Application de l'algèbre à la géometrie

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GODFREYLO^^JAjûX SCIENCE LIBRARY

APPLICATION

DE

L'ÂLGËBBE A LÀ GÉOMÉTRIE.

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dessous, les griffes de l'Auteur et de l'Éditeur, sera réputé contrefait. Les
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les fabricants et les débitants de ces exemplaires .

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PARIS — IMPRIMERIE DE MALLET-BACHELIER ,
Rve du Jardinet , la.

° APPLICATION

DE

L'ALGÈBRE A LA GÉOMÉTRIE,

COMPREXAMT

LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

A DEUX n A TROIS DIlINSlMSi

Par M.^URDON,

ComaModearde la Légion d*boiinear, GoaMlU«r hooorttre de lUnlTonlté .tnclen Euntoaleur
d*admfMlon fc l'École Polytecholqne , et Membre de pluieort Soclélée Mranles.

OUVRAGE ADOPTÉ PAR L11NIYKRSITÉ

Kédigèe coafomiéiiiaitt aux imniv«mix Programinef de 1*<

daaft les l«yoéei.

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'^•*-

PARIS,

HAUET-BAGHEUER, 6BNDRE ET SDGGESSEliR DE BACHELIER,

Imprimeur-Libraire
DU BUREAU DES LONGITUDES , DE l'ÉGOLE POLYTECHNIQUE,

Quai des Augustins, 55.

1854.

( L'Editeur de cet ouvrage se réserve le droit de traduction.)

MouHî^SO^.Sl^iT.

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3

61

AVERTISSEMENT.

Cette nouvelle édition diffère assez notablement de
la précédente y pour que des explications soient néces-
saires sur les changements qu'elle a subis.

Mais TAutenr manque aujourd'hui pour exposer
l'ordre d'idées dans lequel il s'est placé en procé»
dant à un travail de révision qui a eu particulièrement
pour but de mettre cet ouvrage en rapport avec les
Programmes actuels d'enseignement.

Obligé de le suppléer, nous devons nous borner à
une indication sommaire de ces changements.

Les deux Trigohohétbies, bien que toujours con-
sidérées comme faisant partie de I'Appligation de
l' Algèbre a la Géométrie, ont été supprimées pour
faire l'objet d'une publication distincte.

Au moyen de cette suppression, l'Auteur a pu, tout
en diminuant l'étendue de l'ouvrage^ et en ne laissant
subsister le petit texte que pour les applications nu-
mériques et quelques questions secondaires, com-
pléter des théories importantes, en étendre les appli*
cations générales, accorder plus de développement
à la méthode de discussion des équations par la
séparation des variables, et donner place à la con-
struction de quelques courbes remarquables, telles
que \efolium de Descabtes, la cissoide de Dioclès et
la conchoïde de Nicomède.

Une modification essentielle a été apportée dans
l'exposé des principales propriétés des trois courbes
du second degré.

VI AVBRTISSEMEST.

Un chapitre spécial est consacré à chacune de ces
courbes, de manière toutefois à laisser ressortir l'ana-
logie qui existe entre les énoncés et les démonstra-
tions de ces propriétés. Des questions se rapportant
à ces courbes considérées ensemble^ sont traitées dans
un chapitre complémentaire.

Enfin un chapitre, qui termine la Géométrie ait a-
LTTiQUB À BEUx DiHENSioHs, Comprend, sous le titre
général de Complément et Applications de la ihéo*
rie des courbes du second degré, les questions re-
latives à la détermination de ces courbes d'après cer-
taines données, la construction des racines des équa-
tions du deuxième, troisième et quatrième d^;ré à une
seule inconnue, la détermination, par des intersections
de courbes, du nombre des racines réelles dans les
Iftquations numériques à une inconnue, quelques pro-
blèmes sur les lieux géométriques, la similitude des
courbes du second degré, et leur identité avec les
sections coniques et cylindriques.

Quant à la Géométrie analytique a trois dimen-
sions, qui compose la seconde section de l'ouvrage,
elle n'a subi aucun changement notable.

On peut, d'après cette analyse sommaire, apprécier
l'importance de ce travail accompli au terme d'une
carrière vouée tout entière à l'Enseignement.

Appelé à en assurer la publication, puissions-nous
avoir rempli convenablement une tache que nous
n'aurions pas entreprise si nous n'avions été soutenu
par un sentiment supérieur à celui de notre faiblesse!

Henri BOURDON,

aDcien élève de l'École Polytechnique.

t«t

. '■ ^r . , ■ I I r I 1. I ' ■

TABLE DES MATIÈRES,

APPUCATION DE ^ALGÈBRE À U GÉOMÉimE.

INTRODUCTION.

PBSaiiU H£TBODE DE TRAITER DES QUESTIONS DE GlOIfÉTEIfi PAE Li SIOMU

DE l'algèbre.

S I. — Notions préliminaires.

I . . . 9. Objet de rapplicaUoa de TAlifébre à la Géométrie i . . . 3

%». . 8. DéYeloppament tvr quelques exemples q. . . g

$ II. — Construction des expressions algébriques.

9 ... 1 4. Expressions élémentaires. Antres expressions rationnelles

ou irrationnelles du seoond degré 9. . . i5

iS. . . 16. Principe de Vhomogénéité. 16. . . 19

17. Scolie général 19... ao

$ III. — Résolution de diverses questions relaskwfà ia ligne droite et 4u cerclé,

18. . .17. Résolation de deux problèmes ao. . .a5

33... 37. interprétation des résultats négatifs déyeloppée sur un

troisième problème a6. . ,33

a8...3a. Résolution et discussion complète d'un quatrième pro-
blème 33... 4i

33... 37. Exprimer la surface d'un triangle en fonction de ses

trois côtés. — Même question pour le trapèso ^l...^S

38 ... 4 1 . Déterminer la relation qui existe entre les trojp côtés d'un
triangle et le rayon du cercle circonscrit. — Problèmes

qui s'en déduisent 4^. . .Sa

4a. Scolie général 5a

Énoncés de questions à résoudre 5a . . .53

VUI TABLE DES MATIERES.

GÉOMÉTRIE AMALYTiaUE.
PREMIÈRE SECTION.

GéeifiT&IB ABALTTIQVB A DEUX DIMBBSIOHS.

CHAPITRE PREMIER.*

OC POINT ST DE LA UGNB DROITS. — DU CERCLE. — DES LIEUX CfiOMÉTRIQUES. —
RASOMITIOS de DITERSEfl Ql'ESTIORS , ET PEOBLÈVE DES TAMGENTBS.
H^. " Pages.

43. DéfiDition de la Géométrie analytUjtie 54

$ I. — Dm point et de la ligne droite,

44- Manière de fixer la positioQ d^nn point sur un plan. 55. . . 56

45. . . 47* Équations du point 56. . . 58

48. . . 49- Expression de la distance entre deux points donnés. 58. . . Sg

5o. . . 55. Équation de la ligne droite ; sa discussion 60. . . 67

56. . 69. Questions préliminaires sur la ligne droite 67 ... 80

^ II. — Dm cercle.

70. . . 74. Équation du cercle. Des diflférentes formes que cette

équation peut avoir 80 . . . 83

S III. — Des lieux géométriques,

75 .. 78. Considérations générales sur les lieux géométriques. 83... 87
79 . . . 87 . Propositions sur la forme caractéristique de Téqna-

tion d'une ligne droite et de l'équation d'u n cercle. 87 . . . 98
88. . . 90. Usage des lieux géométriques dans la résolution des

problèmes déterminés on indéterminés 98. . . 101

$ IV. ^ Application des théories précédentes à la résolution de diverses
questions et au problème des tangentes,

91 . . . 94. Questions sur la ligne droite : propositions relatives

aux triangle^ 10a. .. 107

95. . . 97. Questions sur le cercle : conditions pour que deux
circonférences se touchent, se coupent, etc.; faire
passer une circonférence par trois points donnés. 107 . . . 1 14
98. . . 100. Problème des tangentes. — Définition générale de la
tangente à une courbe. — Moyen analytique de
fixer sa position en un point donné d'une courbe

quelconque. 1 14 . . . 1 17

101. Équation de la tangente au cercle 117.. .130

103. Détermioation du coefficient d'inclinaison de la tan-
gente à une courbe par la méthode des dérivées. . 1 30 . . . lai
io3. Autre forme de l'équation de la tangente au cercle, isi

io4 • • • io5. Sous-tangente; normale et sous-normale 131 . . . rj3

' 106. . . 108. Tangente au-eercle menée par un point pris hors de
la circonférence. ~ Construction par les lieux géo-

TABLE DES MATIÈEE». IX

métriques. — Propriété déduite de cette con-
struction 123... 137

109. Problème sur les lieux géométriques 138. . . i3o

1 10. Remarque sur les problèmes indéterminés i3o. . . i3i

CHAPITRE II.

TRAlttrOKMATlON DBS COOaDOJlICÉCS. — NOTIONS SCft LSS COCRBSS DU 8BC0XD DBCKÉ.
— RÊDCCriO!! DB L'ÉQCAT102I GÉ2|£RALE DU 8EC0XD DEGRÉ.

S 1. — Trum^ormmtton des coordonnées,

111. Objet de la transformation des coordonnées i3i. . i33

113. . . laS. Formules pour la transformation des coordonnées,

et usage de ces formules i33 . . . 1 40

S II. — NotUms jrréiimituiires sur les eourhes du second degré.

134. •> 135. Définition de rBLLiPsa.— >F<treri. —> Construction de

la courbe par points et d*un mouTement continu. 141 . . . i43

196. . . i3o. Équation de l'ellipse. — Centre, axes, sommets de la

courbe i43. . .147

i3i . . . i33. Diicnssion de Téquation Mr' + N x* = P. — Moyen

de la ramener à la forme A' j*-i- B' «* = A* B* . . . 147 • • . 1 5o
i34* Définition de rBTPBaaoLB. — Foyers, — Construction

de la courbe par points i5o. . . 1 5i

i35. . .i38. Équation de rbyperbole. -* Centre ^ axes transverse
et non transperse, sommets de la courbe. — Hyper-
bole équilatére. — Lignes de séparation entra
les droites passant par le centra, qui rancontrent
la courbe et celles qui ne la rancontrant pas. «... i5i . . . 1 55

139. . .140. Discussion de l'équation M/*— Nx'=qpP. — Moyen

de la ramener à la forme A*x*^ B* jt' = if: A* B* . . 1 56 ... 1 57
14 !• Définition de la pâbabolb. — Foyer; directrice, —

Construction de la courbe par points 167 ... 1 59

143. . . 143. Équation de la parabole. ^ Paramètre 159. .. 160

144 • - • 1 4^* Liaison des trois courbes ; rapprochement entra l'el-
lipse et la parabole; rapprochement entra l'hy-
perbole et la parabole ; équation propra à rapré-
senter les troto courbes 160.. i63

1 47 • • • i53. Autra maniera d'établir la liaison des trois courbes ;
ce qu'on appelle directrice pour les trois courbes.

— Raison des dénominations attribuées k ces

courbes i63. . .168

$ III. ^ Réduction, par la trantformation des coordonnées, de Péquation
générale du second degré à deux variables,

i53...i56. On peut toujours faire disparaîtra le terme en ry,

— Cas où réquation peut ètro ramenée à la forme

Mr*H- N X* r= P. — Calcul des quantités M et N. 168. . .174
i57...i58. Cas où IVqnatlon peut ëtra ramenée à la forme
Mj*-t- Sx = o on N X* -+. R j = o. — Cas parti-
culier du système de deux droites parnllèlco 17 '| ... 1 76

X TABLE BES MATIÈUEft.

R". PafM.

lâg. . .161. GaractèMs analytique dea trois gmres daeoaibes.

— > Variétés de ces oourbaa 176. . . 179

16a .. . i65 Mode de réducUon de réqnation générale pour leoae

de B* — 4 A.C < ou > o 179. . .i83

166. InterprétatioD du double signe dj^ yaleurs de M et

de I^i dans Téquation réduite i83

167. Mode de réduction de l'équation générale pour le

cas de B* — 4 AG = o i83 . . . 184

168. . .169. Applications numériques de la méthode de réduo-
tion de Téquation générale par la tranaformation

des coordonnées 184 . • • 191

170. Remarque sur la discussion précédente, d'où l'on
déduit que le caractère géométrique des courbes
représeotées par les équations Mr' :t Nx* = d: P ,
y^T=±:Qx, est indépendant de rinelinaison des
aies 191... 194

CHAPITRE m.

DE l'ellipse.

Propùsittont prélwùÉM^s,

1 7 1 ... 1 73. Caractères analytiques des points pris mr la courbe,

ait dedans et au dehors de la courbe 196 .. . 196

173. Relation entre les carrés des ordonnées des pointa

de la courbe 196

174... 175. Rapport entre l'ordonnée de Tellipse et celle du
cercle décrit sur son grand axe. — Deux moyens
de construire la courbe, fondés sur cette pro-
priété 196. . .198

176. Quadrature de Vellîpse 198- ■ -^«^

g 1. — Diamètres dans PeWpse, — Diamètres conjugués, — Cordes
supplémentaires; leurs relations avec les diamètres conjugués,

177. Définition générale d'un diamètre, — Dans rellipae,

tous les diamètres sont des lignes droites passant

par le centre 300. . îoa

178. .. 180 Diamètres conjugués, — L'ellipse a une infinité de
systèmes de diamètres conjugués, dont un seul
rectangulaire, celui des axes principaux. — Pro-
priétés des diamètres conjugués aoa . . . 3o4

181 . . , i85 Cordes supplémentaires; leurs propriétés et leurs re-
lations avec les diamètres conjugués. — Limites
de Tangle do deux diamètres conjugués et de deux
cordes supplémentaires .' ^04. • -^OQ

$ \\, — De la tangente à VeUipse et de ses propriétés par rapport aux

diamètres et aux rajrons vecteurs.

186. . . 192. Tangente menée par un point de la courbe.— Soua*
tangente. — Normale et sous-normale. — Discus-
sion du coefficient angulaire de la tangente 309. . .ïi 5

TABLB des MATIERES. Xt

193. . . 194. Tangente menée par un point extérieor à la eewlia.
— ConatmcUon par les lieux géométriqnés. ~
Propriété déduite de eette coottnieiîoo. si4- > -317

195. Tangente menée parallèlement à nne droite donnée. 917 ... 318

196. De le tangente considérée par rapport aux diaraètree

conjugués. — Procédé pour mener une tangente,
le par un point donné sur la courbe; 2^ parallè-
lement à une droite donnée 3t8...2I9

197- •• 199* De la tangente par rapport aux raTons reetenr» pas-
sant par le point de contact. -^ Moyen de mener
une tangente par un point donné, 1° tmr la

courbe; 9^ h»rs de la courbe 919. . .394

300. Remarque sur les dénominations de yoyers et de

rqyoos weclemrs 33/1 . . . 335

301 . . .3o3. Conséquences des propriétés de la tangente consi-
dérée par rapport aux rayons Teeteurs 335 . . 337

$111. — Propriétés de l'ellipse rapportée à des diamètres conjugués.

304. . .307. Passer de réquation do l'elUpse rapportée à ses axes
principaux , à l'équation de la même courbe rap-
portée à des diamètres conjugués; et réciproques
ment, — Relations entre les axes et les diamètres
conjugués. — Propriétés du parallélogramme eon-
stnit sur un système de diamètres conjugués . . . 397 . . .933
so8. Système de dlamètiee conjugués égaux. — Équation

de la coarbe rapportée à ce système 333 . . .334

109. . .310. Les'propriétés démontrée» indépendamment de IHn-
clinaison des axes, sont Traies pour un système
quelconque de diamètres conjugués* •— Relations '
entre les carrés des ordonnées des points do la
courbe; construire^la courbe connaissant un sys-
tème de diamètres'conjugués en grandeur et en
direction 334... 332^

31 1 . . .3i3. De la tangente k l'ellipse rapportée à un système de
diamètres conjogués; tangente menée par un
point pris sur la courbe; tangente menée par un
point extérieur. — Propriété déduite de la con-
struction de <rette tangente, et réciproque de cette

propriété 335 . . .338(

314. Une ellipse étant tracée sur un plan, i^ déterminer
son centre et ses axes principaux; oP trouver un
système de diamètres conjugués faisant entre eux
un angle donné 339

CHAPITRE IV.

DE l'hyperbole.

Propositions préliminaires.

3 1 5 ... 3 1 7 . Analogie entre riLursa et rsYpaasoLE . — Caractères
analytiques des points pris sur la courbe, eu de^
dans et au dehors de la courbe 'j4o. . . 34 1

XII TABLE DBS MATIERES.

31 8. RaUtion entre les carrés des ordonnées des points

de la oonrtie a^ï,..^^!

ai 9. Rapport entre l'ordonnée d'une hyperbole quelcon-
que et celle de l'hyperbole équilatère ^4^

$ 1. — Diamètrci dans V^yperhoU:. ^ Diamètres eonj agités. — Cordes smppîé'
mentaires; leurs relations avec les ^mètres conjugués.

330. Dans Thyperbole, tous les diamètres sont des lignes

droites passant par le centre 34^.. .34^

33 1 . . . 3a3. Diamètres conjugués» — • L'hyperbole a une infinité de
systèmes de diamètres conjugués dont un seul est
rectangulaire, celui des axes principaux. — Pro-
priétés des diamètres conjugués. — Diamètres con-
jugués transverses et non transverses; construction
des lignes de séparation entre les diamètres trana^

verses et les diamètres non transverses a43 . . . 345

334 • . .335. Cordes supplémentaires; leurs propriétés et leurs re-
lations avec les diamètres coigugués 345. . . 34?

S II. — De la tangente à l'hyperbole et de ses propriétés par rapport aux dia-
mètres et aux rayons vecteurs,

336 . . . 33o. Tangente menée par un point de la courbe. -— Sous-
tangente. — Normale etsous- normale. ^ Discus-
sion du coefScient angulaire de la tangente 347 • • -sSo

33 1. Tangente menée par un point extérieur.— Propriété

déduite de sa construction. — Tangente parallèle

à une droite donnée • 35o

333. De la tangente considérée par rapport aux diamètres
conjugués. — Procédé pour mener une tangente
i^ par un point donné sur la courbe; a^ parallè-
lement à une droite donnée «• 35i

333 . . . 335. De la tangente par rapport aux rayons vecteurs pas-
sant par le point de contact. — Moyen de mener
une tangente par un point donné, i^ sur la
courbe; 3^ hors de la courbe 35 1 . . .356

336. Remarque sur les dénominations de Jcyers et de

rayons vecteurs 356

^37. Conséquences des propriétés de la tangente consi-
dérée par rapport aux rayons vecteurs 356

$ 111. — Propriétés de l'hyperbole rapportée à des diamètres conjugués.

338. . .340. Passer de l'équation de l'hyperbole rapportée à ses
axes principaux , à l'équation de la même courbe
rapportée à des diamètres conjugués; et récipro-
j quament, — Relations entre les axes et les diamè-

tres conjugués. — Proprit tés du parallélogramme
I construit sur un système de diamètres conjugués. 356. .a5g

341. Dans une hyperbole qui n'est pas équilatère, il ne
peut exister aucun système de diamètres conju-
gués égaux 359

'i\i. Diverses propriétés de la courbe, indépendantes de

TABLE DES MATIERES. TIU

rindioaison des axes. — TangeDte à la conrbe
rapportée à des diamètres eonjugnés 369. . . 960

$ rv. — Des a^jmplotei de ^hyperbole.

343. Définition générale d'une droite asymptote à une

courbe a6o

1)4 • • •14^. Détermination des asymptotes de l'hyperbole a6o. . . 363

3^6. . .35i. Propriétés de Thyperbole par rapport à ses asymp-
totes 363. . .368

s53. . .354. Équation delliyperbole rapportée à ses asymptotes.
— Déduire de cette équation les propriétés déjà

démontrées... 368. . .370

355. . .356. Équations d'une sécante et de la tangente à la courbe
rapportée à ses asymptotes. — Conséquences dé-
duites de ces équations 370 . . . 373

367. Construction de l'hyperbole , lorsque l'on connaît

les asymptotes et un seul point de la courbe. . . . 373 . . . 378

CHAPITRE V.

ra LA PAIABOLI.

256. Ohservûtion prélimiiuiire sur l'étude des propriétés de
la parabole comparée à l'étude des propriétés de
l'ellipse et de l'hyperbole 374

{I. — Propriéiét àe la parabole rapportée à ses axes priacipaux,

35g. Caractères analytiques des points pris «irla courbe ,

am dedans et au dehors de la courbe 374 . . . 375

260. Rapport des carrée des ordonnées, appelé le para»

mètre de la courbe » 375. . .376

361 La parabole n'a pas d'asymptotes 376. . . 377

262. Construction delà courbe, déduite du rapport des

carrés des ordonnées 377

a63. Mesure d'un segment parabolique 277 . . . 379

S II. ~ De la tangente à la parabole et de ses propriétés par rapport au rayon

vecteur.

364... 366. Tangente et sous-tangente. — Normale et sous-nor-
male. — Discussion du coefficient angulaire de la
tangente 279. . .383

^7. . .368. De la tangente par rapport au rayon Tecteur passant
par le point de contact. ^ Moyen de mener une
tangente par un point donné, i^ sur la courbe;
3<^ hors de la courbe 383 . . . 384

369. . . 370. Conséquences de la propriété dé la tangente par rap*

port au rayon recteur 384 . • . 385

$111. — Diamètres de la parabole. — Axes conjugués,

271 . Dans la parabole, tons les diamètres sont des lignes

droites parallèles à l'axe principal 385

^73 . .273. Axes conjugués. -^ Équation de la courbe rapportée
il un système d'axes conjugués. — La parabole a
une infinité de systèmes d'axes conjugués. — Éya-

XIV TâBLB VBS MÀTIÈRfiS.

fP*. Pifes.

luftfioii géométrique du paramètre âe la parabole

rapportée k un de ces systèmeft 385. . .289

374. Rapport des|carréB dea ordonnéee; conatniire la
courbe, connaissant Tangle de deux axes co^jugaés

et le paramètre correspondant 389

276 . . . 376. De la tangente à la parabole rapportée à un système
d'axes conjugués; tangente menée par un point
pris sur la courbe; tangente menée par un point
extérieur. — Propriété déduite de la construction
de cette tangente , et réciproque de cette propriété. 390 . . . t»9?

CHAPITRE VI.

DES COORDONNÉIta POLAIRES.

377. Définitions. — Pôle. — Rayon yeoteur 393

278. . .379. Formules pour la transformation des ocordonnées
. rectilignes en cordonnées polaires , et réciproque-

ment 39^ . . .396

380. . .381. Exemples d'équations polairos, et conséquences qui
s'en déduisent : équations polaires du cercle et de
rhyperbole, le pèle étant placé au centre. ...... 396. . .39S

383. . .386. Équations polaires de Tellipse, de Vhyperbole et de
la parabole , un foyer étant pris pour pôle. — Dis-
cussîon de ces équations. 398. . .3o5

387. É^ation polaire commune aux trois courbes. — Ce

qu'on appelle excentricité 3o5. . .3o6

CHAPITRE VII.

QUBSTIOSS SE RAPPORT AXT AUX COCRBES DU 8EG0M» DSOEÉ.

388. étant donnée y dans le cas d'axes rectangulaires , Té-

quatlon commune aux trois courbes du second
degré, rechercber dans le plan de chaque courbe
les points tels que leur distance à un point quel-
conque de la courbe soit une fonction rationnelle
de l'abscisse de ce dernier point 307. . .3i i

389. Déterminer la nature et la position des diamètres

dans les trois courbes du second degré 3i i . . . 3i3

390. . .391 . Une droite étant menée à volonté dans le plan d'une
courbe du second degré , si , de chacun de sea
points, on mène deux tangentes à la courbe, et
qu'on joigne les deux points de contact correspon
dants , toutes ces lignes concourent en un même
point. — Fixer la position de ce point de con-

oonra. 3i3.. .3iS

393. Une portion de courbe du second degré étant tra-
cée sur un plan, — i^ déterminer sa nature; —
Qf^ achever cette courbe et en déterminer les axes

ainsi que les cléments, principaux 3i5. . .3iâ

f 393. Connaissant les longueurs de deux diamètres conju-

gués d'une ellipse ou d'une hyperbole, et l'angle

qu'ils font «ntre eu» trouver les loogueare des

axes principaui 3i8. . .330

394. héeiyro^memtmt , étant donnés les axes principaux

d'une ellipse on d'une hyperbole , trourer deux
diamètres conjugués faisant entre eux un angle ,
donné Sao. . .33s

395. Remarque sur les deux dernières questions 333. . .

CHAPITRE VIII.

MKetMOM BK L'AQCAVH» StSIÉBAU MJ tlOOIID VEXMk FAM LA SÉPARATION DIS
TABIABLBS. — ArrUCATION Dl €Êm ■ÉTBODB DB PMCUSSIO!! A DBS ÉQVATIORS
M DXfiaÉ SCPÉaiEUR, ET DISCUSSION DB QCELQCBS £QDAT10HB POLAIIIW.

§ 1. — Dittusdon de l'équation générale du second degré par la téparathm

des variables.

296. . .3oi . Dirision des courbes du second degré en trois genres.

— Variétés de chacun des genres 333. . .334

3o3...3o4< Construction d'un système d'axes ou de diamètres
conjugués , déduite de la séparation des Tariables

dans l'équation générale du second degré 334 < * '^^7

3o5. Remarque sur l'application de cette méthode à la

détermination des axes principaux 337

306...307. Construction des asymptotes dans l'hyperbole, dé-
duite de la séparation des Yariables dans l'équa-
tion générale du second degré. ~ Cas où l'équa-
tion est privée soit de Tun des carrés des Taria-
bles, soit de tous deux 337. . .343

308. Remarque sur la construction des courbes en gé»

néral 343. . .344

309. Récapitulation de la discussion de l'équation géné-

rale du eeoond degré par la séparation des Ta-
riables 344 .. .346

3io...3ii. Constnietion de paraboles données en équations

numériques 346. . .349

3 13. Remarque sur la détermination des points limites

dans la construction des courbes en généra] 349. . .35o

3i3. Construction d'ellipses données en équations numé-
riques 35o. . . 354

3 14. Construction d'hyperboles données en équations nu-

mériques 354 • . . 358

3i5. Mode de détermination des asymptotes dans les
courbes en général, fondé seulement sur la défi-
nition de ces sortes de lignes 358 . . . 36i

$ H. -^ Application de la méthode do- discussion par la séparation des varia~
hles à des équations de degré supérieur ; et discussion 4e quelques équations
polaires.

3 16. Observations générales sur la construction des

courbes 363 . . . 363

XVI TÀBLB DES MATINEES.

317. CoDfttructioB de courbes de degré supérieur. — Fo-

lium de DbbcaUtes 363. . .373

3i8- ConstractiOD de lignes données en équations po-
laires 37a... 378

CHAPITRE IX.

COM^LÉHBNT ST APPLICATIOXS DE LA THÉORIE GÉNÉRALE DES COCEBBS DU BBCORD

DEGRÉ.

$ I. — Nombre et nature des conditions servant à la détermination des eomrhes
du second degré, — Solutions géométriques pour la construction de ces courbes
d'après des conditions données. — Propriété commune aux trois courbes.

3i9...3i3. Nombre de conditions nécessaires pour déterminer
une courbe du second degré. — Cas où Ton donne
le centre ou un système d'axes ou de diamètres
conjugués ; moyen assex simple de construire la
courbe dans ces derniers cas 379. . .38^

334. • .3^. Cas où Ton donne un^jer.— Propriété remarquable
du foyer et de la directrice. — Construire une
ellipse ou une hyperbole , connaissant un fojrcr et
trois points, ou une parabole, connaissant unfojer
et deuxpoinu 384- . .386

337. La connaissance d'un sommet de la courbe équivaut

à deux conditions 386. . .387

338. Solutions géométriques pour la détermination d'une

courbe du second degré , d'après des conditions
données : plusieurs questions résolues; énoncés
de questions à résoudre 387 . . «S^o

339. Propriété des transversales ^ commune aux tirois

courbes du second degré 390. . .396

$ II. — Construction des racines des équations du deuxième, troisième et f vtf-
triéme degré à une seule inconuMte; trisection de V angle et dupUcatiom du cube*
— Détermination , par des intersections de courbes , du nombre des racines
réelles dans les étfuations numériques à une inconnue» — Problèmes sur les
lieux géométriques, se rapportant aux courbes du second degré. — De quel'
ques courbes remarquables: cissoide de DiocLÉs, concholde de Nicohêob.

33o. Construction des racines de l'équation du second

degré 399 . . .SgS

33i . . .339. Construction des racines des équations du troisième
et du quatrième degré. — Application à la irifee-
ifOR 42e l'angle et à la duplication du cube 396 . . .4o5

340. . .343. Détermination, par des intersections de oourbes, du
nombre des racines réelles dans les équations nu-
mériques à une inconnue iio5. . .4>'

344- • •349* Problèmes sur les lieux géométriques , se rapportant

aux courbes du second degré 4 < > • • • 4^^

3So...35i. De quelques courba remarquables : cissoide de

DiocLÉs ; conchoîde de Nicomédb 4^^ . . .438

TiMx Biss xiTilnâss. xtn

«.

S m. — l»fi comUi im second degré semhlahtes. <- Identité dei cùmrhei im
teeùnd degré avec Us teetiont planes iTm cône droit ou d'un eôme ohli^^ à
hmse citenUire, — Des sections coni^mes semblables. ^De U section plmm
dams m eyUndre droit ou oblique à base circulaire.

353. Ce qu'on entend pardas ellipMe et des h^qperiM)!^
semblables. — Denx ellipses ou deux hyperboles
semblables.Joui8senft de toutes les propriétés des
figures semblables de la géométrie 4i8. . .431

353. DertK paraboles qoeloonquaseont-toujouit daa fi-

gures semblables <3a...433

354. Bemar<|ue sur les paramétres dans les courbes an

«*n^> : 433. ..434

355. LHntersection d*an eône droit on oblique» à base cir-

culaire^ par un plan, donne lieu aux trois courbée

du second dcigré. ou k une de leurs Tariétés 434. . .438

356. . .357. Une courbe du second degré étant donnée, on peut
toujours la reproduire au moyen de Tinterseetion
d'un plan et d'un c6ne droit 438. . .4^3

358. De la section anti-parallèle ou sous-contraire dans

le cône obtiqueà base circulaire 443. . .445

359. Manière d'obtenir Téquation la plus générale d'une

section plane dans le cône oblique à base circu-
laire 445

360. Ce qu'on entend par sections coniques semblables. . 446
36i . . .363. De la section plane dans un cylindre droit ou obli-
que à base circulaire 44^ • • «450

SEœNDE SECTION.

GéOMÉTEIE IVALYTIQCE À TROIS DIMBKSIONS.

Sm^mmm^m^mm

CHAPITRE X.

au poiirr, ai la Lions aaoïTB ir au flan «ans L'xsrAcs.
S I. — 2>H poini et de la ligne droite.

364. -.368. Moyen de fixer analytiquement la position d'un
point dans l'espace; ce qu'on entend par équa-
tions d'un point. Leur discussion 45i . . . 455

369. Expression de fa distance entre deux |K>ints , dans le

cas d'axes rectangulaires 455 . . . 456

^"jO. . .373. Moyen de déterminer la position d'une droite dans
l'espace; ce qu'on entend par les équations d'une
droite 456. . .45y

374' .3^5. TrouTor les équations d'une droite assujettie à rem-
plir certaines conditions 4^9 • ■ • 4^

Àp. de VAU k le G. b

XTIII TÀBLB DBS MATIE&Eft.

H**. Pagtf.

376. GoRditièn ponr que deux droites dans l'eiptoe fle
rencontrent; trouver les coordonnées de leur

point dlntersection 4^i

377... 379. Trouver l'angle de deux droites dans Tespaoe, et
ceux qu'une droite forme avec les axes coordon-
nés 463... 465

3flo. Conditions de pm-MéUtmû et éa perpendicmUrité de

deux droites. 4^

3Si. Scolie général , relatif à l'indinaison des axes 4^7

$ II, -^MhtéptHti&m dm pUm et de set eotmUmUom m^ee Ut i^mmtiùms dm

pifimt et de la ligne draiu»

38a. . .385. Moyen de fixer analytiquement la position d'un plan
dans l'espace; équation du plan; équations de ses
traces; forme symétrique de l'équation du plan . . 4^7 . . . 4?*

386. . .388. Faire passer un plan , lO par trois points donnés; —
ifi par un point et une droite donnés. — Remarque
sur les conditions que fournit la seconde ques-
tion 471... 4/7

389. . .399. D'un point donné, abaisser, i^ une perpendiculaire
sur un plan donné ;—3<* un plan perpendiculaire à
une droite donnée. — Trouver, dans .le premier
cas, la longueur de la perpendiculaire, et dans
le second , la distance du point à la droite. —
Conséquence du second problème. ... 477 • • '463

393. . .394. Par un point donné dans l'espace, mener un plan
parallèle à un autre; conditions de parallélitme de
deux plans. — Distance de deux plans parallèles. lfii% ... 4^4
395. Trouver les équations de rintersection commune de

deux plans 4^4

396. . .398. Trouver l'angle de deux plans et ceux qu'un plan
forme avec les plana coordonnés; condition de
perpendieulttriié de deux plans 4^- •-4^

399. Trouver l'angle d'une droite et d'un plan 4^* • -4^

400. Plus courte distance de deux droites données par

leurs équations 4%

4<>< • Scolie général 4^

CHAPITRE XI.

DIS SCRTACBS COURBES, ET B!l PARTICtLIEa DES SUaPACES DU SECOND DEGEÉ.

4o3. . .404* Notions préliminaires sur les surfaces courbes. Com-
ment fixer^n général, la position d'une surface,
d'une ligne et d'un point dans l'espace 490* • '493

S I. — Transformation des coordonnées dans Vespaee.

4o5. Énoncé général du problème de la transformation

des coordonnées dans l'espace 49^

406. .407. Passer, i® d'un système de coordonnées quelconques

TABLX DIS MiTlkftBS. XIX

h un lystème de coordonnées peraUèles d*ofigloo
diflérente; — a* d*iin lyetème rectengnlalro à un

•yslène <rf>Iiqiie de même origine 49^ • • «49^

4o8. Eiqiression de le dSetance entre deoz points, dans le

ces d'axes Mi^met 49^ - • -497

4o9...4si* Ptiser d*nn système reetengnhure à nn eatre sys-
tème rectangulaire. — Cas partSenliersi formulée
propres à ftdre connaître la nature des inleraee-
tîons d'une cnrface cooibe par un plan 497* • -^^^

S II. — Dei Jiffêrmu gsnret de tmrfiiees,

4ts-.»4i5> Équations delà surdMesnitUiQin et de son plan tan-
gent 5oo. . .5o3

4i6. . .4i7. Équation générale des surfkces crLnmaïQUis. Carac-
tère de ces sortes de surfaces 5o3. . >SoS

4i8...4i9« Equation générale des surfaces comi^Mes. Caractère

de ces sortes de surfaces 5o5. . .5o8

4m. . <49i • équation des surfaces conoldes; cas particulier. . . . So8. . .5io

4m. . .496. équation générale dea surfaces de a^Toumoa. Leur
caractère. — Cas particuliers : elllpsmde, kjrperho»
loUie, et përmhoioïJe; propriété remarquable du
parabololde de révolution ., 5i 1 . . .5i4

§ III. — DUemsion des tur/aces du second degré,

ivj- .433. Formes auxquelles on peut toujours y par une double
transformation de coordonnées , ramener l'équa-
tion générale du second degré à trois Tariables.

— Exception à cette double transformation 5i4 . • . SiS

433. DlTlsion des surfaces du second degré en surfaces

iKKnCBS n'urtlcBiiTai et en surfaces nAmjtfis db cnrrax.

— Plans diamétraux 5i8. . .Sao

434 • • •435. Discussion de Téquetion aux itLirsolDBS. — Cas par-
ticuliers et yariétés de ce genre de surfaces Sac . . . Sa3

436... 439* Discussion de l'équation aux BrriaBOLOlDBs è dinuc
nappes ou à une nappe. — Cas particulier : Jicr-
/aee conique; propriété remarquable de cette sur-
face 5a3. . .597

44o- • •443* équation aux deux paraboloides elliptique ou l^per*
holique. — Cas particulier : parabololde de ré»o^

luiiQn, -* Génération de ces deux surfaces $37. . .S3i

444* Bésumé de la discussion précédente : division des

surfaces du second degré en cinq genres 53i . . .S3a

445. Manière de reconnaître la nature d^ intersections

d'une surface du second degré par un plan 539

44^. .44B. ProuTcr que toute surface du second degré (à l'ex-
ception du parabololde hyperbolique) donne
lieu à deux systèmes de sections circulaires, —
Lieu géométrique des centres de toutes ces sec-
tions 53i. . .537

XX TASLIB MS ItATlàU».

449. . .450. Des plÂiis tàli|{eiil8 aitt tufiSMea àa sMand d«gré :
équalidn du plan tengttnl Aux surfiioes douées
d*nn centre; éqUAtîon du pUn tangent aux sar-

ftioes dëpôurmes de centre. — Normale S37 . . . 540

451. Mener un plan tangent par un point pris hoirs delà

surface; prop^riété de la etmrhe de contât, ....... 546. . . 54t

45a... 454. Génération dé lliypert>ololde k nne nappe et dn
parabôlolde hyperbolique par le mouvement
d'une ligne droite 541 . . .546

Planches 1, II, fil, IV, V, VI, VII, VIll, IX, X.

FI» DB IK TABLB ttU ItATIÊRBS.

ERRATA.

Page iSa« ligne 6; on lieu de 4 Atf , lUez 4 A^*

Page 4^9 1^0 i> on remontant; «■ llèude D =s ^â?*+7^^77* ,

Page 495, ligne 19 en remontant; fûes en marge /^. 197.

APPLICATION

Dl

L'ALGËBRË A LA GËOMÉTBIË.

INTRODUCTION.

PREMIÈRE MÉTHODE DE TRAITER DES QUESTIONS DE
GÉOMÉTRIE PA.R LE SECOURS DE l'aLGÈBRE.

$ I. — HOTIONS PaÉLIMIN AIAES.

1. On a TU, en Géométrie, que les lignes^ les surfaces
et les solides peuvent, aussi bien que toutes les autres gran*
deurs, être exprimés par des nombres^ il suflBt , en effet,
pour cela, de prendre pour unité l'une de ces grandeurs
géométriques.

C*est ainsi que ^ exprime la diagonale d'un carré dont
le côté est égal à i. De même, si 4 ^t 3 représentent les
nombres d'unités linéaires contenues dans les deux côtés
d'un rectangle^ 4x3 ou i^ exprime le nombre d'unités
de superficie contenues dans ce rectangle, ou, en d'autres
termes , la surface de ce rectangle. De même encore ,
4x3x5, ou 6o , exprime le volume d'un parallélipi-
pède dont les trois arêtes contiguës sont représentées par
4, 3 et 5.

Généralement, si l'on désigne par a, 6, c, les nombres
ii unités linéaires contenues dans les arêtes contiguës d'un
parallélipipède ^ ab^ ac^ bc exprimeront les aires de trois
de ses six faces , et abc son volume.

On voit donc que T Algèbre, dont les méthodes sont ap-
plicables à toutes les questions numériques possibles , peut
aussi servir à résoudre les questions relatives aux grandeurs
que l'on considère en Géométrie.

Àp. de l'Ai, h lu G. X

a IKTAODVCTIOir.

2. Qu'il s'agisse, par exemple, de déterminer la lott"
gueur d'une ligne d'après la connaissance d'une ou de plu-
sieurs autres lignes comprises avec la première, dans une
même figure ; On suppose le problème résolu , et Von
tâche f à l'aide de quelques propositions de Géométrie,
dont V existence est déjà établie y et qui ont quelque rap-
port a^ec renoncé du problème , on tâche y dîs-je , d'expri-
mer par des équation^ les relations qui existent entre les
données (représentées, soit par des lettres, soit par àes
chiffres) et les inconnues^ toujours représentées par des
lettres. On résout ces équations y et Von obtient ainsi les
expressions des lignes cherchées au moyen des lignes con^
nues, expressions qu^ il faut ensuite traduire en Géométrie.

Si la question proposée est un théorème à démontrer,
on TRADUIT algébriquement les relations qui existent entre
les différentes parties de la figure^ ce qui conduit à des
équations auxquelles on fait subir disperses transforma-
tions, dont la dernière donne lieu au théorème énoncé.

En un mot, traduire en Algèbre les questions de Gréo-
métrios et, réciproquement , traduire en Géométrie les ré-
sultats obtenus par V Algèbre , tel est le but qu'on se pro*
pofie en appliquant l'Aigèbue a la Géométrie.

Développons ces notions générales sur quelques exemples.

3. Proposons-nous d*abord de rechercher les propriétés
principales du triangle regtajkgle et du triangle obli-
QUAWGLB, en partant de ce seul principe, que detiœ tri*-
angles équiangles ont leurs côtés homologues proportion-^
nels, et $ont par conséquent semblables,

Fio. I . Soit un triangle BÂC rectangle en â ; du point A abais-
sons AD perpendiculaire sur BC , et posons

BC=:a, AG=6, ABzsc» kD=h^ BDr=m et DGsii.

Les deux triangles BAC, ADC sont rectangles, Tim en
A , l'autre en D ; de plus , ils ont Tangle C commun ; donc
le troisième angle ABC du premier est égal au Lroisième
angle DAC du second, et les deux triangles sont semblables.
Il en est de même des triangles BAC, ADB*

Ainsi, comparant les ootés homologues eiempli^ant les

NOTIONS FRÉLIMIlfÀIItES. 3

notations qni viennent d^ètre établies, on obtient les trois
proportions

aie II clmf
aie II b: à;
d'où Ton déduit

(i) 6» = an,

(a) c* = anif

(3) bc= a/ij

égalités auxquelles on peut réunir celU^ci :

(4) a = m -f- /i,

qui existe nécessairement entre les deux segments BD et DC

Ces quatre équations renferment implicitement toutes les
propriétés des triangles rectangles ^ et il ne s'agit que de les
Taire ressortir par des transformations convenablement
exécutées.

i*'. Les égalités (i) et (2), ou plutôt les proportions
qui y ont conduit , nous apprennent que chaque côté de
Vangle droit est moyen proportionnel entre l* hypoténuse
entière et le segment adjacent.

C*est une des propriétés principales du triangle rectangle.

a^. Ajoutons membre à membre les égalités (1) et (a),
il vient

on, i cause de Fégalité (4)9

Ce qni démontre que, dans tout triangle rectangle % le
carré de l'hypoténuse est égal è la somme des carrés
construits sur les deux côtés de rangée droit.

C'est la propriété caractéristique du triangle rectangle.

3^. Multiplions les mêmes égalités (1) et (a) membre à
membre; on obtient

maisTégalité (3) doxme aussi

bU^=s a» A»;
donc

4 INTRODUCTTOX.

et , par conséquent,
on bien

jn: A :: A: A.

Ainsi , la perpendiculaire abaissée du sommet de t angle
droit sur l'hypoténuse est moyenne proportionnelle entre
lesdeux segments de Vhypoténuse.

4^. Divisons membre à membre les ^alités (i) et (2};
il vient

-r = — » d'où ^»:c»;:«:m;
«' am

y est-a-dire que les carrés construits sur les côtés de
V angle droit sont entre eux comme les segments de Tky^
poténuse.

En un mot, toute transformation exécutée sur les pâ-
lîtes (i), (2), (3) et (4) conduirait à un résultat qui,
traduit géométriquement, ne serait autre chose qu'un théo*
rème ou une vérité plus ou moins remarquable.

4. Observons d'ailleurs, en passant, que, comme ces
quatre équations renferment six quantités a^ b^ c^ h^ m
et n , il s'ensuit que , deux quelconques d'entre elles étant
données, on peut se proposer de déterminer les quatre
autres à Paide de ces équations.

Supposons, par exemple, que connaissant F hypoténuse
BC et la perpendiculaire AD, il s'agisse de déterminer les
deux côtés de l'angle droit et les deux segments*

Les équations (i), (a) et (4) donnent d'abord, comme

on l'a déjà vu,

*» + c» = a»;

mais si l'on double Tégalité (3) > on a

d'où, en faisant successivement la somme et la différence de
ces deux dernières , on déduit

{b 4-e)*= «*•+• iaA,
(b — c)*=fl' — aah,

et , par conséquent ,

6 -H <? =r ^fl' -h 2 /lA , b — e = ^a^ — 2 ak.

AOTIOSS VRÉLIMIITAIRCS. 5

Connaissant la iomme 6 + c et la différence b — c des
deax côtés fr et c, il est facile d'obtenir chacun d'eux en
particulier.

On a, d'après un théorème connu ^ pour le plus grand
côté (qu'on peut toujours supposer exprimé par &),

è z=- Vfl» + a a A^ -4 — y a* — a n ,

et pour le plus petit, c,

c = - V rt» -h 2 aA — - vu» — a «A .
a 2 '

Quant aux deux segments m eirijUs sont donnés immé-
diatement par les équations (i) et (a), puisque i, c et a
sont maintenant connus.

5. Remarque. -* La seconde partie des valeurs de b et
de c nous apprend que, pour que le triangle puisse exister
avec les données établies , il faut que Ton ait

a^'^^ahf ou au moins a* = aaA;

d'oà ron tire

h ^ -9 OU t#ut au plus A := -;
^ a ^ a

car autrement, les valeurs de & et de c seraient imagi-
naires.

En effet, pour construire un triangle rectangle y con-
naissant rhypotémise et la perpendiculaire abaissée du
sommet de l'angle droit, on peut employer le moyen sui-
vant :

Déerli^ez sur thypoténuse BC comme diamètre une Fig. 2.
demi^circonférence; élet^ez au point B une perpendicu-
laire 6H égale à la perpendiculaire donnée; menez HL
parallèle d BC; et les deux triangles égaux, ABC, A'BC,
satisfont à la question.

Or, pour que le problème soit possible, il faut évi-
demment que BH soit inférieur^ ou tout au plus égal à

iBC.

a

Lorsqu'on a BH = - BC, ou A =: - a , le triangle rec-

6 IMTRODLXTZOZI.

tangle deTÎent isocèle, et les valeurs àeb, c se réduisent à

b = - a Jim r = -â^2:

ce qu'on peut aussi reconnaître d'après la figure.

Fio. 3. . 6. Considérons, en second lieu ^ un triangle OBLiQUÀjNGLE
ABC , et proposons-nous d'exprimer Fun des côtés, AB par
exemple, au moyen des deux autres, en iiou« fondant
sur la propriété caractéristique du triangle rectangle
(n'a, a»). .

Abaissons du sommet A la perpendiculaire AD (qui peut
tomber en dedans ou au dehors du triangle, selon que
l'angle C est a!gu ou obtus) , et conservons d'ailleurs les
mêmes notations que précédemment , savoir :

BG^ii, ilCtt^i ABas^, ADe= A, BD=â:m, DC = n.

Les deui triangles rectangles ADB, ADC donnent les
égalités

(i) c»î=:A»-mi>,

(a) 6»=A»H-/i%

auxquelles il faut joindre celle-ci :
(3) a=zmdbn.

[Le signe supérieur de l'égalité (3) correspond aucas <m
l'angle C est aigu, et le «ignç infériour^ à celui où il est
obtus. 1

Cela posé) retranchons T^alitë (%) de l'égalitë (i); il

vient

c* — A' = iw* — ii%
d'où

maisTégalité (3) donne

/7i =:aqp/i,
et, par conséquent,

Substituant cette valeur dans l'équation (4)9 on obtient
enfin

(5 ) c' = 6* -+• û* ij: 2 an.

Donc , dans tout triangle obliquaHgle, le carré d'un côté

HOTIOKS VaéLnCIlTÂIllES. »]

quelcon^/ue est égal à la somme des carrés des deux autres
côtés, MOINS ou PLUS le double produit de l'un de ces
deux côtés par la projection de l'autre sur celuî-ct.

L'^alité (5) comprend, sous une forme trés-concise ,
les deux tliëorèmes principaux sur les triangles obli-
qnangles.

7. Le problème suivant est très-propre à faire ressortir
Tutilitë de TAlgèbre dans la résolution des questions de
Géométrie.

On propose de dmser une ligne donnée AB en motcvite Fio. 4,
ET EXTREME RAISON , c'est-à-dire en deux parties, dont F une
soit moyenne proportionnelle entre la droite entière et
Vautre partie.

Supposons le problème résolu, et soit E un point de AB,
déterminé de manière qu'on ait la proportion

AB: AE :: A£:£B.

Posons

AB = a, AE = j;; d'où EB = a— x.

La proportion devient

a\xl\ x\a — jr;

d ou Ton déduit Téquation

qni, étant résolue, donne

\^

De ces deux valeurs fournies par la résolution de Péqua-
tioD, la première est la seule susceptible de satisfaire A
l'énoncé du problème tel qu'il a été établi , car la seconde
(qui est négative) a une valeur numérique plus grande que
a; d'où il suit qu'elle ne peut exprimer une partie de la
droite données. Nous verrons plus loin (n° 25) pour quelle
raisoQ cette valeur se rattache à la première et comment
on doit l'interpréter^ occupons-nous donc seulement de la
valeur

\/'

et voyons ce qu'elle signifie en Géométrie.

8 IMTnODVCTÎOV.

Ce résultat iudique évidomment que, pour obtenir la
valeur de x en ligne, il faut retrancher la moitié de a de

Teicpression \/«*-4" y Mais, en vertu de la propriété

principale du triangle rectangle, \/^*"H-t représente

rhjpoténuse d'un triangle rectangle dont les deux côtés de

Tanele droit sont a et ~-

On est ainsi amené à la construction suivante :
Pia. 4* De r extrémité ^ de la ligne AB = û, élevez une per^

pendiculaire BC égale à - a , et tirez AC; il eu résulte

Du point C comme centre, a^ec le rayon CB = -9 </&-

crivez un arc de cercle , BD 9 qui coupe AC au point D ; voua
aurez

AD = AC -► CD = i/a'-h j — ^'

Enfin, rabattez par un arc de cercle AD é/e A an E; et
le point E sera le point demandé.
En effet , on a

AË

= A«>=\/^-5==-

Il est à remarquer que cette construction à laquelle on
est parvenu, est précisément celle qu^on donne dans les
Éléments de Géométrie.

Pour l'obtenir par des considérations purement géométri-
ques, il faut une analyse assez délicate; tandis qu'on la
trouve facilement à Taide des symboles de FAlgèbre.

C'est ainsi que souvent , en appelant TAlgèbre au secours
de la Géométrie, on parvient à résoudre des questions qui,
autrement, exigeraient des raisonnements difliciles et com-
pliqués.

8. En réfléchissant sur la manière dont la dernière ques*
ijon vient d'être traitée, on voit que la résolution d^un

COHS'mtJCTIOH DBS EXPRBSSIOITS ALCiBRIQUEfl. 9

problème de Géométrie par le secours de TAlgèbre se
compose de trois parties principales :

I**. Traduire algébriquement renoncé du problème,
ou le mettre en équation»

2?. Résoudre Inéquation ou les équations, suivant que
renoncé renferme une ou plusieurs inconnues.

3^. Construire ou évaluer en lignes les expressions algé»
briques auxquelles on est parvenu.

Généralement , on doit y joindre une quatrième partie
qui a pour objet In discussion du problème^ on Texamen de
toutes les circonstances qui y sont relatives [voye% len^ S).

Or, il en est des problèmes de Géométrie comme des
problèmes d'Algèbre, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de
règles bien fixes pour mettre un problème en équation.
Le précepte établi en Algèbre est également applicable
(voyez n^ 2) aux problèmes de Géométrie \ mais la manière
de le mettre en pratique varie suivant les différents pro-
blèmes qu'on peut avoir à résoudre. Cependant , nous dé-
velopperons ultérieurement, à ce sujet, une méthode gé"
nérale constituant, k proprement parler, la Géométxib au a-

LTTIQim.

Les équations une fois obtenues , on peut les résoudre
d*après les moyens que fournit l'Algèbre en s'attacbant &
combiner ces équations de la manière la plus convenable
pour en tirer le résultat cbercbé.

Quant à la troisième partie, qui a pour objet de con^
struire les expressions algébriques auxquelles on est par-
venu, les règles A suivre sont faciles et en petit nombre.

C'est donc par le développement de cette troisième partie
qu'il convient de commencer.

§ II. — Construction des expressions algébriqies.

9. Nous ne considérerons, dans tout ce qui va suivre,
que des expressions rationnelles ou irrationnelles du se-
cond degré y c'est-à-dire des résultats provenant d*équa-
tions du premier ou du 5efC0/ï^ degré.

Les expressions élémentaires, c'est-à-dire les expressions

'® WJTROPUQTIOII.

à la construction desquelles on peut ramener toutes les
autres, sont au nombre de six, savoir :

e c

(a, i, c, rf,... exprimant les nombres d*unités linéaires
contenues dans des lignes données).

Nous renvoyons, pour la construction de ces expressions,
aux Êlérn&nts de Géométrie (*). ^

Les expressions

nt sont que des cas particuliers de
Quatjt àu« lignes représentées par les expressions

leur construction se déduit facilement du mode de division
dWe droite en 2, 3 , 7,... parties égales.

Ainsi , pour construire la ligne x = — , il suffit de dM-

1
ser a en 7 patries égales et de prendre 3 de ces parties, ou

bien de prendre une ligne égale ai a, qu'on dii^ise ensuite
en 7 parties égales.

10. La construction de l'expression

se ramène à celle deS deux expressions élémentaires

-* or =^«'-4-^' et X = kja^—h*.

En effet, si Ton pose '

il en résulte

X ssz ^m^**^ »%

m étant nécessairement plus grand que n , pour qûè Tet-
pression de ji( soit réelle.

" - ■ ^ ■ .

(*) Yojeg le Coars de Grométrie élémentaire et l'A&r^^ ii« Geom^^rie de
II. VixcENT. (Imprimerie d« Màllet-Bacbeliea.)

COlfSTRUCTIOlf DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES. II

Or, on obtient la ligne reprévsentée par

en conslruisant d'abord ^a'H-*c'^ iigne qu'on peat désigner

par/7, puis ^p^-^f*^ qu'on désigne par ^, et ainsi de suite.
On obtient de la même manière

eu sorte qu'il ne s'agit plus qu^ de consiruire

0onc, etc.

li. Ce mode de construction peut servir à évaluer en
lignes les radicaux numériques du second degré.
Soit, pour premier exemple, a construire

Cette valeur de x peut être mise sous la forme

X = V'iÔ— I ou X = ^(4)»— I,

et représente, en conséquence, Tun des côtés, i, de Taille
droit d'un triangle rectangle dont Thypoténuse est a = 4)
et Tautre côté , d = i .
On trouverait de même

^ = V^4 -H 4 — 1 r= v^2» -+- a* — 1 1

^=: ^36 + 9 — 1 — 1=: \/6»-+-3»— I — I.

L'artifice consiste à décomposer le nombre soumis au
radical en la somme algébrique de plusieurs carrés; ce qui
est toujours possible.

12. Nous sommes actuellement en état de construire
toute expression algtjbrique raiionncUeow irrationnelle du
second de^ré, provenant de la mise en équation d'un pro-
blème de Géométrie, chacune des lignes qui fout partie
de l'énoncé, ayaut été représentée par une lettre.

Commençons par les monômes rationnels.

la 1VTI10DUCTI09.

Soit proposée TeTpression

Oiabe

« =

de

On peut la mettre sous la forme

aab e

ar= -3- X-

a e

Or, -^ exprime évidemment une quatrième proportion'-

nelle aux trois lignes d^ 2 a et b.
Cotte ligne étant construite, posons

%ab

il en résulte

■j- = m;

e

e

qui exprime également une quatrième proportionnée aux
trois lignes e, m^ c.
Soit encore â construire

^i^b*c

Cette expression revient à

Tlo'^ a b b e

D'abord, -^ï ou — o—r- exprime une quatrième pro^

portionnelle aux ligues Zd^ a a et a.
Posant

2tf*

on a

37='"'

« = iwx:>x->x-TX--
« y / é^

Or, m X - représente une quatrième proportionnelle aux

lignes d^ m et a.

Soit

a
mX ^ = *î

CONSTRUCTlOn DSA KXPRVSSIOfIS ÀLC^BAIQUE». l3

il en rësalte

b b c

f f g

En continuant ainsi , Ton parviendra , à Taide de cmtj
quatrièmes proportionnelles, à une dernière ligne qui
représentera la valeur proposée. ,

N. B. — Le nombre des qiuUrièmes proportionnelles est
toujours marqué par le degré, ou par la sokmb des expo-
sants du DÉiioifUfATStJR.

i3. Passons aux expressions fractionnaires polynômes.
Soit à construire

a a»— 3a*b -h b^e
fl>— aa6 -i- b*

On peut d^abord l'écrire ainsi :

a* |aii — 3frH p)

a la — 2^ H \

Si, après avoir supprimé le facteur a , commun aux deux

termes , on pose

b*e

il en résulte

xzs

a* a

ai^a — 3^ -t-iw)

X zsz — i *^ ;

a — 26 H- /i

et cette expression représente alors une quatrième propor*
tionnelle aux trois lignes a-~a& + /i,aetaa — Zb -{-m.

Quant aux deux lignes m et n, on peut les construire
facilement , diaprés ce qui a été dit plus haut.

U artifice de ces transformations consiste à décomposer
l'un des termes , tant du numérateur que du dénominateur,
en deux facteurs , Vun du premier degré. Vautre du de^
gré n — I, /i étant le degré de ce terme, et à mettre ce
dernier facteur en évidence.

On a soin d^ailleors, pour restreindre autant que possi-
ble les constructions partielles, de faire en sorte que ce
facteur mis en évidence comprenne les lettres qui entrent

i4 iirmoDvcTiov.

le plus de fois comme facteurs dans les deux termes de la
fraction.

On trouvera ainsi que l'expression

revient à

a (m — «-+• ac — p)

X = =-T ; »

na — ob — ^ -h r

en mettant le facteur a&* en évidence au numérateur^ et le
facteur b* en évidence au dénominateur, puis posant

a' 2 a' cd 4^ ''^

'"=p' " = —' '' = T' * = X' '"="ir

Ces dernières expressions étant construites, on en déduit
la valeur de a:, qui est une quatrième proportionnelle aux
trois lignes aa — 3i — 9 -f- r, a , et w — »•+- ac — /?.

On peut remarquer qu il y a beaucoup d'analogie entre
ces transformations et celles qu'on exécute pour rendre les
expressions algébriques calculables par logarithmes.

14. Considérons maintenant les expressions radicales
du second degré.

Soit, premièrement, Fexpression

ar=9 v^a»— bd.
On peut la mettre sous la forme

et si l'on pose

bd

a
ligne facile i construire, il en résulte

x= ya(a^- m)f

expression qui représente une moyenne proportionnelle
entre les deux lignes a et a — m»
AUTXEMEBT. — Soit fait

«» = W,
il vient

d'où l'on voit ou'après avoir construit une moyenne propor-

COHSTRVCTIOIf DBS EXPIlMflOirS algébuiques. tS

tionnelle n entre b et d^ W suffit de déterminer l'un des
côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle ajant a pour
hypoténuse, et n pour autre côté.
Soit, en second lieu.

v^

X

Cette expression revient à celle-ci

v^

Or, on a

b(a-h) =■■ a-b '

({uantité qu'on peut construire aisément, comme ou W vu
auaM3.

Désignant donc cette quantité ou cette ligne par m, on
obtient

expression facile à construire.

En général , pour toute expression radicale du second
degré, il suffit de mettre en év^idence^ sous le radical, un
des facteurs littéraux qui entrent dans les termes du numé"
rateur, a par exemple ; le second facteur sous le radical est
alors une expression rationnelle quon saà construire.

Désignant cette expression par une lettre m, on est amené
finalement à construire la valeur

x:^^ay<m*

N. £, ""* Si Ton avait une expression telle que

=V^'

il faudrait commencer par faire passer le coefficient a sous
le radical; ce qui donnerait

X = 4/ — = Va X iw,

eu posant et construisant

tn = — -

l6 lnnODVCTIOH.

Remarque importante sw /'Ho^iOGÉifÉiTÉ.

15. Dans chacuDe des expressions algébriques que nous
venons de considérer, tous les termes sont de même degré
si elles sont entières; et si elles sonl fractionnaires : i® tou>
les termes du numérateur sont de même degré entre eux.
ainsi que tous les termes du dénominateur ; a^ le degré du
numérateur surpasse celui du dénominateur d'une unité
pour les quantités rationnelles, et de deux unités pour les
quantités irrationnelles du second degré.

. Une expression qui doit représenter une ligne est dit<
homogène lorsque ces conditions sont remplies ; et elles Ir
sont toutes les fois que, dans la traduction algébrique di*
l'énoncé d'un problème, on a désigné par une lettre cha-
cune des ligfies quon a dû faire entrer dans le calcul.

Pour comprendre qu'il en doit être ainsi, il suffit d'obser-
ver que, d'une part, les relations employées pour la mise
d'un problème en équation, se réduisent toutes à des égalités
telles que

7-:=j9 ou a.rf=^.f,
à a

à" m ,1.,

0* n '

qui se déduisent, soit de la tbéorie des triangles sembla-
bles, soit des propriétés relatives aux triangles rectangles ou
obliquangles ; et que, d! autre part, les opérations ou trans-
formations [*) qu'on peut avoir à exécuter sur ces égalités
pour arriver au résultat demandé, conduisent toujours né-
cessairement à des égalités homogènes , dans le sens attri-
bué, en Algèbre , à cette dénomination.

(*] Quand 11 s'agit d'addition ou de soustraction , les égalités sur lesquelles
on opère doivent être non-senlemcot homogènes, étant considérées séparé-
ment, mais encore elles doivent être de mêiix degré enthe ellkb; autrement
le résultat de Taddition ou de la soustraction de ces égaillés , membre à
membre, n'offrirait aucun sens raisonnable. Ainsi, Ton ne pourrait addi-
tionner des égaillés telles que as=b-i-c, a*= fr*+c*; pas plus qu'en
Arithmétique on ne saurait ajouter des quantités d*cspèce dilfêrente.

BOMOGÉNÉITÉ DES BXPmSSSIOlfS ALGÉBRIQUES. tj

D'après ce qui vient d^ètre dit , soît , par exemple,

x = -j-9 d'où Ax = B,

le résultat auquel on est parvenu pour l'une des inconnues,
X devant exprimer une ligne.

1*^. Bet A doivent être séparément Aamo^è/iej;

2?. Comme x exprime une ligne, il faut que le degré de
B surpcLSse d*une unité celui de A ; autrement la seconde
^alité ne serait pas homogène.

Ainsi , dans le résultat x = -r- ' ^^ deux conditions énon-

cées ci-dessus seront satisfaites.

Quant aux radicaux du second degré, qui peuvent être
généralement représentés par Texpression

(À étant entier ex fractionnaire)^ comme on en déduit

a:' = A,

et que le premier membre, a;*, exprime ixae surface, le
second membre A doit exprimer une surface.

D'où il suit que si A est fractionnaire, le degré du nu-
mérateur doit surpasser de deux unités celui du dénomina-
teur.

Mais si , afin de rendre les calculs plus simples , on con--
vient de prendre pour unité Tune des lignes que l'énoncé
du problème prescrit de faire entrer dans le calcul, comme
les diverses puissances de i sont égales à i, le degré de cha-
cun des termes où cette ligne se trouvait élevée à diverses
puissances, doit nécessairement diminuer d'une ou de plu'-
sieurs unités \ et, dans le résultat obtenu pour la valeur de
l'inconnue, les conditions de Y homogénéité doivent, en gé-
néral , cesser d'exister.

Par exemple, lorsque, dans les expressions

4t VAL

ab

— >

e

X

kUG

aa*b*c

X

_û»-

c

^'

-^"-'Z

'b

36>

l8 IST&ODUCTIOSr.

on supposa ( lac I y elles ae réduisent a

a na^c û* — d /a* — 2 <? -H 3

c ^d^f g c V ^ — '

Q^p^di^Hti comme la construction de la ligne cherchée
dépend de la longueur de chacune des lignes données y et en
particulier, de la ligne prise pour unité, il faut préalable»
aiQDt rétablir celle dernière dans l'expression de x\ ce qui
n'otTre aucune di$çuUé, car, endé&ignant celle ligne par une
lettre, m par exemple, il suffit de l'introduire dans lesdif»
Jïrcnls termes, comme facteur, à une puissance d'un degré
tel y que les deux conditions d'homogénéité soient remplies.

Ainsi , soit l'expression

a^ — ■ a rt -h 3 ^c
I *— 2 o' H- «

qui n'est pas homogène , parce qi^^on a supposé l'une des
lignes de la question, égale à i.

Puisque l'un des termes du numérateur est du troisième
degré, et qu'un de ceux du dénominateur est du deuxième
degré, tous les autres tenues doivent Être r^pectivement
ramenés à ces mêmes degrés.

Oqhq > en désignant par m la ligue prise pour unité» on a

n* -^ 2 am^ H- 3 bcm

X =1: • f

am — 2,0^-+- m^

expression qui peut se construire d'après les règles établies
préoédommeiit.
De même,

X = ; devient — — ; ; •

Soit enco/e

V hd ^fg d

Chacun des termes, sous le radical, des^ant^ive du deuxiènte

, - /, ecf êe/m ce ^rt»*« «•/

de£;re, on transtormera -7-7 en -, -? -r- en -?— > -r- en
° bd bd fg fg d

a*/

T^; et l'expression deviendra

V hd "*">F <^'"

HOMOGÉHÉITÉ DES BXFl»SIOIIS ALGÉBRIQUES. I9

Posant alon

ç«^^« «.^ d'où

fg f g

y/'-
v^

et construisant p, ç, r, d'après les principes connus, on
obtiendra pour x la valeur

expression qui rentre dans celle du n° 10.

16. Conséquence. «^ Dès qu'on appliqua T Algèbre à
une question de Géométrie, la reprësenution des iigne.i
par des f étiras suppose toujours (n^^l) qu'on ait pris une
certaine ligne pour unité ^ mais il faut distinguer deux cas :

Ou }« résultat auquel on parvient , pour l'expression àe
i^nconnue , est homogène $ ou bien , il ne l'est pas.

Dans le premier cas, la connaissance de la li^Q priée
pour unité est indifTérente à la construction du résultat.

Dans le second, cette ligne est nécessairement une des
lignes de renoncé, et son introduction dans le résulta; es(
indispensable pour la construction.

On est ainsi conduit, en quelque sorte | à considérer deux
espèces alunites linéaires : I'une qu^on peut appeler Vunité
implicite^ c'est celle que comportent en elles-mêmes les
expressions homogènes } I'autre, qui serait alors Yunùé
explicite^ c'est une des lignes données de la question,
et que, pour simplificer le calcul, on a jugé à propos ^
faire égale è i. Son rétablissement daps le résultat final
est toujours facile, au moyen des conditions d^bomogé-
néité.

La Trigonométrie où, soit en vue de simplifier le^ cal-
culs, soit afin d*obtenir des formules plus faciles h g[raver
dans la mémoire , on suppose généralement le rayon égal
à r unité, ofi're des applications nombreuses de ces prin-
cipes sur V homogénéité,

17. Sgolxs GÉnÉJUtL* -^ Las diverses propositions que

a.

%0 IHTAODUCTION.

nous avons développées dans ce paragraphe et dans le pré-
cédent sont suffisantes pour la coDStruelion de tous les pro-
blèmes dont les équations conduisent à des résultats ration-
nels , ou à des expressions irrationnelles du second degré.

Nous ajouterons que, dans chaque problème, il faut
tacher de faire servir la figure de Ténoneé à la construction
des résultats; car c'est ordinairement dans la liaison plus
ou moins directe entre la construction et la figure, que
consiste le plus ou moins d'élégance de la solution du pro-
blème par le secours de TAlgèbre. Les problèmes suivants
feront ressortir l'importance de cette observation.

Nous les proposons comme moyen d'initier les commen-
çants aux méthodes de Tapplication de l'algèbre a la
géométie; nous aurons soin, à cet effet, de faire quelques
réflexions sur la manière dont ils auront été résolus.

§ III. — Résolution de diverses questions relatives

A LA LIGNE DROITE ET AU CERCLE.

Fio. 5. i8. Premier problème. — Inscrire un carré dans un

triangle donné ABC 5 c'est-à-dire, trouver sur le côté AB

un point E tel, que si Ton mène EF parallèle à BC, et

EG, FH perpendiculaires sur BC , la figure GEFH soit un

carré.

Supposons le problème résolu, et abaissons du sommet A

la hauteur AD du triangle.

Il est évident que, si le point I où AD rencontre EF, était

déterminé de position, il en serait de même de EF, et par

conséquent du carré cherché.

Posons donc

DI = EG = EF=:x,

et tâchons d^ obtenir une équation entre cette ligne x et les
lignes connues de la figure qui peuvent nous être utiles.

Or, les deux triangles ABC, AEF étant semblables,
leurs bases RC , EF sont entre elles comme leurs hauteurs
AD, AI; c'est-à-dire qu'on a la proportion

BC:LF:: AD:Ai.

Cela posé , soit

PROBLEMES SVH LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. 21

comme on a d'ailleurs

DI=EF = 4r,
il en résulte

AI = /i — X ;

don, en substituant ces notations dans la proportion ci-
dessus^

alx :: h: h — x;
ce qui donne

ah — ax = hXf
et, par suite,

ah

X ss •

a -^ h

Cette expression représenle une quatrième proportion^

nelle aux trois lignes a -h /i , a et h.

Ponr la construire, nous ferons usage de Tangle ADX,

puisqu'on a déjà

AD = A,

et que le point I cherché doit être situé sur ÂD.

Po/tons d'abord BC, ozi a, ^e D e^ K, et AD, ou h;
deîLenlj -, il en résulte

et comme on a déjà

DA = A,

il s'ensuit que si Ton joint le point L au point A, et qu^on
mène Kl parallèle à L A , le point I sera le point cherctiè.
En effet, on a la proportion

DL:DK::DA:Di, d'oOi tf + A:â::A:Di;

donc

DI = 7 = *.

Le point I étant déterminé, on mène, par ce point, EF
parallèle « BC , e/ EG, FH perpendiculaires à BC \ ce qui
donne GEFH pour le carré demandé.

19. Remarque, — Dans l'analyse de ce problème, nous
avons eu le soin de n'établir les notations algébriques , qu'a-
près avoir reconnu quelles étaient les données absolument
nécessaires. Ainsi , il nous a suffi de faire entrer en consi*
dératîon la base et la hauteur du triangle , quoique les deux
autres côtés fussent également connus. C'est une attention
qu'on doit toujours avoir pour éviter les notations inutiles^

a a niTAODircTioif.

FiG. 6. 20. Deuxième problème. — Étant donnés de position
et de grandeur un cercle X et une droite AB, trouver sur
la circonférence un point M tel que y si on le joint aux ex-
trémités de la droite AB, et qu'on tire la corde DE, cette
corde soit parallèle à AB.

(Nous considérons particulièrement ici le cas où la droite
AB est extérieure au cercle.)

Solution. — Remarquons d^abord que, si le point D était
fixé de position sur le cercle , il en serait de même des detiT
lignes AM,BM, et par conséquent, de la droite DE.

La question est donc ramenée à chercher le point D.

Or ce point serait connu, si Ton pouvait déterminer la
distance , AG, du point A au pied delà perpendiculaire DG
abaissée sur AB.

A cet elFci, du point G. centre du cercle, abaissons la
perpendiculaire GF, et posons

AB = a, AF = ^, CF = c, CD = /^ AQ=±^ DG=/;

il en résulte

(L'introduction d'une seconde inconnue, DG ou jTy sert
ici pour la commodité du calcul.)

Ges notations étant convenues , observons d'abord que le
triangle rectangle GDI donne

s 1 -r»

CD = DI -♦- a ,

ou bien

(i) r» = (A-x)>-|-(c-j)%

première équation entre les inconnues x, j^, et les lignes
connues b^c^r.

Pour en obtenir une seconde^ nous considérerons les
cieux triangles MAB et MDE \ ils sont semblables et donnent

la proportion

MA:MD:: AB:DR;
don Ton déduit

MA: AD:: ABIAB — DE,

ou y nukiptiaiit les deux premiers termes par AD^

MA X Ab : Âû *: : AB : AB — de.

Or^ le rectangle MA X AD est connu \ car si , du point

PROBLÈMES SUR LA LIGHS imOtTB ET LE CEECLE. 33

A qui est détermine de position, nottd menons la tâti^ehlfe
AL, nous aTons, diaprés un théorème de Géométrie,

MA X AD = AL*=: m'

(en désignant par m la nouvelle ligne connue AL).
On a d'ailleurs

d'où

AB — DE = fl — 2 6 4- ax.

Ainsi I la proportion ci -dessus devient

m» : x*-h r' :: « : « ~ a ^ + 9«r;

d'où Ton tire

telle est la seconde équation du problème.

Les équations (i) et (a), dont la première, développée ^
devient

et dont Tautre peut se mettre sous la forme

m*
x^-^jr^zs — (ax-hfl'— ai),

sont susceptibles de simplification.
D'abord, les triangles ACF et ACL donnent

AL* ou /»' = ÂC*— Lc'=^»-4-<?*— r».

En second lieu, la quantité — est une troisième pro^

portionnelle qu'on peut supposer construite, et en la dési-
gnant par m , on obtient

/7î' = an.

Par suite, les deux équations du problème deviennent

(3) x' -H/'= a^x-H ac/ — «n,

(4) x'4- ^*=/i(ax -4- « — a^).

Egalant entre elles ces deux valeurs de x'^f- ^* , on trouve,
toute réduction faite,

(5) (è — /i)x-Hc/ = /i(fl — ^),

équation qui n'est que du premier degré en j:, j', et qui

^4 IHTRODUCTIOir.

peut remplacer Téquaiion (3)^ en sorte que la question
est ramenée à éliminer centre les deux équations (4) et (5).

L'équation en x que Ton obtiendra ainsi , étant résolue,
fera connaître la distance AG, et, par suite, la position du
point D qui donne celle du point demandé M.

Si Ton effectue cette élimination , on trouvera pour
équation finale en x,

[c»-f-(/I--à)»]«»-f-2/l[(/l — *)(a— *)—€«]*

= /i[(fl— a6)tf'— /i(a— by].

Nous n'entrerons pas dans le détail de la résolution de
cette équation , parce que le résultat qu'on obtiendrait serait
très-compliqué, et que la construction qu^on déduirait des
principes établis précédemment, n'offrirait aucun intérêt (*) .

21 . Second moyen de résolution du problème proposé.
Fio. 7* Supposons toujours le problème résolu , et soit D le point
' à déterminer.

Menons en ce point la tangente DK , et par le point A
la tangente AL, comme dans l'analyse précédente.

Les deux triangles A6M, ADK sont semblables, car ils
ont l'angle A commun \ de plus , AKD = KDE , par la pro-
priété des angles alternes internes \ mais KDE et DME sont
égaux comme ayant même mesure : ainsi

AKD = DME ou AMB.

On a donc la proportion

AB: AD :: am : ak,

d'on l'on tire

AB X AK = AD X AM = AL*.
Soient

AB = a , AL = m , AK = x ;
il en résulte

., m*

a X « = m% d où * = — •

a

Après avoir construit séparément (ou si Ton veut, sur la
figure même), cette troisième proportionnelle ^ par l'une
des méthodes connues^ on la portera de A en K sur AB \ puis,
du point K l'on mènera la tangente KD au cercle donné.

(*) Nous ren voyons au chapitre premier, pour la construetioD géométrique
d«0 éqa^tiona (i) et (i).

PACBLEMES SUR LA UGKB DROITE ET LE CERCLE. a5

Le point D sera le point qui servira à fixer le poivt M

CHERCHÉ.

N. B. — Comme du point K il est toujours possible de
mener deux tangentes KD, KD', il s'ensuit que l'on a deux
points M et M^ qui satisfont à la question. Ainsi, le pro-
blème admet, en général , deux solutions.

Ce résultat s^accorde avec celui de la première métliode
employée pour résoudre le problème, puisqu'on est par-
venu à une équation du second degré,

22. Remarque, — La construction de la tangente DK ,
qui a conduit d'une manière si simple à la résolution du
problème, est une de ces idées qui s'offrent rarement à l'es-
prit de ceux qui n'ont pas déjà une grande habitude.

Quel que soit le problème proposé, il est toujours facile
de trouver dans la figure que prescrit Ténoncé, et à l'aide
de quelques constructions qui se présentent naturellement,
un premier mode de résolution, en faisant usage des rela-
tions principales de la Géométrie, telles que les propriétés
des triangles rectangles, des triangles semblables ou des
lignes considérées dans le cercle. Mais la difficulté est de
découvrir les constructions susceptibles de conduire à des
équations simples et à des résultats élégants.

Nous observerons, à ce sujet, qu'un problème de Géo-
métrie est en général moins facile à mettre en équation
qu'un problème ordinaire d'Algèbre. Dans celui-ci , il suffit,
le plus communément, de traduire, à l'aide des signes algé-
briques, les conditions explicites de l'énoncé, ou du moins
des conditions implicites que Ton déduit aisément des pre-
mières. Les données et les inconnues y sont d'ailleurs en
évidence; tandis que dans un problème de Géométrie, qui
se réduit presque toujours à fixer la position d'un ou de
plusieurs points , il faut beaucoup d'attention et de sagacité
pour déterminer la nature des relations ^inexprimées algé--
hriquement, peuvent conduire à une construction sijnple et
élégante du problème. Or, de la nature des relations qu'on
emploie, dépend celle des données et des inconnues que Ton
doit faire entrer en considération. L'habitude et le discerne-
ment peuvent ^euls apprendre à surmonter ces difficultés.

1

a6 lifTiiotortfrtoïr.

Interprétation des résultats négatifs.

Nou allons maintenant nous proposer des problèmes
qui donnent lieu k des résultais négatifs pour les expres-
sions des inconnues»

Fio. 8. 23. Troisième problème. — Étant donné un triangle
ACB, trouver sur le côté AC un point D tel çtte, si Pon
mène la droite DE parallèle à AB , cette parallèle soit
égale à une ligne donnée m.

D^abord, les deux triangles semblables ACB, DCE don-
nent la proportion

AG: AB:: dq:de.

Prenons pour inconnue la distance du point fixe A au
point D, et posons

AB = «, AC=^, AD=jr, d'où DC = * — x.

La proportion cî-dessus deviendra

b\a\\h — x:/w, d*où mb^ab-^ax;
donc

è{a--m)

X sur —————— •

a

On obtiendra facilement cette (7«rté/iièmej!>roporf/b>ineffc

en prenant BAC pour Tangle de construction, puisque Toh

a déjà

ABsrn, AGsr*.

A partir du ptHHt B sur B A , prenez une pafUe BO
égmie à m; il en résulte

AG := a — m ;

menez ensuite GD parallèle à BC ; le point D sera te poikt
neMANOÉ.

En effet , on a la proportion

AB: AC :: AG . AD,
d'où

a : b :: a -^ m : AD: donc AD = — ^ — H-!!!/ = x.

a

11 est visible d'ailleurs que, si Ton mène DE parallèle h

AB , Ton a

DE = GB := m.

Discussion du résultat, «—Tant qu'on aura m <]a ou A B,

HffTEKPRÉTATIOir DBS KAtVLTATS RÉGÀTIFS. 2J

la Talenr de x sera positive, et pourra être construite
comme précédemment.

Si l'on suppose m = a, la valeur de jt se réduit à o , et
le point D se confond avec le point A; ce qui doit être,
puisque la ligne AB satisfait à la question.

Soit maintenant m ^ a ; la valeur de x devient négatii^, Fio. 8.
et, le signe étant mis en évidence, elle prend la forme

a

Afin d'interpréter ce résultat, il faul, en tertu des prin-
cipes établis en Algèbre, t^monter à Inéquation du pro-
blème, ou i la proportion

h\a\\ 6 — :e:m,

et y cbanger ar en — x\ ce qui donne

ft : fl : : fc -4- X : m.

Or, h — X, qui exprimait la distance CD , devenant h*\^x^
représente maintenant la somme dé deux lignes ^ ce qui ne
peut avoir lieu qu'autant que le point cherché se trouve en
ly sur le prolongement de CA, G'e8t-à-*dîre €n sens cen^
trmîrâ de celui où il était d'abord placé.

Celte modification une fois établie dans la proportion.»
Ton en déduit

ab -i- ax=z bm. d où jr = — i ■'•

a

Pour construire cette expression , il suffit de porter, à
partir du point B, la ligne donnée m de B en G\ ce qui
donne

puis de mener G'D' parallèle à BC. Le point D' est le point
demandé -, c'est-à-dire que D'E', parallèle à AB , est égale h
m. Cela est d'ailleurs évident.

24. Remarque, — La solution négative qu'on a obtenue
dans le cas de m]>a indique ^ non pas une rectification à
faire dans l'énoncé de la question (car, quelle que soit la
grandeur de /n, il est toujours possible de placer cette ligne
dans l'angle ACB, parallèlement à AB, en prolongeant les
deux côtés, si cela est nécessaire), mais bien une différence

a8 TNTKODUCTIOZr.

de position du point D par rapport au point fixe A, suivant
la grandeur de m.

Ainsi, lorsque, pour résoudre le problème, on suppose
le point D au-dessus du point A , cette position est exacte
tant que l'on a m <[[ a •, mais elle devient fausse dès qu^on
a m ]> <ï5 et le signe — obtenu dans ce cas, sert à rectifier
cette position , en indiquant que la distance du point donné
au point inconnu, doit être portée en sens contraire de
celui ou elle aidait été d'abord portée.

Cela est si vrai, qu'on peut éviter tout résultat ncgatij
en fixant convenablement un autre point de départ^ par
exemple en prenant CD au lieu de AD pour i: connue.

En eflet, soit CD = x' \ les autres notations restant les
Fio. 8. mêmes, on a

b :a :\ X \m^ d'où a:' r= — >

a

résultat qui est essentiellement positif, quelles que soient
les grandeurs relatives de a, i, m.

Tant que l'on aura /7i<^ a , la valeur de x* sera plus pe^
tite que b ; et après l'avoir construite, si on la porte sur C A,
à partir du point C , l'extrémité D tombera au-dessus de A;
mais si l'on a m ^ a, la valeur de x* est plus grande que i,
et le point cherché tombe en D', au-dessous du point A.

Observons d'ailleurs que l'expression

a

peut se mettre sous I une des deux formes

, bia — m) , , ô(iîi — tf)

x = b i i, ou x'=6h ^ i;

a a

la première correspondant au cas où l'on a nK^a^ et la
deuxième à celui où l'on a m > a.

Mais comme, par la première manière de résoudre la
question , on a trouvé

b [a — m) b[m — a)

il s'ensuit que les deux inconnues x et x' sont liées entre

elle» par la relation

x' :=z b — x\

IlfTEmPRÉTÀTIOH DBS BÉSULTATS NÉGATIFS. SQ

X éuni positif dans le cas de m <[ a, et négatif lorsqae Ton

25. Reprenons maintenant le problème du n** 7, et tâ-
chons d'en interpréter la solution négatii^e.

n est clair, d'abord , que la première des deux valeurs
obtenues est la seule qui puisse satisfaire à la question telle
qu'elle a élé énoncée, puisqu'on demande de div^iser a en
deux parties, etc., et que la valeur absolue de la seconde
solution est plus grande que a.

Mais on peut modifier l'énoncé ainsi qu'il suit :

Étant donnés deux points fixes A et B, trout^ersur la Fio. 9.
ligne AB ou sur son prolongement un troisième point tel,
que sa distance au point A soit moyenne proportionnelle
entre sa distance au point Betla distance des deux points
KetB.

D'après ce nouvel énoncé, comme il n'y a pas de raison
pour supposer le point cherché à gauche plutôt qu'à droite
du point A, on commence par le supposer à droite, c'est-
à-dire entre A et B. (Il ne peut être en E'', car AE'' étant plus
grand k la fois que AB et BE''^, ne saurait être moyen pro-
portionnel entre ces deux lignes.)

Soit donc E le point cherché, et posons

AEz=Xy AB=ra, d'où B£ = a — x;
on a la proportion

a : X :: x: a — «,

doù

x" = fl' — ax

et

La première valeur est positive et se construit comme il
a élé dit n<^ 7.
La seconde valeur est négati\fe; et pour la construire, il

fant, après at^oir déterminé la ligne AC égale à l/«*4- -r>
prolonger AC jusquà sa rencontre en D' ai^ec la circonjé'^

rcnce déjà décrite, ce qui donne AD' égal à --{- i/û*"+- 7-1

puis rabattre par un arc de cercle, AD' de A en K' à la
gauche du point A (conformément à la remarque du n^ 24);

3o iwnM^vcnoîi.

et la diftaiice ÂE' devra satisfaire paiement k la question.
Fxo« 9. En effet, à cause de

9oa

Or

^'=(;+v/"'*î)"=v+V-*r

et

ABXBE'39 —

2

Donc

AE' *= AB X BE', ou bien AB : AE' : : AE' : BE' .

Ainsi le nouveau proUème admet iieux ^olniions^
Si Ton demande comment il se fait que ces deuK solutions
soient comprises dsns la même formule, quoiqu'on nietiaut
le problème en équation, on ait supposé le point cliercUé,
à droite du point A, et non à gauche, voici l'evplicatioii
qu'on peut en donner :

Soit d'abord le point cherché entre A «t B ; on a la pix>-
portion

a : X :: X : a — x,
d'où

(l) x'+ax=:fl*.

Puis, supposons-le sur le prolongement, en E^ par exemple :

comme on a

AE' = x,
il en résulte

BE'^0 + «,

et la proportion devient

a: jr ::x:a-f«xs

d'où

(a) à^'^axasuK

Cela posé, si Ton résout l'équation (i) en ne tenant compte
que de la valeur qui correspond au signe -H du radical , on
obtient

a / a*

nrTERPRÉTÀTIOn DU k£8UX.T4TS hégatifs. 3i

de même, si Ton résout l'équation (a) en n« teoailt comptt
qne de la valeur qui correspond au signe 4- du radical y il
vient

a r ?

Or cette valeur est précisément , au signe près, la se-
copde valeur que donne Téquation (i) par sa résolution
complète.

Le signe — , qu'on obtient pour cette seconde valeur,
correspond (n^ 34) à une rectiGcaiion , non dans Fénoncé
du problème, mais dans la position qui avait été primiti**
vement attribuée au point demandé.

On éviterait, oemme dans le problème précédent, toute Fie. 9.
solution négative, en prenant pour inconnue la distance du
point cberché à un autre point A', tel que Ton eût

Aia«i soit« par exemple,

ÀA'= 2a,

et posons

A'E = jr',

doù

ÀErsa/— ^fl, BE=3a — y;

la proportion indiquée par l'énoncé devient

ce qui donne

(jr'^ 2fl)'=r Sa*— tfj/,
et, par suite,

V''

Ces deux valeurs sont essenliellement positives, puisque
le radical est numériquement moindre que — •
On peut d'ailleurs les mettre sous la forme

d'où

39 IlTTRODUCTIOir.

et, comme on avait trouvé

=-f±v/^

il s'ensuit que x et x' sont liées par la relation

Seulement , x est posùif -pour le point E , et négatif -pour le
point F/.

26. iV^ B, — L'erreur que Ton commettrait en attri-
buant au point cherché une position impossible, se mani-
feste par une expression imaginaire,
Fio. g. Supposons, en effet, que dans ce même problème, au
lieu de prendre le point cherché en E ou en E', on le prenne
en E*, c'est-à-diire à droite des deux points A et B.
En posant

AE^'zs X, d'où BE'' =î X — a,

on trouve, par la substitution de ces valeurs dans la propor-
tion AÇ : AE'' :: AE'' : BE'',

a \ X \\ X \x — û , d'où X*— ax zs — «%

et, par suite,

= î*\/-T

Ce résultat imag^znazTd tient uniquement à ce que l'on a
attribué au point cherché une position absolument unpos-
sible^ car AE'' ne saurait, comme nous Pavons déjà dit,
être moyen proportionnel entre AB et BE''.

27. Les principes établis (n^' 23 , 24 et 25) peuvent être
résumés de la manière suivante :

i^. Toutes les fois que, dans la résolution d'un problème
de Géométrie par le secours de l'Algèbre, Y inconnue re-
présente la distance d!un point fixe à un autre point, comp-
tée sur une droite fixe, et qu'on obtient, pour expression de
cette inconnue, des résultats, les uns positifs et les autres
négatifs,

Si l'on est convenu de porter les valeurs positiifes dans

IRTERPRÉTATIOI? DES RÉSULTATS «ÉGATIFS. 33

un sens quelconque à partir du point fixe, les valeurs néga-
tives doivent être portées en sens contraire du précédent.

0?. Le moyen de faire disparaître les solutions négatives,
est de rapporter le poin t cherché à un autre point fixe, dont
la distance au premier point fixe soit assez grande pour
qiion soit assuré que tous les points susceptibles de satis-
faire à F énoncé se trouvent d'un même côté par rapport
à ce second point ^ et cela est toujours possible, en général,
puisque la ligne sur laquelle se comptent ces distances peut
être prolongée autant qu'on veut.

Les résultats négatifs proviennent uniquement de ce que
Vorigùie des distances a été d'abord choisie dans une posi-
tion intermédiaire entre les points cherchés ] et le signe —
indique la différence de position de ces points par rapport
au premier point fixe.

3°. Si dans la résolution d'une question (d'un problème
ou d'un théorème) y on veut faire entrer en considération les
distances entre un premier point fixe et d'autres points
situés avec celui-ci sur la même ligne , mais dans des sens
différents, et qu'on regarde comme positives les distances
comptées dans un sens, on doit regarder comme négatives
celles qui sont comptées en sens contraire du précédent.

Nous ne donnons point ici de démonstration générale de
ces principes; mais dans la suite, nous les verrons se con-
firmer de plus en plus, et nous en sentirons mieux l'usage
et l'importance.

Le problème suivant mérite beaucoup d'attention , non-
seulement sous le rapport des constructions auxquelles il
donne lieu , mais encore et surtout sous le rapport de la
discussion.

28. Quatrième problème. — Étant donnés un angle Fia. lo
YAX et un point D dans Pintérieur de cet angle, on pro~
pose de mener par ce point une droite LDN , de telle ma"
nière que le triangle intercepté ALN soit égal à un carré
donné m*.

Abaissons des points N et D les perpendiculaires NP,
DC, et menons DB parallèle h AT.

Ap, de VAf, n h n. ^

*

34 lïlTRODXJCTIOH.

FiG. 10. Prenons AL pour inconnue, et posons

AL^o?, DGcsA, ÂBzsa, d'oo BL = âr-*-a.
Les deux triangles semblables ALN , BLD donnent

BL:DC:: AL : Np, ou x — fl:A::x:NP;

donc

. ^ Ai?

KP = 5

x-^ a

mais, diaprés Ténoncé, on doit avoir

ALXNP
ALN ou «S3«*;

2

ainsi Ton a pour l'équation du problème,

hx

X X —. : = m\

a(j? — a)

ou, effectuant les calculs et ordonnant,

, . m* — 2 am*

(l) X^ — 2— Jî= 7 •

(^ette équation étant résolue donne

m' . m

j: = -7- rn -r y/w^ — 2 ûA.

/i /i

Pour qvie ces valeurs aoîeui réelles^ il faut que Ton ait

m^'^Tkoàf DU au moins m^ss^ak.

Arrêtons-nous à Phypothèse m*= 2 ah^ d'où a: = 2 a.

Prenons AG double de AB ou égal à 2a, et tirons la
droite GDH, qui se trouve divisée, au point D, en deux
parues égales.

Nous formons ainsi un triangle AGH dont la surface est
- égale à 2 oA comme étant quadruple de cdle du iriangle

DBG qui a pour mesure a x —

D'où Ton peut conclure que le triangle AGH correspon-
dant k la valeur de j:= 2a, est le minimum de tous ceux
qui peuvent satisfaire à la question.
TiG. 1 1 . Supposons maintenant m* ]> 2 aA , et tâchons de con-
struire le problème sur la figure elle-même.

Les deux valeurs de x étant mises, à cet effet, sous la

PHOBLÈMES SUR LA LICVE DBOITB ET LE CERCLE. 3S

forme

-"T*\/f(?H'

prenons sur AX ,

AGacaABsaa et AKs-^t

troisième proportionnelle qu^on peut supposer construite
séparément^ II en résulte

GK = AK -^ AG = ^ — 7«;

n

décrivons sur AK une demi -circonférence, élevons du
point G la perpendiculaire Gl, et tirons la corde Kî^ nous
avons

rabattons par un arc de cercle RI de K en L , et de R en
L'^ les distances

ALx=AK<^RL et AL'â=AK-KL'

sont évidemment les deux valeurs de x.

En6n tirons les droites LDN , L'DN' , et nous avons ainsi
ALN, AL'N' pour les deux solutions du problème proposé.

29. Première remarque, — Le point L' qui correspond

à la seconde solution , tombe nécessairement entre B et G;

car on a d'abord

KL' ou KJ > KG ;

d'un autre côté, l'expression — — — — formant les deux

ni*
premiers termes du carré de y— a , il en résulte

d'où

v/

-^ z— , ou KL'<-7 fl, ouKB.

ni*
Dans rbypotbèse de -^ = a a, les triangles ALN, AL'N'

se réduisent au triangle unique AHG, ptti^que iilors les

tri*
deux valeurs de x deviennent égales à -r-*

3.

36 INTRODOGTtON.

30. Seconde remarque, — La question proposée étant
considérée sous le point de vue le plus général, présente
quatre solutions, quoique la méthode employée pour la
résoudre n'en ait fourni que deux,
Fio. 12. En effet, outre les deux solutions déjà obtenues, ALN,
AUN', il est visible qu'on peut toujours mener par le point
D, deux autres droites DU', DL'^', de manière que les tri-
angles AU'N'', AU''N"' soient égaux au carré donné m*.

De plus, pour ces deux solutions, le carré peut être
aussi petit ou aussi grand qu'on veut.

Comment se fait-il que ces deux solutions ne soient pas
comprises dans le résultat obtenu? — Nous allons répondre
à cette question.

En cherchant à mettre le problème en équation , nous
avons supposé le point h à la droite du point A *, et les tri-
angles ALN, BLD nous ont donné

NP:DC :: AL:BL, ou NP: a irorra: — a;

d*où

hx
NP = -— -,
X — a

et, par suite,

hx X ^

X — a 2

ou , en simplifiant ,

, . /W* 2fllll*
il) Jî' — 2 j: = — r— •

Maintenant , si nous considérons le point h à la gauche
du point A , en h" par exemple , les deux triangles AL^'N",
BL'^D donnent encore

N''P":DC:: AL^iBL".

Mais, comme en général une proportion ne doit être éta«
blie qu'entre des nombres absolus ^ et que x est, par sa po-
sition, négatif, il s'ensuit que la valeur absolue de AL^
doit être exprimée par — x^ et celle de BL'' par — x + a-^
ainsi la proportion devient

1N''P":A::— «:— «H-û; donc N"P" = î!^:

— JT -h a

PROBLÈMBS 6UE LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. 87

ce qui donne Téquation

— Aj7 X

X -— = «%

— X -4- fl 2
on, réduisant,

équation qui diffère de (i) par le signe de -r-*
L'équation (2) étant résolue donne

A A

De ces deux valeurs, qui sont essentiellement réelles, la
première est positive et la seconde est négative. Or, je dis
que la valeur positive correspond au triangle ÂL^N"\
En effet, les deux triangles AL^N'^^ BL'^'D donnent

ou

p''p*':A::x:« — x; d'où n*'p^=:-^,

■ a —X

et, par conséquent,

Ax X .

a — X 2
équation qui revient à celle-ci ,

— /ix — X

— x-f- fl 2

ce qui fait voir que les solutions AL"N", AL'"N'" sont com-
prises dans la même équation.
Voici d'ailleurs la construction du résultat

Prenez a gauche rfi* ^omf A une distance AK' ég'ofc à Fio. 12.

-T-9 et A uRoiTE du même point, une distance AG =: 2 a*,
ce qui donne

m»

A

Décrisfez sur GK' une demi^circonférence; au point A

1

38 INTRODUCTION.

éleviez la perpendiculaire AI', et tirez la corde R'I'; vous

avez

Rabattez ensuite KT rfc K' en U' e^ rfe K' en L"'; il «i
résulte

P/

FiG. 12. iV^. jB, — Il serait aisé de recounaître que le point L'
doit tomber entre A et B. [Voyez le n** 29,)

Oïl peut comprendre les quatre solutions daiu une même
formule } en posant Téquatiou

d'où l'on déduit

"*-^(*t)'=-^'' (=*=?)

X

=*ï*v^*?-K-")- ■

Le signe supérieur de ±-7- correspondrait alors aux

deux solutions ALN, AUN' \ et le signe iiiférieiu*, vkx 90-

lulionsAL''N^ AL'^'N'^

Ou bien encore, on pourrait multiplier entre eux les
deux facteurs

2/«' 2a/w' 2/w^ 7.afn}

il en résulteraît l'équation du quatrième degré

qui comprendrait les quatre solutions.

La l'^marque qui a fait Fobjet de ce numéro est une
nouvelle confirmation du principe (n^27) sur h» change*
ments de signe des distances comptées en sens contraire
les unes des autres.

31. Examinons maintenant les circonstances relatives

PROBLEMES SUR LÀ LIGUE DROITE ET LE CERCLE. 39

aux diverses positions que le point D est susceptible de
prendre par rapport aux deux lignes AX , AY, en nous
bornant à faire connaître les résultats, avec la manière d^y
parvehîr.

Premier cas. — Supposons le point D placé au-dessous Fio. 1 3.
de AX et À la droite de AT, en D^

Cette condition s'exprime en introdoîâaDt (n° 27) dans
le résultat prùnàif, — 'A à la place de h^ puiéqiie les dis*
tances des points D et D' à la ligne AX sont comptéM en
sens contraire Tune de l'autre ^ et il vient

ou bien

= -t=^v/t(t-*-")-

La nature de ce résultat, dont les valeurs sont toujours
réelles, prouve que les triangles qui lui correspondent sont
placés dans les deux angles YAX , r AX^

Deuxième cas. — Le point D peut être placé à \ê gitiche Fie. i4*
de AY, et au-dessus de AX , comme en D^'.

Dans ce cas, il est clair que la distance AB^' est comptée
en sens contraire de AB; ainsi, il suffit de changer a en
— a dans la formule primitive , ce qui donne

-=?±V^?(ï-")

Les solutions correspondantes se trouvent encore placées
dans les angles TAX , Y' AX^

Troisième cas. — Le point D peut être situé en IV^' dans Fie. i5.
langle X' AY', opposé par le sommet k Tangle XAY.

Il faut alors changer à la fois a et A en — a et ^ A dans
le résultat , qui devient

ou bien

m'

et comme ces deux solutions peuvent être imaginaires, elles
doivent être toutes les deux placées dans Tangle X'AY'.

40 INTRODUCTION.

On pourrait, par des raisonnements analogues à ceux du
n^ 30 , expliquer pourquoi , dans chacun de ces trois cas ,
on n'obtient que deux solutions, tandis qu^il doit y en
avoir quatre quand on considère la question d'une manière
générale.

32. Nous terminerons cette discussion par l'examen de
deux cas particuliers.
FiG. i6. i^. Soit le point D placé sur la ligne AX.
Dans ce cas , on a

et Fexpression

W2' . m

devient

fit t^ in I 7

h h

/n'±/w* A o

ou 0? = - et « = -

o 00

De ces deux valeurs, la première est infinie, et l'autre

se présente sous la forme >•

Mais si l'on remonte à Téquation

elle se réduit , dans l'hypothèse de A =: o , à

— 2 m'^ = — 2 am^y d'où 4: = « = AD.

Connaissant la hase AD du triangle cherché, ou obtien-
dra sa hauteur j^, d'après la condition

jrx- = m', doù 7=--— = -—.5
2 jc a

cette hauteur étant trouvée et construite, on la portera
sur AH perpendiculaire à AX ; puis on mènera HN' paral-
lèle à AX, et Ton aura enfin le triangle ADN' pour réponse
à la question.

Quant à la solution infinie ^ elle signifie que l'un des tri-
angles de la question a une base infinie et une hauteur

nulley puisque yx- = rn* donne

2/W*

X = -— - = o;

00

PROBLEMES SUR LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. 4'

c'est ce que devient la solution ALN de la fig, x i lorsque
le point D , se rapprochant de plus en plus de AX , finit
par tomber sur AX.

2^. Soit le point D placé sur AY. Fio. 17.

Dans ce cas , on a

<i = o,

et l'expression de x se réduit à

iw* _j_ /n' „ ^ 2 m'

jc = ^- rt -r- j d'où X = —7- et x = o.
h h h

•g»

D'ailleurs , l'égalité yx-^^m* donne

2

a/w'

et, par conséquent,

c'est-à-dire qu*en prenant sur AX une distance AL égale

2 fn^
à -^ 9 et tirant DL , on aura ALD pour première solution.

Quant à la seconde , elle se réduit encore k un triangle
dont la base est nulle et la hauteur infinie ^ et c'est ce que
devient la solution AL'N' de la^^. 1 1 quand le point D , se
rapprochant de plus en plus de la ligne AT, finit par se
Ut)uver sur AY.

Nous n'en dirons pas davantage, pour le moment, sur
la construction et la discussion des problèmes *, celui que
nous venons de traiter, renfermant dans ses détails tout ce
qui constitue la résolution complète d'un problème de Géo-
métrie par le secours de l'Algèbre.

Les problèmes suivants ont principalement pour objet la
recherche de quelque&ybrmK/ej qui nous seront utiles.

33. Cinquième problème. — Étant donnés les trois Fio. 18
côtés d'un triangle ABC , on propose de déterminer l'ex-
pression de sa surface.

Désignons par a^ b^ c les côtés respectivement opposés
aux angles A, B,C.

4 a inthoduction.

FiG . 1 8 . Nous aurons , d' après ces notations ,

BC==:fl, AC=^, AB = c;

posons d* ailleurs

AD = ^, BD = or i

d'où

DC = a — X ou X — a y

suivant que la perpendiculaire AD tombe en dedans ou au
dehors du triangle.

On a pour la surface du triangle ,

en sorte que tout se réduit à déterminer y en fonction des
trois côtés a , b^c.

Or, les deux triangles rectangles ADB , ADC donnent

(i) j»H-x» = c%

(2) yr^-i.{a-'xy=zbK

Cette seconde équation restant la même quand on substi-
tue X — a à la place de a — x^ convient également au cas
où le triangle serait obtusangle en CD.

Retranchons l'équation (2) de Téquation (1) ^ il vient

— à^-^-Hûx^rzc^^" b*, a*où Jt =

Remplaçant x par sa valeur dans réquatîofi (f), ou
trouve

et) par suite,

r = — s/i rt» c' — (a^ -^ c* — b^\ .

(On ne met point ici le double signe devant le radicaU
puisque , d'après la nature de la question , Ton tt'a besoin
que de la valeur absolue de j.)

Rapportant enùn cette valeur de / dans Texpression du
triangle ABC, et désignant la surface de ce triangle par S.
ou obtient^ toute réduction faite ^

(3) S = 4 v/4 rt'C — («' -+. c»-- 6^)\

PROBLÈMES SUR LA LIGUE DROITE ET LE CERCLE. 4^

on

Telle est l'expression de la surface du triaugle , évaluée
au moyen des trois côtés a^b ^ c,

34. On peut donner à Texpression (3) une autre forme,
qui soit propre au calcul logarithmique.

Remarquons que la quantité sous le radical, étant la
différence des deux carrés, peut se décomposer en

D'ailleurs, chacun de ces deux facteurs est lui-même la
différence de deux autres carrés, savoir :

(û-f-c)'— ^> et 6»— (a-*e)%

lesquels se décomposent en

(fl-4-c-t- *)(a 4-tf — b) et (6 -t-û — <?)(^ — rt -^-c).
Donc

S = i sl{a H-^4-c)(«4.c-. ^)~( M- a — c)[ é-f-c — a);

et si Ton fait , pour plus de simplicité ,

a + 6 4- css 2/?,

d'où

a-^-b — e=:2p — 2c,

a^ c — b z=2 2p — 2^,

b-hc — a zs 2p — 2a,

U vient

s = 7 ^^p{^P — a a) ( »/> — 2 * ) ( 2/> — 2 r) ,

ou, toute réduclioo fsîte,

(4) s = \/p{p-a)ip^b){p^c)i

ce qui fournit la règle suivante :

Pour obtenir la valeur numérique de la surface d'un tri*
angle, connaissant les trois côtés,

Faites d'abord la somme des trois côtés, et prenez la
moitié de cette somme; retranchez alternativement de
cette moitié y chacun des trois côtés; cela vous donne trou

44 INTRODUCTION.

différences. Formez ensuite le produà de la denU'Somme
et des trois différences, puis extrayez la racine carrée de
ce produit.

Vous avez ainsi en nombre Texpression demandée.

5tf . Soit pour application ,

il en résulte

«"+-^-hc, ou 2/? = 34t
d'où

/? = I7;
donc

p — a = 2, p — è = 5, p — crzio.
Ainsi

ABC = v^i7X2 X5x lo.

Appliquons les logarithmes.

On a, d'après les Tables de Gallet :

log 17 = T, 23044893
log 2 = o,3oio3ooo
log 5 = 0,69897000

log 10 = I9OOOOOOOO

Somme 3, 23044892

log S = 1,6152245,

S = 4'>3^H

c'est-à-dire que , si Ton a pris le mètre pour unité linéaire , la sur-
face renferme 4i mètres carrés plus 23 1 millièmes de mèirt carré.

36. Discussion. — Pour que la formule (4) donne une
valeur réelle , il faut (comme p est essentiellement positif)
que les trois autres fadeurs soient positifs k la fois , ou
bien qu'il y en ait deux négatifs et un positif.

Or, on ne peut avoir en même temps

/> — fl<o, p — b<C^o\

car l'addition de ces deux inégalités donnerait

2/? — (a4-^)<Co, ou 2/7<^«-f-A,

c'est-à-dire le périmètre du triangle moindre que la somme
de deux côtés \ ce qui est absurde.

Donc
et, par conséquent.

PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. 4^

On doit ayoir les trois inégalités

/i — û>o, /?— ô>o, ;; — c>o;
d'où Ton déduit, en remplaçant p par sa valeur et rédui-

sant,

^-f-c]]>a, a-t-c>^, a-hi^c;

c'est-à->dire un quelconque des côtés moindre que la somme
des deux autres.

C'est, en effet, la condition nécessaire pour qu'un tri-
angle soit possible quand on donne ses côtés.

Si Tune des inégalités précédentes avait lieu dans un ordre
inyerse, Texpression serait imaginaire.

37. Nous proposerons encore comme application, de Fio. 19.
déterminer la surface d'un trapèze ABDG, en fonction des
quatre côtés.

En posant AB = a , CD = b , AC = c , BD = d^ on doit
trouver

s = T~ sl(p^a){p^b){p-a^c){p-a-d).

Soit a = o, auquel cas le trapèze se réduit à un triangle;
il vient

comme au n^ 34.

38. Sixième problème. — Déterminer la relation qui
existe entre les trois côtés d'un triangle quelconque et le
rayon du cercle circonscrit à ce triangle»

Avant de passer à la résolution de cette question , nous
rappellerons la démonstration du théorème suivant de Géo«
métrie :

Dans tout quadrilatère inscrit ABCD, le rectangle des Fio. 20.
diagonales est égal à la somme des rectangles des côtés
opposés^ c'est-à-dire que l'on a

- BD X AC = AB X DC -4- AD X BC.

Soit menée du point B sur AC la droite BE, de manière
qu'on ait T angle CBE égal à l'angle ABD *, il en résulte né-
cessairement Fangle DBC égal & l'angle ABE.

46 USTJLOnVGllOVé

FiG. 20. Cela fait, les deux triangles BCE, ABD sont aemUaUes,
comme ayant deux angles égaux , savoir : CBE = ABD par
construction , et BCE = ADB , puisqu'ils sont inscrits et
appuyés sur le même arc AB.
On a donc la proportion

CE: BG :: ad: bd;

d'où l'on déduit

(i) CEXBD = BCXAD.

Pareillement, les deux triangles ABE, BDC sont sem-
blables, puisque ABE = DEC d'après la construction, et
que BAE = BDC comme appuyés sur le même arc BC

On a donc la proportion

AE : AB :: DC: bd;

d'où l'on tire

(2) AEXBD = ABXDC.

Ajoutant l'une à l'autre les égalités (1) et (2), on obtient
(CE -f- AE) BD ou AC X BD = BC X AD 4- AB X DC.

C. Q. V. D.

Appliquons ce théorème à la question proposée.
Fïc. 21. Soient ABC le triangle donné, et 0 le centre du cercle
circonscrit.

Tirons le diamètre COD et les cordes AD, BD; puis fai-
sons , d'après les notations du n^ 33 ,

BC=rat ACirsbf AB =r ^ et OC tsir;

il en résulte

AD = V^4r'— b\ BD = v^4r»— «%

puisque les angles CAD, CBD sont droits.^

. Cela posé, on a, en vertu du théorème précédent,

AB X CD s=3 GB X AD H» AC X BD ,

ou

(A) 2cr=:flV^4r»— 6»-f-*v^4r«— fl^

Telle est la relation générale qui existe entre les côtés
d'un triangle et le rayon du cercle circonscrit.

Cette formule renfermant quatre quanlités a, £, c, r, on

PROBLEMES SOK LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. 47

peut se proposer d'en déterminer une quelconque au moyen
des trois aulres; et cela conduit à différentes questions que
nous allons résoudre et discuter.

39. i^. Étant données dans un cercle dont le rayon est
connu, les cordes de deux arcs , on demande la corde de
la sonune de ces deu;jç arcs.

Soient!^ le cercle donnée AC» CB les cordes aussi don- Fie. 21.
nées; AB sera la corde de la somme des deux arcs.

On cannait donc dans la formule (A ) les quantités a, i, /*,
et il ne s'agit que d'obtenir c.

Or> cette formule donne immédiatement

(B) cz^ — v/^mrp H J4^'~.a^

2**. Déterminer la corde du double d*un arc, connais-^
sant la corde de cet a/v.

Soit fait dans la formule (B), b=za] alors c exprime Fie. 22.
éridemment la corde du double de l'arc sous-tendu par a ou
par & ; et il vient

3*^. Réciproquement, déterminer la corde de la moitié
d'un arc, connaissant la corde de cet arc^

Dsois la formule (C), les quantités c et a étant liées eutre Fig 22,
elles de manière que Tune est la corde du double de Tare
sous-tendu par l'autre, il s'ensuit que, réciproquement, la
seconde a est la corde de la moitié de l'arc sous^tendu par la
première c. Ainsi, tout se réduit à déterminer a en fonction
dec, d'après la formule (C).

Or, si Ton chasse le dénominateur et qu'on élève les detix
membres au carré , il vient

ou, ordonnant,

DoQe

a^ =: tïr*dtz^4^* ^ c^ r\

ou bien ,

48 INTRODUCTION.

et, par conséquent,

(D) a =Vr(2r±:^4r^^^)-

(Nous ne mettons point ici le double signe devant le pre-
mier radical, parce que nous n'avons besoin que de la valeur
numérique de a. )

L'expression de a, qu'on vient d'obtenir, présente deux
valeurs essentiellement différentes , et cela doit être.
FiG. 22. En effet, la corde ÂB appartient non-seulement à Tare
ACB, mais encore à l'arc ADB; ainsi, lorsqu'on demande
la corde de la moitié de l'arc sous-tendu par la corde AB, il
n'y a pas plus de raison pour trouver AC, corde de la moitié
de ACB, que AD, corde de la moitié de ADB.

Toutefois, si l'on suppose d'avance que l'arc sous-tendu
par la corde donnée AB est moindre qu'une demi-circonfé-
rence , il faudra prendre pour a la plus petite des deux va-
leurs ci-dessus, c'est-à-dire celle qui correspond au signe
inférieur du radical, et Ton aura

Le contraire aurait lieu si l'arc donné était plus grand
qu'une demi-circonférence, et il faudrait prendre pour a.

Il est d'ailleurs facile de se convaincre que si AC est
exprimé par la première de ces valeurs , AD est représenté
par la seconde.

En effet, le triangle rectangle CAD donne

AD= V^4r>— le';
mais, par hypothèse,

donc

AD = V2rM-r ^4'**— <^'*

4°. Étant données les cordes de deux arcSj tromper ta
corde de leur différence.
Fio. ?ti. Soient AB=:c, AC = & les deux cordes données, et
proposons-nous de déterminer CB ou a, qui n'est autre

PEOBLEHES SUR LA LIGUE DROITE ET LE CERCLE. 49

chose que la corde de la différence des arcs sous^tendus par
cet fi.

La qaesdon est donc ramenée à traiter a comme une
inconnue , dans la formule (A) , et à tâcher de l'en dégager.

Reprenons cette formule

et obsenroDS que a se trouvant sous le second radical , il faut
commencer par faire disparaître ce radical. Or, de cette for-
mule on tire , par la transposition ,

2cr— fl^4r»— 6»= 3v'4r>— a»;
i^ovL, élevant au carré,

4tf*r»— 4flcr.V^4r*— à'-f 4i!i»r» — «»**= 46»r" — «'*»;
ou, réduisant et ordonnant par rapport à a,

r '^

Cette équation étant résolue donne

(E) fl = — V4r>— *»±A^4r>— c'.

Pour interpréter ce résultat qui-comprend^ietiarsolutions, Pio. ai.
nous remarquerons que les cordes données AB , AC appar*
tiennent chacune à deux arcs, savoir :

ACB, ADB, pourlaoorde AB,
et

AMC, ADBG, pour la corde AC.

Ainsi , lorsqu^on demande la corde de la différence des
arcs sous-tendus par AB et par AC, le même calcul doit
donner la corde de la différence entre Tun quelconque des
arcs ACB, ADB, et'Fun quelconque des arcs AMC, ADBC.

Or, si sur Tare ADB on prend une partie AC égale a
AC, et qu'on tire la corde BC^ on aura

1*. AGB — AMC = GNB . • qui correspond à la corde CB ;

a*. ADB — AMCouADB — AM'C'=:CDB CB;

3«. ADBC — AGB ou ADBC— AM'C — CNB = C'DB. . CB;
4*. ADBC — ADB = GNB CB;

Ap, de VAl. h In Cm. 4

?5o INTRODUCTION.

d'où l'on voit que les quatre différences sont égales deux à
deux et correspondent aux deux cordes CB , C'B.
Fie. 9. 1 . On voit encore que , si les arcs sous*tendus par les cordes

données sont supposas plus pçtits à la fpis, ou plus grands
à la fois qu'une demi-circonférence, comme le sont les lires
ACB et AMC , ou ADBC et ADB , la réponse à la question*
est nécessairement

CB ou « = — yjL r» — h^ JX^»— c*;

mais si les deux arcs sous-tendus sont supposés Tun plus
petit et l'autre plus grs^nd qu'unç demi-circonférence, on
a pour réponse

CB ou « = — )Ji r« — b^ H di r» — c\

D est à remarquer que cette dernîèi'e formule est iden-
tique avec la formule (B) qui donne la corde de la somme
(le deux arcs 5 et cela doit être, car CB peut être regar-
dée comme la corde 4^ U somme dqs ^fc% ^iia^iendu< par
ABetAC

40. 5°. Étant donnés les trois côtés a, b, c, d*tàn tri--
Angle, on demande l^expr^sion du rujran du cercle cir-
conscrit à ce triangle.

La difficulté consiste À dégager r de la formule (A).

Or, dans Iç numéro précédent, on 4 d^à obtenu, par
une première transformation exécutée sur cette formule,
Téquation

qui revient à *

r {a^ 4. c' — ^') == ac \l'^r^^ b^.

m

Elciv^^t 4^ nouveau les deux membres de cette équation
au carré , on a

4'oi^ Ton déduû

^ a'&V

raOBLÈXES SUK LA LIGNE DROITE ET LE CERCLE. 5l

et , par consëquent,

abc

(Le double signe devant le radical serait inutile, puis-
qu'on ne demande que la valeur numérique du rayon.)
j4 litre expression — La formule (3) du n** 33 donne

OD a donc encore

abc

c est-à-dire que le rayon du cercle circonscrit a pour ex^
pression le produit des trois côtés du triangle , rf/Vwé par
le quadruple de sa surface,

41. Oi| p^ttt encore, à celte occasipp, se proposer de
trH)ut'er le rayon du perde inscrit à un triangle.

Soient un triangle donné ABC et O le centre du cercle Fie. -«.S.
inscrit à ce triangle.

Tirons les lignes OA, OB, OC, et les rayons OP, OQ,
OR, que nous désignerons par/*'.

On a évidemment, d'après la figure,

ABC ou S = ABO 4- ACO -+- BCO = (^li- -±fl^' ;

d*oà Ion déduit

2S

r'

AÎBfi , h rayon du cercle inscrit à un triangle a pgur
escprefsion le double de la surface du triangle, divisé par
son périmètre.

Remarque, — On a vu, en Géométrie, qu'il existe quatre
cercles tangents aux trois côtés d'un triangle, supposés
prolongés indéfiniment.

En désignant par r\ , r\ , r\ les rayons des trois cercles
autres que celui qui vient d'être considéré, on a pour les
expressions de ces rayons,

I aS , 2S , 2S

» r,3= — — T I r

4-c— i ' rt+^ — c • 54-e— »«

4

52 INTROU tCTlON.

En eflet , consîdéroDs, par exemple , le cercle dont le cenlre
est en O'; nous trouvons

ABC ou S = AO'B -h BOX — ACC = (^ -^ g — ^)^,
d'où

43. ScoLiE GÉNÉK4L. — On 8 pu remarquer que, dans
toutes les questions qui ont été traitées a partir du n^ 28,
les expressions algébriques ont été constamment homo-
gènes, parce qu'aucune des lignes que Ton a fait entrer
dans le calcul n'a été explicitement prise pour imité* ce
qui confirme le principe général établi au n° 15^ sur l'ho-
mogénéité.

Les formules où l'on a introduit la lettre S pour dési-
gner la surface à^vûi triangle, ne font pas exception sous
ce rapport; car, pour les rendre homogènes, il suffirait d'y
remplacer S, qui n*est qu'une simple notation, par un
carré tel que m*.

Exercices.

Nous croyons devoir terminer cette introduction en
proposant quelques Exercices, comme moyen de familia-
riser les commençants avec la manière à^ appliquer V A gèbre
à la Géométrie.

Plusieurs questions sont susceptibles d'une solution gra-
phique; d'autres n'admettent, par leur nature, que des
solutions purement numériques ; quelques-unes nécessitent
l'emploi des principes de la Trigonométrie,

I. Étant donnés dans uti triangle rectangle la somme
des deux côtés de l'angle droit ainsi que la somme de Thy-
poténuse et de la perpendiculaire abaissée du sommet de
l'angle droil sur Thypoténuse : i" calculer les côtés et les
angles; a** construira le triangle; 3" dùcuter,

II. Etant donnés dans un triangle rectangle le péri-
mètre et la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle
droit sur Tliypoténuse^ construire ce triangle. — Discussion,

£XEaCICE5. 53

m. On donne, dans un triangle quelcomiue, F un des
côtés , Tangle opposé et la somme ou la différence des deux
autres côtés : i° résoudre le triangle \ '2^ le construire.

IV. Sur une base donnée, constrttire un triangle dans
lequel la somme des côtés soit double de la base, et dont le
<oinmet soit sur une droite donnée de position.

V. Déterminer la surface et les côtés d*un triangle , en
forictiou des trois hauteui's.

VI. Diviser un trapèze en deux parties qui soient entre
elles dans le rapport de deux lignes m et /i , par une droite
menée parallèlement aux bases.

\1I. Partager de même un tronc de cône par uu plan
parallèle aux bases.

Vm. Inscrire dans un triangle quelconque un rectangle
d^une surface donnée. — Parmi tous les rectangles in-
scrits dans un triangle , quel est celui dont la surface est
un maximum?

IX. Etant données trois circonférences concentriques,
trouver le côté du triangle équilatéral dont les sommets se-
raient sur ces trois circonférences.

X. Par un point donné dans Tintérieur d'un angle
droit y mener une droite telle, que le rectangle de ses deux
parties comprises entre le point et les cotés de Tangle soit
%al à un carré donné.

Généraliser cette question en supposant quelconque
I angle que forment les deux droites qui comprennent le
point donné.

XI. Etant donné, dans Tintérieur d^un angle droit y un
point à égale distance des côtés de cet angle , mener par ce
point une droite telle , que la partie comprise entre les deux
côtés soit égale à une ligne donnée i m.

[Ce problème est susceptible d*une solution assez simple quand
on prend pour inconnue auxiliaire la distance du point donné au
point milieu de la droite demandée.]

54

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

PREMIÈRE SECTION.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

CHAPITRE PREMIER.

§ I. Du POINT ET DE LA LIGNE DROITE. § Jl. Du CERCLE.

— § III. Des lieux géométriq! es. — § îW Application

DES THÉORIES PRÉCÉDENTES A LA RÉSOLUTION DE DIVERSES
QUESTIONS ET AU PtlOBLÈME DES TANGENTES.

43. Définition. -^ La méthode que nous avons déve-
loppée dans TiNTRODucTiON , pour résoudre toute espèce de
questions [théorèmes ou. problèmes) par le secours de FAl-
gèbre, n*est, à proprement parler, qu'une méthode «nrf/-
recte, puisque les moyens employés sont particuliers h
chaque question , et varient avec Ténoncé de chacune
d'elles.

Il existe une méthode générale, appelée Analyse de
Descaktes , du lîoto de l'illustre philosophe qui en a dtratië
la première idée; elle consiste à exprimer par des éffiia-
tionè la position respective des points et des lignes dtoites
ou tioutbes, faisant partie de la figure tTune question pro-
posée, puis à combiner ces équations de manière à at*
teindre le but indiqué par V énoncé de la question,

A proprement parler, c'est ie développement des priu-
cipes de cette méthode qui constitue la Géométrie analt-^
TIQUE telle qu'on Teuvisage maintenant.

Elle se divise en deux parties distinctes que nous traite-
rons successivement : Géométrie analytique à deux dùneti'
sionSy et Géométrie analytique à trois dimensions^ suivant
que les objets que Ton considère sont situés 5ur un même
plan ou d'une manière quelconque dans r espace.

POSITION d'un point SLK UN PLAN. 55

^ I. Du POINT ET DE LA LIGNE DROITE.

Manière de fixet la position tïun point sur Un plan.

44. Pour peu qu'on réfléchisse sur la nature des pro-
bièmes de Géométrie, on voit que la plupart reriennent ,
ea dernière analyse ^ à trouver la distance d'un ou de plu-
sieurs points inconnus y à d'autres points ou à des droites
fixes et déjà déterminées de position. Si donc on avait un
moyen de fixer analyiiquement la position d'un point par
rapport à des points ou à des lignes connues de position ,
on serait en état de résoudre toute espèce de questions géo-
métriques.

Soient deux droites kectangulaires , AX, AY, fixes et Fio. a49
données de position sur un plan ; et soit M un point quel-
conque dont il s'agit de déterminer la position sur ce
plan.

Si , de ce point , on abaisse les pcrpencticiil aires MP, MQ ,
il est visible que le point M sevsi fixé dès q\ie l'on connaîtra
les longueurs des deux côtés contîgiis AP, AQ du rec-
tangle APMQ , puîsfjuc ces côtés sont les distances du point
M aux deux lignes fixes AX et AY.

Donc, si Ton mène, a ces distances, deux droites, P^\
et QiVt, respectivement parallèles aux lignes AX et Al",
le point d'intersection de ces deux parallèles sera le point

DEMANDÉ.

On est convenu de donner le nom d'AXES aux deux lignes
fixes AX et AY.

La distance AP on QM du point M à l'axe AY s'appelle
V abscisse de ce point, et se désigne algébriquement par jt.

La distante AQ on PM du mènië point IVf à Taxe AX
est dite Y ordonnée de ce point, et s'exprime par y.

Ces deux distances portent conjointement le nom de (coor-
données du point.

Les deux axes se distinguent l'un de l'autre par les dé-
nominations d'axe des abscisses ou dès ^, donnée à la ligne
AX sur Ifiquellè ée compttifit les abscisses, et d'axe d«»s

56 ÉQUAT10n8 DU FOIIÏT.

ordonnées ou des jj donnée a la ligne AY sur laquelle se
comptent les ordonnées.

Enfin , le point A est ce qu*on appelle ToRiGiif b des coor^
données^ parce que c'est à partir de ce point que se comp
lent ces dislances.

45. Équations du. point, — Le caractère analytique de
tout point considéré sur l'axe des y e8ta: = o, puisque
cette équation exprime que la distance du point à cet axe
est nulle.

De même , le caractère de tout point placé sur l'axe des x
est^= o. '

Donc le système des deux équations

« = 0, /=:o

caractérise Vorigine A des coordonnées ; car elles n'ont lieu
en même temps que pour ce point.
En général , les deux équations

considérées simultanément, caractérisent un point situé â
une distance a de Taxe des j', et à une distance b de Taxe
des jr.

En effet, la première appartient à tous les points d'une
parallèle à AY, menée à une distance AP = a; la seconde,
à tous les points d'une parallèle à AX, menée à une distance
AQ = b. Donc le système des deux équations appartient
au point d'intersection M, et n'appartient qu'à lui. Elles
en sont, pour ainsi dire, la représb^tation analytique.

On les nomme , pour cette raison , les équations du point.

46. Remarque. — On doit toutefois considérer, dans les
expressions aetb^ non*seulement les valeurs absolues ou
numériques des distances du point aux deux axes, mais en-
core les signes dont elles peuvent être affectées , eu égard à
la position du point dans le plan des axes AX et AY.

FiG. 24. Car, d'après le principe établi (n^27), si Ton convient
de regarder comme positii^es les distances telles que AP,
comptées sur AX et à la droûe du point A , on doit regar-
der comme négatis^es les distances telles que AP', comptées
à la gauche de ce point. De même , si l'on regarde comme

ÉQUATIOlfS DU POfIfT. 5 7

positives les distances AQ comptées au-dessus du point A
sur AT, on doit regarder comme négatii^es les distances
comptées au-dessous de ce même point.

A la vérité , le principe que nous venons de rappeler a
été établi pour les distances de points situés de côté et d'autre
2»ur une même droite, par rapport à un point fixe; mais
îl a lieu également pour des distances de points à des droites
fixes.

11 suffirait, pour s'en convaincre, de prendre uue nou*
velle origine et de nouveaux axes parallèles aux premiers ,
et par rapport auxquels tous les points considérés fussent
situés du même côté.

D'après cela, si nous mettons en évidence les signes dont
a et & peuvent être aSectés, nous aurons les quatre sys-
tèmes d'équations

pour caractériser les quatre positions essentiellement dilié-
rentes du point, savoir : M, M', M'', M"^

On trouvera ainsi :

1°. Que le point dont les équations sont Fio. 25.

x = -f- I , ^ = — 3,

est situé dans Tangle Y'AX à une distance AP = i de Taxe
(les jj et à une distance PM = 3 de l'axe des x.
a". Que le point exprimé par Fio. 26.

j: = o, / = — 2,

est situé sur l'axe AY (n^ 45) à une distance AM= 2.
3^. Que le point Fio. 26.

est situé sur Taxe AX vers la gauche de A, à une distance

AM=:I.

i7. Noiis avons supposé jusqu'à présent les axes perpek-
DiciiLAiKES ENTRE EUX, parcc quc c'csl la position la plus
simple et la plus usitée. Cependant il y a des questions dont
la résolution exige que Ton considère des axes faisant entre
eux un angle quelconque.

1

58 EXPRESSION DE LA DISTANCE

Fie. 27. Dans ce cas , les coordonnées ne sont plus des perpeiidi-
ctdaires abaissées sur les axes, maiâ bien des parallèles h
ces axes ; c'est-à-dire que les distances AP ou QM , AQ ou
PM, se comptent parallèlement aux axes AX, AT.

Du reste , tout ce qui a été dit dans Thypothèse où les
kxes sont rectangulaires , s'applique également au cas où

Ils iont OBLIQUES.

Expression annljtiqué de la distance entre deux points

donnés Sur un plah.

FiG. 28. 48. Pour trouver cette expression qui est d'un usage
continuel, prenons d'abord les axes rectangulaires.

Soient x\ y^ les coordonnées d'un premier point M,
et x^ ^ y^ les coordonnées d'un second point M' 5 en sorte
que l'on ait

pour les équations respectives de te% points qu^on àuppose
connus de position.

Il s'agit d'exprimer la distance MM', que hous appelle-
rons D, en fonctiotï des Coordonnées x\y\ x"^ y^.

Pour cela, menons les ordonnées MP, M'P' de ces deux
points, et tirons M'R parallèle à AX.

Le triangle rectangle MRM' donne

MM' =MR +M'R ;
mais

M K=z MP — RP :=r ^' — y\ M'R = PP' = jr' — *";
donc

MM', ou D»=(7'— j")»+(x''-x")»;
par suite,

Cette formule est générale, et convient même au cas oii Us
deux poînls sont dans une position contraire par rapport à
Tun (les axes. Il suffit d'y introduire , pour les applications,
les changements de signe qui correspondent aux change-
ments de position.

ENTàE DEUX POINTS DONNÉS. 5g

Ainsi, par exemple f pour obtenir la eUnance àe deiVit Fio. 29.
points dont l'un , M, est placé dans l'angle YÂX, et dont
1 autre. M', est placé dans l'angle YAX', il faut changer le
signe de x^^ ce qui donne

et, en effet, la figure donne, dans ce cas^ abstraction faite
des signes ,

MM' :=! MR -h M'R j

puis

MK = ^ — x'\ M'R = AP -H AP' =3 jc' -+- j?' ;
donc

D = VC/^r^j^-h (x'4- .r")'.
Si l'un des points donnés, M' par exemple, est V origine
des coordonnées, comme on a alors x'' = o , et j^"= o , la
formule devient

ce qui est Conforme au résultat que donne le triangle rec-
tangle AMP dans lequel on a

AM = MP 4. AP .

49. Lorsque les axes sont obliques , la formule est diffé- Fio, 3o.
rente.

Eti effet, le triangle MlVl'R est ohtiquangte et donne,
en tertU d'une formule trigonométrîque connue,

MM' =MR-hM'R — 2MRXM'R.co5MRM'.

Or, on a

MR=/ — /, M'R = a/ — x''j
d'ailleurs

cos MRM' = — CCS MRK = — cos Ô

(9 désignant l'angle MllK qui n'est autre chose que celui
des deux axes) ; donc

D'=(jr'-j''7-4.(x'~x")'4-2{r'-.x")(^'-J^").cosO,

1» *
ou

Ce résultat, plus compliqué que le précédent , fait sentir
Yauantage de supposer les axes rectangulaires lorsqu'on
doit faire entrer dans les calculs la cUstance entre deux
points donnés , et que le choix des axes est arbitraire.

9 etc.,

60 ÉQVATIOir DE LA LIGNE DROITE.

Manière de fixer analytiquement la position d'une droite

sur un plan.

FiG. 3i SO. Soit une droite LBL' indéfinie et située à volonté
et 32. dans un plan. Prenons dans ce plan deux axes rectangu-
laires ou obliques, AX, A Y, par rapport auxquels la droite
soit placée d'une manière quelconque.

Menons d'ailleurs de différents points M, M', M'', etc.,
pris sur cette droite, les ordonnées MP, M'P', M"P", etc.,
et par le point 6 où la droite rencontre Taxe des ^, tirons
BH parallèle à AX.

Les triangles semblables BQiM , BQ'iM', BQ'^M", etc.,
donnent la suite de rapports égaux

MQ _M^'_M^
BQ "^ BQ^ "" BQ"
ou bien

MP -> AB _ M^P^ — AB _ M^^P^^~ AB

ÂP~"" ÂF "~ ÂP '^^''

ce qui prouve que la différence entre V ordonnée d'un point
quelconque de la droiteel rordo.inéequipassepar l'origine,
est à l'abscisse du même point, dans un rapport coitstaiît.
Désignons donc par r et / les coordonnées d'un point
pris au hasard sur la droite , par b la distance AB (appelée
Y ordonnée à l'origine) , et par a le rapport constant dont
nous venons de parler \ nous aurons la relation

y-b

X

d'où

(i) j = aj?-+-^,

laquelle sera satisfaite pour tous les points de la droite
UBL , à V exclusion de tout autre point.
Fio. *3i. Car soit N un point situé au-dessus ou au-desâous de
cette droite.

Comme l'ordonnée ÎN P de ce point est plus grande ou
plus petite que Tordonnée MP correspondante à la même
abscisse , et que , par hypothèse , on a pour le point M

MP = fl.AP-f-*,
il s'ensuit que M P est plus grand ou plus petit que a. AP+&*

ÉQUÀTIOlf DE LA LIGNE DROITE. 6l

Ainsi Ton a , pour les coordonnées de ce point,

On voit donc que la relation (i) caractérise tous les points
de la droite, et qu'elle en est, pour ainsi dire, la représenta-
tion analytique y en ce sens, que si , au moyen de cette équa-
tion. Ton yeut retrouver les différents points de la droite,
il suffit de donner à x une série de valeurs que Ton porte de
A en P, P', P*, etc. Menant ensuite par les points P, P',
P^, etc., des parallèles à A Y, et prenant sur ces parallèles
des parties PM, P'M', P^'M", etc., égales aux valeurs de j^
correspondantes et tirées de Féquation (i), on aura M, M',
>F,etc., pour autant de points de la droite.

On appelle, pour cette raison, la relation (i) réQUÂTiOM

DE LA DROITE L'BL.

Les quantités x elj qui expriment les coordonnées des
différents points de la droite , sont des variables ; et les
quantités a et b qui, pour la même droite, ne changent
pas, sont appelées les constantes de cette équation.

Si . Le RAPPORT a est susceptible de deux acceptions diff<^

rentes, suivant que les axes sont rectangulaires ou obliques.

1^. Si les axes sont rectangulaires, le triangle rectangle Fio* 3i.

MBQ donne

MO taug MBQ

— ^^ ou H =S 2 i;

BQ r '

appelons a Tangle MBQ égal à LCX , et supposons , pour
plus de simplicité, le rayon des tables égal à i ; il en résulte

ass tanga;

ainsi , le rapport constant est égal à la tangente trigono^
métrique de V angle que forme la droite auec l'axe des x.
2^. Lorsque les axes sont obliques, on a Fio. 32.

MQ _ sin MBQ _ sin MBQ

BQ' ®" ^ ~ sin BMQ "" sin LBY '

ou bien, désignant par 0 Tangle TAX , d'où LBY = 6 -* a ,

sin a

""" sin (G — a) '

^ est-à-dire que ^ dand ce cas , le rapport com stant est égal

6a ÉQUATION DE LA LIGNE DROITE.

au rapport des sinus des deux anglçs aue la droite forme
'a\^ec les axes des x et des y.

Cette dernière valeur rentre dans la précédente , lors-
qu'on suppose 6 = 90** ; car on a

sin 0c sin (x

-: — ; — r 2=ï = tang a.

sin(go** — q,) cosflt

Piscussion d^ V équation y^^ax-^ b.

53. Nous considérerons particulièrement , dans cette dî^t-
cussion , les axes à angle droit, parce que c^est le cas Ir
plus ordinaire.

Les constantes a et & , qui sont fixes et déterminées pour
tous les points d*une même droite j peuvent, d'après leur
nature, passer par tous les états de grandeur, soii positifs y
soit négatifs, puisque la première est une tangente trigo-
nométrique et que la seconde exprime I4 distance du point
fixe A , à un point placé sur la ligne A Y.

Ces divers états de grandeur dépendent de la position que
peut avoir la droite donnée , par rapport aux axes \ nous
allons examiner cas différentes circonstances.
Fio. 33. Traitons , d'abord , le cas où la droite passe par T origine.

Dans ce cas, on a i =5 o, et Téquation devient

yr=iaKy d'gù "^ssa;

X

oe qui montre que V ordonnée d^un point quelconque de la
droite ett à son abscisse dans un rapport constant.

Cette propriété caractérise toutes les droites qui passent
par V origine j car ce point se trouvant sur chacune d'elles^
ses coordonnées [j? = o , j^ =s o] doivent vérifier leur équa-
tion ; ce qui exige que le terme indépendant de x et de >-
manque dans cette équation.

Faisons actuellement tourner la droite autour de Tori-
gine, et voyous ce qup devient a dans ce mouvement.

D'abord , si la droite est couchée sur AX, l'angle a est
nul y et Ton a

tanga, 00 a=:0|

ÉQUATI02Î DS LA LIGJXV^ IMVQir^* $3

ce qui réduit l'équation à

qui n'est autre chose que Téquation de l'axe des x, puisque
(n^ 45) elle q$t le earactèr^ de toul point pUoé sur eat axe.

Tjmt que lu droitOi en U>uruapt au-'dessm de Taxe dea x^
s«ra placée d^nt Tauglq YA^IS^, Vwgla cl sera plus petit que
90 degrés , et tang a ou a sera positif, mais augmentera de
{49f eç plus.

U ^i d^ailleiira évidmt, d'«près l'équation y ss: ojr, qu a
des abscisses positii^es AP, ou négativ^es AP', correspcm-*
dront des ordonnées MP, M'P' respectivement de même
signe qu'ellet,

Sî 1a drQHQ vienl à te confondre ayec AY, comme on a
alors

a = 90", il en résulte a = oo et - = o;

d'où Ton peut eonelure que l'équation, mise sous la forme

x = -- r, se réduit à j; = o,
a

qui est en effet l'équation de Taxe des y (n^ 45).

Supposons maintenant que la droite soit placée dans l'in-
térieur de l'angle YAX', comme U^AV*,

L^angle a est obtus ^ donc tang a ou a devient négatif, et
diminue de plus en plu^, numériquement , à mesure que la
droite se rapproche de AX'^ et si l'on met le signe de a eu
évidence 2 on a pour l'équation de la droite L"AL'">

d'où Vwk voit ^u'à des abscisses positives AP'^ correspon*
dent des ordonnées négatisfes '9"''hl{'"\ et à des abscisses ni^
gatives AP" correspondent des ordonnées positives WWK

Ce résultat s'accorde avec la ligure.

N. M. *—» Lorsque les axes sont obliques, le changement Pio. 3^,
^ ^ign^ de a correspond au cas où Pangle » ou 17 AX de-
vient plus grand que l'angle Q des deux axes.

En effet, dans l'expression a = -: — rz ?» le dénomina-

* sin (ft*w «)

leur aiQ(9<«r-ai) iiour a]>6 se change en «-«•ain(ic<i«*0).

64 ÉQUATION DE LA LIG^E DROITE.

et l'on trouve

un a

Fie. 33. Revenons aux axes EECTAirGULAiiLBS< Si la droite , conti-
nuant de tourner, se place sur AX', tang a redevient nul, et
Fëquation se réduit de nouveau à j" = o , ou k l'équation
de Taxe des x.

La droite passant dans Tangle X'AY', a est >> i8o®,
mais <] aSo^ ; donc tang a ou a est positif , et l'équation
redevient

Et, en effet, la droite étant prolongée au-dessus de Taxe
des Xj reprend les positions qu'elle avait prises d^abord
dans Tangle YAX.

Enfin, lorsque la droite passe dans l'angle Y'AX, au-
quel cas on a a ^ ^70^, mais <^ 36o^, tang oc ou a rede-
vient négatifs et Ton retombe sur l'équation

Fia. 35* S3. Considérons, maintenant, le cas où la droite passe
par un point B de l'axe des y situé au-dessus de l'origine.
Dans ce cas , V ordonnée à V origine, ou i, est positive y
et Ton a pour Téquation de la droite

y =: ax -^ b,

La quantité b est essentiellement positii^e; mais il n'en
est pas de même de a.

Car si l'on conçoit que la droite tourne autour du point B,
comme, dans ce mouvement, elle prendra nécessairement
des positions parallèles à toutes celles qu'elle avait prises
autour de l'origine, a sera positif ou négatif dans les
mêmes circonstances.

Il suit de là :

1°. Que l'équation ^ = ax-|-i convient à toutes les
droites, telles que LBL', qui forment, avec Taxe des jc, un
angle moindre que 90 degrés, ou plus grand que 180 de-
grés , mais moindre que 2270 degrés \

a*^. Et que l'équation yr=, — ox -h & convient à toutes
les droites , telles que \J'^JJ^\ formant avec l'axe des x un

ÉQXJATIOII DE LA LIGUE DIOITE. 65

angle plus grand, que 90 degrés et moindre que 180 degrés,
oa plus grand que 270 degrés, mais moindre que 36o
degrés.

Enfin, lorsque la droite est assujettie à passer par on Fio. 35,
point B' sitoé au-dessous de Forigine, b est négatifs etl'é«
qoation devient

Xzst-^ax — b

pour toutes les droites telles que UB'L , et

^ = — AT — h

ponr toutes les droites telles que ll'WU'm

54. Examinons, comme cas particuliers, ceux oà U
droite est parallèle à Fun des axes.

i^. Lorsqu'elle est parallèle à l'axe des or, on a éyidem-
ment tang a ou a = o ; d^ailleurs , b est positif on négatifs
ainsi Téquation se réduit à

résultat qui s'accorde avec ce qui a été dit n^' 45 et 46,]

u?. Si la droite est parallèle à Taxe des /, tang à doit
itre infini» D en est de même de b , qui , exprimant la dis-
tance de l'origine au point où la droite rencontre Taxe des jr,
devient nécessairement, dans le cas dont il s'agit ^ plus
grand qu* aucune quantité donnée»
Ces deux conditions, introduites dans

jr=zax-+bj

qu'on peut mettre sous la forme

I b

a a
la réduisent à

Pour interpréter ce résultat, observons qu'afin d*obtenir
la droite dans toutes les situations possibles , par rapport
aux axes , nous avons supposé (n^ 53) que la droite tourne
autour du point B rq^ardé comme fixe* Dans cette hypo-
thèse, b a une valeur )!/iie et déterminée, e( il est impos-
sibled'en déduire le cas où la droite devient parallèle à AT .
âp. de tài. à la G. 5

66 4QVAVI0V n 1-4 L^KS PIIQITS.

(Qa trouTe seulement , dans }^ supposition de a =3 op ,

ou Téquation de Taxe des jr.)
"<^« 3§, Pour ce eus particulier, il est nëeessaira de changer le
centre de mom^ement de la droite, et de prendre, par
exemple , le point G où la droite rencontre l'ase des x*

Or, si l'on désigne la distance AC par c, ou plutôt par
— c , attendu que cette ligne est comptée daps le sens des
abscisses négatives, o^ a évidemment

•-7;=3taog(x, ou — >-retf; d'où cob^-tt*;

et Péquatlon derient

x = ij. + o.

8i\pposons maintenant qne la droite t tournant autonr da
point C , devienne parallèle à AY \ tang « on a devient ôm
/îni^ et c ne change.pas.

Dc(%ç Véquation se réduit â

équation vpX représente e^ effet (n®45) une paralWft i
law des y.

I^e ^1;^ de c dépe«4 d^ U ppsîti<piu du point C piir rap-
port à l'origine A ; le poiis^t peut ^e e|i C ou C'.

L^expression de c, ou ■? offre l'exemple d*une firac-

tion qui reste constante, bien que ses deux termes devien-
nent infinis. C'est ainsi qu'une fraction -9 qui se réduit

â - lorsqu'on suppose a = o, 6 = 0, acquiert dan^ cer-
tains cas une valeur jfÎTiie et déterminée.

fS&. Nous ferons observer, en passant, que la relation
a :«: — T-t intniduite dans l'é<]|uatioQ

a ramène i la forme y a= a: -f^ 4, d'oà

QUESTIONS PKéLIXINAiRES SUR LA LIGNE DROITE. 67

éqaation qui renferme comme constantes les dislances de
l'origine A aux points où la droite rencontre les axes.

En y faisant x = o , on trouve jr = b\ ce sont les coor-
données du point où la droite rencontre Taxe des jr.

Soit ^ = o, on obtient jr.=: ey ce sotit Us coordonnées
dn point où la même droite rencontre l'axe des :ç.

n y a quelquefois de l'avantage à employer Tëquation de
la droite soiis la forme

cjr -^ bx z=z bc y oa ^H — =1»

à cause de V homogénéité des termes de celle-ci.

Cette forme convient encore an cas où les axes sont Pio. 32.
oiuQVES ; car le triangle BAC donne

sinBCA AB b b

sinCBA' ^AC — <î c

CoHCLcsiON. — Il résulte de la discussion précédente ,
que Téquation

^ = ao? -f- A

comprend implicitement les équations de U droite consi-
dérée dans toutes les situations qu'elle peut avoir par rap-
port aux axes. H suffit d'y subtituer pour a et b les valeurs
correspondantes à ces diverses situations.

Questions préliminaires relatives à la ligne droite.

56. Toutes les fois que la position d'une droite sera don-
née par celle du point B où la droite rencontre Taxe des y^
et par Tangle qu'elle forme avec l'axe des x, les constantes
a et & auront une valeur déterminée. Mais ou peut impo-
ser à une droite d'autres conditions, telles, par exemple,
que celles de passer par deu^ points pris à volcpté sur un
plan 5 de passer par un point donné et d'être parallèle ou
perpendiculaire k une droite déjà connue de position \ de
passer par un point et de Jaire ai^ec une autre droits un
angle donné, etc.

Dans ces différenu cas , a et b doivent être regardées

comme des constantes indéterminées, dont las valeurs da*i>

pendent d^ conditions imposées à la droite»

5.

68 QUESTIONS PaÉLIMINAlRES SUR LA LIGNE DROITE.

La reclierche de ces valeurs donne lieu à une série de
questions qui servent de base à la Géométrie analytique,
et que nous allons développer successivement.

87. PRBmkRE QUESTION. — Trouvcr l'équation d'une
droUe assujettie à passer par deux poàits donnés sur un
plan.

(Dans cette question, les axes peuvent être pris indifié-
remment rectangulaires ou obliques.)
Fio. oB Soient M et M' deux points fixés sur un plan par leurs
et 3o. coordonnées x\ y et x^^y"*

L'équation cherchée sera de la forme

(i) /=:flxH-6;

a et & étant deux constantes (inconnues pour le moment)
qu'il s'agit d'exprimer en fonction de x', y\ x^j y"^ qui
sont supposées connues.

Or, puisque chacun des deux points M et M' se trouve
sur la droite, leurs coordonnées mises k la place de x et /
dans Téquation (i), doivent la vérifier. Ainsi, l'on doit
avoir les deux relations

(2) y = tfx'4-*,

(3) y^=zaj/'^b.

Comme ces équations ne contiennent a ei b qu'aa pre-
mier d^ré, on en tire facilement les valeurs de ces in-
connues.

D'abord, si Ton spustrait (3) de (a) , il vient

X'—x''=:a{a/'^a''); d'où fls=-^]^^>

Portant cette valeur dans Téquation (a) , on trouve

et substitttant cea valeurs de a et & dans l'équation (i) , on
obtient

pour I'équatioh BBiujmÉB*

Autre méthode^ -^ Retranchons d'abord l'équation ( a)

QCESTIOirS PRÉUMINAIRE8 SUR LA UOITE DROITE. 69

deTéquation (i) j il vient

équation qai contient encore V inconnue a\ mais , en sous-
trayant (3) de (2), on obtient

Portant cette valeur de a dans l'équation précédente, on a

(5) j,_/ = ^^Zl^(x-x'),

équation qui , ne renfermant plus que les variables néces^
saires x, jr, et les données x\ y', ^^\y\ convient encore

A LA DROITS CHERCHÉE.

L'identité des équations (4) et (5) peut être établie faci<-
lement. En effet, on tire de l'équation (5) ,

OU réduisant,

La seconde méthode, plus simple et plus élégante que la
première , donne lieu à un résultat dont l'emploi dans les
calculs est, en général , plus commode.

Toutefois, l'équation (4) a l'avantage de laisser en évi-
dence la quantité & , ou \ ordonnée à V origine.

S8. Remarque. — L'équation

qu'on a d'abord trouvée en employant la seconde méthode ,
joue un grand rôle dans la Géométrie analytique. Elle
offre un caractère particulier : c'est de représenter toutes
les droites qui passent par le point particulier (x',y').

En effet , on y est parvenu par la combinaison de l'équa-
tion générale

avec la relation particulière

y = flx' + *,

qui exprime que le point [x\ y') se trouve sur la droite.
D'ailleurs, si l'on y fait à la fois y = J^S x = x\ elle se

yO QUESTIONS PRÉLIMINAIRES St3R LÀ LIGNE DROITE.

réduit à o = o ; ce qui prouve évidemment que la droite
passe par le point (x', /').

Quaiit à la quantité a qui subsiste encore datis l'équa-
tion , c'est une constante indétef*minée dont la valeur dé-
pend d'une seconde condition qui peut être imposée a la
droite. Dans la question précédente, cette condition con-
siste à foire passer la droite par un second point (x^'^y^) ,
ce qui détermine complètement la position de cette droite;
et l'on trouve, en effet,

59. Seconde question. — Mener par un point donné
une droite parallèle à une autre déjà connue de position.

Commençons ][>ar établir analytiquement la coadiûoii
de parallélisme des deux droites.
Fie. 36. Soient

les équations des deux droites BL etDH.

Puisque ces droites sont parallèles , les angles a et (f!
qu elles forment avec l'axe des x sont égaux.

Ainsi, dans le cas d'axes rectangulaires, on a

tâDg cf! = tang a^ ou bien a' = a.

Quand les axes sont (Cliques, on a de même

sin a' sin a

sin(0 — a') sin(ô — a)'

et, par conséquent encore,

a' z=z a,

Rèciproqueinenty si Ton a la relation a^a'^ on peut
conclure que les deux droites sont parallèles.

Il suffit, pcrur le prouver, de considérer le cas où les axes
sont obliques, puisqu'il comprend celui d'axes rectangu-
laires comme cas particulier.

Or, la relation . ,^ r = a. étant développée , donne

sm ( Ô — a ) . rtr ^

a sin 0 cos a — a sin a cos 9 =: sin a ;

I

d'où

(i -h a cos d ) tang a = a sin ^,

QOMTtOm FAÉUMinAl&Eft StJR LA LiaHS K^ROltlS. jt

et, par suite,

annB

tâng a := -•

^ I + a cos 8

On obtiendrait de même

- a- sin 0

taBffa'= j -•

^ I -h a' cos ô

Mais comme on a , par hypothèse ^ a=za\ il vient

tan^a = tanga^

el) par conséquent ,

(car il ne peut être ici question que d'angles <[ x8o°.)

Ainsi , les deux droites sont parallèles»

La relation a'=:a est donc une condition caractérisa
tique du vaeàlléusme de deux droites.

60. Reprenons maintenant le problème proposé.
Soient x', y les coordonnées du point M par lequel on Fio. 36.
veut mener une parallèle DH à une droite donnée BLi
L'équation de la droite dortnée étant

(l) yzrsaX'^kj

celle de là di^itè chetchée bera de la fotth^

(a) x=za'a:-^b\

a' et b' étant deux constantes qu'il s'agit de déterminer*

Or, la droite DH devant, par hypothèse, passer par le
point M , on a l'équation particidière

(3) y^u'à/Jhh'.

Retranchons les équations (2) et (3) l'une de l'autre, il
vient

y — j^' = û' (x — a/) {voir le n** 58).

D'ailleurs, à cause du parallélisme des deux droites, on a

donc , enfin ,

Telle est Téquàtion de là dèoitë cHEacHéB.
Cette équation pouvant s'écrire

y -zrz ax -k- y — 4ix*

ne difière de l'équation (i) de la droite 'donnée que par
\ ordonnée à V origine y qui est icî y -^ax'.

7a QVESTIOlfS PRÉLUUKAIBES 6UB LA UQUE DROITE.

61. Troisième question* — Deux droites étant don--
nées, trouver les coordonnées de leur point d'intersection,
l'îG. 37. Soient

les équations des deux droites données BL et DU.

Pour fixer la position de leur point de concours ^ re-
marquons que, ce point se trouvant à la fois sur les deux
droites, ses coordonnées AP,, MP doivent vérifier leurs
équations , et ne sont , par conséquent, autre chose que les
valeurs de x et de j^ susceptibles de satisfaire simultané^
ment à ces deux équations.

Donc , si l'on élimine x et y entre les équations propo-
sées, on aura les coordonnées cherchées.

Retranchant d'abord ces deux équations Tune de l'autre,
on trouve

O s= (« — tf') « -h * — A',

d'où Ton dÀluit

« = }9

a — a

et si Ton porte cette valeur dans la première équation , il
vient, toute réduction faite,

ab' — ba'

r= r-»

a — a

Telles sont les expressions des coordonnées du point M.
Discussion* — Soit, comme cas particulier,

af =:a\

on trouve pour les expressions des coordonnées ,

h'^h a(b'^b)

« = ï r = — ^ '\

o o '

c*est-4-dire qu'elles deviennent infinies^ ce qui doit être,
puisque les deux droites sont alors parallèles {n? 59).
Si Ton a, en même temps,

a' = a, b'=b,
il vient

o o

0*^0

valeurs indéterminées; et, en effet, dans ce cas, les deux

QUESTIONS FR^IMINAIRES SUR LA LIGUE DROITE. ji

droites se confondant, se rencontrent en une infinité de
points.

62. Quatrième question. — Calculer T angle de deux
droites données par leurs équations

jr'= ax -^ b y y z=z a' X -{- b' .

Les résultats obtenus dans les trois questions précédentes
sont indépendants de Finclinaison des axes-, il n'en est
pas de même dans celle-ci , et il y a lieu de distinguer
deux cas : ou les axes sont rectangulaires , ou ils sont

OBLIQUES.

Premier cas. — Pour déterminer Fangle EMG des deux Fio. 87.
droites, angle que nous appellerons V, remarquons que le
triangle MEG donne

EMG = MGX — MEG;

ou , si l'on désigne par a , x' les angles que les droites BL
et DH forment respectivement avec l'axe des x ,

V=:a' — a,

dou

(1) tangV=:taDg(a--a)=^^^°g"^"-,^°g" .
^ ' ® ® ^ ' I -h tang a' tang «

Cette formule est vraie , quelle que soit l'inclinaison des

axes.

Mais conune nous avons supposé les axes rectangulaires,

on a

tanga = a, tang a' =r a';

€tla formule (i) devient

a' — a

(2) tangV=-— — .

•I -f- ûa

Second cas, — Les axes étant obliques^ on a (n^ 59)

asmB , a' sin 9
tani^a^ t> tang a' = -, '.

d'où, substituant dans la formule (i) ,

a' sin d a sin B

„ I -f- fl' cos Ô 1 + fl ces 0

tang y = , . ,^ »

^ aa' sin* 0

(i -f-rtf cos9)(i -+- a'cosô)
ou, réduisant au même dénominateur, et ayant égard à la

74 QV ESTIONS PaéLIMINAlUBS 617& LA LIONE SAOITE.

relation sin' 6 + cos* 9 == t ,

(3) tangV = ^-- j-^ -'

^ ' ^ I -+-««-*- (a W-a')cosO

Ce résultat rentre ëvidemmentdaus l'expression (à),cptand

on fait

0=90».

FiG. 37. 63. N.B. — Si, au lieu de l'angle EMG, on voulait
obtenir son supplémentEMD j il suffirait de changera' — a
en a — a\ dans les résultats (2) et (3), puisque les tan-
gentes de ces deux angles sont liées par la relation

tang EMD = — tang EMG.

En général, toutes les fois que Ton a à calculer Tangle
de deux droites , il faut préciser quel est celui des deux
angles, supplémentaires l'un de l'autre, qu'on veut ob-
tenir.

64. Considérons le cas particulier où les ûeax droites
sont perpendiculaires entre elles.
Dans ce cas, on doit avoir ^

V = 90*», d'où tang V = oo ;

ce qui donne , les axes étant rectangulaires,

a'-^a

- = 00 ; d'où I + û«' = o ,

I + aa

et les axes étant obliques,

i 4- aa' -I- (« 4- fl' ) cos 0 = 0.

La relation i + aa' = o , que nous aurons souvent occa-
sion de rappeler, peut être démontrée directement au moyen
de la figure.
FiG. 38. En leâet, puisque le triangle EMG est rectangle en M,
les deux angles MEG, MGE sont compléments l'un de
l'autre ^ et Ton a

UngMGE = cotMEG = ^^-^.

Mais

tangMGX ou a' = — tang MGE, et tang MEG =:ir;
donc

a' z= , ou bien aa' -f- i = o.

a

QUESTIOIVS PHiLIMIHAirnSS 8TTR LA LIGUE DROITS. ^5

65. CniQuiÈME QUESTION. -^ Z)'ii/i poÎTit dotiné hors
it une droite, on propose, i^ d'abiusser une perpendicu-
laire sur cette droite^ 2® de troui^er la longueur de cette
perpendiculaire, c'est-à-dire la distance du point donné à
la première droite,

(Les axes sont supposés rectangulâiebs.)

Soient BL la droite donnée, MG la droite cherchée. Fie. 3g.
perpendiculaire à BL et assujettie à passer par le point M
dont nous désignerons les coordonnées par x' et^'.

Supposons que Téquation de la droite BL soit

(1) x^ax-h b.

Puisque la droite MG passe par le point x', y', son équa-
tion sera (n** 86) de la forme

d' étant une constante qu'il s'agit de déterminer.

Or, puisque les deux droites doivent être perpendicu-
laires l'une à Tautre , on a (n^ 64) la relation

I + aa' = o : d'où a' = •

a

Donc l'équation précédente devient

Telle est rÉQUATioir de la perpendiculaire MG; et cette
droite est ainsi déterminée de position .

Pour résoudre la seconde partie de la question, il s'agit
d'obtenir V expression de la distance du point M au point
H où les deux lignes se rencontrent.

On connaît déjà les coordonnées x', y' du point M 5 si
l'on pouvait déterminer celles du point II , il suffirait de
substituer ces quatre coordonnées dans l'expression de la
distance entre deux points donnés, formule trouvée n** 48,
et Ton aurait la valeur de MH.

Comme le point H est \e point d'intersection de BL et de
MG, il faudrait (n**6l) éliminer x ex. y entnî les équa-
tions (i) et (2); mais observons ^que, d'après là formule
déjà citée, ce sont moins les coordonnées des deux points
M et H , que leurs différences, qu'il est important d'obte-

y 6 QLESTIOUS PRÉLIMINAIRES SUR LA LIGKE DROITE.

nir ; ainsi la question esl ramenée à éliminer entre (i) et (2)
les quantités x — x\ y — y\ considérées comme incon-
nues ^ et les valeurs de ces quantités étant substituées dans
Texpression

D =V^(a/-x")'-h(:r'-r")S
â la place de x^ — «3c", j^' — y"^ donneront la distance de-
mandée.

Afin de mettre en évidence les deux inconnues x — x'^
y — y\ dans Téquation (i) , comme elles le sont dans Té-
quation (2), nous écrirons la première équation sous la
forme

qu'on obtient en ajoutant — y' aux deux membres ^ puis
en retranchant et ajoutant ax' dans le second membre.

Cela fait, retranchons Téquation (2) de Téquation (3);
il vient

0= (fl-h- j{x — j/) — y^^aa/'^h\
d'où

X — Se = ■ î

I

a

ou réduisant ,

*-* ^rin '

Cette valeur, portée dans Téqaation (2) , donne

^ ^ a a' -f- I a* -f- 1

Substituant ces valeurs de x — x\ y — y\ dans celle de D,
et désignant par P la perpendiculaire y on trouve

^J^lkL

— a£ — hY 4- (/' — ax^ — à)'

Enfin, mettant en évidence au numérateur le facteur
{^y^ — ax! — i ) * , e t supprimant le facteur a* •+- 1 , commun
aux deux termes, on obtient pour la longueur cherchée
de la distance MH ,

QtTBSTIONS PRéLIMIHÀIRES SUR LA LIGNE DROITE. 77

Discussion, — Le double signe =b dont ce résultat est
affecté, a besoin d'être interprété.

Si Ton chercbe à traduire géométriquement la valeur de Fie. Sg.
la quantité y* — ax' — i, on voit que y' désignant For-
donnée MP, aoc'-^-- b exprime Tordonnée MP de BL, qui
correspond à Tabscisse x' ou ÂP; car si Ton fait x^=x'
dans y = ax -f- A , on a jy- ou AP = ax'+ b.

Donc y'^-nx' — b représente la distance MN.

Or, cette distance peut être (n** 27) positix^e ou négative,

c'est-à-dire ^ o , suivant que le point M est placé iWrdes^

sus ou au-dessous de BL. %

Par exemple 9 si le point était en M', on aurait

D'un autre côté , demander la distance du point M à la
droite BL, c'est en demander la valeur absolue ; d'où il
suit que, si le point M est placé au-dessus de la droite BL,
auquel cas j^' — ax* — i est > o, on doit avoir

P =

et si le point M est placé au-dessous, ce qui entraîne la
condition jr' — ax' — J <[ o , on aura

P= ;

V<i*H-i
Chacun de ces deux résultats peut être vérifié par la Gio-

XÉTRIB.

En effet, MP, MH étant respectivement perpendiculaires
àAP, BL,ona

angl. NMH = aDgl. BL'X = a.

Or le triangle rectangle NMH donne

^„ „^ MN MN

MH = MN cosa = -; — = -=

»^c« \/H-tang»a^
d'ailleurs

MN = MP — NP=t^' — flx'— A, et Ung« = fl;

78 QUESTION» P&iLpÇISAlKES SUH |.A ilGNp DHOITB,

donc

MH, ou P=^^ — F=

y a' H- I

%\ la point M était plaeé ait M' au-dessous de fiL , qb aurait

M'N'=:flx'4-A— r', d'où P=fî!^iz2l'.

66. Examinons (juelques cas particuliers :

Fio. io. ^^' Supposons que le point duc|[uel on veut abaisseir la
perpendiculaire soit roaiGiNE des coordonnées.
On a, dans oe cas,

a/ = 0, r'=:o,
et Pexpression devient

résultat positif on négatif,, suivant que le point B est placé
au-dessus ou au-dessous de Forigine.
Fio. 4i* ^^* Supposons que la droite donnée passe par Toriginc.
On a alors

è = o;

et l'expression se réduit à

F ^^ ' — ou Jr 33 ■ ■■ ^-^ •

yfl* -H I y <*' -H i

67. N. B. — Dans la question que nous venons de trai-
ter, nous avons supposé les axes rectangulaires; s'ils
étaient obliques, il faudrait, pour la première partie, faire
QMge (n^ 64) de la relation

. i-4-ûû'-h(a-+- a')cosô = o,
qui donnerait

, (i + «cos9)

a = -— ^ —S

«H-cosO

et substituer cette valeur dans Féquatiou

Quant à la seconde partie^ après avoir effectué Télimina-
tîon de X — x\ y — y' entre les équations des deux droites,
on porterait ces valeurs dans Texpresaion générale de D

QUESTIONS PRÉLmiK AIRES SUE LA LIGNE DROITE. 79

(d^ 48) ; et Von trourerail, tout ealoul fait y

68. SfEikME QUESTION. — Par un point donné hors
J*une droi^, e/| me^^ une seconde ifui /orme avec la
frçmère un wigh dom^é^

Le^ aiies étant supposés rectangulaires y appelons x'^y'
les Goordottnées du point » et /n la tangente de Tangle dçnn^.

L'éqoation de la droite donnée étant

celle de la droàe cherchée sera de la forme

et puisque ces droites doivent former un angle dont la tan-
gente est m, on doit avoir (n^ 6S)

a' — a , . a — a'

= m I ou bien -z = m.

Ces deux relations peuvent être comprises dans une seule ,

^ — ^ _i- Mv r a±«l.

m; d'où a'=z

I H- no' I If. am

es qui 4cHine > pour Téqu ation de la droite cerrcj^Ar >

1 Ip am ^ '

La question admet donc général^nent deux solutions \
fX cela est évident, car, de chaque c6té de la perpendiculaire
«baissée du peint donné sur la droite j s=s ar 4* ^9 on peut
mener une droite qui fasse avec celle-ci Fangle donné.

Soit cet angle égal à 90 degrés, auquel cas on a

il en résulte

_i^ — rfc I

a'jLLm m i
, ou = \

am I a

m

d'où

r-r'=-^{*~*').

«^pution ûbMniue (&" 65).

8o ÉQVATIOH DU CERCLE.

Nous ne considérons pas le cas où les axes sont obUgues,
parce que les résultats n'en sont pas assez simples.

69. Scolte général. — Les différentes questions xpie nous
venons de résoudre se reproduiront presque à chaque in-
stant dans tout le cours de la Géométeib anàlitique. En
réfléchissant sur les résultats auxquels on a été conduit par
leur résolution, on doit sentir la nécessité d'éviter, autant
que possible, le système des axes obliques, pour que les
calculs soient plus simples. Il faut toutefois excepter les
cas où Ton n'a à faire entrer en considération que Inéqua-
tion d'une droite passant par deux points donnés, et la
condition de parallélisme de deux droites, les résultats
étant alors indépendants de V inclinaison des axes,

§ n. — Du CERCLE.

Manière de fixer anafytiquement la position d'un cercle

sur un plan»

Fio. 4^. 70. Soit un cercle de rayon quelconque r, dont le centre
est en O.

Traçons dans son plan deux axes regtahgulaires AX,
AY, et proposons-nous d'en fixer la position par rapport à
ces axes.

Si Ton désigne par p, q^ les coordonnées AB, 06 du
centre^ et par jr, y les coordonnées AP, MP d'un point quel-
conque M de la circonférence, on aura, en vertu de la for-
mule du n^ 48 ,

(i) (*-/>)'+(r-ç)* = r«.

Cette relation caractérise tous les points de la circonfé*
rence, en ce qu*elle est évidemment satisfaite par les coor-
données de chacun d'eux» et qu'elle ne peut l'être que par
ces coordonnées.

En effet, soit N un point quelconque pris à V extérieur
ou à V intérieur dvL cercle; on a, en désignant toujours par
X et y les coordonnées de ce point ,

{x — p)* H- (/ — gY pour le carré de la distance ON;
mais il est évident que ON est ^ ou <^ OM, suivant que

ÉQUATION DU CERCLE. 8l

le point est extérieur ou inièrieur au cercle , d^où résulte
nécessairement

Ainsi, Féquatîon (i) ne saurait être vérifiée pour un
point qui ne se trouve pas sur la circonférence.

Cette équation est donc Féquatîon du cercle, en ce
sens qu^elle fixe complètement la position de chacun des
points de la circonférence.

Les constantes qui y entrent , sont les coordonnées du
centre et le rayon; et, en efiet, un cercle est complètement
déterminé avec ces données.

71 . L'équation est plus compliquée lorsque les axes sont Fio. 43.
OBLIQUES ; car, d'après la formule du n^ 49, on a

d désignant Tangle des deux axes.

72. L'équation (i) (n^ 70) prend une forme plus ou
moins simple, suivant les diverses positions du cercle par
rapport aux axes.

i®. Uorigine des coordonnées peut être placée en un ï^<** 4^-
point A' de la circonférence»

Dans ce cas , on a évidemment entre p^ q et r, la rela-
tion

*

mais si Ton développe l'équation (i), elle devient

OU, supprimant les deux quantités égales p^ + q^ et /**,

(a) X* — ^px-\'y'^ — aç7c=o.

Telle est, dans ce cas , la forme de Y équation du cercle.

Si Ton pose ^= o dans cette nouvelle équation, il en
résulte

X*— 2/?« = o, ou x{x — 2p)=:o;

doù

x=:0, x^2/7;

ce qui prouve qu'en eflfet le point [or = o, y = o] ou \ ori-
gine ^ se trouve placé sur la circonférence.

8 2 ÉQtJATION D13 CERCLE.

Remarftie, — Gomme, k l'hypothèse y=: o, correspond
encore l'abscisse x=^apy il s'ensuit que la eirooiiféreiice
coupe Taxe des x en un second point C tel , que A' G est
double de A' D ou /? ^ ce qui démontre que la corde A'C
est divisée en deux parties égales par la perpendiculaire
abaissée du centre sur cette corde,

Gette propriété est connue en Géométrie , mais on voit
comment on la met en évidence à l'aide de Téquation du
cercle.

La démonstration s^applique d^ailleurs à une corde quel-
conque, puisqu'on peul faire varier à volonté la direction
de Taxe A'X', pourvu que le second axe A^Y' lui soit mené
perpêhdiculaineihént ,

Fie. 42. ''3. 2°. L* origine peut être placée à V extrémité À'' d'un
diamètre A''G qtli âet*ait lui-même Tate dès or.
Dans cette nouvelle position des axes, oh a

p =z r et ^ = o ;
ainsi , l'équation (1) devient

ou réduisant,

(3) y^=zl3irx — x'.

On pourrait déduire eelle-ei de Téquation (2) en j faisant

p=: r et q =z o.

. L'équation (3) peut servir à démontrer deux autres pro-
prié tés du tertle.

En eÛet, d'aboi^, cette équation peut se mettre sous la

forme

jr^ = jc (sir— x) ;

mais, d'après la figure, orl a

y=rMR, 4?— A"R;
d'ttù

donc
ou bien

a"r:mr :: mr:gr;

c'est-à-dire que la perpendiculaire abaissée d'un point de

2r— a; = A"G — A"R = GR;

MR =A"RXGR,

DES LIEUX GÉOHÉTEIQUES. 83

la Circonférence sur un diamètre, est moyenne proportion^-
nelle entre les deux segments de ce diamètre.
La même équation revient encore à

or, si Ton tire la corde Â^'M, on a ëvidemniënt

r' + x» ou MR-f-A"R = A^'M, 2r=A"G, x = A"R;
doue

A"M =A"GXA''R, ou bien A'G : A'M :: A'^M : A'R;

ce qui prouve que la corde menée par l'une des extrértii"
tés d*un diamètre est moyenne proportionnelle entre ce
diamètre et le segment adjacent formé par la perpendi-
culaire abaissée de P extrémité de la corde sur ce diamètre.

74. 'i^. Enfin , Vongine des coordonnées peut être pla-
cée au centre.

Dans ce cas, qui est celui que noUs au^ons h considërér
le plus fréquemlnent, les coordonnées p etq sont Huiles.
Alors l'équation (i) se réduit à

(4) a7'^-^»==^^

C'est l'équation du cercle rapporté à son centre comme
origine, les coordonnées étant rectaagulaiues.
Si les axes étaient obliques, l'équation du cercle serait

{n«71)

(5) x'-h J^'-+- 2XfcosQ =/•».

N. B. — On parviendrait directement aux équations (4)
et (5) par la considération du triangle rectangle OMR de
la^g. 4îi> et du triangle obliquangle OMR de \^fig. 43,
Forigine des coordonnées étant supposée eu O.

§ III. — Des lieux géométriques*

75. Avant de pousser plus loin l'étude de la ligne droite
et du cercle, il est utile d'entrer dans quelques considéra-
lions sur les équations des lignes en général, et sur le parti
qu'on peut en tirer.

Nous avons déjà vu que la position d'une droite ou d'un
cercle e^t fixée sur un plan par le moyen d'une équation

6.

84 DES LIEUX GÉOHÉTEIQUES.

entre les coordonnées JC et jy de chacun de ses points et un
certain nombre de constantes dont la connaissance suflEit
pour déterminer cette position géométriquement.

Supposons actuellement que ^ x qI y désignant toujours
les distances d'un point à deux axes rectangulaires ou obli-
ques, la résolution d'une question ait conduit à une équa-
tion générale entre x el y^ que nous représenterons par

F(jr,r) = o.

(Le caractère F s'énonce : fonction de).

Je dis que , quand on voudra fixer la position du point
qui satisfait à l'énoncé de la question , ou dont les coor-
données vérifient Téquation , au lieu d'un point, on en ob-
tiendra une infinité^ et la série de ces points formera une
ligne qui sera droite ou courbe^ suivant la nature et le de-
gré de l'équation.

En effet , puisque Ton n'a qu'u/7e seule équation entre les
/2eux quantités x et y^ on peut disposer arbitrairement de
r^ine d'elles (ces quantités sont , pour cette raison , appelées
variables), et l'équation donnera les valeurs correspon-
dantes de l'autre variable.

Donnons , par exemple, à l'abscisse x la suite des valeurs

Jr = a, a', a*' y a*', fl'^, fl^, etc.

Si l'équation n'est que du premier degré en y^ on en dé-
duira successivement pour les valeurs correspondantes de
cette variable,

y— h, b\ b\ y", h^\ 6% etc.

FiG. 44* ^^ portant sur ÂX les valeurs de x, et en menant par
les points P, P', P", P'^ etc., des parallèles à AY, égales
aux valeurs de y^ on aura diflerents points M, M', M",
M"', etc., qui satisferont également à la question.

Comme rien n'empêcbe de donner à x des valeure extré"
nieinent peu différentes les unes des autres, et qu'alors les
valeurs dey seront elles-mêmes, en général , très^pcu dif-
férentes les unes des autres, on doit en conclure que les
points M , M', M", etc., seront t ras- voisins^ et l'on pourra
ensuite lier ces points entre eux par une ligne continue

DSS LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 85

MM'M^M'^. . ., dont tous les points seront autant de so-
LVTI095 de la question, parce que les points intermédiaires
sont censés correspondre aux valeurs de x^y^ tirées de Vé-
qnation du problème, et comprises entre celles qui ont déjà
éié construites.

Cette ligne sera d'ailleurs d^autanl plus rigoureusement
déterminée, que les points M , M', M'', etc., seront plus
rapprochés les uns des autres.

Supposons maintenant que Téquation soit, par rapport
à jr, fïun degré supérieur au premier.

G>mme, dans ce cas, k chaque valeur de x doivent cor- Fig. 4^-
respondre plusieurs valeurs de y^ la ligne est composée de
plusieurs branches MM'M''. . .NN'N''. . .RR'R^'. . . .

76. Soit , par exemple , A construire Téquation Fio. 4^.

On en déduit

ce qui prouve, i** qu'à une même valeur de x correspondent
deux valeurs de y égales et de signes contraires^ a^ qu'à
des valeurs négatives de x ne correspondent que des va-
leurs imaginaires de/, c'est-à-dire que la ligne demandée,
qui est ici une courbe , ne peut av^oir aucun point situé à
la gauche de V origine , ou de AY.
Cela posé, faisons d'abord

X = o , il vient 7 = 0;

d'où Ton peut conclure que l'origine des coordonnées ap-
partient à la courbe, ou que la courbe passe par V origine.
Soit

il en résulte

j = ±^=dhi,4 à moins de o, ï près.

Après avoir pris sur AX une distance AP égale à V unité
linéaire, si l'on mène par le point P une parallèle à AY, et
que Ton prenne au-dessus et au-dessous de AX deux dis-
lances PM, PN, égales à i,4>« • •? M et N seront deux
points de la courbe demandée .

Faisons encore .r = a ^ d'où

r = =t:a.

86 DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES.

Ces valeurs étant construites comme les précëdentes , don-
nent M' et N' pour deux nouveaux points.

En continuant ainsi de donner à x différentes valeurs,
et construisant les valeurs correspondantes de j^, on obtien-
dra une courbe de la forme LAH qui s'étend indéfiniment
à la droite de l'axe des y^ puisque, tant que x est positif,
les valeurs de j' sont réelles,

FiG. 47* ""• Prenons, pour 5eco/irfeTr?fnp/f?, 1 équation
de laquelle on tire

r = d=\/x'-h4.

On voit, premièrement , qu'à une mé/7i<? valeur de x cor-
respondent deux valeurs de y égales et de signes contraires^
secondement^ ^ue, quelque valeur po5tti%»e ou négative
que Ton donne à x , ou a toujours pourj^ des valeurs réelles.
Ainsi Ton est déjà certain que la ligne demandée <, qui est
encore ici une courbe, s'étend indéfiniment au-dessus et au-
dessous de Vaxe des x , à droite et à gauche de faxe des y.

Faisons quelques hypothèses :

Soit d'abord

X =2 o;

on tire de Téquation proposée,

Prenons sur A Y deux distances AB , AC , égales à a 5 les
points B et C appartiennent à la courbe.

Soit, en second lieu,

x = i;
d'où

^ = it V^ = rb 2,2 , à moins de o, i près.

Si l'on prend sur AX, AP = i, et qu'on porte sur une
parallèle à x\Y, menée par le point P, deux parties PM.

PN égales à 2 ^ » M et N seront deux nouv^eaux points de

la courbe.

Soit encore

j: = 2,
ce qui donue

r = it \/8 = ± 2,8, k moins de o, i près.
Kn construisant ces valeurs comme les précédentes, on
obtiendra les deux points M' et N'5

DBS LIBUX GÉOMÉTRIQUES. 87

Et ainsi de suite , dans le sens positif àe l'axe des x.
Actuellement , pour obtenir les points situés à la gauche
de A Y, obserTons que, puisqu'à (}es valeurs de x positivées
on négatives^ mais humériquement les mémesy correspon-
dent les mêmes valeurs de y^ il suffit, après avoir pris des
distances Ap, Ap', etc., égales à AP, AP', etc., de mener
par les points /?, p'^ etc., des parallèles à A Y, et par les
points M , M', etc., N, N', etc., des parallèles à AX. Les
points m 5 m', etc., n, 7i\ etc., seront aussi des points de
la courbe , qui sera évidemment composée de deux branches
distinctes et opposées LBiy, HCH^

Ces exemples suffisent pour donner une idée de ces sortes
de constructions , sur lesquelles nous reviendrons plus tard
avec détail.

78. La ligne représentée par Téquatioi^

F(a:,/) = o
est appelée Iq lieu géométrique de cette équation.

Réciproquement , une ligne étant tracée sur un plan ,
si, par un moyen quelconque, fondé sur la définition ou
sur une propriété caractéristique de cette ligne, on par-
vient à une équation qui existe entre les coordonnées x et
/ de tous ses points, et nVxiste pas pour d^autres points,
la relation ainsi obtenue est di^e Téquation d|5 hk ^igne.
(fVezlesn^'SO, 70.)

Nous terminerons les notions générales sur les lieux gio^
métriques par deux propositions qui seront d W usage con-
tinuel, par la suite.

79. Première proposition. — On a vu précédemment
que Téquation générale d^une ligne droite est de la forme

(1) ^ = /ÏX4-^,

les quantités a et b pouvant passer par tous les états de

grandeur.

Je dis que , réciproquement , toute équation du premier
DEGRÉ entre deux variables x et y, en tant que ces varia^
blés expriment des distances à deux droites fixes , a pour
lien géométrique une ligne droite.

En effet, quelle que soit Téquation proposée, on peut

88 DES LIEUX GÉOMtTEIQUES.

toujours la ramener à la forme

(2) j = mxH-/i.

Comparons entre elles les équations (i) et (a).
FiG. 3i. 1^. Si les axes sont b.ect angulaires, on peut poser

a ou tang ot = m et b =zn.

Prenant alors sur ÂY une distance AB:=/i, et menant
par le point B une droite CBL qui forme avec AX un angle
a dont m soit la tangente trîgono met tique, on aura (n°51)
pour l'équation de cette droite ainsi fixée de position,
jr = X tang a -f- «, ou bien y = mx 4- n.

Donc cette dernière équation a pour lîeu géométrique une
LIGUE droite.
FiG. 32. 3^* Si les axes sont obliques, on pose

siii a .

a ou - . — j- r = »i et 6 = A.

8m(0 — a)

Prenant sur AY une partie AB égale à n, et menant par
le point B une droite CBL qui forme avec AX un angle a
tel que Ton ait

sina
sm ( 0 — a )

on aura (n^ 51 ) pour son équation ,

sin « , .

yr=a?-T— rr ^H-'»» ou bien r = i7tx-f-'i.

sin ( ô — a )

Donc, etc.

Il reste , toutefois , à savoir si l'angle a peut toujours être
déterminé d'après la relation

sina

sm ( 0 — a )

Or. on a reconnu (n° 59) que cette relation donne

m sin G

tang a = ,

^ I 4- /w cos 0 '

('t Ton sait qu'une tangente peut passer par tous les états
de grandeur^ ainsi Taugle a est toujours susceptible de dé-
termination.

80. Comme deux points déterminent la position d'une
droite, il s'ensuit qu'une équation du premier degré en x

DBS LIBUX GÉOMÉTRIQUES. 89

et y étant donnëe , il suffira , pour eu construire le lieu

géométrique f de fixer la position de deux de ses points.

Les plus remarquables sont ceux où la droite rencontre

les axes ; et , pour les obtenir, on fait successivement , dans

Téquation ,

/ = o , puis X = o ;

les valeurs obtenues, pour x dans la première hypothèse ,
cl pour j dans la deuxième, représentent, Tune, Tab-
scisse du point de rencontre avec Taxe des x, Tautrc, For-
donnée du point de i*encontre avec l'axe des y.

[On a déjà vu {n° 55) que l'introduction de ces deux
quantités dans Téquation de la droite, lui donne une forme
^yme trique.^

81. Lorsque l'équation est de la forme

comme , eu faisant

y=zo, on obtient j; = o ,

et lêcipfoçuement,

La droite passe par Torigine; et pour avoir un second
point, il suffit de donner à x une valeur particulière, et de
construire la valeur dejr correspondante.

89. jipplications numériques, — [Les axes sont supposés abc-

TAKOULAULBS.]

I®. a^ — 3 X = I . Fio. 48.

Pour j^ = o, on trouve

I

et pour JT = o ,

1

Soit AI =: 1 , et prenons sur AX une distance AG =: — ^9 puis
snr AYy AB =r ~, nous obtenons CBL pour le libu géométeiqub

DIMAHDÉ.

On peut, à Tune de ces constructions, substituer celle de la
tangente de l'angle a.

Or, on a

3

tang a = •

90 DB8 LIEUX GÉOMÉTRIQUES.

FiG. 4^. Soit prise sur AY la distance AB = - » comme ci-dessus, ci

soit tirée la droite BH parallèle à AX; prenant sur cette droite
BD =r I , et élevant au point D , DE perpendiculaire à BH , et

égale à -, on aura

tangEBD = -9

et le point E appartiendra à la droite CBL.

Veut-on connaître , en degrés, la valeur numérique de Tanglc
a lui-même ? Voici comment il faut opérer :

On a

1. tanga = lo 4- 1. 3 — 1. 2 = lo, 176091 a5 ;

d'où, cherchant dans les Table$ sexagésimales la vate}ir correspon-
dante de l'angle a ,

a = 56<»i8'35",8.

FiG. 49* 2°' 3j4- 5 JT-H 4 = 0.

4 45

Pour J = o , x=z — ^ : et pour jr= o , 7 =: — ^ ; tang a = — r*

Après avoir pris sur AX nne partie AC' = — %i et sur AY,

AB' == — ^ » on tire C B' ; et Ton obtient ainsi la droite de-

MANDÉE.

Ou bien, en menant B' X' parallèle à AX, et prenant B' D'= — i ,

5
puis élevant D' E' perpendiculaire à B'X' et cf'gaje à -^9 on ob-
tient le point E' pour un autre point de la droite cherchée.

Pour calculer Tangle a qui est nécessairement okius , puisque
la tangente est négative , on pose

a! = 1 80" — a ;
d'où

5
tanga= — tanga = 0^

et

I. tang a' = lo-h 1. 5 — 1. 3,
ou

1. tanga' = 10,2218488.
Les Tables donnent

a' = 59"2'io",5;
et, par suite,

a= i2o'*57'49">5.

DES LI£UX GÉOMÉTRIQUES. 9I

N. B. — Les constructions précédentes sont toutes applicables

aa cas où les axes sont obliques.

3 5

Mais alors les quantités - et — -= expriment les valeurs du rap-

port . , ^ r; et, pour déterminer Panglea, il faut faire

"^ 5in(ô — a)' ' • o »

usage de la formule du d^ tf 9 ,

m sinO
tang a =

I H- m cos 6

3 5

dans laquelle on remplace m par - ou — ^9 et sin 6, cos 6 par

2 3

les sinus et cosinus de l'angle d des deux axes , angle suppose

connu.

3^ j>r = x, FiG. 5o.

les axes étant supposés quelconques.
En faisant successivement

X = 0, I, 2, 3, 4» ^^^"i

on trouve pour /,

jr=o, I, 2, 3, 4) «^«'î

ce qui démontre, d'abord, que la droite ABB' passe par t ori-
gine , et ensuite qu'elle divise l'angle YAX en deux parties égales.
Lorsque les axies sont bvctavoulaises , l'angle « est égal k
45 degrés , c'est-à-dire est la moitié de Tangle droit*

83. Rem AKQTJE importante. — L'équation proposée pour-
rait être en a: ou en y seulement , c'est-à-<lire ne renfermer
(pi*une seuh ^^ariable.

On peut avoir, par exemple, T^uation Fio. 5i.

3

ax— 3 = 0, d'où a? = —

2

3
Prenant sur AX, AB;=;= -9 pt menant par le pDÎiU B, ]]Ç

parallèle à AY, on obtient une droite dont tous les points

jouissent exclusivement (n° 45) de la propriété d'avoir -

pour abscisse 9 quel que soit d^ailleurs y.

Soit encore Fig. 52.

j» H- >' — 2 = o.

Cette équation ét^fU r^^solue, donne

jr^i et jT =r — 2.

Q2 DES LIELX oéOMÉTniQL'ES.

FiG. 52. Si Ton prend sur AY, deux distances , AB= i , AB'= — 2,
et qu'on mène GH , G'H', parallèles à AX, Y ensemble de
ces droites constitue le lieu géométrique de Tëquation.

Généralement, toute équation â une seule variable a
pour lieu géométrique une droite ou i n système de plu-
sieurs droites parallèles^ soit à AX, soit à AY, suivant
qu'elle est du premier degré ou d'un degré supérieur en y ou
eux.

84. La question suivante , qui se rattache aux lieux géo-
métriques du premier degré, peut avoir son utilité dans les
applications.

Trouver l'équation d'une droite assujettie à passer par
le point de concours de deux droites données.

Soient

yz=zax -h by y-rzia'x-^rh*

les équations de ces deux droites. On peut les mettre sous

la forme

(i) y — ax — 6 = 0, r — a* X — 6'=o;

et si l'on pose la nouvelle équation

(2) {y — ax — ^)to4-/ — a' x — ^' = 05

m étant une indéterminée quelconque, on obtiendra Fé-
quation demandée.

D'abord le lieu géotnéttique de cette équation est une
Ugne droite, puisqu'elle est du premier degré en x et en^.

De plus, elle est satisfaite lorsqu'on pose simultanément

jr — ax — b =z Oy y — a^ x — è' = o,
ou

y^ax-\'by y :zz a' X -^^ V \

d'où Ton voit (n^ 61) que les coordonnées du point de con*
cours des deux droites données, la vérifient.

D'ailleurs la quantité m est , par bjpotbèse , une indé^
terminée qui peut recevoir toutes les valeurs réelles pos-
sibles.

Ainsi l'équation (2) peut être considérée comme Yéqua-
tion générale de toutes les droites passant par le point
d'intersection des deux droites données.

85. Seconde proposition. — On a trouvé (n^'TO) pour
l'équation générale du cercle rapporté à des axés rsctàngv-

DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 98

LAIIES,

oudéyeloppant,

i) x' H- j» — 7.px — a 7/ -+-/>* 4- y' — r» = o.

Réciproquement, toute équation du second degré, de
la forme

c'est-à-dîre qui ne renjeime pris le rectangle xy des va^
nobles, et dans laquelle les coefficients des carrés sont
égaux à l'unité ou égaux entre eux (parce qu'on peut tou-
jours diviser réquation par ce coefficient commun) , appar-
tient (dans le cas d'axes eegtahgulai&es) à une circonfé-
rence de cercle*

En effet, comparons Tune à l'autre les équations (i)
et (a), et posons

on en déduit

__A __B

P ^ ^ / 2 '

= V/''+^'-C= y/èll^'-C.

Cela posé , traçons deux axes rectangulaires ÂX , AY, Fio. 53.
et construisons le point O dont les coordonnées soient

et , quantités que nous supposons ici positives. Puis,

<Iu point O comme centre , et avec un rayon égal à

/

B*

C, décrivons une circonférence de cercle;

4

^'lle aura nécessairement pour équation

(or — p)*-f-(r — ç)'=/-^

'•tt, si l'on remplace p^ q^ r par leurs valeurs,

/ A\» / B\> A^-hB» ^
'm développant et réduisant,

résultat identique avec Féquation (2). Donc, etc.

94 DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES.

Autre démonstration . — Aj oulons aux deux membres de Fé-
quation (2) la quantité t*-*- 7"' afin de coînpléter lés carrés
X* -h A X et j'* -h Bj^ 5 il vient

, . ^' , ,. B^ A' + B* ^

4 4 4

ou bien

(3) ^.4-^^j+(^r+J=-^--c,

équation que Ton peut comparer immédiatement avec

en posant

A B

2 ^ 2

/A» -4- B» ^

d'où il suit que Téquation (3), et par conséquent Téqua-
tîon {2) dont (3) n'est qu une transformée, représente une
circonférence du cercle qui a pour centre le point déter-
miné par les coordonnées 5 > et pour rayon

s/

A» + B» ^

4

Cette démonstration, plus simple que la première, est
moins analytique.

Remarque, — Les quantités A ^ B, C étant quelconc|ues.
il peut arriver que Ton ait

— 2 C =1 o ou <C o.

4

Dans le premier cas, le rayon /' est nul, et la courbe se
réduit à son centre, c'est-à-dire à un point.

Dans le deuxième , le rayon r est imaginaire , ce qui veiii
dire qu'il n'y a pas de courbe ; et l'on dit alors que le cercle
est imaginaire,

86. Applications numériques, — Axes aectaitgvlaiees.
Soit à construire Téquation

2 x' -H 2 j^* — 3 j: -J- 4^ — 1=0;

elle peut d'abord être mise sous la forme

. 3 i

2 2

DBS LIEUX OÉOMÉTRIQDBS. gi

OU , en ajoutant aux deux membres les carrés de la moitié du

3

coefficient et de la moitié du coefBtient 2 , c'est - à - dire

2 '

9 . . „ 3i5

~H- I, ou —^^
16 16

/ 3\» , ,, 25 1 33

3
Cela po^, déterminons d'abord le point O qui a -t pour abscisse Fia. 5^.

et - I pour ordonnée.
Ensuite, du point O comme centre, et avec un rayon égal à

^^^33 (ou 1,4^ 0^1 près) y décrivons une circonférence; cette

4

courbe sera le lieu cÉoMiTRiQUE demaside.
Soit, maintenant, Téquation

x' 4-jrî — 3/ H- 2Jr= o,
qui peut se mettre sous la forme

(-+»'+(r-^y=.-9 = ^-

4 4

Après avoir fixé la position du point qui a — i pour abscisse Fio. 55.
et - pour ordonnée , si de ce point O comme centre, avec un rayon

égala- ^75 oii i,8, on décrit une circonférence, elle sera le
2

LIEU GÉOMÉTRIQUE de Téquation proposée.

Il faut observer toutefois que, dans cet exemple, comme Té-
quation est satisfaite simultanément par 07 = o, j = o , la courbe
passe nécessairement par l'origine; d'où il suit que le rayon se
trouve tout construit et eSt représenté par OA;

En effet , on a

OA

= V AbV Bo' , ou bien OA = i/| + i = r.

On reconnaîtrait pareillement :
1". Que l'équation

3

représente un ceecle dont le centre a pour coordonnées - et o ,

et qui a pour rayon - ^5^;

96 DES LIBUX GÉOMÉTRIQUES.

2®. Que l'équaiion

4«'-f- ^y^ — 12 Jc — 8/ H- i3 =0

représente un point ayant pour coordonnées - et 1 .
Car on peut la transformer en

et cette équation , dont le premier membre est la somme de deax
carrés, ne peut être satisfaite qu*en posant

U — -j = o, (7--l)»=ÎO,

ce qui donne

3 ,
X = - et r = ï ;
2 -^

3**. Que l'équation

ne représente ruui .
On peut , en effet , lui donner la forme

équation dont le premier membre , étant la somme de deux carrés,
ne peut être égal à une quantité négative,

87. La proposition que nous avons établie et démon-
trée au n^ 85 , suppose que les axes sont rectangulaires.

Cherchons maintenant, dans le cas d^axes obliques , les
conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équatiou
complète du second degré à deux variables ,

(0 A j* H- Bxy H- C jr' H- D/ H- E x -h F = o

représente une circonférence de cercle.

On a trouvé (n^ 71) pour Téquation la plus générale du
cercle,

(2) (a?— /?)»+ [y — ^)» + 2 [x-^p) (/ — ^) eus Ô = H.

Il ne s'agit donc , pour résoudre la question proposée , que
de comparer terme à terme les équations (i) et (2)*

En développant la dernière, et égalant entre eux les coeffi-
cients des termes analogues de cette équation et de la pre-
mière, dmsée d'abord par A , on obtient les relations sui-

DBS LIEUX GÉOMÉTRIQUES. QfJ

vantes :

-=2COSÔ, J=I,

D E

= — 2(7 4-/>co»e), -7-— "~^(^ + ^^*^)»

A

F

-- = o»-f- ^'-^- a lia cos9 — /*.

A

Des dieiijr premières relations on déduit

cosô = — 7? C = A;
aA

ce qui prouve déjà que F équation (i) ne peut représenter
un cercle qu'autant que les coefBcîents de x* et de^' sont
égaux, et que la courbe est rapportée à un système d'axes

dont r angle B a pour cosinus — •

Ces deux conditions étant supposées remplies, reste à
savoir si les quantités p^ q^ r sont toujours réelles.

Or les deux quantités p et g sont liées entre elles par les
troisième et quatrième relations , qui , considérées comme
deux équations du premier degré à deux inconnues,
domient

_ D cos 0 — E _ E ces 0 — D

^'^ aAsin'ô ' ^^ 2Asin»e '

Taleurs essentiellement réelles.

Quant à la quantité r, elle est formée par la dernière re-
lation, d'où Ton tire

W'

/>' -4- 7* 4- 2/?^ cos 0 — — »

expression radicale du second degré qui montre, sans qu'il
soit besoin d'y substituer les valeurs trouvées pour p etÇj
que r peut être une quantité réelle, nulle ou imaginaire.
D'où l'on conclut que, sous la double condition

A=C, cos9 = — -?

2A

Téquation (i) représentera toujours un cercle, k moins que
la courbe ne se réduise à un point, ou qu'elle ne représente
rien.

Ay. de l'Ai, à la G, 7

g8 USÀ6K TO& hJW% gAomêtriqvbs.

Soit, pour exemple y l'équation numérique

3jr> — axj-i- 3a:* — / + *— ' a = o;

et supposons la courbe rapportiie à un système A* axes obliques ^
pour lesquels 09 ait

oosâ = — -g) d'où 9in9= ^ya,

système qu'il faudrait préalablement construire.
Il en re'sulte

P =

-.x-i-

I

I

+ ix-i + . ,

^-î

9

/l I

t

1

1 f . /t» I

Aifisi , dans le sysiènne parUculier d'axLi» q«ii ^ient d'être défini ,

réquation proposée représente un gergls dont le cealre a pour

II 5 I

coordonnées — û> "^ q> ^ ^<**' ^® rayon est ^ » à moins de g

ï>rès.

jy. B. — Dans le cas d'axes rectangulaires ou d*un système
d'axes obliques^, qui ne satisferait pas i la condition exprimée

par cos G == — -^9 l'équation proposée rapiésenterait une courbe

offrant de l'analogie avec le cercle , ainsi qoe nous le Terrons pks
Mn.

(Jsage des lieux géométriques.

88. Les notions générales que nous venons d'exposer
sar Icft uEux ojtoiclTAi^DEs étant bien enteoidueay voyoBS
le parti qa^on pent en tirer dans la réaolnlion dea pioUè-
mes de Géomélrie déterminés on indé$ermùnés^

Considdrona d^ahord le cas où la ifoesik» est indétermi-
née , et supposons que cette question revienne à fixer la
position d'un certain point sur le plan d'une figure.

En rapportant le point cherché et les autres parties de la
figure à deux axes ^ et désignant les coordonnées de ce point
par X et j^ on obtiendra par la traduction algébrique de

ua/LGB DBS LIKUX aÉOM^nLlQXISS. 99

lenoQcé, une certaine relation, F (x^ ^) = o, entre ces
coordonnées et les quantités connues , laquelle sera dite Vè^
QUÀTioir DU PROBÙMB^ puîs, si , Conformément aux prin-»
cipes établis précédemment, on construit le iieu géomé*
trique de cette équation, la série des points faisant partie
de ce lieu géométrique satisfera à Ténoncé de «la question;
et les coordonnées de ces points représenteront géométri*-
(juement tous les systèmes de valeurs de x et dey^ propres
H yérifier l'équation

F(x, /) = o.

89. jNon-seulement les lieux géométriques servent à
résoudre les questions indéterminées , mais on peut encore
en faire usage dans les problèmes déterminés à deux in-
connues.

Admettons, en eifet , que l'énoncé d'une question ait con-
duit aux deux équations

P(*> /)=o> F'C*» r) = Oi

X et j représentant les coordonnées d'un certain point rap-
porté à deux axes quelconques.

On pourrait, d'abord, éliminer x m j entre ces équa-
tions, puis construire tous les systèmes de valeurs que Ton
obtiendrait ; chacun des points ainsi déterminés satisferait
a 1 énonce.

Mais, sans efTectuer l'élimination qui, le plus souvent »
conduit à des résultats compliqués , et n'est d'ailleurs pas
toujours facile, on peut fixer la position de ces mêmes
points.

En effet, l'équation F(x, j^)= o, considérée seule, re- Fie, 56.
présente tme certaine ligne, lieu de tous les points dont les
coordonnées vérifient cette équation. Supposons-la con-
struite, et soit LBH ce Heu géométrique.

De même, l'équation F' (x, j^) = o est celle d'une si-
coirBE LIGNE dont tous les points sont tels , que leurs coor-
données vérifi[ent cette équation \ supposons cette ligne
construite par rapport aux mêmes axes que la précédente ,
et représentée par KQ.

Il est évident que les points M, M', etc. y où ces lignes se

lOO USAGE DES LIEtX GÉOMÉTBIQUES.

rencontrent ^ sont ceux qui satisfont à Ténoncé , puisque
leurs coordonnées forment des systèmes de valeurs de x et
de y^ qui vérifient en même temps les deux équations.
Ainsi, les points M, M', etc., sont autant de solutions de
la question dont ces équations sont la traduction algébrique,
si toutefois on a eu pour objet Ae fixer, sur un plan , la po-
sition d'un point diaprés certaines conditions.

Lorsque les inconnues x et y^ au lieu d'exprimer des dis-
tances de points k des axes fixes , expriment des lignes , les
coordonnées des points M, M', etc., représentent les valeurs
géométriques de ces lignes.

En substituant ainsi les intersections de deux lieux géo-
métriques à l'élimination entre leurs équations, on par-
vient souvent à des constructions simples et élégantes du
problème. La suite de ce chapitre nous en fournira plu-
sieurs exemples.

90. Nous nous bornerons, pour le moment, à faire Tap-
plication de ces principes à un problème traité dans l'iir-
TRODUCTION , ct qui a fait l'objet des n°* 20 et 21 .
FiG. 6et 7. Reprenons , à cet effet , les deux équations obtenues par
la ^re/n/ére mé^Aode d'application de FÂlgèbre à la Géo-
métrie, savoir :

(1) [b^xy + {c^yyz=zr^,

{2) a(x*-f-j') = TO'(fl — aè-hao:);

et observons d'abord que ces équations seraient celles qu'où
trouverait en rapportant le point inconnu D à deux axes
rectangulaires dont l'un serait AB pris pour axe des jt, et
l'autre une perpendiculaire élevée au point A.

Cela posé, au lieu d'éliminer x el y entre ces équations
qui conduisent, ainsi que nous Tavons vu, à des résultats
très-compliqués, tachons de construire les Ueux géomé-
triques qu'elles représentent.

Là première est évidemment celle du cercle donné; car
CD ou r étant le rayon , i et c ou AF et CF sont les cooi^
données du centre.

Quant h LÀ seconde, qui peut se transformer ainsi.

/«' . m*

H- y* — 9. — X = m^- — 2 ^ • — j
a a

USAGE DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. lOI .

OU bien encore

X I +7» = — -h m'— 26. — ,

a ] a^ a

elle représente (n^ 85) un cercle dont le centre est sur Taxe Fio. 7.
des jr, AB , en un point K pour lequel on a

a

et qui a pour rayon

/= i/-^+'»' — a6. — .

/m*

Or, le triangle rectangle ACL donne

ÂL ou /w*=AC —CL ,

ou bien

m* = ô* -i- c* — r» ;

ainsi Ton a

''=v/?—*-?-^*'-^^-'-=v/(*-?y-^ '*-''•

m»

D'ailleurs , b est égal à KF ; ce qui donne

- KG =c»-H [b

m'y
Donc enfin

Mais si Ton mène du point K les tangentes-KD et KIV au
cercle donné, on a évidemment

KD*= K]y*= KC'— r».

D où Ton voit que ces deux tangentes donnent , non-seule-
ment le rayon du second cercle, mais encore les points où
les deux circonférences se coupent ^ c'est-à-dire ceux dont
on demandait de fixer la position.

11 est remarquable que la première méthode employée
pour résoudre la question , méthode que nous avons appe-
lée indirecte [n^ 43) , conduise , par le secours des lieux
géométriques , à la même construction que la méthode gé-
nérale. Mais il faut un peu de réflexion et d'habitude pour
découvrir ce rapprochement.

^

lOa APPLICÀTIOir SES THÉORIES PEÉCÉDBKTES

§ IV. — ApPLIGATIOir DES THÉOBIES PEÉCÉDENTBS A LÀ
RÉS0LUTI0I7 DE DIVERSES QUESTIONS ET AU PROBLÈKE
DES TANGEIfTES.

Questions sur la ligne droite,

FiG. 57. 91. Première QUESTION. — Rechercher ^ar/'anai^^yc les
points d'intersection deux à deux des droites menées par
les sommets A , B , C d'un triangle , et par les milieux F,
E, D des côtes opposés. — Prouver que ces trois médianes
se coupent en un même point.

Prenons deux axes rectangulaires AX, A Y, dont Fim,
celui des x^ se confonde avec Tun des côtés AB du triangle,
V origine étant d'ailleurs placée au sommet A.

La question consiste à former les équations des droites
AF, BE , CD , puis (n^ 61 ) à éliminer x eiy entre cet éqaa«
lions combinées deux à deux. Mais, auparavant, il est néces-
saire d'établir les coordonnées des points A , B, C, D, E , F.

On a d'abord pour les coordonnées de A ,

(/ = o, x=zo);

soit AB = 6* ; il en résulte pour celles de B,

{j = o, af = c)5

posons d'ailleurs pour le point C,

Maintenant, comme D, Ë, F sont les milieux de AB, AC,
CB, on en déduit

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

AUr SBS x' -f- ■ =s :

2 2 '

ce qui donne pour les coordonnées des points

D Ijsso, ar=r-i,

'■ M-'4)-

F

A DBS t^trESTlOJfS Stm LA LlGinS ÙMtM. io3

G>nnaissaiit pour chacune des droites AF, BE, CD, iés
coordonnées de deux de ses points, nous pourrions obtenir
son ÉQuATioa en substituant dans la formule (5) du n^ 57,

à la place de x', j^', x", y^\ les valeurs correspondantes ;
mais il est plus convenable d'opérer de là manière êttivanie :
Comme AF passe par Torigine, son équation est de la
forme

(yt C'^a^\
—\ )»

on a la relation particulière

— =:a(- 1) d'oà a=s— 4— -j:

ainsi Téquation de AF est

La droite BE passant par le point B , ou ( o , c) , son écpxa**
tion est (n^ S8) de la forme

j = a' (x — c).

Mais, comme cette même droite passe par le pôltat Ë,
ou ( — y — ) î on a la relation

•^ = fl'f^-cV d'où «'=— :?!_:

donc l'équation de BE est

(a) ^=-^^(,_.).

On trouverait de même pour CD,

U reste actuellement à combiner les équations (i), (a)
et (3).
D'abord, on déduit des deu^t premières,

C-f-j/ x' — 2C^ '

lo4 APPLICATIOir DES THÉORIES PRÉCÉDENTES

équation qui , étant résolue , donne

c 4- a/

X =

3
Portant cette valeur dans l'équation (i), on trouve

y

^=3-
Puis, les équations (i) et (3) donnent

y' y

C

OU, résolvant,

X = — 5 — 9 et par co\iséquent, yz=i~

D'où Ton voit que les coordonnées du point d'intersection
des deux droites AF, BE, sont identiques avec celles du
point d'intersection de AF et CD.

Ainsi , CES TROIS droites se coupent en un MEME POINT.

Si du point O commun à ces trois droites, on abaisse

Tordonnée OP, les deux triangles semblables DCH, DOP

donnent

I CH

OP:CH::DO:DC; maisona OP = ^y=-^î

donc aussi

Le point O se nomme, en Statique, le centre de gra-
uité du triangle.

FiG. 58. 92. En réfléchissant sur l'analyse précédente, on re-
connaît aisément que les calculs sont les mêmes, quelle que
soit rinclinaison des axes. Ils deviennent beaucoup plus
simples lorsqu'en conservant AB pour axe des x^ on prend
pour celui des ordonnées une droite A Y parallèle à CD,
c!e qui est permis , puisque la droite CD est connue de po-
sition.

Dans ce cas , il est évident que l'abscisse x' du point C est

égale à AD ou -i d'où cz='7,x'\ et les équations (i), (a), (3)

deviennent, savoir ;

A DES QUESTIONS SUR LA LIGUE DROITE. lOJ

L'équation de la droite AF,

y

ceUe de la droite BE ,

^=3^*'

et celle de la droite CD.

Cela posé, combinons cette dernière équation avec la
première \ il en résulte

En la combinant avec la seconde , on trouve encore

Ainsi, les coordonnées des points d'intersection de CD
et de AF, comme de CD et de BE , sont

On voit par là combien le choix des axes peut influer
sur la simplicité des calculs.

93. Seconde question. — Déterminer les points d*in- Fio. 5g.
tersection deux à deux des perpendiculaires abaissées des
trois sommets du triangle ABC, sur les côtés opposés. —
Démontrer que ces perpendiculaires se coupent en un
même point O.

On conçoit qu'ici il doit y avoir de l'avantage à supposer
les axes rectangulaires , puisqu^il faut faire entrer en con-
sidération la relation de perpeudicularité de deux droites
(voirie n** 64).

Prenons encore pour axe des abscisses la ligne AB, et
pour axe des ordonnées la perpendiculaire élevée au som-
met A.

Eu désignaut toujours par c la distance AB ou Tabscisse
du point B, et par x', y' les coordonnées du point C, on
a d'abord pour Téquation de CD parallèle à l'axe des y,

(i) JT = j;'.

Io6 APPLICATION DES TRÉOKIES PEÉdÊDEUTTES

Avant de rechercher les équations de AF et de BE, nous
commencerons par déterminer celles des droites CB, AC.
auxquelles elles sont perpendiculaires.

Or , la droite CB passant par les deux points [y\ x') et
(o , c) , son équation est (n® 67)

X — c

Celle de la droite AC qui passe par l'origine et par le

point (x'j y'), est

/

X

Cela posé, AF passant par l'origine a une équation de
la forme

y:=sa'x\

et comme elle est perpendiculaire à CB, on a (n° 64) la
relation

aa' H- I = o ia ayant pour valeur -7 J ;

d'où Ton déduit

, I e — x'

Ainsi Téquation de AF est

(2) ^=__.x.

La droite BE étant assujettie à passer par le point B ou

( o , c) , on a pour son équation ,

y^m'[x^ey,

et puisqu'elle est perpendiculaire à AC , on doit avoir la
relation

mm' -f. I = o (m ayant pour valeur ^ j :

d'où Ton déduit

m y

Donc enfin réquation de BE est

(3) j=-^(x-c).

A DBS QVE8TI0K8 SUR LE CERCLE. IO7

Maiu tenant, si Ton combine les équations (i) et (2), on
trouve

c — x'

y

G>mbinant de même les équations (i) et (3) , on obtient

x' e ^aif

Donc les coordonnées du point d'intersection des droites
CD, AF sont les mêmes que celles du point d'intersection
des droites CD, BE; ainsi ces trois droites se coupent ev
un MÊME point.

94. Nous indiquerons comme exercice se rattachant
aux questions qui viennent d'être traitées, les trois sui-
vantes :

Démontrer par l'analyse :

i^. Que les perpendiculaires élevées sur les milieux des
côtés d^un triangle concourent en un même point ^

a^» Que ce point et les points de rencontre qui se rap^
portent aux deux premières questions sont tous les trois
placés sur une même droite f

3*^. Que les trois bissectrices des angles Jun triante
concourent en un même point.

La première et la troisième de ces questions ofiPrent ub
rapprochement remarquable avec celles du cercle circon*
scritet du cercle inscrit au triangle donné.

Questions sur le cercle.

96. Première question. — Rechercher par l'analyse les *
conditions qui expriment que deux circonférences de cercle
se coupent, se touchent, ou n'ont aucun point commun.

Soient O , O' les centres de deux circonférences de cercle , Fio. 60.
'•, r^ leurs rayons, ei OO' = rf la distance des centres.

Prenons pour axe des x la ligne des centres , et pour axe
des y la perpendiculaire OY élevée par le point O.

Le cercle dont le rayon est r, étant rapporté à son centre
et à deux axes rectangulaires ^ on a (n^ 74) pour l'équation

lod APFLICATIO» DES THÉORIES PRÉCÉDENTES

de ce cercle,

(i) j^»H-j7' = r».

Celle du second cercle, dont le centre a pour coordon*
nées /? = c?, <7 = o, est (n^ 70)

(2O jr*-l-(« — ^? = /•''.

Cela posé, pour exprimer que les deux circonférence^ de
cei'cles se coupent y et obtenir leurs points dHntersection ,
il faut (n^ 61 ) établir que leurs équations ont lieu en même
temps , et éliminer x^y entre ces équations.

A cet effet, retranchons Téquation (2) de Féquation (i)-,

il vient

adlr — </» = H — /^»;
d'où l'on tire

mi

Cette valeur, portée dans l'équation (i) , donne

Discussion. — L'inspection seule de ces valeurs prouve
d'abord que, dans Thypothèse où la quantité sous le radi-
cal de la valeur de y étant positi^^ey les valeurs dex, y
sont réelleSy et où par conséquent les circonférences ont
deux points communs, dans cette hypothèse, dis-je, les
deux points d'intersection ont une même abscisse OP, mais
deux ordonnées égales et de signes contraires.

Donc , toutes les fois que deux circonférences se coupent,
la ligne des centres est perpendiculaire à la corde com-
mune , et la diyfisc en deux parties égales.

Maintenant , afin de savoir quand y sera réel ou imagi-
naire, nous ferons subir à l'expression ci-dessus une trans-
formation.

La quantité sous le radical étant la différence de deux
carrés, peut être décomposée dans le produit

mais chacun des deux facteurs entre parenthèses étant lui*
même la différence de deux carrés

(r4-^)'— r" et r" — (r— //)»,

A DES QUESTIONS SUK LE CERCLE. I09

on a pour le premier,
et pour le second ,

Donc , enfin , la valeur y devient

r=±^V^(r-t-/-hrf) (r-t-iZ—X) (r-h/^-^) (,^4-rf^r)-

Sous cette forme, comme le premier facteur soumis au ra-
dical est essentiellement positif y on voit que y sera réel
tant que les trois autres seront positifs, ou Tundeux posi-
tif et les deux autres négatifs.

Mais cette dernière circonstance ne peut jamais exister,
car dès qu'un de ces trois facteurs est négatif , les deux
autres sont évidemment positifs.

Par exemple ,

r^d — /^<^o revient à r-^d<!^r^y

et donne nécessairement

r<:;;^/ et ^^r';
donc

/ — r+rf et / — d -^ r
sont positifs. ,

Même raisonnement pour le cas où Ton aurait

r-hr' — rf<^o ou / -}- d — r<[o.

A plus forte raison, les trois facteurs ne sauraient être
négatifs à la fois, *

Ainsi , il ne peut seprésenter que deux cas :
Ou les trois facteurs sont positifs à la fois , et dans ce
cas , y est réel y donc deux circonférences se coupent toutes
les fois que l'on a

r-hd^/y r+r'>fl?, r'-hrf>r;

c'est-à-dire chacune des trois quantités y les rayons et la dis-
lance des centres, moindre que la somme des deux autres;
Ou bien , l'un des trois facteurs est négatif et les deux
autres positifs; dans ce cas, y est imaginaire et il n'y a pas
il'? point d'intersection : ainsi deux circonférences n'ont

IIO APPLICATION DES THÉOEIBft PHÉCiDBXTES

aucun point commun y lorsque Tune des inégalilés cÎHlessi»
a lieu dans un ordre inverse.
Il peut arriver que Ton ait

r-hrf— ^=0, ou /■-+-/ — a = o, ou r'-H^'— r = o;

c'est-à-dîre

r-h d= /y ou r-^ /= dy ou r^-^-dzzzr.

Dans ces différents cas, les deux valeurs àey se réduisent
à o, et les deux circonférences n'ont plus qu'i/w point com-
mun, lequel est nécessairement placé sur la ligne des cen-
tres, puisque son ordonnée est nulle.

Donc , deux cùxonjérences de cercle se iouclumi toutes
les fois que la distance des centres est égate à la somme
ou à la différence des rayons.

Ces résultats sont conformes aux tbéorèmes établis en
Géométrie sur les intersections et leaccHitacts de deux cir-
conférences.

Cas particuliers. -* Soit ij= o, auquel cas les deux cir-
conférences sont concentriques ^ les valeurs de x et de y
deviennent

. . . =v/^

expressions Ae forme infinie.

Ce résultat, qui exprime que les deux circonférences ne
peui^ent alors auoir attcun point commun , oftre quelque
analogie avec celui qu on a obtenu au n^ 61 , dans le cas
où deux droites sont parallèles.

Si Ton av^it en même temps

dz=io et r:=zr' y

les valeur» de jp et de j^ se réduiraieat à

o o

x= -, r = -»

o o

signes ordinaires de \ indétermination.

En effet, dans ce cas , les deux circonférences se confon-
dent et ont une infinité de points communs,

96. Secoude question. — Faire passer une cireanfé-
rence de cercle par trois points donnés»

Toutes les f<MS que Ton connaît la position du centre d'un

x=—— et x=K/ ^— : -^

4 D£$ QliESTlOnS SU& JUE CERCLE* III

cercle sur un plan, et la longueur de son rayon, les quan-
tités constantes p^q ^r^ qni entrent dans l'équation

doivent être rq^ardées comme données à priori; et le cercle
est complètement déterminé par cette équation.

Mais on peut , comme pour la ligne droite, se proposer de
déifrminer une circonférence de cercle qui satisfasse i cer-
Uiines conditions, comme celles de passer par des points
donnés f d'être tangente k une ou plusieurs droites , à une
ou plusieurs circonférences, etc. : dans ce cas, p^ q^ r
sont des constantes indéterminées dont les valeurs dépen-
dent de œs diverses conditions*, et comme les indéterminées
sont au nombre de trois ^ il s'ensuit que Von peut imposer
à une circonférence trois conditions différentes, celles , par
exemple, de passée par trois points do»iiés.

Soient en général (a:',y), (a/', y")^ (^"^j") trois points
donnés sur un plan par rapport à deux axes rectaugulaires ,
et appelons /7, ^, r les coordonnées du centre et le rayon;
son équation sera de la forme

p^q ^ r étant des quantités quil s* agit de déterminer.

Or, puisque chacun des trois points donnés se trouve sur
la circonférence, on doit avoir les relations

et la question est ramenée à éliminer p, q^ r entre ces
relations, pour les reporter ensuite dans l'cquation (i).

En développant , puis soustrayant successivement la se-
conde et la troisième relation de la première , on trouve

[2] x'>-:r"»-|-/^-jr"'-2;;(x'-x'')-27(/-/') = o,

(3) *'»-x"''+/^-.y-2/.(x'-ar*)-2r7(/-y'')=0,

équations du premier degré en ^, y, d'où Ton peut tirer
facilement les valeurs de ces inconnues^ après quoi, en les
substituant dans la première des relations ci«dessus , on
obtiendra la valeur correspondante de r.

I I 2 APPLICATION DES THÉORIES PRÉGÉDEHTES

Nous n'enlrerons pas dans les détails de ces calculs qiii
n'offrent aucune difficulté réelle, et qui présenteraieni
d'ailleurs peu d'intérêt à cause de leur complication ; mai;,
nous allons tacher de traduire en Géométrie les équationN
(a) et (3).

Chacune de ces équations, considérée seule, étant du
premier degré par rapport aux quantités p eiq qui expri-
ment les coordonnées d'un point, représente (n^ 79) uni'
ligne droite y et si on les construit successivement par rap-
port aux mêmes axes, le point d'intersection [nP 61 ) de ces
lignes sera le centre du cercle demandé.

Occupons-nous d'abord de l'équation (2); elle peut être
mise sous la forme

ou bien encore

(4) 7 —=^-y-=rp>[p —y

Fio. 61. Cela posé, soient M, M', M" les poinU dont les coor-
données sont (ar', /), {x\ y'% {x'", y'").
L'équation de la droite MM' est (n" 57)

(5) ^_^'=^;^(x_a/).

D'un autre côté, les trapèzes MM'P'P, MM'R'R don-
nent, pour les coordonnées NQ, NS, du point N, milieu
de MM',

2 ^ 2 '

ainsi déjà , l'équation (4) est celle d'une droite passant par
le point jN.

y y"

En outre, si l'on compare les deux coefficients ~ — ^

et — -; 7, des équations (5) et (4)? on voit qu'ils satis-
font à la relation aa'-j- i = o qui exprime (n^ 64) que deux
droites sont perpendiculaires entre elles.

D'où l'on peut conclure que l'équation (4)» qni n'est

k DES QUESTIONS SU a LE CEAGLE. il 3

antre chose que Téquation (2) transformée, représente la
droite élevée par le point N milieu de MM', perpendicu-
lairement à cette dernière ligne. Ainsi , sa construction est
facile.

On reconnaîtra de même qae F équation (3) représente
la perpendiculaire élevée au milieu N' de MM'' dont l'équa-
tion est

Le centre du cercle cherché se trouve donc déterminé de
position ; et la consti^uction que nous venons d'en donner
est précisément celle des éléments de Géométrie.

97. On parviendrait à des résultats plus simples en pre- Fio. 6171
nantpour origine des coordonnées le point M, et pour axe
des abscisses la droite MM', le point M" ayant d'ailleurs
une position quelconque.

Soient a la distance MM' ou l'abscisse du point M',
7! et & les coordonnées du point M".

On a encore pour l'équation du cercle ,

Or, puisque le point M doit se trouver sur la circonfé-
rence, ses coordonnées j: = o, j* = o , doivent vérifier l'é-
quation (i), et l'on a

;?' H- ^' = r\

pour première relation entre les inconnues p^ q^r.

D'un autre côté, le point M' ayant pour coordonnées
a et o. Ton doit avoir

ou, à cause de la relation précédente,

(2) a' — 2/?« = o.

Enfin, les coordonnées a'^ 6' du point M", devant aussi
vérifier l'équation (i) , on obtient

ou , d'après la même relation p^'\'q^ = r^j
Si, maintenant, on construit les lieux géométriques des

.1//. di-U'AL à hi G S

il4 P10BI.à]i1% ^ÉHARAL DBS TAKaiSTES.

équations ( d) «t (3), leur point d'intersecdon sera le centft
du cercle cherché.
ytiquftiion (a) donnant

a»

o = — , ou P = -?
^ Ha ^ a

repiiésaata évidemment la perpendiculaire à MX, élevée
par le milieu N de MM'.

Quant à réquation (3), elle peut être mise sous la forme

oo bien encore sous celle-ci ,

6' a' / a'\

el représente la droite élevée par le point N', dont les coor-
données sont -> -» perpendiculairement à la droite MM*,
dont réquation est

j=^x.

On reconnaît encore ici l'importance du choix des axes.

BROBLKMB DES TANeBJITBS.

Définition générale de la tangente à une courbe. Moyen
analytique de fixer sa position en un point donné d*une
courbe quelconque.

98. Commençons par fixer le véritable iena qu'on doit
attacher au mot tahgehte.

On définit, en Géométrie , la iangçnke au cercle, une
droite qui n'a qaun point commun avec la circonférence;
mais il est aisé de voir que cette définition ne convient pas
à toutes les courbes.
Fio. 63. Soit , en effet , une ligne telle que LN'NKMH. Si , en un
point quelconque M, on mène une droite MNN', qui
semble se trouver, par rapport â la partie KMH , dans la
situation d'une tangente telle qu'elle vient d'être définie,
cette droite peut être supposée n'avoir qu'eus pmM commun

fWOmhlÊMM OtHtlkAL 0^» ¥A]m«frTfis. IlS

avic cette partie de la conrbe *, mais prolongée indéfiniment ^
elle passera par tf autres points N, N'^ ete.» de la courbe<
Donc il ne serait pas exact de dire qu'elle n'a qu'un seul
point commun avec LN'NKMH«

Il y a plus : une droite située dans lé plan d^iine côui'bé
peat aroir nd seul point commun stoc cette courbe SAiiè lui
être tangente dans le sens attribué A ce mot.

Par exemple ) la courbej^'xss si:r, dont nous atbns indi* Fie. 4^«
qoé la construction au n° 76 , est telle que Tane Ajr est bleti ,
par rapport à cette courbe 9 dan» ta posiiton dUtne tan-»-
gente; mais il n'en est pas de même de Taxe des x qui n'a
que le point A commun av^ec elle. La même chose au^alt
évidemment lieu pour toutes les droites menées parallèle-
ment à AX par les différents points M^ M\ N , IS'^ etc.

Pour avoir une définition qui puisse s'appliquer à toutes Fie. 64.
les courbes, il faut imaginer qu'une droite Si ayant deux
points M 9 iM, communs avec la tourbe, touml! autour de
Ton de ces points , M par exemple , de manière A pretidre les
diverses positions SMmj, S'Mm's'^ S'^m'^Ms^'i on roit
que, dans c% mouvement ^ le second point commun «veo la
conrbe, qui était placé d'un côté du point M, en nà^ m'^ se
trouve maintenant du côté opposé^ en m"» Or, danslepas^
sage de la premièfv position ^ m ^ A la troisième t m^\ il doit
nécessairenaenl en exister une ^ intermédiaire^ où le point m
fient A se confondre avec le point M \ et c'est dans cette po-
sition , représentée par TM t , que la droite est dite une tan-^
gente.

On doit donc regarder une tangente à la courbe comme
une sécante dont deux des points d'intersection ^viennent
à se réunir en un seul,

99. 11 n'est pas toujours nécessaire que le mouvement de
la droite se fasse autour de Tun des points d'intersection^
il peut souvent se faire autour d'un point quelconque. La
droite peut même, dans certaines circonstances , se mouvoir
parallèlement k elle-même.

Keprenons encore la courbe ' Fio. /^6.

Conmie , A cbaque valeur de x positive, correspondent

Il 6' P&OBLÈMB GÉSÉKAJL DBS TAHGEHTBS.

deux valeurs de j^ égides et de signes contraires , il s^ensait
que toute parallèle à A Y, menée à droite de cet axe, est
une sécante qui a deux points communs avec la courbe;
mais à mesure que x diminue , les distances M'N^, MU , etc.,
entre ces points d'intersection , diminuent ; et lorsqu' enfin
on suppose x = o , auquel cas la valeur de j devient
jr= ±iOy les deux points d'intersection se réunissent aa
point A , et la droite AT est dite tangente à la courbe.
Fio. 47- ^ reconnaîtrait de même que, dans la courbe discutée
au n® 77 et ayant pour équation

d'où, résolvant par rapport à x, on tire

la droite IK, parallèle â AX, et située a la distance /= ^^
est une sécante dont les deux points d'intersection sont
venus se réunir au point B.

Une courbe étant oixlinai rement regardée comme un po-
lygone d'une infinité de côtés infiniment petits que l'on
nomme les éléments de la courbe , ou comme la trace d'un
point qui change à chaque instant de direction , on peut
encore dire que la tangente à une courbe est un des élé-
ments de cette courbe , prolongé indéfiniment, C^est ainsi
qu'on l'envisage dans la haute analyse \ mais ici nous la con-
sidérerons comme une sécaute dont deux points d'inter-
section AVEC LA courbe SE RÉUNISSENT EN UN SEUL; et

c*est ce caractère que nous allons traduire eu analyse.

Fio. 64* ^^- Prenons une sécante quelconque SM m^ à la coutIm*

M'M M'^ rapportée à des axes rectangulaires ou obliques

AX , AY ; et désignons par x', y'^ les coordonnées du point

M, par x", y"^ ou x' + ^ , j^' -h A , celles du point m.

L'équation de la droite Mm rapportée aux mêmes axes

sera

y" y k

Y» y II ,

Je rapport --y, — —, ou y ? qu'on appelle le coefficient d i?»-

clinaison, ou coefficient angulaire, est la quantité qui
doit fixer complètement la position de la sécante.

DE LA TAKGENTE AU CEKCLE. lij

Conceyonsmaintenaiit que la droite SMms tourne autour
an point M de manière que le point m se rapproche con-
tinuellement du point M; il est clair que, dans le mouve-
ment, h et h diminueront simultanément^ et que le rap-
port - passera d'une manière continue par difTérents étals

de grandeur jusqu'à ce que le point m vienne tomber en M ,
avant que la sécante prenne une position telle que Mm^\
Lorsque la coïncidence aura lieu , la sécante prendra la posi-
noR-LiMiTE M T ; et , à ce moment , le rapport atteindra lui^
même la limite vers laquelle il aura sans cesse convergé.

D'où l'on peut conclure que l'équation de la tangente
sera

^■— y=LîM. - (x — ar');

cest-à-dire que le coefficient (Vinclinaison dans Véquation

de la tangente est lim. -r; limite que Ton obtiendra

d'ailleurs en faisant x"=z x\ j'"= y' dans Féquation de la
sécante, après que Ton aura exprimé toutefois que les

points [a:', r']> [^"' X" 1 appartiennent à la courbe
donnée.

C'est dans la détermination de cette limite , pour chaque
<onrbe, que consiste la solution du problème des tangentes.

De la tangente au cercle, — Propriétés qui s'y rattachent.

101 . Soit d'abord un cercle rapporté à des axes rectan-
GVLAiKES, et à son centre comme origine des coordonnées.
On a pour son équation ,

Une sécante quelconque sera représentée par l'ensemble des
trois relations

(2) ^'» +/* = /^,

(3) x"»-K/''=r»;

mais si Ton retranche la seconde de la troisième, on a

yi — x'' -f. j"» —y = o

I|8 DE lA VANOSlfTB AV 6BaC&B.

OU bien

d'où 1 on déduit

x"^a/^ y-^y'

et, par suite, le système des trois relations (i), (2) et (3)
peut être remplacé par celui des deui^ suivantes :

Si, maintenant, on veut que x\ y* soient les coordonnées
du point de contact d*une tangente i la courbe , il suffit
(n^ 98) d'exprimer que le point [or'', j''] vient à se con-
fondre avec le point [x\ j^'], c'est-à-dire de poser

ce qui donne

y"— y k' «'

et Téquation de la sécante devient alors

(4) r-y'=-~(x-a/).

Telle est Téquation de la tangente au cercle, pourvu que
l'on y joigne la relation (2) qui exprime que le point (x',/')
se trouve sur la courhc.
FiG. 65. Il est aisé de reconnaître à posteriori que l'équation (4)
caractérise la tangente au cercle en un point M dont les
coQpdonnées aont x' et j^-.

En ^et, tirons le rayon OM dont Téquation , pârrapport
aux mêmes axes , est

y

on voit que les deux coefficients angulaires p et — -^

sont liés par la relation a.(^' + 1 = o.

Ainsi, la droite SMT représentée par Téquation (4)est
perpendiculaire à l'extrémité du rayon OM ^ donc elle est

TAN6EKTE eU CÇ pûîut.

Lorsque les a^ces sont obliqviçs, les calculs nécessaires

Dl LA TAUGSBtB àV CBIICLB. IIp

pour la détermination du coefficient angulaire de la tan-
gente sont un peuplas compliqués.

L*éqiiation du cercle est alors (n^ 74) , Fon^me étant
toujours placée au centre j

x' -f. ^» -f- 2 XJ^ COS 0 = 0,

ceQe de la sécante conservant la forme

On a d'ailleurs pour les deux relations qui expriment que
les points {x\y)^ {x^^ y") sont sur la cotirbe,

jr'* -+• c'' -4- a or'y cos 0 = o
et

/•" -+. ^» -h 2 ar'y cos 0 2SS o.

Retranchant ces deux égalités Fune de Pautre , on trouve

j'^t — y» + X*'» — y» -f- 2 cos Ô (a/' y" — x^y) s= o.

Mais, pour en déduire le rapport „ ij, et, par suite,

la LixiTE de ce rapport^ il est nécessaire de transformer
le facteur x"y^ — x'j' \ ce qui se fait en lui ajoutant les
deux termes, —x^^y^-\-x"y\ qui se détruisent. Il vient
ainsi

ei Tq^alité précédente se change en celle-ci ,

/'-y'H-^'-x"-hacose[y'(/'-y)4-/(«"-:«:')}3.»,
d'où, en divisant par x" — x\

équation qui donne

X" — f _ _ (j'^-h^+a/ cosQ) ^
x"— y^ j'' -+-/-*- 2 x" cos 0 '

et passant à la limite^ ce qui revient à poser x^* ^^ x' et
Donc enfin , on a pour Féquation de la tangente,

lao DE LA TAlTGBXfTE ÀTJ CEECLE.

en y joignant la relation nécessaire

^'-f-y*-t- 2 a/ y CCS 9=0.

103. Remarque importaiïte. En se reportant aux prin-
cipes de l'Analyse algébrique, on reconnaît que les coeffi^

X* x' -^ y' cos 0
cients angulaires , ?» ; ; -9 ne sont autre chose

r y-hj/cosô

que les quotients de la flix^ision de la dérivée prise par rap-
port À X et en signe contraire, par la dérivée prise par
rapport à y^ du premier membre de Féquation du cercle,
mise préalablement sous la forme

jt'-H/'— r'— o, ou x' 4- j' -h 2 xjr cos 9 — r]* = o,

après (ju'on y a remplacé les coordonnées courantes x eiy
par les coordonnées x' ev y' du point de contact

On peut se rendre compte de ce fait d^une manière géné-
rale en observant :

Que, toutes les fois que l'équation de la courbe est de la
forme ••

y étant au premier degré, elf[x) exprimant une fonction
entière de x, qui , par conséquent, ne peut jamais devenir
infinie 'pouT des valeurs ^/?/>5 de x^ la limite du rapport

j {h et h désignant les accroissements des deux variables

x ety) ^a pour valeur f [x) ou la dérivée dey*(jr) •,
Et si Féquation de la courbe est de la forme

f(x^jr) représentant encore une expression ra^'o#9/te/2e et
entière en x et en y, la limite du rapport j- est égale à

_ /x i^yr) .

f*^ (jr, y) désignant la fonction dérivée de/ {^^y)^ prise

par rapport à x , et / ^(x , 7) la fonction dérivée de y(x, r)»
prise par rapport à y, '

Comme Féquation de chacune des courbes dont nous
nous occuperons dans les chapitres suivants, rentrera dans

DE LA TANGElfTE kV CERCLE. I '2 C

lune des deux catégories précédentes , nous pourrons , pour
obtenir V équation delà tangente^ ou appliquer les raison-
nements qui ont été faits pour le cercle , ou faire usage des
règles de l'Analyse algébrique, relatives aux dénuées,

103. Autre forme de V équation de la tangente* — Re-
prenons Téquation du cercle rapportée à son centre comme
ORIGINE et à des axes rectangulaires , ainsi qu<* Téquation
de sa tangente ,

II) x^-h/»=r'^

et

x'

On peut, au moyen de la relation

qui est intimement liée avec celle de la tangente, faire su*
bir à cette dernière une simplification.
Chassant le dénominateur^ et transposant, on a

ou , à cause de la relation (3) ,

(4) jrx'-f-j/=r%

équation qui ne di0%re de Téquation (i) qu'en ce que les
carrés x' et jr* sont remplacés par les rectangles xx* et Yy'\
ce qui rend Féquation de la tangente facile à retenir.

Si l'on fait successivement y = o et T = o , dans Téqua- Fig, 66.
lîon (4), on obtient

x = - el y=y

Ce sont évidemment V abscisse OR du point de rencontre
de la tangente avec l'axe des x, et V ordonnée OR' de son
point de rencontre avec Taxe des y.

104. On nomme sous-tAngente dans une courbe , la partie
de Taxe des abscisses y comprise entre le pied de l'ordonnée
du point de contact , et le point oii la tangente rencontre
cet axe,

Lason9-tangenteest/o^^omém<^ii49menireprésentéeparPR; Fie. 66.

1

laa DE LA TAZIGBIfTE ÀtJ CERCLE.

et ai Ton veut obtenir «on expression analytique ^ comme
on a » d'après la figure ,

PRssOR — OP»
il en résulte

k cause de la relation (3).

On obtient encore V expression de la sous-tangente en
faisant jr=^o dans Téquation (2), non simplifiée, delà tan-
gente.

Il vient en effet , pour y = o ,

X — x* = — 7 >
je'

expression dans laquelle x — x' représente nécessairement
V abscisse OR du point où la tangente rencontre Taxe des x,
diminuée de l'abscisse du point de contact , et, par consé-
quent, la distance PR.

C'est même le moyen général d*obtenir la sous^tangefitc
dans toutes les courbes :

Tirez de Véquation non simplifiée de la tangente la
valeur de x — x', qui correspond àj=zo\^ vous avez ainsi
la valeur de la sous-tangente avec le signe qui convient à la
poskion du point R par rapport au pied P de Tordonnée du
point de contact , c'est-à-dire posMye ou négative suivant
que le point R est situé k droite ou à gauche du point P.

105. De la normale. — On appelle vorm^le à une courbe
la ^perpendiculaire menée à la tangente par le point de
contact , et sous-NOftif ale la distance du pied de Vordort'
née du point de contact, au point où la normale renconv^
taxe des x.

Pour le cercle dont I équation la plus simple est

a:* -H y = r*,
Téquation de la tangente étant

Q(B a iiéc49ssair«ment pour Téqualiou delà uorvud^y à rai-

DE LÀ TAVOSVTl kV CSRCUI. ia3

Mmde la relation aa' + tz^Of

ou , chassant le dénominateur et réduisant ,

équation d'une droàe passant par F origine (n^ SU).

Quant à la sous-normale, il faut, pour obtenirson expres-
sion, chercher la valeur de a: — a/ correspondante à j= o
dan$ l'équation non simplifiée de la normale \ ce qui donne

expression négatii^e, parce que la distance est, d'après la
définition , comme pour la sous-tangente , comptée à partir
du pied de Vordonnàe du point de contact.

Sa valeur absolue étant la même que cellede l'abscisse du
point de contact, il en résulte bien , comme on Ta déjà re-
connu, que la normale au cercle passe par f origine.

Tangente au cercle menée par un point pris hors de la

circonférence.

106. Proposons-nous maintenant de mener une rangenfa Fio. 66<
au cercle par un point N situé hors de la circonférence j
et désîgnoos par « , S les coordonnées du point donné N ^ en
conservant x'^ y' pour les coordonnées inconnues du point
de ccmlact.

Puisque la tangente est assujettie à passer par le point
[a, S], son équation est (n^ 58) de la forme

(l) /^e==:fl(j? — a),

a, ou \c coefficient angulaire, ayant pour expression-—— ;

(t \\ s'agit de déterminer x' ety ^pQur reporter leurs valaiirs
dans Fexpression de a.
Or réquisition sii^plifice (]e la tangente étant (n^ 103)

on a nécessairement la relation

puisque cette droite doit passer par le point [ce , ô }•

l'24 DE LA TANGENTE AU CERCLE.

D'ailleurs, le point [.r', y'] se trouve sur la conrbe
( j:' -I- y* = r*) ; ce qui donne une seconde relation

(3) a:'» -+-/'= r»;

les équations {2) et (3) peuvent donc servir à déterminer
les inconnues x' et y'.
On lire de la relation ('i)

, /•* — a or'

r - — ^— .

d'où, substituant dans la relation (3) et ordonnant par
rapport à x',

OU , résolvant et simplifiant ,

j, n^ ■ •

a' + 6'

Si l'on remplace x' par sa valeur dans l'expression de r'
en x\ il vient, toute réduction faite,

Donc,

A

_ raipv^oM-ê'— r»

(les deux signes supérieurs se correspondant ainsi que les
signes inférieurs ) .
TiG. 66. Ce résultat prouve, i** que par le |)oint N on peut, en
général , mener deux tangentes^ 9.^ que le problème serait
impossible si l'on avait

c'esl-à-dîre

ON»<r', ou ON<r;

donc le point donné ne peut pas être pris à l'intérieur du

cercle.

L'hypothèse a* -h 6' — r* = o réduirait la valeur de « à

a
a = --

et le point do?inè serait le point de contact lui-même.
Pour fixer géomèfriqiœmenl la position du point (x', r')*

DE LA TANGENTE AU CERCLE. ' I'^:>

il faudrait construire les valeurs obtenues pour ces coor-
données ^ mais comme elles sont assez compliquées , on peut
avoir recours aux lieux géométriques (n° 89).

107. PasMiER MODE dc construction. — Reprenons les Fig. 67.
équations

2) «j/4-6/ = r',

qui ont servi à déterminer x' et y*
En retranchant la première de la seconde, on obtient

4) y«— ax'-+-/»-ey = o,

équation qui peut être substituée à la première \ et si Ton
construit par rapport aux mêmes axes , chacune des équa-
tions (3) et (4) considérées comme renfermant deux va-
riables x'y y\ les points d'intersection des deux lieux
géométriques seront les points de contact demandés.

D'abord , l'équation ( 3 ) , en tant que x' et j' sont ici des
variables, représente le cercle déjà construit.

Quant à réquation (4)9 qui est évidemment comprise
dans réquation générale du n^ 85 , comme elle peut être
mise sous la forme

elle représente une circonférence de cercle dont le centre

a pour coordonnées -7 -» et qui a pour rayon - ^a' 4- 6*.

Or, si l'on joint le point O au point donné N , on a

OP a „ NP 6
OL ou — =-î IL = — = -»

2 2 2 2

d'où

2 ^

Donc , la circonférence décrite sur O^ comme diamètre,
est le lieu géométrique de T équation (4)«

Ainsi les points M , M', oii les deux circonférences se
coupent y sont les points de contact ^ qu on joint au point IN
pour obtenir les tangentes demandées.

126 DE LA rkV^lRlUtt At) CÈECLE.

Il est à remarquer que cette construction est prëcisëméiit
celle qu'on donne dans les Êténients de Géométrie.

Fio. 68. 108. Second MODE de construction. — En opérant direc-
tement sur les équations (2) et (3) , on est conduit â une
propriété très-remarquable.

L'équation ( 3 ) représente tôttjotifs le cercle donné.

L'équation ( 2 } , étant du premier degré en x\ y\ repré-
sente une ligne droite; et oommci lea pointA tm ell« doit
rencontrer la circonférence ne «ont autre choae que les
points de contact ^ il s'ensuit que cette droite peut être
considérée comme la ligne de jonction des points de con-
tact.

Afin d'en fiker la position , faisons sucee&sivct&ent dans

réquatlon (2),

/=o, y = o;
il vient

pouf r' = <>» «/Ar— ;

- 01

pour x^=iùf /' = -.

Le premier point j^'= o, x'= — est le point B 011 la

droite rencontre Taxe des j: , et il s'obtient par là conslruc-
lioD d'une troisième proportionnelle.

Le second point ci^'cao^ j'= — eai le point C ou la

droite coupe l'axe des y^ el a'obtiaokt par im0 eonsiruction
analogue.

La droite de jonction des points de eontœi est donc la
ligne BC.

Or c'est ici que se présente la propriété que nous ayons
annoncée :

La valeui* x = -^ qui correjqjpoïkd ky'^fss o» est indépen-
dante de Tordonnée S du point N par leqtld crti tetft
mener les deut tangentes ;

D'où il suit que si , par ttn antre point quelconque M' de
la ligne indéfinie LNL^ parallèle à OT, un mène àes can-»

1>B LA TAHGERTB kV GBK6Lft. 1^7

gentes au cercle donné, la droite qui joint les deux points
de contxief rencontre l'axe des x au même point B.

Et, en effet, en appelant a et 6' les coordonnées du point
N'y on aurait pour Téquation de la droite M^ M'^',

qui , pour jr' = o , donnerait encore

x' = - = OB.
a

Observons d*ailleurs que, l'axe OX étant une drttite
menée à volonté dans le plan du cercle donné, la droite
LL', qui lui 9b% perpendieêUaire , peut elle«*mènie être re-
gardée comme traoée d'une manière quelconque dana ce
plan, puisqu'on pourrait toujours, après avoir tracé cette
dernière ligne arbitrairement , prendre pour axe des x , la
perpendiculaire abaissée du centre sur cette ligne.

On arrive ainsi au théorème suivant :

Si, des différents points d'une droite quelconque et in-
défini LL\ on mène des tangentes à un cercle j toutes tes
droàes qui joignent les points de contact des deux tan^
gentes partant d'un même point, se réunissent en vw
HÈME pouiT B, quis^ trouve placé sur la perpendiculaire
abaissée du centre G sur la droite LL^

Le point B est ce qu'on nonime le polb de la droite LL',
qui, a son tour, est appelée la polairb du point B (*).

r» r

N. B. — U résulte de l'expression ap'= — =x r. -» que

toQieft le» fols c[ue la droite LL^ est cjctèrieurs au oenle ,
auquel caa on a « }> r, le point H est intérieur.

Si, au contraire, la droite est sécante à la courbe, comme
OU a alors « <1 r, d'où - !> r, le point de concours des
lignes qui joignent les pofnts de contact eat extérietir.

(*} On trouTe, dans le Traité de Géométrie élémentaire d« M. Vinœnt,
un grand nomlure de propriétés fort curienses du pôle et de la polaire d'un
ccnsli! donné.

e

ISl8 PROBLEME SUR LES LIEUX GÉOMÉTRIQUES.

Problème sur les lieux géométriques,

Fio. 69. i09. Nous terminons ce chapitre parla résolution d'un
problème sur les lieux géométriques.

Étant donnés deux points A at B, troui^er un aulrc
point M tel que , si on le joint aux points A e£ B , Vangl
AMB formé par ces deux lignes de jonction soit égal h
un angle donné V.

Prenons pour axes la ligne A B et la perpendiculaire éle-
vée par le point K, milieu de AB.

Nommons d'ailleurs 2x' la distance AB.

La droite BM, assujettie à passer parle point B, dont les
coordonnées sont y = o , x = x', a pour équation

On a de même pour l'équation de la droite AM , assujettit'
à passer par le point [y = o , x = — ^'] >

(2) xz=r.a' {x-i-x!);

et comme , d'après Ténoncé , ces deux droites doivent for-
mer un angle donné V, les quantités a et a^ sont (n^ &i\
liées entre elles parla relation

a — a'

(3) -, = tangV.

En donnant à a une valeur arbitraire, ce qui fixerait h
position de la droite BM , on tirerait de Téquation ( 3 ) mw
valeur correspondante pour a\ qui déterminerait aussi la
position de la droite AM ; et le point d'intersection de c( s
deux droites serait une réponse à la question qui , par sa
nature , est indéterminée, puisque Ton n'a que trois rela-
tions entre quatre inconnues x^y^aela'.

Mais si, entre les équations (i), (a) et (3), qui existent
en même temps pour un point quelconque M du Ueu géomé-
trique, on ÉLiMiiïE a et a', Téquation résultante en x et )
sera nécessairement F équation du lieu géométrique, puis-
qu'elle exprimera une relation entre les coordonnées Av
chacun de ses points.

Or, pour eflTecluer cette élimination , il suffît de rempla-

PAOBLEME SUR LES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 1 29

cerdans Féquation (3) les quantités a et a' par leurs va-
leui-s tir^ des équations (i) et (2). Il vient, par la substi-
tution,

y y_

— = tangV;

d'où, chassant les dénominateurs et réduisant,

équation d'une circonférence de cercle (n^ 85), dont le

centre [p, ^,] , a pour coordonnées ( /? = o, 7 = — — j ,
et qui a pour rayon

x' j

V I -h tang» V-

langV

Mais , comme l'hypothèse ^ := o , donne

x' — a/' = o ,
d'où

X = dz x' ,

et qu^ainsi la circonférence se trouve assujettie à passer par
les points A et B , il est clair que le cercle sera déterminé
dès qu^on aura construit sur OY Texpression

"^■^ tangV' .

qui fixe la position du centre.

Pour construire cette expression , faites au point B un
angle ABL égal à l'angle donné Y; puis , éleuez en ce
même point, BO perpendiculaire à BL. Le point O d*in«
tersection avec KY sera le centre du cercle cherché.

Car le triangle rectangle OBK donne

OK = BK X tang OBK = BKX cet KBL =

tangV

Cette construction est précisément celle qu'on donne dans
les Éléments de Géométrie , pour décrire sur une droite un
segment de cercle capable d^un angle donné,

Discussioir. — Tant que Tangle V sera aigu, -- — = sera
positif; et le centre du cercle sera situé au-dessus de AB.

Ap. tU l'A', à la G. 9

l3o DES PROBLEMES INDÉTEnilIfilÉS.

Fio. 69. Maïs si Tangle V est obtus, tang V est négatif; par suite,
- — ^ est aussi négatif, et le centre se trouve place au-
dessous de ÂB.
Soit V= 90% d'où

tang V = 00 et — = o.

^ tang V

L^équaiîon (4) se réduit alors à

et représente une circonférence décrite sur AB comme dia-
mètre.

Soit encore V = 0 , d'où

tang V = o ,
les expressions

' tangV langV^ ^ '

deviennent infinies; et le cercle lui-même , d^une granrfeur
infinie.

On doit d'ailleurs observer , dans le cas général , que tous
les points de la partie supérieure AMB de la circonférence
donnée par Féquation (4)9 satisfont k Ténoncé, et que,
pour la partie inférieure AM'B, ce n*est pas Tangle AM'B,
mais son supplément AM'H qui est égal à Tangle donné.

On a , en effet, pour cet angle,

AM'H = M'AB-#-ABM',
d'où

ung AM'H = >a"gM-AB4>tangABM- ;
® 1 — tang M'AB , tang ABM'

Mais

tang M'AB = — tang G AX = — «', tang ABM' = a ;

donc

...,„ — /l'-f-tf a — a'

tang AM' H = 7- = >•

^ I -4- /?«' I + aa'

Ainsi , c'est bien pour cet angle AM'H que l'équation (3)
est satisfaite.

110. Remarque générale sur les problèmes indéterminés.

En réfléchissant sur la manière dont la question précé-
dente a été résolue, on voit que, pour obtenir V équation
d'un lieu géométrique , il faut commencer par établir des

DES PROBLÈMES INDÉTEOMINÉS. l3f

équations entre les coordonnées xety d'un quelconque de
ses points , et d'autres quantités qui varient aussi avec la
position de ce point.

Le nombre de ces équations doit être moindre d'une unité
qnele nombre des variables , y compris :e: et y ; et ces équa-
tions une fois formées, on élimine les variables autres que
X et j*. L'équation résultante est V équation demandée,
puisqu'elle exprime une relation entre les coordonnées d'un
point quelconque du lieu géométrique, et des quantités con-
nues.

Mais il importe de choisir convenablement les axes aux-
quels le LIEU GÉOMÉTRIQUE doit être rapporté, afin d'obtenir
des constructions simples et faciles.

En général , les équations se réduisent , i ^ à celles de deux
b'gnes droites ou de deux circonférences dont les points d'in-
tersection appartiennent au lieu géométrique cherché , ces
équations renfermant, outre les coordonnées x ely^ deux
antres quantités qui varient avec la position du point ; q^ et
à une relation entre ces deux dernières variables , immédia-
tement fournie par l'énoncé.

S'il arrive qu'il y ait trois ou quatre variables à éliminer,
ou doit avoir alors une ou deux relations de plus.

Ces observations trouvent leur application dans la réso-
lution des questions suivantes que nous proposons comme
exercices :

1^. Étant donnés deux points, trouver le lieu géomé-
trique des points tels , que la somme ou la différence des
carrés des distances de chaque point de ce lieu aux deux
points donnés soit égale à un carré donné ^

a°. Un cercle et un point étant donnés sur un plan , si
par ce point on tire autant de droites qu'on voudra , et que
par les deux points d'intersection de chaque droite avec la
circon£érence , on mène des tangentes , on demande le lieu
géométrique des points de rencontre de ces tangentes con-
sidérées deux à deux.

9-

l3a TRAMSFORMATIOJN DES COORDONIVÉES.

CHAPITRE IL

§ I. Transformation des coordonnées. — §11. Notions

PRÉLIMINAIRES SUR LES COURBES DU SECOND DEGRÉ. —

§ III. Réduction, par la transformation des coor-
données, DE l'équation générale DU SECOND DEGRÉ A
DEUX VARIABLES.

§ I. — Transformation des coordonnées.

111. L'une des questions les plus importantes de la
géométrie analytique est celle de la transformation des

COORDONNÉES.

Si l'on jette les yeux sur les équations de la ligue
droite et du cercle , et que Ton considère ces lignes dans
les diverses situations qu'elles peuvent avoir par rapport à
deux axes, on reconnaît qu'une même ligne peut être re-
présentée par une équation plus ou moins simple y selon
sa position à Tégard des axes et suivant que les axes eux-
mêmes sont rectangulaires ou obliques.

Ainsi , Téquation la plus générale de la ligne droite étant

celle d'une droite passant par l'origine est

a ayant, dans Tune et Tautre de ces équations, une accep-
tion différente, selon que les axes sont rectangulaires ou
obliques ,•

Et l'équation d'une parallèle à l'un des axes est

x=^a ou fz=z h.

De même, l'équation la plus générale du cercle étant

[x — pY'\-[y— qY-^T, [X'—p) (/— 7) cos9 = r%

celle du cercle rapporté à deux axes rectangulaires menés
par son centre, est

On conçoit donc que, lorsqu'une courbe est déjà fixée

TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. t33

de position sur un plan par le moyen d'une équation , si
l'on s'aperçoit que cette courbe est dans une situation plus
simple par rapport i deux nouvelles droites que par rap-
]X>rt aux axes primitifs , il est bon , pour faciliter la re-
cherche de ses propriétés , de chercher à déduire Téquatiou
de la courbe rapportée aux nouveaux axes , de Téquation de
la même courbe rapportée aux premiers»

Tel est le but qu'on se propose dans le problème de la
transformation des coordonnées, lequel peut s'énoncer
ainsi :

Étant donnée l'équation d'une courbe rapportée à deux
axes quelconques , trousser V équation de la même courbe
rapportée à deux nouveaux axes.

112. La transformation la plus simple est celle qui a
pour objet de passer de Téquation d'une courbe rapportée
à un système d'axes rectangulaires ou obliques, à l'équa-
tion de la même courbe rapportée à un système d'axes pa-
rallèles aux anciens.

Soient AX, AY, deux droites par rapport auxquelles Fio. 70.
une courbe M' MM" est fixée de position parle moyeu de
Téquation

J) /(Jf, r) = o>

et A'X', A' Y' deux autres droites respectivement pa/'^a/Z^/e^
aux premières.

Appelons x\ y les nouvelles coordonnées d'un point
quelconque M de la courbe, a, b les coordonnées de la nou-
velle origine A' rapportée aux anciens axes , coordonnées
qu'on doit supposer connues.

On a évidemment, d'après la figure, les relations

AP = AB-HBP =AB -f-A'P', ou j: = «-|-x',
PM=PP'-+-P'M = A'B-f-MP', ou j = A-hy;

et si l'on substitue ces valeurs de a: et de y dans l'équa-
tion (i) , on aura une nouvelle équation

(2) /(y,/) = o

qui fixera la position de la courbe par rapport aux nou-
veaux axes.

Goinine application de cette première transformation de coor*

l'J4 TRAHSFORHATIOM DES COORDOKMÉES.

données, prenons réc]uation du cercle rapporté à des axes reckin'
guiaires quelconques, savoir (a^70)

et posons
il vient

Telle est (n^ 74) l'équation du cercle rapportée à son centre €i à
des axes rectangulaires.
De même, si Ton pose

réquation

devient

(«' — r)»-4-j'>=r%
ou réduisant ,

j'^=z7.rx' — x^ (n°75).

C'est l'équation du cercle , quand i'origine est placée à Vextré'
mité d*un diamètre.

il3. Traitons maintenant la question générale , savoir:

Passer d'un système de coordonnées obliques à un autre
système de même espèce et dorigine d^èrente,
Fjg. 7 1 . Soient AX, AY les anciens axes, et A' X', A' Y' les nou-
veaux; AP et MP sont les coordonnées, x, j^ d'un point
quelconque, M, de la courbe rapportée aux premiers axes;
A'P' et MP' sont les nouvelles coordonnées, x\ y', de ce
môme point.

Menons A'X" et P'H parallèles à AX, puis A' Y' etP K
parallèles à A Y, en prolongeant A' Y'' jusqu'à sa rencontre
en B avec AX.

Faisons d'ailleurs

AB = «, A'B = ^ X'VX"=a, rA'X"=a'

et

Y"A'X" ou YAX = e;

/?, 6, sont des quantités connues y puisqu'elles ne sobi autre
cliose que les coordonnées de la nouvelle origine, quoB
suppose donnée de position par rapport aux anciens axe^;
il eu est de même des angles a , a', que chacun des nou-
veaux axes forme avec Tancien axe des x , et de Tanglc 6<
qui est égal à Tangle YAX des anciens axes.

TRAHSFORMATION DES COOEDONiSéES. l35

Cela posé, la figure donne évidemment

AP ou a: = AB -+-BP =a-f- A'K-hP'H,
MP ou r = A'B-hML=:6 4-P'K-hMHj
ainsi, lent se réduit k déterminer Â'K, P'K, P'H et MH.
Or, on a dans les triangles A^P'K, MP'H, en vertu d'un
principe connu de Trigonométrie,

i\ A'K: A'F :: «n A'FK : sîn A'KP';

ou, à cause de A'P'K = P'A'Y"= 6 — a, et à cause de
A'KP'= A'LM = i8o«— MLX"= i8o«— 0,

A'K-.x'irsinfO — a):$inÔ; d'où A' K = :^^-^îU?^=^ ^

2». P'K:A'P'::wnFA'K:»inA'KP';d'où P'K = — ^i

3». P'H : MP' :: sinP'MH : sinP'HM;

ou, h cause de P'MH = Y'A' Y"= Ô — a', et à cause de
P'HM=AXM=i8o"— Ô,

P'H:^'::sin(0-a'):sine; d'où FH = -^'^'".^^7"''^

4». MH : MF : : sin MP' H : sin P'HM ; d'où MH = ^ .^'""^ •
^ sin 0

Donc , en portant ces valeurs dans les expressions de x ,
y, on obtient

X* sin (0 — a)-|-y sin (9 — a )
sm 0

x' sin a 4- r' sin a' ,

r= 7—~ h^.

sin 9.

Telles sont les formules les plus générales de la transfor-
mation des coordonnées, dont il est facile de déduire les
formules particulières correspondant à toutesies positions
de la nouvelle origine et aux différentes directions des nou-
veaux axes par rapport aux anciens, en donnant k Cyb^ des
valeurs convenables, positives ou négatiues, et aux angles
a, a', toutes les valeurs depuis o" jusqu'à iBo*', sans que a
et a' puissent recevoir simultanément la même valeur.

Quant à Tangle 0, il est toujours donné à priori^ puis^
que c^est l'angle des anciens axes.

Nous nouaeonlenterons dHndiquer ici les cas principaux.

l36 TRÀNSFOEMÀTIOXV DES COORDONNÉES.

Fie. 70. ^44^ Premier cas. — Les deux nouî^eaux axes sont
parallèles aux anciens^ c'est le cas déjà cousidéré au

On a alors

dt =r O et OL^zzz Q y

ce qui donne

sin(6 — a} = sin6, sin(0 — a') = o, siBa=:o, siDa'=aiDÔ;

ainsi les formules se réduisent à

résultats conformes à ceux trouvés précédemment.

Fio. 72. 1^5. Deuxième cas. — On propose de passer d'un sys^
tème rectangulaire à un système oblique.
Dans cette hypothèse , il suffit de faire

8 = 90%
d'où

$inO=i, sin(Ô — a)=cosa et sin(& — a') = cosa'*,
et les formulent deviennent
(3) x = 3:'cosa-|-ycosa'-h€i, ^ = Jt'sina-f-ysiû a'-h^.

Fio. 73. 116. Troisième cas. — Passer dHun système rectangu-
laire à un système aussi rectangulaire : c'est un des cas les
plus usités.
On a

0 = 90%

a' OU rA'X" = rA'X'-|-X'A'X" = 90"-4-«j

d'où

sin ô = I, 8in(6 — a)=:cosa,

sin (0 — a') = sin (90** — 90" — a) = — sm a,

sin a' = sin (90** -+-«)=: cos a. ;

et Ton obtient pour formules correspondantes ^

' . ( X = x' cos a — /' sin a -4- a ,

^^' 1 ^ = x' sin a -h y' cos a 4-5.

JV. B. — Ou déduit ce dernier cas du deuxième , en y
faisant simplement a' = 90** -4- a , ce qui donne

ces a' = — sin a et sin et! = cos a.

TRÂKSFOBMATIOK DES C00ED01I»ÉE8. iZj

117. QvATRikHE CAS. — Pusser d'un système oblique à Fie. 74-
m système rectangulaire.
Il suffit de faire dans les formules générales

a' oa Y'A'X" = 90*»4-«; d'où sma'^cosa»

sin (9 — a' ) = sin (ô — 90** — a )

=:— sin[90*'— (0 — a)]=— co5(ô--a).

Ces formules deviennent alors

a/ sin a -4- j'

jKsin(0 — a) — ^005(0 — a)
— . — -f-a.

6.

118. Chacan des trois systèmes précédents peut être obtenu Fig. 74*
directement au moyen de la figure ; mais nous nous contenterons
de rechercher celui qui correspond au dernier cas.

Soient toujours menées par les points A' et F, A' X'^ et P' H
parallèles à AX, puis A'Y'' et P'K parallèles à AY.

Il résulte de cette construction ,

AP ou ar = AB -hA'K— FH,

MP ou r = A'BH-P'KH-MH.

On trouve d'abord , comme dans le problème général,

4/ sin (Ô — a) . X* sin a

A^K= } , i et P'K = -4-r-

sin 0 sin 9

D'un autre côté, le triangle MP'H donne

!•. P' H : MP' : : sin HMP' : sin MHP' ;

ou, comme HMP'=Y'A'Y"=Y'A'X'— Y''A'X' = 90»- (Ô -a),

FH:r'::cos(Ô — a):sinÔ; d'où P' H =-. ^^^-^5^^?-=^^
•^ ^ ' smO

2». MH : MP' :: sînMP'H : sinMHP';

mais

MFH = MFA'— HP^A' = 90°— XA'X" = po»-- a;
ainsi

MH : y' : : cosa : sin G j d'où MH = LJ^.

sm G

Donc enfin

or' sin (G — a) — 7' ces (6 — a)

Sin G

j/ sin a -h r' cosa
sin G

l'iS TRANSFORMATION DES COORDONNÉES.

Dans le second et le troisième cas, les triangles A'P'K, MHF,
sont rectangles, et la détermination des Hgnes A'K, P'R, P'H
et MH , n'en est que p!iis facile.

119. Enfin , si , dans les formules générales et dans celles
qui en ont été déduites, on suppose a = oetft = o, on
obtiendra de nouvelles formules qui correspondront au
cas où Von veut changer seulement la direction des axes,
sans déplacer V origine.

Ainsi ,

a? = d/cosa -h/'cosa' I Jj?=:x'cosa — usinai

y = j/ sin a -h z' sin a' I )/ = o/sin a -h^ cosa j

sont les formules propres à faire passer d'un système rec-
tangulaire à un autre système oblique ou rectangulaire de
même origine.

En général, on distingue deux espèces principales de
transformation de coordonnées, le déplacement de l'ori-
gine et le changement de direction des axes. Lorsque la
question exige cette double transformation , il y a souvent
de l'avantage à ne les exécuter que successivement; nous en
verrons bientôt des exemples.

120. Nous terminerons cette théorie générale parTexa-
men de deux cas particuliers :

Fio. 75. 1®. On peut demander de passer d'un système oblique
YAX à un système rectangulaire XAY', l* origine restant
la même, et l'axe des x restant aussi le même.
Dans ce cas , on a

a=:o, ^=0, a=zo, tt,'=zç^^;
d'où l'on tire

sin a = o , sin a' == I , sin ( 0 — a ) = sin ô, sin (6 — a') = — cos ô;
et les formules (t) se réduisent à

r'
X = x' — r'cotô, et r = -= — - = r'cosécô.

On fait usage de celles-ci lorsqu'une courbe étant rap-
portée à un système d^axes obliques, on veut rendre le
système rectangulaire.
FiG. 76. ^^' ^^ peut, en conservant le même système d'axes,

TR^HSFORMÀTIOM DES COOUDOHNéES. iZg

exiger que Vaxe des y' se confonde avec celui des x, et
réciproguement.
Dans ce cas , on doit avoir

a' = o et a = Ô ;

iiiia = sinO, sina'sro, sm(6 — a)=io, sin (0 — a')=:siiiO.
On a^en outre,

a ^=: o y 6 = 0;

aiosi , les formules (i) se réduisent à

aF=^' et ^srj/;

ce qui est d^ailleurs évident, car on ne fait ici que changer
les dénominations des axes.

m . On tire de là cette conséquence : Lorsque les équa-
tions de deux courbes sont telles, que la seconde est com-
posée enjetx comme la première F est enxetj, les deux
courbes sont identiques.

Car 00 passe de l'une à Tautre équation en changeant x
eny^ et y réciproquement ,j^ en x. U n'y a réellement, dans
ce cas, que la position de la courbe par rapport aux «xes
qui soit renversée.

122. Première remarque. — Comme, pour nne même
question, on a souvent besoin d'effectuer successivement
plusieurs transformations de coordonnées , nous convien-
drons de supprimer les accents dans les seconds membres
des formules relatives à ces diverses transformations ; c^esu
à-dire que nous désignerons toujours par x etj les anciennes
et les nouvelles coordonnées , quoique leurs valeurs et leurs
positions soient différentes*, mais l'emploi successif des for-
modes suffira pour indiquer que la courbe, étant rapportée
à un premier sjst^e, se trouve ensuite rapportée à un se-
cond, à un troisième, etc., système.

Ainsi , pour passer d^un système oblique ou rectangulaire
à un système de coordonnées parallèles , nous ferons dans
l'équation de la courbe ,

les X et ^ du second membre désignant les coordonnées rap-

l4o NOTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LES COURBES DU 3® DEGRÉ.

portées aux nouveaux axes, dont l'origine a d^ailleurs aeib
pour ses coordonnées rapportées aux anciens axes.

De même , pour passer d'un système rectangulaire k un
système oblique de même origine , nous poserons

X = JT ces a 4- j ces a' et ^ = j? sin a H- r sin a'.

Cette convention a pour but de simplifier l'éciiture des
calculs en évitant la multiplicité des accents.

123. Seconde remarque. — Les quantités a^ b, ay a\
(jui entrent dans les formules, sont des constantes dont les
valeurs fixent la position de la nouvelle origine et les di-
rections des nouveaux axes par rapport aux anciens dont
l'angle est exprimé par 6. Elles doivent être regardées
comme connues et données à priori, toutes les fois qu^on
veut rapporter la courbe à de nouvelles lignes dont la posi-
tion par rapport à cette courbe a été reconnue plus simple
que celle des anciens axes.

Mais il arrive souvent qu'on exécute une transformation
de coordonnées, avec le dessein d'introduire un change*
ment déterminé dans V équation de la courbe ^ par exemple,
pour faire disparaître certains termes. Dans ce cas, a, £,
a , fl/, sont des constantes, indéterminées pour le moment,
que l'on tâche ensuite de calculer de manière qu'il en ré-
sulte les simplifications exigées. Quant à l'angle 9, on ne
peut pas en disposer, puisque c'est T angle des deux axes
primitifs , lequel est toujours donné à priori.

Le nombre des termes à faire disparaître de l'équation ,
indique le nombre des indéterminées à introduire dans le
calcul, et 9 par suite, le système de formules dont il faut
faire usage.

Ces remarques s'éclairciront par les applications nom-
breuses que nous aurons à faire des formules précédentes.

§ IL — Notions préliminaires sur les courbes du second

DEGRÉ.

Afin de présenter la théorie des courbes du second degré
d'une manière simple et tout à fait élémentaire, nous com-
mencerons par rechercher les équations de trois courbes

HOTIOMS SUR l'eILI1»SB. i4i

dont chacune jouit d'une propriété qui lui est particulière.
Nou5 ferons voir ensuite que ces courbes sont les seules que
paisse représenter une équation quelconque du second
degré à deux variables.

De r Ellipse.

124. On demande V équation d'une courbe telle que , Fio. 77
sil 'on joint chacun de ses points M. à deux points fixes
F ef F', la somme des distances FM, F'M, soit égale à
une ligne donnée 2 A.

Cette courbe est ce qu'on nomme une ellipse \ les points
F, P, en sont dits les foyers ^ et Ton appelle rayons t'ec-
feurs les distances FM, F' M.

Nous verrons plus loin la raison de ces dénominations.

Pour construire celte courbe d'après sa définition, pi-e-
nous d'abord le milieu O de la distance FF', et^ à partir
de ce point, portons la moitié de a'A , deO enB^ et deO
en A ; les points A et B appartiendront à la courbe.

Il résulte, en effet, de cette construction,

OB — OF ou FB = OA — OF' ou F'A,

c'est-à-dire

FB = F'A ;

donc ,

!•. FB -h F'B = F'A 4- rB = 2 A,

2«. F'A -h FA = FB -f- FA = 2 A.

Ensuite, si des points F, F', comme centres, awec un
rayon égal à A, l'on décrit deux circonférences qui se
coupent en C , D, ces deux points d'intersection appartien-
dront encore à la courbe ; car on aura évidemment

FC+F'C=r2A et FD-|-F'D=: 2A.

Ces points se trouvent d'ailleurs sur la perpendiculaire k la
droite AB, élevée du point O.

Pour obtenir des points intermédiaires , marquez sur AU
et entre les points F, P, un point quelconque L 5 puis des
points F' et F comme centres j et auec des rayons respectif
cernent égaux à AL, LB, décriiez deux circonférences
qui se coupent en M, m; vous aurez deux nouveaux points
de la courbe.

142^ HOTions SUR l'ellipse.

Fie. 77. Eq effet, la cûnstrucdûn donne

1». FM 4- FM = AL H- LB == ta A,

2«. Fiw-hFm=r2A.

Ces points sont symétriquement placés par rapport à ÀB.

De même, des points F, F', comme centres^ et ax^ec les
mém^s rayons AL, LB, décrii^ez deux circonjérences ;
vous obtiendrez encore deux noui^eaux points M', m', qui
seront, avec les points M, m, dans une position symé-
trique par rapport à la ligne CD. Cela est évident.

Après avoir ainsi déterminé une série de points suffisam-
ment rapprochés les uns des autres , on pourra les joindre
par une ligne continue ACBDA qui sera la courbe de-
mandée.

N. B. ^ Pour que la construction puisse s'effectuer, il
faut que la distance des centres FF' soit moindre que la
somme des rayons ou 2 A, et en même temps plus grande
que leur différence.

Cette dernière condition exige que le point L soit entre
F et F'.

Car, prenons, par exemple, un point L'qui soit placé
entre F et B ^ on aurait

AL'>AF et L'B<FB;

d'où Ton déduirait

AL'-.L'B>AF — FB ou >AF— F'A ou >FF';

donc la distance FF' serait moindre que la différence dos
rayons AL', L'B; et, par suite, les deux circonférences dé-
crites seraient intérieures Tune à Tautre, sans se couper.

125. On peut construire Tellipse d'un mouvement con-
tinu, ainsi qu'il suit :

Fixez aux points F et F', par le moyen de deux épin-
gles , un fil dont la longueur soit égale à a A. Faites en-
suite glisser un style ou un crayon qui tienne ce fil toujours
tendu ^ et la courbe se trouve tracée quand Vinstrument
mobile a fait deux demi-^révolutions y l'une au-dessus de
FF', et l'autre au-dessous.

NOTIONS SUli L^ELLIPftE. l43

Si Fellipse doit être tracée sur le terrain^ on se sert d^un
cordeau d^une longueur égale à a A , et de trois piquets
dont deux fixent les extrémités du cordeau aux points F,
F', et le troisième sert à tracer la courbe, en tenant le«cor-
deau toujours tendu.

126. L*ellipse étant ainsi déterminée de forme et de po- Fie. 77.
sition, recherchons son équation, c^est-à-dire li/ie re/a/ibn
entre les coordonnées de chacun de ses points rapportés à
deux axes fixes.

Comme, diaprés la construction précédente, la courbe
se compose de points symétriquement placés par rapport
aux lignes AB, CD, il convient de prendre celles-ci pour
axes.

Soient

OP=rx, MP=/, FM = «, F'M = *', FF'=2r,

d'où

OF = OF' = c.

On a d'abord , pour les équations des deux circonfé-
rences qui ont leurs centres en F, F', et dont la rencontre
détermine le point M ,

(2) jr«4-(x4-r)« = 3'».

En outre, la définition même de la courbe donne Véqua"
tion de condition

(3) *-f-z'=2A;

et si, entre ces trois équations, on élimine z et r', Téqua-
lion résulum en JC, y, sera (n^ HO) Féquation cherchée.
Pour y parvenir facilement , ajoutons entre elles et re-
iranchons Tune de Tautre les équations (i) et (a), il vient

:4) 2j»-4- 2x» 4- ac' = «" -h 5%

(5) 4c*= «" — «';

maïs celle-ci revient à

(s'-f-«)(«' — «) = 4<^-^> ou aA (»' — z) = 4^-»;

d'où Ton tire

a ex

l44 NOTIONS SUR l'ellipse.

Or, on a déjà

«' -f- z = a A ;

donc

ex . ex

3' = A -h T et « = A — —•
A A

Substituant ces valeurs dans Tëquation (4) » on trouve

c'.r'

7 * -h X' -+- c' = A' 4- -TT »

A

OU) chassant le dénominateur et ordonnant,

A» J-» -h (A» — C) j?» == A'( A' — c') .

D'après ce qui a été dit précédemment, on doit avoir

FF' o\i 2c<2Aj
donc Â* — c* est essentiellement positif; et si Ton pose

A»— c»=BS
Féquation prend la forme
(6) A»j-»-hB»x*= A'BV

Telle est Féquation la. plus simple de l'ellipse.

Fio. 77. 127. Cette équation étant résolue par rapport à j*, puis
par rapport à x, ce qui donne

i^. On reconnaît que la courbe est symétrique par rap-
port aux axes OX, OY, puisque chacun d'eux divise en deux
parties égales toutes les cordes telles que Mm, MM\ me-
nées parallèlement à l'autre \

2®. Comme pour j^ = o on trouve

x=:±A,

et pour a: = o

il s'ensuit que la courbe rencontre Taxe des x aux points
A , B , et l'axe des y aux points C , D , pour lesquels on a
évidemment

OC = OD = B = v/ A' — c» ;

3**. L'hypothèse x = A ou x = — A, réduisant la double
valeur de y à une seule, r = ± o, on peut (n**99) en

NOTIONS SUR L^BLLIPSE. 14^

conclure que la courbe est tangente en A et 3 aux deux
droites RS, R'S\ menées parallèlement à Taxe des j]

De même, ^^=6 ouy = — B donnant x = di o, la
courbe est tangente en C et Daux deux droites RR^ SS',
parallèles à Taxe des x.

Cooune, d^ailleurs, il est visible que, dès quW suppose
x>>Âouj^]>B, la valeur correspondante de j' ou de x
est imaginaire y il s'ensuit que la courbe, tangente aux
quatre côtés du rectangle RSS'R', est entièrement comprise
dans ce rectangle.

128. Si Ton évalue la distance du point O è un point Fio. 77.
quelconque (x, jr) de la courbe, on a pour expression de
cette distance,

ou, mettant poar^* sa valeur 7-, ( A* •— **),

-V'

^. A'— B» ,

En faisaat a: = o , on trouve d'abord D = B ou OC.

 mesure que x augmente, la quantité D augmente; et
elle acquiert son maximum lorsqu'on donne a x la plus
grande valeur possible, qui est j? = A ; d'où l'on tire

D=:y/

A»— B»

B' H — • A* = A ou OB.

Ainsi , la plus petàe distance du point O à la courbe,
est OC, et la plus grande^ OB; en d'autres termes, CD est
la plus petàe corde qu'on puisse mener par le point O, et
ÂB la plus grande.

Cette ligne AB ou a A est non-seulement la plus grande
corde passant par le point O, mais encore la plus grande
de toutes les cordes de V ellipse.

Car, soit IK une corde quelconque \ si Ton joint le point
Oaux points I et K, le triangle OIK donne

IK<0I-4-0Kj
mais on vient de voir que chacune des distances 01, OK,

Ap. de VAL à la C. lO

1^6 ^OTioi«s suK l'ellipse*

est moindre que OA ou OB ; donc, à plus forte raison. Ion a

IK<OB + OA, ou <;AB.

Fig. 77. 129. Le point O jouit de la propriété de diînser en deux
parties égales toutes les cordes qui y passent.

En effet, soit MOmf une quelconque de ces cordes, re-
présentée par l'équation

jr = iix.

Combinons cette équation avec celle de la courbe

av*-hb»« =A»B%

en remplaçant dans celle-ci jr par sa valeur, ce qui donne

(A»fl»-i-B»)* = A»B'^
il vient

±AB ±AB«

r =

v/A' a» + B' VA'fl'-f-B»

Ces valeurs de x et iejr qui expriment les coordonnées
des points d'intersection, M , m' , de la droite avec la courbe
étant respectivement égales et de signes contraires, les dis-
tances OP, OP'et MF, m'?', sont égales.

Donc les deux triangles OPM, OP'm\ sont ^auxel

donnent

OM = Om'.

130. On nomme , en général , ceutre d^une courle , un
point situé dans le plan de cette courbe, et tel que toutes
les cordes menées par ce point y sont divisées en deux
parties égales.

De cette définition et dé la propriété qui vient d'être dé-
montrée , il résulte que le point O est le centre de Tellipse.

Son caractère analytique est que, si des valeurs x\y\
satisfont à Téqualion de la courbe rapportée à son centre
comme origine, les valeurs — x\ — y% satisfont égale-
ment , ou , en d^autres termes , que cette équation ne change
pas lorsqu'on y change xea — Xj ely en — y.

Les deux lignes 2 A , 26, ou AB y CD , ont reçu le nom
S' axes principaux.

On les appelle encore premier axe et second axe, ou
bien , grand axe et petit axe^

HOTIOm SUft L^ELLirSK. i47

Les points A , B, sont dits le» sommets ^ premier axe ,
et les points C , D , les sommets du second axe.

L'équation A V" + B» or* = A* B* est Fëquation de Tel-
lipse rapportée à son centre comme origine et à ses axes
principaux comme axes des coordonnées.

i31. Supposons que, dans la redierclie d'un lieu Qio»
MtmqvB rapporté à des axes rectangulaires, on soit par*
venu à Féquation

M, N, P, étant des quantités essentiellement positives.
Faisons successivement, dans cette équation,

j = o et x = o;
il en résulte pour j^ = o y

et pour X = o,

Cela posé, soient

l'équation ci-dessus devient , par la substitution ,

on, réduisant,

A»7»-hB»jr» = A»B».

D*on l'on voit que l'équation proposée est celle d'une
ELUPsx dont les axes principaux sont 2 4 /_ et 2 i /-^ 7

oa, en d'autres termes, sont le double de la valeur de x
correspondant à jr = o , et le double de la valeur de y cor-
respondant à j: =: o»

Connaissant les deux axes 2A, 2B ou ^W ^^ ^\/ fS*

ponr obtenir les foyers y on a recours à la relation

B» = A» — r' ,
qui donne

r=:±VA'— B'.

lo.

l48 NOTIONS SUR L*ELL1PSE.

FiG. ^8. Soient pris sur deux lignes indéfinies à angle droit»

OB = OA=A et OC = OD=:B;

puis du point G comme centre, avec un rayon égal à Â , dé*
crivons un arc de cercle qui coupe ÂB en deux points
F, F' ; ce seront lesfoy^ers*
Car on a

OF = OF = V^Cf'— 0C= v^A» — B».
Comme , par rapport à Téquation

ou a

il s'ensuit que

P P

A'= -- et B*=~-,
N M

= \/s-s=v/

P{M— N)

MN

N. B. — Puisque, dans toute ellipse, on doit avoir
a A > a B , il faut supposer

|>i, d'où M>N.

S'il en était autrement , c'est-à-dire si Ton avait M < K ,
on changerait (n*^ 121 ) y en :t: et x en y. Par là, l'équa-
tion deviendrait

N7>-hMj;* = P,

et représenterait encore une ellipse, qui aurait pour/^re-^

mieraxe^ ^V/iïî' ^^ P^^^ second axe 2i/rj=*

AvaiU la transformation des coordonnées, la courbe est
dans la position indiquée par \^fig* 79; mais après ; elle
prend , par rapport aux nouveaux axes , la position qu'on
lui donne ordinairement {fig> 77).

132. Soit, comme cas particulier, M = N ^ Téquation se

réduit alors à

, P

jr« -I- op» = — ,
M,

(!'cst-à-dire à Téquation d'un cercle ayant \/ y. pow

MOTIONS SUR L^ ELLIPSE. l49

v^

ainsi les deux foyers se réunissent au centre.

Le csacLB peut donc être regardé comme une ellipse don t
les deux axes aA^ aB, sont égaux ^ et dont les deux
foyers ▼iennent à se confondre,

133. Enfin, comme nous aurons souvent besoin de ra*
mener une équation telle que

i la forme

nous indiquerons un procédé simple et facile pour y par-
venir.

Soient multipliés les deux membres de la première équa-
tion par un facteur indéterminé h \ il vient

Mais, pour que cette équation ait la forme demandée, il
faut que Ton ait

d où l'on déduit

MN

Donc il suffit de multiplier les deux membres de la pro-
posée par le quotient du second membre divisé par le pro-
duit des coefficients dey* et de x*.

Cette multiplication donne

P , P , P«

K-^ ^M BiN'

et, par suite,

Pranons pour exemple l'équation

6 2

On trouve, en multipliant par = 5 ou -zi

6 , 12

iSo NOTIONS SUR l'htPBRBOLE.

donc

Soit eocore TéquatioD

5 5

MuldpliaDt par ^ 7 ou — , on obtieni

5 , 5 , a5

43 12

ou (n^ ISiy iV^. B.), changeant j^ eux et réciproquement y

donc

5 .^5 ,_25

3-^^r Ti'

A=iv^, B = iv'5^ c = g^.

De r Hyperbole.

FiG. 80. 134. On demande l'équation d'une courbe telle que , SI
ton joint chacun de ses points M à deux points fixes F, F',
la différence des distances F'M , FM, soà égale à une
ligne donnée 2 A.

Cette courbe est ce qu'on appelle une htveubolb ; les
points Fy F', en sont les foyers^ et Ton nomme rayons
vecteurs les lignes FM, F' M.

G>mtnençons par indiquer un moyen de construire cette
courbe.

Prenez, à partir du point O^ milieu de FF', deux dis-
tances OA, OB, égales ^ A; les deux points A et B ap*
parviennent à la courbe.

En effet, il résulte de cette construction,

BF = AF',
d'où

AF — AF = AF — BF = 2 A ,
et

BF — BF = BF' — AF = 2 A.

'Les points A, B, sont nécessairement situés entre F et
F' ; car autrement , ce serait la somme des distances de
chacun de ces points aux points F et F', et non leur diffé-
rence qui serait égale à 2 A. Ainsi 2 A doit être donné
moindre que FF'.

NOTIONS SUR l'hyperbole. i5i

Pour obtenir d'autres points de la courbe , man/uez sur
la ligne OF et à droite du point F, un point quelconque L ,
puis des points F^, F comme centres, ai^ec les rayons AL ,
BL, décriiez successis^ement deux circonférences qui se
coupent en M, m; vous obtiendrez ainsi deux points de la
courbe; car, en joignant le point M^ par exemple, aux
points F', F, TOUS avez

F'M — MF = AL — BL = a A-

De même, des points P, F' comme centres , et avec les
mêmes rayons, décrispez encore successii^ement deux cù^^
conféœnces; vous aurez deux nouv^eaux points M', m', qui
seront, avec les points M, m^ symétriquement placés par
rapport i la droite OC perpendiculaire sur AB.

Cette construction exige que le point L soit situé à la
droite du point F; car s'il était en L', comme on aurait
BL' -< BF, il s'ensuivrait

AL'4-BL' ou AB^2BL'<AB-h2BF, ou <FF';

et alors les deux circonférences seraient telles^ que la dis-
tance des centres, FF', serait plus grande que la somme dos
rayons , en sorte qu'elles seraient tout à fait extérieures
Tune à l'autre et ne se couperaient pas.

Mais le point L peut être pris vers la droite du point F, a
une distance aussi grande quon veut.

D'où l'on voit que la courbe se compose de deux bran-
ches égales et opposées ^ mBM, m'AM', qui s'étendent
indéfiniment à tiroite du point "Retà gauche du point A ,
tant aurdessus quau-^ssous de la ligne AB.

U existe bien un procédé pour tracer Tbyberbole d'un
mouvement continu; mais nous nous abstenons de l'indi-
quer, parce que la pratique en est peu commode.

135. Nous allons maintenant nous occuper de la re-
cherche de réQUÂTiON de celte courbe.

L'hyperbole étant, ainsi que l'ellipse, ^nie^ni/ue par Fig. 8o.
rapport à AB et OC, nous prendrons ces deux lignes pour
\esaxes des coordonnées.

Soient donc

OP = x, MPssj, OF = OF'=c, FM = 2, F'M = s'.

iSa ZfOTIOMS Sun L HYPERBOLE.

On a d'abord, comme pour Fellipae , les deux équations

(1) j^^{x^cy=:z\

(2) j»-+.(^4-c)» = »'»,

auxquelles on doit joindre, d'après renoncé, Y équation de
condition

(3) z' — «=:2A.

Pour éliminer z et z\ combinons alternativement par
ftddilion et soustraction les équations (i) et (2); nous ob-
tenons les suivantes :

(4) 2r* + 2a:» -h 2 c» = «'» -h «S

(5) 4cx=z'* — «»;

mais celle-ci donne

(*' — ») {«'-t-z) ou a A (2'-+-«) = 4<^>
d'où Ton déduit

, 2rjr

Or^ on a déjà

z' — « = 2 A ;
donc

a' = -^ -4- A et a = -7 A.

A A

Portant ces valeurs dans l'équation (4), on obtient

^1 4. x> 4- c» = -— 4- A»,

A

pu , cbassant le dénominateur et transposant ,

A» 7» + ( A> — c»)jr»= A»(A* — c»).

Mais , comme il a été reconnu précédemment que la dis-
tance FF' ou 2 c, doit toujours être plus grande que 2 A,
il s^ensuitque A^ — c* est essentiellement négatif.

Donc, en posant

c' — A» = B%

on trouve pour Téquation de Tbyperbole,

(6) A'^» — B* 4:^ = — A* B>.

Cette équation ne difDère de celle de Fellipse, qu'en ce
que B* est remplacé par — B*. Aussi les deux courbes,
quoique étant de forme très-différente, puisque Tune est

noTiOHs SUR l'hypbrbolb. i53

Ihnitée en tous sens, tandia que l'autre est iUùmtée,
Jouisaent-elles de propriétés analogues.

Soii fait j^ = o dans Téquation ; il en résulte or = db A ,
ce qui prouve que la courbe passe par les points A et B,
circonstance que nous avons déjà reconnue (n^ 134*).

Soit encore

on trouve

j'*= — B'; d'où 7 = ±Bv/— i;

ce qui fait voir que la courbe ne rencontre pus Taxe des^.

Cependant on peut convenir de marquer sur cet axe Fie. 80.
^«lu: points C et D dont la distance au point O soit expri-
mée par B ou V^c* — A*.

Pour fixer la position de ces points, il suffit de décrire du
point 6 comme centre , et d'un rayon égal à c ou OF, un
arc de cercle qui coupe OY aux deux points demandés; car
on a

0€ = OD = v/Ôf'— Ob'= v^c» — A\

Comme , en faisant j: = -4-Aoua: = — A dans Féqua-
tion résolue par rapport a y^

on trouve

et qu'en donnant à x des valeurs posàii^es ou négatwes,
numéiiquement plus petites que A , on obtient des valeurs
imaginaires pour y^ on peut en conclure , i^ que la courbe
est tangente en A et B aux deux droites R' S', RS, paral-
lèles à Taxe des y \ %^ qu'elle s'étend indéfiniment à la
gauche du point A et à la droite du point B.

On voit enfin que la courbe est composée de deux bran-
ches égales et opposées , dont chacune est divisée en deux
parties égales par la ligne AB; en sorte que si l'on pliait la
figure, soit suivant la ligne CD, soit suivant la ligne AB,
les quatre parties de la courbe se couvriraient parfaitement
deux à deux.

Presque toutes ces circonstances avaient déjà (n^ 13 i)
été reconnues par la Géométrie.

136. Les quantités 2 A , 2 B , sont ^ comme dans Tcllipsc,

l54 aOTlOHS SUft LBYFBftBOLE.

appelées les axes principaux de Thyperbole, ou le premier
axe et le second axe. Mais l'on quelcoiuiue des deux aies
poayant , d'après la relation B* = c* — A*, être plus grand
que Tautre , les dénominations de grand axe et de petit axe
seraient impropres.

On désigne encore le premier axe sous le nom d'are
transi^erse, et le second, sous celui d'axe tioti transverse ,
parce que Fun rencontre la courbe , et l'autre ne la ren-
contre pas.

On peut avoir A = B, auquel cas Téquation se réduit à

j» — a?» = — A*.

On dit alors que Thyperbole est éguilatère, comme ayant
ses deux axes égaux entre eux,

Vhjrperbole équilatère est à l'hyperbole quelconque ce
que le cercle est à Tellipse.

Les points A et B sont dits les sommets de la courbe.

Fie. 80. i37. De même que pour Tellipse, le point O est le gehtie
de Fhyperbole, ou, en d'autres termes, toutes les droites
passant parle point O et terminées à la courbe, sont divi-
sées par ce point en deux parties égales.

Soit, en effet, m' M une droite quelconque menée par le
point O, et rencontrant la courbe; si l'on combine entre
elles les deux équations

on trouve, en mettant pour jr sa valeur ax dans la pre-
mière,

d'où Ton déduit

±:AB

al y par conséquent,

±:ABa

JC =

V^B' — A'û'

Il résulte de là que OP = OP', et MP = m'P'j par suite
les deux triangles OPM , OP'm' sont égaux , et Ton a

OMr=Om'.
Ainsi l'équation

A'/' — B'x-= — A'B'

NOTiOHS SUE l'hypbebolb* i55

représente une hyperbole rapportée à son centre comiiie ori-
gine et à ses axes principaux comme axes des coordonnées.

i38. Remarque importante. — Oa voit que les valeurs
précédentes de a: et de y ne sont réelles, c'est-à-dire
<pi*une droite menée par le centre ne rencontre la courbe

qii*aatant que Ton a

B*
B* — A'a*>o, ou <»'<T',^

Si Ton fait

B» — A»ii»=o, d'où « = ±j^

les valeurs de x et de ^ deviennent infinies; ce qui prouve
que les deux droites correspondantes, dont l'une est située
au-dessus de Taxe des x, l'autre au-dessous, rencontrent
Thyperbole à une distance infinie,
0>nstruisons les deux droites

B B

qui méritent une attention particulière.

Pour cela, soit achevé sur les deux axes ABou a et Fie. 80.
CD ou a B , le rectangle R^BSS'; on a évidemment

BR = BS =: B;

dou

B B

Ung BOR = -> ung BOS = — - .

Donc les droites OR, OS , meoées par le point O et par
les points R 9 S , sont les deux droites demandées.

Nous verrons dans les chapitres suivants quel parti Ton
tire de ces droites dans la théorie de l'hyperbole; nous nous
bornons , pour le moment , k les considérer comme deux
Ugnes de séparation des droites passant par le centre, qui
rencontrent la courbe d'avec celles qui ne la rencontrent
pas, propriété résultant de ce que nous avons dit en com-
mençant ce numéro.

Lorsque l'hyperbole est équilatère (n^ 136) , c'est-i-dire

lorsque Ton a B = A , les tangentes trigonométriques des

B B

angles BOR, BOS, ou r- et — - 9 se' réduisent à + 1 et

A A

— I ; donc ces angles sont chacun de 45 degrés , et les deux
droites, OR, OS sont perpendiculaires entre elles.

i56 KOTioNs sm l'hyperbole.

139. Supposons maintenant qu'on ait obtenu poar 1 e-
quation d'un lieu géométrique

M/'~N«»=— P,

P
et multiplions (n° 133) les deux membres par -jrr=> il vient

MN

P , P , P'

N-^ M ■" MN

Cette nouvelle équation comparée à celle de Th jperbole,

donne

Vl' »==*=\/l

axe est 1. ^ / 15 ' ®^ ^ second axe

donc la proposée représente une hyperbole dont le premier

La relation B* = c* — A* donne
d'où, mettant pour A et B leurs valeurs ^

\/

P(M-hj^)

Fie. 8i. Pour fixer la position des foyers, connaissant les axes,
prenez sur deux droites rectangulaires ,

OB

v^

puis élei^ez au point B une perpendiculaire BD ég€de à B>
et tirez OD.

La circonférence décrite du point O conmie centre , avec
le rayon OO , coupera AB en deux points , F, F', qui seront
les points demandés.

Car on a

OF=:OF'=OD= v/oB 4-BD = ^Ik} 4- B».

N, B. — Il est remarquable que celle construction donne
en môme temps la direction OD de Tune des droites limites
(n^ 138) ; quant à la seconde , ou l'obtient en prolongeant
DB d'une quantité BD' = BD, cl tirant OD'.

NOTIONS SUR LA PARABOLE. iSj

140. SirëquadonétaitdelafonneMjr*— Na:*=:-I-P,
on changerait ^ en Ji? et â? en jr^ ce qoi donnerait

et Féquation n'en serait pas moins celle d'nne htpkrbole,
qui aurait pour premier axe > ^ \/ ïi » ®^ P^^^ second

N

Avant la transformation , la courbe a la position indiquée
parla/Sgr. 8a; mais après, elle reprend la position de la

fis- 80.

Multiplions les deux membres de Tëquation proposée ,
parzp^; il vient

MN

P , P , P'

N-^ M MN

P P

d'où, en posant « = ^% 13 = A%

B' X* — A* op» = A» B».

Telle est la forme que prend Téquation de Phyperbole
rapportée & son centre et à ses tixes principaux lorsque son
axe non transv^erse est pris pour axe des x.

On en déduit

r = ± g \Jx^ -h B»;

rc qui prouve qu'à toute valeur de x correspondent des
valeurs réelles de y.

Pour j: = o, l'on a

j^ = ±A;

et celle valeur est le minimum de toutes celles que peut re-

revoir y.

De la Parabole,

441 . Trousser Véquation d^une courbe telle y que la dis^ Fio. 83«
lance de chacun de ses points JA à un point F (appelé
foyer) , soit égale à la distance de ce même point M à une
flroiiefixe DD' appelée directrice.

Voici d*abord le moyen de construire par points cette •
œurbe connue sous le nom de paraboLe.

l58 HOTIONS SUR LA PAKÂBOLV.

Après ai^ir abaissé du point F une perpendiculam sur
DD', prenez le milieu K delà distance FG; et le point A
appartient à la courbe , puisque le» deux distances AF et AG
sont égales.

Ce point est dit le sommet de la parabole.

Pour obtenir d'antres points, élei^z en un point qud*
conque P pris vers la droite de A , une perpendiculaire
à GF \ puis du point F comme centre, at^ec le rayon GP,
décrivez un arc de cercle qui coupe la perpendiculaire en
deux points M, m; vous aurez ainsi deux pointa de la
courbe; car il résulte de cette construction ,

FM = Fm = GP= MQ=: mR.

D*où Fou voit que la parabole se compose de deux parties
AM' M, km' m, symétriques par rapport k GX.

Elle peut être aussi décrite d^1n mouvement continu.
Fie. 84. Prenez une équerre dont l'un des côtés de l'angle droit
QR soit assujetti à glisser smVant la direction DD' ^ fixez
aux points F et \ les deux extrémités d'un fil dont la Ion*
gueur soit égale au second côté QV de V équerre ; faites
ensuite mou\^oir cette équerre le long de DD \ en ayant soin
de tenir le fil tendu au moyen d'un style ou crayon qui
s'appuie constamment sur QV.

La trace de ce style sera nécessairement une parabole.

En effet , pour une position quelconque QRY de Féquerre,
on a

FM4-MV = MQ-hMV; d*où FM = MQ.

Lorsque l'cquerre est arrivée dans une position Q'R' V\
telle que Q'V passe par le point F, le fil se replie surlui-
même de F en A , et le point A est le sommet de la courbe;
car on a

FA-f-AV'=AQ'4-AV'; d'où FA = AQ'.

Pour tracer la partie infériewe de la courbe , il suffit de
renverser la position de Téqucrre.

JV. B. — Ce procédé ne donne qu'une portion de la
courbe; cette portion qui se termine au point V^ pour
lequel on a

FV"=rV"Q" = VQ,

lIOnOHS SUK LA PARABOLE* 1S9

est d'autant plos grande que le c6të QV de Féquerre a plus
de longueur.

Cest probablement ce moyen de description qui a fait
donner à la droite DD' le nom de directrice.

142. Recherchons actuellement I'équation de la para-
bole.

Nous prendrons pour axe des x la ligne GF, qui divise Fio. 83.
la courbe en deux parties égales , et pour origine le point A
qui appartient à la courbe.

Soient x, y^ les coordonnées AP, MP, du point M, ^ la
distance FM , et ;? la distance FG \ d'où

AF=AG = ^ Cl GP=^-hx.

2 2

La circonférence décrite du point F comme centre avec
le rayon FM , a pour équation

mais on a l'équation de condition FM = PG, ou
(a) «=:arH---

2

Eliminant z entre ces deux équations , on trouve pour
Véquation de la courbe ,

ou, réduisant 9

(3) /»=2/?X.

Telle est Téquation de la parabole rapportée à ses axes
principaux.
AX est dit le premier axe principal , et AY le second.
On déduit de celte équation ,

d'où il suit que la courbe s'étend indéfiniment à la droite
àe Vaxe des y , tant au-dessus qu'au-dessous de Vaxedes x*
Et comme, pour x = o , on a

r = ±o,

feUe courbe est tangente en A à Taxe des y.

l6o LIAISON DES THOIS COUEBES.

143. On nomme paramètre le coefficient de x ^ 2/7, c'est*
à-dire le double de la distance du foyer à la directrice.

Ce paramètre est encore égal à la double ordonnée qui
passe par le foyer ^

Car, diaprés la définition de la courbe , on a

ce qu'on vérifie ^ d'ailleurs > au moyen de Téquation (3),
qui,pourjc= -j donne

jr^=:p\ d'oà x=^±:p.

m

Liaison des trois courbes,

1 44. Quoique la parabole semble , d'après sa définition,
n'avoir aucune analogie avec V ellipse et V hyperbole, on
peut établir un rapprochement entre la première courbe et
les deux autres , au moyen d'une transformation de coor-
données exécutée sur les équations de ces deux dernières.

Fio. 77 . Rapprochement entre l'ellipse et la parabole, — Repre-
nons l'équation de t ellipse

(i) A':r'-hB*x» = A»B%

et proposons-^nous de rapporter cette courbe au sommet Â
comme origine, en conservant la même direction pour les
axes.

Pour cela, il faut faire usage des formules (u^ 114)

en y faisant J = o,a = — A5ce qui les réduit à

« = «— A, y = y,
c'est-à-dire qu'il suffi de remplacer x par x — A dans Té-
quation ci-dessus, en laissant j^ tel qu'il est.
Il vient, par cette substitution ,

A'^' -h B* a:' — 2 AB»« = o;

d'où l'on déduit

B'

{2) /'=- (îAx — x»)>

C'est l'équation de l'ellipse rapportée à son sommet de
gauche, pris pour origine.

LIAISON DES TROIS COURBES. l6t

Cela pose 9 cette équation peut être mise sous la forme

•^ A A* '

ou bien, en faisant —==/?,

A

Or, si Ton suppose que les deux quantités  et B crois-
sent indéfiniment, de manière cependant que la quantité

B*
poa — reste constante (cela est permis d'après la relation

A

-- = p, dans laquelle, après avoir pris pour p une valeur

fixe et déterminée , on peut donner à A différentes valeurs ^
et calculer ensuite une valeur correspondante pour B), il
est clair que , dans cette hypothèse , plus A augmente, plus

le terme — diminue ^ et lorsqu^on suppose A =qo , il en ré-

suite — = o.
A

Donc Téquation (3) se réduit alors à

qui n'est autre chose que Téquation d'une parabole.

D'où Ton peut conclure que la parabole est une ellipse
dont le grand axe est infini , ou dont le centre est situé à
Cmfini.

145. Rapprochement entre la parabole et V hyperbole. Fie. 8o.
11 faut rapporter cette dernière courbe à son sommet de
droite B, ce qui revient (n° 114) à porter a: -H A à la place
de X dans Téquation

Elle devient ainsi

A».j>— B'x'— 2AB»x = oj

d'où

A

y'= -(2Ax-hJ:*),

B

ou, en posant , comme pour l'ellipse , -— = p ,

.1//. Jf lAI. à la G. Il

102 LIAISON DES TROIS COURUES.

Actuellemeut, faisons augmenter A et B de manière que
p reste constant^ il vient pour

A = QO, ^==0,

et l'équation (4) se réduit à

j' =r 7.px,

Dans ce cas, la seconde branche y le centre et le second
sommet y disparaissent, ou sont situés à V infini,

i 46. Conclusion importante. — Il résulte de ce qui vient
d'être dit, que les trois courbes peuvent être, en général,
représentées par Téquation

Lorsque la courbe est une parabole ; on a

9 = oj
et Téquation se réduit à

/* = 2 px.

Si c'est une ellipse y on a

2B» B'

l'origine des coordonnées étant supposée au sommet de
gauche,

En6n, dans le cas de V hyperbole, on a

2B> B'

Par analogie avec la parabole , on nomme paramètre Je

a B*
Tellipse ou de l'hyperbole , la quantité 2 p ou — ^ qui forme

le coefficient de x dans Téquation de la courbe rapportée à
Tun de ses soumiets.

Cette quantité^ qui peut être mise sous la forme -^9 ou

2 B. 2 B

— - — y n'est autre chose qvLune troisième proportion-

2 A,

nelle au premier et au second axe.

C'est aussi , comme dans la parabole , le double de l'or'
donnée qui passe par le foyer.

LIAISON DES 1*1101$ COtTRBES. l63

Car si , dans Féquadon de V ellipse [nP 144)

on fait .r = A ±: c (ce qui est l'abscisse de Tun ou de Tattlrc
des foyers) , on trouve

r'=j^(A^-c«)= ~; d'où y^±\^

Même résultat pour Vhyperbole,

N'. B. — Cette dernière propriété peut servir à faire re-
connaître la position des foyen.

147. ArTRE MANIÈRE d'ÈTAELIR LA LIAISON QUI B>C1STE FiG. 85.

EATRE LES TROIS COURBES. — On demande l'équation ai une
courbe telle, que la distance de chacun de ses points. M,
à un point fixe, F, soit as^ec la distance de ce même point
M à une droite DD' aussi donnée de position, dans un
rapport connu, m : i; en sorte que Ton ait

MF: MQ::/if : I,

m désignant un nombre absolu quelconque , <^ ^ = , ou []> i •
Construction de la courbe d'après cette définition. — Du
point F abaissonsTG perpendiculaire sur DD\ et divisons
la distance FG dans le rapport m : i , i partir du point F;
le point A ainsi obtenu appartient nécessairement a la
courbe.

Pour en obtenir d'autres , inarquons un point quelconque
Psur la droite indéfinie GFX, et élevons en ce point une
perpendiculaire; puis du point F comme centre, avec un
rayon égal à m.&P, décrispons un arc de cercle qui coupe
U perpendiculaire en M et M' ; ces points appartiendront
À la courbe , puisque Ton a par construction

FM==GP w = MQ.w;

d'où Ton tire

MF: MQ ::m : i;

et ainsi de suite. *

Equation de la courbe. — Prenons pour axe des x la droite

GFX, par rapport à laquelle la courbe est symétrique, et

pour axe des y la perpendiculaire élevée au point A qui ,

comme nous Favons vu, est un point de la courbe.

11.

l64 LlàlSON DCS TItOIS GOrKBBS«

Fie. 85. Soient

AP = x, MP=rj, FM = z, AF=:a9

doù

AG= -r
m

puisque Ton a

AF : AG : : m : I .

Cela posé, l' équation de la circonférence cf\i\ a son centre
en F, et pour rayon , FM ou z , est

(i) jr*-K(jc — «)»=«')

de plus, on doit avoir

FM : MQ on GP : : w : I , ou « : .r -4- — : : w : I ;

m
d'où

(a) i = mx -+- a.

Ainsi , en éliminant z entre ces équations ^ ou ol)tiendra
(n^HO) l'équation demandée.
Il vient , toute réduction faite ,

(3) j'-+-(ï — m^) x^ — 2 a (i H- w)* = O.

l48. Discussion. — L'équation (3) est privée du terme
indépendant d'x et d'j \ et cela doit être , puisque , la courbe
passant par lorigine  , il faut que Téquation soit vérifiée
par le système [jtr == o, j' = o].

Examinons successivement les circonstances qui corres*
pondent aux trois hypothèses m <[ i, w = i, m ^ i, en
commençant par le cas le plus simple.

Soit m == ï .

L'équation (3) se réduit à

et est immédiatement comparable avec

^' = 2 px.
Il suffit de poser

4 « = 2 /; j d'où /; = 2Jt=2AF;

d'où l'on voit que la courbe est une parabole dont le foyer
est eu F, et qui a pour directrice DD'.

Le point  en est d'ailleurs le sommet^ puisque Ion a
alors

AF:AG::i:i, ou af=:AG.

LIAISON DES TROIS COURBES. l65

149. Soit m <^ I.

Le coefficient de x* est essentiellement positif.

L'équation peut être mise sous la forme

^'=('-"«')(t?^--**)'

et en la comparant à l'équation de l'ellipse rapportée à son
sommet de gauche (n° 144) , savoir :

j"=^,(2Ax-x'),

on trouve

« B'

1 — m A}

a'on

B*

- =a(i-f-/M);

A

et, par suite ,

B = — - — \li — /«'.

«^

I — m

Ainsi 9 la courbe est une ellipse dont les axes princi--
paux sont

2 a 2a

1

^ 1 — ///%

1 — m i — M
cl le paramètre ,

2a(l -+- wi).
Soit posé x = oL (ou AF) dans Téquation Fia. 85.

il vient

jr^=(|-/W«) ^-^^.X~X'J

^ ' I — /w ^ ' '

doù

B»

/=d=a{i-Mw)=±:~-,

ce qui prouve {n° 146) que le point F est un des foyers de
la courbe.

Afin d'obtenir sur la figure le premier axe^ remar-
quons que, le point A étant déjà Y un des sommets ^ il suffit
de porter sur AX , et de A en B , une distance égale h

l66 LiAlSOlf DES TROIS COURBES.

2

• ce : le point B est alors le second sommet de la
1 — m *

courbe.

Quant au second axe , comme on connaît déjà le foyer F,
il n^y a qu'à décrire de ce point comme centre, avec un
rayon OA, moitié de ÂB, un arc de cercle qui coupe en
deux points C , C, la perpendiculaire élevée du point O,
centre de Fellipse.

Enfin, l'autre ybj^er F' s'obtient en prenait OF' = OF.

150. Soit m > I .

Le coefficient de x^ étant négatif dans Téquation (3)»
on peut mettre celle-ici sous la forn^

et en la comparant à Téquation obtenue n^ 145

on trouve

d'où

a B'

m — I A'

B'

A

et, par suite,

a /

B = v/w' — I ;

m — I

donc la courbe est une hyperbole dont le premier axe

est — ;;3-"» 1^ second, • v/m' — i > et le paramètre,

2 a (i7ï-|- i).

FiG 85 . L'hypothèse x = a (ou AF ) , donne d'ailleurs

«B'

j^ = ±:a(/»-|-i) = ±: — ;

ce qui prouve que , comme pour la parabole et V ellipse, le
point F est un foyer de la courbe.

La construction des axes et du second foyer s'exécute-
rait comme pour Y ellipse. Toutefois, il faut observer
qu'elle doit s'opérer de droite à gauche par rapport a»

r

LIAISON DES TROIS CODEBBS. l6j

poini F^ car si Ton fait j^ = o dans l'équation , il vient

2« , / 2a \

— X -f- jc' = G, OU Ji: l h JC I = o >

-1 \m^i J

m -
ce qui donne

2a
jT = o et jc = —

m — I

On trouve ainsi le centre O', le second sommet B' et lo
second foyer F".

151, La droite DD' porte dans chacune des trois courbes
le nom de dieectrice.
PjOlàBOLK. 7*=2/>x. Fie. 83.

Il suffit, pour obtenir cette directrice, de prendre à la
gauche du point A, une distance ÂG=:AF = -9 puis
d^éiever au point G une perpendiculaire à l'axe des x.

Ellipse. j» = — ( 2 A x — x'), Fio. 77 .

Torigine étant supposée (n°144) en A, et le point fixe en F'.

Comme on a trouvé (n^ 149)

fia X* B' c' c

- = i — m% d*où w»= — ^j; — =— » et '« = ^»

on voit que le rapport constant m li est représenté géo-
métriquement par celui de OF' à OA.

D'où il suit (n° i47) que la dislance du point A à la di-
rectrice est une quatrième proportionnelle aux trois lign«s

OF' ou c, OA ou A, AF' ou A •— c.
Construisant cette ligne exprimée par la quantité

A(A — c)

" 9

c

et la portant de A en G' vers la gauche du point A , ou ob-
tiendra le pied de la directrice (qu'on s'est dispensé de
tracer sur la figure).

On a d^ailleurs, pour la distance OG' du centre à la di-
rectrice,

OG' = OA-hAG' = AH-^^AziL^ = ^,

c c

qui, n'étant autre chose qu'une troisième proportionnelle
à c et A, peut être facilement construite.

l68 RÉDlJCTIOir, PAR LA TRAHSFORM AT. DES COORDOKIfÉES,

Il est en outre évident, à cause de la symétrie de l'ellipse
par rapport aux axes principaux , qu'il doit exister deux
directrices de part et d'autre du centre, aux distances AG',

A* A*

AG, exprimées par — - et H •

Fio. 80. Hyperbole. — On parviendrait à des résultats analogues
pour cettç courbe.

Mais il faut remarquer que les pieds des deux directrices
doivent être situés e//tre les deux sommets de F hyperboles
tandis que, pour V ellipse y ils sont situés sur les ^ro/b/i^c-
ments de AB.

152. — Remarque. Op trouve dans les caractères

la raison des dénominations attribuées aux trois courbes :

L'hypothèse m<^ 1 donne V ellipse, ou la courbe par
dcjaut,

L^hypothèse /// = 1 donne la parabole j ou la courbe
par égalité.

L'hypothèse m > i donne Vhypeibole, ou la courlie /wr
excès.

Cep dénominations peuvent encore se déduire de l'équa-
tion

suivant que Ton a

i7<o, 7 = 0, 7>o»
p étant constant pour les trois hypothèses.

S III. — Réduction, par la transformation des coordon-
nées , de l'équation générale du second degré a deun
variables.

133. Nous allons faire voir maintenant que Tellipse,
Thyperbole, cl la pAuabole, telles que nous les avons défi-
nies précédemment, sont les seules courbes qui puissent
être représentées par l'équation générale du second degré
à deux variables

Il semble, au premier abord , difficile de concevoir qui!
puisse y avoir /V/e/z/Z/é en irr toutes les courbes comprises

BE L'tQUÀTlON CÉKÉRALE DU SECOKD DEGRÉ. 169

dans cette équation et les courbes dont les équations sont
de la forme

Mj»-hNx'=:P, ou jr»=:Qx,

la PREMIERE désignant une ellipse ou une hyperbole , sui-
vant que M, N, P, sont positifs à la fois (n° 131), ou bien,
que M est positif, N négatif, et P négatif ou positif
(n^' 139, 140); la seconde étant immédiatement compa-
rable à l'équation, j^'== apjc, de la parabole.

Mais observons que, si dans les deux équations précé-
dentes , on met à la place de x et de/, les valeurs

x=: X cos oL-hy cos af -^a,
^ =r X sin a -h ^ sin yf -\- b,

au moyen desquelles (n^ 115) on passe d*un système rcc"
tangulaire à un système oblique d'origine différente,
l'équation qui en résulte est de môme forme que l'équa-
tion complète. Or, il est évident que cette transformation
de coordonnées n'a pas changé la nature de la courbe; seu-
lement, comme les nouveaux axes se trouvent dans une
situation quelconque à Tégard de la courbe, Féquation
qui la représente est plus compliquée que lorsque cette
courbe est rapportée à ses axes principaux.

Voyons donc si, par des transformations de coordon-
nées, on ne pourrait pas simplifier Téquation la plus géné-
rale et la ramener à l'une ou l'autre des deux formes ci-
dessus.

Telle est la question qu'il s'agit d'examiner.

154. Remarquons, avant tout, que rien n'empêche de
supposer que la courbe soit primitivement rapportée à des
axes rectangulaires f car s'il en était autrement, on pourrait
(n® 120), en conservant la même origine et le même axe
des X, les rendre rectangulaires, et l'équation résullanie
étant de même forme que la proposée, serait celle sur la-
quelle on aurait à opérer.

Cela posé, reprenons l'équation

(i) Aj»-h Bj:/4-Cx'H-DjH-Ea: + F~o,

pt tachons d'abord de faire disparaître le terme en xy .

170 RÉDUCTION, PAR LÀ TRANSFORMÂT. DES COORDONNÉES,

Pour cela, nous aurons recours aux formules

x = X cos a — / sin a ,

jr = xiinot+x c^ * >
au moyen desquelles (n^ il9) on passe d'un système rec-
tangulaire à un système de même espèce , Vor/gine restant
lamé/ne. L*angle a est ici une indéterminée (n^ 123) quUI
s^agit de calculer d'après la condition que Téquation trans-
formée soit privée du rectangle xy^ c'est-à-dire que le
coefficient de ce terme soit nul.

En substituant ce§ valeurs de x et de j^ dans Téqua-
tion (i), ordonnant, et égalant à o le coefficient de x^, on
obtient pour V équation de conditions

a A sin a cos a + B cos' a — B sin' a — 2 G sin a cos a = o ,
et pour V équation transformée,
(2) Mr»-hNx'4-Rjr-f-Sx + F = o,

dans laquelle on a fait, pour plus de simplicité,
M = A cos' a — B sin a cos a + G sin' a ,
N = A sin' a -h B sin a cos a + G cos' a,
R =: D cos a — E sin a ,
S =Dsîn a-|-£cosa.

[La quantité F est la même dans Téquation (2) que dans
l'équation (i)].

Mais V équation de condition pouvant s'écrire

(A — G).2siDa.cosa -h B (cos'a — sin'a) = 0,

devient, en vertu de relations trigonométriques connues,

(A — G) sin 2a -h B cos 2a z= o;
d'où Ton déduit

Or, une ungente pouvant passer par tous les états de gran-
deur, et même être infinie, il s'ensuit que l'angle a est sus-
ceptible de détermination, quels que soient les coefficients
A,B,C.

Donc, il est toujours possible de faire disparaître le
terme en xy, tant que A,B, CjD^E^F, ont des valeurs
réelles.

DE L^ÉQtJATIOir GÊHTÉRALE DU SECOND DEGRÉ. I7I

Soient AX , AY, les axes primitifs ; pour obtenir les uou- Fxg. 86
veaux axes, menons par le point A une droite AL qui

formeavec Taxe des x un angle ayant pour tangente , - — - ;

ce qui revient a prendre une partie AG = i, puis à élever

— B
une perpendiculaire GH = - — ^9 expression que nous

supposons, pour fixer les idées, avoir une valeur posi--
tive (*).

Di%nsons ensuite cet angle LAX en deux parties égales
par la ligne AX^ \ cette dernière droite sera le nouv^el ojce
des r , et AY', perpendiculaire à AX', le nouvel axe des y,

N. B. — La relation

B
tang 3« = — J3^'

correspondant à deux angles différents , a a , 1 80^ + a âc , il
semble qu'on puisse prendre à volonté pour nouvel axe
des X , la bissectrice de Fangle LAX , ou celle de Tanglc

180** -h LAX. Mais observons que , les angles , - LAX

et 90** H — LAX, ont pour différence 90 degrés^ en sorte

que, si Tune deces droites est prise pour le nouvel axe des
X, l'autre doit être prise pour le nouvel axe des y^ et réci-
proquement.

Ainsi, il n*j a réellement qu' un seul système d'axes rec-
tangulaires par rapport auxquels l'équation de la courbe
peut être débarrassée du terme en xy.

On convient, d'ailleurs, de prendre pour Tangle aa le plus
petit des deux angles donnés par l'expression de tang a a.

155. Cette première simplification de l'équation gêné-

(*) Tant que les coefHcients A, B, C, D, etc.» ne reçoivent aucune va-
leur particulière, il est impossible de déterminer le signe dont telle ou telle
fooction de ces quantités qu'on suppose réelles et de signes quelconques ,
doit être affectée ; mais alors il est d'usage do considérer ces fonctions
comme positives,

Âiosi, qu'il s'agisse de construire l'expression d'une distance h porter sur
l'nn des axes, ou sur une parallèle à ces axes, on la porte dans le sens que
l'on est convenu de regarder comme positif. De môme s'il s'agit d'un angle,
<)n le compte de i2/'o//e h ^lucrA^; et les lignes tngonomc triques sont elles-
n»êmes considérées comme posilircf.

172 RÉDUCTION, PAR LA TRÂSSFOKMAT. DES COOKDOSHÉES,

raie étant opérée , calculons les valeurs de M et de N au
moyen de la valeur obtenue pour tang a a.

On a, d'après des formules trigonométriques connues,

I . tanc 2 a

y I -H tang' 2 a y i -+- lang' 2 a

d'où Ton déduit, en remplaçant tang 2 a par sa valeur,

A — C — B

ces 2 a = — ==r==r » SIR 2 flt =r

y^(A— C)'-hB' V^(A — C)»-f-lf

D'un aulre côté, les équations

M = A cos' a — B sin a ces a + C sin* a ,
N =: A sin'a 4- B sin a cosa •+■ C cos'a,

étant d'abord ajoutées entre elles, donnent , d'après la rela-
tion cos* a + sin' a = i ,

M+N =rAH-C.

On trouve également, en les soustrayant Tune de l'autre,
M —N = (A — C) (cos'a — sin'a) — B«2sinacosx,

ou, à cause décos 2 a == cos'a — sin*a, sin2a=:2sinacos2.

M — N == ( A — C) CCS 2 a — B sin 2 a ;

et si l'on remplace cos 2« , sin 2 a, par leurs valeurs ,

„ .-(A-C)' + B'.
y^(A — C)'-f-B''

ou, supprimant le facteur v(A — C)*-hB',

M — N = \/(A — C)'4-B*.

Connaissant les valeurs de M -f- N et de M — N , on en
déduit successivement

M = ^-±^ 4- 1 v/(A-C)'-hB%
2 2

A-f-C 1

2 2

d'où , multipliant ces deux équations membre à membre el

{*) Ces expressions de M et de N , à cause du radical qui y entre « corn-
|>orl6t]l chacune d^or valeurs qu*il sera nécessaire dUnterprétcr quand uous
rn viendrons à des applications numériques.

DE l'équation Générale du second degré. 173
réduisant ,

4 4

Ce dernier résultat prouve, i^ que les deux coefficients
M et N sont de même signe ou de signes contraires y suivant
que la quantité B* — 4 AC est négàtii^e ou positii^e; a° que
l'un de ces coefficients est nul toutes les fois que Ion a
B* — 4 AC = o , et ne peut être nul que sous cette condi-
tion.

N. B. — On ne saurait avoir en même temps M = o,
N = o j car il en résulterait

M-+-N = o, M— N = o,

ei , par conséquent ,

A-4-C = o, (A — C)»-4-B» = o.

Or, cette dernière condition entraine les deux suivantes:

B = o, A— C = 0;

et celle-ci , combinée avec A + C = o , donne

A = G, C= o.

Ce serait donc supposer que Téquation primitive ne ren-
fermait aucun des trois termes en^y-*, xjy et x' 5 ce qui n est
pas admissible 9 puisqu'alors Téquation ne serait que du
premier degré.

156. Complétons maintenant la réduction de Véquation
générale du second degré.

L'équation étant déjà débarrassée du terme en xy^ es-
sayons, par une translation d origine , de faire évanouir les
termes du premier degré en x qI j.

Pour cela, faisons (n^ li^)^ dans réqualion {*x) du
»« \U ,

.r =r :r -4- « ,

et égalons séparément à o les deux coefficienis de x et Aay

qui résultent de cette substitution.

On obtient d'abord pour les deux équations de condi-

lion ,

2Mi»-f-R = o, 2NrtH-S = o,

M, N, R et S étant des quantités essoiuicllemont réelles ,

174 RÉDUCTION, PAE LA TfiANSFORMAT. DES COO&DOKHÉES 5

et pour ï équation transformée y

Mj^*-hNjr« + F' = o

(en posant F' = Mi* -f- Na* 4- Ri -+- Sa -h F).
On déduit des deux équations de condition ,

Or, ces valeurs de a et de i seront toujours réelles et
finies tant que M et N seront différents de o, c'est-à-dire
(n^ i^)^ tant que Ton aura

B»— 4AC^o.

Fio. 86. On pourra donc, dans ce cas, transporter Forigine en un
nouveau point A' ayant pour coordonnées,

AC = ir- > C A' = rj t

2N a M

et pour lequel Téquation de la courbe» rapportée aux
axes A'X", A' Y'', parallèles à AX', A Y' sera de la forme

(P désignant ce que devient — F' lorsqu'on y a remplacé a
et b par leurs valeurs).

On pourrait avoir soit R = o , soit S = o , auquel cas h
ou a serait nu/, et la nouvelle origine serait située sur AX'
ou AY'.

Aucun de ces coefficients R, S, ne saurait d'ailleurs être
infini y d'après leur composition (n® 154).

Ainsi, toutes les fois que, dans l'équation complète du
second degré, la quantité B' — 4 AC est différente de o, il
est possible de faire disparaître les deux termes en x et
en y, et , par conséquent , de ramener V équation primitive
à la forme

(3) M/* -4- Ni?' = P.

157. Supposons actuellement que l'un des deux coeffi-
cients M ou N soit nul^ ce qui exige (n^ 155) que l'on ait
entre les coefficients A B, C, de la proposée, la relation

B'— 4AC=ro.

DE L*ÉQVÀTION OÉHÉRALE DU SECOND DSOEÉ. iy5

Dans ce cas, Tune des valeurs

se présenle sous la forme de V infini; et comme on ne sau-
rait transporter Forigine à une distance infinie, îl est
impossible d'exécuter la transformation proposée.
Et en eflet , admettons, pour fixer les idées , que Ton ait

N = o.
L'équation (3) du n^ 154 se réduit à

TAx^-h R/ -+- S:r -4- F= o;
et si Ton substitue dans cette équation les valeurs
x = x-H «7 y^=J~^ ^ï '1 vient
M7'H-(2M^4-Il)r-*-Sj:-h Mb'+Rb-^ Sa H- F=: o.

Or, le coefficient de x^ dans cette équation, étant indé-
pendant des indéterminées a et b, on ne peut disposer de
celles-ci de manière à faire disparaître ce terme.

Mais voyons si , dans ce cas, il est possible de faire éva*
nonir le terme enjr et la quantité indépendante de x et de j^ ?

Il suffit, pour cela , de poser les équations de condition ,

aM*-+-R = o, M^'-hRé-f-Sfl-|-F = o;

i'oik l'on déduit

. R M6>-|-R6-|-F

^ = ^ïm' -" = S '

on, mettant dans Texpression de a, la valeur trouvée pour &,

_^ _R'— 4MF

2M' ''"' 4MS

De ces deux valeurs, celle de &^est nécessairement réelle
et finie ^ puisque (n® 158, N. B,) on ne peut avoir M = o
en même temps que N = o.

Quant à la valeur de a, si le coefficient S n'est pas nul
en même temps que N, elle est aussi réelle et finie.

Ainsi , lorsque la disparition du terme en xy aura donné
lieu a celle du terme en x', eu laissant 'subsister le terme
enx, la transformation précédente pourra s'exécuter, et
Téquation de la courbe rapportée aux nouveaux axes , sera
ramenée à la forme

176 RÉDUCTION, PAR LA TRANSFORMAT. DES COORDONNÉES,

OU plutôt à celle-ci ,

(4) r'=Q^,

Q étant égal à — ^•

N. S, — Si au lieu de N = o, on supposait M = o, R
étaiiil différent àe zéro, on reconnaîtrait de même que l'é-
quation peut être ramenée à la forme

mais en y changeant y en x et a: en y, ce qui reviendrait
(n° 121) à reni^erser la position de la courbe par rapport
aux axes , on retomberait sur Téquation

N^*-4-Rjr = o, on ^' = Q 4? f en posant Q = — -~j.

FiG. 86. 158. Les deux cas particuliers de N = o , S = o , ou de
M = o , R = o , font exception à la transformation précé-
dente, puisqu alors la valeur de Tune des coordonnées a, &,
de la nouvelle origine, se présente sous forme infime.

Mais remarquons que Téquation (a) du n^ 154, reçoit
alors Tune des deux formes

M/»-i-R7-HF = o, ISx'-4-Sx-+-F = o>

et comme chacune de ces équations ne renferme qu'une
seule variable, elle représente (n°83) un système de deux
droites parallèles soit à Taxe AX', soit à Taxe AY'.

159. En résumant tout ce qui a été dit n°' 153 et sui-
vants, on doit regarder comme rigoureusement démontré
que toute équation du second degré à deux "variables
peut , par une double transformation de coordonnées , être
ramenée à l'une des deux formes

excepté dans un cas tout particulier^ celui où , par la dis-
pari tion du terme en ^, le carré et la première puissance
d'une même variable disparaissent également. Mais alors
Téquation représente, ainsi que nous venons de le voir,iin
système de deux droites parallèles.

On parvient à la première forme d'équation toutes les

fois que M et N sont différents de o, c'est-à-dii-e (n^'lSS)
lorsque, dans l'équation primitive, on a

B^ — 4 AC < ou > o ;

DE l'équation GÉlfÉRÂLE DU SECOIfD DEGRé. I77

et à la seconde forme , toutes les fois que les coefficients A ,
B, C, sont liés entre eux par la relation

B» — 4AC=o.

On a vu, d'ailleurs (n^' 131 , 139 et 140), que la courbe est
une ellipse ou une hyperbole suivant que M et N sont de
même signe ou de signes contraires ^ c'est-à-dire (n^ 155)
suivant que B' — 4 AC est négatif ou positif.

D'où Ton peut conclure enfin que, dans l'équation gé-
nérale

Ay* -4- hxy 4- C j:* -4- Dj H- E j: + F = o ,

la condition B* — 4 AC <[ o caractérise les ellipses ,

B' 4 AC > o les HYPERBOLES ,

B* 4 AC = o les PARABOLES.

1(K). N, B, — La dernière de ces relations donnant

les trois premiers termes

A/'4-Ba?x4-Ca:'

de Téquation générale peuvent, dans le cas qui s^y rap-
porte , se mettre sous la forme

et constituent ainsi un carré pat fait.

Ce caractère , qui équivaut à la condition B* — 4 AC = o,
est généralement plus commode dans les applications nu-
mériques, pour distinguer la parabole des deux autres
courbes.

161. Variétés des trois courbes. — Les trois courbes
du second degré que nous venons de reconnaître , sont sus*
ceptibles de certaines variétés qui ressortent de la discus-
sion de leurs équations respectives.

Considérons d'abord Téquation

dans laquelle on peut toujours supposer M positif, puisque
s'il était négatif, il suffirait de changer les signes des deux
membres.

Àp. de VAl. à la G, 12

178 RÉDUCTION, PAK LA TRÂNSFOIIMAT. DBS G001II>0ir»tES,

Il peut se présenter différents cas , par rapport aux signes
et aux valeurs numériques des autres coefficieiits.

Ellipses M e^ N positifs.

Soît P positif en même temps que M et N.

L'équation Mj^* -f- Njc* = P représente (n® 131) une
ellipse qui , dans le cas particulier de IVf = N , devient un
cercfc (nM32).

Le cercle est donc une première variété de Tellipse.

Si l'on a M et N positifs et P négatif, l'équation est évi-
demment impossible^ c'est-*à*dire qu'à des valeurs de x
réelles il ne peut correspondre que des valeurs imaginaires
pour j-, et réciproquement.

Donc la courbe est imaginaire, ou, en d'autres termes,
l'équation n'a pas de lieu géométrique y ou ne représente
rien .

Soit P=: o. L'équation, se réduisant à

M^'-|-Na:»=o,

ne peut être satisfaite que par le système (x = o , y = o).

Donc la courbe se réduit à un point.
Ainsi , les variétés de Tellipse sont :
Le cercle , une courbe imaginaire , et un point.

Hyperboles M positif, N négatif.

P peut être négatif ou positif.

Dans le premier cas , l'équation My^ — N x* = P repré-
sente (n** 139) une hyperbole rapportée à son axe trans-
verse comme axe des x ; et dans le second (n^ 140) une hy-
perbole rapportée à son axe non transuerse.

Le cas particulier de N négatif et numériquement égal à
M , donne Y hyperbole équilatère.

Si l'on fait P = o , Téquation se réduit à

M^» — Nx» = o;
et l'on en tire

^/\

Donc , dans ce cas , la courbe dégénère en un système de
deux droites qui se coupent.

DE L^^UATIOK GÉHÉRALE DU 8ECOJND DBGIÉ. IJQ

Ainsi , les variétés de rBTPEEBOLE sont : Vkyperbole équi-
latèrcy et un système de deux droites qui se coupent.

Paraboles ^* = Q^-

D peut arriver que Q soit positif ou négatif.

Dans le premier cas , Fëquation représente évidemment
une parabole dont le paramètre, ^p, est égal au coefB-
cîent Q.

Dans le second, comme, en changeant a: en — x, Téqua-
ûonjr* = — Qx devient j^' = Qx, il sWsuit que la courbe
est encore une parabole ; seulement, elle est dirigée dans
le sens des x négatifs. Mais en pliant la figure suivant Taxe
des y, on remet la courbe dans la situation ordinaire.

Le cas dans lequel on suppose (n? 158) N = o, S=: o
ou bien M = o, R = o, est regardé comme donnant une va-
riété de la parabole , par la raison que M = o , ou N = o ,
est le caractère général de cette courbe.

Les équations

M7*-+- Rr-+- F = o, ou Nx' + Sx -h F = o,

qui correspondent k ces hypothèses particulières , donnant
par leur résolution

ou bien

r = —±: — \/R»— /IMF,

^ 2M 2M^ ^ '

aN 2N t y

il en résulte que, suivant que Ton a

R'— 4MF>>o, =o, ou <o,
ou bien

S« — 4NF>o, =o, ou <o,

Téquation représente deux droites parallèles , une saule
droite, ou deux droites imaginaires.
Telles sont les variétés de la parabole.

162. Mode de réduction de Féquation du second degré,
qui confient au cas de B* — 4 AC <[ ou ]> o. — Nous avons
vu (n*** 154 à 156) comment, par une double transforma-
tion de coordonnées , on peut ramener toute équation du

12.

l8o RÉDUCTION, PAR LA TRANSFORMAT. DES COORDONNÉES,

second degré à deux variables, à la forme

en tant que, dans Téquatiou primitive,

Aj»-h Bx/H-Cjr'-hDj + Ex-h F = o,
on a

B' — 4AC^o,

ce qui caractérise V ellipse ou V hyperbole.

Mais, la méthode que nous avons exposée ayant, en gé-
néral, Vinconvénient d'introduire des quantités irration-
nelles dans les coefficients deTéquation transformée (nPi^)
et, par suite , aussi , dans les valeurs des coordonnées a et i
de la nouvelle origine, nous allons montrer qu^on peut
avec avantage, dans ce cas, intervertir V ordre des deux
transformations.

Reprenons, à cet eiTet, Féquation

( i) A j' 4- B x^- -H Cjt» -h D^ 4- Ea: -h F = o ;

et tâchons de faire disparaître, d'abord, les termes (dits
linéaires) en .r et ^, savoir :

D^ et Ex.

Pour cela , remplaçons x, y^ respectivement par x 4- ûj
j -{-b\TA. vient

A/'-|-Bx^-hCjp'-|-(2A^-f-Btf + D)^-f-(2C«4-Bé -+-E)jr
+ A6»-H-Bfl6 4-Cfl'H-Dô -l-Efl 4-F=:o;

et puisqu^on veut que la nouvelle équation soit privée des
termes linéaires , il suffît de poser

2A^4-Ba-hD = o, 2Ca4-Bô-hE = o,

et de déterminer (n^ 123) a et & de manière que ces deux
équations de condition soient satisfaites.

Or, on obtient 9 par l'élimination de a, &, entre ces équa-
tions ,

_ 2ae — bd __2cd~be
''"" b»-4ac' B»-4AC'

valeurs essentiellement réelles d finies^ puisque , par hypo-
thèse, B* — 4 AC est différent de o.

D'où Ton peut conclure que cette première transforma-
tion est toujours possible, tant que Ton a

B»-«4AC< ou >o.

DE L^ÉQUÀTIOU GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ. l8l

L'équation transformée devient alors
(2) Ar*+ Bx/+Cx' + F'=:o,

F' ayant pour valeur

A^'H-B«6 4-Çû»-hD^-hE« -h F.

Cette dernière expression , qui n^est que le résultat de la
substitution de a, &, à la place de a?, y^ dans le premier
membre de la proposée, peut recevoir une forme plus sim-
ple, à F aide des deux équations de condition.

En effet, si, après avoir multiplié la première de ces
équations par b et la seconde par a , on les ajoute Tune à
Tautre, il vient

2Aô*-f- 2Bfl*-h2Cû'-+-D6 + Ea = o;

d'où Ton déduit

a
ce qui donne

163. L'équation ( 2) mérite une attention toute particu-
lière.
En y posant y = nix , on obtient

( Am' + B/w -h C) j:» H- F' = o ,
d'où

ou

=±V^

— F'

-hB/w4-C'

(>ar suite ,

= ±:mi/~

— F'

-f-B/w-hC

Ce qui prouve, comme au n^ 129, que toute droite menée
par la nouvelle origine des coordonnées, et terminée de part
et d'autre à la courbe ^ est divisée par ce point en deuxpar^
lies égales.

Donc (n^ 130) ce point est le centre de la courbe^ et Ton
dit alors qu'elle est rapportée à son centre comme origine.

N. B. — Dans le cas de B* — 4 AC = o , les valeurs des
coordonnées a et b de la nouvelle origine sont infinies ; et
le centre est alors situé à V infini^ résultat conforme à ce
que Ton a établi au n^ 14*4.

164. La première transfomialion étant opérée, la se-

l82 RÉDUCTION, PAR LA TRANSFORMAT. DES COORDONIIÉES,

condcy qui a pour but de faire disparaître le terme en sy
deTéquation (a), et qui (n° 184) est toujours possible, s'exé-
cute de la manière indiquée dans ce numéro.

Les opérations auxquelles donne lieu la double iransfor-
madon sont donc , suivant la deuxième méthode, qui con-
vient au cas deB' — 4Ac^o, représentées dans le tableau

suivant :

Ar' H- Bx/ -h Cjc* •+- Dr -h Ex 4- F = o.

aAE — BD . 2CD--BE ^, ^ Db-^Ea

Première transformée : Aj' + Bx/ -h Cx' -f- F' =: o.

B

?.<>. tang 2a = — -;,

2 ^^2 ^

Résultat final : M/» + Nx» -H P = o ,

P désignant ce que devient F' ou F H après cju'on

y a remplacé a et 6, par les valeurs ci-dessus.

La courbe se trouve ainsi rapportée à son centre eikses
axes principaux.

165. Remarque. — La seconde transformation devient
inutile lorsque \bl première, qui correspond au déplacement
d^ origine, conduit à un résultat de la forme

A/*-hBx7-HCx' = o.

Car cette équation résolue par rapport à y donne

expression qui montre :
1**. Que , dans le cas de

B'-4aC<o,

la courbe se réduit à un poiht qui n'est autre que la seconde
origifie, puisque alors l'équation n'est satisfaite que par
j: = o,j=o;

2"^. Et que , dans le cas de

B'— 4aC>o,

DE l'équation Générale du second degré. i83

la courbe dégénère en un ^stème de deux droites qui se
coupent à cette nouvelle origine,

166. Interprétation du double signe des valeurs de M
et de "H. — Nous avons fait remarquer (n*^ 155, note au
bas de la page) , que les expressious de M et de N com-
portent, chacune, deux valeurs.

Pour interpréter ces doubles valeurs^ rappelons-nous
qu elles ont été déduites de celles-ci :

A — C — B

ces 2 a = -=====z=i ? $in 2 a =

V( A — Cy + B» ^(A — C)'-hB'

Or, comme nous sommes convenus (n" 154, N. B.) de
prendre pour Tangle 2 a , le plus petit des angles fournis

par la valeur tang 2a = — - — -y il s'ensuit que sin 2 a

est essentiellement ^05iVi/V et dès lors, il peut se présenter
deux cas :

Ou B est négatif dans Téquation particulière proposée ^
ou bien 6 est positif.

Dans le premier cas , le signe + doit accompagner le
radical dans la valeur de sin 2 a *, et , par suite , on a pour les
vraies valeurs de M et de N ,

A

M = — ■ h- V^(A— C)'4-B%

2 2 ^ '

A

2 2

N = 2±^ ^ L ^(ÂrrcYTB\

Dans le second, au contraire, pour que sin 2a conserve
le signe + , il faut que le radical soit aflecté du signe — ;
cl les vraies valeurs de M et de N , doivent être

N=i±-^ + V(A-C)'-hB'.
2 2 ^ '

167. Lorsque Téquation est aux paraboles j c'est-à-dire
dans le cas de B' — 4AC = o , il convient de conserver
l'ordre primitif des deux transformations, et l'on peut ré-
sumer de la manière suivante les résultats auxquels on par«

l84 RÉDLCSIOM, PAR LA TRANSFORMAT. DES COOEDONHÉES,

vient :

B

!•. langaa = — ^^ g, .

M = ^^-±^H-"V^(A-C)»-4-B»

. ,r 7 _ } *^ ^ ^*' négatif,

N=^-^V'(A-C/+B'j

ou1>îen,

M = i^ - i v^(T3rc)iTB' j

.^^ si h est positif .

Z'a/?e £^5 Jeux quantités M ou N éta/it nécessairement
nulle ^

D'où , en supposant , par exemple , N =r o ,

M^* H- R^ 4- S j: 4- F = o , première transformée.

[ Les coefficients R et S sont exprimés (n^ 454) , au moyen
des valeurs de cosa et de sin a, déduites de celles de tang 2 a.]

R R' — 4MF

^ = --rM' "=-4Ms-'

M 7** H- S* = o , ou ^» = Q a:, résultat final,

N. B. — Si l'on a S = o , la seconde tranformation est
impossible ] mais alors la première transformée représente
généralement deux droites parallèles au nous^el ajce dcsx\
ces droites pourraient d'ailleurs se réduire à une seule, ou
même être imaginaires.

applications n umériques .
168. Mode de transformation correspondant à B' — 4'^C^^-
Soit, pour premier exemple ,

y^ — 2 xj^ -h 3 j^' -J- 2 j- — ^x --Z =zo\
on a
A=:i, B = — 2, C = 3, D=:2, E = — 4, F = — 3;

d'oii

B'— 4AC = 4 — ï2 = — 8, Ellipse.

Appliquons les formules du n*' 164 :

_ 2AR — BD _ I 2 CD — BE i

'• "- b'-4ac-^2' ''- b'~4ac ="";^

DE l'équatiom gémérale DU sbcoud degré. i85

et

d'où

P^-HEfl_ . ^ ^ (— i^2)_ 9^

Première transformée : jr^ — a x^ -f- 3 a:' — ^ = o.

Soit pris sur AX y ÂC = *■ 9 et soit élevée au point G une per- Fio. 87 .

pendiculaire CO = ; si l'on mène par le point O, les deux

2

droites 0X% OY' parallèles à AX , AY, la courbe se trouve rap-
portée à deux nouveaux axes parallèles aux anciens.

B 2
2". tang 2 a = — — = = — I.

Comme on a

AC=i, C0 = — -,
2 2

il s'ensuit que

tkngAOX'= — I ;

il suffit donc, après avoir tiré la droite OAL, de diviser Tangle
LOX' en deux parties égales par la droite OX^y puis d'élever OY'^
perpendiculaire à OX'"^ ; et la courbe se trouve alors rapportée
au troisième système d*axes OX'', OY''.
0nad*ailleurs(n»i66)

M = ^^^ 4-i\/{A-C)«H-B«=2 + v^,

- N = ^-t-? — - v'i A — C)» -h B» = 2 — v^;
2 2

ce qui donne la transformée finale ^

(2 -t- ^) J* 4- (2 — \/2) x' =r 9.

Pour comparer cette équation à celle-ci ,

A»^«-+-B'4:»=: A«BS

et en déduire les valeurs numériques des axes principaux , 2 A ,
2 B, il Êiut ( n" 153] la multiplier par

P 9 9

— ou = ~*

MN 2 (2 -f- v^) (2 — ^/2) 4

On obtient ainsi :

? ^^ -^ 4 "" --8 •

l86 RÉDUCTION, PAR LÀ TRANSFORMÂT. DES COORDONBÉES,

donc

2 2 ^

OU, calculant ces valeurs à Oyi près, et doublant,

2 A = 5,5, 2B = 2,2.

La courbe est une bllime telle que DEIV £' dont le grand axe es(
dans le sens de OX".

Deuxième exemple.

A=i, B = -H2, C = 2, D = o, E = — 2, F=--i;

d*où

B* — 4*AC = -—47 Elupsb.
2AE~BD —4

"=B>-4AC==:^=='-

_ 2CD — BE _-h4 «

B>-4AC"=^^""''

F = F H -^- = — I H- - = o ;

2 2

Première transformée : j*' -f-' 2 x/ 4- 2 j:' = o.

La courbe se trouve ainsi rapportée au point [a =1, b:=z — i]
comme nowelle origine , et à des axes parallèles aux premiers.

B —2

2». tang2a = — j— ^ = — Y=a;

et puisque B est positif dans Téquation ,

2 2 2 2

N = i±^ + iv/(r^C)'^B' = - + iv^5;

_!_ + - ^ A — CV -^ B' = -

2 2 ^^ ' 2

ce qui donne, pour \a transformée finale ,

(J-lv^).>'+(|-f-;v§)-'=«.

Comme dans cette équation les coefficients M et N sont tous les
deux positifs f elle ne peut être satisfaite que par x = o , j = o.

Donc, V ellipse se réduit à un point qui n*est autre que la se-
conde origine à laquelle on avait rapporté la courbe.

Ce résultat est conforme à la remarque du n° iW , et Ton aurait
pu se dis|>enser d*opérer la seconde transformation.

DE l'ÉQUATIOI' GÉHÉRiLLE DU SECOND DEG&É. 187

Troisième exemple,

A = i, B = + 2, C = — 2, D = — 4, E = — 1, F = io,
B' — 4 AC = 4 + 8=4- 12, Hyperbole.
_ 2 AE — BP _ ï 2CP — BE_3

'"• ''- B«-4AC ""5' ^~B>-4AC~2'

D6 + Ea i3 27

F' == F H = 10 — r = -/•

2 4 4

Prenant sur AX, AN = -« et élevant NO perpendiculaire à AX Fio. 88

3

et égale à -9 on a le point O pour nouoelie origine ^ et OXS OY',

pour les nouveaux axes,
La première transformée est d^ailleurs

^'-h 2 0?/ — 2j:*H--7^ = O.

B 2

20. Ung2a = --j— ^ = -3-

Prenons sur OX', OR = 1, puis élevons au point R, RS per-
|)endiculaire à OX' et égale à — j» et tirons la droite SOL; il en

2
résulte tang LOX' = — ^•

Donc, si Ton divise l'angle LOX' en deux parties égales, par
la droite OX", on a OX", OY" pour le troisième système d'axes.
Les quantités M et N sont d'ailleurs, à cause de B positif,

22' ' 2

A

N =

^ -^-^ + 1 ^(A - C)« H- B' = - ^4-^/13;

2 2 '^ 22

ce qui donne, pour la transformée finale , après un changement
de signe ,

2

y

ï— -^"4

Ici, Vaxe transperse est (n" 140) sur OY" ; c'est-à-dire que \e pre-
mier axe principal est figuré par BB'.

On obtiendrait, d'ailleurs, les valeurs numériques des deux
axes principaux , en opérant comme il a élé dit au n" 159.

l88 RÉDUCTION , PAR LA TRANSFORMAT. DES COORDOUKÉES,

Quatrième exemple.

y^-^- xy — 2 4?' — j + x = o,
A = i, B = 4-i, C = — 2, D = -- 1, E = i, F = o,

B' — 4 -^C = ~H 9 f Hyperbolk.

_ 2AE — BD_i ^_aCD — BE_ i
'"• ''~ B»-4AC ""3' B'-4aC ""3'

(ihi)^

*,, w. DA4-Ea , ^ ^,
F'=r Fh = 0-4-.-^ i.=o;

2 2

€6 qui donne, pour première transformée ^

y^-i-xx — 2 j:* = o.

et comme B est positi/y

M = ^-tÇ_lv/(A-C)'+B'=-i-is/i,

2 2 '^ ' 2 2^

N = i±^^-iv/(A-C)•^-B'=-i + iv^.

2 2 ^ ' 2 2

On obtient ainsi pour seconde transformée, en changeant les
signes I et multipliant par 2 »

{\/2 -^ Or*— ( V^ — l) J?*= O,

équation qui, résolue par rapporta/, devient

ou, transformant et réduisant,

et représente, par conséquent, un système de deux droites qui se
coupent à la nouvelle origine, dont les coordonnées sont

^=3' * = 3-

On voit encore ici se vérifier la remarque du n^ I6K; et Ton serait
parvenu au même résultat en traitant directement Xz première trans-
formée.

DE l'équation géméralb dv secoxid degré. 189

169. Jlfode de transformation pour le cas de B' — 4 ^^ = ^*
Soit y pour cinquième exemple,

j»— ^xy -h ^x^-\- 2j — 7 x — 1 = o,
A = i, B = — 4» C = 4, D = 2, E = — 7, F=— I,

B' — ^kCz=\6 — i6 = o, Pababole.
Il y a lieu ici d'appliquer les formules du n® 167.

B 4

d'où

cos2a=: — ^1 sm 2 a =:-+•-;

et, par suite.

, /l — COS2 0t 2 /p ^ /H-C0S2a I /-

2 2 '^ ' 2 a

R = D cosa — E sin a r= -s- ^ ,

3
S = Dsina + Ecosa := — y V^>

ce qui donne , pour première transformée ,

5/»-h-^V^.7 — ^ v^. X — I =0.

Pour construire les deux nouveaux axes, prenez sur AX une Fie. 89.
distance AC égale à i ; élevez au point C une perpendiculaire CD

f^le à — ~ 9 puis tracez la droite DAB ; vous avez ainsi

4

tangBAX = — 5-

Divisez Tangle BAX en deux parties égales, et vous obtenez les
axes AX', AY', pour second système de coordonnées.

R 8 /^ R» — 4MF 89 r^

^•^=-^ = -S^' " = -4MS- = -?5^-

D'où Ton déduit la seconde transformée

5j'— •= \/5. j: = o.

190 RÉDUCTION, PAR Là TRANSFORMAT. DBS COORDONNÉES,

Les quantités

étant évaluées en décimales à 0,1 prés par exemple, deviennent
respectivement

6 = — 0,7, fl= — a,7, S = — 198.

Prenons sur AX' une distance A£ = — 2,7 ; élevant en E, £A'
perpendiculaire à AX' et égal à — 0,7, puis, menant A'X", A' Y"
parallèles à AX', AT% on aura le système d*axes auxquels est rap-
portée la PAEA.B0LX ,

5^' — i,3.x = o,

dont le paramètre a pour expression i ,3 , et qui , par conséquent,
peut être facilement construite au moyen des procédés indiqués
au n''i4l.

On obtient ainsi une courbe telle que MA'N, tangente en A' à
Taxe A'Y''.

Sixième exemple.

y^ — 2x7 -i-x*-f- 27 — 2 a: — 3 =: o,

A = i, B=— 2, C = i, D = 2, E = — 2, F= — 3,

B* — 4^^ = 4~4 = °> Parabole.

B 2

lang 2 a = — -^ = - ? cos 2a = o, sin2«=i,

sina = -v2, cosacrr-yi,

2

A
2

A-f-C

M = ^^-^H--V^(A--.C)'-f.B' = i-hi = 2,

N = ^^-!=-- — - V(A — CV4- B»= 1—1=0,
2 2

R = Dcosa — Esina= 2 y^, S = D sina-hEcosa = o;
ce qui donne la première transformée

2 j' 4- 2 v/2 . j — 3 = 0.

Pto. q*». l^A valeur obtenue pour tang 2 a étant //i/f/i/e^ indique que le
nouvel axe des x, AX', est la bissectrice de Tangle YAX.

Quant à la seconde transformation de coordonnées, il n*y a pas
lieu (n^ 167, N. £.) de l'effectuer, puisque Téquation de la pre*
tnière transformée ne renferme plus que la seule variable y.

Cette équation représente un système de deux droites parallèles

BE L'iQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGIIÉ. Ipl

au nouvel axe des x ; système qae Ton peut construire facilement
en résolvant cette équation ; il vient , toute réduction faite ,

3

2

ou

j=:o,7 et jr=r — a,i, àOyi près.

= -V^ et 7 = ^,

Prenant sur AT' deux distances Afi=:o97 et AB'= — 2, i, puis»
tirant les droites BCy BX', parallèles à AX', on obtient le sys-
tème demandé.

Les différents exemples^ que nous venons de traiter, suf-
fisent pour montrer comment une courbe du second degré
exprimée par une équation numérique quelconque, peut,
par une double transformation de coordonnées , être rap-
portée à son centre et à ses axes principaux ^ si c'est une
ELLIPSE ou une hyperbole, et à son axe principal, si c'est

une PARABOLE.

170. Remarque générale sur toutes les courbes expri-
mées par une équation du second degré en x etj^, ces lettres
représentant les distances d'un point à des axes fixes et
donnés de position sur un plan.

Dans la double transformation de coordonnées que nous
avons exécutée pour ramener Féquation générale du second
degré à deux variables, à Tune ou à Vautre des deux formes

nous sommes partis de la supposition que la courbe était
d^ abord rapportée à des axes rectangulaires; et que le iroi»
sième système d'axes était lui-même rectangulaire.

Les trois classes de courbes du second degré ont été en-
suite déterminées d'après des hypothèses faîtes sur les coef-
ficients M , N, P, Q.

Mais si nous supposons qu une courbe rapportée à des
axes obliques, soit exprimée par l'une de ces équations,
peut-on affirmer que, pour les mêmes hypothèses faites
sur les coeflScients, la courbe , sous le rapport de la forme,
est la même que dans le cas d'axes rectangulaires?

Pour répondre à celle question , il faut remarquer que

193 RÉDUCTION 9 PÀa Là THiNSFORHÀT. DES GOOKDOHIIÉES ,

chacune des trois courbes obtenues dans la supposilion
d'axes rectangulaires offre, dans son cours , un caractère
qui lui est propre, et qui peut servir à la distinguer des
deux autres.

Ainsi 9 ï ellipse y telle que nous Tavons définie au n? 124,
est une courbe rentràitte et fermée ou une courbe limitée
dans tous les sens,

U hyperbole (n^ 134) est une courbe composée de deux
branches distinctes, égales et opposées ^ qui s'étendent
Pune et Fautre indéfiniment.

Enfin, \di parabole (n° 141) s'étend indéfiniment dans
un seul sens: et elle n'a qu'une seule branche.

Or, ces trois caractères géométriques se reproduîseut
également par la discussion des deux équations précédentes,
considérées par rapport à des axes obliques.

En effet, prenons l'équation

et supposons d'abord M , N, positifs (on doit aussi r^ar-
der P comme positif; autrement l'équation ne pourrait
donner lieu à des valeurs réelles pour x etj").

Cette équation , étant résolue par rapport ày, donne

-VSa-4

et l'inspection seule de ce résultat démontre qu'à des va-
leurs de x, soit positives, soit négatives, numériquement

plus grandes que W^» correspondent des valeurs imagi-
naires pour y.
Fie. 91 . Donc, la courbe est limitée dans le sens des x positifs,
et dans celui des x négatifs, par deux parallèles à Taxe des r?
SS', RR', menées aux distances

En résolvant l'équation par rapport à x , on reconnaî-
trait de même qu'elle est limitée dans les deux sens de l'axe
desj, par deux parallèles à Taxe des or, R§, R'S', menées

DB l'ÉQUATIOJN aÉMÉRALE DU SECOND DEGRÉ. igS

aux distances «

La courbe est alors entièrement comprise en dedans du
parallélogramme RSS^B', aux côtés duquel elle est tan-
gente en B', C, B, C^

Soient actuellement M positifs N négatif y et P négatif
011 positif; ce qui donne (les signes étant mis en évidence) ,

L'équation résolue par rapport ijr devient

Dahs lk pebmiee cas , on voit que , pour des valeurs de jr,
soit positives, soit négatives, numériquement moindres

Çue i/ -9 les valeurs correspondantes de / sont imagi^
noires. Mais en donnant k x des valeurs plus grandes que

v^

-9 on obtient pour y des valeurs toujours réelles ^ quel-

N

que grande que soit d'ailleurs la valeur de x dans les deux
sens.

Donc, la courben'aaiica7i;;o//if situé entre les parallèles Fio. 99t.
à Taxe des j", BL, B'L', menées aux distances

OB

= -Hy/?, OB' = -y/|. •

Mais elle s'étend indéfinitnent à droite et à gauche de ces
deux parallèles, au-dessus et au-^ssous de l'axe des x,

Dahs le second cas, il est évident que toute valeur don-
née à X produira poury des valeurs toujours réelles.

D'ailleurs , si Ton fait x = o , ce qui donne

r=n=v/jjj,

on doit regarder ces valeurs comme les plus petites de celles
que peut recevoir j^.
Donc la courbe n'a aucun point compris entre les parai- Fio; 93.
Àp, d€ rAL à u G. i3

194 héduction de l'équation générale du a' DBc&t.
lèles à Taxe des x^ LBK , L' B'K', menées aux distances

OB=+y/|, ob'=-y/|.

Mais elle s^ étend indéfiniment sM^desstis et au-</«55oii5 de
ces parallèles , à droite et à gauche de Taxe des jr.
Fie. 94. Quant à l'équation

/'=Qx, d'où r = ±v'Q^
il est clair qu'elle représente une courbe indéfinie dausie
sens des x positifs, si Q est positif, et dans le sens des x
négatifs, si Q est négcUif,

De là on conclut que les équations

représentant des courbes rapportées à des axes obliques,
onl, la pi^mière, le caractère géométrique d'une ellipse^
la seconde, celui d^une hyperbole^ et la troisième, celui
d'une parabole.

Si, maintenant, pour avoir des axes rectangulaires, od
change d'abord (n°120)

r*
X enx — rcotô, et ren-r^i

sm 0

on aura des équations en j^*, xjr^ x^ei P ou Q'x, qui pour-
ront ensuite, par une autre transformation de coordonnées
ayant pour objet de faire disparaître le terme en xy^ être
ramenées aux formes tout à fait caractéristiques

A\Y'-h BU» = A*B% A'j'— B»«' = qp A»B% y^ = a/ix.

Donc enfin , toute équation du second degré à deux va-
riablrsj rapportée à des axes rectangulaires ou obliques,
représente, lorsqu'elle donne lieu à des valeurs réelles, une
ELLIPSE ou une HYPERBOLE OU Une PARABOLE , tcllcs que nous
les avons définies aux n°* 124, i3i et Hi , ou bien une de
leurs VARIÉTÉS , savoir: un cercle , un point, un système
de deux droites qui se coupent, un système de deux droites
parallèles, ou une seule ligne droite.

DE l'ellipse. 195

CHAPITRE III

DE L'ELLIPSE.

PROPOSITIONS PRÉLIMIUÀIRES.

171. Caractères analytiques des points pris sur la ^'^' 9^'
couibe, au dedans ou au dehors. — L'équation de Fel-
lipse^ rapportée à son centre et i ses axes principaux ,
étant (nM 30)

on a d'abord , pour chacun de ses points , M , la relation

A» j' 4. B«x» — A'B» == o.

Maintenant f si Ton considère un point N intérieur à la
courbe, comme l'ordonnée NP de ce point est moindre que
Tordonnée MP correspondante à la même abscisse OP, il

s'ensuit que A* . NP est moindre que A* . MP ; ainsi Ton
a pour le point N , ou tout point intérieur,

A»/' + B»ar' — A»B»<o.

Pour un poipt extérieur N^ Tordonnëc M^P «st plus
grande que NP, et Ton a nécessairement

A»j>-i-B'x» — A»B»>o.

iV. B. — Si le point extérieur avait la position N^', pour
laquelle il n'y a pas d'ordonnée correspondante de la courbe ,
la même relation n'en subsisterait pas moins ; car V abscisse
de ce point N^ éunt plus grande que OB, il en résulte
B» jr» > A* B', d'où à fortiori, etc.-

172. La définition de l'ellipse (n^ 124) fournit d'autres
caractères qu'il importe d'établir.
Pour tout point M , sur la courbe , on a

F'M-»-FM = 2A.

Pour un point intérieur R, comme F'R-f-RFest plus

i3.

196 DE l'ellipse )

petit que F' M H- MF, il en résulte

F'R-|-FR<2A.

Pourun foinlexiétieurKf ona, au contraire, F'R'+R'F
plus grand que F' M -h MF 5 et, par suite ,

rR'-hFR'>2A.

Fie. 95. 473. On déduit de l'équatîon AV« -I- B*jc« = A* B« :

(A4-Jc)(A — x) A*'

Or, X eiy étant les coordonnées d'un point quelconque ^
M, de la courbe, il est évident que A-f- x, A — Xy expri-
ment les distances AP, BP des sommets A , B, au pied de
l'ordonnée MP ; ainsi , Ton a

^^ =-5-1, ou mTiAPxPRI.R'IA';

AP X PB A'

d'où Ton voit que

Le carré d'une ordonnée quelconque de Vettipse est avec
le produit des distances du pied.de cette ordonnée aux
deux sommets, dans un rapport constant;

En d^autres termes , les carrés des ordonnées sont res-'
pectiuement proportionnels aux rectangles des distances
des pieds de ces ordonnées aux sommets de la courbe.

Si Ton suppose B = A, la relation se réduit à

/> =r A» — «« = (A 4- x) (A — x);

ce qui exprime que V ordonnée dun cercle à un diamètre
est moyenne proportionnelle entre les segments corres-
pondants du diamètre; propriété connue en Géométrie.

La propriété qui vient d'être établie pour l'ellipse , n'est,
du reste, qu^un cas particulier d'une autre proposition sur
les courbes du second degré rapportées à des axes qudcon^
ques , et qui sera démontrée plus tard.

Ffo. g6. ^^^* Décrivons sur le g^/vi/i^? are d'une ellipse, comme
diamètre, une circonférence de cercle; on a, pour son équa-
tion,

y^=z A» — :r'y

CiRACT. DES POIJNTS DE Là COURBE ET COMST. PAR POINTS. I97

celle de TelUpse rapportée aux mêmes axes, étant

il s'ensuit que, si Ton désigne par jr l'ordonnée d'un point
quelconque de cette courbe , et par Y Tordonnée du cercle
correspondant d /a même abscisse y on a la relation

c'est-à-dire que \ ordonnée de t ellipse est à celle du cercle
décrit sur son grand axe dans le rapport du petit axe -au
grand axe y

D'où résulte un moyen assez simple de construire Tellipse
par points ;

Sur les axes AB , CD , décrivez deux circonférences *, tirez
le rayon OM, et par le point L où ce rayon coupe la petite
circonférence, menez LN parallèle à AB.

Le point N où cette parallèle rencontre Fordonnée du
point M , appartient à TcUipse.

En cflct, on a , d'après la constructioti,

OM:OL:: PM:PN, ou a:B::y:pn;

donc

Prolongeant ensuite MP d'une quantité P/t égaie à PN,
on obtient un second point de la courbe; les points n', n"^
symétriques des deux premiers , peuvent être ensuite déter-
minés comme l'indique la figure.

175. Il existe un autre moyen, fondé sur la même pro- pic. 97
priété, pour construire l'ellipse.

AB, CD, étant les deux axes, marquez sur CD un point
K tel qu^on ait

OK = A — B;

prenez ensuite un point quelconque I situé entre O e€ K^
puis, de ce point I comme centre, avec un rayon OK , rfé-
*mez un arc de cercle qui coupe AB en Lct en L'j tirez

198 DE l'ellipse^

IL, IL^, ei prenez sur ces deux lignes prolongées,

les points M , M', appartiennent à la courbe.

Car, si Ton mène IH parallèle à AB , et MQ perpendicu-
laire à IH , les triangles IQM , LPM sont semblables et
donnent

mi:ml::mq:mp; d'où mp= ^.mq= ?.mq.

Mi A

Mais on a

MQ = VmÏ"— Ïq'= VmI— OP ;
donc , en posant OP = x, on trouve-

B

j^ = MP=: -v^A' — «» = -•¥.
A A

Même raisonnement à l'égard du point M' symétrique du
point M.

Pour obtenir les deux points m , m' symétriques de M ,
M', il suffirait de prendre sur OC , OV = 01 et d'opérer
comme précédemment.

Il est évident, d'ailleurs, que, pour que la construction
soit possible, le point I doit être placé entre O et K.

176. Mesure de la surface ou quadrature de Y ellipse.
Le rapport constant -j , qui existe entre l'ordonnée de

A p

l'ellipse et celle du cercle décrit sur son grand axe, con-
duit très-simplement à l'expression, soit de la surface
entière de l'ellipse, soit de Vaire d'un segment compris entre
deux ordonnées parallèles.
Fio. 96. En premier lieu, conceyous que Ton ait inscrit au cercle
un polygone quelconque dont MM^ soit un côté.

Des sommets M, M', . . . de ce polygone, abaissons des
perpendiculaires sur le grand axe, et joignons par des cordes
les points N, N', ... où ces perpendiculaires coupent fel-
lipse; nous formons ainsi un polygone inscrit à cette courbe,
et qui a MN' pour un de ses côtés.

Cela posé, soient Y, Y', les ordonnées des deux poinis
M, M', exj^y^ celles des points N, N', correspondant aux
mêmes abscisses x, x'.

<jLADnATi;aE d£ là colube. 199

Les trapèases MM'FP, MN'P P, donnent

doù

NN'P'P r-f-y

WM'P'P Y-t-Y'

Or

on a

donc

NN'P'P B

MM'P'P A

On reconnattrait, de la même manière, que chacun des
trapèzes dont se compose le polygone inscrit à Vcllipse est
au trapèze correspondant du cercle , dans le rapport B ! A.

D'où l'on conclut, en vertu d*un principe connu , que la
somme de tous les premiers trapèzes est à celle des seconds,
dans ce même rapport.

Ainsi , soient p^ V, les deux polygones ; on a

P"~Â'

Cette relation, devant subsister quel que soit le nombre
des côtés des ileux polygones, est encore vraie pour les
polygones limites qui ne sont autres que Vellipse et le
cercle.

Donc, si Ton désigne par 5, S, leurs surfaces, il vient

/ B B .

SA A *

et conune Taire du cercle a pour expression, tt. A*, il en
résulte

OU bien enfin

5 = 7T . A . B,

pour l'expression de la surf ace d'une ellipse dont les axes
principaux sont 2 A , a 6.

En second lieu, quant à Vaire d'un segment compris
rntre deux ordonnées parallèles, il suffirait, pour l'obtenir.

aoo DB l'ellipse;

d'appliquer à ce segment et à celui qui lui correspond dani
le cercle, le même raisonnement que celui qui a conduit «
l'expression du rapport des deux surfaces entières^ de sorte
qu'en appelant 5^, S' ces segments, on arriverait â Tégalilé

A '

d'où l'on déduirait Xaire cherchée au moyen de celle de S'
qu on sait déterminer géométriquement,

§1. DiAMETEBS DAirS l' ELLIPSE. — DlÂMÈTRES COHJUGUÉS.

— Cordes supplémbut aires; leurs ilelations avec les
diamètres conjugués.

177. On appelle 9 en. général, diamètre d'une courbe,
une ligne (droite ou courbe) qui passe par les milieux de
toutes les cordes parallèles menées sous une direction quel-'
conque.

De cette définition il résulte nécessairement que toute
courbe a une infinité de diamètres dont la nature dépend
de la nature de la courbe elle-même.

Mais nous allons démontrer que, dans V ellipse (et nous
ferons voir plus tard qu'il en est de mênie pour les deux
autres courbes du second degré), tous les diamètres sont
des lignes droites.

Soient, en effet,

(i) Ay-hB»x»=A»B»

Téquation de l'ellipse rapportée à son centre et à ses axes, et

(2) jr = iîa?4-J

celle 4'une droite qui doit rencontrer la courbe.

£9 éliminant x ety entre ces équations, on obtiendra
les coordonnées des poii>ts d'intersection de la droite avec
1^ courbe.

L'élimination de/, par exemple, donne

(3) (A»û»-HB»)a?>H-2A»û6 j?-+-A' (*'— B') = o.

Fic. 08. ^®'* posé, désignons par [x', y'] , [a/', y] les coordon-
nées des points M, M', et par X, Y, celles du point milieu K

DIAMÈTABS DE LÀ COUaBE. aoi

On a (n« 96)

D*uji autre côté, Téquadon (3) étant du second degrés
donne entre sfs racines la relation

en sorte que l'on a, pour les coordonnées du point N,

^<) ^ = -"15^^'

(5) Y=<iX-H&.

Mais des deux quantités a, £, qui^xe/#£la position de la
droite MM', Tune, a, est constante pour toutes les positions
que peut prendre cette droite parallèlement a elle-même;
l'autre, 6, varie d'une position à l'autre; d'où il suit que
si , pour une valeur déieiTninée de a , on donne à b une
série de valeurs auxquelles correspondent autant de va-
leurs de X déduites de l'équation (4) , et de Y, tirées de
Féquation (5), on obtiendra les coordonnées de la série des
points milieux de la corde MM' et de toutes les cordes qui
lai sont parallèles.

Par conséquent, en éliminant b entre (4) et (5), on
parviendra à une équation qui , convenant exclusivement
à tous ces points milieux, sera l'équation de leur lieu géo^
métrique.

Or, Téquation (5) donne i = Y — aX\ d'où, substi-
tuant dans l'équation (4) et chassant le dénominateur,

(A«fl»-h B») X = -- A' a (Y — flX),
ouréduisant et résolvant par rapport à Y,

B'

équation d'une droite passant par Vorigine,

Comme d^ ailleurs, on est arrivé à cette équation sans
donner à la constante a aucune valeur particulière, on
peut conclure

1®. Que, dans V ellipse, tous les diamètres sont des
lignes droites^

:i02 D£ L ELLIPSE ;

2". Que les diamètres de V ellipse passent tous ptwle
centre.

Ce dernier résultat s'accorde avec la définition du
centre {u? 130).

FiG. 98. 178. Diamètre^ conjugués. — Considérons, avec le
diamètre LU qui , passant par les milieux de la corde MM'
et des cordes parallèles k celles-ci , a pour équation

le diamètre W parallèle k ces cordes^ l'équation de ce
derniei^ est

(2) y:=Lnx.

Réciproquement, si l'on considère les cordes parallèles au
premier diamètre LL', et qu'on appelle a* la quantité

— -rç-i Téquation du diamètre, lieu géométrique des points

milieux de ces nouvelles cordes 5 sera (n^ 177)

B*

expression qui , après que l'on a remplacé a* par sa valeur,
se réduit à

c'est-à-dire à Féquation même du diamètre II'.
D'où résulte nécessairement cette conséquence :
Si un diamètre LL' passe par les points milieux dun
système de cordes parallèles k un autre diamètre 1 1\ réci-
proquement, celui-ci passe par les points milieux de toutes
les cordes parallèles au premier.

Ces deux diamètres, dont cluicun divise en deux parties
égales les cordes parallèles à Tautre , sont dits diamètres

COJNJUGUÉS.

L'ellipse a évidemment une infinité de systèmes de dia-
mètres conjugués, puisqu^il y a, une infinité de sy'Stènu:s
de cordes parallèles^

179. Autres conséquences immédiates :

B^
r\ La quantité — — — ayant élé ropréscntcc par a\ I<

DIAMETRES CONJUGUÉS. lo3

produit de a par af est égal à — ^,: en sorte que, si Ton dé-

signe par a , ol\ les angles que forment respectiTement avec
le grand axe y les deux diamètres conjugués d*un système
quelconque , on a, entre les coefficients d'inclinaison de ces

diamètres , la relation

B'
taDga.tanga = — ;ji;

a®. Le caractère analytique d'un pareil système, est
qu'en y rapportant la courbe, on a une équation de la
forme

M7'-HNx»=rP.

Car cette équation donnant pour une même valeur de x,
deux valeurs de j^ égales et de signes contraires ^ ou réd^
proquementy satisfait à la double condition que chacun des
nouveaux -axes divise en deux parties égales toutes les
cordes de la courbe parallèles à Vautre axe;

3^. Par suite, les axes principaux forment un système
de diamètf^s conjugués,

180. Le système de diamètres conjugués formé par les
axes principaux est le seul qui puisse être rectangulaire^
tant qu'il s'agit d'une ellipse proprement dite.

Car 9 pour que les deux diamètres soient perpendiculaires
Tun à Taulre, il faut (n^ 64) qu'entre les angles a, a'
qu'ils font avec Taxe des x, on ait la relation

tang a . tang a' = — i ;

et pour que ces diamètres soient conjugués^ on doit avoir,

en vertu de la première conséquence (n® 179) ,

B'
tang a . tang a= — — •

A.

Or les demi-axes, A et B, d*uue ellipse étant inégaux,
ces deux relations ne peuvent exister ensemble qu'autant
que l'on a à la fois

tang a = o , tang a' = oo ,
ou réciproquement : c'est-à-dire qu'autant que le système
des diamètres conjugués est précisément celui des axes prin-
cipaux.

Donc, etc.

ao4 DE l'ellipse;

N. B* — Dans le cas de B = A , qui est celui où TeUipsc
devient un cercle , les deux relations n'en font plus qu'une
seule ^ d'où Ton conclut que, dans le cercle^ il existe une
infinité de systèmes de diamètres conjugués perpendicu-
laires entre eux.

Cela est , du reste évident \ car un diamètre étant tracé à
volonté dans le plan du cercle, si Ton élève par le centre
une perpendiculaire à ce diamètre, Téquation de la courbe
rapportée à cç système d'axes, est toujours

181 . Cordes suppLéicEifTAiREs. — On nomme ainsi iieux
droites çui, partant des extrémités d*un diamètre quel-
conçue, se rencontrent sur la courbe.

Les angles que ces droites, prises deux à deux, forment
avec le grand axe, ont entre eux une relation particuliers
que nous allons établir.
FiG . 99 . Considérons , k cet effet , en premier lieu , les deux cordes
AM et BM , menées d'un point quelconque M de la courbe
aux extrémités A et B du grand axe.

La droite BM passant par le point B, dont les coordon*
nées sont[ ^^ = 0, x = A], a pour équation

on a de même pour la droite AM, passant par le point A
ou[j = o,x = — A],

^ = ii'(x-f.A).

Si Ton désigne par x\ y les coordonnées du point M,
comme elles doivent vérifier les deux équations précédentes,
il en résulte

y=a(x'-A)i d'où «=-i^,
y=a'{x'-hA)i d'où fl'= -^ -

et, par suite,

D'un autre côté, le point [x', j^'J se trouve aussi sur la

CORDES SUPPLÉMENTAIRES. aoS

courbe ^ ce qui donne

AV»-hB'x'»=A»B%
d'où Ton déduit

y _ B*
«'» — A* A»*

Égalant entre eUe» les deux valeurs de ^^"^ ? on ob-

lient la relation

a . a î= — — •
A»

182. Soient, en second lieu, deux cordes supplément Fio. 99.
taîres^ EM', E'M' aboutissant aux extrémités d'un i£a-
ifiètre quelconque EE'.

Appelons x^yj'^, les coordonnées du point E^ celles du
point E' seront (n° 1^)9 — ^^) — 7^9 et les é<{uations de
deux droites menées des points E , E', à un point quelconque
M' de la courbe, seront de la forme

Comme le point M' ou [x', y''\ appartient à la fois aux
deux droites , on a les relations

d'où

Mais les points M', E, E', se troiivant aussi sur la courbe,
on a égaleînent

A>y» -h B» x'» = A' B% A V" H- B« j/'» = A» B' ,

d'où

/>— y'« B»

et, en égalant les deux valeurs de "^7; ;;; on arrive à la

même relation que ci-dessus ,

B>

a. a' = •

A'

N. B. — Dans le cas de B = A , cette relation devient

a.0! =1 — I ;

2o6 DE l'ellipse;

ce cpii prouve que , dans le cercle , les cordes supplément
taires sont à angle droit,

183. Les deux relations

B' B'

tonga.tanga' = --— » aa!z=z^ —,

obtenues aux n^* 179 et i 82, donnent lieu à un rapproche-
ment utile entre les diamètres conjugués et les cordes sap^
plémentaires.
Fia 98. Appelons y, /, les angles que forment avec le grand
axe de Tellipse, les cordes supplémentaires MM', Mm par-
tant des extrémités d'un diamètre quelconque M' m ^ on a

ung7.Ung/=-^;

et comme, pour un système de diamètres conjugués^ on a

pareillement

B»

unga.tanga'=:— — 9

il en résulte la nouvelle relation

tang 7 . tang 7' = tang a. taDg a ,

qui démontre que l'hypothèse 7 =^ a , entraine la conditi<m

.,/ „t

y = cf .

Cela signifie, en langage ordinaire, que la corde MM'
étant supposée parallèle au diamètreW\ par exemple, le
CONJUGUÉ de celui-ci est nécessairement parallèle à la corde
supplémentaire Mm, et n'est autre que le diamètre LL^
passant par les points milieux de toutes les cordes para/-
lèles à MM'.

Cette propriété fournit un moyen simple de construire le
diamètre conjugué d'un diamètre donné tel que LL' :

Tirez un diamètre quelconque M'm , et par le point m,
la corde m M parallèle au diamètre donné LL' ; tracez
ensuite la corde supplémentaire M'M, puis le diamètre IF
parallèle a cette corde. Vous obtenez ainsi le conjugué du
diamètre LI/.

N. B, — Il est plus commode, en général , de faire usage,
dans cette construction 9 des cordes supplémentaires qui
partent des extrémités du grand axe.

C0RBE8 SUPPLÉMEHTAIRES. 207

184. Proposons nous maintenant de calculer f angle (/ue
forment entre elles deux cordes supplémentaires menées
par les extrémités du grand axe.
Soient AM, BM, les deux cordes données. Fie. 99

Pour résoudre la question proposée, îl suffit (n'^GS) de

calculer l'expression

a-^a'
tang AMB = ; >

a désignant la tangente de l'angle MBX , a' celle de MAX.
Or, on a trouvé (n® 181) ,

^_ y ,,_ y .

ce qui donne

y y

— a' j/ — A x'-hA 2 A/

I -H aa' y x''— A» H- /'»

Maïs, de la relation A*/'« -h B» x'« = A*B% on déduit

A* r''

B'
(loù, substituant,

a — a' a A^ 2 AB'

! + ««' -AV (A'--B»)/

— gr--+-r

donc enfin ,

/ t A m«n 2 AB

(i) tang AMB = —

t ï

(A»— B')r'

L^inspection seule de ce résultat prouve d'abord que , si
IW considère un point quelconque, M, de la courbe,
situé aurdessus du grand axe, auquel cas, y' est positif , la
taagente de l'angle AMB est négative (car on a toujours
A ^B)^ donc cet angle est nécessairement obtus, ce qui
doit être , puisque tous les points de l'ellipse sont intérieurs
à la demi'circonférence décrite sur AB comme diamètre.

On voit, en outre, que, plus 7' est ^mn^, plus la va-
leur nwnérique de l'expression (i) est petite; par suilc,
plus Fangle est grand. (On sait qu'un angle obtus est d'au-
tant plus grand que sa tangente est numériquement plus
petite.)

208 DE l' ellipse;

Le mcLximiitn de cet angle correspond au maximum de
y', c'est-à-dire àj^'sirB.

Ce qui donne alors pour l'expression (i) ,

(2) tangACB = -j;— g;.

Les yaleurs de a et de a! deviennent d'ailleurs, pour
jr' = B,d'oùx' = o,

A A

Fio. 99* On peut vérifier facilement le résultat (a) sur la figure.

En elTet, on a

ACB = 2AC0;

d'où

.^^ *^^ atang.ACO

..ngACB = tang..ACO=,_^^,^^

(d'après une formule connue de trigonométrie) \ mais la
figure donne

tang ACO = - ;

donc

A

^* B aAB

tangACB= ^ = - ^^_^,.

"■-Bî

185* CoHSéQUEMCE IMPOETAUTE pour Ics dùimètres con-
jugués*

Le maximum de Tangle de deux cordes supplémentaires
panant des extrémités du grand axe est, en même temps,
le maximum de l'angle que peuvent former entre eux deux
diamètres conjugués d'un même système.
FiG. loo. Car tout système de diamètres conjugués, tel que GG',
HH', étant (n^ 183) parallèle à un système de cordes sup'
plémentaires AM et BM , l'angle LOI est égal k l'angle AMB.

D'ailleurs, l'angle maximum, ACB, a four supplément,
soit Tangle A'CB, soit l'angle CBD formé par les deux
cordes supplémentaires qui , partant des extrémités du pe-
tit axe, aboutissent à l'une des extrémités du grand axe,

TANGEKTE MEl^ÉE PAR LM POlKT DE LA COURBE. 209

puisque BD est parallèle h AC, a cause de la syméirie de
lellipse.

Donc, dans une ellipse donnée, V angle de deux dia-
tnétres conjugués^ s'il est obtus, ne saurait surpasser celui
que forment entre elles les cordes supplémentaires me-
nées des extrémités du grand axe à l'une des extrémités
du petit axe; et s'il est aigu , il ne saurait être moindre
que celui qui est formé par les cordes supplémentaires
partant des extrémités du petit axe y et aboutissant à
Vune des extrémités du grand axe,

N. B. — Le même maximum et le même minimum
conviennent également à T angle de deux cordes supplémen-
taires menées des extrémités d'un diamètre quelconque ,
puisqu'on a démontré (n^ 183) que ces cordes peuvent être
regardées comme respectivement parallèles à deux diamè-
tres conjugués.

§ n. — De la tamgekte a l'ellipse et de ses propriétés

PAR RAPPORT AUX DIAMÈTRES ET AUX RAYONS VECTEURS.

Tangente menée par un point de la courbe,

186. Afin d'obtenir Téquation de la tangente menée par
un point pris 5ur Fellipse, nous emploierons la même mé-
thode que pour le cercle (voyez le n° 101 ).

Soient [x', j''] le point M par lequel on veut mener une ^^^' *^'
tangente, [x'^ y^'^ un second point d'une droite passant
par le point M , et considérée d'abord comme sécante.

L'équation de cette droite est de la forme

X — - X

et il s'agit de déterminer

LIX«

— •

x" — £

Or, puisque les deux points [ar', y^\ , [x", j'^J se trou-
vent sur la courbe, on a les relations

A'j/» + B»x" = A'B',

A»/'«-hB'x''»= A*B>;

d'eu Ton déduit, en retranchant la première delà deuxième,

^'{f +/) (r^ -/) •+- B'{x" 4- x') (y - 4/) = o,
Ap. de lk\. à ta G, l4

• 2IO DE L ellipse;

et, par suile,

Maintenant, pour passer à la limite y il faut supposer

x^^ = a:', y" = j^' 5 ce qui donne

Il vient alors pour l'équation de la tangente MR

B'jr'

pourvu qu'on y joigne la relation

(2) AV + B^x'' = A'B%

qui exprime que le point M ou [x', j'] appartient à Tel-
lîpse.

N, B. — lue coefficient (V inclinaison , — 'Tr~/> n'est autre

chose [voirie n^\0^) que la dérivée du premier membre
de l'équation de la courbe , prise par rapport à x avec uu
signe contraire, et divisée par la dérivée de ce même pre-
mier membre, prise par rapport à y, après que l'on a rem-
placé x etj^ par les coordonnées x' eiy' du point de contact.

187. On peut donner à l'équation (i) une forme plus
simple , à l'aide de la relation (2).

En effet, si l'on chasse le dénominateur, et que Ton trans-
pose , on a

A'// -h B» xx' = A'/' -h B* x'\

ou, à cause de la relation (2) ,

(3) A»//' -t- B^ ;ry = A» B%

résultat remarquable et facile à rappeler au besoin , en ce
qu'il suffit , pour l'obtenir, de remplacer dans l'équation de
la courbe, les carrés a:*, j^*, par les rectangles jcx', yy'.
Fio. 101. 188. Expression DE LA sous-TANGENTE. — Faisons dans
l'équation (1) , y = o ^ il vient

, AV

X — xrr: -— — -r'
B' x'

C'est la dilléreuce entre Tabscisse OR correspondante à
y = o , et l'abscisse OP du point de contact y et par consé-
quent, c'est (n^ 104) la valeur de la sous-tangente PR.

TAKGEKTE ET NORMALE. 211

On arriverait au môme résultat en faisant jr = o dans
réqnation (3) , ce qui donnerait

A'
x= — =ORj

et en retranchant de celte valeur de x, Tabscisse OP ou x'
du point de contact y il viendrait

PR = = — — «' = j^^

»

ou, à cause de la relation (a) ,

AV

PR =

^2 X'*

489. V? expression ; — , obtenue pour la sous- tan - Fie. loi

X

génie, fournit un moyen simple de construire la tangente
à r ellipse en un point M de la courbe.

En eflet, comme elle est indépendante du second axe 2 B,
il s'ensuit que , pour toutes les ellipses ayant même premier
axe 2 A , les sous-tangentes qui correspondent à la même
abscisse sont égales^ ou, en d'autres termes, si, d'un point
P de Taxe des x, on élève une perpendiculaire à cet axe, et
que par les points où celle perpendiculaire rencontre les
ellipses supposées décrites sur le grand axe AB , on mène
des tangentes k ces courbes, elles viendront aboutir au
même point de l'axe des x.

Or, le cercle décrit sur AB comme diamètre peut être
considéré comme une de ces ellipses.

Donc, pour obtenir la tangente à l'ellipse , en un point
M, il suffit de décrire sur AB comme diamètre une demi-
circonférence, de mener ensuite au point M', où l'ordonnée
PM, prolongée, va rencontrer la demi -circonférence, une
tangente à cette courbe ,']et de joindre au point M le point
d'intersection, R, de cette tangente avec l'axe des x.

La droite MR est la tangente demandée.

190. E/^TJÀTION DE LÀ NORMALE Cl EXPKESSIOIT DE LA SOUS- FlC. lOl

NORMALE. — La lïORMALE étant (n° iOS) une droite MS
menée par le point de contact , [ x', y'] , perpendiculaire'

'4.

312 DE L ELLIPSE ^

fnent à la tangente , on a (n^ 65) pour son équation

(4) y-y=^('=-'^)-

Soit fait dans cette équation , j^ = o , il en résulte

c'est (n^l05) la valeur de la sous-normale PS.

Il est à remarquer que, pour x* positif , les deux expias-
sions de la sous-TANGEKTE et de la sous -normale, savoir :

sont, la première, positi^^e, et la seconde, négatiue; ce qui
doit être, puisque les points R et S sont de côtés opposés par
rapport au pied P de l'ordonnée du point de contact, et
que c'est à partir du point P que Ton compte les distances
PR et PS.

N. B. — On suppose ici que le point M est situé à la
droite de OY; s'il en était autrement , les conséquences pn^
cédentes auraient lieu en sens contraire,

Fio. loi. 191. La discussion des valeurs de PR et de PS corres-
pondant aux diverses positions que peut prendre le point
de contact, offre quelque intérêt.
Considérons d* abord Texpression

PR=:^, ou plutôt PR=^'^ \

afin de n'avoir que la seule variable x\

Pour x' = o , on obtient

A»

PR = — = 00 ;
o

et cela doit être , puisque la tangente au point C est évidem-
ment parallèle à l'axe des x.

Quand x* augmente depuis o jusqu'à A qui est la plus
grande valeur que x' puisse recevoir, l'expression de PR va
sans cesse en diminuant^ et le point R se rapproche de plus
en plus du point P.

Lorsqu'enfin on suppose

x' = A,

il en résulte

PR = o;

COEFFlCIEDiT ANGULAIRE DE LA TAKfGEfiTE. 2l3

ce qui doit être encore^ puisque alors la tangente est perpen-
diculaire à l'axe des x.

Passons à l'eicpression

PS=-— ,

qui, comme on le voit , est de signe contraire à celui de x' .

Pourjc'= o, on a

PS = o;

ce qui prouve que le point S tombe au centre O de Tellipse \
et en effet, la normale, au point C , se confond avec le petit
axeCO.

A mesure que af augmente, la valeur de PS, toujours né-
gative, augmente nKmm<jraerm?7if jusqu'à ce qu'enfin on ait

auquel cas , on trouve

B'
PS=— -•
A

Cette valeur, abstraction faite du signe , n'est autre que
la moitié du paramètre (n^ 146) et a pour représentation
géométrique, V ordonnée passant par le foyer.

Elle est remarquable en ce que , tandis que les sous-tan-

gentes passent par tous les états de grandeur depuis Tm/^fi/

jusqu'à zéroj les sous-noiinales croissent numériquement

depuis zéro jusqu'à une certaine limite, maximum , qvî'eWes

ne peuvent dépasser.

192. Discussion du coefficient angulaire de /a fan- Fiu. loi.
gente. — Reprenons maintenant le coefficient d^ inclinaison

B'jc'

et recherchons par quels états de grandeur il est suscep-
tible de passer suivant les diverses positions attribuées au
point de contact.

En faisant d'abord x' == o , auquel cas le point de con-
tact se trouve en C ou en D , on a , en se reportant à la re-
lation A*y^ H- B» x'« = A» B« ,

y=z±Bj et a=o;

c'est'à-direquc la tangente aux points C et D est parallèle au
grand axe ^ ce qui est conforme aux résultats établis n® 191 .

2i6 DE l'ellipsi*:;

Dati3 le cas où Ton a

les valeurs de x', y' ^ se réduisent au système unique

A'B

« >

c*est-à-dire que les deux points de contact sont réduits à un
seul qui se confond ai^ec le point donné.
La valeur de a devient , dans ce cas ,

B'a

i94. Au lieu d'effectuer Télimination de x', /', entre
les équations (i) et (a), on peut construire les lieux géomé-
triques qu elles expriment , et Ton est alors conduit a des
conséquences analogues à celles qui ont été déduites pour
le cerc/e{n° 108).

ly abord y l'équation (a), en tant que Ton considère x',/'
comme des variables, n'est autre que celle de V ellipse déjà
construite.

En second lieu, pour obtenir la droite exprimée par
l'équation (i), il suffit de chcrcber les points où elle ren^
contre les deux axes.

Pour jr' = o , on trouve

A»

FlG. I02.

et pour x^ = o.

On a donc à construire deux troisièmes proportionnelles,
et à les porter successivement de O en I , et de O en H.
Tirant ensuite la droite IH, qui va rencontrer la courbe en
M , m , on obtient les points de contact des deux tangentes

partant du point N.

A'
Comme la valeur de x\ x* =. — 9 est indépendante de

Vordonnée 6 du point donné , il s'ensuit que , pour un tout
autre point N' pris sur la perpendiculaire NQ abaissée du

TAKGEAiTE PARALLÈLE A VUE DROITE DOKKÉE. 21 7

pointa sur OX, la droite m' M' H', qui doit joindre les
deux points de contact correspondants , passera nécessaire-
ment par le même point I du grand axe y que la droite IH.
D'où Ton peut conclure cette propriété remarquable :
Si, des d^érenis points d'une droite perpendiculaire au
grand axe d^une ellipse, on mène des tangentes à cette
courbe, et que l'on trace les droites gui joignent les deux
points de contact des tangentes partant d'un même point,
toutes ces droites passent par urr même point sàué sur le
grand axe. '

On donne le nom de pôle au point de concours I , et ce-
lui de polaire à la droite donnée LL'.

Il résulte d'ailleurs de Tinspection de la valeur a:'= — »

que, si Tabscisse a de la polaire est plus grande que A,

c'est-a-dire si la polaire est extérieure k la courbe, le pôle

lui est intérieur; et vice versa,

B*
iV^. B. — La relation jr'= — . conduit à la même pro^

priété par rapport à Y axe desy^ pour toute droite menée
perpendiculairement à cet axe.

Tangente menée parallèlement à une dwite donnée.
195. Soit

y =z= mx

l'équation de la droite donnée, que rien n'empêche de con-
sidérer comme passant pac V origine.

La tangente demandée devant être parallèle à cette droite,
son coefficient d'inclinaison est m.

Appelons toujours x\y\ les coordonnées inconnues du
point de contact.

Pour déterminer x', y', on a (n^ 186) les deux relations

-.|^ = /;*, A»/^4-B'x'» = A>B',
d'où Ton déduit

"~ d: ^A V/t« -tTr ' "~ ±^A'ot'-hB'
(le double signe montre qu'il y a deux solutions).

1

2i8 DE l'ellipse;

Substituant ces valeurs dans l'équation simplifiée de la

«

tangente *

on obtient , toute réduction faite ,

pour les équations des deux tangentes parallèles à la droite
donnée.

Les deux valeurs de y sont toujours réelles; ce qui s'ac-
corde avec la discussion établie au n^ 192.

De la tangente considérée par rapport aux diamètres

conjugués.

FiG. io3. 196^ Soient MR une tangente en un point quelconque
de Tellipse, et MM' le diamètre qui passe par le point de
contact M.

On a trouvé (n^ 186) pour le coejjficient angulaire de la
tangente.

D'un autre côté, puisque le diamètre MM', dont Téqua-
tion peut être exprimée parj^ = a'j:, passe par le point
[x', y'], on a la relation

X

Si l'on multiplie les deux expressions de a et de a' Tune
par l'autre , il vient

û . û' = — — •

A''

Mais, en désignant par a^ la tangente trigonométriquc
de Fangle que forme avec Taxe des x le diamètre mm'
CONJUGUÉ du diamètre MM', on a également (n^ 179),

A'

Les deux égalités précédentes, comparées entre dles,
donnent nécessairement

a a = — —

ro qui veut dire que la tangente en un point quelconque

TANGENTE PAR RAPPO&T kVX DIAMETRES COJNJLGliÉS. 2I9

de telb'pse est parallèle au conjugué du diamètre qui
passe par le point de contact.

CoirsÉQVEifcx. -—Si par les extrémîtés M, M', m, m'y
de deux diamètres conjugués y on mène quatre tangentes j
ces droites forment un parallélogramme circonscrit à l'el-
lipse, puisque les tangentes menées aux extrémités du dia-
mètre MM' par exemple, sont parallèles au diamètre mm\
et réciproquement.

On déduit de là un procédé assez simple potir mener :
1^ une tangente par un point donné sur la courbe^ i^ deux
tangentes parallèlement à une droite donnée de position.

Pour la première CONSTRUCTION , déterminez (n° 183) le
diamètre conjugué de celui qui passe par le point donné ^
pnis, menez par ce point une parallèle au diamètre ainsi
déterminé.

Vous obtenez la tangente demandée.

Pour la SECONDE CONSTRUCTION , traccz un diamètre pa-
rallèle à la droite donnée, puis , le conjugué de celui-ci,
et, par les deux extrémités de ce conjugué, menez deux
parallèles au premier.

Ces deux parallèles satisfont à la question.

Angles que la tangente forme ai^ec les rayons vecteurs

menés an point de contact.

197. Soient R' MR la tangente en un point M ou [x', jl , Fio. 1 04.
FM, F' M les rayons vecteurs menés à ce point.

Désignons par a le coefficient d'inclinaison de la tangente
par rapport à Taxe OX , par a', a", ceux des deux rayons
vecteurs , FM , F'M par rapport au même axe , et par V, V,
les angles FMR,FMR.

La figure donnant évidemment

FMR ou V == MRX — MFX , F' MR ou V = MRX — MF'X ,

on a (n° 62)

lang V = > , tang V =

a — a

I H- aa' ' " I -I- flfl"

Cela posé, calculons d^abord l'expression de lang V.

Le rayon vecteur FM devant passer par le point F, on a

1

220 DE L ellipse;

Téquation

et comme il doit aussi passer par le point [x'^ j^'j, il en
résulte la relation

/=a'(y_r); d'où <,'=-/!-.
D'ailleurs on a (n°18G)

il ne s^agit donc plus que de remplacer a et a par ces va-
leurs dans tang V.
On trouve ainsi :

tangV-, g,^^, — ^^,_3,j^y_^,^y '

I —

A»/(x'-c)

expression qui , à cause des deux relations

A>y H- B»x'» = A» B% A* — B» = c» ( n» i 516 )

devient

^_ B'cx^— A'B' _B^(gx^— A»)

d'où

(i) tangV = -^,.

Quant à Texpression de tang V, on peut l'obtenir sans
recommencer le même calcul.

En effet , comme on a pour le rayon vecteur F' M ,

et, par suite,

y=fl''(x'4.r), d'où fl''=-^,

il est évident que, si Ton substituait cette valeur de a^ dans
Texpression posée pour tang V, on obtiendrait un résultat
ne différant de celui trouvé pour tang V, que par le chan-
gement de signe de c.
Par conséquent,

(2) tangV'= ;.

Fio. io4* Les deux expressions de tang Y, tang V, étant égales et

TANCEHTB PAB B APPORT AUX BAYONS VECTEURS. aai

de signes contraires, il sVnsuit que les angles F'MR,

FMR, sont SUPPLÉVENTAIBES.

Celle propriélë remarquable donne lieu è plusieurs pro-
position s.

D'abord, on a, suivant la figure ei d'après ce qui vient
d'être démontré ,

!•. F'MR -^ F'MR'= i8o% FMR -|- FMR = i8o»,

d'où

F'MR'=FMR;

a^. Le rayon vecteur F' M étant prolongé en K ,

F'MR -+- RMK= i8o% F'MR 4- FMR = i8o%

d'où

RMR = FMR.

Ce qui montre que la tangente forme a%^ec les deux
rayons vecteurs j de part et d'autre du point de contact,
des angles égauXy

On bien que la tangente dii^ise en deux parties égales
Vangle formé par tun des rayons vecteurs et le prolon-
gement de Fautre.

De plus , si Ton mène la normale MS , ou a ces autres
relations

r MS -H rMR'= 90-, FMS -f- FMR = 90» ;
d où , à cause de F'MR'= FMR ,

F'MS=:FMS;,

ce qui signifie que la normale divise en deux parties
égales r angle formé par les deux rayons vecteurs.

196. Ces propriétés sont tellement liées entre elles, que,
Tune quelconque étant démontrée, les autres s* en dédui-
sent au moyen des principes les plus élémentaires de la géo-
métrie.

Ainsi, par exemple, on peut prouver directement la
dernière propriété f puis en conclure successivement toutes
les autres.

Reprenons , à cet effet, Téquation de la normale (n° 190), Fio. i o4*
savoir :

_ , R'.r^ _ (A' — B') j/ _ c'x'

222 DE L ELLIPSB;

Fio . I f»4 • et pour obtenir l'abscisse du point S où celte normale coupe
Taxe des x , posons y = o -, il en résulte

ft.- IV- A*

d'où

c».r' c(A» + cx') ^^ efA»— ex')

SF' = c+ — = -L__J, et SF= • ^, ';

Cl, par suite,

SF' : SF : : A» + ca/ : A' — ex'.

D'un autre côlé, on a (n^ 126) pour les expressions dos
rayons vecteurs F' M , FM ,

„, ,, . ex' A' -f- r.r' „., A* — ex'

F' M = A -h ■— = 9 et FM = ;

A A A '

d'où

F'M : FM :: A* + ex' : A' — ex'.

Comparant entre elles les deux proporiious, on en déduit la
suivante,

SF':SF::F'M:FM,

qui prouve, d'après un théorème connu de géométrie, que
la normale MS est bissectrice de l'angle FMF.
Partant de là et remarquant que Ton a

F' MR' 4- F' MS = go" , SMF -t- FMR = 90" ,

on parvient à l'égalité précédemment établie,

F'MR' = FMR;
et ainsi des autres relations. *

199. La propriété de la tangente considérée par rapport

aux rayons vecteurs fournit un moyen iros-simple de me^

ner une tangente à l'ellipse,^ i^par un point pris sur la

courbe, 2° par un point pris hors de la courbe, les deux

foyers étant supposés donnés ou déjà déterminés,

Fio. 104. Premièremekt, soit M un point pris sur la courbe.

Tirez les rayons vecteurs FM, F' M, et prolongez
celui-ci indéfiniment, en K^ prenez sur ce prolongement,
MG = Mf', el joignez le point F au point G 5 puis , abaissez
du point M la droite MIR perpendiculaire sur FG.

Vous obtenez ainsi la tangente demaadée^

TANGEUTE par rapport aux rayons vecteurs. 223

Car le triangle MFG étant isocèle par construction , il
s'ensuit que la droite MIR divise Tangle au sommet, M,
eu deux parties égales^ propriété caractéristique de la tan-
gente à TeUipse (*).

Secondement, soit N un point pris hors de V ellipse.

Pour déterminer le point de contact M, il suffirait de
fixer la position de la droite F'K.

Or, sur cette droite se trouve un point G qui jouit de la
propriété d'être distant, i** du point F' d'une longueur
connue, 2 A; 2^ du point N d'une longueur également
connue y NF (puisque la tangente NMR est perpendiculaire
sur le milieu de FG) *, d'où résulte la construction suivante :

Décrii^ez des points F', N, comme centres, R\ec des rayons
respectiv^ement égaux à 2 A et à NF, deux arcs de cercle
qui se coupent au point G^ tirez ¥'G qui rencontre la
courbe en M; puis joignez le point N au point M.

La droite NM est la tangei^te demandée.

Comme, d'ailleurs, les deux arcs ont, généralement, un
second point d^ intersection. G', il s'ensuit que, si l'on
tire F' G' et qu'on joigne le point N au point M' où la
droite F'G' rencontre la courbe, on obtiendra la seconde
TANGENTE qui pcut être menée par le point N.
*■-■ ■ — ■■■-■

{*) On peut démontrer à priori , et sans se fonder sur cette propriété, que FiG 1 oA .
la droite MR qui divise en deux parties égales l'angle FMK formé par le rqxon
vecteur FM et le prolongement MK de l'autre , est tangente à Tellipse.

n suffit, pour cela, de faire voir que tout point N de cette droite , autre
que M , est situé hors de ta courbe.

Prenant sur MK une distance MG égale k M?, puis, tirant les droites
NF', NG, ainsi que FG qui rencontre en I la droite NMR, on a IMnégalIté

F'N-hNG>F'G;

mais comme le triangle MFG est isocèle par construction, la droite NMR
est perpendiculaire sur FG et passe par son milieu I ; donc elle a tous SC5
points paiement distants de F et de G ; par suite , NG = NF.
D'an autre c^té , on a

FG = F'M-i-MG = F'Mh~MF=2A;
ainsi , rînégalité précédente devient

F'N-4-NF>aA;

ce qui prouve que le point N est un point cxicrieur.

Cette démonstration i[rn<A«'/i7U0 est , comme Von voit, uniquement fondée
sur la définition géométrique de l'ellipse , et sur les caractères des points pris
sur la courbe ou hors de la courbe.

2^4 i>E l'ëlupse;

Fie. io4 . On doit remarquer ici que, tant que le point N sera ex-
térieur k Tellipse , la construction donnera toujours lieu à
deux solutions ; ou, en d'autres teimes, que les circonféren-
ces décrites des points P et N, comme centres, se couperont.

Or cela peut se prouver de deux manières : soit en faisant
voir que la distance des centres est moindre que la somme
des rayons, et plus grande que leur difTérence, soit en
établissant que Tune des circonférences décrites a deux
points , l'un intérieur, l'autre extérieur à la seconde.

Démontrons, par exemple, en appliquant ce dernier
moyen , que cire. NF a deux points, Fun intérieur^ Tautre
extérieur k cire, a A.

En premier lieu , on a évidemment F'F <^ 2 A; d'où il
résulte que le point F de cire. NF est intérieur à cire. 2 A.

En second lieu, soit prolongé F^N d'une longueur îsT"
égale à NF; comme, par hypothèse, le point N est extérieur
k rcllipse, on a NF'-h NF> a A, et par suite , NF'+NF"
ou F' F" > a A 5 d'où il suit que le point F" de cire. NF est
extérieur k cire. 2A.'

Donc, etc.

Il est encore à observer que les constructions précédentes
sont, comme la démonstration sjrnthétique que nous avons
donnée , uniquement fondées sur la définition de l'ellipse
et sur les caractères qui (n^ 172) distinguent les points pris
sur la courbe ou hors delà, courbe.

Fie. io5. 200. Remarque sur les dénominations de foyers et de
RÀYQiirs VECTEURS. — Ou peut, en se fondant sur la loi
connue en Physique, de V égalité des angles X incidence et
de réflexion pour des rayons de chaleur ou de lum&re,
émanant d'un point déterminé , rendre raison des dénomi-
nations de foyers et de rayons vecteurs y données aux points
F, F', et aux lignes FM, F' M.

Concevons , en effet, qu'à l'un des foyers F d'une ellipse
(considérée comme le double de la génératrice d'une sur-
face de réi^olution formée par la rotation de AM'MB au-
tour de AB) , soit placé un corps chaud ou lumineux dont
émanent des rayons de chaleur ou de lumière, se dirigeant
sur les points M, M' de l'ellipse, ou de la surface dont la

TAHGENTE PAE RAPPORT AUX RATONS VECTEURS. 2^5

demi-courbe est la génératrice. Les rayons FM, FM\ for-
mant ayec les tangentes à la courbe, menées par ces points,
jes angles d'incidence FMT , FM' T\ doivent , en vertu du
principe de Physique, se réfléchir suivant des droites fai-
sant , avec ces mêmes tangentes , des angles de réflexion res-
pectivement égaux aux premiers.

Ces droites ne peuvent donc être que MF', M'F', qui •

font, avec les Ungentes, les angles F^Mt, F' M Y, égaux
aux angles FMT, FM'T'^ d'où il suit que, si l'on place un
charbon ardent au point F, et un corps inflammable au
point F', les rayons partis du premier point iront tous sen-
siblement se concentrer sur ce corps, qui s'enflammera
comme si un foyer de chaleur était placé en ce point F'.

Même phénomène se produirait au point F par rapport
au point F' où se trouverait placé le corps chaud.

Conséquences des propriétés de la tangente considérée
par rapport aux rayons vecteurs,

304. Première conséquence. — Si Ton se reporte à la Fio. io4-
construction du n? 199, qui a pour objet de fixer la position
de la tangente en un point quelconque , M , de l'ellipse , on
reconnaît que la droite FG est divisée en deux parties égales
au point I , et que ce point peut être considéré comme le pied
de la perpendiculaire abaissée de Vun des foyers, F, sur
la tangente MR.

Or, enjoignant le point I au centre O de la courbe, on for-
me un triangle FOI qui, i cause de FI=IG, et de FO=OF',
est semblable au triangle FF^G ; et l'on a la proportion

F'G:oi::rF:OF.

Mais

F'G=:2A, F'F = 20F;

donc

^, F' G ,
01 = = A.

On trouverait de même , à l'aide d'une construction ana-
logue^ servant à déterminer le point F, pied de la perpen-
diculaire abaissée du point F' sur la tangente,

or = A.

Àp.a*VAl.klaG. l5

sia6 DE l'ellipse 5

D'où Ton peut conclure que le lieu gcométrique des pieds
de toutes les perpendiculaires abaissées des foyers sur les
tangentes, est la circonférence décrite sur le grand axe
comme diamètre.

Fie. 104. 202. Seconde CONSÉQUENCE. — Soient abaissées des points
F et F' les deux perpendiculaires FI , F'I' sur la tangente
RR'; on vient de démontrer que les distances 01, OI', sont
égales à A.

Cela posé , si des points O , F, on mène OL , FL', paral-
lèles à la tangente , on a , d'après la figure ,

r F = r L -h LF' ,
IF =rL'=l'L — LF'
(LF' étant égal à LL', à cause de OF' = GF); d'où Von
déduit

rF'xiF = rL'— LF'.

Mais les triangles rcctangles^ l'OL, F'OL, dans lesquels

01' = A et OF' = c 011 v/a» — B* ,
donnent

Yl r= a» — ÔIm FL = c» — Ôl';
on obtient donc

l'F'X IF = A» — ÔL — c' 4- Ol'= A* — c» = B».
Ainsf) le produit des perpendiculaires abaissées des deux
foyers sur une tangente est égal au cAnRé de la moitié

DU SECOND AXE.

Fîc io4. ^^* Troisième conséquence. — Soit mené le diamètre
mm' CONJUGUÉ de celui qui passe par le point de contact de
la tangente RR', et tirons les rayons vecteurs FM, F' M,
ainsi que la ligne 01 qui joint le centre au pied de la per-
pendiculaire abaissée du foyer F sur la tangente.

On a vu {n** 196) que le diamètre mm' est parallèle k la
tangente \ d'ailleurs OI est parallèle à F' M, à cause de la
similitude des triangles FOI, FF' G 5 donc la figure OIMH
est un parallélogramme , et Ton a

MH = OI = A;

ce qui montre que la partie d\tn rayon vecteur com-
prise entre la tangente et le diamètre conjugué de celui

PROPR. DE LA COURBE RAPPORTÉE A DES DIAM . C0RJU6. 2^7

qui passe par le point de contact, est égale à la moitié du

PRBXIBE AXE.

Toutes ces propriétés , qui ont été facilement déduites de
celles de la tangente considérée par rapport aux rayons
vecteurs y trouvent leur application dans la résolution des
problèmes.

5 m. — Propriétés de l^ellipse rapportée a des

DIAMÈTRES COMJUGL'ÉS.

204. La propriété caractéristique de tout système de dia-
mètres conjugués consistant (n^ 478) en ce que chacun
d'eux dii^ise en deux parties égales toutes les corder de la
courbe menées parallèlement à Taulre, il en résulte que,
si Ton rapporte la courbe à un semblable système, la nou-
velle équation ne doit renfermer que les carrés des coordon-
nées et une quantité toute connue, c'est-à-dire doit être de
inéme forme que celle de la courbe rapportée à ses axes
principaux.

Nous pourrions donc poser immédiatement, pour Téqua-
tion de la courbe rapportée à Tun de ces systèmes,

{voir le n^179); et par une transformation analogue à
celle du n*^ 133, nous la ramènerions à celle-ci :

Mais on conçoit que, pour chaque système dont on donne
la direction , les constantes h! et B' qui , comme il est aisé
de le voir, représentent les demi-diamètres, doivent avoir
avec les demi-^xes certaines relations. Or, ce sont ces re-
lations qu41 s'agit maintenant de déterminer.

Pour y parvenir d'une manière générale, nous nous pro-
poserons la question suivante :

L équation d^une ellipse rapportée à ses axes princi-
paux étant donnée, rapporter la courbe à un noux^eau
système tel, que la noui^elle équation consente la même
forme.

Cest une simple application de la transformation des
coordonnées.

i5.

a'iS DE l*ellipse;

Dans Tëquation

substituons à la place de x,y^ les valeurs

xssx cos a-^x cos «%
j^ := X sin a -h 7" sin «',

qui (n^ 119) servent à passer d^un système rectangulaire h
un système oblique de même origine.
Il vient, par cette substitution,

(A» sin» a' 4- B> cos» a') r» -4- ( A» sin'a + B'cos' a) x' )

2 — "^ A* B»

-4- 2(A*sinasina'-hB*cos«cosa') «^ |

Mais , d'après Ténoncé , Tëquation ne doit renfermer que
les carrés des variables et la quantité toute connue; il faut
donc que le coefficient de xy soit égal à o ; ce qui donne

(r) A^sinasin-a'^- B'cosacosa^= o;

et Téquation de la courbe se réduit a

(a) (A»sin*a'+B»cos»a')r«-f- (A»sin'*4-B*cos'a)x»= A'B'-

Si Ton divise Téquation (i) par cos a cosa^ elle devient

A* tang a tang a' -f- B» = o ;
d*où

tangaunga = — ^,-

I

Comme on n^a quune seule équation pour déterminer
les deux angles a, a', il s^ensuît que le nombre des sys-^
ièmes de diamètres conjugués est infini.

Cette relation est d'ailleurs identique avec celle do
n" 179; et les conséquences qui en ont été déduites se re-*
produisent également ici.

Soit lait successivement dans l'équation ( 2) ,

7 = 0, a==o,
il en résulte

A'B' _ ,_^ A»B»

A' sin» a + B' cos' a A» sin' a' 4- B» cos' a'

Fio. io5. Ces expressions représentent les carrés des distance»
OIM , Om , ou des demi-diamèlres conjugues. Donc , en dé-
signant par 2 A', 2 B\ les longueurs totales MM', mm\ on
a les relations

A^^— ^ , B^»=r — - ;

A* sin- a -H B' cos' a A» sin' a' -h B' cos' a' '

PlOPm. DK LÀ COOKBE KAPPOftTÉE A DES OI&M. COHJLG. 22Q

d'où

AS ni X' B'

A B ■

Suhstimant ces valeurs dans rëquation (a), on obtient
enfin

A" j-« 4. B'» X» ;= A" B",

pour réquaiîon de l'ellipse rapportée à un sjrslème quel^
conqiw de diamètres conjugués^
Comme ponr x = ±Af cette équation donne

et que, de même, pour y = zhB' on^

j:*=so,

on doit conclure que les droites menées par les points
M, M', m^ m', parallèlement aux deux diamètres, sont
tangentes à la courbe, propriété qui a déjà été reconnue
(nM96).

205. Les eicpressions de A'* et B'* peuvent , à Taide de
formules trigonométriques connues, recevoir une forme
qui permet d^établir les relations existantes entre deux
diamètres conjugués quelconques et les axes principaux.

Il suffit, pour cela , d'y remplacer sin* a , cos* a , sin* a
et cos* a' par leurs valeurs en fonction de tang' a et tang' a'.

On trouve, par cette substitution ,

_ A'BMf+tang»a) _ A'B^i-^ tang^a^

AMang»aH-B" ' A' lang' a' -h B' *

équations qui , réunies k Téquation de condition ,

tanga. tang a'ss — — ,

l'enferment les ^tr quantités A, B, A', B', Unga, lauga',
en sorte que, si Ton élimine entre ces équations les quan-
tités tang a , tang a', on doit nécessairement parvenir h, une
certaine relation entre les quatre quantités A , B, A', B',

Or, des deux premières équations on déduit

^^°6'«==AnA-'--BV ^^°g'"-A»(B->-B-)-
d'où

. , . , , B« (A'— A")(A'-B")
ung'a.lang'a ^Â- ' (A"- B')(B-'- B^/ '

23o DE l'ellipse;

D'un autre côté , la troisième équation donne

tang' a . lang' a= — •

A

On a donc la relation

(A''-B»)(B'»— B') ""''
ou, chassant le dénominateur et développant les calculs,

A*— A' A'»— A'B''-H A''B''= A'>B"— B'B''— A"B'-h B'.

Réduisant et transposant, il vient

A* ^ B< = A''( A' — B») 4- B'» (A'— B») ;

d'où Ton tire, çn divisant par A* — B',

A'»4- B"= A»4- B», ou 4 A"4- 4B'«= 4 A»-h 4 B';
ce qui prouve que la somme des carrés de deux diamètres
conjugués quelconques est égale à ta somme des carres
des axes,

206. Cette propriété peut aussi se démontrer à Faidc de
la question im^erse de celle du n^ 204, et ayant pour objet:

V équation d^une ellipe rapportées à un système de dia-
mètres conjugués étant donnée, troux^er V équation de la
courbe rapportée au système de ses axes principanx^

Pour résoudre cette question , nous ferons usage des for-
mules

^sin(0 — a) — 7005(0 — a) x sin a + j" cos a

X = ; 9 Y = : y

sin 9 sm 6

qui servent (^i® 117) à passer d*un système oblique à un sys-
tème rectangulaire de même origine.

Substituant ces valeurs dans Téquation de la courbe,

A"jr'-hB"*'= A"B'%
et chassant le dénominateur, ou obtient la transformée

( A'* co»» a H- B" cos« (fl - a)]/* \
-h [A'« 8iii»a -4- B'» wn» {0 — «)]x* \ = A"B'«sin'l>.
-h['j A"6iaaoos«-— aB^ain (5 — a)co8(Ô — a)]a:r /

Comme le nouveau système d'axes doit jouir de la pro-
priété caractéristique (n® 178) des diamètres conjugues, il
faut que le terme en xy disparaisse^ ce qui exige que Ton
ait
(^) A'*sin« cos3t — B"5in(0 — 7) cos(0 — y):^ o,

VROPa. DE LA COLRBE I\APPORXi':R .V DES DI.VM COMJUG. 2^1

et alors réquation de la courbe se réduit à

Q résulte d'ailleurs de la nature de la transformation ,
(]ue le système actael de diamètî'es conjugués est un sys-
tème RECTAUGULAiRE ; donc cc Système est celui des €ix€s
principaux y puisqu^oua reconnu (n^ 180) que c'est le seul
système d€ diamètres conjugués perpendiculaires entre eux.

Ainsi, Ton doit regarder Téquation (2) comme celle de
Tcllipse rapportée à son centre et à ses axes.

Cependant , pour qu on puisse la comparer à Téquation

il est nécessaire que le second membre soit le produit des
coefficients de j"* et x*.

Or, pour la ramener à cet état, on sait (n^l33) qu'il
suffit de multiplier les deux membres par un facteur K égal

a — , M , N, désignant les coefficients de jr*^ x*, et P la

quantité toute connue qui est dans le second membre.

Gilculons donc cette valeur de K relative à Téquation (2) ;
ou a

A^« B'» sin» 9

[ A" cos* « -+- B'^cos'(d — a)j[A'»sin'a -h 1?" sin- ( 0 — a ) f

Effectuant les calculs indiqués au dénominateur, et ob-
servant que l'équation de condition (1), étant élevée au
carré , donne

A'*sin'«cos»a-f- B'*sin'(e — a)cos»(Ô — «)
= a A''B'*8in a cosasin(0 — a)cos(G — a),

on reconnaît que ce dénominateur prend la forme

,, r sin' a cos' (0 — a) -+- sin' (9 — a ) cos' a 1
L -f- 2 sin a cos ( 9 — a) sîn(9 — a) cosa J
ou

A"B''[5in a ces (9 — a) H- sin (9 — a)cosa]%

ou bien enfin

A'^B''sin'(« -h 0 — z)^ A''B''sin'0

R=

^32 DE L^ELLIPSE;

Ainsi la valeur 4e K devient

^ "" A» B'» sin> e "^ * '*

ce qui prouve que Fëquation (a) n'a besoin d^aucune pré^
paration pour être comparée à Féquatioa

A»jr»-4-B»x* = A*B\

On a donc immédiatement les relations suivantes :

Af* cos'oL-h B" cos» (0 — a) = A%

V* sin» a H- B'» sin» (Q — a) = B%

A'»B'>sin'0 = A»B».

Les deux premières relations , lyoutëes entre elles, donnem

V»4-B'«==A*4-B';

ce qui démontre la propriété énoncée^
Quant à la troisième relation , on en tire

A'.B\siiiO = A.Br

ou, en remarquant que 6 ou Tangle des deux diamèu^
conjugués est égal à a'-r— a,

A'B'.sin(/— ûç) = AB;
d'où

4A'B'siD(«'— a) = 4AB,

expression qu^on peut traduire, en Géométrie, de la ma-r
nière suivante :
FiG, io3. Soient MM' = a A', mm*= a B', deux diamètres conju-.
gués par les extrémités desquels on a mené des tangentes
qui, comme on Ta vu au n^ 196, déterminent un paràUé^
logramme TT'tt',

Si du point m on abaisse une perpendiculaire ml sur
MM', on a évidemment

^r==MM'=:2A',

ml = mm' . sin rfim'l :z= 2 B' . sii) (a' — a) ;
. d'où

SURF. Tr «' = 4 A' B' sin (flç' — a) = 4 AB ,

ce qui prouve que le parallélogramme TT'tt' est éçuiua-
lent au rectangle des axes principaux.

On voit ainsi que Fanalyse précédente conduit , non-seu-

PKOPR. DE LA COURBE RAPPORTEE A DES DIÂM. COHJUG. a33

lement à la propriété du n® 205, mais encore à cette autre,
non moins importante :

Tous les parallélogrammes circonscrits à l'ellipse et
dont les céiés sont respedivement parallèles à deux dia-
mètres conjugués, ont une surface constante et égide au
rectangle construit sur les axes»

307. Remarque. — Cette surface constante jouit de la Fio. io3.
propriété d'être un minimum parmi celles des différents pa-
rallélogrammes qu'on peut, en général, circonscrire k une
ellipse donnée.

En effet, considérons, par exemple, un parallélogramme
IIW'U', dont deux côtés soient les tangentes menées par
les extrémités du diamètre inm' et les deux autres côtés
soient les tangentes menées par les extrémités d'un dia-
mètre nn' KON CONJUGUÉ de mm\

On a, pour l'expression de la surface de ce parallélo-
gramme,

or U' V, parallèle à MM^ est évidemment plus grand que
ce diamètre MM' ou a A', puisque tous les points des lignes
Ul]\ W, autres que n, n\ sont extérieurs k Tellipse.
Donc on a

siniT.UVU'V'>2A'X2B'8in(a'— a) ou >8ue». TT'/f'.

208. Système db diamètres conjugués égaux. — Parmi Fio. loo.
les systèmes en nombre infini de diamètres conjugués d'une
ellipse, il y en a un , dirent du système des axes princi--
paux, qui mérite une attention particulière; c'est celui des
deux diamètres parallèles aux deux cordes menées d'une
des extrémités du petit axe aux deux extrémités du grand
axe.

Les cordes AC> BC étant également inclinées sur ce

grand axe AB, il en est de même des diamètres IF, LU,

qui leur sont parallèles, en sorte que les angles lOB, LOA

soDt égaux.
n résulte de cette égalité des angles et de la symétrie de

la courbe par rapport à ses axes principaux que ces deux

diamètres sont égaux; c'est-à-dire que l'on a

B'rr A';

334 ^^^ l'ellii*S£:

et l'équation de Tellipsc rapportée à ce système parUcuVcr

d^axes obliques se réduit à

équation identique avec celle du cercle rapporté à son
centre comme origine et à des axes rectangulaires.

Comme d'ailleurs les angles que deux diamètres conju-
gués de tout autre système forment avec le grand axe AB,
des deux côtés de CD, sont évidemment inégaux^ et que,
par suite, ces diamètres sont aussi inégaux y il en résulte
que Téquation précédente ne convient absolument qn^àce
seul système d'axes.

Donc, en général , toute équation telle que

quand les axes sont obliques, est celle d'une ellipse rap-
portée à un système de dumèthes conjugués égaux.

209. Autres propriétés de V ellipse rapportée à un sys-
tème de diamètres conjugués. — Toutes les propriétés de
l'ellipse qui ont été démontrées indépendamment de rin-
cUnaison des axes, sont également vraies, quand on sup-
pose la courbe rapportée a un système de diamètres con-
jugués.

Ainsi premièrement^ son équation , dans ce cas^ étant

A'*/» -h B'» X» = A'' h" , ou A"r» 4- B"x' — A'» B" = o ,

on a

A'»j» -h B'j;» ~ A"B'' > o ,

pour ca/wc^c//5cr les points extérieurs, ei

A''7' H- B'*x» — A'^ B'' < o ,

pour caractériser les points intérieurs.
Fie. io6. Secondement^ Féquation de la courbe pouvant être mise
sous la forme

(A'-hx)(A'— x) *~ A'^'
OU , en langage géométrique ,

PM ' B'-

APXPB A''

r

TAMC. A LA COURBE RAPPORTÉE A DES DIAM. COUJCCUÉS. d35

on en conclut que :

Le carré éCune ordonnée parallèle à Vun des diamètres
conjugués est au rectangle des distances des extrémités da
Foutre diamètre au pied de l'ordonnée, dans un rapport
constant,

210. Celle dernière propriété, qui correspond à celle du
u^ 173, montre que la liaison qui existe entre t ordonnée
et Vabsdsse d^un point quelconque de rdlipsc > est la même,
quel que soit le système de diamètres conjugués auquel la
courbe est rapportée.

D'où Ton déduit le moyeu suivant de construire une
ellipse, connaissant un système de diamètres conjugués en
grandeur et en direction.

Soient OB, OC les denii-diumètres donnés, Fio. io6.

Par le point O tracez OC perpendiculaire a OB et égal
à OC 'j puis , sur les deux lignes OB , OC considérées comme
les demi-axes principaux d'une ellipse, décrix^ez, par Tuu
des moyens connus , la courbe AC BD' A \ éleuez aux points
Pj P', etc., des ordonnées PN, P'N ', etc., à cette courbe, et
menez les lignes PM, P'M', etc., parallèles à OC et respec-
tivement égales à PN , P'N', etc.

Les points M, M', etc., appartiendront à la courbe cher-
cliéej qui sera représentée par ACBDA.

Car de la disposition prise pour les axes des coordonnées
et de la propriété précédente , il résulte évidemment que ,
pour les mêmes abscisses, les ordonnées des deux courbes
doivent être égales.

De la tangente à l'ellipse rapportée a un système de

diamètres conjugués.

211. TaNGEKTE menée par un point pris SLR LA COURBE, ^'^- ^^1'

ET âo us-tangente. — On reconnaît facilement que les mé-
thodes établies précédemment pour obtenir Téquation de
la tangente à une courbe , sont tout à fait indépendantes
de t inclinaison des axes.

Ainsi , Féquation de la combe étant

a36 DE l'ellipse ;

on a 9 pour réquation de la tangente au point M, ou [x\ j'],

et pour V expression de la sous^tangente ^

B"jî x'

Quant à réquation de la normale et à Vexpression de
la sous^normale, comme on aurait à faire entrer en consi-
dération la condition de perpendicularàé dans rhypothèse
d'axes obliques, on arriverait à des résultats compliqués,
tout différents de ceux qui correspondent aux axes priuci-
paux; nous ne nous y arrêterons pas.

212. Taivgéjnte menée par un point extériexiii. — Si
Ton propose de mener une tangente par un point donné
hors de la courbe , on est conduit à l'une des propriétés les
plus remarquables de Tellipse, dont celle du n^ 194 n*esi
qu'un ca^ particulier,
FiG. 107. Soit, en effet, une droite LL' menée à volonté dans le
plan d^une ellipse*, et concevons que par chacun des points,
H , H\ etc. , de cette droite on ait mené deux tangentes à la
courbe.

Supposons^ d'ailleurs, l'ellipse rapportée à un système de
diamètres conjugués OX, OY, dont Fun, celui des y^ soît
parallèle à la droite LL', ce qui est toujours possible.

Désignons , en outre , par a , 6 , les coordonnées du point
H par exemple , x\ y' exprimant les coordonnées incon-
nues du point de contact^ et raisonnons comme au n^ 194.

Pour déterminer x\ y', et obtenir, par suite, la valeur

du coefficient d'inclinaison, — Ijr'f ^^^* l'équation de la
tangente, on a les deux relations

(i) A'' ey -h B''ax'= A'^B'S

(2) A''/»-hB'»x'» ==A'>B'^

Cela posé, au lieu de chercher x'^y' par l'élimination,
on peut construire les lieux géométriques de ces deux équa-
tions.

Or, l'équation (2) n'est autre chose que celle de Vellipsc
déjà construite y en tant que or', y^ sont des variables.

TAHG. A Lk COURBE RAPPORTÉE A DE» DIAM. CONJUGUÉS. 2ij

QaaDt à réquation (i) qui représente une ligne droite^
il faut , pour obtenir les points d'intersection de cette droite
avec les axes , poser successivement j^' = o , x' = o 5 et il
vient pour

^ ^ A'*

/^ = O. . . JT :^ — »

a

x' = o... / = -j-5

et ces troisièmes proportionnelles étant portées , Tune de

0 en P sur OX , l'autre de O en G sur OY, si Ton tire la

droite PG et qu'on la prolonge , de c6té et d^autre, jusqu'à

sa rencontre avec TeUipse, aux points M, m, on aufk les

deux points de contact des tangentes menées du point H.

A'*
Remarquons maintenant que Tabscisse — du point où

cette droite rencontre Taxe des x, est indépendante de l'or-
donnée ë de ce point ; d'où il suit que, »i l'on considère un
secood point H', ayant pour coordonnée a , è\ la droite de
jonction. M' m'j des deux points de contact doit passer par
le même point P de Taxe OX.

Comme un raisonnement analogue pourrait s'appliquer
à un tout autre point pris sur LL', on est en droit de cou--
dure que :

Une droite étant tracée arbitrairement dans le plan
d'une ellipse j si de chacun de ses points on mène deux tan-
gentes à la'^courhe, et quon joigne les deux points de
contact par une droite , ces droites de jonction (qu'on
nomme ordinairement lignes de contact) doii^ent toutes
passer par un MiME point; lequel se trouve placé sur le
diamètre conjugué de celui qui est parallèle à la droite
donnée.

Le point de concours P est dit le pôle de la droite LL%
qui reçoit, par contre, la dénomination de polaire.

La propriété du n^ 194 n'est, comme nous l'avons déyt
dit^ qu'un cas particulier de celle-ci; car on avait sup'-
posé pour la précédente que la droite tracée sur le plan était
perpendiculaire, soit au premiery soit au second ^xe prin-
cipal de la courbe.

338 DB L*eLLIPSE-,

FiG 107. N. B. — Tant que la droite donnée est exténetire à
]a courbe, auquel cas Tabscisse a de la droite LL' est plus

grande que A', celle du point P, ou — j est moindre que

A', et le point de concours des lignes de contact est iHrt-

miEUR.

Le contraire aurait lieu si la droite donnée rencontrait
la courbe , et , dans ce cas , il est à remarquer qu'on ne
peut mener des tangentes que par les points extérieurs de
la droite.

213. La réciproque de la proposition précédente est éga-
lement vraie, et peut s'énoncer ainsi :

Si d'un point quelconque pris dans le plan d'une
ellipse y soit intérieurement, soit extérieurement à la
courbe , on mène des cordes ou sécantes en nombre quel-
conque, et quaux deux points où chacune d'elles ren-
contre la courbe, on mène des tangentes , les points d'in^
tersection de chaque couple de tangentes sont tous placés
sur UNE MÊME DBOiTE, extérieure à la courbe si le point est
intérieur, et vice versd.

Le point et la droite conservent la dénomination de pôle
et de polaire.

Voici comment on peut démontrer cette réciproque, sans
aucun calcul :

Concevez la courbe rapportée à un système de diamètres
conjugués dont Tun, celui sur lequel se comptent les ab-
scisses, soit la droite joignant le centre au point donnée
puis, ramez par les deux points d'intersection avec Tellipse,
de Tune des droites passant par le point donné, deux tan-
gentes qui se rencontrent en un point ^ menez également par
les points d'intersection d'une seconde corde ou sécante,
avec la courbe, deux autres tangentes qui se rencontrent en
un point ^ et joignez ces deux points de rencontre.

Il est clair, d'après la proposition directe, que si, di*
tous les autres points de cette ligne de jonction, on mène
des tangentes à Fellipse , toutes les lignes de contact cor-
respondantes se réuniront en un même point qui ne pourra
fifre autre que le point donné.

Donc, etc.

A1»1>I.ICAT101<I DES PROPRIÉTÉS PRÉCÉOEIHTES. ^Sp

Problème.

214. Comme application de quelques-unes des propriétés
qne nous venons d'exposer, nous allons résoudre le pro-
blème suivant :

«

Une ellipse étant tracée sur un plan ,

I**. Déterminer son centre et ses axes principaux. ^^^* 'o^-

a**. Trousser un système de diamètres conjugués faisant
entre eux un angle donné.

SoLUTioir. — On suppose tracée Tellipse LHUH';

1°. Tirez deux cordes parallèles, mm'^ nn'j et joignez
les milieux de ces cordes par une droite HH^; cette droite
sera (n? 177) un diamètre de la courbe; et le milieu O de
ce diamètre sera le centre cherclié.

Ce point étant trouvé , menez un diamètre quelconque,
LL' (on pourrait aussi se servir du diamètre HH', déjà
déterminé); puis décrii^ez sur ce diamètre une detni-cir^
conférence qui rencontre la courbe en un point K. Tirez
les cordes supplétnentaires LK, L'K, et tracez les dia-
mètres AOB , COD , respectivement parallèles à ces cordes.

Vous obtiendrez ainsi les deux axes principaux ;

Car ces diamètres sont nécessairement (n*^ 183) conju"
gîtes; de plus ils sont perpendiculaitvs entre eux ^ puisqu'ils
sont parallèles à des cordes formant entre elles on angle
droit comme inscrit dans une demi -circonférence.

Les quatre sommets A , B, C, D se trouvent, par suite,
également déterminés; quant slmx foyers et aux deux direc"
tiices, on les obtiendrait par les moyens indiques précé-
demment (n^* 131 et 151).

2**. Sur le diamètre LU ou sur son égal KK' (n° 208) ,
(Ucri\fez , au lieu d'une demi- circonférence, un segment
de cercle capable de V angle donnée et opérez, d'ailleurs ,
eonune pour obtenir les axes principaux.

Celle dernière construction exige (n°186) que Tanglc
donné, s'il est obtus, soit au plus égal à Tangle ACB, et ,
>'il est aigu, au moins égal à CBD.

A eus nous dispensons de développer ici la discussion n
lacjuelle donnenl lieu les constructions précédentes.

a4o os l'htpeibole

CHAPITRE IV

DE L'HYPERBOLE.

PHOPOSITIONS PRéLIMIITAIRBS.

218. On a vu (n^ 135) que^ pour passer de l'équation
de Tellipse i celle de Thyperbole , il suffit de changer + 6'
en — B*, et vice versa. Aussi, quoique ces deux courbes
affectent une forme très-différente , y a*t-il une grande ana-
logie dans les énoncés de leurs propriétés, et dans les modes
de démonstration de ces propriétés.

C'est pourquoi, en exposant la théorie de Thyperbole,
nous nous bornerons le plus souyent , afin d'éviter des répé-
titions inutiles, au simple énoncé des propositions; nous
aurons soin , toutefois , d*insister sur celles qui peuvent offrir
des différences notables , soit dans leur nature, soit dans la
manière d^ les démontrer. On verra , en outre , que llij-
perbole jouit de certaines propriétés qui ne sauraient a[^ar-
tenir ni à Tellipse, ni à la parabole.

Pour mieux fixer les idées , nous suivrons ici le mSme
ordre que pour Tellipse.

216. Caractères analytiques des points pris sur la courbe
au dedans ou au dehors. — L'hyperbole étant rapportée à
son centre et à ses axes principaux ^ on a :

Fie. loq pour le point M, Jar la courbe, A*^* — B*«*-|- A*B*=o,

N, au dedans^ A' j»— B'a:»-4- A»B»<;o,

N', au dehors j A» 7»— B»«' -4- A» B»> o,

Les deux inégalàés sont évidentes pour des points tels que
N, N', pour lesquels on a

NP<MP, N'P>WP.

Quant au point N'"^, dont Fordonnée tombe entre les
points A et 6, comme on a

OP'' < OB ou * < A ,

CABACTkmBS DES FOUfTS DB LA CODIBE. ^^t

il en résulte

A*B»— B»x>>o,
d'où, à fortiori,

2i7. La définition de l'hyperbole fournit un autre ca-
ractère.
Pour tout point sur la courbe, on a (n^ 134) Fio. 109,

FM — MF = aA.

Soit nuintenant un point intérieur K^ et joignons-le aux
points F^ F; on a

F'R=:F'Mh-MB, et RF<MF+MR;

<1 où l'on déduit

rR — RF>rM — MF,
et, par suite,

F'R — RF>aA;

mais pour un point extérieur Ti^ en le joignant aux points
F',F, et tirant F' M, on a

FR' — R'M<rM;

F'R'— R'M — MF, ou F'R' — R'F<F'M — MF;

donc

F'R^— R'F<aA.

Ce qui démontre que ;70ur tous les points ihtéiiburs, la
différence de leurs distances aux deux Jojrers est plus
niABDE que le premier axe, et que pour tous les points
EXTéaiBuns , cette différence est moindre que le premier
axe.

218. De réquation de lliyperbole mise sous la forme

y* _B' __Zl__=î

x>-A'~'A»* (j:-hA)(x — A) A»'

on déduit , comme pour l'ellipse , que

Le carré de V ordonnée est au produit des distances etu
pied de l'ordonnée aux sommets de la courbe dans un
rapport constant, celui des cabrés du second et du prc"
mier axe.

La différence à noter, c*est que dans l'ellipse le pied p,o. ioq.

àf,, de VÀI. àia G. 16

242 J)E l'hyperbole;

de l'ordonnée est situé entre les sommets A, B, tandis
que dans Thyperbole il est placé sur le prolongement de
AB, soit à droite, soit à gauclie.

Lorsque pour l'hyperbole^ on suppose B =^ A, ce qui
donne (n^ 136) l'hypeibole équHatère, la relation devient

jr»=(j:+A)(jr — A);

ce qui signifie que le carré de Vordonnée est égal au rt(y
1 angle des segments du premier axe, compris entre les
sommets de la courbe et le pied de l'ordonnée^ propriété
analogue à celle du cercle.

S19. En comparant Féquation de lliyperbole équilatkre,

r' = *' — A%

à celle du cercle décrit sur le premier nxe d'une ellipse,
savoir (n® 174)

r»=A»— «%

on recoâinait que Thyperbole équilatère est à Thyperbole
quelconque ce que le cercle est à l'ellipse •

Ainsi Ton démontrerait, comme on l'a fait pour l'ellipse
[voyez la fin du n** 176) , par rapport au cercle décrit sur
le grand axe comme diamètre , que les segments, compris
entre deux ordonnées parallèles, d^une hyperbole quel-
conque et de Thyperbole équilatère dont les axes princi-
paux sont égaux slh premier axe de la première, sont entre
eux dans le rapport constant du second axe slu premier.

Mais , afin de tirer parti de cette relation pour Tévalua-
tîon des aires hyperboliques, il faudrait savoir évaluer la
surface d'un segment d'hyperbole équilatère.

§ I. — Diamètres oans l'hyperbole. — Diamètres cok-
juGuÉs. — Cordes supplémentaires; — leurs RELATIO^$

AVEC LES DIAMÈTRES CONJUGUÉS.

220. Tous las diamètres de l'hyperbole sont des lignes
droites passant par le centre.
Fie. II o. Même démonstration et mêmes calculs qu'an n^l77.
sauf réchange de B* en — B*; ce qui conduit, si l'on dé-
signe par a le coefficient d'inclinaison d^une corde quel-
conque MM' et de tontes les coites qui lui sont parallèles,

BUMÈTBgS CO»JU6V|J* ^43

à l'éipiation

pour représenter le diamètre \AJ passant par les milieux
decescordtf.

SSl. Diamètres cohjugxtés. — Si Ton considère , arec le
diamètre LL', un autre diamètre KK' parattèle k la corde
MM') et représenté en conséquence par Téquation

on conclut pareillement, i° que ce dernier passe par
les points milieux d^un système de cordes parallèles au
premier^ a° ffae^ par suite, ces deux diamètres, étant tels
que chacun divise en deux parties égales les cordes parais
lèles à l'autre, sont des diamètres conjugués ; 3^ que Iliy-
perbole a une infinité de systèmes de diamètres conjugués j
4^ que les coefficients d'inclinaison de deux diamètres
d'un même système^ tels que UJ et RK', sont li^s par la
relation

tangaUDga'=p9

a et a' étant les angles que ces diamètres forment respecti-
vement avec Taxe des x.

222. On déduit, également, de Féquation de la courbe,

que lea axes principaux forment un système de diamètres
conjugués,

B*
La relation tang a tang a' = ■— montre, d^ailleurs , que

ce système de diamètres conjugués perpendiculaires, est le
seul rectangulaire K^e puisse avoir Thyperbole , de quel-
que nature qu'elle soit , puisqu^en aucun cas on ne saurait

avoir

B»

Â5 = -'-

On remarquera seulement que si l'on a B = A , auquel
cas l'hyperbole est équilatère, les angles que font entre eux
deux diamètres conjugués quelconques, satisfaisant à la

i6.

244 ^^ l'hyperbole;

condition

tang a tang a' = i ,

sont complémentaires Yim de Tautre.

223. Nous savons déjà que dans l'hyperbole, lesdiainètres
ne rencontrent pas tous la courbe; ce qui les a fait disûn-
guer en deux sortes , savoir : diamètres trans^erses et dia^
mètres non transverses.

Nous avons vu, d'ailleurs (n^i38,jS^. 80), que siron
forme sur les axes a A , 2 B le rectangle RR^SS', et que Ion
tire les diagonales RS\ SR\ ces droites prolongées indé-
finiment forment, pour les droites passant parle centre,
deux lignes de séparation placées entre celles qui sont sus-
ceptibles de rencontrer la courbe et celles qui ne peuvent
la rencontrer.
FiG. 1 10. Pour construire ces lignes sur la Sgure actuelle, il suffit
à*élever au point B une perpendiculaire indéfinie , et de
porter sur cette perpendiculaire deux distances BR , BS,
égales au demi-second axe B , puis de tirer les droites OR,
OS, en les prolongeant indéfiniment; ce qui donne les
droites HH', II'.

Cela posé, remarquons que, d'après la relation

tang a . tang a/ = j^ ,

qui existe entre les directions de deux diamètres conjugués,
si Ton suppose

tanga<-,

ce qui donne un diamètre transverse, on a nécessairement

tanga'>-.

Donc le conjugué du premier diamètre est non transverse.
On voit , de plus , que l'angle a augmentant de manière

à rester MomnRE qtje HOX , Tangle a* diminue en restant

toujours PLUS GRAnn que HOX.

Ces deux diamètres se rapprochent ainsi de plus en plus

CORDES SUPPLÉMENTAIRES. ^4^

de HH', jusqu'à ce qu^enfin on ait

« = HOX,
d'où il résulte nécessairement

«' = HOX;

auquel cas les deux diamètres viennent a se confondre en
un seul et avec la droite HH^

iV. B, — Nous ajouterons à ce qui vient d'être dit que
le premier axe 2 A est le plus petit de tous les diamètres
iransuerses^ ce qu'on reconnaît en observant que la dis-
tance OB est la plus courte ligne qu'on puisse mener du
centre k la tangente RBS, et à fortiori à un point quel-
conque de la courbe.

S24. Cordes supplémeutaires. — On donne ce nom à Fie. m.
deux droites, telles que A M et BM ou AM' et BM', qui^
partant des sommets Ket^du premier axe, se rencontrent
sur la courbe; plus généralement, à deux droites menées
des extrémités dUin diamètre transveese à un point de la
courbe.

En reprenant, pour Phyperbole, les mêmes calculs que
pour l'ellipse (voir les n®' 181 , 182) , on démontrerait :

1®. Que les angles MBX, MAX sont liés entre eux par
kreUiien

Ûm = - >

A»

a, a' exprimant les tangentes trîgonoméiriques de ces
angles ;

2^. Que cette même relation existe entre les angles que
forment avec le premier axe deux cordes supplémentaires
partant des extrémités d'un diamètre transverse quelconque.

B'
[Pour l'hyperbole équilatèrey le rapport constant •—

A.

se réduisant à i , il s'ensuit que les cordes supplémentaires
forment avec le premier axe des angles compléments l'un
de l'autre.]

D'un autre côté, on a, pour tout système de diamètres
conjugués, la relation

Unga.langa'=: —■•

A

^4^ DE L^HYPERBOLB;

Donc, si Ton suppose

iaiiga = a,

c^est-i-dire l'un des diamètres parallèle à l'une des eordes,

il en résulte

tang a' = a\

ou Pautre diamètre parallèle à la seconde corde.

De là se déduit, comme pour Tellipse, un moyen d^obte-
nir le diamètre conjugué d'un diamètre donné.

Soit NK )e diamètre donné : tirez la corde ÂM paraBèle
à NK, et joignez le point M au point B, puis tracez K'V
parallèle k BM.

Vous obtenez ainsi le diamètre conjugué de NK.

Fio. III. 2SS5. Angle de deux cordes supplémentaires. — Le
calcul du n^ 184, appliqué à Thyperbole, donnerait

^ ^^ a AB»

tang AMB = r —r — ; ;

or ce résultat démontre que Tangle AMB, ou AM'B, de
deux cordes supplémentaires, correspondant à une valeur
positive de y\ est toujours aigu y et que y' croissant depuis
zéro jusqu'à Xinfini, cet angle décroît depuis 90 degrés

jusqu'à o.

B'
La relation a.a'= -— 9 qui existe entre les dirooMns de

deux cordes supplémentaires par rapport au /premier axe,

conduit au même résultat,

Eln effet , le produit des deux tangentes a , a' étant positifs

ces tangentes sont nécessairement de même signe; par suite,

les angles correspondants MAX, MBX, ouM'AX, M'BX

sont tous les deux aigus y ou tous les deux obtus; donc leur

différence, AMB ou AM^B, est un angle aigu.

B . B .

Comme , d^ailleurs ^ pour a = -- 9 on a aussi a' = ~ 9 il

A. ML

s'ensuit que les cordes supplémentaires qui correspondent
à un point de la courbe situé à Vinfini, deviennent pa-
rallèles ou font un angle nul.

Elles sont parallèles, soit à la droite OH, soit à la droite
01, suivant la branche de courbe que Ton considère.

L'hyperbole étant sy^métriçuc par rapport à son premier

taugemtb et MORMAJLE. 2^J

axe, les mème$ conséquences que ci-dessus ont évidemment
lieu pour les paities inférieures des deux brancliest c'est-
i-dire pour le cas de y* négatif.

Enfin , si Ton se reporte k la relation qui lie deux dira-
mètres conjugués et deux cordes supplémentaires ^ on peut
conclure de ce qui vient d*ètre dit, que Vangle de deux dia-
mètres conjugués d'une hyperbole n'e5f pas, comme dans
lellipse, compris entre cettaines limites,

§ II. De là TÂNOEitTE A L^HYPERBOLE ET DE SCS PAO-

PXIÉTÉS PAR EAPPOXT AUX DIAMÈTRES ET AUX RAYONS
VECTEURS.

Tangente menée par un point de la courbe.
236. L^équation de l'hyperbole étant

on trouverait pour Téquation delà tangente en \xn point
[x\ y] de cette courbe [vojez le n° 186) ,

pourvu qu'on y joigne la relation

qui exprime que le point \_x'^ y'^ se trouve sur la courbe.
L'équation (i) peut se simplifier au moyen de la relation
précédente , et devient

(2) A'//'— B»jcx'= — A»B%

résultat qui ne difiire de Téquation de l'hyperbole quVn ce
que les rectangles y y' ^ xx\ remplacent les carrés y^^ x^\

S27. Expression de la sous-tangeute. — Si dans Té- Fie. 11 a«
quatîon (i) non simplifiée^ on pose j^= o, il en résulte

h}y'^ A»—x'»
je — x', ou PR = z~T = ; — •

Cette valeur est essentiellement négative pour toute valeur
posàii^e de x\ puisque Ton a

et cela doit être, diaprés la position qu'occupe nécessaire-

2i48 DE l'htpbabole;

ment par rapport au point P, le point R où la tafigenle
rencontre Taxe des x*

EJle devient nulle , lorsqu'on suppose x' =? Â , ou le pwnt
de contact en B.

FiG. lia. 228. Équatiov bb la soucàle et expression de \x
sous-HOEXÀLB. — Qu i(, d'après Tëquation (i) de la tan-
gente , pour cçlle de la normale,

et en y faisant jr=Oj on trouve

« — d/ ou PS ^ — — j

A

valeur toujours positive taut qt^e Val)3ci9se x' du point de

contact est eUe-mèi^e positive.

Si l'on fait

ar*=A,

on obtient pour V expression de la sovs-hoexale,

ou la moitié dupaf\imètre (n^ 146). , c'est-à-dire V ordonnée
quipassç par le foyer.

Cettç valeur est le minimum de celles que piMsse avoir
la sous-HOEMAUs dans V hyperbole ^ tandis que pour IW-
lipse (dP 191) , la même expression éuit un maximum.

229, Discutons, comme nous l'avons fait pour l'ellîpse,
le coefficieut argvlaiee de la tangente.

B«j/
a = •

Remarquons d'abord que , dans Vfyperbole, x' etjr' aug-
mentant et diminuant en même temps, il est impossible
de suivre la marcbe de la valeur de a, considérée dans son
expression actuelle, et qu'ainsi il est nécessaire d'éliminer
l'une des variables, y par exemple, à l'aide de la relation

A»7"-.B-a:"= — A'B^

TÀXfGBHTB BT ROBMALK. 249

On trouve

y==h|x'y,-^,

d'oà , substituant dans l'expression de a , et réduisant ,

B

v^

Cela pose, ne considérons, pour le moment, que le signe
supérieur, et faisons croître x' depuis o jusqu'à + 00.
Pour jc' = A , il vient Fxo. 1 la.

ce qui démontre qu'au point B la tangente est perpehdi-
cvLÂiAB va premier axe*

A partir de ce point, x' augmentant, -^^ diminue, et

le radical augmente en se rapprocliant de Vunité, jusqu'à
ce qu'enfin on suppose x^ = qd , auquel cas la première va-
leur de a, actuellement considérée, devient

B

a = H--:-
A

Si, maintenant , on cherche à quoi se réduit l'abscisse du
point où la tangente qui correspond à la valeur positii^e de
ûj rencontre l'axe des x, et qu'à cet effet on fasse jr = o
dans l'équation (a) du n® 296, on obtient

A»

valeur qui devient nulle pour a:'= 00 .

D'où l'on voit que la tangente se confond alors avec la
droite HOH' qui a pour équation

B

Quant à la valeur négative den, elle devient pour x^= 00 ,

B

*~ A'

et Ton reconnaît que la tangente se confond avec la droite

loi' représentée par Téquation

B

•^ A

230 PB LflYPlEBOLB;

Ainsi , les droites HH^, I F, qui , comme noas l'aTons
déjà vu au n° 223, sont les limites de sépaeàtion des dia-
mètres transuerses d'avec les diamètres non transyerses,
peuvent encore être considérées comme les limites des tak*

GEKTES.

Fio. 112. 230. En continuant la </i5cia5<bit de Texpression

a =±

v/— z.

on voit que le radical étant toujours moindre que i , tant que
x' est compris entre A et + oo , la valeur positit^e de a est

nécessairement supérieure à - 9 limite qu'elle atteint pour

x' = oo .

Donc l'angle HOX est le minimum des angles aigus que
la tangente forme avec le premier axe»

Quanta Tabscisse, -79 du point où la tangente, en gé-

néral, coupe Taxe des x, elle est toujours /705/fiVe et moindre
que A , tant que le point de contact est sur la branche /705r-
tive de la courbe^ ce qui veut dire que ce point de ren-
tontre est constamment resserré entre le sommet B et le
centre O ; il finit par se confondre avec le centre pour

A regard de la valeur négative de a, comme dans Thy-

polhèse 0:^:= 00 , elle se réduit à — •- 1 on en conclut que

l'angle lOX est le maximum des angles obtus que la tan-
gente est susceptible de former avec le premier axe.

Tangente menée par un point pris hors de la courbe, ou
parallèlement à une droite donnée.

231 • Nous renvoyons , pour ces questions et celles qui
en dépendent, aux n^' 193 et suivants, parce que les rai-
sonnements , les calculs et les résultats ue diûerent de ceux
relatifs à V ellipse que par le changement de -h B' en — B',
et réciproquement.

TlHGElfTE PAK RAPPORT kVX OfÂXÈTRES COUJUGOÉS. ftSi

De la tangente considérée par rapport aux diam^res

conjugués^

232. Multiplions entre elles les deux expressions F<o. 1 13.

dont U première est le coefficient d* inclinaison de la tan-
gente, et la seconde celui du diamètre MM! passant par le
poùu de contact [^x\yy^H vient

a.a= — *
A»

Comparant cette relation avec Fégalité

langa.taDga'= — ?

qai correspond à deux diamètres conjugués (n^ 221), on a

a.a'=z tang a . taog af ;

et si Ton suppose

a = tangocy

il en résulte nécessairement

a' = taDg a'.

Ce résultat démontre que le diamètre conjugué de celui
qui passe parle point de contact, est paraixile à la tan-
gente.

D'où Ton tire (comme pour Tellipse) un moyen de mener
une tangente : i^ enun point donné de la courbe; a^ pa^
rallèlement à une droite quelconque.

Voyez, pour la construction, le n^l96, en observant
toutefois que, quant au second problème, il ne peut y avoir
de solution qu'autant qpie la droite donnée forme avec le
premier axe un angle au moins égal à Tangle TOX, ou un
angle au plus égal à Tangle tOX. G* est une conséquence de
ce qui a été dit au n^* 230.

Propriétés de la tangente par rapport aux rayons vecteurs

corrcspo n dants .

233. Quoique les calculs soient analogues à ceux qui

a52 DE l*hypbrbole;

ont élé exécutés ^urVellipse (u? 197), nous les répéterons
parce qu'ils comportent une modification importante.
Fie. n4. Soient MR la tangente, et FM, F' M les rayons vec-
teurs qui lui correspondent.

Désignons par a , a\ a^'j les coefficients d^ inclinaison de
la tangente et des rayons vecteurs, par V, V, les angles
FMRjF'MR.

On a, d'après la figure,

FMR ou V = MFX — MRX>

rMR ou Y' = MRX— MF'X;
d'où

a' — a _.. a — a"

tang V = ,y tong V = — j,-

Calculons d'abord tang Y.

Le rayon vecteur FM devant passer par le point F,
dont les coordonnées sont o et + c, a pour équation

j^ = fl'(jr — c);

et conune il doit aussi passer par le point [x', y'], il en
résulte la relation

jr'=û'(-c' — c), d'où a'z=z-^—.

X ^ c

D'ailleurs on a (n° 226)

il ne s^agit donc plus que de substituer ces valeurs dans Tcx-
pression de tang Y.
On trouve ainsi :

expression qui , en vertu des relations

A^j'» — B^j/'s! — A»B% A'-+- B*=: c\

devient

,^ B»(cx'— A'')
tang V = —7^^^ ; ~ y

TAlfGEKTE PAK HAPPOKT AUX «AYONS VSCTEVKS. ^53

ourédiûsant,

B»

comme pour Vellipse.
Pour obtenir laDg Y', remaix[uons que Ton a

et comme, pour passer de a' à a^^ il suffit de changer + c^
en — c dans l'expression de a', on a

a" — fl B»

donc, à cause du signe' — qui est en avant dans Texprcs*
sion de tang Y',

t.DgV=^-

(On voit qu'il y a un double changement de signe, ce qui
n'a pas lien pour V ellipse.)

Les yaleurs obtenues pour tang Y, tang Y' étant iden--
tiques, on en conclut que, dans V hyperbole, la tangente
dwise en oeux parties égales V angle des deux rayons
vecteurs.

[U n'y a rien de particulier à dire sur la nornio/e.]

234. De la propriété qui vient d'être démontrée résulte
on moyen de mener une tangente : i^ par un point pris
sur la courbe \ a^ par un point pris hors de la courbe.

PREHikEBMENT. — Soit M le point donné.

TVvrce^ les rayons vecteurs F' M et FM; prenez sur MF^ Fie. 114.
une longueur MG égale à MF; puis tirez FG et abaissez
la droite MIR perpendiculaire sur FG.

Y0U8 obtenez ainsi la taugemte oEMAnnÉE;

Car de ce que le triangle MGF est isocèle par construc-^
tien, on déduit que la perpendiculaire MIR divise Tangle
FMG ou FMF' en deux parties égales; propriété carac-
téristique de la tangente à V hyperbole (*).

(*] Démontrons à phori (comme nous Tavon» fait pour VeUipse)j qufi U

â54 OB l'hypexbole;

Fie. 114. SsGOiTDEifEivT. — SoitNun poiot doDoé Aorf de h cowbe.
Supposons le problème résolu, c'est-à-dire la tangente
NMR trouvée; et tirons les droites NF, NF', MF et MF'.
Si , sur la ligne MF', on prend MG = MF, on a

r G = FM— MG = r M — MF= 2 A;

d'autre part, de ce que la to/ig^enfe jouit de la propriété de
diviser en deux parties égales Tangle F' MF dea deux
rayons ^vecteurs, il en résulte ausai

ang.FMNssang.FMN;

par suite, les deux triangles NMG, MMF, dans lesquels 00

a, d'ailleurs, NM commun et MG = MF, sont égaux et

donnent

NG = NF.

On voit donc que la position du point G est fixée par sa
distance a A au point F', et par sa distance NG ou NF
au point donné N.

On est ainsi conduit à cette construction :

i^. Du point N comme centre et avec la distance canmr
NF comme rayon , décrierez un arc de cercle;

a^. Du point F' comme centre et avec le rayon a A , <2^'
crii^ez un second arc de cercle.

Ces deux arcs se coupent en un point G. Joignant ce
point au point F' et prolongeant F'G jusqu'à sa rencontre

■

FiG ni ^i^^^ M^ V^^ divise en deux parties égales Fangle F'MF, est tamgemte à la
courbe.

Gela se réd«it à faire ^r qu« tout point N ëe eette droite, Mitn que M »
est situé hors de la courbe.

Prenant sur MF' une distance MG égale à MF, puis tirant les droites NF',

NG, ainsi que FG qui rencontre en I la droite MR, oa a » d'apràa les prin-

eipes de Géonétrie ,

F1V-NG<F'G;

mais comme le triangle MFG est isocèle par construction, la droite HMK est
perpendiculaire sur FG et passe par bob mUeu I ; donc elle a tons ses poinb
égalemeni distanu de F et de G; par suite , PIG =: MF.
« D'un autre côté » on a

F'G = F'M-MG = FM— MF=2A;

ainsi , Tinégalité précédente devient

F'N— NF<iA;

ce qui prouve que le point M est un point extérieur»

Cette démonstration repose uniifuement sur la définition géométrique àc
l'hyperbole et sur les caractères des points pris sur la courbe , ou hors étl»
courbe.

TANGEITTB PAR RAPPORT kVX RAYONS VECTEURS. ^55

en M atec Thypcrbole, puis tirant NM, vous obcena la

TAHGESTTE DEMANDÉE ^

Ce qu'on peut démontrer à posteriori.
En effet y on a , d'abord, NG = NF par construction ; de
pins, puisque F'M — MF = a A , et que

FG ou FM — MGs=aA,

il en résulte aussi

MG = MF.

La droite NM ayant deux de ses points, N et M , paiement
distants des extrémités de la droite qui joint les points F
et G, est perpendiculaire sur le milieu de cette droite FG,
et divise Tangle GMF en deux parties égales^ donc NM est
tangente k la courbe.

235. Ditcnssiov. — Les deux circonférences décrites se Fio. 1 14*
coupant en un second point G', le problème admet, en gé-
néral, deux solutions.

Le second point de contact se trouve placé tantôt sur la
même branche UBV de Thyperbole que le premier^ tantôt
sur la brancbe opposée^ U'AV, suivant la position du
point donné N.

Dans la figure actuelle, il devrait être placé sur la partie
inférieure A\' de la branche de gauche; et on l'obliendrait
en tirant G'F', puis prolongeant cette droite jusqu'à sa
rencontre avec cette partie inférieure.

On peut , d'ailleurs, démontrer que , toutes les fois que le
point donné est extérieur à la courbe , les deux circonfé-
rences doivent se rencontrer en deux points, et qu ain&i
les deux tangentes existent.

En effet , comme on a toujours

F'r>2A,

il s'ensuit , d'abord , que le point F de cire. NF est extérieur
à cire, a Â.

Soit, ensuite, pris sur NF' une partie NF'' égale k NF;
comme , par hypothèse , le point N est extérieur à la courbe ,

on a (n^ 217)

F'N — NF<2A,
ou

F'N — NF" ou F'F"<2A,

d'"'

2 56 DE L'HtPfeABOLB;

en sorte qne le point F''^ de cire. NF est intérieur a cire, a A.
Donc les deux cercles se coupent.

FiG. ii5. ^36. Remarque. — Les dénominations de foyers et de
RAYONS TBCTEURS se justifieraient, comme pour Vettipse^
au moyen du principe de Physique sur Fégalité des angles
d'incidence et de réflexion.

Car de l'ëgalité des angles FMT et TMF', FM'T' el
T'MT', on conclut celle des angles FMT et /Mf , FM'T'
et J*M.'t'y etc.; d'où il suit que des rayons de lumière ou
de chaleur émanés du pointF^ et allant frapper la courbe en
des points M» M', etc., se réfléchiraient suivant des droites
M/, M'/', etc., qui, prolongées en sens contraire , iraient
toutes aboutir au point F.

Conséquences des propriétés de la tangente considérée
par rapport aux rœfons secteurs*

Fio. îi4. 237. Si des foyers T^ F', on abaisse des perpendicu-
laires FI, F' I^ sur la tangente, on ferait voir, comme pour
Y ellipse [n'^ SOI et 203) :

i^. Que les distanées du centre aux pieds I^Vj des pcT'
pendiculaires abaissées de chacun des foyers sur la tan-
gente sont égales au demi-premier axe A; en d'autres
termes, que cire. A est le lieu géométrique des pieds de
toutes les perpendiculaires abaissées de chacun ties foyers
sur les tangentes^

n^. Que le produit des perpendiculaires FI, F' F abais-
sées des deux foyers sur une tangente quelconque MR, est
constant et égal au carré B' de la MorriÉ nu second axe.

§ ni. — Propriétés de l'hyperbole rapportée a des

DIAMÈTRES COHJtJGUÉS.

238. En répétant pour Vhyperbole les calculs et les rai-
sonnements qui ont été faits au n® 904 pour V ellipse, on
est conduit aux relations suivantes :

(i) A'sinasina' — B^cosa cosa'= o,

d^oii

(2) ung a tang a' == ~ ,

P1L0F&. DE LA COURBE RAPPORTÉE A DES DIAM. CONJUG. ^5y

(3) (A'sin'a' — B« cos'a' )7»-f- (A» sin>a — B» ces' a) x» = — A' B»,

A*B*

(4) po«rr = o. ,.= _^_____,

(5) poar*=o, ^.= -^5-j^^4!^__,

relations qui fournissent le moyen de passer de Téquation
de Thyperbole rapportée à ses axes à celle de la même
courbe rapportée à un système de diamètres conjugués.

Mais avant de former cette dernière équation , comm^i-
çons par prouver que les valeurs de x* et de jr', correspon-
dant respectivement aux hypothèses j^ = o, j? = o , sont de
signes contraires.

Ces valeurs (4) et (5) peuvent, en effet, être mises sous
la forme

— A^B> , — A«B»

^ cos' a ( A» tang» « — B') ' "^ "" cos' a! ( A' tang* a' — B»)*

Or la relation (2) fait voir que, si Ton a par exemple

taDga< j,

ce qui donne évidemment pour Texpression de x* une ya-
leuv posîtii^e, il faut, par compensation , que Ton ait en
même temps

toDga'>~;

en sorte que la valeur de jr* est négative.

D'où l'on conclut que, si la valeur de x correspondant a
/== 0 , est réelle, la valeur de y correspondaiit à .r = o ,
est imaginaire j et réciproquement ^ en d'autres termes, que
l'un des deux diamètres auxquels la courbe est actuelle*
ment rapportée, rencontrant la courbe, ou étant trans*
VERSE, son conjugué est hon traits verse; résultat qui s'ac-
corde avec ce que l'on a établi au n° 2â3.

Si maintenant on prend le diamètre trans^crse pour nou-^
îfelaxe des jr, et que, par suite, on pose

A>sm»a — B'cos'a ^

Ap. de l'Ai, à la G, 17

a58 DE l'hyperbole;

comme son conjugué est non transuerse, il faudra poser

— A* B»
__ == — B'*;

A' sin* a' — B» cos' a '

d'où Ton tire

A' B* A' B'

A»sm»a -- B» cos»a = -n- , A'sin»a'— B' GOS»a' = -— -;

A ' D

et reportant ces valeurs dans la relation (3) , on obtient

A'» j» — B'* x^=— A'» B'^

Telle est l'ëquation de Vhyperbole rapportée à Vun de
ses systèmes de diamètres conjugués (en nombre iVi^/ii^
d'après la relation unique (2) qui doit servir à déterminer
a et a').

239. En remplaçant dans les expressions de A" et de B"
les sinus et cosinus par leurs valeurs en fonction de la
tangente, on parvient aux nouvelles relations

A>B>(i-i- -tangua) A' B» ( i -^ tang^ aQ

B» — A' tang* a ' A« Ung» a' — B'

et

B*

tang'a.lang'a'=: — j

qui , par l'élimination de tang a , tang a' ( voyez le n** 205),
donnent lieu à celle-ci ,

A'' — B'» = A»— B» ;

d'où Ton conclut que dans l'hyperbole , la différence des
carrés des demi-diamètres conjugués est égale à la diffé-
rence des carrés des demi^axes,

240. De même que pour l'ellipse , la résolution du pro-
blème inverse de celui du n^ 238, et ayant pour objet de
remonter de V équation de F hyperbole rapportée à un
système de diamètres conjugues, à V équation de la courbe
rapportée à ses axes, conduit à <^ette même propriété, en
même temps qu'à une autre aussi importante.

En suivant, pour le détail des calculs, la même marche
qu'au n^ 206 , on arrive aux résultats suivants :

A" cos' a — B'^ cos* ( 0 — a ) = A%
A'» sin» a -^ B'* sin» (0 — a) = — B%
— A" B" sîn' 9 rzr — A» B'.

pROPR. DE LA couhbe happoutée a des mAM. coNJuG. 209
L'addition des deux premières relations donne

A"— B'»= A'— B%

ou la propriété déjà démontrée^ et la dernière, qui re-
vient à

A'B'sinO=:AB, ou 4 A' fi' aîn d = 4 AB,

sifi^nifie que, comme pour l'ellipse,

Le parallélogramme construit sur un système de dia--
mètres conjugués est constant^ quelque soit le système , et
équivalent au kectanqle construit sur les axes.

Nous reviendrons sur cette propriété, pour expliquer la
disposition de ^^Jig- î t3 , qui s*y rapporte.

241. Remarque. — La relation

A'*— B'>=A'— B'

montre que, si Ton a

A = B.
on a de même

A' riî: B ,

et que si A est différent de B , on ne peut pas auoir A' égal
àB^

D'où Ton conclut que 9 dans l'hyperbole e^uiVa^èr^?^ tout
système de diamètres conjugués est un système de diamè-
tres égaux , et que dans une hyperbole qui nest pas équi-
latère, il ne saurait exister aucvn système de diamètres
conjugués égaux.

Une ellipse, au contraire, admet toujours {n° 208) un
système de diamètres conjugués égaux, et n^en admet qu'un
seul.

242. Autres propriétés de l'hyperbole rapportée a un
système de diamètres conjugués, et tangente a la courbe.
— Comme pour Y ellipse (pP 209) , toutes les propriétés de
l'hyperbole démontrées indépendamment de Vinclinaison
des axes, s'étendent au cas où la courbe est rapportée à un
système de diamètres conjugués.

C'est ce qu^onpeut reconnaître en répétant ,^ notamment
pour les propriétés énoncées aux n^ 209 et 210, les mêmes
raisonnements.

>7-

26o DE l'hyperbole;

De même, réquation de l'hyperbole rapportée à un sys-
tème de diamètres conjugués étant

A'»^» — B" X» = — A'* B'%

on trouverait pour Téquation de la tangente menée par un
point [x' y y'] pris sur la courbe j

ou, réduisant,

^'^yy— B'» X x' =:= — A'^ B'» ;

puis , passant à la tangente menée par un point extérieur,
on serait conduit à des propriétés analogues à celles qui ont
été établies pour V ellipse [voyez les n^* 212 et 213).

§ IV. — Des asymptotes db l'hypeebole.

243. Une ligne droite tracée sur le plan d^une courbe
est dite asymptote de cette courbe, lorsque celle-ci ou seu--
lement Vune de ses branches s^approche continûment et
indéfiniment de cette droite.

En termes analytiques, une droite asymptote à une
courbe est une ligne telle que, si l'on suppose la droite et
la courbe rapportées au même système d'axes , la différence
entre leurs ordonnées correspondant à une même abscisse
décroît de plus en plus à mesure que Tabscisse augmente,
et devient moindre que toute grandeur donnée quand
cette abscisse est infinie.

De cette double définition il résulte évidemment qu'une
courbe, ouunebrancbe de courbe, ne peut avoir àlasymp-
tote qu'autant qu'elle s'étend à V infini.

244. Afin de reconnaître si I'hyperbole a des asymptotes,
nous établirons, en premier lieu, les conditions auxquelles
doit satisfaire une droite située dans le plan de la courbe
pour la rencontrer à Vinfini.

A cet effet, il suffît de combiner l'équation

(i) A»^»— B»x»= —A"B'

avec l'équation générale d'une droite
(2) 7 = /«j:-h/f,

DéFiniTIOir KT DÉTERMINATION DBS ASYMPTOTES. nGl

puis de déterminer les constantes m et n de manière que
les valeurs de x et dey qui leur satisfont simultanément,
deriennent infinies*

On trouTe, par Télimination de y y et en ordonnant par
rapport à x,

(3) (A'iîf» — B«) Jt»-h2 A'/if/iar-f- A»(B«-+-ii') = o.

Or, pour que les deux valeurs de x , tirées de cette équa-
don , soient infinies , il faut et il suffit, d'après les principes
d« Vanafyse algébrique, que Ton ait les deux relations

A*ot' — B'rso, 2A^m•/l = o;

mais la première donnant nécessairement

m = m-- »

A

la seconde ne peut être satisfaite que par

A = o.

L'équation ( 3 ) devient alors

(4) y = ±-x.

D'où Ton voit que les droites HH', IF, qui passent par le Fie. 11 3.
centre^ et dont nous avons (n^ f 38) appris à fixer la posi-
tion , jouissent toutes deux , et exclusivement à toute autre
droàe, de la propriété d'avoir leurs deux points d'intersec-
tion avec la courbe situés k une distance infinie de Tori*
gine.

La valeur dejr qu'on vient d'obtenir, portée dans Féqua-
lion (i) de la courbe, donne

d'où l'on tire pour x, et, par suite, aussi pour y^ des va-
leurs de la forme

o 0

ce qui vérifie le résultat indiqué.

N. B. — Des mêmes principes algébriques il résulte
que, si dans Téquation (3) on posait seulement

A'm'-.B'=o,

%62 DE L'hyperbole;

n ayant d'ailleurs une iraleur quelconque différente de
zérOf les deux valeurs de x seraient, Vnne finie, Tautre
injinie.

Même résultat pour les valeurs correspondantes dey.

245. En second lieu, comparons l'équation (4)» ou

. B
^ A '

avec l'équation de la courbe

At^> — B>a-»=— A»B^

et, pour plus de clarté, désignons par Y l'ordonnée qui
entre dans l'équation (4) «t correspond à une abscisse x
commune auxdeiix droites et à la courbe^ il vient

d'où , en élevant les deux membres au carré ,

B»

Y^ — — x^

D'un autre côté, l'équation de la courbe revient à

r«=:~ X'— B»;

et, si Ton retranche cette dernière équation de la précé-
dente, il en résulte

d'où

_ B'

Or, à mesure que x devient plus grand à partir de
a: = A , les deux ordonnées Y et y augmentent aussi , et
il en est nécessairement de même de leur somme Y -h j;
d'où il suit que leur dififérence Y — y décroit de plus en
plus, et devient moindre que toute grandeur donnée, lors-
que X est infinie
f xc. 1 13. Donc les deux dmites ;HH', II', exprimées par Féqua-
tîon (4), sont, d'après Ja définition donnée n°243, des
ASYMPTOTES à rhyperbole.

PROPRIÉTÉS DE LA COURBE PAR RAPPORT A SES ASYMPT. a63

RemarquoDS, en outre, que réquation

. B

n étant un nombre quelconque différent de o , représente
un système de droites respectivement parallèles aux deux
asymptotes qui viennent d'être déterminées.

Or, bien que ces droites aient un de leurs points d'in-
tersection avec la courbe, situé kVinJîni, elles ne sau-
raient être des asymptotes.

Car si Ton considère, par exemple, la brancbe d'hyper- Fio. 1 13.
bole BMm , V asymptote OH , et une parallèle quelconque
à cette asymptote, il ne peut arriver que deux cas : ou la
droite OH et sa parallèle sont situées d'un même côté par
rapport à la courbe, ou bien celle-ci se trouve placée entre
les deux droites.

Dans le premier cas, il est évident que la perpendicu-
laire commune à ces droites est la moindre distance qui
puisse séparer la branche de la courbe et la parallèle consi-
dérée.

Dans le second cas, la courbe devant se rapprocher
continûment et indéfiniment de son asymptote OH, s' en-
carte, par cela même, nécessairement^ de plus en plus
de la parallèle à cette droite.

Donc, dans aucun cas, les parallèles aux asymptotes
HH\ II', ne sauraient être elles-mêmes des asymptotes à la
courbe.

Comme, d'ailleurs, on a vu que les droites HH', IV, et
leurs parallèles , sont les seules qui rencontrent la courbe à
Yinfini, on peut affirmer que l'hyperbole n'a que nEUX
ASYMPTOTES, qui sont les droites HH', II'.

Propriétés de V hyperbole par rapport à ses asymptotes.

246. L'hyperbole jouit, par rapporta ses asymptotes,
d'un grand nombre de propriétés dont nous allons exposer
les plus importantes.
Mous ferons, avant tout, une observation essentielle :
Lorsque les axes, a Â, a B, dune hyperbole sont donnés ,

a64 DE l'hyperbolb;

la première chose à faire pour sa construction, c'est de
fixer la position des asymptotes d'après le moyen indiqué
au n° 223, parce que , ces lignes une fois tracées , on a dëjà
le sentiment du cours de chacune des branches de la
courbe à partir des deux sommets, en raison de la pro-
priété qu'elles ont de se rapprocher d'une manière contmue
et indéfinie de leurs asymptotes respectives.

Cette observation s'étend à toute espèce de courbe ayant
des asymptotes rectilignes ou même cun^ilignes, ainsi que
nous en verrons des exemples dans la suite.

247. Première propriété. — Les asymptotes d'une hy-
perbole étant construites, les deux parties d'une tangente
menée en un point quelconque de la courbe, et comprises
entre les deux asymptotes y sont égales.
Fio. ii6. Soient HH', II' les asymptotes, TMT' une tangente
en un point M.

Tirons le diamètre M'OM, et supposons déterminé,
d'après le procédé du n^224, son diamètre conjugué TY', le-
quel est, comme on Ta vu ( n^ 232) , parallèle à la tangente^
concevons, en outre, pour le moment, l'hyperbole rap-
portée au système de diamètres conjugués, XOX', YOY'.

On a pour Féquaiion de la courbe ,

A"r* — B'* jc* = — A'» B'» ^

et les asymptotes sont, pour le même système d*axes, re-
présentées par la double équation

car, en combinant ces équations entre elles , on trouve

o • o

valeurs qui conviennent exclusivement (n^* 244 et 245)
aux deux asymptotes.

Or, si dans la double équation de ces droites on fait

j: = A' = O M ,
il en résulte

r = ±B'.

paoTAiirÉs de la covbjbe pau rapport a ses astmpt. a65

Donc les deux portiofts de tangente MT, MT' sont
égales.

De plus, on voit que ces distances MT, IVIT' sont, cha-
cune, égales à la moitié du diamètre conjugué de celui qui
passe par le point de contact.

248. ConsÉQUENCE. — Les droites TT^ tt\ élanit parai- Fio. ii6.
lèles, et égales à a 6', la figure TT't't est un parallélo--
gramnte^ et ce parallélogramme» dont les côtés sont res-
pectivement égaux et parallèles aux diamètres conjugués

qui joignent leurs points milieux, peut être considéré
comme construit sur ces diamètres ; ce qui conduit à la pro-
position suivante :

Tout parallélogramme construit sur deux diamètres
conjugués a ses quatre sommets placés sur les deux
asymptotes.

Les parallélogrammes ainsi construits sont dits inscrits
à l'hyperbole, tandis que dans V ellipse les parallélo-
grammes analogues sont circonscrits à la courbe.

Il résulte d'ailleurs de ce qui a été établi au n° 240 que
tous les parallélogrammes inscrits à l'hyperbole sont équi-
valents au RECTANGLE construit sur les axes.

On est maintenant en mesure de comprendre pourquoi ,
dans la figure ii3 qui se rapporte à ce n*^ 240, le parai"
lélogramme ^A! W et le rectangle 4 A.B ont, chacun , leurs
sommets situés sur les droites HH', II', qui ne sont autres
que les asymptotes*

N.B. — n convient encore de remarquer que le dia-
mètre MM' est moindre que toute corde mm' de la courbe,
menée parallèlement à ce diamètre; car on a

MM' = T^ et T/</win'.
Nous ferons plus tard Inapplication de cette remarque.

249. Seconde propriété. — Les deux parties d'une
sécante quelconque, comprises entre l'hyperbole et ses
asymptotes, sont égales.

Soit RR' une droite quelconque qui rencontre la courbe p,Q, , ,6.
et les asymptotes aux points S, S'jRjR'j il s'agît de prou-

a66 PB l^hyperbole;

ver que l'on a

A cet effet , concevons le diamètre OP passant par le mi-
lieu P de la corde SS' ; et au point M, où ce diamètre ren-
contre la courbe, menons une tangente TMT'

Cette tangente étant nécessairement (n^ 232) parallèk
à SS', et sa partie TT' se trouvant, (ï après la première
propriété, divisée en deux parties égales ^vl point M par la
droite OP, il résulte d'un théorème de Géométrie que la
droite RR', base du triangle ROR^ est elle-même partagée
également au point P. On a ainsi

PR = PR' ;
et comme , par construction , on a d'ailleurs

PS = PS',
il vient

PR — PS ou RS = PR' — PS' ou R' S'.

Donc, etc.
Fie. n6. Cette seconde propriété peut, du reste, se démontrer
indépendamment de la première, qui n'en est, à propre-
ment parler, qu'u/i cas particulier.

En effet, supposons la courbe rapportée à un système de
diamètres conjugués , dont Fun, celui des ^, soit parallèle
à la sécante menée à volonté RR', et dont Tautre passe
nécessairement {n? 221 ) par le milieu de la corde SS^

L'équation de l'hyperbole étant

A'» j» — B"ar» = — A'» B'S
celle des asymptotes rapportées aux mêmes axes est

Or, si l'on fait x = OP, il vient

j = ±5..0P;

d'où il suit que les deux valeurs de j^, PR , PR\ sont numé-'
riquement égales.
D'un autre côté, on a par construction

PS = PS' .

PltOPâlÉlfÉS DE LA COURBE PAR RAPPORT A SES ASYMPT. ^J

Donc

RS = R' S'.

Si maintenant , au lieu de faire x = OP, on pose

* = OM,
on trouve

r = ±B';

et Ton arrive ainsi à Vénoncé de la première propriété,

250. TaoïsifcxB propriété. — Le parallélogramme
construit sur un système de coordonnées parallèles aux
asymptotes a une surface cohstaste et égale au huitieick
du rectangle des axes, quel que soit le point de la courbe
que Ton considère.

Soit M un point quelconque de la courbe \ et soient me- pio. i io.
nées les droites MP^MQ, respectivement parallèles aux
asymptotes HH', II'; je dis que le parallélogramme
OPMQ, ainsi formé, a pour expression de sa surface

2AX2B I ^

û ou -AXB.

o 2

En effet, tirons le demi-diamètre OM et la tangente
TMT'.

Les deux droites MP,OQ étant parallèles par construc-
tion, et le point M étant (n"" 247) le milieu de TMT', les
points P et Q sont aussi respectivement les milieux de OT'
et de OT; d'où il suit que le triangle TOT' se compose de
quatre triangles équivalents comme ayant même base et
même hauteur.

Mais le parallélogramme OPMQ est lui-même composé
de deux de ces triangles; ainsi déjà il est la moitié du
triangle TOT'.

Or ce dernier est le qiutrt du parallélogramme qui se-
rait construit sur le système de diamètres conjugués cor-
respondant au point M, et par suite (n° 248) du rectangle
des axes principaux.

Donc le parallélogramme OPMQ est le huitième de ce
rectangle,

251. CoifSÉQUEifCE. — Si l'on construit ce rectangle
Eee'E', et le losange ACBD, dont la surface en est évî-

^8 DE l^htpebbole;

FtG. 117. demment la moitié, on remarque que le petii losange
OLBIA guart du grand, est, par rapport au point parti-
culier B de la courbe , ce que le parallélogramme OPMQ
est par rapport à un point quelconque M; en sorte que
Ton a, diaprés la propriété qui vient d'être démontrée,

I

OPMQ r= OLBL' = 7 losange ACBD.

4

Or, si Ion désigne par x et y les coordonnées du point M
rapportées aux asymptotes comme nouveaux axes , et par
0 Fangle HOI^ de ces asymptotes , on a ^ d'après les principes
trigonométriques ,

OPMQ = jc.y.sin G; ACBD = c X c.sin 0 = c».sin 0,

c étant égal à V^AM- B*.

On est donc conduit à la relation

xy sin Os 7<:*.sin ô = 7 (A' -h B») .sin 0,

dou

A» -h B\

Vhfperbole rapportée à ses asymptotes.

2S3. Le résultat simple et remarquable que nous Tenons
d'obtenir, comme conséquence de la troisième propriété,
s' appliquant à tout point de la courbe, n'est autre chose
que V équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes.

On peut y parvenir directement par une transformation
de coordonnées,
Fio. 117, Désignons , à cet effet , par a , a' les angles XOI', HOX,
que les asymptotes font avec le premier axe, en prenant
OV pour noui^el axe des x et OH pour nouvel axe des y»

Ona(n«>i38)

B , B

tang a = — - , tang a' = + 7 ^

A A

d'où l'on déduit (l'angle a étant n^atif) ,

A B

ces a = , — î sm a = , - ;

V^AV-h B» V^AMTB»

cos ot! = , ï sm a' = H- . •

VA'4-B' VA' 4. B»

éQUATION DE LA COU ME HAPPORTÉE A SES ASTMPT. 269

Substituant ces valeurs dans les formules

qui se rapportent (n° H9) au passage d'un système rectan-
gulmre a un systèitie oblique de même origine ^ on trouve
A , . B

4P =

(« -H j), r = — 7==^, (* — -^î'

VA'-+-B« V^A> -h B^

valeurs qu*il ne s'agit plus que de reporter dans Téquation

A»j'— B»jr'= — A»B»;

et Ton obtient, toute réduction faite,

-4xr = -(A»4-B*);
d'où Ton tire

A» -h B*

pour Téquation de Vhyperbole rapportée à ses asymptotes.

A'-f- B'
Le carré égal à — 7 — est appelé puissance de l'hyper-
bole. Si Ton représente ce carré par m', Téquation dévient

xy = m'.

253. La discussion de cette équation montre que les Fio. 11 8.
droites XX', TY' ont bien , suivant la définition donnée

au n** 243, le caractère di asymptotes k la courbe.

Car en la résolvant successivement par rapport ky et par
rapport à x, on trouve

jr=:_, * = — ;

d'où Ton voit que x augmentant numériquement dans le
sens positif ou dans le sens négatif d'une manière continue
depuis zéro jusqu'à V infini, y diminue d'une manière con-
tinue depuis r<n^7i/ jusqu'à zéro^ et réciproquement^

254. L'équation

xy z=m\

ayant été obtenue (n^ 252) , indépendamment des proprié- -
tés démontrées dans les numéros précédents , on peut s'en
servir pour retrouver quelques-unes de ces propriétés , aussi
bien que pour en découvrir de nouvelles.

ayo DE l'hyperbole;

Ainsi, si Ton multiplie les deux membres par sin 6,
6 étant l'angle des asymptotes, il vient

xy sin 0 == m' sin d.

FiG. 117. Or xy Axk^ est évidemment l'expression du parallélo-
gramme OPMQ construit sur les coordonnées d'un point
quelconque de la courbe rapportée à ses asymptotes;
m' sin 9 est, d'ailleurs, une constante qui ne dépend que
des axes principaux et de Tangle B des asymptotes.

Donc tous les parallélogrammes construits SUT àes coor-
données parallèles aux asymptotes sont équivàleitts
(t;oir le n«^ 250).

Pour reproduire la relation

OPMQ = iA-B,

il suffirait de remplacer ^ dans m'sind, m' par sa va-

leur — 7 9 et de calculer sin 0.

4

On a , en effet ,

sin 0 = sin 2 HOX = sin 2 a';
d'où

2A.B

sin 9 = 2 sin a! cos a! =r

A'-h B' '
et effectuant la substitution^

xrsinO = OPMQ = — ^j __ = _A.B.

Fio. 118. ^^« Équation de là tangente. — L'hyperbole étant
rapportée à ses asymptotes, ou son équation étant de la
forme

(l) xx=:m\

on propose de trouver l'équation de la tangente en un
point [.r', y'] de la courbe.

L^équation d'une sécante passant par ce point , et par un
autre point [^''j j"] de la courbe, serait

r-y=^^^(— X').

x' et y', x" cl y", étant liés par les relations

» n t

TAHGEIfTE ▲ LA COURBE RÀPPOUTÉB A SES ASYMPT. 27 1

Retranchanl la première de la seconde , on a
nouvelle relation qui peut être mise sons la forme

d où Ton déduit

x" — u:' "~ X

pour Fexpression du coefficient angulture de la sécante,
dont Téquatlon devient

X

Si maintenant on veut exprimer que cette droite devient
tangente, il faut faire dans l'équation (a), j<'' = ^' (par
cela même, x"=x'^ d'après la relation y" x" — y* x'= o) ,
ei Ton obtient

(3) j.«y=:«^(:r-4/)

pour Yéquation demandée,

N. B. — Pour passer de la sécante à la tangente, il suffit
de poser

puisque x" n'entre pas dans Téquation de la sécante.
Il résulte, en effet, de l'équation de la courbe,

xy = 171%

qui ne donne qu'une seule valeur de x correspondant à une
valeur de j^, et réciproquement, que la condition

entraîne nécessairement

x" = x'.

n n'en est pas de même lorsque la courbe est rapportée à
ses axes ou à un système de diamètres conjugués, parce
qu'alors à chaque valeur de j" correspondent deux valeurs de
X-, d'où il suit que l'on doit , dans ce cas, introduire les deux
couditious à la fois.

256. CoiïSéQUElfCES DÉDUITES DES ÉQUATIONS (a) ET (3) ^

1°. Si dans l'équation (3) on pose y = o, et qu'on

37^ i>E l'hyperbole;

Fi«. n8. cherche la valeur de x — x' correspondante ^ on iroave
pour V expression de la sous^tangente ,

j ^f

-c — 1/ ou PR = —4^ = Jt' ou OP.

D'où Ton voit que la distance OR est doubla de Fabscisse
du point de contact ^ et que, par suite, en raison ^paral-
lélisme des droites PM et OY, la tangente TR est diuisée
en deux parties égales au point de contact M; propriété
déjà établie au nO 247.

a®. Considérons une sécante quelconque SS\ et dési-
gnons encore par x\ y' et x^^y" les coordonnées des points
d'intersection N, N' avec la courbe; puis, posons paie-
ment j* = o dans l'équation (a), qui représente ainsi celle
de cette sécante; il vient

X— d/=--|- = a:*' (à cause de a// =a:*' 7"),

ou, d'après la figure

QS'=OQ';

d'où, retranchantdes deux membres la partie commune QQ',

Q' S' = OQ = NQ".

Les deux triangles NQ"S, N'Q'S', ayant les angles
^aux et un côté égal, Q''N = Q' S', sont égaux et don-
nent

Donc les deux parties d*une sécante comprises entre
la courbe et les asymptotes sont égales^ propriété qui a
fait l'objet du n^" 249.

257. Cette propriété de la sécante à l'hyperbole fournît

un moyen extrêmement simple de construire une hyper'-

bole^ connaissant les deux asymptotes et vk sEVhpoinl

de la courbe.

FiG. 1 19. Soient HH', IF les deux asymptotes et M un point de la

courbe.

Menez par ce point des droites en nombre quelconque,
qui rencontrent les asymptotes aux points S et j, S' et s\

S" et s", S* et i'^ ; puis, à partir des points 5, s% s" y s'"^ etc. ,

COjrST. DE LA COURBE PAR POIIfTS AU MOYEU DES ASTMPT. aji

portez des distances 5in, s'm\ s"m'\ s^^m"'^ etc., respecti-
yement égales à SM , S'M|, S''M, S^'^'M , etc. -, vous obtien-
drez ainsi autant de points que vous voudrez, m, m', m" ^
mf^ etc., qui appartiendront à la courbe; et il ne s'agira
pins que de lier ces points entre eux par une ligne continue,
en ayant soin toutefois de ne joindre que les points situés
dans le même angle HOI' ou lOH'.

Rien n'empêche d'ailleurs, lorsque plusieurs points ont
été déjà obtenus , de s'en servir pour en déterminer de nou-
veaux.

On peut ensuite trouver par le calcul les axes principaux
de la courbe.

On obtient d'abord leur direction en divisant les angles Fie i ig
HOF et HOI en deux parties égales par les droites XX'
et YY'.

Pour déterminer leurs grandeurs y on a les relations

dans lesquelles x'^y* représentent les coordonnées OP, PM,
qui sont connues , et B l'angle des asymptotes.
La seconde relation donne

B = A tang - B ,

d'où, substituant dans la première, on tire

A'^i4-Ung'iô^ =4*'rS
et, par suite,

A' = 4*'j'« cos'- 0, A = 2cos- B.^a/y^
ce qui donne

B= atang-ô.cos- 6.\/a//' = 2sin- B.^x' /.

Àp de VAl. à la G. l3

2^4 I>E LA PAAÂBOLE;

CHAPITRE V.

DE LA PARABOLE.

OBSERVATION PRÉLIMINAIRE.

258. L'analogie qui existe entre les équations de Y ellipse
et de V hyperbole rapportées à leurs axes principaux devait
faire pressentir, ainsi que nous T avons en effet reconnu,
que ces deux courbes jouissent de propriétés presque iden-
tiques, sauf certaines modifications dans les énoncés , et à
Texception aussi des propriétés qui, se rapportant aux
ASYMPTOTES, appartiennent exclusivement à Ylvyperbole.

Il n'en est pas de même pour la parabole, dont Téqua-
tion n'offre qu'une analogie assez éloignée avec celles des
deux autres courbes , analogie que Ton reconnaît en trans-
portant Forigine des coordonnées de ces courbes à Tune de^
extrémités de leur premier axe, et qui a été établie aux
n°» 144 et 145.

Ainsi la parabole étant, par sa nature, prii^ée de centre,
et n'ayant qu'un seul foyer, on conçoit que toutes les pro-
priétés relatives à ces points doivent donner lieu à des diffé-
rences notables dans l'étude comparée de cette courbe par
rapport aux deux premières. De même, la directrice a pour
la parabole une importance qu'elle n^a pas pour l'ellipse et
l'byperbole.

§ I. — Propriétés de la parabole rapportée a ses axes

PRINCIPAUX.

259. Commençons par indiquer les caractères analytiques
et géométriques qui distinguent les points pris sur la courbe,
de ceux qui sont placés au dehors ou en dedans.

F ic. 1 20. I**. Soit jr« = 2 px l'équation de la parabole MAm.

Considérons les trois points N, M, N' situés sur mie
même perpendiculaire à Taxe des x , et dont le premier se
trouve hors de la courbe, le second sur la courbe, et le
troisième en dedans de la courbe.

CAHÀCTÈKES DES POINTS DE LÀ COURBE. 2^5

On a évidemment

NP>MP et N'P<MP;
donc, puisque pour le point M,

MP=2;?.AP, ou y^ — 2/?x = o,
il s'ensuit qu'on a, pour le point extérieur N ,

et pour le point intérieur N ,

N. B, — Si le point extérieur avait la position N", Tab-
scisse AP^de ce point serait négatiue, et l'on aurait à fortiori

2^. Suivant la définition de la parabole (n^ 141) , cha-
cim de ses points , M , est à égale distance du foyer F et de
la directrice DD^

Mais si Ton considère deux points R et B.', Fun au dehors
et l'autre en dedans de la courbe , en menant par ces points
les droites Q'RM', Q"M''R', parallèles k AX, puis joi-
gnant le point F aux points R et M', R' et M ''^^ on a :

Pour le point R ,

FR -+- RM' > FM' ou M'Q',
d'où Ton tire

FR > RQ',

et pour le point R',

FR' < FM" -h M" R' ou Q" M" -f- M'' R' ;
d'où

FR'<R'Q";

ce qui montre que, selon quun point est extérieur ou im-
TÉuETia à la courbe, sa distance au foyer est plus grande
ou MOiirDRE que sa distance à la directrice.

380. De l'équation
on déduit

y'

X

d où il résulte que , dans la parabole ,

Le carré d*une ordonnée est à l'abscisse correspond-

2^6 DK LÀ PARABOLE^

dante dans un rapport constant appelé le paramètre de
la courbe \

En d'autres termes , les carrés des ordonnées sont entre
eux comme les abscisses correspondantes ; ou , les ordon-
nées croissent comme les racines carrées des abscisses.

Ce dernier caractère établit une différence sensible entre
le cours de la parabole et celui de chacune des branches de
Yhyperbole,

En effet, puisque Ton a pour celle-ci (n^ 229)

. B / A'

il en résulte que les valeurs de y croissent presque propor-
tionnellement aux abscisses pour des valeurs de x un peu
considérables.

L'hyperbole s'éloigne donc beaucoup plus rapidement
de Taxe des x que la parabole.

Lorsque x est très-grand j le cours de Thyperbole csi
presque celui d'une ligne droite ayant pour équation

B

tandis que le cours de la parabole tend , alors , à se con-
fondre avec celui d'une ligne droite parallèle à Taxe des x.

261 . Si l'on combinait, comme on Ta fait au n^ 244, l'é-
quation

avec eelle d^une droite

afin de reconnaître si la parabole , qui est une courbe infi-
nie, a des asymptotes^ on parviendrait à l'équation

/n'x*-h 2 (mn — p) x 4- /i'=o,

dont les deux racines ne peuvent devenir infinies ensemble,
que lorsqu'on fait

m' = o , mn — p =z oi d'où n z=-i

o

ce qui exprime que les asymptotes de la parabole seraient

PROP. DE LA COURBE RAPPORTÉE A SES AXES PRINCIPAUX. 277

deux droites parallèles au premier axe principal ^ mais
situées à une distance infinie^

C'est dire, en d'autres termes , que la parabole na pas
d'asymptotes.

262. L'équaUon

jr*z=2px
donnant

a/? :r ::/ :«,

on peut en conclure le moyen suivant de décrire la para-
bole par points :

Prenez sur le premier axe principal, et à la gauche de Fie. 121.
r origine A , une distance AG égale ^ 2 p ; élei^ez sur AX ,
de différents points P, P', P'', etc., des perpendiculaires,
puis décrivez sur les lignes CP, CP', CP", etc., comme
diamètres, des circonférences^ enfin, par les points (^^
Q', Q", etc., où ces circonférences rencontrent le second
axe y menez des parallèles au premier.

Les points M , M', M'', etc., déterminés par la rencontre
de ces parallèles avec les perpendiculaires, sont des points
de la parabole demandée.

En elTet , pour une abscisse quelconque AP, vous avez

CA : AQ :: AQ: AP, ou 2/?:mp :: mp: ap;

d^où

MP =2/?.AP.

Les points de la partie inférieure de la courbe se déter-
minent en prolongeant les perpendiculaires, de longueurs
égales à elles-mêmes,

263. Mesure d'uw segmeiit parabolique. — Proposons- Fig. 122.
nous, comme pour Tellipse (n^ 1*76) , de déterminer Vaire

dun segment compris entre un arc de parabole MA m, et
une corde Mm perpendiculaire au premier axe, ou sim-
plement, Vaire du demi-segment APM.

Pour y parvenir, considérons sur Tare AM une suite de
points M, M', M'', etc.-, et de tous ces points, menons des
perpendiculaires et des parallèles à l'axe AX \ ces droites
déterminent des rectangles RPP'M', R"P'P''M", etc., que
nous nommerons rectangles intérieurs, et d'autres rec-

1

!Ày8 DE LA PARABOLE;

tangles R'QQ'M', R"'Q'Q''M", etc., qui seront appelé
rectangles extérieurs,
Fio. 1 22 . Cela posé , en désignant par x et y, x^ etjr', x" et jr*', etc.,
les coordonnées des différents points M, M', M", etc., on t
pour la surface, s^ du rectangle ultérieur RPP'M',

et pour celle, f , du rectangle extérieur correspondant,
d'où l'on déduit

Mais, puisque les points M, M', etc., se trouvent surU
courbe, on a les relations

qui donnent

X = - — î X — j/ = ' :i— :

2/> lp

il vient donc , par la substitution ,

On obtiendrait, pour les deux rectangles suivants,

^ y'

et ainsi des autres.

Observons, d'ailleurs, que les points M, M', M''^, etc.,
peuvent être pris sur la courbe , de teUe manière qu'cm ait
la suite de rapports égaux,

y' y" y" ^ '

m étant yoiR fraction constante aussi petite que l'on veut.
D suffit, pour cela, de prendre sur AT, des parties

AQ'=AQX-^, AQ''=A<^X-:^»...,

1 -t- IW I -f- /W

puis de mener par les points Q', Q", etc., desparaUèle»
à AX.

Au moyen de cette condition, les rapports - » -7' ^^^*'

MESURE D UXf SEGMENT PARABOLIQUE. 279

deviennent

s / s"

- = 2-|-/lf, ~ = 2-4-/îl, p=:2-hOT,...;
d^OÙ

5-4- j'-h j''-f-.. . s

ce qui démontre déjà que le rapport entre la somme des
rectangles intérieurs et celle des rectangles extérieurs est
égal à la quantité constante 2 -H m.

Maintenant, comme il est évident que, si l'on prend
pour m une très-petite fraction , la somme des rectangles
intérieurs différera fort peu du demi-segment AMP ; que la
somme des rectangles extérieurs différera aussi fort peu de
la (igure mixtiligne AMQ , et que ces différences seront
d^ autant plus petites que la fraction représentée par m
aura une moindre valeur, on peut conclure qu'à la limite,
c^est-à-dire lorsqu'on supposera m = o , les deux sommes
de rectangles se confondront avec les surfaces AMP, AMQ,
et que Ton aura

^^ = 2, d'où AMP=2AMQ;
AM12

ainsi ,

APMQ = 3 AMQ,

et , par conséquent ,

AMQ = i APMQ , ou AMP = | APMQ = ^ a:. j.

Donc , enfin , la surface du demi-segment parabolique
AlVIP est égale aux deux tiers du rectangle construit sur
les coordonnées extrêmes.

11 résulte de là qu'un segment parabolique est une surface
carrable^ ce qui n'a lieu ni pour le cercle ni pour Tellipse,
dont les aires sont exprimées en fonction du rapport appro-
ché de la circonférence au diamètre.

§ II. — De la tangente a la parabole et de ses pro-
priétés PAR RAPPORT AU RAYON VECTEUR.

264. Equation de la tangente et expression de la sols-
tangente. — Afin d'obtenir Téqualion de la tangente en

38o DE LA. parabole;

un point [x', j^'J donné sur la courbe^ applicpons, soit
la méthode du n^ 101 comme pour Tellipse (n^ 1S6), soit la
règle des dérivées (n** 102).

Il vient pour le coefficient d^ inclinaison,

et, par suite, pour Téquation cherchée,

(1) y-r' = J(*-«')

y

ou, simplifiant k Taidedela relation jr'* = ^px\

équation que l'on peut déduire de celle de la courbe en y
changeant y* enyy^ et :tpx ou /? (x 4- x) en p (ar -h a') ; ce
qui rend cette équation facile à retenir.
Fio. iîk3. Soit faitj^= o dans l'équation simplifiée (a); il en ré-
sulte

a: -H j/ = o;
d'où

X = — x'y OU AR = — AP.

Ainsi , pour mener une tangente à la parabole en un
point donné M sur la courbe, il suffit de prendre une dis-^
tance AR égale à l'abscisse AP de ce point, et de joindre
le point M au point R.

Si Ton fait, de même, ^ = o dans Féquation non simpli-
fiée (i), on trouve

X ""^ X »■■■ ^^~ ■ ' 2 <ît y

pour l'expression de la sous-tangente PR ;

Ce qui démontre qa^ abstraction faite du signe j la sous-^
tangente est double de V abscisse du point de contact.

Le signe dont celte ligne est afifectée convient d'ailleurs
à sa position actuelle, puisqu'elle se compte à la gauche
du point P.

265. FZquation ue la normale et expression de la sous-
normale. — L'équation de la tangente étant

J — r = -7 (X — X ;,

TAIVGEHTE ET NORMALE. a8l

on a, pour celle de la normale au même point,

y
r — r' = — ^(* — *');

et si Ton fait encore dans cette écpiation, 7* = o, il vient

X— j/ ou PS=^=:p.

y

Donc la sous^normale est constante, quelle que soit la
position du point de contact ^ et égale à la moitié du pa-
ramètre,

266. Discussion du coefficieut angulaire de la tan^- Fie. i23.
GESTE. — Comme dans le coefficient d'inclinaison

lordonnée^^ peut passer par tous les états de grandeur, il
s^ensuit que la tangente est susceptible de prendre toutes
les situations possibles par rapport au premier axe.
Soit

y = o.

on trouve

</ = 00 ;

c'est-à-dire que la tangente menée par le point A est per^
pendiculaire à AX.
Elle est parallèle à cet axe aux points pour lesquels on a

r' = oo .

Si l'on veut connaître en quel point la tangente fait avec
le premier axe principal un angle de 45 degrés , ou égal à
la moitié d'un angle droit y il suffit de poser

^=1; d'où y = p,

y

et , par suite ,

2p 2

ce qui est [n^H^) la valeur de Y abscisse dujoyer^

D'où il suit que , dans la parabole , la tangente menée
par le point de la courbe dont l'ordonnée passe par le
foyer, fait avec l'axe des x un angle de 45 degrés.

Ce serait ici , d'après l'ordre que nous avons adopté pour

a82 DE LA parabole;

les deux premières courbes, le lieu de considérer la ton-
gente menée par un point extérieur à la courbe; mais
nous déduirons la solution de cette question delà propriété
suivante.

Propriété de la tangente par rapport au rayon vecteur.

Fio. 123. 267. Menons le rayon vecteur FM ^ et calculons l'angle
FMR, comme nous l'ayons fait pour V ellipse.

En désignant par a et a' les tangentes trigonométriques
des angles MRX, MFX, on a évidemment

Kang FMR ou tang V =

a'

I -h «a'

Or Téquation du rayon vecteur passant par le point F

pour lequel on a

P
r = o et X = - 5

est de la forme

et comme il passe en outre par le point de contact (x', y')^
il en résulte

/ = «'(x'-^)-, d'où «'=^.
Comme on a d'ailleurs

l'expression de tang V devient

^r' __ p_

y'[ia/'-p)
ou bien , à cause de y'* = a px\

tancV= '^P'^'-^P' ^P(^^'-^P)^P .

d'où Ton voit que l'angle FMR est égal à l'angle MRF.

Ainsi , la tangente dii^ise en deux parties égales V angle
FMH formé par le rayon vecteur FM et une parallèle à
l'axe des x , menée par le point M.

TANGERTE PAE RAPPORT AU RATON VECTEUR. 283

C'est ce qu'on peut encore reconnaître ainsi qu'il suit :
On a vu (n^ S64) que les distances AR et ÂP sont égales;
d'où résulte

2

d'un autre côte, DD' étant la directrice, il vient

2

FM = MG = ^ -h AP;

2

donc

angle FMR = angle MRF = angle RHH.

268. Cette propriété fournit le moyen de mener une
tangente par un point de la courbe, ou par un point pris
hors de la courbe.

I®. Pour mener une tangente par le point M , Fig. 128.

Tirez la ligne MH parallèle à AX ; joignez le point F
au point G, oii cette parallèle rencontre la directrice ;
puis abaissez MR perpendiculaire sur FG.

Vous aurez la taitgeivte DEMAimÉE^ car 9 le triangle FMG
étant isocèle, la ligne MR divise en deux parties égales
Tangle au sommet FMG.

On peut reconnaître 9 à posteriori, que la bissectrice àc
l^angle FMG n'a que le point M de commun avec la courbe.

En effet , soit N un autre point quelconque de cette ligue ,
et tirons les droites FN et GN, puis abaissons la perpen-
diculaire NK sur DD'.

On a, d'après la construction,

NF = NG;

mais l'oblique NG est plus grande que la perpendiculaire
NK; donc NF est plus grand que NK, et, par conséquent
(n^ 259) , le point N est situé hors de la courbe.

U est à remarquer que cette construction dépend unique-
ment de la définition de la parabole.

2^. Pour mener la tangente par un point N situé hors
de la courbe,

Décriviez de ce point comme centre, avec un rayon égal
à la distance NF, une circonférence de cercle qui coupe
la directrice au point G ; menez G f parallèle à AX.

a84 DE LA PARABOLE^

Le point d'intersection M, de cette parallèle avec la
courbe, est le polnt de contact.

Car on a , par construction , et diaprés la définition de la
parabole (n^ 141) ,

NG = NF, et MG = MF;

donc la ligne NM est perpendiculaire sur le milieu de la
corde FG, et divise l'angle FMG en deux parties ^ales.

La même circonférence rencontre la directrice en un se-
cond point G'f tel que , si , par ce point , on mène une
ligne parallèle à AX , le point où cette parallèle rencontre
la courbe est le point de contact de la seconde tangente
qu'on peut mener par le point N.

Conséquences de la propriété précédente,

FiG. 123. 269. Première CONSÉQUENCE. — Si l'on suppose un foyer
de chaleur placé au point F, tous les rayons qui Tiennent
tomber sur les différents points de la courbe, devant se ré-
fléchir de manière à former un angle de réflexion égal à
celui d* incidence, prendront nécessairement une direction
telle que M/, parallèle à l'axe principal.

Cela explique pourquoi Ton donne à certaines surfaces
réfléchissantes la forme parabolique.

270. Seconde conséquence. — On vient de voir que, si
l'on joint le point F au point G, la ligne de jonction FG est
perpendiculaire sur la tangente, et se trouve divisée en
deux parties égales par cette tangente.

D'un autre côté, Taxe des y^ parallèle à DD', étant mené
par le point A milieu de BF, passe nécessairement par le
milieu de FG.

Donc le pied I de la perpendiculaire abaissée du point F
sur la tangente , est situé sur Taxe des^.

Ce qui démontre que

Si du foyer on abaisse des perpendiculaires sur les tan-
gentes, le lieu géométrique des pieds de toutes ces per-
pendiculaires n^est autre chose que le second axe de la
parabole.

DIAMÈTRES DE LA COURBE ET AXES CONJUGUÉS. 2k85

Cette propriété correspond à celle du n^ 201 relative à
lellipse.

{j in. — Diamètres de la parabole. — Axes conjugués.

271. En partant de la définition générale du diamètre Fig. 124.
d*une courbe (n^ 177), il est facile de reconnaître que , dans

la PARABOLE , tous Ics diamètres sont des droites parallèles
à Vaxe principal.
En effet, si Ton combine l'équation

avec Féquation générale

y '= ax -^ b

d'une corde, telle que MM', et qu^on élimine d'abord Tab-
scisseo:, il vient

Or, en désignant par x' et y', x" et y" les coordonnées des
points M, M', communs à la courbe et a la corde, puis
par X et Y celles du point milieu N , on a (n® 96)

2 2

d'un autre c6té, l'équation (i) étant du second degré en y^
la moitié du coefficient de y^ pris en signe contraire , est

° 2

D'où résulte la relation

H) Y = ^.

Gomme la quantité a est une constante pour toutes les
cordes parallèles à MM', il s'ensuit que la valeur de Y est
elle-même une con5to/ife, quel que soit X.

L'équation (2) est donc celle du lieu géométrique des
points milieux de toutes les cordes \ et l'on voit que ce lieu
n'est autre cbose qu'iine droite parallèle à Taxe principal,

272. Axes conjugués. — De l'équation (2) on déduit

288 DE LA PARABOLE^

Fio. 1 25. Donnant à a une valeur arbitraire, on tirera de réqaation

h* — a />a = o y

la valeur correspondante de & ; et le point A', déterminé
par ces valeurs, représentera la nouvelle origine.
Enfin , la relation

6sma' — pcosa' = o,

donne

/ P
tanga'=c,

expression qui , comparée à la valeur

P

— f

r

trouvée ponr le coefficient d'inclinaison de la tangente kU
parabole , prouve que le noui^el axe des y est tangent à la
courbe.

[Ces résultats s'accordent avec ce qui a été dit au n® 272
sur les axes conjugués.^

Reprenant le coefficient de x dans Téquation (3) , on voit
que la relation

tang a' = T 1
donne

et, par conséquent,

p' p

sin* a' ou tang' a' cos* a' = -=-r^ — : = — - — ;

d'où

Or, si Ton suppose que ÂQ soit Fabscisse de la nouvelle
origine A' rapportée aux anciens axes, et qu'on tire le
rayon vecteur FA', on sait (n° 267) que ce rayon vecteur a
pour expression

P

cos' a' =

a

2

Donc

sin' a

PROPR. DE LA COURBE RAPPORTÉE A DBS AXES CONJUGUÉS. 289

c'est-à-dire que le coefficient de x dans V équation (3) , ou
le paramètre de la parabole rapportée à un système d^axes
conjugués, est égal au quadruple de la distance du foyer
à la noui^elle origine.
Désignant par ap' ce nouv^eau paramètre, on obtient

pour Téquation de la parabole rapportée à Vun de ses dia-
mètres.

Nous pourrions encore ici , comme nous Ta vous (ait pour
V ellipse elVhyperbole, nous proposer, réciproquement, de
passer de F équation de la parabole rapportée à un sjrs-
tème d'axes conjugués, à celle de la courbe rapportée à
ses axes principaux ^ mais ce calcul ne conduirait à aucun
résultat important.

274. L^équation
d'où l'on tire

X

prouve que, pour un système quelconque d'kxzs conjugués,
les carrés des ordonnées sont proportionnels aux abscisses
correspondantes^ c'est la propriété du n** 260 généralisée,
puisque les axes principaux forment un système particu-
lier d'ojrre^ conjugués.

Cette propriété étant vraie quelle que soit V inclinaison
des axes, on peut, par un procédé analogue à celui qui a
€ié employé (n^ 210) pour Tellipse , construire la parabole ,
connaissant V angle de deux axes conjugués et le para-
rtiètre correspondant.

Soient ÂX, AY les deux axes conjugués donnés.

Èleuez au point A une perpendiculaire AY' à AX , et Fio. 1 26.
construisez sur AX , AY', considérés comme axes princi"
paiix, une parabole AH^' ayant ap' pour paramètre;
menez ensuite de différents points P, P', etc., des parai»
lèles à AY' et à AY, et prenez des parties PM , P'M', etc. ,
éga/e5iPN,P'N', etc.

Les points M, M', etc., appartiendront à la couibe de-
mandée.

Ap.iU{lÀl.àUG. ig

290 DE LA parabole;

De la tangente à la parabole rapportée à un système

d'axes conjugués.

Fio. 125- ^IS. Tangente menée par vjx point pris sur la courbe,
ET SOUS-TANGENTE. — La soIution du problème des tan-
gentes étant indépendante de F inclinaison des axes, on a
pour Fëquation de la tangente en un point M , (x\ j')»^^
la courbe ,

ou, simplifiant kVuiàe de la relation j''*= ^p'x'^

Si l'on fait j^ = o dans cette dernière écpiation, on trouve

* = — j/ ou A'R = — A'P.

La même hypotbèse introduite dans Téqualion non simpli-
fiée de la tangente donne

y/1

P'

pour l'expression de la sous-tangente PR^ d^où Ton voit
que la sous-tangente est négatwe et numériquement dou-
ble de r abscisse du point de contact.

Ces résultats sont conformes k ceux du n^264.

Quant à la propriété démontrée n^ 265 pour la sous-nok-
MALE , elle ne saurait exister par rapport à des axes conju-
gués obliques, puisque le coefficient de x dans Féquation
de la NORMALE dépend essentiellement (n^ 64) de leur incli-
naison.

FiG. 127. 276. Tangente menée par un point extérieur. — Si
Ton propose de mener une tangente par un point N ou
[a 9 6] donné hors de la courbe , on a , pour déterminer les
coordonnées x^j^ du point de contact, les équations

7" = 2/?'x' et 6/'=/?'(a-f- j/).

«

Mais au lieu d'eiTectuer Félimination , on peut, comme
au n° 212, en regardant x\ y* comme des variables, con-
struire les lieux géométriques de ces équations.

TAAG. A LA COURBE RAPPORTÉE A DES AXES CONJUGUÉS, api

La première représente évidemment la parabole déjà
construite,

Qnant à la seconde ^ qui représente une ligne droàe^ en
y faisant successivement

jr'=zOj x'=o,
on trouve

Si Ton porte sur les axes AX, AY, des parties AP, AH,

_'
respectivement égales à — a , ~— > et qu'on tire la droite

PH, on a le second lieu géométrique demandé^ ainsi les
points M , m , où cette droite de jonction coupe la courbe ,
sont les points de contact des deux tangentes qui doivent
passer par le point N.

Conune le résultat x' = — a correspondant à j'' = o ne
dépend pas de Pordonnée 6 du point N, il s'ensuit que , si
Ton prend un autre point quelconque N' sur une droite UJ
parallèle a Paxe des /, menée par le point IN , et qu'on tire
les deux tangentes N' M', Wm', la ligne de jonction des
nouveaux points de contact^ M', m', doit passer par le
même point P de l'axe AX.

Cette droite LL' pouvant être considérée comme située à
volonté sur le plan de la courbe , on en conclut , comme
pour IW/ijp^e etVhjperbo/e (n^* 212 et 242), la proposi-
tion suivante, dont la réciproque [voyez le n^213) est
également vraie :

Une droite étant tracée arbitrairement dans le plan
d*une parabole , si de chacun de ses points on mène deux
tangentes à la courbe , et quon joigne les deux points de
contact par une droite, ces droites de jonction , appelées
LIGUES DE CONTACT, doii^ont toutcs passer par un même
poiWT , lequel se trouvée placé sur Taxe conjugué de celui
qui est parallèle à la droite donnée.

Le point de concours P est le pôle de la droite LL', qui
est dite po/aire.

Il faut observer toutefois que, si la droite donnée était Fio. 128.
une parallèle LL' à Taxe principal , c'est-à-dire un dia-

19-

apa DE LA PARABOLE.

Fio. ia8. mètre ^ les lignes .de jonction des points de contact M et
m, M' et m', etc. ,* ne concourraient plus en un même poùit,
mais elles seraient iontes parallèles entre elles; c^ est-à-dire
qu'alors elles se rencontreraient toutes à F infini sur V axe
conjugué de ce diamètre.

En effet, supposons pour un instant la courbe rapportée
k ce diamètre et à son axe conjugué AT; comme, pour un
point N de la ligne LL\ on a a quelconque , mais |3 égal à o ,
il s'ensuit que les résultats

0/= — a, X = g '

obtenus ci-dessus et correspondant respectivement à

jr'=o, x'=o,

se réduisent à

a:'=r — a et y'=r^- — ;

•^ O '

d'où Ton Yoit que la ligne de jonction des deux points de
cont€ict M et m va rencontrer Taxe des y à Vinfini.

On arriverait a la même conclusion en remarquant que
la ligne de jonction dont Téquation est, généralement, de
la forme

se réduit, dans l'bypotbèse de ^ = o, a

y(a-f-«') = o;
d'où l'on tire

ce qui est l'équation d'une droite parallèle à Taxe des/.

DES COOl DONNÉES POLAIRES. 203

CHAPITRE VI.

DES COORDONNÉES POLAIRES.

Définitions»

277. Jusqu ici , nous avons suppose une ligne détermi-
née déposition sur un plan, au moyen d'une équation
entre deux variables exprimant les distances de chacun de
ses points à deux droites fixes y comptées parallèlement à
ces droites.

Mais il existe un autre moyen de représenter analyti-
quement les lignes, et ce moyen olTre, dans certains cas,
des avantages sur le précédent.

Pour fixer les idées sur ce nouveau mode, considérons Fie. 129.
une courbe mMm\ une droite quelconque OB, et un
point Jixe O sur cette droite.

Menons de ce point, nommé pôle, à un point M pris
arbitrairement sur la courbe, une droite OM appelée
rayon vecteur ^ et désignons par p ce rayon vecteur , par
ff Tangle qu'il forme avec la droite fixe 06.

La courbe sera déterminée si l'on parvient à établir une
relation entre p et f , qui soit vraie pour tous les points de
la courbe et n'ait lieu que pour ces points^ car, en donnant
à oune série de valeurs (f\ f'^, <f"\ etc., on tirera de la
relation f(pj f ) = o, des valeurs correspondantes p\ p'\
p^^ etc., pour p.

Formant alors au point O des angles LOB, L^OB, etc.,
égaux à (f\ f ^', etc., et portant sur OL, OL'^ etc., des parties
égales à p'j p", etc., on obtiendra des points M, M', etc.,
qui appartiendront excfusivement à la courbe.

Les variables p 6t f sont ce qu^on appelle des coordon-
nées polaires^ et l'équation

est dite Y équation polaire de la courbe.

294 ^^^ COORDOIXnÉES FOLÀIRES^

Formules pour la transformation des coordonnées.

278. Une courbe étant définie, on peut se proposer de
trouver une équation polaire de cette courbe, en choisis-
sant dVne manière convenable le pôle et la droite fixe
menée par ce point.

Mais souvent on suppose que la courbe est déjà repré'
sentée sur son plan par une équation entre coordonoées
rectUignes ^ et il s'agit alors d'en déduire une relation
constante entre des coordonnées polaires.

[Lorsque les axes primitifs sont rectangulaires y on donne
quelquefois aux coordonnées la dénomination de coordon-
nées orthogonales J\

On est ainsi conduit à la question suivante :

Passer d un système de coordonnées rectilignes ( ortho-
gonales ou obliques) à un système de coordonnées po-
laires.
FiG. 129. Soient pour cela, AX, AY, deux axes par rapport aux-
quels on ait déjà l'équation '

OB une droite quelconque, et O un point ^xe pris sur
cette droite.

Menons par le point O les lignes OX', OY', parallèles à
ces axes^ et désignons par a, b^ les coordonnées AH, OH
du pâle O, par a F angle BOX', par Q l'angle des deux
axes^ le rayon vecteur OM et l'angle MOB sont d'ailleurs,
comme nous l'avons dit ci-dessus , représentés par p et 9.

Cela posé , la figure donne évidemment

AV ou X =a -f-OK,
MP ou jr — ^ + MK;

mais on a dans le triangle MOK,

OK _ sjp QMK MK _ sin MOK
ÔM ~ sin OKM ' OM "^ sm OKM '

d W l'on déduit

^^_p.sin(e— y — g)^ j^j^_p.sip(y-f-a)
sin 0 sin 0

FORMULES POUR LA TEÂNSFORM. DBS COORDOUNÉES. HgS

Substituant ces valeurs dans les expressions de x et de
jTi OD obtient les formules

sin 0 -^ sin 0

valeurs qui, reportées dans l'équation

donneront Y équation polaire demandée.

Dans le cas d^axes rectangulaires, ce qui a lieu com-
munémeni, comme on a

Bz=go^,
d'où

sin 9 = I, sin (0 — f — a) = cos(y -h a),

les formules deviennent

(2) x = a -4-p.cos(y -ha), j^= ^ -f- p.sin(f -ha).

Outre cette hypothèse, on peut supposer que la droite
fixe soit parallèle à Taxe des x, c'est-à-dii^ que l'on ait

a^ o;
il vient alors

(3) x= a H-pcosf , jr =z b -\' f sin ff.

Enfin, il peut se faire que V origine primitive soit prise
pour pôle} et l'on obtient, dans le cas de coordonnées .
orthogonales,

(4) j;=p.cosf, j^ = p.siDf.

Les deux derniers systèmes sont ceux dont l'emploi est
le plus fréquent.

N. B. — Dans le dernier cas, si l'on carre les deux
membres de chaque expression, et qu'on ajoute membre
à membre, il vient

x' -h j« z= p» (cos» (p -h sin* f ),
ou simplement

'^ X» -h 7' = p%

relation qui se trouve toujours intimement liée avec les
relations (4).

S79. Réciproquemeitt , une équation polaire étant
donnée, pour passer à une équation entre coordonnées

2(^6 DES COORDOKKÉES POLAIRES;

rectili'gneSj de même origine ou d'origine diffeiyente, il
conyîent de faire d'abord usage des formules

x = ô.cos(p, 7 = p.sin^, p»=:jp'H-7-,
qui donnent

ù = Jx^ -h y, cos 9 = , » $in <p = , y

valeurs au moyen desquelles on passe de Téquation propo-
sée à l'équation entre coordonnées orthogonales de même
origine.

Après quoi, l'on a recours aux formules, déjà connues,
de la transformation des coordonnées rectilignes pour
obtenir Téquation de la courbe rapportée a ^d^s axes obli-
ques et d'origine différente.

Exemples d'équations polaires et conséquences

qui s*en déduisent.

FiG. i3o. 280. Équation polaire du cercle, — Pour montrer le
parti qu'on peut tirer de V équation polaire d'une courbe,
proposons-nous de déterminer celle du cercle, au moyen
de la transformation des coordonnées (n^ 278), en prenant
pour pôle un point quelconque O pris dans son plan.

L^équation du cercle rapportée à son centre et à des axes
rectangulaires, étant

il suffit de remplacer x et y par leurs valeurs (3) ; et Ton
obtient, toute simplification faite,

p*-+- 2 (acos^ H- 6ftinf)p -4-fl*H- A* — R»=o.

(La droite^xej à partir de laquelle se compte l'angle f, est
une ligne OB parallèle à l'axe des or.)

Désignons par p', p"^ les deux racines de cette équation;
on a , d'après un principe connu ,

Or, cette relation étant indépendante de Tangle f que
forme la direction du rayon vecteur OM avec la droite fixe
OB, il s'ensuit que, pour deux lignes quelconques Mm,
M' lit', menées par le point O , on a

OMxOm = OM'x 0/w', ou OM: OM' :: Om' :0m;

EXEMPLES d'ÉQUATIOHS POLAIRES. 297

ce qui conduit â celle proposition connue , que deux cordes
d'un cercle se coupent en parties inuersement proportion^
nelles.

On suppose ici le point O intérieur au cercle^ d'où
résulte

fl'-h b' ou A0'<R%
et, par suite,

Donc, dans ce cas, les deux facteurs OM^ Om, corres-
pondant à une même corde, sont de signes contraires; et
cela doit être, puisque ces distances sont comptées en sens
contraire Tune de l'autre.

Lorsque le point est extérieur comme en O', on arrive à
un résultat analogue , mais se rapportant aux sécantes e/i-
tières et à leurs parties extérieures^ telles que O'N/t et O'N.

Comme on a alors

doù

«'-+-*'— R»>o,

les deux facteurs O^N, OVi sont de même signe; et en
eflet , les dislances se comptent dans le même sens.

Enfin, si l'on mène la tangente O'D, et qu'on tire le
rayon AD au point de contact, on a la relation

(75'= AÔ' — Âd'= fl»^ ^«— R»;

et comme déjà , d'après ce qui vient d'être dit, l'expression
a' + 6* — R* représente le produit O'N X O'n , il en résulte

5^'=o'NxO'/i ou o'N:0'D::0'D:(yN.

Ainsi, la propriété de la sécante au cercle par rapport à
une tangente issue du même point O' se trouve également
démontrée.

281 . Équation polaire de F hyperbole. — Soit encore
proposé de trouver Féquation polaire de V hyperbole ^ en
prenant pour pôle le centre de la courbe , et pour droite
fixe le premier axe,

U ne s'agit , pour cela , que de substituer les valeurs

(4) XzrpcoSf, jrrpsinf,

298 DES COORDONNÉES POLÂIIIES;

dans Téquation

ce qui donne la transformée

p» (A» sin> f — B' cos> y ) = — A* B* ;

d'où l'on lire

dzAB

P

> cos f . ^B' — A' tang* f

FiG. 1 13. Or, Tinspection seule de ce résultat montre :

1^. Que, si par le point O, centre de Fhyperbole, on trace
une droite quelconque rencontrant la courbe en deux points
M, M', les parties OM, OM' sont égales et de signes con-
traires^

a^. Que la valeur de p exige, pour être réelle ^ que
l'on ait

B»

Si Ton fait

B* , . B

tang^r = — > d'où ungf = ±: -5

on voit que les droites menées du point O, de manière
à former les angles dont les tangentes trigonométriques

B A

sont 4- -T- c^ — tt' sont les LIGNES de séparation des droites
A B

passant par le centre qui rencontrent la courbe, de celle

qui ne la rencontrent pas (voyez le n^ 223).

Ces exemples suffisent pour montrer avec quelle facilité
les propriétés des courbes se déduisent d'une de leurs équa-
tions polaires.

Équations polaires des trois courbes du second degré.

282. Pour établir les équations polaires des trois courbes
du second degré , il est d'usage de prendre un foyer pour
pôle et le premier axe pour droite fixe.

Considérons successivement chacune des trois courbes,
et, au Heu d'appliquer les formules (n® 278) de la trans-
formation des coordonnées, servons-nous dès expressions
trouvées pour les rayons vecteurs^ d'après la définition des
courbes .

ÉQUÀTIOMS POLAiftES DES THOIS COVRBES DU 2^ DEGRÉ. ^99

Ellipse. — Soit pris pour /;dfe le foyer F; on a obtenu Fio. i3i.
(n^'lSB), pour l'expression du rayon vecteur FM,

ex

FM ou p = A 7 ;

A

mais la figure donne

X ou OP = c -h FP = c -+- p. cos f ;
donc

c(r-|- p.cos^)

et, par suite,

A*— c»

A -h C COS9

Discussion. — Soit d'abord f = o, auquel cas le rayon
vecteur se confond avec le premier axe; il en résulte

^ c^

CCS t = I , d'où p = — = A — c = FB ;

on obtient ainsi B pour l'un des points de la courbe.

A mesure que f augmente , cos f et par suite A + c . cos f

diminuent, en sorte que le rayon vecteur devient de plus en

plus grand.

Soit

f =: go® ; d'où cos f ^ o ;

le rayon vecteur se réduit à

A»— c« B»

on retrouve ainsi Vordonnée FN passant par le foyer
[voyez le n® 146).

L'angle (f continuant d'augmenter et devenant obtus,
cos (f change de signe et augmente numériquement ^ donc
le dénominateur diminue encore , et la valeur de p continue
elle-même d'augmenter.

Supposons <f égal à l'angle CFX dont la tangente trigo-
nométrique a pour expression

_C0_ B
OF"" c'
il en résulte

c c

VB' -h c> A

300 DES COOnOONNÉBS POLAIRES^

d'où, en substituant dans la valeur de p,

A»— c»
P = , = ^î

^ A

FiG. i3i. c'est, en effet, la valeur du rayon vecteur FC (n** 131).

Soit

ff ^ 180° ; d'où cos f == — I ,
on a

p = -; = A + c = F A ;

A — c

c'est le rayon vecteur correspondant au sommet A.

Remarquons maintenant que, si l'on change f en — f,
cosf ne change pas, et qu'ainsi, Ton retrouve pour les
angles cFX, /iFX, mPX, DFX, etc., situés au-dessous
du premier axe, les mêmes rayons ^vecteurs.

D'où l'on voit que tous les points de la courbe sont
représentés par Véquation polaire qui a été établie.

Fie. i32. 283. Hyperbole. — En fixantle pd/e? au/byerF, ona,
d'après la valeur trouvée (n? 135) pour FM,

FM ou p = —- — A.

A

D'un autre côté,

X ou OP=OF — FP = c — p.cosMFP;

et si l'on convient, comme en trigonométrie, de compter
les angles à partir du seiks positif de la droùe fixe OX, ce
qui donne

cosMFP = — cosf ,
il vient

X z:r c -i- p, cos f.

Substituant cette valeur dans celle de p, on obtient

c (c H- û cos «)
"A ^'

d'où l'on tire

c'— A'

P =

A — c. cos f

Discussion. — Pour mieux faire comprendre les détails
de cette discussion , nous partirons de l'hypothèse (f = g(^"'^

ÉQUlTIOlfS POLiiaES DES TROIS COURBES DU 2^ DEGRÉ. 3oi

puis nous ferons décroître et augmenter successivement

l'angle (f.

Pour <f = 90**, on a

cos^ = o;

d^où

A — c. cos y = A ;
donc

c'est (n**1^) V ordonnée qui passe par le foyer F.

Uangle (f diminuant à partir de 90^, cos (f est positif et
augmente sans cesse; et, par suite, la quantité A — c cos f
diminue jusqu'à ce qu^elle devienne nulle, auquel cas on a

p = — ^ = 00,

résultat qui a besoin d'être interprété.

Or, de la relation

A — c cos «p == o ,

on déduit

A A

cos y = — =

d^ou

B

Ce qtd prouve que, si Ton mène par le pôle une paral-
lèle GFG' à l'asymptote LU, cette droite représente la
direction que doit prendre, dans Fhypothèse actuelle, le
rayon vecteur qui , d'ailleurs , est infini, comme on vient
de le voir.

Laissant, pour le moment, de côté, les valeurs de cp,
inférieures à l'angle GFX, faisons croître (f à partir de
90 degrés.

Alors cos (f devenant négatif et augmentant de plus en
plus nuMÉRiQUEBiEifT, A — 6* COS <f augmente également ,
et, par suite, p diminue , jusqu'à ce qu'on suppose

f = i8o*, d'où cos y = — I ;
ce qui donne

c»— A'

A+ c

= c — A=FB.

1

3o2 DES. COORDONNÉES POLAIRES;

FiG. i3a. D'où nous pouvons conclure que tous les points de li
branche supérieure BMM''^M''^ . • sont représenta par
Tëquation polaire qui a été établie ci-dessus , savoir : la
portion BMN, au moyen des valeurs de f, depuis 180
jusqu'à 90 degrés, et la portion NM'". . ., au moyen d«
valeurs de f , depuis 90 degrés jusqu'à l'angle GFX, cor-
respondant à tang (f = j'

Conune, d'ailleurs, en changeant (f en — f 9 on retron-
verait, ainsi que cela a eu lieu pour Y ellipse, les mêmes
valeurs de p, la branche inférieure ^W m"'ni" . . . est éga-
lement représentée par l'équation dont il s'agit.

Il suffirait, pour une ydXeviV positiue donnée à f , M'^FX,
par exemple , de décrire du point F comme centre , et d'un
rayon égal à la valeur correspondante de p, un arc de
cercle WDm"\ puis de prendre D/n'''= DM''.

Considérons maintenant les valeurs de (f injériewresk
l'angle aigu GFX.

L'angle <f continuant de diminuer ^ cos f reste encore po-
sitif et augmente sans cesse; par suite, A — ccosf, qui
était nul pour y = GFX , devient négatif et va en augmen-
tant NUMÉRiQUEMBH T ^ douc p , qui cst lui-mèmc négatij]
va sans cesse en diminuant, jusqu'à ce qu'on suppose

f =: O y d*OÙ cos 7=19

ce qui donne

expression qui , en valeur absolue, représente FÂ , et cor-
respond au sommet Â.

Ainsi , la partie inférieure de la branche de gauche de
l'hyperbole est déterminée par des rayons vecteurs, tels que
Fm\ mais en rayons négatifs,

La partie supérieure de cette même branche se déduit de
la partie inférieure, d'après l'observation déjà faîte, que le
changement de yen [ — ç] n'altère par l'expression de
cos <f.

284. Première remarque, — L'ellipse est représenu^

ÉQUATIONS POLAIRES DBS TAOIS COVRBES DU 2* DEGRÉ. 3o3

complètement en rayons positifs par son équation polaire ,
tandis que, pour Thyperbole, la branche de droite corres-
pond à des rayons positifs, et la branche de gauche à des
rayons négatifs.

Cela peut s^expliquer anafytiquement de la manière
suivante :

Dans Fellipse, le rayon vecteur partant du point F Fig. i3r.
a pour expression générale

ex

valeur qui reste toujours positive, quel que soit le signe de x.
Dans V hyperbole , au contraire, l'expression Fie. i32.

--A
A ^'

qui est positis^e pour tous les points de la branche de droite y
devient négative pour la branche de gauche, puisqu' alors
xest négatif Si l'on voulait obtenir celle seconde branche
en rayons positifs, il faudrait d'abord changer x en — x:
ce qui donnerait

'=-(?-*>

puis, comme on a, d'après la figure, pour le point m!, sur
la partie inférieure de cette branche,

X on Op' = F/?' — f = p cos RFX — c = p cos f — c,

il viendrait

c(ùCO%9 — c)

P=-- A ^'

d'où Ton tirerait

* A -H c ces f

Pour la partie supérieure, l'expression du rayon vecteur
resterait la même, puisque

cos ( — ?) = ces y.

285. Deuxième remarque. — Le changement de signe
pour les rayons vecteurs de l'hyperbole est analogue à celui
qui a lieu pour les sécantes trigonomé triques.

3o4 DES COORDONNÉES POLAIRES;

On sait , en effet , que pour une sécante positii^e, lextré-
mité de l'arc se trouve placée entre le centre et lextrémité
de la ligne , c*est-à-dire sur la sécante elle-même, tandis
que , pour une sécante négatwe, l'extrémité de Tare tombe
sur le prolongement de la ligne et en sens contraire de celui
où l'on compte cette sécante.

De même, pour les rayons vecteurs positifs^ le point
correspondant de la courbe se trouve placé sur la direciion
même du rayon; tandis que, pour les rayons négatifs y le
point de la courbe est situé sur le prolongement de ce
rayon et en sens contrait^ de sa direction.

Fie. i33. 286. Parabole. — Le pôle étant en F, le rayon vecteur
FM a (n** 142) , pour expression

mais on a

X ou AP = AF — PF = ^ — P.cosMFP,

ou bien , a cause de cos MFP = — cos f ,

p

X = - H- p cos ^ ;

ce qui donne

,- P

^ I — cos f

Discussion.

— Pour (f = i8o**, on a

cos tf = — 1 ;

par suite,

p = ^=FA.

Le sommet A se trouve ainsi déterminé.

À mesure que l'angle (f diminue j depuis i8o jusqu'à
90 degrés, cosç ne cesse pas d'être négatif et va toujours
en diminuant numériquement \ i — cos (p va donc sans cesse
en diminuant et p augmente continuellement.

Quand on suppose (f = 90**, d'où cos y = o , la valeur
de p devient

p=r/.=:FN;

c'est (n** 143) l'ordonnée qui passe par le foyer.

ÉQUAT. POLAIRE GOM M. AUX TROIS COURBES DU 2* DEGRÉ. 3o5

L*aiigle (f continuant de diminuer à partir de 90 degrés^
cos^ est positif et augmente sans cesse; donc i — cos^
diminue, et, par conséquent, p augmente de plus en plus,
jusqu'à ce qu'enfin on arrive à f = o^ auquel cas il vient

^ o

D'où l'on voit que pour toutes les valeurs de 9, depuis
180 degrés jusqu'à o, le rayon vecteur augmente conti-

naellement de - à Vinfini.

Même conséquence d'ailleurs que pour I'ellipse et Thy-
PERBOLE, en ce qui concerne les valeurs négatii^es attribuées
à l'angle 9.

Ainsi, la parabole est, comme V ellipse, représentée
complètement en rayons positifs par son équation polaire.

287. Équation polaire commune aux trois courbes du
SECOND DEGRÉ. — Ou pcut Comprendre dans une seidc for^
mule polaire les trois courbes du second degré. Mais, pour
cela, il est nécessaire de modifier Téquation polaire de I'el-
lipse, en prenant pour pôle le point F' au lieu du point F^
afin de donner à ce pôle une position analogue à celle qu'il
occupe dans les deux autres courbes.

On a (n® 126), pour le rayon vecteur F' M , Fio. 1 3 1 *

ex
p = A4-— 5

mais

JT ou 0P= F'P — OF'=p.costp — Ci

donc

. c(p.cosy — c),
P = A-* ^; '

d'où

— A'— g'
^ A — c cos (f

Gela posé, si, dans cette équation et dans celle de Thyper-

BOLEln^^aSS),

c'— A'

0 = z '

A -^ c cos ff

on remplace A* — c* et c'— A' par B*, il vient, pour l'une

Âp, de VAL à la G. ^O

3o6 DES COORDOKliÉBS POLAI&E».

et Vautre 9

B' A

P =

A — « cosf

B* e

d'où, posant — =/?, -- = tf.

,--co.t

p=— -e —

•^ I — e ces f

La quantité e ou r- (qui exprime, comme on Fa vu au

n^lSl, le rapport des distances d'un point quelconque
de la courbe à Vun des foyers et à la directrice placée du
même côté que ce foyer à Fégard du centre) , a reçu, dans
V ellipse et Y hyperbole ^ le nom d'BXCESTHiciTé.
Dans la première , on a

e zzi ^ — y doù tf<[i;

A

dans la seconde,

ez=.^ ; d'où e>i.

A ' -^

Quant à la parabole y comme son équation polaire

o = — P_

* 1 — COSf

peut être déduite de la précédente, en faisant e = i, il en
résulte que l'équation

p = __^p —

* I — e cos f

représente à la fois les trois courbes , savoir :

V ellipse y pour e <^ i,

V hyperbole f pour e > i,
et la parabole, pour e = i .
N. B. — Pour que l'excehtricité e ait une significa-
tion dans le cas de la parabole, il faut admettre que c
et A deviennent infinis à la fois ; ce qui est vrai (n^ 144) ;

et alors on a

oo_

Nous renvoyons au huitième chapitre la discussion de
quelques équations particulières de cette espèce.

QUESTIOUS SE RAPPORTANT AUX COURBES DU 2* DEGRÉ. 3o7

CHAPITRE VIL

QUESTIONS SE RAPPORTANT AUX COURBES DU SECOND

DEGRÉ.

Après avoir exposé séparément , dans les précédents cha-
pitres, les propriétés de chacune des trois courbes du se-
cond degré, nous nous proposons, particulièrement, dans
ce chapitre, de traiter des questions qui se rapportent aux
trois courbes considérées ensemble.

288. Première question. — Étant donnée, pour un sys-
tème d'axes rectangulaires , Técpaation

qui comprend (n^ 146) les trois courbes du second degré.
Rechercher, dans le plan de chaque courbe, les points

tels que leur distance à un point quelconque de la courbe

soà une fonction rationitelle de Fahscisse de ce dernier

point.
On sait déjà que les foyers jouissent de cette propriété,

puisque Fexpression de leur distance à tout point de la

courbe est

ex , ex

. pour V ellipse.

ex , ex ^
-— -+- A et -- — A . .

A A

. . pour V hyperbole ,

x + ^

. . iûo\xt\^ parabole.

2.

11 8^ agit donc de savcnr s'il existe d'autres points qui satis-
fassent à la même condition .

Désignons par x', ^, les coordonnées du point cherché,
X, y représentant d'ailleurs celles d'un point quelconque
de la courbe.

On a , pour Texpression générale de la distance entre ces
deux points ,

20.

3o8 QUESTIONS SE RAFPOKTANT

ou^ remplaçant y par sa valeur tirée de Féquation (i),

D = ya;' — 2 or'a: -I- J?'' -f- 'i>px -h qx^ — 2^ y^iipx H- qx^ +/'•

Cette expression , présentant deux radicaux qui se re-
couvrent, restera nécessairement, d'après les principes de
l'Algèbre , irrationnelle tant que le petit radical subsistera
sous le grand*, il faut, par conséquent, que Ton ait

2^' ^ipx -f- qx^ = O.

Mais celte condition doit, suivant l'énoncé, être satisfaitt'
pour toute valeur àe la variable x^ elle se réduit donc.
pour la question qui nous occupe, à la relation

d'où l'on voit déjà que, s'il existe sur le plan de la courbe
des points dont la distance à un quelconque de ses points
soit rationnelle en x, ils doii^ent être placés sur Vaxe des\.
Dès lors l'expression ci-dessus se réduit à

D := ^X^ — 2 x' X -H x'' -h 2/?Jr -h qx^y

ou

(2) D = \J(\-^ q)x^— 2 (*' — /? j^x -^-x'^

Or, il résulte encore des principes de l'analyse algébri-
que , que la quantité soumise à ce nouveau radical ne peut
être un carré qu'autant que Ton a

4{X'-/,)^=4(I4-Ç)y% ou (x'^pY=z[l-^q)x'\

ou bien , en effectuant les calculs et réduisant ,

(3) qx^^'\'lipxf — ^'=0.

Discutons maintenant cette équation de condition eii
considérant successivement chacune des trois courbes, et
en commençant par le cas le plus simple , celui de la pa-
rabole.

On a , dans ce cas (n^ 146) ,

^ = 0;
et l'équation (3) se réduit à

2/?x' — /?'=o; d'où x' = "^«

AtX COURBES DU SECOND DBGllÉ. 'iog

La valeur de D devient d'ailleurs

d = y/

x^-hpx -{- Ç- = x4--

D'où il suit que , pour la parabole , il n'existe qu'ii/i seul
point susceptible de satisfaire à Ténoncé de la question ^ et
ce point n^est autre que Xefoyer^ tel qu'il a été déCni au
aM41.

Ellipse. —On a (n** 146)

B' B»

ce qui donne , pour l'équation ( 3 ) ,

B» ,, 2B» B*

A» A A' '

oa , simplifiant ,

.r'»— 2Ax'-f-B^ = o;

donc

«' = A zt \Jik} — B* = A ± c.

Ainsi, pour l'ellipse, il existe deiio: points satisfaisant à
l'énoncé 9 et ces points ne sont autres^ que les foyers, tels
qu'ils ont été définis au n^ 124.

Si Ton porte la première valeur de x' dans l'expres-
sion (a) en même temps que celles de p et de ^, on trouve ,
eu désigtiant par D' la distance qui se rapporte au foyer de
droite ,

/a» B' 7 B^\

D'=:i/ — —-x'^2 (ah- c— -■ jx-h (A-f-c)',

ou, remplaçant B' par A* — c',

D'=y/-j; — (A + c)x + (AH-c)'.

La quantité soumise au radical est évidemment le carré
de -j- — ( A -4- c) , ou de A -I- c —\ et afin de savoir la-
quelle des deux racines il convient de prendre , pour obte-
nir, comme cela doit être, une valeur positive de D', il

3lO QUESTIONS SE K4PPOIITAKT

suffit de remarquer que, pour une valeur de x moindre
que A , -T ( A -h c) serait négatif.

C'est donc A -h c r- qu'il faut prendre; et l'on a

<^

ex

D' = A 4- c --•

A

• Quant à la seconde valeur x'=A — c, reportée daos
Texpression (a) , elle donne

d'où l'on tire la racine unique en valeur positive,

D"=^ + A-r.

A

En faisant la somme des deux distances D' et D^, on obtient

D'+D''=aA.

Cette propriété constitue, comme on Ta vu au n^ 124 , la
définition géométrique de l'ellipse.

Opérant d'une manière anal(^uepour Thypeiuiole, on
parviendrait aux résultats suivants :

0/*+ aAo/— B»= o,
d'où

4f'= — A±\^A'-f-B» = — A±c,

ex ex

D'=-^^c-A, D"=^ + c-!-A, ^

D"— D'= 2A;

ce dernier résultat n'est autre chose que l'expression de la
propriété qui (n^ 134) a servi de définition à FnTPERBOLE.

N. B, — On a supposé, dans renoncé de la question
qui vient d'être traitée, les axes rectangulaires.

H en devait être ainsi; car, si les axes étaient obliques,
l'équation de la courbe conservant la même forme

jr»= 2px -h gjc\

on aurait (n^ 49) , pour rexpression de la distance D^

AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ. 3 1 I

et le terme

^xx.cos9, ou ar y2^x-ï-^4P*.cos ô

qui entrerait alors sous le grand radical , restant irrationnel
pour une valeur de x quelconque, la valeur de D ne pourrait
généralement se réduire à voie fonction rationnelle de x.

289. Seconde question. — Déterminer la nature et
la position des diamètres dans les trois courbes du second
degré.

[Nous avons déjà résolu cette question séparément pour
chaque courbe, en les traitant toutes les trois par une mé-
thode analogue ; nous nous proposons maintenant d^arriver
au même résultat, en considérant les trois courbes ^/mu//a-
nément.^

Rappelons, d'abord, qu'on nomme diamètre d'une
courbe, le lieu géométrique des points milieux d'une
série de cordes parallèles menées dans une direction quel-
conque {voyez le n®177).

Gela posé , prenons Téquation générale des courbes du
second d^rë,

(i) A7'4-Bxr-+-Ca?»-h D^-h Ex-f-F = o,

les axes étant (n^ 154) rectangulaires ou obliques.

Appelons a , i , les coordonnées du point milieu d'une
corde quelconque de la courbe , et concevons qu'on trans-
porte V origine des coordonnées en ce point , sans changer
la direction des axes ; il suffit, pour cela (n^ 114) , de chan-
ger dans l'équation (i)

jr en «-+-«, jr eny -{^ b\

ce qui donne la transformée

A/'-i-B jy H-Cx» -4- (a Aft -h BtfH- D)^ H- (î Ca -4- B* -h E) * -h F' = 0 j
(F'=A**-»-B4i6H-Cii«-HD*-f-E4H-F).

D'un autre côté, l'équation de la corde rapportée à ce
même point comme origine, est nécessairement de la forme

(2) y = mx\

et, si l'on substitue cette valeur àey dans la transformée,
on arrivera à une équation en x qui , étant résolue , donnera

3ia QUESTIONS SE RAPPORTANT

les abscisses des deux points (ï intersection de la corde avec
la courbe.

Opérant cette substitution , Ton obtient

(Ain«-4-Bnn-C)a*-i-[(aAft-4-B<n-D)i»n-2Cii-l-B&-*-E]x-+-F=o,

équation dont les deux racines doivent être égales et de
signes contraires^ puisque le point [a, J], milieu de la
corde, est supposé, pour le moment, V origine des coor-
données.

Pour exprimer cette condition analytiquement y il faut et
il suffit , d* après les principes de TÂlgèbre , que le coefficient
de .r , dans Féquation ci-dessus , soit égal à o , ce qui donne
la relation

(3) (aA^ H-Brt -hD)m 4- aCa H- Bô-f-E=:o.

Les deux valeurs de x étant , sous cette condition , égales
et de signes contraires , il en est de même de celle de /,
en vertu de Téquaiion (a).

Remarquons maintenant que, pour toute valeur de m
déterminée, la relation (3) convient aux coordonnées des
points milieiix de toutes les cordes parallèles à celle que
nous avons considérée en premier lieu, et ne peut convenir
qu'à ces points 5 d'où il suit qu'elle représente leur lieu géo-
métrique.

Comme celte équation (3) est àa premier degré en a, &,
on peut déjà conclure que

Tous les diamètres des courbes du second degré sont
des lignes droites.

De plus , cette équation est évidemment satisfaite lors-
qu'on y fait en même temps

aA^ H- B^ H- D = o, aCû + B^ H- E = o.

Or, ces deux nouvelles relations sont pr^isément (&^163)
celles qui servent à déterminer le centre de la courbe.
Donc tous les diamètres passent par le centre.
Tant que Ton a

B«— 4AC< ou >o,

les deux valeurs de a , &, sont réelles et finies^ elles devien-
nent infinies pour

B'— 4AC=r o;

AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ. 3l3

ce qui levient à dire que dans la parabole tous tes dia--
mètres sont parallèles,

290. Troisième question. — Une droite étant menée
à volonté dans le plan d*une courbe du second degré, si,
de chacun de ses points^ on mène deux tangentes à la
courbe, et quon joigne les deux points de contact corres-
pondants, toutes ces lignes de jonction jouissent de la
propriété de concourir en un même point. — Fixer la po^
sàion de ce point de concours.

[Cette propriété n'est autre que celle qui a été déjà éta-
blie pour chacune des trois courbes (n^* 212, 242 et 276 ).J

Concevons que Ton ait mené d'abord parallèlement a
la droite donnée une tangente à la courbe, puis le diamètre
passant par le point de contact ; et prenons pour système
(Vaxes ce diamètre et cette tangente, en choisissant le dia-
mètre comme axe des x.

L'équation de la courbe rapportée à ce système est
nécessairement de la forme

(i) j^'= 2/w: + mx^,

m ^in ayant des acceptions déterminées pour chacune des
trois courbes.

Cela posé, le coefficient d^ inclinaison dans Péquation
d'une tangente menée par un point quelconque [x'yj^']
de la courbe, ayant (n^ 102) pour expression

n -f- mx^

7 '

on a , pour Téquation de cette tangente ,

r — r = — -y — {x-j^h

ou, simplifiant,

(a) jjr* z= « (x -h y) -f- max*.

Maintenant, supposons qu^on veuille mener une tan-
gente par un point [«9 |3] pris hors de la courbe et sur la
droite donnée.

On est conduit, en raisonnant comme aun^i93, aux deux
relations

^ui peuvent servir a déterminer x^ et j'.

3l4 QUESTIONS SE RAPPORTAIT

Mais il est plus simple (n^ 194) de substituer à rélimi-
nation la construction de ces deux équations, dont la der-
nière représente la courbe donnée.

Pour construire la première , qui est celle de la droite
passant par les deux points de contact , il faut faire, dans
cette équation, successivement

y = o et a/ = o ;
ce qui donne

x'= — et /=---.

Le premier de ces deux résultats, x! ^=z 9 étant

* /«a 4- «

indépendant de l'ordonnée 6 du point pris à volonté sur la
droite donnée^ on est en droit de conclure que, quelque
soit le point de cette droite par lequel on mène les deux
tangentes à la courbe, Tabscisse du point où la ligne de
contact rencontre l'axe des x, est constante et a pour ex-
pression

na.

m a -h n

Donc , toutes les lignes de contact se rencontrent en un
même point, gui est situé sur le diamètre pris pour axe
des X.

291. Remarque. — Tant qu'il s'agit d'une ellipse, le
système d'axes qui a servi pour la démonstration de la pro-
position peut toujours être employé. Il n'en est pas de même
pour les deux autres courbes.

Ainsi, pour la parabole, si la droite donnée est ud
diamètre, on ne peut prendre pour système d'axes un
diamètre et une tangente parallèle à cette droite, puisque
dans cette courbe tous les diamètres sont parallèles.

Mais rien n empècbe alors de choisir la droite donnée
pour axe des x, en prenant comme axe des jr la tangente
au point où elle rencontre la courbe ; on a ainsi un système
d'axes tout à fait analogue au précédent.

Seulement le point de concours est , dans ce cas particu-
lier (n^ 276) , situé à Y infini^ c'est-à-Kiire que toutes Us
lignes de jonction des points de contact sont parallèles à
la tangente.

AUX COURBES DU SBCORD DEGRÉ. 3l5

A regard de Thyperbole, il y a lieu de distinguer deux
cas :

Ou la droite donnée forme avec le premier axe , du côté
des X positifs , soit un angle aîgu plus grand que celui

B

dont la tangente trigonométrique a pour expression -f* j9

soit un angle obtus moindre que celui dont cette tangente

B
est — - ; et alors, comme il est possible (u^ S30) de mener

une tangente parallèle à la droite donnée, on peut avoir
recours au système d'axes indiqué.

Ou BIEN Fangle que la droite donnée forme avec le
premier axe, est, suivant qu'il est aigu ou obtus, moindre
oa PLUS GRAND que ceux qui ont respectivement pour taii^
gentes trîgonométriques

B B

■^Â ^' -À'

et alors la construction précédente est impossible.

Dans ce cas , c'est le diamètre parallèle à la droite donnée
qu'on cboisit pour axe des jc, en prenant comme axe des y
la tangente passant par le point de rencontre du diamètre
avec la brancbe de droite de la courbe.

L'équation n'en est pas moins de la forme

/*=r 2/M7 4- «!«%

et l'on reconnaît que le point de concours est placé sur te
diamètre parallèle à la droite donnée,

29â. Quatrième question. — Une portion de courbe
du second degré étant tracée sur un plan^ — i^ déter-
miner sa nature^ — o? achet^er cette courbe et en déter-
miner les axes ainsi que les éléments principaux y tels que
les sommets, les foyers, etc.

Premièrement. — Tracez successivement deux systèmes

de deux cordes parallèles, et joignez les points milieux de

chaque système par une droite^ vous obtenez ainsi (n^ 177)

deux diamètres de la courbe.

Il peut alors se présenter trois cas :

Ou les deux droites de jonction sont parallèles ; auquel

cas la courbe est nécessairement une parabole.

3l6 QUESTIONS SE RÀPPOIlTA«T

Ou les deux droites se rencontrent en dedans dalaLCOurhcy
qui est alors une ellipse.

Ou BIEN enfin , ces droites se rencontrent du côté de la
convexité de la courbe qui, dans ce cas, ne saurait être
qu'une hyperbole.

Secondement. — Traitons séparément chacun des trois
cas :
FiG. 1 34 • Supposons , en premier lieu, que la courbe tracée, M AB m,
soit une portion de parabole.

Soient AX un des diamètres construits, et Mm une des
cordes que ce diamètre divise en deux parties égales au
point P.

Appelons sp' le paramètre à ce diamètre pris pour axe
des X, la tangente au point A étant Taxe des^.

On a l'équation

jr^= np'x; d'où — = 2/?',

ou , remplaçant jr et x par les valeurs particulières MP et
AP que donne la figure.

D'où l'on voit que le paramètre ap' au système actuel
d'axes conjugués est une troisième proportionnelle aux
lignes connues AP et PM, et doit être lui-même regardé
comme déterminé.

Cela posé, élevons au point A, sur la droite AX, une
perpendiculaire AY'; puis concevons que l'on ait construit
sur le système d'axes AX , AY' une parabole ayant pour
son paramètre principal ip* et que l'on ait ainsi obtenu la
courbe NAN'.

Maintenant, d'un point quelconque N de cette courbe,
abaissons la double ordonnée NP'N', perpendiculaire sur
AX; puis, conformément à ce qui a été fait au n^274,
inclinons cette double ordonnée de manière qu'elle soit pfl-
rallèle à A Y, et prenons sur cette nouvelle ligne deux par-
ties P'M', P'm', égales à P'N, P'N'-, les points M' et m'
appartiendront à la courbe dont une partie seulement était
déjà construite.

AU& COURBES DU SECOND DEGRÉ. 817

On Toît ainsi qu^au moyen de la courbe auxiliaire y il est
possible d'obtenir autant de points que Ton voudra de la
courbe principale.

Il reste encore à déterminer Vaxe principal et le para- '
mètre à cet axe.

Or, si du point M', on abaisse une perpendiculaire sur
AX, et que, par le milieu de la corde M'D, on mène la
ivoiXe^Hj parallèlement au diamètre AX, on obtiendra
ainsi Vaxe principal,

louant au paramètre , il aura pour expression -^=- 9 ou

une troisième proportionnelle à Tabscisse BI et à For-
donnée M'I.

En second lieu, considérons la portion d'ellipse M A' AN ; Fig. i 35.
et soit G le centre déjà déterminé par la rencontre de deux
diamètres, A'X représentant la direction de l'un d'eux.

Prenons sur A'X une distance OB' égale à OA'; nous
obtenons ainsi la longueur a A' d'un diamètre*, et si nous
menons au point A' la tangente A' Y', qui est parallèle à
la corde MN divisée en deux parties égales par ce diamètre,
uous aurons pour F équation de la courbe rapportée au sys-
tème d'axes A'X, A' Y' (voyez le n« 144) ,

d'eu Ton déduit

V J? ( 2 A' — x)
on, remplaçant j^ et j: par les coordonnées particulières
MP et A' P, et A' par la longueur OA',

OA\MP

"~ V'Â1>{2 0A'— A'P) '

expression homogène qu'il est facile de construire d'après
les moyens connus.

[On construit le radical en décrivant sur A'B', comme
diamètre, une demi-circonférence, et élevant au point P ^

la perpendiculaire PK ; ce qui réduit la valeur de B' à la

OA'. MP

quatrième proportionnelle — ^ — • ]

3l8 QVBSTIOAS SE rappoetàht

FiG. 1 35* Connaissant les deux diamètres a A', a B', on peut ayoir
recours à la construction indiquée au n^ 210 pour obtenir
V ellipse entière dont MA' AN n'est qu^une partie.

Cette ellipse une fois tracée, on peut en déterminer tous
les éléments d'après les moyens exposés au n° 214.

En troisième lieu, si la courbe tracée est une portion
Shfperhole, on peut opérer comme pour Vellipse, en rap-
portant, de même, la courbe à un système d'axes tel^ que
son équation soit (n® 145) de la forme

r'=-^,(2A'x-+-x»),

d'où l'on déduit des constructions analogues aux précé-
dentes.

Les deux questions suivantes se rapportent spécialement
à Vellipse et à Vkyperbole.

293. Cinquième question. — Connaissant les lon-
gueurs d A', !iB' de deux diamètres conjugués d^une el-
lipse ou d^une htpeebole , et V angle 9 qu'ils /ont entre
eux, trouver les longueurs des axes a A, a B.

Traitons la question pour I'ellipsb.

On a obtenu (n^ 206) les relations

(i) A»^-B' = A'»-^B'^

(a) A.B = A'.B'.sin9.

Si , d'abord , on ajoute, membre à membre, l'équation (i)
et l'équation (a) préalablement doublée, et si, ensuite, on
retranche de la première la seconde ainsi préparée, il vient

( A -+■ B)» = A'» 4- B'»-h a A'. B'. sin ô ,
(A — B)'= A'»-hB"— aA'.B'.sinÔ;
d'où Ton déduit

A -+- B = V^A'^H-B'^+aA^B'-sinÔ,
A — B = \^A"h-B'»— aA'.B'.sinO;

et, par suite,

^ A = - A''-4- B'»-h a A'. B'. sin 0 -h - VA"-f- B''— a A'. B'. on 0 ,

a a

1 r-r rrr . . _. . - I

B = - \/A"4-B"-+-aA'.B'.sinÔ - - i/A''-t- B'»— a A' . B'. sin ».
a a

AUX COVKBES DU SBCOUD DBGUÉ. Sip

Ces Talears sont toujours réelles; car de la relation évi-
dente (A' — B')* > o , on tire

A'»-hB'»>2A'B',
et, à plus forte raison ,

A''H-B'»>2A'.B'.sînO.

Les quantités À + 6, A — B, sout susceptibles d'une
construction assez simple, d'où Ton peut ensuite déduire
celle des axes a A , a B.

A cet effet , remarquons d'abord que sin 6 peut être rem-
placé soît par cos (go** — 0) , soit par — cos (90° -4- 0) ; ce
qui donne

A -h B = )/â!'-{- B'»— aA'.B' cos (90° -h 0),

A— B = v^A'»-f- B'»— 2A'.B'.cos (90»— Ô).

Cela posé, soient tracées deux droites XX', YY', formant Fio. i36.
entre elles un angle X'OY' égal à Tangle donné 9, supposé
aigu, et soient prises sur ces droites, à partir du point O,
les parties

OC = OD = A'; OE = OF = B';

abaissons du point F sur XX', la perpendiculaire FP, et sur
cette perpendiculaire prolongée de part etd'auti*e, portons
de F en L et de F en G une longueur égale à OG ou A'; ti-
rons la droite indéfinie LOK, et la droite OG; puis, du
point O comme centre , et avec le rayon OG , décrivons une
circonférence qui rencontre LK aux points I et H.

Je dis que OL et 01 représenteront les valeurs de A + B
et de A — B,

En effet, l'angle OFP, dans le triangle rectangle OPF,
étant égal à 90° — 9, son supplément OFL vaut

iSo"— (90®— ô), ou 90**-+- 0;
d'où il suit que les deux triangles LOF, FOG donnent
OL = v^A^'H- B'» — 2 A' . B' . cos (90» 4- e) = A -f- B,
OG = VA'>-f-B'»- 2A'.B'.cos(90«— ô) = A — B.
Par suite, on a

LI = OL H- 01 =r OL 4- OG = 2A,
LU = OL — OH = OL — OG = 2B.

320 QUESTIONS SE RAPPORTAIIT

Ou résoudrait la même question pour THYPEaBOLE au
moyen des relations (n^ 2i0)

A'— B»= A'»— B"; AB = A'.B'.sin G.

294. Sixième question. — Réciproquement, étant
donnés les axes 2Â, 2B d'une ellipse ou d'une hyper-
bole, troui^er deux diamètres conjugués 2 A', 2V faisant
entre eux un angle donné 9.

Nous nous occuperons encore ici spécialement de I'el-

LIPSE.

En combinant , comme au numéro précédent , les deux

relations

A'» -+- B'> = A' -4- B%

smO
on arrive aux résultats

I / ,., A.B I

/a«+B' a.^^

2 V sm 0 2 V

^ sinO

Pour que ces valeurs soient réelles, il faut que l'on ait

A.+ B'>i^-, d'où sin9>-i^.

Afin d'interpréter géométriquement ce résultat, remar-
quons que de la condition légalité

• « ^AB

on déduirait

V (A'4-B»)» A«-4-B'

et, par suite,

tango =±^^;— 3-,.

Or, on a vu (n°* 184 et 185) que ces valeurs sont précisé-
ment celles qui correspondent au minimum et au maximum
des angles que peuvent faire deux diamètres conjugues
d'une ellipse , selon que Tangle de ces diamètres est aigit
ou obtus.

De plus, il résulte de ce qui a été dit mêmes numéros, que

AUX GOUkBES DU SECOND DEGRÉ. 321

les deux angles limites sont représentes {fig» loo) par
l'angle CBD et son supplément ACB.

C'est donc ainsi qu'il faut entendre la condition trouvée
pour que les deux valeurs de A' et de B' soient réelles.

Quant à ces valeurs, si Fangle donné 9 est tel que Ton ait

. ^ aAB

elles se réduisent à la valeur

«

qui , d'après la relation

A"-hB'' = A»4-B%

est bien celle des deux demi^'diamèires conjugués égaux

(i-qjrezlen^aOS).

Les deux diamètres étant déterminés en grandeur, pour
eu obtenir la direction , c'est-à-dire pour trouver l'angle a ,
que Tun d'eux forme avec le premier axe , il faut recourir
à la relation {n° 179)

tanga.taDga'= — --»

A

qui , à cause de

0 = a'— a, d'où a'=:9-f.a,

devient

A'tangatang(9 4- a) H- B'= o,

OU) développant tang (0 + a) ^

AMang* a H- (A'— B*) tang 9. tang a -f- B' = o.

Cette équation résolue donne

Cang«==^^^''^°'^^^g^±;^,^(A'~B'}'tong»Q^4A'B^

Pour que les racines soient réelles , il faut que tang* 0 soit
supérieur ou au moins égal h

4a^b*

(A»— B'y'

c'est-à-dire que l'angle 6 , s'il est aigu , ne soit pas moindre

2 AB
que celui dont la tangente est -— — —5 et s'il est obtus, ne

2AB

soit pas plus grand que celui dont la tangente est ~ — :

résultat conforme à ce qui vient d'être dit.

Àp. deVAUà la G. 21*

3 32 QUESTIONS SE RAPPORTANT AUX COURBES DU 2^ DEGRÉ.

Si la valeur donnée de Tangle 6 est telle que Ton ait

4A>B' ,, . ^ ±2AB

'ang'ô=--;-^, dou tango = ^^,-^,,

les deux valeurs de tang a deviennent

A»— B» /±:2AB\ B

tang« = --^^X^^f;:^,j=^z-;

ce qui donne , à cause de la relation tang a . tang a' = — -i

B , B

langa = — -rî tanga'=-f--?

ou bien les tangentes des angles que forment avec lepf^emier
axe, les diamètres parallèles aux cordes supplémentaires
BC, AC (Jig. loo).

Si Ton voulait traiter la question pour Thyperbole, on
se servirait des trois relations

AB B^

A'»— B'«=A'— B^ A' B'= -7— r-, tang a.lang (/=-♦- —

sm B ^ ® A'

295. Remarque. — Les deux dernières questions sont
comprises dans la question générale qu'on peut se proposer
de résoudre, pour Fellipse et I'hyperbole, au moyen des
relations obtenues entre les grandeurs et les directions des
axes principaux et celles des diamètres conjugués, savoir:

1°. Pour Tellipse ,

A"-f- B"= A» 4- B% A'B' sin Ô = AB,

tangataDga'= — —» 0=: «' — a;

A

2®. Pour I'hyperbolb ,

A'» — B'» = A' — B% A' B' sio 8 = AB,

B

'ï

tang a tang a' = + -— » 8 = a'

A^' "•

Ces relations renfermant sept quantités , A , B , Â', B', 0t, a ',
6, on peut, étant données trois de ces sept quantités, de-
mander de déterminer les quatre autres.

DISCUSS. DEl'ÉQ. GÊA. du %^ DEGRÉ PAR LA SÉP. DES VÀR. 3^3

CHAPITRE Vni.

§ I. — Discussion de l'équàtiow générale du second

DEGRÉ PAR LA SÉPARATION DES VARIABLES. §11. AP-
PLICATION DE CETTE MÉTHODE DE DISCUSSION A DES
ÉQUATIONS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR; ET DISCUSSION DE QUEL-
QUES ÉQUATIONS POLAIRES.

Nous nous proposons principalement, dans ce chapitre,
de montrer comment, par la résolution des équations du
second degré à deux variables^ c^ est-à-dire par la sépa-
ration DES VARIABLES, On peut déterminer la nature, la
forme, et même la position, par rapport à des axes quel-
conques , de la courbe représentée par ces équations.

Nous appliquerons, ensuite, la même méthode à des
équations de degré supérieur, susceptibles d^ètre résolues
immédiatement par rapport à l'une des variables; et nous
terminerons par la discussion de quelques équations po-
laires,

§ I. — Discussion de l'équation générale du second

DEGRÉ PAR LA SÉPARATION DES VARIABLES.

Division des courbes du second degré en trois genres.

296. L'équation générale
(i) Aj^'4- ^xy + Car» -f- Dj^ 4- Ex -h F = o

(dans laquelle on suppose A différent de zéro)^ étant ré-
solue par rapport à y, donne

2 A 2A^ ^ ' ^

ou, en posant pour plus de simplicité

** ^ 2a' "" aA' '^ ~" 4a' '

BD — 2AE D^— 4AF

n r= j j p = j — ,

4A' ^ 4A'

(2) jr = ax -\- b "liz yffix^-jr ^nx -^p'y

21.

324 DISCUSSION DE L^ÉQlîATlON GÉBÉRALE DU 2^ DEGRÉ

et Ton voit que chaque valeur de y peut être considérée
comme se composant de deux parties , Tune rationnelle en
Xy Vauit*e généralement irrationnelle j précédée du signe +
ou du signe — .
FiG. 137. La partie rationnelle ^ ax -i- b ^ est évidemment 1 or-
donnée y d^une droite

jr'z= ax -{- b^

qu'on peut d'abord consUiiire et représenter par une ligne
telle que CBL (^), rapportée, ainsi que la courbe, à uu
système d'axes quelconques, AX, AY.

Cette droite étant construite, il est également clair que,
pour obtenir les deux points de la courbe qui correspon-
dent à une abscisse quelconque, x = AP, il suffit de porter
sur l'ordonnée PN de la droite , et à partir du point N, deox
distances NM , NM', en sens contraire , et égales à la valeur
numérique du radical. Les points M et M' ainsi obtenus,
sont deux points de la courbe.

Comme la même construction peut se répéter pour toute
valeur donnée à x , on peut déjà conclure que la droite CBL
jouit de la propriété de passer par les milieux d'une série
de cordes de la courbe, parallèles à l'axe des j^; donc celle
droite est un des diamètres de la courbe (n^ 177).

Maintenant, il faut examiner 'Sous quelle condition la
quantité mx* H- 2 nx H- p, soumise au radical , est positive
ou négatii^ey ce qui doit déterminer la réalité ou Viniagi-
narité des valeurs de y correspondant à une certaine va-
leur de .r.

Or l'Algèbre nous apprend que , dans tout trinôme du
second degré en x, le signe que reçoit ce trinôme pour des
valeurs particulières de x dépend essentiellement de celui
du terme en x*.

Nous sommes ainsi conduits à examiner les différentes
circonstances qui peuvent se présenter suivant que m ou

— jY^ — > coefficient dex', ou seulement B* — 4AC, est

négatif on positif,

( *} Voir la note du n^ |2S4 au bas delà pa^e 171.

PAR LA SÉPARATION DES VARIABLES. 3^5

Mais îl est nécessaire aussi de traiter le cas où cette
quantité est nulle; et c^est par cette hypothèse que nous
commencerons, comme donnant lieu k la discussion la plus
simple.

Première hypothèse , W — 4AC = o.
297. L'équation (2) se réduit, dans cette hypothèse, à

(3) jrz= ax -h If zh yiinx -h pf
OU

(4) y = ax -h b ± \/ ^"(x -h — Y

Soit, d'abord, fait Fig. 137.

ar -h — = o, d'où or = — — ;
2/1 2/1

on ei^prime par là que le radical est nul, et , par suite , que,
pour Tabscisse particulière

AD = -- ^,
2/1

Tordonnée de la courbe devient égale à Tordonnée DE du
diamètre -, donc E est un point où la courbe rencontre son
diamètre.

Maintenant il peut se présenter trois cas : la quantité n
esl positive y négatwe ou nulle,

I®. Si n est positif, Tiuspection de Téquation (4) prouve
que toute valeur de j:, telle que AP, plus grande que

— — f rend positif le second facteur de la quantité sou-
mise au radical , et donne par conséquent pour j^ des valeurs
réelles.
D'ailleurs , à Thypothèse

:f = — ^

2/2

correspond

^= fljp H- ^ ±0;

d'où Ton peut conclure qu'à partir du polut E, où la courbe
est (n° 98) tangente à la droite DEH, cette courbe s'étend
indéfiniment tant au-dessus qu'au-dessous de son diamètre,
et dans le sens des x positifs.

3a6 DISCUSSION de L*ÉQUÀTI0N générale du 2*^ DEG&é

Fie. 187. §i l'on donnait à x des valeurs /;/tti petites que — ~i

la quantité soumise au radical deviendrait négaiiue, et le
radical serait imaginaire^ ce qui montre que la courbe ne
peut a\foir aucun point situé à la gauche de DEH.

Cette droite DEH peut donc être considérée comme une
limite de la courbe, dans le sens des x négatifs.

a^. Si n était négatifs on serait évidemment conduit à des
conséquences tout à fait contraires^ c*est-à-dire que, dans
ce cas , la courbe ne pourrait ax^oir aucun point situé à
droite de DEH^ mais elle s^étendrait indéfiniment à la
gauche de cette même droite.

On voit ainsi que, dans Tun comme dans l'autre cas, la
courbe est illimitée dans un seul sens.

3^. Soit Ft = o; ce qui réduit Féquation (3) à

^ = flx -f- A it v^«

Il y a lieu , dans ce cas , de faire des hypothèses sur la quan-
tité p elle-même , qui peut être positive ^ nulle ou négative.

Si p est positifs les deux valeurs de y sont constamment
réelles pour toute valeur donnée à X] mais comme Féqua-
tion est alors du premier degré , elle représente un système
de deux droites^ et ces droites sont pàhàllèles, puisque le
coefficient de x est le même dans les deux valeurs de j.

Si p est nul y le radical disparait, et Féquation représente
une seule droite.

Enfin , si p est négatij^ le radical est imaginaire, et Fé-
quation ne représente plus rien.

D'où Fon voit que le cas de n = o donne, comme variétés
de la courbe que notis discutons, un système de deux
droites parallèles, ou une seule drryite, ou bien, deux
droites imaginaires.

Deuxième hypothèse, B' — 4 AC <[ o.
298. L'équation (a) peut être mise sous la forme

(5) y=: nx -\- b±\/ m ^x' -h — JC -♦-

m

PA& LA SépAftATIOV DES VARIABLES. 3^7

et si, pour obteuir le point où Fordonnëe de la courbe se
réduit à celle de son diamètre, c'est-à-dire le point de
l'encontre de ces deux lignes , on pose

9./I p

il vient

6) jf'H X -h i- =o,

m m

= -^±' v«"

mm'

Il peut alors se présenter trois cas : les racines de l'é-
quation (6) sont réelles et inégales, réelles et égales y ou
bien , iniagînaîres.

Premier cas. — Désignons par x\ x^' les racines qui Fie. i38.
sont, en général, de signes quelconques, mais que, pour
leur construction , nous supposerons , par exemple, toutes
deux positives.

Soient AD = x\ AD' = x"\ et menons les droites DG ,
lyC, parallèles à AY; les points E , E' seront les points
d'intersection de la courbe avec son diamètre BL.

D'un autre côté, le trinôme x*H x H- — pouvant,

m tn

d'après les principes algébriques, être mis sous la forme
(x — x') [x — x") , Tëquation (5) devient

(7) ^=flx-4- 6 ifc Vm(x — ar')(j:— x"*).

On sait, d'ailleurs, qu'en donnant à x des valeurs com-
prises entre x' et x'', on obtient pour la quantité sous le
radical, des résultats de signes contraires à celui de m qui
est ici supposé négatif; donc ces résultats sont positifs, et
les valeurs correspondantes de y sont réelles.

Au contraire, toute valeur de x, non' comprise entre
xf et x'\ donnant des résultats de même signe que m , il
ne peut correspondre à ces valeurs de x que des valeurs
imaginaires pour j^.

D'où l'on est en droit de conclure que la courbe est entiè-
rement renfermée entre les parallèles DG, D'G', qui lui
sont tangentes y et qui la limitent tant dans le sens positif
que dans le sens négatif àe Taxe des x.

1

3^8 DISCUSSION DB L^ÉQUATIOB GÉNÉRAtE DU 2* DEGEÉ

Fie. i38* La variable Jc ne pouvant recevoir que des valeurs^/iÂei,
dont la plus grande est AD' et la plus petile AD, il résulte,
de réimpression de ^ en cr , que les valeurs de y correspon-
dant à chaque valeur de x doivent être elles-mêmes des
quantités finies.

Pour obtenir la plus petite et la plus grande valeur de
cette seconde variable, il suffirait de résoudre l'équation
par rapport à a:; ce qui donnerait un autre diamètre. En
cherchant les points dMntersection de la courbe avec ce
diamètre, et menant par ces points des parallèles à Taxe
des JT, on aurait les limites^ dans les deux sens des y P^^^'
tifs et négatifs. — (Nous verrons plus loin qu'il existe deux
limites plus avantageuses que celles-ci).

La courbe est donc limitée dans tous les sens.
Deuxième cas. — Si les racines de Téquation (6) sont
réelles et égales y on a, entre les coefficients du trinôme du

second degré, la relation

a'

/?* — pm = o (*): d'où o = — ,

m

et l'on obtient alors la racine unique

n
m

Appelons x' cette racine; V équation (7) devient

^ = ax H- fc ± ^ m (x — a:')S
OU

jr=: ax -^ A dt (x — x') \in.

Or, m étant, par hypothèse, négatif, les valeurs de/
seront imaginaires tant que l'on donnera à x des valeurs
autres que x\

Mais pour a? =;f x' on trouve

d'où Ton peut conclure que, dans le cas qui nous occupe,

(*) La relation n* — pm := o exprimée an moyen des coefficients A, Bi C,
D , etc., derient

(BD-aAE)«- (D»-4AF)(B*— 4AC) = o,

ou, eiTectuant les calculs et simplifiant , ^

A.E« + C D«H-F.B« — BDE-4ACF = o.

PAR hJ^ SÉPARATION DES VARIABLES. 3^9

la coari>e se réduit à un point représenté par le système des
deux équations

Troisième cas. — Les racines étant supposées imagi-
naires, on doit avoir la relation

/i' — pm < o ,
ou

/?' <^ pm ,

{p est nécessairement négatif comme m) ; et, par suile, on a

p ^ n* p n^

i-> — , ou i- = — +^»,
m ^ m^ m m^

k^ désignant un nombre essentiellement positij.
Dès lors y Téquation (5) devient

OU

X= ax -i-

&±i//n(x-»- — ) H- //iX' ;

et cette expression de y est toujours imaginaire, quelque
valeur qu'on donne â x.

Ainsi, dans ce cas, il n'y a pas de courbe; en d'autres
termes, la courbe est imaginaire.

Donc, à l'hypothèse générale B* — 4AC<o correspond
une courbe limitée dans tous les sens, ayaut pour variétés
on point et une courbe imaginaire.

N. B. — Le cercle ne peut se reconnaître comme variété
de cette courbe, par la simple séparation des variables*, il
faut avoir recours aux caractères qui ont été établis au
nM61.

Troisième hypothèse, B* — 4 AC ]> o.

209. Dans cette hypothèse, comme dans la précédente,
il y a lieu de distinguer les trois cas qui se présentent,

suivant que les racines du trinôme x^-\ x H- ~ sont

* mm

réelles et inégales, nulles ou bien imaginaires.

Dans le premier cas, en construisant les deux racines Fio. 189.

AD == x', AD' = x^^ puis menant les droites indéfinies

DG, D'G', parallèles à AY, on obtient E, E' pour les

points où la courbe rencontre son diamètre.

330 DISCUSSION DE L^ÉQUATION GÉSCÉRADE DU a* DEGRÉ

FiG. 139. L'équation (a) devient alors, comme précédemment,

^= flj? + b zh yjm [x — x') (x — x'');

et il est facile de reconnaître :

1**. Que toute valeur de x, comprise entre x' et x*,
rendant la quantité soumise au radical, de signe contraire
à celui de m, qui est ici supposé positifs donne lieu à des
valeurs imaginaires pour y^ et qu^ainsi la courbe ne peut
avoir aucun point situé entre les deux droites DG et D'G';

2^. Qu'au contraire, pour une valeur quelconque dex,
inférieure ou supérieure aux deux racines , les valeurs de j^
correspondantes sont réelles, et, par suite, qu'à partir
des points E, E' où la courbe est (n^ 98) tangente aux
droites DG, D'G' (puisqu'en faisant x = x', oux = x*,
on trouve y=aj:H-A±o), la courbe s^ étend indéfi-
niment tant au-dessus qu'au-dessous de son diamètre y
dans le sens positif y comme dans le sens négatif de taxe
des Y.

Elle se compose donc de deux branches opposées, ayant
pour limites de séparation les droites DG, D'G^

Dans le secoud cas, celui ou Ton a

x"= x'

ce qui entraine la condition

n^— pm z= o (*),
Téquation ci-dessus se réduit à

y= ûxH- b ziz{x — x') ^m ,

équation du premier degré représentant un système de
deux droites qui se coupent sur le diamètre, au point dont
les coordonnées sont

X = x', jr=z ax'-^- by

puisque pour x = x' le radical disparaît et que l'or-
donnée correspondante de chacune de ces deux droites se
réduit à celle du diamètre.

( *) La relation n*— /ymzso devient, comme dans l'hypothèse 6*^4 ^^ ^^
( foir la note , page SsS ) ,

A.t'-h C.D'-+-F.B*- BDE — /| ACF = o.

PAR LA SÉPAHATION DES VARIABLES. 33 1

Le TROISIÈME CAS douiie lieu à une circonstance remar- Fie. i4o.
quable.

Les racines du irinôme x^-\ x -f- — étant imasi-

mm °

noires, on doit avoir la relation

n* — pm <; o ,

d^où

n'<,pm,

[p est uéccs5aireinent/7orài]f comme m) ; et, par suite, on a

— ^ — -t ou — = — - -4- A'.
mm* m m^

L'équation (a) du n^ 296 devient alors , comme dans la
deuxième hypothèse [n? 298) ,

X= ax-h

ù±i/mlx^ ) H- mX».

IViise aous cette forme, elle démontre :

i". Que le radical ne peut jamais être nul, quelque
valeur qu'on donne à or ; ce qui revient à dire que la courbe
ne rencontre p€is son diamètre BL ;

Oi^, Que pour toute valeur de x le radical est réel, et
qu'il augmente indéflniment jusqu'à Vinjini, tant dans le
sens positij que dans le sens négatif Ae Taxe des x\

3°. Que, pour obtenir le minimum du radical, il faut
poser

n
m

x-\ = o;

d où Ton déduit

n
m

et, par suite.
Les deux quantités

9 et ^mÂ* ou i/

mp — /i'

m

peuvent être facilement déterminées dans cbaque exemple
particulier.

Soit AC = ; et menons du point C une parallèle

CF à Taxe A Y, puis prenons sur cette parallèle, à partir

33a DISCUSSION de l'équation générale du 2^ DEGRÉ

Flû. i4o. du diamètre, deux distances OH, OH' égales k l/

mp — «'

les points H , H' seront les points de la courbe les plus
rapprochés du diamètre BL ; en sorte que , si Ton trace par
ces points les droites DG, D'G', parallèles à ce diamètre,
on aura deux limites entre lesquelles il ne saurait exister
aucun point de la courbe, qui alors s'étend indéfiniment
au-dessus et au-dessous de ces parallèles y tant à droite
qu*à gauche de CF , et de plus est tangente à ces mêmes
parallèles , aux points H et H'.

Ainsi , pour l'hypothèse de B* — 4-A.C > o , ce qui dis-
tingue le cas des racines imaginaires de celui des racines
réelles et inégales , c'est que dans ce dernier cas la courbe
rencontre son diamètre BL, qui est un diamètre transverse,
et que dans le premier, le diamètre est non transi^erse,

300. REMiRQUE. — Dans la discussion précédente, il n'at
pas fait mention du cas où l'équation générale serait privée
soit de fun des carrés des 'variables^ soit de tous deux.

Il est aisé de voir que ce cas se rapporte à la troisième
hypothèse f B* — 4AC > o, puisque cette quantité se ré-
duit alors à B*.

Examinons les différentes circonstances qui peuvent se
présenter :

i^. A = o, C étant différent de zéro.

Les quantités a, &, m, /i, p (n^ 296), se présentant
sous forme infinie, le mode de discussion employé n** 299
semble se trouver en défaut.

Mais rien n'empêcherait de résoudre Téquation par rap-
port à jr, et Ton serait conduit à des résultats analogues.

Observons, du reste, que dans ce cas, la variable y
n'entrant dans l'équation qu'au premier c^e^ré, .toute valeur
réelle de x, positii^e ou négatii^e, donnerait toujours une
valeur réelle pour y.

Ainsi, la courbe existe et s'étend indéfiniment dans le
sens des x positifs et dans celui des x négatifs.

a*'. C = o, A étant différent de zéro.

La discussion du n^ 299 est directement applicable dans
ce cas.

PAR LA SÉPARATION DES VARIABLES. 333

3". A = o, C = o.

Cette circonstance échappe véritablement à la discussion
lelle que nous l'avons établie.

Mais il faut remarquer qu^alors les deux variables x et
j n'entrant ^jol^vl premier degré dans Uéquation, quelque
valeur que l'on donne à Vune, on aura toujours une valeur
réelle j^ur Tautre.

Donc encore^ dans ce cas, la courbe s'étend indéfini^
ment dans tous les sens.

301, CoiHÇLiJSioif GÉNÉRALE. — Il résuItc de toutc ccttc
discussion de Téqualion générale du second degré qu'aux
trois hypothèses faites sur les coefficients , savoir :

B'— 4AC<o, B»— 4AC=o, B'— 4AC>o,

correspondent trois genres de courbes :

i^. Des courbes limitées dans tous les sens, ayant pour
variétés un point ou bien une courbe imaginaire^

a^. Des courbes limitées dans un sens et illimitées dans
l'autre , ayant pour variétés deux droites parallèles, une
seule droite, ou bien deux droites imaginaires^

3^. Des courbes illimitées dans tous les sens , ayant pour
variété un système de deux droites qui se coupent.

Ces résultats sont d'accord avec ceux que nous avons
obtenus en soumettant (n^* 153 et suivants) Téquation gé-
nérale à une double transformation de coordonnées, opéra-
tion qui nous a conduits aux équations

Mj'-H Nx»= -h P, M^^ — Na:> = qp P, Mj'z^Qx,

dont chacune, considérée séparément, représente, ainsi
que nous F avons démontré, des courbes jouissant des
mêmes propriétés , quelles que soient les valeurs numé-
riques des coefficients M, N, P, Q.

Nous sommes donc en droit de conclure, i^ que les trois
genres de courbes auxquelles nous sommes arrivés par la
séparation des variables, sont des ellipses, des paraboles
ou des hyperboles, telles qu'elles ont été définies géomé-
triquement aux n®* 124, 134-, 141 •, et a° qu'on peut, dans
les applications numériques , afin de faciliter les construc-

334 coKSTR. d'un système d'axes ou de diam. conjugués

lions, faire usage de toutes les propriétés que nous avons
successivement établies pour chacune de ces courbes.

La division des courbes du second degré en trois genres
étant ainsi opérée , nous allons voir comment on peut, dans
chaque genre y déduire de la séparation des variables quel-
ques lignes remarquables qui servent à déterminer la forme
et le cours de la courbe.

1°. Construction d'un système d*axes ou de diamètres

conjugués.

FiG. 187. 302. Paraboles. — Reprenons Téquation relative à la
première hypothèse {n^ 297) , savoir :

X=z ax -h b ± ^^nx -\r p ;
le radical peut être regardé comme l'ordonnée de la courbe,
comptée à partir du diamètre BL ; et si Ton prend ce dia-
mètre comme nouvel axe des x , le conjugué de cet axe est
(n° 272) la tangente DEH.

Transportant l'origine au point E, dont les coordonnées
par rapport aux axes primitifs sont

P

2/1

et désignant par u l'ordonnée rapportée aux nouveaux axes,
on trouve pour l'équation de la courbe

«'= inx.

On connaît ainsi le paramètre a ce système d'axes con-
jugués ,

2{BD — 2AE)

2/1 ou — i 7-— j

4 A'

qui peut être représenté sur la figure par

EN '

EN , MN étant les coordonnées d'un point quelconque de
la courbe rapportée au système d'axes EL, EH; et, par
suite, on est en mesure de construire complètement la
courbe diaprés le procédé du n° 292.

Fio. i38. 303. Ellipses. — Comme la courbe est (n® 298) tan-
gente en E, E', aux deux droites DG, D'G', il s'ensuit qu**

dAd. de la 8ÉP. DES VÂE. DAHS l'ÉQ. GÉN. DU a"" DEGRÉ 335

EE' représenle en grandeur et en direction un diamètre
dont le point milieu O est le centre de la courbe.

Son conjugué a donc pour direction la droite indéfinie
CR menée par ce point parallèlement à A Y; et il ne reste
plus qu'à en trouver la longueur.

Or r abscisse AC du point O*, centre de la courbe, a pour

expression

AD -H AD' n

ou 9

2 m

demi-somme des racines de l'équation

2/1 p

x' H jr -f- ~ = o.

m m

Par conséquent, si l'on remplace x par cette valeur parti-
culière dans Texpression de y correspondante, on trouvera
pour la valeur de

y wx^ -4- 2/iJî -+- /?,
la quantité

v/'

pm — /i'

9

m

dont le double représente la distance HH' entre les points
H et H', où le second diamètre doit rencontrer la courbe,
ou, en d'autres termes, la longueur de ce diamètre.

G)Dnaissant ainsi deux diamètres conjugués en grandeur
et en direction, on pourra construire la courbe comme il a
été dit au n<> 292.

N, B. — Si l'on mène par les points H, H', déterminés
comme on vient de le dire , deux parallèles au diamètre EE',
la courbe sera inscrite au parallélogramme IKKT.

Les droites IK, l'K' sont les deux limites dont il est fait
mention au n^ 298.

304. Htpehboles. — Il faut traiter séparément le cas où Fio. iSg
les racines du trinôme mx^ •+■ 2nx -{-p sont réelles et iné^
gales, et celui où ces racines sont imaginaires.

Premier cas. — On a vu déjà (n° 299) que EE' repré-
sente un diamètre en grandeur et en direction ; d'où il ré-
sulte que le point O, milieu de ce diamètre, est le centre de
la courbe.

336 coNSTR. d'un système d'axes ou de diam. conjugués
FiG 189 En raisonnant comme au numéro précédent, on est

conduit à faire

n

m

abscisse du point O, dans Texpression
ce qui donne

V'

pm — /î'

m

Mais , comme la droite indéfinie CF est un des diamètres
non transverses de la courbe , cette valeur est nécessaire-
ment imaginaire et (n° 139) de la forme

expression qui, divisée par y^ — 1, donne aN pour \di lon-
gueur du diamètre conjugué y dont la direction est déjà
connue.

Si maintenant on porte sur la droite CF, et à partir du point
O, deux distances OH, OH', égales à N, et qu'on mène par les
points H, H' deux parallèles au diamètre EE'j on obtiendra
un parallélogramme IKK' F, inscrit a V hyperbole (n^ 248).

Puis, si l'on joint le point O aux quatre sommets de ce
parallélogramme , on aura le^asymptotes de la courbe , qui
peut d'ailleurs être facilenlent construite, puisque Ton en
connaît deux points E, E' (i^o.r le n? 257) .
Fio. i4o« " Second cas^ — La courbe étant (n° 299) tangente à DG,
D'G', la droite HH'peut être considérée comme une corde
de la courbe-, et comme elle est la plus petite de toutes
celles qu'on peut mener parallèlement à AT, il s'ensuit
que cette corde est un diamètre , dont le point milieu 0
est le centre de la courbe.

On a donc déjà un premier diamètre en grandeur et en
direction.

Pour avoir son conjugué^ remarquons que l'abscisse du
point O est

AC ou 9

m

quantité déjà construite (n°299) et égale à la demi'Somme

DÉO. DELA SÉPA.&. DES VAR. DANS l'ÉQ. GÉN. DC 2*^ DEG. 3^7

des racines de l'équation

2« p

x'H X-+- — =.0,

m m

lesquelles sont, par hypothèse , imaginaires^ mais si Ton

divise, comme dans le premier cas, par ^ — i la quantité
radicale de la forme

qu'ensuite on porte, de part et d'autre du point C, deux
distances CK, CK', égales à N, et qu'enfin on mène par
les points K , K', des parallèles à AY, on déterminera sur
la droite BL, parallèle aux tangentes DG, D'G', deux
points I, V\ et la portion de droite IF sera le diamètre
non transverse , conjugué de HH'.

Les quatre sommets du parallélogramme DGG'D' inscrit
à l'hyperbole, étant ainsi obtenus, on passe, comme il
vient d^étre dit, à la construction des asymptotes y et, par
suite, à celle de la courbe.

3Xil6. Remarque générale, — On pourrait également, pour
chacun des trois genres de courbes du second degré , appli-
quer à la détermination des axes principaux le mode de
séparation des variables dans Téquation générale en ayant
soin , alors , de considérer les courbes comme rapportées ,
non plus , comme dans la discussion précédente , à des axes
quelconques , mais bien à des axes rectangulaires, ce qu^on
peut toujours faire (n® 154). Toutefois cette opération pré-
senterait d'assez grandes difficultés, et il est préférable d'à-
Toir recours à la méthode de réduction pour la transforma-
tion des coordonnées (n^* 153 et suivants).

a®. Construction des asymptotes dans Vhyperhole.

306. On a vu (n**257) que lorsque Ton connaît les asymp-
totes de l'hyperbole et un seul de ses points, la construction
de la courbe s'exécute avec la plus grande promptitude. Il
est donc important d'obtenir directement ces droites.

Reprenons, à cet elTet, Téquation générale

Aj*-h Bxr-h Cx»-K D/ H- Ex + F =r o,
que nous supposons satisfaire à la condition B* — 4 AC > o.

Aff. de l'Ai, à la G. 22

338 GOirsT&ucTioN des asymptotes déduite

En conservant les mêmes notations qu'au n^ 296, od
peut la ipettre sous la forme

OU bien (n*» 299) , ._

(i) 7= «x-f ^±: t//// fx -+-^J q=w/';

le signe supérieur de zp mA*, correspondant au cas où les
deux racines sont réelles et inégales, et le signe inférieur,
à celui où elles sont z'ma^i/ïaircs.

Cela posé, si , dans l'expression (i) de jr on fait abstrac-
tion du terme =p mA', elle se réduit à

J= ax 4-
ou

(2) r=z ax -h à ± Ix -i I \//;/,

équation du premier degré en x et en^, représentant u»
système de deux lignes droites qui se coupent.

Je dis que ce système est précisément celui des asymp-
totes de la courbe.

En effet, remarquons d'abord que l'ordonnée de cha-
cune des deux droites se réduit à l'ordonnée du dianiètre
j^'=r ax -h by quand on fait

j: -h — = o , d ou .r = ; •

m m

ce qui prouve que les droites appartenant à réquatiou (2}
se coupent sur le diamètre, au point qui a pour coordon-
nées,

jr'= •) r'z=:ax'-hb.

De plus , comme les expressions ( 1 ) et ( 2 ) ont une partie
commune, ax H- t, et ne diilèrent que par les quantités
radicales dont le signe est le même pour toutes deux, si
Ton pose

(3) «^y/m^x-^^y^iw/-,

(4)

Il z= I X H

m

DE LA SÉPAIt. DES VAR. DABS l'ÉQUAT. GÉN. DU a' DSG. 339

la différence entre les ordonnées de la courbe et les ordon-
nées de chaque droite sera exprimée par

a' — u

les deux quantités u et u! étant telles , qu'elles augmentent
en même temps à mesure que x augmente.

Ainsi, il s'agit {n"243) d'établir que celte différence
peut devenir moindre qu aucune grandeur donnée^ et se
réduit à o, quand on fait x = oo .

Opérons conune au n° 245 , et élevons au carré les deux
membres des équations (3) et (4)^ il vient

a* =: m 1 X -f-

d'où Ton déduit

u — u =. — -

u -h u

Or l'inspection seule de ce résultat fait voir que la
différence u' — u diminue sans cesse numériquement, à
mesure que x augmente, et devient nul lorsqu'on suppose
X infini.

Donc Téquation (2) est bien celle des deux asymptotes.

Remarque, — Ce mode de détermination des asymp-
totes, que nous appliquerons bientôt à des équations de
degré supérieur, se traduit en une règle pratique fort
simple :

Extrayez algébriquement la racine carrée de la quan-
tité soumise au signe radical, dans V expression générale
de T ordonnée y, delà courbe ^ et négligez le reste de l'o-
pération,

La double ordonnée des deux asymptotes est égale à la
partie rationnelle de Vy de la courbe, augmentée ou dimi-
nuée de la partie entière de la racine carrée.

Ainsi , dans l'équation

j = ûx + bdc \/fi.c^ -H 2 rix -H /i,
comme on trouve pour cette partie entière

i— "

ym

\ m

22.

34o CONSTRUCTlOlff DES iSTlfPTOTES DÉDUITE

le reste étant p > il en résulte pour Tordounée des

asymptotes

j — rtx H- A rfc ( .r \/m 4- —=. H

ou

résultat obtenu ci-dessus.

307. Cas ou l'équation générale est privée, soit de

L^UN des carrés des VARIABLES, SOIT DE TOUS DEUX. —

Ces cas méritent une attention particulière.
I**. Soit C = o. — L'équation générale devient

Aj'H- Bx^ + Dj-f- Ex-hF = o,
d'où

± -i^ ^^-+-2(BD — 2AE)a: -h D» — 4 A F.

Bar-hD

2A 2A

Extrayant la racine carrée et ne tenant compte que des
deu3[ premières parties , on obtient successivement , après
toute réduction,

E B D E

^=-B' ^=-Â^-^Â-^B^

ce qui prouve que , dans ce cas , Vune des asymptotes est
parallèle à F axe des x.

On peut encore parvenir aux mêmes résultats de la ma-
nière suivante :

L'équation , résolue par rapport à x , donne

A7»4-D^+F
B^-H E
ou, effectuant la division,

_ _ A AE — BD BDE-- A.E>— B'._F

■^ "^ B-^"^ B^^ *"" B'(Bj-+- El

Premièrement, si l'on fait dans cette expression,
la troisième partie dont elle est composée s'évanouit, ci

DE LA SEPAR. DES YAK. DAMS l'éQUAT. GÉN. DU 2* DEC. 34 1

Tabscisse générale de la courbe sg réduit à celle de la droite

A AE — BD

B -^ B»

<jui, jouissant de la propriété d'avoir ses deux points d'in-
tersection avec la courbe situés à Vinfini, ne saurait être
qu'une asymptote (n^' 244 et 245).
On déduit, en effet, de cette dernière équation ,

B E D

c'est la seconde des asymptotes trouvées par le premier
moyen.
Secondement y si Ton pose

Br-hE = o, d'où ^=:— -^

les deux premières parties de la valeur de x se réduisent à

2AE — BD

et la troisième partie devient infinie , puisque son numéra-
teur étant une quantité ^me, généralement différente de
zétx^ , son dénominateur est nul.
Donc

E
•^ = ~B

est l'équation d'une droite qui ne peut rencontrer la courbe
qu'à une distance infinie; cette droite est, par conséquent^
une asymptote : c'est la première obtenue par l'autre
méthode.
N. B, — Si, avec l'équation

E
•^=-B'

on avait, en même temps, la condition

BDE — AE'— FB»=:o, ou ÀE' H- FB' — BDB = o ,

la valeur de x se présenterait sous la forme -> qu'on peut
interpréter en remarquant que cette condition s'obtient

34^ CONSTRUCTION DES ASYMPTOTES DÉDUITE

cbmme cas particuUery par l'hypothèse C = o inlrodoite
dans la relation

A.E^+ CD' -f- F.B»— BDE — 4ACF = o ,

qui correspond [voir la note au bas de la page 33o), au cas
où la courbe se réduit à u^ système de deux droites.

'j?. Soît A = o. — Il suffit, pour passer du cas précé-
dent à celui-ci , de changer j-, A , D en x , C , E , et réci-
proquement.

On obtient ainsi

D B E D

et Ton voit qu^alors Vune des iisymptotes est parallèle à
Vaxe des y.

3^* Soient à la fois A = o, C = o. — L'équatiou
générale se réduit à

Bxj -+- D/ -f- Ex -+- F = o ,

d'où, résolvant par rapport à y, et effectuant la divisiou
pour rendre le numérateur indépendant de x,

E DE — BF

B B(B;r-+-D;

résultat d'où l'on déduit, comme daus le premier cas
(deuinème moyen), les conséquences suivantes :
Premièrement, si l'on fait

:r =dboo ,

la valeur de l'ordonnée y de la courbe se réduit à — -^ »

puisque la seconde des deux parties dont elle se compose
devient nulle.

Ainsi

E
•^=~B

est Téquation d'une droite qui rencontre la courbe en deux
points situés à Vinfini^ c'est donc une première asymptote*
Secondement, soit posé

Bjp-f-D = o, dou X =. — — :

DELl SÉPAR. DES VAR. DAKS l'ÉQUAT. GÉN. DU 2* DEG. 343

la valeur àej devient infinie ^ tant que Ton n'a pas

DE — BF = o.
L'équation

est celle d'une droite qui généralement ne peut rencontrer
la courbe qu'à Vinjini, et est , par conséquent , une autre
(isymptote,
La condition particulière

DE — BF = Oy

que Ton peut déduire de la relation

AE»-h FB»— BDE = o,

en j posant A = o , signifie encore ici , comme dans le
premier cas, que la courbe se réduit à un système de deux
droites^ ce qui n'infirme pas la conclusion précédente.
Donc enfin les équations

_ E __5[

sont celles des asymptotes de T hyperbole représentée par
Téquation

Bx/ -h D/ 4- Ex -h F = o.

Ces asymptotes sont respectivement parallèles aux axes.
On parviendrait au même résultat en faisant disparaître
les termes linéaires en x et y^ par une simple translation
d'origine, ce qui ramènerait l'équation à la forme

xy = h\

que Ton sait être (n° 2S2) Téquation de Fhyperbole rap^
portée à ses asymptotes,

308. Remarque, — ('c n'est que sur des exemples nu-
mériques, où les véritables signes des coefficients sont
connus, qu'il est possible d'entrer dans des détails de
discussion propres à donner une idée nette du cours de la
courbe, tant par rapport aux axes que par rapport à cer-
taines droites dont on fixe la position, en vue de faciliter

344 RÉCAP. DE LA DISCUSS. DE l'ÉQ. GÉN. DL 1^ DEtiRÉ

la construction de la courbe elle-même et d*en faire con-
naître toutes les affections,

309. Récapitulation géméhale. — Avant de passer
aux applications numériques , nous croyons utile de faire
une récapitulation des principaux caractères servant à dis-
tinguer les différents genres et ^variétés que peut repré-
senter une équation du second degré à fteux variables.

1°. Paraboles. B' — ^KC = o,

relation qui (n^l60) entraine la condition que les trois
premiers termes, Aj^ H- Bx/ -h Cx", forment un carré
parfait.

Vakiétés. . BD — aAE = o, D' — 4AF >, =, ou<o,
savoir :

'd.-4af>o, '^^rs^-'^ ^;/;""

droites parallèles ;
BD — 2 AE =; o(D' — 4A^ = o> '*^^ seule droite;

^, , . „ ^ deux droites imagi-

D'~4AF<o, «

nôtres.

Le cas d'un système de deux droites parallèles est encore
caractérisé par une équation de la forme

(qX -h rx-h s){f/x-\- r'x-hs') = o,

dans laquelle les coefficients ^, r, {/\ r' sont directement
proportionnels; caractère qui résulte de la forme que pren-
nent les deux valeurs dey (n? 297), lorsqu^on suppose

n ou BD — 2AE = o.

Et en effet, si Ton égale à o chacun des facteurs de Téqaa-
tion précédente . il vient

77-h rxH- j =r o, r/jr -f- r'x-^ s'=: o,

d'où

r s r' s'

7 7 9 9

et comme, par hypothèse, on a - = —» il s'ensuit que les

droites correspondantes satisfont à la condition de paratté"
lis me.

PAR LA SÉPARAIION DES VARIABLES. 345

2*. Ellipses. B'— 4'^C<Co ^^ ^^g^^/i

condition qui exige que A et C soient de même signe.
Variétés. A = C , B = o. Le cercle (voirie n® 161) ,

n^ — pm = o J un point

oa > (qo 298) ou

/i' — pm <^ o )* une courbe imaginaire.

Ces deux dernières relations étant développées (voir la

note au bas de la page 3a8) , donnent

1= o, un point;
^ une courbe

<o, . . .
tmaginaire.

Le point et une courbe imaginaire sont aussi , respecti-
vement , caractérisés par des équations de la forme

(qy-^rx -f- ^)»-f. (gy-h r'x -h j')>= o,

(A' étant une quantité numérique quelconque).

Ces caractères résultent (n^ 298) de la double valeur de j'
correspondant aux cas de deux racines réelles et égales, ou
de deux racines imaginaires,

La première équation ne peut subsister qu'autant que
Ton à, à la fois,

qX -h rx -i- s = Oj qy-h r'a: -4- * ' = O;

système de deux équations à deux inconnues , qui représente
généralement un point.

Quant à la seconde équation , elle ne peut être satisfaite
en valeurs réelles d!x et dy , puisque k est supposé différent
de o.

3". Htpsrbolbs. 6' — 4 ^^ []> o , ou positif;

A et C sont indifféremment de même signe ou de signes
contraires.

Variété. — Un système de deux droites qui se cou--
pent; et ce système est caractérisé, soit par la condition

/!>— /7III = o (n<» 299),
ou développant ,

A.E«-|-C.D»+F.B'— BDE — 4ACF = o,

[voir la note au bas de la page 33o), soit par une équation
de la forme

{qy-^r rxH-.f) («/>-H r'x-t- j') = o,

346 COMSTaUCTION DE COtIRBES DU SECOND DEGRÉ

les coefficients q^ r, q\ r' n'étant pas directement propor-
tionnels.

Ce dernier caractère se déduit de la valeur générale de y
(n^ 299) , dans le cas où les racines sont réelles et égales.

Construction de courbes du second degré données par des

équations numériques.

Observation préliminaire. — Pour éviter des répétitions
inutiles, il nous arrivera, le plus souvent, d'appliquer les
principes résultant de la discussion générale, sans entrer
dans aucun détail sur les raisonnements; nous laissons aux
lecteurs le soin de les reprendre eux-mêmes sur chaque
exemple particulier, jusqu'à ce qu'ils se soient bien fami-
liarisés avec tous les principes qui ont été développés dans
cette discussion .

En outre , nous supposerons , pour plus de commodité .
les axes rectangidaires , quoique tous les principes de la
discussion précédente soient, ainsi que nous Tavons déjà
dit, indépendants de Tinclinaison des axes.

PARABOLES.

FiG. 141 • 310. Premier exemple :

jr^ — ^ xy '\- ^ X* -{- njr — '] X — î =0.
On déduit de cette équation ,

Construction du diamètre v' =r 2 x — 1 . — On obtient sucoes-
sivement pour x = Oy

et pour r' = o,

/ = -!,

I

2

Prenant sur les deux axes A Y, AX , les distances

AB = — I, AC = -»

2

et iirant\a. droite indéfinie BCE, on a le diamètre cherché.

Point d'intersection de la courbe et du diamètre, — II faut poser

3 JT -4- 2 = o ; d'où x = — ^'

DÉD. DE LÀ DISCUSS. DE l'ÉQ. GÉlf. PAR LA SÉP. DES VAR. 34?

Soit AG = — ^ ^ si Ton mène GG' parallèlenient à AT, le point

H sera ce point de rencontre.

D*uD autre côté, le coefficient de x sous le signe radical de la
valeur de y étant positif, il s'ensuit (n** M7) que la courbe 8*é-
tend indéfiniment à \^ droite de GG^ tant au-dessus qu*au*des-
sous de son diamètre, et est tangente en H à GG'; donc elle
affecte la forme et la position indiquées par la figure.

On peut, du reste, trouver autant de points de la courbe que
Ton voudra, en attribuant à jr une série de valeurs, et en con-
struisant les deux valeurs de y correspondantes.

Il est d*usage de rechercher, par exemple , les points où la
courbe rencontre les axes.

Or, pour f = o , l'équation proposée devient

j^*-4-2^ — i=ro; d'où j^ = — i±\/2,
etpourj = o, _

4^ — nx — i = o; doù .r = ^ — y} — t

o

ou

= .2 1 . . • .

et xz=. — - 9 à moins de 3 près.
"6 o o

La double valeur de y est facile à construire.

Si Ton prend, à cet effet, d*abord AD = i, comme on a déjà

AB = ly il s*ensuitque BDrr s[%\ portant alors BD sur AT, de B
en R, et de B en K', on obtient deux points K , K', appartenant à
ia courbe.
Quant aux deux valeurs de x, on prend

AI=iL et Ar = — g;

les points I, I' appartiennent encore à la courbe , qui peut ensuite
être tracée assez rigoureusement , comme étant assujettie à passer
pas les cinq points K , I', H , R', I.

Deuxième exemple: Fio. 142.

7' — 7. xy -f- x' — 4^' 4- .r -h 4 = o ;
d'où

7" = j: -t- 2 i v3 X'

Construction du diamètre y' = x -h 2. — On a pour x = o ,

348 CONSTRUCTION DE COURBES DU SECOND DEGRÉ

Fio. 142. et pour/' = o,

Prenant AB = AC = 2 et tirant GBE , on obtient le diamètre
cherché.

Point d'intersection de la courbe et du diamètre. — Ce point
étant donné par la relation

X = o,

est situé sur AX \ et comme on a

r = ad=o,

il en résulte que la courbe est tangente en B à cet axe.

De plus, comme le coefficient de x est positif sous le radical
de la valeur de r, il s*ensuit que la courbe s^étend indéfiniment à
partir du point B et à la droite de A Y.

En faisant j == o dans l'équation donnée , on trouve

a:*-4-x-|- 4 = 0;

équation du second degré en x dont les racines sont imaginaires;
ce qui prouve que la courbe ne peut rencontrer Taxe des x.
Pour obtenir d^autres points, faisons, par exemple,

xz=z 1 == AP;
il vient

^ = 3zt:^ ou r=3±i,7à moins de o, i près.

Comme, d'après les constructions déjà exécutées, on a

CP — PQ = 3,

il s'ensuit que, si Von porte 1,7 sur PQ de Q en M et de Q en m,

les points M , m , appartiendront à la courbe.

Soit encore

x = AP'=3;

il en résulte

r = 5d=v^9 = 5±3=:P'Q':±:3.

Portant la distance 3 de Q' en M' et de Q' en /»', les point»
M', m' appartiennent à la courbe qui peut maintenant être tracée
d'une manière suffisamment rigoureuse.

Troisième exemple :

j*-!-6xx-h gx' — aj — 6x — i5 = o j
d'où

X = — 3x -f- I ±1 /i6 = — 3x 4- 1 ±4 >

DÉD. DELA DISCUSS. DE l'ÉQ. GÉN. PAR LA SÉP. DES VAK. 349

et, par suite,

r = — 3x4-5, jr=r — 3x — 3;

équadons dont Tenseinble représente un système de deux droites
parallèles ayant respectivement H- 5 et — 3 pour ordonnées à
l'origine, et — 3 pour coefficient d!' inclinaison.
On reconnaît ainsi que la proposée peut être mise sous la forme

(jH- 3x— 5) (r -h 3x -h 3) = o {voir le n^SOe).

31 { . Remarque /. — Dans les deux premiers exemples,
les droites HG, HE (fig. i4i) et BY, BE (fig. i4a) forment
nécessairement un système d^axes conjugués^ et comme,
pour la première courbe , le paramètre à ce système est

^gJ à ■— , que, pour la seconde, il a pour expression -^

OU -r — î rien n'empêcherait d'appliquer le mode de con-
struction développé au n° 292 , ainsi que nous Tavons déjà
indiqué (n^ 302) dans la discussion générale.

312. Remarque II. — Dans chacun de ces exemples,
l'équation, résolue par rapport à a:, conduirait à un second
diamètre que Ton pourrait construire.

Egalant à o la quantité soumise au nouveau radical , on
en déduirait poury une valeur qui exprimerait l'ordonnée
du point de rencontre de la courbe avec ce diamètre ; et,
en menant par l'extrémité de cette ordonnée supposée con-
struite, une parallèle à Taxe des x, on obtiendrait une tan^
gente à la courbe, qui la limiterait dans le sens des y. Le
point de contact^ qui n'est autre que le point de rencontre
de la courbe et du diamètre, est dit un point limite de la
courbe.

Dans Ia figure i4i ce point limite est très-voisin du
point R', et dans Isl figure i4a il est très-rapproché du
point m.

Ce mode de détermination des points limites dans le sens
des axes, susceptible d'être employé toutes les fois qu'il
s'agit d'une courbe du second degré , n'est pas toujours pos-
sible pour des courbes de degré supérieur. Mais voici un
autre moyen applicable dans tous les cas :

35o GOirsTnucTioif de courbes du second degré

Soiif[x^y) = o l'équation proposée.

Déterminez le coefficient d'inclinaison de la tangente en
un point quelconque x\ y' de la courbe, d'après la règle
du n« 102.

Egalez à o le numérateur de ce coefficient, ce qui donne
une équation en x\ y' qui , combinée par élimination avec
Téquation f[x\y) = o, fera connaître tous les points de
la courbe où la tangente est parallèle à F axe des x.

En égalant à o le denonunateur, on obtiendrait dune
manière analogue les points où la tangente est parallèle à
faxe des y.

Nous aurons plus tard Foccasion d'appliquer cette règle.

Voici de nouveaux exemples pour la classe des paraboles,
sur lesquels on peut s'exercer :

r' 4- o^yx -h x' — 6/4-9 = 0,

r' — 3jr -h 5ar — 2 = o,

X^ — 2 J?X -h x*-f- Gy — 6x -4-9 = 0.

ELLIPSBS.

FiG. 143. 515. Premier exemple :

jr^ — ^xy -h 2 X- — 3 jc -4- 2 := o .
Cette équation donne

X ^= xziz V — x' -f- 3 or — 2 ;

d*oii Ton voit d*abord que le diamètre /' = x est une droite A5
passant par Torigine et faisant avec AX un angle de 4^ degrés
{moitié de Tangle des axes).

Si Ton égale à o la quantité soumise au radical , il vient

x^ — 3 0? 4- 2 = o ;
d'où

jc = i et X = 9.1

et la valeur de y prend la forme

Y zzzxdb \/ — (j: — i)(.r — 2).
Prenant sur AX les distances AG = i, AH =r 2, et menant

DÉO. DE LA DISCrSS. DE l'ÉQ. GÉN. PAR LA SÉP. DES VAR. 35 I

par les points G, H les parallèles G&% HH' à Taxe des j, on
obdeot D, E pour les points où la courbe rencontre son diamètre.

Maintenant , il résulte de la forme même sous laquelle est mise
la quantité soumise au radical , que toute valeur de x inférieure
k i on supérieure à 2 rendrait cette quantité négame, et que,
par suite, les valeurs correspondantes de y seraient imaginaires.
Il ne peut donc y avpir aucun point de la courbe situé en deçà
et au delà des parallèles GG', HH\

Mais toute valeur de x supérieure à i et inférieure à 2 ren-
dant, au contraire, le produit des deux facteurs x — i, x — 2
négatifs et, par conséquent, la quantité sous le radical positive^
donnera pour y des valeurs réelles.

D'où il suit que la courbe est entièrement comprise entre les
droites GG', HH' auxquelles elle est d'ailleurs tangente en D, £,
et se trouve limitée dans les deux sens des x positifs et des x né-
gatifs.

Comme, d'après Texpression générale de / en jt, à des valeurs
finies de x il ne peut correspondre que des valeurs yS>i/W de^, la
courbe est aussi limitée dans les deux sens des y positifs et des y
négatifs.

Ces dernières limites peuvent s'obtenir (n"tt98) en résolvant
Téquation proposée par rapport à x.

Mais il existe (n* 505) d'autres limites plus avantageuses.

Puisque DE représente en grandeur et en direction l'un des dia-
mètres de la courbe, le point milieu 0 de DE en est le centre y et
ce centre a pour abscisse

AG H- AH 3

AI =

2

3
Posant x = - dans l'expression de /, ce qui donne

y — -'±\\ d'où r = 2, y—\,
2 2

et portant sur la parallèle à AY menée par le point O les deux dis-
tances IN = 2 , IN'= 1 , on obtient NN' pour le diamètre conjugué
du diamètre DE, et les droites LNM, L'N'M', parallèles à DE,
pour les limites de la courbe dans le sens des/; en sorte que la
courbe est entièrement comprise en dedans du parallélogramme
LL'M'M, et peut, d'ailleurs, être construite d'après le moyen
indiqué au n" 505.

35l CONSTRUCTION DE COURBES DU SECOND DEGRÉ

FiG. i44- Deuxième exemple :

y* — 2xjH-3x*4-27 — 4*~-3 = o.
On déduit de cette équation

y z=ix — I dz ^ — 2X-4- 2x -f- 4-
Le diamètre y' ^=^x — i peut être facilement construit et se
trouve représenté sur la figure par la droite indéfinie BCK.
Points de rencontre de ce diamètre avec la courbe :

X* — X — 2 = 0;
d'où

X = 2 et X = — I ;

et y par suite y

J = X — I ± ^ — 2(x -+- l)(X — 2).

Prenant sur AX,

AG==--i, AH=2;

puis, élevant aux points G, H, des parallèles à AY; et portant
sur ces droites des distances

GI = — 2, Hr=-*-i,

on obtient I, I' pour les points d'intersection cherchés.

Ces parallèles sont les limites de la courbe dans les deux sens de
l'axe des x.

Gomme II' représente un diamètre en grandeur et en direction,
le point milieu O est le centre de la courbe; et AR, ou Tabscisse
de ce centre , a pour valeur

x'-Hx*' — H-2 i

2 2 2

Faisant donc x = - dans l'expression de y^ ^^ trouve

3

2 2' 2

et si l'on porte 2,1 de O en N et de O en N', on obtient NN'
pour le coit/tt^ic^ du diamètre IF, et, par suite, LL'M'H pour le
parallélogramme circonscrit à la courbe.

Les hypothèses / == o , x = o , faites successivement dans Té-
quation proposée , donnent :

Pour y = Oj

3x* — 4* — 3 = 0;
d'où

j = lEr-V2 = ±2, 1, a moins de o, i près;

DÉD. DE hk DISCUS. DE L'ÉQ. GÈH , PAR LA SÉP. DES VAR. 353
OU

X = 1 )8y et X = — 0,5 , à moins de o, j près;

Et pour X =1 o 9

/'H- 2/ — 3=ro;
d'où

r= I, y== — 3.

Ces dernières valeurs se construisent facilement et donnent D, D'
pour les points où la courbe rencontre Taxe des j.

De même, si l'on prend A£ = i,8, AE' = — o,5y on obtient
£, E' pour les points d'intersection de Taxe des x avec la courbe
qui se trouve ainsi suffisamment déterminée.

Troisième exemple : Fio. i45.

j' -4- 2 xj -H 3 x' — ^x=zo^

jr z=z — x±^ — 2x (x — 2).

Le diamètre ^' = — x est une droite AB qui divise Fangle XAY'
en deux parties égales.

On voit, en outre, d'après la quantité soumise au radical, que

la courbe passe par Torigine et a pour première limite Taxe des

/, auquel elle est tangente en A.

De plus , si l'on prend

AG = 2,

qu'on mène par le point G la droite GH parallèle à AY, et que
Ton porte sur cette droite une distance

GI== — 2,

on obtient ainsi le point I pour l'autre extrémité du diamètre, et
GH pour la seconde limite dans le sens des x.

Le point O, milieu de AI , étant le centre de la courbe et ayant
pour abscisse ,

AR ou — = I ,
2

si Ton fait x q^ i dans l'expression de y^ il vient

j = — i±V^2 = — 1± AO.

Ainsi il suffit de porter OA de O en N, et de O en N', pour obte-
nir le conjugué NJi' du diamètre AI, et, par suite , le parallélo-
gramme LL'M'M circonscrit à la courbe.

iV. B, — Il est à remarquer ici que les deux diamètres conju-
gués AI et NN' sont égaux et ont pour valeur 2 ^2v

Ap, de l'Ai, à la G. ^3

r

354 CONSTRUCTION DE COURBES DU SECOND DEGRÉ

Fie. 145. En posant j = o dans Téquadon proposée, on trouve

3j:' — 4 * = ^î
d'où

4
x= o, j: = —•

3

Prenant AE = ~9 on obtient le second point de rencontre, E,

o

de la courbe avec Taxe des «.
Quatrième exemple :

r'— 4*r + 5x»— 2j^ -h 5 = o,

y = 2x-hidb^ — Jtr*-h4* — 4 = 2«-|- ilfc:(x — 2)^—1.
Cette expression de y prouve que ^ = 2 est la seule valeur de x
à laquelle puisse correspondre une valeur réelle ponr^.

Donc la courbe se réduit à un point; lequel a pour coordon-
nées

« = 2 , j =i5.

Et, en effet, Téquation peut, dans ce cas, se mettre sous la

forme

(^ — a a: — 1)» -f. (x — 2)«= o,

équation qui ne peut être satisfaite que si Ton pose séparément

f' — 7.x — 1=0 et X — 2 = 0.

Autres exemples relatifs à des ellipses.

^*-i- 2 jry-h 2ir* — 7. y -r- 5j:4- 1 = 0,

4r*— 2arj^4-x»— 8j^-f-4*-*-4 = <^»

4/'-4- 2^'-f- 4 j — 4 * — 5 = o,

/•'H-x' — 3j-4- ajp-l-i =0,
^' — 2 j:j -f- 2 jr' — 2 x -i- 4 = o.

HYPERBOLES.

Fio. 146 5*^» Premier exemple :

j^»— 2jrjr— Sx'— 2j^4- 7X — 1= j.
On tire de cette équation

jr = X -I- I dt ^4'^'"* 5jc-|- 2.
D*abord , la droite CBI, pour laquelle on a

AC = — I, AB=:i,

représente le diamètre

y' ^=1 X 4- I. N

DÉD. DE LÀ DISCtrS. DE l'ÉQ. GÉM. PAR LA SÉP. DES VAIl. 355

5 I

Ensuite, le trinôme x* — ^ x h- - égalé à o donne

racines imaginaires; ce qui prouve que CBI est un diamètre non
transperse; et, comme alors, on peut mettre la valeur de x sous la
forme

j = X 4- 1 ±

\/'^HM'

il s'ensuit que toute valeur de Xy positive ou négative, donnera
constamment pour y des valeurs réelles. Ainsi la courbe s^étend
indéfiniment au-dessus et an- dessous du diamètre CBI, et dans les
deux sens de Taxe des x.

Pour obtenir la plus petite valeur que puisse recevoir le radi-
cal, et, par suite, les points de la courbe les plus rapprochés du
diamètre , il faut évidemment poser

X — g = o> doù * = g;

ce qui réduit le radical à

v/

A "" l"^'-

5

Soit donc prise sur ÂX une distance AN = ^^ et soit élevée du

o

point N, NO parallèle à AY; si, sur cette ligne et à partir du

point O, on prend

OM = OM' = 7 ^ = o,6 à moins de o, i pres^

les points M , M' seront les points les plus rapprochés du dia-
mètre, de sorte qu'en menant par ces points les parallèles GG',
H H' à CBI, on aura deux droites au-dessus et au-dessous des-
quelles seront situés tous les points de la courbe.

Observons maintenant (voyez le n** 504} que MM% étant la plus
petite de toutes les cordes de la courbe, menées parallèlement à
AY, est UD autre diamètre; son point milieu O est, par consé-
quent, le centre de la courbe.

On connaît ainsi Fun des diamètres transverses, MM', en gran-
deur et en direction; et pour avoir en grandeur son coiuucui , qui
a pour €//r^rr/o/i CBI y on pourrait avoir recours au procédé du
numéro pmcité.

23.

356 CONSTRUGTIOIf DE COURBES DU SECOND DEGRÉ

FiG. i46. Mais il est préférable , pour le tracé exact de la courbe , de
fixer la positfon des asymptotes.

Appliquons à l'expression de/ la règle du n^ 506; il vient

j':=j:-j-i±(2a? — ^j:

ce qui prouve que les asymptotes se rencontrent sur le diamètre,

5
au point 0 dont Tabscisse est ^r = ^9

o

Il suffit donc d'obtenir un autre point de chacune déciles. Or,

en faisant

a: = 0,

on trouve , pour la première ,

et , pour la seconde ,

' = -4-'

.=?■

quantités faciles à construire sur l'axe des j^.

Ces asymptotes sont représentées par les droites LL', KR', pas-
sant respectivement par les points 0 et R , O et R'.

La courbe peut ensuite , au moyen des points M, M', être con-
struite d'après le procédé du n® 2IS7.

Fie. i47' Deuxième exemple :

y^ — ^xy — 4^ + 3 = ^'
Cette équation donne

y =s 2x±^J^x^-h ^x — 3 ;

le diamètre est une droite LAL' passant par Torigine et par un
point ayant pour coordonnées ,

X = I = AB , j = 2 = BC.
Posant

X^-h X

3

on obtient

I
2

_ 3
2

Donc 9 si l'on prend

AD'=~>,
2

AD = -»
2

DÉD. DE LA DISCUS. DE hÈq, GÉIV. PAR LA SÉP. DES VAR. 35^

et que, par les points D, D', on élève des parallèles DG, D'G' à
AT) les points M , M% où elles rencontrent le diamètre LU, ap-
partiennent à la courbe qui, d*ai1leurs, est tangente aux droites
DG, D'G^ et s'étend indéfiniment à droite et à gauche de ces
deux parallèles, au-dessus et au-dessous de son diamètre.

Si l'on extrait (n* 506) la racine carrée de la quantité soumise
au radical , il vient

7 = 2j:±:(2x-|-i),

pour l'équation des deux asymptotes, qui se coupent sur le dia-
mètre au point O dont l'abscisse est

X = =: AE.

2

£n séparant ces deux valeurs de jr, on trouve

dont la seconde représente une droite lOV parallèle à l'axe des x
( résultat conforme à ce qui a été établi au n** 507 ) .
Quant à la première valeur, elle donne

jr = ] pour X = Oy

ce qui prouve que l'asymptote correspondante est une droite
KK% passant par le point O et par le point F, pour lequel on a

AF = i.

La courbe peut maintenant, ainsi que nous l'avons dit pour le
premier exemple, être facilement construite.

On pourrait ici, pour la détermination des asymptotes^ appliquer
le procédé du n® 507.

Résolvant, à cet effet , l'équation proposée par rapport à x, oa
trouve

4r-f-4'

ou , effectuant la division ,

X =

4 4 r -+- »

De cette expression on déduit :
I**. Que pour

l 'abscisse de la courbe se confond avec celle de la droite représen-

358 CONSTRUCTION DE COURBES DU SECOND DEGRÉ

tce par réquation

4 4 ' -* '

en sorte que cette équation est (n°' 244 et 24l() celle d'une asymp-
tote k la courbe;

2". Que pour la valeur particulière

qui donne

I

= 00,

l'abscisse de la courbe devient infinie^ c'est-à-dire que la droite
jrzr: — I, parallèle à Taxe des x, est la seconde asymptote de ta
courbe donnée.

315. Remarque importante. — Le mode particulier
de détermination des asymptotes, exposé au n^ 307, et
dont nous avons fait l'application au second exemple , est
fondé sur la propriété démontrée n^'244 et 245, savoir:
que, dans Thyperbole , toute droite qui rencontre la cowrhe
à Vinfini est nécessairement une asymptote.

Mais cette propriété n'existant pas pour les courbes de
degré supérieur, il est indispensable, alors, de rechercher
si une droite reconnue pour rencontrer la coUrbe à l'infini,
satisfait, en outre, à la condition essentielle et caractéris-
tique de s'en rapprocher indéfiniment et autant que Von
vcaf(n°243).

Avant de passer à ces sortes de courbes , appliquons cette
recherche à l'exemple même que nous venons de traiter, en
faisant, pour le moment, abstraction de la propriété sus-
mentionnée.

Reprenons à cet effet Téquation

j'— ^xy — 4* -*- 3 = o,
qui , résolue par rapport à x, a donné

_y_ i î

4 4 r-^-i'

les asymptotes déterminées par le mode précédent sont re-
présentées par les équations

UÉD. DE LA DISC17S. DE l'ÉQ. GÉN. PAR LA SÉP. DES VAR. SSq

Supposons, en premier lieu, y positif, et prenons la
différence entre l'abscisse x de la courbe et l'abscisse x^ de
la droite

il vient

4 4'

X — r'

Faisant d'abord jr = o dans cette expression , on trouve

X — x' = i;

c'est la distance RS qui sépare les points R , S , où la branche Fie. 1 47
de courbe RMm et la droite KK' rencontrent Taxe des x.
On Toit ensuite que plus y augmente, plus la différence

diminue; et les points de la courbe se rapprochent

sans cesse des points de la droite qui correspondent aux
mêmes abscisses; lorsqu' enfin y devient infini, la différence
des deux abscisses devient nulle.

Ainsi la branche RMm de la courbe a pour asymptote la
portion SK de la droite KK'.

Donnons maintenant à y des valeurs négati\^es, mais
comprises entre o et — i .

La première partie , -j — 7 ? ^^ l'abscisse x de la courbe,
devient négative, en restant toujours, numériquement,

plus petite que -«

Quant à la seconde parlie, elle est constanmient positii^e
et plus grande que i .

Donc la valeur de x est toujours positi%fe et augmente
sans cesse à mesure que j" augmente dans le sens négatif
A Y', jusqu'à ce qu'enfin on suppose y = — 15 auquel cas x
devient égal à T infini positif.

D'où Ton déduit que

est l'équation d'une asymptote à la branche R/n' de la
courbe.

36o CONSTRUCTION DE COURBES DU SECOND DEGRÉ

FiG i47- Continuons de faire croître y dans le sens négatif k
partir de — i.

Soit faitj^= — (i -♦- 5) dans l'expression de x, ce qui
donne

on voit que x est constamment négatif ^ur toute valeur
de^ comprise entre — i et V infini négatif ,
En posant 7 par exemple, ^ = i = N]N', on a

3

4

Si, pour le moment, on fait décroitre â depuis i jusqua
o, il est visible que la valeur générale de x va en croissant
numériquement sans cesser d'être négatix^e, et qu'elle croît
indéfiniment y devenant égale à Vinfini négatif -çouv ^ = o.

Donc la courbe remontant vers la droite,

s^en rapproche continuellement et autant que Von veut^
ce qui prouve que cette droite est asymptote à la brancbe
Wn'm'*.

Revenant ensuite au point n\ et prenant la différence
entre l'abscisse générale de la courbe et l'abscisse de la
droite

^-■~:. r

différence qui est égale à — j' ^'^ reconnaît qu'elle dimi-
nue sans cesse et indéfiniment à mesure que d augmente,
et qu'elle devient o pour d égal à Vinfini.

Donc x = ^ — y est l'équation d'une droite asymptote

à la branche n^Mm"\

Ilest ainsi complètement établi que la droite

est asymptote aux deux branches Rw', n^ m," ^ et que la

DÉD. DE LÀ DISCUS. DE l'ÉQ. GÉN. PAR LÀ SÉP. DES VÀR. 36l

droite

est asymptote aux deux branches Mm, nWm!".

Autres exemples relatifs à l'hyperbole.
^»— 4'^7H-^*'+6j — ga:-+-2=:0,

2XJ^ — X-f-I=:0,
^•'— 2 X/ -h 27 -h 4* 8 = 0.

Ce dernier exemple présente une circonstance remarquable
lorsqu*on résout l'équation par rapport à la variable x.
On trouve

J»-+-27— 8

J?= 7 — y

2r — 4

ou 9 effectuant la division,

Y

x= --#-2;

2

d'où il semblerait résulter que la courbe se réduit à ane seule
ligne droite.

Mais observons que, si la division s*est faite exactement , c'est
que le numérateur peut se mettre sous la forme

{l + 2) (2/ - 4).

Ainsi la valeur de x devient

(f 4-.) (2^-4)

27 — 4

d'où , chassant le dénominateur et transposant ,

X =:

{^r — 4) (*-~-2)=^'

équation qui peut être satisfaite par l'une des deux conditions,

27 — 4 = o> d'où ^=2;

y

X 2 = 0, d*où j = 2x — 4*

Donc , la courbe se réduit véritablement au système de deux droites
dont Tune avait disparu par l'effet de la division.

362 APPL* DE LA MÉTH. DE DISC. PAR LÀ SÉP; DES VAt.

§ n. ÂpPLICÀTIOir DE LÀ MÉTHODE DE DISCUSSION PÂA U

SÉPARATION DES YARIABLES A DES ÉQUATIONS DE DEGRÉ SUPÉ-
RIEUR^ ET DISCUSSION DE QUELQUES ÉQUATIONS POLAIRES.

316. Observations préliminaires. — i°. Toutes les fois
qu'on se propose de déterminer le lieu géométrique d^une
équation à deux variables , la détermination des cœfficieiiii
d'inclinaison des tangentes et celle des asymptotes, si le
lieu cherché est susceptible d'en avoir, sont deux questions
d*un usage fréquent , parce que ces droites , une fois con-
struites , donnent presque toujours le sentiment de la forme
et des diverses circonstances du cours de la courbe qu'on a
en vue de déterminer.

a®. S'il arrive que Texpression de j- en x, ou de or enj^,
renferme un radical du second degré , on est conduit à la
construction à^un diamètre, parce qu'il facilite la détermi-
nation des différents points de la courbe \ il suffit , en effet,
pour chaque valeur donnée à l'abscisse, par exemple, de
porter sur une parallèle à l'axe des y^ de part et d'autre de
ce diamètre , une distance égale à la valeur numérique do
radical.

Les diamètres, comme les asymptotes, peuvent être,
d'ailleurs , rectilignes ou curvilignes^ mais dans ce dernier
cas, ce sont ordinairement des lignes plus faciles à con-
struire que la courbe elle-même.

3^. Les courbes peuvent jouir de la propriété d'avoir
un ou plusieurs centres.

En donnant (n^ 130) la définition du centre, nous avons
fait voir que son caractère analytique consiste en ce qae
la courbe étant rapportée à ce point, comme origine des
coordonnées, son équation est telle que, si les quantités
+ x', 4- j^', la vérifient , les mêmes quantités prises en
signe contraire, — x\ — y\ la vérifient également; ce qui
revient à dire que l'équation reste la même lorsquon
change -h x et -h y en — a: et en — y.

D'après cela , quand il s'agit d'une courbe de degré pair,

▲ DES ÉQUlTIOnS DE DEGAÉ SUPÉRIEUR. 363

la somme des exposants des variables dans chaque terme de
son équation doit être un nombre pair^ et le contraire doit
avoir lieu si la courbe est de degré impair.

Toutes les fois que cette condition n'est pas remplie, on
peut affirmer que le point pris pour origine n'est pas un
centre de la courbe.

Mais il reste à savoir si la courbe est douée d'un centre

m

oa même de plusieurs.

Voici, à cet effet, le moyen à employer.

Remplacez, dans l'équation ^ xetjr par x -h a ely-h h ;
fms y déterminez les quantités a, 5, de manière k faire
disparaître les termes dont le degré n'est pas de même parité
que celui de l'équation (c'est-à-dire de degré pair si l'équa-
tion est de degré pair ou vice versa).

Gomme il n'y a que deux indéterminées a et 6, on ne
peut poser que deux équations de condition; mais si la
courbe a réellement un centre, il arrive nécessairement
que les valeurs de a , & , ainsi obtenues , font disparaître à
la fois tous les termes qui empêcheraient la condition carac-
téristique d'être satisfaite.

Les deux équations de condition pouvant être de degré
nipérieur au premier^ il s'ensuit que certaines courbes
sont susceptibles d'avoir plusieurs centres. Quelquefois
même elles en ont une infinité (*) , ce qu'on reconnaît au

caractère -? obtenu pour les valeurs de a et de b.

EnBn , la courbe n*a pas de centre si l'on obtient des
valeurs imaginaires ou infinies.

Ces notions générales étant établies , nous passons à la
discussion d'équations particulières.

^^^ . Premier exemple : F*0- '48*

I ) y* — x'^y -4-2 J?/ — x^-^ 7,y -f- 2j: = o.

Remarquons d*abord que cette équation étant privée du terme

(') Ainsi, par exemple, an système de deux droites parallèles est doué
^«ne infinité de centres, comme on le reconnaît en remontant h la défini-
lion géométrique donnée au n» 130.

364 APPL. DE LA MétH. DE DISC. PAR LA SÈP. DES VAR,

FiG. 148 indépendant de x et de Xj est satisfaite par

ainsi Vorigine des coordonnées que nous supposerons , |K>ur plus
de simplicité, rectangulaires, est un point de la courbe.
On déduit de cette équation

.2

(2) x=z ±-s/x<-f.4,

expression qui se compose de deux parties principales , l'une nr-
tionnellcy Tautre irrationnelle et précédée du double signe ± ;
d*où il résulte que l'équation

•^= — 5 —

est celle d'un diamètre de la courbe.

Ramenons cette équation à la forme ordinaire , et supprimoos
V accent; il vient

(3) 4?' — 7.y — 2JC — 2 = 0;

d'où

^= i±v^2j4-3,

équation d'une parabole ayant elle-même pour diamètre la droite

0? = 1,

c'est-à-dire une parallèle FPF' à AY, menée à la distance AP= >

de l'origine , et rencontrée par la parabole au point pour lequel

on a

3
2j-f-3=o, d'où x=z = AD;

en sorte que si par le point D on tire la droite DD' qui rencontre
FF' en E, la parabole sera tangente en ce point à cette droite.

Il est à remarquer ici que les axes étant supposés rectangu-
laires, les droites FF' et DD' sont les axes principaux de la para-
bole; le point £ en est le sommet.

En posant successivement dans l'équation (3)

jr — o, ar=:o,
on trouve

or = 1 ± ^3 et / = — 1 ;

ce qui donne trois autres points Q, Q' et B' par lesquels celle
courbe auxiliaire doit passer.

A LA C0]VST1irCT10N DE COL'UBES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR. 365

Elle affecte ainsi la forme

RQEB'Q'R'.

Cherchons maintenant quelques points de la courbe qu*il s'agit
de construire.

D*aborcl, l'origine A étant un de ces points, si Ton prends à par-
tir du diamètre,

B'H=B'A,

le point H lui appartient également; et c'est ce que donne, en
effet, rhypothèse x =: o, introduite dans Féquation (i) ; il vient

d'où

^*+2/ = o;

Faisons ensuite

j = 0 et X =z — 2.

on obtient

r=o;

doù

— x^ -h 2 or ^ o j

ar = o et x = db^=±i,4'

<% qui donne, outre Torigine, les points G', G.

Soit encore

ar= I = AP;

le radical de l'expression ( 2 ] devient

± - V^ = db I , I , à moins de o, i pris.

Portant sur la droite FF', à partir du point E, les deux distances
£E', £E'% on a deux nouveaux points, E% E'% appartenant à la

roarbe.

Soit enfin

X = a = AP' ;

la valeur du radical devient

dr - V^20 = ±v5 = lt2,2, à moins de o, i près :

ce qui donne les points K et K'.

Ces constructions donnent déjà une première idée de la courbe
qai se trouve composée de quatre branches s'étendant au-dessus
et au-dessous de la parabole-diamètre , et toutes les quatre indé-
finiment dans tous les sens, puisque Texpression (2) de j^ est tou-
jours réciie, quel que soit x.

366 APPL. DE LA MÉTH. DE DISC. PAE LA SÉP. DES VAï.

Fie. 1 48 Voyons actuellement si cette courbe a des asymptotes.

on négii^'e

Le radical ^j:*H-4 revenant à ** 1/ ï H- -^ » si T

la fraction --^ y la valeur de r se réduit à
or

(4) r*' = ^ ±-:

^^' 2 2

et Ton prouverait, comme on Ta fait au n° S06, que les lieux ^éc-
métriques exprimés par cette double équation sont àesasymptou^
à la courbe cherchée.

Occupons-nous de leur construction.

Supprimant V accent et séparant les deux équations, on trouve,
d'abord pour le signe inférieur,

r = — a: — I,
puis pour le signe supérieur,

/ = X* — X — I .

La première équation représente la droite L'B'BL, pour la-
quelle on a

AB' = — I , AB = — I ;

et ce qu'il y a de particulier, c*est que cette droite est tan^entt^
B' à la parabole-diamètre.

En effet, si Ton applique la méthode des dérivées (D^iO^.^
réquation (3), on trouve pour le coefficient d* inclinaison dt ^
tangente en un point quelconque x', y',

2 x' — 2 ,

û =r = ar — I.

— 2

Or, si Ton pose

x'=r O,

valeur qui correspond au point B' de la parabole, on trouve

« = — I,
qui exprime en même temps le coefficient d'inclinaison de ladfoitr

y = — X — I.
La seconde équation résolue par rapport à x donne

ï . I

qui représente une autre pababole ayant pour premier axe «J*

A LA COHSTUCCTIOlf DE COURBES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR. i6y

paraHèle NN' à A Y, menée à la distance AC = -9 et pour ordon-
née de son point d'intersection avec cet axe ,

4

en sorte qae le second axe est C'IG^

D'ailleurs, comme x = o donne jr =2 — i dans Féquation de la
première parabole et dans l'équation de la seconde , il s*ensuit
qu'elles passent toutes deux par le même point B^

Il est alors facile de reconnaître la position de cette seconde pa-
rabole y qui est représentée par la courbe S'B'IYS.

Celle-ci est asymptote à la portion U' AE'GKU de la courbe cher-
chée, etladroiteLL'est asymptote^ Tautre^portion H' G' HE" K' H".

N, B. — Il existe 9 pour cette seconde partie de la courbe, une
espèce AUnflexion au point H qui a pour coordonnées

x:=o et ^ = — 2,

inflexion qu'il est important de caractériser.

Formons, à cet effet, le coefficient général eT inclinaison d*après
réquation (1); on obtient (n<* 199)

2^' — x'* -t- 2 x' 4- 2 '
et si l'on pose

x'=ro,
il en résulte

— (2j'-4-2)

a = — -^ '=z — I :

27'-h2

ce qui prouve que la tangente THT' au point H est parallèle à
Vasympiote dont Téquation est

y = — X — I.

On justifie ainsi la forme donnée en ce point à la branche
fl'HH".

Quant à la première branche U'AE' GKU , on voit qu'elle doit
avoir un point où la tangente est parallèle à taxe des se i et, pour
l'obtenir, il &ut égaler à zéro le numérateur de a ; ce qui donne,
après la suppression des accents ^

2XJ— 2j<"-H 3x' — 2 = 0,

équation qu'il suffirait de combiner avec l'équation de la courbe

y"^ — x'/ -H 2xj^ — x* H- ?.)' -\- 2x = o.

368 APPL. DE LA HÉTH. DE DISC. PAR LA SÉP. DBS YAH.

Gomme j n'entre qu'au premier degré dans la première » rélimi-

nation de cette inconnue est facile, et Ton parvient ainsi à uoe

équation du cinquième degré en x dont le dernier terme est négatifs

' et qui a, par conséquent, au moins une racine positive, Nous

laissons ce calcul à exécuter.

Fio. i49« Deuxième exemple :

(i) j?'/+2j:/ — x'-|-j4-o.

En résolvant cette équation par rapport à j:, on a

x^ 2_±_l_.^j

expression qui montre que la courbe est située tout entière au'
dessus de Taxe des x^ puisque^ négatif àonne pour x des valeur»
imaginaires.
Posant

y

X =

r— >

pour avoir un des diamètres, et chassant le dénominateur, pois,
supprimant Vaccent, on arrive à l'équation

j:/— X -Hj<= o,

qui est celle d'une hyperbole équilatère (les axes étant supposés
rectangulaires)^ rapportée à un «ystème de coordonnées y^am/Zè/^^
à ses asymptotes (n*' 507, 3*^), et que Ton pourrait constniire
facilement.

Mais on peut se dispenser d'exécuter cette construction sur la
figure, parce que la forme et la position de la courbe se détermi-
neront plus simplement par les considérations suivantes :

L'équation résolue par rapport à y donne

_ x' _ / X y
•^~ (x-f- 1)»— \rTT/ '

ou , si l'on effectue la division ,

Cette dernière forme met immédiatement en évidence deux
asymptotes, savoir :

yz=i j, et. X = — I.
Car X étant supposé égal à V infini positif ou à Vinfini négatif,

▲ LA C09STE1XCTI0R DE COUEBES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR. ^6g

I

, - devient nul, et la valeur de r se réduit à
D'un autre côté, si l'on pose

,X-hI = 0, d'où 4P=: — I,

la valeur dejr devient infinie; d'où l'on voit que les droites

qoi peuvent être représentées par les droites B'BB'^, GC', respec-
tivement parallèles aux axes AX,AY, et pour lesquelles on a

AB = i, AC= — I,

jouissent toutes deux de la propriété de ne pouvoir rencontrer la
courbe qu'à V infini,

n reste à prouver, conformément à la remarque du n" Sllf,
qu'elles satisfont à la condition essentielle de se rapprocher indéfi^
nmeni de la courbe.

Reprenons, à cet effet, l'équation ( 2 ), et faisons d'abord croître x
depuis o jusqu'à + QO -

Pour X = o, on trouve

r= o;

ce qu'indique, d'ailleurs, l'équation (i), qui fait voir, en outre, que
la cotirbe est tangente en A à l'axe des x^ puisque de cette équa-
tion l'on tire , pour^ = o ,

x*=:ro.

Si l'on donne à x des valeurs de plus en plus grandes^

X -H I

diminue de plus en plus , et, par suite, i ou y augmente

X "f— I

continuellement sans toutefois pouvoir dépasser 1; et, quand
on suppose enfin

— : — devient nul. et y se réduit à V unité.

Donc une des branches de la courbe 1 en partant de Torigine A»

te rapproche sans cesse et autant que Von veut de la partie BB' de

la droite ^ = i •

Maintenant, faisons croître x dans le sens négatif.

Si l'on donne d'abord à x des valeurs comprises depuis o jus*

qu'à — I et croissant numériquement ^ x -H i se rapprochera de

plus en plus de o; donc 1 en restant positifs deviendra de

X -f- 1

» Ap. de VAl à ta G. ^4

370 ÀPPLIGÀT. DB LÀ MÉTH. DE DÏSCUS. PAR LÀ SÉP, DES TÀH.

Fio. lio. /'^"^ ^'^ P^^^ grand et se rapprochera continuellement de V infini; il
en sera de même de Xf ^^ lorsqu'on supposera

— I,

la valeur de y deviendra infime; ce qui prouve c^une seconde
branche de la courbe, partant du point A , va en se rapprochant
sans cesse de la droite CC qu*elle ne peut rencontrer qu'à Yinfini,

Ces deux branches se réunissant au point A, et devant être
tangentes à Taxe des x^ constituent ainsi une première partie de
la courbe cherchée, partie qui est représentée par la ligne con-
tinue D'AD.

On démontrerait par des raisonnements tout à fait analogues
qu'il existe , à la gauche de CC, une seconde partie de la courbe dont
les deux branches réunies en une seule ont pour asymptotes la
même droite QC, ou «r ?= — i , et la portion Bl/' de la droite /zri.

£GE' figure cette seconde partie de la courbe*

FiG. i5o. Troisième exemple :

(i) jr^ — Saxjr-i- x^= o [Folium de DssCa&tbs].

Cette équation ne peut être résolue directement ni par rapport
à y y ni par rapport à x \ mais la transformation des coordonnées
fournit toujours ^ pour une équation du troisième degré, un moyen
de faire disparaître la troisième puissance de l'une des variables,
et permet ainsi d'exprimer celle-ci en une fonction explicite de
Vautre.

£n effet, si en supposant les axes rectangulaires, on a recours
aux formules

^=: â7$in a -t-/C0Sa,
x^z X cos a — / sin a ,

et qu'on remplace dans Téquation (i) les anciennes coordonnées
par leurs valeurs en fonctions des nouvelles, le coefficient de/^
par exemple, a pour expression

cos' a — sin' a.
Égalant à zéro ce coefficient, et divisant par cos' a, on obdeot

tang* 1=1, d'où tang a = i , sin a =r cos a = - yâ"
Ces valeurs de sin a, cos a, reportées dans les formules ci-

i LA coarsnvcTiOK bb gou&bbs de DEamé supérievu. 371

dessus^ donnent

Pt rsuite, réquation (i) devient
ou bien y tonte réduction faite,

(2) 3(2* -H û^) J'^-h 24?» — 3fl ^.X»S=: O.

Telle est Téquation de la courbe rapportée au nouveau ayalème
d'axes AX', AT', formant avec les premiers des an^es de 45 degrés.
Cela posé, on déduit de Téquaiion (2)

(3) • ' ,^-.^..-2X»

V^

(fl v^2 -f- 2jr)

et Ton voit déjà que la courbe est symétrique par rapport à Taxe
AX', qui peut être considéré comme un diamètre principal.

Égalant à zéro le numérateur sous le radical, on tire de Téqua-
tioa résultante

ôa f— r" ^ r*

î=o, et a: = — v* = fl y* + '^* V**

jr»

Si donc, après avoir construit sur AD = a| un carré ADEF,

ce qui donne

A£ = a v^,

on porte sur AX' une distance AB égale à AE + -* A£, la courbe

sera limitée dans le sens positif par la droite ÏBV menée parallè-

3a —
lement a AY', puisque toute valeur de x supérieure à — ^2

donnerait des valeurs imaginaires pour/.

3a
Mai» en attribuant à x des valeurs comprisea entre — ^2 et o,

on aurait une double valeur réefie pour/; en sorte que la courbe
aftecte la forme d'une boucle passant par le point A, origine des
coordonnées.
D^un autre côté, si Ton pose

«^H-2x = o, d'où X =z <iV^2,

a4.

37a APPLICAT. DE LA MÉTH. Dfi DISCUS. PAU LA SÉP. DES TAR.

FiG . 1 5o . et qu'en prenant

AG=— iflv/2=--AE,

2

on mène la droite LGL' parallèle à AT', cette droite est une
asymptote*

Car, d*abord , elle rencontre la courbe à Vinfini; et de plus,
comme on peut mettre l'expression (3) sous la forme

r=3=^A /-•â

/ I 2a ^a

on reconnaît que, si x croît négatipement depuis o jusqu'à v^>

la quantité soumise au radical croît indéfiniment; il en est, par
suite, de même pour/.

Ainsi la portion BMA de la courbe se prolonge an delà du
point A, en se rapprochant de plus en plus et indéfiniment de la
partie GL de la droite LL', tandis que la portion BM' A se pro-
longe du côté de GL'.

La courbe affecte donc enfin la forme CAMBM' AC

Nous ne pousserons pas plus loin la discussion des équa-
tions de degré supérieur; elle exigerait, pour être établie
complètement, la connaissance de principes qui sont plus
particulièrement du ressort de V analyse infinitésimale.

On peut, du reste, consulter à ce sujet Pouvrage de
Craker, ayant pour titre : Introduction à V Analyse des
lignes courbes.

DISCUSSION DE QUELQUES ^QUATIOES POLAIRES.

Fia. i5i. "^' Premier exemple :

p = 0 . cos f {a étant une ligne donnée }.

Afin de faciliter la construction des résultats, nous suppose-
rons , dans tout ce qui va suivre, qu'on ait décrit du point 0 pris
pour pôle, comme centre^ et avec un rayon égal à i, une circon-
férence sur laquelle on devra porter les arcs qui mesurent l'angle 9.

Gela posé, soit OA = a et donnons à Tangle f une série ck?
valeurs :

Pour f z=r o , ce qui suppose le rayon vecteur couché d*abord

A LA COSSTaUCT. DE LIGUES DOHSÉB8 EH ÉQUAT. POLAIRES. 373

$urOX, ont

cos f = I y d*où p = a ;

ainsi le point A appartient à la courbe.
Pour tf = 3o«= LOXy on a

sino=:-9 cosç = -v''3;
donc

p = i a ^ = 0,8. a = OB < OA.

Pour f = 45»= L'OX , on a

sin f = cos f = - ^ ;
donc

P

= -fl ^ = 0,7.11 = OC <0B.

Pour 7 = 6o«= L'OX, on a

cos 9 = -', d'où p=-fl = OD<OC.

^2 2 ^

Soit enfin tf == go^j il en résulte

cosf = o, et p = o:

ce qni prouve que la courbe doit passer par le point O.
Comme on a d'ailleurs

cos (—y) = cos y,

il s'ensuit que la courbe est symétrique par rapport à Vaxe po^
/aiViffOX, et peut être représentée par la ligne continue ABCDOC^ A.
Si l'on transporte le p6le 0 au point 0', milieu de OA, et que
Ton désigne par f-' et ^' les nouvelles coordonnées polaires, telles
que O'B , BO'X , on a , pour exécuter cette transformation de coor-
données , la relation

p'"= p«4--jfl» jB.H.COSf,

ou, remplaçant p par sa valeur a cos ^ ,

On , réduisant ,

p'»= a} cos* f -H -7 «' — «' cos' f ,

p"=ji '*'"' f-^

résultat indépendant de Pangle ^ .

374 APPUCÀT. DE LA MÉTH, DBD18CTT8. PÀH LÀ 8ÉP. DES yiH.

FiG. i5i. Ce qui démontre que la courbe cherchée est une circonférence
de cercle décrite sur OA comme diamètre.
Et en efTet , si dans Tcquation

p ziz a cosf ,
on remplace p et cos f par les expressions

X X

^x^ 4- 7% et - ou

qui (n^ 279) servent à transformer une équation polaire en une
équation entre coordonnées orthogonales, il Tient

viM-7^ = «•

fi

ou f simplifiant,

**4-^^ — ax =z 0}

équation d'un cercle rapportée à Tune des extrémités d^un dia-
mètre, comme origine {voyez le n*> 75),

Fifl. i52. Deuxième exemple :

bc

P = -7 — ' >

' ^ sm ^ -h c cos 7

^ et c désignant deux droites données de longueur.
En posant d'abord

ç == o, d'où sin f» ^ o, cos f = i,
on trouve

p = — = ft = OB.
c

Soit encore

7 = go**, d'où sin 7 = I , cos y = o ,

il en résulte

pzzzc:^:: OC.

Tant que l'angle ç est compris entre o et 90 degrés, sin f aug-
mente et cos f diminue j en sorte qu'il n'est pas possible de savoir,
à rinspeclion de la valeur de p, quand son dénominateur augmente
ou diminue.

Mais si l'on met ^ sin f + c cos <p sous la forme

^cos 9 (tangf -+-t)j

A hX COKSTKVCT. DE LICKES DOKHÉBS BK ÉQUÀT. FOLÀiaBS, 876

on voit qu'en donnant à f une valeur particulière, ff' ou LOX ^
telle que ron ait

c c h

taDg7' = — jt d'où siny'= — » cos/r= ■■ y

^

V^^'H- c> V^ÏM^

c

on obtiendra pour p une longueur infinie; d'où il suit que la ligne
cherchée est rencontrée par la droite LOL' en deux points situés à
Vinfini,

Prenons maintenant un point quelconque M du lieu géométrique
demandé, et proposons-nous d'évaluer la distance MP de ce point
à la droite LU.

On a

MP = OM.sin MOP = £-: sin MOP,

^ sm ç + c cos y

sin MOP = sin LOM = sin (y' — y ) = sin 7' cos f — sin y cos f '»
d'où, remplaçant sin y', cos y' par leurs valeurs ,

bc (c cos y -I- ^ sin y\

MP ^ "5 — : ; I ' ' ' , — . ■ I j

6 sin f + ^ cos 7 Y ^6*-h c» /
OQ, supprimant le facteur commun ,

he

MP = >

expression indépendante de la variable y : ce qui démontre que le
lieu géométrique cherché a tous ses points à une distance constante
(le la droite LL', ou, en d'autres termes, est une parallèle à cette
droite.

Et, en effet, Téquation de la droite BG, en coordonné^ ortào^
gonales, est (n° tiS)

ex -^ bjrz= bc;

et si Ton y remplace x etjr ])ar leurs valeurs p cos y , p sin y , ex*
primées (n**278) en coordonnées polaires, il vient

bc
' 0 sitiff -h C cos f ,

c est-à-dire l'équation que l'on avait à discuter.

Troisième exemple : Fio« 1 5 3 .

I

P Z=Z -; .

1 + 2 Sin f
Décrivons du pâle 0 comme centre , avec le rayon OA = i , une

3y6 jLPVhlCÀT. DE LA MÉTH. DE DISCtJS. PAR LÀ SÉP DES TAU.

FiG. 1 53 • circonférence de cercle, et menons par ce point les axes rectangit-
laires XX', YY% ainsi que les bissectrices LL^L'^L*, des angles
YOX, YOX'.

Cela fait, calculons et construisons les valeurs de o qui corres-
pondent aux angles o^, 45*> 9o**> i35*», i8o% 225°, etc. :
f = o, sin<p=o;p=i= OA ;

I /— I /—

ff = 45**, sin y = - V'a; o = — = ya — i = 0,4 = CM;

^ 1 + V 2

^ = go**, sin ^ = 1; p = ^ = OC, tiers de OA ;

y = i35% sin«p = iv2; p = V'2~- 1 = 0,4 = Old'=OM;
y = i8o*, sin^ = o; p = 1 = OB;

ç=:225«,sin(p = — -V^;p=r p== — (^ +l) =— 2,4-

2 I — V2

valeur négative qui (n^'MîJ) doit ôtrc portée sur le ^/v/o/r^^nte/i/
r/^ OL^ en M''; de sorte que Ton ait 0M''= 2,4 5

<p=27o», sin|. = — ij p=_L-=— I,

valeur qu'il faut également porter en sens eoniraire de OY', ce qui
donne Où' ;

<p = 3i5^ sinç=; v^2, p = — 2,4=OM*'j

enfin ,

ç=r36o% sin^zro, p=:l = OA.

Ces différents résultats démontrent que la courbe cherchée doit
passer, 1° par les points A , M , C , M', B ; 2» ))ar les points M", C,
M", et qu'ainsi elle se compose de deux bi anches opposées.

De plus, ces branches s'étendent indéfiniment h droite et à
gauche de AY.

Car la valeur de p devenant infinie quand on fait

sin 9 =r = sin 210**= sin 330"= •— sin 3o*,

^ 2

il en résulte que, si par le point 0 on mène deux droites, RK',ir*
formant avec Vax** polaire OX , Tune au-dessus et l'autre au-des-
sous de ces axes, des angles de 3o degrés, ces droites rencontre-
ront la courbe à V infini.

Si maintenant on fait , dans Téquation donnée,

f = 270** — f ', d'où sin y =: — cos »',

A LA CONSTRVCT. DB LICKES DOM^ÉES ES ÉQUAT. POLAIBE8 877

elle se cljangc en celle-ci «

I

*^ I — a cos f

qui (n<^S87) n'est autre que Téquation d'une hyperbole donlTun
des foyers est pris pour paie; le demi -paramètre esipz:zi=: OA,
el Y excentricité est « = 2.

Pour retrouver Téquation de la courbe en coordonnées orthogo^
nales, il suffit (n<> 879) de poser

p = v'FTyS sin r = / ■ ;
et réqnatiou polaire primitive devient

V^x'+7»= = , ^ ■ ,

OH, après qnon a supprimé le facteur commun ^x^-^ y*, chassé
le dénominateur, fait évanouir les radicaux et ordonné,

équation que Ton peut ramener à la forme ordinaire en changeant

d*abord / en j + ^ 9 ce qui donne

o

pui$(n* 140) en multipliant par -r r; et Ton trouve enfin

^ •N O

_ vî x' = .

s 9 27

Sous cette forme, on reconnaît :

i^. Que rhyperbole est rapportée à son axe transverse comme
axe des/}

2^. Qu'elle a son centre au point & dont l'ordonnée est - ou 00';

3

3^. Que le demi-axe transverse ou A = x et que le demi-axe
non transverse ou B = ? ^*

"3

On déduit de là :

Pour le demi-paramètre ,

B»

378 CONSTUUCT. DE LIGUES DONHÉES EN ÉQtTiTIOIVS POLàlRES.

FiG. i53. ^' po"r '® coefficient d'inclinaison des asymptotes par rapport à
l'axe AT,

Désignant cette inclinaison par a , et fangle complémentaire
para', on a

tang a = db ^3 , cos a =s , = ± -»

v/3 + i ^

et, par suite y

sin «' = ± —
2

En conséquence , si Ton mène par le point O' deux droites qui
fassent, avec V axe polaire primitif Ok , les angles dont le sinus soit

égal à db ' 9 on obtiendra les deux asymptotes , auxquelles les

droites II', KK' qu'on avait trouvées dans la discussion deTéquatioa
polaire , sont parallèles.

Tous ces résultats sont en parfaite concordance.

Les exemples de discussion que nous venons de traiter,
ne peuvent donner qu'une idée très-imparfaite de !a mé-
thode de discussion des équations polaires en général,
parce que la détermination de certains ^oinf^ et de certaines
droites remarquables exige souvent la recherche des déri-
vées de diflerenls ordres Ags fonctions circulaires , question
qui dépend plus particulièrement de ce que l'on nomme
l'analyse infinitésimale om transcendante^ mais ces exem-
ples suffisent pour mettre au fait de la marche à suivre,
tant qu'il ne s'agit que de courbes du second degré.

COUDIT. POVR I.ADÉTSftMIirAT. DS8 COURBES DV 2* DEGRÉ. 3jg

CHAPITRE IX.

COBIPLÉMENT ET APPLICATIONS DE LA THÉORIE
GÉNÉRALE DES COURBES DU SECOND DEGRÉ.

§ L — Nombre et h atvre des conditioks servakt a la

DÉTERMINATION DES COtJRBES DU SECOND DEGRÉ. SOLU-
TIONS GÉOMÉTRIQUES POUR LA CONSTRUCTION DE CES COURBES
d'après DES CONDITIONS DONNÉES. — PROPRIÉTÉ COMMUNE
AUX TROIS COURBES.

319. On a vu (n^* 56 et 96) que Ton peut se proposer de
déterminer une ligne droite ou un cercle d'après certaines
conditions dont le nombre est ûxé,

La même nature de question s'applique aux trois courbes
du second degré ^ les coeflicients de leurs équations doivent
alors être regardés comme des constantes indéterminées
dont les valeurs dépendent des conditions imposées à la
courbe.

Or, en divisant Téquation générale de ces courbes par le
terme indépendant des variables , on la ramène à la forme

(0 a/^ -+■ bxf H- rj:' --{- dy -h ex ~\- i — o.

Cette équation renfermant cinq coefficients y il s'ensuit
qu'on peut, généralement, assujettir la courbe à cinq con^
ditions diflérentes; et ces coiriitions exprimées algébrique-
ment ser\'cnt à déterminer les coeflicients a^b^c ^ d^ e.

Soit, par exemple, proposé ào, faire passer une courbe
du second degré par cinq points,

Appclon.[y,j'], [x'^y»], [x'\y"'], [x", y'"],
[or^, ;^'^] les coordonnées de ces points.

En substituant successivement dans l'équation (i) chacun
de ces cinq systèmes , on obtiendra cinq équations du pre-
mier degré en ûy A, c, rf, e, lesquelles, étant résolues, don-
neront les valeurs de ces coeflicients; et en rapportant ces
valeurs dans l'équation (i) , on aura celle de la courbe assu-
jettie à passer par les cinq points donnés.

Cette courbe sera d'ailleurs une ellipse, une Itjrperbole
ou VLueparabolej suivant que l'on aura (n°* 159 et 301)

38o NOMBRE ET «ÂTURE DES COUDITIOVS

entre les coefïicienta a, &, e , des trois premiers termes,
b* — ^ac<^Oy b* — ^ae'^o^ b* — 4^^ = ^-

II pourra même se faire que la courbe se réduise à Tune
des variétés; c^est ce qui arriverait ^ par exemple, dans le
cas où , sur les ciiirQ points , on en donnerait trois en ligne
droite.

L'équation du lieu géométrique passant par les cinq
points, ne saurait appartenir , alors, qu'à une droite, ou
à un système de deux droites.

Car la combinaison des équations d'une courbe du
second degré et d'une ligne droite, donnant lieu à une
équation de second degré , il s'ensuit que ces deux ligna
ne peuvent avoir, au plus » que deux points communs.

On observera encore que , si la courbe cbercbée doit être
une PARABOLE, quatre points suffisent pour la déterminer;
puisqu^on a déjà entre les coefficients de Téquation la rela-
tion particulière

Toutefois , comme cette équation est du second degré ^
tandis que les autres sont du premier degré, on devra gé-
néralement obtenir deux paraboles pour réponse à la ques-
tion.

320. Au lieu de donner des points de la courbe, on peut
supposer connues do position des droites auxquelles la
courbe soit assujettie à être tangente»

Si, par exemple, on veut qtie la courbe soit tangente à
une droite

m et n étant des quantités connues , il suffit de combiner
cette équation avec l'équation (i), et, après avoir formé
une équation du second degré en or, d'écrire (n^* 98 et 101 )
que les deux racines de cette équation sont égales.

On obtient ainsi une relation entre les indéterminées a,
& , c, ^, e, et les quantités connues m , n.

Même raisonnement pour une seconde, une troisième^ etc..
droite à laquelle la courbe devrait être tangente.

La connaissance d'une asymptote équivaut à celle d'une
tangente et de son point de contact^ puisque (n^ 244) les

POri LA DÉTBftXllVATIOll DBS COUBBVS DU 2* DEGRÉ. 38 1

asymptotes sont des tangentes à l'infini. Ainsi , il suffit de .
trois antres conditions pour déterminer la courbe.

321. Si la courbe doit 'avoir un centre , et que Ton
donne la position de ce point, trois autres conditions sont
encore suffisantes pour la détermination de la courbe.

En efiet, comme rien n'empêche de prendre ce point pour
origine, Téquation est alors (n^ 162) de la forme

et ne renferme que trois coefficients à déterminer ; ainsi
la connaissance du centre équivaut à deux conditions difié-
rentes.

U est vrai que , dans ce cas , la courbe ne peut être qu^une
ELLIPSE ou une HTPEBBOLE , OU ( u^ 1 58} uu Système de deux
droàes parallèles,

322. Lorsque, pour une ellipse ou une hypebbole, on
donne de posàion soit le système des axes principaux ^ soit
un système de diamètres conjuguéSy il suffit de deux autres
conditions pour déterminer la courbe.

Car ces courbes, rapportées à Tun ou à l'autre de ces
systèmes, sont représentées par les équations

A»7>± B'«»= ± A» B% ou A'»^«db B'»x* = ± A"B'S

dans lesquelles A et B ou A' et 6' sont les deux seules con-
stantes à déterminer.

Quant à la pàbabole, si Ton donne les axes principaux
on un système d^axes conjugués, il ne faut plus qu'u/ie
seule condition pour la déterminer^ puisqu'il entre une
seule constante , p ou p'^ dans les équations

qui représentent la courbe rapportée à l'un de ces systèmes.

323. Ces principes étant bien établis y nous allons faire
connaître un moyen plus simple que celui qui a été eiposé
(n""* 274, 2i0 et 242) pour construire :

1^. Une PÂBÀBOLE, connaissant un système à^axes con-
jugués et le paramètre à ce système;

a^. Une ellipse ou une htpebbole , étant donné de po-
sition et de grandeur un système de diamètres conjugués.

38a jroMBRE et kiture dbs coiiDiTiosa

fiG. i54* Premiebement. — Soient AX, AY un système d'ties
conjugués, 2p^ le paramètre à ce système.

Prenons sur AY et au-dessous du point A une disunce
Ad égale à 2/?', et menons par le point D une droite DL
parallèle à AX5 puis tirons par le point A une droite quel-
conque AH.

Les équations de la parabole , de la droite AH^ et de la
parallèle DL 9 sont

f-z=z%p'x^ yz=zaxy j^=:— 2//.

Or la combinaison des deux dernières équations donne,
pour les coordonnées du point E où la droite AH rencontre
la ligne DL ,

^ = —2^', xz=i ^ = DE.

D'un autre côté, en combinant la première et la seconde
équation , on trouve pour les coordonnées des deux poiuls
d'intersection A et M, de AH avec la eourbe,

Or a

d'où Ton voit que les distances DE , et MF ou AG, sont
égales.

Cette propriété étant vraie pour toutes les droites menées
par le point A , on en déduit le moyen suivant de construire
la courbe :

Prenez sur AY^ et au-dessous du point A, AD = 2p\et

menez DL parallèle à AX j tirez ensuite des droites indé"

finies AH, AH', etc.; portez les distances DE, DE', efr.,

rfe A en G 5 G', etc,^ et par ces derniers points tracez GK,

G'K', parallèles à AX,

Les points M, M', etc., où les droites AH et GK, AH' et
G'K', etc., se rencontrent, appartiennent nécessairement
à la courbe.

Fio. i55. SEGONDEMEfiT. — Considéroos Tellipse.

Soient OB = A', OC = V deux denu^diamètres con^
jugués, AY la tangente au point A , DL une parallèle à AX^

aa!

POUR LÀ DÉTE&XIIIÀTIOII DES COURBES DV ^ DEGRÉ, 383

laen^ à iiDe distance

qui représente le paramètre au système donné.

Tirons d^aiUenrs deux cordes supplémentaires quelcon-
ques AM,BM.

Les ccjuations de ces deux droites et de la parallèle DL
sont

les quantités a , a' étant (n^* 182 et 209) liées entre elles par
la relation

Or la combinaison de la première et de la troisième équa-
tion donne pour les coordonnées du point E ,

y— ^, , X— ^,^ — DE.

D'un autre côté, si Ton fait a: = o dans la seconde équa-
tion, il vient pour l'ordonnée du point G où la droite BM
rencontre AY,

B"
ou, à cause de la relation aa' = — -7;»

d'où résulte

AG = DE.

[ B est à remarquer que cette propriété renferme impli-
citement celle de la parabole , puisque, si Ton suppose le
grand axe infini^ la droite BM détient une parallèle à AX. J

De là on déduit la construction suivante :

Après avoir tracé par Vuiie des extrémités du diamètre
AB une parallèle à Vautre diamètre OC , prenez sur cette
parallèle A Y, et au-dessous du point A , une distance AD

a B'*

égale à — -7 — y puis menez DL parallèle à AB; tirez

A,

ensuite des droites indéfinies AH, AU', eie.; portez les dis^
tances DE, DE', etc, de A en G, G', etc., et joignez ces
derniers points avec le point B.

384 VOMBRB ET NATURE DES COMDTTlOirS

Fio. i55. Les points M, M', elc, où les droites AH et BG, AH' it
BG', etc., se rencontrent, appartiennent nécessairement à
la courbe.

On procéderait d'une manière tout à fait analc^e pour
Thyperbole.

324. La question résolue et discutée n^' 1 47 et suivants
pour établir la liaison qui existe entre les trois courbes du
second degré , et qui nous a conduits (n^ 161 ) i la détermi-
nation de la droite appelée directrice, fournit encore d'an-
tres conditions d'après lesquelles on peut déterminer et,
par suite , construire ces courba».

C'est ce que montre la propriété suivante :
Fio. i56. Soient MNAM' . . . une courbe du second degré, DIV
la directrice qu'on suppose donnée de position, et F un
fojer.

Considérons deux points, M, N, delà courbe, tirous
les droites MN^ FM, FN, en prolongeant MN jusqu'i sa
rencontre en R avec la directrice, et joignons FR.

Je dis que la droite FR divise en deux parties égales
r angle NFin, formé par le rayon vecteur FN et le prolon-
gement Fm de Vautre rayon vecteur FM.

En effet, menons du point N la droite NI parallèle à FM,
et abaissons les perpendiculaires MP, NQ sur la direc-
trice.

On a , d'après la propriété caractéristique de la directrice
(nM51),

MF:MP::NF:NQ,
ou

(i) MF:NF::MP:NQ;

mais les triangles semblables BPM, RQN et RFM, RIN,
donnent

MP:NQ::RM:RN,
rm:rn::mf:ni;

d'où

(2) mp:nq::mf:ni;

donc , À cause du rapport commun aux proportions (i) et (2),
MF : NF : : MF : NI ; et, par conséquent NF = NI.

VOVK LA DÉTERMIN. DCS COURBES DU a* DEGRÉ. ^85

' Le triangle NIF étant isocèle, il sVnsuît que les angles
NFl et NIP ou IF m sont égaux.
Donc, etc.

325. De cette propriété il résulte qu'une courbe du se- Fio. 157
cond degré est détetmînéey lorsqu'on donne un foyer et ttvis

points de la courbe^ ce qui revient à dire que la connais-
sance de Fun des foyers équivaut à deux conditions diffé-
rentes.

En effet , soient M , N , P, trois points donnés par lesquels
on veut faire passer une courbe du second degré , et F un
foyer de cette courbe :

I®. Si Ton tire les lignes MN, MFm, FN, et qu'on
mène la hisseotrice FR de l'angle NF/n, le point R où les
denx droites MN, FR se rencontrent, est nécessairement
un premier point de la directrice ;

2?. En exécutant une construction analogue par rapport
à l*un des deux mêmes points N ou M et au troisième point P,
on détermine un second point S de cette directrice, qui
est alors la droite DSRIX.

Maintenant, si du point F on abaisse FB piTpendiculaire
sur RS, on a ia direction du premier axe. Menant ensuite i

(le l'un des points donnés, N par exemple, NQ perpendi-
culaire à RS, on obtient NF : NQ pour le rapport constant
qui doit exister entre la distance d'un point quelconque de
la courbe au. foyer, et sa distance à la directrice.

Dès lors on peut facilement (n°* 147 et suivants) déter-
miner les grandeurs des axes.

Suivant que le rapport NF : >'Q est reconnu inférieur,
supérieur ^ ou égal k l'unité, la courbe est, comme on l'a
vu, une ellipse f une hyperbole ou une parabole.

Dans \^fig' 157,1a courbe est une parabole ^ puisque
l'on a

NF = NQ.

326. N. B. — Lorsqu'on exige d'avance que la courbe Fio. i58.
soit une parabole, il suffit de donner deux points de la

courbe avec le foyer; et, dans ce cas, voici comment on
détermine la directrice :

Aff. d9 VAX, à lu G. 3^

386 CONBIT. POVRLADÉTEAMIN. DBS GOVttBSS DU d* BEGIÉ.

Fie. i58. Soient M et N les deux points donnés, F le foyer.

Après avoir déterminé le point R, comme précédemment,
on décrit de Tun des points donnes , M par exemple y oomme
centre, et avec le rayon MF une circonférence 5 puis, du
point R, on mène une tangente RT à cette circonférence.

La tangente ainsi tracée n'est autre chose que la direC'
tricei car, de la définition de la parabole (n°14I) , il résulte
que sa directrice est tangente à toutes les circonférences
décrites des différents points de la courbe, comme centres,
et avec des rayons égaux aux rayons vecteurs correspon-
dants.

Puisque par le point R on peut, en général, mener
deux tangentes à la circonférence , il s^ensuit qu^on obtient
par ce moyen deux directrices, et par conséquent deux
paraboles; Tune est M' ANM , qui a pour directrice RT, et
pour premier axe BX ^ Tautre est ri7<aMm\ dont la di-
rectrice est RT', et le premier axe B'X'.

La question n'aurait qu u/ie seule solution si la circonp
férence passait par le point R^ et il n'y aurait aucune solu-
tion si le point R se trouvait en dedans de la circonférence.

327. Enfin, la connaissance d*un sommet de la courbe
éqaÎTaut, en général, à deux conditions.

Car supposons, pour un instant, que Ton donne les
deux sommets du premier axe, par exemple, d*une ellipse
ou d'une hyperbole, et un point de la courbe.

En joignant ces sommets par une droite, on aura le
premier axe en grandeur et en direction , ainsi que le centre
de la conrbe.

Dès lors , si dans Téquation

on substitue les coordonnées x', y' du point donné, rapper*
tées au premier axe et au second qui est lui-même connu
dé direction , il viendra

A'y»±B'j/»=:±A»B%

équation dans laquelle la quantité B, étant seule iaeonniie.
peut être facilement construite.

SOLUTi aÉOX.FOVR LA DÉTBRM. D'une COURBE DU a* BBCI« 38^

Là iwnnaisMDce des r/etix sommets et d'un seul point de
la courbe suffit donc pour la déterminer; et (^omme^ d'ail*-
leurs, ces sommets sont symétriquement placés ftnt* la
courbe y un seul doit être compté poiir deux côndàtoni.

Solutions géométriques pour la détermination d^une courbe
du second degrés diaprés des conditions données é

328. La déierminaiîort d'un<5 courbe du second degré,
d'après certaines conditions, est, eu général, un problème
assez difficile à résoudre par l'analyse, à cause de Vembarras
qu^on éprouve souvent dans le choix des axes. Aussi s'est-on
attaché principalement à en rechercher des solutions {>ui'e<-
ment géométriques j en se fondant toutefois sur les pro-
priétés connues des trois courbes.

Les questions suivantes ont pour objet de mettre au
courant- de ces sortes de constructions.

PAEMiiaE QUESTION. — Troîs droites et un point étant donnés
sur un plan y trouver une courbe du second degré tangente à ces
trois droites, et qui ait pour foyer le point donné.

Soient Mm, N/i, Vp les droites données, et F le foyer de la Fi«, i5q,
courbe cherchée.

On a vu (n*** îOi et 257) que, dans V ellipse et dans Vhjrperbole,
les pieds des perpendiculaires abaissées d\m foyer sur les tangentes
ont pour lieu géométrique la circonférence de ctrclr décrite sur le
premier axe comme diamètre, et (n® 270) que, dans la parabole,
ces mêmes pieds se trouvent sur le second axe.

Cela posé, abaissez du point F les trois perpendiculaires F6,
FH, FK. 11 peut arriver deux cas : ou les Irois points G , H et K
forment un triangle, ou bien ils sont en ligne droite.

Dans le premier cas ^Joignez ces points deux à deux, puis éle^
vezy par les milieux des lignes de jonction, des perpendiculaires.
LO, 10; elles se rencontrent en un point 0, qui est le centre de
la courbe.

TVr» ensuite OF, et prenez sur cette droite deux parties OB,
OA, égales à OG (dbtance du centre au pied de la perpendicu-
laire abaissée du point F sur Mm]; vous obtenez AB pour le pre-
mier axe ; et la courbe est une ellipse ou une hyperbole, suivant
que le point B se trouve placé sur le prolongement dô OF, ou
entre les points 0 et F.

Dans la fig. ï5q la courbe est une ellipsû, et lé secoftd axe

a5.

388 SOLUTIONS GÉOMÉTRIQUES POUR Lk DÉTERMINATIOV

CD s'obtient (d° 151 ) en décrivant du point F comme centre, et
avec le rayon OB , un arc de cercle.

Si la courbe était une hyperbole, le centre de Tare de cercle se-
rait enB {u? ISS), et OF serait le rayon de cet arc.
FiG. i6o. Dans le second cas, c'est-à-dire lorsque les trois points G, H, K.
sont en ligne droite y cette ligne KHGT représente le second axe de
la courbe, qui est alors une parabole; et pour avoir le premier
axe, il suffît d* abaisser AFX perpendiculaire surKY. Le quadruple
de AF représente d'ailleurs (n^ 275) le paramètre; ainsi la courbe
peut être construite facilement.

N. £, — Lorsqu^on sait d'avance que la courbe cherchée doit
être une parabole, il suffît de connaître deux tangentes et h/o/er,
puisque le second axe est (n^ 870) déterminé par les pieds des
perpendiculaires abaissées du foyer sur ces tangentes; et, en effet,
nous savons déjà que quatre conditions suffisent pour la para-
bole, et que la connaissance du foyer compte (n^ 5S5] pour deux
conditions.

Decxiâme question. — On demande de construire une ellipse y
connaissant le centre, la longueur de son grand axe ^ une tangente
et son point de contact,
Fio. i6i. Soient 0 le centre donné, A le demi-axe de la courbe, Tria
tangente et M son point de contact.

Du point O comme centre, avec le rayon A, décriçez une cir-
conférence qui coupe généralement Tf en deux points Ry R'; pois
élevez en ces i^int&Xes perpendiculaires 1^S ^ R'S'à cette tangente;
elles passent nécessairement (n° 201 ) par \es foyers de la courbe.

Tirez ensuite la ligne OR, et par le point de contact M tracei
MN parallèle à OR ; il résulte de ce qui a été dit n" 205, que MN
passe par le second foyer. Donc le point F', où R' S' et MN se ren-
contrent, n'est autre que le second foyer.

Menez enfin la ligne F'O qui rencontre RS en un point F; et
vous obtenez ainsi le premier foyer.

Les points A et B, où F' F rencontre la circonférence décrite,
sont d'ailleurs les sommets de la courbe qui est alors complètement
déterminée.

N, B, — Si le point de contact était placé sur la tangente Tr,
en un point M' tel que la droite M'N', parallèle à OR, l'encontrAt
R'S' au point/' situé hors de la circonférence décrite avec le
rayon A, la courbe, au lieu d'être une ellipse , serait une hyper-
bole AonX le premier axe aurait pour direction y O, et pour som-

D r>E COI RBE DU 2® DEGRÉ d' APRES DES CO>D. DOMiÉES. SSp

mets a y b, I^s foyers seraient les points/', y, où la ligne /'O
rencontre R'S' et RS prolongés.

On voit donc que, bien qu*on ait demande une ellipse , il peut
arriver que la construction conduise à une hyperbole,

TaoïsiiME QUESTION. — Construire une hyperbole, connaissant
Vun des foyers y une asymptote y et la longueur du premier axe ou
le rapport des axes.

Soient F le foyer donné , LL' l'une des asymptotes, et A la Ion- Fig. 162.
gnear du premier axe , ou m le rap|>ort B : A.

Abaissez àw point F une perpendiculaire sur LU; le pied R de
cette perpendiculaire est à une distance du centre de la courbe ,
égale à A (n** 937 ), puisque Tasymptote LV peut être considérée
comme une tangente.

Ainsi , en supposant que A soit connu , prenez à partir du point
R sur LL', une distance RO égale ^ A ; et le point O est le centre
de la courbe.

Menant ensuite OF, vous obtenez la direction du premier axe ;
portant OR de O en A et B , puis OF de O en F', vous avez les deux
sommets de la courbe, ainsi que les deux foyers. Tracez enfin KR',
de manière que l'angle FOK soit égal à Tangle LOF ; vous obtenez
la seconde asymptote,

if. B, — Lorsque, au lieu de A , on donne le rapport m ou ~»

la tangente trigonoraétrique de l'angle FOR est connue ; ainsi la
direction de la ligne FO peut être facilement déterminée. Quant
aux grandeurs des demi-^xes , elles sont évidemment représentées
par OR et RF.

On a d*abord OR = A, comme on Ta vu tout à Tbeure; et
RF = B, d'après la relation

OF = f = v/A»4-B%

qui donne nécessairement

B»=:c» — A>=RF\

QuATEiikME QtTESTiON. — Étant donnés une asymptote 9 deux
points^ et le rapport des axes d'une hyperbole, construire la courbe.
Soient LL% M, M', Tasymptote et les deux points donnés, m le Fio. i63.

rapport — que 1 on suppose connu.

A.

Menez la droite MM' qui va rencontrer LL' en R, puis, à partir
dtt point M', prenez une distance M'R' égale a MR; le point R'
appartient à la seconde asymptote (n® 949).

390 PROPRIÉTÉ GOlOfUNE

F16. i63. Comme le rapport — 9 ou m y est donné , faites en un point

A

quelconque I de U/ un angle LIG dont la tangente trigonomé-

trique soit égale à m, puis un angle HIL, double de LIG.

Tracez çnfin par le point R' la droite KKf parallèle à IH, et
VOq« dvez ainsi la seconde asymptote.

La courbe peut donc être tracée facilement d'après la méthode

du n*» aK7.

N, JB.—Sii au lieu du rapport des axes, on donnait la posi-
tion d'un troisiôroe point, en joignant ce point avec Tun des deux
points déjà donnés 1 on obtiendrait un nouveau point de la seconde
asymptote» dont la direction serait alors déterminée.

Voici les énoncés de nouvelles questions sur lesquelles on peut
ft'eiteroer.

i^. .Construire ut^e parabole y eonnaissani h foyer, un peint et
une tangente,

a^. Canstmire nne ellipse, eannaiisanê deux iémgentee, le eentre
et Im hngueurdu premier axe (la courbe peut être une hyperbirie).

3^. Comiruire une hyperbole, eonnaiteanê une asymptote , mm
fiorer et une tangente^

Propriété commune aux trois courbas.

fiG. i64- àSd' Noua complétons oes coQsidéralioas par la déoio&s*
tratîpn d'une propriété qui appartient aux trois oourbes du
teecmd degré, et dont les géomètres ont tiré parti pour con«

slruîre ces courbes d'après certaines données.
Reprenons l'équation

(i) A7'+ Bx/4-C«'4- Dj-i- Ej: + F = o,

que nous supposons représentir une des trois courber , rap*-
portée à un système rectangulaire ou oblique, AX, AY.
Celte équaûon peut être mis© sous la forme

, , , Bx + D C / , E F\

Soit fait d'abord r = o , pour obtenir les points où la courix'
rencontre Taxe des jt; il en résulte

V F
(3) *»4-^a^4-g=o,

AUX TROIS COtmllES DIT SSCOm» DEGRÉ. 3g t

équation dont les racines ne sont autre chose que le&abscùses
des points demandés.

Si ces racines sont imaginaires , c'est un indice que la
courbe n'a aucun poiat commun avec Y axe des x ; et di elles
sont égales^ la courbe est (n^ 98) tangente à cet axe.

Mais admettons qu'elles soient réelles et inégales^ et dési-
gnons par x\ x", ces deux racines , représentées sur \a figure

par AB , AC.

E F

Le trinôme x* -h - ar + p revient k (x — x') [x — x") .

Pour exprimer ce produit géométriquement^ observons
que AP représentant une abscisse quelconque, et AB, AC
les abscisses x'^ x^\ on a nécessairement

{x — a/) {x — a/') = PB X PC.

D'un autre côté, le dernier terme de Téquation (2) , ou

C

- (a: — jc') (j: — a:'^), est égal au produit des deux racines

de cette équation résolue par rapport à j^*, et ces racines
sont représentées par PM et Pw.
On a donc la relation

PM X Pw =: j (x -^ y ) (a: --y ) = ^ X PB X PC;

d'où Ton déduit

PM X P/w _ C
PBXPC ^ Â'

Pour d'autres abscisses AP', AP'', etc., on aurait égale-
ment

P'M'XP'/w' C P'^'^XP"/»" C

n T> .w/» . . «>//^ T'

• • •

PB X PC A P'BX P"C A

et, par conséquent,

PM X P/w _ V'U'xV'm' _ P^^M^^X P''m'' _
PB X PC "" P'BXP'C""" P"BXP"C

Ce qui démontre que , dans toute courbe du second degré,
•iTon considère une sécante quelconque AX, puis une série
d'autres sécantes parallèles entre elles et menées sous une
direction tout à fait arbitraire, les rectangles des parties
de ces parallèles, comprises entre leurs points de rencontre

392 CONSTRUCTION DES RÂCIMBS

FiG , i64. ^^Gc la première sécante et leurs points d'intersection avec
la courbe y sont aiix rectangles des parties de la prenuèn:
sécofite, comprises entre les pieds des parallèles et ics
points oà cette sécante rencontre la courbe ^ dans un

RAPPORT CONSTAKT.

Tl est aisé de rcconnaitix» que cette propriété, àiie pro-
priété de transi^^rsales ^ compreud implicitemeut celles qui
ont été démontrées dans les précédenis chapitres (n^* 209,
242 et 274).

En ettet, si , la première sécante étant un diamètre quel-
conque , les autres sécantes sont parallèles au conjugué de
ce diamètre, il en résulte PM = Pm, P'M'= P'm', etc.,
et la relation ci-dessus devient

— j

PM P'M' P'M'

PB X PC P'B X P'C P" B X P"C

Ou fait usage de celte propriété, pour faire passer une
courbe du second degré par cinq points donnés^ mais les
détails qu'exige cette construction, nous entraîneraient
beaucoup trop loin.

Nous renvoyons, pour ces sortes de constructions, su
Traire des sections coniques , par le Aforquis de Lhôpital.

§ II. — Construction des racijnes des équations du

SECOND, TROISIEME ET QUATRIl^ME DEGRÉ A UNE SEULE IN-
CONNUE; PROBLÈMES DE LA TRISECTION DE l' ANGLE ET

DE LA DUPLICATION DU CUBE. DÉTERMINATION, PAR

DES INTERSECTIONS DE COURBES, DU NOMBRE DES RACINES
RÉELLES DANS LES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES A UNE SEULE

INCONNUE. — Problèmes sur les lieux géo^cétriques .

SE RAPPORTANT AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ. De

quelques courbes REMARQUABLES, SAVOIR *. CISSOÏDE DE
DiOCLÈS, CONCHOÏDE DE NiCOMÈDE.

m

Equation du second degré.
330. En résolvant Téquation

(l) X*-h PJC = f/ y

on parvient, en général , à une expression composée de deux
parties, l'une rationnelle et l'autre irrationnelle du second

DE l'ÉQUATIOR du second DECKÉ A UKE IKCOHNVE. igi

dv^n.Or, on a vu dans rinTaoDtcTiOKi les moyens de
construire ces sortes d'expressions.

Mais la Géométrie élémentaire fournit des méthodes pour
cODslruire les racines de l'équation proposée , sans qu'il soit
uécessaire delà résoudre.

D'abord si /; et «^ sont deux droites données à pi'iori, x
désignant aussi une ligne , Féqualion (i) n*est pas homo^
gène; pour la rendre telle, il faut (n*' 15), en supposant
que r représente la ligne prise pour unité, la rétablir dans
cette équation , ce qui donne

el si Ton met les signes en éyidenc^, Téquation prend défi-
nitivement la forme

(2) «»±/?x = ±A:*

[A' désignant ici une moyenne proportionnelle entre ret la
valeur absolue de ^].
Cela posé, i^ soit à construire les racines de l'équation

(3) x^-H/^x = -+- K

Sur une droite indéfinie, prenons une distance AB égale Fie. i65.
^ p\ ^X sur cette ligne comme diamètre, décri\^ons une cir-
conférence de cercle; élevons au point A une perpendicu-
laire AC égale à A , et tirons la droite CD passant par le
centre O du cercle.

Les deux racines demandées seront représentées par CE
et par — CD (la racine négatii^e étant la plus grande en
valeur absolue).

En effet, par construction, AC est une tangente, et CD
nue sécante au cercle*, donc, en vertu d'un théorème connu
de Géométrie,

CExCD=ÂC=*'.
Mais CD étant égal à CE 4- /^, l'égalité devient

d'où Ton voit déjà que Féquation (3) , qui revient à
est satisfaite par x = CE.

394 COKSTft. DES EAG. DE l'ÉQ. DC 2* DEGE. A CHB IXGOITNI E.

FiG. i65. Comme on a pareillement

CE = CD — /î, ou — CE = — CD 4- y9,
régalîté prend la form^

(— CD +/?).{— CD) = *«;
ce qui prouve que l'ëquation (3) , ou

est enoora satisfaite par «as — CD.

Donc CE et — CD sont les deux racines de Tëquation (3).
2°. L'équation

x^ — pxzzz A',

ne différant de celle-ci que par le signe de J?, ou en déduit
que ses racines sont CD et — CE (la plus grande racine esi
ici la racine posiiwe),

3°. Passons à Téquation x^ — p x = — Ar*, que Pon pcul
mettre sous la forme
(4) x[p^x) = h\

Fie. i66 . Pour obtenir ses racines , décrivons sur la droite AB =;?>
considérée comme diamètre , une demi-circonférence ; é/e-
sfons eii A la droite AC perpendiculaire à AB et égale à /;
puis menons CL parallèle à AB \ et de chacun des deux pointa
D , où CL rencontre la demi-circonférence , abaissons DG
perpendiculaire sur AB.

Les deux racines demandées seront AG et GB.

Car on a, d'après un théorème de Géométrie,

AG X GB =: DG' = AC» = AK
Mais

GB = AB — AG = /? — AG, AG = /? — GBj

d'où, substituant dans Tégalité précédente ,

AG (/? — AG) = /% GB (p ^ GB) *= A^;

et si Toi/compare chacune de ces nouvelles égalités à ré-
quation (4)) on peut conclure que celle-ci est satisfaite,
soit par x = AG, soit par x = GB.

Ainsi AG et GB sont les racines demandées.

iV. B, — Pour que ces deux racines soient susceptible

COirSTR. DES RÂC. DE8 ÉQ. DD 3® ET DO 4* DBOB. À UKE IITC. Sp^

de détermination , il faut que la p4irallàlç CL puiste ren-
contrer la demi-circonférence ] ce qui exige que k soit tout

au plus égal à 01 ou -•

On sait, en effet, que c'est la condition de réalité des ra-
cines dans Fexpression

4^. Quant à Téquation x* -f- ;?a: = — A*, ses deux
racines sont essentiellement négatwes, et sont représen-
tées par — AG, et — GB, puisque cette équation ne dif-
fère de l'équation (4) que par le signe de x.

Tous les cas relatifs à T équation

se trouvent ainsi traités.

Lorsque les coefficients de Téquation du second degré
sont des nombres particuliers, il n'y a rien à changer au
mode de construction des racines; açulement, il fau( fu
reporter à ce qui a été dit au n^ 11 concernant les r^^i-
caux numériques,

Équations du troisième et du quatrième degré.

331 . On vient de voir que la ligne droite et le cercle suffi-
sent à la construction des racines d'une équation du second
degré à une seul^ inconnue; mais il n'en est pas de mémo
pour les équations du troisième ou du quatrième degré :
il faut avoir recours à la construction de deux courbes du
second degré dont Tune au moins soit différente du cercle.

Le principe fondamental de ces sortes de constructions
consiste à regarder l'équation proposée comme le résultat
de tèlifuinaiion entre deux équations à deux inconnues
dont l'une ^ sii/fposée r inconnue primitive , est prise pour
ABSCISSE, et Vautre pour ORDONnÉR.

En construisant successivement et sur les mêmes axes les
lieux géométriques de ces équations , on reconnaît que les
courbes se rencontrent en un ou plusieurs points dont les
abscisses représentent les racine» réelles de l'équation pro-
posée.

396 CONSTRUCTION DES RACINES

332. Développons ce principe sur l'équation du qua-
irième degré
(i) x* H- aa^ + bx'- + rjc + r/ = o,

à la construction de laquelle on peut ensuite rameuer faci-
lement celle d'une éq^ualion du troisième degré.

Nous supposerons d'ailleurs que les coeflScients « , b^c^d
sont indifféremment des lignes données à priori, ou des
nombres, — [Dans le premier cas, il faudrait (n° 15)
commencer par rétablir riiomogénéité. j

Cela posé, faisons dans Téquation (1)

(2) *'=r;

elle devient

(3) y^-^-oxy-^ by -^cx -\-dz=zo'^

et comme Téquation (i) résulte évidemment de rélimina-
lion de y entre les équations (2) et (3) , il s''ensuit qu'elle
renferme toutes les valeurs de x propres à vérifier les équa-
tions (2) et (3) , en même temps que certaines valeurs de y;
donc, si par un moyen quelconque, on peut obtenir les
systèmes de valeurs de x et de^ communs aux équations (2)
et (3) , en ne tenant compte que de celles de x, on aura les
racines de Téquation (1).
Fie. 167. Or, l'équation (2) étant construite par rapport à des axes
qu'on peut supposer, pour plus de simplicité, rectangu-
laires, représente une parabole dont le premier axe est
dirigé suivant l'axe des y^ l'origine étant le sommet de la
courbe , et qui a i pour paramètre.

Cette courbe est facile à construire.

L'équation (3) , étant construite sur les mêmes axes, a
pour lieu géométrique une hyperbole dont Tune des asymp-
totes est parallèle à l'axe des x (n° 307, 1°).

Ces deux courbes se coupent généralement en quatre
points (puisque Véquation finale (1) est du quatriëiDe
degré), dont les coordonnées jouissent exclusivement de la
propriété de satisfaire en même temps à leurs équations.

Ainsi les abscisses de ces points sont les racines de-
mandées.

DBS ÉQUAT. D1] 3*" ET DU 4* DEGAÉ ▲ UNE ISCOIIHIJE. ZqJ

N. B, — Le nombre des racines réelles deTéquation (i)
est égal au nombre des points d'intersection.

333. On peut , au moyen de quelques artifices de calcul ,
remplacer Féquation (3) par une autre plus facile à con-
struire, même par celle d'une circonférence de cercle.

Pour cela, il faut supposer que Féquation (i) ait été
préalablement à.&}dLTVdiSsée de. son second terme-, ce qui est
toujours possible d'après la théorie des équations.

Supposons donc l'équation ramenée â la forme

(i) «* 4- /? J^ -f- ^-a? + r = o ,

et faisons , comme précédemment ,

(a) ^=jry

l 'équation (i) devient

(3) y^-^py-^-qx -^r^zo.

On remarque d'abord que, par ces premières opérations,
les lieux géométriques sont deux paraboles dont la seconde
a pour axes principaux deux parallèles aux axes coordon-
nés. Une simple translation d'origine suffirait pour la ra-
mener à la forme

Mais si l'on ajoute les deux équations [*i) et (3), on
obtient la nouvelle équation

(4) ^'-hr'-H {p—\)y'^qx + r = o,

qui (n** 85) représente une circonférence de cercle ayant
pour coordonnées du centre

q I— l?

— ^ et ^»

et pour rayon

D'où l'on voit que la construction des racines de toute
équation du {juatrième degré peut toujours être ramenée
à celle d'une parabole et d'un cercle.

334. Considérons maintenant l'équation du troisième

degré.

400 PftOBLÈME 1>B LA TRI8BGTI0H DE LkUGLE.

Fio. 167. on trouve

3rx — r,s 3r r,s^

4* 4 4*^

et d'après ce qui a été dit au n*' 307, la courbe, qui est une
HTi>BBBOLB> a pouF asymptotes les droites

ar= o et ^-cir-j-j

c'est-à-dire Taxe des j^ et une parallèle FEF' à Taxe desT,
menée à la distance

3/- 3

0E=:^=r70D.

4 4

Comme d^ailleurs la courbe passe par le point C pour
lequel on a, d'après Féquation (3),

OU peut la construire au moyen du procédé établi n® 257:
ce qui donne les deux branches nm'mn\ n" m" n'" .

La première de ces branches rencontre la parabole LOL'.
en deux points m, m'; la seconde en un 5ei</ point m^; et
ces points sont tels, qu'en abaissant mpy fn'p'^ m^p" per-
pendiculaires àOX, on a O/9, O^', 0/7^, pour les trois
racines de l'équation (i).

Cela posé, ces valeurs, dont Tune O^*' est négatiW,
exprimant des sinus, il faut les porter sur OY, de O eu R.
R', R'', mener ensuite RM, R'M', R''M'' parallèles à OX:
et Ton obtient enfin

AM, AM', — AM''
pour représenter les valeurs des arcs

a TT — a ir + a

3' ~3~' ^3~'

que Ton sait être les trois valeurs du tiers d'un arc dont on
donne le sinus.

Nous pourrions, comme au n'* 334, substituer à l'hyper-
lK)le une circonférence rfe cercle qui serait difiérente de
celle déjà tracée*, mais nous préférons faire connaître »»
autre moyen de résoudre le problème, qui a l'avantage di

PKOBIXICE DE LA TKiSBCTIOlf DE l'aKGLE. ^OI

faire servir le cercle donné, comme un des lieux géométn^
qnes*

336. AtjTRB MODE DE SOLUTION. — Soîcnt lolîjours AB Fio. l(>8.
ou a l'arc qu'il s'agit de diviser en trois parties égales et
qu'on suppose décrit avec le rayon r égal à celui des Tables,
AM le tiers de cet arc, supposé connu pour le moment.
Faiscms d'ailleurs

OPoHcosfl = c, BPou5in/i = ^, 0Q = «, MQ=/.
On a , pour première relation ,

Maintenant, si Ton prolonge MQ jusqu'à sa rencontre
en N avec la circonférence, que par le point N on mène
^R parallèle à OX, jusqu'à sa rencontre en R avec BP
pi-olongé, on obtient ainsi un triangle BNR semblable au
triangle OMQ (car ils ont leurs côtés perpendiculaires) ;
et il en résulte la proportion

0Q:QM::BR:RK9

Mais , par construction ,
Jooc cette proportion devient

^\ y:: s -^ x:x ^c\

d'où l'on déduit la seconde relation

équation qui, combinée avec (i), donnerait par Télimina-

lion de x la valeur de r ou de sin ^*

^ 3

Mais au lieu d'effectuer cettie élimination, on peut con-
struire les lieux géométriques qu'elles représentent.

Or le lieu de Téquation (i) est le cercle donné lui-
même.

Quant à l'équation (2)., elle représente évidemment une
HYPERBOLE t^.QiTiLàTÈRE dout les dcux axcs sont parallèles
aux axes coordonnés.

Pour en obtenir la position , résolvons retto équation par
Ap, tir VAt. à h G. 26

403 FUOBL£X£ DE hk TIU3BC7I01f DE l'AIHUUB.

FiG. 168. rapport à j^ 5 il vient

Soit prissur OY une distance

s BP

2 2

la ligne GG' parallèle k OX est un diamètre de la cporbe,
et par conséquent un des axes cherchés.

On sait d'ailleurs (n** 304) que la moitié du coefficient de

X sous le radical , pris en signe contraire , ou -? n est vaxxt

chose que l' abscisse du centre; donc la ligne HH' menée
par le point V, milieu de OP, el parallèlement À OT, repré-
sente Vautre axe.

Mai menant , puisque rhyperho'e est équilatèrcy il s'en-
suit que les asymptotes divisent en deux parties égales les
angles droits HIG', HIG.

Ainsi ces droites sont KK', LU.

Enfin, il résulte de l'inspection de l'équation (a) que la
courbe passe par l'origine, et pçût facilement être con-
struite. On obtient ainsi les deux branches MHM', B'H'M*.

Ces branches rencontrent la circonférence de cercle en
trois points , M , M', M", puis , en un quatrième , B', point
où le sinus BP, prolongé , coupe lui-même la circonférence.

Discussion. — • La position des trois premiers^ points

s'explique facilement. On a

^ . AB . a
• I*». MQ =sin-^ = sm^'

a®. Si l'on prend

d'où

ABC = -^ >

AB a

il en résulte

^4-2J ^sinU--y — 3J = sm-y-"

3". En prenant

ABDC' = ^>

PKOBLfeHB m LA TBISKnOH DB l'a>«.I. 4^i

d'où

oiiea déduit

Quant au quatrième point B'^ dont les coordonnées sont

si l'on substitue ces râleurs dans les équations ( j ) et ( a) , on
obtient

ce qui prouve que ce point doit, en êflfet, appartenir aux
deux courbes.
Les équations (i) et (a), ajoutées entre elles, donnent

ar' -^sjr-^ ex = r«,

et y. par tuiiet

• '- ï— '

d'où , substituant petté valeur d^s r^qu%tio|i (&) ,

équation dont le premier membre e&l divisible par J^-h Sy
et donne pour quotient

4r*— 3/^^-+ /*j = o.

Or cette dernière relation est Uleutique {au caractère de
Tinconnue près) avec Téquatiou (i) du ntimcro précédent;
mais on voit en même temps que y d'après la seconde mé-
thode, on à établi deux équations en x et y^ plus géné-
rales qne ne le comporte la question proposée, puisqu'en
éliminant x on parvient à Téquation relative à celte ques-
tion , mais embarrassée d'un facteur étranger, •

337. Remarque, — C'est ainsi qu'on doit intcrpinHer
cette circonstance, que la détermination des racines d'une
équation à une seule inconnue, par des intersections de
courbes, donne lieu quelquefois à un plus grand nombre
de POINTS coMMUws ai/j: deux courbes j que la question
n'admet de solutions réelles'. Les c oordoniiées de ces points
vérifient les deux équations à deux inconnues; mais leurs
abscisses peuvent ne pas vérifier la proposée.

26.

404 PROBLÈME DE LA DITPUGATIOjr DU GUSR.

Problème de ta duplicalion du cube,

338. Le côté d^un cube étant donnéy trouver le côté
d'un autre cube double du premier.

Soient a le côté du premier cube, x le côté du second,
on a Téquation

qui^ multipliée par a?, donne

(0 «<— 2û»4r = o.

Posons
(a) T*=ax;

il en résulte

(3) 7«= ^ax;

et la question se trouve ainsi ramenée à la conatruction de
deux paraboles.

Mais si Ton ajoute les équations (a) et (3) membre i
membre , il vient pour nouvelle équfttîon ,

(4) r'4-x>— «rj— a0jp=o,

qui peut remplacer indifféremment l'une d'elles , la pre-
mière par exemple.
Fio. 169. Or l'équation (3) représente une parabole ayant son
premier axe dirigé suivant AX , et pour paramètre ^a.
Le foyer est en F, milieu de AB = a.

Soit LAL' cette courbe construite d'après lés procédés
connus.

L'équation (4) est celle d'un cercle passant par rorîgine.
et dont le centre a pour coordonnées (n° 85)

A •>% -a AB _ _

j: = rt=AB, et r=-= — = BO.

En décrivant, du point O comme centre et avec la dislanrr
OA pour rayon ^ une circonférence, on obtient le second
lieu géométrique.

Il est visible que les deux courbes ne peuvent se rencon-
trer qu'en un seul point M (rorigine doit être rejetée comme
provenant de Tintroduction du facteur x dans Téquation

NOMBRE DES EÀC. RÉELLES DAKS LK3 ÉQLAT. M MÉR. 4o5

primitÎTe) ^ et si du point M on abaisse MP perpendiculaire
sur AX, Tabscisse ÀP sera le côté cherché.

339. Remarque. — Le problème de la duplication du
cube n'est qu^un cas particulier de celui-ci :

Troui^er deux droites moyennes proportionnelles entre
deux droites données a , b.

Appelons x et y les deux lignes demandées, on doit
avoir, d'après l'énoncé , la progression par quotient

Haixixib, oupiutôt, a:x::x:xy jc:y::jr:bi

ce qui donne les deux équations

(0 •»'=«r,

(2) y^= bx;

d'où, eu éliminant Tune des inconnues, j^

X* — a ' 6 j: = o ,
et supposant b =z aa^

X* — 2a'z=0, ou «^=2fl\

La résolution du problème général se réduit d'ailleurs à
la construction des deux paraboles ^

ou bien de l'une d'elles et du cercle

^* H- j?'— aj — ^x =r o,

ce qui rentre dans les constructions précédentes.

Détermination y par des intersections de courbes, du nombre
des racines réelles dans les équations numériques à une
seule inconnue,

340. La construction de deux lieux géométn'qucs sur les
mêmes axes, ayant fait connaître les longueurs des abscisses
de leurs points d'intersection , si , pour chaque abscisse , on
cherche ensuite , d'après la règle que donne la Géométrie ,
le rapport numérique de celte longueur à la ligne prise
pour unité, on obtient ainsi des valeurs plus ou moins ap-
prochées des racines réelles que renferme 1 équation résul-

4o6 DÉTERMI17ATI0N , PAK DES UTTEHSBCTIOITS DE COUBBBS)

tant de rélimination de^ entre les équations des deu^ lieux
géométriques.

Mais ce mode d'approximation est loin de valoir, sons le
rapport de la rigueur, les méthodes connues de Vanalyse
algébrique.

Il n'en est pas de même quand il ne s'agit que de fixer k
nombre des racines réelles. On sait que celte recherche
exige, soit la formation de V équation aux carrés des diffé-
rences ^ soit Tapplicatibn du théorème de Stnrm^ or les
calculs dans lesquels on se trouve alors entraide, sont
souvent fort laborieux et même impraticables par leur
longueur; tandis que, le plus communément, on arrive
très-vite au but par la considération des lieux géométri-
ques.

Donnons quelques elcemples.

Fio. 170. 541. Premier exemple. — Soit i*équation
(i) x»— 64?— .7 =0.

La substitution des nombres o, i, a, 3, etc., — i, — 2, etc.,
dans cette équation ne donnant lied qu'à un seul changement de
signe, il faudrait avoir recours soit à V équation aux diffifrenres,
soit à TapplicatioD du théorème de Sturm,

Faisons usage des lieux géométriques.

Soit posé dans Téquation ( i)

(2) ' ««=2-7*
il en résulte

(3) 20?/ — 6j? — 7=0;

et si Ton construit les équations (2) et (3) sur les mêmes axes, les
abscisses des points d*inlei'section de leurs lieux géométriques ^t-
ront les racines de Téquation (1).

Or \e premier lieu est une parabole LAh' ayant son axe pria-
cipal dirigé suivant A Y, son sommet en A , et 2 pour paramètre.

Le second est une hyperbole dont les asymptotes ont pour équa-
tions ,

7 = 3 et X = o

[car Véquation (3) revient à

2J?

DU NOMBKE DBS RàC. KÉELLES DA1I8 LES ÉQtTAT. IffUMÉE. 4<>7

D'ail]earSy la coorhe doit passer par le point G pour lequel on a

elle est donc facile à construire (n° t57 ).
Les deux courbes étant tracées, on reconnaît qu'elles ne te

rencontrent quVn un seul point M dont V abscisse est comprise

entre a et 3 (et , en effet, ces deux nombres substitués dans Té-

guation (i) donnent des résultats de signes contraires).
Ainsi réqualion (i) ne peut avoir qu*a;ie racine réélit*,
N, £, — Comme les branches négatives des deux courbes sont

assez rapprochées Tune de Fautre dans le voisinage des points

correspondants à j = i, on pourrait penser qu*il y a de ce côté

quelque point d^ntersection .
. Pour s'en assurer, soit posé

y=i=:AS

dans les équations (2} et (3); il vient, pour la première,

« = ±V'a=±i»4*»M
et, pour la seconde ,

ce qui fait voir que le point N de Thyperbole est extérieur à la
parabole.
Deuxième exemple. — Soit Téquation Fia. 171

(i) x^ — 24:*-|-8a: — 3 = 0,

pour laquelle la substitution des nombres 0,1, 2, etc., — i,
— 2, etc., ne donne que deux changements de signe.
Posons

(2) . • -^'^r,

il en résulte

y— 2/ -f- 8jr — 3^ o;

d'où, en ajoutant ces deux équations,

(3) ;r»-h/» — 3r-f-8;c— 3 = 0.

Les équations ( 2 ) et ( 3 ) correspondent :

1 ^ . A la parabole LAL' dont i est le paramètre ;

2**. A une circonférence de cercle, GMM'G', dont le centre O

a pour coordonnées

3
^ = AB = — 4, ^==0B=:-,

/(o8 PâriUVMlAATlOK , TAR DK6 IKTERSECTIOIÎS DE COYTRBES.

FiG. 171. et qui a pour rayon ,

R=i/i6-f.9-i-3 = ^^ = 4,6....

Or ces deux courbes n'ont évidemment que les deux points com-
muns M 9 M', dont les abscisses AP, AP' sont respectivement
comprises entre o et i , — 2 et — 3.

[Et, en eifct, l'équntion (i) avait Hé fonuce par la multiplica-
tion des deux facteurs

jt» — 2a:-t-3, j:'+2jr — i,

dont le premier, égalé à zéro, donne lieu à deux racines imagi-
naires, et le second aux deux valeurs

Nous pourrions multiplier les exemples; mais ceux qui pré-
cédent , suffisent pour montrer la marche qu'il faut suivre tant que
réquation proposée ne surpasse pas le quatrième degré.

Un procédé analogue peut être employé lorsque Téquation est
d*un degré supérieur; mais alors on est conduit à des construc-
tions un peu plus compliquées. Nous prendrons , pour exem})lei
une équation du sixième degré.

FiG !•":>. Troisième exemple. — Soit Téquation

(i) a?* — 2 or* -h 2 x^ -f- 3 a?* — X — 2 = 0.

Au lieu de poser jc* =^', ce qui donnerait lieu à une autre équa-
tion en X, y du troisième degré, dont la construction présenterait
quelques difficultés, on peut faire

(2) ^=r;

et il vient

(3) j' — 2x^^-4- 2/ -4- 3 x' — X — 2 = 0.

Le lieu géométrique de l'équation (2) est une courbe du troi-
sième degré ; mais la construction en est très-simple.

Observons d'abord que les valeurs de x et de ^ étant nécessai-
i^ment de même signe, à* di^rè^ l'inspection de l'équation, la courbe
doit s'étendre indéfiniment à la droite de AT, et au-dessus He
Taxe des x, puis à la gauche de AY, mais au-dessous de AX.

De plus, comme, en remplaçant -f- x, -f- jr pjir — x, — /, on
retrouve la même équation, il s'ensuit (n*' ISO) que roriginedcs
cocrdcinnées est le centre de la courbe qui passe d'ailleurs par ce
point; car x = o, / = o vérifient l'équation.

Enfin , si Ton forme le cocffic'cnt d^inclinaison de la tangente

DK NOMBaE DES «iC. RÉELLES DASS LES ^.Ql AT. ^iUMÉR. 4^9

en UD point x, ^^ on trouve pour ce cocfïicîi'nt-
qui devient db o, quand on pose

j:=r o;

ce qui démontre (u® 98 ) que la courbe est Ungen(e à Taxe des x,

en A , origine des coordonnées.

Gela suffit à la rigueur pour donner le sentiment de la courbe

qui affecte ia forme

KAK';

mais rien n*empéche de donner à x quelques valeurs , et de con-
struire les valeurs de y correspondantes. On trouve ainsi

pour X=:-=:AB, J = ^=:BN,

a o

x=i = AD, j=i=DN',

3 2*7 3

x = -=AC, ^ = -^=3g,

X = 2 , >* = 8.

On voit, d'après les valeurs de y correspondantes aux valeurs
de Xy qu*à partir de x = i, la courbe s'élève très-rapidement au-
dessus de Taxe des x; quant à ia partie inférieure^ elle est,
comme on Ta vu, symétrique par rapport à la partie supérieure.

Occupons-nous maintenant de réqiiation ( 3) pour laquelle on a
entre les coefficients ( n° 1t96), la relation

B'— 4AC= 4— i2= — 8,

et qui y |xir conséquent, est celle d*nne ellipse.
Cette équation , résolue par rap|X)rt à yy donne

j' = X — I ± y^— 2x' — X -h 3 ;

d où Ton voit :

i". Que /=:x — I, ou Diy, est un diamètre;
2". Que les 'limites de la courbe dans le sens des x sont

3
x=i. x = — — )

2

valeurs tirées de Péquation

x'-4--x = 0;

2 2

elles sont représentées sur la figure par DL , D' V,

Après avoir déterminé ses points d'intersection avec les axes ,

(jr=:o, X=l, X = — ^9 puis, X = O, /=I±V^3jj

4lO DÉ*. DU KOKB. DES RAC. RÉELLES DAHS LES ÉQUAT. rUM.

FiG. 1 72. et le dianrèlre II' conjugué du diamètre Diy, corome on Ta fait au
n°305, on obtient I^ellipsc DID'I'D, qui n'a évidemment que
deux points communs avec KAK'.

Ainsi , l'équation n'a que deux racines réelles^ Tune positive et
comprise entre o et i , l'autre négatips et comprise entre — 1
et — 2.

On peut s'exercer sur les équations

X*— 3jc''4-2j: — 4 = 0» X*— 4*^"+"5j? — 6 = 0;

et l'on reconnaîtra que chacune d'elles n'a qyî'une seule racine
réelle,

342. Première remarque. — Lorsque réqualion propo*
sce renferme des racines é gales ^ on en est averti par le con--
tact des courbes en un ou plusieurs points. Or on sait que
les méthodes d^ approximation de Vanalyse algébrique ne
peuvent, en général, s'appliquer à ces sortes d'équations
qu'après qu'on a d'abord ramené leur k*ésolution à celle
d'autres équations dont les racines sont inégales : opérations
souvent laborieuses.

343. Seconde remarque. — LMquation

J — **> •

dont on a fait usage dans le troisième exemple , est un cas
particulier de Téquation

• y z=z a -^ bx -\' cx^ •+• dx^ -f- • •" >

qui étant construite pour toutes les valeurs attribuées aux
coefficients a , b^Cy dy etc., et suivant le ternie auquel on
arrôte la série, conduit à des lieux géométriques dési-
gnés génériquenient sous la dénomination de courbes pa-
raboliques.
Ainsi

^ = fl -h bx -{- CJS*

est l'équation de la parabole ordinaire^ et

y = x^

est un cas particulier de ré(|uation des paraboles cubiques
ou du troisième degré.

Les géomètres out eiicarc tiré parti de la construction de
ces courbi's, pour expliquer les principes fondamentaux de
la résolution des équations numériques, (Consulter, à ce
sujet, V Algèbre de M. Garnier.)

• '

PftOBL. SURLESLlBUXGÉOM.^ftS a^k». AUXCOU&B. DU 'j!" DEC. 4^ I

Problèmes sur les lieux géométriques , se rapportant aux

courbes du second degrés

Les questions suivantes ont surtout pour objet de faire con-
naître certaines propriétés des courbes du second degré, qui
nWtpu trouverplace dans le développement deleurtbéorîe.

344. PjKEMiEa PROBLEME. — Une ellipse ou une hyper--
bole étant donnée, on demande le heu ou sa rencontrent
deux tangentes perpendiculaires, entre elles , quelle que
soit la position de la première tangente.

Considérons d'abord une ellipse, rapportée à son centre
et à ses axes,

et désignons par x^ y' les coordonnées du point de contact
de la première tangente, par x"^ y" celles qui se rap-
portent à la seconde. On a, pour fixer la position de ces
deux tangentes, les systèmes d'équations

(i) A»jy 4- B'dTx' = A'B% A'/» 4- B»a?'> = A'B»,
(a) A'//' -4- B'XJ7"=: A'B», A'/''4- B»y'»= A*B».

De plus, comme ces droites sont supposées perpendicu-
laires Tune à l'autre, il faut (n^ 64) y joindre la relation

-A^F><-Âv'*■'"=^'

ou simplifiant ,

Ces cinq équations devant exister simultanément pour le
point commun aux deux droites, il s^ensuit (n^ IIU) que,
si Ton élimine les quantités x\y* ^ ^"^y" q»ii varient d'une
position de chaque couple de tangentes à l'autre , Téqualion
résultante, en x et en y^ devra être également satisfaite
par les coordonnées de ce point commun , et sera, par con-
séquent, l'équation du lieu géométrique demandé.

La première des équations (i) donne

B'(A'^xx-)

^ - A^F — '

d'où, substituant dans la seconde et réduisant,

(4) (A»j-»+B»«»)a?''— aA'B'x*'H-A«(B' — /') = o.

4l2 PhOBLÈMES S1;A LES LIEtiX GÉOMÉT&lQtIBb ,

Par un simple échange de A , x, x\ en B, Y,y\ on trou-
verait , à cause de la symétrie dès équations (i) ,
(5) (A»7'-t- B'x»)j^''— 2 A«B*j/4- B* (A» — x») = o;

et la résolution des équations (4) et (5) ferait connaître
séparément x' etj^': mais il est facile de voir que ces deux
opérations sont inutiles.

En effet, remarquons que les équations (ï^) ne diderent
des équations (i) qu'en ce que x" eljr^ remplacent x' elj'^
donc, si Ton voulait déterminer x"^y'\ au lieu de x'^y\
on retomberait sur les équations (4) et (5); seulement les
caractères des inconnues serai en t*cliangés.

Il résulte de là nécessairement que l'équation (4) a pour
ses deu^ racines la valeur de x' et celle de x''.

Même raisonnement pour les valeurs dey^y'^.

Or on sait que le dernier terme de toute équation du
second degré à une seule inconnue, divisé par le coefficient
du premier terme , est égal au produit des deux racines.

On a donc les nouvelles relations

et si l'on substitue ces valeurs de x' x"^y y"^ dans l'équa-
tion de condition («^) , on obtient, toute réduction faite,

jc' -h j'» = A» -H B%
équation qui, ne renfermant plus que r, /, n'est autre,
d'après ce qui a élé dit ci-dessus, que l'équation du lieu
géométrique cherché.

N. B. — On arrive au même résultat , d'une manière
plus simple, en substituant aux coordonnées x\y et x^, jr^,
des points de contact , les coefficients d'inclinaison m et
m' des deuit tangentes.

Il résulte, en effet, de ce qui a été dit au n^ i95, que
les équations des deux tangentes peuvent être mises sous la
forme
(i) x = mx ziz V'A' m' -h B%

(2) • X = m'x ± v^ A» /«'» -f- B« ;

et comme ces droites doivent être perpendiculaires entre

8S AAPPOETAHT AUX COVRBBS DV SECOBD PEGRE. 4l3

elles y on a entre m et m' la rdaiion

(3) in.m'+i = o*

Ces trois équations doivent exister simultanément poor
le poinl de rencontre des deux tangentes ; done Tëquation
résultant de Télimination des quantités m et m' conviendra
paiement à ce point, et sera celle du lieu géométrique
cherché.

Or, si en ne considérant que Téquation (i) on chasse le
radical , et qu'après avoir eflectué les calculs , on ordonne
par rapport à m , on trouve

(4) (A*— dP»)m*-+-2ar^.iii-f.B« — >'»=2io.

Conime l'équation (a) ne diffère de (i) que par le carac-
tère de Tinconnue, m' au lieu de m, on doit conclure que
Téquation (4) a pour racines les deux valeurs de m et de

m\ et par suite, que — — ^ est égal au produit jde ces deux

valeurs.
On a donc la nouvelle relation

B»-r'

A' — X*

d'où, substituant dans la relation (3)> et chassant le déno-
minateur,

X» -4- 7* = A» ^- B%
comme ci -dessus.

Pour résoudre la même question à Tégard de rHYPEnaoLE,

il suffit de changer B* en — H*] ce qui donne pour Téqua-

tion finale,

x>-i-7" = A* — B».

345. Discussion, — LVquation à laquelle on est parvenu
pour Tellipse., montre qc^e, dans cette courbe , le lieu géo-
métrique des points de rencontre de chaque couple de tan-
gentes perpendiculaires Tune a l'autre est une circonférence
tic cercle conceuthique as^ec la courbe, et ayant pour rayon
la diagonale du rectangle construit sur les demi^axes.

Si Ton suppose A = B, auquel cas la courbe donnée est
un cercle, le lieu géométrique est un autre cercle dont le

rayon A va est la demi-diagoîialo. du cKJUKt crncoNScivTT au
< erclc donné.

n

4 16 PROBLÈMES SUR LSS t|EUX GiOXÉTRtQOBS ,

par suite,

r I rz '•

2X 20?' '^

m'

r ï n

2j: 24: ' '^

d'où

, ï y , P

j?'*^ '^ ' 2Jr

Portant ces valeurs dans la relation (3), on obtient

*

tangV. (f + £jj=*v(r* — 2/?*j

ou , chassant le radical et ordonnait y

y» — x' taDg* V — /; (2 -h tang' V). a? — 7- lang' V = 0.

4

Telle est l'équation du lieu géométrique demandé.

Ce lieu est une hyperbole dont les tuùes principaux sont
parallèles aux axes primitifs, puisque Inéquation est privée
du terme en x^; le centre de la courbe est d^aillcura placé
sur Taxe des or, le terme en y manquant.

Nous n'insisterons pas sur la construction de cette couH)e;
ce qui n'offrirait aucun intérêt.

Mais nous chercherons ce que devient l'équation lors-
qu'on suppose les deux tangentes a angle droit.

Pour cela , il faut diviser tous les termes de cette équation
par tang* V, ce qui d(Hine

y 2/J P"

équation qui , pour tang V infini ^ se réduit à

— X* — />a?— y = 0; d'où rj:-|~^|=o,

par suite

P.
2^

ce qui fait voir ( n^ 151) que le lieu géométi*iquc est , dans
ce cas y la rlirectrice de la parabole.

La directrice de la parabole jouit donc de cette propriété

SE RAPPORTANT AUX COVKBBS DU SECOND DEGBÉ. i]iy

remarquable, qne^ si, de chacun tte ses points, on mène
deux tangentes à la courbe, ces droites sont perf>endicu~
htircs entre elles; ce qu'il serait d'ailleurs facile de démon-*'
trer gëomëtriquement.

N. B, — Si Ton voulait résoudre la question qui a fait
lobjet de ce numéro y pour les deux autres courbes du se-
cond degré^ oi^ arriverait à.uqe équation du quatrième de-
gré, en X e^ ^; c'est-à-dire que le lieu géométrique serait
une courbe du quiUrième degré.

On peut se proposer cette question comme exercice de
calcul.

347. Troisième problème. — Par un point quelconque
pJTs sur le plan d'une parabole, on propose de mener une
normale à la courbe.

Ce problème offre un véritable intérêt sons le rapport
de la discussion des résultats.

Soient a, S les coordonnées d'un point quelconque situé
sur le plan de la parabole

Féquation d'une droite assujettie a passer par le point
[se, S] est de la forme

.r- 6=:/w(jp— «);

et si Ton veut que cette droite soit perpcudiculaîre à la tan-
gente ayant x',;^' pour coordonnées du point de contact,
il faut (n^* 64 et ^M) que Ton ait la relation

ce qui donne pour Téquation de la normale correspondant
à ce point,

y' étant une inconnue qu'il s*agit de trouver.
On a, pour cela, les deux relations

(a) y^*=2px\

(3) ^/_«.^^^(x'-a),

àf0. tU m. À In G. A?

4l8 PHOBLisMfia SUR LES LIXUX GÉOMÉTJUQU^ ,

dont la première exprime que le point [x'i ^^ se trojave
sur la courbe, et la seconde, que la normale doit. passer
par ce même point*

On déduit de l'équation (a),

X = 9

d*où) substituant dans Téquation (3) et ordonnant parnp-
port à y, ,

(4) r '* + ^/^ (z' — «) r' — 2 €/7»=î o,

équation qui , résolue , ferait connaître y\ dont il suffirait
de porter ensuite les valeurs dans Féquation (i) pour obte-
nir la normale demandée.

Comme Téquation (4) est du troisième degré, on est en
droit de conclure qu en général , par un point donné de
position dans te pian d'une parabole^ on peut mener trois
normales à cette courbe.

Cette équation ne pouvant être résolue immédiatement
et sans que Ton donne k p^ ^9^9 des valeurs numériques
particulières, rien n'empêche, pour fixer la position de
chaque point de contact , de substitiver à sa résolution la
construction des équations (2) et (3) dont elle eaa Véqua--
lion finale.

Or la courbe qui correspond à (a) est la parabole déjà
Uracéiç.

L'équation (3) ramenée à la forme

7'';r'H-(p-a)r'-6/> = 0, d'où ^' = o + -r-^^ ;»

représente (ix^307) une hyperbole ayant pour asymptotes
y' = o, OU l'axe des x, et

x'^p — a =09 OU x'=zx — /?,

c'est-à-dire une parallèle à Vaxe des y, menée à la distance
a — Pj de l'origineé

Cette courbe passant d'ailleurs par la point

pourrait {n^2S7) être facilement construite.

SB liPPOETAST AUX G0VVJNB9 PU S^03^D D£ÇRÉ. 4^9

34S, Discussion de t équation (4)- — L'Algèbre 731OU9 ap-
prend que j dans toute équation du troisième degré ramenée

à la forme

X» -h /?jc -4- 7 ss* o,

c'est-à-dîre privée du second terme, suirant que l'on a

les trois racines sont réelles et inégales ^ ou deux des racines
sont réelles et égales à la moitié de la troisième prise en
signe contraire, ou bien une seule des racines est réelle.

Cela posé, considérons une parabole quelconque LAI/ F'c. 1781
représentée par Téqualiôn

Soît F le foyer; et prenons une distance

AO = 2 AF — /?.

Pour que le problème proposé admette trois solutions,
c'est-à-dire pour que l'équation (4)

j-'» + 2/? (/? — a)y — 2 67?' = o ,

ait ses trois racines réelles, il faut, d'après ce qui vient
d'être dit, que l'on ait

ou , supprimant le facteur p\

(5) />8M~(/>-a)^<o,
ou bien ,

(6) P^^^iP-^Y^o,

Or /Ces deux conditions exigent, enpre/uier lieu^j) éunt
par «a natui^ on nombre absolu, gue Vabacisse a sohplus
grande que p^ Axa au moins égale à p.

Si l'on fait a = p = AO d?ns l!équation (4), elle se
réduit à

j's — 2 6j!^ =5 O,

équation du troisième çle^ré à deux termes, q\ii, coxwne
Ton sait, ne peut avoir qn^une seule racine réelle.

Donc, eu second lieu ^ on ne^sauraît mener du point O
qnune seule normale, 'laquelle «passe d'ailleurs par l'ori-

37,

4^0 PROBLÈMES SXJK LES LIEUX GÉOMÉTRIQUES,

ine; car, en posant a=:p dans la relatîon (6), on Iroure

6 =r o.

§

Je dis actuellement que les coordonnées S et a pouvant
être considérées comme deux variables dont les valeun
changent avec la position donnée au point par lequel on
veut mener une normale, si Ton construit le lieu exprimé
par l'équation (6), ou

ce lieu sera une limite de séparation entre les points par
chacun desquels on peut mener trots normales, et les points
par lesquels on ne peut en mener qu'une seule.

En eflet, il est évident que si , pour une ordonnée de ce
lieu géométrique supposé construit, on a

Q

pour une ordonnée 6' plus grande que 6, et correspondant
à la même valeur de a, on dpit avoir

ce qui est la condition à! une seule normale; qu'au con-
traire, poilr une ordonnée 6^ moindre que S et correspon-
dant à la même abscisse, on doit avoir

condition relative à l'existence de trois normales passant
par le point donné.

Il résulte d'ailleurs des principes rappelés au commence-
ment de cette discussion , que, pour chacun des points de
la ligne à construire, deux des trois normales doivent xe
confondre^ en sorte qu'à proprement parler, il ne peut
exister que deux normales passant par ce point*

Construisons donc ce lieu géométrique.

Pour simplifier, remplaçons les variables 6, a p^rj^, jr.
ce qui donne

SE RJkPPORTABIT AUX COLRBES DU SECOND DEGAÉ. 4^1

puis transportons Torigmc au point O, eu posant Fi<^- > / ^*

il vient la nouvelle équation

et 1 on voit immédiatement que le lîfu géométfVfue est une
courbe qui s'étend indéfiniment dans le sens des x positifs,
à partir de la nouvelle origine O, et symétriquement au-
dessus et au-dessous de l'axe des x.

Les points les plus remarquables de cette courbe sont
ceux où elle rencontre la parabole; et pour les trouver, il
suffit, après avoir posé

dans l'équation de la parabole, pour que les deux courbes

aient la même origine, de combiner entre elles les deux

équations

8

X^=z^p{x-^p), tX ^»=— -«».

En égalant les deux valeurs de j^*, et ordonna it, on ar«
rive à l'équation

8 j:» — S^p^x — 54/?*= o,

qui est homogène y et qu'on peut rendre numérique en y
substituant px au lieu de x; ce qui donne

8 j:* — 54 Jf — 54 = o.

L'appIicatJOfi de la méthode des racines comniensurables
fait reconnaître facilement que l'équation e3t satisfaite par

«=3.
Donc

ar = Zp,

et^ par suite,

sont les coordonnées des points où les deux courbes se ren*
contrent.

Prenons , à partir du point O , OC = 3 /> = 3 AO , et
élevons CD perpendiculaire à AX; la courbe cherchée doit
passer par les points D, D'.

4^2 PROBL. SUR LE& L1ET3X GÉOU. , SE RÂP. AITZCOCJRB. OtJ S^DEG.

FiG 173. Pour nous en former une idëe plos nette, déterminons
le coefficient d'inclinaîion de la tangente. La règle du
n° 102 donne

qu'il faut tacher d'exprimer en x' seulement.
Or, de la .relation

on déduit

^'^Iv/è-*'^'

ce qui donne , après la suppression du facteur x'* ^jp, com-
mun aux deux termes,

k étant une constante qu'il est inutile de calculer^ pour le
but que nous nous proposons.
Soit fait maintenant

X'=30,

valeur correspondante à l'origine O : il en résulte

a = o;

ce qui prouve que la tangente à Torigine se confond avec
l'axe des abscisses.

Delà on peut conclure que la courbe a la forme lOF, pré-
sentant sa convexité vers le côlé positif de Taxe des x.

349. Remarque, — La courbe qui vient d'être construite
est du genre de celles qu'on désigne ordinairement sous le
nom de cissoïdes.

Leur caractère principal est d'être symétrique par rap-
port à une certaine droite, tangente au point qui lui sert,
en quelque sorte, de point de départ, et de s'étendre î/i-
définimenl au-dessus ou an-dessous de la droite dans un
même sens.

Quelquefois les cissoïffes ont une asymptote; telle est
là oissoïfh fie DiocLis , courbe susceptible d'une définition
rigoureuse et très-simple.

CIS90ÏDB DE mOGLÈ9. 4^

De quelffues courbes remarquables.

3S0. Cissoïde de Dioclès. — Un cercle étant décrit sur Fig. 174»
uDe droite AB comme diamètre, et une droite indéfinie BI
étant menée perpendiculairement à AB, par l'une des
extrémités de ce diamètre, si de F autre extrémité A on
mène une sécante quelconque AL rencontrant la circonfé^
rence et la perpendiculaire en deux points G, D, que sur*
celte sécante on prenne AM= CD, on demande la ligne
engendrée par le point M dans toutes les situations que
peut prendre la sécante.

Prenons pour axes le diamiire AB et la perpendiculaire
élevée au point A.

Soient d'ailleurs

AB = 2 r, AP = a, MP = 6.

La condition à exprimer anafytiquement est, d'après
l'énoncé ,

AM = CD = AD ^ AC.
On a d'abord

(0 . AM=:V^6'-f-a*j

d'un autre c6té> l'équation du cercle, rapportée au sommet
A comme origine , est (n® 73)

(2) ^»=3rx — 4?*,

colle de la sécante AL ,

(3) y^mx,

et celle de la perpendiculaire BI,

(4) x = 2r.

Si l'on combine successivement l'équation (3) avec cette
dernière et avec l'équation (2), on obtiendra les valeurs
des coordonnées des points D, C5 d'où il sera facile de con-
clure les valeurs de AD, AC, et par suite celle de AD — AC.

Or les équations (4) et (3) donnent

;c = 2 r, /• = 2 /nr,
d'où

AD = 2/-v^/w'H- I ;

4M G1S60ÏDB DE DlOCLES«

FiG. 174* ^^ ^^A équations (a) et (3)^

d'où

a/-

AC =

Par consëquent j

AD — AC s=r a r v'm'-i- 1 .^^1:1.:=; = -^

Observons maintenant que ^ d'après le trian(;le rectangle

AMP, on a

6
tang MAP ou wi = - ?

° a

ce qui donne ) toule réduction faite, pour la valeur de
AD — AC,

s/ï'

a vi*-»-«'

Il ne reste plus qu'à remplacer AM et AD — AC par leun
valeurs dans Téquation de condition , et Ton trouve

,- aSV

a v/Ç' 4- a'

ou , chassant le dénonnuateur, et résolvant par rapport a c,

V =

a»

x'

ar — a

OU bien , en i*empIaçaMt o et a par jr et Xy

ar — X

Telle est Téquation de la cissoïffe (Je Diodes.

Discussion. — Ou prouverait facilement, comme on Ta
fait au n^348, que cette couibe, qui passe par rorigine.
est tangente à Taxe des abscisses.

De plus, si Ton pose

jc = r= AO,
il eu résulte

,i

^»=: — =:r% OU x=^±r;
r

COA'CUOÏUR DK »ICUM£DE. 4^^

ce qui fait \oiv que la courbe doit rcncoulrer le cercle
aux extrémités du diamètre NU' perpendiculaii*e k Taxe
des X.

On reconnaît euiin que plus x augmente en se rappro-
chant de 2 Vj plus le dénominateur de la valeur de y* dimi-
nue, tandis que le numérateur augmente de plus en plus;
donc la courbe se rapproche sans cesse et indéfiniment de
IBI' qui est, par conséquent, une asymptote.

Au delà de j; = 2 r = ÂB , la valeur de^ devient iinag/^
naù'e.

Conchoïde de Kicomedb.

331. Au nombre des courbes algébriques, un distingue
encore la conchoïde de Nicomède dont il existe également
une définition géométrique que nous allons énoncer :

On donne une droite indéfinie LL', et un point A dont ^'^o* «T^'
la distance AR à LL' est égale à une ligne couhue a. Sida
point A, on mène une droite quelconque AH, que stw
cette nouvelle droite et à partir du point D, oii elle ren^
contre la première LL', on prenne une distance DM égale
à une scconroE ligne connue h^ on demande le lieu du
point M pour toutes les positions qu'on peut donner à In
droite AH.

Comme rien a'euipèclHi de porter la distance 6 de D vn
M', au lieu de la porter de L) eu M, il résulte évidemment
de la définition précédente, que la courbe cberchée se com-
pose de deux branches distinctes qui s^étendent indéfini-
ment à droite et à gauche de la perpendiculaire AK abaisscc
du point A sur LU, et ont pour asymptote commune la
droite LL'.

La construction de cette courbe, qui n'oflre aucune dif-
ficulté, a quelque analogie avec celle de Thyperbole, quand
on donne les asymptotes et un point.

Pour former son équation algébrique, prenons pour axe
des X la droite LL', et potir axe des y la perpendiculaire AK \
l'origine des coordonnées est alors en B.

Posons

4^6 CONCHOÏDE DE NICOMÈDE.

Fie. 175. prolongeons d'ailleurs rordoîméc MP jusqu'à sa renconirc
en R a?ec une parallèle II' à LL', menée par le point A.
Les deux triangles semblables A1VIK , DMP^ donnent

AM:MD::MR:MP ou AM:h ::a-hr:x\

d'où rondiduit

AM = ^i^±^).
X

D'un autre tàté^ on a , d'après le triangle AMR,
par suite, .

X'

ou

équation du quatrième degré en /, mais du deuxième d^rë
en x, et à r/e/io; termes *, ce qui prouve que la courbe est
symétrique par rapport à l'axe des y.

Discussion, •— Soit fait

il en résulte

X = 00 :

résultat conforme à ce qui a été dit plus haut, que LU est
une asymptote.

Pour X =: Oy l'équation devient

Les deux premières valeurs -f- J et — b donnent les
points C et C : ce qui doit ètre^ mais la troisième, qui
semble donner le point A pour un point de la courbe, a
besoin d'être interprétée.

Or il résulte de la définition que la branche inférieure
peut avoir son point de départ entre les points B et A«
enC^ ou sur le prolongement de BA^ ou bien se confondre
avec le point A , suivant que l'on a

COMGHOÏDE DE IfICOMÏDB. 4^7

Dans le second cas , îl est visible que la courbe doit avoir Fio. 176.
une espèee de boucle, analogue à celle du folium de
Dbscaktes (n? 317, 3* exemple).

Quant au troisième cas, puisque pour j: = o ou a Fio« 177.

^= — 5, j = — a,

ces deux valeurs devienucut identiques quand on suppose
les deux distances a ci b égales enffv elles, et l'on a alors
le point A pour point de départ de la seconde branche.

Voilà pourquoi y = — a peut être admis comme solu-
tion : elle n'est véritablement étrangère que dans les deuv

autres hypothèses :

b <^fl, b'^ a.

L'équation polaire de la courbe est assez remarquable par
sa simplicité.

Prenons le point  pour pôle et la droite AK pour axe Pio. 1 75.
polaire.

Le triangle rectangle ABD donne

AB = AD.cosBAD, on arrAD.coSf;
doù

AD = » et AM = AD -h * = h *.

COSf « COSf

II vient donc pour Tëquation polaire

p = — - -4« b;

^ COSf

la longueur b pouvant être considérée avec le double
signe db.

Si Ton fait dans cette équation ,

il en résulte

roSff = I, d'où p =r flr -h A ;

ce qui donne C et C comme points de la courbe.
Pour (p = 90^, on a

COSf r= o, d^OÙ p =z qa ;

et le rayon vecteur devient parallèle h LL'.

De cette équation polaire, il est facile de déduire l'équa-
tion purement algébrique obtenue précédemment.

4a8 DE3 COURBES DU SECORD ^EGRÉ SEMBLABLES*

Fie. 175. Le triangle rectangle ABM donnedVbord

AM = V^AR^^MR = V^BP'-i- (PM -h Pr)* ;
par suite,

Pais on a , d'après le triangle DPM,

PM=r DM.cosDlVIP=r ^.cosf ; d'oà cosf=:j»

Ainsi Téquation polaire devient par la substitution des
valeurs de p et de cos f ,

ab . bia-^jr)

d'on , élevant au carré et transposant^

c'est Téquation algébrique qu'on avait obtenue directe^
ment (*).

§ in. — Des courbes du second degré semblables. —
Identité des courbes du second degré avec les sec'

TIONS PLANES d'uN CONE DROIT OU d'uN CÔNE OBUQCE
A BASE CIRCULAIRE. — DeS SECTIONS C0Nl4^UEâ SEMBLABLES.
— De la SECTION PLANE DANS UN CYLINDRE DROIT OC
OBLIQUE A BASE CIRCULAIRE.

Des courbes du second degré seinblabUs.

352. Deux ellipses ou deux hyperboles sont dites sem-
blables 9 lorsqu'elles ont leurs axes proportioniiels.

Ainsi , soient A et B les demi^axcs d'une première el-
lipse, aetb ceux d'une seconde ellipse ; elles sont sembh-
blés SX l'on a la proportion

x:B::a:b, ou A:a::E:b.

{*) Mo!fTUCLA , dans son Histoire des Maihémaiiquûs, tome I , pages 2S4 ei
suivantes, expose un moyen de construire cette courbe d'un nioiiTement
continu, ei en fait connattfe Tapplication à la construction des deux prrv-
bl^êa delà trisection de Vangle, et de la duplication dn cuhe. {Voir le
n^ ZZS et suivants. )

DBS COCmBES DU SBCOKD DEGAÉ SEMBLABLES. 4^9

Cette dénomination vient de ce que les deux courbes
jouissent alors des mêmes propriétés que les figures sem^
blahles considérées en géométrie, ainsi que nous allons le
démontrer.

Ellipses. — Pour faciliter le développement des diverses
propositions, nous supposerons les courbes placées Tune sur
Tauti^ de manière qu'elles soient concentriques, et que
leurs axes aient la même direction.

Soient donc deux ellipses pour lesquelles OA yOa^ dé- pio. 178.
signent les moàiés des grands axes , et OC , O c les moitiés
des second».

i^. Si Ton tire les cordes AC , ac, elles seront nécessai-
rement parallèles y et Ton aura la suite de rapports égaux

(1) AC:ac:: A:<i::B: b,

a?. Considérons une ligne quelconque OL menée par le
centre, et appelons D, r/, les riemi'diamètres OM , O m ; Y, X,
les coordonnées du point M ; ^, Xy celles du point m.

Puisque les trois points O , //i , M sont eu ligne droite, on
a la nouvelle suite de rapports égaux

Y:r::x:«;:D:rf;

et comme les points M , m appartiennent aux deux courbes ,
on a aussi les deux relations

Y'=^(A'-X«), r' = ^(«'-''),

d*oà, à cause de - = ~>

A 4

y':^»:: A» — X»: «« — *•.

Mais on a déjà

Y»:r*::x»:x>;

donc ^

x»:;H:: A« — x»:tf«— 4?»;

ce qui donne

tf'X»=A»x»,
par suite ,

X:«::A:0.

Par conséiiaent

(a) A:«::X:«::T:7::D:if.

I f

â

-« .

FiG. 178. 3^. Soient F elfles/oyer's de droite dans les deux oourbes,
^ et désignons par C , c les distances OF, O/ ; puis meaonsles

rayons vectenrs FM = R , fm = a
Les relations

C* = A» — B% <?«=«» — ^%
reyieiinent i

d^ou l'on déduit, à cause de - = ->

A a

•et les Lrîangles OMF, O/n/", qui sont alors nécessairement
semblables , donnent aussi

(3) FM:///i ou r:m:c:c:: A:<7.

4^. Aux points M, m, menons les tangentes MR, nir:
ces tangentes sont parallèles, car leurs coejjîcieftts tTincU-
naison ,

A' y' «'T*
sont égaux en vertu des relations précédemment établies,

•d'où l'on voit que les distances OR, Or, et, par suite, !«>
soui^tangentes et les sous-^normales qui correspondent anx
points M, m sont aussi dans le rapport

(4) D:rf ou A:à.

5®. Puisque les tangentes MR, mr «ont parallèles, il
-s'ensuit que les deux diamètres cony^ig'rié^ des 'diamètres
*OM, Of/i, doivent avoir une m^me direction.

Soient donc ON, On ces deux diamètres; comme,'»
vertu de ce qui a été dit plus haut, on a

et que, d'ailleurs,

OM:0/7/ :: A:fl,

il en résulte

(5) OM : CKw :: on -. O/i , -ou A*-. 8* : : a' : ù'.

DES COUBBBS DU SEGOfliD DEGRÉ SEMBLABLES. 4^1

A' el B') a* et h\ désignant respectivement deux dcnù-àia-
mètres conjugués pour chaque ellipse.

6^. EnGn tirons unç autre droite quelconque OL' qui
rencontre les deux courbes aux points M\ m', et menons
les cordes MM', mm\

Les triangles OMM', 0 mm! sont semblables comme
ayant un angle égal , O, compris entre côtés prc^rtionnels,
et donnent , par conséquent,

Concevons maintenant qu'on ait inscrit aux ellipses deux
polygones dont les sommets soient deux à deux en ligne
droite avec le centre^ il suit de ce qu'on vient de dire, que
ces polygones ont leurs côtés parallèles et respectivement
proportionnels ; donc ils sont semblables.

Ainsi les coiilours de ces polygones sont proportionnels
aux demi-axes des deux ellipses , el leurs surfaces sont entre
elles comme les carrés de ces demi-axes.

Ces deux résultats étant vrais quel que soit le nombre
des c6tés des polygones, le sont encore i la limite.

Donc les contours E, e des deux ellipses sont ^itre eux
dans le ra^>ort des deux axes , et leur» surfaces S et ^ dans le
rapport des carrés de ces mêmes Kgnes ; e'est-4-dire que Ton a

(6) £;tf::A:a, SlsllX^la*.

On pourrait multiplier indéfiniment les conséquences
qui résultent de la proportionnalité des axes ; mais celles
qui viennent d*être développées suffisent pour établir que
ces ellipses ont tous leurs éléments homologues propor^
lionncls à ces axes s'ils sont Utiêaires, ou dans le même
rapport que les carrés des axes s'ils sont superficiels.

Les mêmes propriétés s'appliquent à Thyperbole et se
démontreraient de la même manièce.

Mais on voit, en outre, immédiatement, i° que deux hy-
perboles SEMBLABLES dont Ics axcs ont la même direction ,
ont 4iussi les mêmes asymptotes ^ a° que deux hyperboles
équilatères sont toujours semilables, puisque les rapports

-9 - sont identiques et égaux à i.
A fl

43 2 DES COURBES DU SECOND DEGRÉ SEMBtABLfirS.

353. Deux PARABOLES quelconques sont toujours Aesji'
■ gures semblables f parce qu'ainsi que nous allons le faire
voir, lews éléments homologues sont proportionnels, et
dans le rappoit des paramètres si ces éléments sonl
linéaires, ou dans le inpport des carrés de ces paramètres
s'il s'agit de surfaces.

La proposition est déjà éTidetite pour les disiances de
Joycj's et des dircctnces aux sommets respectifs des deux
paraboles, puisque aP, np^ désirant les paramètres,

les expressions de ces distances sont - P, - p.

Fie. 179. Pour mieux la faire ressortir à l'égard des autres élé-
ments, concevons que les deux courbes soient placées lune
sur l'autre, de manière à avoir même sommet A et même
axe principal AX.

Soient F, y* les deux foyers pour lesquels on a

(i) af:a/::p:/a

Cela posé, tirons une droite quelconque AL, qui ren-
contre les courbes en M^ m\ abaissons les ordonnées
MPaBsy, mp sszy^ qui correspondent aux abscisses AP=X,
Ap ;= x; et menons les rayons vecteurs MF = R, m/= r.

Les triangles AMP, Amp sont semblables et donnent

(a) AM:Aiw :: YiyllXlé;

mais les équations des deux courbes ,

Y*=2P.X, X^s=z2p.X,

reviennent à

Y_aP r_2>tf

d'où Ton conclut, à cause de la relation (a) ,

aP a/? . P Y X

•=- = -^f par suite, - = — =: —

Y X P X ^

On a donc aussi

(3) Aai:Aw :: Y:r ::X:ar::P:/>,

De cette dernière suite et de la proportion (t) on déduit

AM: Am :: ap:a/{

DES covubes du sbcoud degré semblables. 433

ainsi les deux triangles AMF, kmf sont eux-mêmes sem-
blables et donnent

(4) AM : Am :: MF : «/:: af : a/:: p : />.

Le» souS'-tangentes étant (n*' 964) doubles des abscisses
des points de contact M, m , sont aussi dans le rapport fies
paramètres.

Ce même rapport existe évidemmeut pour les sous-nor-
maies dont les expressions sont (n® 9(15) respectivement
Pet;?.

Enfin si , comme on Fa fait pour Tellipse (n° 359, 6^) ,
on mène une seconde sécante quelconque AL', et qu'on tire
les cordes MM', mm\ elles sont nécessairement parallèles ,
et Ton arrivera à la conséquence que les aires des surfaces
congrues entre les droites AM, A m et les portions de
courbes coirespondantes, sontproporiionnelles aux carrés
des paramètres.

La proposition est donc complètement démontrée.

354. Remà&qvb sur les firamètkes dans les courbes
EN oiNÉRAL. — On se rend compte de la propriété dont
jouissent les paraboles d'être toutes semblables, par cette
considération qu'il n'entre dans leur équation simplifiée
qu'une seule constante nommée paramètre.

Dans l'ellipse et l'hyperbole dont les équations simpli-
fiées renferment deux constantes A, B, il est nécessaire,
pour que les courbes de même genre soient semblables ,
que CCS constantes soient proportionnelles.

Ce n*est que par analogie avec la parabole qu'on a dési-
gné sous le nom de paramètre dans l'ellipse et l'hyperbole

la quantité —7^\ mais dans les questions de haute analyse f

on est généralement convenu d'appeler paramètre les con-
stantes dont nous venons de parler, en tant que leur con-
naissance est nécessaire et suçante pour que la courbe soit
complètement déterminée.

Il ne suffit pas que les longueurs de deux diamètres conju-
gués d'une ellipse, par exemple, soient connues pour que la

Ap df VAI, à U G, aS

434 IDENTITÉ DBS GeVABB& DU SSCOSD DEGRÉ

courbe puisse être iracëe \ il faut encore donner Tangle ({u'ib
font entre eux. Ainsi ces longueurs ne peuvent être consi*
dérëes comme des paramètres qu'autant que l'on y joint
une troisième donnée.

S en serait de même si Ion iounihlà paramètre &p'
pour un système Saxes conjugnés dans une parabole sans
donner en même temps Tangle de ces deux axes.

Identité des courbes du second degré ai^ec les- sections
planes d^un gôhe droit ou d!un côifE oblique it base
circulaire.

3S5. L'intersectioû d'un cône droit ou obfiqti^^ k base
circulaire, par un plan^ donne lieu aux trois courbes du
second degré , ou à une de leurs variétés , suivant la position
du plan, et ce sont les seules lignes qu^on puisse obtenir;
ce qui a fait donner à ces courbes le nom de sections coni-
ques.
FiG. i8o» Soient d'abord SADBE un cône droite SC son axe, €D
le rayon de la base, LL' la trace du plan d'intersection
(appelé plan sécant) sur celui de la base, et OMO'M' la
courbe d'intersection dont il s'agit de trouver la nature.

Cherchons l'équation de cette ligne.

A cet eflet, abaissons, du centre C de la base, CG per-
pendiculaire sur LU; puis, par CG et SC, conduisons un
nouveau plan, ait, plan principal (on donne ce nom à tout
plan passant par l'axe du cône) ; son intersection avec le
pUn sécant est une droite GOX perpendiculaire à LL', en
vertu d'un théorème connu de Gréométrie.

C'est cette droite OX que nous prendrons pour axe des
X ; et celui des y sera OY, ou la perpendiculaire élevée par
le point O à GX dans le plan de la courbe (la ligne OT est
alors parallèle à lAJ) «

Si, par un point quelconque P de OX, on conçoit un
plan parallèle à la base, la Géométrie noua apprend que
son intersection avec le cône est un cercle. Ce même plan
coupe le plan principal suivant IH parallèle i AB, le plan
scc€ml suivant une droite MPM' parallèle à LL% et par

conséquent à OY ; en sorte que MPM^ est à la fois peq^n-
diciilaire sur GX %i sur IH.
Cela posé ^ faisons

0P = «, 1IIP=7, SO = a,
mgdOX^af «igASB on Otcyisz^Y d*oû iM{ts^9«

Gomme MP, ordonnée de la courbe, est en même temps
une ordonnée du cercle y on a , d'après un dkéorème de Géo-
métrie ,

(i) r' = IPXPH;

et la question est ramenée à exprimer IP, PH en fonction
de X et des données é, a et a.
Or le triangle OPI donne

I^ : OP :; sin lOP ! sin OIP^
ou, à cause de

âalOF = siaSOX = sia a ,
et de

aiu OIP as sinâlH s 60» ASG ts tos - S ,

d^où

ip :«:: sîna : cos-6;

2

,^ J7 sin oc
IP = •

cos-6

2

Afin d'obtenir PH, cherchons d'abord la valeur de 00'
et de PO'. On a, d'après le triangle SOO',

OO':SO::sin0S(y:8ÎD00'S, ou 00':^ ::sin6:8in(a-|.6);
cToà

00'= -7-7 TT> par suite, P0'= -t—, — —rr — x.

Mais le triangle PO' H donne

PH : PO' :: sinPO'H : sinPHO',
c'est-à-dire

PH : -r-^^ TT — X :: sin (a h- 6) : cos - 6;

2&

436 idbutité des courbes du second dbgbé

Fio i8o. donc

p„ a sinS — x8iD(a 4-6)

cos-6

a

Substituant les valeurs de IP et de PH dans Véqni-
tion (i) , on obtient enfin

jr sina asinê — jrsm(a + 6)

r"= X — ^>

cos - 6 cos - o

ou

(a) J''= [fl.sina.sinô.j? — sinasîn («-^ 6)4:*]

cos'-€

2

pour Féquation générale des sections coniques.

Cette équation étant du second degré, il s'ensuit que
toutes les sections coniques sont des courbes du second
degré.

Discussion. — Si Ton compare l'équation (a) à Téqua-
tion commune aux trois courbes du second degré (n^ 146),

après y avoir remplacé sinS par sa valeur 2 sin - ê cos- S,

on arrive aux deux relations

I ^ sina.sÎD (a H- 6)
a sma.tang - 6 = 2>. ^ ' = — g.

cos*- 6
2

Or roâ*-o est essentiellement positif, et sîna peut,

comme nous allons le voir, être lui-même supposé positif;
en sorte que le signe du coefficient de a:*, et, par suite , A*
genre de la courbe, ne dépend que du signe de sin (a -f- c);
d'où il résulte que cette courbe est ime ellipse, une para*
bole ou une hyperbole^ suivant que Ton a

sin (a -H 6) positif, nul ou négatif,
ou bien ,

«H-6<i8o% a-+-e=i8o«», a-+-6>i8o".

BT DES SBGTlOlîS CONIQUES. 4^7

Traduisons ces résultats géométriquement :

i^. La condition Fio. i8o.

« 4- 6<;i8o«

signifie que la droite OX , intersection du plan sécant et du
plan principal y rencontre les deux génératrices opposées,
SA , SB, d'un même côté du sommet S ; et Ton obtient alors
une courbe rentrante et fermée, OMO'M'O : c'est une
EJLUPSB qui devient un cercle, lorsque le plan sécant a une
' position paroZ/è/e au plan de la base.

a*- Poser Fxo. i8i.

a-f-6 = i8o%

c'est dire que la droite OX est parallèle à la génératrice
SB 9 donc le plan sécant est lui-même parallèle à cette gé-
nératrice , ou ne la rencontre qu'à V infini, auquel cas on
a une courbe indéfinie dans le sens OX : c'est une pàrAbolb
FOE , la trace du plan sécant étant LEGFL^

3°. Enfin Thypothèse Fio. 182.

«H-6>i8o«»

correspond au cas où la droite OX va rencontrer la généra-
trice SB sur son prolongement en O'^ c'est-à-dire qu'alors
le plan sécant coupe les deux nappes de la surface conique ,
et détermine une courbe composée de deux branches indié-
finies et opposées Tune à l'autre : c'est une hyperbole
ayant OO' pour premier axe.

Quant aux variétés des trois genres de courbes du second F'^* *^ >
degré, on les obtient successivement en supposant que le '^"> ^^^'
plan sécant passant parla génératrice SA , et ayant d'abord
pour trace sur le plan de la base la tangente au point A me-
née à cette base, tounte autour du point O, de manière que
Tangle SOX prenne toutes les valeurs possibles depuis zéro
jusqu'à 180 degrés.

Si ce plan venait à continuer son mouvement autour du
point O, et dans le même sens, il reprendrait évidemment
les mêmes positions qu'auparavant et, par suite, reprodui-
rait les différentes courbes déjà obtenues. Ce nouveau mou-
vement devient donc inutile , et par conséquent sin a peut
toujours être considéré comme positifs ainsi que nous
l'avons énoncé en commençant la discussion.

436 IBEMTITA 0B« €0VmWB6 DU SECOND DEGRÉ

Fio. i8o, Jusqu'à présent nous ayons supposé que le plan sécant
i6i, i8q. était assujetti, daus son mouvement, k passer par un point
déterminé O de la génératrice SA; mais rien n^empèche
qu'il rexéeute autour du sommet 5.

Dans ce cas , on voit encore facilement que la courbe
d^ntersection se réduira à un point ^ tant que le plan res-
tera dans Y intérieur de l'angle BSA' ; qu'elle se réduira à
une seufe droite ^ lorsque le plan conduit suivant SB, sera
extérieur, k la fois, aux deux angles BSA' et BSA , et qu'elle
se transformera en un système de deux droites qui se cou-
pent [deux génératrices ducônej, quand le plan se trouvera
danslV/fféricM/'de l'angle BSA.

On voit ainsi que le point, une seule droite^ ou deux
droHes qui se coupent, font partie des sections du c6ne par
wu plan*

C'est ce qu'on peut reconnaître également au moyen de
l'équation (a) en y faisant

iz ou SO = o.

fille se réduit^ dans cette hypothèse , à

. sina.sinfa H-€)
r'P=i ^ \ — • **»

2

équation qui , pour a + 6 <[ i8o®, est de la formç

/* -h ^ar> = o (iF étant positif J ,

e\ <jui ne peut être satisfait^ qnp f9X jr=^o^ xy^ù\
pour a + S = ;8o°, /elle devie.^t

eii#Q, faiir a r^ C'[> i8p^, elle pi«iid la forme

jr* =zAx^ ou X =z±a:^' {k étant encore po^tif },

et représente un svsfème dfi devjp ^rçitç^ qià s^ co^ipwt»
N. Bf — I^ systèiTic de rfe(/:p droites parallèles qui}
comme on l'a vu aux i\°* 161 pt 39?» est u^ çfis particvilicr
de la parabole^ s^ml^le f^^fe exception t^u^q^ il s'agit d'un
cône proprement dit \ ip^is poy.s r^yieQdrpn§ biçiMÀ( suf ^'^
cas particulier.

356. Pour compléior la ààmqmMVMxoa de VidentM des

w DM menmiê eeirt^im. ' 439

courbes da second degré et des secttùns coniques, il nevs reste
encore à faire voir qu'une courbe du second degré étant
donnée à priori, il est tonjonrs possible de la reproduire
au moyen de V intersection d'un plan et d'un cônm firoit.
A cet effet, reprenons les deux relations établies dans la
discussion précédente ,

I ^ sina.8in{a-f-6)
a sina. tang- 6 = /?, ^- = — g,

CCS* -6

a

et tâcbons de déterminer a et a, connaissant p^ q et 6.

Comme la seconde de ces relations ne renferme que Vin-
connue 0e, elle peut servir k la déterminer; après quoi, la
première fera connaître rinconnue a en valeur réelle, si la
quantité a est susceptible elle-même d'une valeur réelle.

Nous n'avons donc à nous occuper que de la résolution ,
par rapport à a, de la seconde relation, qui revient d'ail*»
leurs à celle-ci :

(i) sina.sip(a-f-6} = — yco8*-6.

Pour déterminer Tangle a d'après cette équation, il faut
faire subir à celle-ci une transformation.
La Trigonométrie donne la forpmle

siD-(fl — p).sm-(fl-h 6) = »

et , si Ton pose

a-— >&=2ay a-t-ft = 2a + 26,
d^où l'on déduit en ajoutant, puis en soustrayant,

la formule ci-dessus devient

cos6 — cos(2a-+-e).

par suite, on a la nouvelle équation

cos6 — cos(2a-f-6) i^

2 ^ 2 '

ce qui donne enfin

(2) cos{2a-h e)=:cos6-K2^cos*-6 :

44o IDEVTITÉ DBS COURBBS DU SICOAD DSGmÉ

c'est cette dernière équatioD qiii doit servir & faire con-
naître a.

Elle donne d'abord immédiatement Tangle aa-fS)
puisque 6 et ^ sont connus ; retranchant 6 , puis divisant
par 2 , on obtiendra finalement la valeur de a.

Mais pour que Tangle aa + S (et par conséquent a) soit
susceptible d'une détermination réelle, il faut que le cosinus
de cet angle, ou sa valeur

cos6 -ha^cos' - 6,

ne soit ni supérieur ni inférieur i ses deux limites + 1 et
— 1 5 c'est-à-dire que l'on doit avoir

cos6 H- 2<7cos*-6 '*^ I et ^ — i.

Analysons cbacune des deux inégalités, en leur faisant
subir une nouvelle transformation.
On connaît la formule

II I

cos 6 = cos* -€ — sin'-6 = a cos' - 6 — i ;

2 2 2

de là on déduit, pour la première inégalité ^

2c05*-6 — 1 + ^9 cos'-€<:^i;
2 ^ 2 ^ '

ou

(i-4-g)cos*-6<i, I-H5r< — î — ,

cos»-6

2

OU bien , remplaçant par sa valeur i -f- tang' -6,

cos*-6

2

(3) 9<tang»ie.

La seconde inégalité devient, par la même substitution,

2 ces* - 6 — I -+- 2 o cos' -6 "> — I,
2 ^ a "^ '

ou

(i 4-^) cos»-6>o;

ET DB» SBCTIONS COVIQUES. 44 >

OU biea , divisant par cos*- 6 ,

(4) i'hq>0.

Cela posé, considérons successivement chacune des trois
courbes.

Pour la PARABOLE, on a ^ = o*, les inégalités (3) et (4) se
réduisant alors à

o<tang»^€, i>o,

sont évidemment satisfaites d^elles-mémes.

Ainsi une parabole et un cône droit étant donnés , il est
toujours possible de trou\^er un plan dont Vintersection
avec le cône produise la courbe donnée.

S'il s'agit d'une ellipse , comme q est négatifs Tinéga-
lité (3) est satisfaite.
On a d'ailleurs (n» 146)

B"

d'où

i^q = i^j^=——, (Aelant>B).

Il en est donc de même de Tinégalité (4)*

Ainsi , uue ellipse et un cône étant donnés, il est toujours
possible de troui^er un plan qui coupe le cône suivant la
courbe donnée.

Quant à Thyperbole, comme q est positif, Tinéga-
lité (4) est satisfaite d'elle-même.

Mais l'autre devenant, par la substitution de + t-, à la

place de ^,

B> 1

P<tang'-6,

exige que l'angle - 6 soit au moins égal à l'angle dont la

D

tangente a pour valeur numérique - \ ce qui veut dire , en

A.

langage géométrique, qu'une hyperbole étant donnée à

44^ IDENTITÉ DBS COVRBBS DU SECOND DEGRÉ

priori y on ne peut la placer sur un cône qu'autant que
r angle 6 de deux génératrices opposées est au moins égal
k Fangle que forment entre elles les deux asymptotes de la
courba donnée : condition qui peut toujours être rem-
plie.

On doit donc regarder comme compléteinent démontré
que toute courbe du second degré peut être considérée
comme une section conique,

357. Remarque, — La condition particulière à l'hyper-
bole peut s'expliquer par la Géométrie.

Concevons, en effet, qu'on ait mené dans un cône droit
UN PREMIER système de plans parallèles entre eux et, de plus,
parallèles à Vaxe du cône; ces plans donnent lieu à une
suita S! hyperboles dont les asymptotes forment entre dles
le même angle \ car, dans l'équation ( 2) du n^ 355, le coeffi*
cient de x* qui> pour le cas de l'hyperbole, a pour exprès -

sion -^9 est indépendant de 1a distance a du plan sécant

au sommet du cône , ce qui prouve que -- est constant pour

toutes les hyperboles dont il est ici question.

L'un de ces plans passant par Taxe lui-même, déter-
mine sur la surface conique deux génératrices dont l'angle
est égal à celui des asymptotes.

Maintenant, considérons un second système de plans pa-
rallèles entre eux, mais non parallèles à F axe, et tel qu'il
donne encore lieu à des hyperboles. L*angle des asymptotes
de ces hyperboles est aussi constant et égal k l'angle des
deux génératrices déterminées par celui des plans à» ce
système, qui passe par le sommet du cône. Or ce nouye]
angle est nécessairement moindre que celui dont le plan
contient Taxe; car dans Y angle trièdre formé par l'axe et
les deux génératrices dont nous venons de parler, Tangle
de celles-ci est moindre que la somme des angles qu'elles
forment j|vec Ta^^e, somme qui e$t égale à 6 ou à V angle
au sommet du cône.

D'où Ton voit que le maximum des angles que forment

BT DU 81CTI0S8 CONIQUES. 443

entre elles les asymptotes de toutes les hyperboles qu'on
peut obtenir sur la surface d'un cAna droit , est V angle de
deux génératrices opposées^ ou V angle au sommet du
cône, et qu'ainsi il n'est pas possible de placer sur un
cône droit une hyperbole dont les asymptotes font un
angle plus grand que l'angle au sommet de ce cône,

368. Db la sscTxoiv A»TipiaAi,Là:i.R ou sovs^couteaiiie

DANS LE CÔNE OBLIQUE A BASE CIRCULAIRE. L'inteiSeC-

tJon d'un cône oblique à base circulaire par un plan,
donne également lieu ^ux trois courbes du second degré ^
mais elle offre une particularité, c'est que Ton peut obte-
nir un cercle au moyen de deux systèmes différents d^
plans parallèles ; ce qui n'est pas possible dans le cône
droit.

Pour faire ressortir immédiatement cette propriété, il est
d'abord indispensable de prendre le plan éécant dans une
position spéciale que nous allons déterminer.

Du sommet S abaissons SK. perpendiculaire sur la base^ Fio. i83.
et par se, SK conduisons un plan (appelé p/a/i principal)
qui coupe celui de la base suivant la droite indéfinie GCB
représentant la projection de l'axe sur la base. Elevons
ensuite en un point quelconque G de GCB , et dans le plan
de la base, la droite LL' perpendiculaire à GC5 c'est cette
droite LL' qu'il faut prendre pour la trace du plan sécant.
L'intersection de ce plan avec le plan principal est une
droite quelconque GOX5 et la courbe OMO'M' produite
par ce même plan sur la surface conique est celle dont il
s^agit de former l'équation.

Prenons OX pour l'axe des abscisses, et pour ne des y
la droite OY parallèle à LL' ; puis , par up point quelconque
P de 0X9 conduisons un plan parallèle à la base, ce qui *

détermine une circonférence de cercle dont le diamètre est
IH, et l'intersection avec le plan sécant une droite MPM',
parallèle à OY et à LL', et par conséquent perppqdiculaice
à la fois à IH et à OX (puisque LL' est en même temps per-
pendiculaire à GC et à GX , d'après les principes de GéQ*
métrie ) .

444 IDENTITE DES COUEBES DU SECOND DEGRÉ

Fxo. i83. Pois, posons

OP = a:, MP = j, SO=rfl,
angSOO'=a, angOSO' ou ASB = 6, angSAB^y.

MP étant une ordonnée du cercle, on a d'abord

et îl faut calculer IP et PH.

En opérant conune au n^ 355 , on obtient successivement

IP = ^r^.

• $107

a sine a sin6
00 = -r-7 — --3T î PO = -: — — — X,

$m(a4-6) sin (a + 6)

et , par suite ,

^ <? sine — j? sin(a H- 6)

sm(6H-7)

d'où) substituant dans Fexpression dej^*,

âsina.sinS sîna sinfa + S) ,

siny sin(6H-7) 8in7 sin (€ -|- 7)

Comme il résulte des constructions indiquées ci-dessus,
que les axes auxquels la courbe est actuellement rapportée
sont rectangulaires, il s'ensuit (n°85) qu'elle deviendra une
circonférence de cercle si l'on fait en sorte que le coefficient
de X*, qui est ici précédé du signe — , soit égal à Tunité.

Or on arrive à ce résultat, soit en posant

a = 7,
soit en posant

a= i8o«— (6-h7).

Car la première hypothèse donne

sin(a-f-6) = 8iD(6 -H 7),
dou

sin 2 sin (a -t- 6)

sin7 sin (6 4-7) '

la seconde donne

sina= sin (€ -f- 7),
puis

7= i8o* — (« + $), d'où 8in7= sin(«H-€),

BT OB8 SBCTIOMS COHIQUSS. 44^

et, par snîte,

smot

8111(6 + 7) Û117

en sorte qu'il ne reste plus qu*à traduire sur la figure ces
deux conditions

« = 7, a = i8o«>— (64-7)-

La première 9 qui revient à S0O^= SAB , indique que le
plan sécant doit être parallèle au plan de la base.

La seconde exprime que Fangle SOO^ doit être égal à <

Vangle SBA , puisque SBA = i8o<>— (6 H- 7).

Cette autre section circulaire porte le nom de section
antïïparàUèle ou sous^contraire.

On fait usage de cette propriété dans la construclion des
mappemondes.

359. Pour obtenir Téquation la plus générale d'une Fio* i84«
section faite par un plan dans le cône oblique à btue circu--
lairej on opère de la manière suivante :

Soit \AJ la trace du plan sécant sur celui de la base.
Abaissez du centre C de la base une perpendictdaire CG
sur LL'; puis conduisez suivant Taxe SC et la perpendicu-
laire CG un plan qui coupe la surface conique suivant
deux droites SA', SB'; concevez ensuite par LL' un plan
quelconque dont Tintersection avec le plan A'SB' est une
droijte GOX, et qui détermine, comme précédemment, une
courbe telle que OMO'M'.

En prenant pour axes les. droites OX et OY parallèle k
LU y et conservant les mêmes notations que précédemment ,
on parvient à une équation tout à fait identique; mais il y a
Cette différence, c'est que Tordonnée MP du cercle IMH
est bien perpendiculaire au diamètre IH, mais ne Test pas à
l'axe OO'; en sorte que la courbe OMO' M' se trouve rap-
portée à un système d'axer conjugués dont l'origine est
placée â Tune des extrémités d'un diamètre.

Quoi qu'il en soit, il n'en est pas moins démontré que
l'intersection du cône oblique à base ciixulaire par un plan
donne également lieu aux trois courbes du second degré.

446 DES SBCTIOHS C0SIQTJB6 SBIIBLiilLES.

Des sections coniques semblables,

360. On appelle sections coniques sentblables toutes les
courbes qu6 Ton obtieut en coupant un cône par une série
de plans parallèles entre eux,

La considération de ces sortes de sections est une suite
naturelle de la remarque du n° 357.

En effet, sMl s'agit d'sLLiPSEs ou d'âT^BsJOLM', ODi&tne
dans l'équation générale des sections (ioniques (n^ 365) ^ l6
coefficient de Ji?* a (n® 146) pour expressioB

on voit que, pour un même système de plans paralltiot^

le rapport

B

A.

est constant^ et que, par suite, les courbe* con^cspondantes
jont leurs axes proportioniiels ; ce qui (n" 382) constitue
la déGnition des ellipses ou des hyperboles semblables.

Quant à la pà&abolc, comme on ne peut l'obtenir qu'en
coupant le cône par des plans parallèles à F une des géné^
ratrices, il s'ensuit que toutes les sections paraboliques,
dans un cône donné, sont semblables; ce qui confirme la
proposition précédemment établie (n^ 353) , que toutes les
paraboles sont semblables.

Mais ce qu'il i mporte de remarquer, c'est qu' en général on
ne saurait obtenir des ellipses ou des hyperboles semblables
que par les sections planes faites dans des cônes semblables,
c'est-à-dire dans des cônes engendrés par des triangles rec-
tangles semblables ou ayant même angle au sommet^ tan-
dis que toutes les paraboles auxquelles donnent lieu les
intersections planes des cônes ayant des angles au sommet
d^érents, sont nécessairement des courbes semblables.

De la section plane dans un cylindre droit ou obUfue à

base circulairât

301 . Recberchons maintenant ce que donne IHntersec-
don d*un cylindre par un plan.

DES 8BGTION8 CYLINDIUQtJES. 44?

Nous considérerons d'abord un cylindre oblique et un
plan tout à fait arbitraire.

Soit un cylindre ayant ipùùrplan principal le parallélo- Fio. i85.
gramme ABB^A' \ ce plan est déterminé par Taxe CC et la
projection de Taxe sur le plan de la base*, d'où il résulte
qu'il est perpendiculaire à cette base.

Désignons par LU la trace d'un plan q^eloonque sur la
base, [et abaissons du point C une perpendiculaire CG aur
LL'; puis conduisons un plan selon CG et€C : ce nouTeau
plan détermine sur le cylindre une section abV a\ et sur le
plan sécant une certaine droite GOCXX que nous prendrons
pour axe des x\ l'axe des y sera une droite OY parallèle
à LU.

Par un point quelconque P de OX, concevons une
section parallèle à la ba^e, et par conséquent circulaire^
le plan de cette section coupera abb'a' suivant une droite
IPH parallèle à GCL

Posons enfin

*

OP = x, MP=j^, anga'OX=a, angOûC = y,

et appelons ar le diamètre de la base.

Puisque MP, ligne commune au plan de la section cir*
culaire et de la section dont nous cbercbons Féquation , est
parallèle à OY et à LL', et que , par construction , LU est
perpendiculaire à CG, il s'ensuit que MP est aussi perp^n*
diculaire au diamètre IH de la section circulaire, et peut
être considérée comme une ordonnée à ce diamètre; et
l'on a

MP*=j'> = IPXPe.

Mais le triangle OIP donne

IP : OP :: sinlOP : sinOlP, ou IP : « :: sina : siny;

donc

, - X sin a

IP=— : >

SID7

et, par suite,

PH = IH — 1P = 2r : :

siny

448 DES SECTIONS GTLIIXDRIQVBS.

Fio. i85. d'où, en substituant dans la i*elation ci^essus,

X ÛTkot, ( sÎDaX

jr» sss — ( ar — a: -, — f

ou bien,

(') y*=

arsina sin'a

•X r^'JC*

â

. ■ •* : — z — • •• •

siny sin'v

. équation dans laquelle le coefficient de jr* est essentielle-
ment négatif.

Donc la courbe d* intersection est toujours une ellipse,

Fio. i86. Si maintenant on considère un cylindre droit, on a

81117=1;
et Féquation (i) devient

(2) j^*=r arsina.* — 4?*sin'a;

résultat qu'on peut obtenir directement.

Comparons l'équation (a) à celle de l'ellipse rapportées
l'un de ses sommets et à son grand axe comme axe des x,
savoir (n^ 144) :

/ aB> B> ,

il vient les deux relations

B> B« . .

--- = r.sina, -- = 8in'a,
A A

d'où l'on déduit, en divisant la première par la deuxième,

r _

A = -: — î et , par suite, B = r;

sma ^

ce qu'il est facile de vénfier au moyen de la figure.

En cflet, soient OO' le grand axe et 00' le petit axe 5 si,
par le point O, on mène OK parallèle à AB, et que dô
points o, o', on abaisse les |)erpendiculaires oAr, o'k' sur K*
plan de la base, on a premièrement

OK=:00'.cosO'OK = 00'.sina; d'où 00'=2A= -^•

sins

En second lieu, la droite 00' étant parallèle à OY et à

Liy, est parallèle au plan de la base, et se projette dans sa

véritable grandeur suivant le diamètre 1\V\ d*où résulte

<w>' = a B = 2 r, on B = r.

DES SBCTI01V8 CYLTKDRIQUBS. 4^9

362. Prenùère remarque. — Si, comme pour le cône Fie. i86.
Uroity on conçoit que le plan sécant tourne autour du
point O, supposé fixe, de manière à former tous les anglc*s
possibles depuis o jusqu'à 1 80 degrés , il est visible que, tant
que le plan rencontrera la génératrice opposée à AA', on
obtiendra une courbe rentrante et fermée qui , ainsi qu'on
vient de le prouver, est une ellipse. Mais, dans les deux cas
particuliers de a =: o, « = 180**, ce qui donne sin a = o,
l'équation se réduisant à

représente une seule ligne droite ou une variété de la
parabole, qui n'est elle-même autre cbose (n^ 144) qu'une
ellipse infiniment allongée ou dont le grand a^e est
infini.

Il y a plus : si l'on imagine que le plan sécant , mené
suivant la génératrice AA', se meuve parallèlement à
lui-même et à AA', et de manière que sa distance à cette
droite soit inférieure au diamètre A B de la base, il est évi-
dent que l'intersection de ce plan avec la surface cylindri-
que sera un système de deux droites parallèles ^ résultat
que ne semble pas comporter Téquation (a). Mais on va
\oir[que, par une simple transformation de coordonnées,
on peut faire en sorte que l'équation de la section cylin-
drique comprenne ce système comme cas pariiculicr.

Pour cela^ il suffit do transporter l'origine des coordon-
nées au point G,' en posant x = x — OG dans l'équa-
tion (a) : ce qui exige qu'on évalue d'abord la distance OG*

Or, si Ton désigne par a la longueur CG qui exprime la
distance du centre de la base a la trace du plan sécant sur
cette base, on a

^ ■• » ^^ AG a — r

AG = a — r, d'où 00= . ^^r = ~: — •

sinOOA sina

Par suite, l'équation (a) devient

(a — r\ ( a — r\
X : ) — sin'a ( x ; |
sina / \ sina /

OU développant ,

y'^zrzl rsina.j:— ar(û — r)— sin'«.r'-H2 (/i — rjsin» x — (n — r)»,
Ap. de VAU k la Cm. 39

3

45o DBS SBCTIOZfS CTLIKDlQQUES.

StDil fait maintenant a = o 5 on trouve

7»= — 2 r (rt — r) — (û — r)>,

OU réduisant ,

d'où

X = dt v//^ — a\

Ce résultat prouve évidemment que, tant que l'onâura
û<^r, la section cylindrique sera un système de deux
droites parallèles^ pour a = r, on a y = o, ou une seule
droite^ et pour a ]> r, un système de deux droites imagi-
naires.

Le cylindre pouvant être considéré comme un cône dont
l'angle au sommet 6 devient nul, il en résulte que ces
trois variétés sont implicitement comprises dans les sections
coniques : ce qu'on aurait pu reconnaître directement par
une transformation de coordonnées , exécutées sur l'équa-
tioii (2) duu^ 3S5.

3^3/ Seconde remarque. — Le cylindre oblique, comme
le cône oblique , donne lieu à deux systèmes de sections
circulaires^ il suffirait, pour le démontrer, d'opérer comme
on l'a fait au n*^ 358 : mais nous ne croyons pas devoir
insister sur ce point.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. . 4^1

SECONDE SECTION.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DlMEÎîSIOKS.

CHAPITRE X.

DU POINT, DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN DANS

L'ESPACE.

§ I". — Do POINT ET DE LA LIGNE DHOITE.

Équations du point, .

364. De même qu'un point est déterminé de position sur
un plan par le moyen de ses distantes à deux droites me-
nées à volonté dans ce plan, de même sa position est fixée
dans 1 espace, dès que Ton connaît ses distances à trois
plans.

Soient trois plans YAZ, XAZ, XAY, que nous suppo- Fio. 187.
serons d'abord perpendiculaires entre eux, et qui se cou-
pent suivant trois droites AZ, AY, AX, dont chacune est
nécessairement perpendiculaire aux deux autres.

Appelons a^b^c les distances d'un point de Tespace à
ces trois plans, distances qui sont censées connues^ je dis
que le point est complètement déterminé de position , en
admettant toutefois qu'on sache aussi d'avance que ce point
se- trouve situé, par exemple, dans l'intérieur de Tangle
trièdre AXYZ.

En effet, prenons sur les trois droites AX, A Y, AZ des
distances AB , AC , AD , respectivement égales h a^h ^ c-, et
menons par les points B, C, D des plans parallèles aux
plans donnés. D'abord, puisque. les deux premiers plans
parallèles ont leurs points respectivement placés aux dis-
tances a, £, des plans YAZ, XAZ, il s*cnsuit que tous les
points de M///, intersection commune de ces plans parallèles,

29.

453 ÉQUÀTIOlfS DU POIKT DANS L^ESPAGE.

FiG. 187. jouissent, exclusivement à tout autre point, de la propriété
d'èlre à ces mêmes distances de YAZ et de XAZ. Doue déjà
le point cherché se trouve 5ur cette ligne. D'un autre côté,
le point doit aussi être situé quelque part sur le troisième
plan parallèle , puisque les points de ce plan sont , à Vex-
clusion de tout autre point, à la distance AD = c, du
plan XAY.

Donc enfin le point cherché n'est autre chose que le
point M où le troisième plan parallèle coupe rintersecdoii
commune des deux premiers, et sa position est tout à fait
déterminée.

Nous conviendrons de désigner par x les distances au plan
YAZ comptées sur AX^ par y les distances au plan XAZ
comptées sur AY, et par z les distances au plan XAY comp-
tées sur AZ, en sorte que les droites AX, AY, AZ, inter-
sections des trois plans deux à deux , seront les axes des x,
desj^ et des z. On les appelle conjointement axes coordon-
nés , et les distances dont nous venons de parler sont dites
les coordonnées dujfoint.

Toutes ces dénominations sont analogues à celles que
nous avons employées dans la Géométrie a deux diicbk-

SIONS.

Nous nommerons aussi plan desyz ^ le plan YAZ perpen-
diculaire à Taxe des X'^ plan des xz^ le plan XAZ perpen-
diculaire à Taxe des j"; et plan des xy^ le plan XAY perpen-
diculaire à Taxe des z. Ce dernier plan est ordinairement
représenté dans une position horizontale^ et les deux
autres dans une position verticale.

11 résulte de ce qui vient d^être établi, que les équations

(a, b^ c, étant des quantités connues) suffisent pour fixer
la position du point dans Tespace ; elles sont, pour cette
raison, nommées les équations du point.

On doit remarquer toutefois que, comme les trois plans
coordonnés y étant prolongés indéfiniment, déterminent
huit angles tricdres, savoir, quatre formés au-dessus du
plan des ocy et quatre au-dessous de ce môme plan, il faut

ÉQUATIONS DU POINT DANS l'eSPàCE. ^ô'i

cncoi^ exprimer par l'analyse dans lequel de ces huit
an^es le poinrse trouve situé. Il suffit, pour cela, d'éten^
dre aux distances à des plans les principes qui ont été établis
(n** 27) pour les distances à des points ou à des droites;
c'esl-à-dire que, si Von regarde comme positives les dis-
tances comptées sur AX, dans un certain sens AX par
rapport au point A , on doit regarder comme négatives
les distances comptées en sens contraire^ c'est-à-dire dans
le sens AX'.

Même raisonnement pour les deux autres coordonnées.

On doit donc distinguer (n° 46) dans les quantités a^byC
non-seulement les valeurs numériques de ces quantités,
mais encore les signes dont elles sont atTectées, eu égard aux
diverses situations que le point peut avoir dans les angles
trièdres formés par les trois plans coordonnés.

Diaprés ce principe , on a , pour exprimer complètement
la position d'un point dans F espace, les huit combinaisons
suivantes :

jr= + <T,j= + ^,s = + c, point situé dans Tangle ÂXTZ

x= — fl, / = -+-*, « = -hr, AX'YZ

x = -f-fl^,7 = — ^, « = -4-c, AXY'Z

a: = -*-a, j = -h*, a = — c, AXYZ'

x = — <i, j = — *, «=-^r, ; AX'T'Z

jc = — «,/ = -*-•*» « = — <?> ...* .• AX'YZ'

j: = -+-<i,r = — *,« = — r, AXY'Z'

x = — fl, j== — *,« = — c, AX'Y'Z'

ce qui donne deux systèmes dans lesquels les signes des trois
coordonnées sont les mèmies , trois qui ont un signe négatif
et les deux autres positifs, et trois pour lesquels un signe
est positif et les deux autres négatifs.

365. Le point peut, d^ailleurs, se trouver dans des posi-
ti ons particulières. Par exemple, pour exprimer qu'un point
est situé dans le plan des xy, il faut écrire que sa distance z
H ce plan est nuUe^ et Ton aura pour les équations de ce
point,

j; = a| jr z=i bf z = o;

454 ÉQDATI0N8 DU POINT DANS L^ESPACE.

De même , un point placé sur Taxé des x, pour lequel les
distances aux plans des xz et des xy sont nulles k la fois,
aura pour équations ,

et ainsi des autres points placés , soit sur les plans, soitsur
les axes coordonnes.

FiG. 187. 366. P rentière remarque. — Les plans parallèles aux
trois plans coordonnés, et qui ont servi à fixer la position
du point M,. déterminent avec ceux-ci un parallélipîpède
rectangle , dont les douze arêtes, égales quatre à quatre, ne
sont autre chose que les trois coordonnées jc,^*, z du point M.
D'un autre côté, on sait que les pieds m, m\ m", des
perpendiculaires abaissées sur les plans coordonnés, sont,
en terme de Géométrie descriptive, les projections du point
M sur ces trois plans.

D'après cela , si Ton suppose que

soient les équations du point M , on a pour les coordonnées
du point m, les équations

pour celles du point m',

ce qui donne pour celles du point m"^

X == hy z = c,

D où l'on voit que les projections du point M sur d^itxde^
plans coordonnés étant connues, la ^/x)wièma projection en
est une conséquence.

367. Seconde remarque, — On peut expliquer pour-
quoi , dans la Géométrie descriptive, il suffit de deux plans
de projection pour fixer la position dun point, tanci'h
que dans la Géométrie analytique il faut ti^is plans coo^--
donnes >

La connaissance des projections d\in point sur un pliu
horizontal et sur uu plan vertical est en effet suffisante

DISTAHGE ESfTKE DEUX POI1ÎT8 DOHRÉS. 4^5

pour les constructions graphiques ; mais si Ton yeut fixer
analytîquement la position de chacune de ces projections ,
par exemple des points m, m'^ il faut , premièrement y tra-
cer dans le plan horizontal [xy) deux axes rectangulaires
AX, AY; secondement y tracer dans le plan vertical (xz)
deux axes AX, AZ, en prenant, pour plusi de simplicité,
pour €ixe commun Tinterscction des deux plans de projec-
tion. Or il est évident que les deux axes AY, AZ, déter-
minent un troisième plan rectangulaire avec les deux
autres. Ainsi, géométriquement deux plans suffisent, mais
analytiquement il en faut trois.

368. Lorsque les plans coordonnés ne sont pas rectan- ^^®' '^8.
gulaires, auquel cas les axes AX, A Y, AZ font entre eux

des angles quelconques et sont dits des axes obliques, les
équations d'un point M sont encore

xz=a, yzuzby zz^c*

Mais alors a, &, c expriment des distances comptées pa-
rallèlement k ces axes ; el les projections du point M s'ob-
tiennent par les lignes Mm, Mm', Mm'^, respectivement
parallèles à AZ, AY, AX.

Du reste, tout ce qui a été dit dans les précédents nu«
méros est applicable au cas où les axes sont obliques.

Expression de la distance entre deux points*

369. La recherche de cette expression est, comme celle Fio. 189.
relative à deux points donnés sur un plan (n^ 48), une
question essentielle.

Soient x*^y\ z' les coordonnées d'un premier point M,
x^<i y"^ z" celles d'un second point N, rapportées d'abord
à trois axes rectangulaires AX, AY, AZ.

Si Ton abaisse des points M el N les perpendiculaires
Mw, N/i sur le plan des xy^ puis des points w, n les
perpendiculaires mP, nQ sur Taxe des a:, il résulte de la
remarque [n^ 366) que Ton a

AV^a/y /?iP = /, M/71 = 2', et AQ~x", /iQ = /', N/i:=«".
Tirons ensuite mn , ce qui déteraiiue un trapèze MN/im ;

456 ÉQUATIOJN8 DE Lk LIGHE DROITE DAMS L^BSPACE.

Fio. 189. et menons dans le plan de ce trapèze NH parallèle i nm^
puis, sur le plan de xy^ nL parallèle k AX.

Cela fait, les triangles rectangles MJNH et mnLdonnent

MN '= NH V Mh'== ^V MÎïS
et

mn = nL -h wiL = PQ -H wL 5

d'où Ton déduit

MN =PQ + mL + MH .

Mais ou a évidemment

PQ=rjt'— x", //iL=/-y, MH = »' — «^
ou

donc enfin

et , par conséquent ,

Telle est Texpression générale de la distance de deux
points en fonction des coordonnées de ces points rapporta
à des axes rectangulaires.

Nous verrons plus loin quelle est Texpression- de cette
distance lorsque les axes sont obliques»

. N.B. — Cas particulier. — Si Ton suppose Fun des deux
points â V origine, la valeur de D devient

Équations de la ligne droite.

370. Lorsque des points sont en ligne droite dans Pespace,
on sait que leurs projections sur un même plan sont aussi
en ligne droite; et cette seconde droite est dite lat projection
de la première sur ce plan. On sait encore que les projections
d^une droite sur deux plans suffisent pour déterminer sa po-
sition; d'où il suit qu'une droite serait fixée analytique-
mcnt si Ton connaissait les équations de ses projections sur
deux des trois plans coordonnés.

Ordinairement, on considère les projections de la droite

éQUATlONS DE LA LIGKE DHOITI! DANS l'eSPACE. 4^7

sur les plans des xz et desyz \ et comme ces deux plans ont
pour axe commun AZ , c'est cette ligne qui , dans chacun
des plans, est regardée comme Taxe des abscisses; AX est
alors Taxe des ordonnées sur le plan des xz , et AY Taxe des
ordonnées sur le plan des yz.

Ainsi, soient MN une droite quelconque dans l'espace , Fie. igo*
mn , m'n' ses projections sur les plans des xz et des jrz ;
nous présenterons les équations de ces deux projections sous
la forme

(i) j? = flz -h a,

(2) x=bz-^^;

a^ b sont des constantes qui (n^ 51 ) désignent les tangentes
des angles que forment /71/1, m' n' avec Taxe des 2; et a, S
expriment les distances de Foriginc aux points où ces droites
rencontrent Taxe des x et Taxe des j.

371 . II est à remarquer que Téquation

X = /ï» -h a

exprime non-seulement une relation entre les x et les z de
tous les points de la droite m;i, mais encore une relation entre
les X et les z de tous les points du plan mn KM imaginé par
mn , perpendiculairement au plan des xz \ car, pour tout
point M de la perpendicidaire /iM à ce plan, les coordon-
nées X ei z sont (n° 366) représentées par mP, AP, qui .
appartiennent aussi à la droite mn.
Pareillement, Téquation

7 = ^8 4-6,

convient non-seulement à tous les points de la projection
m'n', mais encore à tous ceux du plan m'«'NM mené per-
pendiculairement au plan desjrz par la droite m'n'.

Donc le système de ces deux équations existe pour tous
les points de la droite MN , intersection des plans perpendi-
culaires, et n'existe que pour ces points. Ces équations sont,
en ce sens , les équations de la droite elle-même, quoique,
d'abord, nous ne les ayons établies que comme celles des
deux projections.

Il résulte de là évidemment que l'élimination de la variable

458 ÉQUATIOMS DE LA LIGKB DROITE DANS l'eSPAGE.

Fie. igo, z entre les deux équations donne liçu à une troisième équa-
tion en X et ^, qui représente la projection m^nf' de la
droite sur le plan des xy^ ou plus généralement , celle équa-
tion appartient à tous les points du plan MN?i''m" mené
par la droite MN perpendiculairement au plan des xy*

372. Cas particuliers, — Lorsque la droite passe par
l'origine, ilcnestdc même de ses projections ; ainsi (u^ 370)
les distances a, S sont nulles, et les équations de la droite
se réduisent à

U peut arriver que la droite soit située dans l'un des plans
coordonnés, par exemple dans le plan des xz. On a alors,
pour tous les points de celte droite, j^= o, elles équations
deviennent

jT = ûz -h a , j = o ;

c'est-à-dire que , dans ce cas, on doit avoir

^ = o et 6 =: o :

ce qui est évident d'ailleurs, d'après la figure, puisque la
projection de la droite sur le plan dcsyz se confond avec
l'axe des z.

Même raisonnement par rapport aux deux autres plans
coordonnés.

373. Tant que les constantes a, 2^, a, S sont données à
priorï, la droite est complètement déterminée déposition.
Pour en obtenir les. différents points, il sufiil de donner,
dans les deux équations

à la variable z par exemple, une valeur particulière x': ce
qui entraîne pour chacune des deux autres, x et jr^ une
valeur correspondante, savoir :

Fie. igo. Prenant alors sur AX une distance AP = a:', on mène
Pm" parallèle à AY et égale à ^'; puis au point m" on con-
çoit une perpendiculaire au plan des xy qui soit égale à x'.

QUESTIONS PRÉLIKINAIRES SUR LA LIGNE DROITE. 4^9

et le point M ainsi déierminé appartient à la droite. On
obtiendrait de la même manière tous les autres points.

Mais on peut se proposer de déterminer les constantes a,
fe, a, 6, d'après certaines condilions \ ce qui donne lieu à
une série de problèmes en trois dimensions, analogues à
ceux que nous a présentés la ligne droite considérée sur un
plan.

Questions préliminaires relatif es à la ligne droite,

374. Première question. — Trouver les équations (Vune
droite assujettie à passer par deux points donnés.

Appelons x', y'^ z' les coordonnées du premier point,
x^^ y" ^ z" celles du second point. Les équations de la droite
cbercliée seront d'abord de la forme

(i) x-=± az -h a,

a, £, a, 6 étant des quantités inconnues pour le moment.

Or les points (x'^ y\ z') , (x'\ y'\ z") appartenant à la
droite, leurs coordonnées doivent vérifier les équations (1)
et (2) , et Ton a les quatre relations

(3) x'=/23'-|-a,

(4) /=^z'-h6,

(5) x"=fl»"-Ha,

(6) /'= bz'^^ 6.

Eu appliquant à ces six équations la méthode du n^ 57 ,
on trouve successivement

X — «'=«(« — z'), x' — x'*=a[z' — 2"),
d'où

x'-^x" y— y*

% ^— z z — z

et , par conséquent ,

Ces deux dernières équations, qui ne renferment plus

1

46o QUESTIONS PRÉLIMINAIRES

que les variables Xj y^ z, et les quantités connues jr', y\ z\
x'', y'\ z" ^ sont les équations cherchées.
N* B. ' — Quant aux équations

obtenues dans le cours du calcul, elles caractérisent une
ligne droite passant parle point [x'^y'^ z'), puisqu'elles
sont satisfaites ^ar les hypothèses

Les quantités a^ i, se déterminent ensuite au moyen d'une
seconde condition que Ton peut imposer à la droite; dans le
problème précédent , cette condition consiste à faire passer
la droite par un second point.

375. Deuxième question. — - Par un point donné hors
d'une d/vîte, mener une parallèle à cette droite.

Désignons par x\ y\ z\ les coordonnées du point
donné; et soient

/ = ^« H- 6

les équations de la droite aussi donnée.

Celles de la droite cherchée sont (n^ 374) de la forme

X — y = fl' (« — a' ) ,

j- -y =*'{,-«'),

a'j b\ étant des quantités qu'il s'agit de déterminer.

Or, puisque les droites sont parallèles, les plans qui les
projettent respectivement sur les deux plans des xz et des
yz doivent être parallèles; donc les intersections de ces
plans parallèles avec les plans coordonnés, c'est-à-dire les
projections des deux droites, sont elles-mêmes parallèles.
Ainsi Ion a nécessairement (n^ 59) les relations

ce qui donne finalement pour les équations de la droite
cherchée ,

SUR LÀ LIGUE DROITE. ^^t

376. TaoïsiEME question. -—Deux dfvites étant don^
nées par leurs équations y exprimer par F analyse que ces
droites se rencontrent, et trouver, dans ce cas, les coor^
données de leur point d'intersection.

Soient

et

(3) *=/l'z+«', (4) jr=b'z + î',

les équations des deux droites.

Si elles se coupent, les coordonnées de leur point d'inter-
section doivent vérifier à la fois les quatre équations ci-
dessus : ainsi ces coordonnées ne sont autre chose que les
valeurs de x, jr, z, propres à satisfaire en même temps à ces
équations*, et comme on a trois inconnues k éiimiuer entre
quatre équations, on doit nécessairement parvenir à une
relation entre les constantes a, £, a, S, a\ £', a', o\

Les équations (i)et(3),(:2)et(4)) retrancliécs successi-
vement Tune de Tautre, donnent

.o = (a — a')«H-« — «', d'où «=

a'- a

a — a'

o = (^ — *')«■+- 6— 6', d'où z = % — 1.
Or ces deux valeurs de z doivent être égales; on a donc

OU bien

(5) (o/ — «)(ô_^^')_(6' — 6)(fl-fl;) = o.

Telle est la relation qui doit exister entre les constantes,
pour que les deux droites se coupent.

En supposant que cette relation soit satisfaite , on obtient
pour les coordonnées du point d'intersection ,

a — Il b — b' a — a' b — b'

Soit , comme cas particulier ^ a = al, b = b\ ce qui si-
gnifie (n^ 375) que les deux droites sont parallèles \ l'équa-
tion (5) est satisfaite, et les valeurs de x, j^, z, se réduisent

a la forme —y résultat analos^uc à celui du n^ 6i.

o •

462 QUESTIONS VKÉLIMIKAiaES

377. Quatrième question. — Deux droites étant don-
nées parleurs équations , déterminer P angle çu^ elles for-
ment entre elles.

Soient

et

j: = a'a + a', ^ = ^'« 4- 6',

les équations des deux droites.

Il peut se présenter deux circonstances : ou les droites se
coupent, auquel cas Téquation -de condition du numéro
précédent est satisfaite j ou bien , elles ne se rencontrent
pas.

Dans lun et Fautre cas , si d'un point quelconque de Tes-
pacc ou conçoit deux autres droites respectivement paral-
lèles aux droites données, c'est l'angle formé par ces paral-
lèles qu'il s'agît de déterminer.
Fio* 191. Pour plus de simplicité, nous prendrons le point dont
nous venons de parler, à l'origine même des cooi-donnt'e^.

Soient donc AL, AL' des parallèles aux deux droites,
on a (n°" 372, 375) pour leurs équations,

(1) x=zaz, y=zbzy
et

(2) x = a'Zy y =:! b'z.

Pour obtenir Tangle LAL', prenons sur les côtés de
cet angle deux parties AM, AM', égales à 15 puis joignons
les points M et M', dont nous désignerons d'ailleurs les
coordonnées par x\ y\ z\ et a:'', y^^ z".

Cela posé, en appelant D la dislance MM', on a {n° 369),
pour l'expression de cette distance,

ou développant, et observant que les coordonnées du point
M et celles du point M' sont liées (n*» 369, N.B.) par les re-
lations

D> == a — 2 (x'.r'' H- y y" -f- z'z" ).

SUE LA LIGUE DROITE. 4^3

D'un autre côté, le triaDgle AMM^ donne, d'après un
principe de trigonométrie ,

^.^, „ AM 4- AM' — MM' a — D»

cosMAM' ou cos V = ; = ;

aAMXAM' a '

on, mettant pour D* sa valeur dans cette expression ,

(5) cos V = x'x" 4- yy + z^z"".

Donc tout se réduit à obtenir les coordonnées x\ y\ z\
ei x^\ y"j ^"'> ^^ fonction des constantes a , i , a', i'.

Or le point (a:', y\ z') se trouvant sur la droite AL, ses
coordonnées doivent vérifier les équations (i) ^ ainsi Ton a
les deux relations

x' = az\ y = bz!y
qui , jointes à la relation ( 3 )

suffisent pour déterminer les trois quantités x'^ )'\ z\

Portons dans cette dernière relation les valeurs dejr'et
dej^' tirées des deux premières; il vient

I

(fl»+6»-hi)«'»=i, d'où «' =

v/fl" 4- *' H- 1 *
ce qui donne ensuite pour y' et x' ,

b

^rt> 4- 6« 4- 1 y/tf« -»- 6* 4- I

On obtiendrait de la même manière pour les coordon-
nées x",y^y z", du point M,

z — ? X =

v/û" 4- ^" 4- 1 v/a'» 4- ^" 4- I

^= "'

s/a'^ 4- ^" 4- I

Substituant ces valeurs dans Féquation (5), on obtient enfin
pour le cosinus de l'angle demandé,

1.6) coaV=:-;

V(fl' 4- ^' 4- i) (â" H- /»"' 4- i)

Cette expression , renfermant un radical , est susceptible

464 QUESTIONS PRÉLIll IN AIRES

de deux valeurs ; et cela doit être , puisque les dcuY droites
forment entre elles deux angles suppléments Fun de Tautre.

378. On peut trouver une autre expression de cos V, au
moyen de certaines considérations dont nous ferons sou-
vent usage.

FiG. igi. Abaissons du point M la perpendiculaire Mm au plan
des xy^ et menons mV parallèle a Taxe des ^^ on a, d'après
cette construction , AP=a:', T?m=y\ Mm= z'. De plus,
le plan MmP étant parallèle au plan àes yz^ la ligne qui
joint le point M au point P est perpendiculaire a AP; et
comme on a pris AM=ïj il s'ensuit que AP oux' est
égal au cosinus de l'angle que forme la droite AM avec
l'axe des.Ji:.

On démontrerait d'une manière analogue que y' eiz' sont
respectivement égaux aus cosinus des angles que forme la
droite avec les axes desj^ et des z. .

Donc , en appelant a , S , y , ces trois angles , on a les re-
lations

a/=ço5a, j^'=co86, »' = coS7.

On obtiendrait de même , par rapport aux angles a\ S', 7',
que forme la droite AM' avec les trois axes ,

of" = cos a', y = cos 6' , z** =z cos 7' .

Ces valeurs étant portées dans Téquation (5) du numéro
précédent , donnent

(7) cos V = cos a cos a' H- cos6cos6' -f- cosycosy'.

379. Les calculs précédents conduiscntà des conséquences
fort importantes*

i**. La relation (3) du n*^ 377 donne, lorsqu'on y rem-
place x\y\ z\ par cosa, cos 6, cosy,

cos* a -f- oos'€ + 008*7 = * •

ce qui démontre que la somme des carrés des cosinus des
angles que forme une droite quelconque ai^ec les trois
axes^ est égale à Vunité^ proposition qui résulte eucon?
de la relation existant entre la diagonale d'uu parallé-

SVR LÀ UCHB DKOITB. 4^S

li{Mpède rectangle et les trois arêtes contiguës (voù- la

fig' «87)-

a^. Des relations x' = ax'y y' ssb

et , par conséquent ,

(o) a = 9 ft = •

COS7 CO87

Donc les constantes a, &, des équations d^une droite
ont respectivement pour valeurs les rapports des cosinus
des angles que forme, la droite a^ec l'axe des x et as^ec
Vaxe des j^au cosinus de l'angle quelle forme av^ec l'axe
des z.

3^. Enfin les équations (8), ou

cosa = a cosy, cos6 = b COS7 ^

ëtantâevéesau carré et ajoutées avec Tidentité

cos'y = cos*7 ,
donnent

cos*a -4- cos»€ -4- cos*7 ou i = (a* -4- &' + i) cos'7 ;
donc

COS7 = ■ 9 COSS t=i

^/i» -+- ^' 4-1 V^«' 4- ^' -h I

(9) cosa =

a

si a* -h ^' 4- 1

Ces dernières formules servent à déterminer les angles
que forme une droite avec les trois axes , connaissant les
tangentes a , h^ des angles que les projections sur les plans
des xz et des j'^ font avec Taxe des z.

Réciproquement, lorsqu'on donne les angles que la droite
forme avec les trois axes , les formules (8) font connaître les
constantes a, & , des équations de la droite.

Nous observerons à ce sujet que , d'après la relation

cos'a 4- ces' S 4- cos'7 = 1,

qui lie les angles a , 6 , y, on ne peut donner arbitrairement
que deux de ces angles \ et la relation donne la valeur cor-
respondante du troisième angle.

Ap, de l'Ai, h la G, 3o

466 QITESTIOBS PKÉLIMIITÀIBXS StJK LA LIGVE DmOlTE^

380. Reprenons la formule (6), et Yoyoïis ce qu'elle de*
vient dans les deux hypothèses où les droites données sont
parallèles ou perpendiculaires entre elles.

Dans le premier cas^ on doit avoir cosY = x, et Ton ob-
tient entre a, i, a', b\ la relation

flfl' 4- ^y H-i = ^{a^-h b* + i) (a^ 4- *" + i)-

Faisant disparaître le radical ^ développant et réduisant,
on peut la transformer ainsi :

(a — «')« + {b^h^y^{ah^ — 6fl')« = o;

é<juation qui ne peut évidemment exister, à moins que Ton
n'ait séparément,

a=ia', b=2l/^ ab'=ba\

La dernière de ces trois relations est implicitement com-
prise dans les deux autres \ et Ton sait déjà (n** 375) que
celles-ci expriment que deux droites, dans l'espace, sont
parallèles.

Dans le second cas , cos Y doit être nul : ce qui donne né-
cessairement

\aa' •+■ bb' +1=0.

Telle est la condition qui exprime que deux droites sont
perpendiculaires^ ce qui peut avoir lieu d'ailleurs sans que
ces droites se coupent.

En y réunissant l'équation

trouvée n^376, on aurait les deux relations qui doivait
exister entre les constantes , pour que les droites 5e coupent
à angle droit.

La formule (7) devient, dans la même circonstance,

cos a cos a' + cos6 cos6' -h cosy COS7' = 0,

résultat dont nous ferons souvent usage.

Nous pourrions, à l'aide des principes qui viennent d'être
établis , résoudre en trois dimensions le problème que dods
avons résolu (n® 65) en deux dimensions : abaisser d'an
point donné hors d'une droite une perpendiculaire sur

ceife droite, ei tromper la longueur de cette perpendicu^
laïre^

Mais les calculs relatifs i cette question ne laisseraient
pas qtte d'être aaaes compliqoés *, et nous verrons Uentôt
un moyen beaucoup plus simple de la résoudre.

381 . ScoUe général. — Les principes établis sur la ligue
droite, depuis le nP 370 jusqu'au n^ 376 inclusivement,
sont vrais, quelle que soit V inclinaison des axes coordon^
nés. Ainsi , dans le cas d'axes obliques, les équations d'une
droite «ont toujours de la foriaé

seulement les droites, .au lieu d-ètre projetées sur les plans
coordonnés par des perpendiculaires à ces plans, le sont
(oP 368) parallèlement aux axes, et les quantités a, b^
n'expriment plus des tangentes trigonométriques , mais des
rapports de sinus } les constantes a, 6 conservent la même
acception.

Les équations d'une droite passant par deux points don«
nés, les conditions de parallélisme de deux droites, etc.,
sont aussi indépendantes de \ inclinaison des axes^ mais il
n'en est pas de même de la question qui a pour objet la
détermination de l'angle de deux droites, et de toutes les
conséquences qui en ont été déduites , puisqu'on fait entrer
en considération l'expression de la distance entre deux
points donnés.

Cette remarque est ipiportante pour ceux qui voudraient
faire quelques applications de ces principes.

§ II. — Db l'équation du plan et de ses combinaisons

AVEC LES équations DU POINT ET DE LA LIGNE DROITE.

382. De même qu'une ligne droite est fixée de position
sur un plan par une équation du premier degré entre les
coordonnées a?, j^ de chacun de ses points rapportés à
deux axes , nous allons reconnaître qu'un plan se détermine
aussi de position par rapport à trois autres plans, au

3o^

468 ÉQUiTIOH DU PLAN.

moyen d'une équation du premier degré en x^ y^ js^ ces
variables désignant les distances de chacun des points du
plan aux trois plans coordonnés.
Fio. 192. Soient DB, DC les traces d'un plan quelconque, c*est-à-
dire les intersections de ce plan avec deux des plans coor-
donnés (qui peuvent être indifféremment rectangulaires ou
obliques).

' Parmi les différentes manières de concevoir une surface
plane, il en est une qui consiste & regarder cette surface
connue engendrée par le mouvement d'une droite intléfinie
glissant le long d'une autre droite, aussi indéfinie^ sans
cesser d'être parallèle à elle-même.

Ainsi, par exemple, si par les différents points de la
droite DB on imagine une suite d'autres droites D'C^
WC"^ etc., parallèles & DC , il est évident que cette suite
de droites appartient au plan que nous considérons; par
conséquent, ce plan peut être regardé comme engendré
par le mouvement de la trace DC le long dç la trace DB,
de manière à rester constamment parallèle à sa direction
primitive.

C'est cette propriété caractéristique que nous allons
essayer de traduire en analyse.

Comme la droite DB se trouve tout entière dans le plan
de xz^ ses équations sont (n^ 372) de la forme

(1) r = o> zzzzmx-^-p.

Par une raison analogue, les équations de la trace DC
sont

(2) x = o, z = ny-hP'

(Nous supposons ici les équations résolues par rapport
à z , parce que les deux traces doivent passer par un point D<
dont le z {onp) est commun aux seconds membres de ces
équations.)

Cela posé, considérons la trace DC dans nue situa-
tion quelconque, D'C par exemple; on a nécessairement
(n° 37S) , pour les équations de cette droite parallèle à DC,

(3) x^sza, « = «^-+-6;

ÉQUATION DU PLAN. 4^9

a,. S sont des quantités constantes pour tous les points
d'une même position lïG de la gënëratrîce, mais variables
d'une position à une autre EK^C^.

n nous reste encore à exprimer que la génératrice ren*
contre dans toutes ses positions la trace DB ; et , pour cela ,
il faut (n^ 376) écrire en analyse que les équations (i)
et (3) ont lieu en même temps ^ ce qui donnera une rela-
tion entre les indéterminées a, 6 et les quantités con-
nues m, /», p.

Combinons donc ensemble ces quatre équations.

La seconde des équations (3) devient, à cause delà pre-
mière des équations (i) ,

z=: 6.

I

Portant les deux valeurs

dans la seconde des équations (i) , on obtient pour la rela-
tion demandée ,

(4) 6 = w«-i-/?.

Observons actuellement que, pour chaque position de la
génératrice , les équations (3) et Téquation (4) doivent être
satisfaites simultanément^ donc, si Ton élimine entre ces
équations les indéterminées oe, 6, l'équation résultante
en Xfj-j z\ et les quantités connues, appartiendra aussi à
tous les points du plan.

Or les équations (3) donnant

Féquation (4) devient

z^ njr =: mx H- /?,
ou bien ,
(5) z^^mx-^-ny-^p.

Telle est, en général , l'équation qui exprime la position
d'un plan dans Fespace, et qui en est, pour ainsi dire, la
représentation analytique.

Pour faire concevoir comment cette équation représente
chacun des points de la surface plane , supposons qu'on ait
pris pour les variables a: , j^, un système de valeurs

4jO tqVÂTlOlK DU PLAV.

FiG. 192. fii du point c' on élère c'E' perpendiculaire au plan des jcjr,
et égale à 1^ valeur correspondante de z^ tirée de l'éqoa*
tion (5) 9 le point E', ainsi déterminé, appartiendra au
plan y et ne peut appartenir qu'à lui.

Même raisonnement pour d'autres valeurs attribuées kx
etkjr. , .

Ns B. — De tous les moyen3 qu'on emploie ordinaire-
ment pour trouver l'équation du plan, nous avons préféré
le précédent , d'abord parce qu'il a l'avantage d'être indé-
pendant de l'inclinaison des axes coordonnés, et ensuite
parce qu'il s'applique à la recherche des équations d'autres
surfaces dont la génération offre de l'analogie avec celle du
plan. Nous en verrons des exemples par la suite.

383. Les coDstantes m^n^p^ qui entrent dans l'équation
du plan, sont faciles à déOnir. Ainsi les quantités m etn
ne sont autre chose que les tangentes des angles que for-
ment les traces DB , DG , avec les axes des x et des y. Quant
à la quantité p, on l'appelle le z k l'origine : c^est la dis-
tance de Vorigine au point ok le plan rencontre l'axe
des z.

Lorsque le plan passe par l'origine , on a

/» = o,
. et l'équation se réduit à

z = mx 4- nx j

équation qui est, en effet, vérifiée par x=o,jr =0, ^=0.

384. Je dis que, réciproquement, toute équation du pre-
mier degré à trois variables ,

Ax -+- B/ 4- C« -h D = o;

appartient à un plan.
En effet, on en déduit

__ A _ B D

^~ C"^ G^ C'

Or, ai Ton considère deux droites dont les équations soient .
pour la première ,

A O

ÉqvàTioa DV vhÂM. 47<

et pour la Mconde,

B D
' C^ G

on peut regarder ces droites comme les traces d*un plan sur
ceux des xz et desjrz] et si Ton cherche l'équation de c^
plan d'après la méthode du n^ 382, on trouvera nécessai-
rement

A B D

on bien ,

(i) A«-t-Bjr -h Cs -4- D = o.

Donc, réciproquement, etc.
iV. B. — Quoique TéquaHon

ne renferme que trois constantes, tandis que Téquation (i)
en renferme quatre, elle n'en est pas moins aussi générale
que celle-ci , dont le premier membre peut toujours être
divisé par Tun de ses coefficients. Mais nous considérerons
presque toujours Téquation du plan sous la forme (i), parce
qu'elle est plus symétrique, et qu'en outre, lorsqu'on aura
à déterminer un plan d'après certaines conditions, comme
l'équation (i) renfermera une constante arbitraire de plus
que l'équation

on 6n profitera pour introduire certaines simplifications
dans les calculs.

Cette remarque est très-»utile.

Faisons successivement j?r=o,^=30,^;:=o, dand l'é-
quation

Au? H- Bj -4- C« H- D = o;

il en résulte ,* pour a: =3 o ,

By -hC« + D = o,
pourjŒO,

A* -♦-C«-+-D= o,
et pour z s: o,

A« -♦-^B^'-f- D =s o j

47^ QUB^TIOirfl PRÉLIMUIAIftBS

ce sont les équations des traces du plan snr les tiois pltiu
de8/2 , des xz et des ocy^.

En posant à la fois a: == o, ^ = o, on obtient

D

ce qui donne les coordonnées du point où le plan rencontre
Taxe des z.

On aurait de même

47= 0| s = o, d'où ^= — — >

/ = o, z = Oy don x=s — — »

pour les coordonnées des points où le plan rencontre l'axe
des y et Taxe des x.

385. On peut faire entrer dans l'équation du plan les
distances de Torigine à ces trois points d'intersection; et
Féquatjon prend alors une forme très-él^ante.

Posons y en effet,

il en résulte

D D D

A = , B = , C = — -5

q r s

d'où, substituant dans l'équation du plan et réduisant,

rf.a:H-^f é/ + ^r,s=: ^rrf ;

équation analogue à celle qui a été obtenue pour la ligne
droite (n^ S5) ^ ainsi que pour les équations de l'ellipse et
de l'hyperbole, rapportées à leurs axes.
EJle ne renferme, comme l'équation

que trois constantes, mais elle est plus symétrique.
QuestionsprélimiruUresrelatwesàla ligne droite et auplan,

386. Nousullons maintenant nous occuper delà résolution
d'une série de questions relatives au point, & la ligne droite
et au plan , qui , avec celles que nous avons déjà traitées
(n^* 374 et suivants), constituent ce qu'on appelle les pré-
liminaires de la Géométrie iinalytique i trois dimensions.

SUR LA LIGNE DROITE ET LE PLAN. 47^

PREifiÈRE QUESTION. — Faire passer un plan par trois
points donnés.'

Désignons par (x', /, z'), (x'^y^ ."), (x",jr«,0
les coordonnées des trois points, et par

(i) A4?-4-B/-l-Cz-+-D = o,

Téquation du plan cherché ^ A , B , C , D , sont des constantes
qu'il s^agit de déterminer.

Puisque le plan est assujetti à passer par les trois points,
son équation doit être vérifiée , lorsqu'on y remplace suc-
cessivement x, ^, z , par les coordonnées de chacun de ces
points ; ainsi Ton a les trois relations

Aa:^ -h B/ + Cî' 4- D = o, Ax" -h B/" + C»'' + D = o ,

Ax^-h B/* + C*'^ 4- D = o ,

qui peuvent être transformées de la manière suivante :

A _, B , C ,

A » . B ^ C ..

D ' D D '

D D"^ D

En appliquant à ces relations les formules pour la résolu-
tion des équations du premier degré à trois inconnues , et
observant que le coe6ScientD étant tout à fait arbitraire, ou
peut régaler & la quantité qui sert de dénominateur commun

ABC

aux trois expressions de -=- 9 ït' tt ' on trouve, tout calcul fait ,

B = — x' z^-hx' «" — a'x'^ -+-x''«^ — z"x^-i-»'x^,
C = — a/x" -hx'/'^— x'y^/x'' — /x^'+Z'^e^.

Il ne s'agirait plus maintenant que de substituer ces va-
leurs dans Féquation (i) , et l'on aurait l'équation demandée.

Soit , comme cas particulier, à faire passer un plan par les trois Fie* 19a.
points B , C, D , pour lesquels on a les relations

x'ss/j, y = o, «' = 0,
X =a, f ^qi « =0,

x'"=: 0 , y = O , »*= r.

4j6 QUESTIOnS FRÉLIMIirAl&ES

qui méritent quelque attention , parce qu'elles sont fré-
quemment employées dans la Géométrie analytique à trois
dimensions.

Reprenons les équations de la droite et du plan ,

xszrflz-H-a, 7-=^z-f6, Aj?-|- B/ -H C« -h D = 0,

et proposons *noiu de déterminer le point où la droite ren-
contre le plan.

Comme on a trois équations entre x, y^ z, il suffit de
remplacer dans la troisième, x-et y par* leurs valeurs tirées
des deux premières. Il vient, par cette substitution,

d'où

_ (Aa4-B6-hD)

*"" Aa + B^ + G '
et, par suite,

a(Aa + B6 -+-D)
Aa + B6 + C

ou bien ,

_ tt {Aa -h B ^ + C) — g (Aa -H Bg + D)

*"~ Afl-t-B^-h-C *
puis ,

_ ^(Aa + Pg + D)

^^ Aa-hB^ + C '

OU bien,

_6(Ag^-Bf>-4-C) — ^(Aa-t-Bg + D)

^^ AûH-B^-hC

Cela posé, si l'on veut exprimer que la droite et le plan

sont parallèles ^ il faut écrire que les valeurs de jc, j^, ^,

correspondant au point d'intersection, sont infinies ^ ce qui

se fait en posant

Afl + B6 + C = o,

car ces valeurs deviennent alors

(Aa-f-Bg^-D) a(Aa4-Bg-|-D)

o o

ô(Aa4-Bg4-D)

y= z

Si , au lieu de la condition

Aa + B^ + G=so,

SUE LA LIGHB DHOITE BT LB PLAH. 477

on établil la soi vante >

AaH-BS4-D=o,

les valeurs de x^jr^ zse réduisent à

Or il est aise de reconnaître que le point correspondant
a ce système de coordonnées est celui où la droite rencontre
le plan des xjr ; car si l'on pose, dans les équations de la

droite,

s = Oy

il en résulte ,

Supposons maintenant qu'on ait à la fois

Aa + B^ + G = Oy Aa4-B6-f-D = o;

les valeurs dex^ y, z se réduisent à la forme -9 signe dé

Vindétermination ; ce qui prouve qu'alors là droite se
trouve tout entière dans le plan.

On peut conclure de li que , des deux relations ci^essus,
la première exprime seulemenirque la droite et le plan sont
parallèles; la seconde, que le plan passe par un point déter-
miné de la droite (celui où la droite perce le plan des 3cy)\
et que 9 toutes les deux conjoinlemeut, expriment que la
droite et le plan se confondent.

»

389. Teoisième question. — Un plan et un point hors
de ce plan étant donnés, on demande, i^ d^ abaisser du
point une perpendiculaire sur le plan; a? de trou\^er la
longueur de cette perpendiculaire, c'est-à-dire la distance
du point au plan donné.

Soient x'^ y\ z\ les coordonnées de ce point , et

(i) A^-hB/H-C» -+-D = o

Téquation d'un plan supposé connu de position.

Les équations de la droite cherchée seront (n° 374) de la
forme

(2) x-x'^nCs-z), j-y=^(*-z');

a , h étant deux constantes qu41 s'agit de déterminer.

478 QUESTIONS pmÉLiicnrAfRi»

Pour cela , nous rappellerons un des principes de la Géo-
métrie descriptive 9 lequel consiste en ce que, si une droite
est perpendiculaire à un plan dans Fespace, la projection
de la droite sur un des plans coordonnés est perpendicu'
laire à la trace du plan donné sur le même plan coor-
donné, .i.

■• • •

Cela posé, si, pour obtenir les traces dwpla^^dxmni, on
fait successiTementy = o et a: =5 o dans Tëquation (i), il
vient

Aa?H-.C«-HD=^o, Bj + C2-fA = o,

que Ton peut mettre sous la forme

/Q\ CD CD

Or, puisque les droites exprimées par les équations (^)
doivent être respectivement perpendiculaires aux .droites
exprimées par les équations (3), il faut (n^ 64) que Fon
ait entre les coefficients de z les relations -

d'où

et

d'où

^ C

A
a =: — 9 ou bien , A = a G,

VI

*X — g-l-i = o;

& = ~9 OU bien, B^bC

VI

Substituant ces valeurs de a, &, dans les équations {2), on
obtient pour les équations de la perpendiculaire ^

(4) *_x'=i{,-.'), y - y =1 {,-,').

Actuellement , pour résoudre la seconde partie du pro-
blème proposé, observons que, d'après l'expression (n® 369),
qui donne la distance entre deux points, il suffit de déter-
miner les valeurs de

SUR LA LIOMB DROITE ET LB PLAM. 479

propres à satisfaire en même teipps au équations (i) et (4)^
et de substituer ensuite ces valeurs dans Texpression de la
distance (puisque, par cette élimination, on obtiendra né-
cessairement les différences entre les coordonnées du point
où la perpendiculaire rencontre le plan et celles du point
donné).

A cet effet, nous ferons subir i l'équation (i) la transfor-
mation suivante : ajoutons au premier membre la quantité

— Ax' — B/ — C»' -h Ax' + B/4- C*',

qui est identiquement nulle, et posons

(5) A«'4-B/4-C»-4^D = D';

il vient ,

A(x — j/) -H B(r — /) -4- C(« - s') 4- iy = o.

Or, si l'on met dans cette équation , à la place de je — - x\
y — y', leurs valeurs (4 ) 9 on trouve

(A'-h B»4- C») (s — s') -f-D'C = o;

d'où

IVG

z

A'-f-B>-f-C>

•

D'A

A»-hB'H-C''

D'B .

et, par conséquent,

•^ ■" -^ ^ "^ A» 4- B» -+• C*

Mais en appelant P la perpendiculaire demandée, on a
(n*> 369)

P = V(*-x')«+{7-j')»-H(s-.»')»;
donc

p D^ Ax^+BZ-hCg^+D

" ^A»-hB'4-C» "" V'A»-|-B>-+-C»

[Voyez ce qui a été dit n^ 6S sur le double signe dont le
radical est affecté.)

390. Cas particuliers. — * 1^. Le point donné peut être
l'origine même des coordonnées. Dans ce cas , on a

o/ssro, j'=0, z'=:0,

48o QUESTIOnS PRÉLIMUfAlAES

et TexpressicND de la perpendiculaire se réduit à

P = -=£=.

Le pied de la perpendiculaire a d'ailleurs pour coor-
données

_ AD BD

^'^ A»H.B«-f-C*' •^"~ A»-hB»-hC»'

_ CD

^^ A»^B>-hC»*

'À?. Si le point donné se trouve sur le plan , ses coor*
données doivent vérifier Féquation du plan; c'est-à-dire
que l'on a

Aar'-f- B/4-C3'-i-D = o, d'où P = o.

391. Quatrième question. — Réciproquement, un
point et une droite étant donnés dans F espace, mener
par le point un plan perpendiculaire à la droite, et tromper
la longueur de la distance du point à la droite.

Soient

(i) x^iaz-^oL^ ^ = ^«-1-6,

les équations de la droite donnée, et oc' ^y\ z* les coordon-
nées du point.
L'équation dû plan cherché sera (n^ 387) de la forme

(a) A (* — 0?') 4- B (r — /) + C (a — z') = o.

Or, par hypothèse , la droite et le plan sont perpendicu-
laires entre eux; on a donc (n^ 389) entre les coefficients
A, B, C et a, &, les relations

A = flC, B=^C;

d'où, substituant dans l'équation (2) et divisant par C,

(3) û(a? — x')-f-^(/ — y) 4- 2 — z'=o.

C'est l'équation du plan cherché.

Maintenant, pour obtenir la distance du point (x',^, z')
au point où le plan rencontre la droite , il suffit de chercher
les valeurs de x — a:', y — y\ z — 2', propres à satisfaire
en même temps aux équations (i) et (3), puiâ de porter
ces valeurs dans l'expression générale de la distance entre
deux points donnés.

SUE LA LIGBS D%OITB ET LE PLAïT. 4^1

Afin d'effectuer cette élimination, nous mettrons les
équations (i) sous la forme

(Cette transformation est analogue à celle du n^ 65.)

Cela posé, si Ton substitue pour x — jl^y — y, leurs
valeurs dans réquation (3) , il vient

(a» -f- ^«+1 ) (2 — z') -+- fl (a — dr'-f- «O -*- * (^ — /H* *«') = O ;
d'où

en posant, pour simplifier,

(5) N = fl ( J/— a) -f. ft (/ - «) -f- 2'.

Portons cette valeur de z — z' dans les équations (4);
îl vient pour valeurs correspondantes de x — x'y y — ^,

X — a/ = : — «y -f- a — X '^ az

— (jr— a),

z

./

a» 4- ^*-f-i

•^ ^ fl»-4-ft»+i

_ ^/-+- g — y-H ^«'

"* -(/-«).

Faisant la somme des carrés des valeurs de x — x',
y y'j z — z\ et observant , 1° que les premières parties

élevées au carré donnent pour somme , ^« -l, 1 ' ^^ ^®
la somme des doubles produits se réduit, d'après la rela-
tion fSK à "^^ , on trouve enfin pour l'expression la

plus simple de la distance du point à la droite donnée,

392. Conséquence. — Si l'on joint le point (x', y, ^')
au point où la droite est rencontrée par le plan qui lui est
perpendiculaire, point dont nous désignerons, pour le

Ap. de rAl. i) la G. 3l

48a QGMnovs PBÉLiMniAnB»

momeiil, les coordoniiées par x^^y"^ m^j il est évident que
cette droite de jonction est perpeùdioulaire aur la droite
donnée.

Or les équations de cette droite sont (n^ 374) de la
forme

et les rapports j,^ , 9 ^ ^ » ne sont autre chose que

les rapports des valeurs de ar — x\ y — J^ ^ — -^S trou-
vées dans le numéro précédent. Donc, en effectuant cette
substitution , Ton obtiendrait les équations de laperpendi-
culaire abaissée d'un point sur une droite dans l'espace:
question dont nous avons annoncé une solution à la fin du
n°380.

Nous n'achèverons pas ce calcul, qui n^offre aucune
diflSculté et qui conduit d^ ailleurs à des résultats peu élé-
gants.

393. CiiTQiiiEME QUESTION. — Par un point donné
dans r espace, mener un plan parallèle à un autre.

Avant de résoudre ce problème, nous commencerons par
établir les conditions analytiques qui expriment que deux
plans sont parallèles.

Soient

Ajc + Bj -h Ca + D £= o, A'a? -h B> -h C'a -f- 1^ = o,

les équations de deux plans donnés dans l'espace.

Si ces plans sont parallèles , leurs traces sur le plan des
xz et sur celui àesyz doivent être aussi parallèles.

Or {n"" 384, N. £.) les équationa de oea traces sont
A«4-C«.-f-P =0, B/-hC2 + D = o, pour le premier plan,
A'jr-hC'a + iy=o, B'^'-4-C'«-hD'=o, pour lesecond;
et pour qu'elles soient respectivement parallèles, il fiiut
(no 378) que l'on ait

a_a; b_5!

C^Ç' ** C""C''
d'où Fais déduit encore

B"" B'"

SUR LA LKn BAoms nr l« flan. 483

Désignons «eUiellement par x\ y^ z* les coordonnées
du point donné.

L'équation du premier plan étant

Aj? -+• B/ -f- C» 4* D c= o,

celle du second , qui est assujetti à pftflscr par le point
(x', j^', z') , sera de la forme

A' ( j: - a/) 4- B'(jr-/)H-C' (« — *');:;: o;

mais, par hypothèse , le3 deux plans doivent ètreparal/èlfiff
on a donc

C^C' c'-c' "^""^ ^- C'^' ^ = C*^'

Portant ces valeurs de A^, BMans Féquâtion précédente,
et divisant par C\ on obtient pour l'équation demandée,

A (a; — x') + B (r — y ) + C (2 — O = o»

équation dont les trois premiers coefEcients sont les mêmes
que ceux de Téquation du plan donné j il n'y a que le z da
l'origine, c'est-à-dire* le premier terme indépendant des
variables , qui soit différent.

Si le point par lequel on veut faire passer le plan paral-^
lèle , est l'origine même des cordonnées , on a

jf'=o, y-szOy s'^zo;

et l'équation ci-dessus se réduit k

Ax -h B/ 4- C« = o. . . . ( Voyez le n*» 585.)

394. Distance de deux plans paraltèles. — Lorsque les
équations de deux plans parallèles sont données, savoir :

Aar -h Bj -H C» -f- D =K 0,
Ax4-B/-|-Cs4-D'=:o,

on peut demander V expression analytique de leur distance.
Pour l'obtenir, abaissons de l'origine des coordonnées
une droite perpendiculaire à l'un : elle est nécessairement
perpendiculaire à l'autre^ et l'on a (n® 390) , pour la dis-
tance de Foriginc à chacun de ces plans ,

D , D'
P = — =T— , P^=:

)J'A} 4- B' + C? sfk,* H- B> -h €'

— s

3i.

484 QUESTIONS PEÉLIMINArUES

re qui donne (Pi désignant la distance demandée) ,

D'— D

P.=

La quantité D' — D exprime une d^érence ou une
somme ^ suivant que les deux plans sont situés d'un ménie
côté, ou de côtés différents par rapport à Forigine.

Comme d'ailleurs le radical est toujours affecté du double
' signe y on doit le prendre, avec le signe 4- ou le signe — ,
selon que D' — D est une quantité positive ou négative.

39S. Sixième questioiï. — Trouver les éçtiations de
l'intersection commune de deux plans.

Soient
(i) A«-f- B^-f- C«H- D = o,

(2) A'ar -4- B>- H- C» -+• D' = o

les équations des deu^ plans donnés.

Nous observerons d'abord que cette intersection est tout
aussi bien déterminée par les équations des deux plans
donnés que par celles de ses projections, qui ne sont d'ail-
leurs elles-mêmes (n^ 371) que les équations de deux plans
perpendiculaires, l'un au plan des xz^ et Fautre au plan
des yz.

Mais on peut avoir besoin , pour certains problèmes , de
connaître les équations des projections.

Or, si l'on élimine^ entre les équations (i) et (2), l'é-
quation résultante enxet^ appartiendra à un plan perpen-
diculaire au plan des xz , et passant par la droite^ donc elle
sera Tcquation de la projection de la droite sur le plan
des xz.

Même raisonnement pour la projection sur le plan
desyz.

En effectuant ces calculs, on trouve,

1°. Pour la projection sur le plan des xz^

( AB' — BA') X -h (CB'— BC) z h- DB' — BD'r= o ;
a**. Pour la projection sur le plan des yz ,

(AB' — BA') / -h (AC — CA') » -f- Aiy — DA' = o.

L'élimination de z donnerait également l'équation de la
projection sur le plan des xj".

SUR LA LIGHE DROITE ET LE PLAN. 4^^

396. Septième questioit. — Deux plans étant donnés
dans r espace, trouver V angle quils foi ment entre eux.

Le moyen qui se présente au premier abord, pour ré-
soudre cette question, consisterait à rechercher, i® les
équations des projections de Tintersection <;ommune des
deux plans ^ 2^ ré({uation d'un plan perpendiculaire à cette
intersection *, 3^ celles des traces de ce plan sur les deux
plans donnés-, 4^ enfin , Tangle formé par ces traces. Mais
on juge aisément cjuc ces calculs, tous exécutables d'après
les principes établis précédemment, seraient assez labo-
rieux .

Voici un autre moyen plus simple et plus élégant.

Supposons que les droites OB, OC représentent dans Fio. 193.
l'espace les intersections des deux plans donnés avec uu
troisième qui leur soit perpendiculaire. Si du point O Ton
élève OB', OC, respectivement perpendiculaires aux deux
plans , il est clair que ces droites seront situées dans le troi-
sième plan BOC dont nous venons de parler.

Or, puisque les angles BOB', COC sont égaux comme
droits, il en résulte nécessairement B'OC = BOC; c'est-
à-dire que V angle formé par deux droites menées en un
point de V intersection commune de deux plans, perpen^
diculairement à ces deux plans , est égal à l'angle que
ces plans font entre eux*

Cela posé, soient

Aj?-f-BjH-CzH-D = o,
A!x -H B'jr -h C» -H D' = o

les équations des deux plans.

Celles des deux droites qui leur sont respectivement per-
pendiculaires, de quelque manière que ces droites soient
d'ailleurs situées dans l'espace , seront de la forme

et

j? = fl'z -H a', jr z= b'z -^ 6',

a, b, a', b' ayant (n^ 380) pour valeurs,

A , B , A' ^, B'

C C C C

486 QXJESTIONS PRÉLIXOlÂlilBS

Or on a trouvé (n^ 377) pour Ttugle de deux droites ,

cos V = .

V/(rt» 4- A» -M) (fl'« 4- A'> -f- 1)

Donc, en remplaçant a, a!^h ^V par leurs valeurs, on
obtient, toute réduction faîte,

AA' 4- BB' -h ce
co8V= , r - f

V(ÂM-B' + C^) (A'^ + B'^ + C»)

expression indépendante de D, D'^ ce qui doit être, car
tous les plans parallèles aux deux plans donnés forment
entre eux le même angle que ceux-ci.

Le radical que renferme cette expression , rend indéur'
miné le signe de cos V, parce qu'en effet les deux plans font
entre eux deux angles, Tun aigu et Tautre obtus; cette in*
détermination cesse dès que Ton sait d'avance de quelle es-
pèce est Pangle cherché.

Examinons quelques cas particuliers.

397. Si les deux plans sont perpendiculaires entre eux,
on doit avoir coa V=:= o \ ce qui donne

AA'-hBB'4-CC'=:o,

pour la condition de perpendicularité de deux plans.

Supposons les deux plans parallèles entre eux y auquel
cas on a cosV^=ï: i \ si Ton égale à l'unité le second membre
de la formule ci-dessus, et qu'on développe les calculs, on
trouve, toute réduction faite,

( AB' — BA')' -f- (AC — CA')« 4- (BC - CB' y = o,

égalité qui ne peut être vérifiée qu'autant que l'on a sépa-
rément

AB' — BA'siso, AC — CA'rto, BÇ— CB'^o;
d'où

/

A— ^' A — A A — J^

B "" W C""" C' C "" C"
Ce sont les conditions déjà obtenues nP 393.

398. Angles d'un plan avec les plans coordonnés, —
Faisons maintenant coïncider l'un des deux plans avec cha-
cun des trois plans coordonnés. Œi obtiendra ainsi les co-
sinus des angles quHl forme ÂVec chacun d'eux.

Sun LA LIGiri DMITB BT LB PLAN. 4^7

SuppcMons i pfar ôtemple ^ qa« 1« second plan soit lu plan
des xjr.

Comme rë<{uation

se réduit alors à

2 = 0,
il faut que Ton ait

A' = o, B' = o, D' = 0}

et la valeur de cos V devient

(i) cos(a5/) = ,- ==

[cos(.a!?y), cos(j;i5), cos (j^) sont des notations que nous
adopterons pour désigner les cosinus des angles qu'un plan
forme avec les plans coordonnés].

t^ar lin raisonnement analogue, on obtiendrait pour les
angleà que le premier plan forme avec les deux autres plans

coordonnés

B

(a) cos(xs) = . =>

^ ^ V^A»-f-B»4-C»

A
(3) 008(72)=: ■ ,. , »

^ y/A' -I- B' -h C»

Si Ton ajoute entre elles les équations (i), (2), (3)) après
les avoir élevées au carré , on trouve

cos'(j:/) -f- cos^(xz) H- cos' {jrz) = i j

relation analogue à celle qui a été trouvée (n^ 379) entre
les cosinus des angles qu'une droite forme avec les troi^ axea.
Désignons par cos (^r^)', cos(a:z)', cos {yzY les cosinus
des angles qu un second plan dans l'espace forme avec les
trois plans coordonnes -, on aurait également

cos(xyY = — j cos (xs)' =

V' A'» -h B'^ H- C'^ V A'^ H- B" -+- C"

cos (73)' =r ■

En multipliant ces trois expressions respectivement par
celles de cos(x^) , cos(xz), co8(yz), et ayant égard à la va-
leur de cosV, on a cette nouvelle relation ,

cos(x/).cos(^/}'+cos(j:5).oo8(«2/-f-Gos(/2).coa(74)'=3eosV.

488 QUESTIONS »lUfiLUn»AIRE5

Enfin , ai les deux plans sont perpendienlaires enire eux ,
on doit avoir

cos(a7). cos(jp/)' + cDs(ar«). co8(x«)' 4- co8(j»). cos(/»y = o.

Tous ces résultats nous serviront dans le problème gé-
néral de la transformation des coordonnées en trois dimen-
sions.

399. Huitième question. — Tromper Tangîe iTunc
droite et d'un plan dans Vespace.

Si d'un point quelconque de la droite on abaisse une per-
pendiculaire sur le plan donné, et qu^ on joigne le pied de
cette perpendiculaire avec le point où la droite rencontre le
plan, la ligne de jonction est, comme on sait ^ la projection
de la droite sur le plan. •

Cela posé , on appelle angle d'une droite et d'un plan
celui que forme la droite avec sa projection sur le plan. Or il
est évident que cet angle est le complément de celui que fait
la même droite avec la perpendiculaire abaissée sur le plan.

Soient donc

jc = a« -h a, ^ = ^« 4- 6

les équations de la droite donnée ,

Aj?4-B/-|-C3 4-D = o
celle du plan,-

Les équations d'ime droite perpendiculaire à ce plan se-
ront de la forme

4? = n'a -h afy y =z b'z-^ 6',

a'^ b' ayant (n^ 389) pour valeurs

Mais on a (n^ 377) pour le cosinus de Tangîe de ces deux

droites ,

<ia' 4- ôô' + I

, , 11-11 •

V^(a> -h 6» -h i) {«'* 4- 6'» H-T) '

donc, en remplaçant A^&^ par leurs valeurs, on obtient
pour le sinus de l'angle cherché,

S-.nV = , -. ■ rr=^ ■»

V(«-* 4- ^' 4-1) (A» 4- B' 4- C»)
Si la droite est parallèle au plan , on doit avoir sin V = u :

SUR LA LIGUE DROITE ET LE PLAN. 4^9

ce qui donne la relation

A<i + Bô4-C = o,
déjà établie au n? 988.

400. Neuvième QUESTioif. — Pliis courte distance de
deux droites données par leurs équations.

Cette question , qui forme avec celles que nous venons
de traiter sur la ligne droite elle plan , ce qu'on appelle les
préliminaires dsLUs la GÉOMÉtRiE descriptive , est une con-
séquence facile à déduire des principes précédents ^ nous
nous bornerons à indiquer la marche à suivre pour arriver :
i*' à Texpression de lalongueurda cette plus courte distance,
a^ aux équations de la droite sur laquelle elle est située.

Preitieremeiît , former les équations de deux plans pa-
rallèles "psLSsatni 'par les deux droites données (n^^ 388, 393) ^
puis, déterminer (n*' 394) la distance de ces deux plans,
qui n'est autre que la longueur cherchée ^

Secondement, formerles écjuations de deux autres plans
assujettis, l'un à passer par la première droite et à être per-
pendiculaire au second des deux plans parallèles (n^* 388,
397), l'autre, vice versa. Ces équations fixent ainsi la po*
sition de la plus courte distance (n*' 395) 5 à moins qu'on ne
veuille obtenir les é({uations de ses projections , ce qui se fait
(même numéro) en éliminant successivement deux des trois
vaiiablcs a*, j", ^.

401 . ScoLiE GÉNÉRAL. — Tels sont les principes à Taitle
desquels on peut résoudre toute espèce de questions rela-
tives à la ligne droite et au plan dans l'espace. On ne doit
pas toutefois perdre de vue que quelques-uns des résultats
obtenus précédemment sont indépendants de Yinclinaison
des aXes , mais que toutes les questions dans lesquelles on a
dû faire entrer en considération, soit la distance entre deux
points, soit l'angle de deux droites ou de deux plans, et,
par conséquent, la condition de perpendicularité de deux
droites ou de deux plans , toutes ces questions , dis-je , con-
duiraient à des résultats beaucoup plus compliqués , dans
rbypothèse à*axes obliques.

49^ t>BS SUBrACB» OOVRBES;

CHAPITRE XL

DES SURFACES COURBES, ET EN PARTICULIER DES
SURFACES DU SECOND DEGRÉ.

Notions préliminaires.

402. Une surface courbe étant donnée de forme et de
position dans l'espace , si, après avoir traduit algébrique-
ment une de ses propriétés caractéristiques, on parvient â
une relation F (x ^ jr^ z) i=i o entre les coordonnées de
chacun de ses points, cette équation est dite Véquation Je
la surface, et la détermine complètement; car, en donnant
à deux des variables des valeurs arbitraires, on tire de Té*
quation une ou plusieurs valeurs pour la troisième variable;
et le point correspondant à chaque système de coordonnées
se trouve nécessairement sur la surface, puisque, par hypo-
thèse, Téquation convient k tous les points , et ne convient
qu'auY pointa de cette 8urface«

JRéciprof/tiement , toute équation

(0 F(^, r».»)=o»

dont les variables x, j^, js , expriment les distances à trois
plans rectangulaires ou obliques, comptées parallèlement
aux intersections de ces plans , a pour lieu géométrique une
certaine surface, dont la nature et la forme dépendent de
la manière dont les variables sont combinées entre elles et
avec d'autres (|uantités constantes, données à prion\

Pour démontrer cette seconde proposition rigoureuse*
ment, considérons une seconde équation

(2) r(x, ^, «)==o,

et recluMchons le lieu de tous les points dont les coordon-
nées sont susceptibles de vérifier à la fois les équations (r)

Supposons d'ailleurs, pour* pi us de. simplicité, lésâtes
rectangulaires.

HOnOliS PEÉLtmff AIRES. 49<

D'abord, si Ton élimine entre ces équations une des trois
variables, j^ par exemple, Téquation résultante

(3) /(x, s) = o

exprime une certaine, relation entre des coordonnées de
points situés dans le plan des xz^ et appartient, par consé->
quent (n^ 371) , à une ligne courbe située dans ce plan.
Mais en imaginant , par les diflerents points de cette courbe,
des perpendiculaires au plan des xz ^ on forme, dans l'es-
pace, une surface (dite surface cylindrique) pour chacun
des points de laquelle les x et z sont les mêmes que ceux
de la courbe; ainsi l'équation (3) convient également à
tous les points de cette surface, et ne peut convenir qu^à
ces points.

De même , Féquation

(4) /'(jr,z)=0,

qui résulte de Félimination de x entre les équations (i)
et (a) ) caractérise tous les points d'une surface cylindrique
dont les arêtes sont perpendiculaires au plan des yz^ et
qui a pour base la courbe représentée par l'équation (4)*

II suitde là que le système des équations (a) et (4)9 lequel
peut remplacer celui des équations (i) et (^) , appartient à
totules points qui se trouvent à la fois sur les deux surfaces
cylindriques, et, par conséquent , à leur intersection com*-
mune qui « en général , est une ligne courbe. Donc aussi le
Heu des points dont les coordonnées satisfont en mètne
temps aux équations (1) et ( a) , est une ligne : ce qui exige
que les lieux géométriques de ces équations soient deS sur*
faces, et non des solides , comme on pourrait d'abord se
l'imaginer.'

On doit remarquer cependant que, si l'équation (1),
outre les variables x, ^, £, renfermait une on plusieurs
indéterminées, cette équation fournirait autant de surfaces
différentes que Ton pourrait donner de valeurs aux indé-
terminées, en sorte que, dans ce cas, le lieu géométricpie
serait Tassemblage d'une infinité de surfaces ou de couches
infiniment minces, qui formeraient alors ^ à proprement
parler, un solide.

49^ IfOTlOKS PRÉLIMINAIRES SUR LES SURFACES COURBES.

403. Supposons actuellement que Ton ait trois équations,

existant en même temps pour différents points.

Comme les deux premières équations caractérisent tous
les points de la ligue d'intersection des surfaces exprimées
par CCS équations, que la première et la troisième caracté-
risent la ligne d^intersection des surfaces qui leur appar-
tiennent, il sV'nsuit que les trois équations conviennent
aux points où ces lignes se rencontrent, c'est-à-dire à ceux
qui se trouvent à la fois sur les trois surfaces, et l'on ob-
tiendra les coordonnées de ces points en éliminant x, /, 5,
entre les équations proposées.

Le nombre des points communs est égal au nombre des
systèmes de valeurs réelles de x, y, z, propres à vérifier
ces équations simultanément.

404. On peut conclure des considérations précédentes,
1°. Qu'une seule équation entre trois variables Xj y^ z

détermine analjtiquement une surface ;

a**. Que le système de deux équations en x, y, z, carac-
térise une ligne courbe désignée ordinairement sous le nom
de courbe à double courbure (comme tenant de la nature
de l'une et l'autre surface représentées par les deux équa-
tions) 'y cette même courbe est encore déterminée par les
équations de deux de ses projections : ce sont (n® 403) les
équations qu'on obtient en éliminant successivement x et y
entre les équations proposées ;

3°. Que le «système de trois équations en x^ y, z fixe
la position d'un certain nombre de points dans l'espace; en
sorte qu'il n'est pas toujours nécessaire de se donner expli-
citement les coordonnées de ces points , mais bien les équa-
tions de trois surfaces sur lesquelles ils se trouvent placés.

Ces premières notions étant établies , nous allons nous
occuper de la résolution d'un problème analogue à celui
par lequel nous avons fait précéder la théorie des courbes
du second degré : c'est celui de la transformation des coor*
données en trois dimensions.

TRAHSFOlMATIOir DES COORDOHHÉES DANS l' ESPACE* 49^

§ V' — Teahsformatiou des coordonkées dahs l'espace*

405. Etant donnée Véquation d'une surface rapportée
à des axes quelconques , trouv'er Véquation de la même
surface rapportée à de noui^eaux axes.

La méthode consiste, comme on l'a va au n^ lli, & ex-
primer les anciennes coordonnées en fonction des nou-
velles, puis à substituer les valeurs ainsi obtenues dans
ré<piaûon donnée.

Nous ne traiterons point ici la question la plus générale,
parce que les formules en sont peu usitées , et nous nous
bornerons à considérer les cas suivants ;

406. PaEuiBE CAS. — Passer d^ un système de coordon^
nées rectangulaires ou obliques à un système de coordon-
nées parallèles d'origine différente.

Soient AX, AY, AZ, les axes primitifs; A' X', A'Y', A'Z', Fie. 194.
les nouveaux que nous supposons parallèles aux premiers,
et prolongés jusqu'à leur rencontre avec les plans des /z,
xzy ay, en B, C, D; les parties A'B, A'C, A'D, repré-
sentent les coordonnées de la nouvelle origine A' rapportée
aux anciens axes.

Si d'un point quelconque M de la surface , nous menons
les coordonnées MP, MQ , MR , ces droites perceront les
plansj^V, yy, sfy aux points F', Q', R', et Ton aura

MP = x, MQ =/, MR=«,
puis

^ MP' = x', MQ'=/, MR' = «',

e

FPsA'Brzra, Q'Q=A'C = 6, R'R=:A'D = r;

ce qui donne , par conséquent , les relations

Telles sont les formules au moyen desquelles on passe
d'un système quelconque de coordonnées à un système pa-
rallèle.

Les signes des quantités a, & , c, font connaître (n° 364)
dans lequel des huit angles trièdres formés par les trois
axes primitifs se trouve la nouvelle origine.

N. B, — Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons

494 TRAHSFOEMATION D88 C00M>01IirÉB6 IIAV« l'bSPICI.

que l'origine reste la même, parce que, si elle était diffé-
rente , on eotnmencerait par transporter les a^es parallèle-
ment à eux-mêmes d'après les formules ci-dessus 9 et Ton
changerait ensuite la direction des axes autour de la nou-
velle origine.

407. Second cas. — Passer d'un système rectangulaire
à un système oblique de même origine,

La méthode que nous emploierons pour obtenir 1«8 for-
mules relatives à ce nouveau cas , est fondée sur la proposi-
tion suivante :
Fio. iqS. Soient LL', KK', deux droites indéfinies situées ou non
situées dans un même plan. Abaissons de deux points A, B
de la première droite des lignes Aa, B&, perpendiculaires
sur la seconde : la partie ab de celte seconde droite est dile
la projection de AB sur KK', Cela posé, je dis que l'on a

ab ^= AB cosPy

p désignant Tangle que les deux droites LL', KK' font entre
elles.

En effet, soient menées par les points A , B, deux plans
MN, PQ, perpendiculaires à KK'^ ces plans contiennent
les deux perpendiculaires Aâ, Bi , déjà abaissées.

Du point A tirons ensuite AI, perpendiculaire sur le

plan PQ , et joignons le point B avec le point I où cette

perpendiculaire rencontre PQ *, le triangle AIB est rectangle

en I , et donne

AI='aB.cosBAI.

Mais AI = fli , comme parties de parallèles comprises entre
plans parallèles; d'ailleurs Fangle BAI n'est autre cbosc
que l'angle des deux droites LU, KK'. Donc enfin

ab = ABcoif^; -
<
c'estp-à-dire que la projection d*une droite sur une autre

est égale au produà de la droite multipliée par le cosinus

de l'angle quelle forme avec sa projection,

Fio. iq6. Appliquons ce résultat à la question proposée.

Soient AX , AY, AZ , trois axes rectangulaires •, AX', Aï '.
AZ', trois axes obliques.

Menons d'un point quelconque M de la surface les an-

TmAirtPOftMATiojr oss cooedobuébs DàV9 l'hapàcb, 49S
ciennes coordonnées MP, PQ y AQ , et les nouTelles MP^,
PQ', AQ^, puis par les points M, P', Q^, concevons trois
plans perpendiculaires à AX,

Il es| évident que le plan mené par le point M coupe AX au
point Q, puisqu'il se confond avec le plan MPQ. Quant aux
deux autres, soient p'^ q' leurs points de rencontre avec AX,

Il résulte de cette construction que la distance AQ ou
ar, se compose de trois parties kq\ q*p\ p'Q , que Ton peut
regarder comme les projections respectives des coordonnées
AQ', P'Q', MP', ou x', y' y z\ sur l'axe des x. Donc, en
convenant [voyez le n^398) de désigner par [x\ r), (y', x)^
[z\ x) les angles que les nouveaux axes forment avec l'an-
cien axe des x , on aura , d'après le théorème précédent ,

(1) X-=.x/ COS(jr', x) -h y C0S{/, «) +• j' 00$ (»', x).

Concevons actuellement qu'on ait projeté de la même
manière les coordonnées x\ y', z\ sur chacun des deux
axes des jr et des z , et employons des notations analogues
aux précédentes ; on obtiendra également

(2) r = ^cos(x', /)-h/cos(r',r)4- a'cos(«', /),

(3) z = «'cos(jr', s) -+-/'cos(y, «)+•«' cos(r', z).

Les Rei{/* constantes qui entrent dans ces trois formules,
sont d'ailleurs liées entre elles (n^ 379) par les relations :

ioo9?(x^f a?)-h C0S*(4/, J^)-4-C0ft'(j/, »)=5l>
cos*(/,*)4- co9*{y,r) -f-cos»(/, s)= I,
cos'{»', x) 4- cos'{»', y) -+• cos*(«', ») = i.

408. Comme application immédiate des formules qui viennent
d'être obtenues I proposons- nous de trouver Y expression de la
distance entre deux points, M, M', rapportés à des axes obliques.

Afin d'éviter toute confusion dans les notations , nous convien-
drons, pour la résolution de cette quesfion, d'appeler x^Xf '»
^> y y ^y ct^M les coordonnées de points rapportés à un système
d'axes rectangulaires, et X, Y, Z, X', Y* , Z', etc., les coordon*
nées des mêmes points rapportés à des axes obliques.

Les formules précédentes deviennent alors

jr = Xcos(X, j?)H-Tcos(Y,4:) + Zcos{Z,«),
j^ = Xcos(X,^)H-Ycos(Y,/)-f-Zcos(2,/),
z =Xcoê(X,») 4-Ycos(Y,a) -hZcos(Z,»),

4g6 TRiVSFOEMAlTON DES COORDOHIS^ES DANS l'bsPACB.

cos»(X, ») -h cos*(X, x) -^ <»»*(X, «) =1,

cos»(T, x) -H cos*(Y, x) 4- cos'(Y,a) =t,

cos»(Z, x) -f-cos'(Z, j) + cos*(Z,z)=i.

Cela posé, on a trouvé (n^ 3G9), pour le carré D* de la distance
entre deux points rapportés à des axes rectangulaires ,

et tout se réduit k y remplacer Jr', j^', «', x" ^y*'^ z" par leurs va-
leurs en fonction des nouvelles coordonnées X', Y', Z', X", Y'', Z'.
Or, d'après les notations convenues, on a nécessairement

;!/— «"=(X'— X'')cos(X,a:)-|-(Y'~Y")cos(Y,x)

-h(Z'— Z")cos(Z, a:),
y-y'=(X'~X")cos(X,7) 4- (r-Y")cos(Y,/)

-|-(Z'-Z'Ocos(Z,r),
*'-«''= (X'— X")cos(X, s) + (r-Y")cos(Y, *)

-+-(Z'— Z';)cos(Z,z),

expressions qu'il faut élever au carré pour faire ensuite la somme
de ces carrés.

En exécutant cette double opération , il est facile de reconnaître
que le résultat doit se composer de deux parties principales :
i^ de la somme des carrés

(X'— X")', (Y'— r^, (2'-Z'')S

ayant respectivement pour multiplicateur la somme des carrés des
cosinus des angles que forme chacun des nouveaux axes apee les
trois axes primitifs, laquelle dernière somme est égale à i , d*après
les trois dernières des relations ci-dessus ; ce qui réduit la première

somme à

(X'-X^)>+ (Y'-Y"y+ (Z'— Z'^)»;

2® de la somme des doubles produits

' 2(X'-X")(Y'-Y''), 2(X'— X'')(Z'-Z"),

2(Y'-Y'')(Z'~.Z"),

ayant respectivement pour multiplicateurs la somme des produits
deux à deux des cosinus des angles que forment d abord les nou-
veaux axes des x et des y ai^ec les trois axes primitifs, puis les nou-
veaux axes des x et des z avec les mêmes axes, et enfin les nouveaux
axes lies y et des z avec les mêmes axes.

Or, en vertu de ce qui a été dit au n° 590, les trois multiplica-
teurs dont nous venons de parler ont respectivement |Kiur

va1eui*s

cos{X,Y), cos(X, Z), cos(Y,Z);

TRÀK8F0RMATI0M DBS COOKDONHÉBS DANS L*B8VACB. 497

donc enfin ,

D» = (X'— X'')» 4- ( r — Y*')» 4- (Z'- Z")>
4- 2 (X'- X'' ) ( Y' — Y^) cos (X, Y)
4- a (X'— X") (Z' — Z^ ) cos (X, Z)
4- 2(r— Y^)(Z'-Z'')cos(Y,Z).

Telle est l'expression la plus générale de la distance entre deux
points. C'est en même temps Texpression de la diagonale d'un
paralléUpipède oblique,

409. TaoïsiÈMB cas. — Passer d'un système fectangu--
laire à un autre système rectangulaire de même origine*

Les formules sont les mêmes que dans le cas du n^ 407 ;
mais il faut joindre aux relations déjà établies entre les co-
sinus, celles qui expriment (n^* 378 et 380) que les nou-
veaux axes sont perpendiculaires deux à deux^ ce qui
donne,

co$(y,x)cos(/,x)4-cos(x',x)cos(/,/)4-cos(;F',»)cos(/,s)=o,
cos{a', x) cos(«',x)4-cos(j/,7) cos(2',7)4-cos(x', s) cos(«', «)=o,
008(7', *) cos(2',x)4-cos(/, y) cos (s'jr )4-cos(/, s) cos (ï', s)=o.

On voit donc que les constantes qui entrent dans les for-
mules relatives au cas actuel, sont liées entre elles par
six relations différentes; d'où il suit que de ces ne'//* cosi-
nus, il n'y en a que trois dont on puisse disposer arbitrai-
rement.

U existe , en effet , d'autres formules propres a faire passer
d'un système rectangulaire à un autre de même espèce, et
dans lesquelles on ne fait entrer en considération que trois
constantes^ savoir :

1^. L'angle que la trace du plan des x' y' sur le plan des
xy forme avec l'ancien axe des x \

a^. L'angle que font entre eux le plan des x' y' et celui

des jcy;

3^. Enfin Fangle que fait l'axe des x'avec la trace dont

nous venons de parler.

n est aisé de reconnaître que ces données suffisent pour
fixer la position des trois nouveaux axes , par rapport aux
anciens^ mais ces formules étant très-compliquées et peu

Ap. de VAL à h G. 3a

498 TRANSFORMATION X7E6 COOEDONliÉES DiJIS L B8PÀCS*

symétriques, nous renvoyons, pour leur détermination,
au tome II, n® i'^'^, de la Correspondance de l'École Po-
lytechnique ^ ouvrage dans lequel nous avons puisé ^-
lement la méthode suivie dans les deux derniers cas de la
transformation àfis coordonnées.

Cas particuliers du précédente

Fio, 198. 410. Premièeehent. —*Qn peut, en conservant Fun des
anciens axes , celui des z , par exemple , changer la direction
des deux autres axes^ dans le plan des xy»
Dans ce cas, on a évidemment

cos (r'> *) = cos[90<» 4- (4/, «)] = — sin ( j/, x%

co5(»', a?)î=o,

«>s(jE',r)=sin(^,*), cos(y,/)=:Goe(dP',*),

C0S(2',/) = O,

cos{x', «)=o, cos(/', x)=o, cos(2', z)=i;

ce qui donne, pour les formules correspondantes,

x = a/ cos(j/, x) — /' sio (a?', x),
/ = j/ sin{jr', jr) + j'cos(4/,x),
« = «'.

N. B. — Les deux premières sont identiques avec celles
dun^ 119, parce qu'en effet tout se réduit à une simple
transformation de coordonnées en deux dimensions^

41 1 . Secondembht. — On verra plus loin que la discos-
sion d'une surface est fondée principalement sur la déter-
mination de ses intersections par des plans menés socu dif-
férentes inclinaisons. Or Télimination d'une variable, x
par exemple , entre l'équation de la surface et celle du plan
donne lieu à une équation qui représente (n^ 402) la pro-
jection de la courbe d'intersection sur le plan des xy^ maïs
qui , en général , n|apprend rien sur la nature de cette
courbe ; et il serait important de poirvoir déduire de Véçua-
tion proposée une équation de la courbe elle-même rûp^
portée à des coordonnées prises dans son plan*

. Tel est le cas particulier de la transformation des coor-
données, que noua avons à traiter.

THANSFOUCàTIOlf BB6 COOEUOHSÉBS DAIffl L*B8PACB. 499

Remarquons d*abord que le plan sécant, qu'on peut sttp- Fio. 199.
poser, pour le moment, passant par l'origine À , est complè-
tement déterminé par sa trace AX' sur le plan des xy^ et
par l'angle qu'il forme avec celui-ci.

On obtient cet angle en concevant au point  deux

droites AL, AY'^ perpendiculaires à la trace AX', Tune

située dans le plan d^ xy^ l'autre dans le plan sécant.

Soit posé

X'AX = ip et LAY' = 0.

M étant un point quelconque de la courbe d'intersection ,
abaissons MN perpendiculaire sur le plan des xy^ et tirons
ISP parallèlement à Taxe AY; AP, PN, NM sont les jt, ^, s
du point M. Prenant ensuite les deux droites AX^ AY'
pour nouveau système d'axes , menons MP' parallèlement à
AY', on a

Comme les coordonnées or, /, js du point M sont déjà
liées entre eUes par Téquation de la surface

F(^>r, «) = o,

il s^ensuit que si , par un moyen quelconque, on parvient à
exprimer Xy y^ z, en fonction des quantités x', y, ç et 6,
et qu'on substitue ces valeurs datis l'équation delà surface,
on aura l'équation demandée.

A cet effet, traçons P' N, et menons P' I parallèle â AY,
NK parallèle à AX.

Les triangles rectangles P'MN, P'NK, P'AI donnent
successivement

MN=:MP'.8inMP'N,
c'est*4-dire

z =7'.sin0;

P'N = MP'.cosMFN, ou P'N=y.cosO;
NK = IP = P'N.sinKP'N=/cose.sin©

(car les angles KP'N, X'AX sont égaux comme ayant
leurs côtés respectivement perpendiculaires)^
P'K = P'N cosKP'N=:ycose.co8t;

AI = AP'.cosP'AI = jr' cosf ;

P'I =:AP'.sinP'AI=r«'sin5r.

32.

50O ' DES DIFPÉmBllT8 GBNmES DE SVIIPACES;

Fio, 199. Par suite,

NP = IK = P'I— P'K, ou ^ = j/sîny— /cos9co«f;
AP = AI + IP = AI+NK| ou j? = jr'cosf-+-ycos9siiif

Ainsi les formules cherchées sont

ix = j/ cosf + y' cosO siof ,
j = 4/ siof — y cosOoosf,
s=y siûO;

et il ne s'agit plus que de reporter ces valeurs de jr, ^, t
dans rëq[uation de la surface.

Ordinairement, les angles f et 6 relatifs au plan sécant
sont donnés à priori ^ mais on peut aussi les déduire de Fé-
quation mÊme du plan

A« H- B/ 4- C s -H D = o.

On a^ en effet (n<» 398) ,

A

cosQ= , î

V^A»-hB'H-C«

quant k Tangle f , comme Téquation de la trace sur le plan

des 3qr est

A«-+-B/-i-D = o,
il en résulte

r = — g« — g-; doù tang^^sr—-.

N. B. — Si le plan sécant ne passait pas par Forigine ,
il suffirait d'augmenter les seconds membres des formules
ci-dessus I respectivement des coordonnées a, 6, c, de la
nouvelle origine, en vertu de ce qui a été dit au n® 406.

La même remarque s'aj^lique à toutes les transforma-
tions des coordonnées, exécutées dans les numéros précé-
dents.

Passons à Tétude des différents genres de surfaces.

§ n. — Des DIFFÉRENTS GENEES DE SURFACES.

Quoique nous ayons pour principal but, dans ce^ cha-
pitre, d^exposer la théorie des surfaces du second degré,
nous croyons devoir donner quelques notions sur cer-
taines surfaces auxquelles on est souvent conduit par la

SUEFÀCBS SPHéftIQVBS. 5oi

résolution de problèmes îndëterminës en trois dimensions^
parce que, dans la discussion même de Téquation générale
du second degré, nous retrouverons les caractères qui ap-
partiennent aux surfaces que nous allons faire connaître.

De la surface sphérique et de son plan tangent.

412. Une surface sphërique étant celle dont tous les
points sont également éloignés d'un même point nommé
csifTRB de la surface, si Ton désigne par x^jr^z les coor-
données d'un quelconque de ses points, par a^ 6> 7, celles
de son centre, et par r son rayon , on a nécessairement
(n^* 369 et 408) pour Féquatiôn de cette surface,

(1) (^-«).H.(j.«g)»H-(,-y)« = H,
lorsque les axes sont rectangulaires, et

, , ( {*-«)• + ix-^Y -^ (»-7)' -Ha (*-a) (jr^t) , cot(«, jr)

(2) <

( -ha(x— a)(a— 7)cos(jr,»)-«-a(/— €)(»— 7)co»(/,«)=:/«,

lorsque les axes sont obliques»

La forme compliquée de cette dernière équation en permet
rarement Tusage.

La sphère éunt rapportée à son centre comme origine,
et les axes étant rectangulaires, son équation devient

(3) *»H-j^*H-j«=rr»;

et c*est principalement dans ce cas qu'on Femploie.

413. L* équation (i) étant développée , prend la forme

«» 4-r' -H »' + A« + B j H- C» 4- D = o.

Réciproquement, toute équation de cette forme caracté-
rise une surface sphérique ^ dont le centre a pour coordon-
nées

_ A _ B _ C

a' a ' a'

et qui a pour rayon ^

/Â* B^

Nous renvoyons pour la démonstration de cette réci-
proque à celle qui a été donnée au n^ 85 pour le cercle ,
comme étant, en tous points, semblable.

^'-D.

50A DBfl DIFFÉftniTS «UTR» SB StriFlCBS;

414» Pour déterminer la nature de l'interaectioii d'une
«phère par un plan, il suffit de remplacer dans réquation
de la sphère

x^y^ z^ par leurs valeurs tirées des formules du n^ 411,

jr = j?' cosf 4- J^ cosO sin f + tf ,

j^ =1 4/ sin y — ;^' COS0 cosy + ^ 1

z =j^ sin6-h c*

Or on obtient ainsi une équation en x\y\ dans laquelle le

recrtangle x^y disparait de lui-même , et les coefficients de

x" et de jr'* sont égaux à i.

Donc (n^ 85) cette équation est celle d'un cercle,
, Les calculs n'oifrent aucune difficulté.

415. Du plan tangent à la sphère, — ^^On sait, en Géo-
métrie , que ce plan est perpendiculaire au rayon qui passe
par le point de contact; c'est cette condition qu'il faut tra-
duire en analyse.

Soient x\ y\ z' les coordonnées du point de contact,
l'origine étant placée au centre de la sphère, et

« = as, ^s=As,

les équations du rayon passant par ce point.

Comme les coordonnées x', y', z' doivent vérifier les
deux équations, on a les relations particulières

d'où Ion déduit

< s' %'

D'un autre côté, le plan tangent devant passer par le
même point , son équation est (n° 387)

A (r - x') 4- B [y -y ) + C(2 - a/) = o;

et puisque ce plan est perpendiculaire au rayon considéré,
on doit avoir (n° 389)

d'où

A ^ 5_y.

G^^a'' C"~s''

d*0à , êubstiluant dans l'équation da plan ,

(i) 'a/(*-*')-h/(r-/)4-«'(» — tO^o-

Telle est l'équation du plan tangent à la surface sphérique
dont réqnation est

^ -h ^' -f- «' == '•*.
Si on la développe et qu'on ait égard à la relation

elle devient

(2) «aZ-f-// + «<=/■%

équation d'une forme plus simple et ne différant de celle de
la surface sphérique qu'en ce que les carrés x', y*, a' sont
remplacés par xx\ yy\ zz\

N. B» ^- Si Torigine était placée ailleurs qu^au centre ,
il faudrait, en désignant par a, ê, y les coordonnées du
centre, remplacer x^ jr^ ^i ^\ y\ «' respectivement par

« — «, /— €, z — y, j/— «, 7' — 6, »' — y,
dans l'équation (a); ce qui donnerait

C'est sous cette dernière forme que Ton considère ordi-
nairement l'équation du plan tangent, les axes étant rectan--
gulaires, et l'origine étant placée ailleurs qu'au centre.

Des surfaces cylindriques.

416, On nomme ainsi toute surface engendrée par le
moui^ement d^une droite qui glisse parallèment à une autre
droite donnée de position le long d\ine certaine courbe
appelée la directrice de la surface; la droite mobile s'ap-
pelle GÉNÉRATRICE.

Tachons d'exprimer ce caractère général par l'analyse.

Soient

X =z az -^ OLj y^ibz'^^f

les équations de la génératrice considérée dans une position
quelconque , et

F (07, j, z) = o, F(or, /, z) = o,
celles de la courbe qui sert de directrice.

Puisque la génératrice , dans son mouvement, ne doit pas

1

5o4 DES DlFFéftBUTS GEHABS DE «V&FACES;

t

cesser d'être parallèle à elle-même) il s'ensuit (n*' 375) que
les quantités a , b restent les mêmes pour toutes les posi*
tîons de la génératrice ; mais les quantités a , S , qui (n° 388)
expriment les x et lesy du point où la génératrice rencontre
le plan des a^^ sont constantes pour tous les points d'une
même position de la génératrice , et varient lorsque le point
passe d'une génératrice à une autre. Il doit donc nécessai-
rement exister une certaine relation entre ces quantités a,
6 , ou leurs égales x — o.z^ y — 4* , puisqu'elles sont con-
stantes ensemble et variables ensemble.

Afin de parvenir à cette relation ^ remarquons que la gé-
nératrice devant, dans toutes ses positions, rencontrer la
courbe qui sert de directrice , les équations de cette courbe
et celles de la génératrice doivent exister simultanément
poiu* tous les points d'intersection \ et comme elles sont an
nombre de quatre y si l'on élimine les coordonnées x^y^ z^
on parviendra k une équation entre a, S, et des quantités
connues , qui ne sera autre chose que la relation cherchée.

Cette relation, que nous pouvons représenter en général,
par

/(a, 6)=:o, ou e=/{a), •

devient, lorsqu'on j remplace a, S par leurs valeurs
x-^azyj — bz^

/(« — a», / — i«) = o, ou >•— 6»=/(ar — a»).

Pour fixer les idées , proposons- nous , par exemple , de trouver
réquation du cylindre oblique à base circulaire.

Soient
(i) x'-t-/*=:r» et « = o

1^ équations du cercle qui doit servir de directrice, et que nous
supposons j pour plus de shnpiicité , placé dans le plan des xy^ le
centre étant d'ailleurs situé à l'origine.

Les équations générales de la génératrice sont toujotus

Or, pour exprimer que la génératrice, dans toutes ses portions,
rencontre le cercle, il faut combiner entre elles les quatre équa-
tions (i) et (2).

suarACES cohiqvb», . 5o5

D'abord y ThypoUiése s = o, introduite dans les équations (a),

donne

a? = a, 7 = 6;

d*oà, substituant ces valeurs dans la première des équations (i)y

(3) a'-f-6'=:r»;

c'est la relation qui lie entre elles les quantités a, 6.

Si y maintenant, on reporte à la place de a, 6, leurs valeurs
X — o^f X — ^«, dans (3), il vient

pour réquation du cylindre oblique à base circulaire.

417. Il est faciledereconnaitre, àposterioriy queFéquation

y — bz^=z f[x — az)

appartient à une surface composée d'une infinité de lignes
droites parallèles entre elles ^ ce qui caractérise la surface
cylindrique.

Prenons^ pour plus de généralité , une équation de la
forme
(i) Mj:-h N/ H- P*= F(Aj? -f- B/ 4- C«),

et dont l'équation

X — bz =/(4? — az)y

n'est qu*un cas particulier.

Si Ton coupe la -surface par une suite de plans parallèles
entre eux , et ayant pour équations

Ax + B^ 4- Cs==D, D', D", D"',...,

l'équation (i) devient, pour chacune des valeurs D,D',
jyff etc

MA-f.N7-hP3 = Q, Q', Q", Q^...,

les lettres Q, Q', etc. , désignant des quantités indépendantes
de x, /, z. Ainsi les lignes d'intersection se trouvent sur
une autre suite de plans parallèles entre eux, et sont , par
conséquent, des droites parallèles entre elles.

Des surfaces coniques.

418. On donne cette dénomination à toute surface en-
gendrée par le mout^ement (Vune droite qui passe con-
stamment par un point donné (qu'on nomme ceittre de la
surface) et assujettie à glisser le long d^une courbe aussi

5o6 DBS DIFFl&lBirrS OBHABS DB SUBFÀCBS;

donniû de position dans Vespace^ cette courbe s'appelle
DiRECTBicB, et la droite mobile est dite la géihébatuicb.

Soient x'^yy x', les coordonn<îes du centre de la surface,
et

(i) ^{x, X, z)z=o, F(j?,>-, a)=o

les équations de la directrice.

Celles de la génératrice sont (n® 374) de la forme

(2) a: — x' = «(« — z'), y^y =ih[z—'Z').

Observons maintenant que , pour toute surface conique ,
lorsque le point a:, y y z, change de position, sans quitter la
même génératrice, les quantités a et &, ou leurs égales

07 — j/ r— r'

Z — Z J5 — «

sont constantes; mais elles varient toutes deux si le point
passe d^une génératrice à une autre. Donc ces quantités,
qui sont constantes et variables- ensemble y dépendent.
d*une certaine manière, Funé de Tautre.

Pour obtenir cette relation, il suffit de combiner entre
elles les équations (i) et (2), qui, étant au nombre de quatre^
donnent lieu, par Télimination de x^ ^, z , à une équation
de condition entre a et i. .

Substituant dans cette équation, pour ces dernières quan-
tités, leurs valeurs

X ^ xf y '^ y

T' ir»

s — z z — z

on obtient enfin pour Téquation de la surface conique ,

iV". B, — Si Torigine des coordonnées est au centre de
la surface , auquel cas on a

j?' =: o , r' = o , a' = o ,
Téquation se réduit à

Prenons, par exemple, le c6ne oblique à base eireulaire, et
supposons que, la base étani aitaée dans le plan des s^, le oeatie

de la base soit à l'origiDe , auquel cas on a, pour les équations de
la directrice,

Combinons-les avec les équations de la génératrice,

X — a/=fl(a — ï'), x — y= b[z^ s').
L'hypothèse s := o , introduite dans celles-ci , donne

ar = «'— az\ 7=/'— bzf\
d*où, substituant dans la prenoicre équation^

c'est réquation de condition qui doit exister entre les quantités tfi»

h y en même temps que les équations de la génératrice*

X "^ X y "^^ y^
Substituant pour a, h^ leurs valeurs ; j - — ^, » on obtient

-=r» (« — «')%
ou réduisant I

(«'« — «'«)• 4. (7'2 — «'r)»=r*(» — a')»

pour réquation demandée.

Dans le cas du cônt droite c'est-à-dire lorsque 1c centre du c6ne
est situé sur Taxe des s, on a à la fois

a/zso, 7'=o;

et l'équation précédente se réduit à

On pourrait , en faisant usage des formules du n^ 411, obtenir
les différents genres d^ntersection de la surface conique par un
plan; mais nous ne nous arrêterons pas à cette discussion, qui a
déjà été traitée dans le dernier chapitre de la Géométrie analytique
à deux dimensions.

4i9. /{éc//7ro^uem^7if, toute équation à trois variables,
de la forme

\z — z z — z J
ou

(x^ y^ z' désignant les coordonnées d'un point fixe dans
Fespace), caractérise une surface conique*

Eji éfliit, coupona la surface par une suite de plans qui

5o8 DES DIFFÉRENTS (ÏBffRBS DE SURFACES^

aietit pour cqualioDS,

« — « z — z z — z'

comme l'équation (i) devient alors

y ~~ y È y "^y . »/ y ""^y • fv

S «' 2 — z' Z %'

les lignes d'intersection de la surface par les plans corres-
pondant à la première série d^équations se trouveront pa-
iement situées dans les plans exprimés par la seconde série;
d'où il suit que toutes ces intersections sont des lignes
droites.

D'ailleurs , un système quelconque de deux équations de
la première et de la seconde série,

z — rr = *> z — r7'='>

par exemple , représente une droite passant par le point qui
a pour coordonnées x^y'y z\

On peut donc regarder la surface comme composée d'une
infinité de lignes droites qui , toutes, passent par ce même
point.

Des surfaces conoïdes.

4â0. On appelle ainsi toute surface engetidrée par le
moui^ement d\ine droite qui^ sans cesser d^ être parallèle
à un plan donné, glisse à la fois le long d'une droite fixe
de position dans Vespace et appelée première directrice,
puis le long d'une courbe aussi donnée^ et appelée se-
conde DIRECTRICE.

Pour faire concevoir une semblable génération, suppo-
sons que l'on ait mené dans l'espace une infinité de plans
parallèles au plan donné; chacun d'eux coupe la droite fixe
en un point, et la courbe en un ou plusieurs points. En
joignant ces derniers points avec celui de la droite fixe , et
répétant cette même opération pour tous les plans parai-
lèles, on obtient une infinité de droites dont l'ensemble
constitue la surface conoïde,

La dénomination de ces sortes de surfaces vient de Pana-

svnkCEê coHOïoBs. 5o9

logie qn'elles ont avec les surfaces coniques. Le centre ou
le sommet du c6ne se trouve ici remplacé par la première
directrice.

Passons à la recherche de leur équation.

Pour plus de simplicité, nous prendrons pour axe des z
^première directrice^ pour plan des x/ celui auquel la
génératrice ou la droite mohile doit être constamment paral-
lèle. Les axes des x et des j^ sei*ont d'ailleurs deux droites
menées à volonté dans le plan dont nous venons de parler,
et par le point de rencontre de ce plan avec la droite prise
pour axe des z. On voit, d'après celte construction, que la
surface se trouve, en général, rapportée à des axes obliques.

Cela posé, soient

(i) iF(jr,jr,s) = o, .F'(jr,/,s) = o,

les équations de la courbe prise pour seconde directrice.

Celles de la droite mobile, considérée dans une position
quelconque, seront de la forme
(a) y:=zmxy zz=: n,

puisque sa distance au plan des xjr, comptée suivant Taxe
des ^, doit être constante^ et que sa projection sur le plan
des xjr passe nécessairement par V origine.

Or il est évident que, pour tous les points d^une cer-
taine position de la génératrice , les quantités m et n , ou

leurs valeurs -et z, restent les mêmes; mais elles varient

d'une position à une autre. Ces quantités étant constantes
ensemble et variables ensemble^ sont fonction Tune de
l'autre. Ainsi,

F(r..)=o, ou . = f(J)

est la forme générale de l'équation des surfaces conoïdes.

Pour déterminer la nature de cette fonction, dans chaque
cas particulier, il faut éliminer x, y^ z entre les équa-
tions (i) et (a) qui doivent exister simultanément pour
chaque point de la surface ; ce qui donne lieu à une certaine
relation entre m, n. Si Ton remplace ensuite dans cette

relation m et n par leurs valeurs et z, on obtient Féqua-

tien demandée.

5lO DBS DIFFÉIISST8 GCITES» DS SURFACES )

FiG. 200. 491. Gomme application, supposons que U seconde directrice
soit aussi une ligne droite, et afin d^arriver à une équation d'une
forme très-simple , prenons un système d*axes tout particulier.

Soient CC, DD' les deux directrices.

Imaginons par la première un plan parallèle à la seconde, et
prenons ce plan pour celui des /z.

L'un des plans auxquels la génératrice doit être parallèle, ren-
contrant les directrices en  et B, par exemple, rien n'empêche
de prendre pour axe des x la ligne AB, représentant une des posi-
tions de ta génératrice.

Ce même plan coupe celui dont nous avons parlé d'abord, sui-
vant une certaine droite qui sera l'axe des y S on conservera d*ail-
leurs, comme dans la formation de Téquation générale de ces
sortes de surfaces, la première directrice pour axe des z.

Cela posé, d'après la situation, des deux directrices par rapport
aux plans coordonnes , on a , pour les équations de la seconde Wt

(i) x = a, jr^bzy

et pour celles de la génératrice , comme au n^ 4S0 ,
(a) y=.mx, z = ii;

et il ne s'agit que d'éliminer x^y^z entre ces quatre équations.
On arrive ainsi à l'équation de condition

ma =z bn;

Y

d'où, en remplaçant /n et /i par -etz,

bxz «- a/ = o.

Telle est Véqnation de la surface engendrée.

Soit fait, dans. cette équation, j^ = o; il en résulte

bxz =: G ,

d'où

X = o ou z =2 Op

Le premier système [^ = o, « = o] représente Taxe des i, et
le second [/ = o, z = o] celui des x; ce qui doit être, puisque
chacun de ces axes appartient à la surface, d'après sa généradoo.

Nous aurons occasion de revenir sur cette sorte de surfaces,
qu'on trouve dans la Géométrie de Legendre sous la dénoraÎDa-
tion de QUADaiLATiax oavcbb , et qu^on désigne également sous le
nom de pLàZf oauchs.

SV71LFACBS DB BÉTOLUTIOM . 5ll

Des surfaces de révolution.

4S2. On nomme ainsi toute surface engendrée par la
réi^lutton d^une ligne [droite on courbe)^ dite la gémé-
iiTiicE , autour d^une droite fixe qu'on appelle VkiaL db
RÉTOi.uTiOH^ de manière que chacun des points de la gé^
nérairice décrii^e une circonférence de cercle dont le plan
est perpendictdaire à l'axe j et le centre est situé sur cet
axe.

Pour obtenirréquation de lasnrface , remarquons d'abord
que l'une quelconque des circonférences dont elle se com-
pose d'après la définition , peut toujours être exprimée ana-
lytiquement (n^ 41 4) par le système de deux équations dont
Tune est celle d'un plan perpendiculaire à Taxe» l'autre est
Téquation d'une surface sphérique ayant son centre placé
sur l'axe.

Soient donc

« — «=a(»— 7), j^ — 6=*{» — y)

les équations de l'axe (a, 6, 7 désignant les coordonnées
d'un point pris à volonté sur l'axe) ^ celles du plan et de la
sphère seront (n^ 389)

(i) ax 'h bjr -^ % =z k

et (n'^ 412)

Les quantités h et 1^, qui entrent dans ces équations^ sont
des quantités constantes ensemble pour tous les points
d'une même circonférence, et variables ensemble lorsque
le point de la surface de révolution passe d*une circonfé-
rence à une autre ^ ainsi elles sont fonction Tune de l'autre ,
et Ton a

(3) (*— «)*H-(r-€)*-H(»-7)*=F(-»*-+-*r-4-«),

pour l'équation générale des surfaces de résolution.

La nature de la fonction désignée par le caractère F dé-
pend essentiellement de la nature de la génératrice, et se
détermine facilement dès que l'on connaît les équations de
cette gÀiératrice.

5l3 DES DIFFÉRBlfTS GENEES DE SV&FACFS;

Soient en eflel

(4) /(^,r»») = o, /'(x,\r, «)=o

ces équations. Comme la circonférence représentée par le
système des équations (i) et (a) est engendrée par l'un des
points de la génératrice, il faut exprimer que celle-ci, dans
sa première position, et la circonférence, ont un point com-
mun*, ce qui se fait par l'élimination. de x^ y^ z entre
leurs équations qui sont au nombre de quatre.

On est ainsi conduit à une relation entre r^ et A, dans
laquelle il suffit de remplacer ces quantités par leurs va-
leurs

(jr— a)»-t- (r— 6)*H-(« — V)' «t /lor -h Aj -f- «.

423. On suppose souvent, pour plus de simplicité, que
Vàxe de résolution se confond avec Tun des axes coordon-
nés, celui des z par exemple.

Dans ce cas , Tune quelconque des circonférences placées
sur la surface se trouvant dans un plan parallèle au plan
des xy^ et ayant son centre sur Taxe des z , peut être re-
présentée par les équations

dont la première exprime un plan horizontal, et la se-
conde, la surface d'un cylindre droit dont Taxe se confond
avec Taxe des r.

On a donc, quelle que soit la génératrice de la sur-
face,

(5) jt»+j^»=F(«), ou « = F(x--hr'),

pour Téquation de cette surface.

On trouverait de même

«*+«'= F (r)> ou ^ = F(x'-h«')»
^+a»=:F(x), ou x=:F(r»-f.»»),

pour les équations des surfaces de révolution qui auraient
pour axe celui desj^* ou celui des x

424. Soit proposé, pour première application, de trouver la
surface engendrée par la révolution d'une droite quelconque autour
de Vaxe des s.

Si , en vue de simplifier les calculs , on prend pour axe des x Ja

SVKFÀGE8 DE titVOhVTWS, 5l3

droite sur laquelle est située \sLplus courte distance entre la géné-
ratrice et Taxe des z , auquel cas la génératrice est nécessairement
parallèle au plan desjs, les équations de cette génératrice sont alors

Celles de la circonférence étant d'ailleurs , comme on Ta vu au
numéro précédent ^

Félimination de jr, /, s donne lieu à la relation

d*oùy en remplaçant r' et k par leurs valeurs o^^+jr' e| s,
ou bien

Telle est l'équation de la surface engendrée.

4M. En second lieu^ soit prise une ellipse pour génératrice ,
et supposons que son centre soit à l'origine , et le grand axe sur
Taxe des z.\

Les équations de la génératrice sont alors

X = o, A» 7» -h B»»» = A» B«;

et en les combinant avec celles de la circonférence

« = *, ««-f-^^sr»,
on arrive à Véquation de condition

A«r»4-B»)fr»= A»B»;

d*où, remplaçant r' et A- par leurs valeurs ,

A« («» 4- j^») -h B« »» = A» B».

L»a surface ainsi obtenue est celle de rBULiPSOtoa db aivo-
Lunozr.

Prenons maintenant pour génératrices les hyperboles ayant pour

équations

j: = o, A» jr» — B»«» = — A»B»,

a? = o, A^ 7* — B» j« = A'B».

(L*axe transperse est, dans le premier cas, sur Taxe des s, et dans
le second , sur l'axe des x» ^^ centre étant d'ailleurs à l'origine. )
On obtient, pour les équations des deux surfaces,

A» (ar« -f- ^») — B> »» = — A' B*,

A» (** 4-r*) — B>«» = A*B'.

Ap. de VAf, k la G, 33

Sl4 DISCUSSION tfSS StTftFÀCtS Ht BfeijOlTD DEGRÉ;

La première équation est celle de VvtnMBOtAÂVÈà déaanqtpet;
là seconde^ celle de l'HTPEBBOLOïiït à Une seule nappe.

n est remarquable que la derrière équation est identique^ snf
les notations relatives aux: constantes , avec celle de la sor&ce
obtenue par la résolution d'une, ligne droite.

496. Considérons enfin une parabole ayant poilr éqoaliani

x=o, jr^=z:tpz.

Leur combinaison avec les équations

donne Mett à l6 relation

npk = r%
par suite, à Téquation

c'est celle de la surface d*un pa&aboloîdk de ufvoLunoH autour de
Taxe des z.

Cette surface jouit d'une ph>priété fof t èuriense.

Si on la coupe par un plan quelconque

z = Aor + Bj-I- C,
on obtient, pour Téquadon de la projection sur le plan desxf,

j?» -h ^* = 2;? ( A* 4- B/ -f- C),

équation que Ton à vu, (n* 88) être celle fftoïcerùUs,

Ainsi , quelle que soit la courbe à* intersection d'un paraboloidc
de réwlution par un pian ^ la projection de cette courbe sur ttn autre
plan perpendiculaire à l'axe est constamment une circonférence de
cercle y excepté toutefois le cas où le plan sécant est parallèle à
Taxe; car on obtient alors pour intersection une ligne droite.

Nous reviendrons sur les diverses surfaces de révolation dont
nous veilolis de former les équations*

§ III« — > DlSCUSSIOH DBS SU&FICES DU RECOUD DBGKÉ.

427. Les bornes que nous sommes obligé de mettre â cet
ouvrage ne nous permettant pas de donner ici une tbéorie
complète des surfaces du second degré , nous nous attache-
rons surtout k faire ressortir les citronstâdees felatiTes à
leur classification , ainsi que les propriétés qui résultent
immédiatement des équations les plus simples auxquelles il
est toujours possible de ramener une équation quelconque
4u second degré à trois variables. Nous suivrons d'ailleurs «

StmVÂCES GTtllîOllIQtTES BfT SECOND tmffÊJt. 5l6

pour la discussion de cette équation, «ne marche ««alogue
à celle que nous avons employée^ dans le cleuxième cha-
pitre, pour Téquation à deux variables.

L'équation la plus générale des surfaces du second degré,
étant

(1)

( As» -h A>« + A'V -f- B/s -h B'jz + B"xr 1 _^
\ -|-C«-f-C>H-C"xH-D J^

on peut d'abopil {td? 154) , paor «ne premiène ta^ndmna-
tion de coordonnées , faire évanouir les trois reclaDgles yz ,
xZj xjTy c'est-à-dire ramener l'équation à la forme

(2) Ms'-h My-h MV-h N z -h N> + N^'jp -+- D = o.

(Fcymx, pour cet okjiA, ledeuûèrat violMne4e k Cartes-
pondance de ï École Polytechnique^ Z^ numéro, ouvrage
dans lequel j^ai consigné la dciiionstration complète de
cette proposition, ainsi qu'une Note assez étendue sur les
* surfaces de révolution du second degré.)

D résulte de cette proposition , que les surfaces repré-
sentées par Téquation (a) sont identiques avec celles que
comprend Féquation (i).

Voyons actuellement si, au moyen d'une translation
d'origine, nous ne pourrions pas (n** 156 ) faire disparaître
les termes linéaires en J?,y, z.

Or 9 en substituant les formules

dans cette équation , et en égalant à o 1rs coefficients de or,
y y z, on obtient les équations de condition

aM^'a + N'^sso, aM'J -f-M'==: o, 2Mc-»-Ni=:o;
d'où Ton déduit

Tant que la disparition des trois rectangles ne donne lieu
à la disparition d'aucun des trois carrés, les quantités M ,
M^ M'^ sont ditféren tes de o, «et la ncntvdie transforma-
tion est possible : en d'aiatrès termes, l'équation peut être
i^amenée à k forme

(3) Mjs' +. My -f- M'V4- P î= o

33.

5l6 StJRFÀCES CYLINDRIQUES DU SECOND DEGRÉ.

(P ayant pour valeur

Mtf» -f- M'^' + M'V -h Ne + ^'b -f- H^a + D).

428. Si ron suppose que Tua des carrés s'évanouisse en
même temps que les rectangles^ que l'on ait , par exemple,

. M^ = o,
la transformation précédente ne peut être exécutée, pois-
qu' alors a devient infini.

Dans ce cas , Féquation étant de la forme

M z* -h M>' + Nz 4- N'/ -i- N''j: + D = o ,

on peut tacher de faire disparaître les termes en z et en/,
ainsi que la quantité qui en est indépendante.

On obtient, en effet, par la substitution des formules

et en égalant à o le coefficient de z , celui de j*, et la quan-
tité indépendante de or , ^, ^ ,

aMc4-N = o, 2M'A+N' = o,

Mc> -h M'6» -f- Ne + N'A H- N"<i + D = o;

ce qui donne

^_ N^ ^_ N^

(Mt» -h Wb^ H- Ne -h N'A -I- D)

N''

valeurs réelles et finies tant que N'^ n'est pas nul^ et l'é-
quation se réduit à celle-ci :

(4) M«' -f- My -f- N'^j: =: o.

429. Lorsque l'on a en même temps

M''=o, N"=o,

la dernière transformation est impossible, puisque a est

encore infini^ mais dans ce cas particulier Féquation (a)

devenant

Mz'-h M'/' 4- Nz + N> -f- D = o ,

ne renferme plus que deux variables , et représente évidem-
ment (n° 402) UNE. SURFACE CYLINDRIQUE dont Ics généra-
trices sont perpendiculaires au plan desj^z, et qui a pour
base, soit une ellipse ^ soit une Ivyperbole, suivant que.

8UBFÀCB8 CTLIHDEIQUES DI7 5ECOHD DEGRÉ. Siy

dans Fëquation ci* dessus, les coefficients M, M', sont de
même signe ou de signe contraire,

430. Supposons encore que deux des carrés, y* et x',
aient disparu en même temps que les trois rectangles, c'est-
à-dire que, par la première transformation des coordon-
nées, l'équation ait été réduite à la forme

M«'-H N« -h N> -f-N"x -f. D = o;

on pourrait , dans ce cas , chercher à opérer Tévanouisse-
ment de quelques termes ; mais cela est inutile pour la dé-
termination de la surface représentée par cette équation.
£n effet , posons successivement

2 = X- , z = X-' , « rr Xr'% . . . ,

ce qui revient à couper la surface par une suite de ^lans
parallèles au plan des xy] l'équation devient, pour ces dif-
férentes hypothèses ,

d^où il suit que les intersections de la surface par des plans
horizontaux sont des droites parallèles entre elles. Ainsi
(n^ 417) la surface est encore de la nature des surfaces
cylindriques; et, si l'on veut connaître une directrice de
cette surface, il suffit de poser j^ = o, par exemple, dans
son équation.

n vient , par cette hypothèse,

Mz^ -hN» + N"x 4- D = o,

équation -qui exprime une parabole située dans le plan
des xz.

Donc , enfin , la surface n'est autre chose qu'une surface
CTLiNnaïQUE à base parabolique.

431. En réfléchissant sur la discussion précédente, on
doit conclure que toutes les surfaces du second degré se
trouvent implicitement renfermées dans les deux classes
d'équations

M»'-hMy4-M'V4-P = o, M»»-4-M>»-^N"a? = o,

à l'exception de celles qui correspondent aux équations

M«»-H Nas 4- N'r -h N^o? -h D = o ,

Sift SURF» 9V a* BB«Ai A GBM9RB OO DAv«tB4^ BB CKHTKE,

et que noos âTon» reeosiDu appartenir à dea M7HrA.cBS
CYLINDRIQUES à basc ellifUiç^ie, hyperboHque, ou para^

bo/îque.

432. iV* B. — U est bîea entends que nous comprencms
da»9 ee» trois variélé» génëtale» celles qui (n^ 161 et 309)
correspondent aux viariélés de l'ellipse, de Thyperhole et de
la parabole.

Ainsi lorsque Fellipse se réduit à un cercle ou i un
point f la surface cylindrique devient un cylindre à b(uc
circulaire j ou une seule droite.

Si l'hyperbole dégénère en un système de deux droitt^s
qui se coupent , la surface cylindrique se réduit à un sys-
tème de deux plans qui se coupent.

Enfin , quand la parabole se réduit à deux droites paral-
lèles ou à une seule droite , la surface cylindrique devient
un système de deux plans parallèles ou un plan unique.

433. Avant de passer k la discussion de cbacune des
équations

(i) M»M-My-f M'V + P = o,

(a) Mz» -h M'/? H- N"ar = o,

nous ferons quelques observations générales sur la natai^e
dos surfaces quelles représentent, et sur les systèmes
d'axes ou de plans coordonnés auxquels les surfaces sont
actuellement rapportées.

Premièrement, Téquation (i) , ne renfermant plus les
termes du premier degré en x ^y^ z , reste la même lorsqu'on
y change -+- x , -Hj^, -f- ^ en — a: , — y , — z ; ce qui prouve
que toute droite menée par la nouvelle origine et terminée
de part et d'autre par la surface, est divisée en deux parties
. égales en ce point. Donc (n° 130) toutes les surfaces com-
prises dans Téqualion (i) ont un centre, qui n*est autre
chose que Torigine actuelle des coordonnées.

Remarquons d'ailleurs que Téquation pourrait renfer-
mer les rectangles des variables ainsi que les carrés, sans
que la surface cessât d'avoir wn centre, et d'être rapportée
à ce centre comme origine ^ puisque la condition caracté-
ristique du centre serait encore remplie. On pourrait

même mppomt 1^ «urftoe r Apporte A des ax«« p)4î^pieiV
menés par cette origine.

Ainsi, dans le cas d'axes quelconques , une équation
telle que

Aa» -f- A>' + A'^j:* + B/a ■+• B'xz -f- B*«y + D = o,

dont plusieurs coefficients peuvent être nuls, représente
une surfiaee qui a un centre ^ é% ce centre est rorigine.

Sbcovi|bmevt, on appelle vlajt puH^TaiL d'une surCuce,
un plan qui divise en deux parties égales toi^ te^ les corde^
de la surface parallèles entre elle^ et menées sous une di-
reclion. quelcpnque.

Of, d*après la forme de Téquation (i) qui, étant résolue
successivemeo^ pa^ rapport à chjaf^pne des variables , donne
deu¥ valeurs égales et de signes contraires pour cette va-
riall)^, il e#t évident que chacun des trois plans coordonnés
divise en deux parties égales toutes les cordes menées parallè-
lement à rintersectipn commune des deux autres. Donc ces
trois plans $onid^s plans diamétraux^ de plus, on peut les
regarder comme formant un système de plans dïaméthabx
CONJUGUÉS PEKPENpicuLÀiRES ENTRE EUX , Conformément à là
définition donnée (n^ 178) d'un système de deux diamètres
conjugués»

Troisièmemeitt. — Considérons l'équation (a) : .
Puisque le troisième terme change de signe lorsqu on
remplace -{- JC, 4-y, -h^^ par — x, -rry, — ^, il s'ensuit
que Torigine actuelle des coordonnées n*est pas un eentrc.
On a vu d'ailleurs j[ïi° 428) que , dès qu'un des carrés
manque en même temps quelles rectangles, il est impos-
sible de fairp disparaître à la fois les trois termes du pre-
mier degré; donc les surfaces représentées par Téqua-
lion (a) sont des surfaces dépourvues de centre.

Observons encore que, des trois plans coordonnés, deu^
seulement , les plans des xy et des xz , peùveji t être regardés
comme des plans diamétraux , puisque le premier divise en
deux parties égales toutes les cordes parallèles à Taxe des z,
et le second toutes les cordes parallèles à l'axe des j'.

Concluons de ce (pii vient d'être dit , que les surfaces du
second degré se partagent en deux classes distinctes , savoir :

5 10 DBS 8ITHFÀGB8 DU a* DSftltÉ DOVÉBS dVv CEims;

les surfaces qui ont vtx cbstu , et les surfaces dipourvues
de centre.

Surfaces douées dun centre.
434. Discutons l'ëqualion
(i) Mz' -f. M>» ■+. M'V -f- P = o,

Afin de déterminer les difTérents genres de surfaces re-
présentées par cette équation, nous ferons successive-
ment {n'^Mi)

X = const. y y = const. , z = const. ;

ce qui reviendra à couper la surface par des plans respec-
tivement ^ara//è/e5 à chacun des trois plans coordonnés;
mais on sait (n^ 461) que la nature de ces intersections dé-
pend surtout des signes dont les coefficients M, M^ M' sont
affectés; ainsi nous sommes conduits à faire les hypothèses
suivantes :

i*». . M y M'y M'', positifs à la fois ; Ellipsoïdes.

Dans cette hypothèse générale , le dernier terme P peut
être lui-même négatifs nul, ou positif.

Soit d'ahord P négatif, et mettons le signe en évidence;
l'équation devient

(a) Mz' -h My -h M'V = P.

Cela posé, faisons successivement dans cette équation,

il en résulte

Mz^ -4- M>» = P — MV,

M2' -H M'V = P — M'6' ,
My 4- M'^x* = P — M7»;

d^où Ton voit que les intersections de la surface par des
plans parallèles aux trois plans coordonnés sont des el-
lipses qui deviennent imaginaires lorsqu'on suppose

•^ P ^.^ P ,^ P

«»>g7o e«>^, 7'>S'

c'est-à-dire a, S, yr positifs ou négatifs, mais numérique-
ment plus grands que

yjw" \/l'

ELLIPSOÏDES. 5a I

Ces jnèmes ellipses se rédaisent k un point, pour les hypo-
thèses

"==^V^' ^==*=vs" ^=*Vm'

puisque alors les équations dès intersections se réduisent à
M»»-H My = o, M«» -4- M'V= o, M'^» -f- M'^j:» = o.

La surface que nous considérons est donc limitée dàjts

TOUS LES SBUS.

De plus, elle est inscrite au parallélipipède qui a pour
faces les plans

'^-s/i^' •^=*\/î' •==*=v/s;

La nature des intersections de cette surface avec les plans
parallèles aux trois plans coordonnés lui a fait donner le

nom d' ELLIPSOÏDE.

Pour déterminer les trois sections principales , en d'au- Fio. 201
très termes 9 les traces de la surface sur les plans coor-
donnés , il suffit de poser successivement.

j? = o, j^ = o, « = o;
ce qui donne

M»» -h My = P, M«» -h fà^x* = P, M'r' -H "t/L^x" = P.

Quant aux points d'intersection avec les axes , on obtient
pour

* = o, s = o, M'/'c=P; d'où 7 = ±i/— ;

/p
4: = o, ^=0, M«' =P; d*où z=±i/~'

Les lignes

^-Vs^' 8»'=»Vw' «^=^v^ "

sont ce qu'on appelle les axes principaux de la surface^ et
leur introduction dans l'équation lui donne une forme
symétrique et analogue à celle de ^l'équation de l'ellipse
rapportée à son centre et à ses axes.

5a4 !>£& SUEFACE8 Dt7 a* DEGRÉ DOUÉES D UB CSHT&E^

des ocy^ esc une Iryperbole dont Taxe transverse est dirigé
suivant une parallèle à Taxe des x,
FiG. 202. Quant à Téquation (3), elle représente évidemment une
ellipse réelle f tant que Ton donne à a une valeur positive

ou négatii^e, numériquement plus grande 9'*^\/j77î ce
' qui veut dire que , si aux deux distances

on imagine deux plans parallèles au plan des jrz , la sur-
face n'a aucun point compris entre ces plans; mais elle
s'étend indéfiniment à droite et à gauche de ces deux plans,
dans le sens des x positifs et dans le sens des x n^atifs;
d'où l'on peut conclure que celte surface se compose de
deux parties distinctes, égales et opposées.

On l'appelle pour cette raison, et k cause de la nature de
ses intersections par des plans parallèles à deux des plans
coordonnés , hyperboloïde à deux nappes.

Les trois sections principales s'obtiennent en faisant suc-
cessivement dans l'équation- (2),

x=o, r==o> zz^o-y
ce qui donne

Mz' H- MV = — P»
Ms» — M'';r»=: — P,

MV— M" *»= — ?.

La première section est imaginaire; mais les deux autres
sont des hyperboles MAM' et mA'm', NAN' et nK'n\ rap-
portées à Taxe des x comme axe transverse.

Soit posé

=Vs^" "^="\/î' =*^=='Vs'

il en résulte

**"=T.' •'-fi' « = 1'

d'où, substituant dans l'équation (a) et réduisant,

A» B» «» H- h} C» j' — B' C» x'= — A' B» C\
Des trois lignes 2 A, 2B, 2C, appelées les axes principaux
delà surface, la première seulement a ses deux extrémités

2

HTPBRBOLOÏDES ▲ UlfE NAPPE. 5^5

A, A' placées sur la surface. Quant aux deux autres ^ on
convient de les représenter sur la figure par deux distances
BB', CC'9 comptées sur les axes desj^ et des z\ mais les
points B, B', C, C, n'appartiennent pas à la surface, comme
dans Fellipsoïde. En un mot, l'hyperboloïde à deux nappes
a un seul axe transvene et deux autres non transverses.

437. Soient actuellement M et M' positifs, M'^ et P né-
gatifs.

L'équation (i) devient

et Von en déduit successivement pour

x = a.. .M»*' 4- M'/» = M"«» + P,
j^ = 6. . .Ma' . — M''x'=^ -- M'6> -H P,
z = 7. . .MV — Wx^^-^ M7»+ P.

La première équation représente une ellipse toujours
réelle, quel que soit a ; et les deux autres , des hyperboles
rapportées à Taxe des x, comme axe transverse ou non
transverse^ suivant que Ton a

On voit donc que, dans le cas actuel, il n'existe aucune
discontinuité dans la surface qui , pour cette raison , porte
lé nom d'HTP^RBOLoïDE à une nappe.

Les hypothèses successives Fio. 2o3.

x= o, X = ^9 « — o,
donnent

Ma» H- M'jr>=: P, Mz»— M'^.r'zzr P, M'/>— M"x»=^P.

lu ellipse représentée par la première équation est la plus
petite de toutes celles qu'on obtient en coupant la surface
par des plans parallèles au plan des jz.

Les deux autres équations expriment des hyperboles
situées, l'une dans le plan des xz, l'autre dans le plan des
a^y, et ayant pour axe non trans verse Taxe des x.

Cela suffit pour donner une idée assez exacte de la sur-
face dont deux axes principaux sont transverses j et le troi-
sième' est non transverse.

.> »

528 DBS S0ftFikCE8 DU 3^ DEGtà DÉHDÉES DE CEKX&K;

pourJes deux sections principales , suivant les plans desxz
et des xy.

D'après ces données , il est facile de se former une idée
nette du nouveau genre de surfaces auquel on a donné le
nom de paràboloÏde elliptique.

Soit actuellement N'^ positif, auquel cas Féquation re-
vient à

cornm^, en changeant x en — x, on la ramène à la forme

il s'ensuit que la surface est la même que dans le cas où N^
est négatif : seulement elle s'étend dans le sens des x néga-
tifs, comme elle s'étendait d'abord danscelui des x positîÊ.

441 . Le paraboloide elliptique devient une surface de
réifolution autour de Taxe des a:, dans le cas particulier de
M = M'; car alors on a pour son équation

ce qui démontre que toute section faite perpendiculaire-
ment à Taxe des x est une circonférence de cercle dont le
centre est sur cet axe [vojez le n** 423).

a». M positif et W négatif

442. n nous suffira de considérer dans cette nouvelle hy-
pottèse , comme dans là précédente , le cas ou N'' est néga-
tif^ puisque, si N" était positif, on remplacerait x par — x,
ce qui changerait simplement la situation de la surface,
mais noil sa nature.

En mettant les signes en évidence , on a Téquation

'Soit fait successivement
il vient

Les deux dernières équations représentent encore des pa-
raboles dont l'axe principal est parallèle à Taxe des x; mais
«celles qui correspondent à ;^ = 6 sont dirigées dans le sens

PARÀBOLOÏDES ELLIPTIQUE ET BTPEABOLIQVE. 5^9

des X positifs, et ont pour paramètre constant —9 tandis

que les paraboles correspondant à 2 = /, sont au contraire
dirigées dans le sens des x négatifs, et ont pour paramètre

constant — •=-:-.-

M

Quant à la première équation, c*est celle d'une suite d'Ay-
perboles ayant pour axe transverse, une parallèle i Taxe des
z Unt cpie a est positif, et. une parallèle à Taxe des/ pour
toute valeur négative de a. De là vient la dénomination de
PABABOLOÏDE HYPERBOLIQUE dounéc à cc genre de surfaces.

Les deux sections principales par les plans des xx et des
xjr sont F»^- ^^5.

c'est-à-dire deux ^araio/ej COC, B' OB.

La section par le plan des yz ayant pour équations

x = o, M«' — M>* = o, ou « = =tr\/jj»

se réduit à un système de deux droites qui se coupent à

l'origine.

Il est remarquable que les hypefioles représentées par

l'équation

ont pour asymptotes les deux droites dont Téquation est

Ms«— M'/* = o;
d'où il suit que les plans menés par ces droites et par l'axe
des X, déterminent au-dessus et au-dessous du plan des xy
deux angles dièdres, qui comprennent la surface tout en-
tière-, et l'on peut considérer ces deux plans comme des
plans asymptotes par rapport à la surface.

Comme les coefficients de z* et de y* sont de signes con-
iraires , l'hypothèse M = M ' ne peut donner lieu à une
surface de révolution . D'ailleurs , nous verrons bientôt que,
quelle que soit la position du plan par lequel on coupe
cette surface, il est impossible d'obtenir pour section une
courbe limitée, et parconséquent une circonférence de cercle.

443. Généiiation des deux paraboloïdes. — Le para-
boloïJe hyperbolique étant une surface assez difficile à se

Ap. de rAl h la G. ^^

53o Gs^KÉRATlOH DIS DEUX PÀKÀBOLOÏDSa.

représenter, nous allons, faire connaître un moyen de gé-
nération, commun aux deux paraboloïdes , qui sera très-
propre à donner une idée exacte de l'un cl de l'autre. Ce
moyen , qui offre beaucoup d^analogie arec celui que nous
avons employé (n^ 38:2) pour le plan, consiste k faire glis-
ser une parabole ayant pour équations

j = o, Miî'-i-Wa:=o,

parallèlement à elle-même, sm^ant une autre parabole

de manière que le sommet de la première , appelée généra*
trice, se trouve constamment placé sur la seconde^ qu'on
peut appeler la directrice.

D'après ce nxode de génération , il est évident que les
équations de la génératrice, considérée dans l'une quel-
conque de ses positions , seront de la forme

j=6, M*' -f- N''x -H a = o.

Le paramètre de cette parabole mobile , ou — — ? reste

constant j mais comme le sommet qui, d'abord, est situé
à l'origine, occupe ensuite une position quelconque sur la
directrice, il s'ensuit que la seconde équation doit reofer*
mer un terme a indépendant de x et de y.

Cela posé, remarquons que, pour tout point de la sur-
face placé sur la même génératrice , la distance au plan
des xz et la position du sommet de cette génératrice res^*
tent les mêmes ; mais lorsque le point passe d*une généra-
trice à une autre, les deux éléments dont nous venons de
parler, changent nécessairement^ donc les quantités 6 et «^
qui correspondent à ces éléments , sont des quantités con-
stantes ensemble et "variables ensemble \ ainsi elles doivent
dépendre d'une certaine manière l'une de l'autre. Or, on
obtiendra cette relation en exprimant, par l'analyse, que
la génératrice et la directrice se rencontrent \ ce qui revient
à dire que les équations

(i) r = 6> M«'-hN"«-+-a = o,

(2) .2 = 0, M>«+JH"x = p,

ont lieu en même temps.

DIVtSiOlff OE8 StJKF. DtJ tï* BBGUi EH CIHQ aBHRBt. 53l

D*abord, la valeur z=zOj portée dans la âeconde de»
équations (i) , donne

a

Substituant ensuite les yaleurs jr = g, j? s= — -^9 dans la

seconde des équations (2) , on trouve
(3) M'e» — a = 0.

Telle est la relation qui lie entre elles les quantités a , 8,
et qui doit exister en même temps que les équations (1) pour
toutes les positions de la génératrice, c'cst-à-dirc pour tous
les points de la surface.

Il ne s'agit plus que d'éliminer a , 6 entre ces trois équa-
tions, et pour cela il suffît de remplacer oe, 6 par leurs va-
leurs tirées des 'équations (i) ; ce qui donne
M'^»_(_M4* — N"x) = 0, ou Ms>4-MV + î'''*=»«î
c^est Téquation commune aux deux parsboloïdes.

Lorsqu'on a M, M' positifs, etN" négatif, lesparamè- Fio. 204.
très de la parabole génératrice et de la parabole directrice

sont -TT» îT?î quantités de même signe: donc les axessotit

MM
dirigés dans le même sens.

Mais si Ton a M positif M' négatif et N" négatif, les Fio. 2o5.

paramètres sont — ? - ou de signes contraires ^ donc les

axes de ces paraboles sont dirigés en sens contraire l'uti par
rapport à l'autre.

444. CoNCLirsiON géh éràlb. — Il résulte de la discussion
précédente que les surfaces du second degré se divisent en
cinq genres : Tellipsoïde, ayant pour variétés, V ellipsoïde
de réi>olution^ là sphère j un point ou une surface ima-
ginaire^

L'htfekboloïde à deux nappes el ThyperboloÏde à une
nappe, ayant tous deux pour variétés, Yhyperboloïdc de
rév'olution et la surface conique de réi^oliUion ;

Le PÀRABOLOÏDE ELLIPTIQUE, ayaut pour variété, le pa-
raboloïde de résolution ^

Enfin, le pàràbohoÏde hyperboliqiie, qui n'offre aucune
variété, à moins qu'on ne suppose ]N''= o, auquel cas l'é-^

34.

53a SECTIONS PLÀlfES DfiS SURFACES DX7 SECOAD DEGRÉ*,

quation se réduit à

M*> — M'r' = o, d'où z = ±:y i/^

représentant un système de deux plans qui se coupent.

Toutefois, les surfaces cylindriques à base elliptique,
hyperbolique ou parabolique (n'^' 429 et 430) sont les sur-
faces qui se rattachent aux paraboloïdes , puisqu'on les a
obtenues en supposant que Vun des carrés, ou deux des
carrés, aient disparu en même temps que les lectangles,
dans l'équation générale.

Sections planes des surfaces du second degré.

445. Cherchons actuellement de quelle nature peuvent
être les intersections des surfaces du second degré par un
plan quelconque. H suffit, pour cela, de substituer dans
chacune des deux équations

(i) M«»-H MV» 4- Wx^-h P = o,

(a) M«^ + M'/»-h ]N"jt?= o,

à la place de o:,/, r, leurs valeurs tirées des formules du
n® 411, savoir :

j;=x'cosf -h j'cosôsin^-hfl,

jr =z x' sintf — /' cosô cosç + b ,

zzzs jr' sinB -h c,

ce qui donne une équation du deuxième degré en x\ y^

(3) Ay^-h Bx'j'-h Cx'»+ D/'4- Ex' -4- F = o,

qu il s^agit ensuite de discuter pour chaque genre de surface.

446. Sections circulaires. — Nous nous bornerons à
faire usage de ces formules pour démontrer une propriété
très-remarquable, consistant en ce que tout^ surface du se-
cond degré (le paraboloïde hyperbolique excepté) donne
lieu à deux systèmes de segtioits circulaires : propriété
dont celles qui ont été établies aux n°" 358 et 363 pour le
cône et le cylindre obliques, à base circulaire , ne sont que
des cas particuliers.

On sait déjà (n° 85) queTéquation (3) ne peut représen-
ter un cercle, les axes étant rectangulaires , qu'autant que

SECTIONS G1RGULA.IRE8. , 533

l'on a entre les trois coeflBcients A, B, C, les deux relations

B = o, A = C,
qui, exprimées en fonction des quantités M , M', Wj <p et 9 ,

deviennent

(4) (M'^ — M'). 2 cose. sin^. cos^p = o,

(M sia'O 4- M^ cos'0. cos> j ^ ^„

<^) I -|-M".co8'ô.sin'<p) ^ ^

(Il est inutile de tenir compte des coefficients D, E, F.)

Analysons ces équations de condition , en considérant
d'abord les surfaces douées d'un centre^ ce qui suppose
qu'aucun des coefficients M, M', M'' n'est nul.

Comme, en général, M" est différent de M', il en résulte
que la relation (4)^ pour être satisfaite, exige que l'on ait
ou cosO = o, ou sinf == o, ou bien cosf = o. Tels sont
les cas que nous allons examiner successivement,
i», cosG = Oy d*où sinO = i;

Téquation (5) devient

M = M' sin'f -h M'' cos'ip ;

1 • » t tong'(p I
ou remplaçant sin'ç, cos'q, par — -- — i^-> » et

réduisant,

v^

2®. slOf = Oy d'où COSf = i;

on trouve pour l'équation (5),

Msin>e -hM'cos'e = M",
ce qui donne

3^. Enfin, 0037 = o, d'où sin9 = i;

réquation (5) se réduit à

Msin»ô4-M''cos'Ô = M',
par suite ,

v/-

Discutons ces valeurs de tang(p et de tangd, qui peuvent
être réelles ou imaginaires ^ suivant les hypothèses faites
sur les coefficients M, M', M''.

S34 I>E8 8BCTi0»8 CIECULÀIILES

Qr, si l'on multiplie entre elles les quantités sous le

radical ,

M^ — M ^r— M^ M^ — M^

M — M'' M — M*'* M — M''

il vient pour produit,

résultat essentiellement posMfi ce qui démontre d'abord
que Y une de ces trois quantités, au moins, est positive; mais
je dis que si la première, par exemple, est positive^ les deux
antres sont négatives.

En effet, pour que ^^ ^ soit positifs il faut que

M" — M et M — M' soient de même signe^ c'est-à<-dire que
Von ait en même temps

M*' — M> ou <o,
M — M' > ou < o;

d'où, ajoutant ces deux inégalités, membre i membre,

M" — M'> ou <o.

On voit donc que M''-^ M' et M — M'' sont de signes con-
traires; ainsi — —, est négatif.

Pareillemeot, M' — M* et M — M' sont de signes con-
traires; ainsi — ^ est négatif.

On démontrerait de la même manière que, si la seconde
ou la troisième était positive ^ les deux autres seraient né-
gatives.

Concluons de là que, sur les trois systèmes

coa$ = o, tangy =:± W j^ _ ^, ,
sin (p = o, tango = ± y/ ^-^„ »

cos<p = o, tange = ±: 1/ -^ZZÛ*'

il y en a toujours un d'essentiellement réel y mais que Its
deux autres sont imaginaires.

D'ailleurs, comme, à cause du radical, chacune de^

DAirs LES SVUPACBft. T>V fECeVI)- BEftAé. 835

trois hypothèses donne deux valeurs pour la tangeule de
Fangle réel, il s'ensuit qu'o/i peut toujours^ par chaque
point d^iine surface du second de gré^^ douée d^un cektre,
faire passer deux plans sécants qui donnent lieu à une
circonférence de cercle.

Si Ton se rappelle racceptioa donnée aux quantités f
et 0 (n? 411) , on reconnaît sans peine que ces trois hypo-
thèses correspondent à des plans respectivement perpendi-
culaires aux plans des trois sections principales. '

Ainsi cos0=:o indique que le plan sécant est perpen-
diculaire au plan des xy ; cos 9 = 0, qu'il est perpendicu-
laire au plan des xz ; et sin f = o , qu'il est perpendicu-
laire au plan desyz»

Dans le cas particulier d'une surface de rév^olution , c'est-
à-dire lorsque l'on a M = M' par exemple (n*^* 435, 438)
les trois systèmes se réduisent k

cos 9 = 0 9 rang 7 = 00, ou cosf=:o,

sin 7 = 0, tango =dzv^ — i ,
cos^=^o, tangd = 00y ou cosd = o.

Le second est évidemment imaginaire. Quant aux deux
autres, ils sont identiques, et signifient qu'il n'y a qu^un
plan perpendiculaire à Vaxe des x qui puisse produire
une circonférence de cercle.

447. Les conséquences précédentes souffrent quelques
modifications pour les deux paraholoïdes.

En effet on a , pour ces deux surfaces , M'' = o , par suite,
les relations B = o , A = C , deviennent

cos 6 siof • cosf = o ,
M sin' Ô = M' ( sin» 7 — cos' 0 cos' ç) ;

or l'hypothèse sin y == o est inadmissible ; car, à cause de
C = M' siu'ç, il s'ensuivrait aussi C = o,. ce qui ne peut
être pour que la courbe d'intersection soit une circonfé-
rence de cercle.

Ou est donc conduit à faire deux hypothèses seulement,

savoir :

cos 0 = 0;
d'où

sinô= I, Mî=M'sln'»,

536 8ECTI09S CIRCtrLAl&ES DiSS LES SUIlF. DU tk"" DEGEÉ.

et) par «ui te,

OU bien

cos f = o ;

d'où

siof == I » M sin G =1 M%
et, par suite,

Dans le cas du paraboloïde hyperbolique , ces deux sys-
tèmes sont imaginaires, puisque M et M' sont alors de signes
contraires (n° 442).

Pour le paraboloïde elliptique, le premier système seul

est admissible si l'on a

M<M';

le contraire a lieu lorsque Ton a

M>M'..
Soit

ce qui est (n^441) le cas àaparaboloïde deréi^olution (ellip-
tique) , il en résulte

cosd = Oy et sinf = dbi>
par suite,

cosf = o;
OU bien

cos7=o, et sinO=±i9
par suite,

cosO s= o:

d'où Ton voit que ces deux systèmes rentrent l'un dans
Tautre, et cela signifie que le plan sécant est perpendicu-
laire à Taxe des x.

448. Remarques. — i®. Les conditions B = o , A = C , ne
déterminant que les angles 0 , f , et non les coordonnées
a, &, c, il s'ensuit que, pour toute surface du second de-
gré , autre que le paraboloïde hyperbolique, il doit exister
deux systèmes de plans parallèles entre eux et en nombre
infini, qui donnent des sections circulaires.

Toutefois, si la surface est de rwolulion, les deux sys-
tèmes se réduisent à un seul.

PLAIfS TÀNGE2<iTS AUX SURFACES DU a"" DEGRÉ. SSj

2^. On peut alors demander le lieu des centres de toutes
les sections pour chaque système.

Pour résoudre cette question , remarquons que rien n^em-
péche, pour chaque section obtenue, de disposer des indé-
terminées, a, &, c, de manière que l'origine des coordonnées
soit placée au centre de la section : ce qui exige (n? 316)
que, dans la transformée (3)dun^ 445, les coefficients D, £
soient nuls.

La question se réduit donc à former ces coefficients et à
les égaler à zéro. On trouve ainsi , pour les surfaces corres-
pondant à M^* -h M'j* -4- M"x^ + P = o ,

2Mrsind — 2 M^^ cosOcosf + 2M''acos0 5inf = o,

2 M' ^ sinô 4- 2 M" flcosç = o,

et pour les surfaces correspondant à M«*-f-M'j^*-|-N''a:=o,

2 M c sin d — nJA' b cosG cosf + N^ cosO 8107 = 0,

2M' ^ sin 0 H- N" cosy = o.

Dans les deux cas^ on a , pour déterminer a, £ , c , deux

équations linéaires qui représentent deux surfaces planes

dont Tinterseclion est une ligne droite.

D'où Ton Yoit que pour chaque système de plans sécants,
le lieu géométrique des centres de toutes les sections est

UHE DROITE*

Des plans tangents aux surfaces du second degré.

449. De méiijc que nous. avons défini (n° 99) la tan-
gente en un point quelconque d'une courbe, Vélémenl de
cette courbe, prolongé indéfiniment ^ nous considérerons
aussi le plan tangent en un point déterminé d'une sur»
face, comme Félénient de cette surface prolongé indéfi-
niment.

Il résulte de cette définition que, l'élément de la surface
en un point quelconque se composant de tous les éléments
des courbes que donne l'intersection de la surface par une
suite de plans qui passent par ce point, et ces éléments n*é-
tant autre chose que les tangentes aux courbes en ce point,
il en résulte, dis-je, que le plan tangent est encore le lieu
de toutes les tangentes aux différentes courbes qu'on peut

538 N.i.»8 TkVQlgJXTS

imaginer sur la surface par le point donnés et que sa posi-
tion est déterminée , dès que Tou connaît celles 4e deux des
tangentes.

C'est cette dernière considération qui va nous servir â
trouver l'équation du plan tangent.

Soit d'abord

(i) M«» + My -h M'V -f. P =^ o

l'équation générale des surfaces qui ont un centre , et ap-
pelons x\ y' ^ z les coordonnées du point par lequel on
veut mener un plan tangent i la surface \ on a déjà la rela-
tion

(2) M »'» -H M'^'» -h Wod^-^ P = o.

Maintenant , si par ce point on imagine successivement
deux plans parallèles au plan des xz et au plan des yz , on
aura pour les équations des intersections de la surface par
ces deux plans ,

y =/, M»» H- M'V-H My^ 4- P = o,
« = ar', M 2» -f- M>» -h M'V» -f- P = o ;

et pour les équations des tangentes à ces sections , au point
^% y 5 ^' {voyoz\\t n° 187) ,

(3) ^ = /, M z»' -4- M^'xar' + My > + P = o ,

(4) jcrzro;', M zz' -f- M^/' + M' V + P = Ô .

Or le plan tangent doit^ en vertu de ce qui a été dit

ci-dessus , passer par ces deux tangentes : ainsi la question
est ramenée à trouver Téqûation d'un plan passant par
deux droites dont les équations sont données.

D'abord , comme le plan doit passer par le point ot^tj'^ sf^
son équation est de la forme

(5) A [x^x') -h B (r — /) 4- C [z--z') = o.

Il suffit maintenant d'exprimer que ce plan, qui ren-
ferme déjà un point commun aux deux droites, est panl-
lèle â chacune d'elles. On a pour cela (n° 388) , les deux

conditions

ka -f-B^+C = o,

Atf'-{-B6'H-C=:o;
mais les équations (3) et (4) peuvent se mettre sous la

AUX SUHFiCES PU SECOND DEGRÉ. 539

forme

M*' (My«-+-p)

x = o.z4-ar', y^^^-^^^.z^

My '^ My

ce qui donne

^-^M^' ^ = ^^ "=^' ^=--My'

par suite les deux relations de condition deviennent

Substituant ces valeurs dans Téquation (5) , on obtient

(6) Mz'(z — z') + My(/— /)4-M'V(x— a?')=o,
ou, développant et ayant égard à la relation (2) ,
{7) Mzz' + M>/-f-M"xx'4-P = o,

équation qui ne diflère de Téquation de la surface, qu'en
ce que les carrés z*, j^', x' sont remplacés par les rectan-
gles zz\ yj\ xx^,

450. Passons aux surfaces dépourvues de centre.
L'équation générale des paraboloïdes étant

(0 M«' + My -+- 2aN"^ = o

(enverra bientôt pourquoi Ton pose ici le coefficient de x
égal à 2^^^"^) , on a pour le point de la surface dont les coor*
données sont a/, y*^ a',

(a) Mz'^-HM'y -4- al!«V= o.

Les équations des intersections de la surface par deux plans
parallèles aux plans des xz et desy 9 , passant par le point
(y,/,-»'), sont

X =r y, Mz>-f- aN"* 4- My»= o ,
jr = x', Mz' +. My -t-2N'V = o;

et celles des tangentes à ces courbes , menées par le même
point, sont (n<»- 264 et 187)

y=y, Mzz'-hN"(x4-j:')-+-My' = o,
ar == ar^, Mzz' -f- M'// -H 2 Wx' = o.

Maintenant, le plan tangent devant passer par le point

540 PLANS TAWGEWTS aux surfaces du a" DEGRÉ.

je/, y ^ z\ son équation est de la forme

(3) A(x-y)H.B(r-j')4-C(«-3') = o;

les relations qui expriment que ce plan est parallèle aux
deux droites , étant toujours

Aa-{-BftH-C = o, Aa'-+. B^'4-C = o,
on a évidemment ici

a = -— , ^ = o; fl'=o, 6 =-.^,

ce qui donne pour les deux relations de condition,

AX-j^.4-C=o, d'où A=:— .C,

Il vient ainsi, par la substitution de ces valeurs dans
l'équation (3) ,

(4) Mz'(«-0-hMy(j^-/)-|-N''(jr-x') = o;

ce qui donne une première forme de Téquation du plan tan«
gent.

Mais en la simplifiant par le moyen de la relation (a),
on obtient finalement.

(5) Ma2'H-M>/ + N"(^4-*') = o^

iV". B. — Les équations de la normale, c'est-à-dire de la
di'oite élevée par le. point de contact perpendiculairement
au plan tangent, sont faciles à déterminer d'après les prin-
cipes établis au n^ 389 5 il est donc inutile de s'y arrêter.

451 . Soit maintenant proposé de mener un plan tangent
par un point extérieur, en se bornant à développer la mé-
thode pour les surfaces qui ont un centre.

Désignons par j/' ,7", z^\ les coordonnées du point donné,
et conservons OJ^jj', 3' pour représenter celles du point de
contact inconnu.

Le plan tangent devant passer par le point x'', j ", s*,
ces coordonnées doivent vérifier l'équation (7) du u^ 149 5
et Ton a la première relation

(i) MzV + Wyy 4- M"a:V -h P = o.

D'un autre côté, le point x', /% z\ se trouvant sur la

HTPEEBOLOÏDE A UNE NAPPE ET PARABOLOÏDE HYPERBOL* 54 1.

surface , on a pour seconde relation

(a) Mz" -f. My> 4- M'V -h P = o.

Comme ces équations sont les seules qui puissent servir
à déterminer les rro/V inconnues o:^, y\ z', on est conduit à
cette conséquence, que

Par un point pris hors d'une surface du second degré
douée d*un centre y on peut mener une infinité de plans

tangents.

[On parviendrait au même résultat pour les surfaces dé-
pourvues de centre J]

Si Ton éliminait alternativement y^ et x' entre les équa-
tions (i ) et ( 2 )^ on obtiendrait deux équations en x', ^ ' et en
y'^ z'^ qui ne seraient autres que ccWGsàes projections sur
les deux plans des xz et des yz , de la ligne passant par les
points de contact de tous les plans tangents; ligne qui,
pour cette raison, est appelée la courbe de contact.

Cette courbe est nécessairement plane et du second de^-
gré, au plus 5 car elle provient de Téliminatiou des incon-
nues entre l'équation (i) qui est celle d'un plan, et l'équa-
tion (2), c'est-à-dire celle de la surface du second degré
proposée.

Elle peut être regardée comme la base d'une surface coni-
que ayant pour centre le point donné, et enx^eloppant la
surface proposée.

Enfin, il est facile de reconnaître qu'elle a les mêmes
plans tangents que la surface , et que ses génératrices sont
les intersections de tous ces plans considérés deux à deux.

Ces propositions découlent évidemment de la nature de
la question qu'on s'était proposé de résoudre.

Génération de Vhjperboloïde à une nappe et du

paraboloïde hyperbolique,

452. Nous terminerons la théorie des surfaces du second
degré par la démonstration d'une propriété commune à
l'hyperboloïde à une nappe et au paraboloïde hyperbolique,
c'est de pouuoir être engendrés par le moui^ement d*un:f
ligne droite de deux manières différentes.

54^ GÉNÉRlTtON DB l'bTPEEBOLOÏOB k VNX HAVPB

Dcjà nous avons vu (u^* 424 et 425) que rëquation de la
surface de résolution engendrée par le mouvement d'une
droite située d'une manière quelconque dans l'espace, au-
tour d'un axe flxe, est identique avec celle AeVhyperho^
loïde de rcuolution à une seule nappe ^ et (n° 421) que la
surface conoïde dont les deux directrices sont des droites,
est une surface du second degré ^ surface qui, d'après la
nature de ses intersections par des plans , ne saurait être
autre qu'un paraboloïde hyperbolique.

Nous allons maintenant généraliser ces propositions aa
moyen de la considération des plans tangents.

Reprenons d'abord l'équation générale des surfaces douées
d'un centre j

(i) Ma' + MV> + M^x^ + t =r o.

Celle du plan tangent en un point x\ y\ z' est

(2) Mz'z + M'/r -4- M'V«H- P = o;
et Ton a, en outre, la relation

(3) M z" + My -h M" jt" 4- P = o.

Cela posé, si l'on double Téqualion (2) et qu'on la re-
tranche de la somme des deux autres , il vient

(4) M(« — a')'-hM'(r-/)*-hlVr(4r-.y)*s=o,

équation qui peut être substituée à l'équation (i) , en ce
sens que les points communs au plan tangent (2) et à h
surface (1) sont aussi communs au plan tangent et à la
surface représentée par Téqualion (4)> e^ réciproquement,

La question est ainsi ramenée à chercher quels peuvent
être les points qui appartiennent à la fois aux deux sur^
faces exprimées par les équations (2) et (4).

Remarquons d'abord que si M , M', M'^, sont tous trois
positifs, l'équation (4) ne peut être vérifiée que par

ce qui prouve que , pour un ellipsoïde, le plan tangent ne
peut jamais avoir qat/n point commun avec la surface.

Si l'on suppose M, M' positijs et M^' négatif, et qu'on
mette les signes en évidence, les équations (2), (3) et (.()

ET DU PÀHÀBOLOÎDE HYPERBOLIQUE. 543

deviennent

(5) Mi/z + M» — Mf'x'x -4- P = o,

(6) Mz^'+M'/'— M*'*" + P = o>

(7) M (z — «')*-♦- M'(/ — /)» — M" (j: — x7 = 0.

Cette dernière équation représente (n^ 419) une surface
conique dont le centre est le point x\y\ z\

Comme, d'ailleurs, ce même point appartient au plau
tangent, il s'ensuit que, si les deux surfaces ont d'autres
points communs , ils sont nécessairement en ligne droite et
constituent une ou deux des génératrices de la surface co-*
nique.

Pour reconnaître si les surfaces exprimées par les équa-
tions (5) et (7) ont en efiet d^autres points communs que
le centre [jp', j', «'] de la surface conique, on est conduit
à combiner les équations

(8) *--^ = fl(«-2'), j-/=6(s~0

d'une droite passant par ce même point, avec celles des
deux surfaces, et à s assurer si les constantes a , b peuvent
être déterminées de manière que les quatre équations s'ac-
cordent entre elles.

Or, en substituant les valeurs de x — x', jr — ^', que
donnent immédiatement les équations (8), dans chacune des
équations (7) et (5), on trouve

(z — zy (M -f- M'^'— M" rt») =0,
(j _V)» (M z' 4- M' 6/ — Waj/) = o,

ou, si Ton supprime le facteur [z — -z')' correspondant au
point x', 7', z^ qu'on sait déjà être commun aux deux sur-
faces ,

^^^ jMz'+MV.^ — M"j/.tf = o.

Telles sont les relations qui expriment que la droite se
trouve tout entière sur les deux surfaces.

Si l'on élimine a , A, et qu'on ait égard à la relation (6),
il vient, toute réduction faite,

"* ~" Wjt' ' M' (M"x'» — M'/*) '

544 GÉNÉRATION DE l'hYPERBOLOÏDE A VKE KAPPE

ce qui fait voir que b étant susceptible d'une détermination
réelle, il en sera de même de a.

11 reste à savoir dans quel cas la quantité b aura une va-
leur réelle.

Or cela ne peut avoir lieu (M, M', M'' étant, dans l'ex-
pression de cette valeur, essentiellement ^orài/s), qu^au-
tant que P est négatif, condition qui (n^ 4r37) correspond
à Thyperboloïde à une nappe.

Donc , pour ce genre de surfaces , le plan tangent eu un

point quelconque , jouit de la propriété d'ai^o/r deux droites

commîmes avec la surface conique (7'), et, par suite, avec

la surface

M«» -i- M>» — M" JT* = -H P.

En d'antres termes, il n^ existe pas un point de P hyper-
boloïde à une nappe par lequel on ne puisse imaginer deux
droites qui s* y trouvent placées tout entières ^

Ou bien encore, Yhyperboloïde à une nappe peut être
considéré comme engendré par une ligne droite de deux
manières différentes. .

N. B. — La propriété du plan tangent à cette surface n'in-
firme pas la définition que nous avons donnée au n^ 449 du
plan tangent^ au contraire, elle en est une conséquence
naturelle, car, puisqu'il doit se composer de toutes les tan-
gentes en un point quelconque , si l'un des éléments de la
surface est une ligne droite, le plan tangent doit passer par
cette droite qui est sa propre tangente.

453. Passons aux paraholoîdes dont l'équation est

(i) M z» + M' j'-f. 2 N"x -= o.

On a obtenu, pour Tcquation de leur plan tangent,

(2) M32'-hM'^7'-hN"{ar-+-x') = o,

x', y\ z' étant liés par la relation

(3) M«'»-f-M>'»-+.2ÎS"a:'=:0.

En ajoutant les équations (i) et (3) , puis retranchant de
leur somme le double de la seconde , on trouve

(4) M(2-z')^-+.M'(r-r')'==o,

résultat qui peut remplarer Féquation (i) en tant que l'on

£T DU PÂAÀBOLOÏDB HYPERBOLIQUE. 54S

cherche les points commutu à la surface proposée et au plan
langent.

Or, conune dans Thypothèse où M et M' sont tous les deux
posùifi, l'équation [/i) ne peut être satisfaite que par

il s^ensuit que le paraboloïde elliptique ne saurait avoir
qu'un point commun (x', j'^ z') avec son plan tangent.

Mais supposons M' négatif, et mettons le signe en évi-
dence^ Téquation (4) devient

(5) M{.--s7-M'(r-j7=o,

d*où Ton déduit

Ainsi Téquation (S) représente un système de deux plans
perpendiculaires au plan des yz, et ses intersections avec
le plan tangent sont, en général, deux lignes droites.

Nous sommes donc en droit de conclure immédiatement
que le paraboloïde hyperbolique et son plan tangent en
un point quelconque ont deux droites communes passant
par ce point.

Mais y pour fixer la position de ces droites comme on Ta
fait pour riiyperboloïde , il faut combiner l'équation (5) et
celle du plan tangent, mise préalablement (u^ 450), M' étant
ici négatif, sous la forme

(6) Mz'(«-^«')^MV(jr-7')+N''(x-x^) = o,
avec celles d'une droite passant par le point x', j'^ z',

On obtient pour résultat les deux équations

=*\/r

La quantité b étant essentiellement réelle dans le cas du
paraboloïde hyperbolique , il en est de même de la quan-
tité a.

Donc il ny a pas de point sur la surface d'un parabo^

Ap. de VAJ. h la G. 35

^4t€ HYPBIBOLOÏDB k VUE BAPPE ET PÀRÀBOLOÏDE HTPEUOL.

loïde hyperbolique par lequel on ne puisse imaginer deux
droites qui s'y trouvent placées tout entières,

La snbstitatioD de la valeur de h dans la seconde des équa-
tions ( 7.) donne

résultat identique avec celui qu^avait donné Inéquation (S).j

4Si. Remarque. — La valeur de b étant indépendanl
de s^jy'^ z\il en résulte que, dans les deux systèmes
génération du paraboloïde hyperbolique par une droite , h
projections de toutes les droites d'un méftèe système sur
plan des xy sont pàeàllèles eutre elles ; ce qui proui
qu^elles sont situées dans des plans parallèles bhtre

Oette poopriété sert à distinguer, dans certains cas,
paraboloïde hyperbolique de Thyperboloïde à une nap]
bien quMls aient un mode commun de génération. Dans
premier, toutes les droites génératrices dW même systèi
sont PARALLÈLES A tjzf MÊME plah , tandis que pour Tauti
les génératrices ont une direction quelconque dans Tespac
U résulte enfin de là que la surface conoïde, telle que noi
Pavons définie au n^ 421 , n'est autre, ainsi que nous l'avoi
déjà dit , que le paraboloïde hyperbolique considéré dans
cas le plus général.

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