Archiv der Mathematik und Physik

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ARCHIV
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ARCHIV DER MATHEMATIK UND PHYSI]

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I ARCHIV

DER MATHEMATIK UND PHYSIK

HIT BESONDERER RÜCKSICHT AUF DIE BEDÜRFNISSE
DER LEHRER AN HÖHEREN UNTERRICHTSANSTALTEN.

GEGRÜNDET 1841 DURCH J. A. GrüNERT.

I

E. LAMPE

DRITTE REIHE.

MIT ANHANG:

ER BERLINER MATHEMATISCHEN GESELLSCHAFT.

HERAUSGEGEBEN

VOK

• _•;

W. FRANZ MEYER E. JAHNKE

nf KOnOIBBBO I. FB. 1» »»«-1»,

SECHSTER BAND.

MIT 68 TEXTKIGUBKBf.

LEIPZIG UND BERLIN,

DBÜCK UND VEBLAG VON B. 6. TEUBNEB.

1904

• • • • •

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Vorwort.

Die bisher erschieneneu Bände aus der dritten Reihe haben den
Beweis erbracht, daß sich das Archiv der Zustimmung und des Beifalls
weiter mathematischer Kreise zu erfreuen hat. Gleichwohl kann sich
die Redaktion nicht verhehlen, daß ein Teil ihres Programms noch
nicht in dem Maße zur Durchführung gekommen ist, wie sie eB ge-
wünscht hätte, nämlich die Yvrltrv'tUing der Resultate mathematischer
und fikygikalische-r Forschung. Die Redaktion richtet daher an die
Dozenten der Hochschulen, sowie an die Oberlehrer der höheren Lehr-
anstalten die höfliche Bitte, ihr Aufsätze zur Verfügimg zu stellen,
welche den genannten Zweck verfolgen.

Die Redaktion knüpft hieran die weitere dringende Bitte, insbesondere
an die Oberlehrer der höheren Lehranstalten, ihr Wünsche oder Vor-
schläge betreffend stärkere Betonung dieses oder jenes Punktes im
Programm mitteilen zu wollen.

Vom achten Bande an sollen die Bände regelmäßig in einseinen
Heften und nicht wie meistens bisher in Doppelheften zur Ausgabe
gelangen.

E. Lampe. F. Meyer. E. Jahnke.

-\ V ~\ TL 1.

Inhalt.

Bauer, Michael, in Budapest. Pber einen Satz von Kronecker . . . 218 — 219

— Über Kreisteilungsgleichungen 220

— über zusammengesetzte Körper 221 — 222

Dolezalek, F., und Ebellng, August, in Berlin. Untersuchungen über

telephonische Fernleitungen Pupinschen Systems 26 — 35

(äUntschc, Richard, in Berlin. Beiträge zur Geometrographie U . . 133 — 146
Hotisenberg, Gerhard, in Berlin. Desarguesscher Satz und Zentral-

kollineation 123—127

Heuniau, C., in Stockholm. Zur Theorie der Krümmung nach den

Methoden der darstellenden Geometrie 283 — 301

— Über einige KrüminungBeigenachaften bei abwickelbaren Flächen

und bei Kegelkurven 302 — 305

Jung, F., in Prag. Bemerkung zur Ableitung der Eulerachen Be-

wegimgsgleichungen 206 — 209

Kantor, S., in Wien. Über bidifferentiale Transformationen 202—206

Kochler, Carl, in Heidelberg. Geometrische Kriterien für die projek-
tive Einteilung der nicht entarteten Kurven und Flächen zweiter

Ordnung 95— 103

Kokott, F., in Sagan. Die wiederholte Anwendung der Landenachen

Transformation 281—287

Kühne, Hermann, in Dortmund. Über die Krümmung einer beliebigen

Mannigfaltigkeit 261—260

Lerch, Mathias, in Freiburg (Schweiz). Über den Kroneckerschen Be-
weis der sogenannten Kroneckerschen Grenzformel 86 — 94

Lilien Gml, Reinhold v., in Münster i. VV. Zur Theorie der infinite-
simalen Transformationen der Ebene 35 — 46

Maennchen, Philipp, in Alzey. Elementarer Beweis des SchlieBunga-

problema beim Kegelschnittbüschel 209 — 211

Maurer, L., in Tübingen. Über die Deformation gekrümmter elastischer

Platten 1—26, 260—283

Nielsen, Niels, in Kopenhagen. Sur la fonetion gamma 223—281

Pextdcr, Wilhelm, in Göttingen Über symmetrische Funktionen von

unabhängigen Variablen 46 — 59

Rehfeld, E., in Eberfeld. Reduktion der Trägheitsmomente einfacher
Körper auf die Trägheitsmomente einzelner Massenpunkte, die auf

ihrer Oberfläche liegen 237—248

Roy«, Theodor, in Straßburg. Lehrsätze über quadratische Strahlen-
komplexe 1

Saalschutz, Louis, in Königsberg. Die Potenzen der Kotangente und

der Kosekante 128—183

Scheffers, Georg, in Darmstadt. Zusammenhang zwischen der Ab-
wicklung eines Kreiscylinders und den Rotationsflächen konstanter

Krümmung 249 — 260

Sintzow, Diniitry, in Ekaterinoslaw. Über eine Funktionftlgleichung . 216—217

Stahl, Hermann, in Tübingen. Bemerkungen zur Theorie der Abelschen

Funktionen 177—201

Inhalt.

Seite

Tachaner, A., in Gnnzenhausen. Über diejenigen Rotationsflächen, auf
denen zwei Scharen geodätischer Linien ein konjugiertes System

bilden 60—84

Tkienemaiin, Wilhelm, in Essen. Zwei Gruppen gleichkantiger Viel-
flache mit nur vierkantigen Ecken 212 — 216

NiNon, Edwin lliihveli, in New Haren (i.'oiin.) The so-called foun-

dations of geometry . 104 — 122

Rezensionen.

Abhandlangen zur Geschichte der matb. Wiss. 14. Heft. Von

M> « Miil.tr 812

Ananaire pour l'an 1903. Von E. .lulinke 1?2

Annaaire des Mathematiciens. Von E. Jahnke 322

Auerbach, Die Grundbegriffe der modernen Naturlehre. Von H. Suaiter 317

Bornstein, R., Sehul-Wetterkarten. Von H. Sumter 148

Bohnert, F., Elementare Stereometrie. Von E. Kollrli-li 327

Braunmühl, A. v., Vorlesungen über die Gesch. der Trigonometrie.

Von M. Caiitor 32«

Darwin, G. H., Ebbe und Flut. Von E. Aschklnass 319

Doehlemann, K., Projektive Geometrie Von E. Müller 1Ö3

Dziobek, 0., Lehrbuch der analytischen Geometrie. Von It. Müller 152
Einer, F., und Haschek, E., Wellenlängen-Tabellen für spektralanalyt.

I ntere. Von E. Aschkinuss 323

Ferraris, G., Wissenschaftliche Grundlagen der Elektrotechnik. Von

A. Rotth 155

Fischer, K. T. , Der naturwissenschaftliche Unterricht in England.

Von E. Prtngttbelin 332

Föppl, A., Die Mechanik im neunzehnten Jahrhundert. Von E. Jahnke 160
Fricke, A., Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung. Von

H. Kühne , 386

Kurie, A , Rechenblätter. Von Alfred Hauck 337

Ijoursat, E., Cours d'analyse mathematique. Von A. Kneser . . . 338
Günther, S., Geschichte der anorganischen Naturwissenschaften im

19. Jahrh. Von H. Samter 163

Haussner, R., Darstellende Geometrie I. Von E. Müller 164

Hofmann, Sammlung von Aufgaben aus der Arithmetik und Algebra

Von H. Samter (66

llulziufiller, G., Elemente der Stereometrie IH. Von II. Kühne . . in\>

— Elemente der Stereometrie IV. Von H. Kühne ......... 32-J

Kleiber, Lehrbuch der Physik. Von H, Samter 818

— und Karsten, Lehrbuch der Physik. Von H. Saiutcr 318

Klein, J., Handbuch der allgemeinen Himmelsbeschreibung. Von

H. Samter 147

Krisch, Astronomisches Lexikon. Von II. Samter 164

Kronecker, L., Vorlesungen über allgemeine Arithmetik. Von E. Stein 11/ 320

L anner, A., Naturlehre. Von E. Asckklnass 322

Mach, E., Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Von E. Jahnke . . 149

— Die Prinzipien der Wärmelehre, Von A. Kot I li IM

Mahler, G„ Physikalische .Formelsammlung, Von H. Wlllgrod . . . 151

Martus, Astronomische Erdkunde. Von E. Kulirieh 326

I'erry, Höhere Analysis für Techniker. Von H. Samter Hl

Pietzker, ?., Burdeys Anleitung zur Auflösung eingekleideter algebr

Aufg Von E. Kiillricb 827

VI

Inhalt.

Richarz, F., Neuere Fortschritte auf dem Gebiete der Elektrizität.

Von E. Asi-likinav»

Rost, G., Theorie der Riemannscben Thetafunktion. Von M. Kränge
Sauerbeck, P., Einleitung in die analyt. Gcom. der höh. algebr.

Kurven nach den Methoden von Jean Paul de Gua de Malves. Von

M. Cantor

Schonte, P. H., Mehrdimensionale Geometrie. Von E. Müller . . .

Schubert, H., Niedere Analysü*. Von C. FBrber

Sellentbin, B., Mathematischer Leitfaden mit bes. Berücksichtigung

der Navigation. Von II. Kühn.-

Weierstrasa, K, Mathematische Werke IV. Von H. Weber . . .

Wernicke, A., Lehrbuch der Mechanik. Von M. Koppe

Whittaker, E. T., A course of modern analysia. Von A. Knescr . .
/■■u Mic ii, H. S., Hiatoire des m&thematiques da.ua Fantiquite et le

inoyen äge. Von E. Lampe

330

Vermischte Mitteilungen.

1. Aufgaben und Lehrsätze. Lösungen.
A Aufgaben und Lehrsätze. 81 — 97. Von E. N. Barislen,

K. CeBäro, E. Jahnke, St. Jolles, G. Kober, P. K«-k.>lt.

E. Lampe, W. F. Meyer, H. C. Schumacher 173, 338

B. Lösungen. Zu 68 (E. N. BariBien) von Ph. Weinmeister .... 340

Zu 75 (P. Kokott) von P. Kokott 341

Zu 80 (P. St&ckel) von H. Kühne 34?

Zu 82 (E. N. Barisien) von W. Stegemann 34

Zu 84 (0. Gutsche) von W. Stegemann 34

Zu 86 (0. Gutsche) von W. Stegemann 345

2. Anfragen. 9 Von 0. Glitsche 174

3. Kleinere Notizen.
Bemerkung zu der Abhandlung des Herrn Hurwitz: Über höhere

Kongruenzen. Arch. (3) 6, 17. Von H. Kühne 174

Reponae ä la question (3) 1894 de l'Interm^diaire des Mathema-

tdcieos. Von 6. Espanet 345

Keponse ä la question n°2fll 6 (G. E % p a n e t) de l'In termt5diaixe des Math i-

maticiens. Von E. Malo , 348

Keponse a la question n" 2454 (Espauet ) de 1'Intermediaire des Mathä-

maticiens. Von E. Malo

4. Sprechsaal für die Encyklopädie der Mathematischen

Wissenschaften. M. Koppe, Kewitsch, J. Kurschük, G. Loria 338
6. Bei der Redaktion eingegangene Bücher 357

Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

Herausgegeben vom Vorstände der Gesellschaft.

Achtzehnte Sitzung am 24. Juni 1903

Eine einfache Anwendung der Vektorrechnung auf die Optik. Von
E. Jahnke

Die Bestimmung sämtlicher Nährungsbruche einer ZahlengrtifSe bei
Jobu Wallis (1672). Von M. Koppe

Die geodätische Krümmung der Krümmungeliniun. Von J. Knoblauch

Über die Linksabweichuug des Geschosses bei aufgepflanztem Seiten-
gewehr. Von F. Köttcr

M

M

Lehrsätze über quadratische Strahlenkomplexe.

Von Th. Reye, Straßburg, Eis.

Ein quadratischer Strahlenkoniplex enthält bekanntlich die Kanten
von oo e Tetraedern (vgl. Math. Annaten Bd. 49, S. 592). Ein räum-
liches Fünfeck oder Fünfflach, dessen zehn Kanten in dem Komplex
enthalten wären, gibt es im allgemeinen nicht.

Wenn ein quadratischer Komplex die zehn Kanten irgend eines
räumlichen Fünfecks enthält, so sind in ihm alle Kanten von oo 6 Fünf-
ecken enthalten. Zwei beliebige Punkte A, B eines Komplexstrahles
bilden mit oo 1 Punkttripeln je eines dieser Fünfecke. Die oo 1 Punkt-
tripel liegen mit A und B auf einer kubischen Raumkurve, und ihre
Ebenen gehen alle durch eine Gerade. Die Konstanten des Komplexes
genügen einer Bedingung. Welche Invariante des Komplexes ver-
schwindet in diesem Falle?

Wenn ein quadratischer Komplex die fünfzehn Kanten eines räum-
lichen Sechsecks oder Sechsflaches enthält , bo sind in ihm die Kanten
von oo 9 Sechsecken und oo 9 Sechsflachen enthalten. Er ist ein
tetraedraler Komplex, und seine Konstanten genügen sechs Bedingungen.

Ol

Einleitung. - - Die folgende Unsersuchung hat den Zweck, eine

»Theorie der sogenannten Bourdonschen Röhren zu entwickeln. Diese
dünnwandigen Metallröhren werden, luftleer gepumpt, als Aneroid-
barometer, mit Äther gefüllt, als Thermometer gebraucht. Sie haben
die bemerkenswerte Eigenschaft, daß sehr geringe, auf ihre äußere oder
innere Oberfläche wirkende Drucke noch meßbare Deformationen hervor-
rufen. Ein Aneroidbarometer erlaubt noch Schwankungen des Luft-
drucks zu messen, die nur einen Bruchteil von einem Millimeter

Archiv der Milbetnatik und Phyillt III. Reihe. VI 1

über die Deformation gekrümmter elastischer Platten.

Von L. Maurer in Tübingen.

L. Mapkbb:

Quecksilberdruck betragen. Ein Millimeter Quecksilberdruck ist ein
Druck von 13,6 Milligramm pro Quadratmillimeter; der Elastizitäts-
modul der meisten Metalle entspricht einem Druck von 8000 bis 2O000
Kilogramm pro Quadratuiülimeter; der Quotient beider Drucke liegt
also etwa zwischen r-=a und ,. _„. . ist demnach außerordentlich klein.
Eine cylindriache Röhre reagiert auf derartig geringe Drucke nicht
mehr in meßbarer Weise; eine meßbare Deformation tritt nur bei
gebogenen Röhren ein.

Um die in Rede stehende Theorie zu begründen, ist ea notwendig,
etwas weiter auszuholen. Ich beginne damit, die Grundgleichungen der
Elastizitätstheorie in allgemeine krummlinige Koordinaten zu trans-
formieren. Im zweiten Teil werden diese Gleichungen dann auf den
Fall angewendet, daß der betrachtete Körper eine dünne, gebogene
Platte ist. Der dritte Teil beschäftigt sich mit den Röhren, die die
GeBtalt von Rotationsflächen haben.

Erster Teil.
Transformation der Elastizitätsgieiehungen in allgemeine Koordinaten.

1. Die Grundgleichungen der Eimtmtütsiheorie in MriesiscJten Koordi-
naten. — Die Transformation der Elastizitätsgleichungen in allgemeine
orthogonale Koordinaten ist zuerst von Lame durchgeführt worden;
einfachere Methoden wurden später von Carl Neumann, Borchardt
und Beltrami angegeben. Für das Folgende ist es wünschenswert,
nicht orthogonale, sondern ganz beüebige Koordinaten zu benützen.
Die Invariantentheorie bietet die Mittel, diese Transformation mit sehr
wenig Rechnung zu erledigen.

Es bedeute T die kinetische Energie des betrachteten Körpers, ü
das Potential der elastischen Kräfte, SM die Arbeit, welche die auf
das Innere wirkenden äußeren Kräfte bei einer virtuellen Verschiebung
leisten, d(M) die Arbeit der Druckkräfte, die auf die Oberfläche wirken.
Man erhält bekanntlich die Elastizitätsgleichungen auf Grund des
Hamiltonschen Prinzips aus der Gleichung 1 )

(1)

fit[ST+SU + SM + S(M)] = 0.

Hier bedeutet t die Zeit. Die virtueUen Verrückungen Bind so zu wählen,
daß sie für die Zeitpunkte t = t a und t = t t sämtlich verschwinden.

1) Vergl. Kirchhoff: Über das Gleichgewicht und die Bewegung einer
elastischen Scheibe; Grelles Journal Bd. 40, Gesammelte Abhandlungen S. 237.

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten. 3

Benutzen wir zunächst ein System kartesischer Koordinaten x, y, e.
Wir bezeichnen das Volumen des Körpers mit V, seine Oberfläche mit
S, die Dichtigkeit mit k; die Komponenten der Verrückung eines Punktes
des Korpers mit u, v, w, die Variationen derselben mit du, 6v, dw;
die Komponenten der äußeren Kräfte, die auf einen Punkt im Innern
wirken, mit A, B, C, die Komponenten des Druckes auf ein Element
der Oberfläche mit (Ä), (B), (6).

In diesen Großen ausgedrückt haben die in (1) vorkommenden
Großen die Werte

(2) S M =f[Adu + BSv + Cd«] d V,

(3) d(M ) = fl(A) du + (B)Öv + (G) $w] dS,

w
Endlich ist unter der Voraussetzung, daß der Korper isotrop ist,

(5) !7--z/ta; + *S + *: + ♦(*! + ^ + ^»7»

wo jlj, Aj, A, die Hauptdilatationen bezeichnen.

Die mechanische Bedeutung der Kirchhoff sehen Elastizitäts-
konstanten K und & ergibt sich aus der Bemerkung: wird das eine
Ende eines cylindrischen Stabes von der Länge Z festgehalten, während
auf das andere eine Zugkraft von der Größe P wirkt, so erfährt der

Stab eine Verlängerung l • 5-= «Ton, ; eui Linienelement, das auf der

Achse des Stabes senkrecht steht, erfährt eine Verkürzung, die, in

Bruchteilen der Verlängerung ausgedrückt, gleich ,^. ist. Es ist

1 -4- Sft

somit der Elastizitätsmodul E = 2 K j-T-«ä und der Quotient aus

&

Längendilatation und Querkontraktion fi = t-JTW» '

2. Einführung allgemeiner Koordinaten. — An Stelle der kartesischen
Koordinaten x, y, e führen wir nun allgemeine Koordinaten p v p i} p a ein.
Wir setzen voraus, daß jeder Punkt des Körpers durch diese Koordi-
naten eindeutig bestimmt ist. Dies erfordert, daß die Funktional-
determinante 0/ ' . für keinen Punkt des Körpers verschwindet.

Wir nehmen an, die Bezeichnung sei so gewählt, daß diese Determinante
positiv ist.

4 L. Maurer:

Für das Quadrat des LinienelementeB

ds* = dx* + dtf + ds*
ergebe sieh in den neuen Koordinaten der Ausdruck

ds

a _

Zi* 1 "

dp^p»

(i,/i = i,»,»)

Wir bezeichnen diese Differentialform mit F f ihre Determinante mit A,
die dem Element a lM adjungierte Unterdeterminante mit A l . Die
Form F habe innerhalb dea betrachteten Gebietes durchweg den Charakter
einer definiten, positiven quadratischen Form. Es kann also in keinem
Punkte des Gebietes eine der Größen a U) A llt A verschwinden. Da

'in

dx dx dy_ dy , dt^ dt_
dPi dp,, dPi d~Pp dpi dp h '

so ist die Funktionaldeterminante /■ ' V ±J- = l/T wo das Zeichen V~ —

wie im folgenden stets — die positive Quadratwurzel bedeutet.

Der KosinuB des Winkels, den die Richtung der wachsenden p k

mit der Richtung der wachsenden p u bildet, ist Bei den

Koordinatenflächen p^ = const. unterscheiden wir eine innere und eine
äußere Seite. Als äußere Seite bezeichnen wir diejenige, die auf der
Seite der wachsenden p Ä liegt. Der Kosinus des Winkelß, den die nach
außen gerichteten Normalen der Flächen p l = const., p M = const. mit-
einander bilden, ist

***

v^\;

Da die Funktionaldeterminante „, '*' r nach Voraussetzung nicht

verschwindet, kann man die Gleichungen ansetzen:

2p~i*Pm

•V( 1 'Mi^. 3'y

£i \v \cp ¥ * dpidpp

(i, ,u = 1,3,8)

'VI 1 ' 1 ! c t-

Zl\ * >dPr

Offenbar ist f ** } = [ ^ } ■ Die Großen { ^ 1 lassen sich durch die
Größen a x und ihre ersten Derivierten ausdrücken. Multipliziert man

nämlich die erste der vorstehenden Gleichungen mit * — , die zweite

op x

mit s-2- , die dritte mit ~ — und addiert, so ergibt sich

K } dpJP,, 0P X dPxdPf, tP„ i " VPißPn tp*

*L 9P, + tPu + dPt\

Zu

(J,^,K=l 1 », S)

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten. 5

An Stelle der Verrückungskomponenten u,v,tc führen wir die Größen ein:

(2)

' dPx dPi s Px

a=»i,»,s)

und gleichzeitig an Stelle der Kraftkomponenten A f B, C und der Druck-
komponenten (Ä), (P), (C) die Komponenten P k und (PJ, die durch die
Gleichungen definiert werden:

(3)

IDie
Pia

öm-^p^,

Die Gleichung (2) zeigt, daß

fr

d(M) = VfP,)^.

die Projektion der Verrückung eines

Punktes auf die Richtung der wachsenden p i ist.

Setzen wir in der ersten Gleichung (3) djj, = 0, <Jf 3 = und
nehmen d£, positiv. Aladann fällt die Richtung der virtuellen Ver-
rückung, deren Komponenten die Größen 6u,Sv } dw sind, mit der Richtung
der nach außen gerichteten Normalen der Fläcbe p A = const. zusammen,

und die absolute Größe der Verrückung ist -!_: • Da die bei dieser

Verrückung geleistete Arbeit = P,*?!;, ist, so ist P, Yä n die Projektion
der Kraft, deren Komponenten die Größen A, B, C Bind, auf die nach
außen gerichtete Normale der Fläche p t = const. Analog ist (he
mechanische Bedeutung der übrigen Größen P a und (P ; ) zu erklären.
Aus (2) folgt:

frdft + g,dj)j + |,rfj3 8 = udx + vdy + ivds.

Diese Gleichung zeigt, daß die Größen | t , g 2 , £ 3 und dp v dp v dp t als
kontragrediente Variable zu betrachten sind.

»3. Die Form dudx -f dvdy -f dtvdz. — Neben der Differentialform,
die das Quadrat des Linienelementes darstellt, ist für die Elastizitäts-
theorie noch diejenige quadratische Differentialform von Bedeutung,
durch die die Dilatation des Linienelementes bestimmt wird.
Es ist dies die Form

dudx + dvdy + dmdz - ™dx' + l^dy> + %** + 2 ■ \ g? + i^yrf«

+»-*6S +©«■+»• *£+©«•*

Der Ausdruck dieser Form in den neuen Koordinaten sei

* = ^a x „ dp x dp ß . <i, „ = i, t, s)

6
Hier ist

L. Maubeb:

m _if/ aM l* ,d v <>V , dw dz\ /du dx dv dy dv de\l
V) a ^-*\\dp l dp ll ^dp l dp ll ^dp l dp t ,r\dp ll dp^dp^ dpj'dp, dpjj

Aus den Gleichungen (vgl. 2., (2))

d%i du dx ,

3» dy dv> dz .

3*«

a?,, »1>„ 3ft T »J», ^Pi T fy, 2ft T »ft»Ä

(*,,, = 1,8, 3)

+ «

+ w

folgt bei Berücksichtigung von 2., (1):

( 2 ) *-C + £)-i{ , :) t

(i, /. = !,«, 3)

Wir stellen nun diejenigen Formen des durch die quadratischen Formen F
und & bestimmten Systems zusammen, von denen im folgenden Gebrauch
gemacht wird. Wir bezeichnen mit ^(A) = d i — 4,1 + ^1' — z/ A s
die Determinante der quadratischen Form 9 — kF. Hier ist offenbar
^ = A. Mit 6r bezeichnen wir die Kontravariante der Form F, mit
9* die simultane Kontravariante der Formen F und 0, die in den
Koeffizienten dieser beiden Formen linear ist. Es ist somit

G=2 A *»te»-

(*,,« = 1,8, 8)

Setzen wir

v-^ßiM*

Hier ist

(3)

A,

»=lx=l **

11,11 = 1, 8,8)

Die Kontravariante *P läßt sich auch definieren als Koeffizient
von q in der Entwickelung der Determinante

«ii - ?«« «u - e«i8

«18 - 9«18 «88 — P°88

«18 - ^«lS «88 - «»«88

Sl I.

nach Potenzen von q.

Zwischen den Formen 4 V J i} G und W bestehen die leicht zu
beweisenden Beziehungen

«18 ~ 0«13

61

«88 - Q<ha

€i

«ss - 9<ha

Ii

1,

(4)

J r = EAipttip,

(J,/i = 1,2,8)

•34

= 4

34

»» ä«

</»

2 ^ i '" ^Ä = ßn ' sir*~ = 2 ^"-

<«+/•>

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten. 7

Diejenigen Werte, die die Formen F, 0, 4 t (l) n - 8 - w - annehmen, wenn
an Stelle der allgemeinen Koordinaten p lf p v p a die kartesischen Koor-
dinaten x, y, b treten, mögen mit F', O' , 4'{X) u. s. w. bezeichnet
werden. Es ist also z. B.

F' - dx* + dy 1 + de 9 , 0>' = dudx + dvdy + dwde.

4. Ausdrude des Potentials der elastischen Kräfte und der kinetischen
Energie in den neuen Koordinaten. — Die Hauptdilatationen Aj, A,, A 8
ergeben sich als die Werte von A, für die die Determinante der quadra-
tischen Form <b' — IF' verschwindet, also als Wurzeln der Gleichung
4'(X) = 0. Da J(X) — A4'(X), so ist demnach

Ai~rAj-rA 8 =-r, Aj Aj + Aj Ag -+- Aj A 1 = -^ •

Folglich

A t + A 2 + A 8 — ~Ä*~ ~Ä'

Es ist ferner

<?&,£,, S,)=^G'(«> v,w),

also auch
Endlich ist

cr=yÄd Pl dp > dp s .

Für das Potential der elastischen Kräfte ergibt sich somit der Aus-
druck (s. 1, 5)

U= - KJ[(\ + ♦$ - 2^]YIdp 1 dp i dp i
und die kinetische Energie ist (s. 1, 4)

5. Die Grundgleichungen der Elastieitätstheorie in allgemeinen
Koordinaten. — Aus dem Vorhergehenden ergibt sich (vergl. % 4)

dU 2*f2J? [((1 + *)% - ßijdui^AWP*

(V) 1 = 1 /i=l

Hier ist (3, 2) ,

^-*(C:+»^)-2{ , :K

»=i

8 L. Maubjsh:

Wir setzen zur -Abkürzung

(1) 2E[(1 + »)^Ä lft - ß lfl ] - - N lM «,/.-!. «, »); #„1 - N l(l

and erhalten:

(?) 1 = 1/1 = 1 2=1 ,u=l y=l

Das rechts stehende Integral formen wir durch partielle Integration in
bekannter Weise um.

Der Winkel, den die nach außen gerichteten Normalen der Flachen
p M = const. und die Oberfläche S des Körpers mit einander bilden,
werde mit co,, bezeichne! An einer Stelle, an der die Richtung der
wachsenden p x in den Körper eintritt, ist dieser Winkel stumpf und
demgemäß ist

VÄ^dPtdpi = — cos m^S.

An einer Austrittstelle ist der Winkel eo, spitz und demgemäß ist
daselbst

Demnach ist

(F) (S) (F)

Zwei analoge Formeln ergeben sich durch cyklische Vertauschung der
Indices 1, 2, 3. Wir erhalten somit aus (2):

(3)

in -f2\.k™°' + k^ +&—>>«■ ■%

f.

2«=1 <- ' lial«=r ' -*

(F)

Es ist ferner (s. 4)

itidPidPidPv

t. t, (V) J = lju=l

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten.

9

Da die Variationen d^ für t = t und t = tf, verschwinden, so folgt hier-
aas durch partielle Integration

<i 8 S

(4) j STH = -fitfSiS^-W ■ ^

-^apjPjjjCj),.

Bei Benutzung der Gleichungen (3) und (4) dieses Artikels und der
Gleichungen (3) der Nummer 2 erhalten wir nun aus der Grund-
gleichung der Elastizitätstheorie (1, 1) für das Innere des Körpers die
Differentialgleichungen :

(5)

N

u

-v.

II

K

J8

Vi

p _ .JA _ _V4 _ _M „IVfMw

yz

i".»

W = ». *. »)

und für die Oberfläche die Bedingungen:

(6) - ^_C08tO. +

-== COS 03, + == COS CD,

Y*7, \Ta» s .

= - Wr

(-1 = 1,8,3)

Hier bedeuten Y^i (Pi)> V&n (Pj)> V^ss (-P») a ^ e Projektionen des
auf die Oberfläche wirkenden Druckes auf die nach außen gerichteten
Normalen der Flächen p t = const., p t = const., p s = const. (vergL die
Bemerkung zu 2, 3).

6. Mechanische Bedeutung der Größen N*,,. — Die im Torhergehenden
abgeleiteten Gleichungen gelten auch für einen beliebigen Teil V a des
Gesamtvolumens V des Körpers. An Stelle der Komponenten (PJ,
(P f ), (P s ) des Drucks auf die Oberfläche treten in diesem Fall die
Komponenten des Druckes, den P" von dem übrigen Teil des Körpers
erfährt. Nehmen wir an, ein Teil der Oberfläche des Volumens F falle
mit einer Fläche p M = const, zusammen, derart, daß sich die Außen-
seite der ersteren Fläche mit der Innenseite der letzteren deckt, und
bezeichnen wir mit fl^t, JJ^s, IJ M s die Werte, die die Größen (Pj), (P,),
(Pj) in diesem Fall annehmen. Es bedeutet also Yäii U^t die Pro-
jektion des Druckes, den die Innenseite der Fläche p Jt = const. erfährt,
auf die nach außen gerichtete Nonnale der Fläche p* = const. Die
Kosinus cos Oj cos ra, cos <u s erhalten in diesem Fall die Werte (vergL
den vorigen Artikel und Artikel 2):

-Vi

H*

>8

V^ u A fi

VA

s»- 4 «*

V3^f

fh

L. Mai ber:

ergibt mit sich aus Gleichung (6) des vorigen Artikels:

V^V

l,ul-

(i M = 1. 5.»)

Zweiter Teil.
Anwendung auf den Fall gekrümmter dünner Platten.

7. Geometrische Definition des Körpers. — Wir nehmen nun
der betrachtete Körper sei eine dünne Platte, die die Gestalt einer
gekrümmten, nicht abwickelbaren Fläche hat.

Um die Gestalt des Körpers geometrisch zu definieren, gehen wir
von einer „Mittelfläche" S a aus, die geschlossen oder von einer Rand-
kurve L begrenzt sein kann.

Wie bei allen hier in Betracht kommenden Flachen, wird auch bei
S eine Außen- und eine Innenseite unterschieden.

Wir nehmen sodann zwei Parallelflächen S + und S_

zur Fläche S„

an, von denen die eratere auf der äußeren, die letztere auf der inneren
Seite von S a verläuft, und die beide denselben Abstand t von S besitzen.
Sofern die Mittelfläche geschlossen ist, bilden die beiden Flächen S +
und jS_ die vollständige Begrenzung des Körpers; ist dies nicht der
Fall, so denken wir längs der Randkurve L die Normalen der Fläche S 9
errichtet. Der Flächenstreifen R, den die zwischen S + und S_
liegenden Normalenstücke bilden, vervollständigt die Begrenzung des
Körpers.

Wir nehmen an, die Mittelfläche sei stetig gekrümmt, also ins-
besondere frei von Kanten und Spitzen.

8. Spezialisierung des Koordinatensystems. — Um einen Punkt der
Mittelfläche festzulegen, benützen wir in üblicher Weise Parameter l'j, Pj;
es wird vorausgesetzt, daß jeder Punkt der Mittelfläche durch die zu-
gehörigen Parameterwerte eindeutig bestimmt ist. Um die Lage eines
beliebigen Punktes des Körpers zu bestimmen, führen wir noch den
Abstand p t des PunkteB von der Mittelfläche ein. Er werde als
positiv oder negativ betrachtet, je nachdem der Punkt auf der äußeren
oder der inneren Seite der Mittelfläche liegt.

Bezeichnen wir mit x, y, z die kartesischen Koordinaten eines
beliebigen Punktes des Körpers, mit x , ya, Za die Koordinaten des Fuß-
punktes der durch ihn gehenden Normalen an die Mittelfläche, mit
X, F, Z die RichtungskosinuB der nach außen gerichteten Normalen
der MittelÜäche.

über die Deformation gekrümmter elastischer Platten. '11

Für das Quadrat des Linienelementes ergibt sich - da

Xdx 9 + Ydy Q + Zde = u. XdX + Yd F+ ZdZ = —

ein Aasdruck der Form:

(l)[<rfj>* + ZaZdfrdK + a™dpl\ + 2[c ll dp\ + 2c, t dp 1 dp t + c ti dpl]p s

+ UhiM + 2Mft<*ft + h t dp*\pl + dp\.

Die erste quadratische Form links stellt das Quadrat des Linien-
elementes der Mittelfläche, die in p* multiplizierte Form das Quadrat
des Linienelementes der Gaußschen Kugel dar. Die Größen ci M sind
die sogenannten „Fundamentalgrößen zweiter Ordnung" der Mittelfläche. 1 )
In den allgemeinen Formeln der Art. I — IV hat man daher im
vorliegenden Fall Oj 8 = 0, a, s = 0, a M = 1 zu setzen. Daraus folgt:

(2) An = et,,, A il = a 11; A li = — a a , A 13 — 0, ^g = 0,

A u = A = a ll a n -a\ t .

Bezüglich der in Art. 2 eingeführten Größen j 'M reicht es für

die hier verfolgten Zwecke hin zu bemerken: Da (s. Art. 8.)

so ist

folglich

[ fi.3 ]

{YJ =0 für /* = 1,2,3.

Die Größen j }, j } (»=M) kommen im folgenden nicht in Betracht.

Was endlich die Größen {**), {**), j^} ft/«=i,» betrifft, so treten

im folgenden nur die Werte derselben auf, die auf der Mittelfläche
stattfinden, die also dem Wert jj, = entsprechen. Diese Werte sind
durch die Gleichungen definiert

dpJP,. ~ t 1 IdPt " 1 ~ t 2 \dp t ~ l ~ l 8 1 x >

"^ä^" - 1 1 Isä + l » J?£ + i s I *■

1) Vgl. Knoblauch, Einleitung in die Theorie der krummen Flächen 8. 24.

12

L. Maubkh:

Diese Gleichungen zeigen, daß für p s = die Größen I 1 die negativ
genommenen Fundamentalgrößen zweiter Ordnung der Mittelfläche sind,
daß also { H = — c,^ für p s = 0. Die dem Wert p, = entsprechen-
den Werte der Größen J £} (i,p,*=i,s) sind die bekannten Christoffel-

schen Verbindungen. 1 )

Die Winkel o, , co s , co 3l welche die nach außen gerichtete Normale
der Oberfläche des Körpers mit den nach außen gerichteten Normalen der
Flächen p x = const., p t =- const., p s = const. büdet, erhalten im vor-
liegenden Fall die Werte:

längs der äußeren Fläche S + : -z - 0,

inneren

s.-.\ \ .,

„ „ Randfläche A : w, m. =«

Die Bedingungen für die Oberfläche (Nr. 5, 6) lauten somit im
vorliegenden Fall:

(4) längs S + :N ls =~A(Pt),

„ S_: N is = + A(Pl),

„ R : -^-coso»! + -^cosro, = -VÄ(PP) (*='.*.><).

Hier bedeuten ~\/a(Pt), ya(Ps), (Pt) die Projektionen des äußeren
Drucks, der auf die Fläche S+ wirkt, auf die nach außen gerichteten
Normalen der Flächen p t = const., p t = const. und p t = const. oder 6i .
Die Bedeutung der Größen (-Pj) und (Pj*') ist hierdurch ohne
weiteres klar.

Wirken auf die Flächen S+ und S_ Druckkräfte im engeren Sinne
des Wortes (nicht Zugkräfte), so ist (Pt) negativ, (Pä) positiv.

9. Ewfukrung bescJiränkendw Voranssetisungen. — Wir machen nun
von der Annahme Gebrauch, daß die Dicke 2e der betrachteten Platte
sehr klein ist. Dabei halten wir durchweg an der Voraussetzung fest,
daß die Verschiebungskomponenten |j,|j,| s und ihre Derivierten erster
und zweiter Ordnung nach den Koordinaten — und dementsprechend
die Spannungskomponenten und ihre Derivirten — auch dann noch als
stetige Funktionen betrachtet werden dürfen, wenn wir t als unendlich

1) Vgl s. B. Knoblauch a. a. 0. S. 172.

über die Deformation gekrümmter elastischer Platten.

13

kleine Größe erster Ordnung betrachten. Mit anderen Worten: wir
schließen den Fall aus, daß die Verschiebungskoniponenten oder ihre

Derivierten erster und zweiter Ordnung bis zur Größenordnung ansteigen.

Hierzu ist zu bemerken: die Voraussetzung, daß die Komponenten
der Spannung, die im Innern des Körpers herrscht, sehr klein sind
und sich überall nach der Stetigkeit ändern, bedingt allerdings, daß die
Komponenten der Verrückungen und ihre ersten Derivierten nach den
Koordinaten sehr klein sind, aber sie schließt nicht aus, daß in Teilen
des Körpers der Quotient aus der Richtungsderivierten einer Spannungs-
komponente und der Komponente selbst (die logarithmische Richtungs-

deri vierte der Spannungskomponente) die Größenordnung — erreicht.

Es steht vielmehr a priori gar nicht fest, ob die Annahme, daß
dies nicht eintrete, überhaupt zulässig ist.

Im folgenden wird sich herausstellen, daß diese Annahme für ge-
wisse Formen der Platte zulässig ist, für andere nicht.

Die Größen a fir — und dementsprechend natürlich auch die Haupt-
dilatationen A,, A s , X s — sind nach unseren Voraussetzungen mindestens
unendlich kleine Größen erster Ordnung. Es kann jedoch der Fall
eintreten, daß diese Größen a ft ,, sämtlich unendlich klein von der
zweiten Ordnung sind, während die Derivierten nach der Richtung der
Normalen der Mittelfläche bis zur ersten Größenordnung ansteigen.
Denkt man sich die Größe a ur in eine nach Potenzen von p s fort-
schreitende Reihe entwickelt

'■ft*

= „<«>

«iTr + «,..ft+ l«r,fi + "

so kann man, wenn a^J. eine Größe erster Ordnung ist, die Glieder
tt'„,p if \« f irPl nnd ebenso alle folgenden als unendlich kleine Größen
höherer Ordnung gegen das erste vernachlässigen. Wenn dagegen
tJ£l unendlich klein von der zweiten Ordnung ist, muß das zweite Glied
u p*Ps beibehalten werden. Es ist sonach ersichtlich, daß die beiden
Falle eine ganz verschiedene Behandlung erfordern.

Im folgenden beschränke ich mich auf den Fall, daß die Größen
«,,, kleine Größen erster Ordnung sind, und behalte mir vor, auf den
zweiten Fall bei einer anderen Gelegenheit zurückzukommen.

Wir machen ferner zwei vereinfachende Voraussetzungen, die in
den praktisch in Betracht kommenden Fällen zulässig sind: wir sehen
ab von äußeren Kräften, die auf das Innere des Körpers wirken, ver-
nachlässigen also die Schwere; und wir nehmen zweitens an, daß auf
jede der beiden Oberflächen der Platte S f und S_ nur ein normaler

14

L M.utkkb:

konstanter Druck wirkt. Sofern zur Begrenzung des Körpers noch
eine Randfläche R gebort, so setzen wir voraus, daß der Druck, der
auf ein Element von R wirkt, auf der Normalen der Mittelfläche S
senkrecht steht, die durch das Flächenelement hindurch geht.

10. Folgerungen ans den eingeführten Voraussetzungen. — Nach
Voraussetzung sind die Schwankungen, die die Werte der Funktionen
| i7 a x , Nj. erfahren, wenn man längs einer Normalen der Mittelfläche
S fortschreitet, als unendlich kleine Größen höherer Ordnung zu be-
trachten. Daraus folgt zunächst: man kann den Wert einer dieser
Funktionen in einem beliebigem Punkt der Normalen durch den Wert
ersetzen, der im entsprechenden Punkt der Mittelfläche stattfindet.
Sodann ist bezügbeh der Funktionen N n , N S3 , N ss zu bemerken: Da
nach Voraussetzung auf die Flächen S + und S_ ein normaler, konstanter
Druck wirkt, so bat man in den Formeln 8, 4 (PI), (P£), (P^"), (Pj)
gleich Null zu setzen. Die Drucke (P*) und (P~) sind konstant. Die
Größen — (PJ) und (Pg) können sich nur um eine zu vernachlässigende
Größe unterscheiden. Wir setzen zur Vereinfachung der Bezeichnung:

-(P 8 + ) = (P-) = (P).

(P) ist positiv oder negativ, je nachdem auf die Flächen S + und S_
ein Druck wirkt oder ein Zug.

Wenn auch die. Größe (Pj) -+- (P,) im allgemeinen zu vernach-
lässigen iöt, so kann doch — wegen der Kleinheit von s — der

Quotient

(Pj)-HPä)

2e

einen Wert besitzen, der nicht vernachlässigt

werden darf. Dieser Wert möge mit Q bezeichnet werden. Die
Konstante Q ist positiv oder negativ, je nachdem auf die äußere oder
innere Fläche der größere Druck wirkt (vergl. die Bemerkung am
Schluß des Art. 8).

Auf Grund der vorausgesetzten Stetigkeit der Größen N Xfl und
ihrer Derivierten gelten für jeden Punkt des Körpers näherungsweise
die Gleichungen (s. 8, 4 u. 1)

(i) n is = o, n 33 = o, s u = « < - «;r) (n

Mit demselben Grad der Annäherung kann man den Differential-

8N *2

quotienten ^ durch den Quotienten ersetzen:

*s\

X

H

-A

2t

Demnach ist -^-J* = 0, ~54 — 0, In dem für -'„-- geltenden Näherungs-

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten. 15

wert darf der Quotient — ~ durch den für die Mittelfläche be-

'ÖA
rechneten Wert des Differentialquotienten ~— ersetzt werden, dieser

Wert ist (8, 1)

Wir erhalten somit den Näherungswert

TS» = KT«» + «S«u - *<«<*.) (P) + (« - «£■) Q,

und hieraus ergibt sich der Näherungswert

r um i«

+ («-<")«•

Die im vorangehenden als zulässig erwiesenen Vereinfachungen sind
nun in die Gleichungen (5) u. (6) des Art. 5 einzuführen.

Es ist zweckmäßig, gleichzeitig eine Vereinfachung in den Be-
zeichnungen eintreten zu lassen. Mit x, y, z, «, v, w, ax M , ax N Ni M £t
sollen im folgenden die Werte der genannten Funktionen bezeichnet
werden, die sie für p a = annehmen. Diese Größen werden also hin-
fort als Funktionen des Ortes auf der Mittelfläche betrachtet. Die
Determinante der quadratischen Binärformen

andp* + 2a li dp l dp i + ^dp* und c u dp* + 2c vt dp t dp t + c„dp\

bezeichnen wir mit a beziehungsweise c, ihre simultane Invariante mit
(o, c). Analog bezeichnen wir mit (a, a) die simultane Invariante der
Binärformen <L iX dp\-\ — • und « u d'i>J + --- An Stelle der Größen
N n N ls N nt die ursprünglich als Koeffizienten einer simultanen Kontra-
variante zweier Ternärformen definiert waren (Nr. 3 u. 6), führen wir
die Größen y u = N tt , y n = N IV y lt =» — N lt ein, die als Koeffizienten
einer simultanen Ko Variante der beiden Binärformen a n dp\ -f • • • und
tCy X dp\ -}- • • • zu betrachten sind.
Aus der Gleichung (5, 1)

22T [(1 + 9) \ A ifl - ftj = - N iß

folgt nun zunächst wegen

Aa - 0, A* - 0, A - A„ - a, N u - 0, 2V M - 0, 2f„ - a (P)

16 L. Madbkb:

(vgl. 8,2 u. Gleichung (1) dieses Art.)

Ai-O, Ä, = 0,

Nun ist

A =y!A lft a itt - (a, a) + aa,,.

«

Folglich

(3) Ä» = S a + ( X + •) « a > a ) + aa »»>

Andererseits ergeben sich für die Großen ß lfl aus ihrer Definition
(3, 3) die Ausdrücke:

Ai — «m«ss + «m> As = «ii«ss + »n> A» «i»«m-«i»>

As — «1»«*8 - «M«1S> A3 = °U«18 - °11«IS» Äs -(«,«)•

Wegen

As — °» Äs ■" ist auch «,, = 0, «, 8 — 0.

Setzt man den eben gefundenen Wert von ß iS in die Gleichung
(3) ein, so folgt:

_ = L_W * fo«>

und hieraus

4 = ^LfO j_ „_ l (f) , i («,«)

Nunmehr folgt aus den Gleichungen (5, 1) durch eine einfache Rechnung:

Für die Spannungen, die längs der Mittelfläche herrschen, ergeben sich
aus Art. VI die Gleichungen:

V<ki n u - - K^« + o^ft,],

ya,, a,, a

V^"s #*« - _, 1 [<h»yu + «isr«],

Die mechanische Bedeutung der Größen 77^ läßt sich nunmehr in
folgender Weise aussprechen:

(5)

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten.

17

a n^ni bedeutet die Projektion des Drucks, den die auf der
Innenseite der Kurve p — const. liegende Flache von außen her
erfahrt, auf die nach außen gerichtete, die Mittelfläche berührende
Normale der Kurve p l — const. Als Außenseite der Kurve p M =
const. ist die Seite zu betrachten, nach der hin die Koordinate p M
wachst.

11. Die Grundgleichungen des ProUems. — In den Gleichungen der
Elastizitätstheorie (5, 5 u. 6) haben wir nun folgende Substitutionen
vorzunehmen:

m--*. ish-^ i?)—^ m-o, n-o, i 3 3 8 )=o,

P 1 = 0, P,-0, P 8 = 0,

^ii - Ki> ^is — ru> #» = yu, ^i» = o, -Ni» = °,

dp,

o,

a^

*. — <*).-?£

4 M(j) + y5^.

Es ergibt sich

(1)

$1

0~7=

V«

»AI

(2)

(3)

a L^» 5? °» '$'«■ J " " yä L dp,

L^A

3p,

+

IVIfc -»(?}£ +{?)&]•

• Uli

dt*

.^ (P) . Q+ m.

Sofern die Mittelfläche nicht geschlossen ist, treten hierzu noch
die Randbedingungen (vergl. 8, 4)

(*)

Hier bedeutet ©j den Winkel, den die nach außen gerichtete, die
Mittelfläche berührende Normale der Randkurve mit der nach der Seite

AtcUt dar Mathematik und Physik. HI. Halb«. VI.

lg L. Maukkb:

der wachsenden jjj gerichteten, die Mittelfläche berührenden Normalen
der Kurve p\ = const. bildet. Eine analoge Bedeutung hat at t .

Den Zusammenhang zwischen den Größen yx^ und den Verrückungen
vermitteln die Gleichungen (10, 4 und 3, 1 u. 2)

(6) „,_ 2K [„„ + @ r » 5 _i+^) (1 ,J «.,>,»

und

1 /du^ dx_ , dv dy_ dw_ dz \
">» " 2 (d Pl d Pfl + dp, d Pfl + d Px d P J

, R , , 1 / du dx dv_ dy_ , dyi_ gg \

{*) { + 2 [d Pfi d Pi + d Pfl d Pi + d P(l d Pl )

Aus (5) folgt:

und hieraus

Demnach ist

(«, y) 2» ^ 015 r l + 3»(a, «)

(«. «) 2» (P) 1 1 + (a, r)

o ""1 + 3*2^ 2^1 + 3* a

(7) «,„ = ^ [W" _ r+r» « °'* + r+r» ( p ) a '*J •

Die Ausdrücke, die, negativ genommen, die rechten Seiten der Gleichungen
(1) und (2) bilden, hat Weingarten mit y a (pt) beziehungsweise y a (ft)
bezeichnet. Er beweist, daß diese Ausdrücke wie die Differentiale
dp lf dp s transformiert werden, was auch aus der hier durchgeführten
Entwicklung hervorgeht. Er beweist ferner, daß die beiden Ausdrücke
verschwinden, wenn man yi^ durch a^ oder durch typ ersetzt.

Man kann den Ausdrücken y a (iPi) undy a (p,) eine für manche An-
wendung bequemere Form geben.

Beachtet man nämlich daß 1 )

« i 22 l -u«. ! 22 1 - da » 12a » * i 22 l-u« j22i ia» M

1) Vergl. Knoblauch a.a.O. S. 170 u. f.

über die Deformation gekrümmter elastischer Platten. 19

so ergibt sich:

n v («\Ma- *, (*C\= * X 8 f ^lXll^lBi*lii \ d / «ll ft» ~ <*M yiA l
«ttJ'.(A) + -by.Cft)-yFL^ yg j-^( yg jj

12. Bedingungen für das Gleichgewicht. — Auf die Theorie der
Schwingungen gehe ich nicht weiter ein, sondern beschränke mich
darauf, die Bedingungen für das Gleichgewicht genauer zu untersuchen.

Für den Fall des Gleichgewichts erhalten die ersten 3 Gleichungen
des vorigen Artikels die Form:

r.(ft)-0, y a (ft) = 0,

(c, y) i (a, c) , m n

Wir denken uns nun die wirklich eintretende Deformation durch
Superposition aus zwei einfacheren Deformationen zusammengesetzt.
Die erste dieser beiden Deformationen entspreche der Annahme Q <=- 0,
die zweite der Annahme (P) = 0.

Für die erste Deformation gelten die Gleichungen:

1 r , l-f 2#(a, /) . * /w . -i

= 1 T— 8» I g p ' gy ■ gw' g* ■ du' dx . dv' gy gw' g*_l

2 |_g Pi dp M + g ft g^ + d P]i d Pft + g^ a ft + d Pfl dp, + g^ gpj •

Für die zweite Deformation gelten die Gleichungen
y- w (R)-0, yr(ft)-0, ( -^p=<?,

1 r „ l + 2» (q, y") -I

Hierzu kommen noch die 3 Gleichungen, die den Zusammenhang
zwischen den Größen «$',, und den Komponenten der Verrückung u", v", w"
vermitteln.

2*

20 Ii. Maubeb:

Wir genügen dem ersten Gleichungssystem durch die Annahme:

i£ E! = !|^^ (J) 1 — »
aj = y * "^ 4JST1 + 8d"

Diese Deformation besteht in einer gleichmaßigen Kompression
der Mittelfläche, bei der sie ihrer ursprünglichen Gestalt ähnlich
bleibt.

Da es sonach keine Schwierigkeit hat, den Fall, daß (P) von Null
verschieden ist, auf den Fall, daß (P) = 0, zurückzuführen, so setze
ich im folgenden (P) = voraus.

13. Über die Eindeutigkeit der Lösung. — Die für den Fall des
Gleichgewichts geltenden Differentialgleichungen erhalten nunmehr die
Form:

r.(ft)-0, y.(ft)-0, ( ^ = -Q.

Wenn die Mittelflache nicht geschlossen ist, so treten hierzu noch die
Randbedingungen

1 r COS«, COS». "1 /T>»\\

Die Dilatationen und die Verrückungen sind durch die Gleichungen
definiert:

Hierzu treten die Stetigkeitsbedingungen:

Die Größen yi h und £j sind auf der ganzen Mittelfläche einwertig
und stetig.

Wären die Größen yx^ und \\ durch die angegebenen Bedingungen
nicht eindeutig bestimmt, so müßte es ein System von Größen yi M &
geben, das den Gleichungen genügt, in die die vorstehenden übergehen,
wenn man Q und, falls die Fläche nicht geschlossen ist, auch (P^)
und (Pi">) gleich Null setzt.

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten. 21

Nun ist das über die ganze Mittelfläche erstreckte Integral

7/ L^W""äK + (Vl^- 2 ! 1 ! 2 )^-*-!?!^/^

-/W-Ä + IVIfc + lVKJ+^-a+ITK + ITW
-M-iS-sS + !?}•■ + I7»«-)W +Ä

Wenn die Mittelfläche geschlossen ist, so ist B = zu setzen; ist
sie durch eine Randkurve L begrenzt, so ist JB das längs dieser Kurve
erstreckte Integral

/*r/C08», COS dt), \ ,. , /COBO), cos», \,.~\dL

J [fe r "-v£ r ") fe + ( v?t fc - t€ »■) 4 v= '

Dieses Integral ist wegen der Anfangsbedingungen gleich Null.

Auf Grund der Gleichungen, die für die Verrückungen gelten, er-
gibt sich nun

-/■

Nun ist
und

Folglich

(c, r )-o
fc ^_«[i.-Ly»feÄ].

Weil die Form a u <?jpf + 2^,(2^^ + o»»^ definit ist, ist der
unter dem Integralzeichen stehende Ausdruck von Null verschieden
und positiv, sofern nicht alle 3 Größen ax M verschwinden.

Da nun J"=0, so folgt: die Größen ax M sind sämtlich =0. Das
Linienelement der Mittelfläche erfährt somit keine Dilatation. Daraus
folgt: Durch unsere Differentialgleichungen und die zugehörigen Stetig-

Tl

L. Mauiikr:

keits- und Anfangsbedingungen ist die Deformation der Mittelfläche
bis auf eine dehnungslose Biegung bestimmt.

Ißt die Mittelflüehe eine geschlossene Fläche mit überall positiver
Krümmung, so ist, wie Herr Liebmann bewiesen bat, eine dehnungs-
lose Biegung unmöglich. Die Frage, ob, beziehungsweise inwieweit
eine derartige Biegung bei geschlossenen Flächen möglich ist, deren
Krümmung teils positiv teils negativ ist, ist noch nicht be-
antwortet.

Ist die Mittelfläche nicht geschlossen, bo müssen, damit die De-
formation vollständig bestimmt ist, zu den oben angegebenen Rand-
bedingungen noch weitere Bedingungen treten, z. B. die Bedingung,
daß die Randkurve festgehalten wird.

Ob aber diese Bedingung auch zur Bestimmung der Deformation
hinreicht, muß dahingestellt bleiben.

14. Bestimmung der Komponenten der Verrückung. — Wenn die
Größen y t und damit auch die Größen «^ bekannt sind, so erfordert
die Bestimmung der Komponenten der Verrückung noch die Integra-
tion einer partiellen linearen, aber nicht homogenen Differential-
gleichung zweiter Ordnung und außerdem nur noch Quadraturen.

Um diese partielle Differentialgleichung aufzustellen, benützen wir
das von Herrn Weingarten angegebene Verfahren. 1 )

Es ist zweckmäßig, die nach den Richtungen der kartesischeu
Koordinaten geschätzten Komponenten der Verrückung m, v, w, nicht
die Größen ^ zu bestimmen.

Wir führen drei neue Unbekannte ein, nämlich

(1)
(2)

dx du

l r -^ dx du^ ^<te_ 3* 1

2]/i

Vi

du

dp.

%

■2»

Bu_

Hier ist zur Abkürzung

für

geschrieben u. s. w.

STi dx du

dx du , dy_ dv_ dt Bw
dPi dp, + cp l < r, (TP, *■/>,

1) über die Deformation einer biegsamen nnauadehnbaren Flache. Crelle»
Journal Bd. 100, EL 29Ö.

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten.

23

jj ist Differentialinvariantc. Es ist nämlich der Zähler des Aus-
drucks r t die lineare Invariante der bilinearen Differential form

>,,. t;, sind die Koeffizienten einer linearen Differentialko Variante, wie
unmittelbar aus der Gleichung

r hdPi + "ttdPt = Xdu -f Ydv -f Zdw
hervorgeht.

Um die mechanische Bedeutung der Größen ij t »j„ ij, zu erkennen,
denken wir uns einen Augenblick den Anfangspunkt der kartesischen
Koordinaten xye in einen Punkt der Mittelfläche verlegt und die posi-
tive --Achse mit der nach außen gerichteten Normalen zusammen-
fallend. Es ist dann

&4f, + n t dp t = dw.

Demnach ist -ß= der Kosinus des Winkels, den ein Linienelement,

das ursprünglich die Richtung der wachsenden ;jj hatte, nach Eintritt
der Deformation mit der ursprünglichen Richtung der Plächennormalen
bildet. Analog ist die Bedeutung von ij, zu erklären.

Im Falle, daß die Koordinatenlinien p x = const., p % = const. auf

-~ die Komponenten der

Drehung um die Linien p L = const. beziehungsweise p a = const.

Wählt man einen Augenblick die kartesischen Koordinaten x, y
als unabhängige Variable, so wird •

V ~ i \dy dx)>

einander senkrecht stehen, bedeuten —L

r t bedeutet somit die Komponente der Drehung um die Normale der
Mittelfläche. ■)

An Stelle der Gleichungen

trete

(i. /•-=!. S)

treten nunmehr die Gleichungen:
y^idx du

(3)

'M>

x du

^-j dpi 2p,

= «u + n\a,

^y7 ex du
jLj dp t Jp\
X 1 dx du ,/-

! l»ie hier mit jj bezeichnete Größe bezeichnet Weingarten a a. 0. mit rp
und nennt sie „Verschiebungsfunktion".

24 L- Maurer

Hierzu kommt die Gleichung (s. 11, 7)

( 4 ) «im - äIa

1 + 2».

wo zur Abkürzung ^-^ = H gesetzt ist.
Nun folgt aus (3)

w -Zf a P ? a». ^ a»,a». a».

2*« 8u ^i d*x du gttjj , gtiVa

ap,

dp* dp t ^J dp t dp t dp x
Um die rechte Seite dieser Gleichung umzuformen, bemerken wir, daß

£-*[{?) + 1M-*[(71+?)}

Folglich

(6)

3p, dPt dPi v

V*

dp t J

+[(?} + {?)>.

-[("} + (» S )K+Ä+^[I") + !?}>•

Um die linke Seite der Gleichung (5) umzuformen, machen wir
von den Gleichungen

d*x np\ dx_, f*<*\ifL_ y

a^a» "Ji Ja*, + ( * jap, C ^ A

a, /•=!, »)

und den Gleichungen, die sich aus diesen durch eyklische Vertauschung
Ton x, y, e ergeben, Gebrauch. Wir erhalten mit Rücksicht auf (3):
\?td*xdu ^7 d*x du f 111 r . /-, . fin

2 Jp\W t ~ 2 äpTäpTä^^i i J [a » + i™ + {« j«»-^»

Diesen Wert setzen wir in die Gleichung (5) ein und benutzen gleich-
zeitig (6). Es ergibt sich:

Yä

r a «ü

asn

äp7" ä*7_H 2 K + 2 I 2 N -| 2 N

Mit Benutzung der Wein garten sehen Bezeichnung kann man
hierfür schreiben

a «^ = yääp7+ ä

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten. 25

Nun ist zufolge (4):
/ \ 1 T f \ * + 2 * rr / \ 1 + 2*1/ dH dH\\

«„(ft) - islr.Cft) - I+M Ha M - r+3*ä KäS ~ *»5a)J'
also weü y a (ft) = (Nr. 12) und a a (p t ) = (Nr. 11)
/7\ - - i/~3fl 11 + 2*/ dH dH\

Vertauscht man jp, und j3 s , wobei — ij an Stelle von i? tritt, so er-
gibt sich:

Wir losen die Gleichungen (7) und (8) nach ij t und rj, auf. Wir
erhalten:

(9)

-i/TA. 3 1 - 2 *1\ * 1 + 2* 1 A dH , . dH\
,/-/ 0»} . a»j\ 1 1 + 2* / . dH , . 8H\

Hier ist zur Abkürzung gesetzt:

a^ u = «ii c« — a 18 c n ,
a-4 M = a u Cjj — «tjCij-

Die Großen Ai^ haben eine einfache Bedeutung. Es bestehen nämlich
die Gleichungen

3X . dx . A dx

dTr Ax W, + ÄXi d£

(1-1, 8)

und die 4 weiteren Gleichungen, die sich aus diesen durch cyklische
Vertauschung von #, j/, e ergeben.
Nun folgt aus (2) und (3):

dp, dp l £i dp, dp t ^j dp t dp,
= UjtOn + ^, 8 («m - vYa)] - Uu(«h + ^y«) + 4s«m1
= [^»i«ii - A»«»» - Ki - ^»i)«i»] - nVäiAi + -4»)-

Den Ausdruck in der ersten Klammer auf der rechten Seite kann man
in der Form schreiben

1

a

»n

a,,

a»

1

"~ 2Äa

«ii

a u

«M

%

c i»

Cgj

<ii

c u

Cgg

«ii

«i»

«M

yn

r»

y»

26

F. DoLEZAf.KK und A, Eükj.im;:

Die rechts stehende Determinante — die simultane Invariante der drei
quadratischen Formen a u dp\ -f- . ., c^dpl + . ., y n dp\ + .. bezeichnen
wir zur Abkürzung mit {a, c f y).

a

Es ist ferner A n + Ä ii

Wir erhalten somit:

1 (a,c,y) (a,c)

Führen wir hier für ij, und tj a die Werte (9) ein, so erhalten wir
für ij die partielle Differentialgleichung

(11)

l/ä $A L e \^d Pi C "dpJ] + y« dp, L « V^A ° 1S ^,/J
3 \ a lA dH J- A dS W\ 1 f 8 '«-")

-f

Ist ij bestimmt, so ergeben sich i} Y und jj s aus den Gleichungen (9),
und es lassen sich alsdann die Derivierten der Komponenten u, v, w
berechnen. Die Bestimmung der Komponenten selbst erfordert dann
nur mehr Quadraturen. (Fortwuung folgt)

Untersuchungen über telephonische Fernleitungen
Pupinachen Systems, 1 )

Von F. Dolezalek und A. Ebeling in Berlin.

Für die moderne Femtelephonie, die sich zur Übermittelung der
Zeichen bekanntlich der Wechselströme bedient, liegt eine Haupt
Schwierigkeit der Entwickelung in der schädlichen Wirkung der elektro-
statischen Kapazität, die sieh in um so höheren Maße fühlbar macht,
je länger die jeweilige Linie ist, und die in Kabeln einen noch fünf
mal so großen Wert erreicht als in einer gleich langen Freileitung.
Da die Fortpflanzung einer elektrischen Welle über einen Leitungsdraht
in einer fortwährenden Umwandlung elektrokinetischer Energie in

1) Referat über den gleichnamigen Aufsatz der Verfasser in Nr. 49 der
.Elektrotechnischen Zeitschrift" vom 4. Dezember 1902.

Untersuchungen über telephonische Fernleitungen Pupinschen System». 27

elektrostatische und magnetische Energie besteht, so steigt mit
wachsender Kapazität auch die Intensität der Ladungsströme und damit
die Größe der Energieverluste durch Joulesehe Wärme.

Wird nun die Energiezerstreuung zu groß, so wird die Leitung
für praktische Zwecke unbrauchbar, denn die Deutlichkeit der über-
mittelten telephonischen und telegraphischen Zeichen nimmt in dem-
selben Maße ab, als Energie verloren geht, und zwar unter Umständen
bis zur völligen Unverständlichkeit.

Dein Energie zerstörenden Einfluß der Kapazität und des Leitungs-
widerstandes läßt sich nun aber entgegenwirken, wenn man die Selbst-
induktion der Leitung hinreichend vergrößert. Man erreicht dadurch,
daß die Energieaufspeicherung sich znm größeren Teil in Form von
magnetischer Energie vollzieht, und drückt durch die Vermehrung der
Impedanz die Intensität der Ladungsströme und die Wärmeverluste
herab.

Verschiedene ältere Versuche, die Seibatinduktion einer Leitung
nach Möglichkeit zu steigern, haben praktisch nur zu bedingt brauch-
baren Resultaten geführt. Eine Umkleidung des Leiters mit Eisen
stellte die nächstliegende Methode zur Erhöhung der Induktanz dar,
doch wurde die schädliche Wirkung der Kapazität dadurch gleichzeitig
viel zn sehr gefördert, als daß man diesen Weg praktisch hätte ver-
werten können. Weit bedeutendere Wirkungen lassen sich erzielen,
wenn man in gewissen, regelmäßigen Abständen die Leitung an mehreren
Stellen unterbricht und Drahtspulen mit hoher Selbstinduktion ein-
schaltet. Diese Methode, die zuerst von Heaviside und Silvanua
Thompson angegeben wurde, hat gegenüber der erstgenannten
nicht nur den Vorzug eines außerordentlich viel kräftigeren Effektes,
sondern sie zeichnet sich auch dadurch vor jener aus, daß durch
die Einschaltang der Spillen die Kapazität der Leitung nicht ver-
mehrt wird.

Es zeigte sich aber, daß die Thompaon-Heavisidesche Methode,
so richtig ihr Grundgedanke war, in ihrer Allgemeinheit noch nicht
genügte, um eine praktisch brauchbare und zuverlässige Verbesserung
der Lautübertragung herbeizuführen.

Der Amerikaner Michael J. Pupin nun war es, der der Theorie
diejenige Durchbildung gab, welche eine praktische Anwendung und
eine unbedingt zuverlässige und überaus rationelle Verwertung er-
möglichte. Ehe wir aber den Wert der Erfindung betrachten, wollen
wir in aller Kürze die theoretischen Gedanken verfolgen, durch
welche Pupin zu seinem glücklichen Abschluß des Thompson-
Heavisideschen Ideenganges geführt wurde.

28

F. Doleza.e.kk und A. Ebklixo:

Es möge bedeuten:
x — die Leitung,
l = die Länge der Leitung,

n = die Periodenzahl eines harmonischen Wechselstromes,
C -■ die Kapazität der Einfachleitung pro km,
L — die Selbstinduktion „ „ „ ,

R = den Widerstand „ „ „ ,

J = die variable Stromstärke in irgend einem Punkt der Leit
Aus der Gültigkeit des Ohm sehen Gesetzes folgt dann, daß in dem

L -jy dx\ , ver-
mehrt um den Spannungsverlust durch Widerstand (RJdx), gleich ist

(d V \
— -5— dx) , also :

(L% + Rj)dx —

dV
dx

dx.

Das Vorhandensein von Kapazität bedingt ferner eine Abnahme
der Stromstärke mit der Leitung, welche bestimmt wird durch die

Gleichung:

_dJ =c dV
dx dt

Aus den beiden genannten Gleichungen ergibt sich für die Wellen-
fortpflanzung in einem absolut gleichförmigen Leiter die bekannte
Differentialgleichung :

(!)

r d>J p d J

dm 1

In Wirklichkeit werden nun aber in der Leitung stets ein Geber-
und ein Empfängerapparat vorgeschaltet sein, so daß die Stromfunktion
Bedingungsgleichungen zu genügen hat, die durch die elektrischen
Konstanten der Apparate bestimmt werden.

Die durch den Geber erzeugte elektromagnetische Kraft Bei dar-
gestellt durch die Zeitfunktion e — f(t) = Ee'>", worin p = 2»»,
n = Periodenzahl pro Sek.

Selbstinduktion, Kapazität und Widerstand des Geber- bezw. des
Empfängerapparates seien L , R 0> C bezw. L u R lf O v Ferner seien die
Potentiale an den Polen des Gebers, aleo für x = und x = 2l,
V und V iU entsprechend den Polen des Empfängers, also für x = l,
V, und Vi, ebenso bedeute P die Potentialdifferenz am Kondensator '"„,
P, diejenige am Kondensator C v

Untersuchungen über telephonische Fernleitungen Pupinschcn Systems. 29

Dann lassen sich die beiden Grenzbedingungen in folgender Form
darstellen :

ä.j

(2)

(l.^ + jj.j+p.+ k;- wä

Die Symmetrie des Systems fordert nun aber, &
der Linie F= — V ist, also auch:

(l.

an allen Punkten

f = - r„ und k, - r P

Wenn wir schließlich noch für l — x den Wert $ einsetzen, bo
ergibt sich als Lösung der Differentialgleichung:

(3) J = (K t cos ml + £, sin «* 6) «*• *,

welche der Gleichung (1) genügt, wenn:

-m^ipCiipL + R).

m ist eine komplexe Größe, welche wir — a + iß setzen wollen.
Dann wird:

- w » = - (« + iß)* = ipC {ipL + R),

«-y«p[yp"i? + *■+*£],

/ 5 = ]/^lypL*TÄ i -;>LJ,

Die Werte von a und haben eine sehr hohe praktische Be-
deutung, wie wir sogleich zeigen wollen.

Bemerkt muß noch werden, daß in obigen Formeln im Falle einer
Doppelleitung L durch 2L } C durch den Wert für die gegenseitige
Kapazität, 11 durch 2 R zu ersetzen ist.

Der Vereinfachung halber sei angenommen, daß nur der Geber
eine merkliche Impedanz besitzt, daß dagegen die Impedanz des
Empfängers zu vernachlässigen ist.

Die effektiven Stromstärken im Geber (£ = V) und Empfanger (| = 0)
seien I t und /,; dann gilt die Gleichung:

wob«

Am.

2 7„

ytfif + e-ipi + 2 co« 2*| '

wobei a und ß nach Gleichung (4) und (5) aus den elektrischen Konstanten
der Leitung zu berechnen sind. Im Falle einer kurzen Leitung von
geringem Widerstand, geringerer Kapazität und großer Selbstinduktion

30

F. DoLEUALKK Und A. EßKLIIfG:

reduzieren sich c*-** und e~ a > t t zu 1, und es ergibt sich die Gleichung
einer stehenden Welle. Die Größe «, welche die Wellenlänge bestimmt,
heißt die WcllenlüngenkcmstaHte.

Bei einer langen, stark dämpfenden Linie wird das Verhältnis von
Anfangs- und Endstrom ausschließlich durch e.?^ bestimmt, d. h. aber
durch die Größe ß. Diese ist daher für die Weileiifortpflanzuug von
entscheidender Bedeutung und führt den Namen Dänipfungskonstante.
Wie aus Gleichuug (5) zu ersehen ist, nimmt ß ab, wenn L größer wird,
d. h. mit wachsender Selbstinduktion wird die Dämpfung geringer, also
der Endstrom ßtärker.

Wird die Selbstinduktion so weit erhöht, daß der Widerstand Ii
klein ist im Verhältnis zum Wert p • L, so reduziert sich die Gleichung
für ß auf eine bemerkenswerte Form, welche die Periodenzahl nicht
mehr enthält:

Diese Gleichung besagt, daß die Erhöhung der Selbstinduktion
nicht nur die Dämpfung heruntersetzt, sondern auch eine gleichmäßige
Dämpfung für die verschiedenen Schwingungen der Sprechströme herbei-
führt, was für die Lautheit der übertragenen Sprache von großer Be-
deutung ist.

Die bisherigen Betrachtungen beziehen sich auf eine Linie mit stetig
verteilter Selbstinduktion. Für den Fall diskret verteilter Induktanz-
ijuellen kommen dann noch ebensoviele Bedingungsgleichungen hinzu,
als Induktionsspulen vorhanden sind. Diesen Fall hat Pupin behandelt,
und er kommt zu dem wichtigen Resultat: Diskret verteilte Selbst-
induktion vermindert nur dann die Dämpfungskonstante ebenso wie
stetig verteilte, wenn der Abstand der Induktionsquellen einen Bruch-
teil der Wellenlänge deB über den Leiter fortzupflanzenden Wechsel-
stromes beträgt.

In Europa war es die Firma Siemens & HalBke, welche die
Pupinschen Gedanken aufnahm, erfolgreich weiterführte und ihre hohe
Bedeutimg für praktische Zwecke durch zahlreiche Versuche im Labo-
ratorium und an im öffentlichen Gebrauch befindlichen Strecken nach-
wies, welche ihr von der deutschen Reichspostverwaltung zur Ver-
fügimg gestellt wurden. Die ersten Versuche im großen wurden an
einem zwischen Berlin und Potsdam verlegten, 82,0 km langen Fern-
sprechkabel angestellt, das 28 Fernsprechkreise (Doppelleitungen) mit
1,0 mm starken Kupferleitern enthält. 14 von diesen Doppelkreisen
wurden mit Pupinspulen ausgerüstet, während die 14 anderen, um Ver-
gleiche zu ermöglichen, im ursprünglichen Zustande gelassen wurden.

Untersuchungen über telephoniache Fernleitungen Pupinschen Systems. 31

Der Abstand der Spulen von einander wurde auf ca. 1300 m festgesetzt;
jede Spule hatte einen Widerstand von je ca. 4,1 Ohm für Hin- und
Rückleitung und eine Selbstinduktion von ca. 0,002 Henry aufzuweisen.
Es zeigte sieb, daß durch diese Vorkehrungen der Wert der Selbst-
induktion auf den 200 fachen Wert gesteigert, die Dämpfungskonstante
auf den 4 lnn Teil des ursprünglichen Wertes erniedrigt wurde. Ent-
sprechend groß war natürlich auch die erzielte Sprech Verbesserung: über
fünf hintereinander geschaltete Sprechkreise, also über ca. 162,5 km
Entfernung, erhielt man etwa, bei Anwendung von Pupinspulen, die
gleiche Sprechlautheit wie über eine einzige, 32,5 km lange Schleife
ohne Spulenausrüstung.

Weitere Versuche wurden an einer 150 km langen Bronzefrei-
U-itung von 2 nun Durchmesser angestellt, welche zwischen Berlin und
Magdeburg den Fernsprechverkehr zum Teil vermittelt. Die an dieser
Linie angestellten Versuche ergaben ein ebenso günstiges Resultat wie
die am Kabel Berlin-Potsdam, denn die mit der Pupinausrüstung ver-
sehene Freileitung von 2 mm ergab ein bedeutend besseres Sprech-
resultat als eine nur wenig längere Freileitung von 3 mm, welche keine
Pupinausrüstung aufwies.

Dynamometrische Messungen, mittelst deren die Abnahme des
Stromes mit der Länge der Leiter festgestellt wurde, bestätigen in jeder
Hinsicht die theoretisch gewonnenen und die Sprechresultate. Die
Vereuche wurden so angestellt, daß man in die Leitungen einen
konstanten Wechselstrom sandte und in verschiedenen Entfernungen
die ankommende Stromstärke sowohl für die mit Selbstinduktions-
spulen belastete Linie als auch die unbelastete Linie feststellte. Die
Fig. 1 und 2 zeigen diese Resultate für das Kabel Berlin-Potsdam und
zwar in Fig. 1 für einen Wechselstrom von 900 Perioden und in
Fig. 2 für 400 Perioden. Die Abscissen zeigen die Linienlünge iu
Kilometern, die Ordinaten deu Endstrom in Milliampere, wobei der
W ert für die Abscisse Null den Strom am Anfang der Linie, also
am Geberapparat, anzeigt. Die Kurven zeigen deutlich, daß die Ab-
schwächung der in den Anfang der Linie gesandten Stromstärke bei
der mit Spulen belasteten Linie bedeutend geringer ist als hei der nicht
belasteten Linie. Auch zeigt ein Vergleich der Figuren 1 und 2, daß
das Verhältnis der Dämpfung zwischen Schwingungen von 900 und 400
I'enoden bei dem mit Pupinspulen belasteten Kabel etwa 1 : 1,0 beträgt,
bei dem reinen Kabel dagegen 1:6; entsprechend der Theorie ergibt
»ich also eine fast gleichmäßige Übertragung sämtlicher Schwingungen
bei dem mit Spulen belasteten Kabel, und daraus erklärt sich auch die
in der Tat erzielte tadellose Klarheit der erhaltenen Sprache.

32

F. Dulezalek und A. Ebkliko:

Im übrigen ergibt sich auch für 900 Perioden, welche einen
mittleren Wert der für die menschliche Sprache in Frage kommendeu

Flg. I.

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150

200

250 JUob'ii

Fig. ».

Schwingungen darstellen, daß die Ordinaten der Kurven fdr 32,5
nicht belastetes Kabel und 1G0 km Pupinkabel angenähert identisch

Untersuchungen über telephonische Fernleitungen Pupinschen Systems. 33

sind, was dem oben angeführten Resultate der Sprechversuche ent-
spricht.

Gleiche Messungen, die an den Versuchs-Freileitungen Berlin-
Magdeburg mit 900 Perioden angestellt wurden, wobei die Länge der
Linien nicht verändert werden konnte, ergaben bei einem in die Linie
gesandten Anfangsstrom von 3,38 Milliampere einen Endatroin von

0,53 Milliamp. für 150 km Leitung 2 mm Draht ohne Spulen ,

0,84
2,20

180
150

B

2

»
mit

Durch das Einführen der Selbstinduktionsspulen konnte man also den
Endstrom auf den vierfachen Wert bringen.

Bei diesen Messungen war die Impedanz der den Endstrom
messenden Apparate nicht, wie theoretisch gefordert, zu vernachlässigen,
sondern den telephonischen Em pfangsap paraten angepaßt. Um ein Bild
darüber zu erhalten, ob die praktischen Werte auch für den theoretisch
abgeleiteten Fall gelten, daß die Impedanz zu vernachlässigen ist, wurde
ein Versuch im Laboratorium so ausgeführt, daß man die Impedanz
variierte und aus der gewonnenen Kurve den idealen Fall der Impedanz
Null extrapolierte. Die graphische Extrapolation ergab hierbei einen
Wert für die Impedanz Null zwischen 1,2 und 1,7 Milliampere, während
die Theorie den Wert 1,45 Milliamp. forderte. Es bestätigt dies, daß
die für den effektiven Endstrom abgeleitete Gleichung

1 =

yV^-r-e */**-f 2 cos 2«|

in der Tat richtig sein dürfte.

Es blieb noch nachzuweisen, daß der Kernpunkt deB Pupinschen
Svstems richtig sei, daß nämlich die Einschaltung der Selbstinduktions-
spulen nur dann eine Verminderung der Dämpfung herbeiführen kann,
•wenn der Spulenabstand einen Bruchteil des über den Wellenleiter fort-
pflanzenden Wechselstromes beträgt, und daß bei größeren Abständen
eine Reflexion der Welle eintritt. Die Versuche, deren Resultate in
den Fig. 3 und 4 wiedergegeben sind, wurden im Laboratorium bei 900,
600 und 400 Perioden gewonnen. Bei allen Messungen wurden Wider-
stand, Kapazität und Selbstinduktion konstant gehalten, nur die Ver-
teüung der Selbstinduktion wurde geändert. Die Resultate bestätigen
durchaus die Theorie. In Fig. 3 ist der Abstand der Spulen in km als
Abseisse, der Endstrom als Ordinate aufgetragen, für die drei ver-
schiedenen Perioden sinkt der Endstrom bei ca. 6, 8 und 11 km Spulen-
abstand zu Null herunter; diese Abstände bezeichnen die Grenze,

Archiv der M&tbenutik und Pbyiik. III. Heih« VI 3

34 F- Dolkialkk n, A. Ebklimo: Untewnchnngeu über telepbon. Fernleitungen etc.

oberhalb deren kein Strom für die entsprechende Periode des Wechsel-
stromes bei der gewählten Kabellänge von beüünfig 28 km mit <>,8 nun

£tn & ^tq-^tj ovwb, X?91o

m<

tat vp.

Flg. 3.

Kupferleiter mehr am Ende der Linie ankommt. Trägt man die Kurve
so ein, daß die Abscissen den Wert der Spulenzahl pro Wellenlänge
angeben, so zeigt sich, daß in der Tat eine Wellenlänge für 400 Perioden

Fi,, I

die Grenze iefc, für höhere Perioden, die bei der menschlichen Stimme
wesentlich sind, liegt diese Grenze bei etwa 2 Spulen pro Wellenlänge.
Diese Resultate bestätigen sich, wenn man das Empfangadynamometer
durch ein Telephon ersetzt.

R. y. LrLisvTiiAL: Zur Theorie der infinitesimnlen Transformationen der Ebene. 35

Diese Untersuchungen zeigen, daß die theoretisch sich ergebenden,
großen Effekte in der Tat erzielt werden, sodaß die Erfindung Pupius
als eine epochemachende auf dem Gebiet der Telephonie zu bezeichnen
ist, insofern nunmehr eine telephonische Verständigung zwischen den
wichtigsten Städten des gesamten Europa möglich ist.

Berlin, im März 1903.
Im

Zur Theorie der infinitesimalen Transformationen
der Ebene.

Von R. von Lilientiial in Münster i. W.

Im folgenden stelle ich zunächst der Lieschen Auffassung des

Systems :

<lx

dy

dt =fcfo y)r Tt -fttesO

dt

eine zweite an die Seite, die sich bei der Betrachtung krummliniger
Koordinaten, in der Ebene eigentlich von selbst ergibt, nnd behandle
sodann den Fall, in dem die Veränderliche t die Bedeutung der Bogen-
länge der Bahnkurven der zugehörigen Gruppe von Transformationen
besitzt. Dies Beispiel scheint mir sowohl wegen seiner Allgemeinheit
wie wegen seiner Anschaulichkeit besonders lehrreich zu sein.
1. Das System von Differentialgleichungen:

(1)

!f-fc(*»y)i ^? =&(*,!/)

faßt Lie als „eine infinitesimale Transformation" bestimmend auf, d. h.
als eine Bolche, die den Punkt mit den Koordinaten x, y in den Punkt
mit den Koordinaten x + g 1 dt } y + g s dt überführt. Die Integration
des Systems liefert die Gleichungen der durch jene infinitesimale
Transformation erzeugten „Gruppe von Transformationen" in der Form:

( 2 ) « = F t (x tt y , /), y = F t (x 0) y pj t),

wo die willkürlichen Konstanten x , y als die Werte von x und y für
/ = angesehen werden können.

Eliminiert man t aus den Gleichungen (2), so entstehe:

(3) F{x, y, x„ y ) = 0.

Da diese Beziehung mit dem Integral der Gleichung: -p = - gleich-
bedeutend sein muß, können in ihr .r , y^ nur in einer festen Verbindung

3'

36

lt. v Limentiul:

auftreten, die dann die Rolle eines Parameters spielt, d. h. die Glei-
chung (3) muß die Form haben 1 ):

G(x, y, tp{x ot y )) - 0.

Eine Hauptfrage ist nun die, wann eine gegebene Differentialgleichung
erster Ordnung:

die durch (1) bestimmte Transformation gestattet, oder mit anderen
Worten, wann die Integralkurven der Gleichung (4) durch die Trans-
formation (1) in einander übergeführt werden. Diese Frage ist zu be-
jahen, falls für jedes WertsyBtem x, y die Gleichung:

(5)

£ + ♦('

dg,
dy

ex) v dy -&dx + 9' dy

erfüllt ist. 8 )

Lie hat dieser Bedingung noch andere Formen gegeben.
f(x, y) irgend eine Funktion von x und y, so nehme man:

Ist

"<«-K+*ff

m-n,ü + 9,%-

Unsere Bedingungsgleichung wird dann:

(ö) A{ 9t )-B^)^tA{ 3l ).

Die Operationen A(f) und B(f) nennt Lie „Symbole infinitesimaler
Transformationen." In Betreff ihrer gilt der Satz:

A (!?(/■)) - B(A(f)) - AM d / x +{A {g t ) - B{*) ) g ,

sodaß man die Bedingung (6) auch durch die mit Hilfe einer will-
kürlich gelassenen Funktion f(x, y) gebildete Gleichung:

(7) A(B{f))-B(A(f))=A( 9l ).A(n

ersetzen kann.

Wir stellen nun der Lieschen Auffassung der Gleichungen (1)
eine zweite, die Benutzung unendlich kleiner Größen vermeidende, an
die Seite und entwickeln zuvor den Begriff „System von Parameter-
linien",

1) Lie-Schefferfi.: Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten
infinitesimalen Transformationen S. 68.

2) Mathematische Annalen. Bd. 20. S. 361, Bd. 11. S. 490. Vergl. Lehrbuch
der Differential- und Integralrechnung von Serret-Harnack. Bd. 2. Zweite
Hälfte. Leipzig 1886 S. 117.

Zur Theorie der infinitesimalen Transformationen der Ebene.

37

Durch die Gleichungen :

werden zwei einfach unendliche Scharen von Kurven, die Kurven
t = const., t = const. festgelegt, sofern die Determinante:

dt dt

MM

dt dt >

wie vorausgesetzt werden soll, nicht durchgängig verschwindet.

Von diesen beiden Scharen sagen wir, daß sie ein „System von
Parameterlinien" bilden.

Wir denken uns die Werte von t und x durch die Punkte zweier
Geraden, der f-Achse und der r-Achse, versinnbildet. Je nachdem in
den Gleichungen (8) x als Parameter, t als Veränderliehe oder t als
Parameter, x als Veränderliche aufgefaßt wird, stellen sie die endlichen
Gleichungen der Abbildung der Schar x — const. auf die f-Achse oder
der Schar t = const. auf die r-Achse dar.

Ersetzt man in J-'- , -4t die Größen t und r durch ihre aus (8)

berechneten Ausdrücke in .r, y, so entstehe:

(9)

a?-fc(*,jf)i Jf-ftfoy).

Ersetzt man ebenso in -4 1 , -/'die Größen t und t durch ihre

dt ' dt

Werte in x und y, so ergebe sich:
(10)

jf-M*>*)i sv-*»foy>

Die Gleichungen (9) stellen die Differentialgleichungen der Ab-
bildung der Schar z = const. auf die i-Achse, die Gleichungen (10) die
Differentialgleichungen der Abbildung der Schar t = conBt auf dio
t-Achse dar.

Die Funktionen g lt g i} h v A, sind nicht unabhängig von einander, da:

dx

~di~

dy
dt

dy

dt

dt

Dies liefert die beiden für jedes Wertsystem von x und y bestehenden
Gleichungen:

fit "i + By"' dx 9 ^ iy g *'

(Hl

•d

dg.

ch.

S*« + ^-Bft +

d\

9%

38

H V. LlLlESTHAL:

Setzt man hier A, = h^, so kommt:
f 3 logf Ä t m L d log*)

(12)

dx^ p \dy dx) * dy ^dx +9 *d V

Die letzte dieser Beziehungen stimmt überein mit der Gleichung (5).

Nehmen wir die Gleichungen (9) als gegeben an, so folgt aus

ihnen zunächst die Differentialgleichung einer einfach unendlichen

Knrvenschar: , —-, deren Integralgleichung: y = tp (x, t) sei. Da-
da? 0|

durch geht die erste der Gleichungen (9) in die folgende über:

df = 9\ (*, 9 (*, t)).

Um diese zu integrieren, müssen wir für jede Kurve t = const. die .r-Koor-
dinate des Punktes kennen, der einem festen, beliebig gewählton, Werte
von t, etwa i = 0, entspricht. Diese ;r-Koordinate wird somit ein»-
Funktion von t, die wir mit f(r) bezeichnen wollen. Dann besteht
das Integral der letzten Gleichung in der Beziehung:

J 9i

dx

(X>tp[Z,T))

= t.

Hiernach ist mit den Gleichungen (9) nur eine Kurvenschar r = const.
verträglich, aber infolge der willkürlich zu treffenden Wahl von f(r)
sind mit ihnen oo" viele Scharen t = const. verträglich, und jede der
letzteren ist bestimmt, sobald wir den Ort der Punkte kennen, die auf
den Kurven t = const. dem Werte t = entsprechen.

Die letzte der Gleichungen (12) lehrt, daß die Frage, unter welcher

Bedingung die Differentialgleichung: ." = # (x, y) die infinitesimale

Transformation (9) gestattet, gleichbedeutend ist mit der Frage nach

der Bedingung, unter welcher die durch die Gleichung: -~ = ^ (x, y)

festgelegte Kurvenschar zu den mit den Gleichungen (9) verträglichen
Scharen t = const. gehört. Wir drücken den letzteren Umstand kurz
so aus, daß wir sagen, die beiden Scharen der Integralkurven der
Differentialgleichungen

a|-*(*»y),

9i

bilden ein System von Parameterlinien, in dem t die Rolle eines
meters spielt in Gemäßheit mit den Gleichungen (9).

Zur Theorie der infinitesimalen Transformationen der Ebene.

39

Allgemein seien nun zwei Systeme simultaner Differentialgleichungen
erster Ordnung gegeben:

j* = <fi (*, *) i d ft = ä(*» y) ; ^- Kfa v)> ■£- *ite y) ■

Unter welchen Bedingungen werden die beiden Scharen von Integral-
kurven der Gleichungen:

da: p, ' dz fij

ein System von Parameterlinien bilden, in dem t oder r oder i und r
die Rolle eines Parameters spielt in Geinäßheit mit den gegebenen
Gleichungen?

Wir schlagen zur Beantwortung dieser Frage einen von dem bis-
herigen verschiedenen Weg ein.

Ist f(x, y) eine beliebige Funktion von x und y, so hat man:

äf- % T, + % T, - $1* + §-'*,) T, + fäk, + %H,) T, ,

falls:

T _ h t dx — \dy T
1 ' **,-*,*, ' *

— g t dx + g,dy

SiK — fft h i

Es wird sich zeigen, daß t oder t als Parameter auftritt, je nachdem
T l oder T 3 ein exaktes Differential ist.

Die Ableitungen -77 , -s- sind „Symbole infinitesimaler Trans-
formationen".

4t d Tr

Wir schreiben statt — j — und —*?■ bezüglich 3 --,- und -3—^

dt dt 6 dtdx dxdt

tiini finden zunächst:

n av d'f d*J^ /dj, _ dM df , /|& ' dA,\ ^

^ 10 J dtdr drd« \,/r dt^x^Ur d</0y'

Bezeichnen ir, und i> s integrierende Faktoren von 2\ und T t} so ist:
rflog», " J \dt dt) 'U* dt)

/dÄ _ dhA _ (dg, _ dA,\

d(

ff 1*1 — 9* h i

40 R- v - LlLIKHTHAI.:

Berechnet man aus diesen beiden Gleichungen die Differenzen -A — -jj ,
-p- — -tt und setzt ihre Werte in (13) ein, so erhalt man:

(15)

d*f d*f
dtdx dxdi

dlogvj df rflogv, df
! dz dt dt dt

Für Ä,=

= \i> ist:

3* -VW

und:

dlogv,
dt

also folgt nach (6), daß bei — 2£H = die Große < die Bolle eines

Parameters spielt. In diesem Fall ist T x ein exaktes Differential, und die
Differentialgleichung dy — 1>dx = besitzt, einem bekannten Lieschen

Satze gemäß, den integrierenden Faktor ■ ■ _ — Ebenso spielt r die

Rolle eines Parameters, wenn T t ein exaktes Differential ist.

Dasselbe Ergebnis wird durch folgende Überlegung gezeitigt. Man
nehme

v 1 T l <=du, v t T t = dv,

sodaß:

du *>, dt ' dv r, dt

Aus der Gleichung:

cu dv
dv du

geht dann unmittelbar die Beziehung (15) hervor. Ist T t ein exaktes
Differential, so darf man v, gleich 1 nehmen, und es folgt u = t. Die
Kurven v = consi fallen also mit den Kurven zusammen, längs deren t
veränderlich ist, d. h. t ist ein Parameter.

2. Bisher haben wir uns auf ganz abstraktem Gebiet gehalten,
indem über die geometrische Bedeutung der Großen t und x keinerlei
Bestimmung getroffen wurde. Wir geben nun in den Gleichungen:
dx dy dx , dy ,

dF~&> di^ 9 *! di~ n i> 37 = Ä »

den Größen t und r die Bedeutung der Bogenlänge der Einzelkurven
der durch die Differentialgleichungen:

g i dx — g l dy = Q, h % dx — h l dy = Q

Zur Theorie der infiniteBi malen Transformationen iler Ebene.

41

festgelegten Kurvenseharen und schreiben zur Unterscheidung von dem
allgemeinen Fall statt t und r bezüglich a x und tf s . Unsere Voraus-
setzung erfordert, daß für jedes Wertepaar x, y die Beziehungen gelten:

Wenn jetzt a t als Parameter aufgefaßt werden kann, fallen die durch
die Gleichung:

hjdx — h x dy =

bestimmten Kurven mit den Kurven tf : = const. zusammen, d. h. sie
entstehen, wenn auf den durch die Gleichung: g s dx — g x dy = be-
stimmten Kurven von einer willkürlich gewählten, aber nicht zu ihnen
gehörenden Kurve aus dieselbe Bogenlänge abgetragen wird.

Es fragt sich nun, ob sich nicht der betrachtete Fall durch eine
Beziehung zwischen endlichen, geometrischen Größen kennzeichnen läßt.

Zur Beantwortung dieser Frage ist die geometrische Bedeutung

der Ableitungen -^ g — und — ?äll aufzufinden.

1° da t da,

Wir setzen abkürzend:
and
Um

g x — coh a, g s = sin a , A, = cos ß , /», — sin ß , ß — a = tp

nnd denken die Bezeichnungen so gewählt, daß ß größer ausfällt als a.
Nach (14) ergibt sich:

dlogr
da,

da.

008 tf>

«in <p

da

d log v t

da x

cos qp

da t

Hin fji

da

da.

Um den geometrischen Inhalt der hier auftretenden rechten Seiten zu
erkennen, führen wir neben den gegebenen Kurvenscharen die Scharen
ihrer senkrechten Durchdringungskurven ein und nennen die Bogen-
längen der letzteren ff s und e v Eine Kurve, deren Bogenlänge mit 6i
bezeichnet ist, möge kurz eine „Kurve (<?*)" genannt werden,

Für die senkrechten Durchdringungskurven der Kurven (ff t )
nehmen wir:

dx
de.

= cos la -f - I = — sin cc, , - — sin (c -f — \ = cos a,
aber für die senkrechten Durchdringungskuryen der Kurven (<r,) sei:
l = cm (ß ~ !) " "M, aT t = ^n (ß - 1) - - ™*ß-

dx
da.

Diese Festlegung hat den Vorteil, daß für q> = jr/2 die zu wachsenden
Bogenlängen der Kurven (tf g ) und (tf 4 ) gehörenden Halbtangenten mit
denen der Kurven (<7,) und (ffj) zusammenfallen.

42

R. V. LlUlKRTUAL:

Der Krümmungsradius der Kurve (jßx) soll mit oj bezeichnet und
als positiv oder negativ in Rechnung gesetzt werden, je nachdem sich
der entsprechende Krümmungsmittelpunkt in dem eben festgelegten
positiven oder negativen Teil der Normalen der Kurv© (<?a) befindet.
Dann folgt durch Anwendung der ersten Fren et sehen Formel:

1 da

1 dß

1

da

1 dß

Pi "" da t »

P, " d"i '

P.

da,'

9t ~ <'««

Man kann nun die Ableitungen einer Funktion f von x und y nac
den Bogenlängen der Kurven (tf s ) luid (tf 4 ) durch ihre Ableitungen
nach den Bogenlängen der Kurven (tfj) und (o"g) ausdrücken. Aus dem
System:

>lf df . df .

. = n ' cos« -f ^-sina,
»o, ex oy

if

de.

df „ .df. a

Sx C0B ^^Ty 6m ^

folgt nämlich:

df

dx

sin/?

da.

Sl" ff

2/

3y

»<*f . df

— cob Bf U cos a ^r-

ddj de,

sin ep

Da nun:

de,

.df
dx

'— + COB C „— ,

dy

so ergibt sich:
da,

Af , df
— COB qp 3-i- + -yi-

sin <p

d<r 4

da t

COS/J

iL

dy'

da l

coa f ■

df_

sin t\

Nehmen wir in der ersten dieser Gleichungen f gleich a, in der zweiten
f gleich ß, so folgt:

d a Bin <j COB 9 dß

der, ~

Bin qp

cos <p

IT'

tt pi J rfa i ?•

und damit erhalten wir das gesuchte Ergebnis in der Gestalt:

1 d loc; !' 1 f sin ep cob w /cos w sin <j>\ |

— , J =- J - = 3 — j — - — ■ — ~ — cosm ( s ZV

d «, Bin qp l Qi <? s x \ p, p, / J

f/ log w, 1 r /sin 9 cob qp\ /coa qp sin qp\ ^

sin cp l C0B ^ \ v t Pj / \ p, p^/ J

rie)

d«,

Man kann diesen Gleichungen noch eine einfachere Form geben. Die
Verbindungslinie (L t ) der Krümmungsmittelpunkte der Kurven (ff,)
und (ff 3 ) hat die Gleichung:

,„ x /cos a sin a\ , . , /sin a , cosotV .

Zur Theorie der infinitesimalen Transformationen der Ebene.

43

e,

Die Tangente der Kurve (tf 4 ) möge die Linie (Z,) im Punkte (P 4 )
schneiden, dessen Abscisse hinsichtlich des Punktes (x, y) t t sei, sodali:

x + t t sin/3, #— * 4 cos/3

die Koordinaten von (P 4 ) Bind. Dann hat man:

11 ain rp cos tp
Di,

Die Tangente der Kurve (ff 3 ) möge die Linie (L 3 ) im Punkte (P 3 )
schneiden, und die Abscisse von (P 3 ) hinsichtlich des Punktes (.', ;/)

Dia Verbindungslinie (Z-,) der Krümmungsmittelpunkte der Kurven (ff,)
und (ff 4 ) hat die Gleichung:

sei /,.

Dann ist:

Bin qp COB <p
Qt 9t

Wir erhalten jetzt anstatt (16):

d log »>, 1 / 1 , cob q>\ d log *,

du, — ain <p\tj t A ) *

rftr.

1 /cob q> . 1 \

und haben damit folgenden Satz gefunden: Besitzt die Bogenlänge ff,
die Bedeutung eines Parameters, so besteht die Gleichung:

1

COS tp

+*-*

Besitzt die Bogenlänge ff, die Bedeutung eines Parameters, ao besteht
die Gleichung:

T* + <<

Im ersten dieser Fälle ist die Gerade (P s P 4 ) parallel der Tangente der
Kurve (ff,), im zweiten iBt sie parallel der Tangente der Kurve (ff t ).
Besitzeu die Bogenlängen ff, und ff, gleichzeitig die Bedeutung von

Parametern, so verschwindet sowohl - wie - • Jetzt steht die Tangente

der Kurve (ff,) senkrecht auf der Verbindungslinie der Krümmungs-
mittelpunkte der Kurven (ff,) und (ff,), und die Tangente der Kurve (ff,)
ist senkrecht zur Verbindungslinie der Krümmungsmittelpunkte der
Kurven (ff,) und (ö 4 ). Im betrachteten Fall hat man es mit den so-
genannten „Translationskurven" zu tun, die, wie bekannt 1 ), das einzige

1) A. Voß, Mathem. Annalen Bd. 19. S. 18.

44

K. V. LlUKSTUAL :

System von Parameterlinien bilden, für welches das Quadrat des
Linearelements der Ebene die Form erhält:

ds* = rfffj + dal + ^ COB V ^ ö i ^°r

Sind nämlich x und y solche Funktionen von ff,
Gleichungen:

(£)•+(£)•-(&)'+ (SS)'-»

und ffj, die den

geniigen, so folgt:

und damit:

d*x

r-u

2<f, da. de l ds.

Der Name „Translationskurven" rührt von der Art her, wie das be-
trachtete System von zwei willkürlich gewählten Kurven erzeugt werden
kann. Man betrachte neben dem festen Koordinatensystem der (.r, y)
ein bewegliches der (|, ij)-Koordinaten, dessen Achsen denen des festen
parallel sind, sodaß: x «■* + tj !/ = & + >?•

Man nehme nun in dem beweglichen System eine beliebige Kurve
mit den Gleichungen: | = ^i(«)j V = i>ti v ) un( ^ ' as8e den Funkt («> b)
die beliebig gewählte Kurve mit den Gleichungen: a — tp t (u), b = q>^[u>
beschreiben. Die erste Kurve erzeugt so eine KurvenBchar u = const
mit den Gleichungen:

x - ^(u) + M v ) 1 V = <3P»(") + ^i(«)>

Die Schar t? = const. wird durch die Bewegung der Kurve mit den
Gleichungen | = <£,(»), 1? — ?»a( M ) * m veränderlichen System erzeugt,
wenn der Anfangspunkt deB letzteren die durch a = #,(■»), b = ty t (y)
bestimmte Kurve durchläuft. Will man statt « und v die Bogen-
längen ff, und ff a einführen, so drücke man u durch ff, und v durch 0,
aus mit Hilfe der Gleichungen:

u P

Die Bogenlängen ff t sind dann von der Kurve mit den Gleichungen

x = 9>i ( M o) + *> t (») , ? = SP» («0) + *i W ,
die Bogenlängen ff a von der Kurve mit den Gleichungen

* - 9=i («) + *i (f 0) , # = Pi (») + *i ( v o)
aus gerechnet.

Zur Theorie der infinitesimalen Transformationen der Ebene.

45

Ein dem obigen entsprechender Satz gilt für das System der
Kurven (tf 3 ) und (tfj.
Wir nehmen hier:

<} x = — sin u , g t = cos a ,
cos ßdx-\- sin ßdy

T s =

sin n

\ — ■ sin ß , /(, = — cos /3.
„, cosctdx-f sin ady

•*4 =

1-111 f

und bezeichnen mit v s und v 4 integrierende Faktoren der Differential-
formen T 3 und T 4 .
Dann folgt:

da dß
d log », _ y da 4 dg, dlog * 4

dff 4 sin ip ' da,

terner:

da sin qp cos <p d(J _ sin qp cos<p

dff^ " ~^~ «, ' dä^

Die

da . dfl

-5 r- cos <p Z&-

dff t T d g„

sin <j

Pi

Die Tangente der Kurve (ff a ) bez. (o*,) schneide die Gerade (L t ) bez. (Z^)
in einem Punkte (P,) bez. (Pj, dessen Abscisse hinsichtlich des Punktes
(x, y) mit / t bez. /, bezeichnet werde.
Es ist dann:

1 _ da 1 dß

t, ~ do\> I, di t >

und wir haben den Satz: Besitzt im System der senkrechten Durch-
dringungskurven der gegebenen Scharen die Bogenlänge tf s oder ö t die

cos <p 1

Bedeutung eines Parameters, so besteht die Gleichung:

oder : —

cos <p

= 0. Im ersten dieser Fälle ist die Gerade (Pj P f )

parallel der Tangente der Kurve (ffj, im zweiten iBt sie parallel dir
Tangente der Kurve (ff s ). Besitzen die Bogenlängen e t und er 4 gleich-
zeitig die Bedeutung von Parametern, so verschwindet sowohl wie — •

Jetzt steht die Tangente der Kurve (ff 3 ) senkrecht zur Verbindungs-
linie der Krümmungsmittelpunkte der Kurven (6 S ) und (<J 4 ), während
du- Tangente der Kurve (ö 4 ) senkrecht ist zur Verbindungslinie der
Krümmungsmittelpunkte der Kurven (tf,) und (tf a ).

Srltlitfibemerkung. Betrachtungen, die den vorigen entsprechen,
lassen sich an zwei auf einer beliebigen Fläche gelegene Kurven-
scharen anknüpfen (vgl. Encyklopädie der mathematischen Wissen-
schaften III D 3 S. 163). Es gelten dann gleichlautende Sätze, wenn
nur der Begritf „Krümmungshalbmesser" durch den Begriff „Halbmesser

46 Haus WantiK PEsrnEiu

der geodätischen Krümmung" ersetzt wird. Die Mittel zum Beweise sind
von mir in den Mathematischen Ännalen Bd. 42, S. 505 entwickelt. Der
Fall, in dem die Bogenlängen beider Scharen als Parameter auftreten,
liefert die von Herrn A. Voß „äquidistant" genannten Kurvensysteme.
(Math. Annalen Bd. 19, S. 3.) Den hier geltenden Satz habe ich in
meiner Schrift „Grundlagen einer Krümmungslehre der Kurvenscharen"
S. 40 aufgestellt.

Münster i. W., den 22. Mai 1902.

Über symmetrische Funktionen von unabhängigen

Variablen.

Von Hans Wilhelm Pexider in Göttingen.

Es handelt sich in diesem Aufsatz um die Aufstellung der Be-
ziehungen, welche zwischen den Funktionen (einer oder mehrerer
Variablen), die in einer Funktion auftreten, bestehen müssen, wenn
diese Funktion von Funktionen in Bezug auf die sämtlichen, von
einander unabhängigen Argumente, einzeln oder in Reihen genommen,
symmetrisch ist; im speziellen, um die Aufsuchung von Eigenschaften
symmetrischer Funktionen. Es erscheint vorteilhaft, die symmetrischen
Funktionen in Gruppen geteilt zu behandeln.

1. Formen erster Gattung. — Sei die Funktion F(x lf x s , . . ., #„)
symmetrisch in allen von einander unabhängigen Argumenten x lf .r s , . . ., x m .
Vertauscht man zwei aus dieser Reihe beliebig herausgegriffene
Argumente x x und x x unter einander, so muß der Symmetrie wegen

(1) F(...x x ,x l ,-..)-F(.-.x li} x )t ,-.-) =

sein und zwar für alle x, X = 1,2,...,», wobei man x > x annehmen

darf, um Wiederholungen zu vermeiden.

Die Relation (1) besteht hei allen Wertsystemen der Variablen .r;
sie ist also auch erfüllt, wenn man für alle Variablen x außer x x und
x x beliebige Konstanten setzt. Alsdann ergibt die Identität (1) eine
Beziehung, welche zwischen den Funktionen der Variablen x x und x if
die in F auftreten, bestehen muß, und zwar identisch in x n und x it
wenn die Funktion F symmetrisch sein soll Indem man nun
x < k = 1, 2, • • -, n setzt, die übrig bleibenden x aber als konstant
ansieht, so erhält man zwischen den Funktionen je einer und den

Über symmetrische Funktionen von unabhängigen Variablen.

Funktionen jeder andern Variablen eine Beziehung der Art (1). Auf
diese Weise laaBeu sich, unter der Voraussetzung, daß die Gleichungen
(1) die' Funktionen der einen Variablen durch Funktionen, die als
Funktionen der anderen Variablen in (1) vorkommen, auszudrücken
gestatten, die sämtlichen in F auftretenden Funktionen durch die
Funktionen einer einzigen Variablen, etwa x l} ausdrücken.

Ist speziell die Funktion F der Form Ffofe), 0,(2^), . . ., <i n {.'„ )\,
so daß, wenn die Komplexionen i, i i . . . i n und Xj Xg . . . x„ irgend
welche Permutationen der Zahlenfolge 1, 2, . . ., n bedeuten, die
Identitäten

-Ffofo), a,0O, ■ • -, ».«>] - Fia t (z Ml ), o,^), . . ., a n (x Kn )]

statthaben, dann besitzt die Funktion F folgende Eigenschaften. Ist
nämlich x, = <".,, und differenziert man (2) nach a x (27J, so erhält man
die Beziehungen

- -FK (*,•), • • ., «,0-Jl = 3-- *To,0O, «,«), • • 7 a»(^„)l

and zwar für alle Permutationen i, /, . . . i H und i t Xj . . . x n der Zahlen
1,2,..., u , die bloß an die eine Bedingung gebunden sind, in ihren
ersten Elementen übereinzustimmen, und allgemeiner, wenn x v — « i v

(3) a 4 r *Kfo>» • • ■> °-K)] - w 9 %(4 ■ • -, %M • • • *.(*%)],

d. h. der partielle Differentialquotient der Funktion F, genommen
nach irgend einer Funktion a, etwa a rt bleibt ungeändert bei allen
Permutationen der Indices-Grnppe i, . . . »V-i^ + i • • • '»» * 8 * a ' a0 8 y m "
metrisch in allen x außer x if . Sei x ir mit x Ml und ^— .F(- • -o v (j;^), •••)

mit ^(fy ii-i) bezeichnet; dann ist die Funktion F t (y u fa) symmetrisch
in « — 1 Argumenten x. Deshalb ist analog der Differentialquotient

oder, wenn man i. = v t) i i = fi s setzt, die zweite Ableitung

eine symmetrische Funktion der n — 2 Argumente x n .. , ., x H , x^ und
x^,, ausgeschlossen-, u. s. f. Allgemein wird die »j-te Ableitung

(4)

***!• ■■'.^■■A^-^(Q-)

a. 8«

.ca.

48

Hans Wii^belh Pexidkh:

für m <! n — 2 eine symmetrische Funktion der n — m, von den * w
x fm verschiedenen Argumenten x der Folge x 1} x if . . ., x K sein

X,

f*>

) -"fm

müssen.

Eb können nun die Indices der Funktionen a v und simultan die
IndiceB der zugehörigen Variablen x in Reihen einander gleich sein, also

v, = v,

V, V,

«1+1

"a.

i^a.-l

=*w,

*»«, - /*"> *• *i f^i-l — ' — *H= f*'"»

wobei «, = m iBt; setzt man der Kürze wegen

Xr = « f — a t _i, * = i, a, ..,., a = 0,

so ist die aus (4) hervorgehende Ableitung
(4a)

a"F[...q y< ( V ) ( ...a y(t) (^) t ...]

symmetrisch in allen x (der Anzahl n — s), die von ay, . . . x^ t )
schieden sind. Es ist klar, daß in diesem Falle m > n werden kann,
wenn nur die Ungleichung « — e > 1 befriedigt ist.

Die Funktionen a t (x) sind wohl nicht als willkürlich anzunehmen;
denn es müssen die Relationen (1) erfüllt sein.

Ist nun öj = o, ~ • • • = a n = 1, bo gehen die Ableitungen nach
den Funktionen a in Differentialquotienten nach den Variablen x über.
Man hätte diesen Fall ursprünglich wählen können, um zu denselben
Resultaten zu gelangen; es ist nur des Weiteren wegen dieser Weg
gewählt worden.

Die anfänglichen Betrachtungen mögen an drei einfachen Fallen
näher erläutert werden.

1. Sei /" eine symmetrische Funktion der Form

(5) f(x u x„ • • ■, x„) - tp^xj + 9t(x,) + • ■ • + 9»„(xJ.

Die Relation (1) lautet hier

*«(*«) + Vafo) - ¥»«(*a) - 9>iOO - °,
woraus folgt

«P«(*«) - 9i(*») - 9>x(*i) ~ 9*(*i) = Konstante c xi
d. h.

?*(*) = 9a0) + c *i
für x, Ä = 1, 2, . . ., n.

Über symmetrische Funktionen von unabhängigen Variablen. 49

Setzt man nun X = 1 und successive x =«= 2, 3, ■ • •, n, so erhält
man sämtliche Funktionen <p x durch <p t ausgedrückt, so daß vermöge
dieser Beziehungen die Funktion f die Form erhält

(6) f(x u x it ...,x„) = J>0O + C,

x = l

n

wenn man einfach qp statt tp t und C statt J>; c xl schreibt.

x=8

2. Damit die Funktion

(7) f{x X) x % , ■ ■ ■, x n ) - 9> x fo) <p 8 (x a ) ■ • • ^(rrj
symmetrisch sei, sind die Beziehungen (1), d. h. die Relationen

9>*(*x) <Pi(*i) - 9>»(*j) 9i(*«) - °> <»» * = >.*•■,«>

zu erfüllen. Aus diesen folgt nun

*x_(*x) _ fd'J = C
»*(**) »l(*2) **'

d. h.

9>«(*) - *«* y a (*)

für x, X = 1, 2, • • •, », so daß, wenn man A = 1 und Buccessive « = 2, 3, • • •, n
setzt und die so erhaltenen Beziehungen auf die Funktion f anwendet,
diese sich in die einfache Gestalt

(8) n*i,*v',*j-cn<p(*,)

x=l

transformiert, wenn man kurz <jp x mit tp und %%. . . c n mit C bezeichnet.

3. Bevor zu einem dritten Falle übergegangen wird, seien, des
Verständnisses wegen, einige Definitionen gegeben.

Es sollen Funktionen einer Variablen x, zwischen denen eine
lineare Relation der Form

(9) «i^iO^) + «^jOe) + V a nViS?) = Konstante

mit nicht verschwindenden Koeffizienten a x für alle Werte von x
zwischen zwei gegebenen Grenzen stattfindet, als in den gegebenen
Grenzen linear abhängig genannt werden. Sind bloß die Koeffizienten
« x , a it . . ., a t von Null verschieden, so enthält die Reihe der Funktionen
qpj, tp t! . . ., a? B eine Gruppe linear abhängiger Funktionen qp x , <p z , . . ., <jp r ;
es ist wohl zulässig, daß eine Reihe von Funktionen mehrere solcher
Gruppen enthält.

Existiert aber weder zwischen den Funktionen q> lf <p t , . . ., q> nf
noch irgend einer Gruppe von ihnen eine Relation der Form (9), so

ArehlT der Mathematik und Fbyaik HI. Reihe. VI. 4

50

Han« Wiluklm Pexldkr:

sollen sie in den gegebenen Grenzen linear unabhängig genannt
ironien.

Es ist des Folgenden wegen notwendig gewesen, diese Definitionen
anzuführen, da man in der Theorie der linearen Differentialgleichungen
dem Begriff „linear unabhängige Funktionen" einen etwas anderen
Inhalt beilegt.

Sei nun F(x, y) eine symmetrische Funktion der unabhängigen
Variablen x und y von der Form

(10)

F <* y) =2 *tPMö + «.(*) + K(y) >

und sie sei bereits so transformiert, daß die Funktionen a k samt «„
von einander linear unabhängig sind. Durch Vertauschung von .<
mit y erhält man nach Subtraktion der also erhaltenen Identität vou

(10) die Relation

m

(11) 2\a k (x)b k (y, - a k (if)b k (x)\ + a u (x) - ajj,) - b„(x) + b m (jf) - 0.
t— i

Den Funktionen b k kann man stets die Form geben

h - <ii«i + c,»«t -f • • • + Ct N a„ + b[ ,

jg\ K — c n a i + c »a«s H 1- "j-,"« + K ,

. K = r »i «i + c «ä«ä + ■ ■ + <=„«„ + fe! ,

wobei die Koeffizienten c vl konstante Größen, einschließlich Null, be-
deuten und 6j, 6,, . , ., h' n von den Funktionen a l} a St . . .,a n linear un-
abhängig sind. Setzt mau diese Ausdrücke in (11) ein, so erhält man
die Gleichung

a t (x) [\ - r,!«, -c n a t c ml a m - r nl \

f a,(x) [b, - e^ - c^ c„ a a m - c ]

(13)

mm i» ^nml
WJx) + a&(x) + *■■ + K(x)} ~ «„ + K = 0,

<jn°» -

wobei überall cp statt qp(y) geschrieben wurde. Da nun die Funktionen
a k unter einander und auch von den Funktionen b[ linear unabhängig

Über symmetrische Funktionen von unabhängigen Variablen. 51

sind, so müssen in (13) die Koeffizienten der Funktionen a k (x) identisch
verschwinden, d. h. es muß

(14) h = c li a 1 + c 1i a i + --' + c mi a n + c ni , (. = !,«,. ..».)

(16) a.b'ix) + • • • + «„,&;(*) + K(x) + a n -l n =

sein. Aus der Gleichung (15) folgt ohne weiters

da aber außerdem die Systeme (12) und (14) einander gleich sein
sollen, so müssen die Matrices der Determinanten

c u Cu . . . %,

c ml c ml ■ -- C o

Cu c si ... c TOl
C la Cj, ... c m8

C lm C tm"- C n

einander identisch gleich, d. h. es muß c ik = c kf sein. Demnach sind
diese zwei Determinanten symmetrisch. Des weiteren folgt daraus, daß

ist, und aus der letzten Gleichung des Systems (12) und der Relation
(16), daß b ^ = h ^ _ Kon8tante Cm>

Die Funktionen 6 A , 6„ . . ., h m lassen sich demnach in die Gestalt

(17)

*>< =2 c * <0 * + c "° c *< = c '*

4=1

und b n in die Gestalt
(18)

K =2' C »' a ' + a « + c «>

überführen. Vermöge dieser Beziehungen wird die Funktion F(x, y)
auf die Form

in in n

(19) F(^»)=22 c » a '^ )a *^ + 2 c *' [a '^ + a ^ ]+a *^ +a -( y)+c< »'

<=i *=i

<=i

wobei c w = c <t ist, gebracht, die sich, wenn man c 0( für c ni einsetzt
und a (x) = a (y) = 1 festlegt, folgendermaßen kürzer schreiben läßt:

m

(20) F(x,y)^^c it a i (x)a k (tf) + a n (x) + a n (if), c ik ~c ki , o =»l.
*,t=o

52 HiJfB Wilhelm Pkxidke:

Erteilt man der Summe J£ in der Weise eine Quadratform, daß das

Glied mit dem konstanten Koeffizienten c ik in der (»" -f l)-ten Zeile und
(h + l)-ten Kolonne steht, so sieht man, daß die Determinante, gebildet
aus den Koeffizienten dieser Quadratform, d. h. die Determinante

c oo c oi * " C 0m

eine symmetrische ist.

m

Damit also eine Funktion der Form ^«i(x)6 t (y) + a n (x) -f 6,,(y)

eine symmetrische sei, ist es notwendig (und hinreichend), daß sich die
Funktionen der einen Variablen so transformieren lassen, daß sie zu
linearen Funktionen der Funktionen, die mit der anderen Variablen
als Argument vorkommen, werden, daß dabei das Schema der neuen
Koeffizienten der Produkte, in Quadratform' gesetzt, die Matrix einer
symmetrischen Determinante bildet, und daß unter den Summanden
jede Funktion bloß einer Variablen auch als Funktion der anderen
Variablen figuriert.
Ist speziell

*»(*) = K{x) t
so folgt aus (18)

2 c «< a * + c «> -2 C ° i(li = °"

<=i

Da jedoch die Funktionen a- von einander linear unabhängig sind,
so muß

C 0< = 0, (< = 0, 1, .... m)

und zufolge c ki = c ik auch c i0 = sein für i = 0, 1, • • •, m. Ist außer-
dem a„ = 0, so geht (20) in die Form über:

m

(20a) F(x,y)=^c ik a i (x)a k (i/), c ki -c ik .

i,k = l

2. Formen zweiter Gattung. — Sei y k eine Funktion von unter ein-
ander unabhängigen Argumenten x kl , x ki , • • •, x kt und F eine Funktion
von y lf y if ••;.y n , und zwar symmetrisch in den Argumentenreihen
x klf x kif ■ • •, x kt für k = 1, 2, • • •, n und s}>2. Demzufolge wird, sobald

Über symmetrische Funktionen von unabhängigen Variablen. 53

die Eomplezlon i,i, * • • *„ irgend eine Permutation der n Zahlen
1, 2, ■ • -, n bedeutet, die Gleichung

(21) Ffa (a^i, x a , • • •, x u ), y % {x n , x nr --, »,,), • • •, y n (x Hl , x Hi , • • •, *„,)]

= -ft^iKu x v> • ' •> x h.)> ft(*tif \a> • ' '> <0> ' ' ' y»( x i H i> \a • • •> \,)]

stets erfüllt sein.

Es sei i k = 1, und man bilde successive die partiellen Ableitungen
dieser Identität nach x n , x 1S) • • •, x tt . Die Funktion linkerseits werde
mit F f die Funktion rechterseits mit F(i) bezeichnet. Alsdann erhält
man durch Differentiation das System von Gleichungen

dF_ dy ± BF® 2y±
dy x "0ö> u = dy k ' dx^ '
dF dy, BF(i) dy t

(22)

2y, 3*,, dy k dx lt '

dF_ dy ± dF® dy^
äj^'Fi"" 3 dy 'dx^ t '

d(y t ,y k )
Versteht man unter dem Symbol ■*-. r- die bekannte Jacobi-

sehe Funktionaldeterminante, gebildet aus den Differentialquotienten der
Funktionen y lf y x nach x llf x 1/lf so ersieht man auf Grund des Gleichungs-
systems (22), daß

(23) #^\ =

ist für x = 1, 2, • • •, n und l t fi = 1, 2, • • *, s, wobei man X < (i an-
nehmen darf, um Wiederholungen zu vermeiden.

Die Minoren dieser Funktionaldeterminanten, d. h. die partiellen

Differentialquotienten -J^ können nun nicht verschwinden, da sonst die

Funktionen y k nicht die sämtlichen Argumente x kl , x ki , . . ., x k , ent-
halten würden. Dann existiert aber nach einem bekannten Satze über
Funktionaldeterminanten zwischen den y k und y, je eine Beziehung,
und zwar sind jedenfalls die y k durch y x ausdrückbar. Man hat dem-
nach die Relationen

(24) & = a*(«/i), (* = i, »,...,.)

unter der Annahme Oj (y t ) = y v

Man setze der Einfachheit wegen

& ( x ki t x n, •>•> x k.) = n» (*=i.*,-- , »)

54 HjUTS Wu.HKLK PeXIUEB:

alsdann besagt die Gleichung (21), die nun folgendermaßen lautet:
(25) Ff%fa)j «,(%), • • •, «.CO] " -FKOjn). <M»;<i), • • •, «n(.V t J]>

daß bei der angenommenen Symmetrie und unter der Voraussetzung,
daß F und y k differenzierbare Funktionen sind, die Funktion F auch
in den Argumenten t] v ij s , . . ., *?„ symmetrisch sein müsse. Man sieht,
daß dies die schon am Anfang behandelte Form (3) ist, daß also die
symmetrischen Funktionen der Form (21) im wesentlichen auf die
Form (3) zurückführen. Eb Bind demnach die Funktionen a t nicht
willkürlich, sondern sie haben Gleichungen der Art (1) zu genügen,
und die Ableitungen nach den Funktionen a müaaen so beschaffen sein,
wie die Differentialquotienten (4a). Es tritt hier aber eine Willkürlich-
keit auf und zwar in Bezug auf die Funktionen t;; diese sind
keinen Bedingungen unterworfen. Es läßt sich also y x ganz beliebig
wählen.

Es sei hier ein einfacher Fall H = 2 behandelt. Für die Funktion
jy, wähle man etwa den Ausdruck

und es sei

(26)

"(%n, x»y { '" } + y(*u, •-•> *!.),

in

i=i

i.

eine symmetrische Funktion in den Argumentenreihen x n , x lt , .

und x iV .r M , . . ., x it ; setzt man i/, ■■ tj,, ao muß zufolge (24) y z = a(i7 s )

sein. Man erhält aus (26) die Identität

M

wobei F eine symmetrische Funktion in % und t;, sein muß. Nach
(20a) läßt sie Bich alsdann, wenn tp { von einander linear unabhängige
Funktionen bedeuten, in der Form schreiben:

F =2 ett9t ^ 9k ^ t

',i

■a-

t*_ i

Die symmetrische Funktion F(y if y t ) hat demnach die Gestalt

m

(27)

i, k = I

<\* =

Über symmetrische Funktionen von unabhängigen Variablen.

55

•i. Formen dritter Gathuuj. — Sei y k eine Funktion von unabhängigen
Variabein x iu x kt , . . ., x k , und F eine Funktion voti y u y if . . ., y«, und
zwar symmetrisch in den Argumentenrnhen x lk , x tty . . ., x nk für
/.• = 1, 2, . . ., S, $ ^ 2. Demnach gilt die Gleichung

(OT

I, der

identisch in allen (B und zwar für alle Permutationen ij» .
Zahlenfolge 1, 2, . . ., s.

Sei yk(zii l} $ty • ■ ., Xn t ) mit yt(i') bezeichnet, die linke Seite der
Identität (28) mit F, die rechte Seite mit F(i)\ alsdann erhält man
durch Differentiation das folgende System von Gleichungen

i /■■
i /•■

ry k {i)

8F
fcf t «

dy 4 (i)

dF(i)

kl

woraus folgt, daß

ist für /L p — 1, 2, . . ., s, wobei man wieder A. < p annehmen darf, um
Wiederholungen vorzubeugen. Indem also alle Funktionaldeteriuinanten,
gebildet aus den Diiferentialquotienten der Funktionen y k (l) und y k (i)
nach je zwei von den sämtlichen Variabein x tl , . . ., x kMf verschwinden,
aber ihre Minoren der Vorraussetzung halber nicht verschwinden, so
ist jedes y k (i) durch f/ A (l) ausdrückbar, d. h. gb ist, wenn man Jk(l) = »j t
setzt,

(unter der Voraussetzung aJJ ' = 1 für /• = 1, 2, . . ., «), und zwar für
■Qu Permutationen i, ? 2 .. . r t der Zahlenfolge 1,2, ...,s. Weil nun
das System (29) für jedes k = 1, 2, . . ., « besteht, so gelten auch die
Beziehungen (30) für jedes k = 1, 2, . . ., n. Die Identität (28) wird
min lauten

56

Hans Wu.hki.ii I'kxidbh:

Zieht man hierin nur zwei von den Variablen 17 in Betracht, etwa
ij t und 17,, und sieht die übrigen als konstant an, so existiert zwischen
den Funktionen a ( * 3 und af* für jede Permutation (t) eine Relation
der Form
(31) IX . . rj k> r lr . . •] - F[- ■ ■ «%*), » { ;\Vr)- ■ • ■] = 0,

die identisch in rj k und ?/,, erfüllt Bein muß. Sieht man nun auch von
der Variablen ■??,, als einer in Bezug auf rj k beliebigen Konstante ab,
so ist af eine bestimmte, durch die Gleichung

(32)

*T%i ..0-4a<%);..,] =

definierte Funktion von r] k) die auch mehrdeutig sein kann. Die
Funktion ij t bleibt dabei willkürlich; die Funktionen a?* und a\ hängen
aber zufolge (31) von einander ab.

Wenn nun einmal die Funktionen ti u i} S} . . ., tj B als gegeben vor-
liegen, ao sind a wegen (32) bestimmte Funktionen dieser r lt und
willkürlicher Konstanten, deren Anzahl höchstens n — 1 ist. Man nehme
an, die Funktionen «E^ aeien eindeutige Lösungen der Gleichungen (32).
Alsdann haben die in diesen Lösungen auftretenden arbiträren Kon-
stanten noch den Identitäten (31) zu genügen. Man setze weiter
voraus, daß dies System für das System der Konstanten nur eine
einzige Lösung rq, a lf . . . zuläßt, ohne dabei notwendigerweise die
Willkürlichkeit sämtlicher Konstanten aufzuheben. In diesem Falle
ist für ein bestimmtes k die Lösung a. ) = f^rj^ a^a,, ...) für alle
Permutationen i\i a . . . », der Voraussetzungen wegen eine und diesellio;
es ist aber flg m ,(%) — f*- Daraus folgt, daß

y*(zk,\, x/ti,, ■ • •, Zki.) = y*(ff*i, Xu, • • •> «t»)

ist, d. h. im Falle, daß die Gleichiuigssysteme (32) und (31) eine einzige
Lösung zulassen, ist die wichtige Folge davon, daß die Funktionen y k
selbst symmetrische Funktionen sein müssen — natürlich stets unter
der Annahme der Differenzierbarkeit der Funktionen F als auch der
Funktionen y^

Zur Erläuterung des Vorstehenden sei folgende einfache Frage
gelöst: Welchen Typus nimmt die Funktion

(33)

F

"^Vfor)

r- I

= ni-vt

Über symmetrische Funktionell von unabhängigen Variablen. 57

an, wenn sie in den Argumentenpaaren (x lv) x ir ) für v — 1, 2, . . ., 5
symmetrisch sein soll?

Vorerst hat man nach (32)

(34) at\v 1 ) = c iVl} af\ Vi ) = d iVa

und mit Bezug auf (31)

c,d,-l, <*,= *•

Man wähle nun eine solche Permutation (i) von 1, 2, . . ., s, in
welcher der Reihenfolge nach bloß X und x mit einander vertauscht er-
scheinen; dann folgen aus (34), wenn man gleich alle Variabein außer
x x , x l als arbiträre Eonstanten ansieht, die Relationen

C'*x + <P,M + ViM - ««afofc«) + 9>a(*u) + <&],

(35) [DU + * x (x al ) + *(*„)]» = J- O x (*sx) + ^(^a) + -D«i] 8 -

Aus der ersten dieser Beziehungen folgt weiter

9>x(*n) ~ <>*x<PiM = ^«Pxfo,,) - «Pafc,) + Cx'* = <?«*>
d.h.

9>x(*) = Cxi9i(^) + C«i,

(36)

*«a9»(*) - Va(*) + G *i ~ C *i

und aus diesen Gleichungen

(& - l) 9a (*) - C xi (l - c xi ) - CA.

Nun ist der Koeffizient bei ^ entweder als von Null verschieden
oder gleich Null anzunehmen. Im ersteren Falle wäre <p x {x) = Kon-
stante und zwar für X = 1, 2, . . ., s, d. h. die Funktion % wäre über-
haupt eine Konstante, was trivial ist. Im letzteren Falle hat man

(Zz — 1 = 0, also c xl = ± 1.

Nun behandle man analog die zweite Gleichung von (35). Man
hat c xX = ± 1 zu setzen, indem der Fall c xl + ± 1 als trivial aus-
geschlossen wurde, und gelangt zunächst zu der Gleichung

**M + **CO + -Dxi - N[i, x (x ix ) + fafo,) + D xi ],

wenn .W = y± 1 ist, weiter zu

*x(*»*) - Wafoi) - #*,0O - *afo,) + ^'a = Aa>

58
d. h.

(37)

Haas Wilhelm Fezidkx:

und ans diesen Gleichungen folgt

Wenn man gleichfalls von dem trivialen Fall i> x {x) — const. absieht,

so muß

# 2 -l =

werden, d. h.

sein. Die dritte Wurzel kann hier also nur ihren reellen Wert an-
nehmen. Man hat demnach die zwei Fälle zu unterscheiden:

^a-l| KTa=l; c*a 1, -Ve~i 1-

1. Sei c xl = 1; dann folgen aus (36) und (37) die Beziehungen

9x0*0 - <Pa(*) + ^xa, da - 0>

*,(*)- faOO + ^o, D«'a =

und zwar für x, X = 1, 2, . . ., s. Setzt man nun X = 1 und x «— 2, 3, . . ., s,
so erhält man die Funktionen <p x resp. i> x als lineare Funktionen von

cp t = y resp. #j = # allein, und indem man die Summen J£C xt resp.

x = «

*

^D xl mit (7 resp. D bezeichnet, so erhält man, diese Resultate auf

x = t

(33) anwendend, für die Funktion F die Gestalt

(38)

F =

L» = l

1; alsdann ergeben die Relationen (36) und (37)

2. Sei c xi =
die Beziehungen

9>x(*) = -9>a(*)+tfxa, Wi-2C alt
*.(*)- -*a(*) + -D.a> -Dw = 2D x ,.
Zufolge (35) ist nun

2CU = 2y<p i Xx u ) = -2C xlL ,

2D^ = 2^'i, u (x tr )^-2D xZf

Über symmetrische Funktionen von unabhängigen Variablen.

59

wobei £' die Summe aller Funktionen <jp resp. # mit Ausnahme von
tp A und ip li resp. 4< x und ^ bedeutet, d. b. in diesem Falle c Kl = — 1
id notwendigerweise sämtliche übrigen Funktionen <p resp. # identisch
gleich Konstanten. Unter der Annahme c xl = — 1 ist daher für s nur
der Wert s = 2 zulässig; die Funktion F hängt also nur von deu

^zwei Argumentenpaaren (x lx , x Sx ), (a^, fl^j) ab, und in diesen ist sie
symmetrisch. Man erhält sonach für r tl und ij s die Ausdrücke:
Vi = - Cy + <pA*i*) - <PÄ*u) + C *x,
und für F die Gestalt:
(39) F - [„„&„) - qp,^)] [*„(*„) - fcfatf.

Ist aber s im vornherein gegeben und von 2 verschieden, dann
kann c x2 bloß den Wert -j- 1 annehmen. In diesen Fällen (s =4= 2)
haben demnach die Gleichungssysteme (31) und (32) (unter F die
Funktion (33) verstanden) eine einzige Lösung in den a^ und den
Konstanten «j, «,, . . .; demnach müssen ij, sowie ij 2 für sich allein
symmetrische Funktionen in allen Argumenten x n , a- lf , . . ., x Xt resp.

x n> ■ - ■> *t. 8ein -

Die Formel (38) zeigt nun, daß dies tatsächlich erfüllt ist, indem

die Ausdrücke Htp(x tr ) und Z , ^ , (jr, r ) symmetrische Funktionen ihrer
Argumente sind. Nur in dem Falle, daß $ ■= 2 ist, hat man zwei
mgen, und die Funktionen »j„ ij t sind dann im allgemeinen keine
symmetrischen. Faktisch hatte man gefunden, daß für s = 2 die
Funktion F zwei verschiedene Typen annehmen kann, und zwar ent-
weder den Typus

F = [*(*„) + ?(%) + C] [*(%) + *(**) + W
oder den Typus

F~* fofoi) - »(«n)Jl*(^.) - *(%)F

Göttingen, 20. Januar 1902.

60

A. Taohaukb:

Über diejenigen Rotationsflächen, anf denen zwei Scharen
geodätischer Linien ein konjugiertes System bilden.

Von A. Tachauek in Gunzenhausen.

1. Die allgemeinen Voßschen FläcJien. — Das Problem, diejenigen
Flächen zu finden, auf denen zwei Scharen geodätischer Linien ein
konjugiertes System bilden, wurde zuerst von Vofs 1 ) auf eine direkte
Weise gelöst.

Bezeichnet man nämlich 8 ) die Fundamentalgröfsen 1. ( )rduung einer
auf die G aufs sehen Oberflächenkoordinaten u und v bezogenen Fläche
mit E T F t G und die Fundamentalgröfsen 2. Ordnung mit D, D', D",
daa Krümm ungsmafs mit K, so müssen für diese Flächen die sechs
Beziehungen*) erfüllt sein:

f2>' = 0, FE U + EE, - 2EF U = 0, FG V + GG H - 2GF.=>0,

(1)

DD" = Ka.

Mit diesen Flächen, den sogenannten V- Flächen, Btehen die pseudo-
sphärischen Flächen, die wir als S-Flächeu bezeichnen wollen, in enger
Beziehung durch folgenden Satz:

Jeder vorgegebenen, auf ihre Haupttangentenkurven ah Parameter-
linien bezogenen S- Fläche ist durch Parallelismus der Normalen eine
ganze Klasse von auf ein konjugiertes Sjstem geodätischer Linien be
zogenen V- Flächen assoziiert, wobei der ihnen gemeinsame Winkel
der Parameterlinien der partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung:

(2) ej Ht = sin oj

1) A. Vofs: Über diejenigen Flüchen, auf denen zwei Scharen geodätischer
Linien ein konjugiertes System bilden (Sitzungsberichte d. math. phys. Klasse d.
kgl. bayr. Akad. d. Wisb. zu München, 1888, 18. Band, S. 96 u. ff.)

2) Wir wollen in folgender Abhandlang uns der Bezeichnungsweise von
Ria ach i bedienen, wie er Bie in seinem Lehrbuch: Differentialgeometrie, übersetzt
von Lukat (Tenbner 1896—98) durchgeführt hat.

3) Wir setzen zur Abkürzung:

etc., -TT- = E., ebe

ferner

*! + yl + 'l =2*1,

x H x, 4-y,j, + *«*

ex
du

dx _

»e-

= S x u x c etc » o = EG —

Über diejenigen Rotationsfiikhen etc. 61

genügt. Jede Lösung M der Differentialgleichung:
(3) M u , sin co + M u a, + M t to H =

liefert eine V- Fläche, deren FundamentalgroTsen aus den Formeln:

(4)

C0S 2

im; 7)' = 0,

D= -k YE sin oi; D" = - -| |/G sii
und deren Koordinaten #, y } z durch Quadratur aus den Formeln:

*• = - siT * (^ X - + C08 ° X ') '

*. =

YÖ

k sin c

(analog für y und «■)

(/rA' t + cos ra XJ

gefunden werden, wobei X, Y, Z die Richtungskosinus der Normalen
sind und k eine beliebige Konstante bedeutet.

Umgekehrt läfat sich zu einer vorgegebenen ganzen Klasse von
auf das konjugierte System geodätischer Linien bezogenen V- Flächen
die auf ihre Haupttangentenkurven bezogene S- Fläche mit den
FundamentalgroTsen :

(«)

JE = J fW; F - I^cobo;
|D = 0; D' = üsinaj;

aus den Formeln:

G

0'

72* —

1

i u = -

(fc'X, + cos co X M ),

£„ = i \n X* + cos co X,)

c »in ca \Jr " V

(analog für ij und £)

durch Quadratur ermitteln, wo |, 17, £ die Koordinaten der »S'- Fläche
sind und R eine beliebige Konstante bedeutet.

Während die S- Fläche das konstante negative Krümmnngsmafs:

K = — -^ besitzt, ergiebt sich für das Krümmungsinaft der V- Fläche:

1

A'

\EG

, wobei das Vorzeichen von K von den Vorzeichen der die

Gleichungen (4) befriedigenden Grölsen YE und ]/6f abhängt.

Dieser Satz ist von Vofs nur für den Fäll k =» 1 abgeleitet
worden, gilt aber auch für beliebiges k. Hierbei sind diejenigen
V- Flächen, für welche k beliebig ist, Biegungen der V- Fbichen für den
Fall /. = 1 und zwar derart, dafs das konjugierte System geodätischer

62

A. Taoiu KB:

Linien erhalten bleibt. Hierbei ist zu bemerken, dafs die einer ge-
bogenen V- Fläche assoziierte S- Fläche keine Biegung der der ursprüng-
lichen V- Fläche assoziierten S- Fläche ist.

Nach diesen einleitenden Bemerkungen wollen wir die Rotations-
flächen Ffl, die von VoTb nur kurz erwähnt werden, deren assoziierte
S-Flächen, sowie bei spezieller Wahl der durch die Integration ein-
geführten Konstanten die gebogenen V- Flächen nebst ihren $■ Flächen
aufsuchen und die Gestalt aller dieser Flächen, sowie den Verlauf der
Parameterlinien näher betrachten.

2. Bestimmung sämtlicher Flächen V R . — Die Koordinaten X, y, z
einer jeden Rotationsfläche lassen sich in der Form:

x = r cos q>, y = r sin <p, z = f\r\

darstellen, wo r der Radius des durch den Punkt x, y r e gehenden
Parallelkreises und tp die geographische Länge des Meridians ist. Soll
diese Fläche eine V- Fläche sein, so müssen wir r und tp als Funktionen
der konjugierten geodätischen Parameterkurven M und v auffassen, die
sechs Gleichungen (1) bilden, und, wenn es uns gelingt, aus diesen r
und tp als Funktionen von u und w, sowie /' als Funktion von r zu
ermitteln, so liefert uns f die Flächen Vr, und r und tp geben die
Lage der Meridiane und Breitenkreise zu dem konjugiert-geodätischen
Systeme u und v an.

Zunächst ist zu bemerken, dafs die letzte Gleichung, wie man nach
Berechnung der Fundamentalgröfsen leicht verifizieren kann, eine Folge
der übrigen Gleichungen ist, also hier fortgelassen werden kann. Ferner
dürfen wir bei der Integration der vierten und fünften Gleichung, da

Bj/G D "]/£
V*

wir von den Biegungen zunächst absehen wollen,

setzen.

Diese fünf Gleichungen Iauttn dann:

Vi

= -1

yi + f*

r(r.V.-r.9.)Wl + r , )(r II1 ,V.-9'^.) + (r/T-»l+r).^.-» J »- , ]-Pp

r(r K9 .-r^[r(l+n(r. w %-V.^Hrrr-^+n^9.-r a v/]-0 f

h

i + r

Über diejenigen Rotationsflächen etc.

63

Damit die zweite und dritte Gleichung erfüllt wird, mufs, da das
Verschwinden der beiden ersten Faktoren keine Hache liefern würde,
die eckige Klammer = sein. Um diese Gleichungen zu integrieren,

setzen wir zunächst in der zweiten Gleichung f— J = £, so dafs

'MUT*

»r.

wird. Multiplizieren wir dann die Gleichung mit • \ ", , so erhalten wir

i+n* , -2rrr-4(i-f-n „ » i. ft

r . - fc u H ;* r «S — ^r r u = u -

)ie Integration dieser Gleichung liefert:

r« * ^ r» F*

- 'V"W^ ,'

Ebenso gelangen wir durch Integration der dritten Gleichung zu
der folgenden:

P W + ? ff»'

Hierbei sind £7 und V beliebige Funktionen von « bezw. 9, Die
uliigen fünf Gleichungen gehen also in die folgenden über:

(8)
(9)

<io)

(11)

(12)

(l+r^ 8 »i-r-(f*- I7")rf = 0,

r'r* + r s (i+r)<pr, = a + p) s ,

Bestimmen wir aus den Gleichungen (9) biß (12) die Gröfsen
'Ü» 'i? ^Ü» VI Uß d setzen diese Werte in die aus (8) resultierende
Gleichnng:

vM ' r»

ein, so erbalten wir:

(r»-ff»){r'-F t ) rM+n

ܻF"

r , r »

Diese Gleichung dient zur Bestimmung von / und kann, da f t als
Funktion von r, u und v nicht explizite enthalten darf, nur dann be-
friedigt Bein, wenn U und V konstant Bind. Setzen wir also:

U = o und V = h,

64 A. Tachaueb:

so wird f durch zweimalige Integration gefanden aus der Gleichung:
f" ab

(13)

r (! + /") r y(r» -aW-b*)

r und tp erhalten wir dann durch je eine weitere Quadratur aus den
Gleichungen 1 ):

(14)

r, - -X£- b, <p,= - t -^'— Vr* - &".

Hierbei setzen wir fest, dafs a grofser als b ist, wozu wir, ohne
das Problem einzuschränken, berechtigt sind, da sich sonst lediglich u
mit v vertauschen würde. Ferner erkennen wir, dafs wir, um reelle
Lösungen zu erhalten, — und nur solche sollen hier behandelt werden —
r grofser als a nehmen müssen. Es gilt also die Ungleichung*):

(15) 6 ^ a ^ r ^ oo.

Wir wollen zunächst voraussetzen, dafs a und b beide positiv sind.
Setzen wir dann zur Abkürzung:

- a — b

so wird durch die Substitution:

(16) t = 2l*+l-£

die Differentialgleichung (13) in die folgende:
f'dr , dt

rv+n , y« , -4* , (* , +i)

übergeführt. Die erste Integration liefert:

(17) f - c •

Yt — c* — yt* — 41* (a* + 1)

Bilden wir f" und setzen die Werte von f und /"", sowie den
aus (16) sich ergebenden Wert von r in die zur Bestimmung

1) Das Vorzeichen von q>„ rührt daher, dafs die Gleichung (8) erfüllt sein
mufs. Wählen wir in der Gleichung (13) für die Wurzel das positive Vorzeichen,
so erhält <p v das negative.

2) Bis zu diesem Resultate gelangte Vofs in seiner oben genannten Ab-
handlung.

Über diejenigen Rotationsflächen etc. 65

von r dienenden Gleichungen (14) ein, so erhalten wir zur Ermitt-
lung von t:

au

2 J V2i" + 1 - tyt* - 41* (1*+ 1) V* — e« - yt* - Ü^l' + l)

Setzen wir noch:
sodaß:

co8»~ + a*

cos« ?. _(_ 21» co 8 t " + l»(2l*-|- 1)*
(18) < 1

wird, so gilt für cd die Gleichung

yäb

au -f 6« = —

JyEE^E.

C08»-

Führen wir schließlich statt der Eonstanten c eine andere Kon-
stante C ein durch die Substitution:

= c* '

so wird die Abhängigkeit der Funktion <o von den Variabein u und v
festgelegt durch die Gleichung:

(19) au + bv = - ^

Haben wir diese Quadratur ausgeführt, was wir später tun wollen,
dann läßt sich aus (18) t und aus (16) r, ebenso aus (17) f vermittelst
der Größe r als Funktion von u und v ermitteln.

Wir wollen alle in Betracht kommenden Funktionen zunächst als
Funktionen von o betrachten und erst durch m hindurch als von «
and v abhängig auffassen.

Setzen wir zur Abkürzung:

(20) r=]/cos s |-fA 2 und A =|/C» + A»,

Aichlr der Mathematik and Phyilk. HL Reihe. VI.

66

so ist, da

A. Taceaukh:

f =

y?

coa«-

o

f(21)r-2y^5^- und') f ^ ^iM^

da.

Da ferner:

rfra — — 2 1/ C* — cos 8 = J= —

ist, so wird:
(22)

. /«u- bv , ll/l»+ 1

l {* da \

J r Y*- cos« -j

Diese Formeln bestimmen sämtliche Flächen F«. Es läßt sich
nämlich leicht aeigen, daß, falls a positiv und b negativ ist, yab
in Y—ab und Winkel o in den Supplementswinkel übergeht. Die
anderen Fälle bewirken lediglich eine Yertauschung von u und v.

Die Fundamentalgrößen erster Ordnung werden:

(23)

-p _ 4aji , (flcoBffl-fJ/) , < „ _ 4 A* (a cos <b -\- 1) (b coa w A- a)

ll Hin 4 «I r-ltl ' Irl

cos w;

~ 4b A* (6coa«D + <*)'
a sin*«

die Normale hat die Richtungskosinus
(24)

X = A cos <p; T= - sin y; Z=- —

die Fundamentalgrößen zweiter Ordnung haben die Werte:

("25) D »= — 2a ^( acoata + ^)
1/a 6 sin üj

Was nun den Gültigkeitsbereich von a anlangt, bo muß infolge
der Ungleichung (15) die Grenzbedingung:

(26)
besteben.

TT < C0B ä < 1

1) Die Ausführung dieses Integrals, Bowie noch einiger weiterer
unterlassen wir, da wir derselben im weiteren nicht bedürfen.

Integrale,

Über diejenigen Rotationsflächen etc. 67

Um ferner die Vorzeichen von ]/l? und YG zu bestimmen, be-
achten wir, daß die Funktionen:

-af,,=-|^Ecos»! und M,=YG cos»!
die Differentialgleichung:

M Uf) Bin 03 + M u <a v + M 9 a u =

befriedigen müssen. Dies ist aber, wie die Ausführung der Rechnung
zeigt, nur dann der Fall, wenn YE und YG gleiches Vorzeichen be-
sitzen. Daraus folgt, daß das Krümmungsmaß: K = stets positiv

yEG

ist. Also sind aUe Flächen V R elliptisch gekrümmt.

3. Die assoziierten S- Flächen. — Wenden wir die Formeln (7)

an, so erhalten die Koordinaten der assoziierten S-Flächen folgende

Werte:

t\ . l}/äMn"|/c»-coß»| .

6/ ^ sm e> cos <p -f- p ' r 2 sm qp

»jl — 2~Tr sin tp — 5»T cosqo'

t=- r r ' da> I p Xy^ + 1 OK- ftp

J ]/C-cos*- *

Daß diese Flachen Schraubenflächen sind, laßt sich leicht auf
folgende Weise zeigen.

Setzen wir: ,

IVV + ll/c» — cos»^
t> sin tu , j t> r 2 ,

-K g-jy = p cos # und if -^ = psinV,

so ist:

ja

tO

1

•a

o

OD

<

**** Trin^ *»* < ,= -^'

Führen wir noch zur Abkürzung % = <p — 1> ein, so ist:

y T'T/C-cos»!
Hierbei ist:

T = ]/yf* sin 8 f + (<?*- 1)A 8
und

-fe+^T^ 1 -)

68

A, Tm'iudzr:

Dies iat die bekannte Form der Koordinaten einer Schrauben-
fläche.

4. Die Gestalt der Fliklien Vr und der assoziierten S-Flächen,
sowie der Verlauf der geodätischen Sysf-eme t bezie. der Hauptiangenten-
hurven auf denselben. — Denken wir uns dieMeridiankurve der Flächen F*
bezogen auf die Variablen r und z, die von dem Parameter o abhängen,
bo ist:

Bin JH ' rti / _ L

(27)
Da

1 /"'(OCOB4B + b) (b COB«o +

2}/^b I . , -i/Z "7™
r / sin'ajI/C 1 — cos * —

da.

2r
em

(a cob a> -j- b) (6 cob os -f- a)
2yäbTein. i to

ist, so haben die Differaitialquotienten von r nach z die Werte:

(28)

8r

0«

]/c^

COB'

ö* 1

2 T" (a cob tu -f- b) (b cos cd -f- ä)

Ebenso gilt für das Meridianprofil der assoziierten Schrauben-
flachen jSj das wir auf die Variablen p und § beziehen 1 ):

Ji Bin

(29) j-^J,

* 8

l /» Bin*«» -

J T'|/c_co<

4T

(30)

wo

ist.

2T

]/r^

-l sin w

dp

/,' r sin 4 tu

¥=[^-^(^+1)] Bin 4 g - k* (C s - l) s cos o

Diese Formeln (27) bis (30) genügen zur Betrachtung der Gestalt
unserer Flächen. Wir haben nur noch die Quadratur (19) auszuführen,
was je nach dem Werte der Konstanten C drei Fälle liefert, denen
drei Typen von Flächen V K und ihrer S- Flächen entsprechen.

In der Formel (19) kommen, da wir nur reelle Werte der Variabrln
ins Auge fassen, lediglich positive Werte von C 1 in Betracht.

1) Eigentlich sollten z und £ entgegengesetzte Vorzeichen besitzen, sodaB
der positiven z- Achse die negative f- Achse entspricht; da aber die Flächen zur
xy- bezw. £)j- Ebene symmetrisch liegen, ändern wir aus praktischen Gründen
das Vorzeichen von f.

Über diejenigen Rotationsflächen etc. 69

I. Fall. KC'^oo.

1 AI

Substituieren wir 1 ): C* = -^ und cos— =* (i, bo geht die Grenz-
bedingung für C Aber in die folgende:

0^x<l,
und, da nach (26)

a — b
ia

< COS 8 » < 1

ist, so genügt p der Bedingung:

Setzen wir noch zur Abkürzung:

au -f- bv

~" %Väb '

so besitzt die zu integrierende Gleichung:

J V(i -»«xi-* V)
die Losung 8 ): /* = sn t; somit ist: cosy© = snT. Da also:

so wird:

dnr

r =yab L — — : ,-

' snrcnir ' de

d*r (1 -f x*l*) sn»* cn»r

de

,.y5»(y5^HHP)»(«-.--^ (-.». + •£*)

Somit wächst r von a bis co, ^ ist stets positiv, ~-4 stets negativ.

Für negatives e erhalten wir einen symmetrischen Kurvenzweig.

Die Rotationsfläche entsteht dann durch Rotation dieser Kurve
um die «-Achse.

1) C kann positiv oder negativ sein, für x ist jedoch stets der positive Wert
zu nehmen.

2) Hierbei mögen snx, cnx, dnx die elliptischen Funktionen: sin am(x, x),
cos am (x, x), J am (x, x) bedeuten.

70 A. Tacraü«h:

Für die S- Fläche gilt 1 ):
T = - Vcn'r + A'dnV, V -. \ [cn*r + Jt 1 dn 4 r (cn'r - x' f an**)

1 T * * 0* x 1/1 + x*i* snr cur

Mit wachsendem r nimmt q ab, — ist stets negativ, k-| ist

an

die

fanea positiv, verschwindet bei sn* r = , " , wo demnach

B r l/r+l + Ax'»'

Kurve einen Wendepunkt besitzt, und wird dann negativ. Für sn ! r = 1,
wo q ein Minimum besitzt, steht die Tangente der Kurve senkrecht
zur J- Achse. Da dieser Punkt im Endlichen liegt, setzt sich infolge
der Periodizität der elliptischen Funktionen die Kurve periodisch fort,
so daß hier eine Spitze entsteht.

Die Schraub enfläche erhält man durch Rotation mit gleichzeitiger
Schraubung dieses Meridianprofils um die £- Achse; sie besitzt dcmnarli
für sn'r = 1 eine Rückkehrkurve.

IL Fall.

0<C S <1.

Substituieren wir: C' s = x* und cos | eu — xp, so wird

t ==, ~Z_ v Gleichung (19) übergeführt in:
yab

r _**

Hierbei genügt x der Bedingung: 0<x< 1 und da die Ungleichung (2<
mit Rücksicht darauf, daß die Wurzel reell sein soll, übergeht in:

a — b =

2a

so gilt für fi die Grenzbedingung:

2aV<^ ^^

zwischen x und 1 existiert also kein reeller Wert von cos
wird nun: (i = sn r, also cos \m = x snr. Ferner:

A = yi* + x »; J , = ]/x , sn s T + A 1 ;

Über diejenigen Rotationsflächen etc. 71

folglich:

1 /-7'l/jt*8n T t+T i dr xenr

r = yao ^ — : a - = = :

' xsntdnir ' dt y% t sD t t -f- 1*

d*r ^ {X* + %*) sn'r dn»tr

det ~ xV^(T^8n^+r*)»( 8 n»r-|^)( B n*, + ^)'

r wächst bis zu einem endlichen Maximum, wo die Tangente der

d*r
Kurve parallel der e- Achse ist; j^ ist stets negativ. Die Kurve ver-
lauft periodisch

Für die S-Fläche gut:

T = x^dn 2 r + A J cn 2 t; V = x 4 [dn 4 T + ^cn^dn'T + x'^'t)].

Rx ,/j— i — ; — 7» — 5— do xcnrVdn , * + l*cn*T

* l* + x* r t , 2j yi»-fx» B ntdn* '

g»g _ yydn'r + l'cn't
dt* = JJ^+x^x'Bii'Tdii^r "

Für das Minimum von q, das bei sn* t = 1 stattfindet, besitzt die
Kurve eine der g- Achse parallele Tangente. Ein Wendepunkt ist nicht

vorhanden, da j£ stets positiv ist. Die Kurve kehrt periodisch wieder.

III. FäU. C* = 1.

Setzen wir:

au -\-bv
r= *~YaT~'
so wird:

folglich

-/^-»lncotj;
«/ am-

tan ^r = -j— *) und cos „ = -jt 5

2 shr 7 2 ehr'

hierbei gilt die Qrenzbedingung:

— j-j- < ch*t <^ oo.
Da ferner:

A=V»+T und r - y<y +»>*■«-*

1) oh x und ch x bedeuten die hyperbolischen Funktionen : sinns hyperbolicus
■von x und cosinns hyperbolicus von x.

72

ist, so wird:

dz*

A. Tachadbb:

chTV(^'+l)ch»T— 1 % dr_

Bh x ' de ~

ßh'r ch'r

Y(X* + 1) ch»T — 1 '

]^6(V(l»+l)ch«r-l) 8 (ch*r - ^) (ch'r - ^)

r wächst also unter positivem ~- von a bis oo; w-j ist stets negativ.

Die Kurve verlauft ins Unendliche.
Für die 5- Fläche gilt:

T =

" ch r i

1

= sh*>

d*9

' ch'r * Q ~

B

ch

tyxT+i

yx* + ich*t

Rah**

(i nimmt ab bis zum Werte 0; ~ ist stets negativ und wird für

ch'r = oo gleich 0; ■%£ ist positiv. Die g- Achse ist Asymptote der
Kurve.

In den angefügten Zeichnungen (Fig. 1 — 6) sind die Meridian-
kurven der Flächen V R , bezogen auf die Koordinatenachsen s und r,
sowie die Meridianprofile der 5-Flächen, bezogen auf die Koordinaten-
achsen £ und q, dargestellt.

Sämtliche Kurven besitzen im Punkte A bezw. A zwei von
einander verschiedene, zur r- bezw. (»-Achse symmetrische Tangenten.

*-z

Fläche \LI.
tt

Fig. 1.

Fläche Vtt.
R

Flg. 8.

Bei den Flächen V R besitzt die Meridiankurve in A die Koordi-
naten s = 0, r = a, dann nimmt r zu und zwar in den Fällen I und
in bis r = oo und im Falle II bis zu einem endlichen Maximum. Die
Kurve wendet in ihrem ganzen Verlaufe ihre konkave Seite der z- Achse
zu; ihre Richtung nähert sich dabei einer festen Grenzlage B f wo sie

über diejenigen Rotationsflächen etc.

73

im Falle I mit der s-Achse einen spitzen Winkel bildet, im Falle III
zu derselben parallel ist, ohne daß im Endlichen eine Asymptote vor-
banden ist; im Falle II setzt sich die Kurve, deren Tangente in dem
endlichen Punkte B zur z- Achse parallel ist, periodisch fort.

Bei den S- Flächen dagegen besitzt das Meridianprofil in A ein
Maximum von p; dann nimmt q ab und erreicht in B sein Minimum,

c/ir-J a 6
rtdehe v a in

tt

Fig. 3.

»- z

ehT-

Fläche SI.

VUull*

Fig. 4.

das im Falle DT gleich Null ist. Im Falle I wendet die Kurve an-
fangs ihre konvexe Seite der g- Achse zu, besitzt in <d einen Wende-
punkt, von wo aus sie dann konkav gegen die £-Achse verläuft,
während sie dagegen in den Fällen II und III in ihrem ganzen Ver-

Flachc Sff.

Fig 5.

Fläche SM cJl *- a r%

Flg.«.

(•Af-co

laufe konvex gegen die £- Achse gekrümmt ist. Im Punkte B bildet
ferner das Meridianprofil im Falle I eine Spitze, deren Tangente senk
recht zur £- Achse steht, so daß hier die S- Fläche eine Rückkehrkurvc
itzt; im Falle II ist die Tangente der £-Achse parallel und im
Falle HI berührt die Kurve die £- Achse. Da in den Fällen I und D
B im Endlichen liegt, setzt sich die Kurve periodisch fort, während sie
im Falle 111 sich der £-Achse asymptotisch nähert.

74

A. Tachaceh:

Um nun den Verlauf des konjugiert -geodätischen Systems der
Flächen Vr, bezw. der Haupttangentenkurven der assoziierten S-Flächen
zu untersuchen, gehen wir Ton den Differentialgleichungen der Kurven r
und <p, bezw. p und %, aus und bestimmen 1 ) die Winkel, welche diese
Kurven mit den Parameterlinien u und v einschließen.

Setzen wir (nach Bianchi) als die positive Seite der Tangential-
ebene in einem beliebigen Punkte diejenige fest, auf welcher die Drehung
der positiven Richtung der Tangente der Kurve v in die Lage der
Tangente der Kurve u um den zwischen Ö und n gelegenen Winkel o
in der Richtung des Uhrzeigers erfolgt, und bezeichnen mit <£ (vC)
den zwischen und 2ar gelegenen Winkel, um den sieh die positive
Richtung der Tangente der Kurve v im positiven Sinne in der Tangential-
ebene drehen muß, um mit der positiven Richtung der Tangente der
Kurve C zusammenzufallen, so sind durch diese Festsetzungen die
positiven Richtungen der Tangenten der Kurven v und u, ebenso r
und 9, sowie p und % bestimmt. 5 )

Ermitteln wir zunächst bei den Flächen F« mit Hilfe der Differential-
gleichung der Kurven r:

adu -f bdv =
und der Kurven tp:

(» cos ta + b) du — (6 cos ta + a) dv <=

die Winkel, welche die Kurven r und tp mit den Kurven v und « ein-
schließen, so finden wir, daß, da Kurve tp stets auf Kurve r senkrecht

steht, die Clairautsche Be-

cos v-

a> a-b

ta

/

ziehung:

rsin(<jp?*) =a und raia(vq>) = b

in jedem Punkte der Fläche er-
füllt ist. In A berührt die
Kurve « die negative Richtung
von r, während die Kurve v
sich im Winkelraum e (+ r, + tp)
befindet und mit der Kurve u den stumpfen Winkel w, für den
a-b

ist, bildet (s, Fig. 7).

QM*

2 2a

der Winkel o ab, die Kurven v und

Mit wachsendem r
nähern sich

nimmt dann
der Kurve <p

1) S. Bianchi, Differentialgeometrie S. 64 und 65,

8) Da im folgenden nur die positiven Richtungen der Tangenten der
Kurven v und «, Bowie ep und % auftreten, bezeichnen wir diese der Abkürzung
wegen einfach mit Kurve v, Kurve u etc., während wir jedoch bei der Kurve r
bezw. (i zwischen der positiven und negativen Richtung unterscheiden müssen.

,1

tjber diejenigen Rotationsflächen etc.

'10

(s. Fig. 8) und berühren dieae schließlich in den Fällen I und III im
Punkte B, wo r unendlich wird (b. Fig. 9), wahrend im Falle II, wo r dieses
Maximum nicht erreicht, to nur bia zum Werte coa Jta = C'< 1 abnimmt.

coaf-l

%>

Kitf *.

Bei den S- Flächen dagegen, welche im allgemeinen Schranbeu-
flächen sind, gilt für die Kurven p zwar die nämliche Differential-
gleichung: adu + bdv = 0, für die Kurven % jedoch die folgende:

\ C i (b—acoB(a) + (a—b)co8 3 ^ \du —
rC(a — fccoscj)— (a— 6)coa s |lrft;=0.

cos

t 25

In A ist <t (p x) stumpf, die Kurve 9,
welche im Winketraume (+ ß, + %)
mit der positiven Richtung von p
einen spitzen Winkel einschließt,

bildet mit der im Winketraume (— p, -f %) befindlichen Kurve u eben-
falls den Winkel ra, für den coa* - = — — ist (s. Fig. 10). Indem nun
ehzeititr mit p der Winkel m abnimmt, v

gl

^(CX) gröfr

\

CO*

\

K

Fig. 11.

Kurven v und 11 entfernen sich von der positiven bezw. negativen
Richtung von p und nähern öich der Kurve %. Im Falle I erreicht

<£ (qu) bei cos 2 °* = ~ sein Minimum, wo <£ (p«) = ^ ist (s. Fig. 11).
Von da an nimmt mit -^Z. (pr) auch <£ (pt«) wieder zu, indem auch

76

\ Tm-haubr:

«$; (pjj) immer großer wird. Bei cos 1

(a 4- b) C

wo

IaC*— (tt— &)'

Meridianprofil einen Wendepunkt besitzt, berührt Kurve v die Kurve i
(s. Fig. 12). Nun wird <§£ (pjj) wieder kleiner, die Kurven v und u
befinden sich im Winkelrauuie (— q, -f %) und nähern sich immer mehr
der negativen Richtung von o (s. Fig. 13). Schließlich fallen im

'9

Fig. 12.

Fig. 13-

Punkte B die beiden Kurven v und u zusammen und berühren die
negative Richtung von q, während der <£ (qx) sein Minimum - erreicht

hat (s. Fig. 14). Im Falle II, wo o nur bis zum Werte cos - = C < 1

abnimmt, wird in B, je nachdem 0* kleiner oder größer als ~^— ist,
die Stellung in Fig. 11 nicht erreicht oder überachritten; keinesfalls

B

t

M»$r*#

B

9 y
+v,*X,+u

coa \>-r

X

Flg. 14 '.

Piff. 14.

aber kann, da der Winkel a) nicht bis zu dem obigen , dem Wende-
punkte entsprechenden Werte abnimmt, die Kurve v mit der Kurve y\
zusammenfallen. Es bleibt also stets die Kurve % im Winkelraume
der Kurven v und w. Im Falle III halbiert die Kurve % 8 t*ts den

Winkel o; die Fig. 11 geht infolge dieser Modifikation bei coB*^ = ^t-

in die Fig. 11' über. Der Wendepunkt fällt ins Unendliche für coso>= 1,
wo die Kurve y_ gerneinsam mit den Kurven und « die negative

Richtung von o berührt (s. Fig. 14').

5. Der spezielle Fall b = a. Die Biegungen der Fläcfien Y R und
die diesen Biegungen assoziierten S- Flächen in diesem Falle. — In dem

Über diejenigen Rotationsflächen etc.

77

speziellen Falle b = a werden die Koordinaten der Flachen V R die
folgenden:

x =

. to
sin-

Flächen V R

2

für & = o

o

*--?

coa

C(tt-t>); y = -^- sin C(u-t>);

sin —

/• cos» =•
_ _ a I 2

' V Bin.|]/?. -COB.|

(ira.

Die Fundamentalgrößen sind dann:
» ' . A to '

2OC/C0B —

8Ut*

in«

-; D'=0.

sin

sin

2 2

Da die Richtungskosinns der Normale die folgenden Werte:

X = -q cos ^ cos C (u — v); F = -jj cos -| sin C (u — t>);

z— jyc»-«*"=

besitzen, so erhalten wir für die Koordinaten der assoziierten S- Flächen:

Assoziierte
S-Flächen

| — tj sin ö cos C (u — v); rj = ^ sin ^ sin C (u — »);

2 f/l/c.-«».|

rfd.

Ihre Fundamentalgrößen sind:

E=.G = i2»; F = .R»coscd; D = D" = 0; D' = Äsino.

Um die drei Typen von Flächenfamilien zu unterscheiden, haben
wir zu setzen:

I. FaU:

C 8 = ^(0^ X< l):cos| = sn^(0<sn^^l).

IL FaU:

C* = x* (0 < x < 1) : cos ~ — x sn (u + v) (0 <; sn (u + v) ^ 1).
111. FaU:

78

A. Tadhai i.u:

Ehe wir die besonderen Eigenschaften dieser Flächen untersuchen,
wollen wir zeigen, daß wir zu oo l Biegungen der Flächen V H unter
Beibehaltung deB konjugiert-geodätischen Systems gelangen, wenn wo-
von einem Satze Bours 1 ) über die Biegung von Rotationsflächen aus-
gehen. Bour zeigte nämlich, daß die Rotationsfläche:

x - F(p) cos 1>; y=> F(p) sin *; z = /Yl -F' % {p)dp,

deren Linienelement ds durch die Gleichung:

ds s = dp i + F' i (ji)dil, i

gegeben ist, unter Beibehaltung von ds in oo s Schraubenflächen von
der Form:

x = aVF\ P ) - fi cos ^M; y = a yF'(p) - ß> sin *=£<*> ;

« - A'O) + /JV

gebogen werden kann, wo a und /J beliebige Konstanten sind und <fc (jj)
und A(|>) folgende Werte besitzen:

*(*) -fVF t (p)-p-*F'(p)F"(p) £fa ■

Bestimmen wir nach dieser Methode die Koordinaten der Biegungen
der Flächen Vr und führen dann wieder die Variabein u und v ein, bo
bleiben _E, jF, G selbstverständlich erhalten, aber D' verschwindet nur
dann, wenn zwischen e und ß die Beziehung: ß = au (a =]/l — «')
besteht. Dann erhalten auch D und D" den Faktor fr bezw. 1/fr, wo fr
eine von a abhängige Konstante ist.

Wir setzen mm für ß obigen Wert ein und verifizieren nachträg-
lich, daß die entstehenden Biegungen wieder V- Flächen sind.

Um vor allem die Variable p zu ermitteln, setzen wir: C(u — v) =* V
und betrachten die Koordinaten zunächst als Funktionen von o und v,
so daß das Quadrat des Linienelementes den Wert erhält:

a'C 1 cos*

ds*

4 sin'

(c -*•'!)

da* +

dif>*

Substituieren wir nun:

dp = —

aCcoe-

2 sin

5V"-

«M»-J

da,

1) Bour, Theorie de la deformation dee aarfacea (Journal de l'ecole polyt.
Cah. 39, Paris 1892, S. 82).

Über diejenigen Rotationsflächen etc.

79

so wird:

Es ist dann:

acyc*-

COB*

(C-l)8in ¥

l/c-cos»!
F(f>)--^ und F'(jf>) = L
sin-

C

Bilden wir die Funktionen 0(p) und X(p), so erhalten wir für die
Koordinaten der Biegungen der Flächen V R , welche wir mit Flächen V*
bezeichnen wollen:

x =

auT

cos <p; y

aaT .

sinqp;

/* cos' — dat

* ^ / + aua <p,

J «n* | T']/c-cos'J

-wo zur Abkürzung gesetzt ist:

9>

r = ]/l-a' 8 sin»|; ^ = /«'»C 8 + « 8 ;
L t/ 3fyC-oos»J

Betrachten wir © wieder als Funktion von u und «, so nehmen mit
Rücksicht auf:

da 2j/6™-cos*! cf (tt + »)

die Fundamentalgroßen erster Ordnung die nämlichen Werte an wie bei
den ursprünglichen Flächen Vr, B' verschwindet, B und B" erhalten
einen Faktor k bezw. 1/k; es ist nämlich:

tp r> a*C* „ a*C*
E=G = : F= cosro;

AI »

2

«0

8m 'T

ZakC cob —
B -; D' = 0; D" = -

AI ' '

sin

2

(0

2aC cos -rr

fcsin

wo Je <■» - ! und t- =- - 1 — ■ ist.

Cl KU

80 A. Tachaükb:

Es bleibt also sowohl die Eigenschaft der Parameterlinien « und r,
konjugiert zu sein, als auch diejenige, geodätisch zu sein, bestehen
(letztere Eigenschaft hängt ja nur von den Fundamentalgrößen 1. Ord-
nung ab), d. h.:

Die Flächen V*, d. s. die Biegungen der Flächen Vr für den
Fall b = a, sind wieder V-Flächen, und zwar Schraubenflächen.

Da ferner die Normale die Richtung:

{« , . e>"l/3Z , «o -i /~Z , cd

a.cos — aa sin — 1/ Cr — cos*— . a 1/ Cr — cos* —

___ l 2 cob tp — 2 V 2 sin q> > „ Y 2

— CT sin tp -f CT cos g> > <

H CT !in?+ Cr cosg>> C

besitzt, so erhalten wir für die Koordinaten der den Flächen V*
assoziierten S- Flächen die Werte:

% \ JRa'a.sin-^ . iJaa'cos — I/O* — cos 1 — .

| < _ 2 cos q> -f- \J_ 2 sin <p #

q\ CT sin 9— CT cosqp'

*-s/ ,/ v»+*^-

Tc/-T7=^ d(0
J r*j/c»-co8»|

Setzen wir noch:

Ba^ajsin— Baa'cos — 1/C* — cos* —

^ = () cos ^ und jpy = ? sin #,

so daß:

a cos — 1/ C* — cos* — „ _

. 2 r 2 , BaT

tantf = - und Q = —^~

«a, sin -
ist, so brauchen wir nur zur Abkürzung:

einzuführen, um die Koordinaten der assoziierten S- Flächen in
folgender Form zu erhalten:

v BaT JJaT & Ra /» sin* »da . üta'a,

y T*yc*-coB»!

Hierbei ist:

T=|/sin'f + «'*(C»-l), z = l|_0(«-,) + ^/ V Ct - cog, 2 d<a |

Über diejenigen Rotationsflächen etc. gl

Ihre Fundamentalgrößen sind:
E = .tW; F = B s COSo; G=.R 3 i; D = 0; D'= fisino; D"=0.

Die den Flächen V* assoziierten S- Flächen sind ebenfalls Schrauben-
flachen, ohne jedoch Biegfingen der den ursprünglichen Flächen V R asso-
• rten S- Flächen zu sein.

Um nun diese Flächen näher zu untersuchen, betrachten wir ihr
Meridianprofil.

Eb gilt für die Flächen V*:

aal

aT~l/c>-

C08-

— ! dm;

«rsin s | U*C* + tf* cos« |)

m, mm

a^

nafcos' —

Ebenso für die S-Flächen 1 ):

6—

HC

i /* sin* ta ,

, / r da;

J T«yo--o»-j

■JT

"|/c^

2 a*?

öV

16CTy

üec sin* es '

WO

ist.

Unterscheiden wir wieder die drei Fälle, bo erkennen wir, daß
die Flächen analog wie die allgemeinen Flächen verlaufen, nur hat
das Meridianprofil bei A bezw. A eine Spitze, deren Tangente senk-
recht zur s- bezw. g-Achse steht, so daß hier die Flächen Rückkehr-
kurren besitzen. Im Falle I findet der Wendepunkt der S- Fläche
statt für:

gr _ [( a 'i + 1) C - u*] cos 4 1 - u\ & cos cd

sii r

2» =

Was nun den Verlauf der geodätischen Linien auf den Flächen V*
betrifft, so steht in A Kurve <p auf Kurve r senkrecht; die Kurven t;
und t< berühren die positive bezw. negative Richtung von r (a. Fig. 15).

1) S. Note l, zu Nr. 4, S. 68.

Archiv dar Mithcmktik and Physik III. Reihe. VI.

82

A. Taohadkb:

Mit wachsendem r nimmt -^.(rtp) ab, die Kurven v und u entfernen
sich von der positiven bezw. negativen Richtung von r und nähern
sich der Kurve tp, und zwar so, daß die Winkel (-f- *", v) nnd («, — r)

einander gleich sind. Bei cos* ^ = . , t erreicht $Z (rtp) sein Minimum

(s. Fig. 16) und nimmt von da an wieder zu, indem die Kurven v und u

*u

COS^'V

*v

Fig. 16.

Fig. 16.

sich der Kurve <p immer mehr nähern. In B erreicht -^C (r qp) wieder
seinen größten Wert, der in den Fällen I und EI, wo r unendlich

wird, -£ ist — hier berühren die Kurven v und « die Kurve tp

(s. Fig. 17) — , im Falle H

wo co nur bis zum Werte:

cos

ö = C < 1 abnimmt, unter „ sich befindet. Je nachdem C 8 kleiner

« 2

„1

oder größer als , , ist, wird im Falle II die Stellung in Fig. 16

nicht erreicht oder überschritten.

Bei den S- Flächen ist in A die gegenseitige Lage der Kurven die
nämliche wie bei den Flächen V* bei A (s. Fig. 18). Dann nimmt

COS

V-.

-9
»u

cos

Fig. 17.

vi

Fig. 18.

»17

«£; (gl) zu, die Kurven v und « entfernen sich von der positiven bezw.
negativen Richtung von q und nahern sich der Kurve %. Im Falle I

ist bei cos 8 ^ = - S u > c "3C (qv) = g -, während <£; (pu) sein Minimum

erreicht (s. Fig. 19). Von da an nimmt mit •£; (qv) auch «£ (qu) wieder

zu, indem auch «^ (pj) immer größer wird. Bei cos*^ = — < * 1 ,~^ 1

Über diejenigen Rotaticmafliichen etc.

83

wo das Meridianprofil einen Wendepunkt besitzt, berührt Kurve v die
Kurve % (s. Fig. 20). Jetzt nimmt «^(pz) wieder ab, die Kurven v
und u befinden sieb im Winkelraume (— q, i) und nähern sich immer
mehr der negativen Richtung von q (s. Fig. 21). Schließlich fallen in B

^f-e^ä-

Fig 19.

Fig. 1»'.

die Kurven v und « zusammen und berühren die negative Richtung
Ton q, während <£ (pr,) sein Minimum erreicht hat (s. Fig. 22). Im

Falle II, wo a uur bis zum Werte cos ° = C< 1 abnimmt, wird in B,

je nachdem C' s kleiner oder größer als — P-ttt ist, die Stellung in
- D «, -f- a U '

Fig. 19 nicht erreicht oder überschritten. Keinesfalls aber kann, da der

Winkel o nicht bis zu dem obigen, dem Wendepunkte entsprechenden

C0S ' <t.C*<x*C*)>

a ' C , . ,cosY>
a,C+ce'/L'lti *

rt% m

Fig. 81.

Werte abnimmt, die Stellung in Fig. 20 erreicht werden, so daß also
Kurve % stets im Winkelraume der Kurven v und « verbleibt. Im
Falle 111 halbiert Kurve % stets den Winkel co; die Fig. 19 geht bei

C0B *f "T+T? m d" 5 %• 19 ' über 5 der Wendepunkt fällt in den
Punkt B, also inß Unendliche, wo Kurve % gemeinsam mit den Kurven v
und u die negative Richtung von p berührt (s. Fig. 22').

Zum Schlüsse wollen wir noch einige besondere Eigenschaften
derjenigen V- und S- Flächen hervorheben, für welche a = 1 ist Beide
Flächengruppen sind Rotationsflächen; der Meridian halbiert den Winkel

6«

84

A. Tachavek: Über diejenigen Rotationsflächen etc.

der geodätischen Linien, bezw. der Haupttangentenkurven. Die beiden
Kurven v und u berühren in A bezw. A den Parallelkreis mit ent-
gegengesetzter Tangente, nähern sich dann dem Meridian, den sie im
Unendlichen berühren. Die Flächen werden durch die Parameterlinien

•V

' u , ' X.*V

B

coa

Y-

Fig. SS.

COS

Fig.M'.

'9

\>., '?

in lauter Rhomben geteilt. Im Falle I rückt für die S- Fläche der
Wendepunkt in den Punkt B, wo q = ist, so daß hier die Fläche
einen Knotenpunkt besitzt (s. Fig. 23).

Setzen wir die den drei Typen zugehörigen Werte von G und o
in die Koordinaten der Flächen V* und der assoziierten S- Flächen ein,
so erkennen wir, daß:

ßr den Fall a = 1 die S-Flächen die bereits bekannten drei Typen
von pseudosphärischen Rotationsflächen sind.

Wir erhalten nämlich ihre Meridiane in derjenigen Form, in welcher
sie Bianchi (S. 192 und 193) angegeben hat.

Gunzenhausen, November 1902.

M. Lkech: Über den Kroneckerschen Beweis etc.

85

L.e

Über den Kroneckerschen Beweis
der sogenannten Kroneckerschen Grenzformel.

Von M. Lerch in Freiburg (Schweiz).

Bedeuten a, b, c drei reelle Größen, von der Beschaffenheit, daß
4ftr — b* = 1 und «>0 ist, so konvergiert die folgende, schon von
Lejeune-Dirichlet eingeführte Doppelreihe

V

n, » = 0, +1, + S,
; AuHchlufl vnu m =

solange q > bleibt; ihre Summe wächst ins Unendliche, wenn sich q
der Null nähert, und zwar so, daß sie nach Subtraktion von 2a , /p einen
endlichen Best gibt, der für p = Ü bestimmt bleibt und sich durch
elliptische Funktionen ausdrücken läßt. DieB erkannt zu haben, ist ein
interessantes Resultat Kroneckers. Jedoch sind die Betrachtungen,
welche dieser große Mathematiker zur Begründung seines Satzes aus-
geführt hat 1 ), der Form nach so kompliziert, daß sich das Bedürfnis
eines einfacheren Beweises wirklich fühlbar macht. Solche Beweise sind
nachher geliefert worden, und zwar von Herrn H. Weber 1 ), von mir 3 )
(zwei wesentlich verschiedene) und von Herrn Franel.*) Einige dieser
Beweise gestatten in die analytische Natur der durch die Doppelreihe
definierten Funktion von p tiefer einzudringen; wenn man sich aber
lediglich mit der Begründung der Kroneckerschen Grenzformel be-
gnügen will, so läßt sich, wie ich vor längerer Zeit erkannt habe, der
Kroneckersche Beweis so darstellen, daß er den anderen der Klarheit
und Einfachheit nach in keiner Weise nachsteht. Eine Veröffentlichung
dieser zumeist bloß formalen Vereinfachung scheint mir schon aus
dem Grunde geboten zu sein, weil dadurch die der Kronecker-
Bchen Beweisführung anhaftende gedankliche Eleganz erst recht zu
Tage tritt.

1) Sitzungsberichte der kgl. preufi. Akart. d. Wiss., 1889, p. 123 u. ff.
1 Math. Ann., Bd. 33 und in dem Werke „Elliptische Funktionen und alge-
braische Zahlen' 1 , p. 466.

I Kozpravy ceak^ Akademie, 1. Jahrg., Nr 27 (§ 11), 1891, bzw. Sitzunga-
'" richte d. kgl. böhm. Ges. der Wiaa. in Prag, II. Klasse, 1893, Nr. IX.
I Math. Ann., Bd. 48.

86 M. Lebch:

1. Wir gehen mit Kronecker von der unendlichen Doppelreihe

., inHma-\-nt)

CO

m, ■ = 0, +1, +2
mit AuHchluB von

aus, in welcher die Funktion f(x, y) die quadratische Form ax i +bxy-\-cy t
bedeuten soll und 6, x, p drei reelle Größen sind, die wir den
Bedingungen < tf < 1, 0<t<1, p > unterwerfen wollen. Mit
Zuhilfenahme der bekannten Integralformel

erhält man für Jc = f(m f w) an Stelle von (1)

r(i + p) F(0, r, p) =2' f& d * • «~ ' /<m • "' + ""' ,mo+ " r) ,

und ea soll zunächst gezeigt- werden, daß man das Suminatiouszeichen
unter das Integralzeichen bringen darf, sodaß die Formel

(2)

90

r(l + if)F(<a, t, p) = fxedx^j'e- *'<"■>"> + »«««»«+■«>,

entsteht. Da die unter dem Integralzeichen stehende Doppelsumme
in jedem Intervalle (# . . . od), wo a: > 0, gleichmäßig konvergiert
und einen Wert hat, der für unendlich wachsendes x so intensiv gegen
die Null konvergiert wie eine Exponentialfunktion, so ist die Existenz
des Integrals mit den Grenzen x und oo evident. Über die Integrier-
barkeit der unter dein Integralzeichen stehenden Funktion von x =
aus gewinnt man am bequemsten Aufschluß, wenn man die weiter
unten noch zu benutzende Transformationsformel

(3) ^ ^g- *«*/(,«, *) + »*< (mo + nx)

-i22<

/(m+o, u + r)

heranzieht. In derselben wurde f'(x, y) = cx % — bxy + ay 1 gesetzt,
und u bedeutet darin irgend welche positive Größe. Dieselbe findet
sich in der zitierten Abhandlung Kroneckers vollständig bewiesen
und kann auch direkt abgeleitet werden, wenn man die rechte S»
in eine Fouriersche Doppelreihe entwickelt. Da sich der Kronecker-
sche Beweis überdies in einem über die Kroneckerschen Arbeiten

Über den Kroneckerachen Beweis der sogen. Kroneckerschen Grenzformel. 87

verfaßten Kommentar 1 ) in getreuer Wiedergabe findet, so kann ich mü-
den Beweis der Formel (3) an dieser Stelle ersparen.

Wir wollen nun in den beiden Doppelreihen der Gleichung (3)
das Glied m = n = isolieren, und erhalten so

(3°)

"^ 1 g~ iutt/{m, n) + 8xi(m0-f-»r)
m, n

— — /(.m+a, « + t)

-(-Hi>1 + ^ ?fl

wobei die Summationsbedingungen auf beiden Seiten die gleichen sind
wie in der Formel (1).

Wenn man jetzt in (3°) für u die Größe xßx setzt, so erhält man
für die unter dem Integralzeichen in (2) stehende Funktion eine Dar-
stellung, aus welcher unmittelbar zu ersehen ist, daß zur Integral-
existenz die Bedingung o > — 1 ausreicht, solange allerdings die Un-
gleichungen 0<<j<1, < % < 1 in sensu rigoroso stattfinden, wie
wir übrigens angenommen haben. Diese letzte Bedingung wird jedoch
bei der Annahme p > hinfällig, eine Bemerkung, die für das Folgende
sehr wichtig ist.

Wir wollen nun zeigen, daß sich in (2) die Integration gliedweise
ausführen läßt, wenn p > ist. Ich spalte zu dem Zwecke die Doppel-
reihe in zwei Teile Sg + Eg } indem ich setze

m, n

Ejf = ^ e~ x f<- m > ") + «*'(»« + »*) f (/(m, ») > *>

m, n

ich bezeichne außerdem mit 5%, _?& die vorhergehenden Ausdrücke für
das spezielle Wertsystem 6 = t = 0.
Das Integral (2) ist dann offenbar

CO CO 00

(4) jxQ(S N + R N )dx = jxQ Sifdx + fx* B s dx-,

es existiert ferner unter der Annahme p > auch das Integral

CO CO

I xß (Sßr + .Z&) <te sowie / atf ü? v <fo,

1) Formes quadratiques et multiplication complexe. Deux formnies funda-
mentales d'apres Kronecker, par J. de Signier. Berlin, Felix L. Dames, 1894.

88 M LeHCU:

und es ist, wie leicht zu sehen,

■
lim /zdftrfjr = 0.
o

Beachtet man, daß | R# | <. R% ist, so folgt hieraus die Grensgleiehung

00

lim fxfiRsdx = 0,

und infolge dessen erschließt man aus (4)

SO 90

lim I &(Ss + IMrfs = lim I x?S x dx.

Da sich im letzten Integral die Suinmation und die Integration offenbar
vertauschen lassen, so ist die rechte Seite dieser Gleichung nichts anderes
alß die Doppelreihe F(l + q) F(<f, t; p), womit die Formel (2) er-
wiesen ist

Um nun die rechte Seite von (2) umzuformen, spalte ich das

Integral nach dem Schema

■ In

1

in zwei andere, ersetze im ersten Integral die Doppelsumme

^ 7 g— x/(rn, n) + »ni(mo+ » r)

durch den transformierten Ausdruck (3°)

, | Sit -/(".'M . 2« ^TV —/<"•+", «4-«)

und führe die Integrationsvariable \jx anstelle von x ein. Alsdann läßt
sich das Integral der mit x* multiplizierten Reihe mit demjenigen,
dessen Grenzen 1 und oo sind, vereinigen, während man die aus dem
eingeklammerten Ausdruck stammenden Integrale von dem Rest ab-
trennen kann. Man erhält in der Weise die Formel

r(i + 9 )F(<s,T t9 )

1+0

+

2xj\

e-iifK/'ia, r)

OD

-f Cdx'Sl'ixüe-'^"'' ■) + »"'(«•' + »T)_|__!ü_ e _4*»x/'(m + i

Über den Kroneckerschen Beweis der sogen. Kroneckerschen Grenzformel. 89

Die Dirichletsche Doppelreihe entsteht aus (1) vermöge des Grenz-
übergangs 6 = 0, t = 0, da wegen p > offenbar

Um /K^)=J^~TR,-mO ) P).

Auf der rechten Seite der Gleichung (5) verwandelt sich bei diesem
Grenzübergang das erste Integral in

/ * dx _ £
x' + e"*'

i

und ebenso läßt sich beim zweiten Integral der Grenzübergang durch
bloßes Einsetzen o" = t = ausführen, sodaß man nach der Division
durch T(l -f o) die Formel

F(0, 0, p) = - g-^p—j— + pr(1 + p)

OB

+ m+j) fr* 2' (■*<>- x/im ■-) + ^«-*-/'^.«»)

erhält. In derselben ist das erste und dritte Glied rechts au der Stelle
p = endlich und stetig, und die Potenzentwickelung

-=,-£r— ,- — -2*r'(l) + .-.

zeigt, daß die Differenz

F(0 } r9 )-^

an der Stelle p = endlich und stetig bleibt, und daselbst den Wert
lim [F(0, 0, p) - ^1

- - 1 - 2«r'(l) + fa*2 '(e-*fr> -> + '-^c- ** '/•<•»■ ->)

(6)

erreicht. Um diesen Grenzwert genauer zu beherrschen, muß man
noch den Integral wert rechts ermitteln; die so erwachsene neue Auf-
gabe löst Kronecker in geistreicher Weise durch Heranziehung der
Formel (n) im Grcnzfalle p = 0, welche unter der Bezeichnung

Fie, t, 0) = lim F(<s, r, p)

90 M. Lbbch:

offenbar die Gestalt hat

OS

,dx

(?)

F{p, t, 0) = - 1 + 2«Ctr i ' fi 'f'^ ^
i

m

+ f dx 2*' (*" * /{m ' n) + 9ni(ma + "*) + — e~ <***/'<»» + ». « + *)Y

1 m, n

(8)

Wenn man nämlich in derselben das zweite Glied rechts auf die linke
Seite bringt, so läßt sich der Grenzübergang zu tf = 0, t = ausfuhren,
und man erhält

CO

— 1 + fdx^'(e-"( m > »' + !*«r« , »/'6». »>)

1 im, n

CO

= lim ( F(tf, t, 0) - 2« A- 4 ***^ *> — 1 •

Die linke Seite bildet einen Bestandteil der rechten Seite von (6), und
demnach hat man an Stelle von (6) die Gleichung

lto[>(0,0, ,)-?£]

100
= -2«r'(l)+ lim (^(ff, t, 0)-2«/V-*»**/'^*)— )•

Nun hat aber Eronecker den Ausdruck F(p, t, 0) schon früher be-
stimmt, und zwar 1 )

(9) g(«, r, 0) - -2»l°g{^ + -""' *' ( - f '^X,7 """"' i-

wobei der Kürze wegen

— b + i b + i

gesetzt und ferner die Bezeichnung

(10) -ff(w) — e 1 *" JJ(1 - c 8 "«"")

* = i

benutzt wird. Die Bezeichnung ^(ujw) ist die in der Theorie de-r
elliptischen Funktionen übliche, und zwar für q = e*""':

CO

^(ttlw) = 2j4 sinuÄ JT(1 - g 2 ")(l - 2 8 »e*«'"')( 1 - 9*" e_8 " , ">

n= 1

1) Berliner Sitzungsberichte 1883, S. 497 u. ff.

Über den Kroneckerschen Beweis der sogen. Kroneckerschen Grenzformel. 91

Wir geben die Begründung des Hilfssatzes (9) weiter unten, und
wollen uns seiner vorläufig bedienen, um den Grenzausdruck auf der
rechten Seite von (8) zu ermitteln.

Man bat offenbar

00 OD

1 itf/Hc t)

und da sich vermöge der partiellen Integration die Formel ergibt

00 OD

I er-*— = — e-'logs + f e~*logxdx f
f «

aus welcher für unendlich kleine e

OQ CD

f*~ m ^£ = — loge + fe-*logxdx*=— log« + T'(l)
• o

folgt, so kann man an Stelle der rechten Seite von (8) schreiben
- 4*1" (1) + lim \F{«, x, 0) + 2«log4«Y'( tf » *)}■

a — 0, i =

Der eingeklammerte Ausdruck ist nun nach (9) offenbar

und da man für unendlich kleine 6 und t

sin (tf + twJtc • sin(tf — rw,)jr = jr 2 (tf -f »«^(tf — *w») = *

hat, so geht der in Rede stehende Ausdruck für « = 0, r = über in

~ 2ä l0 « c5 W I W

= 4« log — — *—

H(v> t ) fl(«,)
Man hat daher an Stelle von (8)

(11) lim [F(0, 0, ,) - ^] - - 4*r'(l) + 4» log g^^ ,

^e Krone ckersche Grenzformel. Man kann ihr eine etwas allgemeinere
"testalt erteilen, indem man eine allgemeine positive quadratische Form
a &* -{-oxy + cy* mit der negativen Diskriminante b* — 4ac = — d
ei »fGhit Wird dann

— b4-iV2 b + iVd

1 2c ' * 2c

92 M. Le.ch:

gesetzt, so lautet das gemeinte Theorem wie folgt:

lim

' iTt^j \am* ■

V2

rv

= -2r'(l)-logV^ + 21og

-ffK) 2 io,

2. Nachdem wir den Hauptgegenstand erledigt haben, wollen wir
auf einige Punkte näher eingehen, welche die Hilfsformel (9) betreffe»
Man kann dieselbe vorläufig ao formulieren, daß die Grenzgleieh

(12)

*"(•, h 9) =2'

iitiOuo + nt)

f(m, n)

stattfindet, wobei rechts die Summatiou zuerst nach n und dann nach
auszuführen ist, d. h. genau ausgedrückt, daß man die folgende Größe
bilden soll:

(12a)

2i TW*) + 2i 2j ~T(m, n) ■

» = — « m = — » n = — oo

wobei der am Summationszeichen angebrachte Accent bedeutet, daß
mau das Glied n = 0, bezw. in = unterdrücken soll.

Daß die Übereinstimmung des Grenzwertes F(p t r, 0) mit der
Doppelreihe (12 a) nicht von vorneherein klar ist, ersieht man schon
aus dem Umstände, daß die Doppelreihe F{<S, x, p) für p > absolut
konvergiert, während dies bei (12 a) nicht der Fall ist. Für diese
Übereinstimmung hat Kronecker einen Beweis entwickelt, der siclx
auf eine Abelsche Identität gründet (1. c, Art. IV), außerdem hat er
einen zweiten Beweis angedeutet (Art. V), dessen Ausführung jedoeri
dem Kommentator Herrn J. de Seguier nicht gelungen ist. 1 ) Es wird
an der betreffenden Stelle zwar mit aller Strenge gezeigt, daß der
Grenzwert

lim F(ö, t, p) = F(ff, x, 0)
e = o

existiert, und daß er durch das Integral

aO

■/(m, n) + irti(ma + »r)

dargestellt wird; für die Übereinstimmung des letzteren mit dem
druck (12a) habe ich mich jedoch vergebens bemüht, an der angegebe** eD

1) S. 192 des citierten Werkes.

— aroneckerachen Beweis der sogen. Eroneckerschen Grenzformel. 93

Stelle irgend einen Beweisgrand zu entdecken. Der oben auseinander-
gesetzte analoge Beweis im Falle q > ist hier nicht anwendbar, weil
das Integral

fdx^'e- */<"'.»)

nicht existiert. Bevor dieser prinzipielle Punkt mit gehöriger Strenge
erledigt ist, kann ich nur den ersten von den Eroneckerschen Be-
weisen als brauchbar betrachten. Von diesem soll hier eine verein-
fachte Darstellung kurz angedeutet werden. Es wird genügen zu zeigen,
daß die Gleichung

um y y r T - y y

„ = ^LJ ^-J f(m,n) l + 9 ^J ^J

f(m, n)

stattfindet; denn der Rest der Doppelreihe läßt sich durch dasselbe
Verfahren behandeln.

In der bekannten Ab eischen Identität

r r — 1
y^nK "-^JAntyn — 6. + ,) + Arb r , A» — O + « x -\ \- tt H ,

«* =0 «=0

efcz« ich
'daß

4.=

«■«*'- 1

Die Bemerkung, daß in diesem Falle

lim J. r 6 r =

r = 00

liefert unmittelbar die Relation

» =o
Anwendung des Mittelwertsatzes ergibt ferner

/•(m, w)~ » -• - /"(»), »-fl)" 1 -•
= (1 + ?)/"(»», n + fr)-*-*Q>m + 2cn + 2c#),

94

M. LEnrn: über «Ion Kroneckerscben Beweiis etc.

wobei < # < 1 ist, und hieraus folgt, daß die Doppelreihe, welche
entsteht, wenn man rechts m = ±l, ±2, ±8,... setzt und die
Resultate addiert, nicht nur absolut, sondern auch gleichmäßig in Bezug
auf o in der Umgebung von p = konvergiert. Dies gibt

lim V V

ä « I (m o -f- n t)

• -•«f^.Ä' r <-."> H - e

TO =— oc

und die rechte Seite ist nichts anderes als eine Umformung
Doppelreihe

2' 2

2» >(r/iil + BT)

vermittelst der A belachen Identität.

Nachdem die Gleichung (12) bewiesen ist, bleibt noch übrig, die
Summation auf der rechten Seite auszuführen, um zur Hülfsformel (9}
zu gelangen. Dies geschieht am einfachsten, wenn man gerade den
umgekehrten Weg verfolgt wie Kronecker. Man erhält zunächst ve
möge der Partialbruchzerlegung

* -.l/L-J L_\.

%, n) m i \n — mw l n -\- m wj '

multipliziert man beiderseits mit eJ« , '<™° + * r > > go läßt sich rechts
Hilfe der Relation

V

_ _ n
n = — »

= 2*t

1— e

äktt.'

die Summation nach « ausführen, und wenn man in der so gewonnenen
einfachen Reihe mit dem Summationsbuchstahen m = -± 1, ± 2, - - -
die einzelneu Glieder in geometrische Reihen verwandelt, so wird man
mit Hilfe der logarithmischen Reihe die Summation nach w» aus-
führen können, wodurch dann nach geringen Rechnungen die Formel
sich ergibt.

Freiburg (Schweiz), 21. November 1902.

C. Kokhleb: Geometrische Kriterien etc. 95

Geometrische Kriterien

für die projektive Einteilung der nicht entarteten

Kurven und Flächen zweiter Ordnung.

Von C. Eoehleb in Heidelberg.

Zar projektiven Einteilung der nicht entarteten Kurven und Flächen
zweiter Ordnung, die im wesentlichen zusammenfallt mit der Einteilung
der Polarfelder und der raumlichen Polarsysteme in solche von ellip-
tischer, bezw. hyperbolischer Art, benutzt man in der Geometrie der
Lage gewöhnlich die beiden folgenden Kriterien 1 ):

Eine Kurve zweiter Ordnung ist nur dann imaginär, wenn die
drei Strahlen, durch welche ein beliebiger Punkt p der Ebene aus je
einem Eckpunkte eines Poldreiecks projiziert wird, durch die jeweiligen
Übrigen beiden Eckpunkte getrennt sind von den Polaren n des Punktes p.
Eine Fläche zweiter Ordnung ist nur dann imaginär, wenn jede
der sechs Ebenen, durch welche ein beliebiger Punkt p des Raumes
au.» den Kanten eines Poltetraeders projiziert wird, durch die beiden
Eclcpunkte der resp. Gegenkante getrennt ist von der Polarebene %
des Punktes p.

Die beiden Kriterien gewähren in dieser Form insofern keine volle
Befriedigung, als sie die reellen Kurven und Flächen nur indirekt als
»nioht imaginäre" charakterisieren. Wollte man sich aber auch mit
"*r bei den Kurven zweiter Ordnung zufrieden geben, so müßte doch
^ zweite Kriterium, um nicht nur zur Unterscheidung elliptischer
TUX <1 hyperbolischer Polarsysteme, sondern zur vollständigen projektiven
^**xteilung der Flachen zweiter Ordnung dienen zu können, so aus-
gestaltet werden, daß es auch noch die Trennung der reellen unter
^sen Flächen in geradlinige und nichtgeradlinige ermöglicht, und
w Grde dann eine sehr wenig übersichtliche Gestalt annehmen.

Es soll nun in der vorliegenden Arbeit gezeigt werden, daß man
^eitlen Kriterien eine Form geben kann, die nicht nur den reellen und
*^aginären Kurven, bezw. den nichtgeradlinigen, geradlinigen und ima-
fc^^Sren Flächen zweiter Ordnung in gleicher Weise gerecht wird,
8o adern auch vor der bisherigen noch den Vorzug besitzt, daß in ihr
a **e*n die zur Bestimmung der Kurve oder Fläche notwendigen Elemente —
ei n Poldreieck oder Poltetraeder und die Polarelemente p und it —

1) Tgl. z. B. Reye, Geometrie der Lage, 3. Aufl., Bd. II, S. 124 und 133.

96

C. Koehler;

über deren projektive Beschaffenheit Aufschluß geben, eine Form also,
die eine Konstruktion projizierender Strahlen oder Ebenen, wie sie
oben nötig war, nicht mehr erfordert.

Die zur Herleitung dieser Kriterien in Nr, 1 für die Kurven, in
Nr. 2 für die Flächen zweiter Ordnung durchgeführten Betrachtungen
werden in ihrem weiteren Verlauf dann noch ergehen, wie die projek-
tive Beschaffenheit des Schnittes der Kurve, bezw. Fläche mit der
Geraden, bezw. Ebene sr ebenfalls ans der Konfiguration der liest im mnngs-
ehmente allein erkannt werden kann.

Eine im Unendlichen unbegrenzt gedachte Gerade wird durch z
auf ihr liegende Punkte k und l in zwei Teile zerlegt. Wenn k und /
eigentliche Punkte sind, bo ist der eine Teil die von den beiden
Punkten eingeschlossene Strecke kl; der andere soll als die Aufim-
strecke kl dieser Punkte bezeichnet werden. Jeden der beiden Teile
wollen wir auch die Ergänzung des anderen nennen, da sie sich
gegenseitig zur Geraden \kl\ ergänzen.

In gleicher Weise wird eine im Unendlichen unbegrenzt gedachte
Ebene durch drei ihrer Geraden x, A, ft, die sich nicht in demselben Punkte
schneiden, in vier Teile zerlegt Sind /.- = (kp), l = (ßx), »i = (xk) die
Schnittpunkte der drei Geraden, so besitzt bei eigentlichem k, l, m einer
dieser TeUe die Strecken kl, Int, mk als Seiten, — wir nennen ihn, wo er
von den drei anderen unterschieden werden soll, das Hauphlrciscit unserer
Ebeneneinteilung — ein zweiter besitzt die Strecke hu und die Außen-
strecken kl, km als Seiten und kann deshalb auch als ein Dreiseit (in
weiterem Sinne) bezeichnet werden u. b. w. Wir erhalten also vier
Dreiseite mit den Ecken k, l, m und können somit sagen:

Eine Ebene wird durch drei ihrer Geraden, die sich nicht in dem-
selben Tunkte schneiden, in vier Dreiscite zerlegt.

Die drei Geraden x, k, p, schneiden nun jede andere mit ihnen
in einer Ebene liegende Gerade ;r, die durch keinen der Punkte k, I, m
geht, in drei verschiedenen Punkten, sie zerlegen dieselbe also in drei
Teile. Die Gerade % geht mithin immer durch drei und nur durch
drei von den vier aus x, k, }i gebildeten Dreiseiten hindurch und
trifft jedes derselben in zwei Seiten, d. h.

In einer Ehern scJimidei jede Gerade, welche durch keine Ecke,

der vier aus drei Geraden in allgemeiner Lage gebildeten Dreiseit^

geht, stets drei von diesen; mit dem vierten aber hat sie keinen Punß^-t
gemein.

Geometrische Kriterien etc.

97

Es Bei jetzt die projektive Beschaffenheit einer nicht entarteten
Kurve zweiter Ordnung zu bestimmen, von der ein Poldreieck mit den
Ecken /.-, /, m und den Seitenlinien x, A, (i, sowie die Polare je eines
auf keiner dieser Seitenlinien liegenden Punktes p gegeben ist. Dann
ist von den vier Dreiseiteu. iu welche die Ebene der Kurve durch das
l'-'Idreieck zerlegt wird, eines vor den übrigen dadurch ausgezeichnet,
daß der Punkt p inmrhalb desselben liegt. Dieses wollen wir, da es
uns im Verein mit der Geraden x das Kriterium für die projektive
Einteilung der Kurve liefern wird, das für diese Einteilung charakte-
ristische Dreiseif, die Gerade je aber die ihm zugeordnete Gerade nennen.

Zunächst sieht man unmittelbar, daß man als Projektionen des
Punktes p aus den Punkten l; l, m auf die Geraden x, l, u stets drei
Punkte /.', V 11t' erhält, die auf den Seiten des charakteristischen Drei-
seits selbst, also niemals auf deren Ergänzungen liegen. Durchlaufim
wir nämlich den projizierenden Strahl | kp \ vom Punkte p aus im
Sinne pkk' , so treten wir bei k unter Überschreitung der Geraden k
und u aus dem charakteristischen Dreiseit heraus, wir müssen also,
um wieder in dasselbe einzutreten, die Gerade x überschreiten; der
Punkt V muß somit auf demjenigen Teile dieser Geraden liegen, welcher
dem charakteristischen DreiBeit als Seite angehört. Nun sind aber in
der Involution, welche von der Kurve auf der Geraden x hervorgerufen
wird, die Punkte l und m, sowie die Punkte k' und (jex) einander
konjugiert, diese Involution ist somit dann und nur dann hyperbolisch,
wenn auch der Punkt (jex) auf dem zur Begrenzung des charakteristischen
I>i'iseits beitragenden Teil der Geraden x liegt, wenn also die Gerade je
die Gerade x in der Begrenzung dieses Dreiseita trifft, d. h,

I. Von den Seitenlinien eines Poldreiecks schneiden immer und nur

niijm die Kurve in zwei reellen Punkten, welche von der einem
charakteristischen Dreiseit desselben zugeordneten Geraden in den Sei/in
des Meieren getroffen werden.

Da aber eine Kurve zweiter Ordnung nur dann reell ist, wenn sie
von jedem ihrer Poldreiecke reell geschnitten wird, so ergibt sich hier-
aus sofort für die projektive Einteilung dieser Kurven das Kriterium:

IL Eine nicht entartete Kurve zweiter Ordnung ist reell oder imu-
ijinär, je nachdem ein charakteristiscJt-es Dreiseit derselben von der ihm
fugeordneten Geraden geschnitten wird oder nicht.

Ebenso einfach können wir auch erkennen, ob die Gerade je die
Kurve reell oder imaginär schneidet. Wir betrachten zu diesem Zwecke
die Einteilung der Ebene durch die vier Geraden x, X, «• und %, Da
von Jeu vier Dreiseiten, in welche die Ebene durch die drei Geraden x,

Arrbl» dor Mathematik und Fliyilk. III. Heil«. VT 7

98

C. Koeiii.kr :

A, u allein eingeteilt wird, diejenigen drei, welche von der Geraden x
geschnitten werden, in je zwei Teile zerfallen und von diesen beiden
Teilen immer der eine dreiseitig, der andere aber vierseitig begrenzt
ist, so können wir sagen:

Eine Ebene wird durch vier ihrer Geraden, von denen sich keine
drei in denselben Punkte schneiden, in vier Dreiseite und in drei Vier-
seite gerlegt.

Wir zeigen jetzt, daß die Gerade it die Kurve zweiter Ordnung
immer imaginär schneidet, sobald ihr Pol p in ein Dreiseit der durch
sie und das Poldreicck klm bewirkten Ebeneneinteilung fällt. Dies
ist unmittelbar ersichtlich, wenn p in demjenigen Dreiseit dieser Ein-
teilung liegt, zu dessen Begrenzung die Gerade % nicht beiträgt, da
dann nach II die Kurve selbst imaginär ist. Liegt dagegen p in einem
anderen Dreiseit dieser Einteilung, — es sei dasjenige mit den Ecken /,,
(jiA), (xft), — so ist die Kurve selbst nach II reell, sie wird aber
nach I von der Seitenlinie x des Poldreiecks in zwei imaginären
Punkten geschnitten. Der Punkt (nx) befindet sich Bomit außerhalb
der Kurve und trägt daher in Bezug auf sie eine hyperbolische Strahlen-
involution, in der die Strahlen x und (xx)k [, sowie die Strahlen x
und | (itxjp I einander konjugiert sind. Aus der für p angenommenen
Lage folgt aber auch direkt, daß die Strahlen x und jr durch die beiden
ihnen konjugierten Strahlen nicht voneinander getrennt sind. Diese
Strahlen werden also auch durch die Doppelstrahlen der Involution
nicht voneinander getrennt und müssen somit beide die Kurve r/hich-
artiy schneiden; diese muß daher, da sie von der Geraden x imaginär
geschnitten wird, von der Geraden x ebenfalls in zwei imaginären
Punkten getroffen werden.

Auf die gleiche Weise überzeugt man sich davon, daß die Gem.
die Kurve reell schneidet, wenn ihr Pol p in einem Vierseit unserer
Ebeneneinteilung liegt, und da endlich die beiden Kurvenpunkte auf x
zusammenfallen, wenn p auf n selbst liegt, so gilt der Satz:

HI. Eine Gerade schneidet eine niefd entartete Kurve zweiter Ord-
nung in zwei reellen oder in swei imaginären Puiiktcn, je nodalem ihr
Pol in einem Vierseit oder in einem Dreiseit der durch sie und ein Pol-
dreieck beteirkten Ebeneneinteihing liegt. In zwei zusammen) 'allem Ich
Punkten trifft die Gerade die Kurve nur dann, teetm ihr Pul auf du
Grenze zivischen einem Dreiseit und einem Vierseit fällt. 1 )

ixten

1) Da selbstverständlich keine Ecke des zur Zerlegung der Ebene besfll
Poldreiecks auf der Geraden liegen darf, ihr Pol also niemals auf eine Seitenlinie
des letzteren fallen kann, so sagt der letzte Teil des Satzes nur, daß die Gerade

Geometrische Kriterien etc.

99

Ist Ton einer Kurve zweiter Ordnung ein eigentliches Poldreieck
and der Mittelpunkt gegeben, so ergibt sich aus diesen] Satz direkt
das Verhalten der Kurve im Unendlichen. Er dient also dann zu ihrer
metrischen Einteilung, und wir erhalten nach ihm und II in diesem
speziellen Fall für die Gesamteinteilung der Kurve folgende Kriterien:

„Eine Kurve zweiter Ordnung ist imaginär, wenn ihr Mittelpunkt
im Hauptdreiseit der durch ein eigentliches Poldreieck bestimmten
Ebeneneinteilung liegt; sie ist eine Ellipse oder eine Hyperbel, je
nachdem ihr Mittelpunkt in dem dreiseitig oder in dem vierseitig be-
grenzten Tede eines durch die unendlich ferne Gerade nochmals zer-
legten Dreiseits dieser Einteilung liegt; sie ist endlich eine Parabel,
wenn ihr Mittelpunkt ein uneigentlicher Punkt ist. 1 )"

2.

Der ganze im Unendlichen unbegrenzt gedachte Kaum wird durch
vier Ebenen x, X., (i } v, die sich nicht in demselben Punkte schneiden,
in acht Teile zerlegt. Jeder dieser Teile ist von vier Dreiseiten (im
Sinne von Nr. 1) begrenzt nnd soll deshalb ein Tetraeder genannt
werden, obgleich nur einer derselben ein Tetraeder im Sinne der
Elementargeometrie ist. Wir können dann sagen:

Durch vier Ebenen, welche sich nickt in demselben Punkte schneiden,
ii ml der ganze Itaum in acht Tetraeder zerlegt.

Alle acht Tetraeder besitzen als Ecken die vier Punkte k = (^ftv),
l — (x/iv), m = (itlv), n = (xlfi). Die Seitenflächen oder Seiten eines
Tetraeders sind die dasselbe begrenzenden Dreiseite, seine Kanten die
Seiten dieser Dreiseite. Bei eigentlichem />-, /, m, « besitzt eines dieser
Tetraeder, das dann das Haupttetraeder unserer Itaunieinteilung heißen
soll, als Kanten die Strecken kl, km, kn, Im, In, mn. Drei andere
haben mit diesem keine Seitenfläche, sondern nur je eines der drei
Paare von Gegenkanten gemein. Zu ihnen gehört also das Tetraeder,
dessen Kanten die Strecken kl, mn und die Außenstrecken km, kn,
Im, In und, u. s. w. Wir bezeichnen diese drei mit dem Haupttetraeder
zusammen als die vier Tetraeder erster Art unserer Einteilung. Die
vier noch übrigen Tetraeder — die Tetraeder zweiter Art ■ — haben mit

die Kurve berührt, wenn ihr Pol auf sie Belbst füllt, Die Form, die ihm oben
gegeben wurde, paßt aber besser in den Rahmen von HI und laßt außerdem die
Analogie mit dem ihm entsprechenden Teile des Satze» VI für die Flachen «weiter
Ordnung deutlicher hervortreten.

1) Vgl Gundelfinger, Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der
Kegelschnitte. Leipzig 1896. 8. 263, Nr. 84.

100

C. Knl- II Ml'.:

dem Haupttetraeder je eine Seitenfläche gemein, eines derselben ist
also daa Tetraeder, das als Kanten die Strecken Im, mn, nl und die
AußenBtrecken kl, km, Im besitzt, u. s. w.

Nun wird, wie wir in Nr. 1 gesehen haben, jede Ebene jr, die
durch keinen der Punkte k, l, m, n geht, durch die vier Geraden |jtjc|,
\itk\, |»/i|, \xv\ in vier Dreiseite und in drei Vierseite, also in sieben
Teile zerlegt, d. h.

Jede Ebene, die durch keine Ecke der acht aus vier Ebenen in all-
gemeiner Lage gebildeten Tetraeder geht, sclineidet sieben von diesen und
zwar vier in Dreiseiten, drei in Viersciten, mit dem achten aber hat sie
keinen Punld gemein. 1 )

Wir nehmen jetzt an, es sei von einer nichtentarteten Fläche zweiter
Ordnung ein Poltetraeder oder, wie wir aus leicht ersichtlichem Grunde
hier lieber sagen wollen, eiu räumliches Polviereck 1 ) mit den Ecken /., /,
m, n und den Seitenebenen x, k, u, v, Bowie die Pularebene it eines in
keiner dieser Seitenebenen liegenden Punktes p gegeben. Dann werden
wir die projektive Beschaffenheit der Fläche erkennen können aus der
Lage, welche die Ebene tt in Bezug auf dasjenige der acht aus den
Ebenen x, k, (t, v gebildeten Tetraeder einnimmt, innerhalb dessen der
Punkt p liegt. Wir nennen daB letztere deshalb das für die projektive
Einteilung der Fläche charaJderistische Tetraeder, die Ebene 7t aber di>
ihm zugeordnete Ebene.

Genau wie in Nr. 1 rindet man zunächst, daß die Projektionen k',
l' f m', n des Punktes p aus den Punkten /.", I, m, n auf die Ebenen x,
k, fi, v stets auf die Seitenflächen des charakteristischen Tetraeders
fallen müssen. Da aber für die Schnittkurve der Fläche mit der
Ebene x die Punkte l, m, « ein Poldreieck bilden und die Gerade | srx |
die Polare des Punktes k' ist, folgt hieraus, daß wir in der der Ebene x
angehörenden Seitenfläche des charakteristischen Tetraeders ein charakte-
ristisches Dreieeit dieser Schnittkurve mit der ihm zugeordneten Ge-
raden |jtx| besitzen Die Kurve ist somit nach II reell oder imaginär,
je nachdem die Ebene sr jene Seitenfläche schneidet oder nicht
schneidet, d. h.

IV. Von den Seiiencbencn eines räumlichen Polvierecks schneiden
i itimer und nur diejenigen die Fläche in einer reellen Kurve, welche von

1) Man sieht leicht, daß diejenigen Teile einer solchen Ebene, welche durch
zwei Tetraeder gleiclicr Art aus ihr ausgeschnitten werden, stets gleichartig begrenzt
sind, d. h. daß die Ebene immer sämtliche Tetraiik'r der einen Art in Dreiseiten,
diejenigen der anderen Art aber bis auf Eines in Vierseiten schneidet.

1) Im Anschluß an Reye (Journ. f. Math. Bd. 77. S. 272).

Geometrische Kriterien etc.

101

der einem charakteristischen Tetraeder desselben zugeordneten Ebene in den
Seiten des letzteren getroffen tverden. 1 )

Je nachdem also drei, vier oder keine Seite des charakteristischen
Tetraeders von der Ebene. x geschnitten werden, besitzt die Fläche in
drei, in allen vier oder in keiner Seitenebene des gegebenen Polviereeks
eine reelle Schnittkurve. Wir erhalten daher für die projektive Ein-
teilung der Fläche das Kriterium:

V. Eine nicht entartete Flüche zweiter Ordnung ist niehtgeradlini;/,
geradlinig oder imaginär, je nachdem ein charakteristisches Tetraeder der-
selben von der ihm zugeordneten Ebctie in einem Dreiscit, in einem Vier-
seit oder gar nicht geschnitten teint.

Wenn wir von einer Fläche zweiter Ordnung außer einem eigentlichen
Polviereck speziell den Mittelpunkt kennen und aus diesen Elementen ein
charakteristisches Tetraeder bilden, dem dann die unendlich ferne Ebene
zugeordnet ist, so ergibt ßich hierauB, da diese Ebene sämtliche Tetra-
eder zweiter Art in Dreiseiten, alte Tetraeder erster Art außer dem
Haopttetraeder aber in Vierseiten schneidet, der Satz:

^Eine Fläche zweiter Ordnung ist imaginär, geradlinig oder nicht-
geradlinig, je nachdem ihr Mittelpunkt im Haupttetraeder, in einem
der drei übrigen Tetraeder erster Art oder in einem Tetraeder zweiter
Art der durch ein eigentliches Polviereck bestimmten Raumeinteilung
liegt."

Um die projektive Beschaffenheit der Kurve zu bestimmen, welche
eine Fläche zweiter Ordnung aus der einem charakteristischen Tetraeder
zugeordneten Ebene x ausschneidet, untersuchen wir zunächst die Ein-
teilung, die der Raum durch die fünf Ebenen x, l, (t f v und x erhält.
Da die Ebene x sieben von den acht aus den vier Ebenen x, l, (t, v aüe'm
gebildeten Tetraedern schneidet, also in je zwei Teile zerlegt, wird der
ganze Raum durch die fünf Ebenen zusammen in fünfzehn Teile geteilt.
Betrachten wir nun eines der obigen Tetraeder, das durch die Ebene %
in zwei Teile gespalten wird, so Beben wir, daß jede von x getroffene
Seitenfläche desselben selbst durch x in zwei Teile — ein Dreiseit und
ein Vierseit — zerlegt wird, daß sie also für jeden der beiden durch
die Tetraederspaltung entstehenden Raumteile eine Seitenfläche liefert.
Wenn mithin die Ebene x das betrachtete Tetraeder in einem Vierseit

1) Auf die Kanten?/ nie» fies PolviereckB übertragen lautet diener Satz:
Fön den Kaulculinien eines räumlichen Polcierecks schneiden immer und nur
. die Fläche in zwei reellen Punkten, icekhe N/n der einem charakte-
ristischen Tetraeder desselben zugeordneten Ebene in den Kanten des letzteren ge-
troffen werden.

102

I' Koehi.ke:

schneidet, so besitzen die beiden Raumteile außer der von n gelieferten
noch vier Seitenflächen, Bie Bind somit beide von fünf Seiten oder
pentaedrisch begrenzt. Wird das Tetraeder dagegen von der Ebene sr
in einem Dreiseit geschnitten, so hat der eine der beiden Raumteile
nur vier, der andere aber fünf Seitenflächen, d. h. der eine ist tetra-
edrisch, der andere pentaedrisch begrenzt Da der erstere Fall immer
bei drei, der letztere bei vier Tetraedern eintritt, eines der acht Tetra-
eder aber von der Ebene % überhaupt nicht getroffen wird, so Enden
wir mithin:

Durch fünf Ebenen, vott denen sich keine vier in demselben Punkte
schneiden, wird der ganze Baum in fünf Tetraeder und in zehn Penta-
eder zerlegt.

Man erkennt nun leicht, daß die Ebene tt unsere Fläche zweiter
Ordnung reell oder imaginär schneidet, je nachdem ihr Pol p in ein
Pentaeder oder in ein Tetraeder der durch Bie und das Polviereck klmn
hervorgerufenen Raumeinteilung fällt. Diese Schnittkurve ist zunächst
sicher reell, wenn der Punkt p in einem derjenigen sechs Pentaeder
liegt, zu deren Begrenzung die Ebene x je ein Vierseit liefert, da dann
das aus den Elementen x, l, u, v und p gebildete charakteristische
Tetraeder der Fläche von der ihm zugeordneten Ebene n in einem
Vierseit getroffen wird, die Fläche selbst also geradlinig ist. Ferner
ist diese Kurve sicher imaginär, wenn der Punkt p in demjenigen
Tetraeder unserer neuen Raumeinteilung liegt, zu dessen Begrenzung
die Ebene % nicht beiträgt; denn dann ist die Fläche selbst imaginär.
Liegt aber p in einem der vier anderen Tetraeder dieser Einteilung, —
etwa in demjenigen mit den Ecken k, (nÄu), (n>v), (»vi) — so ist
die Fläche selbst nichtgeradlinig, weil die Ebene % ans dem charakte-
ristischen Tetraeder das Dreiseit mit den drei zuletzt genannten Ecken
ausschneidet, und aus IV folgt dann, daß die Schnittkurve der Flache
mit der Seitenebene x des gegebenen Polvierecks imaginär ist, die
Gerade \itx\ also in Bezug auf die Fläche eine hyperbolische Ebenen-
involution tragen muß. Hieraus ergibt sich aber durch eine Über-
legung, die der am Schlüsse von Nr. 1 ungestillten genau entspricht,
daß auch die Schnittkurve der Fläche mit der Ebene 7t imaginär sein
muß. Auf die gleiche Weise überzeugt man sich endlich davon, daß
diese Kurve dagegen wieder reell ist, sobald der Punkt p in einem der-
jenigen vier Pentaeder liegt, deren von der Ebene jr gelieferte Seiten-
fläche dreiseitig begrenzt ist.

Auf die Grenze zwischen zwei Teilen unserer Itaunieinteilung
der Punkt p offenbar nur dann fallen, wenn er in der Ebene

lung kann

Geometrische Kriterien etc.

103

liegt, diese also eine Berührungsebene der Fläche ist. Dann folgt
aber unmittelbar aus V, daß diese Ebene die Fläche in einem reellen
oder in einem imaginären Geraden paar schneidet, je nachdem p auf
der Grenze zwischen zwei Pentaedern oder zwischen einem Pentaeder
und einem Tetraeder liegt, weil im ersteren Fall das charakteristische
Tetraeder der Fläche von der ihm zugeordneten Ebene it in einem
Vierseit, im letzteren dagegen in einem Dreiseit getroffen wird. Es
gilt somit der Satz:

VI. Eine Ebene schneidet eine nicht entartete FläcJie zweiter Ord-
nung in einer nicht entarteten reellen whr imaginären Kurve, je nachdem
ihr Pol in einem Pentaeder oder in einem Tetraeder der durch sie und
ein Polviereck bewirkten Raumeinteilung liegt. Die Schnittkurve ist da-
gegen ein reelles, besw. imaginäres Geradenpaar, wenn der Pol der Ebene
auf die Grenze zwischen zwei Pentaedern, beevo. zwischen einem Penta-
eder und einem Tetraeder fi'dlt.

Wenn von einer Fläche zweiter Ordnung außer einem eigentlichen
Polviereck der Mittelpunkt gegeben ist, bo dient dieser Satz zur pro-
jektiven Einteilung ihrer Schoittkurve mit der unendlich fernen Ebene,
also zur metrischen Einteilung der Fläche und liefert dann mit V
zusammen für die Gesamteinteilung derselben folgende Kriterien:

„Eine Fläche zweiter Ordnung ist imaginär, wenn ihr Mittelpunkt in
dem Haupttetraeder der durch ein eigentliches Polviereck bestimmten
Raumeinteilung liegt; sie ist ein einfaches Hyperboloid oder ein hyper-
bolisches Parabolnid, je nachdem ihr Mittelpunkt ein eigentlicher oder ein
uneigentlicher Punkt eines vom Haupttetraeder verschiedenen Tetraeders
erster Art ist; sie ist ein Ellipsuid oder ein zweifaches Hyperboloid,
je nachdem ihr Mittelpunkt in dem tetraedriscb oder in dem penta-
i'drisch begrenzten Teile eines durch die unendlich ferne Ebene noch-
mals zerlegten Tetraeders zweiter Art liegt; sie ist endlich ein ellip-
tisches Paraboloid, wenn ihr Mittelpunkt ein un ei gentlicher Punkt
eines Tetraeders zweiter Art ist."

Heidelberg, den 15. Dezember 1901.

104

Edwin Bidwki.l Wilson:

The So-called Foundations of Geometry.

By Edwin Bidwell Wilson of Yale University, New Haven (Conn.Y

1. — In the current number of the Mathematische Annalen*),
Mr. Hubert has printed an elaborate aecount of bis recent work on
the foundations of geometry. A preliminary sketch of the work had
previoualy appeared in the Göttinger Nachrichten. 3 ) In fchese papers
the method of treatment is quite the reveree of that earlier eni-
ployed in the now famous Festschrift, Grundlagen der Geometrie 3 ) —
except in one point only there is no similitude between the raethods.
That one point of reseniblanee is the strict regard for absolutely per-
fect logic and a natural C-orrespondiug disregard for that intuition which
hithertu bas played such a preponderatmg rüle in geometry.

In the earlier work the author introduced the axiom of continuity
last; in the presenfc ease that axiom is fundamental from the start.
There is a greater difference. In the Festschrift Mr. Hubert followcd
to a considerable extent the methods that have been employed ever
slnce Euclid for diacussing geometry. So nearly did he, despite his
merciless logic, confine himself in the usual paths that Borne enthusiasts
have been led to believe that his work will become current in the
sehools of elementar)- Instruction. We doubt that: but it only goes to
confirm our stateruent that the author at that time was following the
linea that had earlier been laid out more or less carefully, especially
in Italy, and have since been followed by Messrs. Schur' 1 ) and Moore*)
to demonstrate that the aiioms fonnd by Mr. Hubert are not in-
dependent as he seemed to think them. These results of later investigatore
indicate the great difficulties, the great liability to slight errors which
beset any one who uses the geometric method, the geometric intuition
— even never so slightly — for attempting to lay down a logically
mmplete and independent system of axioms in Euclidean geometry.
The number of the axioms renders demonatrations of their completeness
and independence, such as have of late frequectly been given in

1) Bd. 66, Heft 3, pp. 381—422, October 1902.
3) 1902 p 234

3) Leipzig, B. G Teubner 1899 Paris, Gauthier-Yillars 1900 (tnma. by
Mr. Laugel). Chicago, The Open Court Pub. Co. 1902 (traus. by Mr. Townsend)
4'i Mathematische Anualen Bd. 55, p 265 et seq.
6) Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 3 pp. 142 seq.

The So-called FuuadatioM of Geometry

105

where the number of axioms is much fewer 1 ), very tediouB even
if possible.

It is no Burprise therefore to see the illustrious author seeking
a new method of attack in which the number of axioms is far fower.
In his recent memoir Mr. Hubert proceeds from the ideas of m<ini-
f'oldnesses (Mannigfaltigkeiten) introduced into geonietry by <i rass-
mann in the Ausdehnuiigslchrc and Riemann in his Habilitations-
schrift and from the ideas of gfOMft introduced by Lie. The method
of treatment, however, differs fundamentally from that of Lie; Btill
more from that of his predecessors Riemann and Helmholtz. For
whereas Lie*) carried on his analysis by means of a coördinate-system
jl, y in the plane, x } y, z in space, and so on for higher dimensions;
Mr. Hubert usea the newer, aud perhaps more difficult and subtile
theory of manifolduesses as developed by Mr. G. Cantor without any
especi.il reference to a System of coördinates in a geometric Space.

Mr. Hubert confines himself to the plane, i. e. to a two dimen-
sional manifoldness. His particular Instrument of investigation is the
famous theorem of Mr. Jordan 8 ) to the effect that any curve 6' which
is continuous, closed, and possesses no double-point, divideB the plane
into two distinct regions, an inner and an outer, such that it is im-
possible to pass from the one to the other by a continuous path T
without crossing the curve G Any curve confinaous including its ex-
tremities and without double-points is called a Jordan-curve. Any
region enclosed by a closed Jordan-curve is called a Jordan-reginn.

This method of procedure is not at all natural from the geometric
standpoint and no enthusiast will be led so far as to claim for it a
place in elementary instruction. Moreover the transcendent clearness
which was so conspicuous in the Fernschrift is not present in this
later memoir. There are also possibilities, conceivable logically, which
are overlooked and, if not fiUed in, lead to miaunderstanding, perhaps
even to error. The object of the present writer is first to render
clearer some parts of Mr. Hilberths memoir, second to fill in an
Omission, third to say a lew words in comment upon what has been and
what has not been aecomplished by thiB new work. In order to carry out
this program it will be necessary to quote considcrably from Mr. Hubert.

1) Axioi
eapecialh pfl
numbers of I

1) Axioms defining arithmetic. and the WDceptiou of a 6nite group. See
cialh paperit by Mens«. DiikKou, Huntington, and others io current
numbers of the Bulletin of the American Mathematdcal Society and the Trans-
actions of the American Mathematical Society.

• uric diT Traii*fonnatiiPtix;;ru|ip<?ii, Abschnitt 3, 1893,
3) Coors d'Analyse, 2 ed., l«'J3, pp. 90—100.

106

KnwiN Bidwbi.l Wilson:

2. — As has been said the author treats plane geometry only,
although he expresses the opinion that a similar treatment may be
given to geometry in higher dimensions. He has, however, two
different planes, two different circles, two different points, and so forth.
These are in correspondence, to be eure, in a manner mutually one to
one. By the word mutually we mean that the correspondence is one
to one in passing w'hether from the first set of objeeta to the second
or from the second to the first. This correspondence makes Mr. Hilbert'a
use of the same name and the same letter for corresponding objeets
not less confusing, but rather more so. For a great difficulty is ex-
perienced in distinguishing between the related objeets and thus the
meaning and the valne of a theorem or definition is misjudged. One
first duty is to clear up this matter.

The fundamental plane — that in terms of which the other is
defined — is the nnmbcr-plane (Zahlenebene), whieh is said to be tiie
erdinary plane with a rectanaular system of coordinates x and y. x )
This is very confusing. It is in reality sheer nonsense. For what it
seems to state is that we are already in posseBsion of a plane, of right
angles and of a method of measuring which enables ns to plot points
x t y by means of rectilinear construetions. If this were so, we already
have our geometry fullgrown and the author's elaborate foundations
upon which he bailda his definition of a straight Line, bis whole
memoir in fact become comparatively trivial. It is perfectly clear
in view of later developmenta that what Mr. Hubert meant to say
was that his nuniber-plane is a two dimensional manifoldness of
numbers. It is the manifoldness of all pairs of real, rational or
irrational, positive or negative, numbers which we may symbolize by
(x r y) and which we might plot if only we had the means of plotting
— which we have not. Moreover the plotting ie unessential. In
ordinary work it aids our Intuition. In this case, however, we are
Irving to rid ouraelves of geometric intuition and the geometric manner
of speaking becomes confusing instead of illuminating.

The fundamental field of Operation is the doubly infinite mani-
foldness of pairs of real numbers (.r, y). Within this field there is
the Jordan- curve, which is a continuoua one-dimensional manifoldness
of the values {x, y) in which no pair of values figures fewieft
Mr. Jordan, like Mr. Hubert, in the demonstration in his Cours
d'Analyse speaks in geometric terms. That is unnecessary though, in

1) p. 382. Wir veratehen unter der Zahlenebene die gewöhnliche Ebene
mit einem rechtwinkligen Koordinatensystem x, y.

The So-called Foundations of Geometry.

107

his case, convenient. Here it is both unnecessary and inconvenient —
still we shall keep to it, in order that our treatment »hall not ditt'er
too much from that we are criticizing. Latcr in his memoir,
Mr. Hubert speaks of a number-cirele in the number-plane. This is
a niethod of naniing the nianifoldness of numbers which satisfy the
numerical relation

(x — a)* + (y — b) % = 1c*, a, h, k are real,

in such a manner that x und y are both real.

Second to the number-plane and dependent upon it is the plane
of our geometry, which niay be called the geometric plane. This plane
is defined at length as follows (the italics and the words in the paren-
theses are my own) 1 ):

"The (geometric) plane is a system of jx?mfc mappable, in a
manner mutually one to one, upon the finiie points of the number-
plane or upon a certain part of them.

"To each point A of our (geometric) plane there are Jordan-
regions (of the number-plane) in which the map of A lies and of
which each point corresponds to a point of onr (geometric) plane. These
Jordan-regions are ealled the neiyhbourhoods of A. Erery Jordan-
region which is coutained in a neighbourhood of A and which con-
tains A is likewise a neighbourhood of A. If B is any point in the
neighbourhood of j4, then this neighbourhood is also a neighbour-
hood of B.

"If A and B are any two pointa of our plane, there is always
a neighbourhood which is at once a neighbourhood of A and a neigh-
bourhood of JE?."

1) To avoid all dangor arising from a mistranslation I ehall höre and in
some other places quotc the Gcrman in foot-notes. Definition der Ebene. Die
Ebene ist ein System von Punkten, die »ich umkehrbar eindeutig auf die im
Endlichen gelegenen Punkte der Zablenebene oder auf ein gewisses Teilsystem
elben abbilden lassen.

Zu jedem Punkte A unserer Ebene gibt es Jord ansehe Gebiete, in welchen
der Bildpunkt von A liegt und deren sämtliche Punkte ebenfalls Punkte unserer
Ebene darstellen Diese Jordanschen Gebiete heißen Umgebungen des Punktes A.
Jede« in einer Umgebung von A enthaltene Jordan sehe Gebiet, welches ib-n
Punkt A einschließt, ist wiederum eine Umgebung von A. Ist B irgend ein
Punkt in einer Umgebung von A, so ist diese Umgebung auch zugleich eine Um-
gebung von B.

Wenn A und B irgend zwei Punkte unserer Ebene sind, so gibt es Btets
eine Umgebung, die zugleich eine Umgebung von A und eine Umgebung von
B ist. p. 383.

108

Edwin BrowEtx Wilsoh:

What a point maj be is not told us. But as the author in bis
earlier Festschrift looked upon a point as merely a thing to be set into
relation with otber things like it or unlike it, we may assume here
that tbe point i» merely an element of Operation which is set in cor-
respondence witb tbe pair of numbers (x, y). The use of the same
word pfrint and especially of the same notation for points in the number-
plane and in tbe geometric plane is a little ctmfusing, Let us eiamine
tbe definition of neighbourhood. Thia definition also is arithmetic. Two
geometric points A and B are said to be neighbouring where their
eorresponding number-points (x, i/) A and (.t, t/) B are neigbbours in the
number-plane. In as mueh as it is nowhere stated that the eor-
respondence betweeu the points of the two planes shall be continuous,
there can be no reason to suppoße that two neighbouring geometric
points A, B shall be near each other wben plotted in a geometric
plane. The idea of neighbourhood, as indeed the idea of the geometric
point, is merely an arithmetic idea founded on tbe theory of the
manifoldness (x, y). More of thia, latcr.

At present all we can see is that tbe number-plane with its points
and the geometric plane with its points are merely two difFerent
names for two two-dimensional maniibldnessea whicb can scarcely ever
be regarded as diü'erent because one is defined by means of the other
and no essential quantitative or qualitative difference is brought to
light. The remarks which are rnade apropos of neighbourhood do show,
however, that tbe geometric plane must be mappable upon a single
region of the numher-plane. The "certain part", the "gewisses Teil-
system" cannot be two distinct separated regions or it would be
possible to find two points A and B which bad no common neigh-
bourhoodj because they migbt be mapped in different regions of the
number plane. Thia matter is not mentioned by Mr. Hubert.

3. — The definition of a motion, like the definition of neighbour
hood, depends upon the number-plane and is consequently not w ge
metric" or intuitive. It is aa follows 1 ):

"A motiou ia a mutually one to one continuous tranBforaatinn»
of the points in the number-plane into tbemselves in such a manne
that the sense of a closed Jordan-curve remains unaltered.

-

BO~

ior*
iner"

Art.

1) Definition der Bewegung. Eine Bewegung ist eine umkehrbar eindeutig
stetige Transformation der Bildpunkte der Zahlenebene in sich von der
daß dabei der 1'mlanfVminn einer geschlossenen Jordansclien Kurve stetB dri —
Belbe bleu >t.

Eine Bewegung, bei welcher der Punkt M ungeiludert bleibt, heißt eine
Drehung um den Punkt M. p. 383.

The So-callcd Foundations of Geometry.

109

"A motion which leaves a point M fixed is cnlled a rotation about
B point M*

The axioms, tbree in nuniber, follow. 1 )
"Axiom I. The motions form a gronp.
"Axiom II. If A and M are arbitrary non-coineident points of
the (geoznetric?) plane, the point A inay be earried by & rotation
about M into an infinity of ditferent positions.

"Axiom HL If there is a motion by means of which three points
infinitely vear to three given points ABC can be earried into three
points infinitely near to three given pointa A'B'C then there exists
a motion by means of wbich the three points ABC may be earried
extictly into the three pointa A'B'C."

As a name for the infinitely great number of positions spoken
of in Axiom II Mr. Hubert introduces the teriu lenlnrr Kreis which
shall be translated by geometric circle, in contrast to the mimber-cirde
of which we have spoken earlier. Later further correspondences
between the two circles are deduced.

By the use of these axioma and definitions and well known
theorems in the theory of nianifoldnesses or ensembles the author,
after some thirty-five pages of close reasoning, sueeeeds in defining
what he calls a wahre Gerade, which shall be translated geometric litte,
and in showing, as he says, that: A plane geometry, in which the
axioms I — IH hold, is either the Euclidean or the Bolyai-Lobat-
schefskyan plane geometry.

There are a number of cpaestions which arise in connection with
these definitions and axioms. In the first place we are told what a
motion is and that the motions ruust form a gronp', and so forth.
But we are not told how many of the motions we shall consider.
^\ 8 may well asaume that we shall consider all motions which obey

1) Axiom T. Werden zwei Bewegungen hintereinander ausgeführt, so tut
«lie dann entstehende Transformation unserer Ebene in sich wiederum eine Be-
legung. Oder kürzer: Die Bewegungen bilden eine Gruppe.

Axiom II. Wenn A und M beliebige von einander verschiedene Punkte
«ler Ebene sind, so kann man den Punkt A durch Drehung um M stete in nn-
©•rullich viele verschiedene Lagen bringen. Oder kürzerr Jeder wahre Kreis be-
■t«ht aus unendlich vielen Punkten.

Axiom HL Wenn es Bewegungen gibt, durch welche Punktetripel in
"«liebiger Nabe des Punktetripels .ABCin beliebige Nähe des Punktetripels A'B'C
^hergeführt werden können, so gibt es stete auch eine solche Bewegung, durch
"eiche das Punktetripel ABC genau in das Punktetripel A'B'C übergeht.
Oder kürzer; Die Bewegungen bilden im Endlichen ein abgeschlossenes System.
P- »«U-385.

II»

F,i.\vi\ KinwKi.i, Wilson:

mir immun und mir ildinitioii. From this it will inimediately follow
Unit to any given motiou S there corresponds an inverse S~\ This
hfll i» asmunud by Mr llilliert iu §3, p. 389. But if we should
hhnuiih* Unit, araoug tho motions consitlered, there are lacking some
wliii-li might obey our axioms and our definition, we should have no
riglit tu hsbuiiio ihai the inverso transformation exists. This 19
dluxtratod l>y the grrmp of translations through positive distances
ulmig tlu> a \is i>1 i. In a similar manner we shall naturally be forced
to MBUM tliut among the rotatious about a fixed point M, there may
In' found pvery rotatinn which obeys our axioms and our definition.
Tliis is mnrely a special case of onr former assumption.

'> 'thcr (|uostiou is this. What is meant by a point being in-
timtoly uear to another poiut, as is implied in axiom Ell? Geometri-
oallv this« Dan nioan nothing: fnr as yet we have no geometry. Herr
w another case in which talking in geometric terms introduces con-
luaion We suppose we shall have to assume that two points A. B
iu tlu' geometrir plane are infinitely near to each other when and
onlv when tho valuo of some oontinuous function F of the cor
nie r.mnWrs (x, y)j and (x, f) t can be made indefinitely
— it being further aasumed that this function F vanishes
onlv when the pairs of valnea (x, j)j and (x, y)j are idenucal
!.:iiction i-

*\x„ f* x,, y»^ = Xm - Xj, + r, - Tj

This infinite mitw is thexefore not at all a propextr of the
B Mtlic points except in so far as it exhibits a relaüoa
in the ssamifolaneas of pairs of mm

4. -ThusfarwehaTemereJybeeJistriviiigtoclearnpMr Hil
that we nught heiter iiBiiiriswl bis paper. We cot
to a nach »oc* serioos antter. In § 13. ob p, 40a the
the iaTestagaboa of the grtwp ei all SBettoas, that is of
a fixodl point M ,
U toto ttoeK It
of a x — i m t rit enese eaa he pol toto a antaalhr oae to

The So-called Foundations of Geometry.

111

where d(t) is a continuous real tunction of the real variable t, in-
creasing as t increases, and taking on an additive constant 2it when
the parameter t increases by 2x.

It is precisely at this point that the author overlooks a possibility,
which nntil it is removed, renders all bis later work valueleas. There
is no ä priori reason why d(t) ahall be a sole functiun. There may
be an infinity of funetions <d(t) defining an infinity of different sorts
of rotation about the point M. Let us illustrafce by an example.
Suppose we consider the portion of the number-plane included by the
nnit-circle

ä* + y 1 = 1,

Sappose we consider a point M, interior to thiB circle. Let üb draw
through M the oo l circular arcs which cut the unit-circle ortbogoually.
Let üb forther draw about Jlf the cc 1 circlea which cat tbese circular
arcs orthogonally. These circles form a linear fainily, as is well known,
of which the unit-circle iß one circle and the point M the limiting
point of the family. Let ua define the following motion which is
perhaps a rotation about M, because M is fixed. First the circular
■res which cut the unit-circle orthogonally sball be carried over one
into another in such a manner that a constant angle ia added to the
angle which the tangent to each arc at the point iLf makes with the
axis of x. Second pointa which lie upon the circles cutting these
arcs orthogonally shall remain upon those circles. We have thus a
species of rotation about M. Each point ia carried over into a per-
fecta definite point. The definition of a rotation is satisfied. We
shall not write the analytic equations of the motion, nor ahall we stop
to ascertain whether it satiafiea the axiom III. Our only objeet ia
to show the conceivableness of two dißerent kinds of rotation about
the point M.

For the second kind of rotation we proeeed as follows. Let us
assume as before the unit-circle and au interior point M. Draw
throngh M all the oo 1 straight lines — the chords of the circle. Next draw
as before the oo' circles which form the System of which the unit-circle
is one circle and the point M one limiting point. Define a rotation
about M aa a transformation in which the oc 1 chords are carried into
themselves in such a manner that a constant angle is added to the
angle they make with the axia of X. Further let points originaily
upon the circle remain upon them. Like the foregoing thiß trans-
formation satisfies the definition of a motion although, to be sure, it
may not satisfy axiom 111

112

Edwik Bidwell Wilson :

Still theBe two exaraples are sufficiently valid to show that it ia
perfectlj posaible to have two distinct kinds of rotation defined by
two diatinet functiona:

Erst

aecond

In this case, since the transformationa form a group, we must consider
all posBible combinationa of the two. More generally it ia conceivable
that there should be an infinity of functionB A and that the group of
all rotations about the point M ahould consist of all possible com-
binationa of the ditferent apecies of rotationa. Finally, this suppoai-
tion must be ruled out aa impoBsible, before the theorem (p 402)
„the group of all rotationa about 3/ is holoedrically isomorphic witb
the group of ordinary rotations of the number-circle into itself" can
be proved in any manner that is without logical exception.

The matter iB not difficult to remedy. Two functions A x and A.
are to be regarded aa different when they carry Bonie one point t = a
into the aame point t' = b, but do not carry every point i = c into the
Bame point t ' = rf, = d*.

Let

A l (c) = d l .

A t {a) = b.
A % (c) - d v

Consider tbe tranaformation A^A r — A.

A{a)^A^A x {a) = JT'C 6 )-*-

Now Mr. Hubert shows that if any rotation A leavea one point / =
fixed, it leaves every point fixed. Hence

But ^rW = c

Hence Aj 1 {d % ) = A~ l {d l ).

Inasmuch aa the tranaformation A it and conaequently A^ 1 , ia singk

valued

d s - d v

Hence A l and A t are ideutical.

In this manner it appears that there cannot coexist simultaneouslj
two different sorts of rotationa about a fixed point and the author'9
work niay stand without further modification. But it ahould be noticed
that we have not been able to prove that two different sorts of rota-

The So-called Foundation« of Qeonietry.

113

tions about a fixed point, do not exist. We have only Bhown that
they cannot exist in tbe same group of motiona satisfying our defini-
tion and axioni.

• There may perhapa be an infinite number of difFerent rotations

existing separat.pl y, and each giving riae to a different group of
motions, and each defining a different dement as a atraigbt line.
For Mr. Hilberth definition of a straight line ia obtained by con-
sidering a set of points generated by rotationa which have tbe para-
meter n, that ia, wbich when repeated produce the identical trans-
formation. We cannot here go itito details as to how, starting from
two points M and A, tbe atraigbt line ia generated by tbeae involutory
rotations. Snfficient is it to note that in the rotationa defined above
(granting that they do not contradict our axiom) the straight line
would be in the first caae a circular arc cutting the unit-circle ortho-
gonally and in the aeeond case a ehord of the unit-circle.

5. — Let ua next paaa to the conBideration of aome geometriea
which aatiafy Mr. Hilbert'B conditions. We ahall aaauine the ordinary
point with ita ordinary repreBeutation, in the plane or apace, by rectan-
gular coördinatea. Tbero can be no objection to asauming a coördinate-
gy stein by way of reference for the aake of illuatration, although we
pointed out in § 2 an objection to Mr. Hilberth use of the word in
iletining his number -plane Inasmueh aa the correapondence between
the points of the geometric plane and number-plane ueed not, accord-
ing to previoua assuiuptions, be continuous our first illustrationB will
be in what we migbt call discontinuons geometries.

Let |, jj be rectangular coördinatea in the geometric plane. Con-
sider the following relations between £, i{ and x, y.

{£ — ex . , ., . irrational: , . „ ._ . irrational.

, « = + l if ar w u ' e = + 1 lf « is „ .

m = e y — rational: — rational.

It will be aeen that in paaaing from one plane to the other, irrational
pointa (by which is nieant points both of whoBe coördinatea are irra-
tional) are left unchanged; rational (both coördinateB rational) are so
changed as to be ßituated Bymmetrieally with regard to tbe originj
sein i -rational points (one coordinate rational) are so changed aa to be
situated aymmetrieally with regard t(i the axia corresponding to the
irrational coordinate.

If a and b are two rational positive numbers and if r ia lesa
than eitber, the equation

(x - •)» + {y - by - r»

Archlr dar M»tb«m»tik and Fhjiik III Ruiue. VI 8

114

Edwin Bidw»ll WrLSos:

is represented in the nuniber- plane by a circle lying entirely within
the first quadrant. In the geometric plane the corresponding locus,
the 80-called geometric circle, consists of four parts one in eaeh quad-
rant. In tbe first quadrant tbere lie tbe points botb of whoae coör-
dinateB are irrational. Tbiß locus is an enseinble of points baving the
power of a continuum. In tbe second and fourth quadrants lie loa
of points wbicb are semi-rational. These loci are ensembles whicb
have the power of the ensemble of integers, They are Bttumerable.
In the tbird quadrant is situatcd an infinite number of points because
the equation ^ + v * = 1

can be satiefied by an infinite number of pairs of rational numbers «, v.
Hence the equation (O) may be eatisfied by au infinite number of
rational vnlues of x and y. The centre of the geometric circle lies
in this third quadrant

Tbere is no difficulty in seeing that in general any locus in tbe
nuniber-plane will be repreBented in the geometric plane by four
pieces. The theorems concerning intersections of loci, and so forth,
hold, however, word for word: because tbe relation between the two
planes is mutually one to one. Yet the customary ideas of propin-
quity of points and of coutinuity of motion muBt be abandoned in the
geometric plane. For example a "continuous" rotation through ninety
degrees would keep one jumping from quadrant to quadrant in a
Btartling manuer.

No difficulty is encountered in arriving at even more surprising
results. One of the best known theoremB in the tbeory of ensembles
is that any two continuums have the same power and, if continuity be
disregarded, may be put into a correspondence which ia mutually one
to one. Tbus a plane geometry is, in Mr. Huberts sense, quite in
distinguishable from a Space geometry — or indeed from a geometry
in any number of dimensions.

The particular method we ahall employ to map the number-
plane upon the geometric space of three dimensions depends upon the
following manner of putting the positive and negative integers in one
to one correspondence with tbe Squares of unit length into whicb we
may divide the number-plane. Take the infinite straight line, upon
whicb the positive and negative integers are niarked at unit-intervals,
and apply the zero to the origin of the plane. Lay the positive part
of the line down alone the positive X-aiis as far as the point %. At
this point turn through a right- angle up into tbe first quadrant and
proceed to the tniddle of tbe unit-square into vvliich you have entered.

The So-called Foundationa or Geometry.

115

At thia point the integer 1 will be reached. Turn again through a
positive right-angle and advance into the second quadrant. At the
iniddle of the first square the integer 2 will be reached. At the
iniddle of the Becond Square the integer 3 will be reached. Then
turn again through a right-angle down into the third quadrant and lay
down the integers at the mid -point of each Square as you advance
for two Squares. Then turn another right-angle toward the fourth
quadrant and advance for four Squares. Etc. In the nieautinie suppose
that the negative part of the line has also been winding about the
origin in such a manner that the Square which eontains — m is
Bituated symmetrically with respect to the origin to the square con-
tainiug -\- n. Thus there are two spiral-like aeries of lines winding
about the origin. In the centre of each square there is an integer.
The Squares in the plane have been put into one to one correspond-
ence with the integers, positive and negative.

To put the Squares of the plane into one to one correBpondence
with the cubes in space is the next object. It has been seen that if
St and y are the coördinates of the centres of the unit-squares

* = /i(»)> y = /"*(»)•

Let x', y' , e' he the coördinates of the centre of the unit- cubes in
space. Set the Squares into correspondence with the cubes by nieans of

*' = /», y' = /»(«), *' = v-

A mechanical idea of this correspondence may be obtained eaaily.
Knie the xy-plane into strips of unit-breadth parallel to the axis
of x. llule the xy- plane into Squares of unit-Iength by LineB parallel
to the axis of y and bend the plane along these later rnlings. Apply
the axis of x to the plane of x' and y , as the line of integers was
formerly applied to the xy- plane. Let the axis of y coincide with
the axis of s'. In this manner we obtain a surfaee, made up of plane
strips, winding in two Bheets spiral-like about the axis of g\ To each
integral valuc n of x correBponds a square in the plane of x' and y'.
In this square we shall raake the points correspond in a one to one
manner with the points of the segment of the z-axis comprised be-
tween the adjacent integers w — 1 and n. The correBpondence, of
conrse, cannot be continuous. For further particulars reference
may be made to works by Mr. Cantor 1 ), Mr. Borel 1 ),

1) Yarioua memoire printed for the most part in the Mathematische Annale«,
the Acta Mathemat.ua, or the Journal für Mathematik

Licon» sur la Theorie des Fouctiona, Paris, üanthier -Villars, 1898.

8'

116

Kr

Bim

Wi

Mr. Schoenflies 1 ), and others. Thus to each value of x is associated
one pair of values x' aud y . To each value of y is aaaociated a aingle
value of s' equal to y.

By means of thia discontinuoua correapondence between the pointa
of the nuuiber- plane of x and y and the pointa of the geometric
space x' t y' z', the plane georuetry of Mr. Hubert beeomea a apecies
of space geometry.

6. — 1t ia not uninteresting to see what takea place wben the
dißtances between the rulings of the number-plane are niade very
aniall — smaller tban eould be deteefced by the most refined metbods of
obaervation. For the examination of thia case it will be found more
convenient to revise our method of asBoeiating the pointa in a liue
with the pointa in the squareB of the plane. Doubtlesa it has been
noticed that to the pointa in the ring (whicb has tbe form of a hollow
aquare) ßituated between the Bquares whoBe aidea are 2» and 2[n -f- 1
and whose centres coincide with the origin in the plane, there corre-
spond the points (on the line) between 2n s and 2(» + l) 2 and be-
tween — 2« 1 and — 2(» -f l) s . It would be better to have the points
in thifi ring correBpond to tbe points between n and « + 1 and be-
tween — n and — (« + 1). Thia ia eaßily aceomplished by aubdividing
the intervahj between the integere so as to obtain the following corre-
Bpondencej which jb supposed to hold for the negative integere also,

(0-1

[0-1, 2, 3. ..6, 7, 8» 9, 10.

4__

ii

17, 18, 19

31, 32, 33. .2«*..

Wben this correspondence is used tbe points which lie upon the
a>axiB of the number-plane in the neighbourhood of tbe values + K
are found in the plane of x and y scattered abotit in the neighbour-
hood of the aidea of the aquare which extends from x' = -}- K to
x' = — K and from y r = + K to y = — K. In like nianner tbe point>,
in the plane of x and y, which lie upon elements of straight lines
drawn parallel to the axis of x and sitnated above or below the
points x = + K at a distance + y or — y aa the case may be, are
transplanted into the apace x' f y , st' in auch a manner as to he
scattered about at a distance z' = + y or z' = — y, as the case may
be, above or below the plane s' =■ 0, bat always situated around the
sides of a prism bouuded by the planes drawn parallel to the axis
of s' and through tbe contour of the Square referred to before.

1) Die Entwickelung der Lehre von den l'unktuiaunigl'altigkeiten, Ber d.
Deut. Math. Ver. H (189»), Leipzig. B. Ü. Teubner, 1MA

Tlie So-ealled Foimdaüone of ftaometrv.

117

Assurae that e is the smallest observable quantity. Use '/, c as

ihf unit by which to divide the Space x', y\ z' into cubes. The great-

RBt distance between two points in two adjaeent cubes is j"|/3« and

is consequently unobservable. These cubes correspond to regions in

the plane x, y. The regions are no longer Squares owing to the

' orrespondence F which has recently been introduced. There are

reetangles of which the aide parallel to the avaxis is of length \ t, but

of which the aide parallel to the ar-axis is of length given by the corre-

spondence T and never greater than -J- e. In fact if x be allowed to

vary continnously by the amount J c the points in space vary and

take positions all about the edge of a Square. Yet as far as obser-

vittion can go, this change of position is not discontinuous- for the

consecutive positions of the point cannot differ by as mnch as e.

It is to be noticed also that, as nun recedes from the origin, cubes

containing negative and positive valuea of x sueceed each other. Be-

tween two Bheets of cubes containing positive values of x there is a

sheet containing negative values. Yet as the distance from one Bheet to

the other is less than e that diö'erence or discontinuity between the

sheets is unobservable.

To what does a locus in the uuraber-plane correspond? Evi-
dently wheu x alone varies continuously the corresponding Konfigu-
ration which is the contour of a aquare varies with what may be called
a physical continuity — physical, because it cannot be distinguished by
Observation from continnity. Wben y alone varies the corresponding
«•minguration is a point which varies in a line parallel to the axis of
y in exactly the same manner in which y varies. Thus to a straight
line x — c correeponds a straight line in space. To a straight line
«/ = c corresponds a "physical" plane z' = c. To a straight line
y = mx corresponds a "physical" quadrangular pyramid of which sec-
tions parallel to the plane z =- are Squares whose sides are parallel
to x' — and tj' — and whose centre is upon the axis of z'. This
pyramid is "phyaically" indistinguishable from the .pyramid which
represents y=—mx, in view of the fact that the sheets of the
positive values of x are so closely interwoven with the sheets of the
negative values. In general any straight inte would be represented by
just such a pyTamid. To the two independent constants which deter-
mine the straight line correspond two independent constants of the pyTa-
mid These may be, for instance, the length of the side of the square
which the pyramid cuts out on the plane s' = and the tangent
<il the angle which the sides of the pyramid make with the plane
z «=0

118

Edwin Bidwell Wiljok:

It is to be nofciced that the only kind nf figures which we can
have in our space, provided they are to be represented by continuous
functions in the nuniber-plane, ure figures Buch that sections taken parallel
bo the plane of z' = are Squares concentric with the origin and
having their sides parallel to the axes. A ephere concentric with the
origin woiüd be represented in the number-plane, not by all the points
within a certain region, but by points Bprinkled around over the region
so as to appear physically everywhere dense.

Let eome might think that thie state of a seeming continniry
amid on actual discontinuity is merely an artirice and has no analogy
in the physical world we shall point out a case where very mueh the
same thing occurs. Suppose we have in a vase a liquid, or rather
two liquide which are alike in every respect save that one is colourless
and the other is, say, red. Let them be incompressible. Conßider a
dehnite point in the red liquid and keep the attention tixed upon this
point while the whole masß of liquid is violently stirred about. It is
impoBsible that the density of the red liquid about the (moving) point
considered should change: for the liquid is incompressible. In like
mariner the density of the white liquid about any point of it reraain^
unchanged. Yet to all appearances the liquide are becoming mixed
so that at each point the density, though unchanged as a whole, con-
siets partly in red liquid, partly in white. The mathematical fact is
that each liquid has been streng out into such thin strings so closely
interwoven that an apparent raixing has taken place. This is by no
means unlike the geometric resulta we have been considering. For a
more elaborate account of this illustration and for other phenomena
which are of the same sort we may refer to the recent Elementary
PrincipleB in Statistical Mechanica by Mr. J. Willard Gibbs. 1 )

Had we proceeded in the opposito maniier and mapped the uumber-
plane upon u straight line hiBtead of on a space of throe dimensions,
all geometry would have become illusory as far as Observation goes.
We Bhould have merely an eneemble of points Bcattered along the line
as the elements correBponding to any configuration in the number-plane.
To pursue thJB geometry further would probably be quite uninteresting
even if the analytic theory of the correspondeiiceB between two con-
tinuumB of different dimensions were more fully developed than they
are at present. We therefore abandon it here.

7. — What may take place in the case of a discontinuous cor-
respondence between the nnmber- plane and geometric plane (as

1) New York, Charten Scribner's Sons, 1902. Cf. especiaJly Chap. XTJ.

The So-called Foundations of Geometry. 119

1fr. Hubert calls it although it may as easily be something whicb
corresponds more nearly to the intuitive concept of a space of higher
or lower dimensions than two) has been seen. Things not so stränge
thongh still somewhat interesting may happen even in the case of a
continuous oorrespondence. For when it is remembered that the author
is talking only of real pointe and real nnmbers and when it is further
recollected that the number of continuous one to one correspondences
between two sets of real variables is unlimited (although of course
there is only a perfectly definite system of one to one correspondences
of two sets of complex variables) it will be imagined uncommon
geometries may be arranged for.

Let |, rj be the ordinary rectangular point-coordinates in the plane
that we shall call geometric. Let x, y be corresponding coördinates in
the number-plane. Set up the following correspondence

a — ge*- 1 , y = ije<?- 1
where

This is seen to be an uneven distortion of the plane £, 17. The unit
circle is unchanged. Inside that circle, circles concentric with the
origin in the xy-plane are expanded in a ratio varying from 1 to 1/e
when undergoing a change to the |i?-plane. Outside that circle, circles
concentric with the origin in the xy- plane are shrunk in a ratio
varying from 1 to oo when undergoing the change to the gij- plane.
Straight lines passing through the origin are unchanged as a whole:
but the points upon them are shifted toward the unit circle.

Let us look at what corresponds to translation and rotation in
the plane of £ and ij. Gonsider the number-plane. A translation may
be represented best by a net-work of lines — the path-curves and the
system orthogonal to them. In this method of representation there is
a system of parallel lines which as a whole are left invariant. The
points slide along them. There is also a system of parallel lines perpen-
dicular to these in which each line moves up into the position of one
ahead of it. To visualize the corresponding "translation" in the geo-
metric plane, it is only necessary to transfer this net-work of lines.
The fixed lines

y = mx + b, m fixed, b variable
become

rjen- 1 = w|e?- x + b
or

ij — m\ + be 1- «.

120

Edwix Bidwbll WlL80N:

These are a System of transcendental curves lying symmetricaliy upon
eaeh Bide of the line y = mx and approaching that line ae an asymp-
tote. Durlng the "tranBlation" the points move alone these lines. The
other system of lines is

y = — mx -f- b, m fixed, b variable
and becomeB

y = — mt + be l -e.

This is a System like the tirst turned througli ninety degreea. By the
"translation" these curvea are changed one into another by the addition
of a constant to the value of the parameter b. In a similar manner
"rotation" may be diacussecl. These amorphic "translations" and "rota-
tions" in the geometrie plane form a group becauae the corresponding
rotationa and translationa in the number-plane to which they are related
in a one to one manner, indeed in terms of which they are detined, form
a group. A curve of the form

vi = m\ + &e l_ e

is always transformed by this group into a curve of the same type.
In like manner a curve

(gee- 1 - o}* + (ije<?-' - b) 1 - c*

which corresponds to a circle lb always carried into a curve of the
same type.

The choice of an arbitrary example like the above shows that,
even if the continuity of the transformation be insisted upon, the geom-
etry obtained is not necessarily intuitivoly aimilar to the ordinary
geometry. A certain transformation analogous to rotation, a certain
configuration with propertiea like those of a circle is the result. We
may even put the pointe in the real Lobatschefskyan plane into one
to one correspondence with the points in the real Euclidean plane.
A circle will be tranaformed into Borne Bort of oval curve. A straight
line will appear aa some aort of curve. The planes are not different
It ia only the geometries within theni that differ owing to ditferent
choices of the transformation known ae rotation. This bringa to light
very clearly the Contention of Mr. Poincare 1 ) that what lies at the
bottom of our geometry ia purely a matter of Convention and that
any one of the many geometrieB may, as far as logic or experience

1} In various essays, now easieut acceasible nnder the title, La Science et
THypotkege, Paria, E. Flammarion, 1902. Cf. eupecially Chaps, III— V.

The So-called FourxlatioiiH of Geometry.

1-21

goee, be taken as fundamental. Then in termB of it the other geo-
nietries may be expressed.

8. — After these preliminary illuatrations nothing ueed 'hinder
ub longer from pasBing to our closing remarka upon the foundntions
of geometry. And it may be best to etate our thesis at the outeet in
ite baldest form. It is that: No System of hyic, nerrr mind how flatv-
i, founded solely upon a System of numbers or upon a one to one
respondence with a manifoldncss of numbers of any dimension can
ru nny Kay establish a geometry. Stich a correspondence may serve a
paesing end in establishing by aritbmetic meane the axiomB which lie
at the bottom of a geometry. No one would deny that. This use of
numbers was brought into vogue by Mr. Hubert in Ins Festsrhri/t.
Recently it has further been used by Mr. Kagan. 1 ) It is very useful.
It probably will reniain in vogue for a long time. But Mr. Hubert
in his present memoir defines his geometry by nieans of his mani-
foldness of numbers and by that alone. We hold that he has no
geometry in the true sense of the word and we cite our Illustration*
as evidence.

There are in geometry certain elements which do not appear in
a one to one correspondence. Among these elements are coutinuitij
and isotropy. Qualities, perhaps, rather tban quantities, nevertheless
they are indissolubly connected with a geometric geometry. They
are recognized by Mr. Poineare in the work cited above. They are
recognized by Mr. Russell in bis famous essay. 8 ) Lie, too, with
that truly geometric insight which characterized his whole work said
that under the restrictions he had laid down the groups (and conae-
quently the geometries) which he found were six-jxiramctered (Becha-
gliedrig) and similar (ähnlich) by means of a real point-tranflformati"N
eithor to the Euclidean or to the Lobatschefskyau gronp of
motions. Lie was speaking of space of three dimension«. For the
plane the word three -parametered must be Bnbstituted for six-para-
metered. With Mr. Hubert, however, there is no mention of the
nnmber of parameters, no mention of similarity. For him aimilarity
seems not to exist — probably because it is a quality rather than
a quantity.

There was a time, as Mr. E. Mach points out in his Mechanics,
when mathematicians indulged themselves in a mania for demonstratio!!

1) Jahresbericht <ler deutschen Mathematiker- Vereinigung Bd. 11 pp. 403 et »eq

2) Essay on the Fonndations of Geometry, Cambridge. Also available in a
Krench translation (Paris >jv Mr. Cadenat.

122 Edwtw Bidwbll Wilsoh: The So-called Foundations of Geometry

They made- elaborate "proofs" of the law of the lever, of the paraüelo-
grani of forces. Even the greatest men feil i LI of the disease. That
pfiriod di-veloped aiter Euclid. It iu passed some time aince.
To-dav we are afflicted with a mania for logic. Not that logic is
ueeleBß. On the contrary it iß extremely useful, indispensable. But
we are believing that everything is logic, and behhid logic nothing
Tili* mania for logic is coupled with a mania for arithmetization.
Everything muat be expressed in terms of numhers and of numbers
ahme. These manias are of recent development. We are in the midst
of them. It is difficult to see into the fhture, but one runs little risk
in predicting that these manias like the other will aometimes have
passed by.

Not long ago a memoir like this of Mr. Hilbert's would have
been entitled: Geometrie Analogies in Ensembles. To-day it is the
Foundations of Geometry. We believo that the former title is a better
and a truer deacription of the Contents and value of the memoir nntil
Borne further restrictiona, some restrictionB like thoBe Lie had in mind
when he used the word shnilar instead of idetitical, are laid upon thv
fundamental correspondenee. This restriction is a restriction of quality
which will compel the points of our geometry to behave as we in-
tuitively feel they muBt Before we can have a geometry or a mecha-
nica or a physics or even an arithmetie whieh may be applicable to
lifo we muat add one fundamental postulate or restriction which is
not of a wholly mathematical nature, a postulate which Mr. Poincare
raight call a postulate of Convention, which a metaphysician might
call a postulate of reality, which some one eise with hiB parti
thenries might call a postulate of something eise, but at any rate
postulate which demandß that the objeets under consideration shall b
sufficiently restricted qualitatively as well as quantitatively to correspon
nearly enough for practical uses, to the objeets of experience which i
is their purpose to explain or to coördinate. A mere one to one cot
respondence will not do.

Paris, ä PEcole Normale Superieure,
January, 20th, 1903.

Gerhard Hksbekbebo: Dcaarguesscher Satz und Zentralkollineation 123

Desargnesscher Satz nnd Zentralkollineation.

Von Gkrhard BSSSKNBKM in Charlottetiburg.

„Perspektiv gelegen" heißen zwei aufeinander bezogene Dreiecke,
wenn sich die Verbindungsgeraden homologer Ecken in einem Punkte
schneiden. Von ihnen gilt der Desarguessche Satz:

(D.) In perspektiv^ gelegenen Dreiecken liegen dir Schnittpunkte liotno-
loffcr Seiten auf einer Geraden.

Herr Hubert verwendet in den „Grundlagen der Geometrie" aus-
schließlich Folgende Spezialisierung des genannten Satzes:

(D v ) Sind in perspektiv gelegenen Dreiecken swei Seiten des einen
den homologen des andern parallel, so sind auch die dritten Seiten ein-
ander parallel.

Mit Hilfe dieses Satzes und einer darauf aufzubauenden Strecken-
rechnung hat Herr Hubert gezeigt, daß jede ebene Geometrie, in der
die Axiome der ebenen Verknüpfung, der Anordnung, das Parallelen-
axiom und Satz (Z),) gelten, als Teil einer räumlichen Geometrie auf-
gefaßt werden kann, in der außer den genannten drei Axiomgruppen
auch die räumlichen Verknüpfungsaxiome gelten. — Daraus folgt un-
mittelbar die Gültigkeit des Satzes (D). Beachtet man, daß die An-
ordnirngsaxiome bei den Beweisen des Herrn Hubert eine durchaus
sekundäre Bolle spielen, daß ferner der allgemeine Satz (D) die Existenz

DesarguesBchen Konfiguration (10 s , 10 B ) aussagt, so läßt sich

der

folgendes Resultat aussprechen:

I. Aus der Existenz derjenigen Desarguesschen Konfigurationen,
"*« riie unendlich ferne Gerade enthalten, folgt mit alleiniger Hilfe der
e ^ e **cn Verknüpfungsaxiome und des Paraüelcnaxioms die Existenz aller
*-*e sarg nesselten Konfigurationen.

Führt man auf Grund des Parallelenaxioins ideale (unendlich ferne)
^'ernente ein — was ohne Anwendung der Anordnungsaxtome möglich
l8t » — so kann man die ebenen Verknüpfungsaxiome allgemeiner so
aQ8 sj,rechen:

a) Durch swei Punkte geht stets eine und nur eine Gerade.

b) Zwei Gerade schneiden sich stets in einem und nur einem Punkt.

Nennt man diese — übrigens nicht unabhängigen — Sätze die „idealen
e ^«n Verknüpfungsaxiome", so kann Satz I so veraUgemeinert werden:

124

I H'.Hll

HtSSKNBKKO:

II. Aus der Existenz aller Desargucsschen Konfigurationen, tlü
eine hratimmte Gerade enthalten, kann die Existenz aller DcsargiasscJim
Konfigurationen überhaupt mit alleiniger Hilfe der idealen ebenen Ver-
Iniipfungsairiome gefolgert werden.

Dieser Satz soll nunmehr als Spezialfall «ines allgemeineren
unter Umgehung der Streckenrechnung rein geometrisch hergeleitet
werden.

1. — Es sei in einer Ebeue gegeben ein Punkt C und eine durch
ihn gehende Gerade 8, ein nicht auf 8 gelegener Punkt S und drei
durch ihn, aber nicht durch C gehende Gerade s lt s tf c. s schneide Sj
und s s beziehungsweise in S t und S t .

Sodann denken wir uns die Ebene mit ihren Geraden und Punkten
doppelt. Der Index 1 oder 2 möge andeuten, ob ein Punkt oder eine
Gerade zur ersten oder zweiten Ebene zu rechnen ist. i, k sei eine
Permutation von 1, 2.

Zu einem Punkt P t konstruieren wir einen „entsprechenden" P,
folgendermaßen: Wir ziehen S i P i = p lf CP i =p. Schneidet />, die c
in P, so trifft S k P = p k die p in P k .

Zu einer Geraden r t konstruieren wir eine „entsprechende" r k
folgendermaßen: r ( schneide av in ll if c in R. Wir ziehen CR ( = r.
Trifft /• die 8 l in P t , so ist r k = RR k die entsprechende Gerade.

Beide Konstruktionen kehren sich bei Vertauschung von i mit I
um, sind also ein -eindeutig, sofern bekannt ist, welchen Ebenen die
gegebenen Elemente angehören sollen. Sie versagen für Punkte auf
8 und Gerade durch S. Diese mögen daher vorläufig ausgeschlossen
bleiben.

Die Möglichkeit dieser Konstruktionen erfordert lediglich die Gültig-
keit der idealen ebenen Verknüpfungsaxiome.

2. — Wir fragen nun: Wann entsprechen koinzidierenden Elemente»
wieder koinzidierende?

Liegt gleichzeitig P, auf r t und P, auf r it so bilden (he 10 Punkt«
C, S, P, R, S u P u Pp S v P„ Pj mit den 10 Geraden c, s, p, r, s,,
Pit r tt s t> Pt> r » eme Desarguessche Konfiguration, und umgekehrt
Das heißt:

III. Notwendig und hinreichend für die Existenz einer eben*
Zentralkoüineation mit der Achse c, dem Zentrum C und <k»
beiden entsprechenden Geraden s lf s i ist die Existenz derjcHip*
Desargucsschen Konfigurationen, die S, C, c, s u s % und eine fcslr,
durch C gellende Gerade s, sowie deren Sdinittpunkte S u S t mit s^,^
cntJtalten.

DesargnesBcher Satz and Z«ntrctlkollii:eation.

125

Fig. 1.

Nunmehr ergibt sich auch für die bisher ausgeschlossenen Elemente

ei« eindeutiges Entsprechen, wenn man das Prinzip „koinzidierenden

.Elementen entsprechen kuinzidiereude'' allgemein gültig macht. Dies
g-elingt ohne Anwenduug im Drsar-
r/ i-a es selten Satzes folgendermaßen:

Nach dem bisher Gesagten Ottfr-
gp>xicht dem Schnittpunkt \V. zweier
Gr «^raden u if v it wenn er nicht auf .s
li«gt, ein Punkt W tr der auf 0W U
aJ.so auch nicht auf s liegt. Zieht
man daher durch einen Punkt <^, auf
s lj*liebige Gerade, so gehen deren
eritsprechende durch einen zweiten
Pia ukt Q» au f s > der a l a aer Qi en ^-
sp:r-echende definiert wird. Analog ver-
fülirt man mit den Geraden durch S.

3. — Existiert umgekehrt eine Zcntralkollineation mit dem
Zexttrum C, der Achse c, in der sich die Geradon %, ,s s entsprechen,

k> ergibt sich in bekannter Weise das in § 1 entwickelte Kunstruktions-

vai-iahren. Zugleich aber bildet jedes Dreieck A t B t C, mit seinem

homologen A^ B t ( '. und mit

, c eine Desarguessche Kon-

figxiration, von der wir sagen

wollen, sie gehöre zu der ge-

9el*€®en ZetUralkoflineation. Eine

solche Konfiguration gehört nur

dstixii zu den in Satz III ge-

■^Ojiten, wenn eine Ecke des

Dreiecks A l B l C\ und eine durch

8le gehende Seite mit $, bezw.

*i identisch sind. Es ergibt

8 'cli also:

IV. Alle su einer und der-
*^o«tt ZcnlrrdhAlineaHon gehörigen
^^sarguessclten Konfigurationen können aus denjenigen unter ihnen
t **~9deitet werden, die eine bestimmte nicht selbstentsprechende Gerade (s t )
m *<i einen bestimmten in ihr gelegenen, nicht selbstentsprechenden Punkt {&',)

Es ergibt sich nebenbei das folgende Resultat, das, in der Lite-
ratur anscheinend noch nicht genannt, dennoch allgemeiner bekannt
dürfte.

t'ie i

126

Uf.hhahd Hesrkmieiui:

V. Die nicht-metrischen Eigenschaften der ebewn Zentral holt i
können ans dem Desarguessdien Satz allein — also ohne den jwojek
tiven Fundamentalsafz — hergeleitet trrnini.

Hierzu zählen auch die harmonischen Eigenschaften der involu-
torischen Zentralkollineation.

4. — Aus den Sätzen III und IV folgern wir: Aus der Existenz
aller derjenigen Desarguessdien Konfigurationen, welche eine feste
Gerade s t und einen in ihr liegeuden Punkt S l enthalten, kann die
Existenz aller Zentralkollineationen abgeleitet werden, ausschließlich
derjenigen, in denen s l und jSj selhstentsprechende Elemente sind
Damit sind alle Zentralkollineationen ausgeschlossen, in denen entweder
die Achse durch Sj geht oder das Zentrum auf s 1 liegt.

Diese Ausnahme ist belanglos für die weitere Folgerung: „Mau
erhält damit alle Desarguesschen Konfigurationen überhaupt.*'

Greift man nämlich aus einer solchen Konfiguration einen Punkt A
heraus, so gehen durch diesen drei Gerade, deren jede zwei weitere Punkte
der Konfiguration enthält. Von den übrigbleibenden drei Punkten ist
keiner durch eine Gerade der Konfiguration mit A verbunden. Wir
wollen sagen, daß diese drei Punkte dem Punkt A gegenüberliegen. Auf
Grund des Desarguesschen Satzes liegen die drei gegenüberliegenden
funkte in einer Geraden. Auch von dieser soll gesagt werden: Bu
liegt A gegenüber.

Gehört nun eine Desarguessche Konfiguration zu einer Zeutral-
kollineation, so enthält sie Zentrum und Achse als gegenüberliegend*
Elemente. Und umgekehrt gehört jede Desarguessche Konfiguration
zu zehn Zentralkollineationen, entsprechend den zehn Paaren gegenüber-
liegender Elemente, aus denen Bie besteht. Unter diesen Zentralkolli-
neationen befinden eich aber im allgemeinen höchstens drei 1 ), deren
Achsen durch S v gehen, und ebenso höchstens drei 1 ), deren Zentra auf
s, liegen. Somit gehört sicher jede Desarguessche Konfiguration zu
einer der nicht auszuschließenden Kollineationen. D. h.

VI. Atts der Existenz aller Desa rguesschen Konfigurationen, die
eine feste Gerade und einen festen, in ihr gelegenen Punkt etUhaltm,
folgt die allgemeine Gültigkeit des Desarguesschen Satzes.

DieB ist bereits eine Verallgemeinerung des Satzes II. Wir wollen
aber noch weiter gehen. —

5. — In Satz III denken wir die beiden Elemente s t und S, be*
weglich. Aus der Existenz aller Konfigurationen, die die als f<*'

1) In speziellen Fällen 4, niemals mehr, falls nicht die Konfiguration dege-
neriert, <1. b. zu ihrer Existenz keines beuorideren Satzt-s bedarf.

\

rVaargueasclier Sat?. und Zentralkollineation.

127

brigbleibenden Elemente C, c, S, s, S t und Sj enthalten, folgt also
ia allor Zentralkollineationen mit C als Zentrum und c als Achse,
also auch die aller Konfigurationen, in denen und c gegenüberliegende
demente Bind.

Denken wir weiter c beweglich, so wird auch S willkürlich (unter
er Bedingung, daß es auf .s, liegt). Wir folgern damit aus der
Ciistenz aller Desarguesschen Konfigurationen, die C, s, S ly s, eut-
lalten, die Existenz aller Zentral kollineationen, in denen G Zentrum ist
und in denen die Achse nicht durch S t geht (weil S, sich nicht
selbst entsprechen darf). Hieraus weiter die Existenz aller Desargues-
schen Konfigurationen, in denen C enthalten ist, während die C gegen-
überliegende Gerade weder durch »S, noch durch C geht.

Diese Beschränkung der C gegenüberliegenden Geraden wird durch
'olgende Betrachtung sofort beseitigt: Von einer C enthaltenden Kon-
iguration denke man sich zunächst die drei durch C gehenden Geraden
ruit den auf ihnen liegenden Perspektiven Dreiecken gewählt, woraus
ich die drei C gegenüberliegenden Punkte P, Q, R ergeben. Geht
nun eine der drei Geraden PQ t QR, RP nicht durch S t oder C, so
st die Beschränkung erfüllt, und der dritte Punkt liegt auf ihr. Eine
Ausnahme tritt also nur ein, wenn jede der drei Geraden entweder
urch C oder S t geht. Dann gehen mindestens zwei von ihnen zu-
gleich entweder durch C oder S if woraus wiederum folgt, daß P, Q, R
n gerader Linie liegen. Mithin kann die Beschränkung fallen, und
ugleich ergibt sich auf Grund des zuletzt bewiesenen Satzes Vi die
Sxistenz aller Desarguesschen Konfigurationen.

Beachten wir, daß C, s, >%, g, vier aufeinanderfolgende Stücke
eines Dreiecks (etwa CS, S) sind, ao können wir das Schlußrosultat
lgendermaßen aussprechen :

VII. Die Existenz aller Desarguesschen Konfigurationen, die vier
timmte aufeinanderfolgende Stärke mies festen Dreiecks enthalten, zirlil
aller Desarguesschen Konfigurationen überhaupt nach sich.

In etwas anderer Form:

Ist der Desargucsschc Satz gültig unter der beseftränkenden Vor-
ng, daß in seiner Figur vier bestimmte aufeinanderfolgende Siiickr
eines festen Dreiecks vorkommen, so kann aus den idealen ebenen Ver-
rfungsaxiomen allein seine allgemeine flidtigkn't gefolgert werden.

Frankfurt a. M., im August 1901.

■'•..! *' ^*-> (2A)I

ist. Ferner verstehen wir unter (i eine positive ganze Zahl und setzei

(4) cofa

SC fl

won'u aber m nur ungerade oder nur gerade Werte annehmen dar
je nachdem u ungerade oder gerade ist. Durch Differentiation von (1
ergibt sich:

in.

it + s

y-t = li 7o = ~l, ftj = (2* + 1) pF+ äJl-^ + i t

und mittels Differentiation von (4) findet man leicht die Bezieht
zwischen den Koeffizienten:

(6)

Fi* & £ f m + 1 i im

Dieselbe gibt Beziehungen zwischen den Koeffizienten der nicht-negativ
Potenzen und Beziehungen zwischen den Koeffizienten der negativen
Potenzen, wir müssen also diese beiden Gruppen von Koeffizienten fif«-
sondert betrachten und wenden uns zuerst den Koeffizienten der OBStß
tiven Potenzen zu.

Setzen wir in (6) — m statt m, so entsteht

(7)

" = M -1 f- 1 _ *— «
f — m ™* „ i "l — m / - «

1) Vorliegende Arbeit ist ein Auszug eine» Teiles einer umfangreicher» - •*>
unter ähnlichem Titel in den Schriften der l'livsikiiüscli-nkoitoraisehen Geaellscb**
m Königsberg i. Pr. erscheinenden Abhandlung; die Resultate eines anderen Te
derselben werden im Journal für Math, veröffentlicht.

[

Die Potenzen der Cotangente und der Cosecante. 129

Substituieren wir hierin m =» 1 und p successive = 3, 5, 7, • • *, (i, so
folgt durch Multiplikation

(8) y^-^-lfr A.«ng.»d..

Setzen wir in (7) m ■= 2 und p successive = 4, 6, 8, • ••, p, so folgt leicht

(9) ;_ f «(_i ) V( 1 + i + i + ... + _L_) .„„a..

Wir bestimmen nun eine Funktion ip{a,h t n) in folgender Art:
wir verstehen unter a, Je, n positive ganze Zahlen, so aber, daß
n — (a + k—1) Null oder eine positive gerade Zahl ist, bilden die
Faktoriellen

a (a + 1) • • • (o + * — 1) und (n - k + 1) (n — * + 2) • • • (n - l)n

und schieben dazwischen alle möglichen Produkte mit gleichviel
Faktoren ein, sodaß in jedem derselben die Faktoren von links nach
reclx ts wachsen, und daß der Ate Faktor irgend eines Produkts sich
vom. Äten Faktor des ersten Produkts um Null oder eine positive ge-
rade Zahl unterscheidet. Die Summe der reziproken Werte dieser
Produkte ist if> (o, k, n). Z. B. ist if> (2, 3, 8) die Summe der reziproken
Wei-te der Produkte: 2-3-4, 2.3.6, 2-3-8, 2-5-6, 2-5-8, 278,
4-S.6', 4-5-8, 4-7-8, 6-7-8.

Für diese Funktion gelten die beiden charakteristischen Gleichungen

( 10 ) *(a,fc,n) = *(a,*,n-2) + ^(a,*-l,n-l),
(lO*) ^( a , k, n) - i>(a + 2, *, n) + \l> (a + 1, * - 1, n).
Ferxier ist der Erklärung gemäß

(11) »(">*>») - «(a+l) ■ ■■« «tt.+l-a-*=Q

and daher nach (10)

(12) ^(o, Je, n) = inr»+i-o-*<o

^ueb ist

(13) ^ a , 1 , n) _l + _^_ + ... + l,

frko nach (10)

(U) V(«,0,n)-1

^Äd sodann wieder nach (10)
(*5) i> (a, - Je, n) - *=i,»,s..

AwhlT dar Hsthnnstik und Phytik. UX B»Ui« TL

Endlich folgt noch aus (10) mit Ä- = ü7
(16) #>(a,0,0)=l.

Mittels dieses Funktionszeicbens läßt sich (9) auf die Form

*-«

y_, = (-l) ■ *(l,l f p-l)
bringen, und nun läßt ßich mittels (10) und (6) beweisen, daß über-
haupt der Koeffizient y_ m den Wert

y- ra = (-i) ■ (*-i)f *(i,«»- 1,^-1)

(17)

hat.

Die Ableitung der Koeffizienten der positiven Potenzen führt 3;
folgendem Resultat:

Der Koeffizient y m ist 2**:»»! mal einer linearen Funktion voj
\(p + 1), bez. |ft auf einander folgenden Bernoullischen Zahleu
deren jede durch ihren Index dividiert ist, and deren Koeffizienten m»
abhängig von m sind, also zu Anfang der Rechnung hergestellt werde»
können, in Formel: D

(18) t-l/^-?^- l]P*-»-«*(l, # - 2h - 1, M - l)^jf-

■

fu — 1
— — - • • • für HD (Ter »de« u

I

für gerade! n.

Beweis: Sucht man in y m , y m _ t , y m den Koeffizienten v«

>m+ M

m+(i

auf, benutzt (6) und läßt die gleichen Faktoren fort, so erhi

— r

man die Gleichung:

* (1, p - 2r - 1, fi - 1) = ^- t + (1 , p - 2r - 2, p - 2)

+ *(l, M -2r- l,p-3),
dieselbe ist aber richtig, da sie aus (10) sich vermöge der Substitut

o=l, k = ft — 2r — 1, n = /t— 1
ergibt. Da nun noch die aus (3) und (5) folgenden Koeffiziei
und y m sich mit Rücksicht auf (16) und (13) in die Form

i m + l

h

m + >

(19) -K.-sffO.M)^, r.- £ »#(1,1.1)5^1

Die Potenzen der Cotangento und der Coaecante. 131

setzen lassen, welche mit (18) in Übereinstimmung steht, so ist (18)
allgemein bewiesen. 1 ) — Für m = ist in (18) rechts der Summand

(— 1) s hinzuzufügen.

f
Die Koeffizienten y m lassen sich, und zwar ohne Rücksicht darauf,

ob tn positiv oder Null oder negativ ist, noch in anderer Art finden.

"Wie leicht zu erkennen, ist nämlich:

(20) *™£* _ _ 2« cot" x cosec (2s),

also, wenn man (4) und (2) benutzt und beiderseits den Koeffizienten
von :r"~'' ins Auge faßt:

0M ft ft ft ft

) *y«*- / u+^( c iyi*- / «-i+^y«t-^-t+< ; 6ys*-^-6+-"+«i*-8y«- / .+ c «-i) s = -

Diese Gleichung, aus welcher successive (mit k = 1, 2, • • •) y 2 _^, y i ,_ ll ,

r*

Y 6 _ ^ etc. durch die c hf also durch die Bernoullischen Zahlen gefunden

werden können, läßt noch eine besondere Deutung zu. Setzen wir
nämlich

■o 'wird sie

(23) 8k + c A .j + C 8 s t _, + ■ • • + C t _ lSl + *C t - 0;

dies ist aber die bekannte Newtonsche Identität zwischen den Koeffi-
zienten einer algebraischen Gleichung und den Potenzsummen ihrer
Wurzeln. Man kann also (ic 1} pc a , ftc & etc. als Potenzsummen der
Wurzeln der Gleichung

«" + y.-^" 1 + k-t**-' + ••■ + y.-„ - o

•tosehen. Die Gl. (23) ist von Waring für die s k , von Serret (?)*)
*" r die C h aufgelost Zum Beispiel ist

( 2 4) C % s lt C t = |sf - ^ etc.

1) Da nach (17)

(-D > »(i.»-t>--i,,-i)- (<t Jy-_ 1)t t *=o.i,..,

*^* kann man die Koeffizienten der positiven Potenzen mit Hilfe derer der negativen
°«enzen berechnen, also in dem Falle, daß die letzteren in anderer Art gefunden
iUl <i» die Funktionen if> (a, Jfc, «) ganz entbehren.

2) Siehe Serret Algebre supe"r. I, § 201.

[

132 L. Saalschutz: Die Potenzen der Cotangente and der Cosecante.
und hieraas mittels (22) und (3):

(25)

8'

" _ JL(±. 1\

* p/1 t 7 62 \

?•-„ ä^Vef ~"iöf* + iÖ6/'

S«\24 p 20^ T 4200 p 700/'

etc.

Die Entwickelungen bei der Cosecante sind analog denen bei de—
Cotangente, und wir wollen uns dabei auf die Angabe der Resultate
besenranken. Wir setzen:

coseCa; — ar* + £,_ /t ar' i+, + S i - M x ~ fl+ *' + ••'•»
für (i ~ 1 und 2 ist bei Einführung der Abkürzung B t

i

2(2 ,t ~ 1 — 1)
(2*)!

B k

A

(2ifc)!»

2

li+t

Durch zweimalige Differentiation folgt die Gleichung

d* COBÖC/* *r

ft(/t + 1) coseC'+'a: = p* cosec^x H ^ —

und daraus die Beziehung zwischen den Koeffizienten:

P +

I* S _ L <» + l)(» + »)5

*»0*+l)

+ »

Verstehen wir unter ^(a, n) die Summe der Kombinationen fcter Kh
der Elemente

(a + 2)«' (a + 4)"

so ist

yu and m a

R (üntsche: Beitriigp zur Geometrograpbie II. 133

und

.« — 1 R

1 s ■ ..(■ -2) i ^r-r,.,.,, M — » — •"*

<■— === i — : , 7" ■ ~ , — r; S VA 1, U — i) r— : /' untl "> unpnid«,

*»• 8-4---(fi — 1) «(w)!^( * v,p 'm-l-i.,

*=o — j h»

13 (/*— 1) (m)\^j " y ,r / m- r -2

* = o — j — hft

An Stelle von (21) tritt

2Ac £,_„ - MÄ.L-,,-, + »iL-^4 + • " " + S*_iL, + Ht-t) - °>
oram sich die analogen Folgerungen wie dort ziehen lassen.
Königsberg, Dezember 1902.

Beiträge zur Geometrographie II.

Von R. Güntsche in Berlin.

Bald nachdem Teil I der „Beiträge u. s. w. rtV ) der Redaktion ein-
? e *"eicht war, erschien das kleine Werk über Geometrugrapbie 8 ), auf
das Herr Lemoine schon in seiner dort erwähnten Abhandlung*) im
A-*"«sliiv hinweist, und das an einer anderen Stelle dieser Zeitschrift
stUl * Besprechung gelangt ist. 4 ) Zu den Konstruktionen, die in Scientia
er, tlialten sind, möchte ich im vorliegenden und den folgenden Ab-
"^nitten der „Beitr." einige Vereinfachungen und Ergänzungen an-
B^o^n; Bie sind im Verlauf einer regen Korrespondenz mit Herrn
• JVloreau in Foitiers entstanden; eine Anzahl derselben, auf die ich
,01 Text an den betreffenden Stellen hinweise, rührt von Herrn Moreau
_ e *~, welcher mir deren Veröffentlichung frenndlichBt gestattet hat. Die
ln den „Beitr. I" mitgeteilten Konstruktionen werden der Übersicht
° a lber in der Numerierung der Scientia erwähnt. Zugleich möchte ich

\rch. d. Math. ti. Phys-C«), 8, S. 191—194, 1902. (Wird mit „Beitr. I" citiert)

2) E. Lemoine: Geome'tropraphie ou art de* ConBtnictions geora^triquei,
Co Uection Scientia, Phy» -Math. Nr. 18, Paris, 1902. (Wird mit „Scientia" citiert.)

3) E. Lemoine: Principe» de la (ieometrogranhie etc., Arch. (3), 1, 1901,
p - »9 ff. (Wird mit „Arch." citiert.)

4) Arch (I 4, 336 ff., 1903.

134

U Ihntsciik:

auf zwei kleine Artikel über Geoinetrographie hin weisen, deren Ver-
öffentlichung bevorsteht. 1 )

X°. Einen Winkel von 45° (oder von 135°) su seich tun.
Geameirographkche Konstruktion, s. Uni-Bl. a. a. 0., Art. „Zur
G." — Diese Konstruktion, welche die Einfachheit 11 hat, tritt an dip
Stelle der in Scientia enthaltenen, die den Einfachheitskoeffizienten 13
besitzt.*)

XIL S ) Gcamctrogruphische Konstruktion, s. Beiträge I, V E , S. 194,

XIII. Geometrographischc Konstruktion, b. Beiträge I, IV*, S. IM.

XV. Durch einen Punkt A außerhalb einer Geraden BC ritte <i<-

rode AC su siclien, die mit BC eitlen Winkel AGB bildet, der einem

gegebenen Winlccl N gleich ist.

Zweite geometrographischv Konstruktion (Fig. 5). — Man nehme eine
beliebigen, aber von N hinreichend entfernten Punkt au und beschreib
0(0N) (C, + C s ) t der die Schenkel deB gegebenen Winkels in P unfü^J

Q schneidet, ziehe A(01f
(C, + G s ), beschreibe A(P(J—i
(3C, + £'.,), der D auf CMB
festlegt, nehme, ohne die Zirkel^B-
spitze von A aufztiheben, ilm. >'
Länge des Radius von A{0\^ )
in den Zirkel (C 8 ), beschreifc»e
D(0N) (C, + <?,), der A(0N) in E trifft, zeichne E(0N) (C, + G^
der CB in C trifft, und ziehe CA (2R, + J? s ); diese Gerade ist A. ir
verlangte, denn da L ACD = {AED S also = \PQQ ist, ist L AC J)
- PNQ; Op.: (22^ + R, + 7C,"-f T, + 5<7 S ); S.: 16; E.: 10; 1 Gerade,
5 Kreise.*)

Der Radius des Kreises 0(0N) muß lang genug genommen

werden, damit PQ größer als der Abstand des Punktes A von BC wii"*l-

Diese zweite geometrographische Konstruktion ist der ersten im

allgemeinen vorzuziehen, wenn es sich nur darum handelt, den Punkt

Fig. 5

1) R. Güntsche: Über Geometrographie, Unt.-Bl. f. Math. u. Naturw 8, 1»0*.
Nr. 3, und Zur Geometrographie, ebda, Nr. 4. (Sind inzwischen erschienen.)

2) Herr 0. Tart}' hat dieselbe Konstruktion, sowie eine zweite geometro-
graphische gefunden. (Zusatz September 1901.)

3} Die in Scientia beschriebene Konstruktion ist nach Herrn Lemoine» An-
gabe (Ass. Fr. p. l'Av. des Sc. 23, 1894, 11)0) im Prinzip von Herrn J. S. Mack»7
mitgeteilt worden.

4) Herr G. Tarry hat die Einfachheit der Aufgabe XV auf 16 reduziert
doch verliert die obige Konstruktion aus dem angegebenen Grunde nicht •*
Interesse. (Zusatz September 1002.)

Beiträge zur Geometrographie II. 135

C zu finden und nicht die Gerade AG. Eine Anwendung hiervon
wird unten (XXXVI b ) gegeben.

XXX. Ein Dreieck eu konstruieren, von dem man eine Seite BG,
den gegenüberliegenden Winkel A und einen der beiden anderen Winkel
B kennt.

Die klassische Konstruktion liefert, nach der üblichen Vorschrift
ausgeführt, die Einfachheit 43; bei ökonomischer Behandlung gestaltet
sie sich an Stelle der in Scientia angegebenen, welche die Einfachheit
28 besitzt, zur geometrographischen.

GeometrographiscJie Konstruktion. — Man bezeichne die gegebenen
Größen mit a, das und g/3ij; es soll BG — a, L A = « und LB>= ß
werden. Man stelle BG = a her (B, + 2C, + C t + (?,), beschreibe
C{a), sowie a(a) und ß(a) (3C, -f 3C,), wodurch d und e, sowie % und
7] auf den Schenkeln der gegebenen Winkel und i auf der Verlängerung
von da festgelegt werden, beschreibe e (£>?), der a(a) in nach i
zu trifft, und C(fi?), der B(a) in D trifft (4^ + 2C S ), zeichne B(t&)
(3C t + C 8 ), der C(a) in £ auf derselben Seite von BG trifft, auf der
D liegt, und ziehe BD und CJE? (4Bj + 2i^), die sich in A treffen;
Op.: (4^+3.8,+ 12C t + C,+ 7C 8 ); S.: 27; E: 17; 3 Gerade, 7 Kreise. 1 )

XXXV 3) und 4). Eine Strecke AB und zwei Strecken p und q
sind gegeben; es sott AB in C derart geteilt werden, daß

z\ ÄC £ a\ ÄC t

ÖJ AB°~ q> *' BÄ q

ist.

a) Entweder 3) oder 4).

Geometrographische Konstruktion. — An der in Scientia beschriebenen
Konstruktion läßt sich eine geringe Vereinfachung anbringen. Wenn
man erst p auf der gegebenen Strecke q abträgt (3C, -f G t ), so kann

man die darauf folgende Konstruktion 1) -^ = _ bezw. 2) jj-p=" —^— ,

nämlich Teilung einer Strecke nach einem gegebenen Verhältnis, schon
fortsetzen; diese vermindert sich hierdurch um 2C V Zu dem Symbol
von 1) und 2) kommt mithin nur (C, + G t ) hinzu; man erhält: Op.:
(212, + .R, + 9C t + 5C 8 ); S.: 17; E.: 11; 1 Gerade, 5 Kreise.»)

Partikuläre Konstruktion, anwendbar, falls q > \ AB. — Man ziehe
A(q) und B(q) (4C X + 2C,), die sich in ß schneiden, verbinde A mit

1) Herr G. Tarry löst die Aufgabe XXX (ebenso wie XXIX) mit 24 Elementar-
operationen. (Zusatz Oktober 1902.)

2) Eine zweite geometrographische Konstruktion wird in einem späteren Teil
der Beitr. beschrieben werden.

136

Fi lii's-TacnE:

ß (2fl, + JRj), beschreibe A(p), der AB in y (und y") trifft, ui

(4C, + 2C S ), der AB in C schneidet; Op.: (2B, +^, + 80, + 4C 3 );

S.: 15; E.: 10; 1 Gerade, 4 Kreise.

b) 3) und 4) zugleich.

Zweite geomefrographische Kvustniktiun. — Hat man 3) oder 4)
mit S.: 17 erhalten (s. oben), so ergibt eich der andere Teiljmnkt mit

Erste partikuläre Konstruktion, anwendbar im Falle g> \AB. —
Die vorhergehende partikuläre Konstruktion wird dahin ergänzt, daß
man noch y'{p) (C, + C$) beschreibt; BA wird hierdurch im gesuchten
zweiten Teilpunkte C getroffen; Op.: (2^ + ^,4- 9Q + 56 1 ,); S : 17.
E.: 11; 1 Gerade, 5 Kreise.

Zweite und dritte partikuläre Konstruktion. — Falls q> \p und
zugleich q~> \AB r bo läßt sich die erste partikuläre Konstruktion der
vierten Proportionale (Scientia XXXVIII Remarque), falls dagegen
g> \p oder </> \AB, die zweite partikuläre Konstruktion derselben
Aufgabe (Beiträge I, XVIII*) anwenden. Trägt man die erhaltnv
vierte Proportionale von A auB auf AB oder auf der Verlängerung ab
(3C, -f C a ), so gelangt man zu folgenden Symbolen: q > ~p und
g> \AB; Anw. der ersten pari Konstr. Op.: (11 (^ + C, -f öC',!; B.:
17; E.: 12; 5 Kreise. g> \p oder 5 > ]-4I?; Anw. der zweiten part.
Konstr. Op.: (2Ü, + B, + IOC, + 4C S ); S : 17; E.: 12; 1 Gerade, 4 Kreise.
Bei allen drei partikulären Konstruktionen ist also die Einfachheit um
3 Einheiten kleiner als bei der allgemeinen, der geometrographi sehen.

XXXVI (Arch. XIV). Über einer gegebenen Strecke AB als Seime
das Kreissegment zu beschreiben, das einen gegebenen Winkel tya als
Peripherieicinkel faßt.

Für diese Aufgabe Bind zwei klassische Lösungen in Gebrauch:
eine dritte Lösung ist Beitr. I, XIV' gegeben.

a) Bei der ersten klassischen Lösung wird an AB in A der
Komplementwinkel zu y angetragen; der freie Schenkel schneidet die
Mittelsenkrechte von AB in dem Mittelpunkte des Kreises, zu dem das
Segment gehört Herrn G. Tarrys Konstruktion (s. Scientia) hat
Einfachheit 21.

b) Als zweite klassische Lösung ist folgende üblich:
sucht durch A eine Gerade zu legen, die mit der Mittelsenkrechten von
AB einen Winkel von der Größe des gegebenen Winkels sytt ein-
schließt. Führt man diese Konstruktion nach der gewöhnlichen Vorschrift
aus, so findet man: Op.: (6R, + 3.8,4- 11 C, + C 8 + 9C 3 ); S.:30; E.: 18;
3 Gerade, 9 Kreise. Wählt man eine nicht geomotrographische Kon-
struktion der Parallelen, so erhöht sich der Einfachheitsgrad noch um

die

Beiträge zur (leonietrographie n.

137

Fig 8

2 bis 4 Einheiten. Verwendet man dagegen die oben beschriebene
zweite geometrographische Konstruktion der Aufgabe Scientia XV, so
ergibt sich eine erhebliche Vereinfachung:

Konstruktion (Fig. 6). — Um einen beliebigen Punkt p, der von
y hinreichend entfernt ist, beschreibe man it(fiy) (C, + Q), der auf
den Schenkeln des gegebenen Winkels k und t Festlegt; man ziehe
A(tiy) und B(py) (2C\ + 2C S ), die sich
In D und D' schneiden, verbinde D mit
D'(2B l + Bf), beschreibe A(ae) (3C\+ C s ),
der DD' in E trifft; ohne die Zirkelspitze
von A abzuheben, nehme man den Radius
von A(fiy) in den Zirkel; hierauf zeichne
man E(ßf)(C, + C t + C s ), der A(fty) in
M trifft, Bowie M(py\ (C, + C 3 ), der DD'
in O sehneidet, und beschreibe 0(0 A) (2 H, -f 6' 3 ); dies ist der Kreis,
dem das gesuchte Segment angehört; Op.: {2R t + R s + IOC, + £\-f-TC|);
S.: 21; E.: 13; 1 Gerade, 7 Kreise.

Diese Konstruktion gewährt noch ein gewisses Interesse dadurch,
daß sie leicht in eine einfache Mascheronische Konstruktion, d. li. in
»ine Konstruktion mittelst des Zirkele allein, umgewandelt werden
kann 1 ); man hat nur die Mittelsenkrechte von AB wegzulassen und
dafür durch Paare von Kreisbogen, die zu ihr symmetrisch liegen, E,
.V nebst seinem Spiegelbild M' und zu bestimmen. Die Konstruktion
besitzt, wenn die Schenkel des Winkels f durch ihren Linienzug ge-
geben sind, das Symbol Op.: (12 C, + C, + 9Cj); S.: 22; E.: 13; 9 KreiBe.
Ist dagegen der Winkel aye nur durch den Scheitel y und je einen
Punkt a und e der Schenkel, die Strecke AB durch ihre Endpunkte
A und B gegeben, so findet man Op.: (18 C L + C t + 13 C s ); S.: 32;
E.: 19; 13 Kreise.

c') Ein drittes Lösungsprinzip ist Beitr. I, XIV*, S. 193, ein-
geführt worden; es lassen sich unter Zugrundelegung desselben ver-
schiedene Konstruktionen mit der Einfachheit 22 auffinden, vor allem
aber liefert es die geometrographische Konstruktion mit der Einfachheit
20 (s. ebda). Es ist dabei die vierte Proportionale zu cf, g>e und AB
zu konstruieren; hierfür ist die a. a. O. S. 192 mitgeteilte partikuläre
Konstruktion XVIII* benutzt worden. Herr Moreau macht mich darauf

i L. Maacheroni: La geometria del eompaaao, Pavia 1797, Neudruck
Palermo 1901; L. Mascheroni: Gebrauch des Zirkels, übersetzt von J. P. Grfison,

I Berlin 1825: J Frischauf: Die geometrischen Konstruktionen von L. Maacheroni
nnd J. Steiner, Graz 18(49; Ed. Hutt: Die Maächeronischen Konstruktionen,
Progr. Brandenburg a. H. 1873; 2. Aufl., Halle 1880.

138

R. Gvhtbciie:

aufmerksam, daß man statt dessen die Konstruktion von Mascheroni,
die ebenfalls partikulär ist und derselben Einschränkung unterliegt,
verwenden kann, und daß man dann die folgende besonders einfache
allgemeine Mascheronische Konstruktion erhält.

Konstruktion mit dem Zirkel allein. —

Erster Fall: der Winkel y ist durch den Limenzug seiner Schenkel
gegeben. — Um einen beliebigen, von y hinreichend entfernten Punkt
a der Ebene beschreibe man den Kreis <a(tay\ der auf den Schenkeln
des gegebenen Winkels die Punkte « und t festlegt (C t -f G 3 ); alsdann
beschreibe man die KreiBe a(coy) (C t -f C s ) und a(ai) (Cj -f C s ). (*)
Um einen beliebigen Pnnkt k von a(ctf) beschreibe man k{AB)
(2C\ + Cj -f Cj)j der k(c«) in u trifft, und mit dem beliebigen Radius
p' A{p') (C 3 ), der u(my) in ff schneidet, ferner zeichne man jx(p') ((. \ + 0,),
der tt(ay) in dem zu (i in Bezug auf ak und ae homologen Punkte
t trifft; ffr ist die vierte Proportionale au ae, oas und AB; nun zeichne
man A (ffr) und B(tfr), die sich in schneiden, und 0(<fr) (5C, + 3C S );
dieser Kreis bestimmt das gesuchte Segment; Op.: (HC,-f C s -f-9£Y);
S.: 21; E.: 12; 9 KreiBe.

Zweiter Fall: Der Winkel y ist durch seinen Scheitel y und du
Punkte « und t seiner Schenkel, die Strecke AB durch ihre Endpunkte

A und B gegeben (Fig. 7). — Mit einem
beliebigen, hinreichend großen Radius p
beschreibe man die Kreise y(p) und a(p\
die sich in <a schneiden, sowie den Kreis
<a(p)(3C, -f 3Cj); man zeichne f(fai), der
y(fi) in ra' trifft, a'(p'y) (4C, + 2C',), der
o(p) in f schneidet, und «(«*„) (2 C\ -f- C',1:
im übrigen ist die Konstruktion dieselbe
wie im ersten Falle vom Zeichen (*) ab, nur daß e an die Stelle
von f tritt (8(7, + C a + 6C S ); Op.: (17Q4- C t + 12C S ); S.: 30; &:
12 Kreise.

Falls p < 3«t (im zweiten Falle p < 3«f ), d.h. ßinj'>A oder
y > ca. 10°, kann man es einrichten, daß der Kreis A(p') mit k(AB)
zusammenfällt; man spart dann ein C s und gelangt zu den Einfachh<>its-
graden 20 bezw. 29.

XXXVII (Arch. XVII}. Die gemeinsamen Tangenten zinin- Kreise
und 0' von den Radien R und R' zu koiistrnkren.

Dieses wichtige Problem ist in Arch. (3), 1, 1901, p. 106 ff. sowohl,
wie in Scientia 1902 eingehend behandelt worden.

a) Die im Archiv a. a. O. für den Fall, daß die Kreise sich
nicht schneiden, mitgeteilte Konstruktion, die von Herrn Moresa

/

\

.■>-■ ■>

Fig. 7.

Beitrüge zur fiponietrographie II.

139

herrührt, ist von ihm selbst auf den Eiiil'aehheitsgracl 35 gebracht worden
i -ntia p. 43). Eine von Herrn Tarry angegebene Konstruktion
entia p. 42) von derselben Einfachheit hat Herr Moreau auf 34
reduziert (Scientia p. R7 Appendice).

b) Für den Fall, daß die Kreise sich schneiden, wo also
zwei Tangenten wegfallen, ist in Scientia eine auf einem anderen Prinzip
beruhende geometxographiachc Konstruktion, die Herr Moreau gefunden
hat, dargelegt; sie besitzt die Einlachheit 26. Herrn Tarrys Kon-
struktion würde in diesem Falle nach der von Herrn Moreau an-
gegebenen Modifikation 27 ergeben, also nicht geometrographisöh sein.
Man kann aber auf Herrn Tarrya Konstruktion einen ähnlichen Kunst-
griff anwenden; mau hat nur zu beachten, daß, wenn die beiden Kreise
0(B) und 0'(R') ) wobei R > R' ist, Bich schneiden, die Kreise 0(R)
und 0'(7?) sich sicher auch schneiden. Die Bezeichnung schließt sich
im folgenden an Scientia Fig. 12, S. 39, an.

Zweite gto mt t f ograplt iscJte Konstruktion für den Fall, daß dir ftat'rfaw
UM sirh KÜmeidm (Fig. 8). — Man ziehe 00' (2S\ + U,), die O'(R')
in D' schneidet; man beschreibe 0' (R)
+ C, + C 3 ), der 0(R) in E und
E' und 00' in J' trifft, wobei die
Punkte f 0' f D', J' in der an-
gegebenen Reihenfolge liegen. Man T • \ ~^"JT V\föy*"3'
ziehe EE\2R l + R t ), die o auf 00' \ wC?S* j£
festlegt, sowie B'(oO') und J'(aO r )
■IT, -f 2C„), die sich in H' treffen.
Man beschreibe a> (O'/f) (3C, -f- C n \
■ ler :iu1 <>< ll\ < \ und C, Bowie auf 0\R') C und C\ festlegt; man
ziehe C X C und CC[ (4 ü, -f 2 7f a ); dies sind die verlangten beiden
Tangenten; Op.: (8.B, + 47*, + 9Q + C, + 46 T 3 ); S.: 26; E.: 18;
4 Gerade, 4 Kreise.

XXXVm (Arch. XVUI). Zn drei gegebenen Strecken M, N und P

NP
vierte Proportionale zu Iconstruieren', X = -^ (N> P). 1 )

Für diese Aufgabe besteht bis jetzt eine geometrograpbische Kon-
struktion mit dem Einfachheitakoeffizicnten 21 (Scientia S. 44).

Eine partikuläre Konstruktion (im folgenden als Kotistntktiwt A
bezeichnet), die Herr Moreau zuerst in der Geometrographie verwendet

/

Flg. 8.

1) Herrn Moreau ist es (August 1902) gelungen, den Einfacbheitsgrad diester
•ic ritigen Aufgabe auf die Zabt 19 zn reduzieren. Eine zweite Konstruktion von
derselben Einfachheit wird in einem späteren Teil der „Beiträge" beschrieben
werden. (Zusatz Oktober IM.)

140

R. Gurr« che:

hat (s. oben XXXVI e), ist die von L. Mascheron i (a. a 0., Übersetzung
von Grüson, §93, S. 69 ff; Frischauf, a. a. 0., EL 9; Hutt, a. a 0,

S. 19); sie erfordert die Erfüllung der Bedingung 2M> P, bedarf nur
des Zirkels, und besitzt das Symbol Op.: (SC X + C, -f 5C S ); S.: 1-1;
E.: 9; 5 Kreise; ist außerdem M < N+ P und zugleich M> N— P,
so spart man noch 1C 3 .

Herr E.Lemoine beschreibt ferner (ScieutiaS. 45) ') eine partikuläre
Konstniktion mit dem Zirkel allein, die unter der Bedingung 2M > N
anwendbar ist (Konstruktion B); sie hat den Einfachheitskoefifizienten 13.

Eine dritte partikuläre Konstruktion, die auf einem Theorem von
A. F. Möbius beruht, ist im Teil I der „Beiträge u. s. w." a. a. O. XVUI»,
S. 192, mitgeteilt worden (Konstruktion C). Ihr Einfachheitsgrad ist
ebenfalls 13, aber sie ist, wie die Konstruktion A, anwendbar, wenn
nur die Bedingung 2M > P erfüllt ist.

Diese drei partikulären Konstruktionen lassen sich nun paarweise
kombinieren, so daß sech.s neue allgemein gültige Konstruktionen entstehen:

Auflösung. — Schaltet man in der Gleichung NP = M X eis
Hilfsprodukt pjj ein, wobei *> beliebig ist, so sind folgende beiden
Gleichungen zu befriedigen:

(1) NP-vt oder <>:N=P:i f

(2) qI = MX oder M : q = % : X.

Je größer g ist, desto kleiner ist g, die Bedingung der Anwendbarkeit
der obigen drei partikulären Konstruktionen auf diese beiden Gleichungen
ist bIbo durch passende Wahl von o stets zu erfüllen, wenn nicht
gerade die Konstruktion B auf die Gleichung (2) angewandt wird. Be-
achtet man dies, so erhält man 6 Paare von Konstruktionen. Von
diesen liefert das Paar AA den Einfachheitskoeffizienten 22. Dagegen
besitzen die übrigen fünf alle die Einfachheit 21, darunter die Konstruk-
tion CG in doppelter Form; diese sind also, da sie dieselbe Einfachheit
haben, wie die bisher bekannte geometrographische Konstniktion, eben-
falls geometrographisch. Die Konstruktionen ordnen sich folgendermaßen:

1) AA (Konstruktion mit dem Zirkel allein); S.: 22.

2) BA (Konstruktion mit dem Zirkel allein); zweite

3) CA dritte geometro-

4) AC vierte graphische

5) BC fünfte Konstruktion,

6) CO« sechste s - : 21.

7) CC6 siebente

1) Nach Journal de Vuibert, S. 58, 1881—1882; Matteste S. 158, 1892.

Beitrüge zur Geoinetrographie LI.

141

M

X

Zweite geometrographischc Konstruktion (BA Konstruktion mit dem
Zirkel allein, Fig. 9). — Man beschreibe um den beliebigen Punkt den
Kreis 0(M)(2C 1 + C,) und mit dem
beliebigen, hinreichend großen Radius o
den Kreis ö(p) (C s ) t nehme auf der
Peripherie von (p) C beliebig an
und zeichne C(N) (8 6, + C s + t\), der
0(p) in A schneidet, A(P)(BC i + C 3 ),
der 0(g) in zwei Punkten trifft, von
denen irgend einer B sei, und B(P)
(C, -f C s ), der C(N) in A' schneidet
(AA' ist die vierte Proportionale £
zu p, N und P). Um F u einen be-
liebigen Punkt von Ö(M), beschreibe
man V X (AA') (2C, + 6^ + C,), der

*

O(-äT) in 7j schneidet, und mit einem

C **

*

.-**

beliebigen Radius p' 7^ (p ')(£,), der
O(p) in W, trifft; schließlich zeichne Fig. 9.

man F,(p') (C» + C 3 ), der O(p) in

Wj schneidet; W x W t ist die vierte Proportionale zu M, p und |,
also die gesuchte zu M f N und P; Op.: (11(7, + 2C' S + 8C S ); S.: 21;
E : 13; 8 Kreise.

Dritte geometrographischc Konstruktion (CA). — Wie die vorige,
nur daß die vierte Proportionale zu p, N und P nicht nach der Kon-
struktion B, sondern nach der Konstruktion C (Beitr. 1, XVlII a , S. 192)
ausgeführt wird; Op.: (2P, -f- JJg + 10C X + C, + 1G S )\ S.: 21; E.: 13;
1 Gerade, 7 Kreise.

Vierte geometrographischc Konstruktion (A 0). — Man beschreibe
um den beliebigen Punkt O(N) (2C t + C t ) und mit einem beliebigen,
hinreichend großen Radius p 0(g)(G s ); dann nehme man auf 0(p)
irgend einen Punkt F, an, beschreibe F 1 (P)(2C\ + C t -f C s ), der 0(p)
in F } trifft, und zeichne mit einem beliebigen Radius P^p'^Cj), der
0(N) in G t schneidet, Bowie Pj(p') (C t + Cjj), der 0(2V) in dem zu
ff, in Bezug auf 0F X und ÖP t homologen Punkte 6?, trifft. Nun
besehreibe man um den beliebigen Punkt 0" 0"(M)(2C l + C 8 ), der
O(p) in H und H' trifft, zeichne H{G 1 G t ){^C x + C s ), der 0"(Jf) in
J schneidet, und ziehe JH'(2R l + P,), die 0(p) in JT trifft; KH ist
die verlangte vierte Proportionale zu Hf, N und P; das Symbol ist
wie bei der vorigen Konstruktion.

Fünfte geomctrographi sehe Konstruktion (BC). — Man wähle p hin-
reichend groß und konstruiere nach Scientia XXXVIII Remarque die

142

II. Gi'NTSCHs:

M

tr

vierte Proportionale i- zu p, N und P(öC t + C. t 4- 46' s ), sowie unter
Benutzung deB Kreises 0(q) nach Beitr. I, S. 192, XVIII*, die vierte
Proportionale X zu M, q und { (2 JJ, + J^ + 5C t + 2Q; °P -
(2Ä t + Äj+ 11 Q + C t + 6C S ); S.: 21; E.: 14; 1 Gerade, 6 Kreise.
Sechste geometrographischc Konstruktion (CCa). — Wie die vorige,
nur daß die vierte Proportionale % zu q, N und P ebenfalls nach der
Konstruktion C gefunden wird (21^ + P s + 5C\ -f- 36*,); der zweite
Teil ist wie in der vorigen Konstruktion (2 J?j + -R» + 5 C, -|- - '
Op.: (4J*, + 27*,+ IOC, + 5C a J; S.: 21; E.: 14; 2 Gerade, 5 Kreise.
Siebente geometrographischc Konstruktion (CCft, Fig. 10). — Um die
iu der Ebene beliebig angenommenen Punkte 0' und 0" beschreibe

man die Kreise 0' (N) und

0"(M)(4C 1 + 90,), die Bich

in S schneiden, ferner um den

beliebigen von S hinreichend

entfernten Punkt den Kreis

OCOS)^ + C t ), der O'(N)

in S' und 0"(M) in 8"

trifft; dann zeichne man S(P)

(3t; + G t ), der O(OS) in T

{ ■ / ']/ trifft, und ziehe S'T(2R l + Ä,),

f tJf , die O'(JV) in tf schneidet;

man beschreibe sodann 8(8Ü]

K $ ;/ (2C\ + C' a ), der 0"(M) in »F

trifft, und ziehe WS"(2R l + R i \

r\g.m. die 0(OS) in .Z schneidet;

ZS ist die verlangte Strecke.
Op.: (4^ + 2Ä, + 100, + 5CY); S.; 21; E.: 14; 2 Gerade, 5 Kreise.

XXXIX (Arch. XIX). Die dritte Proportionale X eu zwei gegebenen

N*
Strecken N und M zu finden; X = ^- ■

Die geometrographische Konstruktion dieser Aufgabe, aus der ersten
geometrographischen der vierten Proportionale durch Spezialisierung
erhalten, hat die Einfachheit 15 (Scientia S. 45); die beiden einfachsten
partikulären Konstruktionen unterliegen der Bedingung 2 M > JV untl
haben die Einfachheit 10 (Scientia S. 46 und Beitr. I, Konstruktion
XIX", S. 192; letztere ist durch Spezialisierung aus der Koustniktiiio C
der vierten Proportionale abgeleitet); außerdem existieren noch parti-
kuläre Konstruktionen von höherem Einfachheitskoeffizienten und der-
selben Anweudbarkeitsbedingung, die man durch Spezialisierung der
übrigen partikulären Konstruktionen der vierten Proportionale erhall,

Beitrüge zur tieometrographic II.

143

B. aus der Konstruktion B (Scientia S. 46, Einfachheit 11) und aus
der Konstruktion A (Einfachheit 12 oder, wenn außer der obigen Be-
dingung 2N>M ist, 11); beide werden mit dem Zirkel allein aus-
geführt')

Die oben mitgeteilte zweite bis siebente geometrographische Kon-
struktion der vierten Proportionale liefern zwar Konstruktionen der
dritten Proportionale, doch ist wegen des höheren Einfachheitsgrades
keine von ihnen geometrographisch. Die aus der zweiten (BA) abge-
leitete ist mit dein Zirkel allein ausführbar und hat das Symbol Dp.:
(9(7, -f 2C, + 8C a ); S.: 19; E.: 11; 9 Kreise. AA erfordert dagegen
wieder im allgemeinen 16' s mehr.

XLUI (Arch. XXI). Eine Strecke AH innen und außen nach (lern
gotdmm Schnitt zu teilen.

Von dieser Aufgabe waren bisher drei geometrographische Konstruk-
tionen von der Einfachheit 13 bekannt; die folgende reiht sich ihnen an.

Vierte geotnetrographigrlie Konstruktion (Fig. 11). Man beschreibe
den Kreis A(AB) (2C\ + C s ), der BA in B' schneidet, und B{A B)
{C Y + C,), der AB in A' und
A (A B) in G trifft; man ziehe
B'(B'G) und Ä(B'G) (3C, + 2C 3 \
die sich in K schneiden; während
die Spitze des Zirkels in A
bleibt, nehme man AA' in den
Zirkel (G); schließlich ziehe

V U ' Flg. n.

man K(AA') (C\ + C s ), der AB

m X zwischen A und B, sowie in X' trifft; X und X' sind die
beiden verlangten Punkte; Op.: (8C, + 56',); S.: 13; E.: 8; 5 Kreise.
Zum Beweise bezeichne man die Mitte von AB' mit co; man hat
B'K = ABY3, also foK = ^I/yll, mithin oX = aX' = J ABfö ,

d.h. jJ.)-|iiB(Tl + VB).

fr ,

• -*# -

JT -. B' <»

1) Ist M <C%N, also u.a. dann, wvnn die genannten partikulären Konstruktionen
versagen, kann man folgende partikulare Konstruktion anwenden: Es aei AB = M,
v lt — JV. Man beschreibe A(N) und B(N) (4C, -f 2C* 9 ), die aich in E schneiden,
id E(N)(& + C t ), der A(N) in S und &" trifft; ( S'6*'(2Ä 1 + R t ) begrenzt auf
B die Länge der gesuchten Strecke A T. Um sich zum Schluß in Bezug auf
die Lage der gesuchten Strecke von den gegebenen Stücken frei zu machen, kann
man ein Verfahren einschlagen, analog dem, das von Herrn Moreau bei einer
anderen Konstruktion in Anwendung gebracht worden ist: Um irgend einen Punkt
der Ebene beschreibe man 0(AT)(iC t -f- C a ); der Radin* dieses Kreises stellt
die sesuchtp Strecke dar. Op.: (2Ä, -j- R t + 7 C\ + 4C a ); S.: 14; E.: 9; 1 Gerade,
4 Kreise. (Zusatz Mai 1903.)

144

ii. I i i' KTHCins :

Herrn Moreau verdanke ich den Hinweis, daß die Maschen
sehe Konstruktion des inneren und äußeren goldenen Schnitts, die sich
aus der vorstehenden ableiten läßt, als die bis jetzt bekannte einfachste
zu gelten hat. Hierzu hat man folgendermaßen zu verfahren:

Konstruktion mittelst des Zirkels allein (Fig. 12). l ) Gegeben sind
die Punkte A und B. Man beschreibe A(AB)(2C\ + C 3 ) und B{AB)
{C\ + C,), der A{AB) in G und G' trifft, beschreibe G(GG')(2C t + C t \

A- -

der A(AB) in B' schneidet, sowie A(G(<

-A

\;

#-A

¥

Jf'-

Fig. 1*.

und B'(GG'){2C l + 2C S ), die Bich in Ä
und K' treffen, nehme, ohne die Spitze
von B' aufzuheben, B' B in den Zirkel
und beschreibe K{B' B) und K'(B'B)
(3<7 X -f 2C 8 ), die sich in den gesuchten
Tunkten X und X' treffen; Op,: (10^ + 7 C* 5 u
S.: 17; E.: 10; 7 Kreise.

Anlang : An die Konstruktion des gol-
denen Schnitts schließt sich die der Fünf-
und Zehnteilung des Kreises*)*) an. Die
vier geometrographischen Konstruktionen des
goldenen Schnitts, von denen die ersten drei in Scientia (S. 50), die
vierte soeben mitgeteilt sind, lassen sich ohne Schwierigkeit hierzu
verwenden; nimmt man den Kreis ö(r) als gegeben an, so fällt vom
Symbol (J t + C 3 fort und ein Durchmesser (J^ + B^) kommt hinzu.
Für die Fünfteilung ist (3Üj -f- 2C S ), für die Zehnteilung außerdem
(20 1 + 2C S ) hinzuzurechnen. Die Symbole sind also folgende:
Erste und vierte geometrographisclie Konstruktion. —

Fünfteilung: Op.: (ü, + JJ, + 10(7, + 6t' 3 ); S.: 18; E.:

1 Gerade, 6 Kreise.
Zehnteilung: Op.: (B l + R i + 12(7, + 8C,); S.: 22; E.:

1 Gerade, 8 Kreiße.
Zweite und dritte geometrographische Konstruktion. —

FiinfteUung: Op.: (3.B, + 2 B, + 8C, + 5C„); S.: 18; E.:

2 Gerade, 5 Kreise.
Zehnteilung: Op.: {3fl, + 2 B, + 10C\ + 7C S ); S.: 22-, E.:

2 Gerade, 7 Kreise.

U;

i:

11;

13;

1) Vgl. Aich. (3), 1, 336, 1901, Aufg. 21, wo Herr Lemoine noch die Zahl 20
als EinfachbeitBkoeflinenten dieser Aufgabe aufstellt.

2) In Scientia nicht erwähnt.
8) In einem späteren Teil der „Beitrüge" wird eine sechste geotnetrographisebe

Fünf- und ZehnteUung mitgeteilt werden; durch sie kann man die Mascheroni-
sche Zehnteilung in 23 Elementaroperationen ausführen. (Zusatz September tfd)

Beitrüge zw Geometrograpbie II.

145

-K-

Die vierte gestaltet sich z. B. folgendermaßen:

>ie geomeirographkchc Konstruktion (Fig. 13). — Man ziehe in
dem gegebenen Kreise 0(V) einen beliebigen Durchmesser A v OA i (R l + R^},
beschreibe A (4 0) (2 f\ + C,), der 0(r) in f? und A O in 0'
sehneidet, zeichne O'(O'Cr) und
4(0' G) (3C, + 2C 8 ), die sich
in X treffen, und beschreibe
KU, A,) {2C X + C s ), der 44
in X und X' schneidet ; nun
ziehe man 4(4 X') (2 <7 X + C„),
der auf dem gegebeneu Kreise
A^ und Aj festlegt, und 4(A^0

4-

V \

/

-AJ

\

/

/'

Fig. 13

((\ -f Cj), der A y und 4 liefert;

durch die Punkte A lt A s , A\, A,,

4 ist die Ftinfteilung vollendet;

beschreibt man noch A S (A X) und A 1 (A X) (2C X -f- 2C 3 ) f so erhält

man die außer 4 zur Zehnteitung noch fehlenden Punkte 4> A t ,

-4, 4- Die Symbole sind oben angegeben.

Man könnte auch erst mit X und dann mit X' operieren; daa
Ergebnis ist dasselbe.

Herr Moreau teilt mir ferner folgende fünfte geometrographißche
Konstruktion der Zehnteilung mit; sie beruht auf" einer Kon-
struktion des goldenen Schnitts, die bei der Einfachheit 13 nur
einen der beiden Teil punkte liefert.

Fünfte geonietrogmpiiisrltf Kon- ,-^X -"-

stniküm (Fig. 14). — Man ziehe />' \ N ^

einen beliebigen Durchmesser
4> Ar, (R t + JJg), beschreibe
4>(4A) und 0{A,ArXZC\ + 2C a \
die sich in X und K' schneiden, ,-.j|---- _ ------»-sf£'ti/-]-4

beschreibe X ' (A 4) (C, + C s ) , ^C^

dar 0(A i) A i ) in H triift, ziehe / \

KH^R, + 14), die 4,4s in X

trifft (es ist OX — j ("|/5 - l)
und XX = r}/5); 4(0X) be-
stimmt 4 und 4 1 A> (A> ^

4 aud 4 (4^j + 2C a ); damit ist die Fünfteilung ausgeführt; Op.:
{3B l + 2R t + &C 1 + bC t )y S.: 18; E.: 11; 2 Gerade, 5 Kreise. 4(4>X)
liefert A K und 4» 4(^0^0 K'^' -^a un< ^ 4 (2C, -f 2C' S ); damit ist die
Zehnteilung vollzogen; Op.: (3R t + 2Ä.+ 10(7, + 7C 3 ); EL: 22; E.: 13;

An- luv der Milhrniktik nnil Pliyiik 111 Rellii». VI 10

N^

//

/
\fc'

.a-,:.-'-

Fig. U.

146

B. GüMTicrar Beiträge zur Geometrographie II,

2 Gerade, 7 Kreise, Die Symbole sind also dieselben wie bei der zweiten
und dritten geometrographischen Konstruktion. KH geht dunch den
Schnittpunkt G von A^A^A^) und K'iA^A^ man hätte also auch,
um X m finden, G statt H wählen können. Die zweiten Schnittpunkte
H' und G' liefern X'] dae Verfahren ist in diesem Falle dasselbe.
Übrigens ist XG *= XO und X/r = XAq.

Aus der oben beschriebenen vierten geometrographischen Kon-
struktion des goldenen Schnitts läßt sich schließlich die zur Zeit ein-
fachste Mascheronische Konstruktion der
Fünf- und Zehnteilung des Kreises ableiten,
Konstruktion mittelst des Zirkels allein
(Fig, 15). — Man beschreibe am irgend
einen Punkt A^ auf der Peripherie des ge-
gebenen Kreises 0(r) den Kreis A^^A^G)
(C t + C t + C s ), der 0(r) in ,F und F' trifft,
beschreibe F(FF')(2C l + C t ), der 0(r) in
A 5 trifft, zeichne 0{FF") und A 9 {FF')
(2C, + 2C S ), die sich in K und K' schneiden,
sowie Ky^Ai) und K'^A^^C, + 2C 8 ),
die sich in X zwischen und A*,, sowie
in X' treffen-, 4,(4,X) und A^A^X') (3C, + 2C S ) geben durch die
Punkte A v A,, A 1 , A^ nebst Af, die Fünfteilung; Op.: (11C|+ C*+ 8C,);
S.: 20; K: 12; 8 Kreise; A s {A n X') und A l (A ü X'){2C l + 2C S ) voU-
enden die Zehnteüung; Op.: (13 C t + C t + 10 C 8 ); S.: 24; E.: 14;
10 Kreise. (Fortsetzung folgt.)

Berlin, 30. Juni 1902.

Fig. 16.

Rezensionen,

J. Klein. Handbuch der allgemeinen Himmelsbeschreibung nach dem
Standpunkte der astronomischen Wissenschaft, am Schlüsse des 19. Jahr-
hunderts. Dritte völlig umgearbeitete und vermehrte Auflage der An-
leitung zur Durchmusterung des Himmels. Mit zahlreichen Abbildungen
und Tafeln. Braunschweig, Friedrich Vieweg und Sohn. 1901.
Das letzte Jahrzehnt, in dem keine Auflage dieses wertvollen Buches
erschienen ist, ist für die Astronomie, die im 19. Jahrhundert mit den
andern exakten Wissenschaften soweit vorgeschritten ist, von besondi n r
Fruchtbarkeit gewesen. Die Spektralanalyse und die Photographie mit
ihren fortwährend sich verfeinernden Instrumenten und Methoden sind zu
zwei mächtigen Werkzeugen bei der Durchforschung des Himmels geworden,
während in günstigen Lagen aufgestellte Riesenteleskope das Himnittlsbild
ihrerseits vervollständigten. So erscheint es am Ausgange des Jahrhunderts
schwierig, sich die Fülle des Stoffes zu so festem Besitze zu bringen, um
sie klar und verständlich und in der gehörigen Ordnung einem weiteren
Leserkreise mitzuteilen. Doch ist der Verfasser in anerkennenswerter
Weise dieser Schwierigkeiten Herr geworden, und die gute Anordnung des
Materials verdient besonderes Loh. Die auf dem engen Räume von U(Mi
Seiten dargebotene Stoffmenge ist erstaunlich. Wir können es nur gut-
haben, daß in einem ersten Teile die Instrumente der Hiramelskunde zu
einer kurzen Besprechung gelangen, die freilich manchem Leser unzuläng-
lich erscheinen wird, aber ihn zum Studium ausführlicherer Werke anzuregen
geeignet ist. Der Sonne und ihrem System, dem der Verfasser auch die
Kometen und Meteorite zugesellt, ist die eine Hälfte des Buches gewidmet.
Die meisten Ergebnisse der Sonnenchemie, wie die Entdeckung des Cleveit-
gases Heüum als Ursache der 2> 3 - Linie, die Natur der Protuberanzen, wie
sie insbesondere Haie in Chicago mit dem Photokeliographeu studierte, und
die Forschungen über die verschiedenen strahlenden Energien, die TOU
Sonnenkörper ausgehen, werden — wenn auch knapp — dargestellt. Schia-
parellis Untersuchung der Merkurrotation, wie auch seine und andere
Diskussionen der Achsendrehung der Venus, nicht zum wenigsten auch die
seinen scharfen Augen insbesondere zu dankenden Ergebnisse der Areo-
graphie kommen zur Geltung; auch werden die von andern aufgestellten
Hypothesen über die merkwürdigen Gebilde der Marsoberfläche nicht ver-
schwiegen. Mit besonderer Ausführlichkeit wird der Erforschung der Ober-
Hache des Erdmondes gedacht und den „selenologischen" Theorien ein
kurzer Raum zugewiesen. Auch die vom Bolometer gelieferten lunaren
Strahlungsergebnisse tiudeu Erwähnung. Bei den kleineren Planeten, deren

10*

148

Rezensionen.

Zahl sich dank der photographi sehen Methode so gehoben hat, ist der ein-
zige Weltkorper zwischen der Erd- und der Marsbahn, der von Witt ent-
deckte Plannt, übersehen. Obgleich der Verfasser selbst in seiner Vorrede
es ablehnt, vollständig sein zu wollen, so ist doch dieses die einzige wichtige
Tatsache, die wir vermissen, und das spricht gewiß für das Buch. Dafür
geschieht aller alten und neueren Kometen Erwähnung und ihre physika-
lische Natur, wie die Theorie der periodischen unter ihnen, wird nach
Schulhof mit gebührender Ausführlichkeit behandelt, wie auch den Stern-
schnuppen und Meteoriten, deren kosmische Natur insbesondere die Unter-
suchungen v. Nießls zur Gewißheit brachten, und deren physikalische
Natur vorzüglich durch Brezinas Untersuchungen gefördert wurde, Beach-
tung zu teil wird. Die Stellarastronomie ist die Überschrift des dritten
Teiles. Die Helligkeitsverhaltnisse der Fixsterne, ihre Farben und ihre
spektroskopische Untersuchung, die insbesondere durch die auf der Harvard-
sternwarte und in Potsdam ausgebildete spektrophotograpfaische Methode
wesentlich gefördert ward, durch welche auch die Untersuchungen über die
veränderlichen und die neuen Sterne einen neuen Anstoß erhielten, bilden
die eine Seite der Durchforschung des Fixsternhimmels. Die andere, die
Bestimmung der Parallaxen und Eigenbewegungen, nicht weniger interessant
und mit der Frage der Verteilung der Fixsterne zu den universellsten
Problemen hinleitend, denjenigen über die Fahrt des Sonnensystems und über
dessen Lage im galaktischen System, kommt nach den durch die feinsten
Messungen gewonnenen Resultaten zu einer ebenso eingehenden Besprechung.
Die Doppel- und mehrfachen Sonnen mit den modernen spektroskomschen
Doppelstemen, die Sternhaufen nnd die Nebelflecke, deren Natur und Ver-
breitung festzustellen wesentlich erst die neuen Methoden im stände waren,
machen den Beschluß dieses Teiles. Der vierte endlich geht die in Mittel-
europa sichtbaren Sternbilder durch und zählt alle für Freunde der Himmels-
künde interessanten Objekte, die sich Lu ihnen finden, auf. Ein Sarh- und
ein Namenregister erleichtern den Gebrauch des Buches, dem die durch die
Ausstattung ihrer Werke rühmlichst bekannte Verlagsbuchhandlung ein>ii
reichen Schmuck von fast durchgängig neuen Bildern beigegeben hat.
Charlottenburg. H. Samter

Prof. Dr. R. BÖrilgteill. Sohul- Wetterkarten. 12 Wandkarten unter
Benutzung der Typen von van Bebber und Teifserenc de Bort für
Uuterricbtszwecke zusammengestellt. Berlin 1902, Dietrich Keimer.
Der scheinbare Mangel an Gesetzmäßigkeit, der die Erscheinungen des
Wetters beherrscht, weicht allmählich unter den Händen geschickter Forscher.
Seitdem man insbesondere durch den Vorgang von Buys-Ballot tägliche
synoptische Wetterkarten zusammenzustellen anfing, haben sich dieselben
als wichtige Grundlagen für die Erforschung der Gesetze der Wetter-
erscheinungen und eine auf diesen begründete wissenschaftliebe Prognose
des Wetters wenigstens für die den zusammengestellten Beobachtum," m
folgenden 24 Stunden erwiesen. Die Wichtigkeit dieser Vorhersagen be-
sonders für die Schiffahrt, und die Landwirtschaft ist auf der Hand liegend,
und der Umstand, daß eine Reihe größerer Tageszeitungen die von der
Deutschen Seewarte gesammelten Beobachtungen in solchen Karten täglich

lie

Rezensionen

149

zusammengestellt ihren Lesern darzubieten sich verpflichtet, fühlt, spricht dafür,
daß weite Kreise daran interessiert sind, in das Verständnis derselben ein-
zudringen. Die Schulen — insbesondere die höheren, die nach den Motiven
der Lehrpläne von 189L' auf die Bedürfnisse des praktischen Lebens weitest-
gehende Rücksicht zu nehmen angewiesen sind, und denen gerade in den
mittleren Klassen im physikalischen Unterricht die Pflege dieser Interessen
auferlegt ist, können sich unmöglich dorn entziehen, ihren Schülern hier in
ein paar Stunden eine Anleitung zum Lesen der Karten zu bieten und
dieselben darauf hinzuweisen, wie die Prognosen zu stände kommen.

Mancher Lehrer wird sich bisher — wie auch der Referent — dadurch
geholfen haben, daß er eine Kartenskizze an der Wandtafel entwarf und
die einem ausgeprägten Wettertypus entsprechenden Isobaren und Wind-
richtungen darauf verzeichnete. Die Schulwetterkarten ersparen ihm diese
Mühe. Dieselben geben nach der vorliegenden Nr. 1 für einen bestimmten
Wettertypus die Beobachtungen etwa in dem Umfange wie die Seewarte
sie in ihren taglichen Karten morgens zusammenstellt, jedoch der Deutlich-
keit halber in drei Farben und in so großem Maßstabe, daß sie auch für
große Klassen brauchbar erscheinen, Die vorliegende Karte für den
*. Juli 1900 (einen kalten und regnerischen Sonntag) soll als Beispiel für
n Bebbers Typus I gelten.

In Nebenkarten ist dir Witterang des vorhergehenden Abends und des
folgenden Mittags angegeben, so daß die Verfolgung der Änderungen mög-
lich ist. Die Angabe der Prognose erleichtert es dem Lehrer, die Fol-
gerungen zusammenzustellen, die sieh aus dem Wetterbilde ergaben. Wir
können die Anschaffung wenigstens riner Karte für den Unterricht warm
empfehlen.

Charlottenburg. H. Samter.

H. Poim-url. Electricite* et optique. 2° edit Paris 1901, Carre et

Naud.

Vor uns liegt die zweite Auflage der Vorlesungen, welche der Verf.
in den Jahren 1888 und 1890 an der Sorbonne über das Licht und die
Elektrizität gehalten hat. In ihr ist alles, was sich auf die Herlzschen
Versuche bezieht, mit Rücksicht auf das Werk: Les Oscillations Electriques
desselben Verfassers fortgelassen worden. Hinzugekommen sind die Vor-
lesungen aus dem Jahr 1899, wo die verschiedenen elektrodynamischen
Theorien von Hertz, Lorentz und Larmor mit einander verglichen werden.
Der Verfasser kommt zu dem Ergebnis, daß die Lorentzsche Theorie sich
den Tatsachen am besten anzubequemen scheine.

Die Herausgabe haben die Herren J. Blondin und E. Neculcea besorgt.

Berlin. E. Jaiinke.

E. Mach. Die Mechanik in ihrer Entwicklung historisch -kritisch
dargestellt. Vieri« Auflage. Leipzig 1901, F A. Brockhaus.
Von dem bedeutenden Werk des geistvollen Wiener Naturforschers ist
«lin vierte Auflage erschienen. Neue den Gegenstand betreffende Arbeiten,
sowie vorgebrachte Einwürfe wurden in besonderen zum Teil umfangreichen
Einschaltungen berücksichtigt.

150

Rezensionen.

Wie ein roter Faden zieht sich durch das Werk die Vorstellung von
der Ökonomie in der Wissenschaft, von der Ökonomie des Denkens. Gerade
der Mathematiker wird diesem Gedanken lebhaft zustimmen, fleht doch
die moderne Entwicklung der Mathematik darauf aus, Übertragungsprinzipien,
Verwandschaftsprinzipien aufzufinden, welche gestatten den unerschöpflichen
Reichtum an Gleichungen und Beziehungen in wenige Formeln zu konden-
sieren. Ähnliche Gedanken waren es auch, welche Hermann Graßmann
den gewaltigen Plan fassen ließen, eine die exakten Wissenschaften um-
fassende Ausdehnungslehre zu schaffen: Eine und dieselbe Graßmannsche
Formel führt, je nachdem sie durch die Brille der Geometrie, der Kinematik,
der Dynamik, der Elastizität, der Optik, der Elektrizität u. s. w. betrachte'
wird, zu Sätzen und Beziehungen der Zweigwissenschaften.

Interessant ist es auch an der Hand der vorliegenden Darstellung zu
beobachten, wie die Mechanik in ihren Anfängen durchaus den Namen einer
technischen Mechanik verdient, wie sie sich aber allmählich unter dem
Einflüsse von Newton und Lagrange in eine tmtron<>mhchi umwandelt, eine
Beobachtung, die um so interessanter ist, als die augenblickliche Entwicklung
voraussichtlich wieder zu einer Betonung der technischen Seite führen dürft«.

Berlin. E. Jahnke.

A. Föppl. Die Mechanik im neunzehnten Jahrhundert. München

1902, E. Reinhardt.

In einem akademischen Festvortrag schildert der Redner in kurzen
Zügen die Fortschritte, welche die Entwicklung der Mechanik im neunzehnten
Jahrhundert aufzuweisen hat. Er weist darauf hin, daß sich die Mechanik
eines Erfolges ersten Ranges nicht rühmen kann. ,,Was bei ihr geleistet
wurde, verdankt man nicht glücklichen Funden und glanzvollen Entdeckungen,
sondern einer unermüdlichen wissenschaftlichen Kleinarbeit, die einerseits
auf eine bessere Begründung und Befestigung des von früher her über-
munmenen Lehrgebäudes, andererseits auf den stetigen weiteren Ausbau
und auf die Nutzbarmachung dieses Besitzes gerichtet war". Insbesondere
mußte der rein astronomische Charakter, welchen die Mechanik wähn-mt
des achtzehnten Jahrhunderts angenommen hatte, einer mehr technischen
Richtung Platz machen.

Zum Schluß erörtert der Redner den Einfluß, welchen die Mechanik
auf alle anderen Naturwissenschaften und selbst die Philosophie ausgeübt hat.

Berlin. E. Jahnke

Bernhard Sellpnihfn. Mathematischer Leitfaden mit besonderer
Berücksichtigung der Navigation. Auf Veranlassung der Kaiserl.
Inspektion des Bildungsweseus der Marine. Leipzig 1902, B. G. Teubner.
XI u. 450 S.

Der Verfasser hat in geschickter Weise die Aufgabe, in die Mathematik
und zugleich in die elementare Sehiffahrtskuude einzufuhren, dadurch gelöst,
daß er den abgeleiteten mathematischen Sätzen sofort nautische Übungen
folgen läßt. Man gelangt so unmerklich zur Kenntnis einer großen Zahl
von Begriffen, die in der Schiffahrteirunde eine Rolle spielen. Bei dem

Bwwioaw

151

tätigen Bestreben, auch die Nautik in den Kreis des Unterrichts zu ziehen,
wird mancher Lehrer das Buch mit großem Interesse lesen. Man kann aus
ihm vielen Übiingsstoff schöpfen. Behandelt werden in d?n Fünf Abschnitten:
Algebra, Planimetrie, Trigonometrie, Stereometrie, sphärische Trigonometrie,
und zwar das Mathematische in der gewöhnlichen Weise. Die beiden letzlen
Abschnitte enthalten in ihren Anwendungen die Grundbegriffe der Astronomie.
Auch die Merkatorprojektion wird besprochen. Hierbei muß ich auf einen
Fehler eingehen, der sich S. 32$ befindet. Der Verf. projiziert die Kugel-
oberflache vom Mittelpunkt auf den Cylinder, der den Äquator berührt.
Das Bild auf dem Cylinder ist nicht konform; es ist zu sehr auseinander-
gezerrt in Richtung der Achse, deshalb muß man die Abstände zum Äquator
zu verkleinern. Im Buch steht vergrößern. Die Mängel, die ich sonst
noch gefunden habe, sind geringfügig und nur äußerlicher Natur, sie lassen
sich auch bei der zweiten Auflagt- sicher vermeiden. Der Verf. erläutert
z. B. die Addition und Subtraktion, indem er die Zahlen als Strecken dar-
stellt. Das führt ihn bei der Multiplikation nur zu dem einen Fall: daß
eine Strecke a mal genommen wird. Nachher gibt er aber an, aus dem
von ihm aufgestellten Begriff der Multiplikation folge die Regel ab = Ixi.
Es kommen auch wiederholt schiefe und ungewöhnliche Ausdrücke vor, z. B.
durch pinander dividieren, durch mehrere Zahlen dividieren, h/a gelesen
als i in ff, algebraische Zahl statt relative Zahl u.s. w. Ferner rechnet der
Verf. in der RphSritehM Trigonometrie noch durchweg mit sec und COMO,
während doch die meisten Lehrbücher der Mathematik und auch das Buch
von Bolte [Nautik j diese beiden Funktionen längst über Bord geworfen
haben. Auch könnt« manches kürzer gefaßt werden, z. B. der Satz vom
Nebenwinkel. — Doch, wie gesagt, diese Ausstellungen beeinträchtigen nicht
den Wert des Buches, und wenn der Verl' i -ine Reihe der neueren Lehr-
bücher mit seinem Buch in Bezug auf Ausdruck und Bezeichnung verglichen
haben wird, wird er später die gerügten Mängel vermeiden.

Dortmund. H. Kühne.

H. Mahlet'. Physikalische Formelsammlung. Leipzig, Göschen 1901.
(Sammlung Göschen No- 186) 202 S. 80 Pf.
In dem kleinen Werke sind nicht nur die Formeln der Physik ungefähr
in dem Umfange, wie sie auf dem Gymnasium durchgenommen zu werden
pflegen, aufgestellt, sondern die meisten sind auch und zwar in klarer, leicht
verständlicher Weise abgeleitet. Bei einigen wenigen, z. B. dem Minimum
der Ablenkung eines Lichtstrahles durch das Prisma, würde der Referent
hei einer zweiten Auflage die Ableitung noch hinzugefügt wünschen. Rri
den einzelnen Größen ist stets die Dimension derselben angegeben, bez. ab-
geleitet. Für Repetitioni-n ist das Buch recht zu empfehlen.

Chemnitz. H. Wuxgrod.

0. Kost. Theorie der Riemaiin sehen Thotafunktion. Leipzig 1901,
B. G. Teubner. IV u. fifi S. 4 n .
Die in der Überschrift genannte, mit Fachkenntnis geschriebene Mono-
graphie stellt sich eine doppelte Aufgabe. Erstens sollen die fundamentalen

152

Sätze über die Riemannseheti Thetafunktionen im Vereine mit den ent-
sprechenden Sätzen aus der Theorie der algebraischen Funktionen im Zu-
sammenhang dargestellt werden, wobei es nicht umgangen werden kann,
schon Bekanntes, wenn auch teilweise in neuer Form, wieder abzuleiten.
Zweitens, und das ist als die Hauptaufgabe zu bezeichnen, welche die erete
als naturgemäße Konsequenz mit sieb führt, sollen einige Lücken ausgefüllt
werden, die sich in den bisherigen Arbeiten finden. Diese Lücken beziehen
sich auf die Betrachtung spezieller Punktsysteme c und zwar auf solche,
für welche:

» (sy> + 4

in der Fläche T' durchweg mit Null zusammenlallt. Dabei ist unter T

diejenige i'intui'h zusammenhängende Fllirhe verstunden, die ;i,us der etil-
sprechenden Riemannschen Fläche T mit Hilfe passend gewählter Quer-
schnittssysteme entstanden ist. Es werden vor allem die Darstellungen dieser
Konstantensysteme durch «-Summen von beliebiger Gliederzahl nntersueln
Dresden. M. Krause.

Hermann Schubert. Niedere Analysis. Erster Teil: Kombinatorik,
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Ketten brüche und diophantisebe Gleichungen.
(Sammlung Schubert V.) Leipzig 1902, Göschen.
Das Buch gibt von den im Titel genannten Disziplinen eine klare,
leiehtverständliche Darstellung. Es ist für Primaner höherer Lehranstalten
bestimmt, bietet aber mehr (in der Wahrscheinlichkeitsrechnung z. B. „Force
majeure-Probleme", „Ursachen-Probleme", „Glaubwürdigkeits-Probleme", unter
deu diophantischen Gleichungen auch solche zweiten Grades, die einer mehr
elementaren Behandlung zugänglich sind), als in der Prima im allgemeinen
durchgearbeitet zu werden pflegt. Während der vorliegende Teil es im
wesentlichen mit rationalen Zahlen zu tun hat, sollen im angekündigten
zweiten Teile das Irrationale und im Zusammenhang damit das Veränder-
liche die Hauptrolle spielen.

Berlin. C. Färber.

Dziohek. Lehrbuch der analytischen Geometrie. Zweiter Teil. Ana-
lytische Geometrie des Raumes. 314 S. 8°. Braunachvveig 1902. Mk B
Der erste Teil dieses Lehrbuches hat vielfache Anerkennung gefunden,
und seine Vorzüge sind auch in dieser Zeitschrift (Bd. 2, S. 205) gewürdigt
worden. Im vorliegenden zweiten Teile sind die Gesichtspunkte und die
Darstellung des Verfassers dieselben geblieben. Recht erfreulich ist wiederum
die breite Ausführung der Grundlagen (die Figuren könnton freilich gerade
hier plastischer sein) und die übersichtliche Anordnung der vom Studiere!
häufiger gebrauchten Methoden und Formeln. Die Geometrie der geraden
Linie umfaßt allein 48 Seiten; außer den allgemein üblichen Entwicklungen
werden hier nämlich die PI ück ersehen Koordinaten und die Komplexe tt
Grades (Nullsystem) im engen Anschluß an die Mechanik vorgetragen. Die
Diskussion der allgemeinen Gleichung zweiten Grades wird durch ein nume-
risches Beispiel illustriert und durch eine gute Übersicht der möglichen Fälle
erleichtert. Die Frage nach den berührenden geraden Kreiskegeln leitet eine

Hr.'i'llHinni'll

153

aasgedehnte Behandlung der konfokalen Flächen ein. Den Schluß hildet
Bat kurze Übersicht üher dir* projektiven Erzeugungsweisen der Flächen und
Raumkurven.

Referent möchte freilich glauben, daß ein so weites Gehiet ein umfang-
reicheres Buch erfordert hätte. Darauf mußte der Verfasser wohl aus
Jußeren Bücksichten verzichten, und man kann sich daher nicht wundern,
daß häufig flüchtige und dem Studierenden vielleicht wenigsagendo An-
deutungen an die Stelle der Ausführung treten mußten, und daß manche
Theorie da abgebrochen werden mußt*, wo die schönsten Früchte noch zu
ernten sind. Möchte das Buch viele Leser finden, die nachher zu höheren
eilen aufsteigen.

Berlin. Richard MtVllkr.

irirmuml (■ütither. Geschichte der anorganischen Naturwissen-
schafton im neunzehnten Jahrhundert. Berlin 1901, Georg Bondi.
Wenn die rührige Verlagsbuchhandlung, die das Bild des neunzehnten
.Jahrhunderts in Einzeldarstellungen von einer Reihe namhafter Schriftsteller
zeichnen Utßt, die Geschichte der Wissenschaften, die dem Jahrhundert

E einen Namen gegeben haben, der Naturwissenschaften und insbesondere der
•cht biologischen unter ihnen, einen einzigen Gelehrten zu schreiben be-
nftragflB mußte, so konnte keiner gefunden weiden, der, wie der Verfasser,
auf so vielen Gehieteu sich zu Hause fühlt, so viel Einzelkenntnisse gesammelt
hat. Dennoch möchten wir nach eingehender Lektüre desselben fast glauben,
daß gerade die Summe der Einzelheiten, die in diesem Buche aufgehäuft ist,
der Klarheit des Gesamtbildes nicht gerade förderlich gewesen ist Das
Buch soll doch wohl den Laien, die sich über den Entwickelungsgang einer
der gewaltigen Entdeckungen des Jahrhunderts unterrichten wollen, die
jlichkeit geben, dies auch ohne eingehendes Vorstudium zu erfahren.
Wir fürchten indessen, daß dieselben, erschreckt von der Fülle des auf einer
Stäbe des Buches zusammengedrängten Materials und der Menge der Forscher-
namen, die ihnen begegnen, sehr bald von diesem Versuche abstehen werden.
Es sind auf den 943 Seiten, welche das Buch umfaßt, nicht weniger als
3400 Namen citiert, wie das Register ausweist, und davon kommen einige
gegen 40 Male vor. Dennoch wird für denjenigen, der auf dem Gebiete
der exakten Wissenschaften kein Fremdling ist, das Buch sich als Nach-
s< hlagebueh ausgezeichnet bewähren. Hoffentlich ist dieser Leserkreis groß
genug, um dem Buche die Verbreitung zu sichern, die wir ihm wünschen.
Für die Leser des Archivs ist das 3. Kapitel, welches die „Mathematik im
19. Jahrhundert" als das Instrument der Naturwissenschaften behandelt, trotz
liner im Hinblicke auf den Gegenstand des Buches verständlichen Kürze
nicht ohne Wert. Freilich unterschätzt der Verfasser die Bedeutung einzelner
Zweige der Mathematik für die Naturwissenschaften. Dahin rechnet er die
Untersuchungen über den Geltungsbereich der unendlichen Reihen, während
er doch selber sechs Seiten später die Behauptung aufstellt, daß die Inte-
gration der Differentialgleichungen sich „immer mit einer die Bedürfnisse
des Fragestellers deckenden Genauigkeit durch eine Reihenentwickelung er-
zwingen läßt" Wenn dies richtig wäre, wie es z. B. für das Dreikörper-
problem leider noch lange nicht gilt, so wüßte man sicher den Geltungs-
bereich dieser Reihen festzustellen, um aus ihnen Schlüsse zu ziehen. Die

RezenBionen.

Wichtigkeit solcher Präliminarien erhellt aus den Untersuchungen von
Poincare über eben jenes Problem. Deshalb sind auch die Untersuchungen
über die Stabilität de« Planetensystems und insbesondere diejenigen über
die Konstanz der großen Achsen (S. 100) noch keineswegs zu einem be-
friedigenden Ende geführt, worauf schon Jacobi aufmerksam gemacht hat.
Bei der Aufzählung der Mathematiker am Anfange des Jahrhunderts ist
J. F. Pfaff, der wohlverdiente Lehrer eines Gauß, ausgelassen. Im übrigen
wird die Darstellung den großen mathematischen Entdeckungen dieses Jahr-
hunderts — Lagranges Mechanik (1. Aufl. 1788) gehört hier freilich nicht
mehr her — durchaus gerecht, soweit dieselben auf die Naturwissenschaften
von Einfluß gewesen sind.

Charlottenburg, EL Samter.

Krisch. Astronomisches Lexikon. Auf Grundlage der neuesten For-
schungen besonders der Ergebnisse der Spektralanalyse und der Himmels-
photograpbie. VI u. 629 S. Mit 327 Abbildungen. Wien 1902, A. Hart-
leben. Preis 10 Mk.
Will man die Fortschritte, die das Wissen vom Himmel in den letzten
Jahrzehnten gemacht hat, sich handgreiflich machen, so kann man nicht«
Besseres tun, als dieses Buch mit einem ähnlichen vor 1850 erschienenen
Werke vergleichen. Der Referent holte also aus der verstaubtesten Ecke
seines Bücherbrettes Nürnbergers populäres astronomisches Handwörterbuch
hervor, ein für seine Zeit recht gutes, etwas geschwätziges Buch von 1800 Seiten.
Damals war die Himmel.skunde im wescntlirhrti Astrometrie. Die physikalis
Natur der Himmelskörper war, obgleich Fraunhofersche Fernröhre eine
Reihe feiner Details auf ihnen gezeigt hatten, ein Buch mit sieben Siegeln.
Erst seit der Erfindung der Spektralanalyse und der Verfeinerung der photo-
graphischen Technik (die erste Sonnenfinsternisaufhahrne wurde 18.51 gemacht
wurde die Astrophysik als neue Provinz an die Astronomie angegliedert.
Welche Ausdehnung das annektierte Gebiet inzwischen angenommen hat,
zeigt das vorliegende Buch fast auf jeder Seite. Außer einer zusammen-
fassenden Darstellung der Photographie des Himmels und der Spektral-
forschung, die durch viele schöne Abbildungen erläutert werden, finden wir
bei den einzelnen Objekten, insbesondere der Sonne, den neuesten Standpunkt
der Wissenschaft durch die Tatsachen und durch Bilder erläutert. Dabei
kommen die Zweige der älteren Astronomie keineswegs zu kurz und werden
in einer für Laien, für die doch das Buch bestimmt ist, recht eingehenden
Weise besprochen. So sind die astronomischen Instrumente und die Art
ihrer Benutzung ausführlich bebandelt. Um recht wenig bei den Lesern
vorauszusetzen, hat der Verfasser sogar einen Abriß der ebenen und der
sphärischen Trigonometrie und zur Kontrolle der durchgeführten Rechnungen
eine Tabelle der vierstelligen Werte der Funktionen aufgenommen. Dabei
kann man mit Hilfe des Buches ziemlich tief in die rechnende Astronomie
des Himmels eindringen: das zeigen z. B. das Kepler sehe Problem, die Be-
stimmung der Finsternisse und Newtons Ableitung der Gravitation. Für die
Störungen bat der Verfasser die geometrischen Satze nach Airy zusammen-
gestellt, freilich ohne Beweise, die auch den Umfang des Buches zu lehr
vermehrt hätten. Für einige Anhänge, die die Elemente der Planeten und
Kometen wiedergeben, werden viele Leser dankbar sein. Irrtümer sind am

Rezensionen

155

licht begegnet, außer daß der Verfasser einige verstorbene Astronomen nicht,
bereit« als solche auffuhrt. Dem Referenten erweist er zu viel Ehre, indem
er ihm die Eas ton sehe Auffassung über die allgemeine Gestalt der Milch-
straße zuschreibt.

Charlottenburg. H. Samter.

Galileo Ferraris. Wissenschaftliche Grundlagen der Elektrotechnik.
Leipzig 1901, B. G. Teubuer. 358 S. 12 Mk.

Die Vorlesungen des früh verstorbenen Galileo Ferraris, der seinen
Namen dauernd mit der wissenschaftlichen Technik verknüpft hat und der
in Fachkreisen besonders durch seine grundlegenden Arbeiten über mehr-
phasige Wechselströme bekannt geworden ist, haben an Herrn Leo Finzi
einen liebevollen Bearbeiter gefunden. Die vorliegende deutsche Ausgabe
zeugt von musterhafter Sorgfalt in der Darstellung überhaupt, wie in der
Klarheit und Bestimmtheit des Ausdruckes, und deutsche Leser werden dafür
Dank wissen, daß ihnen die Vorlesungen des hochgeschätzten Elektrikers in
so würdiger Form geboten werden.

Zweck und Ziel des Werkes sind durch den Titel hinreichend gekenn-
zeichnet. Es will die physikalischen Grundlagen zu rationeller Arbeit in
der Elektrotechnik bieten, ähnlich wie das vor einigen Jahren erschienene
Buch von Benischke; es ist aber beträchtlich umfangreicher als fitMS,
hult weiter aus und kann auch näher auf manche Einzelheiten eingehen,
die dem praktischen Bedürfnisse zunächst noch ferner liegen. Wie dankens-
wert und nützlich immer die einheitliche geschlossene Behandlung eines
größeren Gebietes durch einen bedeutenden Fachmann sein wird, und zwar
nicht nur für Lernende, braucht hier nicht erörtert zu werden. Die Elektro-
technik im besondern hat nach ihrer stürmischen Entwicklung allen Anlaß,
-i 'lebe abgeklärten Darstellungen willkommen zu heißen. Nicht überflüssig
aber erscheint es, einige Worte über die zum Studium des Buches erforder-
lichen Vorkenntnisse zu sagen. Es macht von der höheren Analvsis nur
einen bescheidenen, nicht über das Bedürfnis hinausgehenden Gehrauch; um
so mehr aber muß betont werden, daß eine lebendige Einsicht in die physi-
kalischen Erscheinungen, die hier nach Zahl und Maß behandelt werden,
vorausgesetzt werden muß, wenn der Leser einen rechten Nutzen von der
schönen Darstellung haben soll. Es würde einen Mißbrauch bedeuten, wenn
man das Buch zur ersten Einführung in die Elektrizitätslehre benutzen wollte.
Für solche sehr eleganten, sehr einfachen, aber auch abstrakten Entwick-
tungen, wie sie beispielsweise das erste Kapitel bringt, hat nur der Leser
Verständnis, der aus der Kenntnis der wesentlichen konkreten Fälle eine

rtrakte Darstellung als die höhere und umfassendere zu empfinden vermag.
Vielleicht wird der Standpunkt des Buches durch Gegenüberstellung
erschiedener Behandlungsweisen desselben Gegenstandes am besten erläutert.
Es wird wohl nicht bestritten werden, daß gerade die wichtigsten Gesetze
zunächst zweckmäßig möglichst unmittelbar und möglichst einfach abgeleitet
werden sollten. Denn erst das Bewußtsein, das Gesetz auf kürzestem Wege
«Jrunderscheinungen zurückführen zu können, gibt das Empfinden ge-
sicherten Besitzes. Nun läßt sich beispielsweise das Gesetz der Feldstärke
ager Solenoide ebenso einfach wie anschaulieh unmittelbar aus dem Biot-
■>avartschen Gesetze gewinnen. Ausgehend von einem kurzen Solenoide

156

Rezensionen

kann man zeigen, zweckmäßig unter Benutzung der Kraftlinienvorstellnng,
daß mit wachsender Länge die gesamte Kraftwirkung des Solenoides mehr
und mehr in sein Inneres verlegt, wird, daß gleichzeitig die Feldstärke in
den Querschnittsteilen immer gleichmäßiger wird. Für ein genügend langes
Solenoid ergibt dann der Arbeitsbegriff in Bezug auf den Einheitspol die
bekannte Formel, ohne alle Rechnung. Ist auf diese Art das Gefühl für
die physikalische Bedeutung der Formel gewerkt, dann erst gewinnt solche
Ableitung, wie sie der Verfasser gibt, ihren wirklichen Wert. Er geht
nämlich in bekannter Weise aus von der Äquivalenz magnetischer Schalen
mit elementaren Kreisströmen und gelangt, durch die übliche Vorstellung
der Schichtung vieler Schalen zu der gesuchten Formel. Auf der zweiten
Stufe der Erkenntnis ist nunmehr allerdings die Wahrnehmung des Zn-
sammenhanges der von verschiedenen Grundlagen ausgehenden Begriff?
besonders wertvoll. Beiläufig sei übrigens bemerkt, daß die zweite Art der
Ableitung nicht etwa durch größere Strenge grundsätzlich überlegen i«t
Vielmehr bereitet der überzeugende Nachweis der Äquivalenz ausgedehnter
Kreisströme mit magnetischen Schalen Schwierigkeiten, die nicht, immer
genügend gewürdigt werden.

Gleicherweise mit Rücksicht auf die zahlreichen Studierenden, die zu
dem Werke Ferraris' greifen werden, wie ihnen auch nicht genug empfohlen
werden kann, möge hier eine Bemerkung eingeschoben sein über die Rolle
der Vektorenrechnung, deren Grundbegriffe das erste Kapitel einleiten. Diese
Grundbegriffe sind ja in der Elektrizitätslehre, auch kaum mehr zu entbehren,
und die Vektorenrechnung wird zur quantitativen Behandlung der kompli-
zierteren Erscheinungen naturgemäß mehr und mehr Eingang finden. Nur
muß gesagt werden, daß weder diese noch sonst eine formale Behandlung«"
mefhode unmittelbar eine neue Einsicht in das physikalische Wesen der Er-
scheinungen geben kann, damit nicht der noch Unkundige versäume, sk*k»
zunächst über die einfachsten Erscheinungen gründlich klar zu werden.

In der Einteilung des Stoffes folgt das Buch dem üblichen 6ang"*^-»
indem zunächst die Elektrostatik, der elektrische Strom, Magnetismus ur»"
Elektromagnetismus behandelt sind, darauf die periodisch veränderlich*?* 1
Ströme, endlich die elektromagnetischen Schwingungen.

Im ersten Kapitel werden nach der schon erwähnten Einleitung in di* 5
Vektormethode die rein mechanischen Begriffe Kraftfluß, Potential, die Sat***
von Stokes, Green, Gauß u. s. w. erläutert. Die Mitteilungen aus d»*"
Elektrostatik im folgenden Kapitol sind im wesentlichen bestimmt durch d^*
Ziel des Buches und gipfeln deshalb in der Behandlung der Kondensatoren*
her Abschnitt vom elektrischen Strom bringt, wie üblich das Ohm*"-!*
Gesetz, die Stromverzweigung, elektrische Arbeit, und gibt am Schluß ■
einiges aus der Elektrolyse.

Daß die Abschnitte über Magnetismus und Elektromagnetismus dfö
verhältnismäßig größten Raum des Buches einnehmen, erklärt sich eben»
aus seiner Bestimmung. Bei dem immerhin beschränkten Umfange d«*s
ganzen Buches (350 Seiten) können natürlich keine Sonderfalle behandelt
werden, wie sie die physikalische und technische Praxis bietet. Dafür sind
aber, wie in allen Teilen des Buches, die Grundlagen mit großer Sorgfalt
entwickelt und mit ebenso großer Klarheit dargestellt. Die Behandlung«-
weise könnte übrigens wieder die Frage anregen, woher es wohl komme,

Rezensionen.

157

die Faraday-Maxwellsche Kraftlinienmethode mehr bei den gemia-
hen Völkern, wie es scheint, als bei den romanischen in Aufnahme ge-
en ist. Der Autor benutzt diese Methode wohl, aber doch eigentlich
als einleitendes Mittel zur VeraiiscIniulU-hung, während sie bei uns und
nders in England doch schon den Charakter einer quantitativen Methode
;nominen hat. Die Sache selbst gewinnt natürlich durch verschieden-
ge Behandlung, und der einseitigen Herrschaft einer Methode soll gewiß
ht das Wort geredet werden. Aber für die praktischen Sonderfalle er-
sieh doch die Kraftlinienmethode so zweckmäßig, daß man gerade in
vorliegenden Buche einen Beitrag zu ihrem weiteren quantitativen
bau, dessen sie noch sehr bedürftig ist, gewünscht hätte. Der vor-
gend analytischen Behaudlungsweise wie auch der ganzen Anlage des
hes entsprechend, werden auch Analogien zur Erläuterung nur selten
gezogen, und deshalb sei zu deu einheitlichen und durchsichtigen Eut-
klungen über veränderliche Strome nochmals bemerkt, daß zu ihrem
irklichen Verständnis und zu ihrer verdienten Würdigung eine anschauliche
r orstellung der physikalischen Tatsachen vorher gewonnen »ein muß.

Das letzte Kapitel über elektromagnetische Schwingungen enthält die
axwel Ische Lichttheorie, die Hertzschen Versuche und die Wanderung
ler Energie nach der Auffassung von Poynting. Ein großer Teil des
aier Mitgeteilten hat ja nun auch schon praktische Bedeutung erlangt, uud
wegen der noch nicht häutigen übersichtlichen Behandlung dieser Gebiete
■üehtl von manchem der letzte Teil des Buches am meisten geschätzt
werden, selbst wenn er nicht unbedingt den Ansichten des Autors hel-
lichten kann. Namentlich das Verhältnis der Modelle und Analogien zu
n Gleichungen von Maxwell und Hertz wird nicht allgemein im Sinne
s Autors aufgefaßt werden, uud sein Ausspruch „eine Theorie ist um M
»•hrscheinlicher, je abstrakter sie ist" wird in dieser Form wohl berechtigten
iclcrspnich finden.

Berlin. A. Komi.

Föppl. Graphische Statik. (Vorlesungen über technische Mechanik,
Bd. II.) Leipzig HlOU, B. G. Teubner. 8°. 452 S. 166 Figuren im Text.
„Mit diesem Bande gelaugt das ganze Werk, das vor drei Jahren mit
Veröffentlichung des dritten Bandes begonnnen wurde, zum Abschlüsse . . .
*» darf bei der Beurteilung des Werkes nach dieser Richtung hin | Auswahl
* Stoffes und DarstellungsweiseJ nicht vergessen, daß es sich um Vor-
gingen über technische Mechanik handelt, die nur in etwas erweiterter
m veröffentlicht wurden. Weitergehende Ausführungen . . . darf man
Vorlesungen, die für Studierende der ersten vier Semester gehalten
ä «den, nicht erwarten." (Aus der Vorrede zu dem vorliegenden Bande.)
Erstir Abschnitt. Zusammensetzung und Zerlegung der Krüfte am
^teriellen Punkt und in der Ebene.

Nachdem in § 1 und 2 Zusammensetzung und Zerlegung der au

*m Punkte angreifenden Kräfte zugleich für Ebene und Raum behandeil.

*»d, geht der Verfasser in § 'S unmittelbar zum Cremonaschen Kräfte-

n über. Diese Anordnung ist für ein Lehrbuch aus didaktischen

^cksichten als eine sehr glückliche zu betrachten. Der Kräfteplan führt

*n Lernenden unmittelbar in tnediam rem und t. r 'b( ihm eine Vorahnung

158

Rezensionen

von der umfassenden Tragweite des graphischen Verfahrens; durch die
Behandlung reizvoller praktischer Beispiele wird das Interesse geweckt,
zugleich schärft sich das Verständnis für die geometrische Summierung
der Kräfte, die trotz ihrer prinzipiellen Unfaofcheit dem Hörer vielfach
nirlit geläufig ist und gleich zu Anfang nicht gründlich genug betrieben
und geübt werden kann. Auch vom mathematischen Gesichtspunkte am
ist die rein algebraische Kräftezerlegung und Zusammensetzung einfacher
als die graphischen Integrations verfahren, die sich als wichtige Anwendungen
unmittelbar an die Theorie des Seilpolygons anzuschließen pflegen.

Die Behandlung des Kriifteplanes ist relativ ausführlich, aber nach
Ansicht des Referenten zu theoretisch. Die Kriterien für Zug und Druck-
spannung, die erfahrungsgemäß dem Anfänger große Schwierigkeiten machen,
ferner der Umfahrungssinn an Knotenpunkten und Gurtungen (um die
richtige Anordnung der Stabspannungen und äußeren Kräfte zu finden)
sind viel zu knapp oder gar nicht erörtert, während der ausführlich^
Existenzbeweis des reziproken Planes an dieser Stelle noch kaum verstanden
werden dürfte.

§ 7 bringt die Zusammensetzung von Kräften in der Ebene ohne Seil
polygon, § 8 Zerlegung einer Kraft, nach drei Richtungen nach Cnlmanu
Verfahren und der Ritt ersehen Moinentenmethode. Im Interesse de:
ständigkeit des Werkes dürfte es liegen, den Begriff des statischen Moment
zu erläutern und die Momentensätze, die hier benutzt werden, graphisch
herzuleiten, statt auf die anderen Bände zu verweisen.

In § 9 finden wir die Rittersche Methode auf Fachwerke mit Grund-
figur, speziell den Folonce&u-Dachstuhl, angewandt. Unter deu Aufgaben
wird ein ähnliches Beispiel durch Zergliederung des Fachwerks in einzelne
Scheiben gelöst Dieses letztere Verfahren hätte vielleicht besser im Text
Aufnahme gefunden.

Der zweite Abschnitt ist dem Seileck gewidmet und beginnt mit der
Zusammensetzung von zwei Kräften (§ 10 ). Über den Fall von « Kraftvn wird
unseres Erachtens zu flüchtig hinweggegangen; allerdings rindet der Lernend--
in den Beispielen genügend Gelegenheit, sich auch diesen klar zu machen.
Die Gerade, auf der sich zwei Seilpolygone schneiden, kommt in § 11,
wieder nur für den Fall zweier Kräfte, zur Betrachtung. An dem Be*
ist folgendes auszusetzen: Er stützt sieh, wie üblich, auf den Salz: „l.aufm
in zwei vollständigen Vierecken fünf Paar Seiten parallel, so trifft tl,
für das letzte. Paar jbu." Die Fassung dieses Satzes ist unvollständig, wie
die nebenstehende Figur zeigt. Eine präzise Formulierung verlangt aus-
führlicher« Betrachtung derartiger Vierecke. Will man dieselbe vermeiden,
so kann man den Satz über die Achse zweier Seilecke graphostatisch her-
leiten. Das wäre hier jedenfalls das natürlichste; denn Herr Föppl hat
den beanstandeten Viereckssatz durch eine statische Betrachtung bewiesen,
kann ihn also direkt ausschalten. Eine Schwierigkeit würde sich dabei
herausstellen: Der rein graphostatische Beweis für den Satz von der Achse
zweier Seilecke wird nämlich dann am elegantesten, wenn man in jedem
Seilstrahl zwoi gleiche entgegengesetzte Kräfte sieht. Dies tut aber Herr
Föppl nur mit dem ersten Seilstrahl, während er die analoge Auffassung
für die andern Seilstrahlen ausdrücklich verwirft. Meines Wissens ist die
Auffassung des Seilecks als eines wirklichen Gelenkpolygons so allgemein

Rezension en.

159

gangbar, daß sie nicht ignoriert werden darf, selbst wenn der Verfasser
ihr eine andere vorzieht.

Es folgen: § 12, Zerlegung paralleler Kräfte nach zwei Richtungs-
linien, § 13 — 15 Seilkurven, ihre Differentialgleichung und die Kettenlinie.
Die Gelegenheit, an der Kettenlinie die ganze Eleganz der geometrischen
Betrachtungsweise zu zeigen, hat sich der Verfasser entgehen lassen.

£ 16 f, die Momenteniliiche (in eleganter und präziser Darstellung)
§ 18 — 20 Ermittelung von Trägheitsmomenten, elastischen Linien und
Flächeninhalten durch Seilpolygone. Es folgen 10 Aufgaben. Bei Auf-
gabe 15 ist die zweite Lösung nicht angenähert, sondern falsch. Sie darf
nur zur Ermittelung des Durchhanges angewandt, die Spannung des Seiles
dagegen nicht unter Vernachlässigung des Eigengewichtes bestimmt werden.

t Aufgabe 16 ist nur eine Wiederholung des Textes. Es könnt* zum mindesten
die Kurve untersucht werden, durch die in diesem einfachen Fall die
Momentenfläche begrenzt wird.

Der dritte Abschnitt behandelt die Kräfte im Raum, und zwar das
Kraftkreuz und das Kr&ftepaar in § 21 — 23. Die Auffassung des Krafte-
paares als einer unendlich kleinen unendlich fernen Kraft bliebe besser
ganz weg. Verfasser bespricht sie ohnehin sehr flüchtig.

»Bei der Zusammensetzung von Kräftepaaren wird ein Parallelogramm
in ein inhaltsgleiches verwandelt. Die hierbei angewandte planimetriscln*
Konstruktion wird im Beweis gar nicht benutzt, ist also überHiissig. Der
Wrf asser hätte sie aber graphostatisch deuten und dadurch den Beweis
eleganter gestalten können.

Als einer der besten Abschnitte darf § 24 gelten, der an der Hand
der Kräftezerlegung die Eigenschaften des Nullsystems mit einer Durch-
sichtigkeit und dabei so elementar behandelt, wie es die synthetische Geo-
metrie nicht vermag. Es folgen in § 25 Praktische Ausführung und
spezielle Fälle der Zusammensetzung, z. B. bei hyperboloidischer Lage, in
§ 26 das Kraftkreuztetraeder, in § 27 die Zentralachse eines Kräftesystems,
in § 28 analytische Behandlung.

Zu erwähnen ist, daß von allen diesen theoretischen Erörterungen in
dem ganzen Werke keine Anwendung gemacht wird. Auf die Sc hur sehe
Methode, den Kräfteplan mittelst eines Nullaystems zu konstruieren, wird
zwar hingewiesen, aber mit dem Zusatz: „Für die praktische Anwendung,
die auch ohne solche, theoretisch interessante, in der Ausführung aber
schwerer zu übersehende Hülfsmittel leicht zum Ziel gelangt, wird aber
damit nicht viel gewonnen." (S. 154.)

Man erwartet eine Anwendung der ganzen Betrachtungen auf die Zer-
legung einer Kraft nach sechs Aktionelinien, Aber der hierauf bezügliche
§ 29 ist von einer erstaunlichen Lückenhaftigkeit und einer geradezu gefähr-
lichen Unklarheit der Darstellung. Nachdem die analytische Lösung der
Aufgabe skizziert, und die notwendige und hinreichende Bedingung für das
Unmöglichwerdeu der Zerlegung angeführt ist, heißt es: „Aus dieser ana-
lytischen Bedingung lassen sich alle möglichen Ausnahmelalle ableiten.
Anstattdessen wollen wir uns auf einfacherem Wege Rechenschaft darüber
geben , welche besonderen Fälle bei Annahme der sechs gegebenen Rich-
tungslinien unter allen Umständen (!) vermieden werden müssen." (S. 169.)
Hiernach erwartet der Leser zweifellos eine erschöpfende genmetrische

160

Rezensionen.

Erledigung. Statt dessen aber bespricht der Verfasser drei banale Spezial-
fälle in ausführlicher Breite und schließt mit den Worten: „Überhaupt
wird man aus dem weiter Folgenden erkennen, daß die wesentliche (!)
Bedingung für den Ausnahmefall immer (!) darin besteht, daß man eine
< m rade ziehen kann, die alle sechs Richtungsliaien trifft," (S. 171.)

Wenn der Verfasser nicht auf graphostatischeui Gebiet den Ruf
Autorität genösse, müßte man nach diesem Passus annehmen, daß ümi
die wesentliche Bedingung des Ausnahmefalles bei der Abfassung picht
gegenwättig war, zumal sie ja mit deu vorher entwickelten Hilfsmitteln in
weniger Worten auszusprechen ist, als die hier angeführte falsche Bedingung.

Auch die Zerlegung selbst wird nur in weuigen, dazu überflussig
vereinfachten Fällen ausgeführt und für die allgemeine Lage ein zeichnerisch
wie rechnerisch gleich unpraktisches Verfahren skizziert, bei dem unnötig! 1
und möglicherweise imaginäre Irrationalitäten auftreten. Dennoch beginnt
der Abschnitt mit den anspruchsvollen Worten: „Wir wollen uns jetzt
überlegen, auf welche Weise die Zerlegung, falls sie nach dem Vorher-
gehenden (!) überhaupt möglich ist, wirklich ausgeführt werden kann."
(S. 171.)

Eine gründliche Umarbeitung des § 29 ist bei einer Neuauflage des
Werkes unbedingt erforderlich.

Nach § 2y bringt der Verfasser in § 30 und in 5 Aufgaben spezielle
Fälle zur Besprechung.

Abschnitt IV. (Das ebene Fachwerk) ist wieder von großer Voll-
ständigkeit und Gleichmäßigkeit der Bearbeitung. § 31 — 33 bringen die
Einleitungen über die notwendige Stahzabl, die Gruudtigur und die Bildung*
weisen des Fachwerks. Zur Berechnung der Grundfigur bringt § 34 das
Stabvertauschungsverfahren, § 3ti die Methode der senkrechten Geschwindig-
keiten und als Beispiel das Sechseck mit Hauptdiagonalen. Dasselbe wird
in § 35 nach der Methode der imaginären Gelenke behandelt. Von der
zweiten möglichen sechsknotigen Grundfigur werden unter den Aufgaben
zwei spezielle Fülle durchgeführt, davon einer vermittelst eines drei Stäbe
treffenden Schnittes nach Culmanns Methode. § 37 bringt den analytisch. ■
Nachweis, daß stabile Fach werke bei notwendiger Stabzahl statisch bestimmt
sind nebst der bekannten Uiiikehrung, § 38 Fachwerkträger, § 39 Drei
gelenkbogen. Folgen 6 Aufgaben. Zu bemerken ist noch, daß das Stab-
vertauschungsverfahren auffallenderweise als „Methode von Henneberg" be-
zeichnet ist. Nach Hennebergs Methode wird ein dreifach angeschlossener
Knotenpunkt nebst seinen drei Stäben entfernt; das dadurch beweglich ge-
wordene Fachwerk wird wieder starr gemacht, indem zirrl ilrrji-tiif/m Knoten-
fitmkii r, ,!,,<„<)> „ irrrth'H, m, du tief rKijnttlf: cmgeSCMoS&H nur. Ihev
Methode ist also zwar als Stabvertauschung zu interpretieren, aber nur als
eine spezielle.

Der fünfte Abschnitt (Das Fachwerk im Räume) bringt mit natur
gemäß gebotener Einschränkung nach den unentbehrlichen allgemeine!
Bemerkungen über die Zahl der notwendigen Stäbe und Auflagerbedingungei

das Flechtwerk, in spezieller Ausführung als Schwedlerkuppel, Netzwerk

kuppe), Touuennechtweikdach, Krahugerüst und Leipziger Kuppel.

Im sechsten Abschnitt linden wir die elastischen Formänderungen statisclr~
bestimmter Fach werke nach der Methode von Maxwell-Mohr und der di

:

Rezensionen.

161

Verschiebungsplans sowie ihre Anwendung auf Berechnung der unbestimmten
und Ausnahmefachwerke.

In Abschnitt VII findet sich ein Überblick über Theorie der Tonuen-
und Kuppelgewölbe aus Mauerwerk und eine elegante graphische Behandlung
der durchlaufenden Träger auf mehreren Stützen nebst Ableitung der
Hapeyronschen Gleichung der 3 Momente aus der Konstruktion.

Nachdem ich die auf einzelne Abschnitte bezüglichen Bemerkungen
»ereits in die Übersicht des Inhaltes eingeÜochten habe, bleibt mir noch
einiges Allgemeine zu erwähnen.

Die Aufgaben sind mit Ausnahme der oben erwähnten Nr. 16 geschickt
gewählt und trotz ihrer Beziehung zur Praxis einfach und schnell zu
bersehen. Sie dürften einen Hauptvorzug des Buches bilden. Doch glaube
, daß die Anfügung einiger größerer, vollständig durchgeführter Beispiele
uf Tafeln, eventuell in Buntdruck, wie in Müller-Breslaus Graphischer
Statik, angebracht wäre. Nicht für die Studenten, die das Buch an der
Hand des im Kolleg Gehörten verfolgen, sondern für die Minderheit der-
jenigen, die nach dem Föpp Ischen Werk den Gegenstand selbständig
erlernen wollen.

Die breite, ausführliche Schreibweise des Verfassers ist aus den andern
[landen bereits bekannt; für die vier letzten Abschnitte würde ich größerer
fürze den Vorzug geben. Zwar liest sich das Ganze auffallend leicht
und klar; aber es liegt die Gefahr vor, daß man, der Mühe des eigenen
Nachdenkens allzusehr überhoben, über prinzipielle Schwierigkeiten ober-
liichlich hinweggleitet. Wie dem auch sei, gerade hier urteilt der persön-
iebe Geschmack souverän, und es ist schlechterdings unmöglich, es allen
recht zu machen. Mau möge daher die eingangs citierten Worte der
Vorrede nicht vergessen, wenn man sich bemüht, den Absichten des Verfassers
erecht zu werden.

Durch seine zahlreichen allgemeinen Zwischenbemerkungen über die
Vorzüge und das Wesen der verschiedenen Metboden bringt der Verfasser
zwar in die Nüchternheit des Gegenstandes eine wohltuende Anregung,
reht aber stellenweise über das Maß des als objektiv Anerkannten hinaus
und teilt persönliche Ansichten mit, die — ob nun mehr oder weniger
diskutabel — jedenfalls nur vor ein Forum von Fachgenossen gehören, da-
gegen in den Köpfen von Anfängern vorgefaßte Ansichten und daraus regul-
ierende Vorurteile erzeugen. Hierzu rechne ich z. B. die oben citierte
Äußerung über die Schur sehe Konstruktion des Kräfteplans.

Eine andere derartige Bemerkung, der ich überdies einen Sinn nicht
abzugewinnen vermag, steht auf S. 112 f: „Gerade hierin, daß ein beliebig
veränderliches Trägheitsmoment [des Balkenquerschnitts bei Ermittelung der
elastischen Linie] dem graphischen Verfahren gar keine besonderen Schwierig-
ieiten macht, liegt gegenüber dem analytischen Verfahren, das in der
unmittelbaren Integration der Differentialgleichung [£öd 8 y/dx s = — M\
>estebt, ein großer Vorzug"

Dies klingt gerade, als ob das graphische Verfahren etwas zu leisten

vermöchte, was die Rechnung nicht kann. Tatsächlich aber lauft doch die

ntegration der Konstruktion völlig parallel, und welche Schwierigkeit ein

veränderlicher Querschnitt gegenüber einein konstanten in die Rechnung

Hingen soll, ist total unerfindlich. Der Ausdruck „unmittelbare Integration",

Archiv der Matbematik ob J Physik UJ. Hcilie Vf. 11

162

Rezensionen.

in dem Referent keinen Sinn erkennen kann, ist wie geschaffen, um bei
Anfängern weit verbreitete falsche Ansichten über das Wesen der Inte-
gration zu bestärken.

Eine besonders charakteristische Belegstelle möchte ich noch aus § 1
citieren. Nachdem der Verfasser die Entwicklung der analytischen Mechanik
geschildert hat, fährt er fort: „Wie alle großen Bewegungen in der
Wissenschaft schoß auch diese schließlich für längere Zeit über ein
verständig gestecktes Ziel hinaus. . . . Zwar vermochte sich auch in jener
Zeit wenigstens die Konstruktion des Kräfteparallelogramms zu behaupten.
Selten genug mag es freilich wirklich im Maßstabe gezeichnet und zur un-
mittelbaren Ableitung eines fertigen Resultates gebraucht worden sein. . . .
Erst die Techniker, die mit dem 19. Jahrhundert als ein wesentlich mit-
bestimmendes Element in den Kreis der wissenschaftlich Tätigen einzutreten
begannen, haben hierin — wie in so vielen andern Dingen — Wandel
geschaffen und sowohl die zeichnerische, wie die geometrische Behandlung
der Mechanik wieder zu Ehren gebracht."

Die von Herrn Föppl angeführten Tatsachen lassen sich nun genau
ebensogut als Argumente gegen seine Behauptung verwenden, daß nämlich
die analytische Mechanik über das Ziel hinausgeschossen und für die geo-
metrische Behandlungswei.se schädlich gewesen sei: Infolge des Mangels an rein
geometrischen Methoden, infolge ungenügender Genauigkeit des graphischen
Rechnens für die astronomischen Probleme und infolge der Unmöglichkeit, die
großen uinfussenden Siitze anders als analytisch abzuleiten und auszusprechen ' i,
hatte sieh die analytische Methode in der, die Ergebnisse der Forschungen wieder-
spiegelnden Literatur die Vorherrschaft gesichert. Daß aber die Verwendung
geometrischer Anschauung in der Forschung und Geistestätigkeit selbst ver-
schmäht worden sei, dagegen spricht die Tatsache, daß ihr Hauptwerkzeug,
das Kräfteparallelogramm, sich im Gebrauch erhielt. Vor allem spricht
dagegen, daß die Schaffung neuer geometrischer Methoden (projektive Geo-
metrie), neuer, für graphisches Rechnen geeigneter Probleme") und neuer
Arbeitskreise, die in Ermanglung tieferer mathematischer Vorbildung ein
Bedürfnis nach geometrischen Methoden mitbrachten, daß diese ein sofortiges
Aufleben der geometrischen Mechanik zur Folge hatten, und zwar unter
Führung von Mannern, deren Kenntnisse noch nach der analytischen Methode
erworben waren.

Hiermit wollte ich zeigen, wie unübersichtlich und wenig geklärt die
ganze Materie noch ist. Welche von den beiden gegenübergestellten Auf-
fassungen richtig ist, ist hier gar nicht Gegenstand der Diskussion. Es
handelt sich darum, daß vor Studierenden der ersten vier Semester solche
Fragen überhaupt noch nicht aufgerollt, geschweige denn beantwortet werden
sollen. In einer Zeit vollends, in der der angebliche Gegensatz zwischen
Technik und Wissenschaft einen guten Teil seiner Nahrung aus Vorurteilen
zieht, iBt diese Art doppelt gefährlich, persönliche Ansichten über un-

1) Graph Stat ., Seite 4: „Für die Ableitung allgemein gültiger 8ätze ist die
Rechnung gewöhnlich im Vorteil."

2) Das Kräfteparallelogramm im Maßstab ku zeichnen, lag vor dem Auf-
treten technischer reoMBBM gar kein Bedürfnis vor, da die Genauigkeit unzu-
reichend war.

Rezensionen.

163

abgeschlossene Fragen als historische Wahrheiten denen hinzustellen, die
erst zum selbständigen Urteilen herangebildet werden sollen.

Da man absprechende Urteile meist ausführlicher zu begründen pflegt,
als zustimmende, weil jene beim Verfasser leichter Widerspruch erwecken
als diese, so nehmen die ersteren vielfach den größeren Raum einen Referates
ein. So auch hier. Doch hat Referent nicht die Absicht, mit seinen
Ausstellungen ein absprechendes Gesamturteil zu begründen; diese betrafen
größere and kleinere Einzelheiten, die, ob nun mehr oder weniger leicht
abzuändern, jedenfalls auf die Gesaintanlage nach Auswahl, Anordnung
und Behandlung des Stoffes und darum auch auf ein abschließendes
Urteil über das Werk keinen entscheidenden Einfluß haben. Die Föpplscbe
„Graphische Statik" ist eines der besten und der Auswahl des Stoffes nach
das reichhaltigste unter den einleitenden Werken, die wir über dieses Ge-
biet zur Zeit besitzen.

Charlottenburg, im September 1902.

liKKiiAi-u» Hessenueru.

Doehlemanu, K. Projektive Geometrie in synthetischer Behandlung.

Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 85 Figuren. Leipzig
1901. Sammlung Göschen Nr. 72. 12°. 176 S. Preis 00 Pf.

Die Notwendigkeit einer Neuauflage beweist, daß das Büchlein in
weiteren Kreisen eine günstige Aufnahme gefunden hat. In der Tat ist es
durch eine anschauliche, oft treffende Vergleiche heranziehende Schreibweise,
durch die zahlreichen, gut ausgeführten Figuren 1 ) und das Absehen von
einer strengen, für den Anfänger selten interessanten Darstellung zur ersten
Einführung in den Gegenstand sehr geeignet. Für solche freilich, die etwas
r in den Gegenstand einzudringen streben, wie Mathematik-Studierende,
dürft« der Standpunkt, den der Verfasser eingenommen hat, zu niedrig, die
Ausdrucksweise wissenschaftlich zu wenig präzis, die Beweisführung zu wenig
strt-ng und der behandelte Stoff zu beschrankt sein.

Zur Orientierung über den Inhalt seien die Überschriften der sieben
Abschnitte hergesetzt: 1. Die Perspektive Beziehung der Grundgebilde,
_' Harmonische Gebilde, 3. Die projektive Beziehung der einförmigen
Grundgebilde, 4. Die projektive Beziehung auf dem gleichen Träger, ö. Die
Kegelschnitte als Erzeugnisse projektiver Grundgebilde erster Stufe, 6. Die
Polarentheorie der Kegelschnitte, 7. Die Kegel- und Regelfllichen zweiter
Ordnung als Erzeugnisse projektiver Grundgebilde.

Obgleich dem Verfasser jedenfalls nur ein sehr beschränkter Raum zu
Gebote stand, so hätte er die metrischen Beziehungen bei Kegelschnitten,
sbesondere die Brennpunkteigenschaften vielleicht doch nicht beiseite lassen
und auch an früheren Stellen öfter auf den Zusammenhang mit der als be-
kannt vorauszusetzenden Elementargeometrie eingehen sollen. Gerade hier-
durch wird dem Anfänger der Wert der neuen Betrachtungen vor Augen
geführt. In der jetzigen Form erscheinen die 92 ersten Seiten fast nur
als Vorbereitung für die Lehre von den Kegelschnitten, es tritt zu wenig

1) In dem mir vorliegenden Exemplare sind die Figuren 81, 32, 37 durch
den Zweifarbendruck vrrunglflekt

11*

164

Rezensionen.

«Jas selbständige Interesse hervor, das diese Betrachtungen und Sätze ver-
dienen. Der Säte z. B., daß die Gegeneckpaare eines vollständigen Vierseits
aus einem Punkte durch Strahlenpaare einer Involution projiziert werden,
sollte in keinem Buche über projektive Geometrie fehlen, weil aus diesem
Fundamentalsatze eine große Menge metrischer Sätze über das Dreieck her-
vorgehen, Ferner wird der Anfänger die Ableitung der ihm bekannten
Kegelschnittsätze aus den vorgetragenen Lehren vermissen.

Unter den angeführten Lehrbüchern der darstellenden Geometrie, welche
die projektive Geometrie behandeln, vermisse ich das erste Werk dieser
Art von W. Fiedler, unter den Lehrbüchern der projektiven Geometrie
das von Em. Weyr.

Auf S. 70 sind einige Kommata durch Punkte, als Zeichen der Mul-
tiplikation, zu ersetzen.

Wien, im Dezember 1902. E. Müllkr.

Haussner, It. Darstellende Geometrie. Erster Teil: Elemente:
Eben flächige Gebilde. Mit 100 Figuren im Text. Leipzig 1902.
Sammlung Göschen Nr. 142. 12°. 192 S. Preis 80 Pf.

Nach dem in der Einleitung (S. 18) ausgesprochenen Plane des Ver-
fassers soll die darstellende Geometrie in drei Bändchen ziemlich vollständig
zur Behandlung kommen. Wir haben also in dem vorliegenden Bändchen
den ersten Teil eines kurz gefaßten, aber systematischen Lehrbuches der
darstellenden Geometrie vor uns, worin die Darstellung von Punkten, Ge-
raden, Ebenen und ebenflächigen Gebilden und die Lösung der wichtigsten
Aufgaben über sie (inklusive Durchdringung ebenÜUchiger Körper) klar
besprochen und durch zahlreiche, gut ausgeführte Figuren erläutert werden.
Außerdem ist ein Abschnitt der schiefen Projektion gewidmet.

Nach dem Muster von Rohn-Papperitz behandet der Verfasser im
ersten Abschnitt die allgemeine Parallelprojektion ebener Gebilde und schließt
daran die Eigenschaften ihrer Affinität, die dann zur Ableitung von Ellipsen-
Eigenschaften und Konstruktionen Verwendung finden. Über die päda-
gogische Zweckmäßigkeit dieses Vorganges sind die Meinungen geteilt; daß
aber der Verfasser im I. Abschnitte die schiefe Projektion ziemlich aus-
führlich erläutert und erst im EH. Abschnitt (auf S. 62!) zur orthogonalen
Projektion übergeht, dürfte wohl nur bei wenigen Zustimmung finden. Der
Behandlung des Dreikants scheint mir für dieses Büchlein zu viel Raum
(16 S.) gewidmet zu sein.

Von Unkorrektheiten, die mir beim Durchlesen aufgefallen sind, möchte
ich anführen:

S. 25. Der Satz am Ende von Nr. 12 gehört noch nicht hierher, da
erst in der nächsten Nummer definiert wird, was man unter perspektiv-
affiuen Systemen derselben Ebene versteht.

S. 51. Daß die Werte o >• 180° selten gebraucht werden, ist nicht
richtig. Einzelheiten von Gesimsen und Dachstühlen zeichnet man meist
in Untersicht.

S. 58. Die auf die Figuren 24 a und 24b sich beziehenden Bemerkungen
über die wahren Umrisse des geraden Kreiskegels und Kreiscylinders müssen

Rezensionen.

165

korrigiert werden. Die Ebene der beiden Umrißerzeugenden steht nicht zur
Richtung der Projektionsstrahlen senkrecht.

S. 66. Die Fußnote ist überflüssig, da in Fig. 27 der umgelegte

Punkt nicht mit P bezeichnet ist.

S. 85. Die eingangs von Nr. 54 gemachte Bemerkung, daß man eine
Ebene ffeuökulicJi durch ihre Spuren bestimme, paßt, nur für die Theorie.
Im technischen Zeichnen finden Spuren so gut wie keine Verwendung,
worauf übrigens schon Klingenfeld 1851 hingewiesen hat.

Wenn auch das Büchlein wenig Eigenartiges aufweist, sich von anderen
in Anlage und Stoffauswahl nur wenig unterscheidet, so muß jedoch
hervorgehoben werden, daß es jedem Anfänger zur Einführung in den
Gegenstand gute Dienste leisten wird.

Wien, im Dezember 1902. E. Müller.

HolzmülU-r, («. Elemente der Stereometrie in.

<!. J. Göschen. 8°. XII u. 333 S.

Leipzig 1902,

Dieser Band, ,.der Untersuchung und Konstruktion schwierigerer
Raumgebilde" gewidmet, behandelt im ersten Abschnitt die Guldinsche
Regel und ihre vielfachen Erweiterungen und Anwendungen. Die folgenden
Abschnitte gehören streng genommen nicht mehr zur Stereometrie; in ihnen
hat der Verf. die Begriffe der Flächenlehre an Beispielen zum Verständnis
zu bringen gesucht. Sehraubcnregelnächen und Röhrenflächen werden auf
Abwickelbarkeit, Biegung und konforme Abbildung untersucht; damit ist
eine Betrachtung der Krümmungslim>n und lsuthcrmcn Kiirvenscharen ver-
bunden. Auch werden die Gebilde einer Transformation nach reziproken
Radien unterzogen. Die vielen beigegebenen Zeichnungen sind gute Bei-
spiele der darstellenden Geometrie und bringen die Darlegungen des Textes
geeignet zur Anschauung. — Es ist klar, daß bei einer elementaren Be-
handlung der Flächenlehre große Vorsicht bei der Begriffsbildung angewendet,
werden muß. Im allgemeinen sind auch die Schlüsse des Verf. einwandfrei
Nur einen Punkt muß ich erwähnen, der zu Bedenken Anlaß gibt: das sind
die Miniinalfläehen. Auf S. 16 wird die Mininialschraubenregelfläehe und
auf S. 122 das Katenoid als Minimalfläche so begründet: „Da die Ver-
bindungslinie zwischen Cylinderachse und Schraubenlinie stets eine kürzeste
Linie ist, hat die Fläche . . . den Charakter einer Minimalfläche" und „diese
Linien bleiben bei der Verbiegung kürzeste Linien, folglich muß die durch
Biegung entstehende Fläche eine MinimaLfläche bleiben". Danach müßte ja jede
Fläche eine Minimalfläche sein! In dem zweiten angeführten Satz ist außerdem
ein anderer Fehler enthalten, der S. 201 noch einmal explizite ausgesprochen
wird, nämlich: „Minimalfl stehen bleiben bei der Verbiegung Mitiimalflächen".
Dieser Satz ist falsch. Man vergl. darüber Bianehi § 194 — 196, wo die
allgemeinste Verbiegung von Minimalflächen ermittelt wird, bei der die
Fläche beständig Minimalfläche bleibt, und wo über so beschaffene, asso-
ziierte Minimalftächen Sätze abgeleitet werden.

Dortmund. H. Kühne.

166

Rezensionen.

Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften
mit Einschluß ihrer Anwendungen. (Begründet von Moritz Cantor.)
15. Heft, mit 76 Abbildungen im Text. Sautirbeek, Paill, Einleitung
in die analytische Geometrie der höheren algebraischen Kurven nach
den Methoden von Jean Paul de Gua de Makes 1665. Bei B. G. Teubner,
Leipzig 1902.
Das 1740 gedruckte Buch „Usuffes de Vanalyse de Descartes" von Jean
Paul de Gua de Malves war so gut wie in Vergessenheit geraten, als
A. von Drill in der ihm angehörenden ersten Hälfte des gemeinsam mit
M. Noether bearbeiteten Berichtes über die Theorie der algebraischen
Funktionen (1894) neuerdings die Aufmerksamkeit darauf lenkte, indem er
ihm 3 Seiten widmete. Referent hat alsdann im III. Bande seiner Vor-
lesungen über Geschichte der Mathematik (1898, 2. Auflage 1901) in ver-
schiedenen Kapiteln über das Buch berichtet. H. Sauerbeck ißt einen
wesentlichen Schritt weitergegangen. Er hat in dem uns heute vorliegenden
Bändchen den ganzen Inhalt von Gua de Malves' Untersuchungen, man
möchte beinahe sagen, in moderne Sprache übersetzt und dadurch dem
Leser nahe gebracht. Ganz richtig wäre die Bezeichnung als Übersetzung
indessen doch nicht, da Herr Sauerbeck vielfach über seine unmittelbare
Vorlage hinausgehend auch Ergebnisse anderer Schriftsteller mit hinein
verwebt hat. So ist sein von ihm selbst gewählter Titel „Einleitung in
die analytische Geometrie der höheren algebraischen Kurven nach den
Methoden von Jean Paul de Gua de Malves" zutreffender. Es ist ein Buch,
welches sehr gut als Vorschule zu Dureges Ebene Kurven 3. Ordnung und
zu Salmon -Fiedlers Höhere ebene Kurven dienen kann, welches aber
zugleich geeignet ist, Freude an geschichtlichen Entwicklungen zu wecken.
Daß Referent gerade in diesem letzteren Umstände einen besonderen Vorzug
des Buches sieht, braucht er nicht zu rechtfertigen.

Heidelberg. M. Cantor.

llofmailll. Sammln ng von Aufgaben aun der Arithmetik und
Algebra. Für Gymnasien und Realschulen. Zweiter Teil. Algebraische
Aufgaben. (Erste Abteilung.) Zehnt« unveränderte Auflage. Bayreuth,
Wilhelm Grau 1902. IV u. 336 S. 3 Mk.

Daß dieses Buch sehr reichhaltig ist, wird nicht Wunder nehmen, da
es den Umfang der bekannten Bardeyschen Aufgabensammlung hat und
doch nur den Stoff bis zu den linearen Gleichungen einschließlich behandelt.
Hinzu tritt freilich ein Abschnitt von 5 Seiten über Kettenbrüche und un-
bestimmte Gleichungen, von dem wir nicht recht wissen, wie er auf dieser
Unterrichtsstufe behandelt werden soll. Die Anordnung ist im übrigen
übersichtlich, die Stufenfolge vom Leichteren zum Schwierigeren gut ein-
gehalten. Für die Hand des Lehrers, der eine reichere Auswahl von Auf-
gaben wünscht, wird sich das Buch, dessen zahlreiche Auflagen für seine
Verwendbarkeit sprechen, durchaus nützlich erweisen. In Anbetracht dessen,
daß es nur für eine kurze Zeit des Schulunterrichtes ausreicht, erscheint
sein Preis zu hoch, als daß die Einführung desselben in norddeutschen
Schulen sich empfehlen ließe.

Charlottenburg. H. Samter.

Rezensionen.

167

Karl Weierstraß. Mathomatische Werke. Vierter Band. Vorlesungen
über die Theorie der Abelsehen Transcendenten. Bearbeitet von G. Hettner
und J. Knoblauch. Berlin 1903, Mayer und Müller.

Der vierte Band von Weierstraß' Werken, der die mit Spannung er-
warteten Vorlesungen über die Theorie der Abelsehen Funktionen enthalt,
liegt vor uns. Zunächst sind wir den beiden Herausgebern Hettner und
Knoblauch für die mit größter Sorgfalt und Pietät durchgeführte Arbeit
der Herausgabe zu Dank verpflichtet, wenn uns jetzt diese große Theorie
in authentischer Form vorliegt, von der wir, die wir uns nicht zu Weierstraß'
unmittelbaren Schulen rechnen dürfen, uns nur ein unvollständiges Bild
macheu konnten, besonders nach den Referaten von RHU und Noether
in den „Berichten der deutschen Mathematiker- Vereinigung" und von
Wirtinger in der „Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften".

Wir erfahren aus der Einleitung, daß Weierstraß, der schon im
Jahre 1S47 die ersten Grundlagen für die Theorie der allgemeinen hyper-
elliptischen Funktionen gelegt hat, im Jahre 1857 der Berliner Akademie
eine Theorie der allgemeinen Abelschen Funktionen übergeben hat, die be-
reits zum Druck gegeben war, als Riemanns Arbeit über den gleichen
Gegenstand erschien. Dies Zusammentreffen bewog Weierstraß, seine
Theorie einstweilen zurückzuziehen und noch mehr als 12 Jahre lang aufs
neue zu überdenken und zu überarbeiten, bis er ihr die Gestalt gegeben
hat, die er für die de&nitive hielt, und die er seitdem, wie es scheint
mit nur unerheblichen Abweichungen, in seinen Vorlesungen vorgetragen
hat Der vorliegenden Ausgabe liegen die Vorlesungen aus den Jahren
1875—76 zu Grunde.

Was Weierstraß gegen Riemanns Weg geltend gemacht hat, war
die Anwendung des „Dirichletschen Prinzips", dessen Beweis eine Lücke
aufwies, ähnlich der, die schon früher Dirichlet bei den Steinerseben
Untersuchungen über geometrische Maxima und Minima aufgedeckt hat, über
die bei anderen Gelegenheiten selbst Cauchy und Gauß mit Stillschweigen
hinweggegangen waren, nämlich, daß nicht genügend zwischen Minimum
und unterer QrtHK unterschieden war.

Gibt man das Dirichletsche Prinzip zu, dessen festere Begründung
neuere Untersuchungen in der Mathematik anstreben, dann führt der Rie-
m an n sehe Weg mit einer nicht zu übertreffenden Allgemeinheit und Ein-
fachheit zum Ziele. Gibt man aber mit Beibehaltung der übrigen Gedanken
Riemanns dies angefochtene Prinzip preis, so sieht man sich zu gewissen
Einschränkungen in der Allgemeinheit der Voraussetzungen gezwungen,
die Riemann selbst bereits an einigen Stellen andeutet, und die später
von Clebsch und Gordan, Brill, Noether 0. a. genauer abgegrenzt
worden sind.

Weierstraß benutzt zur Überwindung dieser Schwierigkeit, was ihm
überhaupt für die sicherste Grundlage der Funktionentheorie galt, die Ibtetu-
reihe. Er zeigt, wie man jede algebraische Abhängigkeit zwischen zwei
Veränderlichen r. y dadurch darstellen kann, daß man beide Variable in
Reihen entwickelt, die nach aufsteigenden Potenzen mit ganzzahligen Ex-
ponenten fortschreiten. Diese Potenzreihen konvergieren in einer gewissen
„Umgebung" eines Wertepaares «, b von x und y und definieren das, was
Weierstraß ein „Funktionenelemen? 1 nennt.

168

Rezensionen.

An einer späteren Stelle wird dann nachgewiesen, daß man den ganzen
Wertvorrat der Variablen xy durch eine endliche Anzahl s»}ehet Finiltions-
elemcntc erschöpfen kann, und damit ist die Grundlage für die stetige Fort-
setzung gewonnen. Natürliche Grenzen, wie sie bei transcendenten Funktionen
auftreten, über die hinaus die Funktionen nicht stetig fortsetzbar sind,
kommen bei den algebraischen Funktionen nicht vor.

Ein anderer Weg der Erforschung der algebraischen Funktionen, der
dem Weierstraßschen an Allgemeinheit und Strenge nicht nachsteht, ihn
an Einfachheit der Grundgedanken noch übertrifft, ist der sogenannte
arithmetische Weg, der nur die der Arithmetik und Algebra eigentümlichen
Hilfsmittel, d. h. die rationalen Rechenoperationen benutzt. Freilich hat
diese Methode, in voller Reinheit angewandt, ihre Grenze da, wo die
Integrale und die Periodizitütsmoduha anfangen eine Rolle zu spielen, und um
hier weiter zu kommen, ist neuerdings (von Hensel und Landsberg) die
Potenzreihe mit der arithmetischen Methode in Verbindung gebracht worden

Der geneigte Leser wolle es dem in Riemannschen Anschauungen grau
gewordenen Referenten zu gute halten, wenn er es versucht, sich die Weier-
straßschen Gedanken in seine Sprache, nämlich in die Riemannsche Aus-
drucksweise zu übersetzen, wiewohl Weierstraß selbst jeden Anklang daran,
so nahe er bisweilen liegt, geflissentlich zu vermeiden seheint. Vielleicht
wird manchem Leser der Zugang zu den vorliegenden Vorlesungen dadurch
erleichtert.

Das erste und wichtigste ist die Einführung der charakteristischen Zahl,
die Wpierstraß den Rang der algebraischen Funktion nennt und mit r>
bezeichnet, die bei Riemann ohne besonderen Namen durchweg mit p be-
zeichnet wird, und die jetzt vielfach das Geschlecht genannt wird. (Nach
Clebsch, Grelles Journal 64, 43.)

Bei Riemann erscheint diese Zahl abgeleitet aus der Ordnung des
Zusammenhangs der Fläche, die ihm den Verlauf der algebraischen Funktion
darstellt, also aus der Geometrie der Lage, durch die Anschauung, ganz
ohne Rechnung. Weierstraß leitet sie ab aus den algebraischen Funktionen
selbst, und zwar in folgender Weise.

Man kann sich zunächst — vielleicht durch ein Beispiel — überzeugen,
daß eine algebraische Abhängigkeit bei der x und y beide rationale
Funktionen einer einzigen Variablen t sind, nur ein spezieller Fall ist, der
ein für allema! ausgeschlossen wird. Nennen wir den Inbegriff aller ni
nalen Funktionen der beiden, durch f{xy) = verbundenen Variablen
einen Kiirper algebraischer Funktionen (nach Dedekind), so läßt sich
schließen, daß es in einem Körper keine Funktionen gibt, die nur in einem
Punkte verschwinden. Man nehme daher eine Funktion F = -F(f, §) eines
variablen Punktes f, die als Funktion von J in irgend welchen Punkten j,
«j, «j, ■ ■ ■, a m unendlich in der ersten Ordnung wird, und bezeichne die den
Tunkten f, £, Bf a , • • •, a m entsprechenden Werte der unabhängigen Variablen
mit s , x, « lt • • •, cf m . Die Funktion F wird so normiert, daß die (— l)te
Potenz in der Entwicklung nach steigenden Potenzen von t — x den Koeffi-
zienten 1 erhält, und ist dadurch bis auf eine additive, von £ unabhängige
Größe bestimmt.

Wenn nun eine Funktion .F, (£) existiert, die nur in den Punkten
tf u "») " ' "i a m °^ er "* emem Teil von ihnen, unter denen sich ct m befinden

Rezensionen.

169

möge, unendlich in der ersten Ordnung wird, so kann man die Konstante C
so bestimmen, daß F — Cf\ zwar noch in £, aber sonst nur noch in den

l) Punkten a, , c 8 , ■ ■ ■, tt m _ , oder einem Teil von ihnen unendlich wird,
und wenn man so fortfahrt, erhält man schließlich eine Funktion F, die
nur in £, a,, Oj, - - -, a unendlich wird, worin »,, a f , ■ - ■, a solche Punkte
sind, die nicht für sich die Unendlichkeitspunkte einer Funktion des Körpers
sein können.

Die Zahl ,u ist jedenfalls positiv; sie kann aber noch von der Lage
der Punkte «j, a t , ■ ■ ■ abhängen. Es wird jedoch einen Wert gehen, den sie
zwar erreichen, aber nicht überschreiten kann, und dies ist die Zahl g, die
den Rang bestimmt.

Es gibt also eine Funktion F, die in dem beliebigen Punkte f und
in (i als fest betrachteten Punkten k,, a t , ■ • -, u unendlich wird, und diese
Funktion ist vollständig bestimmt, wenn noch festgesetzt wird, daß das
Produkt (z — r)F im Punkt £ gleich 1 sei, und daß sie in einem gegebenen
Punkt a verschwinden soll. Diese Funktion bezeichnet Weierstraß mit
H(xy, x'y). Ich will sie hier mit H(£, ij) bezeichnen.

Bezeichnen wir nach Riemanns Weise mit ^(f) das Norraalintegral
der zweiten Art (Gattung), dem wir die obere Grenze f, die untere Grenze
«0 geben, so erhält diese Funktion Zf(£, jj) den Ausdruck

H(t, i) = t^t) + fliOD^Cö + ",(IK S (£) + • • • + //,(!)<„, (0 ,

worin die Koeffizienten //,, H 3 , • • •, // nacn ? konstant sind und so be-
stimmt werden müssen, daß die Periodizitätsmoduln von I/(f, |) verschwinden.
Dadurch ergeben sie sich als Funktionen des Punktes {.

Ist a 4 einer der Punkte a lr n t , • • ', «., so entwickelt Weierstraß
die Funktion /7(f, |), als Funktion des ersten Punktes f betrachtet, in der
Umgebung des Punktes a { nach aufsteigenden Potenzen von z — a ( .. ') Die
Entwicklungskoeffizienten sind Funktionen des Punktes §, und entsprechend
den o Punkten a. ergeben sich p Reihen solcher Funktionen.

Von besonderer Wichtigkeit sind die Koeffizienten der ( — l)ten Potenz,
die nichts anderes sind als die Koeffizienten

2^(1), H t (l\ ••-, i/ p (!)

unserer Darstellung, die bei Weierstraß mit H(x'y') bezeichnet sind; ferner
die Koeffizienten der (-fl)ten Potenz, die Weierstraß H'{x'tf)a nennt,
die wir mit ' 2/; (|), ;/,(£),..., J, e (g)

bezeichnen wollen.

Die Koeffizienten H t (l-) bestimmen sich daraus, daß die Periodizitäts-
moduln von H (f, £) gleich Null sein müssen. Die Periodizitätsmoduln eines
Normalintegrals zweiter Gattung t a sind aber teils gleich Null, teils haben

fd» x \
sie den Wert — 2 f , ) , wenn u t> « 8 , « • ♦, u die Normalintegrale erster

Gattung sind. Daher ergeben sich die Bedingungen

-fflä

dz /'.

+ //,

®m.

+ • • ■ + ä

a>(£)

■i. *.

1) Weierstraß entwickelt allgemeiner nach Potenzen einer Hufs variablen, t.
Der Kürze wegen nehme ich hier z — a, für L

170 Rezensionen.

und für die i/ ( (£) erhall man die Formel

**» -4.(58,+ v.+ 4,£)

worin A die Determinanten

(da t \ /dt^

.dz,

.da,

dt

und A Kt ihre Unterdeterminanten sind. Es sind also die //,(£) «in System
von p linear unabhängigen Integrandcn erster Gattung.

Für die Funktionen H' x (£) erhält man durch Differentiation (nach dem
Taylorschen Lehrsatz)

dt„ (£)

u

Es ist aber für irgend zwei Nornialintegrale < (|), ^(5) der zweiten
Gattung')

V d* /^~\ dz Ja'

und folglich ist

fl .'(0 - (£), + H«) Cil + • • • + »,(Ö (£).■

Setzt man

so sind die 0^ in Bezug auf | konstant, und es folgt

dt„ (t)
K® " -jt + Q •*,(!) + ■ • ■ + C le H e ®.

Es ist also tt[(i), abgesehen von dem additiven Integrandea erster
Gattung C it H t (£) + ■ • • -f G llt H (i) r gleich dem Integranden zweiter

dt a (&) * v

Gattung — -£ — .

Der Ausdruck von 2/(£, £) durch die Integrale <(f) zeigt nun, daß
diese Funktion, als Funktion von £ betrachtet, nur unendlich wird, wenn ?
in einen der Punkte £ oder et,, fallt, oder in solche Punkte, in denen
eine der Funktionen erster Gattung H t (l) unendlich wird. Glieder mit der
( — l)ten Potenz treten nur in der Umgebung von £ und von o„ auf, und
es ist also das Integral

fB(t t £)dx

ein Integral dritter Gattung mit den beiden logarithmischen Unstetig-
keitsstellen g = f , | — o,,; es wird sodann weiter gezeigt, daß sich jede

1) Über die hier benutzten Satze über Nonnalintegrale Iter und 2ter Gattung
vergleiche man die Arbeit des Referenten in Crelles Journal Bd. 70.

Rezensionen.

171

Funktion des Körpers linear und mit konstanten Koeffizienten zusammen-
tzen läßt aus den Funktionen

fl-,8), • • -, i/ t (6), //;(|), • • •, i/;(i), h& |),

wenn in //(£, |) für f eine endliche Anzahl verschiedener Punkte gesetzt
wird, abgesehen von einer Funktion, die der Differentialquotient einer dem
Körper Angehörigen Funktion ist. Alle Integrale können aSso durch die
Integrale dieser Funktionen und durch eine algebraische Funktion des Körpers
itellt werden.

Die Integrale dritter Gattung wendet Weierstraß an, um die Prim-
Funktionen zu konstruieren. Es sind dies transcendente Funktionen, die
nur in je einem Punkte Null und unendlich werden, and jede Funktion des
Körpers läßt sich als ein Produkt aus solchen Funktionen darstellen.

Nimmt man das Integral

Ä(f) =fH(t, l)dx

,uf einem geschlossenen Integrationsweg, so erhält man einen Periodizitäls-
niodul des Integrals dritter Gattung. Es ist eine transcendente Funktion
des Punktes £, die, wenn J mit keinem der Punkte «,, «j, • • •, a. zusammen-
fällt und der Integrationsweg nicht über den Punkt J fühlt, nient unendlich
wird, Wenn aber der Punkt f den Integrationsweg überschreitet, so ändert
«ich Ä(|) unstetig um ein Vielfaches von 2»»'. Setzt man also

so wird diese Funktion nirgends Null oder unendlich, außer in dem Punkte «,
und ändert sich auch beim Überschreiten des Integrationswegs stetig.
Nimmt man irgend zwei feste Punkte | , £, , und bildet

f.
»<fcft * ) =/#(?, £)dx,

so erhält man eine (transcendente) Funktion von f, die in den Punkten § , | t
ogarithmisch unendlich wird, und außerdem die Punkte «,, <*,, • • •, « p
zu singnlären Stellen hat. In dem Punkte a wird ü = 0.
Setzt man also ,,,. „ . , t)/ . . . K

so erhält man eine Funktion von f, die in | t verschwindet, in | fl unendlich
wird, in « den Wert 1 annimmt, außerdem aber noch in den Punkten a t ,
, a sieh in bestimmter Weise singulär verhält, wie man aus der
Darstellung von //(£, £) durch die Integrale zweiter Gattung leieht findet.
Die Funktionen B(?;^, | ) heißen die Primfunkiionen. Wenn -R(f)
irgend eine Funktion des Körpers ist, die in den r Punkten

verschwindet, und in den r Punkten

in !j»

■,*;

unendlich groß wird, so ordne man diese Punkte in beliebiger Weise zu
Paaren |j|j ; |gi^ ; ■ • •; § r |r. Bestimmt man einen konstanten Faktor bei i?(|),

172

Rezensionen.

so daß fl(er )=l wird, so kann man, bei richtiger Bestimmung der Integration s-
wege in den E- Funktionen immer setzen:

B(f) = .Etf; yj • J5(f; $,Q ■ ■ - E(ti U)i

wodurch die Funktion R in ähnlicher Weise in einfache Faktoren (Prim-
faktoren) zerlegt ist, wie rann die rationalen Funktionen einer Variablen
in lineare Faktoren zerlegen kann.

Bei dem Gang, den die Weierstraßsche Entwicklung nimmt, werden
in systematischem Fortschritt nach den algebraischen Funktionen im zweiten
Teil die Theorie der Integrale und Periodizitätsmoduln behandelt, während
der dritte Teil den Umkehrproblemen und damit in Zusammenhang den Theta-
Funktionen gewidmet ist. Es ist dies ein wesentlicher Unterschied gegenüber
der Riemannschen Behandlungsweise, bei der die Integrale mit ihren
Unstetigkeiten an den Querschnitten eigentlich das Primäre sind, aus dem
die Funktionen des Körpers orst als Spezialfälle abgeleitet werden, und bei
der dann die Thetafunktion als ein neues Hilfsmittel der Untersuchung
dieser Funktionen unvermittelt hinzutritt.

Ein Bericht über eine große Weierstraßsche Vorlesung kann der
Natur der Sache nach nicht ganz kurz sein. Er wird überdies nur dem ein
Bild geben können, der mit dem Gegenstande selbst schon einigermaßen
vertraut ist. Um aber die Grenzen eines Referates nicht allzusehr zu über-
schreiten, breche ich hier ab, ohne auf die späteren Teile, namentlich die
Behandlung des Umkehrproblems naher einzugehen. Ich darf dies um so
eher tun, als der erste, auf die algebraischen Funktionen bezügliche Teil
am eingehendsten durchgearbeitet ist, und wohl auch sachlich das meiste
Interesse bietet.

Ich schließe mit dem Ausdruck des Dankes an die beiden Herausgeber
und an alle, die daran mitgewirkt haben, daß uns dieses schöne Werk in
so vollendeter Form und so vornehmer Ausstattung geboten ist.

Straßburg, Juni 1903. H. Weber.

Annuaire pour 1'axt 1903, publie" par le bureau des longitud.es. Paris
1903, Gauthier-Villars. 803 S. fr. 1,50.

Die Verlagsbuchhandlung Gauthier-Villars hat soeben, wie in jedem
Jahr, das Annuaire du bureau des longitudes ausgegeben. Dieses in drei
Teilen, einem astronomischen, einem physikalischen und chemischen, und
einem geographischen und statistischen, über 800 Seiten starke Bündchen
bringt wieder eine Fülle von Zahlen, Tabellen und Karten, die dem Ver-
treter der reinen wie dem der angewandten Wissenschaften durchaus unent-
behrlich sind. Angehängt sind diesmal folgende Abhandlungen: Etoiles
Klantcs et cometes, par M. R. Radau; Science et poesie, par M. J. Jansen;
Note sur les travaux executes a l'observatoire du sommet du Mont. Blanc
en 1902, par M. J. Janssen; Discours prononces pur M. M. Bassot et
Poincare aux funerailles de M. A. Cornu; Discours prononces par
M. M. Bouquet de la Grye, Bassot, Loewy, Janssen et van de Sande
Bakhuyzen aux funerailles de M. Faye. Und dabei kostet der Band
nur 1,50 fr.!

Berlin. E. Jahnke.

Vermischte Mitteilungen.

1. Aufgaben and Lehrsätze.

86. (Äi

us einem Brief 1 ) von IL C. Seh umach er an JacobL) — Wenn Sie
in der Langenweile des Bades einmal ein Elementarproblem ansehen mögen,
so würde ich es wagen Sie um Belehrung über eine Aufgabe zu bitten, die
meine schwachen Kräfte lauge fruchtlos beschäftigt, und mich in Komplikationen
gebracht bat, aus denen ich keinen Ausweg sehe. Es ist diese. Wenn
man in einem gradlinichten Dreiecke die 3 innerhalb liegenden Quadrate
beschreibt, von denen eine Seite in eine Seite des Dreiecks fäUt, und die
beiden andern Winkelpunkte in den beiden andern Seiten des Dreiecks
liegen, so kann man die Mittelpunkte dieser Quadrate wiederum durch grade
Linien verbinden, und erhält ein zweites Dreieck, in dem man wieder
Ö Quadrate unter den vorigen Bedingungen beschreibt, deren durch grade
Linien verbundene Mittelpuncte ein 3. Dreieck geben, in dem man wieder
Quadrate beschreibt, die ein 4. Dreieck geben, und so in innnitum. Was
ist die Grenze, der man sich so nähert? eine Linie, oder ein Punkt, oder
beides nachdem man das ursprüngliche Dreieck annimmt? und wenn beides
in gewissen Fällen möglich ist, welche Bedingungen finden statt, damit es
das eine oder das andere sei? Bei dem gleichseitigen Dreieck ist es
offenbar ein Funkt, bei dem rechtwinklichten Dreiecke giebt schon das zweite
Dreieck (weil die Quadrate, deren Seiten in den Gatheten liegen, zusauimen-
f&üenj eine Linie. Ich habe mich ausdrücklich auf die inneren Quadrate
beschränkt, weil noch drei äußere hinzukommen, wenn man das Dreieck als
ein System von 3 unbegrenzten Linien betrachtet.

Ein Lector der Mathematik aus Christiania, der mich bei der Durchreise
durch Altona gerade nicht in der besten Laune mit diesem Problem be-
schäftigt fand, versprach mir die Auflösung aus dem irsten Nachtquartier
(er wollte nämlich mit der Schnellpost Weiterreisen) zu senden. Nun halte
ich, seit Abel, vor den Leetüren in Christiana einen großen Resuect und
glaubte schon, was ich wünschte, zu haben; allein bis auf diesen Augenblick
ist mir nichts zugekommen. Vielleicht reist er noch immer mit der
Schnellpost and hat in den 4 Jahren die seitdem verflossen sind, gar kein
Nachtquartier gehalten, was sehr angreifend sein muß, und schwerlich für
seine Gesundheit gut sein kann.

Altona 1839, Julius 4. Schumacher.

1 Bezüglich der Herkunft dieneg Briefes vergleiche die Anmerkung 2) auf
'.'68 des vierten Banden diene» ArchivH

174

Vermischte Mitteilungen.

87, Es ist zu beweisen, daß homologe, gleiche, ebene Felder in gleichen
Räumen, welche durch zwei entsprechende Punkte gehen, Ebenenbüschel
IV. Ordnung mit zwei Doppelebenen bilden.

Halensee/Berlin. St. Jollbs.

'

88. Je zwei Gegenecken und die Schnittpunkte der Gegenseiten eines
einfachen Kreisviereckes sind vier Punkte einer gleichseitigen Hyperbel, deren
Mittelpunkt den Abstand der beiden Gegenecken und deren Asymptotenpaar
die Winkel zwischen den Richtungen der Diagonalen und diejenigen zwischen
den Richtungen der Gegenseiten halbiert. Zum zweiten Mal schneiden die
beiden Hyperbeln einander in den unendlich fernen Punkten der beiden
Strahlen, welche die Winkel der Diagonalen halbieren, den Kreis aber in
den Endpunkten derjenigen Durchmesser, welche anf den Diagonalen senk-
recht stehen.

Holzminden. G. Kobeb.

2. Anfragen.

■

9. Jakob Steiner bat den Satz gefunden: Die Mittelpunkte aller
die Seiten eines Dreiecks berührenden gleichseitigen Hyperbeln liegen auf
einem Kreise, dessen Mittelpunkt der Höhenschnitt des Dreiecks ist. Dieser
Satz ist schon oft bewiesen worden, meistens mit den Hilfsmitteln der
analytischen Geometrie. Auf synthetischem Wege hat Heinrich Schröter
in seinem Buche über Kegelschnitte den Nachweis der Richtigkeit des
Satzes geführt, aber sein Beweis ist umständlich und enthält eine ziemlich
lange Rechnung. Mir ist es gelungen, einen einfachen rein geometrischen
Beweis zu finden. Sind einem der Leser dieser Zeitschrift andere Be-
weise bekannt als der von Schröter gelieferte'?

Breslau, im Juli 1903.

0. GUTSCHB.

3. Kleinere Notizen.

Bemerkungen zu der Abhandlung des Herrn Hurwtts: Ober höhere
gruenzen. Archiv (8) 6. S. II IT.

1. Das Verfahren des Herrn Hurwitz läßt sieb verallgemeinern und
führt zu einem Satz, der für höhere Kongruenzen dieselbe Bedeutung hat,
wie der Sturmsche Satz für Gleichungen. Der Sturmsche Satz bestimmt
die Anzahl der reellen Wurzeln einer Gleichung und damit auch die Anzahl
der Faktoren ihrer linken Seite. Diese Anzahl ist aber nach Dirichlet
bestimmend für die Anzahl der Einheiten des durch die Gleichung definierten
Zahlkörpers. Den Dirichletschen Satz habe ich auf Körper erweitert, die
durch eine Kongruenz f(i) = 0(p) definiert werden [J. f. d. r. u. a. Math-,
Bd. 126, S. 102 ff.]. Dabei spielt für die Einheiten die Anzahl der nach f
irreduciblen Faktoren von f dieselbe Rolle, wie die Anzahl der reellen Faktoren

Vermischte Mitteilungen.

ur,

bei den gewöhnlichen Zahlkörpern. Diese Anzahl kann nach dem Ver-
fahren des Herrn Hurwitz wie folgt ermittelt werden.

Die vorgelegte Funktion sei f(x) = x™ -\- • ■ • -\- a m mit der Bedingung
a m ^ 0(p). Diese Bedingung kann man immer durch Absondern einer ge-
eigneten Potenz von x erfüllen. Ferner erhalt« f keinen irreduciblen Fak-
tor mehr als einmal. Weiter sei g(x) =« je" + ■■■• + 6, eine Funktion
geringeren Grades als f mit beliebigen Koeffizienten. Haben /' und g einen
gemeinsamen Teiler modjp, so verschwindet nach p die Resultante R(f, g),
also ist der Ausdruck B ffl (/',?) = 0(ij"), wobei p"~ i {p — l) = 53 gesetzt
bfc Haben aber /' und g keinen gemeinsamen Teiler, so ist R^g") EJr 0{p\
also R°(f,g) = l(j>"). Die Summe 9n = ^R B (j] g) (p"), erstreckt über

v
alle möglichen g, zählt daher alle g vom Grade w, die mit f mod p keinen
Teiler haben. Es gibt p n Funktionen g, Q n ist Bomit in allen Fällen
durch die Kongruenz eindeutig bestimmt bis auf p M = und p„ = p". Im
Falle o„ = müßte aber f mit allen g einen gemeinsamen Teiler haben ;
es müßte also alle irreduciblen Funktionen bis zum Grade n hin enthalten,
demnach auch durch x teilbar sein. Dieser Fall ist ausgeschlossen worden;
folglich ist im Falle = auch c,, = p" eindeutig bestimmt.

Es enthalte nun f k h irreducible Faktoren vom Grade h(h = I, 2, • ■ •);
es handelt sich dann um die Bestimmung der A und ihrer Summe. Ferner
sei i'jj die Anzahl der überhaupt möglichen irreduciblen Funktionen vom
Grade h (h = 1, 2, ■ • •). Schließlich sei i A — l h = ft A die Anzahl der irre-
duciblen Funktionen vom Grade /<, die in f nicht aufgehen. Aus ihneti
müssen alle g gebildet sein, die mit /' keinen Teiler haben. Daraus findet mau

um»-«

*rstre

(a) k V * (a) * X * 7

ckt über alle verschiedenen Systeme von positiven ganzen Zahlen a.

n

die der Bedingung ^ha h = n genügen.

So bestimmt man

die u und t und daraus die 1 durch l.

Pa-

2. Auch die von Herrn Hurwitz abgeleitete Invariante ist ein besonderer
Fall einer allgemeinen Invariantenbildung. Es sei 9» — a x^ -\- ■ ■ - -f- a 1?
eine binare Form mit unbestimmten Koeffizienten. Und es sei if* = b x*
+ • ■ •+ b„?% eine binäre Form, deren Koeffizienten dem Bereich fc , k,
b n = 0, • • • p — 1 entnommen sind. «1 und n sind beliebig. Es er-
fahre jetzt tp und i/> eine lineare Substitution mit der uach p nicht ver-
schwindenden Determinate 0", so gehe (p in tp' und ty in ^»' über. 1//
kann in die Form % -\- ;>* gebracht werden, wo nun % der vorher definierten
Schar tp angehört. Dann ist

R ( 9 ', «/) = -R (»', x + p*>) = ü (v, i) + pö,

m

*■(*-, *') = R»(<f>\ x ) + 2!0^^-K9\ x) - «■(»'. i)(p%

ferner ist

i?( 9 , *') = 0™ 7?l>, *), tbo i?*V, f') = *■(„, *)f>«),

176

sodaÜ sich schließlich

Vermischte Mitteilungen.

JF(9,', z )==.B"(<p,1,)( J ,")

ergibt. Zu jedem tp gehört ein % und umgekehrt. Mithin ist die Gesamtheit
der i identisch mit der Gesamtheit der i|>, Aus der letzten Kongruenz folgt

D. h. es ist

mod p" eine Invariante. J t ist gleich dem j4(oj, •••, o r ) des Herrn Hurv.
Dortmund, 13. 5. 03. H. Kühne.

4. Bei der Redaktion eingegangene Bächer.

Auerbach, F., Das Zeißwerk und die Karl -Zeiß- Stiftung in Jena Ihre wissen-
schaftliche, technische und soziale Entwicklung und Bedeutung. Jena 1903.
G. Fischer. 133 S. M. 2.

Bauen, G., Vorlesungen über Algebra. Herausgegeben vom mathematischen Ve
München (K. Doehlemann). Leipzig 1903, I! U. Teubner. 376 S.

Bbuns, H., Grundlinien deB wissenschaftlichen Rechnens. Leipzig 1903, B. G. Teubner.
159 8. M. 3.40.

Enhkjues, F., Vorlesungen über projektive Geometrie, Deutsche Aasgabe von
Hermann Fleischer, Mit einem Einl'iihrungswort von F. Klein u 186 Figuren
im Text. Leipzig 1903, B. G, Teubner. 367 S. M

EjuqShyi, P., Dr. Josef Petzvals Leben und Verdienste. Halle 1903, Knapp.

Ursen, G., Mathematieal papers. Edited by M. Ferrers. Paris 1903, A. Hermann.

Fr

Hei.fknstkis, A., Die Energie und ihre Formen. Kritische Studien. Leiprif
1903, F. Deuticke. M 4.20

Hoffmajis, A., Mathematische Geographie. Fünfte, verbesserte Auflage bearbeitet
von J. Plaßmann. Paderborn 1903, F. Schöningb. 172 S.

Hor.ZMm.LBB, (j , Methodisches Lehrbuch der Eleinent&r-Matbeinatik. Dritl
TeU. Zweite Auflage. Leipzig 1903, B. G. Teubner. 370 S.

Ki •mg. J., Einleitung in die allgemeine Theorie der algebraischen Größen,
dem Ungarischen übertragen vom Verfasser. Leipzig 1903, B. G. Teubn
564 S.

Müller, H., und Pietzksr, F., Rechenbuch für die unteren Klassen der hob
Lehranstalten. Vorstufe zu den Aufgabensammlungen vou Bardey und Mü
Kutnewsky. Ausgabe A: für Gymnasien 244 S. ; Ausgabe B: für reale An-
stalten und Keformschulen 274 S. Leipzig 1903, B. Q, Teubner.

Omdracek, J., Analytische Geometrie ebener Kurven in Büschelkoordinaten 1 IL-ll
Ebene Kurven in Normalen-Koordinaten erster Art. Wien 1903, Karl Gerold. 325

Scübhck, J., Festigkeitsberechnung größerer Drehstrommaachinen. Leipzig 1903,
B. G Teubner. M l 60

Schwkejno, K., Sammlung von Aufgaben aus der Arithmetik. Zweiter Lehrgang.
Zweite verbesserte Auflage. Freiburg i. B 1903, Herder. 148 S. M

Schwbbinu, K, und Krhh-hoff, W., Ebene Geometrie. Vierte Auflage Freibarg
i. B. 1902, Herder, 136 S. M I

Weikksthasz, K, Gesammelte Werke LH. Abhandlungen HI. Berlin 1903, Maje
und Müller. 360 S.

Soeben erschien:

VORLESUNGEN

ÜBER

OJEKTIVE GEOMETRIE

VON

PEDERIGO ENRIQUES.

iiku n

Dm

Db. HERMANN FLEISCHER.

111 r I rüMUUNOilWuK'f

MB

FELIX KLEIN

'.••rOURKN IM TEXT.

LEIPZIG,
DKÜCK UND VERLAG VON B Ö. TRÜB NE R.

1 '.»US.

IV

Znr Einführung

mit [itielpunl h 'in» die projekt

bar Aufgaben bändelt -, die Herleiti
turnen aus Keg<dychiüttkonstruktiouen, die Unter
lMii^e in der unendlich fernen Ebene etc.

Es ist nicht zu zweifeln, daß Enriques' Buch sich in der di
Übertragung ebenso zahlreiche Freunde erwerben wird, wie i
sehen Original. Vielleicht gestattet der Erfolg, den ich erwarte,
bald, daß demnächst auch die interessanten Studien, w
vor kurzem über Fragen der Element.
dem deutschen Publikum in Übersetzung vorgelegt wer

<i n Hingen,

F. Klein.

oi riguard Dgna, Za»:.

von ili-nen z. '/ eine cfoutsche Ausgabe von II. Fleische .yg roi

i'ner besorgt winl.

nhalt.

i

I 6 I

Fundnuientale Satze.

Ide 6

Uneigenthch» Elemente . . . . 6

Krste Gruppe von fundamentalen Sätzen der projektiven Geometrie IS
4 I ; und Schneiden

Anordnung der Elemente einea Geh:

16

der natürlichen cyklischen Anordnung tat

Kapitel
Irr Ihinlltiit. — Einleitend«' Slitze.

in Räume
Beispiele für die Dualität im Ituunie . 32

I pilden zweiler Stufe

□ den Perspektiven und den homologen Dreiecken und korre-
lat 43

§ I l i den Perspektiven und den homologen Vierecken und korre-

lati . . 46

Drittes Kapitel

Harmonische Gruppen.

Harmonische Gruppen von vier Tunkten und von vier Ebenen

iuechungen unter den Elementen einer harmonischen Gruppe 58

Harmonische Gruppen von vier Strahlen eines Büschels

ppen in der durch Projektionen und
<en Beziehung zwischen zw

fundamentale ' , ... 81

Metrische Eigenschaften der harmonischen Gruppen .

tes Kapitel.

Da» Axiom der Stetigkeit und «eine Anwendungen.

B Aiioin i eil

mngen

harmonisch trennt . . .

71

lrüirfll

§ 33.

S 36

§ 36.

6 3i>.
§ 40.
I U.
§ «.

Der Funduiuentalsatz der Projektlvitat.

Di i r iid.:. mkengang

i Hilfssat/, ....

Zwei« (7,

I'i>r v Btaudleche FondamenUdsatz '■■
Beweis iles v. Bfatudbechen Fundanientalsut/. 1

I >'\
l*r«J«*ktlTitHt r.nlschon Gebilden erster Sttifi*.

Projektive windschiefe Linien ....
• Gebilde in der Ebene. . .
llde in der Ebene . .
Ahnliehe Punktreihen und gl
In einander liegende projektive Gebilde . . .
Poppelelemente einer Projektivitat »wischen in einai

bilden erster Stufe .

te und inverse Kongruenz zwi> inunder liegenden Punkt

reiben und eigentlichen Büscheln einer Ebene
Gruppen von vier projektiven Flcmeuten
Doppelrerh&ltaüi von rv oten eine« Gebildes

Projektive Transformiert.

Involution In Gebilden erster Stufe.

Involution

Sinn aiaez Involution

Hyperbolische Involutioueu

Satz vom Viereck .

Metrische Eigenschaften der Involution in der Punktreibe

Involutorische Kongruenzen in

Hinweis auf die cyklischen f

$ 43.
§ 44.
8 45.

§ 47.

5 60,
§ 51.
S 52.

SU)hte« Knj. I

ProjektivitXten /wUchen Gebilden /.weiter Stuf«-.

Definitionen
Fundamental»;!!

mutig der Projektivitat zwischen Gebilden
Perspe'. Lide nreü

Homologie .

Involution

Dojipelelemeuti- einer ebi DSn Kolliueut.ion

e Kollineatioin'i! vom metrischen Staudpunk'
Polarität in der Ebene .

Polarität erzeugte Involution konjugierter Ein
einem Gebilde erster Stufe

VTI

■ton zweiter State

«6

Mfl Kegt-Krlmlttc.

•■:

ii Bezug Ischnitt 1S3

hmenüfr der K IM

•:a der K>_

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rojeküv« Erzeugung der KrgeUrbmttr-
Besu! ujektiveu Erzeugung

»ohnitts Kr

igsstdcJte für einen KegeUclmitt itiT

SÄt*< triaaeboa j i «'.

itel

Projektltltilt zwinclieii ki irclschnlttoD.

indumentuIsuLz . . . .

Satr. de» Apollonint

im

Äußere und innere Punkt«, Seknnt li- ->i |

lle Durchmesser Scheite]

iiinh.ilt dei I.Uip-. _■ 17

KU- ■ t öl.

Bestimmte Aofgelic ii.

Allgemeine«. Aufgaben er:d<;n Ondes

Aufg

Mit Lineal und Zirki Aufgaben.

Unitte, dio zwei gegeben

il»'u dritte Bestimmung der Doppelpunkt onen

M"u A 'Li -l- cinei Kongruenz im Bündel

Zw

Dfeatahaftei der Brennpuktc 4er KegelM>haUt«i

Wiiikelei^."'n*chnften der Brennpunkte
L'-neiganschaften der Brennpunkte
ion mit Hilfe der Brennpunkt«

VW

Inhalt.

Drei Kapitel.

lUe iiietrisrin'n Btge&MllAftai der Kegel zweiten <»rn<

huitto uud Fol des Kegel

§ «3 Ai)is*-ii und Foknlachsen des Zylinders zweit--.
g ki Kr.-. •loa Zylind

lehnte* Kapitel.
Froji kt ivitüt /.»|m<-|ipii fiebltdea dritter Btafe.

Fundumeiit«,)i=at/ .

ntiiinaug der Projektiv^ bilden dt

§ 88. Homologie

_re nnd zweiachsige Kolhneation .

neu vom metrischen Btandptral
§ 91. Kongruenzen
§ it'i. Erweiterung i.1 im Raunu

l. Gruppen von Projektiv um. -n

II. Abstrakte '

III Transformationen dea Raumes, die I.

IV Projektiv? Koordinaten
V. Imaginäre. Elemente

VI Bistoriieli-kritiache Notiz, über der Fund

der | i Qeametrie . . .

Sachregister

Bestell-Zettel.

Bei

Buchhandlung in

bestelle ich hiermit ein Exemplar de» im Verlage von
Leipzig soeben erschienenen Werke* [zur AnniciitJ:

Enriques, Vorlesungen

Deutsche Ausgabe von H. Fleischer. Mit einem

fUhrung Ki.fin und IS7 Figuren

[XIV n ,'oh. n. .4L% — . geb. u.

om, w.

tiuiorichrm

Um Nl. liU-niiiMi lil» hltti* gfU. ilur<.'h*u«lri .

Soeben erschien:

GRUNDLINIEN

DES

WISSENSCHAFTLICHEN
EECHNENS

VON

Db HEINRICH BRX7NS,

PROFESSOR DES ASTRONOMIE AM »KR UNIVERSITÄT ZU LEIPZIG.

[VI u. 159 S.] gr. 8. 1903. Geh. JL 3 . 40, in Leinw. geb. M, 4 . —

Der Verfasser hatte bei den Übungen in seinem Seminar für
„wissenschaftliches Rechnen" schon vor längerer Zeit damit begonnen,
den Teilnehmern die zur Vorbereitung erforderlichen mathematischen
Entwicklungen autographiert in die Hand zu geben, um dadurch Zeit
für die Beschäftigung mit besonderen Aufgaben zu gewinnen. Diese
Aufzeichnungen werden hier in etwas erweiterter Gestalt der Öffentlich-
keit übergeben, da es sich um Dinge handelt, für die es bisher an einer
handlichen Zusammenstellung fehlte, und die überdies außerhalb des
Kreises der berufsmäßigen Rechner keineswegs so bekannt sind, wie
sie es bei ihrer erprobten Nützlichkeit verdienen.

Die Darstellung ist, da es sich in erster Linie um einen Leit-
faden für den akademischen Unterricht handelt, auf die zum Verständnis
unentbehrlichen Entwicklungen beschränkt: der Lehrer ist ohnehin
genötigt, bei der Auswahl und Erläuterung der jedesmal zu stellenden
Aufgaben auf die Vorbildung der Zuhörer Rücksicht zu nehmen.

Inhalt.

Fiul.iti-

§1—3 Geschichtliches

§ 4. Gliederung dex Kr.

§ 5—6 ttelj Maschinen

1'arVlu ....
§ 8. Gliederung der Darstellung .

1. Differenzen nnd Stimmen.

g — EI. Das Differeruenschema; Erweiterung- durah die Sara rneo*palt«n.
erzeugende Funktionen

Dm Umklappen deB Schemas

S 13 14 Dm Behau einer Verbindung; Zwischengrößen; Fehlersc-bein» .
n der Tat'elditferenr.en . ...

■ichnung von Gau/J; Haupt- und Zwiseheiitahellen; B>
§ 18—19, Analytische Darstellung der DiflsrenBea; Bereich der G
$ 20 — 21, Ganze Funktionen

Kontrolle durch Differenzen . .
§ 33. Zweifelhafte Abrundunir

II Interpolation hei Tafeln.

§ 24. Aufgabe

Formel von Lagrangt ...

Formel J-, die Korrektion; die Konvttgem
Dia Fun <r. 0" 8,

§ 33. Zusammenhang mit der Formel von Lagrangi-
und Benutzung vo:

§ 4t — 42. Interpolatii>u bei Taliulierungec
§ 43 — 47. Wirkung der Abrundungsfehler

111. Numerische Differentiation.
Groudfonuel

■ efai

n Numerische Integration: Snmmenmethvde.
Allgemeine Bemerkung n

und die Bestimmung der Koetüiirntvr.
Bestimmung ■ tci.

58. Bei:-

u Differential^
bei TahalierongtMi

V Nnm. | Ilftllllfl Till Hl Hllt IM«! lg

hJm

Trapecrerbeaeernag
Rcchtecrrarbeftserung
• rgleiebung mit der Sumnienwethode

Soeben erschien:

X

OKLKSUNGEN DBEE ALGEBRA

vow

Db GUSTAV BAUER

»RMI AN l>Klt I SIVKIWITAT MI''

HEKAL'SUEtlEBEN VOM

MATHEMATISCHEN VEREIN MÜNCHEN

MIT DKM BD ' BAUERS ALS TITKLUILL)

UND 11 FHHTREN IM TEXT

\ in 18. November HKX) feierte (inliHininit Professor Dr. «Juetav Bauer

in unverminderter, geistiger uud körperlicher Frische, noch rastlos tätig

im akademischen Lehramte, seinen 80. Geburtstag. Zur Feier dieses

• ignisses veranstaltete der „Mathematische Verein München",

von Studierenden der Universität und der technischen Hochschule

ue< wird, einen Festabend und machte gewissermaßen als Ehrengabe

Jubilar dus Anerbieten, dessen Vorlesungen über rr Alg»bra* im

erscheinen /.u lassen. Herr Professor Bauer erklärte sich dl

Verlag von B. G. TEUBNER in LEIPZIG.

Vorlesungen über numerisches Rechnen

von J. Lüroth,

FlOftMOl an der IlulveriUiit Prdkwtg 1 Hr

|VI d 194 S] gr. 8. 1900. geh. JC&.—

Oer VarfikfHPr voMiicht in dera vorliegenden Buche, dem Lehrer oder dein S:
! »thtitnaf ik nder d«m muhenden pr^ktinchon Rechner eine Auswahl der
■den *>'•'! HflfaralttwJ f-ii Im iiiim»>ris<.'he Km-hnen vursufüliren. Ei
■Di dl* M- ur..Üor Genauigkeit Von dem Inhalt dca Werk'« gfthon

,-.mi.I.-ii KnpUolahnrarhrirtPii Uuag: Allgemeine Bemerkungen, dl© direkten

»ftAchlnen, d da« Hei'hiieu mit ungenauen Zahlen, dl« Fehler

Dg matliomatlsrlior Tafeln run llon/ahl , die Henutxutig TOtt Tafeln mit

mehr «In ik . Hilfsmittel zur IWtxhniing vmi Logarithmen mit mehr alt sieben

tflalleu, d(>' ui Wur/idn, die trinowifrliru Gleiiclmiiffen

Politische Arithmetik oder
die Arithmetik des täglichen Lebens

von M. Cantor,

Professur.

8. 1903. In Leinw. geb. X 1.80.

„!>»• In nbermu« feiner, klarer Weite »11*«, wi» der Lehrer »n Fort-

.•«» iril.Mi, tl«ndw«rkei und Fa .liBi-buleii «einen Schillern vnrtatngen b»t Wem dl* «fl

»Im.

<he Arithmetik mil
■ r rVrm Ka1
I Ibla II d

MrJ dst Werk
Z inere I 'i»J iln »f «4,

tpmrlere, Hypotheken, W*rk— t.
Ferner t'mdet «ich viele« «cm
IK eingehende Ii»r«t»UiLrc 4m
•eilen <: .ier tateM

winn durcharbeiten. d> d«r V«r-
: ireh ein ZeJiluutkrpMl
oeini - :•*> Xr M)

Repertorium der höheren Mathematik

(Definitionen, Formeln, Theoreme, Literaturnachweis*)
tod Ernesto Pasoal,

ord. Prof «n der 1'iiWrrtlUt • «. PaTla.

leutsehe Ausgabe rou A. Schkpp in Wiesbaden.

In 3 Teilen.

I Teil : Die Analyüs. [XHa638S.l 8. l»O0 Bieg«, in Leinw. gel.

il Die Geometrie. [Xu. 7l»S.J 8. 190*. Bieg«, in Leinw. geb. JL 1 I

b«r )t<Mk 4m Imh «t. Mf iim m3«Ueh*i Ua
4M MM MaMMMdk r» MMMi«

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4m M»IM»ilik mQ m u ,Tmmb' mU, üb

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Soeben erschien:

VORLESUNGEN ÜBER ALGEBRA

Vi >N

Db GUSTAV BAUER

'.HIHMOAT, O.HWI— AN - I>KB (MlVKßSITAT MÜ.VOMBM

lli;i(ACSliKi;|.HKN Vi i\|

MATHEMATISCHEN VERBIN MÜNCHEN

MIT DEM BILDNIS 0Ü8TAV BAUERS ALS TITELBILD
DKD 11 WGÜBEH DI TEXT

Am 1 8. November 1900 feierte Geheim rat Professor Dr. G us tu v Ha u •• r
in unverminderter, geistiger und körperlicher Frische, noch rastlos tätig
im akademischen Lehramte, seinen 80. Geburtstag. Zur Feier tli
seltenen Ereignisses veranstaltete der „Mathematische Verein München",
der von Studierenden der Universität und der technischen Hochschule
gebilligt wird, einen Festabend und machte gewissermaßen i. 1 gäbe

i Jubilar das Anerbieten, dessen Vorlesungen über „Algelira" im
erscheinen zu lassen Herr Professor Bauer erklärte sich dfl

IV Inhaltsveneiclinii

IV. Abschnitt. Theorie und Anwendung der Heterinlniinteii.

XXV Kapitel. Itildung und Eisens Charten der Determinanten

XXVI Systeme linearer lileiehungen .

XXVII ,. Eigenschaft, n djK r»etenninauten Fort

X X V IIT ,. Anwendung auf die Elimination einer Variablen uum

GHeichuugei) beliebigen Grades 304

XXIX. „ Zur Elimination von mehreren Varia 11 521

XXX „ Zur Theorie der Diskriminante . «SO

XXXI. „ Anwendung auf quadratimlie und bilineiire FotttM , 8S4

Note I. Kettenbrflche

Note II. Herleitung de* Formel für die ^umuie der

Potenzen der Wurzeln einer quadratischen <Jlei-
eliung

Bestell-Zettel.

Bei

ltu''hhaadlung in

bestelle ieh hiermit ein Exemplar des im Verlage COO I'» Q IVhLiut in
Leipzig soeben "eracbieneuen Werkes [zur Ansicht]:

Bauer, Gustav, Vorlesungen über Algebra. Mit dm
Hildnis GUSTAV BaüEBS als Titelbild und 11 Figuren im
Text. ) VI .. 37»; s.] gr s. 1003. v r*h. n. JL 12.—,
geb. n. „H 13. —

Ort, \v.

l'oler-

Soeben erschien:

EINLEITUNG
IN DIE ALLGEMEINE THEORIE DER

ALGEBRAISCHEN GRÖSZEN

VON

JULIUS KÖNIG

AUS DKM UNGARISCHEN ÜBERTRAGEN VOM VERFASSER

Die allgemeine Theorie der algebraischen Grüften hai
Leopold Kronecker in «lor berühmten „Festschrift^ fom
.lall! nriit. nur als grundlegende mathematische Disziplin

neu gesohaffen, sondern anch ihrein gesamten Inhalte, ihren
Zielen and Problemen aacb geoan ien, Gleichwohl

beschichte ihrer Entwicklung w.-it sarSok.
Bild in Graun' unvergänglichen Arbeiten enthalten,
hat diese Theorie in den arithmetischen Ontersujohnngen ron
Lejeune-Dirichlet, Kummer und Dedekind, den algebrai-
sehen Forschungen von Abel, Galois und Jordan, den funk-
tionentheoretischen Schöpfungen von PuiBeux, Riemanfl und

Weierstraß, sowie endlich in den algebraisch ;_ r Detrischen

jen von Cayley, Olebsch, Gordan und Noether ihre

scheidenden Gesichtspunkte gewonnen. Audi die seit dem

icheinen «In- Festschrift verflossenen weiteren /.«im Jahr-

/.i'linft' haben bedeutsame Resultate geliefert, ans denen —

eti von ili'ii K r n n eck p r sehen Abhandlungen

II

insbesondere die geradezu grundlegenden Sätze über Divisoren-
systeme von Hubert und die wertvollen Arbeiten von Hensel
hervorzuheben sind.

Bedenkt man weiter, daß auch die neuen Bahnen, welche
die Gruppen- and Funktionentheorie unter der Führung von
Klein und Lie einerseits, Fachs und Poincare andrerseits
eingeschlagen hat, mit der Theorie der algebraischen Größen
vielfache Berührungs- und Kreuzungspunkte aufweist, so ergibt
sich für unsre Disziplin eine zentrale Stellung, die an Bedeutung
auf dem Gebiete der reinen Mathematik vielleicht nur von den
Methoden der Infinitesimalrechnung übertroffen wird.

Eine systematische Darstellung der Theorie — oder genauer
ausgedrückt ihrer Fundamen talsätze — , die sich in allerdings
unvollkommener Analogie zu den gangbaren arithmetisch-
algebraischen Handbüchern so verhält, wie eine Darstellung
der Funktionentheorie zu den Lehrbüchern der Differential-
und Integralrechnung, wird wohl ohne weiteres als dankbare
Aufgabe anerkannt werden. Wie schwierig eine befriedigende
Lösung dieser Aufgabe sich gestaltet, hat der Verfasser des
vorliegenden Versuchs an Beiner Arbeit selbst erfahren. War
ja doch neben manchen methodischen Fragen früher eine Reihe
von Fundamentalproblemen zu erledigen, deren Lösung entweder
gar nicht, oder nur für spezielle Fälle bekannt war.

Gerade diese neuen Untersuchungen, die wohl mehr als
die Hälfte des gesamten Inhaltes ausmachen, drängten aber zu
der hier gewählten systematischen Darstellung. Seit langer
Zeit mit dem Gegenstande beschäftigt, mußte der Verfasser bald
einsehen, daß einzelne Abhandlungen bei dem vielfachen Inein-
andergreifen jener Fundamentalprobleme wieder sehr schwer
lesbar und auf einen kleinsten Kreis beschrankt blieben, also
ihren Hauptzweck verfehlen müßten. Denn als solchen betrachtet
es der Verfasser, den Geist der Kroneckerschen Methoden —
wenn der Ausdruck für dieses schwierige mathematische Gebiet
gestattet ist — zu popularisieren.

So entstand dieses Buch, das eigentlich nur die ersten
Elemente der Algebra und Zahlentheorie — einige Sätze aus
der Lehre von den Determinanten inbegriffen — voraussetzt,
und das eben darum auch ein Studierender mit Nutzen lesen
kann; während andrerseits der Fachmann die Darstellung alter
und neuer Resultate hier in bequemerer Form erhält, als dies
in einzelnen Journalabhandlungen hätte geschehen können.

Den Inhalt des Buches hier in Form eines noch so knappen
Referates zusammenzufassen, hieße den Umfang dieser Anzeige

m

zu sehr ausdehnen; statt dessen sollen hier nur einige Punkte
fra^" <h berührt worden.

Die ganze Darstellung geht von der Definition „holoider
und „orthoidet" TVr. s. die den Bereichen der ganzen

nitit.nalen, reep, der rationalen Zahlen nachgebildet sind, also,
scheint, durch gangbare technische Ausdrücke wie
Integritätsbereich und Rationalitätsbereich (Körper) ersetzt
können. Daß dies nicht der Fall ist, wird der aut-
rnerksan dald erkennen; denn jene Definitionen vermeiden

letzteren Begriffe und gestatten infolgedessen
viel eiurachere Qrundlegung der Theorie, heben den un-
Ugeaehl geneats Arithmetik und Geometrie

und ergeben den nlvonomie der Darstellung wichtigen

Umstand, daß das „Orthoide k (Rationale) als spezieller Fall
des „Holoiden" MJnnzen) zu betrachten ist. Diesen Begriffs-
bestimmungen entsprechend scheidet sich auch die Theorie in
n (algebraischen" und „arithmetischen" Teil.
Vom methodischen Standpunkte ans hebt der Vertat
noch hervor, daß der Krön eck e r sehe Fundamentalsatz
Kap III ? 5 — 7) auf Grund eines völlig elementaren Beweises
rata Ausgangspunkt der ganzen Theorie gewählt werden konnte.
Diesem Satze reiht sich sodann — als wichtigste Grund-
lage der hier erlangten neuen Residtate — die Aufstellung der
ron dem Verfasser sogenannten Resolventenform an, die als für
oin beliebiges Formensystem geltende arithmetische Erweiterung
des llesultantenbegriffs aufzufassen ist und insbesondere immer
homogene lineare Form der gegebenen Formen dargestellt
kann. Dabei wird nach dem Beispiele Kroneckers
Benutzung des Ansdrucks „Form" von der Forderung der
rTomogeneität abgesehen.

Die Einführung der Kesolventenform einerseits, dei
Kroneckeraehe Grundgedanke der Association neuer l'n
immter andrerseits fähren zu einer — im vollen Sinne des
Wortes — allgemeinen Theorie der Elimination, in der die
Multiplizität der durch irgend ein Gleichungssystem definierten
Mannigfaltigkeiten nicht mehr, wie dies in der ^Festschrift" der
Kall ist, vernachlässigt wird. So entsteht ein mächtiges Werk,
der Forschung, das uns zunächst eine rein algebraische Theorie
der Funktionaldeterminanten liefert. In einem längeren Exkurse
wird dann auch eine definitive Darstellung der sog. speziellen
Eliniinationstheorie, d.h. die allgemeine Theorie der Resultanten
und Discriminanten letztere zum ersten Male — gegeben.
Die im engeren Sinne des Wortes arithmetischen Teile

IV

der Theorie erhalten durch die Behaudlung der linearen
phänischen Probleme eine feste Grundlage. Als solches wird
die allgemeine Lösung eines Gleich teilt)

dessen einzelne Gleichungen die Gestalt 2.1' X, - /•' haben
Dabei sind die /' als gegebene, die X als unbekannte Formen
■Ihii, die der weiteren Bedingung unterworfen sind, datJ
ihre Koeffizienten einen bestimmten, Torweg gegebc
holoiflen Bereiche angehören. Diese« Problem wird in den
für die Theorie der algebraischen (irölien ausreichenden
Fallen durah eine endliche, irohldefinierts Reibe slemenfei
Operationen vollständig gelöst. Es sind dies die Fälle.
die Formenkoeffizienten entweder einein orthoiden Bereiche
also /.. B. irgend einem Rationalitätebereidiei) oder aber dem
Bereiche der ganzen rationalen Zahlen angehören.

Der erste Fall ergibt unter anderem eine allgemeine Behand-
lung de* Noetberschen Satzes im Räume von n Dimensionen

Mit diesen Resultaten ist nicht nur die wichtige, bisher kaum
gestreifte Kragenach der Äquivalenz zweier Divisorensysteme voll -
stand -t, sondern es ist auch die allgemeinere Frage des

„Enthaltenseins" eines Divisorensystems in einem andern erled

In der Theorie der ganzen algebraischen Größen werde©
die beiden Fälle der im strengen Sinne der allgemeinen Arith-
metik i „absolut" i ganzen Größen und der in Bezog auf einen
orthoiden Bereich „relativ'" i ganzen Größen zugleich und nach
denselben Methoden bebandelt. Im zweiten Falle sind unter
alliieren die im Sinne der Ftmktioiieutheorie oder Qeome

ganzen Größen enthalten. Es ist ejp Kardinalpunkt der Dax
stellang, dnb die idealen Größen von Beginn ab als nicht nur
der Multiplikation, Sandern auch der Addition fähige Grofiet]
eingeführt werden. Auf dieser Grundlage haut sieb i

entlieh neue und einlache Methode zur wirklichen
Stimmung des Fundamental* vteins in allen Fällen auf, die
erster Heihe auf der Th< . Lquivalenzmoduls" beruht.

Die Zerlegung einer ganzen Größe in Primideale wird endlich
definitiv und ohne Ausnahmefall geleistet, wobei die i
bezüglichen Kroneckerschen Resultate in einem wesentlichen
Punkte richtig zu stellen sind, da diese infolge eines merk-
würdigen, allerdings tiefer liegenden Verseheus nur in den
einfachsten Fällen richtig sind.

Für alles Weitere sei auf das Inhaltsverzeichnis rerwii
aus dem der Inhalt des Buchs und dessen Disposition im
einzelnen zu ersehen ist. Ein ausführliches Sachregister wird
die Benutzung des Buches wesentlich erleiohte

Inhaltsverzeichnis.

Erstes Kapitel.
Einleitende Grundbegriffe.

$ 1. Zahl, Größe, Bereich 1

§ S. 3. Das gewöhnliche Additions- und Multiplikationsgesetz . 4 5

§ 4. Holoide und orthoide Bereiche 7

§ 5. Teilbarkeit in holoiden Bereichen 9

§ 6. Der größte gemeinschaftliche Teiler 13

§ 7 — 9. Beispiel: Die Bereiche fy— k] 15 19 21

§10. 11. Kongruenzbereiche und Modulsysteme 23 26

§ 12. Relative Äquivalenz 27

Zweites Kapitel.
Holoiden Bereichen entstammende Formen.

§ 1. 2. Formen und ganze Funktionen 31 33

§ 3. 4. Lexikographische Anordnung der Glieder einer Form. 35 37

§ 5. 6. Die derivierten Formen 38 40

§ 7. Der polynomische Lehrsatz 42

§ 8. 9. Homogene Formen 43 45

§ 10 12. Die elementaren symmetrischen Formen 46 47 60

§ 13--16. Die reduzierten Formen 54 56 58 60

$ 17. Die ganzen Funktionen 62

§18. 19. Lineare Transformation. Reguläre Formen 65 67

Drittes Kapitel.
Die Teilbarkeit der Formen.

§ 1. Das gewöhnliche Divisionsverfahren 70

§ 2. 3. Das Kriterium der Teilbarkeit im Formenhereiihe . . 72 73

§ 4. Der Dedekindsche Hilfssatz 71

§ 6 — 7. Der Kroneckerschc Fundamentulaatz 78 80 82

§ 8 -11. Vollständigen Bereichen entstammende Formen 83 86 88 8!»

g 12. Vollständigen Bereichen zugeordnete orthoide Bereiche . 91

VT

17.

§ 13
§18.

g 19—21.

§ 22. 28.
| 21. 2f..

§ 1
8 >
« f>

I 8
| W

| 14
| l«

8 20-
f»

§ 27.

§ 1
% 2

i ■.

$ ii

§ 12.
| U

18

ig

in

LI

IS

S i

§ 3 — 6.

Inhaltsverzeichnis.

Ml*

Die Resultante 93 95 98 100 101

Die ResolveDtenfonn ein 108

Pas Problem der Theorie der fil. & himp.D ms uo 116

Die Piscriminante einer Form . [IT 219
Resultante und Di*crin>inant<- all ijmmetri

Viertes Kapitel.
Die algebraischen Größen.

2. Faktorenzerlegung der rationalen und ganzen Fornn

•I. Faktorenzerlogung in orthoiden Formenbereiehen 131 i.n

7. Neue Fassung des Gleiehungsproblems. Adjunkt Ion i :;r. LH Hl

!». Hvperorthoide Bereiche m HS

II. Der Galoisscho Bereich 149 164 U

Die Gattungsbereiche . Lft l«2

Qattungsbcreic.he, deren Stammhereich selbst nhon

ein Gattnngsliemi-b int 144 167 179 171

81 I » i^> RatJonaJitfttaberwAt iti i"8 l&o
26. Das Galoissche Prinzip ... txi 18« 190 199
28. Der Gaußsche Fundamentalsatz 194 197

Fünftes Kapitel.

Allgemeine Theorie der Elimination.

Pas fundamentale Problem .

4. Die Kroneckersehe Eliminationsmethode 991 2".'> 901

g. Die r.esamUieit der LSermgen des System« /•'. ==o

212 216 22ii
Die llanptdarstelluugen reiner Mannigfaltigkeiten. . 999 232
Die vollständige Darstellung beliebiger Mannigfaltig-
keiten durch m -f 1 ßleicbimgen 934

Gleichungssysterue, deren Inhalt eine lineare Mannig-
faltigkeit bildet 938 940

Die Funktionaldeterminnnte 248 247 262 2'

Sechstes Kapitel.
Resnltanten nnd Discriminanfen.

Spezielle Eliminationstheorie.)

Allgemeine Formen und die diesbezügliche Fr.

Hing 260

Definition und fundamentale Eigenschaften der Re-
sultante 266 268 270 974

Inhaltsverzeichnis. VII

Balte

§ 7—10. Bekursive Bildung der Besultante .... 276 280 282 286

§ 11. Der Produktsatz der Besultantentheorie 288

§ 12. Besnltante eines Systems homogener Formen. Invarianten-
eigenschaft 291

§ 13. Systeme homogener Gleichungen 294

§ 14 — 17. Bestimmte und unbestimmte gewöhnliche Systeme

299 302 308 310
§ 18 — 21. Symmetrische Formen von mehreren Größensystemen

812 815 817 321

§ 22. Die lrreduzibilit&t der Funktionaldeterminante 323

§ 28—26. Die Grandeigenschaften der DiBcriminante . 325 326 829 880

§ 27. Die Invarianteneigenschaft der Discriminante 335

§ 28—30. Die Multiplizität der Lösungen 388 341 842

Siebentes Kapitel.
lineare diophantische Probleme.

(Allgemeine Sätze und die algebraische Theorie.)

§ 1. Aufstellung des Problems 347

§ 2 — 4. Modul- oder Divisorensysteme 351 854 358

§ 6 — 7. Endliche Divisorenketten 862 367 868

§ 8. Sonderung der algebraischen und arithmetischen Probleme 871

§ 9. Algebraische Theorie der linearen diophantischen Systeme 878

§ 10. 11. Die Divisorensysteme der Hauptklasse (deren Elemente

einem orthoiden Bereiche entstammende Formen sind) 377 381

§ 12. 18. Der verallgemeinerte Noethersche Satz 385 889

§ 14. 15. Theorie der Charakteristiken der Wurzelsysteme für

den „einfachen" Fall 393 394

$ 16. Der Hilbertsche Satz 898

Achtes Kapitel.
Arithmetische Theorie der linearen diophantischen Probleme.

§ 1 — 4. Die absoluten Primsysteme in [[1], x x , x t , . . ., asj

401 404 409 413

§ 6. Divisorensysteme mod. (P (i) ) 416

§ 6 — 8. Theorie der Resolventenformen mod. (P«>) . . 419 422 428

§ 9. Gattungsbereiche mod. (P<*>) 431

§ 10 — 14. Arithmetische Theorie der homogenen linearen dio-
phantischen Gleichungen. Die Prinzipien der Re-
duktion 486 438 441 442 444

§ 16—18. Der allgemeine Fall 447 449 451 464

§ 19. Der singulare Fall 466

VT1T InlialtsverzrirlitnV

N rantea K a p i tel.

Die ganzen algebraischen fifffiOL

g i Einleitende Fartaetmragea ...

§ .'. 'i. Die ganzen algebraischen QrOBea ttad Formen W'-

§ 4 iV I'ie primitiven ganzen algefbraiaeheii Formen 188 470

§ 7 '■! Difl 47:

1.. 'i'.-ill>;irkMitstli.-..ri l ' di-r Ideal« 4M4 4^

| II t6 DM l'uii'l:mi'-iihil-\~tnn der wirkl

OtfamgümMu . 49a i

g 17 SO, Teilbarkeit der Formen muh eraem Aqniv aliiiw modal

601

§ 21—2.'i Allgemeine Methode zur Aufstellung der Fundamentul-

nyateme

S 24. Sfi Dan Kiiudanieiitulav.item der id4.al.Mi QrQBea

CMtoogabeniclu

§ SB— 29. Dia Zerlegung der gaaaen GrOBes u rrinndeaJa

516

§ 3c». :n l»i<- Diacrimiaaate dei Qaüaaf
Namen* und Sachregister

)^{ BESTELL -ZETTEL.

Baj

rlaeiiharidlutig in

teilt de* Uuter/eic.hnet.- hiermit aus den Verl
B. (5. Teubner in Leipzig [zur Ansicht.]:

König, Einleitung in die allgemeine Theorie
iilgi-bmischen Größen. [X u. 564 S.| L90&
h JL 18.—, geb. JL 20

■ It'l

"rt u. N»me: Wuliming:

Soeben erschien:

B. G. TEUBNER'S SAMMLUNG VON LEHRBÜCHERN

AUF DEM GEBIETE DER

MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN

MIT EINSCIILU8Z IHRER ANWENDUNGEN.
BAND XH.

LEHRBUCH

DER

THETAFUNKTIONEN

VON

De. ADOLF KRAZER

0. FROFKMOR WKR MATHEMATIK AN ItKR TKCIIVISOHES HOCHgrHnr.K
ZU KAHI.HRl"nK.

MIT 10 TEXTPIGUREN.

Das vorliegende Buch ist dem Wunsche entsprungen, die wichtigeren
Sätze und Formeln aus der Theorie der Thetafunktionen, welche sich in
zahlreichen Abhandlungen zerstreut finden und dort auf sehr verschiedenen
Wegen abgeleitet und in sehr mannigfacher Weise dargestellt sind, ein-
heitlich zusammenzufassen und so vollständig, als es ohne Überschreitung
eines mäßigen Umfangs möglich war, wiederzugeben, um auf diese Weise
einerseits dem Leser einen überblick über den gegenwärtigen Stand dieser
Theorie zu verschaffen, andererseits aber demjenigen, dessen Arbeiten das
Gebiet der Thetafunktionen berühren, die ihm nötigen sachlichen und lite-
rarischen Hilfsmittel an die Hand zu geben. — Ein Eingehen auf di»>
speziellen Resultate, welche die Thetafunktionen von 2, 3 und 4 Variablen
betreffen, war dabei ebenso ausgeschlossen, wie ein Eindringen in die
Theorie der elliptischen, hyperelliptischen und Abelschon Funktionen. In
ersterer Hinsicht konnten die speziellen Fälle nur hie und da zur Er-

■ pr -»1- ■*>■**. »--»-ü »r-w-^urjmi l twi

I!

Vorwort.

läuterung der allgemeinen Sätze und Formeln herangezogen •
letzterer Hinsicht mußte sich die Darstellung auf jene einfachsten Tu
beschränken, welche den Zusammenhang der Thei
mit. iIpt) vorher genannten Theorien vermitteln. — Das Buch

und elf Kapitel eingeteilt, so daß der erste Teil, der vir
gemeinen Thetafunktioneu mit beliebigen Charakteristiken handelt, Kap I-
der zweite Teil, die allgemeinen Thetafuuktiouen mit rationalen Charakti

tr.nd, Kap. 7 unil 8, der dritte endlich mit der Lehre von d<
Thetafunktioneu Kap. 9 — 11 umfaßt. Der Inhalt der einzelnen Kapitel
läßt sich wie folgt angehen. Das erste Kapitel behandelt die •
der Thetareihe und die Definition und Haupteigenschaften der Thei
Das zweite und dritte Kapitel enthalten jene formale Theorie der
formein, welche vornehmlich von Herrn Prym und dem Verf. ge
wurde und bei welcher alle Thetaformeln als spezielle Fälle w<
gemeiner Formeln erscheinen, diese selbst aber durch direkte Umformung
adliohen Reihen gewonnen werden. Da* Kapitel handelt von

]>:u Stellung allgemeiner periodiBOhex Funktionen durch

funktionell. |>as fünfte Kapitel bringt die Transformation der Thetafoii
an «reiche sieb in Beehrten Kapitel speziell die komplexe Multiplikation
schließt. Das siebente und achte Kapitel sind jenen Thetafunktionen
widmet, deren Charakteristiken aus halben und r ,el Zahlen ah? E!emi»ut
gebildet sind, bez. der Theorie dieser Charakteristiken gelbst Y
dann das neunte und zehnte Kapitel von den Abdachen und den
elliptisrlien Thetaf'uiiktiouen gehandelt, hat, beschäftigt sich du letzte *pe
mit jene'ii Thetafunktioneu, welche zu reduzierbaren Abelschea Intej
gehören.

Karlsruhe. A. Krazer.

1 1 lhaltsverzeicl 1 ni.s.

Erster Teil.
Die allgemeinen Thetafunktionen mit beliebigen ( harakteristikeu.

Erstes Kapitel.
Definition und Haupteigenschaften der Thetafunktionen.

IL

f*.

§5.

I«.

Kalt«

Die einfach unendliche Thetareihe %

Mfl j>-fuch unendliche Thetareihe. Ennittlnng einer aufwendigen

und hinreichenden Konrergenzbedingung

Andere Formen flir die Kouvergenzbedimruutr . . .

Die Funktion (hin, it. »J

Einführung der Charakteristiken.
Thetafuuktloneii höherer Ordnung

Die Funktion &

Kl«->

Inhaltsverzeichnis

111

Zweites Kapitel.

Über ein allgemeines Prinzip der Umformung

unendlicher, insbesondere mehrfach unendlicher Reihen

und dessen Anwendung auf Thetareihen.

I. I nilormniig unendlicher Beine* durch EinfUhruni: neuer Summa-

ttoAkboehitabeii vermittelst einer linearen Substitution 44

$ Ü. »est im in ii Dir der Anzahl 6 der Noniiallösun^en eines System*

linearer Kongruenzen 61

§ 3. Folgerungen uns «lein III. Satze: c udirültiire Bettelt der Formel (8$) 7
J I. Anwendung der Formel (X) auf eine j» • i in h mündliche Tlicla-
reihe

* 'i. Bezieh untren zw liehen Thetafunktionen, deren Modulen sieh um

rutionule Vielfache von rti unterscheiden 7"

| tl. Vnwi ndiinif der Formel (X) auf ein l'rodukt ron Thetareihen 77

$ 7. Erste Spe/.ialisicruui: der Formel (XXXII) .84

* -. Zweite Speziulisicruuir der Formel (XXXII) .00

Drittes Kapitel.

Ein zweites allgemeines Prinzip der Umformung
unendlicher Reihen und dessen Anwendung auf Thetareihen.

$ 1. Umformung einer einfach unendlichen Reihe vermittelst der

Fourlerschen Formel DS

vnwendung der Formel (1) auf die einfach unendliche Thetarelhe M

$ :\. tnsdehnung der In & 1 angegebenen Umformung auf mehrfach
unendliche Reihen .

4 I. Über eine Eigenschaft der Thctamoduleu » ........ 109

g ■>. Anwendung der Formel (IV) auf eine p-tavh unendliche Theta-

reihe 106

Viertes Kapitel.

Darstellung allgemeiner 2/>-fach periodischer Funktionen
durch Thetafunktionen.

Bildung '2p -fach periodischer Funktionen mit Hilfe von Theta.

funktionell 11<>

Allgemeine Satze über -•/>- fach periodische Funktionen . . 114

Keduktion der Perioden einer allgemeinen 2/>-faeh periodischen

Funktion auf eine Normalform 1'J'i

Uarstelluiiu' der allgemeinen -'/»-fach periodischen Funktionen

i Thetafnuktloncii 136

Fünftes KapiteL
Die Transformation der Thetafunktionen.

1. IIa« Trans formfltlousproblem 128

2. Weitere Eigenschaften der Transforniatlonszahlcu « .

■i. Beziehungen zwischen den Argumenten und Modulen der ur

sprünglirhcn und der transformierten Thetafunktionen 138

4. Zusammensetzung von Transformationen 142

•*i. Ziisjuninensetzung einer ganzzabllgen linearen Transformation

ans elementaren 148

IV Inhaltsverzeichnis.

§ ll. Zu rück Führung irunz/.ahliir< > r nichtlinearer Transformationen auf
eine endliche A n /.tili 1 nicht äquivalenter

a ;. Zusammenhang: der ursprünglichen und der tran»formi<
Tlietnfnnktinn im Falle gnnzzahligcr Transformation

8 B, Die ganzzahlige lineare Transformation der Thctafuuktionen

g 9. Der besondere Fall p = 1

$ 10. Zuriirkführung nichtganzzahliger Transformationen auf gwn»

zahl ige. Hie .Multiplikation »tili die Division

* 11. Krazer-Prymschc Till ■■■! mm wtil m einer Transformation
elementaren

Sechste» Kapitel.
Die komplexe Multiplikation.

§ 1. Die komplexe Multiplikation der Theliiftinktlonen einer \ i r-
äuderliehen . . . .

$ 2. Kinigc Siltzc ans der Lehn von den hiliiicurcn Formen

$ B. Die komplexe Multiplikation hei den Thetafuiiktiouen mehrerer
Veränderlichen

| 4. Nachweis, daß die Im IX. Satz angegebene notwendige Bedingung
auch hinreichend Ist

Zweiter Teil.
Die allgemeinen Thetafnnklionen mit rationalen Cbarakforifl

Siebentes Kapitel.

Die Thetafanktionen, deren Charakteristiken ans halben Zal

gebildet sind.
8 1. Die Funktionen &\e\ t {n)

Erster Abschnitt.

Die Charakteristikentheo rie.
* 2. Perlodeiichurakleristlkiii
a 8, Thelachiirukterlxtikcn
« 4. Beziehungen zwischen den PeriodencharakterUtlkcn und dir

Thetacharakterlstiken

1 5. Fundamentalsysteme von l'erlodencharakteristlkeu .......

$ <!. Die («ruppe der mod. 2 inkongruenten ganzzahligen lliicureu

Transformationen

jjf 7. Fundamentalsrsteme von Thetacharakterlstiken

| 8. («nippen von Perlodencharakteristiken .

§ 9. Systeme von Thetacharakterlstiken

Zweiter Abschnitt.
Die Additionstheoreme der Thetafanktionen.

§ 10. Die Kiciuunnschc Thetaformel
»11. Der Fall p=l .
§12. Der Fall ;>=2

Inhalte Verzeichnis. V

Saite

f 18. Du Additionstheorem der allgemeinen Thetafunktioncn Tür ;>>3 346

f 14. Weitere Folgerungen au» der Kiemannschen Thetaformel .... 351

flS. Thetafunktioncn höherer Ordnung mit halben Charakteristiken 357

1 16. Thetarelatlonen 362

Achtes Kapitel.

Die Thetafanktionen, deren Charakteristiken aus ; >l Zahlen
gebildet sind.

9 1. Die Funktionen *[*],(«) 370

ff 2. Periodencharakteristiken 373

f 8. Thetacharakterlstiken 37h

#4. Die Verallgemeinerung der Kiemannschen Thetaformel 379

$ 5. Das Additionstheorem für die Quotienten der Funktionen »f fj r £«) 387
§6. Über die zwischen den r tp Funktionen 9-\e] r ?u} bestehenden

Delationen 3t*«

§7. Der besondere Fall pssl, rs3 390

f 8. Die elliptischen Normalkurven 399

99. Übergang ton den Funktionen d-\e'] r (uli zu den Funktionen

*[«],(«) *«H

910. Die Transformation der Funktionen 0>\t] t .■:«,, 407

Dritter Teil.

Die speziellen Thetafunktionen.

Neuntes Kapitel.
Die Abelschen Thetafanktionen.

9 1. Vorbemerkungen aus der Theorie der Abelschen Funktionen . US

9 2. Die Kleniaiinschc Thetafunktlon 416

9 8. Die Anzahl der Nullpunkte der Kiemannschen Thelnfnnklion . . 419
9 4. Zusammenhang zwischen den Parametern <*,, ••.<"_ und den

Nullpunkten jj ]t ■•■,»?_ der RieninnuHchen Thetafunktlon .... 4a 1
9 5. Die Lehre rom Identischen Verschwinden der Rleinaniischeii

Thetafunktlon 426

9 6* Zuordnung von Wurzelfunktionen zu den Thetafunktioncn . . . 436

9 7. Das Umkehrproblem 441

Zehntes Kapitel.
Die hyperelliptischen Thetafanktionen.

9 1. Deziehungen der Feriodlzitätsmoduleu eines hypercliiiilischcii
Integrals erster («attuug zu seinen »'erten in den Verzweigiinirs-

punkten 44.1

92. Berechnung der Kiemannschen Konstanten l,\.-,k, 449

9 8. Das Verschwinden der hyperelliptischen Thetafunktion 454

I Fortsetzung »iehe Seite VIII.)

Verlag tob B. G. Teubner in Leipzig,

Theorie der zweifach unendlichen Thetareihei

auf Grund der Riemannschen Thetaformel.
Von Prof. Dr. Adolf Krazer.

|VII u. 66 S | gr. 1. 1883. geh. n. .43.60.

Diese Arbeit behandelt den ipeciellen Kuli der zweifach unendlichen Tl
d. Von der llieinaunscheji Thetaformel ausgebend, wird kue
Kall« entsprechende SjBtem linearer Gleichungen aufgestellt ..■ thend unt«

b. Es ergeben lieh dabei zwei eigentümliche Systeme von je viert'hai
die als Vierersysteme en eiohnet w<

- erste m den - hb., das zweite /.u den Rosenhainschen

hinflberleitet. Durch Spezialisierung der iu dem erwähnten Systeme
Gleichungen vorkommen o wird hierauf die Kundainentalfunue]

ganze Theorie abgeleitet, und es treten dabei sogleich aof natürlich'
gewisse Systeme von je sechs Charakteristiken hervor, die als Ilosenl
■^ersysteme bezeichnet werden. Die weitere Untersuchung liefert da
id einer vollständig willkürliehen Anordnung der sechs ungeraden Charokt
ristiken die »amtlichen in der Fundamentalformel enthaltenen Thctarclationen
allgemeinster Gestalt. Es zeigt sich bei dieser Behandlung
Parallelismus zwischen den Untersuchungen von Göpel und IJosenhain,
wird so i'rat eine einlieitliche Theorie ein Einblick

ihre Struktur-Verhältnisse und ihre Abhängigkeit voneinander gewonnen.

Neue Grundlagen

einer Theorie der allgemeinen Thetafunktionei

Von Prof. Dr. A. Krazer und Prof. Dr. F. Prym.

Kurz zusammengefaßt und herausgegeben von
Prof. Dr A. Krazer.

[XII u. 133 EL] gr. 4. 189-'. geh. ti. A 7.20.

Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei selbständigen Teilen, vor
der erste den Titel: ..Theorie der Thetafunktionen mit rationalen Charakteri
der zweite den Titel: , .Theorie der Transformation der Thetafunktionen" tut

Defl Mittelpunkt des ernten Teiles bildet eine, als „Fundamentalfoi
Theorie der Thetaftuiktionen mit rationalen Charakteristiken." bezeichnete Tb«
formel von sehr allgemeinem Charakter, zu der die Verfasser gelangten, ine
sie Hieb die Aufgabe stellten, die allgemeinste Thetafonasl aufzufinden, welc
dadurch erhalten werden kann, daß man in der ein Produkt von n Thetafun
tioneu mit verschiedenen Parametern darstellenden np- fach, unendlichen ReL
an Stelle der bisherigen Bummationsbuchstaben vermittelst einer linear.
Btitutiou neue Bnnimauonsbnchstaben einfahrt. Diese Formel aufzustellen und a
derselben eine jjf'ißere Anzahl für die Theorie und Anwendung wichtiger sj
Formeln abzuleiten, bildet den Gegenstand der Untersuchungen des ersten Te"

Der zweite Teil enthält die vollständige Lösung des allgemeinen Tr
f'oruiationsproblems der Theta Funktionen. Dieselbe wird dadurch erreich
man, unter Anwendung des Prinzips der Zerlegung einer Transformation
mehrere, die Lösung des allgemeinen Transformat ionsproblema reduziert auf i
Lösung einer geringen Anzahl einfacherer Transformationsprobleme,

Ist direkter Methoden behandelt werden können. I'ie hierbei zu I
liegende Zerlegung der allgemeinen Transformation wurde aber ertd i
nachdem der Begriff der Transformation in der Art erweitert worden war, d
man fflr die eine Transformation charakterisierenden 4/<* Zahlen, die t
stets ah ganze Zahlen vorausgesetzt wurden, auch gebrochene Zahlen znliefi

Verlag von B. G. Teublter in Leipzig.

Untersuchungen über Thetafunktionen

Von der philosophischen Fakultät der Universität Göttingen mit dem

Beneke- Preise für 1895 gekrönt und mit Unterstützung üVr König).

Gesellschaft der Wissenschaften daselbst herausgegeben

von Prof. Dr. Wilhelm Wirtinger.

[VIII u. 125 8.] gr. 4. 1895. geh. n. „Ä 9.—

Dies« Schrift hat zum Gegenstande «lie genauere Untersuchung der Be-
ziehung der allgemeinen Thetafunktionen zu den algebraischen Funktionen und
ihren Integralen. Sie verfällt in zwei Teile, von denen der ernte den allgemeinen,

von jT Parametern abhängigen Thetafunktionen gewidmet ist, während der

zweite eine spezielle Klause behandelt, welche jedoch von 3/> Parametern ab-
hängt und daher allgemeiner ist als die nur von Hp — 3 Parametern abhängige,
von Kiemann behandelie Klasse.

Theorie der Riemannschen Thetafunktion.

Von Privatdozent Dr. Georg Rost.

[IV u. 66 8.] gr. 4. 1901. geh. n. i 4.-

Die vorstehende Arbeit bezweckt, die in der Theorie der Riemannschen
Thetafunktion noch vorhandenen, nicht unwesentlichen Lücken auszufüllen.
Zunächst wird im ersten Abschnitte die Theorie der algebraischen, in einer all-
gemeinen Hiemannschen Fläche T einwertigen Funktionen so weit entwickelt,
als es für die Theorie der Thetafunktion erforderlich ist. Der Verfasser beschränkt
sich dabei nicht auf die Betrachtung von Funktionen mit nur einfachen Unend-
lichkeitspunkten, er behandelt vielmehr den allgemeinsten Fall und gelangt da-
durch zu Resultaten von unbeschränkter Gültigkeit. Durch Einführung des Be-
griffes „Rang eines Punktsystems" gewinnt die Darstellung der Theorie eine
ungemein übersichtliche Gestalt. Im zweiten Abschnitt« wird dann die eigentliche
Theorie der Riemannschen Thetafunktion in abschließender Weise entwickelt.
Auf Grund der Erkenntnis, daß Punktsysteme von speziellem Charakter auftreten
können, gelingt es dem Verfasser, den von Riemaun aufgestellten, die Darstellung
von Konstantensystemen durch Summen allenthalben endlicher Integrale be-
treifenden Sätzen eine korrekte Fassung zu geben. Auch wird für die von Hie-
mann aufgestellten Deriviertcusützc zum ersten Male ein einwandfreier Beweis
geliefert. In den am Schlüsse der Arbeit befindlichen Anmerkungen werden die
im Haupttexte entwickelten Theorien durch Heispiele erläutert und die Arbeiten
der Vorgänger einer eingehenden Kritik unterzogen.

Inhaltsvtrzeii !:

$ 4. Die «wischen den Modulen einer hvperelllptischen Thetafnnklitm
bestellenden Beziehungen. Prymsche Methode zur Itestiminunc
der Itie mann scheu Konstanten /•, , . /■ ,

$ 5. Das Additionstheorem der hypcrclliptischeii Thetufiinktlouen

Elftes KapiteL

Die rednzierbaren Abelschen Integrale nnd die
zugehörigen Thetafunktionen.

f 1. Reduktion Abelseher Integrale auf elliptische

$ 2. Spezielle Diskussion des Falles p asfl

$ 3. Kediiktlon Anelseher Integrale vom (Jeselileeht 7 auf solche

niedrigeren GeteUeehta j>

Ml

192

Autorenregister
Sachregister . .

Bestell -Zettel.

Uei

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1 bestellt der l tiermit «las ini Verlage ton H <;

in Leipzig neben erschienene Werk [zur Ansicht]:

A. Krazor, Lehrbuch der Thetafunktionen. fXXIV
u. 512 S.| gr. 8, LWS. In Leiuw. geb. n. M, 24 —

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INHALT DES VORLIEGENDEN DOPPELHEFTES.

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80t

Bemerkungen znr Theorie der Abelschen Funktionen.

Von Hebmann Stahl in Tübingen.

Erste Note (zu St. A. F. Einleitung).

Im Sommer 1901 bestand der Plan einer französischen Übersetzung
des zweiten Teils meiner Theorie der Abelschen Funktionen (Leipzig,
Teubner 1896; zitiert St. A. F.), die Herr A. Tresse, Professor am College
Rollin zu Paris ausführen wollte, und die im Verlag von Gauthier-
Villars erscheinen sollte. Hierfür hatte ich, zum Teil im Verein mit
Herrn Tresse, einige Zusätze und Verbesserungen ausgearbeitet, wobei
u. a. die wertvollen Winke benutzt wurden, die Herr A. Krazer in
seiner Besprechung des Buches (Gott. Gel. Anzeigen 1898, S. 996 bis
1000) gegeben hat. Wenn nun auch die Übersetzung selber aus ver-
schiedenen äußeren Gründen aufgegeben werden mußte, so dürften doch
bei der freundlichen Aufnahme, die das Buch gefunden hat, die geplanten
Zusätze manchem Leser willkommen und damit ihr Abdruck in diesem
Archiv gerechtfertigt sein. Am Schlüsse dieser Noten gebe ich ein
Inhaltsverzeichnis dieser Umarbeitung der A. F. Herrn Tresse aber
möchte ich für alle seine Bemühungen an dieser Stelle nochmals
meinen besonderen Dank aussprechen.

Die erste Note gibt als Einleitung zur Theorie der Abelschen
Funktionen eine etwas ausführliche Übersicht über die RiemannBche
Theorie der elliptischen FunMionen, die sich anschließt an die inzwischen
im Druck erschienenen Vorlesungen von Kiemann über elliptische
Funktionen (Leipzig, Teubner, 1899; zitiert R. E. F.). Meine Absicht
ist zugleich, zu zeigen, daß die RiemannBche Behandlung sich sehr
wohl zur Einführung in die elliptischen Funktionen eignet. Ich habe
dies in Vorlesungen mehrfach erprobt und würde mich freuen, wenn
auch andere diese Probe machen wollten.

Archiv der Mathematik and Fhyilk. III. Reih«. VI.

13

Elliptische Punktionen.

Erster Teil.

Die Theorie der elliptischen Funktionen kann man in zwei Ab-
schnitte teilen, von denen der erste sich mit der algebraischen Grund-
gleichung, den zugehörigen algebraischen Funktionen und den Integralen
derselben, den elliptischen Integralen, der zweite Teil mit der Lösung
des sog. Umkehrproblems oder mit den elliptischen Funktionen und
der zu ihrer Darstellung dienenden Thetafunktion beschäftigt.

I. Die erste Aufgabe 1 ) ist die Untersuchung der GrundgleicliHwi,
d. h. einer Gleichung zwischen zwei komplexen Variabein (x, y) vom
Grade n = 3 und vom Geschlecht p =■ 1:

(1) y* = (x,k) = x(l-x)0 -Vx),

wo k eine reelle oder komplexe Größe ist, welche der algebraisch
Mahd heißt.

Die Gleichung (1) führt zu zwei geometrischen Vorstellungen, die
beide wichtig sind. Die erste derselben betrachtet als Ort der kom-
plexen Variabein k nicht die einfache x- Ebene, sondern eine zwei-
blättrige, im Unendlichen geschlossene Fläche T, in welcher die zwei-
wertige Funktion y = Y(x, k) eindeutig ist, so daß jedem Wertepaar (x } y)
oder (x, V(x f k) eindeutig ein Punkt dieser Fläche entspricht und um-
gekehrt. Die Fläche T heißt die Kieiuan nsche Verztceigungsfläelu
der Funktion y = Y(x t k) \ sie hat vier Verzweigungspunkte 0, 1, 1 :k s , ao.
Ihre beiden Blätter gehen ineinander über längs zweier Verzweigungs-
linien, die zwischen und 1 und zwischen l:fc a und oo verlaufen
mögen. Die Fläche T ist nicht einfach zusammenhängend, sondern
wird erst in eine einfach zusammenhängende Fläche T' verwandelt
durch 2 p = 2 Querschnitte a und b (R. E. F. Fig. 1 S. 17). Wir
denken uns b im oberen Blatt um die Punkte und 1, a teils im
oberen teils im unteren Blatt um die Punkte 1 und 1 : k? gelegt. Ist
k* reell und kleiner als 1, so lassen sich die Werte von »/ zu beiden
Seiten der reellen Achse im oberen und unteren Blatt von T leicht
angeben (R, E. F. Fig. 17 a, b S. 77). Die zweite geometrische Vorstel-
lung betrachtet (1) als Gleichung einer Kurve vom Grade » «= 3 und
vom Geschlecht p = 1 mit komplexen Koordinaten (x, y) und wendet
auf sie alle Bezeichnungen an, die bei reellen Kurven gebräuchlich
sind. Sie spricht von einer Ebene, der (x, y)-Ebene, in der die Kurve
liegt, und nennt ein Wertepaar (x, y), das der Gleichung (1) genügt,

i B R. F. S. 73—79.

Bemerkungen zur Theorie der Abelschen Funktionen.

einen Punkt der Kurve u. s. w. Die Deutung von (1) als Kurve läßt
eine besondere einfache Ausdrucksweise zu bei algebraischen Fragen
nnd geometrischen Anwendungen, die Darstellung von y durch die Ver-
zweigungsfläche T bietet dagegen besondere Vorzüge bei transcendenten
Fragen.

Man kann durch eine funktionentheoretische Untersuchung zeigen,
daß jede in T eindeutige (jede wie T verzweigte) Funktion des Ortes, die
regulär ist, d. h. die nur in einer endlichen Zahl von Punkten von T
und in jedem derselben nur in endlicher Ordnung unendlich wird,
eine rationale Funktion von (x, y) oder (x, Y(x, k) ist.

Diese Untersuchung der Gleichung (1) findet ihre Verallgemeinerung
in A. F. Abschnitt I.

II. Eine zweite Aufgabe 1 ) ist die algebraische Untersuchung der zu
\ 1 1 gehörigen rationalen Funktionen R(x r y) von (x, y) oder {z, Y(x, k),
die sich in der Form darstellen

(2)

R(x r y)

f(x) + «>(*) ■ v^T)

wo M, N, P ganze, f(x) und q>(x) gebrochene rationale Funktionen
von x allein bezeichnen.

Für die Funktion R(x,y) gelten im Gegensatz zu den rationalen
Funktionen von x allein folgende Sätze:

1. Die Funktion Rix, y) ist eine eindeutige, analytische Funktion
des Ortes in der zweiblättrigen Fläche T; sie wird in einer endlichen
Anzahl von Punkten in endlicher Ordnung unendlich, Diese Eigen-
schaft ist nach dem Obigen charakteristisch für die Funktionen R(x, y)
und kann zur Definition derselben dienen

2. Die Zahl der Punkte, für welche die Funktion R(x t y) in der
Fläche T unendlich in erster Ordnung (=00') und Null in erster
(= 1 ) wird, ist die gleiche. Diese Zahl heißt die Ordnung der Funk-
tion R(x,y). Aber die Ordnung m ist nicht willkürlich, sie hat eine
untere Grenze^ +1 = 2, und die jmO 1 und die moo 1 Punkte der Funk-
tion sind nicht unabhängig voneinander.

3. Eine Funktion R(x, y) von der Ordnung m ist bis auf eine
(unbestimmt bleibende) additive Konstante bestimmt, wenn ihre moo 1
Punkte und von den m zugehörigen Residuen alle mit Ausnahme von
einem beliebig gegeben sind. Zwischen den Koordinaten der moo 1

1) R. E. F. S. 79 und 8<J. Ausführungen in Zeitschrift f. Matb. u. I»hys. 45,
816ff. (190m:.

12*

180

Hekmaxx Stabi.:

Punkte und den m Residuen besteht eilte Gleichung, welche das letzte
Residuum eindeutig bestimmt.

4. Eine Funktion R(x, y) von der Ordnung m ist bis auf einen
(unbestimmt bleibenden) konstanten Faktor bestimmt, wenn ihre "'
und Po 1 Punkte mit Ausnahme von einem derselben beliebig gegeben
sind. Zwischen den Koordinaten der 2m l und oü 1 Punkte besteht
eine Gleichung, welche den letzten dieser Punkte eindeutig durch die
2m — 1 übrigen bestimmt.

Sind die moo 1 Punkte (x' lt y[), . . ., (x' mf y' m ) von allgemeiner Lage
nnd sind B lt . . ., B m die zugehörigen Residuen, so daß im Punkt (av, y,")
E(x, y)ao' wird wie B f :(x — x'i) oder der Ausdruck E^yj — B^^x—Xi)
endlich bleibt, so wird die Funktion R(x, y) dargestellt durch

(8)

*fe»>-ä£3+

I m " ~t~ "w ■ n

+ äir x — x' "^ ° '

und die Bedingungsgleichung zwischen den 2 m Elementen {x\, y';) und
B ( lautet:

y\

(3 a)

+

+ ~P = 0.

Sind dagegen (a£, yj) die moo 1 Punkte und (sc?, y?) die ?m 1 Punkte
(i = 1, . . ., »*), so wird JS(*', y) (abgesehen von einem konstanten Faktor C)
dargestellt durch die Determinante

ind
da

(4)

y + yj

iE — Zj

yS -h y;

V + tfm

rt + y^

1

l . .

a* — x'

1

und die Bedingung zwischen den 2 m Punkten (#/, y,') und (x?, y?) wird
erhalten, indem man diese Determinante, gebildet für (x, y) = (x\, yj),
gleich Null setzt.

Man kann die Darstellung von R(x f y) durch die oo l und 1 Punkte
auch in anderer Form geben, die unmittelbar an (2) anknüpft. So läßt
sich die Abhängigkeit zwischen diesen 2 tu Punkten darstellen durch dies
Determinantengleichung (i f k = 1, • ■ -, m):

x f

xl

xV

xr
4 m

— V'

+ y?

- y. xt

+ yl4

[m-i

— y. Xi

+ yJ4— »

0.

Bemerkungen zur Theorie der Abelachen Funktionen.

181

Ferner ist der Nenner P der Funktion (2)

(6) P m x — x[ ■ x — x' t ■ • ■ x — x' m ,

und der Zähler M + Ny wird (abgesehen von einem konstanten Faktor G)
erhalten, indem man in der Determinante (5) (x^,, y?„) dureh die
variabeln Koordinaten (x, y) ersetzt.

Da späterhin x und y als elliptische Funktionen eines Parameters m
erscheinen, bo enthalten die vorstehenden Sätze und Gleichungen auch
wichtige Eigenschaften und Darstellungen der elliptischen Funktionen
(s. Nr. V).

DieBe Untersuchungen über die rationalen Funktionen von (x, y)
und besonders die Darstellungen (3) und (4) fiuden ihre Verall-
gemeinerung in der zweiten Note.

III. Eine dritte Aufgabe 1 ) ist die Untersuchung der Integrale der
Funktionen R(x, y), dir sog. elliptischen Integrale, die sich (abgesehen
von Integralen rationaler Funktionen von x allein) nach (2) darstellen
in der Form

(7) rf(x)dz

f\

wo f(x) eine gebrochene, rationale Funktion von x ist.

Die charakteristischen Eigenschaften der Integrale (7) als Funktionen
von x sind folgende:

1. Die Funktion (7) kann in einzelnen Tunkten von T ebensowohl
algebraisch wie auch logarithmisch unendlich werden.

2. Die Funktion (7) ist in der Fläche T eine unendlich vieldeutige
Funktion des Ortes, derart, daß sie, wenn der Integrationsweg die
Querschnitte a und b überschreitet, um gewisse Konstanten Ä und B t
die Bog. PeriodicitätsHi'itiirfn wächst.

Sind logarithmische Unstetigkeitspunkte vorhanden, so treten noch
weitere Periodicitätsmoduln hinzu.

Das allgemeine elliptische Integral (7) läßt sich in einfachere
Integrale zerlegen, nämlich in

Integrale 1. Gattung, d. h. solche, die in allen Punkten von T end-
lich bleiben,

Integrale 2. Gattung, d. h. solche, die in einem Punkt von T alge-
braisch unendlich werden,

Integrale 3. Gattung, d. h. solche, die in zwei Punkten von T loga-
rithmisch unendlich werden.

i) R. E. F. S. 7»— 86.

182

IIliima.nn Stahl:

Es gibt (entsprechend dem Geschlecht p = 1) ein Integral
Gattung, nämlich:

(8)

r dx

Die Periodicitätsmoduln desselben 2K und 2iK' an den Querschnitten a
und b Bind bestimmt durch

(9)

1 m 1/H 1/i»

K=fdu; iK'=fdu=fdu\ K+iK'=fdu.

Die Grenzen in diesen abgekürzt geschriebenen Integralen beziehen sie
auf die Variable x (ähnlich in (11) u. s. w.). Da K und K' nur von
einer Größe k abhängen, so sind sie nicht unabhängig voneinander.
Wim hat indeß nur (8) mit einem beliebigen konstanten Faktor zu
multiplizieren, um ein Integral zu erhalten, dessen Periodicitätsmoduln
voneinander abhängig sind (vgl. auch Nr. IX).

Ist Ä s reell und <1, so sind K und K' ebenfalls reell; ist k 1
komplex, so Bind auch K und K' komplex. Man kann beweisen, daß,
wie auch k* beschaffen sei, der reelle Teil des Quotienten K' : K stets
positiv ist, daß also der absolute Wert der später zu benutzenden Größe

= A *

q =e

stets < 1 ist.

Es gibt ferner mannigfaltige Integrale zweiter und dritter Gattung;
so stellen

(10)

t

/'*dx ^ = f V(x t , k) dx

yr&k)' J \/{x,k)x — 3

ein Integral zweiter Gattung mit dem algebraischen Unstetigkeits-
punkt (x = oo, y = oo) und ein Integral dritter Gattung mit
den beiden logarithmischen Unstetigkeitspunkten (x , y ) und

(*o> —9o) dar -

Untersucht man die Beziehungen, die zwischen einem elliptischen
Integral und einer rationalen Funktion sowie deren Unstetigkeitspunkteu
stattfinden, so erhält man eine Reihe von Gleichungen und Sätzen, die
das Abfische Theorem bilden. Für das Integral erster Gattung lautet
dasselbe :

Sind (a:?, tj°) und («/, yf) zwei Punktsysteme, für welche eine
rationale Funktion li (x, y) von der Ordnung m die Werte Ü 1
xind c» 1 annimmt, so ist die Summe der m Integrale erster Gattung,

Bemerkungen zur Theorie der Abelschen Funktionen. 183

genommen zwischen diesen zwei Punktsystemen, kongruent 0, d. h.

es ist _,

(11) yj fdu = Q (mod. 2K, $iJT).

S/"'°

Der Beweis folgt sehr einfach aus der Gleichung (3 a). 1 )

Es gilt zugleich der umgekehrte Satz:

Sind zwei Punktsysteme (a#, y?) und (x' if y/) (i — 1, • • •, n») so be-
schaffen, daß sie der Kongruenz (11) genügen, so sind die m Punkte
O^?» y?) die 1 Punkte und die m Punkte (x/, y/) die oo l Punkte einer
bestimmten rationalen Funktion R(x, y).

Nach diesem Doppelsatz sind die algebraische Gleichung (5) und
die transcendente Gleichung (11) vollständig gleichwertig.

Wir geben ein später zu benutzendes Beispiel. Setzt man
{ *, X, . *, «,

(12) fdu=fdu + fdu oder fdu+fdu = 0,

U ^

so erhält man die dieser transcendenten Gleichung äquivalente, alge-
braische Gleichung, wenn man in (5) (x\, yj) = (0, 0); (x\, yj) = (|, rf}\
(*'u V'i) — ( x i> 9i)i ( x tt y't) = (*»> Vi) setzt > es kommt:

(12a)

x i x t &

o.

Das Abel sehe Theorem für das Integral erster Gattung läßt sich
geometrisch deuten und führt zu wichtigen Sätzen über die Wende-
punkte der Kurve (1) und über Schnitt- und Berührungs-Systeme der
Kurve (1) mit anderen algebraischen Kurven.

Für die Integrale zweiter und dritter Gattung lautet das Abelsche
Theorem:

Sind (:e?, y?) und («/, yi) die 1 und oo 1 Punkte einer rationalen
Funktion B (x, y) der mten Ordnung, so ist die zwischen ihnen ge-
nommene Integralsumme für jedes Integral zweiter Gattung gleich einer
rationalen Funktion der Koordinaten des Unstetigkeitspunktes dieses
Integrals und für jedes Integral dritter Gattung gleich dem Logarithmus
einer rationalen Funktion der Koordinaten der beiden Unstetigkeits-
punkte dieses Integrals.

1) Zeitschrift für Math, und Phys. 45, 224.

184 Hkemastn Stahl:

Als Beispiele fahren wir die der Gleichung (12) entsprechende
Gleichung für das Integral zweiter Gattung (10) an 1 ):

(\ Vi f xdx __ Cxäx . C xix , x l x t (x t — «,)

und für das Integral dritter Gattung (10):

wo B X9 der Quotient

(14a) Ä

*9

X

X*

-y

*1

*?

y t

a*

*5

Ä

: (» — 3$(x — «t)

Die vorstehenden Untersuchungen über die elliptischen Integrale finden
ihre Verallgemeinerung in St. A. F. Abschnitt HI.

IV. Eine vierte Betrachtung 11 ) dient zur Erweiterung der erlangten
BesuUate.

Ist statt der Gleichung (1) die allgemeinere Gleichung zwischen
(?i, Vi) gegeben
(15) tfi=c x\ + 4c,*» + 6c,x\ + 4^, + c 4 = c (x t - ajfa — ajfo — o,)(aj -a,),
so kann man diese auf die Normalform (1)
(15 a) y* - s • 1 - a: • 1 - k*x = Jfe V - (1 + fc s ) a:* + x

bringen durch die bilineare Substitution zwischen x und x x

(16) x

aj — °o , «i — *»
*i - «» ' <h — a o '

durch welche den Werten

«1-^ «t «I »»

bez. die Werte

a; = 1 l/k> oo

zugeordnet werden, wobei 1 : h? durch die Gleichung
(16 a) — — °* ~ a ° • "* ~ a *

1) Ausführungen in der Dissertation von Curt Ho ff mann (Tübingen 1904).

2) R. E. F. 8. 11—16 u. S. 87—91.

Bemerkungen zur Theorie der

raktionen.

185

also durch das Doppelverbältnis der vier Yerzweigungspunkte tou y i in
(15) bestimmt ist. Die Vergleichung von (15) und (15 a) ergibt als-
dann für y einen Ausdruck von der Form

(17)

Cy t

«i — <h*

wo C eine leicbt zu bestimmende Konstante ist.

Die Gleichungen (16) und (17) bilden eine Bog. eindeutige rationale
Transformation d. h. eine Transformation, bei der sich ebenso wohl
(x, y) rational durch (x lr y,) ausdrückt wie umgekehrt {x lt y,) durch
(x, y). Die eindeutige Transformation läßt stets die sog. absolute In-
turiante Jj der Gleichung oder Kurve (15) umgeändert Es hat nämlich
J, den Wert

wo

9\ -270»'

9»"C c l -4c l c s +Bc\; y s

wi C« f«

Ca Cm

o,

Bildet man den entsprechenden Wert J für (15 a), indem man c a
Cj = -j-, c, = — {(1 + Je*), c s = j, c^ = 0, also, wenn &"' = 1 — k 1 ,

Betzt, so folgt aus (16 a), daß J x = J ist. Durch die eindeutige Trans-
formation (16), (17) geht jedes Integral der ersten, zweiten und dritten
Gattung in (x lf y^ über in ein ebensolches Integral gebildet in (x, y),
bo daß die Theorie der an (15) anknüpfenden Funktionen auf die
Theorie der zur Norraalforna (15 a) gehörigen Funktionen zurück-
geführt ist.

Man kann dies Resultat verallgemeinern und zeigen, daß durch eine
eindeutige Transformation

(19) x. = tp(x,y), $, = *0,y)f

wo q? und ty rationale Funktionen von (x f y) sind von der Beschaffen-
heit, daß sich aus (19) mit Hilfe von (1) auch x und y als rationale
Funktionen von (x u y t ) darstellen, die Gleichung (1) übergeht in eine
Gleichung F t {x v y,) = von einem gewissen Grade n lt aber von dem-
selben Geschlecht p = 1, deren absolute Invariante gleich der absoluten
Invariante (18) von (1) ist, und daß umgekehrt durch eindeutige Trans-
formatton jede Gleichung vom beliebigen Grade n, und vom Geschlecht

186

Hzbmaxx Stahl:

p = 1 in die Normalform (1) mit der gleichen absoluten Invariante
übergeführt werden kann. Geometrisch stellt F 1 (x^, y,) = eine Kurve
vom Grade n r mit -£ n i( n i — 3) Doppelpunkten (oder äquivalenten
Singularitäten) dar. Durch eindeutige Transformation erhält man daher
auch die Theorie der zu einer solchen Kurve F 1 = gehörigen ellip-
tischen Funktionen und Integrale. So führt z. B. das Abel sehe
Theorem für das zu F 1 =■ gehörige Integral erster Gattung zu Sätzen
über die Wendeponkte von F x = oder über Schnitt- und Berührungs-
Systeme der Kurve F % = mit anderen algebraischen Kurven. 1 )

Diese Untersuchungen über die eindeutige Transformation finden
ihre Verallgemeinerung in St. A. F. Abschnitt IV.

Zweiter TeiL

Der zweite Teil der Theorie der elliptischen Funktionen beschäftigt
sich mit der Lösung des sog. Umkehrproblems oder mit der Theorie der
elliptischen Funktionen selbst. Ihre Definition ist folgende.

Setzt man das elliptische Integral erster Gattung gleich einer
komplexen Variabein «, also

(Ml)

X

dx

2}/(S, £)

so besteht das gleichzeitig von Abel und Jacob i aufgestellte und
gelöste Umkehrproblem darin, x und y als Funktionen von u

(20)

x =/■(«), y-yprs-*/»

imd allgemein eine beliebige rationale Funktion von (ar, y) in u dar-
zustellen. Alle diese Funktionen heißen elliptische Funktionen des
Argumentes u. Sie besitzen im Gegensatz zu den elliptischen Integralen
sehr einfache Eigenschaften.

V. Wir geben zuerst eine allgemeine Übersicht über diese, fundamentalen
Eigenscltaften*), die man, ohne die analytische Darstellung zu kennen,
allein aus der Definition (19), (20) und den Sätzen des ersten Teiles
ableiten kann.

Hierzu bilde man die zweiblättrige Verzweigungsfläche T', nach-
dem sie durch die Querschnitte a, b einfach zusammenhängend gemacht
ist, mittels der Gleichung (19) auf die Ebene der komplexen Variabein

1) Clebsch, Journ. für Math. C4, 210 ff. (1864). Vgl. CLebsch-Lindemann,
Geometrie I. B. 903—904.
S) B. E. F. S. 20—26.

Bemerkungen zur Theorie der Abelschen Funktionen.

187

u ab. Diese Abbildung ist eindeutig und konform und nur unähnlich
in den vier Verzweigungspuiikten von T', in welchen die Funktion
du : dx gleich oder ec wird. Da die Begrenzung von T' aus den
Rändern der Querschnitte a und b besteht, an denen « konstante Wert-
differenzen (die Periodicitätsinoduln 2K und 2iK') hat, und da u
innerhalb T' nicht unendlich wird, so führt die Abbildung von T' auf
ein Parallelogramm P, das ganz im Endlichen der «-Ebene liegt und
dessen Ecken die Abstände 2 K und 2 i h" haben.

Ist k* beliebig komplex, also 2K und 2 iK' ebenfalls komplex, so
ist bei beliebiger Lage der Querschnitte a, b das Parallelogramm P
schiefwinklig und seine Seiten sind im allgemeinen krummlinig. Doch
können sieh nie zwei Seiten von P in einem Punkte « schneiden.
Denn andernfalls müßten demselben Werte u zwei verschiedene Punkte

(x ot y a ) und (x u y { ) von T entsprechen, oder es müßte / — _ =0

sein d. h. es müßte nach der Umkehrung des Abelschen Theorems
(Nr. III) eine rationale Funktion von (x, y) geben, die nur einen 1
Punkt (x or y a ) und einen oo 1 Punkt (x i} y t ) hatte, was nach Nr. II
unmöglich ist. 1 )

Ist k a reell und < 1, also K und K' reell, so kann man die Ab-
bildung genauer angeben. Läßt man die Querschnitte b und a längs der
geraden Strecken ... 1 und 1 . . . 1/fc* verlaufen, so wird das Parallelo-
gramm P ein geradliniges Rechteck von den Seitenlängen 2K und 2iK'.
Läßt man dem Punkt x = den Wert u = entsprechen, so erhält man
die in R. E. F. S. 24 gegebene Figur 10, in der zugleich die vier durch
die reelle Achse getrennten Halbebenen der Fläche T' durch vier kleine
Rechtecke abgebildet sind. Beginnt man die Abbildung mit einem
anderen der unendlich vielen Werte w = m2K -f- «2* AT, die dem Punkt
x = entsprechen, so überdeckt sich die «-Ebene mit einem Netz von
unendlich vielen mit P kongruenten Rechtecken, wodurch die Wert-
syateme der Funktion x = /*(«) In der ganzen «-Ebene festgelegt
werden.

Aus dieser Abbildung ergeben sich unmittelbar die fundamentalen
Eigenschaften der elliptischen Funktimm (20), nämlich:

1. Die Funktion j: = /*(«} (und y = ^f'(u)) ist eindeutig im Parallelo-
gramm P und ebenso in der ganzen «-Ebene; sie ist ferner stetig
in P und in der «-Ebene mit Ausnahme der Punkto u = iK' =

1) Hierdurch erledigt sich wohl das Bedenken, das Herr Burkhard t in
seinen fuaktionentheorotiachon Vorlesungen (Leipzig 189*J. H. S. 30) äußert.

188 HkbMAXJ» SlAHt!

iK' + m2K + n2iK\ in welchen x = co s , y = oo* wird. Nnr im
Punkt tt = oo verhalten sich x und y wesentlich singulär.

2. Die Funktion x = /*(«) (und y = |/'(«)) ist doppelt periodisch,
d. h. sie besitzt zwei Perioden 2K und 2iK\ die mit den Periodicitäts-
modulu dea Integrals erster Gattung übereinstimmen; es ist

(21) /•(« + 2K) = f («) , f(« + 2iK') - f (u) .

Die Abbildung ergibt weiter: x = f(u) ist eine gerade, y= |/"(u) eine
ungerade Funktion von u. Ferner ist £ von der zweiten, y von der
dritten Ordnung d. h. es nimmt x in P jeden Wert zweimal, y jeden
Wert dreimal an. Endlich folgt, daß auch jede rationale Funktion R
von (x, y) eine doppelt periodische Funktion von m mit den Perioden
2K und 2iK' und von einer bestimmten Ordnung m ist (vgl, Nr. II).
Man kann umgekehrt (mittels der Methoden von R. E. F. Abschnitt T)
zeigen, daß die allgemeinste doppelt periodische Funktion F(u) von tt
mit den Perioden 2K und 2iK' eine rationale Funktion von zwei
doppelt periodischen Funktionen x = f(u) und y = »/"(«) mi t den-
selben Perioden ist, die in der Abhängigkeit y* — x • l — x • 1 — k'x
stehen.

3. Die Funktion z = f(u) besitzt ein algebraisdies Additionstheorem,
d. h. die Funktion /*(m x -f M i) drückt sich algebraisch aus durch die
Funktionen /"(«0 und f(tt t ) oder rational durch /*(«i), f(u t ) und die
Ableitungen /*(«,), /"(»j)- Ein entsprechendes Additionstheorem gilt
für y — ^(u) und für jede rationale Funktion R(x, y).

Der analytische Ausdruck für das Additionstheorem von x =■ /
folgt aus dem Abelschen Theorem und ist enthalten in Gl. (27) (s. unten).
Allgemein ergibt sich der Satz schon aus der doppelten Periodicitat
(vgl R. E. F. S. 9).

Es ist nun besonders wichtig, daß die Eigenschaften der Fxink-
tionen (20) auch noch mit geringen Abänderungen gelten für die drei
Wurzel f Miktionen Yx, j/l — x r )/l — k-x, die in iceitcrem Sinne ellip-
tisdie Funktionen heißen und bezeichnet werden durch

(22) fs-mu, yT^ä = cnu, Y 1 - k'x = dn t* .

Da sich die analytische Darstellung wesentlich an diese drei Funktionen
anschließt, gehen wir auf ihre Eigenschaften, die sich ebenfalls un-
mittelbar aus den Sätzen des ersten Teiles ableiten lassen, noch
näher ein. 1 )

1) R. E. F. S. 26—27 und S. 92—98.

Bemerkungen zur Theorie der Abelschen Funktionen.

L89

1. Die Funktionen (22) sind in der ganzen u- Ebene eindetäig, mit
Ausnahme einzelner Punkte stetig und nur im Punkt x — oo wesentlich
singulär.

2. Die Ableitungen der FnnJäionen (22) drücken sich einfach durch
diese Funktionen selber aus, es ist

/oo\ dsnw • den« , ddn« T8

(2o) — ; — = cn u an« , —j — = — cn u an u , - ■» — /r sn w cn m .

du 'du ' du

3. Die Funktionen (22) sind teils gerade, teils ungerade; es ist
(24) sn (— k) = — sn (u) , cn (— «) = cn u f dn (— u) = dn u .

4. Die 1 und ao 1 Punkte der Funktionen (22) in der »-Ebene
sind, wenn m, n = 0, ± 1, ± 2, . . .:

Bn« = 1 , für u = 2mK+2niK',

cna= O 1 ,
dnu=0',

sn«, cnw, dnu = oo 1 ,

(se)

, II — (2m+l)K+2niK\

, u = (2m + 1) K + (2n + 1) i A",

, u = 2mK+(2n+l)iK'.

ö. Für die Funktionen (22) gelten folgende Periodiciiätsformvln
(m, n ganze Zahlen):

sn (u + m2K + n2iK r ) = (- \) m sn M ,
cn(u + m'2K + n2iK') = (— l) m+n cnu,
dn (« + m 2 AT -f- n2*Ä") = (- 1)" dn « ,

welche zeigen, daß die Funktionen (22) bei Vermehrung von m um 2K
oder 2iK' höchstens ihre Zeichen ändern oder auch, daß sie selbst
doppeltperiodisch sind und bez. die Perioden (4 A', 2 t Ä"_), (4 K, 2 K + 2 iK') ,
cJA', 4iK') besitzen.

6. Die Funktionen (22) besitzen ein algebraisches oder rationales
Additionstheorem in dem oben angegebenen Sinne; es ist z. B.:

Der Beweis 1 ) folgt leicht aus der Äquivalenz der Gleichungen (12)
und (12 a). Man hat nur, was eine kleine Rechnung erfordert, die
<rl<'i<'hung (12 a) auf die Form zu bringen

yf = VKVL

VIA — **x, + yz t yi — x l yi -fc'g,

1 — k*x t x t
und aus (12) die Werte einzuführen

Yx\ = sn «j , Yx 3 = sn « s , )/|"= sn («i + u,)

1) Auch in Zeitschrift dir Math. u. PhyB. 45, 226.

190

Hkhmaän Stahl:

7. Man kann endlich leicht die Fundamental-werte der Funktionen
(22) für halbe Perioden n = Ä', iK' f K + iK' und fiir Viertel perioden

n

K

i. '

s >

K + iE'

- angeben und kann Venvandlungsformdn auf-

stellen , welche zeigen, daß jede der Funktionen (22) sich bei Ver-
mehrung tou « um halbe Perioden K, iK', K+iK' einfach durch
die ursprünglichen Funktionen ausdrückt.

Das Umkehrprobleni erstreckt sich nicht nur auf die Darstellung
der elliptischen Funktionen, sondern auch die der elliptischen Integrale,
insbesondere der Integrale zweiter und dritter Gattung. Die Eigen-
schaften dieser Integrale treten nämlich am schärfsten hervor und ihre
Berechnung wird am leichtesten, wenn man sie nicht als Funktionen
von (x, y) f sondern durch Vermittelung des Integrals erster Gattung
(19) als Funktionen twi u auffaßt. Wir bezeichnen die in (10) er-
haltenen Integrale als Funktionen von u durch

(28)

/tt-8«. /$&-**•)•

Auch für sie kann man allein aus der Definition (28) und den Sätzen
des ersten Teiles die fundamentalen Eigenschaften herleiten.

1. Die Funktionen (28) besitzen periodische Eigenschaften, d. h.
ändert man das Argument « um 2K oder 2iK', so ändern sich die
Funktionen (28) um konstante Größen, nämlich um die Periodicitats-
moduln der Integrale (28).

Dies folgt aus dem Verhalten der Integrale (28) als Funktionen
von (x } y) an den Querschnitten a, b der Verzweigungsfläche T'.

2. Die Funktionen (28) besitzen ein Addilionstheorem derart, daß
jede dieser Funktionen, gebildet mit dem Argument u t + «, sich aus-
drückt durch dieselbe Funktion, gebildet mit den Einzelarguinenten u,
und u £ , in Verbindung mit einer algebraischen Funktion oder dem
Logarithmus einer solchen Funktion.

Dies folgt unmittelbar aus dem Ab eischen Theorem für die
Integrale (28), das in den Gleichungen (13) und (14) enthalten ist.
Führt man dort statt der Integrale die Funktionen (28) von it ein, so
erhält man die Addilionsfunnel der Funktionen 8(*) ull< ^ ^ J <"> "o' :

(29)3K+'0-3(« 1 )-3(« a )=i 1 -^r=f=^-8nw 1 sn^sn( Wt -t-«i 1 ),

P(m, + m s , n ) - P(«„ «„) - P(«„ h ) = logP,.,,.

Bemerkungen zur Theorie der Abdachen Funktionen.

191

Auf der rechten Seite der letzten Gleichungen kann man Btatt
x 0} x lt x 3 aus (20) die elliptischen Funktionen mit den Argumenten
M o> Hu w a einführen.

Diese Ühersicht über die fundamentalen Eigenschaften der ellip-
tischen Funktionen findet ihre Verallgemeinerung für Abel scJie Funktionen
in der dritten Note.

Es handelt sich nun darum, das Umkehrproblem im einzelnen durch-
zuführen und vor allem die im vorigen definierten elliptischen Funktionen
snu, cn», dnw und die elliptischen Integrale 3(»j unQJ P( u > "«) durch
analytische, für alle Werte von u gi'dtige Ausdrücke wirklich darzustellen.
Dies geschieht durch eine einzige Funktion von «, nämlich die von
Ja coli eingeführte Tlietafunkiion , die im Mittelpunkt der folgenden
Theorie steht.

VI. Die erste Aufgabe^) ist die Herleitung der Tlietafunktion und
üirer Eigenschaften. Wir gehen aus von den drei elliptischen Funk-
tionen (22), die leicht darzustellen sind, weil von ihnen außer den
Perioden auch die 1 und oo l Punkte unmittelbar gegeben sind (25).
Man erhält die Thetafunktionen, indem man doppelt unendliche Produkte
bildet, welche bez. in diesen Punkten (25) verschwinden. Diese Pro-
dukte lassen sich durch Einführung der Exponentialfunktion in einfach
unendliche Produkte und weiter in einfach unendliche Summen ver-
wandeln. Setzt man zur Abkürzung

u = 2Kv, s = e i " riJ = e K ,

K

-Tt

T = — -, q = C"* = e

ft = /j(i-? a -),

so ist die Produkt form der vier Tlietafitnktionen (wenn » alle ganzen
Zahlen von bis <x> durchläuft):

1 (w) = »j (v) = 2fl>A sin xv Q YJ(l - 2q in cos 2xv -\-q in ) f
B t (u) = # s (v) = 2qU sin xv <?„ JJ(1 + 2g»" cos 2xv + q*"),
9 3 (u) -*,(») = <ä»JJ(l + 25 s - 1 cos2* V -rY"- s ),

[8(u) «*(») - ^ JJ(1-28 , '- 1 co82äv+9*--*).

(32)

1) R. E. F. S. 35-42 u. S. 09-106.

192

Hkrmaj™ Stahl:

Hieraus ergibt si
w alle ganzen Zahlen von

als Summenforni der vier Thetafunktionen (wenn
oo bia -f oo durchläuft):

(33)

n

®, (u) = #, («) = 2^ (- l)"- l ä (" - i) sin (2n - 1) xv,
S s (u) = # s (u) = 2^T </" ~ t)* cob (2 h - 1) ar v ,

■

®a («) = & 3 (v) - 1 + 2 V 5«' cos 2nsrv ,

n

. ©(«) =d(u)=l + 2^(- l)«g" , cos2njrv.

Die Konvergenz der Produkte (32) und der Summen (33) beruht
darauf, daß der absolute Wert | q | < 1 ist (a. Nr. III)

Man bezeichnet die vier Thetafunktionen auch bez. durch 8 n (m),
@ 10 (((), oo (u), m («") und nennt die Zahlenkomplexe 11, 10, 00, Ol
ihre Charakteristiken. Die Größe r heißt der Thetamodul.

Die Thetafunktionen haben folgende duimkteristische und leicht zu
beweisende Eigensdiaften.

1. Sie sind eindeutig und für alle endlichen Werte von u stetig.

2. Von den Funktionen (32) oder (33) ist die erste eine ungerade,
die drei anderen sind gtrade Funktionen von « oder v.

3. Die 1 Punkte der Tlietafunktionen in der «-Ebene sind (wenn
™, »-0,±1,±2,...):

|©i («) = , für M = 2»iJf+ 2niK',

® 8 («) = , „ h = (2m + 1)K+ 2niK',

6» s («) = 0, „ M = (2m + l)iT+(2n+l)iA-',

@ ( M ) = , „ u = 2mK + (2n + 1) iK'.

4. Es gelten Periodicitätsformtln, die zeigen, daß sich die
funktionen bei Vermehrung von m um eine der Größen 2iToder 2iK'
um gewisse Exponentialfaktoren ändern. Wir führen als Beispiele an
die Gleichungen:

(35) & (u ± 2 K) = & (u) , & (u ± 2 iK') = - q-

"1 IT"

0(«)

5. Es gelten Verteandlungsformdn, die zeigen, daß jede Thetafunktion
aus jeder andern ßich ableiten läßt durch Vermehrung von u um eine
der halben Perioden K, iK' t K + iK'. Wir führen als Beispiel an:

~K

iitu

(3G) ©,(»)-©,(« + *) iq ,; *c K »(u + iK^—iq^e K ©,(«+lC+ iJT).

jerlningen zur Theorie der Ablachen Funktionen.

193

6. Die Thetafunktionen besitzen gewisse Addit'umsthearerne, die wir
später angeben. (Vgl. Gl. 46, 47, 48.)

Die vorstehenden Untersuchungen über die Thetafunktionen finden
ihre Verallgemeinerung in St. A. F. Abschnitt V.

VII. Die zweite Aufgabe*) betrifft die Lösung des Umkelirproblems,
d. h. die Darstellung der elliptischen Funktionen Vx, Vi —x, ]/l — k*x
durch «. Indem man aus den Thetafunktionen (33) Quotienten bildet,
welche dieselbe Periodicität und dieselben Nullpunkte besitzen, wie die
elliptischen Funktionen, erhält man für diese die Darstellung:

(37) Vi-A,

ö, (m)

Vi- x = a %

Ö i __(**> 1/1 u.

VI -lc*X - A,

s («) » r A ■ " J e («) '

wo A l7 Ai, A 3 von u unabhängige Konstanten sind.

Denn die Funktion y/x hat an den Querschnitten a und b bez.
die Faktoren — 1 und + lj Bie wird = 1 im Punkt (x = 0, y = 0),
= oo 1 im Punkt (x = oo, y = oo). Dieselben Faktoren und dieselben
U l und oo 1 Punkte hat der Thetaquotient & i («) : ö(i*). Der Quotient
beider Funktionen ist daher eine von x oder u unabhängige Kon-
stante A l .

Setzt man zur Abkürzung

(38) (d9^u)^ =&u a (0) = ® 2; © 3 (O) = S ; 0(0) = ®

und macht in (37) die Substitutionen « = 0, K, K -f- iX"', so erhält
man für j4 t , A?, A^ die Werte

■« = ©; ©, * ©, yF'

(89)

= ö ' = * "ö =: V k >

"*1

e,

».'

-£-*'%-vf-

Zugleich drücken sich in (39) die Quotienten der Größen ®\, & if
0,, algebraisch durch k und k' aus. Mittels der Gleichungen (39)
kann man die Größe q oder den Thetamodul r annähernd aus dem
algebraischen Modul k berechnen, während die Gleichungen (37) zur

»Berechnung von u dienen können, wenn x gegeben ist.
Setzt man « = 0, so folgt aus den Produkten (32) eine Beziehung
zwischen den Größen ®,, 3 , ® und &[, nämlich

(40) ar«!®,«, = 2 K®[.

1)1

ArcliiT

1) R. E. P. S. 36-42 u. S. 106— 108.

ArcliiT der Miihcmttik und Phyiik III Rollie. VL

13

194

Hermaxn Stahl:

Verbindet man diese Gleichung mit (39), bo ergeben sich Relatione
welche die Werte & { : YK und &[ : YK rein algebraisch durch die
Größe k darstellen, nämlich

(4i) «-ysy«, e t .y^-, «v-y?! »-y^vr.

Diese Gleichungen dienen zur angenäherten Berechnung der Perioden

2K und 2iK' aus h und dem vorher berechneten Werte von q oder t.

Aub (41) erhält man eine Thdurdation mit dem Argument 0:

(42) ®* + ®J = &*
und aus (37) drei Tlietarelationen mit dem Argument «, nämlich:

& 3 &-{u) + &l&\ (u) =- @| ©*(«),

(43) ® 3 &l (») + ®\ &\ (») = ®? & 1 («) ,

,#••■{*) + 0j«5(«O = ©|®S(m)-

Die vorstehende Lösung des Umkehrproblems findet ihre Veratt-
gvntt intrung in St. A. F. Abschnitt VI.

VIII. Die Thetafunktionen bilden nicht nur die Grundlage für die
Lösung des Umkehrproblems; sie beherrschen auch alle weiteren Dar-
stellungen in der Theorie der elliptischen Funktionen, da man, wie schon
früher bemerkt, nicht nur rationale Funktionen von (x, y), Bondern auch
die Integrale derselben, die elliptischen Integrale, am zweckmäßigsten
nicht als Funktionen von (x f y), sondern als Funktionen von « auffaßt.

Die dritte Aufgabe x ) bezieht sich daher auf die Darstellung
der allgemeinsten ratiovuüen Funktionen von (x } y), entweder durch
Quotienten, gebildet aus Produkten von Thetafunktionen, oder durch
Summen, gebildet aus den Ableitungen der Logarithmen von Theta-
funktionen. Ferner aul die Darstellung des Integrals 3. Gattung mit der
oberen Grenze x t durch Logarithmen von Thetafunktionen mit dein
Argument M und des Integrals 2. Gattung durch die Ableitungen
solcher Logarithmen nach u. Damit hat man auch die Darstellung
des allgemeinsten elliptischen Integrals durch Logarithmen von Theta-
funktionen und die Ableitungen solcher Logarithmen.

Wir führen als Beispiele von Darstellungen rationaler Funktionen
durch Thtiaquoticnten die fundamentalen Formeln an:

(44)

x — x

=

sn s

I -

9

- sn*M = -j-

»,

©•(tt)e»(u )

)
i

(45)

1

— k*xx

-

1-

-*

sn* m sn s « =

@*

e (<« + ««) «(« -

1

i)

R.

E. F. S.

■1-'

-45

u.

S. 108—119.

Bemerkungen zur Theorie der Abelßchen Punktionen.

in denen x a , u ein beliebiges zusammengehöriges Wertepaar x, u ist.
Aus (44) und (45) ergeben sieb Thetaformeln mit zwei Argumenten
tt, Mo, wie

<©»©,(« + « ) ©, (u -«„) = ©? (») 0* (h ) - 0» («„) 0» (tt)

1 =^( M )®»K)-©»(«o)®l(«)-

Ferner aus (44) eine Utetarelation mit 4 Elementen w, M,, h,, u s :

0, (« + «,) 0, (« - «,) 0, («, + tt,) 0, («, - «,)
(47) + 0, (tt + «,) 0, (tt - M,) 0, (tt, + «,) 0, («, - Ml )

+ 0, (u + u a ) 0, (« - tt,) 0, («, + «,) 0, (u, - «,) =

und aus dieser weitere von ähnlicher Form, indem man die u t um halbe
Perioden vermehrt. Gleichungen der Form (47) stellen das aRaemeine
AdditionsÜieorem der Thetafunktum dar; durch Spezialisierung der u,
erhält man speziellere Additionstheoreme mit 3 oder 2 Argumenten.
So kann man leicht Gleichungen bilden, die wieder zum AdditionB-
theorem der elliptischen Funktionen führen. Man rindet z. B.

| ©, S 0, (tt, + «,) 0, (U, - tt») = © (tt,) 0, (tt,) 0, («,) 8 (tt,)

(48) +ö(« 1 )e > i(«,)©»K)®3(«*i),

1 0* © (•, + «,) ©, («, - «,) - @* («,) © s («,) - ©? K) ©? (u.) ,

woraus man durch Division die Gleichung (27) d. h. das Additions-
theorem der elliptischen Funktion sn u erhält.

Wir geben zweitens, indem wir die logarithmische Ableitung der
Thetafunktion, die sog. ZetafutMion ,

(49)

Z{u)

d\ogß(u) G'(u)

du

«(»)

nebst ihrer Ableitung Z' (u) und die entsprechenden aus den übrigen
Thetafunktionen gebildeten Funktionen Z t {u) benutzen, als Beispiele

»von Darstellungen rationaler Funktionen von (x, y) durch diese Funk-
tionen Z^u) die Formeln

(50) -k i x = Z'(u)-Z'(V),

- ^? = Z x (m + %) - Z x (tt - tto ) - 2Z(u )

2 !/(*,*)

= du

(51)

Aus ihnen erhält man drittens, indem man mit

dx

13»

196

Hermann Stahl:

multipliziert und integriert, die Darstellung von elliptischen Integralen
in w, so z. B. aus (50) und (51) die des Integrals 2. und 3. Gattung
(ygL 10):

(52)

X

800=/

k*xdx

= nZ'(0)-Z(u),

(53)

■

V(x ,k) dx

2 B ®l («o + «)

Z(« ).

Durch (52) und (53) sind die in (28) definierten Funktionen 3( tt )
und P(u, m ) analytisch ausgedrückt durch die Thetafunktionen S ( (u)
und ihre logarithmischen Ableitungen ^(«). Wie für die Theta-
fiinktionen bestehen auch für die Zetafunktionen leicht abzuleitende
Additionstheoreme.

Die hier gegebenen Darstellungen von rationalen Funktionen von
(x, y) und ihren Integralen finden Uwe Verallgemeinerung in St. A. F.
Abschnitt VII.

IX. Die Form der Thetafunktionen, Bowie alle vorgenannten Dar-
stellungen durch Thetafunktionen wurden zunächst gewonnen für eine
bestimmte Lage der Querschnitte a und b in der Verzweigungsfläche T.

Die vierte und letzte Aufgabe 1 ) in der Theorie der elliptischen
Funktionen hat die Verallgemeinerung der gewonnenen Iicstdtate zum
Ziel, indem sie die Abänderungen untersucht, die eintreten, wenn die
Querschnitte a, 6 beliebig verlegt werden. Es zeigt sich, daß dabei
die Thetafunktionen eine sog. lineare Transformation erfahren. Diese
besteht darin, daß, abgesehen von einem Exponentialfaktor jede Theta-
funktion 9,(v r x) mit dem Argument u und dem Modul x übergeht in
eine Thetafunktion 9 t (v', r'), deren Argument v' und Modul x' von v
und t in einfacher Weise abhängen.

Man bezeichne durch w ein Integral 1. Gattung (das sich von r*
nur durch einen konstanten Faktor unterscheidet); ferner durch a, h
und a, b' zwei verschiedene Querschnittsysteme der Fläche T\ endlich
mit A, B die Periodicitätsmoduln (kurz Perioden) von w an den Quer-
schnitten a, b und mit A\ B' die Perioden von w an a' t b f . Die
Werte A', B' setzen sich linear zusammen aus A, B, also:

(54) A' = aA + ßB, B' = yA + SB,

wo die „Transformationskoejfizienicn" e, ß, y, 6 ganze Zahlen sind
der Gleichung ad — ßy = 1 genügen. Man führe nun statt w

l) R. E. F. 8. 00— 91 u. S. 125—127.

Bemerkungen zur Theorie der Abelschen Funktionen.

197

neue Integrale v und v' ein und zwei zugehörige Thetamoduln r und r',
indem man setzt:

(55)

und

IT

A'>

so daß v an a, b die Perioden 1, x und t>' an hl, b' die Perioden 1, %'
besitzt. Aus (54) und (55) folgen zwischen v, v' und zwischen t, r'
die Gleichungen:

(56) « = <h^7' ' -f^

Es entsteht nun die Aufgabe:

A. Die Besiehungen zwischen dm Tltetafunktionen

1 -f- *t\

(57)

•*(«'» O-fr.fc^Jf^) ~»d * 4 («.t)

(»', A; = 0, 1, 2, 3) aufzustellen.

Man findet als Resultat, daß jede Thetafunktion der ersten Art
(abgesehen von einem Exponentialfaktor, dessen Exponent quadratisch
in v oder v' ist) gleich wird einer bestimmten Thetafunktion der
zweiten Art, wobei jedoch die ungerade Thetafunktion #j(v, t) Btets
wieder in die ungerade Funktion ^(v', x') übergeht, während jede der
drei geraden Funktionen & i (y ) t) (t = 0, 2, 3) in eine der drei geraden
Funktionen & t (v', r') (k = 0, 2, 3) übergeht.

Bildet man aus den Thetafunktionen Qnit'enten, so hebt sich der
Exponentialfaktor weg, und es geht, abgesehen von einem konstanten
Faktor, jeder Quotient von zwei Funktionen & { (v T t) in einen Quotienten
zweier Funktionen & k (v' f t') über. Damit hat man, wenn das Argu-
ment w eingeführt wird, eine Beziehung zwischen zwei doppelt perio-
dischen Funktionen

(58) x = /"(w; A, B) und g = <p (w; A', B 1 ) ,

ron denen die erste die Perioden A, B, die zweite die Perioden A\ B'
hat. Setzt man etwa nach (37) und (39):

(59)
(60)

y£_ _L Äfc«J Yk

♦,(0, «)

»,(0, *)'

Vi

i fr t (OQ /j . ff t (Q.O

yT*(0 O' K ».(0,0'

so erhält man einerseits eine bilineare Gleichung zwischen den doppelt
periodischen Funktionen x und i- (Transformatimisgleichung), andrerseits
eine algebraische Gleichung zwischen den zugehörigen, algebraischen
Moduln k und A (Modularffleichung).

198

Hkhxaxn Stahl:

Man kann zwischen x und £ eine Integralbeziehung aufstellen, die
dasselbe ausdrückt. Aus (8, 31 u. 55) folgt:

(61) r_^ = 22ft, = 2 -4- w , f-ß=~2Lv

'iLw

wenn 2K, 2iK' die Perioden des ersten, 2L, 2iL' die des zweites
Integrals Bind. Setzt man

(62)

SÄ' IC

A

K Ä ' TUT

so erhält man aus (61) durch Elimination von u die Integralbeziehung

(63)

J 2 j/(x, k) J 1

dl

»Afi, h

Man kann daher das Problem der linearen Transformation auch so

fassen:

B. Es ist eine bilineare Gleichung zwischen x und | aufzustellen, welche
die Transformation (63) bewirkt, und es sind ungleich der Faktor M und
der algcbraisclie Modul X des zweiten Integrals durch den Modul k des
ersten Integrals auszudrucken.

Diese Aufgabe läßt sich für die elliptische Theorie auch direkt
und ohne jede Vennittelung der Thetafunktionen lösen. Hierbei (wie
auch bei der Aufstellung der Gleichungen zwischen den Funktionen (57))
tritt eine wesentliche Vereinfachung dadurch ein, daß sich die unendlich
vielen linearen Transformationen mit beliebigen Transformationskoefn-
zienten «, ß, y $ zurückführen lassen auf zwei fundamentale Trans-
formationen S und T f in welchen diese Koeffizienten bez. die Werte
1, 0, 1, 1 und 0, 1, — 1, haben.

Die vorgenannten Untersuchungen über die lineare Transformation
der Thetafunktionen finden ihre Verallgemeinerung in St. A. F. Ab-
schnitt VIII.

Hiermit sind die wichtigsten Punkte in der Theorie der elliptischen
Funktionen berührt mit Ausnahme der allgemeinen Transformation, für
die wir auf R. E. F. S. 49—58 und S. 120—133 und auf andere aus-
führlichere Darstellungen verweisen.

Bemerkung: Man kann die Theorie der elliptischen Funktionen
verallgemeinern, indem man zuerst Funktionen P auf der Verzweigungs-
fläche T betrachtet, die die Eigenschaft haben, beim Überschreiten der

Bemerkungen znr Theorie der Abelschen Funktionen.

199

lersehnitte a, b gegebene konstante Faktoren M, N anzunehmen,

so daß

an a:P± = MP~

an&:P+

np:

und weiterhin die Integrale solcher Funktionen Q x = JP X dx, die die
Eigenschaft haben, beim Überschreiten der Querschnitte a, h in lineare
Funktionen ihrer selbst überzugehen, also

an a in : MQ zg + A } an 6 in : NQ rf + jB.

Die Eigenschaften dieser Funktionen P und Integrale Q rj> sind denen
der elliptischen Funktionen und Integrale (wo M = N = 1 ist) in
vieler Hinsicht ähnlich; ihre Theorie beruht wesentlich auf der der
elliptischen Funktionen und Integrale selber. 1 )

^ Anhang.

Wir geben noch eine zweite Herleitung des Additionstheorems
(27) der Funktion Yx =sna nach einer Methode, die in der
Theorie der Abelschen Funktionen von Wert iöt (vgl. St. A. F.
S. 250 u. 292). Zuvor eine Bemerkung über das Verscfavinden der
Thdafunktionen, wenn sie als Funktionen von (x, y) betrachtet werden.

»Nach (34) u. (3G) verschwinden die vier Funktionen von u:
e> x (u), ©,(« + £), flKn + jr-HJT), »(* + »lT)

für tt — 0. Hieraus und aus (9) folgt, daß die vier Funktionen von x:

XX XX

G^Jduj, ©j(jrfw), ©,(J t *tf), «(/«*»)

U U

bez. in den Verzweigungspunkten x = 0, 1, 1 : k 3 , <x> der Fläche T
verschwinden. Dies gibt den Satz:

Ist e eine beliebige Größe, so verschwinden die vier Funktionen

XX XX

(64) «iU*»-«), 6> s (jriu-e), & a (jdu-e), @( f du - sj

V

bez. in vier Punkten § t , £,, £,, £ der Verzweigungsfläche T', die ein-
deutig definiert sind durch die Kongruenzen:

*" ^ *" /»

(65) i du^e, f dti^e, | riw = e , / rfu

jdu = e, fduse, jdu^e, id

1 1/*' •

e.

1) Ch. Herraite, Sur quelques applicationa dea fonctions elliptiquea. Paris.
1885 und Appell et Lucour, Principe» de la the"orie dea fonetion» elliptiques.
Paria 1897, wo die Funktionen P (fonctions doublement periodiqneB de aeconde
l -]i-'ee) und eine weitere Verallgemeinerung (f. d. p. de troisieme espece) ein-
gehend bebandelt sind.

200

Heiuiann Stahl:

Wir stellen uns nun die Aufgabe, den Quotienten

8 >(/' iw +/ dM ) e (S du ) B Cf d »)

(66) ü£i±3J od e r

v J en u - an i«,

e (f du +f d *) 9 >Lf d ») e tf du )

als Funktion der Koordinaten (x, y) und (x 1 , y t ) darzustellen. Der
Ausdruck (66) ist, als Funktion von (x, y) betrachtet, eindeutig in der
Verzweigungsflache T. Er ist = 1 im Punkte (x, y) = (0, 0) und
= oo 1 im Punkte (x, y) — (oo, oo); ferner = 1 in einem Punkte
(£i> Vi) nn ^ = °° I m einem Punkte (£, ij), welche Punkte nach (64, 65)
bestimmt sind durch die Kongruenzen:

(67) / du + fdu es 0, fdu + fdu = .

Daher ißt (66) eine rationale Funktion der zweiten Ordnung M(x,
von (x, y). Um dieselbe aus ihren 1 und oo 1 Punkten zu bilden,
verfahren wir so: Aus der ersten Gleichung (67) folgt nach dem
Ab eischen Theorem die Existenz einer rationalen Funktion 2. Ordnung
r, (x, y), die = oo* im Punkt (0, 0) und = 1 in (x lt y t ) und (| n ??,).
Ebenso folgt aus der zweiten Gleichung (67) die Existenz einer
rationalen Funktion 2. Ordnung r(x, y} } die = oo 1 wird in (0, 0) und
(oo, oo) und = 1 in (x u y t ) und (£, ij). Bei der Bildung der Funk-
tionen r, und r braucht man aber die Punkte (£ ljr q,) und (|j, »/) selber
nicht zu keimen, da bei jeder rationalen Funktion der letzte 1 Punkt.
durch die übrigen 1 Punkte und die oo 1 Punkte bestimmt ist.
ist leicht zu sehen, daß, abgesehen von konstanten Faktoren,

r =

gy t — y x i

Es

Der Quotient r x : r hat als Funktion von [x, y) dieselben l und
oo 1 Punkte wie die darzustellende Funktion R(x, y) oder (66); er ist
zugleich, ebenso wie (66), symmetrisch in Bezug auf (x, y) und (x l , y x ).

Daher hat man

an (m + «,) p x — x l
snuniv, xy, — yjt, '

(68)

wo C eine von (a;, y) wie von (x lt y t ) unabhängige Konstante. Durch
die Substitution (x, y) = (0, 0) findet man C= 1. Erweitert man den
Bruch auf der rechten Seite in (68) mit xy, + yx t und berücksichtigt, daß

(xy t — yx^} (xy t -f yx L ) — xx v (x — arj (1 — Ic'xxJ,

Bemerkungen zur Theorie der Abdachen Funktionen.

201

so geht (68) über in

d. i. wenn man ~\/x = sn u, Yx y = sn Mj setzt, die frühere Gleichung (27).

In der gleichen Weise findet man den Auedruck fiir cn (u + «,)
und dn (u + «,). Dieselbe Methode führt auf Additionsformeln der
elliptischen Funktionen mit einer beliebigen Anzahl von Addenden,
wobei zu unterscheiden ist, ob die Zahl derselben gerade oder un-
gerade ist. 1 )

Die Addisons formet für eine gerade Zahl (2«) von Argumenten
lautet (wenn »' = 0, 1, . . ., 2« — 1):

(70)

«p (" + «i+ •+";,-!)

BD M - sn M,

lM «„-.

-0.1

1 x.x*

_»— 1

e, x. y. y x . . . y.x.

«— * I

9

X. X.

x. y. y.x. , . . y.x.

für eine ungerade Zahl (2n -f 1) von Argumenten (wenn * = 0, 1, . . ., 2n):

(71)

(« + «*i + • ' • + u s»)

"In

= cj

I 2

X. X.

,« + *

9 t y,x t

i#,..

x, y. y.x, . . . y.x.

wo C und C % leicht zu bestimmende Konstanten sind.

Aus den Additionsformeln (70) und (71) ergeben sich Mtdtiplika-
tionsfornteln, indem man die Argumente sämtlich gleich setzt. Dies
kann auf zweierlei Weise geschehen. Eutweder man vollzieht einen
Grenzübergang, indem man in jeder in (70) und (71) auftretenden Deter-
minante an Stelle der Glieder der 2., 3., ... Horizontalreihe die 1., 2., ...
Ableitung der entsprechenden Glieder der ersten Horizontalreihe setzt.
Oder man bildet Formeln von dem Charakter (69), indem man in den
Quotienten der rechten Seite in (70) und (71) Zähler und Nenner
multipliziert mit einem Produkt von Determinanten, die aus dem
Nenner hervorgehen, dadurch daß man jedesmal in einer Horizontal-
reihe das Zeichen von y f ändert, in den anderen Horizontalreihen da-
gegen beibehält.') Beide Arten von Multiplikationsformeln würden in
der Ausführung höchst kompliziert werden. (Fortsetzung folgt)

Tübingen, 15. Oktober 1902.

1) In anderer Herleitung sind diese Formeln zuerst aufgestellt von Abel
(Werke. 2 A. L 8. 632 (1829)). Vgl. Cayley, Journ. für Math. 41, 67(1849)
and P. Günther, Journ. für Math. 98, 213 (1898).

2) Cayley 1. c. gibt statt dieser eine andere Umformung von (70) u. (71) an.

202

S. K.vsi'.H:

Über bidifferentiale Transformationen.

Von S. Kantor in. Wien.

In meiner Arbeit: „Theorie der vollständigen Systeme linearer
Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Veränderlichen" führte
ich den Namen bidifferentiale Transformation für eine Funktions-
abhängigkeit ein, durch die r Funktionen <P U . . ., 4> r mit r anderen
Funktionen x P lf . . ., W r als Differentialausdrücke dieser so verbunden
sind, daß auch von jeder der Funktionen W lt . . ., *P r mindestens ein
Funktionenzweig je eine reine Differentialfunktion der Funktionen
<P 1} . . ., O r ißt, das ist eine solche, die von allen Intogrationszeichen
oder impliziten Integralen erst zu lösender Differentialgleichungen
frei ist.

Die Differentialfunktionen

(1)

Oj-^OPi,---» w r )

o = i .

mögen hierbei auch partielle Differentialausdrücke sein, wenn eben die
9 und als Funktionen von mehreren, etwa »i, unabhängigen Ver-
änderlichen gegeben und gesucht sind.

Diese Transformationen sind also in der Integralrechnung das
Analogem zu den „birationalen" Transformationen der Algebra und zu
den noch so wenig erforschten „biuniformen" Transformationen Pi Cards
in der Funktionentheorie.

In dieser kurzen Notiz sei mir gestattet, auf die wirkliche Existenz
einiger solcher Transformationen hinzuweisen, die sonst nicht ganz
außer Zweifel wäre.

1. Lagranges Theorie der Adjungierten einer linearen Differential-
gleichung und dann deren Verallgemeinerung auf partielle Differential-
gleichungen 1 ) bieten einen klassischen Fall dar. Die Adjungierte

JM

CD

*(>>

p'(u) -*>{> + pi 1 '«- + ■■■ +i£ , _ 1 ut— » + y;' «<•>

= Po» - Ca«)' + (#.«)" -

zur Gleichung

P(«)=2>o«<*> + tt «<•-» +

+ (-l)-(p.»)<»>-0

-|-j)»_ 1 tt'-|-jp l ,u =

1) FrobeniuB,, Journ. f. Math. 85.

Über bidifferentiale Transformationen.

808

hat die explizite Form

(2)

Jff , -A-ft' + ft w - + (-l)"^

IM

J')

J 1 »

-A + 2p;-3fl, r, + --- + (-i)-»ij J ;

(« - 1)

rf' -A- 3^ + ei»;-

»ffl

iK J -(-l)*p".

Hier haben wir Ausdrücke der Form (1). Da nun aber nach
einem Satze von Lagrange die Adjungierte der Adjungierten die ur-
sprüngliche Gleichung ist, so werden die Ausdrücke (2), wenn man
für die p rechts die p (1) setzt, links wieder die p liefern müssen, biß
etwa auf einen gemeinsamen Faktor. Also berechnen sich die p auß
den pM (das ist von oben die W aus den Q>) wieder als Differential-
ausdrücke, und hier sogar als genau dieselben Differentialausdrücke.
Diese Transformation ist also nicht nur bidiffcrential , sondern Bogar
involutorisch, nach einem Ausdrucke der Algebra.

2. Eine Transformation durch partielle Differentialfunktionen bietet
die Adjungierte

a*' + ■■•+'■

2*

0V •%")

dx x ...dx n

dx t l . -.dx n

zur linearen partiellen Differentialgleichung

-»*■•** •£.■.:»* "

Denn auch hier noch gilt der Satz (P'(u))' — P(u). Die Formeln
also, welche die p durch die p ausdrücken, definieren eine

bidifferentiale Transformation, welche sogar involutorisch ist.

3. In Beiner These hat Herr Vessiot auf Grund Li escher Prin-
zipien nachgewiesen, daß man für jede homogene lineare Differential-
gleichung eine Anzahl Funktionen der Koeffizienten und ihrer Differential-
quotienten angeben könne, aus denen sich alle invarianten Funktionen
der Gleichung gleichwie aus einer Basiß als ganze rationale Differential-
funktionen berechnen lassen. Solcher Basen lassen sich aber vielfach
verschiedene angeben. Sind also

J lf . . ., J»,

'!>

204

S. Kastor:

zwei solche Basen, so müsaen die Funktionen der einen Basis reine
Differentialfunktionen von jenen der anderen sein und umgekehrt, so
muß also die durch die Formeln

j: = /4(j u . . ., j y )

(i = i.

ausgedrückte Differentialtransformation auch differential umkehrbar Bein.
Sie ist aber im allgemeinen nicht involutorisch.

Anmerkung. Der entsprechende Satz in der Theorie der algebra-
ischen Invarianten, nämlich von der Existenz einer Basis (endlichen
Systemes nach Gor d an) für rationale Darstellung, bietet auch schon ein
Mittel, um birationale Transformationen herzustellen. Sind J t) . . ., J r
und J' l7 . , ., J r ' zwei volle Invariantensysteme eines gegebenen Formen-
systemes (Basen für rationale Darstellung), so ist

Ja = Rai/u ■ ■, J v ) (<r = l, ...,»)

eine birationale Transformation im v-ären Gebiete, da doch diese
Formeln identisch in den Koeffizienten des Formensystemes gelten.

4. Bezeichnen in den Formeln

#.

^r(^.)+-'-+^ o (^)

<. = i .

die Dj', . . ., 2/' 1 lineare Differentialformen der !F,, . . ., *P r mit einer
Unabhängigen, so wird die Elimination von !P,, . . ., !E_i, ^Pi + i,
. , ., W r aus diesen Gleichungen eine lineare Differentialgleichung in
W ir lf . . ., & r einer Ordnung N und der Form

(3)

W ,

4(^ = 4'' W + " ■+<'(<&)

hefern. Diese Gleichung wird sich aber notwendig dann vereinfachen
müssen, wenn die Gleichungen

= 1.

eine hinreichend große Anzahl gemeinsamer linear unabhängiger Integral-
systeme besitzen, also insbesondere N— 1. In diesem Falle wird man
die Gleichung (3) auf die Form

bringen können. Tatsächlich ist 1. ein spezieller Fall einer bidifferen-
tialen Transformation dieser Art. Merkwürdiger ist aber 2., weil be-
kanntlich die hier notwendige Elimination auB partiellen linearen
Gleichungen viel schwieriger ist.

ÜTbei ludifferentialo Transformationen.

5. Ein anderes Beispiel läßt sich aus Herrn Lothar Heffters
Arbeit in Journ. f. Math. 116 ■') entnehmen.

Man kann das im Integral einer homogenen linearen Differential-
gleichung geschaffene Gebiet als einen Körper bezeichnen, wenn man
in diesen alle dem festgesetzten Bereiche singehörigen linearen Diffe-
rentialfunktionen des Integrales mit aufnimmt, und kann ebenso von »
konjugierten Körpern sprechen wie bei den algebraischen Funktionen-
körpern.

Absolut läßt sich nun die Differentialoperation e = D(y) nicht
umkehren, und das Symbol D~ ' (e) bedeutet absolut (wie bei den eng-
lischen Symbolikern) nichts anderes als die Aufsuchung des Integrales
von Z%) = e.

Dagegen läßt sich in einem wie eben definierten Körper die
Operation D~ ' (/") wirklich auswerten. Läßt man nämlich für /' die
Körpergleichung R(f) — gelten, so kann man, wie Heffter 1. c.
zuerst bewiesen hat, stets einen Diflerentialausdruck D- i(f) bestimmen,
sodaß

D-,-D(f)=f (mod. JBO».

Hierin bedeutet ähnlich der algebraischen Körpertheorie das Zeichen
mod. R(y) die symbolische Gleichung

(2) fl^.tfCfW+T- *(/•)■

Diese Gleichung kann dazu benutzt werden, um eine bidifferentiale
Transformation n berechnen. Denn zunächst geht aus Heffters
Arbeit hervor, daß die Koeffizienten von Z)_ i rationale Differential-
funktionen der Koeffizienten von D Bind.

Andererseits berechnet Herr Heffter zwei Gleichungen S und Q
möglichst niedriger Ordnung, sodaß gilt (1. c. S. 158) SD = QR. Dann
gilt nach der Ableitung auf S. 162 auch

(3) DD-xbh-g+VBiäi

und es ist also auf dem durch S(g) = definierten Körper, wo S
Koeffizienten hat, die sich abermals als rationale Differentialfunktionen
bestimmen, auch I) die Inverse zu jD_i. AIbo entstehen durch eine
ähnliche Rechnung im Körper S, wie sie für (2) im Körper R durch-
zuführen war, die Koeffizienten von D als rationale Differentialfunk-
tionen der Koeffizienten von D-\. Die so berechneten Koeffizienten
müssen mit den Ausgangskoeffizienten übereinstimmen.

1) S. 167: „Über gemeinsame Vielfache linearer DifferentialauBdrücke und
liii<-;ire Differentialgleichuugen derselben Klasse", No. Hl.

206

Jota:

Die Koeffizienten von D_i berechnen sich also durch die Koef-
fizienten von D vermittelst einer bidifferentialen Transformation.

6. Das vorige Verfahren kann verallgemeinert werden auf jene
Transformationen T t welche nur innerhalb einea gewissen GebieteB,
etwa £l(e lf . . ., 4 B> i • ■ *i s m, e'm, . . ., z^ H) ) = bidifferential sind, näm-
lich, wenn £1 = durch (1) in £1^ = verwandelt wird. Man kann
diese im Gebiete £1 = umkehren, und wenn die neue Transformation
T_ j formal mit T gleichartig ist, so werden die Koeffizienten von T_ i
sich aus den Koeffizienten von T durch eine bidifferentiale Transfor-
mation berechnen.

7. Auch die Differentialtransformationen, welche bei den soge-
nannten „Gleichungssystemen mit Fundamentallösungen" (Lie, Sächsische
Berichte 1893) die allgemeine Lösung mit den Partikulärlösungen ver-
knüpfen, geben Anlaß zu bidifferentialen Transformationen, worauf ich
nicht eingehe.

Wien, den 19. August 1902.

Bemerkung zur Ableitung der Eulerschen
Bewegungsgleichungen.

Von F. JtfNO in Prag.

Die Eulerschen Bewegungsgleichungen für ein starres System
stehen bekanntlich in einer äußerst einfachen Beziehung zur „Impuls-
gleichung", sie Bind als eine Form derselben aufzufassen. Ohne Zweifel
wird also jene Ableitung der ersteren systematisch am meisten befriedigen,
welche dieses Verhältnis deutlich hervortreten läßt. Dies trifft bei der
Ableitung von Hayward zu, welche in der „Theorie des Kreisels" von
Klein und Sommerfeld 1 ) wiedergegeben ist. Das volle Durchblicken
des Hayward sehen Gedankenganges in seiner ganzen Einfachheit wird,
wie ich glaube, nur erreicht durch Betrachtung der auftretenden Vek-
toren ohne Zerlegungen nach Achsensystemen. Denn gerade dies vor
Schluß der Ableitung beeinträchtigt sehr ihre Durchsichtigkeit in
geometrischer und also auch mechanischer Beziehung; und trotzdem
erscheint es überall angewendet. Seine Vermeidung kennzeichnet dal
Folgende, welches nur den Zweck hat, mit bekannten Mitteln

1} Leipzig, 1897/98; die Hayward sehe Arbeit selbst ist mir niebt zu.

teln die

gängliiL

Bemerkung zur Ableitung der Eulcrschen Bewegungsgleichungen. 207

Haywardsche Überlegung in ihrer vollen Einfachheit vorzuführen.
Die Vektoranalysis schließt sich dieser Betrachtungsweise natürlich sehr
bequem an.

Hervorzuheben ist, daß bei der Ableitung der Eule rächen Glei-
chungen aus der Impulsgleichung eigentlich eine khw»t(Uische Aufgabe
vorliegt, nämlich eine Umformung der Anderungsgeschwindigkeit der
Winkelbewegungsgröße 3 ) des Systems, d. h. eines Vektors. Ein solcher,
J, sei in einem Räume (Achsen System) S ge-
geben als Funktion der Zeit. Der Raum S l
drehe sich um einen festen Punkt mit der
Winkelgeschwindigkeit ü. Diese werde dar-
gestellt durch ihre Achse in der Weise, daß
sie, gesehen in der positiven AchBenrichtung,
rechts drehend erscheint. R ist ebenfalls eine
Funktion der Zeit. Bezüglich des bewegten
Raumes S hat der Vektor J nach der Annahme

irgend eine Anderungsgeschwindigkeit -, • Bei

relativer Ruhe gegen S besitzt er, infolge der

Winkelgeschwindigkeit 11 dieses, gegen den

festen Raum eine Anderungsgeschwindigkeit,

welche offenbar gegeben 'wi durch das äußere

Produkt MJ, wenn festgesetzt wird, daß R f 3, liJ ein Rechtssystem

bilden sollen (vgl. die Figur). Die gesamte Änderungsgeschwindigkeit

des Vektors gegen den festen Raum ist daher:

(i)

£-£+*?■

wenn mit j dar Vektor in seiner Lage gegen ein festes Achsensystem
bezeichnet wird. Die „absolute" Anderungsgeschwindigkeit des Vektors
ist so dargestellt als Summe aus der „relativen" gegen ein bewegtes
Achsensystem und der durch die Winkelgeschwindigkeit dieses erzeugten.
Durch die Gleichung (1) ist im wesentlichen bereits die gestellte
Aufgabe gelöst. Als bewegten Raum S nehmen wir das um einen

1) Nach der Benennung in der deutschen Ausgabe von Routh, Dynamik der
Systeme starrer Körper, 2. B., Leipzig 1898. Die im früher genannten Werke ge-
brauchte Bezeichnung „Impuls" für „Antrieb" -und „Bewcgungsgraße" ist aus
physikalischen Gründen bedenklieb , da der Impuls zunächst festgelegt wird als
„Stoßkraft" (S. TS a. a. 0), welche die Bewegungsgröße erzeugen könnte, also mit
diecor gleich, aber nicht identisch ist. Vielleicht bietet sich einmal anderwärts
Gelegenheit, auf derartige Betrachtungen einzugehen.

208 F. Jitno: Bemerkung zur Ableitung der Kulerschen Bewegungsgleichun

festen Punkt rotierende starre System (Körper). Die Impulsgleichung
für dieses

(2)

wo A das resultierende Drehmoment der äußeren Kräfte ist, während i
jetzt die Winkelbewegungsgröße bedeutet, geht mittels (1) über in:

die Eulersche Gleichung, geschrieben in den Vektoren. Jetzt erst ist
es, um zu der gewöhnlichen Koordinatenform der Gleichung zu kommen,
notwendig, die Vektoren nach einem mit dem Körper rotierenden
Achsensysteme durch den Stützpunkt zu zerlegen:

Ä = AT t + MT t + NT t ,

j - Li; + Mi; + NT t ,

wo die Einheitsvektoren ij", £^, i^ ein Rechtssysteni bilden mögen
(und bekanntlich

L = Ap-Fq + Er, M= + Fp + Bq- Dr, N = -Ep + Dq + Cr,

A, B, C Trägheits-, D, E, F Deviationemomente für das Achsensystem).
Gleichung (2) geht nun über in:

.— . .. — . ., — dL — . dM — , dN —
As x + MT S + Ne t = -jj- f, + -fr B t + ^ «, 4

dt

dt c »

woraus folgt:

P

L

(3) A =

dL j q r

dl "•' \M N

%ir d M

* P
N L

iV dt T

und bei Wahl der Hauptträgheitsachsen des Unterstützungspuuktes m
Zerlogungsrichtungen 1^, . . . wegen:

L = Ap, M=Bq, N^Cr,

wo A f B, C dio Hauptträgheitsmomente des Körpers für sind, «lie
Euler sehen Gleichungen:

A=A^ + (C-B)qr, M = B d f- + (vi - Cjtf,
N=C d £ + (B-A)pq.

Ph. Maenjjchkn: Elementarer Beweis des Sohließungsproblems etc. 209

Die Gleichung (2) und Bomit (3) gilt auch für ein beliebiges
lt starres) System; der Raum S, auf welchen sich R und J be-
ziehen, ist da in willkürlich gegebener oder auf geeignete Weise durch
das System bestimmter Rotation anzunehmen. Der Vorteil der ganzen
Betrachtungsweise wird hier vermindert, sofern er in der relativen Ruhe
des Rannies 5 gegen das System besteht, welche ermöglicht wird
durch seine Starrheit und Ausdruck findet in der UnverUnderlichkeit
der Trägheits- und Deviationsmomente für irgendwelche Achsen Systeme

t— S})
Prag, Oktober 1902.
—

Elementarer Beweis des Schließungsproblems beim Kegel-

schnittbiiscliel.

Von Pfi. Maennchen in Alzey.

Zu den nachfolgenden Untersuchungen führte mich der Gedanke,
daß es möglich sein müsse, das Ponceletsche Schließungsproblem bei
zwei Kegelschnitten auf ein einfacheres Problem zurückzuführen. In
der Tat ist es mir auch gelungen, einen elementaren geometrischen
Satz zu finden, aus dessen wiederholter Anwendung der genannte
Schließungssatz, sowie seine Erweiterung auf den Büschel sich sehr
leicht ergibt. Mit diesem einfachen Satze, der mir der Kern des Problems
zu sein scheint, werde ich mich zunächst beschäftigen.

Es seien K, K l und ÜT S drei Kegelschnitte eines Büschels in be-
liebiger Lage', und zwar sei beispielsweise K derjenige von den drei
Kegelschnitten, von dem aus man an jeden der beiden andern Tangenten
ziehen kann. Von einem Punkte A auf K ziehe ich eine Tangente ^
an ATj und eine Tangente f s an K t . Durch die. Berührungspunkte
mit AT X und K s lege ich eine Gerade, die K t und JT, noch in je einem
weiteren Punkte trifft. In dem Schnittpunkt mit K l lege ich die
Tangente t[ an K u in dem Schnittpunkt mit K s die Tangente t t an K r

Die Gleichungen der vier Tangenten seien:

*! = Q, t[ = t 4-0, *,=-0.
Die Gleichung der Geraden durch die Berührungspunkte sei:

i) Weiteres hierüber z. B. Routh, a. a. O., 2. B., § 22 ff.

Archiv der Mathematik iin.l Phyilk. 111 Reihe. VI.

14

210

Pn. Maknnciikn:

Dann läßt sich die Gleichung von Kj in die Form bringen:

(1) ^-^' = 0.

Ebenso ist die Gleichung von K s :

(2) /^-A,<7 S = 0.
Hieraus ergibt sich:

(3) v.<,'-W, = 0-

Der Herleitung gemäß stellt diese Gleichung einen Kegelschnitt
dar, der dem durch ÜT, und K % bestimmten BüBchel angehört. Außerdem
geht dieser Kegelschnitt, wie die Gleichung (3) deutlich zeigt, durch
die Schnittpunkte von £j und t s , t t und t' t1 (,' und t^, t[ und /j.

/, und <, schneiden sich aber nach Konstruktion in A, und A
liegt auf K. Durch A kann nur ein Kegelschnitt des Büschels gehen,
und dieser eine ist K; mithin liegen die drei andern Schnittpunkte
gleichfalls auf K. Hieraus folgert man:

Es ist slrts möglich, von irgend einem Punkte aus, der auf K ge-
legen ist, diesem Kegelschnitt ein Viereck einzubrsehreiben , dessen Seiten
abwechselnd Tangenten an K t utui K t sind, und zwar so, daß die vier
Berührungspunkte in einer geraden Linie liegen. Ein solches Viereck
will ich ein Sehnen- und Tangenienvicreek im Büschel nennen. Man
erkennt leicht, daß ein solches Sehnen- und Tangentenviereck durch
drei Punkte eindeutig bestimmt ist, während für den Fall, daß nur
zwei benachbarte Punkte gegeben sind, zwei Lösungen auftreten.

leb nehme nun einen Büschel von » Kegelschnitten an, die ich mit
K, K lt K tt . . ., K A _i bezeichnen will Dem Kegelschnitt K sei das
Polygon P l P i P i . . . P n einbeschrieben, und zwar so, daß P l P i Tan-
gente an K lt P S P 3 Taugente an K t ist u. s. w., endlich P n _ 1 P H Tan-
gente an K H _ v

Ich wähle außerdem noch einen Kegelschnitt K' des angenommenen
Büschels. Hierauf ziehe ich von P x auB an K' die Tangente P l P
wobei P' t wiederum auf K hegt, und von P, auB ebenfalls an K' die
zugehörige Tangente P s Pj (zugehörig in dem Sinn, daß P^P^ wieder
Tangente an P, ist, gerade wie P^P^, derart daß P l P l P' t P % ein Sehnen-
und Tangentenviereck im Büschel ist). In der gleichen Weise kon-
struiere ich das Sehnen- und Tangenten viereck P i P^P i P 3 , das durch
die drei Punkte P sr P, und P s eindeutig bestimmt ist. Fahre ich in
der gleichen Weise fort, so erhalte ich das Polygon P 1 P t P s . . . P' m ,
das ebenfalls dem Kegelschnitt K einbeschrieben ist, und bei dem
sich P[P^ auf K u P^ auf K s , . . ., P' K -iP' H auf 2T n _! wälzt. Nun

Elementarer Beweis des Schließungsproblems beim Kegelschnittbüschel. 21 1

ist aber auch das Viereck P n P' n P[Pi ein Sehnen- und Tangenten-
viereck in unserm Büschel, da P n P» and P[P t Tangenten an K' sind.
Also sind auch P„P X und P' K P{ Tangenten an einen und denselben
Kegeschnitt des Büschels, den ich naturgemäß mit K n bezeichnen muß.
Da aber K' beliebig gewählt, also jeder Punkt von K als Punkt P[
angenommen werden kann, so gilt der Satz:

Wenn sich n — 1 Seiten eines dem Kegelschnitt K einbeschriebenen
Polygons auf Kegelschnitten des Büschels K + lK t wälzen, so tut dies
auch die nte Seite.

Dabei ist zunächst noch daran festzuhalten, daß die erste Seite
I d, h. die mit P[ beginnende) sich auf K u die zweite auf K v die dritte
auf Ä" ; , u. s. w. wälzen muß. Man kann aber leicht zeigen, daß Bich
die Reihenfolge ganz willkttrbch gestalten läßt. Die drei Punkte P[ t
Pi und Pj bestimmen nämlich eindeutig ein Sehnen- und Tangenten-
viereck in den drei Kegelschnitten K, K t und K r Der vierte Punkt
möge mit P,' bezeichnet werden. Wenn ich nun statt der Sehnen Pi'Pj
and PgPs die Sehnen PIP* und P* P' a ziehe, so ist die erste eine
Tangente an K % , die zweite eine Tangente an K l} und ich komme
doch nach P' s , von wo aus das Polygon sich in der gewöhnlichen
Weise fortsetzt Wiederholt man diese Manipulation, so kann man
jede Tangente an irgend eine Stelle bringen, und daraus geht hervor,
daß die Reihenfolge durchaus willkürlich ist. Dagegen ist es nicht
•willkürlich, welche von den beiden möglichen Tangenten man in jedem
einzelnen Falle zu ziehen hat, und es wäre wohl nicht uninteressant,
ein einfaches Kriterium für die richtige Wahl einer jeden Tangente
bei beliebiger Variation der Reihenfolge aufzustellen.

Gegen unsere Beweisführung könnte man noch einen Einwand
erheben. P n P x berührt nämlich zwei Kegelschnitte deB Büschels, K n
und Ki,. Es könnte also sein, daß PäPi sich auf K x wälzt, aber nicht
auf K' n , dagegen P' n P'i auf K*, aber nicht auf K n . Dann wären
aber P»Pi und P„' Pi' nicht in jeder beliebigen Lage Tangenten an einen
und denselben Kegelsclmitt, während man doch leicht nachweisen kann,
daß P' K P[P[" P' n ' stets ein Sehnen- und Tangentenviereck im Büschel
sein muß. Demnach ist die eben gemachte Annahme falsch, und es
müssen sich entweder die «ten Seiten aller Polygone auf K* wälzen,
oder alle auf K n .

Alzey, 4. Juli 1902.

14«

212

Wilhelm Thikneuakk:

Zwei Grippen gleichkantiger Vielfache mit nnr
vierkantigen Ecken.

Von Wilhelm Thienemank in Essen (Ruhr).

1. Vorbemerkung. — Die in der vorliegenden Arbeit zu unter-
suchenden Vielflache gehören zu der Abteilung derjenigen Vielflache,
die von zwei parallelen kongruenten Grundflächen begrenzt werden.
Diese Grundflächen sind hier regelmäßige Vielecke, ferner sind alle
Kanten gleichlang und alle Ecken vierkantig. Die bekanntesten Viel-
flache mit parallelen kongruenten Grundflächen sind die Prismen und
Antiprismen. Wir gehen bei unserer Untersuchung von diesen beiden
Körperformen aus und werden aus einer Reihe von Prismen die erste
Gruppe, aus einer Reihe von Antipriamen die zweite Gruppe neuer
Vielflache ableiten.

2. Die erste Gruppe neuer Vielflache. — Der senkrecht zu den
Seitenkanten eines prismatischen Raumes geführte Querschnitt sei
regelmäßiges »-Eck. Durch jede Ecke dieses «-Ecks werden nach oben
und unten zwei Ebenen gelegt, welche die Seitenkanten des prisma-
tischen Raumes so abstumpfen, daß jede Schnittfläche ein regelmäßiges
Dreieck wird. Die dritte Seite jedes Dreiecks ist die Verbindungs-
gerade zweier Punkte der
auf jeder Seitenfläche des
prismatischen Raumes ge-
zeichneten Mittelparallelen.
Diese dritten Dreiecksseiten
bestimmen zwei einander
parallele regelmäßige n-
Ecke, welche das Vielflaeli
oben und unten abschließen.
Von jeder Seitenfläche des

prismatischen Raumes bleibt ein Rhombus übrig als Seitenfläche des neu
entstandenen Vielflachs. Jedes Vielflach wird von zwei regelmäßigen
«-Ecken, von n Rhomben und von 2» regelmäßigen Dreiecken begrenzt;
es ist also ein (2w + » + 2)-Flach. Die Seitenlinie des Querschnittes,
von welchem wir ausgingen (regelmäßiges «-Eck), sei b cm, jede Kante
des entstandenen gleichkantigen Vielflachs sei a cm, die Höhe (Ent-
fernung der beiden Grundflächen) des Vielflachs sei 2c cm. Es ist
Fig. 1 eine Orthogonalprojektion eines solchen Vielflachs auf die Ebene

Fig. i.

Fig J.

Zwei Gruppen gleichkantiger Yielüauhe mit nur vierkantigen Ecken. 213

einer Grundfläche; der zuerst erwähnte Querschnitt des prismatischen
Raumes ist hier ein regelmäßiges Sechseck mit der Kante b.

Aus Fig. 1 folgt •£; tp = — • deshalb ergibt sich ■- : — = cos — ,

In Fig. 2 sind zwei benachbarte Seitenflächen des ur-

Z> =

2Ä

sprünglichen prismatischen Raumes gezeichnet mit den durch die Ab-
stumpfung der Seitenkanteu gebildeten Rhomben. Aus Fig. 2 folgt:

2.R

<r = ar — - oder c" = —

fl , [4cos*

- 1 )

4 COB

21?

-r^*V

.2«"

a«

2 coa

4 COS* 1.

N

Die Größe der beiden Diagonalen 2 c und b eines RhombuB ist durch
folgende Beziehungen bestimmt

s-grl/4 C08 1 und b =

2U r n

cos — -

o
~2ä"

ioigeuue

Diskussion dieser beiden Gleichungen:

1) Für N - 3 ist 4cos'^ - 1 = 4 cos s 60° - 1 = 0; d. h. 2c = 0,

b = 2a. Es existiert demnach kein Vietfiach der Gruppe, dessen beide

I Grundflächen regelmäßige Dreiecke Bind. An Stelle dieses Vielflachs
tritt ein Teil der Ebene auf, der von zwei regelmäßigen Dreiecken,
deren Seitenlinien b cm lang sind, doppelt überdeckt wird.
" R
2) Für ft = 4 ist 4 cos* 1 = 1. Da hier die beiden Diagonalen

des Rhombus gleich groß sind, tritt an Stolle dieses Rhombus ein
Quadrat. Das entstandene Vielflach ist das archimedische Kubooktaeder.
Dasselbe entsteht aus einem Würfel, wenn dessen acht Ecken durch
Ebenen abgestumpft werden, welche durch die Mitten dreier Würfel-
kanten hindurch gelegt werden.

3) Für m>4 ist 4 cos* V^a» a ^ B0 2c > 6, d.h. die Rhomben

sind von oben nach unten langgestreckt.

4) Grenzfall « = oo. Aus dem Vielflach wird ein Rotationseylinder.

OD

Man erhält 4 cos* 1 = 3, 2e = o/3, b = a. Der spitze Winkel

2<o eines Rhombus ist durch die Gleichung bestimmt sinra=J,

Id. h. w - 30°, 2a - 60°.
•Irdes Vielflach besitzt « Symmetrieebenen, die auf den Grund-
flächen senkrecht stehen, sowie eine horizontale Symmetrieebene.

214

Wilhelm TbjkkcjUXH:

3. Die zweite Gruppe neuer Vielflache. — Man geht aus von einem
Antiprisma, dessen Seitenkanten o cm lang Bind, und dessen beide Grund-
flächen zwei kongruente regelmäßige «Ecke sind. Die Seite eineB solchen
«-Ecks sei fccm. Jede Seitenfläche (gleichschenkliges Dreieck) dieses Anti-
prismas läßt man über eine Kante b hinaus wachsen, so daß dadurch » Seiten-
flächen sich nach oben, n andere Seitenflächen Bich nach unten erstrecken
Somit laufen n neue Schnittkanten nach oben, n andere neue Schnittkanten
nach unten; es entsteht eine Art Trapezoeder, aber von Deltoiden um-
schlossen. Die soeben entstandenen 2« Schnittkanten dieses Trapezoeders
werden nunmehr abgestumpft durch 2« ebene Schnitte, gelegt durch die
2« Eckpunkte des Antiprismas, von denen jeder ein gleichseitiges Dreieck
mit den Kanten a cm aus dem Trapezoeder heraus schneidet. Die dritten

Seiten dieser gleichseitigen Dreiecke be-
grenzen zwei einander parallele kongruente
regelmäßige «Ecke, welche das Vielflach
oben und unten abschließen. Das neue
(2» + 2»-f-2)-Flach wird von 2n Rhom-
ben, 2» gleichseitigen Dreiecken und
zwei regelmäßigen n - Ecken begrenzt
Derjenige Rhombuswinkel, der an eins
dieser «-Ecke anstößt, sei 26, alle Kanten
des Vielflachs sind a cm, die horizontalen
Diagonalen der Rhomben b cm. Der Radius
des um das «-Eck mit der Seit© b cm
umbeschriebenen Kreises sei r, es sei p die Projektion der halben
Diagonale des Rhombus, die den Winkel 2ä halbiert. Wenn die Höhe
des Antiprismas k cm ist, so ist die Höhe des aus demselben abgeleiteten
neuen Vielflachs 3ä cm. Wir projizieren drei der vier vorhandenen
«-Ecke auf eine Horizontalebene; es ist ferner a' die Projektion einer
Rhombuskante a, 6' die Projektion des Winkels 6 (s, Fig. 3, wo n = ö).

Es ergeben sich folgende beide Beziehungen: — : a = ain 6, b : a=r : (r— 2p).

Hieraus folgt; 2 sind = r : (r — 2j>). Es ist ferner: p =» r — q, wenn
q der Radius des dem großen Vieleck mit der Kante b einbeschriebeneu

Kreises ist. Daraus folgt 2 sin d=r:(2p— r). Es ist ferner -:r = sin — ,

rig. i

= cotg — . Deshalb 2 sin d =

Durch weitere Umformungen erhält man

1
sin 6 = —

Bin

IS m
n

= TT = OO.

Es

Zwei Gruppen gleichkantiger Vielflache mit nur vierkantigen Ecken. 21

Diskussion dieser Gleichung:

1) Für » = 3 erhält man sin d, = - ^^

1 3 4 • cos 60° — 2

»xistiert demnach kein Vielflach der Gruppe, dessen beide GrundMchon

regelmäßige Dreiecke sind.

2) Für n = 4 erhält man Bin d, = - ai — -x = — - — = = r~.w~ .

* 4 cos 46°— 2 4 — 21/2 1,1716

Da Bind 4 > 1, so folgt: Eh existiert kein Vielflach der Gruppe, dessen
beide Grundflächen Quadrate sind.

3) Für n = ö erhält man sin fi & =- 7 ^ . Bei der Berech-

nung des regelmäßigen Fünfecks findet man den Wert cos 36° = - , ■

Daraus folgt sin d ä =

y 6

_ = lAJll = C08 36«, d h d&

54°. Wenn

die beiden Grundflächen eines Vielflachs der Gruppe regelmäßige Fünf-
ecke sind, so ist jeder Rhombenwinkel, der an eine der Grundflächen
anstößt, 108° groß.

— = L±^? = 0,68301,

4) Für n = 6 erhält man sin d fi =

d 6 = 43° 4' 46

4 • cob 30°
Wenn die beiden Grundflächen eineB Vielflachs der
Gruppe regelmäßige Sechsecke sind, so ist jeder Rhombenwinkel, der
an eine der Grundflächen anstößt, 80° 9' 32" groß.

2.S 2fi

5) Für » > 6 wird cos — größer als cos " , mithin sin d < sin d 6 .

Wenn demnach die beiden Grundflächen eines Vielflachs der Gruppe
regelmäßige »-Ecke sind (» > 6), so ist jeder Rhomben winke), der an
eine der Grundflächen anstößt, kleiner als 86°.

6) Grenzfall n »= 00. Aas dem Vielflach wird ein RotationscyRnder.

Man trhält sin d* = - — , - = — , d. h. d" x = 30°. Der spitze

1 OUH Vß _ 1— 25 95

Winkel 2d des Rhombus nähert Bich dem Grenzwerte 2d = 60°. Aus
der Gleichung & = 2rasind ergibt sich für den Grenzfall b = a (wenn
n = 00). Die Höhe des Vielflachs (Abstand der beiden Grundflächen)

Ist für den Grenzfail -^-a.

Jedes Vielflach besitzt m Symmetrieebenen, die auf den Grund-
flächen senkrecht Btehen; eine horizontale Symmetrieebene ist nicht
vorhanden.

Essen, 7. Dezember 1902.

216

D. Surrzow:

Über eine Fonktionalgleichung,

Von D. Sintzow in Ekaterinoslaw, Rußland.

Herr M. Cantor hat in der Zeitschrift für Math, und fhy&. i
161 — 163 die Beispiele zweier Funktionalgleichungen mit drei Ver-
änderlichen angegeben:

(1) <p(> f y) + tp(y, e) = <p(x, e), (2) tp(x, y) ■ (p(y, a) - tp{x, s).

Seine Lösungen sind sehr einfach; doch differenziert der Verf. dabei
die unbekannte Funktion und setzt also ihre Differenzierbarkeit voraus
Ich will daher eine andere Lösung angeben,, welche eine derartige Vor-
aussetzung vermeidet.

1. Die Gleichung (1) schreiben wir in der Form:
<p(x, y) = tp(x, z)-<p<Jt, e).

Die linke Seite ist von z unabhängig; e muß also auch in der rechten
Seite herausfallen. Wir können daher, ohne die Allgemeinheit zu
beeinträchtigen, # irgend einen bestimmten Wert beilegen, z. B. * = o,
was gewiß voraussetzt, <p(x, o) sei nicht durchgehends unendlich. In-
dem wir noch <p(x, o) — 8(x), gleich einer willkürlichen Funktion von
x, setzen, gelangen wir zur Lösung des Herrn M. Cantor:

q>(x > y) = 6(x)-d(y).

von

2. Die Gleichung (2) wird durch Logarithmieren und mit Hilfe
der Bezeichnung log<p(;r, y) = <p(x, y) auf (1) zurückgeführt, kann aber
auch direkt auf ähnliche Weise, wie (1), gelöst werden. Wir schreiben
(2) in der Form

und da die rechte Seite von s unabhängig sein muß, so kann man :
einen bestimmten Wert I = o beilegen und die Bezeichnung einführen
<p(x, o) = ö(x). Dann wird

«K*, 9) =

6(x)
6(y)'

3. Dasselbe Verfahren führt zur Lösung der etwas komplizierteren
Gleichung

( 3 ) 9(*i y) v(«, - V(*» *) V 0, + 9>0, «P<& «) - °-

Über eine Funktionalgleichung.

"Wir ziehen daraus;

9>foy) =

q> (x, g) ■ y (y, <) — ? (x, t) - y (y, r)

Die rechte Seite muß von den unabhängigen Veränderlichen z } t frei sein.
Wir können also / z. B. irgend einen bestimmten Wert a beilegen:

, v y(X, g).^(y)— y(y, g) ■ ?(a)

VC«; y) = ^j f

wo wir <p(x f a) = ip(x) gesetzt haben. Dividieren wir mit qß(x)^(y),
so zeigt sich, daß die Funktion Jv\J!L der Gleichung (1) genügt und
also zu setzen ist:

wir noch 4>(x)9(x) = z(x)) so bekommt man

?>(*, y) = z(*)*(y) - x(y) *(*)•

Wir können zu dieser Losung auch direkt gelangen, indem wir in
(3) z = a, t = b setzen, wo die beiden Konstanten a, b der Bedingung
9>(a, 6) = 1 unterworfen sind. Bezeichnen wir noch qp(x, a) = jf(a),
9>(x, 6) ■=#(!), so kommt man zu der oben angegebenen Lösung.
Die willkürlichen Funktionen if/ und % müssen der Bedingung ge-
nügen, für irgend ein Wertepaar x = a, y = i von x und y die
Gleichungen

z (a) = ^(6) = 0, *(a)-- z (&)-l

zu befriedigen, wie es in Folge der Eigenschaften 95(3*, y) -+- tp(y, x) — 0,
9>(x, x) = sein muß.

Ekaterinoslaw, Februar 1903.

Michael Bai zu:

Üter einen Satz von Kronecker.

Von Michael, Bauer in Budapest

In seiner Abhandlung 1 ) „Über die Irreduktibilität von Gleichungen"
entwickelt Kronecker durch bloße Kongruenzbestimmungen eine hin
reichende Bedingung dafür, daß zwei irreduktible Gleichungen (mit
rationalen Koeffizienten) in solchem Sinne zu derselben Klasse gehören
sollen, daß die zugehörigen Galoiaschen Resolventen dieselbe Gattung
bestimmen. Er bezeichnet den Satz als einen zahlentheoretischen
,,Kandwertsatz". Es boII im folgenden die notwendige und hinreichende
Bedingung abgeleitet werden.

Die. notwendige und hinreicJtende Bedingung dafür, daß die irreduk-
tihhn Gleichungen (mit rationalen Koeffizienten)

(i) m-o,

(2) /,(*) = o

im obigen Sinne su derselben Klasse gehören, besteht darin, daß die Aus-
drücke f v (x), fj(x) im allgemeinen*) für dieselben Primeahlmoduln in
lineare Faktoren zerfallen.

1. Seien u\ eine Wurzel der Gleichung (1), «•, eine Wurzel der
Gleichung (2) und die zugehörigen Zahlkörper K Ki7 K Wt . Sei ferner
H ein (im Bereiche der rationalen Zahlen) Galoisscher Zahlkörper,
der K Wl und K Ul enthält. Bezeichnen wir die Gruppe des Körpers H
mit Jp-, die Elemente der Gruppe seien

(3) H lf H t , . . ., H ir . . .,
und es sollen K^ und ÜT«, zu den Untergruppen & t bezw. ©, gehören.

2. Der Beweis des Satzes kann in der folgenden Form geleistet
werden. Es ist zu beweisen, daß, wenn wir die größte gemeinsame
Untergruppe der Gruppen:

(4) Hr^HuEr^B,,...
mit IDj, die größte gemeinsame Untergruppe der Gruppen
(5) *t**A> S-^H,. . .

1) Berliner Monatsberichte 1880 p. 148.

2) D. h. mit etwaiger Ausnahme einer Primzahlmenge, deren Dichtigkeit
gleich Null ist Ana dem Beweise ist jedoch ersichtlich, daß de facto diese
Ausnahme nur für eine endliche Menge eintreten kann,

Über einen Satz von Kronecker.

219

mit 2), bezeichnen, dann für das Bestehen der Gleichung
(6) 5D X - S>,

ilie notwendige und hinreichende Bedingung ist, daß die Ausdrücke fi(x),
/'.('/) im allgemeinen für dieselben Primzahbnoduln in lineare Faktoren
zerfallen sollen.

3. Um den Beweis vorzubereiten, schicken wir einige Sätze der
Idealtheorie voraus. Ist die DiBkriminante des Körpers H durch die
rationale Primzahl p nicht teilbar, so bleiben die einzelnen Prim ideale
der Zahl p bei der Anwendung je einer cyklischen Untergruppe von Jp
invariant. Diese cyklische Untergruppen sind die sämtlichen Konjugierten
einer einzigen cyklischen Untergruppe. Wir können daB in der folgen-
den Weise ausdrücken: die Zahl p gehört z. B. zur „Klasse der cyk-
lischen Untergruppe 9K". Umgekehrt zu jeder „Klasse 2R" gehören nach
Herrn Frobenius unendlich viele Primzahlen, deren Dichtigkeit von
Null verschieden ißt 1 ) Nun sei 91 eine beliebige Untergruppe von $fr
und K*n der zugehörige Körper, Die Grade der Primideale von p im
Körper K<r werden nach Herrn Dedekind*) auf die folgende Weise
bestimmt. Man zerlegt die Gruppe £> nach (modd. 3K, 9t):

(7) § = , mit l < $i + yiR t yi + •-.,

wo R t die (modd. *3Jl, 91) inkongruenten Repräsentanten der Elemente H i
bedeuten. Sei sodann m die Ordnung der Gruppe E)t, und d ( die Ord-
nung der größten gemeinsamen Untergruppe von

m

dann hat man
(8)

IT*.

sind.

wo die Faktoren 3; im Körper K^ Primideale vom Grade ,

4. Nach dem Vorhergehenden ist eine Primzahl p im Körper K^
(bez. ÜT«^) dann und nur dann als ein Produkt von Primidealen ersten
Grades darstellbar, wenn p im Körper H zu einer „Klasse cyklischer
Untergruppen W (bezw. „Klasse cyklischer Untergruppen SS") gehört,
die so beschauen ist, daß die ganze Klasse in der Gruppe ®j (bezw. ®,)
enthalten ist. Somit tritt unser Satz in Evidenz.

1) Über Beziehungen etc. Berliner Sitzimgsb. 1636 pp. 689 — 703. Sah IV
p. 702. Der Satz ist a. a. 0. in eine andere Form eingekleidet. Ich will noch
bemerken, daB die Sätze I, II, III aus dem Satze IV mittelst gruppentheoretischer
Betrachtungen abgeleitet werden können.

S) Zur Theorie der Ideale. Göttinger Nachrichten 1894 pp. 273— 277.

220

Michael Baukb:

über KreisteüingsgleichiingeiL

Von Michael Bauer in Budapest.

Den in meiner Note „Übe

Satz

Ki

^cr" 1 )

oer eitten batz von Kroneckcr" L ) ge-
gebenen „Randwertsatz" kann man, wie leicht ersichtlich, folgender-
maßen verallgemeinern. Seien:

(1) fM-% (2) f.(*)-o

irreduktible Gleichungen mit rationalen ganzzahligen Koeffizienten.

Sei ferner die Gleichung (2) für jeden Primzahlmodul 2 ), nach
welchem (1) in lineare Faktoren zerfallt, auch in lineare Faktoren
zerlegbar. Dann und nur dann bestimmt die Galoissche Resolvente
von (1) einen aolchen Körper, der den Galoisschen Körper von (2)
als Unterkörper enthält. 8 )

Als eine Anwendung will ich den folgenden Satz beweisen.

„Eine irreduktible Gleichung mit rationalen Koeffizienten ist dann
und nur dann eine Kreisteilungsgleichung, wenn sieh eine positive ganze
ZaM N vorfinden liißf, ilie folgende Eigenschaft besitzt. Für die Pritn-
zahlmoihdn, die in der Progrcssioti

Nx+l

enthalten sind, muß die Gleichung 'im allgemeinen' in lineare Faktoren
zerfallen. 1 '

Um den Beweis zu führen, genügen folgende Bemerkungen.

a) Eine Gleichung ist dann und nur dann eine Kreiateilungs-
gleichung, wenn ihre Galoissche Reaolvente auch eine Kreisteilungs-
gleichung ist.

b) Zu einem KreiBkörper läßt sich eine positive ganze Zahl « so
finden, daß der Körper der nten Einheits wurzeln den gegebenen als
Unterkörper enthält.

c) Im Körper der nten ELnheitswurzeln sind alle Prim ideale der
Primzahlen von der Form nx -f 1 vom ersten Grade.

Der jetzt bewiesene Satz kann als eine Ergänzung betrachtet
werden zu dem berühmten Kroneckerschen Satze über Abelsehe
Gleichungen.

1) S. vorstehende Note. 2) „im allgemeinen".

8) Zum ersten Male von Herrn Weber, später von Herrn Hubert bewiesen.

Über

Körper.

231

über zusammengesetzte Körper.

Von Michael Bauer in Budapest

Definitionen und Bezeichnungen. — Wir werden eine Primzahl p,
die in einem Körper in Primideale ersten Grades zerfällt, in Bezug auf
diesen Körper eine Primzahl der ersten Kategorie nennen. Den Körper,
der ans den gegebenen algebraischen Körpern K v K t zusammengesetzt
ist, werden wir einen zusammengesetzten Körper nennen und ihn mit
/.'(A'j, Kf) bezeichnen.

Satz. Im Körper k(K lf K^) sind diejenigen und nur diejenigen Prim-
zahlen von der ersten Kategorie, die sowohl in Bezug auf K lr als auf
K\ von der ersten Kategorie sind. (Eine endliche Anzahl von Prim-
zahlen kann eine Ausnahme bilden.) 1 ) Die Dichtigkeit dieser Prim-
sahlen ist gleich dem reziproken Werte des Grades vom Galoisschen
Korper des k(K lt K t ).

1. — Wir brauchen den Beweis nur für solche Körper zu leisten,
die im Bereiche der rationalen Zahlen Galoissche Körper sind. Denn
einerseits sind die Primzahlen der ersten Kategorie eines Körpers die-
selben wie für den zugehörigen Galoisschen Körper 1 ); andererseits ist
der Galoissche Körper von

identisch mit dem Körper

*((?,, G s ),

wo C, und G t die Galoisschen Körper von K lt K t bezeichnen.

2. — Nun sei

*(<?„ GJ-K

Sei ferner ^j die Gruppe von H, und es sollen die Körper G lf G,
zu den Untergruppen ® 1T & t gehören. Die Untergruppen QJ lf ®, sind
invariante Untergruppen, deren größter gemeinsamer Teiler „E u die Einheit
ist. Nun sind im Körper H diejenigen und nur diejenigen Primzahlen
von der ersten Kategorie, die „zur Klasse E u gehören; also diejenigen
und nur diejenigen, die sowohl in Bezug auf G x als auf G, von der
ersten Kategorie sind. 3 ) Daß es unendlich viele solche Primzahlen

1) Diesen Zusatz verde ich im folgenden der Bequemlichkeit halber weglassen.

i) S. vorat. Note: „Über einen Sats von Krön eck er." Wir bedürfen hier

nur des Zerlegungssatxes von Herrn Dedekind, dessen Beweis rein arithmetisch ist

3) 8 in der zitierten Note die früher zitierte Stelle.

222

Michael Baikii: Über zusammengesetzte Körper.

gibt, ist auch auf arithmetischem Wege sofort einleuchtend; ihre Dich-
tigkeit hat Herr Frobenius bestimmt.

8. — Als eine Anwendung werden wir die folgende Frage be-
handeln. Bestimmen wir diejenigen Körper, für welche die Primzahlen
erster Kategorie arithmetische Progressionen bilden! Wir werden be-
weisen, daß nur die Kreiskörper diese Eigenschaft besitzen.

Sei K ein Körper, für welchen die Primzahlen von der Form:

(1) o,x-fft u a s x + b it . . ., a r x + b r

die Primzahlen erster Kategorie bilden. Ist eine der Zahlen b t =\ f so
ist der Beweis schon geleistet. 1 ) Nun sei

(1*) MM (. = .. 2. ...r).

Wir bestimmen zuerst die positive ganze Zahl JV in der Weise, daß sie
der Forderung

(2) N^fja,

genügen soll. Wenn Ky den Körper der JVten primitiven Einheit-
wurzeln bezeichnet, so sind die Primzahlen von der Form

(3) Nx + 1

die Primzahlen erster Kategorie für K^. Nun würde aus (I), il :
(2), (3) folgen, daß für den Körper

h(K, K B )

überhaupt keine Primzahlen der ersten Kategorie existieren. Demnach
ist die Annahme (1*) unzulässig.

4. Aus dem obigen Beweise ersieht man auch den folgenden Satz.

Ist K ein beliebiger algebraischer ZaldkUrpcr und N eine ihüdbifft
positive ganze Zahl, so gibt es für K unendlich viele Primzahl, n dir
ersten Kategorie, die der Bedingung = 1 (mod. N) genügen. I'n Dichtig-
kvit ist durch die früheren Sätze bestimmt.

Ferner sei noch bemerkt; daß, wie leicht ersichtlich, ans unserem
Hauptsatze auch der Satz, den wir in der Note „Über einen S,it- mh
Kronecker" gegeben haben, als ein spezieller Fall folgt. Jedoch sind
beide Beweise von einander verschieden.

1) 8. die vorstehende Note „Über KreisteUungsgleichnngen."

Niels Nielsen: Sur la fonction gamma.

■j-j:)

Sur la fonction gamma;

Par M. Niels Nielsen a Copenhague.

Dans son excellent memoire sur la fonction gamma M. J.-L.-W.-V.
Jensen 1 ) a deduit le premier, au moyen d'une raetnode rigoureuse, les
series de factorielleB dues ä Binet pour les dem fonctions

«i(*)-logaf- V(x),
to(x) = log r(x) — (x — i) log x -(- x — logy^äe,

*P(x) designe la fonction de Gauss, savoir

C designant la constante d 'Euler.

Cependant, la inethode appliquee par M. Jensen ne permet pas
de determiner le champ complet de convergence des series susdites;
au contraire, on ne peut trouver que l'aire oü ees series sont absolu-
ment convergentes. Or, U est possible, d'un autre point de vue, comme
je le demontrerai plus bas, de conibler cette lacune dans la tbeorie
elementalre de la fonction gamma par les inoyens les plus elementaires,

savoir ä l'aide de la serie de factorielles obtenue pour et due

* x — tt

a Stirling. De plus, cette demonstration nouvelle des series de

Binet nous donne encore comme des corollaires lea formules dues ä

Gudermann et ä Baabe, tandis que M. Jensen a dö developper

separement la serie de Gudermann.

En communiquant ees demonstration» je Baisirai Toceasion pour faire
prOceder une demonstration nouvelle, ä ce que je crois, du theoreme
de Gauss.

Pour ne pas interrompre l'apercu suivant je donne ici la definition
des coefficients de factorielle du rang n, savoir les nombres entiers
obtenus ä l'aide de l'identite

*(* + 1) (x + 2) • ■ • (* + n - 1) = C° H x n + C\x*~ x + • • • + (T~ ' x,

d'oü immediatement:

n\ = <? + C\ + Cl + ... + C:- 1 ,

corollaire qui nous sera bien utile dans ce qui va auivre.
1) Nyt Tidsskrift for Mathematik, t. LI; 1891.

224

Niels Niümki«:

1. Demonstration du tiieoreme de Gauss. — Conaiderons la fonctdon
rationaelle

(«)

&'(*) -^ d, + i x + J »

oü n defligne un entier positif, aous aurons tont d'abord ponr n infini:

Cela pose, etudiona la fonction W np (z), oü p est un entier positif deter-
iniiii-. et rangeons en p groupes les tonn es figurant an second membre
de l'equation obtenue de (a) en y remplacant n par np, de facon qne
Iee ternies unis dana le meine groupc coriespondent aux valeurs de la
lettre aominatoire s qui, dirisees par p, donitent le meine reste. Cette
Classification effectuee, l'identifce

r x -f r + »P

-i.V.

p Ji-i z + r , _

donnera imme'diatement nne formule de cette forme:

r = ■ — 1

*.,(*) -i -2 ^('-f'^.

oü j! est une conBtante, dont la determination s'efiectne en posant
simplement dana (ß) x = oo. En efFet, pour cette valeur de x on aora

ce qui determine A, et nouB obtiendrons cette formule elegante:

r — p — 1 * = w(p — 1)

» »MM-i-2*-( E f , )+2iTi.

qui n'eat au fond rien d'autre choae que le theoreme de Gauss donne
dans sa forme la plus elementaire.

En eifet, faisons croitre an delä de tonte limite l'entier positif n;
la derniere somme figurant au second membre de (2) ee reduira a

h

log P,

Sur la fonctlon gamma. 225

et nous aurons
(3) y^.i/girpl^ + iogp,

d'oü, en integrant par rapport ä x:

r W -^r(f)r(5±i)...r(?+^),

oü A est une constante qui peut etre däterminee ä l'aide de cette for-
male d' Euler:

r®r(i)-r(^)-,W^,

ce qui donnera finalement le theoreme de Gauss:

W rw - rg)rf±i) ■ • • rp+Jpy- W~^-

Posant eu particulier jp — 2 et mettaut 2x au lieu de x, on aura cette
formale particuliere due ä Legendre:

(4a) r(«) r(x + 1) - r(2*) 2- »■ + > y^,

qui nous sera bien utile plus tard.

2. Convergence umforme de certaines series. — Considerons mainte-

nant la formule

1

1

J »„.»

«*- a - 1 d*

valable pourvu que 9t (x — c) > 0; ecrivons la fonction ä integrer sous
cette forme «" — i -g~" f une integration repetee par parties donnera

/5\ _J Ix « . . . . 4. tt(« + l)---(« + *-i) , R / X

w x — « x^x(x+l)^ ^x(x+l) -(x + n) T-n^W»

oü Ton a pose" pour abreger

(5a) ^- ttü-ftT^ - — •

v ' " v ' x(x-f- 1) • • • (x + M ) x — *

Cela e"tant, ecrivons l'expression de B n (x) sous cette forme:

" v ' x(x — o)\ x+l/V x+2/ \ x + n/'

et supposons 9t (x — «) > 0; nous verrons, ä l'aide du produit ainsi
obtenu, qu'il est possible de determiner un entier positif N tel que

(6) I *(*)!<«,

Archiv dm Mathematik und Phyrik. m. Reihe. VX 16

226 Nkm Nixukx:

oü e designe une quantite" positive- donnee d'avance et aussi petite
qu'on le veut, pourvu qne n ^ N.

Remarquons encore qae la de*finition (5a) mime de B n (x) donnero
immediatement, q dtant an entier positif,

f„\ Tt (~A.n\ x ~ a x(x + l)---(x + g — l) p , *

(«) ^(* + a)- a ._ a + a - (a . +n+1) ... (a . +n+g) -i«.(*)-

Posons maintenant dans (5) x *~ a + p, p e"tant un entier

et divisons par / , <\ / . ,\

* o(«+l)---(a + |>-l);

nous obtiendrons cette autre formale

(?)

» = o

= i/ i ! ^

qai est valable poor one valeor finie qnelconqae de a.

II est bien conna qae les formales (5) et (7) sont daes ä Stirling.
Du reste, on voit qae (5) peut etre de"montree ä l'aide des moyens
les plus elementaires: cependant notre demonstration ä l'aide de l'inte-
grale definie est formellement la plus simple.

Appliquons ensuite la formule (7); nous obtiendrons, en vertu de (5)

(8) VJf 1 1 \ yTl«(«+l)---(« + «-l) ■ j; ()

»=0 »=1

oü l'on a pose poar abreger

R (x) = (l I ? x ~ a ■ ^+i)ffL+J>lut?±*_- X 1—)B (*)+

(8a)

»= n

±_ü_/l±Vi («+l)(« + 2)--(a + g-l) \
~*~ x + pV ^jLjs ' (X + p+l)---(X+p + 8-l)P

cette expression du reste R ntP (x) peut etre deduite aisement ä l'aide
de («).

Cela pose, demontronB que les deux series figurant au second
membre de (8 a) sont absolument convergentes si nous faisons croitre
au dela de toute limite les deux entiers positifs n et p. A cet egard
designons par u, le terme sommatoire figurant sous le premier signe £,
nous aurons „ m , „

u ,+ i

aar la foaction gamma.

227

tandis que nous aurons pour les termes correspondants de la seconde
sehe en question

et le theoretne de Raabe^Dulianiel nous conduira immediateraent au
but, de facon que nous arrivona ü demontrer qu'il est possible de
determiner deux entiers positifs N et P tele que

(9)

I *..„(*) !<«',

oü e' designa une quantite positive finie donnee d'avance et aussi petite
qu'on le veut, pourvu que Ton ait ä la fois

P^ P , «>^> Ä(ar-«)>0.

II est evident que noua faisons abBtraction des valeurs entiereB
non positives de x. Conime resultat des rechercbes precedentes nous
obtiendrons ce lemme fondamental dans les rechercbes qui vout suivre:

Divisons, u Vaide cTunc ligne droite perpendicidairr ä Vase des
nun/Ins reels, le plan en deux partics D et G situees ü droitc et ä gauche
de In ligne susdite. Supposons encore que nos deux variables x et u soienl
assujetiies ä etre situees dans I) et G rexpedircment; les deux series
figurant aux seconds membres de (5) et (8) seront, pour n et p infinis
unifonwhnent concerffentes.

C'est la meme ehose pour la serie figurant au premier membre de (8)
et cela pour des valeurs finies quelconques de a et x.

11 est evident que nous faisons toujours abstraction des valeurs
eotieres non positives de x. Or, ce lemme dömontre, un nombre de
rornauleB essentielles danB la theorie de la fonction gamma se demon-
t*"eixt aisement.

3. De'monsirations des fornndes de Binet, Gudermann et Raabe. —
a isons maintenant croitre au dela de toute limite lea entiers positifs
^t p, la formule (8) donnera immediatement cette autre fonnule:

le *» conuue 1 ), qui est valable pourvu que 91 (ä — c) > 0.

~~

1) Voir
^*ris 1888.

par eiemple II. Laurent: Tmitt- d'An&lyse, t. III, p. 466;

228

Niels Nielsen :

Integrons niaintenant de ä cc les deux membres de (8) terme
terrae; il est permiB de faire croitre a l'üifini lea dem entiers positifß
n et p, ce qui domiera pour la fonction

(")

%(«,-) = -2 , ['°«( 1 -JT-.) + JT-.]

ce deVeloppement en serie de factorielles

(12)

«iC«»*)-^

s • x{x -f 1) • • • (x -}- » — 1)

qai est valable pourvu que x soit situe dans le demi-plan D, tandis
que le chemin d'integration se trouve conipletement dans G.

Quant a la fonction a> l (a,x), on aura, en se rappelant (10)

(11 a) ©, (<x, x) = « W(x) + log r(x — «) - log F(x) ,

par consequent

(IIb) o, (— 1, x) = ©! (x) — log x — W(x) ,

et la formule (11) nous donne le developpement bien connu de cet

fonction; le developpement plus general (11) appartient ä M. Meli in. 1 )

Poaons dans (12) a = — 1, nous obtiendrons ee developpement en

Serie de factorielles:

i=*A c »-i _ JLc*^ a 4-

°iW=2

(13)

2 • $ * ^ s + 1 •

s ■ x(x -j- I) ■ • • (x -f s — 1)

indique* par Binet 2 ) et qui est valable pourvu que SR(:r)>0.
Posona encore a — + 1 etx+1 au Heu de x t nous aurons

a^x, x + 1) = W(x) - logar + -

l

»!(«).

Or, le developpement en serie de factorielles de o 1 (l, x -j- 1) peut
etre trouve directeraent de (12); appliquons encore (5) pour a = 1 et
J+ 1 au lieu de x } et faisons usage de la formule relative ä la somnie
des coefficients de la factorielle du rang »; nous aurous cet autre
developpement, donne explicitement par Binet 8 ):

*=»A<7'- 1 _l In'-*

0l {x)

■2-

+ i c -

+

4- * P°

S ■ {X + 1){X + 2) • • ■ (X + *)

1) Citat de Jensen loc cit. p. 49.

2) Journal da 1'ficole polytechnique, cauier 27, p. 339; 1839

3) loc. cit. p. 2iit

la fonction gamma.

cette formale est aussi valable pourru que SR(x) > 0. On voit que la
formule (12) peut etre designe comme une generalisation tres etendue
des series de Bin et.

Posant dans (13), (14) % = 1: on obtiendra dem se'ries numeriques
pour la constante d'Euler, dont la seconde est due ä Binet. 1 )

>Pour gene'raliser d'une nianiere analogno les deux autres series
de Binet, integrons de ä a, terrne ä terme, la serie qui figure au
second membre de (11), ce qui est toujours permiB. Or, I'integration
effectuee sur le terme soramatoire donnera

(, + ,_•) log (J _ _^ +8 _ £ [i„ g(l _ _£) + _£-],
d'oü, en posant

f = CO

(15) a,(«, *) -2[(* + s - |) log (l - ^,) + «] ,

1 =

l'inte'grale du premier membre de (11) deviendra precisement

1( 1 6) f ©, («, x)da~a> («, x) + | o, («, x).

Cela pose, integrons aussi de ä a, terme k terme, le second
membre de (12) c© qui est perniis avec la restriction ordinaire; nous

obtiendrons

.»« + *

(n)^«,*)--^^ 1 ^

TT C *

s ■ x(x -\- 1) ■ ■ ■ (x -(- e — I)

formule qui est valable pourru que le chemin d'integration soit eitue'
completement dans le demi-plan G, tandis que x est Bitue dans D.
Remarquons maintenant que Tintegrale de 1 ä x prise par rapport
ä x du terme general au second membre de (11), sora

-(x + s-a)lo e (i--«-^ + (s + l~*)\o g (l-^),

nous aurons aiBeraent

z

■ja t (a

t x)dx — to(a, x) + oi(ö, 1) +

+ Im«, *)-<*(«, i))- tW+c)!

1) loc. cit. p. 268.

230 Niels Natura: Sar la fonction gamma,

or, la formule (IIa) donnera do meme

— I to^a, x)dx = — a log T(x) — I log
i

Posona enBuite a = — 1, ces deux dernieres formules donneront

<o(— 1, x) = log F(x) — (x — -J-) logx + x + ra(— 1, 1) ,

de fa^on que la formule (4a) pour F(2x) donnera aisement
oj(— 1, x) + m(— 1, x + \)

— a(— l, 2x) + xlog

- + i

J ■ + log ]/2^ +©(-!, 1).

Cela pose, faißons croitre ä l'infini la partie reelle de x\ les
fonctions ra s'evanouiront parce qu'elleß ne sont autre chose que les
termes de reste des series convergentes obtenues de (15) pour a = — 1;
en outre, la vraie valeur du ternie qui Be presente bous forme indeter-
minee, Bera + -J-, ce qui donnera

o(- 1, l) = -logy2«,

et qoub aurons finalement

(18) »(— 1, x) -«(*)- log Fix) - (x - i) log« + »— log>/2^

c'est-ä-dire que la ßerie infinie figurant au second membre de (16),
valable dans toute l'etendue du plan, ne deviendra autre chose que h
serie donnee par Gudermann 1 ) pour a(x), tandis que (17) noos
donnera cette formule due ä Bin et*)

•i

-,i — s

(19) «(*)

• = » r>* — l " n>

* \£j M(l-j- 1).

+

(- 1)'»

(■ + !)(•+«)

(* + ■-!)

qui est valable pour 3t (x) > 0.

Pour trouver la quatrieme serie de Binet remarquonB que (J5)

donnera

o(l, x + 1) = — <o(x) t

d'oü en posant dans (17) «
l

(20) B (i)-^2"

1 et x + 1 *Q lieu de x:

r">« — 1 I . /»* — ' _L . . , _|_ ? /

j (x+l)(a; + 2).-.(x + 8)

1) Journal de Crelle, t. XXIX, p. 209— 212; 1845.

2) loc. cit. p. 339.

P. Kokott: Die wiederholte Anwendung der Landenachen Transformation. 231

ce qoi est precisement la formule susdite de Bin et') valable auaai
pourvu que 9l(jf)>0.

Combinant enfin les deux formules (IIa) et (16), on aura

(21) Jlog r(x - cc)da - «d(«, x) + | (log r(x - «) + log r(x)),

qui doit etre consideree comme generalisation de la forniule de Raabe
que Fon obtieiit en poaant eimplement a = — 1, d'oü, en vertu de (18):

(22)

i

/ log r(x + a) da = * (log x — 1) + log Y2 n ,

ralable pour 3t(;r) > 0.

Dans un premier memoire 1 ) sur ce sujet Raabe a demontre la
formule (22) dana le cas ou x eat egal ä un entier non negatif; dana
un aecond memoire') il e'tudie le caa pluB generul oü x designe un
nombre positif rationnel ou non. D'autrea demonatrationa de la formule
de Raabe ont ete donne'es plus tard par Stern 4 ) et Bertrand. 9 )

Copenhague, le 2 decembre 1901.

Die vorliegende Untersuchung beruht auf einem von mir im
Journal für reine und angewandte Mathematik 124 veröffentlichten
Aufsatz Über die Landenache Transformation der elliptischen Integrale.
Es ist daaelbat nachgewiesen, daß sich diese Transformation als die
Abbildung zweier Kreise aufeinander nach einem einfachen geometri-
schen Gesetz auffassen läßt. Im folgenden soll durch wiederholte An-
wendung dieses Gesetze« den in der Theorie der elliptischen Funktionen

Die wiederholte Anwendung der Landen sehen
Transformation.

Von P. Kokott in Sagan.

1) loc. cit. p. 831.

8) Journal de Crelle, t. XXV, p. 149; 1843.

3) Journal de Grelle, t. XXVIII, p. 12—14; 1844.

4) Zur Theorie der Eulerachen Integrale; citation de G. F. Meyer: Bestimmte
Integrale, p. 158; Leipzig 1871.

6) Trait£ de calcul difie'rentiel et integral, t, II; citatiou d'Uermite;
p 102; Paris 1883.

232

P. Kökott:

bo bedeutsamen algebraischen Entwicklungen ein geometrisches Gepräge
aufgedrückt werden, welches das Studium der betreffenden Transfor-
mation infolge seiner Anschaulichkeit wesentlich erleichtert.

Der Kreis A habe den Radius b; auf dem Durchmesser ED sei
ein Stück AB = c abgetragen; ein beliebiger Punkt C des Kreises ist
offenbar durch die Lage der Sehne CF charakterisiert, von der das
Stück CB „Strahl", das andere BF „Gegenstrahl" genannt werden soll.
Der Kreis G habe als Radius das arithmetische Mittel der beiden
Größen b und c, also G L = ^(b -\- c); das auf dem Durchmesser »h-
getragene Stück GS sei das geometrische Mittel, also GH=Ybc.

Um einen beliebigen Punkt G des ersten Kreises auf die Pari
pherie des zweiten zu projizieren, verfahre man folgendermaßen: Man
verbinde den Gegenpunkt F von G mit D und ziehe durch H

Fig. 8.

Fig. t

Parallele SJ; dann ist J der Bildpunkt von C. Der Durchmesser ML
ist zu FD parallel vorausgesetzt. Wir wollen einige besonders charak-
teristische Punkte hervorheben. Der Bildpunkt zu D ist offenbar der
Punkt L; denn denkt man sich den beliebigen Strahl CF um B herum-
gedreht, bis C in die Lage von D kommt, bo fällt FD mit ED zu-
sammen, also ist die Parallele durch H im zweiten Kreise mit ML
identisch; sie trifft demnach die Peripherie von G in L und M. Der
Definition gemäß können beide Punkte die Bilder von D sein; es soll
weiter unten diese Zweideutigkeit beseitigt werden; vorläufig wollen
wir willkürlich Punkt M fallen lassen, also L das eindeutige Bild von
D nennen. Um den Punkt E abzubilden, denken wir uns den beweg-
lichen Strahl CF nach links gedreht, bis er mit ED zusammenfällt.
Die Linie FD, die als Leitlinie auftritt, geht dann in die Tangente
in D über, steht also auf ED senkrecht. Also muß die Parallele
durch H ebenfalls auf 31 L senkrecht stehen. Die zwischen D un-
gelegenen Punkte des oberen Halbkreises werden demnach auf da«

Die wiederholte Anwendung der Landenschen Transformation.

233

Bogenstück LK deB zweiten Kreises projiziert. Dem Punkt C liegt
auf dem unteren Halbkreise der Punkt P wie Spiegelbild zu Gegen-
stand gegenüber. Die zu P gehörige Leitlinie DQ ist offenbar zu ED
gleichgeneigt wie FD, nur geht die Neigung nach der anderen Seite.
Folglich liegt der zur Leitlinie parallele Strahl HR ebenfalls zu HJ
in Bezug auf HK symmetrisch. Es wird also der ganze untere Halb-
kreis ED auf das Bogenstück KM projiziert, oder der ganze Kreis A
bildet sich auf den oberen Halbkreis von G ab. Soll auch der untere
Halbkreis G der Träger der Büdpunkte sein, bo denken wir uns den
Kreis A doppelt und zwar so, daß die zweite Windung nach Art einer
Schraubenlinie in D mit der ersten zusammenhängt. Die Stelle, wo HJ
zum zweiten Male die Peripherie schneidet, ist dann das Bild des un-
mittelbar über Q befindlichen Punktes der zweiten Windung. Dadurch
ist die Zweideutigkeit, von der oben die Rede war, beseitigt.

Die soeben geschilderte Beziehung zweier Kreise kann analytisch
als der Übergang eines elliptischen Integrales erster Gattung auf ein
anderes vermittelst der La n denschen Transformation angesehen werden
oder sie ist die Lösung der Differentialgleichung

dy 1 -|-m' dz*

V(* — »■> a — *t »■> = 2 yti -«•)(! -■■*■)'

Nach den Untersuchungen, die ich in mehrfachen Abhandlungen, be-
sonders in der in dieser Zeitschrift unter dem Titel „Eine geometrische
Deutung des Additionstheorema" erschienenen, veröffentlicht habe, kann
man nämlich die Punkte der Peripherie eines beliebigen Kreises durch
ein elliptisches Integral

dai

dt

darstellen, wo m auf dem oberen Halbkreise alle Werte zwischen E
und K -\~ iE', auf dem unteren die zwischen K-\-iK' und K J \-2iK'
annimmt. Bezeichnet man nun die Variabein am zweiten Kreise mit
u lf so sind die nach dem obigen geometrischen Gesetze einander ent-
sprechenden Punkte gerade durch die Relation

mit einander verbunden. Zum Beispiel entspricht dem Punkte E der

Punkt K im zweiten Kreise, der senkrecht über H liegt. Nun hat E

d c

die Koordinate K -f iE' nach dem Modul

K. 4- \iK'. nach dem Modul * *-== • Bekanntlich ist der

fr + c'

K die Koordinate

234

T. Kokott:

Periodizitätsmodul 2l 1 ' der Landen sehen Transformation mit K' durch
die Gleichung iT/— (1 -f x')K' verbunden, während K r mit K durch
die Beziehung K-y = \{\-\- x')K zusammenhängt. Eine eingehendere
Beschreibung des analytischen Zusammenhangs beider Kreise findet
man in dem eingangs erwähnten Aufsatze des Journals für Mathem.
Wir wollen nun zunächst die Lage der Punkte B und H näher
betrachten. Der Punkt B ist auf dem Durchmesser ED beliebig an-
genommen, jedoch mit der Beschränkung, daß er noch innerhalb der
Kreisfläche verbleibt, d. h. daß c < b iat. Folglich ist y(fc + c) < $(b + b)
oder b: der Radius des zweiten Kreises ist daher kleiner als der des ersten.
Nun ist GH =Ybc, also sicher größer als c. Der Punkt H liegt
also näher an der Peripherie des Kreises als der Punkt B. Bildet
man nun den Kreis G wiederum mittelst einer Landen sehen Trans-
formation ab, so wiederholt sich derselbe Vorgang; der neue Kreis ist
kleiner, der neue Punkt H t weiter vom Zentrum entfernt, als es vorher
der Fall war. Man erkennt daher leicht, daß durch eine unendlich oft
ausgeführte Operation der Punkt H schließlich in die Peripherie seines
Grenzkreises fallen muß; es wird also c = b oder der Modul x des
elliptischen Integrales =0; für diesen letzten Kreis ist demnach der

Periodizitätsmodul K

/ ' dz
yT^i»

die Umkehrungsfunktion, die

bis dahin eine Sinusamplitude war, wird eine gewöhnliche Kreisfunktion,
nämlich ein Sinus. Übrigens ist zu bemerken, daß eine sorgfältig aus-
geführte Zeichnung des arithmetischen und geometrischen Mittels der
beiden Stücke b und c schon nach einer zwei- oder dreimal ausge-
führten Operation den Punkt H in die Peripherie des letzten Kreises
überführt.

Fassen wir jetzt einen beliebigen Punkt C der Peripherie des
ersten Kreises ins Auge, so wird derselbe, falls er auf der oberen
Hälfte liegt, in den Raum zwischen L und K projiziert; durch eine
nochmalige Transformation gelangt er in noch größere Nähe des
Anfangspunktes der Zählung; schließlich wird er in den Anfangspunkt
selbst projiziert. Dasselbe ist natürlich der Fall, wenn er ursprünglich
auf dem unteren Halbkreise gelegen war. Man kann also die fortge-
setzte Landensche Transformation als die allmähliche Abbildung eines
ganzen Kreises auf einen einzigen Punkt ansehen.

Wir hatten vorher bemerkt, daß zwischen zwei beliebigen Punkten,
welche einander entsprechen, die Relation besteht

«, - i(l + x>.

Die wiederholte Anwendung der Landenschen Transformation.
Setzt mau hierin u = K, also u x = K u so entsteht

235

K t =*±±K.

Nun ist x — .— r— , folglich x' — .--.— und

1 +*'

d. h.

W + c)

Bezeichnen wir nun i(6 -f c), das den Radi üb des zweiten Kreises
darstellt, mit r, und |(— y — |- y'öcl , welches aus {(6 + c) und }/6c
ebenso entstanden ist wie \{b + c) aus b und c, mit r s , so ist

Ebenso ergibt sich durch nochmalige Anwendung der Transformation

K. r, K, r, .

Fn^ = J i p? = - U. 8. f.

-K, r,' Ä, r 4

irch Multiplikation aller Gleichungen:

r -+i

Ist n = oo, so erhalten wir

1. d.h. K=^

b+c

oder K

Hier bedeutet r den Radius des Grenzkreisea, gegen den das arith-
metisch-geometrische Mittel der beiden Größen b und c konvergiert.
Ich bemerke hierbei, daß die Entwicklung von K bereits von Jacobi
herrührt und z. B. bei Houel, Bd. IV S. 257 sich findet, jedoch fehlt
den Darstellungen der geometrische Charakter.

In der Praxis würde sieh diese Methode zur Berechnung von K
nach einem gegebenen Modul x am einfachsten folgendermaßen ge-
stalten: Man bestimme tp aus der Gleichung

Sltl f(>

und setze

also

b—e
6-f c

auxtp,

1 — mncp \ 2/'

236 P. Kokott; Die wiederholte Anwendung der Landenachen Transformation.

woraus

C = Hg a (45»-|).

Danach zeichne man einen Kreis mit dem beliebigen Radius b, trage

auf einen festen Durchmesser c = frtg 2 (45° — f j ab und gehe zum

Grenzkreise über, der nach etwa dreimaliger Anwendung des arithmetisch-
geometrischen Mittels als hinreichend genau angesehen werden kann.

b 4- c
Das Verhältnis von ^ zum Radius des Grenzkreises ist dann die für

gewöhnlich mit — bezeichnete Grenze, für welche

ist.

In derselben Weise ist K' zu bestimmen; nur muß man x' = cos<p

setzen, so daß also c' = 6tg* | wird. Der Grenzkreis entsteht aus

6 und c ebenso, wie der vorige aus b und c.

Der Winkel q> hat übrigens eine einfache geometrische Bedeutung.

Da nämlich x =* r—, — ist, so hat % den Wert J , : nun ist der

Radius des zweiten Kreises

b + c

I

das auf dem festen Durchmesser

abgetragene Stück GH = Ybc; errichtet man also in H die Senk-
rechte HK t so ist cos KG H= x'; der Winkel q> ist demnach der-
jenige Winkel, den der Radius nach dem Punkte K. ^ — —■ mit dem

■

festen Radius bildet. Daraus läßt sich leicht der Wert von K in
anderer Form darstellen. Es ist nämlich

^-i(l + «')^

wenn wir nun der Symmetrie wegen die Winkel nach den Punkten
K p -f -J *Kp m it <Pp bezeichnen, so ist unter Berücksichtigung der Formel

\ (1 + cos tp) = cos* |- :

cos

S<Pl

cos

1».

JT„-

i)

E. Reiifeld: Reduktion der Trägheitsmomente einfacher Körper etc. 237
woraus durch Multiplikation

^ = cos*^ cos 1 ^

COB»^' K

m

oder

K

r/2

H™*T

Diese Formel wird gewöhnlich rein algebraisch hergeleitet; hier haben
die Winkel tp eine bestimmte geometrische Bedeutung. Insbesondere
läßt das Abbildungsverfahren ohne weiteres erkennen, daß lim (p n — ist.

Sagan, den 2. März 1902,

Reduktion der Trägheitsmomente einfacher Körper auf die
Trägheitsmomente einzelner Massenpunkte, die auf ihrer

Oberfläche liegen.

Von E. Rehfeld in Elberfeld.

Unter dem Titel: „Elementare Berechnung der Trägheitsmomente
von Linien, Flächen und Körpern" — habe ich in dem Archiv der
Mathematik und Physik (2) 14J, 3ü — 67 eine Abhandlung veröffentlicht,
die das Prinzip der geometrischen Verwandtschaft benutzt, um in ganz
elementarer Weise, ohne Anwendung der Infinitesimalrechnung die
Trägheitsmomente für die Strecke, die Flächen des Parallelogramms, des
Dreiecks und der EUipse, für die Körper des dreiseitigen Prismas, des
ParalJelepipeds, der dreiseitigen Pyramide, des Cyliuders, Kegels und
Ellipsoids abzuleiten. Was die augewandte Methode besonders em-
pfehlenswert macht, ist der Umstand, daß die gewonneneu Resultate,
wie sie sich in dem arithmetischen Gewände darstellen, für jede Lage
der Momentenachse in voller Allgemeinheit Gültigkeit haben. Es war
mir bei der Veröffentlichung dieser kleinen Arbeit nicht bekannt 1 ), daß
das Prinzip der geometrischen Verwandtschaft schon früher zur Be-
rechnung der Trägheitsmomente benutzt worden war. Der erste Ver-
such dieser Art wurde meines WissenB von Herrn Zeh nie in dem

l) VgjL hierzu: Fortschritt« der Physik 1897 I, 353.

238

E. REHKELn:

Programm der Provinzialgewcrbeschule in Hagen vom Jahre 18i>8 ge-
macht (ein Auszug dieser Arbeit findet sich in der Zeitschrift für Math,
u. Phys. 4). Dort wird nach dieser Methode bestimmt das Trägheits-
moment einer Strecke, eines Rechtecks und eines Rechteckers. Auch
Schell in seiner „Theorie der Bewegung und der Kräfte", erste Auf-
lage 1870, wendet das Prinzip der geometrischen Verwandtschaft an
zur Berechnung der Trägheitsmomente einer Strecke und der Fläche
eines Parallelogramms. (Das Trägheitsmoment des Dreiecks wird aus
dem des Parallelogramms abgeleitet, nicht selbständig entwickelt), In
der deutschen Übersetzung der 6. Auflage von Routh ,,Djnamik der
Systeme starrer Körper", Leipzig 1898, findet man ebenfalls eine
systematische und ausgedehnte Benutzung der affinen Verwandtschaft
bei der Berechnung der Trägbeitsmomente. Wenn Homit auch der Grund-
gedanke der von mir in der kleinen Abhandlung verfolgten Methode
bekannt war, so habe ich doch dieselbe meines Wissens zum ersten
Male angewandt zur ganz elementaren Bestimmung der Trägheits-
momente für die Flächen des Dreiecks und der Ellipse, für die Körper
des dreiseitigen Prismas, der dreiseitigen Pyramide, des schiefen ellip-
tischen Cylinders und Kegels und des Ellipsoides.

Die folgende Arbeit ist als eine Fortsetzung der angegebenen Ab-
handlung anzusehen; ßie konnte daraus hervorwaehsen, weil die arith-
metischen Ausdrücke für die Trägheitsmomente der verschiedenen geo-
metrischen Gebilde für jede Lage der Momentenachse die gesuchten
Werte enthielten. Es wurde dies dadurch ermöglicht, daß die bei der
Bestimmung der Trägheitsmomente auftretenden Strecken nicht aus
den materiellen Systemen selbst in ihrer wirklichen Größe entnommen
wurden, sondern daß an Stelle dieser Strecken ihre Projektionen auf
eine zur Momentenachse senkrechte Ebene eingeführt wurden, die,
für jede neue Lage der Achse andere Werte annehmend, doch dir
Resultate in allgemeiner Form, für jede Lage der Momentenachse passend,
lieferten.

Wiewohl Herr Routh in seiner Dynamik und Herr Heye im
10. Bande der Zeitschrift für Math. u. Phys. bewiesen haben, daß jedes
körperliche System bezüglich seines Trägheitsmomentes auf mannigfache
Weise durch vier materielle Punkte von gleicher Masse ersetzt werden
kann, so ist es doch, zumal diese vier Punkte nicht alle auf der Ober-
fläche des zu untersuchenden Systems liegen können, in der Praxis
vorzuziehen, als Ersatz für ein System eine Reihe von Massenpuukten
(mehr als vier) zu wählen, die auf der Oberfläche des Systems liegen,
mithin der Messung leichter zugänglich sind. In dieser kleinen Arbeit
sind besonders diejenigen Massenpunkte auf der Oberfläche der Körper

Reduktion der Trägheitsmomente einfacher Körper etc. 239

aufgesucht worden, welche die Körper hinsichtlich ihrer Trägheits-
momente vertreten können. Es wurde deshalb auch manche Reduktion
auf eine geringere Zahl von Funkten, die aber zum Teil außerhalb
oder innerhalb der Körper liegen, nicht aufgeführt.

Schon Herr Mehmke hat im 29. Bande der Zeitschrift für Math,
u. Phys. eine Reihe von Reduktionen für die einfachen Körper (Prisma,
Cylinder, Pyramide, Kegel, Ellipsoid) angegeben. Auch findet man bei
Herrn Routh einige Reduktionen für das Tetraeder, den Kegel, die
Kugel und das Ellipsoid.

Der auf den /olgenden Seiten eingeschlagene Weg zur Reduktion
der Trägheitsmomente körperlicher Gebilde auf das Trägheitsmoment
einzelner Massenpunkte weicht von den Methoden, welche die Herren
Routh und Mehmke anwenden, vollständig ab. Die Resultate werden
durch ganz elementare Betrachtungen, ohne Anwendung der Infinitesimal-
rechnung, gefunden.

Um den zur Lösung führenden Weg zu zeigen, dürfte es genügen,
an zwei Körpern je drei Reduktionen durchzuführen, und dann bei den
einzelnen Körpern summarisch nur die Resultate anzugeben.

Benutzt wurden bei den Entwicklungen 2 Hilfssätze:

1. Hat im Räume eine Achse eine beliebige Lage zu der Ebene
eines Dreiecks, so ist die Summe der Quadrate über den Abständen der
Dreiecksecken von der Achse gleich der Summe der Quadrate über den
Abständen der Ecken von der zu der gegebenen Achse parallelen
Schwerpunktsachse des Dreiecks, vermehrt um das dreifache Quadrat
des Abstände« der parallelen Achsen.

2. Hat im Räume eine Achse eine beliebige Lage zu der Ebene
eines Vierecks, so ist die Summe der Quadrate über den Entfernungen
der Ecken von der Achse gleich der Summe der Quadrate über den
Entfernungen der Ecken von der zu der gegebenen Achse parallelen
Geraden durch den Schnittpunkt

der Verbindungslinien gegenüber-
liegender Seitenmitten des Vierecks,
vermehrt um das vierfache Quadrat
des Abstandes der parallelen Achsen.

Es sollen die Beweise der bei-
den Sätze für den Fall kurz an-
geführt werden, daß die Achse
za den Ebenen des Dreiecks und Flg . t .

des Vierecks senkrecht steht.

Zu 1 (Fig. 1). Ist P der Schnittpunkt der Drehachse mit der
Ebene des Dreiecks ABC, AD eine Seitenhalbierende Transversale und

{khfki.u:

S der Schwerpunkt des Dreiecks, so ist, wenn SP mit AS den spitzen
Winkel a bildet:

AT* = AS* -f SP 1 - 2 AS ■ SP ■ cos «,

2 DP* = 2 SD* + 2 SP 1 + 4 SB ■ SP cosa;

4P» + 2 DP* = AS* + 2 SD 1 + 3 SP 3 .

Ferner ist:
BP 9 + C P* = J3Z>* + CD* + 2 Z
also auch:

4P 8 + 2?!*+ 0P 1
= A S* -f J3D» -f CD* 4- 2 SD» 4- 3 £
= 4 S 8 4- PS* 4- CS* 4- 3 SP*.

Zu 2 (Fig. 2). Sind Pder Schnitt-
jmnkt der Achse mit der Ebene des
Vierecks ABCD, EF und GH die

\ ..<. Li w. K> n.J. > i , . i ..■! .!.->.->■ \ I . *■ » . . \ . I - ..

Flg. S.

Verbindungslinien der Mitten der
Gegenseitenpaare AB, CD und BC } DA, ferner S der Schnittpunkt
von EF und GH, so ist

4P* + BP* + CP* + DP 8 = AE* + EB* 4- 2 PP? + C\F» + FD*

+ 2 PF 3

= 4S Ä +PS s -2£ ) S , 4-2 PF» + CS 1
+ DS*-2FS* + 2PF l

= 45H£S , + CS , +DS«-2£S , -2/>
+ 2 FS» +2 FS* + 4 SP*

= A8'+ BS* + CS* + DS* 4- 4 SP 1 .

Fig. a.

1. Die Reduktion des Trägheitsmomentes

des homogenen sctiiefiriitidigni Pamlld-
epipedons auf das Trägheitsmoment ein-
zelner Punktmassen. — Seien A l B l C\I\,
A i B 1 C i D 1t die Eckpunkte der oberen and
unteren Grundfläche, deren Schwerpunkte
S x und S 3 heißen mögen. Der Schwer-

punkt des Körpers liegt in S, der durch S
parotis] den Grundflächen gelegte Schnitt sei das Parallelogramm ABCD,
dessen Seitenmitten durch EFGH bezeichnet werden sollen. Die Mitten
der oberen und unteren Grundkanten seien entsprechend: E l F ] (T t II l ,
FjFjGjflj, (Fig. 3). Zwischen den Kantenlängen und den Verbindungs-
strecken des Schwerpunktes mit den Ecken, den Kanteutnitten und den

Reduktion der Trägheitsmomente einfacher Körper etc.

241

Schwerpunkten der Begrenzungsfläehen lassen sich leicht folgende Be-

I Ziehungen ableiten:
AS* -{■IBS 3 + CS* + BS* = AB* + BC*,
ES* + FS*+GS* + HS* = ± (AB* + BC*),
E,S* + G.S* + F.S* + HtS* = l (AB* + BC 1 ) + 5,5«,
^S» + BtS* + QS* + D t S* + A a S* + B 3 S* + C\S* + £,#
= 2(AB* + BC i + S,S%).
weli

Es sei /*,, eiue beliebige Momentenachse durch den Punkt P, für

welche das Trägheitsmoment (T. M.) des Körpers T p sei. Die durch <S'
parallel zu h p gezogene Schwerpunktsachse soll mit Jt,, das zugehörige
T. M. mit T, bezeichnet werden.

Die Projektionen der Punkte des Parallelepipedons auf eine zur
Momentenachse h t , senkrechte Ebene werden durch kleine Buchstaben
angegeben, so daß ab, as, sp die Projektionen von AB t AS, SP be-
linen; es sind aber auch as und sp die Abstünde der Punkte A
und S bezüglich von den Achsen h, und h p . Es bedarf wohl kaum
der Erwähnung, daß die obigen Beziehungen für die Projektion richtig
bleiben und in die entsprechenden mit kleinen Buchstaben übergehen.

Bezeichnet man die Masse des homogenen Körpers mit m, so wird
das T. M. des Körpers für die behebige Achse h, angegeben durch 1 ):

T. = £(ab* + bc* + Sl 4).

Für das Moment T L

12

besteht

T p = T 4 + m ■ sp*.

1. Werden die Verbindungslinien der Ecken mit dem Schwerpunkt
zur Darstellung von T, benutzt, so ergibt sieh:

T, = ™ (a lS * + b t s* + c t s* + d v s* + a,s* + b t s* -f- c iS * + d t s*).

Beachtet man die aus den Projektionen der Dreiecke A v C t P, Z?, D, P,
L\A^P, D l B s P sich ergebenden Beziehungen:

Ol«* + c,s* + 2sp* = a 1 p* + c,p*,
b l s* + d s s* + 2sp* = b lP * + d tP *,
c^* -f a^s* + 2sp* = cj>* + a^p*,

d lS * + b iS * + 2 sp* - dy + b iP * t

so erhält man

T p = 5 Oi J> a + h il }3 + W* + *iP* + «iP* + hP* + W* + dtP 1 ) + I '» ■ sp>,

1) Archiv der Math. u. Phya. (2) IC, 63.
Archiv der Mathematik und I*hriik. 111. Reihe. VI

16

242

E. Rehteld :

woraus folgt: Das T. M. eines Parallolepipedons ist für jede Achse
gleich dem T. M. der acht Eckpunkte und des Körperschwerpunktes,
wenn jeder Eckpunkt j 1 ,, der Schwerpunkt aher * der Körperrnasse enthält

2. Wegen der Gleichungen
as* + bs* + es 8 + ds* = a6 s + bc 1 , 2 (s,s s + V*) = s, s-

kiuin T, auf die Form gebracht werden:

T, = g («s» + 6*' + es 4 + &*) + J ( Sl s s + V*>.

so daß

T, = T, + »« ■ s;> s ,

weil nach Hilfssatz 2

öt i + \# + c$ * + rf s » + 4sp 3 = oj? 8 + V + cp°- + V»

und ferner:

SjS 8 -f 5,s* + 2 sjp* = Sjjp a -f- s,p'

ist, auch geschrieben werden kann:

Werden mithin die Mittelpunkte von vier parallelen Kanten mit
je. JL die Schwerpunkte der beiden Begrenzungsflachen, deren Ecken
auf den parallelen Kanten liegen, mit je ^ und der Schwerpunkt des
Körpers mit J der Körperrnasse belegt, so ist das T. M. dieses aieben-
punktigen MassenBvstenis für jede Achse dem des Parallelepipedons
gleichwertig.

3. Es besteht die Beziehung

ejS* + 0,s* + fa* + *,*' + es 3 + fs 2 + gs* + Äs s = ab* + b(r + s,s»,
weshalb

T . = f 2 & s ' + &* + f* s * + V 8 + «" + /s* + gs> + As 1 )

ist. Nun sind aber E i G i F i H^ Ecken eines Tetraeders, dessen Schwer-
punkt S die Verbindungslinien 8 1 S i der Mitten der Gegenkanten halbiert;
es kann mithin auf das Viereck f^g^f^h^ mit den Punkten s und p in
der Projektion der Hilfssatz 2 Anwendung linden, wonach:

«i« 8 + & s* + /»s s + M* + 4s« s = ^jp» + g t p* + /•jj)» + A,;) 1

ist, und da ferner

es* + gs* + /** + ks* + 4 sp" - ej)* + .^ s + />* + M

ist, so kann T p dargestellt werden durch:

T P = 5 («Stf« + ft^ + />» + V + ep s + <72> s + fr + h V *) +}• • */

Reduktion der Trägheitsmomente einfacher Körper etc.

24;

i>

Pig *

Es ergibt ßich mithin : Das T. M. eine-8 Parallelepipodons kann für
jede Momentenachse durch das T. M. der vier Schwerpunkte der Seiten-
flächen, der vier über Kreuz liegenden Halbierungspunkte in den Konten
der Grundflächen und des Körperschwer-
punktes ersetzt werden, wenn die ersten
acht Punkte je ^, der letzte J der
Körpennasse in sich vereinigen.

2. Die Jlaluldiün des TrögJteits-
momentes einer homogenen dreiseitigen
Pyramide auf das Trägheitsmoment ein-
zelner Massenjntnkte. — Die Pyramide
habe die Ecken ABCD, die Mitten der
Kanten seien EFGHIK, der Kürper-
schwerpunkt liege in S, die Schwerpunkte
der Begrenzungsrlächen, die den Ecken
A, B, C, D gegenüber liegen, mögen be-
züglich S v S s , /Sj, S i genannt werden, und
der durch S parallel zu ABC gelegte Schnitt heiße A i B l C t . (Fig. 4.)

Zwischen den Abständen der Eckpunkte, der Flächenschwerpunkte
und der Kantenniittelpunkte vom Schwerpunkte der Pyramide bestehen

t Beziehungen 1 ):
AS* + BS* + CS* + DS* = J (AB* + BC + CA*
+ AD* + BD* +67)*),
'■ + FS* + GS* + ES* + IS* + ES* - l (AB* + BC* + CA*
+ AD* + BD*+ CD*),
S t S* + S % S* + S S S* + S t S* = £ (AB* + BC* + CA*
+ AD* + BD* + CD 1 ).
Die Achsen, auf welche das T. M. bezogen werden soll, seien auch
ler die durch den beliebigen Punkt P gehende Achse h p und die zu h p
parallele Schwerpunktsachse h t . Die T. M. für diese Achsen seien T p und T t .

IDie Projektionen der Punkte der Pyramide auf eine zu h p senk-
rechte Ebene sollen wieder durch kleine Buchstaben angegeben werden,
so daß auch hier durch as,ap,sp die Projektionen der Strecken AS,
AP, SP, aber auch die Entfernungen der Punkte A und S von den
Achsen h t und h angegeben werden. Daß für diese Projektionen die
angegebenen Beziehungen bestehen bleiben, ist klar. Wird mit m die
Masse der homogenen Pyramide bezeichnet, so ißt:

I) Archiv de

M

(ab* + 6c* + ca* + ad* + bd t + cd*).

1) Archiv der Math. u. Phya. ibid. S. 68,60.

10*

244 E. Ekkpkld:

1. Wegen der ersten Beziehung nimmt T t die Form an:

T, = il(*s* + bs* + c S > + ds*y

Nun ist ABCD ein Tetraeder, dessen Schwerpunkts in dem Schnitt-
punkte der Verbindungslinien der Gegenkantenmitten liegt; es bildet
mitbin in der Projektion ab cd ein Viereck, auf welches der Hilfssatz
Anwendung finden kann. Mithin besteht

as* + 6s s + es* -f ds* 4 4 sp* = ap* -f bp* + cp* 4 dp 3 ,

und eB wird

T, - f, + m ■ *.»' = | (o/) 8 4- b P * + cp* + <ty 8 ) 4- i m • »fr»,

d. h. das Trägheitsmoment einer dreiseitigen Pyramide ist für
Achse gleich dem T. M. der vier Eckpunkte und des Schwerpunktes,
wenn die Ecken je j^, der Schwerpunkt £ der Körpermasse in sich
birgt. 1 )

2. Geht man aus von der Gleichung:

(v s + V* + ä j s * + *««*) + 4 (es* + fV + gs* 4 hf H
= | (oft* + 6c 3 + «a s + oi* + 6<P 4 erf 1 ) ,

so erhält man für T t den Ausdruck:

*, = £ » («i s a + V* + V s + s^s*) + ^ (es 8 4 /*» + £*» 4 Äs 8 + is' 4 ,

woraus für T p wegen der Beziehungen:

S Y S* + S,S* -f SjS 8 + S t S % + 4 S/> 8 = Srf* + S,p 8 + Sgp 8 + s^ 8 ,

es 8 4- fs* 4- <?s 8 4- As 8 4- is 3 4 As 8 + 6 sp* = <y + fp* 4 0J> 8 4 hp* + ip* 4 */>'

folgt

T 9 - i»'(«i?' 1 + ^P ! + V' + s^ 8 ) 4 ~ (cp , +/y+M> , + V + >> s 4A/).

Das Trägheitsmoment einer Pyramide kann für jede Achse durch
das T. M. der sechs Kantenmitten und der vier Schwerpunkte der bV-
grenzungstiächen vertreten werden, wenn die Kantenmitten je
Schwerpunkte je * ä der Körpermasse tragen.

3. Ausgehend von
T ■■

•j«>

(as* 4 bs* + es* + ds 1 )

1) Routh: Dynamik 18ü6, S. 29; Mehmke: Einfache Darstellung
von Körpern. Zoitichr. f. Math. u. Phja. 2». 1884.

Itednktion der Trägheitsmomente einlacher Körper etc. 245

indet man mit Hilfe der nach dem ersten Hilfssatz bestehenden Gleichung:

as\ + bs\ + es* + 3 s^s* = as* + bs* + es*
für T, den Wert

Werden mm für as if hs i} cs t die Strecken «,.s, h 1 s, r x s in dem zu
ABC parallelen Schnitt A 1 B 1 C i durch die Gleichungen

0*4 = I %*i t>8 t = -J Mi <>h = { CiS

eingeführt, so ergibt sich

T , = *& m («i« 1 + V* + c i s *) + sL »»» ■ V 1 + M ' rfs

In der Projektion des Dreiecks DS t P, in welchem £ die Strecke
DS t so teilt, daß sich verhält BS: SS A = 3: 1, besteht nun, wenn der
zwischen sp und stf liegende spitze Winkel u heißt,

s*i ,s = s^s* + sp* + 2s t s • sp ■ cos «,
r/jj 1 = ds* + sp* — 2ds • sp • cos a.

Wird nan die erste Gleichung mit ^ »j, die zweite mit 2 ' n m multi-
pliziert und dann addiert, so kommt

^ M • s t p* + ^ m ■ dp* — £ «t • V 8 + « *» • rfs * + i » • «l' 1 -

Benutzt man die nach Hilfssatz 1 bestehende Beziehung

a i s * + M S + c i s * + 3sp* = Ojp* + ^p* -f- c,p*,

so findet man für T p — T t -+- *« • sp* den Ausdruck

T P = £ *» ( fl i J»' + hP* + c iP*) + n m ■ s iP* + » m " <*P* + i 8 5 ■ • S * )S -

Da sowohl der Schwerpunkt der drei Massenpunkte A i} B ti C t bei
gleicher Belastung, als auch der Schwerpunkt der Massenpunkte D und
S 4 , wenn dem zweiten dreimal soviel Masse zuerteilt wird als dem
ersten, mit dem Schwerpunkte S der Pyramide zusammenfällt, ho wird
der Schwerpunkt des fünfpunktigen SjstemB A 1 B 1 C 1 DS i im Schwer-
punkte der Pyramide liegen. Man kommt somit zu dem Satze:

Legt man durch den Schwerpunkt einer Pyramide die parallele
Ebene zn einer Begrenzungsfläche und belegt die Schnittpunkte dieser
Ebene und der drei Pyramidenkanten mit je * b , den Schwerpunkt der
genannten Begrenzungsfläche mit ^,, die gegenüberliegende Ecke der
Pyramide mit ^ und den Pyramidenschwerpunkt mit * & der Körpermasse,
so hat dieses sechspunktige Maasensystem für jede Achse mit der Pyra-
mide gleiches Trägheitsmoment.

246

£. Reufeld:

Es dürfte nach diesen Proben der zum Ergebnis führende Weg ge-
nügend gekennzeichnet sein. Eb erübrigt deshalb nur noch die Resultate,
die gefunden werden, summarisch aufzuzählen. Es sei erwähnt, daß
die durch die Herren Mehmke und Routh schon bekannt gewordenen
Zurückführungen in diese Zusammenstellung nicht aufgenommen wurden.

3. Reduktion des Paralklepipedons. — Jedes gerade oder schiefe
homogene Parailelepipedon kann bei der Bestimmung des Trägheits-
momentes bezüglich jeder Achse ersetzt werden durch ein System von:

1. 7 Punkten, wenu die Schwerpunkte der Grundflächen mit je -J-,
die Mitten der Seitenkanten mit je y t und der Körperschwerpunkt
mit J der Gesamtmasse des Körpers belastet werden.

2. 9 Punkten, wenu die Ecken jo j~, der Körperschwerpunkt \
der Gesamtmasse trägt.

3. 9 Punkten, wenn die Mitten der Seitenkanten je ~, der Körper-
schwerpunkt J, die Mittelpunkte eines Paares paralleler Grundkant. n
der unteren und des anderen Paares der oberen Grundfläche je f t der
Gesamtmasse in sich bergen.

4. 9 Punkten, wenn im Körperschwerpunkt J, in den Schwer-
punkten der Seitenflächen, sowie in den Mitten eines Paares paralleler
Kanten der unteren und des anderen Paares der oberen Grundfläche je
, l B der gesamten Masse der Körper konzentriert liegt.

5. 11 Punkten, wenn die Mitten der Seitenkanten je £ v die Schwer
punkte der Seitenflächen je ^ f die Schwerpunkte der Grundflächen und
des Körpers je £ der Gesamtmasse enthalten.

6. 13 Punkten, wenn jede Kantenmitte s ' 4 und der Körperschwer-
punkt 2 der Gesamtmasse faßt.

4» Reduktion des dreiseitigen Prismas. — Jedes gerade oder mIim&
homogene dreiseitige Prisma kann hinsichtlich seines Trägheitsmonx
für jede Achße ersetzt werden durch ein System von:

1. 8 Punkten, wenn die Mitten der Seitenkanten je * 7 , die Schwer-
punkte der Seitenflächen je , 5 7 und die Schwerpunkte der Grundflächen
je j der Körpermasse tragen.

2. 9 Punkten, wenn die Schwerpunkte aüer Begrenzungsflächen
mit je j, die Mittelpunkte der Keitenkantcn und der Körperschwerpunkt
mit je jj der Gesamtmasse belastet werden.

3. 9 Punkten, wenn die Mittelpunkte der Grundkanten je A, die
Schwerpunkte der Seitenflächen je * der Kürperrnnsae enthalten.

4. 9 Punkten, wenn in den Mitten der Seitenkanten je k t in den
Schwerpunkten der Seitenflächen je |, in den Schwerpunkten der Grund-
flächen und des Körpers je ] der Gesamtmasse konzentriert liegt.

lutsmomente einfacher Körper et

2, die Mitten aller

5. 10 Punkten, wenn der Körperschwerpunkt
Kanten je ^ der Körpermasse in sicli vereinigen.

5. Ibdulthm des Cylinders. — Jeder gerade oder schiefe homogene
Kreis- oder elliptische Cylinder ist bei der Bestimmung des Trägheits-
momentes für jede beliebige Achse zu ersetzen durch ein System vnn:

1. G Punkten, wenn die Schwerpunkte der Grundflächen, der Schwer-
punkt der Mittelellipse, die im Schnitt einer Ebene durch den Körper-
schwerpunkt parallel den Grundflächen mit dem Cylinder erzeugt wird,
und drei Punkte auf dem Umfang der Mittelellipse, die ein der Ellipse
einbeschriebenes Dreieck vom größten Inhalt bilden, mit je -J- der
Cylindennasse belegt werden.

1'. 8 Punkten, wenn in den Endpunkten eines beliebigen Durch-
messers der einen Grundfläche und in den Endpunkten des zu dieser
Richtung konjugierten Durchmessers der anderen Grundfläche (über

■ Kreuz liegender konjugierter Durchmesser in den Grundflächen) je
!-■■ 1 \ L 1 1 ' 1 1171 1 ' »Ol 1^1 ' 1

1

im Körperschwerpunkt \ und in den Ecken eines größten Dreiecks der
Mittelellipse je ^ der CylinderrnaBse vereinigt int.

3. 9 Punkten, wenn die Endpunkte irgend eines Paares über Kreuz
liegender konjugierter Durchmesser in den Grundflächen mit je f t , der
Körperschwerpunkt mit J und die Endpunkte irgend eines Paares
konjugierter Durchmesser der Mittelellipse mit je ^ der Cylindennasse
belastet werden.

4. 10 Punkten, wenn der Körperschwerpunkt mit J, die Ecken
beliebiger den Grundflächen und der Mittelellipse einbeschriebenen Drei-
ecke grüßten Inhaltes mit je ,'„ der Gesamtmasse versehen werden.

5. 11 Punkten, wenn in den Ecken beliebiger den Grundflächen
einbeschriebenen Dreiecke größten Inhaltes je ,^, im Körperschwerpunkt
i und in den Endpunkten eines beliebigen konjugierten Durchmesser-
paares der Mittelellipse je £ der Gesamtmasse vereinigt liegt.

G. 13 Punkten, wenn der Körperschwerpunkt \ und die Endpunkte
beliebiger konjugierter Durchmesser in den Grundflächen und der Mittel-
ellipse je j 1 , der Gesamtmasse in sich bergen.

ß. Iififidfion dir dniseifiijni Pyramide. — Das Trägheitsmoment
einer homogenen dreiseitigen Pyramide ist für jede Achse zu ersetzen
durch das Trägheitsmoment eines Systemes von:

1. G Punkten, wenn der Grundflächenschwerpunkt mit s 3 9 , die Spitze
mit «J,, der Körperschwerpunkt mit t * und die Ecken eines Dreiecks,
das im Schnitt einer der Grundfläche parallelen Ebene durch den
Körperschwerpunkt mit der Pyramide entsteht, mit je ,*. der Körper-
masse belastet werden.

248 E. Reilfeld: Reduktion der Trägheitsmomente einfacher Körper etc.

2. 8 Punkten, wenn die Körperecken je ^, die Schwerpunkte der
Begrenzungstlächen je 4 9 der Körperrnassc tragen.

3. 10 Punkten, wenn in den Schwerpunkten der Begrenzungsflärlirn
je jj,, in den Mitten der Kanten je ^ der Kürpermasse vereinigt ist

4. 11 Punkten, wenn in den Kürperecken und in den Mitten aller
Kanten je * or im Körperschwerpunkt -*- der Gesamtmasse vereinigt liegt.

5. 13 Punkten, wenn die beiden Teil punkte jeder Kante, die die-
selben nach dem Verhältnis 3 : 1 teilen, mit je a * u und der Körper-
schwerpunkt mit l der Kürpermasse versehen werden.

7. Reduktion des Keyeis. — Das Trägheitsmoment eines homogenen
geraden oder schiefen KegelB mit kreisförmiger oder elliptischer Grund-
fläche ist für jede Achse zu ersetzen durch das Trägheitsmoment eines
Systemes von:

1. 6 Punkten, wenn der Schwerpunkt der Grundfläche mit ^, die
Spitze mit ^, der Körperschwerpunkt mit ~ und die Ecken eines be-
liebigen größten Dreiecks, das der Sehwerpunktsellipse, die im Schnitt
der durch den Körperschwerpunkt parallel der Grundfläche gelegten
Ebene mit dem Kegel entsteht, einbeschrieben werden kann, mit je „
der Körpermasse belegt werden.

2. 7 Punkten, wenn im Schwerpunkt der Grundfläche *,, in der
Spitze ^, im Körperschwerpunkt * s und in den Endpunkten beliebiger
konjugierter Durchmesser der Schwerpunktsellipse je ^ der Körper-
masse konzentriert liegt.

3. 8 Punkten, wenn den Ecken eines beliebigen Dreiecks größten
Inhaltes in der Grundfläche und der Spitze je ^, dem Körper
Schwerpunkt £ und den Ecken eines beliebigen Dreiecks größten In-
haltes in der Schwerpunktsellipse je / 5 der gesamten Körpermasse iu-
erteilfc werden.

4. 9 Punkten, wenn die Ecken eines behebigen Dreiecks größten
Inhalts in der Grundfläche und die Spitze je ^, der Körperschwerpunkt
j H 5 und die Endpunkte beliebiger konjugierter Durchmesser in der Schwer-
punktsellipse je j*j der Körpermasse enthalten.

Elberfeld, 10. Juni 1902.

ScHurPEJws : Zusainmenh. zwischen d. Abwickelung eineB KrciacylinderB etc. 249

Zusammenhang zwischen der Abwickelung
eines Kreiscylinders und den Rotationsflächen konstanter

Krümmung.

Von G. ScnEFFERS in Dariustadt.

Wickelt man einen schiefen Kreiscylinder auf die Ebene ab, so
geht aus jedem Kreise des Cylindera eine wellenförmige Kurve hervor,
die man in den meisten Lehrbüchern der darstellenden Geometrie ab-
gebildet sieht 1 ) Daß diese Kurve nun die Meridiankurve einer Rotations-
Biohfl konstanter Krümmung ist, ist jedoch unseres Wissens nirgends
bemerkt worden. Der Beweis dafür ist sehr einfach:

Die ary-Ebene sei ein senkrechter Querschnitt des Cylinders. Die
große Achse der Querschnitt-Ellipse sei al9 y-Achse, die kleine als z-Achse
gewählt, sodaß etwa:

(6<a)

M T «> X

die Gleichung der Querschnitt- Ellipse ist. Wir setzen

n'-fi«

und stellen die Ellipse mittels des Parameters tp so dar:

x = a]/l — c s cos tp , y = a sin tp.

Der Bogen s der Ellipse von tp = bis zu beliebigem <p ist das ellip-
tische Integral zweiter Gattung:

afyi -

cPain'ipdq) = aE(c, <jp).

Ein Kreisschnitt des auf der xy- Ebene längs der Ellipse senkrecht
stehenden Cjlinders und zwar derjenige Kreisschnitt, der mit der EllipBe
seinen Durchmesser gemein hat, geht hervor, wenn wir durch die große
Achse der Ellipse (die y- Achse) eine Ebene legen, deren Winkel mit der
Ellipsenebene die Tangente c : ]/T— c* hat, sodaß über dem Punkte (g>)
der Ellipse derjenige Punkt des Kreises liegt, dessen Höhe über der
xy- Ebene ist:

B =

|/l — C !

x = accosqp.

1) Z. B. bei Chr. Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, 2. Bd.,
Leipzig 1887, 8. 47; Rohn nnd Papperitx, Lehrbnch der darstellenden Geometri-*,
l.BtL, 2. Aufl., Leipsdgl901, 8. 366.

250 Gk RcnKFFEBs: Zusammenh. zwischen d. Abwickelung eines Kreiscylinders etc.

Wird nun der Cylinder auf eine Ebene abgewickelt, bo gebt die
Querscbnitt- Ellipse in eine Gerade über, die wir etwa als t)- Achse in
dieser Ebene wählen. Alsdann liefert der ausgewählte Kreis des Cylin-
ders in den rechtwinkligen Koordinaten j, \) die Kurve:

£ = z = ac cos tp , t) = s = a E(e, <p) ,

ausgedrückt mittel« des Parameters tp. Diese Gleichungen') aber lehren
sofort:

Wickdt man citien schiefen Kreiscylinder auf die Ebene ab und
hat man auf dem Cylinder einen Kreis sowie diejenige Querschnitt- Ell 'ips>
markiert} dir mit dem Kreis einen Durchmesser genuin hat, so geht die
Ellipse in eine Gerade, der Kreis aber in eine solcJtc Kurve über, </■<
durch Drehung um die Gerade eine Rotationsfläche konstanter posititw
Krümmung erzeugt. Die Krümmung ist 1 : a 3 , und die Fläche kon-
stanter Krümmung ist eine solche von der bekannten Spindelform.

Auf diesen Zusammenhang wird man naturgemäß gefuhrt, wenn
man den Umstand, daß der Bogen der Ellipse als elliptisches Integral
zweiter Gattung darstellbar ist, mit dem Umstand verbindet, daß die
Meridiankurve jener spindelförmigen Fläche mittels eines ebensolchen
Integrals darstellbar ist.

Es ist aber leicht, diesen Zusammenhang auch geometrisch nach-
zuweisen, d. h. zu zeigen, daß die Kurve, die der Kreis bei der Ab-
wickelung liefert, eine solche Kurve ist, bei der das Produkt aus
Krümmungsradius und Normale, letztere gerechnet bis zu der Gerad>n,
in die die Ellipse verwandelt wird, den konstanten Wert a ! hat. Am
bequemsten geschieht dies, wenn man den Satz von P. Serret *) benutzt:
Bei der Ausbreitung einer abwickelbaren Fläche auf die Ebene ist das Ver-
hältnis des Krümmungsradius einer Kurve k der Fläche zum Krümmungs-
radius derjenigen ebenen Kurve k\ in die die gewählte Kurve k dabei
übergeht, gleich dem Kosinus des Winkels der Schmiegimgsebene von i
und der Tangentialebene der abwickelbaren Fläche.') — Vgl. auch Ency-
klopädie der mathem. Wissenschaften III D 4, Anm. 108 zu Nr. 27.

Darmstadt, Juli 1903.

i) Vgl. z. B. dea Verfassers Einführung in die Theorie der Flächen, Leir
1902, S. 123 und Fig. 32, 8.125.

2) Theorie nonveüe geonißtriquo et mtfeanique des lignes ä double courbure,
Paris 1860, S. 12*.

3) Chr. Wiener stellt a. a. 0. S. 40 diesen Satz auf, unterläßt es aber, ihn
wenige Seiten Bpäter auf die in Rede stehende Kurve anzuwenden, wodurch er
sofort zti unserem Ergebnis gelangt wäre.

H. KCh.se: über die KrfimmuDg einer beliebigen Mannigfaltigkeit. 251

Über die Krümmung einer beliebigen Mannigfaltigkeit.

Von H. Kühxe in Dortmund.

1. Einleitung. — Ein Punkt P einer ebenen Mannigfaltigkeit W n
sei bestimmt durch n Koordinaten x h (* = i. • •• »). In 3J? n verlaufe eine
r-fache Mannigfaltigkeit M rt dadurch gegeben, daß die Koordinaten
ihrer Punkte Funktionen von v unabhängigen Variablen y f {/=\,... ■) sind.

Zunächst sei wegen der Schreibweise bemerkt, daß die Zeiger h, k
stets die Reihe 1, ... »; die Zeiger f, g, p t q die Reihe 1, ... v\ die
Zeiger r, s die Reihe v -f 1, ... « durchlaufen sollen.

Es sei

dx k d*x k

Wt~ " ^f^y g " Xk/B '

(», /. s);

I ferner seien x kr n(n — v) Größen von der Beschaffenheit:

Dann stehen die Geraden

c * — x k/ 1

(»)

senkrecht auf den Geraden

und die Geraden der letzten Gruppe stehen auf einander senkrecht.
Die erste Gruppe bestimmt die Tangentialmannigfaltigkeit % v von M t ,
die zweite Gruppe die Normalmannigfaltigkeit 3l B _ r . Die Gleichungen
von $1 lauten also

^* — X k — s?, X l>rK'l

(*);

und die t r können als Cartesische Koordinaten eines Punktes von 91
aufgefaßt werden für ein Koordinatensystem, desBen Anfangspunkt P
ist, und dessen Achsen die Geraden

X h x^ =■ Xi,t

(*)

sind.

Wir setzen weiter

/i X hf X *b = " a /g I ^j X kfe X hr = bfl >

252

dann wird das Quadrat des Linienelementes von M v

fa

Das zu (rt /tf ) reziproke System werde mit (« y/ ) bezeichnet.

Nun sei P' ein Punkt in der Nachbarschaft von P, (jy) seien
Beine Koordinaten und 31' seine Normalinannigfaltigkeit, so ist, wenn
noch dtfj = r tf gesetzt wird:

x h - x h +^x ht n f -f {^Xk/^/n, +
/ fa

Die beiden Norraalmannigfaltigkeiten 3t und 3?' können drei verschiedene
Lagen gegen einander haben. Entweder schneiden sie sich in einer
von einem Punkt verschiedenen Mannigfaltigkeit, oder sie schneiden
sich in einem Punkt, oder Bie haben im allgemeinen keinen Schnitt-
punkt gemein, sondern schneiden sich nur unter gewissen Bedingungen.
Diese Fälle werden unterschieden durch

a) 2v<n, b) 2v = «, c) 2v > u.

2. Die Krümmungsspur. — a) 31 und 3t' sind durch je v Glei-
chungen bestimmt, also ihr Schnittgebilde durch 2v Gleichungen, es
ist also eine ebene Mannigfaltigkeit <& von der Ordnung n — 2v. Läßt
man P' alle Nachbarpunkte von P durchlaufen, so erhält man eine
Schar von <S, die in 3i eine Mannigfaltigkeit S n _ v _ t umhüllt. Die
Gleichung von S soll abgeleitet werden.

Ein Schnittpunkt von 3t und 3t' (x^) erfüllt die Gleichungen:

Aus ihnen folgt

^* = X h +^i X *rtr = X* + /tlifC
r r

Xh - X' k +^jX h r t f —^XkrK = ,

und nach Multiplikation mit x',, f und Summation über h:
^t r x hr x' M/ —^?(x* - Xk)x' k/ — 0,

2

Ar

(6)

Kx hr [x hf +2 x */>%] "JS^'V*/- °>

2%(2 b n t '- a »)-

l"

Ülicr ilif Krümmung Pirer beliebigea Mannigfaltigkeit.

Multipliziert man diese Gleichungen mit a g/ und summiert über f } setzt
man ferner

'S«»*?.

hm

so erhält man die Gleichungen von © in der andern Gestalt:

(©) S+iS®* " 6/ °) = °

(/)

Diese v Gleichungen enthalten die t r als Unbekannte. Entfernt man
aus ihnen die ij, so erhält man die Gleichung von 8 als

(S)

2fa*

«/ff

oder

( Jr> /

<W = °-

b) 2v = n. In diesem Falle bestimmen die Gleichungen (©) die £ r
vollständig, sodaß © in einen Punkt ausartet. Den Ort S dieser
Punkte erhält man wieder, wenn man die -ij ans den Gleichungen (©)
entfernt. Man gelangt zu derselben Gleichung, wie im Falle «).

c) 2v > n. Die Gleich. (©) sind nur dann durch ein Wertsystem (t r )
zu erfüllen, sobald zwischen den ij gewisse Bedingungen bestehen, deren
Anzahl 2v — » ist. Dadurch wird in der v-faehen Mannigfaltigkeit,
welche die tj bilden, eine v — (2v — n) = (n — v) -fache Mannigfaltigkeit
ausgesondert. Diese bestimmt auf M v eine (n — v)-fache Mannig-
faltigkeit K n _ rt die durch P geht. Eliminiert man dann wieder die rj
aus den Gleichungen (©), so bekommt man für 8 dieselben Gleichungen,
wie im Falle a).

Fassen wir die Ergebnisse zusammen.

Auf der Normalmannigfaltigkeit 91 eines Punktes P von M t ent-
steht in allen Fällen durch die Nachbarnormalmannigfaltigkeiten eine
Mannigfaltigkeit S n _ v _ v Diese soll die Krümmungsspur des Punktes P
heißen. Ihre Gleichung lautet:

2^

". V

= oder

IJ^ftgt-fel-o.

Für den Fall 2i»>« tragen nicht alle Nachbarnormalmanuigfaltigkeiten
zur Bildung von 8 bei, sondern nur diejenigen, deren q den Gleichungen
genügen, die man durch Elimination der t r auB den Gleichungen

fügtet-*») - oder 2i'i2 i ft''-*")-

•j r 9 r

bildet Die dazu gehörigen Punkte P' erfüllen in M r eine Mannig-

£it K n _ Y . Diese soll die Krünimunfj^iniii»iijfn(tiijkrit im Punkte P

254

H. K 1 1 1 s h :

Wir führen zur Veranschaulichung einige besondere Falle an:
Kurve im Raum, S t ist die Krümiuungsachse.

3, * — 1

v = 2. Fläche im Raum.

S ist die Gesamtheit der beiuVu

Krümraungsmittelpunkte.
Ä' t ist die Gesamtheit der beiden
Krünunungslinien.
n = 4, v = 1. Kurve in < SR t . S i ist eine in 9?,, gelegene Ebene.

v = 2. Fläche „ „ . 5 X ist ein in 9t, gelegener Kegelschnitt,
v = 3. Raum „ „ . <S ist die Gesamtheit der 3 Rriini-

mungBroittelpnnkte in der Normal-
geraden 9t r
K x ist das System der 3 Krümmungs-
linien in JJf 8 .
n = 5, v = 1. Kurve in äß^. fif s ist ein in 9t 4 gelegener Raum.

v = 2. Fläche „ „ . S, ist eine in 9t s gelegene Fläche

zweiten GradeB.
v = 3. Raum „ „ . S 1 ist eine in 9t 2 gelegene Kurve dri

Graues.
K t ist eine durch P in M 3 gelegte
Fläche.

v = 4. Jlf 4 in 9Jt 5 . £„ ist die Gesamtheit der 4 Krümmungs

mittelpunkte in der Geraden 9t,
Äj ist das System der 4 Krüminnngs-
linien in M A .

3, Efümmungsmittelpunktj Krümmungsradien, Ccntrahypcr fläch . —
Es sei r irgend eine Richtung in 9t, bestimmt durch einen Punkt,
dessen Koordinaten t r = y r <*•=*+ 1, • -») sind, mit der Bedingung

r

Dann liegen alle Punkte (J r ) r die der Gleichung

r

genügen, auf einer ebenen (« — v — 1)- fachen Mannigfaltigkeit SDi', <he
in 9t normal zum Strahl r* verläuft, t bedeutet den Abstand des
Punktes P von 9Jt'. Bei Änderung von t verschiebt sich 9Jt' parallel
zu sich selbst. Durch 9Jt' legen wir parallel zu % eine Mannigfaltig-
keit 9)t" von der Ordnung « — 1. Sie schneidet die gegebene Mannig-
faltigkeit M r in einer Mannigfaltigkeit von Punkten. Wir nehmen
jetzt t als sehr klein an, bo liegen alle Puukte in der Nachbarschaft

Über die Kriiurmnng einer beliebigen Mannigfaltigkeit.

255

(/)

von P; und zu jedem Punkt gehört eine bestimmte Bogenlänge ds,
die allerdings für die verschiedenen Punkte verschieden ist. Jetzt kehren
•wir das Verfahren um. Durch alle Nach barp unkte von P, zu deuen
derselbe Wert von ds gehört, legen wir normal zu P die Mannig-
faltigkeit 2K". Dadurch ergibt sich auch 3K' und t. Tai den ver-
schiedenen Nachbarpunkten gehören verschiedene Werte von f. Es soll
untersucht werden, wann t ein Extrenium wird. Da ds konstant ist,

ISO stimmt die Frage nach dem Extrenium von t überein mit der Frage
nach dem Extrenium des Ausdrucks
1 2t

P = d 8 « *

Nach den Vorschriften der Variationsrechnung sind dann die Gleichungen

zu erfüllen. Nim ist für einen Nachbarpuukt

x'k = x h +^x i/V/ + t^x h/gV/Ve ■ ■ • .

/ 7t

Die zugehörigen t T findet man aus der Vergleichung mit

Mtd

koT]

■

Multipliziert man diese Gleichungen mit x hr und summiert über h, so
kommt

t

= ^ J X h/'*lf X hr + » S l X hfg'*lf r lg X *r>

'fsn/Vr*

also

fa

13 r

Folglich bestehen für das Extremum die Bedingungen:

9 r

aus denen zur Bestimmung von q die Gleichung folgt

I ^7 ,,.. i

YrVfl

*/»

= 0.

256

H. Ki tine:

Durch Multiplikation mit \u„j\ nimmt sie noch die Gestalt an:

2

Url fe

K/o —

rrK/t

= 0.

Diese Gleichung hat v Wurzeln p, , . . . p, ; sie sollen auf dem Strahl
von P aus abgetragen werden, je nach ihrem Vorzeichen in der einen
oder anderen Richtimg. Dadurch entstehen auf jedem Strahl F v Punkte.
Diese v Punkte sollen die Krümmungstnittelpunkte des Funktet F für
die Richtung F heißen. Entsprechend sind die Größen p die v Krüm-
mungsradien des Punktes F für die Richtung F. Die Koordinaten der
Krümmungsmittelpunkte in 9t sind t r = y r p. Diese Koordinaten er-
füllen die Gleichung

die ohne weiteres aus der Gleichung für p hervorgeht. Das ist aber
Gleichung der Krümmungsspur S. Somit haben wir den Satz:

Der Ort für die Kriitnniungsmiifelpnnltc eines Punktes P für dir
verschiedenen Richtungen F ist die Krümmungss/ittr.

Läßt man P die ganze Mannigfaltigkeit 31 r durchlaufen, so erzeugt
die Krümmungsspur S eine (« — l)-fache Mannigfaltigkeit C n _ v Di«
heißt die Centmhypcr fläche van M \.

4. Eine Funktion der Krümmungsradien als Birijungsincarinnt'-.
Entwickelt man die Gleichung für p nach Potenzen von 1/p, so nimmt
der Koeffizient von 1/p*, d. h. die zweite elementare symmetrische
Funktion der reziproken Radien

■2; 1

f<9

o -

^J9 f 9 9

den Wert an

f<9

2*6*

2*i*

2*

#f„

2%>

Daraus folgt

*® -2***2o**

h /ä h 3/J-

f<9

Zu jedem Strahl F gehören v Größen p. Jeder Strahl F bestimmt
auf der Einheitssphiire ^ y* = 1 zwei gegenüberliegende Flächen-

r

demente dm, bei denen sich die y r durch die Vorzeichen unterscheiden
Zu jedem Element da gehört also ein System der p und damit ein

Über die Krümmung einer beliebigen Mannigfaltigkeit.

257

Wert S t l \ • Zu gegenüberliegenden da gehört dasselbe S r Bildet

man für sämtliche Geraden F den Mittelwert von S,, so wird er ge-
liefert durch die Gleichung

Mi)*-

m *®-

f dm

Diese Integrale sind zunächst nur über eine Halbsphäre zu er-
strecken, da sonst jedes System p zweimal gezählt wird. Da aber für
die beiden llalbsphären jedes Mal $ s und der Integrand des Nenners
denselben Wert hat, so multiplizieren sich Zähler und Nenner des
Bruches M nur mit "2. Man darf also in beiden Integralen über die

ganze Sphäre integrieren. Es sei / da = ET; dann handelt es sich

du- Bestimmung der beiden Integrale

um

/**

da (>•*') und

I y 3 r da

Bedenkt mau, daß y t bei festem r sowohl positiv als negativ sein
kann, so sieht man ein, daß das erste Integral verschwindet. Für das
zweite gilt:

SJ = I da = I da^yf = /^ / dayf = (n — v) f y*dta .

Daraus findet man allgemein

y r y t da

ß

Od.

Demnach ergibt sich

r /<>

-22

r f < „

Die rechts auftretende Summe ist bei der Bedeutung der k

p p

2jVfl a 9/t S, ffi» a i9
1

=222

r / < g p < q

I.'r> I'rl
0/p Uf,,

h {r> h' r '
f < 9 P<<t

wobei die Bedeutung der B leicht ersichtlich ist.

An l.iv der Mathematik und l'hyiik. III. Heilio. VI.

17

lT>S

H. K:

Nach Jen Grundgleichungen der Mannigfaltigkeit 1 ) ist

B /„P,-(f9> P9),
nämlich gleich dem Christoffeischen Symbol der quadratischen
Differentialform ^!<Jfgdjf f djf a . Also hängt die Doppelsumme

1t
J= 2 2 B '»' i»> (a r/ a it ~ U P9 a J

allein von den o und ihren Ableitungen ab und ist demnach eine
Biegungsinvariante.*) Es folgt schließlich

x W « — »
Das gibt den Satz:

Der Mifhiiterl ihr zieeiien elvnmiUtren symmetrischen Funktion der
reziproken zu einer bestimmten Richtung gehörenden Krümmungsriiilin\.
genommen für alle Richtungen, ist eine Biegimgsinvariunte von M t , allein
abhängig vom Punkte P.

Für n = 3, v = 2 wird M s zur Fläche im Räume, dann wird Sj zu

PiPj

und M^ wird gleich J, dem Gaußisclun Krümmungsmaß.

5. Krümnumgsspur der Miniiuithnamiigfuttigkeiten. — Eine Miiii-
mulmauuigfaltigkeit ist dadurch gekennzeichnet, daß das Integral

F ^S^ 1 ^ 1 • • ■ dy > "jv^ dyi " dy '

ein Minimum werde. Wenn die x h um dx h sich ändern, so ändert sich
a ff) um

i

Ferner ändert sich J. um

HA =^Aa 9/ 9a /ff = 2^Au g/ x hg ix i/ ,

und }/j4 um

Nun ist

/.,h * r..l I

/</>>

fgh

1) Archiv Bd. 4, S. 309, öl. 9a. Die c hk sind gleich 9 hk zu setzen.

2) Man vergl. darüber Math. Ann. Bd 66, S. 2C0tf.

Über die Krümmung einer beliebigen Mannigfaltigkeit. 259

folglich muß

8F - - Cdy x . . . dy^8x k £ (yZ « p/ir J =

sein für willkürliche 8x h . Statt der Großen äx h führen wir ebenfalls
unendlich kleine Größen w k ein, vermöge der Gleichungen

P r

Dann zerfällt der Integrand in 2 Teile. Der erste wird

d

p /gk '

p
Der zweite Teil wird

r /** '

r fgh '

r fg h '■

r fg

r f

Somit lauten die Bedingungen für das Verschwinden der Variation von F
Entwickelt man aber die Gleichung für die Krümmungsspur

|^*r,-*„|-o

17«

260

L. Malimr:

nach Potenzen der t T , ßo lauton die linearen Glieder

rf

Also haben wir den Satz:

Für eine Minimiihuannigfidfigknt. msch winden die linearen Gl
in der Gleichung der Krümmungsspur.

Wie man leicht sieht, iat die Krümmungsspur ein Gebilde vom
Grade v, also ist stets für eine Fläche (Jl/g) in einer beliebigen 2J?,
die Krümmungsspur ein Gebilde zweiten Grades. Dessen Mittelpunkt
iat dann stets der Punkt P. Im besonderen wird für eine Fläche im
4-dimenaionalen Raum die Krümmungsspur ein Kegelschnitt und P dessen
Mittelpunkt.

Dortmund, den 3. Februar 1903.

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten.

Von L. Maurer in Tübingen.

Fortsetzung.
Dritter Teil.

Genauere Untersuchung des speziellen Falles, daß die Mittelfläche eine

Rotationsfläche ist.

15. Definition der Fläche. Wald des Koordinatensystems. — Wir
wenden die allgemeine Theorie auf den Fall an, daß die Mittelfläohe
eine Rotationsfläche iat. Dabei beschränken wir uns auf den Fall, daß
die Kurve, deren Rotation die Fläche erzeugt, ein Oval ist, dessen
Symmetrieachse auf der Rotationsachse senkrecht steht. Die Rotations-
achse wählen wir als ff- Achse und denken sie vertikal stehend; al<
Ebene z = wählen wir die Syminetrieebene der Fläche, die „Äquator-
ebene". Den Abstand eines Punktes der Fläche von der Rotations-
achse bezeichnen wir mit r. Die Größen r und z werden als Funktionen
eines Parameters p betrachtet. Die Derivierten von r und e nach p
bezeichnen wir mit r' t e' u. s. w., die Derivierte des Linienelementes
der Meridiankurve mit s'. Die Größen r und s' sind beständig positiv.
Der Parameter p werde derart gewählt, daß im höchsten Punkt der
Meridiankurve r' positiv, im tiefsten r negativ ist. Der reziproke
Wert des positiv genommenen Krümmungshalbmessers der Meridian-
kurve ist somit B = ^ — — •

über die Deformation gekrümmter elastischer Platten.

Stil

Ale zweiten Parameter benützen wir den Winkel, den ein beliebiger
Meridian mit dem durch die x-Achse gehenden Ant'angsmeridian bildet.
Diesen zweiten Parameter bezeichnen wir — abweichend von der bisher
gebrauchten BezeichnungsweiBe — mit q.

Für die Koordinaten eines Punktes der Mittelfläche und die
Kichtungskosinus der nach außen gerichteten Normalen erhalten wir
nuu die Darstellung:

f x*=rcoBq, y = r sing,

X = 7 cos q, Y= rsinfl.

Man verifiziert leicht, daß die Determinante

Z='-.-

s

dx
3ft

de
dp,

dx
dp,

ty

dp,

iL
dp t

X

Y

Z

= rs

also positiv ist, wie dieB der früher getroffenen Festsetzung entspricht
(vergl. den Anfang des Art. 2).

Für die Fundamentalgrößen erster und zweiter Ordnung ergeben
sich die Werte:

c„ =s'*

n.

«11 =

u-0,

= r i .

<>,

:.'

c = - rs's'R

Es ist zweckmäßig, an Stelle der Verriickungskomponenten u, v
die Komponenten der Verriickung, geschätzt nach der Richtung der
wachsenden f und der Richtung der wachsenden q, einzuführen. Wir

B0CZ6Z1

tt »= Q cos q — ff sin q, « = p sin y + ff cos q.
Es ist alsdann (s. 11, 6 und 14, 2):

^rgw dx _ , S_e . , cw
" ll ' = 'j£/dpdp~ r d P + * dp'

(3)

__ ^l£w dx _
^"Zjdqdq"

da .
r^ + rQ,

du dx , de '_ i 'dw

ir- -5— = r -ä r o •+- z -5— ,

Cqdp dq

dq>

, ^tdudx da
"»- rs n=2iTpTq = r Tp>

«1, + rs'n =2*

Vv 3u

^ = 2j X Tp = -V

* ~2l X Tq = ~ s\dq ~V+7Tq

dp 8' dp'

262

L. Malbeh:

Die Gleichungen 14, (9) ergeben:

(4)

^ l — F dq + WiP dp'
'» «'JJ^jj £Ä dq '

Hier ist rechts an Stelle der Kirchhof fachen Konstanten K, 9 der
Elastizitätsmodul J5 = 2JT ^ ^ ^ eingeführt (Art. 1, Schluß).

Die weitere Untersuchung gestaltet sich wesentlich verschieden,
je nachdem die Mittelfläche von der Rotationsachse geschnitten wird
oder nicht. Im ersten Fall ist die Fläche nach außen überall konvex,
im zweiten Fall haben wir es mit einer Röhrenfllche zu tun.

16. Mittel fläche mit überall positiver Krümmung. — Wir betrachten
zunächst den Fall, daß die Mittelfläche eine einfach zusammenhängende,
nach außen überall konvexe Fläche ist. Um die elastische Deformation
von der Bewegung des als Btarr betrachteten Körpers zu trennen,
nehmen wir an — was offenbar zulässig ist — daß die Verbindungs-
linie der beiden Pole der Fläche bei der elastischen Deformation keine
Drebung erfahre, und daß ihr Halbierungspunkt festgehalten werde.
Ferner möge das durch den oberen Pol gehende Flächenelement keine
Drehung um die Vertikale erfahren. Es wird dann offenbar jeder
Punkt der Fläche nur in seiner Meridianebene verschoben, und alle
Meridiankurven werden in derselben Weise deformiert,

Daraus folgt: die Größen y n , y a , y il} q und w hängen nur vom
Parameter p ab, die Größen 6, ij und ij, verschwinden (vergl. die Be-
merkung zu 14, 2). Die dritte der Gleichungen (3) des vorigen
Artikels zeigt, daß infolge dessen auch « 1S und damit auch y u ver-
schwindet.

Um zunächst die Größen y n , y it , y n zu bestimmen, benützen wir
die Gleichungen (8) und (9) des Art. 11. Sie ergeben:

d^\~r) --jrYti-yrii = v,
dp\s' } u '

und hierzu kommt die Gleichung

(3) ^-*Yn-^Yn = Q-

Die Gleichung (2) erfordert, da y it in den Polen der Rotationsfläche
nicht unstetig werden darf, y t| = im Einklang mit der oben ge-
machten Bemerkung.

Über die Deformation gekrüimnter elastischer Platten.

im:;

Lus (1) folgt:

. r
dp

-pVu

-0.

Führen wir den aus (3) folgenden Wert von y n in diese Gleichung ein,
so ergibt eich

,r M

S -5— —

dp
Multiplizieren wir mit

r'jt'r" — r't")

«'V.Ry, t rr's' 1

Q = 0.

Der Koeffizient von — wird

r

i>r+ivv

s -z

dp

r erhalten somit — (^v^) =

dp

rr'Q, folglich

(4)

^ 1 = -?r !, + Con8t.

Zur Bestimmung der Integrationskonstanten ißt zu bemerken: unser
System von Flächenkoordinaten p, q verstößt gegen die frühere Fest-
setzung, daß die Determinante der quadratischen Form, die das Quadrat
Ides Linienelementes darstellt, auf der ganzen Mittelfläche nicht ver-
schwinden soll. Infolge dessen tritt zu den Stetigkeitsbedingungen, denen
die Größen y n) y n genügen müssen, noch eine weitere Bedingung hinzu

(«, r)

Die Differentialinvariante H == -^ = -1 ', 4- - ? £ muß auch in den

Polen stetig bleiben. Daraus folgt, daß die in Rede stehende Inte-
grationskonstante, gleich zu setzen ist.
Wir erhalten also

h—I[ S 4 + ,.£*]■

Für z' — ist auch r — 0, der Quotient — bleibt Btetig, folglich Bind

Yiu Yn an ^ H &n ^ der gÄQzen Mittelfläche stetig.

Die Gleichungen 14, (4) ergeben, wenn wir an Stelle der Kon-
stanten K, 9 die Konstanten E = 2K -^ und fi = =nr 2 o. einführen
(vergL Art. 1, Schluß):

264

L. Mal- ebb:

Die beiden ersten der Gleichungen (3) des Art. 15 ergeben
r'p' -f- z'w' = « n , rp = a tr Die Bestimmung von w wird vervoll-
ständigt durch die Bemerkung, daß diese Größe aus Gründen der Sym-
metrie in der Äquatorebene verschwinden muß.

Man verifiziert leicht, daß die gefundenen Werte von p und vc auf
der ganzen Mittelfläche einwertig und stetig sind.

Der Kürze wegen sehe ich davon ab, die entwickelten allgemeinen
Formeln auf Beispiele anzuwenden.

17, Deformation einer Röhre. — Wir nehmen nunmehr an, die
Mittelfläche habe die GeHtalt einer kreisförmig gebogenen Röhre;
bilde aber keinen vollständig geschlossenen Ring, sondern werde durch
zwei Meridianebenen begrenzt. Der Winkel, um den das gegebene
Oval gedreht werden muß, um die Mittelfläche zu erzeugen, werde mit
2 % — 2ß bezeichnet.

Die offenen Enden der Röhre denken wir uns durch aufgesetzte
Kappen geschlossen. Auf diese Kappen wirkt — wie auf die Röhre
selbst — von außen der Normaldruck (Pj), von innen der Normal-
druck (P^). Dieser Druck überträgt sich auf die Ränder der Röhre:
auf jeden dieser Ränder wirkt senkrecht zur Randebene eine Kraft,
deren Gesamtgröße das Produkt aus der Druckdifferenz (PJ) -f- (2^)
und der Fläche des Ovals ist, dessen Rotation die Mittelfläche erzeugt
Wie sich diese Kraft auf den Rand verteilt, hängt von der Gestalt dar
Schlußkappe ab, und ebenso hängen davon die auf den Rand wirkenden
Druckkomponenten ab, deren Richtung in die Ebene des Randes fällt.
Wenn der Abstand des erzeugenden Ovals von der Rotationsachse
gegen die Dimensionen desselben einigermaßen beträchtlich ist, wird
man annehmen dürfen, daß sich der Einfluß der Gestalt der Schluß-
kappen nur in nächster Nähe der Enden der Röhre bemerkbar macht,
daß aber in einiger Entfernung vod den Rändern die elastischen
Spannungen, die in der Röhre herrschen, davon unabhängig sind. So-
weit diese Vernachlässigung zalässig ist, gilt auch hier wieder die Be-
merkung, daß die Spannungen — also die Größen y n , y xit y n — vou
dem Parameter p, aber nicht von dem Parameter q abhängen. Die
mittlere Meridianebene, in Bezug auf welche die Röhrenfläche sym-
metrisch ist, wählen wir als Anfangsmeridian (als Ebene y = 0). Den
Schnittpunkt der Fläche mit der x- Achse, der der Rotationsachse zu-
nächst liegt, denken wir festgehalten, und wir nehmen ferner an, daß bei
der elastischen Deformation das durch diesen Punkt gehende Element der
Meridiankurvc seine Richtung uud das durch ihn gehende Flächenelement
seine Stellung nicht ändere — Annahmen, die offenbar zulässig sind.

Ctier die Deformation gekrümmter elastischer Platten.

265

Aus Gründen der Symmetrie ergibt sichj daß die Verrückungs-
komponente q eine gerade Funktion des Parameters q, die Komponente tf
eine ungerade Funktion von q ist. Die Komprniente w muß von q
unabhängig sein, da wir ja alle Kräfte, die eine Abhängigkeit dieser
Komponente vom Parameter q bewirken könnten, vernachlässigt haben.
Von den Komponenten der Drehung % t ~ , ij (vergl. die Bemerkung

zu 14, (2)) muß die erste — die Komponente der Drehung um den
Parallelkreis — von q unabhängig sein, die beiden anderen — die
Komponente der Drehung um den Meridian und die Komponente der
Drehung um die Flächennormale — Bind ungerade Funktionen von q.

Die erste der Gleichungen 15, (4) zeigt, daß ~^- von q unabhängig

ist. Folglich ist -q das Produkt von q in eine Funktion von p. Die
dritte der Gleichungen 15, (3) zeigt, daß die Größe o ls — ebenso wie
<s and i) — ungerade Funktion von q ist. Da nun nach Voraussetzung
die Größen y llf y lS! y ti und folglich auch die Größen tc lu tt^, «„ (s. 14,(4))
von q unabhängig sind, so ist « lt = und folglich auch y is = 0.

Bezüglich des Parameters p sind bisher keine näheren Bestim-
mungen getroffen worden. Wir setzen nun fest, der Parameter p sei
so gewählt, daß Punkten der Mittelfläche, die zur Äquatorebene sym-
metrisch liegen, entgegengesetzte Werte des Parameters p entsprechen.
In dem Punkte der Meridiankurve, der der Rotationsachse zunächst
liegt, sei p — 0; im höchsten Punkte der Meridiankurve sei p= ~ f

in dem Punkte, der von der Rotationsachse am weitesten entfernt ist,
sei p = n. Die genannten 3 Punkte bezeichnen wir der Reihe nach
mit den Nummern 0, 1, 2. Die Werte, die irgend eine Funktion f
von p in diesen Punkten annimmt, bezeichnen wir mit f , f lt f t .

Die Punkte und 2 Bind die Endpunkte der Symmetrieachse des
Ovals, im Punkte 1 ist die Tangente der Symmetrieachse parallel, r und e
sind periodische Funktionen von p mit der Periode 2rt, und zwar ist r
gerade, s ungerade Funktion.

Die Verrückungakomponenten p und a sind gerade Funktionen
von p, w ist ungerade Funktion von p.

Nach der oben getroffenen Festsetzung ist p = für p = 0, q = 0.

18. Integration der Differentialgleichungen des Problems. — Die
Integration der Differentialgleichungen der Elastizitätstheorie verläuft
im vorliegenden Fall zunächst ebenso wie im Fall des Art. 16. Wir
erhalten zunächst (Gleichung (4) des genannten Art.)

-^--Ir' + Const.
« r 2

266

L. .M .M 1:1 i; -

Damit y n im Punkte 1, wo s'=-0, stetig bleibt, muß
auf der rechten Seite in diesem Punkte verschwinden.

der Ausdruck
Es ist also

(1)

*--!p'(r— »fr

Aus der Gleichung (s. 16, (3))

(«,r>

R *•

r* y »* r*'

Yn

ergibt sich
(2)

Schreibt man y n in der Form

so erkennt man, daß y u längs des ganzeu OvalB stetig ist.
Aus (1) und (2a) folgt:

(3) H->f, + a, — |[.r? + ^£<" - -fl) + i:^.

(2.)

Es iBt nun zunächst die Funktion rj zu bestimmen.

In der partiellen Differentialgleichung, der dieBe Funktion genügt
(14, (11)), verschwindet der Ausdruck auf der rechten Seite, weil A n =0,
y, s = und H von q unabhängig ist; das zweite Glied links Ter-
schwindet, weil c^ => und aj lineare Funktion von q ist (vergL den
vorigen Art) Wir erhalten daher (vergl. 15, (2))

(4)

J-JL(JL
rs' dp \Bs' dp,

-H)+(*-£')i-a

Hierzu tritt nun eine weitere Bedingung. Für p = — und behebige
Werte von q verschwindet die linke Seite der Gleichung 14, (8). Es ist
daher für p = — und beliebige Werte von q

dn __ 1 l + 2fr r „,_ 11 r ff ,
Bq 2Kl + i9s' U Es' 11 '

J TT TT* ,_

Den Wert, den die Derivierte -3— = — r für w = - annimmt, be-

zeichnen wir mit Qh. Die Konstante A ist für die Deformation der
Röhre charakteristisch.

Wir genügen der Differentialgleichung (4) und den Nebenbedki-
gungen, indem wir

(&)

setzen.

Q i r'

(6)

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten,
fun folgt aus 14, (8) mit Rücksicht auf lft, (2):

267

Es

ist ferner

ig, , .. .„

s $ r —t i

dp ' 8 M

' (r' :

■ + Or"

— f'

(f'r" + *'«'

")

*'■

d?j
dj

.CK

'*,?.

Setzen

wir diesen Wert

in 14,

i (7) ein

, so

folgt:

CO

% =

~b'R,

Die Großen et,!, «,, sind bestimmt durch die Gleichungen
(e. Art. 16, (5))

(8)

«ii = j[wa - V ?»]' "" = ^[py« ~ 7*yn$t

Die Gleichungen (3) des Art. 15, die die Komponenten der Verrückung
bestimmen, erhalten die Form:

(9)
(10)

(11)
(12)

(13)

• ■ C , I r

23

! «11»

dj_

dp

E

zdo

Z CO , T

Die letzte Gleichung de« genannten Systems kann weggelassen werden,
da sie mit (12) identisch wird.

Die Gleichung (9) zeigt, daß -ß- von q unabhängig ist. Wir setzen

p ■■ p -f p. Hier bedeutet p den Wert, den p für p — annimmt,
p ist eine Funktion von p, die für j? = Terschwindet. Da p — wird
für p = 0, q = 0, so ist p„ = für q = 0.
Aus (11) folgt:

(14)

wo x eine Funktion Ton q bedeutet

268 L. Maükkb:

Differentiieren wir die Gleichung (10) nach q und eliminieren q
und of mittelst der Gleichungen (12) und (14), so ergibt sich:

er ist ungerade Funktion von q, dasselbe gilt für r. Demnach ist

x mm Const. sin q.
Bezeichnen wir die Integrationskonstante mit xr^-jl, so wird
(15) tf ^fyrsq - xr» sin q\

Um die Eonstante x zu bestimmen, setzen wir in der Gleichung (10)
p = und q = 0. Für dieses Wertsystem der Parameter ist q = 0,

folglich (8):

Eine einfache Rechnung ergibt

(16) x = ^ + i + ^ (/t _ rÄ ).

Aus (10) folgt mit Rücksicht auf (15):

(17) Q .Ä + I^r-,,- cos ,].

Insbesondere ist für j> =

(18) ^»-fxlftl-COSg).

Multipliziert man die Gleichung (9) mit -r- t} (13) mit -. und
addiert, so folgt:

also da w — für p = 0:

Nun ist (6)

über die Deformation gekrümmter elastischer Platten

269

Durch partielle Integration geht der Ausdruck auf der rechten
Seite Ln

E '^(ff-ff,)-g

/[«»'•TT

,rr

+ ^^-^»J^

über, wobei zu berücksichtigen ist, daß r = im Punkte 0.
Wir erhalten somit

»-E7 (P-H^+j ."frdp-^j [jhg

,rr

+ -^-( ff - ff .)J^

Bevor wir in eine Diskussion der entwickelten Formeln eintreten,
ist es notwendig, die Konstanten h und x zu berechnen.

19. Bestimmung der Konstanten, h und x. — Es ist zweckmäßig,
zur Bestimmung der Konstante h als ersten Parameter die vom Punkt
an gezählte Bogenlänge der Meridiankurve zu wählen.

Es war k der Wert, den der Quotient -q-j- im Punkt 1 annimmt,
und es ist (18, (3)):

_ 5 _ r d - 4- i ds r *- r \ _i_ i <L \ d S fr» - r*Yl

Wir setzen

de
ds

^ und erhalten

E

dz

Im Punkt 1 ist '^ = 0, ^ - 1, ^ = 0, folglich

« -*-'- Q. - i D + £ fö), + »9), + CO, *■

Wir drücken zunächst die Derivierten von r und e durch die
Krümmung R und ihre Doriviertcn aus. Es ist

„ _d*rds _d*edr _ -i //dM* /d'A'

dB

ds

</'•/■ dz
ds«d^

d^rdr
ds'ds'

d*R d , rde_d , zdrd*rd*z d'zd'r

ds«

ds'ds ds*ds ds* ds'

ds'ds 1

270

L. Mattäkh:

Ferner

Folglich

d*rdr , (Psdjs
da'ds + da' da

d'rdr , d'edz
da'ds da'ds

0.

R*.

[ds>)

=*-&

Sodann ist ->- t£>
d*^

-Ä.

u* a

,ds/,'

&"),--(£).+*

r' - rj, folglich

dadi^ d*« _ „ dr
d"»d7 + dT I *' _ ^ r d"s'

d«d'^
da

&* „d'idi/, d»* _ ü*r p /dr\i

d7* + J d7'd7 + d7 3 ^ = ^ r JF + i *UV '

(3)

dfdV „d**d*v> „d^djV» 1 £^f /_9 **' r 1 f\ d * rdr
da da' " h °ds«ds s + ö dii 9 da + da*^ £r da' + b d* l d«'

Für die Werte der Funktion # und ihrer Derivierten im Punkt 1
ergeben sich somit bei Berücksichtigung von (2) die Gleichungen:

*i = — 2 1?;> ts/, "j^ldrJi _ j^"»

/d^k\ _ , r^ fd'lA _ r^ (dRf J_ /dJR\

Setzen wir diese Werte in (1) ein, bo erhalten wir:

(4) h = - -J- j*,- (^J^ + i ^ (^7) - ^ (djjj ~ I ^

Damit ist auch die Konstante x bestimmt (s. Gleichung (16) de«

vorigen Art,).

Die Differentialinvariante, die in dem Ausdruck von h als Faktor

von fj auftritt:

. . 1 /dJfc

* — t ji \dl)

hängt von der Krümmung und ihren Derivierten erster und zwei
Ordnung ab. Im Berührungspunkt von zwei Kurven, die sich fünfpunktig
berühren, hat daher diese Invariante für beide Kurven denselben Wert.

Um die Abhängigkeit der Invariante J von der Krümmung der
Kurve genau zu übersehen, berechnen wir J für einen beliebigen Punkt
einer Ellipse.

Die Koordinaten eines Punktes der Ellipse stellen wir in der Form
ns.mp, bcoap dar. Es ergibt sich

, 1 d'R

,Kior
eiter

,/= -

1 — b* coa 2p
ab s'

1 ("' — fc*) f ain'2j>
■ ab e' s

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten.

271

Hier ist s' — Y^~cö^p~+^~^i?p~. Der absolute Wert von J er-
reicht in den Endpunkten der Achsen ein Maximum, und zwar ist in

a * ji

den Endpunkten der a- Achse J= — pr~j in den Endpunkten der

b -Achse J =

b* — a*

Wenn der Abstand der Rohrenfläche von der
die Dimensionen des Querschnitts der Fläche

a'fc
Rotationsachse gegen
einigermaßen groß ist, so sind für die Bestimmung der Größenordnung
Ton h diejenigen Glieder auf der rechten Seite von (4) maßgebend,
die in r, multipliziert sind. Man wird daher, wenn es sich darum
handelt, einen möglichst großen Wert von h zu erzielen, den Quer-
schnitt der Röhre so wählen, daß er im höchsten und tiefsten Putikt
dieselbe Art der Krümmung besitzt, wie eine Ellipse in den Endpunkten
der großen oder kleinen Achse.

Unter der Voraussetzung, daß J einigermaßen groß ist, erhalten
wir für h und x die Näherungswerte (s. 18, (16)) h = r t J 7 k = h + 1

Die in Art. 18
i, fi, a und w' auf

20. Über die Steügkeils- und Grenghetlimjungen.
entwickelten Formeln zeigen, daß die Größen y n , y t
der ganzen MittelHäche einwertig und stetig sind. Da aber die Mittel-
fläche zweifachen Zusammenhang besitzt, so genügt die Einwertigkeit
und Stetigkeit der Deri vierten w' noch nicht, um die Einwertigkeit

der Funktion w Bicher zu stellen. Hierzu ist vielmehr noch erforder-

s*

lieh, daß das über die Meridiankurve erstreckte Integral Iw'dp ver-
schwindet. Mit Rücksicht darauf, daß «?' gerade Funktion von p ist
und daß die Dori vierte r' für p — a verschwindet, kann man diese Be-
dingung auch durch die folgende ersetzen (18, (19))

(1) „^J^dp-ylQhr^ + ^iH-HJ

dp = 0.

Im allgemeinen ist der Periodizitätsmodul 2tc s von Null ver-
schieden, daher sind im allgemeinen FaUe die Voraussetzungen, von
denen wir in Art. 9 ausgegangen sind, nicht zulässig. Wir werden
aber im folgenden nachweisen, daß der Querschnitt der Röhre in mannig-
faltigster Weise so gewählt werden kann, daß der Periodizitätsmodul
2tfj verschwindet; es gibt also eine ausgedehnte Klasse von Fällen, in
denen die hier entwickelte Theorie Platz greift. Diese Fälle sind es
gerade, die praktisch von Wichtigkeit sind. Denn es ist offenbar zweck-

272

L. Maurer:

mäßig, einer Röhre der hier betrachteten Art, die zu barometrischen
oder therm ometrischen Messungen dienen soll, eine solche Gestalt zu
geben, daß die eintretenden Spannungen einen möglichst stetigen Ver-
lauf zeigen — das Wort stetig im praktischen, nicht im rein abstrakten
Sinn genommen.

Die Unregelmäßigkeit im Gang, die manche Aneroidbarometer
zeigen, sind wahrscheinlich darauf zurückzuführen, daß die hier voraus
gesetzten Stetigkeitsbedingungen nicht erfüllt sind.

Bei den folgenden Erörterungen setzen wir voraus, die Bedingung
IT, = sei erfüllt.

Der Druck, den ein auf einem Parallelkreis senkrecht stehendes
Flächenelement des Körpers von der Seite der abnehmenden q her er-
fährt, ist = ^H; er wirkt im Sinne der zunehmenden q (10, (5)).

Der Druck, den ein auf einem Meridian senkrecht stehendes Flächen-
element von der Seite der abnehmenden p her erfahrt, ist -**. Wenn

der Abstand der Röhre von der Rotationsachse gegen ihre Dimensionen
groß ist, so gelten in erster Annäherung die Werte

9F «pfr-r,)

d /r> — r.)

dM

)]-

(18, (1) u. (2.

Der in der Richtung der Parallelkreise wirkende Druck steigt also üu
erheblich größeren Werten an, als der in der Richtung der Meridiane
wirkende.

Auf ein Element des Randes, das auf der Seite der positiven q
liegt, wirkt vom Innern des Körpers her die Kraft (18, (2 a))

Auf den gesamten Rand wirkt somit
in

— 2Qs frz'dp^2Qc |(r, -r)e'dp-

o o

Das rechtsstehende Integral stellt die Räche dar, die die Meridian
kurve einschließt. Der vor dem Integralzeichen stehende Faktor }Q|
ist (Art. 10) - — [(P+) + (1^)1- Die auf den Rand wirkende, von dw
Elastizität der Röhre herrührende Kraft ergibt sich also — wie es die
Theorie erfordert — als entgegengesetzt gleich der auf der Druck-
differenz beruhenden Kraft (vergl. Art. 17).

im Sinne der zunehmenden q
die Kraft

ix

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten.

273

Für die Verrückung des Röhrenendea , das auf der Seite der
positiven q liegt {q =• » — ß), ergeben sich die Werte (Art. 18,
(15) n. (18)):

*o = - v r (*'i (x-ß)- *r Q sin ß), p = -* xr* (1 + cos ß).

S

Ist r x gegen die Differenz i\ — r groß und ß klein, so erhalten

Q Q

wir in erster Annäherung (s. Art. 19 Schluß) tf = — t£/^, (? 9 =*y,-Jr\.

Es ist somit die Verschiebung der Röhre in tangentialer Richtung er-
heblich größer, als die Verschiebung in radialer Richtung.

Die beiden Verachiebungakoinponenten haben entgegengesetzte
Vorzeichen.

Hat die Röhre im höchsten Punkt dieselbe Art der Krümmung
wie eine Ellipse in den Endpunkten der großen Achse, bo ist J positiv,
das Röhrenende weicht, wenn Q positiv, also der äußere Druck größer
als der innere ist, in tangentialer Richtung zurück; hat die Röhre im
höchsten Punkt dieselbe Art der Krümmung wie eine Ellipse in den
Endpunkten der kleinen Achse, so ist J negativ, das Röhrenende
rückt vor.

21. AnalytiscJte Darstellung der Meridiankurve. — Es bleibt nach-
zuweisen, daß der Querschnitt der Röhre so gewählt werden kann, daß

IC

das Integral tc 9 = I w'dp verschwindet. Zu diesem Zweck ist es not-

o
wendig, über die analytische Darstellung des Ovals, in dem die Röhren
fläche von einer Meridianebene geschnitten wird, bestimmte Annahmen
zu machen.

Es läßt sich nachweisen, daß tc s notwendig von Null verschieden
ist, wenn für das Oval eine Ellipse gewählt wird, und soviel ich sehe,
kann w s überhaupt nicht verschwinden, wenn das Oval zwei Sym-
metrieachsen besitzt; für den Fall, daß r, gegen die Dimensionen des
Querschnitts sehr groß ist, läßt sich dies in aller Strenge beweisen.
Zu Ovalen mit nur einer Symmetrieachse, die für unsere Zwecke brauch-
bar sind, gelangt man am einfachsten auf folgendem Wege: Wir nehmen
eine Ellipse an, deren eine Achse in die r-Achse fällt — es kann dies
die große oder die kleine Achse der Ellipse sein — und setzen fort,
daß diese Ellipse in den Endpunkten der anderen, zur Rotationsachse
parallelen Achse das Oval je fünfpunktig berühre. Wir ordnen nun
jedem Punkt der Ellipse den Punkt des Ovals zu, in dem die nach
außen gerichtete Normale dieselbe Richtnng hat Die Koordinaten
eines Punktes der Ellipse lassen sich in der Form r, — b cos p, a sin p

ArcblT in Mitbematik and Pby*üt. IM. BaUu. VX lg

:

274

darstellen. Für die Koordinaten des entsprechenden Punktes des Ovals
gelten die Differentialgleichungen

(1) r = b sin p (1 -f vm), z' = a cos p (1 -f vm)

und die Anfangsbedingungen r = i\ für p = y i * = für |j = 0. Hur

bedeutet »j eine überall stetige periodische Funktion von p mit der

Periode 2n und v eine Konstante, deren absoluter Wert kleiner ist als

das Maximum des absoluten Wertes von lfm. Weiterhin wird A

Funktion M als gegeben, v als verfügbarer Parameter betrachtet

Damit die r-Acbse Symmetrieachse des Ovals ist, muß m gerade

Funktion von p, also eine einwertige Funktion von C09 p sein. Wir

wollen überdies annehmen, m sei ungerade Funktion von cos p. Dies«

Annahme ist für die folgenden Betracb hingen nicht wesentlich, führt

aber zu einer erheblichen Vereinfachung der Beweise.

Damit s periodische Funktion von p sei, ist erforderlich
«

I m cos p dp = 0. Da w cos p gerade Funktion von cos p ist, so kann
u
diese Bedingung auch dureh

(2)

m cos pdp =

ersetzt werden. Aus dieser Gleichung folgt, daß e = a für p = * , wie

erforderlich. Die Differenzen zwischen den Koordinaten eines Punkte;'
der Ellipse und des entsprechenden Punktes des Ovals bezeichnen wir
mit vbucosp, vava'wp. Es ist also

(3)

r = r t — b cosp(\ -f vu) , s = asinp{l — vv),
d(u coap)

dp

= — m sin p ,

i/o.- sin /.)
~dp—

— m cos p.

Aus der vorletzten Gleichung folfft, da r = - t

° ° ' dp dcoap

sin p :

« +

du

d cos }i

cos p—m,

und hieraus

X XX

d COS P J t'"S jl ' J COS /< ' '

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten. 275

Nun ist

s s s a p,

n n n

8 8 1

o o o

Das zweite Integral verschwindet wegen (2), folglich ist

(4) f*L. ip -Q.
v ' J ocos p r

Es bleibt noch zum Ausdruck zu bringen, daß das Oval von der
zugeordneten Ellipse in den Punkten, die den Parameterwerten p = ± —
entsprechen, fünfpunktig berührt wird.

Bezeichnen wir das Bogendifferential der Ellipse mit dt, ihre
Krümmung mit P. Es ist also

t' = Ya* cob* p + b' Bin* p, P= fÄ-
Zwischen den Großen t', P und den entsprechenden auf das Oval be-
züglichen Größen s' t R bestehen die Beziehungen

(5) .' - (1 + vm)t% Ä-j^j-

Da m ungerade Funktion von cos p ist, so verschwinden für p = ■=•
die Funktion m selbst und ihre Derivierten von gerader Ordnung. Wir
setzen nun fest, für p = — sei auch die erste Derivierte »»'=■ 0. Unter

dieser Annahme ist für p — —

R—P *Ä — *L d%R - d%p

n ~ r > dt ~ dt* da* ~ dt* '

es tritt also, wie gefordert ist, eine fünfpunktige Berührung ein. Aus
der eben eingeführten Voraussetzung folgt, daß — — für p = ■=? end-
lich und stetig bleibt. Die Gleichungen (3) zeigen, daß u und v
ebenso wie m ungerade Funktionen von cos p sind, und daß für p = —

die Quotienten — 5— und — j- stetig bleiben.

18*

276 L. Maoäbb:

Stellen wir die Eigenschaften der Funktionen m,u,v zusammen, die
sich aus den bisher eingeführten Voraussetzungen ergeben:

1) m, u, v sind einwertige und stetige, ungerade Funktionen
yön coBp;

« , , ., m u, v

(A)

2) für p = — bleiben — j— , — /- , — =— stetig.

Außerdem wollen wir annehmen:

3) Das Maximum des absoluten Wertes von r — r t ist kleiner
als f|.

Hierzu kommen die Gleichungen (2) und (4).

Für den Beweis, daß w t durch geeignete Verfügung über den
Parameter v zum Verschwinden gebracht werden kann, reichen diese
Annahmen aus. Für praktische Anwendungen wird man überdies ver-
langen, daß das Oval eine möglichst einfache Gestalt erhält. Um dies
zu erreichen, führen wir eine zweite Gruppe von Voraussetzungen ein.
Wir nehmen an:

1) Die Funktionen m und t wechseln nur an enter Stelle

' dcoa p

(B)

des Intervalls 0, — das Vorzeichen. (Ein Wechsel des Vor-
zeichens muß mindestens eintreten wegen (2) und (4).)
2) Im gleichen Intervall seien die Funktionen « und v be-
ständig positiv, und zwar sei u = 1 für p = 0.

Weil u für cos p = gleich Null und für cos p > positiv ist,

so ist j für kleine positive Werte von cos p positiv, für cos p = 1

negativ. Dasselbe gilt für die Funktion m.

Die einfachste Funktion m, die den gestellten Bedingungen genügt,
ist m = 20 cos s p — 24 cos 5 j?. In diesem Falle wird

u = 5 cos 3 /) — 4 cos 5 /) , t; = 4 cos 5 j>.

22. Beteeis, daß es Formen des Querschnitts gibt, die den Voraus-
setzungen der Theorie entsprechen. — Wir beweisen nun: nachdem über
die Konstanten a, b und die Funktion m verfügt ist, kann man die
Größen r, und v in mannigfaltiger Weise so wählen, daß das Integral

n

(20, (1)) w 2 = I w'dp verschwindet,
o
Führen wir in die Gleichungen (1) und (2) des Art. 18 die im
vorigen Artikel unter (3) angegebenen Werte ein und ordnen nach

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten. 277

Potenzen yon r v -}\ ist lineare Funktion von r v ^ laßt sich —

da nach Voraussetzung (A, 3 des letzten Artikels) der absolute Wert
von r — r t kleiner als r x ist — in eine nach fallenden Potenzen von r x
fortschreitende Reihe entwickeln. Diese Reihe beginnt mit einem von

r, unabhängigen Glied. Die Reihenentwicklungen von H und -!| be-
ginnen mit einem Glied, das r x enthält (vergl. IS, (3) u. (8)), die
Reihenentwicklung von «?' beginnt mit einem Glied, das r\ enthält
(vergl. 18, (19)). Wir erhalten somit für w' eine Reihe der Form

(1) tf-Afl + B^ + C+2 +%+•..,

und hieraus ergibt sich für w t eine analoge Reihenentwicklung

(2) ^-(^^(j^ + (<)) + £& + £> + ....

r t n

In dieser Reihe sind die Koeffizienten gerader Potenzen von r, un-
gerade Funktionen des Parameters v, die Koeffizienten ungerader
Potenzen von r x sind gerade Funktionen von v. Insbesondere ist (Ä)
ungerade Funktion von v.

Zum Beweis ist zu bemerken: Ersetzen wir in den Gleichungen (3)
des vorigen Artikels gleichzeitig r t durch — r u v durch — v, p durch
« — p, bo treten an Stelle der Größen m, u, v die Großen — m, — u, — v
und dementsprechend —r,—e' an Stelle von r, z'\ die Großen z, r' t s'
bleiben ungeändert. Bei den angegebenen Vertauschungen bleiben

auch die Größen ^ und ^y ungeändert, dagegen tritt — w' an. Stelle
von w'.

Die Koeffizienten A, B, C, . . . der w' darstellenden Reihe denken
wir uns nun in Reihen entwickelt, die nach steigenden Potenzen von v
fortschreiten. Die Koeffizienten der zweifach unendlichen Reihe, durch
die nunmehr w' dargestellt wird, sind einwertige Funktionen von cosp,
und zwar ist der Koeffizient von r[v J gerade oder ungerade Funktion
von cos p, je nachdem die Exponentensumme i +j eine ungerade oder
eine gerade Zahl ist, weil bei gleichzeitigem Zeichenwechsel von r„ v
und cosp auch w' das Vorzeichen wechselt

Das von bis ic erstreckte Integral einer ungeraden Funktion
von cos p hat den Wert Null. In der Reihenentwicklung der Größe w t)
die wir durch gliedweise Integration erhalten, kommen daher nur
solche Produkte r[ v i vor, für die die Summe der Exponenten * -f j
eine ungerade Zahl ist, w. z. b. w. Nunmehr ist es leicht, den eingangs
genannten Beweis zu führen.

278

L. Mm i.t.u:

Zu dem Zweck erteilen wir dem Parameter v einen beliebig zu
wählenden positiven Wert t, der nur der einen Bedingung g>
muß, daß 1/r kleiner als das Maximum des absoluten Wertes der
Funktion m ist. Sodann wählen wir die Konstante r t so groß, daß
der absolute Wert des ersten Gliedes der Reihe (2) großer als die
Summe der absoluten Werte aller folgenden Glieder ist. Alsdann hat
w t dasselbe Vorzeichen wie (A). Diesen Wert von r t halten wir fest
und lassen v von x bis — t abnehmen. Der Endwert von w t hat,
weil (A) ungerade Funktion von v ist, das entgegengesetzte Vorzeichen
wie der Anfangswert; folglich muß w t als stetige Funktion von v min-
destens für einen zwischen r und — r liegenden Wert von v ver-
schwinden. Damit ist bewiesen: es gibt Formen des Querschnitts, für
die die Voraussetzungen unserer Theorie erfüllt sind.

23. Näherungsiceise Bestimmung der Konstante v. — Im Voran-
gehenden haben wir nur von den Voraussetzungen (A) des Art. 21
Gebrauch gemacht; wir ziehen nunmehr auch die Voraussetzungen (B)
heran und nehmen überdies an, die Dimensionen des Querschnitts der
Röhre seien gegen ihren Abstand von der Rotationsachse klein, e»
seien also die Halbachsen a, b klein gegen t\.

Wir erhalten einen Näherungswert des Parameters v, wenn wir
in der Gleichung (2) des vorigen Artikels

tv t = (A)rl + (B) ri + (C) + -'- =

nur die beiden ersten Glieder rechts beibehalten. Die Größen {A\
und (U) entwickeln wir in Reihen, die nach steigenden Potenzen von v
fortschreiten, und behalten von jeder Reihe nur daB erste Glied bei,
also von der ungeraden Funktion (A) das in v multipliziert« Glied,
von der geraden Funktion (B) daB absolute Glied.

Wir haben nun zunächst Näherungswerte für die einzelnen in der
Gleichung (20, (1)) auftretenden Größen zu berechnen. Es ißt

m

dp —

E

/Wt ' *

Nach Art. 18, (1) und (2a) ist:

dp.

Wir führen hier die in Art. 21, (1), (3) und (5) angegebenen
Werte ein und unterdrücken sofort alle die Glieder, die für die Be-

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten. 279

rechnung unserer Näherungswerte nicht in Betracht kommen. Wir
erhalten

-,(r* — rf) = — - tg p ßt^&cosp^ + vu) — J'cos'p H ]

b*
= — 2-[r 1 Binp — ±baw2p + vr t u sin p -\ ],

2-[r 1 cosp-i5cos2p-f-vr 1 (»»cosiJ- 5 ^)-.],

Hier ist im letzten angeschriebenen Glied rechts von der Identität

du
tlf=U + -j COS p ,

d cob p * '

du sin p du . « du
— i — - = « cos p — j Bin* p — m cos p — -j

Gebrauch gemacht. Wir haben ferner
Folglich

ä [ r t C0B P - ¥ 6cob2 1> + vr t (mcoBp - ~^j + •••]•

Sodann ist

z' r , , -.acoap acos» .cos*»

*? - [*i - &cosp + • • •] — ^ - r t —jr^ - ab-y±,

demnach

(l)?l ^[r 1 (a»-6»)cosp-&<fl 8 -6 8 )cos«p-16»- v r 1 6» 5 ^...].

Ferner

(2) ?v = C ^' + ... = ^[(«»-6»)cos»p + 6' + ...].

Daraus ergibt sich
) ff--^[<-.(« , -^«>»l>-2(«'-» , )»«» , *-ä-»'-<"-.» , 5^-],

280
Nun ist

L. Miukb:

r -L _ _ tgpft - b cos j>] - r t -tgp - - Binjp,

d ~r b i

— — = r, 3 cos ».

dp » a cos*p a ^

6»

Folglich

(4)

dp

+ » r »°COB»P VT »° C08»pdC08» + J-

Femer ist (Art. 19)

Folglich

Qhr, -r - 0*1-^-^(1 + vm).

(5 ) ^ t £ + *£(IT-IÖ

rr

dp

_du_"

. ^ , a* — 6* / m \ , b* dcosp

+ Qr\v s — ( »»cosp) + -i75 r - •

1 x * L a \eoap r ) ' a*t coa'p

Endlich ist (18, (8) u. GL (1) dieses Art.)

Q (q'-ft«) coa'p

Wir erhalten also mit Rücksicht darauf, daß das von biß % er-
streckte Integral einer ungeraden Funktion von cos p verschwindet und
das von bis x erstreckte Integral einer geraden Funktion gleich dem

Doppelten des von bis | erstreckten Integrals ist (vergL auch
21,(2))

(6)

9 Q *a / «' — 6* * , *>' dcosp

W * *'E~ V .J L O* COSp+^t'cOs'pJ

dp

3

9««- Tr« ("' -^cob'p 3(q'-6»)E>» 3 d» t'-fc -].

Über die Deformation gekrümmter elastischer Platten.
Wir setzen zur Abkürzung

-2%r 1 [r 1 vL+M] + ---,

281

ir..

wo nun L und M von r, und v unabhängig sind. Nach Voraussetzung

(Art* 21, B) sind die beiden Funktionen m und 3 - an der unteren

Integrationsgrenze negativ, an der oberen positiv und wechseln im

Integrationsintervall nur einmal das Vorzeichen. Ferner ist (Art. 21,

(2) und (4))

* _

i s

I m cos p dp = und / -3 — - — dp = 0.

Da die Funktion — ,— im Integrationsintervall beständig zunimmt,

tt

i

ist das Integral / — j— • tn cos p dp positiv. Ist a > b, so nimmt

im Integrationsintervall die Funktion —, = —

1 cos*jj-|- b*sai}p

beständig

-, — x" • -j dp ebenfalls positiv. Daraus

t cm*p dcoap ^ r

o
folgt: für a > & ist L positiv. Dies gilt auch noch für a — b.

Ist a < b, so kann das Vorzeichen von L nicht von vornherein
bestimmt werden. Es ist aber leicht zu sehen, daß L für sehr kleine

Werte des Quotienten -r negativ wird. Bezeichnen wir nämlich mit

p y den Wert von p, für den -j = 0, so ist daB erste Integral auf

der rechten Seite der Gleichung

J t' cos* p d coa p l J %' cob' p d cob p L J t' cos'
5 I p t

du

p d cob p

dp

negativ und wächst dem absoluten Wert nach über alle Grenzen, wenn
man den Wert von b festhält und n gegen Null konvergieren läßt;
das zweite Integral rechts behält einen endlichen positiven Wert.

ehat das Integral links für hinreichend kleine Werte von o
igativen Wert, und dasselbe gilt für L.

282 Ij- Maurkb: über die Deformation gekrümmter elastischer Platten.
Aus der Identität

3f P* * " (' ~ 6 )1 = coP> _ ?

(a' — b*) cob» p-f 6» b a*-f>

folgt:

i'cos'p cos'p

f^(»-S)*-/('-9* -<••-*/=£

U

Wir erhalten, somit

■

,, / s m /Y COS 1 » , db* l — 1 COb'pI ,

M - (a« - fc»)J [p-^ + -^ » f , y J rf,>.

o

M hat dasselbe Vorzeichen wie o 8 — ©'.

Die Größen i und M haben also sowohl in dem Fall, daß a>b

als auch in dem Fall, daß a <_b und gleichzeitig der Quotient , klein

ist. dasselbe Vorzeichen.

l M
Nnn ergibt die Gleichung tv s = in erster Annäherung v=* — j>

es ist also v negativ. Demnach ist das Oval, in dem die Meridian-
ebene die Röhre schneidet, auf der Seite der Rotationsachse abgeplattet,
auf der entgegengesetzten Seite zugespitzt.

München, im September 1902.

Inhalt.

Sei«

Erster Teil : Transformation der Elaatizitafcsgleichungen in allgemeine Koordi-
naten

1. Die Grandgleichnngen der ElastiziÜLtstheorie in karteBiacken Koordinaten ■

3. Einführung allgemeiner Koordinaten '

8. Die Form liuil.r -f- dvdy -\- liwdz s

4. Ausdruck des Potential« der elastischen Kräfte und der kinetischen Energie
in den neuen Koordinaten

5. Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie in allgemeinen Koordinaten

6. Mechanische Bedeutung der N^ '

Zweiter Teil: Anwendung auf den Fall gekrümmter dünner Platten ...

7. Geometrische Definition des Körpers '"

8. Spezialisierung des Koordinatensystems )rt

9. Einführung beschrankender Voraussetzungen 1S

C. Hkumak: Zur Theorie d. Krümmung nach d. Methoden d. darst. Geometrie. 283

Seit«

10. Folgerungen ans den eingeführten Voraussetzungen . . 14

11. Die Grundgleichungen des Problems 17

12. Bedingungen für daB Gleichgewicht 19

18. Über die Eindeutigkeit der Lösung 20

14. Bestimmung der Komponenten der Verrückung 22

Dritter Teil: Genauere Untersuchung des speziellen Falles, daß die Mittelfläche

eine Rotationsflüche ist

15. Definition der Flüche. Wahl des Koordinatensystems 2(50

16. Mittelfliiche mit überall positiver Krümmung W2

17. Deformation einer Röhre 264

18. Integration der Differentialgleichungen des Problems 265

19. Bestimmung der Konstanten h und * 269

20. Über die Stetigkeits- und Grenzbedingungen 271

21. Analytische Darstellung der Meridiankurve 273

22. Beweis daß es Formen des Querschnitts gibt, die den Voraussetzungen

der Theorie entsprechen . 276

23. NäheruDgsweise Bestimmung der Konstante v 278

Zur Theorie der Krümmung nach den Methoden der dar-
stellenden Geometrie,

Von C. Heuman in Stockholm.

Die Kenntnis der Krümmungsverhältnisse einer Kurve gibt nicht
nnr ein tieferes Verständnis für die Form derselben, sondern ist auch
für die zeichnerische Darstellung von praktischem Nutzwert. Somit
muß auch die darstellende Geometrie die Krümmungstheorie in den
Bezirk ihrer Entwicklungen hineinziehen, wie es auch längst in den
größereu Lehrbüchern geschehen ist. Die dabei verwendeten Methoden
sind von sehr verschiedener Artj meistenteils Bind sie aus anderen,
wenn auch verwandten Zweigen der geometrischen Wissenschaft — wie
der Differentialgeometrie, der Kinematik oder der synthetischen Geo-
metrie — entliehen. Obschon die gewünschten Einzelresultate dadurch
vollständig abgeleitet werden können, scheint mir dieses Verfahren
nicht ganz befriedigend zu sein, und zwar aus zwei Gründen.

Erstens scheinen diese Methoden dem elementaren Unterricht nicht
ganz gut angepaßt werden zu können. Die nötigen Vorkenntnisse aus
irgend einer der erwähnten Disziplinen zu entwickeln, ist für den frag-
lichen Zweck zu umständlich 5 dieselben vorauszusetzen, paßt auch
nicht für die meisten Lehrpläne. Die elementar angelegten Lehrbücher
gehen daher meistenteils an diesen Fragen ganz stillschweigend vorüber
oder begnügen sich damit, einige besonders brauchbaren Ergebnisse

C. IIeiMAN:

ohne Ableitung anzuführen, was in einer exakten Wissenschaft stet«
unerfreulich auffallt.

Zweitens wird nach meiner Meinung die Eigenart der darstellenden
Geometrie durch die erwähnten Methoden nicht gebührend berück-
sichtigt. Die darstellende Geometrie leitet durch ihre fundamentalen
Operationen: Projizieren, Schneiden, Abwickeln, aus den einfachst defi-
nierten Gebilden — seien es Kurven oder Flächen — andere weniger
einfache Gebilde der genannten Gattungen ab. Will man dann auch
die Krümmungseigenschaften in Betracht ziehen, bo scheint die natür-
liche Fragestellung diese zu sein: Welche Besiehungen verbinden die
Krümmungen zweier Gebilde, die durch irgend eine jener OperaHottm
aus einander abgeleitet sind? Eine Untersuchung der Krümmung in
echt darstellend -geometrischem Sinn muß somit, scheint mir, die Be-
antwortung dieser Frage in den Vordergrund stellen und sodann aus
den aufgestellten allgemeinen Beziehungen die Ergebnisse in Einzel-
fällen ableiten.

Inwiefern dieser Vorgang mit der Forderung elementarer Hilfs-
mittel in Einklang gebracht werden kann, lasse ich dahingestellt sein;
die folgenden Zeilen wollen allerdings als ein Versuch in dieser Rich-
tung beurteilt werden. Von einer sehr bekannten planünetriBchcn
Formel ausgehend, leite ich zunächst die Krümmungsbeziehungen bei
der überaus wichtigen Orfhogonaljirojektion ab (1.), und suche dann
durch einige Beispiel« die Verwendbarkeit der erhaltenen Formeln zu
zeigen (l, f 2.). Gelegentlich wird dabei auch die einfache Beziehung
bei der Abwickelung als ein Folgesatz erhalten (1. c). In der Fort-
setzung gehe ich zur Betrachtung allgemeinerer Projektionsarten über
(3.); endlich zeige ich (4.), wie auch die Frage nach den Krümmungs-
beziehungen beim Sehneiden einer Fläche in besonderen Fällen — näm-
lich für ßämtliche abwickelbaren Flächen — durch denselben Ansatz
rrlriligt fffirdflü ksmu. 1 )

1. Den Ausgangspunkt der folgenden Entwicklungen bildet die
elementare Formel für den Radius des Umkreises eines Dreiecks:

abc

(1)

wo o, b, e die Seitenlangen, A den Flächeninhalt des Dreiecks be-
zeichnen. Aus dieser kann zunächst die Beziehung zwischen der

1) Mein verehrter, ehemaliger Lehrer, Lektor P. Henri queB, ab) deMffl
Assistent ich jetzt wirke, hat seit einigen Jahren mehrere der nachstehenden An-
leitungen in seine Vorlesungen an der hiesigen technischen Hochschule auf-
genommen und sich auch für die vorliegende Publikation derselben gefälligst
interessiert, wofür ich ihm hier ergebonst Dank sage.

Zar Theorie der Krümmung nach den Methoden d. darstellenden Geometrie. 285

Krümmung einer Kurve und derjenigen ihrer orthogonalen Projektion in
entsprechenden Punkten in einfacher Art abgeleitet werden.

Es werde irgend eine Kurve Je in die Kurve \ der Projektions-
ebene TT orthogonal projiziert (Fig. 1.) Drei Punkte P, Q, R der
Kurve Je projizieren sich in drei Punkte
■P« Qu A der Kurve h 1 . Betrachten
wir den Umkreis des Dreiecks PQR
(Seitenlangen a,b,c, Flacheninhalt A)
sowie denjenigen des Dreiecks P 1 Q 1 R 1
(Seitenlängen a lt b lf c lf Flächeninhalt
A,), so haben ihre Radien r, r t nach (1)
das Verhältnis

(2)

r

a b e ' A

Fig. i.

Lassen wir jetzt die Punkte Q, R
sich nach P bis zu unendlicher Nähe
hinbewegen, wobei auch die Projektionspunkte Q 1} R t nach P l fort-
rücken, so gehen die erwähnten Umkreise in die Krümmungskreise
der Kurven Je und Je t Qber. Zugleich nehmen aber die Strecken QR,
RP, PQ alle die Richtung der Kurventangente im Punkte P an, während
die Ebene PQR in die Schmiegungsebene übergeht, oder — falls
Je eben ist — mit der Ebene der Kurve fortwährend zusammen-
fallend bleibt. Somit ergibt sich zwischen dem Krümmungsradius q
einer Kurve Je und dem Krümmungsradius Q t ihrer orthogonalen Pro-
jektion in entsprechenden Punkten aus (2) die Beziehung

(I)

Qi = (?'

COS* et

cos» >

worin a den Neigungswinkel der Tangente, <o denjenigen der Schmiegungs-
ebene (bezw. Ebene) der Originalkurve im betreffenden Punkte gegen
die Projektionsebene bezeichnet.

Von dieser allgemeinen Formel erwähnen wir zuerst einige
speziellen Fälle. Ist ra = 90°, was für eine Kurve doppelter Krümmung
bedeutet, daß die Schmiegungsebene senkrecht oder die Binormale
parallel zur Projektionsebene steht, so gibt (I) ^==00, d. h. die Pro-
jektionskurve hat im entsprechenden Punkte im allgemeinen einen
Wendepunkt Nur wenn auch « = 90° ist, d. h. wenn die Tangente
senkrecht oder die Normalebene parallel zur Bildebene ist, zeigt
die Projektionskurve in der Regel einen Rückkehrpunkt vor, indem
Q t wegen der größeren Potenz im Zähler im allgemeinen gleich
Null wird.

286

l\ Hkivax:

Besondere hervorzuheben sind aber die Formebi, die aus (T) her-
vorgehen, wenn entweder die Tangente oder die Hauptnormale der
Kurve zur Projektionsebene parallel: ist. Wir erhalten so die beiden
folgenden Häuptfälle:

es) Die Tangente der Kurve k ist zur Projeküonscbme panilhl. Dabei
ist a = a, und es ergib^ sich

(I«) Pi = - P -,

wo tu zugleich die Neigung der Hauptnormale gegen die Projektions-
ebene angibt.

ß) Die Hauptnormale der Kurve h ist zur Projektionsebene paraM.
Dabei ist a = e>, und es ergibt sich
(1/3) pj = p cos* « = p cos s DJ.

Diese einfachen Relationen sind von häufigem Gebrauch. Als Bei-
spiele greifen wir heraus:

a) Die Scheitelkrümmungsradien einer Ellipse.

Ein Kreis werde in eine Ellipse mit den Halbachsen a, h orthogonal

projiziert. Dabei ist p = a, cob ta = — . In den Scheitelpunkten der

Hauptachse tritt der Fall ß) ein, und es wird nach (Iß) p la = a-[ ]

= — ; in den Scheitelpunkten der Nebenachse dagegen liegt der Fall u)

b

vor, und es wird nach (Iß) p t

n :

Oder: Eine EUipM

Es ist

_ a'
mit den Halbachsen a, b werde in einen Kreis projiziert.

b

p t = 6, cos ra = — . Bei den Scheitelpunkten der Hauptachse liegt

6*

der Fall «) vor, und es wird nach (la) p a = p a cos ta = — ; bei den-
jenigen der Nebenachse hat man da-
gegen den Fall ß), und es wird nach (I/J)

wie vorher.

JC/

Vl> COB 1 Ol

a*

[Wegen der Wichtigkeit der frag-
lichen Größen für praktische Zeichnung
mag hier noch eine einfache Ableitung
Platz finden, deren Kern allerdings
einem anderen Ideenkreise angehört. Im
Punkte H der Hauptachse AA l und
Flg j. in der Nähe des Scheitelpunktes A er-

richten wir eine Senkrechte, welche die
Ellipse in E, E t und den über der Hauptachse als Durchmesser l»e-
schriebenen Kreis in K, K t schneidet. (Fig. 2.) Der Umkreis de«

Eine gemeine Schraubenlinie mit zur Grundrißebene senkrechter
Achse sei in Fig. 3 in Grund- und Aufriß abgebildet. Es sei r der
Radius des tragenden Kreiscylinders und ß der konstaute Neigungs-
winkel der Taugente gegen die Grundrißebene. Die orthogonale Pro-
jektion der Kurve auf diese Ebene ist ein Kreis, für den p, = r; die
Hauptnormale ist in jedem Punkte zu der genannten Projektionsebene
parallel und a = ra = /}; Bomit wird nach (Iß) der Krümmungsradius

der Schraubenlinie in jedem Punkte p =

m

C. HllMW.

Die Aufrißprojektion ist eine Sinuskurve, deren ürürnmungsradius
im Scheitel S" leicht bestimmbar ist Es ist nämlich die Haupt-
normale der Schraubenlinie im entsprechenden Punkte auch zur Auf-
rißebene parallel und der Neigungswinkel der Tangente oder der
Schmiegungsebene gegen die Ebene a = o = 90° — ß. Also wird nach
(I ß) der gesuchte Radius pj = p sin' ß, oder, wenn der soeben ermittelte
Wert von p eingesetzt wird, p t = r tg* ß\ die Konstruktion ist in Fig. 3
eingetragen.

Bei einer Lichtrichtung, die zu der Tangente in einem Punkte
P'P" parallel ißt, wird bekanntlich der Schlagschatten der Schrauben
linie auf die Grundrißebene eine gemeine (gespitzte) Cykloide, deren
Scheitelkrümmungsradius wir noch bestimmen wollen. Zu diesem
Zwecke führen wir eine Ebene E (c n (%) ein, die gegen die Licht-
richtung senkrecht steht. Der projizierende Lichtstrahlencylinder
schneidet diese Ebene in einer Kurve k ef die als gemeinsame ortho-
gonale Projektion der Schraubenlinie und der Cykloide auf die Ebene
E angesehen werden kann. Der Punkt R(R', R") auf der Schrauben-
linie, der dem Scheitel R e der Cykloide entspricht, mag sich in den
Punkt R e der genannten Ebene projizieren; es seien p, p e , p, die
Krümmungsradien der betreffenden Kurven in diesen Punkten. Be-
trachten wir erstens k f alß orthogonale Projektion der Schraubenlinie
auf die Ebene E, so liegt in den entsprechenden Punkten R, R t der
Fall ß) vor; es ist a — a = 90° — 2/3, mithin p, = p-sin* 2ß. Be-
trachten wir zweitens k e als orthogonale Projektion der Cykloide auf
dieselbe Ebene, so liegt in den entsprechenden Punkten R c , R e eben-
falls der Fall ß) vor, wobei c = ra = 90° — ß ist, mithin p e = p e 8in , /J

Also wird

P, ain'Sß r sin* 2

^ "^ Bvn*"p ~~ ^ ' lin' J3 °" cÖb*0 ' sin'/}

was zu ermitteln war.

c) Als weiteres Beispiel leiten wir die Beziehung ab, die zwischen
den Krümmungsradien p und p in entsprechenden Punkten zweier
Kurven k und k ü besteht, von denen die letztere eine Verwandelte der
ersteren ist, d. h. durch Abwickelung einer die Kurve /.- tragenden ab-
wickelbaren Fläche in eine Ebene aus dieser entstanden ist.

Es seien (Fig. 4) CD und DE zwei auf einander folgende Ele-
mente der Kurve k, V und A diejenigen Berührnngsebenen der Fläche,
die diese Elemente bezw. enthalten, und d die Schnittlinie der ge-
genannten Ebenen oder die durch D gehende Erzeugende der Fläche.
Bei der Abwickelung rotiert die Ebene A um die Gerade <7, bis der
in A enthaltene Elementarstreifen der Fläche in die Ebene f gelangt

Ar,

ir Theorie der Krümmung nach den Methoden d. darstellen den Geometrie. 289

t. Dabei gelangt der Punkt E in eine neue Lage E 0) die wegen
>r Kleinheit des Drehungswinkels mit der orthogonalen Projektion
■s Punktes E auf die Ebenu T als zusammenfallend betrachtet werden
um. Es ißt also die Figur CDE mit der Figur zweier auf einander
Igenden Elemente der Kurve k kongruent und zugleich als die ortho-
inale Projektion der entsprechen-
tn Elemente der Kurve k auf die
bene V zu betrachten ; da das eine Ele-
ent in der Projektionsebene selbst
degen ist, liegt der Fall a) vor, und
ir bekommen sogleich nach (I«)

Fl«. 4.

ier ist m der Neigungswinkel

fischen der Berührungsebene der abwickelbaren Fläche und der

:hmiegungsebene (bezw. Ebene) der Kurve k im betreffenden Punkte.

tinter den Anwendungen dieser Formel Bind besonders die folgen-
;n zu bemerken, die sich auf die Einzelwertö o = und cd = 90°
sziehen. Für eine Tangenten flächt ist die Berührungsebene zugleich
.•hmiegungsebene der Gratlinie, also ist für jeden Punkt dieser Kurve
=■ und t? = p, d. h. die Krümmung der Gratlinie bleibt bei der
bwickelung unverändert. — Die Verwandelte einer g&xlätisch"» Linie
uß als Gerade iu jedem Punkt einen Krümmungsradius p = cx> haben,
itbin gibt (II) to = 90°, was für abwickelbare Flächen die Haupt-
genschaft der Geodätischen beweist, daß die Hauptnonnale mit der
lächennormale beständig zusammenfällt. Bei anderen Flächenkurven,
o dieses nur in einzelnen Punkten der Fall sein kann, geben solche
tinkte zu Wendepunkten der Verwandelten Veranlassung.

2, Wir kehren jetzt zu der allgemeinen Formel (I) zurück, welche
ir benutzen wollen, um den Wert des Krümmungsradius in einem
diebigen Punkt einer Ellipse zu ermitteln.

Ein Kreiscylinder mit dem Radius b stehe mit lotrechter Achse
if der Grundrißebene TT und werde von einer Ebene E geschnitten,
e mit TT einen Winkel ra bildet. Die Schnittkurve ist eine Ellipse,

jren Halbachsen a = • und 6 sind. Wir knüpfen an den be-

mnten Dande linschen Satz an, nach welchem zwei in den Kreis-
dinder einbeschriebene Kugeln die Schnittebene E in den Brenn-
mkten der Ellipse, F t und F, berühren. (Fig. 5.) Es Bei P ein
diebiger Punkt der Ellipse und t die Tangente dieser Kurve, sowie
die Mantellinie des Cylinders in demselben Punkte. Die Tangente t

Archiv der Mathematik und Phv.ik. III. Beiha. VI 19

290

C. Hkomam:

^ZL

:>'

■Gt

r--\6>--;..\

:4h

1TL

B

ZA

TT

Fig. 5.

neu
den

ist die Schnittlinie zwischen der Ebene E und der Berührungsebene B
des Cylinders längs »i; diese Ebene B berührt auch die beiden Kugeln
in den Punkten K t und K s bezw. Wenn aber zwei Berührnngsebenen
einer Kugel — wie hier E und B — gegeben sind, so müssen
zwei Geraden, die von irgend einem Punkte der Schnittlinie nach

Berührungspunkten ge-
zogen werden können,
mit dieser Schnittlinie
denselben Winkel ein-
schließen. Hier bilden
demnach die Mantel-
linie PK t und der Leit-
strahl PF Y mit der
Tangente t denselben
Winkel; ebenso die Ge-
raden PK, und PF,.'|
Bezeichnen wir mit tp
den halben Winkel der
Leitstrahlen oder den
Winkel der Ellipsen-
normale mit jedem der
Leitstrahlen, so i st daher
der Winkel zwischen /
und m gleich 90° — <p, und folglich der Neigungswinkel a der Tangente
mit der Projektionsebene TT gleich q>. Der Krümmungsradius y der
Ellipse im Punkte P kann also nach (I) durch die Gleichung bestimmt

, , coa'm , ., 6*

werden b = o , oder weil cos © = — ,

(3)

(J cos a <p =

Das links stehende Produkt ist mithin für alle Punkte derselben Ellip'
konstant und gleich dem Krümmungsradius im Scheitel der Hauptachse
oder gleich der Ordinate im Brennpunkte.

Nachdem diese Beziehung gefunden ist, kann die ganze Reihe be-
kannter Konstruktionen des Krümmungsmittelpunktes durch einfach'
planimetrische Betrachtungen begründet «werden. Die unmittelbare
Konstruktion der Formel (3) nach Fig. G - — wo PK die Normale ist,

PM = -, MN a ± PF U N a R _L PK, RK ± PF lf K der gesucht*

1} Da A", PK t eine Gerade ist, so folgt beiläufig die bekannte EigenschiÄ
der Tangente, daß sie mit den Leitstrahlen PF X , PF t denselben Winkel einschlieft

Flg. 6

'.ur Theorie der Krümmung nach den Methoden d. darstellenden Geometrie. 291

Krümmnngsmittelpunkt — wird durch die Beobachtung vereinfacht,
daß der Punkt N a auf der Hauptachse liegt 1 )- es können demnach

das Absetzen der Strecke PM und das

Ziehen der Geraden MN a unterdrückt y^"^ j^

werden.

Übrigens beschränken wir uns hier auf
die Herleitung eines Satzes, der eine Menge
der fraglichen Konstruktionen — und zwar
die einfachsten — in sich faßt und der bo
ausgesprochen werden kann: Die von den
Achsen legretuiten Abschnitte der Tangente und der Normale werden,
jimer vom Kurvenpunkt, dieser vom Krümmungsmittelpunlä in demsell>en
Verhältnisse geteilt.

Es seien wieder P (Fig. 7) ein beliebiger Punkt der Ellipse, F lr F s
die beiden Brennpunkte. Die Halbierende deB Winkels F x PF t ist die
Normale n, welche die Hauptachse
i*j F t im Punkte N a schneidet und
mit jedem der Leitatrahlen den Winkel
tp bildet. Die gegen n senkrechte
Gerade durch P ist die Tangente i,
welche die Hauptachse im Punkte T a
schneidet. Wir zeichnen noch den
Umkreis des Dreiecks F l PF s ; dieser
Kreis wird von den Geraden t, n
in zwei Punkten T h , N/, bezw. ge-
schnitten, welche die Endpunkte
eines Durchmessers bilden. Wegen
der Bogengleichheit F y N 6 = N b F t

muß jener Durchmesser senkrecht zur Geraden F 1 F t stehen und fällt
daher mit der (verlängerten) Nebenachse der Ellipse zusammen. —
Durch die Geraden N a R J_ PN a und RK ± PH wird der KrümmungB-
mittelpunkt K wie früher auf der Normale bestimmt. Verlängern wir
jetzt N a R, bis sie F s i^ in Q schneidet, so ist die Figur N a N b F t Q wegen

Tx

X

1) In einem beliebigen Dreieck ist die Projektion einer Winkelhalbierenden

auf eine von demselben Eckpunkt ausgehende Seite

/ !

•J,

, wo l die Länge

der Gegenseite, « die Summe der umfangenden Seiten des halbierten Winkels be-
zeichnet. Mit l = F, F t = ai/o 1 - ~b» , s = F t F + PF t = 2a wird demnach die
Projektion der Halbierenden des Winkels F l PF, auT PF, =» — , woraus die Be-
hauptung folgt.

1»*

292

C. Hbrman:

der rechten Winkel bei N a und P, ein Kreisviereck, also <^C N a QN,,
= «£ N a F,N b = «£ P, Pi^ = ^ = «fc N a EK Die Geraden 2V 6 Q und 2? Jf
sind demnach parallel, ebenso die Geraden N a Q und T a T b ; also folgt
N a K:KN m = JV a JR : PQ = T a P:PT ll} was zu beweisen war.

Die einfachen Konstruktionen des Krünimungsmittelpunktes, welche

die Figuren 8 — 13

\A

Fi B . 8—13

mit genügender Dent
lichkeit wiedergeben,
können alle fast ini-
mittelbar auf diesen
Satz zurückgeführt
werden. l )

'•i. Indem wir jetzt
die Orthogonalprojek-
tion verlassen, suchen
wir durch dieselbe Me-
thode wie in 1. einen

Einblick in die Krümmungsbeziehungen zwischen entsprechenden Kurven
bei allgemeineren Projektionsarten zu erhalten.

Es seien zwei Punktsysteme 27 und 27, gegeben, die entweder
beide räumlich oder beide eben oder das erste räumlich, das zweite
eben sein können. Wir betrachten irgend eine Transformation, welche
jeden Punkt deB Systems 27 in einen bestimmten Punkt des Systems Zy
überführt und von der speziellen Art ist, daß jede gerade Punkt-
reihe des ersten Systems in eine ebensolche des zweiten übergeführt
wird. Es folgt dann auch für räumliche Systeme, daß jedes ebene
Punktfeld einem ebensolchen entspricht.

Wenn im Systeme 27 die Gerade g den Punkt P enthält, so mnB
auch in 27 t die entsprechende Gerade #, den entsprechenden Punkt P l
enthalten. Unter dem Linien element (P, g) verstehen wir dann eine
kleine Strecke, die von P ausgeht und von g getragen wird, deren
Länge aber übrigens nach Willkür angenommen werden kann. D«i

1) Die Konstruktionen stammen von Mannheim, Pelz und Geiaenkeim«
hnr. Bezüglich der Beweise bemerken wir, daß in den MitteLfigaren die mit des
Tangente paraUelen Geraden bis zum Schnitt mit der zweiten Achse zu ver-
längern sind; in den Abbildungen rechts findet man leicht ein mit OT PT. (Für .7)
ähnliches Punktgebilde wieder. — Die Konstruktionen werden gewöhnlich aus dm
Stein ersehen Satze gefolgert, daß eine Parabel, welche dem von Tangent.- H
male und Achsen gebildeten Viereck einbeschrieben ist, die Normale im Krio-
uiuugsmittelpunkt berührt. Von diesem Satz kommt man auch sogleich zu den
oben bewiesenen Satz, der aber einfacher und für den Zweck genügend ist

Zur Theorie der Krümmung nach den Methoden d. darstellenden Geometrie. 293

entsprechende Gebilde in E x ist das Linieneleiuent (P,, </,), dessen
Länge von derjenigen der ersten Strecke abhängig ißt. Das Verhältnis
zwischen der Länge der Bildstrecke und derjenigen der erst ange-
nommenen Strecke nähert sich, wenn wir diese unbegrenzt verkleinern,
einem bestimmten Grenzwert A, welchen wir den zu dem Linien-
element (P, tj) gehörigen Längenändemngskoeffizicnten nennen.

Wenn eine Ebene E den Punkt P in 2T enthält, so muß ebenso
auch die entsprechende Ebene E x den entsprechenden Punkt. P t in i",
enthalten. Ist irgend eines der Systeme eben, so kommt als E, bezw.
E,, natürlich nur die Ebene des betreffenden Systems in Betracht. Unter
dem Flächenelement (P, E) verstehen wir dann eine kleine ebene
Fläche, deren begrenzende Kontur in der Ebene E enthalten ist und
den Punkt P einschließt oder durch denselben geht, aber übrigens
nach Willkür angenommen werden kann. Das entsprechende Gebilde
in 27j ist das Flächenelement (P,, E r ), das von der entsprechenden
Kontur in E s begrenzt wird. Wenn wir jetzt die erste Kontur unbe-
grenzt verengern, so nähert sich das Verhältnis zwischen den Inhalten
der in die Elemente (P t , Ej) und (P, E) eingebenden Flächen
einem bestimmten Grenzwert *ü, welchen wir den zu dem Flächen-
element (P, E) gehörigen Fliidttnändernugshnfii zimten nennen.

Es sei jetzt k irgend eine Kurve im Systeme 2, P ein beliebiger
Punkt derselben, t die Tangente und E die Schmiegungsebene der
Kurve in diesem Punkt, sowie k\, P n t x , E t die entsprechenden Ge-
bilde im Systeme £ v Indem wir zwei benachbarte Punkte Q, R auf
der Kurve k annehmen und den Umkreis des Dreiecks PQR, sowie
denjenigen des entsprechenden Dreiecks P, Q t Ji x betrachten, können
wir offenbar denselben Grenzübergang wie in 1, vollführen. Wenn
wir mit p, p 4 die Krümmungsradien der Kurven k, bezw. Ä-, in den
Punkten P, bezw. P, bezeichnen, so leuchtet ein, daß wir durch das
genannte Verfahren zu der Beziehung

(DJ)

pi = e

geführt werden, wo X den zum Linienelement (P, t) gehörigen Längen-
änderungskoeftizienten, ij den zum Flächenelement (P, E) gehörigen
Flächenänderungskoefnzienten bezeichnet Die Krümmungsänderung
ist also von den Gesetzen für die Längen- und Flächenänderungen in
einfacher Art abhängig.

Dieser allgemeine Ansatz ist, bei der oben gemachten Beschränkung,
für die Reliefperspektive, die Zeutralprojektion und die Parallelprojektion
jowie für die allgemeineren kollinearen oder afhnen Verwandtschaften

zwischen räumlichen oder ebenen Systemen verwertbar. Wir führen ihn
hier für einige spezielle Fälle weiter aus.

Bei allgemeiner (schiefer) Parafldprojektion ist die Längen-
änderung für ein Linieueleinent (P, g) nur von der tragenden Geraden g,
nicht Ton der speziellen Lage des Punktes P in derselben abhängig.
Wenn y und y t die Winkel der entsprechenden Geraden g und g x mit
der Richtung der Projektionsstrahlen bezw. be-
liehnen, so ist nach Fig. 14 1\ Q s sin y 1 = PQsin y,
und der LängenänderungakoefTfizient für das Linien-
element (P, g) demnach

W A ~ PQ "siny,

— Ebenso ist die Flächenänderung für alle Punkt«
derselben Ebene konstant. Zwei entsprechende
Flücheneleniente (P, E), (P u E,) haben auf eine
gegen die Richtung der Projektionsstrahlen senk-
rechte Ebene dieselbe orthogonale Projektion, d. h. es
ist A&mt = ^sin*!, wenn wir mit £, f, die Winkel der Ebenen E.
bezw, Ej gegen die Projektionsrichtung und mit A, A t die Inhalte der
Flächenelemente bezeichnen. Der zu dem Flächenelement (P, E) ge-
hörige Flächenändenmgskoeffizient wird demnach

Fig. 14.

(5)

sin f
-in t.

Die Formel (IDT) gibt dann nach (4) und (5)

ft

Hiry Bin e,

8in°j' 1 sin«
p t sin a y, (> sin'/

«in f.

sin*

Von dieser Formel ist (I) in 1. ein spezieller Fall, der für
Yl = £ , = 90° eintritt, weü dann y = 90° - a, e = 90° - a wird. 1 )

Bei Zcntraiprojcktion ist sowohl die Längen- wie die Flächen-
änderung nicht nur von der tragenden Geraden, bezw. Ebene, sondern
auch von der speziellen Lage des Punktes abhängig. Es seien das
Projektionszentrum, (P, g) und (P,, g^ zwei entsprechende Luüen-

1) Andererseits kann — wie wir in 1 b) bei einem speziellen Beispiele pf
zeigt haben — daB fragliche Problem bei der schiefen Projektion, durcli Ein
schieben einer gegen die ProjektionBriichtung senkrechten Ebene, in jedem Tor-
liegenden Fall mit der für die Orthogonalprojektion aufgestellton Formel (I)
erledigt werden.

Zur Theorie der Krümmung nach den Methoden d. darstellenden Geometrie. 295

eleinente und y, y x die Winkel der Geraden //, bezw. tj u mit dem Pro-
jektionsstrahle OPP l (Fig. 15). Durch einen benachbarten Strahl
OQQi, der mit dem ersten den kleinen
Winkel u einschließt, wird ein zweites Paar q

entsprechender Punkte Q, Q v bestimmt. Weil

P t Q t : 0P t = sin a : sin (y x -f a),
PQ.OP = sin « : sin (y + «) ,
so folgt

!'<<> ' OP' sm(y,+«)

J?i

7i

Fig. 15.

Wenn « gegen Null konvergiert., geht das
links stehende Verhältnis in den zum Linienelemente (P, g) gehörigen
Längenänderungskoeffizienten über, der also den Wert

jP, flhi y

O P sin y,

bekommt.

Um jetzt auch das Gesetz für die Flächenändemng abzuleiten,
betrachten wir zwei entsprechende Flächenelemente (P, E), (P 15 Ej).
Es sei s (Fig. 16) die Schnittlinie der beiden Ebenen E und E,, A
dir durch gelegte gegen s
senkrechte Ebene, welche E
und Ej in den Geraden d, bezw.
r/, schneide. In der Ebene A
ziehen wir die durch gehen-
den, mit rfj und d parallelen
Geraden, welche E, Ej in den
Punkten V, bezvv. V schneiden.
Als Grundfigur in der Ebene E
nehmen wir ein kleines Rechteck
an, dessen Seiten zu 6" parallel
und senkrecht sind. Die ent-
sprechende Figur in Ej ist ein
Paralleltrapez, in welchem zwei

Seiten mit s parallel sind, während die anderen zwei nach dem
Punkte V gerichtet Bind. Wegen der kleinen Dimensionen kann
das Trapez hinsichtlich der Inhaltsberechnung als Parallelogramm be-
trachtet werden. Der gesuchte Flächenänderungskoeffizient ij ist dann
als Produkt zweier Längenänderungskoeffizienten X' und X" gebildet,
von denen X' die Änderung der mit s parallelen Grundseite, X" die-
jenige der gegen s senkrechten Höhendimensionen angibt. Weil die

Fig 1«

296

C. IIkmian:

beiden Grundseiten in E und E t parallel sind, ist sogleich uach (8)

— Die Höhen der Figuren sind die Abschnitte, welche durch Ver-
längerung der parallelen Seiten auf d und r/j bestimmt werden; wenn
der Schnittpunkt zwischen d und der durch P gehenden Grundseite
mit N bezeichnet wird, so ist demnach l" der zu dem Linienelemente
(N, d) gehörige Längenänderungskoeffizient. Also folgt nach (6)

ON, sin ONV

k" =

Eh ist aber

ON «in ON t V

ein ONV

ünON, V

ON,

ON

mitbin

i »_(ON 1 \* OV
\0N! ' V >

oder weil 0N V : ON = 0P 1 : OP,

\0P) ' ÖV

Der gesuchte Flächenänderungakoernzient wird demnach
CO

-»•r- (»y

ov

OV'

Die Längen OV, OV haben eine einfache Bedeutung; sie sind
nämlich die Abstände deB Zentrums von den Geraden v t v' r welche
— als Schnittlinien der Ebenen E, E t mit den durch gelegten
Parallelebenen — in dem gegenseitigen Entsprechen der beiden Ebenen
als „VerschwindungBlinien" oder Bilder der unendlich fernen Geraden
auftreten. Anstatt dieser Längen können wir auch die senkrechten
Abstände c, e t des Zentrums von deu Ebenen E, Ej einführen, weil
OV : OK'=e:f,; also wird auch

(7 a)

Werden die gefundenen Werte von A und jj nach (ti) und (7«)
in die Formel (IQ) eingesetzt, so heben sich die Kuben des Ver-
hältnisses 0P 1 : OP gegenseitig auf, und es ergibt sich

was wir so schreiben:
00

ein'y e
"l " sin' y, e, '

y t ain' y, p sin* y

Zur Theorie der Krümmung nach den Methoden d. darstellenden Geometrie. 297

In dieser Formel bezeichnet nach, obigem y den Winkel zwischen
ProjektionBBtrahl und Kurventangeute, e den senkrechten Abstand des
Projektionszentrums von der Schmiegungsebene (bezw. Ebene) der Kurve k.
Zufolge ihrer Ableitung ist die Formel gültig für die Abbildung eines
räumlichen Systems im Räume durch Reliefperspektive oder für die
Abbildung eines räumlichen Systems auf eine Ebene durch Zentrat-
projektion, oder endlich für die ebenfalls durch Zentralprojektion ver-
mittelte Abbildung eines ebenen Systems auf eine Ebene, die mit
derjenigen des Originalsystems nicht zusammenfällt. 1 )

Ein besonders einfaches Beispiel für die Anwendung der Formel (V)
bieten die Kurven auf einem Umdrehungskegel, da der Kreisschnitt
als Zentralprojektion einer jeden solchen Kurve für die Kegelspitze
als Zentrum betrachtet werden kann. Ist ft der konstante Winkel
zwischen der Mantellinie und der Achse des Kegels, so hat der im
Abstand h von der Spitze geführte KreiBschuitt den Radius r = hlgfi.
Es ist dann pj = r , f t — 90°, ^ = h ; also folgt für jede Kegelkurve

(8)

(«a r

-X-fcf,

wo y den Winkel zwischen Mantellinie und Kurventangente , e den
senkrechten Abstand der Spitze von der Schmiegungsebene (bezw.
Ebene) bedeutet. Für die ebenen Schnitte des Umdrehungskegels
ziehen wir noch den Dandelin sehen Satz herbei, nach welchem die
Brennpunkte des Kegelschnittes durch berührende Kugeln bestimmt
werden können. Wir finden dann sofort — und zwar durch dieselben
Schlüsse wie für den Zylinder in 2. — daß der Winkel zwischen
Tangente und Leitstrahl auch gleich y ist. Es ist also y = 90° — <p y
wenn <p wieder den halben Winkel zwischen den Leitstrahlen bezeichnet,
und wir bekommen aus (8)

p cos 3 tp = etgfi.

Das ÜnkB stehende Produkt ist somit wie für die EllipBe auch für
jeden Kegelschnitt konstant; aus dieser Beziehung können die Kon-
struktionen des Krümmungsmittelpunktea für die Hyperbel und die
Parabel in analoger Art abgeleitet werden, wovon wir jedoch hier ab-
stehen.

Wir wollen noch die Verhältnisse bei der geodätischen Linie des-
selben Kegels kurz erwähnen. Es sei P ein behebiger Punkt dieser

1) Bei der zentriachen Kollincation zwischen zwei in derselben Ebene ver-
einigten Systemen bleibt die Formel noch gültig, wenn e, p, gegen die oben defi-
nierten Längen OV, OV vertauscht werden, welche in diesem Falle noch ihre
Bedeutung behalten.

298

0. Heumak:

Kurve; m die Länge der Mantellinie von der Spitze O bis P Die
Schmiegungsebene E der Kurve steht senkrecht zur Berührungsebene
des Kegels; die von auf E gefällte Senkrechte muß daher ihren
Fußpunkt auf der Tangente haben. Dann wird aber, wie die Ab-
wickelung sogleich zeigt, der Abstand e der Spitze von der
Schmiegungsebene = m sin y und für jeden Punkt konstant, nämlich
gleich der Länge, die in der Abwickelung den Abstand der Spitze
von der als Verwandelte auftretenden Geraden mißt. Bisher gelten dk
Entwickelungen für jede Kegelfläche. Für den Unidrehungskegel

* ibt < 8 > tg, ,

p = =f -m»,

d. h. p variiert proportional dem Kubus der Mantellinienlänt"' ■>
die übrigen Größen konstant sind. In dem Scheitel wird m = e und
p = m tg ft.

4, In den Formeln (IV) und (V) des vorigen Paragraphen sind
zwei flächentheoretische Sätze enthalten, die wir noch besonders hervor-
heben wollen. Dieselben erledigen nämlich für einige wichtige Flächen-
familien die Frage, wie die Eigenschaften der Fläche die Krümmung
ehr Kurven beeinflussen, die auf ihr durch Scftiwiden mit anderen
Flächen bestimmt werden können.

Um die Sätze einfacher aussprechen zu können, führen wir die
folgenden Benennungen ein. Unter dem Kriimmungsmodul in einem
Punkt P einer Kurve bezüglich einer festen Richtung verstehen wir die

Größe ^s — y , wo p der Krümmungsradius der Kurve in P ist, während

y den Winkel der Kurventangen te r a denjenigen der Schmiegungseben*
(bezw. Ebene) der Kurve mit der festen Richtung bezeichnen. — Unter
dem Kriimmungsmodul in einem Punkt P einer Kurve bezüglich eints

festen Punktes verstehen wir die Größe

p sin a y

wo p wieder d«

Krümmungsradius der Kurve ist, während y den Winkel zwischen der
Kurven tangente und dein Strahl OP t e den senkrechten Abstand des
Punktes O von der Schmiegungsebene (bezw. Ebene) der Kurve be-
zeichnen.

Nach den Formeln (IV) und (V) gelten dann die folgenden Sitz«:
Der Kriimmungsmodul in den verschiedenen Punkten einer Kmr
bezüglich einer festen Richtung wird durch Parallelprojektion in diaer
Richtung niefd verändert.

Der Kriimmungsmodul in dm verschiedenen Punkten einer Ktuv
bezüglich eines festen Punktes wird durch Zentralprojektion von dtestm
Punkte aus nicht verändert.

Zur Theorie der Krümmung nach den Methoden d. darstellenden Geometrie. 299

Weil aber dabei die projizierenden Strahlen allgemeine Zylinder-,
bezw. KegelHikhen erzeugen, bekommen wir die folgenden Sätze:

Bei einer beliebigen Cylinderflächc haben die Krümmungsmoduln be-
züglich der Richtung der Erzeugenden in Punkten derselben hlantdlinic
für alle auf der Fläche liegenden Kurven stets denselben Wert u.

Bei einer beliebigen Kegel fläclie haben die Kribnmungsmodtdn be-
züglich der Spitze des Kegels in Punkten derselben Mantellinie für alle
auf der Fläche liegenden Kurven stets denselben Wert u.

Wir betrachten auch eine abwickelbare Fläche allgemeiner Art.
die von den Tangenten einer Kurve doppelter Krümmung erzeugt wird.
Eb sei g diese Kurve oder die Gratlinie der Fläche, ein beliebiger
Punkt auf g und t die Tangente daselbst, die eine Erzeugende der
Fläche ist. Wir nehmen als Spitze eines „Richtungskegels", dessen
ManteEinien zu den einzelnen Erzeugenden der Fläche bezw. parallel
sind. Der Kegel und die Fläche haben die Erzeugende t gemein; die
beiden Elementarstreifen der Fläche, welche an t anstoßen, können
auch als dem Kegel zugehörig betrachtet werden, weil die entsprechenden
Elementarstreifen des Kegels mit jenen kongruent sind und einen
Winkel einschließen, der auch gegen den Winkel der Erzeugenden un
endlich klein ist. Mithin oskulieren sich die Flächen längs der Ge-
raden r, d. h. eine beliebige Ebene schneidet aus den beiden Flächen
zwei Kurven aus, die in dem auf t liegenden gemeinschaftlichen Punkt
dieselbe Krümmung aufweisen. 1 ) Es muß dann auch der Satz gelten:

Bei einer allgemeinen abtviekelbaren Fliidte haben die Krümmungs-
moduln bezüglich eines Punktes der Gratlinie in Punkten der durch
geltenden Erzeugetiden für alle auf der Fläclie liegenden Km-ven stets den-
selben Wert m.

In diesem Sinne gelten also die Gleichungen:

(VI) für Cylinderflächen ^^ = u,

(VU)

für die übrigen abwickelbaren Flächen - = *.

1) Man könnte auch die abwickelbare Fläche mit einem anderen Kegel ver-
gleichen, demjenigen nämlich, welcher ans die Gratlinie projiziert, d. h. den
Punkt O ab Spitze hat und die Kurve g enthält. Dieser Kegel hat freilich mit
der Fläche die Berührungsebene längs t gemein, welche die SchmiegungBebene
der Gratlinie in ist; entsprechende Elementarstreifen sind aber nicht kongruent,
und die Flächen oskulieren sich auch nicht. Vielmehr haben zwei Kurven, die
von derselben Ebene aus dem Kegel und aus der Fläche ausgeschnitten werden,
in dem gemeinsamen Punkt auf ( Krümmungsradien, die sich wie 3:4 verhalten
(Siehe die nachstehende Mitteilung: Über einige Krümm ungseigenachaften etc.)

300

C. Heumam:

Den Wert u wollen wir in den verschiedenen Fällen den Krüm-
muriffsmodtd der Fläche längs der betreffenden Mantellinie nennen.
Derselbe ist vollständig bestimmt, wenn man in irgend einem Punkte P
auf der Mantellinie die Krümmung einer auf der Fläche liegenden,
dnrch diesen Punkt gehenden Kurve kennt. Es Legt am nächsten, den
Hanptschnitt in P zu betrachten, d. h. diejenige Kurve, die von einer
durch P gelegten, zur Mantellinie senkrechten Ebene ausgeschnitten
wird. Wir bezeichnen mit r den Krümmungsradius dieser Kurve in P.
Bei einer Cylinderfläche wird dann schlechthin u = k, bei den übrigen

Flächen u = - , wenn m die Länge der Mantellinie von P bis zur

Spitze des Kegels, bezw. zu dem Berührungspunkte auf der Gratlinie
bezeichnet. Bei besonderen Flächen kann es einfacher sein, andere
Schnitte zu betrachten, z. B. bei dem Unidrehungskegel den Kreis-
Bchnitt, wobei man — wie in (8) 3. — rindet, daß m für die ganze
Fläche konstant ist, und zwar jr = tgu, wenn u den Winkel zwischen
Mantellinie und Achse bezeichnet. Dieselbe Eigenschaft muß auch
denjenigen abwickelbaren Flächen zukommen, deren Richtungskegel
ITmdrehungskegel sind; es sind diese die abwickelbaren Schrauben
flächen, deren Gratlinien beliebige Schraubenlinien, d. h. geodätische
Linien auf beliebigen Cylinderflächen sind. Bei diesen Flächen bekommt
dann u in jedem Punkte denselben Wert cotß, wo ß der Winkel
zwischen den Erzeugenden der Fläche und der Haupt schnittebene der
zugehörigen Cylinderfläche ist.

Die Krümmungseigenschaften einer abwickelbaren Fläche sind als
bekannt anzusehen, wenn der Wert des Krümmnngsmoduls für jede
Mantellinie gegeben ist. Dieses vorausgesetzt, wird die Krümmung
einer Flächeukurve in irgend einem Punkte von der Richtung der
Tangente und der Schmiegungsebene bestimmt. Um die Verhältnisse
besser zu übersehen, können wir die Ausdrücke für den Krummungs-
modul in eine andere Form bringen.

Die Lage der Schmiegungsebene E einer durch den Punkt P
gehenden Flächenkurve k in diesem Punkte kann durch zwei Winkel
bestimmt werden, und zwar 1) den Winkel y zwischen der Kurven-
tangente und der durch P gehenden Erzeugenden, 2) den Winkel v
zwischen E und der Flächennormale in P, oder zwischen E und der
Ebene desjenigen Normalschnitts, der mit k gemeinschaftliche Tangent*
hat. Ist die Spitze des Kegels, bezw. der Berührungspunkt der
Erzeugenden mit der Gratlinie', und bezeichnen wir wieder mit »t die
Länge, der Mantellinie OP, so hat OP auf diejenige Richtung, die in
der Berührungsebene der Fläche senkrecht zur Kurventangente steht,

Zur Theorie der Krümmung nach den Methoden d. darstellenden Geometrie. 301

die Projektion m sin y, also auf die zur Schrniegungsebene senkrechte
Richtung die Projektion m sin y cos v, was also gleich e ist. Bei einer
Cylinderfläche ist sin e die Projektion einer auf der Mantellinie abge-
tragenen EinheitsHtrecke auf die zur Schmiegungsebene senkrechte
Richtung, was für m — 1 aus dem vorigen Ausdruck fließt, also
sin e = sin y cos v. Infolgedessen erhalten wir aus (VI) und (VII)

ff sin 1 /

für Cylinderflächen

für übrige abwickelbare Flächen

= M,

p8in')>

w cos v

Aus diesen Formeln ziehen wir unmittelbar folgende Schlüsse:

1) Beim Vergleich verschiedener Schnitte durch denselben Punkt
und mit derselben Tangente, unter denen der Normalschnitt {y = 0)

mit dem Krümmungsradius p„ auftritt, finden wir = ?«• Di es ü>t

der Meuniersche Satz.

2) Beim Vergleich verschiedener Normalschnitte (v = 0) durch
denselben Punkt, unter denen der Hauptschnitt (y = 90°) mit dem
Krümmungsradius « auftritt, finden wir p a sin*y=/i. Dies ist der

für die abwickelbaren Flächen spezinlisierte Eulersche Satz.

3) Beim Vergleich verschiedener Hauptachnitte durch Punkte längs
derselben Mantelliuie finden wir

für die Cylinderfläche r = const.,

für die übrigen abwickelbaren Flächen — = const

Wir sehen somit, daß der gemachte Ansatz ausreicht, um die
Krümmungsverhältnisse bei allen abwickelbaren Flächen vollständig zu
erledigen, womit wir hier abbrechen.

Stockholm, 25. Oktober 1902.

302

('. Hei'MA«:

Über einige Mmmnngseigenschaften bei abwickelbaren
Flächen nnd bei Kegelknrven.

Von C. Heuman in Stockholm.

Wir betrachten eine allgemeine abwickelbare Fläche F; es sei g
die Gratlinie derselben, ein Punkt auf g, t die Tangente dasell^t,
welche eine Erzeugende von F ist, und P ein Punkt auf t\ der
Abstand OP werde mit m bezeichnet. Durch P gehe eine beliebige
Flächenkurve k, deren Tangente in P mit ÖP den Winkel y ein-
schließt und deren Schmiegungsebene daselbst von den senkrechten
Abstand e hat. Es sei p der Krümmungsradius von k in P. lu
dem vorigen Aufsätze habe ich auf geometrischem Wege bewiesen,
daß die Größe

(!) Ä_.

für alle durch P gehenden Fläehenkurven konstant ist und auch von
der Lage des Punktes P auf t unabhängig; ich nenne u den Kriim-
mungsmothtl der Fläche längs der Erzeugenden (. Übrigens kann der
Ausdruck (1) in eine andere Form gebracht werden, wodurch der Zu-
sammenhang mit bekannten Flächensätzen zum Vorschein kommt. Be-
zeichnen wir nämlich mit v den Winkel zwischen der Schmiegungf-
ebene der Kurve k in P und der Flächennonnale daselbst, so i<t
e — m sin y cos v, mithin wird (1)

(2)

P sin* y

m rrtu v

In dieser Form erkennt man eine Zusammenfassung des Eulerschen
und des Meunierschen Satzes mit dem Satze von der nomothetischen
Änderung des Krümmungsradius in parallelen Schnittten längs derselben
Erzeugenden.

Eine gegen ( senkrechte Ebene in P schneidet den Hauptschnitt
Jc m in diesem Punkte auß. Ist r der Krümmungsradius von k m in P,
so gibt (1) oder (2)

(3)

M =

wird also OP oder m gleich 1 gewählt, so wird schlechthin #=**
— Wir bezeichnen noch mit p , t den Krümmungs-, bezw. Torsions

Über einige KrüinmungseigenBchaften Lei all wickelbaren Flächen etc. 303
radius von g in 0; wählt man dann m = p„, so findet man leicht, daß

•ha

(4)

Pa

ist Für den im Abstand p gelegttii llniiptschnitt k^ ist nämlich
das Bogenelement gleich dem Produkt von p mit dem Winkel zweier
unendlich benachbarten Erzeugenden oder dem Kontingenzwinkel von g,
also gleich dem Bogenelement ds von g in 0. Dagegen ist der Kon-
tingenzwinkel von kf, n in P gleich dem Winkel zweier unendlich be-
nachbarten Berührungsebenen von F oder Schmiegungsebenen von g,

da
d. h. = —5. . Durch Division erhält man r = r n .

Für eine Kegelfläche gilt obiger Satz (1) unverändert ; die Grat-
linie schrumpft zu einem Punkte 0, der Spitze des Kegels, zusammen.
Bei dem Umdrehungskegel findet man durch Betrachtung des Kreis-
schnittes, sofort nach (1) m = tg jtt, wo p den Winkel zwischen Mantel-
linie und Achse bedeutet.

Kehren wir zur Fläche F zurück. Wird als Spitze eines
RicJitungskegels K r angenommen, so oskulieren sich die Flächen F und
K r längs t; es hat demnach auch für K r der Krümmungsmodul längs /

den Wert — • Die Form von K r ist von der Lage der Spitze unab-
hängig; die Krümmungsmoduhi sind daher für F und K r überall längs
entsprechenden Erzeugenden einander gleich. — In dem besonderen
Falle, wenn g eine Schraubenlinie (allgemeiner Art) ist, wird K r ein
Umdrehungskegel; also ist der Krümmungsmodui für K T und Bodann
auch für F überall konstant und = tg fi, wenn u der Winkel zwischen
den Tangenten der Schraubenlinie und den Mantellinien der tragenden
Cyiinderfläche ist; denn die Mantellinien und die Achse von K r schließen

auch dießen Winkel ein. Somit ist nach (4) — in jedem Punkte

der Gratlinie konstant und = tg p\ auf solche Art kann demnach auch
diese bekannte Eigenschaft der Schraubenlinien hergeleitet werden.

Wir wollen noch die Fläche F mit einer anderen Kegelfiäche ver-
gleichen, dem Prqjektionskegel K p , welcher mit als Spitze die Grat-
linie g enthält. Dieser Kegel hat auch t als Mantellinie und längs
derselben die BerührungBebene mit F gemein; wir wollen den Wert
m des Krümmungsmoduls für K p längs t ableiten. Zu diesem Zwecke
nehmen wir auf g einen zu benachbarten Punkt P an; die Werte
von p, y und e bezüglich der Flächenkurve g in dem Punkte P be-
stimmen nach (1) den Wert von M p längs ÖP und durch Grenzüber-
gang längs t. Es sei h der kleine Bogeuabstand PO; die Projektionen

304

C. Hkimah:

der Strecke PO auf die Tangente, die Hauptnonnale und die Binormale
von g in P Beien 7^, A s , h s bezw. Diese Größen können in Potenz
reihen nach h entwickelt werden, die mit den Gliedern

bezw. anfangen (r der Torsionsradius von g in P). Für die Pro-
jektion y des Winkele y auf die Schmiegungaebene in P gilt

tg y = r 1 = — ± etc; wegen der Kleinheit von A s ist aber y von y,
and sin y von tg y nicht sehr verschieden, sodaß die Entwickelang
von sin y auch mit dem Gliede — beginnen muß. Weil e schlecht-
hin = h s ist, bekommen wir

Bin" 7

= fö± etc -] : [iT± etc ]-^± etc -

1^^^ = ^ = ^=

'Po

Der Krümmungsmodul von K p längs t ist also \ von dem Werte des
Krümmnngsmoduls der Flächen K, und F längs derselben Erzeugenden.
Weil die Kurve g beliebig angenommen werden kann, ist damit
auch folgender Satz bewiesen: Wenn eine, auf einer beliebigen Kegel-
fläche liegende Kurve g durch die Spitze geht, so ist das Verhältnis

- für die Kurve g in gleich * von dem Wert des Krümmungsmoduh du

Kegelfläche längs derjenigen Mantellinie, die g in berührt. SpezieU
kommt: Für eine Kurve auf einem Umdreltungslcegel , die durch die
Kegelspitze geht, ist das Verhältnis — daselbst = }tgji, wenn p drn

Winkel zwischen Mantellinie und Acfise bezcicfinet.

Um dies auch durch Rechnung nachzuweisen, schreiben wir die
Gleichungen einer beliebigen Kegelfläche in der Form

«!«, y = *,v, z = a a v,

(6)

wo a,, a,, of a drei Funktionen eines Parameters u sind, welche die Be-
dingung Ea* = 1 erfüllen mögen. Wir können dann u { als die Rich-
tungskosinus der Tangente einer Hilfskurve deuten, deren Bogenlänge
n ist. Bezeichnen wir die KichtungskosinuB der Hauptnormale, bei-
der Binormale derselben Kurve mit ß i} bezw. y i} sowie den Krümniangs
und Torsionsradius mit q und t bezw., bo bekommen wir aus (6)

*« = ßf->

x"

-«T

f

Xu = üf| f

v a d f\\ v ,,

ß>

aC# = 0,

Über einige Krflnunnngseigenschaften bei abwickelbaren Flachen etc. 305
wonach die Fundamentalgroßen der Kegelfläche die Werte bekommen
*-£, F=0, G = \,

9*'

und der Hauptkrümmungsradius

M=N=0

E -,- r

also weil v die Lange der Mantellinie ist
Krümmungsmodul u =

— Eine Kurve auf der Kegelfläche wird durch die Annahme v = f(u)
festgestellt. Wenn wir die Differentiation nach « mit Accenten an-
deuten, bekommen wir aus (6):

.»-.(."-^A^-t.)-,,.!,
x'" = «i •?>! + A -qp» + y, (- 3^; + %•»),

wo die <p Funktionen von h bezeichnen, die für v = endlich bleiben.
Mithin wird für die Kegelspitze oder v =

Ex

'»

,'«•

* y *

k" y" *"

4.^; |*V*'"| 6.^

Die Radien p t , r k der Kurve Je bekommen also daselbst die Werte
mithin wird

I T

s->

was zu beweisen war.

Stockholm, 25. Oktober 1902.

Archiv dar Mathematik nnd Phyiik HI. Eaihe. VI.

20

Rezensionen.

E. Mach. Die Prinzipien der Wärmelehre. Historisch kritisch nit
wickelt. 2. Auflage, Leipzig 1900, J. A. Barth. XII u. 484 S. gr. 8°

Seiner Mechanik hatte Mach die Wärmelehre folgen lassen, derrn
zweite, nicht wesentlich veränderte Auflage erfreulicherweise schon nach
wenigen Jahren nötig wurde.

Anlage und Durchführung deB Buches entsprechen ganz seinem der
Mechanik gewidmeten Vorgänger. Die historisch-kritische Darstellung gibt
den Entwickelungsgang der Wärmelehre, und zwar ebenfalls in der Absicht,
den physikalischen Inhalt des behandelten Gebietes herauszuheben, ohne das
Eingehen auf rein mathematische Stoffe zu vermeiden, namentlich solcher,
zu deren Ausbildung gerade physikalische Probleme Anlaß gegeben bähen.

Wie in allen Machscben Schriften, so hier besonders in der Wanne-
lehre tritt die vornehme, ausgeprägte Persönlichkeit des Verfassers wohl-
tuend hervor, wozu vermehrter Anlaß gegeben ist durch die umfangreichere
Berücksichtigung von erkenntnistheoretischen Fragen, die nicht nur wie in
der Mechanik eingeflochten sind, sondern zum Teil in besonderen Kapiteln
behandelt. Der Verfasser will damit diese Erörterungen solchen Physikern
ersparen, die derartige Lektüre nicht lieben. Diese Erleichterung, gewisse
Teile auszuschalten, ist allerdings in mancher Hinsicht zu bedauern. Denn
die leider wohl große Zahl derjenigen zu vermindern, die einer vertieften
Betrachtung der Dinge abgeneigt sind, müssen gerade die Machscben Dar
legungen ganz besonders geeignet erscheinen.

Der Verfasser beschränkt den physikalischen Inhalt seines Buches auf
die Entwickelung der Prinzipjen, gibt also nicht etwa einen bis auf die
Gegenwart fortgeführten Bericht selbst nur des Wichtigeren. Gar nicht
aufgenommen sind die mechanische Gastheorie und die Thermochemie. Die
Gliederung des Inhaltes ergibt sich im übrigen bei einer vornehmlieb
historischen Darstellung in den Hauptzügen von selbst. Demgemäß ist
zunächst die Thermometrie besprochen, darauf die Warmeverbreitung, die
Kalorimetrie und die Thermodynamik. Schon der erste Abschnitt hat in
unserer physikalischen Buchliteratur reichlich Gelegenheit reinigend zu wirken,
denn die Begriffe der Temperatur und der Temperaturskala pflegen in den
Lehrbüchern gemeinhin nicht mit der erforderlichen Sorgfalt behandelt ff>
werden. So versetzen auch bessere den noch unkundigen Leser durch die
Art der Darstellung leicht in den Glauben, daß dem Gasthermometer von
vornherein die Eigenschaft beiwohne, die „wahre" Temperatur zu zeigen-
Unverkennbar besteht ja hinsichtlich des Begriffes der Temperatur bei dem
jetzigen Aufbau der Wärmelehre die Schwierigkeit, daß er schon im Anfang*

Rezensionen.

301

eingeführt werden muß and sozusagen erst zuletzt genau definiert werden
kann. Wie diese Schwierigkeit zu überwinden ist durch Hinweis auf die
zunächst bestehenden Zweifel, ohne dabei aber den Baugrund für das Folgende
ganz unsicher zu machen, dazu bietet die Mariische Darstellung die beste
Anleitung.

»Wie sich der Verfasser in seiner Mechanik veranlaßt sah, gelegentlich
der Besprechung der formellen Entwicklung der Mechanik die Grundzüge
der Variationsrechnung zu behandeln, so gibt ihm hier die Lehre von der
Wanneleitung Gelegenheit, auf das Wesen der partiellen Differentialgleichungen
einzugehen, im Zusammenhange mit der Four versehen Theorie, nachdem
er in einem Kapitel vorher ( ( ,das Continuum") in gewissem Sinne eine
Einleitung dazu gegeben. Die Darstellungsweise entfernt sich dabei wie im
ganzen Buche betrachtlich vom Schulniäßigen und wird manchen Physiker
nnd Techniker bedauern lassen, daß der Verfasser solche Exkurse ins Gebiet
der reinen Mathematik natürlich nicht oft machen kann.

»In deu folgenden Kapiteln ist die Entwickelung der Vorstellungen
gegeben, die den Begriff der spezifischen Wärme und der Wärmemenge ent-
halten. Die Anlage des Werkes ergibt von selbst, daß hier manche Einzel-
heiten behandelt sind, die man jetzt gewöhnt ist in systematischen Dar-
stellungen der Thermodynamik zu finden, so deu Überströmungaversuch von
Gay-Lussac, die Bestimmung des Verhältnisses der spezifischen Wärmen
der Gase nach Clement und Desormes, die Laplace-Poissonsche
Gleichung u. a. m. Da dieselben Abschnitte auch die Entwickelung der
Kenntnisse von der Verdampfungs- und Schmelzwärme enthalten, so erscheinen
sie etwas knapp gegenüber anderen Teilen. Mit besonderer Liebe sind die
Verdienste von Black hervorgehoben, der wenigstens deutschen Lesern wenig
bekannt ist und der, dauernd als vielbeschäftigter Arzt tütig, hinsichtlich
verspäteter Anerkennung seiner physikalischen Leistungen manche Ähnlich-
keit mit seinem engeren Fachgenossen Robert Mayer aufweist.

Die vorgehende Betrachtung der Erkenntnisse, die tatsächlich schon
vor der Ausbildung der Thermodynamik vorhanden waren, läßt diese schon
in der äußeren Gruppierung übersichtlicher erscheinen und regt Bedenken
an, ob nicht überhaupt deren systematische Behandlung von andern Schrift-
stellern zu früh bevorzugt ist, und nicht besser der Anschluß an die historische
Entwickelung wenigstens noch für lange Zeit allgemeiner hätte beibehalten
werden sollen. Das soll hier rein praktisch gemeint sein, insofern als Ziel
der Darstellung die Mitteilung des physikalischen Inhaltes der Thermo-
dynamik verstanden wird. Denn die allgemeinere Verbreitung der thermo-
dynamischen Lehren, die über die elementarsten hinausgehen, ist selbst hinter
bescheidenen Wünschen zurückgeblieben. An diesem unerfreulichen Zustande
wird allerdings mehr noch als die Gruppierung des Stoffes die meist beliebte
Darstellungsweise die Schuld tragen. Die formale mathematische Behandlung
hat nur für den Leser einen Sinn, der den physikalischen Inhalt übersieht.
In diesen durch mathematische Operationen wirklich einzuführen wird erst
möglich sein, „wenn einst die Wissenschaft vollendet sein wird", um mit
Helmholtz zu reden. Man braucht andererseits nicht in das andere Extrem
;u verfallen, wie Moutier in seiner Thennodynamiquc, der den Gebrauch
er formalen Mathematik radikal ausschließt; denn diese ist doch wieder
zu wertvolles Hilfsmittel, und der grundsätzliche Verzicht, auf sie hat

20*

308

Rezensionen.

nur schwerfällige Künsteleien and Beschränkungen znr Folge. Die einfache,
klare, in jeder Hinsicht vorbildliche Darstellung Machs von der physikalischen
Thermodynamik wird hoffentlich nach ihrem Werte gewürdigt und berück-
sichtigt werden. Sie nimmt naturgemäß einen breiten Raum des Werke»
ein, und doch wird der Leser bedauern, sie nicht noch tun einen Abschnitt
ähnlich wie „die weitere Verwendung der Prinzipien" in der „Me<
des Verfassers vermehrt zu sehen. Die Anwendung der Prinzipien auf die
Dampfe wenigstens wird ungern vermißt werden. Auch würde mancher
Leser vielleicht ein ausführlicheres Eingehen auf den in weiteren Kreisen
bis jetzt mehr dem Worte als dem Sinne nach bekannten Begriff der „Entropie"
gewünscht haben. Wohltuend berührt die Art, wie der Verfasser auf diesem
für eine historische Darstellung immer noch gefährlichen fiebietc, auf dem
Neid und Cliqueusvesen längere Zeit eine so unschöne Rolle gespült haben,
den Leistungen der Einzelnen gerecht wird. Daß auch ein kräftiges Wort
nicht vermieden wird, wenn es sich um die anschauliche Kennzeichnung
eines gewissen Wissenschaftsbetriebes bandelt, kann u. a. aus der Anmerkung
S. 253 ersehen werden.

Aus der Fülle anregender Betrachtungen allgemeineren und besonders
erkenntnistheoretischen und psychologischen Inhaltes, die teils eingestreut
in den besprochenen Abschnitten, teils in den letzten, ihnen besonders
ko-widniften Kapiteln enthaften Bind, mögen noch einige Andettfcongen gegeb
werden. Dem Leser der „Mechanik" ist der vom Verfasser mit V
verwendete Begriff der „Ökonomie in der Wissenschaft" geläufig. Er wird
deshalb nicht verwundert sein, hier ein besonderes Kapitel darüber zn finden
Der befreienden Kraft dieses Begriffes, der beispielsweise den Wert und die
Rolle der Prinzipien in der Mechanik mit einem Schlage kennzeichnet, wird
sich so leicht niemand entziehen und ebenso wie diesen so auch „die \ Vi-
gleichung als wissenschaftliches Prinzip" hinterher wie etwas Selbstverständ-
liches empfinden. Die vielgebrauchten und notwendigerweise sich von selbst
einstellenden Bilder und Analogien sind Ausdrücke dieses Vergleichungs-
prinzipes. Unter Bild und Analogie wird aber von dem Verfasser, und das
ist bezeichnend für seine naturwissenschaftlichen Anschauungen überhaupt,
viel mehr verstanden, als wir sonst gewöhnt sind. Schon in der „Mechanik"
wurde ausgesprochen, zur Verwunderung mancher, daß doch keineswegs
gerade die mechanischen Vorstellungen am tiefsten zu gehen brauchten, daß
doch also in der Zurückfühning aller Naturerscheinungen auf die mech-
ErklärungM weise nicht das Endziel der Forschung erblickt werden könnf.
Viel nachdrücklicher noch wird in der Wärmelehre darauf hingewiesen,
übrigens unter Anführung anderer namhafter Forscher, daß aus dem
Parallelismus im Verhalten der verschiedenen Energieformen nicht einfach
auf ihre Identität zu schließen ist. Die mechanischen Vorstellungen sind
deshalb dem Verfasser auch nur Bilder, das einseitige Festhalten an dies«
Vorstellung erscheint ihm als eine Art Befangenheit. Er geht noch
auch die Formel ist ihm nur „eine Analogie zwischen einer Rechnungs-
operation und einem physikalischen Prozeß, deren Bestehen oder Nicht
bestehen in jedem besonderen Falle eben auch zu prüfen ist", und es soll*
vermieden werden, „daß au die Stelle der mechanischen Mythologie einfaen
eine algebraische gesetzt werde". Für dieses offene Aussprechen werden ihm
liiMiuders die dankbar sein, die mechanische Bilder jeder Art als berechtigt*»

ItMIMUifHIWl

309

id unentbehrliches Forschungsmittel bewußt benutzen, ohne hinterher sich
veranlaßt zu sehen , in unwahrer Darstellung die gewonnenen Erkenntnisse
als Folgen formaler mathematischer Operationen auszugeben.

Diese wenigen Andeutungen müssen hier genügen. Mögen sie zu ein-
gehendem Studium des Werkes anregen, das jedem aufmerksamen Leser
Förderung physikalischer Erkenntnis bringt weit über den engeren Stoff
hinaus. Umfassendes Wissen, kritische Schärfe, klare Darstellung und edle
Offenheit geben auch diesem Werke Machs das Gepräge eines Kunstwerkes,
dessen Bedeutung in geistiger wie gemütlicher Hinsicht, nicht hoch genug
gewürdigt werden kann.

Berlin. A. Rotth.

Ad. Werntfkes Lehrbuch der Mechanik in elementarer Darstellung
mit Anwendungen und Übungen aus den Gebieten der Physik
und Technik. Erster Teil. Mechanik Fester Körper. Von Alexander
Wem icke. Vierte völlig umgearbeitete Auflage. Braunschweig 1901,
Vieweg u. Sohn. XV u. 809 S. 10 Mk.
Dieses Werk, zuletzt 1877 in dritter Auflage erschienen, wird jetzt von
dem Sohne des Verfassers in neuer Gestalt herausgegeben. Ursprünglich für
die preußischen Gewerbeschulen bestimmt, soll es nunmehr außer den Tech-
nikern auch den Kandidaten des höheren Schulanits dienen, welche sich für
das Prüfungsfach der angewandten Mathematik vorbereiten. Es soll eine
technische Mechanik in dem üblichen Umfange der Lehrbücher, aber in
elementarer Behandlung bieten. Nach der Vorrede werden nur soviel Kennt-
nisse vorausgesetzt, wie der Reifeprüfung der altsprachlichen Gymnasien ent-
spricht, Differential- und Integralrechnung werden ausgeschlossen. Indessen
wird die Bewegungsfreiheit bald dadurch vermehrt, daß durch Grenzbetrach-
tungen eine Tabelle hergeleitet wird, um von einfachen Funktionen (je", sinx, e*)
zu den Ableitungen überzugehen und umgekehrt von letzteren zu den Stamm-
funktionen aufzusteigen. Eine Zurückführung von Integrationen auf elemen-
tare Snmmationen wird dadurch überflüssig. Ist hiermit ein gut Teil der
Infinitesimalrechnung für die rechnerische Behandlung der Aufgaben gewonnen,
so wird für die allgemeinen theoretischen Herleitungen, die den Hauptteil
des Werkes bilden, ein uneingeschränkter Gebrauch von Grenzübergängen
gemacht. Der Unterschied von der üblichen Darstellung besteht also nur
darin, daß die Symbole und die ökonomische Bezeichnungsweise der Diffe-
rentialrechnung bei Seite bleiben; sie werden durch eine neue konsequent
ausgebildete Symbolik ersetzt, die nur den Nachteil hat, nicht die übliche
zu sein. So sind s x , s f , s t die Koordinaten, v g , v , v t die Komponenten
der Geschwindigkeit, j x , j j t die der Beschleunigung eines Punktes, o<pi
sind entsprechende Größen für die Rotation eines Körpers. Der Differential-
quotient einer Funktion von / wird als ihre Erzeugungsgeschwindigkeit
eingeführt. Die Gleichung der lebendigen Kraft lautet für einen Punkt:
JE — Eq "= -F^-Kr-L w), d.h. die Änderung der Energie wird durch die
entsprechende Fläche der Tangentialkraft-Weglinie dargestellt. Nach dem
Verfasser soll diese Auffassung von „elementarer" Behandlung sich in der
angewandten Mathematik mehr und mehr einbürgern. Sie hat mit der bisher
gültigen Bedeutung des Wortes nichts zu tun. Man verlangte bisher,

310

Rezensionen.

schauliclie, in ihrer Tragweite übersehbare Operationen gelöst würde ohne
Anleine bei den allgemeinen Prinzipien, die wohl richtige Resultat«, aber
keine Einsicht, in das Zustandekommen einer Bewegung geben.

Die Grenzübergänge werden vielfach an sorgfältigen Figuren veranschau-
licht, die nur dadurch ein etwas unruhiges Aussehen gewinnen, daß fast
immer die betrachteten Kurvenbogen link» und rechts von Inflexionspunkten
eingeschlossen werden. Die mechanischen Begriffe, die meist in Komponenten
zerpflückt durch drei Gleichungen gegeben werden, erhalten durch die An-
wendung der Vektoren eine einheitliche Darstellung. Für die Zug- und
Druckspannungen bei Dachkonstrnktionen und Brückenträgern, auf die kürz-
lich Schill ke als auf ein reiches Aufgabenmagazin hingewiesen hat, werden
die Methoden der Graphostatik benutzt, ebenso für einige Schwerpunkts-
bestimmungen. So wird auch der Wert von Ooriolis' fingierter Kraft geo-
metrisch an Figuren entwickelt. Angewandt wird sie z, B. auf die Radial-
turbine und auf die östliche Abweichung fallender Körper.

Das Buch beansprucht zwar im ganzen als systematisch zu gelten, doch
bezieht sich dies mehr auf die allgemeinen theoretischen Entwicklungen,
z. B über die allgemeinste Bewegung des starren Körpers, über die Re-
duktion der Kräfte am starren Körper, über die Eigenschaften der Trägheits-
momente. Die Anwendungen, die oft die wichtigsten Einzelprobleme be-
handeln, sind mehr methodisch geordnet.

In der Einleitung werden schwierige Fragen über die Grundlagen der
Mechanik, über die Körper der Außenwelt, die Relativität der Bewegung,
den Begriff der Kraft gestreift, ferner wird die Addition der Vektoren be-
handelt Alsdann beschäftigt, sieh der erste Abschnitt des Werkes mit der
Phoronomie oder Kinematik, der zweite mit dem materiellen Punkt, der
dritte mit der Dynamik, d. h. Statik des starren Körpers, wobei die Reibung
als tangentiaie Reaktion sehr ausführlich behandelt wird, endlich der viert*
mit der Kinetik, d. h. Bewegung unter dem Einfluß von Kraft in.

Die gleichförmige Kreisbewegung wird im ersten Abschnitt nach den
beiden möglichen Anschauungen behandelt, das eine Mal als gebrochen«
Linie mit Kraftimpulsen an den Eckpunkten, das andere Mal als Aneinander-
reihung von Parabelbogen mit stetiger Kraftwirkung. Es wird gezeigt, daß
beide Arten, die erste und die zweite Annäherung für das Zeitelement, beim
Übergang zur* Grenze auf dieselbe Bewegung führen.

Die Figuren zur schiefen Ebene sind so gezeichnet, daß man an eine
rollende Bewegung des beweglichen Körpers denken muß. Er müßte die
Gestalt eines Schlittens oder gleitenden Körpers haben, zumal im weitem
Verlauf des Werkes die rollende Bewegung, sogar mit Rücksicht auf Reibung,
als abweichend von der gleitenden genau erörtert wird.

Als Anwendung zur Phoronomie finden wir den Wurf, das Pendel, die
Planetenbewegoug, das Foucaultsche Pendel. Letzteres wird unter Zerlegung
der Erdrotation in zwei Komponenten behandelt mittelst des Grundsaües,
daß Schwingungen, die in Richtung des Meridians eingeleitet werden, an-
genähert als eben gelten können. Wenn dieser Grundsatz richtig ist, M
werden die Schwingungen auch nach einer Stunde noch als eben gelten
können, also ist die in ihm enthaltene Voraussetzung unnütz.

Im zweiten Abschnitt wird die dynamische Grundgleichung „Kraft
= Masse mal Beschleunigung" wenig befriedigend dadurch eingeführt, daß

Rezensionen.

311

sie das Analogon sei za dem Satze: „Gewicht «= Masse mal Beschleunigung",
daß man sie seit Newtons Tagen allen einschlagenden Untersuchungen zu
Grunde gelegt habe und dabei ohne Ausnahme mit der Erfahrung in Überein-
stimmung geblieben sei.

„Bewege man einen Körper an einem Faden im Kreise, so wirke auf
ihn die Spannung des Fadens als Zentripetalkraft-, die Reaktion, als Zug
an der Hand nach außen bemerkbar, sei die Zentrifugalkraft. Unglücklicher-
weise heiße so auch die fingierte Kraft der relativen Bewegung, deren An-
griffspunkt aber der bewegliche Punkt sei.* 1 Dagegen ist zu bemerken, daß
die fingierte Kraft der relativen Bewegung wegen ihrer Wichtigkeit Anspruch
auf einen besondem Namen hat, und daß Zentrifugalkraft sachgemäß ist,
selbst der Laie erkennt sie, irrt jedoch darin, daß er sie für eine wirkliche
Kraft halt. Für die Reaktion ist ein besondrer Name überflüssig, der vor-
geschlagene aber unberechtigt Bildet der obige Faden eine Schleife, die
um einen als Zentrum dienenden Stab herumgleitet, so erfährt der Stab eine
zentripetale Reaktion. Bewegen sich Erde und Mond um ihren Schwerpunkt,
so ist die Aktion, auf den Mond ausgeübt, zentripetal, die Reaktion gleichfalls.

Im dritten Abschnitt ist irrtümlich ein Körper, der mit seiner konvexen
Grundfläche auf einem Tisch hin und her rollen kann, bezüglich der Gleich-
gewichtelagen als ein Beispiel der Befestigung in einem Punkte aufgeführt
worden.

Der vierte Abschnitt bringt zum Schluß eine elementare Theorie des
Kreisels, die ihrem wesentlichen Inhalte nach auch einen Teil der Festschrift
zu Dedekinds siebzigstem Geburtstag bildet. Der Flilchensatz und der Satz
von der Energie liefern zwei Gleichungen zwischen den bekannten Größen
p y q, r, hier tp x , <p , (p t , von denen die letzte, die Winkelgeschwindigkeit
um die Kreiselachse, konstant ist. Ist # der Winkel zwischen der Vertikalen
und der Kreiselachse, so ergibt sich für <p T = d&/dl ein Wert als Funktion
von 9, welcher zeigt, daß & in engen Grenzen schwankt, und zwar in
harmonischen Schwingungen. Zugleich ergibt sich <p ■>, die Winkelgeschwindig-
keit der durch die Achse gelegten Vertikal-Ebene, als nahezu proportional zur
Abweichung des Winkels # von seinem Anfangswert, so daß man die bekannte
Präzesaion der Kreiselachse verbunden mit einer sog. Nutation erhält. Es ist
nicht zu leugnen, daß diese „elementare" Behandlung im wesentlichen alle
Erscheinungen beschreibt, welche auch bei einer genaueren Behandlung zur
Darstellung kommen. Sie ist eben eine aus den genauen Formeln folgende
„angenäherte", nicht aber im bisherigen Sinne „elementare" Darstellung.
Daß sie irgendwie das leistete, was man in der analytischen Mechanik ver-
mißt, daß sie das Paradoxon des Kreisels aufklärte, der bei schiefer Lage
nicht umfällt, wäre durchaus in Abrede zu stellen. In der beigegebenen
Figur für die Bahn des Kreiselschwerpunkts müßten die einzelnen Ranken
die Gestalt von Zykloiden haben, sich daher berühren, nicht aber Winkel
von etwa 90° bilden. Die nicht näher untersuchte Reibung hat nicht die Folge,
daß der Kreisel umfällt, sondern zunächst die, daß seine Achse sich aufrichtet

Zu der Figur für die Poinsotsche Herpoloide sei bemerkt, daß sie nach
neueren Untersuchungen nicht die von Poinsot ihr beigelegten Inflesions-
punkte besitzt, sondern nach außen konvex ist.

Berlin. < M. KorrE.

312

Rezensionen.

Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften
mit Einschluß ihrer Anwendungen. (Begründet von Moritz Cantor).
14. Heft mit 113 Figuren im Text. Inhalt: Axel Anthon Björnbo,
Studien über Menelaos' Sphärik. Heinrich Suter, Nachträge und Be-
richtigungen zu „Die Mathematiker und Astronomen der Araber und
ihre Werke.*' Karl Bopp, Antoine Arnauld als Mathematiker. 338 S.
B. 6. Teubner. Leipzig 1902.
Die drei in diesem Hefte der Abhandlungen zur Geschichte der Ma-
thematik vereinigten Arbeiten stehen nicht in dem geringsten inneren Zu-
sammenhange, sie werden, möchte man sagen, nur durch den Einband zn-
sammengohalten.

Hr. Björnbo hat überaus verdienstvolle und mühsame Untersuchungen
über Menelaos angestellt, für welche ihm auch derjenige dankbar sein wird,
der nicht in alle gezogeneu Folgerungen einzustimmen vermag. So viel
erscheint gesichert, daß der griechische Text der zahlreichen von Menelaos
unter Trajans Regierung verfaßten Schriften noch unbekannt ist, daß alles,
was wir über ihn wissen, aus arabischen und hebräischen Übersetzungen
herstammt, sowie noch mittelbarer aus einer von Gerhard von Cremen»
verfaßten mittelalterlichen Übersetzung aus dem Arabischen. Der t'remonesw
war es auch, der die Verketzerung Mileus einführte, unter welcher der
Name Menelaos sich lange verbarg. Zu der lateinischen Übersetzung
Gerhards geseUte sich dann im 13. Jahrh. ein lateinischer Kommentar, dessen
Verfasser Hr. Björnbo in Campanus von Novara erkannt hat, dem eine
reichere kommentierende Tätigkeit zuzuschreiben scheint, als man bisher
annahm. Die Sphärik war sicherlich nicht das einzige Werk des Menelaos,
wenn auch das einzige, welches wir genauer kennen. Dun dürfte der Begriff
des aus Bögen größter Kreise gebildeten sphärischen Dreiecks, des xplzlivpor
im Gegensatze zu dem Tqtywov (Dreieck überhaupt), entstammen. Mene-
laos wird mit höchster Wahrscheinlichkeit erkannt haben, daß sphärische
Dreiecke mit lauter gleichen Stücken nicht kongruent zu sein brauchen,
sondern symmetrisch gleich sein können. Er hat das 1. Buch sein«
Sphärik, so weit es möglich war, dem 1. Buche der euklidischen Elemente
nachgebildet und vielfach auf die allerdings nicht trigonometrisch sondern
stereometrisch gehaltene Sphärik des Theodosius zurückgegriffen. Letztere
selbst gründet sich auf eine schon voreuklidische Sphärik, Theodosiu-
dürfte vor Hipparch gelebt haben oder dessen Zeitgenosse gewesen sein,
Während wir diesen Ergebnissen des Hrn. Björnbo durchaus zustimmen,
scheint uns seine wichtigste Behauptung weit mehr hypothetischer
Natur zu sein. Hr. Björnbo stellt nämlich auf, der sogenannte Satz des
Menelaos sei schon Hipparch bekannt gewesen. Wenn wir die Beweis-
führung recht verstanden haben, so besteht sie darin, daß uns berichtet ist,
Hipparch habe 6tä xmv ygaftfiäv, d. h. mittels auf der Kugel gezeichnete
Figuren, eine Untersuchung erledigt, bei deren Führung der Satz des Mene-
laos sich nützlich erweisen kann. Daraus schließen zu wollen, die Kon-
struktion des Hipparch habe in Ziehung der Transversalen des Menslaos
bestanden, scheint uns doch allzukühn. Wir können den Beweis des Gegen-
teils nicht führen, aber irgend eine Tatsache ist keinesfalls auf nwli isVsitn
Behauptungen zu gründen. Wir durften mit diesem Zweifel nicht rurnck-
halten, da Hr. Björnbo allzusehr auf seiner Vermutung weiterbaut

Rezensionen.

313

Hier die aweite Abhandlung können wir uns sehr kurz fassen.
Hr. Suter hat, wie die Überschrift es aussagt, in ihr Nachträge und Be-
richtigungen zu seiner rühmlich bekannten Monographie über die Mathe-
matiker und Astronomen der Araber gesammelt. Wer jene frühere Schrift
zu benutzen in der Lage ist, wird die Nachtrage vergleichen müssen.

Hr. Bopp führt uns in wesentlich neuere Zeiten, in Zeiten von so
häufiger Durchforschung, daß man es kaum für möglich hätte halten sollen,
in ihnen einen als Mathematiker so gilt wie unbekannten Schriftsteller an
das Licht zu ziehen, und doch ist dieses Hrn. Bopp gelungen Wir können
deshalb seine Abhandlung, die ihm zur Erlangung der Doktorwürde an der
Universität Heidelberg gedient hat, und die wir in allen Phasen ihrer Ent-
stehung verfolgen durften, den Fachgenossen dringend empfehlen. Antoine
Arnauld stand, wie man langst wußte, in freundschaftlichen Beziehungen
zu Blaise Pascal. Er war es, der den letzteren veranlagte die berühmten
l'rovinzialbriefe gegen die Jesuiten zu schreiben, dor ihm das theologische
Material dazu lieferte. Was man aber nicht mehr wußte, das war die
Tatsache, daß die beiden auch auf mathematischem Gebiete Gesinnungs-
genossen gewesen sind, und daß hier Arnaulds Feder zu Papier brachte,
was den Grundanschauungen nach beiden bis zu einem gewissen Grade ge-
meinsam gewesen sein mag. Von Pasc als dahin zielenden Arbeiten hat
sich nur das Bruchstuck Iie Vesprit i/vomt'lrique erhalten. Anderes hat
Pascal vermutlich zum großen Teil selbst vernichtet, als er sah, wie weit
Arnaulds ihm handschriftlich bekannt gegebene Ausarbeitungen seine
eigenen überflügelten. Im Drucke erschien Arnaulds Logik allerdings erst
im Todesjahre Pascals 1G62, seine Geometrie gar erst 1667. In der
Logik ist verhältnismäßig kurz geschildert, wie Form und Anordnung einer
Elementargeomctrie sein müssen, in der Geometrie selbst ist jener Plan
zu vollendeter Ausführung gebracht. Man sollt« es für unglaublich halten,
wenn es nicht wahr wäre: die Geometrien von Malazien, vonVarignon haben
sich erhalten, die von Arnauld, nach deren Muster beide Schriftsteller
arbeiteten, war vergessen, bis Hr. Bopp sie neu entdeckte und in Arnanld
den Euklid des 17. Jahrhunderts erkennen ließ. Auch auf dem Gebiete der
sogen. Zauberquadrate hat Arnauld gearbeitet und Fortschritte erzielt,
welche das Recht haften der Vergessenheit entzogen zu werden. Wir dürfen
darum Hrn. Bopp auch für diesen letzten Abschnitt seiner Abhandlung unseren
Dank nicht vorenthalten.

Heidelberg. M. Cantor.

Schonte, P. H. Mehrdimensionale Geometrie. Erster Teil. Die
linearen Räume. Mit 65 Figuren und 335 Aufgaben. Sammlung
Schubert XXXV. Leipzig 1902. G. J. Göschen. 8°. VTH u. 295 S.
Preis geb. 10 Mk.
Wie weit verbreitet heutzutage in mathematischen Kreisen das Operieren
mit dem Begriffe mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten oder Räume ist, be-
weist (auch dem Nichtmathematiker) das vorliegende Buch, das bezweckt,
die Studierenden der Mathematik in die Euklidische mehrdimensionale Geo-
metrie systematisch einzuführen.

L Diesen Zweck würde das Buch meines Erachtens viel vollkommener
en, wenn der Verfasser in einem einleitenden Kapitel dem Leser an

314

isionen.

Beispielen gezeigt hätte, wie man zu dein Begriff mehrdimensionaler
Mannigfaltigkeiten gelangt ist oder dazu gelangen kann, und wie der
Mathematiker, diese konkreten Falle umfassend, völlig abstrakt definiert,
was er unter einem M-dimensionalen linearen Baume verstanden wissen will.
Dieses freilich nicht leicht zu schreibende Kapitel wäre auch für Nieht-
mathematiker von großem Interesse gewesen; denn ganz gebildete Männer
stellen den Mathematiker, sobald er von einem vierdimensionalen Raum«
spricht, mit einem Spiritisten ungefähr auf gleiche Stufe. Ich fürchte, daß
dieses Vorurteil durch die ersten Nummern dieses Buches eher verstärkt
als zerstört werden wird. Denn wenn der Verfasser auf S. 1 , nachdem er
Linie, Fläche und Raum durch Bewegung von Punkt bezw. Linie und
Fläche hat entstehen lassen, nun fortfahrt: „Es leuchtet ein, wie man auf
diese Weise weiter gehen kann, jedesmal ein neues Glied der Reihe «Punkt,
Linie, Fläche, Raum u. s. w.» aus dem vorhergehenden ableitend", so rnuB
ich gestehen, daß mir dies nicht einleuchtet und es auch dem Anfänger
nicht einleuchten wird; denn er kann sich unseren dreidimensionalen An-
schauungsraum nicht als Teil eines mehrdimensionalen, mithin auch keine
Bewegung dieses Baumes „vorstellen", weil die betreffendeu Erfahrungs-
tatsachen fehlen. Auch die Bemerkung zu Nr. 6 (S. 7): „Anstatt darüber zu
grübeln, ob es eine Welt gibt, in der man außerhalb eines gegebenen
Raumes einen Punkt annehmen kann, sind wir hier schon ganz zufrieden
mit der Tatsache, daß sich eine solche Welt überhaupt denken läßt", wird
einem gewissenhaften Leser, der bisher nur dreidimensionale Geometrie ge-
trieben hat, über die Klippe nicht hinweghelfen; denn er wird sich sagen,
er könne sieh eine solche Welt eben nicht denken. Ich meine, es gibt ans
dieser Schwierigkeit kaum einen anderen AuBweg als den Leser vorerst auf
einen höheren logisch-geometrischen Standpunkt zu leiten, bevor man mit
Räumen beliebiger Dimensionen zahl operiert.

In diesem einleitenden Kapitel hätte sich auch die Gelegenheit gefunden,
dem Studierenden eine wenigstens ungefähre Vorstellung von dem Nutzen
der mehrdimensionalen Geometrie zu geben; jetzt, fürchte ich, wird mancher
nach dem Lesen der ersten Seiten das Buch aus der Hand legen, indem er
sich sagt, er verstehe es doch nicht und sehe nicht ein, welchen Zweck
diese Hirngespinnste haben sollten. Und dies tut mir leid, da das Buch
eine Menge interessanter Dinge enthält, die selbst Mathematikern, wenn sie
sich nicht gerade speziell mit mehrdimensionaler Geometrie beschäftigen,
unbekannt sein dürften.

Von den 9 Paragraphen des Buches behandeln die ersten drei die Er-
zeugung der (stets linearen) Räume, ihren Parallelismus und ihre Ortko-
gonalität, der vierte Abstand und Winkel zweier Räume. In ihnen erscheint
mir besonders erwähnenswert die Definition der verschiedenen Grade von
Parallelismus und Orthogonalität, ferner die Definition des Winkels zweier
Räume .ßd, und R^ mit einem gemeinschaftlichen Punkt 0. Gibt ee in
diesen zwei Räumen je eine von ausgehende Gerade OA^ und OA^, so-
daß die Ebene OA l A i sowohl zu Ra t als R^ halbnormal ist, d. h. dafl
sie sowohl zu "einer Geraden von R a , als von R^ senkrecht steht, dann
nennt Hr. Schoute ■^C.A 1 OA i den Winkel der beiden Räume und be-
weist (Nr. 48), daß es, wenn d l <^d s ist, d l verschiedene solche Winkel
gibt, deren Ebenen paarweise aufeinander senkrecht stehen. Statt des neuen

Rezensionen.

315

Namens „Punktwert" eines Raumes für seine am eins vermehrte Dimensionen-
z&hl hätte der Verfasser die auch von anderen Autoren angenommene

raßmannsche Bezeichnung „Stufe" beibehalten sollen.

Am meisten allgemeineres Interesse dürfte der § 5 erwecken, der die
teilende Geometrie des mehrdimensionalen, insbesondere des vier-
dimensionalen Raumes behandelt, weil in dieser Hinsicht nur wenige Ar-
beiten vorliegen (dein Referenten sind nur 1 ) Bemerkungen W. Fiedlers und
Aufsatz von Veronese darüber bekannt) und diese hauptsächlich die

bbildung des R t auf den R 3 behandeln, wahrend hier der B n auf den S t ,

ie Ebene, abgebildet wird. Der Verfasser denkt sich zu diesem Zwecke
im R n ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit den Achsen OX t , O.Yj, . . ., OX H
gewühlt und von den \n(n — l) Ebenen, welche sie bestimmen, eine Kette

n n — 1 Ebenen, wie OX t X i1 OX i X i , . . ., OX M _ 1 X K herausgegriffen.

ie durch einen beliebigen Punkt P senkrecht zu diesen Ebenen gelegten
, schneiden sie bezüglich in den Punkten P n , P ss , . . ., P H _ t H , den
orthogonalen Projektionen des Punktes P auf die » — 1 Ebenen. Durch
Drehung um die gemeinschaftlichen Achsen lassen sich die n — 1 Projektions-
ebenen in eine einzige Ebene, die Zeichenebene, ausbreiten, sodaß der Punkt
P des P K durch « — 1 Punkte der Zeichenobene ebenso dargestellt wird
wie im gewöhnlichen Räume ein Punkt durch Aufriß und Grundriß. Diese
n — 1 Punkte liegen derart, daß die Verbindungslinie je zweier aufeinander-
folgenden P,_j ; , P, , + 1 zur Achse OX { senkrecht steht. Für den J? 4 kann
man die Ausbreitung insbesondere so vornehmen, daß die Halbachsen OX s
und OX t die Ergänzungen von OX l und OX, bilden. In hinreichend
vielen Beispielen wird gezeigt, wie auf diese Weise Gerade, Ebenen und
Räume dargestellt und sie betreffende Aufgaben zeichnerisch gelöst werden
können. Auch auf die Axonometrie und auf Analoga des Pohlk eschen
Satzes für mehrdimensionale Räume geht der Verfasser kurz ein.

In § 6 wird ziemlich ausführlich die analytische Geometrie des R H be-
bandelt unter Benutzung von Punkt- und i? B _,-Koordinaten; auf die Ko-
ordinaten der anderen linearen Räume im R n und die damit zusammen-
hängenden Komplexe wird nicht eingegangen. Tn der Geometrie der Lage,
mit der sich § 7 beschäftigt, scheint mir die Verwendung der sogenannten
„Orthogonalitfltsverwandtschnft" (die identisch ist mit der Aufeinanderfolge
einer Fußpunktentransformation und einer Inversion mit demselben Zentrum)
unsystematisch. Die Kollineationsverwandtschaft zweier konjektiven JR n wird
besprochen, ohne aber die möglichen Fälle systematisch zu untersuchen, was
ja den Anfänger auch ermüden würde. Das Nullsystem im Ji n , mit dem
sich der Verfasser schon in einigen Abhandlungen beschäftigt hat, erfährt
eine eingehendere Behandlung. § 8 („Geometrie der Anzahl") beschäftigt
sich mit einigen anzahlgeometrischen Fragen, § 9 mit der Polygonometrie,
insbesondere mit dem vierdimensionalen Vierkant.

Vom pädagogischen Standpunkte aus will mir scheinen, als ob der
Verfasser, in dem Bestreben möglichst viele interessante Dinge in das Buch
hinein zu bringen, die Systematik gestört und dem Leser das Studium hier-
durch noch mehr erschwert hätte. Damit z. B. das in Nr. 128 über das

-

1) Gino Loria: Sur quelques problemea ellmentaires de la geometrie
ilescriptive ä trois et quatre dimensions. Dieses Archiv (3) 2, 267 — 266. Red.

316

Rezensionen.

Prinzip der Erhaltung der Anzahl Gesagte dem Anfänger verständlich würde,
müßte viel weiter ausgeholt werden. Vor allem gilt dies von manchen der
335 Aufgaben. Welchen Zweck hat z. B. die Aufgabe 1) mit dem Hinweis
auf die Nicht- Legendresohe Geometrie, da diese doch eine Nicht- Archi-
medische Geometrie ist, und in dem vorliegenden Buche das Archimedische
Axiom überall stillschweigend als gültig vorausgesetzt wird.

Die Schreibweise weist öfters undeutsche Wendungen und nicht völlig
klare Sätze auf. Literatur -Verweise finden sieb nur spärlich vor.

Zusammenfassend möchte ich sagen: Das Buch wird für jeden Mathe-
matiker Interessantes bieten, dem Anfänger jedoch mehr Schwierigkeiten
bereiten, als es dem Stoffe nach nötig wäre.

Wien, im Dezember 1902. E. Müller.

Perry. Höhere AnalyBis für Techniker. Autorisierte deutsche Be-
arbeitimg von Fricke und Süchting. Leipzig 1902, B. G. Teubncr.
Vin u. 423 S. 12 Mk.

Die zur Einfühlung in das Gebiet der Differential- und Integralrechniuij:
vorhandenen Lehrbücher sind für den Ingenieur, dessen Tätigkeit schon
nach Absolvierung der ersten Semester sich mehr auf die konstruk'
praktische Seite als auf die wissenschaftliche erstreckt, infolge ihres groBen
Unifangs und des meist sehr fühlbaren Mangels an praktisch gewählten
Beispielen zum großen Teil ungeeignet.

Das vorliegende Buch sucht die erwähnte Lücke nach Möglichkeit
auszufüllen und ist mit dem Werke von Autenheimer, das inhaltlich
annähernd dasselbe bietet, wohl am besten für denjenigen geeignet, der in
kurzer Zeit alles Vergessene wieder auffrischen und bei dem Studium
schwierigerer Probleme der Elektrizitätslehre, Wärmemechanik, FestiglwiU-
theorie usw. die mathematische Seite nicht missen möchte. Sehr viele
Techniker, sonst vorzügliche Konstrukteure, sind, mangels eines geeigneten
Lehrbuches, sehr oft mit dem Resultat einer theoretischen Untersm Imnc
vollkommen zufrieden, ohne über den Ausgangspunkt und den Entwickelongs-
gang im Klaren zu sein.

Einer Fülle von wertvollen Beispielen tritt man schon beim Durch-
blättern der ersten Seiten entgegen. Wer mit den Gesetzen der höheren
Mathematik schon mehr vertraut ist, wird erstaunt sein über die einlache,
fesselnde Art, mit der der Autor selbst verwickeitere Fälle zur Lösung
bringt. Gleich im Anfang wird des Kurheimechanismus, des Cardanisystems,
des Lemniskoidenlenkers Erwähnung getan. Der Ingenieur wird
Interesse betätigen für die Entwickolungen über freien Fall, schiefen Wurf,
Biegungstheorie, Seilkurven, den Wirkungsgrad der Heizfläche eines Dampf-
kessels, Festigkeit von Cylindern, Zapfenreibung, Theorie der Federn. Gut
ausgewählt sind auch die hydrostatischen und hydrodynamischen Beispiele,
sowie im letzten Teil des Werkes die Aufgaben über Schwingungen, Knick-
festigkeit, die im Anschluß an die Theorie der Differentialgleichungen erst«
und zweiter Ordnung behandelt sind. Doch auch der Elektrotechniker
klimmt zu seinem Recht, beim Durcharbeiten der Abschnitte über die
Heirah oltzsche Gleichung, die Ladung und Entladung eines Kondensator«)
über das Verhalten eines Kondensators und einer Spule mit induktivem

isionen.

317

stand im Wechselstromkreis, über günstigste Schaltung von Elementen, über
möglichst rentable Bemessung von Kabeln, Verteilung des Stromes und über
Bahnanlagen.

Aus dieser kurzen Aufzählung schon wird man ersehen, welch reich-
haltiger Stoff hier auf 400 Seiten in gedrängter und doch leicht faßlicher
Darstellung zusammengetragen ist. Freilich muß erwähnt werdeu, daß der
junge Studierende, der die Gesetze der Mechanik, ElektrizitätslefcrB etc. uuch
wenig kennen gelernt hat, an diesem Buch keine so große Freude haben
wird, wie der gereifter© Techniker, dem die in den zahlreichen Beispielen
als bekannt Vorausgesetzen Begriffe ia der Tat zumeist alte Bekannte sein
werden. Jedenfalls wird aber auch derjenige, der durch Selbststudium sich
mit dem erforderlichen mathematischen Ktistzeug versorgen will, an trJMfHn

Ehe eine überaus sichere Richtschnur in die Hand bekommen.
Charlottenburg. M. Sajktbr.

tIkioIi. Die Grundbogriffe der modernen Naturlehre. (Aus
Natur und Geisteswelt. 40. Bäudchen.) Leipzig, B. G. Teubner 1902.
[V u. 156 S. Geh. 1 Mk.
Dieses aus einem Ferienkurse hervorgegangene Büchlein ist bei seinem
ogen Umfange von einem erstaunlich reichen Inhalte. Es bietel in
eher Beziehung mehr als eine bloße Einleitung in die Thysik, dringt
vielmehr in die einzelnen Gebiete derselben weit genug ein. Zur Einleitung
sind die Abschnitte über Raum und Zeit, Kraft und Masse und die Eigen-
schaften der Materie zu rechnen, während diejenigen über die Schwingungen
und die Wellenbewegung, Über die Strahlung, Arbeit und Energie sowie
über die Entropie ins Spezielle gehen. Es ist rühmend hervorzuheben, d;iß
der Verfasser nirgends in philosophische Spekulationen sich verliert, die
Tatsachen von den Hypothesen scharf trennt, das Praktische herausgreift,
das Moderne nicht scheut und im ganzen doch auf einem konservativen Boden
steht. Werden auch die kurzen Belehrungen über Vektoren, Strönrangs-
und Kraftfelder sowie über das Potential Neulingen nicht gerade den her-
vorragenden Nutzen dieser Betrachtungen in der Physik vorzuführen geeignet
sein, so erkennt man d?n ausgezeichneten Lehrer an den Herleitungeu dos
Beharrungsvermögens und des Wesens der Kraft, die vielleicht auch soweit
hätten geführt werden können, daß die „momentanen" Kräfte ganz beiseite
geworfen wurden und von den 3 Sätzen auf S. 71 nur der letzte übrig
blieb, der ja die ersten einschließt. Für ebenso richtig im pädagogischen
Sinne halten wir die Ausführungen über den Massenbegriff trotz der Boltz-
mannschen Bemerkungen betreffs ihrer logischen Grundlagen. Von den
spezielleren Tatsachen seien die ausführlicheren Kapitel über die Schwingungen,
die Wellen und Strahlen rühmend hervorgehoben; für mustergültig halten
wir die Darlegungen, die das absolute und das praktische Maßsystem, den
Arbeitsbegriff und das Prinzip von der Erhaltung der Energie angehen.
Auch erinnern wir uns nicht, einen populären Autor gefunden zu haben,
der die Entwertung der Energie und die Entropie seinem Leserkreise dar-
zustellen gewagt hätte. Wir können auch diesen Versuch, ein so äußern*
schwieriges Kapitel der Physik — wie der 2. Hauptsatz der mechanischen
Wärmetheorib es ist — einem größeren Kreise zugänglich zu machen, für

318

Rezensionen.

sehr wohl gelungen ansehen. Wir wünschen dem Büchlein weiteste Ver-
breitung auch in den Kreisen der Lehrer, die in bezug auf die unterrii et-
liche Gestaltung der Physik manches daraus lernen werden.

Charlottenburg. __ H. Saüter.

Kleiber. Lehrtauch der Physik für humanistische Gymnasien.

München, R. Oldenbourg 1901. VHI u. 270 S. Preis 3 Mk.
Kleiber. Lehrbuch der Physik zum Gebrauche an realistischen
Mittelschulen. 2. Auflage. Ebenda 1902. VTII u. 381 S. Preis 4 Mi.
Kleiber und Karsten. Lehrbuch der Physik zum besonderen Ge-
brauche für technische Lehranstalten sowie zum Selbststudium.
Ebenda 1902. Till u. 352 S. Preis 4 Mk.
Die vorliegenden Bücher ragen in mancher Beziehung über die in den
letzten Jahren stark anschwellende Unterrichtsliteratur hinaus. Sowohl die
theoretischen Fortschritte in der Physik wie auch die praktische Seite derselben
finden die eingehendste Berücksichtigung. Dies konnte geschehen, indem
die Verfasser überall nur das Wichtige brachten, Nebensächliches, durch
das viele Lehrbücher so sehr belastet sind, aber mit Recht ausschieden.

Die Darstellung ist überall äußerst anschaulich. Durch schematiscbe
Zeichnungen, die in einigen Fällen vielleicht weniger schematisiert zu werden
brauchten, wird das Verständnis zu fördern gesucht. Durch einfache Auf-
gaben, die wir z. B. bei Zug- und Druckfestigkeit, bei der lebendigen Kraft
und ihren Anwendungen für sehr gut gewählt fanden, wird das Gelernte
befestigt, das schon vorher zu kurzen Regeln zusammengefaßt und durch
mnemotechnische Mittel eingeprägt ist. Überall ist das Bestreben erkennbar,
vom Einfachen zum Schwierigeren fortzuschreiten und jeden Schritt durch
möglichst einfache Versuche zu begründen. Wir heben als besonders ge-
lungen die Mechanik der flüssigen und gasförmigen Körper sowie die
strömende Elektrizität hervor. Daß die Verwendung des absoluten Maßsystems
von vornherein nicht gescheut wird, der Begriff des Potentials zunächst als
Grad des elektrischen Zustandes gleich beim Beginn der Reibungselektrizität
eingeführt wird, kann nur gut geheißen werden.

Das insbesondere für technische Anstalten bestimmte Buch eignet sich
auch für Realanstalten. Es seien einige technische Dinge hervorgehoben,
die sehr wohl auch hier besprochen werden könnten und in dem Buche
teils andeutungsweise teils ausführlich behandelt sind. Bei der Reibung
findet der Pronysche Zaum seineu Platz, durch dessen Betrachtung Ver-
ständnis für die Messung der Arbeit bei Motoren erweckt wird. Bei der
Hydromechanik geschieht des Wassermessers unter Beigabe einer deutlichen
Skizze Erwähnung. Hier ist übrigens der Ausfluß aus Gefäßen etwas m
kurz abgetan. Einige Druckkurven erleichtern das Verständnis der bei der
Kompression der Gase eintretenden Verhältnisse. Die Darstellung der
Dampfanlagen ist ausgezeichnet. Sehr gut gewählte Beispiele erläutern
dieses technisch wichtigste Kapitel. Beim Wesen der Wärme hätten *1 i»-
dreierlei Wirkungen, welche die zugeführte Wärme hervorruft (Temperatur-
erhöhung, Spann ungserhöhung und äußere Arbeitsleistung), noch einmal
getrennt hervorgehoben werden können. Auch bei der Elektrizitätslehre
sind die neuen technischen Errungenschaften überall kurz erwähnt, so

Rezensionen.

319

die Verbesserungen beim Bogen- und Glühlicht, der Kurzschlußanker.
Leider steht der Einführung dieser Bücher an norddeutschen Anstalten der
Umstand entgegen, daß hier der Unterricht in eine Unter- und Oberstufe
getrennt ist, worauf bei der Anordnung des Stoffes der Lehrbücher Rücksicht
zu nehmen wäre.

Charlottenburg. H. Samter.

Ueorge Howard Darwin* Ebbe und Flut sowie verwandte Erschei-
nungen im Sonnensystem. Autorisierte deutsche Ausgabe nach der
zweiten englischen Auflage von Agnes Pockels zu Braunschweig.
Mit einem Einführungswort von Prof. Dr. Georg von Neumayer, Wirkl.
Geh. Admiralitfitsrat und Direktor der deutschen Seewarte zu Hamburg
und 43 Illustrationen im Text XXII u. 344 S. (Leipzig, B. G. Teub-
ner, 1902). Preis geb. c £ 6,80.
Das Werk ist aus einer Reihe von Vortragen entstanden, welche der Ver-
fasser im Jabre 1897 am Lowell- Institut in Boston vor einem größeren
Publikum gebalten bat. Derselbe sah sich hier vor die Aufgabe gestellt,
in allgemein verständlicher Weise, unter Vermeidung jeglicher mathe-
matischer Formeln, sein Thema zu behandeln, und die gleiche Art der
Darstellung ist auch in dem vorliegenden Buche beibehalten worden. Der
jüngst erschienenen deutschen Ausgabe bat der Direktor der Deutschen See-
warte xu Hamburg, Herr v. Neu major, ein Geleitwort mit auf den Weg
gegeben, in welchem dieser berufene Beurteiler auf die höbe Bedeutung
des Darwinschen Werkes hinweist und seiner Bewunderung für die Leistung
des Verfassers beredten Ausdruck leiht. In der Tat ist demselben die
Lösung seiner Aufgabe in erstaunlichem Grade gelungen. Es werden nicht
nur die Erscheinungen der Ebbe und Flut in Flüssen, Seen und Meeren
und der Verlauf der Gezeiten in ihren mannigfachen Einzelheiten beschrieben,
sondern auch die zur Erklärung derselben mit Hilfe mathematischer De-
duktionen geschaffenen Theorien und die aus diesen letzteren hervorge-
gangenen, nicht selten recht verwickelten, Probleme in interessanter und
allgemein verständlicher Weise auseinandergesetzt. So stellt sich Darwins
„Ebbe und Flut" den besten populärwissenschaftlichen Werken, die wir in
der Literatur besitzen, würdig an die Seite.

Doch nicht allein für den gebildeten Laien, auch für den Fachmann
wird die Lektüre dieses Buches zu einer reichen Quelle der Belehrung und
Anregung werden; sind doch bisher noch nirgends die Gezeitenphänomene
und die mannigfachen mit diesen verknüpften Erscheinungen in so er-
schöpfender Weise im Zusammenhange dargestellt worden. Der Fernerstehendo
wird zunächst davon überrascht werden, wie tief ein scheinbar so beschranktes
Thema, wie Ebbe und Flut, in die weitesten Gebiete naturwissenschaft-
licher Forschung hineinragt, daß dem Gezeitenpbänomen selbst für das
»Werden und Vergehen der Weltkörper die allergrößte Bedeutung zukommt.
In der Auseinandersetzung dieser Zusammenhänge erhebt sich die Dar-
stellung zu weit ausschauenden Kombinationen, fernste Vergangenheit und
späteste Zukunft mit einander verknüpfend. Nicht minder fesselnd weiß
der Verfasser aber auch die praktische Seite seines Themas zu behandeln,
indem er Bebildert, welche Beobaebtungs- und Rechnungsmethoden angewandt
werden müssen, um dem täglichen Bedürfnisse des Seemanns nach einer

■w

Rezensionen,

zuverlässigen Vorherbestimmung der Gezeiten zu genügen, wie zabh
die Faktoren sind, die den Verlauf derselben beeinflussen, und welche
Schwierigkeiten sich infolgedessen für die Aufstellung der Fluttabellen er-
geben. Es wäre jedoch ein vergebliches Bemühen, den reichen Inhalt des
Werkes in einer kurzen Besprechung auch nur annähernd skizzieren ro
wollen. Nur die Überschriften der einzelnen Kapitel mögen hier noch ge-
nannt werden: I. Gezeiten und Beobachtungsmethodon. II. Seeschwankungen.
111. Ebbe und Flut in Flüssen — Flutmühlen. IV. Historische Übersicht
V. Die fluterzeugende Kraft. VI. Abweichung der Lotlinie. VII. Elastische
Deformation der Erdoberfläche durch wechselnde Belastung. VTU. Gleich-
gewi chtstheorie der Gezeiten. XI. Dynamische Theorie der Flutwelle.
X. Gezeiten in Seen. — Isorachien karte. XI. Harmonische Analyse der
Gezeiten. XII. Reduktion der Flutbeobachtungen. XD3. Gezeitentafelu.
XIV. Genauigkeitsgrad der Vorherbestimmung der Gezeiten. XV. Chand-
lers Nutation. — Die Starrheit der Erde. XVI. und XVII. Gezeitenreibuag
XV 111. Gleichgewichtsfiguren einer rotierenden Flüssigkeitsmasse. XIX. Die
Entwicklung der Weltsysteme. XX. Die Saturaringe.

Einem jeden Kapitel ist ein eigenes Literaturverzeichnis angefügt, du
dem Fachmann den Zugang zu den Originalwerken wesentlich erleichtern
wird. Rühmend hervorgehoben sei auch das ausführliche Inhaltsverzeichnis
und das mit großer Sorgfalt angefertigte Register. Die Übersetzung ist
durchaus sinngemäß und verdient — bis auf einige störende Anglizismen —
volles Lob.

Berlin. E. Aschkinass.

Kronecker, L. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik. Bearbeitet
und herausgegeben von K. Hensel. Erster Abschnitt. Vorlesungen
über Zahlentheorie. Erster Band. Leipzig 1901, B. G. Teubner. XVI«
509 S. gr. 8°.
Die Tendenz der Kroneckerscher Vorlesungen ist in dem Namen, den
sie tragen, deutlich ausgesprochen. Die Bezeichnung allgemeine Arithmetik,
unter welcher Kronecker mit der Arithmetik die Algebra und die Analy*»
zusammenfaßt, betont den engen Zusammenhang dieser Disziplinen und weist
zugleich der Arithmetik die führende Rolle unter ihnen zu. Diese Auffassung
wird gerechtfertigt durch die Entwickelung, welche die Arithmetik im ver-
flossenen Jahrhundert genommen hat. Aus der Sonderstellung, welche sie
gegenüber den übrigen Disziplinen einnahm, ist sie mehr und mehr
herausgetreten.

Hatte schon Gauß selbst in den Disquisitiones arithmetieae die Schranken
durchbrochen, welche er zwischen Arithmetik und Algebra errichten wollte, tv
zeigte Dirichlet, welchen Nutzen die Arithmetik aus der Verbindung ihrer
Methoden mit denen der Analysis ziehen kann. Diese enge Zusammen-
gehörigkeit wurde später immer offenbarer, und erst in neuester Zeit hat der
Herausgeber dieser Vorlesungen dargetan, daß die Theorie der algebraischen
Zahlkörper einer ganz ähnlichen Behandlung fähig sei wie die der algebraischen
Funktionen. Wenn es nun hier auch meist die Arithmetik ist, welche aus
der Analysis Vorteil zieht, so haben doch andererseits die schwierigeren
Fruhleme, welche sich der Analysis darboten, diese zur Aufsuchung schärferer
Beweismethoden gezwungen und schließlich zu einer Revision der Grund-

Rezensionen.

321

begriffe geführt, durch welche der ia der Analysis herrschende geometrische
Zahlbegriff durch einen rein arithmetischen ersetzt und damit die Einordnung
der Analysis in die allgemeine Arithmetik vollzogen wurde.

Der Kroneckerscheu Anschauung gemäß mußte die Anordnung des
Stoffes in wesentlichen Punkten von der in den bisherigen Lehrbüchern
innegehaltenen abweichen. Ein flüchtiger Blick auf das Inhaltsverzeichnis
des vorliegenden ersten Bandes zeigt dies. Derselbe zerfällt in vier Ab-
schnitte, denen eine eingehende historische Einleitung vorangeht. Hier
findet auch die vor-Gaußsche Arithmetik die ihr gebührende Würdigung.
An der Hand der wichtigsten Probleme wird die Entwickelung der Wissen-
schaft in reizvoller Weise dargestellt; insbesondere wird auch hier schon das
Eingreifen der Analysis durch Erörterung der einfachen von Euler be-
handelten Fragen klargelegt und so das Verständnis für die schwierigeren
vorbereitet. Der systematische Teil gibt im ersten Abschnitt (S. 57 — 142)
diejenigen Untersuchungen, welche man gemeinhin in den Kapiteln über die
Teilbarkeit nnd Zerlegung der Zahlen und die Kongruenten findet. Aber
nun erfolgt schon gleich im zweiten Abschnitt (ö. 143 — 241) der wichtige
Schritt von der Behandlung ganzer Zahlen zu der ganzer ganzzaldxt' t
Funktionen. Die von Kronecker eingeführten Modulsysteme stehen hier
im Mittelpunkte des Interesses, ihre Theorie wird bis zur DeJcomposUioti
der reinen Modtilsysteme sweiter Stufe fortgeführt. — Der dritte Abschnitt
-'42 — 374) ist der Anwendung der Analysis auf Probleme der Zahlentheorie
gewidmet und behandelt die Bestimmung der Mittelwerte arithmetischer
Funktionen und ihren Zusammenhang mit den Dirichletschen Reihen.
Der den Abschluß des Bandes bildende vierte Abschnitt (S. 375 — 496)
enthält die allgemeine Theorie der Potenzreste und den Beweis des Satzes
über die arMimttiBCke Progression. Kronecker hat diesen Beweis in der
Weise umgestaltet, daß er zugleich die Bestimmung eines Intervalle» ent-
hält, in welchem wenigstens eine Primzahl der Progression enthalten
sein muß.

Soweit über den Inhalt der Kroneckerschen Vorlesungen. Ihre Be-
arbeitung war ein schwirriges Unternehmen. Handelte es sich doch darum,
die Vorlesungen, die bei den verschiedenen Wiederholungen in ihren einzelnen
Teilen sehr verschieden, bald eingehend, bald nur ganz kurz ausgeführt
waren, überdies Fragen behandelten, die auch dem fortgeschrittenen Hörer
nicht geringe Schwierigkeiten darboten, zu einem gleichmäßig fortschreitenden
Lehrbuche umzuarbeiten, welches dem nur mit den Elementen der Infini-
tesimalrechnung vertrauten Studierenden zugänglich wäre. Die Aufgabe hat
jedoch eine so glückliche Lösung gefunden, wie sie eben nur der geben
kann, welcher nicht nur mit den Intentionen des Meisters völlig vertraut,
sondern auch in dessen Arbeitsgebiet erfolgreichst selbsttätig ist. Im
wesentlichen deckt sich natürlich der Inhalt des Buches mit dem, was
Kronecker in seinen Vorlesungen gab, indem keine Untersuchung fort-
gelassen, keine völlig neu hinzugefugt ist. Wohl aber hat der Herausgeber,
wo es die Abrundung des Stoffes wünschenswert erscheinen ließ, begonnene
Untersuchungen vervollständigt. So ist namentlich das Problem der De-
komposition der Modulsysteme durch ihn zum Abschluß gebracht worden.
Endlich sei noch auf die ihrem Wesen nach kritischen Betrachtungen
über den Begriff der Stufe im Bereich der Modulsysteme von ganzen ganz-

Archlr d*T Mathematik and Pbjiik. III Reih«. VI H

ReHnrionea.

ztthlitjen Funktionen mehrerer Veränderlicher hingewiesen, welche eine Frage
betreffen, deren Klärung dringend erwünscht scheint.

Charlottenburg, Januar 1903. E. Steixitz.

Annuaire des Mathematiciens 1901 — 1002, publie sous la direction de
MM. C. A. Laisant et Ad. Buhl. Paris 1!K>2, C. Naud. 468 8.

In einer Zeit, wo sich überall Bestrebungen regen, den persönlichen
Verkehr unter den Mathematikern zu erleichtern, wo neben dem JahrbncL
über die Fortschritte der Mathematik eine Revue semestrielle des publications
mathematiques entstanden, wo der IntermeMiaire des mathematiciens, das
Enseignement matbematique gegründet worden ist, wo internationale Mathe-
matikerkongresse veranstaltet werden, wo die Encyklopädie der mathematischen
Wissenschaften ins Leben gerufen worden ist, in einer solchen Zeit muß das
vorliegende Werk mit Genugtuung begrüßt werden, bildet es doch einen
weiteren, einen notwendigen Stützpunkt für diese Bestrebungen, welche in
dem einen der beiden Herausgeber einen überaus tatkräftigen, begeisterten
Fürsprecher gefunden haben.

Es ist naturgemäß, daß der erste Versuch, die Adressen samtlicher
ÜBtheuintike] EcnionicQiQstdlan, nämlich i der Mitglieds allar mttH-
matischen und astronomischen Gesellschaften, 2) der Verfasser selbständiger
mathematischer Arbeiten, 3) sämtlicher Lehrer der Mathematik, daß ein so
schwieriger Versuch, sage ich, mancherlei Lücken, Unrichtigkeiten und Un-
genauigkeiten aufweisen wird. Es wäre daher zu wünschen, daß sich recht
viele die Mühe geben wollten, die von ihnen aufgefundenen Fehler den
Verfassern mitzuteilen, damit dieselben bei Gelegenheit einer zweiten Auflage
beseitigt werden können.

Berlin. E. .1a unke.

Alois Lanner. Naturlehxe. Mit 377 Figuren, einer Spektral tafel und
4 meteorologischen Karten in Farbendruck. 377 S. Wien 1902, Jo6.
Rothache Verlagsbuchhandlung.

Ein Leitfaden der Physik, Chemie und kosmischen Physik einschließlich
der Meteorologie. Derselbe ist für die oberen Klassen der österreichischen
Mittelschulen auf Grund der neuesten Lehrpläne der K. K. Unterrichts-
verwaltung bearbeitet worden. Im Hinblick auf die Zwecke, denen das
Buch demgemäß dienen soll, erscheint der dargebotene Stoff dem Referenten
viel zu reichhaltig bemessen zu sein. Wenn im Schulunterricht tatsächlich
der gesamte Inhalt dieses Leitfadens bewältigt werden soll, so kann dies
nur dazu fahren, die Oberflächlichkeit naturwissenschaftlicher Bildung *u
fördern. „In der Beschränkung zeigt sich erst der Meister"; das bedenken
leider noch zu wenige, die Lehrmeister sein wollen.

Der Verfasser behandelt in seinem Buche nach einer Einleitung über
Maßeinheiten und Messen in acht Kapiteln die Mechanik, Wärme, Chemie,
Magnetismus und Elektrizität, Wellenlehrc, Akustik, Optik und kosmisch'
Physik. Recht gut ist der Abschnitt über Mechanik gelungen. Hiei
vor allem das Bestreben zu rühmen, dem Leser die Grundbegriffe der
Physik möglicht klar und präzise vor Augen zu führen. Weniger be*

Rezensionen. 323

friedigen dagegen die Kapitel über Elektrizität und über Optik. Die An-
gaben über die elektrischen MaBe z. B. finden sich in sehr unübersichtlicher
Weise an verschiedenen Stellen des Buches verstreut. Unzureichend sind
auch die Ausführungen über die kritische Geschwindigkeit, Kirchhoffs
Emissionsgesetz u. a. m. Die Untersuchungen von Heinrich Hertz werden
nur in einem einzigen Satze erwähnt. Am bedenklichsten jedoch erscheint
die höchst mangelhafte Darstellung des Euergieprinzips;, in seiner vollen
Allgemeinheit wird dasselbe an keiner Stelle des Buches klar ausgesprochen.
Berlin. E. Aschkdjasb.

F. Kirharz, Nettere Fortschritte auf dem Gebiete der Elektrizität.

In wissenschaftlich-gemeinverständlicher Weise dargestellt. Zweite, wenig
veränderte Auflage. Mit 97 Abbildungen im Text. V u. 128 S. Leipzig
1902, B. G. Teubner.
In dieser Schrift wird in erweiterter Form der Inhalt von fünf Vor-
trägen wiedergegeben, die von dem Verfasser bei verschiedenen Gelegen-
heiten gebalten wurden. Kaum drei Jahre nach dem Erscheinen der ersten
ist die Herausgabe der vorliegenden zweiten Auflage erforderlich geworden,
welche noch durch einige Zuslltze und Verbesserungen, sowie durch eine
schönere Ausstattung bereichert worden ist. Gleich ausgezeichnet nach
Form und Inhalt kann die Lektüre des Büchleins jedem aufs wärmste em-
pfohlen werden, der sich für die Ergebnisse und Probleme der neueren
Forschung auf dem Gebiete der Elektrizität interessiert. Auch der Fach-
mann wird an der eleganten und geistreichen Darstellung des Verfassers —
insbesondere in den Auseinandersetzungen über die Faraday-Maxwellsche
Theorie — seine Freude haben.

Die Titel der einzelnen Vorträge lauten folgendermaßen: I. Die magne-
tischen und elektrischen absoluten Maßeinheiten. Ampere, Volt, Ohm. —
II. Die Hertzschen elektrischen Schwingungen und die stehenden Wellen
auf Drähten. — HI. Hertzsche Wellen in freier Luft; Strahlen elektrischer
Kraft und die Telegraphie ohne Draht. — IV. Die Kraftlinien Faradays
und seine Anschauungen über das Wesen der elektrischen und magnetischen
Erscheinungen. — V. Ober Kathodenstrahlen und Röntgenstrahlen.

Im letzten Kapitel wäre die dort wiedergegebene ältere, von Crookes
herrührende Deutung für die ponderomotorischen Wirkungen der Kathoden-
strahlen gemäß den neueren Versuchen von Grätz (Ann. d. Phys. 1, S. 648.
1900) zu berichtigen gewesen.

Berlin. E. Asi iikinass.

F. Exiier and E. Hitöchek. Wellenlängen -Tabellen für Bpektral-
analytiache Untersuchungen auf Grund der ultravioletten Funken-
spektren der Elemente. 2 Bände. IV u. 83 u. 269 S. Leipzig und
Wien 1902, Franz Deutike.
Die Verfasser haben während der Jahre 1895 — 1901 die ultravioletten
Funkenspektren fast aller bekannten Elemente neu ausgemessen und die
Resultate schon früher in einer Reihe von Abhandlungen in den Sitzungs-
berichten der Kais. Akademie der Wissenschaften zu Wien publiziert. In
den vorliegenden beiden Bänden geben sie eine übersichtliche Zusammen-

21*

324

Rezensionen.

Stellung des gesamten von ihnen gewonnenen Zahlenmaterials. Voraus-
geschickt wird eine Einleitung, in welcher einige allgemeine Gesichtspunkte,
die angewandten Untersuchungsniethoden und die Genauigkeit der Messungen
diskutiert werden.

Zur Erzeugung der Funken wurde in allen Fallen ein Hocbspannnngs-
transformator benutzt; die Spektren wurden von einem großen Rowland-
achen Konkavgitter entworfen und photo graphisch aufgenommen. Die
Untersuchungen erstrecken sich vom äußersten Ultraviolett bis ins Bim
von der Wellenlänge 4700 Angström- Einheiten. Als Vergleichsspektrum
für die Ausmessung der Platten — dieselbe geschah auf einer Skala, auf
welche die pbotographischen Aufnahmen projiziert wurden — diente das
Bogenspektrum des Eisens und im äußersten Ultraviolett noch außerdem
das Funken Spektrum einer Nickel-Kupferlösung auf Kohle, unter Zugrunde-
legung der Ro wlandschen Zahlen. Die durchschnittliche Genauigkeit der
Messungen wird zu 0,015 A.-E. angegeben. Im ganzen wurden 75 Element*
der Untersuchung unterzogen. Es sind das alle gegenwärtig bekannten, mit
Ausnahme der seltenen Gase Argon, Helium etc., die sich nicht leicht
normalem Druck untersuchen lassen, und des Terbiums, welches sich zur
Zeit nicht in genügender Reinheit darstellen läßt

Der erste Teil des Werkes enthält zuerst eine Tabelle, in welcher
alle Elemente nach ihren chemischen Symbolen alphabetisch geordnet und
bei jedem Element wenige Hauptlinien angegeben sind, die zunächst auf-
treten müssen, wenn das Element überhaupt vorhanden ist. Zugleich sind
hier, wie auch in den folgenden Tabellen, überall die relativen Intensitäten
der einzelnen Linien im Anschluß an die Rowlandsehe IntensitätsskaU
zugefügt. Eine zweite Tabelle enthält alle Linien sämtlicher Elemente,
deren Intensität nach der gewählten, von 1 — 1000 sich erstreckenden Skala
größer als 2 ist; die Linien sind hier nach Wellenlängen geordnet unter
Beifügung der Elemente, denen sie angehören.

Der zweite Teil umfaßt, wieder in alphabetischer Reihenfolge in
Symbole, die vollständigen Spektren der einzelnen Elemente. Als linien-
reichstes Element wird das Uran mit nicht weniger als 5270 Linien auf-
geführt.

Aus der Gesamtheit ihres Beobachtungsmaterials vermögen die Ver-
fasser einen Zusammenhang mit dem periodischen System der Elemente w
erkennen. Vor allem zeigt die Anzahl der Linien, die den einzelnen
Elementen zukommen, wenn letztere nach steigendem Atomgewicht geordnet
werden, eine wechselnde Zu- und Abnahme (mit im allgemeinen steigender
Tendenz gegen die hohen Atomgewichte), die dem periodischen 8ystem
völlig entspricht.

Berlin. E. Aschkinass.

ystem

8.

Gustav Holzmüller. Elemente der Stereometrie. Teil IT Leipii
1902. G. J. Göschen. XI u. 311 S. Preis 9 Mk., geb. 9,50 Mk.
Der letzte Band ist hauptsächlich mechanischen Begriffen gewidmet.
Statisches und Trägheitsmoment von Flächen und Körpern werden als
sondere Fälle von allgemeinen Momenten aufgefaßt, bei denen der
schnitt der Fläche oder des Körpers, parallel zur Bozugsgeraden und -ebene,
ein Aggregat von Gliedern der Form na* ist, wobei x den Abstand des

Rezensionen

325

Querschnitts von dem Bezugsgebilde bedeutet. Dieselbe Behandlung wird
zum Teil auch für Polarmomente durchgeführt, wobei dann x den Abstand
von dem Bezugspunkt bedeutet und der Querschnitt für die Fläche ein
Kreis und für den Körper ein Kugelstück ist Die angeführten Momente
werden so weit als möglich als Inhalte von Körpern anschaulich dargestellt,
Es wird darauf hingewiesen, daß die Simpson sehe Regel für die Berech-
nung vorteilhaft ist, und daß sie außer für p = 0, 1, 2 auch für p = 3
gilt. Ferner werden die Trägheitsellipsen von Poinsot und Clebsch-
Culmann ausführlich behandelt, ebenso das Zentrifugalnioment nebst der
zugehörigen Lemniskate. Anwendungen begleiten die Darstellungen. Der
folgende Abschnitt beschäftigt sich mit den Flächen zweiten Grades und
ihren verschiedenen Momenten. Ein Schlußabsohnitt enthält einige Nach-
träge zum dritten Teile. —

Nachdem so die Elemente der Stereometrie einen Abschluß gefunden
haben, ist es vielleicht angebracht, über das umfangreiche Werk noch
einige Worte zn sagen. Über die Bedeutung, die der Verf. der elementaren
Behandlung der Mathematik für diese seibat und für die Technik zumißt,

^ist viel gesprochen und geschrieben worden. Ich lasse es dahingestellt,
welche von den Meinungen man vertritt. Für das vorliegende Werk wird
jeder Unbefangene zur Überzeugung kommen, daß der Verf. in ihm eine
große Menge von Wissen sowohl der Elementarmathematik im engeren
Sinne, als auch der Elemente der Fiäehenlehre, der Mechanik, der
theoretischen Physik und der Technik zusammengetragen und in zusammen-
hängender und harmonischer Weise aneinandergegliedert hat. Die Dar-
stellung ist klar, obgleich manclimal etwas breit, aber sie wird von guten
Zeichnungen unterstützt. Ich glaube, der Lehrer der Mathematik, besonders
der an Fachschulen wirkende, wird viel Belehrung aus dem Buche schöpfen
können und in ihm vor allem Anregung zu geeigneten Aufgaben finden.
Für einen Studenten werden ferner einzelne genau durchgeführte Beispiele
von Wert sein, die ihm erst einen klaren Blick über die im Hörsaal vor-
getragenen Theorien verschaffen und zu denen der Hochschulunterricht in
den seltensten Fällen genügend Zeit hat,

Dortmund, Februar 1903. H. Kühne.

Robert Flicke. Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung
als Leitfaden zum Gebrauch bei Vorlesungen. 3. Aufl. Braun-
schweig 1902. Vieweg und Sohn. XV u. 218 S. Preis 5 Mk., geb.
5,80 Mk.
Dieser Leitfaden war vorher in drei getrennten Abteilungen erschienen
und zunächst nur für den engeren Schülerkreis des Verfassers berechnet;
es ist sehr zu schätzen, daß die drei Abteilungen jetzt zu einem Bande
vereinigt auch dem größeren Kreise der Mathematiker zugänglich sind.
I». i Name des Verf. bürgte dafür, daß die dargestellten Sätze einen scharfon
und dabei doch anschaulichen Ausdruck linden würden. Und das ist in
der Tat der Fall. Ich kenne kein Buch über die Elemente der Analysis
das in solcher Kuappheit und Anschaulichkeit die Begriffe und Sätze ent-
wickelt. Tn der Einleitung werden nach Erledigung des Begriffs der Ver-
änderlichkeit und der Funktion die elementaren Funktionen besprochen.

326

Rezensionen.

Der erste Abschnitt gibt dann die Grundlagen der Differentialrechnung, der
zweite ihre Anwendungen. Der dritte Abschnitt ist der Integralrechnung
gewidmet. Der vierte behandelt die Funktionen mehrerer Veränderlicher and
gibt dabei einen Abriß der Grundelemente der Kurven- und Flächenlehre.
Der fünfte Abschnitt erledigt die Anfänge der Differentialgleichungen, und
der Anbang bringt die komplexe Zahl und die Funktionen kompW-
änderlicber. Bemerkt sei, daß erfreubcberweise auch die hyperbolischen
Funktionen ausführlich behandelt worden sind. Beweise werden des ge-
ringen Raumes wegen nur andeutungsweise gebracht, doch genügen diese
Andeutungen in den meisten Fällen vollkommen. — Das Werk wird
manchem Mathematiker zur schnellen Orientierung über irgend welche
Punkte der Elemente willkommen sein. Vornehmlich wird es aber von
Nutzen für ilen angehenden Techniker sein. Ich stimme dann dem I
vollkommen bei, wenn er sagt: daß die von ihm gegebenen Grundlagen
für das weitere Studium der technischen Wissenschaften notwendig und hin-
reichend seien. Und den schweren Stoff hat ja der Verf. den Herren aus der
Praxis durch anschauliche Darstellung und gute Skizzen schmackhaft gemacht.
Dortmund, Februar 1903. H. Köhkb.

MartllH. Astronomieene Erdkunde, Ein Lehrbuch angewandter Mathe-
matik. Kleine Ausgabe. Zweite Auflage. Dresden und Leipzig 1902.
C. A. Kochs Verlagsbuchhandlung. 8°. Xu u. 127 S. Ungeb. 2,*0 Mk.

Die „Schul - Ausgabe" der „Astronomischen Geographie" von Marin*
(Leipzig 1881) ist jetzt in IL Auflage als „Kleine Ausgabe" der „Astro-
nomischen Erdkunde" erschienen. Der Verf. gibt wiederum einen Auwng
aus seinem größeren Werk gleichen Namens; doch soll die „Kleine Aus-
gabe" selbständig gebraucht werden können, während die frühere „Schul-
Ausgabe" vornehmlich für die Repetition von im Unterricht Gebotenem
eingerichtet war. So fanden sich in der alten Auflage mehrfach nur Über-
schriften für einzelne Absätze. Dem etwas veränderten Ziele entspringen
verschiedene Umgestaltungen des Buches. Einzelne Entwicklungen sind
breiter ausgestaltet, Ref. nennt hier: 24. Die Mikrometerablesung, 68. Unsere
Stellung zur Mondsichel, 69. Datum wechsol , 82. Das Messen der Grund-
linie und 115. Mitteleuropäische Zeit. Anderes ist zum Ausgleich fort-
gelassen. Eine Umstellung hat die Behandlung des ekliptischen System?
erfahren; sie wurde aus Abschnitt I „Der Sternhimmel" herausgenommen
nnd dem Abschnitt DI „Die Erde" zugewiesen. Es stört das den System h\
Aufbau und ist für Schulzwecke nicht nötig, wohl aber zweckdienlich, um ein
unabhängiges Verständnis des Buches zu erleichtern. Neu hinzugefügt ist in der
Einleitung eiue kurze Darstellung der Hauptsätze der Kugeldrei ecksrechnung.

Die neue Auflage enthält, wie schon im Titel, so auch in dem Buche
selbst zahlreiche Verdeutschungen in der Ausdrucksweise.

Die vorzüglichen Figuren sind mit Auslassungen dieselben wie in der
ersten Auflage.

Ref. kann das Buch für den Unterricht in der Mathematik, Physik
und Erdkunde auf der Oberstufe unserer höheren Lehranstalten auch in
seiner neuen Gestalt auf das wärmste empfehlen.

Schöneberg. E. Kuixbich,

Rezensionen.

327

F. Bohnert. Elementare Stereometrie. Sammlung Schubert IV.
Leipzig 1902. Göschensche Verlagshandlung. 8°. VII u. 183 S.
119 Fig. Geb. 2.40 Hk.

Teil I bebandelt die stereometrischen Grandgebilde, die körperlichen
Ecken, den Rauminhalt einfacher Körper, die Kugel und die regelmäßigen
Körper. Bohnert will hier etwa bis an die Grenze des stereomotrischen
Pensums der sechsstufigen Realschuten gehen. Teil II bringt den Begriff
des Zentralkörpers und seine Benutzung, die Simpsonsche und Guldinsche
Regel, sowie einiges über Kegelschnitte. Von der darstellenden Geometrie,
deren Elemente ja Bd. XII der Sammlung Schubert enthält, ist nichts
aufgenommen.

Die Anordnung ist klar, die Darbietung geschickt, die Figuren sind
meist gut und zweckentsprechend. Ref. vermißt, zumal da dw Verfasser
im letzten Abschnitt der Einleitung ausführlicher von den Figuren handelt,
eine kurze Angabe der gewühlten Darstellungsart räumlicher Gebilde, etwa
unter Verweisung auf Bd. XII. Den Entwicklungen sind zahlreiche inter-
essante Aufgaben mit Lösungen hinzugefügt. Eier wären bei numerischen
Betspielen die angenäherten Lösungen besser als solche zu kennzeichnen;
am irreführendsten ist S. 53 Aufgabe 41 die außerdem recht ungenaue
Angabe J : J x = 3 als das Verhältnis des Volumens eines gleichseitigen
Kegels und eines ihm eingezeichneten Cylinders von quadratischem Achsen-
schnitt. Falsch ist die S. 51 zu Aufgabe 27 angegebene Lösung. Die
Lösungen S. 65 Aufgabe 7 und 8. 163 Aufgabe 13 enthalten Druckfehler.
S. 163 Z. 1 ff. ist im Ausdruck verfehlt, so daß schwer verständlich ist, was
gemeint ist.

Das Buch ist für das Eindringen in die Stereometrie durch Selbst-
studium und zur Vertiefung von im Unterricht Behandeltem durch Privat-
lektüre recht empfehlenswert und kann auch von den Unterrichtenden wegen
verschiedener Anregungen und wegen seines Aufgabenmaterials mit Nutzen
verwendet werden.

Schöneberg. E. Kullrich.

Fr. Pietzker. Bardeys Anleitung zur Auflösung eingekleideter

algebraischer Aufgaben. Zweite, völlig umgearbeitete Auflage.

Leipzig u. Berlin. B. G. Teubner 1903. 8°. 160 ß. Geb. 2,60 Mk.
Wie Pietzker selbst im Vorwort angibt, hat das vorliegende Buch
von dem älteren, 1887 als „erster Teil" „Aufgaben mit einer Unbekannten"
erschienenen außer dem Titel nichts übernommen; auch dieser hätte sehr
wohl verändert werden können, etwa in: Musterbeispiele für die Auflösung
eingekleideter algebraischer Aufgaben. Das Buch bringt auf den ersten
drei Seiten allgemeine Gesichtspunkte für den Gleichungsansatz, in seinem
übrigen weitaus überwiegenden Umfange Musterbeispiele. Wenn aber
Pietzker Wert legt nicht nur auf die Beibehaltung von Bardeys Namen,
sondern auch auf die der Bezeichnung, so ist letzteres durchaus dadurch
begründet, daß Pietzker überall strebt, das Typische zu betonen, die all-
gemeinen Richtungen der Lösungswege zu kennzeichnen.

Die allgemeinen Gesichtspunkt« der ersten drei Seiten sind sachgemäß
und aus langer Erfahrung herausgewachsen; vielleicht hätten noch An-
weisungen allgemeiner Art hinzugefügt werden können.

Rezensionen,

Bei den Musterbeispielen sind für die Anordnung ausschlaggebend die
Gebiete, in welche uns die Einkleidung der Aufgaben führt, nicht die Art
des auftretenden Gleichungssystems. Ja Pietzker nimmt auch Aufgaben
auf, die mit Gleichungen überhaupt nichts zu tun haben (VId und et,
Die Aufgaben sied vielfach eigenartig, stets interessant und fast durchweg
exakt sowohl in der Formulierung als auch in der Behandlung. Im einzelnen
sind Aufgabe 30 und 35 nicht klar genug gefaßt, bei 49 ist die Frage-
stellung wohl durch eine andere zu ersetzen, bei 67 fehlt die Angabe des
Zinsfußes (3Vj%)- ^. ^* ^ a ^ s ' cn Pietzker den Hinweis auf die ge-
meinsamen unendlich fernen Punkte der Hyperbeln und manche schöne Be-
merkung, die sich gerade hieran knüpfen ließe, entgehen. Störend empfindet
Ref. das Fortlassen der Klammern, wenn gemischte Rechenoperationen vor-
liegen, und die Division erst nach den anderen Rechnungsarten erfolgen
soll, z. B. S. 40:

2-950 + y 850: 1078 ■ 900

statt:

(x ■ 850 + V ■ 850) : 1078 • 900.

Pietzker schreibt für drei Kategorien von Lesern: 1) Lehrer, 2) Schüler,
3) solche Freunde der Mathematik, die ohne Anleitung von seiten einer
Schule sich eine gewisse Fähigkeit in der Erwerbung eingekleideter al-
gebraischer Aufgaben erwerben wollen,

Allen drei Kategorien kann das vorliegende Buch durchaus empfohlen
werden.

Schöneberg. E. Kullrich.

A. von Braimmtthl. Vorlesungen über die Geschichte der Trigono-
metrie. Zweiter Teil: Von der Erfindung der Logarithmen bis
auf die Gegenwart. XI u. 264 S, mit 39 Figuren im Text. Leipzig,
1903, B. G. Teubner.
Die Vorrede zum ersten Teile des vortrefflichen Werkes trägt das
Datum August 1899, die zum zweiten Teile das Datum Januar 1903, Pf
leBende Publikum hat also gut drei Jahre auf die sehnlich erwartete Fort-
setzung zu warten gehabt. Der Verfasser freilich kann umgekehrt mit be-
rechtigtem Stolze sagen, nur drei Jahre habe er gebraucht, um die Riesen-
arbeit zu vollbringen, welche in diesen IG 1 /, Druckbogen aufspeichert ißt.
Wohl 600 Bücher und Abhandlungen sind so erwähnt, daß man die Über-
zeugung gewinnt, der Verfasser müsse sich mit ihnen genau bekannt gemacht
haben, und wer selbst geschichtlich gearbeitet hat, der weiß, daß nicht
selten die Anzahl der nutzlos durchgelesenen Schriften nicht geringer war als
die solcher Vorarbeiten, welche man zu verwerten, also auch zu erwähnen
hatte. Nimmt man überdies in Betracht, daß etwa die Hälfte des Band«
es mit Gegenständen zu tun hat, die geschichtlicher Sichtung noch nie unter-
breitet waren, so erkennt man die Berechtigung des Wortes Riesenarbeit,
dessen ich mich bedient habe.

Der Stoff ist in 6 Kapitel gegliedert: 1. die Erfindung der Logarithmen
(S. 1 — 38 in 5 §§); 2. die Trigonometrie bis zum Beginn des 18. Jahr-
hunderts (S. 38 — 68 in 3 §§); 3. die Entwickelung der Trigonnm> i
18. Jahrhundert bis zum Auftreten Eulers (S. 68 — 101 in 4 §§); 4 Leonhard

rtwcmrinnon

329

Euler (S. 101 — 125 in 3 §§); 5. Eulers Zeitgenossen und Nachfolger im
18. Jahrhundert (S. 126—168 in 4 §§); 6. die Trigonometrie im lü. Jahr-
hundert (S. 169 — 250 in 8 §§). Der Verfasser hat also bis zum Schlüsse
die chronologische Einteilung in der Kapitelfolge festgehalten, die Zerlegung
in dem Gegenstand nach verwandten Unterabteilungen innerhalb der Kapitel
den Paragraphen vorbehaltend. Ersetzt man das Wort Kapitel durch Ab-
schnitt, Paragraph durch Kapitel, so ist das die gleiche Gliederung, deren
ich mich in meiner Geschichte der Mathematik bedient habe, welche sieb
demnach wenigstens für ein beschränktes Gebiet, wie es das der Trigono-
metrie ist, auch bis zur Gegenwart mit Vorteil benutzen läßt. Mit Vergnügen
sah ich, daß Hr. v. Braunmühl noch in einer anderen Beziehung gleicher
Ansicht mit mir ist. Er schließt jedes einzelne Kapitel mit einem Rück-
blick auf die behandelte Zeit und erleichtert dadurch dem Leser die
Zusammenfassung in ein Gesamtbild, nachdem derselbe vorher mit Einzel-
heiten überhäuft vielleicht Gefahr lief, den eigentlichen Zeitcharakter oicht
zu erkennen. Ich bin überzeugt, der Leser wird Hrn, v. Braunmühl für
diese Erleichterung Dank wissen. Es ist fast überflüssig zu bemerken, daß
auch das Auffinden von Einzelheiten durch ein sehr umfassendes Namen-
nnd Sachregister ermöglicht ist.

Die vier ersten Kapitel sind Zeitabschnitten gewidmet, welche auch
in meiner Geschichte der Mathematik Behandlung fanden, natürlich aber
dort etwas weniger eingehend erörtert wurden. Gleichwohl gestehe ich un-
umwunden, daß einzelne Lücken aufgefüllt zu werden verdienen und an der
Hand des 2. und besonders des 3. Braunmühischen Kapitels ausgefüllt
werden können. Im 2. Kapitel ist (S. 44) Thomas Streete (1626 bis
1696) als Verfasser einer englischen Astronomia Carolina von 1661 ge-
nannt. Das Buch muß sehr bekannt gewesen sein, da Doppel mayr es
1705 ins Lateinische übersetzte. Das Bedeutsamste in demselben ist die
Einführung eines Hilfswinkels zur Erhöhung der logarithmischen Brauch-
barkeit einer Formel, also ein Kunstgriif, der nicht erst 1748 von Thomas
Simpson zur europäischen Übung gelangte. Auch zwischen Streete und
Simpson wird die Anwendung von Hilfswinkeln nachgewiesen.

Zahlreicher sind die Ergänzungen unseres seitherigen Wissens im
3. Kapitel. Wohl zum ersten Mal ist in dem Briefe Newtons an Leibaiz
vom 13. Juni 1676 die Reihe für den Sinus eines ungraden Vielfachen
eines Bogens:

sin rup = n • sin <p + ; — am tp 3 + - - ■ } - — sin m + ■ • ■

nachgewiesen worden (S. 69). Pur De Laguv wird mit dem Datum 1705
die Reihe für tag tttp aus Ingqp in Anspruch genommen, mit welcher
Johann Bernoulli erst 1712 an die Öffentlichkeit trat, und dem gleichen
Aufsatze von 1705 wird nachgerühmt, daß in ihm /.um ersten Mal die
Zeichen der Tangente für Winke! verschiedener Quadranten sowie die
Periodizität der Funktion richtig erkannt sind {S. 71 — -72). Wieder De
Lagny war es, der 1719 durch die Behauptung, daß jeder rationalen
Tangente ein irrationaler Bogen entspreche, eine Vorahnung des dem Ende
de« 19. Jahrhunderts vorbehaltenen Nachweises der Transcendenz von n
äußerte (S. 81 und 83). In Newtons Arithmetica universalis ist die

330

Rezensionen.

trigonometrische Gleichung

a-\-b

sin[B +

C

erkannt. Nun ist aber

(C\ CO/

B-\--\ — sin 2?- cos - + cosl?- sin- = siaB- cos (90°

A + B

Ä + i

- cos B • sin (90° - ^-^) *

-f cos B • cos — ^

(A + B

-«)-

OOI

A—B

, die Newton sehe Gleichung also in Über-

A — B

Einstimmung mit

a + b

welche Mollweide 1808 veröffent-

lichte und welche deBsen Namen führt (S. 87). Die Analysis Iriatipilorum
(1746) von Friedrich Wilhelm von Oppel wird einer unverdienten
Vergessenheit entzogen und als Ziel dieses Schriftstellers hervorgehoben,
aus wenigen geometrisch gewonnenen Sätzen die ganzen Formelsysteme der
ebenen und sphärischen Trigonometrie durch algebraische Rechnung zu ent-
wickeln (S. 98).

Das 6. und 6. Kapitel bilden Hrn. von Braunmühls eigenstes Eigen-
tum, da zusammenhängende Vorarbeiten für die hier behandelten Zeit-
abschnitte fast ganz fehlen. Um so schwieriger ist es aber auch, nach
einmaligem Durchlesen dieser beiden Kapitel ein endgültiges Urteil zu fällen.
Erst wiederholte Benutzung kann und wird zeigen, ob diese Kapitel wirklich
auf der Höhe der ihnen vorhergehenden stehen. Ich kann nur erklaren,
daß sie auf mich den vortrefflichsten Eindruck machen. Die Arbeiten von
Pingre, von Lambert, von Klügel, von Lexell, von L'Huillier, von
Lagrange, von Cagnoli, von Maskelyne, von Boscowich, von Maudnit,
von Kästner, von Karsten, von Legendre, um nur die Koryphäen des
6. Kapitels zu nennen, dann wieder aus dem 6. Kapitel die Arbeiten von
Carnot, von Gauß, von Bohnenberger, von Cauchy, von Bret-
schneider, von Karl Friedrich Schulz, von Gudermann, von Möbius,
von Grunert, von Delambre, die neuesten Untersuchungen von 8tudy
und von zahlreichen anderen in den verschiedenen Ländern, deren Gelehrte
an dem Fortschreiten der mathematischen Wissenschaften beteiligt sind, sie
alle sind erörtert und gewürdigt. Vielleicht hätte. Pfleiderers ganz eigen-
artige Trigonometrie und ebenso die von von Müncho w etwas ausführlicheres
Verweilen gerechtfertigt; vielleicht wäre auf die Meinungsverschiedenheit,
ob singj* oder sin'<jp zu schreiben ist und auf den Ursprung der letzteren
Schreibweise, zugleich auch auf das sin - 1 <p = arc sin <p englischer Schrift-
steller einzugehen gewesen. Indessen sind dieses nur geringfügige Wünsche
gegenüber der freudigen Zustimmung zu dem ganzen Werke.

Heidelberg. M. Caxtor.

H. 0. Zenthen. Hiatoire dea niathomatiques dans l'antiquite et le

moyen äge. Edition franeaise, revue et corrigee par l'auteur, tradnit*

par Jean Mascart. Paris: Gauthier-Villars, 1902. IX u. 296 S. 8'

Die dänische Originalausgabe dieser kurzgefaßten Geschichte der

Mathematik im Altertum und Mittelalter ist 1893 erschienen, die deutsche

Versetzung 1896. Nunmehr liegt auch eine französische Ausgabe vor, in
welcher der Verf. einige neue Ergebnisse der mathematischen Geschichts-
forschung hat verwerten können. An dem Zustandekommen dieser neuen
Ausgabe hat der beste französische Kenner der Geschichte der Mathematik
im Altertum, Herr Paul Tannery, sein Interesse dadurch bekundet, daß
er einige Anmerkungen beigesteuert hat.

Das Buch war zunächst für Studenten und Lehrer der Mathematik in
Dänemark bestimmt, wo die geltenden Prüfuugsbestimmungen eine Übersicht
über die Geschichte der Mathematik fordern. Der Verf. hebt dasjenige aus
der Geschichte der Mathematik der behandelten Zeit hervor, was dem be-
zeichneten Leserkreise zu wissen wichtig ist. Daher fehlt der gelehrte
Apparat, den die Anzeige der deutschen Ausgabe im Archiv der Math. (2) 15,
Lit. Ber. S. 27 vermißte; dafür ist die knappe Darstellung sachlich und
anregend. Durchaus zu billigen äst aus denselben Gesichtspunkten die ver-
hältnismäßige Breite, mit der die griechische Mathematik behandelt ist, und
die Kürze, mit der die übrigen Teile abgetan sind.

Bei dei Erscheinung der Übersetzung eines Werkes, das sich durch
seine Vorzüge den Beifall der sachkundigen Gelehrten und der lernenden
Jugend erworben hat, bedarf es keiner neuen eingehenden Besprechung, ob-
wohl nicht verschwiegen werden darf, daß manche Bedenken gegen eine
Eigenart des hochverdienten Verfassers, die Hineintragung subjektiver An-
sichten, ausgesprochen worden sind. Als einen Vorzug der französischen
Ausgabe wollen wir aber das recht vollständige alphabetische Namen- und
Sachregister erwähnen.

Dagegen dürfte es vielleicht an der Zeit sein, nachdrücklich diejenigen
Bestrebungen zu unterstützen, aus denen die Abfassung des Buches hervor-
gegangen ist

Der Stoff, den der Mathematiker auf den Mittelschulen lehren muß,
hat bisher auf den Universitäten nur wenig Berücksichtigung gefunden.
Daher hatte der Verein mathematischer Mittelschullehrer in Italien Asso-
ciazione „Mathesis" auf der Turiner Versammlung im September 1898 auf
die Tagesordnung die Frage gesetzt nach den Modifikationen in der An-
ordnung der mathematischen Universitaststudien zur Erzielung guter Mittel-
schullehrer, und der Bericht des Herrn Luigi Certo über diese Frage,
der unter anderen Forderungen die Einrichtung einer Vorlesung über Ge-
schichte der Mathematik verlangte, wurde mit jubelndem Beifalle auf-
genommen. Auf derselben Versammlung hatte Herr Gino Loria in
längerem Vortrage die Bedeutung der Geschichte der Mathematik als eines
Bindegliedes zwischen dem Mittelschul- und dem Universitäts-Unterricht be-
leuchtet und besonders die Wichtigkeit des Studiums der euklidischen
Elemente auseinandergesetzt

Ähnliche Anregungen sind bei den verschiedenen Völkern gegeben
worden und nicht ganz erfolgslos geblieben. So berichtet Herr Mansion
in der Bibliotheca Mathematica (3) 1, 232 — 236 über die Kurse in der
Geschichte der Mathematik an der Universität zu Gent und erzählt am
Schlüsse seines Berichtes, daß Zeuthens Geschichte der Mathematik im
Altertum und Mittelalter, ergänzt durch Felix Müllers Zeittafeln zur Ge-
schichte der Mathematik, als literarische Hilfsmittel dienen. „Das Zeuthen-
sche Buch scheint, obwohl stark durchsetzt mit persönlichen Ansichten des

M2

Rezensionen

Autors — vielleicht gerade deshalb — , anregender zu sein als die Handbücher
von Ball, Cajori, um so mehr also als die von Hoefer und von Boyer."

Leider reicht das Buch des dänischen Gelehrten nur bis zum Ende des
Mittelalters: doch bemerkt Herr P. Tannery in seiner ausfuhrlichen An-
zeige der französischen Übersetzung (Bull, des sc. math. (2) 26, 313 — 319),
daß Herr Zeuthen das dänische Manuskript der Geschichte der Mathe-
matik im XVI, und XVII. Jahrhundert schon vollendet hat. Wir können
also hoffen, die Fortsetzung des vorliegenden Bandes bald in die Hände
zu bekommen. Der geistvolle und kenntnisreiche Verfasser wird durch die
Veröffentlichimg des zweiten Bandes, der den Stempel seines Geistes tragen
wird, das Interesse an der Beschäftigung mit der Geschichte der Mathe-
matik wiederum fördern, und hoffentlich wird der vom Auslande kommende
neue Anstoß dazu beitragen, in dem deutschen Universitätsunterrichte die
vis inertiae zu überwinden, die an den meisten Hochschulen einer be-
scheidenen Bewegung nach der gewünschten Richtung entgegensteht, obschon
doch gerade Deutschland in Moritz Gantor den ersten Geschichtsforscher
der Mathematik besitzt und zahlreiche jüngere Gelehrte als Nachfolger des
Nestors ihrer Wissenschaft voll Eifer tätig sind. Anzeichen einer solchen
Bewegung sind ja an einigen Stellen bereits vorhanden.

Berlin. E. Laufe.

Karl T. Fischer. Der nattirwisBensehaftliche Unterricht in Eng-
land, insbesondere in Physik und Chemie. 94 S. Leipzig 1901,
B. G. Tenhner.

Diese äußerst klar und anregend geschriebene Studie gibt Anschauungen
und Erfahrungen wieder, welche der Verf. auf seinen beiden Reisen im Jahre
1897 und 1898/99 mit scharfem Auge und offenem Ohr über den natur-
wissenschaftlichen Unterricht in England gesammelt hat. Jeder, der sich für
die Entwicklung und Vertiefung dieses Unterrichts interessiert, wird in dem
Büchlein reiche Anregung finden. Besonders interessant ist die Beschreibung
und Kritik der besonders von Armstrong vertretenen „heuristischen
Methode", welche fordert, man soll den Schülern auf allen Stufen der Aus-
bildung „nicht nur von den Dingen erzählen oder Dinge zeigen, sondern
man solle in ihnen die Fähigkeit vermitteln, Aufgaben selbst durch das
Experiment zu lösen — d, h. man solle sie darauf binleiten, selbst zu
entdecken', und zwar sollten ihre Entdeckungen in enger Beziehung zu
den Gegenständen und Erscheinungen dos täglichen Lebens stehen". Die
Vorzüge und Klippen dieser Methode werden klar auseinandergesetzt..

Als Fazit der Betrachtung des englischen Unterrichtswesens tritt für
uns der Wunsch hervor, den naturwissenschaftlichen Unterricht enger als
bisher an unmittelbar wahrnehmbare Erfahrungen und an Experimente an-
zuschließen und von Anfang an die Schüler zu gewöhnen, an messenden
Versuchen Freude zu empfinden. Freilich ist dazu nicht nur eine bessere
Ausstattung der Schulen mit Apparaten und Laboratorien, sondern auch
eine andere Ausbildung der Lehrer nötig. Für einfache Laboratorien und
ihre Einrichtung finden sich in dem Buche gute Vorbilder.

Für die zweite Reise hat das Bayerische Kultusministerium dem Verl
ein Stipendium bewilligt, Hoffentlich gibt der Bericht, welchen er dem

Rezensionen.

333

Ministerium eingereicht hat, Veranlassung zu Verbesserangen im natur-
wissenschaftlichen Unterricht an den bayerischen Schulen. Möchten auch
die Leiter des Unterrichtswesens in anderen Staaten aus dem Fischerschen
Buche Anregung nicht bloß zum Nachdenken, sondern auch zu Taten gewinnen!
Berlin. E. Pmncjsheim.

£. Goursat. Cours d'analyse mathömatique. T. I. Paris, Gauthier-
Villars, VI -f- 620 S. 1902.

Der vorliegende Band behandelt ungefähr den Stoff der älteren fran-
zösischen Lehrbücher der Infinitesimalrechnung mit Ausschluß der Differential-
gleichungen, der Variationsrechnung und der Funktionen eines komplexen
Arguments. Den Anfang machen die Grundbegriffe der Differentialrechnung
für Funktionen einer und mehrerer Veränderlicher; daran schließt sich die
Taylorsobe Reihe mit Anwendungen auf die Theorie der Extreme, sodann
das bestimmte Integral, das unbestimmte Integral, die mehrfachen Integrale.
Es folgt, die Theorie der Reihen mit Anwendungen auf Potenzreihen und
Fouri ersehe Reihen; endlich werden die einfachsten geometrischen An-
wendungen der Infinitesimalrechnung entwickelt.

Als charakteristische Eigenschaft des Werkes darf die große Sorgfalt
bezeichnet werden, mit der die Beweise strenge im Sinne der modernen
arithmetischen Analysis geführt werden. Auf eine begriffliche Auseinander-
setzung über das Wesen der Irrationalzahl wird verachtet; an der Spitze
steht der Satz, daß jede Größe, die beständig, aber nicht über alle
Grenzen wächst, einem bestimmten Grenzwerte zustrebt. Hierdurch wird
eine von Dedekind in seiner grundlegenden Schrift über die Stetigkeit
ausgesprochene Bemerkung verifiziert, nach weicher der angeführte Satz,
ebenso wie auch andere ihm äquivalente, als Fundament der Infini-
tesimalanalysis genommen werden kann. Wenn aber aaeh der Verfasser
des vorliegenden Werkes die volle Strenge der Beweise anstrebt und,
soviel wir sehen, erreicht hat, so verzichtet er doch darauf, in jedem Falle
von den allgemeinsten Voraussetzungen auszugehen, und beschränkt sich
wesentlich auf die in den konkreten Einzelproblemen vorkommenden Fälle.
Jede Theorie wird durch Beispiele erläutert, die entweder ausgeführt oder
als Übungen dem Leser überlassen werden. An bemerkenswerten Einzel-
heiten sei folgendes erwähnt.

Die Differentialrechnung beginnt mit dem Roll eschen Satz, der oft
erst später erscheint; sehr bald folgt eine genaue Theorie der impliciten
Funktionen von einer und mehreren Variablen und der Funktional-
determinanten. Im Anschluß an die Transformation der höheren Ab-
leitungen in neue Variable werden die Transformationen von Legendre
und Ampere sowie der allgemeine Begriff der Berührungstransformation
erörtert. Bei der Theorie der Extreme der Funktionen von zwei Variablen
wird auch der für gewöhnlich zweifelhaft bleibende Fall rt — s 1 = nach
Scheeffer untersucht.

Der Begriff' des bestimmten Integrals wird in aller Strenge entwickelt;
für die Rektifikation der Kurven wird eine hinreichende Bedingung gegeben.
Bei der Gaußschen Methode der mechanischen Quadratur findet sich die
interessante Bemerkung, daß diese Methode, wenn man sie auf willkürliche

334

Rezensionen.

Funktionen anwenden will, eigentlich den Satz von Weierstraß voraus-
setzt, daß jede stetige Funktion in einem beliebigen Intervall mit gleichem
und vorgeschriebenem Grade der Annäherung durch ein Polvnom dargestellt
werden kann. Ist nun dieses etwa vom 2w tea Grade, so läßt sich über die
Größenordnung des Fehlers der Darstellung im Vergleich zur Summe der
Glieder vom (« + l) ten bis zum ätt" 11 im allgemeinen nichts aussagen, und
so bleibt, der Nutzen der Gaußschen Methode bei ganz beliebigen Funktionen
beim gegenwärtigen Stande der Theorie einigermaßen zweifelhaft.

Aus der Theorie des unbestimmten Integrals sei die schöne Methode
von Hermite zur Integration rationaler Brüche erwähnt, welche zeigt, daß
der rationale Teil des Integrals ohne Auflösung algebraischer Gleichungen
hergestellt werden kann. Bemerkenswert ist hier auch die Reduktion der

Integrale f Rc^'dx, in denen R eine rationale Funktion von x ist, auf den

Integrallogarithmus. Die mehrfachen Integrale werden zur genauen De-
finition des Areals einer krummen Fläche benutzt und mit krummlinigen
Integralen in Verbindung gebracht. Als analytisches Beispiel erscheint der
dritte G au ß sehe Beweis des Fundameutalsatzes der Algebra. Weshalb
übrigens dieser als Theorem von d'Alembert bezeichnet wird 1 ), ist mir
nicht verstandlich. Die allgemeine Vorstellung, daß eine Gleichung fi*"
Grades n Wurzeln besitzt, war doch schon vor d'Alemberts Zeiten ver-
breitet, und der von diesem unternommene Beweisversuch Bteht noch hinter
den ebenfalls mißlungenen von Euler und Lagrange zurück.

In der Theorie der Reihen ist es interessant zu verfolgen, wie schon
gleich anfangs der von Cauchy herrührende Begriff der größten Grenze
oder, wie wir jetzt sagen, oberen Unbestimmtheitsgrenze eingeführt und be-
nutzt wird, um das Kriterium dafür abzuleiten, daß eine Größenfolge gegen
einen bestimmten Grenzwert konvergiert. Überhaupt geht aus der Dar-
stellung dieses Gegenstandes hervor, wieviel die moderne Kritik der
Infinitesimalbegriffe Cauchy verdankt, dessen Verdienste auf diesem Gebiet
gegenüber neueren Autoren vielfach in Vergessenheit geraten sind. Erörtert
wird die absolute und gleichmäßige Konvergenz und letzterer Begriff auch
auf Integrale angewandt, die einen Parameter enthalten und bis zur Grenze
<x> erstreckt sind. In der Theorie der Potenzreihen werden ähnlich, wie es
im ersten Bande der Allgemeinen Arithmetik von Stolz geschieht, eine
Reihe von Sätzen vermittelst reeller Variablen bewiesen, die man meist in
die Theorie der Funktionen komplexen Arguments verweist: die Taylorscbe
Formel, die Formeln für Substitution und Division der Potenzreihen.
Diese Entwicklungen beruhen aber auf dem nicht ganz leicht zu be-
weisenden Satz: daß eine konvergente Doppelreihe mit positiven Gliedern
eine von der Anordnung unabhängige Summe hat.

Bei der Summierung der Fourierschen Reihe gibt unser Werk eine
Modifikation des Dirichletschen Beweises und folgt dabei der Darstellung
einer schönen Abhandlung von Bonn et (Brüsseler Preisschriften Bd. 23)
Für die darzustellende Funktion wird vorausgesetzt, daß sie eine endliche
Anzahl von Unsteügkeiten und Eitremen besitze. Bei dieser Gelegenheit
sei darauf hingewiesen, daß, wie Poincare in seinen Vorlosungen über

1) Iu den französischen Lehrbüchern ist dies allgemein Gebrauch. Red.

Rezensionen.

335

die Theorie der Wärmeleitung gezeigt hat, die Dirichletsche Argumentation
sich sogar noch etwas vereinfacht, wenn man die allgemeinere Voraus-
setzung macht, die darzustellende Funktion sei die Differenz zweier mono-
toner d. h. nicht zunehmender oder nicht abnehmender Funktionen. Die dieser
Bedingung unterworfenen Funktionen sind dann identisch mit denjenigen,
welche Jordan als Funktionen mit beschränkter Schwankung bezeichnet.

Aus den Kapiteln über die geometrischen Anwendungen, die im
ganzen vielleicht einen allzu konservativen Charakter zeigen, sei hervor-
gehoben, daß in der Theorie der Enveloppen eine Bemerkung vorkommt,
die meist erst bei den singulären Lösungen der Differentialgleichungen
begegnet: daß das Resultat der Elimination von a aus den Gleichungen

da

nicht nur die Enveloppe darstellt, sondern auch den Ort der Singularitäten
der Kurven, welche die durch die erste Gleichung definiert« Schar bilden.
Das Werk von Goursat ist ein neues vortreffliches Hilfsmittel für
das tiefer dringende Studium der Analysis und für die wissenschaftliche
Untersuchung.

Berlin. A. Kneser.

E, T. Whittaker. A oourae of modern analysis. An introduction to
the general theory of infinite series and of analytic functions; with an
account of the principal transcendental functions. Cambridge, University
Press. 378 S. 1902.

Das Werk steht hinsichtlich der funktionentheoretischen Methoden und
der Strenge seiner Beweise im ganzen auf modernem Standpunkte, und zeigt
gewisse in der englischen Mathematik herkömmliche Vorzüge: die Allgemein-
heiten werden auf den geringstmöglichen Umfang beschränkt; das individuelle
Leben der Einzelaufgabe findet Interesse, und mit den Anwendungen wird
lebhafte Fühlung gehalten. Die Anordnung des Stoffes ist übersichtlich
und groß die Zahl der Übungsaufgaben , welche durchgehend» höhere An-
forderungen stellen, als man es in den verbreiteten Aufgabensammlungen
gewohnt ist

Nach einer kurzen Darstellung des Rechnens mit komplexen Zahlen
beginnt das zweite Kapitel, übersehrieben die Theorie der absoluten Kon-
vergenz, mit jenem Satze, den du Bois-Reymond als das allgemeine
Konvergenz- und Divergenzprinzip bezeichnet, und entwickelt die wichtigsten
Sätze der allgemeinen Reihentheorie, darunter die Sätze von Cauchy,
Abel, Mertens über das Produkt absolut und bedingt konvergenter Reihen,
sowie Kriterien für die Konvergenz unendlicher Produkte und Determinanten.

Im dritten und vierten Kapitel werden die Grundlehren der allgemeinen
Funktionentheorie mit Benutzung des Konturintegrals entwickelt und die
gleichmäßige Konvergenz der Summen von Funktionen reeller und kom-
plexer Variablen betrachtet, Den Satz von Weierstraß, daß eine gleich-
mäßig konvergente Summe von Potenzreihen wie eine Summe von endlich
vielen in eine einzige Fotenzreihe umgewandelt werden kann, vermissen wir
in dieser einfachen Form, wenngleich er in den §§ 53 und 64 implizite
enthalten ist.

33fi

Union rionnn

Es folgen sodann mannigfaltige Anwendungen der Residuenrechnung
und ein reichhaltiges Kapitel über die Entwickelung von Funktionen in
Reihen und Produkte, in welchem die Formeln von Lagrange, Laplace,
Bürmann und ähnliche aus einer allgemeinen von Darboux herrührenden
abgeleitet werden. Die Zerlegung einer transcendenten ganzen Funktion
in ihre Primfaktoren wird nur für den Fall, daß die logarithmische Ab-
leitung im Unendlichen unter einer festen Grenze bleibt, entwickelt

Bemerkenswert ist das Kapitel über die Fouriersche Reihe dadurch,
daß neben dem Dirichletschen auch der von Cauchy in den Exercice
vom Jahre 1827 gegebene Konvergenz- und Gültigkeitsbeweis atttwiekdl
wird, bei welchem die einzelnen Glieder der Reihe als die Residuen einer
meromorphen Funktion einer komplexen Variablen erscheinen, und die
Summe einer endlichen Zahl von Gliedern durch ein Konturintegral über
jene Fuaktion dargestellt wird. Bei der vorliegenden Form des Oane&J-
schen Beweises fäUt auf, daß die Eigenschaft der dargestellten Funktion,
nur eine endliche Anzahl von Extremen zu besitzen, nirgends benutet wird.
Das erklärt sich daraus, daß die Diskussion des Ausdruckes </, auf 8. 184
wohl nicht ganz ausreicht; die komplexe Variable u> beschreibt namhcb,
wenn k wächst, einen Hehr langen Integrationsweg, so daß das Integral
einer kleinen Größe nicht mehr, wie auf S. 135 geschieht, als klein an-
gesehen werden kann. Die hier vorhandene Lücke füllt man leicht aus
durch die von Picard im Traite d'analyse II S. 170 gegebene Entwickelung,
bei welcher gerade die erwähnte Voraussetzung hinsichtlich der dargf-
Funktion wesentlich ist.

Den Schluß des allgemeinen Teils bildet ein Kapitel über asymptotisch«
Darstellung im Sinne der Theorie von Poineare.

Die zweite Hälfte des Werkes enthält monographische Darstellungen
der wichtigsten speziellen Transcendenten, bei welchen funktionentheoretische
Methoden bevorzugt werden und besonders die Integralformeln durchweg
aus Konturintegralen hergeleitet werden, An erster Stelle steht die Gamma-
funktion; dann folgt die hypergeometrische Reihe, bei welcher die Rie-
mann sehe Theorie sowie die Darstellung durch Schleifenintegrale gegeben
wird. Besonders reichhaltig ist ein Kapitel über die Bessclschen Funktionen.
in welchem unter anderem von der asymptotischen Darstellung eingehend
gehandelt wird.

Nach einem kurzen Abschnitt über die Reduktion der partiellen Differential-
gleichungen der mathematischen Physik auf gewöhnliche DifferentialgleichungM
schließt das Werk mit einer Einleitung in die Theorie der elli]
Funktionen, in welcher Qu und sn u durch die Eisensteinseben PartiaJ-
bruchreihen definiert werden und im ganzen der Gedankengang von Liouvilb
verfolgt wird. Die Weier straßseben Funktionen werden insofern bevorzugt,
als die Funktion o, nicht aber die 6 betrachtet werden. Bei der Abloirum
des Additionstheorems von sn« begegnet uns eine originelle Wendung; während
die an Lagrange anknüpfenden Beweise der Additionsformel auf Differnuris. 1
gleichungen zweiter Ordnung zurückgehen, erscheint hier (§ 192) die ge-
suchte Formel als Integral einer Differentialgleichung erster Ordnung vom
Clairautschen Typus, Auch das Additionstheorem von pu wird sehr elegant
bewiesen. Bei der Inversion des Integrals erster Gattung wird neben der
Hernüteschen Methode die von Weierstraß herrührende gegeben, l*'

ic-nen,

welcher eine Nullstelle des unter dem Quadratwurzelzeichen stehenden
Polynoms vierten Grades als bekannt vorausgesetzt wird. Wir hätten an
dieser Stelle lieber die von Halphen entwickelte Inversionsmethode ge-
sehen, welche die Wurzeln jenes Polynoms nicht benutzt und deshalb weit
praktischer ist; sie ist als eine der schönsten Anwendungen der Funk-
tion yyw anzusehen, bei welcher diese durch die Jacobischen Funktionen
nicht wohl ersetzt werden kann. (S. etwa Appell et Lacour, Fonctions
elliptiques Nr. 157.)

Berlin. A. Knesek.

Fftrle, H. Rechenblätter. Berlin 1902, Mayer und Müller.

Der jüngste Zweig der angewandten Mathematik — die Nomographie —
gibt Methoden zur Konstruktion von Rechentafeln an; eine solche Tafel, die
einer bestimmten, durch eine vorgegebene Gleichung definierten, Abhängigkeit
zwischen veränderlichen Größen entspricht, gestattet unmittelbar die Werte
der abhängigen Variablen aus ihr zu entnehmen, wenn die unabhängigen
irgend welche speziellen Werte haben. Eine Rechentafel, z. B. für drei dun h
eine Gleichung F(x; er, ß) = gebundene Variablen x, er, ß bietet einen
graphischen Ersatz für eine numerische Tabelle mit zwei Eingängen, ohne
dabei jedesmal eine geometrische Konstruktion ausführen zu müssen, wie es
die Methoden der graphischen Statik für die Auflösung von Gleichungen oder
Gleichungssystemen benötigen. In ausführlicher Weise behandelt diesen Gegen-
stand Maurice d'Ocagne in seinem Traite de Nomographie, zu welchem
eine Einführung von Herrn F. Schilling bei Teubner 1900 erschienen ist.

Unabhängig von Herrn d'Ocagne, obwohl später, hat Herr FUrle in
der „wissenschaftlichen Beilage zum Jahresbericht der Neunten Realschule zu
Berlin 1902" eine Theorie der Rechenblätter gegeben und einige Rechen-
blätter für die Praxis konstruiert, die im Erscheinen begriffen sind. Es
liegen bis jetzt vor zwei Rechenblätter zur Auflösung der Gleichung
x s -j-ax* -\- ßz + 1 =»0 und eine dritte Tafel für photographische Zwecke.

Letztere ist eine graphische Darstellung der Gleichungen -f -= = -j. ;

* «■■> 1 -f- -s ; 7 =* 1 + ~i in denen a die Gegenstandsweite, b die Bildweite,

f die Brennweite, er die Gegenstandsgröße, ß die Bildgröße bedeutet.
Dasselbe Rechenblatt kann auch zur Berechnung des Zusammenhanges
zwischen den elektrischen Widerständen von Stromverzweigungen und dem
Gesamtwiderstande, zur Proportionsrechnung, Multiplikation und Division
verwendet werden.

Die Rechenblätter können auf das beste empfohlen werden, da sie
langweilige, sich stets wiederholende Rechnungen, wie sie in der Technik
fortwährend vorkommen, überflüssig machen. Das Einarbeiten in den Ge-
brauch der Rechenblätter bietet keinerlei Schwierigkeiten, und dem Tech-
niker, der den Vorzug derselben — eine große Zeitersparnis — kennen
gelernt hat, werden die Recbenblätler bald ebenso unentbehrlich sein, wie
der logarithmische Rechenschieber, der als die einfachste Art einer solchen
Rechentafel aufgefaßt werden kann.

Berlin Altked Haock.

▲rchiT dar Hill ■— Ht aaS Pkj^üi nx &*[*« VI

Vermischte Mitteilungen.

1. Aufgaben und Lehrsätze. Lösungen.

A. Aufgaben und Lehrsatz«-.

89. Die Funktion j/

= i*lnx

in eine Fouri ersehe Reihe zu entwickeln,

danach die Quadratur der Kurve y = c* 1 ** auszuführen und zwischen den
Grenzen und \n, und si, und 2tt auf 8 Dezimalen genau zu berechnen.
Berlin. E. Lampe.

90. Für die Kurven «* 4- J/ 4 — a'(x? + y 1 ) (in rechtwinkligen Koordi-
naten) l) die Koordinaten der Wendepunkte, 2) den Krümmungsradius als
Funktion des Radius r vom Koordinatenanfang nach dem betreffenden
Punkte, 3) den Flächeninhalt zu finden.

Berlin. E. Laote.

91. Durch fortgesetzte Halbierung des Zentriwinkels erhalt man be-
kanntlich aus dem regulären «-Eck das 2 »-Eck. Faßt man das reguläre
Polygon als ein Ponceletsches mit dem singulftren Modul x=0 auf, H
entsteht die allgemeine Aufgabe, das Ponceletsche 2»i-Eck zu konstruieren,
welches mit dem gegebenen n-Eck zu demselben Modul gehört. Wit tiri
diese Aufgabe gelöst?

Sagan. P. Kokott.

92. Die ans Doppeltangcnten einer ebenen Kurve vierter Ordnung ge-
bildeten Dreiecke zerfallen bekanntlich in zwei Klassen, jenachdem die sechs
Berührungspunkte auf einem Kegelschnitte liegen oder nicht. Diese beidwi
Klassen von Berührungspunktgruppen ergänzen sich in gewissem 9nM
dualistisch; denn während bei den ersteren der Pascalsche Satz gilt, also
die Pascalsche Konstruktion zu drei Restpunkten führt, die auf •".
raden liegen, führt bei den letzteren die Pascalsche Konstruktion m
drei Restpunkten, die mit den bezüglichen Ecken des Dreiecks verbunden
drei durch einen Punkt gehende Gerade liefern. Desgleichen gilt die Um-
kehrung dieses Satzes.

Königsberg i/P. W.

Vermischte Mitteilungen. 33Ö

93. Es liege eine dreiseitige Determinante D = (fi^&jCg) vor. Man
bilde einmal die Determinante der reziproken Elemente A = ( — , r- , — ) ,

andererseits die der reziproken ersten Minoren A' = ( — , «- , — ) • Die

Zahler dieser beiden Determinanten seien mit Z, Z bezeichnet. Dann gilt
die Zerlegung: Z' = ZD*. Diese Formel ist zu beweisen und ev. auf
n-seitige Determinanten zu verallgemeinern.

Königsberg i/P. W. Fr. Meter.

94. Durch eine Schar konfokaler Mittelpunktkegelschnitte ist eine ein-
eindeutige quadratische Verwandtschaft zwischen den Geraden der Ebene
festgelegt: zwei Geraden entsprechen sich, wenn sie bezüglich aller Kegel-
schnitte der Schar konjugiert sind. Den Punkten der Ebene entsprechen
dann die Parabeln, die die beiden gemeinsamen Achsen der Schar berühren.
Damit ist aber zugleich eine ein-eindeutige Verwandtschaft zwischen den
Punkten der Ebene hergestellt, indem man jedem Punkte der ersten Art
den Brennpunkt der bezüglichen Parabel zuordnet Es ist zu zeigen, daß
diese Verwandtschaft nichts anderes ist, als eine Inversion mit dem Zentrum
im Mittelpunkte der Schar, zusammengesetzt mit der Spiegelung an der
Hauptachse der Schar.

Und umgekehrt ist jede Transformation, die sich aus einer Inversion
und einer Spiegelung an einer durch das. Zentrum der Inversion gehenden
Geraden zusammensetzt, dieselbe, die, wie oben angegeben, mit Hilfe einer
bestimmten Schar konfokaler Kegelschnitte, jedem Punkte den Brennpunkt
der zugehörigen Parabel zuweist

Königsberg i/P. W. Fr. Meyer.

95. Soient: M un point d'une ellipse de centre 0, PQ la corde polaire
de M par rapport a 1' ellipse, H et H t les orthocentres des triangles MPQ
et OPQ. Montrer que lorsque le point M vient sur l'ellipse, les points H
et H t ont des positions limites.

1°. Si M parcourt l'ellipse, le lieu de chacun des points H et H x
est une sextique dont les aires U et U x sont en fonction des aires E et
D de l'ellipse et de sa developpee

2°. Le lieu du milieu de B.H X est une conique.
• Gonstantdnople. E. N. Barisien.

96i Wenn die Ecken des Tetraeders U 1 U i U 9 U < durch diejenigen des
Tetraeders E 1 E i E t E i die bary zentrische Darstellung zulassen:

U t - a l E 1 -f o,^ + a,E a + a 4 E 4 ,

U t = a i E 1 + e^E, + a t E a + o,^,

U, - a t E t + « 4 ^ + a 1 E 9 + a,E„

Ut - tti E t + a^ + a 2 £, + a^, •

22*

340

Vermischt« Mitteilungen.

wo ßj + a, -}- e s + tt| = 1 und wo die «j, otj, a a , u 4 voneinander ver-
schiedene, sonst aber beliebige Zahlen bedeuten, dann liegen die beiden
Tetraeder zu einander vierfach hyperboloid. Es ist zu beweisen, daß die
vier hierdurch bestimmten einschaligen Hyperboloide konzentrisch sind und
daß der gemeinsame Mittelpunkt in den gemeinsamen Schwerpunkt der
beiden Tetraeder fällt.

Berlin. E. Jahnke.

97. De^nontrer que la eourbe d^finie par les iquations intrinseques
9 = aV «• + 1 , r - |(e» + f V

apparticnt ä un cylindre circulaire, de rayon o.

Toute courbe plane, definie par une equation intrinseque de la forme

r = — ■+■ b r peut etre appliquee, par simple torsion, sur un cylindre cir-

culaire, de maniöre quelle devienne geodesique d'un cone.
D^montrer que toute ^picyclofde

Quel est ce cone?

8* +

J»« 1

tordue suivant la loi

rs

constante,

6«'

sin 2 a '

peut etre placee sur la surface engendree par la rotation d'une cardiolde
autour de son axe. En particulier on obtient les tneridiens de la surface
pour a = 0, et les asymptotiques pour a = 30°.

Naples. E. CesIro.

B. Lösungen.

Zu 68. (Bd. IV, S. 349) (E. N. Barisien). Es sei AB die Haupt-
achse, der Mittelpunkt der Ellipse, Pj der gemeinsame Berührpunkt, P l P i
äie z\x AB in Q senkrechte Hyperbelsehne, M ihre Mitte, T ihr Pol und
X der gesuchte Hyperbehnittelpunkt. Dann liegt T auf der Verlängerung
von AB und X auf TM. Da TM der zu P t P t konjugierte Durchmesser
ist, so ist der zu AB (_L J\ij) konjugierte Durchmesser OX _L MT-
ferner ist

Sonach hüllt MT eine Ellipse ein, deren Nebenachse mit der Hauptachse
der gegebenen Ellipse zusammenfällt, während die beiden anderen Achten

im Verhältnis —II + ,, J zueinander stehen. X Liegt auf der Fußpunkt-

kurve dieser Ellipse von aus.

Tharandt, Ph. Wetnueister.

Vermischte Mitteilungen.

341

Zu 75. (Bd IV, S. 351) (P. Kok ott): Auf tcelcher Kurve muß sich
Lcmniskate wälzen, damit sich iiir Mittelpunkt auf der Geraden 0|,
welche in der AnfangsstcUung senkrecht tnr Hauptachse steht, weiterschiebe? —
Beziehen wir die gesuchte Kurve auf ein festes Koordinatensystem ÖM = £
und MB = tj, die Lemniskate auf das bewegliche System M A = x und
AB = y, so ist stets , = x% + s

da in jedem Moment der Radiusvektor MB auf OM senkrecht steht, also
mit n identisch ist. Das Bogenelement der Lemniskate ist gleich dem der
gesuchten Kurve, also dx* -f- ^jr* = d£ s -f- &!}*• Es kann daher aus-
gedrückt werden durch

. r G-

A* = - &

wenn man beachtet, daß bei der

Lemniskate

ds = •

yt — r«

Also entsteht aus der Gleichheit
dx 2 -f dy> = dl> + drf:

n'dri

di,

oder

yT^v

'-/Ä (,<1>

Verallgemeinerung: Sei M(x, y) = die Gleichung einer Kurve, deren
Koordinatenanfangspunkt auf der Geraden Of sich fortbewegt. Man bringe
dieselbe vermittelst r a = ij* = x i + y 1 au f die Fonn i = f{n). Dann er-
gibt sich y =y n *-f>{r)), dx = r(ri)dil, d^V^? = (v - ff)d W ,
und es geht die Gleichung dx* + dy* = d|* + dif über ia

f'n-f

d£ =

Für /" = jjtf» erhalt man

d£ =

tjifi'(T))dtj

dij.

Behielt'. — Die bewegliche Kurve heiße r v

cos««p. Dann ist

1 - ^ 1

x = r cos ?> = ij cos — arc cos if, if (>j) = cob — arc cos tf ,

tl; (n) = -sin arc cos if • — - ■ - ' :

*J VT-*»" )

<m

342 Vermischte Mitteilungen.

Für p — n = 1 ist die Gleichung r = cos tp ein Kreis; die feste Kurve
hat dann die Gleichung §* -+- ij s = 1.

Für p = n = 2 entsteht der eingangs erläuterte Fall der Lemniakate.

Ist p = 1, n beliebig, so heißt die feste Kurve n*|* + ij* = 1.

Setzt man — p statt p, d. h. geht man zu den reziproken Kurven über,
so ist

i

man erhalt dann Integrale, die unter Umständen umkehrbar sind.

Geht man von der beweglichen Kurve -g -(- p = 14P aus, so führt

die Rechnung auf

dt, -

woraus * = dn | folgt. (Vergl. Greenhill, Ellipt. Fonct. 8. 104.).

ii

Setzt man r p = cosamwip, so erhält man

- „»' • i - * V '

1

welches für p = 2 auf die Form

gebracht werden kann, wobei Aty = j/l — 6*sin*^ ist.

Sagan. P. Kokott.

Zu 80. (Bd. V, S. 313) (P. Stäckel). Meines Erachtens steckt der
Fehler in dem Satz: „90 sind . , . #, y, z ganze lineare Funktionen fOfl
Der Satz müßte heißen: „so können x, y, z als ganze lineare Funktionen
einer unabhängigen Veränderlichen dargestellt werden." In der Ebene stellt
z B. x = at, y = bt eine Gerade dar, aber dieselbe Gerade wird auch durch
je = at 8 , y ■= bt 3 dargestellt. Es gibt überhaupt für jede Kurve unzählig
viele Darstellungen, die alle aus einer von ihnen hervorgehen, indem man
den Parameter durch eine willkürliche Funktion eiues anderen Parameters
ersetzt. Allgemein gesprochen: Stellen die Gleichungen z = X(f), y —
eine Kurve dar, und ist t = f{%) eine willkürliche Funktion, so stellen auch
x = A (/(&)), ? = f l (f(*)) dieselbe Kurve dar. Wie nun durch die andere
Fassung des Satzes der Fehler vermieden werden kann, zeige ich am besten
an einer allgemeinen Aufgabe, die so lautet: Gegeben .find zwei Scharm von
Kurven von gleicher oder ungleicher Art; gesucht sind die Bedingungen, unttr
denen eine Fläche beide Scharen zu Koordinatenlinicn hat. So sind z. B. die
Bedingungen aufzustellen, unter denen eine Fläche zwei Scharen von Geraden
oder eine Schar von Geraden und eine Schar von Kreisen zu Koordinatrn-
linien hat usw. Eine Kurve der ersten Art werde dargestellt durch:

Vermischte Mitteilungen.

343

x = A(f), y -= /*(0i * = »'(f), wobei A, fi, v wohJbestimmte Funktionen sind,
die noch eine Beihe von willkürlichen Konstanten enthalten. (UM man den
Konstanten besondere Wert«, so wird aus der ganzen Art ein Individuum
ausgesondert Läßt man aber die Konstanten Funktionen einer neuen Ver-
änderlichen ic sein, so wird dadurch aus der Art eine einfach unendliche
Schai S ausgesondert. S wird dargestellt durch: x = A(<; w), y = u(t; tv),
z = v(t; u>), wobei, wie noch einmal betont sei, A, ft, v wohlbestimmtö
Funktionen von t sind, deren Koeffizienten von tc abhängen.

Es sei jetzt eine Fläche x = x(u, v), y = y(w, v\ t = je(u, v) vorgelegt.,
und es sollen die Kurven v = const eine Schar S x und die Kurven u = const
eine Schar S t bilden. Sind die die Kurvenarten erklärenden Gleichungen
für Sj: x = k(&), y = ti(&), *= v(#) und fürS 8 : x = n(i), y = e(r\ * = ö(r\
so muß für r = const der Ausdruck x = x(u, v) auf die Form A((r) gebi.
werden können durch einen Ansatz « = /"(-&)• Die Koeffizienten von A und
f nehmen aber für die verschiedenen Werte von t' verschiedene Werte an;
sie sind also allgemein als Funktionen von v zu betrachten. Somit wissen
wir, daß es eine Funktion f(ö-, v) gibt, die, für u in x(u, v) gesetzt, diesen
Ausdruck in A(#; i') verwandelt. Umgekehrt ist aber & eine Funktion von
k und f. Also gilt der Satz: Es gibt eine Funktion 9 von u und v der-
art, daß für jedes u und v die Gleichung

x = x(w, v) = JL(&(m, v)\ v)

eine Identität ist. Ferner gelten die Identitäten

V = y(«, v) - ft(9(u, »); v), e = «(«, v) = v(#(w, v); v).

Dasselbe läßt sich für die Schar S, nachweisen. Es muß also eine Funktion
r(«, p) existieren, die die Gleichungen

x(u, v) = *(>(«, t>); m), y(u, v) = ^(t(u, »); a), e(u, v) — tf(r(«, »); w)

zu Identitäten macht.

Somit lautet die Lösung der gestellten Aufgabe: Es müssen sich zwei
Funktionen # und x von u und u angeben lassm, die die Gleicltuvf/cn

x(u, «) = A(0; v) = «(t; «), . . .

zu Identitäten maciien.

Für den Fall, daß beide Scharen gerade Linien sind, können A, p, v;
7r, p, a in der Gestalt

§ + S<p, 7} + »^, £+0*; $' + V, ij' + i^', £' + **'

gegeben werden, wobei £, ij, £, ip, Vi X von l " allein und | f , jj', f', gp', tp',
l' von M allein abhängen. Dann lauten die Bedingungen

| + &<p = £' + t«p', • • -

aus denen # und t bestimmt werden können, sobald

£ — £', 9. <p'

ij — ij', t|/, Tf'

f - f. Z» Z
identisch verschwindet.

344

VcrmiBchte Mitteilungen.

Als Beispiel diene
1) Das einschalige Hyperboloid x i -\- #' — s* = 1. Seine Gleichungen
lauten, wenn die geraden Linien Koordinatenlinien sind:

uv 4-1

U — V

e =

U -f" V

UV — 1 ' UV — 1

Sie können in die vorher angegebene Form gebracht werden. Dabei ist dann

1 «. l « 1 — v* 1 + v' „

1,»?= „, ?=-, V =2, *=— V -, %— — , # = up

4-i, 13=--, r=-, v=2, *—— — ~, z =

1

MP-1 1

2) Das hyperbolische Puraboloid ?/2 = x. Seine Darstellung ist

x = uv, y = u, e = v.
Ferner ist hierfür

£ = 0, ij = 0, fr = t>, 9» = t>, tf = 1, X = °i * = "»

£' = 0, ij' = u, f' = 0, <p' = u, t|/ = 0, jf=>l, t=»p, J = i

Dortmund H. Kühne.

Za 82. (Bd. V, S. 314) (E. N. Barisien). Es sei OA*=a, 0B = 1
OS = OS' = c, Jf = r, «£ Jlf OS = 9. Dann ist nach der Polaxgleichiing
der Lemniskate

r =- ccob]/20;

ferner ergibt sich aas den Dreiecken OMA and OMB nach dem Sinussati

a =

Mithin:

ab =

r Bin 45°
ßm~(46° + »)

rsin 186°
= sin(136°-|-#)

c" cos 2#

c \ •! coa -J »

■_. „i„ l4 r>" 4- &)i

c|/2 cob2#

2 sin (46° — 9) '

c* cos 2 9

2 ein (45° -f 9) sin (45° — 9)

Prenzlau.

cos 20-— cos 90°

W. Steoemann

Zu 84. (Bd V, 8. 314) (0. Guts che). Die beiden von A aus auf
PP a und von B aas auf PP t> gefällten Lote seien AQ a und BQ h . Dann
sind die Vierecke PAQ a P h und PBQ b P a Sehnenvierecke, und man bat

<£PQ a P b = PAP b , -£PÖ. b P a = PBP a .

Es ist aber nach Voraussetzung -$Z PAP b = PBP al folglich auch
3zPQ a P b = PQ b P a oder P a Q a P b = P b Q b P a ,

Vermischte Mitteilungen.

345

woraus sich ergibt, daß die Punkte P a , P b , Q at Q b auf einem Kreise liegen.
Der Mittelpunkt dieses Kreises ist der Durchschnittspunkt der den Sehnen
P a Q a und P b Q h zugehörigen Mittelsenkrechten. Letztere schneiden aber
einander in F; denn die beiden Parallelen P a B und Q a A sind senkrecht
zur Sehne P a Q a , ebenso die Parallelen P b A und Q k B senkrecht zur Sehne
P b Q b . Demnach ist F der Mittelpunkt des Kreises P a P b Q a Q b , also FP a = FP b .

Zusate: Die Fußpunkte Q a und Q b der beiden von A aus auf PP a
und von B aus auf PP b gefällten Lote haben unter sich und mit den
Punkten P a und P b gleiche Entfernung von F.

Der Satz und der Zusatz sowie der Beweis gelten auch, wenn die durch
die Dreiecksecken A und B gelegten Strahlen nach außen gezogen werden.

Prenzlau. W. Steqemann.

Zu 85. (Bd. V, S. 314) (0. Gutsche). PA l treffe A t B l in X und
QB t in U; QA t treffe A t B t in ¥ und PB l in V. Dann erhalt man
aus den ähnlichen Dreiecken PB l X und VB^A^

**-!*•. .1..- rv =DJ! . X±_. PX _ PB * 1^
PB,

^; also: PX-P^.^^

und aus den ähnlichen Dreiecken QB i Y und UB i A l
SJ-S4-. also- 0Y=OB -^- «4-

PA t VB X •

ÜB,

ü^,

Es ist nun A P^C ~ (>J?,C, APl^C — Q^C, und daraus folgt noch:
Viereck PA\GB X ^ QB^CA^, Viereck (J^ <? B s ~ 7.8,(7.4,. Demnach
hat man

PB, QA± VA± UB^

PA, - 0.B, ' Fit, = VAt '

und es ist also

PX QA,

p2~ = 07 * ^* e Geraden PX-4 X und QA\ T sind parallel;

folglich gehen die drei Geraden PQ, XAj, vi, V durch einen Punkt, wofür
man auch sagen kann: der Schnittpunkt von A 1 B l und A.,B l liegt auf PQ,

Prenzlau. W. Stegemann.

2. Kleinere Notizen.
Reponse ä la queatlon 3 (1894) de t'Iutermldiaire des Mathematicien».

Ddcouper un triangle en quatre partics äquivalentes par deux droites
reetangulaires. — Ces quatre parties cotnprennent toujours trois quadrilateres
et un triangle rectangle; soit BC = a le cote sur lequel s'appuie rhypote-
nnse de ce triangle rectangle et achevons de definir le triangle donne par
la hauteur AH = H et la distance fiff = « du milieu u de BC wx pied
H de la hauteur.

Soient FD et QE les droites qui repondent a la question et qui se
coupent en 0, posons uG = ?, (iF = /; l'application du theoreme

346

Vermischte Mitteilungen.

fundamental de la theorie des transversales condait de stiite a

relation:

(1) ( p + ? ')i_ ( ? + ? ') + 2 ? V-0

qui a liea pourvu quo FD et GE decoupent le triangle en quatre parties
equivalenteB sans etre reetangulaires; introdnisant la condition d'orthogo-
nalite des deux droites, il vient:

(2) (*(« + •) -¥)(<■'(« + <?') + ¥)= flJ ?- , •

De (l) et de (2) en posant:

FG = U=<i + q'
on tire l'equation du huitieme degre en U-
(3) 16aV U'-iaü- ü' , ) , (2a* + 3o U - U*)*

+ 2fl , (JT , -a , )(aJ7-F , )(2o , + 3oD'-Cr s )-a 4 (W , + « S ) , = 0-

Ces relations qui ne diflerent que par les notaüons des resultats de Puissant
rappcles par M. Lemoine, I. M. 1894, 39, conduisent a la disenssion sui-
vante que Puissant n"a pas donnee:
On obtient d'abord la condition:

f«< ? + a'<^_,

puis la condition pour BC^a d'etre le cote moyen du triangle donne,
c'est-a-dire que si de B et C comme centres, avec n pour rayon, on deent
du cote" de A deux dcmi-circonferences, le sommet A doit tomber dans
l'une ou l'autre des deux demi-lunules non communes aus derai-cercles;
enfin, il est facile de voir que si de fi conime centre, avec la longueur |o
pour rayon, on decrit une demi-circonference du cote de A par rapport a
BC, chaque point de cette demi-circonference est le sommet d'un triangle
de base BC que l'on peut decouper en quatre parties iquivalentes par
deux droites reetangulaires ä l'aide de la regle et du compas; les poinW
de cette derniere demi-circonference exterieurs aux deux demi-lunules pre-
citees sont les seuls points du plan, exterieurs a ces deux surfaces, qm
puissent etre les sommets de triangles de base BC pouvant etre decoupes
en quatre parties äquivalentes par deux droites reetangulaires, l'hypotenuse
du triangle rectangle partiel reposant sur BC.

Puissant conseille de resoudre l'equation du huitieme degre (3) par
des methodes d'approximation et l'Amiral de Jonquieres I. M. 1894, 55,
fait de meine pour l'equation du seizieme degre a laquelle il aboubl
Puissant parle bien d'une construetion graphique qui consiste a tracer \m
deux courbes (l) et (2), 9 et p' etant des coordonnees; (l) construite un<?
fois pour toutes peut bien servir pour tout triaugle donne, mais la quar-
tique (2) doit etre retracee pour cbaque nouveau triangle.

Quelques considerations geometriques permettent de ne pas se contenter
de ces r4sultats de calcul un peu obscurs.

Le probleme serait resolu si l'on connaissait les directions de FD et
de GE; menons par B et C des paralleles ä FD et & GE qui se con-

Vermischte Mitteilungen. 347

pent en P, soit ij la bauteur PK du triangle BPC\ abaissons de A les
perpendiculaires AL et AQ sur CP et BP et appelons A et A' les distanoes
£Jf et QN de i et £ a BC; si FC? et DE repondent a la question on
demontre la relation:

(4) v^+y^'-j/^+yä^

Nous avons la relation evidente:

(5) A + A'-ff+i,,
puis:

(6) »-a.'-i^y^Z^-ifL,.

Considerons ä et A' comme des coordonnees rectangulaires et faisons de
snite le changement d'axes:

h — h' h + h' — H

x " y¥ * *~ v*

Les relations (4) et (5) introduisent la quartique trinodale, tangente a la
droite de l'infini:

(7) 4** - 2JV + H^Y^y -H)- HföL - ^5=)(4 V^9 - H") - 0,
ou:

(7')

y = — 7=1*1 1 etant tin parametre variable.

Les relations (5) et (6) donnent l'ellipse:

(8) *" + 4-»y + — £—y* - T -

qui admet pour diametres conjugues

y-0, x + ^y-o.

L'eqnation de la quartique (7) ne depend que de JH, il suffira donc de la
coustruire une fois pour toutes; supposons que cette construction ait &e"
effectuee avec la valeur $ pour H; pour tout triangle donne* (a, a, H) il
suffira de construire l'ellipse

(8') ^ + 4j^ + 4^+5-V-¥-0

dont on connait deux diametres conjugues en grandeur et en position,
ellipse qui correspond au triangle semblable lajf, a^t $)• w * " , t* r '
sections avec la quartique feront connaitre les valeurs de A et A' on plutdt
de A^ et de A'^- et par suite les directions CL et BQ.

348

Vermischte Mitteilungen.

Si le rote a est le cote moyen, le probleme comporte une Solution
propre et le point d'intersection de l'ellipse avec la quartique, qui correspond
a cette Solution, se trouve sur le petit arc de la quartique qui relie les
deux points doubles:

(9)

x =

2V2'

y =

X = —

aya'

y =

2^2'

lesrjuels correspondent au cas ou le triangle donne est isoscele, a etant

Tun des rüt.'s (-gatlX.

Si le triangle donne est tel que yH* -f- «* = f a > Ellipse passe tou-
jours par le point milieu de l'arc de quartique precite

(10)

* = Oi u -*

2$

et l'on voit ainsi pourquoi dans ce cas le probleme peut etre resolu a
l'aide de la regle et du compas.

11 suffira donc de construire soit geonietriquement soit au moyen de
(?') le petit arc en question ou merae la inoitie seolemeut de cet arc,
c'est-a-dire quil suffira de faire Tarier X de

- -^ = - 0,707 - ■ • ä - * 0,75 ,

si en regard de chaque point construit on a inscrit le iL correspondant,
iine simple proportion donnera le X correspondant au point d'intersection
de l'ellipse avec une approximation süffisante, car la conrbure de l'arc est
faible; on aura alors

on JL a sa valeur absolne. (l) doDnera pp' et l'on poura calculer q et $'
et les autres elements du probleme si l'on ne veut pas se contenter de la
construction geometrique au moyen de h et de h'.

II peut etre interessant de signaler la correspondance qui existe entre
la quartique et la figure qui representerait les resultats de la discussion du
probleme; les points doubles (9) correspondent aus deux demi-circonferences
de rayon a, le point (10) correspond a la denri-circonference de rayon fa
et l'arc limite par les points (9) correspond anx surfaces des deux demi-
tunulcs; il faudrait Studier les Solutions impropres pour pousser plus loin
cette correspondance qui se continue sans doutc entre les points et arcs de
la quartique et les demi-circonferences et surfaces de l'autre figure.

Paris. G. Espahbt.

Reponse n In question n" 2315 (6. Espanet) de l'lntermedialre des

Mathematiclena.

Soit (E) une ettipsc dont les demi-axes ont pour longueurs a et b,
e'galement {E') une ellipse concentrique et homolhe'tiquc ayant pour demi-

une infinite" de triangles sont d la fois mserüs ä

longueurs d'axes ■= et —

2 s

Vermischte Mitteilungen.

349

et eirconsn-its a (E'). Dans un cerclc (Ö) du meme plan on inscrit
des triangles semblables aux precedenls et semblablcment plaees: quelle est

IVenveloppe de leurs c6t4$? — Les triangles dont il est question dans
l'enonce peuvent etre caracterises dans la senle ellipse (E) comme etant
ueui qui jouissent de la propriete de presenter 1'aire uiaxitnum, et qui,
par suite, admettent comme barycentre le centre de cette ellipse, chaque
mediane etant le diametre conjugue ä la directiou du cöte corre-
spondant.

Soit donc ABC un des triangles consideres et FGH un triaugle de
cötes paralleles inscrit dans le cercle de rayon R r pris coneentrique a
l'ellipse donnee. L'equation de GH, rapportee aux aies de l'ellipse et mise
soufi la forme normale de Hesse, sera

x cos w -\- y sin o> — « = 0,

et en transportant l'origine au point F, de coordonneeB R cos 0, R sin 0,
sans changer la direetion des axes, cette equation deviendra

x cos oo -j- y sin tu + R (cos w cos + sin m sin 0) — o = ,

tandis que l'equation du cercle se transfonnera dans la suivante

x 3 -f y 1 + 2R(xcos6 + y sin 0) = 0.

Changeant dans cette equation ainsi que dans la precedente x et y en

SC V

— et --, et eliminant ta variable d'homogeneite e que l'on vient d'intro-
duire, on obtiendra la relation homogene en x et y r

(Ä cos ra + + p) x s + 2Rxy sin oj + + (— R cos ta + + o)y* =- 0,

qui, dans le nouveau Systeme d'axes, represente les droites FG, FH X et,
dans un Systeme quelconque, des paralleles a ces droites.

De meme l'equation de paralleles aux droites AB, AC, joignant le
point (a cos <p, & sin <p) aux extremites de la corde BC [ayant pour equa-
tion, d'apres nos considerations initiales,

bx cos tp -j- ay sin <p -j- %ab = 0] ,

sera trouvee par un calcul calque sur le precedent:

(cos* q> — 3 sin s <p) b'x 1 + 8abxy sin <p cos <p + (sin* <p — 3 cos 8 aj)a'y s = 0;

mais on y remplacera iminediatenient les lignes trigonom^triques de tp par
Celles de a en utilisaat la proportion evidente

COB <J>

acosco

sin <p

/- -in ...

eile prendra ainsi la lorme

(o* cos" cd — 3b* sin* w) i 1 « 1 + 8a*o s xy sin o> eos m
-\- (o s sin* tt> — 3 a* cos* a) a'y* = 0,

350

Vermischte Mitteilungen.

et l'on obtiendra, en identifiant cette forme a oelle trouvee un p«u plus
haut, la double condition

p — R cos (» + 9)

q -|- R cos (ta + 0)

R sin (a> + 0)

{»'{b'cob'jd— 3b 1 ain *a>) -in- b 1 Bin (u cos in a 1 ^ 1 sin'uo — Sa 1 cob' e»)
d'oü par Elimination de (w + 0),
-R*^* 1 - &')«* cos» « + (3o s - a»)& 8 sin 8 w] s

= ^ s ([(3a ll +& s )ö 2 cos s ca-(36 s +o , )i» s sin s o)] il + 64a 4 6 4 sin , (DC08 , in|

Cette equation represente, en coordonoees polaires, la podaire de la
courbe cherchee, relativeraent au centre de l'ellipse et cette podaire eit
une sextique circulaire, offrant, lorgque Ton a <i > &]/3, l'aspect dun
quadrifolium.

Mais, d'une facon generale, pour avoir l'equaüon en coordonnees tan-
gentielles homogenes (i, fi, v) d'une courbe, connaissant celle de la podaire
en coordonnees polaires rapportees au pole fixe comme origine de vectenr»

/"(cos ü», sin ca, q) — ■ 0,
il suffit, supposant la forme /*( ) homogene en cos w, sin w, de remplacar

cos tu, sin« et q respectivement par i, fi et —
ainsi tout simplement fi A, p, ^ ]= 0.

Ici Ton trouvera

le resultat etant

en poBant pour abreger

F(l, p) = (3a s - & s )a ,JL * + ( 3b> - «")*Vi

ff (*» fO = [C 3 «' + 6 *) ßSjLS - ( 3& ' + ° S )''VT + 64a*»/lV-

l'enveloppe eonsideree est donc de la sm&ne classe.

Pour en determiner l'ordre sans reäliser r'elimination du parametri« u
entre les equations generales des antipodaires

dp

x cos m -j- y sin m ■= ?, — x sm w + y cos tu — -v- ,

il faul considerer un point variable Mir la droite a l'iuiini, c'est-a-dire faire
dans F^quation ernte un peu plus haut (i-il, i etaut un parametre »
calculer. Or en operant ainsi, un t'aeteur i* se trouve mis en evidence, et
l'on voit que la droite ä l'infini (ä = 0, fi = 0) est une tangente qua-
druple a l'enveloppe. II ue reste donc que deux tangentes variables aver
le point (k) et il s'agit d'examiner les valeurs de k pour lesquelles et»
tangentes deviennent colneideutes. Ce sont Celles qui anuulent soit le
coefficient de ü s (v alors s'aunule simultanement), soit le coefficient de v 1
(qui alors forcement acquiert une valeur infinimeot grande). Pour chaeun«
des valeurs de /." qui annulent le coefficient de v a les tangentes variables
colncident a la fois entre olles et avec la droite a l'infini: ces circonstauces
sont caraefceristiques d'un point de rebroussement et en ce point on compt«
trois intersections de la courbe avec la tangente de rebroussement Quant

Vermischte Mitteilungen.

351

box valeurs de k qni annuleut le cogfficient de B s , il est necessaire de
distinguer; car la coYneidence des tangentes n'indique ua point de la courbe
qu'autant que le point d'ou l'on mene les tangentes n'est pas sur une
tangente multiple de celle-ci. Or en formant les derivees partielles de
l'equation trouvee precedemment par rapport a i, u. et v, on voit que
l'hypothese v = 0, JF(l, (i) = 0, les annule toutes ä la fois: ainsi les valeurs
F(i, k) = appartiennent a deux tangentes doubles issues de l'origine et
n'indiquent pas de point de la courbe ii rinfini; au eontraire les valeurs
k — ± i sont admissibles. En definitive on voit que l'ordre de la courbe
est le qualorzidme.

Le genre d'ailleurs est 2; les singularites ponctuelles sont äquivalentes
a 52 points doubles et 24 rebroussements ; il ny a point d'autres tangentes
multiples que la droite ä l'infini (tangente quadruple de rebroussement) et
les deux tangentes doubles deja reconnues: enfin on ne compte aucune
tangente stationnaire.

Caen. — E. Malo.

Iti'i t a la question n° 2454 (•■. Espanet) de l'Intermedlalre des

Mathematiken».

Lieu du point de Lemoine d'un triangle assujetti ä certaines con-
ditions.

Bien que le desideratum expressement forcnule par I'auteur de la
question 2454 soit d'obtenir une Solution ffJomctrique de cette question
autre que Celle signalee par lui-meme, je me persuade que l'indication de
la Solution analytiqne suivante ne sera pas absolument denuee d'interet, &
cause d'une certaine difficulte qu'eüe comporte, et qui, pouvant se repre-
senter dans beaucoup de circonstances analogues, est plus facüement levee
par le raisonnement direct (ce qui est le propre de la methode geometrique)
que par la reductioo algebrique des formales obtenues de prime abord.

Je me propose donc de determiner le point de Lemoine K d'un
triangle defini par son cercle circonscrit, ayant son centre a 1'origLne, par
les coordonneea (Äcosö, Äsinö), d'un de ses sommets A, et par l'equation

lx + py + v = Q,

du cöte oppose BC: l'equation de l'enaemble des cötes AB et AC est
alors (en ecrivant pour simpliber <sR au lieu de »):

(ico8Ö + usin0 + ö)(a; , + y , -Ä , )-2(lx-|-^ + tfü)(xco8Ö + j/8in0-Ä)=O.

Considerant le point de Lemoine du triangle ABC comme le point
dont la somme des carres des distances aux cötes est un minimum, je
remarquerai que d'une fa(,-on generale la somme des carres des distances du
point (x, y) aux droites que reprösente l'equation du second degre a deux
variables

8 = ax' + 2hxy + by 1 + 2gx + 2/y + c = 0,

:

lorsqu'on y suppose

J m abc + 2f()h — af 1 — bg* — ch* ~* 0,

Vermischte Mitteilungen.

V* + W*

2(q + b)S— 4. (ab- A*) t*

(a + b)* — 4 (ab — *•)

od designant par t la distance du point (jt, y) k 1'intersection des droit«
S =■ 0. Dans le cas präsent on trouvera

par suite, ajoutant

(rt + 6)»-4(«&-Ä s ) = 4(i , + |

A' •+-,*«

et posant « = «* + «* + u>*, il viendra

(A* + p*)* = ffS+ (A s + (t 1 - a')[(ar - Äcosö)* + (y - ÄsinÖ)»]

+ (As + P y + «*)»,

et il ne s'agit que d'egaler a xero les derivees partielles de $ par rapport
k a; et a y: de lk deuz conditions qui reaolues par rapport ä z et k j
donnent

as lp ein 8 — (l 1 -f- 2 ji 1 ) cob fl -[- Ac -f- 2 q 1 cos
" Ä — 2 <A* + fi") -f « (A oo8Ö 4- pain0) — «» »

y _ ApcoeÖ — (2A* 4- (t*)fliii© 4- fia -j- 2a t nn&
B = 2(1*4- *0 4- «(ioosö + jiBinfl) — ff"

Si donc l'on iniagine que la position de la droite BC est regle« ptr
celle du point 0, c'est-a-dire par le choix de 1 'angle — en d'a
termeB que les quantites A, ft, ff, soient des fonctions determinees de 8 —
on aura l'expression des coordonnees du point de Lemoine au moyen du
parametre variable et l'on connaitra la courbe decrite par le point.

Dans le cas particulier de la question 2454 le centre de gravite du
triangle ABC doit efcre un point fixe, ayant par exernple pour coordonnees
|mü, \nB. — ce qui entraine que l'orthocentre du triangle ABC soit lf
point fixe (mR, nR) — les relations entre les quantites A, p, a et l'angle 6
seront par Suite les suivantes

21<i

cos 6 — m ,

2no

1*4-*

- t = sin 6 — n ,

et l'on trouvera pour x et y:
x — w(3 4- w' + n*) 4- (3m* — n 1 ) cosg 4- irnnsin + { m *+n % — 2 in coefl — 2 wrinf'^

2.B (9 — m* — » , )(^4-w^ , 4■M , — 2mcos©— 2tiBin0)

JL — n(3 + ffl'4-n^4-{3w» — roVinfl + iTBncoBe + fo'+n 1 — 2mcoee— 2n«afj l ;
2ii~

(9 — m 1 — n')(i4-m*4-n , ^SmcoBe — 2nBinö)
Si l'on pose z = tg et que l'on remplace cos et sin par leurs vaJeun
en ü, cos =- ;— r — j , sin 6 = —-r- — - t , on aura des fonctions rationnelles de t

1 —p ff 1 ~}~ B

ou le degre de cette variable, soit dans le numerateur soit dans le deno~ :
nateur, sera le sizihne.

rermi

Langen.

On aurait tort cependant de conclure de ce resultat que la courbo
decrite par le point K soit du sixieme ordre. En effet, en prenant arbi-
trairement le point A sur le cercle donne*, c'est-a-dire en fixant 0, on a
bien un point K unique et determine, mais ce meme point resulterait.
egalement du cboix du point li ou du point C au lieu et place de A, c'eat-

a-dire de la Substitution ii des valeurs -f 2C, 6 -\- 2n — 22?: autrement
dit, on obtiendrait toute la courbe en faisant simplement decrire au sommet
A l'arc de cercle compris entre sa position initiale A D et le point B qui
est le sommet consecntif du triangle yLj 2? C ; puis, le sommet A continuaut

de decrire le cercle A Q B lt C t) , de B a en C ot le point K parcourra une
deuxieme fois la meme courbe, et celle-ci tout entiere correspondrait encore

une fois ä l'arc C^A^. Pour la Variation du parametre 6 de a
4* 2?r, ou pour celle de e de — oo a -f- oo, on obticnt donc trois f<>i*
la courbe chercbee, et, puisque l'ordre apparent de celle-ci par le procede
d'investigation suivi est le sixieme, l'ordre reel, qui doit etre trois fois
moindre, se trouvera etre le second seulement: en faisant l'elimination de
on de z on parviendrait Ji une forme non bomogene ä deux variables du
sixieme degre qui serait un cube parfait.

Sans passer par ces calculs dont l'aridite serait extreme, on peut roir
aisement qn'il s'agit d'un cercle en cberchant les points ii l'infini de la
courbe lieu du point K. En effet ces points correspondent aux valeurs de
6 qui veritient la condition

1 + m* + »* - 2m cos — 2m sin = ,
et l'on a immediatement pour ces valeurs

« I- f — ♦» ( 3 + wt 1 4- n*) -f (1 — w* -f* 3w*)gin6 + 4mncogfl
* — hm x ™" — m {3 + m' + n*) -f- (1 + 8m* — «*) coa 6 4 *mn «in d '

Cette egalite combinee avec la precedente donne lineairement les valeurs
de cos et de sin en fonction de /.' et en les portant dans l'identite
cos* + sin* = 1, on parvient, toutes r^ductions faites, ä l'equiüi'nr
A* 4- 1 =0, qui montre que les point« chercWs sont les points cyclique»
et que le lieu de K est bien un cercle.

On peut egalement raisonner comme il suit.

Les coordonnees des projections dn point M(x, y, t) sur les cöte»
du triangle de reference ABC sont

y 4- zcos C, t + xcoaB,

x + ycoaC, e + yco»A,

x + t cos B , y + t cobA, ,

et par suite Celles du baryeentre podaire M' du point M sont

r' = 2x + ycoaC + «coa 2?, y — xeoaC 4 2y 4- eco*A,

t'=*xco8B + yco*A + 2t.

La condition pour que la droit« de jonction des points M et M' pwe par

Ile point de Lemoine [c'est-ä-dire pour que la droit« MM' •« coiTMponde
Xnhiw der Milfcf I1> as4 Pfc/ilk m B«(k« VI tS

354

Vermischte Mitteilungen.

a elle-meme, le point de Lemoine (sin^4, sini?, sin 0) etant a lui-meme
son propre correspondant dans la transformation envisagee] est alors

sin A sin B sin C

x y e -0,

2x + y cos C-f «cos.B xcos C+ 2y + «cos^l jrcos.B+ycosA-f-2«

et on la reduit aisement ä la forme

= ^{x* cos u4 + yz) sin (i? — (7) ,

qui indique un couple rectangulairo de droites.

Pour determiner les points P, Q y oü la droite d 'Eni er (joigmct
l'orthocentre H au centre du cercle circonscrit) est rencontree par »
couple de droites, on fera, snivant la mithode de Joachimsthal,

x = t co8 A -f 2 cos 5 cos C , # =■= k cos 2? -+- 2 cos C cos .4 ,

s = fc cos (7 + 2 cos .4 cos B ,

fc etant le rapport —=-. des segments detertniiie's sur !a droite HO, et Ton

portera ces valeurs dans l'equation quo Ton vient d'ecrire. On obtiendra
de la sorte une equation quadratique en k se presentaut immediatement
sous la forme

= k* ^(cos 3 A + cos B cos C) sin (B - C) + 2 Ä ^sin 8 J. cosJ. sin (B - G)

+ 4 cos A cos JB cos C ^sin 5 sin C sin (B — Cf) .
Mais on apercoit aisement les identites

^"sin 5 A cos A sin (B — Cf) m — ^sin .B sin Csin (2? — C) ,
^(cos s .4 -f- cosBcosC) = 2^sin5sinCsin(£ — C),
moyennant lesquelles 1 equation consideree se reduit simplement a

k* — k + 2 cos 4 cos B cos (7 = ;
les racines sont donc

2fc= 1 ±1/1 — 8 cos J. cos B cos C.
Oi od a

HO = JR ]/l — 8 cos ^. cos BcosC,

R±EO
fc 2H '

c'est-tt-dire que lorsque le triangle ABC se deforme en restant inscrit

dans le cercle (0) de teile sorte que l'orthocentre soit un point fixe H, le

point de Lemoine K se deplace sur un cercle ajant son centre sur OH.

En appelant D, E les extremites du diametre HO, on aar»

355

JDr7=fl- J?0, HE=Jt+ 270 et par sähe les proportioas determina-
tives des points P et Q seront les tarvastet

^p = 'dh hq _be

PÖ DE* QÖbE'

desquelles resultent des 1 1 nu l l m Ihm flrikt

J'ajoute que le cercle lieu da poiat K piae par les points communs
an cercle drconscrit et au eerde de Feuerbach (ou des neuf points).

Le moyen le plus simple poar le
cercle passant par les points

T

a eerire i'equation du
et par le point de Lemoine,

*2(jfssmA + tzsnB-r *9ÜnC)(ma* A + öd* B -i-än*C)
S(xcotA -r ycosB-f scoaC)(xsiaA + ytia B + tänC),

a j faire, comme ci-dessus, * = kccaA + icoaBoosC, etc.: od retombe
alors sur I'equation

^* , — i + 2cosAcosBccaC = 0.
Caen. E. iLkvo.

3. Spreclisaal für die Enzyklopädie der ÜAtbesmatischen Wissenschaften.

[Einsendungen für den Spreclisaal erbittet Franz II eye r. K&nigsberg i. Pr,

MitteJtragaena 61.]

Zu I, S. 993, Note 272.

Zu dem Meinungsaustausch zwischen Herrn Koppe and der Bedaktion
bz. Mehmke über die Neper- Logarithmen mögen auch mir einige Worte
gestattet sein und zwar deshalb, weil gerade die Lebrerwelt im Unterricht
auf diese Frage immer zurückkommen maß and daher ein Interesse daran
bat, daß sie zu einem allseits befriedigenden Aastrag gebracht wird.

1. Bürgi und Neper haben beide ihre Logarithmen gewonnen aus
der Überführung einer geometrischen Progression in eine arithmetische.
Dies war dam^l« der einzig gangbare Weg, um überhaupt die Logarithmen
zu erfinden. Ebenso war die Basis der Potenz (1 -f- VJ" für die geo-
metrische Progression allein verwendbar. (Koppe 1 ) 8. 7). Nun erklart
sich auch, warum die natürlichen Logarithmen vor den 10-Loganthmen
entstanden.

2. Bei Bürgi steigen beide Progressionen, bei Neper entspricht der
steigenden arithmetischen eine fallende geometrische Progression- Das erstexe
ist das natürliche. Neper wich davon absichtlich ab, nicht bloß von un-
gefähr. Wenn er wenigstens wie Koppe 8. 15 die bildliche Veranscbauücfaung
mit 'Wachstum in gleicher Richtung* gebracht hatte! Der GrU ^/^ j 5Ja "
Vorgehen lag darin, daß er sein Augenmerk bauptsSchbcfl «•

zahlen richtete. Dies bestimmte seinen Gedankengang «" *"g *n

1) Koppe Max, Die Behandlung der Logarithmen und Jj* *^££ ■*•■-
richt Programm de« Andreas-Realgymnasium* in Berlin. -

S56

Vermischte Mitteilungen.

(positio 1 der constructio) und bewirkte, daß seine Tafel sogleich mit Sinus
und seinem Logarithmus beginnt. Die Folge war die Unnatur, daß den Sinus-
zahlen als Bruchteilen des Radius positive, den größeren Zahlen negative
Logarithmen zufielen. In diesem einen Punkte fehlte es Neper an V
blick, bierin übertraf ihn Bürgi.

3. Cantor nennt Bürgis Tafel eine Antilogarithmentafel, offenbar
aus dem äußerlichen Grunde, weil der Logarithmus links, der Numerus
rechts steht. Das ist eine völlige Verkennimg der Erfindung. Auch für
Bürgi waren die schwarzen Zahlen (der Numerus) das Gegebene, die roten
Zahlen (der Logarithmus) das Gesuchte, das Mittel zum Zweck; von ihnen
kehrt er bei der Nutzanwendung zu den schwarzen Zahlen zurück.

4. Von Neper wissen wir, wie er sich das Rechengeschaft erleichterte;
und wenn Koppe erweist, daß die Abweichung der Neper- Zahlen von den
c- Zahlen nur auf dem (S. 18) durch Macdonald entdeckten Rechenfehler
herab*, l. B. A/7 1 /, = 0,693 146 922 und */3 = 0,698 147 18(0), was ich
stehenden Fußes nicht beurteilen kann, so will ich ihm gern Recht geben,

daß Neper die moderne Formel dy = dxjx und y=f — voraus ahnt*

und nach ihr verfuhr. Von Bürgis Rechenverfahren haben wir keine Nach-
richt; indes es wird bezeugt, daß Bürgi im Interpolieren außerordentlich
gewandt war. Ohne Rechenerlei chterting hätte er das gewaltige Zahlen-
material nicht bewältigt. Auf die Verschiedenheit der Rechenart beider
Erfinder habe ich sowohl in meinem Aufsatz (Zeitschrift für math. u. nat
ü. 1896 B. 27) als im Anhang meiner 4 -stelligen Logarithmentafel hin-
gewiesen. Das eigentlich Geniale liegt aber doch wohl in der Erfindung
der Logarithmen selbst; die Erleichterung des Rechengeschäfts mag immerhin
auch genial sein, sie steht aber gegenüber der Erfindung an zweiter Stelle.

5. Die Natürlichkeit der Logarithmen besteht darin, daß von 1 + '/„
also von der Einheit vermehrt (weniger natürlich: vermindert) um einen
kleinen Zuwachs ausgegangen wird. Nach diesem erweiterten Begriff gibt
es unendlich viele natürliche Logarithmen. Auch Koppes Tafel mit der
Beschränkung 1,01 ist eine natürliche. Der Grenz&U n = od liefert die
e-Logarithmen als die vollkommenste aller natürlichen Arten. Man solhe
diese daher auch c-Logarithmen, nicht log. nat. nennen; mit der genauen «-Be-
nennung hört der Streit von selbst auf. Die Bürgi- Zahlen stimmen mit den
e-Zahlen in den ersten 4, die Neper-Zahleu in den ersten 6 Stellen überein

6. Bei der Zurichtung der Erfinderlogarithmen zur Erlangung einer
Basiä haben beide die Einsetzung des Dezimalkommas an geeigneter Stelle
nötig; dies ist ein allgemeines Zugeständnis an die Auffassung der Erfinder-
zeit. Dagegen die Außerachtlassung des Minuszeichens der Neper-Logi-
rithmen ist nur ein besonderes Zugeständnis au Neper; er selbst wollte es
gar nicht. Daher muß den Neper-Logarithmen die Basis i / t zugewiesen
werden, wie es auch Koppe tut S, 18.

7. Die Priorität der Logarithmenerrmdung gebührt ohne Zweifel Neper;
aber Bürgi verdient neben ihm in ehrenvoller Anerkennung genannt m
werden. Es liegt kein Grund vor, warum wir die lateinische Namenform
Neper gegen die englische Napier vertauschen sollen, ich erinnere an dit-
Namen Comenius (Komenski), Reuchlin, Melanchthon u. a. Auch
Neuton statt Njutn dürfen wir sagen.

Vermischte Mitteilungen.

357

Schlußbemcrfatng. Hoppes Vermutung, daß ich mich mit Nepers
Descriptio begnügt hätte, beruht wohl auf einem Versehen, das aber ver-
ständlich ist, weil viele Exemplare ohne die Constructio verbreitet wurden;
das der Freiburger Universitütsbütherei ist vom Jahre 1620 und ist in
Lyon (Lugdunum) gedruckt; Descriptio, Logarithmentafel, Constructio haben
ihre eigenen Seitenzahlen. Gerade aus der Gegenüberstellung der Bürgi-
und Neperschen Aufbauzahlen habe ich meine Schlüsse gezogen; diese
Zahlen stehen in der Constructio.

Freiburg (Baden). Kewitbch.

4. Bei der Redaktion eingegangene Bücher.

Bkbokb, H., Über Rotationsflächen zweiten Grades, die einem gegebenen Tetraeder
eingeschrieben sind. Inaug.-Diss. Straßbarg 1903. 43 S.

Blockhaus, R., Die drahtlose Telegraphie in ihrer Verwendung für nautische Zwecke.
Nach einem auf der 34. Jahresversammlung des Deutschen Nautischen Vereins
in Berlin gehaltenen Vortrage dargestellt. Leipzig 1903, B. 6. Teubner.
24 S. M. —.60.

Bot sukksq, J., Theorie analytique de la chaleur mise en hormonie avec la thermo-
dynamique et avec la thtorie m^eanique de la lumiöre. Tome II: Refroidisse-
ment et echauffement par rayonnement. conductibiUte" des tiges, lamea et masse«
cristallines coorante de corrections, theorie mecanique de Ja lumiere. PariB 1908,
Gauthier-VillarB. 625 8.

Brautotuhl, A. von, Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie. II. Hälfte:
Von der Erfindung der Logarithmen bis auf die Gegenwart. Mit 39 Figuren
im Text. Leipzig 1903, B. G. Teubner. 284 S. geh. M. 10, geb. 11.

Chbistusihkh-J. C. Möller, Elemente der theoretischen Physik. 2. Aufl. Leipzig 1903.
A. Barth. 532 S.

Cübtk, M., Urkunden zur Geschichte der Mathematik im Mittelalter und der
Renaissance. In 2 Teilen. Mit zahlreichen Textfiguren.
I. Teil. 836 S. M. 16.

11. Teil. 291 S. Leipzig 1902, B. G Teubner M. 14.

t'ztBEK, E., Wahrscheinbchkeikrechnuug und ihre Anwendung auf Fehlerans-
gleichung, Statistik und Lebensversicherung. Leipzig 1903, B. G. Teubner.
594 B. M. 24.

Dicksom, L. E., Ternary orthogonal group in & general field. Groups defined for a
general field by the rotation groups, The University of Chicago Press 1902. 17 3.

Dohle, W., Lehrbuch der Experimentalphysik. 2. Aufl. Stuttgart 1903, F. Grub.
380 S.

ExCYKXOPASIE DEH MATH. WlB*.

Bandl III,. Heft 2/3: Besondere transzendente Kurven. Von G. Scheffers. —
Beaondere Flächen. Von R. v. Lilrentbal. — Abbildung und Ab-
wickelung zweier Flächen auf einander. Von A. Voss;.
Band IV,. Heft 3: Geometrie der Massen. Von G. Jung. — Die graphische
Statik der starren Körper. Von M. L. Henneberg.
Entuqubs, F., Vorlesungen über projektive Geometrie. Leipzig 1903, B. G. Teubner.
374 S. M. 9.

Fexkhkr, H, Lehrbuch der Geometrie. Erster Teil: Ebene Geometrie. 4. Auflage.
Berlin 1903, 0. Saite. 224 S. M. 2.20.

Föppl, A., Vorlesungen über technische Mechanik. In 4 Bänden. Zweiter Band:
Graphische Statik. Zweite Auflage Leipzig 1903, B. G. Teubner 471 S

M. 10.

Fimemahn, A., Banwiasenschaftliche Anwendungen der Integralrechnung. Lehrbuch,

Aufgabensammlung und Literaturnachweis. Teil rV der „Anwendungen der

Infinitesimalrechnung in den Naturwissenschaften, im Hochbau und in der

Technik". Berlin 1903, W. Ernst u. Sohn. 292 S.

Vermischte Mitteilungen.

Ganter, IT., und Rl'dio, F., Dir Elemente der analytischen Geometrie. Zuiu öe-
brauche an höheren Lehran stalten sowie zum Selbststudium. Mit zahlreichen
Übungsbeispielen und Figuren. In 2 Teilen.

I. Teil: Die analytische Geometrie der Ebene. 5. Ann. Leipzig 1803,

B. G. Teubner. 187 8. M. I.

II. Teil: Die analytische Geometrie des Raumes. 3. Aufl. Leipzig l."H.

B. G. Teubner. 18« 8. M. 8.

Geisslkk, K., Die Grundsätze und das Wesen des Unendlichen in der Mathematik
und Philosophie. Leipzig 1903, B. G. Teubner. 417 S. ■ H

Haentzschkl, E. t Das Erdsphäroid und seine Abbildung. Mit 16 Textabbildungen
Leipzig 1903, B. G. TeubneT. VD1 u. 140 S.

Htlbeht, D., Grundlagen der Geometrie. Zweit« durch Zusätze vermehrt« und
mit fünf Anhängen versehene Auflage. Aus der Festschrift zur Feier der
Enthüllung des Gauß - Weber - Denkmals in Göttingen. Leipzig 190$,
B. G. Teubner. 176 ö.

Kerntleh, F., Das Amperesche elektrodynamische Elementarpotential. Budape?t [M
17 S.

Klein, F., Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie
Eine Revision der Principien. Vorlesung, gehalten während des Sonuner-
semesters 1301. Leipzig 1902. B. G. Teubner. 468 S. M. 10.

Klein, F, und Summkhkki.u, A. . ÜVter die Theorie des Kreisels. HL Heft: Di?
störenden Einflüsse. Astronomische und geophysikalische Anwendungen.
Leipaig 1903, B. O. Teubner. 247 S. M. |

Koch, K. R., Relative Schweremesaungen. Hl. Messungen auf der Linie: l'lin-Freuikij-
stadt. Mit einem Anhang, dem Magazinthertuometer und dem Pendel gegen
Tcmperaturänderuugen die gleiche Trägheit zu geben. (S.-A. aus den Jabxet-
heften des Vereins f. vaterländ. Naturk. in Württemberg). Stuttgart 1903.

Kohmsbsll, V., und Kommerell, K. , Allgemeine Theorie der Raumkurven und
Flächen.

I. Band. Sammlung Schubert XXIX, 144 S. M. 4.80,

IL Band, Sammlung Schubert XLIV, 212 S. Leipzig 1903, Göschen. M. 6 80.

KaASEtt, A., Lehrbuch der Thetafunktionen. Mit 9 Textfiguren. Leipzig 1903,
B. G. Teubner. 609 S. M. U

KaoNBCKEU, L., Vorlesungen Aber Mathematik. In zwei Teilen. IL Teil Vur
lesungen über Arithmetik. 2. Abschnitt: Vorlesungen über die Theorie der
Determinanten. 1. Band: Erste bis einundzwanzigste Vorlesung. Mit Jl Fig
im Text. Leipzig 1903, B. G. Teubner. 390 S. M M

Ki ulk«, J., Die Proportion des goldenen Schnitts als das geometrische Ziel der
stetigen Entwicklung und die daraus hervorgehende Fünfgestalt mit ihrer
durchgreifenden Fünfgliederung. Mit 15 Figuren auf 4 Tafeln. Leipzig 1903,
B. G. Teubner. 36 S. M

Maschkk, H., Invariants of differential quantics. The University of Chicago Press 1903.
14 S.

Matthibbzks, L., Die astigmatische Brechung der Sonnenstrahlen im Regenbogen.
Mit Anwendung von Kcttenbruch- Determinanten. (Publik, des astron.-meteorol
Observat. zu Rostock) 1903.

Paokl, F. und Wkkdk, F., Rechenbuch für Handwerker- und gewerbliche Forl-
bildungB-Schulen, Nach den ministeriellen Vorschriften vom 5. Juli 1897 be-
arbeitet. Ausgabe A in 4 rieften. H. Heft. Leipzig 1'JÜS, B. G. Teubner.

Ppeu-füb, E., Physikalisches Praktikum für Anfänger. Dargestellt in 25 Arbeiten
Mit 47 in den Text gedruckten Abbildungen. Leipzig 1903, B. G. Teubner.

Robin, G., Oeuvres scientitiquea. Theorie nouvelle deB fonetions, exclusivement
fondee sur l'id^e de nombre. Pari» 1903, Gauthier-Villars. 211 S.

Sciictb-krt, H., Niedere Anaiysis. Zweiter Teil: Funktionen, Fotenzreihengleichungen
Sammlung Schubert XLV. Leipzig 190:1, Güarhen. M. 3.80

Wkbkk-Wki.lstkin, Encyklopädie der Elementar-Matkematik. Ein Handbuch für
Lehrer und Studierende. In 3 Bänden. I: Elementar -Algebra und Anaiysis
Leipzig 1903, B. G. Teubner 446 S. M -

SITZUNGSBERICHTE

DER BERLINER MATHEMATISCHEN

GESELLSCHAFT.

HERAUSGEGEBEN VOM VORSTANDE DER GESELLSCHAFT.

ZWEITER JAHRGANG.

BEILAGE ZUM

ARCHIV DER MATHEMATIK UND PHYSIK

(3) IV, V, VI.

LEIPZIG UND BERLIN,

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1903.

ALLE RECHTE, EIN8CHLIESZLICH DES ÜBEB8ETZTJNGSBJECHT8, VORBEHALTEN.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Fürte, H., Über einige Rechenblätter 26—28

Quatsche, E., Geometrographische Siebzebnteilnng des Kreises .... 10 — 16

Hamburger, M., Über das Cauchysche Integral 17 — 26

Hessenberg, 6., Über die projektive Geometrie 86 — 40

Jahnke, E., Eine einfache Anwendung der Vektorrechnung auf die Optik 68 — 66

Knoblauch, «f., Ein einfaches System flächentheoretischer Grandformeln 6 — 10

Die geodätische Krümmung der Krümmungslinien 61 — 66

Koppe, M., Die Bestimmung sämtlicher Näherungsbrüche einer Zahlen-
größe bei John Wallis (1672) 66—60

Kötter, F., Über die Linksabweichung des Geschosses bei aufgepflanztem

Seitengewehr 66 — 68

Landau, E., Über quadrierbare Kreisbogenzweiecke 1—6

Lampe, E., Elementare Ableitung einiger Formeln der mechanischen

Quadratur 29—86

Rothe, B., Über den Invariantenbegriff in der Differentialgeometrie . . 42 — 46
Steinltz, E., Über die linearen Transformationen, welche eine Determinante

in sich überführen 47—62

Mitglieder-Verzeichnis 16 — 16

Zehnte Sitzung am 29. Oktober 1902 1

Elfte Sitzung am 26. November 1902 1

Zwölfte Sitzung am 17. Dezember 1902 17

Dreizehnte Sitzung am 28. Januar 1908 17

Vierzehnte Sitzung am 26. Februar 1908 41

Fünfzehnte Sitzung am 26. März 1908 41

Sechzehnte Sitzung am 29. April 1903 41

Siebenzehnte Sitzung am 27. Mai 1908 42

Achtzehnte Sitzung am 24. Juni 1903 68

Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

Herausgegeben vom Vorstände der Gesellschaft.

18. Sitzung am 24. Juni 191)3.

Vorsitz: Herr Kneser,

Anwesend: 36 Herren.

Wissenschaftliche Mitteilungen:

Herr Kneser und Herr Lampe widmen dem jüngst verstorbenen
Mitglied der Gesellschaft Hamburger Worte des Nachrufs.

Herr Knoblauch: Die geodätische Krümmung der Krümmungslinien (s. u.).

Herr F. Kötter: Über die Linksabweichung des Geschosses bei auf-
gepflanztem Seitengewehr (s. u.).

An der Diskussion beteiligen sich die Herren Jolles, Kötter, Lampe,
Rotth, Reiöner, Zühlke.

Eine einfache Anwendung der Vektorrechnung auf die Optik.
Von E. Jahnke in Berlin.

1. Voraussetzungen. — Bei der Suche nach einfachen Anwendungen
der Vektorrechnung auf die mathematische Physik bin ich auf eine elemen-
tare Herleitung derjenigen Formeln gestoßen, welche Fresnel für die
Intensitäten des partiell reflektierten und gebrochenen Lichtes aufgestellt
hat, m dem FaÜ, daß die Schcingungsebene senkredd cur Einfaüscbene
verläuft.

Ich mache bei der Herleitung von dem Begriff des Vektors der Ebene
Gehrauch als einer Strecke von bestimmter Länge, bestimmter Richtung und
bestimmtem Richtungssinn, sowie von dem äußeren und dem inneren Pro-
dukt zweier Vektoren a, b der Ebene, die ich nach Graßmann, wie folgt,
definiere:

[a b] = ab sin (a, b), [a | b] = ab cos (a, b).

Dabei bedeuten a, b die numerischen Längen der beiden Vektoren. Diesi 1
Definitionen liefern ohne weiteres die charakteristischen Eigenschaften des

ti inneren Produktes, nämlich:
[6 a] = — [a b } , | n a] = ;
[6 f a) = [a | b] , [a | oj = o».
IchU 4. Bari M»lti Gm. 11. 6

54

SitmngaLeri elite der Berliner Mathematischen Oenellschaft.

Außer diesen Begriffen und Definitionen benutze ich noch den einfachen
Satz, daß zwischen drei Vektoren der Ebene a, b, stets eine lineare
Identität der Form

(1)

aa + ßb + yc =

besteht, wo «, |8, y beliebige Zahlen bedeuten, d, h. daß es stets möglich
ist, von drei beliebigen Vektoren der Ebene solche Vielfache zu nehmen,
daß dieselben sich zu einem Dreieck zusammenschließen.

Ich komme nun zu den physikalischen Voraussetzungen. Der Physik
entnehme ich erstens, daß eine elektromagnetische Welle, welche auf die
Grenzebene zweier Medien auftrifft, sich im allgemeinen in eine reflektierte
und eine gebrochene Welle zerlegt; zweitens, daß die Fortpflanzungsrichtungen
der drei Wellen, der einfallenden, der reflektierten und der gebrochenen, iu
einer Ebene liegen; und drittens, daß der Reflexionswinkel gleich dem
Einfallswinkel ist. Nun gibt es an einer Welle zu unterscheiden : Amplitude,
Schwingungsrichtung, Fortpflanzungsrichfcung und Phase. Indem ich dieselben
Bedingungen zu Grunde lege, unter welchen allein die Fresnelschen Formeln
physikalische Gültigkeit beanspruchen, will i<h von der Phase absehen und
voraussetzen, daß die Wellen gegen einander keinen Phasenunt< ■!
zeigen. Aber auch von der Schwingungsrichtung will ich absehen. Das
ist gestattet, wenn alle Wellen, welche in die Rechnung eintreten, £l
gleiche Schwingungsrichtung haben. Wie die Physik lehrt, ist dies nur
dann der Fall, wenn die Schwingungsebene senkrecht zur Einfalisebene ver-
läuft. Diese Voraussetzung soll gemacht werden; die folgenden Betrachtungen
beziehen sich demnach nur auf den Fall einer linear polarisierten Witte, weicht
senkrecht sntr Einfalisebene schwing!.

Hiernach kann ich eine elektromagnetische Welle als einen Vektor auf-
fassen, dessen Länge durch die Schwingungsamplitude gemessen und dessen
Richtung und Richtungssinn durch die Fortschreitungsrichtung der Welle
bestimmt wird.

2. Ilerleitung der Fresnelschen Formeln. — Nenne ich die Vektoren,
welche die einfallende, die reflektierte und die gebrochene Welle darstellen,
e, V, <f, die zugehörigen Amplituden /-,'. Ii } D, dann kann ich sofort gemäß
(l) die folgende Beziehung ansetzen:

lieb

(2)

e = xr + yd.

Um x und y zu bestimmen, multipliziere ich diese Gleichung äußerlii h
tl und erhalte

[e d] = x[r ti\ ,

da [rfdj gemäß der Definition verschwindet; hieraus

[rd]

Wird die Identität andrerseits mit V äußerlich multipliziert, so ergibt sich

[er]

Bt, wie unmittelbar ans der Figur ersichtlich, der Winkel, den
der einfallende mit dem gebrochenen Vektor bildet, 180 -f- a — ß und der
Winkel zwischen dem reflektierten und dem gebrochenen Vektor gleich
180 - (a + /J); daher

[ed] = - ED sin (a - ß),

[rr/] = + ÄD sin (« + £);
und entsprechend

[er] = -f ERsm 2a,

[d r] ^ - DR sin (« + ß).
Demnacl

Folglich

R gin (a -j- ß)
E Bin 2 a

Rtiu(ct-\-ß)
Folglich uimml die obige Identität die Form an :

, EaiaOsx — ß)
e. A a — t A-

w ^ Ram(ccA-ß) r ^

Andrerseits führt die physikalische Tatsache, daß der einfallende
Lichtvektor sich in einen reflektierten und einen gebrochenen Lichtvektor
zerlegt, zu der Vektorbeziehung

(4) c + r + d = 0,

welche nichts anderes besagt, als daß zwischen den drei elektromagnetischen
Kräften Gleichgewicht bestehen muß.

Durch Vergleich der Formeln (3) und (4) ergibt sich hiernach

E »in (<* — ß)
~R sin (tt + fij

R E-aiaju—ß)
sin (ff -\- ß)

/•/sin 2«
Dam (a A- ß)

E ■ sin 2 a
■in («+.#'

und das sind die bekannten, zuerst von Fresnel aufgestellten Ausdrücke
für die Verhältnisse der Amplituden des reflektierten und des gebrochenen
Lichtes zu derjenigen des einfallenden Lichtes.

3. Folgerungen. — Die vektorielle Beziehung (4) ist nichts anderes
als der Ausdruck dafür, daß die einfallende, die reflektierte und die ge-
brochene Welle dem Parallelogramm der Kräfte gehorchen. Aus den beider»
letztgenannten läßt sich daher die erste in einfacher Weise graphisch finden.

Schreibt man ferner Gleichung (4) in der Form

— e = r Ar d

und multipliziert sie innerlieh mit sich selber, bo folgt
(6) E'- = R* + D'- '2RD co» (a Ar ß).

56

Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

Diese Relation führt unmittelbar zu dem Gesetz von der Erhaltung der
Energie, wenn an Stelle der Amplituden die Intensitäten eingeführt werdeu
durch die bekannten Definitionen:

J=E*

J =tf s

«in jJ ' r sin ß '

Gleichung (6) nimmt alsdann die Form an:

sin 9 ot — sin 2 "I /J

J, = V

COB0

J.-Jr + Jj + Jj

•I sin a cos a

cos (a + ß)

sin 20 - f sinfi cos(J

Man überzeugt sich ini Hinblick auf die Ausdrücke (5) unschwer, daß der
dritte und vierte Summand rechter Hand einander aufheben, sodaß die
Energiegleichung

CO J t = Jr + J d

in der Tat erfüllt ist.

Was der vorstehenden Herleitung — deren elementarer Charakter
beinahe vermuten laut, datl sie sich bereits in der Literatur vorfindet
ein gewisses Interesse verleiht, ist das Fehlen jeglichen Differentialzeichens;
die Fresnelschen Formeln ergeben sich unabhängig von der Theorie der
partiellen Differentialgleichungen.

Die Bestimmung sämtlicher Näherungsbriiehe einer Zahlengröße bei
John Wallis (1872).

Von M. Koppe.

Die Aufgabe, zu zwei Zahlen, etwa 28 und 100, das kleinst« Viel
fache zu rinden, führt man gewöhnlich auf die Bestimmung des größten
Teilers zurück. Man kann sie aber auch direkt lösen. Trägt man nach
Po i u so t auf einer Geraden von aus die Vielfachen von 28 ab und be
zeichnet zugleich auch die von 100. so geben die ersten zusammenfallenden
Punkte heider Teilungen q • 28 = p ■ 100 = m.

(

im

t 3 4
1 1 1 1 1

7
1111

11

.1 1 1

1 1 1 1

18

1 1 1

II 1 1

■

(100)

1

1
t 1

1
1

1
3

1

4

1

5

1
6

,

Es ist aber nicht nötig, sämtliche Werte von q • 28 (mod. 100) in dieser
Art aufzustellen. Denken wir uns, die Aufgabe sei dadurch veranlaßt, daß
die beiden Brüche l / n und V 1M addiert werden sollen. Man erweitere den
Bruch y w der Reihe nach mit 2, 3, 4, . . ., bis man zu zwei Brüchen ge-
langt, deren Nenner den des anderen Bruches einschließen. Sind überhaupt.

jetzt oder in der Folge,
von denen der Brüche

m.

und

28«.

100 m,

und

100 in,

zwei Brüche, deren Nenner sich
nur wenig in entgegengesetztem

Sinne unterscheiden, so erhiilt man durch Zusammenschieben ihrer Zahler

17 Sitznng. 27 Mai t9«S.

**+* und * +W *

57

eine

und ihrer Nenner in den Brüchen

28n, + 88i4 100m, + 100 ■•,

neue Staffel, wo der Unterschied der Nenner nur die Differeni der bis-
herigen kleinsten Unterschiede ist. Man benutzt dieses Paar und dasjenige,
welches bis dahin den kleinsten Unterschied im entgegengesetzten 8inne
), tun weiter zu bauen, wie folgendes Schema crlJlut'

12

8

t

o

1

f

M

3

l
ut

7
IM

ii

308

u

NM

1&

TÖS

1
100

i

100

S
•00

•
300

5
500

7

700

16

4

i

4

1

7

S

II

S

19

1

■ f

Die Bräche der ersten Reihe sind gleich Vu» *-' p ^ er zwe, k" 1 gleich
V 100 , bei jedem Paar ist- oben oder unten angegeben, wieviel der Nenner
des einen Bruches den des anderen übertrifft. Die Reihe wird fortgesetzt,
indem man immer das letzte Paar von Brüchen, wenn seine Nennonlineren/,
oben steht, mit dem letzten Paar kombiniert., wo diese Differenz, unten
stand, und umgekehrt vernachlässigt man im drittletzten Bruch die Differenz

der Nenner (= 8) als unerheblich, so erbalt man angenähert ■ — ,

1 3

=ss"" — i also 28:100 fast wie 3:11. So erhält man die oben schon
100 n '

angeführten beiden Reihen von Nüherungsbrüchen, die oberen größer, die

unteren kleiner als der genaue Wert des Bruches.

Will man schneller vorgehen, um bald zu den genaueren Brüchen in

größeren Zahlen zu gelangen, so kann man anfangs springen; z. B. sieht

man hier, wenn man die Differenzen (-f 12) und ( — 4) erhalten hat, daß

es nötig sein wird, von 12 so oft 4 zu subtrahieren, als angeht, daß man

daher zu dem Paare bei (12J dreimal das bei (— 4) hinzuschieben muß.

So kann man statt jeder Teilreihe von Brüchen, deren Zeichen (8, 4, (h

fortlaufend auf einer Seite (oben) stehen, sofort das letzte Paar {bei

bestimmen. Man sieht, daß man dann tatsächlich die folgende Rechnung

erledigt:

3

1

1

3

100

28

: 16

12:

K4

16

12

19

16

12

1

0'

and daß man die Hauptnäherungswerte ebenso bildet, wie es bei dem
Kettenbruch 3-j- 1/1 -j- l/l -j- l/3-|- 1/4 üblich ist Die ursprttngli. kl
Reihe aller Näherungsbrürhe umfaßt zugleich die intermediären Näherung"
werte des Kettenbraches.

John Wallis veröffentlichte eine derartige Bestimmung von Näherung»*
brächen 1672 als Anhang der opera postuma des Astronomen Korr*

58

Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

ferner in der Algebra 1685, 1693. Die Aufgabe war von Edwt
Davenant 1664 gestellt. In der Arithmetica infinitorum (1655), deren
Studium 1665 Newton zur Erweiterung des Binomialsatzes veranlaßt«,
findet sie sich nicht. Wallis sucht zunächst nur diejenigen Näherungs-
brüche, welche den wahren Wert des gegebenen Bruches übertreffen, also
die der oberen Reihe, und bestimmt daher von denjenigen Näherungsbrüchen,
welche kleiner als der genaue Wert sind, nur immer sprungweise die End-
werte der gleichartigen Teilreihen. Er betrachtet auch nicht 28 und 100,
sondern dafür 0,28 und 1,00, mdem er im voraus das gegebene Verhältnis
auf viele Stellen in einen Dezimalbruch verwandelt Erst spater bestimmt
er auch die anderen Näherungsbrüche, welche zu klein sind, indem er sein
Verfahren von neuem auf den reziproken Wert des gegebenen Bruches,
t^ - = 3,571428 ... anwendet Durch diese Zerlegung der Aufgabe in
zwei aufeinander reduzierbare Teile verliert sein Verfahren an Symmetrie.
Lagrange nennt es indirekt und sehr mühsam und analysiert es nicht;
er entnimmt jedoch (Add. aux elem. d'algebre d'Euler) von Wallis eine
lange Reihe der Näherungswerte von «, die dieser bis zu Brüchen mit
18-stelligem Zähler und Nenner berechnet hatte. Das von Lagrange ge-
rühmte Kettenbruchverfahren von Huygens ist in der Ausübung von dem
des Wallis nicht verschieden; doch treten dort die intermediären Näherungs-
werte erst als Anhang hinzu, während sie hier in der Entwicklung u
ihrem richtigen Platz erscheinen, Lagrange stellt die unrichtige Behauptung
auf, daß nur die Hauptnäherungswerte Brüche liefern, welche dem wahren
Wert des Bruches — ohne Rücksicht auf die Richtung der Annäherung —
nither kommen als alle Brüche mit kleineren Nennern. Etwa die Hälfte der
intermediären Näherungswerte hat dieselbe Eigenschaft.

Wallis deutet den Beweis nur in den ersten Stadien des Verfahrens
an, Ich knüpfe an das Beispiel « — 0,3010300 an. Zwischen den ganzen

Zahlen J- und -J- liegt, außer a, auch noch der Bruch ~T = — • Um «t

mit { zu vergleichen, bildet man 2 a = 0,60106 < 1, folglich liegt a zwischen

und j- In diesem Intervall liegt auch

o-f- 1
l + l"
und J

g. Da 3a = 1

a + 2-e
Weiter kommt man aar

4a— l-a+ 3-«= 1,20412 > 1,

=> 0,90309 < 1, so liegt a zwischen

+ 1 _ 1
i~ +3 = 4

yi| — J, 7 « = 3a + 4a = 2,10721 > 2, « — $•••{

Die wesentlichen Rechnungen sind aus folgendem Schema ersichtlich

"= 4

0,30103 = a
3 a = 0,90309

1,20412 = 4a
2,10721 = 7a
3,01030 = 10a
13a = 3,91339

23a = 6,92369 83a =

33a = 9,93399 93a =

43 a = 12,94429
53a = 15,95459
63a = 18,96849
73a = 21,97519

Diejenigen Vielfachen von a, welche kleiner sind als die benachbarte
ganze Zahl, sind links angegeben, die übrigen rechts. Man addiert immer

289 a

485a = 145,99955

24,98549
27,99579
31,00609 = 103«
59,00188 = 196a
86,99767

i;

r. 37. Mai IX»

letzte links and das letzt« rechts bezeichnete Vielfache und entscheidet
so, ob es kleiner oder größer ist als die ihm benachbarte gante Zahl.

Wallis nennt in 3,01030= 10a den positiven Dezimalbruch 0,01
appendage oder manträsa, in 13« = 3,91339 betrachtet er das „completm-ntum
inantissae" = 0,08661. Paul Tannerj hat zuerst auf diese älteste mnthc
matische Benutzung des Wortes mantissa hingewieaen.

Die Genealogie der Näherungsbrüche geht aus untenstehender Figur
hervor, in der samtliche Punkte auf die Strecke ... 1 tu projizieren sind

Haben zwei Brüche . , -5 , von denen der zweite der größere sei, tli<'

Eigenschaft cb — ad = l, $0 bleibt diese auch für benachbart* Bruche Am
folgenden Reihe

a a+ c e

b 1 6 + d' d

bestehen. Wir haben nun aber zwischen y

nnd J , für welche jene Eigen

schaft bestand, eingeschaltet ~T = — , also besteht sie auch für * , J , J •

Ebenso für J, j, }, dann für ", |, [ u. s. w. Je drei Brüche, diu an
den Ecken eines Dreieckes stehen, bilden eine solche Reihe

a c
Haben aber zwei Brüche . , . diese Eigenschaft, so liegen zwisilun

ihnen nur Brüche, deren Nenner größer als b und d sind, Ist etwa b < d,

tt n c

ferner „ ein Bruch, dessen Wert einem Punkte der Strecke . • - • . ent-
spricht, und wäre ß < d, so wäre ^ — x ^ rji a ' so > i ;> während di» ( h
diese Differenz < -= — -z =r, sein muß. Ist <l > 6, so vergleicht man

-ä mit -j und erhält dasselbe Resultat. Schaltet man zwis.hmi . und .
p d li d

a-\- c

v • • • ,1 in zwei Teilstrecken,

der Drncb , . den kleinsten

r | (/

den Bruch ,

auf jeder liegen nur Brüche mit Nennern größer als (ft + d); folglich 1ml.

von allen Brüchen der Strecke (r • - • ■ )

Nenner.

Betrachten wir z. B. den Bruch t0 /j S , der größer als a ist. hur wuhrr>
Wert liegt zwischen 10 / 3S und a /ioi au ^ dieser Strecke liegt, kein Urin li,
dessen Nenner kleiner als 33 wäre; folglich wird unser Bruch "%., fOfl

keinem Bruch mit kleinerem Nenner in der Genauigkeit sim 1 v< Heu h«i

erfolgenden Annäherung übertroffen.

Außer den aufgestellten Brüchen gibt es keine anderen, die dafalbm

Vorzug haben. Denn wäre auch „ ein solcher, m uniwrer Ittube d<'i olninri

Näherungswerte nkhl enthaltener, Bruch, so lüge Hein Wert zwiwbon zwei
Brüchen unserer Reibe, etwa zwischen l0 / u und '*/«• Harm ergilit *e h
aus der Betrachtung der Dreieckspunkt« */ w , '*/„, ,'„, daß Hein Nnnnei
größer als 43 sein müßte; er würde daher von dein Bruche '*/ a , dar l>ai
kleinerem Nenner eine stärkere Annäherung von oben her zeigt, aus dar
beanspruchten Stellung verdrängt

60

Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

I«

t.ffltl

Ein zweiter, geometrisch anschaulicher und weiter reichender Beweis
für Wallis' Verfahren ist folgender. In einem Kreise vom Umfange 1
rolle man wiederholt einen kleineren vom Umfang a vom Nullpunkt her
ab; die Punkte des großen Kreises, die durch ein-, zwei-, dreimaliges Ab-
rollen von dem kleinen erreicht werden, bezeichne man mit (l), (2), (3) . .

und verbinde sie durch Sehnen
zu einem regulären Linienzug.
Die Minima von | r/o — p bei
positiven und die bei negativen
Werten von (qa — p) oder die
Mantissen und Komantissen
werden durch solche Eckpunkte
bezeichnet, welche sich zwischen
den Nullpunkt und die ihm bis-
her nächstliegenden Eckpunkte
eindrängen.

Ist nun der kleine Kreis
«-mal. z. B. 200-mal, abgerollt,
so gibt es unter den Eck-
punkten einen, welcher vom Nullpunkt nach der positiven Bahnrichtung den
kleinsten Abstand t hat. Dies sei die Ecke (#), und es sei qa = p -ff.
Dann ist («j) => (n — q) der letzte Punkt vor (n), den man antrifft, wenn
man die Peripherie des großen Kreises vom Nullpunkt an positiv durchläuft.
Wiederholt man dasselbe Verfahren mit dem Sehnenzug (l) (2) ... {H t ),
so sei (#') der nunmehrige auf den Nullpunkt zunächst folgende Eckpunkt,
*/, « = p ] + £ r So kann man n durch eine Reihe q -f q t -(-••- + qi er-
schöpfen, deren Glieder aus der Reihe der Nenner der unteren Näherungs-
wert«, 1, 4, 7, 10, 103, 196 . . ., mit dem größten anfangend, zu ent-
nehmen sind, z. B. 200 = 196 + 4. Dann ist no — (p + j? t + • ■ • Dj)

., ,. ViJ P + Pi + ---+Pt « + «, + ••- + *i _

+ (t + «, + ••• + «s ) oder a = — = r ; : : : — • Hier

ist t -\- e x -\- • ' • -\- tj, ein Bogen, der sich von (g^) im positiven Sinne bis
(n) erstreckt, also < 1. Folglich ist der erste Teil der, zunächst unter c
liegende, Bruch vom Nenner n; der zweite zeigt, daß seine Genauigkeit

zwischen und — liegt. Nur wenn sich die Reihe der q auf die o-maligc

Wiederholung desselben Anfangswertes q beschränkt, wird die Genauigkeit

von - gleich — oder ; aber der Bruch kann dann in einfacher Form
ps vq q

dargestellt werden. Hiermit übersieht man, wie aus der ganzen Schar

aller Näherungswerte sich die guten, die in kleinen Zahlen nicht ihre»
Gleichen haben, herausheben. Rein arithmetisch kann ich diesen Zusatz
nicht beweisen. Die obige schon von Poinaot benutzte geometrische
Deutung ist von mir, Math, Annalen XXK, weiter als hier ausgeführt. Für
das obige Beispiel wird aus ^ und -J- gebildet ^ , also liegt a zwischen

: :t

1*0*

♦>l

Die

Krimpug der Krtaaugtlinian.
Von J. Knoblauch.

Man pflegt die Lehre von der Krümmung der Fliehen im Anschlug an
die Theorie der Raomknrren m begründe«, indem man sich auf einer Fläche
durch einen beliebigen Paukt eine beliebige Knrre gesogen denkt und ilnvn
Krümmung ins Auge faßt Um eine solche Linie als der Fläche ■■gaftflily
zu kennzeichnen, muß man sie vor allem zur FISehennormale in Beziehung
setzen-, und sobald man dies tut, erkennt man, daß das Quadrat Ihltt
ersten Krümmung sich als Quadratsumme zweier Großen darstellen laßt,
deren eine, die Normalkrümmung, außer von den auf den Flachenpunkt
bezüglichen sechs Fundamentalgroßen nur von den ersten Differentialen dei
krummlinigen Koordinaten abhängt, während die andere, die Tangential- oder
geodätische Krümmung, zwar außerdem die zweiten Differentiale, von den
Fundamentalgrößen aber nur die der ersten Ordnung enthält. Hei ihrer V\ i
tigkeit für die Theorie der Abwickelung hat die letztere Tatsache die Aufmerk-
samkeit der Mathematiker derart in Anspruch genommen, daß die Tangential
krümmung solcher Kurven, die, wie die Krflmmungslinien, bei der Biegung der
Fläche im allgemeinen nicht in Kurven derselben Art übergehen, verhältni*
mäßig wenig beachtet worden ist. Trotzdem die Frage nach ilen geodätischen
Krümmungen g v g t der beiden Krüinmungslinien rieb Mfort ihirl'iclct, BaaMtlH
die Theorie der Normalkrümmung einmal auf diese Kurven gefilhrl hat, und
obgleich #, und r/ s in einer großen Anzahl nachentheoretischer Fm-mcln «rplii itt
oder implicite enthalten sind, ist doch schon die einfache und wichtig* Aufgabt'
der Bestimmung dieser Größen mittels einer quadratischen Gleichung, ilereu
Koeffizienten dem Rationalitätsbcreich der Fundamentalgrößen und ihrer
Ableitungen angehören, bisher, wie es scheint, nicht gelöst wonlen.

Um sie in Angriff zu nehmen, kann man verschiedene Wege ein
schlagen. Einmal liegt es nahe, für g t und //, ihre einfuchst t>u AiiHtlrttcke

Fm „ _ i dys* m i 9V&*
j

9* = —

}/E*G* %q

9t~~

y'K'ir ' P

die für die Krümmungslinien als Koordinatenlinien gutta, anzunehmen und
vermittelet der Transformationsgleichungen für die Fundamentalgrößen den
Übergang von den Parametern der Krümmungsktirven zu einem beliebigen
System krummliniger Koordinaten zu versuchen. Allein schon nach it P
ersten Schritten sieht man sich hei dieser Methode in BBtUwuhbat' U<-> -I.
nungen verwickelt. Ebenso aussichtslos erscheint ei, durch Zuiammen-
stellung der für beliebige Parameter geltenden Formeln

(2)

die in p u , . . p n steckenden Irrationalitäten (vgl. .leitmal f. Math ltd I I .'.
(1895), S. 195 — 196) mit Hilfe der zwischen diesen vier Großen und den

£ Fundamentalgrößen stattfindenden Relationen zu UBÜMMB
r Erfolg verspricht von vornherein tfaM Mfaf Methode, bei d«r
Ute Aufgabe auf ein einfach zu charakterisierende»! Elimin.i

62

Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

problem zurückgeführt wird. Das Quadrat der geodätischen Krümmung Q
einer beliebigen Kurve kann durch die Gleichung

(3) (Edu* + 2Fd»dv + Gdv*) 9 ^

= J s [(( " }du s + 2 J " j dudv + ( a * | *»» + d>u)dv

- (\ 1 *)du>+2[ l *)dudv + [*}<& +d?v)duj

definiert, werden. Ist die Kurve eme« Krümm ungslinie, also durcli die
Differentialgleichung

1 |Erfu + Jfrfw, Frf« 4- Gdv

(4) I = -m ' =0
' r I irfu + üf dv , Mdu + iV*d t .

bestimmt, so handelt es sich um die Elimination der Differentiale du, rfr,

tili
d*u, d*v oder genauer der Größen dud s v — dvtiPu und j- aus (i

und dem Differential der letzteren Gleichung. Es darf wohl heutzutage ah
selbstverständlich betrachtet werden, daß man nicht mit den Ableitungen
der Koeffizienten der quadratischen Differential form T weiter zu rechnen,
sondern an ihrer Stelle Größen einzuführen hat, die vermittelst der
Cbristoffelschen Operationen mit ihnen zusammenhängen. Dann läßt sieb

die Elimination auf die von -j- aus der quadratischen Gleichung (4) und

einer Gleichung 6. Grades von übersichtlichem Bildungsgesetz redi;
Dieses Verfahren hangt seiner Natur nach von der geometrischen Be-
deutung der Gleichung (4) nicht ab, liefert also allgemein die geodätische
Krümmung der beiden Kurvenscharen eines Netzes, das durch Nullsetzung
einer beliebigen quadratischen Differentialform definiert wird. Für die
Krünimungslinien lassen sich durch Einführung der kubischen Differentialform

H = Pdu s + 3Qdu*dv+ ZJtdudo* + Sdv*

Vereinfachungen erzielen. Aber in allen Fällen erlangt man, obwohl
Ergebnis nach bekannter Methode in Determinantenform sofort nieder-
geschrieben werden kann, eine Einsicht in das Bildungsgesetz der ent
stehenden Gleichung nicht sowohl mittels der Determinante als vielmehr da
durch, daß man die Resultante der beiden ganzen Funktionen 2. und 6. Grades
zu anderen simultanen algebraischen Invarianten dieser Funktionen oder
ihrer Bestandteile in Beziehung setzt. Was für Invarianten dabei ins Spiel
kommen, läßt eine andere Methode besser hervortreten, die zugleich lehrt,
in welcher Weise sich die beiden Größen g x und g % in das alle
System der füJchcnthooretischen Invarianten einordnen.

Nach der zweiten und dritten Fundamentalgleichung ist

( 6 ) 8x = « _ , g »"i i ft a 7Tr'iV

...

3.r-

♦H-*i

"•-"!

Die gestellte Aufgabe kommt also hinaus auf die Bildung einer quadratischen
tileichung für zwei bestimmte Größen aus der Reibe der Invarianten dri
Ordnung

ö,n,, 0,rt n 0,n s , öj«j.

18. Sitzung, 24. Juni 1903.

63

Hinsichtlich des Vorzeichens der geodätischen Krümmung ist zu bemerk™,
daB es zweckmäßig erscheint, diese Größe, ebenso wie es mit der Normal-
krümmung schon immer geschieht, durch einen bestimmten analytischen
Ausdruck zu definieren, also etwa, wenn es sich um eine Kurve <p(w, v) = c
handelt,

(6)

(**¥)»

zu setzen (a. a. 0. S. 199). Die Ausdrücke (1), (2) und (5) beruhen auf
dieser Detinitionsweise. Während aber in der Theorie der Normalkrümmung

die Einführung eines Vorzeichens in dem Auftreten eines in -3— und den

Fundamentalgrößen rationalen Ausdruckes ihren Grund hat. so kommt in
der Formel für die geodätische Krümmung eine Quadratwurzel vor. Dem-
gemäß wird man nicht auf eine quadratische Gleichung für tf i und g t selbst,
sondern für </i und g\ auszugehen haben, wie es auch die vorher erwähnte
Methode schon hervortreten läßt.
Nun ist

(7) ö lV = i(p„|^-jp 21 |^), O^-K-^ + ^lj).

In der ersten dieser Gleichungen hat man tp gleich «,, in der zweiten gleich
»j zu setzen, sodann Summe und Produkt von Q\n t und ö|«j zu bilden

die von II und K durch die

und statt der Ableitungen von n x und

Relationen

(«,

du

du

du

einzuführen. Ordnet man hierauf nach den letzteren Ableitungen, so sind zur

IT ) ' vä - ) > • • • die aus den Definitions-
gleichungen für p n , . . . p ir , nämlich

(8)

«1 (P116 + P»v)' + "4 (fti* + PnV) % = L? + Slffiij + N n >

folgenden Beziehungen zwischen ^> lt , j>, 8 , p tt , p u einerseits und den Funda-
mentalgrößen andererseits zu benutzen. Es ist zweckmäßig, zu den Glei-
chungen (8) noch

(9) «5{ft»l +***>" + »*( ftl * + PuvY = G4 8 + nin + ©>5 S

hinzuzunehmen. Die gesuchten Ausdrücke erscheinen dann als zusammen-
gesetzt aus verschiedenen Differentialparametern von H und K t deren
Koeffizienten den Formen A, B und E entnommen sind.

Allein es empfiehlt sich nicht, es bei dieser Darstellung bewenden zu
lassen. Man erhält nämlich sehr viel übersichtlichere Formeln, wenn man

64

Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

an Stelle der Ableitungen von // und K die Koeffizienten der kubischen
Differentialform H vermöge der Gleichungen

(10)

F»

™=GP-2FQ + Elt, T>™

T* d £ = NP-mQ+LB, T> 8 -£ = NQ

du

3«

GQ- 2FR + ES,

23ffl+ LS

(Journal f. Math. 103 (1888), S. 36) einführt. Die Benutzung dieser
Üifferentialfonn ist bei Untersuchungen, die über die zweite Ordnung der
Differentialquotienten hinausgehen, immer dann am Platze, wenn in der
Hächentbooretischcn Aufgabe die beiden Scharen von Krümmungslinien oder,
in einem verwandten Gebiete, die beiden Schalen der KrttmmungsmiUel-
punktsfl liehe, nicht gesondert zu betrachten sind. Ist dagegen die B
derung notwendig oder zweckmäßig, so wird man bei den Operationen 0,
und S stehen bleiben.

Es sei für irgend zwei binäre Formen A und M der Jten und mten
Dimension

^ 1 ' l(l-l)m(m-l)a\dri' ~dV " ri, n <ldt\ ~*~ BV «W - A ■

wo a = T 1 die Determinante der quadratischen Differenüalform A be-
zeichnet; im besonderen also für A und M als quadratische Formen

(12)

II a (A, M) = ~(l n m n - Zl^m» -f l ti * n ).

Mit der durch das Zeichen II angedeuteten, Kovorianten und Invarianten
bildenden Operation kommt man in einer großen Anzahl von Fällen aus
Sie ist in der Formel (6) bereits angewendet. Ferner laßt sich z. B. der
Inhalt der Formeln (10) durch die beiden Gleich ungen

(13)

dH=H a (A,H), dK = B a {B,H)

wiedergeben. Außer diesen beiden Kovarianten zieht von vornherein
aus T und H in gleicher Weise gebildete lineare Differential form die Auf-
merksamkeit auf sich. Es werde

(H)

// a <r, H) = m

gesetzt. Bildet, man nun in der oben angedeuteten Weise öjw 1 -f 0**4» so
erkennt man schon aus der Form eines Leitgliedes, daß

*X + ö . w *

^(A.SR 1 )

Ferner ergibt sich

ÖjHj • fl,M,

(«1— *»)'

Führt man jetzt ;/, und g, statt ö s nj und 0,n, wieder ein, so erhalt man
aus (15) und (16) als quadratische Gleichung für pj und t/* die folgende:

n2(r,»n

07)

u ff a (A,TO"

(Ä» — 4JST)*

0,

die mannigfache Umformungen und Folgerungen zuläßt.

Nach derselben Methode läßt sich eine, wenn auch nicht so einfai •!»••.
quadratische Gleichung für die Quadrate der beiden anderen Invarianten
dritter Ordnung l n l und i n i bilden. Doch sollen diese, und um so mehr
die Invarianten höherer Ordnung, heute außer Betracht bleiben.

Über die Linkaabweicüung des Geschosses bei aufgepflanztem

Seitengewehr.

Von F. K Otter.

Im XXXI. Bande des „Civilingenieur" beschilftigt sich Herr C. Cranz
mit der Erklärung der interessanten Tatsache, daß das Geschoß einer Hand-
feuerwaffe infolge des rechts aufgepflanzten Bajonetts eine Linksabweichuug
erfahrt. Unter den verschiedenen Erklärungsversuchen erscheint dem Verfasser
schließlich der folgende als zutreffend. Durch das aufgepflanzte Seitengewehr

I erführt der Schwerpunkt des Gewehres eine Verlegung nach der rechten
Seite der Laufachse, so daß der Rückstoß, welcher in Richtung der Lauf-
aehse wirkt, nicht mehr durch den Schwerpunkt des Gewehrs hindurch geht,
sondern in Bezug auf letzteren ein Drehungsmoment besitzt, welches eine
Linksdrehung des vorderen Laufendes hervorruft und so die beobachtete

I Tatsache bewirkt.
Herr C. Cranz hat auch versucht, diese Erklärung durch eine quantitative
!.'• 1 hnung zu stützen, bei welcher von dem allerdings schwer zu schätzenden
Einfluß des Schützen auf sein Gewehr abgesehen wird. Dabei sind Herrn
Cranz nun zwei nicht ganz unerhebliche Irrtümer untergelaufen. Bei der
Bildung des Ansatzes wird die Beschleunigung des Geschosses in Richtung
der bewegten Laufachse gerade so bestimmt, als ob der Lauf in Ruhe wäre.
Und zweitens wird als Richtung der Geschoßgescbwindigkeit die Richtung
des Laufes genommen, ohne Rücksicht darauf, daß das Geschoß an der seit-
lichen Bewegung in Folge der Drehung des Laufes teilnimmt.

In einem Vortrage vor der Berliner physikalischen Gesellschaft habe
ich 1888 gezeigt, daß sich die durch Vernachlässigung des persönlichen Ein-
flusses des Schützen wesentlich vereinfachte Aufgabe besonders elegant durch
Heranziehung allgemeiner Prinzipien der Mechanik behandeln ließe. ha
nämlich auf das durch Gewehr und GeBchofl gebildete System nur innere
Kräfte wirken, so gilt sowohl der Schwerpunkts- als der Flächeusafz, mit
der Maßgabe, daß sowohl die Schwerpunktsgeschwindigkeit als auch die
Flächengeschwindigkeit des ganzen Systems gleich Null sein müsse.

Da sich der Geschoßschwerpunkt auf der Achse des Laufes bewegt 11 ml
der Schwerpunkt des Gewehres, wenn er auch durch das aufgesetzte Seiten-

66

Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Geitellgchaft

gewehr verlegt ist, einen unveränderlichen Abstand von der Achse hat, so
muß der Schwerpunkt des ganzen Systems ebenfalls in einer unveränderlichen
Entfernung von der Laufacbse bleiben. Da nun aber der letzterwähnte Punkt
nach dem an die Spitze gestellten Prinzip in Ruhe bleibt, so muß die
bewegte Laufachse einen Kreis umhüllen, dessen Mittelpunkt eben jener
Schwerpunkt des ganzen Systems ist, und dessen Radius sich zum Abstand
des Gewehrschwerpunktes von der Achse verhalt wie die Masse des Gewehres
zur Gesamtmasse des ganzen Systems. Und nach demselben Verhältnis teilt
offenbar der Berührungspunkt der Laufachse die Entfernung des Geschoß-
schwerpunktes von der Projektion des Gewehrschwerpunktes auf die
Laufachse.

Die Drehungsgeschwindigkeit des Gewehres um jenen Gesaintschwerpunkt
des Systems ergibt sich nun mit Leichtigkeit aus dem Fläcbensatz. Sie ist
proportional der Geschwindigkeit, mit welcher das Geschoß im Lauf fort-
schreitet, und eine einfache Funktion der Strecke, welche das Geschoß im
Lauf zurückgelegt hat. Durch eine einfache Quadratur bestimmt man hieraus
den Winkel, um welchen sich das Gewehr bis zu dem Moment gedreht hat,
in welchem das Geschoß den Lauf verläßt. Vereinigt man nun die Relativ-
geschwindigkeit des Geschosses gegen das Gewehr, mit derjenigen Geschwindig-
keit, welche der Laufmündung der Waffe zukommt, so erhält man ohne groöe
Rechnung die gesuchte Winkelabweichung der Geschoßgeschwindigkeit von
der ursprünglichen Richtung des Laufes.

Daß dieser quantitativen Auswertung, bei welcher ein so wichtiger
Faktor wie der Einfluß des Schützen völlig hei Seite geschoben ist, nur
geringe praktische Bedeutung zukommt, ist mir nicht zweifelhaft. Für den
Vortragenden liegt der Wert der angestellten Rechnung auch auf ganz
anderer Seite; daß die beiden allgemeinen Sätze über die Bewegung von
Massensystemen in so eleganter Weise zum Ziele führen, macht die ange-
stellte Rechnung zu einer instruktiven, an praktische Vorgänge anknöpfenden
Übungsaufgabe zur Erläuterung von Sätzen der Mechanik, welche sonst fast
nur durch astronomische Beispiele sich illustrieren lassen.

Wie wenig Wert ich auch auf die ballistische Verwertung meiner Rech-
nung lege, die unanfechtbare Richtigkeit dessen, was ich als akademischer
Lehrer vortrage, ist für mich von ganz besonderer Bedeutung. Es kann
mir deshalb nicht angenehm sein, Lehren, welche ich jahraus jahrein in
meinen Vorlesungen vorzubringen pflege, von einem Herrn, der sich vor
kurzem auch für das von mir offiziell vertretene Fach an unserer Berliner
Technischen Hochschule habilitierte, kurzer Hand als notorische Irrlehren
hingestellt zu sehen.

Herr C. Cranz sagt in seinem Bericht über Ballistik (Mathematische
EncykJopädie Band IV, Teil H, Heft 2, pag. 222, erster Absatz) folgendes:

„Auch beim Aufstecken des Bajonetts erfolgt eino Änderung des Ab-
gangswinkels, der Erfolg ist meist Linksabweichung und Senkung des Treff-
punktes. Die Erscheinung wurde früher der Rückwirkung der an der
Bajonettklinge reflektierten Pulvergase auf das Geschoß, später einer Drehung
des Gewehrs um den seitlich der Seitenachse liegenden Gesamtschwerpunkt
zugeschrieben. Die Tatsache jedoch, daß bei rechtsaufgestecktem Bajonett
Rechtsabweichung erfolgen und daß die Erscheinung selbst bei fest ein-
geklemmtem Gewehr sich einstellen kann, veranlaßte die Versuche von

18. Sitiunp. 24 Juni 190S.

67

/ranz und K. R. Koch, durch die

t festgestellt
Laufvibraticm infola

ist, daß diese Ab-
e der angehängten

.iihung durch die Änderung i
Bajonettmasse verursacht wird."

An dieser Auseinandersetzung fallt nun zunächst folgendes als nif rk -
rdig in die Augen. Trotz der überaus zablreicben Citate — es sind Hü

uf 89 Seiten — tut der Verfasser in diesem Satze mit keiner Silbe seiner
Arbeit im Civilingenieur Erwähnung. Und doch hätte es für die armen
Sünder, welche an die Drehung des Laufes infolge der Schwerpunkts-
verlegung glauben, ein so menschlich schönes Plaidoyer auf mildernde Um-
stände abgegeben, wenn der Ankläger unumwunden eingestanden hätte, oin.-t
selbst in der jetzt als Irrtum bekämpften Meinung befangen gewesen zu sein.
Allerdings herrscht zwischen beiden Darstellungen schon bezüglich &M
rein Tatsächlichen ein weitgehender Unterschied. Im Civilingenieur vertritt
Herr C. Cranz mit Nachdruck den Standpunkt, daß es sich um eine Links-

.bweichung handele, während nach der neueren Darstellung zwar eine Ab-
weichung vorhanden sei, daß dagegen der Sinn dieser Abweichung unbestimmt
i; sie erfolge zwar meist nach links, könne aber auch nach rechts erfolgen.
Und in dem Bericht über die oben erwähnten Versuche (Münch. Abb. 1901
j. 572) wird zwar noch von einer Abweichung des Treffpunktes infolge des

ufgepflanzten Seitengewehres, aber von dem Sinn dieser Abweichung über-

aupt nicht mehr gesprochen.

Daß dieser Umstand wesentlich ist, liegt auf der Hand. Denn sobald
der Sinn der Abweichung ein unbestimmter wird, sobald eine Rechtsabweichung
annähernd so oft vorkommt, wie eine Abweichung nach links, variiert
natürlich jeder Erklärungsversuch seine Berechtigung, welcher einen test-
stehenden Sinn der Abweichung ergibt. Bei dieser Lage der Dinge er-
scheint der Wunsch fast selbstverständlich, das Tatsachenmaterial kenneu
xu lernen, durch welches Herr Cranz zu der Meinung geführt wurde, daß
auch eine Rechtsabweichung des Geschosses möglich sei, nachdem er früher
die Eindeutigkeit des Abweichungssinnes mit solchem Nachdruck vor-
treten hat.

Ich habe mich in den von Herrn C. Cranz citierten Quellen vergeblich
nach einer Angabe umgesehen, durch die eine Rechtsabweichung des Ge-
schosses hei rechts aufgepflanztem Seitengewehr glaubhaft gemacht würde,
und bin durch die durchaus sachgemäßen Auseinandersetzungen von Heut seh
und Weygaud nur in der Meinung bestärkt worden, daß die Linksabweichung
bei rechts aufgepflanztem Seitengewehr die Regel und eine unter denselben
Umständen beobachtete Rechtsabweichtmg eine durch besondere störende
Verhältnisse zu erklärende Ausnahme sei.

Soviel über das Tatsächliche; wir kommen nun zur Erklärung. Die
Bemerkung, daß die Erscheinung auch bei einem festeingeklemmten Gewehr
eintrete, bildet natürlich an sich keinen begründeten Einwand gegen eine
Auseinandersetzung, welche die Erklärung für ganz andere Voraussetzungen
zu geben sucht. Aber noch mehr; man könnte mit Leichtigkeit zeigen,
daß wenn überhaupt ein Rückstoß stattfindet — und ein solcher läßt sich,
wie die Versuche von C. Cranz und K. R. Koch deutlich beweisen, nicht
verhindern — hei aufgepflanztem Seitengewehr eine Verbiegung des Laufes

Eiei welcher das vordere Ende im Anfang der Bewegung wenigstens
s abgelenkt wird.

tzungaberielite der Berliner Mathematischen Gesellschaft

. un aber die Behauptung betrifft, daß die Abweichung ein«
ilge aar Vibrationsanderung sei, welche der Lauf durch die angehängte
uajonetfciuasse erfährt, so habe ich in den Untersuchungen von Cranz und
Koch keine Begründung für dieselbe entdecken können. Die Herren stellen
fest, daß die Horizontalschwingungen des Laufes durch das Seiten-
B hr Abänderungen erfahren, Aber da das Gewehr nur mit normal ein-
gespanntem Seitengewehr untersucht wird, so kann natürlich nicht einmal
behauptet werden, daß die Schwingungsänderungen nur durch die Größe
und nicht durch die Lagerung der angehängten Masse beeinflußt werdet
Aber selbst wenn es bezüglich der Schwingungen nur auf die Größe der
Masse des Bajonetts ankäme und nicht auf ihre Lage, so ist damit doch
nicht ausgemacht, daß dasselbe von der (leschoßabweichung gilt- In d«r
Abhandlung der Herren Cranz und Koch habe ich nichts gefunden, was
mich überzeugt, hätte, daß die Linksabweichung des Geschosses und die
Vibratiansanderang mit ihrem, wie es scheint, zufälligen Ausschlagssinn in
kausalem Zusammenhang stünden.

Deshalb kann von einer durch die Herren Grans und Kocb erfolgten
Feststellung, daß die Abweichung durch die Änderung der Laufvibration
infolge der angehängten Bajonettmasse verursacht wird, meines Erachteos
nicht die Rede sein. Und es wird bei der früher auch von Herrn Grau*
vertretenen Meinung sein Bewenden haben müssen, daß bei Gewehren mit
rechts aufgepflanztem Seitengewehr eine Linksabweichung des Geschosse!
deshalb erfolgt, weil die Bajonettsmasse auf der rechten Seite der Lauf-
achse liegt, und deshalb das vordere Ende des Laufes nach links verdreht
resp. verbogen wird.

oeben erschien:

LEOPOLD KRONECKER:

VORLESUNGEN ÜBER MATHEMATIK.

L TEIL: VORLESUNGEN ÜBER ALLGEMEINE ARITHMETIK.
L ABSCHNITT: VORLESUNGEN ÜBER DETERMINANTEN-
THEORIE. I.BAND.

VORLESUNGEN ÜBER

DIE THEORIE DER

DETERMINANTEN

VON

LEOPOLD KRONECKER.

BEARBEITET UND FORTGEFÜHRT VON
Du. KURT HENSEL,

PKOFE8SOB DER MATHEMATIK AN DEH ITUVEBBITAT MARBDBQ.

ERSTER BAND.

ERSTE BIS EINUNDZWANZIGSTE VORLESUNG.

MIT 11 FIGUREN IM TEXT.

LEIPZIG,

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1903.

Die Detenninantentheorie hat sich sowohl bei Lebzeiten Kronecke!
und unter seiner wirksamen Mitarbeit, als auch in den zwölf Jahren nach
seinem Tode so stark und 80 erfolgreich entwickelt, daß die bisher ve
öffentlichen Lehrbücher dieser Disziplin nicht mehr eine vollständige Da
Stellung ihres reichen Inhaltes geben. In dieser Beziehung bildeten
Universitätsvorlesungen Kroneckers (1883 — 1891) Aber diese DiszipL
bereits einen bedeutsamen Fortschritt. Aber auch er hielt die Z>
nicht für gekommen, seine eigenen tiefergehenden Untersuchungen, toi
die erst in den letzten Jahren vollständig abgeschlossenen Theorien and«
Forscher, welche so viel zur Vertiefung und Vereinfachung dieser 1
beigetragen haben, in den Krei3 seiner Betrachtungen zu zielieu. Nun
sich aber gezeigt, daß man gerade diese neueren Probleme der Deten
theorie in besonders einfacher Weise durch Benutzung und konsequente i
gestaltung der Gedanken behandeln kann, welche Kronecker in
letzten Vorlesungen und Arbeiten über diesen Gegenstand dargelegt
Aus diesem Grunde entschloß ich mich, die Vorlesungen Kroneckers uut
sorgfältiger Erhaltung seiner Grundprinzipien and unter Benutzung seine
einfachen und wirksamen Methoden so zu bearbeiten und fortzuführen,
dieses Werk eine systematische Darstellung der modernen Determinanten
theorie und ihrer wichtigsten Anwendungen enthalt.

Der Darstellung der allgemeinen Theorie geht eine sehr eingebend
Untersuchung der Determinanten zweiter, dritter und viert
voraus, nebst ihren Anwendungen auf die Geometrie, die Arithmetik tuvl
die Formentheorie. So erreicht Kronecker, daß der Leser mit de
Determinantenkalkul wohlvertraut ist, wenn nun alle Grundeigenschail
der Determinanten » tor Ordnung aus der Betrachtung der Lösung •
Systemes von n linearen Gleichungen mit w Unbekannten mit einem
in Evidenz gesetzt werden,

An die Stelle der alteren Determinantentheorie ist heut
suchung der Systeme oder Matrizen getreten, und das Rechnen mit
Systemen ist jetzt so ausgebildet und vereinfacht worden, daß die
Resultate der Determinantenlehre zu ganz einfachen Sätzen einer Ari
werden, welche nur wenig schwerer ist, als die elementare Zahlet
Der Darstellung dieser Arithmetik unter Benutzung der Kroneckerj
Methoden, und ihrer Anwendung auf die Theorie der Elementarteiler,
auf die Äquivalenz und die Teilbarkeit der Systeme ist der von mir hl
gefügte letzte Teil des vorliegenden ersten Bandes gewidmet.

Marburg a. L.

K. Mensel.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Ente Vorlesung 1—9

Einleitung: Die Determinanten sind ein Werkzeug zur Auflösung
linearer Gleichungen. — Ihre Erfindung durch Leibnits und Cramer. —
Vandarmonde und Lagrange. — Gaufs und seine arithmetische Be-
handlung der Determinanten. — Systematischer Aufbau der Theorie
durch Caucliy, Jacobi und dessen Schüler. — Die Determinanten als
Invarianten. Cayley und Sylvester.

Zweite Vorlesung 10—84

Auflösung von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten. —
Genauere Formulierung der Aufgabe. — Äquivalenz der Gleichungs-
systeme. — Die Determinanten zweiter Ordnung. — Darstellung der
LOsung eines Gleichungssystemes durch Determinantenquotienten. —
Die Koeffizientensysteme oder Matrizen. — Der Bang der Systeme. —
Auflösung zweier homogenen Gleichungen mit drei Unbekannten.

Dritte Vorlesung 26—88

Geometrische Anwendungen der Determinanten zweiter Ordnung. —
Die Schnittfigur zweier geraden Linien. — Äquivalenten Gleichungs-
systemen entspricht dieselbe Schnittfigur. — Die Schnittfigur zweier
geraden Linien ist ein Punkt oder eine Gerade, je nachdem ihr
Koeffizientensystem vom Bange zwei oder eins ist. — Die Schnittfigur
zweier durch den Anfangspunkt gelegten Ebenen ist eine Gerade, eine
Ebene, oder der ganze Baum, je nachdem ihr Koeffizientensystem
vom Bange zwei, eins oder Null ist. — Inhaltsbestimmung eines
Dreiecks und eines beliebigen n-Ecks. — Das Multiplikationstheorem
fBr Determinanten zweiter Ordnung.

Vierte Vorlesung 39—68

Die Komposition der Systeme. — Grundregeln für das Rechnen mit
Systemen. — Das Einheitssystem. — Beziproke und transponierte
Systeme. — Elementare Systeme. — Die Fundamentaleigenschaften
der Determinante. — Dekomposition der Systeme. — Die Determinante
als Invariante für die Beihenfolge der Komposition. — Geometrische
Anwendungen: Eindeutige Abbildung zweier Ebenen aufeinander.
Koordinatentransformation. — Die Determinante als Korrelationsfaktor
der Abbildung. — Orthogonale Systeme.

Fünfte Vorlesung 64—84

Arithmetische Anwendungen der Determinanten zweiler Ordnung. —
Die ganzzahligen Systeme. — Gittersysteme in der Ebene. — Ein-
deutige Abbildung der Gitterpunkte zweier Ebenen aufeinander. —
Reduktion ganzzahliger Systeme durch vordere Komposition mit

IV

Inhaltsverzeichnis.

Elementansystemen. — Die reduzierten Systeme. — Die Äquivaleuz
der panzzahlige.n Systeme. — Die Grundeigenschaften äquivalenter
Gröfsen. — Die Klassenzahl der ganzzahligen Systeme. — Die ver-
schiedenen Arten der Äquivalenz ganzzahliger Systeme. — Hintere
Komposition mit unimodularen Systemen. — Vordere und hintere
Komposition. — Bilineare Formen und ihre Transformation. — Die
reduzierten Systeme.

Sechste Vorlesung . .

Die Äquivalena beliebiger Systeme. — Systeme von nicht verschwinden-
der und von verschwindender Determinante. — Reduzierte Systeme. —
Die bilinearen Formen von vier Variablen mit ganzzahligen und mit
beliebigen Koeffizienten. — Äquivalente Formen. — Die kongrue;
Transformationen. — Äquivalenz der quadratischen Formen. — Äv
valenzbedingungen für die kongruenten Transformationen. — Dia
HamiltimBchen Quaterniouen. — Die charakteristischen Eigenschaften
der Determinante.

Siebente Vorlesung

Determinanten und Systeme von neun Elementen. — Auflösung
drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten. — Darstellung ihrer
Lösung durch Determinantenquotienten. — Die Grandeigenschaften
der Determinanten dritter Ordnung.

Achte Vorlesung

Herleitung der Eigenschaften der Determinanten dritter Ordnung aus
dem Charakter der Lösung dreier linearer Gleichungen. — Eindeut
keit der Lösung, — Untersuchung der Nenner in jener Lösung. —
Die Beziehung der Zähler in der Lösung zu ihrem gemeinsamen
Nenner B(a,b,c). — Die Fundamentaleigenschaften der Funktion
B(a, b, e). — Beweis des MultiplikationBtheoremes für die Funktion
ö(o, b, e). — Anderer Beweis desselben Theoremes. — Die Funktion
6(a, o, c) ist mit der Determinante a,b,c identisch.

Neunte Vorlesung

Theorie der Systeme von neun Elementen. — Die Einbeitssyste,
und die Diagonalsysteme. — Die reziproken und die adjungic
Systeme; ihre Haupteigenschaften. — Die Dekomposition der Systeme.
— Die elementaren Systeme erster Art und ihre Eigenschaften. —
Dekomposition eines Systemes in Elementarsysteme erster Art. — Die
Elementarsysteme zweiter Art. — Zerlegung eines Systemes in Ele-
mentarsysteme zweiter Art. — Anwendungen: Die Determinante als
Invariante für die Reibenfolge der Komposition. — Die charakteri-
stischen Eigenschaften der Determinante.

Zehnte Vorlesung ....
Die Reduktion ganzzahliger Systeme. — Die verschiedenen Art'
Äquivalenz. — Bestimmung der Klassenzahl für vordere oder hintere
Komposition mit unimodularen Systemen. — Die Auflösung von drei
homogenen linearen Gleichungen mit vier Unbekannten und konstanten
Koeffizienten. — Der Rang der Systeme. — Anwendung auf drei nicht
homogene lineare Gleichungen und auf die Schnittfigur von Ebenen
im Räume.

lO.t-l

Inhaltsverzeichnis. V

Seit«

Elfte Vorlesung 180—196

Anwendung der Determinanten dritter Ordnung auf die analytische
Geometrie der Ebene. — Die homogenen Punktkoordinaten. — Die
Gleichung der geraden Linie in homogenen Koordinaten. — Be-
stimmung des Dreiecksinh altes aus den homogenen Koordinaten der
Dreiecksecken. — Die Gleichung des Kegelschnittes, welcher durch
fünf gegebene Punkte geht. — Die homogenen Linienkoordinaten. —
Die Gleichung des Punktes in homogenen Linienkoordinaten. — Die
Relation zwischen den drei homogenen Koordinaten einer geraden
Linie. — Die Gleichung des Kreises in homogenen Linienkoordinaten.

Zwölfte Vorlesung 196—214

Die Determinanten vierter und fünfter Ordnung. — Ihre Haupteigen-
schaften. — Anwendungen der Determinanten vierter Ordnung in der
Geometrie der Ebene. — Das Produkt zweier Dreiecksinhalte. —
Beide Dreiecke sind demselben Kreise einbeschrieben. — Kongruente
Abbildung zweier Körper aufeinander. — Die kongruenten Abbildungen
erster und zweiter Art. — Orthogonale Systeme. — Ihre Haupteigen-
schaften. — Dekomposition der orthogonalen Systeme.

Dreizehnte Vorlesung 216—280

Berechnung des Tetraedervolumen aus den Koordinaten seiner Ecken.

— Anwendungen. — Die Gleichung der Ebene im Räume. — Die
Hefsesche Normalform für die Gleichung der Ebene. — Das Tetraeder.

— Berechnung des Tetraedervolumen aus Länge und Richtung von
drei zusammenstofsenden Kanten. — Der Sinus einer körperlichen
Ecke. — Grundeigenschaften des Staudtachen Sinus. — Bestimmung
des Produktes zweier Tetraedervolumina aus Länge und Richtung
der Kanten je einer Ecke. — Berechnung des Tetraedervolumen aus
der Gröfse und Stellung von drei zusammenstofsenden Flächen. —
Das Produkt zweier Tetraedervolumina aus der Gröfse von je drei
zusammenstofsenden Flächen und den Winkeln derselben. — Berech-
nung des Tetraedervolumen aus seinen sechs Kanten. — Folgerungen.

Vierzehnte Vorlesung 281—247

Definition der homogenen Punkt- und Ebenenkoordinaten. — Die
Bedingungsgleichung für die vereinigte Lage eines Punktes und einer
Ebene. — Die lineare Gleichung zwischen den homogenen Koordinaten
eines Punktes. — Die quadratische Gleichung zwischen den homogenen
Koordinaten einer Ebene. — Die Gleichung der Kugel in Ebenen-
koordinaten. — Das Tetraedervolumen in homogenen Punkt- und
Ebenenkoordinaten.

Fünfzehnte Vorlesung 248—262

Die Zerlegung der ganzen Gröfsen eines natürlichen Rationalitäts-
bereiches in ihre irreduktiblen Faktoren. — Die natürlichen Rationalitäts-
bereiche (91, 31', . . . 9t '")). — Die ganzen rationalen Funktionen. — Auf-
suchung aller Teiler einer ganzen Gröfse des Bereiches (9i,9t', . • . 9t (n ^).

— Die Primteiler des Bereiches (91, 9t', . . .). — Jede ganze Gröfse
des Bereiches (9t, 9t', . . .) kann auf eine einzige Weise in Primfaktoren
zerlegt werden. - Teilerfremde Funktionen des Bereiches (9t, 9t', . . .).

Sechzehnte Vorlesung 268—290

Herleitung der Eigenschaften der Determinanten n*« Ordnung aus
dem Charakter der Lösung von n linearen Gleichungen mit n Un-

VI

Inhaltsverzeichnis.

bekannten. — Eindeutigkeit der LöBung. — Untersuchung der Nenner
in jener Lösung. — Die Beziehung der Zähler iu der Lösung zu
ihrem gemeinsamen Nenner &(u gJ ). — Die Fundamentaleigensehaften
der Funktion 8{u e J- — Beweis des Multiplikationstbeoremes H
Funktion 0(u h ). — Anderer Beweis desselben Theoremes.

Siebzehnte Vorlesung

Darstellung der Determinante mit Hilfe ihreT drei charakteristischen
Eigenschaften. — Beweis, dafs n lineare Gleichungen mit n Un-
bekannten stet« eine Lösung besitzen. — Die verschiedenen Dar-
stellungen der Vorzeichen « A , h . — Die CawcÄyscbe Determinante.

Achtzehnte Vorlesung

Die charakteristischen Eigenschaften der Determinanten in
eiufachter Darstellung. — Die Funktionen ö(u A ) der mn Elemente
einer Matrix. — Das Multiplikationstheorem für zwei Matrizen. —
Anwendungen. — Die abgeleiteten Systeme. — Das Ftvndamental-
theorem für die Komposition der abgeleiteten Systeme.

Neunzehnte Vorlesung

Der Laplacesche Determinantensatz. — Die adjungierteu Deter-
minanten — Die adjungierten und die reziproken Systeme. — Die
Jocobtsche Determinantenrelation. — Anwendungen : Auflösung von wi
homogenen linearen Gleichungen mit konstanten Koeffizienten für n
Unbekannte. — Der Rang der Systeme. — Besitzt das Koeffizienten-
System den Rang r, so sind m— r von den m Gleichungen über-
flüssig. — Unabhängige Lösungen. — Darstellung aller Lösungen
durch ein vollständiges System unabhängiger Lösungen. — Die nicht
homogenen linearen Gleichungen. — Die notwendige und hinreichende
Bedingung dafür, dafs diese Gleichungen Lösungen haben

Zwanzigste Vorlesung
Das Rechnen mit Systemen oder Matrizen. — Diagonalsysteme. —
Die elementaren Rechenoperationen für Matrizen. — Die Addition
und die Subtraktion. — Die Multiplikation. — Grundgesetze für die
Multiplikation der Systeme. — Die Division. — Die mit einer Matrix
zusammenhangenden Systeme. — Das konjugierte und das reziproke
öystem. — Die Systeme, deren Elemente rationale Funktionen einer
Variablen sind.

Einundzwanzigste Vorlesung . .

Die Teilbarkeit und die Äquivalenz der Systeme. — Klassen äqui-
valenter Systeme. — Die Invarianten für die äquivalenten Systeme. —
Erste Definition der Äquivalenz. — Der Rang der Systeme. — Dor
Rang ist die einzige Invariante für die äquivalenten Systeme. — Die
ganzen und die gebrochenen Systeme der Bereiche (1) und (r). — Der
Diagonalteiler eines Systemes. — Zweite Definition der Äquivalenz. —
Die Detenninantenteiler und die Elementarteiler eines Systemes. —
reduzierten Systeme. — Zwei Systeme sind dann und nur dann
äquivalent, wenn ihre Detenninantenteiler oder ihre Elemeutarteiler
gleich sind. — Die Elementarteiler als Fundamentalinvarianten.

.

US- 3'J

gleichen Verlag erschien femer:

ackere, Leopold, Werke. Herausgegeben auf Ver
[glich PrpuflUchen Akademie der Wissenschaften von Kurt Hensel.
In 4 Bänden. Band I, mit dem Bildnisse Kroneckers. [IX u. 4 b
gr. 4. 1895. geh. n. .* 28.—.

— Band II. [VIII u. 541 S.] gr. 4. 1897. geh. n. Jf 36.—.

Band III. Halbband I. [VIII u. 473 S.] gr. 4. 1899.

geb. n. ,H 36.—.

Diese üoiamtausgabe wird die H8 von Kroneeker selbst veröfleutlierten, sowie einig* naeb-
jeiineM Arbeiten enthalten und voraussichtlich In Tier Banden erscheinen. Nach dem Jetzt »ns-
gearbeiteten flaue sollen im ersten nnd rweiteo Band» Kroseckere Arbeiten aber die arithmetische
Theorie der algebraischen Funktionen im weitesten älnne vereinigt «erden; der dritte Band 10U
Kroneckers Arbeiten aber die Theorie der algebraischen Oleiobungen and aber reine Zahleotheorte
enthalten, den Inhalt de« Tierten Bandes bilden die Abhandlungen aber Integralrechnung, >ur
Theurie der eUlptieohen Funktionen and Ober Potenliultheorle, ferner die Arbalten aber Gcgenstkndo
der mathematischen Physik nod einige kleinere Arbellen vermischten Inhalte. Innerhalb dieser
großen Abteilungen wird die Anordnung der Abhandlungen im wesentlichen »nur« chronologische
•ein. ein vollständige* Verzeichnis derselben, welche« nach der Zelt ihrer Veröffentlichung geordnet
iit, soll die Übersicht erleichtern.

Bund 111, i und TV befinden sich in Vorbereitung.

Vorlesungen über Mathematik. Herausgegoben

unter Mitwirkung einer von der Königlich Preußischen Akademie der
Wissenschaften eingesetzten Kommission. Vorlesungen ober die
Theorie der einfachen und der vielfachen Integrale, heraus-
gegeben von E. Netto. [X u. 346 S.] gi\ 8. 1894. geh. n. „<T 12.—.

lulle an Stuft* ; die lebendige Daratelluiigiwcisu sowie gelegentliche Bemerkungen liefern elaM
roUen Einblick in die Forschungsweise Kroneokera. Bei den grundlegenden Begriffen, bei der
Benutzung dea Limea, bei der Definition der Integrale durch Summen tritt sein arithmetische«
.«nie ebenso deutlich heraus, wie in der Folge sein analytiaohea Oeaohlck In der Handhabung
»on Formeln.

Es Ist Ton hohem Interesse, zu sehen, wie Kroneokor Mittelpunkte für seine Untersuchungen
gewinnt: ea tritt der Keine nach der xweite Mittelwertaats, daa Cauohysche Integral, der dlaköa-
Ünuicrlicbe Faktor, der Dlflerentialausdruck dea mehrfachen Integrals nach einem Parameter heraus.

^Vou dem Mittelwertsatze hör Hießt da« DirichleUche , daa Fooriertcbe und daa Polsannaohe
Integral, sowie die Fouriersche Reibe
Auf daa Nachdrücklichste wird die Bedeutung des Canchyachon Integrals und beaundora der
Umstand betont, daß ea «eine Wirksamkeit dem Cbergange Ton einer au zwei Variablen verdankt;
daB man nicht, einem äußerlichen Prinzip suliebe, die Behandlung einfacher und ingralo

trennen dürfe. Von dem Cauchyschen Satze aus werden die Kntwicklungen in l'otcnzrelhen
theoretische Satze, die Sumroation der Gaußachcn Reihen, die Theorie der Gamma -Fm
dea Integral -Logarithmus, Grundformen für die elliptischen Funktiunen hergel<<>

diskontinuierlich« Faklor wird sum Zwecke der Reduktion mehrfacher auf einfache
»tegTale, insbesondere für Potentialberechnungen benutst. Der Hauptsache na. I, stutzt sich ober

Potentialtheorie, soweit sie hier vorgetragen wird, auf die IlinVrnutiali"
ie Frage nach den charakteristischen Eigenschaften der Polentialfunktlonen wird auf demselben
behandelt.
Auch als Kommentar für Kroncckera häufig nur ganz kurze, in den Borliner Akademie-
berichten nnd dem Ctelleschen Journal veröffentlichten Mittellungen dienen die Vorlesungen In
reichem Maße. Sie liefern eingehend die Ableitungen der dort gegebenen Resultat«

Als Grundlage für die Herausgabe dienten Nachschriften aus den Jahren 1&B8/M, 1886, IBM,
1891 , eowie «amtliche vorhandenen Eroneckeracben handschriftlichen Vurleeungsnotlzen.

Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgegeben

von Kurt Hensel. In 2 Bänden. Mit Textfiguren. I. Band. fX\
509 S.j gr. 8. 1901. geh. n .4/ 18.—.

Die Herausgabe dieser Vorlesungen wurde durch den Umstand elws- daß eine In

Den enthaltene neue und grundlegende Untersuchung Ober die Zerlegung d
Faktoren von Kronecker in der unmittelbar vor seinem Tode gchaltvniiu Vorlesung i« .
aber nicht bia zum Ende durchgeführt worden war. Es erschien nun wrJnarl

letzte, mit welchem Kronecker sieh beschäftigt hat, vollständig an loaen an
«rgebendeu Resultate den Kroneckeracbon Vorleeungen elnruverlalben. Zu diees
■von dem Herausgeber ein* Belli« eigener Untersuchungen durchgeführt, •« .-findet sind,

ao daß die Herausgabe jener Vorleanngen nunmehr In völlig abfeaehlnuener form tasfalfan kann

Vorlesungen über die Th> ameben

Gleichungen, herausgehoben von Kurt Hensel. In 2 Teilen, gr. 8.

geh. [In Vorbereitung.]

j. Kroneckers Bildnis

in Heliogravüre. 4.

n. .M 2.—.

BESTELL-ZETTEL

Bei

Buchhandlung

Nach Erscheinen.

in .... bestellt d>* r Qnterzeiclu

mit aus dem Verlage von B. G. Teubner in Leipzig [zai AnsicL;

L>. Kroneokera Werke. In 4 Bänden. I. Band. (EX u. 484 8.) 1895.

geh. n. Jt 28.—.

n. Band. (VÜI u. 541 S.) 1897. geh. n. Jt 36.—.

HI, l.Band. (VITI n. 473 S.) 1899. geh- n. Jt 36 — -

HI, 2. Band. \

TV. Band.

L. Kroneokera Vorlesungen über die Theorie der einfachen und der
vielfachen Integrale. (X u. 346 S.) 1894. geh. n. -# 12. — .

Vorlesungen über Zahlentheorie. In 2 Bänden. I. Band.

n. 509 S.) 1901. geh. n. Jt 16.—.

II. Band. Nach Erscheinen.

Vorlesungen über die Theorie der Determinanten. In 2 Bänden.
I. Band. (XII u. 390 8.) 1903. geh- n. Jt 20.— , in I.
geb. n. Jt 21. — .

n. Band. Nach Erscheinen.

Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Gleichungen.
In 2 Teilen. Nach Erscheinen.

L. Kroneokera Bildnis in Heliogravüre. 4. n. Jt 2. — .

Ort, Wohnung

rule«»ehxift:

Das Nichtgewflnschte bitte gefl. durchzustreichen.

Soeben erschien:

ENZYKLOPÄDIE

DER

ELEMENTAR-MATHEMATIK.

EIN HANDBUCH FÜR LEHRER UND STUDIERENDE.

VON

HEINRICH WEBER

PROFESSOR IN «TRASSBl'RO

und
JOSEF WELLSTEIN

PROFKUSOR IN OIESSEX.

IX DREI BÄNDEN.

I. ELEMENTARE ALGEBRA UND AXALYSIS. II. ELEMENTARE GEOMETRIE.

ni. ANWENDUNGEN DER ELEMENTAR-MATHEMATIK.

ERSTER HAND.
ELEMENTARE ALGEBRA UNI» AXALYSIS.

BEARBEITET VON H. WEBER.

LEIPZIG,

DRUCK UND VERL AU VON B. 0. TEUBNEK.

LiKffi.

Das Wark, dessen erster Biiod soeben erschienen i*f.

m die Lehrer, die dann Anregung linden ««1
n Untorri > ■ lentlich in d<

Klassen zu vertiefen, sodann »bor auch an Studierende, die
ii hitung »in die

c Kenntnisse nu<>

rei öelehrti
I [i rai die Dinglichst« V il stu er

Band ninftißt den algebraisch -analytischen TeiL Dai

| det l'ieriM' ist, (| in'

i. Kiu dritter Teil, dessen Druck gleichzeitig

duiL

übnuug entnommen ist. I»
arbeiten sind so vreii u r < dielinn, ildLi
im nächsten Jahre oi lal£

iL Weber,

Inhaltsverzeichnis.

Erstes Buch.
Grundlagen der Arithmetik.

Erster Abschnitt.

Natürliche Zahlen. S( . it ,

§ 1. Einheiten, Mengen 3

§ 2. Verknüpfung, Mächtigkeit 1

§ 3. Zahlen und Zählen 7

§ 4. Der Satz von der vollständigen Induktion 11

§ 5. Größenordnung in der Zahlenreihe 12

§ 6. Die Kardinalzahlen. Ziifernsydteme 15

Zweiter Abschnitt.
Die Rechenoperationen.

§ 7. Addition 1»

§ 8. Multiplikation 20

§ 9. Produkte von Summen 24

§ 10. Potenzierung 26

§ 11. Subtraktion. Negative Zahlen 20

§ 12. Rechnen im Hereich der ganzen Zahlen .'tl

§ 13. Multiplikation 84

Dritter Abschnitt.

Division und Einführung der Brüche.

§ 14. Division und Teilbarkeit der Zahlen 37

§ 15. Größter gemeinschaftlicher Teiler. Relative Primzahlen. Kleinste ge-
meinschaftliches Vielfache 39

§ 16. Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen 43

§ 17. Brüche 48

§ 18. Rechnen mit Brüchen 52

§ 19. Rechnen mit Dezimalbrüchen 57

§ 20. Gekürzte Dezimalzahlen 59

Vierter Abschnitt.
Irrationalzahlen.

§ 21. Quadratwurzeln 62

§ 22. Irrationalzahlen 64

§ 23. Ober© und untere Grenze 69

§ 24. Rechnen mit Irrationalzahlen 71

§ 26. Unendliche Dezimalbrüche 76

§ 26. Verwandlung gemeiner Brüche in Dezimalbrüche 7-

»**¥l »;■» Vf»#i,«.'u»*Nii

— —

Inh.s

ßffcex Absriifi

V#»rh?tltn i

§ 28.

i

84

Physik '. Be. . . .

| BO

.

* 31.

Potenzen und Lorant hin rn.

§ W.

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1

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1

Si*'S.i-ril -■
(ilrifliuii^rit ersten («nhIch

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# 47.

Pi-rmutitliooen iniil Hitmbinatiant'ii.

non»i! !

1

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« 60.

Kwnpositiou des Pcirniutaüouin

IM

S 62.

.

ii-rbotuag
Zehnter Abseht.

VencülfideBe Amrudnm

•

■

Inhaltsverzeichnis. V

8«ite

| 57. Arithmetische Reihen höherer Ordnung 176

§ 68. Geometrische Reihen 178

g 69. Zins- und Rentenrechnung 180

Zweites Buch.
Algebra.

Elfter Abschnitt.

Algebraische Gleichungen.

$ 80. Ganze Funktionen und ihre Wurzeln 185

§ 61. Division ganzer Funktionen 1x7

g 62. Größter gemeinschaftlicher Teiler I'Jl

§ 63. Reduzible und irreduzible Funktionen 103

Zwölfter Abschnitt.
Hauptsätze der Algebra.

§ 64. Symmetrische Funktionen tiOi»

g 65. Die Potenzsummen 203

g 66. Fundamentalsatz von der Wurzelexistenz 208

Dreizehnter Abschnitt.
Unbestimmte Gleichungen ersten Grades.

g 67. Zahlenkongruenzen 214

§ 68. Die Potenzreste 218

§ 69. Periodische Dezimalbrüche 221

§ 70. Diophantische Gleichungen 228

Vierzehnter Abschnitt.
Unbestimmte Gleichungen zweiten Grades.

§ 71. Der Satz von Wilson 234

g 72. Quadratische Reste 237

g 73. Die Pythagorilischen Dreiecke 240

g 74. Der große Fermatsche Satz 242

g 76. Zerlegung von Zahlen in die Summe zweier Quadrate 244

g 76. Zerlegung großer Zahlen in Primfaktoren 250

g 77. Vollkommene Zahlen 252

Fünfzehnter Abschnitt.
Kettenbrüche.

g 78. Entwicklung von Irrationalzahlen in Ketteubrüche 256

g 79. Genäherte Darstellung irrationaler Zahlen durch rationale Brüche . 259

g 80. Kettenbrüche für Quadratwurzeln 260

g 81. Die Feilsche Gleichung 204

.-—■•- T * ** -V«- '

fnliull

Sechzehnter Abi
Algebraucbe AnfWsnng kubischer and biquadratis

ikrirainante <W kuh

! Autln.- leichung

Diakriminante der biqus

§ BO. Zwei ftleiebuugen 2,v tdea mit stwei Unbek

Abschnitt

Gentherte Berechnung il<-r Wurzeln numerischer Glcichi

§ '•' i

In
jj IT Entwicklung

litzehnter Abschnitt

Krcisleiliuij:.

sein

JJ BB Algebra) mmung d<

fl Dw regeltnllßige Siebzehneck.

Neunzehnter eJbechniti

DMUffglichkeitsberi ei

Konstruktion mit Zirkel uud W» !

bt durch Quadrat* >•
j Hin Induktion einer Funk'

bQia der knbi
« 101 Die Gleichung fünften Grades ist im allgemeinen i

ilikale lösbar . . ....

j 103
| 104

Drittes Bach.
Analysis.
Zwanzigster Absohn

Unendliche Heikes.

itiven Gliedern . .
ek divergenter und konvergen
attüiichen LogariUn

i n.'iiiilirhr RriiifD mit pusiliti-n uml ni**ativi<n filirdrru.

iism« einer uwtttillirhco Hdb> 861

j tagt** und heil

§ 110. Keiiieu mit kompl

$ 111 tV'tnnzrcihen. KuBTergfnsi.

< IIS. iU'thni'o mit aan

tgum

i ■

Zwcinn
\ nln'pTiir.1 Morergpata Reihen für die Kxp»tniiti.illutikti<Mi
und dir tripwtionn'tnsriH'n Punktionen.

i •< ffir diu Kxponrnvialfuiiklioa

IUIi'11

Dmiuudxw , ütt

nie Binoainlrette.

Imha «n il*r t«r»-iu' iIpc K-->:.-

indsswiiuzigstcr Absei«

liOfcaritnmiM'hi 1 Hedien.

Uta Fnnki
Tri^nnmaekruoli >

l ; dnf'unilz\* Abschnitt.

i nendHchc <e.

H&rcteUung i\e*

I

' lisunilzwaiuiigstor A baohll
TiaiiKeeiidtw. V(»n e und .t.

i

| ISO

Zusätze.

§ 13t, KougTn.

Verlag von B. G. TEUBNER in LEIPZIG.

Repertorium der höheren Mathematik

(Definitionen, Formeln, Theoreme, Literatnrnach

von Ernesto Pascal,

ord. l'rof. an der UniveraltAI «u r.rm

Autorisierte deutsche Ausgabe von A. Schepp •

il. Die Analysis. [Till
U.T.-il: Die Geometrie. [Xu

Der Zweck d< - ist. auf ••mein □

wichtigsten Theorien <>■
Theorie uur so viel zu bringen, daß di

iiereu und auf die l
finden kann.

Einem Mathematiker in einem I d n nicht

zur augenblicklichen Orientierung m dienen,
Werk na.

02, welche« eine Übersicht filier '!)•■ H
bt nnii bei welchem die geschickte A-
and Resultate nichi kann.

WiMffiBg, .\li!liinimtisrl..T l'.iirlirrs. bat», I.
Das Bach wird ihm auf solchen Gebieten, mit d traut

ist, ein «ehr .res Hilfsmi; und wir

Erfahrung best daß die darin

nützlich sind. Uterar. ZentralblaU. i

Der Nutzen eine« derartigen Hepertorium^
der zur Orientierung ■ /ergebliob

gemacht hat. Jahrb. üb. d. Ftrtscnr. d. Mathematik. Bd. 31 für

Bestell -Zettel.

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bestelle ich hiermit ein Exemplar des im Verlage

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Zentren,

Mfttlifini:

EINLADUNG ZUM

III. INTERNATIONALEN

MATHEMATIKER-KONGRESZ

VOM 8.-13. AUGUST 1904 IN HEIDELBERG.

Der Ausschuß flir die Vorbereitung
des III. internationalen Mathematiker-Kongresse«:

A. Bril! Tub!n !S ün. M. Caittor-Heidelberg. IL DlstellSlriilburg. W. *. Uy

lien. A. Gutnoer-Jen*. G. Hnuck-Berlln. D. Hilbert-GüUinytn. F. Kldn
G8tllng«e. A. Kneser-Berllo. L. Kfalgtberger-Helileiberg. A Krwur.Karlj-
rahe. J. Lüroth. Freibarg. R. Mehrake-StuttQiri. F. Ileyer-Mnigiberf,
C. Ringe-Hannover. H.Scnubert-Hnmburg. F. Bobnr-K*rl»ruhe. H.A.Schv.
Berlla. P. St&akel-Kiel. J. P. Treutlein-Kerl»ruhe. H. Weber -Str*M«

Wegen Programm-Zunendang bittet bu etch rn «Mite« »n
Prof. Dr. A. Krazer, Karlsruhe i. B., WoatendstraSe 57.

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