Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie

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AI^WENDUNG

DER

DIFFERENTIAL- UND INTEGRAL-
RECHNUNG

AUF

GEOMETRIE

Dk. 8E0RG SCHBFFEBS,

0. PBOFES80K AN SEK TECHHIBCHBN HOCHSCHDLB ZtT DABMNAPT.

ZWEITER BAND.
EINPOHRÜNQ DI DIE THEORIE DER FLACHEN.

LEIPZIG,

VEELAa VON VEIT & COMP.

1902

i,i,z,d, Google

EINFUHRUNG

THEORIE DER FLÄCHEN

De. GEOEGt SCHEPFERS,

\ FBOeXSaOK AK DER TECHNiaCHBN HOCHSCHI]U ZU DABHaTADT.

MIT VIELEN FIGUREN IM TEXT.

LEIPZIG,

VEBLAS VON VEIT * COMP.
1902

D,„i,z,d, Google

Dniiik TOD Uetiger A Wltllg In Leipzig.

!
D,„i,z,d, Google I

Vorwort.

Diesem zweiten, abschlieasenden Bande der Anwendnng der
Differential- und Integralreclinang auf Geometrie seien zunächst
einige Bemerkungen tlber die Art der Benutzung des Buches durch
Lernende vorausgeschickt

Der Inhalt des ersten Bandes wird als bekannt vorausgesetzt.
Es ist aber auch möglich, dass man unmittelbar mit diesem zweiten
Bande beginne, sobald man nnr die wichtigeren Sätze der Corren-
theorie anderswo schon kennen gelernt hat Zwar ist es am besten,
die vier Abschnitte, in die dies Buch zerfällt, der Reihenfolge nach
durchzunehmen; aber der dritte, schwierigste, Abschnitt braucht nur
zum Teil vor dem vierten studiert zu werden. Man findet die
nötigen Hinweise darüber an den betreffenden Stellen im Buche
und im Inhaltsverzeichnis. Der vierte Abschnitt ist Überdies zum
gröBsteo Teil von dem dritten nnabhängig, kann also gleichzeitig
mit diesem begonnen werden. Damit die Theorie dentlicher hervor-
trete, sind die Beispiele, wenn sie nicht ganze Paragraphen um-
fassen, in kleineren Lettern gedruckt worden. Ist es anch nicht
unbedingt nötig, dass der Leser alle Beispiele beachte, so muss er
doch dessen gewärtig sein, dass ihre Ergebnisse später zuweilen in
der allgemeinen Theorie benatzt werden. Ausserdem ist zu be-
denken, dass gerade die Beispiele dem Anfänger die beste G^elegen-
heit zur Übung in der Anwendung der Theorie geben.

Pd.yGoogIe

VI Vorwort.

Der Umfang des Buches möge den Anfänger nicht erschrecken,
denn nur bei entsprechendem Räume ist es möglich, die Dinge so
ausführlich zu behandeln, dass sie vollkommen verständlich werden.
Jedenfalls habe ich aufs Ernsteste nach leichter Verständlichkeit
des Buches gestrebt. —

Es sei mir gestattet, mich noch hinsichtlich einiger Punkte
den Fachgenossen gegenüber zu äussern:

Dem Haupttitel des Werkes entsprechend habe ich auch in
diesem Bande grundsätzlich die analytische Methode benutzt und
rein geometrische Betrachtungen nur zum Erleicbt«m des Ver-
stebens, bei der Andeutung weiterer Aueblicke, ferner da, wo sie
besonders interessant sind, und endlich noch hin und wieder da,
wo ihre rechnerische Wiedergabe auf der Hand liegt, eingefügt
Aber die Tendenz des Ganzen ist doch eine geometrische, indem
ich solche Probleme aus der Flächentheorie ausgewählt habe, die
in erster Linie von geometrischem Interesse sind. Man wird daher
manche schöne Anwendung der Analysis auf die Geometrie ver-
missen, möge aber bedenken, dass das Gebiet der Flächentheorie
so gross ist, dass dem TerCasser eine individuelle Auswahl daraus
wohl gestattet ist Manches, was andere elementare Lehrbücher
bringen, fehlt hier; andererseits bringe ich manches, was andere
Bücher nicht haben. Ich erwähne z. B. die Anwendung auf die
Herstellung geographischer Karten, das Congruenzproblem für
Flächen und die geodätische Abbildung.

Am besten wird man aus dem ausfuhrlichen Sachregister am
Schlüsse dieses Bandes erkennen, welche einzelnen Probleme der
Flächentheorie behandelt worden sind. Probleme, die nicht eigent-
lich einzelne Flächen als vielmehr Flächenscharen betreffen, wurden
überhaupt beiseite gelassen.

Zwei grundsätzliche Abweichungen von den sonstigen elemen-
taren Lehrbüchern sind hier diese: Erstens die beständige Mit-

Pd.yGoogIe

berackBichtigang des Imagiaäreii , zweitens die infolge biervoD un-
«bweisUcbe MitberUckBicbtigung derjenigen Flächen, die eine Schar
TQn Miuimalgeraden enthalten, da auf diesen Flächen z. B. die
EuLBfi'sche KrUmmuTigstheorie nicht gilt (Vgl. den „zweiten spe-
ciellen Fall" von S. 113 an.)

Eine Hauptachwierigkeit f^r den Anfänger in der Flächentheorie
ist die Fülle der Formeln und der Btehenden Bezeichnungen. In
Hinsicht aaf das Eine habe ich die Saoh« durch den Anhang von
Formeltafeln zu erleichtem versucht, in Hinsicht auf das Andere
dadurch, dass ich nur ziemlich wenige stehende Zeichen, diese
aber beständig, benutzt habe. Ich denke, ein Kenner der Flächen-
tbeorie wird beim Blättern in diesem Bache überall orientiert sein,
sobald er nur weiss, dass u, v die Parameter auf der Fläche, E, F,
G und X, ]H, N ihre Fundamentalgrössen, X, i', Z die Richtungs-
cosinus der Flächennormale, Ä^, i?, die Hauptkrümmungsradien, Ä'
das OAüssische Krümmungsmaasa und ü die mittlere Krümmung
bedeutet In Tafel XXTV findet man übrigens eine vergleichende
Zusammenstellung der Bezeichnungen bei verschiedenen Autoren.

Noch mnss ich hervorheben, dass ich es fUr ausgeschlossen
halte, dem Anfänger die Flächentheorie als Invariantentheorie
zweier quadratischer DifTerentialformen beibringen zu wollen. Das
kann er später aus den grossen Werken, wie z. B. aus Bianchi's
Differentialgeometrie, lernen; für den Anfang bietet die Geometrie
der Flächen selbst schon fast zu viel des Neuen und Ungewohnten.

Bezüglich der litt«rarischen Hinweise, die übrigens in den
„Berichtigungen und Zusätzen" einige Ergänzungen erfahren haben,
muss ich wie beim ersten Bande am Nachsicht bitten. Ich möchte
überhaupt, iim mich nicht zu wiederholen, auf das Vorwort zum
ersten Bande verweisen.

Nach der freundlichen Aufnahme, die dem ersten Bande seitens
der Kritik, so weit ich davon Kenntnis erhalten habe, geworden

Pd.yGoogIe

vni Vorwort.

ist, habe ich einige Zweifel, ob dieser zweite Band, der etwas
knapper im Texte und doch bedeutend umfaDgreicber ausgefallen
ist, eine ähnliche anerkeunende Beurteilnng erfthrt Der Verfasser
seibat ist ja am wenigstea geeignet, eich ttber die Anihahme seines
Baches eine richtige YorstelluDg zu machen.

Es ist mir schliesslich eine angenehme Pflicht, der YerlagB-
bandlnng für ihr bereitwilliges Eingeben auf alle meine Wünsche
und f^ die masterhafte Drucklegung, die das Corrigieren der Bogen
wesentlich erleichterte, hier zq danken.

Darmstadt, im Januar 1902.

Georg Scheffers.

Pd.yGoogIe

Inhalt.

Erster Abschnitt
Du Bogenelement der Fläche.

Seite

S 1. Analytische Daratellimg von Flächen 1

§ 2. Die FiudamentalgrOsaea enter Ordnung anf einer Fläche ... 18

§ 8. Tangentenebenen einer Flfiche IS

§ i. FortachreitmigBrichtaiigen von dnam Fl&chei^iinkte ana .... 27

§ 5. Fläcbentrene Abbildung von Fliehen 86

% 6. Fl&chentreae Abbildung der Botationsfl&chen 40

% 1. Isotbermen auf einer FlKche 5i

% 8. Beatimmniig der laothermeuoetEe auf einer Flftche 61

g 9. Conforme Abbildung von Flächen 67

% 10. Conforme Abbildung der Kngel auf die Ebene T&

gll. Beliebige punktweise Abbildungen von Flüchen . 90

Zweiter Absclmitt.

Die KrOmmung der FIftche.

g I. Die Krämmung der Flächencnrven and die FnndamentalgrSHen

(weiter Ordnung 101

§ 2. NormalBchnitte ttnd HaaptkrümmiuigerichtnogeD 109

§ 8. HanptkrOmmnngen bei einer Rotationsfläche 120

ä 4. Hanpttangenten 127

g b. Die Indicatrix eines Fmcheupnnktes ISS

§ 8. Veranecbaolichnng der KrSmmnugen in einem Fläcbenpunhte . . 144

g' T. Conjugierte Richtungen Ifil

§ 8. Unendlich benachbarte Normalen 1G6

$ 9. KrQmmnngacarven und Haupttangent«ncurven 178

§ 10. Syateme von conjagierten Cnrren 185

§ 11. Berührung zwischen Rächen 200

8 12. Die sphärische Abbildung und die Krümmong der Fl&cben . . . 204

§ 13. Geradlinige FJächen 216

§ 14. Die mittlere KrUmmnng der Flächen 22»

§ 15. HininudflSchen 241

Dritter Absclinitt.

DI« Fundamentalgleichungen der Flächentheorle.

§ I. Die höheren DifferentialqDotientAn der rechtwinkligen Coordlnatea 261

% 2. Die drei FnndamentalgleicbongeD 8e&

Pdr,yGOOgIe

Seit*-

% 8. Verbiegang einer Fläche auf eine andere 272'

§ 4. Verbiegung von Flächen ttaf Sotatiousfläcben 28>

§ 5. Verbiegung von Flächen consUnter KrilmmuDg 297

§ 6. Differential invarianten einer Fläche 302

*§ 7. RichtongscosinoB eines begleitenden Dreikaots 310

*§ S. Unbeecbränkt integrabele totale DifferentialgleichnogeD .... 321
*g 9. Endliche Qleicbungen einer Fläche mit gegebenen Fondamental-

grOwen 831

§ 10. Merkmalu fik die Congruenz zweier Flächen 841

§ 11. Flächen, deren Hauptkrümmnngeradien durch eine Belation vei^

bnnden sind 854-

§ 12. Fancttonen des Ortes anf der Fläche 873'

Vierter Abschnitt
Curven auf der Flache.

g 1. aeodätiBche Cnrven 39S

§ 2. Geodätiscbe Abbildung von Flächen 41!t

§ 3. Orthogonale Trajectorien geodätiaeher Carven 482'

§ 4. Systeme von geodätischen Parametern 441

§ 5. Centraflächen 45»

% 6. Qeradenacharen, die als Normalenscharen aufge&sat werden können 48»

% 1. KrOmmung und Toreion einer Flächencnrve 47*

Anhang.

Tafel XI. Formeln fDr die FnndamentalgrOssen erster Ordnung und

für die Richtungscosinns der Normalen 492

„ XII. Formeln för die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung und

für die Rrflmmnng 49S

„ Xni. Formeln für die Darstellung n = f{x, y) der Fläche . . . 498

„ XIV. Sphärische Abbildung einer Fläche MT

„ XV. Parallelflächen einer gegebenen Fläche 49S

„ XVI. Die zweiten Differentialquotienten der rechtwinkligen Fuukt-

coordinaten einer Fläche 499

„ XVII. Die drei Fundamentalgleichungen der Fläcbentheorie . . 49»
„ XVHI. Formeln für Flächen, deren Parameterlinien die Minimal-

curren sind 500

„ XIX. Formeln tlir Flächen, deren Parameterlinien die Krümmungs-

curven sind COt

„ XX. Differentialparameter 502

„ XXI. Geodätische Carven 502

„ XXir. Centraflächen ^ . . 508

„ XXnr. Plächencurven 50&

„ XXIV. Beieichnungen 508

SaJohregister M&

• Berichtigongen und Znsätze 51T

* Vorläufig Uberschlagbar, vgl. die Anm. zn S. BIO.

D,gH,zed.yGOOgIe

Erster Abschnitt
Das Bogenelement der Fläche.

§ 1. Analytische Darstellung von Flächen.

Die einfachste analytische Darstellung einer Fläche ist die
durch eine Gleichung zwischen den drei rechtwinkligen Punktr
coordinaten x, y, z des Raumes:

(1) F{..y,i)-Ü,

Vgl I S, 162,^ Insbesondere henntzt man gern die Auflösung der
Gleichung nach einer der drei Coordinaten, namentlich die nach z:

(2) '~f{',y')-

Bei der Darstellungsweise (2) einer Fläche haben sich Bezeich-
nungen für die ersten und zweiten partiellen Ableitungen von z
nach X und y eingebürgert, die wir gelegentlich benutzen wollen
Qud daher hier angeben. Man pflegt zn setzen:

1 r = — * , * = ^** t = —

Allerdings mnss man diese Abkttrznngen da vermeiden, wo z. B.
schon eine Bogenlänge t oder ein Radius r oder ein Parameter t

auftritt.

Beispiele znr Daretelliing einer Fldche mittel« einer Oleichuug (1)
zwischen den Coordinaten x, y, * sind: die Gleichung einer Ebene

Ax + By + Ci + D^O
nnd die Grlwchnng einer Kugel

(x-a)' + (y-i)' + (»-c)'-r'.

Die Zahl I soll den ersten Band bezeichne
I, Omm. Dill^. II.

.d^yCoogle

2 Erster AbseimiU: Das BogenelemeiU der Fläche.

Die Darstellungsfonn (2) »st unmöglich, wenn die Gleichung (1)
der Fläche von z frei ist;

F(,,y)~«.

Dieaö Gleichung wird zunächst von den Punkten {x, y) einer ge-
wissen Gurre in der ary-Ebene erfüllt, dann aber auch von allen
denjenigen Punkten, deren Projectdonen auf die ^y-Ebene gerade auf
jener Carve liegen; mit anderen Worten: die Gleichung stellt einen
Cylinder dar, dessen Mantellinien der z-Axe parallel Bind. (Vgl. I
S. 161.)

Die bequeme Darstellungsform (2) iBt demnach nicht erschöpfend,
da sie jene Cylinder nicht mit umfasst Dies thut nun zwar die
Darstellungsform (1), aber diese ist wiederum nicht sehr bequem.
Wir wollen daher die Flächen auf eine andere Art analytisch dar-
Btelleu. Zu dieser anderen Art werden wir geführt, wenn wir einen
Rückblick auf einige im ersten Bande betrachtete Flächen werfen:

Die Tangentenfläche einer Gurve

mit dem Parameter t wurde durch drei Gleichungen gegeben:

(4) x = <p(t) + T 9>'((}, y = /(O + ^Z (t), 2 = VW + rtjj'it).

Vgl. I S. 261. Legt man den beliebig veränderlichen Grössen t
und r irgend welche bestimmte Werte bei, so liefern die drei Glei-
chungen (4) die Coordinaten x, y, z eines Punktes auf der Tangente
der Stelle {t) der gegebenen Gurve. Die Veränderliche r lässt sich
leicht eliminieren. Es bleiben dann zwei Gleichungen zwischen x,
y, z und t. Siehe I S. 262. Wenn man aus ihnen dann noch die
Veränderliche t eliminieren würde, so bliebe eine Gleichung zwischen
X, y und z übrig, sodass man zu einer Darstellungsfonn der Tangenten-
Hache gelangen würde, die sich der Form (1) unterordnet

Wir erinnern femer daran, da^s wir in I S. 300 die Goordi-
naten x, y, z der Punkte derjenigen Ebene, die durch einen be-
stimmten Punkt {x^, y^, z^) geht und zwei zu einander senkrechte
Bichtungen mit den Gosinus tv, ß, y und /, m, n enthält, in dieser
Form dargestellt haben:

(5) x = x^ + ui + l\i, y=y^+ßt + m1i, z = z^ -\- y l -\- nX).

Dabei bedeuten^ und Q (vgl. die Fig. 61 dort) die gewöhnlichen
rechtwinkhgen Coordinaten des Punktes (x, y, z) in demjenigen Axen-
kreuz, dessen Anfangspunkt der Punkt (!„, y,,, jj ist und dessen
Axen die erwähnten beiden Richtungen haben. Jedem Wertepaar

Pd.yGoogIe

§ 1. Anah^is^ DaraUÜung von FläciKit, 3

;c, 9 eatspriclit also ein Funkt {x, y, z) jener Ebene, und nmgekehrt:
zu jedem Punkte (x, y, z) der Ebene gehört ein bestimmtes Werte-
paar f, Q. Die Coordinaten aller Punkte \x, y, z) jener Ebene werden
also hier durch zwei Veränder-
liche f, t) ausgedruckt, die eine ^
einfache geometrische Bedeutung
haben.

Endlich erinnern wir daran,
dass man auf der Kugel, anfge-
fasst als Erd- oder Himmels-
kugel, zur Festlegung eines Punk-
tes die Breite ß und Länge X
benutzt Ist r der Radius der
Engel, die Ebene des Äquators
die xy-Ebene, die Nordsüd-Äxe
die z-Äze und setzt man fest,
dass die x z - Ebene die des
Längenkreises Null sein soll, so
sind (siebe Fig. 1): '^'

(6) X = r COS/? cos A, y = rcoaßainX, z = rsiaß

die rechtwinkligen Coordinaten desjenigen Eugelpunktes, dessen Breite
ß und Länge A ist Um im Einklang mit unseren fi-Uheren Fest-
setzungen zu bleiben, haben wir die Länge positiv im Sinne der
Drehaog von der *-Ase zur y-Axe und die Breite ß vom Äquator
nach der positiven z-Axe hin positiv gerechnet. Natürlich kann
man da,nn ß auf das reelle Gebiet

und l auf das reelle Gebiet

— 71 <X< +n

beschränken; aber innerhalb dieses Gebietes sind ß und X beliebig
wählbar, da zn jedem Wertepaar ß, X ein Punkt {x, y, z) der Kugel
gehört. Auf die Beschränkung der Veränderlichen ß und X auf be-
stimmte Bereiche kommen wir nachher noch einmal zurück. In (6)
ist die Kugel durch drei Gleichungen dargestellt, vermöge deren die
Punktcoordinaten x, y, z als Functionen zweier anderer Veränder-
lichen, ß und A, gegeben werden. Zur Vereinfachung des Ausdrucks
werden wir auch später mit Nordpol und Südpol diejenigen Punkte
bezeichnen, in denen die positive und negative z-Axe die Kugel trifft.

.dr,yGoogIe

Er^er Absi^nitt: Das Bogenetemetit der Flüche.

In den Formeln (4), (5) und (6) haben wir analytische Dar-
Btellungsarten einer Tangentenfläche, einer Ebene und einer Kugel-
üäche vor uns, die Eins mit einandör gemein haben: Jedesmal
werden die rechtwinkligen Coordinaten x, y, z der Punkte der be-
treffenden Fläche als Functionen von zwei anderen Verttnderlichen
gegeben, nämlich von t, r bez. j, ^ bez. ß, X.

Diese Thatsache itlhrt uns zu der allgemeinen Frage: Es seien
die Punktcoordinaten x, y, z als irgend welche Functionen von zwei
anderen Yeränderlichen, Bagen wir u und v, gegeben:

(7) x=^. («, r), y = j- {«, t.), ^ = v- («. ") -

Was ist dann der geometrische Ort aller Funkte (i, y, a;), die sich
hieraus ergeben, wenn die Veränderlichen u und v alle möglichen
Werte erhalten? Wir setzen dabei voraus, dass die Functionen
(f, X, V wenigstens in einem gewissen Bereiche für « und v — in
dem wir alsdann verbleiben — endlich, eindeutig, stetig und diflferen-
zierbar seien.

Bei der Beantwortung der aufgeworfenen Frage sind drei Fälle
zu unterscheiden:

Erstens: Die Functionen ^, ^ und tp sind in Wirklichkeit
frei von u und v, also Coustanten. Dann stellt (7) nur einen
Punkt dar.

Zweitens: Die Functionen q^, x """i V ^^^^ nicht sämtlich
constant, aber je zwei sind von einander abhängig. Nach I S. 82,
83 sind alsdann (p, x, "»p Functionen von nur einer Function a von
M und V, sodass die Gleichungen (7) die Form haben:

x=X{a>), y^Y{w), z = Zim].

Nehmen nun u und v alle möglichen Werte an, so gilt dasselbe von
der Function o> von u und v. Es sind also x, y, z drei Functionen
einer Veränderlichen »>, d. h. es liegt die Parameterdarstellung einer
Curve mit dem Parameter <a vor.

Drittens: Zwei der drei Functionen rp,x, -»f sind von einander
unabhängig, z. B. tp und x- Wenn wir alsdann den Coordinaten
X und y irgend welche Werte vorschreiben, so bestimmen die beiden
ersten Oleichungen (7):

(8) '-9{-,'), y-*-(»,»),

da sie nach u und v theoretisch auflösbar sind, wenigstens ein
Wertepaar u, v. Setzen wir dies in die dritte Gleichung (7):

(9) z = V^(«,r)

Pd.yGoogIe

§ 1. Analytische DarsUUung von Fläeken.

ein, 80 giebt sie- einen Wert z. Jetzt gehört also zu jedem Werte-
paar X, y ein Wert z wie bei (2), d. h. alle Punkte {x, y, z), die
durch (7) bei beliebiger Veränderlichkeit von u und v beBtimmt
werden, erfüllen eine Fläche. Will man diese Fläche in der
Form (2) darstelleß, so mass man die beiden Gieichungeu (8) nach
u und V auflöseu uud die dadurch herrorgeheuden Functionen u
und t> von x und y in die Oleichnng (9) einsetzen.

Satz 1: Drei Qleichungen von der Form:

x = ^,{u,v), y = /(K, u), z=-^{u,v)
mit den beliebig veränderlicheu Grössen u und v bestim-
men dann und nur dann die Punkte [x, y, z) einer Fläche,
wenn zwei der drei Funotionen gc, Xi V ""^ einander un-
abhängig sind.

Dies ist die allgemeineParameterdarstellung einerFläche;^
u und t) heissen die Parameter oder Hillfsveränderlichen.

Oben haben wir in (4), (5) und (6) drei Beispiele hierzu gehabt,
nämlich eine Parameterdarstellung einer TangenteoBäche, einer Ebene
und einer Eugelfläche. Dabei waren die Parameter statt mit u, v
mit t, z bez. 5, l) bez. ß, X bezeichnet.

Man erkennt umgekehrt, wie man jede in der. Form (1) ge-
gebene Fläche:

F{x,y,z)=^0

mit Hülfe zweier Parameter u und t> darstellen kann. Man ver-
stehe nämlich z. B. unter tp und % irgend zwei von einander unab-
hängige .Functionen von u und v und setze:

x = <fi{ti,v), y = xin,v).

Führt man sie in /" = 0 für * und y ein, so geht eine Gleichung
zwischen u, v und z hervor, deren Auflösung nach z eine dritte
Gleichung

liefert. • Nach der Entstehung dieser Gleichung ist sicher, dass die
Punkte {3;, y, z), die durch

^ x = <p{u,v), y = /(w, p), r^V'K")

' Diese Farameterd&rsteUoDg wurde von Qaobs eingeführt in Beinen
grondlegenden und noch Bfters zu erwfihnenden „Diaquisitiones generalee
cirea anperficies curvas", Commentationea 80c, Scieut Gottingeneia re-
centiores Vol. VI (ad a. 1823— 1S27), Götlingen 1828. Siehe auch Gaüsb' Werke,
A, Bd., und die Obereetzung in Qazv/kho'a Klaesikern Nr. 5.

Pd.yGoogIe

6 Erster Abschnitt: Das Bogenelement der Fläche.

bei beliebiger Veränderlichkeit von u und v bestimmt werden, der
Gleichung #(x, i/, z) = 0 genügen, nnd nach Satz 1 wissen wir auch,
daaa sie tbats&chlich die ganze Fläche ^ ^ 0 und nicht nur eine
Curre auf der Fläche bestimmen, da wir vorausgesetzt haben, dass
^ und X von einander unabhängig seien.

Dies Verfahren wäre nur dann hinfällig, wenn die Gleichung
F=0 von r frei wäre. Aber dann könnten wir etwa z und z an
die Stelle von x und y in unserer Betrachtung treten lassen, sodass
also nur scheinbar eine Ausnahme vorliegt.

Diese Überlegung zeigt überdies, daSB jede Fläche auf
unendlich viele Arten in Parameterdarstellnng gegeben
werden kann, da die Wahl der Functionen fundjf — abgesehen
von der ansbedungenen Unabhängigkeit — ganz beliebig blieb.

Eünftig werden wir meistens die bequeme Parameterdaretellung
(7) an Stelle der ersten Darstellungen (1) oder (2) einer Fläche be-
nutzen. Wie in dem obigen Beispiel der Kugel (6), bei der ß und X
die Parameter waren, kann auch bei anderen Flächen die Veränder-
lichkeit der Parameter u, v — obgleich sie zwei unabhängige Ver-
änderliche sind — auf gewisse Gebiete eingeschränkt werden, wenn
man nur reelle Punkte der Fläche betrachten will oder wenn man
Stellen vermeiden will, an denen die Functionen (p, Xi '*!> die oben
gemachten Toraussetzungen der Stetigkeit u, s. w. nicht erftlllen.
Auch ist zu beachten, dass trotz der Unabhängigkeit, die vir zweien
der drei Functionen y, Xi V vorschreiben mnssten, doch für gewisse
Wertepaare w, tJ die Auflösung von zwei der drei Gleichungen (7)
nach u und v unmöglich sein kann.

Denn wenn z. B. die Functionen ip und x von einalnder un-
abhängig sind, so heisst dies doch nach I S. 83 nur, dass ihre
Functionaldeterminante

: Xu /. !

für beliebig gewählte Wertepaare u, v nicht gleich Null sein soll.
Für gewisse Wertepaare u, v — ja im Atigemeinen sogar' für go*
Wertepaare w, r — kann die Auflösbarkeit aufhören, da das Null-
setzen der Functionaldeterminante im Allgemeinen eine Gleichung
zwischen m und v liefert. Wir beschränken uns daher in der
Folge stillschweigend immer auf einen solchen Bereich
für die unabhängig veränderlichen Grössen u und v, inner-
halb dessen die vorausgesetzte Unabhängigkeit zweier der
drei Functionen rp, x, tf wirklich statt hat Und wenn wir

Pd.yGoogIe

§ 1. Aiiaiytiscke DarsteÜung von FUU^ten.

auch der Kürze halber einfach Bagen: u und « sollen beliebig ver-
äaderlich sein oder alle möglichen Werte annehmen, bo meinen wir
doch, dass dies nur innerhalb eines eriauhten Bereiches geschehe.
Bei jeder speciellen Anwendung ist dieser Bereich besonders fest-
zustellen.

Aus unseren Betrachtungen geht hervor: Ist eine Fläche mittala
zweier Parameter w, v in der Form (7) dargestellt, so gehört nicht
nur zu jedem Wertepaar der Parameter u, v ein bestimmter Punkt
{r,y, z) der Fläche, sondern auch umgekehrt: zn jedem bestimm-
ten Punkte (^, y, 2) der Fläche gehört ein bestimmtes
Wertepaar der Parameter «, v.

Wir hoben vorhin hervor, dass eine Fläche unendlich viele
Parameterdarstellungen hat. Es mögen nun :

x = tf{u,v), y = ar (w, ») , X ~=->p{u,v)
und

X = *(fl,S), y = X(ö,fi), z = W{ü,t)

zwei Parameterdarstellungen ein und derselben Fläche sein und
zwar mit den Parametern u, v bez. ü, ü. Zu jedem Wertepaar u, v
gehört vermöge der drei ersten Gleichungen ein Punkt {x, y, z) der
Fläche und zu diesem vermöge der drei letzten Qleichungen ein
Wertepaar o, V. Der Schluss ist auch umgekehrt zu machen, so-
dass folgt: Fs musB zu jedem Wertepaar u, v ein Wertepaar ü, s
und umgekehrt zu jedem Wertepaar u, c ein Wertepaar u, v ge-
hören. Dies aber heisst: Es m^sen u und v zwei von einander
unabhängige Functionen von ü und fl sein:*
(10) M =■ l(ü,f), r = ft[ü,t>).

Hieraus folgt:

SatE 2: Liegt eine Darstellung

x = (f{«,v), y = r(K,r), z = iij{u,v)

einer Fläche mittels der Parameter w und d vor, so ergiebt
sich aus ihr die allgemeinste Parameterdarstellnng der-
selben Fläche dadurch, dass u und v irgend zweien von
einander unabhängigen Functionen zweier neuer Para-
meter ü,€ gleich gesetzt:

u = l[ü,€), v = n({i. v)

' Abgesehen von der geometrischea Bedeutung ist der Zusammenhang
zwischen u, v und ü, f hier geoan derselbe wie in I S. 106 der Zuflammenhang
Ewischen w, v und x, y.

Pd.yGoogIe

Erst^" Abschmit: Das Bogenekment der Fläche.

und diese Functionen in die gegebenen Gleichungen statt
u nnd V eingeführt werden.

Die Parameter, mittels deren man eine Fläche darstellt, nennt
man auch krummlinige Coordinaten der Fläche. Das Bei-
wort: krummlinig soll den Unterschied gegenüber den beiden ge-
wöhnlichen Coordinaten x und y ausdrücken:

Liegt nämlich die Fläche in der Form

'-n',y)

vor, so sind x und y solche Coordinaten, deren Angabe zur Be-
stimmung eines Flächenpunktes genügt, da das zugehörige z ans der
Gleichung gewonnen wird. Wählt mau für x einen bestimmten
Wert Xg, läest aber y noch beliebig, so erhält man zunächst oo^
Punkte {x^,y) in der ly-Ebene, nämlich die Punkte einer Paralleten
znr y-Axe, und zu jedem dieser Punkte gehört ein Punkt (j;u,y, z)
der Fläche. Mit anderen Worten; Wir betrachten (siehe Fig. 2)
eine solche Curve auf der Fläche, deren senkrechte Projection auf
die a;y-Ebene eine Gerade parallel znr y-Ax& ist. Analoges gilt.

' statt X bestimmt gewählt und x beliebig gelassen wird.
Jeder Punkt (x,y,z) der Fläche erscheint hiernach als Schnittpunkt
zweier Curven auf der Fläche, und die senkrechten Projectionen
aller dieser Curven auf die ly-Ebene sind die Parallelen zur y- und
«-Ase. Die Fläche ist demnach mit einem gewissen Netz von un-
endlich vielen Curven Überzogen zu denken, die, auf die .ry-Ebene
projiciert, ein orthogonales Netz von geraden Linien liefern.

Liegt dagegen die Fläche in ParameterdarstelluDg vor:
(11) X = rp{u,v), y=x(u,v), z = y>{u,v),

Pd.yGoogIe

§ 1. Analytische Darateilung von Fläehm.

so sind u und v die BeatimmangBStücke. Geben wir u einen be-
stimmten Wert Ug, während wir v Teränderlich lassen, so ergeben
sieb diejenigen Punkte {x,y,z) der Fläche, für die

ist Hierin kommt recht« nur die eine Veräaderliche o vor. Ea
liegt hier also eine Curve vor und zwar dargestellt mittels des Para-
meters u. Diese Curve liegt auf der Fläche und ist durch die An-
gabe des Wertes u^, den wir u beilegten, völlig bestimmt Sie
heisst daher die Parameterlinie (uj der Fläche. Ihre Projectioa
auf die x^- Ebene wird durch die beiden Gleichungen

mit dem Parameter v dargestellt (siehe Fig. 3, S. 8) und ist im allge-
meinen eine krumme Linie. Geben wir zweitens dem Parameter v
einen bestimmten Wert v^, während u beliebig veränderlich sein soll,
so heisst dies, dass wir diejenigen Punkte (x,y,x) auf der Fläche
betrachten, die auf der Curve

mit dem Parameter k liegen. Diese Curve auf der Fläche heisst
die Farameterlinie [v^ der Fläche, und ihre Projection auf die
xy-Ebene ist die im allgemeinen krumme Linie

ar = y (k, t>„), y = Jir («, »o)
mit dem Parameter u. Wollen wir einen Punkt auf der Fläche
bestimmt wählen, so haben wir u und v bestimmte Werte u^, v^ zu
erteilen. Der zugehörige Fnnkt:

liegt dann im Schnitt der beiden Parameterlinien (ug) and (o^).
Hithin haben wir uns die Fläche mit einem Netz von Parameter-
linien (Ug) und (Og) überzogen zu denken, und die Projection dieses
Netzes anf die zy-Ebene liefert ein im allgemeinen krummliniges
Currennetz

(12) x = ,p(^u,v), y = x\M,v)

in der Ebene. Vgl I, 1. Abschn. § 16 u. 17, wo wir die ebenen
Curvennetze ausführlich behandelt haben. Es ist hiernach klar, dass
wir einen Funkt auf der Fläche statt als Punkt (x, y, z) auch als
Pankt (u, v) bezeichnen köDoen.

Die Bestimmung (11) der c»* Funkte einer Fläche vermöge
zweier Parameter u und c ist die natürliche VerallgemeineruDg der

Pd.yGoogIe

10 Ersler .Absdmilt: Das HogeHelemeni der FlÖeke.

Bestimmung der oo* Punkte einer Ebene vermöge zweier Para-
meter u und V. Es tritt eben bei der Fläche zu den zwei Gleichungen

(12) noch eine dritte z = yj[v, v) hinzu, die bei der a:y-Ebene —
diese im Baum betrachtet — einfach durch z = 0 zu ersetzen wäre.

1. Beispiel: Die TaageDtenfUche (4) einer Cnrve hat, Trena wir jetzt
Btatt t und T die Zeichen u und d gebrauchen, die Daratellang:

) heiaat dies: Wif betrat^hten einen

x = <f{ii), y -/(«), K = tp(«)
und Bcinä TongeDte. Die Parameterhnie (u^) ist demnach eine der Geraden
der FlHche, während jede Parameterlinie (r„) kronmlinig ist. Wenn z. B. u
direct die Bogenlänge der Gratlinie iat, so bedeutet ja e die Strecke, die anf
der Tangente des Punktes (u) der Gratlinie abgetragen wird, nach I S. 262.
Die Linie (fg) ist daher der Ort der Punkte, die sich ergeben, wenn man auf
allen Tangenten der Gratünie die Strecke »^ vom BeTQhrungBp unkte aus ab-
trfigt. Die Parameterlinie (p = 0) ist die Gratlinie selbat

2. Beispiel: Bezeichuen wir die Breite ß und die Länge l anf der
Kugel (6) mit u bez. i^, ao liegt die Kugel vor:

x = rcoawcose, y = rcoaMBinp, x = rain«.
Die Parameterlinie (Ua) ist die Curve constanter Breite u,, d. b. ein Breitenkreis,
und die Parameterlinie (e,) ist die Curve constanter LSnge v^, d. h. ein Meridian
auf der Kugel.

Eine geometrisch gegebene Fläche kann willkürlich mit Curven-
netzen, d. h. mit zwei Scharen von je oo^ Curven, Überzogen werden.
Dem entspricht es, das8 man ein und dieselbe Fläche auf beliebig
viele Weisen mittels Parameter darstellen kann. Zu jeder Para-
meterdarstellung gehören ganz bestimmte Scharen von
Parameterlinien, aber nicht umgekehrt: Wir erkennen viel-
mehr wie früher in der Ebene, I S. 112, dass die Scharen der
Farameterlinien nur dann ungeändert bleiben, wenn man statt der
alten Parameter u und « solche neue Parameter a und s einführt,
von denen jeder nur von einem der beiden alten Parameter abhängt:
i, = A(u), i! = JHv).

Diese Bemerkung kann man gelegentlich zur Vereinfachung der
Parameterstellung benutzen, wenn man Wert darauf legt, die Natur
der Parameterlinien selbst nicht zu ändern.
Eine beliebige Curve auf der Fläche

(13) x^tp{u,v), y=x{u,v), z = V'(«,v)

wird erhalten, wenn die Coordinaten x, y, z nur noch von einer ver-

Pd.yGoogIe

§ 1. Amilyliecke DarsteUang von Fläch^i.

änderlicbeu Grösse t abhängen, wenn aleo u uud v gleich zwei Fuac-
tionen eines Parameters t gesetzt werden:

(14) »-^M, r_5((),
sodass (13) die Curve;

X = <p[A(i), £{t)], y = /[^(O, -ffW], z = V[^(0, S[fj]
mit dem Parameter t liefert. Statt ( können wir aber auch wie in
I S. 159 eine Function von t, z. B. auch u = A{t), als Parameter
längs der Flächencurve einfiähren. t ist dann eine Function Ton «;
wird sie in die zweite Oteichung (14) eingesetzt, so wird auch v
eine Function von m:

(15) « = «(«).
sodass nunmehr:

x-,p[u,a,{u)], y-j.[»,o,M], ;,_v[«,<»M]
die &leichangen der Flächencurve sind. Allerdings ist hierbei voraus-
gesetzt, dasB sich ans u = A{t) auch t als Fnnctivon von u berechnen
lasse, was nicht geht, wenn u längs der Curve constant ist Die Para-
meterlinien (m) der Fläche entziehen sich also der letzten Darstellungs-
form. Besser bleibt daher die Art der Elimination von C aus (14) da-
hingestellt, sodass wir statt (15) die unaufgelöste G-leichnng schreiben:

(16) n(u,v) = 0.

Satz 3: Auf einer Fläche mit den Parametern u, v wird
jede Curve durch eine Gleichung

fiK<.)-o

zwischen u und v definiert

Die Gleichung (16) bestimmt zu jedem
Werte u einen Wert », ordnet also jeder
Farameterlinie (u) eine Parameterliuie (»)
zu. Der Ort der Schnittpunkte jedes sol-
chen Paares ist die Curve, die durch (16)
analytisch gegeben wird. (Siehe Fig. 4.)

Wie in der ly-Ebene eine Schar von
oo' Curven durch eine gewöhnliche Diffe-
rentialgleichung erster Ordnung zwischen pig_ 4_
den beiden Veränderlichen x und y defi-
niert wird (siehe I, 1. Abschn. § 14), so wird eine Schar von co^
Cnrven auf der Fläche durch eine gewöhnliche Differential-
gleichung erster Ordnung zwischen k und u definiert:

(17) V{n. v)dv - r{u, v)du = 0.

Pd.yGoogIe

12 Erster Abachnüt: Dag Bogeneiement der Fläche.

Denn diese Gleichung integrieren, heisat — rein rechnerisch aus-
gesprochen — nach I S. 88 alle diejenigen Functionea v = 9) (u)
finden, die zusammen mit ihren Differentialquotienten dv.du = 9>' (?^]

die Gleichung (17) oder

för jeden Wert von m erfüllen, und diese Functionen heissen Lö-
BUDgon von (17) oder (18). Aus Satz 59. I S. 90, können wir femer
entnehmen, dass die Bifferentialgleichnng (17) oder (18) nur ein
wesentliches Integral f{ti,v) hat, das, gleich einer willk&rlichea
Constanten gesetzt:

(19) /•(«,«)= Const.

Lösungen v = rpiu, Const.) definiert, deren jede nach Satz 3 eine Curve
anf der Flä«be darstellt Die Gleichung (19) definiert also eine Schar
von 00' Curven auf der Fläche.

Liegt umgekehrt eine Schar von 00^ Curven auf der Fläche vor:
/•(«,!.) = Const,
so folgt hieraus:

also eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in u und o.
Somit:

Satz 4: Eine gewöhnliche Differentialgleichung erster
Ordnung in u und o:

ü{u,v)dv- F{u,v)dii = 0

definiert eine Schar von ao^ Curven auf der Fläche mit
den Parametern u, v; und umgekehrt kann jede Schar von
00' Curven auf der Fläche analytisch durch eine aolahe
Differentialgleichung definiert werden.

Sehr häufig werden wir auf Gleichungen stossen, die in du
und dv homogen und quadratisch sind:

(20) A(u,v)du' + 21i{u,v)dudv + C{u,v)dv' = 0.
Sie sind als quadratische Gleichungen

^ (»,.) + 2J („, .) Jj + C (., .) [^'^' - 0
fQr — aufzufassen und liefern also zwei Gleichungen:

(21) S-^K"). £-»'(».")■

,d,Google

§ 2. Die Fundamentalgrössen erster Ordntmff auf einer Fläelie. 13

Jede deämert eine Schar von od^ Curven, nach Satz 4. Mithin
definiert die Gleichung (20) zwei Scharen yon je oo' Curven auf
der Fläche.

Die Differentialgleichungen (21) der beiden Scharen finden vir
auch, wenn wir die linke Seite von (20) in ihre hinsichtlich du und
dv linearen Factoren zerspalten:

[Adu + (B + yB'-AC)dv][Adu + {£ -^B^ - AC)dv] =0.

Eb sind dann die beiden Gleichungen:

Adu-i- {£±yB*-AC)dv = 0.

Nur wenn B*-AC'=Q, d.h. die linke Seite von (20) ein voll-
ständiges Quadrat hinsichtlich ff u und dv ist, fallen beide Differen-
tialgleichungen zusammen. Es gilt der

Satz 5: Zwei Scharen von je oo' Curven auf einer
Fläche mit den Parametern u, v können stets durch eine
in du und dv quadratische homogene Gleichung
A{v,v)du* + i B{u,v)dudv + C{ii,v)dv* = 0

definiert werden. Diese Gleichung lässt sich in zwei ge-
wöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung in w
und V zerspalten:

Adu + {B ±-^£>-AC)dv = 0.
Nur dann, wenn die Unke Seite jener quadratischen Glei-
chung ein vollständiges Quadrat ist, wenn also B' — AC=0
ist, fallen beide Curvenscharen zusammen.

Z. B. die Gleichung dudv = 0 definiert die beiden Scharen
von Parameterlinien.

§ 2. Die FundamentalgröMen erster Ordnung auf einer Fi&che.

Werden die Punkte der Ebene durch rechtwinklige Coordinateu
j:, y bestimmt, so wird das Quadrat des Bogenelementes dt, d. h.
das Quadrat der Entfernung zweier unendlich benachbarter Punkte
(i, y) und {x + dx, y + dy) von einander gegeben durch die Formel:
d»* = dx* + dy*.
In der Formel (6), I S. 109, fanden wir den Ausdruck von da*
für ein bestimmtes Parametersjstem u, v in der Ebene, wobei
x = <f[u,v), y=y,{u,v)

-dr,,C,OOgk

14 Erster Abscfmitt: Daa BogeneUment der Fläche.

war, in der Form:

ds' = {ipj + ^fsj)du* + 2{(f,^(f.^ + \fi^xl,;idudv + {^J' + ■fp,')do'.

Allgemein also ist das Quadrat des Bogenelementes in der Ebene
eine ganze homogene quadratieche Fanction der Differentiale du
und dv. Die Coefficienten dieser Function sind dabei Functionen
der knunmlinigen Goordinaten u und v selbst

Eine ähnliche Erscheinung zeigt sich bei einer Fläche. Liegt
die Fläche zunächst in der ein&chen Darstellung vor:

(1) ^ -/■(»,?)

und sind {x, y, x) und {x + dxy y + dy, z + d'x") zwei anendlich be-
nachbarte Funkte der Fläche, ao ist

dz=f^dx->rf^dy,

sodass das Quadrat der Entfernung der beiden Punkte von einander,
also daa Quadrat des Bogenelementes der Fläche, nämlich:

d»^ = dx^ + dy'^ + dz*,
den Ausdruck annimmt:

rf«' = (1 + f^dx-" + IfJ'yd'^dy + (1 + O ^y^-
Ks ist also auch eine ganze homogene quadratische Fanction von
den Differentialen der beiden unabhängigen BestimmtmgsstUcke x
und y der Flächenpunkte. Benutzen wir die auf S. 1 angegebenen
Abkürzungen (3), so können wir hier anch schreiben:

(2) rf»» = {l + p»)rfjr» + 2pqdxdy + (1 + q*)dy\
Liegt die Fläche in allgemeiner Parameterdarstellung vor:

(3) x = <f{u,v), y = r(w, f), z = ->p[fi,v),

so haben zwei unendlich benachbarte FUlchenpunkte {x, y, z) und
[x + dx, y + dy, z + i/r) unendlich wenigvon einanderabweichende
Parameterpaare u, v und u + du, v + dv. Es ist dann:

(4) dx ^ (p^du + rp^dv, dy = x^du + X^dv, dz = ip^du + ^fi^dv,
sodass das Quadrat des Bogenelementes den Wert hat:

(5) ds^ = {(pj + xj + 1/'..*) '^k' +

+ (<pJ' + x^' + %^'^''*-
Diese Formel ist von grundlegender Bedeutung. Da sie sehr oft

Pdr,yGOOgIe

^' 2. Die Fundanuntaigroasen ersler Ordnung auf einer Fläche. 15

angewandt wird, empfiehlt es aich, zur Abkürzung neae Be'^eich-
nangen einznführen. Wir setzen;'

oder, was dasselbe ist:'

■s

Diese drei Grössen heissen die FundamentalgrÜssen erster
Ordnung auf der Fläche (3)^ und zwar deshalb erster Ordnung,
weil sie nur die ersten partiellen Differentialquotienten von x, y, z
nach « und v enthalten. Mit ihrer Hülfe nimmt die Formel (5)
fQr das Qnadrat des Bogenelementes die einfache Gestalt an:

(8) ds* = Edu^ + 2Fdudv + Gdv^,

Das Quadrat des Bogenelementes d» einer Fläche ist also
anch bei der allgemeinsten Farameterdarstellnng eine
ganze homogene quadratische Function der Differentiale
du und dv der Parameter. Die Coefficienten I!,2F, G sind
Functionen von u und v.

Sind insbesondere x, y selbst die Parameter, d. h. liegt die
Fläche in der Form (1) vor, so sind die Fnndamentalgrössen nach
,2) diese:

{9) E=\-\-p\ F = pq, G = ! + <]'.

Der Darstellung (5) von ds' ordnet sich auch die Formel filr das
Quadrat des BogMielementes der Ebene unter, an die wir oben er-
innert haben. Sie geht aus (5) hervor, wenn wir die Ebene — auf-
gefasst als Fläche im Räume — so schreiben:

_^_^ x = tp{u,v), y = v.(a, p), r=.0.

' Nach 6au3b' „DiaquisitioneH".

* Wie im I. Band geben wir hinter dem Summenzeichen 8 nur das erste
Glied der Summe an. Die übrigen Glieder gehen auB ihm durch cjktische
Vertauschmig von x, y, x hervor. Vgl. I S. ITS.

Pdr,yGOOgIe

16 Erster AbschnUl: Das Bogcnelement der Fläeke.

Die FtmdameiitalgrösseD erster Ordnung E, F, G haben eine
wichtige Eigenschaft: Sie ändern sich nicht, wenn die starr gedachte
Fläche einer Bewegung (I S. 147) unterworfen wird. Man kann
dies rein begrifflich daraus schliessen, dass dt* als Quadrat der
Entfernung zweier Funkte bei der Bewegung ungeäodert bleibt Ks
soll aber auch durch die Rechnung bestätigt werden: Die Bewegung
führe den Punkt {x-, y, z) oder («, v) der Fläche (3) in den Punkt
(i, y, 5} über. Dann ist nach den Formeln I {A) ' des ersten Bandes : '

i = «,1 + «gl/ + «31 + 0,
y^ß^x + ß^y + ß^z^b,
z= yix+ y^y+ r^z + c,

wobei die a^, ßp y^ die in jener Tafel angegebenen Relationen er-
füllen. Infolge dieser drei Formeln und infolge von (3) sind die
Ooordinaten x, y, z der Funkte der Fläche in ihrer neuen Lage
ebenfalls Functionen der beiden Parameter « und v, und für diese
Functionen ist:

u. B. w., sodass nach I (C) sofort folgt:

u, B. w., d. h. nach (7):

E= E, f=F, 0= G,
wenn E, f, 0 die Fundamentalgrössen der Fläche in ihrer neuen
Lage bedeuten. Daher:

Sats 6: Die Fundamentalgrössen erster Ordnung einer
Fläche bleiben bei Ausführung einer Bewegung unge-
ändert

Ganz anders verhält es sich, wenn man auf der Fläche neue
krummlinige Coordinaten ü, r einftlhi-t Setzen wir nämlich wie
auf S. 7

(10) « = i(ö.i-), « = /iCfi,f),

' Die Formeln der Tafeln im Anhang zum ersten Band werden wir immer
duTch die römische ZiSer, der betreffenden Tafel und den Buchatubeii der
Fonnclbezeichnung eitleren.

' Nach I S. 148 haben wir in jenen Formeln x, y, ^ mit J, y, ^ za \%t-
taaBchen, da jetzt x, y, x die Coordioaten des ursprün glichen Punktes be-
deuten.

Pdr,yGOOgIe

Die FimdamefUalgrSiiaen erster Ordnung auf einer Fläche. 17

80 werden x, y, z nach (3) Functlouen von ü, fi, and ea wird;

dx _ dx ai Sa; ^^ 8x^ _ ^* A.'' j. 1^ ^ ^L

u. 8. w. Nun seien '£!, F, 0 die auf die neuen Parameter bezüg-
lichen FnndamentalgrÖBsen der Fläche; eo aei also entsprechend (7):

Wie man sieht, ergiebt sich aus den vorhergebenden Formekt:

Ähnlich drücken sich J^ und (? ans. Ersetzen wir dann die Summen
nach (7) durch ihre Zeichen E, F, G, so finden wir:

Hierin sind rechts die Functionen £, F, G von « und v mit Hülfe
der Formeln (10) in ü und f> anszadrUcken. Das Quadrat dea Bogen-
elementes hat alsdann statt der Form (8) in der neuen Parameter-
darstelluDg die Form:

(12) ds* = edü' + 2Fdüdv+ Qdv*.

Die Formeln (11) zeigen, wie die Fundamentalgrössen erster
Ordnang thatsächlich neue- Formen bei Einfilhmng neuer Para^
meter ü, s annehmen. —

Ist die Fläche (3) reell und gehören zu den reellen Werten
der Parameter u, v die reellen Punkte der Fläche, so sind die
Fundamentalgrössen E und G nach (7) reell und positiv, während
F zwar reell ist, aber auch negativ sein kann.

Häufig wird auch die Grösse

(13) J) = fEG -I*
gebraucht. Der Eadicand

.<.=^.-^.=s(i;)'8(--)'-(sf:i^)-

D,s™d=,Google

18 Erster Abachnüt: Da» Bogmelemmt der Fläche.

lässt sich so amformen (vgl. ädid. I S. 146):

ti4J ■" -[eu dv du e»j^[du dr du dt ) ^

Idx By dy_ dxy

'^\du~ev~ Bu 6v}'

Bei reellen Flächen mit reeller ParameterdarstelluDg ist also H'
stets positiv, sodass wir festsetzen dUrfen, 7) bedeute alsdann die
positive Quadratwurzel aus dem Ausdruck (14). D kann
dann übrigens auch nicht für aUe reellen Funkte gleich Null sein,
weil sonst nach (14) die drei Functionaldeterminanten von je zweien
der Grössen x, y, z hiusichtlich u und v gleich Null wären, was
nach Satz 55, I S, 83, und nach Satz 1, S. 5, unstatthaft ist Für
imaginäre Flächen jedoch ist dieser Schluss nicht bindend.

E^s giebt thatsächlich imaginäre Flächen, auf denen S überall
gleich Null ist Wir werden bald, auf S. 29, erkennen, was für
Flächen dies sind.

Sehr oft wird in den Formeln die Grösse J) als Nenner vor-
kommen, was zur Folge hat, dass viele Sätze der allgemeinen
Flächentheorie fUr jene besonderen Flächen nicht gelten oder wenig-
stens nur mit Vorsicht anzuwenden sind. Dasselbe gilt bei be-
liebigen Flächen für diejenigen Punkte auf ihnen, in denen D = Q
ist Daher werden wir häufig den Fall D = Q ausdrücklich auszu-
schliessen haben.

Noch sei angemerkt, dass mit E, F, G natürlich auch die
Fanction ß von H, F, G bei allen Bewegungen ungeändert
bleibt

Liegt die Fläche in der Form vor:

so hat D nach (9) und (13) den Wert:'

(15) *-Vl +?' + }'.

1. Beispiel: Bei der Kugel um deu AnfaDgspimkt mit ßadiu
{Tgl. (6) auf S. S):

ist:

i"' = »■', F = (i, 0 = r' cos' M , D = r* cos u

uud das Quadrat des Bogenelemeotea also:

rfsi = r'Ju'+ r'coH'Mrfr".

2. Beispiel: Ist u die Bogenlänge einer Curve:

£ = »(«), i)-jrC«). a = v(").

Pdr,yGOOgIe

§ 3. Tangenimebenßn einer Fläche.

ao hat derjenige Punkt der Tangent« der Stelle («), dessen Abstand vom Be-
rilhnuiggpuiikt gleich v ist, die Coordinaten:

'wobei tt = if'(u), ^ — jr'(w), f = V''(") die RichtungBcoBinua der Taugente sind.
I>i« Gleicbnngen (16) siod also, wenn u und v als Parameter aufgefasst werden,
die der Tangentenfläche der Curve (vgl. 1. Beispiel S. 10 u. I S. 262, For-
meln (4)). Hier ist nacb III (0):

wenn l, m, n die Riclitangscosinua der HauptnonnaJe, r den Krümmungsradius
der Oratlinie bedeuten. Ferner:

sodass nach II (J):

d«' = (l -!- -j-jdu' + 2dudv + dv*
ist Dies steht in Einklang mit Formel (6) in I S. 26S.

§ 3. Tangentenebenen einer Fläche.

FUi den Fall, dass eine Fläche durch eine Gleicbimg zwischen
■^1 y> ^ gegeben ist:

haben wir in I S. 230 den Begriff und den analytischen Ausdruck
ihrer Tangentenebenen aufgestellt Wir wollen jetzt für den Fall,
dass die Fläche mittels zweier Parameter u und « in der Form:
(1) X = (p{u, v), y = y(«, «}, z = tl>{u, v)

vorgelegt ist, ihre Tangentenebenen bestimmen.

Gehen, wir von dem Punkte {u, v) der Fläche zu einem unend-
lich benachbarten Punkte (w + du, v + dv) über, so wachsen t, y, z
um die DifFerenziale :

dx= -^du -\- ^-dv, dy=^ .^du + -^dv, dz = ^-du + ^dv.

ou Ov "^ öl* OD au a V

Die Coordinaten wachsen also proportional den endlichen Grössen
(2)

du ~ Sv du du

,d,GoogIe

Erster Abschnitt: Dtu Bogatdement der Fläche.

Daher hat die Gerade Tom Punkte (k, v) znm Punkte {u -^ du,
V ■\- dv) in den laufenden Coordinatea j, 5, j die Gleichungen:

= .+

9 = ^+fö + lf|j)

ä = ^ +

I ^ äp du)

mit dem Parameter (, Ist (k, t>) ein ganz bestimmt gewählter Ponkt
der Fläche, so haben hierin die Gröaaen x, y, z und ihre Ableitungen
nach u und v bestimmte Werte. Ausser t ist also recht« nur noch
dv.du yeränderlicL Je nachdem wir dies Verhältnis der Incre-
mente von u und v wählen, erhalten wir verschiedene Geraden (3)
vom Punkte (u, v) aus nach unendlich benachbarten Punkten der
Fläche. Nach I S. 232 sind diese ao^ Geraden die Tangenten
des Punktes (t(, t>) der Fläche. Setzen wir

so geben also die Gleichungen:

£ = * + -)

(4)

^=y^Vu'^'^^

3 = ^ + 1

r' + ^

wenn in ihnen t und t beliebig gelassen werden, alle oo'
Punkte (5, 9, j) aller 00' Tangenten der Stelle {w, v) oder [x, y, 2).
Da die Elimination von t und r aus diesen drei Gleichungen die
in y, 5, j lineare Gleichung

I dx

liefert, so folgt, dass die oo^ Tangenten des Flächenpanktes (u, v)
eine Ebene erzeugen. Wir haben also hiermit auf anderem Wege
als in I S. 232 nachgewiesen, dass die Tangenten eines Flächen-
punktes im allgemeinen eine Ebene, die Tangentenebene oder

Pd.yGoogIe

f 3. Tangetttenebenea einer Fläeke.

21

Tangentialebene des Punktes (u, v) bilden, von der man sagt,
dass sie die Fläche in dem betreffenden Funkt berührt Man er-
kennt nnn, dass der obige Schluss nur dann gilt, wenn far den be- -
trachteten Funkt (t, y, z] weder die drei ersten partiellen Ab-
leittmgen der Coordinaten nach u noch die nach v gleich Null sind.
Denn wenn fUr den betrachteten Punkt zunächst nur:

dv ■

öj, .

- = 0

-dudv +

öf»

+ •

ist, so giabt die Reihenentwickelung:

und dieselbe Formel gilt, wenn x durch y oder z ersetzt wird,
Da du* and dudv von höherer Ordnung unendlich klein als du
sind, Bo hat man dann anzunehmen, dass dv* son derselben Ord-
nung wie du ist, sodass bleibt:

dt.

r + H

Jetzt sind die GMeichungeo der Tangeute, die zu einem endlichen
Werte k von {dv)*:du gehört, diese:

1-'+-,

'+*!

mit dem Parameter t Da die Gleichungen in t und k t linear sind,
so erMlen die Tangenten auch jetzt noch eine Ebene:

E-i

1^

S-y

du

0

-(

%-'

Wenn nun aber für den

betrachteten Pa

also auch

4f-

". fe

da

= 0,

lü. -

0,

,d,Google

Erater AbachniU: Das BogeneiemerU der Flä^.

ist, so kommt zunächst:

'ou euov 'or'

und diese Formel gilt auch, wean x durch y oder z ersetzt wird.
Geben wir du and dv unendlich kleine Werte von derselben Ord-
nung, so können wir uns auf die Glieder besdiränken:

Die zugehörige Tangente bat daher, wenn

gesetzt wird, die Gleichungen in den laufenden Goordinaten £, t), g:

! = ' + (i^ + jr?;' + ta'^*')'.

.i>.

a-

mit dem Parameter t Geben wir k alle beliebigen Werte, so stellen
diese Gleichungen mittels der beiden Parameter t und k die Fläche
dar, die von allen Tangenten des Punktes (x, y, z) gebildet wird.
Die Elimination von t and h liefert die in ; — x, Q — ^, J — z
homogene quadratische Gleichung:

4 ^-y

die einen Eegel zweiter Ordnung mit der Spitze (x, y, z) bedeutet.
In dem vorliegenden Falle heisst daher der Punkt (x,y, z) eingnlär
(TgL Satz 32, I 8. 231). Dadurch, dass auch höhere Ableitungen
von X, y, z nach u nnd v gleich Null werden können, was wir soeben
stillschweigend ausgeschlossen hatten, können übrigens noch stärkere
Singularitäten eintreten: Der Tangentenkegel kann von höherer als
zweiter Ordnung werden. Hierauf gehen wir jedoch nicht ein.

Wenn die ersteo Ableitungen von x, y, z, nach dem einen Para-
meter, nicht aber auch die nach dem anderen gleich Null sind, so
kommt dem Punkte (x,y,z) zwi^ naph Obigem eine Tangentenebene
zu. Jedoch hat ihre Gleichung nicht die Form (5). Allgemeine

>, Google

Tanff^iienebm&i «wer Fläehe.

BetrachtuDgeD, bei denen die Form (5) benutzt wird, sind also nicht
ohne weiteres auf solche Pankte anwendbar.

Wir setzen deshalb fest; Ein Punkt (r, y, z) der Fläche soll
auch dann singulär heissen, wenn für ihn die ersten Äblei-
tangen nach einem der beiden Parameter alle drei gleich
Null sind. Von solchen Funkten sehen wir grundsätzlich ab, und ^

wir brauchen dies deshalb später nicht mehr immer zu erwähnen.
Bemerkt sei nur nochmals: Die Tangenten der Fläche verhalten sich
au einer solchen singulären Stelle nur dann singulär, wenn die Ab-
leitungen von X, y, z nach beiden Parametern gleich Null sind. Die
sonstigen singnlären Punkte sind, kann man sagen, nur in Hinsicht
auf das gerade benutzte Parametersjstem singulär. Denn man
kann durch Einföhrnng neuer Parameter leicht ihre Singularität
vernichten.

Nicht-singuläre Punkte heissen regulär. Punkte all-
gemeiner Lage sind r^ulär.

Beispiel: Ein Kieia drehe sich tun eine Secaute. Dadurch entsteht eine
KingflKche, die in Hiren Schnittpunkten mit dec Secante singulKr ist, weil
dort die Tangenten des Kreises Rotationakegel beschreiben.

Wir kehren zur Betrachtung der Fläche an einer regulären
Stelle {x, y, z) zurück. Dort ist (5) die Gleichnng der Tangenten-
ebene.

Ordnen wir sie nach den laufenden Coordinaten £, ^, }, so hat
sie die Form:

Ä^ + Bri + Ci^ß,

worin A, B, C, D nach (5) Functionen von x, y, z; x^, y^, z^; x^, y^, z^,
d. h. nach (1) Functionen von u und v sind. Die CoefRcienten der
allgemeinen G-leichnng einer Taügentenebene enthalten also zwei
willktlrliche Parameter u und v, sodass wir sagen können; Eine
Fläche hat hSchstens oo' Tangentenebenen. Aber sie kann
auch weniger haben, denn eine abwickelbare Fläche' hat Ja nur
oo' Tangentenebenen {vgl. z, B. Satz 15, I S. 293).

Dies führt uns zu einer umgekehrten Fragestellung: Es sei eine
stetige Schar von unendlich vielen Ebenen gegeben. Es wird dann
gefragt, ob es eine Fläche giebt, die alle diese Ebenen berührt.

Da die Schar der Ebenen höchstens von zwei willkürlichen
GröBsen u und v abhängen darf, so wird sie durch eine Gleichung
von der Form zu geben sein:
(6) A{u, v)i^ B[u, v)Xi + C{u, v)i, = D(u, v). , .

D,gH,zed.yGOOgIe

24 Erster AbsckniU: Da» Bogeneiement der Fläche.

Wenn nun von den drei Verhältnisseo der vier Grössen
A, B, C, B zwei von einander unabhängige Functionen von u und v
Bind, Bo enthält die Schar (6) sicher co* Ebenen. AndemfaÜB liegen
nor oo' Ebenen ¥0r, und wir wissen, dass oo' Ebenen die Tangenten-
ebenen einer abwickelbaren FUlche sind, vgl. § 5, I S. 289 n. f. X>a
dieser Fall schon erledigt ist, setzen wir voraus, dass zwei der Ver-
hältnisse der OrÖsaen Ä, B, C, L von einander unabhängig seien.

Sollen nun die co' Ebenen (6) die Tangentenebenen einer Fläche
sein, so muss jede der Ebenen einen Funkt (x, y, z) der fraglichen
Fläche enthalt«n. Da eine Ebene aus der Schar (6) durch Angabe
der Werte von k und w charakterisiert wird, so werden die Werte
X, y, X auch Functionen von u und o sein. Wären sie bekannt, so
läge die Fläche in Parameterdarstellung vor. Nun ist zn fordern,
daes die zum Wertepaar u, v gehSrige Ebene (6) alle Tangenten (4)
des Punktes {x,y, z) enthalte, d. h. dass'

sei fär aUe Werte von u, t> und Ton t, r, also einzeln:
S ^ :c = i), S ^*„ = 0, S ^3-, = 0.

Ba die erste Oleichung die darch Differentiation nach u oder v
heiTorgehenden Gleichungen:

^A^x-\-ZAx^ = J}^, S<«4-S^i„ = 2»,
naeh sich ziehen würde, so lassen sich die zweite und dritte Gleichung
ersetzen durch:

ZA^x = I)^, %A^x = I>^.

Mithin finden unsere Forderungen in den drei Bedingungen
(7) %Ax = I}, %A^x = 2)^, SA^x = D^

für x,y,z ihren Tollständigen Ausdruck.

Die Discussion dieser Bedingungen teilt man zweckmässig in
zwei Fälle: Da von den Verhältnissen von A, B, C, B zwei von ein-
ander unabhängig sind, so scheiden wir so: Entweder sind die
Verhältnisse von A, B, C allein (ohne B) von einander abhängig
oder nicht.

Im ersten Fall sind A, B, C, abgesehen von einem gemeinsamen
Factor, von einander abhängig. Da wir den gemeinsamen Factor
durch Division entfernen können, so können wir dann annehmen.

* Das Summeiizeicheii bezieht eich hier natilrlicb auch auf cjklische Ver'
tansohnng von Ä, B, C.

§ 3. Tangentennehenen einer Fläche. 26

dass J, B, C alle drei Fanctionen einer Fonction m{u, v) seien, so-
dass die Gleichung (6) so lantet:

A{fi>)l + 5(ü>)^ + CH j = D{u, V).

AlsdaDn darf aber J> nicht eine Function von a allein sein. Die
Bedingungen (7) sind hier:

Die beiden letzten Gleichungen widersprechen einander, da die
Functionaldeteiminantd von m und D von Null verschieden ist. Es
giebt also hier keine Lösung unserer Aufgabe. Im vorliegenden
Falle sind ^le oo' Ebenen der gegebenen Schar den Ebenen

durch den Anfangspunkt parallel. Diese letzteren sind aber nur
ao^ Ebenen, die also einen Kegel umhüllen.

In dem anderen Falle, dass die Verhältnisse von A, B und C
allein von einander unabhängig sind, gilt dies auch von den Yer-
bältnissen der CoeMcienten von j, 9, j, sobald wir die Gleichung (6)
durch Division mit S auf die Form
<8) y(S + Ä^ + Cs=l

gebracht haben. Diese Beduction ist übrigens unmiiglich, wenn
D ^ü ist, d. h. alle 00* Ebenen die Ebenen durch den Anfangspunkt
sind. Jetzt haben die Gleichungen (7) die Form:
(9) SAx=\, S^„*==0, Sv4,T = 0.

Ihre Determinante hinsichtlich x,y,z ist, wie man durch Aus-
rechnung sieht, ^eich der Funtionaldeterminante von Ä : C und B : C
(vgl. I S. 81), muItipHciert mit C. Wäre sie gleich Null, so wäre
entweder C = f>, was wir aber dadurch ausschliessen können, dass
wir die Goordinaten vertanschen, denn zwei der drei Grössen A, B, C
sind ja von Null verschieden, oder aber es wären A : C und B : C gegen
düe VorausBetzung von einander abhängig, nach Satz 54, I S. 82.
Also sind die Gleichungen (9) nach x, y, z auflösbar.

Sind zwei der Functionen x, y, z von u und v, die eich aus (9)
eigeben, von einander unabhängig, so stellen die Auflösungen eine
Fläche in den laufenden Coordinaten x,y,z, ausgedrückt mittels
der Parameter u und v, dar, und die 00' g^ebenen Ebenen sind
ihre Tangentenebenen. Wenn dagegen die drei Lösungen x, y, z von
einander abhängige Functionen von u und v sind, so stellen sie eine

Pd.yGoogIe

Erater Abschnitt: Das BogeneUmenä der Fläche.

Cnrve dar (vgl. S. 4), die vou den oo* gegebenen Ebenen berührt
wird. Sind endlich die drei Lösungen x, y, z ConstÄnten, so ergeben
sie einen Punkt, diirch den alle oo* gegebenen Flächen hindurch-
gehen. Das Gleiche liefert der Fall _D = 0.

Unser Ergebnis ist somit, wenn wir in dem zweiten Hanptfall
wieder von der speciellen Form (8) zur allgemeinen (6) zurück-
kehren :

SatE 7: Liegt eine Schar yon oo' Ebenen in den laufen-
den Coordinaten f, ^, j vor:

A{u, v)i + £(u, v)\) + C{u, v)i = D{u, v),

ausgedruckt mittels zweier Parameter u und u, ao giebt es
dann und nur dann eine Fläche, die alle diese Ebenen
berührt, wenn die Auflösung der drei Gleichungen:

Ax + £tf + Cz =:J) ,

A,x + B^y+C^i = J)^

nach X, y, z möglich ist, und zwar stellen die Lösungen
die Fläche in den laufenden Coordinaten x, y, z, ausge-
drückt mittels der Parameter u und v, dar. Diese Fläche
reduciert sich auf eine Curve, wenn die Lösungen x, y, z
von einander abhängige Functionen von u und v sind, und
auf einen Punkt, wenn die Lösungen Conatanten sind.

Ist die Auflösung der Gleichungen unmöglich, so
sind alle oo' Flächen den Tangentenebeuen eines Kegels
parallel.

Da parallele Ebenen in der Äaffassung der projectiveu Geo-
metrie (vgl. I S. 327 Anm. u. I S. 339) eine unendlich ferne Gerade
gemein haben, so ist deir letzte Fall der, dass je co^ Ebenen der
Schar eine (gerade im ünendlichfemen gemein haben, sodass es in der
unendlich fernen Ebene eine Curve giebt, die von den oo* Ebenen
berührt wird, nämlich die Schnittcurve des erwähnten Kegels mit
der unendlich fernen Ebene. Reduciert sich der Eegel auf eine
Gerade, so reduciert sich die unendlich ferne Curve auf einen
Punkt

Das Hauptergebnis unserer Betrachtungen ist dies: Eine
Schar von cn* Ebenen umhüllt im allgemeinen eine Fläche.
(Vgl. I S. 140.)

Pd.yGoogIe

> 4. Forlaebreüungurichiungen von einem Flächer^ttnkie mw. 27

§ 4. FoiischreitungsricMungen von einem Flachenpunkte aus.

Wir kehren zur Betrachtung der Tangentenebenen einer ge-
gebenen Fläche:

(1) x = ^[u,v), y=x{u,v), z = v(«. ")
zurück, deren Bogenelement da durch die Formel:

(2) d»* = Edv}-\-2Fdudv\- Gdv'

ausgedrückt sei. Wir haben geeehen, dasa die Tangentenebene des
Fläcbenpunktes (u, v) in den laufenden Goordinaten i, 9, j die
Gleichang hat (vgl (6), S. 20):

£ - ■»; ^u ^,\

9-y ?u y, "''•

Die Gerade, die im BerUhningspunkt (u, v) anf der Tangenten*
ebene senkrecht ateht, heisst die Normale der Fläche im Funkte
(u, v). Ihre KLchtungscoBinuB sind nach (3) den drei Grössen:

proportional. Da die Summe der Quadrate dieser drei Grössen
nach (14), S. 18, gleich ß* oder JEG - F* ist, so sind:

die Bichtungscosinus X, Y, Z der Normalen. Dadurch, dass
wir J> und nicht — 1> geschrieben haben, ist der Normale im Fall
eines reellen Fläcbenpunktes mit reellen Param^terwerten ein posi-
tiver Sinn beigelegt worden.

Wir merken hier einige öfters anzuwendende Formeln an. Zu-
nächst ist angenscheinlicb:

SJ'=1, SJX„ = 0, sxi; = o,

femer:

(5) SX;f„ = 0, ^Xx^~0.

Ferner ist nach (4):

D,„i,z,dr, Google

26 Mvter Abschnitt: Das Bogeneiemxnt der Fläche.

"Wenn wir in der groBBen Klammer x*x^ addieren und sabtra-
hierea, so kommt nach (7), S. 15:

y^.-gy.-^'-;/''-

Analog ergiebt aich Überhaupt die Reihe von Formeln:

Ex, - fx. y „ Fx,. - Ox,

(6) ] Zx^ -Xz^

- Fx.

I T V Ji%, ~- f Am -V- V ^ *r — " '*'"

1 Xy, - r», g , Xy, - Yx, ^- -■

Auch folgt;

\'. ', ^\

\'. ', ^\

wenn man die Determinante nach der letzten B«ihe entwickelt und
die Werte (4) benutzt

Die Formeln (4) fOr die BichtungBCOBinus der Flacheanormale
enthalten D im Nenner und sind daher nicht brauchbar, wenn ß
gleich Mull ist Ist dies in einem Flächenpunkte (u, v) der Fall, so
hat dort die Tangentenebene (3) eine solche Gleichung:
4(E-r) + 5ft-,) + CÖ-2).0,

in der ^4' + 5* + C* = 0 iBt Die Normale zu dieser Ebene hat
keine BichtungscoBinua und ist daher eine Minimalgerade (vgl.
I 3. 142). Nach Satz 48, I S. 339, ist die Tangentenebene folglich
zugleich Tangentenebene des Kegels von Minimalgeraden, die durch
den betrachteten Flächenpunkt gehen, d. h. der Nullkugel des
PnnkteB. Die Fläche wird also in denjenigen Fonkten, in denen
i> = 0 ist ^011 den zugehörigen Nullkugeln berührt

Fragen wir nach denjenigen Flächen, anf denen Überall B = ü
ist Sie müssen überall von den zugehörigen Nullkugeln berührt
werden. Da nun alle Nullkngeln durch Schiebung aus dem Kegel
der Minimalgeraden durch den Anfangspunkt hervorgehen (vgl. I
S. 336), so sind die Tangentenebenen aller NuUkugeln den Tangenten-
ebenen dicBeB einen Kegels paralleL Nach dem letzten Absatz des
SatzeB 1, S. 26, giebt es keine Fläche, die alle diese Tangenten-
ebenen berührt Hieraus folgt, dass eine Fläche, auf der überall
i> = ü ist, nur oo' Tangentenebenen hat, die zugleich Tangenten-

Pdr,yGOOgIe

§. 4. Fortsokreitwngsrichiangen von einem Fläche^nmlde ctus. 29

ebenen von Nullkugela sind. Nach Satz 15, 1 S. 293, ist die Fläche
mithin eine abwickelbare Fl&che. Ihre Gratlinie wird Überall von
der zugehörigen ?4ullkugel berührt and ist daher eine Minimal-
curve. Die GraÜinie kann sich auf einen Funkt reducieren, dann
ist die Fläche selbst eine Nullkugel; inebeeondere gehören auch die
Cylinder von Minimalgeraden hierzu. Also haben wir gefunden:

Satz 8: Die G-rösse D* = EG-F* ist nur an solchen
Stellen einer Fläche gleich Null, in denen die Fläche von
der lagehörigen Nullkugel berührt wird.

Satz 9: Die Flächen, auf denen Überall J)' = EG-t"
gleich Null ist, sind die Tangentenflächen der Minimal-
curven, insbesondere die Nullkugeln und die Gjlinder von
Minimalgeraden.

Daaa bei der Kugel auf S. 18 die Grösse D in den Polen
{u = ±^n) gleich Null ist, giebt deshalb nicht 2n einer Folgerung
im Sinne des Satzes 8 Änlass, weil diese Pole bei der gewählten
Parameterdarstellung nach S. 6 überhaupt auszuBchliessen sind.

Nebenbei sei bemerk^ dass D — 0 die Bedingung dafür ist,
dass das Quadrat des Bogenelementes ^s vollständiges Quadrat
(y^du + ycdo) geschrieben werden kann. —

Nach dieser Einschaltung kehren wir zur allgemeine Betrach-
tung zurück.

Auf der gegebenen Fläche (1) lassen wir den Punkt (u, v) sich
dadurch bewegen, dass vrir nnr u ändern, während v seinen Wert
behalten soll. Dann beschreibt der Punkt eine Parameterlinie (v).
Die Richtungscosinus ihrer Tangente sind proportional den Ab-
leitungen x^, y^, Zy von X, y, z nach u. Da die Summe der Quadrate
dieser Ableitungen gleich E ist — nach (7), S. 15 — , so sind

'*' yi'-' y#^- ys--

die Kichtungscosinns selbst. Ebenso hat die Tangente der durch
den Punkt (u, d) gehenden Parameterlinie (u) dort die Bichtungs-
coeinus :

_i_ _i_ 1

(9) yli^"' i/ff"^"' V^"^""

Wir nennen im reellen Fall diejenigen Richtungen der Tan-
genten positiv, für deren Cosinus die Quadratwurzeln aus den
positiven Grössen 2 und G positiv sind, d. b. diejenigen Rieh'
t«ngen, längs deren u bez. v zunimmt. (Vgl I S. 168).

PdsyCoogle

30

Erster Abschnitt: Das Bogendement der Fläche.

Erinnern wir uns daran, dass die Linien (v) und (u) na^h S. 9
die natürliche Verallgemeinerung der Geraden y = Const. luod
X = Const in der ary-Ebene sind,
30 liegt es im reellen Fall nahe,
in der Tangentenebflne diejenige
Drehung als positiv zu bezeichnen,
vermöge deren die Tangente der
Linie («) in die der Linie (w) über-
geht Siehe Fig. 5. Wir behaup-
ten, dass diese Drehung, sobald
man sie von der positiven Seite
der Normalen aus betrachtet, in
demselben Sinn stattfindet, wie die
Drehung in der ^y-Ebene von der
JT-Axe zur y-Äxe, sobald mau die
xji-Ebene von der positiven z-Axc
aus betrachtet.
Wenn wir nämlich i^r den Augenblick das Axenkreuz durch
eine Bewegung in eine solche Lage (j, t), j) bringen, dass der Flächen-
punkt der Anfangspunkt, die positive Tangente der Cnrve (v) die
j-Axe und die positive Normale die j-Axe wird, so werden sich
JC, ff und i» = fEG -~ß^ dabei nach Satz 6, S. 16, nicht ändern,
während %, 9, j jetzt solche Functionen von u und v sein müssen,
fUr die die Rtchtungscosinus (S) im betrachteten Punkte die Werte 1,
0, 0 und die Richtungscosinus (4) die Werte 0, 0, 1 haben. Bei
dieser Annahme ist deshalb im Flächenpunkt

Fig. 5.

81) _

0,

yE

i->- - 0,

sodass die Richtungscosinus (9) die Werte bekommen:

_>^ix, —? 0.

In der neuen { t)-Ebene — der Tangentenebene — liegt mithin die
Tangente der Curve (w) so, dass sie mit der positiven j-Axe einen
Winkel to — im Sinne der Drehung von der j- zur q-Axe — bildet,
für den

COS (0 = — ^ — ^ . Bin öl = - ,. . --=_-

ya dv yEyo

und daher sin a positiv ist. Folglich liegt <a zwischen 0 und n.

Pd.yGoogIe

§ 4. FoiyischreUungsrKhtungfn von einem Fläckenpunkie aus. 31

was eben anssagt, dass die Drehung, dorcb die wir die Tangente der
Curve (v) in die der Cnrve (w) überfuhren, gerade im Sinne der
Drehung der £-Axe zur q-Axe hin stattfindet.

Abgesehen davon also, daae der Winkel der Parameterlinien im
Punkte (m, ») kein rechter ist, sind jetzt die Tangente der Carve (»),
die Tangente der Curve («) und die Normale gerade so gegen einan-
der orientiert, wie die neuen Coordinatenaxen und also auch gerade
so wie die alten Coordinatenaxen.

Die Formel
(10)

gilt nach Satz 6, 8. 16, auch im alten Coordinatensystem {x, y, z\
za dem wir jetzt zurückgreifen. Der Wert von cosiu kann als
Summe der Producte der Richtangscosinus (8) und (9) direct be-
rechnet werden;

-du,v) über, bo legt

VE " ya "

oder nach (7), S. 15:

(11) cos (B = ■-■_ ,_ ■

^ V£ya

Gebt der Punkt (m, v) in den Punkt (w -
er das Bogenelement zurück:

(12) d^s = y^du,

geht er dagegen in den Punkt {u,v + dv) über, so legt er das
Bogenelement

(13) d^s = ^~Gdv

zurück. Sind du und dv positiv, so bilden die alsdann positiven

Elemente d^s und d^t den

Winkel <M mit einander. Die

vierte Ecke des durch beide

Kiemente bestimmten Par-

allelogrammes (siehe Fig. 6)

wird erreicht, wenn sowohl u

am du als auch v Mm dv

zunimmt.

Die Richtung, die der
Punkt (w, v) auf der Fläche
oder auf seiner Tangenten-
ebene einschlägt,

und

wachsen, deren Yerbältnis dv.du =-h gegeben ist, finden wir daher

Pd.yGoogIe

32 Erster Abschnitt: Das Bogmelement der Fläche.

80 : Auf den positiven Tangenton der Parameterlinien (v) vmd (k)
deB Punktes (u, v) tragen wir von diesem Pnnkte ans Strecken
ab, die sich wie YEdu zu yodv oder also wie ys zu k'^G ver-
halten, und vervollständigen das durch diese beiden Strecken be-
stimmte Parallelogramm, dessen Diagonale dann die gesucht« Rich-
tung giebt Je nachdem dabei du positiv oder negativ angenommen
wird, wird diese Eicbtnng im Sinne vom ursprQnglichen Punkt {u, v)
zur Gegenecke oder im entgegengesetzten Sinn, also nach rttckwSrta
über den Punkt (u, v) hinaus, eingeschlagen.

Nehmen wir zwei Werte k und x für dv.du an, so gehören
zu ihnen zwei Tangenten des Punktes (u, v). Längs der ersten
ist dann

dx-.dy.dz =~ {x^-{- kx^:{y^ + ky}:(z^-{- kz^,

und die Summe der Quadrate der Klammem rechts ist nach (7),
8. 15, gleich:

E+^Fk + Gh\

sodass vrir durch Division der Klammem mit der Quadratwurzel hieraus
die BichtungBCOsinuB der Tangente {k) erhalten. Wird die Wurzel
positiv gewählt, so ist die Fortechreitungsrichtung diejenige, bei der
du positiv ist. Entsprecheades ergiebt sich bei der zweiten Tangente^
Für den Winkel « beider ist also:

cos « = "_<?■_ +_*:^).f_«" ±."_^-i___ .

Nach (7), S. 15, kommt daher:

Satz 10: Auf einer Fläche mit den Parametern u und o-
hat der Cosinas desjenigen Winkels a, den zwei vom
Punkte (», v) ausgebende Tangenten {dv: du -^ k) und
{dv:du = x) mit einander bilden, den Wert:

r.. E±Fik±^±Qk.

V(£:+2l'* + Gi')(£ + 2J')( + Ö»Ö

und zwar ist die Quadratwurzel im reellen Fall positiv
anzunehmen, wenn bei beiden Fortschreitungsrichtungen
du positiv ist

Stehen die beiden Richtungen .auf einander senkrecht, so ist
cos a = Q. Dies tritt ein, wenn

(14) E+ f(A + x}+GÄx = 0

D,gH,zed.yGOOgIe

§ 4. Forleclavitungerichhmffen von etn«m Fläelwnpunkte aus. 33

ist, Toraosgesetzt dass der Nenner in der Formel &a coaa nicht

aach gleich Nnll ist Aber wenn etwa anch

(15) £+2Fk + Gk*^0

wäre, 80 gäbe die EUmination von A aas beiden Gleichungen:

D(E+2Fx+ Gx>)-0,
also entweder i> =• 0 oder

ß+2Fx+Gx* = 0.
Wäre letzteres der Fall, so wäre hiernach und nach (15):
k + x. ^, hx = ~,

sodass die Substitution dieser Werte in (14) doch i> => 0 ergäbe.
Also können wir sagen:

Sati II: Zwei Fortschreitungericbtnngen (A) und [x)
durch einen Flächenpunkt (u, v) sind zu einander senk-
recht, wenn

ß+F{k + x)+ Gkx=~0

ist, TorauBgesetzt, dass dabei D = '^EG — F* nicht gleich
Null ist

Da eine Differentialgleichang

Ä{u, v)du* + 2B{u, v)dudv + C{u, v)äv* == 0

nach Satz 5, S. 13, zwei Scharen von je oo' Garren auf der
Fläche definiert, so können wir uns &agen, unter welchen Be-
dingongeu diese beiden Scharen einander überall senkrecht schneiden
oder also, wie wir sagen (vgl. I 3. 110]^ ein Orthogonalsjstem
bilden. Die Differentialgleichung giebi, als quadratische Gleichnng
für dv.du aii%efas8t für jeden Punkt (u, v\ der Fläche die Fort-
schreitungsrichtnngen (Ä) und [x) der durch den Punkt gehenden
Correu der beiden Scharen. Daher ist

, , iB , A

A + « = --ö-' ** = -ö--

Setzen wir diese Werte in die Orthogonalitätsbedingung des
Satzes 11 ein, so kommt:

Sati 12: Die durch die Differentialgleichung
^(m, v)du» + 25(m, v)dudv + C(«, v)dv* = 0
definierten beiden Scharen von je oo' Curven auf einer

im. Dlff^. II. 8

.d^yCoogle

34 Erster Abachmä: Das BogeneUmeiü der FläehA.

Fläche mit den Parametern u and v bilden, vorausgesetzt,
daas Ii = yEG- F* nicht gleich Noll ist, ein Orthogonal-
sjstem dann und nur dann, wenn

EC-2FJB-\-Gä^Q

für beliebige Werte von u nnd v ist

Da insbesondere rfwtfo = 0 die Differentialgleichung der Scharen
TOD Parameter Knien ist und hier also A = C =Q zu setzen wäre,
so folgt:

Sati 13: Die Parameterlinien (u) und (f) einer Fläche,
auf der i)- ]/£G^7** nicht gleich Null ist, bilden ein
OrthogonalsjBtem, wenn /* für beliebige Werte von a und o
gleich Null ist

Ist F nicht überall gleich Null, so giebt die Forderung F =0
als Gleichung zwischen u und v nach Satz 3, S. 11, im allgemeinen eine
Curve, in deren Punkten die Parameterlinien einander senkrecht
schneiden. Diese Curve kann sich auf einen Punkt reducieren, ja
es kann vorkommen, dass F nirgends gleich Null ist

Beispiel: Auf der Kugel

ist F nach S. 18 gleich Nall. In der That schneiden die Breitenkreise hdcI
Meridiane einander senkrecht.

Wählen wir auf der Fläche eine Schar von oo^ Curven ganz
beliebig, etwa so, dasa sie die Differentialgleichung

du \ ' '

erfüllen, so können wir die Differentialgleichung der zu dieser Schar
orthogonalen Schar leicht aufstellen. Hätte sie die Form

1^ = „..„,,

30 mUssten eben X und /i nach Satz 11 die Bedingung:

E+ F(X + fi) + Gkti=='0

erfüllen. Hieraus aber lässt sich die Function ft (u, v) berechnen.
Der unendlich kleine Inhalt dJ des in Fig. 6, S. 31, darge-
stellten Parallelogramms mit den Seiten d^s und d^s ist (vgL I
S. 118)

dJiB (/ » . d Ä • sino»,

Pd.yGoogIe

? 4. Fortschreiiungariebiungen von einem FläehenpumkU OAta. 8S

dv.

mithin nach (10), (12) und (13)
(16) dJ=I>d

Also:

Sati 14: Die Grösse D = yEG- F* ist, m ultipliciert
mit du und dv, gleich dem Inhalt des Parallelogramms der
vier Punkte (m, v), (a -\-du,v), {u,v + dv), (« + du,v + dv) auf
der Fläche.

Insbesondere:

BatK IS: Das von unendlich benachbarten Parameter-
eurven (u), (« + «), (« + 2«) . . . beK. («), (w + «), (p + 2«) . . . ge-
bildete Curvennetz auf einer Fläche besteht dann und nur
dann aus lauter gleich grossen Parallelogrammen, wenn
ß = ^Eir^y* auf der Fläche constant ist

Beispiel: In der le «Ebene sei eine Gerade im Abstände r parallel zur
x-Axe gelegt. Sie werde um die s-Aie gedreht, aodoss sie einen Rotations-
c^liuder erzengt. Da derjenige Punkt
der Geraden, der zuerst die x-Coordi-
nate u bat, bei der Drehung, sobald der
Winkel V zurückgelegt ist, i " ~ "

u den Punkt

S?^

t (siehe Fig. 7), so sind
diese drei Gleichungen eine Parameter-
darstellnng des Eotationscjlindera. Hier
ist £=1, f »0, O — r", daher Z» = »-.
Die SStze IS nnd 16 werden hier be-
BtSligt

Unter den Fortschreitungsrich- Fig. 7.

tungen {dv.du\ von einem Flächen-

pnnkte [u, v) aus sind auch zwei enthalten, für die das Quadrat des
Bogenelementes:

rf«» = Edv} + 2Fdudv + Gdv*

gleich Null ist. Dies kann natürlich nur für imaginäre Fortschrei-
tungsrichtongen der Fall sein, was analytisch auch daraus folgt,
dass auf einer reellen Fläche mit reellen Parametern u und v die
Grösse EG — F* nach S. 18 nie negativ ist Die Differential-
gleichung:

Edu^Jf'iFdudv^ Gdv^ = 0

definiert also zwei imaginäre Scharen von je oo' Curven auf der
Fläche, längs deren überall das Bogenelement gleich Null ist, also
zwei Scharen von Minimalcurven (vgl. I S. 164). Diese beiden

.dr,yGoogIe

Eraler Abschnitt: Das Bogenehment tJer FläehA.

Scharen fallen nur dann znsammen, wenu die Differentialgleicbiuig
auf die Form:

(adu + ßdvf = Q

gebracht werden kann, d. h. wenn EG — F^ = (i ist (Vgl S. 29.)
Daher nach Satz 9, S. 29:

Sat2 16: Jede Fläche enthält zwei Scharen von je
cx}^ Minimalcarven, die nur dann in eine Schar, näm-
lich in eine Schar von Minimalgeraden, znsammenfalleii,
wenn die Fläche die Tangentenfläche einer Minimalcurve
iat Die Differentialgleichung der Minimalcurren auf der
Fläche ist:

Edu*Jf2Pdudv+ 6dv* = 0.

Insbesondere sind die Farameterlinien selbst die Minimälcorren,
wenn diese Differentialgleichung die Form dudv = 0 hat Also:

SatE 17: Die Parameterlinien (u) und (v) einer Fläche
sind dann nnd nnr dann ihre Minimalcurven, wenn das
Quadrat des Bogenelementes die Form hat:
ds* = 2FciKdv,

d. h. von den Gliedern in du* nnd dv* frei ist.

Natürlich gehören dann zu reellen Funkten der Fläche imagi-
näre Werte der Parameter.

§ 5. Flftchentreue Abbildung von Flftchen-

Liegt irgend eine Fläche vor:

(1) x = ff[u,v), y=;ir («.»). ? = i//(m, p),

Bo kann man sie auf unendlich viele Weisen Punkt für Punkt
auf die Ebene abbilden, d. h. man kann auf unendUch viele
Weisen jedem Punkt (m, ») der Fläche einen Punkt (j, ^) einer Ebene
mit den rechtwinkligen Coordinaten ^ und q gesetzmässig zuordnen.
Dies geschieht einfach dadurch, dass man ^ nnd 9 irgend wie als
Functionen von u und v giebt:

(2) ^ £=<!>(«,* t| -«<(«,»).

Nur muas man noch ausmachen, dass 1> nnd W von einander nn-
abbängige Functionen sein sollen. Denn sonst wäre etwa W eine
Function von </> aliein:

(3) W=m(Q>),

Pd.yGoogIe

§ 5. Fläehentreut Abbildung von Fläch^i.

sodass die Bildpankte (£, Q) der Fl&chenpnnkte nach (2) aa die O^leichong

gebunden w&ren, geometrisch auBgesprocben: auf einer Garve lägen.
DuiD wären also alle ao* Punkte (u, v) der Fläche vermSge der
Formeln (2) als die co' Punkte einer Corve in der Ebene abgebildet.
Je oo' Funkte der Fläche hätten denselben Bildpunkt, nämlich jedes-
mal solche 00^ Punkte {u, v), iilr die </>(u, v) den gleichen Wert hal^
weil f&r solche cc^ Flächenpnnkte nach (2) die Grösse £ gleiche
Werte hätte nnd ebenso die Grösse Q nach (2) und (3). Eine solche
Abbildung beisst ausgeartet, da bei ihr die Fläche nicht auf die
ganze Ebene, sondern nur auf eine Curre abgebildet wird.

Wir setzen deshalb voraus, die beiden Gleichungen (2)
seien nach u und v auflösbar. Allerdings kann dann immer
noch tut einzelne Punkte (u, v), ja fikr go' Punkte (u, v) die Functional-
determinante von 0 und 'P gleich Null sein. Es kann also vor-
kommen, dass eine gewisse Curre oder einige auf der Fläche doch
nur als Punkte abgebildet werden. Ebenso kann es vorkommen,
dass einzelne Punkte der Flädie sogar als Carven abgebildet wer-
den, wenn nämlich <P oder W filr gewisse Werte von u und v Ün-
bestimmtheiteD darbieten. Es kann also immerhin bei einer nicht
ausgearteten Abbildung doch ausgeartete Stellen (Funkte oder Gurvea)
geben. Wir müssen uns auf einen solchen Teil (u, v) der Fläche
beschilLnken, für den <l> und W bestimmt bleiben und ihre Functional-
determinante nicht gleich Null ist

Berechnen wir u und v aus (2) als Functionen von | and if
nnd setzen wir die berechneten Werte in (l) ein, so kommen drei
Oleichungen von der Form:

Sie geben direct zu jedem Büdpunkt (j, p) in der Ebene den Original-
puskt {x, y, z) auf der Fläche. Von solchen Gleichungen gingen wir
aus, als wir im I. Band in § S des 3. Abschnittes diejenigen Ab-
bildungen einer Fläche auf die Ebene besprachen, bei denen jede
unendlich kleine Entfernung auf der Fläche auch im Bilde die wahre
Grösse hatte. Damals sahen wir, dass nur gewisse Flächen, näm-
lich die Tangenten Sachen von Gurren, eine solche punktweise Ab-
bildung auf die Ebene gestatten. Siehe Satz 10, I S. 282. Deshalb
konnten wir diese besonderen Flächen die abwickelbaren Flächen
nen.
Wir folgern hieraus, dass wir eine beliebige Fläche (1) nicht

D,gH,zed.yGOOgIe

38 £V»fer AbsekmU: Dag Bogenelement der FlÜc/ie.

in der Weisa auf die Ebene abzubilden vennögen, dass jeder Gurre
auf der Fläche in der Ebene eine gleich lange Gurre entspricht
Diese Forderuug der Längentreue, wie wir sie nennen können,
geht also za weit, wenn es sich um eine beliebige Fläche (1) handelt.
Wohl aber können wir die Forderung der Fl&chentrene* stellen.
Es giebt nämlich immer solche Abbildungen einer beliebigen Fläche (1)
auf die Ebene, bei denen jedes Flächenstück im Bilde denselben
Flächeninhalt wie auf der Fläche selbst hat Es ist unsere Absicht^
dies hier zu beweisen.

Wir betrachten auf der Fläche (1) vier unendUcb benach-
barte Punkte, nämlich die Punkte {u, v), {u + du,v), {u,v + dv),
[u + d u, V ,+ d v), siebe die Fig. 6 auf S. 31- Sie bestimmen, wie
wir sahen, ein unendlich kleines Parallelogramm, dessen Inhalt nach
(16), S. 35, gleich

Ddudv
ist Dem Parallelogramm entspricht bei der Abbildung (2) wiederum
ein unendlich kleines Parallelogramm in der % ^-Ebene. Denn nach
dem L Band, § 16 des 1. Abschnittes, bestimmen die Gleichungen (2)
ein Netz von Parameterlinien (m) und (v) in der Bildebene. Diese
Linien sind die Bilder der Parameterlinien (u) und (u) der Fläche (1).
Wie das vorhin betrachtete Parallelogramm auf der Fläche von den
vier Parameterlinien (w), (w + du), (v), (v + dv) umschlossen wird,
so wird das Bild dieses Parallelogramms in der {Q-Ebene von den
vier Bildern dieser Parameterlinieu umschlossen; und nach (9),
I S. 118, ist der Inhalt des Bild- Parallelogramms gleich
±{^^%- 1'„<lijidudv,

vrie man siebt, wenn man bedenkt, dass an die Stelle der damaligen
GMeichungen (t) auf S. 112 die jetzigen Gleichungen (2) treten.

Das unendlich kleine Parallelogramm auf der Fläche hat also
denselben Inhalt wie sein Bild in der {^-Ebene, wenn

(4) *u *,-'''«*„ = ± -ö

ist. Gilt dies für alle Werte u, v innerhalb des zulässigen Werte-
bereiches, so hat ancb jedes endliche Stück der Fläche denselben
Inhalt wie sein Bild, denn jedes FläcbenstUck lässt sich als Summe
(Doppelintegral) solcher unendlich kleiner Parallelogramme darstellen.
Die Gleichung (4) ist also — bei bestimmter Wahl des Vor-
zeichens — der analytische Ausdruck dafUr, dass die betrachtete

> Hier ist dos Wort Fl&che im Sisne von FUcheninhklt in veratebän.

Pd.yGoogIe

§ 5. Flächentrew AbbüdUTig v(m Flächen. 39

Abbildung (2) der Fläche (1) auf die f^-Ebene flächeatreu ist
MTir wollen dies als Satz formulieren, indem wir auf die Formel (18),
S. 17, zurückgehen:

Sab IS: Die Fläche

x = fp{u,v), y=x (k, v\ z=.il> l«, r)
ist dann und nur dann vermöge der GFleicbuugen

flächentreu auf die Ebene mit den rechtwinkligen Co-
ordin»ten j, ^ abgebildet, wenn die Functionen 0 und V
für beliebige Wertepaare u,v eine der beiden Bedingungen:

<li^ itf^-qf^<Ii^ = ± fEG - F*
erfOllen.

Die frühere Voraussetzung der Unabhängigkeit von </> und W
ist im Satze nicht nötig, denn wenn 0 und V von einander ab-
hängig sind, 30 ist ihre Functionaldeterminante nach I S. 6S gleich
Null ojid mithin D =^0. Auf den Tangentenilächen der Minimal-
curven (vgl S. 29) hat aber nach Satz 14, S. 35, jede Fläche den
Inhalt Null. Wenn wir also eine solche Fläche in ausgearteter Weise
nur als Cnrve in der ^q-Ebene abbilden, dürfen wir doch die Ab-
bildung äächentreu nennen.

Man erkennt leicht, daas man nur eine flächentrene Abbildung
der Fläche (!) auf die Ebene zu kennen braucht, um auch alle
angeben zu können. Denn wir braachen ja nur weiterhin die
^Q-Ebene flächentren auf eine andere Ebene, sagen wir auf eine
Iij-Ebene abzubilden, was nach Satz 75, I S. 123, keine Schwierig-
keiten macht. Jedem Paukt (», n) der Fläche entspricht dann ein
Punkt (f, t)) der ersten Ebene und weiterhin diesem Punkt ein
Funkt (I, I}) der zweiten Ebene, und dabei sind entspechende
Flächenstücke auf der Fläche und in den beiden Ebenen einander
an Inhalt gleich. Der umgekehrte Schluss liegt auf der Hand: Ist
die Fläche auf zwei Ebenen flächentreu abgebildet, etwa vermöge:

(5) E = 0 («, V). 9 = y/ {«, V)
und vermöge

(6) !-*,(«,-), v-iP, («,.),

so ergeben sich durch Elimination von u und v zwei Gleichungen

j-j(E,«), ?-r(j, n),

die eine flächentreue Abbildung der einen Ebene auf die andere
bedeuten. Daher:

Pd.yGoogIe

40

Erster Abschnitt: Daa BogendemerU der Fläche.

Bata 19: Kennt man eine flächentreae Abbildung einer
gegebenen Fläche auf die Ebene, ao erliäU man alle ihre
übrigen fläcbentrenen Abbildungen anf eine Ebene da-
durcb, dasB man jene eine Ebene weiterhin in allgemein*
Bter Weise anf eine andere Ebene flächentreu abbildet

Liegen zwei Flächen vor and will man die eine aaf die andere
in allgemeinster Weise flächentreu abbilden, so braucht man nur je
eine flächentreae Abbildnng jeder der beiden Flächen auf je eine
Ebene zu kennen. Denn dann braucht man ja nur die eine Ebene
in allgemeinster Weise flächentreu auf die andere abzubilden, so-
dass nach Satz 75, I S. 123, folgt:

Sati 20: Das Problem, eine gegebene Fläche in all-
gemeinster Weise flächentreu auf eine andere gegebene
Fläche abzubilden, erfordert zn seiner Lösung nur noch
Eliminationen, sobald man jede der beiden Flächen auf
eine Art flächentren auf die Ebene abzubilden vermag.

Beispiele hierzu bringt der nächste Paragraph.

§ 6. FIftchentreue Abbildung der Rotatlonsflftchen.

Das Problem der flächentreuen Abbildung ist insbesondere fllr
die Botationsflächen lösbar. Eine Rotationsfläche entsteht da-
dnrch, dass eine starre Curre um eine fest mit ihr verbundene and
im Baame unbewegliche Gerade gedreht wird. Diese Gerade beisst
die Axe der Fläche. Alle ebenen Schnitte, die die Axe enthalten,
sind einander congruente Curren
und heissen die Meridiane der
Fläche. Jeder ebene Schnitt senk-
recht zur Axe ist ein Kreis und
beisst Breitenkreis. Diese Be-
zeichnungen sind von dem um die
Erdaxe rotierenden Erdsphäroid ent-
nommen.

Um eine Rotationsfläche ana-
lytisch darzustellen , nehmen wir
ihre Axe zur ^-Axe, sodass die
z2-Ebene einen Meridian enthält
(siehe Fig. 8). Die Bogenlänge dieses Meridians, gemessen von
irgend einer Stelle aus, sei mit u bezeichnet, sodass etwa:

Fig. 8.

(1)

T=p{u), y = 0,

■?(«)

Pd.yGoogIe

§ 6. Fläehentreue Abbildung der HolaHonsfläcJi^i. 41

die Gleichungen dieses Meridians sind. Wird die Ebene dieses
Meridians um den Winkel v um die ^'•Axe gedreht, so sind

(2) X = p (m) 009 V, y = p (m) sin «, z — y {«)

die Gleichungen des neuen Meridians. Giebt man dem Winkel v
alle möglichen Werte, so stellen die Gleichungen (2) alle Meridiane
dar, d. h. die Gleichungen (2) sind, venn u und v beliebig yariieren
dürfen, die Gleichangen der Kotationsfläche, auegedrilckt
mittels zweier Parameter u und v.

Nach (7) auf S. 15 sind die FundamentalgrOssen erster Ordnang
hier diese:

£! = p-* + g'>, F=0, G=p\

Die Formel F^ 0 sagt nach Satz 13, S. 34, aus, dasB die Fara-
meterlinien ein OrthogonalByBt«m bilden. Dies kann man auch geo-
metrisch leicht sehen, denn die Linien (u) sind die Breitenkreise
und die Linien (v) die Meridiane.

Da « die Bogenlänge der Curve (1) ist, giebt Satz 4, I S. 164:

?'• + ?■'= 1,
sodass wir haben:

(3) E~\, F=Q, G=-p*.

Das Quadrat des Bogenelementes der Botationefläche (2) hat daher
die Form:

Ferner ist hier;

D = yBG^F'^ ±p{u).

Um nun die FlElche auf wenigstens eine Art Öächentren auf die
Ebene abzubilden, kommt es nach Satz 18, S. 39, darauf an, zwei
Functionen 4> und ^ von u und v so zu bestimmen, daes

(4) *„^,- *P„*,= ±Pi^)

wird. Diese Forderung lässt sich leicht erfüllen, wenn man direct
fji = v setzt, da dann einfach y^ = :f ;» (w) bleibt, sodass z. B.

W^ fp(u)du

fp{u)d

gesetzt werden darf. Daher:

Satt 21: Die Botationsfläche

X =p{u)coav, y = ;> (m) sin v, z = q (m),

Pd.yGoogIe

Eritler JbacluUit: Das Bogeneiemenl der Fläche.

bei der tt die BogenläDge des Meridians bedeuten soll,
wird rermöge der 31eichungen:

£ = "

ti-Jp(u)dti

flächeDtreu auf die ; Q-Ebene abgebildet

Die Meridiane (v) bilden sich als die Gerade ^ <= v parallel

Zur ^Axe ab. Geht man von o = — 3 bis u = + jt, so erhält man
alle reellen Meridiane und ihre Bilder.
Diese Bilder bedecken einen Streifen
der Ebene. Wenn wir diesen Streifen
als Abwickelung eines Rotationscylinders
auffassen, dessen Grandkreis also die
Breite 2n des Streifens zur Gesamtlänge
and mithin den ßadius Eins hat, so
können wir vermittels dieses Cylinders
die flächentreue Abbildung so bersteilen
(siehe Fig. 9):'

Wir construieren denjenigen Kota-
tionscylinder mit dem Radius Eins, dessen
Aze die Axe der Fläche ist Als Grund-
kreis t des Cylinders sei derjenige Kreis
bezeichnet, in dem die Ebene des Brei-
tenkreises (u = 0) den Cylinder schneidet

ae an werden die
dianen gemessen.
Dsbesondere den

Von diesem Breitenkreis'
Längen u auf den Meri
Nunmehr fassen wir
Meridian (p = 0) ins Auge, der in der
.irz-Ebene liegt Er sei mit m bezeichnet.
Die Ebene dieses Meridians trifft den Cylinder in zwei Geraden, von
denen wir eine, m, auswählen. Dem Paukte U des Meridians m,
dessen Bogenlänge A U gleich u ist ordnen wir denjeuigeu Punkt U

Fig. fl.

> Die f^. 9 ist fSr die Rotationsfläche, genannt Catenoid, entworfen,
die dnrch Drehung einer Kettenlinie tu um ihre Leitlinie entsteht. Hier ist:

p(tt) = l/r+ «', g(«) = log(« + \T+~i?),

aodaBB der Meridian m die durch Elimination von u hervorgehende Gleichung
in X und » hat:

X.K.- + .-).

In diesem besonderen Fall liegen die Punkte 91 und A, von denen oben die
Rede ist, sosammen.

Pdr,yGOOgIe

§ 6. Fläckentreue AiAüdung der Rotationsflächen. 43

der Geraden nt zu, dessen Abstand ÜU vom Gnmdkreie f gleich
dem Integral von 0 bis u Dber p(u)du ist. Nach (1) ist p{u) die
Abscisse X TOD U, du das Bogenelement auf m. Jetit ist jedem
Punkt U des Nallmeridians m ein Punkt U der Geraden ni zugeordnet.
Lassen wir m und m um die Axe (z-Axe) rotieren, so wird jedem
Punkte der fläche ein Punkt auf dem C7linder zugeordnet sein.
Wird endlich der Cylinder in die Ebene aasgebreitet, so liegt die
gewünschte Abbildung tot. Der Grundkreis ( und die Gerade m
siad die %- und ^-Äxe in der Ebene.

Nach den Erörterungen, die zu Satz 19, 8. 40, fllhrten, folgt
aus dem Satz 21, dass man alle übrigen flächentrenen Ab-
bildungen der Rotationsfläche (2) auf die Ebene bloss durch
Eliminationsprocesse finden kann.

Dies gilt insbesondere von den flächentreuen Abbildungen
der Kugel Solche Abbildungen sind namentlich fUr geographische
Zwecke wichtig.' Wir wollen daher einige der beim Entwerfen von
Landkarten gebräuchlichen oder doch vorgeschlagenen flächentreuen
Abbildungen der Kugel hier ableiten.

Beiapiele: Die BotatioDsfllche (2) ist eiae Eugel um den Änfkngepankt
mit dam Radius Eine, wenn die Qleichungen (IJ des Nullmeridiane die des
Kreises mit der Bogenlänge u sind;

T — cosu, y - 0, K = sinu.
Wir setzen also p = caatt, ^c^sinu, wodurch die Gleichungen (2) in der
That in die schon auf S. 8 gefundenen Gleichungen der Kugel
3; = coB«coHp, y ^ eoautiav, « — einu

mit der geographischen Breite u und Lfinge v übergehen. Die im Satz 21 ge-
nannte Abbildung hut hier die Gleichungen;
(5) j = p, H = aiutt.

Wenn wir hier dieselbe Fig. 9 wie vorhin entwerfen, so sehen wir, dosa die
einander zugeordneten Paukte U und U gleiche H5he über der xy- Ebene
haben. Mithin kann diese einfachste flSchentrcae Abbildung der Kugel so
hergestellt werden:

Wir legen nm die Kugel den IftngB des Äquators (u '^ 0) berührenden
HotatioDscylinder und ordnen jedem Pnnkte ü der Engel denjenigen Punkt U
des Cylinders zu, in dem das über U hinaus verlSngerte Lot von 17 auf die

' Die flächentrenen Abbildungen der Kugel, die man auch weniger glück-
lich als Squivalente Abbildungen bezeichnet, wurden zuerst von Lambebt,
„Anmerkungen and ZusKtze zur Entwerfung der Land- und Him-
mels Charten", in seinen „Be^trfigen zum Gebraacbe der Mathe-
matik", S. Teil, Beiiin 1772, untersucht. Siehe auch Ootwald'b Klassiker
Nr. 54. Diese Abhandlung enthält die ersten allgemeiaen Untersuchungen über
du Problem, die Gradnetze f&r geographische Karten zu entwerfen.

Pd.yGoogIe

44

Erster AbsehniU: Das Bogenelement der Fläche.

Nord-Süd-Axe («-Axe) den Cjlmder trifft. Alsduin wird der Gylinder
Ebene Anggebreitet. Dies ist eiae der Alteeten flSchentreDen Abbildungen.' Sie
ist in Fig. 10 dargeat«llt. Zum beasären Erkennen der Versemingen sind die
Meridiane und Breitenkreise im Abstand von je sehn Grftd und die Länder-
m&sBen auf der Erdoberfläche in das Bild eingeieichnet* Diese Abbildung (5)

Fig. 10.

I die Periode 2n hat Die Figur enthält also
rechte und links noch beliebig oft angesetst

ist übrigens periodisch, da
nur eine Periode des Bildes,
werden kann.

Um sonstige flächeotreue Abbildungen der Kugel herzasteilen, haben wir
jetzt weiterhin nach 3. 89 die ; q-Ebene flfichentreu auf eine andere Ebene za
beziehen. In dieser Ebene seien f und 7 rechtwinklige Goordinaten. Wir
gehen auf Satz 76, I S. 123, znrQck nnd haben nur statt u, r und X, y dort
l, Q nnd f, 1 oder also nach (5) statt u nnd v die geographiscbe LSnge v nnd
den Sinus der geographischen Breite u und statt x, y die neuen Coordinat«n
I, 1; zn setzen. Wir verstehen demnach unter a irgend eine Function von v
und I, für die

(fii a'"(''.fl +0

'^^ -sVdT * "

ist. Darauf setzen wir an:

(7)

und ISsen beide Gleichungen nach | und 7 anf. Hierdurch erhUt man nur
diejenigen flScbentreuen Abbildungen nicht, bei denen die Meridiane in die
Geraden $ — Const abergehen. Aber durch Vertauschen von $ und 1; gehen
auch diese hervor.

' Man benennt sie nach Imhbebt (vgl. die oben erwHhnte Abh.), der sie
ausdriicklich als Abbildung anfKhrt Aber ihr Grundgedanke, daas nämlich
die FISche einer Kugelzone, die von zwei Ebenen parallel zum Äquator be-
grenzt wird,' gleich der Fläche der entsprechenden Zone des längs des Äqua-
tors umschriebenen Cylinders ist, war schon Arcsiuedbb bekannt.

' Man sieht, dass sich diese Art der Abbildung nur für solche Länder
eignet, die sich nicht allzusehr vom Äquator entfernen, da die Pilo ausge-
artet sind. Auch die später eu besprechenden Methoden der Abbildung eignen
sich immer nur fUr Teile der Erdkugel, dennoch stellen wir immer zur besseren
Erkenntnis des Abbildungsgesetzes in den Figuren die ganze Erdkugel dar.

öl

Pd.yGoogIe

§ 6. Fläckentreue Abinldwng der RotaHonafläehen.

Seteen wir z. B. fOr a die allerdinga aetnlich complicierte FunctiOD:
BO folgt «0« (1):

1 ,/-z — s «

am t* = — yp* — {* , ij ■- arc C08 —
oder darch AnflSsen naoh { und >;;

(9) $=PCO»M, l?-I*.

Bei dieter Abbildung' encheinen die BreitenkreiBe (u) ale parallele Geraden
1 — CoDBt in ihren wahren auf der Kugel gemessenen Abständen von einander,
wfibrend die Meridiane (c) durch Cnrren dargestellt werden, die in der $i;-
Ebene die Gleichongen (0) mit dem Pafametar u haben, die also — nach Eli-
mination von u — anch so geschrieben werden können:

dem Bilde des Lüngenkreises (c — 1), darch constante VergrSsseriing der Ab-

Bcissei) hervoi^hen. In Fig. 11 ist das Bild gegeben.* Die Meridiane schnei-

' Die erste Anwendung dieser Abbildungsart findet sich 1606 anf einem
Blatte einer Ausgabe von Heboatob'b Atlas nach dem Tode Mbbcitob's. Wer
den Entwarf dort hergestellt hat, ist nicht sicher bekannt Saksoh wandte
diese Abbildnngsart luent systematiach in «einem im IT. Jahrhundert in Frank-
reich erschieneueu Atlas ao. Daher wird sie nach ihm benannt

* Die Figuren 10 — 16 sind aftmtlich in demBelhen Maaasstab entworfen.
Bei allen wSre wie bei Fig. 10 eu bemerkeii, dasB die Abbildung insofern
periodiech ist, ftla die Ragelfläche im Bilde unendlich oft wiederholt eTScheint
— wenn auch nicht gerade oongment wie in Fig. 11 — , da die Gleichungen der
Abbildnng periodische Functionen enthalten. Fttr die Zwecke der Karto-
graphie benutet man nur die in unseren Figuren gegebenen Perioden, ja auch
diese nur teilweis wegen der an den Rändern auftretenden grossen Verzerrungen.

Pd.yGoogIe

46 Erster JbsAnüt: Das Bogeneiement der Flädis.

den im Bilde auf den Breitenkreisen Strecken ab, die von derselben I^Kt^e
wie die betreffenden Stücke der Breiteukreise auf der Kagel sind.

Man bemerkt, dass die auf (7) begründete Methode zwar olme Integrationen,
doreh Elimination allein alle fl&chcntreuen Abbildungen der Kugel liefert, aber
nicht gerade darch einfache Gleichungen darstellbare Abbildungen dorcb ein-
fache Annahmen t^r die zu nählende Function m [v, £).

Geht nuw darauf aus, gewisse blondere Arten von fläcbentrenen Bildern
der Kogel zu bestimmen, so wird man daher das directe Verfahren anwenden,
das allerdings Integrationen verlangt;

Die Gleichungen
(10) j-0O^p). D=y'(«,r)

stellen ja allgemein eine flfichentreue Abbildung der Kugel mit der Breite u
und Länge v dar, wenn nach (4) and, weil jetzt p = cos u ist:

*. y^. - "^^ *,. = ± cos u

ist. Ob wir das obere oder untere Vorzeichen wählen, ist gleichgültig, da wir
den einen Fall aus dem andern durch Vertauschen von ^ mit ij ableiten können.
Wir wollen die Forderung so stellen;
(U) «P.V.- V^.*„- - cos«.

Benutzen wir in der Ebene statt der rechtwinkligen Coordinaten ;, ij
Polarcoordinaten r, (p, so sind die Gleichungen (10) nnd (11) durch andere zu

ersetzen. Es ist ja:

(12) j = rcos9, l) = rsin»,

sodass nach (10) auch r und ip Functionen von u und v sind;

19) r« Biu,v), q> - Flu,p).

Die Bedingung für diese Functionen (12) können wir leicht aas (11) ableiten.
Denn nach (12) ist:

I »■„ cos ip — r Ip, sin (p r, coa f — r ip, sin ^j I
] r,. sin ^p + r ip, cos 9 r„ sin 9 + >■ ip, coa <p \

" -r{<p,r,- r„ip,)= - R(F,B,- R.F,),

sodass wir statt (U) zu fördern haben:

(U) R (F. Ä.. - S, F.) = cos u .

In Polarcoordinaten r, ip stellen also die Gleichungen (13) eine fl&chen-
trene Abbildung der Kugel dar, wenn die Bedingung (14) erfüllt ist

Zunächst fragen wir jetzt nach den flfichentrenen Bildern, bei
denen die Breitenkreise als concentrische Kreise nnd die Meri-
diane als ihre Badien erscbeinen. Hier beuuteen wir natürlich Polar-
coordinaten r, ip, indem wir verlangen, dass jeder Breitenkreis (u) als ein Kreis
*■ = Const,, jeder Meridian (») als eine Gerade <p = ConsL eracheinen soll. Wir
unterwerfen also die Functionen (13) der Beschränkung, daas R nur von u und
F nur von n abhängen soll. Dann reduciert sich (14) auf:
- JiÄ'(tt)jr'(p) = cosu,

Pd.yGoogIe

Flächentreue Abbildung der BotaÜomflächen.

'■■'"--•

(. - CoMti

f w - -^ + •

(S, a - Ck>i.Ä).

.p--^ + e

(•, S, t - Coul)

woraus einzeln folgt:

fiÄ'(«)--OC0l.l.

5* = 2(6 - aainw).
Nach (13) iind also:

(15) r = 1/2(6 ^ofii^,

die GleichuDgeu der gesuchten Abbildung. '

Sie ODtbalteu drei willkürlicbe Conalantea a, h, e. Offenbar kSnneii wii
durch Drehung dee AnfaugaBtrahlee der Polarcoordinaten erreichen, dow der
Nnllmeridiaa (p = 0) gerade &le der Strahl (ip - 0) abgebildet wird. Wir dürfen

also in (15) ohne weiteres e — 0 annehmen. Die Pole [u = ± — ] der Eugel

bilden eich als die Kreise mit den Radien:

Vüb r^)

ab, arten also in der Figur ans. Der Nordpol lu » ^- 1 tbnt dies unr dann

nicht, wenn b = a ist Bei dieser besonderen Annahme können wii die
Formeln (15) «o schreiben:'

(16) . = 2V^rin({---^-), 9--J-

Far a = I und a - 2 stellen die Figuren IE und 13 auf S. 48 die Karten dar.
Jetzt wollen wir die flficbentrenen Bilder suchen, auf denen die
Breitenkreise als parallele Geraden erscheinen.' Dabei benutzen wir
natflrlich gewöhnliche PunktcoordEnaten ;, i), sodass die Formelu (10) nnd (11)
anzuwenden sind. Wii Terlangen, dass jedem Breitenkrds (u) eine Gerade
q — Const. entspreche. Mithin muss V eine Function von u allein sein, sodass
ans (11) folgt:

^<P _ cos«

Da rechts nnr ti aoftritt, so folgern wir weiter:

¥"(«)

+ <-(«).

Dabei bedent«! a eine beliebige Function von u. Also haben wir:

u-o 5-^^ + "*"'- ••='^(")

' Sie rührt her ron Albbbb in der Mouatl. Korrespondenz fSr Erd- und
Hinunelfiknnde Bd. XI und XII, 1605.

* Diesen Speciallall von Albbbs Methode hat schon Lakbbbt 1T72 (vgl.
die Aom. S. 48).

* Ein Specialfall hiervon ist die auf S. 45 gefundene SAMSOH'sche Ab-
bildung.

Pd.yGoogIe

48 ^aier AbaehniU: Das Bogmelement der Fläche.

ala Gleichungen aller Abbildnngen der geauchten Art Auch die FanctioD V
von w kann irgend wie gewftblt werden.

Wir wollen inEbeeondere noch verlangen, dasE die Meridiane als Geraden
durch einen Pnnkt — das Bild des Nordpols — erscheinen. Wir denken ona

Fig. 18.

die q-Aie durch diesen Bildpunkt gelegt, sodass £ — 0, q - A die Coordinaten
des Polbildes sind. Jeder Meridian (t) soll als eine Gerade j : (i) — 6) — Conat.
abgebildet werden, d. h, dies Verhältnis soH eine Function V von v allein sein,
woraus nach (17) folgt:

Da die linke Seite linear in v ist, ho gilt dasselbe von

K-or + e (i, c = Const.).

Pd.yGoogIe

r 6. Flächen^reue Abbildung der Rotationsflächen-

B einzeln Min:

^--a(V-J), »-«(V-S),

und die hierin auftretenden Functionen W nnd a hängen
erste Fonnel giebt:

C0BW = o.(y'- 6) v
oder integriert:

sinu + Conflt. - y(V- 6)*

wahrend die «weite Formel u

inn liefert:

(o . Conat.),

Nach (17) kommt somit:

..V-

»■i>iu

f = ±(ar + c)|/o

+ ^*",

.-4±l/a +

2u

|no

Weil (je - 0, q - £) daa Bild des Nordpols lu = - sein soll, so mnia

a = sein. NatOtlicli kSnnen wir annehmen, dass die ;-Äze gerade daa

Bild des Äquators (tt - 0), also 6 ± yä'<^ 0 sei. Ist 6, wie wir offenbar ohne
Beeintifichtignng der Allgemeinheit TOranssetzen dUrfen, positiv gewShlt, so
werden wir daher bei der Quadratwursel das Minuszeichen benatzen nnd aossei^

dem a = b* setzen. Dann ist a = = — -^ . Aosserdem darf angenoin-

- 0 seL

= b{l-Yr-

-(:-|). . = 4i-yrsin(|-|)].

Die Constante b kann irgendwie gewfihlt werden. Deshalb können wir es M
einrichten, daoa die Meridiane Ip « ± — | als Qeraden erscheinen, die mit der
9-Axe Winkel von 4&o bilden. Dies tritt nKmlich ein, wenn sich ; fSr w - 0,
p — ± — anf ± 6 reduciert, d. h. fär b = Y^- Dann ist:

BcmFftB, Oeom. Dillr, .

,d,Google

60 Erster Abgehnäl: Dm Bogenelem^U der Fläche.

DiM Kartenbild' giebt die Fig. 14. Der Sfldpol [''=~-y) b™<=^^' "^
I Gerade ^ — — ^/^^{yT— l) vereerrt, und

I die gMice KngelflSche wird anf das In-

I nere eines gleicbechenkligen Dreiecke ab-

gebildet, deNen Grundaeite diese Gerade
in der Lfinge 4 ^2 n and deasen Höhe
gleich y2n ist

Die Formela (IT) führen zn einer an-
deren weniger venerrten Karte, wenn wir
Tennchen, die Fnnctionen ^ und a von u
BO cu wühlen, daaa die Meridiane ab El-
lipsen eracheiuen, die eine Axe mit den
Endpunkten (; = 0, i) — ± 6) gemein haben.
Diese gemeinsame Axe bat dann die Lunge
2b, während die andere Axe ftti jeden
Meridian (t>) eine besondere LKnge haben
wird. Die Länge der zweiten, in der £-Axe
gelegenen Ellipeenaxe ist demnach all
Function 2 V{v) von c allein anzunehmen,

^ das Bild des Meridians (p) ist Es fragt

sich also, ob wir in (11) die Functionen V
und ft> Ton u eo wOhien kSnnen, dasa i
und q bei geeigneter Wahl der Function V
Ton V die leiste Oleicbang erfUlen. Da
die letzte Gleichung giebt;

(20) J = -fV6'-"v*.

so verlangen wir nach (17):

y"(i*) ^ ' b * ^ '

Alsdann kommt einzeln;

^j/ft'- ¥", <»- 4-Vi'- V".

' Zuerst angegeben von Collionon, „Recherche« snr la reprisen-
tation plane de la anrface du globe terrestre", Joum. de l'^^le poljt
cah. 24, 1865.

Pdr,yGOOgIe

§ 6. Flächmlreue Abbildung der BotaHonafläcken. 51

und die hierin &nftreteuden FauctioDen V und a hingen nur von u sb. Die
enta Oleichnng knnu k> geschrieben Verden:

and ^ebt integriert:

(21) Bio w + Conat = -^ V Vft' - ¥" + ^ mc sin -^ ■

Dies ist eine Bedingung fBr die Function ^ von u, wXhrend aUdEinn die
Gleichung

(22) " = T V*' - 1**
noch die Function u von u ei^ebt

Die Bedingung (21) fOc ^ vereinAMht aich noch durch einige besondere
Feflt«eteangen : Ühne die Allgemtinheit der Betrachtung zu heschrftnken, dürfen
wir annehmen, dau sich iDtbegondeie der Nullmeridian (p = 0) als die Q-Axe
abbilde, also { — 0 sei fOr o — 0, d. h. nach (IT) auch id - 0 oder also o = 0.

Ferner aeien die Bilder der Meridiane Ir « ± — | KreiabSgen, alao F= ± & fttr
r — ± — -. Da F = ac iat, ad also a =• 2b:7i. Der Äquator (u = 0) habe

gerade die J-Axe aum Bilde, was eintritt, wenn q oder W tut u — 0 ver-
Hchwindet, wenn also die willkarliche Constante in (äl) gleich Null gewihlt
wird. Endlich aeien die gemein eanien Scheitel (f <- 0, q ^ ± 6) der Ellipaen

die Bilder der Pole |« => ^ T j' ^^' ist der Fall, wenn V t&r u =± ^ gleich

± 6, alao i - )/2 iat Jctit haben wir atatt (21) nnd (22):

1 tp V2_ tp

nnd statt (IT) wegen (20):

Die Formeln werden etwas bequemer, wenn wir vermSge:

Function ip von « einfahren. Denn jetzt haben wir:
21/2
" 291 ■)- sin29> - nsmu.

D-l/Tainv,

Die Gleicbvog rechts zur Bestimmnng der Fnnction ip{u) ist transcendent,
doch ISsst sich fOr jeden Wert von u der zugehörige Wert von <f durch An-
nlhemng ohne HSbe mit beliebiger Genanigkeit berechnen. Bei dicaei in
Fig. 15, 8. 52, da^estellten Abbildung ist die ganie Kugelfläche flKchentreu auf
das Innere der Ellipse mit den Halbazen 2^2 nnd Yi ausgebreitet'

der Honatl. Correspondenz Rr

Pd.yGoogIe

62 Erster Abschnitt: Das Bogenelement der Fliiclte.

ScblieMÜch kommen wir za der iu der PraiiB am meisten gebrauchten
flächentieaeii Abbildung der Kugel: Die Breitenkreiee sollen in dei Art
ab coacentriscbe Kreiie eracheinen, dass sich die Badien der Bilder zweier

Fig. X5.

Bieitenkreise gerade nm den wahren Bphärischen Abstand beider Kreise nnter-
Bcheiden. Da u der BpbäriBcbe Abstand dee Kreises {u) vom Äquator ist, so
soll der RadiuB r seines Bildea sein;

r = a-u (a-Const.)-

Wir verwenden natürlich Polarcoordinaten r, ip, deren UrspmTig der Mittelpunkt
jener concentrischen Kreise ist, und gehen daher auf die Formeln (13) und (14)
zorttck. Da jetzt fi - o - i* ist, so giebt (14)

mitbin babeu wir, weil ip = F ist:

(24) r-a-u, , = A^^*-^- + „(„).

Hier ist o) eine beliebige Function von u. Soll sich nun der Nullmeridian
(e — 0) als die Gerade (v = 0) abbilden, ao ist u = 0 zu setzen, also:

(25) r = «-«, ^ = S-^^.

Diese Abbildung* variiert noch mit der Constanten a. Die Pole bilden rieb
als die Punkte (r = a 7 — , ip =• 0) ab, und die Meridiane werden transcendenta
Curven. Sie schneiden, wie man leicht sieht, anf den Breitenkreisen auch im
Bilde die wahren Langen ab. Im Fall a = —, also:

* Diese Methode wurde zuerst von Bohne in der zweiten Hälfte des
18. Jahrhunderts angewandt, weshalb sie nach ihm benannt worden ist För
ein Jahrhundert wurden die Lfinderkailen in den Atlanten fast aosscblieBslich
nach dieser Methode entworfen.

Pd.yGoogIe

§ 6. Fläeltentreue Äbbildwiig der Eotationefiächen.

erscheint der Nordpol kb Mittelpunkt der concentriachen BreitankreiBe. Siehe
Fig. 16.'

Fig. 16.

Hienoit wollen wir diese sehr beschrüukte ÄUBwafa) aus der Zahl «Her
fificbeDtrenen Abbildangen dor Kngel abscbliesseu. Nach Ttoeeren ürilheren Er-
SrteraDgen (auf S. 44) erfordert die Anfetellnng aller flScheQtreuen EntwOrfe
nur EiiminationeD and keine Integrationen.*

' Dies iat der erste fl&chentrene Kartenentwnrf, der Qberfaaapt angegeben
worden ist Er wnrde nach dem Vorschlage von Stab ansgeftthrt von Weikeb,
„Annotationes Joam. Vebhebi in prirnnm librnm geogr. Cl. Ptolxiubi;
libelluB de quatnor aliis planis terr. orbia descriptionibna", Nürn-
berg 1514.

* BezQglioh der Lehre vom Entwerfen der Gradnetze verweiaen wir auf
die BOcher:

Herz, „Lehrbuch der Laodkartenprojectionen", Leipzig 1885.

TiMOT, „Die Netzentwttrfe geographiacher Karten", deutacb bearb.
von Hajuceb, Stattgart 1887.

ZSpputz, „Leitfaden der KartenentwurfBlehre", 1. Teil, 2. Anfl.
bearb. von Blüdaü, Leipzig mfl9.

Femer erwähnen wir, dasa Gsav£ 1896 in aeiner auf S. 121 des I. Bandes
erwihnten Arbeit die Aufgabe gelöst hat, alle di^enigen flSchentrenen Ab-
bildungen der Kngel auf die Ebene zu bestimmen, bei denen die Meridiane ond
Breitenkreise sämtlich wieder als Kreise erscheinen.

Über nicht'flBchentreue Gradnetzentwflrfe, die andere ausgezeichnete Elgen-
Bchaften haben, apiechen wir spater.

Pd.yGoogIe

54 Erster Abtekmtt: Diu Bogenelement der Fläche.

§ 7. Isothermen auf einer Flache.

Es liege ii^nd eine Fläche in PorameterdarstelluDg vor:

(1) x = ^[u,v), y->r(K. "). ^ = V(«-«).
nnd da? Quadrat ihrea Bogenelementea sei:

(2) dt' = Edu* + tFdudv + Grfr».

In Bezug auf daa System der Parameterlinien (u), (v) können wir
ähnliche Betrachtungen wie in der Kbene, im 1. Bd. § 1? des ersten
AbBchnittes, anstellen: Wollen wir dem Parameter u eine Reihe von
Werten geben, von denen jeder folgende anendlich wenig vom vor-
hergehenden abweicht, so geschieht dies dadurch, dass wir den Zu-
wa<^ du des Parameters u gleich einer Function von u, multi-
pliciert mit einer nnendlich kleinen Grösse e, setzen:

(3) rf« = «(«)(.

Lassen wir auch den Parameter r gesetzmässig immer nm unendlich
wenig wachsen:

(4) d,~ß{p)>,

SO wird hierdurch ein unendlich dichtes Netz von Parameterlinien
bestimmt Die Diagonalcarven des Netzes sind die Linien, auf
denen u und v gleichzeitig nm ± tx{tt)t und ± ß^t wachsen, längs
deren also entweder:

"(") ^ (IM
ist Integrieren wir diese (rleichungeni

80 erhfdten wir die Diagoualcnrven, ausgedrückt durch endliche
Gleichungen zwischen « und v (vgL I S. 114).

Längs einer Diagonalcarve ist eine der beiden Grössen:

^^' J «(") J (((V)' '^ -J «w+J (f(v)

constant, und vermöge der Gleichungen (6) können wir umgekehrt
K und V als Functionen von U und F definieren. (Vgl. I S. 115.)

D,gH,zed.yGOOgIe

üolhermen auf einer Fläehe. 56

Fohren wir diese Functionen in die G-leicbangen (I) ein, ao werden
X, y, z ebenfalls Functionen von V und 7. Wir kommen somit zu
einer neuen Parameterdarstellung unserer Fläche. Die neuen Para-
meterlinien ((7) und {V) sind die Diagonalcnrven (5) des durch (3)
und (4) definierten Netzes der alten Parameterlinien (u) und (v).

Nach Satz 13, S. 34, schneiden die Parameterlinien (u) und (v)
einander senkrecht, wann

F_ 1^ A?. a. Ay A?. j. J?A Üil 0

Ott Sp "^ a« 3p "^ ö« So
ist. Dementsprechend schneiden die Diagonalcurven ({/) and (F)
einander senkrecht, wenn

ist. Wie in I S. 116 finden wir aus den Formeln:

a« ap du ov

n. B. w. und »uB (6):

sowie die entsprechenden Formeln in y und z statt x. Die Be-
dingung (7) kann daher so geschrieben werden:

oder nach (7^ S. 15, so:

(8) .^M-ß'G-O oder; E:G - -^^■. -^.

Ist sie erfllllt^ so schneiden die Diagonalcurven des Netzes der
Parameterlinien (u) und (v) einander senkrecht; mit anderen Worten:
DasNetz besteht dann aus unendlich kleinen Rhomben (vgl,I S. US).
Dfüier:

Satz 22: Damit sich die Parameterlinien (u) und (o)
einer Fläche so anordnen lassen, dass sie ein Netz von
unendlich kleinen Rhomben bilden, ist notwendig und hin-
reichend, dass das Verhältnis der beiden Fundamental-
grÖBsen E und G gleich dem Verhältnis aus einer Function
Yon M allelD zu einer Function von v allein sei.

Wenn ausserdem P=0 ist, so schneiden auch die Parameter-
linien (u) und (v) einander senkrecht; die Rhomben sind dann
Quadrate (Tgl. I S. 117), sodass wir sagen können:

Pd.yGoogIe

56 Erster Abvahniä: Das BogeneUm^rU der Fläche.

Bati 23: Damit sich die Parameterlinien (u) und (c)
einer Fläche bo anordnen lassen, dass sie ein Netz von
aDendlich kleines Quadraten bilden, ist notwendig und
hinreichend, dass die Fundamentalgrössen E, F, G Be-
dingungen von der Form

^=0, a^{u)E-ß*(v)G = i)

erfüllen. Hierin bedeutet ee eine Function von u allein
und ß eine Function von u allein:

' £8 braucht kaum bemerkt zu werden, dass natürlich der Fall
a = ß = 0 aosgeschlössen sein solL

Ein Netz von Parameterlinien, das aus unendlich kleinen Qua-
draten besteht, beisst wie in der Ebene ein Isothermennetz
(TgL I S. 118].^ Der Satz 23 giebt also die Bedingungen Mr ein
Isothermennetz auf der Fläche an.

Sind die Bedingungen des Satzes erfüllt, so haben E, F, G
die Form:

W *-^' "•=<>■ "-yhf

wobei l irgend eine Function von u und v sein kann. Das Qua-
drat (2) des Bogeuelementes dt der Fläche hat daher jetzt die Form:

(10) ä.-.x'M[-Sty + ^:)f]-

Es liegt nunmehr nahe, neue Parameter einzuführen, ohne
aber dabei neue Parameterlinien zu schaffen (vgl. S. 10), nämlich
dadurch, daes wir (wie in I S. 125) setzen:

<"' ^-Lt' -/;>:,

und nun ü und f> als Parameter benutzen, ü hängt nur von u, v
nur von v ab. Umgekehrt können wir uns vorstellen, daee u als
Function von ü und v als Function von v nach Ausfohrung der
Quadraturen (11) berechnet seien. Wenn wir diese Functionen in
die Gleichungen (I) der Fläche einführen, so werden x, y, x Func-
tionen der neuen Parameter a, f. Aber die alten Parameterlinien
u = Const. und v = Const sind identisch mit den neuen: ü = GonsL
und f = Const Auch in die Function X'{u,v) denken wir uns die
Werte von u und v, ausgedrückt durch u und ^, eingesetzt, wodurch

< Qeschichtlicbe Hinweise siebe in der AnmeTkuDg zu I S. 134.

D,gH,zedr,yGOOgIe

^ 7. laothermen auf einer Fläche. 57

eine Function ^ {a, fi) hervorgeht Das Quadrat des Bogenelemeates

hat Dan nach (10) die Form:

(12) rf.»= n{ü,f)){dü*-\-diS^.

(Vgl. (8) in I S. 126.) Also:

Batz 24: Wenn eich aas den Par&meterlinien (u) und (c)
einer Fläche ein Isothermennetz hilden lässt, kann das
Quadrat des Bogenelementes dadurch, dass geeignete Func-
tionen ü und £ von u bez. v allein als neue Parameter ein-
geführt werden, auf die Form gebracht werden:
di'=- ß(ö, e)(rfo> + rf«').

Die FundamentalgrÖsseii haben jetzt fOr die neue Parameter-
datstellang der Fläche die Werte:

sodass £!= G, F=0 ist. —

Wir wollen annehmen, wir hätten auf der Fläche (1) irgend
zwei von einander unabhängige Functionen von u und v als neue
Parameter ü, f) eingeführt, und dabei habe sich ergeben, dasa die
FundamentalgrOssen E, P, Q ftir die neue Parameterdarstellung die
]Sigenschaften haben:
(18) E=ö. ^=0.

Wir fragen uns, was wir hieraus schliessen können. Wegen P =fi
durchschneiden die neuen Parameterlinien (fi) und (f) einander senk»
recht — nach Satz 13, S. 34. Wenn wir femer die Parameterlinien
(«) und (€) so anordnen, dass ü bez. ^ vou Cnrve zu Curre nm
du = t bez. d'B = i

wächst wobei ■ ein und dieselbe unendlich kleine Qrösse bedeute,
so sind, da jetzt diese Gleichungen an die Stelle der Gleichungen
(3) and (4) treten, miüiin für te und ß Bios zu setzen ist, nach (ä)
die Curren:

o ip fl = Const

die Diagonalcurven. Statt (6) haben wir also jetzt fOr V und F
die Werte ß — C und ü + v. Nun war (8) nur eine andere Form
von (7), d. h. von der Bedingung für die Orthogonalität der Diagonal-
curven, und sie hat jetzt die Gestalt

£- Ö = 0.

Die erste Gleichung (13) sagt also aus, dass die Diagonalcurven
einuider senkrecht schneiden. Mithin haben wir in (13) auch die

Pd.yGoogIe

58 Erster Abschnitt: Dat BogenelemaU der Fläche.

notwendigen Bedingungen dafQr, dass die Cnrven (a) tmd ^e) ein
Isothennensystem bilden. Also:

8ati 85: Dafür, dass sich die Parameterlinien (fi) nnil
{v) einer Fläche zu einem Isothermennetz anordnen lasBen,
in dem ü bez. f von Carre zu Curve um dieselbe uneudlicli
kleine OröBse wächst, ist notwendi'g und hinreichend, dass
die zugehörigen FnndamentalgrÖssen erster Ordnnng E,
P, G die Bedingungen

erfüllen.

Solche Parameter O and f heissen wie in der Ebene (vgL I
S. 127) thermische Parameter. Der dortige Satz 77, I S. 128,
lässt sich hier ebenfalls beweisen, sodass also:

Im' = ± a ß + GoQSt , r' = ± a ff + Const |
und [ (a=ConBtl

K = ± afi + Const, «' = ± aß + Const)

die allgemeinsten thermischen . Parameterpaare sind, die zu dem-
selben Isothermennetz wie die thermischen Parameter ü nnd 9 ge-
hSren. Dabei können die Vorzeichen beliebig gewählt werden.

Hat man von einer analytisch definierten Fläche, auf der man
thermische Parameter ü und e kennt, ein Modell hergestellt nnd
will man auf dem Modell das zugehörige Isothermennetz Teran-
schaulichen, so wird man natürlich ein Netz mit Maschen von end-
licher Seitenlange einzeichnen, so wie wir dies in der Ebene in
den Figuren 31 bis 34, I S. 128 bis 134, gethan haben. (Man ver-
gleiche die damaligen Anmerkungen zu den Fignren.) Dies geschieht,
indem man die Curven (u) bez. (v) so auf einander folgen lässt, dass
ihr thermischer Parameter ü bez. 0 von Curve zn Cnrve am die-
selbe endliche Grösse m zunimmt, also arithmetisch wächst Dann
erhält man ein Netz von Maschen, die man als endliche, aber
krummlinige Quadrate bezeichnen könnte. Die Diagonalcurven
des wirklichen, unendlich dichten Isothermennetzes sind
aach bei diesem Netz von endlichen Maschen Diagonal-
curven.

1. Beispiel: Auf der RotationefUche:

(15) X = p(tt)coBr, y = f(u)äav, t - q{u),
wo u die BogenlBnge der Meridiane bedeutet (siehe (2), S. 41), ist:

(16) rf8'=liM'+pVw)d»».

Pdr,yGOOgIe

Isothermen auf eirter Fläche.

Falir«D wir

(IT)

«U neae Parameter ein, i

iat:

- _^

rfe-dB.

nnd alto kommt statt (16);

(181 <ij.'-p'((.)(<i«»-l-dl^.

NatQrlieh kann hierp*(u) ak Functioo ^C») Ton ä infolge der ersten Glei-

chang (17) an^eiuat werden. Wir haben jetzt die FnndamentalgröaBen;

Jf= Ö = Ä(5)-p»(m)> ^"0-

Jetit und ü und t thermische Parameter. Da die Cnrven (ü) and (t)
nach (IT) die «Uen Paramelerlinien (u) und (e) sind, so folgt: Wir können
die Breitenkreise und Heridlsoe einer BotationsflSche stets so
anordnen, daas sie die FIAche in onendlich kleine Quadrate (er-
legen. Von Cnrre la Cnrve wächst ü bei. i dabei nm dieselbe anendlich
kldne CMsse >. Da v den Winkel der Ebeue des Meridians (V) mit der des
Meridiane (P — 0) bedentet, so mOssen wir also alle Heridianschnitte herstellen,
die denselben nnendlich kleinen Winkel > mit einander bilden. Da femer p (tt)
gldeh dem Bodins des Breitenkreises (u) ond w die BogenllLnge auf dem
Meridian ist, so folgt femer aas

d»

dass man einen Ueridian so einniteilen hat, dass das Verhältnis ans dem nn-
endlich kleinen Bogänstfick dividiert durch den tngehOrigen Breitenradins
gleich ■ isl^ und alsdann durch die Teilponkte die Breitenkreise ziehen mnss,
Z. B. anf der Kngel (vgl. S. 48}

X = cos H cos V , y •• cos u sin v , x — rin u
ist p(u) = eosti, sodass nach (17):
(19) i.loglg(-J- + -|-), ...

thennische Parameter sind. Dabei ist u die geogr^)hiBcbe Breite, v die
geographische LXnge. Die Seite des nnendlich kidnen Quadrates an der
Steile (ü, f) hat nach (18) die L&nge p(fi)dä oder p(u)a, ist also propor-
tiODil dem Badius des Breitenkreises, insbesondere bei der Kugel proportional
dem Cosinus der geographischen Breite. Nach den Polen zd werden also die
Maschen des NetEes immer klriuer. In den Polen selbst artet das Isothermen'
aeti ans, indem dort die Qoadratseite unendlich klein von höherer Ordnung
Sil I wird.

2. Beispiel: Im 1. Band, anf S. IST, sprachen wir in Satz 3 von einer
■teCigen Schraabnng. Unterwerfen wir eine Curre einer stetigen Schraubung, so
besehreibt de eine Schranbenfläche. Insbesondere betracht«n wir folgenden
Fall; Die x-Axe sei die Axe der Schraabnng, and die Schraubung werde auf
diejenige Gerade aosgeflbt, die saerst in der x-Axe liegt Alle Punkte dieser
Geraden beschreiben gemeine Schraubenlinien von gleicher Ganghöhe um die
^Axe. Nach den Formeln (8) aof der genannten Seite wird derjenige Punkt

Pdr,yGOOgIe

Erster Äbsckniü: Das BogeneUmerU dfr Fläche.

(20) ü = M C08 » , y = tt Bin » , ■% — qv

übergegftDgeD sein, denn jetzt iat x durch u und v> durch r lu ersetzen. Die
GrÖBse inq iet die H5he eines Scbranbenumganges und q eine GoneUuite.
Wenn wir nun in (20) den Grössen u nnd v völlige Veränderlichkeit zoschreiben,
so heiaat dies, dass wir alle Punkte der verschranbten Geraden in allen
Stadien der stetigen Schraubung betrachten wollen. Hit anderen Worten:
Die Gleichaagen (20) stellen mittels iweiet Parameter u nnd v die Flfidie
dar, die jene Gerade beschreibt Diese Fläche, die offenbar unendlich viele
Geraden enthfilt, die die Scbroabenaie senkrecht schneiden, nnd also eine
geradlinige Fläche (vgl. I S. 270) iit, heisst eine gemeine Sohranben-
flfiche. Da bat ihr

dx = cosrrfu — ueinvdv , dy — »vavdu + «coardr,
dx = qdT
ist, so igt das Quadrat ihres Bogenelementes:

(21) d«'-<iu' + (t.' + g*)rfc',
mithin:

-E- 1, Jf-0, 0-w» + g".

Dass ^ - 0 ist, esgt nach Sats 13, 8. 34, aus, dass die Parameterlinien (ti) nnd
(e) einander senkrecht schneiden. Die Linien (u) Bind die Cnrven, die von den
einzelnen Pankten der ursprQnglich in der ic-Axe gelegenen Gteraden beschrieben
werden, d. h. es sind gemeine Schraubenlinien mit gleicher Ganghöhe 2ng
um die t-Äie, Die Linien [v) sind die durch die Schraubung ans der nrsprQng-
lichen Geraden hervorgebenden geradlinigen Erzengenden der FISche. (Siehe
Fig. 17, S. fll). Wenn wir setzen:

du

= log(« + Vm' + 3'), » =

so nimmt das Quadrat des Bogenelementes nach (21) die Form an:

i«» = («' + g')C<''i* + d8*).

Also sind ü und» thenniache Parameter. Die gemeinen Schraubenlinien (u)
und die geradliiiigen Erzeugenden(c) der gemeinen Sohranbenfläche
bilden also ein laothermenBjstem. Um das laothermennetz zn erbalten,
wählen vir alle diejenigen Geraden (f) oder (e) anf der Fl&che aus, die jedes-
mal durch die Schraubung mit dem unendlich kleinen Winkel dt = e ans
einander hervorgehen. Femer wKhlen wir auf der JvAie diejenigen Funkte,
deren AbsciBsen u jedesmal um die unendlich kleine Giobbc du wachaen, fQr die

ist Sie beschreiben bei der stetigen Schraubung die zweite Curvenschar de«

D,gH,zed.yGOOgIe

§ 8. Bestitnmung der lsoihermenneUe auf einer Fläcfie.

NeUefl. HoD neht, duB die Ua^chen des Netze« dicht un der Scbraubenue
die SeitenlSnge aq haben und dasB die SeiienlSuge am so grOsaeT wird, je
grOaeer die Entfemang u tqd der Aie wird. In die folgende Figur ist ein Netz

Ton endlicher MaflcheugrJSBse eingezeichnet worden, bei dem die thermiscbeD

Parameter ü und 9 arithmetiach wachsen.

§ 8. Bestimmung der Isothennennetze auf einer FIftche.

Liegt eioe Fläche vor, die analytiscli mittels zweier Parameter
II und V ausgedrückt ist uod deren Bogenelement- Quadrat die
Form hat:

(1)

(/**= ßdu'^ + 2Fdudv + Gdv^,

so soll jetzt die Frage beantwortet werden, wie man die Isothermen-
netze der Fläche findet, wienn überhaupt welche vorhanden sind.
Wenn e und c thermische Parameter sein sollen, so mUssen m und
V gewisse nns allerdioga noch unbekannte Functionen von ü und r
seil), sodass das Quadrat des Bogenelementes durch Einführung der

Pdr,yGOOgIe

62 Erster Abschnitt: Das Bogenekment der Fiäebe.

Parameter e and ü die in Satz 24, S. 57, angegebene charakteristi-

sehe Form bekommt:

(2) rf*»-fl(ß,fl} (dü' + dü*),

wo nan aach Ü eine tins nocb nabekannta Fanction von a nnd r
bedentet. Hierfür lässt Bich achreiben:

dt* = ß(ö, C) {da + idv) {du — idifj.
Wenn man

(S) a + ic = u, ö — le = B

setzt, 80 kommt:

(4) ds'=iidud'o,

und man wird, sobald Si{a, ^ bekannt ist, auch in Q die Veränder-
lichen u und D einfübren kSnnen.

Umgekehrt: Nehmen vir an, es sei ans gelungen, statt u and v
solche neue Parameter u und t) einzaftlliren, daas dt* die Form
di',=. iidadü

annimmt, die also nar das Prodact der Differentiale enthält, so
können wir auch sofort thermische Parameter O und B finden. Wir
setzen n&mlich die Gleichungen (3) an oder ihre ÄoflSsangen:

(5) fl = |{u + b), i5 = -±(u-ij);

denn dann wird:

dt'= a{da' + dv').

Hieraus folgt: Es kommt zunächst darauf an, sofche
Parameter u and o zu finden, in denen das Qnadrat des
Bogenelementes nur das Prodnct der Differentiale enthält:
ds* •= Sidudts.

Nach Satz 17, 8. 36, können wir auch sagen:

Es handelt sich zunächst um die Bestimmung der Minimal-
curven u = Gonst und t) = Gonst auf der Fläche.

Bedenken wir nun, dass nns dt' in der Form (1) gegeben
ist, so lehrt Satz 16, S. 86, dass die Gleichung

(6) Edu* + 2Fdu dv+ Gdv*-0

die beiden Scharen von Minimalcurren auf der Fläche definiert, und
zwar &llen die beiden Scharen nur dann zusammen, wenn die linke
Seite Ton (6) ein rollständiges Quadrat, also i> = 0 ist In diesem
Falle aber ist die Fläche die Tangentenöäche einer Hinimalcurre.

Pdr,yGOOgIe

§ 8. BeaÜmmung der laothemmmetxe auf einer Fläche. 63

Die 00^ Tangenten dieser Gurre sind Minimalgeraden. Ausser ihnen
und ihrer ümbOlleoden enthUt die Fläche keine Minimalcurre.

Um thermische Parameter fi und {< zu erhalteu, müssen wir die
Formeln (6) ansetzeD. Weil aber ü und Jl von einander unabhängig
sein müssen, ho haben wir dasselbe von u und ti zn verlangen.
Also sehen wir bei den Isothermensystemen von den Tangenten-
flächen der Minimalcnrren grundsätzlich ab.

Wir setzen also voraus, dass für beliebige Werte von u und v
die Function

sei. Nach Satz 5, S. 13, zerlegen vrir die Gleichung (6) in ihre
linearen Factorem

( ^du + {F+il>)dv = 0,

^ \ Sdu + [F-iD)dv = (i.

Dies sind die Differentialgleichungen für die beiden Scharen von
Minimalcnrven it — Const. und u = Const Also sind u und ti In-
tegrale dieser Gleichungen. Es seien A (u, v) and /i (u, v) zugehörige
Mnltiplicatoren (vgl I S. 9i), d. h. es seien

I du = 3i[I!da + {F+iD)dv-],

^ ^ 1 do ~ ti[I!du + {F - iD)dv]

vollständige Differentiale.

Die Bestimmung der Multiplicatoren oder der Integrale ver-'
langt natürlich die Integration der beiden Differentialgleichungen (7).
Wir wollen annehmen, sie fiei geleistet, sodass u und b als Func-
tionen von u und v bekannt seien.

Ehe wir in der Theorie fortfahren, möge dies zunächst an einem
Beispiel erläntert werden.

Beispiel: Auf der Kngel (S. 48)

ds* = rf«» + coB»ttrfz'* = {rf« + icQBudp) (du
Die DiflereotialgleichaDgeii der HinimalcarveD:

haben hier den gemeimtunen Maltiplicator

Pd.yGoogIe

Erster Abschnitt: Das BogetKiement der Fläe^.

rotlBtandige Difi^reotiale sind. Ea kommt:

Also sind die Cnrren:

log tg \T + -f-) ± * " - Conat

dEe Minimalcurven der Knget: Da wir diese Oleichaugen auch so schieben
können:

'""'«(t + t)-""""-

SO können wir als Integrale der beiden Differential gl eichongen der Uinimal-
enrven auch

(») ") = «*"'te(f + '{) " (cosr± .-ainrjtgfy + |)

benatzeo, was zu bequemeren Formeln fühlt Hiernach ist nSmlicb:

UD - 1 ^ IVVÖ

(10) ■ "''"■"''■^>' '^'^"-«"»■■^i'

sin r - - ''"^'» 5^„ = _"„+_!

2y^ ' 2]/ilT'

sodass sich x, y, % in den neuen Parametern u, t) so ansdracken:

CU)

n + 1 ' " uB + 1 '

Diese Gleichungen stellen also die Kugel um den Anfangspunkt mit dem
BadioB Ejus dar und zwar ausgedrückt mittels der Parameter u and S, sodass
die Parameterlinien (u) und (□) die Minimalcurven der Engel sind. D» die
Verhfiltnisse

frei von t> sind, so sind die Minimalcurven (u) Geraden, ebenso die Cnrren (o).

Satt 26: Die Kngel enthfilt zwei Scharen von Minimalgeradan.

Die Kugel ist folglich in zwei Ai-ten als eine geradlinige FlKche auf-
zufassen (I S. 210), aber nicht als abwickelbare Fläche, denn sonst müssten
die Minimalgeraden einer Schar eine Curve, also eine Minimalcurve, umhüllen
— die Kugel enthält aber ausser den Geraden keine Minimalcurve — oder die
Hinimalgeraden einer Schar müssten einen Kegel bilden — was auch nicht
der Fall ist Eine beliebige Ebene
(12) Jat + By-l- (?«= D

(C- Z>)mi + U -i-B)u + (-1 -1- *"£)D- ((7+ U}« 0,

D,gH,zed.yGOOgIe

§ 8. Bestimmung der laothermemietxe auf eitur Fläche. 05

A. h. die allgemein« biUneare Gleichnng in u und D:

(!•*) «ub + öu + Sd + S-O

Bteilt einen Kreis auf der Kugel dar. InebeBODdeie zerfiUlt dieie Glei-

cbong in nrei lineare Qlaichnngen u = Const. und o - Conit, wenn

oder nach (IS):

Ä* + B' + C* - D*

ist Dum aber berUhrt die Ebene (18) die Kngel, da ihr Abstand vom An-
fangspunkt gleich Eins ist. Nach I 8. T sehen wir also: Die Tangentsnebenen
der Kngel schneiden die Engel in Nollkreisen oder ciicnllien Oeradsnpaar«n
oder also in Paaren Ton Hiaimalgeraden. Noch anders aosge^ptochen: Die
Minimalgeraden der Kngel sind die Schnittlinien der Kngel mit
ihren Tangentenebenen.

Die durch (8) definierten nenen Parameter u und V sind, wie
wir vissen, von einander onabhängig. Wenn wir jetzt nach (5):

0 = y(m-»), i)=.--^(U-b)

setzen, so werden auch ü und D von einander nnabhängige and
zwar thermische Parameter sein. Also folgt:

8sti 27: Liegt eine Fläche vory bei der daa Quadrat
des Bogenelementes

rff» = Sdu* + 2Fdudv + eäv'

nicht das Tollständige Quadrat eines in du und dv linearen
Ausdrucks, also ß^O ist, so findet man ein thermiBches
Parameterpaar a und ü für die Fläche, indem man In-
tegrale 11 und D der beiden in der Gleicbang
£du' + 2Pdu rfi) + G t/u» - 0

enthaltenen Differentialgleichungen der MinimalcnrTen
bestimmt und dann

setzt

Die Frage nach allen Isothermennetzen auf der Fläche ist
nun schnell zu erledigen: Wir haben die Methode in allgemeinster
Weise anzuwenden. Von u und D wurde nur das £^ne verlangt,
dass sie Integrale der Differentialgleichungen (?) sein sollen. Nach
Satz 59, I S. 90, ist das allgemeinste Integral einer gewöhnlichen
Differentialgleichimg erster Ordnung in zwei Veränderlichen eine
beliebige Function irgend eines Integrals der Gleichung. Mithin,
wenn u und b zwei Integrale von (7) sind, so sind beliebige Fimc-
I, »«Dl. Dum. II. &

.d^yCoogle

Erster Abschnitt: Das Bogenel^nent dtr Fläche.

tionen ^(u) und Bl^) tod ihnen die allgameioBten Integrale. Nach
(3) ergiebt sich demnach das allgemeinste Paar von tbermieclien
Parametern Ü und F auB:

^ ' \ U-iF=£{v) = B[ü-iv).

Also gilt der

Satt 28: Sind a und € thermische Parameter fOr eine
Fläche, Bo ergiebt sich ihr allgemeinstes Paar von ther-
mischen Parametern Ü und f, wenn man Ü + tF gleich
irgend einer Function von a + i'e und Ü — iF gleich irgend
einer Function von n — i'f setzt

Der Satz 78, I S. ISO, ist ein besonderer Fall hierron, denn
in der «y-Ebene sind die Coordinaten -^ und y selbst thermische
Parameter.

Nahmen wir an, es liege eine reelle Fläche vor, und es seien
fi und e reelle thermische Parameter, d.h. es seien z,y, z reelle
Functionen von ü und ft. Um dann das allgemeinste Paar von
reellen thermischen Parametern zu bekommen, muss man dann
die Functionen Ä und B in (15) so wählen, dass ü and F reell in
ü und fi sind. Hieraiia folgt — wie insbesondere ftlr die Ebene der
Satz 79, I S. 131, — der

Sati 2d: Sind ü und fi reelle thermische Parameter für
eine reelle Fläche, bo erhält man das allgemeinste reelle
thermische Parameterpaar Ü, T fUr die Fläche, wenn mao
(7 gleich dem reellen und i^ gleich dem rein imaginäres
Teil irgend einer Function von ü-\-ii setzt

Beispiel: Bei der Engel

x^coswcose, y ■• coBMsinv, x = aiQH
foadea wir in dem Beispiel aaf S. 64 oben:

\\ -logtg(-J + y)±ir,
BodasH hier

■i-y(u + Ol-,logtg(y + |j,

reelle thermische Parameter Bind. Wir fanden sie auch im 1. Beispiel auf S. 59
anf directem Wege. Auf det'Kngel bestimmt sich mithin das allgemeinste
reelle thermische Parameterpaar Ü, V ans den beiden Gleichungen:

Pd.yGoogIe

§ 9. Cmforme Abbüdmg von Fläehen.

in denen A eine beliebige Fnnctioa des «ngegebenen Argameotea ist. So i. B.
folgt uu:

P± .-F. ,■""•(?♦ »*'• . , (^ + i).(«».±,-,i..)

das reelle tbermiBobe Parameterpaar:

§ 9. Conforme Abbildung von Flächen.

Wir erinnern an die einleitenden Bemerkungen in § 5, vo wir
eine beliebige Fläcbe:
(1) x = (p («, «), j/=x (m, v), z = v(tt, v)

fl&chentreu auf die Ebene abbildeten.

Jetzt woUen wir diejenigen pnuktweisen Abbildungen der Fläche
(1) auf die Ebene nntersnchen, bei denen jedes nnendlicb kleine
Sttkck der Fläche in der Ebene ein Bild bat, das dem Original ähn-
lich ist Solche Abbildongen beissen conform.'

Zonächst ist es unsere Aufgabe, die confonnen Abbildungen
aoalTtiscb zn definieren.

Ist eine Fläche gesetzmäsaig Punkt ffir Pnnkt auf eine Ebene
abgebildet und sind x,y, x rechtwinklige Pnnktcoordinaten der Fläche,
dagegen u, r rechtwinklige Funktcoordinaten in der Bildebene, so
ist auch jedem Bildpunlct, also jedem Wertepaar u, n, gesetzmässig
ein Flächenpunkt, also ein Wertetripel :f, y, e zugeordnet, mit an-
deren Worten: Dann sind x^y,z Fanctionen von u und v, me
oben in (1).

Wir können daher vorerst annehmen, die Fläche (1) mit den
Parametern u, v sei dadurch auf eine Ebene abgebildet, dase die

' Die Angabe, eine Fl&che conform auf eine andere Flfiche abtubild«n,
wurde in voller Allgemeinheit zuerst (1822) von Oadhh gelSst in seiner Preis-
Bcbrift: „Allgemeina AuflSsong der Aufgabe: Die Teile einer ge-
gebenen FUohe auf einer anderen gegebenen Fläche ao abzu-
bilden, dasB die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten
Teilen ähnlich wird", nierat erschienen in den AMnin. Abhandl. von Bchü-
HACHBK, 3. Heft 1625, wieder abgedruckt in den Werken Bd. IV nnd in Osr-
WAu>'s KlsMikem Nr. 55. Doch ist zu bemerken, dass Laqbanob in aeiner
weiter nuten (S. 70) zu nennenden Abhandlung der LSsong schon nahe ge-
kommen war.

^dnyCOOgle

68 Ersta- Absehmü: Das Bogenelement der Fläche.

Parameter u, v als rechtwinklige Coordinaten in der Bildebene ge-
deutet werden. Die Frage ist, unter welchen Umständen diese Ab-
bildung conform ist .

Es sind (u, r), {u + du, v + dv), {u + 3u, o+Sv) drei be-
liebige unendlich benachbarte tunkte der Fläche, wenn du, dv bez.
Su, 3v beliebige unendlich kleine Incremente von u und r hedenten.
Ihnen entsprechen in der utt- Ebene drei ebenfalls onendlich be-
nachbarte Punkte, deren rechtwinklige Coordinaten die betreffenden
Parameterwerte ' sind. Wir Terlangen, dass das unendlich kleine
Breieck auf der Fläche dem Bilddreieck in der Ebene ähnlich
sei. (Siehe Kg. 18.) Dazu ist, weil wir das Fläcbendreieck als
eben anffassen dürfen, zweierlei notwendig und hinreichend: Erstens
mttsBen die beiden vom Punkte (u, v) der Fl&che au^ehenden Seiten
in demselben Verhältnis za einander stehen wie ihre Bilder, und
zweitens muss der von ihnen eingeschlossene Winkel gleich dem
Winkel im Bilde sein. Da es zwei Arten von Ähnlichkeiten giebt:
gleichsinnige und ungleichsinnige, so kommen die Vorzeichen der
Seiten und Winkel hierbei nicht in Betracht. Wir stellen daher
die Forderungen so:

Erstens sollen die Quadrate der vom Funkte {a, ») aas-
gehenden Seiten der beiden Dreiecke in demselben Verhältnis stehen,
und zweitens sollen die Cosinns
der Dreieckswinkel im Ponkte (u, u)
beider Dreiecke denselben Wert
haben.

Auf der Fläche seien dt und

Ss die vom Punkte (u, v) nach den

Fig. 18. Punkten [u + du, v + dv) and

(k + 5«, v + dv) gehenden Drei-

ecksseiten, in der Ebene mögen ihnen d& und S& entsprechen.

Auf der Flltehe ist dann, wenn S, F, G ihre Fundamentalgrössen

erster Ordnung sind:

rf«» =» Sdu^ + iFdudv + Gdv*,
Ss^=:ESu' +2FSuSv+Gäv',
dagegen in der Ebene:

d»'~du* + dv', Si'=^3u* + 3v'.
Die erste Forderung ist also diese: Es soll

■Edw' + 2Fdvdv+ 6dr* _ du*-t-dv*
Edu* +2FSuei) + Gip' ~ Su^ + dv'

Pd.yGoogIe

Oot^brme AbbiUhmg von Flächen.

aeiQ and zwar t&r jedes nnendlich kleine Dreieck, d. h. wie auch
die Verhältnisse

du *'

gewählt sein mögen. Es soll also für beliebige Werte von A
und X stete:

E+ 2Fk + Gle' ^ l + k*

£+ 2Fii +0k*~ 1 + X*

Bein. Dies ist dann und nur dann der Fall, wenn
(2) ^=0 Bnd F^O

ist

Ist a der Winkel tod ds und^« anf der Fläche und a dar
Bildwinkel^ d. k der Winkel von dS und SS in der Ebene, so ist
nach Satz 10, S. 32:

co8« = _g+/(j+.'') + qt,_

In der uc-Ebeue sind

oder

V^^' + dp»' Vdu' + df* V'i+k'' Vi+ifc*

Cosinus und Sinns des Winkele der u-Axe mit dS und analog

Cosinus und Sinus des Winkels der tt-Äze mit SS, Also ist:

Die zweite Fordemni; drückt sich daher so ans: Für jedes
Wertepaar k und x soll:

S+ F(k + »)+ Oku _ _ ^ k + «

y(jE + 2FkVÖ^(E+ 2Fh + fl«') V(l + it U '+ k')
aeuL Dies ist aber nur dann der Fall, wenn:

^ = G= und Ji* = 0
ist Damit kommen wir auf (2) zurück. Wir sehen somit, dass
TOD den beiden Forderungen nur eine'notwendig und hinreichend
ist, da sie die andere nach sich zieht

8ati 80: Dafür, dass eine Abbildung einer Fläche con-
form Bei, ist notwendig und hinreichend, dass entweder je

Pdr,yGOOgIe

70 Erster Abschnitt: Das Bogmeiemmt der Fläche.

zwei TOn einem Paukte der Fläche ansgehenden Bogen-
elemente stets — abgesehen vom YorzeicheD — im selben
Yerhältois zu einander stehen wie ihre Bilder oder der
Winkel je zweier solcher Bogenelemente — abgesehan
Tom Vorzeichen — gleich dem Winkel im Bilde ist

Als Merkmal der conformen Abbildung benutzen wir in der
Folge die erste Forderung:

rfs' ds*

die wir auch so schreiben kOnnen:

In dieser Form sagt sie ans, dass das Verhältnis aus einem Bogen-
element-Quadrat der Fläche zum entsprechenden Bogenelement-
Quadrat der Ebene dasselbe sein soll wie das analoge Verhältnis
gebildet hinsichtlich eines beliebigen anderen von demselben Punkte
(ti, v) aasgehenden Bogenelementes. Wir kSnnen also sagen:

Bati 81: Dafür, dass eine Abbildung einer Fläche cou-
form sei, ist notwendig und hinreichend, dass das Ver-
hältnis aus dem Quadrat des Bogenelementes der Fläche
zum Quadrat des zugehörigen Bogenelementes im Bilde
für alle von ein und demselben Pankte der Fläche aus-
gehenden Elemente dasselbe ist. Doch darf sich dies Ver-
hältnis Ton Punkt zu Punkt ändern.

In Formel: Es soll

dt* Edu' + 2Fdudi! + Odti* E + 2Fk+Qk'

'dfi*~ du* + dv* J+A«

von k onabbäogig sein, was eben für E= G, F= 0 der Fall ist.
Alsdann kommt:

sodass Yß: 1 das Verhältnis ist, in dem die unendlich kleine Um-
gebung des Flächenpanktes (u, ») auf die unendlich kleine ümgebang
des Bildpunktes ähnlich abgebildet wird. Dies Verhältnis ändert
sich im allgemeinen von Stelle zu Stelle, da ß eine Function Ton
u und V ist Nur wenn J'=Const., also G gleich derselben Con-
Btanten und j^ = 0 ist, ist der AhnUchkeitsmaassstab Überall derselbe.
Durch passende ähnliche Vergrösserung oder Verkleinerung der
Bildebene ^st sich dann erreichen, dass die Abbildung Überall so-

Pd.yGoogIe

§ 9. Gonforme ÄbbilAmg von Fläehen. 71

gar congraeat ist Nach Satz 10, IS. 282, tritt dieser Fall nur
fUr abwickelbare Fläcben ein.

Die in Satz Sl aufgestellte Forderring zieht die der Übereinstim-
mong der Wintel im Original ood im Bilde nach sich nod umge-
kehrt die letztere Forderung die erstere. Die letztere Forderong
kann als die der Winkeltreue bezeichnet werden, weshalb man statt:
conforme Abbildung auch: wiakeltreue Abbildung sagen darfl

Aus der Wiokeltrene folgt, da ein Isothermennetz als Ortho-
gonalnetz mit orthogonalem DiagoDalnetz definiert werden kann
(S. 56):;

Bati 33: Bei einer couformen Abbildung einer Fläche
bildet sich jedes Isothermennetz als Isothermennetz ab.

Da die Gurren u — Gonst., v — Const in der »o-Ebene ein Iso-
thermennetz bilden, so folgt, dass auch die ParametetUnien (u) und
(v) der Flftche (1) ein Isothermennetz bilden müssen, wenn die Ab-
bildung conform sein solL Thataächlich sagen die gefundenen Be-
dingungen (2) nach S. 58 sogar noch mehr aus: u und v müssen
thermische Parameter auf der Fläche sein. Hithin:

Bati 33: Bildet man eine Fl&che

z = <f{u,v), !/ = xi«,v), x=tp(u,v)

dadurch auf die Ebene ab, dass mau dem Fl&chenpunkt(u,t>)
denjenigen Punkt der Ebene zuordnet, der die rechtwink-
ligen Coordinaten u und v hat, so ist die Abbildung dann
und nur dann conform, wenn u und v thermische Para-
meter der Fläche sind.

Bedenken wir, daas wir auf der Fläche neue Parameter ein-
fahren kOnnen, so folgt hieraus:

Sati 34: Um eine Fläche in allgemeinster Weise oon-
form auf die Ebene abzubilden, bestimmt man in allge-
meinster Weise thermische Parameter auf der Fläche und
deutet sie als rechtwinklige Punktcoordinaten in der Ebene.

Wir können die Lösung der Aufgabe der conformen Abbildung
ohne Hßhe Terallgemeinem : Es mögen zwei Flächen vorliegen.
Die eine soll punktweis auf die andere so abgebildet werden, dass
jeder unendlich kleine Teil der einen Fl&che dem entsprechenden
unendlich kleinen Teil der anderen Fläche ähnlich bt. Eine solche
Abbildung heisst eine conforme Abbildung der einen F^he auf die
andere. Sie ist in fo^ender Weise herzustellen:

Da zwei Figuren, die einer dritten ähnlich sind, auch anter

Pd.yGoogIe

72 Erster AbachmU: Das R/geml&ment der Fiäehe.

einander ähnlich sind, so Termitteln vir zwischen beidea Flächen
dadurch, dass wir beide conform auf ein und dieselbe Ebene ab-
bilden. Vgl. hierzu die ents^trechenden Bemerkui^eQ fttr i^heu-
treue ÄbbilduBgeo auf S. 40.

Jedem Punkt der ersten Fläche entspricht dann ein Punkt der
Ebene, und letzterem Punkt entspricht ein Punkt der zweiten Fläcbe>
sodass die conforme punktweise Beziehung zwischen beiden Flächen
hergestellt ist. So erhält man offenbar alle conformen Abbildungen.
Ee leuchtet ein, dass die Sätze 30, 31, 32 auch für conforme
Abbildungen einer Fläche auf eine Fläche gelten; daher ist in
ihnen absichtlich das Wort: Ebene unterdrückt worden. Aus Satz 34
folgt noch:

8ati 86: Um eine Fläche in allgemeinster Weise auf
eine andere Fläche conform abzubilden, bestimmt man auf
der einen ein thermisches Parameterpaar und auf der an-
deren das allgemeinste thermische Parameterpaar. Darauf
setzt man die Parameterpaare einander gleich.

Es mögen zwei Flächen Torliegen, die eine habe die Gleichungen:

(3) T = y{«,ü), y^x{u,v), z = v(«,«)
und die andere die Gleichungen:

(4) x-~<p(u,v), y = x{u,v), ^^'ijjiu.v).

Indem wir bei beiden Flächen die Parameter gleich bezeichnet
haben, nämlich mit u und v, ist schon jedem Punkte {u,v) der einen
Fläche ein Punkt der anderen gesetzmässig zugeordnet. Fragen
wir uns, unter welchen Bedingungen diese Abbildung conform ist.
Es seien:

dg* = Edu' + 2Fda dv + 6 dv',

dp = Edu' + 2Edu dv + Odv"

die Quadrate der Bogenelemente beider Flächen. Nach Satz 31

haben wir zu verlangen, dass das Verhältnis:

(fg* _ ■gtfw' + 2Fdtidv + Ödv* E+2Fk + OA*
dS" Edu* ■t-2Fdudv + e<fe»" S+2Fk + Ök*

^ alle Richtungen k = dv.du dasselbe sei Es ist also zu fordern:

(5) E:F:Q = E:E:Q.

Satt 36: Um zwei Flächen conform auf einander abzu-
bilden, hat man solche Parameter auf beiden Flächen ein-
zufahren, in denen die Verhältnisse der Fundamental-

Pdr,yGOOgIe

Confonrta Abbildung von Flädien, 79

grossen erster Ordnnag auf der einen Fläche gleich den
Yerhältniasen der FundamentalgrÖssen erster Ordnung
auf der anderen Fläche sind. Alsdann entsprechen die-
jenigen Punkte beider Flächen einander, die zu denselben
Parameterwerten gehören.

Die Minimalcnrven der einen Fläche sind diejenigen Curven,
längs deren dt* = 0 ist Entsprechend sind die Mininialcurren der
zweiten Fläcbe diejenigen, längs deren ds* = 0 ist Man sieht
hieraus, dass infolge von (5) die Minimalcurren der einen Fläche
bei der confonnen Abbildung in die der anderen übergehen.

Dies lässt sich umkehren: Um dies zu zeigen, firagen wir,
unter welchen Umständen die Abbildung der Fläche (3) auf die
!Elfiche (4) so beschaffen ist, dass jeder Minimalcurre der einen
[Fläche eine Minimalcurre der anderen entspricht Das Bogen-
element dt wird als das Bogenelement ds abgebildet Die vom
Punkte (u, t>) einer Fläche ausgehende Richtung dv : du ist die einer
Minimalcurre, wenn fUr sie das Bogenelement gleich Null ist Wir
haben also zu fordern, dass der Ausdruck fflr if «' gleich Null wird,
sobald dv.dfi so gewählt wird, dass der Ausdruck fUr dt* gleich
Nnll ist Diese Forderung führt wieder auf die Bedingung (5).
Also:

Sati 37: Die conformen Abbildungen einer Fläche auf
eine andere Fläche können auch als diejenigen Abbil-
dungen definiert werden, bei denen den Minimalcuryen der
einen Fläche die MinimalcurTen der anderen entsprechen.

Man kann sich die Aufgabe stellen: Aaf zwei Flächen ist je
ein Isothermensfstem gegeben. Gesucht werden alle diejenigen con-
fonnen Abbildungen der einen Fläche auf die andere, bei denen
das eine Isothennensystem gerade dem anderen entspricht

Es seien u, v solche thermische Parameter auf der einen Fläche,
die zu dem gegebenen Isothermensystem gehören, entsprechend ü, a
auf der anderen Fläcbe. Die Quadrate der Bogenelemente haben
dann nach Satz 25, 8. 58, die Form:

rf«»=! £i{K,v)[du*+dv^, ds*= 0(a,i5)(dö*+ da^),

sodass

rfs' _ Sl(u.r) du*+dr*
dr ~ ö(ü,«) ' dü*-\-ds'

ist Um eine Abbildung zu gewinnen, müssen wir ü und c als
Functionen Ton u und v definieren. Wenn die Curven (u) des einen

Pdr,yGOOgIe

74 Erster Absohnitt: Das Bogmeiem^tt der Fläelie.

iBotbermeDDetzes als die CarreB (ä) des aDderen abgebildet vraden
sollen, 80 muss ü = Const seio, wena ti = Const gesetzt wird. Also
miisa ü eine Ftmction von u allein sein; ebenso fi eine Function
von V allein:

ö-M«). » = /»("),
sodass kommt:

dal -Q (", P) rfw*+rfp' ü(.t*,P) 1 +t*

Dies Verhältnis soll nun nach Satz 31 Ton k unabhängig sein. Dies
ist nur dann der Fall, wenn

!-(»)■ -KW

und daher jede dieser beiden Grössen, weil die eine nur von u, die
andere nur von v ablängt, constant ist. Demnach kommt (wie in
(14) auf S. 58);

ü — l(u)~±au + Const, s = ^(t>) =±ap + Const (a = Const).

Hätj«n wir verlangt, dass die Curven (u) als die Cnrven (fl) und die
Curven (v) als die Curven {ü) abgebildet werden sollen, so hätten wir
nur u mit v zu yertaaschen. Demnach:

Satz 38: Um alle diejenigen conformen Abbildungen
einer Fläche auf eine andere Fläche zu erbalten, bei denen
ein gegebenes Isothermensystem der einen Fläche als ein
gegebenes Isothermensystem der anderen abgebildet wird,
bestimmt man thermische Parameter u, v und Q, € za den
beiden Systemen und setzt entweder:

ü =±au + Const, n = ±av + Const
oder:

ß = ± o p + Const, i) — ± a w + Const (a — Conat).

Dabei können die Vorzeichen nach Belieben combiniert
werden.

Kehren wir schliesslich zu den conformen Äbbildangen einer
Fläche auf die Ebene zurfick. Wenn auf der Fläche u und v
thermische Parameter sind, die zu einem bestimmten Isotbermen-
system gehören, und wenn die Fläche so auf die Ebene abgebildet
werden soll, dass dies System in ein System von zwei zu einander
senkrechten Oeradenscharen tibergeben soll, das ja das einfachste
Isothermensystem in der Ebene ist, so haben wir zu bedenken, dass
die gewöhnlichen rechtwinkligen Coordinaten ;, Q in der Ebene

Pdr,yGOOgIe

§ 10. Omform» Abbiidunff der Kugel auf die Ebene.

thermisclie Parameter eines Systems der letzteren Art sind. Nach
dem Satz 38 haben wir daher entweder:

l = ±au + Const, ^ = ±av + Const.
oder:

E == ± a c + Const, 9 =s ± fl a + Const [a = Const)

za setzen. Die additiven Constanten sind nnwesenÜich, da sie durch
S<^ebung des Axenkreuzes in der f^-Ebene entfernt werden können.
Die Yertauschnng von u mit v kommt auf die Vertauschong von £
mit i) hinaus, d. h. darauf, dass man die Ebene von der anderen
Seite betrachtet Alle jene Abbildungen sind also nichts wesentlich
anderes als die eine:

l~±au, r) = ±av (a = Const).

Sie unterscheidet sich von der speciellen:
(6) j = B, 9 = c

nnr dadurch, dass das ganze Bild ähnlich vergrCssert wird, wodnrdi
die Winkeltrene ja offenbar nicht gestört wird. Daher folgt:

Sati 39: Alle diejenigen conformen Abbildungen einer
Fläche auf die Ebene, bei denen ein bestiipmtes Isothermen-
eystem der Fläche in ein System zweier zu einander senk-
rechten Greradenscharen Übergeht, sind mit einander in
gleichem oder entgegengesetztem Sinn ähnlich.

Wir werden uns also auf die Annahme (6) beschränken dürfen.

% 10. Cönforme Abbildung der Kugei auf die Ebene.

In dem 1. Beispiel auf S. 59 ergaben sich durch Quadratur
thermische Parameter auf einer beliebigen Rotationsfläche. Nach
S. 58 können wir daher alle thermischen Parameterpaare für diese
Fläche nnd mithin nach Satz 34, S. 71, alle conformen Abbil-
dungen der Rotationsfläche auf die Ebene angeben.' Ins-
besondere gilt dies auch fUr die Kugel.

Wenn man jedoch den conformen Abbildungen noch beson-
dere Bedingungen vorschreibt, so treten neue Probleme auf, die

■ Die Angabe, eine beliebige Botationafläche coofonn auf die Ebene ab-
zubilden, wurde im weaentlichen volktandig znerat von LuiaBAHOB gel9et: „Sur
la conatrnction dea eartea gäographiqneH", Nouv. H^m. de l'Acad. de
Berlin, ann^e 1779 (Berlin 17S1), wieder abgedruckt in den Oeuvres T. IV,
übersetzt in Ostwal&'s Klaaaikem Nr. 55.

Pdr,yGOOgIe

76 Erster Abschiitt: Bas Bogmelemeiü der Fläehe.

durch diese allgemeineii Betrachtongeii noch nicht erledigt sind.
Wir wollen hier einige derartige Aofgaben Ober die conforme Ab-
bildnug der Kugel auf die Ebene lösen.

Zunächst können wir die allgemeinste coofonne Abbildung der
Kugel
(1) ;r s cos u cos V , j/ = cosuänv, z >= sin u

aof die £ ^-Ebene atif Qnmd des Satzes 37, 8. 73, sehr ein&ch ana-
drllcken, indem wir auf der Kugel und in der Ebene die Minimal-
geraden als Parameterlinien wählen. Zu diesem Zwecke stellen wir
die Kugel nach (11), 8. 64, mittels der Parameter u und n so dar:

Alsdann sind die Parameterlinien (u) und (d) die Miaimalgeraden
der Kugel In der ^^-Ebene sind die XjinieD

E ± t ^ = Const

die Minimalgeradea. Nach dem angefllhrten Satze erhalten wir nun
die allgemeinste conforme Abbildung der Kngel (2) auf die £p-Ebene,
wenn wir fc + il) und |f— iQ gleich irgend welchen Faucdonen von
je nur einem der beiden Parameter u und D setzen, wenn wir also
entweder:

(3) E + "«-t'M. E-.-«-rw

oder

(4) E-.-^ = t'(u), E + i5 = r(b)

setzen, wobei V eine beliebige Function toq u und J' eine be-
liebige Function von D bedeutet Doch dürfen diese Functionen
keine Gonstanten sein. Ea muss also

(5) U'=\:0, r^o
sein.

Jetzt wollen wir die Aufgabe lösen, alle diejenigen con-
formen Abbildungen der Kugel auf die Ebene zu be-
stimmen, bei denen sich jeder Kreis der Kugel wieder als
Kreis darstellt.'

Dabei machen wir davon Gebrauch, dass ein Kreis auf der

' Nebenbei sei erwähnt, däsa m&n beweisen kuiD, cbuM eine solche Ab-
bildung der Kugel auf die Ebene, bei dw Me Kreiae wieder als Kreise er-
scheinen, überhaupt stets conform sein miiBs.

Pdr,yGOOgIe

§ 10. Conforme Abbildutig der Kugel auf die Ebene. 77

Kugel (2) dadurch bestimmt wird, dass man nach S. 65 eine beliebig«

bilioeare Gleichung

(6) siuti + Su + 6b + S) = 0 (SJ, 8, E, 3) = ConBt.)

zwischen u und D herstellt, oder, was dasselbe ist, dadurch, dass
man b gleich einer linear gebrochenen Function von u setzt:
CoDBt u + Conat

Conat u + Conet

m

Id der ; 9- Ebene gilt dasselbe, wenn man anstatt u und D die Qr&sse
X + >Q und % — i1) beuatzt. tinsere Aufgabe kann daher analytisch
Bo ausgesprochen werden:

Hau soll Via) und F{vi} in allgemeinster Weise so bestimmen,
dass jede biliue&re Gtleichnng zwischen £ + tq und E — >q infolge
von (3) oder (4) mit einer bilinearen Gleichnng zwischen u und D
ideotisch ist Oder: So, dass jede G-leichnng von der Form:

^ ' " Court. U + Conat '

in der links nur Dund rechts nur u auftritt, mit einer Gleichnng
Ton der Form (7) oder — was dasselbe ist — Ton der Form (6)
identisch ist.-

üm dies Problem zu lösen, leiten wir zunächst einen Hfllfssatz
ab: Ist B eine linear gebrochene Function von u, d. b. besteht eine
Gleichung von der Form (6), so giebt sie, dreimal total nach u
differenziert, drei Gleichungen für die Dififerentialquotienten b', n", b'"
von b nach u, Dämlich:

a( b +ub') + S8 + (SD' =0,

?((2d' + ub") +Sn"-0,

a(3n"+up"') +®r'=0.

Sie sind linear und homogen in 91, 39, (£ und aus ihn«n folgt daher
das Verschwinden der Determinante hinsichtlich % ÜB, S. 80 kommt
man zu der Gleichung:
(9) 3b"»-2b'b"'=0.

Umgdiehrt: Ist b eine solche Function von u, deren Differential-
quotienten diese Bedingung erfüllen, so ist

3 log b' — 2 log B" = Const ,

D,gH,zedr,yGOOgIe

Erster Abachnilt: Das BogenelemetU der Fläche.

yv

,- = Const u H

CoDSt,

(ConBt. u + Conflt.)' '
woraus durch Dochmalige Integration folgt, daaa t) die Form (7) hat.
Wir haben also den HttUssatz gefanden:

Sati 40: D ist dann und nur dann irgend eine linear
gebrochene Function von u, wen'n zwischen den Ablei-
tungen D', D", D'" von D nach u die Beziehung

3D"*-2B'b"' = 0
besteht

Nach dem Obigen kommt es daher darauf an, U und F so als
Functionen Ton u bez. t) allein zu bestimmen, dass jede bilineare
Gleichung

Ä UF+ SU+CF+D^O {A,B,C,D~ Const)
eine solche Function o von u definiert, deren DifTerentialquotienten
ti', tt", t>"' die soeben gefundene Bedingung (9) erfüllen. Nun erhält
man t)', D", o"' aus den Oleichungen, die ans der vorstehenden Glei-
chung durch dreimalige totale Differentiation nach u herrorgehen.
Diese Gleichungen sind hnear und homogen in d, B, C, und es
muss daher ihre Determinante hinsichtlich A, S, C gleich Null sein.
Die so hervorgehende Gleichung:

dUV dÜ d

tPÜV d* U

d'ÜV d-U

rfu'

d*r

rfT
du'

ist alsdann die einzige zwischen u', b", u'" bestehende Relation, die
bei allen beliebigen Annahmen der Gonstant«n A, B, C, B gilt Wir
haben zu fordern, dass diese Gleichung die Form (9) habe. Aua-
fllhrlich geschrieben lautet die Detenninantengleichnng so:
V F+ Urt)' Jf r ^•

U"F+2UT'o'+ UF'-v-' + UJ-' b" U" F" t)''+ Fv"

ü'"F+ %U"F'i}' + wr-'o'*+üF'"\}-* + ü'-' F- D'" + dr"ü't}"+
+ wrt3"+^ur-t>-x>"+uF'o-' +Pö"'

Pdr,yGOOgIe

i 10. Cor^ornu. Mbildung der Kvga auf dis ESiene. 79

Wenn mui von der ersten Beihe die mit F maltiplicieite zweite und
die mit U moltiplicierte dritte Reihe abzieht, vereinfacht sich die
Determinante bedentend. Ihre Aasrechniing ergiebt die QleichuDg:

u''(9r'' -IT r'>'* - ;"»(3 v* -2U' u"')m'' +

+ C'»P»(3»"»-2»'D"')-0

Ewiachen b', o", d'". Da sie die Form (9) haben soll, so folgt mit
Rackdcht aaf (5), dass

3 U"' - 2U' U'" = 0, 3 r"» - 2 r /"" - 0

■ein muss. Dies aber sagt nach Satz 40 aas, dass U eine linear
gebrochene Function von u nnd V eine linear gebrochene Function
Ton 0 sein mnsa. Qehen wir jetzt anf (3) und (1) zorOck, so
kommt:

Bits 41: Alle diejenigen conformen Abbildungen der
Engel

' "^ uB + 1 ' y " ~ ' up + 1 ' ^ " uT+ 1

auf die Ebene mit den rechtwinkligen Coordinaten ;, q,
bei denen eich jeder Kreis als Ereia abbildet, ergeben sich,
wenn man ^ + il) und £ — t'Q gleich beliebigen linear ge-
brochenen Functionen von je einem der beiden Parameter
u nnd D setzt.

Nehmen wir etwa an:

so ist der Ereis

(11) A(% + it)}(^ - ili) + Sil + i9) + ^CC -i1)) + I> = 0

in der £ ^Gbene das Bild des Kreises :

[ A(a,a + b,){a, n + b,) + B{a,n + fij [c, t> + d,) +
\ +(7(ciU + rf,)Kl) + i,} + -ö(cjU + rf,)(c,D + rf,) = 0

Bnf der Kugel. Insbesondere werden sich gewisse Kreise der Kugel
als die Geraden der Ebene darstellen. Da letztere bei der An-
nahme A = 0 ans (11) hervorgehen, so haben diese Kreise der Kugel
nach (12) Gleichungen von der Form:

£ (oj « + *,) (c, V + d^)+ C(c, u + <i,) (a, b + i.) +

+ i>(cjU + (^)(c,ö4-rf,) = 0.

Pdr,yGOOgIe

80 Sh-ater Jhaehnitt: Das Bogenelement der Flächt.

Wie anch die Constanten B, C, J) gew&hlt sein mögen, ateta Trird
die Oleichang befriedigt, veDn mau u and b so wählt, dass

c, u + rf, - 0, Cj » + (^ = 0
ist, d. h. wenD mao:

k.

setzt Daher gehen diejenigen oo* Kreise der Eagel, deren Bilder
die oo' Geraden der Ebene sind, durch den Pnnkt Ä mit diesen
Coordinaten hindurch.

Wir können annehmen, dass wir diesen Punkt A durch Drehnog
der Kugel in sich in die z-Axe gebracht haben, d. h. wir können
A als Nordpol wählen. Für ihn ist dann die Breite ii = ~, daher
nach den Formeln (9), S. 64, der Parameter u und der Parameter D
unendlich gross. Mithin kommt diese besondere Wahl des Para-
metersjstems darauf hinaus, daas wir c^ und c, gleich Null an*
nehmen, sodass wir die Gleichungen (10] der Abbildung, die selbst
nicht apecialisiert worden ist, so Tereia&chen können:
E + t9 = fl:,u + Äi, 5— i5 = a,D + i,.

Femer können wir das Axenkrenz in der {^-Ebene soweit rer-
schieben, dass sich diese Gleichungen noch weiter Terein&cben :
E + tq-OiU, s- iq-oj».

Der Längenkreis (w = 0), för den nach (9), S. 64, die Parameter ii
und ti einander gleich sind, bildet sich hiemach als die Gerade

Ol o,

ab. Wir können die jq-Ebene nm ihren Anfangspunkt drehen, bis
diese Gerade die £>Axe wird, d. h. wir dürfen o^ i^ o, annehmen.
Nun bleibt:

oder:

j=.|(u + D), 9=-~{u-n).

Indem wir die £t)-Ebene ähnlich vergrösseni, was ja bei conformer
Abbildnng statthaft ist, können wir insbesondere a « 1 madien.
Also haben wir:

(13) E_i(„ + t), ,__i-(u_o).

D,„i,z,dr, Google

§ 10. Conforme ÄbbUdnmg dtr Kugel auf die Ebene. 81

Nach (2) beBteh«n daher zwischen den Coordin&ten x, y, z eines
Punktes der Kugel und den Coordiaaten j, q seines Bildpunktes
die Beziehungen:

^ ' E» + g' + 1 ^ j' + B' + 1 I' + ?• + 1

Wenn wir jetzt die ^q-Ebene direct mit der ly- Ebene zur Deckung
bringen, und zwar auch hinsichtlich der Aien, so läsat sich die
Beziehung zwischen Originalpaukt (x, y, z) und Bildpunkt (j, 5)
geometrisch leicht herstellen. Da nämlich

T:y:[z-\) = i:Xi:- 1

ist, so liegen die drei Punkte {x, y, z), (j, 5, 0) and (0, 0, 1) auf
einer Geraden. Der dritte Punkt (0, 0, 1) ist der oben erwähnte
NordpolJ. (SieheFig.l9.) Wenn
man also vom Nordpol aus die
Oerade durch einen Funkt {x,y, z)
der Kugel zieht, so schneidet sie
die Äqnatorebene (r = 0) in dem
zugehörigen Bildpunkt (;, ^, 0).
Anders ausgesprochen: Die Ab-
bildung wird dadurch gewonnen,
dass man die Kugel Tom Nord-
pol — als Frojectiouscentrum —

perspectiv auf die Äquator- Fig. 19,

ebene projiciert Wird die Äqua-
torebene durch eine zu ihr parallele Ebene ersetzt, so wird das Bild
nur ähnlich rergrössert Ansserdem muss man sich daran erinnern,
daisB wir zur Vereinfachung der Formeln einen bei der Abbildung
ausgezeichneten Funkt als Nordpol wählten. An die Stelle des Nord-
pols kann also irgend ein Punkt der Eugel treten, die Bildebene
ist alsdann eine zu seinem Durchmesser senkrechte Ebene. Ferner
merken wir noch an, dass die durch (4) vermittelten Abbildungen
aus den durch (3) vermittelten dadurch hervorgehen, dass man die
;9-Ebeoe von der anderen Seite betrachtet. Daher können wir das
Krgebnis allgemein so aussprechen:

Satz 42: Die allgemeinste conforme Abbildung der
Eugel auf eine Ebene, bei der sich alle Kreise wieder als
Kreise darstellen, erhält man, wenn man die Eugel von
einem ihrer Punkte aus perspectiv auf eine zum Durch-
messer dieses Punktes senkrechte Ebene projiciert

SCBiFMUi, Geom. DlffV. II. 6

.dr,yGoogIe

82 Erder Abse/müt: Das Bogenelemeni der FUüAe.

Di« perapectiTe Frojection der Engel von einem Punkte der
Engel aoB auf eine zu seinem Dorclimesser senkrechte Ebene heisst
die stereographische Projection der Engel. Also:

Ssti 48: Die stereographischen Projectionen der Engel
sind die einzigen conformen Abbildungen der Eugel aof
die Ebene, bei denen jeder Ereis wieder als Ereis er-
Bcheint.^

Wir wollen jetzt Uberhaapt nach allen denjenigen per-
spectiven Bildern der Eagel fragen, die conform sind.

Wird die Bildebene dnrch eine parallele Ebene ersetzt, so wird
das perspectiTe Bild nur ahnlich Tei^rftssert Wir dürfen also an-
nehmen, dass die Bildebene dnrch die Mitte der Eugel gehe, da
diese Mitte selbst sicher nicht das ProjectioDScentrum ist, wie man
sofort einsieht Sie werde alsdann als 2^-Ebene, die Engelmitte
als Anfangspunkt gewählt. Das Projectionscentmm habe die Coordi-
naten a, b, c. Nun soll der Bildponkt (;, q, 0) des Engelpnnktes
{x, y, t) auf der Geraden durch das Projectionscentmm (o, 5, c] und
den Punkt {x,y,x) liegen. Also ist zu fordern:

«-0 y -b »-e'
womr wir auch schreiben können:

Da nun bei jeder conformen Abbildung Gleichungen von der Form
(3) oder (4) bestehen, so muss also mit BUcksicht auf (2) jede der
beiden OrOssen

(o + .6MuP-l)-a«u (ß_- ib){vL\>-t\~2e'a

(1 - e)ut -(1 +c) ' (r-«)uö-(l -t-o)

TOB nur je einem der beiden Parameter u und b abhängen. Es
mass also entweder

(1 = 5 = 0, c=l oder: a = Ä = t), c= — 1

' DasB bei der Btereographiicheii Projectioa die Winkel in wahrer Gtöbm
nnd die KreiH als Kreise encheinen, ist leicht elementugeomebiBCh einia-
sehen. Diese Projection soll denn anch schon von Eippakdh (nm 160 t. Chr.)
erfinden worden sein. Ihn Bezeichnung rOhrt her von Aodillom, „Optica".
161S. Die nmatSudliche Ableitung dieser Ahbildnng, wie wir üe oben ge-
geben haben, hat den Zweck, den nicht so elementaren Sati lu beweisen, dase
es ansser der stereographischcn Projection keine confonne Abbildung giebt,
bei der die Kreise wieder als Kreise erscheinen. Dieser Satz ist implicit« in
der oben (S. 75, Anm.) genannten Arbeit Ton Laskuge enthalten.

Pdr,yGOOgIe

§ 10. Confarmc Abbildung der Kugel auf die Ebene. 83

sein, ä. h. das Projectionscentmm ist einer der Schnittpunkte der
z-Axe mit der Engel. Wir kommen daher wieder zur stereo-
graphiBchen ProjectioQ:

Satz 44: Die conformen perspectiven Bilder der Engel
ergeben sich sämtlich durch die stereographische Pro-
jection.

Bei stereographischer Projection wird die ganze Engel ein-
deutig auf die anbegrenzte Ebene abgebildet Die Halbkugel, die
dem Centrum A der Projection gegenüberliegt, erfährt weniger
starke Verzerrungen als die andere. Zu kartographischen Zwecken
bedient man sich daher meistens der stereographischen Projection
nur für jene Halbkugel. So ist auch in Fig. 20 die stereographiscbe

Fig. 20. Fig. 21.

Projection einer Halbkugel yom Sodpol aus und in Fig. 21 tob
einem Punkte des Äquators aus dargestellt ^ Die Bildseite ist dabei
diejenige Seite der jedesmal senkrecht zum Durchmesser des Fro-
jectionscentrums gelegten Ebene, auf der dies Centrum nicht hegt
Die Breitenkreise und Meridiane, die ja ein Isothermensystem bilden,
nach S. 59, mUssen sich auch in der Ebene als ein Isothermen-
System von Kreisen darstellen. Diese Systeme bei unseren jetzigen
Figuren wurden im ersten Band in Fig. 31, S. 128, und Fig. 33,

' Dieie Figoren, sowie Fig. 22 aad 23 sind in solcher GiSaae entworfen
"oidea, dass jedesmal die Karteumitte mit den früheren fläche □ treuen Karten
(Fig. 10—16, S. 44 — 58) in der FlächengtSsse übereinstimmt

.dr,yGoogIe

84 lasier AbaeknÜt: Dat Bogenelement der Flachs.

S. 134, angegebeo. Bei der stereographiachen Projection von irgend
einem Fonkte der Engel ans tritt ebenfalls das in der dtierten
Figor 33 daz^estellt« iBOtbermensystein auf, während die in Fig. 92,
I S. 131, und Fig. S4, 1 S. 134 angegebenen IsothermenBTsteme offen-
bar nicht auftreten.

Wir wollen jetzt die Aufgabe' lOsen, alle diejenigen coo-
formen Abbildnogen der £ngel auf die Ebene zu bestim-
men, bei denen die Längenkreise und Breitenkreise wieder
als Kreise abgebildet werden, während wir es dahingestellt
sein lassen, wie sich die übrigen Kreise der Engel im Bilde zeigeu.

Nach Satz 81, I 8. 1S3, werden sich die Längenkreise und
Breitenkreise, da sie ein Isothermensystem bestimmen, in der Bild-
ebene, der £q-Ebene, als Ereiae darstellen, deren Gleichungen auf
die Form gebracht werden können:

(15) ■ E* + 9»-2pj = n», i* + 5*-2y^ = -n».

Dabei ist n eine bestimmte positive Constante, während p und g
willkürliche Ckinstanten bedeuten. Die Kreise der ersten Schar haben
die reellen Punkte (^ — 0, 9= ±n) der q<Axe gemein, die der
zweiten die imaginären Ponkte (| — ± in, ^ = 0) der |r-Axe; p ond
j sind die Äbscisse bez. Ordinate der auf der £-Axe bez. ^Axe ge-
legenen Ereismitten. Wir fanden in den Formeln {IS), 1 3. 133, dass

K'^^arctg^, c'_J-log|^

thermische Parameter des Netzes (16) sind. LQsen wir diese Glei-
chungen nach p und g an^ so kommt:

(16) p = «tgn«, y = - »„.__„,•
Andererseits sind auf der Engel:

(17) jr = coSuco8v, _y = cOBusino, r=ssinK
nach (19), S. 59,

(18) ß = logt«(-^ + f). ü = v

thermische Parameter des Netzes der Breiteukreise und Meridiane.
Nach Satz 38, S. 74, erhalten wir daher die gewOnschten Abbildungen,
wenn wir entweder

m' = ±aü + Const, v = ± av + Const
oder

u' = ± « c -h Const, o' = ±aü+ Const (a = Const)

' Dieie Aufgabe «mrde von LiaujroB in seiner in der Anm. anf S. TS
erwShuten Abhandlung geatellt and gelOat

Pdr,yGOOgIe

§ 10. Gcmforme JAbiiduftg der Kugel auf du Ebene. 85

setzen. Da eine Andernng des Vorzeichene von u oder t>' nach (IS)
aar auf eine Änderung des Yorzeiohena von p oder g, d. h, auf
eine VertaoschuDg einer Ajcenrichtung mit der estgegengeaetzten
hinauskommt, nnd da das Bild nnr ähnlich rei^rössert wird, wenn
p, q nnd ■ alle drei mit derselben Constanten multipUciert werden,
d. h. w^n nach (16) die GrCssen u' nnd v mit derselben Constanten
maltipliciert werden, so dUrfen wir uns auf die beiden Annahmen
beschränken:

a' = — fl + Const, v = « + Const
und

u = € + Const, u' = — e + Const.

Bezeichnen wir die Constanten mit a nnd ß, so giebt (18) ent-
weder:

oder:

w'-a-logtg(- + -;

sodass aas (16) entweder:

;i-»itg[»ia — <ilogtg(^ +

-v + ß

= « - log tg (-J + I)

(19)
oder:

p-ntgn(i- + ^),
9= -

.(t*t)

»loci« (-^ + -y) -«« + -tOgt| (-^ H

folgt Diese Gleichungen (19) bez. (20) genflgen zur Herstellnng der
AbfaUdnngen, da sie zur gegebenen Breite u und Länge v die Mittel»
pnnktacoordinaten p nnd q der Kreise (15) in der Bildebene liefern.
I>ie Constanten a, ß, n sind dabei irgendwie, aber bestimmt zu
wählen.

Bei der Abbildang (19) stellen sich die Breitenkreise (u) als
die Kreise der ersten Schar (Ifi) dar, also als Kreise durch zwei ge-
meinsame reelle Punkte, während die Bilder der Meridiane nicht
— wie auf der Kugel — gemeinsame reelle Punkte haben. FUr
kartographische Zwecke benutzt man daher lieber die Abbildung (20),
bei der die Bilder der Pole die beiden reellen Punkte (£ = 0,

Pdr,yGOOgIe

86 Si-sler AbseAmtt: Das Bogemlemcnt der Fläche.

9 — ± ») sißA Bei dieeer Äbbildnni; wird der Winkel v, den der
Meridian (tt) aaf der Engel im Nord- oder Sfldpol mit dem NuU-
meridian einschliesBt, verzerrt Denn die Bilder der Meridiane (r)
siod die Kreise, die durch die erete Gleichimg (15) de&tiiert werden;
der zu p gehörige Kreis aber hat im Punkte (5 = 0, p =■ ») eine
Tangente, deren Winkel <a mit der £-Äxe dtfrcb

tg„.-p

bestimmt wird. Hierfür kann nach der ersten Gleichong (20) ge-
schrieben werden:

ü3 = n{v.\-ß)-nv-\-nß.

nß \sX bloss eine additive Constaute. Daher sieht man : Der Winkel,
unter dem sich zwei Meridiane auf der Eugel im Nordpol schneiden,
erscheint im Bilde in n-&cher Grösse. Die Abbildung ist deshalb
fbr den Nordpol und ebenso f&r den Südpol nicht mehr conform,
wenn n nicht etwa gerade gleich + 1 oder — 1 ist

Nehmen wir etwa r = ^ an. Femer sei der Meridian, der sich
als Kreis um den Anfangspunkt der ^^-Ebene mit dem ßadias » ab-
bildet, der Meridian (v-^n). Es sei also;* = 0 fUr v = ^n. Nach (20)
tritt dies für ^ = 0 ein. Wir wählen deshalb ^ ■= 0. Der Äquator
(k k 0) möge sich als die ^-Axe abbilden, d. h. als der zur zweiten
Gleichung (15) für 7 — cx> gehörige Kreis. Zu diesem Zweck wählen
wir nach (20) die Constante a = Q. Jetzt vereinfachen sich die
Gleichungen (20) so:

P = itg J, 9 = ictg|.

Diese conforme Abbildung ist in Fig. 22, S. 87, dargestellt

Die Formeln (20) dienen dazn, die ganze Kugelfläche conform
und eindeutig auf das Innere eines beliebigen ebenen Ereiszweiecks
abzubilden, wobei die Meridiane als die Kreise durch die £cken
und die Meridiane als die dazu senkrechten Kreise erscheinen.

Es darf nicht übersehen werden, dass wir bei der Lösung an-
seres Problems von vornherein annahmen, das Bild der Breiten- und
Längenkreise sei ein allgemeines Isothermensjstem von Kreisen
in der Ebene, denn neben diesem giebt es ja nach I S. 134 noch
drei specielle Gestalten, dargestellt durch die Figuren 31, 32, 34,
I S. 128—134. Die Fälle der Figuren 32 and 34 gehen fQr n = 0
bez. a = o3 hervor. Im Fall n =s 0 wird offenbar die Abbildimg
im Nordpol ausgeartet im f^all » = 00 liegt das Bild des Nordpols
unendlich fem. Der Fall der Figur 31 geht nicht so einfach durch

Pdr,yGOOgIe

§ 10. QmformA Abbiidu^ der Kugel auf die Ebene. 87

specielle Wahl der Constanten n herror. Da sich dieser Fall jedoch
ganz analog erledigen läset, wenn man auf das 1. Beispiel, I S. 126,
zarückgeht, so übergehen wir ihn.

Noch sei angemerkt, dass die gefundenen Abbildaugen ins-
besondere für n = ± 1 die Bt«reographischen Projectionen ergeben. —

Fig. 22.

Wir erwähnen noch einige Probleme: Man kann nach allen
denjenigen conformen Abbildungen der Kngel fragen, bei denen sich
die 00* grÖBsten Kreise der Kngel als die Geraden der Ebene dar-
stellen, aber es giebt keine solche Abbildung, was schon daraus
folgt, dass die Winkelsnmme in einem ebenen Dreieck stets zwei
Kechte beträgt, aber nicht in einem sphärischen Dreieck. Die
Winkeltreue kann also nicht gewahrt bleiben, wenn sich die grössten
Engelkreise als Geraden abbilden sollen.

Pdr,yGOOgIe

88 Erster AfMcfmia: Bat Bogeneiem*rU der Fläche.

■ Dagegen fQhrt ein anderes Problem zu einer wichtigen Ab-
bildung: Oesncht diejenigen coäformen Abbildungen der
Kngel auf die Ebene, bei denen die Lozodromen als Ge-
raden erscheinen.

unter einer Lozodrome versteht man eine Oorre constanter
Himmelsrichtung auf der Erdkugel, mathematisch ausgesprocheD eine
solche Corve der Engel, die alle Breitenkreise oder Meridiane unter
constantem Winkel echoeidet. Zu den Lozodromen gehören die
BreitenkreiBe und Meridiane; alle übrigen Lozodromen dagegen sind
Gurren, die die Pole der Kngel zu asymptotischen Punkten (I S. 18)
haben, sodass also die grössteo Kreise der Kugel — ausser den
Meridianen und dem Äquator — keine Lozodromen sind. Da sich
die Lozodromen als Geraden darstellen sollen, so ist dies inabeson-
dere Ton den Breiteokreiseo und Meridianen zu fordern. Wegen
der W)nkelb*eue müssen sie also als zwei Scharen su einander senk-
rechter paralleler Geraden erscheinen.

Bei einer oonformen Abbildung, bei der die Breitenkreise und
Meridiane in dieser Weise auftreten, erscheinen die Lozodromen
wegen der Winkeltreue als Linien, die eine Schar paralleler Ge-
raden unter constanten Winkeln sehneides, mithin als Geraden.

Hieraus folgt, dass die jetzt gesuchten Abbildungen unter den
oben besprochenen enthalten sind (nämlich fQr n = oo). Es ist aber
bequemer, sie direct zu bestimmen: Denn auf der Engel (17) sind
die Gr&Bsen (18) thermische Parameter der Breitenkreise und Meri-
diane. Daher geben nach S. 76 die Gleichungen:

(21) J-». «-loglglT + l)

eine Abbildung der gesuchten Art Nach Satz 39, 3. 75, folgt

Satr 45: Alle diejenigen conformen Abbildungen der
Kugel mit der Breite u und der Länge v auf die ;f Q-Ebene,
bei denen die Lozodromen als Geraden erscheinen, sind
der Abbildung

gleich- oder gegensinnig ähnlich.

Die Abbildung (21) heisst die Karte von Mebcatob.' Siehe

* KauiBm, genftDnt Meboatob, verSfi^tlichte l&es seine Weltkarte, auf
der er zwar ihre Vorsflge angab, aber über die Art ihrer Constructioa nichts
mitteilte. Nach seinem Tode fimd Wriqbt 1599 ein XahenmgsTer&hren, aber
erst 1645 gab Boko den eiacten mathematiscben Ausdruck fQr die AbstSnde
der Breitenkreise an in einem Anhange zu Nobwood's „Epitome of navi-

Pdr,yGOOgIe

§ 10, Gonforme Ahbildu^ der Kugel auf die Ebene. 89

Fig. 28. Das Bild erfüllt den ganzen Streifen zwischen der Geraden
j n ± ji bis ins Unendliche* und wiederholt sich beiderseits
periodisch. Es sei noch hervorgehoben, dasa sich diese Abbildung
natürlich nicht etwa einfach dadurch herstellen lässt, dass man die
Kngel auf einen längs des Äquators berOhreuden Cylinder von der

Fig. 23.

Mitte aus perspecÜT projiciert und alsdann den Cylinder abwickelt
Aber dieses letztere Verfahren giebt dieselben Meridiane und fUr
niedrige Breiten wenig abweichende Bilder der Breitenkreise. —

Wir verzichten auf die Betrachtung sonstiger conformer Ab-
bildungen der Kugel.

gation". Den ersten Beweis dafUr gab endlicli Hallet, „An easy demoa-
Btration of tba logarithmic tangenti to the meridian line", PhUos.
Traasactions fflr 1695—97, Vol. 18. Wegen ihres Nutzens fflr die Seefahrt
heisst die MsBCATOB'eche Karte schlechtweg die Seekarte. Sie gestattet die
von der Seefahrt bevorzugten Linien constanten Gurses, die Loxodromen, wegen
ihrer Qeradlinigkeit und Wjnkeltreue direct mittels des Compaases eiuxu-
zeichnen, sobald du Kartenblatt selbst orientirt ist.

' Die Fig. 23 geht ^'on 80" uGrdlicher bis za SO* sfidlicher Breite.

D,gH,zedr,yGOOgIe

Erster Abaehmit: Das Bogenelement der Fläche.

g 11. Beliebige punktweise Abbfidungen von Fl&chen.

In den Paragri^hen ö, 6, 9 und 10 haben wir einige besondere
Arten, eine Fläche auf eine uidere Pnnkt für Punkt za beziehen,
in Betracht gezogen. Jetzt wollen wir einige Sätze aofstellen, die
Air jede beliebige punktweise Abbildung gelten.

Eb liege eine Fläche in Parameterdarstellnng vor:

(1) x = <f.{u,v), !/ = x(u,v), z^tp{u,v).

Wenn die Fläche nach ii^nd einem Gesetz auf eine andere Fläche
abgebildet wird, ao gehört zu jedem Punkte (z, y, z) der Fläche eia
Pnnkt {i,p, z) auf der zweiten Fläche. Daher sind dann x, y, z Func-
tionen von X, y, z oder nach (1) Fanctionen von u und v. Es seien
dies die Functionen:

(2) i-yK»), y -/(«,»), »-./"■(".■')•

Diese Gleichungen ergeben, wenn u and r alle mSglicben Werte
annehmen, die Coordinaten aller Punkte (z, y, z) der zweiten Fläche.
Mithin ist (2) eine Parameterdaratellnng der zweiten Fläche. Zn
jedem Wertepaare u, r gehören einander entsprechende Punkte (z, y, ;)
und (i, y, z) oder P und P der beiden Flächen (1) und (2).
Ea seien

I dt' = Edn* + 2Fdu dv + Gdv',

i di^ = Edu* + 2/rfM dv + Ödv*

die Quadrate der Bogenelemente der beiden Flächen.

Ändern wir u und t- unendlich wenig, so ändern sich auch die
Punkte P and P anendlich wenig. Das als eben aufzufassende
unendlich kleine StQck der ersten Fläche in der Umgebung eines
beliebigen Punktes P bildet sich als das ebenfalls als eben auf-
zofsssende unendlich kleine Stück der zweiten Fläche in der Um-
gebung des zugeordneten Punktes P ab. Wir wollen die Beziehung
zwischen diesen beiden unendlich kleinen Bereichen untersuchen,
verstehen also unter u, v zwei allgemein, aber bestimmt gewählte
Werte der Parameter nnd setzen nach (1) und (2) an:

{dx = x^du + x^dv, dy = y^du+y^dv, dz = z^dti + z^dv;
dx = x^du + x^dv, dy ■= y^du + y^dv, dz = z^du-i-z^de.

Hierin haben jetzt die partiellen Ableitungen von x, y, x and z, y, l
nach u und v bestimmte Werte, während die Differentiale ver-

Pdr,yGOOgIe

§ 11. Beliebig« punkttoeüe Abbildungen von Fläohen. 91

änderlich bleiben. Es sind dx^dy^dz rechtwinklige Pnnktcoordi-
naten für das uaendlich kleine Stack der ersten Flüche in dem-
jenigen Axenkreoz, das dem ursprünglichen parallel ist und seinen
Aji^gsponkt im Pnnkte P oder {x, y, z) der Flädie hat Analoges
gilt Ton dx, dy, dz. Wir sehen ans (4), dasB diese rechtwinkligen
Coordinaten linear und homogen tod den HolfaTeränderlichen du
und dv abhängen.

Jeder Fortschreituugsrichtung (dx -. dy : dz) auf der ersten Fläche
vom Punkte P aas entspricht hiemach eine Fortschreitungsrichtung
(rfi •.dy:dz) auf der zweiten Fläche TOm Pnnkte P aus.

Wenn wir du und t/r so annehmen, dass dv.du einen be-
stimmten Wert k hat, so ist der zugehörige Punkt (w + du, v + de)
oder {x + dx, y + dy, z + dz) der ersten Fläche an diejenige Tan-
gente des Punktes {x, y, x) gebunden, deren Gleichungen in den
laufenden Coordinaten ^, q, j nach (3), S. 20, sind:

(5) j = T + (i^+ar„i)*, 9=y + Cy. + y.Ä)^ i = z + (^„+x,*)*

mit dem längs der Tangente veränderlichen Parameter t. Dieser
Tangente entspricht bei der zweiten Fläche die Tangente:

{6) i~x + {x^^.x^k)i. ^=y + {y„ + y^*)*, ä = ^ + {^„ + M)'-

Wir wollen nun k vier Werte k^, A,, k^, k^ erteilen. Ihnen
entsprechen vier Tangenten (5) in der Tangentenebene von P und
Tier Tangenten (6) in der
Tangentfinebene Ton P.
(Siehe Fig. 24). Die ersten
rierTangenten haben nach
IS. 334 ein gewissesDop-
pelverhältnis, das wir
leicht bestimmen können; Fig. 84.

Wenn wir nämlich in (5)

f&r t den Wert E^s setzen, sa erhalten wir einen Punkt auf der
Tangente (5):
(7) t = X ■\- x^Jc x^k , 9-y+y„ + y,*, i = 2 + z„+x„Ä.

(reben wir jetzt k beliebige Werte, so sind dies wieder die Glei-
changen einer G^eraden mit den laafenden Coordinaten %, Q, j und
dem Parameter k. Diese Gerade liegt in der Tangentenebene von P-
Jene vier Tangenten treffen sie in vier Punkten, deren Coordinaten
ans (7) hervorgehen, wenn wir für k die vier Werte k^, k^, k^,' k^
setzen. Nach Satz 41 oder 42, I 8. 333, haben die Tangenten das-

Pdr,yGOOgIe

92 Erster Abseimitt: Das BogenelemerU der Fläche.

selbe Doppelverhältnia wie dieee vier Pn&kte. und da A in (7)
linear auftritt, bo ist das letztere Doppelverhältnia oach Satz 40,
I S. 332, gleich dem der vier Werte Aj, A,, A,, Ä..

Wir haben also zunächst den

Sats 46: Diejenigen vier Tangenten eines Punktes («, »)
auf einer Fläche mit den Parametern u, v, für die dv.du
die Werte A^, A,, A^, A^ hat, haben das Doppelverhältnis

Da der Satz auch für die Tangenten (6) der zweiten Fläche
gilt^ so folgt hieraus:

Sats 47: Sind zwei Flächen Funkt für Punkt auf ein-
ander bezogen, so entsprechen den Fortschreitungsrich-
tungen, die auf der einen Fläche von irgend einem Punkte
ausgehen, die Fortschreitnngsrichtangen, die auf der an-
deren Fläche von dem zugeordneten Punkte ausgehen, und
zwar in der Weise, dass irgend vier Richtungen durch den
ersten Punkt dasselbe DoppeWerhältnis wie die ent-
sprechenden Tier Richtungen durch den zweiten Punkt
haben.

Wenn wir auf den Tangenten der Paramet«rlinien (u) und {v)
des Punktes P der ersten Fläche yö und ^E als Strecken auf-
tragen und diese Strecken zum Parallelogramm verroUständigen,
wenn wir femer das Analoge beim Punkt P der zweiten Fläche
thnn, so liegen zwei Parallelogramme tot, innerhalb deren wir jetzt
die durch (4) rechnerisch ausgedrückte Beziehung zwischen den un-
endlich kleinen Flächenbereichen von P und P geometrisch her-
stellen können: Hat nämlich dv.du etwa den Wert A, so werden,
Trie in Fig. 6, S. 31, die Seiten fö und
yÖ mit A muItipIicierL Wird dann aus
diesen verlängerten Seiten and den anderen
Seiten YB bez. y^ jedesmal das Parallelo-
7 gramm wieder Terrollständigt, so entsprechen

die Diagonalen beider Parallelogramme dem
gegebenen Wert A von dv.du. Wir können
die beiden Figuren als unendliche ähnliche
VergrSssenmgen der unendlich kleinen Par-
Fig. 25. allelogramme auf den Flächen auffassen.

Wenn wir nun die eine onserer beiden
Figuren, etwa die erste, soweit ähnhch vergrdssem, bis die Quer-
diagonale des aus ^Ö und ^/E gebildeten Parallelogramms mit der

Pdr,yGOOgIe

§ 11, Beüebigt punktweise Jbbildufu/m con Flächen. 93

entsprecheDden Diagonale in der zweiten Figur an I^loge überein-
stimmt, so könnea wir beide Figuren so an einander legen, dass sie
sich längs dieser Diagonale durchdringen. Siehe Fig. 25, S. 92.
Aus der Proportionalität der beiden vorhin mit k^dv.du ans-
gefilhrten Conatmctionen folgt dann der in der Figur angedeutete

Satz 48: Sind zwei Flächen Punkt für Punkt auf ein-
ander bezogen, so entspricht jedem nnendlich kleinen
Stück der einen Fläche ein anendlich kleines Stück der
anderen Fläche. Bringt man zwei solche einander ent-
sprechende Stücke in eine geeignete Lage zn einander, so
kann man die Zuordnung zwischen ihren Punkten durch
eine passende ähnliche Yergrösserung des einen Stücks
und darauf folgende Parallelprojection des einen Stücke
auf das andere geometrisch herstellen.

Doch ist die besondere Art, wie weit die VergröBsening aus-
zuführen ist, in welche gegenseitige Lage beide Stücke zu bringen
sind und in welcher Richtung zu projicieren ist, f&r jedes andere
Paar zugeordneter Stiicke natürlich eine andere.

Aus diesem geometrischen Ergebnis hätten wir den obigen
Satz 47 mit Hülfe der Sätze des § 11, 8. Abschn. des 1. Bds., eben-
falls ableiten können. Auch die folgenden Betrachtungen lassen
sich zum Teil rein geometrisch wiedergeben, aber wir schlagen den
analytischen Weg ein.

Die zu zwei Werten k und x von dv.du gehörigen Fortschrei-
tungsricbtnngen im Punkte (u, v) der ersten Fläche bilden einen
Winkel a mit einander, für den nach Satz 10, S. 82,

(8)

E+ F(k + x) + Okn

]/(£+ 2Fk + 0k*){E + 2FK-i- Ox')

ist Die entsprechenden Richtungen im Punkte (u, v) der zweiten
Fläche bilden einen Winkel ä mit einander, für den

(9)

E + P(k + K) + Ökx

V(£+ 2Pk + Ök'){£+2Fx + Öx'J

ist Werden k und x so gewählt, dass die zugehörigen Richtungen
auf der ersten Fläche zu einander senkrecht sind, so werden die
zugehörigen Richtungen auf der zweiten Fläche im allgemeinen
nicht zu einander senkrecht sein. Einem rechten Winkel auf der
ent«a Fläche entspricht rielmehr nur dann ein rechter Winkel auf

Pdr,yGOOgIe

Ertt^ Abschnitt: Diu Bogenelement der Fläehe.

der zweiten, wenn die BestimmoiigsstQcke A und x der Sehenkel so
gewählt werden, dass gleichzeitig cos a -< 0 und cos ä = 0, also

(10)

E+*'(i + «) + eJ«-0,

ist Es mUssea also k und x so gewählt werden, daas ihre Summe
und ihr Product die Werte haben:

kx-

EP-
Fd -

FE

sind die beiden Wurzeln der in k quadratischen

■ FS)-ioB-Ee)h + [Fa-at)k'-(i

h'

E

£

-h

F

F

-0

1

0

0

(11) *

d. h. A nnd x
Gleichung:
(12) {Ef-

oder

(IS)

Hinsichtlich dieser quadratischen Qleichong sind nun drei Fälle
zn outerecheiden :

1. Fall: Die Gleichung (12) oder (13) ist identisch er-
fallt, d. h. es ist

E:F: Q = H:F: 0.

Nach S. 72 ist alsdann die Abbildung in den betrachtet«Q Funkten
(m, v) conform. Jedem rechten Winkel durch den Funkt (m, v) der
einen Fläche entspricht ein rechter Winkel auf der anderen Fläche.

2. Fall: Die Gleichung (12) oder (13) hat zwei yer-
'scbiedene Wurzeln. Im Funkte (u, v) der einen Fläche gieht es
dann nur einen rechten Winkel, dem auf der anderen Fläche wieder
ein rechter Winkel entspricht. Wenn wir k durch dv.du ersetzen,
so lautet die Gleichung (12) oder (lit) so:

(14) {EF- FE)du*-{GE~ EÖ)dudv + [FO -GF)dv* = Q

oder:

dv* E E

(15) -dvdu F F =0.

</«» 0 G

Nach Satz 5, 8. 13, aber definiert diese Gleichung als Differential-
gleichung in u und v zwei Currenscharen auf jeder der beiden FU^hen,

Pdr,yGOOgIe

§ 11. Betwltige punktweise Abbiicbmgen von Flächen. 9S

und zwar ist in jedem Pnnkte jeder der beiden Flächen die hin-
durchgehende Gorre der einen Schar senkrecht znr hiDdnrcfagehen-
den Corre der andern Schar. Ea giebt also auf der einen Fläche
gerade ein Orthogonalayatem von Carren (vgL 8. 33), dem auf der
anderen Fläche wieder ein OrthogonaUystem von Corven entspricht
— Sind die beiden Flächen reell und entsprechen reellen Werten
der Parameter u, o reelle Punkte, so sind auch die Wurzeln k und x
der quadratischen Gleichung (12) oder (13) reell. Dies sieht man
wohl am schnellsten so ein: Deuten wir tü.T den Augenblick

(16) J-* + -f. 5 = »+-J

als rechtwinklige Punktcoordinaten in einer Ebene, so stellt die erste
Gleichung (10) die gleichseitige Hyperbel

dar. Die erste Gleichung (11) bedeutet dann eine Gerade:
5 + 9 = Const

parallel zur Hauptaxo der Hyperbel Beide treffen einander in zwei
reellen Funkten (;, q), deren Coordinaten paarweis vertauscht sind
(siehe Fig. 26). Zu jedfem Punkt gehört
nach (16) ein reelles Wertepaar A, x,
das den Gleichungen (10) oder (1 1) oder

(12) genOgi — Im reellen Fall also
sind die beiden einander entsprechenden
Orthogonalsysteme auch reell.

3. Fall: Die Gleichung (12) oder

(13) hat zwei gleiche Wurzeln. Jetzt
fallen die beiden zu einander senkrech-
ten Fortschreitungsrichtungen auf jeder
der beiden Flächen zusammen. Nach pig, gg.
Satz 49, I S. 339, sind sie also die Rich-

tangen von Uinimalgeraden. In der That giebt jede der Gleichungen
(10), sobald k = X gesetzt wird, nach S. 35 die Bedingung fUr die
Richtung h einer durch den Punkt (u, r) der ersten bez. zweiten
Fläche gehenden Minimalcurre. Jedes der beiden Orthogonalsysteme
des zweiten Falles ist mithin in eine Schar von Minimalcorven aus-
geartet Es liegt daher hier der besondere Fall vor, dass der einen
Schar von Hinimalcurven auf der ersten Fläche vermöge der Ab-
bildung wieder gerade eine der Scharen von Minimalcurren auf der

Pdr,yGOOgIe

Erster Äbackmü: Dan BogeneUment der Fläche.

zweiten Fl&cbe zugeordnet ist Übrigens tritt dies bei reeller Ab-
faildang reeller Flächeo nie ein, wie die Fig. 26 zeigt, da in dieser
Figur die beiden Schnittpunkte der Geraden mit der Hyperbel nor
dann znsiunmeniallen können, wenn die Hyperbel in ihre Asymptoten
ausartet, also I>~ 0, d. h. die erste Fl&cfae nach Satz 9, S. 29, die
Tangentenääche einer Hinimalcurre ist.

Wenn wir Ton solchen Flächen absehen, so können wir das
f^ebnis, indem wir uns an Satz 37, S. 73, erinnem und den zweiten
und dritten Fall vertaaschen, so formulieren:

SatB 49: Bildet man eine Fl&cfae Punkt für Pnnkt auf
eine andere Fläche ab und ist keine der beiden Flächen
die Tangentenfläche einer Uinimalcnrve, so sind drei Fälle
denkbar:

Erstens: Die beiden Scharen von UinimalcnrTen der
einen Fläche bilden sich als die beiden Scharen von Mini-
malcurven der anderen Fläche ab. Dann ist die Abbildung
conform, und jedem Orthogonalsystem auf der einen Fläche
entspricht ein Orthogonalsystem auf der anderen Fläche.

Zweitens: Nur eine Schar von Minimalcurven der einen
Fläche bildet sich als Schar von MinimalcurTea der an-
deren Fläche ab. Ausser dieser als Ausartung eines Ortho-
gonalsystems aufzufassenden Schar giebt es alsdann kein
Orthogonalsystem auf der einen Fläche, dem auf der an-
deren Fläche wieder ein Orthogonalsystem entspräche.
Bei reeller Abbildung tritt dieser Fall nie ein.

Drittens: Keine der beiden Scharen von Minimal-
curven der einen Fläche bildet sich als Schar tos Uini-
malcurren der anderen Fläche ab. Alsdann giebt es ein
und nur ein Orthogonalsystem auf der einen Fläche, dem
auf der anderen Fläche wieder ein Orthogonalsystem ent-
spricht Ist die Abbildung reell, so sind es auch diese
beiden Orthogon&lsysteme.

Der letzte Fall ist der allgemeinste. Wir wollen ihn daher
insbesondere für reelle Abbildungen noch einmal als Satz aas-
sprechen:

Sats 50: Wird eine reelle Fläche Punkt für Punkt, aber
nicht conform, aaf eine andere reelle Fläche abgebildet,
so giebt es stets ein und nur ein Orthogoualsystem auf
der einen Fläche, dem auf der anderen Fläche wieder ein
Orthogonalsystem entspricht; und diese beiden Orthogonal-

Pdr,yGOOgIe

§ 11. Beliebige punktweise Abbildungen von Flächen.

Systeme sind reell.* — Sind anf beiden Flächen einander
entsprechende Punkte (x,y, z) nud (x,y, z) auf dasselbe Para-
meterpaar bezogen:

x = (f.{u,v), y^^C«,»), ^ = tp(w,t>),

und sind E, F, ö bez. E, F, 0 die FundamentalgrösBen erster
Ordnung auf den beiden Flächen, so werden jene Ortho-
gonalejsteme durch die Differentialgleichung
dv^ E F
-dudv F F =0
du* G 0
zwiscben u und v definiert.

Sehen wir von dem Specialfall ab, der bei reeller Äbbildang
nie eintritt, dass nämlich die quadratische Gleichung (12] eine
Doppel Wurzel hat, so können wir nunmehr imnehmen, dass die
Parameter u und v schon so gewählt seien, dass gerade die Para-
meterlinien (u) und (r) auf beiden Flächen Orthogoualsysteme bilden.
Im allgemeinen ist dies nur auf eine Weise möglich, im Fall der
conformen Abbildung auf Qoendlich viele Weisen. Hervorzuheben
JBt noch, daHB die so eingeführten neuen Parameter u and v im
Fall einer reellen Abbildung für reelle Punkte auch reell sind.
Nach Satz 13, S. 34, ist jetzt F= F= 0 zu setzen, sodass
ds* = Edu^ + Odv*,
ds' = Edu' + adv'

ist Jetzt sind die Parallelogramme in Fig. 25, S. 92, Rechtecke, und
man erkennt: Geht man von einem Punkte P oder («, r) der ersten
Fläche in der Richtung (dv.du) fort zu einem unendlich benach-
barten Punkt Q, so ist filr den Winkel ^ dieser Richtung mit der
Tangente der Farameterlinie (u):

' Dies wurde Eaerst von Tisbot, „Sur lee cartea giographiqDea",
CompteB Rendus t 49 (1869), auBgeeprocheo. Eine aosfUlirliche BegiitndDDg
gab er 1878 in den Nonvelles Annales de Math., 2. sirie, t. 17. Dass der Salz
bei imagiuSi'eu Abbildnugen nicht ftusnahmsloH gilt, bemerkt« Lie, „Über
geodätische Linien", Note I: „Über die allgemeinste geodätische
Abbildung einer reellen oder imaginären FUche", Math. Ann. 20. Bd.
(IBS2). Er machte darin auf den in obigem Sats 49 genannten zweiten FaII
tabxtkBom.

I. Diflr. IL

.dr,yGoogIe

Aaf der köderen FI^» fcv3.at «.i=p«c£.'etd:

'-S;*rLt Fifc 27." In dem Axeiiki^az. du «on dto Tangcaten der

Rg. ST.

durch F ^^henden Parameta-Iiniea {■', nnd 'r gebildet irird, mögeo
f nod 9 rechtvinkiige Coordinftten Ton Q sein. Dum ist:
r = (/JCOS7 = |<r</r, 9 = <f«sin7= }£</«.
Analog constniiereD wir das Kreax der f- and B-Aze bei der zveiten
Fläche. Dann hat der Büdpankt tod Q die rechtwinkligen Coordi-
naten:

Daher i«t:

s=l/f^. '-vi'-

Beschreibt Q einen nnendUch kleinen Kreis am P mit dem
Badios dt, so ist

l" + !)■ - <i.",
and ffir die Bahn des BUdpnoktes ergiebt sich dann der unendlich
kleine Kegelscimitt:

sf^ + T' -''•^-

Im reellen FaU sind die Coefiicienten hierin podtiT (nach S. H).
Dann also ist die Bildcurre eine anendlich kleine Ellipse mit deu
H^axen

/!■"•

Wir finden also:

Bats 51: Bildet man eine Fläche Punkt fftr Punkt auf
eine andere Fläche ab, so dass ein gewisses Orthogonsl-

Pdr,yGOOgIe

i 11. Beiiefnge punktweise AbbÜdungtn von Flächen.

System der Fläche im Bilde wieder als Orthogonalaystem
erBcheint, so entspricht jedem unendlich kleinen Kreis nm
einen Punkt P der Fläche auf der Bildfläche ein Kegel-
schnitt, dessen Mittelpunkt der Bildpunkt von P ist and
dessen Äxen in den Tangenten der durch diesen Bildpunkt
gehenden Curven des zveiten Orthogonalsystems liegen. Ist
die Abbildung reell, so ist der Kegelschnitt eine Ellipse'*

Die Badien des Kreises um P bilden sich als die Halbmesser
des Kegelschnittes ab. Da die Axen der Ellipse die Mazima oder
Minima der Durchmesser sind, so sieht man:

Satz 52: Bildet man eine reelle Fläche pnnktweis, aber
nicht cosform auf eine andere reelle Fläche ab, wobei ein
Orthogonalsjstem der Fläche im Bilde wieder als (Trtho-
gonalsystem erscheint, so sind die Gurren jenes Ortho-
gonalsystems diejenigen Gurven, längs deren an jeder Stelle
die durch die Stelle gehenden Bogenelemeote bei der Ab-
bildung die grOsste Längenverzerrung. erleiden.

Auch sieht man ein, dass die Gurren ohne Längenver-
Zerrung, i^r die also dissdt ist,' zwei Scharen bilden, derart,
dass die Winkel der durch einen Punkt gehenden beiden Gurren
TOD den Gurren des OrthogonalsTstems halbiert werden.

Aus der früheren Formel (8) folgt leicht:
. _ D(k - »)

^ " ~ s:-\-F{k + ») + ak» ■
Wählen wir die Richtungen k und x unendlich wenig verschieden
von einander, d. h. setzen wir etwa x = k — dh, so wird a unend-
lich klein, etwa gleich da, und tg« = du, sodass kommt:
, Ddk

E + 2Fk + Ök* '

Diesem unendlich kleinen Winkel entspricht auf der zweiten Fläche
em unendlich kleiner Winkel c/^ fOr den analog:

d- = ± l>dk

~ S+ 2Pk + dk*

ist Wir mussten hier ± hinzufügen, weil wir über den Sinn der

' TissoT ft. a. O. Das Bild des EreiaBs, die EHipse, wird hKnfig als
Indicatriz beieichnet Da man aber einen anderen später (auf 8. 1B9) anf-
treteadeu KegelBchnitt, d«r echon früher io die Flächentheorie eingcAhrt worden
iit, ebenfallB so nennt, bo wfirde man die hier Torkommende EUipae mr Unter-
■chetdong die Tissor'ftche Indicatrix nennen mflaeen.

^dnyCOOgle

100 Erster Abschnitt: Das Bogmdemeni der Fläeht.

MeesoDg der beideD Winkel keine einheitliche Festsetzong getroffen

haben. Wir haben aber jetzt F=- F=0, alao ZJ = YeÖ, D = '}/£Ö,

sodass kommt:

, VeÖ .. ,_ ±Ye3 .,

''« = ^r — wiT*^^! <f« = -V--. ,. dk.

Demnach hat im reellea Fall, in dem ja E, O und E, 0 nach S. IT
positir sind, das Yerhältnis

ää_ ^ -./Bö E + Ok*
du "^ V EO ' E + Ök->

für A — 0 und A = oo ein Maximum oder Minimum, d. h. f^ (^v = 0
nnd ftir du = 0. Also ergiebt sich:

Bati 58: Bildet man eine reelle Fl&che panktweis, aber
nicht conform auf eine andere reelle Fläche ab, wobei ein
gewisses OrthogonaUyatem der Fläche wieder als Ortho-
gonaleystem erscheint, so liegen diejenigen unoDdlich
kleinen Winkel auf der einen Fläche, die von allen un-
endlich kleinen Winkeln mit demselben Scheitel die
stärkste Verzerrung bei der Abbildung erleiden, längs der
Cnrven jenes Orthogonalsystems.

Auf die punktweise Abbildung von Flächen auf einander kommen
wir gelegenÜicb zurück. —

Die wichtigsten Formeln dieses Abschnittes haben wir, um die
Ruckverweisung und Übersicht zu erleichtern, im Anhang zusammen-
gestellt in der Tafel XI, wodurch der Anhang dee ersten Bandes,
Tafel I bis X, fortgesetzt wird. Wir verweisen auf diese Formeln
künftig durch die Zeichen XI (A) bis XI {P).

Pdr,yGOOgIe

Zweiter Abschnitt
Die Krttmmimg der Fläche.

g 1. Die Krfinmung der FIAchencurven und die Fundaiiwntaf-
grfissen zweHer Ordnung.

Beim Rflckblick anf den ersten Abschnitt wird der Leser be-
merken, dass die wesentliche Grundlage der Untersuchtmgen die
Formel

da* = Bdu* + 2Fdu dv + Gdv'

für das Quadrat des Bogenelementea war, anders ausgesprochen: es
genOgte uns im wesentlichen statt der Eenntnie der Gestalt der
Flftcbes die Kenntnis der drei Fundamentalgrössen erster Ordnung
E, F, G ais Functionen der Parameter u und v.

Jetzt aber wollen wir die Gestalt der Fl&chen n&ber nntersachen,
und dabei werden wir uns bald genötigt sehen, zn jenen Grössen
Doch drei FundamentalgrOssen zweiter Ordnung binzozufQgea

Will man eine Fliehe

(1) x~4f>(u,v), y-jr(w,t.), z = tp[u,v)

in der Umgebong eines allgemein gewählten Punktes (u, v) unter-
snchen, so liegt es nahe, die Gestalt der verschiedenen durch diesen
Punkt gehenden Gurren auf der Fläche in Betracht za ziehen.

Hat man im Punkte (u, v) eine Flächentangente l ausgewählt,
so kann man stets solche Curven auf der Fläche ziehen, die im
Punkte (u, v) die Tangente t haben, deren begleitendes Dreikant
(vgL I S. 171) aber an dieser Stelle im übrigen ganz beliebig vor-
geschrieben worden ist. Um dies zu beweisen, genUgt es zu
zeigen, dass man wenigstens eine Curve auf der Fläche ziehen
kann, die im Punkte («, v) die Tangente t hat und deren Scbmiegungs-
ebene B in diesem Punkte irgend eine Fbene durch t ist Fine
derartige Curre aber ist z. B. die ebene Curve, in der die Ebene E

Pdr,yGOOgIe

102 Zweiler Abschnitt: Die ^ümmung der Fläeha.

die Fläche schneidet, ümsomebr giebt es nicht-ebene Car?en Ton
der verlangten Eigenschaft.

Hiemach steht es fest, dass es Correa c anf der Fläche giebt,
die im gewählten Punkt P oder (u, v) die gewählte Flächentangente t
zur Tangente haben, während ihre Hauptnormale in P einen be<
liebigen Winkel ra mit der Flächennormale bilden kann. Da die
Nonnalenebene der Curre c in P senkrecht zu t ist und also die
Flächennormale enthält, so wird die Hauptnormale in P durch An-
gabe ihres Winkels a mit der Flächennormale nur in soweit fest^
gelegt, als sie noch zwei Lagen haben kanu. Zu beachten ist
dabei, dass wir der Flächennormale auf S. 27 einen positiven
Sinn beigelegt haben, wenn sie reell ist, und dass wir natürlich
auch der Tangente t einen- bestimmten positiven Sinh erteilen' werden.
Wählen wir eine der beiden Möglichkeiten fDr die Hauptnormale,
so ist alsdann die Binormale in P festgelegt und zwar auch ihrem
Sinn nach.

Analytisch wird die Curve c dadurch bestimmt, dass längs ihrer
die Parameter u und u Functionen eines Parameters sein mOsseo
(nach S. 10 u. II). Indem wir den Fall, dass die Curve e eine
Minimalcurve sei, auBSchliessen, dürfen wir annebmeo, dieser
eine Parameter sei die Bogenlänge s der Gurve, gemessen von
irgend einer Stelle an. Jetzt sind u und v in (1) als Faactionen
von t aufzufassen, sodass auch x, y, z Functionen von t werden,
deren Differentiation nach s die Bichtungsoosinas a, ß, y der
Tangente t liefert (nach III (^):

(2) a = a;„ k' + Xp w', ß =• y„ «' + y^ v', / = z„ w' + Zp o'.
Der Strich deutet, die Differentiation nach t an:

Wenn wie früher {S. 27) X, Y, Z ^e Richtungsbosinus der Flächen-
normale bedeuten, so ist

Xu + Yß + Zy = 0

die Bedingung dafür, dass die Flächennormale auf t senkrecht steht.
.ffierfOr kann nach XI (l^' geschrieben werden: ;

S(y„z„-z„y,}« = 0.
Hierbei sehen wir grundsätzlich davon ab, dass im Punkte

' Tafel XI im Anhang dieses Bandes, vgl, S. 100.

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ I. Srümmung der f^ädiencurvm, JUmdamentaiffrÖsaen 2. O. 103

(u, t>) oder gar auf der ganzen Fläche die G-rfiBBe If ^0 sei
(siehe S. 28). Die letzte Formel kann aach durch Einsetzen der
Werte (2) sofort bestätigt werden. Da sie länge der Curve e Überall
gilt, darf sie total nach t differenziert werden. Dies giebt nach
III (C):

Hierbei bedeuten l,m,n die RichtUDgscosinuB der Hauptnormale und
r den Erümmungsradins der Curve e an der Stelle (u, d) oder («).
Das erste Glied in der Formel ist nach XI {F) gleich

oder also, da a> den Winkel der Flächennormale mit der Haupt-
normale bezeichnen soll, gleich:

— CO

Setzen wir ferner in den beiden anderen Oliedero die Werte von
a, ß, y aus (2) ein, so werden sie homogen vom zweiten Grade in vi
und v. Dabei heben sich mehrere GrÖesen fort, sodass — nachdem
nach den Potenzen von u' und v' geordnet worden ist — die Formel
hervorgeht:

^cosü,- S(y„r,-r„y>„-«'* -

Wenn wir nach XI {F) die Werte BS, BT, BZ &a die Klammem
einfuhren, so können wir B fortheben, ä» B:^0 ist, sodass bleibt:

-^^ =- SIx^^-u''+ 2SX*„.i('»'+ S I„-f'».
Nach (3) und wegen der Formel

di* = ßdu'+2Fdudv + Ödv'
können wir dies Ergebnis auch so schreiben:
... coau _ SXx,,du*+2SX ay^ dudv +JB X.,rfr'

^ ' r ~ £du>+ 2Fdudv + Gdv'

Diese Formel dient zur Berechnong der Krümmung 1 :r der
Flächencorve c an der Stelle F oder (u, v). Die rechte Seite ist
hetuumt, sobald man den Punkt P Bovrie die Fortachreitungsrichtnng
{dv : d&) der Cnrve ao dieser Stelle gegeben hat, denn der Btv^

Pdr,yGOOgIe

104 Ztoeiier Abtekniü: Die Krümmung der Fläche.

rechts ist in du und dv von nullter Ordnung homogen. Linlra tritt
noch der Wickel «u der Flächennormale mit der Hauptnormale des
betrachteten Carrenponktes auf.

In der Carrentheorie haben vir (siehe I S. I7S) dem KrUmmODgs-
radins im reellen Fall Biete das positive Vorzeichen gegeben. Nacli
I S. 189 liegt der KrOmmungsmittelpankt auf dem positiven Teil
der Hauptnormale. Die Formel (4) zeigt nun: Ist alles reell und
die rechte Seite in (4) positiv, so muss cos a auch positiT sein, d. h.
dann liegt die positive Seite der Hauptnormale von c und mithin
auch der Erlimmungsmittelpunkt von c auf der positiven Seite der
Tangentenebene des Punktes F. Ist die rechte Seite von (4) negativ,
80 liegt der ErUmmungsmittelpnnkt auf der negativen Seite der
Tangentenebene.

Wir wollen in (4) fortan unter r nicht den Erümmuugsradios
selbst verstehen, sondern den Abstand des Krümmnngsmittel-
Punktes vom Punkte F oud diesen Abstand im reellen Fall als
positiv oder negativ bezeichnen, je nachdem der ErUmmnags-
mittelpunkt auf der positiven oder negativen Seite der Tangenten-
ebene liegt Alsdann ist r nur noch seinem absoluten Werte
nach der KrUmmungsradias. Aber zur Abkürzung des sprach-
lichen Ansdrackes soll r doch auch dann noch schlechtweg der
KrtUnmungsradius genannt werden.

Bei dieser Festsetzung ist r im reellen Fall vom selben
Vorzeichen wie die rechte Seite in (4), also <o ein spitzer
Winkel Unter d> verstehen wir mithin von jetzt ab den spitzen
Winkel, den die Flächennormale mit der Hauptnormale der Curve
bildet, ganz abgesehen von den positiven Biobtimgen.

Wir erkennen aus (4), dass alle diejenigen Flächencurven e, die
in P dieselbe Tangente t haben, nach derselben Seite der Tangenten-
ebene gekrümmt sind. Welche Seite dies ist, giebt das Vorzeichen
des Bruches rechts in (4) an.

Unter diesen Ourven c wählen wir insbesondere diejenigen
Curven C heraus, deren Hauptnormalen in F mit der Flächen-
normale zusammenfallen. Kach den soeben getroffenen Festsetzungen
ist für diese Curven w = 0, also oosm = + 1 zu setzen, sodass fÖr
ihren Krümmungsradius Jf, mit Vorzeichen versehen, die Formel gilt:

Bdu'+ 2>dudp + Orfc»

(5)

Eieraos und aus (4) folgt nun:

(6) r = B cos so

Pdr,yGOOgIe

f 1. Krümmung der Flächenatrven. FundameniaigroBBen 2. 0. 105

Diese Formel giebt d^n

8mtx 1:' Zieht man dnrch einen FI&chenpaDkt P alle
inßglichen Coryen c anf der Fläche, die in P dieselbe Tan-
gente t haben, so werden die za P gehörigen Ertlnimungs-
kreise der Carven c durch ihre Scbmiegangsebenen aus
einer Kugel anageschnitten, die in P die Tangentenebene
der Fläche berührt (Siehe Fig. 28.)

Hieraus folgt inabesoDdere :

Bats 2: unter allen ebenen Schnitten, die man dnrch
eine reelle Tangente einer reellen Fläche legen kann, hat
der Normalachnitt in dem BerUhrnngapunkt die kleinste
Krümmung.

Man kann den Satz 1 anch anders einkleiden: Wenn man in
der ZQ dem Winkel a> gehörigen Ebene durch die Tangente t daa

Lot von P ans auf die Tangente errichtet und auf diesem Lot, der
Hanptnormale, von P aas den reciproken Wert tod r

abträgt, so ist der Ort der Endpunkte fllr beliebige Werte von &>
angenscheinlich eine zu / windschiefe, aber senkrechte Qerade, die
von t den kQrzeaten Abstand l:li hat (Siebe Fig. 29.) Also:

' Dies ist der segeDannte UsnsKiBB'sche Satz. Er worde y
„H^moir« snr la courbnre des sorfaces", M£m. dea SaTonts 6ttaagen
t 10 (la 1776), ITee, gefbnden.

Pdr,yGOOgIe

106 Zweiter Abg^nüt: Die Krümmung der FJäahe.

BatzS:' Legt man durch eine Tangente f eines Fläclieii-
punktes F beliebige Ebenen und trägt man jedesmal auf
der zugehörigen Normalen der ebenen SchnittcurTo tob i*
ans die Krümmung der Schnittcurve in F als Strecke ab,
so. ist der Ort der Endpunkte eine zur Tangente t wind-
schiefe, aber senkrechte Gerade.

Die in (4) nnd (5) im Zähler rechts auftretenden Summen sind
wegen der Werte XI [F) von X, Y, Z Fonctionen der ersten nnd
zweiten partiellen Ableitungen von x, y, z nach w und v. Wir
nennen sie die Fundamentalgrösseu zweiter Ordnung* und
bezeichnen sie beständig mit L, M, N. Es soll also sein:
(7) l = SXx^^, M=SXx^^, JV = SXx„

oder ausfilhrlicher geschrieben:

Nach XI [F) lassen sie sich auch so schreiben:

Wir merken filr später hier sogleich noch eine andere Schreib-
weise an: Differenzieren wir XI [T) partiell nach u und partiell
nach r, so erhalten wir vier Formeln:

SX^x^+ SXx^^ = 0, SX„x^-J- S Jt„ = 0,
SX^x^+SXx^^ = 0, SX^x^+ sx*„ = o,
ans denen nach (1) folgt:
(10) L = -SX^x^, M=~SX^x^ = -SX^x^, ^ = -S^*..

Die Grössen L, M, 2f sind hiemach offenbar sämtlich för alle
Wertepaare von u und v dann gleich Null, wenn die Fläche eine

> Nach Hachkttb, „Elements de gäomätrie & troia ciimeneioaB",
Paris 1817.

* Gausb benutzte in 8eiDen„Di8qaiaitioDeB" (vgl. Änm. S. 5) statt diea^
GrCsaeu die drei Grössen DL, DM, DN, die er mit D, D', D" beteicfanet«.
Naoh dem Vorgang von Hoppb (vgl. Anm. I S. 210], dem sich Andere tmge-
schloseen haben, benutzen wir als FuiidamentalgrösseD zweiter Ordnnqg die
oben angegebenen.

Pdr,yGOOgIe

§ 1. Krümmung der flächmourven, Fundammialgröaeon 2. O. 107

Ebene iat, denn cUtoo sind ja X, Y, Z als RichtimgscoaDus der
NonualeD constant Umgekehrt: Wenn L = M= N=(i für jedes
Wertepaar w, » ist, ao folgt aus (10), daea sich X^, Y^, Z^ und auch
J^, Y^, Z^ zu einander verhalten wie

I y- y, I . I ^» *, M '.. ', I
I *« 'b 1 I *B *• I I y« y» I

oder also nach XI {F) wie X: Y:Z. Da aber 8 -f = 1 ist und des-
halb 82 J_ und SXX^ gleich Null sind, so würde sich im Wider-
spruch hiermit SX*=sO ergeben, sobald nicht die Ableitungen von
X, Y,Z sämtlich gleich Null sind. Daher sind dann X, Y, Z constant.

Wenn aber die Normalen einer Fläche constante Richtuugs-
cosinus habeu.also einander parallel sind, so besteht nach XI (i)
zwischen den Coordinaten x, y, z eine lineare Gleichung mit constan*
ten GoeüGcienten. Die Fläche ist folglich eine Ebene.

Wir haben somit erkannt:

Sati 4: Die FundamentalgrÖEsen zvreiter Ordnung einer
Fläche sind dann und nur dann auf der garzen Fläche
gleich Null, wenn die Fläche eine Ebene ist

Die YorauBsetzung i) 4= 0 brauchte hier gamicht erwähnt zu
werden, denn wenn i) = 0 ist, die Fläche also nach Satz 9, S. 29,
die Tangentenfläche einer Minimalcurve ist, so giebt es keine Eich-
tungscosiDUS für ihre Normale. Also sind dann nicht nur die For-
meln (9), sondern auch die Formeln (7) unbrauchbar. , Wir sehen
also: Nur auf den Tangenteuflächen der Minimalcurven
versagt die Definition der FundamentalgrOssen zweiter
Ordnung.

Es aei noch hervorgehoben:

Sats 5: Die FundamentalgrOssen zweiter Ordnung einer
Fläche bleiben bei Ausführung einer Bewegung nngeändert.

Dw Bevreis ist analog dem des entsprechenden Satzes &a die
FundamentalgrOssen erster Ordnong auf S. 16. Wenn wir wie dort
die neuen Coordinaten einführen:

x = u^x + a^y :¥ a^z + a,
y = ßiX + ß^y + ß,z + ö,

.2 = yi-f + riy + ^s« + c.

wobei die «j/^„ y, die in. der Tafel I angegebenen Relationen er-
freu, so ist:

^u = "^1 *» + ^%i/« + "a 'u

Pdr,yGOOgIe

Zweäer AbschniU: Die Krümmung dar Fläche.

, ferner:

1. s. w. Auch die zweiten Ableitungen x^^, x^

x^^ u. 8. w. drücken
3ich analog durch die zveiten Ableitungen der ursprünglichen
Coordinaten x, y, z aus. Berechnen wir nun die in (9) auftretenden
Determinanten, geschrieben in i. y, z, so ergiebt das Multiplicatäons-
gesetz der Determinanten sofort, dass diese Determintuiten gleich
den in (9) selbst stehenden Determinanten multipUciert nut

A r,
ß, r,
A r,

sind. Aber diese Determinate ist nach I {F) gleich Eins. Da
feiner 1) hei Ausführung einer Bewegung nach S. 18 unge&ndert
bleibt, so gilt mithin nach (9) dasselbe von Ly M und N.
Liegt die Fläche in der Darstelinngsform :

vor und sind p, q, r, t, t die in (3) auf S. 1 definierten Grössen,
so ist wie in (9) auf S. 15:

(11) E=\-\-p*, P = pq, (? = l+y'
und

i> = yr+ ;>» + ?»►

also nach (9):

(12) L^-—^^=^., M= ,_A__-^, N= , ' ^=.

V 1 + p* + 3" V 1 + p' + j' y 1 + />• + «'

Sind ferner a, ß, y wie oben die Richtungscosinus der Tan-
gente der betrachteten Gurre auf der Fläche, so ist:

a:ß:j' = iix:dy:dz = dx:di/:{pdx + qdy),
also:

(13)

1/(1 +p*)dx* + 2pqdxdy + (H-q*)dj/^

.. jy ^

VCl +'p*)r(x^ + 2pqdxdy + (1 +"j')dy''
pdx + qdy

V(l +p^)dx'' + 2pqdxdy + (1 +q^)dy*'
sodass die Formel (4) mit Rücksicht auf (7), (11) und (12) so lautet:
C0B_w _ rn' -f 2iaß + t(?

T K 1 + P' + 9'

Pdr,yGOOgIe

§ 2. Normalsdmitte wid H^mptkrümmungsrichiungen. 109

Hierin bedeatat r rechts jedoch etwas anderes als links. Deshalb
nnd der AUgemeiDbeit halber werden wir diese Form nicht an-
wenden, sondern bei den allgemeinen Parametern u und u bleiben.

§ 2. Normiüschnitte und HauptkrOmmunosrichtunflen.

Nach dem Satz 1, S. 105, kennt man die KrUmmnng einer
Flächencarve in einem Punkte P, sobald man in F die Krümmung
einer solchen Flfichencurve kennt, die dort zwar dieselbe Tangente
hat, deren Hauptnormale in P aber mit der Fläcfaennormale in P
zasammenfällL

Ffir solche Cnrren gilt im Punkt« P die Formel (5), S. 104, oder:

^' R'^ Edu^ + ^Fdudv + Odv*'

die zeigt, dass alle Cnrven, die in P dieselbe Tangentenrichtung
(dv.du) und die Fläcbennormale zur Hanptnormale haben, dort
auch denselben Erümmungsmittelpunkt haben, denn R bezeichnet
den Abstand des auf der Flächennormalen gelegenen Erümmungs-
mittelpunktes vom Punkte P, im reellen Fall versehen mit dem posi-
tiven oder negativen Zeichen, je nachdem der ErOmmungsmittel-
punkt auf dem positiven oder negativen Teil der Normale liegt

Es ist folglich keine Beschränkung der Aligemeinheit, wenn
wir statt der durch P gehenden beliebigen Flächencurven, die dort
die Flächennormale zur Hauptnormate haben, insbesondere nur die
ebenen Fl&chencurven von dieser Art betrachten. Sie liegen in
den Ebenen durch die Fläcbennormale und sollen kurz die Normal-
schnitte der Fläche in P heissen. Sie sind wohlbemerkt im
allgemeinen nur fllr den einen Punkt P, nicht f&r jeden Punkt auf
ihnen, Normalschnitte. Die Ebene dnrch die Normale wird durch
die Annahme festgelegt, dass sich von P aus auf der Schnittcurve
die Parameter u und v im ersten Elemente so ändern sollen, dass
dv.du einen gegebenen Wert k hat Alsdann ist nach (1):

^ ' R^^ E+ 2Fk + 0 t*

die mit Vorzeichen versehene Erümmnng des betreffenden Normal-

Bchnittes an der 8t«Ile P.

Wir wollen jetzt die Krümmungen der od' verschiedenen Normal-
schnitte durch P mit einander vergleichen. Es soll also die Grösse k
variieren. Dabei sind drei verschiedene Fälle denkbar. Dadurch,
dasa wir die besonderen Fälle zuerst abthnn, erreichen wir,

Pdr,yGOOgIe

110 Zweiler Abseknüt: Die Krümmung d«r FlätM.

dase wir beim drittec — allgetneiuen — Fall nissen, welche be-
sonderen Flächen und besonderen Punkte dem allgemeinen Gesetze
nicht gehorchen. ■ -

Erster specieller Fall: Die rechte Seite der Formel (2)
enthält nur scheinbar k. Dies tritt ein, wenn für den betrach-
teten Pnnkt P
(3) L:M:N~ß:P:G

ist Alsdano haben alle Normalachnitte in P denselben Krümmangs-
mittelpankt. Der Ponkt P heiast dann ein Nabelpnnkt^ Im
allgemeinen stellt die Proportion (3) zwei Gtleichnngen zwischen
u und V vor, d. h. auf einer allgemeinen Fläche worden Nabelpnnkte
nur vereinzelt auftreten. Auf gewissen Flachen aber können co'
Nabelpankte liegen, ja es giebt Flächen, deren Punkte sämtlich
Nabelpnnkte sind.

Für den Fall von oo' Nabelpnnkten tiefem die Itotationsfläcben
ein einfaches

Beiepieh Wie in (2), S. 41, Uege die BotationsflKche vor:
a; •*p(u)c08«, y > p (u) sin e , «»sCw))
deren Nnllmeridian (n = 0) in dei j; «-Ebene verläuft und die Gleichnugen tut:

£b bedeate wieder u die Bogenlfinge des MeridiauB, es eei also wie in (3), S. 4);

SeUen wir — was keine Beschrfinknng der Allgemeinheit ist — vorane, dass flr
alle Punkte des Heridiana (v ~ 0) die Coordinate x ~ p(u) positiv sei, so ist
auch dem Voraeicken nach (vgl- S. 18):

P-P(u).
Nach (9), S. 106, ist hier:

L = p'q" — ^p", 3t ^0, N — pg^.
Da u die Bogenlänge des NallmeridianB und demnack

p" + ?" =. 1, p'p" + iq" ~Q
ist, Bo kann man auch iclireiben:

'l.-K-

Die Bedingongen (8) flii den Nabelpttnkt reducieren sich mithin hier auf nur
eine Gleicbong:

pp" + ?'• = 0 ,

' Nach HoHOE, deasen gnindlegendeB Werk: „Application de I'ana-
lyse k U g^omötTie", *. (noch vom Verfassec selbst besorgte) AnSsg«,
I^aris 1809, 5. (von Liooville beBoi^;te) Auflage, Paris 1850, wir schon in
I S. 169 genannt haben.

Pdr,yGOOgIe

§ 2. NormaUefmitte und Haiqitkrümmungsricktungen. 1 1 1

Nach Salz 18, I S. 80, sind daher diejenigen Punkte des Nnllineridiane
N»belpnnkte, deren KrüromnngBmittelpankte anf der Aie der
Botationaflftche liegen, and sie eneugen bei der Drehung des Meridians
am die Axe aolcbe ßreitenkreiee, deren Pankte sttmtlieli Nabel-
pnnkte sind.

Wir wollen jetzt die FlächeD, deren Punkte sämtliclL
Nabelpuokte sind, bestimmen. Die Bedingungen (S) milaaen wegw
ihrer geometrischen Bedeutung für alle Punkte einer solchen Fläche
ohne Backaicht anf das gerade gewählte Parametereystem bestehen.
Wir benatzen zur Vereinfachung der Formeln die Minimalcurren
der Fläche. als Parameterlinien, was nach Satz 16, S. 36, gestattet
ist^ da wir ja nach S. 10? von denjenigen Flächen, anf denen I> = 0
und also nur eine Schar von MinimEÜcurren Torhandeu ist, absehen.
Nun ist das Qnadrat des Bogenelementes nach Satz 17, S. 36, von
der Form:

ds''=2Fdudv,

sodass E= 6 = 0 ist Nach (3) soll also auch L =: If = 0 sein.

Sehen wir zu, was zanächet ans i =* 0 folgt Da für die Sieb-
tnngBcosinus X, T, Z der Normale SX* => 1 und also

IJ„ + YY^-VZZ^ = ^
und wegen Z = 0 nach (10), 9. 106:

ist, so kommt:

Wegen XI (X) und wegen .£=0 können wir hierfür schreiben:

Die Bedingung N = 0 ist noch nicht benatzt worden. Sie liefert
analog:

X^: 7,:Z^ = x^:y^:z^.

Hiernach dürfen wir setzen:

(5) X^=Xx^, Y^ = Xy^, Z^^Xz^; :
X^ = lix^ , 7p = fiy^ , ■ 2^ = /*', ■

Ans der zweiten Qleichung (10), 8. 106, folgt nun

{i.-fi)Sx^x^ = 0 oder {)i-n)F=0.
Da E= G = 0 und also J* 4: 0 ist. weil sonst D = 0 wäre, so ist
X = fi. Ausser den drei Formeln (5) haben wir also noch diese :

(6) ■^, = **,. ■^. = Jty,. 2, = i^.

Pdr,yGOOgIe

Zumltr Jbsehnät: Die Krümmutiff der Fläche.

£& maas aber sein:

u. 8. w. Somit folgt ans (5) und (6):

K'^u — K'v = 0, X^y^ — \y^ = 0, A,«, — l^z, = 0.
Weil die drei aas den Wertepaaren

zu bildenden zweireiMgen Determinanten nach S. 6 nicht säniüich
gleich Null sind, so muß X^ = X^ = 0 und daher il = Const Bein.
Ist A. = 0, so sind X, T, Z nach (5) and (6) constant; die Fläche
hat dann lauter parallele Normalen und ist nach S. 107 eine Ebene.
Ist il — Const, aber 4= 0, so folgt aus (5) und (6):

X=ix + a, 7 = iy + i, Z^Xz-irc (a, i, c = Const),
daher wegen S X* =s 1 :

{Xx + a)» + {iy + A)» + {Ax + c)» - 1 .

Dies aber ist die Gleichung einer Kugel. Offenbar sind umgekehrt
alle Funkte in der Ebene oder auf der Kugel Nabelpunkte. Daher:

Sati 6: Eine Fläche, anf der L nicht Überall gleich
Null ist, hat dann und nur dann lauter Nabelpunkte,
wenn sie eine Kugel oder insbesondere eine Ebene ist.

Wir können ans J^ — 0 auch wie folgt achliessen: Die erste
Formel (8), S. 106, giebt

X4r„„+ry„^ + ^7„„ = 0.
Da jS = Sx„* =s 0 is^ so ist auch:

mithin :

voraas wegen XI (£) and £ = 0 folgt:

oder:

bu du du

Setzen wir diese drei Differentiatquotienten gleich

Pdr,yGOOgIe

§ 2. Xormalsckaitle und Hauptkrütnmungariekhtngen. HS
indem wir unter q eine Function tos u und v verstehen, so kommt:

(!) '.-f,Wp, y.-r,iv)f. z.~t,{,)q,

WO Tj, /^, r, Functionen Ton v allein sind. Natürlich ist hierbei
^ :^ 0 und wegen £ => 0 noch

Längs der Parameterlinien (v) wachsen x, y, z um Incremente
proportional x^, y^, z^, die sich nach (7) zu einander verhalten wie
die Functionen /',, F^, F^ von v und daher längs der Cmren (e)
constante Yerbfiltnisee haben. Die Hinimalcurreu (ti) sind also
Geraden.

Dies lässt sieb umkehren: Sind die Parametercurren (u) und (v)
MinimaUiurTen und insbesondere die Curven {o} Minimalgeraden, so
mOssen die Verbältuisae '„:y„:2r_ frei yoq u sein, d.h. es müssen
dann OleichnngeD toq der Form (7) bestehen. Berechnen wir auf
Gnnd dieser Gleichungen x^^, y^^, x^^, so lehrt die erste Formel (9),
S. 106, dass £ = 0 ist Daher:

Sati 7: Sind die Parameterlinien (u) und {v) einer Fläche
MinimalcurTen, so ist die Fundameotalgrösse L dann und
nur dann auf der ganzen Fläche gleich Null, wenn die
Curven (v) insbesondere Uinimalgeraden sind.

Wenn auch N =Q ist, so sind auch die Parameterlinien (u)
Minimalgeraden. Daher:

Bali 8: Die Flächen, deren Punkte sämtlich Nabel-
punkte sind, sind mit denjenigen Flächen identisch, die
zwei getrennte Scharen von Minimalgeraden enthalten.

Nach Satz 6 folgt hieraus:

Sati 9: Ausser den Ebenen und Engeln giebt es keine
Fläche mit zwei getrennten Scharen von Minimalgeraden.

Wir haben tbatsächlich schon in Satz 29, S. 64, gesehen, dass
Jede Kugel zwei Scharen von Minimalgeraden enthält

Zweiter specieller Fall:' Die rechte Seite der Formel

(9)

L_+JMk + Nk*

' Über dieeen Fall lagen die LehrbUcher der Flächentbeorie aicbta. Wir
6ndeo ibn in Sauioh-Fibdlbb'b „Analytischer Geometrie des Raumes,
U. Teil", 8. Aufl., Leipzig 18B0, in der Anmerkung IS) anf 8. XXIX kurc
enrthnt. Untersucht wurde er von StSckbl, „Beitrige lur KrtlmmangB-
theorie", Leipsigei Berichte 188S.

U, OtOBL. Dil». U. 6

.dr,yGoogIe

114 Zweiter AbsehnUt: Die KrümMung dsr Flädte.

enthält zwar nicht nur scheinbar K, läsBt sich aber dnrch
einen in k linearen Factor kurzen. In diesem Fall ist \.R
eine linear gebrochene Function von k. Dasselbe gilt dann
auch bei EinfÜhmng neuer Parameter. Denn wenn u nnd c gleich
Functionen zweier neuer Parameter ü und f gesetzt werden tmd
unter k die Grösse d^idu verstanden wird, so ist:

also k eine linear gebrochene Function von k. Setzen wir sie in
die Formel fQr 1 : A ein, so wird mithin 1 : R eine linear gebrochene
Function von k, was zu beweisen war.

Die Bedingung für den jetzigen Fall kann auch so ausgesprochen
werden: Die beiden in k quadratischen Oleichangen

E + 2Fk + G A> - 0 , i + 2Mk + A'Ä* - 0
sollen eine Wurzel k gemein haben. Für diese gemeinsame Wurzel ist

l : 2A;Ä» - {FN-GM):{GL- EIi):{BM~ FL),
daher:

(10) A{EM - F L){FN -G M)~ {Q L - EA')' = 0.

Unter dieser Bedingung also hat 1 : £ die Form ;

(11)

,_ __ ak + ß
t jk + 8'

wobei a, ß, y, 3 Functionen von u und v bedeuten.

Wir haben in Satz 46, S. 92, gesehen, dass die vier Tangenten
des Punktes P oder (w, v], die zu vier Werten von A gehören, das-
selbe Doppelverbältnis haben wie die vier Werte von k selbsL Die
vier Tangenten sind die Schnitthnien der vier zugehörigen Normal-
schnittebenen mit der Tangentenebene. Diese vier Ebenen haben
nach I 8. 8S4 dasselbe Doppelverhältnis. Dasselbe Doppelverh&ltnis
haben nun nach (11) und Satz 35, I S. 328, die KrQmmimgsmittel-
punkte der vier Normalschnitte. Daher hegt hier der Fall toi,
dass irgend vier Normalschnittebenen des Punktes («, p)
dasselbe Doppelverhältnis wie die zugehörigen vier Erflm-
mungsmittelpunkte auf der Normalen des Punktes (u, v)
haben. {Siehe Fig. 30, S. 115.)

Durchläuft k alle Werte, so gilt dasselbe von R. Die Öröwe

Pdr,yGOOgIe

§ 2. Normaisdmüte und Hat^thrümmungtrichhtngen. 115

1 : R hat fUr keinen Wert von k ein endliches Haximum oder
Mmimtmi, da der Differeutialqaotient von 1 : E nach A den Wert

^.'-

jV,

(r* +

hat and nor füi k ta — g-.y unendlich gross ist; aber
för dieses k ist l :Ii ancb anendlich gross.

Die analytische Bedingung (10) für Punkte (w, v)
Ton dieser Beschaffenheit ist eine Gleichnng zwischen
u und V. Demnach giebt es im allgemeinen eine
gevisse Cnr^e aaf der Fltlcbe, deren Punkte diese
EigentOnilichkeit haben. Doch kann es sein, dass
die Qleichnng {10} einen Widersprach enthält, sodass
es keine solche Pankte giebt, oder dass diejenigen
Punkte, für die (10) erf&llt ist, noch speciellerer Fig. 30.

Art, n&mlich Nabelpunkte sind.

1. Beispiel: Bei der oben im Beispiel betrachteten Botationafl&che
laotet die Bedingung (10) so;

|r(pp" + 3")-0.

Ist p B 0, Bo liegt der Scbnittpimkt des Meridians mit der Drehaze vor, der
offenbar singnlftr ist (vgl. S. SS). Die Bedingung
pp"+q"~0

giebt, wie wir rohen, nur Nabelpnnkte. RotatioasflBcben hKben also nie Punkte
der j etaigen Art.

2. Beispial: Wir kfinnen auf folgende Art eine Fliehe berstellan, die
einen reellea Punkt von dieser besoudMea Art enthSlt: Wir constniiereii in
den Ebenen dnrch die «-Äie alle Kreise, die im AnfuigBpnnkt die xy-Ebene
berahren tud deren HittelpnnktshShe * =• R linear gebrochen Ton der Tangente
des WinkelB*der jeweiligen Ebene mit der xX'Ebtme abhängt. Dann bat der
Anfangspunkt auf der Flficbe der Kreise die gewüneehte Eigenschaft.

Es giebt Flächen, die überall Pankte der jetzt betrachteten
Art haben. Um sie zu bestimmen, benutzen wir die MinimalcarTen
der Fläche als Parameterlinien (u) and (v) wie oben. Dann ist
S=G = 0, F^O. Die Bedingung (10) laatet jetzt: /iV=0.
Nehmen wir etwa L ^0 an, so ist JV =|= 0, weil sonst der Fall der
Nabelpnnkte Torliegen würde. Nach Satz 7 sagen die Bedingongen
E= G = 0 und L = 0 aas, dass die Parameterlinien (o) Uinimal-
geraden sind. Die Gurren (u) sind keine, weil JV=|=0 ist Mithin

Sats 10: Diejenigen Flächen, bei denen in jedem Punkt
das Ertimmungsmaass eines Normalschnittes eine linear
gebrochene Function der zugehörigen Tangentearichtang

.dr,yGoogIe

116 Zweiter Abaehnitt: Die Krvmmung dtir Fläche.

{dv.du) ist, bei denen also Tier Normalachnittebenen eines
Punktes stets dasselbe Doppelvertiältnis vie die vier zn-
gehörigen KrUmmnsgsmittelpankte haben, sind identisch
mit denjenigen Flächen, die eine Schar von Minimal-
geraden und eine Schar ron nicht-geraden MinimalcnrTen
enthalten.

IHe soeben bestimmten Flächen sind imagioär, denn wenn eine
reelle Fläche eine Schar von Minimalgeraden enthält, so enthält sie
auch diejenige Schar, die aus den Gleichungen dieser einen Schar
durch Vertauschen von i mit — i hervorgeht, und ist also nach
Satz 9 eine Ebene oder eine KngeL

Altgemeiner Fall: Es liege eine Fläche vor, auf der D nicht
flberall gleich Null ist nnd die zu keiner der beiden besonderen
Flächenarten gehört, d. h. die Fläche soll weder die Tangenten-
flache einer Minimalcurre noch eine sonstige Fläche mit einer Schar
von Minimalgeraden, noch eine Fläche mit zwei Scharen von Mini-
malgeraden (Ebene oder Engel) sein. Eurz gesagt:. Wir nehmen
jetzt an, die vorliegende Fläche enthalte keine Schar von
Minimalgeraden. Auch sei P oder (u, v) ein Punkt allge-
meiner Lage auf der Fläche. Alsdann ist die rechte Seite der
Formel:
(121 —~ ^ + a-Mi + Jtft'

^ ' R E+ 2Fk + öfc'

weder frei von k noch durch einen in k linearen Factor zu ktkrzen.
Ist die Fläche reell und weder eine Ebene noch eine Engel, so
liegt fQr einen allgemein gewählten Punkt der Fläche stets dieser
Fall vor.

Die Erümmnng des Normalschnittes, der zu k geh^, ist eine
quadratisch gebrochene Function von k und erreicht für zwei
Werte von k ein Maximum oder Minimum. Denn wenn wir
den Brach rechts nach k differenzieren und den Ditferentialquotienten
gleich Null setzen, so kommt;

(18) {M+ Nk){E+2Fk + ff A«) _ {/■+ (JA)(i; 4- 2Mk +Nk^ = 0
oder

(14) (EM- FL) -{GL- EN)k + (FN - ff 3/) Ä» = 0

oder anch:

I k' E L \

(15) \ -k F .¥ =0.

I

Pdr,yGOOgIe

§ 2. Nomtaleehnittt itnd SauptkrÜTrnmmgfriefOutigen. 117

Sind k^ und A, die beiden Worzeln dieser qnadratiBclien Oleichang,

so ist:

,, „, 1 I i GL-EN , , EM- FL

liDj *i + *! = F^^ QM> "1*3 = FN-OM'

Mithin verhalten sich die drei GFrÖasen:

1, *. + *., 4,*,
ZU einander gerade so wie die zweireihigec Unterdetermin&nten der
E^lement« der ersten Esihe in der Determinante (15), sodass ein
bekannter Determinantensatz ergiebt:
(171 J E + F[k,+k,) + Gk,k,~0,

vfts sich auch leicht durch Einsetzen der Werte (16) bestätigen
lässt Die Wurzeln k^ nnd A, dieser beiden Gleichungen erfüllen
die quadratische Gleichung (14), and dass sie im reellen Fall
reell sind, folgt gerade so wie seinerzeit auf S. 95 die B«alit&t
der Wurzeln A and x der damaligen Gleichungen (10). Auch sind
sie von einander verschieden, weil sonst nach (17) der Zähler und
der Nenner rechts in (12) einen in k linearen Factor gemein hätten,
was auageschlossen wurde.

Die erste Gleichung (17) sagt nach Satz 11, S. 83, aus, dass
die beiden Richtungen (A^) und (i,) zu einander senkrecht
sind. Die geometrische Bedeutung der zweiten Gleichung (17) wird
später (auf S. 156) erörtert werden.

Im reellen Fall tritt nun fÜT die beiden Werte k^ und A, von k
wirklich ein Maximum oder Minimum von 1 : R ein, denn wenn wir
den Wert (12) von 1 -.li zweimal nach h differenzieren, so geht, da
Aj und Ä, die Gleichung (14) erfüllen, deren linke Seite der Zähler
des ersten Differentialqiiotienten von 1 : E naoh A ist, fOr den
zweiten Difierentialquotienten ein Brach mit positivem Nenner hervor,
dessen Zähler für die Werte A, und A, von k gleich der nach k
differenzierten Unken Seite von (14) ist Dieser Zähler aber ist von
Null verschieden, weil sonst die Gleichung (14) eine Doppelwurzel
hätte, also die Bedingung (10) gegen die Voraussetzung erfüllt wäre.

Zur Bestimmung der Maximal- oder Minimalwerte von 1 : 2t
ziehen wir ans (12) und (13) die Gleichung;
(18) {M+Nk)S-(r+Gk) = 0 (A = Aj,Ä,).

ans der folgt:

,dr,Google

116 Ztoeüer Abschnitt: DU Krümmang ätir Ftät>h&.

Setzen vir dies in (15) ein, so kommt zunächst:

1 [MR - f")* EL

^.{MR-F){NR-G) F M =0.
] {NR ~Gf G N

Zur VerelnfflchuDg Bubtrahieren wir von der ersten Reihe das
((? — Jl'Ä) fache der zweiten und das (^Ä*- ff Ä) fache der dritten.
Dann wird das zweite und dritte Element der erfiten Reihe gleich
Nnll, sodass bleibt:

(20) {LN~M*)R*-{EN-2FM+OL)B-\-{EQ-F^^0.

Diese Oleicbung liefert die zu Aj und A, gehörigen Werte B^ und B^
von R, die wir aber auch, wenn k^ und A, gefunden sind, aus (12)
oder aus (18) berechnen können.

Die KrUmmangen 1 : R^ und 1 : R^ genUgen der quadratischen
Gleichung :

(21) (ZjV- Jf») - {EN-2FM-\- G L)-^ + (^ff _ ^»)-l. _ 0 .
Hiernach ist

^ > R^ '^ R, " EG-F* ' R, ' Et ~ EO- F* '

Kflnftig bezeichnen wir diese beiden Werte mit S und K:

Man nennt die beiden Richtangeu (A^) und (Aj) durch P, fQr
die der Krümmungsradius des Normalschnittes ein Maximum oder
Minimum hat, die Hauptkrümmungsrichtungen des Flächen-
punktes P, entsprechend die mit Vorzeichen versebenen Radien J^
und R^ die Hauptkrümmnngsradien, ihre reciproken Werte die
HanptkrUmmungen und die zugehörigen Mittelpunkte die Haapt-
krümmnngsmittelpunkte des Flächenpnnktes. '

Wir haben gefunden:

Satz 11: Liegt eine solche Fläche mit den Parametern
u,v vor, die keine Schar von Minimalgeraden enthält, so
giebt es unter den Normalschnitten eines Flächenpunktes

' Die ersten Untersuchungen ttber die Krümmang der FlScheneurven ver-
dankt man Euler, der in der wichtigen Arbeit: „Becherchea anr la conr-
bure des surfaces", Mgm. de rAcadim. des Sciences de Berlin, T. XVI,
1760, die Krümmangen der Nonnalscbnitte, die HsnptkTQmmnngaricbtnjogen
und ihre Radien zuerst bestimmt hat

Pdr,yGOOgIe

§ 2. Normaleakmite wtd BouplkrummwigsricfUungen. 119

von allgemeiner Lage zwei nicht znsammeofalleiide zu
einander flenkrechte and im reellen Fall reelle Schnitte,
für die die Erttmmung, verglichen mit den ErQmmungen
dar übrigen Normalschnitte der Stelle, ein Maximum oder
Hinimam hat Die Summe H und das Product K dieser
beiden mit Vorzeichen versehenen Erfimmungen haben,
aasgedrückt in den Fandamentalgrössen E, F,6 und Z, M, N,
die Werte:

„ BN - afAf 4- OL „ _ LN- M*

JEO-F* ' °-~EG-F*'

Die zn jenen beiden Normalschnitten gehörigen Haupt-
krümmungsrichtungen [k = dv.du) auf der Fläche ergeben
sich aus der quadratischen G-leichung:

A» ß

-k F M

1 tf

Beispiel: Bei det gemeinen Sohraubenfllche, die durch stetige
Scbmubang einer in der a>Aie gelegenen Geraden um die «-Aze entsteht und
iMuib (20X S. 60, die Gleichungen bat:

ist, wie damals berechnet wurde:

^=1, F-0; (? = m' + 9*, ■

daher: ;

D.yü' + q'.

Die Qoadratwnizel ist nach S. IS poutiv tu nehmen. Ferner giebt die An-
wendoDg der Formeln (Ö), S. 106:

L = 0, M= - -—J,-r=, A'-O.

Z>er Satz 11 giebt daher:

S~0, s

H = 0 bedeutet: Auf der gemeinen SchraubenflKcbe sind die beiden
HaDptkrttmmnngsradien in jedem Punkte einander entgegengesetzt
gleich. Die Gleichnng tta die beiden HanptkrtlmmungBriclitungen jt, nnd k,
giebt Hier:

i= ±-— l--.z:^..

Dem in Satz 11 ausgesprochenen allgemeioen Fall ordnet sich
der erste Fall, der des Nabelpunktes, in gewisser Hineicht als
Specialiall nnter. Ein Nabelpunkt tritt, k&nnen wir sagen, auf.

Pdr,yGöOgIe

120 Zweiter Jbschmtt: Die Krümmtmg der Fläeke.

wenn E^ = £, ist Deshalb kann toan den Satz Ö aach so aus-
sprechen :

Satz 12: Diejenigen Flächen, auf denen in jedem Punkte
die beiden Hauptkrümmungsradien einander, aocb dem
Vorzeichen nach, gleich sind, sind identisch mitdenEugeln,
insbesondere mit den Ebenen.

Es mu98 Docb bemerkt werden, dase ausser den oben im ersten
und zweiten Fall erwähnten besonderen Erscheinungen, die fttr ge-
wisse Punkte einer allgemein gewählten Fläche auftreten können,
sodass dort der Satz 11 nicht gilt, scheinbar noch andere Aus-
nahmen Ton diesem Satze vorkommen kOnnen. Denn man kann
ja z. B. eine beliebige Schar von oo' Kreisen in den oo^ Ebenen
durch die 2-Axe construieren, die sämtlich im Anfaugsponkt die
a;y-Ebene berühren; sie erzengen eine Fläche, and auf dieser FUUshe
sind die Normalachnitte des Anfangspunktes gerade diese beliebig
gewählten Kreise. Uan wird eine solche Fläche analytisch dar-
stellen, indem man als den einen Parameter etwa den Winkel u
der Kreisebenen mit der x-z-Ebene und als den anderen etwa den
Winkel v des Radius des Punktes mit der z-Axe benutzt. Alsdann
sind die Parameterlinien (u) die Kreise. Da sie sich alle im Anfangs-
punkt treffen, so ist diese Stelle nach S. 6 Singular im Hinblick
auf die Parameterdarstellung.

Es darf also, wenn eine reelle Fläche etwa rein geometrisch
definiert ist, nicht überraschen, wenn an einzelnen Stellen, an denen
die Tangenten regniär eine Ebene bilden, doch der Satz 11 nicht
gilt Solche Stellen sind hei Anwendung zweier Flächenparameter
Singular.' Doch gilt der Satz 11 stets fUr allgemein ge-
wählte Punkte einer Fläche, sobald die Fläche keine
Schar von Minimalgeraden enthält

§ 3. HauptkrOmmungen bei einer Rotationsfläche.

Wir wollen die Formeln des vorigen Paragraphen auf eine
allgemeine Hotationsf lache anwenden. Die Ase der Fläche
wählen wir als r-Axe. Der in der xz-Ebene gelegene Meridian
habe (wie auf S. 40) die Gleichungen:

^ ' =?(«). y = 0. ^ = ?(«).

' Hierauf h&t PoiasoH zuerst anfmerkatun gemacht: „Hämoire Bnf U
courbare des Barfacea", Joum. f. d. reine n. ang. Math. 8. Bd. [1832J.

Pdr,yGOOgIe

§ 3. Bauplkrümmungen bei ^ner BotatümsfläoAs. 121

Dod u bedeate dabei die Bogenlänge des Meridians. \?ir können
ohne Besdu^nknng der Allgemeinheit voraussetzen, dass p(u)>0
sei, wenn die Fläche reell ist Die Bogenlänge u sei alsdann im
Sinne der wachsenden Coordinate z gewählt, abo q > 0. Durch
Drehung des Meridians nm die z-Äxe entsteht die Rotationsfläche:
(1) a:=p(K)C08ü, y=p{u)8ino, ^ =•?(")•

Wie früher, Tgl. S. 110, ist:

|i'=l, F~0, 0=p*, I} = p;

Nach XI {F) ist femer:

{3) Z= — y'coBw, Y= — y'sinc, Z-=p',

also fbr einen Punkt des Meridians {v = 0) in der srs-Ebene:
X--y', 7=0, Z = p'.

Da im reellen Fall q' > 0 ist, so ist dann die positive Flächen-
normale nach der 2-Axe hingerichtet Die Gleichung des Satzes 11,
S. 119, fQr Aj und ä, ist hier: ä = 0. Sie hat, aufgefasat als
quadratische Oleichnog, die Wurzeln h^ = Q, Ä, = oo. Aus (20),
S. 118, ergeben sich die zugehörigen HauptkrUmmungsradien :

(4) ^,--i-- -f.-f-

Da Ä nach S. 104 der mit Vorzeichen versehene Kriimmungsradius
eines Normalachnittes ist, so sind

die Coordinaten des zugehörigen ErQmmungsmittelpunktes. Mithin
giebt Äj = 0 för den Punkt P oder («, 0) des Nullmeridians (w = 0)
als Coordinaten des einen Hauptkrilmmungsmittelpunktes;

Da p* + q* = 1, also pp' + y y' = 0 ist, so ist auch
8,-? + ^-

Dieser Hauptkrümmungsmittelpunkt ist nach Satz IS, I S. 30,
der KrQmmnngsmittelpunkt 9i des in der z2-£bene gelegenen Null-
meridians (f = 0). Dies war vorauszusehen, denn A, « 0 bedeutet

Pdr,yGOOgIe

122

Zweiter Jbsdtmtt: Die J&ÜMWiMiiy der Fläche.

dva^tO, d. h. der zn ij gehSrige Xormalaclmitt ist der Heridiu
Femer bedeutet i, » cc oder du = 0, dass die zweitfi Hanptkräm-
mimgsricfatiing durch die Tiuigent«
des Breitenkreises {») von P angegeben
wird. (Siehe Fig. 31.) Do* zogeh&hgs
HauptkrümmungsmittelpDnkt hat die
Coordinaten :

1,-0. (,-0, j,_, + a',

liegt also anf der z-Axe und ist daher
der Schnittpunkt 91 der Normalen mit
derDrehaxe. Ferner iat nach (23]^ 8.1 18:

__^
V

ff =

: + ^ = - ^ + ^

Fig. Sl.

^1

Das Product S■^ S^ ist absolut genonuuen gleich dem Product dei
Strecken P9 and P% und zwar ist es positiT oder negativ, je n&cb-
dem beide Strecken nach derselben Seite tod P liegen oder nach
verschiedenen Seiten. Daher:

Sab 13: Bei einer Rotationsfläche sind die Haupt-
krümmnngsricbtnngeD eines beliebigen Punktes P die
Tangente des durch P gehenden Meridians und die Tan-
gente des dnrchP gehenden Breitenkreises. Die zugehörigen
Uaaptkrüroroungsmittelpunkte sind der Mittelpunkt S des
Kriimmungskreises jenes Meridians and der Schnittpunkt 31
der Flächennormale P& mit der Drehaxe. Das Product
der HauptkrOmmungsradien ist bei einer reellen Fläche
positiv oder negativ, je nachdem £ und W auf derselben
Seite von P liegen oder nicht

Wir haben in Satz 65, I S. 103, alle ebenen Carven bestimmt,
bei denen das Prodnct ans dem Krümmungsradius und der Normaleo,
diese gemessen bis zu ihrem Schnittpunkt mit einer Geraden —
damals der y-Axe — constant und zwar gleich ± 1 ist, wobei
das Torzeichen positiv oder negativ angenommen wurde, je nachdem
beide Strecken nach derselben oder nach verschiedenen Seiten dea
Curvenpunktes lagen. Durch ähnliche VergrfisseruDg gehen aus
jenen Ctirven solche hervor, bei denen das Prodnct einen con-
stauten Wert (^ 0) hat Lassen wir diese Curven sich am die y-Aie
drehen, so erzeugen sie diejenigen Rotationsflächen, auf denen

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 3. Eatqttkrümmungan bei tiner Rotaiiotu/Iadie, 123

constant ist Wenn wir statt der damaligen xjr-Ebene die xz-
Ebene beoatzen und nocli die Bemerktuigen im Aoachlnes an jenen
Satz beachten, so finden vir:

Bati 14: Jede reelle BotationsfläclLe, bei der das Pro-
dnct K der KauptkrQmmnngen Überall constant, aber tod
Null Terechieden ist, ist einer derjenigen Botationafl&chen
ähnlich, die durch Drehang der ebenen Curven:

(la)

x = eoOBtfi,

y-O,

»-^(cy),

(Ib)

x = -rätf,

y-0,

z-^E{c,f)-^~'-F{o,q,),

(Ha)

X ~ ccosq^,

y-O,

!-Fic,v)-E(c,^),

(Hb)

*— — jqp,

y-O,

r_ -!-/■(., 9) --lü(o,y)

am die 2-Axe herrorgehen. Dabei bedeutet tf den Para-
meter der Cnrve and c eine positive Constante kleiner als
Eins. Ferner ist:

Afp = ']/\ — c'sin* tf ,

Das constante Product der HauptkrQmmangen ist bei den
Typen (I a) und (I b) gleich + 1, bei den T7pen (11 a) und
(II b] gleich — 1. Insbesondere fallen die beiden ersten
Typen fQr c — 1 zusammen und geben die Kugel vom Radius
Eins. Ebenso fallen die beiden letzten Typen für c — 1
zusammen und geben die Fläche, die durch Drehung der
Tractrix

T=ico895, y = 0, z-=logtg(-^ + |-j — 8in«p
um die z-Aie hervorgeht

Aus den Schlussbemerkungeu jenes citierten Satzes folgt noch:
Bati 15: Verschiebt man eine Rotationsfläche, bei der
das Prodnct der Hanptkrämmungen Überall constant,
gleich K, ist, längs ihrer Axe, so gehen oo^ Flächen her-
vor, die von oc^ Rotationsflächen mit derselben Axe, bei
denen jenes Product gleich —K ist, tkberall senkrecht
durchschnitten werden.

Pdr,yGOOgIe

124 Zweiter AbschniU: Die Srütmatmg dar Fläche.

In den Figuren 32 bis 37 sind die sechs Typen von reeUen
Kotationaä&chen, bei denen K= ±1 ist, dargeetellL Insbesondere
entspricht den Figuren 94 and 35 der Wert c >= 1 , den Figuren
32, 33, 36 nnd 37 der Wert c=iy 2 {siehe I S. 106). Die Figuren
32 und 33, dann 34 und 35, endlich 36 and 37 gehOren paarweis
znsammen, wie es Satz 15 angiebt. Die beiden ersten Figuren ge-
hören zu den Typen (I a) und (II a), die beiden letzten za den
Typen (I b) und (U b) des Satzes 14. Fig. 34 ist die Kugei
Fig. 35 die Botationsfläche der Tractrix.

Wir wollen auch diejenigen Rotationsflächen bestinmieD,
auf denen Qberall die beiden Hanptkrflmmangen einander
entgegengesetzt gleich sind, d. h. M—O ist Nach Satz 13
kommt es darauf an, alle ebenen Gurren zn bestimmen, bei deneD
der ErilmmungBradius überall so lang wie die Normale ist, diese
bis zu einer festen Geraden gemessen, aber dabei nach der ent*
gegengesetzten Seite gerichtet ist Durch Drehung einer derartigec
Carre um die feste Gerade entsteht eine Sotationsdäche von der
gewünschten Beschaffenheit

Ist s die Bogenlänge der Curve in der :ry-Ebene nnd die
y-Äxe die feste Gerade, so haben wir zu verlangen, daes die
f-Coordinate des Exümmungsmittelpunktes, d. h. nach Satz 18,
I S. 30, die Grösse

doppelt so gross als x selbst sei, daher:

wenn der Strich die Differentiation nach s andeutet Da x'* +y''"= 1
ist, folgt hieraus

1 _t'* = it"
oder:

ds " '■
Mithin:

XX = g + b (fi = Const)
oder;

^j-^-*=2. + 2fi,
also:

x' = s* + 2is + a' (a* = Conat).

Die Bogenlänge sei von derjenigen Stelle an gemessen, an der die
Tangent« der y-Äxe parallel und daher xx' = 0 ist, was auf die

Pdr,yGOOgIe

§ 3. äat^hrümmungm bei einer Rotatiorufläehe. 125

D,gnzedr,yGOOgIe

126 Zieeiier Abschnitt: Die IDümmunff der FlÖeha.

Annahme b = 0 binauB kommt, wodurch also die AUgememheit der
Betrachtung nicht beachiHnkt wird. Jetzt ist:

ViTTa

-n-

y = olog{» + yt*~+ a^ + e {c = Conat).
Wenn wir noch durch Verschieben der Corve längs der y-Axe —
was ja gestattet ist — den Pnnkt (« = 0) auf die r-Aze bringen,
80 muss y » 0 sein fdr * ^ 0, mithin c = — loga, sobald wir —
im reellen Fall — die Quadratwurzel positiv nehmen, was anch er-
laubt ist. Nun kommt:

X = Yf*^i-^, y = o log - — ~ — —
oder wenn a eliminiert wird:

Dies aber ist die Gleichung einer Kettenlinie, deren Leitlinie die

I^g. 38.

y-Axe ist Durch Drehung der Cnrve um .ihre Lutiinie entsteht
ein sogenanntes Gatenoid.* (Siehe Fig. 38.) Daher:

Sata 16: Die Catenoide »ind die einsigeo BotatiooB-
flächen, auf denen aberall die beiden HaaptkrKvmungs-
radien einander entgegengesetzt gleich sind.

> Vgl die Anmerknsg aof S. 42.

Pdr,yGOOgIe

§ 4. Haupttangenten.

Ea liege eine Ftäcbe vor, die keine Schax von MinimaJgeraden
enthält. Nach {2), S. 109, erftÜlen die mit Vorzeichen versehenen
KrOmmnngBradien B der Normalschnitte eines allgemein gewählten
Ponktes P oder (u, t>) der Fläche die GleidiuDg:

(1)

. L + 'mt + jav
' j? + a Fft -f- ö i* ■

Dabei gieht k =^ dv.du die FortBChreitungsrichtnng an, die io dem
gewählten Normalschnitte liegt Wir haben in Satz 11, S. 118,
gesehen, dase es zwei Werte k^ nnd A, von k gieht, für die 1 : ^
ein Maximum oder Minimum erreicht Es giebt aber auch zwei
Werte x^ nnd x, von k, fllr die 1 : ^ gleich Nall ist Es sind dies
die Wnrzeln der quadratischen Gleichung
(2) X + 2jM"A+A*' = 0,

von denen wir wissen (vgL S. 116), dass sie nicht auch deu Nenner
rechts in (1) gleich Null machen. Die zugehörigen Normalschnitte
haben nach I S. 33 in dem Punkte P Wendepankte. Man nennt
diese beiden Bichtungen (Xj) nnd (Xj) die Haupttangentenrich-
langen, die zugehörigen Tangenten der Fläche die Kaupttan-
geoten des Punktes P.' Nach I S. 226 folgt sofort:

Satz 17: Die Haupttangenten eines Flächenpnnktes
sind diejenigen Tangenten, die mit der Fläche eine Be-
rQhrang von zweiter Ordnung eingehen.

Ist die Fläche und die Parameterdarstellung reell, so ist der
Neuner rechts in (1), da er, mit du* multipliciert, das Quadrat des
Bogenelementes bedeatet, stete positiv lltr reelle Fortechreitungs-
richtungen (i). Die Er&mmung eines Normalschnittes er&hrt also
beim Drehen der Normalscbnitiebetie um die Normale des Punktes P
nur da einen Zeichenwechsel, wo der Zähler rechts in (1) durch
den Wert Null hindurchgeht, also dann, wenn die Normaleclmitt^
ebene eine der beiden Haupttangenten von P enthält Diese beiden
Nonnalschnitte trennen also die Gesamtheit der Normalschnitte in
diejenigen, deren Kriimmungsmittelpunkte auf der positiven, und in
diejenigen, deren ErUmmungsmittelpunkte auf der negativen Seite
der Tfuigeotenebene liegen. Doch sind x^ und x, nicht stets reell;

* Diese Geraden worden znerst nntonncht von Dvpin, „D6veloppementa
de gäomätrie". Pari* 1813.

Pdr,yGOOgIe

128 Zweiltr Abschnitt: DU Xrümmvng da- Ftäehs.

es kann also ebensowohl Torkommen, dasa alle ErUmmungsmittel-
punkte der Normalschuitte aaf derselben Seite der TaDgeDtenebene
liegen. Eio Beispiel zeigt dies:

Beispiel: Auf der Rotation sflüche:

ü =p(«)ooss, y-p{M)BiB», «-«{«),

bei der wir wieder die auf S. 121 getroffenen Voranesetzangen machen, lautet
die Crleichnng (2):

und g:iebt:

::i-)/S-

Es ist aber (vgl, S. 121)

die X-Coordinate des KrQmmnngBmitteipunktes ß des MeridiaDB (c = 0). Da
p die a^Coordinate des zugehörigen Punkte« P dies«« Meridians ist, so ist die
obige Qnadratwarzel reell, wenn der ErümmoDg»-
inittelpunkt fi aof der positiven Normale von P
liegt, die, wie wir eaben, von P nach aoMen
gerichtet ist, sobald wir die x-Axe, Drehaxe, all
im Inaem der Fläche gelegen bezeichnen. Überail
da also, wo die Ueridiancurve nach innen convex
ist, also in Fig. S9 in dem ganzen Streifen vom
Kreise a bis zum Kreise b, sind x, und ic, reell;
da wo sie nach aussen convei ist, wie in den
Streifen von b his e, sind x, und k, imaginILr.

Die Breitenkreise der 'Wendepunkte der Ueri-

pj_ gg_ disncorven teilen also die Gtebiete, in denen *x

und x, reell oder imaginfir sind, von einander.

Hiernach sind in einem allgemeinen reellen Flächenpankte i*
drei Fälle denkbar:

Erster Fall: x^^ nnd x, sind imaginär, d. h. es ist

Alle reellen Normalschnitte von P sind also nach derselben Seite
der Tangentenebene gekrümmt. Man sagt, die FÜlche sei in P
convex-convex. Die Haupttangenten von F sind imaginär. S^ und
^,, die beiden HauptkrUmmungsradien, haben dasselbe Vorzeichen.
(Siehe Fig. 40.)'

' In den drei Figuren 40, 41, 42 haben wir, um die HanptkrQmmniig»-
kreise als solche deutlicher zur Anschauung zu bringen, Fliehen dugeateUt,
die mit ihren HauptkrQmmungskreisen ein endliches StUck gemein bähen.

Pdr,yGOOgIe

' 4. Haupäangenien.

Zweiter Fall: x^ und x, fallen zusammen, sind also reell.
Hier ist:

Alle reellen Xornialschnitte von P aind nach derselben Seite der
Tangentenebene gekrOmmt Nur ein Xormalschnitt hat die ErQm-
mung XuU, d. h. sein Erümmungskreis artet in die einzige vorhandene
Hanpttangente aus. Da diese Krümmung Null ein Minimum oder
Maximum ist, so ist diese Hanpttangente zugleich ■ Taagente einer
der beiden Hauptkrilmmungsrichtungea. Von Ü^ und if, ist also
der eine Wert unendlich gross. (Siebe Fig. 41.)

Dritter Fall: x, und x, sind reell verschieden, oder es ist:
LN~AP<0.

Beide Haupttangenteu sind reell verBchieden. Ihre Normalschnitte
teilen das Gebiet der nach der einen Seite gekrümmten Normal-
Schnitte TOD dem Gebiet der nach der anderen Seite gekrUmmten
Normalschnitte. Man nennt dann die Fläche in P convez-concaT.
Ä, und Äj haben verschiedene Vorzeichen. (Siehe Fig. 42.)

1. Beispiel: Von den reellen Flächen zweiter Ordunog aind, wie
mau sofort ana der bekannten Gestalt dieser FlficheD sieht, das Ellipsoid, das
elliptische Psraboloid und das iweischalige Hyperboloid überall convez-convez.
Dagegen ist das hyperbolische Paraboloid nnd das einschalige Hyperboloid
aberall convei-concav. Der Kegel nnd der Cjlinder zweiter Ordnung sind
Flächen, aaf denen Überall der zweite Fall vorliegt.

2. Beispiel: Die gemeine SchranbenfUche (S. 119) and daa
Catenoid (S. 126) haben überall entgegengesetzt gleiche Haaptkrflmmnngs-
radien. Sie sind mithin Qberall convei-concav.

3. Beispiel: Betrachten wir irgend eiue geradlinige Fläche mit
reellen Erzeugenden. Durch einen Punkt P auf ihr gebt eine Erzeugende h.
Die Hormale von F steht auf h senkrecht, die Tangentenebene von P enthalt k
Tgl. I S. SIT). Die durch die Normale und h gehende Ebene schneidet die FlScbe

I, Owtm. DUlr. Q. 9

.dr,yGoogIe

ISO

Zweiter Abschniä: Die Krümmung der Fläche.

in k seibat, d. h. io eioer Curve von der Erümmuiig Null. Mithin ist in P
eine der beiden Haupttangeuten die Gerade h. Da aie reell ist, so kann nur
der 2. oder S. Fall vorliegen. Anf einer reellen geradlinigen FlAche sind also
äberall die Hauptkrfimmuagsradien von verschiedenen Vorzeichen oder einer
von ihnen ist anendlich gross. Es giebt also keine convex-convexe
geradlinige Fläche mit reellen Eneagenden. Wir werden sehen,
dasH das Ellipeoid, das convez-convei ist, zwar als geradlinige FlSche aufge-
&ast werden kann, aber ihre Erzeugenden sind imaginSr. (Siehe S. 144.)

Bei der ünterecheidtmg der Punkte mit reellen und der Pankte
mit imaginären Haupttangenten giebt der Wert des Ausdrucks
LN — M* den Ausschlag. Dieser Ausdruct lässt sich auch in an-
derer Weise schreiben; es ist nämlich nach (10), S. 106:

L!i-M* = {X^x^ 4- y^y^ + ^„*,.)(^,i„ + y^y, + ^,^„) -

- (X„x„ + r„y, + Z^z^iiX^x^ + Y^y^ + Z^zJ

= SC};^„-i;„2;)(y„z„-z„yJ,
also nach XI (^:

LN-M* = D-SI{r^Z^-Z^r^),
daher:

(8)

LN-M' = I>

r r.

Bei reellen Flächen und reeller Parameterdarstellung ist D nach
S. 18 positiv. Die Entscheidung giebt also das Vorzeichen der
Determinaate. Wir sagen daher:

Sats 18: Eine Fläche, die keine Schar von Minimal-
geraden enthält, hat in einem allgemein gewählten reellen
Punkt («,u) mit reellen Parametern zwei reell verschiedene
oder zwei reell zusammenfallende oder zwei imaginäre
Hanpttangenten, je nachdem der Ausdruck LN—M* oder
die Determinante

X X„ X„

y y^ y„

z z^ z^

ftlr das betreffende Wertepaar kleiner als Null oder gleich
Null oder grösser als Null ist. Dabei bedeuten L, M, JV die
Fundamentalgrössen zweiter Ordnung und X, y, Z die Bich-
tungecosinus der Normale. Die Richtungen {dv.du) der
Haupttangenten werden durch die Bedingung

idu' + 2Mdudv + J^dv' = 0
bestimmt.

Pdr,yGOOgIe

§ 4. Haupüangenten. 131

Da SJi- 1 und also

ist, 80 kann die Determmante in (S) auch anders geschrieben werden.
Multipliciert man nämlicli ihre Zeilen mit X, Y, Z und nimmt ihre
Snnunea als erste Zeile, ao ist nur das erste Element dieser Zeile
Ton Null Terschiedeu, nämlich gleich Eins. Daher ist:

(4) LIi~M* = D- ^'^-^^' ■

Hieran reihen sich noch zwei Formeln, die durch cj'klische Ver-
tauschung TOn X, Y, Z hervorgehen.

Es ist leicht, alle Flächen zu bestimmen, aaf danen
überall L2i — M* = 0 ist. Vorweg heben wir dabei herror; Wenn
auf der Fläche Überall LN — M* = 0 ist, so ist dies auch der
Fall bei EinfOhrung irgend eines anderen Parameteraystema, weü die
Qleichung LJf—M* = 0 aussagt, dass die beiden Haupttangenten
zusammenfallen, und weil diese geometriache Bedeutung von der
Wahl des Parametersystems unabhängig ist Ist nun auf der Fläche
überall LN — M* = 0, so folgt aus (4) und aus den beiden ana-
logen Formeln:

X^:Y^:Z^^X^:Y^:Z^,

also, wenn q eine gewisse Function von u und v bedeutet:

Da nun:

dX= ^rfw-J-X^rfü = X„(prfu + rf(i}

und entsprechend

dY=Y^{Qdu^dv), dZ=Z^{Qdu + dv)

ist, 80 bleiben X, Y, Z ungeändert, wenn der Punkt {a, v) auf der
Fläche eine Gurre beschreibt, längs deren

Qdu + dv = 0
oder also:

dt , ,

ist Diese Differentialgleichung erater Ordnung in u und ti definiert
nach Satz 4, S. 12, eine Schar von os* Corven auf der Fläche.
Wir dOrfen annehmen, dasa wir gerade diese Gurren von vornherein
als die Parameterlinien (v) gewählt hätten. Dies kommt darauf
hinaus, dass wir die Differentialgleichung in der Form dv ^0 an-

.dr,yGoogIe

132 Ztmiter Absehnitt: Die Krümmung der Fläche.

nehmen dürfen. Dann al>er ist (« = 0, also sind dann X, J, Z nach

(5) frei TOD u. AHB der ersten Formel XI (7) folgt nun, dass S Xx
aach Ton u &ei ist Es Bei etwa:

(6) SXr = F(t.).

Differenzieren vir diese Formel nacli v, so giebt die zweite Glei-
clinng XI (/):

(7) %X^x^r{v).

\)& X, Y, Z nnd V nur von v, nicht von u, abhängen, so stellt die
Gleichung

in den laufenden Coordinaten J, 5, J f&r jeden Wert von v eine
Ebene dar. Diese Ebene schneidet die aneodlich benachbarte, zn
V + dv gehörige Ebene in der Geraden, die ausserdem der Gleichung

genügt Da die Gleichnngen (6) und (7), in denen x, y, x die Punbt-
coordinaten der Fläche sind, genau die Form dieser beiden Glei-
chnngen haben, so folgt nach Satz 14, I S. 292, dass die Fläche
von den oo' Ebenen

8X5= r(ü) (t. = Con8t)

umhOllt wird und also abwickelbar ist.

Umgekehrt: Liegt eine abwickelbare Fläche vor, so kOnnen wir
ihre Gleichungen nach I S. 261 ao achreihen;

(8). r = 9>(r) + «9[>'{t.), y = rW + «/(r), z = i/»(t.) + w ^''(b).

Durch Ausrechnung erkennt man, daas hier L •= M =^ 0, also
iJV— ^* = 0 ist Nach einer oben gemachten Bemerkung gilt
dieae Gleichung LN— JU* = 0 auch bei jeder anderen Parameter-
daratellang der Fläche (8). Also:

Sati 19: Die abwickelbaren Flächen sind die einzigen
Flächen, auf denen überall der aus den Fundamental-
gröasen zweiter Ordnung gebildete Ausdruck

iat

Oder auch:

Sats 20: Die abwickelbaren Flächen sind die einzigen
Flächen, aaf denen überall die beiden Haupttangenten
zusammenfallen, — und zwar fallen sie in die geradlinigen
Erzengenden der Fläche.

Pdr,yGOOgIe

§ 5. Diu Indioatria; einea FläehenpwMea.

§ 5. Die Indlcatrlx eines Flächenpunktes.

Sind E, F, G nnd Z, M, N die FundameiitalgrOesen einer aof
die Far&meter u und v bezogenen Fläche, die keine Schar von
Minimalgeraden enthält, so gilt tut den Er&mmangBradiae S eines
allgemeinen Nonnalschnittes der Stelle P oder (u, v) die Formel:

1 L-t-aUk+Nk*

R E+2Fk + Ok'

in der k = dvida die ßichtnng des Schnittes angiebL (Vgl. S. 109.)
Um hieraus eine geometrische Constraction der Krllmmungs-
kreise abzuleiten, benutzen wir ein neues rechtwinkliges Go-
ordinatensystem (^, Tj, )), dessen wir uns Überhaupt Öfters
bedienen werden, wenn es sich um Untersuchungen in der Nähe
eines bestimmt gewählten Flächenpunktes handelt

Der Punkt P oder {tt, v) sei der neue Anfangspunkt, die £- und
^-Äxe seien die Tangenten der beiden Hanptkrümmungsschnitt« des
Punktes F, die ja nach S. 117 auf einander senkrecht stehen und
im reellen Fall auch reell sind. Die j-Axe soll dann auch ihrem
Sinn nach mit der Normalen des Punktes P zusammenfallen. In
dem neuen Goordinatensystem wollen wir die Goordinaten ; und tj
selbst als Parameter, statt u und t>, benutzen. Die Fläche denken
wir uns also analytisch in der Form dargestellt:

Wir nennen das neue rechtwinklige Axenkrenz kurz das beglei-
tende Axenkreuz des Flächenpunktes F.

Die der neuen Darstellung zugehörigen Fnndamentalgrössen
erster und zweiter Ordnung seien mit <S, g, O und S, HR, 9t be-
zeichnet, sodass wir haben:

Ä " Ig 4-2&t + @P '
wobei nun

ist Da die Parameterlinie (Q = 0) im neuen An&ngspunkt F die
j-Aie und die Parameterlinie (j = 0) dort die ^-Axe berührt, so ist
fQr den Anfangspunkt F:

Pdr,yGOOgIe

134 Zweiter Abse/milt: Die Krümmung der Fläehe.

Der Index 0 soll daran erumem, dass sich diese Gleichangen nur
anf den Pnnkt P beziehen. Nach XI (^) und XI (C) ist für diesen
Punkt:

(2) g^ = 1, S5o = 0. ®o - 1' ®o =- 1 -

Da ferner d^^O und cf ^ => 0 oder also t^O and t — oo die
HanptkrQmmangsrichtnngeD von P liefern, so maas die quadratische
Gleichung fQr (, die — nur mit lateimschea statt deutschen Buch-
staben — in Satz 11, S. 119, angegeben wurde, filr den PonktP die
Form t = 0 haben. Also ist jetzt anch fltr den Funkt P:

(3)

5K„-0

oder nach (9), S. 106:
Nunmehr kommt:

1 S. + S!. P

m.

Für f = 0 nnd I = co ei^eben sich die beiden HauptkrUmmongen :
(6) i-S„ ^-M.,

sodass nach (S), S. 106, für den Punkt P:

(6)

ist Femer sei (p der Winkel der lUchtung (f) mit der Richtung
der j-Axe (l = 0), also:

tg^-lj-t.

Die Formel für 1 :7f kann nun so geschrieben werden:
m 1 = '='"*^ o- ""'"P

^'' Ä Ä. ^ Ä, ■

Da wir filr jeden Flächenpunkt P diese Betrachtung anstellen können,
indem wir immer das zugehörige begleitende Axenkreaz benutzen,
so folgt:

Satt 21: Sind iP, und ^, die Abscissen der Mittelpunkte
der beiden KauptkrümmungskreiBe eines Flächenpunktes,
gemessen vom Flächenpunkte an auf seiner Normalen, so
haben die Erümmungsmlttelp unkte derjenigen Normal*
schnitte, die mit dem ersten Hauptkrllmmungaschnitt die

Pdr,yGOOgIe

§ 5. IHe Indicalrix eines Flächsnpunkieg.

Winkel ± <p bilden,
Formel

eine Abscisse B, die sich .

Ä.

bestimmt'

Geben wir <p den Wert y + ■?-) so erkennen wir hieraus sofort:

Sata 82: Die Summe der Krümmungen zweier zu ein-
ander senkrechter Normalschnitte ist gleich der Summe
der H&optkrümmungen der betreffenden Stelle.

Da die Formel (7) nur die Quadrate des
Sinns und Cosinns von tp enthält, so kommt
es aof den Sinn der Messimg des Winkels tp
gar nicht an.

Die Hanpttangenten sind durch die Eigen-
schaft 1:^=0 charakterisiert (nach S. 127], so-
dass ihre Winkel « mit der ersten HanptkrUm-
mungsrichtung nach (7) dnrch:

#•-'

\\

Fig. 43.

oder;

(8)

tg«

= 0

bestimmt werden. Also (siehe Fig. 43)

8ats 23: DieHauptkrUmmungsrichtangen einesFlächeo-
Punktes halbieren die Winkel seiner Haupttangenteu.

Femer:

Sats 24: Der Winkel der Haupttangenten eines Flächen-
pnnktes hängt nur Ton den Werten der Hauptkrilmmungen
des Punktes ab.

Sind 7?^ und B, beide positiv, so gilt dasselbe nach (7)
Ton jedem Krümmungsradius R des Punktes P, der dann convex-
coDvez iat (nach S. 128). Tragen wir auf der Tangente von P, die
mit der £-Axe den Winkel tp bildet, von P aus nach beiden Seiten
den Wert der Quadratwurzel des zugehörigen KrUmmungsradiuB B
auf, so bilden die Endpunkte, die man so für beliebige Werte von ^
erhält, eine Ellipse, denn sie haben diä Coordinateu:

j = ± y^cos ip, ? = ± VÄ^ain y ,
* Dieaer Satz beisat der EcbKR'sche Satz. Sieh« die Amnerkiuig anf S. 118.

Pdr,yGOOgIe

186

Ztedter AbaehniU: DU Rümmung der Fläche.

.1.

die nach (7) die Gleichung erflUleo:

-Ü-4.-5!-.

y^j nnd Ym^ sind die auf der £- und q-Axe gelegenen Halbuen

der ElUpse. (Siehe Fig. 44.)

Sind B^ und if, beide negatiT,
80 gilt dasselbe nach [7) Ton jeden
Erümmungsradias R des Punktes F.
Die Stelle ist wieder convex -cooTei.
Wir tragen auf allen Tangenten von P
ans nunmehr y — Ä ab nnd erhalten
die Ellipse:

Fig. u.

In beiden betrachteten Fällen hat P nach (S) imaginäre Hanpt-
tangenten, und zwar sind die Haupttangenten offenbar die imagi-
nären Asymptoten der betreffenden Ellipse.

Ist Sj positiv nnd R^ negativ, so sind die Haupttangenten
nach (8) reell. Es sei u der positive spitze Winkel, für den dann

tg»«=-^

ist. Nun ist nach (7) der Wert- R positiv, solange 9: zwischen + a
und — u liegt, sonst negativ. (VgL S. 129.) Die Fl&che ist an der
Stelle P convex-concay. Tragen vir wieder anf allen Tangenten
den zugehörigen Wert der Quadratwurzel von S
bez. — ^ ab, je nachdem R positiv oder negativ
ist, so erfüllen die Endpunkte entweder die
Gleichung:

J- - -?^ = 1

(fÖr Ä > 0)

oder die Gleichung
- J - + -^ -.

1

(für B<0).

Es sind dies die Gleichungen zweier conjngie^

Fig. 45. ter Hyperbeln, die die beiden Hanpttangenten

zu Asymptoten haben. (Siehe Fig. 45.)

Ist R^ negativ und R^ positiv, so werden die Haupt-

tangenten ebenso constroiert Im abrigen gilt Ober das Torzeichen

Pdr,yGOOgIe

} ö. Die Indicatrix einae Fläehenpunktes.

von S gerade das Bntgegengesetzte wie Torher. Ea gehen die beiden
conjogierten Hyperbeln hervor :

J^-|--l (ter;!<0)
und:

die wieder die Haapttangeuten za ABymptoten haben.

Ist endlich einer der beiden HaoptkrUmmnugsradien anendlich
gross, so erhalten wir statt der Eklipse oder des Hyperbelpaares ein
Paar paralleler Geraden. Ist nämlich etwa iPj » os und S^
positiv, so redaciert sieb (7) auf:

B Ä, '

d. h.: £ ist überall positiT. Tragen wir Y^ ^^^ ^^' zugehOrigeo
T&ngeate ab, so liegt der Endpunkt auf
einer der beiden Geraden (siehe Fig. 48)

Ist Ä, = 00 und -ff, negatiT, so ist Jt

fiberall negativ ond das Abtragen von y— Ä

auf die Tangenten giebt die beiden G«-

raden ^ «»i y— Ä,. Ist Äj positiv und

■ff, = CO, so treten die beiden Geraden ^g- 4e.

aof, ebenso weno .ff, negativ und .ff, = oo ist, die beiden Ge-
raden £ = ± y — Sy Überhaupt fallen bei den vier letzten An-
nahmen, d. h. wenn einer der Hauptkrfimmungsradien unendlich
gross ist, die beiden Haupttangenten in diejenige Tangente durch
P ziuammen, die den beiden erwähnten Geraden parallel ist

Die beiden durch den Flächenpunkt P gehenden Minimalcorven
der Fläche (vgl. Satz 16, S. 36) haben dort Richtungen, die nach
(2) durch

bestimmt werden, also die Biehtungem

il

- ±1.

Doch gilt dies nur im der Stelle P selbst Daraus folgt:

Pdr,yGOOgIe

138 Zweiter AbsekniU: Die Krümmung der Fläche.

Sati 26: Die beidea durch einen Fl&cbenpuakt gehen-
den Miaimalcurven der Fläche haben daselbst Tangenten,
die Bymmetrisch zn den Haaptkrflmmungstangenten des
Punktes liegen. —

Die Eegelsohnitte, die wir benatzt haben, sind nicht nnr Hal&-
mittel zur Construction der Erümmungsradien, sondern treten auch
direct auf, allerdings unendlich verkleinert, sobald man die Frage
beantwortet, wie eine Ebene, die einer Tangentenebene der
Fläche unendlich benachbart ist, die Fläche schneidet

Da wir wie bisher den betrachteten Flächenpunkt P als An-
fangspunkt eines CoordinatenafStems (£, ^, }) benutzen können, so
können wir diese Frage aDalytisch so behandeln: Zur Tangenten-
ebene von P, d. i. zur ^^-Ebene, legen wir eine parallele Ebene im
unendlich kleinen Abstand j. Sie schneidet die Fläche in einer
Curve, und wir untersuchen, wie der Verlauf dieser Curve unendlich
nahe bei P ist. Wir fassen also nur anendlich kleine Coordinaten
£ und Q ins Auge. Da für hinreichend kleine Werte von £ and q
die Geibenentwickelung gilt:

so können wir hierin nach (1), (4) und (6) schreiben:

Dies also ist, bei festem unendlich kleinen j, in ; and ^ die
Gleichung der zu untersuchenden Carre.

Ist weder 1:-Ä, noch l-.Ji^ gleich Null, so sind, sobald |
und q unendlich klein gewählt werden, also nur did ümgebang der
Stelle P betrachtet wird, die nur angedeuteten Glieder von höherer
Ordnung unendlich klein als die angegebenen, sodass bleibt:

(10) t + ^-'«^.

Diese Gleichung stellt einen Kegelschnitt mit unendlich kleinen
Azen dar, der zu den oben betrachteten Kegelschnitten

ähnlich, ähnlich gelegen und concentrisch ist. Es bat sich also
ergeben:

Pdr,yGOOgIe

§ 5. DU Indicatrix eines FUüA^npunktea. 139

Bäte 26: Sclmeidet man eine Fläche darch eine Ebene,
die der Tangeatenebene eines Flächenpanktes P mit den
HaaptkrümmnngBradien B^ and B^ anendlich nah und
parallel ist, so ist die SchnittcuTTe in der unendlich
kleinen Umgebung der Stelle P darch einen Kegelschnitt
ersetzbar, dessen Q-leichung in laufenden Coordinaten ;, 9
lautet:

Vorausgesetzt ist dabei, dass weder B^ noch B^ unendlich
gross sei Ferner ist dabei j der auf der Normale yon P
mit entsprechendem Vorzeichen zu messende anendlich
kleine Abstand der Schnittebene von der Tangentenebene,
und das Goordinatensystem (;, q) hat die Projectionen der
Haaptkrammungstangentea Ton P anf die Schnittebene zu

PV- *■'■ Fig. *e.

Axen. (Siehe Fig. 47 ftr den Fall, dass B^ B, > 0, ist und Fig. 48
Cikr den Fall, daee BjS^<0 ist).

Obgleich die Schnittcnrre nur in unendlicher Nähe von P durch
den Kegelschnitt ersetzt werden darf, braucht man doch häufig die
unexacte Eedeveise: Die der Tangentenebene unendlich benachbarte
Ebene schneide die Fläche in jenem Kegelschnitt (10), and anch
wir werden uns der KUrze halber dieser Eedeweise bedienen. Der
Kegelschnitt (10) beisst dielndicatrix des PunktesP der Fläche.'

Liegt ein reeller convex-convexer Punkt vor, d. h. haben Bj
und Bg einerlei Vorzeichen, so ist die Cuire (10) eine anendlich
kleine reelle Ellipse, wenn j dasselbe Vorzeichen wie B^ und B^
bat, dagegen imaginär, wenn j das andere Vorzeichen hat. Von
den zur Tangentenebene unendlich benachbarten parallelen Ebenen

' N&cb DüFiN, von dem diese Theorie fibeihaupt herrillirt Hau vergleiche
die Anmerknngeu auf S. 99 imd S. 127.

Pdr,yGOOgIe

140 Ztceüer Abtchntä: IHe Erümrmmg der Fläche.

schneiden also nur die auf der einen Seite gelegenen die Fl&che in
einer reellen Ellipse. Coavex-cooTexe Punkte der Fl&cbe heissen
auch elliptische Punkte der Fläche. Ist der Punkt insbesondere
ein Nabelpunkt (vgl. S. 119, 120), d. h. S^ ~ B^, so ist die Indi-
catrix ein Ereis.

Liegt eine reelle conyex-concaye Stelle P vor, d. h. haben S^
nnd S^ verschiedene Vorzeichen, so ist die Curre (10) eine Hyperbel,
wenn j positiv ist, und die conjugierte Hyperbel, wenn j durch — j
ersetzt wird. Diejenigen Ebenen parallel der Tangentenebene also,
die auf der einen Seite unendlich nahe liegen, schneiden die Fläche
in einer Curve, die unendlich nahe bei P wie eine Hyperbel ver-
läuft, deren Hauptaxe in der einen Hauptkrümmungsebene liegt
Wird die Ebene jedoch auf der anderen Seite der Tangeutenebeue
angenommen, so tritt an die Stelle dieser Hyperbel eine Hyperbel,
deren Hauptaxe Inder anderen Hauptkrümmungsebene von T' liegt
Gonvex-Goncave Punkte der Fläche heissen auch hyperbolische
Punkte der Fläche.

Wird ä = 0 gesetzt, so geht aus (10) die Gleichung

Bi ^ Rt
eines Geradenpaares hervor, das imaginär ist, wenn Ji^ und S^ das-
selbe Zeichen haben. Nach (8) sind diese Geraden die Hanpttan-
genten des Punktes F. Wir kljnnen also sagen, indem wir auf
I S. 74 verweisen:

Satk 27: Für die Scbnittcurve einer reellen Fläche
mit der Tangentenebene eines ihrer Punkte F ist dieser
Punkt Singular nnd zwar ein isolierter Punkt, wenn die
Fläche in P convex-convex ist, dagegen ein Doppelpunkt,
wenn sie in P convex-concav ist Die imaginären bez.
reellen Tangenten der Scbnittcurve in P sind die Haupt-
tangenten von P.

Die Projectionen dieser Haupttangenten auf die zur Tangenten-
ebene parallelen unendlich benachbarten Ebenen sind die imagi-
nären bez. reellen Asymptoten der oben erwähnten Ellipsen bez.
Hyperbeln. Die Haupttangenten nennt man deshalb auch zuweilen
die Asymptoten von P.

Den Übergang von den convex-convexen oder elliptischen Stellen
zu den convex-concaven oder hyperbolischen Stellen bilden diejenigen
Punkte, in denen ^^ oder Jfj unendlich gross ist. Man nennt sie
parabolische Punkte der Fläcba Ist z. B. 1 :^j » 0, so iet

Pdr,yGOOgIe

§ 5. Die Indicatrix eines Ftöehenpunklea. 141

der Schlaae von [9] auf (10) nicht mehr richtig. Dann schlieBsec
wir vielmehr wie in I 8. 75, daaa die Schnittcarve der zur Tangeaten-
ebene parallelen Ebene j = Const in unendlicher Nähe ron P im
allgemeinen durch die Carve

ersetzt werden darf. In der Ebene ()) bilden dabei die Geraden, in
denen sie die i j- bez. ■q j-Ebene schneidet, die %- bez. ^-Aze für
die analytiache Darstellung dieser ebenen Curve dritter Ordnung,
w&hreDd j die Rolle einer bestimmten unendlich kleinen Grdsse
spielt Man siebt, dass die Ordnungen, in denen t und Q in der
Nshe yon P unendlich klein sind, die 2. und 3. sein mUssen, d. h.
die Curve schmiegt sich der j-Axe in unendlicher Nähe des An-
fangspunktes an. Da aus

■ ±m,]fi^W?).

folgt, dass -^ und -^ für £ ~ 0 auch ^eich Null sind, so sind
die Curvenpunkte mit den Goordinaten:

E = 0, 9-±y2^
Wendepunkte {nach I S. 14), deren Tangenten der f-Axe parallel
sind. Bei dem parabolischen Funkte P tritt also an die Stelle jener
unendlich kleinen Ellipsen bez. Byperbeln in unendlicher Nahe von
P ein Paar paralleler Geraden:

die reell sind, wenn S^ und j dasselbe Zeichen haben. Da zwei
parallele Geraden als eine ausgeartete Parabel anfeufassen sind, so
ist der Name: parabolischer Funkt gerechtfertigt

Im Fall eines parabolischen Punktes werden wir das gefundene
Geradenpaar als die Indicatrix bezeichnen und nicht die Curve
dritter Ordnung.

Es dürfte nicht unnütz sein, fOr die Indicatrix auch bei Be-
nutzung eines beliebigen Axenkreuzes {x, y, z) und beliebiger Para-
meter eine analytische Darstellung zu geben: Die Tangentenebene
des Punktes (w, o) hat die Gleichung:

X{t-:r)+r{1i-y) + Z(i-z) = 0,
wenn %, q, j ihre laufenden Goordinaten sind. Die Parallelebene
im Abstand t hat die Gleichung:

(11) SJr(E -*) = *,

Pdr,yGOOgIe

142 &aeiter Absoknitt: Die Krümmt^ lUr Fläche.

decD sie wird durch

wegen S ^ = 1 erfüllt. Soll nun der Punkt (5, 5, j) in der Sclinitt-
curve der Parallelebene mit der Fläche liegen und dem Punkte
{x, y, z) oder (w, ») unendlich benachbart sein, so muss er Parameter
haben, die von u und v unendlich wenig abweichen, sodass wir
setzen können:

l = x + x^du + x^dv + ^[x^^du*+ 2x^^dudv + x„rfii*) + - ..
u. 8. w. Setzen wir diese Werte in (11) ein, so kommt wegen XI (/)-.

\[^Xx^^du* + aSXaf^^rfKrf» ■^%Xx^^dv) + ... = £
oder nach (7), S. 106:

Ldu* + 2Mdudv + Ndv* .^ ... = 2«.
Berücksichtigen wir nur die Glieder niedrigster Ordnung, so finden wir:
Sali 28: Diejenigen einem Punkte (h, ») einer Fläche
unendlich benachbarten Punkte (u + du, v + dv), die in
einer zur Tangentenebene des Punktes (u, v) unendlich be-
nachbarten und parallelen Ebene liegen, sind an die Glei*
cbung gebunden:

Ldu* + 2Mdudv + Ndv* = 2«.

Darin bedeutet « den auf der Normalen des Punktes (u, r) mit
Yorzeichen gemessenen Abstand der Parallelebene von der
Tangentenebene.

Die Formel dieses Satzes stellt also analytisch die Indicatrix
des Punktes (u, v) dar und zwar nach der oben getroffenen Fest-
setzung auch für den Fall eines parabolischen Punktes.

Im Anscbluss hieran soll ein zweites analoges Problem ganz
kurz erledigt werden;

Wir wählen auf der Normalen des Punktes (u, v) einen unend-
lich benachbarten Punkt, dessen Coordinaten also etwa sind:
x+Xfi, y+Yri, z + Zti,

venu 17 eine unendlich kleine Grösse bedeutet, und wollen diejenigen
Tangentenebenen der Fläche construieren , die durch diesen Punkt
gehen. Sie werden einen Eegel umhüllen, der die Fläche längs einer
dem Punkte (u, tr) unendlich benachbarten Gurre berührt Ist
(u -t- (f u, V + dv) ein solcher Berührungspunkt, so muss seine Tan-
gentenebene durch den gewählten Punkt geben. Aber die Normale

Pdr,yGOOgIe

§ 5. Die Indicatrix eines Fläehenpunkles. 143

des Punktes (u + du, v + dv) hat die Sichtungscosinas, die aus
X T, Z herrorgehen, wenn darin u-\- du und r + du statt a und v
geschrieben vird, d. h. die Tangentenebene dieses Punktes (u + du,
V 4- <f v) hat in den laufenden Coordinaten ;, 9, j die 0-Ieichnng:

8(X+X^£ftt + X,<fo){j — ;r-«„rfw-ar,rft>) -0.

Setzen wir hierin die Coordinaten ar + JE»;, y+ Yii, x + Zfi des
angenommenen Punktes fUr ;, Q, j ein, so geht die Bedingung heiror:

S{X + X^du + X^dv) {Xv _ r^rf« - T^dv) = 0 .

Hierfür kann nach XI {H), XI {/) und (10), S. 106, geschrieben
werden:

fl + £du' + 2Mdudv + Ndv' = 0.
Daher:

Sats 29: Legt man darch einen Punkt, der auf der
Normalen des Flächenpunktes (u, v) liegt und von diesem
den mit Vorzeichen gemessenen unendlich kleinen Ab-
stand q hat, alle diejenigen Ebenen, die die Fläche unend-
lich nah beim Punkte (u, v) berühren, so besteht die Be-
rUhrungscurve aus den an die Gleichung:

Zdu' + 2Mdudv + Tfdv* = -1}
gebundenen Punkten (u + du, v + dv).
Also kommt nach Satz 28:

Sati 30: Die Ebenen, die eine Fläche längs der Indi-
catrix eines Flftchenpunktes P berühren, bilden einen
Kegel, dessen Spitze so liegt, dass der Funkt P selbst die
Strecke von der Spitze bis zur Indicatrixmitte im Ver-
hältnis 2:1 teilt

Anhangsweise erwähnen wir noch, dass aus dem Satze 27 folgt,
dasB jede Fläche zweiter Ordnung zwei Scharen von Geraden
enthält. Denn jede Ebene, also auch jede Tangentenebene schneidet
eine Fläche zweiter Ordnung in einem Kegelschnitt Da er nach
dem Satze 27 im Berührungspunkt einen Doppelpunkt haben muss,
zerfällt er in zwei Geraden. Durch jeden Punkt der Fläche gehen
demnach zwei Geraden, die der Fläche angehören. Nur wenn der
Punkt parabolisch ist, fallen die beiden Geraden zusammen. Wenn
dies überall auf der Fläche der Fall ist, so ist die Fläche nach
Satz 20, S. 132, abwickelbar. Aber eine abwickelbare Fläche wird
— wenn sie kein Kegel oder Cylinder ist — von jeder Normalen-

Pdr,yGOOgIe

144 Zweiter ÄbechnUt: Die Krümmung der Fläche.

ebene ihrer Gratlinie nach Satz 3, I S. 268, in einer Curre mit
Spitze geschnitten. Da die Fl&che Ton zweiter Ordnung sein soll,
80 gebt diea nur so au, dass diese Sclmittcurre eine doppelt
zählende Qerade ist, die Fläche also die der Tangenten einer
ebenen Curve und daher selbst eine Ebene ist Die Ebene ist
aber nnr, wenn sie doppelt aufgefasst wird, von zweiter Ordnung.
Alle anderen abwickelbaren FlElchen zweiter Ordnung sind mithin
£egel oder Cjrlinder.

Umgekehrt: Wenn eine Fläche zwei Scharen von Geraden
enthält, so beweist man in der analytischen Geometrie, dass sie von
zweiter Ordnung ist, indem man nämlich drei Gerade der einen
Schar beliebig annimmt und alle Geraden bestimmt, die diese drei
treffen. Hithin :

Sati 31 : Die nicht abwickelbaren Flächen zweiter
Ordnung sind die einzigen Flächen mit zwei verBchiedeneD
Scharen Yon je od* Geraden,

Auf dem einschaligen Hyperboloid und dem hyperboliachen
Paraboloid sind die beiden Scharen reell, auf dem zweischaligen
Hyperboloid, dem elliptischen Paraboloid und dem Ellipsoid imaginär.
Zum Ellipsoid gehört die Kugel, tod der wir schon wissen, dass
sie zwei Scharen von Minimalgeraden enthält (vgl, Satz 26, S. 64).

§ 6. Veranschaulichung der KrDmmunoen in einem Flftchenpunkto.

Will man sich ron den Erümmungsverhältnissen in einem
Flächenpnnkte eine Vorstellung machen, so kann man noch yet-
schiedene andere Wege einschlagen. Einige Arten der Verdent-
lichung seien hier erwähnt;

Die Betrachtangen des Torigen Paragraphen legen es uns nahe,
die Fläche in der Umgebung des Punktes P durch ein Paraboloid
za ersetzen, dessen Scheitel in P liegt und das in P dieselbe Indi-
catrix wie die Fläche hat Wenn wir nämlich das begleitende
Axenkreuz (|, \}, j) des Punktes P wie dort benutzen, sodass die
Indicatrix, die in einer der Taugentenebene unendlich benachbarten
Ebene j =- Gonst hegt, die Gleichung (vgl Satz 26, S. 139):

(" I- + I--2«

hat, so brauchen wir nur die Beschränkung, dass j unendlich klein
sein soll, aufzuheben, lun in (1) die Gleichung des Paraboloids vor
uns zu haben. Berücksichtigen wir den Satz 1, S. 105, so folgt:

),g.,zedr,yGOOgIe

§ 6. Veratuchautiekung dar Srümmungen in einem FlädanpunkU. 145

Satt 32: Sind ß^ and B^ die Hau ptkrUmmtingsra dien
eines Flftchenponktes P und constraiert man daa Para-
boloid mit der Oleichang:

B, ^ B, '■

das aaf dasjenige Goordinatensystem bezogen ist, dessen
f> nnd ^-Äxe mit den Hauptkrümmangstangenten von P
zasameufallen, während die j-Aze die positive Normale
Ton P ist, so bestebt zwischen der Fläche and dem sie mit
seinem Scheitel in P berührenden Paraboloid folgende Be-
ziehang: Wird in P irgend eine Tangente an die Fläche
and durch diese Tangente irgend eine Ebene gelegt und
coDstruiert man auf der Fläche und auf dem Paraboloid
je eine Curve, die durch P geht, dort jene Tangente und
die Ebene znr SchmiegungsebeDe bat, so haben beide
Gurren in P auch denselben Erümmtingskreis, anders aus-
gesprochen: Sie berühren einander in zweiter Ordnung.

Man vergleiche hierzu Satz 16, I 8. 190, und Satz 15, I S. 28.
Mit BQcksicbt auf die Bemerkung in I S. 171 oben nennen wir
dies Paraboloid das osculierende Paraboloid des Flächen« '
Punktes P.^ (Vgl. auch 9. 203.)

Der Sat2 32 kann weniger exact, aber kurzer so ausgesprochen
werden :

Batx 33: In Hinsicht auf die Krümmung der Flächen-
curven in einem Punkte P kann man die Fläche durch ein
gewisses Paraboloid ersetzen, das die Fläche mit seinem
Scheitel in P berührt.

Oder auch:

Sats 34: Hinsichtlich der Krümmung der Flächencurven
bat der Scheitel eines allgemeinen Paraboloids den Cha-
rakter eines allgemeinen Fläcbenpunktes.

Ist P elliptisch oder hyperbolisch, so gilt dasselbe von dem
osculierenden Paraboloid. Ist insbesondere P ein Nabelpunkt (S. 1 19],
80 ergiebt sich ein Rotationspaxaboloid. Ist P parabolisch, z. B.
1 :^j = 0. so artet das Paraboloid in einen parabolischen Cjlinder

' Dies osculierende Paraboloid kommt schon bei Edlbb in seinen er-
«Shnten „Recbeichee" vor. Siehe die AnmerkuDg m S. 118.

.n. DUft. n. 10

.dr,yGoogIe

U6

ZwKÜa- Abscimiä: Die Krümmung der FlädtA.

Eine andere Art der VeraDschaaUchting besteht d&rin, dass
man die tod den ErQmmangakreisen der Normalachnitte
des Fl&chenpanktes P gebildete
Fläcbfl constniiert Ihre Gleicbnngen sind
leicht aofzuetellen, denn in der Normal-
schnittebene, die mit der ersten H&apt-
krUnunnngetaDgente den Winkel 9} bildet,
liegt der ErOmmnngskreis mit dem £adins
S, der nach (7), S. 1S4, darch

(2)

Fig. *»• bestimmt wird. {Siehe Fig. 49.) Ist y der

Winkel, den der Badins eines Fnnktes Q
dieses Kreises mit dem Badias des Punktes P bildet, so hat Q die
Coordinaten:

; = J7 sin y cos 91 ,
Hierin ist der Wert

\^ = Rän^psmq), g— ^(1 — cos ip) .

Ä =

1* ^ + flj coe' V

(8)

9 =

einzusetzen. Also sind, geschrieben mittels der beiden Parameter tp
und tfj:

_^ A, £, sin v coB tp

~ ~ " (0 + Ä, CO8* V '

A, ü^ Bin ^ ein 9)
Ä, Hn'fi + ^icoa'qg '
^ i;,fi,(l-c<»y)

die Gleichnngen der gesachten Fläche. Die Fläche ist in der Form
/'({, 9, j) = 0 durch eine algebraische Gtleichnng ansdrückbar.
Statt diese Gleichung durch Elimination von qn und ifi aus (3) ab-
zuleiten, ändet man sie bequemer so: Der Ereis mit dem Badius S
liegt in der Ebene

und auf der Kugel

E' + 9' + i' = 2Äi.

Ans der ersten Öleichung und aus (2) folgt aber:

Pdr,yGOOgIe

§ 6. VenmecfuaUiohung der KHimmiungen in einem Flächenpunläe. 147

sodass die SnbBtitntion dieses Wertes in die Oleichnng der Engel
giebt:

(4) (e' + 9' + i')(i- + -£-)- 2i{E» + 9») .

(E' + 9' + i")(t + i)

Die Krümmangskreise der NonnaUchnitte eines Flächenpunktes
bilden somit eine Fläche vierter Ordnang. Je nachdem der
Paukt elliptisch, parabolisch oder hTperboliech ist, hat diese Fläche
weeenÜich yerschiedenes Auesehen. G&nzUch im Sndlicben liegt sie
niir im Fall eines elliptischen I^nktes. Für diesen Fall ist sie
unter der Annahme B^ = 2Jt^ in den beiden Figuren 50 und 51

Fig. 60.

Fig. 61.

in zwei verechiedenen Stellungen wiedei^egeben. Längs eines Teiles
der Flächennormale dorchneidet sie sich selbst

Eine andere Fläche, die zur Veranschaulichung der Lage aller
oo* Erümmungskreise aller normalen und schiefen Schnitte durch
den Flächenponkt P dienen kann, hat den Vorzug, für die drei
Fälle des elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Punktes
stets dieselbe Gestalt zu haben. Nur ihre Grösse und Lage ist ver-
änderlich. Man erhält sie so:

Auf S. 105 erkannten wir: Legen wir dnrch einen Punkt P
der Fläche eine Tangente t und constmieren wir Flächencurren
dnrch P mit dieser Tangente, so kann man jedesmal auf der be-
treffenden durch P gehenden Hanptnormale die Krümmung auf-
tragen; der Ort der Endpunkte ist eine zur Tangente t windschiefe,

.dr,yGoogIe

148

Zweiter AhKknitt: Dia Krümmung der Fiäehe,

aber senkrechte Gerade g. Lassen vir die Tangente t sich nm ¥
in der TaDgeatenebene drehen, so gehen oo ' Geraden g hertor.
Die gesuchte Fläche ist die ron ihnen gebildete geradlinige Fläche.
Benutzen wir wieder dae Azenkreuz (;, ^, j) und fassen »ir
die Tangente t des Punktes P ins Äuge, die mit der f-Äxe den
Winkel cp bildet, so ist die zugehörige Gerade C| diejenige, die den
Winkel <f + ^ mit der ^-Axe bildet, der ^^-Ebene parallel läafi
und die J-Äxe im Funkte O mit der Äbscisse

schneidet. Also sind:
(6) j»— (siny.

ß.

die Gleichungen dieser Geraden, ausgedrückt mittels des Para-
meters L Geben wir ip und t alle mSglichen Werte, so sind dies
zugleich die Gleichungen der geradlinigen Fläche, ausgedruckt mittele
der Parameter tp und t Wir können sie auch so schreiben:

(6) s=-(8inq., 9 = *cosy, i_|(i + ^) + |( ' _-^]cos2?.

Wegen der Bedeutung

winkligen Coordinatensystems (|, 17).
hat nun die Gleichungen:

sehen wir: Geben wir t einen b^
stimmten Wert, während y be-
liebig bleibt, so erhalten vrir
die Schnittcurve der Fläche
mit demjenigen IlotationscyliD>
der um die j-Axe, dessen Rf|-
dius gleich ( ist. Diesen Cr-
linder wickeln wir, um die
Natur der Schnittcurve zu er-
kennen, auf diejenige Ebene E
ab, die ihn längs der Gerades
in der Ebene 5 = 9 beröhrt
(Siehe Fig. 52.) In dieser
Ebene sei eben diese Gersde
die »j-Axe und die Tangente
des in der ^^-Ebene gelegenen
Kreises die |-Axe eines recht-
Die abgewickelte Schnittcorte

+ *i:-

] C0B3f>.

Pdr,yGOOgIe

oder, wenn

§ 6. Va-anaehauUekwtg der I&ümmuT^en in einem FUüAe^»mki6. 149

Wird der Badius t des Cj'linders gerade gleich

j 1^

gewählt, so kommt:

). ''-t(Jr + ^7)+i(ir-i)°"''''

2».+ J-»
gesetzt wird:

Diese Cnrre entsteht aus der Sianslinie (vgl I S. 34):

^ = tu , q = da o>
durch Vergrösserung im Maaasstab

nnd durch Schiebung längs der q-Axe um die Strecke

Die Periode der Sinaslime geht von o] = 0 bis a> = 2n, die Periode
der abgewickelten Curre hat also die Länge

d. h. sie ist halb so gross als der Cylinderumfang. Daraus erhellt
oach I S. 195, 196, dass die geradlinige Fläche (6) ein Gylindroid
ist (Siehe Fig. 53, S. 150.) Somit:'

Sati 35: Zieht man durch einen Flächenpunkt P be-
liebige Cnrven auf der Fläche und trägt man auf ihren
durch P gehenden Hanptnormalen von P aus jedesmal die
— mit Vorzeichen versehene — Krümmung der betreffen-
den Curve in P als Strecke auf, so ist der Ort der End-
punkte dieser Strecken ein Cylindroid.

* 1d etwas ODderer Fassoug findet man diesen Satz in SAuioN-PiBi>u»'a
.,AnaljtiBcher Qeometrie dea Banmes, II. Teil", 3. Aufl., Leipzig 1880,

S. 560.

Pdr,yGOOgIe

ISO Zumäer Absehlitt: Die Krümmung der Fläche.

Die Cylindroide sind alle einander ähnlic}]. Ihre Grösse b&ngt
nur TOD dem Radius

desjenigen Cylinders ab, auf den zwei Perioden einer der Sinns-
linie äbnlicbea Cnrve aufgewickelt werden. Das GjUndroid hat die

Fig. 53.

Flächennonnale zur Axe. Seine Mitte bilden die Greradeu, die (6)
ftlr den Wert >f™±~ darstellt, also die Geraden, die in der
Höbe

(vgl (23) auf S. 118) Über der Tangentenebane liegen. Die Tangent£C-
ebene schneidet das Cylindroid in den Hanpttaugenten tod P,
was geometrisch leicht erhellt und auch daraus folgt, dass der Wert
Ton j in (6) für

tg 7> = ± ]/ - || oder cos 2(f> = f^''^^'^

gleich Null wird (ygl. (8) aaf S. 135).

Wenn das Cylindroid die Tangentenebene nicht schneidet, so
ist der Flächenpunkt elliptisch, berührt es diese Ebene, so iat er
parabolisch, schneidet es diese Ebene, so ist er hyperbohsch.

Pdr,yGOOgIe

§ 7. Conjvffierie Rieihiungen.

§ 7. CM^ugierte RtcMungMi.

Wir haben in Satz 7, S. 26, festgestellt, d&SB eine Fläche durch
die Gesamtheit ihrer Tangentenebeneo vSllig definiert werden kann.
Wir Bähen, dass eine nicht abwickelbare Fläche oo* Tangenten-
ebenen hat, während eine abwickelbare nar oo ' hat Dem steht
gegen&ber, dass eine Schar von oo* Punkten eine Fläche, eine Schar
Ton nor oo' aber eine Gurre erzeugt. Da der Baum insgesamt
00^ Funkte und qo^ Ebenen enthält, so giebt es ansserdem keine
Gebilde, die von stetigen Scharen von Funkten oder Ebenen erzeugt
werden.

In gewissem Sinne also stehen den Punkten einer Fläche die
Tangenteoebenen der Fl£che gleichwertig gegenüber. Fasst man
die Flächen als S^eugnisae ihrer Punkte avi, so haben die Gurren
— anfge&sat als degenerierte Flächen — eine Ausnahmestellung.
Fasat man die Flächen dagegen als Erzeugnisse ihrer Tangenten-
ebenen au^ Bo haben die abwickelbaren Flächen eine Ausnahmestellung.

Wir wollen hier nicht weiter auf diese doppelte ÄnfEasenng
eingehen und nur das eine Ei^bnis daraus zur Bichtschnur für
die folgenden Betrachtungen ziehen: Um die Natur einer Stelle auf
einer Fläche zu untersuchen, können wir — statt wie bisher die
Paukte der E^^che, die einem bestimmten Punkt unendlich benach-
bart sind — auch die Tangentenebenen der Fläche, die einer be-
stimmten Tangentenebene unendlich benachbart sind, ins Auge fassen.

Dies soll im geguiwärügen Paragraphen gestdteheu.

Es sei P ein Flächeupunkt und Sß seine Tangentenebene. Eine
anendlich benachbarte Tangentenebene iQ wird die Fläche in einem
Punkte Q berühren, der dem Punkte P unendlich benachbart ist.
Fragen wir nns nnn, wie diese beiden Tangentenebenen $ und O
gegen einander liegen, so haben wir erstens ihre Schnittgerade und
zweitens ihren unendlich kleinen Winkel za bestimmen.

Was die Schnittgerade anbetrifft, so kann man bei flüchtiger
Überlegung leicht zu einer ganz falschen Auffassung kommen: Da
nämlich die Tangentenebene von P die zu P nnendhch benach-
barten Flächenponkte, mithin auch den Funkt Q enthält, umgekehrt
also auch die Tangentenebene von Q den Punkt P, so schliesst man,
dags PQ die Schnittgwade sei. Aber dies ist falsch. Ein ein-
bches Beispiel zeigt es denthch: Auf einem BotatioDscjUnder wählen
wir zwei zunächst endlich entfernte Pankte P and Q auf einem Ereis.
Ihre Tangentenebenen sind parallel zur Aze des GjUnders und

Pdr,yGOOgIe

152 Zweiter Abacknüt: Die l^ümmung der Fläche.

schneiden einander daher auch in einer Parallelen zur Äxe, und
dies gilt, wie nahe anch P and Q einander rQcken mögen, w&hrend
doch die Gerade PQ die Axe senkrecht kreuzt

Der Fehler in der obigen Überlegung liegt darin, dass der
Punkt Q thatsächlich nicht in der Ebene $ liegt, sondern von ihr
einen Abstand bat, der von höherer Ordnung anendlicb klein ist,
wenn die Strecke PQ als anendlich klein Ton erster Ordnung auf-
gefasst wird. Ebenso hat P von der Ebene O einen unendlich
kleinen Abstand von höherer Ordnung, während die Tangenten-
ebenen $ und D einen von erster Ordnung unendlich kleinen Winkel
mit einander bilden. Vergrössem wir die Figur so weit, dass die
unendlich kleine Strecke PQ endlich wird, so
bleibt der Winkel der Ebenen immer noch
unendlich klein von erster Ordnung, während
P von D und Q von 5ß ebenfalls je einen un-
endlich kleinen Abstand von erster Ordnong
hat. Man erkennt aber: Da der Winkel nn-
^- ^*- endlich klein ist, so sind diese beiden letz-

teren Abstände unendlich klein, wo auch P
in ^ und Q in Q liegen mag, und so erhellt aus der vergrösserten
Fig. 54, dass die Gerade PQ durchaus nicht die fiichtung der
Schnittgeraden beider Ebenen zu haben braucht

Nun soll die Schnittgerade zweier unendlich benachbarter Tan-
gentenebenen analytisch bestimmt werden:

Ein Punkt P oder (u, w) oder (x, y, z) hat, wenn X, Y, Z die
Bichtungscosinus seiner Normalen sind, die Tangentenebene in den
laufenden Goordinaten ;, q, j:
(1) Xte - i:) -^-{9 - y) -f / (j - z) = 0 .

Ziehen wir irgend eine Curve auf der Fläche, d. h. nehmen vrir v
als Function von u an, nach S. 11, so können wir längs der Ourve
in jedem Punkte (k, ») die Tangentenefoene construieren, und in den
Goef&cient«n ihrer Gleichung (1] tritt dann nur der eine Para-
meter u auf. Nach Satz 15^ I 8. 293, umhüllen diese oo' Ebenen
eine abwickelbare Fläche. Auf ihr ist die durch den Punkt (w, p)
gehende Erzeugende die Schnittgerade der Tangentcuebene dieses
Punktes mit der Tangentenebene des unendlich benachbarten Gurven-
Punktes (tt ■\- du, u -(- dv). Sie ist nach Satz 14, I S. 292, durch
die Gleichung (1) und die aus (1) durch totale Differentiation nach u
hervorgehende Gleichung dargestellt Dadurch ei^ebt sich aber
die Gleichung;

Pdr,yGOOgIe

§ 7. Conjugierte Biekiungen.

oder nach XI (/) einfacher:

(2) S(^ + i.-U)(J_»)-0.

Die Gleichungen (1) und (2) stellen also zusammen die Schnitt
gerade der Tangenteiiebene des Punktes (u, t>) mit der Tangenten-
ebene des Punktes (v + du, v + dv) dar. Sie geht durch den Punkt
(u,v) oder (z, y, z) selbst (Streng genommen freilich geht sie un-
endlich nah an ihm vorbei, was abei* bei der Aufstellung der
endlichen Oleichungen der Geraden nicht in Betracht kommt) E^
mögen n und v beim Fortschreiten auf der Schnittgeradeo Incre-
mente 3u und Sv erfahren. Alsdann müssen die Werte

l = X + x^Su + x^Sv
u. s. w. beide Gleichungen (I) und (2) erf&Uen. Die erste Gleichung
wird wegen XI (/) identiach- erfOllt, während die zweite liefert:

Multiplicieren wir dies aus, so ergiebt sich nach (10), S. 106:

oder, wenn dv:du = k und 9v:3u = x gesetzt wird:
[3) L + M{h + «) + JVAx = 0.

Also haben wir den

Sats 36: Die Tangentenebene eines Flächenpunktes (u, k)
schneidet die Tangentenebene des in der Richtung (A = (fv:</u)
unendlich nah gelegenen Punktes der Fläche in einer Ge-
raden, deren Sichtung {x=Sv:Sit) durch die Formel

L + M{k + x) + likx = (i
bestimmt wird.

Man bemerkt sofort, dass die Formel (3) symmetrisch in k
und X ist Die Beziehung zwischen beiden Richtungen (A) und (x)
ist also vollkommen wechselseitig.

Die Formel (3) wird im allgemeinen för verschiedene Werte
von k verschiedene Werte von x geben. Dies ist nur dann nicht
der Fall, wenn ihre linke Seite das Product zweier linearer Aus-
drttcke ist von der Form:

{a + ßk){a + ßx),

Pdr,yGOOgIe

Zweiter Absehmtf: Die Krvmmiung der Fläche.

denn dann gehört zu jedem Werte k immer derselbe Wert x ■> ^ a-.ß.
Dieser Ausnahmefall tritt ein, wenn

L:M:N -a':aß:ß*
oder also

ist, d. h. nach Satz 19, 8. 132, fa.T die abwickelbaren Flächen.
Dies ist nicht überraschend, denn eine abwickelbare Fläche hat jt
nur CO ' Tangentenebenen, nnd je zwei anendlich benachbarte
schneiden sich in einer Erzeugenden. Wenn also P auf einer ab-
wickelbaren Fläche nach irgend einer Sichtung fortschreitet mid
nicht gerade in der durch P gehenden Erzeugenden bleibt, so wird
die neue Tangentenebene die alte längs der Eizeagenden Ton P
schneiden.

Da wir bei unseren Betrachtungen die Bichtungscosinns X, T,Z
der Normalen gebraucht haben, so haben wir von Tomherein die
Tangententlächen der MinimsJcurren (siebe S. 28, 29) ausgeschlossen.
Weil aber diese Flächen auch zn den abwickelbaren gehören, so ist
der folgende Satz allgemein richtig:

Sati 87: Auf einer nicht-abwickelbaren Fläche ist jeder
Fortschreitungsrichtnng Ton einem Punkte P der Fläche
aus eine zweite Fortscbreitungsricbtung, und zwar wechsel-
seitig, zugeordnet derart, dass sich die Tangentenebeoe
des Punktes P um die eine Richtung dreht, -wenn der Punkt
die andere Bichtung einschlägt

Diese Paare [k), (x) von Achtungen heissen conjugierte Rich-
tungen und ihre zugehörigen Tangenten conjugierte Tangenten,
und zwar deshalb, weil zu ihnen conjugierte Durchmesser der Indi-
catrix des Flächenpunktes P gehören.* In der That, wenn wir
das begleitende Axenkreuz von P (Tgl. S. 133) nnd die Grössen j, ?
als Parameter benutzen, sodass

zu setzen ist, so tritt an die Stelle von (3):

W i + ^-O'

¥gL (8) und (6) auf S. 134./ Aber conjugierte Durchmesser der
Indicatrix:

.■ + ir-2i.

' Nach Dnpn, Biehe die Anm. anf S. 127.

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 7. Gonjvgwiß lüchlungen.

TgL (10) aaf 3. 138, bildsn mit der ersten Äz« des KegeUcbnittes
solche Winkel a uod ß, fUr die

(5) • +^-«^ = 0

ist. Nun sind k und x auf der andern Seite gerade die Tangenten
derjenigen Winkel, die tod den Richtnngen (k) und {«) mit dieser
Axe gebildet werden. Die Tergleicbong ron (4) mit (5) lehrt also:

8ati 38: Die conjugierten Durcbmesserpaare der Indi-
catriz eines Flächeopunktes P sind parallel zu solchen
Fortschreitnogsrichtangen von dem Punkte P aus, von
denen die eine die Drehgerade der Tangentenebene ist,
sobald der Berührungspunkt von P ans die andere Rich-
tung einachl&gt

Die Formel (3) soll noch — indem wir wieder zu den Para-
metern u, V zurückkehren und abo k = dv.du, x = Sv.Su setzen
— in dem Satze festgehalten werden:

Satz 39: £b ist

LduSu + M{duSv -\-dv8u) + NdvSv = Q

die Bedingung dafür, dass zwei Fortschreitungsrichtungen
(dv.du) und {öv.Sv) auf der Fläche zu einander conjn-
giert sind.

Will man sieli den Zmammeahuig zwiscben den coDJu^erten Fort-
schreitnogsrichtangen nnd den conjagierten Durchmessern der Indtcatrii geo-
metrisch verständlich machen, so kftnn man
so verfabreD: Die Tangentenebene von P

ist der Ebene der Indieatrix parallel, siehe "=3^111^^^^^=-^

Fig. 55. Wird nun «n zu P unendlich be- _^

nachharter Punkt Q iigendwo auf der Indi- c;^^_V .. .V -j| ,_— V ''y \

catrii gewählt, so enthält seine Tangenten- « ""'^ m — "^ \

ebene die Tangente t der Indicatriz. Da t \ ; *\ i

der erateren Ebene parallel iat, eo schneiden ^~\

die beiden Ebenen einander in einer Par-
allelen zu t. Aber beim Kegelschnitt ist be-
kanntlich der zam Durchmesser des Punktes ^'K- ''^-
Q conjngierte Durchmesser parallel der Tan-
gente t von Q. Also ist auch die Schnittgerade beider Tangentenebenen diesem
conjugierten Durchmesser parallel.

Den Inhalt der Formel (5) wollen wir noch in dem Satze aus-
sprechen:

Bati 40: Zwei Fortschreitungsrichtnngen ron einem
Flächenpnnkte P aus, die mit der ersten Hauptkrüm-

Pdr,yGOOgIe

156 Zweiter Äbtehmtf: Die Krümmung der Fläche.

mangsrichtang von P die Wickel a and ß bilden, sind
dann and nur dann conjugiert, wenn

tg«tg/3_-|-

ist, wobei i?, und Jf^ die Hauptkrammungsradien von P
bedeuten.

Nach Satz 11, 8. 33, ist:

■ S-i-F{k + x)+ Gkx~0

die Bedingimg dafUr, dass die beiden Richtungen {k = dv.du) und
{^ = Sv:Sti) auf einander senkrecht stehen, während wir oben die
Formel:

als Bedingung fOr conjugierte Sichtungen erhalten haben. Sind
beide Bedingungen erfUllt, so sind die zugehörigen Durchmesser der
Indicatrix die Hauptasen und die Richtungen {h) und (x) also die
Hauptkrümmungsrichtungen. Hiermit sind die beiden Formeln (17)
auf S. 1 1 7 geometrisch gedeutet . Also :

Satz 41: Die HauptkrUmmungsrichtungen einesFlächen'
pnnktes sind die gleichzeitig zu einander senkrechten uii<l
zu einander conjugierten Fortschreitungsricbtungen des
Punktes.

Bekanntlich sind die Asymptoten eines Kegelschnittes die za
sich selbst conjugierten Durchmesser. Sie ergeben sich hier durch
die Annahme k = }t. Also ist

die Bedingung für die Richtung {k) einer Asymptote der Indicatris
oder, was dasselbe ist, einer Haupttangente (vgl. (2) auf S. 127).
Also:

Satz 42: Die Haupttangenten eines Flächenpunktes sin<l
diejenigen Tangenten, von denen jede zu sich selbst con-
jugiert ist.

Mithin auch:

Satz 43: Nur dann dreht sich die Tangentenebene eines
Flächenpunktes um die Fortschreitungsrichtung des Punk-
tes, wenn diese Richtung die einer Haupttangente ist

Ist ein Flächenpunkt ein Nabelpnnkt (S. 110), so ist die In-
dicatrix ein Kreis und die Bedingung ftkr das Conjugiertsein iden-

Pdr,yGOOgIe

ConjugUrU moktangen. 157

tisch mit der für daa Orthogonaleein. Destialb ist auf der Kagel
(vgl. Satz 6, S. 112) jede Tangente zu der zu ihr Benkrecbten Tan-
gente desselben Punktes conjugiert

Da die Asymptoten eines Kegelschnittes jedes conjugierte Dnrcb-
messerpaar harmonisch trennen, so ergiebt sich bei der Anwendung
auf die Indicatrix ein ä&chentheoretischer Satz, den wir aber direct
beweisen wollen:

£s seien i~^ und \ die zu den Haupttangenten von P gehörigen
Werte von dv.du, sodass
(6) L + 2MX + ^A» = 0 (für A = ij oder Ä,)

ist. Ferner seien [k) und {«) zwei Richtungen, die von den Haupt-
tangenten harmonisch getrennt werden. Nach Satz 46, S. 92, ist
alsdaon das Doppelverbältnis :

('gl

. I S. 332)

oder

t^^^ = -

\K

-ift +«(* + ») + '«■

-0

Da

aber nach

(8)

ist,
wie

HO kommt;

i + «■(i^-«) + ^J«-o

in (3). Somit:

N

Satz 44: Conjugierte Tangenten eines Fläcbenpunktes
sind solche, die von den Hanpttangeuten des Punktes har-
monisch getrennt werden.

Wir' sprachen oben Ton den conjugierten Tangenten für den
Fall einer abwickelbaren Fläche. Wir können nun eine beliebige
Curre c auf einer nicht- abwickelbaren Fläche zu einer abwickel-
baren, wie auf S. 152 geschah, in Beziehung bringen, da die Tan-
gent«nebenen längs c eine abwickelbare Fläche umhUUen. In jedem
Punkte Ton c ist die Tangente von c sowohl auf dieser FUlche wie
auf der nicht* abwickelbaren zur Erzeugenden der abwickelbaren
Fläche, die ja auch Tangente ist, conjugiert Daher:

Sati 45: Coustruiert man diejenige abwickelbare Fläche,
die eine gegebene Fläche längs einer Curve c berttbrt, so
ist in jedem Punkte von c die Tangente von c zur hin-
durchgehenden Erzeugenden der abwickelbaren Fläche
conjugiert.

Pdr,yGOOgIe

168 Zweiter Abtehmü: Die Krümmung der Flachs.

Wird eine Fläche durch eine solche Lichtquelle, die aIs ein
Punkt L aufgefasst werden kann, beleuchtet, bo ist die Schatten-
grenze auf der Fläche die Cuire, in der die Fläche von dem-
jenigen Tangentialkegel berührt wird, desaen Spitze X ist Die
Tangenten der Schattengrenze sind daher nach uneerem Satze con-
jngiert zu den jeweiligen tangierenden Lichtstrahlen. —

Es erübrigt nun, die oben angekflndigte zweite Aufgabe zu be-
handeln, nämlich den unendlich kleinen Winkel zweier unendlich
benachbarter Tangentenebenen zn bestimmen. Dieser Winkel ist
derselbe wie der zweier unendlich naher Fl&<^ennomialen ; und
diesen untersuchen wir im nächsten Paragraphen.

§ 8. Unendlich benachbarte Normalen.

Um die geometrische Natur einer Stelle aaf einer Fläche noch
weiter zu erforschen, betrachten wir jetzt die Lagerung der nnend-
lich vielen Normalen der Fläche, die einer Normalen unendlich be-
nachbart Bind.* Dabei brauchen wir die Richtungscosinus X, ¥, Z
der Normalen und ihre Änderungen bei unendlich kleinen Än-
derungen der Parameter u, v, d. h. also ihre partiellen Differential-
qaotienten nach u und v.

Nach XI (fl) ist:

Nach (10), S. 106, ist ausserdem:

%x^X^ M.

Dies sind drei in X^, Y^, Z^ lineare Gleichungen, deren Detei^
minante nach XI (£} den Wert H bat^ Hithin giebt ihre Auflösung
mit Bückeicht auf XI (AT):»

' Die BeiiehuDgea zwiachen den Winkeln anendliofa benachbtuter FlSchen-
normalen worden von Bbbtkahd zuerst genftuer nnterencht'. „Memoire enr
la th6orie des surfaces", Jonmat de Hathäm. pures et «ppl-, 1. eine,
t. IX (1844), aneh Comptes Rendua t XVII (184S).

* Diese Formeln finden sich implicite bei WaiNaAiTEK, „Ober eine
Classe anf einander abwickelbarer FUchen", Journ. f. d. reine n.
angen. Math. 59. Bd. (1881), während sie för specielle Parametercnrven schon
früher TOrkommen.

Pdr,yGOOgIe

§ 8. IMeitdtieh benachbarte Normalen.

(1)

Ebenso lassen sich X^, ¥^, Z^ berechnen. Bequemer finden vir sie
aber ans (1), wenn wir u mit v, E mit G und L mit iV vertauschen:

(2)

Wir leiten hieraos sogleich noch einige nachher nfltzliche
Formek ab. Aus (1) und XI {Ä) folgt:

%X,' - ^\l,FM-OLfI+'HFM-OL)[FL-MM)r+{FJ,-MM)'(f].

Moltiplicieren wir alles aus, so heben sich mehrere Glieder, und
es bleibt:

oder:

(3) 8V =

Analog kommt nach (2)

(4) SX,' =

E^e ähulictie Bechnnng liefert nach (t) niid (2):
... evv 01M+ EMN- FM'- FLN

aV-2FLM+ BSP

EN*-2FMN Jf OL*

Mit fiückaicht auf die Werte too H and K in Satz 11, S. 119,

können vir kürzer schreiben:

(6) %X^ = HL-KE, ZS^X, = HM-KF, ZX*='B2i-KG,

Die Normale des Flächenpunktes F oder (z, y, z) oder (u, o)
bat in den laufenden Coordinaten £, q, j die Qleichungen:
{') s = jr + X(, 9=y+7(, j = « + /(,

ansgedrQckt mittels eines Parameters t, der den (mit Vorseichen

]H,zedr,yGOOgIe

160 Zweiter Abschnitt: Du Krümmung der Fläche.

verBehenen) Abstand de3 Panktes (f, Q, j) der Normalen von ibram
FiiBspnnkt {x, y, z) bedeutet Analoge Bedeatnng hat der Para-
meter T in den Gleichungen i

% = x + dx-\-{X+dX)r,
Xi^y + dy-\-{Y+dT)T,

i = z + dz + {Z + dZ)T

der Normalen eines dem Punkte P oder {x, y, z) unendlich benach-
barten Punktes Q, oder (x + dx, y + dy, z + dz) der Fläche. Die
zu Q gehörigen Flächenp&rameter seien u + du, o + dv.

Im allgemeinen werden die beiden Normalen (7)
und (8) — wie Qberhanpt zwei unendlich benachbarte
Geraden, vgl I S. 270 bis 272, — einander nicht
schneiden, sodass es ein Problem ist, ihren kürze-
sten Abstand AS zu bestimmen. (Siehe Fig. 56.)
Es fragt sich, welchen Parameterwert t bez. t der
durch (7) bez. (8) dargestellten Punkt hat, wenn er
einer der Endpunkte A bez. B dieses Abstandea ist Da
der Abstand zu den Normalen senkrecht ist, liegt er
in der Ebene, die in dem Punkt A auf der ersten
Normalen senkrecht steht und deren Gleichung in
den laufenden Coordinaten ;, q, j so lautet:
X(x-x)+r(l^-y) + Za-z)~t.

Setzen wir hierin die Werte (8) ein, so ergiebt sich
für den Punkt B auf der zweiten Normalen die Be-
Fig. ö6. dingung

SXdx + SX[X + dX)T = t.

Wegen XI {B) und XI (I) kommt hieraus: r = t.

Die beiden Endpunkte A und B des gesuchten kUrzeeten Ab-
standes gehören also zu einem und demselben, aber noch unbekannten
Werte n von ( und r. Dieser Wert muss so beschaffen sein, dass
die Verbindende der beiden Punkte A und B oder (7) und (8) auch
auf der zweiten Normalen senkrecht steht Da diese Normale die
Bichtnngscosinus X + dX, ¥ + d¥, Z + dZ hat, dagegen die Rich-
tungacosinus der Geraden A B den Differenzen entsprechender Co-
ordinaten (7) und (8) für t = t =^ n proportional sind, so ist zc
fordern :

Z{X -]r dX){dx + dX ■ n) = ^ .

Pdr,yGOOgIe

§ 8. UtundHek henachbtarU Normalen.

Wegen XI {B) and XI (/) rednciert «oIi diese Bedingong auf:

aad giebt:

W " wn^

Hierin ist der Zähler:

= ZX^x^du* + {8^-r, + ZX^x^dudv +%i:^x^dv*
oder nach (10), S. 106:

(10) ^dXdx = -{Ldv} + 2Mdudv + Ndv'}.
Femer hat der Nenner, nämlich:

idX*=T.S{X^du + X^dv)'-SXJdu* + 2SX^X^dudv + SX^'dv^,
nach (6) den Wert:

(11) SdX'^ff(Ldu'+2Md«dv + Näv*)-£{Edii'+2Fdudv+Gdv*),
aodaas (9) giebt;

[ i] n- jj2,rfi«* + iUdudv + Ndv*)-K{Bdu' + SFdudp + Ödv*i '

Dies ist also der Abstand J*A fUr de^jemgen Punkt A, iu d«m der
kürzeste Abstand der Normalen des Punktes P oder (u, v) von der
Nonnalen des Punktes Q oder (a + du, v + dv) beginnt

Ferner bezeichne dv den unendlich kleinoi Winkel, den beide
Nonnalen mit einander bilden. Nach (17), I S. 182, ist, da X, Y, Z
die Bichtangscosinus der einen und X+ dX, Y+ dT, Z+ dZ die
der anderen Normalen sind:
(13) dv*^SdX*,

also nach (11):
(U) dv* = S(Zdu*+ 2Afdudv + JVdv') - K{Edu*+ 2Fdudv + Odv^.

Da

dt*— £du' + 2Pdudtt+ Gdv*

das Quadrat des Bogenelemeotes PQ ist, so folgt ans (14):

(15) L du* + 2Mdu dv + ^rfr» = dv^' + Ed»''

und also nach (12):

Qeom. Din. II. 11

D,gnzedr,yGOOgIe

162 Zweiter Abtekmü: Die Srümmung der Fläche.

Endlich aeä noch cfn' dieL&oge dea kürzesten Äbstandea AB beider
Normalen. Da die Gbössea {7) fdr ^ = n die Coordinaton von A
und die G^rÖBsen (8) ftkr z = n die Goordinaten von B sind, 80 ist:
(17) dn* = S[dx + dX-nf = Sdx* + 2nSdxdX + n*SdX^.
Naot (10), (13), (15) and (16) folgt hieraus:

oder auch:

(19) drt' + n'dv'^dt'.

Zum beBseren Verständnis möge die Fig. 57 dienen, in der I'A
die eine und QB die andere Normale bedeuten soll, also die
Strecke PQ und ebenso der Winkel von PA und Q B
als unendlich klein aufzufassen ist Zieht man durch
B die Parallele BC zu AP und macht sie gleich AP,
so steht PC\AB auf PA and (^B und deshalb auch
auf der Ebene (^BC senkrecht. Das Dreieck PQ,C
hat also in C einen rechton Winkel, sodass:
PCS + CQ» = PQ»

ist Da CQ die Projection von PQ auf die Ebene
<IBC ist and 4=-^$-^ i^tir <iii> anendlich wenig von
einem rechten Winkel abweicht, weil ^B die Normale
von Q ist, Bo weicht auch -^CQ£ nor unendlich wenig
von einem rechten ab. Weil ferner -^QÄC=rf»
und CB = PA s: tt ist, so ist also — abgesehen von
unendlich kleinen GHedem höherer Ordnung:
Fig. 57.
* Cq = ndp.

Ausserdem ist PC = AB = dv. und PQ = di. Setzen wir diese
Werte in die obige Gleichung ein, so geht wieder die Formel (19)
hervor.

Die ItichtungscoBinus des kürzesten Äbstandes AB sind nach
S. 160 proportional

dx + ndX, dy + ndY, dz + ndZ.

PC ist die zu dem kürzesten Abstand AB parallele Fortachreitunga-
richtung aaf der Fläche. Längs ihrer mögen u and v um Su und
Sv wachsen. Dann mUssen die eben angegebenen GrOssen den drei
anderen :

x^Su + x^Sv, }/^Su -\- y^iSv, z^Su + z^Sv

Pdr,yGOOgIe

§ 8, Vnmdiich benaehbarU Normalen. 16S

proportional aein. "Ea giebt also einen Factor q (tc, v) derart, dass:

x^Su + xjv = Q\{x^-if nX^du -^ {x^-\- nX^dv\,

z^bu + z^Sv = q[{z^ + nZ^du + (z, + nZ^ dv]

ist Multiplicieren vir die drei Gleichnngen mit X, Y, Z und ad-
dieren sie, 30 geht wegen X {R) nnd X (7) eine Identität hervor.
Kb liegen also thatsächliclL höchstena zwei von einander nnabhängige
Gleichungen vor. Um sie nmzufonnen, moltipliciereQ wir die drei
Gleichungen mit J^, Y^, Z^ bez. X^, Y^, Z^ nnd addieren sie jedes-
mal. Nach (10), S. 106, kommt dann:

- Ldu-M8v=Q{-Ldu- Mdv-\-n(^X^^du-k-%X^X^dv)-\,

-M8u-NSv = Q\_-Mdu-Iidv-\-n(%X^X,du-\-%X^'dv)-\.

Um die Hälfsgr&sse q zq eliminieren, multiplicieren wir die erste
Gleichung mit du und die zweite mit dv. Addieren wir sie dann,
30 wird nämlich die rechte Seite wegen (6) nnd (12) gleich Null,
sodass bleibt:

LduSu-ir M{duSv + dvSÜ) + NdvSv-O.

Nach Satz 39, S. 155, heisst dies: Die Richtung {Sv.Su) ist zur
Richtung (dv.dü) conjngiert Mithin, da die Richtung Sv.Su die
Ton PC oder AB ia Fig. 57 ist:

Batz 46: Geht man von einem Flächenpunkt P zu einem
unendlich benachbarten Q über, constrniert die Normalen
beider nnd den kürzesten Abstand der Normalen, so ist
die Richtung dieses karzesteo Abstandes dieselbe wie die
zn PQ coDJngierte Fortschreitungsrichtnug auf der Fläche.

Mau hätte dies auch aus Satz 38 nnd Fig. 55 auf S. 155 geo-
metrisch folgern können, denn die Schnittlinie der Tangentenebenen
Ton P imd Q ist zu beiden Normalen senkrecht nnd hat also die
Richtung des kürzesten Ahstandes beider Normalen.

Oben erkannten wir im Anschluss an (8), dass die Normale des
Punktes Q die zur Tangeatenebene von P im Abstände t parallele
Ebene in demjenigen Punkt« trifft, dessen Coordinaten durch (8) fllr
T = t gegeben werden.

Nehmen wir jetzt t irgendwie bestimmt an, während wir die Incre-
mentfl du und dv beliebig lassen, so geben nach (8) die Gleichungen

Pdr,yGOOgIe

Zweiter Abschnitt: Die Krümmung der FlädiA.

(20)

\i=y + y^du + y^dv + {i- + 7, rfw + Y^dv)t,
j = 7 + r^ dw + z^dv + (2 + 2, Ja + Z^dv) t

die Schnittpunkte (i, 9, j) jener Par&Uelebene mit den unendlich
vielen Normalen au, die der Normalen von P nnendJich benacbbart
sind. Da hier zwei willkQrliche, wenn aach unendlidi kleine GrösBen
du und dv auftreten, ao folgern wir, dass alle diese Schnittpunkte
innerhalb eines unendlich kleinen Fl&chenstflcks auf der Ebene
liegen, das sich im allgemeinen nicht aaf ein Gurvenelement
reducieren wird. Anders gesagt: Wenn die Normale ron T die
Parallelebene etwa in N trifft, so wird durch jeden Fnnkt der
Parallelebene, der zu N unendlich benachbart ist, eine unendlich
benachbarte Normale gehen.

Diea wird nar dann nicht der Fall sein, wenn die drei Fiinc-
tionen (20), anfgefasst als Functionen von du und dv, von einander
abt^lngig sind, oder auch, da sie linear in du und dv sind, wenn
die Goefficienten von du denen von dv proportional sind:

(21)

I.+ X.t ___ y. + r. f _

\- X,t y, ■vY.t x^ +Z,t'
denn dann kajin man die Gleichaugen (20) — sobald man diese
drei Brüche mit 1 -.p bezeichnet — so schreiben:

^ = x + Xt + {x^ + X^i){du + (.rfw),

(22) ii-y+yt + (y^+ r^t){du + pdv),

^ = z +Zt+{z^+ Z^{](du + &dv).

Sie enthalten dann die Vei^derlicben du und dv nur in der Ver-
bindung du-\- Q dv, die linear auftritt, sodass alle diese Paukte
(& 9. i) alsdann eine Gerade erflUlen. Indem wir die Forderung,
daes alle drei Brllche (21) denselben Wert I : q haben sollen, etwas
anders schreiben, erkennen wir also Folgendes:

Nor dann, wenn man zwei Ghr^en ^ und q so beaümmeD
kann, dass

(23) y,+ ^.'-=p(y„ + J;*),

z,->r Z^t^Q(z^ + Z^tl

wird, schneiden alle diejenigen 00' Normalen, die den Normalen
von P unendlich benachbart sind, die zur Tangentenebene tdd P

Pdr,yGOOgIe

§ 8. ühmdlieh benachbarte Normaien. 165

parallele und von ihr um die Strecke t entfernte Ebene in einer
Geraden. Diese Oerade geht alsdann von dem Punkte A aus, in
dem die Parallelebene die Normale von F schneidet, und hat nach
(23) Richtongscosinas proportional

■^.. + -\.'» y« + K*' ^u + ^u^-

Nun ist es in der That möglich, die Gleichungen (23) durch
passende Werte von * und q zu befriedigen. Wenn wir nämlich
die Gleichungen (2S) mit X, Y, Z multiplicieren und dann adclieren,
80 geht nach XI (H) und XI (/) eine Identität herror. Thatsächlich
liegen also nur zwei Bedingungsgleichungen vor. Diese können
wir in bequemerer Form Bchreiben, indem wir die Gleichungen (23)
das eine Mal mit x^, y^, z^ und das andere Mal mit x^, y^, z^ mul-
tiplicieren und dann jedesmal addieren. Dann kommt nach XI {A)
und nach (10), S. 106:

F^ Mt=Q{E- Lt),

G- Nt=Q{F-Mf).
EUmination der HUlisgrÖsse q fUbrt zu der Gleichimg:

{LN-M')t^-{EN-2FM+GL)t-\-(BG-F*) = (i,

die nach (20), S. 118, aussagt, dass t gleich einem der beiden Haupt-
krfimmungsradien R^, S^ sein mass, vorausgesetzt, dass überhaupt
Hanptkrümmungsradien vorbanden sind. Dies ist nach S. 115 nicht
der Fall, wenn die Fläche eine Schar von Minimalgeraden
enthält; vgl. den damaHgen Satz 10. In diesem Ausnahmefall hat
die quadratische Glfnchung fUr t eine Doppelwurzel, denn die Be«
dingung (10) auf 8. 114 für eine derartige Fläche kann ja auch so
geschrieben werden:

i{SG-F*){ZN- Äf')-{E^r-2FM+ Gl)' = 0.

Man sieht also, dass diese besonderen Flächen eine besondere Be-
trachtung verlangen würden. Daher sehen wir von jetzt an von
den Flächen mit einer Schar von Minimalgeradeu ab.

Alsdann können wir sagen: Die Flächennormalen, die der des
Punktes P unendlich benachbart sind, schneiden nur zwei zur Tan-
gentenebene von P parallele Ebenen in Geraden, nämlich die Ebenen
durch die beiden Hauptfcrümmungsmittelpunkte C'^ und C^ von P.
In jeder dieser Ebenen giebt es eine Gerade g, bez. g, durch Cj
bez. C^, die von allen oo* unendlich benachbarten Normalen ge-
troffen wird.

Pdr,yGOOgIe

Ztceiier Abachnitt: Die Krümnamg der Fläche.

Die Bichtangsconntis der Oeniden g^ sind proporüoti&l

oder nach (1) proportional drei 6r9ssen, von denen die erste
diese ist:

[EG-F*)x^ + [FM- GL)B^ x^ + {FL - FM)B^ x,

and die beiden anderen durch cyklische TertanBchung von x, y, z
ans ihr herroi^ehen. Znr Vereinfachong dieser Grössen gehen wir
anf die Formeln fQr die HsaptkrümmnugeD zurück. Sind k^ nnd A,
die Werte von dv : du fttr die beiden HauptkrUmmungsrichtnngen, so
ist nach (18), S. 117;

1 " Jtf + 4,^ ■

Setzen wir diesen Wert ein, eo finden wir, dass die Richtnugs-
cosinus der Geraden gj drei solcher Grössen proportional sind, von
denen die erste den Wert hat:
iG{EM:~FL) + k^G(EN- GL)-k^F{FA'- GM)]x^-

- {EM- FL){F+ k^ G)x^

und die beiden anderen durch cyklische Tertanschung hieraus her-
vorgehen. Nach (16), S. 117, ist jedoch:

EM~FL = {FN~ GM)k^k^,
EN-GL=-{FN-GM){h^ + A,).

Setzen wir diese Werte ein, so kann bei den drei Grössen ein ge-
meinsamer Factor gestrichen werden, sodass sich ergiebt, daas die
BichtungBCOsinuB von g, den drei Grössen:

proportional sind. Diese Grössen sind aber andererseits propor-
tional den Kichtungscosinns der zweiten Hauptkrttmmungstangente
von P. Entsprechende Schlüsse machen wir hinsichtlich der Ge-
raden g,. Daher kommt:

Sats 47:> Liegt eine Fläche vor, die keine Schar von
oo' Minimalgeraden enthält, so schneiden die Normalen,
die der Normalen des Flächenpunktes P unendlich be-
nachbart sind, sämtlich zwei Geraden g^ und g,, von denen

' Siehe Ch. Stubh, „Memoire snr U thiorie de la rision", Comptes
Rendiu (1S45).

Pdr,yGOOgIe

tMmdlioh bmaehbarte Normaien.

167

die erste darch den ersten HauptkrtlmmaagstnittelpuDkt Cj
TOD P geht and der sweiten Hanptkrflmmnngstangente von
P parallel ist, während die zweite durch den zweiten
HanptkrQmmungBmittelpuDkt C, von P geht und der ersten
Hanptkrümmangstangente von P parallel ist

«■

Fig. 58.

t^g. 69.

Siehe Fig. 58 ftlr einen elliptiBchen tind Fig. 59 fUr einen hjper-
botischen Pnnkt

Zugleich hat sich noch ergeben;

SatE 48: Die Ricbtongscosinns der ersten HaoptkrUm-
mnngstangente eines Flächenpunktes (u, v) sind propor-
tional:

*„ + -X„ Ä„ y. + i; S^, z„ + ß^ .ff,

oder:

x^ + X^S,, y, + J',Ä„ z, +^,Ä,

and die der zweiten Hanptkrilmmnngstangente propor-
tional:

oder:

Voraasgesetzt ist dabei, dass die Fläche keine Schar von
oo' Minimalgeraden enthält

Wir hatten zwar nur das Eine bewiesen, dass

D,gH,zedr,yGOOgIe

168 Zweiler AbacknÜt: Die Eriimrnnmg der Fläch«.

proportioDal den Bichtongscosiims der zweiten Hanptkrüminiui^
tangente aad, aber das übrige folgt durch Vertanschnng der beides
HauptfaHnuaimgen and durch Yertaascben der beiden FarameUr
u und V.

Man erkennt ans dem Satze 47, dasa die Gesamtheit der oc>
Normalen einer (nicht -abwickelbaren) Fläche die besondere Eigen-
tümlichkeit hat, dass alle einander unendlich benachbarten Normalen
zwei zu einander zwar windschiefe, aber senkrechte Genuieii
schneiden. Hieraus können wir den Schluss ziehen, dass nicbt
jede Schar von oo* Geraden als die Schar der Normalen
einer Fläche aufgefasBt werden kann. Denn es giebt hiemub
z. B. keine Fläche, deren Normalen sämtlich zwei zn einander
windschiefe Geraden schneiden.

Um aus unseren Formeln weitere geometrische Schlflsae zn
ziehen, empäehlt sich wieder die EinfQhrung des Coordinatensystems
(j, 9, j), dessen Azen das begleitende System des Punktes P bilden
(vgl S. 138). Dabei werden dann ; und q selbst als Parameter
benutzt. Die Fandamentalgrössen des Punktes P haben alsdann
^ Werte:

ffi = l, § = 0, ©=.1;

waltend nach (23), S. 118:

ist, sodass die Formel (12) die Gestalt annimmt:

(24)

wenn <p den Winkel bezeichnel^ den die Bichtang {di;:d^) mit der
ersten EauptkrQnunnngstangente von P bildet. Femer giebt (14);

(26) ^~^y = -^, cos» y + -i, sin» 9P .

Diese Formel erinnert an die Formel des Satzes 21, 8. 135,
mittels deren die Erümmang eines beliebigen Normalschmttes des
Flächenpnnktes P bestimmt wird. Doch standen in jener Formel
rechts Ä, und B^ statt Äj' und P^'. Wir können dtdier hier eine
analoge geometrische VeranschauUchang wie auf S. 135 u. f. be-

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 8. ünendiich benaehbarte Normalen. 169

natzen: Auf der Richtoiig, die mit der ersten Hauptkrümmongs-
richtoDg den Winkel 97 bildet, tragen wir ale Kadiusvector den
reciproken Wert von dv.dn auf. Dabei ist za beachten, dass im
Fall einer reellen Fläche der Winkel dv ebenso wie das Bogen'
element dt als wesentlich positiv aufzufassen ist Die Endpunkte
der £adienTectoren bilden dann in der ^^Ebene den Kegelschnitt:

r= 1.

der im reellen Fall eine Ellipse ist, die aber nicht mit der
Ellipse auf S. 136 verwechselt werden darf, da sie die ab-
soluten Werte der beiden Hauptkrümmungsradien, nicht aber die
Wurzeln daraus zu Halbaxen hat. Also:

Sftti 49: Trägt man auf jeder Fortschreitungsrichtung
auf einer Fläche von einem Punkte P aus den Quotienten
aus dem Bogenelement dt und demjenigen unendlich
kleinen Winkel dv auf, um den sich bei der Zurticklegung
dieses Bogenelementea ds die Richtung der Fläcbennor-
male ändert, so bilden die Endpunkte der RadienvectoreÄ
einen Kegelschnitt, dessen Halbazen auf den Hauptkrtim-
muDgstangenten von F liegen und die absoluten Werte der
beiden Hanptkrämmnngsradien von P als Längen haben.
Im reellen Fall ist der Kegelschnitt eine Ellipse. Voraus-
gesetzt ist hierbei, dass die Fläche keine Schar von cc^
Minimatgeraden enthalte.

Sind tf^ und tp^ die Winkel, die zwei zu einander senkrechte
Fortschreitungsrichtungen mit der ersten fiauptkrümmungsrichtung
von P bilden, so ist cos'^, = sin'^j und iia* ip^ = cob* ip^, sodass
nach (25) fär die beiden zu diesen Richtungen gehörigen Werte
von -^ der Satz hervorgeht:

Satc 60: Geht man von einem Flächenpunkte P aus
nach zwei zu einander senkrechten Richtungen um un-
endlich kleine Bogenetemente ds^ und ds^ weiter, so ge-
nügen die unendlich kleinen Winkel (/k, und dv^, um die
sich zugleich die Richtung der Flächennormale ändert,
der Gleichung:

U».i ^U",i «,' ^ V

wenn £j und ^^ die HauptkrümmungsradieD von P siad, die
Fläche also keine Schar von oo^ Minimalgeraden enthält

,dr,Google

170 Zweiter Abschnitt: Die Kriimnamg der FläAe.

Gehören dagegen tp^ and 99, zn conjngierten Richtangen, so ist
nach Satz 40, S. 156:

tgV.-tgV.=|V

Nun läsat sieb tg'^ ans (25) leicht beredinen. Setzen vir dann
die Werte von tg'fpi und tg^fp^ hier ein, ao ei^ebt dcb ohne
Muhe:

SatE 51:' Geht man von einem Fl&chenpnnkte nach con-
jagierten BicbtungeD am die Bogenelemeste dr^ and dt^
fort, 80 genUgen die unendlich kleinen Winkel dv^ and dv^,
am die sich dabei die Bichtung der Flächennormale än-
dert, der Gleichang:

[ds, d>J Uä./
wobei Toransgeaetzt ist, daaa die Fläche keine Schar ron
03^ Minimalgeraden enthalte.

I>ie Formel (24) kann anch so geschrieben werden:

(28) ^^__3^^,V

Ist ■y» der Winkel, den der kürzeste Abstand AS der beiden Nor-
malen FA und QB (siehe Fig. 57, S. 162) mit der Kichtung der
ersten Hauptkrümmang ron P macht, so ist nach Satz 46 and nach
dem Bchon soeben citjerten Satz 40, S. 156:

(27) tgq.-tgv=-A,
sodass wir (26) auch ao schreiben können:

(28) i^-| »tg-v.

Wollen wir jetzt ansser der bestimmt gewählten Flächennormale PA
alle unendlich benachbarten ina Äuge fassen, ao haben wir rp oder
y» alle möglichen Werte zu geben. Za jedem Werte von 1^ gehOrt
ein kürzester Abstand A B. Die Gesamtheit aller ktlrzesten Abstände
bestimmt eine Schar von ao' Geraden, also eine geradlinige Fläche,
deren Erzeagende die Normale PA oder die j-Axe senkrecht

' Diesen Satz finden wir ausdrücklich formuliert bei Kohhebbll, „Ver-
allgemeinerung des EHXBPBB'Bchen Satzes von der ToraioD der
Asymptotenlinien", Matb.-natnrw. Hitteilnngen in Württemberg, 2. Serie,
8 Bd. (1301).

Pdr,yGOOgIe

§ 8. IMendlich benachbarte Normalen. 171

schneiden und zwar in Fonkten A, deren Abet&nde n von F nach

(28) als EVnctionen deijenigen Winkel i/i bestimmt werden, die diese
Geraden mit der Richtnng der ersten Hauptkrfimmang von P, also
mit der £-Axe, bilden. Es kommt nach (28):

n = |(Ä, + Ä,) - \{B^ - Ä,)C082i/r,

sodass iD den laufenden Coordinaten i, Q, j:

(29) y = /cosi/r, 9=-/Bini^, j= ^(Äj + Ä,)-i(Ä,-i?,)coB2i;*

die Grleichungen einer dieser Geraden AB sind, ausgedrückt mittels
eines Parameters t. Bleiben t und tp willkürlich, so liegt hier eine
analytische Darstellung jener geradlinigen Fläche Tor. Durch eine
Betrachtang, die ähnlich der auf S. 149 ist, folgern wir hieraus:

Sats 53: Die (reraden der kürzesten Abstände einer be-
stimmten Flächennormale von den ihr unendlich benach-
barten Normalen bilden ein Cjlindroid.

Aus (28) erkennt man sofort: Im reellen Fall liegen die ver-
Bchiedenen Endpunkte A der kürzesten Abstände, da .P^=sn ist,
zwischen den Punkten, f^ die n >— i^ and n « ^ ist, d. h. zwischen
den beiden Hsaptkrümmungsmittelpunkten C^ und (7, von P. Für
1/f = Y '^'^ yp = Q ei^ben sich die beiden änssersten Lagen n^ M^
und R s R^. Dabei ist nach (27) der Winkel ^ =: 0 bez.
rp = ^- Die zu ^ » 0 gehörige Gerade A 3 geht also durch den
ersten Haaptkrümmungsmittelpunkt C, und ist zur zweiten Haupt-
krQmmnngerichtung von P parallel, und bei der Geraden für 9:1 = -^
ist es umgekehrt Hieraus folgt, dass diese beiden Geraden die oben
(in Fig. 58 und 59) mit g, und g, bezeichneten Geraden sind.

Noch erwähnen wiri FUr tp = 0 oder f' = -^ ergiebt sich ausser
n = ^j bez. B^ noch ans (25):

und also nach (19) noch dn = 0. Dies bedeutet: In diesem Falle
giebt es zwischefi den beiden unendlich nahen Normalen einen un-
endlich kleinen Abstand von höherer Ordnung als dg. Dann abo
schneiden die beiden Normalen einander. (Vgl. I S. 272, 273.)
Dies hatten wir auch aus Satz 47 folgern können. Wir können dies
Ei^ebnis so formulieren:

Sati 68: Eine Flächennormale schneidet eine unend-
lich benachbarte nur dann, wenn der Fusspunkt der letz-

Pdr,yGOOgIe

172

Zweiter Äbaehmü: IHe Krümmmruf der Fläche.

teren auf einer HauptkrümmungBrichtUDg des FusBpunktes
der ersteren liegt, und zwar ist der Schnittpankt alsdann
der zugehörige Hauptkrlimmuugs-
mittelpnnki Dabei ist vorausge-
setzt, daBS die Fläche keine Schar
von 00^ Minimalgeraden enthalte.

Es ist gut, sich dies geometrisch mit
Hülfe der Indicatrix klar zu machen. In
Fig. 60 sei P ein Flächenpnnkt. Zu seiner
Tangenten ebene parallel legen wir eine
Fbene in unendlich kleinem Abstand. Sie
schneidet die Fläche nach S. 139 in der
Indicatrix von P. In der Figur ist als
Indicatrix eine Ellipse gewählt Die Nor-

Fig. 60.

Fig. «1. Fig. 62.

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ S. Krümmungscurven und HaupUangentemntrven. 173

male von F gebt dorch die Mitte M der Indicatrix. Ist Q irgend
ein Pnnkt anf der Indicatrix, so ist die Indicatrixtangente von Q
zugleich Flächentangente. Da der Eegel, der die F^che längs der
Indicatrix berflhrt, nach Satz 30, S. 143, seine Spitze S in dem
Pankte auf der Yerlängenmg von FM Ober P hinans hat, für den
PS doppelt so gross vie PM ist, so geht eine Flächentangente des
Punktes Q nach dieser Stelle S. Jetzt haben vir zwei Tangenten
von Q constroieri Auf beiden moss die Normale ron Q senkrecht
stehen.

Wenn nun diese Normale die Normale von P schneiden soll,
so muBs QM ihre Projection auf die Fbene der Indicatrix sein,
sodass QM auf dar Indicatriztangent« von Q senkrecht stehen moss.
Dies aber tritt nur in den Scheiteln der Indicatrix ein, d. h. wenn Q
auf einer Hauptkrttmmongarichtnng von P liegt So kommen wir
wieder zu Satz 58.

In den Figuren 61 und 62 haben wir Tersucht, von der Lage-
rung der Normalen längs der Indicatrix eine Vorstellnng zu geben.
In Fig. 61 ist als Indicatrix eine MUpse, in Fig. 62 eine Hyperbel
gewählt Doch bat man sich die Axen dieser Kegelschnitte, ver-
glichen mit den Entfemnngen PC^ und PC^, unendlich klein zn
denken. Es sind die Geraden constmiert worden, die ausser der
Indicatrix noch die Geraden g^ nnd g, treffen.

§ d. Krflnmungscurven und Haupttanpentencurven.

Bisher haben wir unsere Betrachtungen immer auf die Um-
gebung eines beliebig gewählten Punktes («, v) der Fläche beschränkt
Wir dehnen sie jetzt auf die ganze Fläche aus. Sind wie immer
E, F, G und L, M N die Fundamentalgr3sseu der Fläche, so haben
wir im Punkte (u, v) drei Paare von Bichtungen [k) als besondere
ausgezeichnet kennen gelernt:

Erstens die Uinimalrichtungen, für die

E+2Fk + Gk* = (i

ist (vgl. S. 35), zweitens die HanptkrümmuDgsrichtungen, für die

{EM- FL) ~{GL- EN)k + {FN- GM)k* = 0
oder:

k* E L \

-h F m\=Q
IG jV"i

Pdr,yGOOgIe

174 ZweCta" Abschnitt: Die SrOmmung der Fläche.

ist (vgl. S. 116), drittens die HaupttangeotenricfatuageD, für die

ist (vgl. S. 127). Schreiben wir dv.du filr A, so liegen die drei

(1)

Edu' + 2Fdad,Hr ßdv'-O

lio' ML

(2)

-dud« F M

=.0,

(8) ■ Ldu^ + 2Mdudv + Ndv* = 0.

Jede ist nach Satz 5, S. 13, als ein Paar von gewöhnlichen Differential-
gleichungen erster Ordnung in w und v aufzufassen und definiert
zwei Scharen von je c»' Curven. Die durch (1) definierten Curven
sind die schon öfters erwähnten Minimalcurven der Fläche.

Die durch (2) definierten beiden Scharen von je oo^ Curven
heissen die Erammungscurven der Fläche^ und die durch (3)
definierten beiden Scharen die Haupttangenten curven oder
asymptotischen Curven der Fläche.*

Durch jeden allgemein gewählten Fläcbenpankt («, v) gehen
zwei Minimalcurven, zwei Erümmungscurven und zwei Haupt-
tangentencurven. Ihre Sichtungen daselbst sind die Minimalrichtungen,
die HauptkrUmmungsrichtungen und die HanpttangentenrichtUDgen.
Die Uinimalcurven sind stets imaginär, die Erümmungscurven auf
reellen Flächen nach S. 117 stets reell nnd die Haupttangentcn-
curven auf reeUen Flächen an den hyperbolischen Stellen reell, an
den elliptischen imaginär, nach S. 130.

Stillschweigend haben wir vorausgesetzt, das3 der allgemeiue
Flächenpunkt zwei HauptkrUmmungsrichtungen habe. Da es jedoch
nach S. 120 Flächen giebt, die nirgends solche haben, nämlich die
Flächen mit einer oder zwei Scharen von Minimalgeraden, so müssen
wir nns fragen, wie wir auf diesen die Erümmungscurven und Haupt-
tangentencurven definieren wollen.

Bezüglich der Erümmungscurven bleiben wir stets bei
der Definition durch die Gleichung (2). Enthält die Fläche
zwei Scharen von Minimalgeraden, ist sie also nach Satz 9, S. 113,

' Nach MoxaG, siehe die Anin. auf S. 110.
' Nach DuptH, siehe die Anm. auf S. 127.

Pdr,yGOOgIe

9. Srümmungsatrven und Eau^tkmgemttneurv&n. 1T5

eine Engel, so siad die Fandamentalgrössen L, M, i' nach (S),
S. 110, den Fundamentalgrösaen £, F, G proportional, sodass die
Gleichung (2) znr Identität wird. Daher ist jede beliebige
Corve auf der Kugel, insbesondere in der Ebene, eine
Erümmangscarve. Enthält die Fläche nur eine Schar tod Mini-
malgeradfln, ist sie aber nicht die Tangentenfläche einer Minimal-
carre, so ist, wenn wir die krummen Mimmalcurven als Parameter-
linien (u) und die geraden Minimalcurven als Parameterlinien (v)
benutzen, nach Satz 1, S. llS:

E~G = Z = <i, P^Q, iV=t=0,
sodass (2) ergiebt: dv* ~ 0. Hier also fallen die beiden Schfiren
von Erttmmungscurren ja die Schar der Minimalgeraden (v) zu-
sammen. Ist endlich die Fläche die Tangentenfläcbe einer Minimal-
curve, so yerlieren L, M, iV nach S. 107 ihre Bedeutung, d. h. bei
solchen Flächen sprechen wir überhaupt nicht von Krümmungs-
curven.

Nach Satz 53, S. 171, haben die ErOmmungscurven auf einer
Fläche Yon allgemeiner Art die Eigenschaft, dass die Flächen-
normalen, die Ton zwei unendlich benachbarten Punkten der Cnrve
ausgehen, einander stets schneiden, dass also die Normalen der
Fläche längs einer Xrllmmungscurve eine abwickelbare
Fläche bilden. Diese Eigenschaft kann man direct znr Definition
der KrUmmungscurven benutzen. Denn die Normale des Punktes («, o)

l = x-\-Xt, 1)=y + rt, i = z + Zt
schneidet die Normale des unendlich benachbarten Punktes (u + du,
v + dv):

^ = :r + dx + {X+dX]t.

xf = y + dy + {r + dr)t,

i=z + dz+(Z + dZ)t
nach (5) in I 8. 272 dann und nur dann, wenn:

dx X dX
(4) dl/ Y dl =0

dz Z dZ
ist Multiplicieren wir diese Gleichnng mit der nach XI {L) nicht
verschwindenden Determinant«

^. Xj

y, y, ^ I •

', zi ■

Pdr,yGOOgIe

176 Zweiter Abaeknxü: Die KrüTrnmmg der Fläche.

indem wir fieibe mit iteibe multipliciereiij so kommt
1 Sx^äx S*„X ^x^dX

Sx^dx Sx^X Sx^dX -0.
I SXdx SX» SXdX
Aber es iet nacb XI [J)

Sa:,dxs= Sx^{x^du + x^dv) = JSdu + Fdv
I1.B.W., ferner S .r^ -X^ =» 0, Sx^X - 0 nach XI(/), weiterhin nach [10),
S. 107.

Sx^dX^Sx^(\dv + X^dv) = - Ldu- Mdv

o. a. w., sodass kommt:

j Edu + Fdv Ldu + Mdv j
\Fdu-\-Gdv Mdu + Ndv\ '
Aber dies ist die GleicboDg (2). Daher:

Sats 64: Die Erümmungscnrven einer Fläche sind die-
jenigen Cnrven der Fläche, längs deren die Flächen-
normalen eine abwickelbare Fläche bilden.

Dies gilt auch ßlr die Flächen mit Scharen von Uinimil-
geraden.

Zugleich hat sich ergeben, dass die Differentialgleichnng (2) aacb
in der Form (4) geschrieben werden kann.

Die Bedingung fUr eine KrQmmnngscurre kann noch anders
aosgeBprochen werden: Schreiben wir in der Determinante (4) statt
der ersten Zeile die Summe der bez. mit X, Y, Z multiplicierteii
ersten, zweiten und dritten Zeile, so kommt wegen S-^'-^'
SXdX-^0, SXdx^O:

10 1 Ol
\dy Y dYl^O

EbenBO kommt, daas dieser Bruch gleich dX:dx ist Also ist
längs einer ErtlmmungBCurre

dX _ dY _ dZ

dx '~ dy ~ dx,
Umgekehrt ziehen diese Relationen die G^leichung (4) nach aicli.
Daher:

Pdr,yGOOgIe

§ 9. SrümmungMwvmi und S^zuptUtngmtaieurven. 177

Säte 66: Die ErümmungscarTen einer Fläche sind die-
jeDigeo Curven, läoge deren die Incremente der recht-
winkligen Pnnktcoordinaten proportional den Incrementen
der BichtungscoBinns der Normalen sind.

Sind anf der Fläche in einem allgemein gewählten Punkt zwei
HauptkrUnimangsrichtntigen vorhanden, so stehen sie nach Satz 11,
9. 119, anf einander senkrecht Im allgemeinen also bilden
die Erümmnngscarven ein Orthogonalsjstem. Wir haben
ans zn fragen, wie es hiermit in den Aasmdune^Ülen steht: Enthält
die Fläche eine Schu yon Minimalgeraden und eine Schar tod
krummen Minimalcnrren, so fallen, wie wir vorhin sahen, beide
Schajren tod ErQmmnngscnrren in die Hinimalgeraden zusammen.
Aber nach Satz 47, I S. 3S6, können wir sagen, dass jede Minimal-
gerade auf sich selbst senkrecht steht, mithin auch, dass die Ortho-
gonalität der KrQmmnngscarreD anch jetzt statt hat Wenn die
Fläche zwei getrennte Scharen von Minimalgeraden enthält und
demnach eine Eugel oder insbesondere eine Ebene ist, so ist, wie
wir saben^ jede Gurre eine ErOmmungscurre, also können wir auch
hier OrthogonalBysteme von Erümmtingscurren bilden; es giebt ihrer
aber unendlich viele.

Liegt insbesondere eine abwickelbare Fläche vor, die natür-
lich nicht die Tangentenääche einer Miuimalcurye sein soll, so
fallen aberall nadi Satz 20, 8. 132, die beiden Haupttangeuten in
die Erzeugenden, tmd deshalb sind nach Satz 23, S. 136, die Erflm-
mangsourren der einen Schar diese Erzengenden selbst Die der
anderen Schar sind die orthogouf^en Trajectorien c der Erzeugen-
den, d. h. nach Satz 16, 1 S.296, die FilareToWenten der GraÜinie.
Nach Satz 54 also bilden die Flächennormalen längs einer jeden
dieser Trajectorien c eine abwickelbare Fläche.

Dies Ergebnis ist aber nur ein specieller Fall des Satzes 29,
I S. 316, nach dem auch diejenigen Geraden, die längs einer ortho-
gonaleu Trfyeotorie c diese Gurre c senkrecht schneiden und einen
nicht notwendig rechten, aber constanten Winkel mit den £jr-
zengenden bilden, auf einer abwickelbaren F&che liegen.

Aus diesem Satze können wir einen anderen über Erümmnugs-
curren ableiten:

Es seien zwei Flächen F^ und JP, gegeben, die einander längs
einer Gmre c unter constantem Winkel a schneiden, sodass also
in jedem Funkte P von c die Normalen n, und n, beider Flächen
denselben Winkel a mit einander bilden. Ist dann e eine ErUm-
mnngscurve auf der «inen Fläche, auf F^, so bilden die Normalen n^

.dr,yGoogIe

178 Zweiter Mao/mitt: Die Krümmung äer Fläche

nach Satz 54 eine abwickelbare Fläche. Anf dieser Fläche ist
eine orthogonale Trajectorie der Erzeugenden n,. Nnn schneiden
die Geraden n, als Normalen von F^ die Carre c ebenfalls eenl
recht; da sie ansserdem mit den Geraden Rj den constanten Winkel
bilden, so folgt nach dem soeben angegebenen Satze: Die Normalen :
der zweiten i<läche F^ längs c bilden auch eine abwickelbare Fl&cbe.
Nach Satz 54 folgt hieraus; Die Curre c ist auch auf F^ eine Krön-
mungacnrre. Daher:

8ati 66; Schneiden zwei Flächen einander längs einei
Carre nnter conatantem Winkel und ist die Curve auf dei
einen Fläche eine ErUmmungscurre, so ist sie es auch auf
der anderen.

Um dies auch analytisch zu beweisen, bezeichnen wir die Eich-
tungscosiuuB der Normalen auf der einen Fläche F^ mit Xj, 1',,
Z^, anf der anderen Fläche F^ mit X,, Y^, Z^. la einem Pnnkte
(7, y, z) der Schnittcnrve c beider Flächen sollen nach Voraussetzung
die Normalen einen constanten Winkel a bilden, d. h.:

SX^X^ = coaa.
Wenn wir also längs der Schnittcurre c fortschreiten, so muss
ST,(fXj + SZtrfX, = 0

sein. Ist nun c aai F^ eine KrQmmungscarve, so sind dX,, dY^.dZ^
mich Satz 55 proportional dx, dy, dz, sodass sich SX, dX^ nur um
einen Factor von Z^^dx unterscheidet Diese Summe aber ist
gleich Null, da die Richtung (X, : Y^ : /,} auf der Tuigentenrichtniig
{dxidy.dz) von c senkrecht steht. Unsere Gleichung giebt aito:

SXirfX,=0.
Ausserdem ist wegen S X,' = 1 auch ;

SX;,<iX, = 0.

Andererseits ist, weil die Normalen auf den Tangenten von e senk-
recht stehen:

SX,</a; = 0, ZX^dx^O.

Also folgt, dass dx, dy, dz denselben beiden linearen homogeneo
Gleichungen genügen wie dX^, dY^, dZ^. Mithin sind die eineo
Incremente den anderen längs c proportional, d.h. nach Sateäfi
ist c auf F^ eine Erümmungscurve.

Wir können diese Schlussfolgerung umkehren: Ka werde vor-
ausgesetzt, dass die beiden Flächen F^ und F^ einander in eiier

Pdr,yGOOgIe

also auch
oder:

§ 9. Krümmungaounmi und Hfo^^tangmienourven. 179

Curre e schneiden, die auf beiden Flächen Krümmuogsc'nrve ist.
Nach Satz 55 sind dann längs der Schnittcurve e sowohl die Incre-
mente dX^, dT^, dZ^ als auch die Incremente dX^, dF^, dZ^ pro-
portaonal dx, dy, dz. Da aber %X^dx = ^ nnd ZX^dx = 0 ist,
Bo folgt also:

SX, dJ, = 0, S-i;rfX, = 0,

SX,dJ, + S^rfX, = 0
ZX^X^ = ConaL
und zwar längs c. Somit:'

Satz S7; Schneiden zwei Flächen einander längs einer
Curve, die anf beiden Flächen eine ErUmmungscnrve ist,
so bilden sie längs der Gnrve einen constanten Winkel
mit einander.

Aus der Proportionalität von dS^, d¥^, dZ^ mit dx, dy, dz
darf nicht ohne weiteres auf die Gleichwertigkeit der Gleichungen
%X^dX^ = 0 und SX^dx = 0 geschlossen werden, sobald dX^, d¥^,
dZ^ alle drei gleich Null sind, weil dann der Proportionalitätsfactor
gleich Null ist Dieser Fall tritt nur dann ein, wenn längs der
Scbnittcarve c die eine Fläche constante Stellung hat, d. h. wenn c
der senkrechte Querschnitt eines Cylinders und somit eben ist. Da
alle Cniren in einer Ebene Erllmmnngscurven sind, so brauchen wir
unsere Sätze nor noch fUr den Fall des Schnittes einer Fläche
mit einer Ebene zu beweisen.

Sind X, 7, Z die Richtungscosinus einer Fläche, a, b, c die
einer Ebene, so ist längs der Schnitteurve

SXrf* = 0, Sadx = 0.
Findet der Schnitt unter constantem Winkel a statt, so ist längs
der Curve:

S o X = cos Cf ,
d.h.

S«rfX=0.
Da ausserdem

S XdX = 0

ist, so folgt» daas d X, dY, dZ denselben beiden linearen homogenen
Gleichungen wie dx, dy, dz genügen, also einander proportional
sind, sodass die Curre auf der Fläche nach Satz 55 eine KrQmmnngs-

1 Die SStze66 und bl rflhren her von BoNxn-, „Hämoir«
faces dont leg lignes de vonrbure sont planes on
Jonni«) de VtaoXe poljt., 30. cah. (1608).

.dr,yGoogIe

180 Zweüer JhaohmU: Dia Krümmung der Flächt.

onrre ist Die ümkehning ist erlaubt: lat <lie Cnrve auf der Fläcbe
eine ErümmaiigscarTe, so sind dX, dY, dZ propoHdoDal dx, dy, dz,
sodass aas der letzten Gleichung rQckwftrts die fibrigen folgen,
Daher:'

Bat! 58: Schneidet eine Ebene eine Fläche nnter con-
stantem Winkel, so ist die Schnittcurre eine ErfimmDogs-
cnrve der Flllche.

Und:

Bati 59: Hat eine Fläche eine ebene KrümninngsciirTe,
so hat sie längs der Cnrve eine constante Neignng zur
Ebene der Carve.

Da auch auf der Engel jede Corre eine KrUmmungBcurve ist,
so folgt insbesondere aas Satz 56:

Sati 60: Schneidet eine Engel eine Fläche unter con-
stantem Winkel, so ist die Schnittcurve eine ErUmmangs-
curve der Fläche.

Und aus Satz 57:

Sati 61: Hat eine Fläche eine sphärische ErQmmnngs-
curTfi, Bo hat sie längs der Gurve eine constante Neignag
zur Engel der Cuttc.

Ist eine ErOmmungBcnrve einer Fläche eine Gerade, so mu»
nach Satz 59 jede Ebene durch die Gerade die Fläche nnter con-
stantem Winkel schneiden, d. h. die Fläche muss längs der Geraden
tiberall dieselbe Tangentenebene haben.

Bati 68: Enthält eine Fläche eine Gerade, so ist diese
Gerade dann und nur dann eine ErUmmnngscurTe, wenn
die Fläche in allen Punkten der Geraden dieselbe Tan-
gentenebene hat

Wenn alle Erümmungscnrven der einen Schar Geraden sein
sollen, so muss daher die geradlinige Fläche nach Satz 7, I S. 271,
abwickelbar sein.

Zq unseren Sätzen geben wir einige Beispiele:

1. Beispiel: Eine RotationsflEcIie wird von jeder Ebene senkredi'
cur Drehaze ond von jeder Ebene durch die Drehaie in einer RrQmmungBeune

* Die SAtxe GB bis 61 fftsat man unter dem Namen dee Sobw voo
JoAcamsTSAL inaammen, eiebe für ebene Krümmongscurven aeine Abbondlung:
,,DeinonstTBtioneB theorematam ad saperficieB curvas specUn-
tium", Joamal f. d. reine u. angew. Mathem. 30, Bd. (1S46). Die oben er
wfthnten allgemeinen S&Ue von Bomnr Bind jüngeren Datama.

Pdr,yGOOgIe

? .9. Krümmimgaeurven und HauptUmgmimeurven.

181

ge8ehnitt«D. D*m in der Thal di« Filohennortnalea lEogs e
eine abirickelbaTe FlSche, nftmlicb eineo Kegel, und die lEoga eines Heridiaiu
«benfiüls eine abwickelbare Fltche, nSmlich eine Ebene, bilden, lenehtet an-
mittelbar ein.

2. Beispiel: Die SotatiooBflfichen, von denen soeben die Rede ww, kum
man dnrch I^hong eines Heridiaas um die Axe erzeugen. Indem man diese
Enengnngsweise veiallgBmeinert , kommt man zur Familie der Gesims-
flBchen:' Eine atarr gedachte Ebene E, in der eine Cnrre f liegt, weide
stetig in o' Lagen Sbergefllhrt. Dabei amhüllt sie nach Bats IB, I S. 298,
eine abwickelbare Flftche and ist Scbmiegungaebene der Gratlinie e dieser
Fliehe. Die Fläche aller Lagen ?on f, die sogenannte Qesimsfliehe, hat nnn
die Corden ji zn ErQinmangBcurven. Jeder Ponkt P von f bewegt sich nimlich
beständig nach I S. 269 auf einer FlaneTolrente k von c, und die Tangente
•einer Bahn ist jederzeit senkrecht nir Ebene E. Hiet-
nacb ist non ancb die Tangenteaebeae der Flftche in P
Benkiecbt sur Ebene E. Die Ebene E 8«^neidet also die
Fliehe in allen ihren Lagen ttberall senkrecht, woraus
die Behauptung nach Sati 68 fblgL Die rwwte Schar
der Krümmungscurven besteht ans den erwSbnten Plan-
evolveDten k von e. Wahlen wir irgend eine Plan-
evclvente von c ans, also die Curve c, die alle <x>'
Ebenen ^senkrecht schneidet, and bewegen wir nun eine
Ebene senkrecht su c so, wie es in Satt 21, I S. 805,
angegeben ist, so eneugt eine Curre ;* in dieser Ebene
wieder eine Geaimsfliche. Ist f ioibesondere ein Kreis
am den Punkt, in dem die Ebene die Gurre c trifit,
M entsteht eine Fl&che von od' congmenten Kreisen,
deren Ebenen simtlich sn dem Ort c der Mitten der
Kreise senkrecht sind. 8ie heisst eine BShrenfl&che.
I^ehe Fig. 63.) Die Kreiae 7- bilden die eine Schar der ErOm
und ihre orthogonalen IVajectorien k die andere Schar.

Im allgemeinen ist die Anfetollung der endlichen Gleichungen
der ErOmmangscurreti unmöglich, weil sie die Integration der Diffe-
rentialgleichung (2) Terlangt. In beBonderen Fällen iat die Integra-
üon jedoch durchführbar. Hierzu ein Beispiel.

Beispiel: Aof der gemeinen SchraubenfUche (webe (20) auf S. 60):

Fig. 63.

uigeonrves

aed nach S. 118:

Z, =. 0,

F-0,
M--

!■ + ?*

JV- 0,

»hIhss hier die Differentialgleichung (2) der KrOmmangscurven so lautet:
- (m' + qtdv*- du* = 0.

' Diese Fl&chen wurden snerst von Mohob, vgl. die Anm. auf S. 110,
ontenneht, insbesondere aneh die nachher genannten BAhrenflBchen.

Pdr,yGOOgIe

182 Zweiler AbaehnUt: DU Krümmung der Fläch».

Sie Ut in der Form:

sofort sn integrieren und giebt;

V -= log (m ± V«* + g'J + Conat

Die Curven sind die Diagonnlcurven dea anf S. 60 beetimmten iBothemieD-
oetEee und infolge deasen in ihrem allgemeinen Verianf in der Flg. 11, S. 61,
leicht lu Terfolgen.

Die ParameterlinieD (u) und (u) einer Fläche sind selbst die
ErOmmangscurTen, wenn die Qleichung (2) die Form

dudv = Q
hat, wenn also

EM-FL = 0, FN-GM=0

ist Ist ^ =1= 0 , 80 ist dann

, EM ,r GM

d.h.

E:F:6 = L:M:N,

was nach (3), S. 110, bedeutet, dass die Fläche lauter Nabelpoukte
hat und also eine Eugel oder Ebene ist (nach Satz 8, S. 113). Ist
.^'= 0, so kommt EM=GM=0, mithin, da E nnd G nicht beide
gleich Null sind, ^=0. Daher:

Bats 63: Die Parametercurven einer Fläche, die keine
Kugel oder Ebene ist, sind nur dann die KrQmmnngs-
curven, wenn die zugehörigen Fundamentalgrdssen F anA
M auf der ganzen Fläche gleich Null sind. —

Was nun die Haupttangentencnrven anbetrifft, so folgt
ans Satz 43, S. 156, dass je zwei Ebenen, die die Fläche in od-
endlich benachbarten Punkten einer solchen Gurre berühren, einander
in der Tangente der Gurre schneiden. Die abwickelbare Fläche
also, die von den co' Tangentenebenen der Fläche längs einer
Haupttangentencurve umhüllt wird, hat die Gurve selbst zur Grat*
linie. Oder nach Satz 14, I S. 292:

Sati 64: Die UaupttangentencurTen einer Fläche sind
diejenigen GarTen, deren Schmiegungsebenen zugleich
Taogentenebenen der Fläche sind, oder also: deren Bi-
normalen mit den Flächennormalen zusammenfallen, oder
endlich: deren Hauptnormaten Tangenten der Fläche sind.

Die Detinitionsgleichung (3) der Haupttangentencurven versagt

.dr,yGoogIe

Krämmungsaurven und Haupttang^ienourom. 183

nur dann, wenn die FuDdameotalgrössen L, M, N ihre Bedeutung
Terlieren, d, h.- auf den Tangentenflächen der Minimalcutren (vgl.
S. 107). Sie wird zur IdentilÄt, d. h. jede Curve auf der Flache
ist eine Haupttangentencurre, wenn L = M= N = 0 oder also die
Flüche nach Satz 4, S. 107, eine Ebene iai In der Ebene ist
also jede Curve eine Haupttangentencnrve.

Die beiden Scharen von Haupttangentencorren fallen zuBammen,
wenn die linke Seite der Gleichung (3) ein Tollständiges Quadrat,
d. h. LN— M'^0 oder also die Fläche nach Satz 19, S. 132, ab-
wickelbar ist. Äladann bilden die Erzeugenden die einzige Schar
von Haupttangentencurven.

Beispiel: Ea liege «ine nicht- abwickelbare geradlinige FlKche vor.
Die eine Schar der Haapttangentencurven wird von den Erzeageuden gebildet,
D&ch S. 130. Ist die Flfiche keine Fläche zweiter Ordnung (y^. Sati 31,
S. 144), BD ist die andere i^char nicht geradlinig. Wollen wir sie beetimmen,
so kÖnneD wir bo verfahren: Eb sind nach (2), I S. 271:
(5) « - »(a) + vf(ü}, y =/(w) + »giu), x - v(m) + pA(»)

die Oleicbnngen einer allgenieinen geradlinigen FlSche. Berechnen wir hier L,
M, N nach (9), S. 106, bo ergiebt sich, dasa DL eine ganze quadratieclie
Pancüon von v ist, deren CoefGcienten noch w enthalten, dass femer D M nnr
von u abbangt nnd D N = O iat, Bodaas eich von der Differential gl eichnng (S)
KUDäthat die Gleichung du =^ 0 absondert, die anaaagt, daaa die geradlinigen
Erzeugenden (u) der FISchu Haupttangentencurven sind. Ausserdem bleibt
dann für die zweite Schar der Hanpttajigentencurven eine Diflwentialgleichung
von der Form:

^^ = J(tt) + B{»)* + (7{«)«',

I RicciTi'scbe Differentialgleichung. Wir
er beliebige LSsnngen
(B) i' = <^(tt), r=ü.,(u), .. = .*.(«), «- = <-,{«)

dieser Gleichung ein conatantes DoppelverhSltniH haben. Wenn wir nnn —
was wir thun diirfen ^ vorausselzen , dasa in den Gleichungen (5) der Flftche
die Gröaaen f, g, k die RichtungacoBinna der geradlinigen Erzeugenden sind
(.wie in (9), I' S. 21b), ao bedeutet v den Abatand dea Punktea (u, «) der Flache
von der FIftcbencurve:

* = <p{«), y =-r(«), * = v(»).

and zwar gemeaaen anf der durch den Punkt (u, v) gehenden Erzeugenden.
Mithin folgt, daaa die vier Hanpttangenlencurven (6) aolche vier Strecken b auf
jeder Erzeugenden abacbneiden, die ein auf der ganzen Fläche conatantea
Doppelverhältnis haben. Oder nach Satz 38, I S. 332;

Sats 6&:' Die krummlinigen Haupttangentencurven einer ge-

' P. STERBT, „Theorie nouvelle gäomitrique et m^canique des
coucbes i donble conrbure", Paria 1860.

Pdr,yGOOgIe

184 Zweitem Abschnitt: Die Krümmung der Fläche.

radlioigen Fifiche haben die Eigenschaft, dase je vier von ihnen
alle Erzeagenden der FUche in demselben DoppelverbtltniE
durchsetzen.

lusbesODdere erholten wir für Flächen zweiter Ordnung den
SatB 66: Die beiden Geradenecharen auf einer FUche iweiter
Ordnung haben die Eigenacbaft, daes vier Geraden der einen
Schar von allen Geraden der anderen Schar in demselben Doppel-
verb&ltnis geschnitten werden.

Die Parametercnrven (u) and (v) sind seibat die Haupttaageoten-
curven, wenn sich die DiffereDtialgleichung (3) auf

dudv = 0
reduciert Daher:

Sats 67: Die Parameterlinien einer Fläche sind die
Haapttangentencurren, wenn die zugehörigen Fundamen-
talgrösaen L nnd N auf der Fläche gleich Null sind.

im Beispiel erwfthnten gemeinen
Die Haupttangenteneurren (•) sind
hier die Geraden der Fl&che, die Haapttangentencarven (u) gemeine Schnnbeo-
liuien. Da hier auch F=0 ist, eo bilden die UaupttangeutencurreD ein
Orthogonale^Btem.

Dieses Beispiel führt uns zu der Frage, wann überhaupt die
Haupttangentencnrren ein OrthogonalsyBfem bilden. Da die Haupt>
tangenten eines Fläcbenpunktes den Asymptoten seiner Indicatrix
parallel sind (vgl. S. 140), so tritt dies ein, wenn alle Indicatricen
gleichseitige Hyperbeln sind, d. h. wenn nach (8). S. 135, die beiden
HauptkrümmungsradieD einander überall entgegengesetzt gleidi sind.
Daher:

Sats 68: Die HaupttangentencnrTen einer Fl&che bilden
ein Orthogonalsystem, sobald überall auf der Fläche die
Summe der beiden HauptkrümmungsradieD gleich Null ist

Beispiel: Aassei der gemeinen Schranhenfl&che kSnnen wir hier du
Catenoid nach Satz 16, 8.126, als Beispiel erwShnen. Danach ist dt9
Cstenoid die einzige Rotationsfläche mit lu einander ortho-
gonalen Hanpttangentencnrven. Die Gleichungen des Catenoids könnso
wir, wenn wir die Leitlinie der Kettenlinie, d. h. die Botationsaxe, als vAie
wKblen, so schieiben:

Nach (9), S. 106, ist hier:

LD = - ND, MD- 0,

Pdr,yGOOgIe

§ 10. Systems von emyvgierten Ouroen.

also die DiSereDÜal^eicbniig (8) der HaoptUngeatoncurven:

dt*'- dp'B 0.
Sie lerfUlt in:

du + dp-0, <iu-di< = 0.

Also sind die Curven

tt + B — CoDBt , » — p — Const
hier die Httnpttangentencurven.

§ 10. Systsffle von conjugierten Curven.

Wenn man eine Fläche mit zwei Scharen von je oo* Curren
iß der Art überzieht, daas in jedem Pnnlcte der Fläche die hin-
durchgehenden Gnrven der beiden Scharen conjugierte Dichtungen
haben, ao liegt ein System von conjugierten Curven vor. Nach
Satz 44, S. 157, werden aledanQ in jedem Punkte der Fläche die
Tangenten der beiden bindurchgehenden Curven harmoniBcb durch
die beiden Haupttangenten getrennt Bewegt sich ein Punkt längs
einer Curve der einen Schar, so dreht sich dabei seine Tangenten-
ebene beständig um die ' jeweilige Tangente der durch ihn gehenden
Curve der anderen Schar. Oder aach: Die Tangentenebenen längs
einer Curve der einen Schar erzeugen eine abwickelbare Fläche,
deren Geraden die Tangenten der Curven der anderen Schar in
ihren Schnittpunkten mit jener einen Curve sind. {Siehe Fig. 64.)
Nach den Erörterungen auf S. 154 hat der Be-
griff der conjogierten Curven nur auf den ab-
wickelbaren Flächen keine bestimmte Bedentnng,
weil hier die eine Cnrvenschar die der {beugen-
den sein moBS, während die andere Schar ganz
beliebig sein kann. Insbesondere können wir in
der Ebene jedea System von Curven als conjugiert
bezeichnen. Von den Tangentenflachen der Mini-
malcurven haben wir dagegen hier vöUig abzu-
sehen (nach S. 154). Auf einer behebigen Fläche
sind die KrUmmungscurven nach Satz 41, S. 156,
zu einander conjugiert; auch sind die Haupt-
tangentencurven jeder einzelnen Scbfu* zu sich j^g. S4,

selbst conjugiert, nach Satz 42, S. 156. Um-
gekehrt: wenn die beiden conjugierten Scharen zusammenfallen, so
bilden sie notwendig eine der beiden Scharen von Haupttangenten-
cnrven.

Pdr,yGOOgIe

!ö6 Zweiter Almvknitl: Die Krümmung der Fläche.

Fragen wir uhb, wann eine Differentialgleichung (vgl Satz 5,
8. 13):

(1) ^(w, v)du^ + 2B(u, v)du dv + C{u, v)dv^ = 0

ein System von conjugierten Curven definiert Die Oleicbung liefert
für jeden Pnnkt (u, v) der Fläche die Werte k und x für die Rich-
tungen (dv.du) der beiden durch ihn gehenden Gurren, sodass

isL Nach Satz 39, S. 155, ist zu fordern, daas diese Oleicfaungeo
die Gleichung

(2) l-fr M{h + x)->ir Nkx--=a
nach sich ziehen. Da

Ä + x = --^, kx^-^
ist, so ergiebt sich:

Sats 69: Die durch die Differentialgleichung
Ä{u,v)du^ + 2B{u,v)äudv + C(u,v)dv* = 0

definierten beiden Curveuscharen auf einer Fläche sind
zu einander conjagiert, wenn die Coefficienten A, B, C mit
den FundamentalgrÖssen zweiter Ordnung L, M, A durch
die Bedingung:

LC-2MB Jr N A = Q
verknüpft sind.

Allerdings haben wir oben stillschweigend 6' ^ 0 angenonunen-

zn demselben Ergebnis,
du-.dv benutzen. Ist
icbnng

Ist t'=0, aber -^ =|= 0, so kommen wi
wenn wir statt dv.du das Verbältni
^ = C = 0, so ist {1} die Differentialglei
dn dv = 0

der Parameterlinien (n) und (v), für die A = (I, x = qo ist, sodass
sich die Bedingung (2) hier — nach Division mit x — auf M = 0
reduciert So kommen wir zu folgendem Satz, der Übrigens ein
Special fall des obigen ist:

Satz 70: Die Parameterlinien («) und [v) einer Fläche
sind dann und nur dann zu einander conjagiert, wenn die
zweite Fundamentalgrösse zweiter Ordnung, also 3f, für
alle Werte von w und v gleich Null ist

Nach (9), S. 106, ist diese Bedingung M^O ausführlich ge-
scbrieheo diese;

Pdr,yGOOgIe

§ 10. Systeme von eonjuffterten Ourven.

(3)

y..

!fv

= 0.

Ist sie erfällt, so giebt es drei nidit sämtlich verscliwindende Func-
tioneo a, ß, y von u and v denu-t, dass gleichzeitig:

ist, weil dies drei lineare homogene Gleichungen ^ a, ß, y ^nd,
deren Determinante gleich Null ist Wäre a = 0, so wären ^„, y„, z„
proportional x^, y^, z,, d. h. die Functionaldeterminante von je
zweien der Functionen x, y, z wäre gleich Null, was nach Satz 1,
S. 5, anszuBchli essen ist. Da also a .|: 0 ist, so folgt, wenn —ß:a
mit a und ~y\a mit b bezeichnet wird: Sind die ParametercuTren
zn einander conjugiert, so giebt es zwei Functionen a(u, v) und
3 (u , r) derart, dass :

ist Umgekehrt, wenn drei solche Öleichungen gelten, so folgt ans
ihnen wieder die Gleichung (3). Mithin können wir sagen:
Sats 71:' Liegt eine Fläche vor:

x = tp{u,v), y = x{u,v), z = -^{u,v),

so sind ihre Parametercurren (») und (v) dann und nur
dann zn einander conjugiert, wenn die drei Functionen tp,.
X, ■^ von u und v sämtlich, für & eingesetzt, ein und der-
selben Gleichung von der Form;

öl? / \ V& y l , ^ Ott

genügen.

Eine Gleichung von der Form:

' Dieser SaU, nach dem za einem jeden Spätem von conjugierten Curven
eioe aogenannte LAPLAOE'sche partielle Differentialgleichung gehört, ist von
Dabboiti. Siehe seine „Le^ons anr la th^orie g^n^rale des aurfaces",
1. partie, Paria 1887.

Pdr,yGOOgIC

188 Zweiter Absehnüt: Die Krüitmtttng der Fläche.

mit gegebenen Functionen a und b und unbekannter oder zu suchen-
der Function & ist eine Bedingung für die ersten und zweiten pat-
tiellen Differentialquotienten von &, also eine sogenannte partielle
Differeotiatgleichung zweiter Ordnung für &.

Han kann diese Qleichung benutzen, um einige Flächen&uniUen
abzuleiten, deren Parameterlinien coajugiert Bind, indem man nlm-
lich fQr a nnd b besonders einfache Functionen wä^lt und dann die
allgemeinste Function & zu bestimmen aucbt, die der Gleichang
genügt

Beispiel: Die einfachst« Annahme ist: a =• b ^ 0. Dadd liegt die
GleicboDK vor:

Sie sagt ans, dass ^— von v frei und -^— von u frei ist, d. h. # htt dir
Form:

a~U{u)+V(,v).

Satz 71 führt uns daher ra den FlSchen von der Daretallangsfonn :

(5) x= P,(a) + r,(r), y= r/,(u)4- F,(r), » = £7,(1*)+ F,(r).
Hier sind also f7„ U^, U, Functioneo von u allein und K„ F„ F, Fnnctioneii
von V allein. Die Curven (u) sind offenbar sämtlich durch Schiebung «c
dei einen Curve:

«=F.(c), y-F,W, *-F,(r)

ableitbar. Die FIficbe (ü) enthält also eine Schar von oo' congmenten und
^eicbgestellten Curveo. Eine solche PISche heiest eine SchiebungsfUche
oder TranaUtionsfläche.'
Wenn eine Ciirve:

^ = r,(v), y-F.H, x~V,(v),

geschrieben in dem Parameter v, durch Schiebungen in co ' Lagen gebracht werdeo
soll, Bo haben wir zn den Coordinaten x, y, x solche Oröseen m addieren,
die lieh stetig andern, also Functionen I/,, I/,, U^ eines zweiten Parameten (■
za addieren. So gehen alsdann die Gleichungen (5) hervor. Jede Svhiebang»-
fläche ist daher in der Form (6) darzustellen. Sie lehrt, daas auch die Pus-
metercnrven (r) almtlich durch Schiebung aus der einen Curve

herumgehen. Also, mit Bückaicht anf Satz 71:

' Die SchiebungsflSchen wurden ausführlich untersucht von Ln, „Bei'
trlge EurTbeori« der Hinimalflächen, I.", Math. Annalen 14.Bd.(lST9L
Diese Abhandlung, auf die wir spBter noch zu verweisen haben, igt eine neue
Bearbeitung einer ilteren Abhandlung: „Synthetisch-analytische Dnter-
sachnngen über Mini mal-Fltchen, I.", Archiv for Math, og Natnrvidoiskib
2. Bd. (1877).

Pdr,yGOOgIe

? 10. Systeme von cimjugierten Ourven.

Sfttl 72: Jede SchiebnngBflfiche enthält zwei Scharen von je
00' congmeoten and gleicbgeBtellten CuTren, und diese beiden
Scharen sind an einander conjugiert.

Dies letztere siebt man ebenfalls geometriscb sofort ein: Wenn eine starre
Corvo e stetig verschoben wird, sodass einer ihrer Punkte eine Gorve f be-
gebreibt (stehe Fig. 65), so haben die Punkte der Cnrve e in jedem Angen-
blieke parallele Bewegungsricbtungen. Es sind dies die Tangenten der durch
die Ponkte gehenden mit f congruenten Gurren in homologen Punkten. Diese
Tangenten bilden einen C;linder, d. h. eine abwickelbare Fliehe, sodass Satz 4b,
S. 157, BDgewandt werden kann.

NKcfast den Cjlindem, die ja augenscheinlich Schiebnngsflächen sind, sind
die Paraboloide

X = a «' + 6 j'

als besonders einlache Schiebungsfltchen in nennen. Denn sie lassen sich so
darstellen :

2! — «, 1' = *', « = ai** + 6p'.
Hier ist also f7, = u, U, = 0, V, - au' und F, - 0, F, - p, F, = bv\ Die
Cnn'en e und 7 sind hier Parabeln.

Es kann wohl vorkommen, dass die beiden Scharen von Gurven dieselbe
analytische Darstellung haben;
alsdann wird die FlBche von
einer Schar von co' congruenten
and gleichgestellten Gurren dop-
pelt flberdeckt Dieser Fall tritt
ein, wenn die Fanctionen Üi, U„ L\
Tun », abgesehen von additiven

Rg. 85., Fig. 66.

CoDütanten, dieselbe Form haben wie die Function F,, F„ F« von c. Hier
kommen wir Bogteich nochmals zurück.

Vorher bemerken wir noch, dass die Schtebungsfläche (5) noch auf e
andere Art erzeugt werden kann; Wir betrachten nSmlich eine Gurve C:

j=20;(«), i,-2(7,(«), j-20i(«)
and eine Gurve F:

X.-2V,(r), i,-2F,W, J-2F,{»),
ansgedrttckt mittels eines Parameters u bei. v. Jeden Punkt (u) der eii

Pdr,yGOOgIe

190 Zweiter Jbsoimitt: Du Krümmung der Fläche.

Cnrve verbinden wir geradlinig mit einem Pnnkt (v) der anderen. Die Utten
(lieaer Strecken sind dann durch die Oleicbangen (5) gegeben. Siebe E^ e&
Wir haben also den

Sata 73: Die ScbiebungefUchen sind identiech mit denjenigen
Flächen, die von den Mitten der Verbindnngsgeraden zwiicbenden
Punkten zweier Curven gebildet werden.

Wenn diese beiden Curven C und T inebesondere durch eine Corre C
ersetzt werden, BO ergeben sich die FlSchen der Mitten der Secanten
einer Cnrve. Und dies sind di^enigen SchiebnngeflSehen, bei deneo die
beiden Seharen von eneugenden Corven in eine ünsige znsammen&llen, die
aber die FlSehe doppelt überdeckt, sodaa« durch jeden Punkt der PlAche ivei
CuTven der Schar gehen. Eine derartige Flficbe wird durch die Gltichangen(&)
dai^estellt, wenn man als Functionen Vi, F|, Vg die Functionen 17,, (7„ U,
wfthlt, nachdem in ihnen das Argument u und r ersetzt worden iM. Es e>
hellt, daas alsdann die Cnrve C oder:

l-iVA»), l) = 2Ci(«), i = 2D,(»),
die offenbar im jetzigen Falle auf der Fläche gelegen ist, von mllen m> con-
grnenten Curven berührt wird. Denn wSblt man auf ihr einen Pnnkt P, debt
man von ihm ans alle Geraden, die die Cuive C noch einm^ ti«ffen und
halbiert man alle diese Sehnen, so bekommt man eine ähnliche Curve in halbem
Maassstab, die C in P berQbrt In diesem Falle also berühren alle Parameter-
Itnien (u) und alle ParameterUnien (v) die Curve C Da sie un System von con-
jubelten Curven bilden, und da also in jedem Punkte P von C die beiden bb-
dnrchgehenden Curven (u) und (c) die Curve C berühren, so ist die Tangente
von 0 in P EU sich selbst conjngiert und also eine Haupttangente, noch Satz 41,
S. 15G. Hithin ist also C eine Haupttangentencurve der Fläche. Bechnerisch
kann man dies ans den Gleichungen (5) — immer filr den Fall, dass die Func-
tionen Vi, ü,, üf von u dieselben wie die Functionen F„ F,, F, von v rind,
deshalb nicht ableiten, weil die Parameterdarstellnug der Fläche gerade fflr
die Curve C ausartet, da die ParameterUnien einander in den Punkten von C
berühren. (Vgl. S. 6.) Es hat sich ergeben:

■ Sab 74; Der Ort der Mitten der Secanten einer Garve C ist
eine Schiebungsfläche, auf der die Curve C selbst eine Haupt-
tangentencnrve ist. In jedem Punkte wird die Curve (7 von einer
der cTEeugenden Curven der Schiebungsfläche berührt, und diese
erzeugenden Curven, die der Curve C im halben Haassstab ähnlich
sind, Überdecken die Fläche doppelt, dabei ein System von cos-
jugierten Curven bildend.

Nehmen wir z. B. als Curve C die gemeine Schraubenlinie (v^. (8) i»
I S. 157):

(6) j = rco8u, l(-r8inw, S = ?«

auf dem Rolationscylinder um die c-Äxe mit dem Radius r und mit der Steig-
liühe 2jiq, so haben wir dem Parameter u zwei Werte u und r zu geben nnil
Jedeamsl die halben Summen aus den beiden zusammengehörigen Coordinaten
zu bilden. So erhalten wir

(7) x = ^r(eos« + coflf;), y - ir(sin t* + sin»), *-i«(»-f.)

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 10. Systeme von eonjugierttn Curven.

als Qleichnngen der FlSche der Mitten allor Secuaten der Scbranbenlinie (6).
Die PlScbe enthSlt als SchiebungBflficbe co' gleichgestellte Schraubenlinien,
die alle der (^meinen Schrauben linie

congraent sind; übrigens liegt diese selbst nicht auf der FISche. Die oo*
Schrauben linien Bberdecken die PlSche doppelt ond bilden ein eonjugiertea
System. Benufat man die neuen Parameter

ao stellt eich die Fläche (7) so dar;

(8) * - ä cos f , y = ü sin 9, x= qi.

Nach (20), S. 60, ist sie also eine gemeine ScbraubenflSche mit der Steig-
höhe 2iiq. Die Schraubenlinie (6), die hier die Curve C ist, liegt auf ihr und
iat nach nnserem Satze eine Haupttangentencurve. (Vgl- auch das Beispiel anf
S. 164.) Da der Radius r des Cjlinders von C in den Gleichungen (S) der
SchraafaenflSche nicht auftritt, so folgt, dass als Cnrre C irgend eine der-
jenigen Schraubenlinien gewählt werden kann, in denen die Fläche von den
Rotationsc;] indem um ihi'e Aze geschnitten wird. Jede Curve (v) anf der
Fläche, die zu dieser Curve C im halben Maassslab ähnlich und abo von der
Steighöhe iiq ist, erfüllt nach (7) eine Gleichung:

(•-irco.i.)'4-(v-ir.iiir)'.tr',

D KadiuB \ r liegt, der die

Satz ti: Eine gemeine ScbranbenfUcbe kann anf unendlich
viele Arten als Schiebnngaflficbe aufgefasst werden. Wird sie
nSmlich mit irgend einem Rotationscjlinder, der die Schranben-
axe als Hantellinie enthält, zom Schnitt gebracht, so ergiebt sich
eine gemeine Scbranbenlinie, deren Steighöhe halb so gross wie
die der Fläche ist, und die sich, starr gedacht, auf der Fläche ver-
schieben lässt Die oo' Curven, in die sie dabei übergeht, be-
rühren sämtlich eine derjenigen gemeinen Schraubenlinien der
Fläche, die Haopttangentencurven sind. W&hlt man umgekehrt
irgend eine der krummen Haopttangentencurven der FlKcbe aus,
so ist der Ort der Mitten ihrer Secanten die Fläche selbst.

Übrigens sind die gemeinen Schrauben fl&chen nicht die einzigen Flächen,
die in unendlich vielen Weisen als Schiebungsflächen aufgeftsst werden
kSnnen. Ausser den Cylindern, die ja die Schiebung jeder Curve auf ihnen
gestatten und daher triviale Beispiele sind, giebt es noch eine Keihe von an-
deren Flächen mit dieser ausgezeichneten Eigenschaft, auf die wir hier jedoch
nicht eingehen wollen.'

' Die obigen Sätze Qber Scbiebongsflächen rühren von Lix ber. £a giebt
Flächen mit vier Scharen von je oo' eongmenten und gleichgestellten Curven
ond solche mit unendlich vielen Scharen, wie z. B. die gemeine Scbrauben-
fläche. Alle Flächen von dieser Art wurden efaenfalla von Lie bestimmt:
„Bestimmung aller Flächen, die in mehrfacher Weise durch Trans-

Pdr,yGOOgIe

192 Zweiler Abschnitt: Die Krümmung der Fläche.

Wählt man eiae Schar tod oo' Gurren ganz beliebig anf eiser
FllUsbe, etwa so, daae sie die Differentialgleichung

-,— — i{«, t»)
du \ ' '

erfüllt, so ist es leicht, die Differentialgleichiuig der zu ihr coo*
jugierten Schar aufzustellen. Denn wenn

diese Gleichung wäre, so mflssten A e= i ond x = ^ fQr jedes Werte-
paar u, V die Oleichnng (2) erfüllen, d. h. es milBsta

L + M{X + /i) + NXp. = 0

sein, und hieraus lässt sich p, leicht berechnen.

Man kann auch so Torgehen: Ist eine Schar von od' Cunen
auf der Fläche beliebig gegeben:

fl(a, t.) = Const,

so führt man il (u, v) = a als neuen Parameter o und irgend eine
Ton Sl unabhängige Function von u und v als neuen Parameter i
ein. Sind dann L, M, N die zu den neuen Parametern gehörigen
FundamentalgrQssen zweiter Ordnung, so gilt jetzt die zu (2] aos'

i+if(* + i) +

NU

-0

In jedem
kommt für

Punkte der Schar (0) ist
X die Bedingung;

jetzt

de

da

M+Si.

.0

oder wenn

i-dB

■.da gesetzt wird;

(9)

Sda + Sdt

= 0.

Dies ist also jetzt die Differentialgleichung der zu den neuen Pan-
metercurren (fl) conjugierton Schar von Curven.

lationibewegnng «iner Corve erzeugt werden", ArehiT for H tau iig
Natarv. 1688. EinEeUieiteii hiervon hst er schon Hit 1872 in venehiedeno
Arbeiten gegeben. Einen wichtigen Fortacbntt enthllt altduin lat'i Hot«'
„Sur nne interpr^tation uonvelle dn thäor^me d'Abel", Coiqit»
Kendae t CXIV (1692), auemhclichei dargestellt in der Arbeit: „Oberdit
Theorie der Translationsfl&cben nnd das AaKb'eehe Theorsn",
Leipziger Berichte 1896.

Pdr,yGOOgIe

? 10. Systeme von eonjv^ierlen Gurven. 193

Za den Systemen tod conjugierten Curven kommen wir auch,
wenn wir ans die Frage Torlegen, bis zu welchem Grade die
unendlich kleinen Vierecke eines Curvennetzes als eben
zn bezeichnen sind. Ee seien nämlich

(a, t.), (« + du, «), (w, V + dv), (u + du,v + dv)

vier unendlich benachbarte Punkte auf der Fläche, die ein anend-
lich kleines Parallelogramm bilden, da ihr Viereck, unendlich ver-
grössert, nur anendlich wenig von einem endlichen Parallelogramm
abweicht Diese Äbweichnng besteht darin, dass die Seitenrichtnngen
paarweis nicht genau parallel sind, sondern um unendlich kleine
Winkel von einander abweichen. Man vergleiche die Betrachtung
io der Hlbene, I S. 115. Da wir aber jetzt Betrachtungen im
Räume anstellen, so bringen es diese Abweichungen mit sich, dass
das Viereck der vier Punkte auch windschief wird. Allerdings ist
die Abweichung Ton einer Ebene nur unendlich klein von höherer
als erster Ordnung, wenn man du und dv als unendhch klein von
erster Ordnung ao^sst Dies folgt schon daraus, dass die Glei-
chung der Tangentenebene des Punktes (u, t>) oder (x, y, z):

(10) X{l-x)+Y(,'g-s) + Z(i-z)-0

von dem Punkte {u + du, v + dv) befriedigt wird, sobi^d man in
den rechtwinkligen Coordinaten dieses Punktes, die sich ja durch
Reihenentwickelung ergeben :

;^ = X + x^du -^ x^dv + . . .,
? =y + !/u'^'t + !/„tiv + •■-,
j= z+ z^du + z^dv + ...

die höheren Potenzen von du and dv vernachlässigt Berücksichtigt
man auch die höheren Potenzen, indem man setzt:

l = x + x^du + x^dv + Yii.^ui.'^u^ + '2'„,dudv + x^^dv^ + ...

imd analog fUr Q und j, so giebt die linke Seite der Gleichung (10),
die ja in der Normalform vorliegt, da X, Y, Z die Ricbtnngscosinus
der Tangentenebene sind, und die also allgemein den Abstand des
Punktes (j, ^, j) von der Tangentenebene des Punktes (r, y, z) vor-
stellt, Folgendes: Der Punkt (w + du, v + dv) hat von der Tan-
gentenebene des Punktes (u, v) den unendlich kleinen Abstand:

dt = Zx\x^du + x^dv -^ ~{x^^du^+ 2x^^dudv + x^^dv^ + ...1 .

SCHU^TBu, üeom. Dlfl^. II. 13

D,gnzedr,yGOOgIe

Zweiter Abs<Amü: DU Krummtmg der Fläche.

Nach XI (7} nnd nach (8), S. 106, köanea wir hierfür schreibeo:
rf ( = ^(Zrfu* + 2Jfrf«(ff> + jVrfo») + . . .

Dabei bedeuten die Punkte die Glieder von hfiherer Ordnung in
du und dv. Also:

8«ti 76: Sind («, u) und {u + du, v Jr dv) zwei anendlich
benachbarte Flächenpunkte und eind du und dv unend-
lich klein von erster Ordnung, so iBt der Abstand des
zweiten Punktes von der Tangentenebene des ersten
Punktes von mindestens zweiter Ordnung unendlich klein,
nnd zwar ist er in den unendlich kleinen GrSssen zweiter
Ordnung gleich:

\ {L du' + 2Mdu dv + Jfdv*).

Dieser Abstand ist also nur dann von mindestens dritter Ord-
nung nnendlich klein, wenn

Zdu' + 2Mdudv + Ndv* = 0

ist, d. h. wenn die Richtung vom eisten Punkt zum zweiten eine
Haupttangentenrichtung ist (Vgl Satz 18, S. 130.)

Nun kann man dieselbe Betrachtung für den Punkt (u + du, v)
and für den Punkt (u, v -\- dv) anstellen. Also folgt, daas die drei
Punkte

(« + </»,(.}, (ti, r + rfo), {ii + du, o + dt.)

s&mtlicb nnendlich kleine Abstände zweiter Ordnung von der Tan-
gentenebene des Punktes (u, v) haben. Diese Abstände wären nur
dann von mindestens dritter Ordnung, wenn die vom Punkte (u, v)
ausgehenden Seiten and die von dort aasgehende Diagonale des
Parallelogramms Haupttangentenrichtungen wären. Da aber ein Punkt
(u, tt) nur zwei Haupttangentenrichtungen hat, so folgt:

Satz 77: Mindestens eine Ecke des Vierecks der an-
endlich benachbarten Punkte:

(a, «), (a + du, «), («, V + dv), (u + du, v + dv)

aaf einer Flache weicht in zweiter and nicht höherer Ord-
nung von der Tangentenebene des ersten Punktes ab,
vorausgesetzt, dass du und dv von erster Ordnung nnend-
lich klein sind.

Hieraus ziehen wir den Schluss: Die Ebene der drei Punkte
{u,v). («-frf«,«), {u,v + dv)

D,gH,zedr,yGOOgIe

f 10. Systeme von cotijttgUrUn Ourven.

195

darf nicht ohae weiteres bei uaserer gegenwärtigen UntersuchuDg
im Unendlicli-Eleinen mit der TangentenebeDe des Punktes (u, t>]
▼erwechaelt werden. Vielmehr haben wir jetzt zn fragen, wie sich
der Abstand des Punktes (u •(- du,v + dv) von der Gbene der drei
geoannten Funkte darstellt, and dabei haben wir Qherall die
höheren als ersten Potenzen von du und dv xa beachten.

Wir verfahren so, dass wir zunächst den Inhalt dJ des von
den vier Punkten bestimmten Tetraeders berechnen. Be-
zeichnen wir vorerst die rechtwinkligen Coordinaten der vier
Punkte mit

80 ist bekanntlich:

6rf/ =

^1 - ' yi-y h-

*i. y». H'

Dabei erscheint der Inhalt («ne übrigens oben anch der Abstand di)
mit einem Vorzeichen behaftet.

Non sind x^, y^, Zj die Coordinaten des Punktes (u + du, v).
Daher ist zu setzen:

i, =1 + x^du-^ Y72 *iiii ''"* + ••■

n. H. w. Femer analog :

x^ = x-\- x^du + r,dt) + Y^{«„,rf«*+ ^x^,dudv-\-x^^dv*) + ..
□. 8. w., sodass sich ergiebt:

X^ du + —~i 'uu '*''' + • • ■

x^dv-^ Y^2^,„'/«'* + --- . • '

x^du + x^dv + -^{x^^du^+2x^^dudv + x^^dv*) +

Subtrahiert man die beiden ersten Zeilen von der dritten, und son-
dert man von den beiden ersten die Factoren du und do ab, sq
erhält man:

.dr,yGoogIe

Zweiter Abschnitt: Die Krümmung der Fläche

x^^dudv ■\- ... .

Wenn wir nur die Grlieder niedrigster, nämlich vierter Ordnung
wirklich ausrechnen, so kommt:

oder nach (9), S. 106:

dJ=^DMdti'dv'+ ...

Nach S.34, 35 iat ferner der Inhalt des Dreiecks der drei ersten
Paukte gleich

\2)dudv + ...

Ist nun dh der Abstand des vierten Punktes ron der Ebene
der drei ersten, so ist nach bekannter Formel der Stereometrie:

Also kommt:

^({Ddudv + ...)dh = äJ.
dh = Mdudv+ ...

Daher:

Satz 78: Der Abstaad der Ebene der drei unendlich be-
nachbarten Flächenpunkte (u, v], (u + du, n), (u, v -]- i^v) toh
dem Punkte (« + </», v -\- dv) ist, abgesehen von unendlich
kleinen G-rössen hSherer Ordnung, gleich der Fundamen-
talgrÖBse M, raultipliciert mit dudv.

Der Fall ^ = 0 liefert nun nach Satz 70, wenn wir noch be-
denken, dass ^Edu und YOdv zwei Seiten des Vierecks der rier
Punkte sind, dies Ergebnis:

Bat! 79: Legt man auf eine Fläche ein unendlich dich-
tes Netz von zwei Scharen von je oo' Cnrven und sind die
Seiten der Netzvierecke unendlich klein von erster Ord-
nung, so weicht die vierte Ecke eines Netzvierecks von
der Ebene der drei ersten im allgemeinen nur unendlich
wenig von gerade zweiter Ordnung ab. Die Abweichung
ist dann und nur dann unendlich klein von mindestens
dritter Ordnung, wenn das Netz von einem System con-
jugierter Gurven gebildet wird,

Pdr,yGOOgIe

f 10, Systeme von oonjwgierten Ourven. 197

Dies Ergebnia hat eine praktische Bedeutting:

Stellen wir nns zunächst vor, die Fläche sei mit irgend einem
Carvennetz belegt, und Tergrössem wir alsdann ein FlächenstUck
so weit, bis die unendlich kleinen Grössen erster Ordaang, also
die Seiten der Netzvierecke, endlich werden. Die Richtuni^unter-
schiede von Gegenseiten der Vierecke bleiben dabei anendlich klein
von erster Ordnung, weil die Winkel bei der ähnlichen Vergrösserung
nicht geändert werden. Der Abstand der vierten Ecke eines Netz-
vierecks von der Ebene der drei ersten Ecken dagegen wird jetzt
im allgemeinen, nämlich solange das Netz nicht ans conjagierten
Curven besteht, unendlich klein von erster Ordnung.

Wollen wir nun ein Modell dieses vergrösserten Flächenstückes
aos lauter Vierecken herstellen und dabei Unendlich-Kleines
von erster Ordnung durch nur Sehr-Sleinee ersetzen, so
müssen wir folglich die Vierecke windschief, wenn auch sehr
wenig von der Ebene abweichend, annehmen. Besteht das Netz '
dagegen aus conjugierten Curven, so ist die Abweichung von der
ICbene nach der VergröasemDg unendlich klein von mindestens
zweiter Ordnung und braucht daher im Modell nicht zum Aus-
druck zu kommen. Dann also dürfen wir ebene Vierecke wählen,
aber im allgemeinen wohlbemerkt keine Parallelogramme,
sondern Vierecke, die allerdings nur sehr wenig von Parallelo-
grammen abweichen,^ da eben die Bichtungsunterschiede von Gegen-
seiten jetzt von erster Ordnung
unendlich klein sind und daher
im Modell durch nur sehr
kleine Winkel zum Ausdruck
gebracht werden müssen.

Ein Netz von ebenen,
sehr wenig von Parallelo-
grammen abweichenden
Vierecken ist also ah Mo- P"g- 6'-

dell eines Plächenstückes

sehr wohl zu benutzen, doch muss man dann notwendig
die Seiten der Vierecke als Bogenelemente zweier Scharen
von conjugierten Curven auffassen. (Siehe Fig. 67.)

Es ist sehr bemerkenswert, dass man auf einer beliebigen Fläche
durch eine einfache Construction, die analytisch nur Differentiationen

' Nehmen wir Parallelogramme, bo ergiebt sich ein Modell für die Seh:
bangsflScbeu (siehe S. 166).

Pdr,yGOOgIe

198 Zweüer Abaclmitt: Die Krümmung der Fläeke.

and ElimiDationen verlang stets ein STstem von conjngierten CDnen,
ja sogar unendlich viele solche Systeme finden kann:

HaD wähle nämlich irgend eine Gerade g fest im Banm und

constmiere erstens die Curven c, in denen die F^clie von allen

Kbeuen durch g geschnitten wird, und lege zweitens von jedem

Punkte der Geraden g aus die Tangenten an die Fläche. Letzteres

liefert 00 ' Tangentialkegel; jeder be-

rtthrt die Fläche längs einer Gurre i

(siehe Fig. 68). Die Gurren c vaA li

sind nun zu einander conjugiert

In der That: Die Tangentialkegel

sind abwickelbare Flächen. NachSfttz45,

S. 157, ist also in jedem Punkte P der

Fläche die Tangente der hindnrchgeheD-

den Cnrre k conjngiert zur hindorcb-

geh enden Erzeugenden des Kegels.

Di^e Erzeugende aber schneidet die

Fig. 6S. Gerade g und liegt daher in der Ebene

der hindurchgehenden Curve c, iodeiii

sie diese Gurve in P berUhrL Also haben die doich P gebendeo

Gurren c und A coigugierte Tangenten.

Um dies auch analjüsch abzuleiten, wählen wir die Gerade 9
als z-Axe. Benutzen wir alsdann y:x als Parameter w, sodass

(11) J^ = «^

ist, 80 sind die Curven («) die Curven c. Nach (9) ist jetzt

(12) MiTfi + Ndv^i)

die DifTerentialgleichuDg der zu den Curven c conjngierten Cunen.
Infolge von (11) aber ist

(13)

!/mv = ^„ + "-^»Bi y,« = «*„j
sodass nach (9), S. lOti, kommt:

Die Differentialgleichung (12) lantet demnach:

,dr,GoogIe

§ 10. Systeme von eonjugiartvn Oarven. 199

Wir mOssen zeigen, dasB aie Ton den Curven k erftÜlt wird. Za
diesem Zweck conetmieren wir ans eine Curre k, indem wir einen
Punkt (0, U, c) auf der 2-Axe wählen und alle Tangentenebenen

TOD ihm aus an die ilUche legen. Diese Ebenen herOhren die
Fläche längs einer Curre h, die nach der Substitution Ton £ = 0,
5 = 0, J = c dargeBtellt wird dnrch:

(15, ^£i4» + ?^_..

Vs ist dies ja eine Gleichung toq der Form Si(u, p] = c, und sie
stellt für jeden constaaten Wert von c
eine Curre A dar. Wegen (11) nnd (13)
ist aber nach XI [F):

Das totale Differential der linken Seite
hiervon ist aber gleich der linken Seite
Ton (14), dividiert durch x*, Uithin
ist (16) thatsächlich das Integral von
(14). Hiermit ist der analytische Nach-
weis beendet and zugleich gezeigt, wie
man auf einer beliebigen Fläche, nach-
dem man y : x t^% Parameter u ein-
geführt hat, mittels der Formel (16)
die ZD den Curven (u) conjugierten
Cnrven durch Differentiation allein
findet Fig. 69.

Wir haben hiernach den

Bati 80:' Schneidet man eine Fläche durch diejenigen
blbenen, die eine feste Gerade enthalten, in tx' Curven c
und constpuiert man die ao* Berührungscurven k derjenigen

< Sftiz von KöHii», vgl. hierüber die iu der Anm. aof S. 167 genannten
„Levona" von Dasbodz, 1. pMtie, S. 111.

DX-

'",-"('

BY.

- x^s^ — t^

DZ-

■■ — xx^.

sodass (15)

80 lantet:

(16)

XX,- XX,

,dr,Google

200 Zweiter Ahseknitt: Die Krümmung der Fläche.

Tangeutialkegei der Fläche, deren Spitzen auf der festen
Geraden liegea, bo sind die Gorven c and k za einander
' conjugiert

In Fig. 69, S. 199, ist die Form eines Modells angegeben, dsss
man nach den früheren Auseinandersetzungen für dieses Sj'Stem ron
conjugierten Curven herstellen kann.

§ 1 1. BerQhrung zwischen Fliehen.

In § 1 des gegenwärtigen Abschnittes und weiterhin haben wir
die Krümmung der Gurren untersucht, die von einem Fl&cben-
punkte P ausgehend auf der Fläche verlaufen. Für verschiedeiie
Gurren durch einen Punkt P ergaben eich an der Stelle P ver-
schiedene KrQmmungeu; auch för diejenigen Gurven, die in P noch
die Tangente gemein haben, ist sie verschieden, wie Satz 1, S. 105,
lehrt

Hiemach ist es klar, dass uns bisher noch eine Methode fehlt,
um einen Begriff zu bestimmen, der ein Maaes für die Krümmung
der Fläche selbst an der betreffenden Stelle P abgeben würde.
Wollen wir einen solchen Begriff ableiten, so liegt es zunächst nahe,
zu versuchen, den Begriff des Krümmungskreises einer Curve für
den FaU der Fläche zu verallgemeinem, denn der reciproke Wert
des Radius dieses Krümmungskreises ist ja das, was vrir die Krüm-
mung der Gurve an der Berilhningsstelle genannt haben, vgl. I S. 38
und I S. 189. Der Krümmungskreis war als derjenige Kreis defi-
niert worden, der die Corvo an der betrachteten Stelle in zweiter
Ordnung berührt, vgl I S. 29 und I S. 188. Wollen wir nun den
Begriff der Krümmung fUr die Flächen verallgemeinem, so werden
wir an die Stelle der Gurre die Fläche und an die Stelle des
Kreises die Kugel setzen. Demnach werden wir zunächst versuchen,
ob wir eine Kugel so wählen können, dass sie die Fläche in einem
gegebenen Punkte möglichst innig berührt.

Zur Vorbereitung müssen wir davon sprechen, was überhaupt
unter einer Berührung n*" Ordnung zwischen zwei Flächen zn ver-
stehen ist In Analogie mit der Definition für die Berührong
zwischen Curve und Fläche, I S. 226, setzen wir fest:

Zwei Flächen berühren einander in einem gemein-
samen Punkte P in n'" Ordnung, wenn es zu jeder solchen
Curve auf der einen Fläche, die durch P geht, eine Curve
auf der anderen Fläche giebt, die jene Gurve in P in »"'
Ordnung berührt

Pdr,yGOOgIe

> 11. Beriihrwiff swischen Flächen. 201

Wir kommen liierdurcb aaf den Begriff der Berührung zwischen
zwei Gurren zurück. Unabhängig davon können wir die Definition
nach I S. 19 and I 8. 166 auch so ausBpreohen:

Zwei Flächen berühren einander in einem gemeineamen Punkte P
in n*" Ordnung, wenn es zu jedem auf der einen Fläche unendlich
nah bei P gelegenen Punkte A einen Punkt §( auf der andern Fläche
derart gieht, dase die Strecke A^ unendlich klein von (n + 1)*" Ord-
nung iBt, sobald die Strecken PA und PS( unendlich klein von erster
Ordnung sind.

Ana dieser Form der Definition ist es leicht, analog dem
Satze 5, 1 S. 167, ein analytisches Merkmal für die Berührung
zwischen zwei Flächen:

x = ip{u,v), i/=x(u,v), z = yß(u,v)
und

S=f(u,D), 9 = fl(u,D), i = ^{u,t>)

abzuleiten. Der Unterschied gegenüber jenem Satze besteht hier
nnr darin, dass an die Stelle der Entvdckelungen nach dt und di
hier Entwickelungon nach je zwei Differentialen du, dv bez. du, dn
treten, sodass also auch die damals gegebene Substitutionsgleichung
durch zwei Oleichnngen zu ersetzen ist, von denen die eine ff u und
die andere dXi als Beihenentwickelung nach du und dv darstellt

Wir verzichten jedoch auf die FormolieruDg dieses Satzes, weil
wir die Berührung zwischen zwei Flächen nur in einigen solchen
Fällen besprechen, die einfacher zn erledigen sind.

Betrachton wir zanächst den FaU der Berührung zwischen einer
Fläche und einer Ebene, die durch den Punkt P der Fläche gehe.
Soll die Bertlhrnng von erster Ordnung sein, so mnss es zu jeder
Geraden in der Ebene, die von P ausgeht, eine Flächencurve durch
P geben, die jene Gerade in P berührt, d. h. die Ebene muss — was
ja vorherzusehen war — die Tangentenebene von P sein.

Fragen wir ans, wann die Fläche von der Tangentenebene ihres
Punktee P in zweiter Ordnung berührt wird. In diesem Fall muss
es insbesondere zu jeder solchen Gteradea in der Ebene, die von P
aoBgeht, d. h. also zu jeder Tangente von P eine Flächencurve geben,
die diese Tangente in zweiter Ordnung berilhrt Sind:

(1) x^<p («, v), y = x («. ^). z = V>{u, V)

die Gleichungen der Fläche und ist der Punkt (u, v) der betrachtete
Punkt P, so wird eine Flächencurve durch diesen Punkt nach S. 1 1
dadurch definiert, dass man u und v als zwei solche Functionen

Pdr,yGOOgIe

202 ZutiUr Me^nitt: Die KrSmmimg der Fläehe.

eines Panmetera t aoffasst, die etwa fltr f = 0 die Werte der Para-
meter liefern, die dem Pnokte P Kokommen. Dann' ist aof der
Cuire, wenn die Striche die DiETerentiatioD nach t andeuten:

^= x^u' + x^ b',
nnd, wenn wir nochmals nach t differenäeren:

*"= *„«'' + 2x_,ii'r' + i,^»'* + r^M"+ *,»"■

Die Formeln bleiben richtig, wenn x durch y oder z ersetzt wird.
Nach Satz 6, I S. 169, haben wir mm zn fordern, dass:

«' y .'

sei oder:

x" = t>x; /' = (»y, z'=ex',

wenn wir einen Proportionalitttsfactor q einfahren. Dies giebt:

'■1. "'* + 2 ',. «' w' + '„ "''* = *, (e b" — «") + *„ (p v' — t>")
nnd die beiden Gleichongen, die hierans herrorgehen, wenn mim j
dnrch y oder z ersetzt

Diese Forderungen milBsen nun erfüllt sein, wie auch die
Tangente gewählt sei, d. h. welchen Wert auch das VerbStltois
dv.du oder v'-.u' hat. Um u", v" zn entfernen, mnitiplicderen wir
die Gleichungen mit den Richtongscosinus X, Y, Z der Normalen
und addieren sie dann. So kommt nach (8), S. 106, nnd nach XI (J):

und da diese Bedingung lilr jeden Wert von v -. u bestehen soll, &o

mnss einzeln:

(2) L = M=N^Q

för den betrachteten Punkt P sein.

Diese Bedingungen sind nun auch hinreichend dafür, iati
die Fläche im Punkte P ron ihrer Tangentenebene in zweiter Ord-
nung berührt wird. Denn nach Satz 76, S. 194, ist unter den Be-
dingungen (2) der Abstand, den ein dem Punkte P oder (tf, v) un-
endlich benachbarter Punkt Ä oder {u + du, v + dv) von der
Tangentenebene des Punktes P hat, von mindestens dritter Ordnnog
unendlich klein, sobald PA unendlich klein von erster Ordnung ift
Wenn wir also den Fusspunkt dieses Äbstandes mit ät bezeichnen.
so haben wir jedem E^ächenpunkt d in der Umgebung Ton P einen
Punkt 9 in der Tangentenebene zugeordnet, derart, dass die suf
3. 201 gegebene Definition ftlr die Berührung im Falle n = 2 zutrifft.

Pdr,yGOOgIe

§ 11. BaräArung zwüehm Flächen. 203

Demnach:

Satt 81: Eine Fläche wird von einer Tangentenebene
nar dann in zweiter Ordnung berührt, wenn die Funda-
mentalgrOssen zweiter Ordnang fflr den Berfibrnngspunkt
alle drei gleich Null sind.

Betrachten wir jetzt den Fall der BerDbmng zwiachen Fläche
und Eagel. Die BerDhrnng ist zunächst, was ohne weiteres klar
ist, von erster Ordnung, wenn die Eugel die Tangentenebene des
getneiDsamen Punktes P berührt. Soll die Berührung von zweiter
Ordnung Bein, so moes es zu jeder Flächencurre c durch P eine
Ciirve c auf der Kugel geben, die c in zweiter Ordnung berührt. Es
sei nun k der Erümnmngskreis tou c in P. Er berOhrt c in zweiter
Ordnung. Nach Satz 15, I S. 28, der nach Satz 8, I S. 170, anch
fär Baumcorren gilt, muss also anch die sphärische Corre c den
Kreis k in zweiter Ordnung berühren, anders ausgesprochen: k mnss
auch der ErUmmnngskreis von c in P sein. Aber der Erümmungs-
kreis einer sphärischen Curre liegt auf der Eugel, da die Eugel
ihre Schmiegungskugel ist (vgl. I S. 237). Also folgt: Damit die
Kngel die Fläche in zweiter Ordnung berühre, ist notwendig nnd
augenscheinlich anch hinreichend, dass die Kugel von allen durch
P gehenden Flächencurven die Erümmungskreise des Punktes P
enthält Insbesondere mUsste die Kugel die KrUmmungskreise aller
NormalBchnitte von P enthalten, d. h. der Punkt P mUsste nach
8. 110 ein Nabelpunkt sein. Dann aber tritt thatsächlich nach
Satz 1, S. 105, Berührung zweiter Ordnung ein. Mithin:

Sati 8S: Eine Fläche wird von einer Eugel nur dann
in zweiter Ordnang berührt, wenn der Berührungspunkt
ein Nabelpnnkt der Fläche ist, und zwar ist dann der
Eogelmittelpunkt der gemeinsame Mittelpunkt der Krflm-
mungskreise aller Normalschnitte des Nabelpunktes.

Kehren wir jetzt zu den Betrachtungen am Anfang dieses Para-
graphen zurück, so sehen wir, dass die Übertragung des Be-
griffes: Erümmungskreis einer Curve in den Begriff:
Erümmnngskugel einer Fläche unmöglich ist; sie ist nur
für die vereinzelten Nabelpunkte der Fläche möglich.

Dies negative Ergebnis nötigt uns, einen anderen Weg zur
Aufstellung des Begriffes der Krümmung einer Fläche einzuschlagen.
Daran gehen wir im nächsten Paragraphen. Hier erwähnen wir
nur noch, dass man leicht erkennt, dass das in Satz 32, S. 145,
auftretende oscnlierende Paraboloid die Fläche in seinem Scheitel
in der zweiten Ordnung berührt

Pdr,yGOOgIe

Ztoeiter Abschnitt: Die Krümmung der Flärhe.

§ 12. Die spMrische Abbilduna und die Krümmung der Hieben.

In der Ebene haben wir den BegrifT der KrQmmuDg einer Ciure
znnächat als Verhältnis aus dem Contingenzwinkel und Bogenelement
definiert, siehe I S. 86. Dieser Definition gaben wir in Satz 2S,
I S. 41, eine andere Form, indem wir einen Kreis vom Badios Eins
annabmen, alsdann zn jeder Normalen der Gurre den parallelen
Radius zogen und dadurch jedem Punkte der Curve einen Paukt
anf dem Ereise zuordneten. Die Krümmung war dann gleich dem
Verhältnis aus einem Bogenelement des Kreises zum zugehörigen
Bogenelement der Curve. Dies Verfahren können wir auf die Flächen
ühertragen. Wir gelangen dadurch zn einer besonders wichtigen
Art, eine Fläche auf die Eagel abzubilden, die schlechtweg die
sphärische Abbildang der Fläche heissen soll.^

Gegeben sei die Fläche:
(1) x = ^{u,v), y~xiv,v), z = ^p{u,v).

Die Normalen der Fläche seien im reellen Fall mit positivem Sinn
versehen, wie es auf 8. 27 fUr ihre Richtungscosinus X, Y, '£ fest-
gesetzt worden ist. Wir nehmen
nunmehr eine Engel vom Radius
Kins an, etwa die um den An-
fangspunkt 0 als Mitte. Zur (im
- .;t, -•'^^1/\^X reellen Fall positiven) Normalen

"'■• I \ des Plächenpunktes P oder («, v)

ziehen wir von der Eugelmitte
aus den parallelen Radius. Sein
Fig. 70. Endpunkt $ heiese das sphä-

rische Bild des Punktes P.
(Siehe Fig. 70.) Seine rechtwiDkligen Ooordinaten sind offenbar gleich
den Richtungscosinns X, Y, Z.

Diese Art der Abbildung mittels paralleler Normalen mag noch
so erläutert werden: Wird die vorgelegte Fläche aus irgend einer
Richtung durch parallele Strahlen beleuchtet, und benutzt man den
Satz, dass die Helligkeit einer Stelle proportional dem Cosinus des
Einfallswinkels, d. h. des Winkels von Lichtstrahl und Normale, \si,

' Die sph&riHlie Abbildung der FlKchen auf die Kugel wurde als ein
wichtiges HDIfsmitlel von Gadbb in Beinen „DiequiBitiones" (vgl. S. 9) in
die Flächentheorie eingeführt und BjBtematisch verwertet Man nennt sie
deshalb auch die Gime'Bche Abbildung. *

Pdr,yGOOgIe

§ 12, Die aphäriaehe Abbildung und tue Krümmung der Fläckeit. 205

so sieht moD: Von welcher Richtong aus man die Fläche und die
Kugel durch parallelee Liebt beleuchten mag, stets haben ent-
sprechende Stellen TOD Fläche und Engel dieselbe Helligkeit Aus
diesem Grunde bedient man sich der sphärischen Abbildung in der
darstellenden Geometrie zur Bestimmung der Linien gleicher Hellig-
keit, der sogenannten Isophoten oder Lichtgleichen, auf ge-
gebenen Flächen.

Hier ist auch Gelegenheit von Parallelflächen zu sprechen:
TrSgt man auf allen Normalen der gegebenen Fläche (1) von ihren
Fusepankten aus die conatante Strecke a ab, so ist der Ort der
Endpunkte eine Fläche mit den Gleichungen für die laufenden
Coordinaten £, 1), j:

ebenfalls ausgedruckt mittels der Parameter u und v. Hier ist:

E« = 'u + -^°. E, = *, + ^,a
u. 8. w., sodass nach XI {H) und XI (J) folgt:

was aussagt, dass der Punkt (;, Q, j) der neuen Fläche dieselbe
Normale wie der Punkt {x, y, z) der Fläche (I) hat, oder auch:

Satt 83: Trägt man auf den Normalen einer Fläche von
ihren Fusspunkten aus eine constante Strecke auf, so ist
der Ort der Endpunkte eine Fläche, deren Tangenten-
ebenen den Tangentenebenen der ursprünglichen Fläche
in entsprechenden Punkten parallel sind, sodass beide
Flächen die Normalen gemein haben.

Man nennt daher die neue Fläche eine Parallelfläche der
Fläche (1). Es leuchtet ein, dass entsprechende Punkte der
Fläche (1) und einer Parallelfläche dasselbe sphärische
Bild haben. Die sphärische Abbildung bringt also, kann
man sagen, nur diejenigen Eigenschaften der ursprüng-
lichen Fläche zum Ausdruck, die auch allen ihren Parallel-
flachen zukommen. —

Bei der sphärischen Abbildung der Fläche (1) sind, wie gesagt,
X, Y, Z die Coordinaten des Bildpunktes. E^s sind dies Functionen
der Parameter u, v, und daher sind u, v jetzt auch Parameter auf
der Bildkugel.

Betrachten wir die beiden Punkte (m, «) und {« -J- du, v + dv)
der Fläche (1). Es sei äs ihr Bogenelement. Dann ist:
rf ä» = £du* + 2 Fdu dv-t G dv\

Pdr,yGOOgIe

206 Zweiter Abschnitt: Die Krümmung der Fläche.

Den beiden PoDkten entsprechen bei der aphärisdien Abbildimg on-
endlich benachbarte Punkte anf der Engel. Der eine hat die Coordi-
uaten X, Y, Z, der andere die Coordinaten X-^dK, ¥-^dY, Z+dZ,
wenn dX, dY, dZ die Incremente bedeuten, die den Functionen
X, Y, Z TOD u, V zukommen, sobald u um du und v um dv wächst
Daher entspricht dem obigen Bogenelement d» der Fläche ein B<^-
element di anf der Kngel, fOr das:

di* = dX*-\-dY>-\-dZ*

ist Diese Summe wurde übrigens unter (18) anf S. 161 mitrf»' —
als Quadrat des Winkels anendlich benachbarter Normalen — be-
zeichnet, Nach der damals aufgestellten Formel (11) ist;

(2) d&* = H{Ldu*-^2Mdudv + ]adv')-K{Edu*-\-2FdHdt,-{-Gd^

wobei H und Z' die in Satz 11, 8. 119, angegebenen Functionen der
Fnndamentalgrössen E, P, 0 und L, M,N sind.

Da auch auf der Bildkagel u und v Parameter sind, so hat die
Engel hinsichtlich dieser Parameter FnndamentalgrQssen erster und
zweiter Ordnung. Wir wollen sie mit S, g, ® und £, W, 9! be-
zeichnen. Weil sich das Quadrat des Bogenelementes der Kugel
durch die Fuudamentalgrössen erster Ordnung so ausdruckt:

(3) rfä» = ffirf«» + 2^dudv + ®rft.*,
so zeigt (2) unmittelbar, dass

(J = S-S;» =HL~KE,
% = ^X^X, = BM-KF,

ist.

In § 1 1 des ersten Abschnittes haben wir von beliebigen ponkt-
weisen Abbildungen einer Fläche auf eine andere Fläche gesprochen.
Aus dem Satze 49, S. 96, können wir daher scbliessen, dass es
bei der sphärischen Abbildung im allgemeinen ein Ortbogonalsysteo
auf der Fläche giebt, dessen Bild wieder ein Orthogonal^^m ist

Dies können wir hier direct einsehen:

Sind nämlich die Parameterlinien (v) und (v) auf derFläche(l)
die Erammungscurven, so ist nach Satz 63, S. 182, F = M^<i.
Nach (4) ist dann i<r = U, also sind dann die Bildcurven nach Säte lä
S. 34, za einander orthogonal.

Umgekehrt: Sind die Parameterlinien (u) und (v) anf der Hagel,
d. b. also die Bildcurven der Parameterlinien der Fläche (1), n

Pdr,yGOOgIe

§ 12. Die tphärische Abbitdung und die lüvmmtmg der Flächen. 207

einaader orthogonal, ao ist nach dem geoaimteD Satze $ = 0. Sind
aDsaerdem die Par&meterlinieD (u) und (tt) auf der Fl&cbe selbst zu
einander orthogonal, so ist auch ^=0, sodass aus der zweiten
Gleichung (4) folgt:

Ist H-^0, 80 ist dann ^=0. Nach Satz 63, S. 182, sind die
Gurren (u) und (t*) daher auf der Fläche die ErUmmangBliitien.

Wenn also auf der Fl&che uicht etwa H überall gleich Null
ist, so sind die Erümmungscurven der Mäche das einzige Ortbo-
gouaUfBtem, dessen sphärisches Bild wieder ein Orthogonalsystem
ist, denn die sphärische Abbildung ist selbst ja ganz unabhängig
davon, ob wir gerade die ErUmmangBcurven, wie wir dies soeben
gethau haben, als Parametercurren wählen oder nicht

Nach (23), S. 118, ist:

gleich der Summe der reciprokea Werte der Hanp^Qmmungs*
radien. let ^=3 0, so ist also A^ +if, = 0. Mithin:

Satz 84: Bei der sphärischen Abbildung einer Fläche,
auf der nicht überall die HauptkrUmmungsradien einander
entgegengesetzt gleich sind, bildet sich nur das Ortbo-
gonalsyatem der ErOmmungs-
curven wieder als Orthogo-
nalsystem ab.'

Dies leuchtet auch geometrisch
ein. Denn wenn F irgend ein
Flächenpunkt ist und Pj und P,
ihm unendlich benachbarte Flächen-
punkte auf den Bauptkrtlmmungs-
ricbtnngen von P sind, so wird die
Normale n des Punktes P nach
Satz 53, 3. 171, Ton den Normalen
»] und n, der Punkte Pj und P,
geschnitten. Die zu n, n, und n,
parallel gezogenen Radien n, n^ und n, der Bildkugel (siehe Fig. 71]
liegen alsdann so, dass die Ebene (nn,) der Ebene (nn,) und die

Rg.71.

' Da auf der Kugel jedes OrthogoDabjBtem als Sjslem
carven angesehen «erden darf, nach S. 177, so steht dies mit dem BpftUren
SatK 86 iD EinUjHig.

Pdr,yGOOgIe

208 Zuteiler Abseknitt: IH& Krümmung der Flächt.

Ebene (nt^) der Ebene (n'i^ parallel ist Da die Ebenen (nit,) and
(n 71,) auf einander senkrecht stehen, bo gilt dasselbe von den Ebenen
(nn,) und (nn,).

Ist ff « 0 auf der Fläche, so sind ffi, %, ® nach (4) propor-
tional E, F, G. Wenn aber die Fundamentalgrössen erster Ordnaog
auf zwei Flächen, die panktweis anf einander abgebildet sind, ein-
ander proportional sind, so ist die Abbildung nach Satz 36, S. 72,
conform.

Umgekehrt: Ist die sphärische Abbildung conform, so bestehen
Beziehungen von der Gestalt:

Alsdann folgt aus (4);

■ HL = {e + K)E,

EN~(q + K)G.

Entweder also ist ff = 0 und p = — Ä' oder aber es sind L, M, N pro-
portional E, F, G, woraus folgt, dass die Fläche (1) lauter Nabel-
punkte hat, nach S. 110, nnd also nach Satz 6, S. 112, eine Kugel
ist Daher:

Sati 85: Die sphärische Abbildung ist nur fUr die-
jenigen Flächen, auf denen in jedem Punkte die beiden
HanptkrUmmnngsradien einander entgegengesetzt gleich
sind, und für die Kugeln conform.

Nach Satz 12, S. 120, können wir dies Ergebnis auch so for-
mulieren :

Säte 86: Die sphärische Abbildung ist nur fUr die-
jenigen Flächen conform, auf denen in jedem Punkte
zwischen den beiden Hauptkrümmuogsradien iP, und Jt^
eine der beiden Beziehungen

-ff, ± Ä, = 0
besteht

In dieser Form lässt sich der Satz auch durch eine geo-
metrische InliniteBimalhetrachtung in Anknüpfung an Fig. 71 leicht
bestätigen. Dies sei dem Leser überlassen.

Hier sollen nun zunächst noch einige Formeln abgeleitet werden,
die bei der sphärischen Abbildung von Flächen gebraucht werden:

Wenn wir in (4) die Werte von Jl und K nach Satz 11, S. 119,
einsetzen, so kommt:

Pdr,yGOOgIe

§ 12. Die spkärüahe Abbüditng und die Krümmung der Flächen.

(5) 5-if[^^^- P{lJV + SP) + GL]tf],
@^^[^JV» -2FMN +GM^.

Aus (4) folgt ferner, daee die Grösse

(6) ®» = ffi®-5<,
die wir analog der Gritese

J)» = EG-F*

itlr die Kugel bilden, den Wert hat:
'S)* = H*{LN- M^-IIK{EN-2FM-{- G L) + K*(EG - F^).

Wenn wir die erste und zweite Klammer nach Satz 11, 8. 119,
darch U, K und S aasdrUcken, so beben die beiden ersten Glieder
rechts einander auf, sodass bleibt:

(7) S)» = A:»2)».

Nach S. 18 ist i> im reellen Fall positiT, ebenso, da dann auch
das Bild aof der Engel reell ist, die für die Kugel gebildete Grösse X).
Wir ziehen daher ans (7) den Schlnse:

(8) ® = «Z2),

wo t = ± 1 ist, je nachdem £^0 ist

Da der Badios der Kngel, der zum Bildpunkt 9ß oder (X, 7, Z)
geht, zugleich Normale der Kugel ist, so sind die Bichtungs-
cosinus X, ^, 3 ^^^ Kngelnormale, abgesehen vom Vor-
zeichea, gleich X, Y, Z selbst Zur Bestimmung des Yorzeicheos
ist zu beachten, dass wir auf 8. 27 Festsetzungen über das Vor-
zeichen getroffen haben. Nach den damaligen Formeln (4) ist, weil
jetzt X, Y, a an die Stelle von x, y, * und 5) an die Stelle von
D tritt:

(9) S = ^ , y ^ , Ü- ^

Nach dem Vorhergehenden ist klar, dass die rechten Seiten hierin
gleich ±X, ±Y, ±Z sein müssen. Man kann dies mit Hülfe der
Formeln (4), S. 131, bestätigen, wodurch sich zugleich das Vor-
zeichen bestimmt Denn danach ist:

Y^Z^-Z^Y^ = -^'^~^-X,

GeoDL DUTr. U. 14

Pdr,yGOOgIe

210

der iüä*.

also nach (9):

3e

LN- M*

X

oder nach Satz 11, 8.

119:

t^^X

oder

endlich nach (8)

(10)

3£-

tX,

D-.r,

3 =

--,Z.

Da X, Y, Z die Coordinaten des Bildpanktes $ von P sind, so
ist die Normale der Kugel nach aussen — toq der Kugelmitte
ans — positiv, wenn { = +1 ist, nacli innen, nenn %=—\ ist
Da aber im reellen Fall t nach dem FrUheren = ± 1 ist, je nach*
dem K'^0 iat, so folpt, weil K gleich dem Product der reciproken
Werte der Hauptkrdmmungsradien ist und nach S. 140:

Satz 87: Bei der sphärischen Abbildung einer reellen
Fläche sind die Kugelnormalen nach aussen oder nach
innen positiv zu nennen, je nachdem die zugehörige Stelle
der Fläche elliptisch oder hyperbolisch gekrümmt ist

Zur Vermeidung von Irrtümern heben wir jedoch nochmals ans-
drilcklich hervor, dass die Abbildung stets dadurch geschiebt,
dass man von der Kngelmitte aus die Badien parallel den
positiven Flächennormalen zieht Die Sache ist die, dass
diese ßadien für die ebenfalls mittels der Parameter u und v dar-
gestellte Eugel nicht auch stete die positiven Richtungen der Kugel-
normalen angehen, wenn anders die früher gemachten Festsetzungen
über die positiven Sinne der Parameterlinien (vgl. S. 30) auch anf
der Kugel gelten sollen. Es ist dies vielmehr nur filr die Stellen
der Fall, die den eUiptischen Punkten der Fläche entsprechen.

Erinnern wir uns daran, dass die positive Tangente der Para-
metercurve {«), die positive Tangente der Parametercurve («) und
die positive Normale im reellen Fall so gegeneinander liegen wie
die drei Coordinatenaxen — abgesehen vom rechten Winkel der
X- und y-Axe (vgl. S. 31) — , so sehen wir, dass die sphärische Ab-
bildung für elliptische Stelleu der Fläche gleichsinnig,
für hyperbolische entgegengesetztsinnig ist, wenn man die
Fläche von den positiven Normalen her betrachtet, die Kugel da-
gegen von aussen.

Wir können jetzt die anch dem Vorzeichen nach ezacten Werte
für die FundamentalgrSasen zweiter Ordnung 2, Sffi, 9? auf der Kugel
sofort berechnen. Nach (10), S. IOC, worin wir jetzt erstens H, g, ^

Pdr,yGOOgIe

§ 12. Die ^härUehe Abbildung und die Krümmung der Flüchen. 2) 1

oder alBO eX, eY, «if statt X, ¥, Z und zweiteDS X, Y, Z statt
X, y, z za setzen haben, srgiebt sich:

(11) S = -!SA7, aß = -iS.\Ä;, SSl^-itX^^
d. h. nach (4):

(12) S = - e®, SDl = - «S, 9i = - «®.

DasB auf der Kugel die Fundameutalgrössen zweiter Ordnung denen
der ersten Ordnung proportional sein mUssen, war nach Satz 6,
S. 112, zu erwarten. Wir sehen, dasB für solche Stellen der Kugel,
die hyperholischen Flächenpnnkten entsprechen, die Fundamental'
grossen zweiter Ordnung völlig mit denen erster Ordnaug überein-
stinunen, dagegen für solche Stellen, die elliptischen Flächenpunkten
entsprechen, nur abgesehen Tom Vorzeichen.

Erinnern wir uns jetzt daran, dass wir die sphärische Ah^
bildang benutzen wollten, um ein KrUmmungsmaass für die
Flächenpankte abzuleiten. Zu diesem Zweck betrachten wir ein
Element der Fläche (1), also ein unendlich kleines Stück der Fläche
an einer Stelle P oder {«, v), etwa das in P anliegende unendlich
kleine Par Edlelogram m der vier Punkte

(«,»), (a + dtt, o), {u,t>-{-dv), {u -\- du, V ^ dv).

Nach Satz 14, S. 35, ist sein Inihalt ^eicb

Ddudv.

Wie man sieht, ist er im reellen Fall hier stets positiv ausgedruckt^
wenn die Incremente du und dv positiv gewählt werden. Das Bild
dieses unendlich kleinen, von den Parameterlinien (u), (u + du),{v),
(v + dv) eingeschloesenen Parallelogramms ist ein nnendlich kleines
Parallelogramm, das von den entsprechenden Parameterlinien auf
der Kugel eingeschlossen wird. (Man mOge die Fig. 70, S. 204, vei^
gleichen.) Der Inhalt des Bildparallelogramms ist:
%dudv.

Das Verhältnis aus dem Flächeninhalte dieses Bildes und dem des
Originals würden wir nun nach den Bemerkungen am Anfang dieses
Paragraphen als die Krümmung der Fläche an der Stelle P oder
[u, v) definieren, wenn nicht noch ein Vorbehalt über das Vorzeichen
zu machen wäre. Man wird wünschen, die Definition so zu fasseu,
dass sie für elliptische and fUr hyperbolische Punkte die Krümpiung
mit verschiedenen Vorzeichen ergiebt, und zwar ist es naturgemäsg,

.dr,yGoogIe

Zweiter Met^müt: Die Krünaramg der Fkidte.

fttr die ersteren Stellen das positive, fOr die letzteren Stellen du
negative Zeichen anzuwenden. Dies können wir so erreichen: ¥ir
setzen fest, dass wir die Inhalte der unendlich kleinen Par-
allelogramme auf der Kugel als positiv oder negativ be-
zeichnen wollen, je nachdem die Normale der Engel an
der betreffenden Stelle nach aussen oder nach innen posi-
tiv ist Alsdann ist nicht ^dudv, sondern
stidudv

der Inhalt des Farallelogramins auf der Kngel. Nunmehr defi-
nieren wir also so:

Unter der Krümmung in einem Flüchenpunkte ver-
stehen wir das Verhältnis aus dem Inhalte des sphärischen
Bildes eines unendlich kleinen Stückes der Fl&che an der
betreffenden Stelle und dem Inhalte dieses Stücke« selbst

Die Krümmung an der Stelle (u, v) hat hiernach den Wert:

t^dudv
Ddadv

oder nach (8) den Wert K. Daher nach (23), S. 116:

Bati 88: Die KrUmmnng in einem Flächenpnnkte ist
gleich £, d. h. gleich dem reciproken Wert von dem Pro-
duct der mit Vorzeichen versehenen Hauptkrümmungs-
radien des Punktes.*

Allerdings könnte man einen Einwand machen: In der Defi-
nition des Krümmungsmaasses ist von einem beliebigen onendhch
kleinen FlächenstUck an der Stelle (u, v) die Rede, während wir in
den Formeln ein von Parameterlioien umgrenztes nnendlich kleines
Parallelogramm benutzt haben. Aber jeder Bereich lässt sich aus
solchen Parallelogrammen zusammensetzen, aach zeigt das Krgebnis,
da £ = 1 : ^j ^2 eine geometrische Bedeutung hat, dass es von d^r
zufälligen Wahl des Parametereystems durchaus unabhängig ist

Der Leser möge sich hier noch an den Satz 51, S. 170, er-
innern. Dort betrachteten wir zwei conjugierte Bogenelemente ds,
und ds^ der Fläche und die Winkel dv^ und <f»,, die die in
ihren Endpunkten errichteten Normalen mit den Normalen ihrts
Ausgangspunktes bilden. Bei der sphärischen Abbildung sind är^

Id der hier juigegebenen Weise hat GiTTss dos KrQinntungsinBa
„DisqaiaitioDes" (vgl. die Äam. auf S. 5) eingeftbit.

Pdr,yGOOgIe

> 12. DU aphäriseke Abbildung und die Krümmung der Fläe/wn. 213

und dr^ die Bilder der BogeselemeDte tf«, nnd ds^. Sind de, oad
rfÄj nicht nnr conjugiert, sondern auch zu einander seokrecht, so
können wir also nach Satz 84, da dann auch dv^ nnd dv^ zn ein-
ander senkrecht sind, aus Satz 51 wieder unseren Satz 88 — aller-
dings abgesehen -von der Yorzeichenbeetimmnng — ableiten.

In § 2 des gegenwärtigen Abschnittes sahen wir, dass es zwei
Arten von Flächen giebt, die in Bezug auf die Erlimmungen der
N'ormalschnitte ein wesentlich anderes Yerhalten zeigen, als ali-
gemeine Flächen, nämlich erstens die Flächen, die lauter NabeU
|)UDkte haben, d. h. die Kugeln (siehe Satz 6, S. 112), und zweitens
die Flächen, die eine Schar von Minimalgeraden enthalten (siehe
Satz 10, 8. 115).

Wie wir aber schon auf S. lld, 120 bemerkt haben, können wir
die Kugeln den allgemeinen Flächen unterordnen, indem wir irgend
zwei zn einander senkrechte Normalachnitte als die RanptkrUmmungs-
schaitte bezeichnen. E^s ist dann }l^ = R^, gleich dem Badius der
Kugel. Nach unserer Definition hat aiso eine Eugel vom
Radius E das constante KrUmmuagsmaass \:RK

Liegt eine Fläche vor, die nur eine Schar von Hinimalgeraden
enthält, so sind zwei Fälle denkbar; Entweder umhüllen diese Ge-
raden eine Gurre, eine Minimalüurve, oder nicht Im ersten Fall,
also im Fall der Tangentenfläche einer Minimalcurve, sind
unsere Formeln nicht anwendbar, weil die Grössen J, Y, Z ihre Be-
deutnng verlieren (vgL 8. 28). Aber die sphärische Abbildung artet
äherbaopt fUr abwickelbare Flächen ans, denn abwickelbare Flächen
haben ja nnr oo' Tangentenebenen. Die sphärische Abbildnog kann
nun natürlich auch, statt mittels Paralleler zu den Normalen, dadurch
bewirkt werden, dass Tangentenebenen an die Kugel parallel zu den
Tangentenebenen der £'läche gelegt werden. Man sieht, dass sich
dann für die <xi* Punkte einer abwickelbaren Fläche nur co' Bild-
punkte ei^eben. Die sphärische Abbildung ist also fllr abwickelbare
Blächen ausgeartet

Wenn endlich eine Fläche eine Schar von Minimalgeraden
enthält, die keine Curve umhüllen, so giebt es keine HauptkrOm-
mungsradien. Wir können also dann den Satz 88 nicht aus-
sprechen. Wohl aber hat auch auf einer solchen Fläche die Grösse K,
die ja nach S. 118 durch die Fundamentalgrössen erster und zweiter
Ordnung ausdrückbar ist, eine an^ytische Bedeutung. Um also auch
diesen Fall zu umfassen, werden wir gut thun, den Satz 88 nach
(22), 8. 118, dnrch diesen zu ersetzen:

Pdr,yGOOgIe

Zicmter Ahae/mitt: Die Krümtmmg der Fläche.

Satz 89: Die Krümmung in einem Fläcbenponkte ist:

wenn ß, F, G nnd L, M, N die FundamentalgrÖSBen sind

Dies bietet auch den Vorteil, dass wir den Begriff der Krüm-
mnng auch auf die abvickelbarea Flächen übertragen können, ob-
wohl für solche Häcben das sphärische Bild ausartet. Wir sehen
dann aus Satz 19, S. 132:

8ats 90: Die Flächen von der Krümmung Nall sind die
abwickelbaren Flächen.

Wenn man wül, kann man allerdings auch hier die geome-
trische Definition durch das Verhältnis aus dem Element der Kugel
zum Element der gegebenen B'läcbe aufrecht erhalten, denn da das
sphärische Bild in eine Curve ausartet, so hat das Element der
Kugel den Flächeninhalt Null

Bei den Tangentenflächen der MinimalcurTen dagegen
versagen alle Definitionen. Hier sprechen wir also überhaupt
nicht von der Krümmung. —

Beispiel: Auf einer RotatioDsflnche ist die Krümmung nach Sati 13,
S, 122, gleich dem reciproken Wert des Productes ans dem Krammtingsradiui
des Meridians in die Normale, wenn diese bis zat Aie gemcsHen wird, wobd
noch daa Vorzeichen zn beachten ist. Wir haben daher in Satz \i, S. 123,
die Rotationsflächen constanter Krümmung' bestimmt, abgesehen tdi
denen von der Krümmnng Nall nnd von solchen PlSchen, die vir damals über-
haupt beiseite Hessen, nämlich von FlKchen, die eine und nnr eine Schar von
Midi malgeraden enthalten. Aber die RotatJoneflSchen von der KrQmmung Nnll
sind ja nach Satz 90 abwickelbar, also Rotationakegel und Rotationa-
cylinder, inabesondere die Ebene. Wenn ferner eine Rotadoncrfläcbe dnc
Schar von Minimal genkden enthsit, so kOnuen wir sie so erzengen: Die Gerado

j-a + Ju, 1) = 6 + Stt, i = e + Cu
ist eine Minimalgerade, wenn
^___ _ J' + B" + C> = 0

' Die RotaUonsflKchen coostanter negativer Krämmung hat zuerst
MiNDiNo bestimmt: „Wie sich entscheiden lässt, ob zwei gegebene
krumme Flächen auf einander abwickelbar sind oder nicht; nebst
Bemerknngen über die FUchen mit unveränderlichem Krammnugc
maasse", Joum. f. d. r. n. ang. Math. 19. Bd. (1839). Alle RotationsflSehen
constanter Krümmung hat alsdann Liouvillb bestimmt und zwar in der
4, Note znr 5. Auflage von Mowoe's „Application" (1860). Vgl, die Amn.
auf S. 110.

Pdr,yGOOgIe

! 12. LHe ephäriaehe AbHlditm; und die Kriimnmng der Flächen. 215

idi, lisch I S. 142. Ltween wir eie sich um die x-Axe drehen, so geht nach (1),

t S. S, die Fläche hervor:

a; = (a+lHJcoap-Ci-t-BuJBinp, y = (a+ Jtt)8ini>+(i>+Stt)co8P, * = e + CuJ

*' + y* + *' - o» + *• + 0* + 2(o J + 6S + cO)-^(« - c).

Die PISche ist also eine Kugei und enthält daher gegen die VoraussetEang
jin-oi Schareo von Uinimiilgeradeu, nach Sati 26, S. 64. Nur irenn 0 = 0 iat,
ist der Sclilusa etwas anders: Dana ist die Minimalgerade parallel der xy-£bene,
sodasB eine Ebene hervurgeht. Es giebt also suBser den oben erwBhnten
PlUchcn keine sonstigen Rotationsfifichen constanter Krümmung.

Was die sphärisclie Abbildung einer Fläche anbetrifft, so
wollen wir hier anhangsweise noch Eines erörtern:

Die Bildkugel enthält nach Satz 26, S. 64, zwei Scharen von
Geraden, nämlich Miaitnalgeradeo. Fragen wir uns, welche Curven
auf der Fläche diese Geraden zu Bildcurven haben. Da bei der
Abbildung einander entsprechende Punkte der Fläche und der Enget
parallele Tangentenebenen haben und da die Taugent«uebenen der
Kugel längs einer ihrer Minimal geraden beständig diese Gerade
enthalten, ao werden längs derjenigen Curve der Fläche, deren
sphärisches Bild diese Minimalgerade ist, die Tangentenebenen der
Miiiimalgerade parallel sein, d. h. einen Cylinder von Minimalgeraden
umhüllen. Die gesuchten Curven sind also diejenigen, längs deren
die Fläche von Cylindern von Minimal geraden umhüllt werden.
Nach Satz 45, S. 157, sind diese Curven Überall zu den Richtungen
der hindurchgehenden tangierenden Minimalgeraden conjugiert Die
gesuchten Curven sind daher diejenigen, die mit einer Schar von
Minimalcurven der Fläche ein System von conjugierten Curven
bilden. Da die Fläche, sobald sie nicht Tangentenääche einer
Minimalcurve ist, zwei getrennte Scharen von Miniraalcurven ent^
hält — nach Satz 16, S. 36, — so folgt, dasa ea zwei Scharen von oo^
Curven der gesuchten Art giebt, derart, dass durch jeden Punkt
der Fläche je eine Curve jeder Schar geht. Nach Satz 25, S. 138,
sind die Tangenten der Minimalcurven durch einen Flächenpunkt
symmetrisch zu den Hauptkrümmungstangenten des Punktes gelegen.
Da man die conjugierten Richtungen nach Satz 38, 8, 155, aus der
Indicatrix ableitet, deren Axen den Hauptkrilmmnngstatigenten par-
allel sind, ao folgt, dasa auch diese conjugierten Richtungen zu
den HauptkrUmmungstangenten symmetrisch liegen. Anders ana-
gesprochen : »

Satz 91: Diejenigen Curven einer Fläche, die sich bei
der sphärischen Abbildung als die Minimalgeraden der

Pd ^„Google

216 Zweiter Abrnknüt: Die Krümmung der Fläche.

Engel darstellen,^ sind zn dan MinimalcnrTen conjagiert,
und in jedem Flächen pankte werden die Winkel ihrer
Tangenten dnrch die HanptkrttmnmngsrichtaDgen dea
Punktes halbiert.

§ 13. Geradlinlee Häcben.

Indem wir daran gehen, die Erümmnng der geradlinigeti Flächen*
als Beispiel zu der voraogehenden Theorie zn betrachten, benatzen
wir die Gelegenheit, die nicht- abwickelbaren geradlinigen Flächen
etwas eingehender zu beBprechen.

Vor allem ist da zu bemerken, dass es zwei wesentlich ver-
Bchiedene Arten von geradlinigen Flächen giebt Denn wir wissen
ja, dass Flachen, die eine Schar von Minimalgeraden enthalten, in
Bezug auf die ErUmmungstheorie eine besondere B,olle spielen, siebe
S. 115. Daher gilt die allgemeine Krtlmmungstheorie der Flächen
nicht ohne weiteres auch für diejenigen geradlinigen Flächen,
deren Erzeugende Minimalgeraden sind. Von diesen
Flächen sehen wir vorerst Tollständig ab; sie eoUen nachher
kurz betrachtet werden.

Die Erzeugenden einer geradlinigen Fläche haben co* ortho-
gonale Trajectorien. "Eb seien:

(1) E = V(«). r)=x{u). i = t/*(K)

die Gleichungen einer dieser Trajectorieo, iu den laufenden Goordi-
naten j, 9, j mittels ihrer Bogenlänge u ausgedruckt. Durch den
Punkt (w) dieser Leitcurve — wie sie heissen möge — geht eine
Erzeugende der Fläche. Sie kann als die Erzeugende (u) bezeichnet
werden. Sind f, g, h ihre Richtungscosinua, so sind f, g, h Func-
tionen Ton u. Die Annahme der Etichtungscosinus f, g, h hat znr
Folge, dass der Erzeugenden im reellen Fall ein positiTor Sinn bei-
zulegen ist. Es sei nun v die Strecke, um die ein Punkt auf der
Erzeugenden von dem Punkte (m) der Leitcurve entfernt ist, im
reellen Fall mit dem entsprechenden Vorzeichen versehen. Als-
dann sind
(2)_»=J(^M + "/■(«), y-j'M + vyW, «_v(«) + »»(»)

> Diese Cnrven wurden zuerst von Bonket betmchtet: „Memoire lur
Temploi d'un uouveaa ijatäme de variables dans l'^tade des pro-
priät^B des aarfaces courbea", Journal de Hath6ni. porea et appl., S.ieoe
t 5. (1860).

* Die Bjetematiache Untersuchung der geradlinigen Fläche nimint wohl
ihrec Anfang bei Monqb, siehe die Anm. anf S. HO.

Pdr,yGOOgIe

f IS. Geradlinige Fläehan.

die Coordinaten dieseB Punktes. In (2) liegt also eine Parameter*
darstellang für die Punkte (u, v) der geradlinigen Fläche vor (vgl.

(2) in I S. 271).

Da die Leitcurre eine orthogonale Trajectorie der Erzeugenden
sein eoU, so ist, wenn a, ß, y die BichtnngBCOBinns der Tangente
der Leitcnrve bedeuten:

(3) Sa/--0.

Auf der geradlinigen Fl&che (2) sind die Parameterlinien («)
die Geraden- Jede Parameterlinie (t>) schneidet auf allen GTeraden (»)
dieselbe Strecke v ab, gemessen von der Leitcurre an. Sie hat
aber noch eine einfache Eigenschaft: Die Sichtungscosinus ihrer
Tangente sind proportional x^, y^, x^. Nach (2) und III [B) ist aber:

j;, = ß + «r» ffu^ß -^ "ff' ^» = y + " A'
und daher:

sxj=8ur+vsfr.

Wegen (3), S/^= 1, Sff'^ 0 ist dies gleich Null, d. h. die Gurren {»)
sind die orthogonalen Trajectorien der Geraden (w). Daher:

SatiOS: Zwei orthogonale Trajectorien einer Schar von
00* Geraden, die keine Minimalgeraden sind, schneiden
auf allen Geraden dieselbe Strecke ab.

Kennt man auf einer geradlinigen Fläche eine orthogonale
Trajectorie der Geraden, so findet man hiemach eine unendlich be-
nachbarte orthogonale Trajectorie, wenn man jeden Punkt der
ersteren Cnrve um dasselbe unendlich kleine Stück längs der hin-
durchgehenden Geraden verschiebt. Nehmen wir an, es sei von
vornherein keine orthogonale Trajectorie bekannt Alsdann werden
wir die geradlinige Fläche auch in der Form (2) darstellen können,
wobei aber nun die Erzengenden der Fläche nicht gerade auf der
Leitcurre (1) senkrecht stehen, sodass die Richtungscosinus f, g, h
die Belation (3) nicht eri^Ien. Alsdann kann man leicht nach
S. 34 die Differentialgleichung erster Ordnung in u und v für die
orthogonalen Trajectorien der Geraden der Fläche aufstellen. Nach
Satz 62, I S. 93, verlangt dalier die Bestimmung der ortliogoualen
Trajectorien nur eine Quadratur. Wir wollen dies direct bestätigen:
Nach (2) ist auf der Fläche allgemein: '

dx = {a^vf)du+fdv
u. s. w. Da f, g, h die Kichtungscosinus der Geraden (u) sind, so
ist also die Bedingung:

S[(a + vf)da+/'rft.]/-=0

Pdr,yGOOgIe

218 Zweiter AbtehnUl: Die Krümmung der Fläche.

die Differentialgleichung der orthogonalen Trajectorien. Wegen
Sf* = 1, Sff = 0 kann sie so geschrieben werden:

Hier ist Saf eine Function vou « allein. Mithin ist
fSaf- du + V = CouBt.

die endliche Uleichung aller orthogonalen Trajectorien.

Nehmen wir jetzt wieder wie oben an, die Leitcnrre (1) sei
selbst eine orthogonale Trajectorie der Erzeugenden, sodass die
Relation (3) besteht Die Erzeugende (u) liegt dann in der Normalen*
ebene des Punktes (») der Leltcurve; es möge ta der Winkel sein,
den sie mit der (positiven) Hauptnormale der Leitcurve bildet Der
Winkel sei im Sinne der Drehung von der (positiven) Hauptnonnale
zur (positiven) Binormale der Leitcurve gemessen. Sind /, m, n und
X, fi, V die RichtungBCOsinus der Hauptr und Binormale der Leit-
curve, so ist dann;
(4) /■=/cos6i + Asiniu, (j = mco8m + fisiato, h = neos« + »-810(1),

wie man sorort siebt, wenn man die auf der Erzeugenden vom
Punkte (w) der Leitcurve aus aufgetragene Längeneinheit auf die
GoorJinatenaxen projicirt, indem man die Längeneinheit dabei durch
einen gebrochenen Linienzug ersetzt (vgl. die analoge Überlegung in
I S. 30U) Wie f, g, h ist auch tu eine Function von u.

Die geradlinige Fläche ist vollständig gegeben, sobald die Leit-
curve (I) und der Wiukel a als Function des in (I) auftretenden
Parameters w gegeben ist Dabei erhält man stets eine geradhnige
Fläche, wie man auch die Carve (I) und die Function oi von b
wählen mag.

Die Festlegung der Richtungen {f:ff:h] mittels des Winkels w
versagt oder ist wenigstens nicht eindeutig bestimmt, wenn die Leitr
curve (1) eine Gerade ist, wenn also alle Geraden der Fläche eine
Gerade senkrecht schneiden, wie dies bei der gemeinen Schrauben-
fläche (vgl. S. 60) der Fall ist Alsdann aber werden doch nicbt
alle orthogonalen Trajectorien der Geraden wiederum Geraden sein,
weil sonst die J'läche eine Ebene wäre. Wir umfassen also dodi
durch unsere Darstellungsweise alle geradlinigen B'iächen, deren
Erzeugende keine Minimalgeraden sind.

Ist l:r die ErUmmung und 1;» die Torsion der Leitcurve (I),
80 ist nach (4) und III (C), weil w die Bogenläufje der Leit-
curve bedeuten soll:

Pdr,yGOOgIe

I 13. Qeradtmige Flächen.

Ks empfiehlt eich, zar Äbkürznng zwei nachher beständig antretende
Fanctionen von u mit p and 9 za bezeichnen:

,K\ 1 ^1

(5) p ^ -- cos 07, y = (O — — ,

sodasa

(6) f= — pa — q {sin <» • / — cos 01 ■ X)

ist. Entsprechende Werte gehen Air p' nnd h' hervor. Nnn ist
nach (2), (6) und (4):

f i^= ß + r/"= (1 -p»)a — yBinoi ■ 0/+ ycosoi-ui,

u. B. w. Nach XI {Ä) und II (J) ergeben sich also die Fundamental-
grössen erster Ordnung:

(8) S={i-pv)*+g*v; F=0, G= 1.

Feiner sind x^^, y^^, z,^ nach (7) gleich Null, so daes die Funda-
mentalgrösse N nach (9), S. 106, anch gleich Null ist Dagegen ist
^uv = /" n- 8. w., sodass aus (4), (6) nnd II (D) fiir die Fundamemtal-
grösse M folgt:

wobei nach (8) die Grösse D' = EG - F' == S ist

Nnn giebt der Satz 8S, S. 214, f^r das ErUmmnngsmaass K äer
Fläche den Wert:

Auf einer geradlinigen Fläche mit reellen Erzeugenden ist
also die Erlimmnng stets negativ oder höchstens gleich Null, was
vorherzusehen war, da die Fläche nach S, 130 überall hyperbolisch
oder insbesondere parabolisch ist Ist die Ki-Umnit^pg überall auf
der Fläche gleich Null, so ist die Fläche nach Satz 90, S. 214, ab-
wickelbar. Dies tritt ein, wenn y = 0 oder also nach (5):

0} = ( - — - + Const
J 9

ist Diese Formel hat dieselbe Bedeutung wie die letzte Formel
in I S. 311. Die Qeraden der Fläche sind eben in diesem Fall«

Pdr,yGOOgIe

220 Zweiter AbsckmU: Die Kriimmumg der Fläcke.

solche Normalen der Leitcnrre, die eine Curve aaf der FoiarSlche
der Leitearve umhüllen.

Sehen wir von den abwickelbaren Flächen ab, ist also q nicht
identisch gleich Nall, so erkennen wir aus (9), daes die Erümmnng K
längs einer jeden Erzeugenden (u) veränderlich ist, da sie im Nenner
den längs der Erzengenden (u) veränderlichen Abstand r von der
Leitcurve enthält Diese Glrösae v käme ja nur dann in K nicht vor,
wenn ^ ^ ^ = 0 wäre. Han erkennt hieraus, dass es unter den
geradlinigen nichtrabwickelbaren Flächen, deren Erzeu-
gende keine Uinimalgeraden sind, keine Flächen con-
stanter Eriimmung giebt

Durchläuft der Punkt {u, v) eine Erzeugende (h) und strebt er
ins UnendÜchfeme, d. h. wird n unendlich gross, so conveifiert die
Erflmmmig nach (9) gegen Null, was wir auch so aussprechen
können: Im Unendlichfemen hat die geradlinige Fläche den Cha-
rakter einer abwit^etbaxen Fläche. Dies kann man eich auch geo-
metrisch leicht erklären.

Anf der Erzeugenden (u) erreicht nun die Ertlmmnng, abseist
genommen, da ein Maximum, wo der Differentialquotient des Nenners
von K nach v gleich Null isL Dies tritt ein fUr den Wert von v.

0») . ''-VTT'-

Diese Stelle (n, n) heisst der Kittelpunkt der Erzeugenden («):'
dort bat die Krümmung den Wert:

(11) a__(f!±i.')-

Man kommt leicht auf die Vermatung, dass der Mittelpunkt
diejenige Stelle der Erzengenden («) ist, an der sie der unendlich
benachbarten Erzeagenden (u-f-ffu) am nächsten kommt. In der
That:

Ist (u, 0) diejenige Stelle der Geraden (u), in der der kürzeste
Abstand dieser Erzeugenden von der Erzeugenden (u + du) beginnt,
so musB diejenige Tangente der durch den Paukt (u, D) gehenden
orthogonalen Trajectorie (ö) der Erzengenden, deren Berührnngspunkt
der Funkt (u, 0) ist, die Erzeugende [u + dv) senkrecht kreozen.
Sie hat aber ßichtangscosinas proportional x^, y^, z^ far c = 0,

' Nach Cbablks,' „Memoire aut leg surfaces eogendi^eB par ni
lipne droits", Correspoudauce tnath. et phj's. de QnETKun, tZI (1839).

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 13. Geradlinige f 'i&tAm.

221

und die Eneogende (v + ifu) hat die Bichtnogscosinua f+f'du,
g + g'du, k + h'du. Also fordern wir fQr p = Ol

%{f+fdu)x^ = Q
oder, da S/"«, = 0 nach S. 217 ist:

oder nach (6) und (7) wegen II {Ä)\

aber diese Gleichung giebt wieder den Wert (10) tob d.

Sati B3: Längs einer solchen Srzeagenden einer gerad-
linigen Fläche, die keine Minimalgerade ist, erreicht die
Krümmung der Fläche, ahsolat genommen, ihr Maximam
an derjenigen Stelle, an der die Erzeugende einer anend-
Uch benachbarten Erzengenden am nächsten kommt

Nach (10) and (11) ist

(12)

? = -

sodass sich das Krünuunngsmaass K nach (9) so auedr

i'3) ^-[.-«'-.)-r-

Hiermit ist die Krümmung £ im Punkte (u, v) aus-
gedrückt durch die Krümmung S im Mittelpunkte (?(,ti)
der Geraden («) und durch den Abstand v — M beider
Punkte TOn einander. Man sieht, dass sypunetrisch
zum Mittelpunkt gelegene Punkte der Erzeugenden
dasselbe KrOmmungamaass haben.

Die Tangentenebene des Punktes P oder (tt, v)
enthält die durch ihn gehende Erzeugende (u) und
die Tangente der dnrch ihn gehenden Parameterlinie (v).
Die letztere Tangente ist, weil die Corre (o) eine
orthogonale Trajectoiie der Erzeugenden ist, diejenige
Gerade, die im Punkte P auf der Graden (w) senk- -**"^
recht steht und überdies die unendlich benachbarte Fig. 72.
Erzeugende (u + du) schneidet, etwa in Q. Ferner
sei A der Mittelpunkt (u, 0) der Erzeagenden (u), also deijenige
Punkt A, ip dem der küraeate Abstand AB zwischen den beiden
Gizeugenden beginnt, siehe l^^g. 72. Ziehen wir durch P die Parallele

Pdr,yGOOgIe

222 Zweiter AhsdtniU: Die Krümmung der Fläche.

zn AS und darch B die Parallele zu JP, so schoMden sich beide
Parallelen in einem Punkte C. Die Geraden PC nnd PQ etehen
alsdann aof PA senkrecht Die Tangentenebene tob P ist die
Ebeoe PQA. Rückt P nach A, bo wird diese Ebene znr Ebene
ABCP. Dies also ist die Tanf^ntenebene des Mittelpanktes i.
Beide Tangentenebenen schneiden einander länf^ PA, nnd es ist
^CPQ ihr NeigoDgswinkd gegen einander. Da PA auf PC md
Pq senkrecht steht, so ist ^BCQ ein Bachter. Da AB wd Af
und BQ senkrecht steht, so ist-^PCQ anch ein Rechter. Ist da
anendlich kleine kürzeste Abstand AB=da und der unendlich
kleine Winkel der beiden Erzeugenden, d. h. -^CBQ = dr, so folgt
aus aBCQ und APCQ:

CQ~APdi,
(14) i^CPQ^^ = APJL.

Variiert der Punkt P auf der Elrzeugenden (m), so ändert sich in
dieser Formel rechts nur der Factor A P. Daher erkennen wir zu-
nächst geometrisch:

Sats 94: ' Bewegt sich ein Punkt P aaf einer solchen Er-
zeugenden einer geradlinigen Fläche, die keine Hinimsl-
gerade ist, so dreht sich seine Tangentenebene um die Er-
zeugende in der Art, dass die Tangente des Winkels, den
sie mit der Tangentenebene des Mittelpunktes der ?>-
zeugenden bildet, proportional dem Abstände des beweg-
lichen Punktes von dem Mittelpunkte ist

Um dies auch analytisch exact einzusehen, bestimmen wir die
Richtungscoainus X, Y, Z der Flächennormale. Nach XI (/^, (1)i
II (C) nnd (8) ist:

(15) X = -

Dabei ist die Quadratwurzel im Nenner im reellen Fall positiv tn
wählen, weil sie B vorstellt Insbesondere seien 3£, % 3 ^^^ ^^^
tungscosious der Normale des Mittelpunktes (u, D). Nach (10) ist:

(16) «--

Vp' + 1'
Jetzt finden wir für den Winkel 3- der Normalen des Pnnlttes (a, r)

' Diener Satz uud Satz 95 bei Cbables, eiclie die Arno. la 8. £20-

,dr,Google

; 13. Q&radiinige Flächen.

and der Nonn&I«D dea Uittelponktes (u, n) odet aiao für den Winkel
der TaDgeBtenebenen beider Paukte nach II (A):

oder n&ch (12):

Hieraas aber folgt:

tg'i^^ ff(i.-ö)».

Da ft im reellen Fall stets negativ ist, so -wird da,diircb, dass wir

(17) tg*-{»-.)y:rs

ansetzen, dem Winkel ri- ein bestimmter Sinn beigelegt, sobald wir
die Quadratwurzel aas — S positiv wählen. Ee ist nämlich alsdann
tg& positiv fUr diejenigen Stellen der Erzeugenden (»), die ein
Punkt durchläuft, wenn er vom Mittelpunkt A in positiver Kichtung
auf der Krzengenden entlang geht {v > B). Dabei wächst & von 0
bis \ji. Durchläuft der Punkt das rückwärtige Stück der Geraden
bis ins Unendliche, so nimmt i^ von 0 bis — ^n ab. Durchlauf
der Punkt die ganze Gerade, so beschreibt demnach seine Tangenten-
ebene einen gestreckten Winkel, indem die Tangentenebene im ün-
endlichfemen auf der im Mittelpunkte A senkrecht steht Nebenbei
bemerkt dürfen vir — entgegen unseren sonstigen Festsetzungen —
liier auch das ünendlichfeme in Betracht ziehen, da die erzeugen-
den Geraden der Fläche bis ins Unendlichfeme wohl definiert sind.
Besonders hervorgehoben sei noch, dass die Normale der Fläche im
Unendlichfemen nach der einen oder anderen Seite positiv ist, je
nachdem man bis v = + cc oder « = — oo geht.

Die Formel (17) sagt wie vorhin die Formel (14), in der ja
•^CPQ = & ist, gerade das ans, was wir schon in Satz 94 aus-
gesprochen haben.

Dem Satze können wir noch eine andere Fassung geben: Auf
der Tangentenebene des Mittelpunktes A errichten wir ein Lot,
dessen kürzester Abstand von der Erzeugenden («) gleich der Längen-
einheit ist. Auf diesem Lot schneidet dann die Tangentenebene des
Ponktes (u, v) gerade die Strecke tg & ab. Also ist das Doppel-
verhältnis der Tangentenebenen von vier Punkten der Eh-zeugenden
(m) gleich dem der vier zugehörigen Werte von tg*, nach Satz 43,
I S. 334, und nach SaU 38, I S. 332. Nach (17) aber ist dies
letztere Doppel Verhältnis gleich dem der vier zugehörigen Werte

Pdr,yGOOgIe

Zweiter Abaehmit: Die Krümmung der Fläche.

ron t), wegen Satz S6, I S. 328, oder also gleich dem der vier za-
gehörigeu BerUtmingspunkta Daher:

S&t> 6b: Auf einer geradlinigen Fläche, deren Erzen-
gende keine Minimalgeraden sind, ist das Doppelrerhält-
nis von vier Funkten einer Erzeugenden gleich dem Dop-
petverhältnis ihrer Tangentenebenen. Insbesondere steht
die Tangentenebene des Mittelpunktes anf der TangenteD*
ebene im ünendlicbfernen seokrecbt.

Sind ff und k zwei unendlich benachbarte Erzeugende der
Fläche und ist A der Mittelptmkt von g, bo enthält die Tangenten-
ebene von A die Gerade ff und den kürzesten Abstand AS von ;
und k; die Tangentenebene des unendlich fernen Panktes von g
steht anf dieser Ebene senkrecht. Daraus folgt: Ziehen wir durch
einen Punkt, etwa durch den Anfangspunkt 0, die Parallelen g
und h' zu ff und h, und errichten wir in 0 auf der Ebene Ton g
und h' das Lot g', so ist die Tangentenebene ?on A der Ebene
von ff' und g' parallel; und da die zu dieser letzteren Ebene senk-
rechte Ebene durch g' auch ft enthält, so ist die Tangentenebene
des unendlich fernen Punktes von ff der Ebene von g' und h'
parallel

Wenn wir durch 0 zu allen Erzeugenden die Parallelen ziehen,
EK) entsteht ein Kegel, und die Ebene von ff' und k' ist eine Tsn-
gentenehene des Kegels. Also:

Satz S6: Zieht man durch einen Punkt die Parallelen ^
zu den Erzeugenden ff einer geradlinigen Fläche, so ist
die Tangentenebene des unendlich fernen Punktes von g
derjenigen Ebene parallel, die den Kegel jener Geraden/
längs der zugehörigen Mantellinie ff' berührt

Den Ee'gel der Parallelen / zu der Erzeugenden ff nennt man
den Kichtungskegel der geradlinigen Fläche. Ist er gegeben,
so kann man leicht die Stellungen derjenigen Tangentenebenen l>e-
stimmen, die die F^be in den Mittelpunkten A der Elrzeugenden g
berühren, indem man nämlich za jeder Tangeatenebene des Bich-
tungskegels diejenige Ebene construiert, die auf dieser Ebene längs
der Mantellinie ^ senkrecht steht. Sie ist der Tangentenebene des
Mittelpunktes A der zugehörigen Erzeagenden g parallel.

Der Ort der Mittelpunkte A aller Erzeugenden ff heisst die
Strictionscurve der geradlinigen Fläche.' Die Strictions-

■ Xacb CHAai.BS, siehe die Anm. EU 8. 220.

Pdr,yGOOgIe

? 13. Qavdlirdg» Fläehen.

225

corre ist also einerseits der Ort derjenigen Funkte der Beengenden,
in denen die Kiümmang der Fläche, absolut genommen, ihr Uaxi-
mom erreicht, andererseits der Ort derjenigen Punkte der Erzengen-
deo, in denen diese lärzeogenden den kleinsten Abstand von den
tmendlich benachbart«D {Erzeugenden haben. Die erste Definition
versagt bei den abwickelbaren Flächen, bei denen ja die Krüm-
mang überall gleich Null ist (vgl. Satz 90, S. 214); doch kann man
dann infolge der zweiten Definition die Gratlinie als Strictionscorve
aufTassen. Wenn aber keine Grathitie vorhanden ist, d. h. wenn die
Fläche ein Segel ist; so ist die StrictionBcurve zur Spitze des Kegele
degeneriert Ist aber die Fläche ein Cylinder, so kann offenbar
jede der Cnrven, in denen die zu den Uantellinien senkrechten
Ebenen den Gylinder schneiden, als Strictionscnrve bezeichnet werden.

Im allgemeinen ist die Strictionscurve einer geradlinigen Fläche
keine orthogonale TrE^ectorie der Erzeugendbn, denn die Strecken o,
die sie auf den Erzeugenden (u) abschneidet — gemessen von der
Leitcurve an — , sind nach (10) im allgemeinen von u abb&ngig.
Die kürzesten Abstände zwischen je zwei
nneodlicb benachbarten Eiizengenden sind
also im allgemeinen nicht die Bogen-
elemente der Strictionscurve. Nur der
Ort ihrer Anfangspunkte oder, was ja im
Endlichen auf dasselbe hinanskommt, der
Ort ihrer Endpunkte ist die Strictions-
linie. Dies soll durch Fig. ?S erl&atert
werden. Hier sind auf einem Botations-
hyperboloid die Geraden der einen Schar
angedeutet Dabei sind die kürzesten
Abstände zwischen je zwei nahe auf ein-
ander folgenden Erzengeuden constmiert
worden. Die Strictionscurvn ist hier der
kleinste Kreis auf dem Hyperboloid, die
kürzesten Abstände zwischen je zwei un-
endlich benachbarten Erzeugenden kreuzen den Kreis unter einem
gewissen Winkel.

Es kann aber vorkommen, dass die Strictionscurve eine ortho-
gonale Trajectorie der Erzeugenden ist Dies tritt z. B. dann ein,
wenn alle Erzeugenden eine Gerade senkrecht achneiden, wie bei
der gemeinen Schranbenfläche. Die Gerade ist dann die
Strictionscurve. Ist die Strictionscurve eine orthogonale Trajectorie,
aber keine Gerade, so kann sie als Leitcurve gewählt werden, sodass

Fig. 73.

.dr,yGoogIe

226 Zweiter Abschnitt: Di» Krümmuttg der Fläche.

dann die Mittelpunkt« der Erzeugenden auf der Leitcnrve liegen,
also 0 = 0 oder nach (10) and (5) entweder 1 : r = 0 oder cos o) = 0
ist W&re 1 :r— 0, so wftre die Strictionscarre gegen die Vorant-
setzong nach Satz 27, I S. 221, eine Gerade. Ist cos co =3 0, so sind
die Erzengenden nach (4) die Binormalen der Leitcnrre. Daher:

Sali 97: Auf einer geradlinigen, aber nicht von Hini-
malgeraden gebildeten Fläche ist die Strictionscurve nur
dann eine orthogonale Trajectorie der Erzeugenden, wenn
die Fläche entweder aus den Binormalen einer Cnrve
oder aus denjenigen Geraden besteht, die eine Gerade
senkrecht schneiden. Alsdann ist die Gnrve bez. Gerade
die StrictioDSCurve.

Die Fläche der Binormalen einer Gurve ist nach I S. 275 im
allgemeinen nicht abwickelbar, vielmehr nar dann, wenn die Curre
eben ist Alsdann ist die Fläche ein Gelinder, der, wie bemerkt,
unendlich viele Stiictionscnirfln hat

Hat eine geradlinige Fläche zwei Scharen tod je 00^ Geraden,
so ist sie nach Satz 31, S. 114, eine Fläche zweiter Ordnung.
Sind die Geraden keine Minimalgeraden, so gehört zunächst zu jeder
Schar eine Strictionscurve. Legt man nun durch den Punkt 0 die
Ebenen parallel zu den Tangentenebenen der unendlich fernen Paukte
der Fläche, so umhüllen sie den oben erwähnten RichtungskegeL
Da die Erzeugenden der Fläche den Mantellinien des KegeU parallel
sind, so folgt, dass beide Scharen von Erzeagenden den
Mantellinien eines und desselben Kegels parallel sind.
Wenn man nun diejenigen Ebenen construiert, die auf den Tan-
gentenebenen des Kegels senkrecht stehen und sie längs der Jtfantel-
linien schneiden, so hat man solche oo' Ebenen, denen die Tangenten-
ebenen der Fläche in den Punkten einer Strictionscorre nach dem
Obigen parallel sind. Man findet also die Stnctionscurre ganz nn-
abhängig von der gewählten Schar der Erzeagenden, indem sau
diejenigen 00* Punkte der Fläche sucht, deren Tangentenebenen
den soeben construierten 00' Ebenen parallel sind. Mithin fallen
beide StrictionscurTen zusammen.

Ans dem Bicbtungskegel und den Erzeugenden einer gerad-
linigen Fläche kann man rückwärts die Tangentenebenen der on-
endlich fernen Punkte der Fläche constmieren, indem man dnrch
jede Erzeugende ff diejenige Ebene legt, die der Tangentenebene
der zi^ehfirigen Mantellinie ff' des Kegels parallel ist Die co* "ha-
gentenebenen der anendlich fernen Funkte umhüllen nach Sati IS,

Pdr,yGOOgIe

i 13. OmuÜm^e Ftäehm.

1 S. 20S, eine abwickelbare Fläche, die man als die asymptotische
abwickelbare Fläche der geradlinigen Fläche bezeichnen
kann. (Vgl. I S. 18.) Diese abwickelbare Fläche kann anaarten;
so sind z. B. die Tangentenebenen der onendlicb fernen Punkte
einer gemeinen ScfaranbeDfläche (TgL S. 60) die Ebenen senk-
recht ZOT Schranbnngsaze; beim einschaligen Hyperboloid ist diese
abwickelbare Fläche ein reeller Kegel u. 8. w. Wir wollen hierauf
nicht näher eingehen.

Wie wir oben sahen, giebt es unter denjenigen geradlinigen
Flächen, deren Geraden keine Minimalgeraden sind, ausser den
abwickelbaren Flächen keine Flächen constanter ErOmmung. 0-anz
anders verhält es sich bei den Flächen von Minimal-
geraden, wie schon das Beispiel der Kugel (vgl Satz 26, S. 64)
lehrt, denn die Kugel ist ja eine Fläche constanter Krümmung.

Wollen wir eine Fläche von Minimalgeradeo aDalytiBch
darstellen, so wählen wir irgend eine Gurre auf ihr als Leitcurre,
etwa eine der krummen Uinimalcurren der Fläche. Denn alsdann
schliessen wir ja nur die Kugeln, aof denen auch die Minimalcmren
der zweiten Art G-eraden sind, und die Tangentendächen von Mini-
malcnrven ans. Die Kugeln haben constaote KrUmmung, und auf
den Tangentenflächen von Minimalcurren versag die Definition der
Krümmung nach S. 214.

Nach Satz 50, I S. 342, sei also die Uinimalcurre:

(18) £ = 4/(l-«»)y(i/)rfi/, 9 = iJ(l + uX«)rf«, i==Ju<p{u)du

die Leitcurre. Dabei bedeutet y eine beliebige von Null verschiedene
Function des Parameters u.

Durch den Punkt (u) der Leitcurre geht eine Minimalgerade
der Fläche. Längs dieser Geraden wachsen die rechtwinkligen Co-
ordioaten um solche Grössen A, B, C, bei denen die Summe der
Quadrate gisich Kuli ist:

Sie werden dabei Functionen von u sein. Wie in I S. 340 schreiben wir :

(d + iB){A-iB)=~C'
und setzen:

A + iB , . A-iB 1

sodass wir haben:

^:£:C--l-(l-a,"):-i-(l + <»'):oi.

„■,z.d, Google

228 ZweiUr Jba^nkt: Die KHimrmtng dxr Fläche.

Nun sind die G-leichnngen der Fläche mit der Leitcurre (16):
( '-j/d-«") 9- ''" + 1(1 -»■)».

(19) y-iju + «>),.<(» + i(l + o')i.,

I z = / u(pdu + (UV,

ausgedrfickt mittelB der Parameter u nnd v.
Hier ist:

». = |(1-«')<P- w®'". *.-i(l-<»').

y» = y0 + «')9> + '■»<"'». 3'. = -|-(i + <»•).

daher nach XI (Ä):

(20) J'__|(„_„)>y, CO.

Da femer a;,^, y,^, z,^ gleich Null sind, so ist auch die Fnnda-
mentalgrOsse X=0 nach (9), 8. 106, während sich wegen:

*«, = — (»(»', y^ij, B= 1*0)0?', Z^j, = fl)'

ergiebt:

22)

Da -D* nach (20) gleich — F* ist, so ergieht sich nach Satz 89,
S. 214, für das ErUmmungsmaaes K der Fläche der Wert:

^ iu'*

~ {u~ u)' ip^ '

der nor von u abhängt, nicht ron v, voraus folgt, dass bei eioet
Fläche von Miuimalgeraden die ErOmmung längs jeder
Erzeugenden constant ist

Soll die ErlimmuQg auf der ganzen Fläche einen constasten
Wert K haben, so haben wir nach der letzten Formet

zu setzen. Mithin folgt aus (19):

SatsSS: Ausser den Kugeln und abwickelbaren Flächen
giebt ee noch andere geradlinige Flächen constsotei

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 14. Dii mutiere Krümmung der Flächen. 229

Erilmmnng K. Ihre Geraden sind Minimalgeraden. Jede
solche Fl&cbe lässt sich so darstellen:

VZJ (.

Hierin bedeutet tu eine beliebige nicht constante Function
des Parameters u.^

§ 14. Die mittlere Krflmmung der Rächen.

Das in § 12 anfgestellte KrümmimgBmaaBa entspricht in mancher
Beziehung nicht den Anforderungen, die man ron Tomherein, ehe
man an eine strenge Definition gebt, an ein ErümmnDgsmaass zu
stellen geneigt ist. So z. B. muss man sich erst darein finden, dass
nicht nur die Ebenen, sondern auch die abwickelbaren Flächen
nach Satz 90, S. 214, das Kr&mmungsmaass Null haben, obwohl
doch diese Flächen augenscheinlich krumm sind. Wir werden femer
später sehen, dass sich das Erümmungsmaass nicht ändert, wenn
man eine Fläche ohne Dehnung verbiegt So interessEuit dieser
Umstand an sich ist, so wenig entspricht er doch der Erwartung,
die man von vornherein hegt, denn bei einer Verbiegnng der Fläche
ist man geneigt, zu sagen, dass sich ihre Erflmmung ändert Diese
und andere Gründe sind die Ursache dafßr, dass verschiedene andere
Functionen als Ma&ss der ErUmmung TOrgeschlagen worden sind.
So auch die Grösse, die wir jetzt besprechen wollen und die man
aU die mittlere Krümmung zu bezeichnen p&6gt, um sie von
dem Erfimmungsmaass K zu unterscheiden. Zu dieser Grösse
bat eine pbTsikaliscbe Frage gefllhrt Man zeigt idmlich in der
Physik, dasB ein Teilchen, das an einer Stelle F der Oberfläche
einer Flttssigkeit liegt, von denjenigen Teilchen, die in einer Schnitt-

> Diese imagiaären geradlinigen Flächen von conetanter ErÜmninng
worden &flber, wie es Bcbeiat, atete übersehen and erst 18S6 von StIcebl be-
■ümnit in der in der Anm. aaf S. 119 genannten Abhandlang. Allerdings er-
fordert die Anbtellnng ihrer endlichen O-leichongen bei SiIckil noch die Inte>
gration einer linearen homogenen Di&ereatialgleichung dritter Ordnung, wlbrend
die obigen Formeln nor noch drei von einander anabhBngige Quadraturen ent-
hahen.

Pdr,yGOOgIe

230 Zweiter Äbaehnitt: Die Jöümmitii^ der Flächt.

ebene der Fläche durch die Normale von P liegeu, eine Änziehnng
erfährt, die — abgeeehen von einer ans nicht interessierenden ph)-si-
kalischen Coostanten — gleich der Krümmung 1 : r der durch die
Ebene bestimmten Schnittcurre der Fläche an der Stelle P ist
Will man also die gesamte Anziehung ermitteln, die P er^hrt, die
sogenannte OberfläcbeDepaanung in P, so hat man das Mittel
aus den Krümmungen 1 : r aller Normalschnitte von P zu bilden.

Es liegt also jetzt die rein mathematische Frage vor: Dnicli
die Normale eines Punktes P einer Fläche werden Ebenen gelegt,
von denen je zwei auf einander folgende denselben Winkel mit ein-
ander bilden. Alsdann ist das arithmetische Mittel aus den Krüm-
mungen 1 : r aller dieser Normals chnitte zu bilden ftlr den Fall,
dass der erwähnte Winkel unendlich klein ist Es ist also die
Summe aller Krämmungen 1 : r durch ihre Anzahl zu dividiereD.
Dies ist nach Satz 22, S. 135, ohne weiteres zu erledigen: Wir
bilden die Summe, indem wir paarweis die beiden Krümmungen zn-
sammenfassen, die in zwei zu einander senkrechten Normalschnitten
auftreten. Dieses Paar liefert nach dem erw&tmten Satze den
Mittelwert:

wenn E^ und H^ die Hauptkrtimmungsradien von P sind, also einen
Wert, der f^r jedes dieser Paare derselbe ist Mithin ist auch das
gesamte arithmetische Mittel gleich diesem Werte, der also da«
Maaas der Oberäächenspannang darstellt

Aus dem angezogenen Satz folgt also der

Sati 99: Legt man durch die Normale eines FUchen-
punktes P, dessen HauptkrUmmnngaradien B^ und ^ sind,
lauter Schnittebenen, von denen je zwei benachbarte den-
selben unendlich kleinen Winkel mit einander bilden, so
ist das arithmetische Mittel ans den Krämmangen aller
Sohnittourven in P gleich:

.^(ir + i)-

Die hier auftretende Summe der beiden HauptkrUmmungen, die
wir in (23), S. 118, mit S bezeichnet haben, nennt man die mitt-
lere Krümmung der Stelle P der Flache.» Nach (22), & US,
drückt sie sich durch die Fundamentalgrdssen so aas:

> ÜbrigeDB hemoht in dieeer Beziehung kebe Übereinstünitivuig nntn
den verBchiedenen Aatoren. Ursprünglich hat man wohl ^ £^ als mittlm

Pdr,yGOOgIe

§ 14. Die mittlere Krümmutig der Flächen.

,,, „ EN- 2FM+ OL

(1) ^^ EQ-F^ '

und diese Formel soll aU Definition der mittleren Krüm-
mung auch für den Fall gelten, daes P gar keine Haupt-
krümmungBradien hat, also auf den Flächen, die eine Schar von
Mini malgeraden enthalten (vgL S. 115).

Zu dieser mittleren Erümmung H führt uns auch die Beant-
wortung der Frage, wie sich der Inhalt eines uneodlicb kleinen
Flächenstflckes ändert, wenn man die Fläche selbst einer
unendlich kleinen Änderung unterwirft.

Eb sei nämlich die Fläche vorgelegt:

(2) x = <p[u,v), ^=x{u,v), z = y> [u, v) ,

von der wir voraussetzen, dass sie nicht die Tangenteufläche einer
Minimalcurve sei, sodass auf ihr die Grösse D nach Satz 9, S. 29,
nicht gleich Null ist Wenn man nun die Fläche unendlich wenig
ändert, sodass sie in eine unendlich benachbarte Fläche Übergeht,
80 wird auf der Normalen eines jeden Flächenpunktes [u, v) ein
Punkt der unendlich benachbarten Fläche liegen. Wir können daher
die Änderung dadurch erzielen, dass wir jeden Punkt (u, v) der
Fläche (2) längs seiner Normalen um ein unendlich kleines Stflck
verschieben. Die GrSsse der Verschiebung wird von Punkt zu Funkt
eine andere und daher eine Function von u und v sein. Sie habe
den Wert

wenn e eine unendlich kleine Grösse bedeutet, die fUr alle Punkte
(a, v) dieselbe sein soll. Sind X, Y, Z die Eichtongscosinus der
Flächennormale, so sind dann:

(3) x=sx + Xvs, yrny + Zre, z = z + Siv«

die Gleichungen der neuen Fläche. Hierin sind x, y, z die Func-
tionen (2) und X, Y, Z die nach XI [F) zu berechnenden Functionen
von u und t>. Jedem Wertepaar u, v gehört ein Funkt der Fläche (2)
und ein Punkt der neuen Fläche (3) zu; letzterer liegt auf der Nor-
malen des ersteren. Die Fuudamentalgrössen erster Ordnung seien
auf der neuen Fläche mit E, F, G bezeichnet Sie werden sich nur
uDendlicb wenig von den entsprechenden Fundamentalgrössen E, F, G
der alten Fläche unterscheiden. Wir wollen sie berechnen, indem

Krömmnng bezeichnet, wie es auch Dabbouz thut Wir schlieuea nna aa
BiANCMi und SrAHL-KoiurassLL an.

Pdr,yGOOgIe

232 Ziceüer Ähaeknitt: DU Krümmung der Fläche.

wir dabei diejenigen Glieder vernachlässigen, die hinsichtlicli t von
hSherer als erster Ordnung anendlich klein sind. Zunächst giebt (3):
(4) x„ = x„ + X^c« + Jv^E, ^_ = r^ + X,we + Xv^t

n. s. w. Also ist nach XI {A):

£!=SxJ+2(vBx^X^+v^Sx^X)».

Die erste Snmme rechts ist gleich E, die zweite nach (10), S. 106,
gleich — L und die dritte nach XI(/) gleich Null, sodass wir haben:

E= E-2vLt.
So kommt tthcrhaupt:

(6) Jß=B-2vLt, F=F~2yMe, Ö=0-2»A'£.
Dann ist nach XI {O):

ß' = EÖ - F* = EQ -F*—2v{EN- 2FM->r QL)i,

immer unter VemachläSBigong der höheren Potenzen von e. Hieraus
folgt, wenn die Quadratwurzel ausgezogen wird:

(6) D^D--^{EN-2FM+0L)e.

Diese Formel hat im reellen Fall das richtige Zeichen, da sich ja ^
illr 6 = 0 auf D reducieren mnss.

Nach (1) können wir hierfllr schreiben:

(7) D = D-vDEt.
Hieraus folgt nach Satz 14, 8. 85:

SatE 100: Ändert man eine Fläche dadurch unendlich
wenig, dass man jeden Funkt (u, v) der Fläche um eine
Strecke v{it,v)t auf seiner Normalen verschiebt — wobei t
eine unendlich kleine Grösse bedeutet — , so ändert eich
der Inhalt des von den vier Punkten (u, i?), (ti + du, v\
{u, it + dv), (m + du, i> + dv) gebildeten unendlich kleinen
Parallelogramms um die Grösse

— vB Hdudv • t,

wo D = fEG — F* und H die mittlere Krümmung im Punkte
(u, o) ist Hierbei sind die hinsichtlich £ von höherer Ord-
nung unendlich kleinen Grössen vernachlässigt worden.

Ein Flächenstück kann man sich immer aus ParaUelogranunen
von der erwähnten Art zusammengesetzt denken. Ist nun dJ der

Pdr,yGOOgIe

§ 14. DU mutiere Krümmung der Flächen. 28S

Inhalt eines nnendlich kleinen StQckee der lUdie (2) an der Stelle
(u, v) nnd df die entsprechende Qrösse bei der Fläche (3), ao haben
vir also:
(8) dJ~dJ = -vSfdJ,

da Ii du dv der Inhalt jenes nneodlich kleinen Parallelogramms in
obigem Satze ist Also:

fiati 101: Ändert man eine Fläche dadurch unendlich
wenig, dasB man jeden Pnnkt aaf seiner Normalen um eine
nnendlich kleine und von Ponkt zn Punkt beliebige Strecke
verschiebt, so ist die Änderung des Inhaltes eines unead-
lich kleinen Flächenstdckes proportional dem Inhalte
selbst, der Verschiebungsstrecke nnd der mittleren Krüm-
mung ao der betreffenden Stelle.

Wenn wir insbesondere die Yerschiebungsstrecke constant,
gleich e, wählen, so ist v = 1 und es folgt:
d^-dJ^~-Hfd/.

Dabei geht eine Parallelfläche der Fläche (1) hervor, nach S. 205.
Demnach ist die Änderung des Inhaltes bei Parallelfl&chen
proportional dem Flächeninhalte selbst und mittleren
Krümmung.

Ist P eine reelle Stelle der Fläche und ist die Stelle elliptisch
(vgl S. f40), sodass ^ nnd B^ dort dasselbe Zeichen haben, so ist

positiv oder negativ, je nachdem die HauptkrOmmungsmittelpunkte
auf der positiven oder negativen Normalen liegen (vgl. S. 139). Mao
sieht also, dass die Panülelfläche grösseren Inhalt hat, sobald H
entgegengesetztes Vorzeichen wie s hat, d. h. sobald sie auf der con-
vexen Seite der areprünglichen Fläche liegt Ist dagegen P ein
hyperbolischer Punkt und z. B. Ä^ > 0, Ä, < 0, so ist i^> 0, wenn
M^, absolut genommen, grösser als S^ ist Daher hat dann die
Parallelfläche grösseren Inhalt, wenn sie auf derjenigen Seite der
alten Fläche Hegt, auf der auch der von P weiter entfernte Hanpt-
krQmmangsmittelpunkt gelegen ist

Wir wollen unsere Ergebnisse för ein wichtiges Problem in
Anwendung bringen:

Angenommen, es sei eine reelle geschlossene Curve c gegeben.
Dann können wir ans beliebig viele reelle Flächen Torstellen, die

Pdr,yGOOgIe

234 Zweiter Abschnitt: DU löümmung der Flä^e.

durch diese Curve hindurchgehen. Wir werden dann sagen, dass
das innerhalb der Curve c gelegene Stück einer solcbea
Fläche einen kleinsten Inhalt hat, wenn sein Inhalt kleiner
ist ata der des entsprechenden Stückes aller anendlich henachbartea
reellen Flächen durch die Curve c,

Ist etwa gerade die Fläche (2) eine solche Fläche kleinsten
Inhaltes, so muas die Curve c auf der Fläche liegen, und diejenigen
Flächen, deren Inhalt wir mit dem der Fläche (2) vergleichen,
müssen zur Fläche (2) unendlich benachbart sein und ebenfalls c
enthalten. Eine dieser benachbarten Flächen können wir also all-
gemein dadurch finden, dass wir auf den Normalen der Fläche (2)
solche unendlich kleine reelle Strecken v{ii,v)» auftragen, die ins-
besondere für die Funkte der Curve c gleich Null sind. Nun ist
der Inhalt der Fläche (2), soweit er im Innern der Curve c liegt,
als Doppelsumme der Inhalte der unendlich kleinen Parallelogramme
der Farameterlinien darstellbar, also nach Satz 14, S. 35, ale das
Doppelintegral :

J- C Cßdudv,

erstreckt über alle diejenigen Werte von u und v, die den Fankten
in Innern der Curve c zukommen. Bei der unendlich benachbarten
Fläche (3) haben wir nach (7) analog den Flächeninhalt:

('J{I)-vI>Ht]dudD
oder:

J=Jj'l>dudv-effvDHdudv.

Nun ist zu beachten, dass wir in der Formel (7) die höheren
Potenzen von « vernachlässigt haben, daher ist anch in der Formel:

J-J^-sJfv-DHdudv

von den höheren Potenzen von c abgesehen. Uan weiss aber, das9
eine Beihenentwickelnng nach Potenzen von a dasselbe Torzeichen
wie das Glied niedrigster Potenz hat, mithin ist /— /, sobald der
Coeffident der ersten Potenz, also:

//•

Dlldudv,

von Null verschieden ist, positiv oder negativ, je nachdem man i positiv
oder negativ wählt Also ist in diesem Fiüle die Flädie (2) sicher
keine Fläche kleinsten Inhaltes.

Pdr,yGOOgIe

^ 14. Die mittlere Kriimmut^ der Fläekm. 235

Die Fläche (2) kann Tielmehr nur d&on eine Fläche kleinsten
Inhaltes Bein, wenn

"l'vDSdudv^O

SS'

ist, und zwar wie auch die reelle Function v (u, v) gewählt sein mag.

Da es sich um reelle Flächen handelt, so ist 2> eine von Null
Terschiedene positive QröBse. Ist nun S nicht Überall auf. der
Fläche (2) im Innern der Curre c gleich Null, so wird auch, da ja
dann mit v auch vDH als beliebige reelle Function von u und i>
aufgefaast werden kann, die obige Bedingung nicht ereilt sein.

Die Fläche (2) kann aUo nur dann eine Fläche klein-
sten InhaUes sein, wenn die Grösse H überall innerhalb
des durch die Curve c begrenzten Bereiches gleich Null ist

Wohlbemerkt ist dies aber nur eine notwendige und keine
hinreichende Bedingung ftir die Fläche kleinsten Inhaltes. Wir
heben aasserdem hervor, dase H bei der jetzigen Betrachtung gleich
der Summe der Hauptkrümmungen ist, da es sich ja um reelle
Flächen handelt, die stets Hauptkrümmungsradieu haben (nach
S. 116), Daher haben wir gefunden:

Satz 102:^ Soll eine reelle Fläche, die sich durch eine
geschlossene reelle Curve legen lässt, kleineren Flächen-
inhalt als alle unendlich benachbarten reellen Flächen
durch dieselbe Curve haben, so ist dazu notwendig, aber
nicht ohne weiteres auch hinreichend, dass in jedem
Punkte der Fläche im Innern der Curre die beiden Haupt-
krümmungsradien einander entgegengesetzt gleich seien:
Ä, + Ä, = 0.

Dieser Satz führt uns zur Betrachtang derjenigen Flächen, auf
denen in jedem Punkte die beiden Hauptkrümmungsradien einander

* Dos Problem, die PlScben kieiiiBten Inhaltes b«i gegebener Begrenzung
ta beatimmBii, behandelte Liobanoe als Beispiel in seinem „Esaai d'nne
QonTelle m^thode pour d^terminer les maiima et lea minima des
formales integrales indäfiniee", Miscelluuea TaarinenHia t. II (l7eO bia
1761), worin er die VariationBrechnung begründet hat (Siehe auch Oeuvres 1 1.)
Er fand, dasa die geauchten Flachen * = f(x, y) der Gleichung

(1 + s»)r-2p3S + (l +p')t~0
genügen müssen. Dies ist, wie die Formeln (11) and (12) aof S. 108 und (82)
•nf S. 118 leigeu, nichts anderes als die fileichung R^ + R, " d. Aber diese
charakteristische Eigenschaft fand erst Meüsmier 17711 (siehe die in der Anm.
auf S. l(l& genannte Abhandlung) durch allerdings nicht ganz strenge geome-

Pdr,yGOOgIe

236 Zweiter Abaehnitt: Die ^^mmwtg der Fläche.

eatgegengesetzt gleich sind, oder also der Flächen von der mitt-
leren KrümmiiDg Null. Han nennt sie Minimalfiächen, irdl
zn ihnen die soeben besprochenea flächen kleinsten Inhaltes ge-
hören.

Wir wollen aber jenes Minimum-Problem nicht weiter erdrtem,
denn erstens überschreitet es die nna hier gesteckten Grenzen, die
schwierige Frage nach den hinreichenden Bedingungen für du
Minimum zu beantworten, und zweitens wollen wir uns nicht nnr anf
reelle Flächen beschicken, während doch jenes Minimum-Problem
nur für reelle Flächen einen Sinn hat

Ehe wir zur genaueren Betrachtung der Minimalflächen Aber-
geben , erwähnen wir hier noch eine Beziehnng zwischen den
Flächen constanter Krömmung K und den Flächen con-
stauter mittlerer ErUmmung H.

Liegt eine Fläche constanter Erttmmut^ K vor, die keine Scbar
TOD Minimalgeraden enthält, vielmehr in jedem Punkt zwei Haupt-
krOmmongBradien hat, und bei der also nach Satz 88, S. 212, das
Product der beiden HauptkrOmmungsradien S^ und R^ conatanl
gleich \iK ist, und construieren wir eine Parallelfläcbe nach
S. 205, indem wir auf jeder Normalen dieselbe Strecke a auftragen,
so bat die Parallelääche nach Satz 83 ebenda mit der ursprüng-
lichen Fläche die Normalen gemein und daher auch nach Satz 53,
S. 171, die Haaptkrümmungsmittelpunkte. Daher sind JR^~a and
E^— a ihre HauptkrUmmungeradien, sodass

die mittlere Krümmung der Parallelääche ist Wegen

{9) R^-

tAi

-«(fii-f-Ä.) + (.• + -=

Nun kann man a so wählen, dass dieser Ausdruck frei von der
Summe E^ + B^ ist, indem man nändich die Bedingong au&tellt:

die fUr a constante Werte ergiebt:

Pdr,yGOOgIe

§ 14. Die mOUere m-ümmmg der Fläe/tm. 237

Aladann wird:

Daher: *

Sftte 103: Trägt man aaf den Normalen einer Fläche von
constanter Krümmang S die beiden constanten Strecken

auf, eo sind die Orter der Endpunkte zwei Farallelflächen
von den constanten mittleren Erflinmangen ^Y^-

ümgflkelirt; Es liege eine Fläche von constanter mittlerer
Krümmung E Tor, nnd es seien S^ und JZ, ihre HanptkrOmmang»-
radien. Wenn man dann die Parallelääche im Abstand a constmiert,
so Bind Aj — a nnd S^ — a ihre HaaptkrÜmmnngBradien, sodass die
Krümmung der Parallelfläche den Wert

oai. u&
ist, so folgt:

Wenn man also ftlr a den constanten Wert:

X

vählt^ 80 wird

SatE 104: Trägt man anf den Normalen einer Fläche ron
constanter mittlerer Krümmung H die constante Strecke

auf, so ist der Ort der Endpunkte eine Parallelfläche von
der constanten Erümmang S'.

Wir wollen die Sätze auch rein rechnehscb beweisen, wozu wir
der Kenntnis der Fundamentalgrössen fOr Paralleläächen bedürfen.
Zugleich föllen wir dadurch eine Lücke aus, denn die obigen Be-

' Sau 103 und 104 bei BoMNeT, „Sur ane propri6t6 de maximnm
reUtiTe A la sph^re", Nouv. Annale« de Mathfim. t 12 (1853).

.dr,yGoogIe

238 Zweiter AbsehnU: Die Krümmung der Fläche.

trachtnagen gelten nicht mehr, wenn es anf den Flät^en keise
HauptkrUmmungsradJen giebt, d. b. wenn die Flächen Scharen -m
Uinimalgeraden enthalten.

Bezeichnen wir wie gewiJhnlich mit x, y, x, X, f, Z, S, F, C,
L, M,}i Aie auf eine Mäche bezüglichen GrÖBBen, Bodass nach Salz 11,
S. 118:

,, ,, „ EN- ZFM + ÖL p LN~ M'

t^^' ^= £fl-J- ' ^= .gg-f

ist, und benutzen wir bei der Parallelfläche im Abstand a aber-
strichle Buchstaben, so ist;

X = X + aX, y = y + aY, z = z + aZ,
daher:

J^ = «^ + aX^, x^ = x^ + aX^

Q. 8. w. Also giebt XI {Ä):

E ~ SxJ + 2aSx^X^ + a*S X^\

Hierin ist die erste Summe rechts gleich S, die zweite nach (\0\
S. 106, gleich — 1, und die dritte wurde in (6), S. 159, bereclinei
Demnach kommt, indem wir zugleich die Formeln ftlr P unii (>
hinschreiben:

i ^= (1 - a*Ä)E-a[2 - aH)L ,

(12) j F^(l-a*K)F~a{2-aS)M,
l Ö= (1 - a»Z)e _ a{2~aH)]V.

Hieraus folgt noch mit Rücksicht auf (11):

ß' = £a~F* = D*{1 -an + a*K)^,
also:

(13) D = D{l-aH+a'K).

Hierbei haben wir das Vorzeichen so gewählt, dass es im reellen
Fall unserer allgemeinen Festsetzung auf S. 18 für solche Werte
von a entspricht, die nicht über ein gewisses Maass hinansgeben,
sodass für d = 0 auch ß = D i»t
Femer haben wir:

^u« = *„„ + a X„„ ,
sodass nach (9), S. 106:

+ aZ *„ + a ^„ «„ + a ^

Pdr,yGOOgIe

§ 14. Die mittlere Krümmung der Flächen,

berechnen, indem

ist. Es iBt bequemer, statt L zonäclist LB :
wir die Gleichnng nach XI (Z) mit

multipliciereQ. Dann kommt, wenn wir noch D auf die linke Seite
bringen, zunächst der umständliche Ausdruck:

S x^^x^ + d S X„.af^ S ^^* + a S Jjc^ S x^x^ + a S I„r„
S *„_*,+ a S X^^a;^ Zx^x^Jp a%X^x^ SV +aSX,x„
S*„„X+aSX^^X %7!j.-\-a%XJ. S*,X + (iSX,X

NacliXI{.i)t XI{/), nach (7) und (10) anf 8.106 und wegen SX*=1,
also S X^ X = 0, S X, X = 0 vereinfacht sich die Determinante be-
deutend. Insbesondere findet man, dass die beiden letzten Elemente
der letzten Zeile ^eich NuU sind, sodass kommt:

LDL-

.(i + oSX.,

F-
0-

aM

Wegen Sl.X-0 ist noch:

daher nadi (6), S

SJ..X— SX.',
169:

SX..I.

-HL + KE,

sodass mit Rücksicht auf (11) und (13) schliesslich L, ausgedrückt
durch E, F, 0, L, M, If, S, Ä und a, hervorgeht Analog berechnet
sich M und N. Wir finden:

(14)

S-aKF+{,l~aH)M,
N-aKa + {\-aE)N.

Wenn wir die aus (12) and (14) analog (11) gebildeten Werte
mit K and H bezeichnen, se kommt folglich:

Sati 105: Sind E, F, 0, 1, M, N die PundamentalgrSBSen
einer Fläche, deren Krümmung K und deren mittlere Erttm-
mung H ist, so sind die Fnndamentalgrössen der Parallel-
fläohe im Abstände a:

,dr,Google

240 Zweiter Absekniit: Die KrOmmttng der Fläche.

£ - {l - a*K)E - a{2 - aH)L ,

F= (i ~ a*£)F- a(2 - aII)M,

Ö = [l~a'K]G-a(2- aH)N\

L = aKE+{\-aH)L ,

M==aKF+{l-aH)M,

y = aKG + {l-aII)N.

Die ErQmiaang R and die mittlere Krümmung H der
Parallelfläche drOcken sich so aus:

X =

l-ofi+a*i
B-2aK

1 -
Ferner ist

In dieser letzten Formel ist das Yorzeichen so gewählt,
dass D im reellen Fall poaitiy ist für die dem Werte a = 0
benachbarten Werte von a.

Die beiden Formeln (9) und (10), ans denen wir die ^tse 103
und 104 ableiteten, Bind, sobald darin

Äj Ä, - -1, E^+R^ = [±- + -1-J R^E^ = ^

gesetzt wird, gerade die beiden im letzten Satze angegebenen Fonneln
fllr B und K. Demnach haben wir jetzt die Sätze 103 und 104
auch für den FaU na«hgewieaen, dess die Flächen Scharen tod
Minimalgeraden enthalten.

Die Eigenachaft einer Fläche, eine Schar von oo^Uinimalgeraden
zu haben, wurde auf S. 114 durch die Bedingung (10) ausgedrückt
die sich mittels der Krümmung K und der mittleren ErQmmangH
nach (11) so daretellen lässt:

{EG-F*)*{AK-H')~(i.
Da wir i> 4= 0 voraussetzen, so bleibt:

Also:

SatB 106: Die Flächen, die eine Schar von Minimal-
geraden enthalten, ohne aber Tangentenflächen von Mini-

Pdr,yGOOgIe

§ 15. Mmimalfiäehm.

malcarreD za sein, sind identisch ttiit denjenigen Flächen,
deren Krümmung gleich einem Viertel des Qaadr&tes der
mittleren Krümmung ist

Enthält die Fläche zwei Scharen von Minimalgersden, so ist
sie nach Satz 9, S. 118, eine Kagel oder Ebene, und man überzeugt
sich leicht davon, dass hier der Satz erfüllt ist.

Ans dem Satze 105 folgt: Wenn K= \H* sein soll, so muS8
auch K = \H* sein, d.h.:

Satz 107: Wenn eine von zwei Parallelflächen eine
Schar von oo' Minimalgeraden enthält, so gilt dasselbe
Yon der andern.

g 15. Mtnimalflftchen.

Im Torigen Paragraphen, anf S. 236, wurden die Uinimalflächen
als diejenigen Flächen definiert, deren mittlere Erünunang H überall
gleich Null ist. Wir wollen diese Flächen jetzt etwas eingehender
behandeln. Vorweg sei bemerkt, dass wir dabei von den Tangenten-
fiächen der MinimaicurTen grundsätzlich absehen, weil auf ihnen die
Deänition der mittleren Krümmung versagt, und femer, dass eine
Fläche, die eine Schar von Minimal geraden enthält, nur dann
eine Minimalfläche sein kann, wenn sie eine Ebene ist Denn aof
einer solchen Fläche moss nach Satz 106 wegen 5=0 auch die Krüm-
mung K gleich Null sein, sodass die FUche nach Satz-90, S. 214,
abwickelbar wäre, während doch eine abwickelbare Fläche, die keine
Ebene ist, nnr eine Schar von Geraden enthält, die keine Minimal-
geraden sind, wenn eben, wie gesagt, von den Tangentenflächen der
Minimalcurven, insbesondere von den Cylindem von Minimalgeraden,
abgesehen wird. Krumme Minimaläächen also enthalten keine
Scharen von Minimalgeraden. Nach Satz 11, S. 118, haben sie folg-
lich überall Hauptkrümmnngsradien R^ und £y Wegen

und wegen R = (i kann man sie daher als diejenigen Flächen,
die in jedem Punkte entgegengesetzt gleiche Hauptkrttm-
mungsradien haben, definieren. Sie sind also an allen reellen
Stellen nach 8. 140 hyperbolisch gekrümmt und haben dort nach
Satz 26, S. 139, als Indicatricen gleichseitige Hyperbeln. Daraus
folgt, dass man die krummen Minimalflächen auch als diejenigen
Flächen, deren Haupttangentencurven ein Orthogonal-

I, OM>m. Dimr. n. IG

Pdr,yGOOgIe

242 Zweiter AbxAnitt: DU Erümmang der Fläche.

stetem bilden, defimeran kann. Den Satz 85, 8. 208, können wir
jetzt 80 auBBprechen:

Sati 108: Die sphärische Äbbildnng iet nar f&r die
HiDimalflächen nnd fQr die Kugeln oonfornL

Wir wollen zunächst einige Beispiele von Minimalflftchen bringeii:

1. Beispiel: Fragen wir nach den Botation«flSelien, die Hiniiiialflldieii
^nd, eo iat zonSchet die Ebene la nennen. Im übrigen iat dies Problem dnidi
den SatE Id, S. 126, erledigt Wir finden also:

Batz 109: Die einsigen RotationeflBchen, die HinimalflBebeB
sind, sind die Ebenen nnd die Catenoide. ■

2. Beispiel: Wir fragen nach den geradlinigen Flächen, die Hini-
inalflSchen sind. Nach unseren obigen Bemerkungen kOnnen wir dabei tod
denjenigen Flächen absehen, deren Erzeugende Minimalgeraden sind, da lie
nur die Ebenen liefern. Nun sind die Erseugendan einer geradlinigen RSche
nach S. 168 HanpttangenteDonrven. Eine geradlinige Fläche ist daher duL
nnd nm dann ^e Hinimalfliche, wenn die orthogonalen Trajectorien der E^
sengendm auch Hanpttangentencnrren eind. Nach Sab H, S. 182, djAski
dann die Hanplnoimalen der orthogonalen Trajectorien Tangenten der Fliehe
nnd deshalb die Erzeagenden selbst sein.

Die gesuchten Flächen sind also diejenigen Flächen von os' Gieraden,
anf denen die orthogonalen Trajectorien sämtlich die Geraden selbst zu Hanpt-
norm^en haben. In % 10 dee 8. Abschnitte*, I. Band, haben wir Cnrreo mit
gemeinsamen Hanptnormalen betiachtet. Wir sahen damals, dass zn gewines
Curven je eine Curre zugeordnet ist, die mit ihr die Hauptnormalen gemein
haben, und zwar je nur eine, sobald nicht ErOmmnng nnd Torsion der Cnrren
constant ist, siehe I B. S26. Demnach sind die jetzt gesuchten Curven Bokhe
von constanter Krümmung nnd eonstanter Torsion. Nach Bati 29, I S. 126,
sind die orthogonalen Tii^eotoriea der Erxengenden daher entweder gemdne
Scbranbenlinien oder gewisse imaginäre CnTven dritter Ordnung. Die Eupfr
normalen einer gemeinen Schranbenlinie treffen aber sämtlich die Aie ihm
Cylinders senkrecht, nach I 8. 191, und bilden daher eine gemeine Schrauben-
fläche, von der wir schon wissen, dass sie eine HinimalflKche ist, weil wir in
dem Beispiel auf S. 110 sahen, dass fttr sie die mittlere KrOmmung S =«0 iA.^

Ausserdem ist nun noch die Annahme EU machen, dass eine orthogonsls
Tr^ectorie der Erzeugenden eine solche imaginäre Curve dritter Ordnung tco
constanter KrOmmung und Torsion sei, deren Gleichungen wir nach (12), I S. iiS,
so ansetzen kSnnen:

Allerdings haben wir in Sats 18, I 8. 2B9 (vgl. auch I S. 224), ei^annt, dui
aneb diese Cnrve eine Schraubenlinie ist, ^>er sie liegt anf einem Cjliiider

' Die ersten krummen Minimalflächen, die überhaupt gefunden «aiden,
sind die gemeinen Schraubenflächen und die Catenoide, und zwar konunea
beide in der Arbeit von Hkushies vom Jahre 1776 zuerst vor. Vgl. die Ann.
za S. 105.

^dnyCOOgle

§ 16. Mmmaifläehm. 24S

von UinimalgAHMleii, veshftlb oie (dne beeond^ B«haiidliiiig verUngt Ea iat m
ilkTfl Bogenlftnge nnd r ihr KrümmimgaTwliiu, sodaiB die BichtungiooEdDiu ibrer
Hanptnorm&le nach III (B) die Werte haben:

die OltichoDgen der FUche ihrer H&nptnonn&len. Berechnen wir nach XI (^)
die FandamentalgTSsse F, so kommt F^O, d. h. die Panuneteroarren (v) und
die orthogooaleik Tnyeetorien der Eneogenden (w) der FUche. Wenn wir
ferner nach (9), S. 106, die FundamentalgrCuen L nnd N berechnen, so finden
vir, dasa dieae beiden auch gleich Null aind. Daher ist die mittlere Krümmung H
uAch (1), S. 281 , wirklich gleich Null. Die FlBche ist deahalb eine olIerdingB
imaginBre HinimalflSclie. Daaa aie nicht za den gemeinen Schranbenflüchen
gehört, iat leicht m sehen. Denn bei einer gemeinen Scbraubenfl&che ist eine
der orthogonalen Tr^jectorien der Ersengendeu eine Gerade, n&mlicb die
Scbraabenoxe. Hier aber Ist keine Caive {v) eine Gerade; es giebt Ja keinen
conatanten endlichen Wert von v, Ar den die VerhjUtDisse von

■ 2H

- 1 + -

conatant, &ei von w, wftren.

Mithin:'

SatS 110: Anaser den Ebenen und den gemeinen Schranben-
fl&chen giebt es noch eine Art von geradlinigen Flächen, die
Hi&imalfltchen sind. Es sind dies die Flächen der Hauptnor-
malen von gewissen imaginären Carven dritter Ordnnng, die mit
der CarTe:

congroent sind. Die Geraden auf diesen imaginären Flächen sind
keine Uinimalgeraden.

' DaM eine reelle kramme geradlinige Fläche nur dann eine Hinimal-
fläche ist, wenn sie eine gemeine Schianbenfllche ist, hat merst Catauk l>e-
wiegen; „Sui les surfacea rigides dont l'aire est nn minimnm",
Jonm. de Math. p. et appl., 1. s^rie, t VII (1B12), Die in Satz 110 angegebene,
allerdings imaginäre geradlinige Uinimalfläche scheint bisher nirgends beachtet
worden so lein.

16*

.dr,yGoogIe

244 Zweiter Absc/mUt: Di» Krümmung der Fläche.

Eliminiert man ans den Gleicbongeo der Fliolie die Parameter w mid >,
was keine Schwierigkeiten macht, «o kommt:

Ix - iy)* + Sr(x - iy)x - Sir^j, =. 0 .

Hier liegen also imaginSre algebraische Minimalflftchen dritter Ord-
nung TOT.

Wir nehmen jetzt das Problem in Angriff, alle Minimal-
flädien ZQ bestimmen.'

Wir können dabei Toraossetzen, dass die Parameterlinien die
beiden Sdiaren der Minimalcurren der Fläche seien. Dann ist nach
Satz 17, S. 36, -E = G = 0. Damit die mittlere Krümmung 5 gleich
Null sei, ist nun nach (1), S. 231, notwendig und hinreichend, dass
M= 0 sei. Nach Satz 70, S. 186, beisst dies:

Batslll: Eine Fläche ist dann und nur dann eine Hini-
malfläcbe, wenn ihre Minimalcurven zu einander con-
jugiert sind.

Werden die Parameter mit u und b bezeichnet, so besteht also
nach Satz 71, S. 187, eine Gleichung von der Form:

sobald man fOr & irgend eine der drei rechtwinkligen Coordinaten
X, y, z der Fl&chenpnnkte einsetzt. Es giebt also zwei Functionen a
und b von u und D derart, dass:

«„„ = a«„ + äzb

> Wie wir in der Anm. auf S. 23& schon iagten, stellte IiAaBAHes di«
partielle Differentialgleichang zweiter Ordnung anf, der die Hinimalflficbeii
x, = f{x,y') genügen mOHsen; aber er integrierte aie nicht Mosob vennchw
die Int«gration in seinem „Memoire sur le calcui integral des öqnt-
tiouB aifx diff6rencea partiellea", H^m. de l'Acad. des Sciencee 1784,
beging aber dabei Irrtümer. Anf diese Fehler machte liBQEnv&B in seinem
„Memoire aar l'int^gration de quelques äqaations aui d^riT^ei
partielles", M£m. de l'Acad. des Sciences 1787, auftneikaam. Er bemeitte
darin ingleich, dass Mohob mittlerweile das wahre Integral gefiinden nnd üui
mitgeteilt habe, und leigte, wie er es alr^^mln ebenfalls gefiinden habe. Die
richtige Methode von Momoe findet sich in seiner „Application". Eine
andere Methode, die auch von Monde herrührt, findet sich in dem „Traiti
du caleal difförentiel et du caicul integral" von Lachoh, 2. AoB., t H
Parie 1B14. MoHQB kommt dort zu dem wichtigen Satze 118 des Textes.

Pdr,yGOOgIe

§ 15. Mnimalflächen, 246

ist Aber wenn wir diese drei Gleiohimgeii mit x,, y„, z„ multi-
plicieren und dann addieren, so ergiebt sich, weil E~0 and also
nach XI [J)

daher anch

ist, nnd wegen $x„x^ = F:

0 = bF.

Aber F ist nicht gleich Null, weil 3=G = 0 iat Mithin ist
b = 0, Ebenso ergiebt sich, wenn die drei Gleichnngen mit x^, y^, z,
mnltipliciert nnd dann addiert werden, dasB auch a = 0 ist Die
Gleichung (l) nimmt daher die ein&che Form an:

Nach dem Beispiet aof S. 188 aber bedeutet dies, dass die Para-
meterlimen (u) congruent nnd gleichgestellt sind und ebenso die
Parameterliuien (b). Da sie die UinimalcarTen der Fläche sind,
Bo folgt:

Sats 112: Jede Minimalfläche ist eine Schiebnngsfläche,
indem sie dadurch hervorgeht, dass man eine Minimal-
cnrve, ohne ihre Gestalt und Stellung zu äddern, an einer
anderen Minimalcnrve entlang bewegt.^

Oder in Formefai nach I S. 164:

Satz 113: Jede Minimalfläche läsat sich so darstellen:

Dabei sind die Functionen U^, ü^, ü^ Ton u allein und die
Functionen F^, 7^, F^ von D allein nnran die beiden Be-
dingungen gebunden:

U^'» + u^'t + tr,'* c^ 0, F,'» + Tg'» + F/» = 0.

' N&didem Hoxqb (vgl die Amn. sn S. 244) gefunden hatte, dx« die
Mininmlfl Heben die in dem Batse HS angegebene analTtische DarsteUung
htben, machte erst Lta (vgl. die Anm. zu S. ISB) auf die in Satz 112 aiu-
geapioohene geometri«che Deutung aafiuerksam, die die Qrondlage der LiK'echen
Untennchaiigen Aber die Minimalflächen bUdet Der gesohichtticbe G^ang der
Eotwickelong igt aloo umgekehrt wie oben im Texte.

Pdr,yGOOgIe

246 Zweüer MadmiU: DU J^ümtnun^ der Fläeh&.

Denn es liegt auf der Hand, daas sich unsere Schlnetfolgerung
aneb umkehren l&sst

Hiermit haben wir ein Mittel gewonnen, die Gleichungen vast
beliebigen Minimalääche au&iiBtellen, denn die Minimalcurren

E = i7,(u), » = i7,(u), i-P,(ll)
ond

E-r,(o), « = r,(ii), j-r.iB),

die wir dabei gebranchen, können nach Satz 50, I S. S42, explidte
dargestellt werden. Dort ist allerdings nnr von den nicht-geraden
Minimalcnrven die B«de, aber wir wissen ja, dass es imter den
Flächen, die eine Schar von Miuimalgeraden enthalten, keine ICni-
malfläche ausser der Ebene giebt, was übrigens anch ans dem
Satze 112 abgeleitet werden kann. Wir können daher, wenn wir
von den Ebenen absehen, die eine Uinimalcnrre so wählen;

(2) j=|J(l-u»)C^(u)rfu. q = -j-J(l + u»)P(u)rfii, i^jyiü{ü)dt.

Dabei bedeatet U eine von Nnll Terachiedene Function von u. Eni-
sprechend schreiben wir die &leichangen der zweiten IGnimalcnTre,
indem wir u durch D nnd die Function ü dnrch eine von Null Ter-
scbiedene Function V von u ersetzen. Aber hierbei ist ein Dnutand
zu beachten: Handelt es sich nur am die Beteacbtnng einer Hminut-
cnire (2), so ist es gleichgültig, ob wir in der zweiten Gleichung +i
oder —I schreiben. Sollen aber, wie bei der Minimalfläche, 2irei
Minimalcurren in Verbindung mit einander gebracht werden, so
können wir entweder bei beiden i oder bei der einen t ond bei der
anderen — t schreiben. Dadurch eichen sich zunächst zwei Ter-
Bchiedene Arten von Minimalfläohen, je nachdem man oämlidi in
den Gleichungen:

X = 1/(1 - u») U{u)dü + ^Ja - ö») 7{Xi)dt,

y = 4/(1 + 11«) V(v.) du ± -1-/(1 + B») r(B)rfB,

z= JuU(ü)du+ Jvr{V)dv

bei dem zweiten Factor t das obere oder nntere Vorzeichen lAhlL
Aber tbatsächlich liefert die erste Annahme keine anderen Hächen
als die zweite. Wenn man nämlich im ersten Fall neue Fwa>
meter u und v einführt, indem man:

Pdr,yGOOgIe

^ 16. Mimmalflächtn.

aehrtäbt and dann die Ftmetionen

setzt; Bo gehen die Qleichongen Aber in diejenigen, die der zweite
Fall liefert; mit den änSBerliclieD Unterschieden, daas » nnd v statt
U und 0 und ü^ und V^ etatt U nnd F darin atehL

llithin brauchen wir nor eines der beiden Yorzeichen zn be-
rtlcksichtigen. Wir wBhlen das ontere, BodasB wir haben

Sats 114: Jede Hinimalfl&che mit Ausnahme der Ebene
ist, nnd zwar in jeder Lage zn den Goordinatenaxen, in
der Form darstellbar:

X =- 1/(1 - u») Udn + 1/(1 - B«) Fdo ,

y - 4/(1 + a')PrfH - 4/(1 + ^i*)Vd)i,

z= j'aUdü+ JnFdxt.

Hierin bedeutet U irgend eine von Null verschiedene
Function ron u allein nnd F irgend eine Ton Null Ter-
schiedene Function von » allein.'
Nach XI (il) und XI {C) ist hier:

(3) Ä-0, F^\{yii> + l)*üy, 0 = 0, J) = iF,

sodass XI (F) für die Bichtungsoosinns der Flächenoonnale die
Werte giebt:

Nach (10), S. 106, finden wir aasserdun:

(5) L=~V, Af = Q, N^-F.

■ Diwe'DuBtellmig der Wuim^Schen verdaiikt man EnrxpxB, „Ana-
Ijrtiach-geometrische DnterBachnng«»", Zeituhrift f. Math. u. Phjsik,
». Jsh^. (1884), und Wsimutum, „Über die PlXcliBii, deren mittlere
Krammang Qberall gleich Nnll iit", Monatsberichte d. Berliner Akad.
1866. Han moea dabei beachten, dau der BegrifiF der Hinimalflftclie Slter als
der Begriff der Minimalcnrve ist, der eben in allen Arbeiten flbei Minimal-
fliehen bis n denen von Ln nnr implicite aofMtL TgL die Aamerknng m
I&B40.

Pdr,yGOOgIe

248 Zweiter Abechmtt: Die Snmmumg der FläeJt«.

Beispiel: Obeo fanden wir, dau «> anner dmi gemeiiieB Bchiaab«»
flfichea noch imAgia&re HiDimalf liehen mit geradlinigen Eriengen-
den giebt. Bei geeigneter Wahl daa CoordinateDkretuea laoaen oeh dieie
Minimalfl&ehen, wie wir sahen, so darstellen:

Wollen wir rie in der im Satu ang^^benen Form darstellen, so werden wir -
am die Parameter w, t> dnrcb die dazu nStigen nenen Parameter u, d ansn-
drücken — bei unserer FlKche X, T, Z nach XI (F) berechnen, «odoTch wA
ergielrt;

x.^L^^;^'^, r- -»--r^^z^j^ z~-

rVr*- 2»T ' 2ryr'- 2rv ' VH-Sr»

and diese Werte den Werten (4) gleichsetien. Dadorch geht hervor:

"-■¥(»-t)' •-¥(»*¥)■ + ¥•

Setzen wii diese Werte in die Gleichnngen der Fläche ein, so konunt:
- 1 r 1

12 4 " 12

. »r 1

* — 12-"

Diese FoTmeln gehen aber ans denen des Batses hermr, wenn:

gesetit wird. -

Die Werte (4) von X, 7, Z emd gen&u dieselben Ausdrücke, die
wir in (11) auf S. 64 för die Coordinaten x, y, z der Punkte einei
Kugel vom Badins Eins tun den Anfangspunkt erhielten. Dabei
waren damals die Linien (u) nnd (u) die Kinimalgeraden der EDgeL
Dieser Zusammenhang ist nicht überraschend, denn wir wissen j^
dass die sphärische Ahbildang der Minimalflächen conform
ist, siehe Satz 108, nnd andererseits, dass bei einer conformen Ab-
bildung die Minimalcnrren wieder in Minimalcuiren Übergehen, nftch
Satz 37, S. 73. Nun aber sind X, Y, Z ja gerade die Coordinaten
des Bildpunktes des Punktes (n, D) unserer Minimalfiäche ba An^

Pdr,yGOOgIe

§ 15. Mmimalfläokm. 249

fOhnutg der sphärischen Abbildung (vgL S. 204). Die CorreD (n)
und (ü) auf der Engel mit den rechtwinkligen Coordin&ten X, T, Z
mOssen also die Minimalgeraden der Kugel sein; und dies zeigt die
Übereinstiminang unserer Formels mit denen fQr die Kugel auf S. 64.

Wenn wir in den Gleichnngen der in Satz 114 angegebenen
Minimalflache die Functionen U und F ganz beliebig wählen, so
werden wir nicht gerade eine reelle Fläche erhalten. Wir fragen
QD3 daher, unter welchen Umständen die Minimalfläche
reell ist

Zunächst mOssen die Richtungscosinas der Normalen eines
reellen Punktes (u, t>) der Fläche auch reell sein. Daher mUssen u
und 0 so gewählt werden, dass die drei Ausdrücke (4) reell werden.
Wann dies eintritt, ist leicht durch Bechnong zu entscheiden, indem
man fBr u and b complexe Wwte einsetzt. Wir können aber noch
bequemer den soeben besprochenen Zusammenhang mit der Engel
heranziehen: Jeder reelle Punkt (x, y, x) der Fläche musB ein reelles
Bild (X, Y, Z) auf der Kugel haben. Aber auf der Kugel sind u
und D nach (9), S. 64, Functionen der Breite u und Länge v. Sind
diese reell, so sind u und D nach jenen Formeln conjngiert
complex.

Zunächst also müssen wir, um reelle Flächenpunkte zu erhalten,
u and b conjugiert complex wählen. Aber dies ist nur eine not-
wendige, keine hinreichende Bedingung.

Wir setzen also an:

ii = j + t9, b = E-»9,
indem wir unter i und ^ reelle G-rSssen verstehen. Nun seien die
Functionen P(u) und ^{t) oder U{i + iq) und ^(5 — 19) in ihren
reellen und rein imaginären Teil zerlegt:

[ r;_^(E,W + ..B(j,«,

1 >'-<?(£.«) + ••«(£.«•

Aladann hat z. B. die dritte Coordinate 2 den Wert:

E + it)){Ä + iff){di + idXi) + {£ - imC + ilf) {dl - idtfi}.
Der rein imaginäre Teil des Integraoden ist, abgesehen vom Factor t:

[Ar) + £s-C)) + D:^)d:^ + {Al- B^-C:^-J)t|)d^.

£r mnsa gleich Kall sein. Daher müssen die Functionen A, B, C, D
Bo beschaffen sein, dass:

'-h

,dr,GoogIe

Zweiter Abschniä: Die ^ümmuitg dar Fläet».

vird. Also mnas

oder nscli (6):

U=A + i£, V^Ä-iB

Bein. Dies aber bedeutet, daas U and V coajngiert complexe
Functioiien sein rnttasen.

iBt dies der Fall, so sind auch die in Satz 114 unter den beiden
anderen Integralzoicben auftretenden Ausdrucke reell, da sie Summen
sind, von denen die zweiten Snmmanden ans den ersten dnrclL Vei^
tauseben von i mit ~ t herrorgeben. Also

Batz 115: Die in Satz 114 angegebene Minimalfläche ist
dann und nur dann reell, wenn 11 nnd u eonjngiert com-
plexe Yeränderliche and 17 nnd F eonjngiert complexe
Fanctioaen sind.^

1. Beispiel: Wir wissen nach S. SJ2, das« die Remeioe Schranbenfliche
(v^ die Fonneln (20), S. 60):
(7) i — ttcoe», y — Unat, *~ qt

eine reelle MinimalflSehe ist Sie mnu uoh alw in der in Sati 114 ang^ebenen
Fonu darsteUen laaaen. Um diee zn erreichen, mÜHsea wir mnächat u nnd «
als FnncUon von u and D kennen lernen. Zu diesem Zweck t>edienen wir ans
wieder der Formeln (4). Denn nach XT (F) ist bei der gemeinen Schnraben-
flfiche:

DX^qAav, D7--qaoas, DZ-u.

Berechnen wir lüeiaue X:Z nnd 7:Z und vergleichen wir diese Werte nut
den ans (4) m ziehenden Werten, so kommt:

2 \ V^i

sein mnss. Nun ist alao bei der gemeinen Schranbenflftche (T):

' Hiernach ist es leicht, ans der EnmpKB-WnBBBTKUs'scheu Form dei
Gleichnngeu einer HiuimalflSche beliebig viele reelle Minimalflichen abia-
leitea, wthrend es &aher ein Problem war, die mit Imagin&rem behaftetan
Formeln von HoHU so tuunwendan, dass sieh reelle Ilinimaififtclien N^gaben.

Pdr,yGOOgIe

; 15. Mimmalftäehtn.

du in '

irihnad au der dritten Foimel des Satua 114 folgt:

Daber giebt die Targjeiehiuig:

Wenn man dementapredieiid lUe CM^ogiert eomplezoi Werte:

2u» ' 2»»

in die Foimeln dea Satiea 114 einsetEt und dann n und o vermdge (B) donli m
und V Bnadrüekt, aa gehen äiata&chlicli die Gleichung«!! (T) der gemeinen
Schranbenfl&che hervor.

3. Beispiel: Schlagen wir Jetrt, nm eine andere reelle MiniinalflBche in
gewinnen, den umgekehrten We^ ein. Wir wollen annebmeo, es ni:

"-^

gewählt, also bii auf den Factor -iao wie soeben btä der gemtinen Schranben-
fliehe. Äiedann iat die coi^ngiert complexe Fnnctioni

Der Satz 114 liefert daher die FUche:

y---^[^-u-4- + ö) + CoMt,

-|- (log « + log B) + Conrt.

U-t + i

I). »-;

■-•■l|,

naUe DuMeUu« d« TOcbt:

.-|..

> + 1- + «■

!■ + »■

+ C0Mt,

'-h-

1 + I- + »■

+ Coiiai,

• --,log

)'l' + »'

-(-CoiMt.

L«Men wir die additiven Conataaten fort, so beiart d«, dase die FlSebe
im Bamne Terschoben wird, wobei sie ihre Gestalt nicht Sodert Benntsen wir
ferner statt jc ond Q nene Parameter u und r, indem wir setzen:

Pdr,yGOOgIe

262 Zweiter JhaOnitt: Die Krümmung der Slätihe.

M liegt die Fliehe in dieser Dintellnng tot-.

Dies aber ist eine BotationafiAche, deren Aze die x-Axe ist Der Heridiu is
der % t-Ebene oder kUo die Pummeterlime (e ~ 0] fadt die Oleidmngen:

■odau fBr diesen HeridiMi;

ist Der Heridiin ist also eine Kettenlinie, denn Leitlinie di« x-Axe \A.
Di« gefondene fliehe iri d&her ein Catenoid. (Siebe 8. 12«.)
S. Beispiel: Wir wollen

9 3

w&hlen. Dum ^ebt der S«tt 114 die FUcbe:

i(u— 0)
y — uotgtu — arc^i» -arcfg-r— — -^,

Wir haben hier die bei y anftretenden Integrale dadnicb anagewertet, diu vir
*ii nnd >D als die Teifiuderlicben benntsten. Wenn nir

«ioffibren, w ergiebt sich die reelle DarBtellong der Fliehe:
wonva folgt:

.-11.8^-'«;^

oder:

(.) •-■»»ISf-

Diese Fliehe heisst die SoBBBE'aehe Hinimalfltche.' Dire Gestalt n-
kennt man am bequemsten ans der letiten Daratellnngsfonn (9). Da x ■xir

' Nach ihrem Entdecker Scqbrk, „Bemerkangen über die kleinitt
Fliehe innerhalb gegebener arensten", Joum. f. d. r. n. an«. HstL
18. Bd. (1836). Zur richtigen Wardignng dieser Entdeckung sei hervoigebobei,
daaa man damals die Sitae 114 nnd 116 noch nicht kannte.

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 15. Mmimal/Iäeihm. 258

dann raell ia^ wenn cos ai und (mw y dasselbe Zeichen haben, »o laaMn aieh die
reellan Qebiete laicht eikennea: Wir teilen die x y-Ebene vermitge der Par-
allelen in den Axen

X = — n und y — - — - — n (n eme ganze Zahl)

in Qnadnte von der Seitenlange r ein. Denken wir nna diese Quadntte
schachbrettartig in zwei Scharen zerlegt, so sehen wir, daee fQr reelle Paukte
der Fläche nur solche Werte von x and y in Betracht kommen, deren znge-
hCrige Ponkte (x, y) in der x y-Ebene in den Quadraten der einen Schar liegen,
and zwar gehSrt zn dieser Schar da^enige Quadrat, deasen Hitte der Anfangs-
pnnkt ist Wenn x nm n wichst oder abnimmt and y gleichzeitig um n wSchst
oder abnimmt, so Andern cos x and coe y zogleich ihr Zeichen, sodass % nach
(S) nngeBndert bleibt. Die Ftftche ist daher doppelt-periodisch. Das Stück,
das Aber dem Quadrat um den An&ngapunkt liegt, wiederholt sich congruent
Qber den in den Diagonalen anstossenden Quadraten.

Stellt man die Fläche, indem man x und y als Parameter w und v benntst,
nach (9) in der Form dar:

(10) fli — M, y^v, * — log cos H — log cos p,
60 erkennt man, das« ne auch dadurch entsteht, dasa die Curre:

(11) »-tt, y-0, s>=logcoBH
IftngB der Curre:

(la) x = 0, y^'t »- — log cos B,

die sie im An&ngsponkt schneidet, ohne Änderung ihrer Glestalt und Btellnng
Teraehoben wird. Sie ist di^er nicht nur hinsichäich ihrer Minimalcurren als
Miuimalflttch» eine ßchiehnngsfiSche, sondern ausserdem hinsichtlich dieser
CorreD (11) und (18), Tgl. S. 1B8. Sie ist daher sehr leicht zu constroieren,
sobald man die Gurren (11) und (12) filr die Qebiete:

bestimmt hat.

Leicht sind die Haupttangentencurren zu finden. Wir berechnen znnfichst
die Verhältnisse der FnndamentalgrSssen sweiter Ordnung nach (9), S. 106. Es
kommt, wenn die obigen Gleichungen (10) benntst werden:

LD- \-, MD-Q, ND'.-^,

aodaw nach S. 114 die Haupttangentencurren der FlSehe der Gleichung

oder also einer der beiden Gleichungen:

genOgen. Demnach dad;

log * (y + f ) * '°8 ^ ( i" + y) " '^""■

,dr,Google

254 Zweitar Absehnät: XHe &ümmmg der Fläehe.

die endlicheii aieichnngen der HMtpttutgentaDCnrren. Die PitgeetiDucai d«
Banpttangenteiictirveu auf die x y-Ebeae hiben aUo naoli (10) di« Gletchiucen:

Wir haben geeohen, daw die FUche in doppelter Weise ab Bchiebongi-
flache an^fiusBt werden kuin: Einmal als Schiebungsfläche 'iluer imaginiien
Minimalcurven nnd dann als SchiebnugsflSche der reellen Corren (1 1) und (12).
Man kann beweisen, dase sie sogar aaf unendlich viele Arten als Schiebung»-
flKche ange&sst werden kann und daher ein SeitenstUck cur gemeinen Sebraabeik-
flScbe (Tgl. S. 191) ist. Wenn man nämlich irgend eine Hanpttangentencimc
der FlSche herausgreift and den Ort der Mitten ihrer Secanteo bestimmt, w
findet man stets wieder Punkte der Fl&che. (Vgl. S. 190). Die Fläche entsteht
daher, wenn eine Corre, die lu einer Hanpttangentencorre der Fläche im
halben Maaasstab ähnlich ist, an einer mit ihr congmenten CuTFe ohne Drehong
entlang geschoben wird. Doch wollen wir hierauf nicht näher eingehen.'

Wenn wir die reellen Uinimalfllkchen bestimmen wollen, so
mllBsen wir nach Satz 115 nnter ü nQd V coDJugiert compleie
Functionen der conjngiert complexen Gr^en u = ^ + 1^ und
0 =. f — i^ verstehen und die Integrale in Satz 114 berechnen. Di
nun jede der drei Coordinaten x, y, z als Summe von zwei Inte-
gralen gewonnen wird und jedesmal die beiden einzelnen Litegnle
conjngiert complex Bind, so ist jedesmal ihre Summe gleich dan
doppelten reellen Teil des einen Integrals allein.

Wenn wir also durch den vorgesetzten Buchstaben 91
andeuten, dass von dem nachfolgenden Ausdruck nur der
reelle Teil benutzt werden soll, so können wir das B^rgebiiiB
so aussprechen:*

Batz 116: Jede reelle Uinimalfläche mit Ansnahae
der Ebene ist in der Form darstellbar:

.Si/d-

-u')f(u)iu,
y-mJ'i(l+u')F(u).iu,

sobald man darin C^ als irgend eine Function Ton u=E + il|

' Diese EigeuwihafC der S<mBE'scheB HiDimsJflSche fand Lis: vgl. die
I. EU S. 191.
' Nacli Weiebstiubb, vgl. die Aom. zu S. 217.

,dr,Google

§ 15. mnm/afiäOim. 366

T&hlt, di« nicht gleich Null ist, und nach beendigter Aus-
wertung der Integrale % und ^ als Parameter der Fläche
anffasst Die reellen Funkte der Fl&che gehCren dann zxx
den reellen Werten der Parameter.

Wir kennen diese Gleichungen anch von den Integralzeichen
be&eien, indem wir wie in I 8. 342 die Uethode der teilweisen Inte-
gration anwenden. Wenn wir anter ^(u) eine Function Tersteben,
deren dritter Differentialquotient gleich üiy) ist and also als von
Null verschieden Torausgesetzt werden muss (vgl. (5) in I S. 342),
so kommt entsprechend dem Satz 51, I S. S4S:

Bati 117: Jede reelle Minimalfläche mit Ausnahme der
Ebene ist in der Form darstellbar:'

* = 81[{1 -u")i"(u) + 2u J'(u)-2^(u)],
y = m [i(l + u») F- (u) - iiaF" (u) + 2iF{M)] ,
z = «[ 2u.P"{u)-2^(u)],

sobald man darin u -• ; + i^ setzt und die reellen O-rdssen
I und ^ als Parameter benatzt. Dabei bedeutet ^(u) eine
beliebige Function Ton u, deren dritter Differentialquotient
nicht gleich Null ist

Die Parameter ^ nnd 9 sind nach Satz 27, S. 65, thermische
Parameter der Minimalfl&che. In der That läast sich dies auch
sofort daraus schliessen, dass das Quadrat des Bogenelementes nach
(3) die Form

d*> = (ut) + l)»C"rrfurfB

oder also in ; nnd 9 die Form:

d»* - (E* + 9* + 1)' ÜV{di' + rf^»),
also den Factor rf j» + d^» hat (Vgl. Satz 25, S. 58).

Die Farameterlinien ^^ und (^) bilden daher auf der Hinimal-
fläche ein Isotbennennetz.

Bei der sphärischen Abbildung sind die Grössen (4) die Coordi-
naten des Bildpunktes des Fläcbenpunktes (n, U) oder (|, ^). Sie
haben, in j und ^ geschrieben, die Werte:

X = ^g 7 = ^0 z = ^ •'•''' ~ '

j' + 0» + i ' f" + «' + 1 ' j» + fl' + 1

Dies ist eine analytische DarsteUung fUr die Eugelpunkte {X, ¥, Z)

' Auch dies« Dantellung der leellen MinimalflicbeD wurde 1
RUM g^eben, Tgl. die Anm. zu S. 247.

Pdr,yGOOgIe

Ztceiter Jbachmtt: Die ^ütTimmig der Fläche.

mit Hälfe zweier Parameter ;, t). Da die »ph&risctie Abbildmif Aer
Micimalääche nach Satz 108 conform ist, so sind die Paramete>
linien (£) und (^) aaf der Engel eben&lls Isothermen, nach Satz 32,
8. 71. In der That traten dieselben GUeichnngen schon anf S. Sl
in (14) bei der stereographiBchen Projection der Engel auf;
nur hatten wir dort x, y, z statt X, T, Z. Wenn wir also die
Bildkngel vom Nordpol (0, 0, 1) aas anf die x^-Ebene perspectiv
projicieren, so ist die Projection des Eugelpnnkt«s {X, Y, Z) der
Punkt in der xy-Ebene mit den rechtwinkligen Coordinaten ^ und q.
Die Parameterlinien (;) and (q) auf der Engel sind hiemach die-
jenigen Kreise, die im Nordpol die ^z-Ebene bez. xz-Ebene be-
rühren. Da die etereographische Projection anch eine oonforme Ab-
bildong der Engel auf die Ebene ist, so folgt:

Satz 118: Dentet man; und ^ als rechtwinklige Fnnkt-
coordinaten in der Ebene, 80 wird die in Satz 116 ange-
gebene Minimalfläche conform auf die Ebene abgebildet.

Wir heschliessen diesen Paragraphen,' Indem wir noch ein Bei-
spiel von MinimaMächen erwähnen, das allerdings etwas ecbwierigere
Betrachtungen verlangt, soda^e wir uns nur auf die Hauptsacben
einlassen und es dem Leser anheimstellen, dies Beispiel zu über-
schlagen.

Beispiel: Wir wollen diq'SDigen MinimAlflScheii bespiechen, die soge-
naiute DoppelflBchen sind. D&bei STinnem wir dwwa, daas wir die «llge-
meinen Gleichnngen einer Minimalfläcbe &iib dem Umstfinde abgeleitet habes,
dass die MinimalflScben SchiebungaflSchen von Minimalcnrven sind. Nun Bshen
wir, als wir aof S. ISS n. f. von den ScbiebungafiBchen Oberhaupt sprachen, du«
es insbesondere vorkommen k&nn, daaa die beiden erzedgenden Cnrveu der
Schiebnngsfläche mit einander congruent and von gleicher Stellung und (vgl
S. 169). Da eine reelle HinimalflSche nur conjugiert cc^plexe Minimalcnrreii
entb&lt, so werden wir hier zn der besonderen Annahme gef&hrt, dus beid«
erzeogende MinimBicnrvea einereeita conjngiert complei/ sind und andeieneit)
die eine in die andere durch eine Schiebung flbeigefQhrt werden kann. DieM

' Hierbei Bei zur OrientierUDg des Leaere noch bemerkt, daes vir Dir
einen sehr kleinen Teil derjenigen Ergebnisse beibringen kSanen, die seiteoa
rerschiedener Mathematiker auf dem Gebiete der Minimalfl&chen gefondeo
worden sind. So werden wir z. B. anf die wichtigen üntecsnchungen von
ScHWABz gar nicht eingehen können. Wir wollen aber Docb erwBbnBD, dua
SoHWAsz im Journal f. d. r. n. angew. Uath., 80. Band, einen geschichtlicbei
Überblick über die Minimalflfichen gegeben hat, der ansEagsweiae in Siuioi-
FiKDLBB'a „Analytische Geometrie dea Eanmes", II. Teil, Leiprig 1860,
S. XX— XXVIII, anfgenommen worden ist Asch die geschieh tlidien Notiien
tn Dasbodx' „Lef one" (vgl. die Anm. za S. 187), I. partie, [S. 2ST n. f., sind
CO beaehten.

Pdr,yGOOgIe

S 15. mmmtaftädun. 267

FIKohen hat man Doppelfl&ohen geuumt, nnd cwar duhalb, weil sie, aobald
sie nicht-periodüoh sind, eine merkwürdige Eigeiucliaft liaben. Diese Eigen-
schaft wollen wii aber nicht durch geometriache Oberlegnngen, wie wir aie
soeben andeuteten, iondern durch die Unteranchnng eines analTtiichen Problems
ableiten, nlmlich k>:

"Wshlt man eine bestinimte Function ü{v), so gehSrt m ihr n»ch Sati 116
eine reelle Uinimalfliehe, die bis auf eine Schiebung im Banme eine
vSllJg bestimmte Lage bat, denn die Integrationsconstantan kSnaen noch be-
liebig gewUilt werden. Man kann sich nnn fragen, ob Kwei verschiedene Fmic>
tionen dieselbe HinimalflXche — abgesehen von Scbiebnogen — liefern. Oeben
wir daher der Fnnctin U noch einen «weiten Wert &(S), indem wir anch die
Veritnderiiehe u durch

ersfltsen, sodass fOr die swwte FUche die Bichtnngicosinns der Normalen nach
(4) die Werte haben:

wo natürlich d der m ü coqjugieite Wert

sein soll. Soll Jeder Pnnkt (u, d) der enten Fläche mit einem Pnnkte (ü, &) der

■weiten — abgesehen von einer Schiebung im Banme — cosammenfollen, so

müsaeD aie parallele Normalen haben, aber es kann der Sinn der positiven

Normalen bei der zweiten Fläche der umgekehrte sein. Daher setzen wir die

Werte (4) entweder direct den Werten (IS) gleich oder aber erst nach Hnlti-

plication mit — 1. Tm ersten Fall ei^ebt uch dann

(U) ü-u, 5-»,

dagegen im zweiten Fall:

(15) B — — -. 5= — — oder: ut= — ^i »-— ^i

und diese Werte ü, d sind coqjngiert complex, sobald ee u nnd b sind. Denn

ist, so giebt (16):

Nnn giebt die Gleichnng fllr « in Sati 116 oder, was vielldcht klarer Ist, die
Gleichung fOr « in Satz 114, wo V nnd V coiyngieit pomplexe Fonetionen von
u nnd n bedeuten:

dx~a üd\i + ■a Vd'o,
wShrend bei der neuen FlKche:

ist Sollen beide Werte Dbereinstimmen, so giebt die Annahme (14) die triviale
Lösung ÖC©- if(u)= V{u) nnd f(5)= f (B) = F(b), also keine aweite
FlSche. Dagegen giebt die Annahme (IB):

ü ü d ü ■(- ? Fd 5 ■- - 4 t' ( - y) ■'ö - -^ r( - -|-] rf 5 .

a«om. DUfr. n.

17

.dr,yGoogIe

268 ZweÜer Absehaitt: Du &ümmutm der Flächt.

Di«M Fordenmg wird flir all« Werte von ü and B befriedigt, wwn:

^<«)-^f(-|). ^m-if(-i)

geeetrt wird, und dann sind Ü und V thatoSchlich cn eiiumder ooiyngiert «m-
plexe Functionen. Daher, mit lUlcksicbt auf (18):

SB.tE 119: Die beiden realleu MinimalfUcben, die darek dit
Oleiehnngen:

x^9f(l-u*)Udu, x-fllf{\'-^Üdü,

l/ = mJni+a')Üdu, and y - ffl/t(l + G») Ö^rfü,

%-»f2uüda xr-mfsüÜdü

dargeetellt werden, in denen U eine Fanction von

and U eine Fnnction von

ü-s + »l|

bedeatet, sind — abgeieheu von einer Schiebung — nur dann mit
einander identisch, wenn entweder U dieselbe Function tod g
wie ü Ton ü iat oder wenn sich U dorcb die so ü coajagiert con-
plexe Fnnction F so ausdiackt:

Im zweiten Fall entspricht dem Punkte (f , q) der einen Fläche der-
jenige Pnnkt g, ^) der anderen FlBche, fDr den

^ " ~ i^+^* ' ^ " " ?T1»

ist, and die Normalen beider Punkte sind einander parallel, ab«
von entgegengesetztem Sinn.

Bleiben wir jetst hei dem nicht trivialen iweiten Fall. Es kann votknnmeii,
daea die neue Function Ü, ansgedrQckt durch u, genau dieselbe Function in
wie die alte Fanction U, ausgedrückt durch u. Alsdann liegt eine reelle
Minimalflftche vor, ausgedrückt durch die reellen Parameter ; and q, bd da
die Stelle (u) oder (;, Q) mit der Stelle

eongment ist, wShrend sie an diesen beiden Stallen nach verachiedenm Saita
gerichtete parallele Normalen hat Ist die FlSche nicht-petiodiecfa, so masiHi
beide Stellen lusommenliegen. Wenn sie dagegen periodisch ist, so kSaate die
eine Stelle am eine oder um einige Perioden von der andern entfernt sein.

Setzen wir nun voraus, dass die Fläche nicht- periodisch sei, eo w<£f
wir annehmen, dass sich die Grösse u stetig in die QrOsse — 1 : u verwudele.
Dabei beschreibt der zugehörige Pnnkt (f, q) der Flftche eine stetige Gurr«
auf der FlSche, wobei er schliesslich in seine Anfangslage snrückkdirt, lif

Pdr,yGOOgIe

§ J5. Mmimaiflä^ihm. 26fl

dann eine nuh d«r anderen Beite gerichtete Normale hat; d. h. er ist aof die
andere Seite der Flfidie ftbei^^egaogen. £b liegt also dann der merkwflrdige
Fall einer FlSche vor, bei der ein anf der FlSche gelegener Punkt
auf stetigem Wege auf die andere Seite gerade an dieselbe Stelle
gelangen kann, obne die Ftficbe an durcbsetzen.' Eine eolche Hinimat-
flftche beiaat eine DoppelflScbe.*

Zn diesen Fl&cben gelangt man ancb, wenn man', wie oben bemerkt,
nntersacbt, wann die eraengende Uinimalcnrve (D):

ttUdtt

oVdb

in die an ibr coiyngierte eixengende Minimalcnrve (u):
« = -g- J(l - D*) Fd D, y - - ^ Jd + B^ Fdt ,

dorcb Schiebnng überiUhibar ist Die« ist nimlicb dann und nur dann der
Fall, wenn man eine Veränderliche f so ab Function von u bcBtimmen kann,
daaa fOr jeden Wert von t

(1 -v*)Ud\i- (1 - (^ Vif)dt,
(1 +u*)Ddu--{i +t*l V(f)dt,
u ü(u)(iu- iVifjdt
nriid. Zunächst also w&re zn fordern:

1-U» !-(• l + u* 1 + C

AlaJanp bliebe, indem wir diesen Wert von t in die drei Bedingungen ein-
setzen, nur die Forderung:

was wieder zu dem Werte Ü in unserem Satze 119 zurQckfQhrt

' E!e ist leicht, NCh ein Modell einer Fl&che herzustellen, die zwar keine
MinimatflScbe ist, aber auch die Eigenschaft bat, dass man von ihrer einen
Seite auf die andere anf stetigem Wege gelangen kann, die also, wie man
■sgen kann, nur einseitig ist Man schneide nämüch einen etwa rechteckigen
Streifen Papier aus und klebe die kurzen Seiten zusammen, nachdem man das
eine Ende zbm andern hingebogen und einmal um zwei rechte Winkel
gedreht hat. Verfolgt man auf dem so beigestellten Modell die frObere
Itngera Mittellinie des Bechtecks, so erkennt man sofort die Einseitigkeit —
Auf das Vorhandensein einseitiger Flächen hat Liffnita, „Census räum-
licher Compleie", Abh. d. GSttinger Gesellsch. d. Wiss. 10. Bd. (1882), und
QDabhfingig von ihm und in aasdrücklicheTer Weise MBbicb, „Ober die Be-
stimmung des Inhaltes eines Polyeders", Leipziger Berichte 1665 (siehe
snch Ges. Werke Bd. II), hingewiesen.

* Die Theorie der Minimal-Doppelfl&cben rabrt von Lie her, vgl. die Änm.

17"

.dr,yGoogIe

Zweiter Abschnitt: Du Krümmiaig der Fläche.

M ist die m U conjugierte Function F von derMlboi Qeolalt, alao die ü
Sats 119 angegebene neue FanctioD:

d. h. dieselbe Function von u wie U von u. Mithin ergiebt sieb ffli

eine DoppelflScbe, denn die FUche ist offoibar dnrcb eine algebraische Glei
chniig swisehen at, y, z darateltbar and deshalb nicbt-periodiacb. Sie haut
die HBKNBBBRo'sohe Minimalflfiche.' -

Indem wir hier mit dem ParagräpIieB auch den zweiten Ab-
schnitt acfaliesseo, bemerken wir noch, daea wir auch eine Beihe lon
Formeln diesee Abechnittes in Tafeln im Anhange des Bandes zn-
eammengestellt haben. Die Tafel XEI enthält die Haoptformeln diese«
AbBchnitteB, die sich auf die FnndamentalgrQseen zweiter Ordnniig
und die Krümmung beziehen. In der Tafel Xm sind einige dieser
Formeln fUr die Bpecielle Darstellnngsform

der Fläche, bei der x nnd y die Parameter sind, wiedergegeben.
Einige von diesen Formeln sind zwar im Texte nicht entwick^t
worden; sie gehen indes so unmittelbar aus den entsprechenden
Formeln der Tafel XII durch Einsetzen der besonderen Werte he^
vor, dase wir Ton ihrer ausdrtlcklichen Ableitung hier fQglich absehea
dürfen. Die Tafel XIV bezieht sich auf die sphärische Abbildung
einer Fläche und die Tafel XT auf die Parallelflächen.

Die Formeln dieser Tafeln werden wir künftig wieder in der
Üblichen Weise citieren.

' HsHMiBBsa, „Cber solche Minimalflichen, welche eine Torge-
sckriebene ebene Carve zor geodStischen Linie haben", ZOrieh I^^

Pdr,yGOOgIe

Dritter ÄbBchniti

Die t^nndamentalgleichiuigeii der
Flächentheorie.

§ 1- Dis hQheren Oifflarentlalquotfenten der rechtwinkligen
Coortlinaten.

Die Betrachtungen des ersten und des zweiten AbBchnittee
zeigen, dasB die dni FundamentalgrOsaen erster Ordnung, E, F, G,
und die drei FundamentalgrösseD zweiter Ordnung, L, M, N, von
der grOesten Bedeutung für die Flächentheorie sind. Dieser Um-
stand ist schon durch die Benennung gewürdigt worden.

Wir haben eine Beihe von Bolchen Eigenschaften der Flächen
besprochen, die von ihrer zuiUligen Lage gegenttber dem Kreuze
der Coordinatenaxen unabhängig Bind, wie z. B. die Er&mmuDgs-
rerhältnisBe in einem Punkte, die Lagerung der zu einer Normalen
unendlich benachbarten Normalen u. s. w. Wir fonden, dasB zu ihrem
analytischen Ausdruck die Fundamentslgrossen völlig anareichten; so
lassen sich z. B. die Hauptkrllmmungsradien eines Flächenpunktes
durch die FuudamentalgröBsen allein ausdrüdcen, nach XII {K).

Da wir aber nur einen Teil der Eigenschaften der Flächen,
insbesoodere nur einen Teil ihrer von der Lage im Baume unab-
hängigen Eigenschaften betrachtet haben, so dürfen wir dieBO Be-
merkung nicht ohne weiteres verallgemeinern. Vielmehr fährt de
uns zu dem Problem, zu untenuchen, wie eich überhaupt die von
der Lage im Baume unabhängigen Eigenschaften einer Fläche ana-
lytisch aosdrücken.

Die Erledigung dieses Problemes ist eines der Hauptziele des
gegenwärtigen AbschnitteB.

Zur Vorbereitung bedürfen wir einer Beihe von Formeln, die
jetzt aufgestellt werden sollen. Erinnern wir uns an die Definitionen
der FnndamentaigrÖBsen in XI (^) und XII (if):
(1) Zx* = B, Zx^x^-F, Zx*=G,

Pdr,yGOOgIe

Dritter Äbsatmitt: Die FvndamentaigUiehumgvn dar FläehenÜuorii.

= DM,

i)» =

EG-F*

ist, Bo erkeuucD wir, dass sie die aacliB ersten und nenn zweiten
partiellen Differenttalqootienteii der rechtwinkligen Coordinaten x,y,i
nach den Parametern u and v eathalten. Differenzieren wir die
drei Oleichungen (I) einmal partiell nach u und einmal partiell
nach V, so gehen aus ihnen die sechs Oleichungen hervor:

S'„*« = i K> Sx„„*, + S*„ *■„ = F^, S^„*, = ^G„
die wir auch so schreiben kdnnen:

Die oleichungen (2) und (3) sind neun lineare Gleichungen &
die neun zweiten partiellen Ableitungen toq x, y, z:

(8)

Dabei enthalten die drei in (2) und (3) links stehenden Gleichongen
üvir die partiellen Ableitungen der ersten Reihe, femer die in (2)
und (3) in der Mitte stehenden Gleichungen nur die partielleii
Ableitungen der mittleren Reihe und endlich die in (2) und (3)
rechts stehenden Gleichungen nur die partiellen Ableitungen der
dritten Reihe der soeben angegebenen Tabelle. Wir werden nun
sehen, daas jedesmal die betreffenden drei Gleichungen hinsichtücfa
der in ihnen vorkommenden zweiten Ableitungen eine von Null ver-
schiedene Determinante haben und daher nach den zweiten A}>-
leitungen auflösbar sind. Durch die Auflösung ergeben sich alsdano
die zweiten Ableitungen ausgedrückt durch die ersten Ableitungen,
durch die Fundamentalgrässen und durch die ersten partiellen Ab-
leitungen der Fundamentalgrössen erster Ordnung.

Die drei in (2) und (3) links stehenden Gleichungen können «o
geschrieben werden:

Pdr,yGOOgIe

§J. Di6 h6hmm IHffmmtitdqwiUonUn der rechtwmläigm Coortünatm. 263

S(J.«,

-iE,.

Ihre Detenninuite hmdcbtlich x^^, y^^, z^^ ist:

y^'v - KV, *«*„ - KK *.y. - 5'»-

Direct oder auch nacli XI (J^ und XI (X) findet m&n als ihren
Wert D*. Ist also i? ^= 0, d. h. ist die Flache nicht die Tangenten-
fl&che einer Minimalcnrre (nach S. 29), so ist die Aoflfianng nach
'■»' y»«' ■"»«. Möglich- So kommt:

I>L zx-

■ tfl

oder;

'*y,-v^K

Wenn wir in der zweiten runden Klammer x^ x* addieren nnd sub-
trahieren, so sehen wir, dass sie nadi (1) den Wert x^Q ~ x^F hat,
nnd wenn wir in der letzten runden Klammer x^x^ addieren nnd
subtrahieren, finden wir, dass sie nach (1) den Wert x^F — x^E
hat So kommt:

Die Werte, die sich fQr y^_, z^^ ei^eben, gehen aus diesem durch
CfkUscbe Yertauschong von x, y, z hervor.

Wenn wir alsdann in den drei Gleichungen u mit v und ent-
sprechend E mit G, L mit N vertauBchen, so gehen die Werte von
*<ei y.>i ■*Bo hervor.

Ü>n 'ho' y») K^ ^^ finden, m&ssen wir die drei mittleren
Qleidinngen in (2) und (3) benutzen. Hier ist die fiechnung genaa
80 wie vorher durchzufahren.

In dieser Weise kommen wir zu nenn Formeln, von denen
drei so laaten:

Pdr,yGOOgIe

Dritter Äba^mitt: Die FundamtaMgUicfuMgm der Fl&Aeniluorit.

«ehrend, die übrigen sechB &us diesen durch cykÜBche Vertanachung
von X, y, z hervorgehen. Sie lehren:

Sati 1: Die zweiten partiellen Ableitungen der recht-
winkligen Coordinaten x, y, z eines Fläcbenpanktes nach
den Parametern u and v lassen sich sämtlich dnrcb die
ersten Ableitungen von x, y, z, durch die Fandamental-
grfiseeD erster und zweiter Ordnung und durch die ersten
partiellen Ableitungen der Fandamentalgrössen erster
Ordnnng ausdrücken. Vorausgesetzt ist dabei, dass die
Fl&che keine Tangentenfl&che einer Minimalcurve seL

Hieraus ziehen wir weitere Schlosse, wobei wir die Kechnnngen
gar nicht aoszuftlhren brauchen: Wollen wir die dritten partiellen
Ableitungen der Coordinaten x, y, z haben, so differenzieren wir
unsere Formeln noch einmal nach u oder c. So giebt die erste
Formel (4) nach u differenziert den Wert von x^^^, nnd zwar ans-
gedrückt durch die ersten nnd zweiten Ableitungen Ton x, y, z, dnicb
die Fundamentalgrßssen, durch die ersten und zweiten Ableitungen
von E, F, 6 und durch die ersten Ableitungen von Z, AI, If. Aber
hierin k&nnen wir die zweiten Ableitungen tou x, y, z mit Hilfe der
Formeln (4) und der sechs analogen Formeln durch die ersten Ab-
leitungen von X, y, z durch die FundamentalgrÖBsen und die ersten
Ableitungen von E, F, G ausdrücken n. s. w. So ergiebt sich, wenn
wir in derselben Weise weiter scbliessen:

Bats2: Die zweiten und höheren partiellen Ableitungen
der rechtwinkligen Coordinaten x, y, z eines Flächenponk-
tes nach den Parametern u und v lassen sich sämtlich
durch die ersten Ableitungen von x, y, z, durch die sechs
Fundamentalgrössen und durch die partiellen Ableitungen

Pdr,yGOOgIe

§ 2. Die dr«i Rm^ame'aalglaelMmgm. 266

der FtindameiitalgrOBaen oach u und v anadrückea, and
zvar treten bei den n**" Ableitungen von x, y, z die Ab-
leitungen von E, F, 0 bis zur (n — 1)*'" Ordnung, die Ton
L, M, N bis zur (n — 2)*** Ordnung auf. Hierbei ist Toraus-
gesetzt, dass die Fläche keine Tangentenfläche einer Mini-
malcurre sei.

§ 2. DI» drrt Fundamentalgleichungen.

Wir sahen, dass sich die zweiten Ableitungen von x, y, z nach u
und V durch die ersten, durch E, F, 0, L, M, N and durch die
ersten Ableitongen von E, F, 6 ansdrflcken lassen. In den Formeln
(4), S. 264, sind die Ausdrücke fttr x^^, x^^, z„ ausführlich an-
gegehen worden. Wir zogen hieraus Schlüsse in Bezug auf die
höheren Ableitungen von x, y, z. Hierbei aber ist nun ein Ein-
wand zu machen:

Wollen wir z. R x^^^ berechnen, so kann dies in zwei Arten
geschehen, entweder dadurch, dass wir die Formel für x^^ partiell
nach V, oder dadurch, dass wir die Formel für x^^ partiell nach tt
differenzieren. Dasselbe gilt bei der Berechnung von z^^_. Jedesmal
haben wir zwei Methoden, und wenn wir die nach beiden Methoden
berechneten Werte einander gleichsetzen, erhalten wir also zwei
Gleichungen. Da wir dieselben SchlüBse für y,„,, y^p, und für z^^^,
*■•• machen können, so übersehen wir, dass wir so zu sechs Glei-
chungen kommen, die notwendig richtig sind.

Wir stellen uns die Aufgabe, diese sechs Oleichungen zu finden.
Dabei werden wir sehen, daes sie sich auf nur drei reducieren, die
wir ihrer grossen Wichtigkeit halber die drei Fundamental-
gleichungen der Flächentheorie nennen wollen.

Da die Formeln einen grösseren Kechenaufwand erfordern, ist
es angebracht, sie zunächst unter speciellen Voraussetzungen abzu-
leiten, für die sie sich einfacher gestalten. Der Leser wird dadurch
einen besseren Überblick gewinnen und alsdann ihre allgemeine Be-
rechnong leichter Teretehen.

Wir wollen zunächst den speciellen Fall betrachten,
dass die ParametercarveD (m) und (w) Minimalcurven seien.
Nach Satz 16, S. 36, schliessen wir dabei nur die TangentenÜächen
der Minimalcurreo aus, von denen wir ja hier, wie schon auf S. 263
bemerkt wurde, überhaupt absehen. Nach Satz 17, S. 36, ist jetzt

E-G^O

Pdr,yGOOgIe

266 Dritter AbsehniU: Die FuHdamentai^Mt^amgen der Fiädmlheom.

ond alBo D = yEO — ^ =. il" anzonehmen, sodass die ölwchongen
(4), 3. 264, die einfachere (Gestalt bekommen:

'„ |i-(y,*,- 2.yJ + -f^,-

Wenn wir jetzt x^^^ aus der entea Gleichung durch partielle
Differentiation nach v berechnen wollen, so haben wir rechts den
Aaadruck

oder:

D
parüell nach v zu differenzieren. Alsdann treten die zweiten par-
tiellen Ableitungen von y und z auf, die wir mit Hülfe der FonDeln,
die ans (1) durch cyklische Yertanschung von x, y, z berrorgelieii,
wieder entfernen k&nnten. Aber wir können dies Geschäft Terein-
fachen, weil wir nämlich die partiellen Ableitungen des angegebenen
Ausdruckes schon früher berechnet haben, denn er ist ja nach XI (^
nichts anderes als X, und die Ableitungen TOn X sind in XII [R)
angegeben. Danach ist, weil jetzt E = Q ==0, D = iF ist:
i V M L

Wenn wir also statt (1) schreiben:

a:„ « MX,

und nun die Formeln (2) benutzen, so ist es ein leichtes, die Werte
von x^^^ und *„,„ zu berechnen.

Die erste Formel (3) giebt, nach v differenziert, mit Kilckaiclit
auf die zweite Formel (2):

TT t(^ , ^ \ , 3»logf , F.

Pdr,yGOOgIe

§2. Die drei fitndameniaigleit)/imgen. 267

Die zweite Formel (3) dagegen giebt, nach u differenziert, mit B&ck-
flicht auf die erste Formel (2):

Setzen wir beide Werte einander gleich und entfernen wir x^^ ver-
möge der zweiten Formel (3), so kommt:

= 0.

H&tten wir in entsprechender Weise ans denjenigen Formeln,
die ans (3) durch Yertauscbung von x mit y oder z und von JE
mit Y oder Z hervorgehen, die beiden Werte von y^^, und die
beiden Werte von z^^^ abgeleitet und jedesmal einander gleich-
geBetzt, ao wären wir zu denjenigen beiden Oleichungen gelangt, die
aua der letzten (Gleichung durch dieselbe Vertauscbung hervorgehen.
Moltiplicieren wir die drei so sich ergebenden Gleichungen mit
X, I, Z bezüglich x^, y^, z^ und addieren sie jedesmal, so ergiebt
sich, weil SX*= 1 und 3-tjr^ = 0 nach XI (/) ist, einzeln:

(5) i.-^.+^^-0, i^^-?^-0,

und diese beiden Gleichungen ziehen umgekehrt die Gleichang (4)
nach sich sowie die ans (4) dnrch Vertauscbung von x mit y oder z
und X mit Y oder Z hervorgehenden beiden Gleichungen.

Wenn wir nun nach derselben Methode statt *„„,, Vv^v^ *uup
die Grössen x^^^, ?„„,, «„„„ berechnen und jedesmal die beiden her-
vorgehenden Werte einander gleich setzen, so ergeben sich diejenigen
Bedingungen, die durch VertauBchuug von u mit v hervorgehen, wobei
dann auch L mit JV zu vertauschen ist. Es treten also analog (5)
die beiden Bedingungen anf:

Von diesen aber ist die zweite Gleichung identisch mit der zweiten
Gleichung (5). Mithin ergeben sich insgesamt gerade drei Be-
dingungen, die wir so schreiben:

Pdr,yGOOgIe

Dritter JbaeMtt: Du fimdamenia^kia/tungen der FlSehenäteoht.

(6)

Wir kehren jetzt -wieder zu allgemeineQ Parametern
u uDd V zurück. Dabei haben vir die Qleichimgen (1) dorch die
Gleichungen (4), 8. 264, za ersetzen. Da der Übergang von den
8oe1>en benutzten epeciellen Parametern u, v zu beliebigen Para-
metern aach dadurch bewirkt werden kann, daas mau neae Para-
meter einfOhrt, so ist es von ?onthereiu klar, dasa sich auch im
allgemeinen Fall drei Bedingungen ergeben werden, diejenige näm-
lich, die aus (6) durch Einführung beliebiger neuer Parameter her-
TOi^ehen. Wir werden dies aber auch direct nachweisen. Die Olei-
chongen (4), S. 264, lassen sich zunächst wegen XI (^ so schreiben:

+ ~f(- E^F- E^E+2F^E)x„

■^ ^ii- B,F ^ 0,E)x^,

'„ = ■^-^+ äi.-(- (?,-^- e«G + 2/;G)a:, -l-

+ ^{G^E+0^F-2F^F)T,.

Dabei nehmen wir Rücksicht auf die Formeln XII (^ mittels deren
die Ableitungen von X, 7, Z zu berechnen sind and von denen die
auf X bezüglichen so lauten:

X^ = ^[FM-GL)x^+j^{FL~EM)x„

K = -^{FIi-OM)x^+ -^{FM-EIPix,.

Wir differenzieren also jetzt die erste Gleichui^ (7) partieQ
nach V und die zweite partiell nach u. Die dadurch herrorgehenden
Werte von x^^^ setzen wir einander gleich. So erhalten wir, wenn
wir die dabei auftretenden Werte von x^^, x^^, x^^ mittels (7) und

Pdr,iGoogIe

§2. DU drei FmdammtaigUieltimgan. 269

die Werte X,, X, mittels (8) eotferneo, znnäcbet die aehr nnutilQd-
liehe Öleichong:

2Z>'

-0.

Ehe wir an die Ansrechirnng gehen, Überblicken wir diese laoge
Formel und bemerken, dass eie in Bezog aaf X, x^, x^ linear
und homogen ist, also die Form hat:

aX+ßx^ + yx^^O,
wobei a, ß, y Functionen der FundamentalgrOBsen nnd ihrer Ab-
leitungen sind.

Wenn wir entsprechend y^^^ auf zwei Weisen berechnen nnd
beide Werte einander gleich setzen und dasselbe für z^^, thnn, so
gehen die Gleichongen hervor:

uZ + ßz^ +yx^—Q,

da a, ß, y nngeändert bleiben, wenn x, y, z cyklisch vertanscht
werden.

D,gH,zedr,yGOOgIe

270 Dritter Abaekmtt: Di» PundammtaigMdmngen der FlätAaithmrit.

Jetzt liegen drei in a, ß, y lineare homogene Qleichnngea vor,
deren Determinante nach XI {£} gleich D nod daher Ton Null ver-
schieden ist, sodass notwendig einzeln

»-=0,

3-0,

sein musa. Diese drei Gleichungen ziehen umgetehrt die Torigen
nach eich. Also sehen wir:

Die ersten drei Bedingungen ergehen sich dadurch,
dass wir den Coefficienten von X, den von x^ und den Ton
x^ in unserer umständlichen Gleichung einzeln gleich Null
setzen.

Wir hätten ebenso schliessen kSnnen, indem vir f^,,, y,,,,
^H» ^^ i^ ^^^' Arten berechneten. Die dadurch heirorgehenden
Bedingungen aber ergeben eich offenbar einfacher dadurch, daas
wir in den soeben erwähnten drei Bedingungen u mit r
und also E mit G und Z mit A' vertauschen.

Insgesamt ergeben sich also sechs Bedingungen, doch werden
wir wie gesagt sehen, daes sie sich auf nur drei redncieren.

Zunächst ist die Gleichung a » 0, die sich also dnrch Nullsetzen
des Coefficienten von X aus der obigen langen Gleichung ergiebt, diese:

(9)

L-M^^-

2 2)'
E„0~ O.EA- iiE,-F^)F ,

- B.F- E,FI+2F.E f
2D'

Bechnet man die Gleichungen ß = 0 und / s 0 aus, d. h. deht
man aus der grossen Gleichung die Coefficienten ron x^ und tod i,
und setzt sie gleich Null, so findet man, dass sich F bez. B ab>
sondern läset. Alsdann aber bleibt bei beiden dasselbe übrig, eo-
dase die beiden Gleichungen /? <« 0 und y ^0 nur die eine Be-
dingung ergeben:

^^^^ - yU^K. - K. - e.J +

+ :^W + K0,- 2«. J.) +

,dr,Google

§ 3. DU drei F^mäamentatgkiebungen.

Dabei hat man nattlrlich zu berUcknohtigeii, dasB
2)* = J!!G~F\

' S^G + G^M ~

aiD*)^

= ^,0+ 0^E~2F^f
ist

Die drei Bedingimgen a = (i ,_ ß = 0, ^»0 redncieren sich
somit auf die beiden Gleichungen (9) und (10). Die übrigen Be-
dingungen erhält man mithin, indem man in (9) und (10) die Para-
meter u aod V, entsprechend M und G sowie L und N Tertauscht
Aber dabei bleibt die Qleichung (10) angeändert Also tritt nur
die eine aus (9) folgende Gleichung hinzu:

BD'

1-2(0. -f.) f ,

(11)

K-K- .'r.. ^-

2D'
2D'

sodass wir also thatsächlich zu nur drei Bedingungen gelangen, zu
den Gleichungen (9), (10) und {11>

Demnach ergiebt sich der wichtige

Bat! 3: Zwischen den Fundamentalgrßssen E, F, G und
I,, M, N und ihren Ableitungen bestehen drei Gleichungen.
Die eine drückt

EQ - F*
als Function von E, F, G und den ersten, und zweiten Ab-
leitungen Ton E, F, G aus; die beiden anderen drücken
l,-M^ und A,-^,

als lineare homogene Functionen von Z, M, N aus, deren
Coefficienten die Grössen E, F, Q und die ersten Ab-
leitungen dieser Grössen enthalten.

Wie wir schon bemerkt haben, nennen wir die drei Glei-
cbungen (9), (10) und (11) die Fundamentalgleichungen der
Flächentheorie,^ und zwar aus folgendem Grunde: Wenn E, F, Q

' Von den drei Fundunent&lgleichnDgeii iet die eine, die Gleichung (10),
Bchon von Gaübs 1B26 io seioea „DisquiBitioaes" (siehe die Anm. lu S. 5)

Pdr,yGOOgIe

272 Driüer AbsiAnät: Die Fundamtnia^laohmgen der Flächertiheori».

und L,M,S ii^end welche sechs gegebene FoDctioneD tod k nod v
Bind, 80 können sie nach den obigen E^geboiBBeo nur dann die
FnndamentalgrSBBen einer Fläche sein, wenn sie die drei Fonda-
mentalgleichangen für alle Werte tob u nnd v erfüllen. Ist dies
nnn der Fall, ao werden wi( erkennen, dass es thatBächlich Flächen
giebt, die diese Glrösaen zu Fundament&lgröesen haben. Mit anderen
Worten: Wir werden erkennen, dass die drei Fandamental-
gleicbnngen nicht nur die notwendigen, sondern anch die
hinreichenden Bedingungen dafür sind, dass sechs ge-
gebene Functionen E, F, G und L, M, JV als Fundamental-
grSssen einer Fläche anfgefasst werden können.

Doch geschieht dies erst später, in § 9. Ehe wir dazu flbn-
geben, besprechen wir in § 3 bis § 5 einige Probleme, die sich an
die Äu&tellong der Fandamentalgleichungen naturgemäss amchliessen.

Wir wollen hier noch zum Überäuse erwähnen, daas sich die
drei Fundamentalgleichungen (9), {10} und (11) fOr den Fall, dass
die Curven (u) nnd (v) die Minimalourren der Fläche sind, auf die
drei Gleichungen (6) reducieren.

§ 3. Verbiegung einer FIfiche auf eine andere.

Unter den drei Fundamentalgleichungen hat eine, nämlich die
G-Ieichung (10) auf S. 270, eine besondere Bedeutung für ein widi-
tiges Problem der Flächentbeorie. In dieser Gleichung steht links
nichts anderes als das Ertlmmungsmaass K der Fläche — nach
Xn (£) — , sodass sich ergiebt:

entwickelt worden. Er htX aaa ihr wichtige Seblüsse gezogen, die wit im
nBchsten ParagnpheD beepreehen. Auch ist ee leicht, KU den von Q*iias souat
noch gegebenen Oleichangen die beiden anderen Fondtunentalgleichnngen tit-
Euleitwi, wie Dabboux und Buhchi betont haben. Die beiden linderen EHuda-
mentalgleichnngen (9) und (1 1) treten, ftllerdings in anderer Form, bei Hadcakdi,
„Sa 1a teoria generale delle snperficie", Giomale dell' lalitato Lom-
bardo, t. IX (185T), auf, aber man uenot sie die Oleichangen von Coduu,
weil aie in Codazzi'b Abhandlung „Snlle coordinate curvilinee d'nn»
enperficie e dello spazio", Annali di Mat t. II (ISSSX oiplicite meist voi^
kommen. Bonket gebührt das Verdienet, die grasse Bedeutung der CoDi^'-
flcben Gleichnngen ina rechte Licht gesetzt zu haben, worauf wir noch znHlck-
kommen. SchlieHalich mnas bemerkt werden, daee die Fnndamentalgleiebmigai
für epedelle Parameter schon bei LiHfi, insbesondere in seinen „Le^oDS enr
lea coordonn^ee cuivilignee et leure diverses appUcations", Paris
lBCi9, vorkommen.

Pdr,yGOOgIe

§ 3. Verbiegung eMi»" Fläe/te auf eiae andere. 273

Sftti 4:* Das ErtlinmaDgsmaass K einer Fläche ist als
eise solche FuDction darstellbar, die nur die Fundamen-
talgrfissen erster Ordnung E, F, O and die ersten nnd
zweiten partiellen Ableitungen dieser drei Grössen nach
den Parametern u und v der Fläche enthalt

Dies aoalytiache Ergebnis hat nun auch einen geometrischen
Sinn, wie bald auseinander gesetzt werden wird. Wir bedürfen dazu
einiger Yorbereitnngen.

In Satz 10, I S. 282, ist es ausgesprochen worden, dass nur
die Tangentenflächen Ton Gurren in der Art Punkt fllr Punkt auf
die Ebene abgebildet werden können, dass jeder Gurre der Fläche
eine gleichlange Gurre in der Ebene entspricht. Deshalb eben heissen
diese Flächen abwickelbare Flächen. Es wäre deutlicher, sie auf
die Ebene abwickelbare Flächen zu nennen, denn wenn man die
Ebene durch eine kmmme Fläche ersetzt^ so kommt man zu einem
neoen Problem:

Gegeben seien zwei Flächen. Wir fragen uns, ob es möglich
ist, die eine Punkt fßr Pnnkt auf die andere so abzubilden, dass
jeder Gurre auf der einen Fläche eine gleichlange Ourve auf der
anderen Fläche entspricht Lässt sich diese Forderung der Längen-
treue (ygl. S. 38) erfüllen, so werden wir sagen, dass die eine
Fläche auf die andere abwickelbar seL Man zieht es vor, zu
sagen: Die eine Fläche läest sich auf die andere verbiegen,'

* Wie BcboB in der letzten Anmerkung gesagt wurde, röhrt dieser Satz
von Gauss her.

* Das Problem der Varbiegnug von Flficben wurde von Gauss ia aeinen
„Disqnigitiones" znerst gestellt and bebandelt. Daran achliesat sieh eine
sehr grosse Reihe von Arbeiten, von denen wir nur die folgenden nennen:

MmnntQ, „Wie sich entscheiden ISsst, ob zwei gegebene kromnie
Flächen anf einander abwickelbar sind oder nicht; nebst Bemer-
kungen über die Flächen mit anveränderlichem Krümmungs-
maasae", Jooin. f. d. r. u. sng. Math. 19. Bd. (1339).

LiOTTyiLLB's Noten: „Snr le tb^oröme de M. Oadss, eonceinant le
prodait des deui rayons de courbure prineipaux en ehaque point
d'ane surface" and „Da tracä g^ographiqne des snrfaces lea nnes
snr les autres" zur 5. Aufl. von MoNeE's „Application", Paris 1860.

BoDB, „Theorie de la d^formation des aurfacea", Joam. de l'^cole
poljt 89. cah. (1882).

BomBT, „Hämoire aur la th^orie des surfaees applicablee snr
nne earface donnäe", Jonm. de l'f^ole polyt 41. u. 42. cah. (iseö— 67).

WBDroUEtnr, „Über eine CUsse auf einander abwickelbarer
Flachen", Joam.f. d. r. n. ang. Math. SB. Bd. (1861), und „Über die Theoria

, Owm. Dlfflr. IL

^dnyCOOgle

274 Driaar Äbsdmitf: Die Fimdammialgleiefyutyen der FlätAentheorv.

iDdem maji also unter Verbiegiing eine solche Ändernng der Gestalt
einer Fläche versteht, bei der keine Flächencurve eine Dehnang
oder Kürzong erleidet Die Bevorzugung dee Wortes Verbiegung
vor dem Worte Abwickelung hat ihren Grond darin, dasa man
nnter Abwickelung oft stillschweigend die Abwickelung auf die
Ebene, statt auf eine krumme Fläche, versteht Die abwickelbaren
Flächen also sind die auf die Ebene verbiegbaren Flächen.

Die Verbiegung einer Fläche auf eine andere Fläche kann auch
als eine zugleich fl&chentreue und conforme Abbildung de-
finiert werden, me aus S. 70 erhellt Der Ähnlichkeitsmaassstab
ist hier 1:1, d. h. die Verbiegung kann auch als eine solche Ab-
bildung bezeichnet werden, bei der jedem unendlich kleinen
StUck der einen Fläche ein congrnentes StUck der anderen
entspricht

Hervorgehoben sei noch, dass vrir im allgemeinen mit dem
Wort: Verbiegung durchaus nicht den Begriff einer stetigen übe^
fOhrung der einen Fläche in die andere — ohne Dehnung — ver-
binden. Ob die Verbiegung einer Fläche in eine andere Fläche
auf stetigem Wege möglich ist, das ist eine schwierigere Frage, anf
die wir nur in einzelnen Beispielen eingehen werden.

Während zwei beliebige Flächen nach Satz 35, S. 72, stets con-
form auf einander abgebildet werden können, ist es klar, dass zvd
beliebig gegebene Flächen nicht auf einander verbiegbar sein werden,
denn wir wissen ja, dass z. B. auf die Ebene nur die Tangentenflächen
der Cnrven verbiegbar sind. Vielmehr wird es zn jeder bestinmit
gewählten Fläche nur eine gewisse Familie von Flächen geben, die
auf sie verbiegbar sind.

Wenn wir wie in § 11 des 1. Abschnittes die punktweise Ab-
bildung einer Fläche auf eine andere analytisch dadurch ausdrOcken,
dass wir entsprechenden Punkten beider Flächen dieselben Pan-
metorwerte u, v geben, sodass etwa:

der auf einander abwickelbaren Oberflächen", FeetBchrift der te
niacben Hocbsclkale za Berlin 1884.

Endlich ist noch die Behandlong des Problema In Dabbodz' „Lefon
(Tgj. die Anm. ta S. 167), 3. partie, Paria 1894, za erwUmon.

(1)

i-fK»),

y/K«)

und

(2)

i-ip{i,v),

y-Jl«,»)

,dr,Google

§ 3. Verbitgtmg einer Fläche auf eine andere. 276

die GleichungeiD der beiden Flächen aiud, deren Bogenelemente die
Quadrate haben mfigen:

'^ 1 d»*^Edu^'^2Fdudv'irÖdv*,

so wird die Äbbildang der einen F^che auf die andere nur dann
eine Verbiegung sein, wenn insbesondere jedes Bogenelement di
der einen Fläche dieselbe Länge wie sein Bild ds hat Mach (8)
tritt dies dann und nur dann ein, wenn
(4) i?=.Ä, F^F, ö= G

ist Ba jede Currenlänge ein Integral über Bogenelemente ist, so
Bind dann auch entsprechende Gurren beider Flächen gleich lang.
Also:

Satz 5: Eine Fläche ist dann und nur dann auf eine
andere Fläche verbiegbar, wenn es möglich ist, Para-
meter u, V auf beiden Flächen derart einzufUhreu, dass die
Fnndamentalgrössen erster Ordnung der einen Fläche den
entsprechenden Fnndamentalgrössen erster Ordnung der
anderen Fläche gleich werden. Alsdann entsprechen die-
jenigen Punkte beider Flächen einander, die zu denselben
Werten der Parameter u and v gehören..

Nach Satz 4 ist aber dium auch das ErUmmungsmaass K der
einen Fläche gleich dem KrUmmungsmaass K der anderen. Daher:

Sats 6: Sind zwei Flächen auf einander rerbiegbar, so
haben sie in einander entsprechenden Pankten dasselbe
Krämmangsmaass.

Oder auch:

Batz 7: Bei der Verbiegung einer Fläche bleibt ihr
KrUmmungsmaass überall uogeändert.'

Auf diesen wichtigen Satz haben wir schon gelegentlich (auf
S. 229) hingewieaeo.

Wenn zwei Flächen auf einander verbiegbar sein sollen, so
müssen hiemach die einander entsprechenden Punkte beider Flächen
äasselbe Erttmmongsmaass haben. Hat man nun zwischen zwei
Flächen eine solche pouktweise Abbildung hergestellt, dass jeder
Ponkt der einen Fläche dasselbe KrUmmungsmaass wie sein Bild-

' Die Sätze b, 6 und ^ rühren Ton Gioss her. iDsbesoudare ist Sati T
du von Gauss so genannte „Theorem* egreginin".

.dr,yGoogIe

276 Driäer AbstAnitt: Die Fundammtaigletchunffen der Flächmtheork.

pnnkt auf der anderen Pl&che hat, 80 folgt aber keineswegs dartuu,
dass die Abbildnng der einen FUUihe aof die andere eine Ver-
biegung wäre.

Es ist in der That leicht, Beispiele tOi das Gegenteil zn bilden.'
Beispiel: In der z»-Ebene sei die logarithmische Cnrve:
X =• u, y = 0, x-log«
g^^ben. Drehen vir lae am die «-Aze, so enlateht die RotationsflAcfa«
der logftTithmtscbeii Cnrve:

« = w COB r , y — w sin c , s — log u ,
aof der du Qnadnt des Bogenelementes den Wert hat:
rf»» = (l + — j-ld«*' + «'de*.

Ändereneits betrachten wir die gemeine Schrauhenfliche (vgl. S. 60):

X " ü coB 9, ya>ÜBin9, »~S,
deren GlanghGhe gleich 2n ist Hier ist das Quadrat des Bogenelementes:

dS* = dü' + C1 + i^df*.
Da hei der ersten Flfiohe die FimdamentalgrCBsen erster Ordnong die Werte

£-l + \, F=0, Ö~u*,

auf der iweiten FlBche die Werte:

Ä-1, F^a, 5 = 1 + w»
haben, so ergiebt die Fnndamentalgleichang (10), S. 870, fOr die KrBmmnngg-
maasse K und K beider FlSchen die Werte:

(!+«•)>• '^ (1 + «V

Wenn wir also die Punkte der beiden Flächen einander dadurch tuordnen,

setsen, so haben einander zageordnete Punkte dasselbe Krümmnngsmaass, wBhrend
doeli die Quadrate der Bogenelemente verschieden sind. Diese ponktveiee
Znordnnng ist also keine Verbiegnng der einen Fläche auf die andere.

£e giebt hier flberliMipt keine Abbildung der einen Fläche auf die ander«,
äie eine Verbiegnng wäre. Denn die allgemeinste Äbbildong der einen Fliehe
auf die andere, liei äer jedem Paukte (u, c) ein Punkt (ü, V) mit demselben
KrBmmungsmaass entspricht, ergiebt sich ja, wenn man
1 + »• = ± (1 + »')

' Solche Beispiele gaben StIokbl und WAtracRiR, „Znr Theorie des
aioes'schen Krümmungemaasses", Leipzigec Berichte 1898. Das obig«
Beispiel rfihrt tou WaNasani her.

Pdr,yGOOgIe

§ 3. Veritkjptng einer Fläche auf eine andere. 277

oder also:

•i- V- 1 ± 1 ±«'

« - ± » oder i - y~2-u*
setzt, wflhiend f eine beliebige Function von u nnd e sein darf:

« - ?>(«,«).
Fflhfen irir cnnftchst ü » ± u, e — <p{u, v) in den Änadrock fBr cf i* ein, so
kommt:

dp = du* + (1 +u*H<p,du + ip.dr)''.

Er i«t noi dann gleich dem obigen Aiudrnck fDr d»', weiui

1 +{1 + «•)»«»- 1 + -^, ».»,-0, {1 + »•)»,*-.«•

ist. W^en der zweiten Oleichong müsate 9. oder <p, gleich Null »ein, wu
beides >n Widersprochen fShren würde. Wenn wir dagegen:

ü I- y - 2 - u' , « - V (u, v)
> kommt:

<*!*=■ -y^^d«' + (l ■t-t»*)(v.d« + »,di')'.

Dieser Anadmek aber deekt neh nur dann mit dt*, wenn

- 3 "'^. + (1 +i.')<p,-l + ~, 91.V. = 0, {1 +«*)».»-»*

ist, w«e ebenso zn Widenprflchen ffÜat

Wir haben alio hier den Fall vor ans, das« keine de^enigen Abbildungen
der einen Fläche «nf die andere, bei denen Ponkte mit gleichem Krflnunnngs-
maasB einander entsprechen, eine Verhicgnng ist

Will man fQr zwei gegebene Flächen unterauchen, ob sie auf
einander verbiegbar sind, so bat man z» bedenken, dass man von
Tomherein nicht weisB, wie die Punkte der beiden Flächen einander
bei der noch fraglichen Verbiegbarkeit entsprechen. Aber man weiss
Ton Tornherein, dass gewissen Cnrven der einen Fläche gewisse
Gorren anf der anderen entsprechen mOssen, nändich die Minimal-
cnrTen. In der That gehören ja die Verbiegungen mit zu den
conformen Abbildungen, sodass der Satz 37, S. 73, die Behauptung
enthält Man kann die Behauptung auch mittels des Satzes 5 und
der DifTerentialgleichung XI (0) der Minimalcnrven als richtig nach-
weisen.

Wenn also zwei Flächen, von denen man nicht weiss, ob sie
auf einander verbiegbar sind, irgend wie analytisch gegeben sind,
so wird man gut thun, auf beiden die Minimalcurven als Para-
meterlinien einzuführen. Auf der einen Fläche seien tt, V nnd auf

Pdr,yGOOgIe

278 Drüter Äbaehait: Di« Ii\Mdtan«ntalgkief)ungm der Fläekeniheorie.

der anderen ü, v zugehörige Parameter. Nach Satz 1 7, S. 36, hi^)e)i
dann die Quadrate der Bogenelemente beider Flächen die Formen:

ds* = 2F{a,V)düd)o,

rfi» = 2Jf(ü, t)rfürfB.

Die Zarückfübrnng der Bogenelemeut-Quadrate auf solche Formen
erfordert natürlich die Integration der Differentialgleichung der
Minimalcurren.

Wenn sich nun herausstellt, dass F{a, v) dieselbe Function
von 11 ttnd 0 ist wie J^* von ü und ü, so würde dur<^ u = ü, v =1
eine solche Abbildung der beiden Flächen auf einander rennitteh
sein, bei der einander entsprechende Bogenelemente dieselbe Linge
haben, d. h. dann ist die Yerbiegung ausführbar.

Aber dies ist nicht die einzige Möglichkeit. Man muss sich
Tielmehr daran erinnern, daes zu bestimmten Scharen tou Para-
meterlinien nach S. 10 nicht auch ganz bestimmte Parameter ge-
hören. Vielmehr wird z. B. auf der ersten Fläche das System der
Parameterlinien immer dann noch aus den Minimalcurren bestehen,
wenn statt u und D eine Function ü YOn u allein und eine Function Ö
ron 0 allein als neue Parameter eingefllhrt werden.

Wird also etwa:

ü=A^), ti = 5(5)

gesetzt und werden hierdurch neue Parameter ü und 6 eingeführt
so wird:

dn = A'dü, dxt = S'di,

sodass das Quadrat des Bogenelementes dt der ersten Fläche statt
der Form

rfs»=2^(U,ü)rfurfO
die Form:
(5) d3*=2F{A,B)J'e'äüdi)

annimmt. Mithin folgt, wenn man noch bedenkt, dass das System
der Parameterlinien auch bei Vertaaschnng von u mit b uugeändert
bleibt:

Satz 8: Sind zwei Flächen auf ihre Minimalcurren als
Parameterlinien bezogen und sind u, b bez. ü, b zugehörige
Parameter der beiden Flächen, wobei die Quadrate ihrer
Bogenelemente also die Formen:

dg>=2F{n,X>)dadv, dg' = 2F{Ü,^düdv

Pdr,yGOOgIe

§ 3. Verbiegung etnor Fläehe auf eine andere. 279

annehmen, so sind die beiden Flächen dann und nur dann
auf einander yerbiegbar, wenn es eine Function A Ton n
allein nnd eine Function B von ü allein giebt, fUr die
entweder:

oder

P{S,Ä)A'lfi)B-(^ = F(fi,n)

fOr alle Werte von ü and g ist Dabei sind alsdann im
ersten Fall:

u = J^), » = Ä(5)

und im zweiten Fall:

u=Blfi), D = ^{ü)
die GMeichnngen der Verbiegung.

Beispiel: Es liege die UiniinalflBche vor (vgl. Sati lU, S. 24T):
" = t/*^ -n'KTdM + y J(l - B«) Vdt,
y = yj"(l + «") T^du - y Ja + t^VdV,
J.Uäu+ J.Vät,

wo U eine Fnnctioii von u alleia and F une FonctioD von D allein bedeutet.
Bei der Flache (6) sind die Pttruneterlinien (u) nnd (b) die HinimAlcnrven, nud
daa Quadrat ihre« Bogen elementes iat:

da* ~il + utifUrdudia.

SoU diese UinimaUScbe auf eine andere HinimalfUohe verbiegbar
sein,* bei der ü nnd d statt u and t> sowie f7[ti) and F(ü) statt U und V
sieben, so mOaaen u und )> nach nnserem Satxe solcbe Functionen J(ü) und
BCSi sein, daas
(7) (1 + JB)»D'(i)F{S)J'S'=(l + Ü5)'t?(ii)f{D)

irird, wenn wir vorerst von dem Fall, dass u mit o vertatucbt wird, absehen.
"Wenn wir diese Oleichnug logarithmiscb nach ü difierenderen, so liommt;

2Ä'B Ü'Ä- A" 2 5 Ü

' Die Theorie der Terbiegung von HinlmaUächen in MiaimalflKcben ver-
dankt man Botfim. Siehe seine „Note Bor la th^orie ginärale des snr-
faees", Comptes Bendus t XXXVU (185S), und sein „Hämoire but U
tbäorie des soifaces applicables aar ane Borface donnöe", 2. partie,
Joum. de l'ficole polyt 42. cahier (1967).

Pdr,yGOOgIe

280 Dritter Mat^tnüt: IHe Ji^tndammiaigkie/timgm der Flöehentlteont.
1 anehen üt, ätan

1 5 frei aeiu mutH. Ebenao mtUB
AB'

1 +ÄB l + up

von ü frei sein. Wenn wir in dem ereten Anadnick fltttt ü eine Conitsnte
setien, was jft auf SfSj keinen EinfliiBs hat, so eehen wir sofort, dass B lineir
gebrochen in 9 sein mnas. Ebenso muss A linear gebrocben in u sein. Setien
wir für Ä und B solche linear gebrochene Fonctiouen in die beiden Ansdifieke
ein und nntersnchen wir, ob die Ausdrfldce dann wirtlich Ton o bes. ü fni
werden, so finden wir ohne Hohe, dass A und B die Formen haben mOsses:

die Qleichnngen der Verbiegnng sein mflasen. Aber dies Usst sieh gani a-
hebltch vereinfachen. Mach den Formeln (i), S. S4T, sind nSmlich die IUbIi-
tangscosinas X, T, Z der Normale der Fliehe (6):

die der Normale der fraglichen iweiten Hinimalfl&che. Setcen wir hierin die
Werte (8) ein, so finden wir:

(fflt _ et _ i

+ ilX +

.(■■•-.

+ *•

-<r)T-m

ä-a

»Z

2(.i-

Je)

-.(«■ + .•-

b'-iTiX-^ [o' +

•+»

+ (PiT+2

(ed +

at-lZ

2{.ä-

4e)

2(6 rf

-.0«-

2iC6i +

aeiY+2(ad + beiZ

2iad-bc)

sodass sich X, T, Z linear nnd homogen durch X, 7, Z aosdrflckeu. Die
rechts auftretenden nenn Ooefficienten von X, 7, 2 erf&llen nun die Be-
dingungen 1 ((7) oder I(C) und I(^) Ar die Coflinus der Winkel, die drei n
einander senkrechte und wie die Coordinatenaien orientierte RichtnngeD mit
den Coordinat«naxen bilden. Hierana folgt; Wir kSnnsn die fragliehe iweits
Minimalfl&che, starr gedacht, in eine solche Lage mittels einer Bewegimg ftbtf-
ftthren, dass direct X — ^, Y ~ Y, Z = Z wird, d. h. dass entsprecheDde
Punkte beider Flächen parallele nnd xwar ancb den Sinne nscb
parallele Normalen haben.

Pdr,yGOOgIe

§ 3. Verhiegung einer Fiädu auf eine andere. 281

Haii hltte die« ToiauMehen kSimen: Wenn wir n&mlich die gegebene
Hinimalfl&cha sphliisah abbilden, eo ist die Abbildung n&cb 8atB 108,
8. 242, confbnn. Nach der Definitdon de« KrünunimgfliiiHWBes K auf S. 212
wird dabei jede« nneadlich kleine FlBchenittick der Minimalä&cfae in uuem
solchen HaasBBtab ähnlich abgebildet, da» der Inhalt der Bildfl&che Eom In-
halt der Originalfl&che im VerhKltnia von K in Bins steht Ist nnn die Uini-
malfllche auf eine andere Hinimalfläche Terbiegbar, ho hat diese zweite Fläche
au der entsprechenden Stelle nach Sati 6 dasselbe Kiümmnngsmaasa K. D. h.
zwei einander entapreehende Flächenelemente beider Flächen werden bei der
Bphtrischen Abbildung im selben Maassstab ähnlich TergiGseert oder verkleinert
Da nnn die Verbiegong eine im Unendlicbkleinen congruente Abbildung ist, so
folgt, dua zwei einander entsprechende (congruente) unendlich kleine Stttcke
beider Flächen anch congniente sphärische Bilder haben. Hieraus kann man
dann schlieseen, dass aoch Ewei bd der Verbiegung mit einander zur Decknng
zn bringende endliche Stflcke heider Hinimal£ächen congruente sphärische
Bilder haben. Aber swei congruente f^goren auf der Bildkngel lassen sich
durch Di^en der einen auf der Kugel mit einander cur Decknng bringen.
Oder auch: Han kann die Eweite, starr gedacht«, Fläche in eine solche Lage
bringen, dass ihr sphärisches Bild direot mit dem der ersten Fläche fiberein-
Btimmt

Wir haben jedoch diese nicht ganz streng durchgeführt« Infinitesimsl-
betrachtung durch die obigen eiacten analftisohen Sohlflsse enetzt und kOnnen
Don annehmen, dass X = X, F - f , Z - ^ ist, d. h. dsM nach (9) tmd (10)
einfach:

u = 5, » = D

ist Jatst lautet die Bedingung (7) ao:

Bie wird in allgemeinster Weise dnrch die Annahme:

ü(5)-iii;(ü), r(ü)--iF(5}

bejnedigt, wobei e eine willkürliche Constonte bedentet
Vertanschen vir u mit 9, so ergiebt sich:

E7{ü)-eK(ü), vm = ^vm-

In_ diesem Fall ist nach (9) und (lOJ Ewar X=K and Z ~ Z, aber
T ^ — T, d. h. alsdann liegen die sphärischen Bilder entsprechender Punkte
beider Flächen s^mmetriBch zur ««-Ebene. In diesem Fall sind die sphärischen
Bilder nicht congruent, sondern sjmmetrisch. Über diese HOglichkeit sind
wir bei der obigen synthetischen Ableitung absichtlich atillschweigend hinweg-
gegangen, um nicht Verwirrung hineinzubringen. Wir haben gefunden:

SatE S: Sind Ewei Minimalflächen aufeinander verbiegb&r, so
kann man sie immer in eine solche gegenseitige Lage bringen,
dass die sphärischen Bilder entsprechender Stellen beider Flachen

Pdr,yGOOgIe

282 Dnüer Abgcf^üt: Die F^taäammtalgleiehungen dm- Flächeatheorie.

snaAinnienfallen oder s^mmetriscli aaf beiden Seiten einer Ebene
dncch die Kugelmitte liegen. Sind

*" y/d - »•)P(u)rfu + yjd- o«)F(B)(in,

y'^fil + u*iU{«.)du - -^ J(l + B") r(ö)rft. ,

»= Cnüividu + j'r>U{b)di)

die Gleichnngen der einen Fläche, so arb&lt mftn dadarch, da»
man 17 nnd K darch

eü(u) und — F(B)
oder durch

oF(u) und -^\U(p)

ersetzt, alle Flächen der einen oder anderen Art Dabei iet e ein«
willkürliche Constante. Entsprechende Punkte derFltchen haben
parallele Normalen.

Der zweite Fall kann durch folgende Überlegung aus dem ertrten abgeleitet
werden: Wenn Ewei Flächen auf einander verbiegbar sind, so gilt dies sacii,
wenn man die eine Fläche durch ihr Spiegelbild ersetzt, das man erhSlt, venu
man sie z. B. an einer Coordinatenebene apiegelt, wenn man also eine der recht-
winkligen Goordioaten mit — 1 mnitipliciert, denn dabei bleiben die Fundamental-
grSssen erster Ordanng nugeäadert, nach XI {A). Aber dabei ändern zwei der
drei Richtungscosinus der Normalen ihr Voraeichen, nach XI (_f^. Wenn vir
□an auf der Fläche überall den Sinn der Parameterlinien der einen Schar mit
dem entgegengesetzten vertauBchen, wodurch die Fläche selbst keine Indenog
erfuhrt, so gehen alle drei Richtungecosinus in die entgegengesetzten Bber, steh
S. BO. Also wird jetzt schlieeslicb gerade ein Richtungscosinue mit dem est-
gegengesetaten Zeichen wie zuerst behaftet sein, und dieser Fall lag oben tot,
wo wir Z = X, 2 = ^, aber r = - ? fanden. Die Flächen der Eweiten
Art gehen daher auB denen der erateu Art dnreb Spiegelung an
einer Ebene hervor.

Soll die erste MinimalflSche des Satzes 9 reell sein, so mttssen u Qud D
nach SatE HS, S. 250, coujugiek complexe Veränderliche und U und V con-
jugiert compleze Functionen sein. Soll auch die Fläche, bei der ü und V darci

0 f7 und — r

eraetzt werden, reell sein, so müssen also e and 1 : c coi^ugiert compleie Con-
stauten sein, d. h. der abeolnte Betrag von o mnss gleich Eins sein. Daher itt:

Satz 10: Liegt eine reelle MinimalfUche vor:

D,gH,zedr,yGOOgIe

S 3. Vori>iegung einer Piäehe auf eme andere. 283

x-~Jll-v*iüda+\f(l-v')rdj,.

y = y J(i + u«) c:rf u - *J*(i + »•) Vd B ,

» - fuDdu + ft VdD,

lind alao u and b conJDgisrt complese Terftaderliche nnd U und V
eonjagi«rt compleze PanctionsD TOn ihnen, ao gehen alle &uf diese
PlKehe 7erbieg;baren Hinim&lf liehen dftditrch hervor, dais man
entweder ü nnd V durch

erietit, wobei a eine beliebige reelle Constante bedentet, oder
dadurch, dass man diese letzteren Fliehen noeh an einer Ebene
spiegelt. Auf die erate'Ärt erhSlt man diejenigen MinimalflSchen,
deren BphäriaoheB Bild mit dem der gegebenen FlScbe snaammen-
flllt

Zu einer reellen Hinimalfläche giebt ea hiernach, weil die Constante a
willkürlich ist, anendlich viele anf oie verbiegbare nnd eine stetige Schar bil-
dende HinimalfiBchen , und in entsprechenden Punkten haben diese Flächen
parallele Normalen. Man nennt sie die cnr arsprünglichen Hininal-
flScbe asBOciierten HinimalflSchen.

WsMt man insbesondere die Constante a nnendlicb klein, so kommt man
zn einer HimmalAKche, die von der nraprBnglichen nnendlich wenig abweicht.
Indem man für a nach and nach immer neue nnendlich wenig von einander
abweichende Werte aetit, kommt. man so ed dem Begriff einer stetigen Ver-
biegnng der nnprilnglicben Fl&che, wobei sie in jedem Augenblick eine un-
endlich kleine Fonnftudening erleidet, ohne sich au dehnen nnd ohne aufzu-
hören, Minimalflichen zu sein. A"» bnten macht man sich dies klar, wenn
man etwa a als Maass der Zeit deutet, in der die TerOndening vor sich geht.
Nach dem Obigen bleiben bei dieser stetigen Verbiegang die Richtungen der
Fllehennormalen nnge&ndert.

lat « von 0 bis ^n gewachsen, ao hat sich die Hinimalfljtche ergeben:

5 - i/(^ - ''')f^''« - ^Ja- b'jFdö,

y - - 4/(1 + u») t^rf u - y/d + «'J yd n ,

i= » TutTdu- *■ ^HVdD.

Wenn wir dagegen fElr n irgend einen reellen Wert wXhIen, so erkennen wir, da

e" = coso + isina

ist, sofort, daas die zugehörige Hinimalfläche aus der im Satse 10 angegebenen
and der soeben bestimmten Hinimalfllche so hervorgeht: Ist {x, y, ») ein Pnnkt

Pdr,yGOOgIe

284 DriUer Abschaäl: Die Rtndamentalglakimngan der FUbAenOeorie.

der enten Fl&cbe und (i, y, ») der mgehSrig«, d. b. n danjKlben Wertea von n
und Q gehSrige Pnokt der cweitaa FlSche, ao Bind:

ij = yeoaa + t/ama,
• i = xeoBa + xöjaa

die rechtwinkligen Cooidinftten de« zogehSrigen Pnnktea der m beliebigem a
gehiJrigea MinimalflKobe. Kennt man die zn a =i 0 und a " ^n geUtrenden
FUcben, w findet nuu also die Znieohenflächen in »ehr ein&cber Weiae. Der
Ponkt ix, y, ») der nnprOngliehen Flache beaclireibt bei der eteügen Vei'
biegung, wenn a von 0 bii ^n geht, eine gevieae Corve, wobei er erhliw lieh
in die Lage ^, y, t) gelangt Die Oleicbongen die»er Corren sind in den
laufenden Coordinaten £, ^j £ die Gleichnngen (II) mit dem Parameter a.
Offenbar ist die Corre eben, denn (, ti, i erfüllen die lineare Gleicbong
i X i

nnd d« die Projeetlouea der Cnrre anf die Coordioatenebenen aogenaobeinlieb
Ellipsen aind, so ist die Curve »elbst aacb eine Ellipse.

Die stetige Verbieguog der Hinimal£&che in die attociierten Hinimsl-
fliLcben kann man daher in der Art bewii^en, dasa dabei jeder Pnokl
eine Ellipse beschreibt, wSbrend die Riebtangen der Normalen
nngeKndert bleiben. Der Winkel a ist der Winkel, nm den sieb jedes
Bogenelement der Fliehe dabei dreht, doch flberlaasen wir dem Leeer den
Nachweis bierfllr.

Wenden wir dies insbesondere anf den Fall der gemeinen SebranbeB-
flScbe an, die ja nach S. 242 eine Hinimalflficbe ist, so haben wir naeh den
ersten Beispiel auf S. 2&1 ra setcen:

Aladanu ist die im Satze 10 angegebene Fläche diqeoige gemeine Sehranbeo-
fl&obe, deren Axe die «-Aze nnd deren Oang^dhe gleich 2n9 ist Die dem
Werte o ■• ^n entqrrecbende assoiüierte FUche gehört an den Ponotionen:

nnd ist daher nach dem zweiten Beispiel anf S, 2S1 daqenige Catenoid,
dessen Aze die «-Ase und dessen Merid^ in der xx-Ebene die Kettenlinie

y-0

ist Die gemeine SchranbenflKche lässt sich also ohne Dehonng
stetig und ohne dabei aufzuhören, eine Hinimalflaebe zu bleiben,
so verbiegen, dass sie ein Catenoid wird, wobei die Punkte simt'
lieh Ellipsen beschreiben. Nach Sab 6 gebt dabei eine Cnrve, liog*

Pdr,yGOOgIe

§ 3. Vt/rüegung oiner Flachs auf eine andere. 285

deren du KrflmmimgBmaaM conatant ist, in eine ebenaolehe Cnrre Ober. Htm
Bind diese Cnrren »nf der SohranbenflSche offianbar die SohianlMnlimeii am
die x-Aie und Kat dem Catenoid die Breitenkreise. Entere gehen aJso in
letztere Qber. Insbesondere geht die Aze der Scbniiibenflfiche, uf der die
Eüümmnng am grSssteii ist, in den kleinsten SreitenlireiB des Catenoids über,
worani man sieht, das« die SchranbenflKcbe das Catenoid anendlich oft nach
der Verbif^xing nmbfUIt Da die Verbi^nng winkeltien ist, so leuchtet famer
ein, dasa die orthogonalen Trqectorien der erwftlmten Schraubenlinien, d. h.
also die geradlinigen Erzeugenden der Schranbenfläche, in die Meridiane des
Catenoids übergehen.

Die VerbieguDg einer Fläche auf eine andere ist, wie wir herror-
hoben, eine besondere Art der Abbildnng der einen Fläche anf
die andere. Non sprachen wir in § 11 des ersten Abschnittes
von beliebigen punktweisen Abbildungen von Flächen. Die dortigen
Betrachtungen waren aber insofern onvollständig, als wir damals
noch nicht von conjngierten Bichtungen sprachen and deshalb
auch einen Satz noch nicht erwähnen konnten, der filr beliebige Ab-
bildungen gilt, ein Analogon zn dem Satze 49, S. 96, ist und hier
nachgetragen werden soll, da wir ihn fUr den Fall der Verbiegung
gebrauchen.

Wenn wir nämlich wie damals zwei Flächen Punkt für Punkt
anf einander abbilden und einander entsprechenden Punkten die-
selben Parameterwerte u, v beilegen, sodass etwa

(12) x = <p{u,v), y = r(«,»), z = ^(u,v)
die Qleichungen der einen Fläche und

(13) i = y(«, «), y =f («, V), z = if,(u, V)

die der anderen Fläche sind, so sind zwei von einem Punkte (u, r) der
ersten Fläche (12) ausgehende Fortechreitungshcbtungen (A = dv.du)
und (x-= Sv.Su) nach Satz 36, S. 153, oder Satz 39, S. 155, zo
einander conjugiert, wenn

(14) Z + M{k + »] + Nkx = 0

ist, wobei Z, M, N die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung auf der
Fläche (12) bedeuten. Die ihnen bei der Abbildung entsprechenden
Fortschreitungsrichtungen (A) und (x) auf der zweiten Fläche (13)
sind alsdann im allgemeinen nicht zu einander conjugiert Sie sind
es rielmehr nur dann, wenn ausserdem:

(15) L + M{k + x) + Nkx='0

ist, sobald X, M, N die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung anf
der Fläche (18) bedeuten.

Pdr,yGOOgIe

286 Driiter AbsohmU: Die FkmdamantaigteitAungm der FläekmlheonL

Sollen also zu k tmd x solclia BichtimgeB gehören, die auf
beiden Flächeo conjngiert sind, so müssen die beiden Bedingnngen
(14) und (15) erfilllt sein. In § 11 des ersten Äbsclinittes haben
wir ein analoges Problem behandelt, nämlich das, solche zwei
Werte k nnd * za finden, zu denen Richtungen gehören, die auf
beiden Flächen za einander senkrecht sind. An Stelle der Glei-
chungen (14) und (15) hatten wir damals die Qleichimgen (10) auf
8. 94. 3anz entsprechend wie damals können vir daher auch hier
drei Fälle unterscheiden und discutieren. Nnr ein Umstand ist
wesentlich anders: Auf einer reellen Fläche mit reellen Parametern
sind die Fundamentalgrössen erster Ordnung E nnd G reell positiT
nnd ist die FnndamentalgrÖBse F reell Die Fundamentalgrössen
zweiter Ordnung dagegen sind dann zwar auch reell, können aber
beliebige Vorzeichen haben. Daher gilt die an die damalige Fig. 26,
8. 95, geknüpfte Realitätsuntersnchnng hier nicht

Analog der Gleichung (13) auf 8. 94 finden wir hier die qua-
dratische Gleichung fUr k:

(18)

I

*• L

■l

k M

M

1 H

s

als Bedingung fiir die beiden Werte k und «, die den beiden Glei-
chungen (14) und (15) genügen. Beachten wir femer, dass sich die
DifiFerenüalgleichnng XI (0) der Minimalcorren durch die Funda-
mentalgrössen erster Ordnung gerade so ausdrückt wie die DifFe-
rentialgleichnng XII (X) der Hanpttangentencurven durch die Funda-
mentalgrössen zweiter Ordnung, so übersehen wir sofort, dass och
analog dem Satze 49, 3. 96, hier ein Satz ergiebt, bei dem wir, da
es sich um conjugierte Eichtungen handelt, die abwickelbaren Flächen
nach S. 154 und S. 185 von vornherein ansschhessen- Ee kommt:'

Sati 11: Bildet man eine nicht-abwickelbare Fläche
Punkt für Punkt auf eine andere nicht-abwickelbare Fläche
ab, so sind drei Fälle denkbar;

Erstens: Die beiden Scharen ron Haupttangenten-
cnrren der einen Fläche bilden sich als die beiden Scharen
von Haupttangentencurven der anderen Fläche ab. Jedem
System conjugierter Curven auf der einen Fläche ent-

' Dieser Sfttz rührt her von Pbtbbsor, „Ober Cnrven und FIBchen",
1. Lieferung, Hoskan und Leipzig ises.

Pdr,yGOOgIe

§ 3. Verbieffong einer FJäehe auf eine andere. 287

spriolit dann ein eb«D solches System auf der andereo
Flache.

Zweitens: Nur eiae Schar von HanpttaQgentencnrTen
der einen Fläche bildet eich als Schar von Haupttangen-
tencQrvea der anderen Fläche ab. Ausser dieser als Aus-
artung eines Systems conjugierter Curven anfzufassendeD
Schar giebt es alsdann kein System von oonjugierten Cur-
ven auf der einen Fläche, dem auf der anderen Fläche ein
ebensolches System entspräche.

Drittens: Keine der beiden Scharen von Haupttangen-
tencurven der einen Fläche bildet sich als eine Schar von
Haupttangentencnrven der anderen Fläche ab. Alsdann
giebt es ein und nur ein System von conjugierten Curven
auf der einen Fläche, dem auf der anderen Fläche ein
ebensolches System entspricht

Per letzte Fall ist natürhch der al^emeine. In ihm ist nach
(16), wenn darin wieder dv.du fttr k gesetzt wird, die Öleichong
dv* L L
-dudv M M
du' Jf If

die Differentialgleichung der ausgezeichneten Systeme von conjugierten
Gurren auf beiden Flächen.

Ist nun die Abbildung der Fläche (12) anf die Fläche (13) ins-
besondere eine Verbiegung, und geht keine Schar von Haupt-
taDgentencarren der einen Fläche dabei in eine Schar von Haupt-
tangentencurven der anderen Fläche über,* so giebt es nach unserem
Satze ein System tob conjugierten Curven auf der einen Fläche,
das auch nach der Verbiegung ein solches System bleibt Da die
Verbiegung ferner conform ist, so ändern sich die Winkel nicht,
anter denen die Curren des Systems einander schneiden. Auch die
Bogenlängen der Curven bleiben unverändert Nach Satz 79, S. 196,
sind die unendhch kleinen Netzvierecke als eben aufzu&ssen. Da
uun ihre Winkel and Seitenlängen bei der Verbiegung ungeändert

' Da wir den Fall, dase die HaupttBugentencaiven einer Schar solche bei
der Verbiegung bleiben, hier ftnsKhliessen, sei cor Orientienug des heaea
bemerkt, dau Boxicn gezeigt hat, daas in diesem Falle die beiden Flüchen
Gongrueat oder Bymmetrisch sind, es Bei denn, daaa iie geiadlinig nnd die
einander entsprechenden Haapttangentencniren die Geraden der FlScben sind.

.dr,yGoogIe

288 Dritter Abaehnitt: DU Funäammta^^eichungm der FläOeni/teorü.

bleiben, so ist Überhaupt jedes der Netzrierecke bei der Verbiegnng
alB starr aD&afasBen. Wir gewinnen bierdorch einen Kinblick in
daa Wesen der Yerbiegnng einer Fläche, deo wir so ausdrücken
können:

Sati 12:^ Eine jede Verbiegnng einer Fläche, bei der
keine Schar toq Hanpttangentencurven eine solche Schar
bleibt, kann aufgefasst werden als eine Formänderung
eines Polyeders von lauter einzeln starren unendlich
kleinen ebenen Vierecken.

Dies Polyeder hat man sich — indem man nur ein begrenztes
Stack der Fläche betrachtet — offen vorzustellen wie in Fig. 67,
S. 197.

Hiemach leuchtet ein, wie ein solches Flächenmodell, das
auf S. 19T beschrieben wurde, geeignet ist, einen Begriff von der
Verbiegnng einer Fläche zu geben; Man hat es so einzurichten,
daes die einzelnen starren ebenen Vierecke des Netzes gegen ein-
ander drehbar bleiben, was sich mechanisch leicht erreichen lässt
Doch darf nicht ausser acht gelassen werden, dass dasjenige System
von conjugierteu Corren, das bei der Verbiegung seine Eigentüm-
lichkeit bewahrt, sehr wohl bei reellen Flächen imaginär sein kann.
Dies ist z. B. bei den Minimalflächen der Fall, denn die Minimal-
curven einer Minimalffäche sind ja nach Satz 111, S. 244, zu ein-
ander conjugiert, und bei der Verbiegung einer Minimalfläche in eine
Minimalfläche bleiben diese Cnrven — wie Überhaupt — Minimal-
curven und sind auch nachher conjugiert Wenn man also zwei
Minimsiflächen auf einander verbiegen kann, so ist dasjenige System
TOD conjugierten Gurren der einen Fläche, dem ein ebensolches
System auf der anderen entspricht, imaginär, sodass für diesen Fall
kein Modell hergestellt werden kann.

Das beschriebene Modell giebt auch eine gute Vorstellung
davon, was unter einer stetigen Verbiegung zu verstehen ist, da
man es stetig in andere Gestalten iiberftlhren kann.

> SftU von PcTEuoH (1S68), vgl. die Änm. za S. SBS. Das Bach von Pm«-
BOM hat bis in die jüngste Zeit tuet keine Beachtuag gefanden, sodasB BiBAncon
in seiner Note „Sur les Byatämea cyeliques", Comptes Bendas t. CXI II
(1891), daa gemeinschaftliche System conjugierter Cnrven von neaem betrachtet
hat £e ixt das Verdienst von Stäcisl, dnroh seine beiden Abhandlungen;
„Über Abbildungen", Math. Annalen 44. Bd. (1394), nnd „Biegaugen
und conJQgierte Systeme", ebenda 49. Bd. (1897), auf die veigeaaenea
Ergebnisse Prbbsom's hingewiesen zq haben.

Pdr,yGOOgIe

$ 4. Verbieguftg von Flächen auf BoiaHonsfUiehm. 280

% 4. Verblegung von Flächen auf Rotationsflächen.

Es kann Torkommen, dass eine Fläche auf sich selbst
Terbiegbar ist. Man denke sieb nämlicb die Fläche in zwei
Exemplaren materiell hergestellt, etwa einmal aus starrem Material,
das andere Mal ans einer zwar durchaus biegsameD, aber nnans-
dehnbarea dUunen Haut Alsdann wird diese zweite Haut natOrlicb
so auf die erste Fläche ausgebreitet werden können, dass homologe
Punkte zur Deckaug kommen. Aber es ist auch denkbar, daas die
unausdehnbare, aber biegsame Haut noch auf eine aodere Art auf
die starre Fläche vollkommen ausgebreitet werden kann, sodass
nicht mehr homologe Punkte zur Deckung kommen. Ein trinales
Beispiel hierzu liefert jede Rotationsfläche. Bei einer solchen
darf sogar das zweite Modell auch starr sein. Es kann in unend-
lieh vielen Lagen mit dem ersten Modell zur Deckung gebracht
werden, da die Rotationsfläche durch Drehung um ihre Axe immer
in sich abergeht. Ein allgemeineres, aber ebenfalls triviales Beispiel
liefern die Schraubenflächen (vgl. 2. Beispiel, 3. 59), die ja die
Rotationsflächen amfassen, da jede Drehnng eine specielle Schraubung
ist Jede Schranbenfläche geht, wenn man sie derjenigen stetigen
Schraubung unterwirft, durch die sie aus einer starren Cnrve erzeugt
worden ist, beständig in sich über.

Wir wollen uns nun fragen, welche Flächen stetig in sich
selbst verbogen werden können. Diese Frage deckt sich mit
der Frage: Welche Flächen können in der Art anendlich
wenig verbogen werden, dass die neue Fläche mit der ur-
sprünglichen congruent ist? Denn wenn eine Fläche eine
solche unendhch kleine Verblegung erlaubt, bei der sie wieder die
alte Gestalt annimmt, so braucht man nur diese unendlich kleine
Yerbiegung beständig zu wiederholen, um dazu zu gelangen, die
Fläche stetig in sich zn verbiegen.

Es seien wieder wie auf S. 278 die Parameterlinien (u) und (D)
die Minimalcurven der Fläche. Da sie zwei getrennte Schaxen
bilden, nach Satz 16, S. S6, — denn von den Tangentenflächen der
Minimalcurven sehen wir ja ab — , und da andererseits jede Minimal-
curve nach dem Früheren bei Yerbiegung wieder in eine Minimal-
corve übergeht, so kann eine Curve (u) bei unendlich kleiner Yer-
biegung nur in eine unendlich benachbarte Curve derselben Schar
übergehen. Dasselbe gilt von jeder Curve (D). Es möge daher die
Curve (u) in die unendlich benachbarte Curve mit dem Parameter
u + V (u) 8

Scaxwrma, Geom. Ditb. n. 19

,d,Google

290 Dritter Abaekniä: Die Fundamentaigleüshungen .der Ftädtentheorü.

und die Corre (»} in die uneadlich benachbarte Cuire mit dem Parar
meter

&bergehen, wobei a aof der ganzen Fläche ein und dieselbe im-
endlich kleine Grösse bedeute. Wenn wir jetzt bedenken, dasB das
System der Parameterlinien nicht geändert wird, sobald wir eine
FuDCtion von u ale neuen Parameter u nnd eine Function von t>
als neuen Parameter U einfuhren, so können wir die Torauseetznngeo
noch etwas rereinfachen. Wenn sich nämlich u in u + 9> (u) c Ter-
wandelt, so geht eine beliebige Function U 7on u Qber in

C'(U + y(ll)8) - £/(u) + U'{tt)-q>{ü)t,
da « unendlich klein ist. Wählen wir also, wenn 91 ={= 0 isti

SO ändert sich U gerade um t. Ebenso ändert sich, wenn ^^OiBi,

gerade um a. Wenn wir nun diese Functionen U und F als neue
Parameter benutzen, so sehen wir im Falle tf> ^ 0, 1^ 4^ 0:

Wir können voraussetzen, dass auf der gesuchten Fläche solcbe
Parameter u und ti vorhanden seien, dass erstens die Gurven (u)
und (u) die Minimalcurven der Fläche sind und dass zweitens jede
Curve (u) bez. (ti) bei der unendlich kleinen Yerbiegung in die un-
endlich benachbarte Gurre (u + e) bez. (n + «) Obe^eht Ist jetzt,
wie auf 3. 278:

(f»" = 2i'(u, b)rfurfD

das Quadrat des Bogenelementes derFläche, so ist zu fordern, dass
es nngeändert bleibe, wenn für u und 0 die Werte u + « und D + (
gesetzt werden. Da rf(u + <) = rfu und rf (» + e) = d» ist, bo ist
nur das Eine zu fordern:

F[ü + a, V + e)=* F{a, V)

oder, wenn wir nach Potenzen von e entwickeln:

Die angedeuteten Glieder sind von höherer Ordnung in t.
lässt sich t absondern, sodass sich schliesslich ergiebt:

Pdr,yGOOgIe

^ 4. Verbitgung von FUiehm auf Rotationafiächen.

e_F , BF
du

+ -^-0-

Dies ist leicht anders auszusprechen. Wenn wir Dämlich für den
Augenblick

j = u — W, 5 = u

als Veränderlicbe in F einführen, so ist:

dF dF dF_ ÖF __ ÖF

sodass die Forderung zurückkommt auf:

Also enthält F nur ^ oder u — 0.

Im Fall tp = 0 et^flbt sich, dass F nur von u abhängt, sodass
das Erämmnngsmaass nach (10), 8. 270, gleich Null, die Fläche
also nach Satz 90, S. 214, abwickelbar ist. Ebenso im Falle if = 0.
Daher:

Bats 13: Ist es möglich, eine nicbt-abwickelhare Fläche
unendlich wenig in sich selbst zu verbiegen, so lassen sich
solche Parameter u und 0 auf der Fläche einfuhren, dass
das Quadrat ihres Bogenelementes die Form aunimmt:
ds' = 2F(u-t3)dudti.

Umgekehrt: Jede Fläche mit diesem Bogenelement-Quadrat
lässt sich stetig in sich derart verbiegen, dass dabei die
Parameter u, tt eines beliebigen Flächenpuoktes Schritt
iüT Schritt um eine unendlich kleine Qrdsse e wachsen,
die überall auf der Fläche denselben Wert bat

Dass diese Fläche jetzt jede solche endliche Verbiegung er-
laubt, bei der der Punkt (u, D) in den Punkt ffi, ö) mit

ii = u + a, 5 — t) + a
Qbei^bt, wo a eine beliebige Constante ist, sieht man sofort daran,
dass du = du, dö = dt) und F{ü — 5) = F(ü — B) ist

Insbesondere gehören die Botationsflächeo zu diesen Flächen.
Dies wollen wir bestätigen. Auf der Botationsiläche (vgl. S. 41):
(1) x = p{u)C0Bv, y=p(M)8int>, z = ?{«)

bedeute u die Bogenlänge des Meridiane, sodass
dl* = du* + p*{u)dv*

19'

Pdr,yGOOgIe

292 Driäer Jbmshmtt:

oder:

d.

'-P'

M(ife--)(^--)

ist Wenn

wir

dabei

wir setzen;

^■■= Iii,^'-

so kommt:

^»=-/^--

(2)

<;>■-- tp'dudt.

Dabei ist:

(3)

r^-«-.

also u eine Function TOn u — b allein und mithin p*{u) andi eine
Function von u — U allein, sodass das Bogenelement-Qoadrat [2]
tiiatBäcblich die in UDBerem Satze angegebene charakteristische
Form bat.

Aber noch mehr: Liegt irgend eine oicbt-abwickelbare Fl&che
Tor, die Btetig in sich verbiegbar ist and deren Bogenelement-Qnadrai
also auf die Form gebracht werden kann:

(4) ds* = 2F{u-0)dud)),

wobei P irgend eine Function von u — D allein bezeicbnel.
so können wir stets eine RotationsÖäcbe mit genan demselben
Quadrat des Bogenelementes bestimmen. Denn nach (2) und (4) iat
zu fordern:

-2p'{u) = F{u-X>)

oder, wenn u — V mit w bezeichnet wird:

(5) -2p'{u)-^F(u>),
w&hrend nach (8)

eein soll. Hierin ist ^(w) gegeben, p[u) gesuchL Die QleicbuDg (J)
liefert:

-4p(tt)p' («)=/■■(») 4^

oder, wenn (6) benutzt wird:

(7) - 4p'(»)p'(») ->'(■•)•

,dr,Google

§ 4. TeHneffung von Fläehtn aatf Botationeftäehen. 298

Die beiden Fordemiigea (5) nod (6) sind jetzt ersetz-
bar durch (5) und (7). EUiminiereD wir aas diesen beiden w, was
ja, da F{ki) eise gegebene Function Ton v> ist, theoretisch möglich
ist, so ergiebt sich eine (Gleichung zwischfln p(u) und p'{tt), etwa:

/(«)-fi(p(«)).

Hieraos berechnen wir dann:

J fl(p)
Eine additive Integration sconstante spielt hier keine wesentliche
JEtoUe, da wir die Bogenlänge u von irgend einer Stelle an rechnen
können. Ist die Qaadratar links ansgefUhrt, so lässt sich durch
Auflesen der herroi^ehenden Gleichung nach p diese Ftmction p
von u berechnen. Wir setzen sie alsdann in (5) ein und erlangen
so eine Gleichung zwischen u und w, aus der sich — theoretisch —
u als Ftmction von tu berechnen lässt Überdies bestimmt man q (u)
ans der Forderung, dass u die Bogenlänge des Meridians sein soll,
also aus:

p-' + ,■•_!,
sodaBB kommt:

,-Jvr.

Die bei dieser Quadratur auftretende additive Constante hat keine
wesentliche Bedeutung; sie rührt daher, dass die Rotationad&che
längs ihrer Drehaze, der z-Axe, verschoben werden kann.

Wir haben also gefunden, dass es thateächUch eine Kotationsfläche
mit dem voi^eschriebenen Bogenelement-Quadrat giebt, woraus fo^:

Bats 14: Eine Fläche lässt sich dann und nur dann
stetig in sich verbiegen, wenn sie auf eine Rotationsfläche
verbiegbar ist

Denn die TJmkehrung leuchtet ein: Ist die Fläche auf eine
Botationsääche verbiegbar, so giebt jede Drehung der Botations-
fläche um ihre Aze eine solche Verbiegnng der Fläche, bei der sie
in sich tibergeht. Dass der Satz auch für jede abwickelbare
Fläche gilt^ ist klar.

Da insbesondere die Scbranbenflächen in sieh verschraubbar
sind, so geboren sie zu den betrachteten Flächen, sodass sich ergiebt:

Satt 16:' Jede Schraubenfläche ist auf eine Rotations-
fläche verbiegbar.

1 BouB bezeichnet^ vgl^ die

D,gH,zedr,yGOOgIe

294 Dritter JbaekniU: Dia Hmdanuntatgleichuttgm der Fläehentheorie.

Beispiel: Wir haben Bckon enf S. 284 geBeken, dau meb die gemeine
Schraabenfl&clie anf ein Cateuoid verbi^^en lässt

Wenn man beachtet, dass das Quadrat (4) des Bogenelementes
einer Fl&che, die atetig in sich verbogen werden kann, seine Form
nicht wesentlich ändert, sobald man statt u und 0 dieselben con-
stauten Vielfachen au und ati als Parameter einführt, «eil dann
an die Stelle von u — D ein constantes Vielfaches von u — D tritt,
also F nach wie vor eine Function von u — t) bleibt, so erhellt, dsss
wir nicht nur eine Rotationsfläche (1) bestimmen kOnoen, auf die
sich die Fläche verbiegen IBsat, sondern co' solche Flächen. Und
da zwei Flächen, die auf eine dritte verbiegbar sind, auch auf ein-
ander verbogen werden können, so schliessen wir hieraus, dassjede
Rotationsfläche auf co* Rotationsflächen verbiegbar sein wird. Wir
woUen dies jetzt direct bestätigen.

Wir behandeln also die Frage nach allen Rotationsflächen,
die auf eine gegebene Rotationsfläche verbiegbar sind. Aaf
einer Rotationsfläche sind die Breitenkreise diejenigen Gurren, längs
deren das ErOmmungsmaass constant ist. Wenn daher auf den
jetzt betrachteten Rotationsflächen das ErUmmungsmaasa
nicht Überhaupt constant ist — wovon wir vorerst ab-
sehen, — so folgt aus Satz 7, S. 275, dass zwei Rotationsflächen
nur so auf einander verbiegbar sind, dass jeder Breitenkreis der
einen in einen Breitenkreis der anderen Ubei^eht Da femer die
Terbiegung eine winkeltrene Abbildung ist, so mOssen die ortho-
gonalen Trajectorien der Breitenkreise der einen fläche in die ortho-
gonalen Tn^ectorien der Breitenkreise der anderen Fläche über-
gehen, d. h. Meridian geht in Meridian aber. Nun sind bd der
Rotationsfläche

(8) x = p{K)coa»}, y = p{u)6mv, z = q{u)

die Parametercurven (u) und (r) die Breitenkreise und Meridisoe.
Soll die Fläche auf die Rotationsfläche:

(9) i =p{0)C03€, y =^{fl)sinc, «« q(ü)

verbiegbar sein, so mnss also a eine Function von u allein und i
eine Function von v allein sein. Insbesondere setzen wir wieder
voraus, dass u bez. ü die Bogenlängen auf den Meridianen bedeatcn»
sodass die Quadrate der Bogenelemente die Ausdrücke haben:

dt^ = du* + p'dv*, dt* = dü' +p*dv*.

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 4. Verifügung von Fiäohm auf Rotaüons/Jächen. 295

Wir h&bea daher zu verlangen, daei s eine solche Function von u
and e eine solche Function von v sei, dasa:

wird. Also ist zunächst

fl =- ± a + CoMt
zu setzen. Nun kOonen wir aber dies vereinfachen: Wir rechnen
die Bogenlänge von zwei Bolchen Breitenkreisen aas, die einander
bei der Yerbiegong entsprechen, nnd zwar Überdies in entsprechen-
dem Sinne. Alsdann dürfen wir

fl = M

setzen. Jetzt bleibt die Bedingung:

p'(w) _ dB'

p'iu) ~ dv* '

die links nur u, rechts nur v enthält, weil fi eine Function von t>

sein soll. Also sind beide Seiten der Gleichung Constant«n. Daher

kommt:

p (u) = ap{u), ^Y = ± ^ {** = Const) ,

woraus noch folgt:

» = ± — + Const

Aber wenn e nm eine Constante wächst, so heisst dies nur, dass
die Fläche um ihre Aze gedreht wird, wobei sie in sich flbergeht.
Wenn e durch — V ersetzt wird, so heiast dies, dass die Fläche an
der zz- Ebene gespiegelt wird, wodurch sie ebenfalls in sich Uber-
geht. Wir kfinnen daher einfacher setzen:

Jetzt ist noch q zu bestimmen. Da u die Bogenlänge bedeuten soll,
so moss:

p'' + f*=l, also g =J^l-a'p'*du
sein. Demnach sind:

(10) X = ap(ti)co8 — , j/ = <ip(a)sin — , z = j yi — a'p''du

die Gleichungen der gesnchten Fläche (9).

Durchläuft a stetig die Werte von Elina an, so erhalten wir
eine stetige Schar von Eotationsdächen (10), die auf die Fläche (8),
die sich aus (10) für a = 1 ergiebt, verbiegbar sind. Der Übergang

Pdr,yGOOgIe

296 Dritter Jlmknitt: Die FimdammtalfflaitAmgm d«r Ftäeheiükeorie.

von einer Botatiooeöäche zn einer auf sie Terbi«gbaren Botations-
fläche kann alao dnrch eine solche stetige Verbiegnng emelt werden,
bei der die Fläche beständig BotationsÄäche bleibt.

Die in der ^ z-Ebene gelegene Ueridiancnrve der Fläche (10):

x = ap[u), y = 0, ^-//T

■a'p''

hat die Eigentümlichkeit, dass dae Product, das man aas der Nor-
malen n ihres Punktes (u) — gemessen bis zur z-Axe — und aus
dem Krümmungsradius r dieses Punktes von der GooBtanteu a frei
ist, wie aus Satz 7, S. 275, und ans Satz 13, S. 122, sofort folgt und
aach direct nachgewiesen werden kann, da dies Product nach I S. 98
den Wert

„■■- » ^ pW
^x p"(«)

hat Wir hätten die Meridiancurven der gesuchten Flächen auch
auf G^rund dieser Eigenschaft bestimmen kßnnen.

Wir sahen von den Rotationsflächen constanter ErQm-
mnng ab, da auf ihnen die Breitenkreise nicht die einzigen Curren
mit constanter Mächenkrttmmung sind, also auch nicht von toid-
herein feststeht, dass jeder Breitenkreis in einen Breitenkreis Ober*
geht Anf diese Flächen kommen wir im nächsten Paragraphen
zurück.

Wir haben gefcmden:

Sati 16:* Liegt eine ßotationsfläche
z = ;) (u) cos v , y = p (u) sin V , z = \}/l — p'*^ d u

vor, die keine constante Krümmung hat, so werden alle
Rotationsflächen, die auf diese Fläche verbiegbar sind,
durch die Qleichnngen:

X = (ip(ii)co8 — , y ™ a;)(M)sin " , z = | yi — a*p'{^*du

gegeben. Dabei bedeutet a eine willkürliche Constante.
Die Verbiegnng wird in allgemeinster Weise dadurch be-
wirkt, dass man zunächst die Stellen mit gleichen Par>-

' Satx von MiMDna, „Über die Biegung gewisser Fl&chen", Jonn-
t. n. «ng Math. 16. Bd. (1688).

Pdr,yGOOgIe

§ 5. Verbügung von Fläohea Bonatanter Srümtniang. 297

meterwerten u, v mit einander aur Dackaog bringt, worauf
die eine Fläche noch in sich gedreht oder an einer Meri-
dianebene gespiegelt werden kann. Dabei gehen Breiten-
kreise in Breitenkreise und Meridiane in Meridiane Über.

§ E». Verblegung von Flächen constanter Krammung.

Wir haben im Torigon Paragraphen bei der Betrachtung der
Verbiegong von Rotationsflächen aasdrilcklich von den Rotations-
äächen constanter Ertlmmung abgesehen, von jenen Fl&chen also,
deren t^ische Formen wir schon frUher untersucht haben, vgl das
Beispiel auf S. 214. Der Grund fUr diese ÄusschliesBnng ist der,
dasa die Flächen constanter ExUmmung Überhaupt in Bezug auf die
YerbieguDg eine Ausnahmestellung einnehmen.

tim dies zu zeigen, wollen wir zuerst untersuchen, auf welche
Form sich das Quadrat des Bogenelementes einer jeden Fläche con-
stanter Krümmung K bringen lässt Sind die Paraibeterlinien (u)
und (D) wieder die Minimalcnrren der Fläche, wie auf S. 278, sodass
das Quadrat des Bogenelementes die Form bat:

so wird die Fundamentalgleichung (10) auf S. 270 zur dritten Glei-
chung (6) auf S. 26S oder also, da wir u und o statt u and v
schreiben, zur Gleichung:

- j" ™ F suao '

Hierin ist die linke Seite, da if = 6 -> 0 ist, das Erümmnngsmaass K,
nach Satz 89, 8. 214, sodass wir haben:

i1\ ^ SnogP _ jr

t^^ F -B^^W = -■*■■

wo jetzt die rechte Seite nach Voraassetzang eine Cod-
Btante ist

Die Gleichung (2) ist eine Bedingungsgleichung für die einzige
in (1) auftretende Function F, und die Frage ist, was für eine Ge-
stalt sie der Function F Torschreibt Die Gleichung (2] ist, weil sie
von der unbekannten Function F von u uud b einen zweiten par-
tiellen DifferentialquotieDten enthält, eine sogenannte partielle
Differentialgleichung zweiter Ordnung für F.^ Aber wir

■ Diese partiell« Difibrentialg^chnng hat caerat Liowillb (1B50) in der
eisten der beiden «of S. S7S, Anm., genannten Noten allgemein integrierL Dort

Pdr,yGOOgIe

298 Dritter AbaokniU: Dia F^mdammialgteietiangen dtr Fläelienlhtorit.

bOimeii doch die Fanction F aas ihr bestimmen, ohne die Theorie
derartiger Gleichangen dazn heranznzieheii, and zwar beruht diee
darauf dass es gelingt, zunächst den Äosdrack:

(3) '-^
za bestimmen.

In der Tbat Ifisst sich ja (2) so schreiben:

(4) K £F,

sodass, da E eine Constante ist,

F. aiogF

oder also nach (3) und (4):

ist. Hierfür aber können wir schreiben:

Also muss ilu— '^A* eine Fanction Ton u allein sein. Be-
zeichnen wir sie fuir den Augenblick mit tu (u), so kommt:

(5) Ä.^p' + o'Cu).

Wohlbemerkt ist / eine Fanction von u und von D. Da aber
(t>(u] nar von u abhängt, so giebt es Fanctioneo «r von u allein,
für die ganz analog:

(6) |^- = |ffi + «,{u)

ist Denn dies ist ja eine BiccATi'sohe Gleichung flir die Functicai a
von u (Tgl. I S. 213, 214). Wir brauchen aber diese Gleichung gar
nicht zu integrieren, denn ib(u) bezeichnete uns irgend eine Fanc-
tion Ton u, die vorläufig keiner besonderen Beschränkung unter-
worfen ist. Wenn wir also anter cr(u) irgend eine Function tod u
allein verstehen, so können vrir ans umgekehrt to{a) dnrch (6)
definiert denken.

behandelt er gerade oneer gegenwKrdgea Problem. Vgl. aach seine Aibäf.
„Snr l'^qnation anx diffärences partiellea

Comptea Kendua, t XXXVI (1863), odei Joiim. de Uatb. p. et app., 1. f^
t XVin (1668). Wir folgen im Teste Mdaer Methode.

Pdr,yGOOgIe

§ 5. Verbiegunff von Flächm amaUmter &iimmung. 299

AlBdana folgt aaa (5) and (8)
(7) A. - ff- = i(A» - ff») - i(i - (r)(i + ff).

Hier haben wir o-' statt dazdu geschrieben, weil a nnr von u ab-
hängt und daher a" nnr den DifFerentialqootienten nach u b^
deuten kann.

Jetzt liegt es nahe, zu Tersucben, zunächst X — a anstatt X
selbst za bestimmen. Wir setzen daher:

(8)

^-i-.

und önden aoB
oder:

oder aach:

m

IH-iltilt + iir)

Dies aber ist (

line

Bedingung für die Fonction:

(9)

nämlicli diese;

_ 1

(10)

P^ = -\-ffV.

Wäre ans v bekannt, so würde uns (9) auch fi und darauf (8)
auch X geben, denn hieniaeh ist ja:

;ll) A = l + ff.

Mithin wird es darauf ankommen, die Form der Function «(u, u)
ans (10) abzuleiten.

Zu diesem Zweck machen wir wieder von dem Umstand Ge-
brauch, dasB (7 irgend eine Function von u bedeutet. Wir können
also statt, a eine Function r von u allein vorlegen und

(12) <r -f

setzen, und zwar thun wir dies, weil dann die Gleichung (10) eine
bequemere Form annimmt, nämlich diese:

Pdr,yGOOgIe

800 Dnütr AluehmU: tH» mmdammialgleüAuiigtin dar PlädumäKänt.
oder:

(13) ^.--=-27-

Links steht jetzt der partielle DiffereDtialqsotient von v.t nach n
Wir würden diese Gleichung daher anawerten kOnnen, wenn such
rechts ein partieller Differentialqnotieiit nach u stända Dies aber
erreichen wir, wenn wir abermals eine neae Fanction V Ton u alieb
statt T einfuhren, indem wir setzen:

(14) ~ = 2V.
Dann ist wir = 2ü'v, sodass (13) giebt:

woraus folgt, dass 2^')' + IT* eine Fanction von t) allein sein
muBS. Wird diese Function mit — V bezeichnet, so haben wir nnnr

Wegen (12) und (14) ist aber jetzt:

" ~ v '
also nach (15) und (11):

wofQr wir auch schreiben kOnoeo:

l-A.[l„gp-_21„g(£/+D].

Jetzt lehrt (3), dass logF die Form hat:

log J?- log I/' - 2 log(£^ + F) + log r,
wo W noch eine Function von ti allein bedeutet, sodass wir haben:

Setzen wir aber diesen Wert in die ursprüngliche GHeichung (2) eu,
so kommt:

Pdr,yGOOgIe

§ 5. Varhiegwng von Fläehen oonatanter ^ii^mang. 301

sodass die Snbstitatioii dieses Wertes in (16) scbliesslicb ergiebt:

(1') ^ = -KjüTW

Die allgemeinste Function i'(u, D) also, die der Be-
dingung (2) genügt, bat diese Form (17), in der U eine be-
liebig zu wählende Function von u allein und V eine be-
liebig zn wäblende Function von D allein bedeutet

Aber dies gilt wohlbemerkt nor unter der Yoraossetzong, Aaes K
eine Constante ist.

Nach (1) läsBt sich also das Quadrat des Bogenelementes einer
jeden Fläche von der constanten Ertlmmung K auf die Form bringen:

"'' — iwTvf'"""'-

Fohren wir nun U and V als neue Parameter u mid t> eis, wobei
nach wie vor die MinjmalcnrveD der Fläche die Parameterlinien
sind, 80 kommt einfacher:

''•' — i:0k-
Daher:

Satsl?:' Das Quadrat des Bogenelementes einer jeden
Fläche von constanter Krümmung K lässt sich auf die
Form bringen:

Hieraas aber folgt weiter:

Satz 18:' Zwei Flächen von derselben constanten Krüm-
mung sind stets auf einander verbiegbar.

Denn man kann hiernach ihre Bogenelemente durch geeignete
Wahl der Parameter auf dieselbe Form bringen.

Bezüglich der Flächen constanter positiver Erttmmuug K
kann hier noch ohne Mühe ßine Folgerung gezogen werden: Da die
Kugel vom Badius 1 : Y^ die constante positive Krümmung K hat,
so ist jede Fläche constanter positiver Krümmung auf eine
Kugel verbiegbar, nach Satz 18. Die Kugel aber kimn in sich
nicht nur auf eine, sondern auf cxi* Arten gedreht werden. Daraus

' Ratz von Liovville (IS&O), vgl. die Anm. zu S. 273.

' Satz von MiNsnro (IB99), vgl. die Änm. zd S. 273. Mikdiho's Beweis
verwendet eine andere Methode als die, die wir hier oHcb Lioüvii.lb benntzt
babeo.

Pdr,yGOOgIe

902 Dritter Jbachmtt: Die je\mdameatalgleiehmigen der Fläehmtheone.

folgt, dass eine Fläche constanter positdrer ErOmmong saf ao* Arten
in sich Terbogen werden kann. Dasselbe kann man flhrigens von
den Flächen conetanter negatiTer Erttmmnng beweisen, worauf wü
nicht näher eingehen. Man kann sagen: Es giebt drei Arten von
Fliehen, die einen lassen eich nicht stetig in sich verbiegen, die
anderen auf oo* Arten — das sind die auf Botations^Ushen ver-
biegbaren Flächen nicht-conatanter Eillnuunng — , und die letzten
auf oc' Arten, — und dies sind die Flächen constanter Ertlmmang.
Wir haben aber nicht die Absicht, ans der sehr weit ausge-
bauten Theorie der Terbiegang hier noch weiteres zu bringen. So
übergehen wir auch die Theorie der Yerbiegung geradliniger
Flächen.

§ 6. Dlff^ntiaDnvuianten einer Riche.

Die Paragraphen 3 bis 5 sind als eine Sinschaltong za be-
trachten, die an eine der drei Fundamentalgleichungen der Flächen-
theorie uigeknüpft wurde. Wir bitten daher den Leser, wieder auf
die Betrachtnngen der Paragraphen 1 und 2 zurückzugehen.

Wir fanden dort, dass sich die zweiten partiellen DifferenÜal-
quotienten der rechtwinkligen Coordinateo x, y, z einer Fläche:

(1) x = <f>{u,v), y - r(w> »). « = ^(tt, t>)

nach den Parametern u und v durch die ersten partiellen DifTeren-
tialquotienten Ton x, y, z, durch die FundamentalgFÖsseu und die
partiellen Differentialquotienten der Fundamentalgrössen ausdrücken
lassen. Indem wir alsdann die dritten Ableitungen von a-, y, z za
berechnen unternahmen, sahen wir, dass sich x„^, und x^^^ auf je
zwei Weisen finden lassen, und dasselbe galt von y^^,, y„, und
von z^^^, z^,,. Durch Gleichsetzen der jedesmal erhaltenen beiden
Werte kamen wir zu sechs Gleichungen, die sich aber auf nur drei
von einander unabhängige reducierten, auf die drei Fundamental-
gleichungen der Flächentbeorie. Es waren dies Gleichungen, die
nur die Fundamentalgrössen und ihre Ableitungen enthielten.

Wir deuteten schon auf 8. 272 an, da» wir darauf ausgehen,
nachzuweisen, dass zu solchen sechs Functionen M, F, G, L, M, -V
von zwei Veränderlichen u und u, die diesen drei Fundamental-
gleichungen Genüge leisten, stete Flächen (1) vorhanden sind, bei
denen sie die Rolle der Fundamentalgrössen erster und zweiter
Ordnung spielen; ja wir wollen überdies zeigen, daas alle Fläcben,
die diese sechs Grössen zu FnndamentalgröBsen haben, mit einander

Pdr,yGOOgIe

Diffarmtiaiinvorüintm einer Fläche.

congment Bind. Es ist also unsere Absicht, in Bezug auf Flächen
dasjenige Problem zu erledigen, das wir in Bezug auf CurTen im
ersten Bande in den Paragrapheo 13 und 14 des zweiten ÄbschnitteB
behandelt haben. Wie wir damals einen Paragraphen über die Diffe-
rentialinrarianten der Curven rorausschickten, so wollen wir anch
hier roreret die Frage nach allen DiSerentialinTaiianten einer Fläche
beantworten.

Unterwerfen wir eine Fläche (1) allen Bewegungen des Baumes,
so geht sie in unendlich viele neue Lagen über. Dabei werden die
rechtwinkligen Coordinaten x, y, z andere und andere Functionen
der Parameter u and v. Wenn nämlich der Punkt {x, y, z) der
Fläche bei einer Bewegung in den Punkt [x, y, z) abergeht, so ist^
wie in (2), I S. 201:

x = <t^x + aty + a^s + a,

(2)

wobei die a, ß, y solche Gonstanten sind, die den Formeln I (Q,
(2)), {E), (i^ GeuDge leisten, im Übrigen aber beliebig gewählt werden
können, während et, b, e überhaupt ganz willkürliche Gonstanten be-
deuten. Da X, y, z nach (1) Functionen von u und » sind, so sind
X, y, z nach (2) eben&lls Functionen von u und v, die aber noch
willkürliche Constanten enthalten.

Wir fragen nun nach allen denjenigen Functionen von x, y, z
und ihren partiellen Differenüalquotienten nach u and u, die bei
allen Bewegungen ungeändert bleiben, d. h. also nach allen Functionen
J{x,y, z; x^, x^, y^, y^, *■„, z„; *„, «„,j *„ ■ • •)'

die ungeändert bleiben, sobald man in ihnen x, y, z durch die fVnc-
tionen i, y, z ersetzt, die noch willkürliche Constanten enthalten.
Alle derartigen Functionen J heissen Differentialinrarianten
der Fläche hinsichtlich der Bewegungen.^

Zum besseren Verständnis dieser Deänition ist noch zu be-
merken, dass infolge von (2) die ersten Ableitungen von x, y, z
nach u und v die Formen haben:

' Wie wir scbon in der Anm. zn I S. 44 bemerkten, ist der Begriff der
Diffecentislinvarianten überhitapt allmählich soBgebildet worden. Seine völlige,
schcrfe und allgemeine Definition nnd Theorie aber verdankt man Lnt'e
Arbeiten ans den Jahren 1882 — 84. Wir nennen von seinen vielen Arbeiten
hierüber nur die eine: „Über Differentialinvarianten", Math. Ann.
24. Bd. (1664).

Pdr,yGOOgIe

304 DnOrn- Aba<AtUtt: Die FundammiaigkiciMngm der Flädtentheorii.

y. = ßi^u + ßtVu + A^. y, = ßx', + ßtV, + Ä^'
K = ?'i '- + Yi y.. + n ^- ' ^. " J"! *. + y» y- + ^s ^

und dase sich die höheren Ableitungen analog ausdrucken. WeDn
wir nämlich zur Vereinfachtmg unter X^^ diejenige Ableitung einer
Function X yon u und v rerstehen, die sich durch t-malige Differen-
tiation nach u und A-malige Differentiation nach v ergiebig also all-
gemein setzen:

so ist nach (2):

^» = ?'i*(* + J'.yi* + ?'»^«-

Nun soll die Fnnction J eine DifferentialinTariantc heissen, wenn

die Gleichung:

(6) I ■'t^'^'^' ^lo'^oi'yio'yoi'^io.^oi; ^M'^iu^o»---) =

infolge von (2) und (5) besteht, wie auch die Coefficienten a, b. e
und die KichtungBcosinns «,, «,, «j, ß^, /?,, z?,, ^-j, y,, y, ge'träJult
sein mögen, vorausgesetzt, dass diese Cosinus die in Tafel I an-
gegebenen Bedingungen erfüllen. — Es ist rielleicht überfltsB^,
hierbei hervorzuheben, dass z. B. ij^ und x^^ nach der Definition (4)
die Ableitungen x^ und x^ bedeuten, sodass die Formeln (3] mit
in (5) enthalten sind.

Noch deutlicber wird die Definition der Differentialinvarianteu
werden, wenn wir einige Beispiele angeben. Solche Beispiele sind
die Fnndamentalgrössen erster and zweiter Ordnung E, F, G, L, M, X
deren ünveränderlichkeit bei den Bewegungen des Raumes wir schon
in Satz Ü, 8. 16, und Satz 5, S. 107, ausgesprochen haben. Bei
unserer Bezeichnungsweise (4) ist nach XI {A) insbesondere:

1-^=^10 +yw +zw .

Zur Bestimmung aller Differentialinvariauten wenden wir mit
einigen Umstellungen in der Beihenfolge der Schlnssfolgerungen die-

Pdr,yGOOgIe

§ 6. DiffererttiaHnvarianim einer Fläche. 305

selbe Method« an wie bei dem eatsprechendea Problem fUr die
CuTTeii in § 12 des 2. Abschn., 1. Bd. Wie dort auf S. 202 er-
kennoD wir ancb hier:

Die DifferentialiDTarianten sind frei von x, y, z selbst,
was genau wie damab so auch hier daraas folgt, diüiB die ganz
willkürlichen Constanten a, b, c nur in den Formeln (2), dagegen
nicht in den Formeln (5) anftreteo.

Jetzt beweisen wir weiter eine Behaaptong, die analog der
letzten Bemerkung des erwähnten Paragraphen, I S. 208, ist, dort
aber aoa dem Gesamtei^bnis geschlossen wurde, während wir üe
hier benutzen, am das Ergebnis selbst abzaleiten:

Wenn nämlich eine Function / eine Differential-
invariante ist, so sind auch alle ihre partiellen Äblei-
tangen nach u and v Differentialinvarianten.

Um dies zu beweisen, wollen wir der ÜbersichtUchkeit halber
in J nor eines der Argumente, x^^, besonders angeben and die
Qbrigen Argumente durch Punkte andeuten:

/(.„ . . .).

Es soll dann unter

«'(*« - . ■)
dieselbe Function verstanden werden, nachdem aber überall, nicht
nar in dem einen Argumente x^^, die Zeichen x, y, x durch x, y, z
ersetzt worden sind. Ist nun / eine DifFerentialinTariante, so ist:

•'S. ■ ■ •) - •'(',. ■ ■ •)

infolge 7on (5) and zwar für alle Werte von u and v. Daher darf
die Formel zunächst nach « differenziert werden. Also ist:

(**) —TS - ■ Wl>.

Nun steht aach rechts wieder eine Fnnction der partieUen Differen-
tialgaotienten von z, y, z nach u und v, denn es ist ja:

3 J(a!n . . ■) h J(3in . ■ .) gact

hu "^ Ö«,. du ■*■•■■'

WO rechts so viele Summanden stehen, als / Argumente hat; und
nach der Definition (4) können wir hierßtr schreiben:

' ' — Tu — Fn *< + 1, * + ■ "

Demnach ist die rechte Seite von (8) eine Function der Ableitangen
▼on x,y,z; und links steht in (8) dieselbe Function, aber in ^^z

Scammaa, Ottnn. Dift. U. 80

.dr,yGoogIe

306 Driäer Abschnitt: Die Fundamentalgleichungen der Fläehenthtorit

statt X, y, z geschrieben. Die Gleichung (tj) sagt ans, dnss die
Function (9) ebenfalls eine Differentialinvariante ist

Ebenso können wir beweisen, daas die partielle Differentiation
einer Differentialinvariante / nach v wieder eine Differentialinvamnte
liefert; und weiterhin folgt, dass dasselbe auch fKr beliebig häafige
Differentiation nach u und v gilt, sodass unsere obige Behauptan^
als richtig dai^ethau ist

Da wir hiermit ein einfaches Mittel haben, ans schon bekanDten
DifferentialinTarianteo neue abzuleiten, eo kfinnen wir es z. B. auf
die FnndamentatgrOssen E, F, G, L, M, N anwenden, die ja, wie
wir wissen, DifferentialiDTarianten sind.

Hiernach sind nicht nur die Fnndamentalgrössen erster
ond zweiter Ordnung, sondern auch alle ihre partiellen
Ableitungen nach den Parametern u and v Differential-
invarianten.

Fragen wir jetzt zunächst nach allen denjenigen Differeotial-
invarianten, die nur die ersten partiellen Ableitungen von ;r, y ond :
enthalten, also nach den sogenannten Differentialinvarianteu
erster Ordnung, so handelt es sich darum, diejenigen FunctioDea

•^(^h' *ü' ^11' y»' ^u' O

zu bestimmen, für die infolge von (3):

•'(*„. K- Vu- y.' h< '^ = •'(*»' ^i- y«' y,' '*• ^J

ist Sie sind leicht gefunden. Die Gleichungen (3) n&mlich sind.
abgesehen von den Bezeichnungen der Veränderlichen — indem
hier die Indices u und v statt 1 und 2 stehen — , genau dieselben
wie die Gleichungen in I S. 203 oben, sodass analytisch dasselbe
Problem wie damals vorliegt. Nach I S. 204 erkennen wir also,
dass jede Differeutialinvariante erster Ordnung eine Function von
den dreien ist:

*B* + yJ + K*> V + y/ + '^/f '«*= + y^y» + '.^.•

d. b. eine Function der drei Fundamentalgrössen erster
Ordnung £, F, G.

Da jede Function von Differentialinvarianten wieder eine ßiSe-
rentialinvariante ist, so folgt, dass E, F, G die einzigen wesent-
lichen Differentialinvarianten erster Ordnung sind.

Jetzt benutzen wir den Satz 2, S. 264, nach dem sich alle par-
tiellen Ableitungen von x, y, z von den zweiten an dorch die
ersten, durch die Fundamentalgrössen und die AbleitmigeD der

Pdr,yGOOgIe

§ 6. IH/fermtialinDarümlm einer Flädtt. S07

Fnndameotalgrösaeo ansdracken I&ssen. 'Hiuq vir dies in irgend
einer DiffereDtialinvariante J, so sehen wir, dass sie sich als Fimc-
tiOD der ersten AbleitnogeD ron x, y, z, der FandamentalgrOsBen
and der Ableitungen der FandamentalgrÖBsen darstellen läset.

Jede Differentalinvariante l&sst sieb daher anf.die
Form bringen:

/(*_, x^, y^, y^, 2^, 2^\ M, F, G,E^.. .; L, M, N,L^...),

in der die paiüeUen DifferentialqiiotienteQ von B, F, G und L,M,N
dnrch Ponkte angedeutet Ednd.

Die Eigenschaft dieser Function, bei allen Bewegongen un-
geändert zu bleiben, wird dorch die Gleichnng aosgedrtlckt:

^C*«. K' y- y.. K' h' ^' ^' ^'A-- ■> ^' ^' -A^, ■£«■■■) =
= •'('■' S' y«' y,' *-' 'v' ■^' ■*■» ^' ■*« • ■ •; ^' ^' ^^^u-- •).

wo E, F, 6, L, M, N und ihre Ableitungen auch links stehen, weil
diese Functionen bei allen Bewegungen ungeändert bleiben.

Die Gleichung bleibt notwendig richtig, wenn man f^ die rechts
und links genau an gleicher Stelle stehenden Functionen E, F, Q,
L, M, N und ihre Ableitungen irgend welche Zahlen setzt, denn
die Gleichung soll ja infolge von (3) allein besteben, also ohne Rflck-
eicht auf die Bedeutung dieser Functionen. Wenn wir aber Zahlen
einsetzen, so reduciert sich die DifferentialinTariante 3 auf eine
Function Yon x^, x^, y^, y^, z^, z^ allein, also auf eine Di£FerentiaI-
iuTariante erster Ordnung. Da wir aber gesehen haben, dass jede
Differentialinvariante erster Ordnung eine Function tou B, F, G
allein ist, so schliessen wir, dass die Function / vor der Sub-
stitution von Zahlen eine Function der Fundamentalgrdssen und
ihrer Ableitungen allein ist

Andererseits ist mit den Fundamentalgrössen nnd ihren Ab-
leitungen auch jede Function dieser Functionen eine Differential-
inrariante. Mithin folgt:

Sati 19: unterwirft man eine Fläche

.x~q){u,v), y~x{^,v), z^tp(u,v)

allen Bewegungen des Raumes, ohne ihr Parametersystem
zu ändern, so ändern sich ;r, y, z und' ihre partiellen Ab-
leitungen nach u und v. Kine Function dieser GrOssen
bleibt bei allen Bewegungen dann und nur dann ungeän-
dert, wenn sie eine Function der sechs Fnndamental-

.dr,yGoogIe

808 Dritter Absehnüt: Die FundamentagiMdttmgm der Ftäeheniluorü.

grösseu £, F, G, L, M, N and ihrer partiellen AbleitnngeD
nach u and v ist Hierbei wird von den TaDgenteDfl&cIieD
der Minimalcorven abgesehen.

Die letzte EinschiftukoDg ist deshalb ndtig, weil wir den Satt 2,
8. 264, benatzt haben.

Wir wollen eine AnweDdoDg machen: Es ist leicht einznsehen,
daas jede Somme von der Form

oder

eine DifferentialinTariante ist, denn analog (5) ist auch:

*r. = *^ 'm + «» .Vr. + "S ^r» •

sodasa üch ergiebt:

Nach 1{C) aber ist die rechte Seit« gleich S'^j^^rc ^'^' ^^
behauptet warde:

Da also S^j^t^:^, eine DifferentialinTariante ist, so folgt Mr sie ans
Satz 19:

Sau 20: Sind

x~if>{u,v), y — rK"). «-^(«.»)
die Oleichungen einer Fläche, die keine Tangentenfläche
einer Minimalcurve ist, so ist jede Summe von der Form:

als Fanction der FandamentalgrÖBsen E, F, G, L,M, N nni
ihrer partiellen Ableitungen nach u und v darstellbar.

Die Formeln (4), S. 264, gestatten one, dies fOr die einfiKhateD
Summen von dieser Art wirklich auszurechnen. Wir machen dabei
Gebrauch davon, dass

Pdr,yGOOgIe

§ 6. Di^irmtialintxinantm mner Fläche. 309

nach XI (C), femer

SCi'.^, - ■'.^J'« = 0, 8(j„r, - ^„y^r, = 0
und endlich

ist Nach (4), S. 264, berechnen wir nämlich t^„, bilden analog y^«
und aJu und addieren alle drei. Wegen der soeben angegebenen Glei-
chnngen erhalten wir alsdann S«Ju als Function ron E,P,G,L und
den ersten Ableitungen Yon B, F, G. Entsprechend lassen sich die
anderen ähnlichen Summen berechnen. So kommt:

- iE^F^F - AB^F^S -\- iFJ E),
Bxl, =Jf» +-^{E^*G-'2E^G^F+G^*E),

- iG^F^G - iG,F^F+ 4F^'G),

-E^G^F- g^G^E+2F^G^E),

-E^G^E-- E,G^F+ 2E^F^F +
+ 2F^G^E+2F^Q^F-4F^F^F),

S^«,*„.-'*'-^+ -i^rif^^'^+G,G,E-2G,F^F-

-6^E^G-G^E^F+2E^F^G).

Der Satz 19 bestätigt die grosse Bedeutung der Fundamental-
grössen: Kennt man die FundamentalgrSsseu E,F, G, L, M, N
einer Fläche, so kennt man auch alle ihre Differentäalinrarianten.

Die Bedeutung der Fundamentalgrdssen wird in den folgen-
den Paragraphen noch stärker herrortreten. Wenn nämlich zwei
Flächen dieselben Fundamentalgrössen haben, so haben sie hier-
nach überhaupt dieselben DifferentjahnTarianten. Dass alsdann
die Flächen mit einander congment sind, werden wir in § 9 er-
kennen.

Pdr,yGOOgIe

810 Dritter AbacMit: Die FundamentaigleielMngm der Flächentheont.

§ 7. RIcMungscoilnui einu beglettmden Drelkantt. ^

Wir n&hem uns jetzt der LSsoBg der Aufgabe, zu gegebenen
FuDdametitalgrösBen die Fläche za finden. Da diese LSsang nicht
ganz ein&ch ist, so erscheint es nns angemessen, ihre Behandlung
iu eine Reihe einzelner Schritte zu zerlegen. Das Problem hat
einige Analogie mit dem in § 13 und H des 2. Abschnittes im
ersten Bande behandelten Problem fitr Cnrven, Wie dort, so werden
wir auch hier darauf ausgehen, statt der rechtwinkligeu Goordinaten
der Flächenpunkte zunächst die Cosinus dreier zu einander senk-
rechter Bichtungen zu berechnen, und zwar dreier solcher Bich-
tungen, die in naher Beziehung zum Fl&chenpunkte stehen. Wir
bereiten demnach die Lösung unseres Problems dadurch vor, daas
wir im gegenwärtigen Paragraphen ein solches Axenkreuz genauer
untersuchen.

Im Punkte (tt, ») der Fläche:

(1) x = q>{u,v), y=/(«,p), z~tff{u,v)

haben wir zunächst eine ausgezeichnete Richtung, die der Flfichen-
normale, mit dei^ Cosinus X, Y, Z. Zwei zu dieser senkrechte und
auch zu einander senkrechte Richtungen werden aladann dadurch
bestimmt, dass wir nach irgend einem Gesetze zwei zu einander
senkrechte Tangenten des Punktes (ti, v) auswählen.

Dies geschieht so: 3ind k und x die Werte von dv.du ftr
zwei ;!U einander senkrechte Fortachreitungarichtnngen , so ist nach
Satz (11), S. 38:

(2) E-^F{k-^x)^Gkx = Q.

Verstehen wir jetzt unter k eine irgend wie, aber bestimmt
gewählte Function von u und v, so ist damit jedem Punkte
(u, v) der Fläche eine Richtung {k) zugeordnet Der alsdann aus (2)
folgende Wert von x:

(^J * " - -YTök

ist ebienfalls eine Function von u und v und gieht in jedem Punkte

' Solchen LeBem. denen die fblgeudea Betracb taugen vorerst zu sohirierij
sein BoUten, raten wir, die Paragraphen 7 bis 9 su ttberschlagea
Wenn sie nnr die Sätie 2&— 27 des § 9, S. 33B, in sieh aufnehmen und lie
ohne Beweis als richtig gelten lassen, so wird ihnen das Folgende, von g 10
an, verstlndlich sein. Das Stadium der g§ T — 9 ' kann also auf spttere Zeit ^a-
BOhoben werden.

Pdr,yGOOgIe

§ 7. mchtungacoaimu eine» begleiiatdan Dreikcmts.

311

(m, v) die zur Bichtang [h) Benkrechte Richtung an. Sind X,, ^,, 3i

die CoainuB der Eichtung (k) und ^, ^,, St die der Richtung {x),

so ist:

Xi :?)i =3, = (', + *'.):{?_ + Ay.):(^, + *0-
3^-d,-S, =- (^. + »'.):(5'. + «y,):(^ + «^)-

Da nach XI {A):

iet, so folgt;

und eotaprechend kommt:

" V£ + i;F*+(?»^'

»■ + »»-

3.-7

Wenn wir hierin den Wert x ans (3) einsetzen, so gehen die Aus-
drilcke hervor:

-{F+ Gk)x^ +(.g-l- Fk)x,
DVJi + afi + Ok*

I>V£+"af A + OA" '

- (f + gi)», + (^ -1- fifc)».

Hierin haben wir das Vorzeichen schon so gewählt, dase die
Determinante der CJosinus der drei Richtnngen (3ci:^i:3i)> (3^ = ?)j=3jV
(X-.y-.Z) gleich + 1 Bind, vorausgesetzt, dass wir für die in (4) und
(6) auftretende Quadratwurzel

(6)

i.-

a-

stets deneelbeD Wert nehmen. Denn jene Determinante ist zooäcbat:
«. 3E, JT

,). S,

3, 3.

Nach XI (Z) aber folgt hieraus :

m

z

,dr,Google

812 Dritter AbMhmä: Die Phmdammlaiglmclmngen der FtächentkeorK.

Nach I S. 146 sind jetzt die drei Bichtangeo ($i'%:^).
(^ = $i'-8i)' (X:T:Z) so gegen einander orientiert wie die ^, y-
tmd z-Aze. Wir uenaeii die drei vom Fläcbenpunkt (n, v) aiu-
gehenden G^eraden mit diesen Bichtungen das begleitende Dreikant
des Punktes {u,v) der Fläche. Bei seiner FeststelinDg kann die
Function k, wie gesagt, willkilrlich gewählt werden.

Wir woUen die ersten partiellen Ableitungen der Bichtimgs-
Cosinus des beseitenden Dreikanta nach u and v berechnen, aber
Dur so weit, als es tue die späteren Betrachtungen nötig ist Um
aber aach zum Gebrauch fertige Formeln zu haben, wollen wir
später in dem Falle, dass k = 0 gewählt ist, die Formeln toU-
ständig geben.

WoUten wir nämlich schon jetzt die Formeln in aller Äus-
fObrlichkeit entwickeln, so würde ihr grosser umfang und das Neben-
sächliche der Bechoong den allgemeinen Überblick erschweren.

Wenn wir die partiellen Ableitungen der BichtungscosiDus be-
stimmen wollen, so haben wir dabei die Formeln fflr die zweiten
Ableitungen von x, y, z nach u and c zu benutzen, die wir unter
(7), 8. 268, anfetellten. Sie zeigen, dass sich die zweiten Ableitungen
von X linear and homogen durch x^, x^, X ausdrucken mit Coeffi-
cienten, die nur die Fundamentalgrösseu E, F, 6, L, M, N nnd die
ersten Ableitungen der FundamentalgrÖssen £, F, 6 enUtalten. Wir
wissen femer, dass diese Formeln richtig bleiben, wenn x und X mit
y und Y oder z und Z vertauscht werden.

Wird der Wert von X, , der oben noter (4) angegeben ist, par-
tiell nach u differenziert, so erkennen wir, dass der Differential-
qnotient zunächst hnear nnd homogen in x^^, x^^, x^ and x^ ist
Die CoefKcienten hängen dabei nur TOn den Gi^saen S, F, G, E^.
■^B' ^1.' * """^ K ^- Weon wir hierin filr x^^ und x^^ die Werte
aus den citierten Formeln (7), S. 268, einsetzen, so erkennen wir,
dass die partielle Ableitung von Xj nach u linear nnd homogen in
x^, x^ und X wird mit Ooef&cienten, die nur von den Grössen

(8) E, F, G, L, M, N; E^, F^, G^, E^, P,, ff,; k, k^, k,

abhängen. Wir gelangen also zu einer Formel Ton dieser Gestalt:

asE. .

«='^ + ß'v+Y^,

wo a, ß, y Functionen der Grössen (8) sind. Nun aber können wir
die beiden ersten Gleichungen (4) und (6) benutzen, am umgekehrt
aus ihnen x^ und x, hnear und homogen durch 3E, und ^ anstu-

Pdr,yGOOgIe

§ 7. ^chtungsBosinus eines begleitenden Dreilcanis. 313

drucken. Setzen wir diese Werte, deren Coefficienten toq S, F, G, h
abhängen, in die hingeschriebene Formel ein, bo wird sich schliesslich

enthalten die Coefficienten nar die Grössen (8).

Dieselben Schlüsse gehen für die ersten Ableitungen von ^
und ^ nach » und v überhaupt'

Was die Äbleitnngen Jf_ und X^ betrifft, so sind sie schon
unter XTT {S) angegeben. Auch hierin drücken wir z^ and x^ wie
oben mittels der beiden ersten Formeln (4) und (6)' linear und
homogen durch 3E, und X, aus.

Durch diesen summarischen Überblick über die zwar theoretisch
einfachen, aber praktisch umständlichen Bechenoperationen erkennen
wir also, dass sich sechs Formeln ableiten lassen, tou denen die drei
ersten diese Gestalt haben:

denen die fOr

ai, et, dX

m

ganz entsprechend gebaut sind. Darin sind die Coefficienten Func-
tionen der Grössen (8).

Da diese Grössen (8) sich nicht ändam, wenn x, y, z cykliseh
vertauscht werden, so gelten die Gleichungen (9) such, wenn X und
X durch ^ und 7 oder durch 3 u°d Z ersetzt werden.

Nun aber ist nach I ((7):

(10) 3E,' + 9.' + 8.'-i

und daher:

oder, wenn die Werte der Differentialqnotienten aus (9) und den
sechs analogen Gleichungen eingesetzt werden:

(11) 3E,(si,x,+«,j, + si,j) + |),(a,g), + a,8, + «.r) +

+ 8,(a,3, +a>a + «.2)-»-

,dr,Google

314 Dritter JbtdtniU: Die Fimdamentalfileiehiimgen der FtädteiUheorK.
Weil aber nach I (£7) aasser (10) aaoh

ist, so folgt ans (11), dass 2, =>= 0 ist Ebenso moss SB, =» 0 Bein.
Wenn wir ntin wie Boeben mit (10) mit der Gleichnng

rerfabren, so ergiebt dieselbe Schlussfolgerung, dass 9, + 9,-0
sein mnss. G^nau so folgt, duBs 93, + IS, und ISj + 3, gleich Null
sein mUssen.

Ohne näher darauf einzugehen, bemerken wir, dass die Analogie
mit den Formeln in I S. 153 nicht bloss zufällig ist

Wir haben jetzt also gefunden:

a,=lBj=.0. 189, + (£,=(£,+«,=.51,+ a, -0.
Mithin haben die Formeln (9) fDr die partiellen Ableitungen der
BichtuDgBcosinuB nach u eine noch speciellere Gestalt:

(12)

^ - C, 3t, - B, jr ,
y^-J,X -C,äE,,

und da dieselbe Betrachtung fOr die Ableitungen nach r gilt, so
haben wir ausserdem drei Formeln von der Gestalt:

(IS)

^-C,X,--B,X,
— = — ^ ji* Jl — " C- Jt, ,

Die Goefficienten A^, B^, <\ und J,, B^, C, sind dabei Fiin>
tionen der Grössen (8). Aach wissen wir, dasa die Formeln (12)
nnd (1 3) richtig bleiben, wenn X und X durch ^ and ¥ oder durch 3
und Z ersetzt werden.

Aus (12) und (13) läast sich nun die zweite Ableitung

in zwei Weisen berechnen. Da beide Werte Qhereinstinunen mflsaas,
Bo finden wir, daes

]H,zedr,yGOOgIe

§ 7. mchtw^t

einet heglMtenden Ztretkanta.

-^{C,X,-B,X)=-^(C,X,-£,X)

''» TT ~ -^1 T^ + *» "ä7 " -*■ TT ="

ist. Setzen wir Uerin fUr die Ableitungen ^
aus (12) und (13) ein, bo kommt:

3 3^ tmd X ihre Werte

Ebenso ei^iebt sich je eine Bedingung, wenn wir

■X.-0.

g'3£.

und

3'Z

aus (12) und (13) berechnen. Diese Bedingungen gehen schnelleT
aus (14) hervor, wenn wir hierin S,, 3£,, X, femer J^, B^, C^ und
A^, £^, £?, cfkliach vertauschen. Wir kommen so zu insgesamt
drei Gleichungen. Man bemerkt aber sofort, dass sich die sedis
Coefficienten der drei Bedingungen durch die folgenden drei Grössen
ausdrücken:

(15)

. *^

öl« "

{B,C^-C,B;i,
(C, J, - A^C,),
tA,B^-B,A,].
Die Bedingungen sind nämlich diese:

ßx -rX, = o.

j'SE, -aX -0,
«I,-,ÜS,-0.

Sind nun a, ß, y nicht alle drei gleich Null, so sagen diese Glei-
chungen ans, dasa sich X,, 3E,, X wie a, ß, y zu einander verhalten.
Dasselbe würde aber fUr %, gl,, Y und ftlr ßu 3i. ^ folgen, was
in Widerspruch mit der Gleichung (7) ist Also ist

Also erf&llen die Coefficienten, die in (12) und (18) auftreten,

Pdr,yGOOgIe

316 Driitvr Abaehniü: Die Skmdammttügieiekungen der FläätenÜi^irK.

wegen der in (15) äug«
dingungeo ;

ibeoen Bedentang von a, ß, y die Be-

(16)

de du * 1 *
dC, ÖC, , , „

I^ hat sich insgesamt Folgendes ergeben:
SstE 21: Liegt eine Fläche vor, die keine Tan^^enten-
fläche einer Minimalcnrve ist, etwa die Fläche:

x = ff>{it,v), y = /{«, o), z = ti;(u, v)

und wählt man im Flächenpunkte («, tt) eine Tangente da-
durch aus, dass man ihre Richtung (k^dv.du) als eine
Function k von u und c beliebig wählt, so kann man aus
dieser Tangente, der zu ihr senkrechten Tangente und der
Flächennormale ein rechtwinkliges hegleitendes Dreikant
des Flächeopunktes (k,i>) herstellen, dessen Kanten wie die
Goordinatenaxen gegen einander orientiert sind. Die Ricb-
tungscosinuB 3E,, ?),, 3,; Xj, %, 3,; X, Y. Z der drei Kanten
erfüllen alsdann Öleichungen von der Form:

Ö3E,

. 6; I, -

A-f.

'h-'^A

-B,X

qi,,

*-.^

-«:3E,

AX,.

4f-^.^

-^.J.

sowie diejenigen Gleichungen, die hieraus herTorgeben.
wenn 3? und X durch ^ und Y oder durch 3 °ii<l ^ ersetzt
werden. Die sechs Coefficienten

^1, B^, (7i und J,, J„ C;

sind dabei Functionen von den FundamentalgrÖssen £. ^,
G, L, M, JV, von den ersten Ableitungen von E, F, ff nnd
von k, k^ und k^. Die aus der Gleichung

de du äu dv
und den analogen Gleichangen für die fibrigen acht Bich-

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 7. JUehtungaeoMittta einea beglAÜendon Dreikanta. 317

tangecosinas hervorgeheodeD Bediogangen redaciereu siob
sämtlich aaf die drei Bedingungen:

^-^^{C,J,~A, C,) = 0,

denen die Coefficienten J, B, C für alle Werte von u and v
genügen.

Wir merken hier noch Folgendes an:

Die in unserem Satze angegebenen Gleichnngen itlr die par-
tiellen Ableitungen von 3Ej, 3£j und X und ebenso diejenigen Glei-
chungen, die aus ihnen hervorgehen, wenn X und X durch D und T
oder durch 3 nud Z ersetzt werden, sind partielle Differential-
gleichungen erster Ordnung fUr die Bichtungscosinus. Die
G-leichnngen (16) geben die Bedingungen dafßr an, dase infolge der
partiellen Differentialgleichungen auch die Relationen

dp du du Bv

u. 8. w. bestehen. Man nennt diese Bedingungen (16) die Inte-
grabilitätsbedingungen jenes Systems von partiellen Differential-
gleichungen. Unser Satz sagt aus, dass sich die Integrabilitäts-
bedingungen auf drei Gleichungen reducieren, die nur die Funda-
mentalgröBBen, die Ableitungen der Fundamentalgröseen und die
Grössen k, Ä_, A^, k^^, k^^, k^^ enthalten.

Aber wir können noch mehr erkennen, n&mlich daes diese drei
Bedingungen (16) von k unabhängig sind. Dies sehen wir so ein:

Bei unseren Betrachtungen trat die willkürliche Function k (u, v)
als Wert von dv.du f&r die Tangentenrichtung i^i'-'^^-^) auf,
wodurch das begleitende Dreikant vollständig definiert wird. Es ist
leicht, von diesem Dreikant zu einem beliebigen anderen begleiten-
den Dreikant überzugehen. Denn wir brauchen ja zu dem Zwecke
nur den rechten Winkel der beiden Tangenten (3Ei : ^, : 3i) ■^'^
(3E, : 2)j : 3i) n™ irgend einen Winkel a zu drehen, der eine beliebige
Function von u und v sein kann. Dann treten an die Stelle von
X|i Sil 3i °^*^ ^> 9i> -3) andere Richtungscosinus, die wir mit
^1' fip Bi *^°'^ ^' ^i> Si bezeichnen wollen, die sich linear und
homogen durch die alten nnd durch sin a nnd cos a ausdrucken.

Pdr,yGOOgIe

(17)

818 Driller Mft^miU: Die Fimdamtnialgieiekungm der Fläduntimni.

Denn die Cosinus der Winkel der orsprnnglichen ersten T&DgeDt«
mit den beiden neaen T&ngenten sind cosa nnd — sina und die
der ursprODglichen zweiten Tangente mit den neuen sind sin a und
cosor, sodass

£, =>= Xj cos (ü + 3^ ain ß , ^j =- 9i co8t< + ^^ma,
fj — — iEiSin « + jEjCosa, ^j -= — g,Bin a + ^^cosa,
5i = 3i cos of + 3j sin « ,
3i = - 3i 8in « + 3j coe «
ist. Daher ist

-||- = C08a-||- + sin« i^ - 3E,8ina.«^ + 3E,co8a-«,
oder nach (12)

(18) -*Ä_c„,„(qX,_i(,X) + sia»(^,X-C,3£,)-
— Xi sin « ■ a^ + 3£j cos « • «^ .

Nun m&Bsen aber fKr die neuen Richtungscosinns partielle Differeu-
tialgteichungen analog den alten Gleichungen (12) nnd (13) b0efa>heiL
Wir vollen in ihnen die an die Stelle von J^, S^, C^ und J^, B^ C,
tretenden GrBsaen mit öberatrichenen Bnchstaben bezeichnen, sodw
zon&chat analog der ersten Gleichung (12):

4|- = ö, S, - S, J
oder nach (17)

-||. = C, (- 3E, sin a + 3E, coB «) - ^ X

ist Vergleichen wir dies mit (18), so folg^ dass

B=.-^sina + f^cosa, C\ = C, + ot,

ist. So ergiebt sich Überhaupt, dass für die aberstrichenen Kicb-
tungacosinus solche Gleichungen analog den Gleichungen (12) and
(13) bestehen, in denen die Goefficienten durch die folgenden er-
setzt sind:

J, =s J, cos« 4- Sj sin a, -^ ™ ^jCOsa + B^ain«,

B, =— J, sin a + B, cos«, 5, =— jl^sin « + ^cos«,

Pdr,yGOOgIe

§ 7. RüAiungaeoaimta eine» hegleitenden Dmkaate. 319

Pttr diese Grössen mOBsen GleiGhungen von derselben Form
wie die Gleichnngen (16) bestehen. Bilden wir sie, eo finden wir
aber, dass sie sieb auf die von a freien Oleicbnngen (16) reducieren

Also folgt: Die Integrabilitätsbedingnngen (16) sind
stets dieselben, wie aucb das begleitende Dreikant ge-
wählt sein mag.

Mithin enthalten sie die willkürliche Function k and ihre Ab-
leitungen nur scheinbar. Sie sind also Gleicbongen zwischen den
Fondamentalgrössen und ihren Ableitungen allein. Die Vennatang
liegt daher nahe, daes diese drei Oleichungen nichts anderes als
die drei Fundamentalgleichungen der Flächentheorie sind
(Tgl. S. 271). Das ist in der That der Fall.

Um dies zu zeigen, genügt es nach dem Vorhergehenden, sie
fttr ein specielles begleitendes Dreikant aufzustellen and mit den
drei FandametAalgleichungen zn vergleichen. Indem wir dies thnn,
benutzen wir gleich die Gelegenheit, für ein specielles beglei-
tendfts Dreikant die Formeln des Satzes 21 vollständig
ausgeführt anzugeben, sodass sie zum Gebrauch geeignet
sind.'

Wir wählen * = 0, also nach (4) und (6):

(19)

^ _^ - Fx^ + Ex, gj _ - Fy. + a y. j.

I)Y£ ^* dYe ' dYe

Differenzieren wir jetzt diese Grössen nach u und nach », indem
wir, wie es oben aaBeinandergesetzt wurde, fQr die zweiten Ab-
leitungen von X, y, z die Werte aus (7), 8. 336, einfähren und dann
die ersten Ableitongen von x, y, z mittele der aus (19) folgenden
Formeln:

j x^ = y^3E, , y, = yE% , z^ = Vä^3,

(20) j ^ ^ Fl£y+JtSt ^ FBi+Jg, ^ _ ^8. + -PÜ.

1'^ YE 'i'«"" yg ' "" Y^

' In seinen „Vorleeungen über Differentialgeonietrie", deutsch
von LniAT, Leipzig 1B99, bat Bukohi bei der allerdings knappen Behandlung
desselben Problems, das wir in den gegenwKrtigen Paragraphen im Ange
haben, ein anderes specielles Dreikant benntzt, nSmlich daqenige, dessen beide
ersten Seiten die HauptkrOmmangstaugenten sind. Der Leser kann daher die
Seiten 94— S7 des Werkes von Biahdu tot Ei'gfinznng heranziehen.

Pdr,yGOOgIe

320 Dritter Abscknüt: Die likiwiamenialj/leUihungm der Fläeheatheorit.

entfernen, so erhalten wir als Gleicltiuigen (12), (13) hier diese:
a-E, _ - B,F- E,E+2F.E ,

(21)

(22)

IDE * VE

dX L y. EM -FL

3E.

iDE ^ yE

BN- FM Y - E,F+ a.B

DYe 2DE

M ^ _ EN - FM

VE^ ' D[/E ■

dYe

Hier ist also:

EM- FL „ L -, -g.r-g,g+2F,g

Mi =■-

(23)

D)/¥ ^ ]/£ ' ' BDj;

, ^ EN-FM ^ M_ ^ _ -E,F-\-G,E

i ^ DYE ' ' "" Ye' * 2D J

Bildet mau jetzt mit diesen Grössen die Integrabüitätsbedin-
gongeo (16), was keine Schwierigkeit macht, so erkennt man, d&ss
die drei herrorgehenden Gleichungen nur eine andere Form det
drei Fundamentalgleichungen (9), (10) und (11), S. 270, 271, sini
Die beiden ersten nämlich sind aus den beiden Fundament«!-
gleichnngen (9) tmd (11) zusammengesetzt, während die dritte die
Fundamentalgleichung (10) liefert, und zwar ergiebt sich die«
Gleichung, die ja das Krfiimmiingsmaass ausdr&ckt (TgL 8. 272), in
der bequemen Form:

,„ ,, LN-in _ _d_ -E.F-E.E+aF^E fl^ -E.F+a.£

^'*' D ~ dv 2DE du SDE

Zu Satz 21 können wir demnach hinzufügen:

Satz 22: Die in Satz 21 angegebenen drei Bedingungen,

denen die Functionen A^, £y, C\ und J^, B^, C, genflgen,

sind die drei Fundamentalgleichungen.

Endlich heben wir noch einen wichtigen Umstand hervor: In (20)

liegen ar^, *,; !/^,y^; z^,x^ ansgedrückt durch 3^,3E,; %,%^; Ä.äi

Tor. Dabei mOesen die Bedingungen:

Pdr,y Google

ünbeaekränkt inUgrabei» totale Diffitrentiaigleicfiungm

,cte\ U %I V V V V

(25) .-■«, = -r-X , g~t/ - aT/y,! a."^« = -äT^r

erfüllt sein. Bilden wir sie, iDdem wir also die Formeln (20) diffe-
renzieren nnd dann fUr die Ableitnngen tod X,, 3^; ^i, ^,i BitSt
die Werte aus (21) nnd (22) einsetzen, bo ergeben sieb thateäcblich
Identitäten. Also: Sobald die Gleichungen (21) and (22) er-
fflllt Bind, gen&gen die durcfa (20) gegebenen Werte von
■''ii' ^r! y«' l/a' ■'n' *o '^^° ^'^^ Bedingungen (25). Dieser Um-
Btatid wird später verwertet werden.

§ 6. Unbeschrftnkt integrabele totale Dlffierentialgleichungen. '

Die Betrachtungen des vorigen Paragraphen dienen zur Vor-
bereitung für die Erledigung eines Problems, das wir jetzt in Angriff
nehmen und das wir im nächsten Paragraphen weiter erörtern
werden.

Wir fragen uns nämlich, ob oder inwiefern eine Fläche
durch Angabe ihrer sechs FundamentalgrSssen £, F, G, L,
M, N bestimmt ist Wir nehmen also an, von einer Fläche
sei uns nichts bekannt ausser den Werten der sechs Funda-
mentalgrössen als Functionen der Parameter u und ».

Zunächst gehen wir darauf ans, die Richtungscosinus eines be-
gleitenden Dreikants der Fläche als Functionen von » und v zu
bestimmen. Zu diesem Zwecke wählen wir wie im vorigen Para-
graphen eine Function k von u und v irgend wie aus. Alsdann
geben uns die Gleichungen (4) und (6), S. 311, die Richtungscosinus
3E,, 3j, 3i ^^^ ^> 9t' -Si '^^'^ beiden ersten Kanten des b^leiteu-
den Dreikants, wÜirend die Richtungscosinus X, Y, Z der Flächen-
normale in XI {F) angegeben sind. Nun aber sind una x^, x^, y^, y^
z^,z^ nicht als Functionen von u und v bekannt, also auch nicht die
Richtungscosinus. Aber wir wissen, dass die Richtungscosinus die
in Satz 21, 8.316, angegebenen Gleichungen erföllen müssen. In
diesen Gleichungen sind die Coeffioieoten A^, S^, C^ und A^, B^, C^
Functionen von Grössen, die wir sämtlich durch u und v ausdrücken
können, nJünlieh von den Grössen:

E, F, &, L, M, N\ \, ä;, F^, #„ (?„, ff,; A, Ä„. A,.

Wenn nun diese uns bekannten Functionen A^, B^, C^ und A^, B^, C^
von u und v die Integrabilitätsbedingungeu (16), S. 316, nicht für alle

Ygt. die Anm. zo S. SlO.

•m. DUfr. □. 21

D,gH,zedr,yGOOgIe

322 Dritter Abatshmit: Die fimdMnmta^Mohaa^en der Fläehmtheorit.

Werte von u und t* erfüllen, ao wideraprecheo die Oleichnagen f&i
die BichtnngBcosinus einander nach S. 315, d. h. dann giebt es keine
Fläche zu den gegebenen Fimdamentalgrössen. Wir setzen daher
▼nrans, daes die gegebeueo Qrdssen ß, F, G, L, M, N die Gleichangen
(16) fUr alle Werte von u und o erfüllen. Da diese Gleichungen nach
Satz 22, 3. 320, die drei Fundamentalgleichungen der Flächentheorie
sind, so setzen wir also Toraus, dass die sechs FundameD-
talgrössen den drei Fundamentalgleichungen fUr alle Werte
Ton K und v genttgen.

InebeBondere bestehen die sechs im Satze 21 ezplicite ange-
gebenen Gleichungen filr die partiellen Ableitungen yon X, , 3Ej und
X. Da aber nach I {D)

3E,» + 3E,* + Jr*=l

sein musB, so lassen sich die drei Grössen 3^, £,, Z durch nur
zwei allerdings ebenfalls unbekaunt« Functionen ^ und */ Ton ■
and V ausdrücken. Wir verfahren dabei genau so wie in I S. 212.
indem wir

3E.+i3E.

^

l-i

JT-

TIT'

1

Tj = —

-

1-

SE,-

- X

•i.

Dann ist

umgekehrt —

»gl.

(H),

I S. 212,

, -

s,-J

-^1-'.

. 3E.-

iL

+ .ll

Z-

Lt'

(2)

Wir gehen nun darauf ans, statt Sj, 3E,, X zun&chst i
und 1] zu bestimmen. 8ind | und tj als Functionen von v undc
bekannt, so sind es nach (2) auch ^, 3L, X.

Nun ist nach (1):

«■ I-Zlfl« +' du]

+ -,

Setzen wir hierin die Ableitungen von 3£^, X, und X ans Satz 21.
S. 316, ein und berücksichtigen wir dabei (2), 80 kommt:

I. - - 2 ('<, + 'A) - 'C, { + { (^, - •■«,)«■■
Dieselbe Rechnungweise liefert:

i,---i^'l.+is,)-ic,i + t^A,-iB,)i'■

D,„i,z,dr, Google

§ 8. Vnieeehrät^ inteffraheie totale THffermHaigkiciwngen. 323

Wenn wir ebenso \ und 11^ aaBiechnen, so finden vir, dass
sich Q_ und tj^ gerade so durch t} aasdrUcken, wie eich hiernach |^
nnd §, dorcb | -aosdrilcken. Anders ausgesprochen:

Ee giebt zwei Bedingungen für eine Function a von u
und 17, nämlich:

\i — tW + "A) - '■'i« + 4 (^,- =.»,)»>,

die sowohl von a = ^ als auch von a = ij erfüllt werden.

Umgekehrt: Wenn diese Gleichungen (3) sowohl for «r = | als
auch fUr CT = 17 bestehen, so erfüllen auch die durch (2) angegebenen
KichtungBcOBinas ^, X,, X die in Satz 21, S. 316, aufgestellten
Gleichungen. Wir brauchen dies nur für iE, zu zeigen, da der
Nachweis fttr 3^ iind X entsprechend za führen ist Nach (2) ist:
dt, , ;.(,'- i)-,,.(P-i)

Wenn nun | nnd «; die Gleichungen (3) für a erflillen, so ist:
I. = - 4 C-^i + '■-».) - '^1 ^ + i (^1 - ■■ A) ^*.

% = - {(-^i + 'A) - '<^i»? + IK - is,)n\

sodass die Substitution dieser Werte liefert:

fl2E, ^ -Q 1 + f 1; _ ^ _«_+_.''_
oder nach (2):

öw ' ^ •

Analog ei^ebt sich natUrÜch

Dies aber sind die beiden obersten unter den Gleichungen des
Satzes 21.

Wir kennen demnach die allgemeinsten Functionen
S,, 3Ej, X von w und v, die den Gleichungen des Satzes 21,
S. 316, Genage leisten, sobald wir die allgemeinste Func-
tion a von u und o kennen, die den beiden Gleichungen (8)
Genflge leistet Denn wir branchen dann nur für | und q zwei

.dr,yGoogIe

324 Dritter Abschnitt: Die F^ndammtaigleichutyen der FliU^tenäuorK.

allgemeine Werte von «7 zn wählen und haben in (2) nnmittelbar die
gesuchten Functionen 3E,, Xj, X

Unsere Aufgabe ist hiernach die: Die allgemeinste Func-
tion (T von u und tt zn finden, die den beiden Gleicbungen
(3) genügt» Dabei sind die in (3) auftretenden Coeßicienten Ay,
S,, Cj, A^, B^, C, bekannte Functionen von u und » und zwar
solche, die die in Satz 22, S. 320, erwähnten drei Integrabilitäts-
bedingungen fUr alle Werte von u und v befriedigen.

Die beiden Oleichnngen (3) lassen sich in eine einzige zu-
sammenfassen:

+ [- {{Ä^ + iS,) - iC^<T + fK - iB^) ff»] dv.

Eine derartige Gleichung, die das totale Differential da einer
unbekannten Function a von u und v durch bekannte FunctJoneD
und durch a selbst ausdruckt, beisst eine totale Differential-
gleichung für a. Insbesondere tritt <j rechts quadratisch auf.
Deshalb nennt man eine totale Differentialgleichung von der Form (4)
insbesondere eine totale BicoATi'sche Differentialgleichung.
indem man eine Bezeichnung aus der Theorie der gewöhnlichen
Differentialgleichungen verallgenaeinert. Vgl. hierzu I S- 213, 214,
Ganz allgemein heisst eine totale Differentialgleichung iilr a eine
BiccATi'Bche, wenn sie die cbarakteristiacbe Form hat:

da = («j + (?j ff + Yi '^*)''« + («, + (S, ff + /, a*)dv,
wo «1, /3,, Y^ und «,, ß^, y^ irgend welche gegebene Functionen
von « und v bedeuten. Die Gleichung (4) ordnet eich dieser Form
unter.

Die Gleichung (4) fasat die beiden Gleichangen (3) in eine zu-
sammen. Nun kann man a^^ aas der ersten Gleichung (3) durch
Differentiation nach v und aus der zweiten Gleichung (3) durch
Differentiation nach u berechnen. Beide Werte müssen überein-
stimmen. Dies aber giebt die Gleichung:

Setzen wir hierin die Werte von -^ und -^ aus den Gleichungen (3)

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 8. ünbeacttränkt inkgrabeU totak DtjferantialgleiclwMgen. 325

selbst ein, so geht eine GleiohuDg hervor, die Tom zweites Gerade
in ff ist, da die Goe£Gcieiiteii von (t* rechts nnd links einander aof-
beben. Die Coefficienten von ff* und ff sowie das tod a freie Glied
setzen sich, wie die einfache Äosrechnang zeigt, linear aus je zweien
derjenigen Ausdrucke zusammen, die in den in Satz 21, 3. 3t7 oben,
angegebenen Bedingungen linke stehen. Da wir oben ausdrücklich
Torausgesetzt haben, dass diese Fundamentalgleichoogen fQr alle
Werte von u und v erfüllt seien, so ist auch lUe soeben aufgestellte
Bedingung erfüllt —

Es Fragt aich jetzt, wie wir die allgemeiiiste Lösung a der
totalen BiccATi'schen DifTerentialgleichung (4) finden können. Weil
die Gleichung (4) ziemlich umständlich ial, ist es klarer, wenn wir
die Frage yerallgemeineni, wenn wir also nach denjenigen Func-
tionen a fragen, die eine allgemeine totale Differentialgleichung
erfüllen.

Eine solche aligemeine totale Differentialgleichung für rr
hat die Form:
(5) rfff = <i>(u,v,a)du + W(u,v,ff)dv,

worin die rechts auftretenden Functionen 0 und V gegebene
Functionen von u, v und er bedeuten sollen. Der Leser kann sich,
wenn er will, unter <t> und V abkürzende Bezeichnungen fQr die
in (4) in den eckigen Klammem stehenden Functionen von u, v
und ff vorstellen.

Auch unter Zugrundelegung der totalen Differentialgleichung (5)
lässt sich (7^, auf zwei Weisen berechnen, denn statt (5) kQnnen wir
einzeln schreiben:

Ij -«)(., .,<.), If _v(«,.,»).

Aus der ersten Gleichung folgt:

• • äffc -*.+ *• 4.- •

aus der zweiten:

— "- = V + V„ ^-■

Setzen wir rechts die Werte </> und W &a tr^ und a^ wieder ein,
so giebt Gleichsetzen beider Ausdrücke die Gleichung:
(6). 0,+ <t>,W= *,+ W,(l>.

Man nennt sie die Integrabilitätsbedingung der totalen Diffe-
rentialgleichung (5).

Pdr,yGOOgIe

326 Dritter Abseknüt: DU ßundamantalgleichungan der Fläehentheorit.

Wir aaben Toriiin, das« die entsprechende Rechnung ffir unsere
totale RioGATi'sche DifFerenti&lgleichimg (4) eine Gleichung lieferte,
die nach VorauBsetzung erfdllt war fUr alle Werte von u, v and a.

Daher können wir nns aaf solche tottüe- DifferentialgleichnugeD
(5) beichr&nken, deren Integrabilit&tshedioguDg (6) ehen&IU fQr alle
Werte Ton «, r> and a erfftllt ist Eine solche Differentialgleichung
heisBt eine unbeschränkt iategrabele totale Differential-
gleichung.

Wir schalten demnach hier in unsere äächentheoretischen ünter-
sncbnngen eine Betracbtang der unheschi^akt integrabelen totalen
Düferentialgleichongen mit zwei unabhängigen Veränderlicbeo u
und 0 ein. Wir werden erbenneD, dass ihre vollständige Inte-
gration, d. h. die Bestimmung aller Lösungen a (u, v), die in (5)
linke und rechts eingesetzt eine identische Oleichnog liefern, aaf die
Integration zweier gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ord-
nung znrtlokgefBhrt werden kann.' —

Betrachten wir die rechte Seite ron (5) allein. E&me 9 nicht
in 0 und W Tor, so wäre die rechte Seite ein Differentdal in «
und V. Aber ein solches Differential — wie in I S. 91 das Diffe-
rential Xdy — ¥dx — kann man durch MoltiplicatioQ mit einem
gewissen Factor /i zu einem vollständigen Differential machen.
Dies wollen wir thun, indem wir uns zunächst unter «t in 0 and V
irgend eine Constante vorstellen. Jenen Factor finden wir als-
dann dadurch, dase wir die gewöhnliche Differeutialgleicbung
erster Ordnung in u und r:

(7) 1>du + *¥dv = (i

integrieren. Ist nämlich w ein Integral und p. der zugehörige Hntti-
pUcator, so ist:

(8) (o^ = n<p, oi^^nif,

während fi nach Satz 60, I S. 92, worin x, y durch u, v und J, 1
durch — V, 0 zu ersetzen sind, die Bedingung erftlllt:

(9) -'*'/^. + *M, = (^«-*^/*-

Da die Differentialgleichung (7) in </> und ^ noch die als

* Dies zeigte merat Laobiioi, „Häthode gÖDÖrale poar intigrei
lei 6qnationB am diff^renceE partielles du premier ordre, lorsqae
ees difföienceB ne sont que lin^aires", Nonv. H£m. de l'Aoad. de Barlii
1786. Siehe auch Oeuvres t 6.

Pdr,yGOOgIe

§ 8. ünbeBuhränkt mUgrabeia totaie Differa^iiaigleiohmgen. S27

Constante ao^efasste GrSsse a enthält, so werden anoh o> irnd ^
ausser u und v noch a enthalten.

Wir erkennen also: Durch die Integration einer gewöhn-
lichen Differentialgleichnng erster Ordnung kann man
zwei solche Functionen «(u, r, tr) and /»(u, v, tr) finden, die
den Qleichungen (8) und (9) für alle Werte von u, v, <t ge-
nügen. Darin bedeuten m^, m^, n^, fi^ die partiellen Ableitungen
von (o und n, die sich ergeben, wenn man er als eine Constante
anffasat.

Nun aber ist die gesuchte Function u keine Constante. Daher
ist der Tollständige Differentialquotient von <o nicht einfach
w^rf« 4- (o^dv, sondern:

dm = ca^^dtt + a^dv + <a,{fr^du + o^dv)
oder:

dfo = w^rfu + lo^dv + tOadff,

sodass sich, 'wenn wir hierin die Werte (8) einsetzen, ergiebt:

da» ~ fi{<l>du + >Pdv) + m,da,

and zwar ist dies für alle Wert« von u und f und für alle Func-
tionen a Ton u und v richtig.

Nach (6) aber soll da den Wert 0du + Vdv haben. Die
Forderung (5) lässt sich deshalb so schreiben:

(10) d(o = {fi + m,)do.

a ist eine uns allerdings noch unbekannte Function von u
und V. Setzen wir ihren Wert in ta und ^ -|- <», für <s ein, so
werden w and ^ + (Og Functionen von » und v. Dann also sind m
und a solche Functionen von u und v, die, wie (10) aussagt, ein-
ander proportionale TollBt&ndige Differentiale dto und da haben,
sodass die Functäonaldetrarminante von a und a hinsichtlich u und v
gleich Noll ist, d. b. w eine Function von tr ist — nach Satz 54,
I S. 82. Soll es also eine Function <7(u,v) geben, die der For-
derung (6) oder (10) genügt, so mnss tu, nachdem darin für die
Function <s ihr Wert in u und v eingesetzt worden ist, eine Func-
tion A(<t} von a allein werden, die wir allerdings noch nicht kennen:

(»(«, t), ff) = Jl((T).

Dann giebt (10) noch:

V{ü) = ^ -i- «,.

Also kommt anier ganzes Problem auf folgendes hinaus:

Pdr,yGOOgIe

S28 DriUer JbmAniU: DU Fimdamtntai^mtAimgm der Fläektniluorü.

Es fragt sich, ob wir eine Fanction X tod er allein so
beetimmeii können, dass die durch die G-leicbung

(11) w(k, t., <T) = i(ff)

definierte Fanction <r von u nnd v auch die Öleichnng

(12) /t + <B..i'(<T)

erfftllt Dies ist non in der That möglich. Wenn wir aänüidi
zanächst unter X{a) eine beliebige Fanction von a allein verstehen
und dann er durch die Gleichung (II) — die wir uns nach a auf-
gelöst denken — als Function von u und » detinieren and diese
Fanction alsdann in fi -\- <o„ einsetzen, so wird auch ft + eo„ eine
Fanction von a allein, um dies zu beweisen, haben wir nur zu
zeigen, dass die Fuoctionaldeterminante von a nnd ^ + u« hinsicht-
lich u nnd t> gleich Null ist Sie lautet:

j ff« fi, + (t^fn + ö*«» + 0>»bOb ,

I ff, /*» + ^o ff. + <ÖB , + (»„„ ff, [

Es muss nämlich dabei beachtet werden, dass in fi und in ta^, die
VeriLnd erheben u and o auch in a auftreten. Die Determinante
reduciert sich zunächst auf:

<"' i:: :+::!■

Nach (8) ist aber, da diese Gleichungen fQr alle Werte von n, v, r,

richtig sind:

(14) (B„„ = |U„ </> + /( tf>„, (ü„ „ = /*„ V + ^ *V,

und nach (11):

W« -H tt'sO'i. — V- ff«, (», -|- (»äff, ™ X' ff„

oder;

oder nach (8):

Setzen wir die Werte (14) und (15) in (13) ein, so geht aber eine
Determinante hervor, die infolge von (6) und (9) gleich Nall ist

Wie also A(ff) als Fanction von er gewählt sein mag.
stets definiert die Gleichang (11) eine Fanction <r tod »

Pdr,yGOOgIe

§ 8. Vnbeaehräntt initprabele MaJe DiffatnÜiUgleiehingm. 329

und e derart, dass p + <o„ ebeafalls eine Function von a
Allein wird.

Wenn wir oon die Oleichimg (11) nach u auflösen, so stellt
sich u als Function TOn w, o- und i.[tT) dar. Setzen wir diesen
Wert in /t + ojg für u ein, so wird hiernach ft + <o„ nnr noch t
enthalten, d. h. also auch von o frei sein, sodass sich etwa ergiebt:

/* + «>„- ß {ff, X (ff)).

Die Bedingung (12) lautet dann so:

fl(»,i («)).»■(„).

Dies aber ist nichts anderes als eine gewöhnliche Differential-
gleichung erster Ordnung für die noch zu bestimmende Function
/. von a, denn wir können die Bedingung ja auch so schreiben:

l-t- -«("■«•

Haben wir sie integriert, also X aus ihr als Function tod a and
einer willkürlichen Gonstante c bestimmt, so giebt die Gleichung (11)
durch Auflösung nach a tÜT tr eine Function Ton u, v und c, und
diese Function erfüllt die vorgelegte unbeschr&nkt integrabele totale
Differentialgleichung (5).

Wir sind also zu dem Bi^ebnis gelangt:

Sab 28: Wenn die totale Differentialgleichung fUr die
unbekannte Function a ron u und d:

rfff = <i)(u,v,<T)du+ W(u,v,ff)dv

unbeschrankt integrabel ist, d. h. wenn für alle Werte von
K, » und ff

<^, + 0», f' = *. + *■, *

ist, so findet man den allgemeinsten Wert von ff so: Man
bestimmt ein Integral a> der Gleichung:

tf{u,v,rT)du+ >P{u,v,fT)äv = 0,

die man als eine gewöhnliche Differentialgleichung erster
Ordnung in m und o anffasst, indem dabei <r die Bolle
einer willkarlichen Constanten spielt, sodass a eine
Function von u, v und rr wird, zu der ein MultipHcator
li{u, V, a) gehOrt derart, dass für alle Werte von », v und a

Pdr,yGOOgIe

SSO Dritter Abaohmä: Die BKtndamtnlalglmchungen der Fläeheniheoni.
ist. ÄlsdanD setzt maQ den aus

ttt[u,V,<T) = X

durch Auflösen nach u hervorgehenden Wert von h in die
Function /t + ra« ffir u ein, wodurch sie in eine von v freie
Function von a und X übergeht:

ti + (o,~ £i{>r,X).

Darauf bildet man die gewöhnliche Differentialgleichung
in u und X:

f^ -«(".')

und berechnet ihre allgemeinste Lösung X, die eine
Function von a und einer willkarlichen Conatanten e ist
Darch Auflösen der Gleichung:

»(»,.,») _ l{„,c)
nach T ergiebt sich dann die allgemeinste Lösung der vor-
gelegten totalen Differentialgleichung. Diese Lösung ist
bis auf die in ihr auftreteDde willkürliche Contante c völlig
bestimmt

Nach dieser notwendigen Einschaltung kehren wir zu der un-
beschränkt integrabelen totalen ßioOATi'schen Gleichung (4) für n
zurück. Unser Satz lehrt, dass man die allgemeinste Lösung ir dieser
Gleichung durch successive Integration zweier gewöhnlicher Diffe-
rentialgleichungen erster Ordnung in je zwei Veränderlichen und
zwei Eliminationen bestimmen kann. Diese IiOsung enthält pine will-
kürliche Gonstante c. Da aber die Gleichung (4) rechte in o qua-
dratisch ist, so kann man leicht sehen, dass die Lösung linear ge-
brochen in c ist — genau so, wie wir dies bei einer gewöhnlicben
BicCATi'schen Differentialgleichung in Satz 24, I S. 215, erkanntei.
Wie in I S. 214 verstehen wir nämlich nnt«r P, Q, R irgend drei
specielle Lösungen der totalen Differentialgleichung (4) und betrachten
das dort in (18) mit t bezeichnete Doppelverbältiiis ans a, P, Q
und E. Wenn wir es logarithmiscb nach u oder o differenzieren
und dann a^ P^, Q^ R^ oder a^ P,, Q^ Ä, mittels der Gleichung W
der ja a, P, Q und R genügen, ausdrücken, so finden wir gerade so
wie damals, dass r eine Constante ist, woraus alles Übrige folgt
Also:

Sats 24: Die allgemeine Losung tr einer unbeschränkt
integrabeloD totalen EiccATi'schen Differentialgleichung

Pdr,yGOOgIe

§ 9. Olei^imgen einer Fläche imt gegd>men Fuadamentalffröseen. S81

mit den oDabhängigeD Veränderlichen » und v hat die
Form:

mit der willkörliclien Conatanten c.

§ 9. Endliche Gleichungen einer Rfiche mit gegebenen
FundamentaigrÖeeen.'

Wir haben im vorigen Paragraphen erkannt, daes unser Problem,
aas gegebenen Fundamentalgrdssen die Fläche za bestimmen, zn-
nächst die Integration einer anbescbränkt integrabelen totalen Bic-
CA.ii'8chen Differentialgleichong (4), 8. 324, verlangt. Wir fanden,
dase diese Integration dnrch snocessiTe Integration zweier gewöhn-
licher Differentialgleichnngen erster Ordnung und zwei Eliminationen
geleistet werden kann. Jetzt wollen wir uiTiehmen, dieae Integration
sei erledigt. Nach unserem letzten Satze heisst dies, dass wir an-
nehmen, vir hätten gefauden, dass die allgemeine Lösung a jener
Gleichung diese ist:
in n - _?(«^)''jLii'*>^

worin p, q, n, x nunmehr bekannte Functionen von u und v seien
and c eine willkürliche Conatante bedeute.

Um nun 3E,, 9^ und 1 zu berechnen, brauchen wir zwei Lösungen
£ und n der BicCAxt'scben Gleichung. Wir geben daher der Con-
staoten c in (I) zwei Werte a und h tmd setzen an:

Alsdann setzen wir diese Werte in die Formeln (2), S. 322, ein.
Wie wir schon auf 9. 323 zeigten, sind wir dann sicher, dass die
80 hervorgehenden Functionen X,, 3^, X von u, v und den beiden
Constauteu a, b die in Satz 21, S. 316, fflr X^, X^, X aufgestellten
Qleichimgen erfüllen.

Xun aber gelten die aoeben erwähnten Gleichungen auch für
9ii S»» ^ ^"^"^ 3ii 3i' ^) wenn diese statt 3£j, JEj, X gesetzt werden.
Wir branchen daher nicht nur ein Constantenpaar a, ö, sondern
deren drei: a^, b^; o,, b^\ a^, b^ und setzen an:

> VgL die Anm. eu B. 310.

D,gH,zedr,yGOOgIe

Dritter JAwAnäf.* Die Bmdamenta^leühiitiffm der flfidhantteone.

|^_ P-f.^±, ^,= P*l + «(,_ 1,2,3):

a Werte sind dann nach (2), S. 322, in die Fonneln einzutragen;
3E,-

A_ 1 - f , !?■

...itÜ,

Aladann sind die nenn Bichtungscosinus als Fanctionen von >, v
nnd Yon je zwei villkÜrlicheD Coastanteii o,, ^j; o,, i,; o,, ^, be-
stunmti

Aber diese Constanten dürfen nicht ganz beliebig gewählt werden.
Die neun RichtungscoBinns müssen ja die Bedingungen der Ortho-
gonalität erflülen. Sind die Cosinus die dreier za einand^- senk-
rechter Bicfatangen, so kftnnen wir die drei Sichtungen als neoe
Axen wählen. Alsdann hat die alte z-Axe io diesem neuen System
die RichtuDgscosinus äE^, 3E,, X, die alte y-Axe die Cosinus g,, ^, Y
und die alte z-Axe die Cosinus 3i> 8%/ ^- ^ mnB» also erstens

sein. Dies ist aber nach (3) der Fall Zweitens müssen, da die
alten Axen auf einander paasrweis senkrecht stehen, die Oiihogonati-
tätsbedingungen für je zwei erfüllt sein. So mass zunächst

sein. Dies führt, wie in I S. 217 die Bedingung ßy + mn + fiv = ^
zu der Forderung:

4.-^ i. , LrA = - I oder: '^-°' : -^ -^ =. - 1 ,

die asBsagt, dass die Wertepaare |j, ?;, und |,, tj^ oder a,, b^ und
Og, i, einander harmonisch trennen müssen. Entsprechendes
geben die Forderungen:

8,3E, + 8.3£, + «-r-o, i,a + j,a, + jr-o.

Mithin müssen wir die drei Coostantenpaare

so wählen, dass jedes Paar jedes andere harmonisch trennt Ais-

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 9. Olnckuogen emer Fi&Ae mit gegebenm FiatdameniatgrÖaaen. 333

dann siod, da die Beziehung zwischen dem alten Axeukreuz und
dem neuen Dreikant umkehrbar ist, alle OrthogonalitätsbedinguDgen
erf&llt

Aber auch jene Bedingung iet zu eri^llen, die ausBagt, dasB die
Kanten dea Dreikanta so zu einander orientiert sind wie die Coor-
diateoaxen — TgL (7), S. 311. Wenn wir in (3) die Werte (2) ein-
setzen, 80 kommt

X, =

(px-q„){a,-b,)
r .-("' + P*) '^ ^1 + ("■ + Pg) K + ''i) + ("' + ?*)

X »"PaiS. ttP" + g")(°i + M + g''g

und die Werte für g),, D,, Y bez. ß,, 3j' ^ gehen hieraua durch
Ersetzen des Index 1 durch 2 bez. 8 hervor. Bilden wir jetzt die
Determinante der Bichtungscoainna, ao aondert sich nach dem i/iai-
tiplica-tionsgeBetz der Determinanten eine Determinante ab, die oar
p, q, n, * enthält und, wie ihre Ausrechnung lehrt, eine Constante
ist Es kommt so:

X, 3E, XI

18, 3, ^'

II fli + *, Ol *i j

1

. + *.

Da die drei Richtungen aof einander senkrecht stehen, ao ist dieser
Ausdruck sicher gleich ± 1, vgl. I S. 146. Wir wissen also, dass
der Aasdruck

1 «1 + *i o, i,

I 1 «8 + 4, OjAj
a, + h, a, b.

(».-6.){a,-6,)(fl, - V !

gleich ± 2i ist, sobald die Gonatantenpaare a^,\\ <>,, \; a^,h^ so
gewählt sind, dasa aie einander harmonisch trennen. Es ist nun zu
beachten, dasa der in (5) explicite auftretende Factor i schon in der
KiccATi'schen totalen Differentialgleichung vorkommt, also nicht durch
— I ersetzt werden darf. Wohl aber können wir bei der Auawahl
der CoDStsnten, die ja von der Biccixi'echen Gleichung völlig unab-
hängig ist, die Gröase i durch — t ersetzen, wenn es nötig wäre.

Pdr,yGOOgIe

Dritter Jbaehnitt: Die Fundammtdigleiebimgea der Flächenthtorit.

Wir kfiDDen also immer erreichen, dass die Determinante (5) gerwle
den gevttnscbten Wert + 1 erhält'

Wir liaben jetzt die RicbtuogecosinaB 3E,, Di, 3i; ^■
Vf St'^ ^1 ^1 ^ i° aligemeinster Weise so ala Functionen
von u und v bestimmt, daes sie erstens den in Satz 21,
S. 316, aafgestellten G-leicbungen genügen and zweitens
die Cosinas solcher dreier zu einander senkrechter Rich-
tungen sind, die gerade so wie die Coordinatenaxen gegen
einander orientiert sind.

Ehe wir nun den letzten Schritt than, D&mlich auch die Coor-
dinaten x, y, z selbst als Functionen von u und tt bestimmen, wollen
wir zur tbatsäcblicben Berechnung brauchbare Formeln
angeben, indem wir wieder wie auf S. 319 das begleitende Drei-
kant speciell wählen — was wir ja stets thun dürfen — . Wie dort
nehmen wir 3£j, %, 3i nnd 3E,, g,, 5, in der Form (19) an, sodass
^1, B^, C, und J,, B^, C^ die Werte {23}, S. 320, haben. Danach
and nach (4), S. 324, lautet die zu integrierende nobescbränkt inte-
grabele RicoATi'scbe totale Differentialgleichung jetzt so:

UL

-tF)L-K
2 01/f

EM^

ILF+E,E--2F,E
2DE

"

^i!'*

iF)L-t

2DyE

^*^]rf..

(5-

2Z))/S

E.F-IKE
2DE

a

_{D+

2dYe I

wie

oben in

p{u,p)e + qiti,v)

die allgemeine Lösung dieser IticcATi'schen Gleichung (6), und be-
stimmt man die Constantenpaare a^, i, ; o,, d,; a,, &, so, wie es
oben auseinandergesetzt wurde, so Hegen in (4) die allgemeinsten
Werte der Richtungscosinus 3^. 3£j, X vor, die den Gleichungen (21)
und (22), S. 320, genügen, und %, g),, Y sowie ß^, 3,, Z gehen soi
(4) dadurch hervor, dass man a^, Ä, darin durch a,, i, bez. a,, *,
ersetzt.

Um nun x, y, x selbst zu finden, müssen wir die Gleichimgen
(20) auf S. 319 benutzen. Die beiden links stehenden lauten:

. r -1' . y^

' Eine entsprechende Bemerkung wäre zn den Gleichungen (5>, 1 S. 116.
1 mnchen. Sie iit dumule Tergeeeen worden.

,dr,Google

§ Ä QMekungon einer Fläche mit gegebene Fundammta^öaaen. 386
und geben darch eine QQadr&tur:

Der unter dem Integralzeichen stehende Aasdruck ist nämlich ein
vollständiges Differential, weil wir auf S. 321 oben sahen, das8 die
Integrabilitätebedingung

infolge des Bestehens der Gleichungen (21), (22) auf S. 320 erfüllt
ist, diese Gleichungen aber durch die gefundenen Werte von 3Cj, 3E,
nnd X befriedigt werden.

Analog heetimmen sich y und z.

Hieraus erhellt also, dass es thatsächlich Flächen
giebt, deren Fundamentalgrössen die vorgeschriebenen
Werte E, F, 6, L, M, N haben; denn dass die gefundene Fläche
diese Fundamentalgrössen hat, ist leicht zu erkennen: Wir wissen,
dass die Coordinaten x,y, z den Gleichungen (20), S. 319, geniigen.
Nach (20) ist aber:

also ist nach X[ {J) die erste Fundamentalgrösse erster Ordnung
wirkhch gleich M. Ebenso beweist man, dass F und 0 Fundamental-
grössen sind. Ferner ist nach (20) und (21), S. 321:

SJ«:r,= -i(3Ei*+g,»+3,*)-

Die erste Klammer ist gleich Eins, die zweite gleich Null. Daher
kommt:

%X^x^= ~ l,

Bodaas L nach XII ((7) wirklich die erste Fundamentalgrösse zweiter
Ordnung ist. Entsprechend ist der Nachweis fllr M und N.

Da in den für die Richtungscosinus gefundenen Werten noch
die Constanten Oj, b^; o,, &,; o,, £, auftreten, so giebt es unendlich
viele Flächen mit den gegebenen Fundamenti^grössen. Wir kfinnen
nachweisen, dass sie alle mit einander congrnent sind.

Denn wir können die in (4) angegebenen Werte von 3Cj nnd
3^ sowie die entsprechend zu bildenden Werte von D^ und g,
und die von 3i tind 3i i>'>cb etwas anders schreiben. Setzen wir
nämlich:

Pdr,yGOOgIe

JDriiUr Abtdmitt: Die Fundamonta^leKhungen der FläehmUuork.

2(p«-57.)

Ersetzen vir die a durch die ß oder durch die y, so gehen di«
Werte ?0D g, nnd g, bez. 3i ii»d 3« herv*"".

Nun wissen wir, dass die Wertepaare a,, b^; a,, b^; a^, b,
einander harmonisch trennen. Dies ist aber nichts anderes als der
Ausdruck dafür, dass zwiscbeD den neuen Constanten a, ß, y die
Relationen bestehen:

^1 yi + ft y» + A u = *>■ n «i + y, «, + r, «s - o,

Ferner ist nach (8):

Ausserdem ist die Determinante

I of, «, «,1

!n

nach dem Früheren (vgl (6)}. Mitbin folgt: Die neun Constsn-
ten a, ß, y eind nichts anderes als die Bichtungscosinns
dreier zu einander senkrechter Sichtungen, die ebenso
wie die Goordinatenazen gegen einander orientiert hidiI
Umgekehrt: Wählen wir als Werte der Grössen a, ß, y die ßich-
tungscosinus solcher dreier Richtungen beliebig, so beisst dies nacti
(8), dass wir die Constanten Oj , b^; o, , i, ; a, , b^ so gewählt babeD-
dass die Paare einander harmonisch trennen. Insbeeondere erhslten
wir also eine specielle LOsung unsei'es Problems, wenn wir die drei
Richtungen als die der Coordinatenaxen wählen, also «j = ^, = t", = 1
und alle anderen a, ß, y gleich Null setzen. Dann kommt nach ('')
und den entsprechenden Formeln für ^j, g, und 3i. 3s einf*clK''

Pdr,yGOOgIe

§ 9. Qleiehmigtn eintr Flächt mit gegebenen Fundammtaigrössvn. 337

wenn wir bei dieser Bpecielleti Wahl Oberstricbene Buchstaben be-
nutzen:

i p'-«*-g*-n.' V _ _ * (p* + "* - g' - »') .

ff, _ »(p*-jt^+ ?*-«•) ™ ?'_+_^*+^+J^ .

''l aCp.-Sn) ' «'> %(P'~qn) '

ä _ n«-9P g _ t(«»+ gp)

<>l p«-,« ■ ^» p«-jn

Nach (7) stellen dann die mit dieseD GröSBen gebildeten Qleicbimgen :

YB

(10)

(")

.J..ä

YY

in den laofenden Coordinaten x, y, z die Gleichnogen einer specieUen
Fläche mit den gegebenen FundamentalgrdaseD dar.

Da sich nun die allgemeinen Werte der Bichtungscosinns
nach (9) und den entsprechenden Gleichungen fOr ^j, ^j und 3,, 3s
aus den Bpeciellen Werten (10) linear mit den CoefGcienten a, ß, y
zasammensetzen , so findet man nach (7), dase aicb die laufenden
Coordinaten der allgemeinsten Fläche. mit den gegebenen Funda-
mentalgrÖBsen ebenso ans x, y, z zasammenBetzen, nämlich so:
;r = a, if + ofg y + «j r + CoDStj
y = /9iT + /äji? + jSjZ + Const,
2 = ri i + /i J' + /s z + Const
Nach Tafel I heisst dies aber nichts anderes, als dass die Fläche
der Punkte [x, y, z) ans der Fläche (11) durch eine Belegung
herrorgeht; oder: Die allgemeinste Fläche, die zu den ge-
gebenen Fundamentalgrössen gehört, ist mit der speciellen
Fläche (11) congruent

Das Umgekehrte haben wir schon früher erkannt, vgl Satz 6,
S. 16, und Satz 5, S. 107, nämlich: Wenn zwei Flächen congruent
sind und homologe Funkt« zu denselben Parameterwerten gehören,
so haben beide Flächen dieselben Fundamentalgrössen.

E^rinnem wir uns jetzt daran, dass wir von den gegebenen
Fundamentalgrössen nur das Eine voraussetzten, dass sie den drei
Fundamentalgleichungen genttgen (rgl. 8. 322), so gelangen wir zu dem

.dr,yGoogIe

836 Dritiar JbsahniU: Die J^ndammtaigleichwigen der Fläehenüuorw.

Sati 25:' Sind E, F, Q, L, M, N solche Functionen von
zwei FarameterD u nod u, die den drei FnndamentalgleJ-
chuDgea genügen, so giebt es unendlich viele Flächen, die
diese Functionen za FundamentalgrösBen haben. Alle
diese Flächen sind mit einander congrnent; aus eiuer vod
ihnen findet man alle tibrigen, wenn man alle Bewegnngen
des Raumes auf sie ausübt.

Ferner fo^:

Sati 28: Sechs Functionen E, F, G, L, M, N von zwei
VeränderlicbeD u UDd » sind dann und nur dann die Fnnda-
mentalgrössen einer Fläche, wenn sie die drei Fundameo-
talgleichungen erfüllen.

Nach S. 309 unten können wir auch sagen:

Satt S7: Stimmen zwei Flächen, die keine Tangenten-
flachen von Minimalcurven sind, in ihren Differential-
invarianten gegenüber allen Bewegungen überein, so sind
sie coDgruent.

Was nämlich die Tangentenäächen von Minimalcurven anbetrifit,
so sind sie hier ausgeschlossen, da ihnen keine FondamentalgrösseQ
zweiter Ordnung zukommen (S. 107) und wir ihre DifferentialinTBr
rianten nicht untersucht haben. Zwei solche Flächen sind übiigens
offenbar dann und nur dann congrnent, wenn es ihre beiden Minimal-
curven sind. Aber da wir die Theorie der Differentialinvarianten
der Minimalcurven nicht entwickelt haben (vgL I S. 346), so kSoneD
wir unseren Satz auch nicht auf diese ausdehnen.

Die Art der Bestimmung der Flächen mit vorgeschriebeneo
Fundamentalgrössen mag hier noch kurz in einem Satze zusammeQ'
gefaset werden:

Sati 28: Um alle Flächen zu bestimmen, die solche vor-
geschriebene Fundamentalgrössen E, F, G, L, M, JV^ haben,
die den drei Fundamentalgleichungen genügen, kann man
so verfahren: Man integriert zunächst die nnbescbränkt
integrabele totale EiccATi'Bche Gleichung für ff:
^ r {D-iF)L + iEM . ß.F+ B,E-2F.E _ (D + iF)L-iEM ,1^^^
'^ [ 2 t} l/£" 2DE 2 0 VE J

[ 2Dy'E ' 2 DE " ZDYe' I

' SatE von BoNHBT, „U^moire anr la tbäorie des snrfaceB appli-
eablea anr iine aarfaoe donu^e*', Journ. de l'^cole fo\jt, cab. 4! (1S67).

Pdr,yGOOgIe

j> 9. Öleichunpai eüwr Fläche mä gegebenen FtmdamenbügrÖBsen. 389

was dnrch Buccessive lotegration zweier gewöiinliclier
DifferentiatgleicbuQgen erster Ordnung in je zwei Ver-
änderlichen and zwei Eliminationen gelingt. Ihre allge-
meine Lösung (T enthält eine willkürliche Conetante c in
dieser Art:

^ ^ p(«t,r)g + j(a,p)
n(u,v)o + «Kp) '

Nunmehr berechnet mau:

3£,-

p'-"'-g*+''

i(p'+»'

.-,.-.■,

2(,.

'-?")

,'+,.•

+ »■+••

>(p.

1-!«}

.(„

+ 3P)

'-/^

Aladana geben die Quadraturen:

^ ^ /-£r3,du + (fg,^Z)3.)rfp

die Gleichungen einer Fl&che der verlangten Art Alle
übrigen erhält man, wenn man diese Fläche den Be-
wegungen des Baumes unterwirft.

Man wird bemerken, dass die Formeln dieses Satzes in dreierlei
Hinsicht nicht vollkommen sind:

Erstens sind sie nicht symmetrisch hinsichtlich u und v.
Dies bat seineu Ornnd darin, dass wir das begleitende Dreikant
nicht symmetrisch hinsichtlich der Parameterlinien gewählt haben.
Symmetrische Formeln würden sich z. B. ergeben, wenn wir als die
beiden ersten Kanten des begleitenden Dreikants diejenigen Tan-
genten des Fläcbenpunktes [u, v) wählten, von denen die Winkel
der Paramtiterlinien halbiert werden. Aber dadurch ergeben sich
noch umständlichere Formeln. Die nnsrigen sind schon compliciert
genug. Die AufsteUang symmetrischer Formeln in der angedeuteten
Weise ist eine gute Übung für den Leser.

Zweitens lehrt der Satz auch die Bestimmung von reellen
Flächen nur auf dem Umweg durch das Imaginäre, da in der
KjooATi'schen Gleichung und iveiterhin i auftritt Dies ist jedoch

23*

.dr,yGoogIe

340 DrUier JbachniU: DU Fundammiai^eiekungwi dtr FlSehmihtone.

uDvermeidlich, wenn naii das Problem auf die Integration eioer
RioCATi'Bchen Gleichaog zurUckfUhren vill, was hier nicht weiter
begründet werden kann.

Drittens endlich -versagen die Formeln, wenn Ü* = 0 iat, d. h.
wenn die Parameterlinien [v) die Bogenlänge Null haben tuid also
Minimalcurven sind; denn B tritt überall im Nenner anf. V tntt
allerdings anch im Nenner anf, aber es ist i^ ^ 0 nach S&tz 9,
S, 29. Im Falle ^ = 0, G^Q kann man aber doch zu brauch-
baren Formeln gelangen, wenn man einfach « mit v vertaascht

Wenn dagegen £=6 = 0 ist, sodass also die Parameterlinien
(u) und (v) Minimalcnrren sind, hilft dies nichts. Man kann alsdann
entweder z.B.u + v und u als nene Parameter benutzen, was keine
grossen Schwierigkeiten macht, oder aber man wählt dann ein so-
deres begleitendes Dreikant Wir wollen die nötigen Formeln für
diesen Fall

£= G = 0

kurz angeben: Ans (4) und (6), S. 311, ziehen wir in diesem Fall.
indem wir k = l annehmen:

(12)

(13) .. - i y2>(3£, - .s.) , X. - i ßnx, + ,1.)

u. s. w. ist Bilden wir jetzt, wie anf S. 312 anseinandei^setEt
wurde, die Ableitungen der Bicbtungscosinns, indem wir dabei die
einfacheren Formeln (2) nnd (3) auf S, 266 benutzen, so kommt:

\ du 2F ^ V2F ' dv ^ 2f ^ 'ytf '

I,-

X. + X,

YiF

3, _ s^±_y^

s,-

. X.-X,

f). _ i^rJ^
°' Yip

du ' V2~F ' 2F '^' dr> ' )/3F

SX L + M ^ .L-M r 8X Jtf+iV

' y2F ^

Die RiccATi'sche Gleichung (4), S. 324, lautet demnach so;

(15)

Y-zF 2F Y^'F

■ - : -i ff — T^fl

YzF 2F Y^F

Pdr,yGOOgIe

§ 10. ISerhmiüe für dit Gongmenz zweier Flächm.

ihre allgememe LOsimg, bo gelten wieder die obigen Formeln (10)
fOr die EichtongscosinoB, während sich nach (13) ftir die Flftche
etatt (II) Bliebt:

X = l/yäi- [(3E. - i£,) rf« + (3E, + iS,) rfü],

z = 1/^2^ [(8. - iQ,)du + (3.+ .-3.) .fr].

Maik siebt, dass hier wegen der symmetriEcheii Wahl des be>
gleitendes Dreikants die Formeln Bjmmetrisch ausgefallen sind.

Schliesslich wollen wir noch einmal an ein früheres Ergebnis,
S. 325, erinnern:

Sati 30: Die Integrabilitätsbedingungen derjenigen
totalen BiccAxfschen Oleichnng, die bei dem Problem auf-
tritt, alle Flächen mit gegebenen Fundamentalgrössen
erster nnd zweiter Ordnung zq bestimmen, sind die drei
Fandamentalgleichungen.

§ 10. Marfcmale fDr die Congrusnz zweier Flächen.

Die Frage, wie man entscheidet, ob zwei gegebene Fl&chen
einander congment sind, ist durch die bisherigen Betrachtungen
noch keineswegs voiistöndig erledigt worden; denn wir wissen bis
jetzt nur folgendes:

Man mnSi nntersuchen, ob man auf der einen Fläche in der
Art neue Parameter einführen kann, dass alsdann ihre Fundamental-
grössen, gebildet für die nene Parameterdarstellung, mit denen der
anderen Fläche übereinstimmen. (Vgl. Satz 25, S. 338.) Giebt es
solche nene Parameter, so sind die Flächen einander congmen^
sonst nicht'

Es bleibt also noch die Schwierigkeit, wie man erkennt, ob es
möglich ist, neue Parameter in der gewünschten Weise einzuführen.
Diese Frage soll jetzt erledigt werden.

' Eine erachSpfenda Theorie der Congrneni cweier PlScben bat erat Lu
gegeben: „Zur luvariautentbeorie der Gruppe der Bewegungen",
Leipziger Berichte lS9e.

Pdr,yGOOgIe

342 Dritter Abadmitt: Di» fkmdommiaigisiehtMgm der Fläehentiitom.

Der innere Grund jener Schvierigkeit iat der, daas die Fiuds-
mentalgrSsseD zwar ungeändert bleiben, wenn nuto die Fl&che einer
Bewegung unterwirft (nacli Satz 19, S. 307), daas sie sich ab«r
ändern, wenn man aof der Fläche neue Parameter einfahrt Die
Sachlage wird deshalb erheblich vereinfacht, sobald man solch«
OrÖBsen benutzt, die nicht nur bei allen Bewegungen, Hodem ancb
dann ungeändert bleiben, wenn man neue Parameter auf der Fläche
einfuhrt Man kfinnte Bolche Grössen DifferentialinrarianteD
der BMäche hinsichtlich aller Bewegungen und hinsicht-
lich der Einführung neuer Parameter nennen. Jede der&rdge
Differentialinvariante würde eine Grösse TorstoUen, die mit dem be-
trachteten Flächenpunkt ganz unabhängig von der zufälligen Lage
der Fläche und von ihrer zufälligen analytischen Darstellung geo-
metrisch zasammeuhinge und daher in noch höherem Maasse aU
die in g 6 betrachteten Differentialinvarianten fQr die starr gedachte,
aber beliebig gelegene Fläche charaktehstiscb wäre.

In der That giebt es solche GrössetL Wir brauchen ja nur
an das Krümmungsmaass K zu erinnern, das erstens bei allen Be-
wegungen nngeändert bleibt und zweitens, da es als der reciprc^
Wert des Productes der Hauptkrümmungsradien ^j und S^ definiert
werden kann, auch von der analytischen Darstelloog der Fläche no-
abhängig ist Eine solche Grosse ist femer auch die mittlere Er9m-
mung H. B and K sind Functionen von R^ und R^. Wir kOnneti
statt H und K auch B^ und R^ selbst als Beispiele nennen.

Es ist leicht, noch einige derartige Größen aufzustellen:

Lassen -wir nämlich den Punkt (u, v) der Fläche
(1) x~<f{u,v), y = jr(tt,r), « = v(t<,»)

um eine unendlich kleine Strecke d * auf einer seiner beiden Erüm-
mungscurven weiter wandern, so werden sich R^ tmd R^ um nn-
eodlicb kleine Grössen dR^ und d-ff, ändern. Dabei sind aber die
Verhältnisse

dB, dfi,

ds ' dg '

von der Länge des unendlich kleinen Weges da unabhängig. Denn
wenn E, F, 6, L, M, N die Fnndamentalgröesen der Fläche sini^
so ist allgemein:

und also:

Pdr,yGOOgIe

P 10. MerhmaU fiir die Oongrumz »

oder, wenn dv:du= k gesetzt wird:

rffl, ^ du dv

ds ~ yW+lFk + ak* '

Man sieht, dasa dies Verhältnis nur Tom Punkte (u, v) selbst und
von der Fortschreitimgsricbtung k längs der Erümmimgsciu-TB ab-
hängt Nach der Differentialgleichong XII {U) der KrUmmtmgs-
corven ist k bestimmt durch die quadratische Gleichung:

I k' S L \

\ -k F ^1 = 0,
' I

( 1 G A' .

die zwei Werte k^ und k^ liefert, ausgedrückt durch die Funda-
meutalgrOssen. Es gehen demnach zwei CMsseu hervor:

SB^ as^

V£ + 2Ft,+ Ol,'

yin-2Ft, + ot,<

ebenso liefert ^, zwei Grössen:

as^ 3B^

^*',^-'

Vß+iFk, + 0k,'

V'E+iFk, + ÖV

Da sich B^ und R^ selbst durch die Fnndamentalgrössen ausdrücken
lassen, vgl XTT (/), so sind also diese vier Grössen solche Func-
tionen der FundamentalgrÖBsen und ihrer ersten Ab-
leitungen, die vollständig bestimmt sind, sobald man auf der ge-
gebenen Fläche den Punkt (u, v) angenonunen und festgesetzt hat,
nach welcher ErUmmungscurve man fortschreiten will. Wir wollen
mit d^t und d^a die Bogenelemente längs der einen und längs der
anderen Erfimmnngscorve des Punktes (u, v) bezeichnen, um für jene
Tier Functionen die bequemen Darstellungen zu gewinnen:

öß. aRy ö-ß, dR^

Wir wenden hier Zeichen der partiellen Differentiation an, weil
ja die DifFerentialquotienten wesentlich von den Richtungen abhängen,
nach denen differenziert wird.

Da R^, R^ und die HaupÜtrUmmangsrichtangen des Flächen-
Punktes rein geometrische, d. b. von der zufälligen analytischen

Pdr,yGoogre

344 Driäer Absc/miä: Die Fundammta^Meitungen der Flaehenäuorit.

Darsteliniig der Fläche nnabhängige Grösseu Bind, so ist es klar,
dass die vier gefundenen GröSBen ebenso wie R^ und R^ solche
Ausdrücke sind, die nngeändert bleiben, wenn man neue Parameter
auf der Fläche einfuhrt Ebenso bleiben sie angeändert, wenn man
die Fläche irgend einer Bewegung nnterwirft, was sowohl geometrisch
als auch nach Satz 19, S. 307, einleuchtet

I>a S^ und R^ selbst derartige Oröesen sind, so haben wir jetzt
insgesamt sechs Grössen, die Differentialinvarianton hin-
Richtlich der Bewegungen und der Einfuhrung neaer Para-
meter sind.

Allerdings gilt dies nur mit einer Einschränkung, die wir bis-
her absichtlich nicht erwähnt haben: Die Vorzeichen der secbs
Grössen hängen einerseits wesentUch davon ab, wie auf der Fläche
die positive Normalenricbtnng definiert worden ist, und sind anderer-
seits auch dann noch nicht völlig bestimmt, da ja z. B. in

eine Quadratwurzel im Nenner auftritt Wir können also nur so
sagen: Die sechs betrachteten Grössen können sich bei
Einführung neuer Parameter nur im Vorzeichen ändern.

Da wir die Congruenzmerkmale in aller Schärfe, ohne Zwei-
deutigkeiten im Vorzeichen, entwickeln wollen, weil wir sonst auch
die nicht congmenten, sondern nur symmetrischen F^hen in den
Bereich der Betrachtung ziehen wflrden, so erscheint es uns hier
angebracht, uns auf reelle Flächen in reeller Parameter-
darstellung zu beschränken. In diesem Falle ist die positive
Bichtung der Normalen auf S. 27 festgesetzt worden.

Auch wird es gut sein, wenn wir zunächst unsere BetrachtungaD
auf solche Parameterdarstellungen beschränken, hei denen sie be-
sonders einfach werden, nämlich auf den Fall, dass die Pars-
meterlinien die Krümmungscurven sind, die ja nach S. 174
reell sind. Wir werden nachher zur allgemeinen Parameterdar-
stellung zurückkehren.

Es seien also die Parametercurven (u), (v) der in reeller Dar-
stellung vorliegenden reellen Fläche (1) die ErUmmungscurven. Nach
Satz 63, S. 182, ist in diesem Falle:

Aach gehen dann A = 0 und A = oo die beiden Richtungen der
Krümmungscurven (w) und («) an, sodass nach XII (i>):

Pdr,yGOOgIe

§ 10. MerkmaU für die OongruerKc zweier Flächen.

(2)
ist

Da

B 0

die

die

Bogenelementfl der

vier Grössen

ÖR,
3,s

Krämmangscnrren (»)

dR, es,
■ STT- ITT'

und («)

Bind,

so haben

jetzt diese analytische

Darstellung :

(3)

1 da.

1 an,
Vi ä. '

l dB,
VE ä. '

1

ÖJi.

worin die Werte (2) einzutragen sind. Dabei setzen vir fest,
dass y£ und ]/& positiv genommen werden aollen.

Es liege nun eine zweite reelle Fläche vor:
(4) i = ^(fl, fl), y = x{a, ^), z = if>{ü, e),

geschrieben in den laufenden Coordinaten x, y, z mittels der reellen
Parameter ä, fi. Auch auf dieser Fläche sollen die Para-
metercarven die Krümmnngscurven sein. Die auf die zweite
Fläche bezQglichen Grössen sollen wie die auf die erste bezüglichen,
aber mit einem Querstrich, geschrieben werden, sodass £,, R^ ihre
Kanptkrümmungsradien sind and den Grössen (8) die Grössen:

' vT 5h ' ya sf ' ys BQ.' vs s»

entsprechen.

Wenn nun die beiden Flächen (1) and (4) einander congruent
sind, so mftssen die Krtlmmungecurven der einen denen der andern
congraent sein. Dabei sind zwei Fälle denkbar: Entweder ent-
sprechen den Gurren (u) die Curven (ü) and. den Curven (ü) die
Curven (e) oder es entsprechen den Gurren (w) die Curven (i)) und
den Cnrven (o) die Curven (a). Wir wollen zunächst nor den ersten
Fall ins Ange fassen, da der zweite durch Vertauschen der Be-
zeichnungen o und 'S auf ihn znrUckgefQhrt werden kann.

Es mögen also die Curven (u) und (o) und ebenso die Curven (v)
und [«) homologe Curven auf beiden Flächen sein. Alsdann ent-
spricht jedem Punkt (h, v) der Fläche (1) ein Punkt (c, fl) der Fläche (4).
Da Äj die mit Vorzeichen genommene Strecke ist^ die auf der Nor-
malen des Punktes (u, v) von einer solchen unendlich benachbarten
Normalen abgeschnitten wird, deren Fusspankt auf der durch den
Punkt (u, v) gebenden Krümmungscnrve (o) liegt, und das Ent-
sprechende auf der zweiten F^he von Äj gut, so müssen in homo-

Pdr,yGOOgIe

346 DrUter Abedmitt: DU FundammiaigleiehuHgm der Flächentkeorie.

logeD Punkten (m, ») und («, P) die Werte von Ji^ und Ä, flberein-
stimmen und ebenso die Werte von R^ nnd J^, aber nicht not-
wendig auch im Vorzeichen. Auf diesen umstand kommen wir
sogleich zurück. Vorher bemerken wir noch, d&es nach unseren
früheren Auseinandersetzungen über den invarianten Charakter der
GrÖBsen (S) auch alle diese Qrösseu in homologen Punkten mit den
entsprechenden vier Grössen (5), abgesehen vom Vorzeichen,
übereinstimmen müssen.

Die Vorzeichen der Hauptkrümmungsradien hängen nach S. 104
wesentlich von der Bestimmung der positiven Richtungen der Nor-
malen ab. Diese haben wir so gewählt, dass auf der Fläche (1) im
Punkte (u,r) die positive Bichtung der Curve (v), die positive Richtung
der Gurre (u) und die positive Richtung der Normale so gegen ein-
ander orientiert sind, wie die positiven Axen, vgl. S. 30, 31. Wenn
also auf beiden Flächen in homologen Punkten die positiven Rich-
tungen der Parametercurven übereinstimmen, so muss dann auch
Äj = Ä, und R^ = R^ sein. Ist aber die Richtung der Curve (e)
der der homologen Curve (v) entgegengesetzt, während die Richtungen
der homologen Curven (w) und (fl) übereinstimmen, so ist die Normale
entgegengesetzt, also Ä, = —Äj und Äj= —J^, u. s. w. Wenn beide
Parametercurven auf der zweiten Fläche entgegengesetzten Sinn
haben, so ist dagegen wieder Übereinstimmung in den positiven
Normalenrichtungen vorhanden, also li^=R^ und Ä^ = R^. Da wir
femer in (3) und (5) die Quadratwurzeln positiv gewählt haben, so
hängen die Vorzeichen dieser Gr&ssen sonst nur noch von den posi-
tiven Richtungen aaf den Parametercurven ab, da die Differenti^e öu,
dv, du, dfi sowohl als auch die im Zähler auftretenden Grössen S^,
R^, R^, Rj bei anderer Wahl jener Richtungen ihre Zeichen ändern.

Um alle Möglichkeiten zu umfassen, verstehen wir unter a eine
der beiden Zahlen ± 1 und unter ß auch eine der Zableu ± 1.
Dabei sei a = + l oder —1, je nachdem die Curven (ü) und (c) im
Sinne übereinstimmen oder nicht, undj3=+l oder —1, je nachdem
die Curven (u) und (a) im Sinne übereinstimmen oder nicht Als-
dann muss in homologen Punkten (u, v) und (a, ^ der beiden Flächeo
offenbar sein:

Äi =aßR^, R^ = aßR^,

1-^^ = 8 --^ _JLl^= 1 BR^

y'E du ys du' Y(f dr ~ " ys s» '

Pdr,yGOOgIe

§ 10. Marhmdk für die Gtmgrumx «mmt Fiäokm. 347

'Es sind dies insgesamt sechs Oleichangeu. Ihre linken Seiteo
sind Fanctionen von u, r>, ihre rechten Seiten Functionen von a, €.
Jedem Punkt {u, ») der Fläche (1) entspricht ein Funkt (fl, ö) der
Fläche (4) und umgekehrt, sodass fl, fS zwei von einander unab-
hängige, allerdings noch unbekannte Functionen von u, v sein
müssen. Setzt man diese Functionen fllr a und € in (6) rechts ein,
so mOssen sich also sechs Identitäten ergeben, sobald eine gewisse
nnter den vier Annahmen :
« = 1,^=1; a=-\,ß~\\ a = \,ß=-\\ a=-\,ß = -\

gt; macht wird.

Nun werden wir das Umgekehrte beweisen: Wir setzen vor-
aus, dass zwei reelle Flächen (1) und (4) in reellen Parameterdar-
Btellnngen vorliegen und dass die Curven («), (v) und die Curven (a),
(€) ihre Kr&mmnngscnrven seien. Wenn wir dann die in (6) auf-
tretenden Functionen von u, v bez. fi, 0 berechnen und in (6) ein-
setzen, so ergeben sich sechs Gleichungen zwischen u, v und e, e.
Wenn diese sechs Gleichungen bei einer gewissen Annahme von
a=±l,;9=±l einander nicht widersprechen, wenn es vielmehr
zwei Functionen ü und ^ von u und v giebt, die — in (6) rechts
eingesetzt — alle diese Gleichungen fUr alle Werte von u und r
befriedigen, so sind die beiden Flächen, wie wir zeigen werden,
congroent Allerdings tritt noch eine Beschränkung hinzn, die sich
sogleich von selbst ergeben wird.

Zunächst folgt, wenn wir o, f als die nach Voraussetzung durch
[6] definierten Fanctionen von u, v auffassen und bei dieser Auf-
fassung die beiden ersten Gleichungen (6) nach u differenzieren, was
ja erlaubt ist:

öRx ^„/3Ä, du dR, de\

~§u-"P[~di~ aü + WTuj'

Setzen wir hierin fUr die linken Seiten die aus (ß) folgenden Werte

SR, o . fE aß, dB. ^ , /E aÄ,

ein, so kommt:

(du /t\ SR, , S» 8 Ä, _ n

,dr,Google

848 Dritter Jhaehmtt: Die RmdameniaigleüAitr^m der FläehentkeorK.
Bs sind diea zwei hi&sichtlicli

lineare und homogene Gleichungen mit der Determinante:

I ^-^ iÄ

da dB

I du' flf

Dieae BeterminaDte ist die Fmictionaldeterminant« von R^ und /^
(t(^. I S. 81}. Sobald ^ and R^ zwei von einander unab-
hängige Functionen von ü und fi sind, ist sie von KnQ rer-
Bchieden (t^, I S. 82, 83), and diese Voraaseetzang wollen
wir machen. Alsdann folgt aus jenen linearen Oleichoi^n:

-VI

Ganz ebeuBo ei^ebt sich, wenn die beiden ersten Gleichungen {'
nach V differenziert werden:

= 0,

3» o,/0

Mithin ist ü eine Function tod u allein und € eine Function von v
allein:

(7) o = i(«), « = /iH

wobei

(8) ..„j/^, ,--^j/|

ist Da die Quadratwurzeln in (8) positiv sind, so sieht man aach.
dass X'^0 ist, je nachdem a ** ±1 ist, und das» n'^O iat, je
nachdem ^ i~ ± 1 ist

Wenn wir jetzt die durch (7) definierten neuen Para-
meter ü, « auf der ersten Flache {!) einfuhren und die m-
gehörigen Fundamentalgrössen berechnen, so werden wir sehen, daas
sie gerade gleich den entsprechenden Fundamentalgrössen der zweiten
Fläche werden. Die neuen Fundamentalgrössen der ersten Flüche
seien nämlich zunächst mit E', F', (7, L', M, N bezeichnet D»
a nur von u und e nur von v abhängt, so sind die neuen Para-
meterhnien (a), [{^ der Fläche (1) immer noch die KrtImmuDgs-
curven, sodass auch jetzt:

Pdr,yGOOgIe

§ 10. Merkmale für dU Gongrumx zweier FlwAm. 349

ist Ferner ist, da x,;/, z f^ctionen ron a und € werden, nach (7):

,, dx , dx

sodass aas XI (J) folgt:

^.Sx.'-i-s(||-)'-Vi'
oder wegen (8):

Ebenso kommt:

Dnrch die Eiofitbrong der neaen Parameter (7) wird die Schar der
Parameterlinien (n), wie gesagt, nicht geändert^ wohl aber ändert
sich ihr Sinn, wenn du : du oder ü.' < 0 ist. Da, wie wir sahen,
i.'^0 ist, je nachdem « = ± 1 ist, so ändert sich also der Sinn
der einen Schar tod Parameterlinien, wenn a^ — 1 ist; entsprechend
ändert sich der Sinn der andern, wenn ß = —1 ist. Die Flächen-
normale ändert ihren Sinn nur dann, wenn nnr eine dieser beiden
Scharen ihren Sinn ändert, d. h. wenn aß = — 1 ist. Alsdaon
ändert auch S^ das Vorzeichen. Mithin geht R^ jetzt in aßS^
über. Analog (2) ist also jetzt:

während

ist. Ans der ersten Gleichaug (6) folgt daher:

U ^ L

oder i' = Z. Ebenso ergiebt sich M ~ M. In den neuen Para-
metern ä, f hat mithin die Fläche (1) genau dieselben Fundamental-
gr&ssen wie die Fläche (4). Daher sind beide Flächen nach Satz 25,
S. 338, einander congruent

Im Beweise haben wir uns genötigt gesehen, die Voraussetznag
zu treffen, dass i^ und ^ zwei von einander unabhängige Functionen
der Parameter 0 und fi seien. Wegen der beiden ersten Gleichungen (6)
und auch aus rein geometrischen Grrilnden leuchtet ein, dass alsdann
auch fDr die andere Fläche die analoge Voraussetzung zu treffen ist,
d. h. also, wir setzen voraus, dass auf keiner der beiden Flächen
der eine Hauptkrümmungsradins eine Function des andern sei, oder

Pdr,yGOOgIe

350 Dritter Abge/mitt: Du Fundameniaiffletchungen der FlädunÜuorii.

auch, dass auf keiner der beiden Flächen eine £el&tion
zwischen den beiden Hauptkrümmangeradien bestehe.

Die Bedingangen (6) können wir alsdann anch etwas anders
ausdrücken. Es sind nämlich

^' '' y'E du ' Y^ öv ' YE du ' ya dt

Functiont.'Q von u und v. Da nun £^ und B^ von einander unab-
hängige Functionen von u und o sind und deshalb anch nmgekelirt
u und V als Functionen von £, und S^ au^efasst werden könnea,
80 werden sich die übrigen vier angegebenen Grössen als FudcÜod^s
70n ifj und }i^ darstellen lassen. Anders ausgesprochen: Dnrcb
EliminatioD von u und v aus den sechs Oleichungen, die die an-
gegebenen sechs Grössen als Functionen von u, v darstellen, ergeben
sich vier Gleichungen von <ier Form:

Y£ du

^ 1^ _ 0 IB., Ji.), '__ ^^ = W, {Ä,, B.).

Ye du i^ i' t" yo Bv «'^ T >'

Alsdann folgt aas (6):

Die Congruenz- Bedingung, die darin besteht, dass die seclu
Gleichungen (6) zwischen u, v und ü, € einander nicht wideisprecbeo
sollen, kann jetzt so ausgedrückt werden; Auf der ersten Fläche
bestehen sicher vier Relationen Ton der Form (9). EHe Fl&che J»l
der zweiten Fläche dann und nur dann congruent, wenn aladann
auf der zweiten Fläche fUr eine gewisse Annahme von et = ± 1
und ß = ±\ die vier Relationen (10) bestehen.

In der That, ist dies der Fall und setzen wir fest, dass zwischen
u, V und a, « die beiden von einander unabhängigen Gleichungen
bestehen sollen:
(11) -Ä, =aßR^, B^^aßR,,

so folgen hieraus und aus (9) und (10) rückwärts die Oleidiungen (S^
Die beiden Gleichungen (11) dienen nur dazu, die einander homo-
logen Stellen (u, v) und (ü, S) beider Flächen zu bestimmen, wäbresd

Pdr,y"GOOgIe

§ 10. Merkmaie für die Congnunx xumer Flächen. 851

dagegen die von Parametern freien Gleichnngen (9) oder (10) cha^
rakteristiscb für eine Familie congruenter Flächen sind.

Die Bückkehr zu allgemeinen Parametern ist nun sehr leicht,
weil die in (9) und (10) auftretenden Grössen bei Parameterände-
rangen abgesehen vom Vorzeichen angeändert bleiben. Weil wir
Yorzeichenändemngen schon durch die Fact£>ren a und ß berück-
sicbtigt haben, so kommen wir von den Gleichungen (9) und (10)
zu ganz analogen Gleichungen, in denen nur die links stehenden
Grössen durch

flfi a-ß, a-g. JR^

afi. flg. dR, 3-g,

d,i ' e,a ' 5, 5 ' 5, s

zu ersetzen sind, während die Gleichungen (11) die alten bleiben.
Ausserdem darf nicht ausser acht gelassen werden, dass wir bisher
nur den Fall betrachtet hatten, dass die Curven (u) den Curren (ä)
und nicht etwa den Curven (43) entsprechen. Indem wir dies berück-
sichtigen, erkennen wir, dass sich das Ergebnis so darstellen lässt:^
Satt 30: Liegen zwei reelle Flächen in reeller Fara-
meterdarstellung vor:

« = qc («, o) , y = r (", ") , z'=ff>[u,v)
und

i = ^(fl,ü), y=f(ö,()), z = f{ü,9)

und besteht auf keiner der beiden Flächen eine ßelation
zwischen den HauptkrUmmungsradien R^ und S^ bez. R^
und S^i so wird die Frage, ob die Flächen einander cou-
gruent sind, so entschieden: Bedeuten d^s und d^s die
Bogen elemente auf der duTch einen Punkt der ersten Fläche
gehenden ErUmmongscurTen, so bildet man diejenigen Dif-
ferentialquotienten der Hauptkrümmungsradien, die sich
beim Fortachreiten nach diesen Elementen ergeben. Man
setzt nämlich, wenn ß, F, G, L, M, N die Fundamental-
grÖBsen der ersten Fläche bedeuten, in

dB, ^dR^. 3g. '. fl-B. ^

V-S+ 2Fk + 0k* y£ + 2Fk~+Ök*

* Dieaee Merkmal der CongmenE hat La angegeben, rgl. die Anin, zu
ä. 311; doch ist er auf die VorzeicfaenbeBtiiiimung nicht eingegangea, aodftAa
bei ilum zwiachen Cungmenz und STtumetrie nicht unterachieden wird, ein
Umstand, auf den er flbrigena aelbet hingewiesen hat

Pdr,yGOOgIe

352 Dritter Abachnät: Die Fitndamentaigleichunffen der Fläehentheorie.

fttr k die beiden reellen Werte ein, die eich aas der qua-
dratischen Gleichnog

-h F M

l G Jf

ergeben, indem man die Quadratwurzeln, die soeben auf-
traten, positiv wählt. Zwischen den dadurch herTorgehen-
den vier Functionen von u und v:

dR, dB, fl-B. gfl.

ö, » ' Ö,J. ' d,s ' 3,8
und den beiden von einander nnabb&ngigen Functionen
von u und t>:

bestehen alsdann vier Gleichungen von der Form:

4,7" = <^.(Äi.-«,}, 4.T- = *.(^i'^»)-
Bildet man die entsprechenden Grössen fflr die zweite
Fl&che:

BS, dR, dSj afi,

e,s ' a, 5 ' d,s ' fl, j '
eo sind beide Flächen einander dann und nur dann con-
gruönt, wenn für die zweite Fläche bei passender Wahl
von <jf ES ± 1 and ß = ± i entweder die Gleichungen:

oder diejenigen Gleichungen besteben, die hieraus her-
vorgehen, wenn m^n die Indices 1 und 2 vertauscht —
Alsdann sind diejenigen Punkte (u, v) und {ü, if) beider
Flächen homolog, deren Parameter im ersten Falle deo
beiden Gleichungen

im zweiten Falle den beiden Gleichungen
R^ = aßR,, R^ = aßR^

genügen.

]H,zedr,yGOOgIe

§ 10. Nerkmale für die Gongmmx i

Gemach ist ee angebracht^ die QleichnDgeD
(12)

4^ - <C,(J!„iJ,), 4^ - *-,(Ä„-S,)

die natürlichen Oleichangen der Fläche (t) zu nennen,' da
sie die fläche ohne Bücksicht auf ihre zoföUige Lage nud ohne
Bückfiicht auf ihre zufällige Parameterdarstellung vollkommen charak-
terisiereti. Maa yer^eiche die analoge Bezeichnung bei den Curven
in I 8. 210. Damals entzogen sich gewisse Carren der allgemeinen
Form (1) der natürlichen Gleichungen einer Gurre, 1 S. 208, näm-
lich diejenigen, als deren natürhche Gleichungen die Gleichungen (4)
and (5), I S. 210, zu benutzen waren. Hierzu haben wir in der
Flächentbeorie etwas Entsprechendes: Eine Ausnahme bilden
hier diejenigen Flächen, auf denen eine Kelation zwischen
den beiden Hauptkrttmmnngsradien besteht Diese Flächen
sollen im nächsten Paragraphen betrachtet werden.

Oben sprachen wir einleitend von denjenigen Differential-
invariaDteD der Flächen, die nicht nur bei ÄUBföhrung aller Be-
wegungen ungeändert bleiben, sondern — abgesehen Tom Vor-
zeichen — aach bei Einfühmng irgend welcher neuer Parameter.
Insbesondere fanden wir, daes

/io^ W » "-"l ""1 ""1 ""1

(13) Ä^ , Ä, , -^ , -^ , -j^, -^

solche Gh*ÖBBen sind. Da nun eine Fläche, abgesehen von ihrer
Lage im Kaame tind ihrer analytischen Darstellung, durch ihre
natürlichen Gleichungen (12) völlig charakterisiert Ut, so kann man
daraus schliessen, dass alle übrigen Differentialinvarianten der er-
i^nteu Art aas den sechs angegebenen durch einfache Differen-
tiationsprocesse hervorgehen. Wir wollen dies hiermit nur ange-
deutet haben und gehen nicht weiter darauf ein, weil wir, wie

> Obgleich veTscUedene Autoren von den DttilTlichen Oleicfanugen einer
Cnrvfl sprechen, scheint doch nirgends von den natürlichen Gleichnngen einer
Fläche die Bede eq sein, eelbat nicht in GuiIbo'b „Vorleenngen über
natürliche Geometrie", dentach von Kdwaj^iwhh, Leipzig 1901, in denen
tntta noch am ehesten diese Bezeiehnnng za finden erwartet. Wir citieren dies
Werk hier, om unsere litteiari sehen Nachweise lor Theorie der natürlichen
Gleichungen von Curven im 1. Bande d&durch zu vervollstAndigen. Man findet
in diesem Buche zahlreiche Beispiele im Sinne der von uns in I S. 68 — 71
gegebenen.

SOBmiBS, G«om. Dlffr. IL 28

^dnyCOOgle

S54 ßrUter Jhae/müt: Die Fundanuntalgltükungen der Fläehentheorie.

unsere Ergebnisae lehren, thatsäehlicb mit dea sechs betrachteten
Grössen (13) ausreichen. Nochmals erinnern wir aber daran, dass
in (13) die Differentiatioiien zwar nach den Bogenelementen der
KrUmmungscnrTen ansznfllhren sind, dass wir aber doch die
Grössen (13) stets bei beliebig Toi^egten Fl&chengleichnngen :

x^ip{u,v), y-r(«.w). «■=V(k,»)

durch Differentiationen allein berechnen können, and dass die
Aufstellung der natürlichen Gleichungen (12) also nnr
Differentiationen und Eliminationen verlangt.

Wir deuten nur noch Eines an: Legt man auf die obigen Vor-
zeichenbestimmnngen keinen Wert, so kann man zu den Merkmalen
kommen, die nicht nur den Fall der Congruenz, sondern auch den
der Symmetrie umfassen, und dann steht siebte im Wege, das
Ergebnis auch auf imaginäre Flächen oder auf reelle Flächen mit
imaginärer Parameterdarstellung auszudehnen. Wir nennen des-
halb die Gleichungen (12) auch in diesen Fällen die natOrlicbeu
Gleichungen der Fläche.

§ 11. Hftclien, deren HaaptkrflmmunBsradlen durch eine Relation
vertHinden sind.

Bei der im vorigsn Paragraphen auseinandergesetzten Theorie
der Congruenz sahen wir uns genötigt, diejenigen Flächen auszn-
scbtiessen, bei denen zwischen den beiden HauptkrUnunungsradien /P,
und S^ des allgemeinen Fiäcbenpunktes (m, ») eine Gleichung be-
steht, oder also, bei denen sich K^ als E^nction töq R^ allein aua-
drScken lässt (vgl. S. 348). Diese Flächen lassen eich auch so
charakterisieren: Bei ihnen besteht eine Gleichung zwischen der
Krümmung K und der mittleren Krümmung H. Indem wir sie so
definieren, umfassen wir zugleich diejenigen imaginäreu Flächen, die
keine HatiptkrQmmnngsradien haben, nämlich die Flächen mit
einer Schar von Minimalgeraden (vgl. S. 115). Denn nach
Satz 106, S. 240, beet^t ja bei diesen Flächen die Gleicbiing:

Aber zu den bisher ausgeschlossenen Flächen gehören noch riele
aDd«re, insbesondere reelle Flächeo. 8o gehören hiertier die Fläcfaeu
constanter Krümmung, fllr die

Pdr,yGOOgIe

§ 11. HeatpthrümtmmffBradien 6unsh eine Beiation verbunden. 355

ist, TOQ denen wir in § 5 sprachen, femer die IfinimalflächeD,
für die

^■ = 0

ist und die wir in § 13 dea 2. Abschnittes untersucht haben. Es
gehören hierher auch die Flächen conatanter mittlerer KrUm-
mang überhaupt:

3 = CoDSt,

denen wir gelegentlich, auf 3. 236, begegnet aind. Endlich sind
hier auch die Rotationsflächen zu nennen, denn nach S. 122
aind Krümmung K und mittlere Krümmung H einer Eotationsääche
Functionen der Bogenlänge der Meridiancurve, aodaBs auch bei den
Botationsäächen eine Relation zwischen Ä und H besteht

Zu den Flächen also, bei denen eine Relation zwischen
der Krümmung K und der mittleren Krümmung B YOr-
handen ist, gehören ausgedehnte Familien ron gerade besonders
interessanten Flächen, und aus diesem Grunde wollen wir hier diese
Flächen genauer untersuchen.'

Wir nehmen dabei die Krümmungscnrren als Farameterliaien (u)
und (o) an. Durch diese Annahme werden allerdings die-
jenigen Flächen, die eine Schar von Minimalgeraden ent-
halten, ausgeschlossen (nach 3. 175], also diejenigen Flächen,
die wir schon auf S. 227 — 229 kurz untersucht und analytisch dar-
gestellt haben. Wenn wir tob ihnen hier absehen, so haben die
za betrachtenden Flächen im allgemein gewählten Punkte (», v)
sicher Hauptkrümmungsradien S^ und R^.

Wir benatzen diese Gelegenheit, um hier einmal diejenigen
Formeln znaanunenzusteUen, die aus unseren allgemeinen Formeln
hervorgehen, wenn es sich um eine beliebige Fläche handelt,
deren Parameterlinien die Krümmungacurven sind. Na&h
Satz 69, S. 182, and naeh XI {C) ist in diesem Falle:
(1) ^"=^ = 0, D'^EG.

' Aof die i
krümmungfiTad ie

anfmerksam gemacht, dem man aneh eine Beihe wichtiger SSIze über diete
FlSchen veidankL Man nennt dieee Flfichen deshalb WEmoABTBN'Bche oder
kürzer W-Ftächen. Wir citieren WuHQABTBM'a Abhandlungen: „Ober eine
Glaese auf einander abwicketbareT Flächen", JoniDtd f. d. r. n. a.
Math. 59.Bd. (isei), und „Über die ObeTfläcben, für welche einer der
beiden HauptkTÜmmnngBhalbmeasei eine Functioji des anderen
iHt", ebenda B2. Bd. (1B62).

^dnyCOOgle

S56 Dritter Abaehnitt: Die Fundanrnttaiglndtungon der FiäehenÜuorit.

Die drei FnndameDtalgleichnngen (ö), (10), (11), S. 270, 271, nehmen
daher die Form an:

(2) jiv--tg..-^g..+i3:J^''-^+^"--y^"-.

Nach Xn {K) ist femer, wenn R^ denjenigen Hauptkrümmongs-
radina bezeichnet, der zur Tangente der ErttmmangBcnrre (v] gehört:

Tgl. XII {H), Bodasa die erste nnd dritte Fandamentalgleichnng
auch so geachriebeD Verden kann:

St

Ä.

-t'

•u

'

B,}

oder

so

(4)

Ti

log

^-

1

TU

8S,

Hierin treten Übrigens die Wurzelzeichen nur scheinbar anf, sodass
wir über ihre Vorzeichen oichtB festzusetzen braadieo. Die zweite
Fundamentalgleichung (2) ]&ast eich wegen (3) so schreiben:

ywö _
Ä.Ä, '

oder:

^' fi.Ä, eu\yE du I dp\yö s, ]

Auch hier treten die Wurzeln nur scheinbar auf.
Nach xn (Ä) kommt ferner wegen (1) und (3);

Die Formeln (1) bis (6) gelten für beliebige Flächen,
TorauBgeaetzt, dass ihre Farameterlinien (u) nnd (■>] die
ErümmungecnrTeD sind.

Pdr,yGOOgIe

§ 11. Haigitiirümmungaradien durch eine Belation verbunden. 35T

Wir wollten nun insbesondere diejenigen Flächen betrachten,
auf denen eine Relation zwischen den beiden Hauptkrümmunga-
radien Jt^ und R^ besteht:

ß(S„Ä,)-0.
Im besonderen kann diese Belation die ^ecielle Form Ü^ = Const
oder S^ = Const haben; es ist aber leicht, alle Flächen, aaf
denen einer der HanptkrUmmangsradien coDstant ist, an-
zugeben. Ist nämlich z, B.

Ä, =. Const,
so lehren die drei ersten Formeln (6), dass die Ausdrucke:
x + Ji^X, y + ÄjT, z + JijZ

frei von u sind. Es sind dies aber die Coordinaten |, ^, j des
Mittelpunktes des ersten HanptkrUmmungskreisee im Flächeopunkte
(u, r). Sie hängen also nur von v ab, d, h. die Mittelpunkte
der ersten Hauptkrümmungskreiae erfüllen eine gewisse
Carve c, keine Fläche, indem zu allen Punkten einer ErOmmungs-
corre (o) derselbe Mittelpunkt gehört Aber noch mehr, ans:
j(r) - ^ + -KiX, 5(ü) =y + B^r, i(r) = z + Ä,Z
folgt noch längs der Cnrre t:

£'-=*. + KK' 9' =- y, + -ff, K' i' = ^v+ ®i^.-
Also ist:

Nach XI (/f) und XI (/) gilt also die in x, y, x lineare Gleichung;
Ss'(*-j;) = 0.

Da %, 9, j nnr von v abhängen, so beisst dies: Jede Gurve (v) Hegt
in einer Ebene, die diirch den zugehörigen Mittelpunkt te, ^, j)
geht und deren Normale Kichtungscosinns proportional %, 9', j' hat
und deshalb der Tangente der Hittelpunktscurre c im Psnkte (|, % j)
parallel ist Da alle Punkte (:r, y, z) der Curre (v) vom zugehörigen
Mittelpunkt ({, 9, j) denselben Abstand U^ haben, eo ist daher jede
Cnrre (v) ein Kreis vom constanten Badiua H^, dessen Mittelpunkt
(E> 9> d) ^"f einer Curre c liegt und dessen Ebene zur Tangente
von c in diesem Mittelpunkt senkrecht ist Also ist die Fläche
eine ßöhrenfläche (vgl das 2. Beispiel und Fig. 63, S. 181).

Stillscbweigend haben wir hierbei vorausgesetzt, dass die con-
stante SrCsse if, endlich sei. Ist ^, = 00, so ist Z == 0 nach (3),

Pdr,yGOOgIe

358 Dritter Abseknüt: Die JiStndammtalgleüJttmgm der Flächentheont.

d. h. wegen (1) aach £If — M*^Q. Die Fläche ist dann ab-
wickelbar, nach Satz 19, S. 132. Ümgdiehrt leuchtet eia, dass
auf jeder abwickelbaren Fläche der eine HaaptkrQmmuQgsradina
' unendlich gross ist, denn die ErUmmungacurven der einen Schar
Bind hier die Erzeugenden, nach S. 177, und die Normalen der Flache
längs einer Erzeugenden sind einander parallel, nach Satz 7, 1 S. 277,
treffen sich also erst im Unendlichen.

Sollen beide EauptkrQmmungBradien einer Fläche constant sein,
Bo sind Terschiedene Fälle denkbar: Wären zunächst Ä, und ff, beide
endlich, aber Terschieden, so wDrde aus (4) folgen, dass E nur Ton k
und G nur von v abhinge, sodass da« Qnadrat des Bogenelementes w&re :

ds'-Siu)<iu'+G(p)dv*.
Indem man j/^rfa und i YOdv als neue Parameter a und e
einfilhrt, bringt man es alsdann auf die Form:
dt* = dü* + rf€».

Dies aber ist das Quadrat des Bogenelementes in der Ebene mit den
rechtwinkligen Goordinaten o, s, sodass die Fläche abwickelbar wäre:
nach 1 S. 279 u. f. Dann aber ist ein HauptkrQmniungsradius unendlich
gross, sodass sich ein Widersprach ergiebt Daher ist, wenn ff, und
Ä, constant und endlich sein sollen, nur der Fall Ä^ = Ä, mög-
lich, in dem die Fläche nach Satz 12, S. 120, eine Kugel ist

Ist Ry constant nud endlich, aber B^ = ao, so ist die Fläche
einerseits eine Röhrenfläche mit oo' congruenten Kreisen (p) und
andrerseits abwickelbar. Dabei massen die Geraden der Fläche,
als Krümm ungscurren (u), jene Kreise senkrecht schneiden. Aber die
Tangenten der Curven (u) sind nach S. 181 den Tangenten der Mittel-
punktacnr^e c parallel. Also ist der Ort der Kreismitten eine Gerade,
die Fläche daher ein Eotationscylinder.

Sind endlich ff, und ff, beide unendlich gross, so artet der
Cylinder in die Ebene aus. Daher:

Sati 31; Ist einer der Hauptkrflmmungsradien einer
Fläche constant und endlich, bo ist die Fläche eine
Rfihrenfläche; ist et unendlich gross, so ist sie insbesondere
eine abwickelbare Fläche. Sind beide Hauptkrümmungs-
radien constant, aber endlich, so m&ssen sie einander
gleich sein, und die Fläche ist dann eine Kugel. Ist der
eine endlich und constant, der andere unendlich gross,
BO ist die Fläche ein Rotationscylinder, Sind beide un-
endlich gross, so ist die Fläche eine Ebene.

Pdr,yGOOgIe

§ 11, Haupthrümmungaradian durch eine BeltUion verbunden. S5d

Da wir somit die Flächeu kennen, aaf deoui wenigetens ein
HaapUirümmnngaradias couBtitnt ist, können wir reo jetat ab tod
ihnen absehfln. Wir wollen also jetzt diejenigen Flächen anter-
sachen, auf denen eine Selation zwischen den beiden
HauptkrOmmnngaradien if, und if, besteht:

(7) fl(Äj,ffj) = 0,

die sich aber nicht aof S^ = Gonet» oder S^ » Const redn- -
eieren soll, ebenso nicht anf ^ = R^, da sich dann nach
Satz 12, S. 120, wieder die Kugeln ei^ben wQrden.

Infolge dieser Belation (7) ist /?, als Fanotion von S^ oder
nmgekehrt S^ als Function von R^ anfzufaesen. Aus (4) folgt dann,
dass von den Functionen:

-;^^. '»«^-/,

^ __^ dl,

die erste eine Function von u allein und die zweite eine Function
von o allein ist, sodass kommt:

(8) £=Äi»f(«)e J ^'^, G=>Sj*F{v)

wo U nur von u und F nur von v abhSngt üntar dem ersten
Integral ist natürlich für R^ die aus (7) folgende Function von R^
zu setzen, unter dem zweiten dagegen fOr R^ die aus (7) folgende
Function von R^. JBs ist weder (/ noch V gleich Null, weil sonst
7> = 0, die Fläche also die Tangentenflache einer Minimalcurve wäre.
Wenn wir jetzt neue Parameter

^=JfÜdu, f>=-Jff

Fdv

auf der Fläche einführen, wobei die Erümmungecurven nach wie vor
die Parameterlinien bleiben, da ü nur von u und fl nur von v abhängt,
so werden die Goordinaten x, t/, z Functionen von ä, ^, und zwar ist:

x-^fÜ = x^, x-fF=x^

u. 8. w., sodass nach XI {J) f&r die neuen Fundamentalgrössen E, Q
kommt:

also Dach (8):

,dr,Google

360 Dritter Abaebma: Di» limdamenta^lacttungm der Fläehmtheom.

Bei der Au&telliing der Formeln (I) bis (6) hatten wir nur du
Eine Toraoagesetzt, dass die Farameterliniea (u) und (v) die KrOm-
mungBcnrreD seien. Da dasselbe tod den nenen Parameterlinien (<l)
and («) gilt, so dürfen wir annehmen, wir hätten schon vor der Auf-
stellung der Formeln (1) bis (6) gerade diese nenen Parameter ü
und € statt u und e benutzt, d. h. wir dtlrfeo annehmen, dass in
den Formeln (1) bis (6) die Grössen E und G die soeben gefundenen
Werte £, 6 haben, also:

(9) E~R^^e -^ *-«., G-2i,'e •> *-*

sei. Weil Jf-^ — A, nach Torauasetzung nicht gleich Null ist, so
sind die Integrale endlich.

Bisher haben wir in der ersten Formel (9) die Gtrösse Jf^ als
Function Ton B^ und in der zweiten Formel (9) die Grßsse 7?j ab
Function von £, aufge£ust, definiert durch die Relation (7). Wir
können natürlich auch B^ und iZ, beide als Functionen einer
dritten Qrösse, einer Hülfsveräaderlichen w aufEassen, z. B. so: Die
Function

(10)

ist sicher nicht constant, weil \:(B^ — R^) nicht gleich Null isL

Wenn wir ans (7) die Grösse E^ als Function von B^^ berechnen

und in diesen Ausdruck w einsetzen, so wird w eine Function toq

B^ allein, die keine Constante ist Umgekehrt ist dann auch B^

eine Function Ton w, etwa:

(U) B^~&(u,).

Wegen (10) ist alsdann

woraus folgt:

(12) B^ = d--u>&:

Wenn wir unter &-{w) irgend eine Function der HülfsTeränder-
lichen k verstehen und daraof B^ und B^ durch die Formeln (1 1)
und (12) als Functionen von w definieren, so wird die Elimination
von w aus (11) und (12) eine Relation zwischen B^ and B^ gebeiL

Man erkennt also, dass man die eine Relation (7) stets bei
Einführung einer Hülfsgrösse w durch die beiden Gleichungen (11)

Pdr,yGOOgIe

§ 11. Sauj)tkrümnuing»radt«n durch ein« Beiation verimnden. 361

und (12) ersetzen kann, imd umgekehrt: Ist &{v) irgend eine Func-
tion von w, so ist durch (11) nnd (12) eine Relation (7) zwischen M^
und Kg hergestellt

Auf der Fläche sind if, und B^ zwei infolge von (7) von ein-
ander abhängige Functionen von u und v. Daher tat nach (11)
auch die Hülfsgr&sse w eine gewisse Function von u und r.

Wenn wir non die Werte (II) und (12) in (9) einführen, wobei
infolge von (11) und (12):

rf^i « »'dv, , dS,^'-«! &"du,
ist, so kommt, weil dann aoch (10) besteht:

(13) -^=5-
während

oder:

(14) e . « (-— /^) ' (. - Oon.t)

wird. Wenn wir statt v einen neuen Parameter e = cv einführen,
wobei c eine Constante bedeute, so sind x, y, z Functionen der
neuen Parameter:

a = u, c = CO
und dabei ist:

u. B. w., sodass die neuen Fnndamentalgrösaen E und 0 nach XI {ä)
diese werden:

^- s V = SV = E, G = s V = |.-s V =- ^■

Wählen wir jetzt c = ^a, so kommt also nach (IS) und (14)

Da wir bei EinfUhrung der neuen Parameter wiederum die
Krümm ungBcurven als Paruneterlinien haben, so dttrfen wir — wie
oben — annehmen, wir hätten von vornherein, vor Aufstellung der
Formeln von (1) an, schon diese besonderen Puameter benutzt, d. h.
wir dürfen setzen;

(15) E.^. <?-(^-^"»T.

D,„i,z,dr, Google

DrUUr Abm/itüU: Die F^imiammtalgleiekunffm der Fläehmthtorit.

Die Formeln (10), (11), (12) andern sich dabei nicht, weil in ihnen
weder u noch v als Ai^ment auftritt, Tielraehr u und v nnr in
R^, Kj und K> vorkommen. Nach (3), (11), (12) und (15) kommt noch:

-^ = Ä"^'

Also hat sich ergeben:

Satt 33: Besteht auf einer Fl&che, die keine Schar von
Minimalgeraden eothält, eine Relation zwischen den beiden
HauptkrQmmungsradien B^ und ^,, ist aber weder Ji^ noch
Sj constant, so kann man die Fnudamentalgrössen der
Fläche auf die Form bringen:

ist Dabei bedeutet w eine Function der Parameter u. "
der Fläche und & eine Function von ir allein.

E^ fragt sich nun aber, ob man w irgendwie als Function von
u, V und & irgendwie als Function von tr wählen darf. Wir wissen
nach Satz 25, S. 338, dasB zu gegebenen Fundamentalgrössen dann
und nnr dann Flächen vorbanden sind, wenn sie die Fundamental-
gleichungen erHlllen. Wenn wir die im Satze 32 angegebenen Funda-
mentalgrdssen benutzen, so reducieren sich die Fundamentalglei-
chungen wegen F= M= 0 auf die obigen Gleichungen (2). Femer
sind dann B^ und H^ durch (3) gegeben. Man überzeugt sich sofort,
daes die im Satze angegebenen Werte von Ji^ nnil B^ die Gleichungen
(3) erfüllen. Wir haben die Fundamentalgleichungen mittels (3)
auf die Fonnen (4) und (5) gebracht. Die Gleichungen (4) werden
augenscheinlich befriedigt, nicht so die Gleichung (5). Denn za-
nächst können wir Itlr y^ nnd Yg nach dem Satze die Werte
* & - Tey_

'w' "#'

nehmen, da das Vorzeichen der Wurzeln, wie schon bemerkt wurde,
in (5) keine Rolle spielt Alsdann aber kommen fUr

,dr,GoogIe

§ 11. Sattpikrvmnumgsradien dmth eine Beiatitm verbunden.

sodass die Gleichung (5) — die einzige noch zu erfüllende Be-
dingntig — die Form annimmt:

1 _ö_ »"»iff.. ^ &^,
te*- "^ d« *" ''" de w' ■
Wir finden also:

Sati 33: Nur dann, wenn man w so als (''unction tod u
and r und & so als Function von w wählt, dass die Be-
dingnng:

w*' "du *" '*" 3» »'
für alle Werte Ton u und v erfüllt wird, giebt es Flächen
mit den in Satz 92 angegebenen Fundamentalgrösaen.

Nehmen wir jetzt an, eine Fläche sei uns irgendwie durch
ihre endlichen Gleichungen gegeben, ausgedrückt mittels zweier
Parameter ü und ß:

(16) X = y (ö, «), y = jr(a, ^, * =• v(o. »)■

Wir können dann leicht enteoheiden, ob sie zu den hier betrachteten
Flächen gehört. Wir berechnen nämlich die Hauptkrbmmnngsradien
Bj und Äj als Functionen von fl und v naoh Xu (K) and nnter-
BQcben, ob die Fuuctionaldeterminaate von R^ und Ü^ hinsicht-
lich ü und B gleich Null ist Ist dies der Fall, so besteht eine
Relation zwischen S^ und B^, sonst nicht; nach Satz 64, I S. 82.
Wenn eine Eelation besteht, so ergiebt sich, indem man aus den
gefundenen Werten von B^ und B^ etwa ü eliminiert, wobei dann
zugleich c von selbst verschwinden mnss, die Relation zwischen B^
und B,.

Wir wollen nun annehmen, bei der Fläche (16) sei wirklich
eine solche Belation vorhanden, die nach if, aufgelöst etwa ergebe:

(17) 11,-fW,

indem wir den Fall Bj = Const. beiseite lassen, und wollen uns
fragen, wie mau alsdann die in Satz 32 benutzten Para-
meter u und r findet, die vorläufig ja noch unbekannte Func-
tionea der in (16) auftretenden Parameter o, 9 sind. Es wird eine
noch unbekannte Function w von u, v und eine noch unbekannte
Function & von w geben, sodass in Gemässheit des Satzes:
^, = *, B^=,&-.vj»'

Pdr,yGOOgIe

Dritter Abeehnitt: Die f\Mdatiuntidglei^tMgen der Ftöekenüteone.

wird. Natflrlicli kann w auch als Function der Parameter u nnd t
anfgefasst werden. Als solche aber kann sie und zugleich &■ leicht
berechnet werden, denn nach (17) ist zu fordern:

oder, da d- nnr von u> abhängt:

woraus durch eine Quadratur hervorgeht:

Ist die Quadratur ausgefQhrt, so giebt die Auflösimg dieser Glei-
chung nach 9 die gesuchte Function & von to, wobei noch eine
willkürliche Constante auftritt Nun folgt, da S^ als Function TOn 0
und ü bekannt ist, aus

i?, = *(»)

durch AuftÖBung nach w auch der Wert tou w als Fnnction
der ursprünglichen Parameter fi, «.

Jetzt gehen vir daran, die neuen Parameter u und v als Func-
tionen TOD fi und e zu finden. Sind
(18) u = X(a, «), v = fi(ü,e)

diese unbekannten Functionen, so ist längs der Krümmnngscurren (h)
und (v) der Fläche du = 0 bez. dv == 0, d. b. entweder

(18) |!_rfß + _|irf(, = 0

oder

Nun aber lautet die Differentialgleichiing der ErtliumangscuiTeD
in den ursprünglichen Parametern ü, €, wenn S, F, G, Z, M, Ä' die
zugehörigen als Functionen von ü, € bekannten Fundamental-
grossen bedeuten, nach Xu (C) so:

di)* E L I
-düde F M\ = (i.
du* G n\
Es ist dies eine quadratische G-leichung fllr d€:da, die sieb in

Pdr,yGOOgIe

§ 11, ^supäcHimmuingaradien durch eine Belation verfrwiufen. 365

zwei lineare Qleichtmgen zerepalteo läset. £e ergeben sich dabei
etwa die GMeicbnngen

alB die DifFerentialgleichangen der ErOmmnngslinien. a nnd ß sind
bekannte Functionen von o, €. Dann moss (19) durch den
einen, (20) durch den anderen Wert yon de; du be&iedigt werden,
d. h. es muss sein:

Dies sind zwei Bedingungen für die nnbekannt«n Functionen X und
H Ton ü and o, ans denen folgt:

^^^1 Jü" ''Jf Jü~ P-df-

Ausserdem wissen wir, dass die noch unbekannten auf u und v be-
züglichen Fundamentalgröseen ß, F, G den in (11), 8. 17, aufgestellten
Bedingungen genügen, die sieb infolge von (21), da ja F=(i sein
muss, reduciren auf:

(22)

-ß G

0- ^^Y +

ldf\

\T^I

Nnn sind uns zwar £, F, G &is Functionen von ti and v unbekannt,
aber wir können sie als Functionen von ü, ü darstellen. Denn sie
mUssen die io Satz 32 angegebenen Werte haben, und darin sind
ans & nnd u>, wie wir sahen, als Functionen von ü und § bekannt,
sodass wir also E, F, G als Functionen von a, f> kenneu, wobei
allerdings nodi eine wülkQriiche Gonstante auftritt. In den Glei-
chungen (22) sind also nur

fli . flu

-ey ™'* w

anbekannte, alle anderen Qrösaen dag^en bekannte Functionen
yon a und €, und auBserdem tritt eine noch nicht näher bestimmte
Gonstante auf. Da a :^ ß ist, weil sonst die beiden Scharen von
KrtLmmungscurren zusammenfallen würden, was ja oben ausgeschlossen

Pdr,yGOOgIe

Dritter AbsekmU: Di« ^kmdammialßitiekimgm dtt Fiäelimäuorie,

-irordea ist, ao ei^ben schon zwei der dm Oleichonges (22) dudi
ÄoflßBen nach

W '^"^ ä¥
diese GröBSen als bekannte Functionen von u und €, Es kann sein,
daaa dabei die noch auftretende Constante beliebig bleiben darf oder
aber bestimmt gewählt werden mnss, damit die drei GHeichnngen (22)
einander nicht widersprechen. Ana (21) ei^ben sich weiterhin aadi

|i »-1 1-

du du

als Functionen ron ü nnd v. Entweder tritt in den AaedrKcken Ar
dieae Tier partiellen Differentialqaotienten noch eine willkfirliche Con-
etante auf oder nicht. Da es jedenMts Functionen X und fi geben
musB, weil der Satz 32 gilt, so werden jedenfalls tut einen bestimmten
Wert der Constanten die gefundenen Ausdrucke den Bedingungen:
J_ Si^ _L_Ül fl Sit _ d dfi

e» du "du öe ' dt du " du ös

tüi alle Werte von ü und c Qenüge leisten, sodass sich durch je
eine Quadratur auch l und /u selbst als Functionen von ü nnd e
bestimmen lassen. Da wir somit die Gleichungen (18) zwischen den
ursprünglichen Parunetem fi, ü und den neuen Parametern u, c
kennen, so macht die Rednction der Fl&cheDgleichnagen (16) anf
diejenige Form, die in Satz 32 benutzt worden iat^ keine Schwierig-
keiten mehr. Zugleich haben wir die endlichen Gleichungen

1(0, «) = Conat, ft(a,is) = CoDst
der ErümmuDgscurven gefunden. Daher hat sich noch ergeben:

SatE 34: Besteht auf einer Fläche eine Belation zwischen
ihren beiden Hauptkrümmungaradien, so verlangt die Be-
stimmung ihrer ErümmungscurTen nur Eliminationen und
Quadraturen.^

In dem besonderen Fall einer Rshrenfläche haben wir dies
achon auf S. 181 erkannt

' Siehe LiE, „ÜberFlSclien, derea ErfiiiimnDg*r«dien darefa «ine
Relation verknOpft aind", Archiv fbr Matb. ogNaturr. Bd.IV (1B80), oder
die Übereetzung dieser Äbhondlimg; „Sdt leg sarfaces dont les rajODS
de conrbnre ont entre eni nne relatioD", Bulletin des gciencee math.
2. Uli«, t IV (1880> InabeModere für die MinimalflKoIien, die ja n dw
Fischen des Satses 34 gebSreii, ut der Batz schon froher von Boanm be-
wiesen worden. Vgl. seine Arbeit: „Snr la snrface dont lee rajone de
conrbure sont ägaax, mal« dirigös en sene oppos^e", Jonin. de Math,
p. et ^>pL 1. airie, t XI. (1646).

Pdr,yGOOgIe

§ 11. Eaupikrümmung»rtuiien durch eine Mdation verbunden. 36 T

Die Formeln des Satzes 32 zeigen, dass man auf den hier be-
trachteten Flächen solche Parameter einföhren kann, dase die lu-
gehörigen FnndamentalgrÖBBen erster und zweiter Ordnung sämtlich
Functionen von nnr einer Function w (u, v) werden. Diese Eigen-
schaft ist nun charakteristisch: Wenn man nämlich auf irgend einer
Fläche solche Parameter «, « einfuhren kann, dasa die Fundamental-
grössen sämtlich nur von einer Function w von u und v abhängen,
80 folgt aus XII {K), dass auch ihre Kauptkrümmungsradien R^
and Sj Functionen von w allein werden und daher zwischen ihnen
eine Relation hesteht. Also können wir sagen:

Satz 35: Anf einer Fläche lassen sich dann nnd nur
dann solche Parameter einführen, fDr die alle sechs Fnn-
damentälgrdssen von einander abhängige Functionen wer-
den, wenn zwischen der ErUmmung and mittleren Krüm-
mung der Fläche eine Belation besteht

Im vorigen Paragraphen haben wir das Congruenzproblem
atigemein behandelt Wir Hessen dabei eine LQcke, indem wir eben
die jetzt betrachteten Flächen ausschlössen. Wir wollen eine Art,
wie man diese Lücke ausfüllen kann, nur kurz andeuten:

Liegen zwei Fläcben vor und besteht anf der einen eine Re-
lation zwischen B^ und B^, so kann diese Fläche der anderen nur
dann congment sein, wenn bei der zweiten Fläche dieselbe Belation
zwischen Ji^ und Ü, besteht Um dann über ihre Congruenz zu
entscheiden, kann man auf beiden Flächen nach der oben aus-
einandergesetzten Methode mittels Eliminationen und Quadraturen
solche neue Parameter u, v bez. a, € einführen,^ dass die zagehörigen
FundamentalgrSssen die in Satz 32 angegebenen Formen erhalten,
also auf der einen Fläche:

£_|., F.o, <;_(i^)',

und aaf der anderen Fläche:

t Man kann die Congmenztheorie auch ohne vorherige Quadiatmen
dnrcfafabTen, vgl. die in der Anm. ta S. 341 genannte Abhandhing von Ln.
Es wOrde nm aber n w«lt Atbren, dtmnf oBher einzogefaen.

Pdr,yGOOgIe

368 Dritter Abaehnitt: Die FimdamentaigMelwngen der Fläehentheorie.

wird. Dabei ist lo eioe Function von u, v, ferner a eine Fouction
von ö, c und & eine Function von m allein, & eine Function von w
allein. Da auseerdem die Parametercurren die Krammongscurren
sind, 80 können die Flächen nur in der Art einander congruent
sein, daBB den Parameterlinien der einen Fläche die der anderen
entsprechen. Mithin wird man nach S. 1? und nach Satz 25, S. 338,
80 Ter&hren; Man f\lhrt etwa auf der ersten Fläche neue ?&»>
meter ein vermöge zweier Gleichungen von der Form:

a = X{u), i> = ft{v)
oder vermöge zweier Gleichungen von der Form:

il~fi(v), V = X{u),

wobei wie auf S. 346 im reellen Fall zu beachten ist, dass die
Flächennormsle ihre positive Achtung und daher auch die Fund»-
mentalgröBsen zweiter Ordnung ihr Vorzeichen ändern, wenn nur
eine der beiden Grössen X' und ft' negativ ist. Die EinfOhrung der
neuen Veränderlichen und die Berechnung der neaen Fundamental-
grÖBsen S', F, G', L', Äf, 7f' ist mittels der Formeln XI {^ und
XII {B) leicht ausgeMhrt. Es kommt z. B. im ersten Fall:

1" ,.'■ '

L' = ^L, M'=0, N'=^N,
i" t**

wo cf = ± 1 ist, je nachdem A' ^ 0 ist, und j9 = ± 1 ist, je nachdem
fi'^0 ist. Nun hat man zu untersuchen, ob sich die Functionen l
und /i so wählen lassen, dass S", G' und L', N' die obigen Werte f,
Q, 2, JV annehmen.

Diese Untersuchung bietet keinerlei Schwierigkeiten dar. Man
findet sehr leicht, dass w : i? einä Constante sein muss, darauf, dass
X und /i' Constanten sein müssen u. s. w. Wir flberlasaen die Becb-
nung nud die Aufstellung des Ergebnisses dem Leser.

Wenn auf der einen t^äche ein Hauptkrammungsradius con-
Btant ist, 80 muss dasselbe auf der anderen Fläche gelten. In
diesem Falle ist die Erledigung des Congruenzproblems noch ein-
facher. Denn nach Satz 31 sind dann folgende Möglichkeiten voi^
banden :

Beide Flächen sind ßöhrenflächen: Man wird die Gleichungen
des Ortes c der Ereismitten bestimmen und untersuchen, ob diese
beiden Curven einander congruent sind, nach Satz 25, I 8. 219.

Pdr,yGOOgIe

§ 11. Bmgahiimmi0igaradien durch eine Heiation oerbunden. 869

Beide Flächen sind abwickelbar: Uan oatenocbt, ob ihre
Gratlinien einander oongraent sind.

Beide Flächen sind Engeln oder beide Flächen sind Bots-
tionscylinder: In diesen Fällen ist die üntersnchong augenschein-
lich noch einfacher.

Wie schon bemerkt wurde, gehören za den in diesem Para-
graphen betrachteten Flächen insbesondere die Flächen constanter
mittlerer Erümmnng

¥^ diese ergiebt Satz 32, wenn die Werte von 2i^ tmd S^ ein-
gesetzt werden, die Bedingnngsgleicbung fUr &:

ans der folgt:

\H»-2)» ~ w
Integrieren wir beiderseits, so kommt:
(23) \log{B& - 2).* = logH. + Const

oder:

»- i+Vr+7g (c = Const).

Jetzt ist nach Satz 32:

_£ tf'(J?^ - 2)' _ ,
O =" ^ - " '

also constant Nach Satz 23, S. 56, folgt hierans, da die Fara-
meterliuien die KrDmmnngscnrven sind:

Satz 36: Auf den Flächen constanter mittlerer Krüm-
mung bilden die ErümmnngscnrTen ein Isothermensystem.'

Femer lautet hier die Difiereutislgleichnng XI(0) der Minimal-
cnrven, da überdies F= 0 ist, so:

c*du* + dv* = 0
oder:

edu ± dv =0,
sodass

cu i:v = Const.

' Siehe Bohmh, „Note aar 1» th^oti
Conptea Kendos t. XXXVII (16&3), tmd die i
erwUmte AbhAndlang,

.dr,yGoogIe

S70 DritUr ÄbseimM: DU IUmdamentalglmchimgm der FläeheaÜteorü.

die endlichen OHeichongen der Minunalcarven sind. Da die Ein-
fOhrnng der Parameter u, ti nach dem Obigen nur Elimiitationen
and Quadraturen erforderte, so folgt:

Bats 37:' Auf den Flächen constanter mittlerer KrOm-
mnng lassen sich die Minimalcurven durch Quadratur be-
stimmen.

Insbesondere gehören die Minimalflächen zu den Flächen
conetanter mittlerer Krümmung, denn es Bind diea die Flächen, fSr
die £ = 0 ist In diesem Fall aber folgt aus. (23) anderes wie
oben, nämlich:

& = ew* (c = Const),

sodass nach Satz 32

(24) 1-4'',

d. L auch jetzt constant ist Der Satz 36 mag für diesen Fall be-
sonders formuliert werden:

Sats 38: Auf den Minimalflächen bilden die Krdm-
mongBcurren ein Isothermens78tem.

Hier lassen sich also die Erümmungscurven so anordnen, dass
sie nnendlich kleine Quadrate bilden, deren Diagonalcurven einer-
seits wieder ein Isothermennetz darstellen, weil das in I S. 125 Ge-
sagte ja offenbar auch auf Flächen gilt, und andereneits nach S^ 241
die Haupttaugentencurven sind, sodass auch der Satz gilt:

BatE 39: Auf den Minjmalflächen bilden die Haupt-
tangentencurven ein Isothermensystem.

Aus (24) erhellt femer, dass der Satz 37 au(^ für die Mioimal-
flächea gilt, indem sich hier die endlichen Glleichangen für die
Minimalcuiren ergeben;

2c M ± iv = Consi

Femer ist im Fall der Minimalflächen wegen * ™ c w' und
nach Satz 32:

k- =, ^^' 4 I

N ^ «>»(# -«.*') '

also, da ^= 0 ist, nach XII (Jf) dia Differentialgleichong der Haapt-
tangenteucurven :

~4c*du' + tlv' = 0

' Siehe die in der Anm. zu S. 366 genannten Aibeiten von Lib.

D,gH,zedr,yGOOgIe

//ZTi

§ 11. Eaupikribnmungaradien durek eine Relation verbanden. 871

oder:

2cdu±dtt = 0,

woraus die endlichen Gleichongen der Haapttangentencarreti hervor-
gehen :

2 c a ± B s= Conet
ÄIbo folgt:

Sati40: Aaf den Minimalflächen lassen sich die Haapt-
taagentencuTTen durch Qaadratar bestimmen.'

Übrigens kann man dies bei der in Satz 114, S. 247, gegebenen
Daretellang der Minimalflächen, die allerdings zur Voranssotzung
hat, dass man die Minimalcnrven der Fläche schon kennt, sofort
bestätigen, denn dort ergaben sich in (5) fUr die Fondamental-
grössen L, M, N solche Werte, fOr die die Differentialgleichung der
HaupttangenteuciuTen nach XII (X) so lautet:

sodass

yWdu ± i-fTd-ü = Const

die endlichen Gleichungen der Haupttangentencurreit sind.

Wir haben auf den Hinimalfläcben oben folgende einfache Dar-
stellungen der charakteristischen Gurren gefunden: Die Krttmmungs-
cnrven sind gegeben durch:

u = Const. , t) = Const. ,
die Minimalcurren durch:

2 c w ± i » = Const ,
die Haupttangentencurren durch:

2 c K ± tJ =• Const

Hieraus folgt, dass auf der Uinimalfläche die ErUmmnogscurreu so
angeordnet werden können, dass die Diagonalcurren ihres Netzes
entweder die Minimalcurren oder aber die Haupttangentencnrren
werden. Vgl I S. 138, 139. Man erkennt hieraus, dass der Satz 87,
I S. 139, für den Fall dieser Gurren auf den Kinimalflächen durch
unsere Ergebnisse bestätigt wird.'

' Dies wurde zuerst von Bobbbtb gezeigt, vgL die in der Anm. za S. 386
geoMinte AbhandluDg.

* Weitere AusfttbmngeD hierzu findet man in dem Werke von Lu:
„Vorlesangen über Differentialgleichungen mit bekannten infioi-
tesimaleii Transformationen", bearb. t. Verf., Leipzig 1891, Eap. 9, §4.

24*

.dr,yGoogIe

872 Dritter Abaebnitt: Die FundamMtaigleKhangen der Fläebenäuorie.
Auch die Flächen cooBtaster KrUmmung:

gehören zu den Flächen des Satzes 32. Mittels Elimination und
Quadraturen können wir also aoch anf ihnen solche Parameter u, v
einfahren, dass die Formeln des Satzes 82 gelteo. Alsdann folgt
aber, wenn vir dem Satze die Werte ron R^ und ü^ entnehmen:

oder

'•-i

woraus durch Integration folgt:

|log f&» - ^-) = lOgw + CODSt

oder auch:

i9-» = ^+c«)» (c-Const.).
Nach Satz 32 ist nun:

w* » ' Kein

Die Differentialgleichnng der Haupttangentencurven nimmt aUo
nach XII {X) hier die einfache Oestalt an:

und liefert die beiden einzelnen GleicbuDgen:

±cyYdu + dv=-0,
woraus folgt, daes

±c-^Y «+ r-Const

die endliches Gleichangen der Eaupttangenteacurren sind. Hieram
and aus Satz 34 folgt also:

Sats 11: Die ErUmmangscurreQ und Haopttangenten*
curven einer Fläche constanter ErOmmung lassen sich
durch Quadratur bestimmen.*

' Sat2 von Ln, „Znr Theorie d«T FlBchen conetanter Krüm-
mung, I", Archiv tot M«th. og Natnir. Bd. 17 (1878).

Pdr,yGOOgIe

§ 12. FuncHonea des Ortea auf der Fläche. 373

§ 12. Functionen des Ortes auf der Fläche.

Zum ScMuese dieaea Abschnittes wollen wir noch eine Be-
trachtung anstellen, die die natürliche VeraUgenleinening der Be-
brachtong im I. Baade, § 13 des ersten Abschnittes, ist. Wir stelleo
onB nämlich vor, es sei eine Fläche

(1) x=-if{u,v), y=/(u,«}, z = -^)(u,v)
nnd eine Function

der Parameter u und v gegeben. Dabei beschicken wir uns —
wie immer — auf eindeutige, endliche, stetige and differenzierbare
Functionen (vgl I S. 80).

Zu jedem Punkte (x, y, z) der Fläche gehört ein Wertepaar u, ts
der Parameter and zn diesem Wertepaar ein Wert der Function f.
Jedem Punkte (w, ») der Fläche ist also ein Zahlenwert der Func-
tion f zugeordnet Wenn man will, kann man der Function f eine
physikahsche Bedeutung unterlegen. Sie kann z. B. die Belegung
der Fläche mit einer Masse zum Ansdrack bringen, indem f die
Dichte der Masse an der Stelle (u, v) bedeutet, oder man kann sich
yorstellen, die Fläche sei erwärmt worden und habe au der Stelle
(u, c) die Temperatur /*(«, tr) u. s. w.

Giebt mim der Constanten e einen bestimmten Wert, so stellt
die Gleichung

.A»,t.)-c

eine Carre aof der Fläche dar (nach Satz 3, S. 11). So hegen auf
der El&cbe oo^ Cnrren

/■(«, p) Bt Const,

auf deren jeder f einen constanten Wert hat. Durchwandert der
Funkt (u, v) die Fläche (1) anf irgend einem Wege, so wird er diese
CarreuBchar durchsetzen, indem f nach und nach Terechiedene Zahlen-
werte annimmt Dabei wird die Geschwindigkeit, mit der sich f
ändert, auch wechseln.

Diese Geschwindigkeit können wir so definieren: Der Punkt
(u, v) lege einen unendlich kleinen Weg da zurück, indem seine
Parameter u und v nm unendlich kleine Grössen du und dv wachsen.
Dabei geht der zum Punkte (u, v) gehörige Wert von /"(tt, v) eben-
falls in einen unendlich wenig geänderten Wert über, denn f ändert
sich um

(2) df = fju + f,dv.

Pdr,yGOOgIe

874 Dritter Jbseknia: Die fiiadatMHtai^eit*»mgen der Fl&Aenlheorie.

Älsdano ist der QQoüent

d»

das MftftBB der Geschwindigkeit, mit der sich die FTinctiOl) /"
auf dem Wege dt ändert. Wir kCnnen diesen QaotienteD anch
den Differentialqaotienten der Function /* nach dem Wege
nenneo.

Es mnsB aher gezeigt werden, dass dieser DifferenÜalqootient
einen bestimmten Wert bat: Sind E, F, 0 die FnndamentalgrtBsen
erster Ordnung der Fläche (1), so ist

d»* = Edu* + 2Fdudv + Gdv',
also:

df f.du + f.dv

(3)

YEdit* + 2Fdudfi+ Gd^

Die rechte Seite ist homogen von oullter Ordnung in Bezug auf du
und dv, was auch dadurch zum Ausdruck gebracht werden kann,
dass man den endlichen Quotienten:

dv'.du = k
einfuhrt, wodurch rechts die Differentiale fortfallen, sodass sich der
endliche Wert ergiebt:

(41 -^ = /•- + r.* .

d> y£ + iFk+Gk'

Ist der Punkt (u, v) bestimmt gewählt worden, ebenso die
EUchtnng (k = dv. du) des Fortschreitens längs eines Elementes dt
und hat man eine Festsetzung über das Vorzeichen der Quadrat'
worzel getroffen, so hat die rechte Seite im allgemeinen einen eod-
licheo und bestimmten Wert

Nachdem wir so den Differentialqnotienten der Function f nach
dem Wege definiert haben, können wir ihn noch anders bezeichnen:
Die rechte Seite toq (4) hängt von der Länge des Weges di gar
nicht ab, sondern nur von seiner Sichtung, die durch k angegeben
wird. Daher können wir den Ausdruck auch den Differential-
quotienten der Function f nach der Richtung [k) nennen.

Wir sehen hierbei von solchen Stellen (u, ») der fläche ab, u
denen sowohl f^ als auch /, gleich Null ist, weil dann das Increment
von f nicht den Wert (2), sondern — vorausgesetzt, dass nicht alle
zweiten partiellen Ableitungen von /^ ebenda gleich 14ull sind — den
Wert:

Pdr,yGOOgIe

§ 12. RmeUontn du Ortes auf der Fläehe. 375

hat An einer allgemein gewählten Stelle («, v) der Fläche sind /^
and f^ sicher nicht beide gleich Null, weil sonst f «ine Consbmte
wäre, was wir natürlich aosschlieasen. Solche Stellen («, v) der
Fläche, an denen f^ = f^ = 0 ist, nennen wir singaläre Stellen
der Function f (vgl I S. 64).

Femer wollen wir im Fall einer reellen Fläche (1) mit reeller
ParsmeterdarstelluDg den Weg d» stets als poütiY betrachten, so-
dass die Quadratwurzel in (3) alsdann positiv zu nehmen ist, woraus
folgt, dass df: dt postiv oder negativ ist, je nachdem der
Zähler in (3), d. h.

f,du+f,dv

positiv oder negativ ist, d. h. je nachdem f auf der ein-
geschlagenen Richtang zu- oder abnimmt

Die Formel (4) werden wir also im reellen Fall lieber so
schreiben:
(5) '^ - , f'^f''

indem wir dann festsetzen, dase die Quadratwurzel positiv sein und
e » ± 1 sein soll, je nachdem

ist

um uns nun von der Art der Änderung der Function f ein
anschauliches Bild zn machen, tragen wir den Wert (4) oder (5) als
Strecke auf der Tangente des zugehörigen Weges d» vom Punkte
(u, v) aus auf and zwar, wenn der Wert positiv ist, im Sinne vom
Punkte (w, w) zum Punkte [u + du, v + dv), andernfalls im umge-
kehrten Sinne, also rückwärts. Zu einer Tangente des Punktes
{a, v) gehört zwar nur ein Wert von k = dv.du. Aber es ist auch

Ist der Differentialquotient df -.dt fUr du und dv etwa positiv, so
ist er für —du und —dv negativ, vom selben absoluten Werte und
umgekehrt Daraus folgt, dass wir bei seiner graphischen Darstellung
für beide Richtungen des Fortschreitens auf der Tangente (A) doch
nur eine Strecke erbalten, was auch die Formeln nachher zeigen
werden.

Es seien 3E, ^, 3 ^^ Bichtongscosinus der Tangente (k) und
zwar im Sinne des Fortschreitens vom Punkte (u, v) zum Punkte
(k + du, V -j- dv). Dann ist:

3E : ?) : 3 « {xju + x^dv) : {yju + y^dv) : (z„rf« + z^dv).

Pdr,yGOOgIe

876 J)ritter Abaehnitt: Di« Fmdammtaigitiekungm der Flächentheom.

also, dft die Samme der Qoadrate der rechtastehenden Klammem
nach XI {Ä) gleidi

Bdu'-\-2Fdudv+Odv''
ist:
™ « ^ ai.JM + »,rfp

o. B. w,, wobei die Qnadratwurzel im reellen Fall positiv zu wätdeo
ist Der Endpunkt der zugehörigen Strecke, die als Wert des Diffe-
rentialquotienten df:da aufgetragen wird, hat dann die CoordioateD:

oder nach (3) und (6) die Goordinaten:

^ > £ ' -r Edv} + 2Fdudt+ Odv*

Q. 8. w. Das Fehlen von Quadratwurzeln und die UnveAnderlich-
keit dieser Aasdrtldce beim Ersetzen von du und dv durch —d*
und —dv zeigt auch analj^isch, dass vir auf der Tangente, die za
k = doldu gehört, nur eine Strecke erhalten, gleichgültig ob wir
im einen oder anderen Sinne fortachreiten.

Wir können die Goordinaten £. Q, j des Endpunktes des
graphisch dargestellten Differentialquotienten auch so schreiben:

S"^ + -mÄ^-K + '.*).

i-'-r M + iFk + Ok*^'" ^'^'''•

Lassen wir k variieren, d. h. tragen wir auf allen Fort-
schreitungsrichtnugen vom Punkte (u, v) ans die zogehSrigen Werte
des Differentialquotienten dfidi graphisch auf, so ist der Ort der
Endpunkte (^, Q, j) eine Gurre in der Tangentenebene des Punktes
(u, t>). Diese Gurre ist durch (8) mittels des Parameters k dar-
gestellt Dabei sind mit u, v alle Grössen rechts ausser k be-
stimmte Zahlen.

In der Ebene ei^b sich als die entsprechende Goire eio
Kreis dnrch den Punkt (vgl Satz 56, I S. 84). Daes dies auch
jetzt der Fall ist, siebt man so: Wären a, b, c die rechtwinkligen

Pdr,yGOOgIe

§ 12. Funeiionen. des Ortea auf der Fläch«. 377

Coordinaten desjenigea Paii'kteB des iraglicheii EreiseB, der dem
Punkte {r,y, z) oder (w, v) gegeoUberliegt, ao wären

die Coordinaten der Ereiamitte and S (a -~ x)' daa Quadrat des
EreisdurchmeBserB, daher in den laofenden Coordinaten ;, 9, ) die
Gleit^nng:

8[j-i(<. + »)]>-iS(»-«)'

die Gleicliang der Eugel, die den EreiB zum grössten Ereis hätte.
£b müBste also gezeigt werden, dass es drei von A nnabhängige
Coordinaten a, b, c giebt, die erstens diese G-leichung erfQlIen und
zweitens einen Punkt in der Tangentenebene des Punktes (x, y, z)
festlegen. Die zweite Bedingung drQckt sich, wenn X, 7, Z die
KichtongacosiauB der Fläcbennormale sind, so auB:

(9) SI{a-x) = 0,

während die erste zunächst so geschrieben werden kann:

8[(E-i)-i(<.-^)]'-iS(<.-.)'
oder so:

S{S-^)'-S(S-«)(a-*) = 0.

Nach (8) und XI (^ ist aber:

Sfr ^>»- (f. + f,!')'

S(J - *)(« - ^) ^ JE+ZFk+Ök^

sodass die Bedingong, weil sich überdies der I^actor f„+ f^k und
der Nenner absondern lässt, bo lautet:

fu + /;* - 8{x„ + ^,A) (a-x) = 0
oder:

Ifu - S«.{« - ^)] + [(/; - S^.(a -x)]k^ 0.

Da die Bedingaag fttr alle Werte von k bestehen soll, zeriUllt sie
in die beiden Forderungen:

(10) sj:.(o -»)-/•.. s».(«-»)-/;. ,

Es kommt also nur noch darauf an zu beweisen, dass es Werte
a, b, c giebt, die den Gleichungen (9) und (10) genQgen. E^ sind
dies aber drei, in a — x, b—y, c — x lineare Gleichungen, deren
Determinante nach XI {!,) ron Null Terschieden ist, sobald die
Fläche nicht die Tangentenfläche einer Uiniuialcurre ist; von solchen

Pdr,yGOOgIe

S78 DriOer Abgehnitt: Di« f^mdamentai^tiekungen der

Flächen sehen wir ab. Also luaea sich a — x, b — y, c — z und
damit auch a, b, e aus (9) and (10) bestimmen. Folglich:

Bati 42: Trägt man anf allen FortachreitangsrichtnngeD
von einem Ftäcbenpunkte (u, v) ans diejenigen Differential-
qnotienten

df ^ Udu-frf,dV

dl yBdu'' + 2Fdudv+Ödv*

einer Ortsfanction f(u, v) graphisch als Strecken auf, die
zu den betreffenden Richtungen {dv.du) gehören, so ist
der Ort der Endpunkte dieser Strecken ein Kreis in der
Tangentenebene des Punktes (u, n); und dieser Kreis gebt
durch den Punkt (u, t>) selbst Torausgesetzt ist dabei, dass
die Fläche keine Tangentenfläche einer Minimalcarre seL
(Siehe Fig. 74.)

Unter alten Fortschreitungsrichtungen vom Punkte {u, v) ans
giebt es also zwei hinBichtUch der Function f ausgezeichnete
Sichtungen, eretena die Eich-
tuDg nach der Ereismitte bin
und zveitens die dazu senk-
rechte, also die Tangentenrich-
tung des Kreises im Punkte (a, b).
Die erste Richtung ist im reeUea
Fall diejenige, für die der DifTe-
rentialqnotient df-.dg eün Maxi-
mum bat, die zweite ist — auch im imaginären Falle — diejenige,
fOr die der DifTerentialquotient gleich Null ist. Jene erste Richtung
nennen wir kurz die Maximalricbtaug. Sie ist im reellen FaU
auch dem Sinne nach vollständig bestimmt, da sie zum Punkte
(a, b, c) geht Sind du, dv die Incremente von u und x> nach dieser
Richtung bin, so müssen sich die Differentiale

x^du + x^dv, y^du -\- y^dv , z^du + z^dv

zu einander verhalten, und beide Gr&ssenreihen müssen überdies
im reellen Fall in ihren Vorzeichen übereinstimmen. Da nun ans
(10) die in a — «, i — y, c — x homogene Qleicbnng folgt:

^„Sa:„((i - ar}-/;Si„(a -x] = 0,
so ist flir die gesuchten Differentiale

/;Si„(T„rf« + x^dv) - f^Sj^^ix^dn + x^dv) - 0

Pdr,yGOOgIe

§ 12. Funetioam des Ort§a auf der Fiäehe. 379

oder wegen XI {A):

(Ä/; - FQdu + {Ff, - Gfjdv = 0,
sodass

du:dv-{Gr.-fQ:(.ef,-FQ

ist. Wir wissen aber noch nicht, ob die OrÖBsen du nnd dv die-
selben Vorzeichen wie die Klamm eni rechts oder die entgegen-
gesetzten Vorzeichen haben. Es ist za fordern, dass z. B. die Summe:
8*„(*„rf« + x^dv) oder Sdu + Fdv

dasselbe Vorzeichen wie Sa^u(a — *) oder — nach {10) — wie f^
habe. Wenn wir statt du nnd dv direct jene beiden Elammern
setzen, so tritt statt Edu + Fdv anf:

£{Gf^ - FQ + F(Ef, ~ FQ
oder

{EG~F*)f^,

and dies ist im reellen Fall nach S. 18 wirklich von demselben
Vorzeichen wie /"„. Also sehen wir:

F&r die gesnchte Maximalrichtang sind du und dv proportional
(?/; - Ff^ und Ef^ - Ff^

and stimmen — im reellen Fall — ■ auch im Vorzeichen mit diesen
Grössen aberein. Aus (3) folgt der zugeh&rige Wert des Differential-
quotienten von f, wenn wir diese proportionalen (rrössen einsetzen.
Da nämlich.
(U) EiGf^-Ff/ + 2F(Gf^-FQ{Ef-FfJ+G(Bf„-FfJ»=.

= {EG-F^{Ef^'-2FfJ^+Gf/)
ist, so kommt:

und zwar gilt hier im reellen Fall das positive Vorzeichen bei der
Wurzel, deren Badicand im reellen Fall selbst positiv ist

Denken wir udb jetzt die Fläche von den schon oben erwähnten
oo^ Curven

/■(a,i') = Const

Überzogen, so wird durch den betrachteten Punkt (u, v) eine ge-
wisse Curve der Schar gehen. Längs ihrer ändert sich die Orts-
fanction f nicht, längs ihrer Tangente im Punkte (u, v) ist df^er
df-.ds=zO. Mithin berührt sie im Punkte (u, v) den in Satz 42

Pdr,yGOOgIe

880 Dritter AbmAnitt: Du Fundamentalgleü^tungen.der Fläeheatheorie.

angegebenän Kreis. Die za ilirer Tangente Benkrechte Tangente
giebt also die MaximalrichtuDg an; sie ist die Richtung der durch
den Punkt (u, v) gehenden orthogonalen Trajectorie aller CuTTen
f= Coiist. Wir sagen deshalb:

8ats 4S: Der Differentialquotient df:d» der Oiti-
function f{u, v) auf einer Fläche hat im Packte (u, v) der
Fläche für die verschiedenen Fortschreitungsrichtungen
verschiedene Werte. Er ist gleich Null längs der Tangente
der Curve /"«Coost, die durch den Puokt {«, v) geht, und
hat längs der Tangente der durch den Punkt (u, n) laufen-
den orthogonalen Trajectorie aller oo' Carvea /"^Const.
den Wert;

der im reellen Fall das Maximum unter allen Werten von
df:dt an der Stelle (u, d) angiebt Längs der Fortscbrei-
tungsrichtung dieser orthogonalen Trajectorie sind die
Incremente du und dv den Grössen:

proportional, und im reellen Fall stimmen sie auch mit
diesen Grössen in den Vorzeichen tkberein, wenn der Sinn
der Fortechreitnng ao genommen werden soll, dass/" dabei
wächst

Kennt man den Differentialquotienten df: da ftlr zwei RichtuDgen
durch den Punkt (u, v), z. B. fUr die (positiven) Fortschreitungs-
richtimgen auf den ParameterlioieD, so kennt man ihn fllr alle
Kichtungen durch den Funkt (u, o). Denn wenn man die beidea
Werte — anter Beachtung der Vorzeichen — graphisch anfträgt,
erhält man zwei Endpunkte, die zusammen mit dem Punkte [», rj
den in Satz 42 angegebenen Ereis bestimmen.

Aus unseren Betrachtungen geht auch der Satz hervor:
Bati 44: Soll sich der Punkt (u, f) auf einer Flächeso
bewegen, dasa sich eine Function /"(u, v] seines Ortes m9g-
lichst stark ändert, so muss er eine Cnrve beschreiben,
die alle Curven

/■(«,i.) = ConBt.

auf der Fläche senkrecht darchschneidet

Vgl Satz 57, I S. 85, ftlr den FaU der Ebene. Wie wir dort
weiterbin den Satz 58, 1 S. 86j ableiteten, so könnten wir audi Mn*

Pdr,yGOOgIe

§ 12. Funetiotien des Ortea auf der Fläche. 381;

einea eDtsprechenden Satz beweisen. Wir gehen hierauf aber nicht
ein. Dagegen sei ein Umetaad ervähnt, der Bedenken erregen
könnte: Wir sahen, dase die Differentialqnotienten df:ds der Orta'
fnnction f graphisch als Sehnen eines BJreises dargestellt werden
kSnoen. Nan aber gehen vom Pnnkte (u, v) zwei Minima]richtungen
anf der Fl&che ans, anf denen ds = H ist (nach S. 35), sodass hier
df-.ds ~ 00 wird. Thataächlich hat aber auch jeder Ereis anend-
lich grosse Sehnen, sobald man auch das Imaginäre berücksichtigt
Z. B. wird der Kreis in der xy-Ebene:

x'-2ax + i/' = 0,

der durch den Anfangspunkt geht, von einer Geraden }f =^ ax durch
den Anfangspunkt zum zweiten Mal in einem Ponkte getroffen, dessen
:r-Coordinata den Wert

hat. Für « =■ ± i aber wird dieser Wert unendlich gross.*

Fuhren wir auf die F^he (1) eine Bewegung aas, bringen wir
sie also in eine andere Lage, so bat das keine Wirkung auf die
ENinction f{u, v) des Ortes, da die Parameter u, v nach wie vor
dem alten, allerdings an eine andere Stelle des Baumes übergeführten
Fl&chenpunkte angehören. Also bleibt anch der Ausdruck (12) da-
bei ungeändert, weil sich ja auch E, F, 0 und i> nach Satz 6,
S. 16, nicht ändern.

Fahren wir zweitens neue Parameter a und f auf der Fläche
ein, indem wir etwa:

(18) « = 1(0,*), t) = /i(ö, «)

setzen, so geht die Fnnction f[ti, t>) des Ortes in die Function:

von ü, s über. Da aber der Punkt (u, v) mit dem Punkte (fl, Ü)
identisch ist, sobald die Parameterpaare den Bedingungen (13) ge-
nügen, 80 gehört nach wie vor jedem Punkte der Fläche
derselbe Zahlenwert von f zm, der ihm früher durch /" zu-
geordnet war. Daher bleiben dann auch unsere Betrachtungen

< Wie wir in I S. 839 aahen, haben alle Engeln in der Auffaaaung der
pKtjecüven 0«ometrie einen imaginSren nnendlich fernen Kreis gemein. Jeder
Kreis also bat im Unendlichfemen zwei imaginftre Pnnkte, nSmlich jene Punkt«,
in denen seine Ebene jenen unendlich fernen Kreis trifft. Dies zur Erlfiutemng
des Textes; doch machen wir von diesen Voratellmigen keinen Oebmnoli.

Pdr,yGOOgIe

882 Dritter JiMshmti: DU tktndametOaigUiehungm dar Fläehadheorü.

Aber den DifFerentialqiiotieDteD richtig. Der MazimaiweFt des Dif-
ferentialqnotieQteo tos f ist nun, wenD S, F, 0 die auf a, « be-
z&gliclien FuDdamentalgrössen der Fläche bedeuten, analog (12) za
bilden, indem darin alle Grössen mit Queritricheii zii veraehen
sind. Er moss notwendig denselben Wert wie früher haben, da ja
jedem Funkte der Fläche noch dieselbe Zahl durch die Orts^ctioD
zugeordnet ist wie vorher.

Dieser Scblass Iftsst sich auch auf den imaginären Fall aus-
dehnen, denn die Grösse (12) kann, statt als Maximalwert, aacb als
der vom Punkte (u, v) ausgebende Kreisdurchmesser definiert werden,
und diese Defimtion behält auch fdr den imaginären Fall ihren Sinn.
Da wir aber im Fall einer imaginären Fläche oder einer imaginärea
Parameterdarstellnng einer reellen Fläche keine Festsetzung über
das Vorzeichen der Quadratwurzel getroffen haben, ho kOnnen wir
das Ergebnis allgemein nur für das Quadrat des Äusdruckee (12)
aussprechen :

Bati 4S: Ist /*(«, v) eine Function des Ortes (u, v) anf
einer Fläche, so ändert sich der Ausdruck
■EA.'-aF/./l+g/-.'

weder bei Ausführung einer Bewegung noch bei Einführung
neuer Parameter anf der Fläche.

Dieser Satz lässt sich auch direct leicht beweisen, indem man
nämlich in den Ausdruck:

lie Werte von

. E, F, 0 nach den Formeln (11) auf S. 17 und die

df _ df ai df dfx

ds '^ du df^ dv dB

einsetzt, wodurch der im Satze angegebene Ausdruck hervoi^hL

Der im Satze angegebene invariante Ausdruck heisst der erste
Differentialparameter der Function f{u,vy und zwar deshalb

' GaoE gelegentlich kommt ein erster Diflereiitialparameter Bchon in ßm»'
„Disquisitiones" (vgl. die Änin. ta S. b) in art 32 vor, wie man überhaupt
mUQrgeinau bei vielen Bechnnngea in der FUlchentbeorie auf diesen invariwitai
Aosdrack geführt wird, hutt dagegen hatte in seinen „Le^ons ear lei

Pdr,yGOOgIe

§ 12. FuncUonm des Ortes auf der Fläche.

der erste, weil man anch mit dem zweiten Differentialqiiotienten
YOD f einen iaTarianten Ansdrack bilden kann, den wir jedoch mcht
besprecben. Zar AbkOrzung bedienen wir ona fbr dieses ersten Diffe-
rentialparameter Ton f des Zeichens
Jff.
"Wir definieren dies Zeichen also dnrch die Formel:
(14) dff = ^

Der Satz 45 Ober die ünverilnderlichkeit von Jff gilt wohl-
bemerkt nnr für Fanctionen f{u, «), deren Zahlenwerte den Pnnkten
(k, v) der Fläche auch nach der Einführung neuer Veränderlicher
bleiben. Deutlicher wird dies, wenn wir ein Beispiel beibringen, in
dem Jff sich dennoch ändert: Verstehen wir unter f etwa den
Cosinus des Winkels der beiden durch den Punkt {u, v) gehenden
Parametercurren, sodass nach (11), 8. 31,

ywya

ist, so sind bei der Eiofflhnuig neuer Parameter zwei Auffassungen
möglich: Entweder halten wir an der dorcb diese Formel gegebenen
analytischen Deänittoo von f als Function von u und v fest,
sodass wir die EinfUhrung neuer Parameter ü, £ dadurch bewerk-
stelligeo, dass wir in dem Ausdruck von f für u und v ihre Werte
in ü nnd ü einsetzen. Alsdann bleibt Jff ungeändert, aber nach
der Einführung der neuen Veränderlichen stellt f nicht den Cosinns
des Winkels der neuen Parameterlitiien, sondern immer noch den
Cosinus des Winkels der alten Parameterlinien dar, weshalb der
Ausdruck f nnd mit ihm Jff alsdann im neuen Parametersystem
wenig Interesse bat. Oder aber wir bleiben hei der geometrischen
Definition von /'als Cosinus des Winkels der Parametercarven, sodass
vir in der nenen Veränderlichen ä, § statt f den Ausdruck:

VeVö

coordonn^ea cnrviligneB", Pftris 1859, Di^rentialparameter mit voller
Kenntais ihrer Bedeahng für die Ebene and tti d«n Ranm einf^fQhrt, und
sie erwiesen sieh als äusserst niltzlicfa in der Physik nnd Mechanik. Aber erat
Beltkami hat ihren Begriff anf die Flächen Übertragen unä für die Geometrie
der Flächen eine analoge Theorie geschaffen. Zu nennen sind seine Abhand-
inngen: „Ricerche di analisi applicata alla geometria", Giomale di
Matern, tll (1865), nnd „Sulla teorica generale dei parametri diffe-
renziali", Menwrie dell' Accadeinia delle Seienze di Bologna, ser. 11, tVlII
(1869).

Pdr,yGOOgIe

S84 Dritter Jisehnitt: DU Fundammtaigleicimngm der FlächeiaieorU.

benutzen. Aber diese Function f geht aus f nicht durch £in-
führnng der neaen Vei^derlichen herror, ist also keine Ortsfnnetion,
oder anders gesagt: f hat für ein und denselben Flächenpunkt einen
anderen Zahlenwert als f, denn f bedeutet f&r diesen Paukt den
Cosinus des Winkels der alten und f den Cosinus des Winkels der
neuen Farameterlinien. Daher hat auch der BifferenUalparameter
von f in den alten Parametern fUr ein and denselben Ftächenponkt
einen anderen Zableavert als der Differentialparameter tod f in den
neuen Parametern.

Anders verhält es sich, wenn wir die Function / ohne Bflck-
sicht auf das gerade gewählte Parametersystem zu definieren ver-
mögen. Dies ist z. B. der Fall, wenn f das ErOnunongsniaaBB K
oder das Quadrat der mittleren Krümmung H isL^ (Y^ S. 943.)
Andere Beispiele sind: / bedeute das Qnadrat des IMerential-
quotienten von K längs einer der EauptkrfimmnngsrichtungeD des
Flächenponktes oder: f bedeute die Ezcentricität der Indicatrii des
Flächenpunktes u. b. w.

Ist z. B. f= K, dem KrOmmungsmaass, so ist A^^ eine eben-
falls gegenaber der Einftthrang neuer Vei^derlicher iuTahsDte
Grösse.

Wir thun daher gut, den Satz 46 etwas deutlicher so zu for-
mulieren:

SatB 46: Führt man die Operation

. EfJ'-SFUf.+ afJ'
^ff~ ^i

auf eine solche Function f{u, v) aus, die gegenfiber allen
Bewegungen und bei Einführung irgend welcher neuer
Parameter auf der Fläche ungeändert bleibt, so geht eine
Function von derselben Art hervor.

Die Functionen, von denen in diesem Satze die Rede ist, sind
eben diejenigen, die wir auf S. 342 als die Differentialinvari*
anten der Fläche gegenüber den Bewegungen und der Ein-
führung neuer Parameter bezeichnet haben and die selbstrer-
ständlich fUr die Geometrie der Fläche die grösste Bedeutung haben.

In betreff der Minimalcurven können wir noch einen ein-
fachen Satz ableiten:

' Wir nehmen hier und im folgenden Beiapiel du Quadrat, weil die In-
varianz dann auch bezüglich des Vorzeichens geeit^ert Ut, eine VoranaHbongi
die wir hier ja eteta machen. (Vgl. hierm S. 346.)

Pdr,yGOOgIe

§ 12. Funetionm de» Ortes auf der Fläche. 385

Nehmen wir an, es aei

f(u, v) = Const

die endliche Gleichung der einen Schar Ton MinimalcorTen auf der
Fläche. Aledann ändert sich die Ortsfimctdoo f nicht beim Fort-
schreiten längs der Mimmaicnrven, daher nach Satz 44 am stärksten
in den za ihnen eenkrechten Trajectorien. Diese aber fallen mit
jenen Minimalcurren selbst zusammen (vgl. S. 177 oder Satz 47,
I S. 338), auf denen sich f nicht ändert Der Widerspruch kann
sich nur dadurch lOsen, dass in diesem Fall die Maximaländemug
Ton f gleich Null ist, d. h. nach Satz 43 muss jetzt

(15) ^C'- ^^fuf.+ <^fu = 0

sein. Da wir jedoch hierbei das Imaginäre benutzten, während jener
Maximalwert aus der Betrachtung der grössten reellen Sehne des
in Satz 42 gefundenen Kreises abgeleitet wurde, soll dies noch direct
bewiesen werden: Länge der Cnrven

f{u, v) = Const
ist:

also f^:f^*= — dv.du. Setzen wir diese proportionalen Werte in
(15) ein, so kommt:

firfM»+ 2Fdudv + Gdv* = 0.

Dies ist aber nach XI {O) die Differentialgleichung der Minimal-
cnr?en. Daher:

Bati 47: Damit die Corvenschar
/•(«, tj) = Const.

auf der Fläche mit den Parametern u, v eine der beiden
Scharen Ton Minimalcurven sei, ist notwendig und hin-
reichend, dass der erste Differentiatparameter Jff fUr alle
Werte von u and v gleich Nnll ist. —

Dieselbe Betrachtang der DifFerentialquotienten wie oben fUbrt
uns auch noch zu einem zweiten Differentialparameter, d. h. zu einer
zweiten Operation, die auf inTariante Functionen ausgeübt wieder
invariante Functionen liefert.

Wir betrachten nämlich ausser der Ortsfunction f(u, v) noch
eine zweite Ortsfunction ?{m, »). Im Punkte F oder (u, v) liefert
die graphische Darstellung aller Differentialquotienten df:ds die

SUMMFIUI», Osom. JABi. U. •'ö

.d=,GoogIe

Drüter AbwkniU: Die Fmtdammtalgleiebumgm der Fläehenthtorit.

Sehnen eines Kreises und ebenso die grapbdscbe DsrstelioBg aller
Differentialquotienten dg: dt, nach Satz 42. Dabei sei PQ, der
Borchmeaser des einen, PQ, ^^^ *^^ anderen
Kreises (siehe Fig. 75). Nach dem SVflheren
ist PQ■^ senkrecht zur Tangente der durch P
gehenden Gurre
Fig. 75. f{u, v) = Const

und PQ^ senkrecht znr Tangente der durch P gehenden Gurre

^(a, tj) = Const.
Auch ist nach (12) nnd (14):

(16) pQ,=y^r -p«i=y^.

und zwar gehen im reellen Falle die positiven Wurzeln. Femer
wissen wir nach Satz 43, dass der Punkt (n, v) die Richtung PQ,
einschlägt — auch dem Sinne nach — , wenn seine Parameter am
Incremente du und dv wachsen, die den Grössen
Gf^ - P/; nnd Ef^ - Ff^

proportional sind und im reellen Fall auch in den Vorzeichen mit
ihnen übereinstimmen. Nach (6) und (II) sind die Richtungscoarnns
3^1. ?)n 3i '0° -PQi daher leicht zu berechnen. So ergiebt sich
f^r 3Ei der folgende im reellen Falle auch dem Vorzeichen nsch
exacte Wert, wenn die Quadratwurzel posidv genommen wird:

' DVEf,''- i'FfJ^^^WfJ'

Analog sind ^j und 3i zu bilden. Wir erhalten hierans die fiicli-
tungacosinuB 3£,, ^,, 3s ^<^° PQt> ^^''^ / durch g ersetzt wird.
Hithin ist der Cosinus des Winkels a, den PQ, und P^ mit ein-
ander bilden:

cos K = S [((?/:- Ff,)x, + {Ef,-^p;Q^\ [{Og,-Fg,)x. + (Eg.-Fg^^}
D' 1/"&Y„' - -i'Ff, f.+ O fj ysg* - 2 Fg, g. + Og,*

oder mit Rücksicht auf XI {A) und XI (<7):

(17) cos« ^f'J:-.l(r~l:±M'}±lA^

- 2Ff.f,+ OfJ yHg,'- iFg,g, + ffy.»

Also kommt, da die erste Wurzel im Nenner nach (14) gleich D'^^th
die zweite gleich I>}fÄ~^ ist:

D,gH,zedr,yGOOgIe

S 12. FtmaÜMM dn Orta attf der Fläeie. 387

oder iift«ti (16):

(18) J'(;,f8,-co.«-A/--»--J-if-»-^y-»-n-c/.j.,

Links steht dos Product aas dea buden Strecken PQj. und PQ^
□nd dem Cosinus ihres WinkelB, ftlso das Product der einen Strecke
PQ^ in die Projection PQ^ cosa der anderen Strecke auf sie. Man
nennt ein solches Product das innere Prodnct beidet Strecken.'

Wenn wir nun wieder die Fläche irgend einer Bewegung unter-
werfen oder auf ihr neue Parameter einfuhren, so bleiben die
Strecken PQ^ and PQ, davon in Bezug auf ihre Länge und gegen-
seitige Lage unberührt. Daraus folgt dann, dass auch die rechte
Seite von (16) dabei ungeändert bleibt. Dies gilt auch im imagi-
nären Falle, obgleich dann die Vorzeichen von P Qj und P Q, frag-
lich sind. Man braucht ja nur zn beachten, dass a nach der
Definition des Winkels in n — « übergeht, wenn PQ^ oder PQ^
das Zeichen wechselt, sodass das Vorzeichen der linken Seite von
(18) auch im imaginären Falle bestimmt bleibt Man sieht dies
zum ÜberäuBS auch daran, dass die rechte Seite von (IS) kein
Wurzelzeichen mehr enthält

Diesen invarianten Ausdruck nennt man den Zwischenpara-
meter oder gemischten Differentialparameter der Func-
tionen f und g.* Wir bezeichnen ihn mit Jfg, setzen also:

(1») afj = ~— ^

hA f=g, so geht er in den ersten Differentialparameter Äff von f
Über. Die Definition (14) von Äff ist also nur ein besonderer Fall
der allgemeineren Definition (19). Auch sieht man, dass in Afg die
Reihenfolge von f und g gleichgültig ist:
(20) 4, = Agf.

' Wir haben also jetzt den
8»ti 48: Führt man die Operation

. ._ Ef.g.-F(f,g, + f,g^.t-ar.a~

Art = -jji—

■ Eine Bezeichnung, die voa GBuraum durch «eine „Oeometriache
Analjae", Preisachrift, Leipzig 1641, eingefObrt wurde. Innere Prodacte
spielen in vielen mftthemfttisohen Theorien eine wichtige Rolle.

■ Vgl. die Anm. sn S. SSZ.

25'

^dnyCOOgle

888 Dritter Msehmtt: Die FvndammtaigltitittMgm d»r FtäeheaHuone.

auf zwei solche Fonctiooen f(u,v) und y(u, «) ana, die
gegenüber allen Bewegungen und bei EinfQhrnng irgend
welcher neuer Parameter auf der Fläche ungeändert blei-
ben, so geht eine Function von derselben Art hervor.

Man kann die UuTeränderlichkeit bei EinfQhmng neuer Para-
meter ü, € auch direct bestätigen, indem man:
ti = i(fi, fl), v = fi(a, iS)
annimmt und nun in den Ausdruck

die in (11), S. 17, angegebenen Werte ron E, P, Q, ferner die Werte
auf S. 382 unten und endUcb noch die Werte

du '

dg _ bg_ bl dg^ Bji^

S» öu dl ■*" dv df
einsetzi^ wodurch der im Satze angegebene Aasdruck herrorgeht

Aus der Definitionsgleichung der Difierentialparameter ^ff, J^^
und Jfg folgt, wenn man f= u, g = v setzt:

(21)

ä...

D"

J,^

B"

A.

sodass wegen

D'~

EG-

F^ kommt:

(22)
also:
(23) ^--r

'.,

A,

F.

-i.

i

ff =.-

J„

Diese Formeln sind bei der E}infUhnmg neuer Tei^nderlicher
in das Quadrat des Bogenelementes

ds*= Edtt' + 2Fdudv + Odv*
sehr bequem, denn wenn dieses Quadrat dnrch £in:%hrnQg nenei
Parameter ü und €, die irgend zwei ?ou einander unabhängige
Functionen von u und v seien, in:

dt'=JSdü*+ 2Pdüd€+ Ode*
Obei^ebt, so ist nach (23) z. B.

,dr,Google

§ 12. B»neUonm des Ortes auf der Fläelte. 889

wo vir J Btatt ^ geschriebeii haben, weil die Symbole jetzt mit
E, ßf Q, ü, e statt mit E, F, Q u, v m bilden wären. Aber nach
Satz 46 nnd 48 werden die Differentialparameter dnrcb EinfUhmng
neuer Veränderlicher nicht g^udert, sodaes

T . \Sv! du dt Vflw/

^E - ^, = ^

n. B. w. ist Wir kdnaen daher sagen:

Sati 49: Führt man auf einer Fläche mit dem Bogen-
element-Qnadrat:

dt*= Edu'+2Fdudv + Qdv*
neue Parameter ü, f vermöge zweier Gleichungen
ä = /-(w,r), V = s[u.v)

ein, BO Bind die neuen Fundamentalgröasen erster Ord-
nnng diese:

^tf ^tf - ^h ' ''fr \t - ^/» ' -^ff ^ta - ^h

Ee ist dies natürlich nnr eine andere Schreibweise der Formeln
(11), S. 17, bei denen statt

ü~f[u,v), ^=g (a, v)
die nach u und v aufgelösten Gleichungen

a = i(ö,fl), r = iu(fl, C)
vorgelegt waren.

Wir wollen diesen Satz 49 schliesslich zur Beantwortung einer
wichtigen Frage verwenden, die wir früher nur gestreift haben und die
wir allerdings auch hier nur unter gewissen beschränkenden Voraus-
setzungen beantworten wollen, nämlich zur Erledigung des Problems,
wie man erkennt, ob zwei gegebene Flächen auf einander
verbiegbar sind.

Wir erinnern dabei, an den Satz 5, 8. 275, nach dem zwei ge-
gebene Flächen

(24) x^ifittjv), y=jf(a,w), z = t(>{u,v)
und

(25) s=^{ü,ff), ä? = /(e,fl), s = f(fl,«)

dann und nur dann auf einander verbiegbar sind, wenn man solche

D,gH,zedr,yGOOgIe

890 Dritter AbMhnitt: Die FkmdammtalfflMcImnsm der Ft&Aentheorie.

Dene Pftrai»«t«r ü, e atf der osteD Fläclie eiuftkhren kann, dtw
alsdann ihre zogehdrigeo FuBdamentalgrOsseii erster Ordumg mit
deaeB der zreiten Fläche fibereinBtimmffii. Dieser Satz sagt nidits
darüber aus, wie man erkennt, ob es solche nea« Parameter giebt;
in dieser Hinsicht soll er hier ergänzt werden.

Wir schilpen hierbei Eines vorans: Eb seien £, jP, 6 die Fnnda-
mentalgrössen erster Ordnung der Mäche (24) und E, F, 0 die der
Flache (25). Nun möge

f{E,F,G, E^,E^...)

eine solche Function der Fnndamentalgrössen E, F, G und ihrer
Ableitungen nach « und v smn, die sidi nicht ändert, wenn man
neue Parameter auf der Fläche einfuhrt Eine solche Function ist
nach Satz 4, S. 273, z. ß. das Krümmungsmaass A' der Fläche (24).
Sind nun die Flächen (24) und (2&) auf einander verbiegbar, giebt
es also solche zwei von einander unabhängige Gleichnngen:
M = A(o,fl), v = n(ü,^,

vermöge deren wir solche neue Parameter ü, f auf der nisten
Fläche (24) einführen können, in denen die Fundamentalfp-össen
erster Ordnung dieser Fläche mit den zur Fläche (25) gehöngeo
FundamentalgröBsen erster Ordnung E, F, 0 Ubereinstimm«!, so
geht die Function f, die ja eine Function von u und c ist, dadurch,
daas wir darin fQr u und v die Werte X und n einsetzen, genau in
f{£, F, 0, ^, Ff...)

über, da sie ja nach Voraussetzung nngeändert breiben soll. Dies
ist eine Function der Fundamentalgrössen erster Ordnung der zweiten
Fläche (25) und der Ableitungen dieser Grössen nach ü und s, wii
sie bleibt bei EinfELhrnng neuer Parameter ungeändert

Wenn also die beiden Flächen (24) und (25) auf einander ver
biegbar sind und wenn

fiE,F, G,E^, E^...)

eine bei der ersten Fläche gegenftber der ' Einführung neuer Para-
meter unv elender liehe Function ist, so ist

f{,F,F, Ö,£i,E-^...)

eine bei der zweiten Fläche gegenüber der Einführung neuer Para-
meter unveränderliche Function, und überdies haben die beiden
Functionen ftlr einander bei der Verbtegung entsprechende Punkte

Pdr,yGOOgIe

§ 12. FkmeÜonm des Ortea auf der FUüAe. 891

(u, v) und {ü, «) beide»' Flachen dieselben Zahlenwerte. Ein Special-
fftU hiervon ist der Satz 6, S. 275, fUr das KrUmniungiBnuuuB.

Jetzt wollen wir annehmen, es seien nns zwei Functionen

f(E,F,G,E^,E^...), g(E,F,(},E^,E^. . .)

bekannt, die erstens bei der EinfUhraug neuer Parameter
auf der ersten Fläche (24) unge&ndert bleiben und zweitens
TOn einander unabhängige Functionen von u und v seien.
Sollen dann die beiden Flächen auf einander verbiegbar sein,
so müssen nach dem Vorhergehenden in solchen Punkten (u, v) und
(ä, a) der beiden Flächen, die bei der Verbiegung mit einander zur
Deckung kommen, jene Grössen f, g mit den Grössen, die man
analog für die zweite FUlche (25) bilden kann, nämlich mit den
Grössen :

f(E,F,a,Es,Se...), g{E,f,G,Si.Ei...)

flbepeinstimmeD, d> h. einander entsprechende Punktepaaxe (u, v) und
(ß, 0) sind durch die beiden Gleichungen:

( f(E,F,G,E^,E^...)~f(E,ff,Ö,Ss,Ei...),
(26) I / ^ ' ' ' - " ' />•.»" V I'

I g{E,F,G,E^,E^...) = ff[E,E,0,Ei,e,...)

mit einander verknüpft Die linken Seiten dieser Gleichungen ent-
hatten nur u und v, die rechten nur ü und f>. Ausserdem sind sie
nach II, V auflösbar, da die linken Seiten nach Yoraussetzung von
einander unabhängige Functionen von u und v sind. Wären nun
die rechten Seiten nicht ebenfalls von einander unabhängige Func-
tionen von ü und €, so bestände zwischen ihnen nach I S. 82 eine
Gleichung, sodass die Gleichungen (26) auch eine Relation zwischen
den linken Seiten nach sich zögen. Da diese nidit füx alle Werte-
paare u, V bestehen könnte, weil die linken Seiten ja ron einander
unabhängig sind, so hiesse dies, dass nur ftir eine Curve auf der
ersten Fläche die Grössen /' und ff mit denen auf der zweiten
Fläche übereinstimmten, nadi Satz 3, 8. 11. Dann also wäre die
Verbiegung unmöglich.

Wir wollen dfUier jetzt überdies voraussetzen, dass die rechten
Seiten von (26) von einander anabhängige Fonctionen der Para-
meter ü, e seien.

Nunmehr sind die Gleichungen (26) sowohl nach u, v als auch
nach ü, € auflösbar — wenigstens theoretisch, sodass sie diejenige
Zuordnung zwischen den Punkten («, v) und (ä, «) beider Flächen

Pdr,yGOOgIe

392 Dritter Jbaehnitt: Die J/hmdamtntalnieiöhungen der FläehmOteane.

definieren, die bei der Verbiegung auftritt, wenn diese Verbiegmig
Hberhaapt möglicb ist

Nach Sati^ 46 und Satz 48 Bind nun

drei Functionen von E, P, G und ibren Ableitungen, die mit f und
g selbet bei EinfUhmng neuer Panuneter ungeändert bleiben. Den
SchlusB, den wir oben für f zogen, kdnnen wir daber aucb flir diese
drei Functionen- macben: Ist die Verbiegnng möglich, so moBS aucb:

(27) ^tf=^Vf^ ^r,= ^n, 4, = -^si

Bein. Hierin sollen natUrlicb f, g die rechten Seiten von (26) sein
nnd die Di£Ferentialparameter recbts für die zweite Fläche, d. b.
mittels £, P, Q, gebildet werden.

Dies alles sind notwendige Bedingungen f^r die Verbiegbar-
keit Jetzt wollen wir zeigen, dass sie &ncb binreicben. Wir setzen
also Torans, dass diejenigen Functionen u, v von &, «, die durch
(26) definiert werden, auch die drei Gleichungen (27) für alle Wert«
von ö, B arflülen. Nebenbei bemerkt: Wenn die Gleichungen (26)
mehrere LSsnngen u, v zulassen, so wählen wir unter ihnen eine
solche, die auch die Gleichangen (27) erfüllen.

Wenn wir jetzt auf beiden Flächen nene Parameter u, d ein-
führen, indem wir auf der ersten:

(28) u = /•, B = ?
und auf der zweiten

(29) u = /", Xi=g

setzen, was wir dürfen, weil f, g hinsichtlich u, t> und f, g hinsickt-
hch ß, c nach Voraussetzung von einander nnabhäi^g sind, so
nehmen die Quadrate der Bogenelemente beider Flächen neue Formen
an, etwa:

ds*- ^dv* -\- 2%daä\i-if%dxi*.
Aber nach Satz 49 ist dann wegen (28) bez. (29):

(30) (S ^ , « = -^--J^^

Infolge von (28) und (29) ist aber {=*(, g=g, flodasa die
Gleichungen (26) er^t sind, die nach Voraussetzung die Gleichangen

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 12. FuinaioMm dea Orfw ou/' der Fläche. 393

(27) Dach sich ziehen. Diese haben n&ch (30) die Gleichung 9^=9 zur
Folge. Ebenso erkennt man, dasa $ ■- § und ® ~& wird, sodass
bei beiden Flächen die Quadrate der Bogenetemente fttr den Fall
der Parameter u und u abereinstimmen.
Also folgt:
Bati 60: Kennt man bei der Fläche,

x = <p{u,v), y = z («, r) , z = \f (u, v)
zwei von einander unabhängige Functionen

f{S,F, ß, E^.E^ . . .) und g{E,F,Q,E^,E^ . . .)

der Fundamentalgrössen erster Ordnung E, F, O und ihrer
Ableitungen uacb u und v, so kann man die Frage, ob und
wie sieb die Fläche auf eine andere gegebene Fläche:
i = ^(ö,fl), y=^(e, c), i = f(ö,fl)

verbiegen lägst, stets durch Eliminationen entscheiden.
Man berechnet nämlich die FnndaroentalgrSssen erster
Ordnung £, P, Q der zweiten Fläche und bildet die Func-
tionen:

/■= f{E,F, a,Es,Es...) und ff = g[E,F, (?, ^.JV . . .),

die aus den beiden bekannten Functionen /' und ^ dadurch
hervorgehen, dass man E, F, G durch E, F, 0 und m, » durch
ü, € ersetzt. Damit nnumebr die Terbiegung mOglich sei,
ist notwendig nnd hinreichend, dass erstens /^nnd g bei
Einf&hrung neuer Parameter auf der zweiten Fläche un-
geändert bleiben, dass sie zweitens von einander unab-
hängige Fanctionen von ü und e seien und dass drittens
die aus

f = r, 9 = 9
folgenden Functionen u nnd v von n und fi auch die drei
Gleichungen

für alle Werte von fi, C erfüllen, wobei sich die Differen-
tialparameter J auf die erste, die Differentialparameter 3
aof die zweite Fläche beziehen. Zugleich geben die aus
den Oleichungen f=f, g = S folgenden Functionen tt und v
von ü, i> an, wie die Punkte (u, v) der einen Fläche den
Punkten (fi, 9) der anderen Fläche entsprechen.

Pdr,yGOOgIe

394 Driäer ÄbaAmU: IHe PkmdamerOalgMekimgm der Ftächeniheorit.

Als FnnctioD f kann man das Erfimmongsmaass K benatzen,
oadi Satz 4, S. 273, vorausgesetzt, dam die erste Fläche kdne
coDstante Erflmiuiing hat, Ala fWiction g kann man i>-l »*<'<■'"' die
mit K nach Satz 46 eben&lls ioranaoto Fniictioii ^ägK benntzen,
vorausgesetzt, dass Jgs eine von K ouabhängige Function ist Da
das ErQmmnngsmaaBB auch auf der zweiten Fläche bei E^inf&hnuig
neuer Parameter nngeändert bleibt, so folgt also:

Satz 61: Liegt eine mittels zweier Parameter u, » dar-
gestellte Fläche vor, deren ErilmmungBmaass K nicht cod-
stant ist and für die der erste Differentialparameter ^ss
von K keine Function von K allein ist, so verlangt die
Entscheidung der Frage, ob und wie die Fläche auf eine
andere gegebene Fläche verbiegbar ist, nnr Eliminationen:
Man berechnet nämlich das Krttmmnngsmaaas K der
zweiten Fläche, die in den Parametern fi, S dargestellt
sei, und seinen ersten Differentialpararoeter 2kk hinsicbt-
lich der zweiten Fläche. Alsdann ist notwendig und hin-
reichend, dass £ und J^i zwei von einander unabhänfige
Functionen seien und dass fOr die aus

K = K, A^K — ■äsK

folgenden Functionen m und v von ü, fi auch die drei ersten
Differentialparameter von X und Jx£ hinsichtlich der
ersten E'läcbe mit den drei ersten Differentialparametern
von K und Äa hinsichtlich der zweiten Fläche überein-
stimmen. Zugleich geben jene Functionen u und o von fi, f
an, wie die Funkte (k, v) der einen Fläche den Punkten
(ü, 9) der anderen Fläche entsprechen.

Man sieht, dass dies Kennzeichen nur dann nicht ausreicht,
wenn entweder A^k ßiie Function von K allein ist oder aber K
selbst conatant ist Im letiteren Falle hat die erste Fläche am*
staute Krümmung und dann gilt der Satz 18, S. 301. Im enterei
Falle kann man ebenfalls Merkmale fiir die Verbiegbarkeit ableiten:
wir haben jedoch nicht die Absicht, darauf einzugehen.'

Auch von den Formeln des gegenwärtigen Abschnittes, den wir

* Die obige Behandlung des Probleme der Veibieguug haben wir ii»
Dakbodi, „Le^oDB aur la th^orie generale des eurfacea", lO. pwäe-
Pam I8V4, entnommen, wo man auch eine enchSpfende Bebandlong derio-
eben erwKhnten Aiunabmef&lle findet

Pdr,yGOOgIe

§ 12. I^metionm des Ortts auf der mäeht, 395

hier schliessen, ist eine Anzahl in Tafeln des Anhanges znsammeD-
geatellt worden. Tafel XVI enthalt die zweiten Differentialqnotienten
der rechtwinkligen Coordinaten und Tafel XVn die Fundamental-
gleichangen. Tafel XVIII und XIX bringen eine Beihe von Formeln
fQr die speciellen Fälle, dase die Parametercarven entweder die
Minimaicuryen oder die ErttmmungBcuiren sind. Einige dieser
Formeln sind freilich im Texte noch nicht vorgekommen. Sie er-
geben sich aber aus den allgemeinea Formeln, indem man darin
£=6 = 0 oder F^ M^a setzt. Tafel XX endlich bezieht aidi
auf die Bifferentialparameter.

Pdr,yGOOgIe

Vierter Abschnitt
Cnrren auf der Fläche.

§ l. GeodltisclM Curven.

Der letzte Abschnitt, den vir hier beginnen, soll den Cnrreii
auf der Fläche gewidmet sein. Bisher haben wir fast nur drei be-
sondere Currenarten auf der Fläche besprochen, die Minimalcurren,
die ErQmmnngBGuiren und die Haupttangentencorren. unter den
öbrigen Corven auf der Fläche haben die kürzesten Linien, die mau
auf der Fläche zwischen je zwei Punkten ziehen kann, ein beson-
deres Interesse. Ihrer Untersuchung ist daher der grSsBte Teil
dieses Abschnittes gewidmet. Erst zum Scbluss des Abschnittes
geben wir noch kurz die wichtigsten Formeln für ganz beliebige
Corven auf der Fläche an. —

Zur Vorbereitung der Untersuchung wollen wir zunächst ein
Problem aus der Currentheorie behandeln:

Es sei eine Gurre im Baume gegeben, and sie boI!
eine unendlich kleine Änderung erfahren. Wir fragen
uns, wie sich dabei ihre Bogenlänge ändert. Dabei sehen
wir von den Minimalcurren vorerst ab und benutzen als Parameter
längs der Curre ihre Bogenlänge t. Es sei also:

{1) »-v>W, y = /(<>, ^ = vw

die analytische Darstellung der Gurre. Eine unendlich kleine Ändenmg
der Gurre ergiebt sich, wenn wir alle Punkte der Gurre nach einem
gewissen Gesetze in neue Lagen bringen, die ron ihren alten Lagen im-
endlich wenig rerschieden sind. Die Formeln werden am bequemsten,
wenn wir diese Änderung analytisch nicht in Bezng auf das Coor-
dinatensystem ix,y, z), sondern in Bezug auf das begleitende Drei-
kaut des Gurrenpunktes zum Ausdruck bringen. (Vgl. I S. 1^4.)
Der Punkt P oder (x,y, z) oder {*) der Gurre (1) mOge eine solche

Pdr,yGOOgIe

§ 1. Oeodäiuehe Owvm. 3S7

unendlich kleine Änderung seiner Lage erfahren, deren Projectionen
auf seine Tangente, Haupt- und Bicormale die Längen

(2) IW«. i?We, ?We

haben, wobei t längs der Curve ein und dieselbe unendlich kleine
Qrösse bedeute und |, ti, ^ irgend drei Functionen von t sein sollen.
Lifolge dieser Änderung geht der Funkt P in eine unendlich be-
nachbarte Lage P Ober, und es lässt sich leicht feststellen, wie sich
dabei seine rechtwinkligen Coordinaten x, y, z um unendlich kleine
6rfissen Sx, by, Sz ändern. Denn wir brauchen zu dibsem Zwecke
nur den Satz anauwenden, dass die Frojection eine Strecke PP auf
eine der Coordinatenaxen gleich der Summe der Projectionen der
Seiten eines solchen ungeschlossenen Vielecks ist, das von P nach P
geht (Tgl. I S. 7). Indem wir den Punkt P zuerst um |< auf der
Tangente, den neuen Punkt darauf um tj e parallel der Hauptnormale
und endlich den neuen Punkt wieder um ^a parallel der Binormale
weiterßlbren, gelangt er in die Lage P. Die drei Strecken | a, )? c,
^« bilden also ein Vieleck, wie wir es brauchen. Sind a, ß, y; l,
m, n; X, fi, v die Bichtungscosinus der Tangente, der Haupt- und
der Binormale von P, so folgt hieraus:
ST={ai+lf,+XOs, 3y=(ßi+mti + (t0B, Sz={yi+nn+v^t.

Nach Tafel m kSnnen wir die RichtungBcosinus aus (1) als
Functionen Ton t berechnen. Alsdann sind:

r x = x + (u^ + lv + i-C)e,

(3) y^y + iß^+fnv+iiC)Bi

' r = z + (j'H-n»; + wJ)a

die Gleichungen der neuen Curve, die von der Cnrve (I) unendlich
venig abweicht, ausgedruckt mittels des Parameters t.

Jedem Bogenelement dg der alten Cnrre (1) entspricht ein
Bogenelement ds der neuen Curve (3). Wir woUen es berechnen.
Zu diesem Zwecke differenzieren wir die Formeln (3) nach s. Nach
ni {B) und in (C) ei^ebt sich dann, wenn 1 : r und 1 : g Krümmung
und Torsion der Curve (1) bedeuten:

nJ

Ir

.yCoogle

Entsprechend gehen dy:d* nnd dz:ds hervor, wenn man anf der
rechten Seite a, l, k durch ß, m, ft bez. y, n, v ersetzt. Quadrieren
und Sammieren der drei Formeln liefert nach II {Ä):

396 Vierter Abee/miU: Ourven auf der Fläehe.

'"W±«i.[,^(j._T).]v[i^,.^i]VH-[r-^|%r

Es ist aber:

das QDftdrat des zu ds gehSrig«n BogeoelemeDtes der aeaen Ctine.
Somit kommt, wenn wir noch nach Potenzen von a ordnen:

(f:-)'-i+2(f-i). +(....).-.

Den Coefficienten von «* haben wir nor angedentet, da er filr das
Folgende anwichtig ist Ziehen wir nun die Quathatwurzel ans und
wird die neae Corre im selben 9inn wie die alte dnzt^aofen, sodass
ds-.d» im reellen Falle positiv ist, so giebt die Bemitzong der be-
kannten Formel:

y 1 + 2 a fl -f i «» = 1 + a g + . . .
sofort

f-n-(r-f). + ...

oder:

(4) dJ-rf. = (|'-|^)rf.. « + ...,

wobei die höheren Potenzen von « nur angedeutet worden sind.

Durchläuft « alle Werte von 0 bis a, so durchläuft Aet Punkt F
die alte Curve von dem zu < =: 0 gehörigen Punkte P^ bis zu dem
za s = a gehörigen Punkte Py Der Bogen, den alsdann der Funkt P
auf der unendlich benachbarten Curve zurUcklegt, sei o. Nach (4)
ergiebt sich durch Integration:

'-■'-/V-7-)'"-' +

Es ist aber

Wenn wir insbesondere annehmen, dass die der alten Curve i*j^,
nnendlicb benachbarte Curve ebenfalls von P^ ausgehe und
in P| endige, so bleiben P^ und P^ bei der unendlich kleines
Ändemng in Buhe, d. h. die Functionen |, ri, ^ von t sind nach (2)
gleich Null filr < = 0 und a = a, sodass das soeben angegebene
Integral gleich Null ist Nunmehr kommt:

0

D,gH,zedr,yGOOgIe

? 1. GeodäH$che Omwt.

Daher:

SfttE 1: Ändert man eine von P^ nach P, gehende CnrTe
nnendlich wenig mit festgehaltenen Endpunkten, und hat
die Yerrackung, die der allgemeine, zur Bogenlänge P^P^*
gehörige Punkt P der Curve erfährt, einen solchen Wert,
dessen Projection auf die Hauptnormale des Punktes P
gleich ii{t)t ist, wobei e eine unendlich kleine von * unab-
hängige Grösse bedeute, so ist die Differenz zwischen der
Länge s der neuen Gurve P^P^ und der Länge a der alten
Cnrve PqP^ gegeben durch:

'-/f

s.e + .

Hierin ist r der Krümmungsradius der alten Curve an der
Stelle P oder (»); und die Glieder, die mit höheren Potenzen
von c behaftet sind, sind nur angedeutet.

Jetzt wollen wir annehmen, die Gurve PgP^ liege auf einer
gegebenen Fläche, und es sollen ihr nur solche unendlich
kleine Änderungen erteilt werden, bei denen sie beständig
auf der Fläche bleibt und — wie bisher — ihre beiden End-
punkte Pq und P^ fest sind.

Die Ortsänderungen der Ourrenpunkte sind jetzt noch ganz
beliebig mit der einen E^inschräukung, dass jeder Punkt in seiner
Tangentenebene verbleiben soll. Sind also X, ¥, Z die Bichtungs-
cosinus seiner Flächennormale, so drückt sieb die Einschränkung
nach (3) ao aus: Es soll:
(5) |SaX+i?S/X+i:SXX=0

sein. Die drei Summen bierin sind die Cosinus der Winkel, die die
Flächennormale der betrachteten Gurvenstelle mit der Tangente,
Haupt- und Binormale bildet Diese Forderung zeigt, dass die in
Satz 1 auftretende Grösse ti auch jetzt noch ganz beliebig gewählt
werden darf, da die Bedingung (5) alsdann eine Gleichung zwischen
I und ^ wird, die sich dnrch geeignete Wahl von | und ^ erfüllen
lässt Dies ist nur dann nicht der Fall, wenn die Bedingung (5}
frei von J und J wird, d. h. wenn %aX=%XX=Q ist, wenn also
die Flächennormale auf der rectificierendeu Ebene (vgl. I S. 317)
senkrecht steht und daher mit der Hauptnormalen der Cnrve — im
selben oder im entgegengesetzten Sinn — zusammenfällt

Solange dies nicht längs der ganzen Cnrve P^P, der Fall ist,

Pdr,yGOOgIe

400 Vierlo' ÄbaehUtt: Owvm auf der Fläche.

kann man also die Gurre immer nocb unendlich wenig anf der
Fläche derart ändern, dass s ~~ a unendlich klein von derselben
Ordnung wie e wird. Tritt dagegen dieser besondere Fall ein, 4 h.
liegen die Hauptnormalen der Curve P^ P^ in den FlächemiormaleD,
so ist n notwendig längs der ganzen Curre gleich Null zu wählen,
da sich dann die Bedingangsgleichnng (&) auf i; = 0 rednciert Als-
dann fällt das Glied erster Ordnnng in der ßeihenent-
Wickelung für 0 — <T fort

Also nur diejenigen Flächencurven, deren Hauptnormalen mit
den Flächennormalen zusammenfallen, haben die EigenBchaft, dase
ihre Ortsäoderung auf der Fläche mit festgehaltenen Endpunkten etets
eine solche Gurre liefert, deren Länge a Bich von der alten Länge a
um unendlich wenig von höherer als erster Ordnung unter-
scheidet, sobald jene Ortsändemngen der Gurvenpnnkte naendlich
klein von erster Ordnung sind.

Aber wir haben hierbei von zwei Curvenarten abgesehen, tob
den Minimalcarven und von den Geraden; von den letzteren nämlicb
deshalb, weil sie keine bestimmten Hauptnormalen haben. Wir
mässeu uns daher fragen, wie es eich bei diesen beiden Curvenarten
mit der Längenänderung it — <y verhält

Was nun zunächst die Geraden anbetrifit, so liegt hier die
Sache so, dass ü — o bei jeder unendlich kleinen Ortsäudenmg
der Punkte einer Strecke P^ P, mit festgehaltenen Endpunkten an-
endlich klein von höherer Ordnnng ist Denn wenn wir diese Gerade
als die «-Axe wählen und ihren allgemeinen Punkt {x, 0, 0) in den
Punkt

OberfQhren, so ist:

d J* = dx* + dy* + dx* = dx* + 2^ dx*. e + . . . ,
also:

(S)*-> + 2r. + ...,

woraus folgt:

^ = 1 + |e + . . . oder: ds~dx-Y ^'dx.t + . ..

Sind {a, 0, 0) und {b, 0, 0) die festen Endponkte der Strecke, so ist
b — a ihre Länge a, wenn wir 6 > a wählen; also ist:
fr & &

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 1. OBodäüache Ounm. 401

Aber fDr die festen Endpunkte ist | = 0. Daher kommt:

ff = ff+ . . .,

wo die Punkte unendlich kleine Glieder andeuten, die aüt t',s'...
behaftet sind. Hiermit ist unsere Behauptung dai^ethao.

Um so mehr wird sie gelten, wenn die Gerade auf einer FÜlohe
liegt und ihre Punkte nur solchen OrtsSnderungen unteiworfen werden
dürfen, bei denen sie auf der Fläche bleiben.

Also hat sich ergeben:

Sati 2: Liegt eine Curre, die keine MinimalcurTe ist,
auf einer gegebenen Fläche und sollen die Änderungen,
die ihre Länge bei festgehaltenen Endpunkten erfährt, für
alle solche Lagenänderungen der Curve, bei denen sie auf
der Fläche verbleibt und bei denen die Terröckungen der
Funkte von derselben Ordnung wie eine unendlich kleine
G-rösse e sind, stets unendlich klein von mindestens zweiter
Ordnung in e sein, so ist die Gurve entweder eine Gerade
oder ihre Hauptnormalen fallen überall in die Flächen-
normalen.

Was dagegen die UinimalcurTen anbetrifft, so liegt hier die
Sache ganz anders: Eine Minimalcurre hat die Länge Null, also ist
hier a = 0. Sind :

die Gleichungen der Curve, ausgedrückt mittels eines Parameters t,
so ist für alle Werte von t:

v'* + x'* + y = 0

(Tgl. I S. 164). Ändern wir den Punkt {t) der Curve dadurch, dasa
wir seinen Goordinaten die Incremente ^(t)s, 7j{t)t, Ci^)' erteilen,
8o gebt er in den Funkt mit den Goordinaten:

i = y + |e, y = r + i?«. i = V + ?»
über. Jelxt ist:

ds' = dx* + rfy' + rfj' =■ [2 S<p'|.e + Si'.t^dfi,
mithin:

ds - yr y2Sy'i + si».e dt

oder, wenn die zweite Wurzel nadi Potenzen von s entvrickelt wird:

81»

e + ...\dt

W

Dis-izpdnyCOOgle

402 Viertar Äb»elmitt: Ourvm auf dtr Fläo/ie.

oder, wenn t =• t^ und t = t^ äie feBt^haltenen Pimkte geben:

Mittim ist hier ff — a oder ff von derselben Ordnung wie y s unendlich
klein.^ Hieran würde sich auch dann nichts ändern, wenn wir tct-
langten, dass die Minimalcorve nur solchen Ortsänderungen unter-
worfen sei, bei denen sie beständig eine Corve auf einer durch sie
gehenden Fläche bleibt, was daraus folgt, dass eine Minimalcnne
auf jeder Fläche, die durch sie geht, eine Minimalcnrre ist

Wegen dieses eigentümlichen ümstandes scbliessen wir vorerat
die Minimalcurven weiterhin von der Betrachtung aus. —

unsere Untersuchung hat uns auf diejenigen Gurren einer Fläche
gefilhrt, deren Längenändeningen bei festgehaltenen Endpunkten ton
höherer Ordnung unendlich klein sind. Wir nennen sie die geo-
dätischen Curven der Fläche und können sie nach Satz 2 anch
80 definieren: Es sind dies die eTentuell auf der Fläche vorhandenen
Geraden und diejenigen Curven der Fläche, deren Haopt-
normalen mit den Flächennormalen zasammenfallen, *o-
bei von dem Sinn, in dem diese Normalen positiv gerechnet werden,
ganz abgesehen wird. Später, wenn wir die analytischen Kenn-
zeichen der geodätischen Cnrven au&tellen, werden wir sehen, dass
wir auch die ^Gnimalcurven zu ihnen rechnen können, da sie die
analytischen Bedingungen, wie wir erkennen werden, ebenfalb er-
füllen. Auch werden wir nachzuweisen haben, dass die in I S. 270
definierten geodätischen Curven auf abwickelbaren Flächen mit xa
den soeben definierten geodätischen Curven gehören. Davon nachher.

Wir wollen ans jetzt einmal auf das Beeile beschrtlnken: £e
liege aof einer reellen Fläche eine reelle Gurre F^P^ vor. Wir
werden sie eine kürzeste Linie auf der Fläche nennen, wenn sie
kürzer ist als jede andere unendlich benachbarte reelle Cnrve auf
der Fläche, die ebenfolls von P^ nach P^ geht. Nun aber wird,
wenn wieder |e, t/s, ^b die Projectionen der Ort«äudemng eines
Curvenpunktes auf die Tangente, Haupt- und Binonnale bedeuten,
wie in (2), wobei jetzt alle Grössen reell sind, die Differenz a~ir
zwischen den Längen der neuen und der alten Gurve nach Satz 1
so dargestellt:

' Hieraaf hat DjIRBODZ in Kinen „Le^ona aur la th^orie g^njrtl«
des aurfacea", 2. partie, Paria 1SB9, auftoerkaHm gemacht.

Pdr,yGOOgIe

§ 1. Qeoäätüohe Ourven.

-/i....+....

Die rechts stehende unendliche Reihe nach Potenzen der un-
endlich kleinen Grösee s bat bekanntlich dasselbe Vorzeichen wie
ihr erstes Glied, das da steht Ist dies Glied nicht gleich Null, so
können wir dadurch, dass wir länge der ganzen Carve v durch — ij
ersetzen, zu einer zweiten unendlich benachbarten Curre kommen,
bei der a — a das entgegengesetzte Zeichen wie vorher hat. Ist
aber die alte Gurre eine kürzeste, so muss 9 — a stete positiv sein.
Daher kann sie nur dann eine kürzeste Linie sein, wenn für alle
Verröckungen

ist, was nach Satz 2 zu den geodätischen Curven ftlhrt Daher:

SatE 3: Die kürzesten Curven, die auf einer reellen
Fläche zwei reelle Punkte mit einander verbinden, ge-
hören zu den geodätischen Curven der Fläche.

Sie sind also entweder Geraden oder solche Curven, deren
Hanptnormalen Flächennormalen sind. Aber woblbemerkt ist dies
nur eine notwendige Bedingung, keine hinreichende. Die Fra^
nach hinreichenden Bedingungen ist so schwierig, daaa wir sie
gar nicht besprechen. Unsere Betrachtung lehrt aber, dass die
geodätischen Curven auf den Flächen besonderes Interesse haben,
weil zu ihnen auch die kürzesten Curven der Fläche gehören.

In I 3. 270 definierten wir als geodätische Curven einer
abwickelbaren Fläche diejenigen, die bei der Abwickelung der
Fläche auf die Ebene zu Geraden werden. Es ist klar, dass diese
Curven kürzeste auf der Fläche sind, sie gehören also zu denjenigen
Corven, die wir hier als geodätische definiert haben. Aber auch
umgekehrt: Liegt auf einer abwickelbaren Fläche eine Curve vor,
die nach der jetzigen Definition geodätisch ist, so sind ihre Haupt-
normalen zur Fläche senkrecht, d. h. die rectiticierenden Ebenen
der Curve sind die Tangentenebenen der abwickelbaren Fläche, die
daher die rectificierende Fläche der Curve ist Nach Satz 92, 1 S. 321,
ist die Curve mithin auch nach der früheren Definition geodätisch.

Diejenigen geodätischen Curven einer Fläche, die keine Geraden
sind, können wir offenbar auch als diejenigen Curven definieren,
deren Schmiegungaebenen die Flächennormale enthalten

^dnyCOOgle

404 Vürter Msehmü: Ourvm auf dtr Fläehe.

oder deren Binormalen die Fläche berühreo oder deren
rectificierende Flächen die gegebene Fläche aelbst länge
der betreffenden Curven berühren.'

Obgleich Betrachtangen aus der Uechanik eigentlich nicht hier-
her gehören, wollen wir doch nicht nnteriassen, die folgende ein-
fache Überlegung anzugehen, die
wohl zuerst zur Feststellung des
EennzeicheoB itlr geodätische Cor-
Ten geführt hat:* Über eine stttir
gedachte Fläche sei ein völlig bi^*
samer, aber unaosdehnbarer Faden
von p0 bis P^ geBpannt, sodass er
also eine kürzeste liinie von P^
bis Pj ist Sind dann A, B, C drei
einander unendlich benachbarte
Punkte der Curve (siehe Fig. 76),
so erleidet der mittlere Punkt B
zwei Spannki^fte, eine in der Richtung des ESementes B A, eine in
der Richtung des Elementes B C. Die resultierende Kraft liegt in
der Ebene ABC, die aber die Schmiegungsebene der betrachteten

' Im Jahre 1697 atellte Joe. Bibxoulu im Journal des Sartuu das PnUeni.
die kfirseeten Linien anf einer FlBche, insbesondere anf einer Botationsäidie
zD. beetimmen. In einem Briefe an Leibhie ans demBelfaeti Jahre teilte er mit.
dasB er die Aufgabe anf eine Differentialgleichung EDrUckgeftlhrt habe. Lehiu
antwortete darauf, dasa er achon Mher eine Methode zur LöBung gefondtn
habe, jedoch mr wirklichen Dnrchfflhmng der Rechnung nicht gekommen aä.
Auf eine Aufforderung hin setzte Leibriz seine Methode in einem Briefe u
Jon. Bekhoulli 1698 auseinander (si^e „Gor. Gül. LsiBinTii et Jorai. Bo-
MODLU commercium philosophicum et mathematicum", Lausanne o-
Genf lT4Ei, wieder abgedruckt in „Leibnizbnb mathematischen Schriften",
hgg. von Obburdt, 1. Abt. Bd. III, Halle 1855). Die Andeutnng, die er giebt,
zeigt, dass er sich vorstellt, zwei unendlich benachbarte Punkte Ä und S der
Fläche seien auf der fraglichen Curve angenommen, auf der Schnittlinie ihrer
Tangentenebenen, durch die er sich dort die FlSche ersetst denkt, muas nun
dann einen Punkt C so bestimmen, dass Ä C + G B ein Minimum wird. Jos.
Bebhoulli antwortete darauf in demselbeu Jahre (siehe die oben erwSbnten
Sammelwerke), dass er eine andere Methode gefunden habe, die sieb dusnf
gründe, dass die Ebene durch drei benachbarte Punkte der gesuchten Cnrre
auf der Tangentenebene der FUohe sei^recht stehe, was offenbar auf unter
obiges Ergebnis hinsoekommt VgL hierzu Stäciel, „Bemerkungen inr
Geechicbte der geodätischen Linien", Leipziger Bericht« 1898. Duelbit
wird auch der Ursprung der Bezeichnung: geodätisch aufgedeckt

' Eb ist wenigstens sehr wahrscheinlich, dass Jon, Berhoclu anf diesem
Wege zu seinem in voriger Anmerkung erw&hnten Ergebnis gelangt ist

Pdr,yGOOgIe

§ 1. Geodäüache Owrvm. 405

CuFTenetelle iat (naoli I S. 174). Da die Cnrve auf die starre Fläche
aufgespannt ist and raht, so wird dieser KesoltierendeD durch den
Widerstand der Fläche in .5 das Gleichgewicht gehalten. Die wider-
stehende Kraft ist aber in der Normalen des Flächenpunktes B ge-
legen. Also miiBs die Flächenoormale von S in der Schmiegnngs-
ebene von S liegen. Die gespannte Cnrre hat daher die Eigen-
Bchaft, dassin allen ihren Punkten die jeweilige Fläcbennormale in
der Scbmiegangsebene liegt, und ist deshalb eine geodätische Corve.
Jetzt wollen wir die Definition der geodätischen Gturen ana-
lytisch anssprechen: Eine Corve aof der Fläch«:
(6) x=q>(u,v), y=x[u,v), z = ip{u,v)

wird in allgemeinster Weise nach S. II dadurch gegeben, dass man u
und V als Functionen eines Parameters t annimmt:
u = A(t), v-£(t).

Fasst man u und v in (6) als solche Functionen auf, so ist (6) eine
analytische Darstellnng einer Flächencurve, ausgedrückt mittels des
Parameters t Wenn wir die Differentiation nach ( durch Striche
andeuten, so ist längs der Cnrve:

{x' = X tt + X, v',
x" = x^^u'' + 2x„tt'r' + x„v-' + x^u' + x^,

und ähnlich sind y', y", x, z" zu berechnen. Nun sind die Richtungs-
cosinuB der Biuormale der Curve nach Satz 10, 1 S. 175, proportional:

y ^" — z' y"j ^ *" — *' x"i x' y" — y x".

Ist die Curve weder eine G-erade noch eine Minimalcurve, so ist sie
nur dann eine geodätische Curve, wenn ihre Binormale Tangente
der Fläche ist^ d. h. wenn es solche Functionen a und ß von t giebt,
für die:

y'r" — zy" = ax^ + ßx^,

z'x" — x'z" = ay^ + ßy^,
a/y" — y' x" ^ uz^ + ßz,

ist, denn dann ist die Binormale der Curve die zur Fortschreitungs-
richtung {dv : du = ß : a) gehörige Tangente. Dies sind drei
Gleichungen zur Bestimmung von zwei Grössen a und ß, die in
ihnen linear auftreten. Die Forderung, dass es zwei solche Grössen a
und ß gebe, die alle drei erfüllen, führt daher auf eine von a und ß
freie Gleichung. Diese wollen wir so ableiten: Wir multiplicieren

Pdr,yGOOgIe

406 rierter Abtohnitt: Oiarm auf der Fläche.

die Oleichangen mit z", y, z' bez. x", y", /' und addienia sie als-
dann jedesm&L So geben die beiden in a nnd ß bomogenen Glei-
chungen hervor;

«8«.*' +ßSx,x' —0,

aZx^x" + ßS*^x'~0,
die wiederum Terlapgen, dass

I Sar„*' Sxx'\ „

seL Da diese Gleichung &ei von a und ß ist, ist sie die gewüiiBclite
Bedingung. Wir wollen die Detenninante nmstellen, weil dann ihre
Schreibweise in der Folge bequemer wird:

I Sx^x Sx^x" I

Nach (7), XI {Ä) und XVI (0) Itlsst sie sich nun so schreiben:

I Eu+Fv ^£^u'* + F^u'v+(F^—^Gy*+Eu" + Fv" '

^^* \fu+Gv' {F^-^F^,t-'+G^u'v- + ^G,v'»+Fu" + Gv"\^

Wie man sieht, enthält aie als Coefticieuten der Differentinl-
quotienten u', o', u", v" nur die Fnudamentalgröseen erster Ordonog
S, F, G und deren erste Ableitungen. Sie gilt daher auch in dem
Falle, dass die gegebene Fläche die Taugentenääche einer Minimal-
cnrre ist

Wir können nun leicht sehen, dass sie auch lür die etwa auf
der Fläche vorhandenen Geraden gilt Denn längs einer Geraden
sind die Verhältnisse x':y':z' constant, sodass etwa:

3if = QU, y = pb, :^ — Qc {a,b,c= Const)
ist, ^0 & ^^ Function von t bedeutet. Hier ist:
x" = (»' a , y" = q' b, z" = q' c,

sodass die Gleichung (8) oder — was dasselbe ist — die Gleichung (9]
erfüllt wird.

Wir deuteten schon oben (auf S. 402) an, dass sich ergeben
wird, dass auch die bisher ausgeschlossenen Minimalcurven dsa
analytische Kennzeichen der geodätischen Gurven haben. In der
That: Längs einer Minimalcurve sind u und v solche Functionea
eines Parameters ^ für die nach Satz 16, S. 36:
Ei^*+2Fn'v- + Gv'* = 0

Pdr,yGOOgIe

§ 1. GeodäHaehe Oumm. 407

ist, nad zwar für alle Werte tod t, eodasB vir diese Qleichimg nach t
differenziereD dflrfen. Dann kommt:

{S^u' + Ä,r>" + 2[F^u' + ^,i'')ii'tj' + (ff,«" + (?,»>'» +
+ 2Eu'u" + 2F[u"v' + «'«") 4- 2 Gi/v"=0.

Aber wenn wir die Gleichong (9) umformen, indem wir die Zeilen
der Determinante mit u' und v' mnltiplicieren und dann ihre Snmmen
als erste Zeile benntzen, so erkennen wir, dass die beiden Elemente
dieser neaen ersten Zeile infolge der soeben angegebenen beiden
Gleichungen ^eich Null sind, sodass die Qleichnng (9) erfüllt ist

Es hat edch also ergeben:

Sati 4: Die Gnrre, die man erhält, wenn man auf
einer Fläche mit den FundamentalgrOssen erster Ordnnng
£, F, 0 die Parameter u, v als Fnnctionen eines Para-
meters t anffasst, ist unter der Bedingung, dass fUr alle
Werte von *

\Eu'-\-Fv' \E^u'*-\-E^uv'-^{F^-\G^v'*+Eu"->rFo" 1
, Fu'+Gv' (^^-i-^,)u'»+e„«'ü'+i(?,o'»+^t("+ffü" I ""

ist, entweder eine Curre, deren Hauptnormaleo Flächen-
normalen sind, oder eine Gerade oder eine Minimalcurve;
and die Bedingung wird von jeder Curve erfüllt, die zu
einer dieser drei Arten gehört.

Es ist deshalb zweckmässig, nicht nur die beiden ersten Curren-
arten, sondern auch die Minimalcurven der Fläche als die geo-
dätischen Curven der Fläche zu bezeichnen, was von jetzt ab ge-
schehen soll. Die Gemeinsamkeit des analytischen Merkmals ist
schon ein genügender Grund hierfUr. Man könnte diese Auffassung
Doch durch die Bemerkung verstärken, dass die Minimalcurven die
Länge Null haben, also die allerkürzesten Curven auf der Fläche
sind; aber dieser Begründung steht entgegen, dass wir von kürzesten
Curven nur im reellen Falle gesprochen haben.

Als die Hülfsveränderliche t kann man auch den Parameter u
selbst wählen, denn eine beliebige Curve kann auf der Fläche da-
durch definiert werden, dass man v als Function von u auffasst,
wodurch allerdings die Parameterlinien (h) selbst von romberein aus-
geschlossen werden (vgl. S. 11). Diese Parameterlinien (w) selbst
sind in der Form u =• Const, v = t darstellbar; sodass ftlr sie
u' = u" = c" = 0, v = 1 ist Eine Parameterlinie (u) ist also nach
(9) eine geodätische Gurre, wenn für alle Werte von t>:

Pdr,yGOOgIe

Vierter Ähachmtt: Ourven auf der Fläche.

\G iff, I

oder

ist Alle anderen geodätischen Carren sind nan in der Form v
V =i a>{tj darstellbar; sodass f[ir sie u = 1, u" = 0, aber

ist. Daher kj>naen wir den Satz 4 anch so anssprechen :

Bat! 6: FaBst man anf einer Fläche mit den Fanda-
mentalgrßssen erster Ordnnng E, F, O den Parameter v
als eine Function des Parameters u auf, so ist die dadurch
definierte Curve anf der Fläche dann und nnr dann eine
geodätische Gurre, wenn die Function v mit ihrem ersten
und zweiten Differentialquotienten nach u die Bedingung;

fttr alle Werte tou u erfüllt Dieser Darstellung entziehen
sich nur die Parameterlinien (u). Eine Parameterlinie (u)
aber ist dann und nur dann eine geodätische Cur?e, wenn
fttr den zugehörigen Wert u und fUr alle Werte von v

FG^~2GF^+ GG^ = 0
ist

Stellt man sich das Problem, die geodätischen Curven auf
einer gegebenen Fläche zu bestimmen, so sind £, F, G be-
kannte Functionen von u und v, während es sich darum handelt,
die unbekannte Function t> tod u so zu bestimmen, dass sie mit
ihrem ersten und zweiten Differentialquotienten die in diesem Satze
angegebene Gleichung, in der die unbekannte Function auch in E,
F, G und den Ableitungen von E, F, G Torkommt, für alle Werte
von u erMlt Diese Qleichung ist eine gewöhnliche Differen-
tialgleichung zweiter Ordnung für die unbekannte Function r
?on M.'

' Obwohl Job. Bbrnoclli im Briefweohael mit Lbibniz (t^l. die Änm. ta
S. 404) lß97 behauptete, die Difierentialgleichung der geodSti«ehen CnrveB
tutfgestellt zu haben, und obwohl er 1742 im vierten Bande aeiner „Opera

Pdr,yGOOgIe

§ 1. Oeodäüsche Ourtim. 409

Die geod&tiacheii Guireii einer Fläche werden also darch eine
gewöholiche Differentialgleichang zweiter Ordnung bestimmt, wäh-
rend die Minimalcurren, die KrttmmungBCurreii und die Haupt-
tangenteocurren durch je eine gewöhnliche Differentialgleichung
erster Ordnung bestimmt werden — nach XI (0), XII (P) und
XII (X). In der That besteht in betreff der Anzahl der Curren
dieser Arten ein wesentlicher Unterschied: Es giebt auf der Fläche
nur 00^ Minimalcurren, oo' Krümmungscurren und co^ Haupte
tangentencnrven. Wählen wir auf der Fläche irgend zwei Punkte P^
und Pj, so wird es im sUgemeinen keine Minimalcurve geben, die
durch beide geht, ebenso keine Erümmungscurve und keine Hsupt-
tangentencurre, wohl aber wird es auf der Fläche unter allen den-
jenigen Ourven, die Pg mit Pj verbinden, eine kürzeste geben, also
eine geodätische. fVeilich ist dies keine exacte Scblussfolgerung,
denn erstens gilt dies nur für den reellen Fall und zweitens darf
man nicht ohne weiteres annehmen, dass es unter unendlich vielen
Cnrven stete eine kürzeste gebe. Dagegen ist es in einzelnen Bei-
spielen auch exact zu sehen:

1. Beispiel: Auf einer abwickelbaren FUche Bind die geodätischen
GuTven, wie wir oben sahen, diejenigen, die sich bei der ÄiubTeituiig der
Fläche anf die Ebene ale die Geraden darstellen. ZwUchen zwei Punkten in
der Ebene kann man aber stets eine Gerade ziehen, woraus folgt, dass es
zwischen zwei beliebigen Punkten einer abwickelbaren Fläche stets wenigstens
eine geodätische Corre giebt Dabei nehmen wii an, dass beide Punkte auf
demselben Hantel der Fläche liegen (vgL I S. 266). Inabesondere kann es
aber vorkommen, dass es zwischen beiden Punkten nnendlich viele geodätische
Curven giebt, wenn nSmlieh die Abwickelung der Fläche auf die Kbene
periodisch ist, sodass ein und deraelbe Punkt der Fläche bei der Ausbreitnng
auf die Ebene nnendlich oft wiederkehrt Man sieht dies am deutlichsten im
Falle eines RotationscjlindeTs. Wickeln wir ihn auf die Ebene ab (siehe
Fig. 77, S. 410), so kehrt ein und dieselbe Stelle A unendlich oft in der Abwicke-
lung wieder, in den Lagen Ä„ A,, A, . . ., dasselbe gilt von einer Stelle B, der
nnendlich viele Lagen B,, B^, B,. . . in der Ebene entsprechen. Verbinden wir
irgend einen der Pnnkte Ä,, Ä,, Ä^ ■ . . mit irgend einem der Punkte £,, Bf,
Bf . . . durch die Gerade, so giebt die Aufwickelung des Mantels auf den
Cylinder eine geodätische Corve, nämlich eine gemeine Schraubenlinie

omnia", Lausanne and Genf, sie aufgeetellt hat, gebührt doch Edlsb die
Priorität der Verüffentlichiing wegen seiner Arbeit: „De linea brevissima
in superficie qnacunqne dno quaelibet pnncta jungente", Commen-
tarii Acad. Petropolitanae, t. III, ad anmum 1728, Fetersbiu^ 1782. Auch er
geht von der mechanischen Betrachtung der Spannungen im Faden aus. Direct
ans der geometrist^en Definition der kürzesten Linien lütete erst Laobahob in
seinem „Galcal des fonctions", Paris 1606, siehe auch Oeuvres t X, die
Eigenschaft der geodätischen Curven ab.

Pdr,yGOOgIe

410

VUrier Jbachnitt: Ourvtn auf der Fläche.

(vgl. I S. 1&7). Dabei geben die Oermden, die sich nur um eine der Perioden
der Abwickelung von einander unterecbeiden , dieselbe Corve, so die Qenden
A^ Bi, At, B, n. B. V. ; ebenso A^ £«, A^ B, a. b. w. DieBe Ergebnisse sind ginz
nn&bhSngig davon, wie die Punkte A und B gegen eiiuuider liegen. Wahlen

Fig. 77.

wir sie auch noch eo dicbt bei einander, so giebt es doch nnendlich viele ge-
meine Scliranbenliuien Bwisctien Ihnen. Eine ist allerdingB die kflneste;
in Fig. 77 ist es diqenige, die der Geraden ^ Bi entaprieht. Aber alle and
geodfitische Corven.

2. Beispiel: Auf der Kngel sind die Flächennormaleu die Bsdien, also
die geodKtiBcben Corven — mit Ansnahme der beiden Scharen von je
od' Hinima]gera.den (vgl. Satz 2S, S. B4) — diejenigen, deren Honplnor-
malen nach dei Kngelmitte gehen, sodass bei ihnen der Hittelpankt der
Schmiegnngskngel, die ja die Kugel selbst ist, mit dem Mittelpunkt des Kram-
mnngakreiBeB stets zusammenAllt. Ist dieser Mittelpunkt der Anfangepnnbt
und ist der Eagelradins gleich Eins, bo sind hier

;-

rt --y,

die lUcbtungscoBinus der Hauptnormale. Das Hinoszeichen i

wenden, weil die Hauptnormale nach I S, 196 positiv in i

dem ErUmmnngemittelpnnkt hin ist. Differentiation nach der Bt^jenlSage f

der geodätischen Curven giebt nun wegen III (O) und III (B):

Multjplicierea wir diese drei Gleichungen mit a, ß, 7 bes. l, fi, y und addieren
de alsdann jedesmal, so folgt n&ch II {Ä):

1 -

- -0,

- - 0.

Nach der zweiten Oleichong amd die geodätischen Curven wegen Bati U
I S. IBB, eben und nach der ersten wegen Satz 29, I S. 41, Kreise vom Badiua
Eins; also sind es die grOssten Kreise der Kngel, ein Ergebnis, du
geometrisch schon von vornherein bekannt war. Man sieht anch , dast der
gtSBBte Kreis zwischen swtä Punkten der Kugel nur in einem seiner beiden
Teile die kOrzeste Curve ist Liegen die beiden Pnnkte einandw ditonetnl
gegenüber, so giebt es swiachen ihnen «* geodStisohe Curven.

.dr,yGoogIe

§ 1. GeodäÜsehe Ourvm. 411

In der Theorie der gewölmlichec Differentiaigleichimgeii be-
weist man, daes eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ord-
nung zwischen u und v unter gewissen functionentheoretiachen
YoraasBetztmgen co* Löeungen bat, uud so kOoute man daraus ent-
aebmen, dass es unter den entsprecjienden Voranssetzungen filr die
vorgelegte Fläche auf ihr oo' geodätische Gurren giebL Wir
machen jedoch davon keinen Gebrauch und erwähnen es nur zur
Orientierung des Lesers.

Liegt eine Flache vor, so lassen sich ihre geodätischen Gurren
nur in den allerwenigaten Fällen durch endliche GMeichangen dar-
stellen, weil die. Auffindung derjenigen Functionen v von a, die der
in Satz 5 angegebenen G-Ieichung genUgen, die grössten Schwierig-
keiten bereitet. Wir geben hier zunächst nur ein Beispiel, in dem
es gelungen ist, sie zu bestimmen.

Beispiel: Es lieg€ eine EotationaftBche' vor, deren Ase die »-Aze
Bei (vgl (2), 8. *l):

a;-p(t*)co8 0, y=p{M)Bine, « = $(«).
Wenn wir wie immer unter u die Bogeni&nge der Meridiane veretehen, ho ist
wie auf S. 41 ;

Nach Satz 5 sind also von den Breitenkreiaen (u) nur diejenigen geodätisoha
Cnrven, für die

ist p = 0 giebt die sn Ponkten degenerierten Breitenkreise, da p der Radins
des Kreises (u) ist, nnd p' ist da gleich Noll, wo die Tangente der Heriditut-
cnrve der Drehaxe parallel ist Von den Breitenkreisen, die nicht in Punkte
ausarten, sind also nur diqenigen geodfitische Curven, in denen die Fliehe
von Botationscj'Iindem um die x-Aze berQhrt wiid. Die übrigen geodätischen
Curven bestimmen sieb UEUih Satz 5 ans der Bedingung;

,dv ^ , dr ,(i

^^ ^f'p-d;;^^ d

' Jacob BbbnouuiI bestimmte in den Acta Eniditorum, Leipsig 1698, die
geodatieclien Cnrven anf einer Bolationsfl£obe und gelangte dnreb Quadraturen
zam richtigen Ziel, obgleich sein Verfahren fehlerhaft war. Alsdann stellte
Claikaot einen wicbtigen Satz über die geodätischen Curven anf Rotations-
flächen auf, den wir ableiten werden. Siehe seine: „D^terminations göomä-
triqae de la perpendicutaire 4 la möridienne tracäe par H. Cassini
avec plnsieuTS m^thodes d'en tirer la graodeur et la figure de la
terre"; Uka. de l'Acad. de Paris ponr l'annöe 1788, Paris 173fi.

Pdr,yGOOgIe

412 Vierler Abaelmia: Ourvm auf der Flädie.

od«r

Hon kann diese Gleichung geometriBch deuten, wenn man den Winkel a an-
fahrt, den die geauchte geodätische Curve an der Stelle (u, e) mit dem HeridiiD
(p) dieser Btelle bildet Da längs der Meridiancurve (■>) das VerhSltniB dt-.iu
gleich Nnll, längs der geodätiBchen Linie gleich dem in der vorstehenden

Gluchnng auibetenden Di&rentialqaolieuten -^ — ist, so giebt Bati 10, S. Si,

wegen (11)

(18) ««« = ^ ,

woran» folgt:

Wir haben hier den Factor ± hinzngefBgt, weil wir über den Sinn, in dem
der Winkel a gemessen werden soll, keine bestimmte Annahme gemacht haben.
Ltlngs der geodätiseheD Cnrye ist nun wie e aaah a eine Fonction tob u,
sodass die Difierentiation tmAv u den folgenden Wert des iweiten Difibientiil-
qaotienten von ti liefert:

J«?.

•P-

Setzen wir diese beiden Werte des ersten und zweiten DiffsrentialqaotieDtw
von V nach u in (12) ein, so kommt:

tgo d

1 dein

wnn du

woraus folgt, daes

(14)

pa

(m >= GODBt)

ist Daher ergiebt sich, da p der Radius des Breitenkreises ist, der

BatZ 6: Längs einer jeden solchen geodätischen Curve ein
Botationsflftche, die keine Minimalcnrve ist, ist das Producta
dem jeweiligen Radius des Breitenkreises and dem Sinns d
Winkels, den die Cuive mit dem Meridian bildet, conatant'

DasB wir die Hinimalcorven anenehmen mfissen, folgt daraus, dass m
bei ihnen nicht von einem Winkel a sprechen kann.
Da nach (13)

.(dvY

1 Die« ist der Sati von Claduht, den wir in der letzten Anm. enrlhoteii.

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 1. Oeodäüsehe Ourvm. 413

ist, eo Hast sich die Formel (14) ao Hchreiben;

du p Yp' -~ m*
ine Fnnctioii von u «lleiti. Eine Qnadratar

(15) e - OT f — /" - » (f»,» - Gonat).

J pyp*-m*

Hiennit aber Bind die geodStiachen Carren traf der RotktioikBflKclte Id endlicher
Fonn gefanden.

Nach dem Satze 6 oder der Formel (14) kaon man sich eine allgemune
Toratellnng von dem Verlaufe einer reellen geodSliachen Corve aof einer reellen
Botatdonafläcbe machen; Wir kennen uns dabei auf einen solchen Teil der
FIAche beschrSnken, anf dem p positiT ist, denn p = Q giebt die zu Pmikten
entarteten Breitenkreise an. Ist nun e. B. füt eine geodStische Cnrre die Gon-
etante m auch positiv, so ist der kleinste Wert, den p erreicben kann, der
Wert m, für den s =■ ~ ist. Der Breitenkreis Tom Badins tn wird also von
der geodatiachen Corve berührt. Für noch kleinere Werte von p wird m:p > 1,
sodass die Curve den Bereich derjenigen Breitenkreise meidet, deren Badios
kleiner als m ist Sie wird also an dem Kreise vom Radios m zn den Kreisen
Ton gröeseren Badien nmkehren; solange p wächst, nimmt a ab, d. h. die Cmre
wird weniger steil gegen den Meridian. Wächst der Badins bis ins Unend-
liche, ae nähert eich die Corre der (reetalt einer Ueridiancurve.

Insbesondere wollen wir diese Ergebnisse auf die Kotationsflftcben
von constsnter KrQmmnng K anwenden. Bei ihnen ist nach S. 122

p"^-Kp.
Id I S. 9B hatten wir anter (ö) dieselbe Gleichung, nur stand dort x statt p,
und die YerandeTliche, nach der differenziert wurde, war nicht mit w, sondern
mit a beieiehnet Wie wir in (6), I S. 99, sahen, ist also:

j> - o cos YKu + b ein Väm
die allgemeinste Fnncdon p(u), f%r die die Botalionsflache (10) die constante
Krümmnng K hat Dabei bedeuten a und b zwei Gonstantwn. Wir haben nun
Yon w nur das eine vorausgeaetzt, dass u die Bogenlfioge auf den Meridianen
bedeute. Ist e irgend eine Conatsnte, so ist auch
(16) ü = u-e

IT anderen Stelle an gemessen.

- a cos )/X (« + c) + i Bin (/^(ö + e)
« YKb + 6 sin YKc) cos yFa

h (- aainVJSrc + b cimYK e) eva'^ K S .

Wir können die Constante o so wfihlen, daas die zweite Klammer gleich Null
wird, indem wir uHmlich:

Pdr,yGOOgIe

414

Vierter Mechmä: Cunm auf der Flädu.

idso

(17)

"""^ Vo'Tft'' " V^-Tm

wfthlen.

Dann wird

Wir kSnnen miB jetct TOntellen , wir hStUn von TorabeTein schoa die Bt^ea-
iBnge dnrch ü statt u ansgedrQckt, and dflrfen daber ohne BeBcbrSnkang der
AllgemeiDhuit annehmen, doss in den Ponnelu (10) die Yeiibiderliche u dieK
passender gewählte Bogenl&nge sei, sodass wir

(IS) p-äccVk,.

Seiten dOrfisn, indem wir V«' + b* mit A beceichnen.
Alsdann giebt (15):

-/-

AcoaVKu'^A^eoB'yKu

1 dg yiu alE

sin VEu - , cos VÄ'u = -~^

yi+t' yr+t'

du-~ ]^ im*YKu.dt,

Yk

sodass sieb ftlr v e^ebt:

äYkJ fyifi«_OT'(H-(«)
oder integriert;

äYK lj/i«-m' tl

oder:

sin U V^" + ") = — _?— ■ - ,

d. h-, wenn wieder ctg yjC u fttr t gesetzt wird :

(19) BinU 1/Ä0+») = _!^-- tgV^w.

Diese Gleichong zwischen u nad r, die ausser den durch den Wert (191
von p bedingten Constanteu K und A noch die willkOHicben Constanlen i>
und n enthält, stellt also die oo* geodätischen Curren der in (18) gehCrigeii
Rotationsflficbe constanter Krümmung dar. Wir können die Gleichnng such
so schreiben:

cos « . sin d Kä » . ctg yKu + sin n . cos .i Vä r . ctg VKu = :r-^- ■

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 2. GeodäÜaelu Abbüdung von Fiäehm.

Wenn wir jetit die neaeu P&nmeto' eiofikliren:

(20) \_ ^'

80 nimmt die Gleichung der geodStiachen Cnrren die Form an:
cos».» + »in«.«- ■ "* ■,

wobei n tmd m die willkflTliclien Constanten sind. Hit m itrt aber ancli die
rechte Seite eine willkOrliche Conetante, etwa l, »odue wir haben:

(21) cosM.Ü + Biii«.e= i («,/ = ConBt).

Also hat sich ergeben:

Satz 7: Hau kann aaf einer Botatiousfllche eonstanter ErDm-
mung solche Parameter k and fl einfahren, mittels deren die geo-
dätischen Gurven der FUehe dnrch die allgemeine lineare Glei-

OonsLü -l-GoflsLe- Const.
dargestellt werden.

§ 2. Geodätische Abbildung von FIfichen.

Die Differentialgleichang der geodäÜBchen Cniren einer Fläche
kann man nach Satz 5, S. 408, aofstellen, sobald man nur die
Fandsmentalgrö^en erster Ordnung der Fläche als Functionen der
Parameter kennt. Hieraus können wir einen wichtigen Schlnss
ziehen: Wenn es möglich ist, eine Fläche auf eine andere zu Ter-
biegen, so kann man entsprechenden Punkten beider Flächen
gleiche Parameter beilegen, und dann stimmen die Fundamental-
gri^Bsen erster Ordnung auf beiden Flächen nach Satz 5, 8. 275,
mit einander überein, folglich auch die DifTerentialgleichnngeQ der
geodätischen Curren auf beiden Flächen, sodass sich ergiebt:

Sats 8: Verbiegt man eine Fläche, so sind ihre geo-
dätischen Curven auch nach der Yerbiegung geodätische
Cnrven.

Übrigens leuchtet dieser Satz für die kürzesten Curven wegen
der Längentreue bei der Yerbiegung (vgl 8. 273) ohne weiteres ein,
aber nicht jede geodätische Garre ist eine kürzeste Linie. Freilich
ist der Satz auch fDr die geodätischen Cnrven Oberhaupt leicht geo-
metriech einzusehen, da die unendlich kleine Änderung einer Flächen-
cnrre, auf die wir im vorigen Paragraphen die Einführung der geo-
dätischen Curven stützten, auf der verbogenen Fläche genau zu
demselben Ergebnis wie auf der alten Fläche führt, denn die Ter-

Pdr,yGOOgIe

416 Tuiier Abschnitt: Ourven auf der FiätAe.

biegong ist ja nadL S. 274 eine in den aneDdlicli kleinen Teilen
congment« Abbildung.

Man kann nnn die Frage aufwerfeo, ob sich der Satz S
nmkehren läest, ob also alle diejenigen punktweisen Abbildangen
einer Fläche, bei denen jeder geodätischen Gurve der einen Fläche
eine geodätische Cnrve der anderen entspricht, Yerbiegungen sind.
Wir werden derartige Abbildungen geodätische Abbildangeu
nennen. Alsdann können wir die Frage so formalieren: Ist jede
geodätische Abbildung eine Verbiegung?

Sicher braucht sie es fttr eine Rotationsfläche von con-
stanter Ertlmmung nicht zu sein. Denn nach dem Satze 7 des
vorigen Paragraphen lassen sich auf einer Rotationsfläche constanter
Krümmung X solche Parameter u, v einführen, in denen die geo-
dätischen Curven der Fläche durch die allgemeine lineare Gleicbong
in u und v:

(1) Const M -f GoQst B = Const

dargestellt werden. Wenn man nnn dem Pnnkte (u, v] der F^be
denjenigen Punkt einer Ebene zuordnet, der die rechtwinkligen
Goordinaten u, o hat, so liegt eine punktweise Abbildung der Illiche
auf die Ebene Tor. In der Ebene mit den rechtwinkligen Goor-
dinaten u, V ist aber (1) die Gleichung einer Geraden, d. h. einer
geodätischen Gurre. Durchläuft der Punkt {u, v) auf der Fläche
eine geodätische Gnrre, so tbut sein Bildpunkt (u, v) in der Ebene
dasselbe, d. h. die Abbildung ist geodätisch. Sie ist aber keine
Yerbiegung, sobald das conetante ErOmmungsmaass K^^Oiat, wegen
Satz 7, S. 275.

Im Falle einer Rotationsfläche constanter Erdmmung ist die
angeworfene Frage demnach zu verneinen. Dasselbe gilt überhaupt
für Flächen constanter ErOmmung. Denn nach Satz 18, S. 301,
lässt sich jede Fläche von der conetanten Erilnmiung K auf eine
Rotationsfläche von dieser Krümmung verbiegen, sodass sich Satz 7
wegen Satz 8 so verallgemeinern lässt:

Sati d: Auf jeder Fläche von constanter Erümmnng
giebt es solche Parameter, in denen die geodätischen
Gurven der Fläche durch die allgemeine lineare Gleichung
zwischen den Parametern dargestellt werden.

Indem wir nun dazu Übergehen, die aufgeworfene Frage all-
gemein zu beantworten, bemerken wir gleich vorweg, dass wir er-
kennen werden, dass die Frage zwar im allgemeinen, bei beliebigen
Flächen, zu bejahen, aber nicht nur fQr die Flächen von constanter

Pdr,yGOOgIe

§ 2. OeodäiiatAe Jbbüdung von Fläelun, 417

ErOmmiing, soadern fltr eine sie mnfasse&de grössere Familie Ton
Flächen za Temeinen ist

Wir nelimeQ also jetzt an, es seien zwei Flächen geodätisch
auf einander abgebildet Keine der beiden Flächen sei aber die
Tangentenääche einer Miuimalcurre, aach sei die Abbildung nicht
etwa so beschaffen, dass einer nttd nur einer Schar tou Minimal-
curven der einen Fläche eine Schar von Minimalcarven anf der
anderen Fläche entspreche. E^ sind dies Voraussetzungen, die im
Falle der reellen Abbildung zweier reeller Flächen stets erfollt
sind. Nach Satz 49, S. 96, giebt es auf der einen Fläche mindestens
ein (im reellen Falle reelles) Ortbogonalsystem, dem auf der anderen
wieder ein (im reellen Falle reelles) Orthogonalsjstem entspricht
Wählen wir die Gurren dieser Orthogonalsjsteme als Parameterlinien,
indem wir einander entsprechenden duren beider Systeme gleiche
Parameterwerte u bez. gleiche Parameterwerte v beilegen, so liegen
also folgende Voraussetzungen 7or:

Auf beiden Flächen bilden die Parameter linien Orthogonal-
systeme, und einander entsprechende Punkte beider Flächen gehören
zu demselben Wertepaare der Parameter u, v. Nach Satz IS, S. 34,
haben die Quadrate der Bogenelemente der beiden Flächen die
Formen:

(1) dt' = Edu* + Gdv*, rfs* - Edu' + örfr».

Die geo<ätischen Gurren der ersten Fläche gentigen nach Satz 4,
S. 407, der Öleichnng:

2(1«'»"-»'«")-

a \ O £ I \0 £J £

Bei der zweiten Fläche tritt an ihre Stelle die in £1 und (7 ge-
schriebene Qleichang. Sollen nun die geodätischen Curven beider
Flächen einander entsprechen, so mtlsaen beide Gleichungen aber-
einstimmen. Dies fbbrt zu den vier Bedingungen:

(2)

Die beiden in der zweiten Zeile stehenden Gleichungen lassen sich
so schreiben:

SCHKmi, QMiin. Mb. n. ST

9 ö '

a. s.

E E '

^f

a. , R a.
e E 0

.d=,Google

418 Titrier Machnüt: Ourvm auf der Fläche.

Der erste Nnmerns ist also eine Function t/f von v allein, der
zweite eine Function <p von u allein, sodasB

(3) £- = :eV('').

-ä'Wf

ist Hieraus folgt:

3-."

denn weder f> noch V i^ gleich Null, da sonst £ oder & = 0 und
also die erst« Fläche gegen die Voraossetznng die Tangentenfläche
einer Minimalcurre wäre. Bezeichnen wir die in der ersten dieser
beiden Fonueln vorkommenden dritten Wurzeln aus tp und \ft mit

U(u) und F(v), so kommt:

wo E eine dritte Einheitswurzel, d. h. s' = 1 ist Aber wenn wir
diese Werte in (3) einsetzen, so ergiebt sich s => 1. Also haben vir:

■ UV* '

wo ü eine Fnnction von u allein und V eine Function von v allein
bedeutet

Jetzt bleibt noch die Befriedigung der in (2) in der ersten Zeile
stehenden Oleichongen übrig. Setzen wir darin die Werte (4) ein,
so kommt:

(5) ^ü-V)^^^ = - f, (f;_ D-^^ = V.

Wir wollen zunächst annehmen, es sei ü —F ^0. Alsdann folgt:

d^a^E _ eiog(P--F) aiogg _ aiog([7-F)
ö'v ~ ' "ÖT "' ö« ~ du

oder, wenn k eine Fnnction von u allein und n eine Functios tod v
allein bedeutet:

E = ).(u-r), G = fi{U-r),

sodass (4) noch

i, 5 Ü-F - U-V

Pdr,yGOOgIe

§ 2. Oeodäiüeiu Abbüdwng von Flädun. 419

liefert. Nach (1) sind demnach:

die Qaadrate der Bogenelemente beider Fl&cfaen. Hätten wir nno
TOD Tornherein auf beiden Flächen t'fkdu und fYftdv als Para-
meter statt u und t> benutzt, was erlaubt ist, so hätten wir in
diesen Formeln A = ^ — 1 gehabt. Also lassen sich die Quadrate
der Bogenelemente beider Flächen auf die einfacheren Formen
bringen :

(6) i,'.(p-n(j«-+rf^'), i,>_(±_i)pj:+^).

In dem bisher anageschlossenen Falle U— F =^0 ist V ~V =
Const, weil U nur von u und V nur von v abhängt Bann ist (5)
erfDllt, und (4) lehrt, dass

(7) e=cE, 0 = cO (c = Conat)

ist. Aber wenn wir die erste gegebene Fläche ähnlich Tergrösseni,
etwa Tom Anfangspunkt ans, sodass die rechtwinkligen Coordinaten x,
y, X m ax, ay, az übergehen, wobei a constant ist, so treten an
die Stelle von E nnd G nach XI (^ die Grössen a* E und a*G.
Wenn wir a = yc setzen, so zeigt (7), dass zu den Flächen, die
auf die erste geodätisch abgebildet sind, inabesondere diejenigen
gehören, die der ersten Fläche ähnlich sind, und nach Satz 8 also
alle Flächen, die aus diesen ähnlichen Flächen durch Verbiegnng
herrorgehen.

Wir erkennen also, dass im allgemeinen jede geodätische
Abbildung eine Verbiegnng, eventuell verbanden mit einer ähnlichen
Yflrgrßsserung ist. Eine Ausnahme tritt nur in dem Falle ein, wo
sich die Quadrate der Bogenelemente beider Flächen auf die Formen (6)
bringen lassen.

Dabei haben wir oben von vornherein die Annahme ausge-
schlössen, dass einer Schar von Minimaicurven der einen Fläche —
und zwar nnr einer Schar — eine Schar von Minimaicurven auf
der anderen Fläche entspricht; wie gesagt tritt dieser Fall bei
reeller Abbildung nie ein, weshalb wir auch hierauf nicht weiter
eingehen wollen.

Unser Ergebnis ist, wenn wir in (6) noch V durch — T er-
setzen, dieses:

.dr,yGoogIe

420 Vierter MaehmU: Ourvm auf der Fläehe.

SatB 10:' Soll eioe Abbildung einer Fläche aaf eine
andere Fläche geodätisch sein und wird dabei nicht etva
eine und nur eine Schar von MinimalcurreD der einen
Fläche als ebensolche Schar auf der anderen abgebildet,
eine Möglichkeit, die bei reeller Abbildung nie eintritt,
BO ist die Abbildung im allgemeinen eine solche Beziehung
zwischen beiden Flächen, bei der die zweite Fläche aas
der ersten durch ähnliche YergrÖsserung und Verbiegnng
hervorgebL Dies ist nur dann nicht der Fall, wenn die
Flächen so beschaffen sind, dass sich die Quadrate ihrer
Bogenelemente gleichzeitig, d, h. mittels Parameter », v,
die auf beiden Flächen einander entsprechenden Punkten
zugehören; auf die Formen bringeo lassen:

WO U eine Function von w allein und F eine Function
von t) allein ist.

Dies Mirt uns zur Familie derjenigen Flächen, bei denen
sich das Quadrat des Bogenelementes auf die Form

(8) ds* = lÜ{u) + r(i.)][rft<» + dt.»]

bringen lässt* Denn auch die Fläche, deren BogenelenieDt-Quadnt
die im Satze angegebene zweite Form ds' hat, läast sich dieser
Form (8) unterordnen. Wenn man nämlich bei ihr

J yv J Y^^

als Parameter einführt, sodass a eine Function von « allein and fi
eine Function von v allein ist, so kommt:

<"' — (h + ^)^'"'' + '"^-

' EHeser Sfttc imd leine AttUitnng rOhrt her von Don, „Sopra nn
problema che b1 preBentft nella teoria generale delle rappresen-
tsEioni geogTkfiche di nna superficie su di an' ftltra", Annali di
Hatem. t III (ISSS), and ewbt mit der in ihm auBgeaprochenea EiiiAchTinknng,
die DiHi allerdings nicht auadrOcklich erwähnt hat, weil er nur reelle Ab-
bildnngen ina Änge faaate.

* Han nennt diese Flächen LiODViLLi'Hche Flfichen, weil Lioutille dnrcb
seine Note III: „Theoreme coucernant l'int^gration de r^qnatioD
des lignee g^odäeiqaes" in Hokoe's „Application", 5. Aufl., Paria 1 SM,
inerst anf diese inteiessante Fllchen&milie aufmerksam gemacht hat

Pdr,yGOOgIe

§ 2. Chodäligehe Jblnldtmg wn Fiäehm.

als eine Function U tod ü allein bez. eine Function V von € allein
darstellbar, sodass kommt:

dP = {V+r)(dü' + dlfl),

also, abgesehen von der Bezeicbnnng, die Form (8).

Zn den Flächen, deren Bogenelement-Qnadrat auf die Form (8)
gebracht werden kann, gehören insbesondere die Flächen oon-
stanter ErQmmnng K, denn nach Satz 17, S. 301, lässt sich ihr
Bogenelement-Qoadrat anf die Form:

. ,^_ 4 dud«

bringen. Wenn wir hierin _

a = ß + i"fl, v = ü — iü
setzen, so kommt:

dl- -^(do' + dt^,

eine Form, die als Specialfall in (8) enthalten ist

Auch die Rotationsflächen gehören zn den dorch (8) charak-
terisierten Flächen, denn nach S. 41 läest sich ds* bei einer
RotationsBäche anf die Form:

dt*=^du*+p*{u)dv*
oder also:

d,« = /)»(«)

du*

bringen, die sofort als ein Special&U ans (8) hervorgeht, sobald man

/— ^ statt K als den einen Parameter benutzt.
P
Hieraus sohliessen wir nach Satz 5, S. 275, dass auch die auf
Kotationsfiächen verbiegbaren Flächen zn denjenigen Flächen
geboren, bei denen sich ds' auf die Form (8) bringen lässt, insbe-
sondere aiao nach Satz 15, S. 293, die Schraubenflächen.

liegt eine Fläche vor, deren Bogenelement-Quadrat die Form (8)
hat, so ist die Differentialgleichung ihrer geodätischen Cnrven nach
Satz 4, S. 407, wegen:

(9) A'=(?=£/+r, ^=0
diese:

(10) (I/'p'-r- «')(«'* + v'*) + 2{U+ r){uv" - v'u") ~ 0.

Pdr,yGOOgIe

422 Vierier Äbaobmtf: Ourvm auf der Fläeh«,

Wollen wir die geodätischen Curreo der Fläche begtdnimeD, to
bandelt es sich am die Anfgabe, u nnd v so als Functionen eioes
Parameters t zu bestimmen, dass sie mit ihren ersten nnd zweiten
Differentialcinotienten der Oleichnng (10) für aUe Werte von t ge-
nügen, wobei zu beachten ist-, dass V als Function von u nnd V als
Function von v auch Functionen von t sind. Es ist:

sodass wir (10) aach so schreiben können:

(") r.4r-J'4f + 2(P+r)^^,?^-o.

Der letzte Brach hierin ist aber der Differentialqnotient nach t tod
arctg (t)' : w'). Da v'-.u' auch in den beiden ersten Gliedern auf-
tritt, so veranlasst uns dies, den Winkel a, dessen Tangente ^eich
v'iu' ist, als HülfsgrOsse einzoftlhren. Wir setzen also:

(12) u' = e cos a, o' = (> sin a,

wo ^ und a noch unbekannte Functionen von t sind. Jetzt nimmt
(11] die Form an:

oder, wenn irir mit sin« cos a mnltiplicieren :

■ • dU • dV , niTT . iTi • do A

sm'«.-T- co8"a--j^ -I- 2((/+ T) sin« cos a-^ =>0.

Es ist aber

- • dÜ , n rr ■ da

avra-—rr + 2(/sin«cosa-jT-

der Differentialquotient von sin' a . Ü nach t und
1 dV n IT ■ da

'^ ~Ji — 2r sinofcos«-^
der Differentialqnotient von cos' or.F nach t, sodass sich ergiebt, dssB
(18) sin' a.V — cos' a . T =. o (o = Const)

sein muss. Aber nach (12) ist:

sin* a = „ ,- , cos* a = —rt-r t '
sodass folgt:

a(a ' + .■■)

D,„i,z,dr, Google

? 2.. OeodäÜach» AbbOdung von Ftäehm.

oder:

tt'*[V + a] = i^'(U-a)
oder aach:

Da links nur u und u' nnd rechte nur v nnd v' auftritt, so folgt
hierans dorcb Quadraturen:

(14) f i!^ - r ^ - fi (i = CoDBt.)

Hat man die Quadraturen ausgefUhit, so ergiebt sich eiae
Gleichung zwischen u, v und den beiden willkürlichen ConstaDten a, b.
Sie gilt für alle geodätischen Cuiren der Fläche, deren Bogenelement-
Quadrat die Form (8) hat, und stellt demnach die oo* geodätischen
Curren der Fläche dar.

Da die Farametercurven (u) und (0) zu einander orthogonal
sind, so hat der vorhin benutzte Hülfswinkel a eine einfache geo-
metrische Bedeutung. Es ist nämlich, wenn der Punkt (u, v) zum
unendlich benachbarten Funkte (u + du, v + dv) oder (u -f u dt,
V -^ v dt) auf einer geodätischen Corye fortschreitet, der Ck)8inuB des
Winkels dieser Fortechreitungsrichtung mit der FortechreitungB-
richtnng längs der Parametercurre (t>) nach (9) und Satz 10, S. 32,
gleich:

]/«" + »'•
da jetzt in jenem Satze k^v'-.u' und x = 0 zu setzen ist Die
Tangente dieses Winkels ist also gleich ±i>':t(', sodass der durch
(12) eingeföhrte Winkel a einer deijenigen Winkel ist, den die geo-
dätische Cnrre im Punkte (u, v) mit der hindurchgehenden Para-
metercurve (v) bildet

Ist die Fläche insbesondere die Botationsfläche (Tgl. S. 41):
^iKp(u)cosv, y — p(u)8inv, xk^(u)
mit der Bogenlänge u auf den Meridianen, sodass

ist oder, wenn

als neue Parameter ü und f) benutzt werden, wobei
ds*=p*{dü* + df^)

Pdr,yGOOgIe

424 Vierter Abaehtiä: Ourven auf der FJänhe.

wird und p* eine FanctioD von o allein ist, so giebt die Vei^eichnng
mit (8), daBB jetzt A nnd V statt u und v and ausserdem U^p*,
r= 0 zu setzen ist, somit statt (13) kommt:
;>*BiD'a = a.

Die auf 3. 412 aufgestellte Fonael (14) ist also nur ein specieUer
Fall der jetzigen Formel (13). Der damals formulierte Satz 6 ist
mithin einer Verallgemeinerung auf beliebige solche Flächen Üiäg,
deren rf** auf die Form (8) gebracht werden kann; diese Verall-
gemeinerung ist eben die Formel (13).

Unser' Ei^bnis vollen wir so zosammenfassen:
Sats 11:' Kann das Quadrat des Bogenelementes einer
Fl&cbe auf die Form:

gebracht werden, wo U eine Function von « allein uud F
eine Function von o allein ist, so liefert die AusfDhrung
der Quadraturen in:

r ^^ _ C--il= = Ä {a,b = Oonst)

' yu^a J yv

die Gleichung der oo* geodätischen Curven der Fläche.

Wir wollen jetzt wieder das Problem der geodätischen Abbil-
dung aufnehmen, indem wir die allgemeinen Ergebnisse des Satzes 10
benutzen und uns fragen, welche Flächen sich geodätisch aaf
die Ebene abbilden lassen.

Zunächst selbstTerständlich die auf die Ebene verbiegbarea
Flächen, d. h. die sogenannten abwickelbaren Flächen. Durch ähn-
liche Vergrösserung gewinnen wir ans ihnen keine neuen Flächen.

Um diese trivialen Fälle auszuscbliessen, firagen wir daher:

Welche nicht-abwickelbaren Flächen lassen sich geo-
dätisch auf die Ebene abbilden?

Wenn wir wie in Satz 10 zunächst von dem bei reeller Ab-
bildung nie vorkommenden Fall absehen, dass gerade nnd nur der
einen Schar von Minimalgeraden der Ebene eine Schar von Minimal-
curven auf der Fläche entsprechen, so bleibt nach Satz 10 nur noch
die Annahme übrig, dass das Quadrat des Bogenelementes in der
Ebene auf die Form
(15) ds'^{U+r){du* + dv^

' Sati von LioüviLLi, vgl. die 2. Amn. sa S. 420.

D,gH,zedr,yGOOgIe

? 2. Oeodätieche Abbüdttng von Fläehm.

and auf der gesacfaten Fläche anf die Form:

gebracht werden kann. Baas das Erstere mOglich ist, folgt du*auB,
dasB die Ebene zu den Torhin aagefllhrteD besonderen Flächenarten
gehiSrt.

Wir haben nun, um die fraglichen Flächen zu bestimmen, die
fitr die Ebene und die auf sie abwickelbaren Flächen charakteri-
atiBche Eigenschaft zn benutzen, dass ihr ErOmmungsmaass K = 0
ist (nach Satz 90, 3. 214). Das Erammungamaass lässt sich ans den
FnudamentalgrSssen erster Ordnung, die ans (15) folgen:
E=^U+F, F=.0, G-ü+V

nach XVII {£) leicht berechnen, da ü aar tod u und V nur von v
abhängt "Ea kommt:

Da sich ühr^ens das Bogenelement-Quadrat (16) durch Einführung
der neuen Parameter

/du _ c dt
yv J yv '

wie schon auf 8. 421 erwähnt wurde, auf die zn (15) analoge Form:

di*=[Ü+ P){dü' + de*)
bringen Iftsst, wo

ist, so ist analog (17) das ErfimmungsmaasB der zu (16) gehfirigeii
Fläche:

!(!?+ Vf'- \ -r n -r u

Fohren vir hierin wieder die Parameter u und v ein, so kommt, weil
ist:

''*' i-jiP^[i»'' + r)fu"-uu+3F)U'r' +
+ uv{U+ r)(vr- rv-)-].

Weil nun, wie gesagt, £ = 0 sein muss, so folgt aus (17), dass

(19) !/■'- vv" - {ov + vu'') + r'-yr'-o

D,„i,z,dr, Google

426 Viarter Abmhntä: Ourven auf der Fläche.

aein mnsa. Wir «erden aIbd Tenuchen, die Functionen U tod x
und F TOD » in allgemeinater Weiae so zu beBtimmen, d&ss äa för
alle Werte von u und t> der Bedingong (19) genflgen, ans der durch
ancceSBive Differentiation nach u und v sofort noch folgt:

u-F"- + rv"=o.

Da U und F keine Gonatanten sind, weil aonst K nach (18) ^eicli
Null, die geanchte Fläche daher gegen die YorauBsetziing abvickel'
bar wäre (nach Satz 90, S. 214), so können wir hierf&r schr^ben:

es sei denn, dass etwa nur U = Const, aber F ^ CoosL wäre. Er-
ledigen wir daher vorerst die Annahme:

U=a, F':^Q (a- Const).
In diesem Falle giebt (19):

^ar'+F'*-FF"=0,

woraus folgt, daaa die Function (p = F+a von v allein die Be-
dingung:

<p'*— fp<p" = 0
oder:

rfr»

erfüllt, log 91 also linear in v oder tf von der Form:

<p = be" {b, c = Const)

iat, sodass kommt:

(21) U=a, F=<p-a = be"-a.

Setzen wir dieae Werte in (18) ein, so ergiebt sich fllr iT ein con-
stanter Wert In diesem Falle also iat die fragÜche Fläche von
constanter Erümmung. Im Falle '7'=|=0, F= Const eigiebt
sich dasselbe.

Dasselbe ergiebt sich nun aber auch im allgemeinen Falle, in
dem (20) gilt und weder U' noch F" gleich Null ist Denn in
diesem Falle lassen sich die Formen Ton U und F ao finden: D&
in (20) links nur v, rechts nur u auftritt, aa aind beide Seiten ein
and derselben Constanten gleich, die wir mit c* bezeichnen wollen.
Alsdann haben wir:

Pdr,yGOOgIe

§ 2. Oeodäätehe AbbäduHg «o» Fi&^im.

tPV

= c'r:

Die Fnnctionea U' von u and F' tod v haben also die Eigenacha^
dass sie mit ihren zweiten DifferentitdquotienteD bis auf einen con-
stanten Factor — c' bez. e* abereinstimnien. Eine solche Erschei-
nung lag Tor Imrzem auf S. 413 vor, and wie dort benutzen wir
aach hier das Ergebnis in I S. 98, 99, wo es och in (6) um eine
Function x von t haudelte, deren zweiter Differentialquotient gleich
— Kx [K = Const) war, und von der wir sahen, dsss sie die Form
(8) haben muss. Indem wir tür s jetzt » bez. v, ^ x jetzt U' bez.
/'' und für K jetzt c' bez. ~ c* setzen, erhalten wir also:
V = Consl cos e a + Const sin cu,
F' =t Const cos iGu + Conet sin i tr u ,
sobald c 4= 0 ist, woraus durch Integration folgt:
(22) ! i''=«,cOB c« + i,8in cu + m,,

1 F=s a, COS fc» + Ä, sin tc » + *»,,

wo Oj, by, o,, ij, c, ntj und m^ Constanten sind. Setzen wir diese
Werte in (19) ein, so kommt:

(m, + mj) (oj COB c u + djBincu — a, costcv — A, sintcv) +

Wärem^ + n^ =|= 0, so mßsste a, = 6^= a,= *, = 0, also U' = r^O
sein, was gegen die Vorauseetzung ist Mithin kommt:

Diese Bedingungen erf&Uen wir, indem wir neue Constanten m, n,

a, ß einfuhren und setzen:

m, = m, fl, = neos a, i^ = nsin a,
m, » — fR, flj = nco8i/9, b^ = nmiiß,

sodass (22) giebt:

!(7 = « cos (c w — a) + m ,
F = nGOii{cv — ß) — m {m,n,a,ß,c = Const).

Setzen wir diese Werte in (18) ein, so ergiebt sich für K. eine Con-
stante, d. h. die fraglichen Flächen haben constante Krilmmung.
Im Falle c = 0, der analog und leicht zu erledigen ist, ergiebt
sich dira ebenfalls.

Pdr,yGOOgIe

428 Vierter Abtehnät: Oureen auf der Fläche.

Oben sahen wir Bchoa in Satz 9, dass es anf jeder Fliehe
conatanter KrOmmong solche Parameter a, v giebt, in denen sich
die geodätischen Curven durch die allgemeine lineare Gleichnng in a
und V darstellen, was — wenn u und v als rechtwinklige Punkt-
coordinaten in der Ebene gedeutet werden — darauf hinaos kommt,
daas sich die Flächen constanter Krümmung so auf die Ebene ab-
bilden lassen, daes jeder geodätischen Cture eine Gerade in der
Ebene eDtspricht. Unsere letzten Betrachtungen gestatten uns nmi,
dieaen Satz umzukehren oad zwar, da die abwickelbaren Flächen
die conatante Krümmung Null haben, in dieser Weise:

Satz 12:* Die Flächen constanter Krtimmung und nur
diese Flächen lassen sich geodätiach auf die Ebene ab-
bilden.

Wir haben in diesem Satze gar nicht erwähnt, dass wir die
im reelleD Falle allerdings nie eintretende MögUchkeit auBgeachlosseD
hatten, dass die eine und nur die eine Schar von Minimal-
geraden der Ebene als eine Schar von Minimalcurven ab-
gebildet werde. Es Iftsat sich nämlich zeigen, dass auch in diesem
Falle nur Flächen constanter Krümmung, oämhch abwickelbare
Flächen herTOrgehen. In der That: Führen wir in der «y-Ebene
die Grössen x + iy and x — iy als Parameter u, o ein, so ist

das Quadrat ihres BogenelementAs. Benutzen wir auf der Fläche,
die anf die Ebene abgebildet werden soll, die den Minima^raden (h)
und (r) der Ebene entsprechenden Gurren als Parameterhnien, so sei

di* = Sdu* + 2Fdu dv + ß rfo*

das Quadrat ihres Bogenelementea, während bei der Ebene S=G = 0,
^ = -^ ist. Da nur den Minimalgeraden der einen Schar, etwa den
Geraden (w), Minimalcurren auf der Fläche entsprechen sollen, so
muss dt' füi du = 0 auch verschwinden, d.h. es ist ^ = 0. Da-

' Das Problem der geodStiaohea Abbildnng einer Flfiehe aof die Ebene
wurde von Beltkuo gestellt und gelSat Siehe Beine Abhaudlnng; „Eiio-
luiione del probiema: Biportare i pnnti di nna saperficie sopra
un piano in modo che le linee geodeticlie vengano rappreeenttte
da linee rette", Annali di Matern, t VU (1866). Am Schlnwe dieser Arbeit
warf BiLTKun die Frage nach der geodfidscben Abbildnug einer Fliehe nf
eine andere Fläche auf, eine Frage, die, wie wir in der 1. Anm. za 8. 120 uhoa
angaben, alsdann von Dm 1869 beantwortet wurde.

Pdr,yGOOgIe

? 2. Oeodäiiaohe Jbbiidung von Flächm.

gegen ist £^ 0, Z*:^ 0 anzunebmeD, weil die Fläche sonst abwickel-
bar wäre. Nach Satz 4, S. 407, ist wegen E=G = 0, F=\ jetzt

die Difiereutialgleichang der geodätischen Gurven in der Ebene, nnd,
da (? = 0 ist:

die Differentialgleichung der geodäÜBcheu Gurren auf der Fläche.
Soll die Abbildung geodätisch sein, so mllssen beide Differential-
^eicbungen UbereinstimineD. Hieraus folgt zanächst wegen des letzten
Qliedes, dass J^ nur tt enthalten darf, und dann weiterhin, dass

sein muBS. Da F nnr u enthält und (? = 0 ist, so ei^ebt sich als
Krttmmungamaaes K der Fläche nach XVII {B):

Soeben aber ergab sich, dass E^ nnr von u abhängt, sodass K = Q,
die Fläche also, wie behauptet wnrde, abwickelbar sein muss (vgl.
Satz 90, 8. 214).

Daher durften wir unser Ergebnis in der Form des obigen
Satzes 12 ohne Einschränkung aussprechen.

Es ist nicht ohne Interesse, die in (28) gewonnenen beson-
deren Formen von Ü und F in das Bogenelement-Quadrat (15) der
Ebene einzusetzen und zu untersuchen, was fUr Gurren in der
Ebene die Parameterlinien (u) und (v) sind ; wir gehen darauf nicht
ein. Wir begnügen uns vielmehr damit, dasa wir anf 3. 413 — 415
die geodätische Abbildung einer Eotationsfläche von constanter Krüm-
mung auf die Ebene direct auBgefilhrt haben.

1. Beispiel: Die Kugel wird äftdorch, dass mkn sie von ihrer Mitte
aoe perspectiv aaf eine Ebene projiciert, aogenaoheinlich geodBtiach auf die
Ebene abgebildet Man könnte also geographiscbe Karten heistellea, aaf denen
die grdasten Kreiae d'er Kngel als Geraden erscheinen, doch würden sie starke
Verzerrnngen anfiveieen.

2. Beispiel: IKe allgemeinste geodAtiache Abbildung der Ebene
auf die Ebene, d. b. die allgemeinste Abbildnng, bei der jeder Geraden der
einoi Ebene eine Gerade in der anderen Ebene entspricht, kann man in ver-
schiedenen Weisen bestimmen, so z. B. rein geometrisch. Man erkennt
dann, dass sie erhielt wird, wenn man die Ebenen in passende Lagen gegen
einander bringt und nun von einem passenden Ceatrum aas die eine Ebene

Pdr,yGOOgIe

430 Vierter Machmü: Ourven auf der Fläehe.

p«npectiT «if die andere Ebene projidert Mwi nennt deabklb mach die geo-
dKtiache Abbildnug einer Ebene auf eine andere Ebene eine projective Ab-
bildung. Will man sie aber aual^tiHch bestimmen, ao kann man bo vei-
hbren:* Sind u, ti in der einen Ebene rechtwinklige Coordinaten und &an
man Iftngs einer Cnrre t> als Function von u anf, Bo iat

<") 1^-»

die Differentialgleichung der geodätiBchen Ciirven, d. i. der Geraden, da de ja

anssagt, daM f linear und ganz in u iat. Ist nun de^enige Pnnkt der iweiteo

Ebene, der dem Punkte (w, v) der enten entepricht, mit denselben PaiameUm

versehen, üo seien:

(25) x~<fiu,v), y~ip(u,v), i-O

die Gleiehnngen der nreiteu Ebene. Hier ist

tPy
(2ß) äi« - **

die Differentialgleichung der geodätischen Curren (Geraden), da sie ja aouigt,
da» y lineaf nud ganz in x ist Aber a nnd jr rind die dareh (25) definierten
Functionen von u und v. Nach (2B) iet:

dy _ du _ ip. + Vi*'
dx dx V. + V. f '

wenn wir auch anf der zweiten Ebene Ungs der geodätischen Curren (Geraden) «
als Parameter benutzen nnd der Strich die Difibrendation nach u audeatet.
Weiter folgt hieran«:

rf*y dx dx 1 fl>. + ft^

dx* du 'du fu + fv^ du

Führen wir die letzte Differentiation ans, indem wir immer dabei r als Function
von u betrachten, so finden wir, dass die Differentialgleichung (S6) der geo-
d&tiechen Curven (Geraden) der zweiten Ebene die Form hat:

(V-» +2V.rP' + V.r»"+ V- "")(?. +9'.«'')-

- (».. + 2 9i„ c' + ?>-. "'' + »t p") (V» + V' *') = 0 .
Soll die Abbildung geodätisch sein, so rnnsa sich diese Gleichnng sof die
Gleichung (24) oder v" = 0 reducieren. Dies fQhrt auf die vier ßedingungai
— indem die Coefficienten von v", v", t/ und das von ff" freie Glied «mein
gleich Null sein müSBen:

V"" fr — V'M V« + 2 ^ii,, ip„ — 2 ^Pb, V. — 0 ,
ifi,„ip, — ipi-tV, + ^^tvip,/ ~ 2qo.,ip, = 0,

Vor fv — Vt-c'pr = ^ t

■ Wir wenden hier dieselbe Methode an, die wir in dem in der Ann.
za I S. 846 erwähnten Werite henutst haben.

Pdr,yGOOgIe

§ 2. Chodäüaehe Abbildung von Flächen.

and nrar iat za yerlangen, dass diese Gleichangen für alle Werte von
u and B richtig seien. Die erate nnd letzte Gleichnng geben;
dlogyi, _ dlogv. dli^V'i' d]og<p,

Fir~ ~ du ' 8ü~ ~ dü~ '

eodaaa yiu : qi» eine Fnnotioii V von v all^ und y, : <p, eine Faoction von u
allein min moBB, worana folgt:

(28) V"- ^'P-> V. = ^V--

Setnu vii diese Werte in die beiden mittleren Gleiohongen (21) ^n, bo kommt:

(29) {i7-F)<p„Vr-2 F>,» = 0, (ET- F)if.„^, + 2F>,' = 0.

Ferner ergiebt rieh, wenn wir aus jeder der Gleichnngen (28) den Wert von
jp^„ bereclinen und beide einander gleich setzen:

(30) (Cr- F)».,~ F'9>.+ P'ip„- 0.
Die erste Gleichnng (29) giebt partiell nach u differenziert:

P'-P-.V. + (I7- F)(v,..9'. + »■.»..) -4 F'^^. = 0
oder, wenn hierin die Werte von qi.., qi,, nnd •p„c ""b (29) und (SO)

T... =

eF'* y.»

(Ü-F)'

r iUr 4)^ den ans der ersten Gleichnng (29) folgenden

8 V,,* — 2^9,„^ = 0,

was nach Satz 40, S. 78, ansaagt, dase tp in u linear gebrochen sein maaa. Da
die Gleichnngen (27) nar onter einander Tertauecbt werden, wenn u mit v ver-
tauscht wird, so folgt, dass <p such in v linear gebrochen sein mnss. Also
kommt:

'" a+ßu + f + iuv '

wo Ol, i,, 0,, d, und a, (f, f, S Conslanten sind. Aus der Symmetrie der
Formeln (27) folgt, dass ^ dieselbe allgemeine Form hat nnd aus (28), dass
wir die Nenner in ip und ip einander gleich annehmen dürfen, sodass kommt:

^ " a +(l-u + fti + duv '

wo (%, hl, Ct, df Constanten sind. Setzen wir diese Werte von (f und ip in
die beiden mittleren Gleichungen (27) ein, so folgt sofort d, <■ (^ » 4 — 0, so-
dass bleibt:

* a + ßu + yv ^ a-i-ßu + fV

Diese Werte erfUleu alle vier Gleichnngen (27). Somit haben wir den

BatK U: Sind u, V rechtwinklige Coordinaten in einer Ebene,
X, y rechtwinklige Coordinaten in einer zweiten Ebene, so wird
die allgemeinste punktweise Abbildung der einen Ebene anf die

Pdr,yGOOgIe

Vierter Maehnia: Ourven auf der Fläehe.

andere, bei der jeder Oeraden der einen Ebene eine O-erade der
anderen entspricht, dnich iwei Oleiehnngen von der Form:

*~ a + ßu+rv ' "" a + ßu + ri

gegeben, in denen a,, 6,, e,; o,, b,, Ct; a, ß, f Conatanten Bind nnd
die beiden Nenner übereinstimmen.

Dies ist also die allgemeinste projectiye Abbildung einer Ebene
anf eine andere Ebene.

§ 3. Orthogonale Trajectorien geodflUscher Curven.

Mit Helfe der geodätdachen Cairen laesen sich Bolche besondere
Parameter anf der Fläche einfobren, mittels deren manche äächen-
theoretische Probleme besoDders beqnem behandelt werden k&nnen.
Nun ist es, vie schon hervorgehoben wurde {vgl. S. 411), allerdings
im atlgemeinen onmOglicb, die geodätdacben Curven anf einer ge-
gebenen Fläche za bestimmen, aber für viele Probleme genflgt es
zu wissen, dass sie Oberhaupt vorhanden sind, ohne dasB es darauf
ankommt, sie wiridich in endlicher Form dargestellt vor sich zu
haben.

Wir nehmen an, es sei uns auf einer Fläche mit den Para-
metern u, V und dem Quadrat« des Bogenelementes

dt* = Edu* + 2 Fdudv -^ Qdv*

«ine Schar von os' geodätischen Curven bekannt, die durch
eine Gleichung

^(u,v) E= Const

zwischen u und v definiert sei. Dieser Fall tritt bei manchen
Flfichen ein, so sind z. B. auf einer Rotationsfläche die oo'
' Meridiane augenscheinlich geodätische Curven, da sie «ben sind nnd
ihre Hauptnormalen also in ihren Ebenen liegen. Liegt eine gerad-
linige Fläche vor, so sind die Geraden der Fläche solche be>
kannte oo' geodätische Curven, n. s. w.

Längs der nach Voraassetzung bekannten geodätischen Corren
fi = Const mögen die Incremente der Parameter u, v mit du nnd
Sv bezeichnet sein. Dann ist

/»„ Jt» + ii,Sv = 0
oder:

^ ' du fl,

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 3. Orthogonale TraJMlorien geodä^Mher Ourven, 433

Die zQ diesen oo^ geodätiecheD CurveD orthogODaleo Tra-
jectorien haben also Überall solche Fortechreitnogsrichtungen
{dv.du), für die unter der Voraussetzung, dass die Fläohe keine
Taogentenfläche einer Minimalcurve sei, nach Satz 11, S. 3S:

^ \du uj du p.

oder:

(2) (Efi, - Ffijdu + {Ffi, -Gii^dv = 0

ist Es ist dies die Differentialgleichung erster Ordnung fOr die
orthogonalen Trajectorien. Ist X{u, v) ein Integral dieser Gleichung.
(TgL I 8. SO), so ist

i(u, v) = GonBt.

die endliche Gleichung der co' orthogonalen Trajectorien der oo'
geodätischen Gurren /t = Const.

Wenn die geodätischen Gnrven (i -> Conat., wie wir voraussetzen
wollen, keine Minimalcurven sind, so fällt die Schar A = Gonst.
nicht mit ihnen zusammen, sodass l und fj. von einander unabhängige
Functionen von u und v Hind (vgl. I S. 62, 83) und daher als neae
Parameter benutzt werden können.

Jetzt wollet) wir annehmen, in den Gleichungen:

(3) :r = qp(a,«), y = r(«,ü), z^f{u,v)

der Fläche seien u nod n schon diese neuen Parameter, d. h. es
seien die Parameterlinien (c) geodätische Gnrven, aber keine Minimal-
curven, und die Parameterlinien {«) ihre orthogonalen Trajectorien.
Nach Satz 13, S. 34, ist dann die Fundamentalgrösse ^ = 0. Ausser-
dem sind die geodätischen Curven (n) in der Form u = t, v = Const
darstellbar, sodass für sie «'s» 1, u" = 0, »' ^ 0, o" = 0 ist und
daher nach Satz 4, S. 407, auch E£^=0 sein mnss. Da die
Gnrven (o) keine Minimalcurven sind, so ist £ 4^ 0, und daher er-
giebt sich, dass ü ein« von Null verschiedene Function von u allein
Bein muss. Also ist Jetzt:

(4) ds* = E{u)du* + G{u,v]dv*.

Wir wollen die Bogenlänge t der geodätischen Curve (r) be-
rechnen, etwa gemessen von der Trajectorie (u =■ 0] an bis zu einer
beliebigen Trajectorie (a). Längs der Curve (r) ist dv = 0, also
dt= \Edu, sodass für die Bogenlänge der Wert kommt:

(5)

0«onL DUfr. H.

Pdr,yGOOgIe

484 Vierter jihtihmtt: Ounm auf der Fläche.

Da E Ton o frei ist, 30 ergiebt sich derselbe Wert aaf jeder geo-
dätischen Gurre (v), also:

Sats 14^: Zwei orthogonale Trajectorien einer Schar
Ton oo^ geodätischen GtirTen aaf einer Fläche, die keine
Tangentenfläche einer Minimalcarre ist, schneiden anf
allen diesen geodätischen CurTen dieselbe Bogenlänge ab,
vorausgesetzt, dass die geodätischen GnrTen keine Mini-
malcarreD sind.

Dieser Satz ist die Verallgemeinerung des Satzes 40, I S. t$4,
Ober ParaUelcurren in der Ebene, denn in der Ebene sind ja die
Geraden die geodätischen Gnrven. Man nennt daher die oo' ortho-
gonalen Trajectorien Ton oo* geodätischen Cmren eine Schar von
ParallelcnrTeu anf der Fläche.

Nachdem wir diesen Satz gewonnen haben, wollen wir nodi
einmal za der vorhergehenden Betrachtung zurückgehen und die
Frage, wie man die DifFerentialgleichung (2) der orthogonalen Tra-
jectorien X ■= Gonsi einer Schar von oo ^ gegebenen geodätischen
Gurren /* =>: Gonst. integriert, näher erörtern. Dnser Satz 14 wird ans
nämlich dabei helfen.

Angenommen, es seien y^, y,, ?',... eine Schar von co* ge-
gebenen geodätischen Gurren. Femer seien c und c zwei unendlich
benachbarte orthogonale Trajectorien dieser Schar. (Siehe Fig. 78.)
Nach Satz Hschneiden sie auf allen Curven;'
denselben unendlich kleinen Bogen St ab.
Ans einer orthogonalen Trajectorie c
können wir daher leicht eine unendlich
benachbarte c' ableiten: Wir constmieren
in allen Punkten von c die zu den Tan-
genten von c senkrechten Tangenten der
Fläche, d. h. die Tangenten der Gurven y,
und tragen auf ihnen dieselbe un^idlich
p. _g kleine Strecke 8 s ab. Der Ort der End-

punkte ist die Gurve c'.
Dies wollen wir analytisch verfolgen: Im Punkte (u, o) der
Gurve c hat die Tangente der Gurre y die durch (1) bestimmte

* Skte TOD Oadbb, der ttberbanpt in eeiuen „DisqaiBitionee" (siehe die
Anm. Ea S. &) eingehende Untersuch ungen Ober die geodfitiacben Cnrraa «of
einer FlSche angestellt h&t, wie sie bis dahin (1828) von keiner Seite veruicbt
worden waren.

Pdr,yGOOgIe

OrihogonaU Tn^eetorün geodätMeher Owrvm. 435

FortschreitungBrichtimg {Sv.du), and es soll die Strecke S» aaf
diese Tangeute aufgetragen -werden, d. h. es boU sein:

Hieraas und aas (1) folgt:

(6) 8u= , !^' Sr,= , -^"^^

yE^* -2Fttnt^ + 0ft^* VE f.* - 2^^. f». + 0 »<.•

WO in beiden Formeln für die Qaadratwnrzel derselbe Wert za
nehmen ist.

Die Differentialgleichang (2) der orthogonalen Trajectorien der
geodätischen Corven /x = Const. hat demnach die Eigenschaft, dass
jede ihrer Integralcorren J.(h, v) = c in eine nnendlich benachbarte
Integralcorve übergeht, sobald man u und v die Increment« (6) er-
teilt, wenn 3» längs der ganzen Cnrve dieselbe ttnendlich kleine
Grösse bedeutet Nach Satz 62, I 3. 93, kßnnen wir daher einen
Mnltiplicator der Differentialgleichung (2] angeben and diese
Gleichung folglich durch eine Quadratur integrieren.

Ja noch mehr: Die Differentialgleichung (2) und die Werte (6)
enthalten n^ und ^, nur in ihrem Verhältnis. Wir brauchen also fi
gar nicht zn kennen, sondern nur /*,:;*„ als Function von u und v.

Wir brauchen also nach (1) nur die Fortschreitungsrichtungen
(So : Sit) längs der geodätischen Gurren /t = Const. zu kennen.
Dies aber ist der Fall, wenn die co^ geodätischen Curven nicht
durch ihre endliche Gleichung u = Const, sondern durch Ihre Dif-
ferentialgleichung

a{u,v)du + ß{u,v)dv = 0

gegeben sind, weil dann

also nach (1) auch fa^: fi^ =^ u : ß ist Ersetzen wir dann /i^ und (i^
in (2) und (6) durch a und ß, so liegt in (2) die Differential-
gleichnng der orthogonalen Trajectorien und in (6) eine solche un-
endlich kleine Ortsänderang vor, die Jede dieser Trajectorien wieder
in eine Trajectorie überfilhrt, sodass der citierte Satz des ersten
Bandes ergiebt:

Satz 16: Kennt mau die Differentialgleichung erster
Ordnung einer Schar von cd' geodätischen Curven auf
einer Fläche, so verlangt die Bestimmung der ortho-
gonalen Trajectorien dieser Schar nur eine Quadratur.

28*

^dnyCOOgle

4S6 Viertat Jhseknitt: Oarvm auf der Fläeh«.

Wir wollen zeigen, wie man die BdchnDiig durchführen baDD.
Dabei wollen wir bei der früheren VoraQssetisnng bleiben, dass die
Schar der oc' geodätischen Gurven durch ihre endliche Gleichong
ft. _ Conet gegeben sei, Ist dies nicht der Fall, liegt vielmehr nnr
ihre Differentialgleichung adu -\- ßdv =^iS vor, so ersetze man in
dem Folgenden einfach fi^ und fi^ durch a nnd ß. Wenn mau will,
kann man übrigens die Olelchungen (6) mit Hfllfe des Differential-
parameters erster Ordonng von ^ nach XX (i^ so schreiben:

wo natllrlich D = ^EG -TF* sein solL

Soll SUD K(u, v) ein Integral der Differentialgleichung (2) seiu,
BO moss sich (2) mit

k^du + X^dv — 0
decken, woraus folgt:

(8) [Ffi, - G/iJX^ - {E(i, - Ffi^)X, = 0.
Femer moss aas jeder Corre

X («, v) = c

durch Ausübang der in (6) oder (7) angegebesen Änderang wieder
eine Integralcurre

X(u + 3v, V + Sv) =. GoaA

herroi^ehen, d. h. es muss

X(k,v) + X^3u + X^Sv
oder also

'■Tr + '• i,

nach I S. 8S eine Fanction Tön X sein. Also fordern wir noch

K'^ + K^-^m

oder, wenn wir hierin die Werte (6) einsetsen:

(9) - , -''r^-M-^ = to{X).

Übrigens ist id{X) nicht etwa gleich NoU, weil sonst aas (8)
nnd (9) folgen wUrde:

E[t,' — 2Ffi^fi^ + GfiJ - 0,

]H,zedr,yGOOgIe

§ 3. Orthogoaat» Thijaetorim geodäiücher Ourvm. 487

was aussagen Tfirde, dass die Corren p = Const gegen die Vorauft-
setzong UiDimalcurren wären, nach Satz 41, 8. 385.

Die Integralcnrrea X = Const. kann man nun aach durch irgend
eine ÖleictTing Yon der Form:

f) (u, e) — Const
darstellen, sobald nur tp eine Function von X allein ist:

y=ß(i).
Dann ist:

Setzen wir die hieraus folgenden Werte:

\ - si- ' \ - -jiT
in (8) und (9) ein, so kommt:

ft,ip.~ ft.ip.

= ü>[X)ß:{X).

Wenn wir also:

fl-W-Jj,-, d.h. fl-/^

annehmen, was wir thun dSrfen, da m 4= 0 ist, so erkennen wir:

Die Integralcairen der Differentialgleichang (2) lassen sich in
einer solchen Form

(jp (u, e) — Const
schreiben, dass:

{F(i, - GtiJ<p, - {Ep, - Fii^q>, = 0.

f . ». - ^. ».

.1

wird. Hieraus lassen sich (f^ und <p^ sofort berechnen. E^s kommt:

sodass eine Quadratur:

r (E/i. - Fp.)du + jFfi. - G^dv
J V^M." - 'iF(i, |U, + 0 ^'

die 00' orthogonalen Trtyectorien <p = Const liefert, wie in Satz 15
behauptet wurde.

D,gH,zedr,yGOOgIe

438 Vierter MsehmU: Ourven auf der Fläche.

Thatsftchlioti enthält die Formel für <fi die Differeotialqaotieiiteii
fn^ und (i^ nur iu ihrem VerhältniB. Ersetzen wir fi^ und /*, darch a
und ß wie oben, so finden wir also:

SatE 16: Ist

«(B,t))rfM + (?{«, v)dv « 0

die Differentialgleichnng einer Sch&r von oo* geodätischen
CnrTen, die keine MiDimalcarveD sind, so ist

{Bß - Fa)du + (Fß- Ga)dv

das vollständige Differential einer Function <p{tt,v), and
die Gleichung

^(m, d) = Const.

stellt die ao' orthogonalen Trajectorien jener Schar dar.

BeiBpiel: Auf einer geradlinigea FlBohe aind die Oer&dea geo-
dStische Gurren. Nach Skts 10 oder 16 findet nun also die orthogouaien
Ti^ectorien der Geraden durch eine Quadratur. In der That haben wir ne
so anf S. SIT, 818 bestimmt. Der damalige Sats 92 ist ein specieller Fall
unseres Satsec 14.

Statt in der Form ip = Gonst. hatten wir die orthogonalen
Trajectorien zneret in der Form X = Const geschrieben; ip war eine
Function tod iL FUr X^ und A, gelten die Gleichungen (8) und (9).
Mittels (8) können wir (i^'ft^ aas (9) fortechaffen, da (8) ergiebt:

sodass (9) die Form abnimmt;

J-y£XJt-2FX^X^ + G V - fl)(A).
wofQr wir such nach XX {J) schreiben können:
Ai = <a*{_X).

Diese Eigenschait ist nun charakteristiBcb fttr die orthogonalen
Trajectorien X = Const. Ton Scharen geodätischer Linien. Wir
können nämhch umgekehrt beweisen, dass eine Schar von co* ConeD
X («, ») = Const

orthogonale Trajectorien einer Schar von oo^ geodätischen Curven
dnd, wenn An eine Ftinction von X allein ist

E^ sei also eine Function X{u, v) gegeben, die keine Gonstante
Bein soll und f&r die d^i eine Function von X allein ist:

,dr,Google

§ 3. Orthogonale Iht/eelorim geodätiechtr Ourvm. 489

Alsdann stellt X •= Const eine Schar von oo' Gurren aof der Fläche
dar. W&re /In ^ 0, so wären es Minimatcorren, nach Satz 47,
S. 985, sodass ihre orthogonal^i I^füectorien mit ihnen zasammen-
fielen and der zn beweisende Satz trivial wOrde. Also sei An =|= 0.
Sind fi{u,v) = Gonst. die orthogonalen Trajectorien der Corren
X = Const, so sind X und /t von einander unabhängige Functionen,
und es ist nach Satz 11, S. 33, and nach XX {B) der Zwischen'
Parameter

*,-0.
Führen wir nun

als Flächenparameter ein, so nehmen die FandamentalgrOssen nach
Satz 49, S. 389, and wegen

die Werte an:

sodass das Quadrat des Bogenelementes in der Form erscheint:
(10) dt* = 7^7«^^*+ (?(0, fl)rf«*.

Diese Form ordnet sich aber der früheren Form (4) unter, bei
der die Curren (w) geodätische Cairen waren. Also sind die Cmren
{0) oder /i i> Const geodätisch. Somit sind die Gnrren X = Const
orthogonale Trajectorien von ao' geodätischen Curren. Daher:

Bata 17:^ Damit die CurvenBchar
X{u,ti) = Const

ans den orthogonalen Trajectorien von oo' geodätischen
Carven der Fläche bestehe, ist notwendig und hinreichend,
dass der Differentialparameter erster Ordnung An von X
eine Function von X allein sei:

Die Voranssetzong, dass die Fläche keine Tangentenfl&che einer
Minimalcorre sei, ist schon dadarch eiagefuhrt, dass An sonst nicht
definiert wäre.

Insbesondere ist in (10) der Parameter a direct die Bogenlänge
der Curven {ff), gemessen von der Curve (fl = 0) an, wenn /"(o) = 1

> der Anm. zu S. SBS genanate Abbandlnog von Butbami im

D,gH,zedr,yGOOgIe

440 Vier^ Ab»ehniit: Ourvm auf der Fläche.

ist — ebenso wie in (4) der Parameter u direct die Bogenlänge der

Cnrren (v), gemeBsen tod der Cnrre (u = 0) an, darstellt, wenn

B=t\ ist, vie die Formel (5) zeigt Daher kSnnen vir noch sagen:

8atE 18:' Damit die Carvenscliar

A(u, v) = Const

ans den orthogonalen Trajectorien tod os' geodätischen
Curven der Fläche bestehe nnd gleichzeitig A die Länge
dieser geodätischen Curven, gemessen von derCnrve i=0
an, angehe, ist notwendig nnd hinreichend, dass der erste
Bifferentialparameter An gleich Eins sei.
Wenn wir insbesondere

j vm

als nenen Parameter u' statt ü einftUiren, so nimmt daa Quadrat
des Bogenelementes (10) gerade die eben erwähnte einfachere Oe-
stalt an:

Dies lässt sich umkehren: Nehmen wir an, das Quadrat des
Bogenelementes der Fläche sei durch geeignete Parameter u, v in

der FomiT

dt' = du* 4-G(m, v)dv*

dargestellt Alsdann sind die Parameterlinien (tt) und (v) zu eia-
ander orthogonal nach Satz 13, S. 34. Aosserdem ist dann u die
Bogenlänge der Cnrven (w), die von den Curven (« = 0) und (a) ab-
geschnitten wird. Femer sind dann die Curren (v) geodätisch,
denn analog der in Satz 5, S. 408, ausgedrückten Bedingung für den
Fall geodätischer Farameterlinien (u) haben wir für den Fall geo-
dätischer Parameterlinien (v) die Bedingung:

Biese ist aber hier, Aü. E = \, F = Q iai, erfüllt

Mithin gilt der

SatK 19: Bann und nur dann, wenn die Parameterlinien
(v) geodätische Curven nnd die Parameterlinien (u) ihre
orthogonalen Trajectorien sind, kann man die Parameter

' DieB findet man, wenn anch nicht Ausdrflcklich fonDnliert, schon in
Gaiw' „DiequiBitionea".

Pdr,yGOOgIe

§ 4. Systeme van geodätiachen Parametern. 441

Bo wählen, dass das Quadrat des Bogenelemeate8 die
Form:'

annimmt. Alsdann ist zugleich u die Länge aller geodä-
tischen Curven (p) zwischen den Trajectorieo (a = 0) und (a).
Vorausgesetzt ist hierbei, dase die Fläche keine Tangen-
tenfläche einer MiDimalcurve sei.

§ 4. System von geodätischen Parametern.

Die letzten Betrachtungen haben zu einer besonderen Art der
ParameterdarBtellung einer beliebigen Fläche, die keine Tangenten*
fläche einer Minimalcurve ist, geführt:

Als die Parameterlinien (o) wählen wir eine Schar von co' geo-
dätischen Linien, als die Parameterlinien (u) ihre orthogonalen
Trajectorien. Nach unseren letzten Ergeb-
nissen können wir dabei den Parameter u so
wählen, dass u die Bogenlänge Torstellt, die
auf allen Parameterlinien {v) von den Trajec-
torien (u = 0) und (u) abgeschnitten werden.
(Siehe Fig. 79.) Wir haben femer gesehen,
dass das Quadrat des Bogenelemeotes alsdann
die Form annimmt:

(1) d9* = du* + ff (a, v)dv*. P%- "•

In diesem Falle sagen wir, dass die Fläche auf ein System
von geodätischen Parametern oder auf ein System von geo-
dätischen Coordinaten bezogen sei.

Legen wir diese Parameter zn Grunde, so nimmt die Differen-
tialgleichung der geodätischen Cnrven nach Satz 4, S. 407, da jetzt
1) = ^G und zwar im reellen Falle die positive Wurzel ans 0 ist,
die Form an:

(2) i>(K'«"- tt'w") + 2iJ„M'*i> '4- D,u'v*+ ß'D^v' = 0.

Dabei hat man sich vorzQstellen, dass a und v Functionen irgend
eines Hülfsparamet«r8 t seien. Wählen wir als diesen Parameter

' Diese Form des Quadrates des Bogeiielementes wurde von Gt.oss in
seinen „DiaquisitioDes" eingefOhrt und sn Betrachtungen verwendet, die
wir im nftehsten Panf^phen wiedet^ben.

Pdr,yGOOgIe

Vierter Abaebnitt: Ourven auf der Fläche.

ioBbesondere die QrSese v, eodase aar die geo^tischen Curreit (c)
seibat aoBgeschloaaen bleiben, so ist t>'~ 1, »"=> 0, vährend

wird. Alsdanii kommt statt (2):

d. h.: der Punkt (h, v) beschreibt eine geod&tiache Corre, sobald die
Bogenlänge u, die sie auf den Parameterlinien (v) abschneidet —
der Tr^ectorie (u =s 0) an — , eine solche Function
von o ist, die der Differentialgleichung
(3) fUr alle Warte Ton v gen&gt

Im reellen Falle wollen wir alsdann
die geodätische Carre im Sinne des
wachsenden Parameters v durchlaufen.
Es sei a der Winkel, den eine durch
den Punkt (u, v) gehende geodätische
Fig. 80. Curve mit der hindurchgehenden Para-

meterlinie (v) bildet, siehe Fig. 80. Längs
der ersteren Cnrre nehmen u und v um du und dv zu, längs der
letzteren ist dagegen dv = 0, sodass wegen (1) aus Satz 10, S. 32,
folgt:

/— (Ä)'

ftiBO:

Da i> im reellen Falle positiv und a^^ ist, je nachdem u aof
der geodätischen Gurve wächst oder abnimmt, so ist das obere Vor-
zeichen zu n^Lhlen:

sodass:

(4) 4j = 7)ct««

wird. Längs der geodätischen Gurve ändert sich a-, i^dist v um
dv, so nehme te um da zu. Dann ist:

Pdr,yGOOgIe

^ 4. Systeme von geodätischen Parametum.

wobei nach (4)

ist, sodass kommt;

Aber fiU- geodätische Cuiren besteht die Gleichimg (3). Setzen wir
darin die Werte (4) und (5) ein, so kommt einfitch:

(«) If ---».•

was wir so aussprecheu:

Sab; 80:' Ist eioe Fläche auf geodätische Parameter u,v
bezogen, sodass

das Quadrat ihres Bogenelementee ist, so ändert sich der
Winkel a, unter dem irgend eine geodätische Cnrre die
geodätischen Parameterlinien (v) durchsetzt, in Gemäss-
heit der Formel:

da

'--ö..,

wo D = ^G im reellen Falle positiv ist und der Fort-
Bcbreitungesinn der betrachteten geodätischen Gurre im
Sinne des wachsenden Parameters v festgesetzt worden ist

Es ist häufig bequemer, statt der Differential^eichung (2) oder
(3) der geodätischen Gurren die viel einfachere Qleichang (6) zu
benutzen. Wir werden dies gelegentlich
thun. —

Insbesondere ist nun eine noch spe-
cieUere Wahl der Parameterlinien mög-
lich: Als Parameterlinien (u) wählen wir
nämlich oo' geodätische Curven durch
einen gemeinsamen Punkt A (siehe Fig. 81).
Alsdann ist von den orthogonalen Tr^ec*
torien (ti) eine, etwa (u^), ausgeartet, näm-
lich in den Punkt A selbst zusammeageschr
andere orthogonale Trajectorie («) von allen

Fig. 81.

ipft, während jede
DU A ausgehenden

' 6bu 20 imd SI von Gadsb, in den „Disqniaitionee^'.

Pdr,yGOOgIe

444 Vitrter Msckmtt: Ourvm auf 6er Fiäahe.

gdodätischen Curren (p) dieselbe Bogenlänge » — «o abachaeidet nnd
daher als eine Gurre constanter geodätischer Eatfercnng
vom Punkte Ä bezeiclinet werden kann. Dabei yerBtehen wir unter
geodätischer Entfernung des Punktes (u, v) rom Pnnkte A eben die
Bogenlänge der durch den Punkt (u, v) gehenden geodätischen Carre
(v) von j1 bis zum Punkte {ti, v).

Allerdinga ist hier ein Einwand zu erheben: Es ist wohJ denk-
bar, dass von A mehr als eine geodätische Curre zum Punkte (v, r)
geht. Wir haben ja in einem Beispiel auf S. 409 geaehen, da.is
sogar unendlich viele geodätische Curven von einem Punkte nach
einem anderen gehen können, vgl. die B'ig. 77, S. 410. Mao kann
aber unter gewissen fonctionentheoretiscben Voraassetzungen doch
den Beweis fuhren, dass es um den Punkt A herum stets ein solches
StUck der Fläche giebt, innerhalb dessen nur eine geodätische Corve
von A nach irgend einer Stelle hin geht. Ein solches Qebiet kann man
z. B. leicht in dem angezogenen Beispiel des Rotationscjlinders da-
durch abgrenzen, dass man zwei Mantellinien and zwei Kreise ab
den Band des Gebietes vorschreibt Wir gedenken jedoch auf die
angeregte Frage nicht weiter einzugeben and formulieren daher das
Ergebnis so:

Sats 81: Kann man um einen Punkt A einer Fläche,
die keine Tangentenfläche einer Minimalcurve ist, ein
solches Gebiet abgrenzen, innerhalb dessen oo' geodätische
Curven von A derart ausgehen, dass durch jeden Pankt
des Gebietes nur eine von ihnen läuft, so sind die Ortho-
gonalen Trajectorien dieser os' geodätischen Curven die
Cnrven constanter geodätischer Entfernnog von dem
Punkte Ä.

Biese orthogonalen Trajectorien sind daher eine naturgemäase
Verallgemeinerung der Kreise um einen Punkt als llittelpunkt in
der Ebene und können als geodätische Kreise mit der Mitte A
bezeichnet werden. Doch wollen wir gleich hier anmerken, dass
der Begriff des Kreises noch eine zweite natargemässe VeraD-
gemeinemng fttr den Fall einer FUlche hat, die sich mit dieser
nicht deckt. Wir werden sie aber erst in § 7 angeben. —

Sind die Parameterlinien (r) von einem Punkte A ausgehende
geodätische Curven und die Parameterlinien (u) ihre orthogonalen
Trajectorien, sodass

ds* = du' + G(u, v)dv'*
ist, so kann, man es insbesondere so einrichten, daas die zujn

Pdr,yGOOgIe

§ 4. Systeme von geadätisehen Parametern. 445

Paukte A degenerierte orthogoDale Trajectorie (u,,) gerade die Cmre
(i( =s 0) ist, indem man nämlich einfach u — u^, als Parameter statt u
einfuhrt Alsdann ist u die geodätische Entfernung des Punktes (u, v)
Ton der Stelle Ä. Man nennt ein solches Parametersystem' ein
System von geodätischen Polarcoordiuaten mit dem Pole Ä,
da es die natürliche VeraUgemeinening des Systems der Polar-
coordinaten in der Ebene (Tgl. I 3. 107) ist. Wie bei den ebenen
Polarcoordinaten, so ist aach hier der Pol selbst in Hinsicht anf
die Parameterdarstellnng ein singulärer Funkt, da fOr ihn die auf
S. 6 getroffenen Festsetzungen nicht gelten. Denn zu diesem Punkte Ä
gehört zvar nur der eine Wert Nnll des Parameters u, aber der
Parameter v bleibt für ihn unbestimmt, weil alle Gurren (v) durch
ihn hindurchgehen. Da die Curve (u => 0) zu einem Punkte degene-
riert, so ist ihre BogenUnge gleich Null, d. h. es ist jetzt

(7) ('^^''-''^Lro'''

In vielen Problemen der Fläcbentheorie bieten sich solche geo-
dätische Polarcoordinaten naturgemäss dar, so z. B. anf den Bo-
tationsflächen.

Wenn die Meridiancnrren einer Kotationsfläche die Axe der
Fläche in einem Punkte A treffen, so sind die von ihm ausgehenden
Meridiancorven unsere geodätischen Curven (w) und die Parallel-
kreise unsere geodätischen Kreise (u) (vgl. S. 432).

Wenn die Meridiancurven der Rotationsfläche die Äxe nicht in
reellen Punkten treffen, wenn man aber doch eine reelle Parameter-
darstellung benutzen will, so wird man zu dem oben erwähnten
allgemeineren System von geodätischen Coordinaten zurückgreifen, also
die Meridiancurven zwar wieder als Cnrven (r) wählen, aber als
orthogonale Trajectorie (t( = 0) irgend einen Parallelkreis der Fläche
wählen, von dem aus also die Bogenlängen u gerechnet werden.
Man sieht, dass wir auf S. 41 und später oft gerade dies Para-
metersystem für die Rotationsflächen benutzt haben. Insbesondere
ist auch der Satz 6, S. 412, nur ein besonderer Fall des Satzes 20
fUr beliebige Flächen, denn dort war i>* =;>■(«), sodass Satz 20
liefert:

sodass

-j^ {p sin a) = / sin a -^ ^ pp cos a

' Zuerst von Oi.üra benutet, von dem anch die übrigen Sätie dieses Para-
grsphen herrühien.

Pdr,yGOOgIe

Vietier Abachniü: Owvm auf der FlSdui.

oder wegen (4);

-T— {;» ein «) = 0 ,

also pBxaa = Coiiat ist, was eben der erwähnte Satz 6 anssagt

Aach auf beliebigen Flächen kSnoen wir geodätische Coor^
dinaten ein^hren nnd zwar explicite, sobald wir eine Schar von
00^ geodätischen Cnrren kennen, die keine MinimalcarreD sind. Als-
dann stellt sich aacfa das ErOmmnngsmaass K der Fläche, Aa E=\,
F=0 nach (1) ist, infolge tob XVII {£) besonders einfadi dar,
nämlich so:
(8) K 1.^^,

in dieser Formel tritt das Wurzelzeichen übrigens nur schein-
bar auf.

Ein Hauptvorteil der geodätischen Coordinaten ist der, dass das
Quadrat des Bogenelementes bei ihrer Anwendung nnr eine Function
G(u,v) enthält, und diesen Vorteil teilt es mitdemParameteFSf stem
der Minimalcurven, für das sich ja nach XVHI {J) ergiebt:
ds*= 2F(u,o)dudv.

Das System der Minimalcurven hat den Nachteil, imaginär zu sein,
dagegen gegenüber dem geodätischen Parametersjstem den Vorteil,
bei wirklicher expliciter Anwendung nur die Integration einer ge-
wöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung, nämlich der
Gtleichung XI (0) zu verlangen, während die geodätischen Cnrven
nach Satz 5, 3. 406, durch eine gewöhnliche Differentialgleichnng
zweiter Ordnung bestimmt werden und man kein Mittel hat, bei
beliebigen Flächen gerade on^ geodätische Gurren zu finden.

Man kann die geodätischen Coordinaten, insbesondere die
Formel (6), benutzen, um die Sätze über die Verbiegung von
Flächen constanter Krümmung abzuleiten, die wir in § 5 des
3. Abschnittes unter Zugrundelegung der Minimalcurven als Pars*
meterlinien ableiteten, und dies ist die Methode, die jetzt in den
Lehrbüchern der Flächentheorie meistens benutzt wird. Wir wollen
hierauf nicht näher eingehen und nur das Eine bemerken: Soll die
Fläche constante Krümmung K haben, so muss nach (8):

sein, d. h. der zweite Differentialquotient von YG nach u ist gleich
^G, multipliciert mit dem constanten Factor —K. Wie wir schon

Pdr,yGOOgIe

^ 4. Sytteme von geodätischen Paramekm.

in emig«ii F&Uen (auf 8. 413 and S. 427) auf die Betrachtung in
I S. 98, 90 verweisen konnten, bo auch hier. £s ergiebt sidi, daae
ye die ITonn hat:

ye - r, (o) cos yx w + r, (») Bin y:r« ,

wo V^ und Tj Functionen Ton v allein sind. —

Im Falle geodätischer Folarcoordinaten kann man dem Para-
meter V noch eine specielte geometrische Deutung unterlegen. Zu-
nächst nämlich betrachten wir die zu einem
beliebigen Werte von u gehörige orthogonale
Trajectorie der von dem Pole A ausgehen-
den geodätischen Curren (d), also, wie wir
kurz sagen können, den geodätischen Kreis
mit dem (geodätisch gemessenen).. Radina tt.
{Siehe Fig. 82.) Es sei P^ sein Schnittpunkt
mit einer bestimmten geodätischen Curre
(ü), etwa der Curre (o = 0), und P sein
Schnittpunkt mit einer beliebigen geodä-
tiacben Gurre (v). Sein Bogen P^ P drftckt
sich nach (1)* da längs der Curve (w) der Parameter u constant ist,

Fig. 82.

~jYÖdv,

wo die Wurzel im reellen Falle positiv ist.
dem Bogen Pg P nnd dem Eadins AP^s= AP =

Das Verhältnis aus
= u ist also:

- = 1 Jyerf»

Wählen wir u unendlich klein, so ist der Ereis (u) als unendlich
kleiner Ereis in der Tange atenebene von A mit der Mitte A und
dem Radius u aufzufassen; daher ist das soeben betrachtete Ver-
hältnis dann gleich dem Winkel v>, den die geodätische Curve (v)
mit der Gurre (o = 0) an der Stelle A bildet Alsdann kommt:

0 = lim —

fVffd

Nach bekannter Regel bestimmt man den Orenzwert, indem man
Zähler und Nenner nach u differenziert und dann « gleich Null

Pdr,yGOOgIe

Vierier Abackmti: Ourven auf der Fläche.

setzt Das Differenzieren and das Nullsetzen von u darf im Zähler
unter dem Integralzeichen geschehen, aodaas kommt:

-im^-

Dies also ist der Winkel k, den die Cnire (o) im Punkte A
mit der Cnrve [v = 0) bildet Direct konnte er dealudb nicht be-
rechnet worden, weil der Pankt A im System der geoi^tincben
Polarcoordinaten singulär ist

Aus (9) wird sich für w eine Function von r ergeben. Umge-
kehrt kann man dann v als Function von to aufEusen and also
anch 10 statt v als Parameter benutzen.

. Man kann also insbesondere bei den geodätkchen Polarcoordi-
naten als Parameter v den Winkel benutzen, den die Parameter-
linie (v) mit der Parameteriinie (r = 0) im Pole A bildet Auch
dann hat das Quadrat des Bogenelementes eine solche Form wie
in (1), aber wegen der besonderen Bedeutung von v ist dann nach (9):

/[

eya

'- rf«

woraus durch Differentiation nach v folgt:

Diese Gleichung deckt sich mit der Torigen, sodass wir mit Bflck-
sicht auf (I) und (7) den Satz aufstellen können:

Sati 22: Sind u, v zu einem System geodätischer Polar-
coordinaten gehörige Parameter u, v, d. h. sind die Curven
{v) die von einem Punkte A auegehenden geodätischen
Curven, die Curven («) ihre orthogonalen Trajectorien und
ist u die von A an gemessene Bogenlänge der geodätischen
Curven (v) bis zu ihren Schnittpunkten mit der Trajectorie
(u), sodass das Quadrat des Bogenelementes die P'orm

di^ = du' + G(u,v]dt>'
hat, wobei

\6{u,v)] =0 oder Iß] =0

ist, so stellt der Parameter v insbesondere den Winkel

Pdr,yGOOgIe

§ 4. Systeme von geodätieehen Parametom. 449

vor, den die Cnrve (v) im Pole Ä mit der Curve (t? = 0)
bildet, wenn überdies

[»ffl-l oder kl-l
ist

Wir machsD eine Anwendung hiervon zur Berechnung der so-
genannten Totalkrttmmung eines Flächenstückes.

Unter der Totalkrümmung T eines abgegrenzten Flächenstückes
Tersteht man den Inhalt desjenigen Flächenstückes, das ihm bei
der sphärischen Abbildung auf der Kngel entspricht. Sind
(a, t>), (k + du, v), (m, t) + dv), (m + rf«, » + <-U')

die Ecken eines anendlich kleinen Netzvierecks der Parameterlimen
auf der Fläche, so entsprechen ihnen bei der sph&riacheD Abbildung
vier Funkte auf der Engel, nach S. 204, und dabei ist der Inhalt
des Bildvierecks nach S. 212 gleich

t'S>dudv,

wenn wir ihn positiv oder negativ reebnen, je nachdem die Fläche
an der Stelle (k, r) elliptisch (i = + 1) oder hyperbolisch (» == — 1)
ist. Aber nach der Definition des Erümmnngsmaasses K ebenda
ist dieser Inhalt gleich

KBdudv.

Mithin ist die Totalkrümmung T eines abgegrenzten Flächenstückes

gleich dem Doppelintegra):

(10) T= jJKBdudv,

hinerstreckt über alle innerhalb des abgegrenzten Gebi
Punkte (m, v).

Jetzt wollen wir insbesondere ein geo-
dätisches Dreieck ABC auf der Fläche ab-
grenzen, d, h, ein Dreieck, das von drei geo-
dätischen Curven begrenzt ist (siehe Fig. 83).
Wir können dann die E^ke Ä als Pol geo-
dätischer PolarcoQrdinaten benutzen, bei denen
die von Ä ausgehenden geodätischen Curven pj gg

die Parametercurven (f) sind. Dabei sei (» = 0)
die Curve AB selbst, und die Amplitude v werde so gemessen,
dass der Schnittpunkt Q der Parametercurve (e) mit der Seite BC
des Dreiecks von B nach C geht, wenn v von Null an wächst. Für

I, Oeom. Dlirr. II. 88

.dr,yGoogIe

450 Viarlar AbgcAnüt: Otreen auf der Fläche.

die Seite AC sei die Amplitude v gleich o. Ferner seien b und c
die absolut gemessenen Innenwinkel des Dreiecks ABC bei S and C.
Der Parameter u bedeutet die Bogenlänge auf den Gurren (n), und
wir können voraussetzen, sie sei anf der allgemeinen Gurre (r) im
Sinne von A nach Q positiv gemessen.

Die getroffenen Voraussetzungen sind nur dann nicht erfüllbar,
wenn die geodätische Curve £C ihren Fortschreitungssinn , wie er
weiter oben durch die wachsende Amplitude v bestimmt war, ändert
d. h. wenn die Gurren BC eine solche Wendung macht, dasa die
Ton A au a gehen den geodätischen Gurren
sie öftere treffen, wie die punktierte
Gurve in Fig. 84 es thut. Wir werdeo
in einem solchen Falle das geodätische
Dreieck durch von A ausgehende ^o-
Fig. $4. dätische Curven in einzelne Dreiecke

zerlegen, ftlr die die gemachte Voraus-
setzung zutrifFt, und alsdann die TotalkrQmmungen der einzelnen
Dreiecke berechnen, denn die Totalkrßmmung eines Flächenstlickes
ist ihrer Definition nach gleich der Snmme der TotalkrOmmungen
ihrer Teile.

Unter den gemachten Voransaetzungen ist die Totalkrammong T
des geodätischen Dreiecks ABC nach (10):

-/(/■

SJ)du\dv,

wo die obere Orenze u die Länge des Bogens AQ der allgemeinen
Parametercurve [v) von A bis zu ihrem Schnittpunkte Q mit BC
bedeutet (siehe wieder die frühere Fig. 83). Nach (8) ist aber, weil
yo = S ist:

also nach Satz 22:

0

sodass kommt:

T= {{\-I)\dv~a- Cd df,.

D,gH,zedr,yGOOgIe

I

§ 4. Sy$t«me von geodätisohen Pm-ametem.
Hierf&r können wir nach Satz 20 schreiben:

^="+/4f«

wenn a den Winkel bedeatet, den die Cnrve BC mit der Parameter-
linie (v) bildet. Das nnbestimmte Integral hat den Wert a + ConaL
Für ü = 0 wird « = ä — 6, fär v = a dagegen wird a = c, wie
Fig. 83, 9, 449, zeigt, sodass kommt:

T= a + b + c~ n.

Um dies einfache Ergebnis aach für geodätische I>reiecke zu
"beweisen, die den gestellten Anforderungen nicht
genQgen, haben wir sie nur noch fUr ein geodä-
tisches Dreieck ABC nachzuweisen, das durch
eine geodätische Cnrve AB in zwei einzelne zer-
legt ist, wie in Fig. 85. Sind die Winkel des
Dreiecks ABS mit Oj, b^, d^, die des Dreiecks
ADC mit e^, d^, c, bezeichnet, so sind die Total- „.

krllnunangen der beiden einzelnen Dreiecke gleich

«] -t- *i + t'i — n und Oj + d^ -t- «^ — OT ,
sodass die Totalkrümmung des Dreiecks ABC den Wert hat:

{a, + *, + rfi - ffl) -I- (o, -H rf, -I- cj - n) .
Es ist aber rfj 4- rf, = Ji, sodass der Wert gleich
K + a,) + öl + c, - n

wird. Da nun a, + a^, b^ und c, die Winkel des Dreiecks ABC
sind, so folgt wieder das alte Ergebais, sodass wir erkennen: Wenn
das geodätische Dreieck in zwei Teile zerlegt wird, fUr die einzeln
die gemachten Voraussetzungen gelten, so ist das Ergebnis bezüg-
lich der Totalkrümmung auch für das ganze Dreieck richtig. Da
sich nan jedes geodätische Dreieck durch geeignete geodätische
Querlinien in solche zerteilen lässt^ für die die Voraussetzungen er-
füllt sind, 80 haben wir den

Sati 23: Die Totalkrümmung eines geodätischen Drei-
ecks ist gleich der Summe der Winkel des Dreiecks ver-
miodert um n.

Uao hat za beachten, dass die Totalkrümmung ihrer Definitioo
nach sehr wohl im reellen Falle negativ sein kann, da wir die Inhalte

^dnyCOOgle

452 Vierter Abael^U: Ourven auf der Fläche.

der Flächenelemente auf der Bildkugel positiv oder negativ gerechnet
haben (vgl. 8. 212), je nachdem die zugehörige Stelle der sphäriscli
abgebildeten Fläche selbst elliptisch oder hyperbolisch gekrünunt
ist Hieraus folgt, dass auf einer überall hyperbolisch gekrümmten
Fläche, wie z, B. auf dem einschaligen Hyperboloid und auf
jeder reellen Minimalfläche (vgl. S. 241), die Winkelsumme eines
geodätischen Dreiecks kleiner als ji ist. Änf dem einschaljgen
Botati onahyperboloid kann man ein soIcheB Dreieck z. B. durch
zwei einander schneidende Geraden and den Kehlkreis begrenzen.
Ist nun aber die Krümmung K der Fl&che constant, so
ist die Totalkrümmung eines Flächenstückes:

T = jj KJDdudv = kJ{ Sdudv,

also nach Satz 14, S. S5, gleich dem £-fachen Inhalt des Flächen-
Stückes. Daher schliessen wir aus Satz 23:

SatB 24: Der Flächeninhalt /eines geodätischen Drei-
ecks auf einer Fläche constanter Krümmung K ist gleich
der um n verminderten Winkelsumme a + b + c des Drei-
ecks, dividiert durch K, also:

J =

i+A + e

Hierbei sei noch besonders hervorgehoben, dass wir die Fläche J
als Doppelintegral über Bdudo im reellen Falle positiv aas-
gemessen haben, da 2) positiv ist und sich ti und c beide in posi-
tivem Sinne änderten, u von Null bis zur Länge des Bogens AQ
und alsdann v von Null bis a > 0, sodass du und dv beide positiv
waren.

Ist ^=0, d. h. liegt eine abwickelbare Fläche vor, nach
Satz 90, S. 214, so ist der Nenner in dem Ausdruck des Fläcben-
mhaltes gleich Null, aber auch der Zähler, denn wenn man die
Fläche auf die Ebene ausbreitet, so wird das geodätische Dreieck
zu einem geradlinigen Dreieck, dessen Winkelsumme a + b + c
gleich JT ist

Auf jeder anderen Fläche constanter Krümmung £ dagegen
besteht zwischen der Winkelsumme a + b + c und dem Inhalte /
der Fläche eines geodätischen Dreiecks die Beziehung:

a + b + c = it + KJ.

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 5. Cenirafläehen. 453

Die WiDkeUumme iet aUo auf einer Fläche constacter
poBitiver Krümmung grftsBer als n, auf einer Fläche con-
stanter negativer Krümmung kleiner als n.

Erinnern wir uns nun an den Satz 9, S. 416, and an Satz 12,
S. 428; wir sahen, dass von allen reeUen Flächen nur die Flächen
coDStanter Krümmung geodätisch auf die Ebene abgebildet werden
können, d. h. dass nur auf ihnen solche Parameter u, v vorbanden
«ind, in denen sich die geodätischen Curven dorcb die allgemeine
lineare 0-leichung:

Const. u + Const v = Const.

Ausdrücken lassen. Die analytische Geometrie der Ebene gründet
sich darauf, dass einerseits die Geraden durch lineare Gleichungen
zwischen den Coordinaten x, y dargestellt werden, andererseits auf
die Annahme, dass die Summe der Winkel eines geradlinigen Drei-
■ecks gleich n sei. Wie man sieht, gilt das eratere auch für die
geodätischen Ourven auf den reellen Flächen constanter Krümmung,
-das letztere jedoch nicht. Alle diejenigen Sätze aus der Geo-
metrie der Geraden in der Ebene also, die nur darauf beruhen,
-daas die Geraden durch lineare Gleichungen dargestellt werden,
haben ihr Analogen auf den reellen Flächen constanter Krümmung,
indem die geodätischen Curven an die Stelle der Geraden treten,
nicht aber diejenigen Sätze, die auf jener Annahme über die Winkel-
summe des Dreiecks beruhen.

Es lässt sich also auf jeder reellen Fläche constanter
Krümmung eine Geometrie der geodätischen Curven analog
unserer ebenen (euklidischen) Geometrie der Geraden ent-
wickeln, in der jedoch die Voraussetzung, dass jedes
Dreieck die Winkelsumme n habe, nicht gilt Man nennt
eine solche Geometrie eine nicbt-eaklidische. Dass solche Geo-
metrien auf den Flächen constanter Krümmung entwickelt werden
können, steht damit in Einklang, dass sich der Satz von der
Winkelsumme der geradlinigen Dreiecke nicht mittels der
übrigen Axiome der enklidiscben Geometrie beweisen läset.

§ ?. Centraflächen.

Während wir in der Theorie der ebenen Curven im ersten
Bande schon frühzeitig, in g 11 des ersten Abschnittes, den Ort
der Krümmnngsmittelpankte, die Evolnte, besprochen haben, haben
wir in der Flächentheorie bisher die Betrachtung derjenigen Fläc^e^

Pdr,yGOOgIe

454 Viertor AbachüU: Ourvm catf da- Fläche.

die TOQ den HaaptkrammnDgsmittelpunkten einer gegebenen Fläche
erfQIlt wird, absichtlich anterlaesen und zwar deshalb, weil hierbei
die geodätischen Cnrren eine Bolle Bpielen. Daher können wir eist
jetzt daza Qbergefaen.

Wir betrachten eine Fl&che

(1) X = y(B, v), y = r(a, "), ' = V'(". «)-

die in ihren Punkten von allgemeiner Lage Hauptkrünunungskreiae
hat, also keine Schar toq cn^ Minimalgeraden enthält, vgL Satz 11,
S. 1 18. Jeder allgemeine Pnnkt F oder (u, v) der Fläche bat zvei
anf Beiner Normalen gelegene HanptkrOmmnngsmittelpunkte, die wir
wie in § 8 des 2. Abschnittes mit (\ und <?, bezeichnen wollen.
Der Ort der Hauptkrtlmmungsmittelpunkte heisst die Centrafläche
der gegebenen Fläche (1) oder auch die Evolutenfläche der
gegebenen Fläche (1).'

Vor allem ist hier zu beachten, dafis die Centrafläche ans zwei
verschiedenen Mänteln besteht, denn wenn wir bei einem Fläcben-
punkte P die beiden Hauptkrümmungsmittelpunkte als ersten und
zweiten, Cj nnd C^, bezeichnen, so ist damit für alle Punkte der
Fläche die Unterscheidung von ersten und zweiten HauptkrOmmnngs-
mittelpunkten festgelegt In der Tbat: Die HauptkrÜmmungBrich-
tungen der oo* Flächenpunkte sind ja die Tangenten der beideo
Scharen Ton KrUmmungscurven, deren Differentialgleichung XII (Q
als quadratische homogene Gleichnng in du und dv zerlegbar ist
in zwei in r^u und dv lineare homogene Gleichungen. Die Bichtnng
{dv : du) der zu C^ gehörigen HauptkrQmmnngsehene des betrach-
teten bestimmt gewählten Punktes P, die Bichtnng also, in der
die Ebene des HauptkrUmmangskreises mit der Afitte C^^ die Tau-
gentenebene von P schneidet, genfigt nun einer von diesen beidea
linearen Gleichungen. Folglich bat man alle dieser einen Gleichung
genügenden Richtungen (dv : du) fUr beliebig gewählte Flächenpunkle
(u, v) als die ersten HauptkrUmmungsrichtungen zu bezeichnen und
die zugehörigen Hauptkrümmungsmittelpunkte entaprecbend als dis
ersten. Sie bilden den ersten Mantel der Centrfdäche, die anderen
den zweiten Mantel.

Da die Fläche (1) insgesamt go' Punkte P hat, so wird sie im
allgemeinen auch oo'HauptkrUmmnngstuittelpunkteCj undoo'Hanpt-
krilmmungsmittelpunkte C, haben, d. h. die Punkte C^ bez. C^ werden

I seiner „Application", eiehe die Anm. in

Pdr,yGOOgIe

• 5. Ckntraßächen. 456

im allgemeinen wirklich je eine Fläche erfQllea; aber ea kann vor-
kommen, dasB es nur oo' Punkte (7j oder C^ giebt, ja aogar nur
einzelne Punkte. Die Mäntel der Centrafläche können also za Cnrren
oder zu Funkten verkümmern.

1. Beispiel: Die Kugel gehSrt freilieb za den Fl&chen mit Scharen von
Minimalgeraden, ftber wie wir auf S. 119, 120 bemerkten, kSnuen wir aie docli
zu den Flächen mit Hauptkrünunungscentren rechneD. Die Mittelpunkte C,
and Ct fallen hier beide in die Eogelmitle, d. h. beide lUntel der Centrafliche
degenerieren in einen und nur einen Punkt.

2. Beiepiel: Bei einer Botationafläche ist der eine Mantel der Centra-
äfiche nach SatclS, 8. 122, in die Drehaxe anageartet, w&hrend der andere
Mantel di^enige BotatiouaflScbe mit deraelben Äxe ist, deren Meridiancurve
die Evolute der MeridiaDcurre der gegebenen Fläche ist.

3. Beiapiel: Bei einer BöhrenflSohe, Tgl. daa 2. Beispiel auf S. IBl,
iet der eiue Mantel der Centrafl&che in die Curve der Mittelpunkte dea er-
zeugenden Kreiaes ausgeartet.

4. Beispiel: Bei einer abwickelbaren FUche ist der eine Haupt-
krümmungaradiaa uDendlich groea, alao der eine Mantel der CentraSäche un-
endlich fern und zwar, wie man aageu kann, eine unendlich ferne Curve, keine
Flllche. Die eine Schar der Krümmungacurren beateht nantlich hier aus den
Geraden der FlBche (nach S. 177), und ISngs jeder Geraden der Fläche hat die
FUchenuormale conatante Sichtung, sodaaa die unendlich fernen Hauptkrüm-
mongacentren nach im Gianzen uur od' Richtungen liegen, entsprechend dem
Vorhandensein von cq' Erzeugenden.

Nach Satz 53, S. 171, schneidet die Normale des Punktes P
der Fläche (1) eine unendlich benachbarte Normale nur dann, wenn
der FusBpuukt dieser zweiten Normale auf einer der beiden Hanpt-
krUmmungstangenten von P liegt, and zwar ist der Schnittpunkt
alsdann der zugebSrige Hauptkrttmmungsmittelpunkt Die Normalen
längs einer Erümmungslinie der Fläche (1) bilden also eine ab-
wickelbare Fläche, wie wir schon auf 8. 175 auseinandersetzten,
und die Gratlinie dieser abwickelbaren Fläche ist der Ort der zu-
gehörigen Hanptkrümmungscentren. Also sehen wir:

Sats 25: Der eine Mantel der Gentrafläche einer ge-
gebenen Fläche wird von den Gratlinien derjenigen ab-
wickelbarenFlächen gebildet, die von den Flächennormalen
längs einer jeden ErUmmungscurve der einen Schar der
gegebenen Flächen erzeugt werden, der andere Mantel von
den Gratlinien der zur zweiten Schar von Krümmunge-
curven gehörigen abwickelbaren Flächen von Flächen-
normalen.

Da die Flächennormalen längs einer Krümmungacurve der
Fläche (1) die Tangenten der Öratliaie ihrer abwickelbaren Fläche

Pdr,yGOOgIe

Vierter AbsdmUt: Ourven auf der Fläch«.

sind und diese Gratlinie auf dem eiueu Mantel der Centraflädie
liegt, Bo folgt weiter, dass jene Fläcbennormalea auch Tangenten
dieses Mantels der Centrafl&che sind, sodass wir sagen können:

Sab 26: Die beiden Mäntel der Gentrafläcbe einer ge-
gebenen Fläche werden von den Normalen dieser Fläche
berührt, nnd zwar berührt die Normale des Punktes P die
beiden Mäntel in den beiden zu P gehörigen HauptkrQm-
mungsmittelpuukten.

Diese Sätze sollen durch die Fig. 86 erläutert werden, in der
die gegebene Fläche (1) mit einem Netz von Kriimmongscurven
überzogen ist und zu zweien dieser
Erümmungscurren , k^ undA,, die
abwickelbaren Flächen der Flä-
chennormalen sowie die zageb&-
rigen Gratlinien 7-,, y^ angegeben
sind. Die beiden Mäntel der
Centrafläche sind schematisch an<
gedeutet. '
, Ist die Fläche (1) reell und

in P elliptisch gekrümmt, so liegen
die zugehörigen Stellen Cj und C,
der Centrafläche nach S. 140 auf
derselben Seite von P, ist die
Fläche (1) in P hyperbolisch ge-
krümmt, so liegen sie auf ver-
schiedenen Seiten von P. Für
ein reelles Flächenstück also, das
Fig. 86. durchaus hyperbolisch gekrümmt

ist, sind die zugehörigen Stücke
der beiden Mäntel der Centrafläche durch das Flächenstück selbst
von einander getrennt Dies ist z. B. in Fig. 86 der Fall.

Wir wollen mit Xj, y^, z^ die rechtwinkligen Coordinaten des
zu P gehörigen Hauptkrümmungscentmms Cj, mit x^, y^, z, die des
Punktes C^ bezeichnen. Alsdann ist, wenn B^ und S^ die Haupt-

' Im BftiLL'echeD Verlage, jetzt bei Scbiluho in Halle, sind Modelle der
CentraüKchen des Ellipaoids und des eioschaligen Hyperboloids enchienen,
hergestellt von Scecwarz und Dtce. Man findet in dieser Sammlang über-
haupt eine Reihe von Modellen, die flir das Studium der FlScbentheoric nütz-
lich sind.

Pdr,yGOOgIe

§ 5. CentmflädtBo. 457

krilmmungsradieD des Pnoktes P oder [x, y, z) der Fläche (1) und
X, X, Z die BicbtangscosiiiaB der Normale von P bedenten:

(2) a:, = :r + Ä, J, y, = ^ + Ä, 7, z, = Z + Ä^ ^
UDd

(3) ar, =* + Ä,X, y, =y + ü', 7, z, = z + Ä,/.

Da X, y, z, TP,, S^ und Z, X, ^ Fanctiotieii von u und v sind,
Bo liegen hierin Parameterdarsteliungen der beiden Mäntel der Centra-
fiäche vor. Za jedem Wertep&ar (u, v) gehört ein Funkt P der
Fläche (1), ein Punkt C^ des ersten Mantels (2) und ein Punkt C,
des zweiten Mantels (3) der Centrafläche.

Es wird sich nun offenbar empfehlen, als Parameterlinien (u)
und (r) auf der Fläche (1) die ErümmungBcurven zu wählen.
Es seien alsdann die Curven (o) die Krttmmnngscurren der ersten
Art^ die Curven (u) die der zweiten Art, sodass also die Pnnkte C^
die Schnittpunkt« unendlich benachbarter Normalen längs der Curven
(v) sein sollen. Auch gelten dann die Formeln der Tafel XIX

Wir wollen die auf die beiden Mäntel der Centrafläche bezüg-
lichen Elemente berechnen; es seien E^, F^, G^, L^, M^, N^ die
Fundamentalgröseen des ersten Mantels und X^, Y^, Z^ die Rieh-
tungacosinuB seiner Normalen. Beim zweiten Mantel wenden wir
den Index 2 an. Zunächst folgt ans (2);

45" = '. + A ^,+ ^4?'-' ft- = '" + ■'^i ^. + ^4v-

oder nach XIX (Z^:

Hierin darf x mit y oder z und X mit 7 oder ^ vertauscht werden.
Hieraus folgt nach XI {F\ dass

X, : r, : ^, = (r z, - Zy^ : {Zx^ - Xz^ : (Xy, - JxJ
oder also nach XI (K) und wegen F= 0, nach XIX {J):

(5) X,:r,:^, =x^:y.:z«.
G-anz entsprechend ei^ebt sich:

(6) X,:7,:/,=x,:y.:z,.

Diese Formeln haben eine einfache geometrische Bedeutung:

Es seien nämlich die beiden durch den Punkt P oder (u, v)

der gegebeuen Fläche (1) gehenden Erümmungscurven (v) und (»)

Pdr,yGOOgIe

4B8 Vierter Abscknitt: Owrvm auf der Fläcli».

mit Aj and A, bezeichnet Die Normale n von F (siehe Fig. 86 auf
3. 456) enthält die Funkte C\ and (7, der beiden M&atel der Ceatrar
fläche and berührt in ihnen die beiden UänteL Die NonnaleQ der
gegebenen Fläche längs A, umhüllen eine Gurre y^ auf dem eisten
Mantel, die Normalen längs A, eine Gurre y^ auf dem zweiten
Mantel. Die Cuire y^ bat als Qratlime diejenige Ebene zur
Scbmiegangsebene, die die Normale n und die Tangente ^ von k^
in P entb&lt, d. h. die Ebene des ersten Hauptkrttmmungskreises
von P. Ebenso bat ;■, in C^ die Ebene durch die Normale n und
durch die Tangente t^ von A, zur Scbmiegungsebene. Nun sagt (5)
aus, dass diejenige Normale v^ des ersten Mantels der Centiafläclie,
die TOD Cj ausgeht, zur Tangente t^ parallel ist, und aus (6] folgt,
dass diejenige Normale y, des zweiten Mant«l8, die von C, ausgeht,
zur Tangente f, parallel ist Also:

Sati 27: Sind Cj und £7, die zu einem Fläcbenpunkte P
gehörigen Punkte der beiden Mäntel der Gentrafläche, so
ist die Normale der Centrafläohe in C^ bez. (7, der be-
treffenden Hauptkrümmungstangente von P parallel

Aber noch mehr, wir sehen, dass die Normale v, in der
Scbmiegungsebene tou y^ liegt, also die Kauptnormale TOn y^ isl
Die Cnrve y^ ist folglich nach S. 402 eine geodätische Corre dea
ersten Mantels. Ebenso ist die Nonnale Vj des zweiten Mantels
Hauptnormale von y^, sodass y, eine geodätische Curve des zweiten
Mantels ist. Also:

Satz 28: Diejenigen Garven, die von den Normalen
einer Fläche längs je einer ErümmungscurTe umhüllt wer-
den, sind geodätische Curven auf der Gentrafläche.

Nach Satz 27 berührt, wie noch ausdrßckhcb erwähnt sein
mi^ge, jeder der beiden Hauptkrümmungsscbnitte eines Fläcben-
punktes P denjenigen Mantel der Gentrafläche, der ihm nicht zu-
gehört, in demjenigen HauptkrUmmungsmittelpunkt, der ihm eben-
falls nicht zugehört.

Ehe wir weitergehen, wollen wir die Frage beantworten, wann
einer der beiden Mäntel der Gentrafläche ausartet Dabei
werden wir die Gleichung benutzen, die aussagt, dass die Strecke
PC, gleich Ä, ist nämlicb:

(7) (x - ;r,)» + (y - y,)» + {z - «,)» = S,'.

Aus ihr gebt durch Differentiation nach v hervor:

D,gH,zedr,yGOOgIe

§ 3. Centrafläcken.

oder, da ar — Xj , y — y, , z ~ t^ proportional X, Y, Z sind und also
S(x-j;i)«, nach XI (/) gleich Null ist;

(8) _S(r_r,)-|5- = Ä,A.^,

eine Fonnel, die wir auch mittels (2), (4), XI {H) and XI (/) veri-
ficieren können.

Der erste Mantel der CentraÖäche enthält nun oo' Curven y^.
Jeder Onrve 7-, entspricht «ine Krümmnngscurre Aj oder (u) der
gegebenen Fl&che. Bei der Parameterdarstellung (2) des ersten
Mantels sind also die Parameterlinien (d) die geodätischen Curven y,,
Soll der erste Mantel in eine Curve degenerieren, so ist dies auf
zwei Arten denkbar: Entweder echmmpft jede einzelne Curve y^ in
einen Punkt zusammen oder alle Curven /, fallen in eine einzige
zusammen. Aber die zweite Möglichkeit ist deshalb ausgeschlossen,
weil aDe Tangenten aller Curven y^^ identisch sind mit aUen Nor-
malen der gegebenen Fläche, sodass die Fläche (1) dann nur 00^
Normalen hätte. Es bleibt also nur die eine Möglichkeit, dase sich
jede Curve y.^ oder (v) des ersten Mantels (2) auf einen Punkt
reduciert Alsdann müssen x^,y^,z^ unverändert bleiben, wenn sich
nnr u ändert, d. h. sie sind dann Functionen von v allein. Aus
der ersten Gleichung (4) und den beiden analogen Gleichungen fUr y
und z folgt femer, da X, Y, Z nicht sämtlich gleich Null ränd, dass
auch S.^ eine Function von u allein sein muss.

Halten wir jetzt t* fest und variieren nur u, d. h. beschreibt
der Punkt P oder (7, y, z) eine KrUmmungscurve k^, so sind in (7)
und (8) nnr 7, y, x veränderlich. Aber (7) stellt für die Punkte
(:c, y, z) eine Engel, (8) eine Ebene dar, d. h. jede Curve k^ ist ein
Ereis. Die Normalen n längs \ gehen beständig nach der Mitte
{xy, y^, Zj) oder C^ der betreffenden Xugel, anders ausgesprochen: Die
Fläche (l) wird längs des Kreises A, von einer Kugel berührt

Insgesamt haben wir ao' Kugeln, da die Coordinaten x^, y^, z^
der Mitten und die Radien Ä, Functionen der Grösse u sind.

Wird umgekehrt eine Schar von co' Kugeln gegeben, so kann
dies analytisch dadurch geschehen, dass wir die Coordinaten Zj, y^, Zj
der Mitten und die Radien £, der Kugeln als Functionen eines
Parameters v geben. Soll alsdann eine Fläche vorhanden sein,
die jede dieser Kugeln längs einer Curve berührt, so müssen die
rechtwinkligen Coordinaten x, y, z der Punkte der Fläche ausser
von o noch von einem Parameter abhängen, sodass die Parameter-
linie (v) der fraglichen Fläche auf der zu v gehörigen Kugel liegt

Pdr,yGOOgIe

460 Vierier Absehnüt: Ourvm auf der Fl&^.

and die Engel die Fläche längs dieser Cnire berührt Also ist zu
fordern, dass einerseits

(9) ix - x^f + (y - y,)' + (z - z,)* = Ä.»

sei und andererseits die Tangentenrichtangen der Fläche aof der
Kugel liegen, also:

(10) {* - x,)x^ + {y- y,)y^ + (z - z,)z. = 0
und

(11) {X - ,,),, + (y -,Jy. + (I - :-,)!, - 0
sei Aber (9) giebt wie oben Dach v differenziert:

also wegen (11):

(12) -S(--',)^--»,^.

vas wieder aussagt, dass die Parameterlinien (v) der frs^cben
Fläche iu Ebenen liegen, also Kreise sind.

Jetzt können wir so sagen: Wir Terstehen unter x, y, z drei
Functionen, die den Gleichungen ^9) und (12) genügen, also, da
dies nur zwei Bedingungen sind, ausser v noch eine Vei^nder-
liche u enthalten können, sodass sie die analytische Darstellung
einer Fläche geben, die wir auch durch Elimination von v aus (ft)
und (12), wo r in ar„ y,, z^ und B^ und ihren Ableitungen auftritt,
in der Form

F{x, y, 2) = 0

erhalten worden. Diese Fläche erfüllt ausser den Gleichungen (9),
(12) alle durch Differentiation nach u und v daraus herTorgehendeu
Gleichungen. Aber die Differentiation TOn (9) nach w giebt (10),
da x^, y,, Zj, R^ von a frei sind, und die Differentiation von (9)
nach V giebt mit Rücksicht auf (12) gerade (11). Die gefundene
Fläche bat also die gewünschte Eigenschaft: Sie berührt jede der
GO' Kugeln längs einer Cnrre, und wir haben überdies gesehen,
dass die Corven Kreise sein müssen. Wir wollen zunächst dies Er-
gebnis formulieren:

Sats 29: Eine stetige Schar tou co' Engeln erzeugt
stets eine Fläche, die Ton jeder Kugel der Schar längs
einer Gurve berührt wird. Diese BerührungscurTen sind
Kreise. (Siehe Fig Ö7, S. 461.)

Pdr,yGOOgIe

§ 5. Centraimdm. 461

MaD sagt, dass diese Fläche die Umhallende, Einhüllende
oder Enreloppe der co^ Kugeln sei. Man kann nämlich, wenn
eine stetige Schar von oo^ beliebigen Flächen
vorliegt, ebenfalls beweisen, dass es eine solche
Fläche giebt, die jede Fläche der Schar längs
einer Curre berUhrt, worauf wir jedoch nicht ein-
geben wollen. Der Beweis ist — abgeseben davon,
dasB sich vorhin insbesondere Kreise ergaben —
ganz analog dem obigen.^

Insbesondere nennt man die Umhüllende einer
Schar von oc' Kugeln eine Canalfläcbe.' Die
oc' Kreise, in denen sie von den cxi' Kugeln be-
rührt wird, sind ihre Krümmungscurven der einen
Schar, da die Normalen längs jedes dieser Kreise \

zugleich Normalen der betreffenden Kugel sind Fifc- 87.

und also eine Kegelfläche bilden, sodass Satz 54,
S. 176, angewandt werden kann. Zu den Ganaläächen gehören ins-
besondere die in dem 2. Beispiel auf S. 181 erwähnten Röhren-
flächen. Jede Rotationsfläche ist augenscheinlich auch eine
Canalfläche; hier sind die Kngelmitten die Schnittpunkte der Nor-
malen mit der Drehaxe und die Rngelradien diese Normalen selbst.

Kehren wir nun wieder zu den Centraflächen zurück, so können
wir sagen:

Satz 30i Bin Mantel der Gentrafläche artet nur dann
in eine Curve aus, wenn die Fläche eine Canalfläche ist
In diesem Falle ist der Ort der Mitten derjenigen Kugeln,
die von der Canalfläche umhüllt wird, der ausgeartete
Mantel.

Eine andere Ausartung tritt ein, wenn der eine Mantel der
Centraääche unendlich fem ist, d. h. wenn die Normalen längs

' Wahrend man in der Ebene nur cc' Curven eu betrachten hat, wenn
man die UmQllungetheorie aufstellen wiil, hat man dagegen im Räume zwei
FBlIe zu uoterBcheiden: £b kGnnen cd* oder od' FlSchen vorliegen. Eine ei-
Bchöpfende Behandlang der UmhUilnngstheorie im Kaume führt naturgemäss
zu der Theorie der partieellea Differntialgleichungen erster Ordnang, auf die
wir gmndsätzHch nicht eingehen wollen, und deshalb hauptsächlich unterlassen
wir es, die Umhüllenden von Flächenscharen zu untersuchen. Wir wollen abet
anmerken, dass Mohob ihre Theorie in seiner „Application" geschaffen hat,
wodurch er zugleich in die von Laobakob herrührende analytische Theorie der
partiellen Differential gleich nogen erster Ordnung anschauliche geometrische
Vorstellungen hineinbrachte.

* Sie wurden zuerst von UoHaa in Beiner „Application" ontersucht

Pdr,yGOOgIe

462 Vierter Abscknüt: Ckirven auf der Fläche.

jeder Curre Ä, einander parallel sind, die Curven Aj also Geradeo
sind und die Fläche abwickelbar ist Diesen Fall erwähnten inr
schon oben in dem 4. Beiapiele. Alan kann die abwictelbaren
Flächen als Ganaltlächen sufTassen, deren erzeugende Kngeln wt-
endlich ferne Mitten haben, also zu Ebenen geworden sind, nämlich
zu den ao' Tangentenebenen der abwickelbaren Fläche.

Da der erste Mantel der Centrafläcbe nur dann ausartet, weno
sich jede Curve y^ auf einen Punkt rednciert, also S^ längs jeder
Cnrve A, oder (v) constant ist, und da umgekehrt daraus, dass B^
nur Ton v abhängt, nach (4) folgt, dass x^, y^, r, nur von e ab-
hängen, also jede Cnrre /, nur ein Punkt ist, so können wir ancli
diesen Satz formulieren:

Satt 31: Die Flächen, bei denen der eine HauptkrQm-
mungsradius längs jeder zagehSrigen KrUmmungscurTe
coDstant ist, sind die Canalfläcben; auf ihnen bilden die
Kreise diese eine Schar von SrÜmmungscurTen.

Es können auch beide Mäntel der Centrafläche ausarten; doch
hierauf wollen wir erst weiter unten gelegentlich zur&ckkonuneii,
um jetzt nicht zu weit von der allgemeinen Theorie der Centra-
flächen fortgeführt zu werden. (Siehe S. 473, 474.)

Kehren wir jetzt zur Aufstellung allgemeiner Formeln iür die
Gentraflächen zurück. Aus (4) können wir nach XI {A) sofort die
Fnndamentalgröesen erster Ordnung £,, F^, 6^ des ersten Mantels
ableiten. Wegen XI {II) und XI (/) kommt:

(•3) S,-[-r„'j' ^i--du ev '^i = [-öT j + 1 "^-) ^-
Femer ist

i),.-.,«,_v-(r:)'p;.^r»-

Also setzen wir in Oemässheit der Bestimmung auf S. 18:
(14) A=*i-e4" •-^--■Vö,

wo Cj = ± 1 i^^ uod im reellen Falle so gewählt werden soll, dass
D^ positiT wird. Dabei sei dann im reellen Falle unter }'G die
positive Quadratwurzel Terstanden.

Wie wir schon oben fanden, ist nach (4):

du är du dv ~ li, du ^ ' ^*«'

Pdr,yG00gIe

§ 5. GentraftaAen. 468

oder nach XI (r), da i* = 0 ist:

fltt dv du df ~ R," du ' I> *"■

Wegen (14) ergiebt sich deshalb ans XI [F) für den EichtungscosinuB
X^ der Normalen des ersten Hanteis:

Es ist aber D ~yM-\ö, wo wir im reellen Falle beide Wurzeln
positiv wählen; also kommt:

<15) X = - -"-x. r. %y. Z.=- -^z^.

Mithin ist:

dp YE " 2Ye' "

sodass hieraus und ans (4) nach XII ((7) fOr die FandamentalgrSssen
X,, M^, If^ des ersten Mantels folgt:

M, -

•■'(vi'-

*i =

■'(Ä--

Rechnet man diese Summen mit Hälfe Ton XII (J), XI (/), XVI (C)
aus, so kommt, weil Überdies F^^M^O nach XIX (^ ist:

oder nach XIX (i>):

Der Wert von N^ lasst sich noch umformen, denn nach XIX (C) ist:
i G. _ _^ SB^

sodass wir schliessUch finden:

(16) i, _,.yil-'?S-5^, ^, = 0, N, — . e.A.lM^..

' ' " du ' ■ ■ ^V£ «. «»

i,i,z,dr, Google

464

Vierter Aba^tmU: Ourven auf der Flädui.

Aue ^1 = 0 folgt nach Satz 70, S. 186, dass die Curveu (m>
und {v) auf dem ersten Mantel der Centrafläche zu einander
conjugiert sind. Die Curven (v) sind die oben mit /, bezeich-
neten Cnrven. Eine Cnrve (a) wird von denjenigen HauptkrQmmtings-
oentreu C^ gebildet, die auf den Normalen der ursprüngKchen Fläche
längs einer Krümmungacurve k^ liegen. Da Entsprechendes ftlr den
zweiten Mantel der Centraääche gilt, ao folgt:

SatB 32: Auf jedem Mantel der Centrafläche sind die
Cnrven, in deren Punkten er von den Normalen der ur-
sprünglichen Fläche längs der Krümmungscurven berührt
wird, zu einander conjugiert.

Die zu den Gurren

des

ersten Mantels conjugierten Curven
unterscheiden sich wesentlich von
den Cnrven y^: Die Curven y,,
die geodätisch sind, haben die Nor-
malen der ursprünglichen Fläche
zu Tangenten, die anderen Curven
nicht, obgleich ihre Punkte Be-
rührungspunkte der Normalen mit
dem Mantel sind. Dies soll durch
Fig. 88 erläutert werden, in der
eine Curve der zweiten Art auf
dem ersten Mantel der Ceotra-
Üäche dargestellt ist

Nach (13) ist das Quadrat des
,. Bogenelementes ds^ des ersten

Mantels der Centraääche:

wofUr wir auch schreiben können:

(18) \

Ist dieser Mantel der Centrafläche nicht ausgeartet, so ist Äj längs
der Erümmungscurven (v) oder A,, wie wir oben sahen, nicht con-
stant, d. b. Ry ist eine von d unabhängige Function von u und v.
Wir können daher statt u und v auch

(19) 0 = 7?,, c = u

Pdr,yGOOgIe

§ Q. Centrafläekea. 465

sIb Parameter auf diesem ICantel einfHbrea. AlBdann stellt sich

dt^* nach (18) so dar:

(20) rf,j» = (ffl»+/^^)*(?rffl»,

wo wir natftrlicfa den Factor von de* als Function von ü und o
auffaasen können. Nach 9atz 19, 8. 440, folgt hieraus, dass die
Curven (^ geod&tisohe Gurren und die Gurren (ii) ibre orthogonalen
Trajectorien auf dem ersten Mantel der Centrafiäche sind. Dass die
Parameterlinien (fi), die ja nach (19) die Linien («) oder y^ sind,
geodätisch sind, wird also hier aufs Neue bewiesen. Die Gurren (a)
sind nach (19) diejenigen Gurren, für die R^ constant ist Mau er-
hält sie, wenn man auf der ursprünglichen Fläche (I) längs einer
solchen Corre fortschreitet, für deren Punkte der erste Haapt-
krOmmungsradiaB S^ constant ist, und zwar sind sie dann die Örter
der Berührungspunkte C^ der Normalen mit dem ersten Mantel der
Centrafiäche.

Entsprechendes gilt auf dem zweiten Mantel. Also:

Satz 88: Beschreibt man auf einer Fläche eine Gurre,
fflr deren Punkte der erste oder zweite HauptkrUmmungs-
radius constant ist, so ist der Ort der zugehörigen Haupt«
krflmmuDgsmittelpankte eine solche Curve auf dem ersten
bez. zweiten Mantel der Centrafiäche, die jene geodätischen
Linien orthogonal schneidet, die den Ernmmungscurven
der ersten bez. zweiten Art entsprechen.

Wir sehen aber noch mehr: Nach Satz 19, S. 440, ist ferner ü
in (20) oder also if, die Bogenlänge der geodätischen Gurren y-^
zwischen den Gurren (& <= 0) und (a). Da der Fall, dass o = j^^ ■= 0 is^
im allgemeinen nicht eintritt, ist es besser, so zu sagen: Die Differenz
der beiden Werte, die R^ für zwei Punkte einer KrQmmungscnrre *,
hat, ist gleich dem Bogen des zugehörigen Stückes der geodätischen
Gurve yy Also:

Bat! 84: Beschreibt ein Punkt eine KrUmmungacurve
der ersten oder zweiten Art auf einer Fläche, so ist die
Bogenlänge der Gurve des zugehörigen HaoptkrOmmungs-
mittelpunktes auf dem ersten bez. zweiten Mantel der
Centrafiäche gleich der Differenz der Werte des ersten
bez. zweiten HauptbrQmmungsradius fttr die beiden End-
pnnkte des Weges.

Zur Erläuterung diene die Fig. 89, S. 466, fUr eine KrOmmungs-

Pdr,yGOOgIe

466 Vterler AbaMiU: Ourvm auf der Fläche

Dieser Satz 34 ist io gewissem Sinoe als eine Verallgemeinerung
des Satzes über Evolaten und EvolTenten in der Ebene aufzn&ssen.
nach dem die Bogenlänge der Erolate
gleich der Differenz der Normalen der
Evolvente in den Endpnnkten ist (rgl.
Satz 3», I S. 63, und (4). I S. 295).

Schliesslich wollen wir noch du
Erümmangsmaass JT, für den ersten
Mantel der Centrafläche berechnen.
Nach XII (A') ist:

*r

"> «,■

\i>f

\

sodass aus (14) und (16) folgt

\

as.

fon A' 1 ' ^**

Flg. »•.

' ' ' «,-«,)• iK^

Ein entsprechender Wert ergiebt sich für das Eilimmangs-
maass JT, des zweiten Mantels, wie ja überhaupt ans den anf den
ersten Mantel bezäglichen Formeln die für den zweiten gültigen
f'ormeln einfach dadurch hervorgehen, dass man ttberall die In-
dices 1 and 2, femer u und v, daher auch E und G nnd endlich /
und N vertauscht, also z. B. £^ durch G^ ersetzt u. s. w. ,

In den entwickelten Formeln kommen einige Nenner vor, deren
Verschwinden Anstoss erregen könnte; aber wenn wir von den
FUllen, in denen der eine oder andere Kantet der Centraflftche aus-
artet, ganz absehen, so hat dies nichts auf sich, denn dann sind

J{,, S, und -ä-^, -J-^ von Nnll verschieden, sodass nur die Formel
'' ^ du ' öp '

(21) noch zn einer Bemerkung nötigt: Hier würde sieb f^ JT, ein

unendlich grosser Wert ergeben, wenn B^ = B^ wäre. Dann abar

hätte die Fläche lauter Nabelpunkte nnd V&st eine Engel, nach

Satz 12, S. 120, die zu den angeschlossenen Canalfläcben gehört.

Wegen der Werte (16) and nach XII (J) läset sich die Difie-

rentialgleichung der Haupttangentencurven des ersten Mantels in

deif symmetrischen Form schreiben:

(22)

BB,'^d„' - 0 S^'^drf

Analog gilt auf dem zweiten Mantel die Oleicbnng:

,dr,GoogIe

§ 5. Oentrafiadim. 467

(23) ■ _ EB,*^du'- GB^'-^dv* ^0

fOr die HaapttangenteiicnrTen.

Znm ScUass vollen wir die Formelo Qber Centraflächen auf
eine besonders interessante Flächenfamilie anwenden, nämlich auf
diejenigen Flachea, die wir schon in § U des 3. Abechnittes be-
trachtet haben.

af der nrBpranglichen Flficbe (1) eine

zwischen ihren "HauptkrQminangsTadieii. Aladaan sind R, und R^ von
«inander abhängige Functionen von u nnd v, fQr die also die Fanctionaldeter-
minante (vgl. i S. 91) gleich NvU iot:

Da nan das KrümmungBmaass K, des zweiten Haatels der Centrafl&cbe analog
<21) den Wert

hat, so folgt ans (25), dass

ist In (22) und (23) haben wir femer die DifferenUalgleicbongen der Haupt-
tangentencurven anf beiden Mfiuteln der CentraflScbe anfgestellt. Nach (25)
sind diese beiden Gleicbongen jetzt mit einander identisch. Daher haben
wir den

Bats 35: Besteht anf einer Fliehe eine BeUtion «wischen ihren
Hauptkrümmnngsradien, so ist dasProdnct der KriiDimnngen ihrer
beiden Cen traf lächenmXntel in solchen Punkten, die anf derselben
Normalen der FiBche liegen, gleich dem reciproken Wert der
vierten Potenz der Differenz der beiden Radien. AuHserdem liegen
die Hanpttangentenonrven anf beiden MKnteln ao, dass diejenigen
Normalen, die nach den Punkten einer Hanpttangentencarve des
einen Mantels gehen, «ach anf dem anderen Hantel eine Hanpf-
tangentencurTe bestimmen.

Wir sahen femer, dass wir das Quadrat dee Bogenetementes ds, des
ersten Mantels der Centrafläche durch Einführung der in (19) angegebenen
Parameter ü, p anf die Form (20) bringen kSnnen. Wegen (24) ist aber jetzt
Jf, eine (^wisse Function von Ü,:

m £.-v(B,),

80"

^dnyCOOgle

468 Vierler Äbschnüt: Ourvm auf der Fläche.

und aotserdem kann nach (9), S. SSO, O als Fnoetioa Ton £, und ^, als»
anch als Function von R^ allein anfgefewt «erden, lodaaa wegen £,•■■< an*
(aO) folgt:
(21) da,*- dü* + vCiOde*.

Nun gehSren zu ein und denelben Eelation (24) nnendlicli riele IIBcbeN. Aber
bei allen ist die Function ^ dieselbe, also läaat lich fOr alle daa Quadrat des
Bogenelementes des eisten Mantels der Centiaflfiche auf eine gemeinsame Fonn
(ET) bringen. Nach SatE 5, S. 376, sind daher diese enten MKntel der Centra-
flScheu ^er jener unendlich rielen FUohen auf einander verbiegbar. Daaselbe
gilt natüriitJi tut die zweiten HSntel. Demnach folgt

SatE 36: Besteht anf zwei FUehen dieselbe Relation zwisehea
ihren- HaaptkrOmmnngsradien, so sind ihre GentrsflSchen anf ein-
ander verbiegbar, nnd zwar entsprechende HSntel auf einander.

-^-jvr-i

a: = p(»)oosf, y-p(ii)sinf, »-J yi^f/{Midü

die Gleichungen einer SotationsflKche wie in Satz 16, S. 29S, so ist

di'- <iB» + p'(»)dB*
dae Qoadrat ihres Bogenelementes di. Wir kCnuen nun p{ü) k> w&hlen:

p (b) - yv(«) .

Alsdann stimmt die Form (37) von d«,* mit der ron di* fiberein, sodass der
schon einmal citierte Satz &, S. 375, ergiebt:

Sfttl 87: Besteht anf einer FlSche eine Belation swiachen
ihren Banptkrttmmnngsradien, so ist jeder der beiden Hftntel ihrer
CentrafUche auf je eine Rotstionsflficbe verbiegbar. Dabei geben
die geodätischen Curven de« ersten Hanteis, die den Ertlmmnnga-
curven erster Art der Fl&che entsprechen, in die Meridiane nnd
diejenigen Curven des ersten Mantels, die den Orten gleichen
Wertes des ersten Hanptkrflmmangeradins zngehOren, in die
Breitenkreise der einen RotationsflSche Aber; nnd für den zweiten
Mantel IBsst sich Entsprechendes ansaagen.*

Denn man bat nur la bedenken, dass die Corven (ü) nach (19) denjewgen
Curren der ursprünglichen FlSche entsprechen, iüx die ü, = ConaL ist, nad
dass die Carren (f) nach [19) die geodütischen Cnrven (v) dea ersten Maateb
sind, die wir ala die Curven f, bezeichnet hatten.

' Theorem von Wsuoabtem, von dem überhaupt die angegebenen SStie
Über diese sogenannten Wkihoabtbs 'sehen Fliehen hetrBhren. Vgl. die *■""-

Pdr,yGOOgIe

§ 6. Qeradmaehetrm, die tüs NormaiewiAarm aufieufasaen sind.

§ 8. Geradenscharen, ifle als Normalenscharen anfgefasst
werden kftnnen.

In gewissem Sinne ist die Ceatraflftche einer Fläche die natOr-
liche Verallgemeinenug des aas der Theorie der ebenen Cnrren
gelänfigen BegriffeB der Eyolate einer Carre. In der Ebene haben
wir damals anch die TJmkehning notersncbt: Zu einer gegebenen
Evolnte die Evolvente za finden. (Vgl. I S. 65.) Entsprechend giebt
es anch in der Fl&chentheorie eine Umkebrung:

Zn einer gegebenen Gentrafläcbe die zugehörige ür-
fl&che za beatimmen.

Doch dies Problem lässt sich verachiedenartig ^ssen: Da Däm-
lich die CentraflILche ans zwei Mänteln besteht, so kann man ent-
weder annehmen, beide Mäntel seien gegeben, oder maji kann an-
nehmen, dass nur ein Mantel gegeben seL

Wir betrachten zunächst das erste Problem: Es seien beide
Mäntel der Centrafläche gegeben, gesacht wird die Ur-
fläche. In diesem Falle kann man ohne Mähe die Normalen der
Urfläche findsn, da sie beide Mäntel der Centrafiäche berflhren
mUssen. Wir wählen nämlich auf dem einen Mantel einen Punkt C^
beliebig. Dann mass es eine Normale der Urtläche geben, die den
Mantel in C^ berOhrt, also in der Tangentenebene von C\ liegt.
Diese Tangentenebene schneidet den zweiten Mantel in einer Curve,
und die gesuchte Ton 0, ausgehende Normale musB auch den zweiten
Mantel, mithin diese Curve berühren. Von C^ wird nun im all-
geseinui eine Tangente oder eine endliche Anzahl von Tangenten
An die Cnrre gehen. Unter ihnen mass die gesuchte Normale
«nthalten sein.

Man sieht so, dass es Leicht ist, diejenigen Geraden zu be-
stimmen, die Normalen der gesuchten Fläche sein könnten. Da der
«ine Mantel ao' Paukte C^ enthält, erhalten wir gerade oo* Geraden,
ebenso viele wie es Normalen geben mOsste. Die Frage ist also
Jetzt auf die andere Frage zurückgefQhrt:

Unter welchen Bedingaugen ist eine stetige Schar von
oo' Geraden als die Schar der Normalen einer Fläche anf-

2QfaBBeQ?

Hätten wir diese Frage beantwortet, so wDrden wir die Be-
dingungen auf die soeben construierto Geradenschar anwenden.
Wären sie erfüllt, so würden wir die Flächen za suchen haben, die
die Geraden der Schar senkrecht schneiden.

Pdr,yGOOgIe

470 Vierter Abschtia: Ourven auf der Fläche.

Man sieht hieraus, dasa die Schwierigkeit des ProblemB einmal
in der soeben formulierten Frage und dann in der zweiten Frage
liegt, wie man die Flächen bestimmt, die die ao* Geraden zu Nor-
malen haben. Wir legen uns daher das Problem vor:

Gegeben sei eine stetige Schar von oo' Geraden; ge-
fragt wird, ob sie die Normalen einer Fläche sein können
und, wenn sie es sind, wie man diese Fläche findet

Eine stetige Schar von co' Geraden nennt man auch (vgl. I
8. 141) ein Strahleusystem.' Wir fragen also nach den Be-
dingangen, unter denen ein Strahlensystem das Normalen-
system einer Flache ist Dabei sehen wir von vornherein selbat-
verständlich von dem Falle ab, dass die Geraden des Strahlensystem»
Minimalgeraden seien.

Eine Gerade mit der Bichtungscosiuas f,g,h kann, wenn (£, Q, j)
ein bestimmter I*unkt auf ihr ist, in den laufenden Coordinaten x, y, z
mittels eines Parameters t so dargestellt werden:

In (1) liegen oo" Geraden, also ein Strahlensystem, vor, sobald
wir unter j, 5, %, f, $, h Functionen von zwei Parametern k
und t> verstehen. Denn dann gehören zn jedem Wertepaar », v
bestimmte Werte von %, Q, $; f, g, h, also auch eine bestimmte
Gerade (1). Da wir insbesondere unter f, g, h die- Richtungscosinus

' Die StrahleDiyBteme wurden zuerst von MiLna s^Btemitisch tmterancbt,
siehe Bune Note: „Optique" in der Correspondaace de l'llcole polyL 1 (1806)
und Beine AbhandluDg: „Optique" im Journal de Vt.eo\t pa\jt., 14. cab-
(1808). Insbeaoadere fand er, dasB eich die Qeraden eines StrahlensTstemB io
zwei Weisen zn Scb&ren von je u>^ Geraden zusammenfassen lassen, die ab-
wiekelbare Flächen erzeugen, also so, wie es bei der Normalen einer FUebe
der Fall ist, wenn mau die Normalen ISogs je einer KrümmungBcarve heaaoB-
greift (vgl. die Fig. 86 auf S. 156). Die Oratlinien dieser abwickelbaren Fläoben
bilden auch bei beliebigen BtrablensjstemeD zwei Flächenrnfintsl, die soge-
nannten Brennfl&chen. Halüb fand so, dass die Geraden eines jeden
Strtihlensjstems Doppeltangenten einer ans zwei Mänteln bestehenden Fliehe
sind. Wenn insbesondere Jene beiden Scharen von abwickelbaren Flachen
einander senkrecht schneiden, so liegt ein Strahlensjstem vor, da« das N<l^
malenSTStein einer Fl£che ist Man könnte dem Satze 3a auf S. 412 diese be-
griffliche Deutung geben. Sie wurde ebenfalle von Malus erkannt, aber erdt
TOD BKftTUND, „Memoire eur U thäorie des surfaces", Joum. de
Math, pures et appl., 1. s^rie t. IX (1844), vollständig ausgesprochen und be-

Pdr,yGOOgIe

Geradtnseharm, die ala Normaietu^iaren aufzufassen sind. 471

der Geraden verstehen wollten, so können wir uns dabei auf solche
FunctioDen f, ff, h von u und v beschränken, für die
(2) /■» + j» + Ä» = 1

ist

Soll es eine Fläche geben, die die oo* Geraden (1) zu Nor-
malen hat, so muBB anf jeder Geraden (1) ein Punkt der Fläche
liegen. Nun wird ein Punkt (x, y, z) auf der Geraden (1) durch
die Angabe des Wertes des Parameters t festgelegt, der nebenbei
bemerkt den Abstand des Punktes (x, y, z) vom Funkte (;, t), j) vor-
stellt Die Gerade (1) selbst wird durch ein Wertepaar v, » fest-
gelegt Für jede einzelne der oo^ Geraden (1), d. h. fßr jedes
einzelne Wertapaar «, », wird jener Abstand ( für den fraglichen
Fusspunkt {x, y, z) der Normalen einen besonderen Wert haben;
mit anderen Worten: Wir haben unter t eine noch anbekannte
Function von u und v zu verstehen, sodass x, y, x in (1) Functionen
von u und t> allein werden.

Die Frage ist jetzt diese: Können wir för t eine Function
von « und v setzen, sodass alle durch (1) bestimmt«D Funkte [x,y,z)
eine solche Fläche in den Farametem u, v erfüllen, deren Normalen
die gegebenen Richtungscosinus f, y, h haben? Wenn t in (1) als
Function von u und t> aufgefasst wird, so ist also zu fordern, dass
^xJ^Q, ^xJ=(S

sei, wo sich die Summenzeicben natürlich auch auf die cykliscbe
Vertauschuog von f, g, h beziehen. Nun aber ist nach (1):

'u = J- + f*u + L *' '. = ?., + A + fJ'
sodass die Bedingungen diese werden:

S{E„ + /■<„ + fu^f= 0, S(y, + /■*, + f,f}f=0.

Es ist jedoch nach (2) sowohl 8/^=1 als auch Sff^ = S/"/", = 0,
sodass bleibt:

In diesen beiden Gleichungen stehen rechts gegebene Functionen
von u und v, links die partiellen Ableitungen einer Function t von
u und V, deren Vorhandensein gefordert wird und die dann und
nur dann wirklich vorhanden ist, wenn die Werte (3) von t^ und t^
der Bedingung

dt. _ dt.

Pdr,yGOOgIe

Vierier Abac^tiU: Ourven auf der Ftäeke.

genügen, d. h. wenn

ist Ist diese Bedingung für alle Werte von u nnd v erfiUlt, so
folgt aus (3) durch Quadratur:

(5) ' =- - j{%ljdu + S tjdv) + Const.

Wird dieser Wert in. (1) eingesetzt, so giebt (1) die Öleichung einer
Fläche, die die gegeben«! oo' Geraden zu Normalen hat

Da in (5) noch eine additiTe willkOrliche Constante «uftritt, so
giebt es, wenn überhaupt eine FUche der gewünschteB Art vor-
banden ist, deren sogar co', die aas der eiDeo FUb^ dadurch
liervoigehen, dass man auf ihren Normalea, den Oeraden (1), noch
«D cooBtautes Stück aufträgt, also Flächen, die die Parallelfläcben
der einen Fläche sind. Dies war nach Satz 83, S. 205, foraoszoseben.

Die Bedingung (4], die Bedingung dafür, dass die in (3) an-
gegebenen Werte von t^ und ü, so beschafFen sind, dass t^du + t^dv
ein ToUständigeB Differential in u und t; ist, kann auch so ausge-
sprochen werden: Es muss der io (5) unter dem Integralzeichen
stehende Ausdruck ein vollständiges Differential sein. Und dieser
Aasdruck lässt sich kürzer so schreiben:

Zfdi.
Also haben wir den

Satt 38:' Ist eine Schar von oo* Geraden, die keine
Minimalgeraden sind, dadurch gegeben, dass in den Glei-
chungen einer Geraden mit den laufenden Coordinaten
X, y, z und dem Parameter t\

die Coordinaten ^, i), j eines Punktes der Geraden und die
Richtungscosinus f, g, h der Geraden als Functionen zweier
Parameter m und v angenommen werden, wobei also

ist, so ist die Schar dann und nur dann die Schar der
Normalen einer Fläche, wenn der Ausdruck
/-dj-l-ffd^ + Arfj

' Satz von Hauiltok, „Supplements to &n eBBaj on the theor7 of
aratema of rays", .Tranaactlong of the B. Iriah Acad., vol. 16 (1S30).

Pdr,yGOOgIe

S 6, Oeraiknaohann, di« aU Normaimteharm aufzufassen sind. 478

«in volUtändigeB Differential in u nnd v ist Es giebt
■dann oo' parallele Fl&chen, die alle jene co* Geraden
seakrecht schoeiden. AnalytiBch werden sie in den laufen-
den GoordioateD ;r, y, x mittels der Parameter u, v dar-
gestellt, wenn der durch Quadratur hervorgehende Wert

-fifd^+ffdt) + kdi) + Const

in die Gleichungen der Geraden eingesetzt wird.

Wir erinnern beiläufig daran, dasa wir schon auf S. 168 hervor-
gehoben haben, dass nicht jede Schar von oo* Geraden als die
Schar der Normalen einer Fläche anfgefasat werden kann,

Beispiel: Vorgelegt Beien co* Geraden, die aamtlich eiDe Cnrve
treffen, die keine MioimalcuiTe iet Die Gleichungen der Carve seien in
den tnafenden Coordinaten ;, Q, g nnd mittels der BogenlSnge u gegeben:

Von jedem Punkte (u) dieser Carve eollen also cn' gegebene Geraden ausgehen,
deren Riehtongicosiaus /, g, h also aoseer von u noch von einem zweiten Para-
meter e abhSngen. Wfihlen wir f, g, k ale Functionen von w and e so, dass
die Bedingung (2) erfUlt ist, so stellt (1) die oa* Geraden dar, vorausgesetzt,
daas darin für ;, Q, g die Werte (6) eingesetrt werden. Jetzt sind ;., 1)., j,
die Riebtnngscoeinns a, ß, f der Tangente der Cnrve (6), nach III [B), wSbrend
2c B ^, K g, « 0 ist, sodass die Bedingung (4) so laatet:

TT'-'-»-

Nun ist 9a f der CoBinua dos Winkels, den die zu w, r gehdrige Gerade mit
der Tangente der Carve (6) in ihrem Ansgangspnnkte (u) auf der Carve bildet
Et soll hiemach frei von d sein, d. h. die von ein nnd demMlben Punkte (u)
der Curve (6) ansgehenden oo' Geraden der Schar soUea simtlioh mit der
Tangente dieses Punktes denselben Winkel bilden. Dieser Winkel darf sich
aber Xndem, wenn der Punkt (u) auf der Curve (6) fortschreitet Die Geraden
des StmblensjsteniB müssen demnach co' Rotationskegel bilden, deren Spitzen
eine Gurre (6) und deren Axen die sugehOrigen Tangenten der Curve (S) sein
mOssen. Nur dann giebt es Fl&ehen, die jene Geraden zu Normalen haben.
Da die Rotationskegel abwickelbar sind, so sind ihre Schnittcarven mit den
FiKcben nach Satz 54, S. 178, Erümmnngacurven. Der eine Hantel der Centra-
filehe ist daher die Curve (6). Wir kommen somit lu den auf S. 4SI be-
trachteten Canalflächen.

Wenn die Schar der co' Geraden ans allen denjenigen Geraden
besteht, die zwei gegebene Curven treffen, so folgt hieraus, dass die
von einem Punkt einer jeden der beiden Curven ausgehenden Geraden, die
die andere Curve treffen, einen Rotation skegel bilden müssen, wenn anders das
StrahlensTStem ein Normalenjffsten sein soll. Jede der beiden Curven liegt
dann aof nnendlicb vielen Rotationskegeln und ist folglich ein Kegelschnitt.
Um also alle Fliehen an finden, die in dopptiter Waise Caoalflftchen aind, bat

Pdr,yGOOgIe

474 Vierter AbaclmiU: Oumm auf der Fläche.

man iwei KegebchDitte e und k so zu bcstimmea, daas jeder der Kegel,' der
von irgend einem Punkte der einen Curve ansgeht und die andere Curve eni-
hfilt, ein Botationskegel wird. Solche Paare von Kegelschnitten giebt ea W
banntlich, wie in der aoalytiBchen Geometrie gelehrt vird. Ist e. B. e eue
Ellipse, Bo igt k diejenige Hjpetbel, deren Ebene die Ebene der Ellipse senfc-
recht längs der grossen Axe der Ellipse schneidet, deren Bi«nnpankte die
Hauptacheitet der Ellipse und deren Scheitel die Brennpunkte der Ellipse sind.
Die Geraden, die zwei solche Kegebchnitte, sogenannte Focalkegelschnitte.
treffen, sind also die Normalen deijenigen Flfichen, die in doppelter Weise sb
CanalflSchen aufgefaset werden kSnnen oder deren büde CentraflXchenmintel in
Curven ausgeartet sind. Nach Satz 30 und 31, S. 461, 462, weiden diese FUcbcQ
von zwei Scharen von je (c* Kugeln umhüllt, und die Erümmungscurven jeder
Schar sind Kreise. Die Kugeln haben ihre Mitten auf den beiden Focalkegel-
schnitten. Man nennt diese FIflcben, die in doppelter Weiae als Can alflichen
anfge&eet werden kSnnen, Cjkliden.' Ist der eine Kegelschnitt ein Kreis,
so ist der andere das MitCellot lur Kreisebene, die Flächen sind dann solche
Flächen, die je eine um jenes Hittellot rotierende Kugel umbällen, die soge-
nannten Ringfläcben. Sie können auch als die Rotation sflfichen definiert
werden, die durch Drehung eines Kreises um eine in seiner Ebene liegend«
Gerade berrorgeben. Wir wollen auf die Theorie der Cjkliden nicht weiter
eingehen und nur noch bezüglich der Gestalt der Cjkliden bemerken, dass sie
allgemein ringförmig sind, wenn auch keine Rotationsflächen, und dass die
Stärke des Canals an einer Stelle des Ringes ein Maximum, gegenüber ein
Minimum hat

Wir noUeu uns jetzt zu dem zweiten oben angedeuteten Problem
wenden:

Es liege nur eine Flacbe gegeben vor; gefragt wird,
ob es Flächen giebt, fUr die diese eine Fläche der eine
Kantel der Centr&fläche ist.

Nach Satz 28, S. 458, müssen den KrUmmirngscurren der einea
Schar der gesachten Fläche geodätische Carven auf der gegebenen
Fläche entsprechen. Wir werden daher annehmen, es sei auf der
gegebenen Fläche eine Schar von geodätischen Curven ausge^röhlt
und das zugehörige geodätische Parametersystem (vgl, S. 441) ein-
geführt, sodass das Quadrat des Bogenelementes der gegebenen
Fläche die Form:

(7) ds' = du'+ 0{tt,o)dv'

habe. Die Gurren (o) sind dann die geodätischen Curren. Ihre
Tangenten müssten nun die Normalen der gesuchten Fläche sein.

Umgekehrt ist es klar, dass, wenn es «ine Fläche giebt, die
diese Tangenten zu Normalen hat, alsdann die gegebene Fläche der

' Die Cjkliden wurden Ton Ddpim entdeckt und untersucht Siehe seine
„Applications de.g^om^trie et de micbaniqne ä la murine et sni
ponts et ehaasa^es", Paris 1822.

Pdr,yGOOgIe

Krümmung und Torsion einer Flächencurve. 475

eine Mantel der Centrafläche iet, denn dann bilden ja die Norm&lea
längs einer Bolchen Curve der fragliohen Fläche, die einer der
geodätischen Gurren (n) entspricht, eine abwickelbare Fläche, sodass
die Cnrve nach Satz 54, S. 176, eine Krlimmungscurve ist, fOr die
die HauptkrUmmungscentra der einen Art die geodätische Corve
bilden.

Unser Problem kommt also aaf das in Satz 38 erledigte Problem
zurück. Um es mit Hälfe dieses Satzes zu beantworten, wollen wir
die rechtwinkligen Goordinaten der Punkte der gegebenen Fläche
mit £, \), j bezeichnen. Die vom Punkte (u, v) oder (^, i), j) aus-
gehende Tangente der geodätischen Gurve {v) habe dann die Richtnngs-
Cosinus f, g, h, Es ist:

also, da j^' + t^^ + j^* als FundamentalgrCsse erster Ordnung nach
(7) gleich Eins ist, direct:

sodass die Bedingung des Satzes 38 oder (4) so lautet:

Die Summe links ist aber, wie schon soeben gesagt wurde, gleich
Eins und die Summe rechts nach (7) als Fundameata^rfisse erster
Ordnung gleich Null. Also ist die Bedingung erfüllt Daher folgt:

BatB 39: Eine beliebige Fläche kann anf unendlich viele
Arten als der eine Mantel der Centrafläche einer anderen
Fläche anfgefasst werden. Wenn man nämlich auf der
Fläche eine Schar von oo^ geodätischen Curven beliebig
auswählt, so sind ihre oo' Tangenten die Normalen von
oo' Parallelflächen, für die die gegebene Fläche der eine
Mantel der Centrafläche ist Die ErUmmungscurveu der
einen Schar anf den Parallelflächen sind die Filarevol-
venten der ausgewählten geodätischen Curven.

Das Letztere folgt unmittelbar ans der Definition der Filarr
evolventen in I S. 295, 296.

§ 7. KrQfflmung und Tortion einer FIftcbencurve.

Nachdem wir bisher eine Beüie von besonderen Curvenarten
auf einer Fläche besprochen haben, nämlich die Minimalcurven, die
Kriinmiungscurven, die Haupttangentencurven und scblies^ch die

Pdr,yGOOgIe

476 Vieiiet Abtelmiü: Outvtn auf dar FOdit.

geodätischen GiUTen, wollen wir jetzt als AbeclihiSB unserer fl&ches-
thfioratiachen Betrachtangeo beliebige CnrTen auf der Fl&che
ias Äuge fassen.

Es seien u, v die Parameter aof der Fläche, E, F, G, L, M, 3'
ihre Fondamentalgrdsaen nnd X, I, Z die Bii^tangscosinaB der
Normale. Wenn wir nnn u and v als Functionen eines neaen Pan-
roeters t irgendwie wählen, so wird dadorch nach S. 11 eine Curre
aaf der Fläche definiert Das Bogenelement </< dieser Gurre Ton der
Stelle (0 bis zur Stelle {t-^ dt) wird dann ans

rf*> = Edu^ + 2Fdu dv -VQ dv'

bestimmt, wo du und dv die Incremente der Functionen v und v
von t bedeuten, die zn dem Zuwadis dt von t gehören. £s ist
also die Bogenlänge der Gurre vom Punkte {t = 0) bis zo einem
beliebigen Punkte {f):

-fVW'

Hierbei hat man sich in E, F, G &iT u nnd v immer die FunctioDeo
von t gesetzt zn denken. Durch diese F<mnet wird i als FonctioD
Ton t definiert Denken wir uns die Qoadratur ausgeführt and die
Qleicbnng dann nach t aufgelöst, so wird sich t ak Function von t
darstellen. Setzen wir diese Fnnction t von s in w und v iUr t
ein, so ergeben sich u nnd t> als Functionen der Bogenlänge s der
Gurre.

Man siebt, dass der Parameter t selbst die Bogenlänge ist, so-
bald das Int^ral den Wert ± ( hat, d. b. sobald für alle Werte
von t

^(4-f)'+2^4HT+''(w)'-'

ist

Wir wollen nnn voraussetzen, wir hätten u nnd v in der an-
gegebenen Weise als Functionen der Bogenlänge « der Gurve be-
stimmt Alsdann soll die Differentiation nach der Bogenlänge durch
Striche angedeutet werden. Wir haben dann nach der letzten Formel:
(2) Eu'* + 2Fu'v' + Gv'' » 1

iUr alle Werte von «. Indem wir wie in der Curventheorie im
ersten Bande die Gurve im reellen Falle im Sinns wachsender
Bogenlänge » durchlaufen, sind die Richtangscosinus a, ß, y; l, m, n;

Pdr,yGOOgIe

Krümmung und Toraion einer Fläeheneune. 477

^ ju, V ihrer Taageute, Haapt- nnd Binormale an der Stelle (<) oder
(a, v) TöHig definiert (»^ I ß. 174 n. £). Wie in I & 179 rechnen
vir dabei die KrOnmung l:r der Curre stets positiv.

Dies scheint in Widersprach mit der Fästsetzung za stehen,
die wir auf S. 104 trafen. Aber damala kam es uns mehr daraaf
an, die Art der Krümmung der Fläche an einer Stelle, nicht die
Art der Erfimmung der Gurren auf der Flftche za erkennen, und
deshalb war es damals zweckmässig, die in der Correntbeorie ge-
troffene Festsetzung Air den Augenblick aa&oheben. Oder anch
so: Damals haben wir mit r nicht den Erümmongsradius der Cnrre
bezeichnet, der eben in der Carrentbeorie als stets positiv ange-
nommen wurde, sondern den Abstand des Erümmungsmittelpanktes
vom betrachteten Carvenpunkte, nnd zwar rechneten wir dabei diesen
Abstand positiv oder negativ, je nachdem der KrDmmungsmittel-
punkt auf der positiven oder negativen Seite der Tangentenebene
der Fläche lag. Ja, wir haben es damals ausdrOcklich hervor-
gehoben, dass in den abzuleitenden Formein r nur seinem absoluten
Werte nach den ErOmmungsradios bedeute.

Jetzt also soll r wieder wie in der Gurventheorie den absolnt
genommenen ErUmmongsradios der Gurve vorstellen. Femer sei q>
der Winkel der (positiven) Hauptnormale der Carve mit der (posi-
tiven) Flächennormale nnd zwar gemessen im Sinne der Drehung
von der Hauptnormale zur Binormale hin. Die Formel (4), 8. 103,
gilt auch jetzt; sie wnrde ja vor jener besonderen Festsetzung auf-
gestellt Sie kann nach XTT (A] so geschrieben werden:
• cogQ) ^ Ldu} + 2tfdudp + Ndv*
r ~ Edu' + SFdudv + Odv^

oder auch, da u und v Functionen von «' sind, für die (2) gilt,

(3) J^ = X w'» + 2^m' v' + JVe'».

Dieser Ausdruck hat eine geometrische Bedeutung, die bisher
noch nicht zur Sprache gekommen ist. Um diese Bedeutung abzu-
leiten, stellen wir jedoch vorher einen Satz über die Erümmung
der Projection einer Carve auf: Sind

die (Gleichungen einer Baumcurve c, ausgedruckt mittels der Bogen-
länge 4, so hat die senkrechte Projection a der Curve auf eine Ebene,
z. B. auf die xy-Ebene, die Gleichungen:

i = qD(.), p = x{*h ^-0,

Pdr,yGOOgIe

478 Vierter AbaehniU: Oanm auf der Fiäehe.

in denen der Parameter a aber nicht mehr die Bolle der Bogen-
länge spielt Sind a, ß, y\ l,m,n\ X, ii,v die Bichtungscosiniis der
Tangente, Haupt- und Binormale der Curve an der Stelle («), so
ist das Bogenelement ds der FrojecüoB c gleich dem Bogenelement
ds der Cnire c mnltipliciert -mit y. Wir wollen inabesondcnre an-
nehmen, dasB die Ebene, anf die wir die Cnrre c projicieren, ia
Tangente der betrachteten Stelle parallel sei; auch rechnen wir die
Bogenlänge der Projection s im selben Sinne wie die der Corre e.
sodass wir y =+ 1 and ds ^ dj finden. Ba x, y mit x, y Ober-
einstimmen, so folgt dann anch, dass an der betrachteten Stelle
— mit Rücksicht auf m (5) —

ä=~-= ^- = a, ß = ß, aber f = 0,

^ = -T-^ =. -3— = — , -^ — —, aber n = 0
r ds* de r ' r r '

ist, wenn die überstricbeaen Bacbstaben fOr die Projection e gelten
und wenn 1 : r die ErUmmnng der Gurre c an der betrachteten
Stelle bedeutet. Quadiieren und Addieren der drei letzten Glei-
chungen giebt, weil /» -f m» = 1 — n* ist:

Dabei ist r der Gosinas des Winkels, den die Hauptuonaale d^
betrachteten Stelle mit der zur Projectionsebene senkrechten z-Axe
bildet Nun haben wir zwar, wie wir vorhin herrorhoben, die Krüm-
mung bei reellen Raumcurren positiv angenommen, jedoch haben
wir bei ebenen Gurren der Krümmnng ein Vorzeichen beigelegt,
sobald wir die Ebene der Gurre von einer bestimmten Seite her
— die ry-Ebene von der r-Axe her — betrachten.' Das Vor-
zeichen hmg davon ab, ob der Contingenzwinkel, der im Sinne der
Drehung voa der x<Axe zur y-Axe, also im Sinne der positiven
Drehung um die z-Aze gemessen wird, zonahm oder abn^m, so-
bald die Curve in dem ihr vorgeschriebenen Sinoe dorcblaufen
wurde (vgl I S. 37). Dies Vorzeichen wollen wir nun hei der Pro-
jection 0 der Raumcurve c auf die Ebene berücksichtigen. Die
Figg. 90, 91, in denen die Projectionatafel statt parallel zur Tangente
der betrachteten Stelle P direct durch die Tangente t der StcJle

' Hao vergleiche hienu die ÄnmeTkuiig zu I S. 189.

D,gH,zedr,yGOOgIe

Krümmung und Torsion einer Fläohencurve.

479

gelegt worden ist, was ja nichta weseatliches augmaGht, lehren nnn
unmittelbar, dass die KrDmmung der Projection s in P positiv oder
negativ ist, je nachdem die positive Normale der Tafel, d. h. also
diejenige Normale, von der ans die Projection betrachtet wird, aof

Fig. 80.

Fig. 91.

derselben Seite der Schmiegangsebene liegt wie die Binormale oder
nicht, je nachdem also der Winkel ^ der positiven Normale der
Ebene mit der positiven Binormale ^^n ist. Nun ist R' = ain'^,
also giebt unsere letzte Formel:

und diese Formel ist jetzt auch im Torzeichen exact

Wir kdnnen mithin den folgendfln Hul&satz aufstellen:
Satx 40: Wird eine Curve auf eine zur Tangente einer
Stelle P parallele Ebene senkrecht projiciert und bildet
die Binormale dieser Stelle mit der Normale der Ebene den
Winkel y>, so ist die Krümmung I:r der Projection von P
gleich der Krümmung l:r von F selbst multipliciert mit
dem Cosinus von tp:

und zwar giebt diese Formel im reellen Falle auch das
für ebene Curven festgesetzte Vorzeichen der ErUmmnng
1 : f, sobald die Projection der Baumcurve in demselheu
Sinne wie die Hanmcurve selbst durchlaufen nnd Überdies
die Ebene von derjenigen Seite her betrachtet wird, auf

Pdr,yGOOgIe

Vürter Jhte/mia: Ourvm auf dtr Fläche.

der jene Normale liegt, die mit der Binormale den Winkel <p
bildet

Wir wenden diesen Satz nnn anf die FlKchencurre an, ftlr cüe
vir oben die Formel (3) aufgestellt haben. Wird die Fläcbencnne
auf diejenige Ebene projiciert, die durch die Tangente des Curren-
punktes P oder(u, v) und durch
die Flächennormale geht, so
ist die Normale dieser Ebene
in P die zu jener Tangente
der Gurre senkrechte Flächen*
tangente. Wir wollen diese
Normale in dem Sinne ftm-
ür nennen, dass die positiTe
Gurrentangente, die poeitiTe
Flächennormale und diese Nor-
male znr Ebene so wie die
Goordinatenazen gegen ein-
ander orientiert sind. (Siehe
Fig. 92.) Dann bildet die Nor-
male der Ebene mit der Bi-
nonuale den Winkel m, sodass die Formel (8) nach unserem Sstze
die Krümmung der Projection der Gurre auf die Ebene dorch die
Tangente und Flächennonnate, auch ihrem Vorzeichen nach, dar-
stellt Deshalb nennt man diesen Ausdruck (3) auch die normale
ErilmmuDg der Flächencnrre in dem Punkte P oder (h, r).
Zweitens wollen wir die Flächencurre anf die TangentendHoe
der Fläche an der Stelle P projicieren. Diese Ebene betrachten
wir natürlich ?on der positiven Flächennormale her. Da der Winkel w
der Flächennormale mit der Hauptuormale im Sinne der Drehung
von der poeitiTen Hauptnormale zar positiven Binormale gemeesen
worden ist, so ist der Gosinus des Winkels, den die Binormale mit
der Flächennormale bildet, gleich sin to, sodass nach unserem Sal«

Fig. 92.

die mit Vorzeichen versehene KrOmmung der Projection der Flächeo-
curve auf die Tangentenebene des Punktes P Itlr diese Stelle P
selbst ist Han nennt diesen Ausdruck deshalb die tangentiale
KrDmmung der Flächencurve in dem Punkte P oder {u,t]-
Wir wollen sie berechnen.

Da die Flächennormale die Cosinus X, Y, Z, die Binormale die

Pdr,yGOOgIe

§ 7. &ümmung und Twnon rnner FU^haaourvB. 481

C08LD118 X, n, * hat, so ist der Cosinas des Wickels beider, also
sinm, SD aoBzndrQckea :

(4) UQ(i)-SXi,,

wofDr wir Dach III (B) schreiben kfinnen:
X x' «"I

(5)

^ y f

Hierin ist nnn:

(6) 1^= ||- = »_B' + ^,r',
also:

(7) x"= -Ij =. «„,»'» + 2x,^u'v + x„v'* + x_ii"+ 1,0",

worin wir die Werte XVI (S) der zweiten Ableitnngen *,_, x^^, x^^
eintragen können. Dann ei^ebt sich fDr x" ein ziemlich nmatänd-
licber Ansdruck, den wir abgekfirzt für den Angenblick so schreiben:

x"= X(Lu'' + 2«"mV+ Nv') + Jx^ + Bx^,
wobei

^ _ u"+ j^[(^,e + E^F- 2/; F)a'» + 2(£,e - (?,^iiV+

+ (_ ö_^_ (j^ ff + 2/; (?)»■»] ,

+ (0, Ä + 0, ^ - 2 i", /■) »"]

ist. Setzen wir die Werte (6) and (8) und die entsprechenden Wwte
für y, y", jr", 2" in (5) ein, so kommt:

X x,a'+ «,0' ^«, + 5«,
^= Y y,«'+y,t.' ^y„ + 5y.

oder:

- = {Btt- Av)\tf^ y, Y

wofttr wir nach XI (£) schreiben können:

!^^ = ß{Bu'- Avy

Pdr,yGOOgIe

483 rierier Abao/tmU: Ourvm auf der FläiAe.

SeUeo wir die Werte (S) von A und £ ein, so kommt:

I «' D'u"+ \(E^0 + S^F-2F^F)ii* +
Bin«- 1 +{E,G-G^F)a'v'+ \{~0,ß-0^ß + 2F,G)tf*

[ +(- E^F+G^E)u'v + \[G,E+G^ß-2F^F)i/*

Diese DeterminaDte erionert uns an eine andere ähnlich gebaute
Determinante, nämlich an die in Satz 4, S. 407, fQr die geodätischen
Garven. Dies ist nicht nor änsserlich: Ist nämlich die Flächen-
carre eine Corre, deren Hauptnormalen mit den Flächeanormalen
zusammenfallen (vgl S. 402), so ist sintu = 0, also die Torateheude
Determinante aach gleich NulL Mithin mnas das Nullsetzen der
obigen Determinante die DiffereDtialgleichung der geodätischen Gurren
ergeben. Dies kann man auch rechnerisch sofort bestätigen; man
findet, dasB die obige Determinante genau denselben Wert wie die
Determinante in Satz 4, S. 407, hat, sodass wir schreiben kttnnen:'

ainü 1 \Eu' + Fv ^E!^u*+E^t^v+(F,~^GJv'*+Eu" + Fv"
^^ ~^~ ^{FM+Oy (#,-i£>'» + 0,wV+t(?y»+/'«" + Ör"*

Wir kSnnen diese tangentiale Krümmung der Flächen-
curve auch dann, wenn die Gurre keine geodätische Oorre ist, in
enge Beziehung zq den geodätischen Gurren bringen.

Wenn man nämlich bedenkt, dasa die geodätischen Carren auf
der Fläche die natargemässe Verallgemeinerung der geraden Linien
in der Ebene sind, so wird man dazu gefßhrt, Gonstmctionen, die
man in der Ebene mittels gerader Linien bei einer
Gnrve ausgeführt hat, auf die Fläche zu über-
tragen, indem man die ebene Gnrve durch eine
Flächencurre, die Geraden durch geodätische
Gurren ersetzt So haben wir in der Ebene in I
S. 36 die Krümmung einer Gurre als Quotienten
aus Gontingenzwinkel dx und Bogenelement deti-
Fis 93 niert, und der Gontingenzwinkel war dabei der

Winkel der Tangenten in den Endpunkten P und
P^ des Bogeuelemeutes ds. Übertragen wir dies auf die Fläche, so
rerfahren wir so: In zwei unendlich benachbarten Punkten Pund P,
einer Flächencurre c construieren wir die berührenden geodätischen

' Dieae Formel findet sich bei Mimiiind, „Bemerkung fiber die Ab Wicke-
lung krummer Linien von Flächen", Journal f. d. r. n. a. Uath. Bd. 6 (1S30).

Pdr,yGOOgIe

§ 7. Krümrmmg und 7br«oa emer Flädlunoun». 483

Corren ff und g^. {Siehe Fig. 93.) Sie werden sich etwa in Q unter
einem unendlich kleinen Wiukel dr, dem geodätischen Coq-
tingenzwinkeP dea Bogenelementes PP^ oder da der Curre c,
schneiden. Alsdann ist der Quotient

die Übertragung des Erfimmungsbegrifie von der ebenen Curre auf
die FlächencuTTe. Wird das Bogenelement t^« in dem auf der
Gurre c festgesetzten Sinne durchlaufen, so ist noch die Art der '
Messung des Winkels dr festzuetellen. Sie soll im positiven Sinne
auf der Fläche [vgl S. 30 und Fig. 5) stattfinden. Jener Quotient
licisst dann die geodätische KrUmmung der Flüchenourve
an der Stelle R*

Um den Quotienten dr-.ds zu berechnen, können wir uns eines
besonderen Parametersyetems bedienen, da ja der Begriff dieses
Quotienten geometrisch, also anabhängig von der gewählten Para-
meterdarsteliung iat. Wir benutzen geodätische Parameter u, v,
indem wir nämlich diejenigen oo' geodätischen Gurven als Parameter-
liuien (v) einführen, die die gegebene Gurre e
senkrecht schneiden, sodass die Curven (tf) die
orthogonalen Trajectorien jener oo' geodäti-
schen Cnrren sind und insbesondere die Curve c
zu ihnen gehfirL Vgl. 3. 441. Die allgemeine
Gurre (u) können wir dann also als die Gurve c <
betrachten. P habe die Faramet«r u, v, dagegen
hat dann P, die Parameter u,v + dv. (Siehe
Fig. 94). Wir können dabei voraussetzen, dass v Fig. 94.

in der Bichtung von P nach P^ zunehme (vgl.
ä. 442). Das Quadrat des Bogenelementes ist nun auf der Fläche
allgemein:

dt' = du' + G{u,v)dv*,

sodass das Bogenelement dg oder PP^ von c den Wert hat:
ds = yGdv,

' Die Bezeichnung rflhrt von Lioutillb her: „Sur la thöoiie gänärale
des anrfaces", Jonm. de Math. p. et appl. t XVI (1851).

' Nach einem Vorschlage vob Liodville, vgl. den Scblass seiner Note I;
„8ur les courbes i double eourbnre" en Mohqi's „Application" {1850),
Diesen Vorschlag hat Bohnet in seiner Abhandlung im Journal de l'^cole
pol^ cah. 32 (1846) angenommen. Lioctilui selbst hat die geodätische KrBm-
rouDg in der schon in der Anm. zu S. 420 erväbnten Note III cn Honos'a
„Applieation" genauer nntersncht.

81*

.dr,yGoogIe

484 Vierter Absehnitt: Ourvm auf der Fläche.

wobei die Wurzel im reellen Falle positiv ist. Die Wsrzel kann sncb
mit D bezeichnet werden, da D' = EG — F' •= G ist; also:

(10) d* = Bdv.

Die geodiltisclie Curre g, die c in P berahrt, durcblaufea wir in
entsprechendem Sinne wie c, d. h. im Sinne des wachsenden Para-
meters V. FUr ihre Winkel a mit der Cnrre (v) gilt dann nadi
Satz 20, 8. 443, die Formel:

da = -D^dv.

Dabei ist e; an der Stelle F gleich \x, sodass also die Cnrve y die
Curve {v + dv) durch P^ in einem Punkte T so schneidet, dass dort
der Winkel gleich

ist Das onendlich kleine Dreieck TF^ Q ist in P^ rechtwinklig nnd
hat in Q den Winkel rfr, in 7" den Winkel \n- ß^dv. Da ein
unendlich kleines Flächendreieck als eben aufgefasst werden kann,
wenn man von unendlich kleinen Grössen höherer Ordnung absieht,
so folgt, dass

(11) dT = B^dv + ...

ist, wo die Punkte unendlich kleine Glieder andeuten, die mit
höheren Potenzen von dv behaftet sind. Hiernach nod nach (10)
ist die geodätische Krümmung in P:

Andererseits ist, da jetzt E = l, F=0, O = J>* ist, nach (9)
die tangentiale Krümmung der Gurre c in P leicht zu berechnen,
denn für die Gurre c oder (u) ist u'= w"= 0 und nach (lU):
, dp 1

sodass kommt:

r ~ * 2)« "" B •
wie in (12). Hieraus folgt:

fiati 41: Die tangentiale Krümmung einer Flächencurve
ist dasselbe wie ihre geodätische Krümmung.

Wie die geodätische Krümmung auf der Fläche die natar-
gemässe Verallgemeinerung der Krümmung in der Kbene ist, so
giebt der Kreis in der Ebene als Corre constanter Krümmung (vgl-

Pdr,yGOOgIe

§ 7, Krämmut^ und Tonion oitur Flächinncurvc. 485

Satz 29, I S. 41) Anlaas zn einer natat^emäsBen Verallgemeiiiening;
or föhrt uns za den Carven constanter geodätiaclier KrUm-
mang aaf der Fläche. Han kann sie geodätische Kreise
nennen,' muss aber dabei beachten, dass der EreisbegriEF auch eine
andere naturgemäsae Verallgemeinerung zulässt, nämlich zu den
Curren constanter geodätischer Entfernung auf der Fläche
filhrt, die deshalb auch geodätische Kreise genannt worden sind,
wie wir auf S. 444 bemerkt haben. Dass sich beide Begriffe
im allgemeinen nicht decken, ist leicht zu sehen. Ist nämlich
die Fläche auf geodäÜBche Polarcoordinaten u,v bezogen, so sind
die Carren (u) Carven constanter geodätischer Entfernung von dem
Pole A (siehe S. 445). Aber nach (12) ist ftlr sie die geodätische
Krttmm'nng nur dann constant, wenn längs ihrer

d. h. also nur von u abhängig ist, was im allgemeinen nicht gerade
der Fall sein wird.

Die Formeln (3) and (fl) für die normale und Air die tangen-
tiale oder geodätische ErUmmnng unterscheiden sich wesentlich da-
durch, daas die erste auch die Fundameutalgri^saen zweiter Ordnung,
Z, M, H, enthält, die zweite nicht Hieraus lässt sich schliessen,
daaa der allgemeine Ausdruck der geodätischen Erammung fQr
Ourren auf zwei verechiedeiien Flächen derselbe ist, sobald beide
Flächen auf Parameter u, v so bezogen werden können, dass sie
dieselben Fundatuentalgrössen erster Ordnung haben, d. h. sobald
die beiden Flächen auf einander verbiegbar sind, nach Satz 5,
S. 276. Betrachten wir irgend eine Cnrve von Punkten (u, v) auf
der einen Fläche, fassen wir also u und v als irgendwelche der-
artige Functionen eines Parameters < auf, f&r die

ist, sodass s die BogenUlnge bedeutet, so entspricht ihr eine Gurre
von Punkten {u, v) auf der anderen Fläche, und a ist auch auf der
anderen Fläche die Bogenlänge, weil E, F, G anf beiden Flächen
ttbereinstimmen. Daher haben beide Curven in entsprechenden

' So that es LiE in der Abhondlang: „BeetimmuDg des Bogen-
elementes aller Flficben, deren geodätische Kreise eine infiniteei-
m&le Berflhrungatraneformatiou geEtatten", AtcMt for Math, og Natar-
vldenakab Bd. IX (IBBl), in der inabeaoadere für die geoditiBoban Kiciae auf
FlScben eouatanter Krfimmaiig wichtige SStse anrgeatellt werden.

^dnyCOOgle

Vierter AbaehniU: Ottrcm auf der Fläche.

Punkten (u, r) nach (9) aactt dieselbe geodätische Kr&mmung, «et)
schliesslich anch u', v', u", v" bei beiden Übereinstimmen. Somit folgt:

Sats 4S:* Bei der Terbiegung einer Fläche bleibt die
geodätische Krümmung einer jeden Carve auf der Fläche
nngeändert.

Insbesondere gehen Gurren constauter geodätischer Erümmiuig
wieder in Carven constauter geodätischer Krümmung über. Eio
noch speciellerer Fall ist der der geodätischen Cnrven, die ja die
Gurren von der geodätischen KrUmmung Null sind. (Vgl.
S. 482.) Dass die Cnrven constauter geodätischer Entfemang Ton
einer Stelle (vgl. 9. 414) bei Verbiegung in ebensolche Gurren Aber-
gehen, leuchtet, nebenbei bemerkt, sofort ein. Dass die geodätische
Krümmung bei Verbiegung ungeändert bleibt, geht rein geometrisch
auch aus ihrer Definition anf der Fläche durch den Quotienten dz : ds
hervor, wenn man bedenkt, dass die Verbiegung eine in den kleinsten
Teilen congrnente Abbildung ist (nach S. 274).

Die Formeln (3) und (9) für die normale nnd fllr die geo-
dätische Krümmung einer Flächencurve beziehen sich auf den ¥a.\\,
dass länge der Curven die Parameter u, v als Functionen der Bogen-
länge > gegeben seien. Ist dem nicht so, sind v nnd v vielmehr
als Functionen irgend eines Parameters t gegeben, so werden die
Formeln umständlicher. Wir wollen angeben, wie man sie ans den
Formeln (3) und (9) ableiten kann: Deutet der Strich vrie bidier
die Differentiation nach der Bogenlänge « an, so ist:

OT «■-4^'. -'-4f'.

also:

C und f werden aus (1) abgeleitet, denn (1) liefert:
(15)

lA(S)

+ iF-j

woraus durch nochmalige Differentiation nach t folgt, indem die
rechte Seite zuerst nach t differenziert und dann das Ergebnis mit
C multipliciert wird:

> Id MiKDiKo's oben, S. 462, genmunter' Arbeit iwar nicbt auadrfleklich
formuliert, aber doch implicile entbalteu.

Pdr,yGOOgIe

§ 7. Krümmung and Toraion einer Fläeheneurve. 487

Setzen wir diese Werte (15) und (16) in (13) nnd (14) ein, so verdeo
u', v', u", v" durch die ersten und zweiten Differentialquotienten von
u und V nach t ausgedrückt Die Substitution dieser Äosdrflcke in
(3) und (9) giebt die allgemeinen Formeln für die normale und die
geodätische KrUmmung. —

Nachdem vir in (3) und (9) die normale und die geodätische
Krümmung

.???-?. und "°"

r r

berechnet haben, finden wir daraus auch leicht tgo) und die abso-
lute Krümmung l:r der Gurre. Es kommt:

|£«' + J'p' Ji;,!*'' + E.u'^ + (f. - JO.)«'" +-Bu" + Fv"
,,^ ^ Ifti' + gp' (f.- ^E.)t.''+ O.n'p' ■fiO,.^' + f«>" + gp":

und:

(18) (^j' = (Zu'» + 2^k'»' + ^"o'»)> +

^! ^w' + (?r' (^,-i^,)w'» + Ö,u'o' + tO,t)'*+l'«"+Go" I '

Im reellen Falle giebt die positive Quadratwurzel hieraus den
Wert der Krümmung.

SchliessUcfa wollen wir noch die Torsion \:q der FUchen-
curre berechnen. Sie tritt auf, wenn wir die Formel (4), nimlich:

Binoj = SXA.
nach der Bogenlänge s differenzieren, weil dann nach 111(^7) kommt:

ro' cos ü> = S X' A + ^ S J/
9

oder, da S'^/=3Costa ist, und wenn wir die Qteichnng nach l:^
anf lösen :

(19) ]-■»■- ^■

D,„i,z,dr, Google

488 Vierter AbaeAnüt: Cunm auf der Flaute.

In (IT) liegt tga vor; daraus ISsst flieh cosiu und <a' bestirameD.
Es erübrigt also nar noch die Berechnnag der Samme SX'L Diese
finden wir so; Wenn wir aus III (B) die Werte von X, p, v entr
oehmeD, bo koount:

I X' X

Znr VereinfacbuDg multipUcieren wir, was ja oft. nützlich ist, diese
Gleicbnng mit B, indem wir rechts statt D die in XI (£) angegebene
Determinante benatzen. Es ei^ebt sich dann zunächst:

y« y.

Y

Z' «' 7" : ; z, z, Z

Mnltiplicieren wir in beiden Determinanten Beihe mit Reihe, so geht
eine Determinante hervor, in der in einer Reihe die demente
SXX, %x'X

auftreten, die wegen x' =x x^u' -\- », v', XI {H) und XI (7) gleich Null
sind. Daher kommt:

Nach XII (C) ist aber wegen X' = J^w' + X^v':

SX'r, = - J«' - Mv-, ZTx^~-Mu' - Nv
und nach XI {Ay.

S J'r, =■ E^ + ^b', S»'r, = Fu' + ffr',
endlich noch nach III {B):

rS*"X-SXi=coa<»,
sodass die Formel hervorgeht :

^ l^u' + J-t/ i'l('+ (?!>' I

Krinnem wir ans an XII {U) und XII (F), so finden wir;

I v'> E L\

sx';t = -^ I _^,^, ^ ^1

I m'» (7 aI

Pdr,yGOOgIe

§ 7. ^iimmung vnd Toraion einer Fiäeheneurve. 489

Setzen wir diesen Wert in (19) ein, so ergiebt sich fttr die
Torsion der Wert:

I V-* E L
(20) - = »'- ~ -«'»' F M

in den wir, wie schon gesagt wurde, den aas (17) durch Differen-
tiation nach s hervorgehenden Wert von ta einsetzen können.

Wir erwähnen schlies^ch einige einfache Schlüsse, die sich an
die Formeln (3), (9) nnd (20) anknüpfen:

Ist die FlScheDcnrTe eine Krümmungscarve, so Hegt zu-
nächst ein Irrtum nahe, auf den hingewiesen werden muss: Der
zu einem Punkte der Curve gehörige HauptkrUmmunga^
kreis der Fläche ist durchaus nicht immer der Erttm-
mungskreia der ErUmmungacurTe. Er wäre es nur dann, wenn
die Fl&cbennormale die Hauptnormale wäre, also wenn die KrUm-
mungBcoTTe zugleich geodätische Curre wäre. Mach XII {Ü) ist fUr
die Erümmungscurren die in (20) auftretende Determinante gleich
Null, Bodaas bei ihnen die Torsion

ist.

Fttr eine geodätische Curve ist die normale Krümmung die
KrOmmong der Curre selbst, da dann die Haaptnormale zugleich
Fläehennonnale ist, während die geodätische ErQnuanng, wie gesagt,
gleich Null ist

Liegt eine Haupttangentencurve vor, so ist ihre Haupt-
normale eine Tangente der Fläche, nach Satz 64, S. 182, sodass
fi) _ ± ^ R ist Daher:

Bäte 48: Die Haupttangentencarveu einer Fläche sind
diejenigen Curven, deren normale Erilmmung gleich
Null ist

Ans (20) folgt femer für eine HaupttaDgentencurve als Wert
der Torsion, da <a längs der Curve conatant ist:
r'* E L
J.__i^ _aV F M .
u* Q N

Benutzen wir als Farameterlinien die Haupttangentencurven, so
ist nach Satz 67, 8. 184, £ = JV' = 0, sodass noch einhcher kommt:

Pdr,yGOOgIe

490 Viertgr AbK^iU: Ourvm auf der Fl&Ae.

Zugleich iet dann entweder u — 0 oder v = 0. FDr die HMipt>
tangentencarre (u) ist also die Torsion

I «Ö ,,

-^ - • D " '
wobei

\d»j Odv' 0
ist, sodass kommt:

Für die Haupttangentencurre (v) dagegen ergiebt sich aaf dieselbe
Weise, weil dann «'* = 1 : J und »' ■= 0 ist:

Fassen wir einen Punkt (u, v) der Fläche ins Äuge, so sehen
wir also, dass die Torsion der einen Hanpttangentencnrre in diesem
Funkte entgegengesetzt gleich der der anderen HaopttangentencnTre
in diesem Punkte ist, und zwar ist das Prodnct beider gleich

Dies aber ist nach XII {K) gerade das Ertlmmungsmaass K der
Fläche im Punkte (u, v), weil ja jetzt L = jV« 0 ist Hieraus folgt:*

Sati 44: Die Torsionen der beiden durch einen Flächeo-
punkt gehenden Haupttangentenourren sind dort einander
entgegengesetzt gleich, und ihr Prodnct ist gleich dem
Krttmmuugsmaass der Fläche an der betrachteten Stelle.

Insbesondere folgt hieraus:

Sati 45; Änf einer Fläche constanter Erllnmung haben
alle Haupttangentencurren der einen Schar Qberall die-
selbe Torsion und alle Haupttangentencurven der anderen
Schar überall die entgegengesetzte Torsion.

Die Haupttangentencurren der Flächen constuiter Erflnusniig
sind also Curven constanter Torsion, von denen in Satz 43, I
S. 252, die Bede war.

' Satz vonEHHBFER, „Ober aH^mptotiiche Linien", GHJttiiigor Ntiih-
Hchteu ISTO.

Pdr,yGOOgIe

§ 7. Krümmung imd Torsion einer Flächeneurm. 491

Scbliesalich erioaem wir daran, dass der Satz 44 — abgesehen
von der Torzeichenbestimmang — schon in unserem früheren Satz 51,
S. 170, als specieller Fall enüialten ist, weil die Fläcbennonnale bei
einer KaopttangentencorTe Binormale ist and die Torsion als das
Verhältnis d£:ds aas dem Winkel dJi, um den sieb die Binor-
male beim Fortschreiten längs der Ourra dreht, nnd ans dem zu-
gehörigen Bogenelement di definiert werden kann, wie in I S. 18S. —

In den Tafeln XXI und XXIII sind die wichtigsten Formeln
über geodätische und andere Flächencurven, die wir im gegen-
wärtigen Äbsctmitte gewonnen haben, zusammengestellt Tafel XXII
betrifft die Gentraflächen.

Endliob soll die Tafel XXIV dazu dienen, dem Leser den
Übergang zu anderen Lehrbtlcbem der Flächentheorie zu erleichtern;
es sind in Tafel XXIV die Bezeichnungen angegeben, die in den
wiebtigeren Lehrbfichem ßir die Fnndamentalgrössen n. s. w. ge-
braucht werden.

Zu weiterer Vertiefung in die Theorie der Gurren und Flächen
empfehlen wir dem Leser das Studium der dfters erwähnten Lehr-
bächer von Biabcbj und DABSonx sowie der in den Anmerkungen
genannten Abbandinngen.

Pdr,yGOOgIe

Anhang.

(FortBOtniDg des Aohaogi lam ersten Band.)

Formeln fDr die Fundamentalgrössen enter Ordnung und fQr die
Richtungscosinus der Normalen.

X, y, z die rechtwinkligen Coordinaten des Flächenpunktes.

u, r seine Parameter.

dt dfts Bogenelement der Fläche.

E, F, O die Fnndamentalgröasen erster Ordnnng.

X, T, Z die Bichtungscosinna der Flächennormale.

CD Winkel der Parameterlinien.

(5) (S. 15) «is»=Ä'rf«* + 2-P(farft) + (?rft>».

{C) (S. 17) D = ^EG-F*.

im reellen Falle positiv zu nehmet).

Gleichaug der Tangentenebene in den laufenden Coordinaten

E. 9. h-

I r — X X. X.. \
(-0)
(ä20)

oder:

W X(E-.) + r(t|-,) + 2(,-i)_0.

(y)(S. 27) x»?^-*^!, 7_5ia^-i--, ^_^- -»■-•.

(ff) (8. 18) -B'-Sto...-».y.)>.

' BezeicbauDg der Seite, auf der die- Formeln mm ersten Haie lat-
komnieo.

Pdr,yGOOgIe

(^)(S.27) SI'-l, SJ^ = 0, SXX,-0.
(/) (S. 2t) SJi. -0, SX», -0.

(S. 28)

(S. 28)

{lU) (& 31)

r..-%.= ^-^,

Fi

2« Jr -Kj.-i'!'.,

2x... Jf »._'■»•-'"'■

%.-l''.-^-'^.

xy.-r,..^?-

*■ I,

j ;

y. s.

r

~D.

' r^ r^

2

Yeq

}fBQ

wo die Wnrzeln im reellen Falle positiv zd nehmen sind.
Für den Winkel a der zu

gehfirigen Fortschreitungsrichtongen ist:

W (8.32) CO.. _ _^_±Z»*J>±^>t:^

Differentialgleichang der Minimalcurren :
(0) (8. 36) Edu* + ^Fdndx) + (?rfi>* = 0

oder zerlegt:

(P) (S. 83) \ßdu + (-f + iiJ)rfr][Ä(iu + {F - ii>)dt)] = 0.

Formeln fDr die Fundamentalorfissen zweiter Ordnung
und für die Krümmung.

L, M, N die FundamentalgröBsen zweiter Ordnung.

*,, A, die Werte von dv.du &r die beiden HaupttrUmmungB-
richttingen.

X,, «, die Werte von dv.du fUr die beiden HaupttaDgenten-
richtimgen.

D,gH,zedr,yGOOgIe

494

Anhang.

R der EJdmmimgsradiuB des zu irgend einer Fortacbreitsngs-
richtung {dv.du) oder (A) gehörigen Normal&olmitteB.

<fi der Winkel seiner Ebene mit der Normalebene dorch die
erste HanptkrQmmuogerichtung.

B^, R^ die Hauptkrllmmungsradien.

K das KrOmmnngBm&ass.

E die mittlere Krümmung.

{J) (8.100) L=-%Xx^^, A/ = SX*„, A=.SXar„.

. z.. ^J

(S.116)

I ^. z, 2, i i ',, 'u 'v

£+2fi+ Oi'*
'(ÄJW-^i) - {G i - ^JV) A + (f A - G.«) A» =
oder:

(S. 106)

(C) (S.106) i--Si.i., M

4'

•t i

Jf j =0

f)lri-i„i,.

« (S.U7)

(C) (S.

117)

(//) (8.

117)

*, + «.

0£- jy

' FA-'QSf"

*.--

[* + #(*,+*,) + «*, i^.
(i+J((*, + i,)+A'i,A,.

EM- FL

' Fü- OM ■

(/) (8.118) {LX-llP)IP-{EN-2FM+eL)R+{E0-F^ = D

(/.) (S. 127) L + S^/x + G

S. 118)

.gy- ZJ'Jtf -K OL
£0-F*

BN-iFM+ OL

= 0 für x^XyX,.

D,gH,zedr,yGOOgIe

<S. 130)

m

<8. 131)

LX-M'-D

X ;r. X,

r Y. r.

LS-M'-D L!?LrJ- ^\ _ ja^.-^.z. _ ^ XLlir_lr?!.

= lA-f-

Ffir die Winkel « der Haapttangenten mit der ersten Haapt-
krUmmaogsricMiiDg ist:

<iV)(S.135) tga =

Gleichung der Indicatrix im Abstände s von der Tangenten-
ebene:
<0) (S. 142) Zrfii» + 2jl/rf«<f» + jVrfu»-2!.

<?)(S.184) _L_-^ + jL^.

Sind a und /? die Winkel conjagierter Richtungen mit der
ersten Hauptkrtinunungsrichtung, so ist:

« (S. 156) lg«tg(?.- A.

K - BrK-fj''- ei)i. + (FL - JiO"^.].

^. - iiK-f 'K^- o-t)?. + (^^ - smyi,

K - ^rK-f-« - OL)t,+{FL - EX)!,];

9. 159)

(S. 159)

n - i, K^JV - e ^Ij-. + ('■^f - ^"M .

^. - BrK-f-'*'- GM)2, + (TM-Elf)!,].
iX,' -^[GL'-2fLlll + BM'] -HL-KE,

iX,X,-^i[aLM+E)fX—FAP-Fitl]-HX-KF,
iX,' -~{EX'-2F3IS + Oil'] -HH-KO.

i,i,z,dr, Google

496

(J) (S. 161) idXdx = -{Ld<i' + i.Vdudi} + ydt').
Differentialgleichung der ErümmiuigscnrTeD;
I rfi,' EL'

(S. 174)

-dudv F M -a
<(«' ff n'.

oder:

(F) (S. 176)

Edu + Fdv ldu + Mdv
Fda + Gdo Md» + Sdt

-0

oder:

'dl X dX

(& 176)

\d, r dr -0.

'dl 2 dZ\

Differentialgleichung der Hanpttangent«icurTen :
{X) (S. 174) Zrft(» + 2^rfarfo + ^rfo» = 0.

Tafel XIII.
ForiMin fBr die Darstellung: « =/(«:, i/) der FIAehe.

3'« a»* 3»» ,

dx' ' dxdy ' dy'

(Ä) (3.15) E=\+p', F^pg, C=l+y*.

(5) (S.18) i>_yi+p» + yi,

im reellen Falle positi? zu nehmen.

(C) X=— ^

(i>) (8.108) i = — ^=-_, ^f= ' -, 2f =

[E)

Ä yi+p* + q* (1 +p")da!' + 2pg<f«tf» + (l +?«)<* y*

D,gH,zedr,yGOOgIe

{F)

H^

' (i+p' + sV

- (1 -i-p*)*- 2pgJ + (1 + g*)r

Differeatialgleichung der Ifinimalcurven :
(ff) {\ + p^dx^ + 2pqdxdy ^- {\ + q*)dy' ^ Q .

Differentialgleichuog der Erümmaogscnrven :
dy* l + p* T \
(ff) -dxdy pq s =0.

dx* 1+9* ( I
Pifferentialgleichniig der Haupttangentencurren:
(J) rrfx*+ Udxdy + tdy'^O.

Tafel XIV.

Sphärische Abbildung einer Fläche.

Die lateinischen Bachstaben beziehen sich anf die Fläche, die
dentachen auf die Biidkugel.

(Ä) (8.204) • E = X, »-r, i-Z.

fß) (S.206) dl,' = dX' + dy' + dZ-Sdu' + 2%dtidv + ISdv'.

g = SV =Hl-KIi-jji{EM'-'iFI,M+OL'\,

(i)) (S209) tl^fSW-'i'-iKD,

wo « = ± 1 ist und zwar im reellen Falle, je nachdem K'^0 ist.

m (S. 210) 3i-,X, g)-«r, S-iZ.

(^(8.211) S tS, <a .g, SR <®.

m

(3.206,
209)

.d=,Google

498 JtAatiff.

Tatel XV.
Paralltiflfichen einer gegebenen Flftche.

Die aberBtrichenen Buchstaben beziebeo eich auf die Elemente
der ParallelflElcbe im Abstände o.

= x + aX, ^ = y + aY, i = z + aZ.

S- (1 -<fK)E-a{i-<,R)l,

S-(l -a'K)0-a(2-<iE)ll.
l-aKE+[,\ -aU)L,
S-aKF+i\ -aB)M,
y-aKO + ll-aH)y.
5-(l -air+a'K)J>,

(4 (S. 2

(S. 239)

(fl) (8.238;

wo das YorzeicheD so gewählt ist, dass im reellen Falle die Formel
fiir die Null benachbarten Werte von a positiyes 5 giebt

(E)
(S. 240)

K--

- aH+a'i
H-iaK

(4
(8.264)

Tafel XVI

Die zweiten DHTerentlalquotienten der rechtwinkligen
Punktcoordinaten einer FIflclie.

'..- 4(ä'. - '-!/''> + ITri.!!.« + E,F- 2F,F)t, +

i,i,z,dr, Google

(S. 268)

+ (- JB,F- E^E+ 2F,E)xi,
X..- !dX+ -^^H,E,G -a,F)x, + {- E,F +(3,E),i,

'.,- "-«■+ ai-K-ff.^- ».0 + 2^.0)». +

Die Formeln {J) und {B) gelten aach, wenn r und X durch ^
und T oder durch z und Z ersetzt werden.

(C) f 8 1„». - i A. . Si„i. - iE,, 8i„*. - .f. - iO. ,

(8.262)1 S,__»_ = J?__^^_, Sj:..».-iff., S»„i, = ie..

Tafel XVIl
Die drai Fandafflentalgieichunoan d«r Fischentheorie.

(4 i.-^«'.-^fte-e..P]i-

(S. 270)

- ~[*.0- 0.^+2«- -f.)^.«-

- jir[- ■K.-''- E,E+2F,E]N.
LN-M*

(S. 270)

+ j5rÄ'+ .«.».- 2«. /a +

(C) jf. -«;_-^ [<;,£_«.*■] jv-

(8.271)

- lirCO.-S- «,ff + 2(0.- F^irjM-

■-^l-0,F-G,G + 2F,Cf]l.

riz,d=, Google

Ändere Fonn der zweiten Fnnd&mentalgleicliimg (B):

(D) LN-M* J_ -E^F-E,E-t-2F,E a_ -E,F+ 0,E

(S.320) H ^ dt 2DB du ZDE '

Tafel XVm.

Formeln fDr FISchen, deren Parameterllnien difr
Minimalcurven sind.

(4

M=a = ts,

B = iF.

FaDdamentalgleichungeD :

l,-M, —

-f*.

(S. 268)

K-K=-

-5^.

m

'-i

1 LN-M'

^-i+i

(S. 266)

--'^F-^.'-'Jli^^'.~1X+^.,.

Diese B'ormeln (i>) gelten auch, wenn x und X durch y and T
oder durch z und Z ersetzt werden.

(H)
(S. 266)

{F,

I. - - )f{M,, + ii,), X. = - i (A«, + «ij,
J. _ - i(l/,. + iy.), 1-, = - i(%. + Uy,).

Differetttialgleichung der KrümmuDgscurreD:
(0) Ldxf-Ndv'-a.

.d=,Google

ForniBln fGr FIftchen, deren Parametorlinlen die
Krümmungscurven sind.

(4 (8.366

f^M=0, D = yjG.

Fundamentalgleichnugen ;

^.=t-.(* + f).

(8. 366)

oder:

l^^-^^-

(C)
(S. 366)

11,11, au\\/E a« / 8. \yä 9t i

(i>) (S. 366

X,

.- |toA-.yJ + ä'.- w'.- -^^+ ra'.- ^

<m

*«

ä'.+§'..

*«

Dies« Formeln {E) gelten auch, weDn x tmd X dnrch y and T
oder durch z und ^ ersetzt werden.

(S. 356)

1 ^.= -t.

<0)

SV-|.-.

CO

SV-^.

s:r.i.-o, sx.'-^-

D,„i,z,dr, Google

502

Differeatialgteichung der MinimalcurTeD:
(7) üu' + eir'-O.

DifferentialgleichaDg der EaupttaugeBteDcurren:
(Z) ldu'+ Hdv'-O.

Tafel XX.
DlffiBrenfialparamBter,

(^,(8.383) j„.lfl^l£ML^liL.

(£) (S. 387) A„ _ ^t.,.-PV.9.*f.9i*at.,.

(C) (S. 387) 4, - A„.

Werden fl = f{u, v) and e es ^ (u, t>) ftls Parameter auf der
Fläche benutzt, bo sind die zugehörigen B^iudameDtalgr&ssen erster
Ordnung:

jP=n -ll ., 0"

8. 889) ^ ^,, ^„ - Jf, ' Jr7^„ -^},' " Jrr ^„ " '*;,

Insbesondere ist:

(£)

(8.388) if,.^.- ^J. ' Jl.,^,.- äi, ' ä^^ä,,- ^!,

Tafel XXL
Geodätische Curven.

Differentialgleichnng der geodätiBchen Corren, wenn u und v
Functionen eines Parametere sind and nach diesem differenziert wird:

(8.406) \fu' + Gv' (F^-^EJ)u-'+G^u'v'+\G^v'*+Fv" + Gv"\~ '
Oder, wenn u als Parameter längs der Carren benatzt wird:

wobei jedoch die Curreo (u) aoegescblosBen eind.

D,„i,z,dr, Google

(S. 408)

503

BedingQDg für die orÜLOgonalen Tn^ectorien Jl(u, v) = Const.
TOn Qc' geOfUtischen Corren:

(C)(S.4S8) A,-fW-

Bogenelement-Quadrat bei geodätiachem Farametersystem :

{D) (a 440) ds* = du*+G{u, v)dv',

wobei D = ^G im reellen Falle positiv za i^hlen ist

Für den Winkel a einer beliebigen geodätischen Corre mit den
geodätischen Gorren (e) ist im Falle {JD):

(ß) {S. 448) -1^ = _ i>^.

Bei der Annahme (£) ist;

{F) {S. 446) K = -

1 d*VÖ

' yö au'

läegen geodätische FolarcoordiDaten vor, so ist in {£) noc^:

(ff)

(S. 446,
448)

Lö" .0,

tdVä]

Tafel XXIL

C«ntraflSch»n.

Die Farsmeterlinien (u), (o) auf der Urä&che (t, y, z) sollen die
ErOmmungBcarren sein. Die anf den ersten oder zweiten Mantel
der Gentraääche bezQglichen Grössen haben den Index 1 oder 2.

(d) (S. 467) », _ « + Ä, X, y, - y + Ä, r, 2, - « + Ä, 2.

(i)(&467) x,-i + lt,X, y,-y + R,r, i,-i + S,Z.

(C)
(S. 467)

ä^

' .7-?

ÖÄ,

Bt-Ä,

äj,

.1-.?

?.■

^^v

,dr,Google

m

jMAang.
rdSt^ Ji, -Jit diit_

.ÜB. ig,-«.

du '

du ^ B,
,»R,

w

^,.

(ff) (8. 462) S, =. «1 -^ - ^5^' ■ /Ö ,

wo im reellen Falle ^G positiv sein soll und Ci = ± 1 so zo wählen
is, dass i>j positiv wird.

WO im reellen Falle y£ positiv sein soll und a, = ± 1 so zu wShlen
ist, dass -flj positiv wird.

(/)(S.463) 2,--^..,

m

Va •'

" Ya '•'

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(P)

467) -gt

K. — -

i,i,z,dr, Google

Anhang. 505

Differeotialgleicliung der HaupttaDgentencoiren auf dem ersten
Mantel:

{Q)(S.466) Eß'^du'-GM'-ß^dv^^O,

\-ti \ ' 'du ^ du '

auf dem zweiten Mantel:

(Ä) (8. 467) Jilf^'^dtt^ - GS^'^dv' = 0.

Tafel XXm.
Fl&chencurven.

Die Parameter u, v seien als Fonctionen der Bogenlänge » der
Gurre gegeben, sodass

(j) (S. 476) Eu* + 2Fu'v' + Gv'*==l

ist, wenn die Striche die Differentiation nach t andeuten.

(D der Winkel der Hauptnormale mit der Flächennormale,
1 ; r die ErOromung, 1 ; p die Torsion.

Normale Krümmung:

(B) (S. 477) — — = ia'» + SJfu'o' + Nv''.

Tangentiale oder geodätische Krümmung:

(S.482) r nlßu'+Gv {P^^^E^u-'+Gyo'+\G„v*+Fu"+Cv"\

(S 487) t« ü, = kt^ + Qr' (F.-iE,W'-^e.u-^ + iO,v-* + Fu" + 0^-\

(S. 487) ^i^u+Fv \Ey* + Syv' + (F,-:^GJv'* + Eu' + Fv",'
^'\fu+Gv' {F^-^E;iu'' + Gyv' + ^Gy* + Fu"-i-Gv"i'
Im reellen Falle ist 1 ; r die positive Quadratwurzel hieraus.

D,gH,zedr,yGOOgIe

(7) (S. 489)

Anhang.

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E l\

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F M^

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B n\

Bezelchnunoen.

In der nachBtehenden Tabelle sind die Bezeichnungen ange-
geben, die in sieben Werken Über Flächentheorie statt der uosrigea
benntzt worden sind, soweit in ihnen überhaupt stehende Bezeich-
nungen &a die betreffenden Orösseo gebraucht worden sind. la
alpbabetis<dier Anordnnng sind die sieben Werke diese:

BiANCHi, „Vorlesungen über Differentialgeometrie". Deutach
von LuKAT, Leipzig 1899.

Dabboux, „Le^ons sur la th^orie gän6rale des sarfaces et
les applications gäom^triqnea du calcul infinitesimal".
L— IV. partie, Paris 1887— 189Ö.

Qauss, „Disqnisitiones generalea circa superficies carras".
Commentationes Soc. Scient Oottiogensis recentiores Vol. VI
(ad a. 1823—1827), Göttingen 1828. Siehe anch Gauss' Werke,
4. Bd., und die Übersetzung in Ostwald's Klassikern Nr. 5.

Home, „Lehrbuch der analytischen Geometrie in zwei
Teilen. Zweiter Teil: Principien der Flächentheorie".
2. Aufl., Leipzig 1890.

JoACHiHSTHAL, „Auwendong der Differential- und Integral-
rechnung auf die allgemeine Theorie der Fl&chen und
der Linien doppelter Krümmung". 3. Aufl., bearb. von
, Natani, Leipzig 1890.

Ekoblauch, „Einleitung in die allgemeine Theorie der
krummen Flächen". Leipzig 1888.

Stahl und Kombiebbll, „Die Grundformeln der allgemeinen
Flächentheorie". Leipzig 1893.

Pdr,yCr.OOgIe

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YeG ->' y,B a-F* ^EQ- F*

Pdr,yGOOgIe

Sachregister.

Abbildung der FIBche auf die Ebene
86 n. f.; confonn = Conforme Abbil-
dnng; flAchentreu = Plächentreue

Abbildutifc; j^odätiBch ~ Geodäti-
actie Abbildung; Ifingentreu 88.

Abbildung der Fläche auf eine FlSche
90 u. f., 285 n. f.

AbbilduDg der FIAche auf die Kugel
durch parallele Normalen ■• Sph&-
riBche Abbilduiiff.

Ableitungen der Coordinateii 19 u. f.;
der KiditungscosinuB 159, S12 u. f.,
920, S40.

Abafand der Tangcntenebene von be-
nachbarten FlSchen punkten ISSu. f.

Abwickelbare Flfichen 24, 132, 151, la4,
177, 180, 163, IBS, 225, 273, SÖB,
369, 403, 409 u. f., 424, 42S d. f., 452, |
455,470; der Normalen längs Krflm- i
mangscarven 175 n. f., 455,473; die
eine Flächo Ittogs Curven berilbren,
157.

Abwickelung einer FIficbe auf eine
andere — Verbicgung.

Algebraische geradlinige Minimal fläche
dritter Ordnung 244, 248.

Änderung der Bogenlänge bei unend-
lich kfeiner Änderung einer Curve
39eu.f.; der Flacheninhalte bei un-
endlich kleiner Änderung eiuerFlächo
282 11. f.

Arithmetiachea Mittel der Krümmungen
der Normal schnitte 230.

AsBOciierte Minimaltlfichen 283.

Asjmptoten eines Fläche npunktes 140.

AajmptotiBche abwickelbare Fläche
einer geradlinigen Fläche 227,

Asymptotische Gurren 174 = Hanpt-
tang en ten curven .

Bedingung fQr conjugierle Bicbtnngen

155; fQr UauptkrümmungsrichtuDgen | 470.

117, HS, 156; für Hauptt&ngenlei.
richtnngcn 127, 156; für Minimil
richtungen 36; für senkrechte Rieli
tungen 33.

Begleitendes Axenkreiu einei Fllchoi-
punktes 133 n. f., 144, 168.

Begleitendes Dreiksot eines Flichen-
punktes 312 u. f ; In ein ändert»
abergeführt 317 o. f.; epeciell getrshli
819 u. f , 340.

Bereich für die Parameter auf der
Fläche 6.

Berdhrung nter Ordnung ewiacben Ewei
Flächen 200 u. f.; zweiter Ordnnitg
Ewischen Fläche und Kugel 203:
zweiter Ordnung zwischen FlSche
und Paraholoid 203; zweiter Ord-
nung zwischen Fläche und TangeO'
teneltene 208 u. f.

Bewegung 16, 18, 107, 303, 337 o. f.,
342, 344.

Biegung = Verbiegung.

Bildkugel 304 u. f.

Bilineare Gleichung dnrch eine Diffe-
rentialgleichung ausgedruckt 7S; für
die Kreise anf der Kugel 65, 77 a. f.

Binormalen einer Curve 226.

Bogenclement- Quadrat in der Ebene
1 3 ; auf der Fläche 14, 17 ; als vollstin-
diges Quadrat 29; für Isothermei]-
netze 57; bei Verbiegung 275; m(
die Form rfu' -H Gdv* gebracht 140
u. f.; auf einer Fläche, die sich oQ-
endlich wenig in sich verbiegen lAssl,
201; der Centrafläche 464 u. f.; anf
einer Fläche constanter Krümmnitg
301; von dBrForm(C7-H Vjldu' + än
420, 423.

Bogenlänge einer Gnrve bei nnendlicb
kleiner Änderung 396 n. f.; einer
Flächencurve 102, 476.

Breite und Länge auf der Kugel 3.

Breitenkreise 40.

BrennflScben eines Strahlen^tems

Pdr,yGOOgIe

CsnalflifcbeD 461 u. f., 473 u. f.
GatcDoid 42, 126, 129, 184; als Mini-
malfläclie 242, 252; Terbogen auf

eine gemeine Schraubeafl liehe 284
u. f., 294.
GentTaflHche454n.f; ausgeartet 458 (i.f,
473 n. f. ; einer abwickelbaren Fläche
455; einer Cacalfläche 461; einer

Bind, 467 n. f.; eioer Kugel 455; einer
ßfihrenflache 456; einer BoUtions-
fiäcbe 455.

Conforme Abbildung einer FiSche auf
die Ebene67u.f.,74, 94. 96; der Kugel
auf die Ebene 'iS u.f; einer Mini-
tnslflache auf die Ebene 256; einer
Fläche auf eine Fläche 71 n. f., 94, 96 ;
einer FlSche auf die Biidkugol 20B;
einer Minimalfläche auf die Kugel
242, 248 □. f., 256.

Congrueni von Flächen mit denselben
Fnndameatalgröaaen 337 n. f.

Congruenzmerkmale für zwei Flächen
341 u.f., 351 u. f., 367 u. f.

Conjugierte Curven 185 u.f, 196 u. f.,
198 u. f.; auf abwiclcelbarer Fläche
18Ö; auf CentDifliichen 464; alsPara-
meterlinien IH6; die bei Ahbüdung
conjugiert bleiben, 285 u. f. ; die Mini-
malcurven sind, 244.

Conjugierte Durchmeaaer der Indicatrix
154 U. f.

Conjugierte Hyperbeln 138, 137.
Conjugierte Kichtungm 154 u.f., 163,

170; auf abwickelbarer Fläche 154;
auf einer Kugel 157.

Conjugierte Tangenten 154; harmo-
nisch getrennt durch die Haupttan-
genten 167.

Co ntingenz Winkel, geodätischeri 483.

Convei-concave und convex-convexe
Stellen 128 u.f., lS5u.f., 140.

CoainuBlinie 45.

Curve 4; aufgefatsst ala Fläche 151;
von conalantcr Toraion 490; unend-
lich wenig verändert 396 u. f. ; dritter
Ordnung mit co na tanter Krümmung
und Torsion 242 u. f.

Curven auf der Flache lOn. f, 101 u. f.,
476 u, f.; unendlich wenig vei^ndert
899 u.f.; deren Binormalen die Flä-
chennormalen sind, = Haupttangen-
tenourven; deren Binormalen die
Fläche berühren, 404; deren Haupt-
normalen in die Fläcfaeanormalen
fallen, 400 u. f.; längs deren einHaup^

krammnngBradius constant ist, 465;
ohne bez. von grösster Längen Ver-
zerrung bei AbbilduT^ 99; von con-
Btanter geodätiaäher Entfernung 444,
485 o. f, ; von constanter geodätischer
KrQmmnng 485 u. f.; von der geo-
dätischen Krümmung Kuli 486; von
der normalen Krümmung Null 489.

Onrvennetz auf der Fläche mit ebenen
Vierecken 193 n. f., 196 n. f.

Cykliden 474.

Cylinder 2, 189, 225; zweiter Ordnung
129; Hiebe auch Hotationacylinder.

Cylindroid der kürzesten Abstände
einer Normalen von den benachbar-
ten Normnleu 171; zur Veraaschau-
lich ung der Krümmungen eines
Flächenpunktea 149.

Diagonalcorven 5* u. f., 57 u. f.

Di Seren tialgleichung der Curven , die
zu einer gegebenen Schar conjugiert
aind, 192; der geodätischen Curven
408 u. f., 417; der geodätischen Cur-
ven (Geraden) der Ebene 430; der
geodätischen Curven auf Flächen mit
dii*-(U ■\-V)ldü'+di!']*'ila.t.;dei

fBodätischen Curven bei geodätischen
aramctern 442 u. f.; der geodäti-
schen Curven Huf Rotations flächen
411 u, f.; der Ilaupttangen teil curven
174; der H au pttangenten curven auf
geradlinigen Flächen 163 u. f.; der
KrQmmungscurveu 174, 176; der
Minimalcurven 35 u.f., 62 u. f.. 174;
bei einem Orthogonal ajatem 33 u.f.;
der orthogonalen Trajectorien von oo '
geodätischen Curven 433 u. f., 437 u.f. ;
eines Systems von conjugierten Cur-
ven 186.
Differe ntiald eich ung, ge wöhnl i ch e,
siehe aucn unter Gewöhnliche Diffe-
rentialgleichung; partielle siehe un-
ter Parlielle Differentialgleichung;
RiccATi'ache siehe unter RicoiTi'sche
Differentialgleichung.
Differential in vari Knien der Flache liiii-
skhtlich der Bewegungen 303 u. f. ;
differeniiert nach einem Parameter
305 Q. f ; symmetrisch aus den Ab-
leitungen der Coordinaten gebildet
308 n. f.; von erster Ordnung 306;
hinsichtlich der Bewegungen und
auch hinsichtlich der Einfilhrang
neuer Parameter 842 u.f., 353, 384,
3«7, 390 u.f.
[ DifTerentialparameter erster Ordnung

^dnyCOOgle

Saehregiafer.

382 a. f., 430, 439; gemischter oder
ZwischenpftwnQter 887 u. f., 4SB.

]>jffereDtialqnotieiit«ii der Coordinaten
IS n. f., 261 o. f.; von Fanctionen dei
OrtcB auf der Fl&che 374 a. f.; der
KichtasgscoNanB der Flftoheanor-
inale 159-, der Eichtnngauwinns des
begleitenden Dreikants der Fliehe
8iau.f., 320, 340.

Doppeiaächen 2!i6 u. f.

Doppel verhaitaia derErQmmiingamittel-
pnnkte Toa vier Normalechnitten
eines FlBcheapnoktaa 114 n. f.; von
vier Tangenten eines Flftchenpanktea
91 u.f., 11- - -■- "-

ebenen vo.
zeugenden
224.

Dreikant, begleitendes, siebe unter Be-
gleitendes Dreikant eines Fl&chen-
pnnktes.

E

Ebene I n. f., 13, lOT, 112 u.f., 180,
179, 182 n. f., 186, 24lD.f.; geodi-
tisch auf eine Ebene abgebildet 439
u.f.; nnendlich benacbbart und par-
allel einer Tangeotenebene 188.

Ebene KrÜmmungscurven 180.

Einheilende von cn' Engeln 461.

Einseitige Flächen 2S9.

Ellipoe als Bild eines unendlich kleinen
Kreises 96 u. f.; znr Constmction der
Krfiininung eines Normal Schnittes
135 u.f.-, zur Constmction des Win-
kels benachbarter Normalen 169.

Elliptischer Punkt 140.

Endliche Gleichungen einer FUcbe ab-
geleitet ans den FandamentalgTSsaen
385, 837 u.f.

Entfernung derTangentenehene von be-
nachbartem Fl ächenpnukt 152,193 n. f.

Euklidische Geometrie 463.

ETOlntenflSche - CentraflScbe.

Faden aufgespannt auf die Fl&che
404 u. f.

Filarevolventen 177.

Flachen allgemein 1 n. f.-, abgeleitet
aus den FnndamentalgrdBsen 885,
887 u. f.; conform abgebildet siehe
unter Conforme Abbildung; erzengt
durch ihre Punkte oder aorch ihre
Tangentenebenen I&l; gesucht zu
gegebener CentrafiSche 469 u. f., 474
u. f.; gesucht eu gegebenem Nor-
malensjstem 470 o. f.; umhüllt Ton
oo* Ebenen 26.

FIKcben Ton besonderer Art und «war:
FIfichen, auf denen BG--F* — Oi^
29; auf denen Lif-3(' = 0 Ut, 181
n. f., siehe auch unter Abwickelbare
Flilchen; mit lauter Nabelpnnktcn
(Kugeln) 111 u.f.; mit lauter par-
allelen Normalen 107; mit nar einer
Seite 259; mit iwei Scharen voo
Geraden 144; mit einer Schar von
Küuimalgeraden 116 n. f., 16&, 175,
177, 213, 227 u. f., 240 n. f., 354 n. £:
mitawei Scharen von Hinimalg«radai
(Kngeln)64. 113 ; von zweiter Ordni^
129, 148, 184,226; mit cd ' congmei-
ten und gleichgestellten Gurren =
Schiebungsfl&chen ; die durch Dreh-
ung einer Curve entstehen, — Bo-
tationaflachen; die durch Schnuibung
einer Curve entstehen, ~ Schranben-
fl&chen; mit coajngierten Minimal-
curveu 244, siehe auch unter Mini-
malflächen; die von as> Kugebi in
Kreisen berührt werden, 409 u. f.,
473 u. f.; mit' orthogonalen Haupt-
tangentencnrveo siehe nnter Uini-
malflächen ; mit zusammenfallenden
Haupttangenten 131 n. f., siehe aach
unter Abwickelbare FlBchen; con-
stonter Krümmung 286 u. f., 297 u. f.,
364, 372, 394, 416, 4SI, 426 n. f.,
446, 452 u. f., 490; constanter Krüm-
mung, vorbogen auf die Ku^ 301
Q. f. ; constanter Krümmung mit einer
Schar von Minimalgeraden 228 a f.;
mit der Krümmung Null 214, eiche
auch unter Abwickelbare Fl&chen;
constanter mittlerer Krümmung 236
u. f., 869 u. f.; mit der mittleren
Krümmung Null — Minimalflftchen;
mit einer Belatiou zwischen den
Hauptkrümmungsradien 858 u. f.;
467 u. f.; mit einem conatanten
HauptkrÜmmnugsiadina 367 n. f.,
368 n. f.; mit gleichen Hauptkrüm-
mnugsradien (Kogeln) 120; mit ent-
gegengesetzt gleichen Bauptkrüm-
mungsradien 119, 184, 207 u.f, 236
u. f., siehe auch anter Minimal-
fl&chen ; deren EhindamentalgrÖBsen
von einander abhängige Functionen
sind, 36T; die sich unendlich wenig
in sich verbiegen lassen, 269 n. f.;
verhiegbar auf RotationsüSchen 293;
auf denen ds*~{V -i-Tüdu} + dv^
ist, 420, 423 u. f.; FlAche der Bi-
normalen einer Curve 226; der
Uauptnormalen einer Curve dritter
Ordnung von constanter Krümmimg
und Toraion 243 u. f.; der KrDm-

.dr,yGoogIe

mnngekreiaederNonnalflchnitte eines
sllgememen FlIlcheiiptinkteH 146; der
Uitten der Strecken swischen zwei
Carven 190; der Nomulen Iftnga der
Indicfttriz 173.

FlSclieiicuive — Curve auf der Fläche.

Flächenpur, du eich ia KrOmmtuigB-
cnryeu «cbastdet, 177 n. f.; das aicb
unter constantem Winkel Bchoeidet,
176 n. f.

Flackennonnftle — Normale.

FiBchentrene Abbildung 38 ji. f.; der

Kugel auf die Ebeue 43 a. f.; einer

RotationsflSche anf die Ebene 41 n.f.

' FlSchentreue geographisclie Karten

48 n. f.

FocalkegelBcbnitte 474.

FoTtschieitungBrichtiuigen auf der
FItche 29 n. f.; coqjngiert zu einan-
der siehe uoter Conjugierte Rich-
tungen; senkrecht ta einander 38,
117, 185, 158, 169.

Function . des Ortee anf der Fliehe
873 n. f.

Functionen der Fundamental grossen
und ihrer Ableitungen 807 u. f.

Fundamentalgleichungen der Fl&cben-
theorie 36ti, 271 u. f.; ala Integra-
bilitiUbedingnngen i%r die Di£Feren-
tialqnotienten der Bichtungscosinus
des begleitenden Dreikants 820, 822;
als Integrabilitfitsbedingnngen einer
Siec&Ti'schen Gleichung 326, 341;
fllr den Fall, da» die Parameter-
liuien Minimaleurren sind, 26B, 272.

FundamentalgrOssen erster Ordnung IG
n. f.; als Differential in Varianten SOI,
306; bei EinfOhrung neuer Para-
meter 17 u. f.; nngeSndert bei Be-
wegungen 16, 18.

FundamentalgrösMB zweiter Ordnung
106 u. f.; als DiSerentialinvarianten
804; gleich Null in einen Punkte
202; gleich Null auf der FlBcbe
Oberhaupt 107; ungeSodert bei Be-
wegungen 107.

FundameDtalgrösBen im Anfangspunkt
dea begleitenden Azenkreozes 184;
charakteristisch für die Congraeuz
von Flächen 337 n. f.; der Bildkngel
206 n. f.; der CentraflXche 462 u. f.;
von Parallelflächen 238 u. f.

Gemeine SchraubenfiSche 60, 119, 129,
ISl, 184, 191, 225, 276; ah Mini-
malfiäche 242 a. f., 250; verbogen
aof ein Catenoid 284 u. f., 294.

Gemeine Schraubenlinie 60, 409.

Gemischter Differentialparameter 387
n, f

Geodätische Abbildung einer Ebene anf
eine Ebene 429 u. f.; einer Flache
auf eine Ebene 424 u. f., 428 n. f.;
einer Fläche auf eine Fläche 41 6 n. f. ;
einer Rotationsflfiche auf die Ebene
424 D. f., 428 n. F.; einer tISohe
constanter KrBnunung auf die Ebene
416.

482 u. f., 486, 489; auf abwickel-
baren Flächen 403, 409 u. f.; anf
Ceutrafl&chen 458 u. f., 466; anf
Flächen mit rf«* -( F7 -t- D{(^u*+ dt>>)
428 u. f.; anf Flächen oonstanter
KrQmmnng 416; anf Kugeln 410;
auf Botationscjlindem 409 u. f.;
auf Rotationsflachen 411 n. f., 423
n. f. ; auf Rotationsflächen constanter

Geodätische Dreiecke 449 n. f.; auf
Flächen constanter ErOmmung 452

Geodätische Entfernung 444, 485.

Geodätische Kreise mit Mittelpunkt
444, 485 □. f.; von constanter geodä-
tischer KrQmmung 485 u. f.

Geodätische EiUmmung 483 n. f., 487;
bei Verbiegnng 485 n. f.; gleich
Null 486, 489.

Geodätische Harameter oder Coordina-
ten 441 u. f, 474, 483.

Geodätische Polarcoordinaten 445.

Geographische Karten 43 u. f., 83 u. f.

Geometrie auf einer Flache constanter
KrOinmung 458.

Gerade als geodätische Curre 402, 406
n. f.; durch einen HaoptkrOnimnngs-
mittelpnnkt parallel der anderen
UauptkrOmmungstangente 166 u. f.,
171; unendlich wenig gelodert 400

Geradlinige Flächen 129, 183 n.f., 216
n.f., 438; dieMinimalflBcben sind, 242
a. f., 248; abwickelbar siebe unter
Abwickelbare Flächen; constanter
Krammung 228 n. f.

Geschwindigkeit der Änderung einer
Ortsfunction 878 n. f.

Qeaimsflächen 181.

Gewöhnliche Differentialgleichang siehe
auch unter Differentialgleichang;
erster Ordnung in u und e 11 u. t.\
erster Ordnung, homogen und qua-
dratisch binsicDtlicb du und dv IS
o. f.; der geodatisohen Corren 408

^dnyCOOgle

512

u. f.: derHaapttangenteDeurveulT4;

der KriimmangacDrvea 14T, 176; der

Minimftlcurven 35 u, f., 62 u. f., 17*;

zur Intecraitioii einer totalen Differeo-

tiAlgleichung 321t u. f.
Gleichung zwischen den Piirametfim

einer FiBche 11.
Gleithangen einer FÜtche 1 n. f.; auf-

geiÖBt nach x 1, 15, 18, 108, 260;

natürliche 353 u. f.
Gradnetze 48 n. f., 63 o. £
Graphische Daistellung der DiSeren-

ti&lqnotienten einer OrtsÄiDction auf

der FlÄche 376 u. f.

HauptkrÜDtmuDgsrodiea 118 u. f.; als
DifierenlialiDvariaDten S42 n. f.; bei
gemeinen Schraubenflachen 119: bei
Kotationsflächen 121 n. £; unendlich
gross 129, 137.

HauptkrQmmuDgsmittelpanktellS u. f.,
165, 171 n. f., 454 u. f

HauptkrQniinungBTichtungea HS u. f.,
156, 167, 174.

Haupttangenten 127 u. f., 135, ISO, 174,
ltl4; als Asymptoten 13B u. f., 1&6;
imaglDttr I2H, 130; reell rerscIiiedeD
12d n. f.; reell zufiammenfallend 129
u. f ; zu sich selbst conjngiert 156;
harmouisch zn conjugierten Rich-
tungen 157; bei abwickelbaren FIB-
cheu 132; bei geradlinigen FIfichen
129; bei ßotatiODsflftchen 128.

Haupttangentencurven 174, 1H2 u. f.,
Ib5, 4UH, 489 a f.; bei Abbildung
Ton Flächen auf FIfichen 286 u. f ;
auf abwickelbaren PlScben 18.S; auf
dem Cütenoid 184; auf Centraflächen
466 u. f.; auf Piachen conatanter
Krilmmung 372; auf gemeinen
Schrauben flächen 1B4; auf gerad-
linigen FIfichen 183 u, f,; auf Mini-
malflächen 370 u. f.; aia Parameter-
curven 184, 489; die ein Orlhogonal-
sfEtem bilden, 184.

HENNBBBBQ'Bche Minimslfläche 260.

Höhere DIficrentialquotienten der Co-
ordinaten 264 u. f.

HülfaverSnderliche = Parameter.

Hyperbel zur Construction der EiUm-
mung eines Normale chuittes 136 u. f.

Hyperbolischer Punkt 140.

Hyperboloid 129, 144, 225, 452.

lodicatrii 139 U. f., 154 n. f., 172 u. f.;
von anderer Art bei Abbildung von

Fischen 99.

Inhalt eines Flfichenelementes 34 ti. f.;
bei unendlich kleiner Änderung der
Fläche 231 u. f.; des Tetraeder« von
vier benachbarten Fl tchenp unkten
195 u. f.

Inneres Prodnet zweier Strecken 387.

Integral einer gewöhnlichen Differen-
tialgleichung in u and v 12.

Integrabilitätsbedingungen für die
DifTerentialquotienten der Sichtungs-
cosinus des begleitenden Dreiksnls
317 o. f.; identisch mit den Funds-
mentalgleichungen 319 n. f.: filr
totale DiSerentialgleichuneen 3iS:
fiir totale RicCATi'sche DiSereatül-
gleichungen 325, 341.

Integration totaler Differentlal^a-
chungen 326 u. f.

Invariante Functionen siehe unter
Difiierentialinv arianten .

Isophoten bei paralleler Beleuchtong
205.

Isothermennetze anf einer Flfiche 56
u. f., 61 u. f., 71; bei confbrmer Ab-
bildung 71, 73 u. f.; auf gemeinen
Seh rauben fl&chen 60; auf Kugeln 59;
uuf Rotationsflächen ö9 ; gebildet von
Hauptlangentencurren S7Ü; gebildet
von KrOmmungscurren 369 u. f.

(Siehe auch unter C.)

Kegel zweiter Ordnung 22, 129.

Kegelschnitt zur Construction der
Krümmungen von Nonnalschnitl«n
135 u. f.; zur Conitructioa des Winkel»
benachbarter Normalen 169; als Bild
eines unendlich kleinen Kreises 98
u. f.; als Schnitt der FISche mit
einer zur Tangentenebene benach-
barten Ebene 138 n. f., siebe auch
unter Indicatrix.

Kennzeichen — Merkmale.

Kettenlinie 42, 126.

Kleinste Flfiche durch gegebene Corre
234 u. f.

Kreise bei graphischer Darstellung der
Differentialqnotienten einer Orls-
fuuction 376 n. f.; auf Kugeln 64 o. f.,
76 u. f.

Kriterien = Merkmale.

Krummlinige Coordinaten der Fläche 8,
siehe auch unter Parameter.

Krflmmung einer Flächen cur ve 103
u. f.. 477, 487; geodätisch = Geodä-
tische Krümmung; normal = Normale
Krümmung; tangential = Tangentis]e
Krümmung; derNormalschnitte emea

Pdr,yGOOgIe

scbnittee gleich Null 127; zweier
zu einander senkrechter Normal-
Hchuitte 18S; der ProjectiOn einer
Gurre *77 n. f.

KrümmnDffsmaaw oder ErflmmuDg der
Flache 200, 211 u. f., 2T2 n. f.; all
DiSerentialinTariante 842; ab Pro-
dnct der Tonrioneo der Hanpttan-
gentoncorven 490; bei Verhiegung
275; tat CentraflSchen 466 n. f.; liz
ParallelfiBchen 237, 240; auf ab-
wickelbaren FlSchen 214; conatant
siebe anter Fliehen conitanter Krüm-
muQg; auf Fl&chen von Miuimal-
geradea 228: auf geradlinigen Fla-
chen 219 u. f.; auf Kugeln 21S; auf
Botationeflächen 214.

Erümmnug, mittlere, siehe unter Mitt-
lere Krümm ang.

Erilnmiung, totale 449 n. f.

KrQmmungecurven 174 u. f., 1B5, 409,
489; als Parunetercnrven 1B2, 206,
844 u. f., 356 u. f., 45T u. f.; bei
flph&riHcher Abbildung 206 u. f.; anf
abwickelbaien FIBcheu 177; auf
Canaläfichen46I; auf Cvkliden 474;
-eben ISO; auf Flächen, deren Uaap^
^rQmmungsradieii durch eine Rela-
tion verbunden sind, S66; auf FlS-
•chen constanter Krümmung S72; auf
Flachen conetanter mittlerer Krilm-
-mnng 869; auf gemeinen Schranben-
«acben 181 n. f.; gerade 180; auf
GeaimBfllLchen 181; auf Mhiimal-
flachen 3ÖS, 871; auf Röhrenflacben
161; auf Rotationsflachen 181; sphä-
risch 180,

Kugel 1, 8, 10, IB, 84, 43 a. f , 69,
68 u. f., 66, 112 B. f., 120, 128 u. f,
1&7, 180, 1B2, 200, 208, 208, 218 u.f.,
301, 358, 869,410,456,466; als Bild-
kugel 204 u. f., siehe auch nnter Sphä-
rische Abbildung; eonform abgebildet
75 u. f ; flichentren abgebildet 48 n, f. ;
geodätisch abgebildet 429; als ge- I
radlinige Flache 64.

Kürzester Abstand Etriscben benach-
barten Erceugenden einer gerad-
linigen Flüche 220 u.f., 226; 2wiS(^en
benachbarten Normalen 160 u. f.,
170 u. f.

Eüneste Linien auf emer Flache 402
n. f., siehe ancb unter G-eodatiscbe
Gurren. I

, 0«am. Dllb. II.

Lange nod Breite auf der Kugel 8.

Lange einer Curve siehe anter Bogen-
' lange.

' Längentreue Abbildung 36.
. Leilcurven auf geradlinigen FlBchen
216.

Lichtgleicben bei paralleler Beleuch-
tung 205.

Lineare Gleichungen für die geodä-
tischen Gurren einer Fliehe constan-
ter KrQmmung 416 n. f.

Linear gebrochene Functionen einer
Veränderlichen 7B.

Logarithmische Cnrre 276.

Lösungen von totalen Difierential-
gleiäungen 326. 880; Ton totalen
Kioc&Ti'scfaen Differentialgleichnngen

Loxodromen anf der Kugel 8

Haass der Krümmung = KrQmmnngs-
maass oder Krümmung

Haxima und Minima der Krümmungen
in einem Flächenpunkte 105, 115 u, f.

Mazimalricbtung für die Di&rential-
quotienten einer Ortsiunction 878 u.f.

Uercatorkarte 88.

Meridiane 40.

Merkmale für die Congmenz von Fla-
chen 841 u. f., 86L n. f., 367 u. f.;
für die Verbiegbarkeit einer FUche
auf einer anderen 889 o. f.

Hinimalcurven auf einer Flache 86 u. f.,
62 u. f., 73, 137 n. f., 246, 384 u. f.,
409, 417, 428; bei Abbildungen 96
n. f.; bei conformen Abbildungen 78;
als geodätische Cnrven aufgefaset
406 n. f.; als Parameterlinien 36,
111, 113, 115, 227, 244 u. f., 249 u. f.,
286 u. f., 277 u. f., 289 u. f., 297
n. f., 340 u. f, 446; bei Verhiegung
277 n. f., 289 u. f.; unendlich wenig
geändert 401 n. f.; auf Flächen con-
stanter mittlerer Krümmung S70; anf
MinimalSächen S71.

Minimalflächen 286, 241 n. f., 355, 866,
370 n. f., 452; associiert 283; reell
249 n. f.; als Schiebungeflächen auf-
gefaset 245 u. f.; aphärisch abge-
bildet 242, 248 n. fT; verbau in
Minimalflächen 279 u.f.; die Doppel-
flächen sind, 256 u. f.; geradlinig
242 n. f. 248; von UENHXBaaa 260;
die Hotationeflachen sind, 242; mit
einer Schar von Minimalgeraden 241 ;
von ScnaE 252 n. f.

33

yCoogle

bU

Scusitregiater.

MinimalgeracIeD, die FlUchsnoomialeii
Bind, 2B; auf der Kugal 64; als Para-
meterlinieD IIS, 115 n. f.

Mittelpunkte der Erzeugenden von ge-
radlinigen Fischen 220 u. f.

Mittelwert der KrQmmangen aller Noi^
mahchaitte eines FIlclieDpnnktea
230.

Mittlere KrQmmung 229 n. f.; als
DifierentialinTariante 342; von Par-
alielflächen 236, 240.

Modelle von Flflchen 58; aus ebenen
Vierecken 197, 288, 518; von Centra-
flächen 45S; T<m Schiebnngsflachen
197.

Mnltiplicator 326, 435.
K

Mftbelpunkte 110 n. f., 113, 119, 140,
156, 203; anf Rotationsfl&ehen 110.

NatKrIicbe Qleichnngen einer Flüche
353 u. {.

Netz von Ptrameterlinien 54 u. f.; von
Qnadraten siehe nnter Isothermeu-
netze; von Rhomben 55.

NetEviereok auf der Fläche ale efaecea
Viereck aufzufassen 193, 191; alg
Tetraeder aufgefasst 195 u. f.

Neue Parameter 7, 10, IG u. f., 388 n. f.

Nicbteaklidieche Geometrie 453.

Normalen der Flüche 37; benachbart
160 u. f.; längs einer Plachencarve,
deren Bogenlänge sich bei unendlich
kleiner Änderung der Curve um LJu-
endlichkleiues von höherer Ordnung
findert, 399 u. f.; längs einer geodä-
tischen Cnrve 402 q. f.; längs der
Haupttangentencurre 182 ; l&ngs einer
Indicatrix 173; längs einer ErQm-
muugscurve 175 u. f.; Ifiugs einer
kürzesten Flächencnrve 403.

cnrve 480, 487; bei geodfitiachen
Curven 489 ; bei Hanpttaugenteu-
CUTVen 489.
Normalschnitte durch einen Flächen-

Eimkt 105, 109 u. f.; die dasselbe
loppelverhKltuis wie ihre Krüm'
nrnngemittel punkte haben, 114 u. f.;
eines Nabelpunkte« llO; mit Wende-
punkt 127.

0
Oberflächenspannnng 230.
Orthogonalsvstem auf der Fläche 83;
bei Abbildnug 95 u. f., 417; bei
sphärischer Abbildung 206 u. f.; TOn
Haupttangentencorven 184 ; von
Krümmangecurven 177.

Orthogonale Trfgectorien einer Cnrven-
achar auf der FlScbe 380; von oH
geodStischen Curven 433 a. f., 135
u. f., 439, 444; einer Geradenscbir
217 n. f., 225 n. £, 138.

Ortafiuicüon « Function des Ortes uf
der Flache.

Oaculierendes P&raboloid I4&, 203.

Pacaboliache Punkte 140 u. f.
Panboloid ab Ersatz der Fläche 14i;

als Schiebnngefi&che 189.
Parallelcurren auf der Fläche 434.
Parallelflfichen 205, 233, 236 n. f., 471

n. f.; von Flflchen von Mininwl-

gemden 241.
PÜallelogrunme von Pararoeterliniea

31, 35, 55, 232.
Parameter auf der Fläche 5 u. f.
Parameterlinien auf der FlOche 9, 10:

conjngiert 186; die ein Netz roa

llächeDgleichen Parallelogrammen

bilden, 35; orthogonal 34; dieHanpt-

tangenten curven sind, 184; dieKrain-

mungscurven sind, 182.
Partielle Differentialgleich ungeo erster

Ordnung für die Richtongscosinus

des begleitenden DreikantsSITo.f;

iwefter Ordnung fQr die Coordmaten

bei conjugierteu Parameterlinien 187;

zweiter Ordnung bei Flächen cou-

Btanter KrUmmuns 297.
Partielle Differeutiaiquotienten p, q, r,

s, * 1.
Perspective Abbildung der Engel 81 d. f.
Product, inneres 387; der Hauptkrfint-

mungen eines Fläch enpunktes IIS

n. f., 122 u.f., 159, siehe auch antn

KrOmmnnesmaass oder Erfinminiig.
Projective Abbildung der Ebene Bof

die Ebene 430, 432.
Punkte, in denen D* = E6 -F*-=^

ist, 28 a. f.

4
Quadrat des Bogenelemeotes = Bogen-

elemeat-Q aadrat.
Quadrate unendlich klein auf der

Fläche 55 u. f.

Regelflfichen = geradlinige Fliehen.

R^uläre Pnnkte 23.

Rhomben unendlich klein auf der

Fläche 55.
RiccATi'sche gewöhnliche Difibreotiil-
gleichong 183; totale DifferentUl-
gleichung 824, 880 u. f., 340.

.dr,yGoogIe

Bicbtnngscosinos dea begleitenden
Dreikants 810 n. f., differenziert 312
11. f.; bestimmt dnich eine Biccati'-
eche totaie Difierentialeleichuns S24,
382 n. f., S40; speciell gewählt S19
n. f., 334, 340.

Bichtmige cosinnH der HaaptkrQmmimgB-
Ungenten 166 a. f.; der Flächen-
noimalen 27; differenziert ISB n. f.

Bicfatougsk^el 224.

Riugaachen 23, 474.

B^hreDflSchen 181, 957 a. f., 388, ihi.

BotationBcyiinder 86, 8GS, 369, 409 u. f.

BotatiousMcheii 40, 5S u. f., 110, IIa,
120 u. f., 128, 180 u. f., 289, 291
n. f., 355, 411 a. f., 421, 423 n. f.,
445, 455, 4ei, 468; coufonn abge-
bildet 75; flächentren abgebildet 41
Q. f.; verbogen auf Botationefl&chen
294 n. f.; mit constantem Pioduct
derHauptkTUmmiingBTadien(Ton cou-
Btanter Krümmung) 122 a. f., 214 u. f.,
413 u. f.; mit entgegengeselEt glei-
chen HanptkrUmmnogBradien (Mini-
mol-BotationiäScben) 124, 126, 242;
mit orthogonalen Haopttangentea-
caiven(d8gl,)184; der Kettenlinie =
Catenoid; der logarithmischen Cnrve
276; der Tractrii 123 a. t.

SotatioiubTperboloid 225, 452.

meine siehe anter Oemeine Schrau-

benfläche.
Schraubenlinie, gemeine SO, 409.
Seekarte 89.

Singulare Punkte 23 n. f., 120.
Sinuslinie 149.
Sphfirische Abbildang 204 a. f., 449,

452; für die Corven, die sich als

Minimalgeraden darstellen, 2t5n.f.;

cnnfonn 208, 242 ; für Minimalflächen

242, 248 u. f, 281.
Sphfiriache Krümm ungBCnrven 180.
StereographUche Projectioa der Kugel

82 n- f, 256.
Stetige Verbiegnng 274, 283, 288 0. f.,

StrahlenBystem 470.

Stricttonecurve 224; auf abwickelbarer

Fläche 225; auf einer Fläche zweiter

Ordnung 226.
Summe derHauptkrUmmnngenllSn. f.,

122, 124, 160, 159, eiehe auch unter

Mittlere Krümmung.
Summen zeichen 15.
Symmetrische Summen ausDifferential-

quotienten der Coordiuateu 308 u. f.
System von conjugierteu Gurren siehe

unter Coujagierte Cnrven; von geo-

dStischen Parametern oder Coordi-

naten441u. f., 474; von geodätischen

Folarcoordinaten 445.

Schar von oo' Cnrven auf der Fläche
11 u. f.; von QD> Ebenen 83 n. f., 26,
151; von co> Geraden 168, 470; von
w' Geraden, die ein Normalen-
system bilden, 469 n. f.; von oo' Ge-
raden, die eine oder zwei Cnrven
treffen, 478 n. f.

Schattengrenze bei centraler Beleuch-
tung 168.

Scheitel eines Paraboloids als Ersatz
eines FlKchenpunktes 145.

ScHKHi'sche Minimalfläche 252 tt. f.

Schiebungeflächen 188 u. f., 197; von
Minimalcurven siehe nnträ Minimal-
fl&chen.

Schnitt der Fläche mit ihrer Tangenten-
ebene 140; mit einer Ebene, die der
Tangentenebene parallel und benach-
bart ist, 138 o. f., 142; benachbarter
Tangentenebenen 151 n. f.; benach-
barter Normalen 171 n. £; der einer
Normalen benachbarten Normalen
mit einer Ebene senkrecht zn jener
164 u. f.

Scbranbeoffäche 59, 289; auf Bota-
tionsflSche verbiegbar 293, 421; ge-

Tangenten der Fläche 20: der Para-
meterlinien 29; in singnlaren Funk-
ten 22; die in zweiter Ordnung be-
rühren, 127.

Tangentenebenen 20u.£, 151, 193 U. f.,
201 u. f.; benachbart 151 u. f.; bei
geradlinigen Flächen 221 u. f.

Tangentenffäche einer Curve 2, 10, 19;
einer Minimalcurve 23, 107.

Taugeutialeheue = Tangentenebene.

Tangentialkegel 198; von einem
Fläche benachbarten Punkte

Tangentiale Krümmung 480 u. ^ 484,
siebe auch unter Geodätische Krttm-

TetraedcT von vier benachbarten Flä-

chenpuukten 195 u. f.
Thermische Parameter 58, 66 u. £, Tl
n. f.; auf gemeinen Schraubenflächen
60; auf Minimalflächen 255; anf
Kugeln 59, 66 u. f.; auf Rotations-
flächen 58 u. l.

' Totale Difiereatialgleichnogen 326 n. f.;

1 BiccATi'sche 324, 330 n. f., 840 n. f.

^dnyCOOgle

Tonion einer FlSchencorre 187 n, f.;

einer Hanpttangentencnrve 489 a. t ;

coiutant 490.
TotalkrOramung 449 o. f.
Tractrii 123 u. f.
Truulaüouaäächea - Scbiebnagsfiä-

U

Umheilende von (»■ Eugeln 4SI.

Unendlich benachbirte Notmalen ISO
u. f.-, die eintutder schneiden, 171 o. f.

Unendlich benachbarte Tangenten-
ebenen l&l.

Unendlich ferne Cnrren 26, 45&;
Punkt« anf geradlinigen Flächen
228 a. f.

Unendlich kleine Änderung einer Gurre
im Eanme 396 u. f.; einer Corve auf
der Fläche 399 n. f.; einer Geraden
400 u. f.; einer Minimalcarve 401
n. f.i einer Fläche 231 n. f.; einer
Fläche in sich aelbst 289.

Unendlich kleiner Keeelachnitt als
Bild eines nnendlich Ueinen E>eiBee
98 D. f. 1 alB Schnitt der Fläche mit
einer kqt Tangcntenebene parallelen
benachbarten Ebene ~ Indicatrix.

Unendlich kleine farallelogramme auf
der Fläche 31, 35; Quadrate 55 u.f;
Rhomben &5t Vierecke 193 u. f.

Unendlich kleine Verbiegnng von
Flächen, die dabei in sich abebben,
289 n. f.

Unendlich kleine Winkel twischen
Normalen 161, 168 n. f.

Unveränderliche Functionen— Difi^ren-
tialinvarianten.

Unveränderlichkeit des KrQmmunsa-
maasses bei Verbiegung 275; der
geodätischen Krflmmnng bei Ver-
biegung 486.

n Flächen 273 u
n. f., 415 n. f., 419, 485 n.

Centra^ächen 468; von Wichen tof
rieh selbst 289; von Flächen con-
stanter Krtkmmnng 301 n. f.; tos
gemeinen Schranbenfiächen aaf Ca-
tenoide 284 n. f., 294; yon Mininul-
fläcben auf HinimalUchen 279 n.f.,
283 n. f.; von Flächen auf Rati-
tionsflächen 293, 468; von Eata-
tJonaflächen aaf Rotationsflächen
294 a. f.; von Schranbenfläcliea tof
Rotationsflächen 293 ; stetig 274, 283,
288 u. f., 261.

Verbiegang von Polyedern 288, 51B.

Veriorrung der Curvenlängen bei Ab-
bildung 87, 99; von unendlich klei-
nen Winkeln bei Abbüdnng 100,

Vorieichen der Krümmung einer Flä-
chencurve 104, 477; der Krümmang
eines Normalschnittes 104, 127.

W-Flfichen oder Weis oaktbn' sehe Fli-
ehen 355 a. f., 467 n. f.

Winkel von Fortscbrütnngsrichtangui
anf dar Fläche 82, 68.

Winkel einer geodätischen Corve mit
00' geodätischen Curven 442 u. f.;
anf EotaCioneäächen 412 n. t

Winkel der Haopttangentencturea i35.

Winkel der Farameterliniea SO n. f.;
bei geodätischen Folarcoordiniten

447

I. f.

Winkel nnendlich beoachbactei Kor

malen 161, 168 n. f.
Winkelsumme in geodätischen Dnt'

ecken 4G1 u. f.
Winkeltrene Abbildung = Confomie

Abbildung.
Winkeltreue geographische Karten B3

n. f.

Z
Zweite DifferentialqnotieuIeD der Co-

ordinaten 262 u. t.
Zwiachenparameter oder GemiKOter

Differentialparameter 88T a. f-

Pdr,yGOOgIe

Berichtignngen nnd Zusätze.

Zum I. B&ad.

Seite 17, Zeile 8 von oben lies: t itaU: t.

„ 2L, Zeile 2 von unten füge liioza: (l, :^0>

„ es, letzte Zeile lies: i statt: r.

„ 96, Sata 8S. Diesen Sats findet mtu ecbon bei CbsXbo, „Lesioni Ai
geometria intrinseca", Neapel 1B9Ö. Vgl. die Anmerkung zu
S. 353 des vorliegenden Bandes. In der in I B. 9G, Anmerkung,
genannten Arbeit werden dagegen weitere Sätze BU%eatellt, die
tiefer liegen.

„ 109, Formel (7) vertauache <p mit yp.

„ 161, Zeile 7 von unten schalte nach: xy-£bene ein: und die xc-£bene.

„ 168, Formeln (4) lies in der letzten Qnadrfttwursel + eUtt: =.

., 194, Satz IT, und Seite 197, Satz 19. Diese SKtse rUbren ber von Scaau,.
Siebe seine „Allgemeine Theorie der Carven doppelter
ErflmmuQg in rein geometrischer Darstellung", Leipzig
1859, 2. Aufl. 1893.

„ 197, § 11. Die in diesem Paragraphen unteronchte unendlich kleine
Schraubung wurde znerat von Bbltrahi, „Intorno ad una pro-
prieti delle carvo adoppia curvatara", Qiomale di Matern.
Tol. y (1867), betrachtet In seiner Abhandlung: „Del moto
geometrico di nn solide che rnztola aopra un altro
solido", ebenda toI. X (1872), kommt das auf S. 198 bestimmte
Cj'lindroid vor.

„ 207, Zeile 14 von oben lies: OrSssen statt: QrSsse.

„ 216, Formeln (5). Man beachte hierzu die Anmerkung auf S. 334 de«
gegenwärtigen Bandes.

„ 261, in der dritten Formel (2) lies; j - statt: g +.

„ SSO, Zeile 15 u. 12 von nnt«n lies: yä statt: 3.

„ 3S1, Zeile II von unten lies: 2 statt: 1.

„ 957, letzte Zeile links lies: Ellipse.

Zum n. Band.

Seite 56, Zeile S von oben setze einen Punkt statt des Doppelpnnktes.
„ 159, Formel (4) lies: M' statt: L\

„ 171, Sau 52 rilhrt von Hahilton her, Vgl. die Anmerkung zu S. 472.
„ 178, Zeile 7 von oben lies: H&n thnt statt: Es isL

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518 Bmcktigungen und Zmätxe.

Seite 181, Zeile 21 von oben lies: eine Curve statt; die Cnrre.
„ 205, Zeile 10 von nnten liea: eolche statt: di^enigen.
„ 845, achalte in Satt 112 nach: ändern, ein: mit einem ihrer Punkte.
„ 267, Zeile 11 von oben liea: Function.
„ 288. Zu dem hier erwähnten Modelle iat aJlerdinga an bemerken, dasa es

nur bei einer beachrfinkten Änaahl von Vierecken beweglich iit.

Zwu beliebig lange an einander atoaaende Strmfen von Vierecken

sind ebenfalls beweglich.
„ SSI, Zeile S von unten fehlt tin Komma nach: Krttmmong.
„ 404, Fi)?. 76 Uea: P, und P, Statt: P und P;
„ 453. Zd den SchluBsbemerknngeu de« § 4 iat die Abhandlung von Bnt-

TMUB au nennen: „Saggio d'interpretaiione della geo-

metria noneuclidea", Giomale dl Hat vol. VI (1808).
„ 4Tfl, Fig. 91. Hier ist q> falsch eingeschrieben; 7 ist der Winkel der

Normale znr Ebene mit der Knormale, vgl. Fig. 80.

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