à 
l'évidence que ces îles se seront formées par des éruptions sous- 
marines, ou du moins qu'elles furent envahies par les eaux de la 
Méditerranée : ce qui a lieu encore aujourd'hui pour les plus 
petites, quand il s'élève quelque tempête. 

Nous croyons que le nom des îles Columbretas vient du mot 
latin Coluber, qui veut dire « serpent », à cause du grand 
nombre de reptiles qui y pullulent (*). Un des ouvriers de la 

(1) Dans l'article déjà cité, Smyth écrit ce qui suit .* « On sait que les géographes appli.- 



4. — 108 — 

brigade employée en ce moment à la construciion d*un phare de 
première classe sur le mont Colibre nous écrivait que, dans les 
premiers jours, les cent hommes furent uniquement occupés à 
tuer les serpents, les vipères et les scorpions qu'ils rencontraient 
à chaque pas dans Tlle déserte. Ce fait confirme ce que Smytb 
rapporte d'une visite aux iles Columbretas en 1831 ('). 

Comme dans toutes les iles, Térosion atmosphérique ei la 
continuelle désagrégation des roches par les eaux de la mer ont 
formé un dépôt suffisant de terre végétale pour faire croître les 
plantes propres à cette latitude. Sur les collines de la Columbreta- 
Mayor on voit pousser Tolivier sauvage, le géranium, le myrte 
et des buissons de toutes sortes d'arbustes. Mais la plante I» 
plus abondante est le Cactus (Opuntia vulgaris)^ vulgairement 
appelé Nopal. Grâce à ces fruits, la brigade employée à la con- 
struction du phare dont nous avons parlé put suppléer à Pinsuf- 
(isancc des approvisionnements. 



II 



Description des roches des îles Columbretas. — 

Scories basaltiques. 

Le capitaine Smyth rapporte que les Iles Columbretas sont 
formées de laves, de scories et de roches obsidiennes ('). Pour- 
tant les échantillons que nous avons reçus de la Columbreta- 
Mayor sont des scories basaltiques et des tufs palagonitiques. 



qaaient le nom û'Ophiusa à ane lie de l'ibérie, à c«use des serpents qui y abondaient. 
Pour la même raison, les Romains l'avaient nommée Colubraria. Pourtant on n'a produit 
que des affirmations et jamais de preuves pour établir l'identité de cet endroit. » 

(1) « Ce qui excita surtout notre surprise, dit Smyth Hoc. cil.), et ce qui fut vraiment 
remarquable, ce fut de voir les marins réellement empêchés d'user de leurs instruments 
par le grand nombre de serpents qui infestaient toute la contrée. Ces serpents avaient 
pour la plupart de deux à trois pieds de long ; ils portaient de fines stries avec des raies 
noires en zigzag sur un fond jaune- brillant, le ventre était blanc. Ces reptiles étaient 
très beaux. » 

(*) « Chaque partie des lies laisse voir des laves, de l'obsidienne, et des scories aussi 
dures que si le feu qui leur a donné naissance venait à peine de s'éteindre. > 



- 109 - 5 

L'examen microscopique de ces échantillons ayant révélé des 
éléments identiques à ceux du basalte feldspathique compacte, 
nous les nommerons scories basaltiques feldspathiques. Ces 
scories sont cavern^'uses, cellulaires, d*un noir sombre, rudes au 
toucher. Au premier aspect, on ne reconnaît aucun élément con- 
stitutif de la scorie; mais la loupe fait parfois apercevoir, brillant 
çà et là, une face d augite. Quand on réduit la roche en poudre et 
qu'on en approche Taimant, on constate qu'elle renferme de la 
niagnétite en grande quantité. 

Les éléments ordinaires des basaltes feldspathiques sont le 
plagioclase, Taugite, Tolivine et la magnétite. Aussi Texamen 
microscopique des scories des iles Columbretas a-t-il prouvé que 
CCS roches appartiennent à la variété feldspathique du basalte. 
Nous n'avons pu retrouver dans les échaniillons reçus certains 
représentants de la série sanidino-amphibolique des roches vol- 
caniques. Le trachyte manque ainsi que la phonolithe, comme 
aussi le basalte néphélinique de la série plagioclasico-augite. 
Néanmoins le capitaine Smyth présume que l'ilot Ferrer est 
formé d'une roche phonolithique (*), et que les deux rochers 
coniques qui se trouvent à l'extrémité méridionale de Colum- 
breta-Mayor sont du trachyte vitreux. Nous ne possédons pas 
d'échantillons des iles Columbretas permettant de contrôler cette 
affirmation. Mais nous ne serions pas surpris qu'il en fût ainsi; 
car c'est un fait commun que l'association des roches trachytiques 
et basaltiques. Dernièrement encore, dans l'excursion géologique 
que nous eûmes l'avantage de faire, en compagnie du savant 
P. Dressel, dans la région volcanique de Laach, nous avons 
recueilli bon nombre d échantillons appartenant aux deux séries 
de roches volcaniques indiquées plus haut. Nos plaques minces 
laissent voir des cristaux microscopiques d'augite, d'olivine et de 
plagioclase; de petits cristaux de magnétite; une base vitreuse 
remplie de microlithes, de plagioclase, d'augite, de grains et de 
trichites de magnétite. 



(<) « A mi-chemin entre Galiano et Malespina, se trouve Ferrer, remarquable rocher 
phonolithique. A la pointe méridionale de Port-Tofiûo sont deux rochers coniques élevés, 
de trachyte vitreuse, que, pour garder le mot de Coronelli, je nomme Mammeolibre. » 



6. — HO — 

Dans nos plaques minces Taugite se présente en sections de 
différentes forn)es. Celles qui appartiennent è la zone ph^ et les 
plans de clivage mm sont les mieux marqués et forment en A* un 
angle de 88^ A la lumière polarisée, Textinction se fait suivant 
la bissectrice des angles de clivage. Dans les sections de la zone 
h^g^y à partir des lignes de clivage parallèles entre elles, la 
mesure de Tangle d'extinction nous a donné pour plusieurs sec- 
tions de ZO"" à 53^ L'augite est fréquemment fragmentée et de 
formes irrégulières, à cause de Faction corrosive exercée sur ce 
minéral par le magma basique. Ces fragments sont généralement 
séparés par les plans de divage, ei ron peu! souvent rétablir à 
Toeil nii la poskien primitive dn crisfaL Paarqn el^ma c rialam 
d augite, l'altération et la décomposition s'accusent au centre, sur 
d'autres, au bord du cristal. On voit plusieurs fentes et ouver- 
tures par lesquelles pénètre la base vitreuse. A la lumière natu- 
relle, l'augite est de couleur verdàtre et sa surface est comme 
couverte de poussières. Le pléochroïsme n'est pas sensible, mais 
on constate le relief caractéristique. Parfois aussi l'augite est 
incolore et sans plans de clivage visibles, mais ses caractères 
optiques nous indiquent sa nature spécifique. 

Uolivine est dans quelques-unes de nos plaques plus abon- 
dante que Vaugite. A la lumière naturelle, elle est incolore; elle 
présente un relief et une rugosité apparents et renferme plusieurs 
enclaves de magnétite. Les bords de certains cristaux sont altérés 
et décolorés en jaune rougeàtre par la décomposition de l'olivine 
en limonite. Les cristaux microporphyriques de l'olivine se pro- 
longent ordinairement suivant Taréte de la zone pg^ et affectent 
diverses formes, déterminées par la combinaison des faces A*, g^, 
a* avec ^'. Les sections parallèles kpeik g* sont symétriques, et 
l'extinction a lieu suivant les diagonales ou suivant les côtés de 
la figure. Dans nos plaques minces, les sections symétriques 
parallèles à p ont la forme rhombique, et l'extinction se fait sui- 
vant les diagonales, tandis que les sections parallèles è g^ sont 
quasi-hexagonales et l'extinction suit l'arête de prolongement />9* 
et une direction perpendiculaire à p. 

Un autre élément constitutif et de première consolidation est 



— m ~ 7. 

le plagioclase. Les cristaux se présentent en grand nombre avec 
macles d^albite, La périphérie et Féclat particulier offrent une 
grande ressemblance avec la limpidité propre au labrador. Tou- 
tefois les extinctions è la lumière polarisée indiquent que les 
grands cristaux appartiennent à Vanortite. Dans les individus 
macléSy les extinctions successives et symétriques de deux 
lamelles hémitropes suivent Taréte de la zone pg^ et ont donné 
un angle maximum d'extinction de 49°. Cet angle indique clai- 
rement la forme naturelle de Tanortite. De même que les autres 
éléments étudiés déjà, Tanortite contient des inclusions de 
magnétite. 

Nous pouvons conclure avec évidence de cette première étude 
que les éléments de première consolidation des scories basal- 
tiques feldspathiques sont les cristaux de magnétite avec les cris- 
taux microporphyriques d^augite, d'olivine et de plagioclase. 

Nos scories présentent nettement la texture microlithique du 
type trachytoïde des roches basiques modernes. En effet, la base 
vitreuse, incolore ou d'un vert pâle, renferme de nombreuses 
sécrétions cristallines de microiithes de plagioclases, certainement 
de labrador et d'augite appartenant à la seconde consolidation. 
Avec un fort grossissement, on distingue aisément les micro- 
iithes d^augite de ceux de labrador: ils sont plus petits et leur 
coloration jaune-rougeâtre à la lumière polarisée les fait immé- 
diatement reconnaître. Le magma contient aussi de la magnétite 
en très grande quantité : on la trouve sous la forme de petits 
octaèdres, en granules et en trichites. Elle forme, comme on la 
dit, des enclaves dans les cristaux d'augile, d'olivine et de pla- 
gioclase. 



8. — 112 



III 



Tufs palagonitiques. 

Aux localités où les travaux de Sartorius von Waltershausen Q), 
Rosenbusch (*), Zirkei (') et surtout de Penk (^) et d*autres 
pétrographes ont accusé la présence de tufs palagonitiques, il faut 
ajouter les îles Columbretas. 

Nos échantillons de tufs palagonitiques présentent au premier 
aspect des différences très marquées. Quelques-uns, de couleur 
brun clair, accusent nettement la structure des roches élastiques. 
En effet, ils sont constitués par une base vitreuse de couleur 
jaune foncé, qui semble formée des cendres volcaniques. On y 
voit de beaux cristaux d'augite, des grains qui paraissent être des 
lapilli de volume et de formes différents, des fragments et des 
grains de palagonitc à couleur de cuivre jaune pâle. 

Sur d'autres échantillons, les grains de lapilli ne sont plus 
visibles, même à la loupe, et le tuf présente toujours la coloration 
jaune clair et jaune de cuivre propre à la palagonite. 

Pourtant les tufs palagonitiques des îles Columbretas ne con- 
stituent pas des roches indépendantes, dépourvues presque com- 
plètement d autres minéraux, comme les tufs étudiés par Sarto- 
rius von Waltershausen, par Rosenbusch (^) et Penk dans les 



(*) VULKAN, Gestein. von Sicilien und hland. GOttingon, iS!^. 

{*) Mikroskopische Physiographie, pp. -141 et suiv. 

('; Micro8copicalpetrography,p.'il'S Washington» 1876. 

(♦) Zeitichrift der deutschen geolog. Gesellschaft, l. XXXI, p. 504, 4879, Ueber Paia- 
gonit und Basalttuffe. — Voici le résumé du travail analytico-critique de Penk. I. Notice 
historique sur la Palagonite. — II. La palagonite d'Islande. — III. La palagonite de Sicile. 
— IV. Roches palagonitifères de l'ouest de l'Allemagne centrale. — V. Tuf palagoniti<iac 
de UohenhOwen. — VI. Tuf palagonitique de Gleichenberg en Styrie. — VII. Tufs basal- 
tiques de Bohême. — VIII. Tufs basaltiques d'Auvergne. — IX. Sur la péperine. — X. Tufs 
basaltiques de Palma, de Fernando Po. - XI. La palagonite n'existe pas comme minéral. 

(5) « La palagonite est un silicate très hydraté, basique et hyalin, qui se rencontre sur- 
tout en grains comme élément constitutif dans les tufs volcaniques. Pourtant on le troufC 
aussi en quelques points du globe comme roche indépendante. Les gisements de cette 
dernière formation sont Seljadalr et Hammersfjord, en Islande, Djampang Kulon à Java, 
l'Ile James, l'une des Gallopagos et Palagonia en Sicile. » 



— H3 — 9. 

régions volcaniques de Palagonia en Sicile, de Djampang Kulon 
à Java et de Seijadair en Islande. Tons les tufs contiennent 
d*autres éléments, parce que, dans les échantillons où la couleur 
jaune est plus prononcée, on distingue à la simple vue de petits 
cristaux d'augite. La palagonite étant un silicate très hydraté, 
nous avons constaté la présence de Teau au tube ouvert, et la 
perte au feu nous a donné 13 7o d'eau. Enfin, l'acide chlorhy- 
drique dissout notre palagonite en laissant un résidu silico-géla- 
tineux. 

L'exaQien microscopique des tufs palagonitiques nous a révélé 
la présence des éléments suivants : la palagonite enveloppant de 
rares cristaux microporphyriques d'olivine, d'augile et de pla- 
gioclase; la zéolithe, la picotite et la magnétite. Les cristaux 
microporphyriques d'augile, d'olivine et de plagioclase sont rares. 
Généralement, dans les tufs, l'olivine et Taugite se présentent 
fragmentées, entourées et enveloppées par la base vitreuse à cou- 
leur jaimâtre de cuivre. La picotite forme des enclaves dans tous 
les cristaux, mais surtout dans ceux d'olivine et sur toute la base. 
Les octaèdres de picotite apparaissent transparents par réflexion 
et de couleur rouge obscur. Sur quelques tufs on trouve aussi la 
magnétite, soit en forme d'octaèdres, soit en forme de grains 
répandus abondamment sur tout le magma. Dans quelques 
plaques minces. Ta magnétite est très abondante à l'état de pous- 
sière ou de granules ; mais dans la majeure partie des plaques, 
l'élément dominant est la picotite. 

On ne peut douter de l'existence de la magnétite dans les tufs 
palagonitiques des îles Columbretas, car elle s'y révèle è l'évi- 
dence avec tous ses caractères physiques. Il y a d'abord son opa- 
cité et son éclat métallique bleu par réflexion. Puis, après avoir 
pulvérisé un morceau de palagonite et avoir déposé la poussière 
sur une goutte d'eau dans le porte-objet, nous avons vu les grains 
de magnétite se mouvoir quand nous passions l'aimant devant le 
porte-objet (*). 



(•) Nous insistons sur cette preuve de l'existence de la magnétite dans les tufs des lies 
Golambretas, parce que le contraire a été aflSrmé pour les tufs palagonitiques trouvés 

IX. 8 



10 — 114 — 

Ce qui donne à nos tufs leur caractère et leur dénomination^ 
c'est la palagonite. Elle se présente ordinairement sur les plaques 
minces en forme de grains anguleux et en fragments de diverses 
grandeurs avec les bords irréguliers. Ces grains et ces fragments 
sont tous transparents, de couleur jaune clair et de couleur jaune 
de cuivre. Cette couleur est caractéristique et fait reconnaître 
immédiatement la palagonite. La palagonite n*est pas indifférente 
à la lumière polarisée (*); car elle présente, quoique faiblement, 
le phénomène de la double réfraction. Dans quelques plaques 
minces, la palagonite contient des sections microlithiques de 
feldspath, si fines et si larges qu elles apparaissent comme des 
lignes blanches. 

Mais ce qu'il y a de plus remarquable dans nos tufs, c'est qu'au 
milieu de presque tous les grains de palagonite on rencontre la 
zéolithe, de forme généralement elliptique et de structure 
fibreuse radiée. Quelques sections de palagonite présentent la 
zéolilhe avec un noyau presque obscur, du centre duquel partent 
en forme de rayons les fines aiguilles cristallines de la zéolithe. 
On remarque de plus dans les bords de la zéolithe des fibres res- 
semblant à des lignes concentriques en forme de bandes. Ces 
bandes alternent avec des espaces de couleur jaune également 



dans d'autres localités. Rosenbuscb, loc. cit., p. U% écrit (nous citons les propres 
termes) : « Ausserordentlich auffallend ist bei einen so basischen Substanz, wie der Pala- 
gonit, der gânziichcr Mangel des Magneteisens : eine EigenthQmlichkcit, welche das 
Seijadair Vorkommnis mit allen ûbrigen gemeinsam bat b. — Zirkel, loc. cit., p. 273, en 
décrivant les tufs palagonitiques de la Nevada, affirme: t U n'y a pas de trace d'augite, 
d'olivine, de magnétite ou de népbéline ». Cependant la magnétite se rencontre dans les 
tufs des autres localités. Voir le mémoire cité de Penk. 

(1) Nous lisons, il est vrai, cbez Rosenbuscb, loc. cit., p. d4i : « Une plaque mince de 
palagonite de Seljadalr montre de nombreuses sections irrégulièrement terminées, de 
grains angulaires et de fragments plus considérables de couleur jaune ou brun-jaune 
complètement transparents et indifférents à la lumière polarisée ». — Zirkel enseigne la 
même chose, loc, c/(., p. 273 : « Ce sont des tufs, composés en majeure partie de grains 
et de fragments de jaune brun plus ou moins foncé. Cette masse amorphe est complète- 
ment indifférente à la lumière polarisée. » — Néanmoins Penk, étudiant au microscope 
les mêmes tufs que ceux décrits par Rosenbuscb, écrit, p. 5i6 de son mémoire: « D'après 
Rosenbuscb, il y a insensibilité à la lumière polarisée. Je ne puis me rallier à ce senti- 
ment. Après plusieurs expériences sur des préparations très réussies, je dois affirmer 
qu'il y a eu toujours polarisation, quoique en général elle soit très faible. » 



— H3 — 11. 

concentriques. Les espaces ou lignes restées obscures, soumises 
à la lumière polarisée, prennent la couleur jaune et font ainsi 
apparaître parfaitement la croix de la zéolithe. A la lumière na- 
turelle, les centres de la zéolithe, c'est-à-dire la partie fibro-radiée, 
se montrent clairs et incolores comme de Peau et, dans deux ou 
trois zéolithes, montrent la couleur rosacée (*). A la lumière 
polarisée, il se produit une croix noire dont les bords sont diffus 
et les extrémités épanouies, comme Texige d'ailleurs la disposition 
radiée que présentent les cristaux de la zéolithe. « Il résulte de 
cette disposition radiée que, lorsque Taxe d'élasticité d'un des 
cristaux similaires coïncide avec une des sections principales des 
niçois, il se produit une obscurité dans la direction du diamètre 
de cette section et dans la direction de la perpendiculaire. Les 
bords de la croix vont en s'élargissant à partir du centre, parce 
que les cristaux les plus rapprochés de celui qui coïncide exacte- 
ment avec la section principale du nicol produit aussi un effet 
sensible avec intensité décroissante jusqu'à une certaine distance 
angulaire de cette position. En tournant la platine, la croix doit 
par conséquent demeurer constamment orientée suivant les sec- 
tions principales des niçois (*). » 

La substance qui réunit entre eux les grains et les fragments 
de la palagonite est aussi de la zéolithe ; mais sa structure diffère 
de celle qui enveloppe la palagonite et que nous venons de 
décrire. Elle n'a pas la forme parfaitementelliptique ou sphérique; 
les lignes ou bandes concentriques obscures et jaunes manquent, 
mais la disposition radiée des cristaux persiste. Ceux-ci, à partir 
d'un centre, formentdes aiguilles cristallines ou plutôt des lamelles 



(<) C'est à juste titre que Penk nie que cette substance claire comme de l'eau présente 
l'agrégat de polarisation. « Schliesslich mOchte noch der wasserhellen Substanz zu 
gcdenken sein, welcbe nach Rosenbusch absolut apoler ist und nur selten eine an 
Zéolithe erinnernde radialfaserige Âggregat-polarisation zeigt In den mir zu gebote ste- 
henden Prâparaten ycrhâlt sich dieselbe stets doppelbrechen. Ich mOchte geneigt sein, 
Sie in einer Reihe yon Fâilen auf Grund ihrer Polarisation und ihrer auffâlligen Spalt- 
barkeit fUr Kalkspath zu erklàren, in anderen Fflllen dOrfte sie als eine Zéolithe zu deu- 
ten sein. » 

{*) D. José J. Landerer, tntrodncion al estudio de la Mineralogia microgràfica, 
p. 106. 



42. — 116 — 

de largeur différente uniformément disposées. A la lumière 
naturelle cette zéolithe est incolore comme les zéolithes ellip- 
tiques; à la lumière polarisée elle prend une teinte gris-bleu. La 
croix noire n'apparait pas clairement. Gela indique que la dispo- 
sition des cristaux de cette zéolithe est peu uniforme et peu 
régulière. A cause de la petitesse des cristaux de la zéolithe, il 
n*a pas été possible de déterminer son espèce. Pourtant, par 
analogie avec d'autres zéolithes, nous inclinons à la désigner par 
le nom de zéolithe sodique ou mésotype, ou peut-être par celui 
de stiibite. 

Dans quelques plaques la base vitreuse jaune de cuivre se 
présente très obscure. A première vue on la prendrait plutôt 
pour du sidéromélane que pour de la palagonite. Mais en 
employant un grand grossissement, par exemple celui de 
700 diamètres, on voit que la palagonite jaune est recouverte 
d'une poussière granuleuse. Cette poussière, quelque peu trans* 
parente à la lumière naturelle, est de la picotUcy comme les 
octaèdres qui forment de nombreuses enclaves dans les cristaux 
et fragments d*olivine. 

Enfin, dans presque toutes les plaques minces des tufs pala- 
gonitiques, il y a des enclaves gazeuses disposées irrégulièrement 
dans de très petites cavités. Pour la plupart, ces enclaves sont 
sphériques, quelques-unes elliptiques et toutes présentent des 
bords obscurs et le centre clair. D'autres enclaves sont entière- 
ment opaques. 

IV 

Conclusions. 

L'examen et la discussion des opinions émises par les diffé- 
rents pétrographes sur la formation des tufs palagonitiques sont 
peut-être déplacés dans une notice préliminaire. Toutefois, 
comme conclusion de cet essai, nous résumerons brièvement ce 
qui a été écrit sur la matière. 

D'après Sartorius von Waltershausen, dont la théorie 
explique et commente celle de Rosenbusch, la palagonite n'est 



— 117 — 15. 

pas autre chose que le sidéromélane transformé, ou, comme dit 
Rosenbusch, mélangé avec les produits de cette transforma- 
tionJ Pour prouver que cette transformation a eu lieu au sein 
(les eaux, on affirme deux choses : 1^ les tufs palagonitiques de 
Sicile contiennent des pétrifications marines ; 2*^ vu la petite 
quantité d'eau qui entre dans la composition du sidéromélane 
(il en contient seulement 0,349 7o), vu, d'autre part, la grande 
quantité que renferme la palagonite, il est évident que, si la 
palagonite dérive du sidéromélane, cette transformation du 
verre basique n'a pu se faire qu'au sein des eaux de la mer. En 
somme, conclut Rosenbusoh, l'eau de la palagonite est due à 
des causes secondaires et postérieures à l'éruption volcanique. 
Et, puisque les tufs palagonitiques de toute provenance présen- 
tent la même microstructure et la même composition chimique, 
il est évident que primitivement ils ne sont pas autre chose 
qu'une substance granuleuse, hyaline, rejetée par éruption vol- 
canique sous-marine et qu'ils ne doivent leur aspect et leur 
état actuel qu'à la transformation moléculaire qui s'est faite au 
sein des eaux. 

Dans le dernier paragraphe de son travail critique intitulé : 
« Il n'existe pas de palagonite », Penk combat avec des argu- 
ments de poids l'opinion de Sartorius von Waltershausen et de 
Rosenbusch. Il s'efforce de démontrer qu'il n'existe pas de 
substance minéralogique nommée palagonite et qu'on doit rayer 
de la pétrographie la dénomination de tufs palagonitiques. Pour 
Penk, lesdils tufs ne sont pas autre chose que des résidus sem- 
blables aux lapilli, des cendres basaltiques, solidement cimentées 
par l'action de l'eau et du vent, à base vitreuse fondamentale 
dominante, avec des sécrétions des minéraux caractéristiques du 
liasalte. Par conséquent, il faut dire tufs basaltiques et non tufs 
palagonitiques. Il est vrai que bon nombre de tufs palagoni- 
tiques manquent d'un ou de plusieurs des éléments du basalte 
ordinaire. Ainsi les tufs palagonitiques d'Islande contiennent 
seulement des sécrétions cristallines de plagioclase et d'olivine. 
Dans ceux d'Auvergne et de Pile de Palma, le feldspath manque 
et souvent aussi la magnétite; dans les tufs de Palma, la base 



U. — H8 — 

vitreuse ne renferme que de Tolivine et de la magnétite. Mais 
pour Penk ces divergences ne prouvent rien. Dans ces cas, la 
base vitreuse remplace les éléments caractéristiques du basalte 
qui manquent. 

Nous ne méconnaissons pas la force des arguments produits 
par Penk dans le paragraphe en question. Mais nous pensons 
que, tout en admettant les principes établis par lui pour carac- 
tériser une roche, on continuera à appeler en pétrographie les 
tufs que nous étudions tufs palagonitiques et non tufs basaltiques. 

Nous fondons cette manière de voir d'abord sur la remarque 
faite par Penk lui-même à la page S69, à savoir que les tufs 
palagonitiques présentent un aspect si particulier et si caracté- 
ristique qu'on les reconnaît et distingue aisément des autres 
tufs. Il semble qu'il ne pourrait en être ainsi si les caractères 
physiques n'étaient tout à fait spéciaux. En outre, les tufs pala- 
gonitiques possèdent une composition chimique bien différente 
des autres verres basiques. 

Nous transcrirons pour terminer l'analyse chimique de la 
palagonite faite par J. Roth (') : « Bercclinet man den Pala- 
gonit n'' 8. Wasscrfrei und zicht man fur 14,4S ^/o Kohiensâure, 
18,39 7o Kalk (32,84 7» Kalkkarbonat) ab, so erhât man 

SiO«, Al«Os, Fe«05, MgO, CaO. Na«0, K<0. P«Os 

49,53, d4,64, 6,92, 3,97, d4.49, 0,9i, 3,54, i,94 = ^00 ». 

Et Roth ajoute : « Der Gehalt an Kali und Phosphorsâure ist 
ujigewôhniich hoch. » 



(•) Beitràge zur Pétrographie der plutonischen Gestehie, 1883, p. 53. 



— H9 — i. 



NOTE 



SUR 



LE NÉOCOMIEN DU HAUT-JURA FRANÇAIS 



PAR 



l'al>l>ë BOUïiOEAT ,»]. 



On sait qu'au-dessus des étages jurassiques qui forment la 
masse principale des montagnes du Jura, il se rencontre çà et là, 
dans rintérieur de cette chaîne, des dépôts d'origine plus récente, 
dont le plus important est le néocomien par lequel débute la 
série crétacée. 

C'est de ce terrain que je me propose de parler dans la pré- 
sente note. 

J'ai pu en effet le visiter depuis les sources du Doubs jusqu'à 
la perte du Rhône, et recueillir à son sujet des observations qui 
me semblent dignes d'être signalées. 

Elles se ramènent aux trois points suivants : 

1* Répartition et allures du néocomien; 

3" Variation du faciès et de faunes qu'il présente; 

3^ Division qu'on peut y établir et limite de ces dernières. 

1. — BépartUlen et «livres da Déoeemieii. 

La répartition du néocomien a été mise en lumière dans ses 
traits principaux par Etallon et par frère Ogérien, qui nous ont 



<<) C'est pendant que ce travail était sous presse que j'ai eu connaissance des excel- 
lentes remarques que M. Bertrand a consignées au sujet du néocomien dans la carte 
géologique de Lons-le-Saulnier. On ne sera donc pas surpris qu'à mon regret je n'eu 
pas mention. 



2 — -120 — 

donné, le premier, une carte des régions avoisinanl S'-Claude, 
et le second, une carte à plus petite échelle de Tensenible du 
département du Jura. Ils ont fait remarquer, avec raison, qu'à 
part les environs de Mièges et de S*-Julien, tous les dépôts de 
ce terrain se trouvent au levant de la rivière d'Ain, où ils s'ali- 
gnent en longues bandes parallèles à In chaîne. Mais ils sont 
loin d'avoir fait connaître toute l'étendue que ces bandes com- 
portent et d'en avoir signalé le nombre exact. 

Étallon, par exemple, parait ne pas avoir connu le néocomien 
aux Grozets, à Grand-Ëssart, à Ponihoux, à la Rixouse et dans la 
combe de la Landoz. Sa carte ne représente pas non plus les 
taches multiples qu'il forme sur la route de Coisereite à Désertin 
et qui paraissent se relier l'une à l'autre dans la forêt qui domine 
les villages de Vulvoz et de Choux. Quant à frère Ogérien, il 
ne fait mention du néocomien ni à S^-Claude, ni à Jeurre, ni aux 
Crozets, où cependant son existence ne saurait être douteuse. 
Il réduit aussi par trop la surface que ce terrain occupe dans la 
combe de Morbier et aux pieds de la Baroche, sur la ligne de 
Chalesmes à Fraroz. Il en résulte qu'il faut augmenter d'une 
quantité notable l'étendue attribuée au néocomien par ces 
auteurs, et, comme cette augmentation porte moins sur les bandes 
connues que sur des (aches nouvelles qui peuvent leur servir 
de liaison, on doit reconnaître que l'isolement des lambeaux 
néocomiens est moins grand qu'ils ne l'ont cru. On s'en con- 
vainc davantage en examinant l'allure que les couches présentent 
presque partout et qui semble avoir été aussi, jusqu'à ce jour, 
peu comprise. 

Beaucoup de géologues, en effet, qui se sont occupés du 
Haut-Jura français représentent les soulèvements en voûte sous 
la forme d'une crête presque régulièrement arrondie et dont les 
deux pentes auraient à peu près la même inclinaison. C'est une 
première erreur que quelques jours d'étude suffisent à dissiper, 
surtout si l'on parcourt les cluses de Cliampagnole à S^-Laurent, 
de Morez aux Rousses et de S'-Claude à Septmoncel. On y voit, 
en effet, que les pentes occidentales sont beaucoup plus rapides 
que celles qui regardent la Suisse. Mais à cette première erreur 



— iî21 — 



d. 



s'en joint une seconde concernant Tinelinaison des couches. 
Dans le Jura, comme aux Alpes, et dans la plupart des massifs 
montagneux, celles-ci n'ont pas toujours un pendage en har- 
monie avec le relief extérieur. C'est bien le cas général pour 
les versants orientaux où Ton suit pendant longtemps^ comme à 
Septmoncel, àCinquétral, à Val(in,à Chaux des Prés et à Foncine- 
le-Bas, la même assise sans aucune interruption. Mais il en est 
tout autrement sur les abrupts qui regardent la France. Il suffît, 
pour s'en convaincre, d'observer les couches qui dominent le lac 
de l'Abbaye, sur le chemin de S*-Claude à S*-Laurent. On voit 
qu'avec une pente relativement douce du versant occidental 
de la chaîne du mont Noir, les couches présentent une inclinai- 
son qui atteint et dépasse même la verticale. Elles forment avec 
celles qui se relient vers le mont Ouest de l'autre côté du lac 
une sorte de livre couché sur le plat dont les feuillets ouverts 
regarderaient le nord-ouest (voir coupe n** 1). Cette disposition 
se reproduit en beaucoup de points et pour ne signaler que les 
plus importants, je citerai le Frasnois, Foncine, le Rivon, 
Cuttura, Ponthoux, Cinquétral, Montépile, la Chaux Berthod, 
la combe du Lac et le pied de la DôIe. En tous ces points, il y a 
un reploiement de couches qui ne peut s'expliquer que par une 
pression latérale immense venue du côté du massif alpin. Il est 
même des endroits où ce reploiement se montre tellement intense 
que des bandes entières de terrain ont été arrachées de leur 
position normale et projetées du côté de l'ouest sur des terrains 
plus récents. Tels sont en particulier les lambeaux de port- 
landien qui, détachés des hauteurs dominant la ferme de 
Peloset, sont venus se contourner en zigzag sur les couches 
néocomiennes qu'entaille la route de Leschères à S^-Lupicin 
(voir coupe n^ 2), vis-à-vis du village du Ravilloies. Tels sont 
aussi les quelques fragments de ptérocien que l'on voit mêlés 
aux mêmes formations néocomiennes sur le nouveau chemin 
de la Crochère et les longues bandes du jurassique qui ont glissé 
vers Grand-Essart au couchant de la montagne d'Avignon. C'est 
peut-être aussi par suite de projections semblables que se sont 
formées sur les confins de la Bresse quelques-unes des failles 



4. — 122 — 

courbes dont M. Bertrand a dernièrement entretenu la Société 
géologique de France, et qu'il attribue plutôt è Faction désagré- 
geante de Teau. Quoi qu'il en soit toutefois de ce dernier point, 
Tobservation des plissements dans le Haut-Jura démontre que ce 
sont les assises du néocomien qui en sont le plus manifestement 
affectées. Aussi la plupart des lacs de cette région, tels que ceux 
de TAbbaye, d'Ilay, d'Étival, n'ont-ils pas d'autre raison d'être 
que le vide laissé vers le haut par ces couches repliées sur 
elles-mêmes et formant vers le bas un fond de cuvette en forme 
de V penché vers l'ouest (voir coupe n" 3). 

La conséquence que l'on doit déduire de ces observations est 
que le néocomien a une surface réelle beaucoup plus grande que 
sa surface visible. Ce que nous en voyons n'est que la tranche, et 
encore celle-ci n'est-elle pas toujours complète, ainsi que nous 
le verrons plus loin. Il faudrait, pour juger de son étendue, pou- 
voir suivre et mesurer le contour extérieur des plissements qu'il 
forme et les déployer horizontalement. On verrait alors que les 
lambeaux de ce terrain devaient être beaucoup moins distants 
avant que le Jura eût acquis son relief. 

Etaient-ils réellement unis en une seule et unique bande ou 
bien leur isolement actuel vient-il en grande partie de ce que, 
comme le supposent Etallon et Benoit, ils se sont déposés dans 
des sortes de fiords ou de golfes distincts? C'est le une question 
que j'espère pouvoir traiter dans la suite. Tout ce que je puis 
affirmer maintenant, c'est que les changements de faciès et 
d'épaisseur que les premières assises de ces lambeaux présentent 
ne s'accusent guère plus, dans un sens transversal aux chaînes, 
que parallèlement à leur direction. Il en faut donc conclure que 
s'il y eut des golfes à l'époque du néocomien, ceux-ci n'avaient 
pas nécessairement l'orientation des dépressions actuelles, et que 
la distribution de ce terrain par bandes allongées de part et 
d'autre des grandes crêtes longitudinales ne donne aucune idée 
de la répartition qu'il présentait autrefois. La seconde consé- 
quence qui résulte des plissements du néocomien est que dans 
l'étude des couches il est souvent difficile de trouver la limite 
supérieure des plus élevées. Car, par l'effet des renversements, 



— 123 - 5. 

celles-ci sont très souvent en contact immédiat comme le seraient 
les deux mêmes surfaces d'une étoffe renversée, si bien qu'après 
avoir suivi la série depuis la plus ancienne jusqu'à la plus 
récente on poursuit la marche inverse sans aucun changement 
notable dans le pendage des couches. On comprend dès lors que, 
s'il n'y a pas de zone fossilifère parfaitement accusée, le géologue 
court risque d'accroître l'étage supérieur d'un nombre plus ou 
moins grand d'assises qu'il a déjà rencontrées plus bas. C'est ce 
qui est arrivé pour l'urgonien sur l'épaisseur duquel les géolo- 
gues varient et qu'Étallon croyait beaucoup plus grande qu'elle 
ne l'est en réalité. Il est donc nécessaire, pour se rendre un 
compte exact de la puissance qu'il présente, de l'étudier de 
préférence aux endroits où le renversement n'a pas amené les 
dernières couches en contact immédiat. 

Une troisième et non moins grande conséquence des pertur- 
bations mécaniques qui ont affecté le néocomien est la produc- 
tion de modifications importantes sur les couches situées du 
côté le plus violemment atteint. On sait que ce côté est géné- 
ralement celui qui s'appuie sur les abrupts en regard vers la 
France. Or, lorsqu'on l'examine, on voit sans peine que les 
couches marneuses y présentent un développement beaucoup 
moins marqué qu'en contre-bas sur les dépôts de même âge 
restés en place. C'est à peine même s'il en reste parfois des 
traces comme au Ri von, où les marnes à Ostrea Coulonii sont 
beaucoup moins développées du côté des Prés que sur les flancs 
de la montagne de la Sourda située plus à l'ouest (voir coupe 
n*4). 

Même observation pourrait être faite à Cuttura, à Chaux des 
Prés, aux Mouillez, etc. Ce qui montre bien qu'il n'y a là qu'un 
simple accident mécanique, c'est que dans l'intervalle des deux 
renversements de Cuttura et du Rivon, près du village de 
Vichaampis, où les assises sont en fond de bateau, les formations 
présentent de part et d'autre du bassin un développement à peu 
près égal. Cette atténuation des marnes par suite de compression 
n'est pas du reste exclusivement spéciale au néocomien dans le 
Jura. On l'observe encore dans l'oxfordien, dont l'épaisseur 



6. — i24 — 

présente souvent des variations très sensibles d'un revers à I autre 
d'une chaîne de montagnes. Le fait est surtout frappant aux 
affleurements marneux des Pontets, qui, très développés vers la 
Combe de Tressus, n'offrent, au contraire, qu'une puissance 
réduite vers Trébayard et S^-Claude par suite des compressions 
qu'ils ont subies de la part du jurassique du Frasnois. Je crois 
même que c'est là, plutôt que dans l'érosion, dont on a singuliè- 
rement abusé, que se trouve en grande partie lexplication de 
l'étendue plus considérable que l'oxfordien présente par rap- 
port aux formations qui le surmontent. Plastique comme il Test, 
ce terrain a du nécessairement s'amincir et s'étendre sous l'action 
des forces qui ont donné au Jura son relief, tandis que les 
autres terrains beaucoup moins souples s'écaillaient ou s'entr'ou- 
vraient aux parties les plus tourmentées. Dans le néocomien, 
les couches calcaires portent aussi du côté le plus violemment 
bouleversé des traces visibles d'une puissante compression. 
Elles sont presque toujours fendillées, bréchiformes et d'une tex- 
ture presque compacte. Les fossiles y sont rares et en fort mau- 
vais état, p{ l'on y remarque de plus des surfaces de glissement 
nombreuses dont on voit de très beaux exemples, soit sur le che- 
min qui domine le lac de FAbbaye, soit près du village d'Ilay. 

Ces surfaces de glissement sont une preuve manifeste que les 
couches ne sont plus exactement dans leur ancienne position et 
qu'elles ont du jouer l'une sur l'autre à la façon de la couver- 
ture et des feuillets d'un livre éraillé. Mais, de même que dans 
un livre ainsi décousu le jeu des feuillets a pour effet de per- 
mettre à ceux ci de déborder la couverture, de même aussi dans 
le néocomien le glissement des assises a eu pour conséquence 
d'en mettre quelques-uns en évidence aux dépens des plus exté- 
rieures perdues sous la saillie qu'elles ont formée. 

C'est là un fait qu*il est facile de constater en beaucoup d'en- 
droits et spécialement à quelques centaines de mètres des Prés 
sur le chemin qui se rend au Rivon. On y voit, en effet , 
que le néocomien, qui repose un peu plus loin par ses assises 
les plus inférieures sur les dolomies portiandiennes bien visi- 
bles, s*appuie par des couches déjà élevées dans la série sur 



— 125 — 7. 

» 

du portlandien moyen. Plus de 25 mètres d*assises se sont ainsi 
engouffrés sans laisser d*autres traces que celle d'une appa- 
rence de lacune et de discordance de stratification entre le juras- 
sique et le crétacé. J'ignore si ces glissements ont été bien 
remarqués, mais je sais que partout où j'en ai fait une étude 
attentive, comme à Cuttura, à Grand-Essart et au pied de la 
Dôle, j*ai vu que, malgré les apparences extérieures, le juras- 
sique et le crétacé se trouvent parfaitement concordants. 

De tout cela il faut conclure que ce n'est pas sur les revers 
occidentaux des chaînes, mais bien sur leurs revers orientaux 
qu'il faut relever des coupes du néocomien, si l'on veut avoir des 
données aussi exactes que possible touchant sa constitution. 
C'est ce que j'ai toujours cherché à faire dans mes études sur 
les changements de faciès et de faune, qui vont être exposées 
au paragraphe suivant. 

Le résumé de celui-ci est qu'aux environs de S'-Glaude et de 
Nantua, le néocomien présente plus de lambeaux qu'on ne Ta 
cru jusqu'à ce jour, que son étendue réelle est supérieure à son 
étendue apparente et que ses couches souvent renversées ne 
présentent pas en tous leurs points les caractères qu'elles avaient 
primitivement. J'ajouterai de plus que les plis qu'elles forment 
sont la preuve manifeste d'un refoulement latéral venu de l'est, 
refoulement sur lequel j'ai eu déjà l'occasion d'insister dans une 
note adressée à l'Académie des sciences en 1 882. 



• — Priaelpaax cbaasemeatii de faune el de imelem que présenir 

le ■éoconilen. 

11 est admis de tous ceux qui ont étudié le néocomien dans 
la région qui nous occupe qu'il présente d'un point à l'autre des 
variations sensibles de faciès et de faune. Etallon le dit en termes 
formels, Emile Benoit le répète après lui, frère Ogérien nous le 
fait entendre dans la description de ses différentes zones, et 
M. Marcon s'en montre tellement convaincu qu'il en signale jus- 
qu^i quatre faciès distincts dans la bande néocomienne du val 
•de Mièges. 



8. — 126 — 

Qu'il y ait exagération ou non dans les idées de cet émioeni 
géologue, il n*en est pas moins vrai que les dépôts néocomiens 
ne se ressemblent pas absolument dans toute retendue du Jura. 
J'ai cru que, pour en suivre exactement les variations, il n*y avait 
pas de moyen plus sur que de comparer entre elles le plus grand 
nombre possible de coupes. C'est pour cela que je vais en 
signaler seize avec autant de détails qu'il me sera possible sans 
trop allonger cette note. J'en déduirai ensuite les conclusions 
qu'elles me semblent comporter. 

Voici comment ces coupes se distribuent : 

1° Sur la limite ouest du néocomien et en allant du nord- 
est au sud-ouest : celles de Miéges, d'Uay, d'Étival et des 
Grozets ; 

2® Un peu plus vers l'est et en suivant la même direction : 
celles de S'-Pierre, de la Landoz, de Leschères, de Vichaumoîs, 
de Guttura et de S*-Lupicin ; 

3® En troisième ligne, et plus encore du côté de la Suisse : 
celles de Lezat, de Ginquétral et des Gombes; 

k"" En dernière ligne enfin, tout près de l'arête culminante: 
celles de Foncine, des Rousses, de Septmoncel et de Gharix. 

Le tout comprend un espace de 75 kilomètres de long sur 
40 kilomètres à peu près de large. 

Je commencerai par celle de Mièges qui a été déjà donnée, 
mais un peu différemment, par frère Ogérien et qui est très 
importante à raison des relations que le néocomien y présente 
avec celui de Neufchàtel si bien décrit par M. Jaccard et des 
études dont il y a été l'objet de la part de M. Marcon. 



— 127 — 9. 



Coupe de Mièges. 

La coupe en question monte du moulin du Saut, où se montre 
le purbeekien nu village de Charbonny, près duquel apparaît 
une tache d*aptien et de gault. 

fo Marnes purbeckieones nacrées avec pelils cailloux noirâtres . . . 2i°,5 

3* Calcaire blanc avec fossiles d'eau douce 5°*,0 

3<* Calcaire et marnes bleues sans fossiles avec efflorescences de sul- 
fate de cbaux 8",0 

4<» Calcaire oolithique blanc sans fossiles 2n»0 

5« Marnes bleues avec iVa/icf« et Venus l^^O 

6« Calcaire compacie 2«,0 

7* Calcaire jaunâtre marneux peu fossilifère avec Strombus Santieri, 

Pholadomya elongata, Lucina Boyana et nombreux stylolithes. 11 '",0 

8« Marnes jaunes limoniteuses, bleuâtres par places, avec rares exem- 
plaires de la Pholadomya elongala 13™,0 

9» Calcaire jaune à grains verts renfermant çà et là des veines de 

limonite , 10"",0 

10<» Marnes jaunes, bleuâtres par places, avec grande abondance de 
Spalangus retuius, (VOs'.rea Coulonii, (i'Ostrea macroptera, 
de CorSis cordiformis, de Rhynchonella depressa, de serpules 
et de bryozoaires 11",0 

11» Marnes jaunes alternant par place avec des calcaires cbloriteux 
avec Terebratula prœlonga, Rhynchonella depressa et Ostrea 
BoussingauUi X^^fi 

l^o Calcaire Jaune spalique en bancs minces avec taches vertes, couvert 

çà et là de débris ô^Oslrea BoussingauUi 3â»,0 

13* Calcaire oolithique avec traces de polypiers et rares lests de 

cbamas 12",0 

Total . . . 122"»5 

Sur quoi les niveaux fossilifères les plus importants se répar- 
tissent ainsi qu'il suit : 

!• Niveau : Marnes bleuâtres avec Notices et Venus, n» 5 de la 

coupe, à 14<° delà base. 

â* Niveau : Marnes jaunes limoniteuses à Pholadomia elongala, 

n» 7 de la coupe, à 26" ~ 

3*» Niveau : Marnes jaunes bleuâtres par places à Spotongus 

n« 10 de la coupe, à 49"» — 

Caractères généraux. — Prédominance des marnes à la base. 
— Texture oolithique au sommet. 



iO. — 128 — 



Coupe de Foncine. 

Telle que je Texpose ici, cette coupe est le résultat du raccor- 
dement de deux coupes distinctes, dont Tune a été prise près du 
village de Foncine-le-Bas, où c*est le néocomien inférieur qui se 
montre le mieux, et l'autre à Foncine-le-Haut, où c'est au con- 
traire le néocomien supérieur qui est le plus visible. Le premier 
tronçon part du jurassique et monte jusqu*aux calcaires jau- 
nâtres qui supportent les marnes à Ostrea Coulonii, Tautre com- 
mence à ces marnes pour aller jusqu'à Turgonien. Je dois à 
Tobligeance de M. Barbaud, propriétaire de la carrière de gypse 
de Foncine, d'utiles renseignements sur les assises tout à fait 
inférieures. 

Voici quelle est la succession des dépôts en y comprenant les 
assises cachées par la végétation : 

1«. Marnes nacrées avec gros grains ooirs 5™ 

2o Alternance du calcaire jaune et de marnes bleuâtres 5™ 

ù° Marnes nacrées avec grains noirs analogues k celles du u** 1 . . . . 5'" 

4" Calcaire jaune sableux sans fossiles avec nombreuses saillies tor- 
tueuses , . . . . 10"" 

5<> Marnes bleues veinées de bandes jaunes avec Terebratula Marco- 

mans et Stylolithes 8™ 

6^ Alternance de calcaire bleuâtre et de marnes jaunes sableuses à 

serpules et bryozoaires "■» 

7» Calcaire jaunâtre marneux, parfois oolitbique avec saillies sinueuses 

ou stylolithes 5*» 

8<* Marnes bleues et jaunâtres avec Ostrea Couloniij Serpula socialis, 
Terebratula biplicata, Corbis curdiformis et quelques débris 
d'oursins 

9° Calcaire jaune en petits bancs à taches vertes et avec Ostrea Boussin- 

gaulti 15" 

10° Calcaire oolithique blanc avec quelques polypiers 6°* 

Il o Calcaire jaunâtre grumeleux à A/ij/NcAone//e« (/epre«5a 8*" 

12<> Marnes sableuses à nodules sans fossiles 3" 

13« Calcaire saccharoïde blanc, à cbamas 9"> 

14^ Calcaire oolitbique à gros grains avec chaux et polypiers 

I3« Calcaire compacte blanc légèrement veiné de rose avec nombreux 

lests de chamas dans la pâle 12" 

Total . . . 130* 



— 129 — M. 

Les principaux niveaux fossilifères sont ici : 

10 Le niveau 6 à serpules et bryozoaires, à 49™ 

2« — 8 à Ostren Coulonii, à 53°» 

o» — 9 à Ostrea BoussingauUi, à 58 

4* — 10 à Rhynchonella depressa, à 73 



m 
m 



G^est encore la texture marneu3e qui domine dans les pre- 
mières assises et le faciès oolithique dans les couches supé- 
rieures. 

Coupe de S t- Pierre. 

Cette coupe est prise au levant du village dans la direction des 
Chauvins où le calcaire urgonien est exploité comme pierre à 
bâtir. La végétation qui recouvre les assises les plus inférieures près 
de S*-Pierre ne me permet pas de dire s'il y a là du purbeckien 
ou non, mais les autres terrains de la série sont bien visibles. 

Ce sont les suivantes : 

1« Marnes jaunes à taches bleues avec Cardium et Nérinées .... 3™ 

2« Calcaire grumeleux à Terebratula Marcousana 7°' 

3» Calcaire saccbaroïde devenant oolilbique par places Qi" 

4» Calcaire jaunâtre en petits bancs avec traces d'entroques .... 8°» 

5^ Alternance de calcaire sableux et de marnes spbérolitiques en petits 
bancs, Ostrea, débris d'oursins, Terebratula biplicata, serpules et 
bryozoaires 14" 

6® Marnes jaunâtres sableuses avec Ostrea CouloniU Ostrea macroptera, 

Corbis cordiformis et quelques exemplaires de Janira atava . . IS"» 

7<> Calcaire en petits bancs et à taches vertes, jaunâtre en bas, mais 
devenant gris vers le dessus, nombreuses petites Ostrea voisines 
do VOstrea Boussingaulti I5<° 

8» Calcaire oolithique avec rbyncbonelles et quelques polypiers 

inconnus 12*" 

9« Calcaire jaunâtre marneux à Ostrea Boussingaulti et Janira atava . G*" 

10* Calcaire oolithique à polypiers 

Calcaire jaunâtre sans fossiles S*» 

Calcaire rosé compacte avec rares tests de cbamas 15°* 



Total . . . 124« 

Sans compter les couches invisibles, les niveaux fossilifères 
principaux sont : 

1° Les numéros 2 de la coupe à 3*° de la base. 

^ — 5,6,7 — 27*° — 

3» — 9 — 101» — 

IX. 9 



12 — 130 — 

Le faciès dominant des couches inférieures est encore le 
faciès marneux, mais déjà mélangé de calcaire; les couches supé- 
rieures se partagent entre la texture oolithique et la texture 
saccharoïde avec un petit niveau de marnes. 

Coupe des Rousses, 

Cette coupe a été prise assez loin du village des Rousses près 
du chalet de Tabagno, où le néocomien se trouve affaissé entre 
la montagne des Tufs et celle de la DôIe sous des inclinaisons 
qui varient très sensiblement d'un point à Tautre et qui feraient 
croire parfois à des discordances de stratification. 

J'y ai trouvé la succession suivante : 

1" Brèches à fragments noirs el gris dépassant souvent la grosseur de 

la main et plus ou moins masqués par la végétation ... . 4'" 

â» Calcaire blanc compacte, cristallisé par places 6™ 

3« Marnes jaunes sableuses à Pholadomya elongata, Strombus, Nadca 

sublevigala 5n» 

4" Calcaire blanc saccharoïde sans fossiles 4™ 

S*» Calcaire jaunâlre en petits bancs avec bryozoaires 12™ 

6» Alternance de marnes et de calcaires jaunes, plus ou moins perforés 
vers le dessus avec Spalangus relusus^Serputa socialis, Ostrea 
BoussingauUi^ Terebralula prœlonga 15"» 

7" Calcaire spaihique jaune en bancs minces et sans fossiles 0*» 

H"* Marnes sableuses avec lits de calcaire jaune renfermant VOstrea Cou- 

lonii,VOslrea macropler a el h Terebralula prœlonga .... 13" 

9" Calcaire en bancs minces de couleur jaunâtre et plus ou moins cou- 
verts de taches vertes, débris indéterminables d'0«frea .... 18" 

10° Marnes et cale, en petits bancs avec des rognons siliceux eiyam'raa/ava 8" 

11» Calcaire blanc, parfois oolithique, mais généralement saccharoïde et 

l)eu fossilifère 19" 

12^ Calcaire blanc avec chamas, pétri çà et là de grosses oolithes . . . 28" 

Total . . . 15Ô" 

Sur quoi les niveaux fossilifères principaux se répartissent 
comme il suit : 

lo Marnes jaunâtres sableuses à Pholadomya et Siromhus 

n» 3 de la coupe, à 1 0" de haut. 

â» Alternance de calcaires et de marnes à Spatangus, n<> 6 de 

la coupe, à 31" — 

50 Marnes sableuses à Oslrea Coulonii^ n» 8 de la coupe, à . . 55" — 

4° Marnes et calcaires en petits bancs à Janira^ n* 10 de 

la coui)e, à 86" — 

5" Calcaire saccharoïde, n» H de la coupe, à 103" — 



— i3i — 13. 

Ici les dépôts calcaires et marneux ont à peu près un égal 
développement dans les deux tiers inférieurs de la formation. 
Le sommet est principalement formé par les calcaires saccha- 
roïdes. 

Coupe de Montépile. 

Cette coupe, prise près du moulin de Montépile, a été donnée 
déjà par Ètallon, mais un peu différemment. Elle présente à 
.■non avis la succession suivante : 

1» Manies purbeckiennes nacrées renfermant quelques characées et des 

traces de Physa Wealdina 3m 

3« Calcair granuleux gris plus ou moins marneux passant en baul à des 

marnes bleuâtres d'aspecl purbeckien 9« 

Z^ Alternance de calcaire et de marnes avec stylolithes, Pholadomya 
elongata, Nalica prœlonga et rares exemplaires de Pigurus 
rostratus iH^ 

4^ Calcaire oolithique blanc, facilemenl désagrégeable et contenant 

quelques polypiers 5* 

S* Alternance de calcaires et de marnes d'aspecl jaunâlre, terminée par 
des marnes sableuses à nombreux stylolilbes, Terebratula prœ- 
longa et Panopea neocomiensis lO" 

^0 Calcaire jaune à Toxaster complanatus se terminant par des calcaires 

blancs subcompactes en bancs épais 12» 

7» Interruption due à des marnes que la végétation recouvre 13°* 

^^o Alternance de calcaire jaune miroitant et de marnes sableuses avec 

stylolithes, pboladomies et Ostrea Coulonii, surface durcie . . 31" 

Calcaire oolithique blanc avec quelques polypiers et térébratules voi- 
sines de celles du jurassique supérieur 25°* 

Calcaire saccbaroide avec test de chamas et rares veines d'oxyde de fer 18" 

Total . . . 133" 

Sur quoi Ton peut surtout signaler les niveaux fossilifères sui- 
' «ints : 

t ** Alternance de calcaire et de marnes avec stylolithes, Pho- 
ladomya elongata^ Natica prœlonga et rares exem- 
plaires de Pigunus rostratus, n° 3 de la coupe, à . . 12» de la base. 

^** Marnes sableuses à Terebratula prœlonga et Panopea 

neocomiensis^ n° 5 de la coupe, à 32" — 

^ Calcaire jaune à Toxaster, n» 6 de la coupe, à 51" — 

4« Alternance de calcaire et de manies sableuses à stylolithes, 

Pholadomyes et Ostrea Coulonii^ n<* 8 de la coupe, à . 78" — 

^ Calcaire saccharoïde à chamas, n<> 10 de la coupe, à . . 124" — 

Partage des marnes et des calcaires à peu près comme aux 
Rousses, dans les deux tiers des assises inférieures. Le sommet 
moitié oolithique, moitié saccharoïde. 



U. — i32 — 



Coupe de Cinquétral. 

Cette coupe va du moulin de Cinquétral à la forêt du Fras- 
nois en passant près de la croix qui domine le village de Cinqué- 
tral au levant. 

Les assises s*y succèdent ainsi qu^il suit : 

fo Marnes purbeckiennes nacrées 6">,00 

2o Calcaire rougeâtre compacte, sans fossiles 4™,00 

3<» Calcaire blanc oolii bique, mais peu désagrégeable, avec traces de 

polypiers 12»,00 

4* Calcaire compacte jaunâtre à Pholadomya elongala et Terebratula 

prœ'onga 5°>,00 

5<* Cale, oolithique plus ou moins désagrégeable avec amorpbozoaires . S^OO 

6<* Alternance de calcaire compacte jaune et de minces lits marneux 
bleuâtres avec Panopea Robinoldina^ Natica pseudo^ampulla 
et perforations de pbolaides à la partie supérieure 11%15 

?• Alternance de calcaire jaunâtre et de marnes jaunes feuilletées avec 
stylolitbes et quelques exemplaires de la Terebratula prœlonga. 

8<* Marnes jaunâtres à Toœaster complanatus, Terebratula prœlonga^ 

Ostrea Coulonii et Serpula socialis S^^SO 

9» Calcaire sableux jaunâtre, devenant gris p^r places et empâté de 

Aéhns 6e \ Ostrea BoussingauUi l^fiO 

10« Marnes jaunes sableuses à Serpula socialis et Ostrea Coulonii. . 4b,00 

11<> Calcaire oolitbique jaunâtre sans fossiles visibles f3"B,00 

12« Calcaire roux sableux à Mynchonella depressa etnérinées indé- 
terminables 3" ,00 

13<» Calcaire généralement oolitbique et blanc, mais parfois rose ou 

compacte avec amorpbozoaires et polypiers 12",00 

14" Calcaire jaunâtre ferrugineux sans fossiles 5»,00 

15« Cale fragmenté blanchâtre à texture saccbaroïde et test de cbamas 28ny00 

Total . . . Ii0n,65 

Sur quoi la succession des principaux niveaux fossilifères est 
la suivante : 

1» Niveau : Calcairecompactejauoâlre à PAo(adomva ehngata 

et Terebratula prœlonga^ n<> 4 de la coupe, à . . . 22«,00 de la base. 

2« Alternance de calcaire compacte jaune et de minces lits 
marneux bleuâtres avec Panopea Robinoldina, Natica 
pseudo-ampula et perforations de pholades à la partie 
supérieure, n« 6 de la coupe, â 30",00 — 

3« Marnes jaunâtres à Toœaster complanatus^ Terebratula 
prœlonga Ostrea Coulonii et Serpula socialis, n^ 8 
de la coupe, à 41"*,45 — 

4® Marnes jaunes sableuses à Serpula socialis et Ostrea 

Coulonii, n« 10 de la coupe, k 36'",80 — 

5« Calcaire fragmenté blanchâtre à test de chamas, n" 15 

de la coupe, à 92'»,85 — 



— 133 — i5. 

Faciès inférieur un peu moins marneux qu*aux Rousses et à 
S*-Pierre. Calcaires oolithiques et calcaire saccharoïde à peu près 
également développés au sommet. 



Coupe de la Landoz. 

Cette coupe a été relevée dans la combe de la Landoz, à quel- 
que distance de la Chaux des Prés depuis le purbeckien qui 
affleure à quelques pas du chemin de la Combe jusqu'à Turgo- 
nien visible dans les charrières qui sont à Test dans les bois de 
Corinlhe. 

Voici quelle y est la succession des couches : 

i^ Marnes gris bleuâlre avec spbérolitbes noirs sans fossiles . . . 1",50 

2* Calcaire grossier avec débris de bivalves 3<°,00 

3« Marnes noires sans fossiles mais avec spbérolitbes O^^SO 

4^ Calcaire blanc dolomitique 2"<*,00 

5<» Marnes grumeleuses bleues à nombreuses pbysa l'",40 

6<» Calcaire blanc saccbaroïde par places el oolilbique en d'auires 

points polypiers 8°*,00 

7« Calcaire jaune ferrugineux avec Strotnbus Sanlieri, Sigaretus 

Pidonceti à la base et Pholadomya elongata au sommet . . . Si^^OO 

8« Alternance de calcaire jaune el de marnes avec traces de pbolades 

et surface durcie à la partie supérieure iT^fiO 

9« Marnes jaunes ferrugineuses avec banc calcaire intercalé, Tere- 
bralula biplicala, Ostrea Coulonii, Toxaster et Serpula 
socialis 15»,00 

IQo Calcaire en plaquettes rose ou blanc à nombreuses taches vertes 

et débris d'entroques ÎS^.OO 

11 <» Calcaire oolithique ou saccharoïde avec quelques rares térébratules 

et polypiers I8™,00 

1 9* Calcaire saccbaroïde blanc avec longues veines rosées et nombreuses 

chamas 25-,00 

Total . . . lll«»,70 

Sur quoi les niveaux fossilifères les plus importants se répar- 
tissent comme il suit : 

1* Niveau : Marnes grumeleuses à physa du purbeckien, 

n<> 5 de la coupe, à &^,Z0 de la base. 

2" Niveau : Calcaire jaune à Strombtis Santien^ Sigaretus 

Pidonceti, Pholadomya elongata, n» 6 de la coupe, à 14'"00 — 

3* Niveau : Marnes jaunes ferrugineuses à Ostrea Coulonii, 

n® 9 de la coupe, à 36"»,00 — 

4* Calcaire saccbaroïde à chamas, n" 1 2 de la coupe, à . . 92°',00 — 



16. 



— 134 — 



Prédominance marquée du faciès calcaire à la base. Sommet 
divisé à peu près également entre le calcaire oolithique et le cal- 
caire saccharoïde à chamas. 



Coupe de Leschères, 

Cette coupe commence près de la maison de sur le Goulet- 
Rond et coupe le chemin de Leschères à la Landoz pour remonter 
vers la croix du Rivon. 

On y constate la série suivante en tenant compte de tous les 
moyens d'observation à droite et à gauche de la ligne qui vient 
d'être indiquée : 

i» Marnes nacrées avec des grains noirs parfois siliceux 3>" 

2» (ialcaire Jaune sans fossiles avec légère inlercalalion de marnes jaunes 7» 

3° Calcaire blanc à grosses oolilbes devenant saccharoïde par places. . 10™ 

4" Calcaire compact avec P/io/octomya e/o/igra /a là" 

5» Marnes sableuses jaunes à slyloliihes, Natica 1res nombreuses. . . 15"> 

0** Calcaire compacte jaune, gros bancs avec surface supérieure durcie . 4'" 

7» Alternance de calcaire jaune et de marne grumeleuse 15™ 

H» Marnes jaunes on bleues avec stylolilhes, Ostrea Coulonii, Ostrea 

macroptera, Toxaster complanalus, Serpula socialis 16" 

O** Calcaires jaunes en bancs minces, pétris d'entroques et ô^Ostrea 

^ou«smgrau/(t avec couches marneuses intercalées 18™ 

10« Calcaire oolithique ou saccharoïde blanc avec quelques polypiers et 

moules de nériuées 25™ 

11° Calcaire saccharoïde veiné çà et là d'oxyde de fer avec nombreux 

débris de chamas 10™ 

Total . . . 125™, 

Sur quoi Ton peut citer les niveaux fossilifères suivants : 

1« Nifeau : Calcaire compacte à Phoiadomya elongata^ xi^ A 

de la coupe, à 20™ de la base. 

2« Niveau : Marnes sableuses jaunes, etc., n^ 5 de la coupe, à 32™ — 

3« — Marnes jaunes à Ostrea Coulonii, Ostrea ma- 

croptera, etc., n« 8 de la coupe, à 66" — 

4« Niveau: Calcaire saccharoïde veiné d'oxyde de fer, n» 11 

de la coupe, à 115™ — 

A peu prés mêmes caractères qu'à la Landoz; marnes un peu 
plus développées vers le milieu de la formation. 



— 133 - 17 



Coupe de Vichaumois. 

Cette coupe commence aux maisons de Vichaumois qui sont 
les plus voisines de la ferme de Montenet et descend aux scieries 
dont le ruisseau de Leschères est bordé. 

On y trouve à partir des Dolomies portiandiennes : 

1» Marnes bleuâtres grumeleuses formant une dépression recouverte 

par les cultures et visibles seulement 2%50 

2o Calcaire jaunâtre compacte en gros bancs sans fossiles Ô^.OO 

Z^ Calcaire oolitbique rosé avec térébratules voisines de la Subsella 

et traces d'amorpbozoaires 8"» ,00 

4<> Alternance de calcaire jaunâtre et de marnes argileuses à Slrom- 

bus Santieri, Pholadomya elongala et bryozoaires 6"\00 

5» Calcaire jaune verdâtre chargé d'entroques et empâté de rognons 

de calcédoine à inclusions calcaires 7<>o,00 

6° Calcaire rosé à grosses oolilhes analogues à des grains d'orge et 

renfermant des valves de rO^/rfa fiou««tn(7au//i 12™, 00 

7* Alternance de calcaire grisâtre à taches vertes et de minces lits de 
marnes sableuses à Ostrea Coulomi, Ostrea Macroptera, 
Janira alava et Serpula socialis 27n»,00 

8o Calcaire saccharoïde gris,oolilhique par places, quelques polypiers 

et traces de chamas 20™,00 

9^ Calcaire saccharoïde blanc traversé par des veines avec nombreux 

cbamas, elc SO^OO 

Total . . . 1I4'",50 

Sur quoi les niveaux fossilifères principaux se succèdent de la 
façon suivante : 

!• Niveau. Calcaire oolithique rosé avec térébratules et 

amorpbozoaires, n* 3 de la coupe, à B'n.îK) de la base. 

2o Alternance de calcaire jaunâtre et de marnes argileuses, 

n» 4, â Strombtis Sautieri^ Pholadomya elongala, à . 1 O^jSO — 

7iP Alternance de calcaire grisâtre à taches vertes et de 
minces lits marneux à Oslrea Coulonii, Ostrea 
macroptera^ Janira atava, Serpula socialis, n° 7 de 
la coupe, à ÔS^.SO — 

4* Calcaire saccharoïde à chamas, n» 9 de la coupe, à . . lOi^^^SO — 

Faciès calcaire encore plus marqué qu*à la Landoz, dans les 
deux tiers des assises inférieures. Division h peu près égale au 
sommet entre les calcaires oolithiques et les calcaires saccha- 
roldeSy qui sont ici très colorés. 



18. ^ i3C — 



Coupe des Combes. 

Cette coupe traverse une série de pâturages et de bois depuis 
le hameau de Très-le-Mur, au sud duquel elle commence, jus- 
qu'à celui de Grand-Essart où se montre le Gault. Je Tappelle 
coupe des Combes parce que ce dernier hameau est à peu près 
à moitié chemin de son trajet. 

Voici la succession qu'y présentent les couches : 

lo Marnes grises nacrées avec sphérolitbes noirs roulés de la grosseur 

d'une noisette 1 "»,80 

2° Calcaire jaune compacte en banc de 0™,20 sans fossiles .... 3",00 

3° Marnes nacrées à couches assez régulières avec quelques exem- 
plaires de Planorbis Loryi 0«n,80 

4° Calcaire compacte en gros bancs couverts çà et là de lâches jaunes. Ci^iOO 

5" Calcaire oolithique avec térébratules, diceras ou chamas indéter- 
minables et nombreux polypiers t5™,00 

6*^ Marnes sableuses jaunes à Lima Royeriana, Cardium indétermi- 
nables, stylolithes et débris de silex 6™,00 

70 Calcaire compacte jaune en bancs épais sans fossiles 8°^ ,00 

8» Alternance de calcaire et de marnes à Ostrea Coulonii, Oslrea 

macroplera^ Terebratula prœlonga et Serpula socialis . . 12™,00 

9<* Calcaire jaune en petits bancs avec taches >erdùtres et débris 

ô'Ostrea BoussingauUi 10"",00 

IQo Calcaire spathique à Janira atava, Perua inconnu, Serpula 

socialis et Ammonite 1 2'",00 

11» Calcaire oolithique blanc à polypiers et bryozoaires de chamas . . 25" ,00 

12» Calcaire blanc saccharoïde avec nombreuses chamas et quelques 

polypiers IS^OO 

Total . . '. ni"»,60 

Sur quoi Ion peut citer les niveaux fossilifères suivants : 

1» Calcaire oolithique à térébratules, diceras ou chamas 

et nombreux polypiers, n'^ 5 de la coupe, à . . . . 1 \^,Q0 de la base. 

2° Marnes sableuses à Lima, Cardium, etc., n» 6 de la 

coupe, à 26™,60 — 

3<> Alternance de calcaire et de marnes à Ostrea Coutonii, 
Ostrea macroptera, Terebratuta prœtonga et Ser- 
pula socialis j n»» 7 et 8 de la coupe, à 40'",60 — 

40 Calcaire spathique à Janira atava^ n» 10 de la coupe, à . Oâ^njôD — 

50 Calcaire oolithique ou saccharoïde, à polypiers et chamas, 

n»» H et 12 de la coupe, à 74",60 et 99'n,60 — 

Marnes inférieures un peu plus développées qu'à Vichaumois. 
En retour le calcaire saccharoïde supérieur est moins épais et 
dépourvu de couleur. 



— 137 — 



i9. 



Coupe de Cuttura. 

La coupe dont il est question a été relevée en partie sur le 
chemin qui va du village de Cuttura à Valfin et en partie dans 
les pâturages qui Favoisinent. 

Elle présente au-dessus du jurassique la série suivante : 



1° Marnes nacrées grumeleuses sans fossiles 

2o Calcaire compacle jaune sans fossiles. . 

30 Marnes nacrées à Physa Wealdina 

4" Alternance de calcaire et de marnes jaunâtres avec Pholadomya 
elongata, Nerinea Marcousana 

5« Calcaire rose saccbaroïdo et oolithique par place avec traces de 
polypiers 

6<> Marno-calcaires sableux avec Serpula socialis et valves indéter- 
minables d'Ostrea 

7<> Alternance de calcaire et de marnes plus ou moins imprégnées de 
silice avec Serpula socialis abondante, Ostrea macroptera^ 
Ostrea Coulouii, Pleurolomaria Neocomiensis, Terebratula 
tamarinduSf Terebratula prœlonga 

8** Calcaire jaunâtre en petits bancs, plus ou moins couverts 
d'entroques, et tacheté de vert avec intercalation de petits lits 
marneux à bryozoaires et Terebratula prœlonga 

9<* Marnes grumeleuses sans fossiles et rognons siliceux . 

lO^* Calcaire oolithique avec polypiers et nombreuses chamas 

11<> Calcaire jaunâtre ou rose avec cliamas 

l^o Calcaire compacte blanc avec perforations 



1°»,50 
2",50 
0",25 

15«,00 

10«»,00 

5»,00 



Total 



23°»,00 

3",00 
lO^OO 
18»,00 
21 ",00 



124«»,25 



Les niveaux fossilifères les plus importants sont : 



1o Alternance de calcaire et de marnes jaunâtres, etc., 

n* 4 de la coupe, â 4>b,25 de la base. 

2* Marnes et calcaire imprégnés de silice avtc Serpula 

socialis, etc., u» 7 de la coupe, à S4™,25 — 

30 Calcaire jaunâtre en petits bancs plus ou moins couverts 

dVntroques et tacheté de vert, etc., n» 8 de la coupe, à 57",25 — 

À** Calcaire oolithique avec polypiers et nombreuses chamas, 

n» 10 de la coupe, à 75"",25 — 

A peu près même faciès que dans les trois coupes qui pré- 
cèdenf. La partie tout à fait supérieure de la formation parait 
dépourvue de fossiles. 



20. — 138 



Coupe de Lavans. 

Cette coupe a été prise pour les assises inférieures de Lavans 
à S^-Lupicin, suivant la rectification de la route qui se rend aux 
Grozets^ et complétée par des observations faites au voisinage de 
Prat sur des assises manifestement supérieures à celles que la 
rectification met à nu. 

Les couches s'y superposent comme il suit : 

1<> Marnes nacrées avec nombreux sphérolithes ei traces de lignite. . 4*" 00 

2» Calcaire blanc saccharoïde avec chaînas et lexture oolithique par 

place 15"»,00 

3° Marnes grises sableuses avec stylolilhes et S^rom6a« San/Zm . . S^SO 

40 Calcaire roux, spathique couvert de débris dVnlroques et de 

bryozoaires 8*,00 

50 Marnes sableuses bleuâtres et peu fossilifères en bas, jaunes et 

riches en O^^r^a Cou/onit au sommet 18,">00 

Qo Calcaire roux, grenu avec nombreux rognons siliceux à la base, 
taches vertes et texture plus compacte au sommet, Serpti/a 
socialis, Janira atava, Terebrntula tamarindus, Terebra- 
tulaprœlonga 23",00 

7» Calcaire rose oolithique sans fossiles 22"»,00 

S° Calcaire à chamas plus ou moins saccharoïde et veiné de ro^(' . . 25^,00 

Total . . . IIS^SO 

Sur quoi les niveaux fossilifères les plus remarquabirs sont: 

fo Niveau : Marnes sableuses à Strombus et styloliihes, 

n*" 3 de la coupe, à 19'" ,00 de la base. 

2* Marnes sableuses bleuâtres et peu fossilifères en bas, 

jaunes et riches en Oslrea Conlonii au sommet, à . . SO^SO — 

3<* Calcaire roux grenu à Serpula socialis^ Janira atava, 

Terebratula lamarindus^ Terebratula prœlonga^ à . 48%80 — 

40 Calcaire saccharoïde à chamas, à 93" ,80 — 

Réapparition du faciès marneux presque complètement perdu 
vers Vichaumois et Cuttura. Nombreux rognons siliceux dans 
les couches moyennes. Fossiles rarrs dans les calcaires ooli- 
thiques voisins du sommet. 



— 139 — 21. 



Coupe de Charix. 

Cette coupe monte du moulin de Charix au village du même 
nom suivant les contours du chemin. J*y ai trouvé la succession 
suivante à partir du portlandien : 

1<> Marnes purbeckieunes, nacrées ou bleuâtres avec sphérolithes et 

Planorbis Loryi S» 

2<> Calcaire compacte sans fossiles 12*" 

S» Calcaire saccbaroîde en gros bancs avec rares débris de polypiers. . 9"» 

4» Alternance de calcaire et de marnes jaunâtres sableuses avec lucines 

à la base, Pholadomya elongata et Nerinea gigantea au sommet. 14'" 

5*^ Calcaire jaunâtre sans fossiles 8<" 

6o Calcaire jaunâtre en petits bancs minces avec débris assez nombreux 

d'entroques et iïOslrea Coulonii 6"» 

1^ Alternance de marnes sableuses et de calcaire jaune compacte à la 
base, oolithique au sommet avec Ostrea Coulonii^ Terebratula 
prœlonga et Rhynchonella depressa dans les marnes Sî™ 

Cette formation est masquée çà et là par du glaciaire. 

8<» Calcaire compacte avec tests de nérinées 14'" 

9» Alternance de calcaire compact et de calcaire oolithique sans fossile . 18'" 

10<* Calcaire rosé, tantôt saccbaroîde, tantôt oolithique, avec nombreux 

débris de chamas 45'" 

Total . . . 167»» 

Sur quoi les principaux niveaux fossilifères sont les suivants : 

1 • Marnes nacrées, n» 1 de la coupe, à O^odelabase* 

29 Alternance de calcaires et de marnes, etc., n° 4 de la 

coupe, à 29"" — 

3<* Alternance de marnes sableuses et de calcaire jaune, n» 8 

de la coupe, à 58«" — 

4<* Calcaire rosé avec nombreux débris de chamas, à . . . . lâS» — 

Retour au faciès marneux encore plus marqué qu*à Lavans. 
Grande épaisseur des calcaires supérieurs. 

Coupe d'Ilay, 

Cette coupe commence près du hameau de la Fromagerie^ où 
86 montrent les marnes à Planorbis Lorgi, pour se terminer sur 



22. — 140 — 

le chemin dllay à Ghaux-du-Dombiel, à un petit pli de terrain 
renfermant du gault. 
Voici ce que j*y ai pu constater au-dessus du portlandien : 

1«> Marnes blanches sans fossiles avec quelques nodules roulées . . . 3™,00 

2° Calcaire marneux jaunâtre avec Venus Ricordiana el Terebratula 

bipUcata i . 2",00 

5<^ Calcaires marneux avec enclaves granuleuses et Planorhis Lorgi . tm.SO 

40 Marnes jaunes à Strombus Santieri, Terebratula biplicata el 
Rhynchonella depressa alternant par places avec des calcaires 
également jaunes 8'',50 

50 Calcaire ooliihique blanc avec polypiers et débris de diceras ou de 

chamas 4" ,00 

6« Marnes jaunes argileuses alternant plus ou moins avec des cal- 
caires rosés, et contenant Spatangus relusus, Corbis cordi' 
formiSf Ostrea Couloniit Terebratula prœlonga i2",00 

7<> Calcaire spathique en lames minces plus ou moins écrasé par com- 
pression i0%00 

8» Calcaire saccbaroïde très fragmenté et plus ou moins traversé de 
veines ferrugineuses, tests de chamas rares et presque mécon- 
naissables 13™,00 

Total . . . 54»,00 

Sur quoi les niveaux fossilifères principaux sont : 

1° Calcaire marneux jaunâtre avec Venus Ricordiana et 

Terebratula biplicata Z^ftO de la base. 

2« Marnes jaunâtres à Strombus SanUeri, Terebratula 
biplicata et Rhynchonella depressa alternant par 
places avec des calcaires également jaunes, à . . . 6^,50 — 

30 Calcaire oolithique blanc avec polypiers et débris de 

diceras ou de chamas, à 1 5^,00 — 

40 Marnes jaunes argileuses à Spatangus retusus, Corbis 
cordiformis^ Ostrea Coulonii, Terebratula prœlonga, 
n*' 6 de la coupe, à 19"',00 — 

Réduction considérable de la formation. Partage à peu près 
égal entre le faciès marneux et le faciès calcaire. 



Coupe d'ÊlivaL 

Cette coupe a été relevée presque tout entière près des mou- 
lins d*Ëtival à quelques pas de la ferme de la Crochière. Seule- 
ment, comme en ce dernier point les formations inférieures sont 



- Ui - 23. 

masquées par la végétation, j'y ai suppléé par des observations 
faites à quelque distance de là sur le nouveau chemin desCrozets. 
Les assises m'ont paru s'y succéder comme il suit : 

1<* Marnes nacrées avec sphérolithes noirs ou gris de la grosseur d'une 

noiseUe à celle d'une noix 2™,50 

S** Marnes jaunâtres ou grisâtres avec Terebratula prœlonga et 

débris à^Oitrea et d*autres bivalves 5™,00 

• 

3<> Marnes blanchâtres grumeleuses, voisines de celle de la formation 1 

en gros bancs i"^0 

A^ Calcaire blanchâtre ou bleu avec grosses oolitbes engagées dans la 

pâte, sans fossiles 1 6°^ ,00 

5<> Marnes sableuses jaunâtres ou bleues, passant au calcaire jaune 
dans leur partie supérieure, Ostrea Coulonii, Corbis cordifor- 
mis^ Terebratula prœlonga^ Spatangus retusus et traces rares 
ûe Serpu!a socialis IS^jOO 

6<> Calcaire jaunâtre tacheté de vert en bancs minces i3<n,00 

7<> Calcaire blanc rosé à cbamas très peu visible 18>°a,%0 

Total . . . 74«>,20 

Les niveaux fossilifères principaux sont les suivants : 

1« Niveau : Marnes à Terebratula prœlonga^ débris d'Ostrea 

et d'autres bivalves, n^ 3 de la coupe, â ^■",50 de la base. 

2« Marnes sableuses jaunâtres ou bleues à Ostrea Coulonii, 
Corbis cordiformiSy Terebratula prœlonga, Spatan^- 
gus retusus et traces rares de Serpula socialis, n^ 5 
de la coupe, à 25°>,00 — 

^ Calcaire rose â chamas, n» 7 de la coupe, à SBi^jOÛ — 

Faciès littoral dans les dépôts inférieurs granuleux ou pétris 
de grosses oolithes. Partage à peu près égal entre les marnes et 
les calcaires. Réduction comme à Ilay. 



Coupe de Lezat et des Mouilkz. 

Cette coupe provient du raccordement des formations néoco- 
miennes de Lezat et des Mouillez, qui sont distantes seulement 
l'une de l'autre de quelques centaines de mètres et qui ne sont 
pas également observables aux deux localités. A Lezat, par 
exemple, ce sont les assises inférieures que l'on aperçoit le mieux, 
aux Mouillez ce sont les supérieures. 



24. — U2 — 

Voici la succession que j'y ai trouvée à partir des Dolomies 
portiandiennes très visibles du côté des Villars : 

lo Marnes gris-perle sans fossiles avec spbérolithes noirs allant de la 

grosseur d'une lenlille à celle d'une noix 2%50 

2<> Alternance de calcaire jaune en bancs minces avec lits marneux et 

test indéterminables de bivalves 10%00 

3° Calcaire oolitbique à térébratules analogues à celles du corallien et 

nombreux amorphozoaires 6">,00 

4° Calcaire verdàtre à texture serrée sans fossiles 5" ,00 

5<* Calcaire roux et peu consistant en lames minces avec Lucina 

Rouyana^ Natices et rares exemplaires de Pholadomya elongata. S^jOO 

6o Marnes sableuses jaunâtres ou bleues avec Ostrea Coulonii^ Corbis 

cordiformiSt Terebralula prœlonga O^^OO 

70 Calcaire marneux, jaune avec bryozoaires au sommet 12",00 

80 Calcaire oolitbique désagrégeable avec traces de polypiers; le cal- 
caire à cbamas semble faire défaut 10%00 

Total . . . 72» 50 

Sur quoi les niveaux fossilifères les plus importants sont : 

io Niveau: Calcaire oolitbique à térébratules et à amor- 

pbozoaires, n» 3 de la coupe, à 13°>,50 de baut. 

2o Niveau : Calcaire roux peu consistant en lames minces à 
Lucina Roujana, Pholadomya elongata, n^ 5 de la 
coupe, à 23'»,50 — 

3* Niveau : Marnes sableuses jaunâtres ou bleues avec Ostrea 
Coulonii, Corbis cordiformiSf Terebratula prœlonga, 
n° 6 de la coupe, à Sl^jSO — 

Prédominance du fncios calcaire à la base de la formation. 
Développement marqué du dépôt coralligère oolitbique que Ton 
observe aux Combes, à Leschères, etc. 

L'ensemble de ces coupes démontre d*abord que le néoco- 
mien est loin d'avoir la même épaisseur et que celle-ci est en 
général beaucoup plus grande vers les hautes chaînes que du côté 
de Touest. Les localités d'ilay et d'Etival, où il ne montre qu'une 
puissance de 70 à 80 mètres, sont en effet à la limite occiden- 
tale de la surface qu'il occupe et à uhe faible distance de la vallée 
de l'Ain, tandis que celles de Foncine, de Montépile, des Rousses 
et de ChariXy où il est le plus développé, sont très voisines de la 
Suisse. Dans Tintervalle, son épaisseur varie assez régulièrement 
enlre 110 et 130 mètres, à l'exception cependant des localités de 
Lézat et des Mouillez où les formations supérieures sont moins 



-- 145 -- 25 

puissantes qu*ailleurs. Peut-être Férosion les a-t-elle enlevées, 
peut-être existait-il là des conditions spéciales qui ne lui ont pas 
permis d*acquérir le même développement qu'ailleurs. 

Pour ce qui regarde la texture des assises, on voit sans peine 
que les plus élevées présentent toutes, sans exception, le faciès 
calcaire, tantôt oolithique, tantôt saccharoïde ou plus ou moins 
compacte. Mais les inférieures n'offrent plus la même uniformité. 
Généralement marneuses à Foncine, aux Rousses, à Montépile 
et à Charix, elles se mêlent de calcaire vers Ginquétral, Cuttura, 
S*-Lupicin, Leschères, S*-Pierre et Nozeroy, puis elles se mon- 
trent presque complètement calcaires à Vichaumois, à Leschères, 
à Lézat, à la Landoz, à Etival et à Ilay. 

A ce passage au calcaire se rattache dans les premières assises 
de la formation Tapparition d'un faciès oolithique à polypiers et 
aroorphozoaires qui est bien accusé aux localités des Combes et 
de Lézat à partir desquelles il diminue vers Ilay et Etival à 
Touest; Leschères, Cuttura et S^-Lupicin au sud; Cinquétral, 
S*-Pierre et les Rousses à l'est et au nord. C'est le faciès déjà 
signalé par M. Bertrand à Lézat. On ne trouve ailleurs ce faciès 
qu'au n** 8 de la coupe de S'-Pierre, au n** 10 de celle de Fon- 
cine, au n"" 1 1 de celle de Cinquétral et au n"* 8 de celle de Charix 
qui sont beaucoup plus haut, et encore dans ces deux dernières 
localités les débris organiques semblent-ils faire défaut. 

Le purbeckien, sur lequel repose tout l'ensemble, présente 
aussi des caractères qui sont très dignes de remarque. On con- 
State, en effet, qu'à Etival, à la Fromagerie, aux Combes, à Cuttura 
et à la Landoz, les marnes nacrées qui en forment la principale 
masse se répètent à deux niveaux différents, comprenant dans 
leur intervalle des bancs calcaires qui ne se distinguent que 
diflScilement des assises qui viennent au-dessus. La texture de 
ce curieux dépôt varie aussi d'une façon très sensible. Il est, en 
effet, des localités telles que celles des Combes, de Vichaumois 
où les sphérolithes sont rares. Tout au plus les marnes sont-elles 
légèrement granuleuses; mais il en est d'autres, comme Lavans, 
les Crozets, la Landoz et Mièges, où ces sphérolithes sont 
abondants, et quelques-uns où l'ensemble du purbeckien est 



as. — lu — 

constitué par ooe poissante brécbe. Cest soos eet aspect qull 
se présente, non seulement aux Rousses et sur tout le revers 
occidental de la Dôle, mais encore dans la Combe de Morbier 
et au pied du col de la Savine du c6té de S^-LaurenL On voit 
là des blocs anguleux de couleurs diverses et d^une grosseur 
comprise entre celle d*une noix et celle de la tète s^éleodre en 
masse qu*on serait presque tenté de prendre pour des débris 
gbeiaires agglutinés si les assises qui les surmontent n>n iaisaient 
connaître Tàge. Je ne puis leur assigner moins de 15 mètres à la 
Dôle où ils s*étalent encore à deux niveaux, comprenant des 
formations plus régulières dans leur intervalle. Enfin, aux deux 
localités de Lavans, près de S^-Claude et de Cbampformier im 
peu au levant de Charix, le purbeckien présente d*assex nom- 
breux débris de lignites. Quant aux assises supérieures, bien 
qu'elles soient calcaires dans leur ensemble, il y a lieu d*y dis- 
tinguer un niveau très manirestement oolithique et un autre à 
texture plus serrée. Le dernier couronne presque partout le 
néocomien et renferme de nombreux débris de cbamas qui ont 
déterminé les géologues à en faire le sous-étage urgonien. Le 
second, plus pauvre en débris de cette nature, mais assez riebe 
en polypiers, forme tantôt une masse unique supportant le 
calcaire à chamas, comme cela a lieu surtout à la Landoz, à 
Leschères et aux Combes, tantôt des niveaux multiples entre 
lesquels s'intercalent soit des calcaires compactes blancs, soit des 
calcaires jaunâtres marneux, soit des couches plus ou moins 
épaisses du calcaire saccharoîde à chamas qui finit par le recou- 
vrir. Les marnes jaunes n** 9 de la coupe de S'-Pierre et le n* 13 
de celle de Cinquétral sont des enclaves de cette nature. 

Aux trois localités de Charbonny, de Lézat et dllay, les 
chamas sont tellement rares que je suis porté à croire que le 
néocomien n'y a pas son dernier couronnement. Ce couronne- 
ment est en général d'autant plus épais qu'on se rapproche 
davantage des hautes chaînes, comme l'indiquent les coupes de 
Leschères, de Lavans, de Montépile, de Foncine, des Rousses 
et de Charix. On peut remarquer à la texture de plusieurs des 
coupes précédentes qu'il présente en plusieurs points une teinte 



~ 145 — 27. 

Tosée ou qu'il est traversé par des veines d'oxyde de fer qui le 
font exploiter comme marbre dans le voisinage de Prat. Ce 
caractère ne lui est cependant pas essentiel, car il est aussi sou- 
vent d'un beau blanc de sucre. La preuve que les marnes qui le 
traversent ne lui sont pas contemporaines est qu on les voit passer 
souvent de la base au sommet de la formation ou se porter 
même vers les marnes qui forment la partie moyenne du néoco- 
mien, offrant ainsi les caractères d'éjections effectuées après 
coup. Je laisse à d'autres (i;éologues d'en déterminer l'âge. 

Il n'en est pas absolument de même de certains silex qu'on ren- 
contre vers le milieu du néocomien. Ceux-ci, en effet, suivent si 
bien la disposition des assises qu'ils doivent être de même âge 
qu'elles. 

C'est entre Lavans et S*-Lupicin qu'ils se montrent surtout 
abondants (formations portant le n" 6 de la coupe précédemment 
donnée). 

A partir de là, on les voit diminuer, soit dans la direction de 
Vichaumois, soit du côté de Cinquélral. Chose curieuse, on 
trouve assez souvent dans leur intérieur des cristaux parfaite- 
ment nets de carbonate de chaux, bien qu'aucune cavité ni 
aucune fissure ne puissent laisser supposer l'introduction du cal- 
caire par l'intermédiaire de l'eau. 

Aux différences de faciès correspondent aussi des différences 
de faune assez intéressantes à noter. 

Nous venons de voir, en effet, qu'un peu au-dessus du pur- 
beckien l'apparition d'un faciès oolithique entraînait l'apparition 
de polypiers, et que vers le sommet du néocomien les chamas 
se trouvent plus spécialement localisés dans les calcaires saccha- 
roïdes. Dans l'intervalle de ces deux dépôts on constate aussi 
une subtitution marquée d'espèces à d'autres suivant la struc- 
ture des couches. Ainsi, tandis qu'à Mièges les oursins, la Cor- 
éis cordiformis, VOstrea Coulonii vi VOstrea macroptera sont 
abondantes, vers le milieu du dépôt on les voit devenir plus rares 
aux Rousses. A partir de ces localités vers le sud-ouest, VOs- 
trea Coulonii continue à se montrer quoique moins abondante. 
VOstrea macroptera fait très souvent défaut, ainsi que les 
IX. 10 



28. — 146 — 

oursins. La Corbis cordiformis disparait tout à fait. Quant aux 
bryozoaires, si nombreux près de la croix de Genseau et près des 
ponts de Mièges et de Doye, on les voit diminuer peu à peu à 
gLPierre, à Vichaumois et à Guttnra et dans la direction des 
Rousses et de Septmoncel pour ne réapparaître en abondance 
que du côté de Gharix. Les entroques dont certains bancs 
calcaires sont couverts paraissent avoir leur maximum de déve- 
loppement dans le voisinage de Vichaumois etdeS'-Lupicin.Pour 
les serpules, c'est à Nozeroy, S*-Pierre, Guttura et S^-Lupîcin 
qu'elles abondent le plus, spécialement la Serpula socialis. Enfin, 
la Pholadomya elongata, que Ton trouve à la base du néocomien, 
et la Janira atava, qui se montre aux deux tiers de sa hauteur, 
paraissent avoir leur maximum de développement vers les loea- 
liiés de Mièges et de S*-Pierre à partir desquelles elles deviennent 
plus rares vers le sud. 

Je dois dire ici que, malgré mes actives recherches, il n'y a 
que deux gisements néocomiens, ci-dessus mentionnés, qui 
m'aient fourni des Géphalopodes. Ge sont ceux de Mièges et des 
Gombes. Peut-élre serai-je plus favorisé dans la suite; mais 
j'opine à croire, en attendant, que leur nombre est beaucoup 
moins grand que ne l'indiquent frère Ogérieret M. Marcou. 

Une seule localité m'a fourni, vers la base du dépôt, une 
faune de Gastéropodes abondante. G'est celle de Leschères. 
J'ignore s'il faut rattacher à cette faune les quelques Gastéro- 
podes des genres Nalices etNérinées que l'on observe à peu près 
au même niveau à Septmoncel et à Lézat. 

l)ne chose aussi curieuse à noter est la rareté des débris 
organiques dans les marnes néocomiennes dont la teinte est 
bleuâtre. Le fait est surtout sensible vers le milieu de la forma- 
tion,; l'on y voit VOstrea rou/o/itï disparaître partout où cette 
teinte bleue devient prédominante. 

Quoi qu'il en soit, cependant, de l'influence plus ou moins 
grande de tel ou tel genre de dépôt sur la manifestation de la 
vie, on ne saurait trop reconnaître que les anciens auteurs ont 
eu raison de prendre cette même Oslrea Coulonii comme carac- 
téristique du néocomien moyen du Jura. C'est, en effet, le fossile 



- 147 — 29. 

qui s'y montre le plus abondant et qui s'y maintient le mieux 
du nord au sud. 

Pour les assises inférieures, il me semble qu'on ferait bien de 
supprimer toutes des dénominations de Roches d'Auberson, de 
Limonite de Métabief, etc., ou autres équivalentes qui les dési- 
gnent chez beaucoup de géologues jurassiens, pour adopter 
celui de couches à Philadomya elongata. Car c'est de tous les 
fossiles de ce niveau celui qui parait se maintenir le mieux et 
qui est le plus facile à reconnaître. 

Quant aux assises urgoniennes, je ne verrais à modiGer dans 
leur dénomination que l'expression trop exclusive de Calcaire à 
Chamas. J'aimerais qu'on y fit mention du faciès à Polypiers, 
qui n'y fait que rarement défaut. 



III. — DlTlalona à, établir dans le né«e«Hiieii el leurs llHiltes. 

Ainsi entendu, le néocomien du Jura comprendrait trois divi- 
sions dont la limite peut, ce me semble, être assez facilement 
précisée. 

Lorsque, en effet, on se reporte aux coupes qui précèdent, on 
trouve presque toujours une ligne de séparation nettement 
accusée entre les formations à Pholadomya elongala^ qui sur- 
montent immédiatement le jurassique, et celles à Ostrea Cou- 
lonii qui se rencontrent plus haut. 

Cette ligne est, par exemple : 

À Foncine, dans les marnes à Serpules et à Bryozoaires, n® 6 
de la coupe; 

A Saint-Pierre, dans la partie supérieure de marnes sembla- 
bles el de même faune, marquées n^ 5; 

A LeschèreSy entre le dépôt calcaire n"* 6 de la coupe, qui se 
termine par une surface durcie, et les alternances de calcaires et 
de marnes portant le n® 7 ; 

A la Landoz, au-dessus des formations n^ 8 de la coupe, 
qui se terminent également par une surface durcie et des trous 
de Pholades; 



30. — 148 — 

A Vichaumois, à la terminaison des marno-caleaires à Bryo- 
zoaires, n*" 4 de la coupe ; 

A Culturoy à rassise marno-calcaire sableuse où domine la 
Serpula socialis^ n^ 6 de la coupe ; 

A LavanSy immédiatement au-dessus de la formation n"* 4, où 
se montrent les Bryozoaires ; 

A Cinquélraly au-dessus de Tassise n® 6, percée de trous de 
Pholades; 

Aux Rousses, dans les couches supérieures du dépôt n® 5, qui 
renferment des Bryozoaires. 

Ce qui montre qu'en somme partout où les assises n'ont pas 
été trop fortement bouleversées ou bien où la végétation ne les 
recouvre pas, un dépôt d'eaux peu profondes, tantôt riche en 
Bryozoaires et en Serpules, tantôt percé de trous de Pholades, 
sépare le néocomien inférieur du néocomien moyen. 

Quant à ce dernier, sa limite supérieure est tout indiquée par 
la disparition des teintes jaunes du calcaire et des marnes et par 
l'apparition des teintes blanches qui caractérisent l'urgonien. 
A ce changement de couleur correspondent aussi des change- 
ments très notables dans la faune. Plus ou presque plus d'Ostrea, 
plus de Serpules, plus d'Oursins, mais seulement des Polypiers, 
quelques Térébratules et des Chamas. De plus, les rognons sili- 
ceux que l'on trouve dans le néocomien moyen, tant à Lavans 
qu'à Guttura, les marnes sableuses à Sphérolithes qui s'observent 
à Foncine, les Nérinées roulées qui se montrent à Cinquétral 
prouvent qu'à cette époque du néocomien la sédimentation ne 
s'effectuait pas partout à l'abri du mouvement des flots. 

D'après ces divisions, le néocomien inférieur aurait à peu près 
30 mètres de puissance, le néocomien moyen de 30 à 45 mètres 
et le néocomien supérieur de 20 à 50 mètres, suivant les localités. 

Nozeroy, Foncine, Saint-Pierre, Les Rousses et Montépîle 
seraient les localités où les deux premiers étages offriraient leur 
plus beau développement. 

Charix, Les Rousses et Lavans, celles où l'urgonien attein- 
drait la p*us grande puissance. 



— i49 ~ 3i. 

Ce serait aux dépens du plus inférieur de ces étages que les 

9 

formations d'Elival et dllay se trouveraient amoindries, comme 
si la mer, après la formation d'eau douce du purbeckien, n'était 
revenue que tard du côté de l'ouest. 

Par contre, la faible épaisseur de l'urgonien près de Mièges 
ferait croire que cette partie du Jura n'était plus dans les condi- 
tions voulues pour recevoir des dépôts sédimentaires à une 
époque où ceux-ci se formaient encore abondammeni près des 
Rousses et de Gharix. 



52. 



— 150 — 



EXPLICATION DES PLANCHES. 



i. — Coupe générale des formations jurassiques et néocomiennes de 
Montépile à Pontoux, montrant les plis du néocomien et les compres- 
sions subies par les marnes de cet étage ou leur disposition comme 
à Montépile. 

LÉGENDE. 



i. Lias. 

3. Jurassique inférieur. 

3. — moven. 



4. Jurassique supérieur. 

5. Néocomien. 



l« 9. — Coupe du néocomien et du jurassique depuis la ferme de Peloset 
jusqu'à la montagne de Ravilloles. 

LÉGENDE. 



i. Ptérocérien. 

% Calcaire portlandien inférieur. 
3. Dolomies portiandiennes (plis- 
sées). 



4. Purbeckien (perdu sous les dolo- 

mies plissées). 

5. Néocomien inférieur. 

6. Marnes à Ostrea Coulonii. 

7. Urgonien. 



!• S. — Coupe des Frasses aux Bez en passant par le lac de Fabbaye. 



i. Porilandien. 

â. Purbeckien (souvent perdu à gauche). 

3. Néocomien inférieur. 



LÉGENDE. 

4. Marnes à Osirea Coulonii (écra- 
sées vers la gauche,. 

5. Urgonien. 



M* 4. — Coupe du néocomien et du jurassique entre le village des Prés el 
le bois de la Sourda en passant par le Rivon. 



i. Oxford ien. 

% Formation à Cidaris florigemma, 

3. Corallien inférieur et astartien. 

4. Ptérocérien. 

5. Portlandien inférieur. 

6. Dolomies portiandiennes perdues 

k gauche de la figure. 



LÉGENDE. 

7. Purbeckien également perdu. 

8. Néocomien inférieur. 

9. Marne k Ostrea Coulonii écrasées 
vers la gauche. 

10. Urgonien. 



-I 



151 — 1. 



PROPRIÉTÉS NOUVELLES 



DU 



PARAMÈTRE DIFFÉRENTIEL 

DU SECOND ORDRE 

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES; 

PAR 

M. HATON DE LA GOUPILLIÈRE 

liiai>eciear général des ininra, 
Membre de l'Iniliiut. 



PREMIERE PARTIE 

Délermlnalloiifl fondameiilalea 



PRÉLIMINAIRES. 

i. Les recherches de mécanique et de physique mafhéma- 
tique ont depuis longtemps attiré Tattention des géomètres sur 
lopération analytique représentée par le symbole : 

d* d' (P 

(1) 1 1 f 

^ f/x* dy' dz' 

et appliquée à une fonction de trois variables indépendantes. On 
sait, par exemple, que le résultat sera toujours identiquement nul 
si cette fonction représente le potentiel d'un point soumis à 
Taction de la gravitation de la part d'un système matériel quel- 
conque dont il ne fait pas partie, ou encore si elle exprime la 
température d*un corps homogène en équilibre thermique, ou 



2. — 152 — 

enfin la dilatation cubique d'un solide non cristallisé en équi- 
libre d'élaslicité. Il en est encore de même quand il existe pour 
un liquide en mouvement une fonction dont les dérivées par- 
tielles fournissent en chaque point les composantes de la vitesse. 
Lamé considérait cette opération comme constituant « une 
» dérivée naturelle^ plus essentielle, plus simple et en même 
» temps plus complète que toutes les dérivées partielles choisies 
» plus ou moins arbitrairement, que Ton a Thabitude de consi- 
» dérer (*). » Il la désignait à Taide du symbole A^ pour la dis- 
tinguer d'une autre opération qu'il représentait par A^. Il les 
nommait Tune et l'autre paramètres différentiels du premier et 
du second ordre. Mais il avait également proposé pour As le 
nom A'augment (**\ qui est plus simple et que nous emploierons 
de préférence ici pour abréger le discours. M. Boussinesq en a 
éclairci la nature d'une manière 1res intéressante (***), en mon- 
trant que le tiers de cet augment est la valeur moyenne des 
dérivées secondes prises pour toutes les directions possibles 
autour du point qui a pour coordonnées x, y, z. 

9é L'opération qui consiste à répéter deux fois de suite celle 
de l'augment présente également par elle-même une grande 
importance. On sait, par exemple, que son résultat sera de 
même identiquement nul si on l'applique à l'expression des com- 
posantes des forces élastiques d'un solide en équilibre, ou encore 
aux projections des déplacements moléculaires d'un corps 
vibrant. L'équation différentielle qui égale à zéro le double 
augment A2A2 d'une fonction de trois variables, a fait l^objet d'un 
intéressant travail de M. E. Matthieu (*^). Cette opération, qui 
revient à la suivante : 

d' d* c/* f/* ^ d' ^ d' 

— ^ -♦- — . -4- -— H- 2 -T-T-— -♦- 2 —— - -4- 2 



rfx* rft/* dz' dx^dy dyhlz" dz'dx' 



[*) Lamé, Coordonnées curvilignes, p. 25. 
(•*) Ibidem, p. 28. 

(***) Boussinesq, Application des potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement 
des corps élastiques, p. 44. Paris, 4886, chez Gauthier-Villars. 
(") Journal de mathématiques pures et appliquées, 2« série, t. XIV, p. 378. 



— i57 — 7. 

5. Il est, du reste, facile et il ne sera pas inutile, puisque nous 
n'avons eu égard jusqu'ici qu'à des conditions nécessaires, de 
vérifier à posteriori que ces fonctions jouissent en effet de la 
propriété voulue. On a, à cet égard, pour la première (5) : 

df X — a 

dx f 

et, pour une fonction quelconque fde(p: 

'h. 

^f(f) fn., d, X-a dx . n,) 



dx* dx 



f ? ? 






r ?* 



En ajoutant cette égalité avec celles que Ton obtiendrait en diffé- 
rentiant relativement h y et z, il viendra : 

AA.) = 3^^ !(,_.)..(, _p)V(.-r)'i \^-^-f^ 

f { ) ( f ? 

et finalement cette relation essentielle : 

(7) àf(f)^r{f)-^'^—' 

6. On a de même, pour lexpression (6) : 

dit 
^dx"^^ I'^IJ^ — «) — «(.y — P)! — cja(z — r) — c(x — a){, 

et comme a, 6, c désignent les cosinus des angles d'une droite 
avec les axes rectangulaires : 

d* (1 — a*) (j — a) — ab{ij — p) — ac{z — y) 

■ ■ ' ■ • 

dx * 



4. — i54 — 

démonstration s'appliquera alors au premier augment pour 
atteindre le second, puisque le caractère fondamental aura déjà 
persisté en passant de la fonction proposée à ce premier aug- 
ment. Notre point de départ doit donc être la détermination, 
dans toute sa généralité, de la fonction typique cp capable de cette 
propriété. 



II 



RECHERCHE DE LA FONCTION TYPIQUE. 



4. On a pour cela identiquement : 

dx dx 

Si Ton imagine des équations semblables pour les variables // 
et z et qu'on les ajoute à cette dernière, il viendra : 

On demande que le second membre ne dépende que de (p, 
quelle que soit la fonction/*. Il faut donc, et il est en même temps 
suffisant, qu il en soit de même individuellement de chacun 
des coefficients : 



ÊrMS'-Ê)='-- 



\dy 

h désignant précisément ce que Lamé appelait le paramètre diflfé* 
rentiel du premier ordre de la fonction inconnue (f. 

Imaginons la famille de surfaces représentée par Téquation : 

(2) ^(x, y, «) = constante, 

en donnant à la constante successivement toutes les valeurs pos- 



— i55 — 5. 

sibles. On sait qu'alors (*) h marque en chaque point de l'espace 
le rapport ^, si d(p est la différence des constantes qui carac- 
térisent la surface menée par ce point et celle qui en est infini- 
ment voisine, et dn la longueur de normale interceptée entre 
elles au point considéré. Puisque la fonction 9 doit être telle 
que A, c'est-à-dire j^» ne dépende que de 9, et qu'en même temps 
? reste constant sur toute l'étendue de la surface, il en sera de 
même de ^. Mais (p-hdo garde aussi une même valeur sur 
toute l'étendue de la seconde surface. Donc ^9 est lui-même 
invariable, et par suite enfin dn. En conséquence les deux sur- 
faces se trouvent partout à la même distance estimée suivant la 
normale, ou, en d'autres termes, l'équation (2) doit représenter 
une famille de surfaces parallèles. 

Invoquons en second lieu l'expression de la courbure 
moyenne {**) ou celle de la somme des courbures des deux 

sections principales : 

i i ^dh Af 

? ?' ^? f 

On demande ici que A9 et h ne dépendent que de 9, et par 
suite aussi ^. Le second membre ne renfermera donc que ce 
seul paramètre qui est constant tout le long de chacune de nos 
surfaces, et par conséquent ces dernières doivent être telles 
qu'elles présentent partout la même courbure moyenne. 

Ceïte courbure moyenne peut d'après cela êlre caractérisée, 
pour chacune de ces surfaces, par la longueurn comptée sur une 
normale quelconque entre elle et une surface fixe prise comme 
repère de comparaison : 

1 1 
(3) - -4- - =F(n). 

P P 
On aura d'après cela sur la surface voisine : 

i i 



dn p' -♦- dn 



= F (n -h rfn), 



(') Lamé, Coordonnées curvilignes, p. 44. 
n Ihidem, p. 42. 



6. — i56 — 

car les sections principales sont, dans des surfaces parallèles, 
cracées par les mêmes surfaces développables, de telle sorte que 
chacun des rayons principaux augmente de dn pour passer de 
Tune à Fautre. On a donc, en retranchant : 

= F(w) — F(n -4- rfn). 



p(p -» dn) p'(p' -+- dn) 
et, en passant à la limite : 

^ ^ p' p'* dn ^ ^ 

Les équations (3) et (4) devant avoir lieu ensemble, on voit 
que p et p' sont individuellement constants sur chacune de nos 
surfaces. Or, M. Bertrand, et après lui M. 0. Bonnet, par une voie 
différente (*), ont établi qu'une telle surface ne peut être qu'une 
sphère ou un cylindre de révolution (**). Du reste, nous avons 
reconnu tout d'abord que Tensemble doit être formé de surfaces 
parallèles; donc enfin Féquation (2) ne peut représenter que des 
sphères concentriques ou des cylindres de révolution décrits 
autour du même axe. 

En résumé, la fonction typique f (x, ?/, z) comporte deux solu- 
tions distinctes et n'en admet pas davantage {***). La première 
est l'expression de la distance à un point : 

(5). . . . ^* = (x-a)'-h(i/-0)* + (2-r)', 

et la seconde celle de la distance à une droite : 

(6) ♦'« 1 6(x-«)-ci(^~p) ! V I c{y - ?)-6(2-r) [ V 1 a(^-r)-c(x-ot) j \ 



(*) Journal de mathématiquei purei et appliquéei, 2« sér., t. V, p. 49^1 
(**) Il est inutile d'y joindre le plan, dont la considération ne présenterait ici aucuii 
intérêt. 

(***; Je parle des solutions essentielles, car il est bien clair que toute fonction de l'une 
ou l'autre de ces deux expressions formera elle-même une solution, et pourrait, aussi bien 
que f ou ^, servir de paramètre constant aux sphères et aux cylindres de réfolution. 



— i57 — 7. 

5. Il est, du reste, facile et il ne sera pas inutile, puisque nous 
n'avons eu égard jusqu'ici qu'à des conditions nécessaires, de 
vérifier à posteriori que ces fonctions jouissent en effet de la 
propriété voulue. On a, à cet égard, pour la première (5) : 

df X — a 

dx f 

et, pour une fonction quelconque fde(p: 

'h. 

^f(f) p.. , ^9 X-a dx r(9) 

= -^(« — «) -1 T" 

? ( ? ? 

En ajoutant cette égalité avec celles que Ton obtiendrait en diffé- 
rentiant relativement k y ti z, il viendra : 

CM [ ) (A"W r(?) 

? ( ) ( f ? 

et finalement cette relation essentielle : 

f (f ) 
(7) AAF) = r(?)-*-2^-^- 

f 

6. On a de même, pour l'expression (6) : 

d^ 

* — = 6 |6(x — a) — o(y — p)! — cja(z — r) — c(x — a){, 

et comme a, 6, c désignent les cosinus des angles d'une droite 
avec les axes rectangulaires : 

d* (1 — a') (j — a) — ah[y — p) — ac(z — r) 
dx * 



8. — 158 — 

Il vient d'après cela : 

'^^ T^ i(* - «'H* -»)-««•(!/- P) - «c{z - r)j, 

+ -L_LL_liJ j (i _ «')(x - ,) - ,.6(2, - p) - «r (z - r) I ». 
On déduit de là : 

A/-(4.) = L_LJ (3 _ «» _ 6' - c«j 

f H- [(i - c*) (z— r)-ra(a'-«)- c6(y~?)]« 
ou, en développant : 

«i>'^ ^ = (x — a)' I ( I — aj ^ oV H-aV { 

^ (y — 6)«|(i — fcy ^ 6Vh-6V( 
^{z — c)* i (i — 0* -H c'a' -♦- cV { 

-2ci6(x~ a) (1/ - !3)1(1 - a') -^ (I -6') -c»! 

-26c (.y-p)(z-^r)i(i - ^') -H (i - c')-a'j 

- 2ca (z — r) (x - a) j ( 1 — c' J -+- (i — o') — 6* j . 

Or le coefficient de (x — a)* se rédiiil à : 

i — 2a»H- a*(a»^ />' ^ c'), 

c'est-à-dire 1 — a*. De même celui de — 2a6(x — a)(y —(3) se 
réduit à 2 — (a* -h 6* -+- c*) ou l'unité. 



— 159 — 9. 

L'expression précédente devient ainsi : 

(X - «)* (I _ a') + (i/ - p)'(i - 6*) -h (z - r)\{i - c') 
— Î2a6(x — a) (y - p) — '2bc{y - p) (r — r) — 2ca(z - r) (x — a), 

e est-à-dire tout simplement^^. 
Il vient par conséquent enfin : 

(8) Af(^)^f"(^)^Cp. 

Les formules (7) et (8) présentent, comme on le voit, une grande 
analogie, mais pourtant elles différent essentiellement par le 
coefficient du dernier terme. 



III 



GÉNÉRALISATION. 

7. Cherchons maintenant si le même caractère de perma- 
nence peut subsister avec plusieurs fonctions typiques ryfi,?^,... 
au lieu d'une seule, c'est-à-dire s'il peut exister des fonctions telles 
qu'en les prenant à volonté en nombre quelconque, et sans que 
le choix d'aucune d'elles oblige en aucune façon à l'emploi de 
quelque autre, puis s'en servant pour constituer une expression f 
arbitrairement, les divers augments de fne renferment que ces 
mêmes fonctions typiques déjà introduites, et rien autre. 

On aura, dans ces conditions : 

dx d^ dx dft dx df<j. dx 

puis, en différentiant de nouveau : 



•••» 



dx* ^ df^ \dxl "*" dfl [dx I "^ dfl \dx I 

df d'f df cr?i df e/V. 



dj» dx* (/fi dx* c/^j dx* 

^^ d'f df df, ^ ^ d^f dy dp^ 

dfda>i dx dx dfdfi dx dx 



•4- •• * 



iO. — ICO — 

et par conséquent : 

(9) ( "^ . 

rf/-. 'If. 'If, 

«? "?i «?« 

rT/" U/?rf?, rf?f/?, c/ydj;,) 
i dfdfi ( dx dx dtj dy dz dz ) 

Le second membre ne devant dépendre que de 9, 91, 92» ••• 
quelle que soit la fonction f^ il en doit être de même séparément 
de chacun des coefficients des diverses dérivées partielles de celle 
fonction. Par exemple A? ne doit dépendre que de 9, 91, 9^, ... 
Mais il est facile de voir que ce ne peut être que de 9 seul. En 
effet, ces fonctions typiques nous sont provisoirement inconnues, 
mais sont au fond déterminées. Donc A9 ne change pas quand 
on dispose de fAt toutes les manières possibles. Or si Ton fait ce 
choix en astreignant f k ne contenir que 9, comme le permet 
renoncé du problème, A/* ne doit plus lui-même renfermer que 9 
et, par suite, il en est de même de A9. 

Ainsi donc les deux coeflicients des dérivées de /* relatives à 9 
seul : 



^" Ê)' - m - (S" 



dyi 

ne doivent contenir que 9. La recherche précédente établit dès 
lors que les surfaces représentées par Téquation : 

f = constante, 

sont nécessairement des sphères concentriques ou des cylindres 
de révolution de même axe. Pour le même motif, on reconnaîtra 
que les surfaces : 

f I = constante, 



— 461 — il. 

ne peuvent être que des sphères ou des cylindres, avec un centre 
ou un axe du reste diffërents de ceux de la famille précédente; et 
ainsi de suite pour les autres fonctions typiques. 

Mais il reste encore à avoir égard aux coefficients de la forme : 

df dfi df dfi df dfi 
dx dx dy dy dz dz 

Comme ce facteur affecte une dérivée relative à cp et cp^ qui ne 
peut exister que si /* renferme à la fois f et 9^, ce coefficient 
peut renfermer lui-même [9 et 9^, mais nulle autre des diverses 
fonctions typiques, pour le même motif que ci-dessus. Il en sera 
de même dès lors de la fraction : 

df dfi df dfi df^dfi 
dx dx dy dy dz^dz 



^©'-(|)'-Cî)V(ë)^(|)^(èy 

puisque les deux facteurs du dénominateur, d'après ce qui pré- 
cède, ne dépendent eux-mêmes que de 9 et de 9|. Or cette frac- 
tion exprime le cosinus de Tangle sous lequel se rencontrent, en 
tous les points de leur intersection, les surfaces 9 et 9|. Cet angle 
doit en conséquence rester constant tout le long de cette ligne. 

8. Si, en premier lieu. Ton prend pour 9 et 9^ deux systèmes 
de sphères concentriques, c'est-à-dire : 

•; = (X - a,)' -♦- (y ~ pi)' -^{z-- ri)S 

il est évident que la condition géométrique sera remplie sans 
nouvelles restrictions. 

ÎX. a 



(10) 



42 — 462 - 

Il est, du reste, facile de vérifier qu*on a identiquement : 

df dfi df dfi df ^9i 
dx dx dy dy dz dz 

_ (X — g) (X — «t) -4- (y — p) (y ~ p,) ^(z^y){z^ n) 

_ \[x--af+{y-pf^{z-ry]-^\(x-a,YMy-^iY^^^ 

2ffi 

_ y' -^ yî-i(«-«»)' -^ (P~ P«)* -^ (r ~ri)'i 

expression où x, i/, z se sont bien en effet concentrés sous les 
symboles 9 et <P| . 

Si, en second lieu, on envisage deux familles de cylindres de 
révolution dont chacune est décrite autour d'un même axe,c*est- 
à-dire deux expressions ^^ et <b\ telles que (6), il est bien clair 
que la condition ne pourra être remplie que si les axes sont 
parallèles. 

Enfin, si Ton prend à la fois un système de sphères et un de 
cylindres, il faudra, pour qu'ils se coupent sous un angle constant, 
que le centre des sphères se trouve placé sur Taxe du cylindre. 

•• Lorsque, au lieu de deux fonctions typiques seulement, on 
en accumule un nombre quelconque, le premier des trois modes 
précédents permet d'employer, sans aucune restriction, des ex- 
pressions de la forme : 

çî = (X - «,)' -^ (y - p,)' H- (z - r*)', 

dans lesquelles on donne à a^, (3^, y,, des valeurs arbitraires dif- 
férentes de Tune à l'autre. 

Le second mode permet également d'employer un nombre 
quelconque de fonctions ^^ (6) à l'aide de constantes a^, p^, y^ 
OkM^^k exprimant la distance du point x^yyzk diverses droites, 
pourvu que celles-ci soient toutes parallèles. Mais, s'il en est 
ainsi, il est bien clair que ce ne serait dorénavant qu'une com- 



— 163 — 13. 

plication sans valeur, de laisser quelconque leur orientation, puis- 
qu'il ne peut plus y en avoir qu'une seule dans la question. Ainsi 
donc, bien qu'il fut possible, pour peu qu'on le désirât, de con- 
tinuer ces recherches avec des expressions complètes de la 
forme (6), il sera plus simple, et au fond tout aussi général, de 
prendre cette direction pour axe des z et de réduire ^^ à la 

forme : 

*, = (x — a,Y H- (y - p*)«. 

Quant au troisième mode, il ne permettrait plus qu'une droite 
i^inique avec un certain nombre de centres tous alignés sur sa 
direction, condition trop restrictive pour laisser un intérêt suffi- 
sant à l'examen détaillé de ce cas. Nous nous restreindrons 
donc aux deux précédents. 

10. La formule (9) donne alors pour le premier cas, à l'aide 
des transformations qui ont été déjà développées (7) et (10) : 

-^22!— 7^ [fî-*-rf'-(«*-«*')'-(P*-P*')'-(n-r..r] j- 

Pour le second cas, on aurait de même, avec la suppression du 
^efficient du second terme et celle du dernier carré dans la 
ouble somme : 

tt. Il est clair que les procédés de calcul qui devront décou- 
î de ces deux formules fondamentales seront singulièrement 
^amplifiés si le troisième terme en disparait identiquement; et 
^S suffit pour cela que /"soit composé linéairemeni avec des fonç- 
ons distinctes de <p, de cpi, de 93, ... isolément: 



a 



^*3) /•= 2 [p* (?*)!• 



18. — 168 — 

qui annulent le dénominateur. La première particulièrement 
n*est pas sans intérêt, car le potentiel de cet ordre donne, quand 
on régale à une constante arbitraire, Téquation des surfaces 
d'égale teinte pour un système de lumières sans interférences, 
d'intensités M^ situées en des points a«, |3^, y^. 

L'intégration change alors de nature et donne directement : 

i d^ (Fy) _ i 

— — = Log î» , 
(if 

F? = ?(Log? — 1), 
F = Logî» — i. 



et enfin 



F' = i. 



La solution cherchée est donc alors le potentiel de l'attraction 
en raison inverse de la distance. 

La seconde exception m = — o donnerait de même la loi 
suivante qui est sans intérêt : 

F = • 

f 

16. Cherchons enfin le potentiel capable de se reproduire par 
son propre augment. Nous poserons pour cela : 

1 d* {¥f) 



f df 



i 



= F, 






(18) F: 

expression qui jouera plus loin un rôle important. 



— 165 — 15. 

où la densilé fx est une fonction arbitraire de |, >?, ^, et la triple 
intégration s'étendant aux limites qui comprennent le corps (*), 
Mais nous conserverons la notation précédente comme plus 
simple et comme comprenant plus clairement le cas des points 
isolés, sans obliger à envisager une densité nulle dans tout Tes- 
pace et infinie sur ces points. 

Les formules (14) et (15) étant différentes, il semble que 
cette étude doive actuellement se diviser en deux embranche- 
ments distincts destinés à suivre Tune et l'autre dans ses consé- 
quences. Nous commencerons par étudier Téquation (14) qui se 
rapporte au cas le plus important, celui de l'espace à trois 
dimensions. Puis nous parviendrons à donner aux résultats une 
extension qui permettra d'y renfermer, comme un cas particu- 
lier, celui de la géométrie plane auquel se rapporte la seconde 
relation. 



DEUXIEME PARTIE 

Fondions de trolM variables. 

IV 

AUGMENT DU PREMIER ORDRE. 



19. Je ferai d'abord remarquer que l'expression fondamen- 
aie (14) peut se mettre sous cette forme plus condensée : 

^2omme il est aisé de le vérifier en effectuant cette double diffé- 
•^entiation. 



(*) Je me borne à rappeler que lorsque, dans le cas d'un corps continu, le point attiré 
it partie de ce corps, il y a lieu d'apporter une attention spéciale, suivant la forme de la 
notion caractéristique F, à la portion infiniment voisine. Ce sont des questions clas- 
siques sur lesquelles nous n'avons pas à nous arrêter d'une manière particulière dans la 
**«cherche actuelle. 



16. — 166 — 

tS. Comme application de cette formule, cherchons l'expres- 
sion la plus générale du potentiel dont Faugment est nul : 






0. 



Comme chaque variable 9« figure, pour un potentiel, dans un 
terme séparé affecté d*un coefficient M« qui doit rester arbitraire 
dans la recherche de la loi d'attraction, Téquation devra avoir 
lieu pour chaque terme isolément, ce qui conduit à poser : 



<r(Fy) 


= 0. 


Fy = A 


-4-By, 


F=^ 


+ B. 


f 





Il est clair, d'ailleurs, que l'addition de la constante B est sans 
intérêt, puisque F(9) désigne l'intégrale de la loi d'attraction. On 
peut donc s'en tenir à 

F = l 

Cl l'on ot)tient, comme solution unique, le potentiel de la gravi- 
talion. 

J'insisterai une fois pour toutes sur la circonstance qui vient 
de se produire et se répétera dans tous les problèmes sur le 
potentiel, à savoir la disparition du signe Z, avec substitution de 
la fonction caractéristique F du potentiel au potentiel lui-même /*. 
J'effectuerai donc dorénavant cette transformation sans en ré- 
péter les motifs. 

14. Comme second problème, cherchons le potentiel qui a 
pour augment un autre potentiel donné à priori, d'ordre quel- 
conque m entier ou fractionnaire, positif ou négatif, correspon- 
dant à l'attraction suivant la puissance m — 1 de la distance. 



— 167 — 17 

Nous posons pour cela : 

Les masses M^ étant arbitraires devront être les mêmes pour 
les deux potentiels, et Ton devra poser en outre (17) : 

wl~ ^ ' 

d'où, en chassant 9 et intégrant deux fois: 

^^=7 h ^^ -*- A -+- Bî>, 

(m -+- 2) (m -^ d) 

F = 1 H B. 

(m -4- 2) (m -♦- 3) f 

L'addition d'une constante et d'un potentiel isotherme est ici 
toute naturelle, puisque Faugment de celte partie est, pour son 
compte, identiquement nul. Mais, pour ce motif même, on peut 
la sous-entendre, et réduire la solution essentielle au potentiel 
dont Tordre est supérieur de deux unités à celui du proposé, et 
dont les masses, sans changer de situation, sont réduites dans 
le rapport de Tunité à (w -4- 2) (m h- 5). 

Si, en particulier, on cherche un potentiel dont Taugment soit 
constant, il faudra faire m =3 0, d'où m + 2 = 2. On obtient 
ainsi le potentiel de l'attraction en raison directe de la distance, 
que Lamé appelait le second potentiel (*). Il n'est autre chose 
que le moment central d'inertie, ou encore la moitié de la somme 
des moments d'inertie relatifs à trois axes rectangulaires. 

Ift. Il est toirtefois nécessaire de remarquer que deux excep- 

Uons échapperont à la règle générale, pour chacune des deux 

hypothèses : 

m = — 2, m = -- 3, 

V) Umé, Théorie de l'élasticUé, p. 71. 



18. — 168 — . 

qui annulent le dénominateur. La première particulièrement 
n*est pas sans intérêt, car le potentiel de cet ordre donne, quand 
on légale à une constante arbitraire, Téquation des surfaces 
d*égale teinte pour un système de lumières sans interférences, 
d'intensités M^ situées en des points a^, P^, y^. 

L'intégration change alors de nature et donne directement : 

\ (^ (Fy) _ i 

— — = Log ? , 

F = Logî^ — i, 
F' = l. 

? 



et en fin 



La solution cherchée est donc alors le potentiel de Tattraction 
en raison inverse de la distance. 

La seconde exception m = — 3 donnerait de même la loi 
suivante qui est sans intérêt : 

t = • 

f 

16. Cherchons enGn le potentiel capable de se reproduire par 
son propre augment. Nous poserons pour cela : 

i rf* [Ff) 



f df^ 



F, 



-J/-(F.)=0. 

Ae? -♦- Be-f 
(18) F = . 

expression qui jouera plus loin un rôle important. 



— <69 — 49. 



AUGMENTS d'oRDRES SUPÉRIEURS. 

17. L'augmeiU d*ordre n est représenté directement par la 
formule suivante : 

Pour l*établir sans entrer ici dans les développements qui m'y 
ont conduit, il suffira, puisque cette relation se vérifie pour le 
premier ordre (17), de montrer que, si elle est vraie pour la 
valeur n, elle Test par cela même pour n + 1 . 

Invoquons pour cela la formule (17), et remarquons que, par 
la constitution linéaire de la fonction/*, chaque terme subit pour 
son propre compte les opérations de Taugment. Il vient donc : 

* 






» ( f» <h* 

ce qui reproduit la même expression dans laquelle n est changé 
en n H- 1 . 

18. Comme application de la formule générale (19), repre- 
nons, pour un ordre quelconque, les trois problèmes qui ont été 
traités pour le premier ordre. 



20. _ 470 — 

Cherchons, en premier lieu, un potentiel dont le n" augment 
soit nul : 



rfr'" 



= 0, 



f Uf 

(20) . . • F = - H- C4 -f- c,? -♦- Csî»* H 1- Cu-if^~*' 

? 

Les deux premiers termes correspondent au potentiel qui a 
son premier augment nul (13) et par conséquent aussi tous les 
autres. Les deux termes suivants fournissent le potentiel qui a son 
second augment nul, sans le premier, et par conséquent aussi 
ceux qui suivent. Il est donc naturel que tous ces termes soient 
accumulés dans Fexpression générale. Mais si, pour plus de pré- 
cision, on spécifie le potentiel qui a son n"" augment nul sans les 
précédents, il sera fourni par les deux derniers termes pris à part: 

F = Aï»*-» ^ Bî»*-*. 

Si, par exemple, on demande un potentiel qui ait son second 
augment nul, mais non le premier, il viendra, en faisant n = 2 

F = Aî> -f- Bf*, 

c'est-à dire les potentiels de Tattraction constante et de Tattrac- 
tion en raison directe de la distance. 

En ce qui concerne le dernier de ces deux potentiels, cette 
propriété avait été déjà signalée par Lamé Q qui lui avait atta- 
ché une véritable importance, comme p|rmettant d*intégrer en 
termes finis Féquation différentielle AAn = 0, qui régit les dépla- 
cements élastiques. 



{*) Lamé, Théorie de l'élasticité, p. 71. 



— 171 — 21 

!•• Si Ton demande, en second lieu, une fonction dont le n* 
augment reproduise un potentiel donné d*ordre m, on fera : 









df 

Nous pouvons, dans Fintégration, omettre toutes les constantes 
qui ajouteraient à la solution essentielle du problème tout le 
polynôme (20), lequel doit en effet y figurer, puisque son propre 
augment est nul pour Tordre en question. Il vient, en nous 
restreignant ainsi : 

m-ftn+l 



F = 



(m -+- 2) (m -4- 3) ... (m -f- 2n -h 1 ) 
(m -♦- 2) (m H- 5) ... (m h- 2n -♦- 1) 



Je ne m'arrêterai pas d'ailleurs aux 2n exceptions qui annu- 
lent les facteurs du dénominateur, et obligent à effectuer direc- 
tement les intégrations (*). 



(*) Indépendamment de la question que nous venons de traiter pour le potentie 
algébrique, rien n'empêche d'en imaginer d'autres quelconques ayant pour caractéris- 
tique une fonction transcendante «^ (?) de la distance. On se trouvera ainsi ramené à 
l'équation différentielle : 

d'où l'on dégagera F au moyen de 2n quadratures superposées ou isolées par l'emploi de 
l'intégration par parties. 

Si, par exemple, on demande«-le potentiel qui reproduit par son n« augment le potentiel 
logarithmique (de l'attraction en raison inverse de la distance) : 

AY=2(M*LORf4), 

on trouve : 

^ "^ 1.2.3.4... (2n-*-l) L^^^'* ""U "*" 3 "*" 4 ""*" 2n -^ l) J 



22 — 172 — 

90. Cherchons enfin le potentiel qui se régénère lui-même 
par son n** augment. Nous devons écrire pour cela : 



2K^]='=2<... 



L*égalité devant d'ailleurs avoir lieu terme pour terme à cause 
des arbitraires, nous poserons : 



= f, 



rff'- 



-^ - (Ff ) = 0, 
équation linéaire qui a pour intégrale : 

(2«) ^^'^0 \^*'''''~^Y 

expression qu'il est du reste aisé de débarrasser de ses imagi- 
naires. 

Cette formule mérite d'être remarquée en passant comme 
donnant en même temps l'intégrale générale de cette équation 
différentielle plus compliquée : 

d""? 2n rf»"-*? 
(22) .... -— -^__— .--F==0; 

c'est ce qui résulte d'une propriété générale de Taugment 
d'ordre supérieur que je vais maintenant établir. 

91. Cette propriété consiste dans la formule générale : 



(23) ... à"f 



2(9^)-2n2(i^} 



qui fournit une seconde expression directe du n!^ augment diffé- 



— 173 — 23. 

renie de la précédente (19), chacune des deux présentant des 
avantages particuliers. 

Pour la démontrer je dis d abord que Ton a identiquement : 

dUFtp) 
df 

en représentant par F, et F,_, les dérivées de F d'ordres tel 
i — 1. Celte formule est d abord évidente pour i = l. Il suffit 
donc, en radmellanl pour une valeur quelconque t, de montrer 
qu'elle aura lieu par cela seul pour Tordre suivant. On a, en 
effet: 



df 



i+l 



■ ih L 'if' J 

(if 

= ?F,+i + (»-^ i)F,, 

ce qu'il fallait démontrer. 

Si maintenant on remplace dans cette identité (24) i par 2n, 
elle devient : 

d'"(Ff) 



df"" 
e'esl-à-dire : 



= fFî- ■+- 2nF„_i , 



2« \ d:^(Pf) 

Fîn ^ Fj«-i = Ti;;— » 

f ? df" 

ce qui établit l'équation (23), si on la compare à l'expression (19)(*). 



(') M. Gilbert m'a fait remarquer que l'on peut déduire immédiatement l'équation (23) 
de la formule (19) en développant, dans cette dernière, la âii« dérivée du produit Fk^k à 
l'aide de la formule connue de Leibnitz : 

(Muv) dr*u dv dr^'^u 

= V l-m 



df"* df"^ df df**"' 



24. — 474 — 



VI 



GÉNÉRALISATION ELLIPSOÏDALE. 

99. On peut rattacher à Taugment ordinaire (1), que nous 
désignons par A, cette opération plus générale : 

P -TT -♦-Q— r-^R— r> 
c/x' dy^ dz* 

que nous représenterons par S et dans laquelle P, Q, R dési- 
gnent trois coefficients arbitraires mais fixes. Cet algorithme 
joue également un rôle important dans les recherches de phy- 
sique mathématique. Par exemple, le résultat de Topération d 
est identiquement nul quand on l'applique à Texpression de la 
température d'un corps cristallisé en équilibre thermique, rap- 
porté à ses axes principaux de conductibilité. Il en est de même 
pour la fonction qui remplace la dilatation cubique quand les 
élasticités directes, suivant Texpression de M. de Saint-Venant(*), 
se distribuent ellipsoïdalement par moyennes géométriques. En 
outre, les déplacements moléculaires satisfont dans le même cas 
à la condition ôdn = 0. Cette équation différentielle a formé, 
comme la relation analogue AAn = 0, l'objet d'une étude appro- 
fondie de M. E. Matthieu (**). 

Toute la théorie précédente subsistera sans altération si Ton 
substitue à l'expression (9) la suivante introduite par M. de 
Saint-Venant dans les recherches de cet ordre : 



' P Q R 



(*) Journal de mathématiques pures et appliquées, 2* série» t VIII, p. 367. 
(••) ibidem, 2» série, t. XV, p. ii7. 



— 175 — 25. 

II vient, eD effet : 

df X — a 



dx Pf ' 






f 



<^'^(y) _ F" f /y '^ ~ ^ F (p) (JC - «) dy F' (y) 

dx* ^'^' dx Pf Pf» rfx "*" Py 

F (y) _ (x-«)MF'(y) F (y), 



(25) JF = 3 



P? P* ( ?' f' 

F'(y) _ ((x-«)' (y-fl)' (z-y)») (F'(y) F'(y)] 



f I P Q R j ? 









Nous retrouvons ainsi sans altération la formule (14), et par suite 
tous les développements ultérieurs dont elle a été le point de 
départ. 

TROISIÈME PARTIE 

Fonetloiui d*nii nambre qneleanqne de Tarlablca. 



VII 



AUGMENT DU PREMIER ORDRE. 

%Z. Nous pouvons encore apporter un nouveau degré de 
généralisation en envisageant l'opération suivante, que je conti- 
nuerai à appeler augment et à représenter par la caractéris- 
tique à. Le nombre des variables, au lieu d'être spécialement de 
trois, X, y, jz, devient quelconque et égal à p : 

€P (P (P (P 



26. — 176 — 

Les p coefficients fixes sont arbitraires et resteront ici quel- 
conques, bien que leur valeur la plus intéressante soit évidem- 
ment Tunité. 

On suppose cette opération appliquée à une fonction quel- 
conque de Texpression suivante : 

(26) ^> ^ ^^^ "" "'^' ^ ^^' " ^^^' -^ ^^' - "^>' -^ ... -^ ^^^ " "-^' 
^ P, P, P, P, ' 

où figurent, outre les p variables indépendantes x^, Xj, ... x^ et 
les p coefficients fixes P^, P^, ... P^, p constantes arbitraires 

Plus généralement même, nous supposons la fonction f 
formée, non pas seulement avec une fonction typique </;, mais à 
Taide d*un nombre quelconque de ces fonctions typiques difTérant 
les unes des autres par leurs constantes arbitraires: 



«1 


«« 


«5 


• *• 


«p. 


«! 


«; 


«3 


• •< 


«i» 


«1 

• 


a, 

• • 


«3 


••• 

• 


• • 



La généralisation que nous abordons dans cette troisième 
partie présentera en particulier cet intérêt de rattacher au cas 
de Fespace à trois dimensions ^^==5, qui nous a occupés 
jusqu*ici, celui de la géométrie plane p = % 

Les opérations vont devenir, en raison de cette extension, 
assez complexes, et je crois pouvoir sans inconvénient les 
simplifier par une sorte de sous-entendu. On a pu reconnaître 
surabondamment jusqu'ici que lorsque dans Texpression /* figu- 
raient plusieurs fonctions typiques 9, 91, 9^, ..., le calcul finissait 
toujours par porter uniquement sur les fonctions composantes 
FA(9«),et non sur /'lui-même. Je crois donc pouvoir, sans nuire 
à la clarté, supprimer dorénavant les indices k et les signes Z qui 
constituent le passage de F à /*, en opérant directement sur F 
lui-même. Ces signes supprimés, qui devront toujours être sous- 



— 177 — Î27. 

entendus, risqueraient de rendre illisibles des formules que leur 
nature rendra assez difficile à écrire avec clarté, même après cet 
allégement. 

94. Le calcul du n*" 22 se reproduira évidemment de la 
même manière, sauf au moment où Ion ajoute par la pensée le 
résultat des dîfférentiations relatives aux p variables distinctes, 
ce qui donnera, au lieu de (25) : 

'^ ^ Pi Pi Pp ( ^' ^' 



et, en réduisant : 

96. Comme application, cherchons en premier lieu un poten- 
tiel (je continue à employer ce nom pour les fonctions de p 
variables) dont Taugment soit nul. Il vient pour cela : 

F'(^) ^ 

logF'(^) = A — (p— 1)log^, 

la solution est donc le potentiel d'ordre 2 — p. 

C'est ainsi que, pour les fonctions de trois variables, le poten- 
tiel isotherme est d'ordre — 1, relatif, par suite, à la gravitation. 

Il faut toutefois faire une exception pour le cas de p = 2 qui 
correspond précisément à deux variables, ou à ce que Lamé nom- 
IX. 12 



28. — 178 — 

mail le poleniiel cylindrique. L'intégration change alors dénature 
et donne : 

B 

•p 
F(^)=Blogr, 

c'est alors le potentiel logarithmique, relatif à l'attraction en rai- 
son inverse de la simple distance. 

96. Pour aller plus loin, nous mettrons lequalion (27) sous 
une forme plus condensée. Faisons d'abord pour simplifier : 

La formule : 

F' 

pourra s'écrire identiquement : 



(2«) «^«^-^^w- 



97. Cherchons, comme seconde application, l'expression qui 
a pour augment un potentiel donné d'ordre m : 



i 


d 

df 


(^^F) - r, 


+'F' 


ssss 


^m+^l 


m -^ q -^ i' 






^'«+« 



F = 

(m -♦- 2)(m -f- 9 -♦- 1) 

» 

La solution consiste donc dans le potentiel correspondant d*or- 
dre supérieur de deux unités, quel que soit le nombre q -h i 



— 179 — 29. 

des variables, ce dernier ne figurant que dans le facteur constant 
par lequel il faut diviser toutes les masses. 

99. Cherchons encore le potentiel de 9 + 1 variables qui se 
régénère lui-même par son augment. La formule (27) donnera 
pour cetfe recherche : 

(29) .... F"(^)-f-7— ^— F(<p) = 0. 

Cette équation difiërentielle est bien connue des géomètres. 
Elle se présente dans beaucoup de recherches de mécanique ou 
de physique mathématique. Dans le cas actuel, q désigne essen- 
tiellement un nombre entier et positif. 

Si Ton suppose d'abord g = l, c'est-à-dire une fonction de 
deux variables, elle a pour intégrale générale : 

(30) F (^) =r /"'^(e'^^'" -I- e-'^^* ") [A + Blog(,^ sin»«)] d». 

Pour g = 2, c'est-à-dire pour une fonction de trois variables, 
l'intégrale est la suivante : 

Ae'^ -♦- Be-^ 
(31) F(^)= . , 

que nous avons trouvée directement (18). 
Si q est supérieur à 2, l'intégrale générale prend la forme : 



f(,) = ..[a^b/A]. 



en désignant par l'abréviation W la série suivante : 



Y = 1 -f- 



^q -H 1) 2.4(7+1 )(9-f. 3) 2.4.6(7 ■♦-l)(7-*-3)(qf-^5) 



Lorsque q est un nombre pair, c'est-à-dire quand il s'agit 



30. 



— 180 — 



d'une fonction d'un nombre impair de variables, on peut employer 
de préférence la forme : 



(Ae^^-^-Be-'^) 



F(rt=^ 



Li-9l 



i 



ç _ 5 ' i.'â "*" (9 — 3) (ç — 4) (7 — 5) ' i.2.3.4 
(9-4)(7-6)((/-8)(9--iO)(9-12) ^• 



-(Ae'^-Be-^) 



{? — 3) (7 — 4) (7 -5) 17 — 6) (7 -7) i. 2.3.4.5.6 
(7-4)(7-6) f» (^-4)(7-6)(7-8)(7-10) ^ 



-H ••• 



(7-3){7-4) 1.2.5 (7-5)(7-4)(7-5)(7-.6) i. 2.3.4.5 
{q^i)(q-6){q^S){q-\0)(q-mq-U) ^^ 

(7-3)(7-4)(?-S)(7-6)(7-7)(7-8) i. 2.3.4.5.6.7"*"" 



qui est composée d'un nombre limité de termes et débarrassée 
de tout signe de quadrature (*). 

90. 11 existe en outre une manière assez élégante de passer 
de la solution de ce problème supposée trouvée pour 9 -4- 1 
variables au cas de 9 + 3. Elle consiste dans la relation 



(32) 






Vl-2 



en convenant spécialement qu'après les opérations indiquées par 
le second membre, \\> ne représente plus la même expression 
qu'auparavant, celle-ci devant être alors complétée par l'addition 
de deux termes de plus (26). 

Pour le faire voir commençons par écrire : 



(53) 



cTF, q rfF, 
: -^ ± — ; 



-F, = 0, 



(*) On pourrait traiter de même, ainsi que dans les paragraphes précédents, la recherche 
d'un potentiel qui se régénère sauf un facteur constant par un de ses augments. L'équa- 
tion différentielle peut encore s'intégrer. Nais je supprime ces développements. 



— 181 — 31. 



puisque F, est supposé satisfaire à l'équation (29). Nous lirons 
d'ailleurs de Tégalité (32), en la diiïérentiant deux fois : 



dF^, \ rf'F„ 1 dFi 



q+i « i* * ^ 



dp (^ e/<f' if' d^ ' 

(TF^^.» __ i d% __ 2 rf^ç 2 dF, 

Il s'ensuit identiquement (32) : 

dX^, g -h 2 dF,^, 
d^' ^ d^ '■"' 

_M^ç_2d% 2dF,| 7-f-2 ti d^F, i dFJ i dP, 
j ^ d<p* <//* d»/^* ^' d<f i ^ f «f dtf * tf * d'f ) tf d^ 



f d^' ^* d<p* \^' «p/ d<p 
Or, si nous différentions l'équation (33), elle donne : 

d<f' ^ d-f* \^' / d^ 
Ce dernier second membre est donc nul et, par suite, il vient : 



d<f' ^ d-; 



- F,^, = 0. 



On voit donc que l'expression (32) satisfait bien, comme il a 
été énoncé,à l'équation différentielle (33) dans laquelle 9 aurait 
été changé en g -+• 2. 

La relation (32) étant ainsi établie peut s'appliquer consécu- 
tivement un nombre quelconque de fois. Si donc F^^^ désigne 
par abréviation soit l'expression (30), soit (31) suivant que q 
est impair ou pair (c'est-à-dire p pair ou impair), on pourra 
écrire : 

(54) F=iiSi^rii^f...rii(i^n...n 

' if d^ \^ d^y^^p d^\ L<pd<f\</' dp I j /J 
avec ^"Y^ ou ^-=-^ différentiations successives. 



30. _ 186 — 

Actuellement faisons, pour abréger : 

\ du. 

-7- = ^ 



d'où (40) : 



d i dx\ 

rfj, \j;« d^l 



d^ \f« d^l 
La dernière équation devient par là : 

i d de ^ 

et, enfin : 

d dô 

ce qui est une identité, comme il s'agissait de le faire voir. 



187 — I. 



NOTES 



SUR 



LA TÈTE D'UN FŒTUS 



DE BAL^NOPTERA SIBBALDll (GRAY) 



PAR 



M. l'abbé Gérard SMETS 

Docteur en sciences, 
Professeur au Collège épiscopal de Hasselt. 



Le musée de rUniversilé de Louvain posscdail depuis 1876, 
conservée dans ralcool, la (éle d'un embryon de Bnlœnoptera 
Sibbaldii (•) provenant de Vadso, pelile ville du golfe de 
Varanger, où Ton pèche régulièrement cette plérobaleine. 

Grâce à Tobligeance de M. le professeur Van Bencden, j'ai eu 
Toecasion d'examiner en détail celte inléressante pièce. 

La tète avait une longueur de 40 centimètres et une largeur 
maximum de 30 centimètres dans la région temporale. Elle pré- 
sentait une forme presque triangulaire, la face supérieure aplatie, 
caractères distinctifs des Balénoptères. Nous possédons également 
Tallas et le corps de Taxis de notre individu. 



(<) Outre les grands ouvrages de cétologie, on peut consulter : 

TUHNER, Proc. ZooL Societ. ; dSHS. 

TURNER, Transactions ofthe royal Society of Edinburgh, vol. XX Vf; -1870. 
Reinharut, Nogle Bemoerkeringer om Isloendernes Sieypireydr; 1868. 
Sars, Om Blaahvalen;\%lk, 

Sars, Bidrag tiel en niere characteristik afvore Bardehvaler; i^S 
ivuvs MuNTER, Balœnopiera Sibbaldd; Greifswald, 1877. 

H. DE Beauregard, Étude de l'articulation temporo-maxillaire dans les Balénoptères. 
F.-H. Troschels, Archiv fur Naturgeschichte. Jahrgang 41, Heft «3, pp. 338-386; 
Berlin, 1876. 



Î2. — 188 — 

L*état deconservaiion du fœtus ne permettait guère que Tétude 
de la partie squeletlique : le périoste et le périehondre étaient 
détachés de los ou du cartilage, ou s*en détachaient aisément. On 
ne pouvait, dans ces conditions, étudier les insertions muscu- 
laires qu'approximalivement. Néanmoins j'ai tenu à vérifier et à 
confirmer, autant qu'il était possible, les observations que la céto- 
logie doit à M. de Beauregard (') sur les muscles de la mandi- 
bule de la Balœnoptera 5f66rt/diî et des Balénoplérides en général, 
ainsi que sur l'articulation temporo-maxillaire. 

En tenant compte de la différence d'âge des fœtus que nous 
examinions, je n'ai consigné aucune différence notable. Ce savant 
d'ailleurs met dans tous ses travaux une exactitude et une préci- 
sion remarquables. 

Trois faisceaux superposés de fibres musculaires consiiluenl le 
masséler : 

a) Un faisceau superficiel, attaché à la face externe de la man- 
dibule, passe au-dessous du jugal et s'insère à la face inférieure 
du sus-maxillaire; 

b) Un faisceau moyen descend du bord externe et antérieur 
de l'apophyse articulaire du temporal^ où il est attaché, à la face 
externe et au bord inférieur de la mandibule « en avant et un 
peu en dedans du faisceau superficiel, à une certaine distance en 
arrière de l'apophyse coronoïde » (*). Nous avons à faire observer 
que ce faisceau s'insérait dans notre fœtus à la hauteur de l'apo- 
physe coronoïde. 

Ces deux faisceaux sont triangulaires; 

c) Le faisceau profond du masséter,le plus épais dans les deux 
fœtus, s'attache en haut au bord inférieur et à la face interne de 
l'apophyse articulaire de temporal, en bas au bord supérieur de 
la mâchoire inférieure, derrière l'apophyse coronoïde et à la base 
même de celle-ci. 

Le muscle temporal, très volumineux, s'attache sur toute la 
surface de l'apophyse coronoïde — qui est élevée et pointue 



(*) H. DE Beauregard, Journal de Vauatomie et de la physiologie. 
(») Ibid. 



— 189 — 3. 

dans celle espèce, — en lenveloppant intégralement; en haut 
ses fibres s*élalent sur la partie supérieure de la fosse tempo- 
rale. 

Le ménisque interarticulaire de l'articulation temporo-maxiU 
laire était encore peu développé. Comme M. de Beauregard, 
nous n'avons trouvé, malgré Tattention la plus soutenue, des 
traces que d'une seule cavité synoviale, la supérieure. Eschricht, 
comme on le sait, en a signalé une seconde dans la Balœna 
mysticetus. Cette baleine, qui semble avoir fait son appari- 
tion si tardivement, se rapproche d'ailleurs sous beaucoup de 
rapports bien plus des Mammifères terrestres que les Ptéroba- 
leines. 

La surface articulaire du temporal n'avait pas encore pris sa 
forme défînitive; il n'y avait pas encore d'apparence de surface 
glénoîde; bien plus, l'apophyse articulaire du temporal était 
encore arrondie. Il est possible qu'elle se creuse sous l'influence 
de la pression du condyle articulaire. 

En tenant compte de la longueur des muscles, de leur direc- 
tion, de leur insertion et de la disposition de l'articulation tem- 
poro-maxillaire, on voit que ta mandibule peut s'abaisser au 
point de former avec le rostre un angle presque droit. On a par- 
fois constaté cet abaissement sur des Balénoptères vivantes. 

La partie squelettique du crâne n'était encore que partielle- 
ment ossifiée. 

Le corps de l'axis et l'atlas étaient encore attenants aux con- 
dyles occipitaux. 

Le corps de l'axis entièrement cartilagineux présente les apo- 
physes transverses inférieures bien développées et, à sa face 
antérieure, le prolongement central de son corps que beaucoup 
d'auteurs continuent à nommer apophyse odontoïde. 

Il est vrai, comme M. Van Beneden le montre pour des Mysta- 
cocètes d'Anvers, cette apophyse correspond fonctionnellement 
à l'odontoîde : le cou plus long de certains fossiles, des surfaces 
articulaires sur la face caudale de leur atlas et sur l'apophyse 
centrale de l'axis montrent que la tète de ces animaux devait 
eflectuer des mouvements de rotation autour de cette apophyse, 



50. 



— 486 



Actuellement faisons, pour abréger : 



d'où (40) : 



1 du 

^^« d^ ' 



d l\ dx\ 
d^ \^|^» dpi 



f+*6. 



La dernière équation devient par là : 



et, enfin : 



if/. de ^ 

d di 

— (^»+'9) = (9 + 1) +'9 + t^'—> 



ce qui est une identité, comme il s'agissait de le faire voir. 



— 187 — I. 



NOTES 



SUR 



LA TÊTE D'UN FŒTUS 

DE BALjENOPTERA SIBBALDll (GRAY) 

PAR 

M. l'abbé Gérard SMETS 

Docteur en sciences, 
Professeur au Collège épiscopal de Hasselt. 



Le musée de rUniversité de Louvain possédail depuis 1876, 
conservée dans l'alcool, la (éle d'un embryon de Bnlœnoptera 
Sibbaldii (•) provenant de Vadso, peh'ie ville du golfe de 
Varanger, où Ton pèche régulièrement cette ptérobaleine. 

Grâce à l'obligeance de M. le professeur Van Bencden, j'ai eu 
Toccasion d'examiner en déiail celte inléressante pièce. 

La tète avait une longueur de 40 centimètres et une largeur 
maximum de 30 centimètres dans la région temporale. Elle pré- 
sentait une forme presque triangulaire, la face supérieure aplatie, 
caractères distinctifs des Balénoptères. Nous possédons également 
Tatlas et le corps de l'axis de noire individu. 



(*) Outre les grands ouvrages de cétologie, on peut consulter : 

TURNER, Proc. Zool. Societ. ; i8t)5. 

TURNER, Transactions of ihe royal Society of Edinburgh, vol. XX Vf; 1870. 
Reinharut, Nogle Bemoerkeringer om Isloendernes Steypireydr; 1868. 
Sars, Om Blaahvalen;iSlA. 

Sars, Bidrag tiel en niere chmacteristik afvore Bardchvaler; 1878 
JOUUS Muster, Balœnoptera Sibbaldii; Greifswaid, 1877. 

H. DE Beauregard, Étude de Vaniculation temporo-maxillaire dans les Balénoptères. 
F.-H. Troschels, ^rc/iii/ /«r yaturyeschichte. Jahrgang 41, Heft 3, pp. 338-386; 
Berlin, 1875. 



Î2. — 188 — 

L*état de conservaiion du fœtus ne permettait guère que Tétude 
de la partie squeleilique : le périoste et le périchondre étaient 
détachés de Tos ou du cartilage, ou s*en détachaient aisément. On 
ne pouvait, dans ces conditions, étudier les insertions muscu- 
laires qu'approximativement. Néanmoins j*ai tenu à vérifier et à 
confirmer, autant qu'il était possible, les observations que la céto- 
logie doit à M. de Beauregard (>) sur les muscles de la mandi- 
bule de la Balœnoptera 5f66rtWn et des Balénoptérides en général, 
ainsi que sur l'articulation temporo-maxillaire. 

En tenant compte de la différence d'âge des fœtus que nous 
examinions, je n'ai consigné aucune différence notable. Ce savant 
d'ailleurs met dans tous ses travaux une exactitude et une préci- 
sion remarquables. 

Trois faisceaux superposés de fibres musculaires constituent le 
masséier : 

a) Un faisceau superficiel, attaché à la face externe de la man- 
dibule, passe au-dessous du jugal et s'insère à la face inférieure 
du sus-maxillaire; 

b) Un faisceau moyen descend du bord externe et antérieur 
de l'apophyse articulaire du temporal^ où il est attaché, à la face 
externe et au bord inférieur de la mandibule « en avant et un 
peu en dedans du faisceau superficiel, à une certaine distance en 
arrière de l'apophyse coronoïde » (*). Nous avons à faire observer 
que ce faisceau s'insérait dans notre fœtus à la hauteur de l'apo- 
physe coronoïde. 

Ces deux faisceaux sont triangulaires; 

c) Le faisceau profond du masséter, le plus épais dans les deux 
fœtus, s'attache en haut au bord inférieur et à la face interne de 
l'apophyse articulaire de temporal, en bas au bord supérieur de 
la mâchoire inférieure, derrière l'apophyse coronoïde et à la base 
même de celle-ci. 

Le muscle temporal, très volumineux, s'attache sur toute la 
surface de l'apophyse coronoïde — qui est élevée et pointue 



(*) H. DE Beauregard, Journal de l'atiaiomie et de la physiologie. 
(») Ibid. 



— 189 — 3. 

dans cette espèce, — en lenveloppant intégralement; en haut 
ses fibres s^étalent sur la partie supérieure de la fosse tempo- 
rale. 

Le ménisque interarticulaire de Tarticulation temporo-maxiU 
laire était encore peu développé. Comme M. de Beauregard, 
nous n'avons trouvé, malgré Tattention la plus soutenue, des 
traces que d'une seule cavité synoviale, la supérieure. E^schricht, 
comme on le sait, en a signalé une seconde dans la Balœna 
mysticetus. Cette baleine, qui semble avoir fait son appari- 
tion si tardivement, se rapproche d'ailleurs sous beaucoup de 
rapports bien plus des Mammifères terrestres que les Ptéroba- 
leines. 

La surface articulaire du temporal n'avait pas encore pris sa 
forme définitive; il n'y avait pas encore d'apparence de surface 
glénoïde; bien plus, l'apophyse articulaire du temporal était 
encore arrondie. Il est possible qu'elle se creuse sous l'influence 
de la pression du condyle articulaire. 

En tenant compte de la longueur des muscles, de leur direc- 
tion, de leur insertion et de la disposition de l'articulation tem- 
poro-maxillaire, on voit que la mandibule peut s'abaisser au 
point de former avec le rostre un angle presque droit. On a par- 
fois constaté cet abaissement sur des Balénoptères vivantes. 

La partie squelettique du crâne n'était encore que partielle- 
ment ossifiée i 

Le corps de l'axis et l'atlas étaient encore attenants aux con- 
dyles occipitaux. 

Le corps de l'axis entièrement cartilagineux présente les apo- 
physes transverses inférieures bien développées et, à sa face 
antérieure, le prolongement central de son corps que beaucoup 
d'auteurs continuent à nommer apophyse odontoïde. 

Il est vrai, comme M. Van Beneden le montre pour des Mysta- 
coeètes d'Anvers, celte apophyse correspond fonctionnellement 
à Todontoîde : le cou plus long de certains fossiles, des surfaces 
articulaires sur la face caudale de leur atlas et sur l'apophyse 
centrale de l'axis montrent que la tète de ces animaux devait 
effectuer des mouvements de rotation autour de cette apophyse, 



4. — 190 — 

comme les auires Mammifères en exéculenl autour de Taxe de 
Todonloïde (*). 

Dans le Platanistay les deux apophyses semblent coexister ; 
c'est ce qu'il nous parait d'après la région cervicale d'un individu 
que nous avons pu examiner. 

L'odonioïde véritable y existe; mais l'apophyse centrale de 
l'axis s'applique sur lui et s'y soude. Leur ensemble constitue 
donc ce que l'on appelle l'apophyse odonloïde de ces animaux. 
Nous ignorons s'il en est de même dans les Inia et les Ponto- 
porta, comme nous n'oserions pas dire avec certitude si la dispo- 
sition que nous avons observée est une anomalie ou un fait 
général. S'il en était ainsi, nous posséderions la transition de 
l'axis des autres Mammifères à celui des Cétacés. 

Vers la base de l'axis de notre fœtus, à 1 centimètre du bord, 
il y a une dépression; les cellules y présentent au microscope 
un autre aspect et leur coloration est différente; nous croyons 
que ce sont les derniers vestiges de la notocorde. Celle-ci ne serait 
donc pas centrale au corps de la vertèbre. 

Le corps de l'atlas, cartilagineux, montre ses deux apophyses 
transverses bien développées. L'ossification de la vertèbre a 
débuté par l'apparition d'un point osseux dans les pédicules de 
l'arc ncural. L'ossification s'avance vers le corps de la vertèbre 
et vers la ligne médiane de l'arc supérieur. Comme on l'observe 
d'ailleurs dans tous les Mammifères, la partie ossifiée de chaque 
côté est discoïde. 

Les neurapophyses de l'atlas sont précédées d'un arc cartilagi- 
neux, indépendant d'elles. Entre cet arc et les neurapophyses, 
l'artère vertébrale pénètre dans l'intérieur par un véritable canal, 
tandis que dans divers atlas adultes de cette espèce ce forameb 
n'est pas clos à la face antérieure dans le squelette sec. Cet arc 
cartilagineux semble donc ne pas s'ossifier totalement et peut- 
être pas du tout. On pourrait croire que cet arc est le dernier 



(») « Die Drehbewegungen des Kopfsfînden zwischen Atlas und Eplstropheus, um die 
Axe des Zahnforlsalzes, siall, die Beugebewegung dagegen im Ailanio-occipilal Geleok. » 
D"" WiEDERSHEiM, Lehrbuch der Vcrgleichenden Àuaiomie, ersier Theii, p. 72. 



— 195 — 9. 

plus loin, en parlant de la partie axile du crâne, les particula- 
rités de Tethmoïde. 

Les os nasaux sont très développés dans cette espèce. 

La disposition relative des intern^axillaires et des maxillaires, 
à la partie supérieure de la face, n'offre rien de particulier. 

A sa partie inférieure et latérale, le maxillaire supérieur est 
très spongieux : c'est à peine si Ton peut dire qu'on a affaire à 
un os. Cette partie du squelette de Tanimal adulte est perforée 
d'une trentaine de trous de chaque côté, pour le passage de diffé- 
rents nerfs et de vaisseaux. 

Le lacrymal, place entre l'apophyse orbitaire du frontal et le 
maxillaire supérieur, est un os allongé, mince à son bord posté- 
rieur. Il s'est développé dans les membranes qui séparent ces 
deux os et nous ne lui avons pas trouvé d'autre adhérence. 

Dans les têtes de Balcenoptera musculus et de Balœnoptera ros- 
trata, que nous avons eu l'occasion d'étudier à Louvain et à 
Bruxelles, on voit, en arrière du lacrymal, également entre 
l'apophyse frontale et le sus-maxillaire, des masses latérales 
de Tethmoïde encore cartilagineuses. De la sorte, les rap- 
ports du lacrymal avec les autres parties du squelette sont 
exactement les mêmes que dans les Géothériens. Nous consta- 
tons également, par notre fœtus, que cet os s'ossifie indépen- 
damment des ethmoïdes et que leur adhérence n'est que 
secondaire. 

Revenons à la partie axile du crâne. L'occipital basilaire 
(figure 2), comme nous le disions, commence entre les condyles 
occipitaux par un prolongement pointu. Le reste de son corps 
est carré et massif et porte deux masses latérales séparées du 
corps par une gouttière longitudinale. 

Entre le basioccipilal et le corps du sphénoïde postérieur, il 
existe un cartilage parfaitement comparable à un disque inter- 
vertébral. Le même cartilage existe dans les crânes de Balœna 
mysticetus et de Balœnoptera rostrata, que M. Van Benedeii 
représente dans VOstéographie des cétacés. 

Le corps du sphénoïde présente à peine la selle turcique ; ses 
ailes commencent par un pédicule aminci reposant sur une 



6. — 192 — 

Ceux-ci se composent de deux os latéraux et d'un interpariétal. 
Ce dernier est peu développé en longueur ei en largeur; son 
épaisseur, mince dans ses contours, va en augmentant jusqa'ï 
son centre, où elle est considérable. 






Lea poinls indiquent l'eilem 




OB. - Occipital bitiliira. 
CO. - Condjrle occipiUl. 
OL. — Eioccipilil. 

PL. - PtritUl l>lcr>l. 


F. - Frool.1. 
AO- ApcphjM orbiuin du fraaul 



Il est recouvert laiéralemcni par les pariétaux latéraux et en 
arriére par le sus-occjpilal, qui les recouvre tous les trois. Il est 
probable que, par leur extension, dans la suite, les pariéiaux 



— 195 - 7. 

latéraux se réunissent sur la ligne médiane sur rinterpariélal. 
Dans les Mystacocètes vivants, h Tàge adulte, roceipital supé- 
rieur envahit les pariétaux — qui ne sont plus visibles que dans 
leur partie latérale — et il se soude aux trois pariétaux. 

L'homologie de Tintcrpariétal n'est pas douteuse; cependant 
Ton constate une certaine différence avec le même os des autres 
Vertébrés. Les pariétaux latéraux ici refoulent Tinterpariétal 
dans rintérieur de la cavité crânienne; que si le sus-occipital est 
soudé avec lui dans lanimal adulte, c*est surtout médiatement 
par les pariétaux latéraux. 

Par le volume du cerveau, par l'épaisseur de la paroi de la 
cavité crânienne, les Mystacocètes sont encore des types anciens; 
ils le sont cependant moins que les espèces fossiles, où ces 
deux caractères archaïques sont singulièrement exagérés. Dans 
ces espèces fossiles, les pariétaux étaient encore visibles derrière 
le frontal, comme dans les Mystacocètes actuels à l'âge em- 
bryonnaire; mais les deux os symétriques se réunissaient sur la 
ligne médiane. Les auteurs qui ont décrit les ossements fossiles 
de Mystacocètes ne parlent pas de Tinterpariétal. En examinant 
le sus-occipital de ces espèces éteintes, on peut constater parfai- 
tement qu'il n'est pas soudé à l'interpariétal ; de plus, les parié- 
taux latéraux se rejoignent dans la ligne médiane sur une 
certaine épaisseur. L'interpariétal était-il refoulé encore plus 
profondément dans la cavité crânienne? Existait-il un inter- 
pariéiai? Nous comprendrions la réduction et même la dispari- 
tion d'un os, mais l'adjonction d'un nouveau, dans ces conditions, 
ne serait pas en rapport avec la marche de l'évolution des êtres 
à travers les âges. 

Si l'on compare les pariétaux de notre jeune individu avec 
les mêmes os des Mystacocètes fossiles, on est frappé de leur 
grande ressemblance, même dans des genres très éloignés des 
Balœnoptera, comme les Plésiocètes (*). 

Le développement du crâne des Cétacés à fanons, surtout en 



\*) Van Beneden, Annales du Musée d'histoire naturelle de Belgique, t. IX, pi. Xflf, 
fig.2. 

IX. «3 



8 — 194 — 

ce qui regarde Us os de recouvremenl, confirme la loi formulée 
par Pietel (') que Tordre d'apparilion des divers types d*animaux 
sur la surface de la (erre rappelle souvent les phases du dévelop- 
pement embryonnaire : lenlemenl à travers les âges, le crâne (*) 
de ces Céiacés se développe en largeur, tandis que le diamètre 
longitudinal diminue proportionnellement; le sus-oceipital enva- 
hit de plus en plus le pariétal et le frontal. 

Ce chevauchement progressif de Toccipital supérieur, tant dans 
Vontogénie que dans la phylogénie, indique que la distance entre 
les os nasaux et le bord de cet occipital ne peut être considérée 
comme un caractère générique, mais tout au plus comme un 
caractère spécifique. 

Les frontaux de notre fœtus se réunissent sur la ligne 
médiane; leur épaisseur, derrière les os nasaux, est d'un peu 
plus d'un centimètre. Ils forment la partie antérieure et latérale 
de la cavité crânienne. A une hauteur correspondant à celle où 
s'insère la petite apophyse orbitaire de VOtaria jubata, nait la 
grande apophyse frontale qui refoule lœil si loin. Sa partie infé- 
rieure est creusée en gouttière et loge le nerf optique. Il y a une 
double communication de Tintérieur de la cavité crânienne avec 
cette gouttière optique, d*abord par la gouttière passant sur Taîle 
du sphénoïde postérieur et ensuite par l'orifice propre du nerf 
optique, orifice percé dans Torbito- sphénoïde rudimentaire. 
L'atrophie presque totale de ce dernier os trouve sa raison d'être 
dans l'extension des frontaux derrière les os nasaux et les maxil- 
laires supérieurs (^) et limitant ainsi la partie antérieure de la 
cavité du crâne. 

Dans l'échancrure des frontaux sur la ligne médiane, au 
devant du présphénoïde, se trouve une apophyse cartilagineuse; 
ce ne peut être que la crista-galli de l'ethmoïde. Nous décrirons 



(«) PiCTET, Traité de paléontologie, 2« édil., i853. 

(<; Van Beneden et P. Gervais, Ostéographie des Cétacés, p. 270. — Flower, Ow 
Whales past and présent (Discours in the Royal Institution, 1883). 

(S) On sait, comme on l'observe parfaitement dans notre fœtus, que, dans les MjsUeo> 
cètes, les frontaux s'articulent avec les nasaux et les maxillaires par suture écailleuse. 



— 199 — 



13. 



fères terrestres. On peut lui trouver plus d'une analogie avec le 
même organe des poissons. 



OB D 




Fig. 4. — Balœnoptera Sibbaldii (Gray). 
Coupe longitudinale de l'axe du crâne. 



OB. 


— Occipital basilaire. 


El.— Elhmoïde. 


Sph. 


— Corps du sphénoïde. 


C. — Apophyse crisla-galli. 


D. 


— Disque cartilagineux. 


À. - Apophyse etbmoïdale post-nasale 


Pr. 


— Présphénoïde. 


A' — Cordon ethnioïdal. 



Le souffle des Baleines consiste en vapeur d'eau, en un peu 
d'eau pulvérisée et de matières grasses. L'origine de l'eau pulvé- 
risée est encore douteuse; elle peut provenir de la condensation 
de la vapeur d'eau éliminée par les poumons; mais l'eau de mer 
ne pénétrerait-elle pas dans les narines, et l'organe dont il est 
question ne pourrait-il pas servir à apprécier la qualité de celle 
eau? On sait que ces animaux fuient les eaux corrompues, 
et que les marins pour les mettre en fuite pompent l'eau de 
la cale. 

Au devanl du présphénoïde, il n'existe plus de point d'ossifica- 
tion ; il est néanmoins certain que l'ossification progressera. 
Y aura-t-il plus lard un nouveau point d'ossification, comme le 
suppose M. Paul Gervais, pour celle partie du crâne? Nous en 
douions. Si l'on examine les coupes que l'on possède de la tète 
de différents Cétacés, on constate : 

1® Que l'ossification de cette partie du crâne s'avance d'arrière 
en avant ; 

2"* Qu'il est toujours impossible de trouver une véritable 
ligne de démarcation entre le présphénoïde et l'ethmoïde. 

Que si un centre d'ossification faisait son apparition, il apparaî- 
trait, comme toujours, au centre ou vers le centre de l'os et non 
à sa partie postérieure. 



iO. — 191» — 

écliancnire du ptérygoidien; leurs parties lerminales, élargies et 
bien développées, ne sont pas encore coossifiées avec le temporal 
et le pariétal. Il ne semble exister qu'un seul point d'ossification 
pour eel os et ses ailes. 






OJi 


i<J 


Fg S 


Balitnop 


era Sbbad 




Crtoe» 


<len bis 


C0Dd)-.« p 




P P 


Oe p b 
B>« p > 
Corpt du iplifii 
IJMil.g.. 


oïdo. 


pi- P 



ryfoîdiai 



Le sphénoïde postérieur est séparé du présphénoîde par du 
cartilage en haut, tandis qu'à la partie basale le cartilage per- 
siste encore sous la partie ossifiée du présphénoîde : celui-ci 
n'est donc ossifié que dans sa partie supérieure iniracrènienne. 
Les orbiiosphénoïdes sont très peu développés. 

Ni à la partie supérieure, ni à la face inférieure, nous ne 
voyons aucune ligne de démarcation entre le présphénoîde et 



— 201 — 15. 

L*ethmoïde latéral envoie, disions-nous, une petite apophyse 
en dessous de Tapophyse orbitaire du frontal en avant du canal 
du nerf optique. Dans les Ziphioïdes on rencontre à cette place 
un os considéré par plusieurs cétologistes comme Tos lacrymal. 
Ne serait-ce pas un prolongement analogue de Tethmoîde latéral? 
Si des parties homologues du squelette sont cartilagineuses dans 
une espèce, osseuses dans une autre, on peut remarquer souvent 
que ce dernier cas se rencontre quand ces parties ne sont plus 
protégées, comme ailleurs, sur toutes leurs faces, par des pièces 
osseuses. 

Cet os lacrymal des Ziphioïdes a-t-il un point d^ossification 
particulier? Ses rapports avec les autres os ne sont pas non plus 
complètement ceux du même os dans les autres Vertébrés. 
Eschricht figure déjà, à côté de ce lacrymal douteux de THyper- 
oodon, une lame osseuse de Tethmoïde. 

Le vomer des Ptérobaleines, contrairement à celui des Balé- 
nides, est creusé en gouttière arrondie à sa base. Cet os prend, 
dans les Mystacocètes, son origine dans la région sphénoïdale et 
s^avancc jusque vers la pointe du rostre. Il loge et protège la 
partie axile du crâne. Arrivé aux narines qui passent à côté de 
lui, il s'élève, contourne Tethmoîdal et forme la cloison inférieure 
des fosses nasales et s^applique plus ou moins contre Tapophyse 
ethmoïdale post-nasale. 

Dans la Balœnoptera rostrata, il ne s'élève que jusqu'à la 
hauteur des ethmoïdes latéraux. Il serait intéressant d'examiner 
comment, dans la fia/c^nop^era 5t66aMit adulte, le vomer se com- 
porte vis-à-vis de Torgaoe de Tolfaction. Dans notre fœtus, il n*a 
pas encore commencé à entourer Tethmoïdal. 

Cet os n*est pas encore soudé aux sphénoïdes dans notre 
embryon ; il reste visible à la partie inférieure de la tête entre les 
palatins et les maxillaires. 

Le vomer n*a pas toujours reçu des ostéologistes la place qui 
lui revient; c'est un os de recouvrement impair; il protège la 
partie basilaire du crâne. Nous ne pouvons nous empêcher de 
le comparer aux os chevrons que nous trouvons dans la région 
caudale. 



18. — 198 - 

Cet organe est enmre p«u connu et même ignoré. On lit dans 
le Traité de zoologie, àe M. G. Claus : ■ Le nez (des Cétacés), 
par suite de l'absence du norr olfactif, ne joue plus le raie d'or- 
gane de l'olfaction et sert uniquement à livrer passage à l'air 
nécessaire à la respiration > ('). 

Comme cet organe de la Balœnoplera SibbaldH, à notre con- 
naissance, n'a pas encore été décrit ni ligure, nous avons jugé 
utile de le représenter (figure 3). 




Fig. 3. — Cariilatte eihmo!<J3t lalcnil de la BaltBuoptera SMol'Ui (tiray). 



L'etlimoïde de la Balœnoplera roUrala porte ce cartilage laté- 
ral beaucoup plus haut; il est bien au-dessus du cordon axial ci 
dépend de la lame etbmoïdale post-nasale. 

Les Mystacocètes apprécienl-jls par cet organe la qualité de 
l'air, comme les Géothéricns, ou apprécient-ils la qualité de l'oir 
dissous dans l'iau, ou plutôt la qualité de l'eau, comme les 
poissons ? 

Cet organe ne semble pas alTecié à apprécier la nature de 
l'air; en effei, ses cloisons sont peu nombreuses, elles sont 
épaisses; en somme, l'organe ne présente pas CL'tie délicatesse, 
si on peut parier ainsi, de l'organe de l'oiraciion des Mammi- 



— 199 — 



13. 



fères terrestres. On peut lui trouver plus d'une analogie avec le 
même organe des poissons. 



OB D 




Fig. 4. — Balœnoptera Sibbaldii (Gray). 
Coupe longitudinale de l'axe du crâne. 



OB. 


— Occipital basilaire. 


El. 


— Elkmoïde. 


Sph. 


— Corps du sphénoïde. 


C. 


— Apophyse crisia-galll. 


D. 


— Disque cartilagineux. 


A. 


- Apophyse elhmoïdale post-nasale 


Pr. 


— Présphénoïde. 


X 


— Cordon ethmoïdal. 



Le souffle des Baleines consiste en vapeur d'eau, en un peu 
d'eau pulvérisée et de matières grasses. L'origine de l'eau pulvé- 
risée est encore douteuse; elle peut provenir de la condensation 
de la vapeur d'eau éliminée par les poumons; mais l'eau de mer 
ne pénétrerait-elle pas dans les narines, et l'organe dont il est 
question ne pourrait-il pas servir à apprécier la qualité de celte 
eau? On sait que ces animaux fuient les eaux corrompues, 
et que les marins pour les mettre en fuite pompent l'eau de 
la cale. 

Au devant du présphénoïde, il n'existe plus de point d'ossifica- 
tion ; il est néanmoins certain que l'ossification progressera. 
Y aura-t-il plus tard un nouveau point d'ossification, comme le 
suppose M. Paul Gervais, pour cette partie du crâne? Nous en 
doutons. Si l'on examine les coupes que l'on possède de la tète 
de difTérents Cétacés, on constate : 

1" Que l'ossification de cette partie du crâne s'avance d'arrière 
en avant ; 

2® Qu'il est toujours impossible de trouver une véritable 
ligne de démarcation entre le présphénoïde et l'ethmoïde. 

Que si un centre d'ossification faisait son apparition, il apparai- 
irait, comme toujours, au centre ou vers le centre de l'os et non 
à sa partie postérieure. 



14. — 200 — 

M. Poui Gervais (*) dit : « II reste des traces de la séparation 
primitive de ces deux pièces (présphénoïde et ethmoîde), en 
avant de l'aire transversale saillante, qui précède elle-même la 
gouttière optique du présphénoïde », 

Mais, en cet endroit, le cartilage de notre embryon, et ce fait 
peut être général pour tous les Cétacés, était beaucoup plus 
spongieux qu'ailleurs; l'os, remplaçant progressivement le carti- 
lage, traduit les caractères de ce dernier. Cette observation 
montre comment ce savant a pu être induit en erreur. D'ailleurs, 
à la face inférieure, il est complètement impossible de trouver 
une séparation quelconque entre ces os. 

11 est toujours difficile, surtout dans les Cétacés, d'assigner les 
véritables limites de ces os, puisque ce n'est pas tant la nature» 
que le naturaliste, qui les sépare et les distingue. 

L'ossification du cordon cartilagineux axial ne fait pas beau- 
coup de progrès dans les Mysiacocètes, tandis que dans les 
Ziphioïdes, tant vivants que fossiles, elle s'avance progressive- 
ment jusque vers rexirémiié du vomer, ce qui donne une très 
grande solidité au rostre. 

L'apophyse crista-galli, les lames criblées confondues ici avec 
les cornets olfactifs indiquent positivement que le cartilage au 
devant du présphénoïde est le corps de l'eihmoïde. La lame post- 
nasale est encore une dépendance du même élément; elle a été 
reconnue, comme telle, par le docteur Julius Munter {Balœ- 
noptera Sibbaldii, 1877) : « Ich nahm, dit-il, die Nasenbeine aus 

» den vorragendrn SiebbeinplaUen heraus Die Siebbeine 

» konnten nicht zur nâheren Untersuchungen gezogen werden. » 

Le cartilage qui coniinue l'axe du corps, et que M. P. Gervais 
appelle le sus-vomérien, est le prolongement du corps de Teth- 
moïde et on pourrait parfaitement le nommer cordon ou os 
ethmoïdalf selon qu'il est cartilagineux ou osseux, en réservant le 
nom de corps de l'eihmoïde à la partie axile qui porte les diflTé- 
renies apophyses. 



(*) p. Gervais, Remarques sur Vauaiomie de la division des Balénidés, 



— 201 — 13. 

L'ethmoïde latéral envoie, disions-nous, une petite apophyse 
en dessous de Fapophyse orbitaire du frontal en avant du canal 
du nerf optique. Dans les Ziphioïdes on rencontre à cette place 
un os considéré par plusieurs cétologisles comme Tos lacrymal. 
Ne serait-ce pas un prolongement analogue de Tethmoïde latéral? 
Si des parties homologues du squelette sont cartilagineuses dans 
une espèce, osseuses dans une autre, on peut remarquer souvent 
que ce dernier cas se rencontre quand ces parties ne sont plus 
protégées, comme ailleurs, sur toutes leurs faces, par des pièces 
osseuses. 

Cet os lacrymal des Ziphioïdes a-t-il un point d'ossification 
particulier? Ses rapports avec les autres os ne sont pas non plus 
complètement ceux du même os dans les autres Vertébrés. 
Eschricht figure déjà, à côté de ce lacrymal douteux de THyper- 
oodon, une lame osseuse de Tethmoïde. 

Le vomer des Ptérobaleines, contrairement à celui des Balé- 
nides, est creusé en gouttière arrondie à sa base. Cet os prend, 
dans les Mystacocètes, son origine dans la région sphénoïdale et 
s*avance jusque vers la pointe du rostre. Il loge et protège la 
partie axile du crâne. Arrivé aux narines qui passent à côté de 
lui, il s'élève, contourne Tethmoïdal et forme la cloison inférieure 
des fosses nasales et s'applique plus ou moins contre Papophyse 
ethmoîdale post-nasale. 

Dans la Balœnoptera rostrata, il ne s'élève que jusqu'à la 
hauteur des ethmoïdes latéraux. Il serait intéressant d'examiner 
comment, dans la J?a/œnop/era 5t&&a/d/t adulte, le vomer se com- 
porte vis-à-vis de Forgane de l'olfaction. Dans notre fœtus, il n'a 
pas encore commencé à entourer l'ethmoïdal. 

Cet os n'est pas encore soudé aux sphénoïdes dans notre 
embryon ; il reste visible à la partie inférieure de la tète entre les 
palatins et les maxillaires. 

Le vomer n'a pas toujours reçu des ostéologistes la place qui 
lui revient; c'est un os de recouvrement impair; il protège la 
partie basilaire du crâne. Nous ne pouvons nous empêcher de 
le comparer aux os chevrons que nous trouvons dans la région 
caudale. 



16. — 202 — 

La partie antérieure de l'axe du corps est protégée aussi bien 
que la partie postérieure; si le vomer commence dans la région 
rachidienne et se prolonge au devant du cerveau, de même les os 
en V commencent dans la région rachidienne et se prolongent 
au delà de la terminaison de la moelle épinière. 

Ce qui confirme cette interprétation, c'est la démonstration, 
faite récemment par M. Dollo (*), de Thomologie des chevrons et 
des hypapophyses. Ainsi on peut dire que, primitivement et théo- 
riquement, la partie axile du squelette supporte inférieuremenl 
des os de recouvrement, disparaissant presque constamment 
dans la région dorsale. 

Dans les essais que Ton a faits pour ramener les os du crâne 
à un nombre déterminé de vertèbres, on voit parfois intervenir 
le vomer. M. Owen indique cet os comme le centrum de la 
vertèbre nasale ou blénencéphaliquc ; c'est une erreur k tout 
point de vue. Pour les vertèbres occipitale, pariétale et frontale 
d'Owen, le centrum est respectivement l'occipital basilaire, le 
corps du sphénoïde et le présphénoïde, toutes parties axiles. 
Pour sa quatrième vertèbre, Owen aurait dû prendre la conii- 
nuation de ces centres, l'ethmoïde avec le cartilage elhmoïdaL 

L'homologie du vomer dans les Vertébrés est très douteuse; 
nous ne sommes pas loin de croire que le parasphénoîde de 
beaucoup de vertébrés inférieurs n'est que Thomologue du vomer. 
L*un et l'autre recouvrent la partie basilaire du crâne, en dedans 
des palatins et des ptérygoïdiens. 

La seule différence qu'ils présentent, c'est leur extension dans 
le sens caudal. 

Dans les Bovinœ, le vomer s'étend déjà jusque sous le pré- 
sphénoïde; dans les Cétacés, comme notre embryon l'indique si 
bien, il s'étend jusque sous le corps du sphénoïde. Le parasphé- 
noîde s*étend jusque sous la région occipito-basilaire. 

Les os décrits comme les vomers de ces vertébrés inférieurs 
peuvent avoir une autre signification. 

Les ptérygoïdiens et les palatins, dans notre embryon, mon- 

(*) Communication faile à U Société scientifique de Bruxelles le 14 avril 1885. 



— 203 — 17. 

trent que leur ossification est due à un point d'ossification par- 
ticulier à chacun. 

Les palatins sont très larges et recouvrent partiellement les 
ptérygoïdiens. Leur bord externe (figure 5) s'étend verticale- 
ment à sa partie antérieure et postérieure, tandis que le bord 
interne est mince. 




Fig. 5. — Bord exleme du palatin. 
A, à [a partie antérieure. | P, à la partie postérieure. 

Le ptérygoïdien, appliqué par une échancrure sur falisphé- 
noîde, présente intérieurement une large gouttière, oblique par 
rapporta Taxe du crâne, pour loger les arrière-fosses nasales. Sa 
partie postérieure montre le hamulus pterygoidius très développé 
et le grand sinus à air, percé d'un orifice mettant en communi- 
cation le tympanal et les fosses nasales. 

En comparant la disposition relative des palatins et des ptéry- 
goïdiens des Mystacocètes, on constate des différences notables, 
qui permettent de reconnaître Tespèce à première vue. On sait 
quel heureux parti M. Flower a tiré de ces os pour la classifi- 
cation des Delphinides; depuis longtemps déjà M. Van Beneden 
a attiré Tattention des naturalistes sur la disposition relative des 
mêmes os dans les Mystacocètes. 

L'os tympanique, le périotique et le temporal demandent une 
étude comparée; nous n'avons pas les matériaux pour la faire. 
Une description détaillée n'aurait aucun intérêt scientifique. 

Nous devons ajouter que nous n'avons pas trouvé de vestige 
du mastoïdien. Le rocher porte les deux apophyses caractéris- 
tiques des Mystacocètes ; mais, à en juger d'après notre embryon. 



18. — 204 — 

la grande apophyse du rocher n'est pas Thomologue de Tapo- 
physe mastoïde ou plulôt du mastoïdien ; c'est simplement, sem- 
blcrait-il, une dépendance du périotiquc. 

Les branches du maxillaire inférieur sont complètement ossi- 
fiées. Ce qui frappe d'abord en examinant cet os, c'est le déve- 
loppement de Tapophyse coronoïde, développement en rapport 
avec le volume du muscle temporal. 

Le sillon dentaire est largement ouvert depuis l'origine de 
chaque branche jusqu'à une certaine distance de l'apophyse coro- 
noïde. Dans l'une des branches, on pouvait apercevoir, vers la 
fin du sillon dentaire, les derniers vestiges de deux dents fœtales 
presque résorbées. 

Le condyle occupe la moitié supérieure de la face postérieure 
(le la branche ; il est séparé de la moitié inférieure par une gout- 
tière transversale assez profonde. 

Le tubercule inférieur est séparé en deux parties par une gout- 
tière verticale mais moins accentuée. 

L'orifice du canal dentaire arrondi, la courbure de la mandi- 
bule n'offrent rien de particulier. Les trous mentonniers n'étaient 
pas encore formés. 

En terminant, qu'il nous soit permis d'exprimer notre grati- 
tude à notre vénéré maître, M. Van Beneden, qui nous a confié 
le crâne de la Balénoptère. 



— 205 — 



SUK 

LA RÉDUCTION AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES 

DE L'INTÉGRALE 
dx 



J l/Ai* -^- B 



x3 -)- Cx« -+- Dx H- F 



PAR 



M. le C" de SPARRE 

Professeur aux Facultés catholiques de Lyon. 



Dans une note parue dans le tome VIII des Annales de la 
Société scientifique de Bruxelles j'ai examiné le cas où la quantité 
sous le radical a (ouïes ses racines réelles, et j'ai indiqué une 
mélhode permettant, lorsqu'il en est ainsi, d'arriver au résultat 
d'une façon assez simple, sans être obligé de retenir les 
formules. 

Je me propose aujourd'hui de résoudre un problème analogue 
pour le cas où la quantité sous le radical a des racines imagi- 
naires. 

J'examinerai d'abord le cas où la quantité sous le radical est 
du quatrième degré; je passerai ensuite à celui où elle est du 
troisième. Enfin, pour ce dernier cas où la quantité sous le 
radical est du troisième degré, je reviendrai aussi sur l'hypothèse 
où toutes les racines sont réelles. J'indiquerai dans cette hypo- 
thèse un moyen de réduction, dont j'avais déjà dit quelques mots 
dans la note rappelée plus haut, et qui conduit plus vite au 
résultat que lorsqu'on regarde ce cas comme la limite de celui 
où la quantité sous le radical est du quatrième degré et où l'une 
des racines croit indéfiniment. 



2. — 206 — 

D'ailleurs, ainsi que je le disais en commençant, ce que je me 
propose c'est moins de donner des formules applicables h tous 
les cas que d'exposer une méthode qui permet dans chaque cas 
d'arriver simplement au résultat et cela sans qu'il soit nécessaire 
de recourir aux formules. 



La quantité sous le radical est du 4^ degré et a au moins deux 
racines imaginaires. 
Soit donc l'intégrale 



(1) . . . / 



dx 



V^dt [(x — a)* -^ b] [(X — a)« -+- p*] 

Qj b, a el ^ étant réels et b pouvant être positif ou négatif. 

Il est bien entendu d'ailleurs que l'on ne peut prendre le 
signe — devant le premier facteur que si b est négatif, car si Ton 
prenait le signe — lorsque b est positif l'intégrale serait imaginaire 
pour toute valeur réelle de x et nous supposons expressément 
que X aussi bien que l'intégrale sont réelles. 

Pour faire la réduction nous poserons 

(2) X — a = p tg (9 H- 9i), 

où 9^ désigne une constante arbitraire que nous déterminerons 
plus loin. 
L'équation (2) donne 



dx 



et l'intégrale (1) devient 



cos'(cp ■♦- Çi) 



/ 



d(p 



l/db[[(a — a)cos((p-t-(p,)-t-|3sin(9H-cpi)]*-»-6cos'(ç-f-9i)] 



fl 



— 207 — 3. 

en développant le carré elle deviendra 



(3) 



V/=t:[i[(a— a)*-+-p'-t-6]H-i[(a— a)*— p'-+-6]cos2(9-h9i)-+-(a~a)psin2((p-Hp,)J 

La quantité entre crochets sous le radical peut s'écrire 

i [(a-a)V |3*^6]H-i [[(a— a)'— p' -♦- 6] cos2(pi4-2(a - a)psin 2cp,] cos2(p 
-i-i[-2(a-a)pcos2(p, - [(a — a)'— p'H-6]sin29,]sin2cp. 

Mais nous pouvons protiter de Tindélermination de 9^ pour 
égaler à zéro le coefficient de sin 2?, il suffira de poser 

W Ig29i= ^^ 



[(a_a)*-p*-+-6]' 

en mettant alors en facteur 

[(a — a)* — f -+- 6] ces 29, 
et tenant compte de la relation (4) l'expression (3) deviendra 

r(«_a)«-|5' 4- 6]cos29J- — • , \^ . + i (i + tg'29. cos29 

L^ / r j T |^2jcos29i (a — a)'— p'-t-D J 

ou 

(« — a)« — p' -♦- 6 Ha — o)* -♦- p* -+- 6 cos 29, cos 29' 



cos 291 



Ra — o)* -♦- p* -+- 6 cos 291 cos 291 
L(a — a)* — p* -I- 6 2 "*■ 2 J' 



Remplaçant mainfcnant cos 29 par 1 — 2 sin ^9, notre intégrale 
pourra s'écrire 

^9 



/^ 



(a — a)*— p' -t- 6 r(a — o)*-*- f -\- b cos 291 .1 

^ ^^^19; [(a-a)*— P'h.6 — â""*" *""^'° ?J- 



Mais l'angle 29^ étant seulement déterminé par sa tangente au 
moyen de la formule (4), le signe de cos 29^ est encore arbitraire 



4. — 208 — 



(puisque Ton peut pour 2(P| choisir entre deux valeurs différentes 
de 7r). 

On choisira donc ce signe de manière que 



cos !2(p, 



soit dans tous les cas positif. 
On prendra pour cela 



± [(a — af — 3* -+- /;] 
cos 29,= '^ ^ ^ 



l/[(a — ay - p* -h 6]* -+- 4P* (a - a)" 
valeur que nous pouvons écrire 

± [(a — a)« - f-^b] 



(5) . . . cos 2y, = 



l/[(a _- a)* 1- p* -+- 6]* — 4p*6 



Les signes inférieur et supérieur se correspondant avec ceux 
placés sous le radical, notre intégrale deviendra donc enfin 

/^ i dr 

(6) 1-—==^ 



V7[(a-ei)*-f-p«-6]«-4p*6 



\/ i^ ,. ^ -sin> 

V w,l/[(a_a)* -♦- p« -^ 6]»— 4p'6 



Nous sommes conduit maintenant à distinguer deux cas sui- 
vant le signe de 6. 

1" 6 > 0. Les quatre racines sont alors imaginaires. 

On doit dans ce cas, ainsi que nous Tavons déjà dit, prendre 
toujours le signe supérieur, car l'intégrale ne serait pas réelle 
sans cela. 

Lorsque h est positif 

P' -+- (a — a)' -♦- h 



\/\[? H- (a - af + 6]« — kfb 



est évidemment plus grand que /. 



— î209 — 5. 

Nous pourrons donc poser 

i 1 p* ■♦- (g — g)* -^ b 

*'"'2 2i/[pî ^ (« — a)« -4- 6]'— 4|3*6 ' 

A étant réel et plus petit que 1. 

Pour calculer k nous poserons d'ailleurs 

2|Sl/6 

|ui étant positif et plus petit que 90"*. 
On a alors 

u 

cos - 

1 1 -4- COS /x 2 

k^ 2 cos jLt cosjLt 

ou 

cos M. 

(8) **= 

cos' - 
2 

et par suite 

(9) . *"=tg«^ 

en tenant compte de Téquation (7) l'intégrale (6) s'écrira 



1 

Ou en posant maintenant 



i y^ c/cp 



(10) . . . . sin(p = snt/, cos(p = cni#. 

(H) .... ^ ^i:^. 

1 

C étant la constante d'intégration. 

IX. 14 



6. — 210 — 

En lenant compte de la relation (10) la formule (2) nous 
donnera alors pour l'expression de x en fonction de u 

, _. sn t/ ces (D. + en II sin (Pi 

en u cos cpi — sn ti sm 91 

(p^ ayant la valeur déduite des relations (4) et (5). 

2** & < 0. La quantité sous le radical a deux racines réelles et 
deux imaginaires. 

Dans ce cas on a 

1 (3' ->- (a — a)* -H 6 
0<-± ,-— <l, 

2 2 i^[f -h (a — af -h 61* — Xhp" 

quel que soit celui des deux signes que Ion prenne, car 

f -^ [oL — af -\' b 



l/[p« + (a — af -f. 6]' — 46p» 



est plus petit que 1 en valeur absolue, puisque 6 est négatif. 
Nous poserons donc 



2 2l/[|3» -+- (a — af -f. 6]*— 46^* 



A*^ étant positif et plus petit que 1 . 
Pour calculer k^ nous poserons 



20 V/— 6 

m «g> = s7 



j3« H- (a — a)« -+- 6 

et nous prendrions pour X une valeur comprise entre et tt. 
On aura alors 

1 cos X 

2 2 



— 2ii - 7. 

C*es(-à-dirc si Ton prend le signe supérieur 

(14) A' = cos*^. 

(15) . A'*=sin«-; 

2 

si Ton prend le signe inférieur 

(16) fc*==sin*-. 

(!7) . r = cos«^; 

et rinlégrale (6) deviendra dans Tun el Taulrc cas 

^ / cos A r" d(p 

V (a — a)* -i- p* ^ 6 ./ ^l^t_ 5i„*ç ' 

OU en posant 

(18) . . . . sin9 = A:snti, cos(p = dnt/, 

V / cos a , 

^ ^ (a — a)* -i- (3* -+- 6 ^ ^ 

C étant la constante d'intégration. 
Remarquons ici que b étant négatif 

(« — a)' -f- p' -i- 6 

peut être aussi négatif, mais que dans ce cas cos X 1 est également 
puisque nous avons pris pour X une valeur plus petite que n, et 
que, par suite, 

cos X 

(a — a)' -+- p' -t- 6 

est toujours positif. 



8. — 2r2 — 

La formule (2) nous donnera dans le cas présent pour Tex- 
pression de x en fonction de u 

,,,^, k sn u cos cpi + dn ti sin ©, 

(20) . . . X = a -+- S ïî ^ . 

dn u cos cpi — A^ sn ti sin (p. 

Cette formule s'applique d'ailleurs quel que soit le signe du 
terme en x^ sous le radical; seulement dans un cas la valeur de 
k sera donnée par la formule (14) et dans l'autre par la for- 
mule (16). 

Remarque. Nous avons, en appliquant la méthode, supposé 
que Tun des facteurs du second degré étant sous la forme 
(x — a)* -h (3*, l'autre était sous la forme (x — o)* -4- 6, mais il 
est évident qu'elle s'appliquerait tout aussi bien si ce second fac- 
teur était sous la forme Ax* -+- Bx h- C. 

Applications. Soit l'intégrale 

dx 



r dx 



décomposons d'abord la quantité sous le radical en facteur du 
second degré réel. 
Nous aurons 

dx 




i][("^)'-:] 



Nous pourrions appliquer à ce cas les formules établies plus 
haut, mais, ainsi que nous l'avons dit, nous préférons les retrou- 
ver pour ce cas spécial en suivant seulement. la méthode. 

Posons donc 

^_V^ 1/2, , . 



— 2i3 — 9. 



nous aurons 

dcp 



y= i — 

/ \/ï /- V^î^ xl* cos'(9-f-9ij 
^ V [l/!2 ces (cp -4- cp.) ■+- -ysin (9 -*- 9i)J -t- 



ou 

dcp 



-fv 



3 

- -+- cos2 (9 -+- 9,) H- sin 2 (9 -♦- 9i) 



ou en développant, 

d<f 



y = 




3 , . ^ 

- -h [cos 291 H-sin 29,] ces 29 -h [ces 291 — sin 29,] sin 29 

et si nous prenons maintenant tg 291 = 1 et par suite 

1/2 

cos 29, = sin 291 = , 

puisque cos 291 doit ici être pris positivement, nous aurons 



-/v 



c/9 



/l 



1/2 cos 29 



1/2 /^ d9 



1/3 H- 21/2 / . /, 41/2 . , 

/ \/ 1 sm*9 

'^ y 3-^21/2 

on posera donc 

sin 9 = sn t/, cos = en ti 

avec 

41/2 



ifc* = 



3 H- 21/2' 



10. — 21* — 

d'où 

3 H- 2 1/2 



et on aura 



'-VJ 



- 21/2 

avec 



2 

(m h- C), 



1/2 r cos cpi sn u ■+■ sin cpi en u 1 
2 L cos cp, en n — sin 91 sn 1/ J ^ 



ici çj = 22%30' puisque 29, = 45«. 
Soit en second lieu l'intégrale 

dx 

y 



-A 



ou 



/ax 
l/db(x'— i 



posons en appliquant la méthode 

X = tg (cp -+- cp,), 

on aura 

d(p 

y= ' 



-A 



V^±L [sin* ((p -♦- cpi) — cos'(cp -♦- (pi)J 
ou 



=/; 



l/iip cos 2 ((p -♦- 94) 
C'est-à-dire en développant 

dxf 



J l 



l/=f: cos 291 cos 29 db sin 291 sin 29 

comme nous devons avoir 

sin 291 = 0, rp cos 291 = i . 



— 215 — if 

Nous prendrons avec le signe supérieur 

avec le signe inférieur 

2(p, = 0, 

et nous aurons dans les deux cas 



/• d(p ^ C 

l/cos 2© l/it/ l 



l^cos 2(p 1^2 J 1/ i — 8in*(p 
par suite en posant 

2 

sin (p = A sn ii, ces 9 =? dn ti, 

on aura 

M -t- C 



y = 



1/2 



Pour Texpression de x en fonction de u nous aurons avec les 
signes supérieurs 



"^""^^U"*"^)""""^^^^' 



ou 

dn M 
x= — 



/:sn t/ 
puisqualors 







9i 


"^2* 


et avec les 


signes 


inférieurs 








X = 


= ^9> 


ou 




X — 


J: sn ti 



dn u 



12 — 216 — 



II 



La quantité sous le radical est du troisième degré et a deux 
racines imaginaires. 
Soit donc l'intégrale 



(21) .... / — > 

7 l/d= (x — a) [{x -«)*-♦- p«] 

a^ a et (3 étant réels. 
Nous poserons encore 



(22) X — a = ptg((pH-(pJ, 

(pi étant comme précédemment une arbitraire que nous déter- 
minerons plus loin. 

On aura alors pour Tintégrale (21) 



£ 



d(p 



V db ces (ç -+- cpi) [p sin (cp -+- cpi) — (o — a) ces (cp ■«- cpj)] 

Mais la quantité sous le radical pourra s'écrire 

d= [i ô sin 2 (cp -♦- cp,) — i (a — a) — i (a — a) cos 2 (cp -t- 9,)], 

ou en développant 

it I i [3 cos 2(p, — (a — a) sin 2(p, J 
sin 2cp -^ i [p sin 2(p, '\- [a — a) cos 2(p,] cos 2(p -*- i (a — a)l. 

Si Ton pose maintenant 



(23) ««2?.= 



a — a 



on pourra satisfaire à cette équation au moyen de deux valeurs 
de 2<Pi, Tune plus grande, Tantre plus petite que tt. 



— 217 — i3. 

Mais si nous mettons en facteur dans Fexpression sous le 
radical (a — à) cos Scp^, nous pourrons l^écrîre en tenant compte 
de réquation (23) 



(a — a) cos 29 



'[c-^-^(*-"'«>')^"''H 



ou 



a — a 

dz (cos*©! — sin'tp). 

cos 29, ^ ^ 

Mais l'équation (23) donnant deux valeurs de 29^ dont la 
diffërence est tt, on pourra toujours prendre celle qui rend 

a — a 

db positif. 

cos 291 

On aura alors 

a — a 



cos 29, ^ ^ ^ 



et notre intégrale deviendra 

i p (l(p 

|V(a_a)»-hp*y l/cos'9, — sin'? 
Nous poserons maintenant 

(24) )t* = cos'9„ 

d'où 

(25) it'» = sin*9„ 

k et A:' étant pris positivement, quel que soit le signe de cos 9| 
Puis 

sin 9 == & sn u, cos 9 = dn ti, 

et rintégrale deviendra, G désignant la constante d'intégration, 

(26) — ^"""•> . 

\y{a - a)' -+- p' 



14. — 218 — 

et on déduira ensuite de la formule (22) 

ksnu cos (Di -4- dn ti sin cDi 

(27) . . . x = «-*-S , ^ , r-^ 

cos 9i dn u — A; sn u sin cpi 

Application. Soit Fintégrale 

dx 



'-/, 



ou 

dx 



y = 



l/zb(x-*-i)(x«— X H-l) 



et appliquons la méthode précédente. 
Posons par suite 

i 1/3 ^ 



car 



/ i\* 3 
(a:« — xH-l) = ^x — -j -+-- 



On aura 

dtp 



^ V =t cos (9 -+- 9.) - cos (cp -f 9,) -^ — sin (9 -t- 9,) 



ou 

d(p 



-j 



y= r "^ 

/ \/ [3 3 1/3 1 

^ V dt U -*- - cos -2 (9 -t- 9,) -*- — sin 2 (9 -4- (p,)J 

e'esl-à-dire 

2r/9 



(/ db [3 -♦- (5 cos 29, 4- l/3sin 29,)cos 29-1- (l/5 cos 29, - 3 sin 2(p,) 8in29 



— 219 — 15. 

Nous poserons ici 

^^ 
o 

e( rintégrale deviendra 

2{/(p 




3 C08 Scpi K (i -H Ig'Sop,) ces 2(p 

L cos 2(p, J 



ou 

2(^9 




(ces 2<pi -+- ces 2(p) 



ces 2(pi 

Nous choisirons maintenant entre les deux valeurs de 2(pf don- 
nées par réquation 

m» 

Ù 

celle pour laquelle 

db3 



ces 2(pj 
est positif, cela revient à prendre 

cos 2(pi == dz et par suite sm 2<pi == zfc - î 

les signes se correspondant avec ceux de la quantité sous le 
radical, on aura alors pour les deux cas 



* r 



d(f 



K 5 -^ l^cos*(pi — sin'cp 
Nous poserons ensuite 

1^ = cos' cpi fr" == sin' cp, 
A: et A:' étant pris positivement quel que soit le signe de cos (pi et 

siri (p = /; sn f/ , cos (p = dn «. 



16. — 220 — 

On aura alors dans les deux cas, G étant la constante d'inté- 
gration, 



X = - 



{ K 3 ^ sn M ces cpi -t- dn ti sin tp. 



2 2 du ti ces 9i — k su u sin 91 
On peut remarquer que dans le cas du signe supérieur on a 

2(p, = 30% 
d'où 

et par suite 

^ = ces i 5'. 

Dans le cas du signe inférieur on a 

2ç, = l80«-t- 300 = 210% 



d'où 



et par suite 



ou 



cp, = 105« = 90o-+- 15% 



A = — cos(90«-H 15*), 
A: = sin 15*, 



puisque nous prenons toujours A: positif. 

On peut remarquer lorsque la quantité sous le radical est 
du S"* degré que les modules correspondant aux deux cas où 
Ton prend soit le signe + soit le signe — devant cette quantité 
sous le radical sont toujours complémentaires. 

En effet, les valeurs de 2(pf données par Téquation (23) et qui 
répondent Tune au cas où Ton prend le signe 4-, Fautre à celui 
où Ion prend le signe — , différent de n; par suite les valeurs 
correspondantes de 9^ diffèrent de ^ et le carré du sinus de 
Tune est égal au carré du cosinus de Tautre. Donc les valeurs 
de A'- et k"^ correspondantes, données par les équations (24) et 
(25), sont complémentaires. 



— 221 — 17. 

Il en est de même lorsque la quantité sous le radical est 
du ^^ degré, ainsi que cela résulte immédiatement des formules 

(U),(lS),(16)et(17). 

En résumé, pour faire la réduction lorsqu'il y a des racines 
imaginaires, si (x — a)* -+- (3* est un facteur du second degré 
correspondant on posera x = a h- (3 tg (cp h- cp,), cpi étant une 
constante on mettra la quantité sous le radical sous la forme 
d'une fonction du premier degré en cos 29 et sin 2(p. On profitera 
de l'indétermination de (f\ pour égaler à zéro le coefficient de 
sin 2(p, ce qui donnera une équation du premier degré en tg 29^, 
et pour faire en sorte que le coefficient de cos 2cp soit positif. Le 
reste de la réduction se fera sans difficulté, ainsi qu'on l'a vu 
plus haut. 



III 



Revenons maintenant sur le cas où la quantité sous le radical 
est du S"* degré et les trois racines réelles. Il y a alors quatre 
hypothèses à examiner. 



dx 
1/(0 — X) (6 — x) (x — c) 

avec 



/"» ax 

V(a — X) (6 - 



6>x>c et a>6>c. 

On posera dans ce cas 

X = b sn' 1/ -f- c en' ti = c •+- (6 — c) sn' ti, 
d'où 

(28) - . . X — c = (6 — c) sn* M , 

(29) . . . 6 — X = (6 — c) en' M , 



(I — x=(a — c)1 sn' u , 

L a -r J 



18. — 222 — 

Mais si nous prenons 

. à—c 

(50) A*== 

a — c 

, a - 6 

(31) k'* = 

a — c 

on aura 

(32) a — X = (a — c) dn' w , 

et comme 

dx = ^(b — r) sn u en ti dn u du, 

on aura enGn 

(33) y = -zÂ=r{u-^C), 

C étant toujours la constante d'intégration dans cette formule 
comme dans celles qui suivent. 

2- Soit 

/dx 
> 
k'(a — x)(x — 6)(x— c) 

avec 

a > X > 6 et toujours « > 6 > c. 

On pose alors 

X = a en' Il -+- 6 sn* /< = a — (a — 6) sn' w, 
d'où 

(34) . . . a — X = (a — /;) sn* m , 

(35) . . . X — b=={a — 6) en* u , 



X 



— c = (a — c)\ \ sn' M . 

L a-c J 



C'est-à-dire en posant 

a — b 

(36) i* = . 

a — c 

(37) A-'«=— -. 

a — c 

f38) X — c = (a — c)dn''w. 



— 223 — 19. 

e( comme 

dx = — 2 (a — 6) sn 1/ en ti dn u du, 

on aura enGn 

2 

(59) y= - (C — ti). 

\/a — c 



3* Soit 



avec 



/dx 
— 
l/(x - a) (x — 6) (x — c) 

x>a a>6>r, 



on posera 

x=aA:»8n«(ti -h tK') -4- cdn«(i/ h- iK') = c -f- (a — c) fc*sn»(M -+- /K'). 

Remarquons de suite que u décroissant de K à 0, A* sn* (m •+- iK') 
est réel et croît de 1 à h- oo dn* (u -»- iK') est réel et décroît 
de à — Qo . 

On aura en vertu de la relation posée plus haut 

X — a = — (a — c) dn' (u -t- t'K'), 
X — 6 = — (6 - c) M - y^ A* sn» (u 4- iK) 1. 

Par suite en prenant 

b -- c 
(30) h* = 



-- 1 



a — c 
a — b 



(30 *" = 

a — c 

X — 6 = -— (6 — c) en* (u -♦- iK'), 

X — c=^(a — c)k* sn' (u h- iK'), 
et comme 

dx = 2 (a — c) k* sn (m -♦- iK'j en (u -t- tK') dn (u 4- iK') du, 

on aura 

2k (u -f- C) 

y = — > 



20. — 224 — 

ou en tenant compte de la valeur de k 

2 (w H- C) 

(40) y= ,' ' 

va — c 
Mais Ton a les relations 

i 

(41) .... . sn (m -f- f K') = -; 

Ar sn tt 

idnu 

(42) cn(u -h tK') = — , 

k sn u 

en u 

(43) dn (m H- iK') = — i , 

sn 1/ 

qui donne pour l'expression de x en fonction de u 

, en* u 

(44) X — a = {a — c) — -— » 

sn'u 

dn'ii 

(45) x-/> = (6-c)— -^. 

, i 

(46) X — c= la — c) — 

siru 

i"* Soit enfin 

dx 

V[a — x) (6 — x) (c — x) 

avec 

x<c a>6>c, 

on posera dans ce cas 



x= r 

J V/(a-xl 



X = cA' sn* (M H- iK') -I- a dn' (w -t- iK') = a — (a — c) A' sn« (u -4- »K'), 

et on en déduit 

a — x=^{a — c) A' sn' (u -*- iK'), 

6 — a? = - (a - 6) fi — ^^ fc* sn* (w ^ iK')l 



— 225 — 2i. 

ou en prenant 

a — b 

(56) A»= . 

a — c 

b—c 

(37) r = , 

a — c 

6 — X = — (a — 6) en* (w -+- tK'), 

c — X = — (a — c) dn' (ti -i^ tK'); 

comme d'ailleurs 

dx = — 2 (o — c) A' sn (u -+- iK') en [u -+- iK') dn (u -+- tK')du , 

on aura 

"Ik (C - u) 

ou en tenant compte de la valeur de k 

(Ll\ 2 (C - tl) 

(^7) y= , . ' 

Va — c 

On aura d^ailleurs, en vertu des relations rappelées plus haut, 
(41), (42) et (43), 

a — c 

(48) a — x= — — . 

sn^ti 

(") ^-^ = («-*)âSi7' 

<«» ''-^ = («-^)S- 

Dans toutes les transformations précédentes A:' et k'^ sont tou- 
jours positifs et par suite aussi plus petits que 1 ; on peut remar- 
quer que, encore ici, les valeurs de k^ et A:'^, correspondant aux 
cas où le coefficient de x' sous le radical est positif, sont complé- 
mentaires de celles pour les cas où le coefficient de x^ est négatif. 

Il est enfin évident que dans les expressions de y en fonction 
de u on pourrait mettre le signe db devant le second membre à 
IX. 15 



22. — 226 — 

cause du double signe qui existe, en réalité, toujours devant le 
radical; cela revient à faire croître et décroître u dans le même 
sens que y ou en sens contraire. 

Pour le cas où la quantité sous le radical est du S"* degré et 
les racines réelles, on peut se rappeler très simplement ce qu'il y 
a à poser dans chaque cas pour faire la réduction, en se servant 
du moyen mnémonique suivant : 

l"" Lorsque x est compris entre deux racines consécutives du 
radical, on pose x égale à une fonction linéaire homogène de 
sn'u et cn^ti et le coefficient de sn^u est toujours la racine 
moyenne 6 de la quantité sous le radical; le coefficient de cn^u 
est Tautre racine qui limite Tintervalle dans lequel x peut varier 
à partir de 6, Hntégrale restant réelle; 

2° Lorsque x est plus grand que la plus grande racine de la 
quantité sous le radical ou plus petit que la plus petite, en un mot 
lorsque x peut varier jusqu^à Tinfini, on pose x égale à une fonc- 
tion linéaire homogène de A* sn* (u -h tK') et de dn* (u -h tK') 
et le coefficient de A* sn* (u -+- «K') est la racine à partir de 
laquelle x peut varier jusqu^à Tinfini, l'intégrale restant réelle; le 
coefficient de dn* (u h- iK') est l'autre racine extrême. 

Le cas où la quantité sous le radical est du i"* degré et où 
toutes les racines sont réelles se ramène à Tun des cas précé- 
dents en posant 

i 

z 

a étant Tune quelconque des racines de la quantité sous le radi- 
cal ; mais je n'insiste pas sur ce point, qui fait l'objet de la note 
parue dans le tome VIII de ce recueil et dont j'ai parlé en com- 
mençant. 

Application. — Gomme application du cas où la quantité sous 
le radical est du troisième degré et les racines réelles, considé- 
rons le problème du pendule circulaire. 

Soit 

6 l'angle d'écart du pendule; 

/ la longueur du pendule ; 



— 227 — 25. 

g la quantité ; > 

a Tangle d'écart à un instant déterminé et 
(ù la vitesse angulaire du pendule au même instant. 
L*équation du mouvement sera 






^9 

Posons 

ces ô = z, 

ces « = a, 
lous aurons 

. , , / dz 

dt 



V- 

V 9i 



Nous devrons maintenant distinguer deux cas : 
1* Le mouvement est oscillatoire. 

On peut alors, sans nuire à la généralité, supposer go = 0, en 
])renant pour a la valeur positive de pour laquelle ^ est nul. 
On aura donc 

dz 



dt 



--Vi 



^1i[/{[—z){z — a)(z^i) 
Les racines du radical sont rangées dans Tordre suivant : 

«t Ton a 

i > z > o. 

Appliquons maintenant la règle mnémonique donnée plus 
haut ; nous poserons 

z = a sn't/ -^ cn'u = i — (i — a) sn'i/, 

d'où 

I — z = (i — a)sn'u, 

z — a = (i — a) cn'w, 

i^z=2 i ^sn'u =2dn»ii, 



24. — 228 — 

en posant 

\ — a a 

*' = = 8in'-; 

2 2 

puis comme 

dz= — 2 (4 — a) sn u en u dn u dUy 
on aura 



dt = V/-duy 



en faisant croître u dans le même sens q ue t. 

On en conclut en prenant t = pour t< = 0, c'est-à-dire 
pour 6=0, 

^ 9 

Remplaçant maintenant z et u par leur valeur en fonction de 
6 et f et faisant croître 6 et ti dans le même sens à partir de zéro, 
on aura avec quelques réductions évidentes 



CCS 



• ^ • " (\/9t\. 
sin - = sm-sn l v ^ / 
2 2 \ ^ / / 

ô — cos a = 2 sin'- en* { V/- V» 



cos 



î =d. (y/f .). 



Puis pour la vitesse angulaire au moyen de la formule 

de X /2j, > 

•— = V/ -p K cos 9 — cos a, 

di y i 

2" Le mouvement du pendule a lieu toujours dans le même 
sens. On peut alors, 6 devant être périodiquement égal à ir, 
prendre a = 7roua = — 1. 



— 229 — 25. 

On aura donc 

dz 



di 






\/(i-z)(z+i)[z + l+^j 
Les racines sont alors rangées dans l'ordre suivant : 

et on a 

En vertu de la règle mnémonique on posera donc 

z = — sn* M-*-cn'w = l — 2 sn* u, 

d'où 

i — z = 2sn*u, 

i -*- z = 2 en' «, 

a" 



2</ 



2g \ "igl \ kg -i- «*/ /' 



ou en posant 



*'= *^ 



kg -♦- w'/ 



et comme 



on aura 



: -I- 1 H = -^-- an' ti, 

21/ 2» 

dz s=> — 4 sn ti CD u dn u du, 



dt = 2\/- ^.rfu, 

^ 4 j -I- wcjt 

en faisant croître t et u dans le même sens, et on en conclut en 
prenant t = pour t< = 0, c'est-à-dire pour = 



^ 4gf -♦- »" 



26. — 250 — 

ou 



..\/f^.. 



On aura donc en remplaçant z par sa valeur en fonction de 9 
avec quelques réductions faciles 






ces 



uH kg -♦- cd'/ 

ces « -♦- i H = -^^ an 

2? 2(7 

et la formule 



• (\/f * r ')• 



^^_-% /2</x A'^ 



2» 

nous donnera pour la vitesse angulaire 

d6 



J^=\/y-f.a,'dntl, 



On obtient donc ainsi, d'une façon très simple, la solution com- 
plète du problème du pendule circulaire. 



— 25i — 1. 



SUR 

UNE SUITE DE POLYGONES 

TELS QDB GHAGUN D'EUX SOIT FORMÉ EN JOIGNANT LES MILIEUX 

DES GOTÉS DU PRÉGÉDENT 



PAR 



M. Maurice d'OGAGNE 

logënieur des Poott et Chaattëei, i Rochefort 
( Chare n te-ln rërienre ). 



t. Soit donné dans Fespace un polygone ?„, plan ou gauche, 
de n côtés; appelons A|, At, ... A« les sommets de ce polygone, 
dont les coordonnées sont(X|, yj, z,), (x„ y,, z,), ...(x^, y», zj. 
Nous désignerons, d^une manière générale, par Aj[ le milieu du 
côté AkXf^ et nous formerons le polygone P| ayant pour som- 
mets Ai, A\j ... Al, dont les coordonnées sont (xj, y!, z\)j 
(x^, yi, z[) ... (xl, y!,, zl). De la même manière, nous déduirons 
le polygone P^ de P^, puis P5 de P29 ^^ ^^^^^ ^^ suite. 

Le problème générai qui se pose sur cette suite de polygones 
est le suivant : trouver les expressions des coordonnées des som- 
mets du polygone P, en fonction des coordonnées des sommets du 
polygone Pq. 

M. Darboux a traité ce problème dans une note insérée au 
Bulletin des sciences mathématiques Q. La solution de Féminent 
géomètre, fort élégante, repose sur Fintroduction de certains 
paramètres t définis en fonction des coordonnées des sommets 
du polygone initial et des racines n**"** de Funité. Les formules 



(•) «• série, t. n, p. 2S». 



2. — 252 — 

ainsi établies se prêtent à la démonstration de théorèmes intéres- 
sants, mais elles ne donnent pas Texpression explicite des coor- 
données des sommets d un polygone quelconque de la suite en 
fonction des coordonnées des sommets du polygone initial; d'ail- 
ieursy ringénieux artifice imaginé par M. Darboux ne se pré- 
sente pas tout naturellement. Aussi, avons-nous repris le problème 
par la voie directe; on verra que la solution est, dans ce cas, 
d*une très grande simplicité et que le résultat ne laisse pas que 
d^étre assez curieux. 

Nous avons déjà traité, par une autre méthode, le cas où le 
polygone donné se réduit à un triangle Q. 



M. Il suffit que nous nous occupions de Tune des coordon- 
nées X, par exemple, les calculs étant les mêmes pour y et z. 

De plus, nous n'avons besoin, pour avoir les coordonnées 
relatives au polygone P,, que de calculer apf. Par permutation 
circulaire des éléments X|,X2,...x« nous obtiendrons ar{,acj[, ... x.. 

On a, par un calcul direct 

^ X| -+- X, 



.«,1 — 




2 










Ȕ= 


x^ 


-4- 


2jr, 


-+- 


Xs 








■2* 










Xi 


4- 


3xi 


-t- 


3xs 


-+- X4 


. 


. 


. 


2» 

• 


• 


• • 



On voit que la loi de formation des coefficients des numéra- 
teurs est précisément la même que celle des nombres figurés du 
triangle arithmétique de Pascal : un coefficient est égal à la 
somme de celui qui est directement au-dessus de lui, dans la 

(*) Bulletin de la Sociélé mathématique de France, t. XII, p. 78. 



— 253 -. 3. 

ligne précédente, et de celui qui est à gauche de celui-ci. Cela 
va de soi, car le coefficient de x^ dans x^i est coefficient de x^^i 
dans xj. 

Gomme d'ailleurs les valeurs initiales (1,1) sont les mêmes 
que dans le triangle de Pascal, on est immédiatement conduit 
au théorème suivant : 

Considérons la suite, 

I , \jp^ \j^, ••• Kjp^ \jp , y^p y ... 

des coefficients du développement du binôme (x + 1/; multi- 
plions ces coefficients pris de n enn à partir du premier par \^ , 
de n en n à partir du deuxième par x^, de n en n à partir du 
troisième par x^, efc..., et faisons la somme. Nous aurons, en 
divisant par 2% la valeur de x^ Ainsi 

X J = 

et, par permutation circulaire, d*une manière générale. 



.^ x,H-.qx,^«4-c;x,+,-^. .-t-c;-^x ,+c;-*-^-'xi-h »-4-c;-'x,,i-4-c;x, 



2" 

s. On aperçoit une conséquence immédiate de cette formule. 
Si on effectue la somme 

Xi" -+- xÇ -h ••• -t- xj, 

on voit que, au numérateur, le coefficient de chacune des quan* 
tîtés X|, X2, ... x« est égal à la somme des coefficients du binôme 
(x -»- ly, c'est-à-dire à 2', et comme le dénominateur est préci- 
sément 2', on a 

XÎ -+- X5 -♦- •" -♦- x; = X, -♦- Xj H- H X,, 

c'est-à-dire que les points Af, Af, ... A; ont même centre de gravité 
que les points A|, A^, ... A,, car la même relation a lieu pour les 
y et pour les z. 



4. — 234 — 

4. Nous allons maintenant, dans l'expression (1) de a{, 
grouper les termes en ar^, en x^, etc.» ... de manière à mettre 
cette formule sous la forme suivante 



(2) . . xï= -^ 



«•*'■ 



Le coefficient M, est la somme des coefficients du développe- 
ment du binôme (x h- 1)" pris de n en n à partir de CJ,"* si t > k, 
et à partir de Cjr*"*"" si i < k. En convenant, comme cela se fai t 
d'Iiabitude, de prendre C* = lorsque m est négatif, nous pour- 
rons dire que, dans tous les cas, le premier des termes qui 
entrent dans M, est CJ,"^, et nous aurons 

M, = c;-* -+- c;,-*+* -+- c;- *-^«" -♦- ... -k- c;-*+'*". 

II s'agit de déterminer le paramètre ^i qui figure dans Findice 
supérieur du dernier terme de l'expression de M,. 
Ce paramètre est déterminé par la condition 

i — fc -+- /un <^ p, 

ou 

p -^ k — i 



f^< 



n 



En représentant, suivant Tusage, par E [^j la partie entière 
du quotient de a par 6, nous aurons donc 



\ n / 



et l'expression de M, sera 

(5) M,= 2c;-*+^' 



— 255 — 



5. 



II 



5. Le problème se trouve résolu, soit par la formule (1), 
soit par les formules (2) et (3) ; nous allons maintenant faire 
voir comment se transforme le résultat, si Ton fait intervenir 
dans la question les racines imaginaires de Tunité. 

La formule 

{x -^ \Y = x^ -¥■ C^x"-* -t- CJx''-* -^ Qx'-» -^ ... 



peut s'écrire 



(x -4- iy^ x" [ i .1- ~ -f- 



W. 



( 



- (ci 



X" 


-f- 




X* 


■4- 


a;»» 


c;+' 


-4- 


CÎ"+« 



X 



tu 






\ '^ X" 



c; 



Sn- 1 



• > • Il 



Cela posé, désignons par gi)|, Uj, ... &>. les n racines n*"** de 
Tunité, et, d'une manière générale, par Sj^ la somme des coeffi- 
cients du développement de (x + iy pris de n en n, à partir 
C^~^ Faisant successivement, dans la formule (4), xs=3&)^, 
X =3 0^1, ... X =3 6i)., nous avons 



/ («, ^ \y = wjs, -H «f -'S, -h .. 






(«,-f.4)' = «î;s, + «r*s, 



6. 



— 256 — 



ou, en tenant compte de ce que wj =&); = ••• = w; = 1, 



(5) 






U|S 



M» 



«iS, 



■9 






«r's, -4- 



»-S. 



M»-'»* 



Pour résoudre ce système d'équations, remarquons que 
(ù^y(ù29 ...6i). étant les racines de Téquation 

«• — 1=0, 

la somme oo^ -+- w|-f- ••• h- c^, où p est un nombre entier, est 
égale à n lorsque p est un multiple de n, et nulle dans tous les 
autres cas. Cette remarque étant faite, additionnons membre par 
membre les équations (5) ; il vient 



(' * ^ï *h i)' 



hi)'- 



nSi. 



Multiplions maintenant la première des équations (5) par a>|, 
la deuxième par tù^y la troisième par 0)3, ... et faisons la somme; 
nous avons, en vertu de la remarque précédente 

«i f i H — I -+-«, fin — I -4- ••• -4- », (1 H — I =nS„ 



et ainsi de suite. 

On obtient par ce procédé les valeurs de S|, S^i, ••• S». On voit 
que, d*une manière générale. 









— 257 — 7. 

On a ensuite 

apî = — (S,X| -♦- 8,x, -+-...-+- S^x.), 

i 

xj = — (S,x, -♦- S^5 •*- - -+- S^x,), 



1 

xi= — {SiX^ -+- S,x, -♦- ... -♦- S^x^.i). 

Ces formules sont différentes de celles de M. Darboux, qui ne 
contiennent qu'explicitement X|, x^, ... x«, dans les paramètres t 
dont il a été parié au commencement de cette Note. Il n*est pas 
sans intérêt de se rendre compte de la façon dont les coordonnées 
des sommets du polygone initial interviennent dans la formation 
des coordonnées des sommets d'un polygone quelconque ; c'est 
ce que Ton fait grâce aux formules précédentes. 

•• Nous allons démontrer, au moyen de ces formules, que si 
p croit indéfiniment les n sommets du polygone P^ tendent à 
devenir infiniment voisins du centre de gravité commun de tous 
les polygones de la suite. 

Parmi les racines u^, Uj, ... co., données par la formule 

(ùp^=e *• , Tune (ù^ est égale à lunité; on peut donc, en posant 






écrire 



2" 
n 



alors 



X| -f- Xf -+- ... x„ Si Sj S„ 

* n 21» * 2** 2' 



et il suffit, pour démontrer la propriété énoncée, de faire voir 
que ^' devient infiniment petit lorsque p croit indéfiniment^ ou. 



8. — 238 — 



puisque S) comprend un nombre fini de termes de la forme 
û)^*(l -+- j^) (où (ùp est une racine n**~ imaginaire de Funité) 
que 

H)' 



» 



devient infiniment petit iorsquep croit iDdéfiniment; en d*autres 
termes, que 

Or, on a 

6}p es e • ' = co8 — -«-tsm — —; 

^ n n 

donc 

2(p--1)t . . 2(p-i)ir 

i + tf es i + cos —^ h t sm 

^ n u 

== 2cos' -♦- t2sin ^ cos^î^ ^ 



n n n 



2 cos e " 



n 
alors 



1 -♦- »o (p — i)n HP+i)r . 
L = COS c ■ , 



(P-<)^ 



dont le module est cos ^ ^ , qui est inférieur à Tunité, ce qu'il 
fallait démontrer. 



— 239 - i. 



L'ATROPHIE 



DBS 



MUSCLES DU THORAX ET DE L'ÉPAULE 

CHEZ LES PLEURÉTIQUES 

PAR 
le r>r r>BSI»ILiATS 

PROFESSEUR A LA FACULTÉ LIBRE DE LILLE. 



Les alrophies musculaires sont fréquentes et se produisent 
sous Taction de causes très diverses. 11 faut les rechercher pour 
les découvrir; aussi sont-elles souvent méconnues, au grand 
détriment des malades que cette méconnaissance peut condamner 
à une irrémédiable infirmité. C'est ce qui arrive surtout dans les 
cas d*atrophie musculaire consécutifs à une arthrite du genou. 
Le malade a longtemps et beaucoup souffert. On Ta condamné 
au repos, aux révulsifs, à la compression, etc. Après de longues 
semaines, la douleur et le gonflement ont cédé. Il recommence 
à marcher, difficilement d'abord. Personne ne s*en étonne : son 
mal a été si long! Au bout de quelque temps on trouve que les 
progrès sont lents, que la « jambe • est toujours faible et larticu- 
lation « raide ». On essaie des frictions, du massage, des bains 
stimulants, même de Félectricité, mais sans méthode, en atten- 
dant les EatÂX, d où le malade revient boitant encore et espérant, 
comme on le lui a promis, que le bien se fera sentir plus tard. 
Plus tard, c'est la même chose et le malade 6nit par prendre son 
parti d'un mal qui résiste à tout parce qu'on n'en a pas déterminé 
la véritable cause. Heureusement, cette triste terminaison est de- 
venue rare depuis que l'attention des praticiens a été appelée sur 
les atrophies musculaires qui compliquent si souvent les arthrites. 
L'intervention médicale est aujourd'hui précise, persévérante 
autant qu'il est nécessaire et presque toujours efficace. J'en ai eu 



2. — 240 — 

la preuve, il y a quelques mois, dans ma clientèle. Une jeune fille, 
grande et forte, mais rhumatisante, était retenue, depuis deux 
mois, dans son lit ou sur un fauteuil, lorsque je la vis. Elle avait 
une double arthrite du genou. Déjà les muscles extenseurs de la 
cuisse, particulièrement le triceps droit, étaient tellement atro- 
phiés qu'on ne pouvait obtenir une contraction apparente, même 
par une faradisation énergique. Il fallut plusieurs semaines pour 
réveiller d*abord la contractilité électrique, puis la contractilité 
volontaire, et, trois mois après, malgré la faradisation et le mas- 
sage, le triceps droit n'avait repris ni son volume ni sa force. Il 
fallut six mois pour obtenir une guérison complète. Certaine- 
ment, ce résultat n'eût pas été atteint si, de bonne heure, on 
n'avait constaté l'atrophie du triceps et si on n'avait su qu'elle 
suffisait pour expliquer l'impotence du membre et la claudication. 

Depuis plusieurs années, l'expérience m'a appris que chez les 
pleurétiques l'atrophie des muscles du thorax et de l'épaule est 
fréquente. Je crois qu'elle joue un rôle dans les déformations du 
squelette et qu'elle n'est pas sans action sur l'avenir morbide du 
sujet qui la porte ; aussi ai-je pris l'habitude de la rechercher et 
de la signaler à mes élèves (^). Je voudrais l'étudier plus com- 
plètement aujourd'hui et montrer : 1® qu'elle est fréquente et 
précoce; 2"* que de bonne heure elle entraine des modifications 
de la respiration; S"" que, plus tard, elle joue un rôle prépondérant 
dans les déformations du squelette consécutives à la pleurésie; 
4® qu'elle est la cause indirecte de l'imprégnation et de la pullu- 
lation tuberculeuse, dont les poumons, précédemment atteints de 
pleurésie, sont si souvent le siège. 

En terminant je montrerai que nous ne sommes pas sans 
action sur cette atrophie et que nous devons la prévenir quand 
elle se prépare, l'arrêter quand elle s'établit, la combattre active- 
ment quand elle est produite : 

1* L'atrophie musculaire est fréquente et précoce chez les pleu- 
rétiques. — Depuis longtemps Laênnec et Delpech ont étudié les 
graves déformations qui se produisent chez les vieux pleu- 



(*) Voir la thèse inaugurale (Paris i883) de mon ancien interne, le docteur Ch. Bernard. 



— 1239 — 1. 



L'ATROPHIE 



DBS 



MUSCLES DU THORAX ET DE L'ÉPAULE 

CHEZ LES PLEURÉTIQUES 

PAR 
le l>r l>SSPlLiA'XS 

PROFESSEUR A LA FACULTÉ LIBRE DE LILLE. 



Les alrophies musculaires sont fréquentes et se produisent 
sous Faction de causes très diverses. 11 faut les rechercher pour 
les découvrir; aussi sont-elles souvent méconnues, au grand 
détriment des malades que cette méconnaissance peut condamner 
à une irrémédiable infirmité. C'est ce qui arrive surtout dans les 
cas d'atrophie musculaire consécutifs à une arthrite du genou. 
Le malade a longtemps et beaucoup souffert. On Ta condamné 
au repos, aux révulsifs, à la compression, etc. Après de longues 
semaines, la douleur et le gonflement ont cédé. Il recommence 
à marcher, difficilement d'abord. Personne ne s'en étonne : son 
mal a été si long! Au bout de quelque temps on trouve que les 
progrès sont lents, que la « jambe » est toujours faible et l'articu- 
lation « raide • . On essaie des frictions, du massage, des bains 
stimulants, même de l'électricité, mais sans méthode, en atten- 
dant les Eauxy d'où le malade revient boitant encore et espérant, 
comme on le lui a promis, que le bien se fera sentir plus tard. 
Plus tard, c'est la même chose et le malade finit par prendre son 
parti d'un mal qui résiste à tout parce qu'on n'en a pas déterminé 
la véritable cause. Heureusement, cette triste terminaison est de- 
venue rare depuis que l'attention des praticiens a été appelée sur 
les atrophies musculaires qui compliquent si souvent les arthrites. 
L'intervention médicale est aujourd'hui précise, persévérante 
autant qu'il est nécessaire et presque toujours efficace. J'en ai eu 



2. — 240 — 

la preuve, il y a quelques mois, dans ma clientèle. Une jeune fille, 
grande et forte, mais rhumatisante, était retenue, depuis deux 
mois, dans son lit ou sur un fauteuil, lorsque je la vis. Elle avait 
une double arthrite du genou. Déjà les muscles extenseurs de la 
cuisse, particulièrement le triceps droit, étaient tellement atro- 
phiés qu'on ne pouvait obtenir une contraction apparente, même 
par une faradisation énergique. H fallut plusieurs semaines pour 
réveiller d*abord la contractilité électrique, puis la contractilité 
volontaire, et, trois mois après, malgré la faradisation et le mas- 
sage, le triceps droit n'avait repris ni son volume ni sa force. Il 
fallut six mois pour obtenir une guérison complète. Certaine- 
ment, ce résultat n'eût pas été atteint si, de bonne heure, on 
n'avait constaté l'atrophie du triceps et si on n'avait su qu'elle 
suffisait pour expliquer l'impotence du membre et la claudication. 

Depuis plusieurs années, l'expérience m'a appris que chez les 
pleurétiques l'atrophie des muscles du thorax et de l'épaule est 
fréquente. Je crois qu'elle joue un rôle dans les déformations du 
squelette et qu'elle n'est pas sans action sur l'avenir morbide du 
sujet qui la porte ; aussi ai-je pris l'habitude de la rechercher et 
de la signaler à mes élèves (J). Je voudrais l'étudier plus com- 
plètement aujourd'hui et montrer : 1* qu'elle est fréquente et 
précoce; 2* que de bonne heure elle entraine des modifications 
de la respiration ; S"" que, plus tard, elle joue un rôle prépondérant 
dans les déformations du squelette consécutives à la pleurésie; 
i"" qu'elle est la cause indirecte de l'imprégnation et de la pullu- 
lation tuberculeuse, dont les poumons, précédemment atteints de 
pleurésie, sont si souvent le siège. 

En terminant je montrerai que nous ne sommes pas sans 
action sur cette atrophie et que nous devons la prévenir quand 
elle se prépare, l'arrêter quand elle s'établit, la combattre active- 
ment quand elle est produite : 

!• L'atrophie musculaire est fréquente et précoce chez les pleu- 
rétiques. — Depuis longtemps Laênnec et Delpech ont étudié les 
graves déformations qui se produisent chez les vieux pleu- 



(<) Voir la thèse inaugurale (Paris i883) de mon ancien interne, le docteur Ch. Bernard. 



— U\ — 3. 

Cliques. Ce n'est pas d'elles que je veux parler. J'appelle en ce 
ornent Tattention sur les pleurésies aiguës et les conséquences 
u'elles entraînent pour le squelette et pour les muscles. Examinez 
m pleurétique atteint depuis quelques semaines et dont Tépan- 
hement a été résorbé ou aspiré. D*abord prenez dans vos mains 
deux côtés du thorax, vous serez frappé du moindre volume 
u côté malade : il remplit moins la main et la courbure des 
ôtes est plus prononcée; de plus, les espaces intercostaux sont 
lus étroits et plus fermes. Si vous comparez l'épaisseur des 
arties molles qui recouvrent le squelette, vous trouverez que, du 
z^ôté lésé, la peau est plus mobile et que les tissus sous-jacents 
araissent moins épais. Ces signes sont surtout frappants à la 
ègion dorsale, au-dessous et en dehors de l'angle de l'omoplate. 
Is sont quelquefois perceptibles à travers le gilet et la chemise. 
e les ai constatés chez tous mes malades et, dans un cas même, 
51 a suffi de dix jours pour qu'ils fussent très apparents. 

Ces constatations suffisent pour montrer qu'il y a aplatissc- 
.snent du thorax, ce que tout le monde admet; mais jusqu'ici 
:^ien ne montre que les muscles soient atrophiés. 

Pour vous en convaincre, dépouillez votre sujet et faitcs-le 
^[^oucher sur le dos, les bras portés en haut et en dehors, les mains 
saisissant les montants du lit. Dans cette position apparaîtront les 
Ynuscles superficiels antérieurs et latéraux du thorax. Vous 
constaterez un aplatissement plus ou moins prononcé, du côté 
^malade, un abaissement des fausses côtes qui descendent plus 
4)as que celles du côté opposé et une modification du type respi- 
ratoire dont nous nous occuperons tout a l'heure. Si vous com- 
parez alors les muscles des deux côtés, des différences, pro- 
portionnées à la durée de la maladie, vous apparaîtront. Ces 
^iflTérences seront plus faciles à apprécier sur les pectoraux et les 
^ands dentelés. Le grand pectoral atteint fera une moindre 
«aillie et son bord inférieur sera moins épais. Dans quelques cas 
où Tatrophie sera plus prononcée, les derniers faisceaux manque- 
ront ou seront très grêles et séparés de la masse. 

Pour le grand dentelé, chez les sujets maigres, la différence ne 
sera pas moins apparente. Dès l'abord vous serez frappé du petit 
JX. IG 



4. — 242 — 

volume des digitations, qui sont si peu saillantes qu'il faut les 
chercher, et de leur rapprochement, en rapport avec la diminu- 
tion des espaces intercostaux. Si vous mesurez la distance entre 
le bord supérieur de la première digitation et le bord inférieur 
de la dernière, vous trouverez une différence de 1 et quelque- 
fois de 2 centimètres entre les deux côtés. 

En arrière, les signes de Tatrophie ne sont pas moins nets, 
surtout à la partie supérieure du thorax. Faites asseoir le malade 
sur son lit ou plutôt sur une chaise, après Tavoir dépouillé de sa 
chemise, aussitôt vous verrez une dépression au-dessous de 
langle de lomoplate, correspondant au retrait des côtes et à la 
diminution de volume du grand dorsal ; Tomoplate vous paraîtra 
plus saillante et son bord spinal sera séparé du thorax et obli- 
quement dirigé en bas et en dehors; enfin les fosses sus- et sous- 
épineuses vous paraîtront déprimées ei, si vous les explorez avec 
les doigts, vous constaterez que les muscles qui recouvrent Fos 
sont moins épais. 

Ces signes, dont je pourrais étendre la description, ne man- 
quent jamais ; il faut seulement avoir l'attention de les rechercher, 
et savoir les découvrir quelquefois sous Tadipose qui les cache, 
surtout chez les femmes. 

La mort m'a rarement permis de contrôler l'exactitude de mes 
observations, les pleurétiques ne mourant que très rarement 
pendant la première période de leur maladie; cependant j'ai pu, 
depuis quelques mois, faire l'autopsie de deux pleurétiques qui 
ont succombé brusquement à des accidents intercurrents, trois 
semaines après le début de leur maladie. Je m'attachai surtout à 
l'étude comparative des muscles intercostaux qu'on ne peut 
explorer pendant la vie, et je constatai : le rapprochement des 
côtes, l'épaisseur moindre de la couche musculaire, la pâleur du 
tissu et la diminution de volume des faisceaux qui étaient moins 
larges, moins épais et plus distincts. Le rapprochement des côtes 
était surtout sensible au niveau des attaches chondro-sternales. 
Je ne puis rien dire du diaphragme qui est certainement intéressé, 
n'ayant jamais eu l'occasion de l'examiner ; 

2* Chez les pleurétiques la respiration est, de bonne heure. 



— 243 — 5. 

modifiée. — Ce fait est facile à constater. La palpation, Tinspec- 
tion, la mensuration et Pauscultation le rendent manifeste. Prenez 
dans vos deux mains la poitrine de votre malade et cherchez à 
vous rendre compte de Tampiiation de chaque côté du thorax 
pendant Tinspiration. Vous constaterez que, pendant le premier 
temps, le côté malade reste immobile et qu^il ne se soulève qu*à 
la fin ; encore son soulèvement est-il beaucoup moindre que celui 
du côté opposé. Par Tinspection, ce phénomène sera plus appa- 
rent : vous verrez le côté malade presque immobile et toute 
Tampliation se faire par le côté sain. Vous pourrez avoir une 
mesure approximative de la différence d anipliation des deux 
côtés en appliquant un ruban métrique autour du thorax. Si 
vous faites fixer par un aide le ruban au niveau du rachis et que 
vous laissiez libres les deux chefs qui se croisent sur la ligne 
médiane antérieure, vous serez frappé de la différence de la 
course exécutée par chacun d'eux : tandis que le chef du côté sain 
exécutera une course de 2 à 3 centimètres, qui correspond à une 
ampliation équivalente, le chef du côté malade se déplacera de 
1 centimètre à peine. 

Enfin, Tauscultation elle-même vous apprendra que la respira- 
tion est profondément modifiée. On attribue d*ordinaire cette 
modification à Tabondance de Tépanchement ou, quand il a été 
résorbé, à Tengainement du poumon dans un exsudât fibrineux ; 
cette explication me parait insuffisante et je suis tenté de faire 
jouer un rôle à Téiat des muscles qui se contractent moins bien 
qu*à l'état normal. Si on ausculte en effet le sommet du poumon, 
que la pleurésie n*a pas envahi, on constate que le murmure 
vésiculaire est moindre que du côté opposé. Cette diminution ne 
peut s'expliquer que par la moindre ampliation du thorax. 

Si vous avez bien examiné votre pleurétique, vous avez con- 
staté jusqu'ici : que son côté malade est plus ou moins aplati, qu'il 
se dilate beaucoup moins que le côté sain, enfin qu'il présente des 
dépressions qui paraissent dues à Tatrophie de certains muscles. 
Y a-l-il un lien entre tous ces faits? L'un d'eux domine-t-il les 
autres ou sont-ils tous sous la dépendance d'une autre cause? 

Les faits dont je m'occupe ne sont pas passés jusqu'ici inaperçus 
et on en a donné deux explications qui, isolées ou associées, ont 



fi. — 244 — 

paru siiflisantes. On a dit que les déformalions du ihorax et son 
immobilité relative sont dues à la pression atmosphérique et à la 
traction exercée par les adhérences établies entre les deux 
feuillets de la plèvre. Ces deux actions interviennent et je suis 
loin de les nier ; mais je crois qu'elles ne suflisent pas et, pour 
le prouver, j'invoque encore les faits cliniques. Prenez un pleu- 
rétique atteint depuis peu; son poumon n'est pas encore engainé, 
et s'il existe déjà des adhérences entre les deux plèvres, il ne 
peut être question de rétraction ; cependant le thorax est déjà 
immobile et un peu aplati. Pourquoi cela ? C'est que les muscles 
inspirateurs ne fonctionnent pas ou fonctionnent mal. C est à leur 
inaction qu'est due l'immobilité du thorax et sa déformation. Et 
si l'on m'oppose que les muscles ne peuvent avoir subi encore 
une profonde altération, je répondrai qu'avant même de pré- 
senter une diminution de volume apparente, ils ont déjà subi 
d*imporianls troubles fonctionnels : ils se contractent moins bien, 
mais faradisez-les, et ils se contracteront moins vite et moins 
énergiquement que les muscles similaires du côié opposé. Cette 
parésie qui précède l'atrophie nous donne la clef des troubles 
précoces de la respiration et rend évident, me semble-t-il, le râle 
important que joue l'atrophie des muscles dans les déformations 
du thorax ; 

3^ L'atrophie des muscles joue un rôle prépondérant dans les 
déformations du squelette consécutives à la pleurésie. — Si la 
parésie et Tatrophie existent, comme je crois l'avoir démontré, 
il est impossible qu'elles soient sans action sur le squelette. 
Comment et sous l'action de quelle force s*exécute le mouvement 
d^élévation des côtes et l'ampliation du thorax? Sous l'action des 
muscles. Si donc certains muscles, ou ne se contractent pas, ou 
se contractent mal, les côtes qifils doivent soulever seront 
immobiles et s'élèveront insuffisamment, surtout si, comme c'est 
le cas chez les pleurétiques, la résistance à vaincre est plus 
grande; mais ce n'est pas tout. Dans les déformations du sque- 
lette, il ne faut pas tenir compte seulement des muscles qui ne 
fonctionnent pas, il faut aussi tenir compte de l'action compen- 
satrice de ceux qui se contractent. Or, ici les muscles du côté 
sain se contractent énergiquement et ils entraînent de leur côté 



— 245 — 7. 

le thorax, puisque leurs homonymes, qui sont leurs antagonistes, 
ne leur résistent pas. C'est là une enuse de destruction de la 
symétrie et non la moindre. 

Je ninsiste pas davantage sur ce point tant il me parait clair ; 
cependant, encore un mot sur le rôle des muscles après la gué- 
rison. L'épanchement est résorbé, toute trace d'inflammation a 
disparu, la poitrine est un peu déprimée et le murmure vésicu- 
laire amoindri. Que va-t-il advenir? Il faut distinguer deux cas : 
si les muscles sont notablement atrophiés, ils ne pourront vaincre 
la résistance qu'opposent les fausses membranes qui entourent le 
poumon, ni résister à la traction qu'exercent les adhérences; 
aussi la déformation du thorax ira-t-elle croissant, c'est ce que 
j'ai souvent constaté; si, au contraire, les muscles sont peu atro- 
phiés, ils recouvreront facilement leur activité fonctionnelle et 
leur volume, et suffiront à restituer le thorax dans sa forme primi- 
tive. J'ai eu l'occasion de le constater dans quelques cas. Il importe 
donc, quand le malade est guéri de sa pleurésie, de s'assurer de 
l'état de ses muscles comme cela importe dans les cas d'arthrite; 

4* L'alrophie musculaire est la cause indirecte de f imprégna- 
tion et de la pnllulation tuberculeuse dont les poumons^ précé- 
demment atteints de pleurésie, sont si souvent le siège. — Sur ce 
point je serai moins affirmalif, car il ne s'agit que d'une 
hypothèse, mais d*une hypothèse à l'appui de laquelle je puis 
invoquer de puissants arguments. 

L'expérience a appris à tous les cliniciens que les pleurétiques 
deviennent souvent tuberculeux et que les tuberculeux comptent 
non moins souvent dans leurs antécédents une pleurésie qui a 
siégé du même côté que la tuberculose. Cette association a paru 
si commune que, dans ces derniers temps, de bons observateurs 
ont soutenu que toutes les pleurésies sont tuberculeuses. Cette 
opinion est exagérée et je crois, pour mon compte, qu'il y a, outre 
les pleurésies rhumatismales, des pleurésies franchement inflam- 
matoires; cependant la succession de la pleurésie et de la tuber- 
culose est fréquente et il faut l'expliquer. Pour cela, tout ce que 
je viens d'exposer va nous servir. 

Après sa guérison le pleurétique respire moins bien, l'air dans 
son poumon se renouvelle moins complètement, sa circulation 



8. — 246 — 

est modifiée. Ces conditions sont favorables à la fixation des 
germes morbides et à leur développement. Avec les idées actuel- 
lement régnantes sur la tuberculose, on peut donc dire que le 
poumon du pleurélique est un terrain tout préparé pour le déve- 
loppement du bacille; qu'une cause quelconque Tamène au 
contact de ce poumon altéré, il y trouvera un milieu de culture des 
plus favorables et il s'y fixera. En nous opposant donc à Tatrophie 
musculaire et aux déformations du thorax, nous diminuerons les 
chances qu'a tout pleurétique de devenir tuberculeux dans l'avenir. 

Cet exposé, que j'ai dû nécessairement abréger, montre que 
nous ne nous trouvons pas ici en présence d'une simple curiosité 
pathologique et qu'il y a, au contraire, d'importantes conclusions 
pratiques à en tirer. Ces conclusions, que j'ai indiquées en com- 
mençant, les voici : 

Puisque l'atrophie musculaire est si commune et peut entraîner 
des conséquences si graves pour le pleurétique, il faut la prévenir 
quand elle se prépare, l'arrêter quand elle s'établit, la combattre 
activement quand elle s'est produite. 

Traitement. — 1** Il faut prévenir Valrophiedes muscles quand 
elle se prépare, — Quand on constate que le côté atteint est 
immobile et que cette immobilité n'est pas due, comme cela 
arrive assez souvent, à la douleur, on peut être assuré que les 
muscles sont déjà parésiés. Il est temps d'intervenir. Il faut 
d'abord abréger la durée de la pleurésie et évacuer le liquide 
épanché, s'il ne tend pas à se i;ésorber. Cela fait, on doit surveiller 
les muscles, engager le malade à s'en servir et, pour cela, lui 
donner des instructions précises; si la pleurésie se prolonge et si 
la parésie est prononcée, il faut recourir à la faradisation ; 

2* // faut arrêter l'atrophie quand elle s'établit. — Cette indi- 
cation se confond avec la précédente et les moyens dont nous 
disposons pour la remplir sont les mêmes; 

3* Il faut combattre activement l'atrophie quand elle s'est 
produite. — Nous disposons de quatre moyens principaux pour 
remplir cette indication. Ils sont tous efiicaces et méritent, dans 
les cas graves, d'être simultanément employés. Ce sont les 
stimulants généraux qui réveillent la nutrition et agissent ainsi 
indirectement sur les muscles atrophiés, la gymnastique respi- 



— Î247 — 9. 

ratoire méthodiquement pratiquée ; la stimulation directe des 
muscles atteints et particulièrement la faradisalion; enfin, Faction 
directe sur le poumon par Pair comprimé. 

Je n'ai rien à dire des stimulants généraux, ni de Texcitation 
directe des muscles et de la faradisation. Ces moyens d'action 
sont connus et il suffit de dire qu'ils sont applicables au cas dont 
je parle pour qu'on sache comment ils doivent être appliqués. 

J'insisterai un peu plus sur l'efficacité de la gymnastique 
respiratoire et sur l'action de l'air comprimé. 

Le pleurétique, pendant toute sa maladie, a usé surtout de son 
poumon sain; sa guérison obtenue, il est porté à respirer comme 
pendant sa maladie. C'est plus facile puisque les muscles sont 
plus vigoureux et que le poumon n'oppose aucune résistance ; 
aussi vous pouvez être assuré qu'il n'y manquera pas. Pendant 
la nuit il se couchera sur le côté malade, le mettant ainsi dans 
des conditions bien plus défavorables pour respirer; pendant le 
jour c'est le côté sain qu'il libérera et, pour rendre son fonction- 
nement plus libre, il ira jusqu'à s'incliner inutilement du côté 
malade et l'immobilisera ainsi davantage. Il faut l'avertir et lui 
faire comprendre le risque qu'il court en agissant ainsi. Il com- 
prendra aussi bien que le convalescent d'une arthrite du genou 
auquel vous dites que, s'il ne veut boiter, il doit se servir de sa 
jambe malgré sa faiblesse et même à cause de sa faiblesse. Vous 
exigerez donc de lui que son côté malade soit toujours actif et 
même qu'il soit, s'il est possible, plus actif que le côté sain ; pour 
cela vous vous occuperez de la position à prendre pendant la nuit, 
pendant la marche, pendant le travail, et vous réglerez toujours 
cette position de telle sorte que le côté malade soit condamné à 
une activité forcée. Comme il ne faut pas tenir compte seulement 
de l'état des muscles, mais aussi de la résistance qui leur est 
opposée par l'épaississement de la paroi thoracique et par l'engal- 
nement du poumon par des fausses membranes, s'il y a une 
grande résistance il faudra recourir aux grands efforts d'inspi- 
ration comme y ont recours les asthmatiques pendant leurs accès 
de dyspnée. Pour cela il faudra apprendre aux malades à se servir 
de leurs pectoraux, de leurs dentelés et même de leurs muscles 
du cou. Vous leur recommanderez de faire ainsi, j)Iusieurs fois 



10. — 248 — 

* 

par jour, de fortes inspirations et vous vous assurerez des résul- 
tats obtenus en mesurant fréquemment la capacité des poumons- 
Gomme moyen adjuvant, rien ne me parait plus efficace que 
Tair comprimé. Les spécialistes le préconisent et le disent sou- 
verain ; mais je n'ai pas trouvé dans leur traité d^observations 
probantes. Je n*en connais que deux qui m*ont été communiquées 
par le docteur Dever, directeur de rétablissement pneumatique 
de Bruxelles. Cependant, je ne crois pas, quoi qu*on en dise, que 
les bains d*air comprimé aient une puissance particulière pour 
augmenter la capacité du poumon et vaincre la résistance que 
les fausses membranes opposent à son expansion. 

Pour atteindre ce résultat spécial je m'adresserais plus volon- 
tiers à l'appareil de Waldenburg ou à tout autre analogue: l'inspi- 
ration dans un milieu où l'air est comprimé, le corps et la paroi 
ihoracique étant soumis à la pression normale, me paraissent 
seuls réaliser les conditions nécessaires pour produire l'expansion 
forcée du poumon. Du reste, mes expériences sur ce point sont 
trop récentes et trop incomplètes pour que j'en tire des conclu- 
sions. S'il y a lieu, je les ferai connaître plus tard. Aujourd'hui je 
me borne, pour conclure, à reproduire les propositions déjà 
énoncées dans ce travail : 

1"* Chez les pleurétiques l'atrophie des muscles du thorax est 
fréquente et précoce; 

i"* Cette atrophie entraîne de bonne heure des troubles de la 
respiration ; 

3*" Plus tard elle a une grande part dans les déformations du 
thorax ; 

i*" Elle favorise ainsi, indirectement, l'imprégnation et la 
pullulation tuberculeuse chez les pleurétiques. 

Il faut donc : 

(a) Prévenir l'atrophie quand elle se prépare ; 

(6) L'arrêter quand elle s'établit; 

(c) La combattre activement quand elle s'est produite. Pour 
cela on doit recourir : aux stimulants généraux, aux stimulants 
locaux et particulièrement à la faradisation, à la gymnastique 
respiratoire, à l'air comprimé, etc. 



— 249 — 1. 



SUR 

L'HERPOLHODIE DANS LE CAS D'UNE SURFACE 

DU SECOND DEGRÉ QUELCONQUE 



PAR 

M. le C<* de SPARRE 

Professeur aux Facultés catholiques de Lyon. 



Le théorème que je donne dans le mémoire précédent (*) au 
sujet de rhorpolhodie de Poinsot et que j'ai également démon- 
tréy en me basant sur les travaux de M. Hermite, dans une com- 
munication à l'Académie des sciences du 24 novembre dernier, 
a été depuis Tobjet de travaux assez nombreux. 

En particulier, M. Mannheim a fait voir que, s'il en est ainsi 
pour rherpolhodie de Poinsot, il n'en est plus de même lorsque 
Tellipsoîde roulant est quelconque. 

Plus récemment M. Darboux a étendu cette étude au cas où la 
surface roulante est une surface du second degré quelconque 
et il a donné la condition pour que l'herpolhodie ait alors des 
points d'inflexion. 

Je me propose aujourd'hui pour une surface du second degré 
quelconque de faire voir que les résultats du précédent mémoire 
peuvent être appliqués à ce problème sans aucun changement. 

Seulement, dans ce cas les quantités A, B, C ne sont plus 
astreintes aux conditions d'être positives et que Tune quelconque 
d*entre elles soit plus petite que la somme des deux autres : ce 
sont des quantités quelconques. 

J'obtiendrai ensuite très simplement dans ce cas la condition 
pour que Therpolbodie ait ou n'ait pas de points d'inflexion. 



n Sur le mcuvement d'un soiide, etc (Amiales de la Soc scient, dk Bruxelles, 
t IX, 2* partie, pp. 49 et suiv.) 



2. — 250 — 

Soit donc une surface du second degré quelconque dont l'équa- 
tion, en la supposant rapportée à ses axes, est 

(I) Àx^-^By^-^Cz^ = i, 

dont le centre est fîxe et qui est assujetti à rouler sur un plan 
tangent fixe situé à une distance d du centre, le mouvement se 
faisant de telle façon que Taxe instantané passe constamment par 
le point de contact de la surface et du pian fixe et que la vitesse 
angulaire on de la rotation instantanée soit à chaque instant pro- 
portionnelle au rayon vecteur p joignant le centre au point de 
contact de la surface et du plan fixe. 

Adoptons^ pour étudier ce mouvement, les coordonnées d'EuIer 
en prenant Taxe des z du système de comparaison fixe perpendi- 
culaire au plan tangent sur lequel roule la surface. 

Désignons toujours par p, g, r les composantes de la vitesse 
angulaire on suivant les axes de la surface. 

Ceci posé, les trois équations d*Ëuler qui donnent p, 9, r en 
fonction de cp, 0, ^ et de leurs dérivées, c'est-à-dire les équations 
(4), (5) et (6) du mémoire précédent, subsistent sans aucun 
changement; il suflit pour s'en convaincre de se reporter à la 
démonstration qui permet de les obtenir et qui repose unique^ 
ment sur ce fait que on peut être regardé soit comme la résul- 
tante de p, q et r, soit comme celle de J> ^ et ^• 

Soit maintenant 

(II) Axj:' -4- Byy' -f- Czz' = \ 

l'équation du plan tangent fixe, l'axe instantané passant par le 
point de contact (x', y' y z'); on a : 

-r' ^^ •/ P' ^' ^^ 
X = — f y = — » z = — • 

» » 6) 

Mais par hypothèse on a aussi 



a 



A, 

P 

h désignant une constante. 



— 251 — 3. 

Il vient donc 

h ^ h h 

et réquation du plan tangent deviendra 
(III) Apx -h Bqry -h Crz = A. 

Si nous exprimons maintenant que le point de contact x\y\z' 
est sur la surface, nous aurons 

Ap» 4- Bç* + Cr» = A*. 

C'est l'équation des forces vives, c est-à-dire Téquation (7) du 
mémoire précédent. 

Exprimons maintenant que la distance du plan (III) à Torigine 
est 6xe et égale à d, nous aurons : 

h 



ou 

dr 

C'est-à-dire qu'en posant 

h 

on a 

qui est l'équation des moments des quantités de mouvement, 
équation (8) du mémoire. 

Remarquons ici que l'on a pour l'expression de d en fonction 
de M et A 

('^^ '-W 

Mais d'autre part la normale au plan fixe (III) fait avec les axes 
mobiles des angles dont les cosinus sont proportionnels à 

Ap, Bqr, Cr, 

et comme, d'ailleurs, ces cosinus sont égaux à 

sin^sincp, sia^eoscp et coso, 



4. — 252 — 

puisque Taxe des z du système de comparaison 6xe est dirigé 
suivant la normale à ce plan tangent fixe, on a : 

sin sin cp sin 4 ces 9 ces d \ 
Âp "^ B^ ~"~Cr"~~M' 

d*où Ton déduit les équations (9), (10) et (11) du mémoire pré- 
cédent. 

Enfin, si nous considérons le pied de la perpendiculaire abais- 
sée de Torigine sur le plan tangent fixe, ces coordonnées par 
rapport aux axes mobiles sont 

rf^^ ^??, rf^. 

M M M 

Or la vitesse absolue de ce point est nulle. Nous aurons par 
suite en exprimant qu'il en est ainsi : 

A dp Cr Bûf ^ 

d r -*- Qd rd — = 0, 

M dt ^ M M 

B c/ûf Ap . Cr 

m dt M ^ M 

,C dr ,Bq Ap 

M c/t ^ M ^ M 

et en divisant tout par ^^ on retombe sur les trois premières 
équations d'Euler, c'est-à-dire sur les équations (1), (2) et (3) 
du mémoire précédent. 

On voit donc que les équations (1) à (11), qui nous ont servi 
de point de départ dans le mémoire précédent, s'appliquent toutes 
sans aucun changement au problème que nous considérons 
aujourd'hui. 

Ceci fait, je pose 

1 „ 1 _ 1 

\ IL V 



— 283 — 5. 

et je remplace M* par sa valeur en fonction de d* 

. A' 

A, p, V seront les carrés des demi-axes ; par suite, d*aprës les don- 
nées géométriques du problème, d^ sera toujours compris entre 
X et V. 

On choisira alors Tune ou Tautre des deux hypothèses sui- 
vantes : 

(I') A<p<J«<v 

ou 

(II') O P > rf* > V, 

suivant que éP sera plus grand ou plus petit que fx. 
Alors, en remplaçant A, B, G et M^ par leurs valeurs 

i 1 1 A* 

-, -, _ et -» 
X fi y d* 

on reconnaîtra que les différentes quantités qui figurent dans les 
formules et qui doivent être positives le seront encore dans les 
deux hypothèses (V) et (IF), quels que soient les signes de X, fx, v; 
il en sera en particulier ainsi des valeurs de k^ et k'^ et de la 
quantité sous le radical dans Texpression de t en fonction de u, 
par suite la transformation sera encore applicable. 

Si donc nous considérons Therpothodie, les formules données 
dans le mémoire précédent seront applicables et on reconnaîtra 
d*abord bien facilement que dans ce cas, comme dans le cas 
étudié dans le mémoire, cette courbe ne présente jamais de 
points de rebroussement (*). 

Cherchons maintenant si elle peut avoir des points d'inflexion. 

(*] Page 27 do précédent mémoire. 



6. — 254 — 

L^éqiiation qui fournit les points d*inflexion est (*) 



it'» (AA« — M') (A + B— C) 
drru i 



(A — C) [(A ^ B -4- C) A* — 2M*] 

Pour être acceptable cette valeur de dn^u devra être comprise 
entre A'* et 1 . 

Exprimons qu'il en est ainsi, en remplaçant en même temps 
A, B, C et M* par y> - » ^ et ^> afin de tenir compte des hypo- 
thèses (F) et (II'). ^ 

Nous aurons les deux inégalités suivantes : 



(V) ... 3i. — r-. — r-^h — :: >o 



et 









i 


\ 


1 




X y — 


d' 

■ X 




X 


M' 


y 




rf* V- 


\ 
A 


\ 

H 


i 

-h - 
y 


— 


2 








i 


1 


1 




^ y — 






X 


y 






d* y — 


i 

X 


\ 

H 


1 

-♦- - 
y 


— 


2 



(VI) . . . ^ — - — -^:— >o. 



Il faudra tenir compte en plus de ce fait que ^ p, v et eP doi- 
vent vérifier les inégalités (F) ou (IF). 

Considérons maintenant les différentes surfaces du second 
degré. 

Soit d'abord Tellipsoîde 

x' y' z» 

-T -♦- 77 -^ -7=1 avec a > 6 > c. 

a' b c* 

Dans ce cas il ne peut y avoir de points d'inflexion avec l'hypo- 
thèse (II'). 



(*) Page 33 du précédent mémoire. 



— 255 — 
Cette hypothèse donne, en eiïet : 

4 111 
7<-<;ïi<- 



On aurait par suite : 



1 i \ 

--h >0. 

< < < ^ 

<o, 



et les inégah'tés (V) et (VI) ne peuvent par conséquent être 
satisfaites en ménne temps. 
Considérons maintenant l'hypothèse (I') ; elle donnera : 

1 i 4 i 

l fjL (y V 

et par suite : 

i i i 

- -H > 0. 

X V fJL 

Pour qu*il y ait des points d'inflexion, on devra donc avoir : 



\ \ i ^ 



et 



i 1 1 
>0, 



mais à cause de Tinégalité 



j^ 4 4 



la première est satisfaite d'elle-même. 



8. — 256 — 

Pour qu'il y ait des points d'inflexion dans le cas de Tellip- 
solde, les conditions sont donc : 

1 I I 
- > - H- -» 

c* ^ 6« a« 

dyb. 

Car ici, à cause de l'hypotiièse (F), on a : 

Si l'on remarque que le lieu des points de rellipsoïde pour les- 
quels le plan tangent est à une distance 6 du centre est donné 
par la rencontre de cette surface et des plans 

a* r 

on peut dire que la deuxième inégalité exprime que Taxe instan- 
tané est situé dans Tangle dièdre formé par ces plans qui con- 
tient le grand axe de rellipsoïde. 
Soit maintenant Thyperboloïde à une nappe 

X* y* z« 
o' o* c* 

Il ne peut alors y avoir de points d'inflexion avec l'hypo- 
thèse (I). 

Car, i étant négatif, l'inégalité (V) exigerait 

111 î2 

fx y (1 

et par suite rinégaliié (VI) exigerait 

i i i 

--*- >0, 



— 257 — 9. 

ce qui est impossible, puisque l'on a 

1 1 i 

- < 0, - > - • 

Considérons donc maintenant l*hypothèse (IF), v est négatif 

et on a : 

1 I I i 
-<-<-,' -<o. 

On en conclut 

* 

\ \ \ 1112 
-H- <0 et - + --+- ■i:<^' 

X V fji X V fji or 

L'inégalité (VI) est donc vérifiée. 
L'inégalité (V) exige par suite 

i 1 1 

<0. 

Comme ici 

i = a*, /LL = b*, y = — c', 

les conditions pour qu'il y ait des points d'inflexion seront : 

1 i i 

a' c' u* 

La dernière inégalité exprime que le plan tangent fixe est à une 
distance du centre plus petite que 6, mais, sous une autre forme, 
elle exprime aussi que Taxe instantané est situé dans l'angle 
dièdre des plans 

x' 2«_-_ = 0, 

a* c* 

qui contient l'axe non transversc. On le verrait en raisonnant 
comme dans le cas de l'ellipsoïde. 

Remarquons que dans le cas de l'hyperboloïde à une nappe le 
IX. 17 



10. — 258 - 

roulement est pratiquement impossible, puisque le plan tangent 
coupe la surface. 

Soit enfin rhyperboloîde à deux nappes 

X* w' z* 
or 6* r 

dans ce cas, <P étant positif, la seule hypothèse admissible est 
évidemment (F) 



et on aura 



Mais 



donc 



A =: — c*, fji = — 6*, V = a'. 



-<7,' -<-<0, 



1 i I 
--h >0, 

X 'j fji 

\ \ \ i> 



l'inégalité (VI) est donc satisfaite et (V) exige 



ou 



i 1 1 
>0 



i I I 

6« ^ a» c* 



C est dans ce cas la seule condition. 



— 259 — 1. 



LA 



THÉORIE DU NAVIRE 



PAR 

M. Albert BAULE 

lieulensnt de vaitteta de la marine française. 



Plusieurs géomètres célèbres ont traité avec succès certaines 
questions relatives à la théorie du navire; mais, à côté de quel* 
ques résultats bien établis, cette science présente encore beaucoup 
de points obscurs sur lesquels Tanalyse mathématique pourra 
fournir de précieuses indications. Il est donc utile d'attirer 
Tattention des mathématiciens étrangers à la marine sur ces 
problèmes intéressants et difficiles. C'est dans ce but que je 
présente ce court résumé à MM. les membres de la première 
section. 

L'étude des divers états d'équilibre ou de mouvement d'un 
bâtiment de mer nécessite tout d'abord la connaissance exacte 
des formes de la carène sur laquelle s'exercent les pressions de 
l'eau. On choisit à cet effet trois plans de projection perpendi- 
culaires entre eux : un plan horizontal parallèle à la flottaison (*), 
un autre vertical et latitudinal et un troisième vertical et longi- 
tudinal. Sur le premier sont tracés les contours extérieurs des 
sections horizontales ou lignes d'eau, sur le deuxième les sections 
transversales ou couples et sur le dernier les sections longitu- 
dinales. 

Ces sections convenablement distribuées définissent nettement 
la surface extérieure de la carène, et permettent d'obtenir, par 
l'application plus ou moins laborieuse des formules connues 

(*) Quelquefois parallèle à la quille. 



2 — 260 — 

d'approximation, diverses données très importantes, telles que le 
déplacement et le centre de carène (centre de gravité du volume 
déplacé) correspondant à diverses lignes d'eau. On peut ensuite, 
en supposant le déplacement constant, déterminer les centres 
de carène Cq, c^, c^, .. relatifs à diverses inclinaisons, indiquées 
dans la figure ci-jointe, où le navire est représenté par la projec- 
tion du plan latiiudinal passant par son centre de gravité G. Ce 
plan contient évidemment le centre de carène Cq correspondant à 
une inclinaison nulle. Nous supposerons, pour plus de simplicité, 
et sans nous écarter beaucoup de Texactitude, qu'il contienne 
également les centres c^ , c^,... relatifs à différentes inclinaisons. 
Ces points détermineront une courbe dite courbe des centres de 
carène, dont chaque élément sera parallèle à la flottaison corres- 
pondante (*). La courbe formée par les intersections successives 
0, o', o'',... des flottaisons est appelée l'enveloppe des flottaisons. 




Fig. 1. 



La stabilité, cette qualité essentielle qui permet au navire de 
se redresser spontanément après avoir subi une inclinaison passa* 
gère, exige, comme on sait, que les métacentres i^o» ^îf m^^-t 



{*) En effet, la poussée verticale de bas en haut appliquée en C| est la résaltaDte de 
trois forces parallèles : l'une, appliquée en Cq, égale au poids du navire et dirigée ?enle 
haut ; les deux autres, / et f, de sens respectivement opposés, égales to Jtes deux an 
poids du volume déplacé par un des onglets équivalents FfoT'i, L|0'L'i, l'un émergé^ 
l'autre immergé, et appliquées aux centres de gravité, g et g', de ceux-ci. Les règles de la 
composition des forces montrent immédiatement que la ligne CqCi est parallèle à la 
ligne r/f/' qui devient horizontale, à un angle infiniment petit près, si l'inclinaison est 
infiniment petite. 



— 261 — 3. 

^est-à-dire les points d'intersection de Vaxe du navire et des 
"verticales passant par les divers centres de carène, soient situés 
^lu-dessus du centre de gravité. Plus la distance du centre de 
gravité au métacentre sera grande, plus le navire sera stable, et 
les moments des couples redresseurs seront respectivement 
^gaux au produit du poids, P, du navire, par les projections 
horizontales des lignes Gm|, Gm^...; soit PxGmx sin i, t repré- 
sentant Tinclinaison. 

Les intersections successives des verticales menées par c^, Cj... 
déterminent la courbe métacentrique WoPifXj... C'est évidemment 
la développée de la courbe des centres de carène. Par suite de la 
symétrie latitudinale du navire, la courbe métacentrique est 
composée de deux branches symétriques et tangentes à Taxe en 
un point m^ appelé premier métacentre, qui est le métacentre 
correspondant à une inclinaison infiniment petite. La distance 
du premier métacentre au centre de carène est désignée par r; 
celle du centre de gravité G au centre de carène Cq est repré- 
sentée par a. Il est clair que les tangentes menées aux divers 
points de ces courbes détermineront, par leur intersection avec 
Taxe, les métacentres correspondant aux diverses flottaisons; 
elles définiront donc nettement la stabilité. Les métacentres 
seront d'autant plus élevés, pour une même inclinaison, que 
Vécart latéral sera plus accentué. Or cet écart produit par 
Timmersion et Témersion des onglets équivalents F^oT'j, L|oX'| 
est proportionnel, d'une part, à leur volume^ et, d'autre part, à 
la distance gg^ de leurs centres de gravité. Il s'ensuit que la 
liauleur du métacentre au-dessus du centre de carène varie 
c^omme la longueur du navire et comme le cube de la largeur (*). 
dette dimension est donc l'élément essentiel de la stabilité. 

On peut distinguer, si l'on veut, deux sortes de stabilité : la 
stabilité de formes due à la distance du centre de carène au 



(*) Plus exactement, on a r = ^^ fy^dx, formule dans laquelle r représente la distance, 
c^o» ^f 1^ déplacement du navire, y la demi-largeur aux différents points de la flottaison 
«t X l'abscisse longitudinale. Le signe d'intégration s'étend à toute la demi- flottaison. 



4 — 262 — 

premier mélaeentre et représentée par Pr, et la stabilité de 
poidsy Pa. Celle-ci devient négative quand le centre de gravité 
est au-dessus du centre de carène, ce qui est le cas général. La 
stabilité totale est donc P (r — à). On peut modifier dans de 
certaines limites la longueur r — a par la répartition du lest et 
remédier ainsi à un léger défaut de stabilité de formes. Mais si 
cette ressource ne suffit pas, il faut élever le métacentre en 
élargissant artificiellement la flottaison au moyen d'un soufflage. 
Cette opération fort nuisible à la marcbe a dû être pratiquée sur 
le dernier trois-ponts à voiles construit en France, le Valmy. 

On pourrait sans inconvénient abaisser le centre de gravité 
d'un bateau destiné à naviguer en eau calme; mais, comme on le 
verra tout h Theure, les conditions imposées par le roulis con- 
duisent, au contraire, à réduire le plus possible la longueur du 
bras de levier de stabilité. Dans la pratique on considère celle-ei 
comme constante pour toutes les inclinaisons. Cette hypothèse 
n'entraine aucun danger quand la surface extérieure des murailles 
est continue et à peu près verticale au-dessus de la flottaison; 
car, la courbe métacentrique étant alors convexe vers Taxe, le 
métacentre s'élève à mesure que l'inclinaison augmente. Mais, s'il 
existe quelque brusque rentrée comme il en est de plusieurs 
cuirassés, la courbe métacentrique présentera aussi quelque irré- 
gularité à laquelle pourra correspondre un abaissement considé- 
rable du métacentre. La perte, sous voiles, du cuirassé anglais 
Captain est due sans doute à un eflet de ce genre. Il est donc 
indispensable d'étudier minutieusement ces courbes pour les 
navires d'un type nouveau. Pour les anciens modèles il suffit, en 
général, de proportionner le moment de voilure SA, c'est-à-dire 
le produit de la surface S de la voilure par la hauteur h de son 
centre de gravité au-dessus de celui du navire, au moment de 
stabilité, P(r — a). Si ces moments sont dans un même rapport 
sur plusieurs bâtiments de types différents, ceux-ci prendront è 
peu près la même inclinaison pour le même vent et la même 
allure. Mais il faut remarquer que deux navires de dimension 
différente et de formes tout à fait semblables ne peuvent avoir 



— 263 — 5. 

des voilures proportionnelles. En effet, la force du vent par 
mètre carré étant la même pour tous deux, les moments 
d'inclinaison seraient entre eux, dans le cas de voilures 
semblables, comme le cube des dimensions linéaires. Mais, 
les moments de stabilité étant proportionnels aux quatrièmes 
puissances de ces dimensions, le petit bâtiment inclinera 
davantage. Ceci explique l'instabilité des petits cotres, goé- 
lettes, etc., qui sillonnent les pièces d'eau des promenades 
publiques. Ces petites coques assez fidèlement copiées sur 
des grandes ne peuvent supporter leur voilure, générale- 
ment proportionnelle à celle de leur modèle, bien que leur 
stabilité de poids soit considérablement accrue par l'addition 
d'une quille de plomb. Cependant un petit bâtiment de forme 
convenable peut et doit être relativement plus voilé qu'un grand; 
car, en premier lieu, il peut supporter avec moins d'inconvénients 
un excès de stabilité; ensuite, les moments d'inertie et, par consé- 
quent, les fatigues dues aux roulis sont, à mâtures semblables, 
dans le rapport des cinquièmes puissances des dimensions 
linéaires. La petite mâture pourra donc être relativement plus 
élevée sans que sa solidité en soit compromise. 

C'est pendant les mouvements violents occasionnés par la 
grosse mer que les liaisons du bâtiment sont soumises aux plus 
rudes épreuves. Qu'on s'imagine la lourde mâture d'un vaisseau 
à voiles arrêtée plus ou moins brusquement à chaque inclinaison 
extrême après avoir décrit d'un bord à l'autre un énorme arc de 
cercle, ou bien un canon de 100 tonnes s'appuyant contre les 
parois de sa tourelle de toute la force de sa vitesse acquise aug- 
mentée d'une portion considérable de son poids, et on comprendra 
immédiatement combien il importe de réduire l'amplitude des 
roulis et la variation de la vitesse angulaire. Plusieurs géomètres 
ou ingénieurs ont publié à ce sujet de remarquables travaux 
(ceux de MM. de Saint-Venant et de Bénazé sont des meilleurs), 
dont l'analyse ne peut trouver place dans ce court résumé. Je 
dirai simplement que le mouvement oscillatoire d'un bâtiment, 
en eau calme, autour d'un axe horizontal et longitudinal passant 
par son centre de gravité, peut être assimilé à celui d'un pendule 



6. — 264 — 

simple de longueur égale au moment d'inertie 2mr^ divisé par 
le moment de stabilité P(r — a), soit 



P(r-a) 



Par suite, pour diminuer les accélérations angulaires, causes 
des forces d'inertie nuisibles, il faudrait diminuer le bras de 
stabilité et augmenter le moment d'inertie en donnant aux 
divers poids de l'armement la position la plus excentrique qu'il 
soit possible. Cette opération entraînerait comme conséquence 
accessoire l'augmentation de la durée du roulis, circonstance 
favorable, comme on va le voir. A la mer les conditions du pro- 
blème sont beaucoup plus complexes : les poussées du liquide 
n'agissent plus suivant la verticale comme en eau calme, mais, 
probablement, dans une direction normale à des surfaces ondu- 
lées, dites surfaces de niveau dynamique, le long desquelles la 
pression est constante; les vitesses différentes des couches liquides 
que traverse la carène doivent contribuer au mouvement oscil- 
latoire ; l'axe instantané de rotation ne passe pas par le centre de 
gravité; enfin l'irrégularité de la mer devient une autre cause de 
difficulté. Néanmoins l'expérience prouve que la durée des roulis, 
quelle que soit leur amplitude, est sensiblement constante pour un 
même navire tant que son arrimage n'est pas modifié. Il est 
naturel d'admettre, comme l'indique du reste le calcul, que, si un 
bâtiment est soumis à des ondulations régulières se succédant à 
des intervalles de temps égaux à la durée de son roulis propre, 
les inclinaisons soient successivement augmentées et puissent 
atteindre des limites dangereuses. 11 faut donc diminuer les 
chances de rencontrer un pareil synchronisme. On y parvient en 
allongeant autant que possible la durée du roulis par la dimi- 
nution de la stabilité et l'accroissement du moment d'inertie. 
Ainsi la période de roulis du cuirassé de premier rang, VOcàin^ 
étant de 20 secondes, et celle des plus longues lames observées 
de 14 secondes, ce vaisseau ne rencontrera probablement jamais 
de lame synchrone. Par le fait, ses roulis n'ont jamais dépassé 7% 



— 265 — . 7. 

tandis que les roulis de 30<> et de 55* n*étaient pas rares sur 
les anciens vaisseaux. Le bras de levier de stabilité de ceux-ci 
était environ 1",50; celui de VOcéan est réduit à 0"*,50. Ce cui- 
rassé n'en possède pas moins une stabilité suffisante, car son 
poids est de 7334 tonneaux. Une pareille réduction ne pourrait 
évidemment pas être opérée sur un petit bâtiment sans qu'il en 
devienne tout à fait instable. Il rencontrera donc tôt ou tard des 
lames synchrones, qui pourraient lui imprimer des roulis excessifs 
si elles se succédaient à intervalles réguliers. Cette régularité 
est heureusement assez rare; elle pourrait du reste être inter- 
rompue par un changement momentané dans la direction de la 
route. 

Il est fort difficile de déterminer les positions occupées par 
Taxe instantané de rotation pendant le mouvement oscillatoire. 
On peut cependant s*en faire une idée par les considérations 
suivantes. Si le navire s'inclinait très lentement, en eau calme, la 
irace de Taxe instantané sur le plan latitudinal serait Tenveloppe 
des flottaisons. Si on suppose au contraire Toscillation très rapide, 
les forces d'inertie entrent en jeu, la constance du déplacement 
n'est plus maintenue, et l'axe instantané doit être voisin du 
centre de gravité. On peut conclure de ceci qu'on atténuera les 
déplacements évidemment nuisibles de l'axe de rotation en rap- 
prochant le plus qu'on pourra le centre de gravité de la flottai- 
son. On détermine la position de ce centre en observant l'incli- 
naison t produite, en eau calme, par un déplacement de poids 
dont on mesure le moment. En égalant celui-ci au couple de 
stabilité P(r — a)sin t, on obtient la distance du centre de gra- 
vité en contre-bas du métacenire. On la modifie ensuite, s'il y a 
lieu, par une disposition convenable du lest. On peut aussi 
imprimer artificiellement au navire un mouvement oscillatoire, 
dont la durée permettra de calculer approximativement le 
moment d'inertie. 

On peut étudier de même la stabilité longitudinale et 
construire les courbes mélacentriques correspondantes. Celles-ci 
ne seront pas symétriques à cause des formes différentes de 
l'avant et de l'arrière. On s'en servira surtout pour calculer 



8. — 266 — 

rinclinaison produite par un déplacement de poids dans le sens 
longitudinal. Cette stabilité est toujours suffisante au point de 
vue de la sécurité ; on n'a donc à s'en préoccuper qu'en ce qui 
concerne le tangage, c'est-à-dire l'oscillation autour d'un axe 
horizontal latitudinal. La position de cet axe variera, comme 
pour le roulis, entre l'enveloppe longitudinale des flottaisons et 
le centre de gravité; mais ses déplacements seront faibles et on 
pourra admettre qu'il passe toujours par ce point. Or, le rapport 
du moment d'inertie au moment de stabilité, dans le sens longi- 
tudinal, est en général plus faible que dans le sens latitudinal. 
Les tangages seront donc en général plus courts et plus vifs que 
les roulis et affecteront plus désagréablement les personnes peu 
habituées à la mer, surtout si elles se placent imprudemment 
aux extrémités du navire où les variations de la vitesse oscilla- 
toire sont plus sensibles. Pour diminuer la vivacité de ces mou- 
vements, il faudrait augmenter le moment dlnertie longitudinal 
en éloignant les poids vers les extrémités; mais une pareille 
opération serait fort nuisible au point de vue de la fatigue des 
liaisons longitudinales. En effet, les tranches latitudinales des 
extrémités, étant plus fines que celles du milieu, ne sont pas sou- 
tenues, de bas en haut, par une poussée aussi forte. Leur charge 
trop considérable donnerait lieu à un couple tendant à arquer 
le bâtiment. La meilleure disposition des poids serait celle qui 
donnerait à chaque tranche une charge égale à son déplace- 
ment; mais les circonstances n'en permettent presque jamais la 
réalisation. H faut donc calculer l'effet des charges inégales et 
renforcer les liaisons aux points où l'effort de rupture est maxi- 
mum. On prévient de même les flexions que tendent à produire 
les ondulations de la mer, sur lesquelles le bâtiment est soutenu 
tantôt par les extrémités, tantôt par son milieu. 

L'étude de la stabilité est d'autant plus importante que le 
navire est grand et lourdement armé. La question était plus 
simple autrefois, car, indépendamment d'un armement plus 
léger, les vaisseaux à voiles possédaient dans leur voilure un 
modérateur naturel à la violence des roulis. La qualité maîtresse 
était celle de bien porter la voile, afin d'utiliser au mieux la forée 



— 267 — 9. 

du vent. A ce point de vue nos pères ont obtenu d^excellents 
résultats, car certains navires, cités par de vieux auteurs, ont 
atteint des vitesses supérieures à celle du vent qui les poussait. 
Cette assertion, étonnante de prime abord, perdra son apparence 
paradoxale par Téiude de Teffet des voiles. 

La voilure est répartie en surfaces trapézoïdales superposées 
et symétriques par rapport au mât qui les porte, dites voiles 
carrées, et en surfaces non symétriques dites voiles auriques. 
Toutes ces surfaces partielles, orientées à peu près parallèlement 
quand le navire est en marche, donnent ensemble, si on néglige 
le frottement latéral de Tair, une résultante perpendiculaire au 
plan déterminé par un mât et ses vergues, et appliquée à peu 
près au centre de gravité de la surface de la voilure. Cette force, 
pour produire tout son effet utile, doit être horizontale; par con- 
séquent le plan du mât et de ses vergues doit être vertical quand 
le navire prend son inclinaison naturelle. Coci conduit à donner 
à la mature une inclinaison vers Tarrière d autant plus pro- 
noncée que la bmide (inclinaison sous le vent) habituelle du 
navire sera plus considérable. La résultante des voiles donne lieu 
ô deux composantes : Tune parallèle à la quille et dirigée vers 
Tavant, Tautre dirigée sous le vent. Comme la résistance latérale 
de l'eau l'emporte beaucoup sur la résistance directe, la vitesse 
en avant est supérieure à la vitesse latérale dite dérive. Ainsi un 
bon voilier naviguant au plus près du vent par une brise modérée 
dérive de 5° environ, c'est-à-dire que la direction de son sillage 
fait un angle de 5** avec son axe longitudinal. Mais à l'effet latéral 
des voiles il faut ajouter, dans toutes les routes obliques, la pous- 
sée du vent sur le grément, la mâture et la coque ; l'effet en sera 
d'autant plus sensible que la voilure sera plus réduite. Si cette 
réduction dépasse une certaine limite, la dérive l'emporte sur la 
vitesse directe. Ainsi un navire en cape, c'est-à-dire présentant 
son travers au vent, et contraint par l'état du temps à n'établir 
qu'une ou deux voiles spéciales, fait un sillage à peu prés per* 
pendiculaire à son axe longitudinal. Disons en passant que cette 
grande dérive est alors avantageuse, car elle occasionne du côté 
du vent une série de tourbillons qui empêchent la merde déferler. 



10 — 268 - 

Le navire est ainsi garanti de dangereux coups de mer, dont il 
serait inévitablement assailli si, sa vitesse en avant étant impru- 
demment augmentée, il laissait derrière lui ces remous protec- 
teurs. 

La dérive est, en général, insensible dès que le vent aueint le 
travers; mais la composante latérale des voiles n'en subsiste pas 
moins et donne lieu^ par conséquent, à une réaction égale de la 
part du liquide. Celle-ci est appliquée en un point du plan longi- 
tudinal, appelé cmtre de dérive, toujours situé en avant du 
centre de gravité de la partie immergée de ce plan. Pour que le 
navire puisse se maintenir en route sans une inclinaison perma* 
nente et évidemment nuisible du gouvernail, il faut que le plan 
vertical contenant la résultante des réactions de Teau passe par le 
centre de voilure. Celui-ci doit donc être situé à peu près au- 
dessus du centre de dérive, dont on peut du reste faire varier la 
position en modifiant les tirants d*eau de Tavant et de Tarrière. 
Le tirant d eau de l'arrière est toujours plus fort que celui de 
Pavant, sans quoi il ne serait pas possible d'utiliser les voiles de 
poupe. La pente de quille généralement adoptée est environ 0™,01 
par mètre. Dans ce cas le centre de voilure est bien placé lors- 
qu'il tombe, en avant du milieu, d'une longueur variable entre 
le 10"*' et le 20"* de la longueur totale. La voilure se trouve 
ainsi convenablement équilibrée pour certaines circonstances 
d'allure et de vent ; mais, si la brise fraîchit, l'inclinaison aug- 
mente et, le centre de voilure sortant du plan vertical qui con- 
tient la résultante des réactions de l'eau, il se produit un couple 
tendante tourner l'avant du côté du vent. On peut dans certains 
cas rétablir l'équilibre en reculant momentanément le centre de 
dérive par un déplacement de poids ; par exemple, dans un eanol 
à la voile et trop ardent, on fait asseoir l'équipage sur les bancs 
de l'arrière. Mais à bord d'un grand navire ce procédé ne peut 
être employé et il faut ramener le centre de voilure dans le plan 
de la résistance, soit en diminuant l'inclinaison par la suppres- 
sion des voiles hautes, soit en le portant en avant par la suppres- 
sion de quelque voile de poupe. 

La superficie totale de la voilure est !imitée par la stabilité. 



s. 



— 269 — 11. 

On fait en sorte que le rapport du moment de stabilité P(r — a) 
au moment de voilure S h ne soit pas inférieur à 0,07. Au point 
de vue de la marche, cette surface doit être comparée à celle du 
maître couple, à laquelle la résistance de Feau est considérée 
comme proportionnelle. Le rapport de ces surfaces variait de 30 
pour les vaisseaux à 50 el 60 pour les petits bâtiments. 

La surface de voilure et la position de son centre de gravité 
étant déterminées, il s'agit de savoir quel est lorientement 
favorable pour un angle donné de la direction du vent avec 
celle du bâtiment. La réponse à cette question dépend des lois 
de la résistance de lair. Or, celles-ci, fort imparfaitement con- 
nues, et déduites d'expériences exécutées sur des plans rigides, 
sont exprimées en formules mathématiques, qui paraissent assez 
mal s'appliquer au cas de surfaces convexes el élastiques 
comme celles des voiles. Ainsi, si on considère la pression nor- 
male comme proportionnelle au carré de la vitesse du vent et au 
carré du sinus de l'angle d'incidence, on obtient des angles 
d'orientement trop aigus. L'expérience, qui est ici le meilleur 
guide, conduit, au contraire, à rapprocher le plus possible la 
direction des vergues de la perpendiculaire à la quille, sans que, 
cependant, les voiles cessent de bien porter. Il en résulte qu'à 
Texcepiion des routes voisines du vent arrière auxquelles corres- 
pond un orieniement perpendiculaire, les vergues font un angle 
sensiblement constant, de SO"" environ, avec la direction du vent 
qui les frappe. Cette direction indiquée par les girouettes est la 
résultante de la vitesse du vent et de celle du navire; elle fait 
donc, toutes choses égales d'ailleurs, un angle d'autant plus aigu 
avec la quille que la marche est plus rapide. 11 est clair que la 
connaissance de cet angle jointe à celle de la vitesse du navire 
permet de construire le parallélogramme de vitesse et, par 
suite, de mesurer la vitesse du vent réel si sa direction est 
donnée. On peut obtenir cette direction en observant le sens des 
crêtes de lame, ou mieux encore celui des traînées d'écume qui 
se produisent à la surface de l'eau dès que la brise est un peu 
fraîche; elle peut aussi être signalée par un navire en paTine dans 
le voisinage. Supposons, par exemple, que la route fasse avec le 
vent réel et le vent apparent des angles respectivement égaux 



12. — 270 — 

à 115° el 88% comptés à partir de l'avant; la vitesse du navire 
sera la moitié de celle du vent réel, et les vergues feront avec la 
quille un angle de 88* — 20*» = 68% puisqu'il faut un angle 
d'incidence de 20^ Si la voilure est augmentée, ou bien si on 
imagine que la résistance directe de l'eau soit diminuée par une 
transformation idéale de la carène, la marche deviendra plus 
rapide, la direction du vent plus aiguë, et il faudra donner aux 
voiles un orientement plus oblique pour leur conserver l'angle 
d'incidence convenable. Leur composante latérale devenant ainsi 
plus forte, la dérive tend à augmenter; mais on peut supposer 
qu'elle soit combattue par une quille mince et profonde, par 
laquelle la résistance latérale de l'eau sera considérablement 
accrue sans effet sensible sur la résistance directe. Dans ces 
circonstances, des augmentations successives de la voilure pro- 
duiront encore des accroissements de vitesse et amèneront des 
orientements de plus en plus obliques, jusqu'à ce que l'angle des 
vergues avec la quille ait atteint une certaine limite, au delà de 
laquelle la dérive ne pourra manquer de devenir fort appréciable. 
Cet .angle, qui dépend évidemment des valeurs relatives des 
résistances directe et latérale, ne peut être aUeint à bord des 
bâtiments à voiles carrées; car la disposition du grément n*y 
permet pas un orientement plus oblique que 30° ou 35°. Suppo- 
sons donc que notre augmentation de voiles nous ait conduits à 
l'orientement de 35°, l'angle d'incidence étant toujours de 20° et 
celui du vent réel de 115"*. Le vent apparent fera avec la quille 
un angle de 35° + 20° ==» 55°, et, par conséquent, la diagonale 
du parallélogramme des vitesses tombe en avant de la bissectrice 
de l'angle du vent réel et de la quille. Il s'ensuit évidemment 
que, dans ce cas théorique, la vitesse du navire est supérieure à 
celle du vent réel. 

Les considérations précédentes, sans présenter la rigueur des 
équations qu'on pourrait établir à ce sujet, permettent cependant 
d'expliquer le fait remarquable cité par les vieux manœuvriers, 
et indiquent un moyen simple d'en vérifier l'exactitude sur bien 
des bâtiments modernes de qualité assez ordinaire. Ainsi M. le 
lieutenant de vaisseau Armand Paris a observé à bord du vais- 
seau le Jean Bart, de marche moyenne, des vitesses fréquem- 



— 27i — i3. 

ment voisines de eellcrs du vent et quelquefois supérieures. Cet 
officier^ dont les brillants services ont été brusquement inter- 
rompus par un accident mortel» mesurait» à Faide d'un anémo- 
mètre de Robinson»la vitesse du vent apparent dont la direction 
lui était indiquée par les girouettes; connaissant en outre la 
vitesse du vaisseau» il pouvait calculer celle du vent réel. A bord 
d'un excellent voilier» la frégate la Sybille, j*ai pu constater 
maintes fois des vitesses supérieures à celle du vent. Mais ce fait 
ne peut se produire que dans des circonstances particulières. 
Tout d'abord, si Forientement extrême est de 35% et s'il faut un 
angle dincidence de 20** pour que les voiles portent bien» le cas 
des vitesses égales ne pourra se produire que lorsque Tangle du 
vent avec la roule sera de (35** -4- 20**) x 2 = 1 1 0**» au moins. 
Mais à mesure que cet angle augmente la vitesse du vent appa- 
rent tend à diminuer» et la marche se ralentit malgré Teffet favo- 
rable d'un orientement moins oblique. Vent arrière, la propor- 
tion des vitesses est réduite à 0»5. Il faut ensuite que la mer soit 
unie et la brise modérée. Dès que celle-ci fraîchit» la composante 
horizontale de la voile diminue par reffot d'une inclinaison plus 
forte et aussi par la courbure plus prononcée des voiles. Enfin» 
rien n'empêche d*admcttre que la pression normale qu'elles sup- 
portent augmente moins vite avec la vitesse du vent que la résis- 
tance de l'eau avec la vitesse du navire. 

L'étude de la résistance des carènes a donné lieu depuis plus 
d'un siècle à bien des recherches théoriques et expérimentales» 
et cependant cette importante question reste encore dans le 
domaine de la controverse. Chaque ingénieur ou constructeur 
agit à ce sujet d'après des vues personnelles traduites par quel- 
ques-uns en formules mathématiques. Celles-ci» tout en présen- 
tant des divergences notables» permettent cependant de consi- 
dérer» pour une première approximation» la résistance de l'eau 
comme proportionnelle à la surface immergée du maître couple 
et au carré de la vitesse, c'est-à-dire comme égale à RB*V*. 
Dans cette formule B^ représente la surface immergée de la plus 
grande section latitudinale» V la vitesse et K la valeur moyenne 
d'un coefficient variable K. Ce coefficient a été soigneusement 
étudié par l'amiral Bourgois dans une série d'expériences exé- 



i4. — 272 — 

cutées sur des bâtiments de divers types. Ce savant marin, guidé 
par certaines considérations théoriques, a exprimé la résistance 
totale Rt par la formule 

Rt = K,B*V* -*. K,/V* -♦- K3SV -+- K^SB^V*, 

dans laquelle B^ et V conservent la signification précédente, 
/ représente la plus grande largeur, S la surface de la carène et 
K^, Kj, K3, K4 des coefficients constants pour un même navire. 

Le premier terme représente la résistance directe; le coeffi- 
cient K| diminue à mesure que les extrémités deviennent plus 
fines. Le second terme représente Teffet de la dénivellation^ c*est- 
à-dire de Tintumescence que Ton observe toujours à Tavant, et 
de la dépression qui se produit quelquefois à Tarrière d*un 
navire en marche. Si la proue était terminée par un plan ver- 
tical latitudinal, la hauteur de Tonde antérieure serait |-, g étant 
Taccélération des graves; son efft't pourrait être assimilé à celui 
d'une augmentation de la surface du maître couple égale à 
~ X /» et si la vitesse du liquide était encore égale à V dans 
toute la partie soulevée, la résistance qui en proviendrait serait 
^ X / X V^. Comme la proue est plus ou moins aiguë, il faut 
multiplier cette valeur par un coefficient dépendant de Tacuité 
des formes, mais point de la grandeur absolue du bâtiment. Si 
donc deux navires de dimensions différentes, de fornies absolu* 
ment semblables, sont animés de la même vitesse, ils seront tous 
deux accompagnés par une onde antérieure de même hauteur, 
dont reflet sera évidemment plus sensible sur le plus petit. La 
grandeur absolue est donc favorable aux grandes vitesses, qui ne 
pourront être imprimées aux petits bâtiments que par des ma- 
chines ou des voilures relativement plus puissantes. 

Les deux derniers termes représentent la résistance provenant 
du frottement de Feau le long des parois de la carène. En fin de 
compte, le coefficient R s'exprime par 

K = (K, -*- K4S) -4- K, - V« -♦- î^^i 

Pour les vaisseaux et frégates à vapeur et en bois dont la 
flotte était composée il y a quelques années, la valeur de 



— 273 — 15. 

K, -h K4S variait entre 2'» et 2'",5, celle de Kj entre O"",!* et 
0*",16, celle de K3 était constamment égale à 0"',08. 

Depuis cette époque il s'est formé une autre opinion assez 
généralement admise aujourd'hui, tendant à attribuer la 
presque totalité de la résistance au frottement latéral. Elle est 
basée, je crois, sur la considération suivante. Si on suppose 
l'eau parfaitement fluide et la carène de formes telles que les 
filets liquides puissent glisser de Tavant à l'arrière sans former 
de tourbillons^ la résistance due à la pression sera nulle quand 
le navire aura atteint une certaine vitesse. La résistance que 
l'on observe ne provient donc, dans cet ordre d'idées, que de la 
viscosité de leau et, par suite, du frottement latéral. Or, d'après 
certaines expériences, le frottement exercé sur un élément de 
surface serait proportionnel au produit de la superficie de cet 
élément par le carré de la vitesse du glissement du liquide au 
point correspondant à Félément. Si donc on connaissait la vitesse 
de Peau en chaque point de la carène, on pourrait évaluer la 
résistance d'après ce principe. Mais il n'est possible de connaître 
cette vitesse que dans des cas tout à fait spéciaux ou hypothé- 
tiques. Par exemple, on peut imaginer qu'une surface rigide 
affectant la forme exacte d'une houle régulièie soit appliquée 
sur celle-ci et l'accompagne dans son mouvement de propaga- 
tion. Le profil de la houle affecte, comme on sait, la forme d'une 
trochoîde plus ou moins allongée, suivant que la vitesse de 
propagation est plus ou moins grande; et le calcul permet d'ob- 
tenir la vitesse du liquide en chacun de ses points. 

M. le professeur Rankine a ainsi calculé la résistance qu'éprou- 
veraient des bandes trochoïdales animées d'une vitesse horizon- 
tale égale à la vitesse de propagation des houles de même forme. 
Ses résultats expriment assez exactement les résistances obser- 
vées directement sur les navires anglais Admirai et Lancefield, 
dont les lignes d'eau sont sensiblement trochoïdales. Il propose 
la formule suivante, qui s'appliquerait suffisamment bien dans 
des cas analogues : 



kwe^ r (u, «. c)n 



LG. 
IX. i8 



i6. — 274 — 

R représente la résistance du navire; 

L, sa longueur totale; 

Gy la longueur moyenne du contour de la partie immergée 
des couples; 

e, la vitesse du navire; 

Uq, la vitesse de Teau au milieu de la longueur; 

w, la densité de leau ; 

g, l'accélération de la pesanteur; 

ky un coefficient de frottement égal à 0^036 pour des surfaces 
peintes et en bon étal de propreté. 

Cette façon d évaluer la résistance serait probablement fort 
inexacte, si Timperfection des formes donnait lieu à des tourbil- 
lons ou entraînements d eau tels que ceux qui se produisent le 
long des flancs d'un chaland carré. Il importe évidemment de 
réduire le plus possible la force vive ainsi communiquée au liquide 
au dépens du travail utile du propulseur. Dans ce but M. Scott 
Kussel a adopté, pour les lignes d'eau, le proGl de Vonde soit- 
taire qui accompagne un bateau naviguant dans un canal étroit, 
c'est une sorte de sinusoïde; mais les considérations théoriques 
sur lesquelles il s'appuie sont fort contestées. M. Rankine a pro- 
posé, dans le même but, une courbe appelée par lui Néoîde 
dont la théorie se trouve dans les Philosophical Transactions 
R.S.L., 186.3-1864. Le travail du savant professeur est le meil- 
leur, que je sache, sur cet intéressant sujet; il fait l'objet d'une 
note spéciale à la Gn de cet article. 

Un défaut dans les formes pourrait, du reste, entraîner une 
compensation. Ainsi, d'après l'habile constructeur M. Normand, 
du Havre, l'effet nuisible d'un gros avant adapté à un navire à 
hélice pourrait être compensé par un meilleur rendement du 
propulseur qui tournerait ainsi dans une eau plus stagnante. 
Cette considération conduirait à classer séparément les valeurs 
des résistances déduites des deux modes principaux d'expéri- 
mentation : les expériences sur l'utilisation du travail fourni par 
les machines, et la mesure directe de la traction exercée par la 
remorque. Ces expériences toujours coûteuses conduisent trop 
souvent à la découverte d'un défaut auquel il n'est plus possible 



— 275 — i7. 

de porter remède. On a donc songé à opérer sur les modèles 
réduits des bâtiments avant de mettre ceux-ci sur les chantiers. 
D'après M* Fronde, la résistance du grand navire pourrait être 
déduite de celle de son modèle par la loi suivante : si d est le 
rapport des dimensions linéaires du modèle à celles du navire et 
si on imprime au modèle des vitesses V,, Vj, V3... auxquelles 
correspondent les résistances observées Rj, Rj, R3..., les résis- 
tances du grand navire seront rf^Rj, d^Rj, d^Rg... pour les vitesses 
Vi^d, VjV^d, Vsl/d... Les ondulations produites à la surface 
de Teau par le grand navire et la réduction sont en même temps 
fort semblables. 

Indépendamment de son effet utile au point de vue de la 
vitesse, Facuité de la poupe permet aux filets liquides d'arriver 
plus directement sur le gouvernail et favorise son action. La 
pression normale qui s'exerce sur celui-ci agit à Textrémité 
d'un bras de levier égal à la longueur de la perpendiculaire 
abaissée du centre de dérive sur la droite normale à la surface 
du gouvernail et passant par son centre de gravité. Son moment 
est nul quand le gouvernail est droit, et presque nul s'il fait avec 
la quille un angle de 90°. Entre ces deux positions extrêmes il 
y a donc un maximum. En supposant la pression normale pro- 
portionnelle au carré de la vitesse et au sinus carré de l'angle 
d'incidence et les filets liquides parallèles à l'axe longitudinal, 
l'angle favorable serait de 53"; mais la convergence des filets 
doit en diminuer la valeur. Dans la pratique on adopte l'angle 
maximum de 35° environ. 

Quand un navire en marche évolue par la seule action de 
son gouvernail fixé dans une position invariable, il décrit 
une circonférence d'un mouvement uniforme. Plus exactement, 
les différents points du navire décrivent des cercles concen- 
triques auxquels l'axe longitudinal n'est pas tangent. Cet axe 
fait un angle de 10° à 20° avec la tangente au cercle décrit par 
le milieu de la longueur. L'uniformité du mouvement n'est 
atteinte qu'après une abattée de 90° environ. 

A l'action évolutive du gouvernail peut s'ajouter celle des 
voiles. Celle-ci, toujours faible en comparaison de la première 



18. — 276 — 

dès que la vitesse atteint une certaine valeur^ est surtout utilisée 
lorsqu'il s'agit de manœuvrer le navire à partir du repos. Pour 
produire ou accélérer sa rotation dans le sens voulu » on main- 
tient les voiles d'un même mât masquées, pleines ou en ralingue 
(orientées dans la direction du vent) suivant qu'elles sont pla- 
cées en avant ou en arrière du centre de dérive, sans perdre de 
vue que ce point est situé en avant ou en arrière du centre de 
surface du plan longitudinal suivant que le navire avance ou 
recule. Mais ici doit s'arrêter la théorie, car le coup d'œil et 
l'expérience seront toujours les meilleurs guides du marin. 



NOTE SUR LES LIGNES D'EAU 



Proposées par M. le professeur RANKINE. 



Ce savant admet que, lorsque les formes du navire sont fines 
et le tirant d'eau suffisamment grand, les mouvements verticaux 
du liquide peuvent être négligés et que, par suite, les trajectoires 
des molécules sont contenues dans un plan horizontal. Les équa- 
tions de continuité et de mouvement (celui-ci étant supposé 
permanent) se réduisent alors à 



(<) 







Du 


Du 










h 













Dx 


^y 










DP 


m 




DP 


u' 


— 


Dx' 


V ^= 


^ 


^y 



(2) 



L'origine des axes accompagne le navire animé de la vitesse 
uniforme c suivant les x; u et v sont les vitesses, u' et v' les 
accélérations suivant les x et les y ; P est la pression et la den- 
sité est égale à 1. 



— 277 — i9 

L équation (1) prouve que « et — v sont les dérivées partielles 
d*une fonction U de x, y, et par suite 



(3) 



u 


DU 


V = - 


DU 
Dx 


rma 


nence, 


on a 




</U 
dt 


DU 
~ — u 

Dx 


DU 
H V 

^y 


= 



Donc U est indépendant dq temps, et Téquation 

U=B, 

dans laquelle B est une constante arbitraire, donnera la série des 
lignes d'écoulement dont fait partie la section horizontale du 
navire à la profondeur considérée. II s*agit de déterminer la 
forme de la fonction U. 
On a par (3) 



Dm Dm D'U DU 

u' = m H V = 

Dx Dy ^sày ^y 


D'U DU \ 
:iy^ Dx / 




Dv Du d'U du 

V = M H V = 

Dx ^y ^jc^y Dx 


:i'{] DU ( 

Dx* ^y 1 


• • • 


el par (2) 

:^u' Dr' 

^y Dx 






Il vient après réduction 






D fDMJ D«U1 ^[] 

— — : -* 7 — 

Dx LDx* Dy*J Dx 






D Td'U d*U1 :i[] 
— — -i- — — 

^y \j^* ^y*j *^y 


9 




Ddnc^-h ^esl une fonction de U. 

D<* Dy* 






D'U D'U 


• • • • 


• • 



(*) 



(S) 



20. — 278 ~ 

La fonction F(U) est indépendante du temps et conserve, 
par suite, la même valeur tout le long du parcours d*une 
même molécule. Or, à une distance inGnie en avant du na- 
vire la vitesse du liquide est uniforme et les dérivées partielles 
?!i=^^ et ^ = — ^ sont nulles. Donc F(U) est nul, et la 
fonction U doit satisfaire à la condition 

— tH- — = (6) 

La trajectoire des molécules devant être rectiligne pour x= oo, 
les courbes fournies par les solutions de Téquation (6) ne pour- 
ront convenir que si elles possèdent une asymptote parallèle 
aux X, et il faut de plus que Taxe des x lui-même fasse partie 
de la série des lignes d'écoulement. On est ainsi conduit à poser 

{]==cy[\-^ f(x,y)] (7) 

la fonction /"devant s*annuler pour ac ou .v= oo et yf(x,y) satis- 
faire à (6). L'équation de Tasymptotc est alors 

U . 

y = — =6, (8) 

c 

6 représentant la distance de cette asymptote à Taxe des x. 

Si b est nul, on a les deux solutions 2/ = 0, qui représente 
Taxe des ar, et 1 -J-/'(x, y)=0. Celte dernière équation est celle 
de la ligne d eau du bâtiment. 

La présence de Tasymptote exclut les solutions trigonomé- 
triques de (6), mais elle est compatible avec une forme de U, 
ou de yf(xyy), analogue à celle du potentiel. Si on pose 

y/*(^> y) = ? («' -^ y% 

on trouve facilement 

f = i i -^ c„ 




— 279 — 

P et Cf étant des constnnies arbitraires. Si on fait C| 
tion des lignes d'écoulement devient 



21. 

1, réqua- 



^=^(^-^') 



(9) 



La ligne d'eau du navire est alors un cercle de rayon / et 
réquation (9) représente la série des néoïdes cyclogènes. 

De la forme circulaire on peut faire dériver d'autres solutions. 
Par exemple, en posant 



yf{x,y)=^ 



+a 



ydcL 



— a 



(X — «)* H- y 



fl I or n — — X 

= arc tg \- arc Ig (iO) 



y 



y 



la condition (6) sera encore satisfaite, et, si on désigne par >. une 
longueur arbitraire, l'équation 



= !/— >l 



a -H X 
arc ïg h arc tg 

y 



a — xl 



. {{{) 



pourra convenir aux lignes d'écoulement. 

Portons sur Taxe des x, à droite et à gauche de l'origine et 
à partir de ce point des longueurs OA et OA' égales à a. 




L'équation (11) exprime que l'excès de l'ordonnée d'un 
point M sur une valeur minimum 6 est proportionnel à l'angle 
AMA'<==0 formé par les vecteurs AM, A'M partant des foyers 
A et A'. Ces courbes sont symétriques par rapport à Taxe des y 
et ont pour asymptote, dans les deux sens, la droite y^b. 



22. — 280 — 

Si on fait 6=0 on obtient, indépendamment de la droite y=0, 
un ovale LDU, ou 

y = A.e, (12) 

plus aplati qu'une ellipse dans la partie médiane et plus arrondi 
aux extrémités. C'est la section du corps flottant qui engendre 
les néoïdes oogènes (11). Chacune de ces courbes pourrait con- 
venir au contour du corps flottant, et M. Rankine propose de les 
afiecter aux lignes d'eau des navires. 11 est vrai qu'elles ne sont 
pas fermées, mais l'auteur estime qu'en les limitant en un point 
voisin des extrémités L et L', puis en les fermant par une tan- 
gente n)enée par ce point et prolongée jusqu'à l'axe des x, le 
régime de l'écoulement ne serait pas sensiblement modifié. 

On peut donner à ces courbes des formes très variées par la 
modification des constantes arbitraires a et X, mais il convient 
d'adopter celles sur lesquelles la vitesse de glissement ^^u* -+- t;* 
est le moins variable. Les plus avantageuses sont engendrées par 
l'ovale dans lequel le rapport du grand axe au petit est égal ou 
supérieur à ^Z. Ce sont les lissonéoïdes. 

L'auteur indique ensuite une ingénieuse construction graphique 
des néoïdes et difl'ércnts procédés d'abréviation pour les calculs 
relatifs à un navire construit d'après ce principe. Les lignes d'eau 
ainsi obtenues peuvent satisfaire, par la variété de leurs formes, 
à toutes les exigences de la construction, et elles présentent beau- 
coup d'analogie avec les sections des navires les mieux réussis. 
On peut donc adopter sans aucun risque la méthode du savant 
professeur, s'il s'agit d'un grand bâtiment. Mais la simplification 
qui supprime les mouvements verticaux du liquide, acceptable 
dans ce cas, ne l'est plus si le navire est petit. Pour s'en con- 
vaincre, il suffit d'observer une chaloupe à vapeur lancée à grande 
vitesse. Elle est accompagnée d'une série d'ondulations fort 
accentuées s'étendant à perte de vue sur son arrière et ses côtés, et 
la première onde voisine de la proue soulève cette partie de 
l'embarcation si celle-ci est trop courte pour que son arrière soit 
soutenu par l'onde suivante. Cet effet ne saurait être négligé 
lorsqu'il est essentiel, comme dans le cas des torpilleurs, de tenir 



— 281 — 23. 

compte des moindres circonstances qui peuvent influencer la 
vitesse. 

Indépendamment de cette imperfection, la théorie de M. Ran- 
kine donne lieu, à mon avis, à une autre objection. Les équa- 
tions fondamentales (1), (3), (5), (6) sont basées sur Thypothèse 
d'une continuité non interrompue du liquide depuis la région 
antérieure infiniment éloignée jusqu*aux flancs du navire et au 
delà. Or, on observe que les crêtes des ondulations voisines de la 
proue déferlent, ce qui indique manifestement une discontinuité ; 
et celle-ci ne peut manquer de s'étendre à une certaine profon- 
deur. Voyons donc si cette discontinuité n'est pas indiquée par 
les équations générales dans le cas qui nous occupe et qui est 
caractérisé par les conditions suivantes: 

!•* Le mouvement est permanent, c'est-à-dire qu'en un point 
X, y, z du liquide dont les coordonnées sont rapportées à des axes 
qui se meuvent parallèlement à eux-mêmes avec la vitesse uni- 
forme c parallèle aux x la vitesse, la pression et, en général, 
toutes les circonstances du mouvement ne dépendent que des 
coordonnées et nullement de l'époque considérée. Autrement dit, 
ce sont des fonctions qui ne contiennent pas le temps explici- 
tement; 

2® La vitesse du liquide, relativement aux axes mobiles, est 
rectiligne et uniforme dans les régions infiniment éloignées du 
côté des X positifs (sur l'avant du navire) et aussi dans les régions 
infiniment profondes. 

L'axe des z est dirigé vers le bas ; le plan x^ y coïncide avec 
le niveau du liquide non troublé; la pression est représentée par 
P et l'accélération de la pesanteur par g. Si ti, v, w et u', v', w' 
représentent les vitesses et accélérations parallèles aux axes, on a 
les équations connues : 



1 H = (i3) 

Dx :iy :>z 

?P DP DP 

w'=-— , r' = — — , w? =3 — — . . (14) 
Dx Dy Dz 



24. — 282 — 

Additionnant les équations (14) respectivement multipliées par 
par u, t?, te;, il vient : 

DP DP DP 

Dx Dy Ds 

c'esl-à-dire, en vertu de la permanence, 

d Tu' -♦- r' H- t«j* 1 

Jt[ r ?--Pj = o. 

Donc 

w' -+- v* -♦- tu' 

gz^P=V{x,y,z), . . (15) 

la fonction F (x, j/, z) étant indépendante du temps. Or, dans les 
régions antérieures infiniment éloignées, on a "'"♦"^J"*'**^* = I? 8== - 
et P — 9z=A, A représentant la pression atmosphérique Donc 
la fonction F, qui, étant indépendante du temps, doit conserver 
la même valeur sur toute la trajectoire d*une molécule, se réduit 
à la constante^ -+- A. 

Les équations (14), (15) et la permanence du mouvement 
donnent : 

Dm Dm ^u dp D /m' -f- u' -♦- u>' \ 1 

ti'=M— -*-t; V- w -- 



Dx Dy 



^u DI> D /m* -f- u* -♦- u>' \ 

Dr ~~ Dx "~ Dx \ 2 ~ ^^/ 



Dr Di; Du DP D /m' -t- r' -•- to' \ f/i/^v 

17' s ti hr H tu — = = — ( qz] )V'"i 

>z du ^y\ 2 / / 



Dx Dy :^z Dy Dy 

Du? Dtu Dto DP D /m'-+-v'-+-!u' 
tu'=su HU H tu — =0 = QH — 

;ix dy dz '' :iz " bz\ 2 " /; 

d'où Ton tire, en développant les dérivées partielles de " -t-oj-m?» 
les relations 



/Dm ;iio\ \ 

.w( =0, 

,Dy Dx/ \Dz Dx/ 



\Dy Dx/ 

/«^«^ Dw\ /3u DuA ^ f .._^ 

\Dx Dy/ \:iz :iyl ( 

COtU Dm\ /DtU DiA 
-+- » — =0, 
Dx Dr/ \:iy dzf i 



ou bien 







285 




25. 


Da 


Dr :>w 


Dm Dr 


Du? 




^y 


Dx Dx 


Dz Dz 




. . (i8) 



U7 r ti 



a désignant une fonction de x, y, z. 

En diSërentiant les équations (1 8) respectivement par rapport 
à Zy y, Xy il vient 



D'm D'r TiW ^OL \ 



a h tO — » 



^y^z DxDjZ Dz Dz 

2i''w D'm Dr '^a V /,,., 

=a — -«- r — » ) . . . • (19) 

^x^y ^y^z Dy Dy 

D*r ^^w Dm Da 
= a H M — • 

DjDz t^x^y Dx Dx 

Additionnant et tenant compte de (13), on obtient 

Dor Da Da da 

= M — -♦- r — ■*■ w — =-7-» 
Dx ^y iiz dt 

ce qui prouve que a est indépendant du temps et, par suite, 
nul, puisque les dérivées partielles 5^ » Ë > ^^^^ ^^^^ nulles pour 
X = 00 . Donc 

D</ Dr Dm 'iiw '^w Dr 

— =—> — = — , — = — .... (20) 

Dy Dx Dz Dx Dy Dz 

Si on pose u = ^ , 9 désignant une fonction de Xy y y z, les 
deux premières équations (20) donnent 

r = — H- /"(y, z) , u? = ;^ -♦- ^ (y, z); 
Dy Dz 

et ces résultats portés dans la troisième indiquent la relation 

Df D/" 
Dy liz 



26 



— 284 — 



Ceci prouve que fei^ sont les dérivées parlielles d'une fonc- 
tion X de y et z 



Par conséquent 



Dz 



Dx 



Da* ^y oz 



ou simplement 



dU 



DU 



u = 



v = 



DU 
10= — 

Dz 



w • 



Dx ^y 

la fonction U devant, par (13), satisfaire à la condition 



D'U D*U D'U 
—-H -t- = 0. 

Dx' Dy* Dz* 



. (21) 



(22) 



Les équations (21) montrent que les trajectoires des molé- 
cules sont normales aux surfaces U =» constante, lesquelles 
tendent à se confondre avec un plan vertical perpendiculaire 
aux X dans les régions éloignées. 

On a aussi 

'^U à\} dU au , , , V, 

dt 6x ày 6z ^ ' 



Figurons maintenant Thorizontale BqB parallèle aux x, par- 
courue avec la vitesse uniforme 
— c par une des molécules des 
régions profondes, et les surfaces 
9o, cpi, cps le long desquelles la 
fonction U est constante. 

Les points Bq, B^, B^ où elles 
coupent la droite peuvent être con- 
sidérés comme les positions de 
la molécule aux époques Îq^ t^^ i^. 



% B7 



B 



Fig. 3. 

Les valeurs de U seront donc sur ces surfaces 



Uo, Uo-+-c'((,-to), Uo H- c'(<, - g... 



— 285 — 27. 

(Uo représentant la valeur de U sur la surface 90) ^t, par suite, 
en vertu de (23), la vitesse V du liquide sera partout constante 
et égale à c. 11 en résulte, par (16), que les accélérations u\ v\ w' 
étant nulles, le mouvement ne peut être que rectiligne et uni- 
forme en chaque point du liquide. 

Le passage d'un bâtiment ne peut donc manquer de produire 
un mouvement discontinu, au moins dans une région plus ou 
moins étendue voisine de la proue. Mais il est possible que 
la discontinuité ne s'étende pas au delà de cette région, si on sup- 
pose au navire certaines formes convenablement appropriées à sa 
vitesse et qu'il s'agit justement de déterminer. Dans ce cas, le 
mouvement du liquide pourrait rester continu, mais en même 
temps oscillatoire, depuis la même région jusqu'à une distance 
infinie vers l'arrière. 

Les équations (13), (14) et (15) doivent toujours subsister, 
mais la fonction F, encore indépendante du temps, ne se réduit 
plus à une constante. Les relations (21) et (22) n'ont plus lieu, 
mais on peut admettre, il me semble, que la pression soit con- 
stante sur tout le parcours d'une molécule, c'est-à-dire que la 
relation 

à? à? àP 

UH V -*- — UJ=0, 

èx èy èz 

OU, 

uu' -♦- vv' -f- vow' — ^UJ = 0, 

évidemment satisfaite sur la surface libre, le soit encore en 
chaque point du liquide. Je suis malheureusement incapable de 
poursuivre plus loin cette intéressante question. 



i. — 286 



LES 



AFFINITÉS LINGUISTIQUES 

DES LANGUES 

SÉMITIQUES ET POLYNÉSIENNES 



PAR 



J. YAN DEN GSETir, S. J. 



NOTE PRESENTEE A LA 3« SECTION LE 29 OCTOBRE 188t. 



Oo a tenté dans ces derniers temps d'établir un rapproche- 
ment entre les idiomes sémitiques et les nombreux dialectes 
polynésiens. 

Il y a deux ans, le Rév. D' Mac Donald présentait un essai de 
ce genre à la Société royale de Victoria (*). Plus récemment, 
M. S.-M. CurI prouvait historiquement les rapports de la Phé- 
nicie et de la Polynésie et s'efforçait ainsi de donner uo appui 
solide à la théorie de l'identité linguistique P). 

Il n'est pas encore possible de se prononcer en toute sûreté 
sur ces intéressants travaux, qui ne sont pas arrivés à leur point 
de complète maturité et dont les résultats demeurent contesta- 
bles. Nous indiquerons tout à l'heure les principales objections 
qui peuvent être soulevées. Cependant nous n'avons pas voulu 
attendre les dernières et certaines conclusions pour signaler ces 
nouvelles études aux membres de la Société scientifique. 

Nous le pouvons d'autant plus aisément qu'un des partisans 
les plus convaincus de la théorie sémitico-polynésienne a bien 
voulu nous communiquer le fruit de ses recherches. Le R. P. 



(*) Transactions of the royal Society of Victoria, mai i883. Voir dans NATURE, n* du 
âO décembre 1883, p. il% une appréciation assez peu favorable de ce travail par M. Ketne. 
(*) Anthropological Institute of London, séance du 24 novembre i884. 



- 287 - 2. 

Etienne, missionnaire dominicain à Ptle de la Trinité, préposé 
depuis plusieurs années au Leper Asylum de Cocorite ('), a été 
amené, en recherchant l'histoire de la lèpre, dont il soulage les 
victimes avec tant de zèle, à cette étrange découverte que le 
nom polynésien de là lèpre est identique au terme usité en copte. 
Mais laissons la parole à Tauteur lui-même. Nous publions 
d'abord son travail sans y rien changer : quelques observations 
critiques, que le R. P. Etienne a bien voulu nous permettre de 
formuler ici, suivront le mémoire. 



Pendant que nous tâchions de construire l'histoire d'un 
affreux mal que nous touchons de près et qui, répandu quatre 
fois plus qu'au moyen âge, ravage la moitié du globe, la lèpre, 
des faits entièrement inattendus attirèrent notre attention 
sur le passé de la maladie. Les renseignements étaient à peu 
près nuls : cette histoire est à faire. Heureusement les langues, 
malgré leur prodigieuse fluidité, restaient comme des monu- 
ments d'une solidité incomparable. Cherchant donc quelle avait 
pu être l'origine de la lèpre en Polynésie, parmi les dialectes de 
ses nombreux archipels nous recueillîmes comme nom principal 
un mot qui, à Samoa, dite par les Océaniens < Tile-mère de 
toutes les autres », prenait la forme desoupa. Or, un peu aupa- 
ravant, le vieil empire des Pharaons nous avait livré, lui-aussi, 
son nom le plus antique et ce nom était sôbah. Entre soupa et 
sobah la ressemblance était grande; mais n'était-elle que fortuite? 

AGn de s*en assurer on pouvait remonter de chaque côté à 
rétymologie. Chez les Polynésiens soupa exprimait une jiaralysie, 
car la lèpre a deux formes, dont l'une rend, en effet, les pauvres 
malades semblables à des paralytiques. En outre, les expressions 
diverses qui forment la famille de ce vocable tournaient égale- 
ment autour de la même idée. D'autre part, le terme égyptien 
de sôbah, avec le groupe qui l'accompagne, gardait précisément 



(*) La Revue des questions scientifiques, t VI, p. 28^i, contient un compte rendu, pré- 
senté par le \i^ Noeller, d'un intéressant travail du R. P. Éiienne sur le caractère conta- 
gieux de la lèpre. 



3. — 288 — 

le même sens de paralysie. Il y avait plus : ce n*était pas seule- 
ment avec régyptien qu'existait la conformité, mais avec les 
autres langues sémitiques, Thébreu, Tarabe, le ghez ou éthiopien. 
Un court tableau mettra le lecteur à même de juger de l'unité 
sur un simple coup d'œil : 

Étii. : zab, zabab, ou tsab, tsabab, angustum esse vei fieri, coangustare. 

zabaSj zawas, debilem esse vel fieri; curvum, conlortum et inutile 
membrum tiabere. 

zebuse, zewuse, muiilus, mancus, debilitatus membris. 

zabase^ débilitas, inlirmitas. 
An. : zabb, zabab, zabaty saisir, tenir, serrer, adhérer fortement 

zaban, serrer, paralyser; paralysé. 

mezabun, paralysé, paralytique. 
ÉG. : sôbh (*), serrer, être lépreux. 

sôbah, lèpre. 
PoLTN. (samoan) : supa^ presser, plier; crochu. 

supa^ être paralysé, lépreux; paralysie, lèpre. 

Le doute était impossible : avec ces quatre langues on navigue 
dans les mêmes eaux. 

La confrontation méritait d'être poursuivie. Et à mesure que 
nous avancions le nombre des termes polynésiens et sémitiques 
réellement conformes entre eux se multipliait au point que la 
langue polynésienne était une langue sémito-koushite. 

Comment cela se faisait-il? Pourquoi cette parenté? Nous 
l'indiquerons plus loin; mais, pour arriver à la solution, com- 
mençons par la comparaison des langues qui, à elles seules, suffi- 
raient à remettre en leur lieu et place les Malayo-Polynésiens. 

Nous parlons ici de Malais en même temps que de Polyné- 
siens (^) : l'origine première est une et ressortira pleinement de 
nos études. Mais, tout désireux que Ton soit de s'assurer si les 
Malais sont des Koushites, ce n'est certainement pas aux Malais 
d'aujourd'hui qu'il faut regarder. Aucune population n'a été plus 
profondément imbibée d'éléments hétérogènes que celle de la 



(*) Dans un autre travail nous avons restitué ce sôbh, coercere, que l'on devine facile- 
ment, mais qui fait défaut dans nos vocabulaires coptes. 

{*) Deux races anciennes se partagent les lies du Grand Océan, celle des Mélanésiens 
ou nègres océaniens, et celle des Polynésiens. Nous ne considérons ici que ces derniers, 
qui forment la grande majorité de la population des archipels. 



— 289 — 4 

Malaisie proprement dite. Ce sont, avec les vrais et anciens 
Malais, des noirs mélanésiens, des Dravidiens, des Hindous, 
des Tbibétains, des Cbinois, des Arabes, des Espagnols, des 
Portugais, des Hollandais : chacun d*eux s'est installé avec tous 
ses bagages et maintenant la langue malaise est le plus parfait 
enchevêtrement qu'on puisse imaginer. L'hindoustani et Parabe 
y dominent et précisément les Malais ne sont ni Indo-Européens, 
ni Arabes. Un grand nombre de termes du malais primitif ont 
si complètement disparu qu'on ne les trouve pas même à l'état 
de souvenir dans les lexiques et que beaucoup de ceux qui sub- 
sistent encore sont défigurés. Aujourd'hui on ne parle guère 
plus le malais primitif dans les grandes îles de la Malaisie qu'on 
ne parle celtique à Paris ou à Londres. Inaperçu, ce fait donne 
lien aux plus grandes erreurs sur l'origine première de la 
population. 

Cependant hâtons-nous de dire que le linguiste peut encore 
extraire de l'idiome un corps notable de vieux fond koushite 
destiné à rendre les plus grands services. 

Le malais pur, c'est dans la Polynésie qu'il faut le prendre. 
L'idiome polynésien montre que la race s'est réfugiée sur l'Océan 
avant qu'aucun élément étranger fût venu altérer sa nature. Chez 
elle pas d'Hindous, pas de Tamouls, pas de Chinois, pas de Tbi- 
bétains, pas d'Arabes, pas d'Espagnols, etc., mais des Malais ou 
plus exactement des Koushites de vieille roche, ne parlant que la 
langue de leurs premiers pères et ne connaissant rien autre que 
leurs traditions. Partis Koushites, Koushites ils sont restés. Les 
profonds abtmes des mers leur faisaient des barrières infran- 
chissables comme en créent les cimes ardues où d'autres popu- 
lations cherchent un abri. 

Adressons-nous donc à la langue polynésienne. Deux éléments 
sont à considérer, le vocabulaire et la grammaire. 

§ L — Vocabulaire. 

C'est avec l'égyptien que nous comparerons principalement 
les langues polynésiennes, parce que l'égyptien nous paraît 
IX. 19 



5 _ 290 — 

offrir une ressemblance spéciale et que c'est de lui qu*on en 
attendrait le moins. Nous cueillerons cependant çà et là quel- 
ques termes des autres idiomes sémito-koushites, et cela pour 
plusieurs motifs : l"" pour que la parenté ressorte avec toute la 
famille; 2° parce qu^une expression absente d*une langue peut 
se retrouver dans une autre congénère; 3"* parce que le lexique 
copte de Peyron dont nous faisons usage, malgré son incootes- 
table mérite, offre encore les plus grandes lacunes. 

Comme tout Tétat d'un peuple est révélé par sa langue, on 
voudra bien, en raison de l'importance du sujet, nous pardon- 
ner la longueur de la liste. Nous Tavons, du reste, fort raccour- 
cie, car le dictionnaire en entier y eût passé. Dans ce qui a été 
choisi, un esprit attentif pourra discerner déjà les germes que 
nous développerons ensuite, c'est-à-dire la substance de la civi- 
lisation chamite ou kousbite. 

On remarquera que nous ne prenons pas ces langues et ces 
peuples au moment de leur bifurcation, mais quand six mille ans 
de durée et six mille lieues d'espace se sont étendus entre eux. 
Que malgré ces six mille ans et ces six mille lieues la similitude 
soit encore si complète, le phénomène est certes des plus saisis- 
sants. Et la similitude eût été bien autrement grande si, au lieu 
d'instituer la comparaison avec le copte, nous avions pu le faire 
avec l'antique idiome des Pharaons. 

Plusieurs observations serviront à éclaircir les rapproche* 
ments que nouo allons faire : 

1° L'égyptien aime à accumuler les voyelles : on y voit sura- 
bonder les termes comme aouo^ gage; eoou, gloire; euhaeoou, 
gloriosi; ouoeie, agriculteur, etc. Le polynésien — et ce n'est pas 
là un faible trait de sa conformité — non seulement a le même 
goût, mais il semble viser à renchérir encore. A mesure que Ton 
s'éloigne du continent asiatique et que l'on s'enfonce vers 
l'orient, les consonnes tombent une à une. Le javanais en a 20, 
les langues de Sumatra, 18; celles des Philippines, de Formose, 
le tagal, le bisaya, 16; de Fiji, Tonga, etc., 15; de Samoa, 
Tahiti, 10; de la Nouvelle-Zélande, 9; des Marquises, 8; d'Ha« • 
vvaii, 7; des Iles australes, 6. Les insulaires négligent même 



— 291 — 6. 

soayent d'employer les consonnes qu'ils ont gardées. Aussi nos 
lecteurs ne demanderont pas aux correspondants polynésiens des 
consonnes qui n'existent même pas dans le dialecte, le 6 et le d, 
par exemple. Elles sont, ou tout simplement supprimées, ou 
remplacées par d'autres dont on ne saisit pas toujours l'analo- 
gie. Heureusement les altérations sont quelquefois faciles à 
reconnaître, grâce à la série des transformations; comme dans 
vaha^ fa fa, haha^ aha, bouche; 

2® Chez les Samoans, une consonne forte, comme le digamma 
chez les Grecs, est souvent remplacée par une aspiration; 

3"* Les termes du tableau sans indication d'idiome appar- 
tiennent tous, dans la colonne de gauche, à l'égyptien; 

4® Quoique dans cette langue le dialecte thébain passe pour le 
plus ancien et le plus pur, c'est avec le memphitique que la res- 
semblance est la plus grande; 

S"" Les réduplications sont fréquentes, soit en égyptien, soit 
en polynésien; le lecteur les reconnaîtra; 

&" Quelques termes polynésiens qui ne se trouvent pas dans 
le vocabulaire à l'état isolé apparaissent dans les composés; 

l"" Les dialectes polynésiens sont indiqués à la droite du mol 
par une minuscule, qui est l'initiale du nom du dialecte : 

Le samoan est marqué s ; 

le taliilien — l ; 

le foutounien — f ; 

le marquésan — m ; 

le hawaiien — h; 

le néo-zélandais — z ; 

le malais — ml ; 

le malgache — mg. 

Ainsi iupa% signifie supa du dialecte samoan. Lorsque plu- 
sieurs minuscules se suivent, c'est que le mot appartient à 
plusieurs dialectes. Ainsi mimi tmhsf est des dialectes tahitien, 
marquésan, hawaiien, etc. Mais nous ne nous sommes nullement 
attaché à la désignation de tous les dialectes; cela ne rentrait 
pas dans notre but. 



7. — 292 — 



CORRELATION ENTRE LES VOCABULAIRES. 



é«TrTIBfl. POLTHÉfllBIV. 

a, faire haa m. 

a, marque du passé a m, marque du participe passé. 

a, marque de IMmpératif . . . a m, marque de l'impéralif. 

M[£b. ddoM, maitre; aclonat, le seign^ atuam, Dieu. (Nous avons élabli a 

leurs la correspondance.) 

agô, akô, deslrucliou .... nahu mb, détruire, déchirer, mordre. 

ajôf vipère; ahori, akôri ser- 
pent (V. naya^-Ao/e/i) . . . niga s, nahelo, naheka h, serpent, 

aha, ahe, ahè, certé, ulique . . ehoi m, aoheia m. 

(thCf vivre, vie eha b. 

aho, dépôt, trésor ahuh. 

ai, être ai mh. 

aiaif croître aai h. 

ai, jamais aoe m. 

a//, ot/t, bélier c'est Torigine du titre des chefs, a/it s 

arii t. 

akhiy roseau aho h, aehe t. 

tam, iom, mer sami h. 

Ass. ana, pour na mht. 

> ana^ ciel a^it m. 

> anu, dieu ichthyomorphe. . . hanan m. dieu des poissons. 

> ao, lumière ao ht. 

ape^ aphe, \èie a/î» t, adpo t, upoo t, upo/iom. 

apot, coupe, vase ipu mt. 

asha, qui, quoi ? aha mh. 

Éth. d^Ad, poisson ikam. 

ashai, ashè, multiplier, multi- 
tude aha h. 

ata, ouata, multitude . . . . atoa mst. 

HÉB. aa/«d, firmavit; arabe: aasà,^\XT. eta t, fort, dur. 

Ar. 6dad, séparer vahi mh. 

bal, délier, délivrer pale h. 

bebe, bebou, etc., bouillir, etc. . puapua, pupuhi mh. 

AccAD.6i7, feu; &t7&i7/a, brûlant . . . i>e/a h, brûler, chaleur ; ve/i h, éliiicell 

HÉB. bohu, vide, chaos po mh. 

605^, peau paùs. 

bash^ écorcher pahee m. 

bôy arbre vao s, poAon mal. 



— 293 — 8. 

ÉSTrTIBlf. POLTlfÉSIBll. 

bdlan iouôtan) (') percer, trou . puta m. 

br^', éclair /assy., 6arçu). . . vira t (6/ra), uira l. 

Héb. dun^ soumeltre tuni m, battre, écraser. 

e, qui, quae, quod i mh, ia s. 

«6ti, ivoire ivi mhs, os. 

et, ^ou (accad. ed), maison . . hae m, Aa/e h. 
eta/, splendeur, brillant; eielel^ 

briller alohi b, splendeur, briller. 

eta/, t'a/, considérer /to/tt m. 

eine, ini, amener nahi m. 

eiôt, iôt, père atua^ molua m. 

>ss. e/ippti, vaisseau tepe m. 

> e/t>A, en haut i lunah, 

ement (pour kement)^ occident . hikimoe h. 

enloou^ illi, illae a/ou m, latou s. 

entôten, vos /ou, o/ou m, ou/ou s. 

elouèu, distant a/u t, atea m. 

/!/, élever (héb. et arab. bâtât), fata h, hâta m. 

Gab-batha (J. xix, 13) . . . /a/aa h, haiaa m, lieu élevé. 

fôy fôij bô, cheveu voho m. 

floUj quatre papat (Java), uppa (Timor), e^a/ mg, 

/a s, Aa m. 

Héis. gârabj scabit, rasit A:o/t h, oro, rarau t. 

» gârâby scabies (égyp. jerji) . . rarara t. 

9i>ty élever hooeaXk. 

^o«,yoei«, le Seigneur, Dieu. . eaea h, en dignité, honorable. 

hebs^ couvrir ti/S s, haupoi t. 

hbô^ ce qui couvre, tabernacle . apt s, toilure, couvert. 

hahy multitude aha h. 

hai, mari ahana m. 

Aa/, tromper a/uno h, '0/0, *oo/« s. 

Dans le groupe qai suit, les mêmes sens existent dans les deux langues. 

HéB. halalyioWe ulalah, 

> hâlal^ splenduit hulala s. 



(<) Le on égyptien se prononce souvent b. 



9. — 294 — 

É«TrTIBIV. POLTlfBSIBH. 

(arab., td; assy., ellu, brillant) . oleha b, éblouir, éblouissant. 

Réb. hâta!, se vanter ululu b. 

> fidlak, ivit, incessit haele, hele b. 

» hâleah, là alaila b. 

/idpt, taureau, bœuf (ass , alpu). sdpi ml, taureau, bœuf, vache. 
Étr. hawi, habiy feu (ég., Ad6e5, ar- 

dere) a/S, apt ml, a/! s, ahi ml, a/b ms, a mb. 

hbSf hoous, couvrir, cacher . . ahu ht, se couvrir, revêtir. 

A6d6, vêtement 'o/'us, se vêtir, vêtem* ;aaAu b,^apti h. 

hè, face ao mh. 

heke, raser hokae b. 

Ae/i, terreur, (Me//, terrifier . . kely mg, hery mg, violence, tyran, tyran- 
niser. 

hellOf khello, vieux akalala b. 

/lém, calere umu mh, cuire, four. 

hène, aromate hinu t, huile, graisse. 

hètt cœur hâti ml, fatu s. 

At, jeter hehi b. 

At'ft, cher(acad., «Aaft) . . . . haku h^ hakaiki m, 

Mme, sahime, ihime^ femme. . vahiné h, fa fine s. 

hile, tordre /ia/u, fétu t. 

Atout, aiguiser, affiler .... eoo m. 

/iA:o, avoir faim okih, 

hkCy pauvre o&t b, hoka h. 

Ato/, Ar/oo/e, ténèbres .... Aau/th,nuages noirs; tt/t s, noir, sombre. 

hmèr, amer, sein, poitrine . . ouma t, omaoma mb. 

Amo/, grâce meitai m, bénédiction. 

An^, vouloir, volonté hinaàro t. 

Ao, A/e, Ara, visage ao, a/o mb, aro l. 

hof, serpent (héb., ephé, vipère ; 

ô'cptç) o/î t. 

AdA^ Adftm, ceindre, serrer . . hokea h. 

Ad/, partir vite, voler .... lele h. 

Adm, fouler, presser oomi m, uumi h, uma h. 

Aon<; béb., kohen; arab., kâhin; 

éth , kdhœn, prêtre, etc. . . kahuna h, prêtre, docteur, ministre, etc. 

Adn, commander ...... kena h. 

Aoou, jour ao mhz, aAo tanga. 

Adou, pluie, pleuvoir .... Aoumb,mouiller;uamb, pluie, pleuvoir. 

Aono, plusieurs aAa h, multitude. 

horus, soleil levant, dieu . . . oro t. 

Ad/e, At7e, broyer ha!i b, fati m. 

hôte, crainte, craindre .... matau hL 

hôte, hoti, temps, heure . . . fatia s, temps, moment. 



— 295 — 10. 

É«TPTIKN. POLTIWÉSIBX. 

Mtby khôleb, tuer fasi s. 

hôtep, occidit sol (acca., kittu) . haki ou fati nao m, coucher des astres. 

hôtepf joindre, lier fatu m. 

Aoui, coudre kuim.suis. 

htooue, matin ala st. 

t, ei, aller lo, hpe m. 

ia, f'd, eia^ eiô, laver hooi h, uhi i, 

Ar. et ÉTH., iamaa; béb., yamin; é^.i 

parmélatbèse,t<5nam, otitnam, 

main droite itma m, lima b, rt'ma t, main. 

iat, voir, comprendre (ass , ïcft, 

je compris) i/c m. 

ie, ou (conj.) teia mh. 

jer, user, aiguiser oro z, aiguiser, moudre. 

Ass. f'^i^t, messager keee m (sans doute pour kekee). 

jôbs, courber (béb. gab, gdbab). hipa, hipUy m. 

iôh, ooh^ lun6(v onvein et sin). hina^mahina m. 

yd/, jeU nier oie s. 

ioou. tumeur, enfler , . , , hua mb, uhua m, fuafua s. 

/toutf, voler (furari) aihue h, èia i. 

ypo, engendrer, génération . . tu pu m. 

kOf épargner, pardonner . . . kala h. 

kake, obscurité, ténèbres (éth., 

tâkd) kekee h^ tako m. 

kamoou^ s*obscurcir • . . . kumau m^ faire ombre. 

Héb. qdndy creavit, qraïnan, creatura. hana mh, créer; hanaia mh, créature 

kba^ yiba, violence, vengeance . hoopai h. 

kôobe, faire violence .... hoopai h. 

ke, ghe, autre ke mh, 

kelt tourner (héb. khul) . . . huli h, kulai h, courber. 

keli, genoux kuli b, tuli s. 

kelp, voler (furari) akilou b, voleur. 

khala, citadelle koloo, 'olo s. 

khèibi, ombre keevoo m. 

kèm, noir èma s. 

Ar. ^Aa^an, circoncire koti m,otiyOki h. 

ftAdAr, ceindre kakoo,kakua h. 

khôk, hôkBt démanger .... kakau m, aako h. 

khotf yenire kopu,opu mh. 

Ass. kidm, ainsi keia m. 

kôb, doubler; éth. kabb, router, 

pelotonner Xrav/i m, tourner, pelotonner, envelopper. 



II. — :296 — 

kôf,, féb, jôb, gkéb, débile, î«- 

arme, bcbe topâe, kopi b, *opa s. 

BtB. kdkab; astj. kakkab, étoile . . Aofai h. 

iK>/«, Aïo/, corbeille keie m. 

AccAf.irt/rrOyClieTal Inida malais. 

lam^ resplendir lama m, lamière, écM^ 

• las ;élb. lisan; héb, dhhan; ar. 

liêdn^ langae lidâà ml, lelo b, /«o. * 

Uhlohf complanté lalcma m, ulu f, bocage. 

/o/7^/. aegrotare, laoguescere, in- 

6rmitas lohi m, feible, Tatigué, langoissaint, leoL 

lôjs, \iOur nôjê (de najhe, dent), 

mordre nahu mb. 

loulai, joie, être dans la joie. . o/t, o/f o/i, hquoli h. 

« 

fTui, indique le lieu, âi, en, dans.elc. ma mh. 

maien, prodige tnahao m. 

Ass. ma^ari/, heureux .... ma^/i/o s, doux, agréable. 

mahf plein, être plein .... mei U mahei, I. 

maiey substance mea h. 

A«s. moTt fils miro l. 

marru, amer maramara i. 

ma^e, beaucoup ma/t m, matua s. 

ma/f , succès, bonheur (de mate, 

posséder) meitat m, mafoa t bonbeur. 

maloi, soldat ^oa m. ^ 

maua/, seul meha h. 

m^, urine mtmt mhtf. 

me, méi, vérité maw t. 

mei^ mèij me, en compos. mat, 

aimer, désirer maimai m, makimaki m. 

me/ra/i, affliger maA:af4, ma/re s, éprouver un malheur; 

malhena s, deuil. 

mén, persister manoa h, ma u mh( M. 

mer, lier malt h. 

• , ceindre maro t, ma/o b, ceinture. 

merehf lance omore t. 



(<) Le polynésien complète ici le copte, car il a encore mana mhs, pouvoir, fort, pais- 
sant. De là le nom du premier roi d'Egypte, Mena, que l'on traduit par stable, et qui est 
bien plutôt le puissant. 



t# 



— 297 - i2. 

É«vrTiBiv. rOLvnésiBif. 

merh, pointe, aiguillon . . . mule h, piquer, mordre; veto t, dard, 

piquer. 

mekahf douleur mikeo m. 

meu, mère. maiaia t, mère (pour les animaux). 

meue, esprit, pensée .... manao h, penser. 

mèouei, mémoire metao m, manatu s. 

mitiâf espèce mana mh. 

hiiok^ bonne action maikai s. 

mo/i, illuminer, brûler. . . . mu s, ama t, brùlef ; maama m, illumi- 
ner; mahana t, chaud, soleil. 

moihe, admirable ..... mahcto m. 

môit, chemin meheu b. 

et-mokh, indigent makeno ml. 

vnoofi, mèf enu Les vocabulaires 

polyn. ne donnent pas le cor> 

respondant même, toutefois le 

terme existait, car on trouve 

quantité de dérivés: . . . moi m, pituite; mauUf mui t, moma m, 

humidité; mou ou mouou^ déesse de 
rOcéan. 

/t-moti. arroser mou h, arroser, mouiller. 

motfip, splendeur moa s. 

mot/?, île mo&o s, mo^fi h, mo^u, mo(ot. 

mou/ifc, manquer, languir, cesser manaka h, défaillance, rester. 

moule, mourir ma(e m. 

moulhf cire momana mh. 

mour^ lier moroita t, être bien lié. 

moutt lier mao m. 

mto^ présence, aspect .... mata smt. 

naa, ma}?nus ; nashe, multus. . nui mh, grand, grandeur, nombreux. 
naja-hajeh, vipera caerastes 

(uraeus) niga s, serpent. 

najhe, deni nifo s, niho, nino mh. 

Ass uanur, lumineux nani mh, briller, brillant. 

nau, voir nana h. 

ne, les nt s, des. 

nef, souffler, respirer .... nae m. 

né/, être couché nofo s, no/io, niht, s'asseoir, siéger. 

nese, beau nani mh, beau, beauté. 

noj\ noghf blâmer onaki m. 

nou, mien no-au, no'u m. 

non, nouk, ton, tien (pour 

hommes) non mh. 



43. 



— 298 — 



É«VrTIBlW. POLTIWÉMIBIV. 

nou^ temps présent nei mh. 

tenoUf à présent te nei m. 

Ass. nouah, esprit naau h, uhane h. 

Héb. fiun, sobolescere. hanau mh 

notiii, abîme nanao b, anoano t, hohonu mh. 

Ass- ntin, dieu de I*abtme, ichthyo- 

morpbe Hanau m, dieu des poissons. 

d6c, presser, exprimer. . . . kôvi mhj oomi m. 

oif être ai mh. 

onah^ vivre, vie (éth. hdlw) . . ola hs, ara t. 

anif imiter hani m. 

Héb. oTy soleil, lumière Oro t. 

.ouat(6at, vat), quelqu'un. . . vat mh. 

ouahy ajouter . oua h, étendre. 

ouahe, station, halte, oasis . . oioiana^ station pour les voyageurs 

ouan (ban), terre benua ml, henua m, honua h, /entia s. 

oue, oueij distance, être éloigné, aut, auvi s. 

otièA, station, faire halte . . . oioi h, se reposer. 

ouerif thôout, statue, colonne . aia ms, lii t, statue, image. 

ouebouele^ se lamenter. . . . o/o h. 

ouhor, chien tirî t. 

oulle, chant (héb. /id/a/, splen- 

duit, cecinit, landavit. Hal- 

lelU'Jah,) ula m, oH h, chant, chanter joyeuse- 
ment, tressaillir de joie, délices. 

ouô^ germe hoe m, hui m. 

ouôh (pour 6<5A et pôh), habiter, api s. 

oud/t, couvrir vehi, vihi t. 

ouoein, lumière hina, hinahina mh, briller. 

ouohi (vohi), pêcheur .... avata, avaika m. 

oiidn, partie huua mh. 

> {vôn\ ouvrir uvee, uvai h, vahi mh. 

ouônh (vônh)y vision, apparition, vainehae m. 

oud^ vert, verdoyant . . . . ao h, verdoyant ; hooao h, verdoyer. 

ourOterro^erray roi (de ro^ tête), uru t, u/u si, tète, chef. 

pah, pôsh, pots, fendre, diviser, pake, pae m, vahi mh. 

pahre, remède epau m, rapaàu t. 

pa«A, filet upeka m, t/ppj^a s. uped t. 

pasht, déesse à tête de chatte . potu m, chat. 

pe, supérieur pio mh 

pAa^, /ar, pied, genou . . . . paa (Philippin.); va^ m, pied, genoux. 

Hbb. pheœ^ éth afe, arab./'ua, bouche, vaha^ aha h, fafa m, haha m. 

» phdtakhf aperuit puta m. 



— 299 — U. 

ÉMntneïïmw, raLTjtésiBiw^ 

Héb. phétakh, porte puta m. 

> pAua (arab. /dA), souiQer . . . puhe mh. 

poi, siège papaoa m. 

pd^A, fnpper, scalpter .... pata, palu mt. 

ra, soleil rai, sa inbs. 

ra, fiiire, action rava t. 

rtme, pleurs, pleurer .... roimata t. 

rdAe, laver Aorot t. 

Le 8 n'existe pas dans beaucoup de dialectes polynésiens. 

salsel, consoler oluolu h. 

Ass. «amas, dieu-soleil .sama s, jaune (venu de la cou leur du so- 
leil, et primitivement sans doute soleil). 

«e6,«efrfA, dieu assimilé à Saturne siva s, dieu (tout un ensemble de faits 

à rétablir). 

sebi, circoncire lefis. 

sek, kek^ tirer, écorcer, écorcber. sae, saega s. 

sha, nez isu s. 

Éth. shahak, héb. tsdkliag, ar. sahak, 
lat. cachinno, rire ; armor. ga- 
gea, franc, goguenarder, etc. . kokiki m, aka h, akaaka mh. 

Héb. shâlam, salvus fuit «a/oa s, merci ! efc. 

Ab. «Aafiia«, briller aamaU 

Éth. shamer, se détester; shemure^ 

agréable komala, agréable (cap Comorin). 

shine, rechercher, éprouver . . koni, honi h, flairer, baiser (c'est l'acte 

d'éprouver une personne). 
shnSf lin : shne, 61et ; shnl, plier, 

tresser (d'oii le «AenMjSindon). hana mh, hauna t, tresser, plier, te- 

nun ml, tissu. 

shnoih, infection. . , . . . hono m. 

shôl^ faute sala s. 

shôl, ghôi, saisir, voler (furari) . hole m, haru t 

«Ao^ dureté, violence .... hita eta L 

shoushouy honorer, sacrifier . . kakuai h, honorer, sacrifier. 

sili, foramen ; «Ad/aA, incisio. . sala s, couper; salia, blessé. 

Ab. salaa, silaa, crevasse, blessure . sila s, ulcère. 

Ass. sin, le diea-lune sina s. 

sôbh (restitué); éth. zab, zabab, 

coercere supa s. 

«dtoA, lèpre supa s. 

s/a;(ey, amincir, alléger . . . lahilahih. 

#moiiiie,oi8eau, poule de Pharaon moa mht, poule. 



i5. — 300 — 

ÉSTrTIBfl. POLVIVÉSIBII. 

smotf figure, forme mcUa m. 

soky sac kaka m. 

sôtif essuie-main, mouchoir . . solo s, soloi s. 

sômkf sucer omo mh. 

sorte, couteau selela s. 

soouhe^ œuf hua h, fua s. 

Héb. sonph, finir; syri., chald., arab., 

sdfy perire fecit, ezterminavit. siù, iù (pour siv, iv\ fin, finir. 

to^/t, masse toko m. 

/a^/i«, prendre, saisir .... taho t, tako m. 

/a/ro, décliner, périr taha l. 

/aAe, /asAe, abonder . , . . tae m 

Ar. /aA^r, pur; (aAAor, purifier . . tahaham, 

taxbe, cofi're, arche; héb. tebd; 

arab. tàbouh ^t/a, tiha m. 

/ato, don iae mh. 

/âio, honorer tei i, kaie m. 

ramto, créer, fonder tumu m. 

Ass. Phén. Tammouz, jeune soleil . . tdma^ files, soleil (élymologie ignorée 

de Tammouz). 

Ass. tamti, mer tai mt. 

/aoue (tabe), émettre, produire . tupu m, produire ; tafa s, poindre. 

taue^ » » . /o mst. 

laue, nommer, dire, raconter. . tau s. 

taue^ invoquer taui, talo s. 

tar, pointe tara t. 

/e, être tus. 

teb, figue; héb. tena^ banane . . tene s, banane. 

Ar. tekd, appuyer, étayer .... toko m. 

tennOy frapper, briser, écraser . tuni, tuki m (tania^ écrasé). 

tèUy vent liu mh, vent du nord. 

thmo^ chauifer tamahana t. 

tiy donner /os, tua m. 

//', querelle, combat touam. 

/i6e«, falon txievaem. 

tiouô {libô), germer, croître . . tupu smtf. 

Ass. /irra, tire (du v. tirer) .... taere t, tirer, 

///d/i, disputer tautakim. 

tkast douleur tigd s, tatoke m. 

/oe, tache sur la peau .... tane s, oteote t. 

tôgh, écraser, pétrir. tuki m. 

> joindre fui m, (ua(i, /aa/t t. 

> cuire /unu m. 

toghe^ plante /o^a s. 



— 301 — 



16. 



é«TPTIBlf. 

tôkSt piquer, percer. 

tômfs, ensevelir • . 

tân^ tooun^ lever, se lever 

fonotf, beaucoup. . . 

toou (lob), montagne . 

/dp, habitude, habituer. 

tâ$ht commander. . . 

tola, celui qui frappe 
d'Egypte) .... 

lote, oti, vulva . . . 

toubo, purifier, sanctifier 

touie, allaiter (éth. tabôj s 

touo, resplendir . . 

touâl, thôout, statue. 



(roi 



ugere) 



HéB. tir, or (ass. urru), feu, lumière 



ÉTH. warehe, tigré, woreh^ plur. du- 
rah; béb. arah^ lune, mois . 

ÉTH. xagâmey égy. jaghèy gauche; 
assy. sumelaj à gauche . . . 

333 TERMES. 



POLTlVÉlilKlf. 

tikao m. 

tomi m. 

tu m, tula s. 

teni m. 

tuaivim, 

lu s, coutume ; tipona m, répéter. 

tekao m. 

la mb, lata m, tatui f, frapper. 

toute s, /06 m. 

/apti mh; sacré, interdit. 

tuuvaiu m, allaiter. 

tea m, jour, a/a s, rayonnement solaire. 

ata m (pour tala^ de /a/a, Trapper). 

ura I, flamme, uraara t, luire. 



waurat (formose), wurah^ wulan, bu- 
lan (presque toute TOcéanie), lune, 
mois. 

sema f, hema h, gauche. 



Faut-il résumer le tableau? Comment ne pas reconnaître 
rîDtîme parenté de deux langues qui ont des rapports comme 
ceux-ci : 



Le dieu-soleil. . . . 
Le dieu-lune .... 
Le jeune soleil . . . 

ou 

Le dieu-ichtyomorphe . 
Le dieu-taureau . . . 

Le prêtre 

Le feu 

L*eau 

Pleuvoir 

La terre 

La vie 

Le cœur 

Un chef 

Un serpent 

Une plante 

La lèpre 

Consacrer 



Hd . . . 

Sin . . . 

Horus . . 

Tammouz. 

Nun ou Anou 

liâpi 

kohen 

habi, 

moou 

hôou 

ban . 

otiah 

hèt . 

hik . 

hof . 

toghe 

sôbaft 

tubo. 



Ra\. 
Sina s. 
Oro I. 
Tdma s. 
Hanau m. 
Sdpi ml. 
kahuna h. 
a/î s. 
mou t. 
hou mh. 
benua ml. 
ola sh. 
hâli ml. 
haku m. 
ofi t. 
loga s. 
supa s. 
tapu m. 



il. — 302 — 



§ II. — Grammaire. 

Une correspondance si complète, qui se prolongerait sur un 
vocabulaire entier, nous dispenserait bien de parler de gram- 
maire; cependant on ne pourra que gagner à une briève compa- 
raison. Afin de ne pas faire un travail interminable et inutile sur 
tous les dialectes polynésiens et tous les idiomes sémitiques, 
nous nous contenterons de rapprocher le langage de l'ile-mère, 
Samoa, avec celui de TÉgypte, d'après les grammaires du 
P. Violette pour le premier, de Peyron pour le copte. 

ÉGTPTIBlf. IIAMOAlf. 

1. La plupart des racines soni monosyl- La plupart des racines sont monosylla- 

labiques. biques ou dissyllabiques. 

2. Les termes sont invariables, et de- Les termes sont invariables, et sont à la 
viennent adjectifs, substantifs, ver- fois adjectifs, verbes, particules. 

bes par Padjonction de particules. 

3. On se sert des articles définis et Id. 

indéfinis : 

AftT. D<F. : De, masc Aar. oit. : le des deux genres 

(Arabe : al pour tout genre et nombre). (comme l'arabe). 

Ait. ird. : ou, un Aar. imd. : «e, un. 

Plur. en Plur. ni, des. 

4. Masculin, féminin, pas de neutre . Id. 

5. Singulier et pluriel, pas de duel. . Id. 

6. Six cas Id. 

7. Le superlatif se forme par l'addition Jd., avec mate, emale, très. 

de tnatua^ très. 

8. Pron. pers. : entôlen, vos; aux cas tou, outot^ vos. 

obliques, leùten. 

enlooUy illi, illae latoUj eux, elles. 

9. pot, meus. 

tôi^ mea tou m, mon, mien, ma. 

nouif mei, meae nou ms, mon, ma, mien. 

nou (pour les femmes), nouk (pour nou ms, ton, tien, 
les hommes), tui, tuae. 

10. Les déclinaisons se font à Taide de Id. 
préfixes. 



— 303 — 18. 

ÉfiYPTIBff. SAMOAlf. 

11. Le verbe reste invariable. Des pré- Id. 
fixes indiquent les personnes et les 
temps. 

1^. Le mode le plus ordinaire de former Le passif est indiqué par e ou t ajouté 
le passif est de changer la voyelle séparément au verbe : ua fasia, il tua; 
radicale en è : sah^ scribere, sèh. ua fasia t, il fut tué. 

13. Les verbes causatifs se forment en Les mêmes verbes se forment en préfi- 

préfixant he en hébreu, chald., sy- xant, suivant les dialectesi haa^ hoo, 
riaque, a en arabe, étbiop. faà. 

1 4. Ti (ou T), donner, se préfixe souvent Id . 

aux verbes avec son sens. 

15. Les redoublements sont fort usités. Id. 

16. Grande accumulation de voyelles . Id. 

Déjà Ton s*élait aperçu que quelques termes de la Polynésie 
ressemblaient à ceux de TËgypte, et, surpris, on cherchait à 
expliquer le fait par certaines relations maritimes entre les deux 
contrées; mais il s'agissait de bien autre chose que de quelques 
termes, il y allait de toute la langue et de toute la famille. On 
avait également remarqué que la grammaire malayo-polyné- 
sienne rappelait celle de l'hébreu : le P. Mathias, l'un des pre- 
miers missionnaires aux Marquises, en était frappé, et M. Favre, 
dans sa grammaire malaise, résume un parallèle établi par 
Robinson entre le malais et l'idiome de la Bible. Or, l'affinité 
n'est pas seulement avec l'hébreu , elle est avec toutes les langues 
sémito-koushites, par la raison très simple que le polynésien est 
du plus pur koushite. 



Nous ne pouvons présenter ce travail du R. P. Etienne aux 
membres de la Société scientifique sans y joindre quelques 
objections qui nous paraissent sérieuses. 

La relation qui existe entre les langues sémitiques et polyné- 
siennes est celle d'une langue moderne à une langue ancienne. 
11 s'ensuit que par rapport aux idiomes sémitiques les dialectes 
polynésiens doivent accuser une déperdition phonétique et 



i9. — 304 — 

grammalicale. Or on ne constate pas cette déperdition. Si Pévo- 
iution grammaticale est complète en sémitique, dans le malayo- 
polynésien elle n'a pas commencé. Un exemple suffira : le nom 
est encore à peine distingué du verbe. En effet, sans nier que les 
idiomes de la Polynésie nous ramènent comme les langues sémi- 
tiques à des racines nominales, il n'en est pas moins vrai de dire 
que le verbe n'est jamais parvenu à se former en polynésien (*}. 

Quant aux comparaisons des mots, on peut douter qu'elles 
présentent les garanties suffisantes de certitude. Elles ne sont 
pas basées sur une lautverschiebung nettement et préalableofient 
établie par des principes démontrés. Ce sont parfois des formes 
onomatopéiques, propres à tous les langages articulés. Par con- 
séquent on doit se demander si plusieurs des rapprochements 
proposés ne sont pas simplement fortuits et tels qu'un chercheur 
patient en trouverait entre toutes les langues. Surtout, en ce 
qui concerne le sémitique, il faut de la prudence : les mots se 
présentent sous une forme secondaire ou avec des signiGcations 
dérivées différentes du sens originel auquel il faudrait pouvoir 
remonter. D'autre part, nous ne connaîtrons jamais les racines 
des idiomes polynésiens, parce que nous ne pouvons comparer 
que des dialectes vivants et que les formes les plus primitives 
auxquelles nous conduit une telle comparaison sont relative- 
ment modernes (2). 

Cependant, nous tenons à le répéter, les faits produits par le 
R. P. Etienne sont curieux. Ils méritent d'être signalés et nous 
ne doutons pas qu'ils ne constituent un sérieux appoint pour la 
thèse de l'origine koushite des peuples de l'Océanie, ou du moins 
pour celle des rapports préhistoriques des Sémites et des Poly- 
nésiens. 



(^) Satce, Principes de philologie comparée, trad. Jovy, pp. 68, 243. 
(«) Sayce, Op, cit., p. 64. 



— 305 — 



NOTE 



SUR 



QUELQUES DÉPOTS LITTORAUX 



DES ENVIRONS DE BRUXELLES 



PAR 



le C« Adolphe de LIMBURG-STIRUM. 



La partie moyenne du terrain éocène, en Belgique, se divise 
en deux étages : le système bruxellien à la base et le système 
laekenien au sommet. 

La plupart des géologues français et belges considèrent les 
sables bruxelliens comme représentant la partie inférieure du 
calcaire grossier dans le bassin de Paris ou des couche? de 
Bracklesham en Angleterre. Cependant M. de Lapparent (i), 
à la suite de MM. Garez et Monthiers, est plutôt porté à y voir 
l'équivalent des sables à têtes de chat du Soissonnais, inférieurs 
an calcaire grossier. Du reste, la discussion de ces opinions a peu 
d'importance dans les questions de détail qui vont nous occuper. 

Lorsque Dumont créa le système bruxellien, il y comprit, 
avec les sables et les grès du massif entre la Geete et la 
Senne, les sables coquilliers d'Âeltre et de Gand, qui constituent 
le sous-sol de la Flandre. Il considérait donc ce terrain comme 
s'élendant depuis la Hesbaye à Test jusqu'à la mér à l'ouest. 

Plus tard, après de nouvelles recherches sur la faune d'Âeltre, 
on se décida à retrancher toute la partie occidentale du système 
bruxellien et à la classer comme éocène inférieur. Ce système. 



(*} Traité de géologie, p. 1005. 

IX. 20 



2. — 306 — 

réduit (le moilié, ne comprenait donc plus que le massif situé à 
l'est de la Senne. Au delà de celte rivière, on n*en trouve plus 
qu'un lambeau insignifiant, à Over-Heembeek. 

Celte subite disparition du système entre les deux versants de 
la vallée de la Senne n'était point facile à expliquer. Plusieurs 
hypothèses furent émises sur ce sujet; une entre autres l'emporta, 
celle qu'André Dumont avait déjà, en germe, exprimée dans ses 
notes, à savoir : l'existence d'une faille dans la vallée de la 
Senne. 

Actuelleuient celte solution a été écartée, surtout par suite 
des études de MM. Cogels et van Ertborn (*). Tous les géologues 
qui s'occupent de nos terrains tertiaires admettent que le golfe 
où se sont déposés les sédiments bruxelliens se terminait régu- 
lièrement à l'endroit où s'est creusée la vallée de la Senne. 

Nous croyons cependant qu'il est possible de trouver quelques 
lambeaux de ce littoral qui ont échappé à l'action des érosions 
quaternaires. Ce sont les dépôts qu'on rencontre aux environs 
de Bruxelles, et qui ont été rangés dans le terrain éocène infé- 
rieur sous le nom de < littoral panisélien » (^). 

On les rencontre au nord de Bruxelles à Helmet (Schaerbeek); 
au sud, à Saint-Gilles et à Calevoet. 

Ce littoral se compose d'un gravier glauconifère, renfermant 
un grand nombre de débris de poissons et de cailloux noirs 
avec des empreintes de fossiles. Au-dessus viennent des lits 
submarneux, fossilifères. Le gisement d'Helmet n'existe plus, 
mais ceux de Calevoet sont célèbres par l'abondance des fossiles- 
et le grand nombre de leurs espèces. Tous les auteurs qui en ont 
parlé s'accordent sur le caractère littoral bien accusé de ce 
dépôt. 

Toutefois la faune qu'on y trouve s'écarte assez de celle du 
terrain bruxellien, auquel nous voulons la rattacher. 



(') Annales de la Société géologique de Belgique, t. IX, 1882. La coupe reproduite à 
la tin do ce travail, dressée d'après des sondages artésiens, montre bien l'absence de 
faille dans la valli'-e de la Senne. 

{*) ViNCtNT, Ailualcs de la Société malacologique de Belgique, t. IX, 1874, p. 70. 



— 307 — 3. 

Voici le motif qui nous porte à proposer cette modification 
dans l'échelle de nos terrains : on retrouve des dépôts identiques 
aux littoraux de la vallée de la Senne, à Tautre extrémité du 
bassin bruxellien, dans la vallée de la Grande-Geete. 

Deux gisements principaux sont situés Tun ù Âulgaerden 
(Zétrud-Lumay), Tautre à Test de Jodoigne. Entre les deux se 
rencontrent plusieurs affleurements qui présentent les mêmes 
caractères essentiels. 

Le premier gisement, celui d'Autgaerden, a une ressemblance 
frappante avec le dépôt de Calevoet. Il se compose, à la base, 
d'un gravier glauconifère à très gros éléments, dont les cailloux 
atteignent parfois la grosseur du poing. Ces galets se composent, 
comme à Calevoet, de silex noirs, de grains de quartz et de gros 
débris à peine arrondis de roches siluriennes. Plus haut, ces 
débris se mêlent à des lits calcareux, renfermant des nodules 
d'argile grise ou verte. Le tout constitue une sorte de brèche très 
friable, où les fossiles sont mal conservés. Ces lits sont compris 
dans une couche épaisse de sables giauconifëres et graveleux, 
dont la stratification est très compliquée. 

Quant aux fossiles, la faune est la même qu'à Calevoet et à 
Helmet. Les espèces les plus caractéristiques sont : Xantopsis 
bispinosuSy Olodus striatus, Calyptrœa trochiformis, Centhium 
Leufroyiy Paracyathus crassus, etc. J'y ai recueilli un grand 
nombre d'espèces, dont plusieurs sont encore inédites. 

 une lieue au sud se trouve le gisement de Jodoigne, moins 
bien caractérisé que celui d'Autgaerden, mais remarquable sur- 
tout par l'abondance de ses Nummulites, dont on citait l'absence 
comme un caractère des couches bruxelliennes. 

Un autre point de ressemblance entre les dépôts de la vallée 
delaGeete et ceux des environs de Bruxelles, c'est que sur la rive 
gauche ils ont l'épaisseur et l'aspect normal du terrain bruxellien, 
tandis que sur l'autre rive ils sont réduits aux couches dont 
nous venons de parler, pour disparaître quelques kilomètres 
plus à l'est. La coupe-diagramme qui accom|)agne ce travail 
donne d'une manière très sudisante d'idée de la stratification 
générale des collines de la Geete. 



4 — 308 — 

Nous pouvons déjà reconnaître une grande ressemblance enlre 
les deux extrémités des couches que nous éludions. Il y a plus : 
ce gravier ou cette brèche d*Aulgaerden, si semblable au gravier 
littoral de Calevoet, appartient au terrain bruxellien. On peut 
suivre pas à pas, dans les nombreuses tranchées et dans les 
affleurements des environs, les dégradations insensibles du sys- 
tème bruxellien jusqu'à sa limite extrême. D'ailleurs, M. Rutot, 
qui a signalé le premier le gisement d*Autgaerden à rattenlion 
des géologues, est d'avis, ainsi que nous, qu'il doit être considéré 
comme représentant la base du système. 

Nous tirerons donc de ces observations la conclusion que, si 
les dépôts de la vallée de la Geete sont bruxelliens, leurs équi- 
valents de la Senne le seront également et constitueront comme 
eux les vestiges d'un ancien littoral. 

Sur un point cependant on pourrait élever une objection : 
d'après M. Rutot (*), les sables grossiers bruxelliens de Calevoet 
ravinent la couche qui nous occupe et en sont distincts, ce qui 
exclurait l'idée d'une communauté d'origine pour les deux 
formations. N'ayant pas moi-même observé le cas, je ne puis en 
tirer aucune conséquence. Je crois cependant que ce ravinement 
pourrait n'être qu'apparent et produit par la stratification irré- 
gulière du dépôt, telle qu'on la trouve à Autgaerden. 

NOTE. 

Dans le texte explicatif de la Feuille géologique de Bruxelles, 
paru depuis la session du mois d'avril, MM. Van den Broeck et 
Rutot donnent quelques détails sur les mêmes dépôts littoraux. 
Ces géologues les considèrent toujours comme appartenant à 
l'étage panisélien du système éocène inférieur. 



(») Annales de la Société malacologique, 4880. 



Caape §chéniKiiqDe ie la voUec Ae la C«et« , 
enti>e Hoe^aerdc etHevIissein. 




Coupe de la vallée Ae la Senne à BrnxellesOËdi, 
d'après MM P. COOXS et O.tas ERTBORN. 




Lmui/Tuav^ 



— 509 — 1. 



NOTES 



D'OSTÉOLOGIE ERPÉTOLOGIQUE 



l'AR 



Ingénieur, 
AiJi-natuialikle au Hu&cr royal d'IiUtoiie nalurollr d« lielgiquf, 

a Druztllcf. 



SLR li>Ë iNOLVELLE DEXT DE CRASPEDODON, DLNOSAURIEN 
DU CRÉTACÉ SUPÉRIEIR DE LA BELGIQUE. 

J*ai fail connaître, il y a environ deux ans, dans le Bulletin 
du Musée royal d^hisloire naturelle de Belgique (*), un Dino- 
sanrien inédit de la glauconie argileuse hervienne de Lonzée (^), 
qui, comme on le sait, appartient au Sénonien moyen. Ce Dino- 
saurien, herbivore de Tordre des Ornithopoda (5), auquel je don- 
nai le nom de Craspedodon lonzeensis, était représenté dans les 
collections du Musée par deux dents sensiblement de même 
taille, n*ayant pas encore servi à la mastication et dont la racine 
est brisée un peu au-dessous du collet. Je reproduis ci-contre 
mes figures d'une des dents du C. lonzeensis. 

Depuis cette époque, le Musée de Bruxelles a acquis, à 



(•) L DoiA.o, i\ote xur les restes de Dinosaitrienx rencontrés dans le Crétacé supé- 
rieur de la BeUjuine. (Bull. Mus. roy. hist. nat. Belc;., 488:^, l. II, p. 215.) 

(*; Mémoires .sur les terrains crétacé et tertiaires, préparés par feu André Dumont 
et édité» par M. Michel Mourlon, 1. 1, p. 424. 

— C Malaise, Description de (jltes fossilifères dévoniens et d'affleurements du 
terrain crétacé, pp. ïil et suiv. 

(') -C. Maksh, Tht' classification and affinllies of Dlnosaurian ReptAes. (Nature, 
tfO novembre 188^, p. 08.) 



diverses reprises, des fossiles de Lonzée et, parmi les envois 
reçus, j'eus la salisfaclJon de constater l'esistence d'une dent de 




FiG. a. ~ La rn^me. ËchelJe : *li. Vue de jiraEl. 

Fie. 3. — Séries, |ilu9 fonemeiil grossies, de graades ilenlelures et da flD«s denielures 

Fie. 4. — Coupe suiïani ly, monLrani ta compression aoUro-posiirieuro. Échelle ; >'i. 



311 



Craspedodon, qui va me permellre de compléicr les indications 
Tournies par moi anlérîeurement. 

Et d'abord, que la nouvelle dent appartient bien au Craspe- 
dodon, c'est une chose suraboudamment démontrée : 




■■''If. Vtce émailli 
. Ëcbelte:*',. Vucdeprnfll. 
i aui lieux ligures 






de Loitzée {CraipeJodoii tonMenUi, Dollo], 



ongHDl le Irord da U 



4. — 312 — 

1. Par sa forme comprimée dans le sens aoléro-poslérieur. 

2. Par le ressaut séparant, au niveau du collet, la faceémaîl- 
lée de la racine. 

5. Par la portion du bord de la face émaiilée munie de grandes 
dentelures. 

4. Par la région du collet de la même pourvue de fines den- 
telures. 

5. Par la présence sur la même encore : 
a. D'une crête primaire Hnement dentelée; 

(3. De deux crêtes secondaires aussi finement dentelées, 
situées de part et d'autre de la crête primaire; 

y. De deux crêies tertiaires placées d'un même côté de la 
crête primaire (entre celle-ci et la crête secondaire de ce côté), 
la plus grande en étant la plus éloignée. 

Cela posé, notre dent diffère de celles précédemment décrites : 

1. En ce qu'elle est fortement usée par la mastication; 

2. Parce qu'elle possède sa racine. 

La surface d'usure est, comme chez VIguanodon, constituée 
par un plan oblique sur Taxe longitudinal de la dent, plan qui 
exhibe à peu près la même inclinaison sur cet axe que la face 
émaiilée à laquelle il est opposé. Il se distingue pourtant de 
celui qu'on observe souvent dans les Dinosauriens de Bernissarl 
en ce qu'il n'est pas limité vers la racine par un rebord. Chez 
les Iguanodons, en effet, il arrive fréquemment que la dent en 
regard de celle considérée ne s'avance point suffisamment loin 
durant la mastication pour produire une section oblique parfaite 
de la couronne, mais laisse, au contraire, intacte la portion de 
cette section voisine de la surface, ce qui donne naissance à un 
ressaut. Il résulte encore des lignes ci-dessus que la surface 
d'usure de la dent du Craspedodon est tout autre que celle de 
certains Dinosauriens sanropodes (*) [Neosodon (*)], où il y a 



(*) 0,-C. Marsh, The classi/icatioii, etc., p. 68. 

(*) M. DE LA Moussa YE, Sur une dent de Neosodon trouvée dans les sables ferrugi- 
neux de Wimille. (Hull. Soc. Géol. France, i884, t. XIII, p. Si.) 

— L, DoLLO, Le Neosodon. (Uev. d. Quest. Scient., publiée par la Soc.Scient.de 
Bruxelles, t>0 avril 1885, p. &21.) 



— 513 — 5. 

UD biseau d'usure rappelant ce qu'on voil sur les noolaires des 
Édenlés phytophages {Cholœpus). 

La racine est longue, presque entière, se rétrécissant graduel- 
lement, comme on s'éloigne de la couronne, pour se terminer en 
une pointe. Ainsi que le reste de la dent, elle est fortement com- 
primée dans le sens antéro -postérieur. Sa région tournée vers la 
face émaillée est très franchement convexe dans les deux direc- 
tions longitudinale et transversale. Par contre, la partie regar- 
dant vers le plan d'usure est d'abord recliligne longitudinalement 
et convexe transversalement; puis, dans sa moitié comprenant 
l'extrémilé libre, elle présente un évidement extrégnement net, 
indiquant la position de la dent de remplacement. 

La situation de cet évidement, de même que celle du plan 
d'usure, nous fait conclure que la nouvelle dent devait être 
implantée dans le susmaxillaire gauche et, si elle provient d'un 
animal adulte, qu'elle était vraisemblablement placée dans le 
voisinage du prémaxillaire du même côté. La considération de 
cette dent et de celles non encore usées par la mastication nous 
amène à penser que Craspedodon lonzeensis a pu atteindre la 
taille de Vlguanodon MantelH. 

Il y aura donc lieu de modifier de la manière suivante notre 
diagnose du Dinosaurien de Lonzée : 

CRASPEDODON LONZEENSIS, Dollo. 

Dents fortement comprimées dans le sens antéro-postérieur 
et possédant un aspect franchement asymétrique. 

Couronne arrondie au commet et séparée de la racine par un 
ressaut situé sur la face émaillée, au niveau du collet. 

Face émaillée portant cinq crêtes : une (crête primaire) très 
accentuée, (inement dentelée, allant du sommet au collet et non 
située sur le milieu de la face; deux autres (crêtes secondaires), 
plus faibles, également pourvues de Unes dentelures, placées, 
une de chaque côté de la crête primaire^ près des bords latéraux 
qu'elles contournent, commençant à mi-hauteur de la face 
émaillée et se terminant au collet; deux autres (crêtes tertiaires). 



y 



6. — 314 — 

plus faibles encore, se troiivaut du même côté de la crête pri- 
maire, entre celte crête et la crête secondaire de ce côté, lisses, 
prenant leur origine au sommet de la dent et ne descendant qu'à 
mi-chemin de la face émaillée. EnHn, le sommet et la moitié 
supérieure des bords latéraux de celle-ci sont munis de larges 
dentelures; le reste desdits bords et le contour du ressaut sont 
finement dentelés comme les crêtes. 

Face opposée à la (ace émaillée fortement convexe transver- 
salement, formant un dos d'àne dont le sommet n*est point dans 
le plan médian de la dent, mais correspond à la crête primaire. 

Surface d'usure de la couronne constituée par un seul plan 
oblique sur Taxe longitudinal de la dent, plan possédant à peu 
près la même inclinaison sur cet axe que la face émaillée à 
laquelle il est opposé. Pas de rebord à Textrémité de la surface 
d'usure la plus rapprochée de la racine. 

Racine longue, se rétrécissant graduellement, comme on 
s'éloigne de la couronne, pour se terminer en une pointe. Ainsi 
que le reste de la dent, la racine est fortement comprimée dans 
le sens antéro-postérieur. Elle présente, dans sa moitié la plus 
éloignée de la couronne, un évidement indiquant la position de 
la dent de remplacement. 

Dimensions de C. lonzeensis : vraisemblablement celles de 
VIguanodon Manlelli. 

Gisement : glauconie argileuse hervienne (Sénonien moyen). 

Localité : Lonzée, près Gembloux (Namur). 

Restes connus : trois dents faisant partie des collections du 
Musée royal d'histoire naturelle de Belgique, à Bruxelles. 

Le genre Craspedodon porte à douze le nombre des genres 
bien définis de l'ordre des Ornithopoda. Ce sont : 

1. Agathaumas, Cope, 7. Hypsitophodon, [\\i\\ey. 

2. Camplonolus, Marsh. 8. Iguanodon^ Manlell 

3. Cionodon, Cope. 9. Laosaurus, Marsh. 

4. Craspedodon, Dollo. 10. Nanosaurus^ Marsh. 

5. Z)/c/oniu5, Cope. 11. OW/iomeru«, Seeley. 

6. Hadrosaurus, Leidy. 12. Vectisaurus, Hulke. 

Pour terminer cette courte notice, je rappellerai les considé- 



— 515 — 7. 

râlions générales que j'ai développées dans mon travail cité (<), 
sur la dentition desDinosauriens: 

€ Je désirerais présenter encore quelques observations sur 

les dents des Dinosaiiriens herbivores en général. C'est un fait 
connu que, si l'on part des Ongulés éocènes pour remonter jus- 
qu'aux temps actuels, on constate une remarquable évolution de 
la dentition que les admirables travaux de W. Kowalevsky (^) 
ont surtout mise en lumière. 




FiU. 1. — DenI de Munuaurut, Marsh l.Horojour/die - S^UROPODA) 

Id'après Marsh). 
Fie. 3. - Df ni de Scclidosaurni, Onen {Scetidasauridœ — Stego^AUIIIAI 

;d*apri;s Owen). 
Fie. 3. — De m A'Iliidro)aurus, Leidy {lladretaandic -^ Ornitropoda) 

|>i'a|>rëa Leidï). 

> Sans vouloir prétendre qo*on puisse, dans l'état actuel de 
nos connaissances, suivre d'une manière aussi précise les Irans- 



['} L DoLLO, Dinaïaiineaa du Crétacé lupirlciir de la Belgique, p. 219. 

(*) W. KowALEVsKï. Monographie der Gatlung AnlhracDlherium, Cut. und Vertuth 
elner aalirlic'ien Ctauificatioa der fetiilen Haflhiere. iPalmntocrapbic*, 1876, 
ïoL XXII, pp. «0 et luiï.) 



8. — 516 — 

formalions des dents chez les Dinosauiieiis herbivores, je crois 
que les Tuits ci-après n'en sont pas moins très intéressants à 
mentionner : 

> I. Les tjpesles plosgénéralisésdes Dinosauriensherhivores 
(Savropoda), principalement jurassiques el ne s'élevant pas au- 
dessus du Weald, ont des dents sans crêtes, ni dentelures. 

B II. Paimi les Sfegosauria, les foimes les plus généralisées 
iStegosaurtdœ), jurassiques, ont encore ces mêmes dents sans 
crêtes ni dentelures 




Fk',. {. — Denl à'IijuaHiidon. Ëchdle ; l'i. Face (maillée 

a Créle |>»niaice lius. 
Kiu. 2. — La mime, l'rolll. 
Pic ;i. — Coupe sULVanl xy. 



» III. Parmi les Siegosauria, les formes les plus spécialisées 
(Scelidosaiiridœ), jurassiques et crétacées, ont déjà des dents 
dentelées, mais sans crêtes bien exprimées. 

» IV. Enlin, chez des formes encore plus éloignées des 5au- 



— 317 — 9. 

ropoda, les Ornithopoda, ayant bien des représentants dans le 
Jurassique, mais surtout développées dans le Crétacé, on peut 
noter les quatre modifications suivantes : 

1" Couronne dentelée et portant une seule crête [Hadro- 
saurus) ; 

2"" Couronne dentelée portant une crête principale et des 
crêtes secondaires {Iguanodon) ; 

a) Dentelures simples — /. Prestwichii —jurassique, 

b) Dentelures elles-mêmes dentelées — /. Mantelli — weal- 
dieu; 

S"" Couronne dentelée portant une crête principale et des 
crêtes secondaires dentelées, ainsi que des crêtes tertiaires lisses 
(Craspedodon) ; 

4** Plusieurs dents simultanément en usage, simulant les 
molaires des Ongulés (Cionodon). 

> De ce rapide exposé il semble résulter que, tandis que les 
perfectionnements de la dentition' chez les Ongulés ont consisté 
dans les plissements de Témail (chevaux), la multiplication des 
tubercules (cochons), Taugmentalion de la hauteur de la cou- 
ronne, la croissance persistante, etc., ils se sont manifestés chez 
les Dinosauriens herbivores par la production décrètes, de den- 
telures ou Tusage simultané de plusieurs dents. Mais, pendant 
que les causes de l'évolution de la dentition nous sont pour ainsi 
dire connues chez les Ongulés (*), nous pouvons à peine esquisser 
celle du système dentaire des grands Reptiles qui les remplaçaient 
pendant les temps secondaires. > 

Les naturalistes qui ont lu ces lignes n'auront certes pas 
manqué d'être surpris en voyant les Stegosauridœ, qui associent 
à quelques dispositions primitives des caractères si spécialisés (^), 
conserver la dentition des Sauropoda et y auront trouvé, comme 
nous le sentions nous-même, le point faible de notre explication. 



{*) W. KOWALEVSKY, Atithracothehutn, pp. 276 et 2S4. 

(*) O.-C. Marsh, Principal characters of American Jurassic Dinosaurs, pari. HI 
(Amer. Journ. Se. (Silliman), 4880, vol. XI\, p. 2o3.) 

— O.-C. Marsh, Ibid., pari. IV. [Spinal cord, Pelvis, and Limbs of Stegosaurus) 
;iBiD.,188l,vol. XXI, p. 167.) 



10. 



— 518 — 



Cependant nous savons à présent que les dents attribuées par 
M. Marsh à Stegosaurus sont celles de Diplodocus (*) et que le 
premier de ces animaux avait une dentition rappelant celle de 
Scelidosaurus. Toute anomalie cesse donc et notre petite théorie 
se soutient mieux que jamais. Elle peut se résumer dans le 
tableau suivant : 



DINOSAURIENS. 


I. HERBIVORES (*). 


11. CARNIVORES. 


1. Sauropodes. 


â. Stegosauriens. 


3. Ornithopodes. 


1. Thèropodes. 


Denis sans dente- 
lures ni crêtes. 


Dents avec dente- 
lures, mais sans 
crêtes bien accu- 
sées. 


Dents avec dente- 
lures et crêtes. 


• 



(*; O.-C. Marsh, Principal characters of American Jurassic Dinosaurs, part. VII 
(On thc Diphdocidœ, a new family of the Sauropoda) (Amer. Journ. Se. (Silliman), 
i884, vol. XXVII, p. i6o.) 

(*) G. Baur, Der Tarsus der Vôgel und Dinosaurier, eine morphologische Studie. 
(MORPHOLOGISCHES Jàhrbuch, 1882, Tol. Vlll, p. 40 du tiré k part.) 



— 319 — H. 



II 

SDR LA PRÉSENCE D'IN CANAL RASIOGGIPiTAL MÉDIAN ET DE DEDX 
CANAUX HYPORASILAIRES CHEZ liN GENRE DE MOSASAURIENS. 

Je m'occuperai, dans celte notice, d*abord du canal basiocci- 
pital médian, puis des canaux hypobasilaires. 

LE CANAL BASIOCCIPITAL MÉDIAN. 

I. Nature. — En faisant procéder au montage, suivant les 
instructions reçues de la Direction du Musée royal d'Histoire 
naturelle, des Mosasauriens de cet établissement, je remarquai 
que la base du crâne n** 1497 de Plioplatecarpus Marshi^ 
Dollo (^), était perforée par un canal large et court, mettant en 
communication, dans le squelelie, la cavité cérébrale avec l'exté- 
rieur. Cette conformation singulière m'intéressa vivement et je 
me proposai d'en rechercher la cause. Ce sont les résultats de 
mes investigations que je vais exposer dans les lignes ci-après. 

Le canal dont il vient d'être question est susceptible, avant 
tout, de deux interprétations : 

1. Ou il est le résultat d'une simple fracture; 

2. Ou il constitue une disposition anatomique réelle. 
Nous devons rejeter la première hypothèse, car , 

1 . La régularité de ce conduit, la nature lisse de ses parois et, 
surtout, leur aspect identique à celui des régions du crâne où il 
ne peut évidemment pas être question de fracture; 

2. La présence d'une semblable communication sur un second 
crâne (n° 1498) de Plioplatecarpus Marshi la rendent inadmis- 
sible. 



(>) L. Dollo, yoie sur VOstéologie des Mosasauridœ. (Bull. Mus. roy. dist. nat. 
Belg., t. I, 488-2, p. &}.) 



Ëtant donné que notre canal correspond bien à une structure 
analamiqiie et n'est pas la consé[|uence d'un accident survenu 
pendant ou afirès la fossilisation, il y a encore lieu d'examiner 
s'il s'agit ici : 

i. D'une disposition normale, 

2. Ou d'une manifestation soit atavistique, soit tératologique, 
soit patholt^jque 




Vue ventrale de la portion de crâne n' 1497 (Cal. Rppl. Mus. roj'. bisl. oaL 

Uelg.) de Plioplaticarpus Marthi, Dolto. 
a. CoDdyle occipital. A. Sortie du canal hy|<obasilaire droit. 

d. Paraaphénoïde. cbtIIb ccréljrale, le canal buioceipilal 

*. Baiioecipîlal. médian et In canaui b}poba>ilain>. 

/. Crête ojieuii» insdiane Mpiranl le t. Boiiiphénuïdc. 

canal hypDbasilaire droit du gauche. I. Fimae pUullaire. 

Je crois que l'existence du canal sur les deui seuls crânes 
actuellement connus de Plioplalecarpus Marshi exclut la seconde 
interprétation. 



— 321 — 13 

Nous concluons donc de ce qui précède que : Le canal large et 
court qui, dans le Plioplalecarpus Marshi, perce dorso-ventrak' 
ment la base du crâne, dans le plan médian et tout contre le con- 
dyle occipital, est une structure anatomique normale. 

II. HoMOLOGiE. — Cela posé, il convient maintenant de se 
demander si une pareille disposition a déjà été rencontrée chez 
d'autres Vertébrés, c'est-à-dire s'il existe nn canal homologue du 
conduit de Plioplatecorpus Murshi et, dans l'affirmative, quel 
est-il? 

1. Je pensai, à première inspection, que nous avions affaire» 
chez notre Mosasaurien, à la communication désignée par le pro- 
fesseur Marsh sous le nom de canal pituitaire et que l'illustre 
paléontologiste a définie (*) de la manière suivante : 

« In Morosaurusj the pituitary fossa is comparatively shallow 
much like that in the crocodile, and many birds, being connected 
with the under surface of the skull by the tvio usual divergent 
foramina for the passage of the internai carotid arteries. In 
Apatosaurus, however, it is remarkahly différent. Hère the fossa 
becomes enlarged intoa vertical canal, which, expanding below, 
communicates by a wide transverse orifice v?ilh the pharyngeal 
cavity. The arterial foramina are hère canals thinly covered over 
with bone, and open just within the rim of the lower orifice. 
The pituitary cavity itself bas a firm smooth v?all throughout. 

> This remarkable connection of the cérébral cavity with the 
alimentary canal is an embryonic character, and corresponds to 
the condition observed in the chick at the fiflh day of incubation. 
This peculiar feature appears to be a family character of the 
Atlantosauridœ. > 

Cependant, il est impossible d'identifier les deux conforma- 
tionsy puisque le canal pituitaire est nécessairement percé dans 
le basisphénoïde et n'est qu'une prolongation de la fosse pitui- 
taire elle-même, tandis que le conduit du Plioplalecarpus Marshi 



(') O.-C. Marsh, Principal characters of American Jurassic Dinosaurs, part, VI 
{Rettoration of Brontosaurus) (AMER. JouRN. Sc .(Silliman), 1883, vol. XX VI, pp. 8i et 85). 

IX. 21 



est Tore dans le basioccipilal el que, d'autre part, la fosse pituî- 
laire do noire Mosasau rien est normalement développée. 

2. Quelques Mammifères (P/ioca, Pelagius, notamment) exhi- 
iKDt, dans la base du crâne, un grand trou, presque symétrique- 
menl divisé par le plan médian du corps et situé tout contre les 
condyles occipitaux, trou qui, dans le squelette, fait communi- 




ip ventrale d'jne porlion de crâne de Ptlagnis monachus, Cut. 
I. Condylca occipiliux. 



quer la cavilé cérébrale avec l'extérieur. Ne serait-ce point là 
l'homologue du canal de Plioplaiecarpus Marshi? 11 ne me 
semble pas. En effet, les parois de ce dernier sont épaisses, lisses 
et se raccordent, par un bord arrondi, avec les surfaces conti- 
guës aux orifices d'entrée et de sortie. Au contraire, l'ouverture 
de Pelagius, par exemple, est un véritable trou : tout autour, la 
base du crâne vient s'amincir jusqu'à être rendue tranchante. En 
d'autres termes, chez Pelagiiis, nous avons une fontanelle {fon- 
tanelle basioccipitals médiane), due à une ossification incomplète, 
et fermée, pendant la vie, par une membrane qui disparaît lors 



— 325 - 



15. 



de la macération, au lieu que, daos le Mosasaurien du Muséo de 
Bruxelles, nous reiicoDirons un canal au sens propre du mot. 
Les deux dispositions sont donc totalement dilTérenles. 

3. M. W.-K. Parker ligure ('), chez divers emliryons de Ver- 
tébrés, caudalemeni par rapport à la fusse pituiiaire, un large 
espace de la base du crâne dépourvu de carlilage, espace qu'il 
appelle ■ poslerior baskranial fontanelle > . Le canal de PUopla- 
lecarpus Marshi ne serait-il point une persistance jusqu'à l'étal 
adulte de cette dii^position emltryonnaire? Je ne puis le croire, 
(luisque la < posterior basicranial fonlanelle > est fermée par 
une membrane (^), tandis que, ainsi que nous le «lisions il n'y a 
qu'un instant, la communication de notre Mosasaurien est un 
véritable cjinal. 




médian, Dollo) (d'aprts W. Gruber). 
- Le même os-, vu« dorsale (d'après W. Gruber). 
a. CondyloDccipilaui. 



(') W.-K. Parker ei G.-T. Rkttanv, The Morpbology nf ihr Skull. I 
B" 138, 3,17, M3, tSl, Hi\ Mi, K», 571, 703. 
(*) W.-K. Parier «t G.-T. Heti*nï, Im. cit., p. )«. 



16. — 324 — 

4. Enfin, M. W. Gruber a décrit (<), comme anomalie de l'oc- 
cipital humain, u» canal réel, qui le perce dans le plan médiaa 
e{ un peu obliquement dorso-venlralemenl et caudo-crâniale- 
menl, canal auquel il a attribué le nom de canalis basitarii 
medianm. C'est évidemment la même structure que celle mon- 
irée par Plioptat ecarpus Marshi, sauf pour les dimensions, qni 
sont, toutes proportions gardées, notablement plus faibles chez 
l'homme. 

Notre canal est donc un « canalis basilaris medianas. 
W. Gruber > el, comme le canal pituitaire de M. Marsh est 
également basilaire et médian, je propose d'appeler l'anomalie 
humaine du savant auatomiste de Saint-Pétersbourg et la struc- 
ture observée chez le Plioplatecarpus Marshi .■ canal baiiocci- 
pilai médian. 

111. HoHODYNAHiE. — A pféscnt que nous avons trouvé un 
homologue à la curieuse communication du Plioplatecarpus 




Verlèkrc destinée à moDirer les Irous si du- vertébraux et les vaFsseaQX qui s', 
rendent (d'après C. Gegenbaur). 



(') W. GmiBEB. Vtter dtn aniimaten Canalis baitlarit mtdianui da Occipilale 
beim Menteheii mil vergltichend-analomiachen Bemerkungen. (MËh. it 
SAiNT-PËTEHSsauRfi, 1880, l. XXVil, a> 9 ) 



— 521! ■ 



i7. 



Marshi, il convient de délermlaer, si possible, la véritable valeur 
morphologique de celle disposition. En d*aulres termes, le crâne 
proprement dit (à l'exception, par conséquent, des os dermiques 
qui s'y sont ajoolés) n'étant qu'un complexe de vertèbres pins 
ou moins iransformées, nous allons rechercher s'il existe, dans 
des régions de la colonne vertébrale qui ont conservé leur struc- 
ture primitive, un conduit qui puisse être comparé (ou mieux, 
qui soit homodyname) au canal basioccipital médian. Et comme 
l'os basioccipital, dans lequel notre canal est percé, correspond à 
un complexe de centres de vertèbres, nous examinerons plus 
particulièrement les centres des vertèbres non modifiées. Or, si 
nous nous reportons à ces pièces osseuses, nous voyons qu'elles 
sont ordinairement perforées par deus petites ouvertures sur la 
l'ace dorsale (frous sinu-vertébraux postérieurs) et par deus 




ouvertures analogues sur la face ventrale (trous sinu-vertéfiraux 
antérieurs), destinées au passage des vaisseaux qui pénètrent 
dans le diploe. il n'est, d'autre part, point rare du tout d'ob- 



18. 



526 - 



server des trous sinu-verlébraux droits et gauches confluents, de 
manière qu'on n'aperçoit qu'un seul trou sinu-verlébral antérieur 
et un seul trou sinu-verlébral postérieur. Entin, il arrive aussi 
que le trou sinu-vertébral antérieur unique est en relation 
directe, sans interposition de substance, avec le trou sinu-ver- 
tébral postérieur également unique : le centré de la vertèbre se 
trouve alors foré par un canal (c. sinu-vertébral) comparable au 
canal basioccipital médian, qui ofl're, d'ailleurs, chez l'homme, 
des dimensions identiques à celles qu'on constate dans les ver- 
tèbres isolées, tandis qu'il s'élargit beaucoup, par suite d'une 
adaptation fonctionnelle, chez le PUoplatecarpus Marshi. 

En résumé : le canal basioccipital médian serait homodyname 
à un {pu plusieurs confluents, car le basioccipital représente sans 
doute plus qu'un centre de vertèbre) canal sinu-vertébral. 

IV. Signification physiologique. — A quoi servait, dans le 
PUoplatecarpus Marshi, le canal basioccipital médian? Évidem- 
ment, nous n'avons point aflaire ici à une confluence acciden- 
telle des vaisseaux pénétrant ventralement et dorsalement dans 
le basioccipital : les dimensions de notre canal et sa présence sur 
les deux seuls crânes connus du Mosasaurien prémentiouné 
s'opposent à cette explication. Mais, si nous étudions le système 
veineux des Reptiles (celui des Chéloniens, par exemple) (^), nous 




e. Veine suprajugulaire droite, 
e'. Veine suprajugulaire gauche. 

f. Sinus occipital proprement dit. 

g. Sinus falciforme. 

/. Veine médiane de la crête occipitale. 



Sinus occipital de Tesludo Europœa (d'après Bojaous). 

remarquons que le sang qui le parcourt revient du crâne par 
deux veines paires, qui se réunissent pour constituer les veines 



(») L.-H. BOJANUS, Anatome Testudiuia Europœœ. Viln». I819-182d. 



— 327 — 19. 

jugulaires droite et gauche. Autrement dît, chaque veine jugu- 
laire se divise en deux, comme on se dirige vers la tête : Tune, 
supérieure, qu'on pourrait appeler veine supra jugulaire et qui 
débouche dans un collier veineux [sinus occipital) entourant la 
moelle à son entrée dans le crâne; Tautre, inférieure, qu*il con- 
viendrait peut-être de nommer veine infrajugulaire et qui suit 
la base du crâne pour pénétrer à son intérieur au niveau de la 
fosse pituitaire, où elle embrasse, avec son homonyme, l'hypo- 
physe et où elle prend la qualification de sinus caverneux. Main- 
tenant, si nous examinons un os basioccipital quelconque, non 
muni d'un canal basioccipital médian, nous voyons fréquemment, 
sur sa face dorsale, de petites ouvertures homodynames aux 
trous sinu-verlébraux postérieurs et, sur sa face ventrale, d'au- 
tres ouvertures analogues, homodynames aux trous sinu-verté- 
braux antérieurs. Or, il est clair que, dans la tortue disséquée 
par Bojanus, les veines des trous dorsaux du basioccipital sont 
des rameaux provenant du sinus occipital et les veines des trous 
ventraux, des vaisseaux débouchant, directement ou indirecte- 
ment, dans les veines infrajugulaires. Si donc les trous dorsaux 
et ventraux sont confluents, c'est que le sinus occipital se trouve 
en relation avec les veines infrajugulaires. Conclusion : Le canal 
basioccipital médian du Plioplatecarpus Marshi est une large 
communication entre le sinus occipital, puissant collier veineux 
entourant la moelle à son entrée dans le crâne, et les veines infra* 
jugulaires. 

Cette disposition offre-t-elle quelque avantage sur ce qu'on 
voit dans les autres Mosasauriens? C'est une question à l'égard 
de laquelle nous aurons l'occasion d'exprimer une opinion dans 
ua instant. 

§11. 

LES CANAUX HYPOBASILAIRES. 

I. Nature. — A partir du canal basioccipital médian, deux 
canaux pairs, accolés et partiellement séparés par une mince 
cloison osseuse, longent la base du crâne et vont déboucher à 



droite et à gauche de la fosse pituitaire. Le raccord eslrémement 
net existant entre leur ouverture postérieure el le cana) basi- 
occipital médian montre que ces communications avaient des 
relations directes avec la caMté cérébrale Je propose d'appeler 
les deux canaux pairs dont tl vient d'être question : canaux 
hypobasitairss. 




Coupe au traiers du crlne d'un Poisson téléosiéeii {Eiox luciiu, L.) 
(d'après Huitey). 

a. Cttité cérrbrtlB. c. Piruphénoïi]». 

b. Cinil oculo-moltur. il. Biiispliinoïdii. 

11. HoMOLOGrE. — Puisque le professeor Huxley admet {') 
que la partie la plus inférieure du basispliénotde des Sauropsides 
représente te parasphénoïde des Ichtyopsides, je suis porté à 
bomologiser les deux canaux hypobasilaires, d'ailleurs partielle- 
ment conlluenls, avec le lar(;e canal qui suit, ventraleinent, la 
base du crâne chez les Téléostécns et qui renferme notamment 
les muscles moteurs des yeux (canal oculo-moteur), d'autant plus 



Cl T..B. H«\LEï, /l Haaiial of tht Anatomy a{ verubraleil Amm<dt.lMnian, \m\, 

pp. £tt> el J83. 
— T.-U. Huxi.EY, ttcturetoa thc elemcnu of comparalive Anatomy. Landon, 18C4. 



— 329 — 2i. 

que les veines infrajugulaires donnent, chez la tortue de Bojanus, 
naissance aux veines ophtalmiques. 

III. HoMODYNAMiE. — Si, com«ïe le veut le professeur 
Albrecht (*), le parasphénoïde n'est qu'un complexe d'hypapo- 
physes (ou, ce qui revient au même, d'os chevrons), les canaux 
hypobasilaires seraient, ensemble, homodynames au canal (res- 
treint à la région caudale chez les Âmniotes) limité par les cen- 
tres et les os chevrons [canal hypocenlral), 

IV. Signification physiologique. — Attendu, d'une part, que 
les canaux hypobasilaires longent la base du crâne et viennent 
déboucher à droite et à gauche de la fosse piluitaire, et me réfé- 
rant, d'autre part, aux figures de Bojanus (^), je suis tenté de 
croire qu'ils servaient à protéger les veines infrajugulaires. 

Quel était, pour Onir, l'avantage des dispositions que nous 
avons étudiées dans cette notice (canal basioccipital médian et 
canaux hypobasilaires) et qui manquent aux autres Mosasau- 
riens? Nous allons essayer de Texposer, au moins tel que nous 
le comprenons. 

Puisque les veines infrajugulaires se trouvaient en communi- 
cation immédiate et facile avec le sinus occipital, tout le sang 
veineux de la télé pouvait retourner vers la veine jugulaire par 
la veine suprajugulaire. La portion de chaque veine infrajugu- 
laire située entre le canal basioccipital médian et la veine jugu- 
laire correspondante, n'étant plus nécessaire, a dû s'atrophier, de 
sorte que la veine jugulaire ne présentait vraisemblablement pas, 
chez Ptioplatecarpus Marshi, de bifurcation avant d'entrer dans 
le crâne. Une semblable substitution d'un vaisseau (veine supra- 
jugulaire) à deux autres (veine suprajugulaire + veine infraju- 
gulaire) n'est d'ailleurs point un fait isolé. On sait (^), en effet, 



(*) Communication verbale de notre savant ami. 
(*) L.-H. Bojanus, loc. cit., lab. XXI, g. et û, 

(5) A. H. Garrod, On the carotid arleries of Bird%. ;Proc. Zool Soc. London, 187^ 
p. 457^ 



18. — 326 — 

server des irous sinu-vertébrauic droits et gauches confluents, de 
manière qu'on n'aperçoit qu'un seul trou sinu-vertébral antérieur 
et un seul trou sinu-vertébral postérieur. Entin, il arrive aussi 
que le trou sinu-vertébral antérieur unique est en relation 
directe, sans interposition de substance, avec le trou sinu-ver- 
tébral postérieur également unique : le centré de la vertèbre se 
trouve alors foré par un canal (c. sinu-^verlébral) comparable au 
canal basioccipital médian, qui ofl're, d'ailleurs, chez l'homme, 
des dimensions identiques à celles qu'on constate dans les ver- 
tèbres isolées, tandis qu'il s'élargit beaucoup, par suite d'une 
adaptation fonctionnelle, chez le Plioplaiecarpus Marshi. 

En résumé : le canal basioccipilal médian serait homodyname 
à un {ou plusieurs confluents^ car le basioccipital représente sans 
doute plus quun centre de vertébré) canal sinu-vertébral. 

IV. Signification physiologique. — A quoi servait, dans le 
Plioplaiecarpus Marshi, le canal basioccipital médian? Évidem- 
ment, nous n'avons point aflaire ici à une confluence acciden- 
telle des vaisseaux pénétrant ventralement et dorsalement dans 
le basioccipital : les dimensions de notre canal et sa présence sur 
les deux seuls crânes connus du Mosasaurien prémenlionné 
s'opposent à cette explication. Mais, si nous éludions le système 
veineux des Reptiles (celui des Chéloniens, par exemple) (*), nous 




e. Veine suprajugulaire droite, 
e'. Veine suprajugulaire gauche. 
/* f. Sinus occipital proprement dit. 
g. Sinus falciforme. 
/. Veine médiane de la crête occipitale. 



e 



Sinus occipital de Testudo Europœa (d'après Bojaous). 

remarquons que le sang qui le parcourt revient du crâne par 
deux veines paires, qui se réunissent pour constituer les veines 



C«) L.-H. BOJANUS, Anatome Testudwh Kuropœœ, Vilnae. 1819-18-21. 



— 327 — 19. 

jugulaires droite et gauche. Autrement dït^ chaque veine jugu- 
laire se divise en deux, comme on se dirige vers la tête : Tune, 
supérieure, qu*on pourrait appeler veine supra jugulaire et qui 
débouche dans un collier veineux [sinus occipital) entourant la 
moelle à son entrée dans le crâne; l'autre, inférieure, qu*il con- 
viendrait peut-être de nommer veine infrajugulaire et qui suit 
la base du crâne pour pénétrer à son intérieur au niveau de la 
fosse pituilaire, où elle embrasse, avec son homonyme, l'hypo- 
physe et où elle prend la qualification de sinus caverneux. Main- 
tenant, si nous examinons un os basioccipital quelconque, non 
muni d'un canal basioccipital médian^ nous voyons fréquemment, 
sur sa face dorsale, de petites ouvertures homodynames aux 
trous sinu-verlébraux postérieurs et, sur sa face ventrale, d'au- 
tres ouvertures analogues, homodynames aux trous sinu-verlé- 
braux antérieurs. Or, il est clair que, dans la tortue disséquée 
par Bojanus, les veines des trous dorsaux du basioccipital sont 
des rameaux provenant du sinus occipital et les veines des trous 
ventraux, des vaisseaux débouchant, directement ou indirecte- 
ment, dans les veines infrajugulaires. Si donc les trous dorsaux 
et ventraux sont confluents, c'est que le sinus occipital se trouve 
en relation avec les veines infrajugulaires. Conclusion: Le canal 
basioccipital médian du Plioplatecarpus Marshi est une large 
communication entre le sinus occipital, puissant collier veineux 
entourant la moelle à son entrée dans le crâne, et les veines infra- 
jugulaires. 

Celte disposition ofl're-t-elle quelque avantage sur ce qu'on 
voit dans les autres Mosasauriens? C'est une question à l'égard 
de laquelle nous aurons l'occasion d'exprimer une opinion dans 
un instant. 

§n. 

LES CANAUX HYPOBASILAIRES. 

I. Nature. — Â partir du canal basioccipital médian, deux 
canaux pairs, accolés el partiellement séparés par une mince 
cloison osseuse, longent la .base du crâne el vont déboucher à 



18. 



— 326 — 



server des irous sinu-vertébraux droits et gauches confluents, de 
manière qu'on n'aperçoit qu'un seul trou sinu-vertébral antérieur 
et un seul trou sinu-vertébral postérieur. Entin, il arrive aussi 
que le trou sinu-vertébral antérieur unique est en relation 
directe, sans interposition de substance, avec le trou sinu-ver- 
tébral postérieur également unique : le centré de la vertèbre se 
trouve alors foré par un canal (c. sinu-^vertébral) comparable au 
canal basioccipital médian, qui ofl're, d'ailleurs, chez l'homme, 
des dimensions identiques à celles qu'on constate dans les ver- 
tèbres isolées, tandis qu'il s'élargit beaucoup, par suite d'une 
adaptation fonctionnelle, chez le Plioplatecarpus Marshi, 

En résumé : le canal basioccipital médian serait homodyname 
à un {ou plusieurs confluents, car le basioccipital représente sans 
doute plus quun centre de vertèbre) canal sinu-vertébral. 

IV. Signification physiologique. — A quoi servait, dans le 
Plioplatecarpus Marshi, le canal basioccipital médian? Évidem- 
ment, nous n'avons point affaire ici à une confluence acciden- 
telle des vaisseaux pénétrant ventralement et dorsalement dans 
le basioccipital : les dimensions de notre canal et sa présence sur 
les deux seuls crânes connus du Mosasaurien prémenlionné 
s'opposent à celte explication. Mais, si nous étudions le système 
veineux des Reptiles (celui des Chéloniens, par exemple) (*), nous 




e. Veine suprajugulaire droite, 
e'. Veine suprajugulaire gauche. 

f. Sinus occipital proprement dit. 
g» Sinus falciforme. 

/. Veine médiane de la crête occipitale. 



Sinus occipital de Tesludo Europœa (d'après Bojaous). 

remarquons que le sang qui le parcourt revient du crâne par 
deux veines paires, qui se réunissent pour constituer les veines 



C«) L.-H. BOJANUS, Anatoine Tesludiuin Europœœ. Vilnœ. I819-48i4. 



— 333 — 9S. 

l'exclusion de lous autres fossiles vertébrés, et, de plus, il était 
presque directement appliqué contre l'omoplate, sur l'origine 
de laquelle il ne saurait y avoir le moindre doute. Cela admis, 




Fm. 9. 
FiG. 1. — FragraeDl de l'i niera taiicule du Plioptaiecarpui Marthi, Dullo. 
Fie. i. — Inlerelaiicule de CrocodilietL 

cet os est-il bien un fragment d'interclavicule? Je le pense et 
voici pourquoi : 

I. Il en a la forme, ainsi qu'on peut s'en convaincre par la 
comparaison avec l'inlerclavicule d'un Crocodilien, que nous 
représeutons à côté. 

S. Il ne saurait être identifié avec aucune portion du crâne, 
de l'appareil hyoïde, de la colonne vertébrale et de ses appen- 
dices, des ceintures scapulaire (au moins limitée aux éléments 
qu'on lui attribuait jusqu'à ce jour] et pelvienne, du sternum 



â6. — 334 — 

et (les membres des Mosasauriens. Cest donc une pièce osseuse 
nouvelle pour ce sous-ordre et, dans ces conditions, je ne vois 
pas qu'on puisse la déterminer autrement que comme inter- 
clavicule. 

3. Sa position dans la gangue, tout contre Tomoplate, est, 
d'autre part, une présomption en faveur de son attribution à la 
ceinture scapulaire (au moins le professeur Marsh concluait-il ainsi 
lorsqu'il s'agissait des soi-disant clavicules de VIguanodon) ('). 
Et dans ce cas encore, je ne comprends pas qu'on puisse la 
considérer comme autre chose qu'une inlerclavicule. 

4. Quand, chez les Mammifères et les Oiseaux, l'interclavicule 
et les clavicules disparaissent, c'est toujours celle-là qui est 
perdue la première. Au contraire, chez les Reptiles, à l'exception 
des Lacertiliens serpentiformes (2) et des Chéloniens (') avec 
lesquels il n'y a pas lieu de comparer les Mosasauriens, Tinter- 
clavicule semble persister plus longtemps que les clavicules 
(Crocodiliens). Il n'y aurait donc rien d'étonnant à ce qu'elle se 
fût conservée ici, d'autant plus que Plioplatecarpus Marshi 
paraît, à plusieurs égards (sacrum (*), membres C*)), moins 
spécialisé que les autres Mosasauriens, auxquels manquent à la 
fois les clavicules et l'interclavicule. 

§ II. 

PLfOPLATECARP/DJE ET MOSASAURIDjE, 

Si l'on se souvient : 

\. Que le professeur Marsh a introduit [^) la présence du 
canal pituitaire comme caractère dans une diagnose de famille 



y\) Il.-N. MosELEY, Iguanodon. (Nature, sept. 27, 1883, p. 515.) 
v<^ Max FORBRINGER, Die Kuochcn und Muskein der Exlremilàten bei den sehlan- 
^Hahulichen Sauriern. Leipzig, 1870, pi. F, fig. 5 {Pygopus) et 6 [Ualis). 
^>> l,. OoLLO, L'appareil sternal de VUjuanodon, in Rev. d. quett. scient. Bruxelles 

i«<a. \y tno. 

i> t. hoi.LO. loc. cit., p. 63. 
>> \. OuM.O, loc. cit., p. 64. 

«•, Vfc. y\ Marsh, Principal charactcrs oj American Jurasiic Dinosaurs, part. VI, 
'^Mf«*w«/^ vtt lironiosaunts. (Amer. JorRN. Se. (Siiliman), 4883, vol. XXVI, p. 85.) 



— 335 — 27. 

pour les Dioosauriens sauropodes, et que Plioplalecarpus Marshi 
):ossècle un canal basioccipital médian, à Texclusion de tous les 
autres Mosasauriens; 

2. Que le même naturaliste s*est servi (<) de la présence ou 
de l'absence de clavicules pour délimiter deux familles de 
Dinosauriens ornithopodes, et que Plioplalecarpus Marshi 
possède une interclavicule, à l'exclusion encore de tous les 
autres Mosasauriens; 

3. Que seul enfin de tous les Mosasauriens, Plioplalecarpus 
Marshi était pourvu d'un sacrum de deux vertèbres synostosées, 
je crois qu'on reconnaîtra que la division ci-après du sous-ordre 
des Mosasauria est parfaitement justifiée : 

MOSASAURIA. 



a. Un sacrum; Non. 

^. Une interclavicule; 
% Un canal basioccipital 

médian et des canaux 

hypobasilalres. 

I. PLIOPLATECARPID/E. II. MOSASAURID^E. 



1. Plioplalecarpus, Dollo. 1. Baptosaurus, Marsh. 7. Clidasles, Cope. 

2. Pterycollosaurus, Dollo. 8. Lestosaurus. Marsh. 

3. Mosasaurus, Conyb. 9. Tylosaiirus {Rhino- 

4. Plalecarpus, Cope. sauras), Marsh. 

5. Leiodon, Owen. \0. Edeslosauru8,MaLrsh 

6. Sironecles, Cope. 11. Holosaurus, Marsh('). 



(I) O.-C. Marsh, Classification of ihe Dinosauria. (Amer. Journ. Se. (Silliman), 4882, 
vol. XXIII, p. 81.) 

[*) On doit joindre aux genres qui précèdent : 12 Uainosaurus, Dollo. (Note ajoutée 
pendant l'ioipression.) 



SUR LES ÉPrPBYSeS DU CALCiniUH DES LACERTILIENS. 

J'ai fait connaître, daas ua autre travail (<), les épiphyses que 
j'avais rencontrées jusqu'à présent chez les Lacertiliens. Je 
viens aujourd'hui appeler l'attention sur d'autres qui oae sem- 
blent particulièrement intéressantes : les épiphyses du calcanéum 
de ces Reptiles. 

I. On sait que les seuls os du carpe et du tarse qui, chez les 




Épipbj». 








a. Ëp.phyM 


Fie, 1.- 


. Piaiforme d« Loxodon 


africa 


«>», Blum. 


Fic 4- 


Calcanéum 


de l.oio<Io\ 


1 africanui. Blum. 



t<) L. DoLLO, Sur Ut fpiphgtfi da l.acenilinu. (Zoouwiscreb Anieicu, ISSi,