Archiv der Mathematik und Physik

Google

This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scannod by Google as pari of a projcct

to make the world's books discoverablc online.

It has survived long enough for the Copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject

to Copyright or whose legal Copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books

are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discover.

Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this flle - a reminder of this book's long journcy from the

publisher to a library and finally to you.

Usage guidelines

Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken Steps to
prcvcnt abuse by commercial parties, including placing lechnical restrictions on automated querying.
We also ask that you:

+ Make non-commercial use ofthefiles We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for
personal, non-commercial purposes.

+ Refrain fivm automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machinc
translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encouragc the
use of public domain materials for these purposes and may be able to help.

+ Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each flle is essential for informingpcoplcabout this projcct and hclping them lind
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.

+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countries. Whether a book is still in Copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any speciflc use of
any speciflc book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search mcans it can bc used in any manner
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe.

Äbout Google Book Search

Google's mission is to organizc the world's Information and to make it univcrsally accessible and uscful. Google Book Search hclps rcadcrs
discover the world's books while hclping authors and publishers rcach ncw audicnccs. You can search through the füll icxi of ihis book on the web

at|http: //books. google .com/l

Google

IJber dieses Buch

Dies ist ein digitales Exemplar eines Buches, das seit Generationen in den Realen der Bibliotheken aufbewahrt wurde, bevor es von Google im
Rahmen eines Projekts, mit dem die Bücher dieser Welt online verfugbar gemacht werden sollen, sorgfältig gescannt wurde.
Das Buch hat das Uiheberrecht überdauert und kann nun öffentlich zugänglich gemacht werden. Ein öffentlich zugängliches Buch ist ein Buch,
das niemals Urheberrechten unterlag oder bei dem die Schutzfrist des Urheberrechts abgelaufen ist. Ob ein Buch öffentlich zugänglich ist, kann
von Land zu Land unterschiedlich sein. Öffentlich zugängliche Bücher sind unser Tor zur Vergangenheit und stellen ein geschichtliches, kulturelles
und wissenschaftliches Vermögen dar, das häufig nur schwierig zu entdecken ist.

Gebrauchsspuren, Anmerkungen und andere Randbemerkungen, die im Originalband enthalten sind, finden sich auch in dieser Datei - eine Erin-
nerung an die lange Reise, die das Buch vom Verleger zu einer Bibliothek und weiter zu Ihnen hinter sich gebracht hat.

Nu tzungsrichtlinien

Google ist stolz, mit Bibliotheken in Partnerschaft lieber Zusammenarbeit öffentlich zugängliches Material zu digitalisieren und einer breiten Masse
zugänglich zu machen. Öffentlich zugängliche Bücher gehören der Öffentlichkeit, und wir sind nur ihre Hüter. Nie htsdesto trotz ist diese
Arbeit kostspielig. Um diese Ressource weiterhin zur Verfügung stellen zu können, haben wir Schritte unternommen, um den Missbrauch durch
kommerzielle Parteien zu veihindem. Dazu gehören technische Einschränkungen für automatisierte Abfragen.
Wir bitten Sie um Einhaltung folgender Richtlinien:

+ Nutzung der Dateien zu nichtkommerziellen Zwecken Wir haben Google Buchsuche Tür Endanwender konzipiert und möchten, dass Sie diese
Dateien nur für persönliche, nichtkommerzielle Zwecke verwenden.

+ Keine automatisierten Abfragen Senden Sie keine automatisierten Abfragen irgendwelcher Art an das Google-System. Wenn Sie Recherchen
über maschinelle Übersetzung, optische Zeichenerkennung oder andere Bereiche durchführen, in denen der Zugang zu Text in großen Mengen
nützlich ist, wenden Sie sich bitte an uns. Wir fördern die Nutzung des öffentlich zugänglichen Materials fürdieseZwecke und können Ihnen
unter Umständen helfen.

+ Beibehaltung von Google-MarkenelementenDas "Wasserzeichen" von Google, das Sie in jeder Datei finden, ist wichtig zur Information über
dieses Projekt und hilft den Anwendern weiteres Material über Google Buchsuche zu finden. Bitte entfernen Sie das Wasserzeichen nicht.

+ Bewegen Sie sich innerhalb der Legalität Unabhängig von Ihrem Verwendungszweck müssen Sie sich Ihrer Verantwortung bewusst sein,
sicherzustellen, dass Ihre Nutzung legal ist. Gehen Sie nicht davon aus, dass ein Buch, das nach unserem Dafürhalten für Nutzer in den USA
öffentlich zugänglich ist, auch für Nutzer in anderen Ländern öffentlich zugänglich ist. Ob ein Buch noch dem Urheberrecht unterliegt, ist
von Land zu Land verschieden. Wir können keine Beratung leisten, ob eine bestimmte Nutzung eines bestimmten Buches gesetzlich zulässig
ist. Gehen Sie nicht davon aus, dass das Erscheinen eines Buchs in Google Buchsuche bedeutet, dass es in jeder Form und überall auf der
Welt verwendet werden kann. Eine Urheberrechtsverletzung kann schwerwiegende Folgen haben.

Über Google Buchsuche

Das Ziel von Google besteht darin, die weltweiten Informationen zu organisieren und allgemein nutzbar und zugänglich zu machen. Google
Buchsuche hilft Lesern dabei, die Bücher dieser Welt zu entdecken, und unterstützt Autoren und Verleger dabei, neue Zielgruppcn zu erreichen.
Den gesamten Buchtext können Sie im Internet unter|http: //books . google .coiril durchsuchen.

ArcJdv

der

• 1

Mathematikuind Eb^ik

mit besonderer Rücksicht

auf die Bedürfiiisse der Lehrer an. höheren

UDterrichtsanstalten*

Herausgegeben

von

Johann August Grunert^

Professor zn Greiftwald.

Yierundz wanzigster Theil.

iHit dreizehn lithographirten Tafeln.

Grreifenrald.

C. A. Koeh's Verlagshandlang
Th. Knnike.

1855.

''C

ASTOR. L-;: >X AND

«H«

mtmmB

» • • . *

Inhaltsverzeichniss des viernndzwanzigst^n Theils.

Arithmetik.

Mr. der
bhandlnng. Heft. Seite.

VII. Zur Theorie der Differenzenreihen. Von Herrn
Doctor Otkar Werner, Lehrer der Mathe-
matik in Dresden I* 90

\. Formeln fär die Summen- and Differenzen -
Renhnang. Von Herrn Simon Spitzer, Pri-
Yatdocenten der Mathematik am k. k. polytech-
nischen Institute zu Wien I. 97

XII. Zur Auf lösimg der quadratischen und kubischen
Gleichungen. Von Herrn Joh. Bapt Sturm,
geprüftem Lehramts - Kandidaten zu Botten-
burg in Nieder-Baiern (jetzt in Begensburg) I. 113

XVI. Ueber die elementare Berechnung der briggi-
schen Logarithmen. Von Herrn Joh. Bapt.
Sturm, geprüftem Lehramts -Candidaten zu
Rottenburg in Nieder-Baiem (jetzt in Re-
gensburg) II. 288

XXIII. Darstellung der elliptischen Functionen der drit-
ten Art durch Curvenbogen. Von Herrn Pro-
fessor Dr. M.W. D robisch an der Universität
zu Leipzig III. 320

(M. 8. auch Geschichte der Malhem. u. Phy».Nr.XX.)

u

Nr. der
Abhandlung. Heft. Seite.

Geometrie.

/

I. Ueber die Aufgabe, aus der gegebenen Anzahl
aller denkbaren Durchmesser eines Kreises die
Anzahl aller denkbaren Durchmesser einer Kugel
zu finden. Von Herrn Professor Dr. Hessel
an der Universität zu Marburg .... I. I.

II. Construction der Kegelschnitte mit Hilfe von
Krümmungskreisen. Von Herrn Dr. U. Meyer,
Lehrer an der öffentlichen Handelslehranstalt

zu Leipzig. t. 3

Vni. Beweis des pjthagoräischen Lehrsatzes. Von
Herrn Doctor Oskar Werner, Lehrer der
Mathematik zu Dresden L 93

XIL ■ Einfache Beweine zweier Sätze von der korper-
liehen Ecke. Von Herrn Joh. Bapt. Sturm,
geprüftem Lehramts -Kandidaten zu Rotten-
burg in Nieder-Baicrn (jetzt in Regensburg) I. 112

Xn. Beweis des bekannten Eul er' sehen Satzes von
den Polyedern. Von Herrn Joh. Bapt. Sturm,
geprüftem Lehramts -Kandidaten zu Rotten-
burg in Nieder-Baiern (jetzt in Regensburg) 1. 114

xn. Ueber den Satz von der Gleichheit der Pyra-
miden. Von Herrn Joh. Bapt. Sturm, ge-
prüftem Lehramts-Kandidaten zu Rottenburg
in Nieder -Baiern (jetzt in Regensburg) . . 1. 116

XII. Ueber die Construction der Normalen einer Pa-
rabel. Von dem Herausgeber ..... 1. 118

XV. Ueber die Aufgabe, einen Kreis zu beschreiben,

welcher drei gegebene Kreise berührt. Von Herrn ^

Ferdinand Kerz, Rittmeister in der Grossher-
zoglich Hessischen Gendarmerie zu Gi essen II. 211
XVII. Die Lage eines gegebenen Dreiecks ABC ^ des-
sen den Winkeln A, B, ^ gegenüberstehende Sei-
ten, wie gewöhnlich, durch a,d,C bezeichnet
werden sollen, gegen eine gegebene Ebene so
zu bestimmen, dass seine Projection auf die-
ser Ebene ein gleichseitiges Dreieck ist. Von
dem Herausgeber . . . . , II. 233

UI

Nr. der ^

bhandlong. Heft M4«.

XVII. Zwilchen den Sehenkeln AC und BC det Winkelt

C eines Dreiecks ABC die kleinste Linie so

liehen , welche « von der Spitse C an gerechnet,

191

— des gegebenen Dreiecks ABC abschneidet«

Von dem Ueransgeber . . II. 288

XXIL Ueber die Beschreibung der regulären Vielecke.
Von Herrn Professor J. K. Stecskowski an
der Universität zu Cracan HI. Sil

\XIV. Ueber die Normalen einer Ellipse. Von Qerm

Doctor Heilermann icn Trier III. 327

XXV. Ueber die iieschreibung eines Kegelschnitts durch

fünf gegebene Punkte. Von dem Herausgeber lU. 330

XXVII. Ueber einige geometrische Sätze. Von Herrn

Dr. G. F. W. Bahr zu Groningen in Holland III. 350

XXVII. Vergleichung zweier Dreiecke, von denen die
Seiten des einen auf den Halbmessern des um
das andere beschriebenen Kreises senkrecht
stehen. Von dem Herausgeber III. 351

XXVII. Geometrischer Ort der Mittelpunlcte aller Kreise,
welche zwei gegebene Kreise berühren. Von
dem Herausgeber 111. 353

XXVII. Ueber das vollständige Viereck. Von dem

Herausgeber • . . . • 111. 355

XXVII. Wie gross ist der Körper, welcher durch Um-
drehung eines mit der Dreliungsaxe DF fest
verbundenen Dreiecks ABC entsteht y wenn die
Verlängerungen zweier Seiten AB nnd AC die
Axe unter den Winkeln a und ß in einem Ab- *

Stande DF-=- a schneiden , und wenn die verlän-
gerte dritte Seite BC in der Mitte E von DF
auf DF senkrecht steht? (Taf. IX. Fig. 10.) Von
dem Herausgeber 1||. 359

XXVII. Beweis des Satzes, dass die drei Geraden, welche
die Spitzen eines Dreiecks mit den Mittelpunk-
ten der Gegenseiten verbinden, sich in einem
Punkte schneiden. Von dem Lehramts-Prakti-
kanten Herrn Leopold Stizenberger zu
Heidelberg UI. 350

IV

Nr. der
Ablmdliiiig. Heft. Seit«.

WIX. Die Theorie der ÜUipse and Hjperfoel, aus einem
neuen GesiehUpankte dorgeetellt Von dem Her-
ansgeber IV. 370

XXXI. Beitrag zur Theorie der umhüllten Curven. Von

Herrn Doctor Heil ermann zu Trier . . . IV. 438
(M. 8. auch Mechanik. Nr. XXVI.)

Trigonometrie.

V. Eigenthümliche Ableitung der Formeln der «phä-
rischeo Trigonometrie. Von Herrn Doctor Oskar
Werner, Lehrer der Mathematik zu Dresden I* 55

IX. Herleitung der Neper'schen Anaiogieen. Von
Herrn Doctor Oskar Werner, Lehrer der
Mathematik zu Dresden . . i, 95

XII. Einfache Ableitung der Ausdrücke für die Sinusse
und Cosinusse der halben Winkel eines Dreiecks.
Von Herrn Joh. Bapt. $turm, geprüftem
Lehranits-Kandidaten zu Rottenbarg in Nie-
derbaiern (jetzt in Regensburg) . . . . I. 112

XXI. Darstellung der Potenzen des Cosinus und Sinus
eines Winkels durch Cosinusse und Sinusse der
vielfachen Winkel. Von Herrn Professor Doctor
J. Ph. Wolfers zu Berlin HL 303

Geodäsie.

' XllI« Ueber ein« neue bei der Ausführung höherer
geodätischer Messnngen und Rechnungen in An-
wendung zu bringende Methode. Von dem Her-
ausgeber II. 121

XXVIIL Die Orientirung des Messtisches nach zwei ge*
gebenen Punkten. Von Herrn Professor K. Brey-
mann an der k. k. Forstlehranstalt zu Maria-

brnnn IV. 361

XXX. Untertuchnng der Fehler, welche aus einer nicht
centrischen Aufstellung des Messtisches oder
eines Winkelmessers entstehen. Von Herrn Pro-

3 ffessel: üeöer die Aufgabe, aus der Anzahl aller denkbaren etc.

Ist die Ebene eines grüssten Kreises der berücksichtigten
Kugel horizontal« so kann man alle grüssten Kreise dieser Kugel
unterscheiden in:

1) diesen einen eben genannten horizontalen;

2) solche, welche in verticalen Ebenen liegen;

3) solche, deren Ebenen weder horizontal noch vertical sind,
die wir kurz als geneigte bezeichnen wollen.

Was die Anzahl der verticalen grüssten Kreise betrifft, so ist
diese offenbar so gross, als die Anzahl aller Durchmesser des
horizontalen grüssten Kreises, mithin =0; denn durch jeden Durch-
messer des horizontalen grüssten Kreises lässt sich ein verticaler
grösster Kreis legen.

Die geneigten grüssten Kreise kann man verbinden in Gmp-
pen, deren jede diejenigen geneigten grüssten Kreise enthält,
welche einen und denselben horizontalen Durchmesser gemein
haben, d. h. in einem und demselben Durchmesset' des horizon-
talen grüssten Kreises sich schneiden.

Die Anzahl der, einer solchen Gruppe angehürigen geneigten
grüssten Kreise ist aber =@ — 2; denn würde man den horizon-
talen grüssten Kreis und jenen verticalen grüssten Kreis, in wel-
chem der horizontale Durchmesser der betreffenden Gruppe liegt,
nicht ausschliessen, so würde die so um zwei grüsste Kreise er-
weiterte Gruppe die Gruppe aller grüssten Kreise sein, die den
betreffenden horizontalen Durchmesser i^emein haben. Die Anzahl
der grüssten Kreise dieser so erweiterten Gruppe ist aber = 0,
mithin die Anzahl der geneigten grüssten Kreise einer solchen
Gruppe =0 — 2.

Die Anzahl der Gruppen geneigter grüsster Kreise ist aber
glei<ih der Anzahl der Durchmesser des horizontalen grüssten
Kreises, denn zu jedem solchen Durchmesser gehurt eine derar-
tige Gruppe. Die Anzahl dieser Gruppen ist also =0.

Es ist demnach die Anzahl aller geneigten grüssten Kreise
=4=9(9-2).

Es besteht also die Anzs^hl aller grüssten Kreise einer Kugel
aus folgenden drei Zahlen:

1) der Zahl 1, die dem horizontalen grüssten Kreise ettlspricht;

2) der Zahl 0, welche die Anzahl aller verticalen grüssten

Kreise ist;

B. Meyer: CtmslmciiaM der ifegelschnitte mit Rülfe von eie, 3

3) der Zahl 00—2)» H'elche die Anzahl aller geneigtem

grussten Kreise angiebt.

Sie ist sonach =1-1-9 + 6(9—2), mithin

Man hat daher auch für die Anzahl ^ der sfimmtlichen Durch-

oi96ser einer Kugel, in Beziehung zur Anzahl Q der sänimtlichen
Durchmefiser eines Kreises» die Gleichung:

0=G*-e+i.

II.

Cimstmctioii der Kegelschnitte mit Hilfe von Rrfim-

mungskreisen.

Von

Herrn Dr. H. Meyer,

Lehrer an der öffentlichen Handelslehranstalt zu Leipzig,

l) Nicht selten kommen bei der Darstellung technischer und
anderer Gegenstände etc. Kegelschnitte» namentlich Ellipsen vor»
ist doch seihst die Projection des Kreises eine Ellipse; werden
dieselben auch zuweilen noch, unbekümmert um ihre Eigenschaften
als Kegelschnitte» wie jede andere Curve durch einzelne Punkte
aus der zu projicirenden Raumgrösse abgeleitet» so ist diess doch
der weniger zu empfehlende Weg» weit besser ist es» nur die
Azen oder conjugirte Durchmesser o. a. zu projiciren und aus diesen
dann die Curve vermöge ihrer bekannten Eigenschaften zu zeichnen.

Fär die Zeichnung der Kegelschnitte lassen sich nun im
Allgemeinen zwei Hauptmethoden unterscheiden» je nachdem man

4 U. Meyer: ConstmcHan der Kegelechniite

Mos einzelne Punkte oder sogleich grossere Theile der Carve s. Th.
genau findet

Auf die Zeichnung der Kegelschnitte aus einzelnen Punkten
wollen wir hier nicht weiter eingeben ; eine Zusammenstellung der
bis jetzt bekannten, sowie auch einiger neuer Constructionen, wird
im Anhang der Axonometrie (3. Lieferung) mit erscheinen.

Die Construction der Kegelschnitte mit Hilfe von Kreisbögen
serfailt wieder in zwei Theile, je nachdem man beabsichtigt,
wirkliche Ellipsen o. a. zu erhalten, wobei aber die freie Handzeichnung
und wohl auch noch die Bestimmung einzelner Punkte der Curve
nicht ganz zu vermeiden ist, odi^r lieber etw.is von der Genauigkeit
opfern und die Ellipse nur annähernd ganz aus Kreisbugen construiren
will. Die erstere dieser zwei Verfahrungsweisen beruht auf der
Construction der Kriimmungsk reise, und sie ist es, auf die
wir hier etwas genauer eingehen wollen. Ganz mathematisch genaue
Kegelschnittlinien erhält man zwar bei dieser Construction auch
nicht, da die Krummungskreise immer nur in drei (resp. vier) Ele-
menten mit den wirklichen Curven zusammenfallen, man aber bei
der Construction ein ziemliches Stiick des Kreisbogens benutzt;
berücksichtigt man jedoch die beim Zeichnen überhaupt nur mögliche
geringere Genauigkeit, so dürfte doch diese Methode noch richtigere
Ellipsen liefern, als selbst die Bestimmung durch einzelne Punkte,
hei welcher man vermöge der beim Bestimmen vieler Punkte sich
anhäufenden unvermeidlichen kleinen Fehler selten schöne Ellipsen
erhält; auch werden die beim Zusammenziehen einer durch einzelne
Punkte bestimmten Ellipse etc. aus freier Hand eintretenden Fehler
zum grossen Theii ganz vermieden, z.Th. verringert, indem durch
die vorhandenen Kreisbogen die freie Handzeichnung sehr erleichtert
wird.

2) Zwei Kegelschnitte können sich in vier Punkten durchschnei-
den*), haben sechs gemeinschaftliche Secanten, vier gemeinschaft-
liche Tangenten uQd sechs gemeinschaftliche Vielstrahlen, doch sind
nicht selten imaginäre Werthe darunter. Fallen zwei dieser Schnitt-
punkte zusammen, so geht die gemeinschaftliche Secante in die ge«
meinschaftliche Tangente über, die beiden Kegelschnitte bilden
eine Osculation der ersten Ordnung. Fallen drei gemeinschaftliche
Punkte beider Kegelschnitte in einen Punkt zusammen, so giebt
diess die Osculation der zweiten Ordnung ; die Kegelschnitte bähen

*) Eine sehr deutliche Darstellung über die Verhaltnisse, in denen
swei Kegelschnitte zu einander stehen können , s. Gh. Paulus: „Grnnd-
lialen der neueren ebenen Geometrie*' pag. 220—243.

mii Hilfe tan Krümmungskrelsen, B

eine gemeinschafttiche Tangente, darchschneiden sich aber im
Berühmngspanicte. Fallen alle vier gemeinschaftlichen Punkte bei-
der Kegelschnitte in einen Punkt zusammen, so giebt dies« eine Os-
cnlation der dritten Ordnung; beide Kegelschnitte haben eine
gemeinschaftliche Tangente und der eine liegt ganz in der FiSche
des andern. Die Curven zvreier Kegelschnitte schmiegen sich bei
der Osculation der zweiten Ordnung inniger an einander an, als
bei der einfachen Beriihrun*g, und bei der Osculation der dritten
Ordnung wieder inniger, als bei der Osculation der zweiten Ord-
nung; d. h. es ist nicht möglich, zwischen die Curven zweier
Kegelschnitte, die eine Osculation der zweiten Ordnung vollziehen,
eiiieD Kegelschnitt zu zeichnen, der eine Berührung der ersten
Ordnung hervorbringt, und ebenso schliesst sich die, eine Oscu*
lation der dritten Ordnung vollziehende Kegelschnittscurve enger
an den gegebenen Kegelschnitt an, als die mit ihm eine Osculation
der zweiten Ordnung bildende Curve.

Ist der mit einem Kegelschnitt eine Osculation höherer Ord-
nung eingehende zweite Kegelschnitt ein Kreis, so nennt man
diesen Krfimmungskreis. Da drei Punkte die Lage eines Krei-
ses bestimmen, so ist fGr einen Punkt des Kegelschnitts immer
nur ein Krfimmungskreis möglich; eine Osculation der dritten
Ordnung findet zwischen einem Kegelschnitt und einem Kreise nur
in den Scheitelpunkten der Axen statt, dagegen ist hier die Oscu-
lation der zweiten Ordnung ausgeschlossen.

Die Bestimmung des Kriimmüngskreises für einen gegebenen
Punkt eines Kegelschnitts kann entweder durch höhere Mathematik
oder durch die neuere Geometrie erfolgen ; wir beginnen mit letz-
terer, durch welche im Allgemeinen die Lehre von den Kegel-
schnitten an Klarheit und Zusammenhang viel gewonnen hat.

3) Zwei Kegelschnitte, die eine Osculation der ersten Ord-
nung vollziehen, sind perspectivisch collineär: erstens für den Be-
rührungspunkt O (Taf. I. Fig. l.) als Collineations- Centrum und
die Tangente RS als Collineations - Axe *); zweitens für O als
Collineations -Centrum und JcX als Collineations- Axe; drittens för
einen ausserhalb RS liegenden Punkt O' als Collineations-Centrum
und RS als Collineations -Axe und viertens für O' als Collineations«
Centrum und XX als Collineations -Axe **). Sind daher von einem

*) Was jedoch nicht benutzt werden kann, da hierdurch alle Punkte
de« einen Kegelschnitts mit 0 des anderen als homolog sich ergeben.

**) Ob noch andere gemeinschaftliche Vielstrahlen gleichartiger Lage
vorhanden sind, deren Scheitel dann auf der gemeinschaftlichen Tan-

6 B. Meper: CtmstrucHon der Kegelsehnitti

Kegelschnitte, der mit einem gegel>eDen Kegelschnitte ABC ia
O eine Oscnlation der ersten Ordnunc; vollziehen soll, noch drei
Punkte Ai^ B^ Ci gegeben, so können die weiteren Punkte ge.
funden werden, indem man zu Ai, Bi, Q die homologen Punkte
A-, B, C und somit die homologen Richtungen AB^ <^i^; BC9
iB|C|; AC^ -^lA bestimmt; die Verbindungslinie der Convergenz-
punkte cty ß, y liefert die Collineations-Axe HcX für O als Ceill-
»eations - Centrum. Umgekehrt lässt *sich diess zur Constmctioii
der Kegelsclinitte benutzen, sobald ausser einer Tangente MS
nebst ihrem Berührungspunkte O noch drei Punkte A, B, C der
Cun'e gegeben sind : Man zieht durch O einen beliebigen JB#-
rfihrungskreis, bestimmt für O als Collineations-Centrum <lie boM0-
logen Punkte Ai, Bi, Ci im Kreise, und hiernach wie oben die
Collineations-Axe. Der dem beliebigen Punkt F^ des Kreises
entsprechende Punkt F des Kegelschnitts wird als Schnttt des
Collineations- Strahls OF^ mit der zu CiFiö homolo^n Linie C#V
erhalten, welche letztere durch C und den Convergenzpunkt 8 der
homologen Richtungen in der Collineations • Axe bestimmt, ist.

4) Zwei Kegelschnitte, die eine Osculation der zweites Ord*
nung vollziehen, sind perspectivisch collineär: erstens für den &•*
rührangspunkt O (Taf. 1. Fig. 2.) als Centrum und Tangente RS
als Axe, was wiederum aus oben angegebenem Grunde nicht tu
benutzen ist; zweitens für O als Collineations- Centruro und dit
gemeinschaftliche Secante OB als Axe; drittens für den DurcJi»
schnitt O' der Tangente RS mit der zweiten gemeinschaftlichen
Tangente £0' als Collineations -Centrum und RS als Collineations-
Axe und viertens für O' als Collineations- Centrum und OB als Axe.

Sind dah^ von einem Kegelschnitte, der mit einem gegebeoei
eine Oscvlation der zweiten Ordnung vollzielien soll, nod^ zwei
Punkte gegeben, so ist derselbe vollkommen bestimmt, da der
Convergenzpunkt cc der homologen Richtungen AC und AiCi den
einen und O den zweiten Punkt der Collineations-Axe OB für O
als Cehtrum bestimmt.

Da drei Punkte einen Kreis bestimmen, so giebt es für jeden
Punkt der Kegelschnittscurve nur einen Krümmungskreis. Die
Bestimmung dieses Krümmongskreises für einen beliebigen Paabt
einer gegebenen Curve ist nach Paulus pag. 24*2. fönende: „Zieht
man vom Collineations -Centrum O (Taf. I. Fig. 3.) aus OD±OC,
so entspricht die Sehne CD des Kegelschnitts offenbar einem

^^te liegeo » bangt davon ab , ob zwischen Kr«is- und Kegelschnitt noch
jFedie g^o^ioschafüicbe Piukte und Tangenten vorhanden suid oder aklil.

mit Bilfe pon Krümmtmgshrelsen. 7

Durchmesser des gesuchten Kreises. Construirt man noch eine
swdte solche Sehne AB im Kegelschnitt, so wird der Conver-
geijzpunkt M dieser zwei Sehnen dem Mittelpunkte JVi des ge-
suchten Kreises homolog sein. Dann ist aber auch die Polare ab,
welche dem Punkte M des Kegelschnitts entspricht, der Polaren
homologe welche dem Mittelpunkte Mi des Kreises entspricht
Die letztgenannte Polare ist aber eine Gerade des unendlichen
Raumes 9 folglich ist die Polare ab in dem Systeme des Kegel-
schnitts die Gegenaxe bei der Collineation des Kegelschnitts
und des gesuchten Kreises. Die Axe der Collineation geht aber
immer der Gegenaxe parallel, und weil dieselbe bei einer Oseu-
lation der zweiten Ordnung auch durch den Punkt O geht, so Ist
die Gerade OJIF, wrlche durch 0\\ab gezogen wird, die Axe der
Collineation. Durch das Centrum O, die Axe 03t und die Gegen-
axe ab ist aber die Collineation vollkommen bestimmt , und man
kann sogleich den Kreis oder, wenn man lieber will, auch den
Mittelpunkt desselben, welcher dem Punkte M homolog ist, con-
struiren. Zieht man z. B. durch M die Richtung yc und an den
Schnittpunkt c mit der Gegenaxe den Collineations-Strahl Oc und
nun durch den Schnittpunkt y mit der Axe y/f/i || Oe, so sind yM
und yMi homologe Richtungen der zwei Systeme und der Colli-
neations- Strahl OM bestimmt auf y^| den Mittelpunkt Mi des
gesachten Kreises.

Ist die Tangente des Punktes O bekannt, STy so ist M0\. ST.
und somit zur Bestimmung von M blos eine Sehne zu ziehen nothig.

Will man diese Construction zur Bestimmung des Krümmungs-
halbmessers für den Punkt E (Taf. 1. Fig. 4.) einer durch zweiconjugirte
Durchmesser gegebenen Ellipse (o. a. Curve) benutzen, so muss man
zunächst die Grösse der auf EB winkelrecht gezogenen Linie EF
bestimmen. (Bei der Ellipse kann diess mit Hilfe eines um AB
geschlagenen Kreises durch Affinität geschehen, bei andern Cur-
ven kann man einen perspectivisch collineär liegenden Kreis zeich»
nen (s. 3.) und von diesem aus die Bestimmung vornehmen); M
ist der dem gesuchten Mittelpunkt des Kreises homoloi^e Punkt
in der Ellipse. Zur Bestimmung der Polare braucht man noch
eine zweite durch M gehende Linie; diese ergiebt sich jedoch
leicht» indem man EG\_ED und DM zieht. Die zu Fi? und GD
bestimnite Polare bestimmt die Richtung der durch E gehenden
Collineations-Axe; die weitere Construction ist sodann wie oben.

Diese Construction lässt sich auch zur Angabe der Krfim-
fluingshalbmesser für die Endpunkte der conjugirten Durchmesser
Mlbst benutzen. (Taf. L Fig. 5.)

8 B. Meyer: Constructiati der KegeUchnWe

Da die Polare die zum Halbmesser MK conjngirte Richtimg
besitzt 9 so kann man auch sofort die Collineations-Aze durch C
parallel dem zu MK conjuglrten Durchmesser ziehen.

Sind die Hauptaxen der Ellipse gegeben und für E (Taf. L
Fig. 6.) der Krümmungskreis zu bestimmen, so ergiebt sich das
rechtwinkelige Dreieck EHF sogleich durch die Ordinaten, und
der zu FH conjugirte Durchmesser bestimmt sogleich die Rieb-
tang der Collineations-Axe. Da der conjugirte Durchmesser pa-
rallel der Tangente in F ist, so kann man auch die Collineations-
Axe parallel der Tangente FL ziehen , vrelche letztere sich leicht
sofort durch die Lage der Tangente EL ergiebt; da LR = RN,
so kann man auch sofort iV bestimmen und mit E verbindeii.
Zieht man nun zwischen EH und EF durch y eine Linie so, dass
sie von EM halbirt wird (was leicht geschieht, indem man EO
in «S halbirt und mit JS durch y eine Parallele zieht), so ist
diess der Durchmesser und Mi der Mittelpunkt des gesuchten
Krümmungskreises. Die in F gezogene Tangente muss sich mit
der des homologen Punktes f in der Collineations-Axe schneiden,
LF ist aber parallel der Collineations-Axe, sentit auch dif^se
Tangente parallel der Collineatioiis-Axe. Diese Tangente steht
aber winkelrecht Siu( Mif, folglich steht yMi J. auf der Collineations-
Axe, was man mit Vortheil für die Construction benutzen wird.
Da wir von der Länge der Hauptaxen nicht besonders Gebrauch
machen, so ist diese letztere einfachere Construction auch an-
wendbar, sobald nur die Richtung der Hauptaxen und sonst hin-
Jängliche Stücke zur Bestimmung der Tangenten gegeben sind.
Die Bestimmung der Richtung der Hauptaxe ist aber mit Hilfe
der' Kreis -Involution ziemlich leicht (s. Paulus).

Der gefundene Krümniungskreis lässt sich dann auch zur An-
gabe einzelner Punkte der Ellipse für E als Centrum und Ey als
Collineations- Axe benutzen. Dieselbe Construction gilt auch (Qr
die Hyperbel und Parabel (s. Taf. I. Fig. 7. und Fig. 8.).

5) Zwei Kegelschnitte, die eine Osculation der dritten Ord-
nung vollziehen, sind für den Berührungspunkt als Collineations-
Centrum und für die gemeinschaftliche Tangente als Collineations-
Axe auch für die einstimmige Lage der homologen Elemente
perspectivisch collineär^ es lässt sich daher dieses Verhalten sofort
zur Construction des zweiten Kegelschnitts benutzen, sobald von
diesem noch ein Punkt gegeben ist. Der Kreis konnte, wie be-
reits erwähnt, nur in den Scheitelpunkten der Axen eine Oscula-
tion der dritten Ordnung vollziehen ; die Bestimmung dieses Krüm-
mungskreises» der für die Zeichnung nun besonders wichtig wird.

JHii Hilfe van ärünmiungshreiien. 9

kann ausser' auf dem allgenieiDen Wege durch Beatimnuiog de«
Mittelpunktes» wie oben nach Paulus angegeben , sehr einfach
dadurch erfolgen , dass man den zweiten Endpunkt des Durch-
messers des Kreises bestimmt.

Sind ABr CD (Taf. I. Fig. 9.) die Hauptaxen der Ellipse» so
«rgiebt sich der Krummungskreis für C> indem man DB bis zur
CollineationS'Axe Cy verlängert und vom Schnittpunkte y auf CB
m» Normale fällt; CDi ist der Durchmesser und Mi somit der
Hittelpunkt des gesuchten Kreises; denn die homologen Linien
DB und 1^1 ^1 müssen sich in der Collineations-Axe, d. i. in y»
durchschneiden» und CßiDi muss als Peripheriewinkel im Halb-
kreise ein rechter sein. Ist fiir B ein anderer Punkt gegeben»
so bringt diess nuturlicb eine Aenderung nicht hervor. Für die
Scheitel A und B bleibt die (Jonstruction ungeändert» wie in der
Figur punktirt angegeben.

Dasselbe Verfahren ist auch bei der Hyperbel und Parabel
zor Construction des KrOmmongskreises im »Scheitel anwendbar»
nur ist darauf Rucksicht zu nehmen , dass bei der Hyperbel zwei
Punkte» bei der Parabel ein Punkt im Unendlichen liegt.

Ist für den Scheitel C (Taf. I. Fig. 10.) der Hyperbel der
Krfimmungskreis zu zeichnen» wenn noch ein beliebiger Punkt B
der Hyperbel gegeben ist» so zieht man zunächst die Collineations-
Aze Cy, verbindet B mit C und D und zieht vom Schnittpunkte
y der Linie DB mit der Collineations- Axe yDg JiCB, CDi ist
der Durchmesser des gesuchten Kreises. Der Beweis ist der
obige» sobald man beachtet» dass Di im Kreise dem zweiten
Scheitel D der Hyperbel homolog ist.

Ist statt des Punktes B die Asymptote KS (Taf. I. Fig. 11.)
der Hyperbel gegeben, so ist der unendlich entfernte Punkt der
Linie KS ein Punkt der Hyperbel, und hiernach wird Di sofort
erhalten» indem man Dy \\ der Asymptote KS zieht und in y
die Normale yZ>| errichtet, üi sind die Punkte des Kreises» die
den unendlich entfernten Punkten der Hyperbel entsprechen. Da
CT=- Ty^ so kann man auch sofort im Durchschnitt T der Asym-
ptote und Collineations-Axe eine Normale errichten und im Durch-
schnitt mit der Axe den Mittelpunkt Mi des Krummungskreises
bestimmen.

Bei der Parabel entspricht Z>i (Taf. I. Fig. 12.) des Kreises
einem unendlich entfernten Punkte D der Parabel; die Linie DB
wird demnach hier eine durch den gegebenen Punkt B gezogene»
mit der Axenrichtung CE parallele Linie ; fallt man nun von y auf

10 B. Meyer: Construetion der Kefftlechtiitte^

CS ein« Normale, bo erhftit man io CZ>i den gesachten DareiH
messer des Rrümmfragskreises.

Da der so gefundene Krümmungskreis mit dem Kegelscboitt
fiir den Berührungspunkt als Centrum und die Tangente als Axe
perspectivisch collineär ist, so kann man diesen Kreis dann aadi
zur Bestimmung einzelner Punkte, welche zum Zasamroenzieheii
der Curve noch nüthig erscheinen dürften, benutzen. Wie maö
einzelne Punkte übertragen kann, ist als bekannt voransziisetacBy
jedoch auch in 3) beispielsweise gezeigt *),

6) Die Ableitung der Krümmungskreise durch höhere Matbo-
matik bietet für einzelne Fälle noch einfachere Resultate dar.

Bezeichnet p den halben Parameter (Hauptparameter) und «
die halbe Hauptaxe, so gilt für die Kegelschnitte bei rechtwink»
liehen Coordinaten vom Scheitel aus gezählt allgemein die Formel;

und hiernach wird der Krümmungshalbmesser:

,=[^(2-f)+p(l-f)«]l.^— ).

Für :r=0 wird Q^=p, d. h. für die Scheitelpunkte der
Hauptaxe ist der Krümmungskreis gleich dem halben
Parameter. Der Parameter ist aber bei der Ellipse und Hyper-
bel die dritte Proportionale zur grossen Axe (Hauptaxe)
and kleinen Axe (Zwerchaxe), bei der Parabel vier Mal
80 gross als die Brennweite. Bezeichnet a die halbe Havpi-
axe, 6 die halbe zweite Axe, so ist bei der Ellipse und Hyperbel
a:6:^&:/9» d. i.

bei der Parabel p = 2x Brennweite, d. i. = Abstand des Brenn-
punktes von der Directrize. Für die Ellipse und Hyperbel ergiebt sich
demnach folgende Construction : Man errichtet auf der Verbio-

*) Aehnllche Gonstructionen enthält Ol i vier: „Gomplöni«at« 4e
g^omötrie descriptive*' pag. 461—467. mit Benutzung der höheren
Bfathematik.

**) Für a positlr giebt sie die Ellipse, für a negativ die HyperbeA,
für O SS OD die Plirabel, für tf zszp 4en Krm. ^

*) S. Littr^wt „Aaleitwngsnrhdherenilatheniaiik^p. IST.

•«•1

ma BiiflB füll MrüwtmMM§9kr€i9m^ 11

dangsimie AD (Taf. II. Fig. 13. und 14.) in I> eine N^male ; KEUi
der Krömmaogsbalbniesser fSr die Scheitel A und B,

Sind die As3rinptotea der Hyperbel gegeben, so kann man
sofort in G (Taf. II. Fig. 14.) eine Normale errichten , M ist der
Mittelpunkt des Kruromungskreises *). Wenden wir obige Formel

speciell für die Ellipse an, indem wir fär p den Werth — ein-
setzen, so ergiebt sich:

Für jTssa wird

a^ a

«=[«(2-l)+T(l-")"]«V=-6—=6-

Somit ergiebt sich der RrOmmungshalbme^ser für die Enden
der kleinen Axe, indem wir auf die Sehne AD (Taf. II. Fig. 13.) in
A eine Normale errichten; LK ist der Krümmungshalbmesser.

Ist der Brennpunkt F gegeben und man errichtet in F eine
Normale FM \_FDj so bestimmt diese sofort den Mittelpunkt M
des KrSmmungskreises für D, denn FD=a,

Für die Hyperbel wird die Formel, wenn wir für a sofort den
negativen Werth hersteilen:

P=[^(2 + ^)+p(l+^)^]*. ^

a'

a'y-srß'

*) Ist das Verliältniss der Axen bekannt, wie es z. B. bei den aico-
noDieirischen Ellipsen häufig vorkommt, so kann man die Mittelpankte
der Kram orangsk reise zuweilen noch einfacher finden; z. B. bei der iso-

netrischen Ellipse ist das Verhältniss der Axen a:^=V3:l, somit der

Krömmangshalbmesser q für die Enden der kleinen Axe =>=^^ — ^-^z:=!^i

o 0

ö* a
far die Scheitel der grossen Axe ^i = — = -• Bei dem monodi metrischen

Verhältniss 1:1:4 i«t in der Gmndebene die kleiie Aze ^^ der gro*-
•flo, demnach der Krommungshalbmesser

etc.
Aasfahrlicher hieräber s. Lehrbuch der Axonometrie. 4. Lief.

lÜ H* JUeper: Consimctton dtr KegeUcknitte

d. i. för » = — :
^ a

?=[^(2+f)+f(l+f)«]l.^.
Für die Parabel ist a = oo, demnach

Q=(:2x-\-p)i

Wp'

7) Einfachere Gonstructionen« als sich durch obige .Formeln
fSr einen beliebigen Punkt der Curve ergeben, erhält man .
durch Einführung der Normale ^

m

iV=pi.\r[^(2^f)+p(i-f)«] ;

setzt man diesen Werth in obige Formel ein , so wird g = —s-

Wie man diese Formel auf einfache Weise constrairen kann
ist TOm Herrn Fabr.-Comniissionsrath A. Brix abgeleitet, wir be-
gnügen uns daher mit der Angabe des Resultats: ^^Es sei F
(Taf. II. Fig. 15.) der Brennpunkt, Q ein beliebiger Curvenpunkt»
QN die Normale. Man ziehe durch Q und F die Secante FQ,
errichte in N das Perpendikel NJU auf QN, welches die Secante
in ilf schneidet; dann ziehe man il/0 senkrecht auf QM und ver-
längere die Normale bis zum Durchschnitt O mit dieser Senk-
rechten, so ist QO der Krümmungshalbmesser des Gurvenpunk-
tes 0"

8) Diese Construction setzt die Brennpunkte, also auch die
Hauptaxen als gegeben voraus; sind blos zusammengehörige
Durchmesser bekannt, so lassen sich allerdings ans diesen die
Hauptaxen auf ziemlich einfache Weise finden, in einzelnen Fäl-
len dürfte es aber doch vortheilhafter sein, sogleich die Krün^
mungskreise der Enden der zusammengehörigen Durchmesser
zeichnen zu können, und lässt sich hierfür das im Folgenden näher
entwickelte Verfahren benutzen. Es ist dasselbe selbst bei gege-
bedien Hauptaxen fiir beliebige- Punkte anwendbar, da es ziemlich
einfach ist: Bezeichnen wir die conjugirten Durchmesser durch
/ und m und den Winkel, den sie einschliessen, durch z, so ist
der Krümmungshalbmesser bei der Ellipse und Hyperbel für die

Enden des Halbmessers m r— Für die Enden des Halb*

tili • sm z

messers / der Ellipse wird p' = > .^ « Für die Parabel ist der

mii Bilfe nan JtnSmmuiiffikrHsen. 13

Krfimroangshalbmesser =-^-^, wenn pi den Parameter fiir die

zusammengehurigen Durchmesser bezeichnet. Wir haben also die
far rechtwinkelige Axen gefundenen Werthe nur durch sin z 'zu
dividiren» um diese Formeln (ur cohjugirte Durchmesser JSeniiizen
so können. — Hiernach ergeben sich folgende Constrüctionen.'

Für die Ellipse und Hyperbel : Man fallt vom Endpunkte A
(Taf.ll. Fig. 16. und Fig. 17.) die Normale AE, trägt EG=KC ab und

errichtet in G die Normale GH auf AG; EH= — ; — ist der ee-

tn sin z °

suchte Krümmungshalbmesser für A und B.

Durch gleiche Construction erhält man bei der Ellipse den
für C und D geltenden Krümmungshalbmesser , wie schon daraus
folgt, das« man ja jeden der beiden Durchmesser als Abscissen-
finie annehmen kann, aber auch durch die Formel gefunden wird;
in Taf. H. Fig. 16. ist diese Construction punktirt angegeben.

Soll fSr einen beliebigen anderen Punkt der Krü'mmungskreis
bestimmt werden, so kanp man für diesen erst zwei conjugirte
Durchmesser bestimmen und dann wie so eben gezeigt verfahren.

Far die Parabel ergab sich der ffir C (Taf. II. Fig. 18.) gel-
tende Krümmungshalbmesser als "t^. Der halbe Parameter fjir

die zusammengehurigen A^^en pi ist aber gleich 2CE oder auch
= lLK(z=:LG=GK), wenn LK eine parallel der Tangente von
C durch den Brennpunkt F gezogene Linie ist, =:EG. Es lässt
sich dieser Parameter auch leicht aus einem gegebenen Punkte

der Parabel ableiten, indem yi®=2/?i^i, d. i. pi = ^. — Aus ;?i

ergiebt sich der Krümmungshalbmesser für C nun folgend: Man
zieht GH± CD und IH±LK± TT; GH ist der gesuchte Krüm-
iDongshalbmesser. Berücksichtigt man noch die Congruenz der
Dreiecke CNM und LGH, so lässt sich noch leichter sofort JH
bestimmen, indem man CZV= halbem Parameter, d. i. =LG=zEGi'
aufträgt und in i¥ eine Normale auf CN errichtet.

Der Beweis für die Richtigkeit dieser Angaben lässt sich fol-
genderinaassen führen:

Sei C/> (Taf. 11. Fig. 19.) eine beliebige Curve, C der durch die
Bcbiefwinkeligen Ordinaten o: und ^ bestimmte Punkt, für welchen'
der Krümmungskreis gesucht werden soll; A der Anfangspunkt
der Abscissen; ferner M der Mittelpunkt des gesuchten Krium-
mungskreises, a, ß die Ordinaten desselben und g der Halbmes-
ser. Die Kreisgleichung wird unter diesen Voraussetzungen:

14 B. Meper: Cotuimeiim der Kegelicknitu

(1) (a:-a)« + (y-^)«-2(a;-a)(3^-/5)cosz=^«.

. Die weitere Ableitung kann nun ganz analog der in Littrow
p. 180. fär rechtwinkelige Coordinaten angegebenen erfolgen : Diffe-
rentiirt n»an diese Gleichung zwei Mal nach einander und setzt das
erste Dimeren tial dx constant, so erhält man:

; 2(a:-a)8Ä+2(y-/S)8y— 2cosi[(ar-a)8y+(y-^)aar]=0,

(2) {x — a)dx-{'(y — jS)8y— cos«(a:--a)8y— cosz(y— |3)8a'=:0

und

j So:« — cos2.8ar% + 8y» + (y— /J)8^ — cost.aya^r
.(3) \

( '-'COBx{x — a)8*^=0.

Aus (2) nnd (3) folgt, wenn 3a:^ + 8^«=8s« gesetzt wird:

_ _ (cosxSjt - dy) (8g^ — 2cos28jr8y)
~" (cosi* — l)8a?.8^^

(8a: — cos % Sy) (Ss^ — 2 cos z Sx dy) ,

9^^— (cos z«— 1)8^.8^ '

und hiernach:

^ = [(cos xdx — 8y)*+(8ar— cos z3y)*— 2 cos «(cos 28a>— 8|y)(8jr— cos «3y)J

/85^~2cosa;.8ar83^y
^V(cos2«— l)ar8^/

_(8s*--2cosiar8y)sinxg(8s^~2cosa;.ar8j^)^_(8<»— 2cosz.8ar8?/)»eipg»
~ [{cosz^-\)dx.&hfY ~ (— sin2«.8:r'8«y)a '

_ V"(8j»— 2co828ar8y)^
^"~ — »sin 2.8a? 8^.y

Wende» wir nun diese ffir schiefwinkeJige Coordinaten abge-
leitete Formel des Krümmungshalbmessers auf die Gleichung der
Kegelschnitte aus zusammengehörigen Coordinaten an:

Die zusammengehurigen Durchmesser seien / und nt, m Abscis-

senaze. Bezeichnen wir den Werth — bei der Ellipse und By«

perber durch pu und ebenso den Parameter der zusammengehurigen
Durchmesser bei der Parabel mit pi , so hat man für die gemein-
same Gleichung dieser drei Curven:

y^=:2pix

«=5^^— &— t

0ie geb5rt fär die Eliip^e, Hyperbel oder Parabel, je Dachdem m
positiv, negativ oder uaeodlich gross ist.

Darch zweimaliges Differentiiren erhält man :

onrf

and hiernach:

|[»-+ft»(l-S)»]^-2co«.a:r.(l-^)2^t «

* =

)

und \vird y in o; umgesetzt:

[2^i^--ft^'+P.»(l-|)«-2co«t(l-|)p,V2p,*-2^]*

■•Aa*»Ba*^*-— «iM^

iSS ■ -• • * ' ■' . ■ . ■ ■ ■■ - ■ I ■ 1 1 >-,

siuz.pi

Pl

Ffir x=0 wird allgemein ^rr:-^, d. i. (lir die Ellipse und Hy-

perbel =-—5—-; für die Parabel =-?^.
"^ msmx smz

ifii ^

Für die Ellipse wird ferner fflr a?=m ^=1: — ~r, d.i. wenn

ßr /^ = ^ eingesetzt wird :

16 H. Meper: ConsirucKon der KegeUehtUiti

4/ -

6in z . w —

< » I

i 1

9) Für das nach Angäbe mehrerer Krfimmungskreise noch
erforderliche Zusammenziehen aus freier Hand ist zu beachten,
dass nur die Krümraungskreise in den Scheiteln der Axen gani
innerhalb oder ausserhalb der Curve des Kegelschnitts liegen, in
allen andern Punkten aber der Krümmungskreis die Curve darc^«
schneidet. Die Krümmungskreise in den Scheiteln der Hauptaxa
(grossen Axe bei der Ellipse) liegen ganz innerhalb des Kegel-
schnitts; der Kriimmungskreis für die Scheitel der kleinen Axe
umschliesst die Ellipse« Die Krümmungshalbmesser, werden um
so grösser, je vrelter der Punkt von den Scheiteln der Hauptäxe
entfernt liegt; bei der Ellipse findet der grusste Krümmungshalb-
messer bei a ' = a statte wie sich durch Nullsetzen d^s ersten Dif-
ferentialquotienten der Gleichung

e = [a.(2-f)+;,(l-f)«]!

ergiebt; bei der Parabel und Hyperbel fuf j; = od.

Man muss daher beim Zusammenziehen der Kegelschnitts-
curve aus freier Hand bei dem nach dem Scheitel der grossen Axe
zu gerichteten Theile des Krümmnngskreises stets herein, bei
dem vom Scheitel abgewendeten Bogen des Krümmungskreises
heraus gehen, oder mit anderen Worten: der Krümmungskreis
derchscbneidet dije KegeUehnittscurve so, dass der nachdeni Schei-
tel gewendete Bogen des Krümmungskreises ausser die Cärre^
der vom Scheitel abgewendete Bogen in die Curve fallt. Mathe-
matisch lässt sich diess leicht durch Aufsuchen der dritten Diffe-
rentiale nachweisen, und wird auch durch einen Blick auf die
Figur l)estätigt, wenn man berücksichtigt, dass der Krümmungs-
kreis die Ke^elschnittscurve nur noch in einem Punkte schnei-
den kann, wie oben durch die neuere Geometrie bereits gezeigt.

10) Will man nur wenig Krümmungskreise zeichnen, sathut
man gut, zwischen den gezeichneten Krümmungskreisen noch ein-
zelne Punkte der Curve anzugeben^ und hierzu kann man. dann
mit V ortheil die zwischen dem Krümmungskreise und der Kegel*'
schnittscurve bestehende Collineation benutzen, wie oben .gezeigt.
Allerdings lässt sich hierzu atich jedes andere Verfahren der Be-
stimmung einzelner Punkte aus gegebenei» Grossen anwenden»
Hierauf genauer einzugehen, liegt nicht in der Absicht dieses Auf-'

m(i Hilfe ton KrümmungskrHsen. 17

Satzes, und geben wir daher nur noch speciell für die Ellipse
einige hierber gehörige Constmctionen an.

Es lassen sieh nämlich für die Ellipse sehr leicht die zusam-
mengehririgen Dorchmesser bestimmen , die in die Diagonalen eines
iiin die gegebenen Durchmesser beschriebenen Parallelogramms
falleo, nnd diess sind eben Punkte, in welchen die für AB , CD
(Taf. II. Fig. 20.) construirten Krummungskreise schon bedeutend
abweichen werden. Dass diese Diagonalen wieder zusammenge-
hörige Durchmesser geben, geht schon daraus hervor, dass, wie
leicht zu beweisen, AC\\FF und AH=HC ist. Die Grosse
der auf diese Diagonalen fallenden Durchmesser beträgt : Diagonale

xVl, d. i. JK=zGK.Vh KL=:KF.V1*). Man kann also diese

*) Der Beweis für den Satz, dass die auf die Diagonale einei nm
swei znsammengehörige Dorchmesser beschriebenen Parallelogramm ■
fallenden zosammengehörigen Durchmesser gleich der ^ Diagonale mal

V^ sind, lässt sich am einfachsten dadurch fähren, dass man die El-
lipse als Projection eines Kreises betrachtet; die Diagonale eines um

den Kreis beschriebenen Quadrats = Halbmesser. V~^ Es lässt sich die-
ser Satz jedoch auch sofort aus der Gleichung der Ellipse ableiten, wie
folgt :

Bezeichnen a nnd ö die halbe grosse und halbe kleine Aze der El-
lipse, X einen mit der Hauptaxe den Winkel a einschliessenden Durch-
messer (Taf. II. Fig. 22.) , so ist die Mittelpunktsgleichung der Ellipse:

. _4/" a^d^ (s. Lehmns, Cnnren-

\ Ä*«ina»+^»co8a«' lehre. J. 171.)

aöXT ^ ^

1 ^• + 8inan«*— *•)

Um hieraus zunächst die Mittelpnnktsgleichung der Ellipse für zusam-
mengehörige Halbmesser / und /, , welche den Winkel z einschliessen,
sa erhalten, setzen wir in obige Gleichung für a S-{-ai ein, wenn 3 den
Winkel zwischen X und / bezeichnet, diess giebt:

X^aöyi ^^^ a^^ö^)siniai-^S)*

^~ \ ^«+(ö«~Ä2)(8in^»co8ai2+8inai«cos^«+2«in^co8^8inaiCOS(»0*
d. i., da nach der Mittelpunktsgleichung

Theü XXIV. 1

18

H, Meper: Constntction der Ke§etulmiUe

LftDgen l«icbt erhalten, indem man in den Halbirangspanici
B, Hl Perpendikel HJS=HK and ^,Ai = £r|if errichtet und
Hypotenofien NK und NiK auf die Diagonalen GG, FFaufträ
Da GK=\\AD, FK=\\AC, so kann man die Zeichnung i

aUo

Ut:

e^9a-.* = — ^ '

II

II

II

10

+

'S

•e I

»

tt

*;?

+

OB

s*

■

o
10

k9

I

«0

OB

3*
Q0

10

10

OD
feS

:^

kS

10

10

I

OB

5'

o

o

ta

kS

10

'

10

3

I

10

n

o

flO

10

•0

l

10

to

10

10

to

to

h9

OB
3*

•

n

o

09

kS
kS

I

to

kB

^

^

mit mife ton KrümmungshrHsen, 19

Parallelograinins erftparen: Man zieht mit AC und AD Paralle-
le Qfid bestimmt sodann ähnlich wie oben fOr die Diagonale GG
AD.V\ und fär FF AC.V\.

Es ist nno ferner:

ö» + ^« = /« + /l«;
folglich

mithin :

nnd

«2 (/2 _ ^2) _ ^2 (ß« — /2) = /2 (/2 + /j a) — 2/«/i « sin a«.

Durch Substitution dieser Werthe in obige Gleichung folgt, wenn man
der Kürze wegen

/ 1 2 if 4 ^ 2

f +Y ^(!±fiI21/a/^2 8in»H^i*8>n »»4-8ina«(/2+/i«-2/i*flin»«)'

+/%«sin»«)

setzt :

, //i sin»

s«

20 B. Meyer: ConstrucL der KegelsehniUe mit Hilfe von Krümmungekr.

Bei gegebenen rechtwinkeligen Axen erhält man auf die«a
Weise die gleichgrossen eonjugirten Durchmesser; die för dkl

Endpunkte derselben geltenden Krümmungshalbmesser sind —. — y

jedoch werden in den meisten Fällen vier Krümmungskreise und
▼ier dergestalt bestimmte Punkte zur Construction der Ellipse
▼olikommen hinreichen. Uebrigens ist der Krümmungshalbmesser

-: — leicht zu construiren, indem man nur nöthig hat, von J (Taf. II.

II Y sin %

1^/i««in»« + sind*(/^+/,*— 2/i«8ina«) + 2gin^.co8^./i««iii».co«»

//i ein 8

"" 1^/, a (sin »» . cos 2^ + ^ äfTsTn % . cos a) + sin ^^ (/» + /j »)'

Bei Bestimmung der Grösse MJ wird ^=^i , folglich, da

/i sin g
tff^i=/-/,co8a

iift:

//, sing

iW7=

V^'''(«'-'iTO^+''"^-"-n^>+<''+'''>iTS^'

■>,_ lli sin g

^ ( . 4 /g — /^ a ^ 2/i ^ cos g ^ — 2//i cos g

VI sing . /a + Zja— 2//iC08g

( ■*" /2^/^2_2//,C0Sg "^'/a+Zi«— 2//iC08g

/sin g V"/a 4- /, a— 2//i cos g

V

sin g« (/« - /i a + 2/i a cos g« — 2//i cos g)
+ sing.cosg.2/i8ing(/— /i cosg) + (/«+/i«)/i«8in»«

/sin g ^/a + /i ^ — 2//i C08 g
"^ i^2/'»8ing«

_V/«+/i«—2//iCosg

=y/»+/i« — 2//iCOsg.t^4
Ebenso lässt sich beweisen, dass JUL^üNmVl ist.

6runeri: Vom pApsiseM.Pendei und von den Momenten der TraffJkeit 21

F^. 31.) eine Normale auf LR leu fällen und in K eine Nonnaie
anf JK m errichten ; RJ ist der gesuchte Krümmungshalbmesser
und swar sogleich in der gewQnschten Lage, d. h. R ist sofort
Mittelpunkt des Krömmungskreises.

Bei rechtwinkeligen Axen lassen sich noch vier Punkte sehr
Idcht angeben, die ebenfalls für die Construction aus Kj^m-
mnngskreisen günstig liegen; nämlich die Endpunkte der durch
den Brennpunkt gehenden Ordinate, d. i. der Parameter p. Der-

selbe ist nämlich = — » d.i. gleich der Grosse des Krümmnngs-

haibmesssers für die Scheitelpunkte der Hauptaxe. Diese Punkte
lassen sich auf gleiche Weise auch bei der Hyperbel und Parabel
bestimmen und benutzen.

III.

lieber den Vortrag der Lehre von dem physischen
Pendel und von den Momenten der Trägheit

Von

dem Herausgeber«

Ich glaube, dass der Vortrag der Lehre von dem physischen
Pendel und von den Momenten der Trägheit» so wie derselbe
gewohnlich in den Lehrbüchern der sogenannten höheren oder
analytischen Mechanik gegeben wird, einiger Verbesserungen und
Vereinfachungen fabig ist, namentlich wenn man diese Lehre weniger
aus dem Gesichtspunkte der reinen Mechanik, als vielmehr aus
dem Gesichtspunkte ihrer grossen Wichtigkeit für die Physik
darzustellen beabsichtigt, wobei es wohl ganz unnuthig ist, auf
die grosse Mangelhaftigkeit der meisten gangbaren physikalischen

23 Srunert: üeber den Yortrug der Lehre pon_dem

Lehrbücher in dieser Beziehung, aus denen kein Anfänger etne aw
einigerraaassen richtige und deutliche Vorstellung von diesem Geg9flr
Stande bekommen wird, hier noch besonders hinzuweisen. Insbeson-
dere in der Lehre von den iVlomenten der Trägheit hat mir immer die
Verbindung einiger elementaren Betrachtungen mit den Anwendungen
der Integralrechnung zweckmässig und der Einfachheit furderlicb
geschienen. Die Wichtigkeit des Gegenstandes, insbesondere
auch für die Physik , veranlasst mich^ denselben hier in der Weise
zu entwickeln^ welche ich in meinen Vorlesungen über sogenannte
höhere oder analytische Mechanik zu befolgen pflege, was dem
Zwecke dieser Zeitschrift, welche besonders auch die Verbesse-
rung des mathematischen Unterrichts sich zur Aufgabe gemacht
hat, durchaus nicht entgegen ist, hauptsächlich dann, wenn der
Gegenstand von so grossem Interesse und von so grosser Wich-
tigkeit ist, wie der vorliegende. Um die Beurtheilung dieses
Aufsatzes auf den richtigen Standpunkt zu steilen, wiederhole
ich, dass ich in demselben hauptsächlich und zunächst die grosse
Wichtigkeit des darin behandelten Gegenstandes für die Physik
im Auge gehabt und namentlich deshalb auch müglichste Einfach-
heit zu erreichen gesucht habe.

§. 1.

Dass man bei der Entwickelung der Lehre vom physischen
Pendel in einem Vortrage über sogenannte höhere oder analytische
Mechanik von den allgemeinen Gleichungen der Bewegung eines
Systems von Massen ausgehen, und diese Gleichungen als bekannt
voraussetzen muss, versteht sich von selbst. In meiner Abhand-
lung: Ueber die Stabilität der Schiffe (Archiv. Tbl. XV.
Nr. 1.) habe ich die in Rede stehenden Gleichungen entwickelt,
und kann mich daher, auch rücksicfitlich der Bedeutung der im
Folgenden gebrauchten Zeichen, auf jene Abhandlung beziehen.
Bei der Entwickelung der Theorie des physischen Pendels brauchen
wir jedoch nur die eine Gleichung, welche dem Falle entspricht,
wenn das System der Massen um eine feste Axe drehbar ist.
Diese Gleichung ist (a. a. O. S. 13.), wenn die Drehungsaxe als
Axe der 2, hier zugleich als horizontal, angenommen wird, die
folgende:

(1) ^m(x^-^y-^)=Zm{xY^yX),

vfo, wie schon erinnert, die Bedeutung aller Symbole aus der
angeführten Abhandlung zu ersehen ist; und diese Gleicbvng i^t

pkifMUckgm Pendel und van den Momenien der Trägheit. 83

Oll es also, von der wir bei der Entwickelung der Theorio des phy-
1I-I sischen Pendels lediglieh unseren Auslaaf nehmen müssen.

D-
IC

et

dk

n

tc

B

h:
h
i<

U
b

Bezeichnet nun G die auf die Masseneinbeit bezogene Schwere«
und nehmen wir den positiven Theil der Axe der x vertikal ab-
irSrts» die Axe der y also, eben so wie die Axe der z, horizo»-.
üt; so ist offenbar in den in der angefahrten Abhandlung eingo-
flhrten Zeichen:

X' =mG, V =0, Z' =0

j:/=:miG, Fi'=0, Z/=0

.¥,'=»136, Fg'^O, Z3' = 0

u. s. w.
abo:

v/ y 2,1

X=—=G, F=— =0, Z=— =0;

m mm '

* i»! * /»i * mi •

;ra=^=G, Fa=^=0, Za = ^ = 0;

jr3 = ^ = G, F3=^ = 0, Z3 = ^=0;

' WI3 WI3 ' 3 7113

U. S. \V.

Daher wird die Gleichung (1) unter den gemachten Voraus-
setzungen :

(2) Zm{xi^-yj~) — -'GZmyy

weil roan natürlich das constante G vor das Summenzeichen neh-
men kann

Bezeichnen wir aber durch

*** ^i> »"a* ^^3» ''4

9 ••••

die Entfernungen der sämmtlich auf ihre Schwerpunkte reducirt
oder in denselben vereinigt gedachten Massen

m^ m-iy tn^» TII3, m/^y,»,

von der horizontalen Drehungsaxe> und durch

5t4 Grunert: üeber den Vortrag der Lehre van dem

9> 9^1» ^2» 9^» ^4» ••••
die voD den Linien

^» ^i» '^a» ^8» ''4> ••••

mit dem positiven Theile der Axe der x eingeschlossenen Win-
kel, indem man diese Winkel etwa nur von 0 bis 180^ zählt» aber
als positiv oder als negativ betrachtet» jenachdem die entsprechen-
den Linien

r, Tif r2» ''s» i'4t ••••

auf der positiven oder negativen Seite der Ebene der xz liegen ;
80 ist offenbar» wenn wir der Kürze wegen bloss die Masse m
in's Auge fassen» in völliger Allgemeinheit:

w = rcos(p, y=^rsmq>;

also» weil natürlich» w^nn man nach t differentiirt» r als constant»
g> aber als veränderlich zu betrachten ist:

dx . Sg> du Bg>

folglich :

und hieraus» wie man sogleich übersieht:

a^ J^x J^tp

Folglich ist nach (2) :

(3) Emr^ W^^ GZmrBln tp .

Bezeichnen wir nun die Entfernung des Schwerpunkts der Massen

m» 7?tx , 9112» TTls» III4» ••••

von der Drehungsaxe durch jß» und durch O den auf ganz ahn*
liebe Art wie vorher die Winkel

y» 9^> ^2» 9^8* y4»*—

genommenen Winkel» welchen die Linie R am Ende der Zeit t
mit dem positiven Theile der Axe der x einschliesst» so ist nach
der Lehre vom Schwerpunkte:

pkniicken Pendei und vom den Momenten der Trägheii. 35
WT sin y -f- iWirt sin y | + m^r^ sin y^ -f- m^r^ sin <Pa + ..«» «^ , -

oder kSrzer:

2^pitrsin<p

= /2sin(P,

und folglich:

Emr sin y = iZ sin OSm ;

also nach (3):
(4) -Siitr» g^ = - GÄsin O^lTm.

Weil aber die Winkel y and O offenbar immer, d. h. ffir jedes
i^ um dieselbe constante Grosse verschieden sind, so ist

3«y_8^.
8(a ■" 8(a •

und natürlich ganz eben so:

82yi_32^ 8«ya_8«^ 8^s_S«<P
8(2 "" 8^ * "Sä — g^ » g^a — "^»-^

also nach (4) offenbar:

(5) Ztmr^.-K^^ — GRsmOZm.

Bezeichnen wir nun die Länge des einfachen Pendels, welches
seine Schwingungen genau in derselben Weise vollendet, wie die
Linie R in dem Systeme der Massen

m, wix, m^t W3, »14

, •••«,

durch II, und den materiellen Punkt dieses einfachen Pendels etwa
durch fi; so ist nach der Gleichung (5), wenn man sich das
System der Massen

7?t, tn\, tn^f ^> 1114, ••••

auf nur eine Masse reducirt oder vielmehr aus nur einer Masse
bestehend denkt, offenbar:

g2(p
^IP -gj^ =—f*GM sin <P,

^ Grüner t: üeder den Vortrag der Lehre von äim- ■

oder, wenn man aufhebt, was sich aufheben iMsst:

(6) B-g^=-G8in<P.

Dividirt man jetzt die Gleichung (5) durch die Gleichung (6), so
erhält man die Gleichung:

(7) ^=R2m,
oder

2!mT^ 2mr^

Die Summe, welche man erhält, wenn man in einem beliebi-
gen Systeme von Massen jede dieser Massen in das Quadrat der
Entfernung ihres Schwerpunkts von einer in dem Systeme belie-
big als Axe angenommenen geraden Linie multiplicirt, und alle
auf diese Weise erhaltenen Producte zu einander addirt, nennt
man überhaupt das Moment der Trägheit oder das Träg-
heitsmoment der in Rede stehenden Massen in Bezug auf die
angenommene Axe.

Bezeichnen wir ferner in dem oben betrachteten^MassensyjBtene
den Punkt, in welchem die horizontale Drehungsaxe oder Schwin-
gungsaxe von der durch den Schwerpunkt des Systems, den
wir von jetzt an durch »S bezeichnen wollen i gehenden, auf der
Drehungsaxe senkrecht stehenden Geraden getroffen wird, den
sogenannten Aufhängepunkt, durch O, und tragen nun auf
dem in Rede stehenden Perpendikel von dem Aufhängepunkte O
aus eine der oben durch H bezeichneten Länge gleiche gerade
Linie auf: so hetsst der Endpunkt dieser von dem Aufhänge-
punkte O aus aufgetragenen Linie, welchen wir im Folgenden
durch Sl bezeichnen wollen, der Mittelpunkt des Schwungs,
der Oscillationspunkt oder der Schwingungspunkt des
Massensystems.

' Dies vorausgesetzt, lässt sich nun der in der Gleichung

Smr^

^"- Ä^

enthaltene höchst wichtige und merkwürdige Satz auf folgende Art
au^sprech^ :

Satz»
Die Entfernung des Ösclllationsptinkts eines Systems

pknüekem FendBi und wm den Memenien der TräffMt. B7

TOD Massen van der horizontalen Drehungsaxe des
Systems wird erhalten, wenn man das TrSgheitsmo-
ment der Massen in Bezng auf die Drehungsaxe durch
das Product der Summe der sämnitlichen Massen in
die Entfernung ihres gemeinschaftlichen Schwerpunkts
TOD der Drehungsaxe dividirt.

Von den Trägheitsmomenten lässt sich ohne Schwierigiceit
ein allgemeiner Satz beweisen, der fflr viele Untersuchungen von
grosser Wicht'^keit ist Zu diesem Satze kann ma» leicht anf
folgende Art gelangen.

In dem Systeme der Massen

m, ntif tn^i m^t 11)45 ••••

nehme man beliebig zwei einander parallele Axen an^ von denen
jedoch die eine durch den Schwerpunkt des Systems gehen soll.
Das Trägheitsmoment in Bezug auf die durch den Schwerpunkt
gehende Axe sei (T, dagegen werde das Trägheitsmoment in Bch
zug auf die nicht durch den Schwerpunkt gehende Axe durch T,
bezeichnet. Den Schwerpunkt nehme man als den Anfang eines
rechtwinkligen Coordinatensystems der a:, y, z an, indem man
die Axe der z mit der vorher durch den Schwerpunkt gelegten
Axe zusammenfallen lässt. Die Coordinaten der Masseni

in dem angenommenen Coordioatensysteme seien respective:

Xy y> 2; ^1' Vly H'y ^2» ya> H\ ^3» tfzy ^8 ; ••••

Bezeichnen wir nun noch die Coordinaten eines beliebigen Punk-
tes in der nicht durch den Schwerpunkt gehenden Axe durch
Of b, Cf so ist nach dem allgemeinen Begriffe des TrSgheitsmo-
ments und ^en Lehren der analytischen Geometrie offenbar:

'H(a:s—a)^ + (ys-Wnh
+ . .

und

28 Qrunert: Veber den Vortrag der Lehre van dmm

+

Aus diesen beiden Gleichungen folgt leicht durch Subtraction:
T — ff = — 2a {mx + m^Xi + m^pc^ + m^x^ + .•..)
—26 {my + mj^j + wi^ya +»»8^8 + ••••)
+ (a* + 6*) (m + wii + ?ii2 + wis + ....)•

Weil nun der Schwerpunkt der Anfang der Coprdinaten Ist, so ist
nach der Lehre vom Schwerpunkte:

mx -\r Tn\Xi-\- m2pc^ + m^x^ + •..• =0»

my+miyi +»Waya+»W8ys +...=0;
also nach dem Vorhergehenden:

r-a:=(o«+62)(iii+mi + iiia+fM8 + ....).

oder

r— 6:=(a« + 62)-Sm,

oder .

Bezeichnet man die Entfernung der beiden parallelen Azen von
einander durch E, so ist offenbar

E^^a^+b^,

also nach dem Vorhergehenden: ^

Tz=(£ + E^.2m.

Mittelst dieser Formel kann, wenn man das Träg-
heitsmoment in Bezug auf eine durch den Schwerpunkt
des Systems gebende Axe kennt, immer leicht das Träg-
heitsmoment in Bezug auf jede andere dieser Axe pa-
rallele Axe gefunden werden.

§. 3.

Kehren wir jetzt wieder zu den in $. L angestellten Betrach-
tungen zurück und bezeichnen das Trägheitsmoment in Bezug auf

pk9sUckem Penäel und van den Momenten der Trä§keiL 39

die Drebangsaxe durch T^ das Trägheitsmoment in Bezug auf
eine durch den Schwerpunict S gelegte , der Drehungsaxe paral-
lele Axe durch tl, so ist» wenn wie früher O den Aufhängepunkt,
Sl den Oscillationspunkt bezeichnet , nach dem in §. 1. bewiesenen
Satze:

T

Nach §. 2. ist aber

r=6:+OiS«.-Siii,
also nach der vorhergehenden Gleichung:

woraus auch zugleich hervorgeht, dass immer OSl^ OS ist, d. h.
dass immer der Oscillationspunkt tiefer als der Schwerpunkt des
Systems liegt

Wir wollen nun einmal den Oscillationspunkt Sl zum Aufhän-
gepunkte machen und dann den entsprechenden Oscillationspunkt
durch & bezeichnen. Dann ist natürlich ganz eben so wie vorher :

wo wieder Sl& > SIS ist.

Fig. 1.

Fig. 2.

o

Sl

Sl

-®

Der erste Fall ist in Fig. 1., der zweite Fall ist in Fig. 2. dargestellt.
Nun ist im ersten Falle, wobei Fig. 1. zu vergleichen :

aa=05+ÄS=os+^5^,

80 ßrunert: Ueöer den Vortrag der Lehre van däm

also

ne_ ^ OS. Um

Fuhrt man dies in die obige , dem zweiten Falle entsprecbe^de
Gleichung

^®=^«+7i^

ein 9 80 wird dieselbe

und vergleicht man diese Gleichung mit der dem ersten Falle
entsprechenden Gleichung

.. » .

so erhält man auf der Stelle die folgende überaus merkwürdige
und wichtige Gleichung:

OSlz=:SlC^.

In dieser Gleichung ist der folgende Satz enthalten:

Wenn man in einem beliebigen Massensysteme den
Aufhängepunkt mit dem Oscillationspnnkte vefwech«
seit, so schwingt in beiden Fällen die den Aufbänge-
punkt mit dem Schwerpunkte verbindende gerade Linie
auf völlig gleiche Weise.

Dieser Satz hat bekanntlich die Veranlassung zu der wichtigen
Erfindung des Reversions -Pendels gegeben.

§. 4.

Bei der Bestimmung der Momente der Trägheit ist uns die
Summe der Reihe

P, 3«, 5«, 7«, ...., (2w— 1)2

nöthig, die wir daher jetzt in der Kürze entwickeln wollen.
Es ist

12+2a+32+4«+5«+.... + (2n)a
=:12 + 3a + 6a4. 72+.. ..^. (2^—1)2 + 22 + 43 + 6« +8« + .... + (2n)«
=12 + 32 + 52+7*+.^. + (2n-l)« + 4(l«+2«+3»+42+.... + n2)

AI

pk99hcken FeMel und v&n den Momenien der TräffheiU 81

oder

und daher nacb der allgemein bekannten Formel für die Summe
der Quadrate der iiatürlichen Zahlen:

124.32^5a^.724._^.(2„ — 1)2

2n(2n+])(4ii+l) . yt(n+l)(2n+l) n(2ii+l)(4« + l— 2n— 2)
= 6 ~ • 6 ~ 3

also 0

§.5.

Trägheitsmoment einer geraden Linie in Bezug
auf einen in ihr oder In ihrer Verlängerung nach der
ei nenoder nach der an deren Seit eh in liegenden Punkt *).

Die gerade Linie sei AB^ der in Ihr oder in einer ihrer Ver-
längerungen liegende Punkt , in Bezug auf welchen das Trägheits-
moment bestimmt werden soll» sei O.

ErsterFall.

Der Punkt O liege in der Verlängerung der geraden Linie AB
über den Punkt A hinaus:

O A B

Man theile die gerade Linie AB in n gleiche Theile und bezeichne
jeden dieser Theile durch i; auch setze man der Kürze wegen

OA = a, OB = b.

Ist nun T das gesuchte Trägheitsmoment der Linie AB in Be-
zug auf den Punkt O, und bezeichnet hier und im Folgenden
immer ö die Dichtigkeit der Materie, aus welcher der Körper,
dessen Trägheitsmoment gesucht wird, bestehend gedacht wird>
80 ist offenbar T die Gränze, welcher

*) Eigentlich in Bezug auf eine in diesem Punkte auf der geraden
Linie «enkredht stellende Axe. Diese Bemerkung hat oian auch iui
Folgenden zu beachten.

33 Grüner i: üeöer den Vortrag der Lehre wm dem

sich nähert, wenn man n in*s Unendliche wachsen iässt, wobei !
man sich zu erinnern hat, dass immer die Masse gleich dem Pro-
ducte der Dichtigkeit und des Volumens ist. Vorstehende Grosse, j
deren Gränze für in's Unendliche wachsende n gesucht wird, ist ]
aber, wie man leicht findet:

da^.ni f^a{l + 3 + 5 + 7+.... + (2«— 1)}*«
= öa-.ni + öa.n^i^ + d.'!^^^^^^

und nimmt man nun, indem n sich dem Unendlichen, also t sich
der Null nähert, die Gränze, so erhält man auf der Stelle:

oder

r=5(6— tf){a«+a(6-ö) + U* — «)*U
also, wie man sogleich findet:

T=J«(6~a)(a«+a6 + A«),

oder

T=i5(6»-a8).

Zweiter Fall.

Der Punkt O liege in der Verlängerung der geraden Linie
AB über den Punkt B hinaus:

A B O

Setzt man wieder

OA — a, OB = b

und bezeichnet das Trägheitsmoment der geraden Linie AB in
Bezug auf den Punkt O auch wieder durch T, so erhält man gans
wie Torber:

pkn^^^ Pendel und tan den Momenten der TrägkeiL 33

oder

r=l^(a3— 68).

Dritter Fall.
Der Punkt O liege in der geraden Linie AB selbst:

' A O

Auch jetzt setze man

OA = a, OB=zb

und bezeicline das Trägheitsmoment der Linie AB io Bezug auf
den Punkt O durch T. Bezeichnen wir nun ferner die Trägheits-
momente von OA und OB in Bezug auf den Punkt O respective
durch C und S'; so ist offenbar:

und nach dem Ersten Falle ist^ wenn man Vort a = 0, 6=sa
ond a=0, 6 = 6 setzt:

Also ist nach dem Vorhergehenden

r=J^(a3 + 63),
oder

T:=id(a + 6)(a^-a6 + ö%

Bezeichnet man die Lange der geraden Linie AB durch / und
betrachtet in den beiden ersten Fällen, d. h. wenn O in einer der
beiden Verlängerungen der geraden Linie AB über ihre Endpunkte
hinaus liegte a und 6 beide als positiv oder beide als negativ^ in
dem dritten Falle dagegen, wenn O in der geraden Linie AB selbst
liegt, die eine der beiden Grossen a und 6 als positiv, die andere
als negativ; so ist nach dem Vorhergehenden ganz allgemein:

T=zlöl(a^ + ab + ö%

§. 6«

Trägheitsmoment einer geraden Linie in Bezug auf

eine ihr parallele Axe.

Man theiie die gegebene gerade Linie, deren Länge wir durch /,

Theil XXIV. 3

84 Gruneri: Ueöer den Vortrag der F^hre van dem

ihre Entfernung von der gegebenen Axe durch a bezeichnen wol-
len, in n gleiche Theile, deren jeder i sein mag; so ist das gesuchte
Trägheitsmoment T offenbar die Gränze, welcher dna^i=öa!^*ni
sich nähert, wenn n in's Unendliche wächst. Weil nun aber ni^sl
ist, so ist offenbar

T=öla^.

§. 7.

Trägheitsmoment einer geraden Linie in Bezug auf

einen beliebigen Punkt*

Durch den gegebenen Punkt, den wir durch O bezeichnen
wollen, lege man zwei Axen, von denen die eine auf der gege*
benen geraden Linie senkrecht steht, die andere ihr parallel ist.
Sind nun die Trägheitsmomente der gegebenen geraden Linie io
Bezug auf diese beiden x\xen respective (T und (T', und wird das
gesuchte Trägheitsmoment der gegebenen geraden Linie in Bezug
auf den Punkt O^durch T bezeichnet, so ergiebt sich mit Hülfe
des pythagoräischen Lehrsatzes auf der Stelle die Gleichung:

Bezeichnen wir aber die Länge der gegebenen geraden Linie durch
/, die gehurig als positiv oder negativ betrachteten Entfernungen
ihrer Endpunkte von der auf ihr senkrecht stehenden Axe durch
a und ß, und ihre Entfernung von der ihr parallelen Axe durch
a; so ist nach §. 5.

il=löl(a^+aß + ß^),
und nach §. 6. ist

Also ist nach dem Vorhergehenden:

§. 8.

Trägheitsmoment eines Rechtecks in Bezug auf eine
in seiner Ebene liegende und einer seiner Seiten pa-
rallele Axe.

Zw^i zusammenstossende Seiten des Rechtecks seien a und 6,

pk9H$ckeH Pendel und Ptm den Momenien der TNt^keii. 85

Hnd die Axe, io Bezog auf welche das TrSgheifsmoment des
Rechtecks bestimint werden soll, sei der Seite a parallel.

Man theile die Seite a in m gleiche Theile, deren jeder t sein
mag, so dass a==mi ist, trage einen dieser Theile auf 6 so oft
auf, als es angeht, und ausserdem noch ein Mal, so dass

ist, und ziehe durch alle auf diese Weise auf den Seiten a und b
erhaltene Theilpunkte Parallelen mit den Seiten des Rechtecks,
80 erhält man ein Netz von Quadraten, welche alle die Seite i
haben. Von den Mittelpunkten aller dieser Quadrate falle man
auf die Axe Perpendikel und bezeichne die Summen der Quadrate
dieser Perpendikel für jede der m auf der Axe senkrecht stehen«
I den Schichten von n und ft-|- 1 dieser Quadrate mit der gemein«
sehaftlichen Seite t respective durch S und S' , das gesuchte
Trägheitsmoment des Rechtecks in Bezug auf die angenommene,
der Seite a parallele Axe aber durch T. Dann ist offenbar T die
Gränze, welcher

imSi^ oder imS'P,
d. i.

dSi.mi oder ^S'i.mi

sich nähert, wenn m in's Unendliche wächst. Weil nun aber
miz=ia ist, und die Gränze, welcher öSi oder 6S'i sich nähert,
wenn m in's Unendliche wächst, offenbar das Trägheitsmoment
der Seite h des Rechtecks in Bezug auf die angenommene Axe
ist; so ist nach dem Vorhergehenden, wenn wir das letztere Träg-
heitsmoment durch (T bezeichnen.

Bezeichnen wir nun die gehörig als positiv und negativ betrach-
teten Entfernungen der Seite a und der ihr parallelen Seite des
Rechtecks von der angenommenen Axe respective durch a und ßp
so ist nach §. 5.

also nach dem Obigen :

§. 9.

Trägheitsmoment eines Rechtecks in Bezug auf einen
beliebigen Punkt in seiner Ebene.

Die beiden zusammenstossenden Seiten des gegebenen Recht«

8*

38 Grüner t: Ueöer den Vortrag der Lehre von dem

ecks seien a und b, und O sei der Punkt in seiner Ebene, in
Bezug auf welchen das Trägheitsmoment T des Rechtecks be-
stimmt werden soll. Legt man nun durch den Punkt O zwei den
Seiten a und b des Rechtecks parallele Axen , und bezeichnet die
Trägheitsmomente des Rechtecks in Bezug auf diese beiden Axen
respective durch S und ^' \ so ist, wie mittelst des pythagoräischen
Lehrsatzes auf der Stelle erhellet:

Bezeichnen wir die gehörig als positiv oder als negativ betrach-
teten Entfernungen der Seite a und der ihr parallelen Seite des
Rechtecks von der mit der Seite ci parallelen Axe durch u und j9,
die gehörig als positiv oder als negativ betrachteten Entfernungen
der Seite b und der ihr parallelen Seite des Rechtecks von der
mit der Seite b parallelen Axe durch c^j und ^^ ; so ist nach §. 8.

also nach dem Obigen :

§. 10.

Trägheitsmoment einer beliebigen ebenen Figur in
Bezug auf einen Punkt in ihrer Ebene.

Wir wollen zuerst wieder das im vorhergehenden Paragraphen
betrachtete Rechteck, unter Beibehaltung aller dort gebrauchten
Bezeichnungen, in's Auge fassen. Bezeichnen wir das Trägheits-
moment irgend einer in diesem Rechtecke mit der Seite b parallel
gezogenen Linie, deren gehörig als positiv oder als negativ be-
trachtete Entfernung von' der durch den Punkt O mit der Seite 6
parallel gezogenen Axe im Allgemeinen durch x bezeichnet wer-
den soll, in Bezug auf den Punkt O durch Tx\ so ist nach §. 7.

Integrirt man nun das Differential

zwischen den Gränzen u^ und jS^, wobei aj < j?| sein soll, so
erhSIt man:

pkp^icken Pendei und von den Momenten der TrOffkeii. 37

* =J*6IA»-«iH(«» + «iS+/S')(ft-«,)l.

oder, wie man sogleich findet:

«i
also , weil offenbar allgemein ßx — «i = a ist :

y* ^' Tiöx=z\dab{a*-\-itß + ^ +«,« + «,ft + ft»).
Daher ist nach dem vorhergehenden Paragraphen;

= r^'TJda;.

T

a

Nach der Theorie der bestimmten Integrale ist aber^ wenn

gesetzt wird, wo n eine positive ganze Zahl bezeichnet, fär in 's
Unendliche wachsende n:

f^ TJdx=\Am.i{Ta.-\rTa,M-\r ^«,+2,+ .... + Ta,^rni)\

also ist auch (vir in's Unendliche wachsende n:

Haben wir nun eine beliebige ebene Figur, deren Trägheits-
moment T in Bezug auf einen in ihrer Ebene liegenden Punkt O
bestimmt werden soll, so bezeichne man das Trägheitsmoment
einer beliebigen Sehne oder Chorde dieser Figur, deren gehörig
als positiv oder als negativ betrachtete Entfernung von dem Punkte
0 im Allgemeinen durch x bezeichnet werden soll, in Bezug auf
den Punkt O durch Tx* Sind dann die gehörig als positiv oder
als negativ betrachteten Entfernungen der beiden äussersten Chor-
den der Figur, welche der vorhergehenden parallel sind, von dem
gegebenen Punkte a und h, wo a<6 sein soll; so erhellet aus
dem Vorhergehenden und aus der Theorie der bestimmten Inte-
grale mittelst einer einfachen Betrachtung sogleich, dass, wenn man

38 Grüner t: üeöer den Vortrag der Lehre pon dem

b— a
= t

n

setzt, fQr in's Unendlich wachsende n *

t

also nach einem bekannten Satze von den bestimmten Integralen •.

-/

b

Ttdx

Ist.

§. 11.

Trägheitsmoment eines Kreises in Bezug auf seineo

Mittelpunkt.
•
Der Halbmesser des gegebenen Kreises sei r; die gehurig als
positiv oder als negativ betrachtete Entfernung einer seiner Seh-
nen von dem Mittelpunkte sei im Allgemeinen x\ dann wird nach
§. 7. das Trägheitsmoment dieser Sehne in Bezug auf den Mittel-
punkt, welches wir wie im vorhergehenden Paragraphen durch Tx
bezeichnen wollen, durch die folgende Formel bestimmt:

oder kürzer:

also

Tx = §^ (r» + 2:r2) Vi^äHT«.

Bezeichnet nun T das gesuchte Trägheitsmoment des gegebenen
Kreises in Bezug auf seinen Mittelpunkt, so ist nach dem vorher-
gehenden Paragraphen:

r = /* "*"'^ Txdx=z\^r ^\r'^-\-'lx'^)dx Vr«^^.

—I* — r

Nun Ist aber:
/(r« + 2a:«) dx Vr«-a;« =T^Sdx Vr^^^^ + Ifx'^dx Vr«-a:«,

und mittelst einer bekannten Reductionsformel der Infegralrecb»
Dung erhält man leicht t

pk99i9ckm Fenä€i fmd mm den Mamenum der TtäpMi. 99

also ist nach dem Vorhergehenden:
TForaas sich sogleich

— r — r

ergiebt. Daher ist nach dem Obigen:

«•

— r

Bezeichnen wir nun den Flächeninhalt unser« Kreises durch F,
so ist nach der Lehre von der Quadratur der Curven bekanntlich

iF=/+'a.V^3F>;

— r

also

ond da nun F=i^9C ist, so ist

* was sich auch elementar beweisen ISsst *).

§12.

Trägheitsmoment eines rechtwinkligen Parallelepipeds

in Bezug auf eine seiner Kanten.

Die drei in einer Ecke zusammenstossenden Kanten eines
rechtwinkligen Parallelepipeds seien a, b, c, und e sei die Kante,
in Bezug auf welche das Trägheitsmoment des Parallelepipeds
bestimmt werden soll. Die auf der Kante c senkrecht stehenden
Schnitte des Parallelepipeds sind Rechtecke mit den Seiten a, b.
Das Trägheitsmoment eines jeden dieser Rechtecke in Bezug auf
die Kante c ist nach $. 9. offenbar:

*) M. 1. mein Lehrbach derPiiysik mit vorzu gl icher Rdck-
licht auf mathematische Begründung. Thl.l. Leipx. 18M. S.IOO.

40 Grüner t: üeöer den Vortrag der Lehre von äem

wobei man zu beachten hat, dass im vorliegenden Falle eine der -3
Grössen a, ß in §. 9. b und die andere 0, eine der Grossen oti, /^
in §. 9. a und die andere 0 ist. Bezeichnen wir nun das gesuchte l
Trägheitsmoment des Parallelepipeds in Bezug auf die Kante c f
durch T, so ist offenbar ' ;^

r= /* "^ \dab{a^ + b^)da: = idab(a^ + b^)r ""dxy ^

0 0

also '•

T=zidabc(a^ + b%

('

Die Trägheitsmomente des Parallelepipeds in Bezug auf die Kan-

ten a, b, c sind also respective:

{dabcib^+c^), löabc(c^ + a^, idabc(a^+b^.

\

Bezeichnen wir die Masse des Parallelepipeds durch ilf , so ist j
3§=6abc, und die drei vorstehenden Trägheitsmomente sind also
auch :

§. 13.

Trägheitsmoment eines geraden Cylinders in Bezug
auf einen Durchmesser einer seinen beiden Grund-
flächen.

Der Halbmesser der Grundfläche und die Hube des gegebe-
nen Cylinders seien respective r und h. Die auf dem Durchmes-
ser der Grundfläche, für welchen das Trägheitsmoment gesucht
wird, senkrecht stehenden Schnitte des Cylinders sind Rechtecke.
Fp'r das Rechteck, welches die Entfernung a vom Mittelpunkte
der Grundfläche hat, ist nach §. 9. das Trägheitsmoment in Be-
zug auf die angenommene Axe:

oder, wie man leicht findet:

Folglich ist, wenn T das gesuchte Trägheitsmoment des Cylin-
ders bezeichnet:

pkifsUeAem. Pendel und von den Momenten der Trägkeit. 41

o

Naeh S. 11. ist
folglich

O Ü

X^,

folglich nach dem Obigen offenbar:

o

Bezeichnen wir aber den Inhalt der Grundfläche 'des Cylinders
durch Fy so ist nach der Lehre von der Quadratur der Curveo:

F=4/*'^8a;V^ra— a:*.

also nach dem Obigen:

oder, weil F=r% ist:

Bezeichnet M die Masse des Cylinders, so ist
also

§. 14.

Trägheitsmoment eines Ku^elsegments in Bezug auf

seine Hohe.

Die auf der Axe der Momente senkrechten Schnitte des Ku-
gelsegments sind Kreise. Das Trägheitsmoment eines dieser Kreise»
dessen Halbmesser q sein mag, in Bezug auf die angenommene
Axe ist nach §.11.

49 Srunert: Veöer den Vortrag der Lehre v&n dem

Ist nun X die Entfernung dieses Kreises von der Grundfläche des
Segments, h dessen Hohe« und r der Halbmesser der Kugel, von
welcher das Segment ein Theil ist, so ist nach einem bekannten
Satze vom Kreise offenbar

^= V (h—x) (2r— (A— a:)),

und folglich, wenn das gesuchte Trägheitsmoment des Kugelsey-
ments durch T bezeichnet wird, nach dem Obigen:

o

also

o

Die Entwickelung dieses Integrals eines ganzen rationalen alge-
braischen Differentials hat nicht die mindeste Schwierigkeit, und
man erhält nach leichter Rechnung:

T= \^h^% (%r^ — Ar + \h%

Das Volumen des Kugelsegments ist bekanntlich

ni \V{h—x)(^r-h-\-x)\^dx = nj {h--x){2r-'h-\-x)dx,

also, wie man leicht findet:

l7rÄ2(3r-Ä).
Bezeichnet also M die Masse des Kugelsegments, so ist

ilf=J(y7rÄ«(3r— Ä),
also

und folglich nach dem Obigen:

^ A(20r^-15Ar+3A«),,
^— 10(3r— Ä) ^•

Für die ganze Kugel ist A=2r, also, wie man leicht findet:

Ol

pä99i$€k9H Fendei und van den Momenten der TrdpkHL

43

S. 15.

TrägheitsmoiiieDt eines Ellipsoids in Bezug auf eine

seiner Axeo.

Die Gleichung des Ellipsoids sei

©*+(l)'+(0"=>-

i.

und das Trägheitsmoment werde in Bezug auf die Axe der z gesucht.

Wir betrachten einen auf der Axe der z senkrecht stehenden
Schnitt des Ellipsoids , dessen gehörig als positiv oder als nega-
tiv betrachtete Entfernung vom Anfange der Coordinaten z sei*

In diesem Schnitt betrachten wir ferner eine auf der Ebene
der xz senkrecht stehende Sehne desselben, deren Entfernung
von der Ebene der yz wir durch x bezeichnen wollen , so ist nach
§• 7. das Trägheitsmoment dieser Sehne in Bezug auf die Axe
der 2, wie leicht erhellen wird:

^ V '-(f)"-(-c)" ^^ + !"

-\^-©'-er

L+-©"-(0" J

oder kurzer:

..»vr,-(0--(D-j^,.,.,.-(ff-(y,j
='» V"'-(f)'-G)' 1 >*•(■ - (0*) + c - &^ i •

Also ist das Trägheitsmoment des Schnitts:

44 Grüner t: (Jeder den Vortrag der Lehre vm dem

Nun ist nach einer bekannten Reductionsformei der Integral-
rechnung :

/^v'-ey-G)'

+i,.„-e)-,A.V'-e)'-a)"-

also offenbar:

und weil nun

ist, so ist das obige TrägheitsroomeDt :

Bringt man aber das Integral

*

auf die Form ^

/.;

physischen Pendel und van den Momenten der Trägheit. 45
so erhellet aus §. 11! auf der Stelle > dass der Werth dieses Integrals

und dass also das obige Trägheitsmoment

ist.

Bezeichnen wir jetzt endlich das gesuchte Trägheitsmoment
des EUipsoids durch Ty so ist offenbar

r= \8nab (a« + A«) /* ^^ 1 - 0 V ]^dz.

—c

Aber

ll^(.) I^8z=y (l-_ + -,)&=2-3^+5^.

also

/+c /z\» 2 1 16

tl-(-))«& = 2(c-3C + -5c) = j5c;

— C

folglich nach dem Obigen:

T=^ daöc (a2 + b^) n.

Die Trägheitsmomente des EUipsoids in Bezug auf die Axen
der Xf y, z sind also respective:

4

^dabc{c^^a^)n,

4

jg^aöc(aa + ö2)jr.

Wir wollen noch den Inhalt des EUipsoids suchen. Der In-
halt des Schnitts ist:

-V-o

46 Gruneri: lieber dm Vortrag der Lehre von dem

aUo Dach dem Obigen:

Folglich ist der Inhalt des Ellipsoids:

—c

und weil nun

also

/

— c

(l--s)8^ = 2(l-^)c=«c

4
ist, so ist izabcn der Inhalt des Ellipsoids. Bezeichnet folglich

M die Masse des Ellipsoids, so ist

4

also sind die drei Trägheitsmomente:

Die Art und Weise, wie ich in diesem und in einigen der
vorhergehenden Paragraphen die mehrfachen Integrationen ausge-
führt habe, scheint mir, wenigstens für Anfanger, einige Vorzüge
vor der gewöhnlichen Verfahrungsweise zu haben, weil sie* den
betreffenden Gegenstand gewissermassen Schritt für Schritt ver-
folgt, und daher an Anschaulichkeit gewinnt.

§. 16.

Wir wollen uns jetzt ein Pendel denken, welches aus einer
cylindrischen Stange und einer daran befindlichen Linse besteht,
und wollen die Länge des einfachen Pendels bestimmen, welches
seine Schwingungen in gleicher Weise wie das in Rede stehende
physische Pendel vollendet, vorausgesetzt, dass die Drehungsaxe
oder die Schwingungsaxe der mit der grüssten Dicke der Liose,
welche wir im Folgenden die Axe der Linse nennen wollen, pa-
rallele Durchmesser der Stange an ihrem anderen Ende ist

pk99iiek€m Ptmdei mmi vom den Mmnenien der TräpkeiL 47

Hiebe! kommt es zuerst und vor allen Dingen darauf an, das
Trägheitsmoment des Pendels in Bezug auf die Scbwingungsaxe
zu finden.

Bezeichnen wir den Halbmesser, die Länge und die Hasse
der Pendelstange respective durch p, X, ft; so ist nach §. 13.

das Trägheitsmoment der Pendelstange. Das Trägheitsmoment
der Linse in Bezug auf ihre durch ihren Schwerpunkt gehende
Aze ist nach §. 14., wenn die Dicke, die Breite, die Masse der
Linse respective durch 2a, 26, m, der Halbmesser der Kugel,
welcher die beiden die Linse bildenden Kugelsegmente angehören,
durch r bezeichnet werden :

q(20r^— 15ar+3fl^ m
^' 10(3r— a) 2

oder «

q(20r^— ISor+Sflg)
10(3r-.a) ^'

Nach der Lehre vom Kreise ist aber

.« .^ X . «^+6*

b^=:aC}r^a), also rr=i J ;

2a

folglich das vorstehende Trägheitsmoment, wenn man diesen Aus-
druck von r in die obige Formel einführt:

q^-f5ag6^ + 106^
lü(a2 + 362) ^•

Weil nun X-\-b die Entfernung des Schwerpunkts der Linse von
der Schwinguugsaxe ist, so ist nach §. 2.

das Trägheitsmoment der Linse in Bezug auf die Schwingnngs-
axe. Daher ist nun

(lr+5^*)M' + t(^+^r+ 10(a^f36^ — '^

das Trägheitsmoment des ganzen Pendels in Bezug auf die
Schwingnngsaxe .

Die Entfernung des Schwerpunkts des ganzen Pendels von
der Scbwingungsaze ist nach der Lehre vom Schwerpunkte:

48 Grüner t: Ueber deti Vortrag der Lehre von dem

ft + WI

Folglich ist nach §. 1. die gesuchte Länge des einfachen Pendels«
welches seine Schwingungen ganz auf dieselbe Weise wie das
physische Pendel vollendet:

Bezeichnet c5 das Gewicht der Pendelstange , p das Gewicht
der Linse^ so ist die gesuchte Länge des einfachen Pendels:

Uö + (A + 6Xp

Wäre die Linse so dünn, dass man näherungsweise ihre Dicke
2a als verschwindend betrachten könnte, so würde vorstehende
Formel :

4Aö + (A + 6)/?

Wäre nun auch das Gewicht c3 der Pendelstange so gering,
dass es ohne merklichen Fehler als verschwindend betrachtet
werden könnte, so würde vorstehende Formel:

^ + ^+3(1+6)'

oder, wenn man A + 6=jL setzt, wo L die Entfernung des Mit-
telpunkts der Linse von der Schwiiigungsaxe bezeichnet:

^ + 31'

welches eine bekannte Näherungsformel ist.

Geht die Linse in eine Kugel mit dem Halbmesser a über,
so ist im Vorhergehenden a für b zu setzen, wodurch wir in
diesem Falle für die Länge des einfachen Pendels den folgenden
Ausdruck erhalten :

Uö + (A + ö);>

Wäre die Pendelstange ein rechtwinkliges Parallelepiped, ihre
Länge l und die eine darauf senkrecht stehende Kante 2Ar, die
Schwingungsaxe aber eine in der oberen Grundfläche der Pendel-
stange liegende, auf der Kante 2A; in deren Mitte senkrecht stehende

pk9ii9eh€n Pendei und von den Momenien der TrOgkeU. 4^

«

Linie, das Gewicht der Pendelstange q; so würde man nach §. 12.
im Falle einer an der Pendelstauge befestigten Linse für die Länge
des seine Schwingungen in gleicher Weise vollendenden einfachen
Pendels auf ganz ähnliche Art wie vorher den folgenden Aus-
druck erhalten:

iAö + (A + 6)p

Geht aber die Linse in eine Kugel von dem Halbmesser a
ober, so muss man in diesem Ausdrucke a fut ö setzen, wodurch
sich in diesem Falle auf ganz ähnliche Art wie vorher der Ausdruck

i^o + (A + a)p

dar die Länge des seine Schwingungen in gleicher Weise vollen-
denden einfachen Pendels ergiebt.

§. 17.

In seinem Traite de Geodesie T. 11. Paris. 1819. p. 322.
giebt Puissant eine Formel zur Reduction des physischen oder
materiellen Pendels auf das einfache Pendel, welche im Wesent-
lichen auch ganz mit der von Biet in seinem Traite elemen-
taire d'Astronomie physique. T. IIl. p. 173. gegebenen For-
mel übereinstimmt. Diese bemerkenswerthe Formel, für welche
Puissant eine genauere Entwickelung nicht gegeben hat, will
ich nun noch entwickeln.

Wir wollen annehmen, dass das Pendel überhaupt aus meh-
reren materiellen Theilen bestehe, deren Schwerpunkte sämmtlich
in einer und derselben, auf der Schwingunijsaxe senkrecht stehen-
den geraden Linie liegen. Die Gewichte dieser einzelnen Theile
des Pendels wollen wir durch

bezeichnen; die Entfernungen ihrer Schwerpunkte und ihrer Os-
ciilafionspunkte von der Schwingungsaxe seien respective:

Qod

-^1 f -^2 » -^3 9 -^4 5 • • • • 5

die Trägheitsmomente dieser einzelnen Theile des Pendels seien
respective

Th«il XXIV. 4

7j, Tj, 7j, 7^,.... I J«.

Dmm kAem wir uck {. L die fo^ndca

ii
.ii

«i

i

^^i;]^' ^-i;]^' ^*-i^' ^— ea*' '• 'h

ri=L|yfiPi, r«=I,y4P«, Tjrril^^fjP,. T4=l4j^P4..... a

1.

MgL Bezeichnen irir nun <lie Eoffernongen des SchwerpimUl
«od des OsdIlalkmfKpankts des csanzen Pendeb Ton der Schwill
gonf^xe dorefa L und ^ ond sein TrigbeitaneBent durch T»
ist nach $• L:

. I

^ - iK^i +i'* +p. +P4 + -) ■

Wdl aber ofeabar

T= T, + 7i+ r,+ T^ + .....
ab« nach dem Vorhergehenden

ood Dach der Lehre vom Schtrerpankfe offenbar

L,P,+L^P^+L3P,+LtPt^....
^— P, +Pa+P3 + P4 + ....

Ittp so Ut nach dem Obigen offenbar:

L,A,Pi+ Ljt APj + L3 ^3 P3 + L^A^P^ + .. ■
'*— LiP,+L.^Pi + L,P3 + LiPt-^....

welche Formel man leicht auf die, Form

._ . (A, - A^)LiPi + (At-A:^) L^P^j-jAi-A^) 1^?^ + ....
^-^' L,Pi + LaPa + L3P3 + L4P4+ .... •

oder auf die Form

(A, - A^)^p + (A,- A,) ^ J + (A, - A,) ^^ + ....

bringt.

Das von Pulssant und Biot betrachtete Pendel besteht nun
aus drei Theilen, nämlich aus 1) einer Kugel; 2) einer kleinen

p/^nfseken Pendei tmd mm den MometUen der TrOffkeii, ISi

Calotte; 3) einem Faden, welcher mittelst der Calotte an der
Kogel befestigt ist. Die Gewichte dieser drei Theile sollen im
Obigen der Reihe nach P|, P^, P3 sein. Der Halbmesser der
Kugel sei p, die Entfernung des Schwerpunkts der Calotte von
dem Mittelpunkte der Kugel sei ö und die Langte des Fadens
werde durch A bezeichnet. Die Entfernung des I\]ittelpunkts der
Kugel von der Schwingungsaxe, nämlich L^» wird $ich immer
messen und also als bekannt annehmen lassen; dann ist offenbar

Aj = J^i — Ä , lij =3 iAr

vnd die drei Längen L^ L2, L^ sind also bekannt. Nun kommt
es noch darauf an, uii, ^, y/3 zu finden.

Das Trägheitsmoment der Kugel in ßezug auf die durch ihren
Schwerpunkt gebende* der Schwingungsaxe parallele Axe ist
nach §. 14. ,

also ist nach §. 2. das Trägheitsmoment der Kugel in Bezug auf
die Schwiogungsaxe ;

iiod folglieb naeb $. 1.

also

(Li^ + iQ^Pi .

2a

Den Oscillationspunkt der «ehr kleinen Calotte lässt Puis-
sant näherungsweise mit ihrem Schwerpunkte zusammenfallen,
so dass also A^=lIj,^^ und folglich nach dem Obigen

Ä^^Lx — 5

ist.

Bezeichnet nun d die Dicke des Fadens ^ so ist nacb §. 13.
sein Trägheitsmoment in Bezug auf die Schwingungsaxe :

und folglich nacb §. 1

^»=

4*

B3 Grüner S: Vom physisch. Pendel und van den Mamemen der TrägheU.
also

^3 = U + 4.j.

Weil £3 = «^ ^s^» ®^ ^^^

oder^ wenn man, wie Puissant tbut, wegen der DOnne des Fadens: L
d als verscbwindeod betrachtet: .

Nun hat man alle Grossen, weiche nothig sind 5 um A mit-
telst der Formel

berechnen zu können. Die von Biot a.a.O. der Formel gege^
bene Gestalt scheint mir eine weniger leichte Rechnung zu gestatten.

I.

Sieezkowski: Bemerkungen über Höhenmeaung ete, S^

IV.

Bemerkangen über Hohenmessung mit dem Barometer.

Von

Herrn Professor J. K* Sieezkowski

an der Universität zu Krakau.
(Aus einem Briefe an den Herausgeber.)

Im Jahre 1838^ als ich noch Adjunct auf der hiesigen Stern-
warte war^ habe ich für den Professor Zeus ebner, welcher da-
mals in dem Tatra- und Karpatben -Gebirge wegen geologischer
Untersuchungen verweilte und dabei barometrische Beobachtungen
zum Behufe des Nivellirens dieses Gebirges anstellte, die correspon-
direnden Barometer- und Thermometer -Beobachtungen gemacht.
Weil ich alle zwei Stunden täglich, von 6 Uhr früh bis 10 Ühr
Abends inclusive, den Stand des Barometers und Thermometers
aufzeichnete, so ist es mir eingefallen, ob es möglich wäre und
in wie fern richtig, aus solchen Beobachtungen den Unterschied
der Erhebungen zwei bedeutend entlegener Orte in wenigen Tagen
zu ermitteln. In dieser Absicht wandte ich mich an meinen viel-
geschätzten Freund Baranowski, jetzigen Director der Stern-
warte in Warschau, mit der Bitte, er wolle die correspondirenden
Barometer-Beobachtungen auch alle zwei Stunden täglich anstellen.
Als er dies zugesagt hatte, fingen wir am 21. August an und
setzten unsere Beobachtungen bis zum 2. September inclusive fort
und erhielten jeder an J17 Aufzeichnungen. Als er mir die sei-
Digen zuschickte, habe ich sie gleich nach der Gauss 'sehen Ta-
fel der Rechnung unterzogen und ein sehr befriedigendes Resul-
tat erhalten, aber nachher ganz vergessen, es in irgend einem Jour-
nal zu veröffentlichen ; erst vor einem Monate ist mir wieder dieses
Resultat durch Zufall in die Hände gerathen, und weil ich schon,
wie ich mich zu erinnern weiss, in Ihrem schätzbaren Archiv eine
längere Abhandlung meteorologischen Inhalts angetroffen habe, sa

54

8tec%howshi: Bemerkungen über Höhetunetsung

trug ich kein Bedenken, Ihnen diese Kleinigkeit zn schicken.
Finden Sie sie Ihres Archivs werth, so gönnen Sie ihr ein Platz«
chen gutigst; erachten Sie sie aber für geringfügige so lassen
Sie sie ausser Acht und glauben nicht, mich dadurch beleidigl
zu haben.

Hier folgen die Mittel der durch 13 Tage angestellten Beob-
achtungen, sowie die aus ihnen erhaltenen Resultate.

Mittel der Barometer- und Thermometer-ßeobachtun

gen in Krakau und in Warschau zum ßehufe des Ermit

telns des Höhenunterschiedes dieser zwei Orte.

Stunde

^ K r a

kau

W a r 8

c h a u

Höhenun-
terschied
in Toisen

Barometer
bei 0« R.

Thermo-
meter nach
Reanmnr

Barometer
bei Qo R.

Thermo-
meter nach
Reanmnr

6 Vorm.

328'"-455

+ 80-94

331"'345

+ 90-70

37-59

8

512

1096

429

11-38

3812

10

575

13-21

543

1333

39-21

12

541

14-50

551

15-30

40-12

2Nachm.

542

14-72

445

15-32

38-72

4

435

14-97

511

um

4101

6

482

13-96

580

1373

4103

8

645

11-82

687

1180

39-84

10

666

1033

728

1081

4000

Mittel

32ö'"-Ö39

\ 12-60

331'" 536

+ 12-8«

3952

Aus eilfjfihngen Beobachtungen 1826 — 1836 fand ich vormals dei
Barometer- und Thermoiueterstand

in Krakau 3-29'"-381 bei 0<> R., äusseres Thermom. +70-459 R.,
in Warschau 33-2'"-489 „ „ „ „ „ +60-075 R.,

und erhielt daraus den Unterschied der Erhebungen =238 6*paris
Fuss^ also nur 1*6 Fuss anders als aus 13tägigen Beobachtungen.

Aus der obigen Tafel, in welcher für die einzelnen Stundet
die Höhenunterschiede berechnet vorkommen, kann man leich
eB^nehmen : 1) Dass die Beobachtungen in den Vormittagsstuo
den überhaupt einen zu grossen, und die in den Nachuiittagsstun
den eioeft zu kleinen Unterschied der Erhebungen geben. 2) Uasi

M/ dem Barometer. Q5

mn 10 Dbr früh und 8 Uhr Abends gemachten Beobacbtim-
geo denseliieii Unterschied am nächsten geben ^ und zwar die erste
gibt den Unterschied bloss um -(-O-Sl und die zweite um —0*32
Tom Mittel abweichend, so dass das Mittel dieser zwei Stunden
genau dem allgemeinen Mittel gleich kommt. 3) Dass man sich
auf die Beobachtungen um 6 Uhr Vor- und Nachmittags am wenig-
sten verlassen kann, indem das Resultat der ersten sich vom End-
resultate um + 1'93 und das der zweiten um — 1'51 Tuise unter-
scheid et;

Sollte sich also mein Versuch bestätigen, so könnte man, da
Warschau 40 Meilen von Krakau entlegen ist, auf diesem Wege
in wenigen Tagen aus zwei täglichen um 10 Uhr Vor- und 8 Uhr
Nachmittags gemachten Beobachtungen eben so gut. als aus viel-
jährigen Beobachtungen den Höhenunterschied zweier bedeutend
entlegener Orte ermitteln.

V.

Eigenthümliche Ableitung der Formeln der sphärischen

Trigonometrie.

Von

Herrn Doctor Oskar fVerner,

Lehrer der Mathematik in Dresden.

Die Seiten eines ebenen Dreieckes seien p, q, r und die die-
sen Seiten gegenüberstehenden Winkel P, Q, li, die 180 Grad
nicht übersteigenden Seiten eines sphärischen Dreieckes dagegen
a, b, c und deren Gegenwinkel A, B, C. Diese beiden Drei-
ecke mögen in einem solchen Zusammenhange unter einander
stehen, dass

>

56 Oskar Werner: EigenthümUche Ableitung \

\

»= ^a. COS 26, q=. . \a.sm\b und r= Je
'^ cos^ ^ * ^ sin ^ cos

ist, wobei sich die oberen und unteren Zeichen auf einander he- ■.\
ziehen sollen.

Ueber die Möglichkeit der Construction eines solchen ebenen i
Dreiecks entscheiden die Determinationen j

p^rq>Ty /> + r>^ und ^ + r>^,

welche vermöge des Obigen für beiderlei Zeichen ohne grosse <
Rechnung in folgende:

a+6>c, a + c>6 und 6 + c>a ^

übergehen^ worin der Satz enthalten ist: Die Summe zweier [
Seiten eines sphärischen Dreieckes ist grösser als die dritte. \

Indem wir die Grundformel der sphärischen Trigonometrie:
(1) cosc=:cosa.cos6-|-sina.sin6.cosC \

^ betan. ......e.ze„. „»».„ „i, an. j.J.. ™™rf.„™. d,. i

gebräuchlichsten Formeln des sphärischen Dreieckes mit Hülfe des n
obigen ebenen Dreieckes abzuleiten. s

Bekanntlich ist

r^ z=ip^ -{- q^^ 2pq . cos R
oder

sin j « sin

Jc*= ia^.cosjo*
cos cos

+ . Ja^.smio* — 2 ia.cosjo- . la.swlo.cosR,

' sin ^ cos sm

folglich 9 wenn wir die goniometrischen Formeln

. . - 1 — cos^ , j „ l + COSA- , . 1 , , .

sinjar^= k und cosJa:^= 5 und sinfarcos|a?=r4sina;

benutzen 9

4(l + cosc) = ?(l+cosa)(J +cos6) + i(l + cosa)(l — cos 6)

' — ^sinasinA.cos/?»
oder

2f 2cosc=l + cosa + cos6iFcosacos6 + l+coso — cos6

T cos a cos 6 — 2 sin a sin 6 cos /2,

der F&rmein der sphärischen Trigonometrie. 57

d. i.

cos c = cos a cos A J: sin a sin 6 . cos R,

Darcb Tergleichang mit Formel (1) ziehen wir hieraus das Resultat :

1800— pl •

Ferner erhalten wir nach dem Vorhergehenden för die oberen
Zeichen:

P + 9^+»*=8inl(a + 6) + 8inic =28in J(a+Ä+c) cosJ(a+Ä — c),

^ + r — p=sinic — sini(a — 6) = 2cos4(a + c — 6)sini(6+c — a),

p+r— ^=sinic + sin J(a — 6)=2sini(a+c— Ä)co8i(6+c — a),

p+^r— r=sin4(a+6) — 8inic = 2cosi(a + 6 + c)sini(a+Ä— c);

daher hieraus mit Hülfe des Satzes 2 sin i^ . cos i^ = sin i:i: :

(p+r — ^) (^+r — p) =sinj(6 + c— ^a)sin J(a + c — 6),

{p-{^q-\-T){p-^-q — T)z=is\i\\{a-\rb-\-c)sml{a^h'-c),

sowie

(p + fl' + rXy + r— />)(/? + r—v)(P + 9'-»')
= sini(a + 6 + e)sini(6 + c— a)sini(a + c — 6)sin J(a + 6 — c),

und für die unteren Zeichen:

p + ^+r=cos^a— 6) + cos2C=:2cos J(6 + c — a) cos J(a+c— 6),

^+r— />=cosJc— cos4(a+6) = 2sinl(a + 6 + c)sinK« + &— c),

p + r— ^=cosJc + cosi(a + 6) = 2cos4(a + 6 + c)cosi(a+6 — c),

p + y— r= cosi(as- 6) — cos Je = 2 sin i(6 + c — a) sin l(a + c— 6);

dahet durch Multiplication mittels der Formel 2s,m\x,cos\x:=:s\f\lxi

(p ■{-r—q){q -{■ r -p) = s\u\{a f 6 + c)sin4(a + 6— c),

{p-\-q-\-T){p-\r q—r) = sin l(a + c— 6)sinK^ + c— o) ;

sowie

(P + q+r)(q+r^p) (p+r—q)(p + q—r)
=sin|(a + b + c) sin J(6 + c — a) sin l(a + c — 6)sin4(a + 6 — c).

Setzen wir jetzt diese Ausdrücke in die bekannten Formeln der
ebenen Trigonometrie:

08 Oshar Werner: EipetUhümUcke AbMtun§

.R=S[

and

*^''**=9;5^^(i^+9'+**)(9+»-- />)(;'+»'— 9)(p+y— «•)

ein, so erhalten wir

sin4c« = 8ini(a+6)*sin4e« + sini(a— A)*cosSC»,

C«+ cos l(o— 6)2cos i C«,

(2)

c sin4c* = 8ini(a+6)*sin4(
( cos \c^ = cos 4(0 + 6)* sin J 1

(3)

w

„.„ , f, 4/"sint(64-c — q)sin|(a-t-c— 6)
T 8inasin6

C0S4C/=W ;: ; — r 9

^ Sinn Sin 6

8in €7= -; ;— T

Sinn Sin 6

X Vsini(a+6+c)sini(6+c — a)sin J(a+c— 6)sinJ(o+6— c),

und, wenn wir in der Formel (4) C mit ^, daher auch c mit
vertauschen, und die auf diese Weise erhaltene Gleichung durc
die unter (4) dividiren:

(5) sin ^ : sin (7= sin a: sine. «

In dieser Formel ist der Satz enthalten : Die Sinus zweier Seite
eines sphärischen Dreieckes verhalten sich wie die Sinus d<
gegenüberstehenden Winkel.

Ferner ist
sin(P — 0) sinP sinQ p ^ ? „

; — n — -=^— — 5-COSO -, — i5.C0Sf'= — COSÖ — ^ COS P

sm/t sinlc sin IC r r

_p pl^+r^—q^ g g^ + r^''P^_(p + g)(p'-g)
r ' 2pr r ' 2qr "~ r* ' .

d. i.

iiir F(frmein der spkärUchen TH§mwmetrit. 68

«

sm w . « V sin

filnC sin j^

cos*^

\fk ähnlicber Weise finden wir mit Rücksicht auf den Satz (5):

sin(ül+J?) sin^ „__sinB sina cos 6 — cos a cos c

smC siiiC sioC sine sin a sine

__sin6 cosa — cosÄcosc (cos6Tc'^8fl)(licosc)

■sine* sin A sine sine*

d. i.

sin ,/ . »vSin ,, -- ,.
sin(^Ti^) cosi(^J^*>cos^^^Tft)

sin C sin ^ ^

cos**^

Hieraus folgt durch Vergleichung mit dem nächst Vorhergehenden

sin(P-Q) = sin(JTÄ),
also entweder

oder

Bringen wir diese Ergebnisse mit den bekannten Formeln der ebe-
nen Trigonometrie:

(/? + ^)sin4Ä=r.cosi(P— ö)
und

(/? — q) cosjß = r . sin XiP— Q)

in Verbindung, so erhalten wir durch einfache Substitution fol-
gende beiden Formelsysteme:

und

cö"u«+*)r^^=cös'«-"''»(^TÄ)

cösi(«±*)cö"^C=cÖ8i''-«''»(^+^)'

cl»84(«T6)^?f4C=^';,4c.c«8i(JiFÄ).

(6)

60 Oskar Werner: Eigenthümliche AbleUun§

Da nur einer der beiden VVerthe für P — Q gelten kann» so
müssen wir jetzt noch untersuchen, welcher von diesen beiden
Werthen für die oberen und unteren Zeichen richtig ist.

Was zuvorderst die oberen Zeichen anlangt, so föhrt die Sub-
stitution a=6 in der zweiten Gleichung des zweiten Formelsystems
auf die Absurdität cosi(^--^) = 0, d. i. ^— Ä=180o. Für die
oberen Zeichen ist daher P — Q = A'-B zu setzen, mitbin gilt
hier nur das erste Formelsystem.

Was ferner die unteren Zeichen betrifft, so fuhrt die Substi-
tution a-i-b=il80^ in der zweiten Gleichung des ersten Formel-
systems auf die Absurdität sinl(A + B) = 0, d. i. A + B=360^,
weswegen für die unteren Zeichen P— Q=180^— (^+Ä) zu setzen
ist, mithin nur das zweite Formelsystem gelten kann.

Obige Formelsysteme geben daher nur folgende vier Glei-
chungen :

sin i(a + b) sin iC=sin Je . cos l(A — B),

sin^(a — b)coslC=8\nlc.s\ni(A — B),

cos l(a—b) cos l C= cos ic. sin'i(A + B) ,

cos i(a + b) sin J C= cos Je . cos i(A -f B),

welche die Gaussischen genannt werden.

Aus diesen erhalten wir durch Division je zweier derselben
die sogenannten IN e per 'sehen Analogieen:

tgi(«-6) = ^.^,(^_^^tg4c.

Um weitere Schlussfoigerungen aus dem vüriiegenden ebenen
Dreiecke zu ziehen, wollen wir vorher seine Winkel P und Q zu
bestimmen suchen.

Nach dem Vorhergehenden ist für die oberen Zeichen:

P+e=:1800-C und P^Qz=iA^B,

(7)

kl

der formehi der spkdriscken Trigonemeirie. 61

folglich

und far die antereo Zeichen

P+Q=:C und P-e = 180<>-(il + Ä),

folglich

/>=900-i(^+i?-C) und Q=i(A^B + 0)^90^.
Ans dem Werthe für Q im letzteren Falle folgt sofort
4(^ + Ä+C)>90o, d. i. ^+Ä + C>180«,

80 dass die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks jederzeit
180 Grad übersteigt«

Fuhren wir diese Werthe für P und Q in die bekannten For-
meln der ebenen Trigonometrie

psinA = rsinP und 9sinA=;rsinQ

ein 4 80 erhalten wir:

siniacosiAsinC=:sinic.cos4(i?+C — A),
cos l a sin \b sin C^ si n Je . cos ^(A + C — ß) ,

cos iacosjfisin C = cos Je. cos J(/l+-B—C),

sin ^a sin s& sin C=: — co8ic,cosi(A+B+C),

nüA, wenn wir die erste und zweite » dritte und vierte dieser
Gleichungen mit einander multipliciren , die auf diese Weise ent-
standenen Gleichungen durch sin ^. sin J? dividiren und zugleich
beachten^ dass nach Satz (5)

sin a sin b sin c^
sin AsinB^ sin C*

ist,

1 • .« o- 1 a cos i(B + C'-A) cos k(A+C- B) .

ismc^^sinic'. ; — -j—. — ^ — '

* ' sin^sm^

(8)

und

sixkAswiB

Hieraus ergiebt sich wegen lsinc*= sinic^.cosic^:

63 Otkar Werner: Ef§enthümUehe AbMtung

(9)

^ 1 Sin .4 Sin J?

_ ^cos\(B+ C—Ä) cos l {Ä + C— £0

sin ^ c ~~ ^1 — .

^ ¥ sin^sinZ^

und aus (9) durch Multiplication vermittels sine=:2sinic.eos2c:
(10) ^ sinc=:-T-

sin^ sinJ?

xV"-cos4(^+Ä+C)co8j(ß+C-^)cosU^+C— Ä)cosK^+Ä-C).

Quadriren und subtrahiren wir aber die Formeln unter (9) und
maeben dabei von den goniometriscben Relationen

, « . 1 o j cos (^ + 1/) + cos (o: — f/)
cosc = cos4c^ — sin 4c* und cosa?.cos^=:: ^^ — '^' ' ^^ ^

Gebrauch, so folgt

cos f7+ COS(^ — ^) • cos C+ €08(^1 + B)

2sin^sini? "*" 2sin^8iniB
oder

cos A iiii^B -f cos C

cosc= -, — -7—, — ö »

sin ^ sin i9

d. i.

(11) cos C= — cos A cos ß + sin ^ sin B cos c.

Indem wir ferner den sphärischen Excess, d. i. den Ueber-
schuss der Summe der drei Winkel eines sphärischen Dreieckes über
180 Grad, durch E bezeichnen, und berücksichtigen^ dass für die
oberen Zeichen:

e=9oo-K^+c--ß)=Ä-iE,

pa_j.ya_^2 = sinj^ß2cos46« + sinJc^— cos^a^sinift*
= sin \(a + 6) sin \(a — 6) + sin \c^
= sin ia^ — sin 46^ + sin Je* ,

und für die unteren Zeichen

e=U^ + J5+C)-90o=i£;,

p2 ^ r*— ^2--cos ia^cos \U^ + cos Je*— sin Jarsin \b^
= cos i(a + &) cos i(fl -" *) + cos ic*
= cos Ja* — sin \b^ + cos Je*
5»co8la*+cosi4*+cö»4c*— »1

im rarmein der tphirttcken Trtioiwmelrte. 69

ist, so erbalten wir mittels der bekannten Formeln

und des Vorhergehenden leicht folgende Formeln:

COS(Ä — 4£)= «-:— i ,/ . , »

a2) ^

, _ co84a^ + cosi^^ + cos Je* — 1

cos itj = 7^ i n i *

2 cos 4a cos 26 cos 4c

8in(fi— j£0= 2sinJ«cosi6sin4c

XVßini(a+6+c)siu4(6+c— a)siD4(a+c— 6)»in4(a+6 — c),
(13)

sini-E=-3j

/{cos4acos^6 cos 4c

\ xVsini(a+6+c)sin.\(6+c — a)sin4(o+c — 6)sinl(a+6— c);

ferner:

sin(4ß— iE)

4/ cos4(aT^+c)sin*(6 + c— f/)cosl(a fc— 6)sini(a+6 — c)

=v

sin 4a cos 26 sin 4c

^.AiTsinUq

+6+c)8ini(64-c — a)sin](ff-|-c— ^jsinXg+ft— -c)

und

cos 4a cos 46 cos 4c

cos(4ß— Ji5;)

(15)

— iTsinUa

=v"

-{■b-\-c)cos\{b-ic—a)s\f\\{a-yc—b)coB\{a-\-b—c)
sin 4a cos 46 sin 4 c

cosji^

cosl(a-f6+c)cosl(6-|-c— a)cosi(a-t-c — 6)co8j(a-f6«-c)

cos 4 A cos 46 cos 4c

64 Oskar Werner: Eigenthümlicke AöMtw^

Aas den beiden letzten Formelsystemen ethalten wir endlich
durch Division die eleganten Ausdrücke:

t^n »-.i F\ - iTtgiC^+t— f0tsU" + 6~c)
(16) < ^ 4^^-Y igi(a + b + c)tglia-ic^b)'

1 T

tgJi5;=Vtgl(a+6+c)tgi(6+c-.c)tgi(a+c-6)tgi(a+6-c),
von welchen man letzteren Simon Lhuilier verdankt.

Aus den beiden Ausdrücken unter (16) erhält man leicht die
Formel:

(17) tg{ii^'^ilj)= ^"7^ ■ ,

wodurch wir eine bequeme Methode erhalten, aus den drei Sei-
ten eines sphärischen Dreiecks die drei Winkel zu berechnen.

Man berechnet nämlich zuerst die Grösse IE mit Hülfe der
Formel

tgii5;= Vtg-l(a + 6 + c)tg^(& + c-a)tgl(a + c~6)tgi(a+6-c),
und hierauf die Winkel A, B, C mittels der Formeln:

tgU^ — 4/J')— 1^^ f

tg (IC- iE) ^tM(&-l-c-a)tgU« + c-6) ^

Zur Controle dient die Relation:

^ + B+C — 18(K>=:£:.

Will man jedoch von einer Controle absehen, so kann man
auch, nachdem man die beiden Winkel A und ß gefunden hat,
den dritten Winkel C mit Hülfe der Formel

Czziim + E'-iA + B)

berechnen.

Anmerkung.

Die trigonometrischen Ausdrücke für den zuletzt genannten
Winkel finden bei folgender Aufgabe Verwendung:

der F^rmein der ephärischen Trigemometrie. 1%

Aas den drei Seiten des sphärischen Dreieckes in Taf.II. Fig. 25.,
BC^a, AC=b, AB=:c, die Lage des Pols Pvom umschriebenen
Kreise zu finden.

Es sei der Winlcel ACP=z(i, der Bogen AP=BP=CP=m,
seist wegen der gleichschenkligen Dreiecke ACP, BCP und ABP

^=\{A + C-B) =r90<>— (Ä -4£).
Nach Formel (16) ist aber:

daher
I.

tg(^ -,£)-. \ tgi(a + 6 + c)tgl(a + c-6)'

W460-J^wV^ tgU6+e-a)tgi(a4T:=y)
^ 2^-\ tgJ(a + 6 + c)tgi(«+c-6)'

wodurch fi gefunden wird«

Dm endlich den Bogen cd zu ermitteln, haben wir aus dem
Dreieck ACPi

oder

also

d. i.

cos^P= cos AÖ. cos PC+sin .^«sin PC. cos ACP

cos a> = cos b cos cd -f sin 6 sin co cos fi,

cos 09(1 — cos 6) = sin 6 sin 09 cos fi,

1 — C0S&

Sin 0 cos fi ^

daher
ff ♦ *?4*

° cos fi

Durch die Formeln I. und II. ist jetzt unsere Aufgabe vollständig
gelost. Indess kann man in letzterer Formel anstatt cosfA noch
einen anderen Ausdruck einfuhren. Zu diesem Zwecke wenden
wir uns an Formel (13), wodurch wir

sin(^ — iJE^ = co8j*_

\ sm\(a + b + c)sini(b + c — a)sini(fl + c — 6)6ini(a-f & — c)

2sin4acosi6sini#; '

also nach II.:
,^ 2 sin ^a sin ^b sin Ic

m. tg »= r ■ ■■ -

Vsin4(a+6+c)sini(6+c-a)sin4(fl+c-Ä)sinä(a+Ä-c)

erhalten.

Tlieü XXIV. 5

06 Grunert: (Jeder die ffauptaxen

Von den Formeln unter (13) iSsst sich folgende Anwendung
machen: Dividiren wir nämlich diese Formeln, so ergiebt sich

woraus der Satz folgt : Sphärische Dreiecke haben gleichen Flächen
Inhalt, sobald sie in einem Winkel und dem Producte der Tan- ^
genten der halben einschliessenden Seiten übereinstimmen. ^

VI.

Ueber die Hauptaxen eines beliebigen Systems

materieller Punkte.

Von

dem Heraasgeber. (

Wir wollen uns ein beliebiges System materieller Punkte

m, nii, m29 niQ9 fU^f""

und in demselben einen gewissen Punkt O denken. Diesen Punkt :
O nehmen wir als den Anfang eines rechtwinkligen Coordinaten-
systems an^ und bezeichnen die Coordinaten der Punkte

in Bezug auf dieses System respective durch

^>y*2;; ^1. yi» «i; ^a» 3^2^ ^a; ^3*^3» 2:3; ■'

Ferner legen wir diirch den Punkt O eine beliebige Linie oder ^
Axe AA' , und bezeichnen die von einem der beiden Theile OÄ ^
oder OA' dieser Axe mit den positiven Theilen der drei Coordi-
natenaxen eingeschlossenen , 180^ nicht übersteigenden Winkol
durch Uf ß, y. Die Entfernungen der Punkte .;;x«i '

efnes ^tttki^en Syiiems materieiier Ptinkie. 67

m, llt| y Yll^» "^9 Ilt4»....

¥on der Aze il^l', d« h. die von denselben auf diese Axe geföli-
ten Perpendikel wollen wir respective durch

r, 1*1, T^i T^t r4, ....

bezeichnen, und nun einmal etwa r zu bestimmen suchen, indem
natürlich zur Bestimmung der Entfernungen aller übrigen Punkte too
der angenommenen Axe ganz dieselben Betrachtungen fuhren werden.

Die von dem Anfange der Coordinaten O nach dem Punkte
ifi gezogene Linie wollen wir durch p, und den von dieser Linie
mit dem der beiden Theile OA oder OA* der Axe AA* , auf
welchen sich die Winkel a, ß, y beziehen, eingeschlossenen, 180^
nicht übersteigenden Winkel durch c3 bezeichnen ; dann ist offenbar

r=sps\nQf
also

r*=p«sin 5*=p^— 'p*cos 5*.
Nqo ist aber nach den Lehren der analytischen Geometrie:

and wenn wir die von der Linie p mit den positiven Theilen der
drei Axen eingeschlossenen, 180^ nicht übersteigenden Winkel
durch Xy iL, ^ bezeichnen, so ist nach einer bekannten Formel:^

cos » = cos a cos « -f cos j9 cos A -f cos i' cos fi ,

oder, weil offenbar

:r=:j9Cos», ^=/icosA, z=pcos[i,

also

ist:

C0SX= — , C0SA = ~, COStt = —

p P P

_ j?cosa-i-^cosj?-f 2C0sy

cos id = -^ «

P

folglich

pcoslS=a:co8a^yco8ß-{'ZCOsy,

Daher erhält man nach dem Obigen für r^ den folgenden Ausdruck:

1) r*=ar* + iy* + 2* — Cdfcosa +^cos/5 + xcosyj*.

Entwickelt man das Quadrat

(^ar cos a + y cos j5 + 2 cos y^*,

00 erhält man auf der Stelle mittelst einiger ganz leichten Re-
dactionen:

5*

68 Grüner t: üeber die Hauptaren

- \ '^ 2 if z cos ß cos y ^2 zacoay cos a^2xy cos acoBß.

Weil aber bekanDtlich

cos a* + cos j3* + cosy*= I
und folglich

sin a* = cos /3* + cos y*,

sin j3*= cos y* + cos «*,

sin y* = cos «• + cos /3*

ist, so erhält man auf der Stelle für r^ auch den folgenden Ausdrack:

I r^= (y^ + 1^) cos «2 + fz* + x'^) cos /3a+ ^a;* + y«) cosy«

( — ^yicosßcosy—^^ixcosycosa — 2;ir^cosacosj3.

Diesen Ausdruck kann man aber offenbar auch unter der fol*
genden Form darstellen:

4) r2:=(y cos y— zcos ß)^\ (z cos a— o: cos y)^+(a cos /S— y cosaj*.

Bekanntlich nennt man die Summe

das Trägheitsmoment der Punkte

m, f?ii 9 Tita» 97139 17149....

in Bezug auf die angenommene Axe AA\ Daher ist, wie aus den
Formeln 3) und 2) sich auf der Stelle ergiebt :

1 2mr^ = cos a^2m (iß\t^) + cos ßl^Zm (z^\x^)\cos y^Sm (x^\y^)

ß) j

' — 2 cos j3 cos ySmyz — 2 cos y cos aZmzx ^ 2 cos a cos ßZmxy

und

r Änr« = sin u^Zmx^ + sin ß^ümy^ + sin y«!?»!««

C — 2 cos /? cos ySmyz —2 cos y cos a2mzx—2 costt cosßSmxy ; .

oder, wenn wir im Folgenden der Kürze wegen

7) A^HmOy^ + z'^), B=2m(z^ + x^), C=^2m(x^+yV;

8) D=z2myz^ E=s2mzx, F=JSmxy;

9) G^Smx^, H—2my^, J=^2mz^

einet ^effeMgen Spslems materieiier PunJUe. 69

setzen:

t — 2Z)co8"^cosy — 2£Jcosyco8a — 2Fco8«cos/3

uod

"'i

J 2:iiir*= Gsina*+£fsinj3«+Jsiny«

— 2Z>co8/3co8/ — ^2£Jcosyco8o— 2Fco8ocos/}.

Lassen wir die Axe AA' mit der Axe der jp zusammeofailen,
80 ist offenbar

costt=:J:l, eos/3 = 0, eo8y=:0;
also nach 10) ffir die Axe der a:

Zmr^=^A.

Laiisen wir die Axe AA' mit der Axe der g zusauimeofaüeo»
so ist offenbar

cosa = 0, eo8^=±l, cosy=0;

also nach 10) für die Axe der y:

2mr^=B.

Lassen wir die Axe AA* mit der Axe der t zusammenfallen»
80 ist offenbar

costt = 0, 008/3=0, cosy=J:l;

also nach 10) für die Axe der z:

Wir sehen hieraus, dass die in dem Ausdrucke 10) vorkom*
menden Coefficienten A, B, C die Trägheitsmomente des Systems
der gegebenen materiellen Punkte in Bezug auf die drei angenom-
menen Axen der a:, y, z sind.

Denken wir uns durch den Punkt O drei beliebige andere auf
einander senkrecht stehende Axen der x', y', z' gelegt, und be-
zeichnen die Trägheitsmomente des Systems der gegebenen ma-
teriellen Punkte in Bezug auf diese Axen respective durch A',
B', C; so ist nach 10), wenn wir die Winkel, welche der positive
Theil der Axe der x' mit den positiven Theilen der Axen der
Xf y, z einschliesst^ durch ff, '^, %; die Winkel, welche der posi-
tive Theil der Axe der y' mit den positiven Theilen der Axen
der x, y, z einschliesst, durch q)*, i\f\ %' ; die Winkel, welche der

70 Gruneri: (Jeder die Uaupiaxeu

positive Theil der Axe der i' mit den positiven Theilen derAXM
der X9 y, 2 einschliesst, durch q)", 'ip", ^' bezeichnen» keinen die-
ser Winkel grösser als 180^ genommen: ,.

Azzz ^cosg)* + Äcosi/;*+Cco8 3t*

— 2 Z) cos "^ cos ^ — 2 i5J cos % cos tp — 2 Fcos 9> cos ^,
Ä' = A cos g)'2 + E cos 1/;'« + Ccos x'*

— 2Z>cosi(;'cosx' — 2jEcosx'cos9>' — 2Fcosg)'cos'^',
C = A cos 9"2 + J? cos i/;''2 + C cos ^'^

— 2 Z> cos i(;" cos x'' — 2 JE cos f cos y " — 2 Fcos qf cos tf/'.

Addirt man nun diese drei Gleichungen zusammen, nud beachtet»
dass nach bekannten Sätzen offenbar

cos 9^ -|- cos g)'* + ros 9"®= 1 ,

cos t^*^ + cos 1/;'* + cos V* -5 1 ^

cos X* + cos %'*+ cos /'^=l ;

cos 1/; cos ;j -|- cos ij;' cos %' + cos i(;" cos ;S^ = Ot

cos%cosg>+cos%'cosg)' +coS3("cosg)''=0,

cos 9 cos 1/; + cos 9' cos 1/;' -|- cos m" cos tf;" = 0

ist; 80 erhält man die folgende bemerkenswerthe Gleichung:

12) ^' + Ä' + C' = ^ + Ä+ C,

in welcher der Satz ausgesprochen ist, dass die Summe der
Trägheitsmomente des Systems der materiellen Punkte
m» rtixi m2, 7713,.... in Bezug auf jede drei durch den
beliebigen Punkt O gelegte, auf einander senkrecht
stehende Azen eine constante Grösse ist.

§. 2.

Wir wollen jetzt durch einen beliebigen Punkt (abc) eine der
Axe AA' parallele Axe ÜÜ' legen, und das Trägheitsmoment des
Systems der materiellen Punkte

m, nii, m^i m^9 1714,....

In Bezug auf diese neue Axe durch 2mx'^ bezeichnen.

Legt man durch den Punkt (abc) ein neues dem ptimitiifefl

eine» beüeHgen Spüems wuUerieiler Punkte. 71

pAialleles Coordinatensystem » so sind nach der Lehre von der
Verwandloog der Coordinaten die Coordinaten des Punktes m in
diesem neuen System:

Folglieh ist nach §. 1. 1):

— {(j: — a)eosa + (y — 6)cosj5+(z — c)eosy|*
oder

— {(a?cosa + ycos/3 + 2C08y) — (acosa+6cos/J + ccosy))*.

Bezeichnet nun R die Entfernung der beiden parallelen Axen von
einander, d. h. eigentlich die Entfernung des Punktes O von der
Axe ÜÜ', so braucht man, um R zu erhalten, in der vorstehenden
Gleichung offenbar bloss a:,y,.z verschwinden zu lassen, wodurch
sich ergiebt:

R^=z a* + 6* + c* — (acos a + Ä cos j5 + ccosy)*.

Weil nun nach dem Obigen, wie sogleich erhellet:

l*={a:*+y* + 2:* — (opcosa+ycosß -{-zco8y)*\

+ {a* + 6* + c* — (acosa + Äcosj5 + ccosy)2|

— 2|aa:+6^+cz— (acosa+6cosjS+ccosy)(.ccosa+ycosjS+zcosy)|

und

r*=a:* +^* + z* — (^ cos « + y cos |S + z cos y)*

ist, so ist

~2{aa:+6y-|-cz — (acosa+6cosj5-|-ccosy)(a:cosa+ycosjS+zcosy)|.

Aus dieser Gleichung erhält man auf der Stelle durch Sum-
mation, nachdem man vorher mit den Massen multiplicirt hat:

'^^\a21mx + bZmy + cEmz — (acos a + 6 cos ß + ccos y) (cos aZmx

-f c IS ßZmy + cos y2mz) }.

Bezeichnen nun jr, t^, f die Coordinaten des Schwerpunktes des
Systems der Massen

73 Cruneri: (Jeder die Haupiaxen

m, mit m^» wij, m^,,...

i m

in Bezug auf das primitive Coordisateiisystem , so ist nacb dcf
Lehre vom Schwerpunkte bekanntlich: k

X2m=2mx, tfSm=zZmy, }2m-=2mz; '»■

also nach dem Obigen:

i

1) i f

(— 2-Sm.{ajr+&t^+cj— (acosa-f 6cosj?-f ccosy) Orco8a-|-t^Gos/3-f |co8]r)|. k

Für jr=0, t^ = 0, J = 0, d. h. wenn die Äxe AA'^ auf weltbe
sich das Trägheitsmoment Umr^ bezieht, durch den Schwerpnnlct \
des Systems der Massen

.7n, Wi , tn^y ffi3 9 i/t^y....

gelegt ist, ergiebt sich aus 1):

2) 2mx^= 2mr^ + R^Zm.

^

u

■a

Wenn man also das Trägheitsmoment der Massen
m, nii, m^f ^13,.... in Bezug auf eine beliebige durch
ihren Schwerpunkt gelegte Axe, nämlich Smt^, kennt,
kann man das Trägheitsmoiiient 2mt^ in Bezug auf jede
andere dieser Axe parallele Axe, deren Entfernung
R von jener anderen durch den Schwerpunkt gelegten
Axe gegeben ist, mittelst der Eormel

2mt^ = i:mr^ + R^2m

immer leicht finden.

Aus dieser Gleichung fol^t auch, dass unter den Trägheits-
momenten in Bezug auf parallele Axen das Trägheitsmoment in
Bezug auf die durch den Schwerpunkt des Massensystems gehende
dieser parallelen Axen stets das kleinste ist.

§. 3.

Das Trägheitsmoment des Systems der Massen

wi, mi , iWa, m3, »I4,

• • • •

in Bezug auf eine beliebige durch den beliebigen Punkt O, den wir
immer als Anfang der rechtwinkligen Coordinaten annehmen, gehende
Axe ist stets eine endliche völlig bestimmte positive GrCisse. Daher

einei beiiektgen Sf9iem$ materieiier Punkte. 73

moBs es unter allen durch den Punkt O gehenden Axen offenbar
immer mindestens eine geben, in Bezug auf welche das Träg-
heitsmoment unseres Massensystems nicht kleiner ist als das
Trägheitsmoment in Bezug auf jede andere durch den Punkt O
gehende Aze. Diese durch den Punkt O gehende Axe, deren
wirkliche Existenz keinem Zweifel unterliegt, wollen wir jetzt als
Axe der a annehmen. Ganz eben so niuss es unter allen im Punkte
O auf der Axe der x senkrecht stehenden Axen immer mindestens
eine geben. In Bezug auf welche das Trägheitsmoment unseres
liassensystems nicht kleiner ist als das Trägheitsmoment in Be-
zog auf jede andere im Punkte O auf der Axe der x senkrecht
stehende Axe. Diese im Punkte O auf der Axe der x senkrecht
stehende Axe, deren wirkliebe Existenz wiederum keinem Zweifel
unterliegt, wollen wir als Axe der y annehmen. Endlich nehmen
wir die im Punkte O auf den so bestimmten Axen der x und y,
d. h. auf der durch diese Axen der Lage nach bestimmten Ebene,
senicrecht stehende Axe als Axe der z an. Die Trägheitsmomente
des Massensystems in Bezug auf die Axen der x, y, z bezeich-
nen wir wie früher respective durch J, B, C, so dass also nach $. 1.

A=z2m(y^ + z^), B=i2m{z^ + x^, Cz=z2m(x^ + y^

ist Wegen der jetzt getroffenen Auswahl der Axen der o?, y, z
ist aber offenbar ohne Beziehung der ^oberen und unteren Zeichen
auf einander:

Legen wir nun durch den Punkt O eine vierte beliebige Axe
ÄÄ'f und behalten für diese Axe alle in §. 1. eingeführten Be-
zeichnungen auch jetzt bei, so ist nach §. 1. 10) für diese Axe:

^7Är*=^co8a2+Äcos/J^+ Ccosy«

— ^cosßcosySmyz — ^co&ycosaSmzx — 2cosacosj?^i?t:ry.

Wegen der vorher getroffenen Auswahl der Axen der x^ y, z
ist, was auch die Winkel a, ß, y sein mOgen, immer

A'T Acosa^ + Bco8ß^ + Ccosy^
— 2 C08 ß cos ySmyz— 2 cos y cos aSmzx — 2 cos« cos ^2iiiu;y,

74 Grunert: Oeöer äte Hauptaxem

folglich

248ina2~ßcos/3«+Ccosya

Setzt man nun für a einen beliebigen 180^ nicht übersteigen-
den Werth« fiir ß einen durch die Gleichung co8/3=sina bestimm-
ten Werth« was offenbar verstattet ist, so geht die Bedingungs-
gleichung

cos «* + cos |3* + cos y^ = 1 ,

deren Erfüllung natürlich immer vorausgesetzt werden muss, in

cos a* + sin a* + cos y*= 1 ,

also in cosy^=0{iber, woraus sich cos7^=0 ergiebt. Folglich ist
nach dem Obigen fär jedes 180^ dicht übersteigende a:

^sina^r^Äsina* — 2 si na cos a2!liit:rjf,

also

Ä ^ Ä— 'J cot cLZmxy,

WSre nun nicht

Emxy=^0,

so konnt0

Hrnay > 0 oder Zmxy < 0

sein. Wäre

Zmxy'^0,

so würde, wenn a sich 180^ näherte, die Grosse

— ^coXaSmxy

sich dem positiven Unendlichen nähern, und es konnte also offen-
bar nicht für jedes zwischen 0 und 180^ liegende a die Bedingung

erföllt sein. Wäre dagegen

2mxy<,Q9

t

eines betieki00m Speiem» tiuuerieUer Punkte, 75

80 wfirde« frenn « «ich 0^ nSherte, die GrOsse'

sich dem positiven Unendlichen nähern, und also offenbar wie-
deram oicht fiSr jedes zwischen 0 und 180^ liegende a die Bedingung

ATTB — 2coia2ma:y
fstBält sein. Daher kann weder

noch

Smxy < 0
seb, und es niuss also

sdn.

Setzt man wieder fiir u einen beliebigen 180^ nicht überstei-
genden Werthy für y einen durch die Gleichung cosy=sin<v be-
stimmten Werth^ was offenbar verstattet ist, so geht die Bedin-
gQDgsgleichung

cos a* + cos ß^ + cos /*= 1 ,

deren ErfOJIung natürlich immer vorausgesetzt werden muss, in

cosa* + cosjS* + sina*= I,

also in cos/3^=0 über, woraus sich cosj3=0 ergiebt. Folglich
kt nach dem Obigen für jedes 180^ nicht übersteigende a

A sin a*^ Csin «* —'2 sin a cos aSmzx ,

also

ATT C — ''Icoictllrmx,

woraus man ganz auf dieselbe Art wie vorher schliesst, dass

^7?izar=0

sein muss.

Lassen wir nun die Axe AA' in die Ebene der lys hineinfal-
leo, ^o ist 4x=90^j und för das Trägheitsmoment £m9^ bat man
daher jetzt nach dem Obigen den folgenden Aasdriick:

79 Grüner 4: üeöer die HaupUtxtn

2mr^= B cos /?• + Ccos y* — 2 cos fi cos ySmyz*
Wegen der getroffeDen Auswahl der Axen ist

BirSrni^,

also

B^BcoBß^-{- Ccosy^— 2cosj3cosy^m^z,
folglich

ßsinjS®^ 6'cosy* — 2cos^cosy2lm^z.

Setzen wir nun für ß einen beliebigen WP nicht fibersteigende»
Werth, so ist wegen der Gleichung

cos «^ + cos ß^ \- cos y® = 1 ,

weil cosa = 0 ist« offenbar CQsy^^=s\nß^y folglich

^sin /ja ^ Csin jS« — 2sin jJcos /S-Smy« ,

also

B'T C-'2cot ßüm^/z,
woraus sich ganz auf dieselbe Art wie früher

ergiebt.

Wenn daher die Axen auf die angegebene Weise ausgewählt
worden sind« so ist

1) £myz=^Of -Swza:=0, £mj:y=0;

und folglich nach dem Obigen für jede durch den Punkt O, den
Anfang der o*, y, z, gelegte Axe: :»

2) 2:mr^=Aco8a^+BcoBß^+ Ccosy«.
Weil bekanntlich

A=B^C

ist, ohne Beziehung der oberen und unteren Zeichen auf einander^ |
so ist unter derselben Bedingung:

.-.-•i'»-

eines Mie^igem Spstems materieiier Funkte,

n

Cco8a*"^-4co8a*, -

Cco8/5*^Bco«/5*,

Cco8y*=Ccosy*;
also« weoD man auf beiden Seiten addirt« und dabei die Gleichung

eo8a*-f co8/5*+co8y*=l
berficksichtigt :

C ~ ^ cos a« + ff cos /3« + Ccos y*.

MgliGh nach 2):

CTl^wir«,

W

i. h. bei der oben getroffenen Auswahl der Azen der x^ y^ % ist
las Trägheitsmoment in Bezug auf die Axe der i nicht grosser
ib das Trägheitsmoment in Bezug auf irgend welche andere durch
den Punkt O gelegte Axe.

Ffir i^=rff=C wird wegen der Gleichung

cos «* + CO« jS* -J- cos y* =: 1

nach 2) auch

d. h. es sind in diesem Falle die Trägheitsmomente in Bezug auf
alle durch den Punkt O gelegten Axen einander gleich.

Sind nur zwei der Trägheitsmomente A^ B, C einander gleich,
etwa A:=zB, so ist nach 2)

d. i., weil

2mr^=A(co8a^ + co8ß^+ Ccosy^,

cosa^ + cosj3*=l — cosy*=siny*

ist:

2mr^=^ A sin y* + Ccos y*.

Setzt man nun y = yO<^, d. h. liegt die durch dto Pankt O
gelegte Axe, welcher das Trägheitsmoment 2nn^ entspricht, in
der Ebene der xy, so ist

78 Grnneri: üeber die ffaupiaxen

d. h. es sind in diesem Falle die TrägheitsmomeDte för alle in
der Ebene der xy durch den Pankt O gezogenen Axen einander
gleich. ^

§. 4.

•

Im vorhergehenden Paragraphen ist ßr jeden Punkt O die
Elzistenz dreier durch denselben gehender, auf einander senkrecht
stehender Axen nachgewiesen worden, für weiche, wenn niao ditff
selben als Axen der x, y, z, den Punkt O naturlich als Anfang
der xyz annimmt,

2myz=^0f 2mxa:=:0, 2nu:y=0

ist. Diese drei Axen haben nach dem vorhergehenden Paragrt* f
phen die sehr bemerkenswerthe Eigenschaft , dass immer das n
Trägheitsmoment in Bezug auf die eine nicht kleiner, das TrSg* |-
heitsmoment in Bezug auf eine andere nicht grösser als dasTrftg^r
heitsmoment in Bezug auf irgend welche andere dnrdi den Puiw^
O gelegte Axe ist, oder, in der Kfirze gesprochen, die eiiie dlesdFr
drei Axen ist immer die Axe des grös^ten, eine andere* ist MtI
Axe des kleinsten Trägheitsmoments, nämlich ffir alle durch des f
Punkt O gelegte Axen. r

Man nennt diese drei durch den Punkt O gelegten, auf ein- '4
ander senkrecht stehenden Axen, für welche ' ' i

2myz=0, SmzaaszO, Ema:y=zQ

ist, die drei auf einander senkrecht stehenden oder g^en einan«' '.
der rechtwinkligen Hauptaxen des Systems der Massen 1

in, 7?t|, tn^9 0^3» 9114, ...•
fOr den Punkt O.

Wie die Lage dieser drei gegen einander rechtwinkligen Haupt-
axen des Systems der Massen m, m|, m^y m^, •••• fär jeden he*
liebigen Punkt O analytisch bestimmt werden kann, wollen wir
jetzt im nächsten Paragraphen zeigen.

§. 5.

Den Punkt O nehme man als Anfang eines beliebig«! recht*
winkligen Coordlnatensystems der ayz an« und sifize der Kön«'.
wegen: »/

eines MMigen Sgüems matetieUer Punkte, 79

1) \ D:=iZmyz, E^Smzx, F^^mxy\

G^Ztna:^, ^=2?iiiy«, J^ümz^;

wo natürlich

A, Ä, C; /), £, F; <?, Ä, J

sSmmtiicb gegebene Grossen sind, bestimmt durch die Grösse der
Massen des Systems und deren Lage gegen die drei durch den
gegebenen Punkt O gelegten Axen der a:, y, 2.

Femer denke man sich durch den g^ebenen Punkt O die
drei demselben entsprechenden rechtwinkligen Ilauptaxen des ge-
gebenen Massensystems, von deren Existenz wir uns im vorher-
gehenden Paragraphen versichert haben, gelegt, und nehme die-
sdben jetzt als Axen der Xf t^^ } an, indem wir zugleich die von
*dem positiven Theile der Axe der jr mit den positiven Theilen
der Axen der ^c, y» z eingeschlossenen, 180^ nicht übersteigenden
Winkel durch q>, 1/;, %; die von dem positiven Theile der Axe
'der 9 mit den positiven Theilen der Axen der x, y, z eingeschlos-
senen« 180^ nicht übersteigenden Winkel durch 9', tf^', %'; die
von dem positiven Theile der Axe der } mit den positiven Thei-
len der Axen der a:, y, z eingeschlossenen, 180^ nicht überstei-
genden Winkel durch q>" , i^f" , %'' bezeichnen. Auch setze man
der Kürze wegen:

2) X^Hmx^, P = Zmv^, S==2m}^

und bemerke, dass nach dem vorhergehenden Paragraphen

Zmt;i=0, 2m}X=0, Umxv^zO
ist.

Aus den in §. 1. angestellten Betrachtungen, oder auch aus
den allgemeinen Formeln der Lehre von der Verwandlung der Co-
ordinaten, geht nun unmittelbar die Richtigkeit der folgenden Glei-
chungen hervor:

X =: a: cos q> -i- y cos ilf +z cos %,

t)=:arC0S9' +y cos V + 2C0S%',

I szxcostp" +y COS ilf" + zco»^
und

80 Grnnert: üeber äi€ HtmpUucen

a: =jr cos ^ -f t^ cos 9' -|- } cos ^^ ,

^=jrcosif/-f9cos^-f;co8^,

}=jrcosx -l-^cosx' -ffcosx^.
Also ist

a^=ar(;rcos9-|-ycos^-f 2Cos;()=jr(jrcos9)-|-9co89)' +jco8 9'0>
yr =y (o? cos 9 -f.V cos ^ -f z cos x) =X (r cos ^ -|- 9 cos ^' -f } cos ^|/) 9
if=it{xco6fp -f ycosif;-f co8%) =jrOrcos%+^cos;f'+}cofl j(*);

woraus sich, nachdem man vorher mit den Massen geh5rig malti«
plicirt hat» dnrch Sommation anf der Stelle ergiebt:

cos ipZmjfl -f cos tifZmxy -f cos %2mzx

r= cos q>2mx^ -f cos fp'Smxt^ ■\- cos tp'^ZmfX •

cos (pSmxy -{■ cos i^fSmy^ -|- cos %Smyt

coQfpSmzx -h cos i^fZmyz -f cos %£mz^,
=: cos %I!mx^ + cos x' Zmxt^ + cos 'f£m}X ;

also, weil

^mjrt^=0, 2m}X^0

ist» wenn man zugleich die aus dem Obigen bekannten abkOrzen-
den Bezeichnungen einfuhrt:

l (G— *)cosg) + Fcos^+JBcos;t=0,

3) <i Fcosg> + (Ä— Jf)cosi(; + Z>cos;^=0,

' £cosg)+ßcosi/; + (7 — X)cos%=:0.

Multiplicirt man diese Gleichungen nach der Reihe mit

und addirt sie dann zu einander, so erhält man die folgende
Gleichung:

— Fa(J-») + 2/)FF S^^'

eines beUebigen SyMiems materieiier Punkte. 81

welche Gleichung in Bezug auf X als unbekannte GrOaae vom
dritten Grade ist.

Auf ganz ähnliche Art ist:

fllz^y(x cos q>' +ycosi/;' + 2Cos%')=:t;(jrcofiif; + j) cos^ Hcosif;''),
z9=z(.rcos97' +yco8i/;'+ xco8x')=t;(jrcos% + t;cosx' +Jcos3^);
folglich durch Summation :

1(G— !J))co8g>' + Fcosi/;' + f;cos%'=0,
Fco8g>' + (Ä— ?>)cosi/;' +/)cosz'=0,
Ecosq>' + Z>cosi/;'+(J — !P)cos^'=0;
woraus :

Endlich ist:
X}r=zx(<x cos (p" + y cos 't\>" + 1 cos 5^') =: I (jr cos g> + J) cos 9)' + 1 cos (p'%
fi=zy(xcos fp" -{■ y Qosi\j" + zcosx'O = ? (jr cost/;-!- j) cosi/;' + Icosi/^'O»

:j=2(a:cosg)" + ycosiJ;'' +2cos/0 = ? (^cos;e + i)cos%' + jces^'O;
also durch Summation:

i(G — S)cos< + Fcos'j/;"+£cosx'' = 0,
Fcos9" + (^— S)cosif;'' + Z>cos/=0,
£cos(p" + ßcosiJ;'' + (J— S)cos%''=0;
woraus :

4**) (G-5)(ff-5)(^-S)-ö*(G-SJ -£«(Ä-5)

_Fa(j_g;) + 2D£F

=0.

}=«

folgt Aus den drei Gleichungen 4), 4*), 4**) erhellet unmittelbar»
dass die drei reellen positiven Grossen "Sc, J^, ^ die drei Wurzeln
der cubischen Gleichung

5) (G—Ü)(H'^Ü)(J-'Ü)^I)^(G'-U)-^E^{H'^Ü))

[=0
—F^iJ'-ir^ + ^DEF )

sind, woraus sich 5 weil die wirkliche Existenz der dem Punkte O

TheU XXIV. 6

S8 Grunert: Oeber die Hauptaxen

•üispreehendeD drei rechtwinkligen Hauptaxen früher nachgewi^
sen worden ist, auch umgekehrt ergiebt, dass diese Gieichung*
immer drei reelle positive Wurzeln haben muss.

Hat man durch vollständige Auflösung der vorstehenden cu-
bischen Gleichung ^, J^y $ gefunden, so werden ferner die Winkel

9>» '^» xi 9'^ y» x'; ^"y V^ f

mitteist der Gleichungen 3), 3*), 3**) in Verbindung mit den be-
kannten Relationen

cos 9?* +cost/;2 + cos^* = 1 ;

cos g)'* + cos if/* + cos x'*= 1 »

cos ip''2+ cos i/;"2+ cos x"*= 1,
bestimmt.

Die Trägheitsmomente in Bezug auf die Hauptaxen der jr, %
f sind nach §. ]. bekanntlich respective

oder

Zmtf^-l-HTnf, Smf+2wx^, 2mx^+2mt)\
Nun ist aber nach dem Obis:en

Also sind die Trägheitsmomente in Bezug auf die Hauptaxen der
X9 t)9 2 respective

Man kann unsere Aufgabe noch auf eine andere Art auflösen.
Es ist nämlich offenbar

a^^+y^+z^^X^' + V^ + f,

weil diese Ausdrucke beide das Quadrat der Entfernung des Punk*
tes 771 von dem Anfange; der Coordinaten darstellen. Also geiteo
offenbar die folgenden Gleichungen:

M

eines $eUebi§€n Systems materieUer Punkte.

83

=2?iiix«+-Sm(i^+f«)fc-5mt;«+2:m(f*+;r*)=2?m}a+2;m(jr« + t>«);
folglich, i?eon der Kürze wegen

gesetzt wird :

worao»

H--X^7ct^ß, H^p=z}fi^B, U^S-Si-B;

folgt Also hat man nach dem Obigen auch die folgenden Glei-
choDgen :

(Xi — 2l)cos9? + iF'cosi/; + iSco8%=0,
7*) { Fcos^ + (IFi— ^)cos'V^ + /)co8;{=0,

E cos q>-{-D cos i/^ + (3^i — C) cos % = 0 ;

(Pi — A) cosq)' + Fcosi/;' + £cosx'=0,

Fcosg>' + (Pi — ^)cosi(;' +Z)cos%' = 0,

£cosg)'+Z)cosi/;'+(]Pi — C)cos%' =0;

(Si — A) cos <p"+F cos iij"+E cos f=0,
7***) < Fcosg>"+(5i— Ä)cosi/;"+/)cos/'=0,

£cosg)" + Z>cos V+(5i-C)cos/'=0;

7**)

\

und 3^1 , Pi , 8^1 sind die drei Wurzeln der folgenden cnblftchen
Gleichung:

8) (Ut-Anü^-'ß){ü,^C)-~D^{V,^A)--E^(U,-^B)f _^

— F2(t7i — C) + 2Z>FF ♦ ""

Betrachtet man <pi, ^|, ^i ^^^ allgemeine Repräsentanten der
drei Systeme von Winkeln:

(p> '^> x; 9' > V> x'; 9"y ^"> /;

6

84 Gruneri: üeber die ffauptaopen

so hat man zu deren Bestimmung Oberhaupt die Gleichungen:

!(üi — -4)cosg>i+Fcosi/;i+JBcoS5fi=0,
Fcostpi + (üi — Ä)co8t>;i + Dco8Xl=0,
iScosg>i+/>co8i/ii+(üi — QcosxlZhO,

mit denen man noch die Gleichung ^

10) cos q>i^ + cos i/;i* + cos 5Ji*= 1

zu verbinden hat, und in denen man för üi nach und nach die
drei Wurzein der cubiscben Gleichung 8) setzen muss.

Um die Gleichungen 9) und 10) aufzulösen , bringen wir va
vurderst die Gleichungen 9) auf die folgende Form:

cos q>i cos g>i

cosg?! C08q>i

cos (pi cos q>i .

Dann erhält man durch verschiedene Verbindung dieser Gleichun*
gen zu je zweien die folgenden Gleichungen :

C08q>i

(üi-^Ä)(üi'-Q-EH{F(üi-C)'-DE\^^!^^:=zO,

COS97|
COS (pi

und

Z)(C7i-.^)— iBF+iZ)iS— F(t7, — C)}-55!^^=0,

cos9?i

(J7j-.j)(t7i-.^)— /^ + t£(Di-.iB)-FZ>i-?^?i^=0,

cosg?!

E(Ui'-B)'-FD+{(üi'-B)(Ui-Q^D^^^^J^=0.

cosq>i

Aus den erst^ Gleichungen in diesen beiden Systemen folgt
unmittelbar:

eine» öeiieMpen Spgfems materieller Punkte. 86

IJBF— Z>(I7i - J)} co8g>, ={ FD— 15(t7, -18) j co«i»;i

={Z>iS— F(Di — Olcosxi,
and setzt man nun der Kürze wegen

11) ifa=:

so erhält man mittelst der Gleichung

cosg>i*+ cosif;i*+co83fi*= 1

kicbt:

12)

_. 1

. _ . 1

''"**' ~ *ÄtFD-£(C7,-Ä)r

_. 1

in welchen Gleichungen die oberen and unteren Zeichen sich auf
änander beziehen. \Velche Zeichen man aber nimmt, ist natür-
lich an sich ganz gleichgültig, weil man sich die positiven Theile
der gesuchten Axen beliebig angenommen denken kann.

Ferner erhält man aus den obigen Gleichungen:

c08if;i_(L7i-O(l7t— ^) — J5?
cosg)|"~ DE-~F{Vi — C) '

nod

cos9>i FD'-E(üi-B) *

cos ^1 _ FD-^E( üi —B)
cos9?i (üi— ^)(l7i — O — />2*

Aus diesen Ausdrucken ergiebt sich d^rch Multiplication :

\C089iJ (t/i — Ä)(üi-0— />«'

/cosxiY-(t^i-^)(t^i--«)--^' .
\Q08q>J (Cri-iB)(l7ji-C)— />»'

-«

86 grüner tr deöer diß ffaupiiwm

also

(l7i-Ä)(Di-0~/)2"-(t7^_C)(Di-^)-£« i=

iE

Sot^t man nao der K^rze «wegen
80 erhält man mitteist der Gleichung

er

K*f

^JOSCpi^-f» cos -^1^+008X1*=! .^

leicht :

i

.1.

cosg)i^=^^ ^ ^-^^-^^ , ^^

14) ^ cosi/;i*=^ — ^ ^^ J^ ,

« (t7i-J)(t7i-B) — F«
qos ;ci^= ^ -^ ■ ■ ^ J- -^^- ,

Die Gleichungen 3) gestatten natürlich eine ganz ähnliche
Behandlung, was aber hier nicht weiter ausgeführt zu werden
braucht.

Die drei Trägheitsmomente in Bezug auf die Hauptaxen der
X, t), } sind nach 6) respective die drei Grössen 3^i, l^i, Si'

§. 6.

Man kann sich die Lage der dem Punkte O entsprechenden
rechtwinkligen Hauptaxen auf eine bemerkenswerthe Weise durch
eine geometrische Construction deutlich machen.

In dem im vorhergehenden Paragraphen betrachteten, durch
den Punkt O gelegten rechtwinkligen Systeme der xyz bezeichne
man jetzt die veränderlichen Coordinaten durch X, Y, Z, und
denke sich nun eine Fläche des zweiten Grades beschrieben, de-
ren Gleichung

1) AX^+Br^+CZ^^2DrZ^2EZX^1lFXr=zl

eines btUeHgen Spslems maierieUer Funkte. 87

ist, wo die Coefficienten A, By C, D, E, F dieselbe Bedeutung
baben, wie im vorbergeheodeo Paragrapbeo, so dass oämlich

2) J

i D=£myz, E=i£m2x, F=:£mxy

ist.

Um zu ermitteln, eu welcher Gattung der Flächen des «wei-
ten Grades die in Rede stehende Fläche gehurt» lege man durch
den Punkt O als Anfang der Coordinaten eine beliebige gerade
Linie, deren Gleichungen

3) y=^aX, Z=ßX

sein mögen. Bezeichnet man nun die Coordinaten der Durch«
Schnittspunkte dieser geraden Linie mit der durch die Gleichung
1) charakterisirten Fläche des zweiten Grades im Allgemeinen
durch u, V, to; so hat man zur Bestimmung dieser Coordinaten
nach 1) und 3) die drei folgenden Gleichungen:

(A + a^Bi-ß^C-2aßD-2ßE-^2aF)u'^z=l,

v=^au, w=^ßu.

Nun ist aber nach 2):

A+a^B+ß^C--2aßD'^2ßE'-2aF

= 2m(y^ + 2^) + a'^Zm U* + x^) + ß^Sm (a?« + y^

— 2 aß Smyz — 2ß Emzx — 2a2mxy

= a^Emx^ — 2 aZnuxy + Emy^

+ ß^Snuv^ — 2 ß Emzx + Emz^

+ a^Emz^^2aßEnnjz f ß^Emy^

= Zm (aar — y)2 + Em (ßx — 2)2 + Em (az — ßy)^,

also nach dem Obigen mit Beziehung der oberen und unteren Zei-
chen auf einander:

1

M=±

VEmiax—y)^ + Ejnißx-^z)^ + Emiaz-^-ßy)^'

4) < f7 = ±

=±

V Em {ax —2^)2 + Em (ßx — zf + Em {az — ßy)^ '

ß

V Em {ax—y)^ + Em {ßx — zf + Em {az - ßy)^ '

88 Grunert: Ueöer die Hauptaxen

Weil der gemeinschaftliche Nenner dieser BrOche offenbar i
stets eine reelle Grosse ist, so giebt es für u, t?, to immer zwei
Systeme reeller , absolut gleicher, dem Zeichen nach entgegenge«
setzter Werthe. Daher schneidet jede iganz beliebig durch den
Punkt O gezogene gerade Linie die durch die Gleichung 1) cha-
rakterisirte Fläche des zweiten Grades in zwei von dem Punkte
O offenbar gleich weit entfernten Punkten, eine Eigenschaft, welche
unter den Flächen des zweiten Grades nur das Ellipsoid haben
kann. Also ist die durch die Gleichung 1) charakterisirte Flä6he
des zweiten Grades ein Ellipsoid , und der Punkt O ist der Mit^ ^
telpunkt dieses Ellipsoids, also jede durch O gezogene gerade
Linie ein Durchmesser desselben.

Wir wollen uns nun die Aufgabe stellen, den oder die Durch-
messer des durch die Gleichung 1) charakterisirten Ellipsoids zd >■
ermitteln, welche auf der Fläche desselben normal stehen. Di(i^
(Gleichungen eines solchen Durchmessers seien überhaupt ^

X Y Z

cos^i cosi/;i cos%i * ^

Weil die partiellen Differentiaiquotienten der Function

AX^^BY^^^CZ^-IDYZ-'iEZX—iFXY—l

nach X, F, Z respective

1{AX-FY^EZ),

^iBY-^DZ — FX),

2(CZ^EX-'DY)

sind, so hat man, wenn man die Coordinaten der Durchschnitts-
punkte des gesuchten Durchmessers mit dem Ellipsoid von jetzt
an durch X, F, Z bezeichnet, zu deren Bestimmung nach den
Lehren der analytischen Geometrie die folgenden Gleichungen:

AX—FY'-EZ ^BY-^DZ^FX^CZ^EX-^DY

X ~" F Z '

und zur Bestimmung der Winkel <pi, 4^i » ^ hat man daher nach
dem Obigen die folgenden Gleichungen:

Acos(pi — F cos tl^i — E cos %i B cos tpi — D cos %t — Fcos y^

cos^i cos'ij^i

Ccosxi — £cos9?|— Dcos-rJ/j

cösxl

einti äeUeHgen Sysietns maierieUer Fumkie. 89

Bezeichnet man jede der drei vorstehenden gleichen Grossen
durch ü, so erhält man die drei Gleichungen:

(Vi —A)cos<pi +Fcos'4>i +^<508Xi +Ö,

5) { Fco8g>i +(t7, — Ä)cosi//i+/)cosxi=0,
-Ecos (fi -h />cosip^ (Dl — C) cos xi=0 ;

lud nimmt man hierzu noch die bekannte Gleichung

6) co8 9>i* + cosif;i* + cos%i*=l,

•0 hat man zur Bestimmung der Grössen üi und (pi, i|;|, ;^ ganz
ffieselben Gleichungen, welche wir im vorhergebenden Paragraphen
zur Bestimmung der dort auf gleiche Weise bezeichneten Grossen
gefunden haben.

Man sieht also, dass die drei rechtwinkligen Hauptaxen in
Bezug auf den Punkt O mit den drei auf dem durch die Gleichung

AX^+Br^+ cz«— 2z>fz-2i;z2:-2F2:f=i

charakterisirten EUipsoid normalen Durchmessern desselben, d. h.
mit den drei Axen dieses Ellipsoids, übereinstimmen.

90 Oskar Werner: Zur Tkeorie der Difenn%enreiken.

vn.

Zur Theorie der Differenzenreihen.

Von

Herrn Doctor Oskar Ff^erner,

Lehrer der Mathematik in Dresden.

Wenden wir auf jedes Glied der Reihe

«0 + %«i + ^4^a + ^'««a + ••••»

in welcher nx den ^rten Binomialcoefficienten für den Exponenten
n bezeichnet und a^f, ai, a^, a^,,.,, willkührliche Grossen bedeu-
ten, den bekannten Satz

an=aQ + ni^Qo + w^^^flo + • • • + Wn^"flo
an, so erhalten wir

ao + W2ai +«4^2 + ^603 +.... = «ro + «2(«o+^«o)

+ «4 («0 + "2Jao + ^d^Oiy) + tiq («0 + 3/iffo + 3^% + ^^Oo) + ,

oder, wenn wir die gleich hohen Differenzen vereinigen und zur
Abkürzung

Km = W2W» + (W + i )i W2(iii+1) + (rn + 2)2 W2(m+2) + . . . .

setzen,

«0 + W2O1 + «4^2 -hwe^a + .... = JSqüo + Ki^ÜQ

+ K:,J^ao+JS^J^ao +

Um nun die CoefTicienten ^0, Ki, Kt^y,,,, in Form eines ein-
fachen Ausdruckes zu bestimmen ^ gehen wir von folgender spe-
ziellen Hauptreihe aus:

OikMr Werner: Zur Thewrin ätr Diferetnenr^ü^iu, %\

and leiten aus derselben nacbstebeuda Differenzenreihen ab:

erste Differenzenreihe:

ziveite Differenzenreihe:

z^iio=3a?»-*(ar« -y*)«, ^flj =a:»- V(^*— y*)*> • • • • ;

dritte Differenzenreihe:

u. s. w.
Wir haben daher nach dem Vorhergehenden :

oder nach dem Binomialtbeorem für positive ganze Exponenten:

folglich, wenn wir x+y=a und x — y = ß, daher x=i(a-\-ß)
und y = J(a — >ß) setzen:

+ 2i6^2(«+^)»-*(«i5)a-....
Andererseits ist aber nach einem bekannten Satze *):

Wir erhalten daher durch Vergleichung :

.... iSr„= 'i—üm-l . «im. ^^ ,

*) Archiv Theil X&II. Seite 295. Formel 60.

93 Osk^r Werner: Zur Theorie der mff^remieilreihen.
folglich nach dem Vorhergehenden :

(1) < (n— IM

C + (m + 2)2 . 7<2(m-f 2) +

und

2,

(2) ; ^"-'^^

Eine ähnliche Formel erhalten wir, wenn wir von der Haup
reihe

ausgehen und vermittels der Relation

deren Differenzenreihen bilden. Diese sind:

erste Differenzenreihe:

JAq= — üi , JAi = Aoi , z/i!42=^ — A^oi ,....;

zweite Differenzenreihe:

u. s. w.

Ä;te Differenzenreihe:
^Mo = (— l)*afc, ^Mi=:(-1)*-Möfc, z/M2=(-l)*-*^a/t,...

Nach (2) ist aber:

2,

daher ergiebt sich aus dem unmittelbar Vorangehenden:
(3) ^ ^ ^ ^'

09kmr Werner: Zur Theorie der Dtferetnenreikmk

Nehmen wirz. B. aii=l« ai=— tgg»', at^tg^» Oss^tg^V..
an» so erhalten wir

" cos 9* " cos 9* ^^ cos 9^

daher nach Formel (2):

l-«atg<)p« + W4tg9*-«<,tg9«+....==2^i-2»--»ita.^j5^.— ^

4. 1 6-1

* (m — 1)2 cosg)* ** (n — 1)3 cos 9}^ '

oder nach einem bekannten goniometrischen Satze:
2 cos ng> = (2 cos g))* — wa . r-^ jY" (2 cos 9)»-*

+ '*4- (^:ri)" (2cos g))»-4 - . . . .

Andere Anwendungen von den Formeln (2) und (3) zu machen»
fiberlasse ich dem Leser. Namentlich empfehle ich in dieser Be-
liehung fSr a^^^ Oi, Os»***- Grössen zu setzen , die in arithmeti-
scher Reihe höherer Ordnung fortschreiten.

Till.

Beweis des pythagoräischen Lehrsatzes.

Von

Herrn Doetor Oskar TVerner^

Lehrer der Mathematik in Dresden.

I) Das aus den geraden Linien AB und CD als Seiten con-
strairte Rechteck wollen wir durch ABx CD, das aus AB als
Seite gebildete Quadrat aber durch AB^ bezeichnen.

94 OsMnt Werner: Beweis den pythagorätgehm LeUrsaites.

2) Durch Betrachtung mner bOchst einfachen Figur erh&lt man
sofort :

(AB+CD)xEF=ABxEF+ CDxEF

und

(AB-- CD)xEF=iABxEF^ CDxEF.

. 3) D^s Quadrat ABFE (Taf. II. Fig. 24.) über der Kathete AB
des rechtwlnklicKen Dreiecks ABC vervrandle man in das Pa-
rallelogramm ACGE über der Hypotenuse AC als Grundlinie,
und dieses wiederum in das Rechteck ACBJ. Es Ist daher
AB^=ACxAJ. Zieht man ferner noch die Höhe BD, so lässt
sich leicht nachweisen ^ dass die Dreiecke AJE und ABD con-
gruent sind. Hieraus folgt AJ = AD, daher nach dem Vorher-
gehenden

AB^:=:iACxAD,

4) Nach 3) ist

AB^ = ACXAD und BC^^ACxCD,
also

AB^^rBC^=:ACxAD^^ACxCD,

oder nach 2):

AB^^^BC^z=:ACx(AD^^CD) = ACxAC,

d. i.

AB^^BC^:=^AC^.

5) Zufolge 4) ist

BD^=AB'^-AD^,

daher nach 3)

. BD^=ACxAD'^ADxAD,
und nach 2)

BD^=iADx(AC—AD),

d. i.

BD^ = ADxCD.

Die Darstellung des pythagoräischen Lehrsatzes, wie ich sie
im Vorhergehenden gegeben habe, verdient ihrer Einfachheit
wegen in die Lehrbücher aufgenommen zu werden. Vielleicht ist
dieselbe bekannt, jedenfalls aber nicht so bekannt, wie sie es
nach meiner Meinung verdient.

09kmr Werner: Berieitmng der Neper'sckem AmUo0eem. 9&

Herleitung der Nep er 'sehen Analogieen.

Von

Herrn Doctor Oskar fVerner,

Lehrer der Mathematik in Dresden.

1d Taf. II. Fig. 23. wollen wir die Kanten winke! JVÄO, MSO
ond MSN des körperlichen Dreieckes SMNO der Reihe nach
durch a, 6, c und die diesen Kantenwinkeln gegenüberstehenden
Neigungswinkel der das körperliche Dreieck bildenden Ebenen
durch A, B, C bezeichnen. Man gebe »SO die Länge 1 und ziehe OP
senkrecht auf die Ebene MSN; aus dem Pdnkte P, wo das Per-
pendikel OP die Ebene schneidet, ziehe man PM und PN auf
SM uiid SN senkrecht; ferner verbinde man O und M, sowie O
ond N durch die Geraden OM und ON und verlängere PN bis
zum Punkte R in der Kante SM. Endlich mache man PQ=zMP
und ziehe OQ. Dann ist offenbar

MS=cosb, NS=cosa, MO=zOQ=smb, OiV=sina,
^PMO=^PQO=A und ^PNO=B.

Da das Viereck SM PN zwei gegenüberstehende rechte Winkel
enthält, mithin ein Sehnen viereck ist, so folgt:

^MSN=^MPR = c.

Die noch unbekannten Seiten MP und PN dieses Vierecks er-
hält man durch folgendes Verfahren:

Addirt man za der aus dem rechtwinkligen Dreieck MPR
sich ergebenden Gleihung 3IR=:MPAgc die Gleichung MS^cosb,
so erhält man:

RSz=^MP.tgc -i-cosö

96 Oskar Werner: fferMtung der Neper*8Cken Anai&§ieen,
oder

cos 0 -mMrk

cosc ^ ■

also

««n n^ cosä — cos 6. cos e

MP=PQ = ; .

sine
In ähnlicher Weise ergiebt sich

-j« COSÄ — eosa.cose.

SIDC

daher^ wenn man diese beiden Gleichungen addirt:

PQ I p2y_(co8q + cos6)(l — cosc)

sine
oder

NQ = (cos a + cos b) tg Je.

Setzt man endlich diesen Werth nebst den übrigen oben ange-
gebenen Werthen für die Bestandtheile des Dreieckes NOQ in
die hinlänglich bekannten Formeln der ebenen Trigonometrie

ON+OQ _ cosl(NQO-ONQ)
NQ " cos l(NQO+ ONQ)

und

ON-OQ _ sinliNgO-ONQ)
NQ '^s\nl(NQOi-ONQ)

ein, so erhalten wir

sina-|-sin6 • __cosi(^ — Jff)
(cos a + cos b) tg Ic "" cos l(A + B)

und

sinn — sin 6 sin|(^ — B)

(cos fl + cos 6) tg Je ~ sin i(/l + jB) '

folglich mittels Anwendung einfacher goniometrischer Formeln:

. w ,v cosl(^--JS), ,
tgi(a-6)=^.„j(^^^tgic.

Spiimen f^nuim für äie Summen- und Diffieretnen-Mecämun^, 97

Vertauscht man endlich die Kanten winkel mit den Sopplemen-
teo der gegenOberstehenden Neigungswinkel der Ebenen des kOr-
perfichea Dreiecks und umgekehrt« so ergeben sich hieraus die
Formeln

w ^ ^v cos Ua — b) , , ^

^*^ ' sini(a-h6) ^^

welche in Verbindung mit den beiden vorhergehenden die Ne-
per 'sehen Analogieen genannt werden.

Fonoeln für die Snmmeii' und Differenzen -Rechnung.

Von

Herrn Simon Spitzer^
Priyatdocenten der Mathematik am k. k. polytechnischen Institate za Wien.

Die Euler'sche Sunimenformel ist bekanntlieh folgende:

(1)
2f(a)= C+\fnx)da:- lf(a:)+A,hr(^yMY"(^HM''f^'(^)—'^

wo C eine willkuhrliche Constante oder eine solche periodische
Function von x bezeichnet, welche ungeändert bleibt , wenn a: um
i wächst, wo ferner Ai, A^, A^,... Zahlen sind, welche mit
den Bern oulli'schen in folgendem Zusammenhange stehen:

Ä2.-fi = (2i + 2)! ^2,+i.

Theil XXIV. T

98 Spti%er: Formeln tär die Summen- und DitTerenKen-Reehming.

Diese Reihe zeigt in ihren ersten Gliedern einen anffallendei
Mangel an Regelmässigiceit; diess bewog mich, eine andere Fora
fOr Zf{x) zu suchen, und ich fand, dass man statt der Gleichung (l
folgende Gleichung setzen künne:

hZfix) =ff{x -\)da!^ (I)' C^\x - \)
(1) { ^

deren -zweiter Theil noch durch eine willkührliche Constante odei
durch eine periodische Function, die bei dem Wachsen von a
um h ungeändert bleibt, zu completiren ist. Die hiebei auftre-
tenden Zahlen C^, C4, C5,.... ergeben sich aus der Auflösung
folgender Gleichungen :

1
Ca + 3j^^^»

^«+ 3! +5! +7!~"'

^« + 3! ■*"5r+7! +ö!-"-

Der Beweis, dass die Gleichung (2) richtig ist, lässtsich leichf
führen. Nimmt man nämlich von beiden Seiten derselben die
endlichen Differenzen, so erhält man:

hf{x) =Uf{x - 1) da: + (ffc^Jfix - 1)

+ (I)* C^rix - 1) + (^y C^AfV (a; - 1) + .... .
oder anders geschrieben :

hf{x-)=S\f(.=^\ \)-^x-^^dx^r{^C^\f>{x^.\)-f\ccJ'^\

+ (0*c4[r(^+|)-r(^ -|)]

Sßhiim>0tt: inmnei» fUr die Svmmen^ und DUT^efnen^MecAmmff.^t

itwiekelt man die in den eckigen Klaminern «tehenden AutdrOcka»
bat man:

II

I

a

4-

h9

fc«l 5> fc«| »-

^
^

3
§

OD

OQ
9

c:

CO

s

::2lH-
+

+

•^

t^i >• !>&! >• i^dj >•

5
IT

.^

i^

.p

^1 N-«

.^1

1

Hh

^^1 *^

l>0| > fcÖj >• ^l ^

ba

U?| ^

l>5|5>

bO\ ^ fcÄ| a-

4-

4-

fcöl >•

-4-
4-

s in Folge der Gleichungen (3) wirklich identisch Null ist. Die
blen C^, C4, Cq,.... erscheinen in der Analysis auch noch bei
ier^n Gelegenheiten, so ist z. B.

4) a: cosec o: = 1 — C^^^ -f C^x^ — CßÄr* + . . . .

)Dn schreibt man diese Gleichung in folgender Form:

^

+

4-

X

x^ x^

7!

= 1 - C^x^ + C^a^-- C«a?« + .... ,

■ • • • •

7*

100 Sp ii% er: Formeln für die Summen- und Differew^en-Reeknung.

so hat man, wenn man beiderseits mit dem Nenner des ersten
Theils der Gleichung muitiplicirt:

_ 1 [ ^'+ C^\ C^

3! ) 3! la;*- ""3!

1_ 1 C2 / ^ ^" • • • • '

5[ / ""öT

1

■"7! f

was identisch ist, weil die Coefficienten von x^, x^, x"^,,.., ver-
möge der Gleichungen (3) sämmtlich Null sind.

Wir wollen nun übergehen zur Bestimmung von h^2^f{x)m
Zu dem Behufe multiplicire man beide Theile der Gleichung (2^
mit h und nehme dann beiderseits die Summe, man hat so:

+A(|Jc4-£r(ar-|) +ä(|)° C^Zfr^x-^)-^ ....,

oder mit Anwendung der Gleichung (2):
IfiZ^fix) =fdx \ff{x - h)dx

+ (I)' q, fix - A) + (ly C^r (x-h)\ (IJcy ^(o: - h) +.... I

+ (|)*QI fn<»-k)dx+(^yC^if'{x-h)^,.A

+ (|)'c;i ffr{x-h)dx^-....]

Reducirt man diess gebSrig, so erhält man:

(2

8ptt%*r: f^ormelnfär äte Summen- und IHffieren%€t^^eekmm§. 101
h*Iflf{x) =zjff{x-k)dx* + (IJ .2CiA*- A)

+ (|)*(2C4 + Ci«)r(^ - A) + (j)'(2Q+2q,C«)/'^''(x- A) +

was sich so schreiben lässt:

(5) < ^
+ (^y DJ"(x + A)+ (|)''7>,r(^-A) +

wenn man die folgenden ßezeichnungs weisen annimmt:

(6) {

Z>6 = 2qj+2CiC4.

Dieselben Zahlen Z)^» Z>49 Z)«,. ... kommen auch vor, wenn man
die Reihe (4) zum Quadrate erhebt, man hat nämlich:

(7) a;2cosec2a:= l — 7)23:2+ Z)4ar*—Z)6ar« +....,

wie man sich leicht überzeugen kann. Wollte man zur Berech-
nung der Zahlen D^, D^, Dq,..,. Formeln haben, die analog
sind den in (3) aufgestellten, so verfahre man so: Es ist

(8) sin^a:^ ^ =2J~2! 4r+"6! 8~ + --!

folglich

2x^

a:*cosec*:r =

(2a:)2 (2^ (2^ (2^ ,
2! "■ 4! + 6! "" 8! "*"••'•

Diess mit (7) verglichen führt auf folgende Gleichung:

(2^ (2:i:)^ (2a:)g ^^)8 =1— />2^* + />4^ -^o«• + •..•

2! ""4! + 6! 8! +• •

Mnitiplicirt man beide Theile derselben mit dem Nenner des ersten
Theils, so bat man:

108 Spii%€r: Formeln für die Summen- und Di/reren»en-Reekmmff.
2a:« = |a?«-J,Z>« j +5!^4j -2!^«

X*

3C "i" • • . . j

-"Ü ] +4!^M'^ ""41^4

26 I 2«

+ 6! ^ ""6!^^

28
""8!

und diess gibt uns folgende, mit (3) analoge Gleichungen:

2! +4!—"'

^2^ 24^

(9) ^ 2! + 4! +61 ~"*

De ,2^D4 24/)^ 2V

2! + 4! + 6! +8! -"'

Auf ganz ähnliche Weise, wie wir aus der Gleichung (2) d
Gleichung (5) abgeleitet haben, leiten wir nun aus (5) eine GIc
chung ab, die. uns h^S^f{x) gibt. Wir multipliciren zu dem B*
hufe die Gleichung (5) mit A, und nehmen beiderseits die Summ<
diess gibt:

+ h(jy D^i;r(a;-^h) + h(jy D^Zfi^ (a:-h) ■{- ....

Jedes einzelne dieser Glieder ist eine Summe, die sich vermü^
der Gleichung (2) in eine Reihe ausdrücken läsüit ; thut man dies
so erhält man:

h^2:^f{x)=ff dx^\ff(x—^h)dx

+ (|)V ./'(a:-iA)4(J)V4/'V-4Ä)+(|)'' i\r(x-lh) +..

-\-(^yD^{ff{x~\h)dx-^(^^^c^'{x-ihn(^*c^r(x-ihn..

+ (|y/>6i ff"{x-lh)dxi:.

8fii%€ti fmmub^ für die Summern- und Difreremuu-Rukmmg. 103
und redacirt man es, so ist:

+ (j)*(C4+ CiZ), + D^fix-Xh)

+ (!)'(€;+ C4Ö, + q,/)4+ß«)r(^-W+

was wir so schreiben wollen:

(10) {

+ (D* £4/"'(^ - iÄ) + (1)* £en^ -Ihn....

Die Zahlen £3, £4, E^,.... haben folgende Bedeutungeo:

£4=C4 + CiZ)a+Z)4.

f:

and erscheinen auch, wenn man die Gleichungen (4) und (7) mit
eioander multiplicirt ; denn es ist:

(12) ;r»cosec ^x = l —E^x^ + E^a^ - E^x^ + . . . .

Bemerkt man, dass

(13)

. - 3sin^--sin3:r_a;3 33-3 :rö3*-3.ar^ 37^—3
8in»^= 3 -31 -ir""5!"X"'*"7! "4 ••"

folglich

Ax^

a;®cosec'ar=

8 3^"^ ^3^^3 ^3^-3

3! *" 5! ^*" 7!

ist^ so hat man durch Gleichstellung dieses Ausdruckes mit dem
in (12) angegebenen:

104 Spitzer: Formeln für die Summen^ und Di^eremten-Reckma^.
gFzrä 35Z^ 37=3 = I - £.^* ^E^^-'E^x^ + . .

3! ^^ 5! +^ 7! ~"

woraus folgende , deo Gleichungen (3) und (9) analoge Gleiche
gen folgen :

3! + 5! — "'

£4.1 + 3^^ , 1+3^+34

(14) / 3! "*" 5! ^2 ■*■ 7!

Eß . 1+3«„ . 1 + 3M:3* . l+3«+3M3o ^

Setzt man diese Analyse fort, so findet man ganz allgemei

f{x^ rßda^+[^^J My f(x-^h)dx^

wobei zu bemerken ist, dass das erste, nullte und — rte Integi
definirt wird durch die Gleichungen:

fix — 2^)dx^=ff(x — 2^^ ^^'

/(o) 71 n

nx-'^h)dxO=.f^a:^\h),

f^^'^A^ - %h)dx-r=fr) (^ - I A) ;

ferner dass M^^ M^f ü/g,.... dieselben Zahlen sind, die in d
Reihe

(16) ar«cosec»a:= 1 — M2x'^ + M^x'^—MqX^ + ...„

oder, was eigentlich dasselbe ist, in der Reihe

cosec «j- = o:-« — M^x"^-^^ + M^x"^^^ — MqX"'^'^^ + ....

Bpii%€r: Formeln fär die Summen- und Diferenzen-RecknuH^. 105

auftreten; endlich dass der zweite Theii der Gleichung (15) noch
za completiren ist durch das Polynom

unter a, ßy y,-"» x constante Zahlen verstanden, oder solche
periodische Functionen von ar, die ungeändert bleiben^ wenn x um
h wächst.

Untersuchen wir nun, ob diese Gesetzmässigkeit sich .auch
auf die, der Samnienrechnung inverse Rechnungsart, nämlich die
Differenzen- Rechnung, ausdehnen lässt. Wir haben:

und stellt man diess auf folgende Weise dar:
60 bat mau, es entwickelnd:

oder

m^r(s^h*kQyn'4> 4(1)' m^-^h*-

Die Coefficienten der einzelnen Glieder dieses Ausdrucks sind,
abgesehen vom Zeichen, die in der Reihe für sin^r erscheinen-
den, denn man hat:

nQ^ • X^ X^ X^

(18) sina? = a? — öf +51 — 7I+«"*

Nimmt man von beiden Seiten* der Gleichung (17) die endlichen
Differenzen und dividirt zu gleicher Zeit durch A, so hat man:

Ä» — h +31^2/ h +5!U/ h +••

Jedes einzelne Glied dieser Bntwiclcelung lässt sich nach (17)
behandeln ; thut man diess , so erhält man :

106 Spitter: Formein für die Summen- und Differemtm-ReciMmg*

+

und diess gibt reducirt:

(19)

+

(Ö"(l! + 3ll)^''"'(- + *)+"

Die hier aaftretencien Coef'ficienten , nämlich:

, 2 2 1 2 1^

'' 3!' 5! + 3!3!' 7! + 3!5!'""

erscheinen aucli, wenn man die Gleic!>ung (18) quadrirt; es ist
nämlich :

'2 /2 1 \ /2 2 \

sin'»^ = ^"-3!** + (,51 + 3!3!;* " l?! + SfSlj ^^ + • • • '

oder vermöge der Gleichung (8):

. 2 _ i(2£)2 (2£)4 (2^ (2^ I

sin ^ — 2 I 2! "" 4! ■*■ 6! "" 8! +"-M*

So fortfahrend, findet man ganz allgemein:

(20)
^ =/•(») {X + |ä) +Q' ^,/->"+2)(a: + |a) +Q W»+4) (:r +1 A)

+ Q°^e/^"+*H^ + |Ä) +••••.

SßiiMtr: Fwmeln rar die Summen- und Dffferemen-Rechmimi. 107

wo 2V29 iV4, 2Vo,.... die in der Gleichung
(21) sin »ar = ar« - 2V^»+2 ^ iV4.r«+* — iV;ja:»+6 + . . . .

aaflhreteodeD Coefßcienteii sind.

Vergleicht man nun die beiden Gleichungen (15) und (20), so
siebt man, dass nian sehr leicht aus der einen von ihnen die an-
dere ableiten kann; man bat nur nöthig, statt n, — n zu setzen,
wodurch sich zu gleicher Zeit yon selbst die Coefficienten M^
M^, JHfß,...., welche der Reihe für cosec"a: angehören, in iVg,

N^y iVg, umwandeln, welche der Reihe für sin ":ir entsprechen;

und ebenso auch umgefiehrt verwandeln sich N29 N^, iV^,.... in

Wenden wir nun unsere gewonnenen Formeln auf einige ein-
fache Beispiele an. Es sei

I. f(x)Z=ZX^y

folglich

/(ff) ^m^n
nx) dx^ = 7 r— T- >
„!('« + ")

/(n— 2) ^m-\-n-'Z '

/(n-4) a;ni+n-4

Diese Gleichungen sind wahr, so lange keiner der auf der rech-
ten Seite stehenden Briiche unendlich ist; schliesst man daher
diejenigen Fälle aus, wo einer der genannten Brüche unendlich
ist, so hat man:

108 Spiiter: Formeln für die Summen- und Differewten-Rechnuni
und hieraus folgt für ein gerades m-\- n:

und fiir ein angerades m + n:

nh

unter p eine ganz beliebige constante Zahl verstanden.
Da ferner:

fin^-^)(x) = (n + 2)! (^ "^ 2) ^".-«^2,
/^(n+4)(^) = (n + 4)! (^^'J^ J o:"-»-* ,

ist, 80 hat man

(23)

+ Q' (« + 6)! („7 e) ^« ^^ + 1 ^)'"""""' + • •

Ist daher m—*n eine gerade Zahl, so ist

ist hingegen m — n eine ungerade Zahl, so hat man:

— ^r~ = (^ + «2 Ä) i/'C^^ + w Aa; + p).

Es sei
IL ' f(a!) = log X,

60 ist:

Spit%er: Formeln für dUe Summen- und Differenzen-Rechnung, 109

/•(») {x)

(_l)«+iC„-l)!

ar»

/•(«+4)(;r)=

(^ l)n-i-5 (yt ■!. 3)f

folglich :

A«

=(_„^.j-5!:^l +(*)•«

|(:i:+.2A)'

(n + 1)!
n

+

"l • • • •

(^ + 2*)"+*

-i

Diese Formel setzt offenbar ein positives n voraus; ist dieses n
tugleich gerade, so ist

ood ist n ungerade, so hat man:

^ — = (or + 2 ^) ^(^ + wÄ^ + p).

110 VebunffSttufgaben für Schüler.

Ueboagsaofgaben fiir Schüler.

Von Herrn Doctor Oskar Werner zn Dresden.

Bezeichnet man die Seiten eines Sehnenvierecks der Ordi
nach durch a, 6, c, d und die Gerade, welche die Mittelpu
seiner Diagonalen verbindet, durch e, so ist zu beweisen, da

e

2

6d (c/2 — c^p + ac (ö^ - d^)^

4 (ab + cd) (ad + 6c)
Im Falle b = d, erhält man

e = l(a — c),

d. h. in einem symmetrischen Trapez ist die Entfernung der
telpunktc der Diagonalen dem halben Unterschiede der parall
Seiten gleich.

Man soll beweisen, dass

a:q>(s\na;, cosa;^)dx = ^ I q)(s\x\x, cos.r^)8,r

Aufgabe über eine gewisse Art von Sumraenreihen.
Sind

Sqq, Sa^, Sa^y Sax,

C€bungsaiir§nben fiir Schüler, 111

Reihen, welche in einem solchen Zusammenhange anter einander
stehen, dass die auf einander folgenden Glieder jeder Horizontal-
reibe aus denen der nächstvorhergehenden gebildet iverden, indem
man in dieser das erste Glied, dann die Summe der zwei ersten,
hierauf die Summe der drei ersten Glieder u. s. w. bildet, so dass

S*ai = Ä»-»iio + ««-^Oi ,

Bo soll man beweisen, dass

wobei das Zeichen ( j durch die Gleichungen

definirt ist.

Nimmt man z. B.

"» = (0)' "'"Ct )' "'«=('*2 )•• •'" = (''^)

und entvrickelt mit Hülfe der Formel

die successiven Summenreihen, so erhält man
Qod folglich nach obiger Formel:

c*ri=c*r')(iD+c:iT')cr)
+c:ii')cr)+ •+c«')C'r)-

113 ßiscelien.

XII.

M i s c e 1 1 e n

Addirt man schliesslich auf beiden Seiten, so gelangt man äugen-
blicklich zu dem Satze, dass die Kantenwinkel einer kör-
perlichen Ecke kleiner als vier rechte Winkel sind.

Eben so leicht erhellt, dass die Winkel, welche zwei Seiten-
wände mit einander bilden, beziehlich immer grösser sind, als
die entsprechenden inneren Winkel des Vieleckes ABC.,,. In
jeder körperlichen Ecke ist also die Summe der Neigungs-
winkel der Seitenwände grösser als (w — 2).2Ä, wenn n
die Anzahl der Seitenwände ausdrückt.

Von Herrn Job. Bapt. Sturm, geprüftem Lehramts -Candidaten za

Rottenburg in Niederbaiern.

I.

Einfache Beweise zweier Sätze von der körperlichen Ecke.

Sei O eine k4irperliche Ecke und OO' irgend eine Linie, welche
ganz innerhalb der Seitenwände derselben fallt. Wird durch den
Punkt O' eine Ebene gezogen, auf welcher OCy senkrecht ist, so
wird sie die Kanten in den Punkten A^ B, C... schneiden, welche

dann das Vieleck ABC bilden. Zieht man in diesem Vielecke

die Linien AO' , BO' , CO' , so erhält man auf der Stelle fol-
gende Sätze:

^AO'B^Z^AOB,
^BO'O^BOC,
^CO'D^^COD,

JHisceUen.

HS

II.

Einfache Ableitung der Ausdrücke für die Sinusse und Cosi-
nusse der halben Winkel eines Dreieckes.

Zuerst werde das rechtwinklige , dann das gleichschenklig«
Dreieck betrachtet. Von da gehe man über zu dem ungleichsei-
t%en Dreiecke. Verlängert man in diesem z. B. eine Seite AB
iber JB hinaus nach D, so dass -BDzzzBC wird, und zieht dann
DC, so ist für das Dreieck ADCi

AC^=AD»+ C/P-^^AD.CD.cosiülB.

Es ist aber

oad

sonach :

AD=AB + BC

CZ>=:2ÄC.cosin4Ä,

AC^=(AB+BC)^'-iiAB + BC).BC.co8m\B*

+ ABO.cos\niB^

oder

AC^=(AB+BC)^-iAB.BC.co8iBlB^,
AC^-(Aß^BC)^ + iAß.BC.8\üiB^,
womit das Verlangte geleistet ist.«

111.

Zur Auflösung der quadratischen und kubischen Gleichungen.

Sei

irgend »eine quadratische Gleichung, so kann diese auch so ge«
schrieben werden:

ar(x + P):=iQ.

Da nun bekanntlich

4B=(^^--(^'

Tteil XXIV.

8

114 Miscellen.

ist« so ist auch:

wodurch die Auflusung gegeben ist.

Die in diesem Archiv mitgetheilte Auflösung der kubischen
Gleichungen Ton Herrn Cockle ist nicht neu; die Priorität der
Erfindung gehört einem Deutschen, nämlich Hulbe, welcher be-
reits schon am Ende des vorigen Jahrhunderts in seinen, Käst-
rier gewidmeten „Analytischen Entdeckungen" die kubischen ;
Gleichungen dadurch zu lösen gesucht hat, dass er sie durch die ^

1

Substitution a!':=:a-\- - aut die Form: L

y -

brachte, was, wie der Sachkenner auf der Stelle sieht, mit der
Co ekle 'sehen Auflösung zusammenfällt.

\

IV.

Beweis des bekannten Euler' sehen Satzes von den Polyedern.

l

Man denke sich in einer beliebigen Entfernung von einem
Polyeder eine Ebene und durch die Ecken desselben Parallellinieo jy
gezogen, so werden diese, gehörig verlängert, auf jener ein System ^
von Punkten bilden, von denen die einen äussere, die andern ig
Innere genannt werden sollen. Aeussere nennen wir jene,
welche sich durch Linien so zu einem Vielecke verbinden lassen, ^
dass alle übrigen innerhalb des Umfanges dieses Vieleckes lie- --^
gen, die daher im Gegensatze zu jenen innere genannt werden, ^i-
Dem Umfange dieses Polygons, das hier auch äusseres betitelt \
wird, entspricht ein zusammenhängender Zug von Kanten des
Polyeders, durch welchen seine Oberfläche in zwei Theile getheilt
wird. Betrachten wir zuvörderst den einen Theil, respective die .
den Ecken dieses Theiles entsprechenden Punkte auf der in Rede
stehenden Ebene und ihre Verbindung durch Linien, entsprechend
den Kanten dieses Polyedertheiles. Die Verbindung der äusse«
ren Punkte gibt, wie schon bemerkt, das äussere Vieleck; die
besagte Verbindung der innern Punkte aber eine Reihe inne-
rer Vielecke, welche den Vielecken der Oberfläche des fraglichen
Polyedertheiles entsprechen. ^

Sei nun die Anzahl der äusseren Punkte =E; die Anzahl \.

MisceiUn. 119

der ioneren =•/; da im Allgemeinen die Inneren Vielecke aus
Dreiecken» Vierecken etc. TtEcken bestehen , so sei die Summe
aller dieser Dreiecke, Vierecke etc. TtEcke beziehlich F*, F*,.... F*.
Die Summe aller Winkel dieser Innern Vielecke ist bekanntlich
aasgedruckt durch:

2Ä.(F3+2F4+3F»+.... («~2)F«);

dieselbe Summe kann aber, wie man sich selbst ohne viele Mühe
fiberzeugen kann, auch dargestellt werden durch den Ausdruck:

(£— 2).2Ä + J.4Ä;
es Ist also:

(£:-2).2Ä+J.4i?=2Ä.(FH2F* + 3F« + ....+(ii— 2)F»)

oder

(1) £;-2+2J=FH2F* + 3Fö + .... + («-2)fV

Bezeichnen för den zweiten Polyedertheil J' und Fj^ Fj*, Fj *,....
....Fl» beziehlich dasselbe, was J und F», F*, F«,....F» für den
ersten, so gilt auch für diesen die Gleichung:

(2) £-2 + 2J' = Fi3 + 2F,4+3Fi^+.... + (n~2)Fi«.
Addirt man die Gleichungen (I) und (2), so erhält man als Resultat:

2(£; + J+J')-4 = F3+Fj3+2(F*+F,4) + .... + (w-2)(F»+Fi»).

Nun ist aber, wie sogleich erhellt, durch E -\- J ■}- J' die
AnzahlderEcken des Polyeders, durch F^^F^^, FH^i*. • • ^"+^i''
beziehlich die Anzahl der Dreiecke, V'ierecke, ....TiCcke ausge-
druckt, aus denen die Oberfläche des Polyeders besteht. Bezeich-
nen wir demnach die Summe der Ecken eines Polyeders durch £,
die Suromen der Dreiecke, Vierecke, ....72Ecke, welche die Ober-
fläche des Polyeders in sich beschliesst, durch F^, F*, ....F*,
80 gilt die Relation:

(3) 2(F— .>) = ^^+2F* + 3F5+.... + (n— 2)Fn.

Zu dieser Relation s^elangt man — im Vorübergehen sei es
bemerkt — auch dadurch, wenn man innerhalb der Polyederober-
flScbe einen Punkt uls Mittelpunkt einer Kugel so annimmt, dass
ihre Oberfläche entweder ganz innerhalb oder ganz ausserhalb der
Oberfläche des Polyeders fallt. Durch alle Ecken des Polyeders
gezogene Radien der Kugel werden auf ihrer Oberfläche ein System
TOD sphärischen Vielecken bezeichnen. Der Inhalt eines jeden
sphärischen Vieleckes ist aber durch seine Winkel gegeben; die
Somme der Inhalte aller dieser sphärischen Vielecke Ist aber der

116 Miscellen.

Oberfläche der Kng^l gleich , und eben aus dieser Gleichung re*
snltirt die Gleichung (3), was Jeder selbst leicht weiter ausfüh-
ren kann.

Die Gleichung (3) lässt aber noch eine wichtige Umformung zo.

Denkt man sich nämlich die einzelnen Vielecke der Oberfläche
des Polyeders abgesondert von den übrigen , so wird durch den
Ausdruck:

die Anzahl aller Seiten dieser Vielecke bestimmt, jedoch, wie
schon bemerkt, nur unter der obigen Voraussetzung. Sind nun
diese Vielecke auf der Oberfläche des Polyeders so zu einander \
verbunden y dass zwei Vielecke immer eine Kante gemeinscbafl-
lich haben, so ist, wenn K die Anzahl der Kanten des Polyeders "
bezeichnet, offenbar: '^

(4) 3F» + 4F* + 5F« + ....+«F*=2^.

Verbindet man nun die Gleichungen (3) und (4), so erhält man: m

(5) 2(£— 2) =2/r~2(F3 + F* + F« + .... + F«). T

Die Summe F^ ^^ F"^^ F^^^ .,., ^ F^ drückt aber nichts ande- ;
res aus, als die Anzahl der Flächen des Polyeders; bezeichnet ]
man diese schlechtweg durch F, so geht die Gleichung (5) über L
in die Gleichung: -^

2(£;-2) = 2Ä— 2F 5"

oder 1

(6) £: + F=Ä + 2,

i. q. e. d.

\
I

V.

üeber den Satz von der Gleichheit der Pyramiden.

Es ist mir gelungen, den Gerwien' sehen Beweis der Gleich-
heit der Dreiecke auch auf die dreiseitigen Pyramiden auszudeh- '
nen, und ich glaube, den Lesern des Archivs keinen unangenehmen
Dienst zu erweisen, wenn ich davon Mittheilung mache.

Indem O, A, B, C die Ecken einer dreiseitigen Pyramide
vorstellen, seien die Mitten der sechs FCanten OA, OB, OCt
AB, AC, BC bezieblich MK M^, üf 3, M^, Jf «, M^. Legt man
dcirch je drei dieser Mitten, nämlich durch M\ m, iH»; M^, M\ M^\
M*, M«, ]U^; M^, il#A, M^ Ebenen, so ist ohne viele Mühe

Miscelie», 1 17

idar, das« dadurch 4 congniente dreiseitige Pyramiden : OM^M^M\
M^AM^M^ JU^BM^M^, M^CM^M^ entstehen. Nimmt man in
Gedanken diese 4 Pyramiden von der ursprünglichen weg, so
bleibt ein Achtflächner übrig« ivelcher aus zwei symmetrisch Jie-
geoden vierseitigen Pyramiden besteht. Diese beiden Pyramiden
sind in dem durch die Punkte ]i§^, M^, M^, M^ bestimmten Pa-
rallelogramm als ihrer gemeinschaftlichen Grundfläche einander
aufgesetzt, und haben ihre Spitzen in M^ und M^. Legt man

Inun durch die Punkte O, C und A§^ ebenfalls eine Ebene, so
tbeilt diese die Dreiecke ABC und M^M^M^ durch die Schnitt-
fimen CM"^ und M^M^ (wo M'^ die Mitte von M^M^ bezeichnet)
fai gleiche Hälften. Die nämliche Schnittebene theilt ferner auch
den in Rede stehenden Achtflächner in zwei symmetrisch liegende
Stocke. Nun kann man bekanntlich symmetrische Stücke in con-
gmente zerlegen, und sonach ist klar, dass die beiden Pyrami-
den OACM^ und OBCM^ in congruente Stücke zerlegt werden
können, wenn das Nämliche auch von den Pyramiden gilt, in
welche durch die Schnittebene OCM^ die beiden Pyramiden
OM^M^M^ und M^CM^M^ getheilt werden. Wir sind sofort
gedrungen, den im Vorigen bei der Pyramide OABC angewen-
deten Prozess auch auf die beiden letztern Pyramiden auszudeh-
oeo, und ihn in's Unendliche fortzusetzen. Geht man dann zu
den Gränzen über, so gelangt man zur Ueberzeugung, dass die
beiden Pyramiden OACIU^ und OBCM^ durch die Scbnittebene
OCM^ in zwei inhaltsgleiche Thoile getheilt werden, indem sie
sich als die Gränzsummen unendlich vieler congruenter Pyramiden
darstellen lassen.

Diesen Satz vorausgesetzt, lässt sich nun der allgemeinere,
dass Pyramiden von gleichen Grundflächen und gleichen Hohen
infaaltsgleich seien, leicht beweisen. Nach der Gerwien 'sehen
Beweisführung lassen sich nämlich die gleichen Grundflächen in
congruente Stücke zerlegen. Hat man also zwei dreiseitige Pyra-
miden von congruenten Grundflächen und gleichen Hohen, so
setze man sie in ihren Grundflächen auf einander und verbinde
ihre Spitzen durch eine Gerade, wodurch dann der vorige Satz
zar Anwendung kömmt, wobei ich mich jedoch nicht aufhalten will,
da die ganze Beweisführung der Gerwien'schen ganz analog ist.

Man ist gewöhnlich der Ansicht, dass der Gerwien'sche
Beweis keine Ausdehnung auf den Baum zulasse; das Vorste-
hende durfte vom Gegentheile zeugen. Dass aber die Anzahl der
congruenten Stücke keine begränzte ist und die Gränzmethode
nicht umgangen werden kann, liegt in der Natur des Raumes,
worüber ich mich ein anderes Mal weiter auszulassen gesonnen bin.

118 Miscellen.

Von dem Herautgeber.

Jacob Bernoullitheilt (Opera. Tom. II. p. 700. Nr. XXIV.)
in dem Aufsatze:

Analysis et Construetio Problematis Hugeniani:
E puncto dato rectam educere quae datae Parabolae
ad rectos anguios occurrat

eine Construction der Normalen einer Parabel ^ die von einem
gegebenen y nicht in, sondern innerhalb oder ausserhalb der Pa-
rabel liegenden Punkte ausgehen, mit, welche ich für sehr be*
merkenswerth halte, die aber nicht sehr bekannt zu sein scheint.
Jacob Bernoulli sagt Ton dieser Construction: „Cum ooo
constet, utrum Problematis hujus construetio et de-
monstratio Hugeniana aliquando lucem viderit, nee si
vidit, omnium manibus teratur; idcirco lubet hie expo-
nere, qualiter existimemus illam a subtilissimo Viro
olim concinnatam fuisse. *' Die Liebhaber der Geometrie der
Alten wissen, wie eifrig sich Apollonius in seinem aus 77
Sätzen bestehenden fünften Buche mit der Construction der Nor*
malen der Kegelschnitte, die durch gegebene, nicht in den Kegel-
schnitten liegende Punkte gehen, beschäftigt, insbesondere über
die Anzahl der in jedem Falle möglichen Normalen eine Unte^
suchung, die jedenfalls zu den feinsten' Untersuchungen der alten
Geometrie überhaupt gehiirt und den grössten geometrischen Scharf-
sinn ihres Urhebers verräth , angestellt hat. Dass aber Apollonius
die Normalen selbst zu construiren gelehrt habe, glaube ich nach den
mir vorliegenden Notizen nicht, kann indess darüber jetzt nicht
mit aller Bestimmtheit entscheiden, da mir in diesem Augenblicke
nur die vier ersten, in der Ursprache vorhandenen Bücher in der
üebersetzung von Barrow, nicht aber auch die vier letzten nur
in arabischer üebersetzung, in der jedoch das achte fehlt, vor-
handenen Bücher zu Gebote stehen. Jedenfalls ist die Construction
für die Parabel von Huygens, welche Jacob Bernoulli a.a.O.
mittheilt, sehr benierkenswerth, und da sie mir nur sehr wenig
bekannt zu sein scheint, so will ich sie im Folgenden in der Kürze
entwickeln und mit einem Beweise versehen , um dadurch viel-
leicht dem einen oder dem andern Leser Veranlassung zu geben,
diesem beachtenswerthen Gegenstande seine weitere Aufmerksam-
keit zuzuwenden, wobei ich auch an die schöne Abhandlung voo
Herrn Gerono im Archiv. Tbl. VI. S. 127. Nr. XX. erinnere.

In Taf. II. Fig. 26. sei PAQ eine Parabel, deren Scheitel und
Axe A und AB sind ; den Parameter wollen wir durch p bezeich-
nen. Der gegebene Punkt, durch welchen oder von welchem aus
Normalen an die Parabel gezogen werden sollen, sei M. Die von
Huygens gegebene Construction dieser Normalen ist nun folgende.

Von dem gegebenen Punkte M fälle man auf die Axe der
Parabel das Perpendikel MN^ mache NC gleich dem halben Pa-
ranieter der Parabel, halbire AC in D, errichte in D auf AC ein
dem vierten Theile von MN gleiches Perpendikel DE^ ziehe EA
oder EC, und beschreibe aus E als Mittelpunkt mit EA oder EC
als Halbmesser einen Kreis, welcher die Parabel, ausser natürlich
in Ay noch in den drei Punkten F, Fj, F^ schneiden mag. Zieht

I

mBceiien. \ 19

mao dann von F, Fi » F^ aus nach dem gegebenen Punkte M gerade
Linien« so sind diese Linien die gesuchten Normalen der Parabel.

Die Richtigkeit dieser bemerkenswerthen Construction kann
aof folgende Art bewiesen werden, wobei wir nur den Punkt F
betrachten wollen, da sich dann die Punkte F^ und F^ in ganz
ähnlicher Weise betrachten lassen.

Den Parameter der gegebenen Parabel haben wir schon durch
p bezeichnet; als gegebene Linie setze man ferner AN^=a,
MN^zb, so ist nach der Construction

flrC=4p, AC-a + lp, DE—\b; AD=CD=ia + lp.

Also ist das Quadrat des Halbmessers des beschriebenen Kreises

AE^=aa + lp)^+j\b^.

Setzen wir nun Aff^zx, FH=zy und fallen noch von E auf FH
das Perpendikel EK, so erhellet auf der Stelle die Richtigkeit
der folgenden Gleichung:

(AH - AD)^ + (FH- DE)^ = EF^= AE^,

also nach dem Vorhergehenden:

welche» wenn man nach gehöriger Entwickelung der Quadrate
aotbebt, was sich aufheben lässt, leicht auf die folgende einfachere
Form gebracht wird:

Wegen der Natur der Parabel ist aber:

Fm=p.AH, y^ = pa:, a: = ^-;

folglich 9 wenn man diesen letzteren Ausdruck von x in die vor-
stehende Gleichung einführt:

woraus sich nach einigen leichten Reductionen die Gleichung

y^''P(a-'ip)y—kf^p^=0
ergiebt. Setzen wir nun HG^=u, so ist

NG-AH + HG-^AN^x+u^a,
und folglich« weil FUiMN^HGiNG ist:

also

190 Miscellen.

oder

y^ — pifl ~- ^)y — Apw =0.

Wir haben also jetzt die zsve\ folgenden Gleicbangen :

y9^p(a — u)y — 6ptt=5 0.
Zieht man die zweite Gleichung von der ersten ab> so erhält im

oder ,

py (u— ip) —pb (u — Jp) =0,
also

P(y—b)(u—ip) = 0;

folglich, insofern nicht y=b oder ^r— 6=0 ist:

ti — 4/?=0, also u=^lp; ,-

d. I. IiG = ip> Weil nun nach einer bekannten, auch sehr lel
ganz elementar zu beweisenden Eigenschaft der Parabel die Si
normale immer dem halben Parameter gleich ist, so steht die '"
" F aus nach M gezogene Linie FN in F senkrecht auf der 1
bei oder ist die Normale derselben in dem Punkte F, wie
wiesen werden sollte.

Es ist klar, dass es bei dieser Aufgabe eigentlich aufdieCdl
struction der Wurzeln einer cubischen Gleichung ankommt, 1
welcher Beziehung, offenbar mit Rücksicht darauf^ dass dazu b^
kanntlich hauptsächlich und zunächst die Kegelschnitte diendj
Huygens nach Jacob Bernoulli's Worten die folgende beali
tenswerthe Bemerkung macht: „Quae aequatio cum ad pdllt
ciores dimensiones deprimi non possit (quod hie abl
que ulteriori tentamine ex Regulis Hudden* 12 et f
colligitur) indicat Problema solidum existere. At qmM
in qnaestionis datis ipsa Jain Parabola inclnditur. Um
medtante» construc^io solis rectis linei« et circulo att
solvi lioc jnodo:^' wo nun die obige Constructiou selbst foQ

Druckfehler.

Im Literarischen Berichte \C. Theil XXIII. S. 10. Z. 15. ▼. u. ttiS

,,Schonlein*^ s. ni. ,, Schönbein/'

Theil Will. S. 387. Z. 5. t. n. staU „A'' setze man „A^*',
Theil Will. S. 423. Z. 1. v. o. statt „bestimmen*' s. ra. „eal

halten.*' **«

p

imert^^rehlff.

• I

/ «

Tafi.

^rcki'p.

1

5:-

"lii

i.-r ■

1

- .1

, ■ IS.

':■:(;:."■
!;::.;Si:.

■■■■ .'•:■. I

:]Mlj n

.1 '

Grüner t: Neue, öei§eaddi. Me$nin§en ^le. an%tiwend: Methode. 131

Üeber eine neue bei der Ausfuhmng höherer geodäti-
scher MessuDgen und Rechnungen in Anwendung zubrin-
gende Methode.

Von

dem Herausgeber.

Einleitung.

In der Geodäsie kann man von drei verschiedenen Voraus-
setzungen über die Gestalt des Erdkorpers ausgehen. Entweder
kann man die Oberfläche desselben, worunter wir als die eigent-
liche, von allen Unebenheiten, allen Erhöhungen und Vertiefungen
freie Erdoberfläche immer die Meeresfläche verstehen, als eine
Ebene, als eine Kugeifläche oder als die Oberfläche eines durch
Umdrehung einer Ellipse um ihre kleine Axe entstandenen Sphä-
Toids betrachten. Unter der ersten Voraussetzung sind alle Nor-
malen der Erdoberfläche einander parallel und ihr gemeinschaft-
licher Durchschnittspunkt liegt, so zu sagen, im Unendlichen;
unter der zweiten Voraussetzung laufen alle Normalen im Mittel-
punkte der Erde zusammen und coincidiren mit den entsprechen?
den Erdhalbmessern; unter der dritten Voraussetzung schneiden
sich nicht alle Normalen im Mittelpunkte der Erde und coincidiren
also auch nicht mit den entsprechenden Erdhalbmessern. Man
konnte, jenachdem man die erste, zweite oder dritte Voraussetzung
zu Grande legt, drei entsprechende Theile der Geodäi:ie von ein-
ander unterscheiden, und dieselben beziehungsweise mit den Namen
der ebenen, sphärischen und sphäroidischen Geodäsie belegen.

Bei dem gegenwärtigen Stande unserer Kenntnisse von der
Gestalt des Erdkörpers dürfen die beiden ersten Voraussetxungen

TheU XXIV. 9

.ISS Cfitweri: Kwm, Ui fimMihrkim

■sr ab fiiberongsweise richtif^e Annabmen betrachtet wenb^*
desto roebr absolute Richtigkeit besitzen, je kleiner die tsi
traebtong kommenden Tbeile der Oberfläche der Erde im Veü
otss zur ^nzen Erdoberfläche sind; mit vrdliger geometritf
Schärfe richtig ist nur die dritte Voranssrtzong, so weit idtai
wie schon erinnert» nnfere jetzigen Kenntnisse ron der Ge
der Erdoberfläche reichen, die ans bis jetzt wenigstens nodii
berechtigen , eine Abweichung derselben von der Oblrfliche <
dorch Umdrehung einer Ellipse um ihre kleine Axe entstand
Sphäroids anzunehmen, wenn aadi allerdings Andeutungen \
solchen Ab%%'eichung hin und niedei' berrorgetreten za sein s
■en. Wir werden daher aoch in dieser Abhandlung« die i
mit den beiden ersten Theilen der Geodäsie, welche als li
folktändig erledigt und zum Abschlnss gebracht betrachtet
den können, sondern nar mit deren drittem Tbeile sich si
schäftigen beabsichtigt, immer von der geometrischen To
Setzung ausgeben, dass die Oberfläche der Erde durch Umdre
einer Ellipse um ihre kleine Axe entstanden sei. Wir sprc
diese Voraussetzung hier um so bestimmter und entschied
ans, weil die vorliegende Abhandlung auch in mehreren Pol
eine kritische Beleuchtung der in der sogenannten höheren
däsie jetzt grusstentheils fiblichen Verfahmngsarten , nnd die
gäbe neuer, dieselben vertretenden Messnngs- und Rechm
Methoden beabsichtigt, welche, geometrische Genauigkeit
Schärfe in allen Beziehungen erstrebend, naturlich und vor
Dingen auch von einer klar ausgesprochenen bestimmten ge
trischen Grundlage ausgehen müssen.

Alle Blessunsren, welche bei geodätischen Operationen
gef&hrt werden, sind entweder Winkelmessungen oder Linien
sungen« und die ersteren werden bei dem gegenwärtigen Sti
der Sache wieder entweder in Horizontalebenen oder in Verl
ebenen ans^j^eführt. Wir wollen einmal die Messung eines 1
tontalwinkels etuns genauer befrachten. Zu dem Ende «
A9 Bt C drei belieliige Punkte auf der Erde in beliebigen Hi
oder Tiefen liber oder unter der Meeresfläche als der eigenflic
ton allen Unebenheiten, allen Erhöhungen und Vertiefungen fi
Erdoberfläche. Soll nun der an dem Punkte A als seiner S|
Regende Horiznntahvinkel zwischen den drei Punkten A, Jß
gemessen werden, so wird nach dem gewühnlichen Verfahren
Theodolit fiber dem Punkte A so aufgestellt, doss sein Mi
pnnkt in der dem Punkte A entsprechenden Normale des
sphäroids liegt; hierauf wird die Ebene des Theodoliten in
ieoa» horizontale Lage gebracht, d. h. gegen die dem Punkt
•nlsprecbanda Normals d«9 Erdspbärsids genant senkrecht gesi

• Bit dem Fenirahre des TheodoUlea nach dem pHokl« B»
I ifcb nach dem Punkte C vUiirt, nnd endlich auf den

■bn An UAnzontsl kreis es des Theodoliten der van den horl»
II Projectioaen der VisirVinie des Fernrohrs in seinen bei*

> LigfD eingeschlossene Winkel, «eichen wir durch BA'Cf.

iclinen wollen, abgelesen, worauf die Winkelmessnng, inci»-
s »icfi bloss vni dis Uessuni; de« betreffenden Uorixontal-
li bandelt, snf dem Punkte A beendigt ist.

Fragen wir nun, ob der gemessene Winkel B'A'C «ich als
anf, in oder an der Erde vorkommender Wiukel in einem ein-
aber völlig bestimmten und deutlichen Begriffe naehneisen
io übersehen vt'a auf der Stelle, dass dieser Nacbirei«,
in man, nbgeriFhen von dem Falle der gewöhnlichen Fcldmess-
Bö die Oderfläche der Erde als eine Ebene betrachtet
die Erdolierfläche als eine Kugelfl&che betrachtet, sogleich
Uerden kann, indem in diesem Falle der Winkel B'A'C
Tenbar der Winkel ist, unter ivelchem , (renn vrir den Mittelpunkt
iti Erde hier und im Folgenden immer durch O bezeichnen, die
Mileii durch A, 0, B und A, O, C gelegten Ebenen AOB und
j!OC, die in dem Erdhalbmesser OA sich schneiden, gegen ein-
nif er geneigt sind; auch sieht man, d.iss es nnter VoraussetEnng
in Imgeirürmigen Erde in Bezug auf die Grösse des Winkel»
S'A'C ganz gleichgllllig ist, in welcher Hohe oder TieFe die
hnkle A, B, C über oder unter der MeeresflSche liegen, wenn
^^tfardie La^^e der Erdhdbmesser, in denen diese Punkte liegen,
^^Töiiie Veränderung erleidet. Betrachten wir aber die Meercnfläcbe
Jala die Oberfläche eines durch Umdrefanng einer Ellipse um ihre
j Heine Axe entstandenen Sphäroids, so wfisste ich in der That
J ideht, nie ich in gleich einfacher und bestimmter Welse auf, in
' tder an der Erde einen dem durch das oben angegebene Verfah-
iaa gemessenen Winkel l^A'C gleichen, durch diesen Winkd
gdvissermussen vertretenen Winkel angeben sollte, trobei zugleich
»DCh auf der Steile in die Augen lailt, dass der gemessene Win-
td in diesem Falle nicht mehr von der Hübe oder Tiefe der
Pnnkte A, B , C tiber oder unter der MeeresflSche unabhitngig
bt, sondern anders ausfallen wird, wenn diese Höhen nder Tl»
fcD sich ändern, selbst dann, wenn die Normalen des Erdsphlroida,
hl denen jene Puikte liegen, keine Aenderung erleiden, was da*
Iwr kommt, da^s die Normalen des Erdsphäroida nicht sammtlicb
te dessen Mittelpunkte susammenstossen.

Die Torher bMchriebene, in der GeodXsie jetzt allgemdo g»-
brinchlichfl Art der Winkelmessung in der Horizon talebene bat
wohl jedenfalls ibren Grund in dem Zwecka, dessen Erreicbuiifl

\

IS4 Crmmeri: Keme^ M gemääUwekem

kMier ab 4m aidMte Ziel aller geoditiacbcB
Rcehoangeo bezeichnet irerden kaon. Deakt saa aidi b^
doreb alle Punkte aof der Erde Normalen den ErdapbiroidB
gen, ao werden die Fasapnnkte dieser Nomuücn, d. Ik ^
Dnrcbacbnittapnnkte mit der Meereeflicbe, auf der letalCN^
Art von Netz bilden, und die Beatimmoag der gcgeaaeitigea i
der Punkte dieaea Netzen darf wohl ala der nSchate and <
Zweck aller bisherigen geodätischen Meaanngen md Becham
bezeichnet werden, wenn auch ausserdem allerdinga noch dia
atimmong der verschiedenen Hohen oder Tiefen der entsprec
den Punkte auf der Erde über oder unter der Heerealäche
besondere Aufgabe geodätischer Operationen anamacht.

Die %o eben angegebene Auffassung der nächsten Aufgabe
höheren Geodäsie, die eigentlich wohl ursprünglich Ton der Kl
form der Erde heigenommen und von dieser auf das Erdaphi
fibertragen worden ist, wobei wohl auch immer die Berfidksi
gung mit maassgebend war, dass man kleine Theile der Erde
fläche näherungsweise als Theile einer Kugelfläche betrae
könne, ist nach meiner Meinung auch die Veranlasanng zur
filhrung der sogenannten geodätischen oder kürzesten Liniea
einer nicht geringen Anzahl verschiedenartiger, dem grtai
Theile nach den höchsten Partieen der Mathematik angehOre
Rechnungsmethoden in die Geodäsie gewesen, wodurch das
dium dieser so ungemein wichtigen Wissenschaft g^enw>
ziemlich schwierig gemacht, das erstrebte Ziel aber doch in
nur annähernd erreicht wird, was aber nach meiner Meinung i
seinen hauptsächlichsten, eigentlichen und letzten Grund ha
dem Mangel eines einfachen, mit vollständiger Klarheit und.
stimmtheit leicht darlegbaren Princips, dessen consequente De
f&hrung die sphäroidische Geodäsie sich zur Aufgabe macht, wel
Mangel, wie es mir scheint, am Deutlichsten und Einfach
nachgewiesen wird durch die vorher besprochene voll ige Ui
stimmtheit des mit dem in einer Horizontalebene gern esse
Winkel B'A'C zu verbindenden strengen geometrischen Begi
diesen Winkel aufgefasst als ein auf, in oder an dem ErdsphS
sich findendes und leicht nachweisbares Object, wobei ich i
jetzt nicht einlasse auf leicht vorher zu sehende Einwurfe g(
diese Ansicht, hergenommen von der sehr geringen Abweicli
der Gestalt der Erde von der Kugelgestalt, und deshalb znll
gen Näherungen, indem ich mich, wie schon öfter erinnert,
allen diesen Betrachtungen durchaus nur von ganz strengen {
metrischen Anschauungen und Auffassungen leiten lasse, die d
am Ende immer am Sichersten und auch am Einfachsten das
strebte Ziel erreichen lassen.

9md Reckmmgen rnntuwendefule Methode.

ISS

rs Rp'litdb will ich mir In methodischer Rficksicht noch la bo-
ginrkfD tirhnbeD« wie es mir Oberhaupt einer guten Methode wenig
eitip^ecbeo scheint^ dass man die Messungen und Rechnun-
1er sphäroidischen Geodäsie so angeordnet hat» dass man
den tpeciellen Fall der spbSrischen Erdoberfläche oder der
'ben Geodäsie zu Grunde legte, und die in diesem Falle
iBirilBgs in aller Strenge gültigen und anwendbaren Methoden
Itf Im illgemeineren Fall der ellipsoidischen Erdoberfläche über«
Wt%^ hdem man letztere» namentlich in, verhältnissmässig zur
Erdoberfläche, kleineren Theilen, nähern ngs weise als eine
e zu betrachten, sich fOr berechtigt hielt. Nach meiner
IMffliRg mflsste man vielmehr gerade umgekehrt alle Messungen
ufgakSiB' Rtcbnmigen so .anordnen, dass dieselben fOr den allgemein-

EtOBI

tigai

Dl4

FiH der ellipsoidischen Erdoberfläche in völliger Strenge
lluir sind, und dass sich von denselben, indem man einigen
den Grossen gewisse bestimmte oder specielle Werthe
, anmittelbar In aller Strenge zu dem specielleren Falle der
en Erdoberfläche, von diesem Falle aber wieder in ahn-
zu dem noch specielleren Falle der ebenen Erdober-
tbergeben lässt, so dass also diese beiden letzteren Fälle
dem ersten allgemeinsten Falle subsumirt und demselben
net werden. Nur dieser letztere Weg scheint mir einer
[■Maft guten und richtigen Methode zu entsprechen. Vielleicht
■an mir dies in theoretischer Rücksicht zu, zieht sich
ngleichy wie oft in Fällen dieser Art geschieht, hinter das
lg Ja IMverk der Praxis zurück, indem man, nach einer bei derglei-
M^i^ IKogen sehr gewohnlichen Redeweise, zu bemerken beliebt;
'fv^* T** ^^ erstere Verfahren praktischer sei. Wenn ich nun
"*^ auch nicht im Entferntesten den praktischen Gesichtspunkt
^'^^za und ganz zu verwerfen geneigt bin, so mochte ich doch

•laii
das

«Mk

Auf der anderen Seite die Ansicht festhalten, dass man.

Tt* *lch Mittel angeben lassen, die es möglich machen , auch in

^•WiBelier Rücksicht den, den strengsten theoretischen Anfor-

^wgg'^^ entsprechenden Weg mit hinreichender Leichtigkeit zu

^TjI^vi, die seihst in mehreren Beziehungen den früher zu ver-

^y^° S^^olinten Weg weit mehr ebenen, sich wohl eotschliesseu

^^*^ a diesen früheren Weg einstweilig zu verlassen und wenig-

M

i. , ^ «rsnehsweise die neu angelegte Strasse zu betreten. Frei«

^^ Bii% die neuere Zeit hinreichend gezeigt und zeigt es leider

*••* ^mmer, wie schwer es gerade in der Mathematik, ja

^"••otidere In ihrem am Meisten theoretischen Theile, der so-

{jeavnviteo höheren Analysis, hält, dass neue, bessere und stren-

{jtsre nietboden sich allgemein Bahn brechen und das alte bröck-

v^» mit Sprüngen und Rissen allerwärts nur zu sehr verunzieret

• I

1

1 s.

-^

128 Gruntrt: Neue, bei geodäüMchen Musungen

chenden Grossen zu setzen haben würde» was bloss einige spe* t
cielle, einer besonderen Schwierigkeit wohl in keinem Falle ss- ^
terliegende Untersuchungen über diese FlScbe mit Hflife dir ^
bekannten allgemeinen Formeln der analytischen Geometrie nSthf ta
machen, würde. vi

Von der Meeresfläche unterscheiden wir von nun an die Erd- '
ob er n «Hebe im eigentlichen Sinne» welcher wir eine regelmfissig^ '
auf ein bestimmtes geometrisches Entstehungsgesetz zurflckfllll^
bare Gestalt nicht beilegen» deren Punkte also in verschiedenei !
Hüben oder Tiefen über oder unter der Meeresfläche liegen kSmiN. '„

Der Mittelpunkt der Erde» den wir im Folgenden Biet» mÜ^ft^-^
bezeichnen wollen, ist einerlei mit dem Mittelpunkte der EllipNy f
durch deren Umdrehung um ihre kleine Axe die Meeresflllchl!^^
entstanden gedacht wird. ' ^-

Die kleine Axe der durch Umdrehung um diese Axe die Hei^J
resfläche» oder vielmehr das von derselben umschlossene Ellipsdik.M
erzeugenden Ellipse nennen wir die Erdaxe» und die auf d»i«|: ^
ben im Mittelpunkte der Erde senkrecht stehende Ebene» od^'p
auch der Kreis» in weichem von dieser Ebene die Meeresflickl ^-
geschnitten wird» heisst der Erdäquator. ) \

Von de^ Ebene des Erdäquators wird der unendliche Rain| |l
in zwei Theile getheilt» welche wir die beiden Seiten des Erdf ;>
äq'uators', und zwar die eine dessen positive» die andere dessen "
negative Seite nennen wollen» wobei es an sich ganz willküht- «
lieh ist, welche Seite wir als die positive und welche wir als die
negative annehmen» indem nur» wenn einmal in dieser Beziehung
ein Beschluss gefasst worden ist» die getroffene Bestimmung auch
im ganzen Laufe der Untersuchung stets festgehalten werden muss.

Die beiden Durchschnittspunkte der Erdaxe mit der Meeres-
fläche heissen die Erd pole» welche füglich der positive und
negative Pol genannt werden können» jenachdem sie auf der
positiven oder negativen Seite des Erdäquators liegen» und der
letztere theiit die Meeresfläche in zwei Hälften» welche wir die
positive und negative Hälfte nennen wollen» jenachdem sie
respecüve den positiven oder negativen Erdpoi enthalten.

Lassen wir von der Erdaxe eine Ebene ausgehen» welche in*
gleich durch einen bestimmten Punkt der Erdoberfläche geht» so
wird diese Ebene oder auch die halbe Ellipse» in welcher von der*
selben die Meeresfläche geschnitten wird» der Meridian des ib
Rede. stehenden Punktes auf der Erdoberfläche genannt.

Mä Reeknun^en anzuwendende Metkode. |99

Ziehmi wir von dem Mittelpunkte der Erde nach einem belie*
Ugen Pankte auf der Erdoberfläche eine gerade Linie, so heisst
der 90^ nicht übersteigende Winkel, unter welchem diese Linie
gepsen die Ebene des Erdftquators geneigt ist, indem man diesen
Winkel, jenachdem der in Rede stehende Punkt auf der positiven
oder negativen Seite des ErdSquators liegt, als positiv oder als
Mgativ betrachtet, die Breite des in Rede stehenden Punktes
nf der Erdoberfläche; der 90^ nicht öbersteigende Winkel aber,
mter welchem das von diesem Punkte auf die, der Seite des Aeqaa*
tHrs, auf welcher der Punkt liegt, entsprechende Hälfte der Mee-
reefläche gelallte Perpendikel, — die Normale des in Rede stehen-
den Punktes auf der Erdoberfläche, — indem man diesen Winkel
wieder als positiv oder als negativ betrachtet, jenachdem der
betreffende Punkt der Erdoberfläche auf der positiven oder nega-
tiven Seite des Erdäquators liegt, gegen die Ebene des Erdäqua-
tors geneigt ist, soll im Folgenden stets die Poihuhe des in
■ede stehenden Punktes der Erdoberfläche genannt werden. Der
diesem Punkte der Erdoberfläche entsprechende Erdhalbmesser
Ihidlich soll gemessen oder bestimmt werden durch die Entfernung
des Punktes, in welchem die von dem Mittelpunkte der Erde nach
dem in Rede stehenden Punkte der Erdoberfläche gezogene gerade
'Unie die Meeresfläche schneidet, von dem Mittelpunkte der Erde.

Wenn a den Halbmesser des Aequators, b die halbe Erdaze

bezeichnet, so wird der Bruch oder das Verhäitniss die

a

Abplattung der Erde genannt.

§.2.

Dm den Mittelpunkt der Erde denken wir uns nun mit belie-
gern Halbmesser, der indess grösserer Einfachheit wegen der
Längeneinheit gleich gesetzt werden mag, eine Kugelfläche be-
schrieben, welche wir im Folgenden die Projections-Kugel-
fläcbe nennen wollen.

Ziehen wir dann von dem Mittelpunkte der Erde aus nach
allen Punkten der Erdoberfläche gerade Linien, so werden diese
geraden Linien sämmtlich die Projections-Kugelfläche in gewissen
Pnnkten schneiden, welche wir im Folgenden die Projectionen
der entsprechenden Punkte der Erdoberfläche auf der Projections-
Kngelfläche nennen wollen.

Denken wir uns nun ferner diese Projectionen der Punkte
der Erdoberfläche auf der Projections-Kugelfläche sämmtlich durch

190 Grun$ri: Neue, bei geodäüMcken Me9nm§en

Bogen grösster Kreise der letzteren anter einander verliandeB» ,
so wird auf der Projections« Kugelfläche ein Netz entetehen, wnie>
ches wir das Projections-Kugelnetz der Erdoberfläche od«r |
eines bestimmten Theils derselben nennen wollen; and die Be- j
Stimmung der gegenseitigen Lage der Punkte diese! ,
Projections*Kugeinetzes betrachten und bezeichota '
wir hier als die erste und nächste Aufgabe, als 4ea ^
ersten und nächsten Zweck aller geodätischeo Maas« '
und Rechnungs-Operationen.

§. 3.

Alle das Projections- Kugelnetz bildenden einzelnen Theib %
desselben sind auf der Projections- Kugelfläche liegende sphärisch!
Dreiecke» und da nun bekanntlich ein sphärisches Dreieck diirdl £=
seine drei Winkel vollkommen bestimmt wird, so wird e8,',a^ \
die gegenseitige Lage aller Punkte des Projections-Kogelneti^ r
bestimmen zu kiinnen, zunächst lediglich darauf ankommen, di| ^
sämmtlichen Winkel der das Projections - Kugelnetz biidendü -
sphärischen Dreiecke mit einem geeigneten Instrumente» W99| r
wir im Folgenden stets den Theodoliten wählen wollen» zu map{ f
sen; und da gerade diese Winkelmessung das Hauptmoment d«r ^
neuen Methode geodätischer Messungen und Rechnungen» welche p
wir hier darzulegen beabsichtigen» ausmacht, so wollen wir jetzt ■
zunächst die Art dieser Winkelmessung, insbesondere auch das s
dabei nach unserer Meinung am besten zu befolgende praktische a
Verfahren, so wie die Behufs der Ausführung dieses Verfahrens i
dem Theodoliten zu gebenden besonderen Einrichtungen» im fol- =
genden Paragraphen mit aller uns möglichen Deutlichkeit ans i
einander zu setzen und zu beschreiben suchen. :

%. 4.

Es seien Ay Au A^ drei beliebige Punkte auf der Erdober-
fläche und A' , Ai', A2' deren Projectionen auf der Projections*
Kugelfläche» welche die Spitzen des auf der Projections-Kugelflleba
liegenden sphärischen Dreiecks A'Ai'A^' sind» dessen Winkel
wir, wie gewohnlich in der sphärischen Trigonometrie» bloss dafd
die Buchstaben A' , Ai , A2 bezeichnen werden.

Um nun den Winkel A' zu messen, stelle man den Theodo-
Kten so auf» dass sein Mittelpunkt mit dem Punkte A auf der
Erdeberfläche so genau als möglich zusammenfallt; und wenn

ntf XeckmwHfm mmumendende Meik§4U. 131

■ieM Mit absoluter Genauigkeit mugiicfa war, wird man iamer
itn Miltelpankt des Theodoliten selbst als den Punkt A va be-
trachten und alle Messungen und Rechnungen auf denselben au
beaieben haben.

KSnnte man nun ferner der Ebene des Limbus des Theodo*
fiten eine solche Lage geben, dieselbe so um den Mittelpunkt des Theo*
doliten drehen, dass diese Ebene auf der von dem Mittelpunkte O
der Erde nach dem Punkte A auf der Erdoberfläche gezogenen
geraden Linie OA genau senkrecht stände, so wflrde es offenbar
sehr leicht sein, den Winkel A' mit aller erforderlichen Genauig-
keit zu messen. Man brauchte die Visirlinie des Fernrohrs des
Theodoliten bloss zuerst etvwi auf den Punkt Ai auf der Erdober-
fläche, dann nach dem Punkte A^, auf der Erdoberfläche zu rich-
ten, und auf dem Linibus des Theodoliten den Bogen abzulesen,
welcher den Winkel niisst, den die Projectionen der Visirlinie
des Fernrohrs in seinen beiden Lagen auf der Ebene des Limbus
des Theodoliten mit einander einschlie&:sen, wobei es offenbar
gans gleichgQltig ist, in welchen Entfernungen die Punkte Ai
und A% sich von dem Mittelpunkte O der Erde befinden, wenn
■or, was natflrlich vorausgesetzt werden muss, die Lagen der von
dem Mittelpunkte O der Erde nach den Punkten Ai und A^ gezo-
genen geraden Linien sich nicht ändern, indem die Visirlinie des
nach dem Punkte Ai oder A^ gerichteten Fernrohrs sich augen-
scheinlich immer in den Ebenen AOA^ oder ^0^2 bewegen wird,
wenn nian das in allen seinen Theilen naturlich in gewohnlicher
Weise gehörig berichtigte Fernrohr in den, seinen beiden in Rede
stehenden Lagen entsprechenden, auf der Ebene des Limbus des
Theodoliten senkrecht oder normal stehenden Ebenen, es in be-
kannter Weise um seine der Ebene des Linibus des Theodoliten
parallele Drehungsaxe herum drehend, auf und nieder bewegt.

Zugleich gestattet der sogenannte Hohenkreis des Theodoliten
offenbar, wenn auch nicht eine unmittelbare Ablesung, aber doch
eine sehr einfache Bestimmung aus den an demselben gemachten
Ablesungen, der Winkel, weiche die von dem Mittelpunkte des
Theodoliten oder dem Punkte A nach den Punkten Ai und A^ auf
der Erdoberfläche gerichteten Linien AAi und AA^ mit der von
dem Mittelpunkte O der Erde nach dem Punkte A gezogenen
Linie OA einschliessen.

Bei der vorhergehenden Art der Winkelmessung, welche als
der eigentliche Hauptpunkt aller in dieser Abhandlung angestelU
ten Betrachtungen angesehen werden muss, und daher einer be-
sonders sorglültigen Besprechung bedarf, kommt nun, wie aus dem
Vorhergehenden sieb von selbst ergiebt. Alles darauf an» ein

133 Grüner t: Nene, M geodättickm Memmien

milchst eiDfaches« mit Sicherheit nod Genauigkeit aiuif&hrbarM
Verfahren anzugeben^ die Ebene de« Limboa de« TbeodolitMi
gegen die von dem Mittelpunkte O der Erde nach dem HIttel-
punkte des Theodoliten oder dem Punkte A gezogene gerade
Linie OA genau senkrecht zu stellen, indem die hier beschrie-
bene Methode der Winkelmessung von der jetzt in der (laodXaie
allgemein gebräuchlichen, und dem Falle der sphärischen Meeres-
fläche allerdings ganz entsprechenden, für den Fall der ellip*
soidischen Meeresfläche aber nicht mehr passenden , Methode
der Winkelmessung sich einzig und allein darin onterschel*
det, dass die Ebene des Limbus des Theodoliten nicht gegea
die dem Punkte A entsprechende Normale des Erdsphäroids , -soih
dern gegen die von dem Mittelpunkte O der Erde nach dem Punkts
A gezogene Gerade OA senkrecht gestellt wird. Im folgenden
Paragraphen soll nun der Versuch gemacht werden , ein den io
Rede stehenden Erfordernissen mit möglichster Einfachheit und
Genauigkeit entsprechendes praktisches Verfahren anzugeben; and
davon, ob dieses Verfahren als genügend erkannt wird, oder ob
sich dasselbe wenigstens noch so weit vervollkommnen lässt, dass
es rucksichtlich seiner Einfachheit und Genauigkeit allen Anfor-
derungen , die man an ein solches Verfahren zu machen berechtigt
ist, entspricht, wird es lediglich x)der wenigstens hauptsäch-
lich abhängen, ob die in dieser Abhandlung niedergelegten Be-
trachtungen eine Umgestaltung der Geodäsie herbeizuführen geeignet
sein werden oder nicht; dass dieselben mit diesem Verfahren stehen
und fallen werden, bescheide ich mich gern, zuzugeben, indem
nur durch die Einführung dieses oder eines ähnlichen Verfahrens
nach meiner Meinung allen geodätischen Rechnungen eine wesent-
liche Vereinfachung und Erleichterung zu Theil werden kann.
Natürlich findet dieses Verfahren nur so lange Anwendung, so
lange man sich vornimmt, die Meeresfläche als ellipsoidisch za
betrachten, und macht dem gewöhnlichen Verfahren der Winkel-
messung, bei welchem man die Ebene des Limbus des Theodo-
liten gegen die Normale senkrecht stellt, sogleich wieder Platz,
wenn man die Meeresfläche als sphärisch betrachtet, natürlich
auch mit vollem Rechte, weil unter dieser Voraussetzung die Nor-
male eines Punktes der Erdoberfläche mit der von dem Mittel-
punkte der Erde nach diesem Punkte gezogenen Geraden zusam-
menfällt, oder eigentlich mit dieser Geraden identisch ist.

§.5.

Um die Ebene des Limbus des Theodoliten gegen die von
'-dem -Hittelpunkte O der Erde nach seinem Mittelpunkte oder dem

«ffif Recknun§eH mntaoendemäe äetkede. 133

Pttnkte A geiogeoe gerade Linie OA senkrecht su stellen, ver-
fahre man nach den folgenden Regeln.

L Man gebe dem Theodoliten eine solche Aufstel
longt dass die gerade Linie, welche seinen Mittelpunkt
■ it der Aze der einen Fussschraube seines Dreifusses
verbiodet» genau in die Ebene des Meridians des Punk-
tes A fällt.

II. Man stelle die Ebene des Limbus des Theodo-
liten genau horizontal, d. h. senkrecht gegen die Nor-
male des Punktes A, was mittelst des Niveau's des
Theodoliten in allgemein bekannter Weise geschieht.

III. Endlich gebe man durch Drehung der in L be-
■ntsten Fussschraube des Dreifusses des Theodoliten,
eder durch ein anderes geeignetes Mittel, der Ebene
seines Limbus eine solche Lage, dass die nach dem
in der Hälfte der Meeresfläche, in welcher man sich
Inf dem Punkte A befindet, liegenden Erdpole hin lie-
gende Hälfte des Limbus sich über den Horizont des
Panktes A erhebt, und gegen den letzteren unter einem,
dem von der von dem Mittelpunkte der Erde nach dem
Punkte A gezogenen geraden Linie und der Normale
des Punktes A eingeschlossenen spitzen Winkel glei-
chen Winkel geneigt ist.

Dass durch dieses Verfahren der beabsichtigte Zweck voll-
ständig erreicht, nämlich die Ebene des Limbus des Theodoliten
g^eo die von dem Mittelpunkte der Erde nach dem Punkte A
gezogene gerade Linie senkrecht gestellt wird, erhellet auf der
Stelle aus den einfachsten geometrischen Gründen, und bedarf
einer weiteren Erläuterung hier nicht. Es fragt sich nur, wie und
durch welche Mittel allen in I., II., IIL an den Beobachter ge-
stellten Forderungen entsprochen werden kann, wenigstens in Be-
zug auf I. und IIL, weil bei IL schon auf den Gebrauch des
Niveau^» hingewiesen worden ist, und ein Jeder weiss, dass mit
dessen Hülfe der Bedingung in IL mit der grüssten Genauigkeit
genfigt werden kann. Wir wenden uns daher jetzt sogleich zu
der weiteren Besprechung von I. und III. in den beiden folgenden
Paragraphen.

S. 6.

Cm der in I. an den Beobachter gestellten Forderung genügen
sa können, scheint mir eine mit dem Theodoliten zu verbindende

i

s
134 Grumri: Neue, M geodätiicken Messungen

Boassole mit mSglicbst genau getheiltero Limbn« das geeigiet'stt
HälfsDiittel zu sein, wodurch freilich die Vermeidung aller Eises* >
theile an dem Theodoliten nuthig gemacht ^vird^ der aber, wie :
es mir scheint « wesentliche technische Schwierigkeiten nicht ent* ]
gegen stehen» da schon jetzt, mit Ausnahme der Schrauben» nur )
wenige Theile des Theodoliten von dem in Rede stehenden Metall ,
yerfertigt zu werden pflegen, und nach meiner Erfahrung aoch ^
Schrauben von Messing oder einem ähnlichen Metall, wie man sie ^
an Boussolen, Messtischen, u. s. w. antrifft, wo sie ufters ziemlich ^
viel auszuhalten haben, grosse Dauerhaftigkeit besitzen« Die
Boussole würde auf der die Nonien tragenden Kappe, auf welcher ^
auch die Träger des Fernrohrs befestigt sind, so anzabringei ^
sein, dass ihr Mittelpunkt mit dem Mittelpunkte des Theodoliten ^
zusammenfällt, und der durch den Nullpunkt der Theilung des '
Limbus der Boussole gehendie Durchmesser dieses LImbuv mM ■
der Visirlinie des vorher in allen seinen Theilen auf gewöhnliche ^
Weise sorgHlltigst berichtigten Fernrohrs des Theodoliten genü '
parallel ist, oder eigentlich in die Ebene fallt, welche die Viair^ ^
Knie des Fernrohrs beschreibt, wenn man dasselbe um seine d«r "
Ebene des Linibus des Theodoliten parallele Drehungsaze hervflvt ^
dreht, und muss, um diesem Erfordernisse genau genflgen M ^
können, mit den nuthigen Correctionsschrauben versehen sein, ■
wobei zugleich die Richtung des durch den Nullpunkt der Thei-
lung des Limbus der Boussole gehenden Durchmessers des letz-
teren durch ein Paar über demselben aufgestellte Dioptern bezeich-
net oder dargestellt sein muss, was gewiss jeder geschickte Künstler
mit aller erforderlichen Genauigkeit zu erreichen im Stande sein '.
wird. Auch muss an dem Theodoliten selbst eine einfache Marke
angebracht sein, mit deren Hülfe durch geeignete Drehung der
die Nonien und das Fernrohr tragenden Kappe die Visirlinie de«
In allen seinen Theilen gehfirig berichtigten Fernrohrs, und nach
dem Vorhergehenden also auch der durch den Nullpunkt der Thei«
lung des Limbus der Boussole gehende Durchmesser des letzte-
ren, in eine mit der den Mittelpunkt des Theodoliten und die
Äxe der mehr erwähnten Fussschraube verbindenden ceraden
Linie parallele Lage gebracht werden kann. Ich glaube nlch^
dass der Herstellung aller dieser einfachen Einrichtungen irgend
eine technische Schwierigkeit entgegen steht. Ist aber allen ip
Rede stehenden Erfordernissen genügt, so erhellet ganz von selbst
ohne dass hier noch eine Erläuterung nothig sein sollte, wie man
sich, wenn man nur noch die Abweichung der Magnet-
nadel kennt, der beschriebenen Einrichtungen zu bedienen hat»
um der in I. an den Beobachter gestellten Forderung in leichter
praktischer Weise genügen zu können.

und Beckmin^en mnumendende MetkodM, 135

Es ist daher jetzt nur nocb so zeigen, wie man mittelst des
Torher beschriebenen Instramen ts selbst sieb die erforderliche
Kenntniss der Abiveichung der Magnetnadel » die wegen ihrer
Veränderlichkeit während einer geodätischen Messung rifter, über-
haupt so oft als es die Umstände gestatten, zu bestimmen sein
wird, auf eine mtiglichst einfache und leichte Weise verschafft.
Hir scheint das folgende Verfahren zu dem hier beabsichtigten
Zwecke bioreichende Genauigkeit mit grosser Leichtigkeit der
Aiu»r5hrang zu verbinden.

Dm zuerst den durch den Nullpunkt der Theilung des Lim*
bas der Boussole gehenden Durchmesser des letzteren mit der
Vlsirlinie des vorher in allen seinen Theilen genau berichtigten
Fernrohrs parallel zu machen^ richte man die Visirlinie des Fern-
rohrs auf einen sehr weit entfernten Punkt, und gebe dann der
Büchse der Boussole mittelst der angebrachten Correctionsschrau-
beii eine solche Drehung, dass die durch die Visire der vorher
erwähnten Dioptern dargestellte oder bestimmte Linie gleichfalls
inf den in Rede stehenden entfernten Punkt gerichtet ist^ so wird
der verlangten Bedingung entsprochen sein, jederzeit mit desto
grosserer Genauigkeit, je Veiter der Punkt entfernt war.

Hierauf richte man in einer sternhellen Nacht das Fernrohr
auf einen Fixstern und lese bei dieser Lage des Fernrohrs den
Stand der Magnetnadel auf dem Limbus der Boussole ab; dann
warte man die Zeit ab, wo der nämliche Fixstern wieder dieselbe
Hube erreicht, führe die Visirlinie des in derselben Höhe unver-
rilckt stehen gebliebenen Fernrohrs wieder auf den Stern und lese
auch bei dieser Lage des Fernrohrs den Stand der Magnetnadel
anf dem Linibus der Boussole ab. Dass man aus beiden Able-
lesnngen der Magnetnadel in allen Fällen leicht deren Abweichung
ableiten kann, erhellet auf der Stelle.

Wäre z. B., um dies etwas näher zu erläutern, in dem in Taf.IÜ.
Fig. L dargestellten Falle n die Nordspitze und s die Südspitze
der Magnetnadel, ferner iV, S, O, W respective Norden, Süden,
Osten und Westen, endlich AF und AF' das Fernrohr in seinen
beiden Lagen, so wären Fn und F'yi die beiden entsprechenden
Ablesungen der Nocdspitze n der Magnetnadel, und deren west-
liche Abweichung würde durch den Bogen Nn dargestellt. Weil
nun vermöge der Anordnung der angestellten Beobachtungen
NF=NF' und

NF^^Nn-^Fn, NF'^F'n-^Nn

ist, so ist

136 Gr.mmrt: Neue, M geodäiieckem Menim§en

folglich, wie sich hieraus sogleich ergiebt:

f ■"

f

' .«

-. t.\

wodurch Nn gefunden ist. Wie man sich in allen anderen fo^ ;
kommenden Fällen zu verhalten hat, bedarf nun keiner weiterep j
Erläuterung.

Wenn sich die Nadel ezcentrisch, etwa» wie in Taf. III. Fig. 2.
dargestellt ist, um den Punkt A' dreht, lese man ausser der |
Nordspitze n auch noch die Südspitze « ab, wo dann Fn und F'fL'
von F und F' an nach der linken Seite hin gerechnet, die Ablep^
sungen der Nordspitze, und F« und F's, gleichfalls von Fundl^^
an nach der linken Seite hin gerechnet, die Ablesungen der SOdr
spitze sein mugen. Unter dieser Voraussetzung ist, wenn
uns durch A' mit NS und OW die Parallelen N'S' und O']
gezogen denken, der Winkel IS'A'n, d. h. nach einem bekanntes
geometrischen Satze der Bogen

N'n + S'$ '
2 '

die westliche Abweichung der Magnetnadel. Nun ist aber

NF=zNN'-^N'n-Fn,
NF'=F'n'-NlS'^N'ni
also, weil NF=NF' ist:

iViV' + iVn— Fn = F'n — iViV'-iV'ii,
woraus

1) 2.iV'ii = Fii + F'n— 2. 2ViV'
folgt. Ferner ist

jYF= 180O + Ss'-Fs = 180« + S's - SS' - Fj,
iVF' = F'« — I80O — S* = F'* - 1800 -7 S'5 + SS' ;

also, weil NF=NF' ist:

J80O+ S'*- SS'— F!5=F'5- 1800— S'5 + SS',

woraus

2) 2.S'* = Fi + F'* + 2. SS'— 360O

mmd Reeknungen mwuwendenäe Methode. \^

iBlgt. Addirt min die GleichungeD 1) und 2) zosaminen, so er-
kilt man:

•Ibo, weU NN' = SS' ist:

2.(^'«+S'*) = F« + F5+F'n + F'i^360o,

weranSj wenn man. dies durch 4 dividiit, sich

2 — 4 "^

mfjiieht, welches nach dem Obigen die ivestliche Abweichung der
.Magnetnadel ist» die also aus den Ablesungen Ffi, Fs, F'n, F't
•ime Rucksicht auf die excentrische Betvegung der Magnetnadel
krechnet werden kann. Die nicht der mindesten »Schwierigkeit
piülifegende Betrachtung anderer von dem in Taf. II i. Pig. 2. darge-
^«UUmi Falle abweichenden Fälle Aberlassen wir dem Leser.

Wir dürfen hiernach das, was fiber I. zu sagen ist, im All-
gemeinen als erledigt betrachten, 6nden uns jedoch noch zu den
Mgeoden Bemerkungen veranlasst. Jedenfalls ist nämlich die
Bonssole ein Instrument von untergeordneter Genauigkeit, wie viele
Sorgfalt auch der Kfinstler auf seine Anfertigung verwenden mag^
wd auch die übrigen oben von uns beschriebenen Einrichtungen
dürfen nicht auf die grosste Genauigkeit Anspruch machen ; daher
entsteht jetzt die Fra^e, ob durch einen kleinen Fehler bei der
b 1. geforderten, durch die Boussole zu bewirkenden Aufstellung
des Theodoliten ein merklicher Fehler in Bezug auf das Endre-
•nltat, nämlich in Bezug auf die Senkrechtstellung der Ebene des
LImbns des Theodoliten gegen die von dem Mittelpunkte der
Erde nach dem Aufstellungspunkte gezogene gerade Linie herbei-
geführt werden kann, oder ob man zu diesem Zwecke die oben
angegebenen und beschriebenen Einrichtungen als genCgend anzn*
nehmen sich berechtigt halten' darf. Diese Frage zu beantworten,
werden die folgenden Betrachtungen geeignet sein.

Wir wollen die Horizontalebene des Beobachtungsorts als
Ebene der xy, also dessen Normale als Axe der z annehmen.
Die Mittagslinie, nämlich die Durchschnittslinie der Ebene des
Horizonts mit der Ebene des Meridians, sei die Axe der x^ und
der positive Theil der Axe der x werde so angenommen, dass
er mit der von dem Beobachtungsorte aus nach dem Mittelpunkte
der Erde hin gezogenen geraden Linie einen spitzen Winkel ein-
•diliesst. Der positive Theil der Axe der z sei nach dem Zenith
gerichtet. Der spitze Winkel, welchen die von dem Beobacb-

Theil XXIV, 10

1:39 Grunert: Neue, bei geodätiscken Meuun§en

tung8orte nach dem Mittelpunkte der Erde gezogene f^rede LhU
mit der Normale des Beobaclituiigsorts einscbiiesst« werde daMll:]|^
09 bezeichnet. l

r

Dies vorausgesetzt, sind, wie aus Taf. III. Fig. 3. auf dtr *
Stelle erhelltet, die (ileichungen der von dem Mittelpunkte ditf
Erde nach dem B^obachtungsorte gezogenen geraden Linie in ?8l- ;
liger Allgemeinheit: ' \^

y = 0. z=-Atang(90O-w);
also

y = 0, 2=. — drcotcj;
oder:

1*) o: == — z tang co , y = 0.

Wir wollen uns nun durch den Beobachtnngsort als All
ein neues, natürlich immer rechtwinkliges, Coordinatensyetem
ar|^iZi gelegt denken, dessen Ebene der a:iyi mit der Ebene d«;
arff, also mit der Uorizontalebene, und dessen Axe der 2| mit dl
Axe d«*r z zusanimenrnjlt, wobei zugleich der positive Theil dl
Axe der Z| eben so wie der positive Theil der Axe der z ni
dem Zenith gerichtet sein soll. Die positiven Theile der
der Xi und i/i sollen ^o angenommen werden wie Taf. 111. Flg.
zeigt, naudich so, dass der positive Theil der Axe der ar^ wit^]
dem positiven Theile der Axe der y einen spitzen Winkel ein^i
schliesst, und da>s man sich, um von dem positiven Theile dttf
Axe der a-i durch den rechten Winkel (^i^i) hindurch zu de||^T
positiven Theile der Axe der i/i zu gelangen, nach derselben^ r
Cichtung bewegen niuss, nach welcher man {«ich bewegen nnuN^
um von dem positiven Theile der Axe der a: durch den recbteft
Winkel (a-y) hindurch zu dem positiven Theile der Axe der jf.
zu i^elaniren. Der von den positiven Theilcn der Axen der :c und! i-
5"| eingeschlossene, J80^ nicht übersteigende Winke! werde durck .
6 bezeichnet. Daiui haben \^ir nach der Lehre von der Verwand*,
lung der Coordinaten die folgenden Gleichungen:

a: = ;ri cosö — ^isinö, i/=a:isiu6 + i/iC0s6; ,

aus denen umgekehrt sogleich '

2*) a:i=^xcos6-^^^s\u6, yi = — :r sin 0-1-^ cos 6 ;

folfft. '• ■'!

Durch die Axe der Xi sei nun eine beliebige Ebene gefegt^
und der 180^ nicht übersteigende Winkel, weichen der auf im-

- wui Recknungen mnnvendenäe Meikodei. 489

positiven Seite der Ebene der xif ode»r a-,y, liejßrende Tlicil dieser
Ebene mit dem Tlieile der Ebene der otxj/i einschliess.t, in uel*
chem der negntive Tlieil der Axe der f/| liegt, werde durch i
bexeichnet. « Dann ist offenbar in viilliger Allgempinheit

ri==-^y|tangi oder ^itangt -|-Z|=:0

9le Gleichung dieser. Ebene in dem Sj'stenie itt' x^y\ii\ ireil naü
Über nach dem Obigen

ari= jTcosö + jysinö,
yi =— .r sin Q -\^ycosB,

Irt, so ist für das System der xyz die Gleichung dieser Ebene:

(orsinö— ycos0)tangt — 2 = 0,
•fcr:

Ml'k

.3*) .:rsin6sint — ^cos6slnt — zco8t=:0.

Seien jetzt

• x^zAz^u^ yzssBz + ß ..
ils Gleichungen einer beliebigen Geraden, und

hA die Gleichung einer belieliigen Ebene; so ist, wenn J den
Heigungswinlcel der Geraden gegen die Ebene bezeichb^t, riac6
den Lehren der analytischen Geometrie:

. , . AA' + BB' + C ^

^(i + A^ + B'^) (A'^+B"^ + C'2)

iro man das obere oder untere Zeichen nehmen muss, jeoachdem
Ae Grosse AA' + BB' + C* poi<itiv oder negativ ist.

Lassen wir nun die vorhergehende Gerade mit der von dem
Mittelpunkte der Erde nach dem Beobachtungsorte gezogenen
Geraden zusammenfallen, so ist nach 1*):

-4= — tangcD, i? = 0;

«nd wenn man ferner die vorhergehende Ebene mit der durch dio
Gleichung 3*) charakterisirten Ebene zusamroeofailen lässC, so ist
■Mb 3*):

il' = sind sin i, i5' = — cos 6 sin t, C = — cost.

Ats« Ist: ■ ' ; I .' .

10 •

140 e runer t: Neue , 6ei ffeodätiseken Menmt^em

ilil' + JBi3'+ C'=— sind sin ttango—GOSt ^P

■ -S

= — (cosi-f sinOsinttangoi)); «

!

und iTcll nnn , wenn wir annehmen und beachten , dass i ein 8pit9||j
Winkel ist, 6 und cd nach den oben gegebenen Be8tinimuiig|||i
respcctlvc nicht grosser als 180^ und 90^ sind, offenbar

^^' + /?J5'+C'=— (cosi + sinösinitang»)
eine negative Grösse ist, so ist nach dem Obigen:

. , co8t-|-sindsinttanff(D

6inJ= '^ — 9

secoo

oder

4*) 8in «/= cos tcos oo -f sin dsin «sin od.

Setzen wir £=a), was rcrstattet ist« weil bekanDtlieh «
spitzer Winkel ist, so wird:

sin «/zzcos co^ -f- sin dsin afl
c=l — (1 — sind) sin co^
=:l_|l_cos(90o— Ö))sin««
= l-2sin(450— ^Ö)«sina)«,
oder, wenn %Tir

900—0=5, 450— 4Ö = i5
setzen:

5*) sin/^l— 2sina)«sini5«,

oder endlicb, wenn wir

setzen :

6*) cos J' = l — 2sin ©«sin 45«

In Bezug auf den praktischen Fall, mit dem wir es hier zu
thun haben , hat man sich die vorher betrachtete Ebene als die
Ebene des Limbus des Thendoltfen vorzustellen, deren NeigungfH
Winkel gegen die Ebene des Horizonts 00 ist; der Neigungsivinkel
dieser Ebene gegen die von dem Mittelpunkte der Erde nach dem
Beobachtungsorte gezogene gerade Linie ist J, und J' ist die
Abweichung dieses Winkels von 90^; endlich ist 5, was posUi?

m$§ä ßicMttunffen 0M%uwendende MeHknU. 141

>d oegatiT •ein kann^ die Abweichung der Ton dem Hittelpanfcte
m Theodoliten nach der Aze der mehr erwähnten Fuasschraobe
»nee Dreifasaes gezogenen geraden Linie von dem Meridiane,
ie Formel 6*) bestimmt also den Einfluss» welchen die letztere
bweichong S auf die mehr oder weniger genaue SeiikrechtsteN
ng der Ebene des Limbus des Theodoliten gegen die von dem
littelpankte der Erde nach dem Beobachtungaorte gesogene ge*
da Lioie ausübt.

FGr Q =: 0 ist nach 6*)

cosJ' = l, J'=0,

bo J=:90^9 d. h. die Ebene des Limbus des Theodoliten steht«
'ie es sein soll» auf der von dem Mittelpunkte der Erde nach dem
(eobachtungsorte gezogenen geraden Linie genau senkrecht.

Wenn wir, was zu unserem jetzigen Zwecke jjenfigt, der
Siafachheit wegen den Beoliachtungsort in der Meorosflhclie lie*
^d annehmen» so ist, wie in dem folsrendcn Paragraphen gc-
leigt werden wird, der griisste Werfli, den o auf der Erde ober-
Hupt haben kann» in runder Zahl 11'. 30'^

Setzen wir nun einmal den bei der in L geforderten Aufstel«
mg des Theodoliten begangenen Fehler Ö5=J:8^» also iSsiJ^49;
M» wäre :

logsin (0=7,5244231-10
log sin (± 4c5) =r 8,84ai845-10

0,3t>8007ö- 4

0,7360152-. 8^^
log 2 =0,3010300

log.2sina)«8iniö2=0.0370452- 7

2 sin ©«sin 40)2=0,0000001

cosJ'=l-0,000000l

=0,9999909

logcos J* = /0,9999957 —1

39
39

1,0000000 — 1
==0,0000000
Im coaJ' = l, J'=0, J^W>.

14) Gruuert: Neue, bei geodäüeehen Meesumgsn

FolitlSch bringt 9 auch bei dem Gebraache mebcssteUiger iRr i
fein, und fiir den grünsten Werth, den €& überhaupt haben jEawb ^
selbst ein Fehler von ±8^ bei der in I. geforderten AfifsteUunji
des Theodoliten noch ii^ar keinen *) Fehler in ßesug auf die Sank ji
rechtstelliinci; der Ebene des Linibus des Theodolite» gegen di|;|
v^n dem Mittelpunkte der Erde nach dem BeobaGhtangsorle.gH«
zogene gerade Linie hervor. Dass aber bei dem sorgßMigil}
Gebrauch einer guten Boussole nach der im Obigen gegebeaup,
Anweisung die Fehler hei der dadurch bewirkten Aufsteliune dfl|l
Theodoliten in der in I. geforderten Weise bis zti ±8® anstei(
sollten, ist nicht zu glauben ^i und ich halte mich daher zu
Ansicht berechti<;t, dass die Boussole zu dem Zwecke , den
hier zu erreichen beabsichtigt, ein völlig geeignetes und hinreiel
genaues Hülfsmittel ist.

§.7.

A. Um den in IlL an den Beobachter gestellten ForderuDf
entsprechen zu können, muss derselbe, ausser^ was sich Tf
selbiüt versteht, der den sämmtlicben Rechnungen zu Grunde
legenden Abplattung der Erde, auch die Breite oder PolblHie
Beobachtungsorts Ai und dessen Entfernung von dem MittelpunI
der Erde oder seine, jena'chdem er über oder unter der Üleer(
fläche liegt, als positiv oder negativ zu betrachtende Höhe über =
der IMeeresflhche kennen, um daraus den von der, von dem Mit*^
telpunkte O der Erde nach dem Beobachtungsorte A gezogenem -
geraden Linie mit der Normale des letzteren eingeschlosseneo
Winkel G) berechnen zu können, dessen Kenntniss erforderlich
ist, \venn die Ebene des Lirabus des Theodoliten gegen die von
dem Mittelpunkte, der Erde nach dem Beobachtun^sorte gezogene
gerade Linie senkrecht gestellt werden soll. Es könnte scheinen,
als wenn die Kenntniss der Breite oder Polhöhe des Punktes A
und seiner Entfernung von dem Mittelpunkte der Erde oder seiner
Höhe über der Meeresfläche sich nicht voraussetzen lasse; dage-
gen ist aber zu bemerken, dass man bei grossen, die Meeres*
fläche als eliipsoidisch annehmenden geodätischen Messungen, von
denen hier allein die Rede ist, immer wenigstens von einem
Punkte der Erdoberfläche, für welchen die beiden genannten Ele-
mente schon anderweitig genau bekannt sind, wird ausgehen müs-
sen; und wie durch die iveitere Fortführung der geodätisches

*) d. h. eig^eotlich in der sieben ton Oecimalstelle sieb nicht offb»-
barenden.

•auf Meckmmgen amsutwendende Meikad§. 143

selbst die KenntniM dieser beiden Elemente Dich and
li fiir alle Punkte des Netzes erlangt wird, so dass man die»
Ar jeden Pnnkt» auf dem man eine neue VVinkelmeissung
ssehmen bat, scbon als bekannt %'oranszusetzen berechtigt
diss sa »eigen, werden wir zu einer besonderen Aufgabe
rsr spfiteren Betrachtungen in dieser Abhandlung machen.

V.

IJIacli Vorausschickung dieser allgemeinen Bemerkungen mfls-
Ms wir daher jetzt zeigen, wie aus der bekannten Breite oder
|roi|i&be des Punktes A und seiner Entfernung vom Mittelpunkte
4sr Erde oder seiner nach dem Obigen gehririg als positiv oder
Mgativ betrachteten Hohe Ober der Meeresfläche der von der von
Jißm Mittelpunkte O der Erde nach dem Punkte A gezogenen
geraden Linie mit der Normale dieses Punktes eingeschlossene
•ptze Winkel co berechnet werden kann, wobei zugleich 4'i^ Ent-
wickelang verschiedener Formeln vorkommen wird, die fär das
Folgende Oberhaupt von Wichtigkeit sind.

'Den Halbmesser des Aequators und die halbe Erdaxc bezeich-

NB wir wie gewöhnlich durch a und 6; die Polhohe und Breite

iM Punktes A mögen respective durch ß und JB' bezeichoet wer-

|dni, wobei wir, was zu unserem Zwecke jetzt hinreichend Ist,

■B und B' als positiv annehmen wollen; so erhellet mittelst einer

[gMis einfachen geometrbchen Betrachtung auf der Stelle» di

hl Ferner wollen wir wie gewöhnlich

S)

=(1+1-^(1-1 + ^=^^(2-^.

^

3)

= Va+i)o-[)=VV'c2-^*)

letMn, wo die Abplattung des Erdsphäroids ist, aus welcher

dbh also die Grösse e berechnen Insst. Die Enf fernung des Punktes
A von dem Mittelpunkte der Erde mag durch /?, seine, jenach-
dero er über oder unter der Meeresfl.nche liegt, respective als
positiv oder als negativ betrachtete Höhe über der Mecresfläche
darch h liezeicbnet werden.

144 Grüner i: Neue, bei geodätisehen Me$nm§en

In der Ebene des Meridians des Punktes A wollen wir
rechtwinkliges Coordinatensystem der xy annehmen« dessen
fang der Mittelpunkt der Erde ist; die Axe der x sei die Du
Schnittslinie der Ebene des Meridians des Punktes Ä mit
Ebene des Erdäquators« und die Axe der y sei die Erdaxe.
positive Theii der Axe der x sei von dem Mittelpunkte der I
aus nach der Seite hin gerichtet, nach weicher hin von der 1
axe aus. der Punkt A liegt, und der positive Theil der Axe d<
liege auf der positiven Seite der Ebene des Erdäquators.
Coordinaten des Durchschnittspunkts der Normale des Punkte
mit der Meeresfläche wollen wir durch x, y selbst, und die
änderlichen oder laufenden Coordinaten in dem angenomro«
Systeme durch X, T bezeichnen. Dann ist nach bekannten I
reh der analytischen Geometrie oder auch schon nach den ]
menten der Kegelschnitte die Gleichung der Normale des Punktes

folglich offenbar in völliger Allgemeinheit:

5) ten8ß = ^-

Ferner sind offenbar in völliger Allgemeinheit

ar + ÄcosÄ, y-\-hs\uB

die Coordinaten des Punktes A in dem angenommenen Syste
also

Weil nun nach 1)

/» r»/x tangß — tancrß'
tang«,=tang(B-Ä') = r+WBt^^
ist, so ist nach 5) und 6):

__ a^y (x + h cos B) — b^x (y-{-hsinB)
tang o - ^2^^^ ^ ^ ^^^j^^ ^ ^^2^ (y+hs\nß)

7) {

_ {a^ - &g) xy -I- h (n^y cos ^ — f/^x sj n B)

~" a^y^ + 6%2 ^ ^ („2^ si„ ß ^ ^2 <p ^.os B)'
Zur Bestimmung von x und y hat man die beiden Gleichung

mßä il€€Jlmm§en atnuwendenäe JfellMlt.

145

der Bweiten Gleichung ergiebt 'sich

y = ^ar tangi?,

folglich, wenn man diesen Werth von y in die erste Gleichang
ehiRihrt:

G)' *^(S)' '""--^-

«•=

l+-5tangÄ»

a«cosÄ* + 6*6inB*'

ilio, weil unter der gemachten Voraussetzung x stets positiv ist,

a a^ C08 B

jr =

v^+^

tangA*

V^a«cosÄ» + A«sinÄ«

blgt; und weil nun

jf=-5artangB

a-

ist, so erhfilt man überhaupt:

8) a=z

a^cosB

y—

b^Bin B

Va^cosjß-^+Ä-^sinjß^' ^ V"«« cos ^+6« sin Ä«

Abo ist, wie man leicht findet:

a^y cos ^ — 6*07 sin ZT = 0,

o*ysinl? + ft%cosg=^ . ^ ^^^ -r^ ,.^»
^ Va2cosJ?2+6Viuß«

folglich nach 7):

(flg-.6*)sin^co8g

^^"^'^'""a^cosÄ^ + ^^sinjß^+A V"a2co8Ä« + 62sin^

a^-6« . ^ ^
5— sin J3 cos B

1-

a2-62 .

i9

sin Ä« +

a V o*

alfo

146 6rün4rt: Neue, äei geodditsehen MH9/im§in

w

( tang CO = T

e^s\nBcosB
Vi— c« sin /i* j- + Vi— c«8iiiÄ«|

easln2ff : ^

f

> 1 1 »

Für A = 0« d. h. wenn der Punkt A in der Meeresfläcbe liegt, ist

,^^ ^ e^&xfiBcosB e«sin2B

10) tang CO = izr^^^-B2; = 2(l-e^8iiiJ52y

Hierbei ist die Polhühe B und die Hübe h über der Meeres- :
fläche als bekannt angenommen worden. Nimmt man. aber die
Breite B' uiid die Entfernung R von dem Mittelpunkte der Erde ~
als bekannt an, so niuss man auf folgende Weise verfahren.

Die Coordinaten des Punktes A in dem angenommeDcmSysteiMl «
sind offenbar in völliger Allgemeinheit RcosB', RsinB', was, 'j
mit dem Obigen verglicheD^ unmittelbar zu den beiden folgenden i
Gleichungen führt: J

RcosB' = x-i-hcosB, RsinB'=y+hs\nB>

Aus diesen beiden Gleichungen folgt:

a^R cos B sin B' = 0^1/ cos B-{- a^h s\nB cos B,
b^Rs\nBcosB'=b^a:sinB + öHsinBcosB;

also, weil nach dem Obigen

a*^cos2?— 6^a;sinß = 0

ist, durch Subtraction:

/2(o2cosJ5sini5' — 6^sin^cosJ5') = (a«— 6^)AsinÄcosÄ,

oder:

^s]t\B .„cosß'
h s\\\ is cos B

Ferner ist..

/?sini?cosß'=a:sinjB + AsinScos^,
l2cosßsin-ß'=ycosJ? + /isinJ?cosÄ;

v'fißd JUcAMunfen^ 4W%tmeriäeHde MethtHki

y ^

U1

ibo darch Sübtral^ioii:

«nd folglich, weil nach 8)

. _ -, (a* — 6*) sin Äcos ß

x%\nB — y cos MS •= y>, _^ — -

' ^ V^a»cosB«+6««inß«

.;.. .. ,, J

\ 1 \

R&\u{B-'B')=

(g^ — 6g)sin^cosig ;
Va^cos/^-^ft^sin^

I - •

■t:
12)

•der:
.^rtv . r» »»#v fl e^sinÄcosß a e*sin2Ä

..Für 4==0 bat man nach 6) die Gleichung

■ •

tang5' = |.
nd weil nun nach 5)

■

bf, so ist'ln diesem Falle :

> \ •

14)
Also ist

tangÄ = ^tangJ5'

8ecÄ'^=J + tangß*=:

ci*sinÄ'* + Ä*cosi5'2

^^cosiß'a

folglich

cosfi =

6^ cos i5'

V^a* äiü iJ'^ ^ ^'4coÄ iß'a '

und weil nach dem Obigen

a'

.- f ■

sin Ä= ,2 cos Ä tangfi'
ist, 80 ist in diesem Falle:

sin£^=
15)

<i*sin B^

cosBt=z

Vw^&wi ß'^ f 6*C0s B'^'

62 cos ß'

V^a*sin Ä'a +Ä*cos Ä'« '

t . .

.-.:»

iT t

t 'm

148 eruneri: Neue, bei geodäii$eken

welche Formeln wir hier beiläufig bemerken. Weil aber

lang G, =tamg(fi-Ä ) = p^ ^^^ß^^^g,

\%i, so ist nach 14)

__ («a — 6») tangg^ (a^ - 6«) sin B' cos g^
**"S®""6« + a2tangfi'«""a26ing'a + 6acosÄ'«'

also offenbar:

c«sinÄ'cosJB' c«sin2B'

16) tangG)= i_^2^^3^7ä- = 2(l-e2co8F^)'

mittelst welcher Formeln^ wenn A=0 ist, o unmittelbar aus B' |^
berechnet werden kann.

Wenn aber nicht A=0 ist, muss man sich bei der Berech- ..

V

nung von co, B, h aus B* , R auf folgende Art verhalten.
Mittelst der Gleichung 13) , nämlich mittelst der Gleichung

."ir

y

. t

610 (^ — ^ ):= ü- — ^ ■ — -=

^ ^ Ä 2V^l-.c2sing«

muss man B bestimmen; dann findet man o mittelst der Gleichung

co-B-B',

* !

und A ergiebt sich mittelst einer der folgenden « unmittelbar aus ^
11) fliessenden Formeln:

\

sinB cosB ^ sing ^ ^ cosB

27) ^^ a* — 6* e^

— \cosg; j_ sin(g— gp) jco8y_ 2 sin(g-gO/

""|cosg"^c2*singcosgl (cosg e«' sin2g i ^'

Die Auflösung der Gleichung 13) ist nur durch Näherung mug*
lieh. Man kann sich dabei auf folgende Art verhallen.

Weil (o = B—B' und folglich B=B'-\^cd ist, so lässt sich
die Gleichung 13) unter der folgenden Form darstellen:

a e2sin2(g' + a))

SmG)=T>*

R 2^1— 6*sin(g' + «)a

Aus dieser Gleichung muss co bestimmt werden. Weil sich dies«
Gleichung auch unter der Form

mmi Ree/Irnrnffen iumumendenäe Metkoäe^ 149

•inio = 2~ « c«sin2(fi' + ») 1 1 — ««sin (ff + a)«H
fchreiben. iässt, so ist nach dem BiDomischen Lehrsatze :

sin o = 2^-e«sin2(Ä' + »)|I+4e*sin(Ä' + «)« + ..•.},

«od folglich erst mit Vernachlässigang von Gliedern, die in Be-
log auf e Ton der vierten Ordnung sind :

<ioio=:^. e>sin2(£' -f CO)

=s^ . e* (sin2JS' cos2o) 4 C0S2A' sin 2o>)
=ÄTi • e*(sin2£'cos2G) -f 2cos2i?'8iD oocosg))

=2^.6*{8in2B'— 4sln2J5'. (2ß))«+....+2cos2J5'sina)(l - icoH-...)!*

folglich mit Vernachlässigung von Gliedern» die in Bezug auf e
ind m erst von der vierten Ordnung sind:

sin 09=0^* c*(sin2Ä' + 2cos2-ß'sina))»
woraus sogleich

18)

folgt, oder:

H

sin CO =

sin2Ä'

ae^

2(1— ^cos2Ä')

18^) sina>=i

gc«sin2B'
l-^c«cos2Ä'

Scbrriht man diese Formel auf folgende Art:

8in»=J.ge«sin2J5'(l — ^cacos2Ä0-**
so erhält man nach dem Binomischen Lehrsatze:

sinco=:l.^ c«sin2Ä'(l + ^««cos2Ä' + ...),

150 Grunert: Neue, det geodättsehen Messungen

und rol<;lirh. erst D)it \^ernnchläs.<is:iin<; voa Gliedern, die in Be-
zug auf e von der vierten Ordnung sind:

19) sincD=i.-^e2sin2JB', ' '" " "* ;

•;i

oder auch mit VernacliLnssignng von Gliedern, die -in Bezug wd
CO von der dritten Ordnung sind: f

20) co = i.^c^sin2ß'.

Mittelst der so elien entwickelten Formeln kann man eioM' ^
ersten N.hherungswerth von « berechnen, den uir der Kurze wegM^ *
jetzt durch o selbst bezeichnen wollen. Dann findet man neM? ,
successive Näherungswerthe cD|, g)2 9 ct>3, 04,.... mittelst der
Formeln: „,

sm «1 - 2/^ * v^i ^ ,2gi„ (Ä'T^ ' -

«'"'^^=27g-VTle^sin(^l-'^' /
a g^sin^Cg^ + cjg)

sin CJa = cTn ' — r =^ — =^ '

» ' 2Ä V^l_e«8in(ß' + (B2)»

Sin (»4 =. J7y> • /- -~ — 9

^ 2/^ Vi — f2sin(/i'+ 0)3)2

U. 6. W.

und setzt die Rechnung nach diesen Formeln überhaupt so lange
fort, bis zwei aufeinander folgende Nabernngswerthe sich in der.
verlangten Anzahl von Decimalstellen nicht mehr von einander ^
unterscheiden.

Für die Praxis ist es durchaus nothwendig, dass man sich
die Berechnung von co durch eine Tafel der Werthe dieses Win»
kels erleichtere. Eine solche Tafel müsste die beiden Eingänge
oder Argumente B' und R haben, was dieselbe ^iemnefa weitläu-
fig und unpraktisch machen würde, weshalb man es vorziehen
dürfte, den folgenden Weg einzuschlagen.

r

Man setze

'*:■:■. •■*

2J)

2 Vl-eVm(fi'+Ä)a

\\

ßifckmtnffen annu^pendenäB MetMkr i f5l

und berechne eine Tafel der Grossen Ä, welche nur das ein«
Argument B' erfordert, und mit Zusrnndc^letriins^ des Werthcs von
e, welcher für jetzt auf di^ meiste Sicherheit Anspruch zu machen
berechtigt ist, mittelst der ans dem Vorhergehenden sich von
selbst ergebenden Vorschriften leicht cnnstruirt werden kann.
Es frSgt sieh nun, wie man aus den in dieser Tafel enthaltenen
Wertben von ^ die der Gleichung

. ^ . a e^ sin2(/?^ + a>)

22) «'°« = ß-2-Vltl^«(Ä'T^)^

genügenden Werthe von o mittelst einer iranz einfachen und Icich-
tpi Rechnung ableiten kann, wobei man zu beachten hat» dass

Ib allen m der Praxis vorkommenden Fällen -^ eine nur sehr we-

■ig TOD der Einheit verschiedene» oder — j^ eine der Null sehr

lalie kommende Grosse, also auch a> von Sl immer nur sehr we-
■ig verschieden sein wird. Setzt man, um die in Rede stehende
.Frage zu beantworten, o) = Ä + -^.ß, wo /ISI eine der Null sehr
laahe kommende Grösse sein wird, so ist

a e^ sin:>(B'+Ä+^Ä)
sm CO = T»

/e'2 Vi— «in(/^' + .^^+^Ä)a*
also, wenn wir der Kurze wegen

Vi — e2 6in(£?' + 5l)2
aatzen:

sina)=: 7i.^F(.ß f z/52),
''Mglich nach dem Taylor 'sehen Satze;

sin«==J.J|F(ß) + F'(Ä).^/^ + F7i2).4^+....|,

tiA' daher erst mit Vernachlässijjung von Gliedern, die In Bezu^'
^e,ttfl|l 4SI von der vierten Ordnung sind:

sino=J.jF(Ä) + J.jF'(Ä)4Ä. '

Weil man nun durch Differentiation leicht . ., . . .,

cos2(i?^ + Ä) + 6« sin(Ä' + 9.Y

F'(ß) = 2

{ 1 - ««sin {B' + Ä)«| Vi — c^sin (B' + SVf^

159 Grunert: Neue, bei geodäUi^kem Meeemaßm

findet, und nach dem Obigen

•• »

e^
sinÄ=-^F(P.)

ist» so ist

s,na> = ^s.nÄ+jj.e^ ^^^.../„(^.^ ^^^,,1 ' ^Sl. _

also erst mit Vernachlässigung von Gliedern « die in Bezug auf«
und 4dSl von der fünften Ordnung sind:

« . o . « « cos2(Ä' + Ä) ^^ ,-

= ^sinÄ + ^c2cos2(Ä' + Ä)(l -c«sin(Ä' + Ä)2iH^Ä '^»^
=:^smÄ + ^62cos2(Ä' + Ä)tl + ?c2sin(Ä' + a)« + ....|

=^sin Ä + ^ c«cos2(JB' + Sl)JSl,

folglich, weil j

sino)=sin(Ä+^Ä) = sinß + cosÄ^Ä— SsinÄz^Ä«— .... 4;

ist: äc

Bin Sl + cosSlJSl =z ^sin Sl + ^ e^ cos2(B' +Sl)JSl,

wenn man die JSl^ und höhere Potenzen von JSl enthaltendes
Glieder vernachlässigt. Also ist, wie man sogleich findet:

23) ^Sl= r-^ , *^

cos i2 - ^ e« cos 2(Ä' + Sl)

woraus man sieht, dass ^Sl in Bezug auf Sl und — g— von der«'
zweiten Ordnung ist. Daher erhellet aus der oben gefundenen Fornidf' '

« • o_L« . cos2(ig^ + il;

dass, wenn man ~

24) fiin(a=:-gsin<>6

Mßekmmpem mnuwemMuie Metä§4$* |53

•fftet, doeh mir «rst Glieder vemaehlXssigt werdeoi welche in
Bexog auf die der Null sehr nahe kommendeo GrBasen

von der vierten Ordnung sind.

Hit hinreichender Genauigiceit wird man auch setzen können :

85) 00 =: ^ i2,

I Hat man also eine Tafel fOr Sl, so wird man mittelst derselben
[ aaeh sehr leicht o mit hinreichender Genanigkeit berechnen können.

•

Wir wollen nun unter der Voraussetzung, dass A=0 ist» d. h.
die Meeresfläche» die Polhöhe B oder die Breite B' bestin^r
sn, ffir welche m ein Maximum wird oder seinen grossten Werth
ilt.

FOr A=0 ist nach 16)

¥•

c«sin2JB'
o, wenn man nach B' differentiirt: .

8tango_g 2(l--c»cosig^^)cos2C^-~2cg<»ing^cosJB^sin2iB^
dB' ^2" (l-e«cosÄ'*)«

_ ^cos2g^ -ggcosg^(cosJB^cos2ig^ + siniysin2JB0
^* (1— c^cosÄ'«)«

=«•

co8 2fl'-e2cosfi'«

(I— 6*cosÄ'2)a •
Der Zfihler Ton

—2(1 — c«cos JB'2)«(sin2Ä'— e^sin Ä' cos JB')
— 4e>sin B' cosfi' (1 - ««cos Ä'^) (cps 2Ä' - ««cos B'^)
=2(l-c«cosÄ'«)sinÄ<cosÄ'|-2+e«(l+2sinÄ'2)+e*cosÄ«},
irfe man leicht findet; also ist

8«tanjp©_ ^sin2igM— 2 + g«(H-2sin^^«) + <^cosiB^»|
3jB'a — « (1— ««cosÄ'*)»

TkflU XHY. 11

nW eruH^ri: Aeue, bei §eodäU$€ken M^sumtf^

^fhfil non» wenn o» ein Maxunum yvitA, aach lang«», em Maxii
wird^ so muss

8tanga)_

sein, was nach dem Obigen die Bedingungsglejchiing ,

COS'iÄ' — C«C08J5'«=0

oder, wie man leicht findet, die Gleichung

— l + (2-ca)co8Ä'2 = 0
igiefct, woraus man

.20) cos Ä' = 77:==.-rr , S^ & =~, -\

^' V^2-ea V2-^€«

Also

e»

27) tangÄ' = V 1 - e«

erhält.

Nun ist

—2 + c«(l + 2slnl?'«) + e^cosÄ'«

und daher eine negative Grosse, so dass also, weil

sin2Ä'==2sini?'cosfi'= =4-^-ä^'

l-c«cosÄ'2=l-^-^=^S?-J^

ist, offenbar auch nach dem Obigen

d^tangoD

% '\\

negativ ist, nind daher in der That ein Maximnih Statt fin
Nacbtgf^böriger Substitution erhält man entwickelt:

oder

^^^ = -i.«(2-.»)«(l-.«H

I »4 ■

Weil nach 14)

tawgB=ptangÄ' = ^^^

iBt» C$0 ist nach 27): .
28) tang B :=

Mach dem Obigen ist allgemein

_ (a« •- fe«) tang g' <« tang B'

**"* " ~ "^«T^tang B'« - l - e« + tang Ä'« '

■Im» wird nach 27) der grusste Werth von a mitteist der Formel
^11 1. miftebt der Formel

iwechnet

Setzt man die Abplattung in runder Zahl oaq» ^o >st

•bo

6 , 1 _299 , /iy /299\«.

5='"~3ÖÖ-3ÖÖ' " =*-W ~ V3ÖÖy/ '

' • ■ ■ ■ . "

Daher ist nach 29) :

/299\«
_ ]^~V300y _ 150 . /299^* _ 150 599 599

»ng®— 2®. ""299'^""V300y 't 299 '90000 "^ 299.600'

löO/.i.

^idi iD=ir.2d^ oder in runder Zahl »=11' .30^ = 111'.

Ferner ist

11'

ISS eruneH; Ktue, bei t«otUM$eke» Mematgem

worana man

B =450. 6', 44*,,
g'=44Ö.S4M6*,
t»=B—B'= 11'. 28",

nahe wie vorher, erhält.

*

B. Nachdem vrir jetzt gezeigt haben , wie fiir jeden B«
achtungsort der, Winkel o» berechnet werden kann, entsteht
aber die Frage» durch welche mechanische llQirsfhiltel ' der El
des Limbus des Theodoliten eine solche Lage gegeben wei
kann, dass dieselbe gegen die Ebene des tiorlzoilts unter •
Winkel a> geneigt ist, also der in III. gemachten Anfordet
genügt werden kann. Dass diese Hülfsmittel eine grosse Gena
keit gewähren mGssen, geht schon daraus hervor, dass j<
Fehler in der Lage der Ebene des Limbus des Th.09dol;ite9..߀
den Horizont sich offenbar ganz auf deren Lage gegen die
dem Mittelpunkte der Erde nach dem Bepbachtungsortc gezq|
gerade Linie überträgt, wie auch zum Ueberfluss auf folge
Art analytisch gezeigt werden kann. Nach §. 6. ist in defl-x
gebrauchten Zeichen, deren Bedeutung wir hier nicht von Nei
erläutern wollen, allgemein:

sin «/= cos 2 cos a -f- sin 6 sin £sin co,

oder wenn wir wie a. a. O.

setzen :

cos/' = cos £ cos o -f-cosösintsino),

also für 0=0, wie es hier erforderlich ist:

cos J' = cos i cos a> -f sin i sin o» == cos (t— co) ,

folglich

Ist nun nicht, wie es sein soll, genau t=G), sondern » = o>'
wo f den Fehler in der, der Ebene des Limbus des Theodol
gegebenen Lage gegen die Ebene des Horizonts bezeichnete
ist J'zi^Jhi'^ da doch bekanntlich J'=0 siein soll, woraus
Richtigkeit des oben Gesagten erbellet.

um! Rechnungen miaatmemUnde Meikoä: 157

' Auf den ersten Anblick scheint sich ohne Weiteres das Nireaa
io seiner geirShiilichen Gestalt und zugleich auch ganz in der ge-
rohnlichen Art und Weise seines Gebrauchs als ein geeignetes
UfiUsmittel zur Erreichung des beabsichtigten Zwecks zu enipfeh*
en. Indess wollen wir einmal die Sache aus dem praktischen
5e«ichtspupkte etwas genauer untersuchen^ wobei sich vielleicht,
w\^ nicht selten bei Dingen dieser Art, ein anderes Resultat her-
iQSstellen konnte. Das Niveau eines in meinem Besitze befind*
lehen sehr schönen grossen Theodoliten mit gebrochenem Fern-
rohr» welcher» auf beiden Kreisen W angebend, allen an ein
iskhes Instrument bis jetzt gestellten Forderungen in ausgezeich-
peler Weise entspricht, hat, wie jetzt meistens gewöhnlich, zwei
|pB einander abgesonderte Theilungen oder Scalen; jede dieser
IlMeo Scalen umfasst 13 Scalentheije, und jeder dieser Scalen-
entspricht nach von mir angestellten Versuchen, bei denen
('^Niveau an dem tiöhenkreise des Theodoliten fest gebunden
e, im Mittel 4,5 Secunden, was für 13 Scalentheile etwa 60
nden oder 1 Minute beträgt. Da nun der grösste Werth von
Bekanntlich 11^ Minute beträgt, so siebt man sogleich, dass
-MiTeaa, wenn sich Winkel bis zu dieser Grösse mit demsei-
'«eilten angeben oder messen lassen, eine sehr beträchtliche
e haben niOsste, die mit den übrigen Dimensionen des in*
ents in gar keinem Verhältniss stehen wHrde. Wenn sich
aber auch hieraus das Unpraktische unsers obigen Vorschlags
tlich ergiebt, so drängt sich dessenungeachtet die Frage auf»
bei etwas veränderter Einrichtung und verändertem Gebrauche
Niveau doch nicht vielleicht ein sehr brauchbares Hülfsmittel
dem beabsichtigten Zwecke werden kann. Um aber diese
rage genügend beantworten zu können, müssen wir zuerst die
beorie des Niveau*s im Allgemeinen etwas strenger und etwas
»eiter entwickeln , als sonst zu geschehen pflegt, wozu wir daher
letzt zunächst übergehen wollen.

Theorie des Niveau's oder der Libelle.

1.

•

Der Neigungswinkel einer geraden Linie gegen den Horizont,
BMkJier Immer ein spitzer Winkel ist, soll jederzeit als positiv
^er als negativ betrachtet werden, jenachdem der auf der rech-
Ibb Seite des Beobachters liegende Endpunkt der in Rede stehen-

f

158 Gruneri: ffene, bei ffeodäüBCken M^lm^n

den geraden Linie bOher oder tiefer liegt ivie der aaf der Uol
Seite des Beobachters befindliche Endponkt dieser Linie.

Die Maasseinbeit fär die Winlcel soll im Folgenden iron
ejq Intervall oder ein Sealentheil der Libelle sein» wobei wir
gleiefai wenigstens för's Erste annehmen wollen» dass die Libc
nur eine von einem Nullpunkte nach rechts und nach links |
gehende Theilung hat» unter welcher Voraussetzung Intervalle o(
Scalentheile rechts vom Nullpunkte als positiv, Intervalle of
Sealeutheile links vom Nullpunkte als negativ betrachtet werden soll

In Taf. III. Fig. 5. sei der um den Mittelpunkt C bescbriel»^
Kreis der Kreis, von welchem die Libelle ein Bogen ist; O
der Nullpunkt der Theilung der Libelle» die Luftblase sei I
und i!f sei der Mittelpunkt der Luftblase.

■ ' *

. . Denken wir uns nun durch M an den um C beschriebei
Kreis eine Berührende gezogen» so wird diese BerOhrende b«
«jonjLaI und die Neigung der durch O an den um C beschriebei
Kreis gezogenen Berührenden gegen die erstere Berührende ii
$e Neigung der Libelle gegen den Horizont sein.

In Bezug auf die Lage der Luftblase und ihres MitteTpnn
gegen den Nullpunkt der Theilung können offenbar bloss die i
verschiedenen, in Taf. III. Fig. 5. dargestellten und durch (a), I
(c), (d) bezeichneten Falle vorkommen, welche wir nun der Re
nacli einzeln betrachten wollen, indem wir immer die Neigung
Libelle gegen den Horizont durch J\, die an den beiden Endpa
ten dier Luftblase rechts und links gemachten Ablesungen resp
tive durch o und k bezeichnen werden.

In dem ersten in Taf. III. Fig. 5. (a) dargestellten Falle
wenn wir den Winkel BFE durch a bezeichnen.

Zieht man aber CO und CM, so ist, weil im Viereck COFM
O und M re(;hte Winkel sind, der Winkel cc offenbar dem \^
kel OCM gleich, und wird also, so wie dieser letztere Wiol
von dem Bogen 031 gemessen. Also ist auch

N=OM.

Weil nun

OR-'OL OL+OR

i]

OM=z OL + IIU^ OL +

in vorKegcoden Falle oVenbar

X= + OL, Q= + OR; OL — l, OR = q

i ist, so ist

in dem zweiten in Taf. III. Fifr. 5. (b) dargestellten Falle Ist»
I^sbh wir wieder den Winkel BFE durch o bezeichnen,

Oer Winkel o ist wie vorher dem W^inkel OCM gleich und wird
, so wie dieser letztere, von dem Bogen OM gemessen,
er ist auch

ist aber

I» wM In diesem Falle offenbar

k^'-'OL, Q—+OR; OL=Z'-X, OR—Q

in dem dritten In Taf. III. Fig. 5. (c.) dargestellten Falle Ist,
m wir den Winkel AFE durch ß bezeichnen,

n- JS = --ß.

Dttr Winkel ß Ist dem Winkel OCM gleich und wird also, so.
wie dieser letztere, von dem Bogen OM gemessen. Daher Ist

N—--OM.

Um Ist aber

^.. ^r ,»^ ^r OR+OL OL^OR
GM— OL-^LMzz^ OL -^ = 2 '

•ko, weil in diesem Falle offenbar

i=-OI., j=+OÄ; OLss-A, 0A=:«

N=.

_i±l

IflD Gründer (: Hiue, M ßecdOiUekem,

In dem vierten in Taf. III. Fig. 5; (d.) dargestellten Falle i

wenn vrir ivieder den Winkel AFE durch ß bezeichnen .

■ * ■

Der Winkel ß ist dem W^inkel OCM gleich, und wird also, w
dieser letztere» voo dem Bogen OM gemessen. Daher ist

Nun ist abe?

iiir ^r wnM r^j OL-^OR OL+OR
OMzzL OL — LM'=z OL 5 — — = 5 »

also/ weil in diesem Falle offenbar <'

1==-0L, Q-'^OR; OL--X, OR—^q
ist:

Ans dieser Darstellung ergiebt sich« dass die Neigung d
Libelle unter den gemachten Voräussetjcungen - in völliger AII|
meinheit mittelst der Formel

gefunden wird.

Wenn die Libelle zwei abgesonderte Tbeilungen oder Sc^l
hoty deren jede auch von einem besonderen Nullpunkte an g
rechnet wird, so bezeichne man den Abstand der beiden Ni)
punkte, in Scalentheilen der Libelle ausgedrückt, von einand
durch 2e, wobei übrigens der Fall c=-0 keineswegs ausgescblc
scn wird, und die rechts und links gemachten Ablesungen, bfji
als positiv betrachtet, respective durch r un<l /. Nehmen wir n
hierbei an, dass bei dem Gebrauche der Libelle immer die beid
Endpunkte der Luftblase die beiden Theilungen links und reck
wirklich erreichen, so ist offenbar immer

folglich

A+p = -(e + /) + (c + r)=r-./,

also, weil nach 2. allgemein

MNf S*eiuum§e» taummenäaiät MeOmä». Idl

ist, unter den jetzigen V^oraussetzungen allgemein:

Wir wollen uns nun eine gerade Linie denken » die unter einem
nur kleinen Winkel gegen den Horizont geneigt ist, und wollea
die auf der recliten und linken Seite des Beobachters liegenden

: Endpunkte dieser geraden Linie respective durch R und h bezeich-
nen; die Neigung dieser geraden Linie gegen den Horizont, wo-

; Wi näherer Bestimmung wegen 1. 2a vergleichen ist, werde durch
/ bezeichnet

Von dem Endpunkte h dieser Linie aus nach derselben Seite
U1I9 nach welcher hin die Linie hR liegt> denken wir uns mit
ler auf dies^e letztere gesetzten Libelle eine Parallele gezogen und
bezeichnen den von dieser Parallele mit der Linie hR eingeschlos-
senen spitzen Winkel, indem wir diesen Winkel als positiv oder
als negativ betrachten, jenachdem die in Rede stehende Parallele
nterhatb oder oberhalb der Linie hR liegt, durch <S>,

Die Neigung der Libelle oder, was Dasselbe ist, der mit ihr
darch den Punkt h gezogenen Parallele, wird wie früher auch
jetzt mit IS bezeichnet.

. Ist nun zuerst J positiv und folglich nach L der Punkt h der
•91 Tiefsten liegende Endpunkt der Linie hR^ so kann, wenn in
Taf. UI. Fig. 6. der Horizont durch die Linie hA, die von h aus
mit der Libelle parallel gezogene Linie durch hB dargestellt
wird. In Bezug auf die gegenseitige Lage der drei Linien hR^
LAt hB bloss einer der drei in Taf. IJI. Fig. 6. dargestellten und
4iirch (a),; (b)» (<^) bezeichneten Fälle eintreten. In dem ersten
in Taf. IH. Fig. 6. (a) dargestellten Falle sind N und (Z> positiv,
tnd es ist offenbar

In dem zweiten in Taf. III. Fig. 6. (b) dargestellten Falle ist N posi-
tiv, O negativ, also — Q> positiv, und es ist offenbar (— 0)+Jz=iN,
also wieder

Id dem dritten in Taf. III. Fig. 6. (c) dargestellten Falle ist iV nega-
tiv, — TV positiv, O positiv, und es ist offenbar ( — iV) + J=:<P,
also irieder

;v+<&=j. '•■■■■■■ ' ■.

■

Ist ferner / negativ und folglich nach 1. der Punkt L der am
Höchsten liegende Endpunkt der Linie LR, so kann, wenn in
Taf. III. Fig. 7. wieder der Horizont durch die Linie LA, die vob -i
L aus mit der Libelle parallel gezogene Linie durch LB darge- j
stellt wird, in Bezug auf die gegenseitige Lage der Linien LR,
LAy LB bloss einer der drei in Taf. Hl. Fig. 7. dargestellten und
Aurch (a), (b), (cj bezeichneten Fälle eintreten. In dem ersten
hl Taf. HL Fig. 7. (a) dargestellten Falle ist N positiv, O negativ,
•^ JlP positiv , und offenbar JY + (— J) = ( — <P) , also

In dem zweiten in Taf. HI. Fig. 7. (b) dargestellten Falle ist A f-
negativ, — N positiv^ <Z> negativ, — <P positiv und offenbat ~

(-iV)+(-<P)=(-J), also -

In dem dritten In Taf. HI. Fig. 7. (c) dargestellten Falle ist N M^
gativ, —iV positiv, <P positiv und offenbar <^+(— •/) = (— iV), alsii

Nehmen wir alles Vorhergehende zusammen, so ergiebt sieh»
dass in allen möglichen Fällen die Gleichung

In völliger Allgemeinheit gültig ist.

5.

Wenn man auf die vorher betrachtete Linie LR das Niveau,
welches wir durch NJ bezeichnen wollen, ein zweites Mal so
aufsetzt, dass seine Fusspunkte mit einander verwechselt werden,
oder, wie man zu sagen pflegt, das Niveau umgekehrt wird, und
man dann die den bei der ersten Aufstellung in 4. durch N und
^' bezeichneten Grössen entsprechenden Grössen bei der zweiten
Aufstellung durch N' und O' bezeichnet, so hat man zuvörderst
natürlich gams wie in 4. die Gleichung

* - »

avfsserdem abbr auch noch die aus einer blossen Ansichf vM
Taf. 111. Fig. 8. sich auf der Stelle ergebende Gleichung!'

#

'JUArAMMpfH uMn^iw9tui&ttd$ MBiä^St»

6.

■i .

Hittekt der drei in 4. und 5. bewietenen Gleichungen

■

kmn man J, <P, O' bloss durch N und N' ausdrflcken; man er-
hilt Dämlich mitteist leichter Rechnung:

/= k » <P= ö f <P = zi

7.

Da« allgemeine Verfahren, den Neifsrun^swiokel einer Linie
LR gegen den Horizont mit Hülfe des Niveau's zu messen, ist
folgendes.

Man setze das Piiiveau zwei Mal auf die Linie LR auf, das
nreite Mal in umgekehrter Lage, und lese beide Mal die beiden
Eadpnnkte dar Luftblase links und rechts ab.

Sind nun unter Voraussetzung der ersten der beiden aus dem
Obigen bekannten Einrichtungen des Niv^au's die Resultate der
Ablesungen bei der ersten und zweiten Aufstellung des Niveau's
resppctive A, q und k\ q' ; so ist mit Beibehaltung aller im Vor-
hergehenden eingeführten Bezeichnungen nach 2.:

oacb A. ist aber

also

iV=^, N' = '-{-^;

J— 2—,

q + XQ-Kg-FgO

«' = 4

Aach ist nach 6.:

®=— 2 — . *' = — 2— ;

•iao':

<P_ j ,

I

^,^(i=il±i£zV).

4

Sind unter Voraussetzung der zweiten der beiden ans * dem
Obigen bekanVifen Einrichtungen des Niveau*s die Resaltate der
Ablesungen bei der ersten und zweiten Aufstellung des Niveau's
respective l, r und P, r* ; so Ist nach 3.:

r— / r'— /'

nach 6. ist aber

also

Auch i«t nach 6.:

'• • '

also :

•*

0)- 3

8.

Das beste Verfahren» die Linie LR horizontal zu stellen und
zugleich auch das Niveau zu berichtigen, ist folgendes.

Man stelle das Niveau auf der Linie LR auf und mache, die
erste Einrichtung des Niveau's vorausgesetzt, die Ablesungen l, q^
hierauf kehre man das Niveau um und mache die Ablesungen
Xf , q' ; dann schraube man die Linie LR so lange, bis die An-
gaben des Niveau's links und rechts respective i(A' — ^) und 1{q' — q)
sind, so ist die Linie LR horizontal.

Bezeichnen wir nämlich, alle früheren Bezeichnungen beibe-
haltend, die Neigung des Niveau's nach der letzten Operation
durch N", so ist nach 2.: * •

jy _ _ ___ j .

«Ml Rtekmmtem mmumenätnäe Metkmk.-^ 166

Nao ist aber iwdi 7.:

4>_ j .

■Im»

folglich, weil bekanntlich

ist:

N'^N'-J oder J=N'-N'.
Nnn Hegt es aber iii der Natur des angewandten Verfahrens, dass

■

ist, wo J" die Neigung der Linie LR nach der letzten Opera*
tioo bezeichDet; also ist nach dem Vorhergehenden

J^J^J". folglich J''=zJ^J=zO

und die Linie LR Ist daher nach der letzten Operation borizoD-
tal, wie behauptet wurde.

Unter Voraussetzung der zweiten Einrichtung des NtveaQ*8
terfahrt man im Allgemeinen ganz wie vorher; und hat man dann
bei der ersten Aufstellung des Niveau's die Ablesungen l, r, nach
der Umkehrung desselben die Ablesungen P ,r' gemacht; so schraobt
man zuletzt die Linie LR so lange, bis die Angaben des Niveaa*8
links und rechts respcctive |(r-f O und Hl+r') sind, wonach
die Linie LR horizontal sein wird.

Nach 3. ist nSmIich

also, weil nach 7.:

®- 4

i«C:

folglich, weil bekanntlich

iV' = /— <I>' = J+<P, also 0=zN'^J
ist:

106

GrUtHrt: Neue; bH ffwddüieAm MBS$m§en

N''=N'^J oder J=2V'— TVftfiit -»'»Hr. t..i .„./
Nan liegt es aber in der Natur des angewandten VerfahreDS, daas

ist; also ist nach dem Vorhergehenden

J=-J-J% folglich r^j^j^^q, „.,,,

rs.Mfl

l.'ti i

daher die Linie LR nj^ch der letzten Operation ^ ^rizontal , wie ^
behauptet wurde.

Nachdem map durch das voriiergehende .V'^K^bren die Linie
LH horizontal gestellt hat, braucht man nur» um das darauf stehende i
Niveau züli^eiFichf igen, bloss seine Luftblase miiteJ«! der atn Mivead !
befindlichen Schraube genau in die Mitte der Theilung zu bringen.

• « . \ *

9.,,

■.!. 'I'

f.

Ein anderes in der Praxis sdhr gebrSachIfches Verfahren zur 1
Berichtigung d^sNiveau'^. ist das folgende. Man setzfS; da# .P{i[veaA :
auf die Linie LR und schraube die letztere so Ifkl^ge, ,.bi^ ^
Luftblase in der Mitte der Theilung steht oder eigentlich der.
Mittelpunkt der Luftblase genau mit dem Nullpunkte der Scale
zusammen Hillt^, so dass also, wenn k und q die AbleiS«rngMi' dev
beiden Enden der Blase sind, A, -f- ^ = 0 ist. Kehrt man hierauf [
das Niveau, um und sind dann k* und q' die Ablesungen der beU ;
den Endpunkte der Blase, so ist nach 7.: •- '

(k + k') + (Q-i-Q')_k'+Q'

und nach 2. ist

\ :

Bezeichnen wir den Abstand des Mittelpunkts der Luftblase tod
dem Nullpunkte der Soa4^ durch fi/ so ist, weil man V und q'
als Abscissen der Endpunkte der Blase betrachten kann, nach
den Lehren der analytischen Geometrie in vulliger Allgemeinbettt

A' + 9'
also nach dem Vorhergehenden:

7 = i^, N'=:tl.

mä Bßcknmnpen mmuwenäenäe Meiked». 167

man dvd nach der Umkehrnnf^ des Niveav's die LiDie
LR 80 lange, bis der Abstand des Mittelpunkts der Luftblase von
dem Nullpunkte der 8cale ifi ist, so sind die entsprechenden Ab-
lesungen der Endpunkte der Luftblase offenbar X' — «fi und 9' — ifi,
folglieb nach 2.:

ly — ^ — ^ — 2 — sf*'

In der Natur des angewandten Verfahrens liegt es aber, dass

Ist; also ist nach dem Vorhergehenden

folglieh die Linie LR horixontal. Bringt man also jetst die Luft«
blase des auf der Linie LR stehenden Niveau's durch die an
letzterem befindlichen Schrauben in die Mitte der Scale, so dass
aSmlicb der Mittelpunkt der Luftblase mit dem Nullpunkte der
Scale zusammenlallt, so ist das Niveau berichtigt.

• Das hieraus sich ergebende Verfahren ztir Berichtigung des
NiTeans ist also in der Kurze folgendes. Man setze das Niveau'
auf die Linie LRy und bringe durch Schrauben der letzteren die
Luftblase in die Mitte der Theilung, so dass der Mittelpunkt der
Luftblase mit dem Nullpunkte der Scale zusammenfallt. Dann
kehre man das Niveau um, beurtheile den Abstand a des Mittel*.
^nkt0 der Luftblase von dem Nullpunkte der Scale, schraube'
die Linie LR so lange, bis der Abstand des Mittelpunkts der
Luftblase von dem Nullpunkte der Scale nur \\il ist, worauf die
Linie LR horizontal oder nivellirt sein wird, und bringe dann die
Luftblase durch die dazu an dem Niveau befindliche Schraube in
die Mitte der Theilung, so dass der Mittelpunkt der Luftblase
mit dem Nullpunkte der Scale zusammeoftillt, so wird das Niveau
berichtigt sein.

Gewöhnlich wird, eine Wiederholung dieses Verfahrens erfor*
derlicb sein, bis das Niveau sich als vollständig berichtigt erweist,
•o dass nSmIich die Blase bei*m Umkehren des Niveftu's in deit
Mitte stehen bleibt.

Nachdem wir jetzt die allgemeine Theorie des Niveau'« ent»
wiekeil iluJ^n, kehren wir wieder zu unserem eigentlichen Ge^
genatande zurüdsy and wollen daher nnn zeigen, wie roao'mit'

168 6run€ri: Neu§, M g€OdaH$ckmMe$nm§en

Hölfe des Ntvean's einer geraden Linie eine bdieiiige» 'jedodi
nicht sehr grosse» Neigung gegen den Horizont geben kann, bd*
merken aber vorher ioi AlJgenieinen noch Folgendes.

WiBnn wir das vullig anberichtigte Nivead fläf der beliebigem
geraden Linie LR aufstellen, und den Neigungswinkel des Niveau*«
und der Linie LR gegen den Horizont respeciive diirch.iV und J,
die Ablesungen, der beiden Endpunkte der Blase aber durch l .
und Q bezeichnen; so ist nach der allgemeinen Theoriei .des Ni^- : ^
veau's, indem O seine aus dem Vorhergehenden bekannte Bedeit ^j
tung behält: .^

Schraubt man jetzt die Linie LR, bis die Blase links und rechts
Xi und Qi zeigt, so ist In analoger Bezeichnoog nie vorher:

■^■'Ri

Also ist . . ^y^'ü

oder .->i

Nun liegt es aber in der Natur des angewandten Verfahreott,
weil bei demselben das Niveau in beiden Lagen der Linie LR
gegen diese Linie ganz dieselbe Lage behalt, dass (Z>=(I>| isU s
wobei man sich aus dem Vorhergehenden an die Bedeutung det i.
l^inkel 0 und (Z>i erinnern muss; also ist \ «

f f — ^ + g h + Q\ "^

folglich

und wenn 1 4-^=0 ist:

wobei kaum noch besonders bemerkt zu werden braucht, dass die
Bedingung A-f^ = 0 allemal dann erfüllt ist, wenn die Luftblase
genau in der Mitte der Theilung steht oder der Mittelpunkt der
Bbise mit dem Nullpunkte der Scale zasammenfallt

tauf Reeknungen anzuwendende Metkode, 169

Wir wollen nun das Niveau so einrichten, dass der eine sei-
ler beiden FiSLSse mittelst einer sehr feinen Schraube oder irgend
iaer anderen zweckmässigen Vorrichtung um etwas IVIerkliches
erlfiDi^rt oder verkürzt werden kann, und uns vornehmen, einer
iaie LR eine bestimmte, als gegeben zu betrachtende Neigung /
Bgeo den Horizont zu geben.

fllan setze das Niveau auf die Linie LR und bringe durch
ebraoben der Linie LR die Luftblase genau in die Mitte der
heiinng, bei welcher Lage der Linie iL>/2 wir ihre Neigung gegen
« Horizont durch J bezeichnen wollen. Hierauf schraube' man
e Linie LR ferner, bis die Blase links und rechts l^ und ^i^
figt, and bezeichne jetzt die Neigung der Linie LR gegen den
orisont durch «/|, so ist nach dem Obigen

ieraaf bringe man durch Drehung der Schraube an dem einen
osse des Niveau's die Blase genau in die Mitte der Theilung,
obei die Neigung J^ der Linie LR gegen den Horizont ganz
Dgeändert bleibt, schraube dann die Linie LR so lange, bis die
läse links und rechts X^ und q.^ zeigt, und bezeichne jetzt die
leigunf^ der Linie LR ge'gen den Horizont durch J^, so ist nach
en Obigen

j f 1 ^2 + Pa

•^2 — •'IT 2 '

(an bringe man durch Drehung der Schraube an dem einen Fusse
Ica Niveau's die Blase genau in die Mitte der Theilung, wobei
Be Neigung J^ der Linie LR gegen den Horizont ganz ungeän-
iert bleibt, schraube dann die Linie LR so lange, bis die Blase
inks und rechts A3 und ^3 zeigt, und bezeichne jetzt die Neigung
1er Linie LR gegen den Horizont durch J3, so ist nach dem Obigen

/ — 7 I ^3 + ga
•/a — «'aT 2

Wie man dieses Verfahren auf dieselbe Art immer weiter
brtsetzen kann, ist klar, und man wird sich durch dasselbe, wie
ireit man es auch fortsetzen mag, im Allgemeinen immer eine
Keibe Gleichungen von der Form

r 1 ■ ^i + gi

Ji — •/ -| 2 — »

•^2 — ^i T — 2 — *

Tktil XXIY. 12

170 Gruneri: Neue, dei ffeodäKschin Meimmtfen

•^8 — «^2 T 2

•^4—' •'S"! 2 '

u. s. w.

Jk:=Jk-x+ — 2 —

Terschaffen. Addirt man diese säramtlichen Gleichungen zu <
ander und hebt auf, was sich aufheben lässt, so erhält man
Gleichung

•/* — •/ -| 2 i 2 ' 2 ••••"! 2

oder

«/i =: «/ i : g ^ »

und auf ähnliche Weise:

«'*+i= «^i 2 ^ — 2 — ' 2 — ■" "" "" 2

oder

Ueberhaupt wird das obige Verfahren so lange fortgesetzt , bis

ist. Bestimmt man dann a; mittelst der Gleichung

afe-a:)+ (^A— a:) = 2(/- Jjt),
wodurch man

erhfilt, und setzt nun

PH-i

= p»_,=2i^'+(/-J*)=(/-J*) + 2i=±';

tauf Rechnungen antuwendende Methode, Yf\

M ist nach dem Obigen

»'H-i — •'t 2 *" — 2 r*"* + — 2 — "* 2 ^'

W0gen der Gleichung

«t aber

/-•/* + 2 '

ipo nach dem Obigen

^— •/+— 2~ + "~2~+ ••• +""2~ + 2 •

Ibiglich

Mdaas also jetzt die Neignng Jk^i der Linie LR der gegebenen Nel-
gmig / gletcb ist, und dieser Linie also durch das obige Ver-
fahren in der That die gegebene Neigung I gegen den Horizont
verliehen wird, was eben der Zweck war, den zu erreichen wir
kibsichtigten.

Es Ist klar, dass man bei dem vorstehenden Verfahren die
iHeigong J noth wendig kennen muss. Zu dieser Kenntniss gelangt
>aan aber auf folgende Art. Nachdem man das erste Mal das
ifliveau auf der Linie LR anfs^estellt und durch Schrauben dieser
lliinie die Luftblase in die Mitte der Theilung gebracht hat, kehre
IlMtn das Niveau um und mache links und rechts an der Blase die
I Ablesungen X' und p'; dann ist nach der allgemeinen Theorie
desNiveau's, weil für die erste Aufstellung desselben il-|-^=0 ist:

wodurch man J gefunden hat. Nun kehre man das Nivean wie-
der um, d. h. führe es in seine erste Lage zurück und setze dann
das Verfahren ganz in derselben Weise fort, wie es oben be-
aehrieben worden ist.

Am ZweckmSssigsten scheint es zu sein, sich bei dem obigen
Terfahren eines ursprünglich genau berichtigten Niveau's zu
ledienen, wo dann offenbar .7=0 ist, und also auch in alle obi-
-gn Formeln dieser Werth von J eingeführt werden muss, wo-
larch dieselben an Einfachheit einigermassen gewinnen. Nach
welcher Richtung man die Linie LR schrauben muss, ist in allen
Fällen sehr leicht zu beartheilen.

12*

ITS Gruneri: Neue, bei geodäU$ehen Me$suf^f€n

An dem Niveau des' In meinem Besitz befindlichen, schor
her erwähnten grossen Theodoliten ist der eine seiner b
Füsse so eingerichtet wie Taf. lil. Fig. 9. zeigt. Bei dieser I
durch sieh selbst verständlichen Einrichtung kann der betref
Fuss durch Anziehen der Schraube ^ etwas verlängert, <
Nachlassen der Schraube iS etwas verkürzt werden, wenig
in so fern, als, wenn das Niveau auf der Drehungsaxe des '
rohrs steht, der dem in Rede stehenden Fusse entsprecl
Endpunkt der Libelle nothwendig im ersten Falle etwas erl
im zweiten Falle etwas erniedrigt werden wird. Ich habe
sehr einfache Einrichtung in jeder Beziehung sehr zweckra
gefunden, und bin schon mittelst derselben im Stande, der E
des Limbus des Theodoliten nach dem obigen ¥erfahren
Neigung von einigen Minuten gegen den Horizont zu geben,
ich durch Versuche gefunden habe. Es friige sich, ob man i
ohne eine andere künstlichere Einrichtung zur Verlängerung
Verkürzung des Fusses anzubringen, schon die vorher erwi
Einrichtung so treffen könnte, dass dieselbe es muglich roa
der Ebene des Limbus des Theodoliten noch eine Neigung
mindestens 11 ^ Minute gegen den Horizont zu geben.

C. Sollte man der vorherjrehenden Methode, der Ebeni
Limbus des Theodoliten die erforderliche Neigung gegen der
rizont zu geben, seinen Beifall zu schenken nicht geneigt
so möchte vielleicht eine an dem Fusse des Theodoliten
bringende Mikronieterschraulie sich als ein zur Erreichung
beabsichtigten Zwecks ff(^eijjnetes Hiilfsmittel erweisen. Die
lichkeit, sich dieses Mittels zu bedienen, scheint mir kaum :
felhaft zu sein, weil Professor Stampfer in Wien an den
trefflieben Nivelür- Instrumenten, die in dem dortigen poly
nisclien Institute in so grosser Vollkommenheit verfertigt we
eine Mikrometerschrauhe angebracht hat, welche Neigungsw
der Visirlinie des Fernrohrs gegen den Horizont bis fast zi
Grösse von 8^ mit einer Genauigkeit von 1 bis 2 Secunde
messen gestattet *).

Dass ausser den beiden im Vorhergehenden hesprocli
noch sehr viele anderer Methoden sich denken und angebe»
sen, welche es niöglich machen, der Ebene des Limbus
Theodoliten eine bestimmte Neigung gegen den Horizont zu g
versteht sich von selbst. Ich begnüge mich indess jetzt mii
beiden obigen, von denen mir insbesondere die erste auc
mehrfacher Beziehung ein theoretisches Interesse darzubieten,

*) Anleitung zum Kivelliren. 2. Aufl. S. 77. $. 53.

und Recknun§en amuwendende Methode. 173

den Gebrauch eines so nfitzlichen lustniments, wie das Niveau
•der die Libelle ist, nicht unvi'esentlich zu erweitern scheint. Das
Beste in dieser Beziehung herauszufinden, wird die Aufgabe der
Kinstler sein, wenn man überhaupt den in dieser Abhandlung
liedergelegten Betrachtungen einige Aufmerksamkeit zu schenken
jjtaergt sein sollte.

Nach den bisherigen, vorzugsweise die praktische Seite un-
fsere Gegenstandes betreffenden und, wie ich glaube, hinreichend
•riedigenden Untersuchungen wenden wir uns nun zu der mehr
Aeoretisehen Seite desselben, nämlich zu den Rechnungsnietho-
tfeOy mittelst welcher sius den angestellten Messungen am zweck-
■issigsten die Resultate, deren Gewinnung die Aufgabe jeder
jpessen geodätischen Messung ist, gezogen werden können.

§. 8.

Bei jeder die Meeresflh'che als ellipsoidisch voraussetzenden
igeodätischen Messung muss man von zwei Punkten auf der £rd-
^^^erfläGbe ausgehen, deren Längen, Breiten und Entfernungen
ID dem Mittelpunkte der Erde mit grosser Genauigkeit als be-
innt angenommen werden können. Dass man die Längen von
lern beliebigen Punkte des Aequators an rechnen kann, oder
eigentlich bloss die Längendifferenz der beiden in Rede
(henden Punkte gegeben zu sein braucht, versteht sich von
Ibst Meistens werden übrigens ursprunglich die Längen, Pol-
ihen und Hüben über der Meeresfläche gegeben sein, weshalb
in der Kürze zeigen wollen, wie aus den beiden letzteren
traenten eines Punktes dessen Breite und Entfernung von dem
^Ipunkte der Erde berechnet werden können, wozu die erfor-
liehen Formeln im Wesentlichen schon in §. 7. A. entwickelt
vden sind.

Zuerst berechnet man die Coordinaten x und y mittelst der
Formeln

fl^cosjg b'^aJuB ,

* "" V^a^cos B^ + b^ sin B^ ' ^ "" Va^ cos B^ + bHinB^ *

_ acosB _6V1— e^.sing^

*""V1 — c^sinißa' ^"" VI— c«sini?« '

acos^ a(l — e^)8\nB ^

174 Grüner t: Neue , bei geodätUehen Messun§$n

oder

y 1 + ^tangÄ* , .M«

und hat dann zur Bestimmung der Breite B' und der EotfeniiHlf;^

R vom Mittelpunkte der Erde die Gleichungen f tii

ÄeosÄ'=a? + Acosß, ÄsinÄ' = y + AsinÄ; ^^

au« denen sich .\^^

tangß'=^-— X ö» .^i

^■^ cosÄ'~' ^-~ sinÄ' ,^ei

«BJ^

ergiebt.

Berechnet man den absolut nicht grösser als 00^ zu oebi
den Hülfswinkel 6^ mittelst der Formel

tang 0 == - tang Ä ,

60 ist nach dem Obigen

a?=acos0, y = 6sin0;

mittelst welcher Formeln die Berechnung von x und y aussei
leicht ist. Nicht viel schwieriger ist ferner die Berechnung v0»\b
B' und R nach den obigen Formeln, wobei zugleich die doppelt*
Berechnung von R eine zweckmässige Controle für die Richtig*
kert der ganzen Rechnung darbietet.

Zu zeigen, wie man zu der Kenntniss der Langen, Polhuhen \
und Höben über der Meeresfläche der beiden der ganzen Messung '^
zu Grunde zu legenden Punkte gelangt, gehört hier nicht zu mek^
ner Aufgabe, weil die Bestimmung dieser Elemente grösstentheiU-^
astronomischen Beobachtungen anheim fallt und vorzugsweise den ]
astronomischen Theil der ganzen Operation ausmacht. }

Für nöthig halte ich es aber, um nicht missverstanden
werden, hier noch die folgenden Bemerkungen einzuschalten. Ich '^
habe nämlich gesagt, dass man bei jeder grossen geodätischen j
Operation von zwei Punkten ausgehen müsse, deren Langen,
Breiten und Entfernungen von dem Mittelpunkte der Erde als g6^
nau bekannt angesehen werden können. Dies ist aber nur im
Allgemeinen zu verstehen, und ich habe dabei fur*s Erste nur

umd Reckmungen anauwendenäe Meikode.

175

#Ni mehr theoretiscben Gesichtspunkt im Auge gehabt, aus welchem
iBser GegeDstaofl aufgefasst werden niuss. In der Praxis, wo es
Botbwendig und zweclanSssig ist, so wenig wie möglich Bestim-
AongeD astronomischen Beobachtungen zu entlehnen, die letzte-
ren so viel als möglich entbehrlich zu machen und möglichst Alles
■■f geodätische Messungen zurückzuführen, pflegt man dagegen
snr von einem Punkte der Erdoberfläche auszugehen, dessen
Polhohe ond Höhe über der Meeresfläche, oder die daraus abzu-
leitende Breite und Entfernung von dem Mittelpunkte der Erde,
bekannt sind, und verschafft sich für einen zweiten Punkt der
Erdoberfläche die Längendifferenz in Bezug auf den ersteren Punkt,
die Breite und die Entfernung von dem Mittelpunkte der Erde
durch besondere geodätische Messungen, was dann auf eine soge-
nannte Basismessung u. s. w. führt. Dieser zweite Fall soll wei-
ter unten einer besonderen ausführlichen Besprechung unterworfen
werden. Man sieht aber aus dem Vorhergehenden von selbst,
dmss dieser zweite Fall, nur mit theilweiser Hülfe besonderer
banptsiichlich geodätischer Messungen, uns wieder auf den vor-
her näher bezeichneten ersten Fall zurückführt, so dass wir also
ganz im Rechte zu sein glauben, wenn wir zuerst und vor allen
Dingen jenen ersten Fall, wenn nämlich zwei Punkte, deren Län-
gen, Breiten und Entfernungen von dem Mittelpunkte der Erde
gegeben sind, der Messung zu Grunde gelegt werden, als den all-
gemeineren, einer sorgfältigen Betrachtung unterziehen, was daher
jetxt zuvorderst geschehen soll. Die Zurückführung des zweiten
Falls auf den ersten werden wir, wie schon gesagt, zum Gegen-
stände einer späteren Betrachtung machen.

§. 0.

Wir wollen uns jetzt drei Punkte Aq, Ai, A^ auf der Erd-
eberfläche denken, deren Projectionen auf der Projections-Kugel-
fliche respective Aq' , A^ , A^ sein mügen. Die Längen, Brei-
ten und Entfernungen von dem Mittelpunkte der Erde der Punkte
4i> and Ax sollen als bekannt angenommen und respective durch
A>» ^^ j ^0 und L|, Bi , /?! bezeichnet werden. Dieselben
Elemente L^, B^' , JR^ iur den dritten Punkt A*i zu bestimmen, ist
der eigentliche und letzte Zweck unserer Aufgabe.

Za dem Ende stelle man den Theodoliten etwa zuerst in dem
Pankte Aq so auf, dass die Ebene seines Limbus auf der von
dem Mittelpunkte der Erde nach dem Punkte Aq gezogenen gera-
den Liinie senkrecht steht, und visire mit dem Fernrohre nach^^
mid nach A^\ dann kann man auf dem Limbus des Theodoliten

176

erunerl: Neue, bei geodätiechen Metsunnen

nnraittelbar den Winkel A^' des sphSrischen Dreiecks Aq Ai
und auf dem Hiihenkreise des Theodoliten den Neigongsni
JVgq der Linie A^A^ ?,^?,^^ <'ic Ebene des Limbus des Theodt
liten, d. h. gegen die in dem Punkte j4q auf der von dem
telpunkte der Brde iinch diesen) Punkte (;ezngene gerade I
senkrecbt stehende El)ene, weichen Neignngsn'inkel wir nis poa
tiv oder als negativ Lelrachten wollen, jenaehdem die Linie A
oberhalb odor unlerlialb der in Rede stehenden Ebene lie^t,
leoen. Ganz auT dieselbe Weise stellt man ferner den Theod(
liten in dem Punkte J, auf, und niisst den Winkel Ai des spbl
tischen Dreiecks AJAi'A^ und den eben so wie vorher geh<iri|
als positiv oiier negativ betrachteten Neigungswinkel iV|^ de Ä
Linie AiA<i gegen die Ebene des Limbus des Theodoliten.

Aus den gegebenen LSngen unil ßreid
Ai^ kann man nun zuvörderst die Seite A
Dreiecks Aii'A^'A^' berechnen, Heiehe wir
Sl bezeichnen wollen. Bez-eicfinet nänilicli
P dessen Prejeution auf der Projeclioiis

en der Punkte A^
(,' Ai des sphärisch;
der Kiirze wegen du
I P einen Erdpol \
Kugeiriäcbe,

man oflenbar aus den gegebenen Breiten Bq und ß,' der Pi
Ao und ^, sehr leicht die Seiten AJ P und J,'/*, und aus d(
gegebenen Lungen L^ und i, der Punkte Aa und A^ sehr I
den Winkel P' des sphäriseben Dreiecks Aa' P' A^' ableiten,
kennt also jetzt zwei Seiten und den eingeschlossenen Winke
dieses spbiiriscben Dreiecks, woraus sich dessen Seite A^' A
nach den Regeln der sphfirischen Trigonometrie berechnen lüssi
was hier nicht weiter erläutert zu werden braucht.

Man kann diese Rechnung aber auch nach den folgend«
ganz allgemeinen analytischen Formeln führen. Es werde e
rechtwinkliges Coonlinatensystem der a-r/: zu Grunde gelegt, d
seinen Anfang im Mittelpunkte der Erde h.d; die Ebene der :
sei die Ebene des Erdäquntors; der positive Theil der Axe di
x gehe nach dem Null- oder Anfangspunkte der Längen, der ^i
sitive Theil der Axe der y nach dem neunzigsten Grade der Lff
gen, der positive Theil der Axe der i sei nach dem positiii
Erdpole gerichtet. Bezeichnen wir nun die 180" nicht iiberste
genden Winkel, welche die von dem Mittelpunkte der Erdi
den Punkten Ag und Ai gezogenen geraden Linien mit den poi
tiven Theilen der Axen der a,y,i einschliessen, respective
«0, ßd, /o und d, , ßi, 7,; so ist, wie man sogleich übersieht:

COHK„^COs£oCOS^(,', COSKj ^COS tj^CI

cosj5ü=6ini.,cosÄo'. cosft =:sin Jl^ ci

*ß,'.

tMMf Reckmmgen amnuwendende Metkode, 177

ttolst welcher Fonneln die Winkel c^, A)* ^o ^^^^ ^i* ßi» Yi
ieht berechnet werden können. Dann hat man zur Berechnung
n Sl die Formel

cos Sl = cos «0 cos «i -f cos ßo cos ßi -f cos Yq cosyi ,

so nach dem Obigen:

mSl=: B\nBQ's\nBi' + (co8 LQC09Li + mnLo9\nLi)co»BoC08Bi%

Iglich:

cobSI =1 Bin Bq' sin Bi + cos Bo'cosBiCosiLo — Li),

eiche Formel ganz allgemein ist

Bei wirklichen praktischen Anwendungen wird man gewiss
ist immer annehmen können, dass B^i^ und Bi' gleiche Vorzeichen
aben und der absolute Werth von X^— X^ nicht grösser als 90^
ft Dann ist

co8lifo'co8Äi'cos(Lo— I^i) .j^, . o , ,r T \
\^^Bj^^^^ß^. = cotÄo'cotÄ,'cos(Zo-X'i)

■enhar eine positive Grösse , und man kann daher den HOlfs-
rinkel O mittelst der Formel

tang 0 = V cot Bo' cot ßi ' cos (X© — L{i
lerechnen» worauf

cos Sl = sin ^o'sin ^1 ' { 1 -f cot ^q'^^^^^ ^i'cos {Lq — Xri) }
= sinÄo'sin^x'(l+tang02)=sinÄo'sini5i'sece«,

ilso

_ smBi^*»mBi

cos Ä = Zio— ^

cos0^

it» Die Formeln

tang0=Vcot^o'cotÄi'cos(lo— Xi),

_ singp^sin^i^
cos ^l = ^äs —

eetatten, insofern man sich zu den obigen Annahmen berechtigt
alten darf ^ eine sehr einfache und leichte Berechnung der Seite Sl.

Aus der Seite AqAi'=.SI und den beiden daran liegenden
emessenen Winkeln ^o^und^^i' des sphärischen Dreiecks A^A^A^.
ann man nun die Seiten A^A^ und AiA^ dieses sphärischen

178 Grünere: Neue, bei geedäüechen Meesumgm

Dreiecks, die wir respective durch ^o ^^^ &i bezeichnen wolleop
berechnen. Da diese Rechnung bei der Fortführung der geodSri
tischen Messung über das ganze Netz immer wiederkehrt, «o
wollen wir dieselbe etwas ausführlicher erläutern.

Das erste und eigentlich vorzüglichste Mittel zur Berechnung
der Seiten A^'A^ und A^*A^ aus den gegebenen Stücken A^i
A^Ax i Ai', .. zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite, de»
sphärischen Dreiecks A^^A^A^ bieten die beiden folgenden Me*
per 'sehen Analogieen dar:

und ich wüsste in der That auch gar kein besseres und zweck-
massigeres Mittel, um zu dem gesuchten Resultate zu gelangen,
als diese beiden vortrefflichen Formeln.

Man kann sich aber auch der folgenden Reihen bedienen, die ]
aus den in dem Aufsatze: Archiv der Mathematik und^^
Physik. Tb eil XVIII. Nr. XXX.*) entwickelten allgeraeiD^
Reihen leicht abgeleitet werden.

• i

I. Wenn tang5^o't2ingMi'<l ist:

HAo'A^' + Ai'A^')= kAo'Ai' + \t&nglAo'taingiAi's\n{l.Ao'Ai') '

+ i (tang f,^o'ta"g hAi')^sm (2 . A'^,0 '
+ Ktangi^„'tangJ^,0äsin(3.^o'^i') '
+ |(tangMo'tangi^i')*sm(4.^o'^,Ö " *
+ ■ • ,

II. Wenn tang J^«' tang 4^1 "> 1 ist: ' ;
i (Ao'At' + Ai 'Ai')=—lAo'Ai' — i cot Mo' cot ^i'sin (1 , A^'Ai')

— l(cotiAo'cotlAi')^s\n('i.Ao'Ai') ■.

— HcotlAo'cotiAi'fsm&.A^'Ai')

— l(cotlAo'cotkAi')*sin(4.Ao'4i')i

*) M. t.anch Archiv der Mathem. u. Phyt. Tbl. XIX. Nr. XII.

R€Chmm§en wnuwendende Metkmie.

179

Ferner

1* Wenn Uin^\A^'coi\A^' <,l ist:

0

+ 4 (tang J^o' cot iiliO^sin (2. Aq'A^ ')
— Ktangi/^o'cotii^iO'sin (3..V40
+ J(tang4ilo'cotMi')*sin(4. ^o'4')

U» Wenn tang J^o' cot J^lj' > 1 ist:
l(4o'4'— i<i'i<a')=-4^o'^i'+ i cot Mo'tangi^i'sin (1 . A^'A^")

— KcotMo'tangMi')*sin(2. .lo'^iO

+ l(cot Jilo'tang4/4,0»8in(3.ilo'^iO

- \ (cot J^o'tang4/4,0*sin(4.^o'^i0
+

Dass man jetzt bloss mittelst der Regeln der sphärischen
Trigonometrie die Länge und Breite des Punktes A^ wurde be-
rechnen können, erhellet sehr leicht und bedarf einer weiteren
triauterung hier nicht Da man aber bei dieser Rechnung, der
ferschiedenen Fälle wegen, die vorkommen können, der Hülfe
einer Figur nicht wohl wird entbehren können, so scheinen mir
immer ganz allgemeine analytische Formeln, die das Zurückgehen
aof eine Figur ganz unnöthig machen, den Vorzug vor den ge-
wöhnlichen Regeln der sphärischen Trigonometrie zu verdienen.
Dergleichen ganz allgemeine analytische Formeln« die, wie ich
glaube, Anspruch auf eine gewisse Eleganz machen dürfen, werde
ich im Folgenden entwickeln ; um jedoch diese Entwickelung als
ein mui^lichst selbstständiges Ganzes, unabhängig von den übrigen
Betrachtungen, darzustellen, will ich dieselbe bis zum Schluss
dieses Paragraphen aufsparen, und daher vorher noch zeigen, wie
die Entfernung des Punktes A^ von dem Mittelpunkte der Erde
berechnet werden kann, wozu die bisher gewonnenen Resultate
▼ullig hinreichend sind.

Den Coefßcienten der terrestrischen Refraction für die Tem-
peratur 0 und die Barometerhühe 0'",76 wollen wir durch k be<
zeichnen, so ist der Refractions-Coefficient für die Temperatur t
nach dem hunderttheiligen Thermometer und die Barometerhöhe
h nach dem metrischen Barometer, weil der Refractions-Coefficient
der Dichte der Luft proportional gesetzt werden kann:

180 GrunerJ: Neue, bei geodäUtehen Meenrngen

bk

0^,76.(1+0,00375.0'

oder fik, wenn wir der Kürze wegen

b

/*- 0^,76.(1 + 0,00375.0
setzen.

För die Punkte Jq und Ai sei nun respective

^o ^

'*o"0'»,76.(l+0,00375./o)' ''*~'0«,76. (1+0,00376./,)'

wo /q, 6o und f|, bi gleichzeitig mit der Winkelmessung auf den
Punkten Aq und Ai am Thermometer und Barometer beobachtet
worden sind; dann sind nach dem bekannten Hauptsatze der
Theorie der terrestrischen Refraction, in seiner gewöhnlichen Ge*
stalt, die Refractionen in den Punkten Aq und Ai respective:

kiio.Ao'A2 und kni.Ai'A^'

oder in der oben eingeführten abkürzenden Bezeichnung :

ktiiyßo und kfiidi.

Also sind die wahren Neigungswinkel der Linien AqA^ und AiA^
gegen die Ebene des Limbus des Theodoliten:

^o>2 — ^f*oöo und iVi,2— Ä-fiiöi,

welche wir im Folgenden durch Nq und iV, bezeichnen wolleni
so dass also

iVo=iVo,2-"^|^oöo und iV, =iVi,2— Ä:|Ltiöi

ist, indem immer Nq,*^ und Ni,2 die wirklich beobachteten
Neigungswinkel der Linien AqA2 und AiA^ gegen die Ebene
des Limbus des Theodoliten bezeichnen. Nun haben wir in den
ebenen Dreiecken AqOA^ und A1OA2 offenbar die folgenden Pro-
portionen :

Äo:/?2=sin{180o~öo-(90« + iVo)|:sin(90o + iVo)»
Äi:Äa=sinll80O-öi — (90<> + iVi)}:sin(90o+iVi);

oder:

ßo:ßa=sin{90O-(öo+iVo)}:sin(90o+iVo),
Äi:Äa=sin{900— (öi+iVi)}:sin(90o+iV,);

also:

tMtf Reckmunien atntuwendenäe Methode.

181

Rq'.R%-=^ cos (Öo + iVo) icosiVo*
RxiR^^Q0s{6i +2Vi):cosiVi.

Uieraos folgt:
i2,=

COS

iVo

cos (Öo + iVo)

«0» Ä^^

cosiVi

cos(Öi+7Vi)

Rx \

ibo

•der

Äi cosiVoCosffl -\-Ni)

J^""C0siVi C08(öo + -^o) *

Jgt__cos(JVo^r~A:/ioÖo)co8iiV;,a + (^ - ^l^i)^i>

■Htdst welcher Gleichung k bestimmt werden muss.

Man kann diese Gleichung auf folgende Art ausdrücken:

oder:

Ri __ cos Ol 1 — tangöi tang(iVt,a — ^fß^di)
i^ "" cos öo ' 1 — taug öo tang (iVo,«— ^fto^o)

Ri cos (9o _ 1 — tang ^1 tang (ZVi^ — ^f*i^i)
^o C08 öx ~" 1 — tang öo tang (ÜVo^ — AfAoöo) '

Behufs einer ersten Näherung setze man :

tang (iVo,2 — A-/ioöo) = tang ^o»a - ^^^ ® a »

'o>a

tang (2Vi,2— ArfiiÖi) = tajigiVi,«- ^J^^a »

1'2

10 wird

Ri cos ^0

1 - tang öl tang iVj ^ + Ä-fii ßi ^^^^

1 — tang öo tangiVo,a + Arfi^öo ^^— a

'o>a

sin^i

^cosfloCosiVo^ cos^iCo«^i>a~si"gi8S"iVi>a + ^fii^i^;;^f;;

eosdiCosiVi,a ^ • z» • ;ir i # /» »'»"^o *

cosöoCOSiVo,2 — ßinöoSiniVo,2 + Äfioöo -r--5|f2-

sin iV/\««

ibo

'o^a

i24)COsiVo»a //^ . Ttr \ . f ^ sinÖA

'0^

18S Grun^rt: Neue, bH giOdMieken M€9ilm§9n

woraus sich

. "^ COSiVo,2 ^ C0siVi,2

und wenn man, unter der Voraussetzung, dass ^o ^^^ ^
klein sind, für Bq und d^ näherungsweise respective sind(
sin^i setzt:

^ cos(^o + iVo,2)_^ cos(öi+jri,a)
^ cosiVo,a *^ cosiVi,a

* =

/ sin Ö, \* -, / sinÖo \

Wie man, wenn man mittelst dieser Formeln einen <
Näherungswertb für k gefunden hat, dann auch mittelst
obigen Gleichung diese Grösse leicht völlig genau bere
kann, wird einer weiteren Erläuterung hier nicht bedürfen,
dem man aber k gefunden hat, erhält man R^ leicht m
einer der beiden aus dem Obigen bekannten Formeln:

o _ cosJVq ^ cosiVi p

^*"^cos(6o+iVo) ^' ^*~cos(öi+iVi)"^'

wo

ist, und zugleich die doppelte Berechnung von /?2 nach dei
den vorstehenden Formeln eine Controie für die Richtigke
ganzen geführten Rechnung darbietet.

Hiernach wollen wir nun endlich zur Entwickelung der
oben erwähnten allgemeinen Formeln zur Berechnung der I
Z/2 und Breite B*^ des Punktes Atj^ übergehen.

Bezeichnen wir die 180® nicht übersteigenden Winkel, vi
die von dem Mittelpunkte der Erde nach dem Punkte A.^ gez«
gerade Linie mit den positiven Theilen der Axen der a:,y, ;
schliesst, durch 0^29 ß^, 72» ^^ kommt zunächst Alles au
Bestimmung dieser drei Winkel an, weil sich, wie man so\
übersieht, die Länge und Breite L^, und Bc^ aus diesen drei
kein leicht berechnen lassen werden. Die Lehren der analyti
Geometrie liefern uns aber zu der Bestimmung der drei in
stehenden Winkel unmittelbar die drei folgenden Gleichunge

cos 65 = cos «0 cos ^ + cos jSo cos j^a + cos yo cos ya »

«MnI Bieknmnffem mnuwenniende MetMotU.

183

eo86>i s=co8ori cosa2+<^os A cosjS^ + cos/i C0BY2,

co8oi* + co8/5a* + cosya* =s 1 ;

irobei natürlich d^ und ßi als bekannt vorausgesetzt werden, wo-
ni wir nach dem Vorhergehenden berechtigt sind. Die Bestim-
fflong der drei Winkel 1x2' ß^^ /a &us diesen drei Gleichungen«
Munentlich in mugiichst eleganter Form, ist nicht ganz leicht,
irenn man sich dabei • nicht eines Kunstgriffs bedient Dieser
Knostgriff IcTt folgender.

Wenn der Kfirze wegen

(cos Oq — cos cfi cos Sl) cos öo + (cos cfi — cos «0 cos Sl) cos öl

sin Sl^

-j (cos ft)— cos ßi cos Sl) cos Oq + (cos ßi — cos Po cos Sl) cos 61

.^ (cos yo — cos yt cos Sl) cos Öp + (cos yi — cos yp cos Sl) cos öj

'^"" sin^a

I. ^

Ignetst wird, so setze man

C0SCf2 = '^-f ^9

cosj33=J?+F,

cosy3 = C+Z;

|ind führe nun X, F, Z statt 02, ß^» yi als unbekannte Grossen ein.

Zu dem Ende überzeugt man sich, mit Rücksicht darauf, dass
IkbQDtlich

cos Sl = cos «0 cos «1 + cos ß^ cos Pi + cos yo cos yi

Ita, ZQvurderst sogleich von der Richtigkeit der zwei folgenden
[BelatioDen :

A cos «0 + -ß cos j^o + Ccosyo = cos % ,
A cos «1 + iB cos j^i + (7 cos y^ = cos öi ;

[iBdweil nun

cos «0 <^ös «2 + COS ß^ cos |52 + cos y0 cos y2 = cos ö© »

. > >■ •

1/ MW IV -|Ä« #V #ÄI V

cos «1 cos «2 + cos ßx cos ß^ + cos yi cos y2 = cos öj

!> 80 ergeben sich aus dem Obigen offenbar sogleich die beiden
Menden Gleichungen:

cosao--^+cos(?o« F+cosyo.Z=0,'
€681)^ . JC-f cos j?i . F+cosyi . Zs=Ol

184 &runeri: Nene, bei ffeadäiiseAm Mütumjen

Drückt man fenier die Grussen A» B, Cauf folgeode Art
cos Oq cos Öq + cos cti cos 6i — cos Sl (cos ctp C08 6i + cos a-i cos

p — ^^^ Po cos Öq -f COS ßi cos öj — cos Sl (cos P0 cos $1 + cos Pi CQg
COS yo cos öo + cos yi cos 61 — cos Sl (cos yp cos öj + cosyi cos

60 erhält man leicht:

(i4« + fia+C«)slni24
= (1 + cos S}?) (cos Öo* + cos öl* -h 2 cos i2 cos öo cos O^)

— 2 cos Sl (cos «0 cos Bq + cos Cfi cos öl) (cos «0 cos öl + cos Cfi CO

— 2 cos Si (cos Pq cos Öo + cos ft cos öl) (cos j^o cos öl + cos ßi CO

— 2 COS Sl (cos yo cos Öq + cos yi cos 61 ) (cos y© cos öi + cos yi co

= (1 + cos SV^) (cos öo* + cos Öl* + 2 cos Ä cos öo cos öi)

— 2 cos Sl { cos Sl (cos öo* + cos öi*) + 2 cos Öo cos öi l

= sinÄ*(cosöo* + cosöi*— 2co8i2cosöoCOSÖi), *

also

A^ , p^ . ^9_cosöo*4-cosöi*--2cosi2cosöocosöi
' ' sin Sl^

Auf der Stelle erhellet aber wegen der Gleichungen

cosao'-^ + cosj?0' ^ + cosyo. Z=:0,
cos«i.-3r+ cosj^i . F+ cosyi .Z=0

auch, dass

AX^BY^CZ={i

ist; daher ist, wie man sogleich findet, wenn man die Gleichu

cos a2 = A-l-Äy
cosß2 = B+Y,
cosy2= C+Z

quadrirt und dann zu einander addirt:

l=(il*+fi*+C*) + (i*+ T^+Z^),

mml Reehnungen mnuwendende Methode. 185

abo

ud felglich nach dem Vorhergehenden:

sini$2^

Also haben wir zur Bestimmung von X, F, Z jet7«t die drei
Ugeoden Gleichungen:

coscro*^ + cos/?o. F-|-co8yo*^=0«

coscTi .jr-|-cos/3|. F+cosyi.Z=0,

¥-•■ vra.iT« 1 COSÖo^ + COSÖi* — 2cOSÄC08doC08di

^ + F>+Z«=l ^gjj5

Im deo beiden ersten Gleichungen ergiebt sich :

_^ COS^oCOStti — COSCXoCOS/i Y

cosßQCosyi — cosy^cosfii '

„ cos cfp COS ßi — cos j^o cos «i y^

cos ßo cos yi — cos y,, cos ßi '

X^+Y^ + 2^

(cos j3o cos yi — cos y^ cos ft)* ^

= (cos «0 cos ßi — cos j^o cos «i)*

f (cos ßo cos yi — cos /o cos j5, )*

+ (cos yo cos cfi — cos Oq cos yi)*

= (cos Oy* + cos j3o^ + cos y<j*) (cos «i^ -J- cos /Jj* -f cos y^^

— cos «0^ cos ofi^ — cos j^o^cos ßi^ — cos yo^cosyi*

— 2 cos cfQ cos «1 cos j^o cos ßi

— 2 cos ßo cos ßi cos yo cos y^

— 2 cosyo cos yi cos o^ cos «i

= 1 — (cos«oCoscfi +C0S j^ocosj^i -f cosyocosyj^)*

= l-cosÄ2=zsinÄa,
Mglich

■»« «»« »4k siw Ä* __^

' ' (cos Po cos yi — tos y© cos pijr

Tktil XXIV. 13

18B Grüner i: Mum, M gwdäUtekem Miuntmm

also wegen der dritten der drei zwischen X, T, Z Statt
den Gleichungen:

v_ 1 cos/?ocosyi— cosyocosft4/"^ co»6^^-|-cos(?£^2cosilcas(9<

Daher ist mit Beziehung der oberen und unteren Zeicl
eiiMuider nach dem Obigen überhaupt:

y , cos/?ocosyi— cogy0CO8ft4/ cosdl+cosß] — !2cos Slcosdi

^ . cosypcosofi— coso^cosyi 4 /^ cos öp+cos 6* — ^^cosllcosöc

cosc<öcosft*-cos)8ocos«i4/ " cos^p-fcos^^—^cos ^os^
sInA 1 sinÄ^ ~

Setzen «wir der Kürze wegen

_ ^^^"^ cosX^cnsJSfo
^-" siniß ^ BinSl '

' cosj^o ^^ sinXoCosJgo

^« "" sinÄ "~ ii^ '

^^ cos yo sin J?o ,

^'-" sTnÄ — linÄ '

coscfi cos Li cos Bi

* sini^ sin Sl

K. — CQsft ^^ sin Xi cos J^
^ "" sin 52 sinü

cos 71 sin^i .
^ sin 52 sin Ä *

so Ist:

^ *^ sinÄ' ^—sinÄ'

^=(a^ — a]^cosi$2)ilQ-f («j — Oq cos i2)X|,
J5=(Äo — bi cos SI)Xq + (bi^ boCOBSl)li y
C=(c^—Ci cos A)io + (ci—-ro cos 52)^1

und

MMf Reekmmgen amutwtndemäe äfeikoä$.

IST

F=
Z:

:dfc(öo*i— *oai)smÄVl-(V + V-2AoAiC08Ä);

•der:

^=«o(^— 4 cos •^) + «1 (^
Ä==Äo(^-A,cosÄ) + *i(A,

AoCosA),

od

Jf=±(ftoCi -Cofti)sinÄ V 1 -(V+>ti*-2Aoii cosÄ),
F= db («o«! - «o<?i) sin Ä VI- (V+>ti^— 2Ao;Li cos ä)",
Z = ± («0*1 — ^ofli) «in Ä V 1— (V+^*— 2Ao;L, coaSl);

•der:

C=(co~Ci)(Ao

li) cos J i22 + («0+ «i) (^+Ai) sin JA«,
ai)cosii2«+(6o+fti)(^+Xi)sin4Ä2,
.Ai)cosJÄa+(co+cJ(Ao+Ai)siiiJÄ«

md

•der:

•Co*i) sin Sl V'^l-CAo— ;L,)«cosiÄ«-(Ao + ;L,)«siniÄa
• flo^i)sin Ä V^l — (Ao — it|)*cosiii2_(;i^^;ti)*si„ißa^

- 6oai) sinÄ Vi— (Aq— Ai)2coßiii2_(;i^^;t,)2sin4Ä2;

^ = (ao-ai)(Ao— Ai) + 2(cioAi + «iAo)sin|Ä2,

J?=(6o— 6x) (Ao— Ai) + 2(Mi + 6iAo)siniÄa,
C=:(Co-c,) (Ao— Ai) +2(coAi +cM sinlÄ«

Qd

:+(Vi— <?o*i)sin.ßVl— (Ao-Ai)«— 4AoAisiniÄa,
: ± (coai— fioCi) sin ß Vi— (Ao-Ai)2-4AoAisin4Ää,

F:

Z = ± (ao6i - Äofli) »in Ä V 1 ~(Ao— A|)a— 4AoilisiniÄ«;

•der:

13 •

188 ßruneri: Neue, bei gepdättschen Messungen

il=(ao + ai)(Xo + ^)-2(aoXi + öiXo)cosiÄ«,

C=(co + Ci)(^ + Ai)— 2(coAi+Ci^)cosJÄa
nnd

^=± (6oCi — Co^i) sin -^ V^I - (Ao f h)^ + 4AoAi cos 4 Ä*,
F=±(coöi— ao<?i)sin'^Vl— (Ao + Ai)2 + 4io;iCosiÄa,
^ = ±(Mi— Vi)siniiVl~(Ao + Ai)^ + 4AoAiCüsiiß«. \

y

Die Berechnung der Wurzelgrosse erleichtert man sieh anfj
folgende Art« wobei wir natGrÜch annehmen« dass

ji

V^l — (Ao - Ai)2 — 4AoA, sin i Ä« '■

und 'A

V^l - (Ao + A,)« + 4AoAi cos 4 Ä«
beide reell, also

1 — (Ao-Ai)«— 4AoAisinii2a und 1 — (Ao + Ai)*+4AoAiCos JA« jii
beide positiv sind. Ji-

I. Wenn 1 — (Aq — Aj)* positiv und auch AqAi positiv ist, sO'

kann man :ie

setzen, wo

4AoA| sin \Sl^ >

l-(Ao~Ai)2

positiv ist. i^

II. Wenn 1 — (Ao— Ai)« positiv und AqA, negativ ist, so ist,
weil

l-(Ao + Ai)«+4AoAiCosiÄ2
positiv ist, 1 — (Ao + Ai)* positiv, und man kann also

setzen, wo

— 4AoAtCosii2«
l-(Ao + Ai)«
positiv ist.

m. Wenn 1— (a^-Ai)* negativ ist, so Ist. weil

positiv ist, i^li negativ, also, weil

1— (iu + li)' + ^KK cos iÄ«
positiv ist, 1 — (üg-l'^)' positiv; also kann man

li»

V i-(ao+it,)«+4Vicosiia«= V i-(iio+A|)'. V^T^Tty

•etsen, wo

positiv ist

Im Falle I. setst man also

coso
sino

2siniÄV%^

V(l + Ao-A,)(l-Ao + Ai)'

nid hat daoD

V 1 - (ilo-i|)* - 4Aoi, sin JÄ> = 'J,"^^ I V(H-ilo-ii)(l-ao+»i)-

Id den Fällen IL und III. setzt man

coso
sinc5

2cosii2V— AqXi
"V(l+Ao + Ai)(l-Ao-Ai)'

od hat dann

V 1 - (io + Ai)^ + 4Vi cosiÄ2:= «IJ^^^ j V(l+Ao+Ai)(l-Ao-Ai).

Nachdem man die Grüssen A, B, C und X, Y, Z berecbuet
hat« findet mao 02, j?2» Y2 leicht mittelst der Formeln:

cosa2^=^^ + ^>

C0S|?2 = ^+I^.

cosy2=C'+Z-

WoU nun aber

cos «2 = COS Ij2 cos B2 9

COS j32 = sin L2 cos ^2' »
cos 72 = sin £2'

IM Gruneri: Neue, bet (feodäiUeheH Meenn^eu

ist, 80 hat mati zur Berechnung der Breite B^' und der Unge
X2 die folgenden einfachen Formeln:

BinB^' =^co8y29
- cosc^ , _ cosi?« ^ - cos 52

Weil der ahsolute Werth von B^ nie grosser als 90® ist, so
läMat die erste Formel rucksichtlich der Breite nie eine Zweideu-
tigkeit 2^0. Rucksichtlich der Länge £«2 hat man zu bemerkeii»
dass, wenn y

cos £2 positiv, sin £2 positiv; v

„ negativ, „ positiv; ^^^

• t

9»

»

negativ, „ negativ; \^

positiv, „ negativ ■■^'

ist, respective ^

0 <L2< 90^ ^^

90o<I>2<180®» )t

180o<X2<270o, 1

270o<I>2<360o j.

genommen werden muss, so dass also auch nie ein Zweifel biet- ^
ben kann, wie man die Länge zu nehmen hat. <

Zwischen den Grössen Oq, 60, Cq und «i, 61, Cj finden verschie- ^
dene leicht zu beweisende Relationen Statt, von denen wir ans
die folgenden merken wollen :

«0^0 + ^0^0 + <?o^o = cosec Sl^,
OiOi + ^i^i + Cjöi = cosec Sl^, '

«0^1 + ^0^1 + ^0^1 = cos ßcoseciß^;
(«0*1 — *o^*i)* + (^o<?i — C06, )2 + {cqüi — aoCi)2 = cosecÄ^.

Wegen der doppelten Vorzeichen der Grössen X, Y, Z liefert
das Obige immer zwei Auflösungen unserer Aufi^abe, was offen-
bar auch ganz in der Natur der Sache liegt. Welche dieser beideo
Auflösungen man zu nehmen hat, muss aus den besonderen Um-
ständen jedes einzelnen Falls entschieden werden, worüber sich
allgemeine Regeln natürlich nicht geben lassen. Indess mögen
die folgenden Betrachtungen einige Anhaltepunkte liefern.

umä BecAnungen aniuwendemde MeiMU.

191

bt

die Gleichung der durch den Mittelpunkt der Erde und die Punkte
Aq nnd Ai gelegten Ebene, so hahen wir zur Bestimmung von
Lf M, N offenbar die beiden Gleichungen:

X cos ctq + ^ cos |?o -f -^cos ^0 =. 0 »

Xcos«! +i!fcosj5i +iV"co8yi =0;

denen sich
«
L(cosyoC^^ ^1 — cos Oq cos yi ) — Ai (cos ßo cos yi — cos y© cos ßi) =0,

X(co8oeQCOsj?i —cos/JoCosai) — 7V(cos/3oCOsyi — cosyocos/3i)=0

ergiebt, so dass man also

L = cos ßQ cos yi — cos y^ cos j^i = (ÖqCi — CqÖi ) sin Ä^ ,
jlf = cos yo cos «1 — cos cf^cos yi = (coCi — OqCi ) sinÄ*,
JV = cos «0 cos ßi — cos ßo cos «1 = (oq^i — boOi ) sin Sl*

letzen kann. Daher ist

(boCi — Co^i) a: + (cqüi — Oo^^i)^ + («0*1 — *o«i) « = 0

die Gleichung der durch den Mittelpunkt der Erde und die Punkte
Aq und Ai gelegten Ebene.

Bezeichnen wir nun durch x^, y^» H ^i® Coordinaten des
Punktes A.i, so ist offenbar

x^^^R^cosci^, y^zzzR^cosß^, i2='^2Cosy2;

und sind 0:2'» 2^2' 9 ^2 ^'^ Coordinaten des Punktes, in welchem
das von dem Punkte A*^ auf die Ebene des Aequators gefällte
Perpendikel die durch den Mittelpunkt (jer Erde und die Punkte
iio und Ai gelegte Ebene schneidet, so hat man zwischen die-
sen Coordinaten nach dem Obigen die Gleichung

(boCi — Cobi) x^ + (cofli — aQCi)y^ + (iiofti — ^ocii) t% =0.

also, weil offenbar

x^=x^, y^'=y2

M, die Gleichung

(Vi — ^0*1) ^a + (Cü«i — «0^1)^« + (öo^i — *offi) V = 0
oder

192 Grüner t: Neue, bei geoddUechen Messungen

{(*o<?i— <?o*i)cosaa + (coai - aü^i)cos/?2lfia + (ao^i— fioöi) V=^'!
woraus sich

/ __ (bpCi — Cpfei ) cos ofg + (cpffi — apCi ) cos /g^ jp

ergiebt. Aus der Vergleichung der Werthe von z^ und z^ , oder im

•jf rr=C0SV2 UUd -^- = J^ r^-S-COS«^ V^ r^^-^COSPj

mit einander wird man gewiss immer leicht zu beurtheilen liA
Stande sein, welche der beiden Auflösungen man in jedem eM
zelnen Falle zu nehmen hat.

■ \

■■1

$. 10.

Wir haben bisher angenommen, dass man bei der anzustel-
lenden geodätischen Messung zwei Punkte Aq und A^ auf der
Erdoberfläche zu Grunde lege, deren Längen, Breiten und Ent*
fernungen von dem Mittelpunkte der Erde gegeben sind. Dies
ist auch der allgemeinste Fall , auf den man immer zurückkommail
muss. Man kann aber auch annehmen, dass nur für eine||
Punkt Aq die astronomisch bestimmte Breite und die etwa mi^
telst eines Nivellements, das nöthigenfalls nur ein barometit-
sches sein kann, bestimmte Entfernung von dem Mittelpunkte d€l
Erde gegeben sei, und kann dann zu der Länge in Bezug ad
den Punkt Aq als Anfang der Längen ♦), der Breite und der Ent«
fernung von dem Mittelpunkte der Erde für den Punkt Ai a«l
folgende Art gelangen.

Zwischen den beiden Punkten A^ und Ai wird eine söge
nannte Basismessung mit Maassstäben vorgenommen, wöbe
wir annehmen, dass das gewählte Terrain einer solchen Opera
tion, wie wir sie nachher genauer beschreiben werden, giinstij
sei, so dass ihre Ausführung in der nachher weiter zu bespre
chenden Weise möglich ist, und uns nun zunächst völlig bestimm
darüber erklären müssen, was wir hier unter einer Basismessun]
verstehen, indem sich dann von selbst an diesen Begriff dii

Methode der Ausführung einer solchen Messung knüpfen wird.

*

Um daher zuerst den Begriff einer Basisraessung zwisehe

') Der Längendifferenz der Punkte A^ und .4|, die man immer nu
braucht.

mtä Rechnungen antuwendende Methode, 193

In Punkten A^^ and Ai gehörig festzastellen, denken wir uns
hirch die Punkte A^^ Ai nnd den Mittelpunkt O der Erde eine
U»ene gelegt, und in dieser Ebene zwischen den Linien OAq
od OAi aus O als Mittelpunkt mit dem bekannten Halbmesser
^Aq einen Kreisbogen AqJ^^ beschrieben. Die Messung der
Inge dieses Kreisbogens ist der Zweck einer zwischen den
linkten Aq und Ai auszuführenden Basismessung, nach der von
m in dieser Abhandlung stets festgehaltenen Auffassungsweise
M>d&tischer Operationen.

Fragen wir uns jetzt, was wir durch eine solche Messung
nvinnen, so erhellet leicht, dass dieselbe zu der Kenntniss des
Enkels AqOAi am Mittelpunkte der Erde, oder zu der Kennt-
8S des ßogens Aq A^ auf der Projections- Kugelfläche führt,
eil man offenbar die Proportion hat:

3600: ^o'^i' = 2 . OAq . 7t : AJSi^ ,
H der sich

■l^bt, mittelst welcher Formel A^'Ai aus den bekannten GrSs-
IfB OAq nnd ^n^ leicht In Graden berechnet werden kann.

Die Methode, nach welcher der Bogen ^o-^o gemessen wer-
bt muss, ist nun in der Kürze folgende, wobei man nicht aus
Im Angen zu lassen hat, dass die Beschaffenheit des Terrains
le Ausführung der zu beschreibenden Operationen möglich machen
feHls, und dass man sich freilich bei der Ausführung solcher
Operationen immer wird einige Näherungen gestatten müssen.
He nicht zu umgehen sind. In dem Punkte Aq stelle man den
Fkodoliten so auf, dass die Ebene seines Limbus auf der Linie
9A^ senkrecht steht, wozu früher die erforderriche Anweisung
üsfilhrlich ertheilt worden ist. Richtet man dann das Fernrohr
nf den Punkt A^ und bewegt es um seine der Ebene des Lim-
mm des Theodoliten parallele Drehungsaxe, so beschreibt bei
Beser Bewegung seine Visirlinie offenbar die Ebene A^^OAn oder
le Visirlinie bewegt sich fortwährend in dieser Ebene. Hierauf
ege man einen Maassstab mit seinem einen Endpunkte an den
Pnnkt Aq9 bringe ihn mit Hülfe des Theodoliten -Fernrohrs in die
Ibene AqOAi und gebe ihm zugleich mittelst eines auf ihm an-
gebrachten Niveau's oder einer anderen zweckdienlichen Einrich-
itag eine solche Neigung gegen den Horizont, dass er auf der
POD dem Mittelpunkte der Erde nach dem Punkte Aq gezogenen
Unie — eigentlich und streng genommen freilich auf der von dem

194 Grunert: Neue, bei geodätischen Me$tum§en

Mittelpunkte der Erde nach der Mitte des Maassstabes gezogen
Geraden — senkrecht steht, durch welche ganze Operation i
Maassstab also offenbar mit der Durchschnittslinie der Ebe
AqOAi ™>^ d^r auf der Linie OAo senkrecht stehenden Ebe
zusammenfallend gemacht wird, woraus zugleich die Muglichb
der Ausführung der ganzen Operation an sich deutlich erhelU
Ganz auf dieselbe Weise lege man an den anderen Endpua
dieses ersten Maassstabes einen zweiten Maassstab an, und set
dieses leicht verständliche Verfahren so lange fort, bis man b
dem Punkte Ai anlangt, worauf man dann durch Addition all
Maassstablängen den zu messenden Bogen ^o^o erhält^ mit all
hierbei überhaupt erreichbaren Genauigkeit, wobei es uns voll
genügt, das Verfahren hier nur In seinen Grund^ügen beschri
ben zu haben.

Ganz vorzüglich entsteht nun aber die Frage, wie gross d
Neigung gegen den Horizont ist, die man dem mit Hülfe di
Theodoliten -Fernrohrs in die Ebene AqOAi gebrachten ersti
Maassstabe, den wir als Repräsentanten aller übrigen MaassstSi
hier besonders in's Auge fassen wollen, geben muss, wenn
auf der Linie OAq senkrecht stehen soll. Diese Frage kann a
folgende Weise beantwortet werden.

Alles auf den Punkt Aq bezogen , sei fSr diesen Punkt a
Anfang der Coordinaten der Horizont die Ebene der :ry, der M
ridian die Ebene der xz; der positive Theii der Axe der x 8
nach der Seite des nächsten Erdpols hin gerichtet; der positii
Theil der Axe der y liege auf der Seite des Meridians, ai
welcher der Punkt Ai liegt; der positive Theil der Axe der
gehe nach dem Zenith. Die Gleichungen der Linie OAq 8\tn
wenn für den Punkt Aq der im Vorhergehenden immer im Allg<
meinen durch o) bezeichnete Winkel durch coq bezeichnet wir<
wie aus Taf. III. Fig. 10. auf der Stelle erhellet, in völliger Ailg<
meinheit :

z= — a:tang(90^ — '«0) = — iCCoicoQ, ^=0;

also

a:= — 2tang(Do9 ^=0»

Der Winkel, welchen die Ebene AqOAi mit der Ebene d€
Meridians des Punktes Aq einschliesst, indem wir diesen Wink*
von der Seite der positiven a: an nach der Seite der positiven
hin zählen und nicht grösser als 180^ nehmen, werde durch P
bezeichnet, wobei wir bemerken, dass, wie dieser Winkel ^
messen werden kann, nachher gezeigt werden wird. Dann ist

M0f R9€hmmgen amuwendenäe Metkode. IflB

1 am Taf. III. Fig. 10. leicht ohne weitere Erläuterang von
«t ersichtlichen Systeme der XiyiZi^ wo die positiven Theile
iLxeo der y und yi mit einander zusammenfallen, die Glei-
Bg der Ebene AqOAi offenbar in völliger Allgemeinheit:

3^i = aritangiVo.
k der Lehre von der Verwandlung der Goordinaten ist aber:

a:=::r| cos tOQ — Zi sin (Oq»

2 = :ri sin (Dq -f* Zi cos (»o ;
umgekehrt:

Xi =a;cos(Oo-|-2sinG>09

Zi =— a;sincoo+2COS(öo;

ieh nach dem Obigen die Gleichung der Ebene AqOA^ in
Systeme der xyz:

y == (j;cos cdq + z sin (Oq) tangiV^

xcos «0 sniNo — y cos iV^ +2sin Wo s>n iV,, =0.

Die Gleichungen des Alaassstabes seien :

x=:a^z, y = b^z.

derselbe in der Ebene A^OA^ liegen muss, so ist nach vor-
ender Gleichung für jedes z:

(a^cosooSiniVo — 6oCosiVo+sin(ööSiniVo)*==0,

Co cos (»0 sin Nq — 6^, cos N^ + sin w^ sin Nq = 0,

il femer der Maassstab auf der Linie OA^y deren Gleichun-
oach dem Obigen

ar = — ztangooo, y = 0

li senkrecht stehen muss, so haben wir nach den Lehren der
Ijftischen Geometrie die Bedingungsgleichung

1 — aotang(öo=0, ^

sich

196 Grunert: Neue, bei geodätticken Meenmgen

Co = cot «o
ergiebt. Also ist wegen der obigen Gleichung zwischen Oq und

(cos «0 cot «0 + sin coo) »in N^ — 6^ cosiV^ =0,
(cosOo^ + pinOo^siniVo

; OoC08iyo = U*

smcöo o »

woraus sich

tangiVg

*o = "T:

smoDo

ergiebt. Also sind die Gleichungen des Maassstabes:

tangiVo
** ^ sin Wo

Ist nnn i^ der Neigungswinkel des Maassstabs gegen
Ebene des Horizonts , nämlich gegen die Ebene der xy, df
Gleichung

0,x+0.y+z=0
ist, so ist nach den Lehren der analytischen Geometrie:

^ (0-cota.,+0.*-Sg^ + l)'

*^ ' sm Wo'*
woraus man leicht

^"^ *« = H-tangiVo^="'" co^cosi^o*
erhält.

Die zweite der beiden obigen Gleichungen des Maassstal
lässt sich auf folgende Art ausdrücken:

2 =: 3^ sin Wo cot iV^Q.

Für den Maassstab selbst, welcher ganz auf der Seite der pc
tiven y liegt, ist y stets positiv, also z positiv oder negativ, d.
der Maassstab liegt über oder unter dem Horizonte, jenachd
cotJYo positiv oder negativ, d.h. jenachdem

0<iVo<90«
od^r

M0f Rechnungen antumenäende Metkode. 197

Nimmt man nun t^ positiv oder negativ, jenachdem der
itab über oder unter dem Horizonte liegt, so folgt aus der
Hchong

sin «o*=sin ©o^cosiVo*

»bar in völliger Allgemeinheit:

sin i^ = sin w^ cosN^ ,

iHtelst welcher Formel die Neigung des Maassstabes gegen den
brizont bestimmt werden kann, wenn man JSq kennt, da die
kstimmung von Oq schon früher mit aller nüthigen Ausffihrlich-
dt gezeigt worden ist.

V9\e gelangt man nun zu der Kenntniss des Winkels N^l
ler nächste Erdpol sei P und seine Projection auf der Projec*
Mis- Kugelfläche werde wie gewOhntich durch P' bezeichnet.
Jan stelle den Theodoliten in dem Punkte A^ so auf, dass die
^ne seines Linibus horizontal ist und die von seinem Mittel-
mkte nach der Axe der oft erwähnten Fussschraube des Theo-
iliten gezogene gerade Linie so nahe wie möglich in dem Me-
diane des Punktes A^^ liegt, welches letztere auf gewöhnliche
^eise mittelst der Boussole geschieht. Nun wird man durch
eobachtung correspondirender Sternhöhen in einer sternhellen
acht leicht genau den Punkt des Limbus des Theodoliten be-
immen können , welchem der Nullpunkt des Nonius entsprechen
«SS, wenn die Visirlinie des Fernrohrs bei der Drehung dessel-
n um die der Ebene des Limbus parallele Drehungsaxe die
bene des Meridians beschreiben solL Dann stelle man auf ge-
ähnliche Weise die Ebene des Limbus des Theodoliten gegen
ie Linie OA^ senkrecht, und messe den Winkel A^' in dem
phärischen Dreiecke A^'P'A^'^ so erhält man den Winkel iV«,
'eil offenbar N^^A^' ist. Dieses Verfahren ist freilich nur un-
ir der Voraussetzung genau richtig, dass die Stellung des Theo-
oliten gegen den Meridian gleich Anfangs mittelst der Boussole
ichtig bewirkt worden ist. Indess übersieht man auf der Stelle,
lass durch die weiteren Beobachtungen selbst eine Confrole der
Uten Aufstellung des Theodoliten dargeboten wird, da das Fern-
Af durch dieselben genau in den Meridian gebracht wird. Soll-
M sich nun merkliche Abweichungen von der ersten Aufstellung
(eigen, so müsste man die erste Aufstellung so lange corrigiren,
Ks völlige Uebereinstimmung, so weit dies bei praktischen Dia-
pn fiberhaupt möglich ist, erreicht wird , was wir hier nicht wer-
itü weiter zu erläutern brauchen.

Wegen der verhältnissmässig geringen Ausdehnang, die einer

196 Grunert: Neue, bei geodäUechem Meesungen

solchen Basismessung immer nur gegeben zu werden pflegt, v
es verstattet sein, die Winkel a>o und N^ für die ganze Mess
als constant zu betrachten, so wie denn natürlich auch den V
kel 2*0, welcher mittelst der Formel

sin i^ = sin od« cos iV^
bestimmt wird.

Wenn es die Verhältnisse gestatten, die Basis so genan
möglich senkrecht gegen den Meridian von A^ anzunehmen,
wird wenigstens sehr nahe iVo=:90®, also cosiV^ = 0, folgl
nach dem Obigen, noch ausserdem wegen der Kleinheit <
Winkels to^, sehr nahe sinto = 0, also 2o=:0 sein, und man v
also ohne merkliche Fehler die Maassstäbe sämmtlich horizoi
legen können, immer vorausgesetzt, dass man sie wie frS
mittelst des Fernrohrs des «lach der vorher gegebenen Aniveisi
aufgestellten Theodoliten in die Ebene A^OAi bringt. Kann i
also die Basis auf die in Rede stehende Weise annehmen, so v^
die auszuführende Operation nicht unwesentlich erleichtert werc

In dem sphärischen Dreiecke A^'P'Ai* kennt man jeta^
der gegebenen Breite des Punktes Aq die Seite A^'P'; ans
gemessenen Basis Aq^S^q, wie schon oben gezeigt, die Seite A^'l
und den nach der kurz vorher gegebenen Anweisung gemessei
Winkel AJ \ man kennt also in diesem Dreiecke zwei Seiten i
den eingeschlossenen Winkel, aus denen man nach den Reg
der sphärischen Trigonometrie den Winkel P' und die Si
Ai P' berechnen, aus diesen berechneten Stücken aber in al
Fällen leicht die Langendiflferenz der Punkte A^ und Ai und
Breite des Punktes A^ ableiten kann, was einer weiteren Erl
terunsr hier nicht bedürfen wird.

Um endlich noch die Entfernung OAi des Punktes Ai '
dem Mittelpunkte der Erde bestimmen zu können, messe man n<
den auf bekannte Weise gehörig als positiv oder negativ betra
teten Neigungswinkel J der Linie A^Ai gegen die Ebene (
Limbus des in dem Punkte Aq auf gewöhnliche Weise aufgest
ten Theodoliten, und setze voraus, dass derselbe schon we«
der Refraction gehörig corrigirt sei, welche Voraussetzung zul
sig ist, da wir AJA^' oder den Winkel A^^OA^ am Mittelpun
der Erde schon kennen. Dann haben wir in dem Dreiecke A^O
die Proportion:

0^o:0^,=sintl80°— ^^O^- (90*^ + 7)!: sin(90«+J)
=rsin!90«~(/loö^i+«^)|-sin(90*> + 7)
= cos(^o0^i +•/) :cosJ,

Rechnungen amsuwendende Methode, 199

der sieb znr Berechnung von OAi die Formel

eigiebt.

Da wir nun für die beiden Punkte A^ und A^ die Längen,
btiten und Entfernungen von dem Mittelpunkte der Erde kennen,
li sind wir jetzt wieder bei unserem trüber betrachteten Falle
fegelangt, wenn nämlich der ganzen geodätischen Messung zwei
Ulkte der Erdoberfläche zu Grunde gelegt werden, für welche
ll Torher genannten Elemente bekannt sind.

RQcksichtlich der Basismessung will ich noch bemerken, dass
nir bei einer solchen Operation zweckmässig scheint, nach
mdang derselben die Richtigkeit der ganzen Operation, aus-
durch eine zweite Messung der Basis, auch noch durch ein
;lien den Punkten Aq und A^ mit den gewohnlichen Nivel-
'lostnimenten nach den bekannten sehr genauen Methoden
Mgeffibrtes Nivellement zu prfifen oder zu controliren. Durch
Nivellement erhält man nämlich den Höhenunterschied zwischen
beiden Punkten A^ und A^, und muss nun diesen Hubenun-
lied auch noch aus den vorher bestimmten Breiten und Ent-
;en von dem Mittelpunkte der Erde der Punkte A^ und A^
inen 9 worauf dann die grossere oder geringere Ueberein-
long der beiden für den Hubenunterschied erhaltenen Resul-
eine wünschenswerthe Controle für die Richtigkeit der aus-

Phrten Messoperationen abgeben wird. Aus den Breiten und
Entfernungen von dem Mittelpunkte der Erde der Punkte A^
II Ax findet man aber ihren Höhenunterschied auf folgende Art

Die Polhöhe und 'Breite des Punktes A^ seien ß^ und BJ.
Rttelst der Gleichung

iMiaune man die Polbühe ß^, oder mittelst der Gleichnng

,„ . ^ a e^n\n2(B„' + a,)

sm (Oq = == . — r- -

13. OA^ 2V^l-eVm(^^' + (öja

{ttfimnie man den Winkel g>o» worauf sich die Polhohe Bo mit-
fat der Formel

'giebt. Ist nun n^ die Normale des Punktes A^, so hat man
bnbar die Gleichung

200 Grunert: Neue, bet geodäti$€hen M€umi§em

OA^ . sin B^' = «^ sin B^ ,

woraus sich

_smB^'

ergiebt.

Sind ferner S, und j?/ die PolhOhe und Breite des Pud
A-i f 80 bestimme man Bi aus der Gleichung

• /!> D n ^ e^sin2Bi

sin (Bi — Bi) = =r=r . — * ,

oder a)| aus der Gleichung

a eH\n2(BJ + m.)

worauf sich Bi mittelst der Formel

ergiebt. Ist dann n^ die Normale des Punktes Ai, so ist

OAi . sin Bi=ni sin i?| ,

also

sinJSi'

Folglich ist Wo — «1 der Höhenunterschied zwischen den Punk
Ao und ^, , welcher mit dem durch das Nivellement gefunden
Höhenunterschiede übereinstimmen muss^ wenn alle ausgeßibrte|||
Messoperationen richtig sein sollen.

§. 11.

Wie wir im 'Voi;h ergeh enden von den Punkten A^ und Ai
der Bestimmung der Lage des Punktes A^ fortschritten, kannmav^i;
nun von Aq und A2 oder von Ai und A^ zu der Bestimmung der,?
Lagen neuer Punkte, und in dieser Weise immer überhaupt vo»>
je zwei schon bestinjmten Punkten zu der Ermittelung der Lag0t^
neuer Punkte übergehen, also überhaupt nach und nach das ganztfri
aufzunehmende Netz bestimmen. Wie aus den Breiten und Eni^^
fernungen von dem Mittelpunkte der Erde die entsprechendeft 1
Polhöhen und Höhen über der Meeresfläche abzuleiten sind, er» ;
hellet aus den in den vorhergehenden Paragraphen gegebenen
Entwickelungen ganz von selbst und bedarf einer weiteren Erläo-

wfä Mechnungen anzuwendende Methode. SOI

tBroD^hier nicht Wie die auf die Meeresfliche bezogenen kOrxesten
blferoaD^en der einzelnen Punkte des Netzes von einander, ihre kur-
jiMtcn Entfernungen von einem bestimmten Meridian, n. s. \v. be-
fiecbnet werden kOnncn, wenn man deren bedürfen sollte, wird
[h der Theorie der kfirzesten Linie '^) gezeigt, gehört aber hier-
ler jetzt gar nicht und bildet eine Aufgabe für sich, indem wir
hier uns vielmehr zur Aufgabe gemacht haben, die eigentliche
'Ceodäsie von dem ganzen in sie aufgenommenen Systeme kur-
Mtter Linien a. s. w. zu befreien.

S c h I u 8 s.

Dass der Ausfuhrung geodätischer Messungen nach der in
Ibser Abhandlung vorgeschlagenen neuen Methode einif^e praktische
fechmerigkeiten entgegenstehen, will ich keineswegs in Abrede
Meilen. Als einen weisen tlichen Nachtheil derselben sehe ich es
itt» dass man, bevor man zur Winkelmessung auf einem neuen
intakte des Netzes schreiten kann, die Lage dieses Punktes
jicbon kennen muss, weil die Aufstellung des Theodoliten Behufs
Hia Winkelmessung für den in Rede stehenden Punkt die Kennt-
bbs des im Vorhergehenden stets mit ca bezeichneten Winkels
ordert. Daher muss die Berechnung des Netzes immer noth-
odig gleicbmässig mit der Messung selbst fortschreiten, was
dem bisher gewöhnlichen Verfahren nicht nuthig ist, indem
b demselben Messung und Rechnung getrennt und unabhängig
M einander fortgeführt werden können. Aber einmal ist nach
■einer Meinung dies kein Einwurf gegen das neue Verfahren, von
welchem dasselbe in Bezug auf seine praktische und theoretische
Strenge und Naturgemässheit getroflfen wird, und die durch den
fai Rede stehenden Umstand allerdings entstehenden Schwierig-
kttten müssen durch Anwendung der nöthigen Kräfte und zweck-
Jrilssige Anordnungen in Bezug auf deren Verwendung sich be-
feUigen lassen ; und zweitens sind bei dem neuen Verfahren gegen
4m frühere die erforderlichen Rechnungen im Ganzen so leicht
elementar, dass sich dieselben in kurzer Zeit ausführen las-
, besonders wenn man sich für's Erste nur mit einer annähern-
Ricbtigkeit der Resultate begnügt, so weit deren Kenntniss
den nächsten Zweck der Aufstellung des Theodoliten erfor-
ioriich ist.

«) ArehiT der Mathematik und Physik ThI. XXII. Nr. IX.
Tk«U XXIY. 14

SOS Grüner t: Neue, bei geodätiichen Messungen

Hierzu kommen nun noch die folgenden Berffeksicbtigunga
Mao pflegt bei geodätischen Messungen bekanntlich Dreiecke a
ersten 9 zweiten und dritten Ordnung von einander zu unterscb
den. Strenge Begriffe der Dreiecke dieser verschiedenen Ordna
gen werden aber eigentlich nirgends gegeben. Ich würde m
schlagen^ Dreiecke erster Ordnung solche zu nennen, bei de
man die Meeresfläche als ellipsoidisch betrachtet; Dreiecke z^
ter Ordnung solche, bei denen es verstattet ist, die Meeresfln
als sphärisch; und Dreiecke dritter Ordnung solche, bei d^
man sich gestatten darf, die Meeresfläche als eben zu betracl^
Unsere neue Methode würde nun bloss bei der Bestimmung
Lagen der Eckpunkte der Dreiecke erster Ordnung in AnwendB
zu bringen sein, und da die Anzahl dieser sehr grossen Drei^
meistens nicht sehr beträchtlich sein wird , so ivird dies ein Gar
mehr sein, welcher unserer neuen Methode zur Aufnahme
Berechnung solcher ganz grossen Dreiecke, neben ihrer vulli
Strenge und Naturgemässheit und der verbältnissmässigen Lei
tigkeit der durch sie in Anspruch genommenen Rechnungen,
Empfehlung dienen dürfte. Für die Dreiecke zweiter Ordnung,
die man die Dreiecke erster Ordnung zerlegt, wird natürff
immer das bisherige Verfahren in seinem wohlerworbenen Reck
bleiben, wobei man als Halbmesser der Kugel, als welcher ai
gehörend das in Dreiecke zweiter Ordnung zerlegte Dreieck erste
Ordnung betrachtet wird, etwa den mittleren Krümmungs-Hall
messer zwischen den Krümmungs- Halbmessern der drei Eckpunkt
dieses Dreiecks erster Ordnung, welche aus den entsprechende
Polhohen oder Breiten nach bekannten Formeln leicht berechn
werden können, annehmen wird. Die Aufnahme und Berechnui
der Dreiecke dritter Ordnung fällt ganz der gewöhnlichen Fei
messkunst anheim. Auf diese AVeise scheint mir die ganze Ge
däsie an streng systematischer Gestalt und üebersichtlichkeit :
."^ewinnen, und die anzuwendenden Messungs- und Berechnung
Methoden weiden jedem einzelnen Falle in völliger Naturgemäs
; (^it besonders angepasst, wodurch auch die Leitung und Cebe
ixacbung solcher Operationen im Ganzen und Grossen nie
aniwcsentlich erleichtert und mehr systematisch als vielleicht bi
her gestaltet werden wird.

Endlich bemerke ich noch, dass sich durch Anbringung entspr

chender Correctionen an den durch unmittelbare Mes^sung nach de

Heren oder bisherigen Verfahren erhaltenen Grössen dieses alte

( rCahren auf das neue zurückführen lassen würde; ja man kann au

dcb dem älteren Verfahren angestellte Messungen mit völliger Streng

wenn auch nicht ohne Weitläufigkeit, berechnen , wie ich schon in d

Itmä ReekttHnffen anzuwendende Mefkede,

AMindlnDgNr.IX. im Archiv der Mathem. nnd Phys. ThI. VII.
8. 68. zu zeigen versucht habe^ und in einer späteren Abhand-
nocfa in verbesserter und vereinfachter Gestalt zu zeigen
ikoip; Deber alle diese Dinge sage ich aber für jetzt hier nichts
[weiter, weil dies meinem jetzigen Zwecke zuwider sein^ und die
^bysiognomie, welche ich der vorliegenden Abhandlung zu geben
IwiMche, verwischen und wesentlich verändern würde. Mein
flweck bei dem neuen Verfahren , so wie ich die Sache auffasse
mir vorstelle » ist nämlich mit vorzüglich der, dass ein Theil
Höbe der Rechnung gewissermassen mit auf die Beobachtung
lommen und auf dieselbe übertragen, dadurch die erstere er-
itert, Oberhaupt aber Beobachtung und Rechnung ganz der eigent-
^tn Natur der Sache gemäss gemacht, auch die letztere so 'viel
nOglich in den Kreis des sogenannten bloss Elementaren ge-
werde. Wie schon in der Einleitung erwähnt, bin ich auf
Hderspruche gegen die in dieser Abhandlung dargelegten An-
^ten vollkommen gefasst, glaube aber, dass man, wie in jedem
eben, auch in diesem Falle nur erst nach sorgfaltiger Prü*
durch eigene Handanlegung und dadurch gewonnene Erfah-
|ltog Widerspruch erheben, und bedenken sollte, dass alles Neue,
itlicb in praktischen Dingen, sich nur erst nach nnd nach
übr aihnälig Bahn brechen kann.

14*

S04 Hoppe: Auidmck des TrägkeUimomentM eines

XIT.

Ausdruck des Trägheitsmoments eines beliebigen P

lyeders für eine beliebige Axe.

Von

Herrn Doctor R. Hoppe ^

PriTaCdocenCen an der Universität zu Berlin.

Die lebendige Kraft eines um eine feste Axe rotirenden Kl
pers ist, da alle seine Elemente eine gemeinschaftliche Wink
geschv^indigkeit haben, dem halben Quadrate derselben proport
nal. Den Factor, mit \%'elchem man letzteres multipliciren mui
um die lebendige Kraft daraus darzustellen, und dessen Besti
mung eine rein geometrii^che Untersuchung ist, nennt man d
Trägheitsmoment des Körpers. Ist u die Winkelgeschwindigkc
r die Entfernung des Elements dm von der Axe, so ist tir sei
absolute Geschwindigkeit, \wh^m seine lebendige Kraft. 1
demnach die des ganzen Körpers

= \u^fr^dm

ist, so ist der Definition gemäss das Trägheitsmoment

Obwohl nun die Berechnung dieser in der Mechanik sehr ▼
gebrauchten Grösse bei gegebener Gestalt des Körpers an si
keiner Schwierigkeit unterliegt, so kann sie doch sehr umstäi
lieh und ihr Resultat sehr complicirt werden, wenn man nie
fiber die einzuführenden Variabein, so wie über die Bestimmunf
stucke eine passende Wahl trifft. Ganz besonders möchte
daher bei ebenflächigen Körpern > wo sich letztere in grosser Mi
Dichfaitigkeit darbieten, von Nutzen sein, die einfachste Metho

MiMgem Foipeders für eine Miebige Axe.

m BestimmuDg der TrfigheitsinoroeDte aosGndig zn machen. Im

Folgenden will ich ein Verfahren angehen, um auf leuchte Weise

eioe hequeme Formel fiir den genannten Zweck herzuleiten ^ vi*o<-

dsrch jene Umständlichkeit in Betreff aller Polyeder mit einem

'Male heseitigt uird.

Die Trägheitsmomente A, B, C des homogenen Polyeders m
h Bezug auf drei rechtwinklige Coordinatenazeu der x, y, z, aus-
gedruckt durch die Werthe

A=f(y* + 2^)dm, B=f(z^-\-x^)dm, C^f(x^-^y^)dm.

len hestiromt sein, sobald eins der Integrale

[Affch inesshare Linien dargestellt ist, insofern sich die Ausdrucke
beiden andern durch Analogie ergeben. Es sei demnach das
derselben gesucht.

Man denke das Polyeder vom Anfangspunkt aus in Pyrami-
,dM zerlegt, deren Grundflächen die Seitenflachen sind, indem
diejenigen Pyramiden, welche ausserhalb des Polyeders fal-
lt als negativ betrachtet. Da jedoch die Uebertragung der Be-
mng auf solche Pyramiden leicht ist, kann man der Einfach-
wegen annehmen, dass sämmtliche Pyramiden positive
itandtheile des Polyeders wären.

Man ziehe (Taf. IV. Fig. 1.) vom Anfangspunkte i1/ eine Ge-

= 6 nach dem Schwerpunkte D einer Seitenfläche, und von

dne zweite = / nach der Mitte E einer ihrer Kanten FG^

jAren Hälfte EF=k sei. Betrachtet man M, />, E, F als die

[vier Ecken einer Pyramide p, deren Grundfläche das Dreieck

DEF sei, so kann man das Polyeder aus Pyramiden derselben

[Art zusammensetzen und schreiben

m=z2p.

Ferner ziehe man von 31 eine Gerade Mß durch den Ort a
Elements dp bis zur Grundfläche, und von D eine zweite Dy
h ß bis zur Kante; bezeichne durch tjq das Hohenperpendikel
dn Dreiecks, durch J^ das der Pyramide, durch | die Gerade
, durch f} die Projection von Dß auf t?o> durch f die Protection
lUa auf to> so dass Ä, t/o» &> ^»^ grussten Werthe von S, i?» t
Dann ist die Lage des Elements dp bestimmt durch die
ariabein |, fj» ii seinen Inhalt Gndet man, indem man |, rj, J^
dHMla «ni dif di^, di wachsen lässt, und aus den drei Geraden,

Hoppe: Ausdruck des Tra^heitsmommiB eitles

welche dabei a beschreibt, ein Parallelepipedon ergänzt: dei
Inhalt ist

'/«) So

Damit das Integral dieses Ausdrucks die ganze Pyramide
stelle 9 müssen die Grossen

1, IL, 1

^ ' Vo' So

darin von 0 bis 1 variiren.

Ferner seien x, x' , x" die Abscissen der Punkte a,ß,y
der Axe der x, und e^ If, ki die Projectionen von e, l, k
derselben; dann ist:

X ■ "^ X y

So

a:' = «i + ^<«"-«x).
woraus sich ergibt:

&0 ^0 "'

Nach Substitution der Werthe von x und dp in das gesu
Integral ist die Ausführung der Integration äusserst einfach»
man findet :

wo man für kr^^Xo auch 6/? schreiben kann. Addirt man die :
Werthe dieses Integrals, welche den Hälften derselben Poly<
kante entsprechen, so heben sich die Glieder Ciki und l^ki
kl in beiden Ausdrücken gleich und entgegengesetzt, alle übi
Stücke beiden gemeinschaftlich sind; daher erhält man in
Summe:

Ferner ist

peJi —kio^i^lkriJ,,
wo 2?o^i allen der.selben Polyederseite zugehörenden Pyran

Mieäige» Polyeders flir eine beiieöige Axe.

S07

gKoeinschaftlich ist, während der andere Factor das etatische
Ikment dee Dreiecks {DEF=:\kfi^) in Bezug auf eine durch deti
Schwerpunkt der Polyederseite parallel der Ebene der yz gelegte
Ebene darstellt. Da die Summe dieser statischeo Momente =0
Ist, so fallt auch das Glied e^li aus dem Ausdrucke weg und es
Ueibt

Wenn man durch e^i, e^yL^^ l^, k^,k^ die Projectionen von
^, /, k auf den Axen der y und z bezeichnet, so ist nach Analogie:

fy'^dm = i2p {e,? + ^L,^ + Ik^^) ,
fz^dm = iEp{e^^+ i/s^ + lV)-
Fihrch Addition aller drei Ausdrucke erhält man :

^ + ^ + C

=/(^^+3^^ + -*)S/n=:J2;;?(c« + JP + iÄ«)

Um eins der drei Trägheitsmomente einzeln zu erhalten, würde
swel der obigen Ausdrücke addiren müssen. Da nun ti^e^
ifm .Quadrat der Projeetion von e auf die Ebene der a:y darstellt
oraus man leicht die Bedeutung der übrigen vorkommenden
dratsummen abnehmen wird), so kann man ans dem Aotf-
ke für

A + B+C

einzelnen Grössen A, B, C ableiten, indem man für e, l, k
iehungsweise die Projectionen dieser Linien auf den Ebenen
kr yi, der zx und der xy substituirt.

Noch leichter ist die Rechnung in den Fällen, wo alle drei
Lirigheitsraomente einander, also auch dem dritten Theile ihrer
f&unme gleich sind. Dann nämlich ist

A = B^C=:l2p{e^ + lP+lk^).

Dieser Fall findet bekanntlich bei den regelmässigen Polye-
dern statt, wo überdiess die Grössen e, l, k für alle Pyramiden
dieselben sind, so dass sich letztere zum ganzen Polyeder ver-
tinigen, und man hat

Ferner ist hier

J = |m(e^+i/2 + A;«).

p = \elk

908 B0ppe: Am$äni€M dn Trä9Minutmmm"ttim

«ad > wenn Jede SeitenflScbe fi, jede lieke y' Kanten bnt,
▲oiaU der Pyramiden, d. i. die vierfache Aamhl der Kant

folglich

8ftv

^=ß2ör^-;i;;<'^+''"+**'>»

we «leb anaserdem die drei GrOaaen e, l, k nittelat der Relatioi

(«• + P)sln«- = (e«+/» + *«)coa«-,

auf eine zuräckfflhren lassen^

Um auch ein Beispiel fSr ungleiche TrSgbeitsmomenta
gehen, an aei daa PolTeder ein Parallelepipedon, dessen drei
^toasQnde Kanten =20, 26» 2e. Die Axe gehe In bdiebi
lUchtdng durch den Mrtfelpunkt, und die Sinus Ihrer Bicfatan
winke! gegen jene. drei Kanten seien beziehungsweise =«, ß\
Dann sind die Projectionen der halben Kanten auf eine äur i
senkrechte Ebene einzeln zzzaot, bß^ cy, abgesehen von den 1
zeichen 9 welche nicht in Betracht kommen. Da nun unter •
StQcken e, l, k, für alle Pyramiden genommen , der dritte Tl
gleich und parallel a, und eben so viele gleich und parallel b
c sind, so leuchtet ein, dass unter den projicirten Stücken
die drei verschiedenen Werthe

aa, bß, cy

und zwar in gleicher Anzahl vorkommen. Die Pyramiden c
sänimtlich einander gleich. Daher erleidet der Ausdruck des Ti
heitsmoments keine Aenderung, wenn man für jede der Gros
e^, P, k^ ihr arithmetisches Mittel

3

setzt, wodurch der Ausdruck

In folgenden:

MMtffen Rotpeders für eine öeiieöfge Are,

SDB

ttergeht. Da sich jetzt die Pyramiden zum ganzen Parailelepi-
pedon sasammensetzen, so uird das Trägheitsmoment fOr die an-
genommene Axe

dn Ausdruck 9 der von der p;egenseitigen Neigung der Kanten
lieht weiter abhängt, als insofern der Inhalt und die Richtungs-
winkel dadurch bedingt sind. Um hieraus das Trägheitsmoment
tix eine beliebige, vom Mittelpunkt um ein Stflck =r abstehende
Axe abzuleiten, braucht man bekanntlich nur mr* zu addiren.

Eis sei jetzt das Polyeder ein nseitiges gerades Prisma und

die Axe der x gehe parallel den Endflächen durch den Schwer-

jfiiukt Dann werden An Pyramiden auf den Endflächen, 8n solche

laBf den Seitenflächen stehen, und zwar An der letzteren mit den

Eodflächen zusammenstossen, so dass ihre Stücke 6, /, k bezieh-

Ingsweise den Stiicken /, e, A der Endflächen -Pyramiden gleich

parallel sind, wahrend die StScke e, l,k der An übrigen gleich

parallel den Stücken l,k, e der Endflächen -Pyramiden werden.

^•) Beziehen sich jetzt die Buchstaben e, /, k ausschliesslich
die Endflachen, so hat man:

■•"4-^= 11^/^(6^ + J/* + ;*• + /* + 4e«+ iÄ«+/»+ 1*«+ le*)

z= 2p(e^ + lß+ik^),

die Summe nur auf alle Endflächen - Pyramiden auszudehnen
Wir lassen sie statt dessen sich auf eine Endfläche be-
len und nehmen den Ausdruck doppelt, so dass

Pyramide über einer Endfläche darstellt, deren Spitze im
iwerpunkte des Prismas liegt. Wenn man jetzt die Stücke
\$l,k mit den gehörigen Projectionen vertauscht, so erhält man
INgende Werthe für die einzelnen Trägheitsmomente:

ß=r^p(2ea+34HV),

[Ii gel jetzt q die Grundfläche von p, also

p = Ige.

lia dividfare die drei Ausdrücke durch 2e und lasse e verschwin-
dea; dann erhält man die Trägheitsmomente für eine Endfläche:

JIO Hoppe: Ausdruck des Trdgheitsinom. eines öeiM, Faiyeders etc.

woraus sich beiläufig ergibt» dass

Da nun e nur einen Wertb bat^ nämlich die halbe Höhe des Pric
roas, so ist

folglich nach Einfuhrung der auf die Endflächen bezüglichen Grus
sen Aof Bq, CqI

A =2Aoe,

B=z2B^e + lme^,

C=2Co«+J»iea,

so dass die Trägheitsmomente eines geraden Prismas aus denen
der Grundfläche gefunden werden künnen. Auf sie lassen sid
wiederum die eines schiefen Prismas zurückführen , wenn man
auch hier dÜs eine Axe parallel der tSdtenkante nimmt.

Schneidet man nämlich durch eine scliräge Ebene von dem
geraden Prisma m ein Stück ttij ab und setzt es so an das an-
dere Stück an, dass die Endflächen auf einander fallen^ so ent-
steht ein schiefes Prisma, dessen Trägheitsmomente in Bezug auf
die alten Axen =^', B' , C seien. Durch die Ortsveränderung
von THi ändert sich nicht der Abstand seines Schwerpunkts von
der ;rAxe; daher ist

A' =A.

Dagegen ändert sich die Abscisse des Schwerpunkts auf dieser
Axe. Setzt man seinen Abstand von der Endfläche =Ä, so ist
die Abscisse zuerst =e — A, nachher =-e + A. Die Differenz der
Quadrate beider Grössen

ist zugleich die Differenz der Quadrate der Abstände des Schwer-
punkts von der ^Axe sowohl , als von der zAxe; folglich ist

B'^B^-Aehmi, C = C + iehmi,
Zugleich ruckt der Schwerpunkt des ganzen Prismas um ein Stück

Ke r%t Oeber die Aufgabe^ einen Kreit %u betchrsibeny weicher etc.2\\

= 2c— in der Richtung der x fort; man würde daher von B'
tn

und C die Grösse

in

sobtrabiren müssen, wenn man die drei Axen bei unveränderter
Richtung durch den neuen Schwerpunkt gehen liesse.

Ueber die "Aufgabe, einen Kreis zu beschreiben, wel-
cher drei gegebene Kreise berührt«

Von

Herrn Ferdinand KerZy
RiUmeister in der Grossherzoglich Hessischen Gendarmerie zu Gi essen.

Erste Abtheilung.

Bekanntlich löst die neuere Geometrie diese Aufgabe in fol-
gender Weise:

9, Man bestimme das Potenzcentrum der drei gegebenen Kreise,
ihre vier Aehniichkeitsaxen und die zu letzteren, beziehungsweise
den drei gegebenen Kreisen, gehörigen zwölf Pole, verbinde das
Potenzcentrum mit jedem der gefundenen zwüif Pole ; so schnei-
den die geraden Verbindungslinien die gegebenen Kreise in vier-
undzwanzig Punkten, welches die Berührungspunkte der <}rei
gegebenen mit acht neuen Kreisen sind, die sämmtlich der 'Auf-
gabe genügen. Die Mittelpunkte dieser acht Kreise ergeben sich

I

212 liCer%: (Jeder die Aufgabe, einen Krei$ %u betckreiben,

durch die gerade Verbindung der Berührungspunkte mit den Mit-
telpunkten der drei gegebenen Kreise: Es gehen nämlich von
diesen vierundz.waiizig Verbindungslinien immer drei und drei durch
einen und denselben Punkt.*' \

Diese LtKsung ist nicht anwendbar für den Fall, dass dii»
Mittelpunkte der drei gegebenen Kreise in einer geraden Lini«
liegen. Für eine solche Lage der Mittelpunkte fallen nämlich did
drei Centralen der gegebenen Kreise in Eine gerade Linie unS
mit dieser zugleich die vier Aehnlichkeitsaxen zusammen. Die
zu ^en Aehnlichkeitspunkten gehörigen Polaren laufen samrotlicb«
da alle auf der gemeinschaftlichen Centrale senkrecht stehen, mit
einander parallel, daher schneiden sie sich nicht und die zugehö-
rigen Pole fallen unendlich weit weg; letzteres ist auch mit den
Potenzcentrum der Fall, weil die drei Linien gleicher Potenzen
der drei Kreise, als auf der gemeinschaftlichen Centrale senkrecht
stehend, ebenfalls mit einander parallel laufen.

Gegenwärtiger Aufsatz bezweckt zunächst die Losung der ge-
stellten Aufgabe für den Fall, dass die drei Mittelpunkte der ge-
gebenen Kreise in einer geraden Linie liegen, also unter Aus*
Schliessung des Potenzcentrums und der zwulf Pole.

Die darzulegende Losung ist aber anwendbar iiir jede Lagfe
der Mittelpunkte und es soll auch vorerst eine willkührliche Lage
derselben in Betracht gezogen werden. Der Verfasser hält dafür,
dass einige Sätze, aufweiche er seine Lösung gründet, dem grös-
seren mathematischen Publikum nicht bekannt seien und fügt da
her denselben die Beweise bei.

§. 1.

Legt man (Taf. IV. Fig. 2.) durch den äusseren Aehnlichkeits-
punkt a zweier Kreise Wt und Man beide Kreise eine Aebnlicbkeits
iinie, welche sie in den Punkten % und T berührt und eine zweite
Aehnlichkeitslinie, welche sie in iB', $, ß, B' schneidet, so ist immer

1) a33 .aB =a%.aTy

2) a^',aB' = a%.aT.

Beweis. Zieht man m%, MT, «K«', MB, SWS, MB', so ist:

m^' II MB
und SWS II MT

daher W. €^1%=BMT.

Nun ist

\

meieker drei gegebene Mreiee berührt. 913

W. am, = aTB7
aber W. ^a%=BaT

£ifBa%coBaT;
b

aZ:af8= aBiaT

1) a^.aB^zäX.aT.
auf dieselbe Weise ergiebt sieb:

2) a^'.aB'=za%.aT.

§. 2.

erfibrt ein Kreis zwei andere Kreise gleicbartig» so liegen
srfibrungspunkte und der äussere Aebniicbkeitspunkt in einer
m Linie.

§. 3.

egt man (Taf. IV. Fig. 3.) durcb den inneren Aebniicbkeits-
i ziveier Kreise ^ und M eine Aehnlicbkeitslinie, welcbe
den Punkten ® und G berührt^ und eine zweite Aebniicb-

nie» welche sie in ^' y $» B\ B schneidet, so ist immer:

1) i^ AB =i®AG,

2) m'AB'=i®AG.

eweis. Zieht man M^' » MB, m®, MG etc., so ist

a«» II MB'

an® II MG

W. ^m®z=B'MG.
8t W. i®^ =».339»®

W. iBG =\.B'MG

W. i®iB =iBG.
i aber W. iSt® =BiG

^Sßi® CO BiG,

214 Ker%: Ueber die. Aufgabe, einen ICreis %n be$cAreiben,

folglich

m:m = iBiiG
oder

J) m.iB=i®.iG.

Ganz auf dieselbe Weise ergiebt sich:

2) m'.iB' = i®.iG.

Berührt ein Kreis zwei andere Kreise ungleichartig, so liegen
die Berührungspunkte und der innere Aehulichkeitspunkt in einer
geraden Linie.

S. 5.

Die Tangente ö(E (Taf. IV. Fig. 4.) des äusseren Aehnlichkeifs
punjct^s a zweier Kreise ^ und M an jeden diese beiden Kreise
gieic.hartig berührenden Kreis VI ist mittlere Proportionale zwischen
den von dem äusseren Aehniichkeitspunkt a an beide Kreise 9^
und J/ gezogenen Tangenten aZ und aT.

£8 ist nämlich:

a^:ö(r=ö(r:ar
oder

atP = aX.aT.

Beweis. Es ist:

a%,aT=zaf8'.aB' (§.1.)
und a(r2=fl93'.ai5'

daher aii^=^aZ .aT,

d. h. die Tangenten, gezogen von dem äusseren Aehnlichkeits-
punkt zweier Kreise nach jedem, beide Kreise gleichartig berüh-
renden Kreis sind einander gleich.

§.6.

Beschreibt man daher aus dem äusseren Aehnlichkeitspunkt
zweier Kreise mit der an einen, diese Kreise gleichartig beruh-
renden Kreis gelegten Tangente einen Kreis, so schneidet dieser
alle gleichartig berührenden Kreise recbt^vinkelig.

welcher drei geffebene Kreise bertlkt^t J16

§. 7.

Die Ualbsehne ilS (Taf. IV. 1^^. 5.) des inneren Aehnliehkeits-
punktes i z\reier Kreise ^ und M zu jedem diese beidi^n Kreist
ungleichartig beröhreiiden Kreis M ist mittlere Propor^nale
zwischen den von dem inneren Aehnlichkeitspunkt i an beide
Kreise 9^ und M gezogenen Tangenten i® und iG.

Es ist nämlich:
oder

Beweis« Es ist:

t®.tG = i».tÄ (§.3.)
und i»2 = i«8.i^

daher i)i^ = m.iG,

i. h. dte Malbsehnen, gezogen von dem inneren Aehnlichkeits-
punkt zweier Kreise zu jedem diese Kreise ungleichartig berüh-
renden Kreis sind einander gleich.

§- 8.

Beschreibt man daher aus dem inneren Aehnlichkeitspunkt
zweier Kreise mit der zu einem, diese Kreise ungleichartig be-
rührenden Kreis gezogenen Halbsehne einen Kreis, so wird die
Peripherie desselben von allen, die beiden Kreise ungleichartig
berührenden Kreisen halbirt.

§.9.

Schneidet ein Kreis zwei andere rechtwinkelig, so liegt sein Mit-
telpunkt in der den beiden Kreisen zugehörigen Linie gleicher
Potenzen.

§• 10.

Hälbirt ein Kreis die Peripherien zweier Kreise, so liegt sein'
Mittelpunkt in der den beiden Kreisen zugehörigen Linie äquidif«
ferenter Potenzen *).

« > 1^) Siehe Archiv der Mathem. XIX.ThK I. Hft. 8. b.

216 Ker%: üeber die Aufgabe, einen Kreis.%u beicikreiöep.

§. 11.

BerOhrt (Taf. V.) ein Kreis M^ (HP) drei andere Kreise 9«, M
and m gleichartig, so liegt der Mittelpunkt des berührenden Krei*
ses Df^ QXP) in der Linie gleicher Potenzen, welche zu den drei
Kreisen gehört, die aus den drei äusseren Aehnlichkeitspunkteo
mit den aus diesen Punkten an den berührenden Kreis Vi^ (OP)
gelegten Tangenten, also aus a, ^ und A^ mit den Ualbmessem ^
off', 5lff", AfS" gezogen werden. 1

Beweis. Es schneidet sowohl der Kreis a wie der Kreis V Is
den Kreis W {W) rechtwinkelig (§.6.)» daher liegt der mtü^h
punkt Df^ QXP) in der zu den Kreisen a und ^ gehurigen Liiiif f
gleicher Potenzen (§. 9.). Ebenso schneidet sowohl der Kreis %
als auch der Kreis A den Kreis X(i^ (JXP) rechtwinkelig (§. 6.), da-
her liegt der Mittelpunkt M^ (Ul^) auch in der zu den Kreisen %
und A gehurigen Linie gleicher Potenzen (§ 9.).

Hieraus folgt:

\

1) die drei Kreise a,%^ A haben eine gemeinschaßliclKt
Linie gleicher Potenzen;

2) schneiden sich die drei Kreise a, ^, A^ so schneidei
sie sich ih denselben Punkten O und O' \

3) schneiden sich die drei Kreise a, ^l\, A nicht, so schnei- .
det sie derjenige Kreis rechtwinkelig, welcher aus irgend
einem Punkte ihrer Linie gleicher Potenzen mit der an
einen von ihnen gelegten Tangente als Halbmesser ge-
zogen wird.

§. 12.

Berührt (Taf. VL) ein Kreis W» (W*) zwei andere Kreise ffl
und M gleichartig und einen dritten Kreis m ungleichartig, so
liegt Her Mittelpunkt des berührenden Kreises BI^ (ITT*) in der
Linie äquidifferenter Potenzen, welche zu den zwei Kreisen ge-
hurt, die aus den beiden jedesmal zu dem ungleichartig berührten
Kreise m gehörigen, inneren Aehnlichkeitspunkten mit den aus
diesen Punkten zu dem berührenden Kreise JXi^ (Hl*) gelegten
Balbsehnen, also aus 3 und J mit den Halbmessern 3^" und JV
gezogen werden.

Beweis. Es wird sowohl die Peripherie des Kreises 3 als
auch die des Kreises J von dem Kreise )Tt^ (UT*) hnlbirt (§. 8.)» daher

weicher drei gegebene Kreise berühri, 817

ii^t der Mittelpunkt Vfl (IR^) in der zu den Kreisen 3 und J ge-
kurigen Linie äquidifferenter Potenzen (§. 10.) > welche als solche
Inf der zu dem ungleichartig berührten Kreise m gehurigen ione-
itn Aehnlichkeitsaxe aJ^ senkrecht steht.

§. 13.

Berfihren zwei Kreise JIT^ und TXP (Taf. V.) drei andere Kreise
1t, M und m gleichartige nämlich VX^ die drei Kreise von aussen
nid DP die drei Kreise von innen, so wird jeder der drei Kreise
roD deo beiden andern in zwei Punkten berührt» und betrachtet
Man die gerade Verbindungslinie jeder solcher zwei Punkte als
tbe Polare des betreffenden Kreises, so liegt bekanntlich der die-
ser Polare zugehörige Pol in der äusseren Aehnlichkeitsaxe c^A.

Legt man nun aus jedem der drei Pole, z. B. aus dem zu
der Polare ^'$B^ des Kreises ^ zugehörigen Pole %, an den be-
treffenden Kreis SK eine Tangente $09' (= $03^) und beschreibt
mit derselben als Halbmesser einen Kreis , so werden von diesem
nieht allein der berührte Kreis !S1, sondern auch der berührende
■P (und VP) rechtwinkelig geschnitten, weil der Halbmesser $03'
(=$9^ nicht allein Tangente an den Kreis fTO, sondern auch an
4en Kreis IR^ (ÜIT^) ist. Dasselbe findet statt für die Kreise M
«id m^ wenn man aus den, in der äusseren Aehnlichkeitsaxe atSl^
p>elegenen, zu den Polaren B' B^ und 6'6^ der Berührungspunkte
gehörigen Polen P und p mit den Tangenten PB' {=^PB^) und
pV (z=zpb^) Kreise beschreibt.

Nun wird aber der Kreis VH^ (VIP) auch von den Kreisen a,^, A
($.6.) rechtwinkelig geschnitten, daher schneidet auch 1X1^ (VP)
die sechs Kreise a, ^, A, p, $, P rechtwinkelig. Diese sechs
Kreise haben daher eine und dieselbe Linie gleicher Potenzeh
und die Bemerkungen des §. IL, 2) und 3) sind auch auf die drei
Kreise p, ^, P anwendbar.

$. 14.

Berühren zwei Kreise DI' und üXt^ (Taf. VI.) zwei andere Kreise
ft and M gleichartig, nämlich DI' die beiden Kreise von aussen
irod jn^ die beiden Kreise von infken, und einen dritten Kreis m
«Dgleichartig , nämlich VX^ denselben von innen und JR^ von aussen;
so wird jeder der drei Kreise von den beiden andern in zwei
Punkten berührt, und betrachtet man die gerade Verbindungslinie
jed«r solcher zwei Punkte als eine Polare des betreffenden Krel-

Theil XXIV. 15

JUS Ker%: Veber die Aurgabe, einen Kreis vu öesckreiöen,

ses, so liegt bekanntlich der dieser Polare zagehSrige Pol in dei
dem ungleichartig berührten Kreise m zugehörigen inneren Aeho
lichkeitsaxe aJ3.

Legt man nun aus jedem der drei Pole, z. B. aus dem zi
der Polare 93^33* des Kreises ÜJi zugehörigen Pol $', an den b*
treffenden Kreis SJ^ eine Tangente ^'iB^ (=:$'®^) und beschreibi
mit derselben als Halbmesser einen Kreis, so werden von diesen
nicht allein der berührte Kreis ^^ sondern auch der berührende
tn^ (m^) rechtwinkelig geschnitten, ueil der Halbmesser ^'^
(=$'^4) nicht allein Tangente an den Kreis 9K, sondern aud
an den Kreis W (W) ist.

uiJ

Dasselbe findet statt fär die Kreise M und m, wenn man
den Polen P' und /?' mit den Tangenten P'B^ (=P'B*)
p'b^ {=zp'b^) Kreise beschreibt.

Es schneidet also der Kreis VA^ (]T?^) die Kreise p', ^' ,
rechtwinkelig, daher haben diese drei Kreise eine und diesell
Linie gleicher Potenzen, welche durch den Mittelpunkt des Kn
ses JK^ (W) geht und auf der inneren Aehnlichkeitsaxe aJ3 sei
recht steht. ^

Es geht aber auch die Linie äquidifferenter Potenzen dtf
Kreise 3 und J durch den Mittelpunkt des Kreises M^ OXi*) «iM
steht auf aJ3 senkrecht (§. 12.), mithin ist die Linie aquidifferMI
ter Potenzen der Kreise 3 und J die Linie gleicher Potenzen dci
Kreise p', *', P'.

§ 15.

Schneiden sich die Kreise a, 51, Ä (Taf. V.) (§. 11.) und folgp-
lieh aucn die Kreise /?, 5U, P (§.13), so ist jeder der drei Mit-
telpunkte p, $, P ein Punkt der Linie gleicher Potenzen zu jedea
der beiden Schneidungspunkte O', O" und dem zugehörigen Kreise
m, üJi, M\ denn jeder der Kreise p, ^, P schneidet den zui?c«
hörigen Kreis m, Wl, M rechtwinkelig und geht durch die beide4
Schneidungspunkte (§. 13.). § C

§. 16.

Schneiden sich die Kreise a, ^, A (§. 11.) nicht, und folg*
lieh auch nicht die Kreise p, $, P (§. 13.), so ist jede!
der drei Mittelpunkte p, $, P ein Punkt der Linie gleicher Pd*
toosen zu demjenigen Kreise, welcher aus dem Durchschnittr

welcher drei gegebene Kreise öerükri. 919

ikte O der gemeinschaftlichen Linie gleicher Potenzen der sechs
sise nnd der äusserien Aehnlichkeitsaxe a^Ä als Mittelpunkt
I der Ton diesem Mittelpunkt an einen der respektiven Kreise
%i A gezogenen Tangente als Halbmesser gezogen ist, und
n zugehörigen Kreise m, 9R, M\ denn jeder der Kreise p^ $, P
laeidet den zugehörigen Kreis m^ fOt, M und den also gezoge-
1 Kreis rechtwinkelig (§. II. 3)).

§. 17.

Beschreibt man aus dem Durchschnittspunkte Q (Taf. VI,),
I den Kreisen p' , ^', P' (§. 14.) angehurigen Linie gleicher
itenzen QfQ„ und der inneren Aehnlichkeitsaxe oJ3, mit QV*
^QV") als Halbmesser^ einen Kreis; so halbirt derselbe be-
lintlich die Peripherien der Kreise J und 3 (§. J2.) und seine
tepherie wird, weil der Mittelpunkt Q ein Punkt der Linie liqui-
■erenter Potenzen der Kreise J und 3 ist, von demjenigen Kreise,
iMen Mittelpunkt in derselben Linie liegt und welcher die Peri-
^n der Kreise J und 3 halbirt, also von dem berührenden
W (Ut^), selbst halbirt, d. h. die Durchschnittspunkte Q'
(t der Kreise Q und JXi^ (VV^) liegen in der in dem Mittei-
le Q auf der Centralen QW (Q)tl^) errichteten Senkrechten,
in der inneren Aehnlichkeitsaxe aJ% Mithin ist auch diese
lichkeitsaxe selbst eine Linie gleicher Potenzen der Kreise
id VP (Ml-*). Da nun die Kreise /?', W, P' (§. 14.) die respek-
Kreise m,^, il/ rechtwinkelig schneiden , so schneiden auch
drei Kreise den Kreis Q rechtwinkelig oder die Mittelpunkte
^ $', P* sind Punkte der Linien gleicher Potenzen des Kreises
'md der respektiven Kreise m, ^, il/.

S- 18.

• Ehe wir zur Lösung der gestellten Aufgabe übergehen, durfte
^nech zweckmässig erscheinen, zur Abkürzung eine Nomenkla-
Irwniger bisher betrachteten Linien und Punkte einzuführen:

1) Ein jeder aus den drei äusseren Aehnlichkeitspunkten

. a, 31, ^ mit einem Halbmesser off', OKT", AH"' (§. IL)

(gleich der mittleren Proportionale der aus dem betref-

ti . fenden äusseren Aehnlichkeitspunkt an beide zugehörige

Kreise gelegten Tangenten) gezogene Kreis heisse ein

Süsserer Aehnlichkeitskreis.

Ih

^

% Ein jeder aas den drei inneren AehnUchkeitspunkten t, 3» /

Ker%: Dt^r die Au/jgfaäe, eimeu JTrefi wm §€tckreiben,

mit einem Halbmesser iV , Vi", JV (f 12.) (gle
mitderen Proportiooale der aas dem betreffenden
AebBlichlceitspunlct an beide sogebOrige Kreise %
Tangenten) gesogene Kreis heisse ein innerer
llehkeitslcreis.

3) Die den drei flasseren Aehnlichlceitskreisen gemeli
liehe Linie gleicher Potenzen 0'(y (Taf. V.) heiss
sere Axe.

i) Jede zu zwei inneren Aehnifcbkeitskreisen gehörig
Sqnidifferenter Potenzen Q,Q^ (Taf. VI.) Innere .

5) Der Darcbscbnittspankt O (Taf. V.) der Susseren Axe
ftosseren Aehnlichkeitsaxe heisse Hauptpunkt de
seren Axe oder der äusseren Aebnilchkei

6) Jeder Durchschnittspunkt Q (Taf. VI.) einer innei
roH der zugehörigen inneren Aehnlichkeitsaxe
Hauptpunkt dieser inneren Axe oder die«
neren Aehnlichkeitsaxe.

7) Der aus dem Hauptpunkte O der äusseren Axf
(TaLV.) beschriebene Kreis^ dessen Halbmesser*
diesem Hauptpunkte zu einem der äusseren Aehnli<
kreise gelegte Halbsehne oder Tangente ist^ heisse l
kreis der äusseren Axe oder Hauptkrei
äusseren Aehnlichkeitsaxe.

8)l Jeder aus dem Hauptpunkte Q einer inneren Ax<
(Taf. VI.) beschriebene Kreis ^ dessen Halbmesser
rade Verbindungslinie dieses Hauptpunktes mit dei
punkte des in dem Mittelpunkte eines zugehörigen i
Aehnlichkeitskreises auf die betreffende innere Ae
keitsaxe senkrecht errichteten Halbmessers ist, hei«
Hauptkreis dieser inneren Axe oderHaupl
dieser inneren Aehnlichkeitsaxe.

9) Berühren zwei Kreise drei andere, und liegen ibi
telpunkte in einer und derselben Axe, so heiss
conjugirte Kreise, die Berührungspunkte conji
Berührungspuhkte und die gerade Verbindur
dieser heisse Berührungspotare.

10) Jeder Kreis, dessen Mittelpunkt in einer Aehnlic
axe liegt und dessen Peripherie durch zvTei con
Berührungspunkte geht, durch welchen also zwei
rungspunkte bestimmt werden (§§. 13. und 14.), hei<
Bestinimungskreis der Berührungspunkte
Mittelpunkt Pol der Berührungspunkte.

weieker drei gegebene KrHie berUkri, 8|l

§. 19.

Aufgabe. Es sin4 drei Kreise My SR, m (Tat*. V.) gegeben;
1 soll einen Kreis Vi beschreiben, der die gegebenen Kreise
ichartig berührt.

Auflösung. Mau bestimme:

1) die Süssere Aehnlichkeitsaxe a%A\

2) die äusseren AehnÜchkeitskreise a, %y A, welche sich
entweder schneiden oder nicht schneiden. Schneiden sie
sich, HO hat man in der geraden Verbindungslinie der
Schneidungspunkte bereits die äussere Axe; schneiden
sie sich nicht, so ergiebt sich die äussere Axe als Linie
gleicher Potenzen der gezogenen Aehnlicbkeitskreise.

3) Im ersteren Falle suche man zu einem der Durchschnitts-
punkte O' (O'O und jedem der gegebenen Kreise JU, 9)^, m
die Linie gleicher Potenzen, so ergeben sich als Durch-
schnittspunkte dieser Linien mit der äusseren Aehnlich-
keitsaxe die Pole P, $, p der Berührungspunkte. Im
letzteren Falle lege man aus dem Hauptpunkte der äus-
seren Aehnlichkeitsaxe an einen der gezogenen äusseren
Aehnlicbkeitskreise eine Tangente, beschreibe mit der
selben als Halbmesser aus dem Hauptpunkte einen Kreis,
den Hauptkreis der äusseren Axe, und bestimme zu die-
sem und jedem der gegebenen Kreise ilf , 9K, m die Linie
gleicher Potenzen, so ergeben sich als Durchschnitts-
punkte dieser Linien mit der äusseren Aehnlichkeitsaxe
die Pole P, $, p der Berührungspunkte.

4) Aus jedem der gefundenen Pole P, $, p beschreibe
man mit einer an den betreffenden Kreis M, 9K, m geleg-
ten Tangente als Halbmesser einen Bestimmuogskreis
der Berührungspunkte, so ergeben sich letztere als Durch-
schnittspunkte beider. Kreise.

Für den Kreis P ergeben sich die Berührungspunkte
B' und B^, für ^ ergeben sich 93' und 93« und für p
ergeben sich b' und 6^, und von diesen gehören B', S'
and b' dem Kreise an, welcher die gegebenen von aussen
i und B^y^^fb^ dem Kreise an, weicher die gegebenen
Kreise von innen berührt.

•

'5) Die Mittelpunkte VX^ und VKP erhält man durch gerade
Verbindung der erhaltenen Berührungspunkte mit den

K€r%: üeöer die Aäfyabe, einen Xreit wu äescAreiöen,

Mittelpunkten der drei gegebenen Kreise. Es schnei
sich nämlich von diesen sechs geraden Verbindungsli
jedesmal drei zusammengehürige in einem und denise
Punktet der zugleich ein Punkt der äusseren Axe'is

§. 20.

Aufgabe. Es sind drei Kreise M,^,m (Taf. VI.) gege
man soll einen Kreis Vt beschreiben, der die beiden ersteren Ki
M und 9K gleichartig und den dritten Kreis m ungleichartig beri

Auflösung. Man bestimme:

1) die zu dem ungleichartig zu berührenden Kreise m
hürige innere Aehnlichkeitsaxe aJ3;

2) die inneren Aehnlichkeitskreise J und 3 und zu di
ihre Linie äquidifferenter Potenzen oder die innere
QiQii'y sodann den Hauptkreis Q der inneren Aehn
keitsaxe.

3) Zu diesem Hauptkreiso der inneren Aehnlichkeitsaxe
jedem der gegebenen Kreise M^ ^y m bestimme mai
Linie gleicher Potenzen, so ergeben sich als De
Schnittspunkte dieser Linien mit der inneren Aehn
keitsaxe aJ3 die Pole P', $',/?' der Berührungspul

4) Aus jedem der gefundenen Pole P', ^' , p' beschi
man mit einer an den betreffenden Kreis M, SW, wi
legten Tangente als Halbmesser einen Bestimmungsl
der Berührungspunkte, so ergeben sich letztere
Durchscbnitfspunkte dieser beiden Kreise.

«

Für den Kreis P' ergeben sich die Beriihrungspu
ß^ und i5*, für $' ergeben sich QB^ und 33* und ft
ergeben sich 6^ und &*, und von diesen gehören JS^, ^
dem Kreise an , welcher J/ und ü)? von aussen und
Kreis m von innen, dage§|en B^, 35*, Ä* dem Kreist
welcher die Kreise M und ÜJ^ von innen und den I
m von aussen berührt.

5) Die Mittelpunkte MT^ und WT* erhält man durch ge
Verbindung der erhaltenen Berührungspunkte mit
Mittelpunkten der drei gegebenen Kreise. Es sehne
sich nnndich von diesen sechs geraden Verbindungsl
jedesmal drei zusammengehörige in einem und dei
beo, der inneren Axe angeburigeu Punkte.

weiekir drei gegthene KrtUt äeHU^L

fr

5. 21.

Alf gleiche Weise (wie in §. 20.) geschieht die Auflösung,
«eoD das Verlangen gestellt wird, die Kreise üf und m gleich-
|irtig Dod den Kreis ^ ungleichartig oder die Kreise SR und m
IJkicbartig und den Kreis JU ungleichartig zu berühren.

§ 22.

Bei der in §. 19. gegebenen Auflosung fiir gleichartige Berfih-
dreier Kreise genügt die Bestimmung von nur zwei äusseren
inlichkeltskreisen , etwa der Kreise a und %, weil sich schon
zwei solcher Kreise die äussere Axe bestimmen lässt.

Ebenso genügt die Bestimmung nur eines Poles der Beruh-
lunkte, etwa des Poles $, weil» hat man die zugehörigen
li conjugirten Berührungspunkte S9', Sß^ gefunden, die übrigen
ttt sieb mit Hülfe des §. 2. leicht finden lassen.

Man verbinde nämlich, wenn die Berührungspunkte 93' und
Pl'iiekannt sind, diese Punkte mit dem zugehörigen äusseren
Irilnlichkcitspunkte a, so schneidet die gerade Verbindungslinie
M' Kreis M in den Berührungspunkten B' und B^ und die ge-
lle Verbindungslinie dieser Berührungspunkte mit dem zu M und
i|p»hurigen äusseren Aehnlichkeitspunkt % schneidet den Kreis
in den Berührungspunkten b' und ö^.

Man macht hiervon mit Vorthcil Anwendung, wenn die Be-
hmngspole, wie P und p (Taf. V.), über die Grenze des Papiers
naosfallen.

§. 23.

Auch bei ungleichartiger Berührung (Taf. VI.) genügt die Be-
immung nur eines Poles dej^Berührungspunkte (vergleiche {. 22.),
eil, hat man zwei conjugMe Berührungspunkte gefunden, die
irigen vier sich mit Hülfe des §. 4. leicht ergeben.

§. 24.

Hat man, sowohl für gleichartige, als ungleichartige Beruh»
iBg, zwei conjugirte Berührungspunkte gefunden, so ergeben sich
■ch die Mittelpunkte der conjugirten Berührungskreisa alsbald.

324 Kerz: Ueäer die Aufgabe, einen Kreis %ü öeschreiöen,

wenn man die gefundenen Berührungspunkte mit dem Mittelpunkte
des zugehörigen Kreises dnrch gerade Linien verbindet und diese
verlängert bis zu ihrem Durchschnitt mit der zugebürigen äusse-
ren oder inneren Axe.

Von den in diesem und den beiden vorhergehenden Paragra-
phen ervväbnten Abkürzungen wollen wir bei der Auflosung nach«
folgender Aufgaben Gebrauch machen.

§. 25.

Aufgabe. Es sind drei Kreise ^, 31 und m (Taf. VII.), deren
Mittelpunkte in einer geraden Linie liegen, gegeben ; man soll einijf^ V
Kreis VH beschreiben, der die drei gegebenen gleichartig berührt \^

m

Auflösung. Man bestimme:

1) die äussere Aehnlichkeitsaxe. Dieselbe f^llt in vorlie-
gendem Falle ganz mit der Richtung der in Einer Linie
liegenden, den gegebenen Kreisen zugehörigen Centra-
len zusammen, und es genügt die Bestimmung von zwei
äusseren Aehnüchkeitspunkten a und ^.

2) Zu den Tangenten aX' und aT , sowie zu %t' und ^V
suche man die mittleren Proportionalen aZ' und %iS!' und
beschreibe mit denselben als Halbmesser die äusseren
Aehnlichkeitskreise a und '9.

Diese Aufgabe unterscheidet sich nun von der in §.19.
gestellten, auf Taf. V. bezüglichen Aufgabe dadurch, dass
sich dort die beiden Aehnlichkeitskreise schneiden, hier
nicht.

3) Zu den beiden Aebnlichkeitskreisen suche man die Linie
gleicher Potenzen, d. i. die äussere Axe 0,0^. lege von
ihrem Hauptpunkte O eine Tangente 00' an einen der
Aehnlichkeitskreise und beschreibe mit derselben einen
Kreis, nämlich den Uauptkreis der äusseren Axe (§. 11.3)).

4) Zu diesem Hauptkreise (A und einem der gegebenen
Kreise, etwa dem Kreise 9J?, suche man die Linie gleicher
Potenzen, resp. deren Durchschnitt $ mit der äusseren
Aehnlichkeitsaxe, so hat man den Beriihrungspol $ für
diesen Kreis 9}?; und die von diesem Pol an den Kreis
SW gelegten Tangenten bestimmen dann zwei conjugirte
Berührungspunkte 93' und 93^.

5) Man verbinde jeden der Berührungspunkte mit dem Mit-
telpunkte ^ und verlängere die Verbindungslinien bis

' mdicker drei fepebene KreHe berükrL SM

dKe Simsere Axe 0,0„ in den Punkten IR^ und UP, d. i.

in den Mittelpunkten derjenigen Kreise geschnitten wird»
welche beide der Aufgabe genügen.

6) lUie zwei Paar andere Berührungspunkte B' und B^^
sowie h' und //^^ ergeben sich dann durch die Verbindung
der gefundenen Mittelpunkte VÜ^ und VP mit den Mittel-
punkten der gegebenen Kreise M und m.

§. 26.

Aufgabe. Es sind drei Kreise m, M und 9R (Taf. Vlll.), deren
itelponkte in einer geraden Linie liegen « gegeben; man söU
en Kreis Dt beschreiben, der zwei der gegebenen Kreise, etwa
und 9ff, gleichartig und den dritten Kreis, also m, ungleich-
ig berührt.

Auflösung. Man bestimme:

1) die dem ungleichartig zu berührenden Kreise zugehörige
innere Aehnlichkeitsaxe und es genügt die Bestimmung
der inneren Aehnlichkeitspunkte 3 und J.

2) Zu den Tangenten J®' und Jg" , sowie zu 3^' und3C
suche man die mittleren Proportionalen JH" und 33$''^ und
beschreibe mit denselben als Halbmessern die inneren
Aehnlichkeitskreise J und 3.

3) Zu diesen beiden Aehnlichkeitskreisen suche man die
Linie äquidifferenter Potenzen, d. i. die innere Axe QfQ,,,
und beschreibe aus ihrem Hauptpunkte Q mit QTi" (^^QW")
[nämlich mit der geraden Verbindungslinie des Haupt-
punktes Q und des Endpunktes 'ß" 0^'") des auf der in-
neren Aehnlichkeitsaxe senkrecht stehenden Halbmessers
des inneren Aehnlichkeitskreises J (3)] als Halbmesser
einen Kreis, d. h. den Hauptkreis der inneren Axe.

4) Zu diesem Hauptkreise und einem der gegebenen Kreise,
etwa dem Kreise M, suche man die Linie gleicher Po-
tenzen, resp. deren Durchschnittspunkt P* mit der inne-
ren Aehnlichkeitsaxe 3«/, so hat man den Berührungspol
P' für diesen Kreis M. Die von diesem Pol an den
Kreis M gelegten Tangenten bestimmen dann zwei con-
jugirte Berührungspunkte B^ und B\

5) Man verbinde jeden der Berührungspunkte mit dem Mit-
telpunkte M und verlängere die Verbindnngslin^n, bis
die innere Axe Q,Qf, in den Punkten Dt' und Ht^, d. i;

916 lier%: Deder die An/jfo^, einen Kreis sir beackreiben,

in d^D Mittelpunkten derjenigen Kreise geschnitten wird,
welche beide der Aufgabe genügen.

6) Die zwei Paar andere Berflhrungspunkte 9' und 9^, so
wie 6^ und b^^ ergeben sich dann durch die Verbindung
der gefundenen Mittelpunkte Vl^ und Dt^ mit den Mittei-
punkten der gegebenen Kreise Wi und m.

§• 27.

Liegen die Mittelpunkte M, ÜJ^, m der drei gegebenen Kreise '*
nicht« wie in Aufgabe §§. *25. und 26.» in einer geraden Linie, so i
kann, wenn die Auflösung vollständig, nämlich die Bestimmung \
der acht Berührungskreise erfolgen soll, die in den §§. 19. und 20l j.
gegebene Auflösung durch folgenden Satz eine Abkürzung erleideo. .

§. 28.

8äromtliche vier Axen, nämlich die äussere Axe und die drei''
inneren Axen, schneiden sich in einem Punkte und zwar in dem
Potenzcentrum der drei gegebenen Kreise.

Um diese Behauptung einzusehen, nehme man in Betracht,
dass jedesmal zwei conjugirte Berührungspunkte mit dem Potenz*
centrum in einer geraden Linie liegen. Man verbinde nun zwei
conjugirte Berührungspunkte, etwa 53' und 33^ (Taf. V.), mit dem
Potenzcentruni ^ durch eine Gerade und verlängere sie bis zu
ihrem Durchschnitte 93 des Kreises Itl^; alsdann verbinde man S5
mit W, «' mit W, ^ mit m^ und ii mit MI^. g^ igt:

W. l!|2©Q32 = |!|2J82g3
und W. 3J?5ö'582=:Sjy^q32Q9'

Es ist aber W. ^258253 = SSIW^'

daher auch W. M^^^B^^aWiB'««

also ini93' II Ml^jß.

Da aber diese Parallelen Vd^^' und M^^ die in entgegenge-
setzter Richtung liegenden Halbmesser zweier Kreise Ml^ und MI*
sind, so liegt bekanntlich auch in der Verbindungslinie ^'?ß ihrer
Endpunkte der innere Aehnlichkeitspunkt dieser Kreise VX^ und Ot^.

Verfährt man ebenso mit einem anderen Paare conjugirter
Berührungspunkte 9 etwa mit 6' und 6^ des Kreises 7«, verbindet
sie nämlich mit dem Potenzcentrum ii durch eine Gerade und
verlängert diese, bis VX^ in 6 geschnitten wird etc.; so ergiebt

m0ieker drei §e§€benß Kreite öerükrL 997

•ich» d«M der indere Aehnlichkeitspunkt der Kreise IH^ und IIP
taeh in der Geraden b'b liege; mitbin liegt der innere Aehnlich-
keitspunkt beider conjogirten Kreise in dem Durchschnitte der
Linien S'$ und b'b.

Es ist aber dieser Durchschnitt das Potenzcentnim £ der Kreise
M, 92 und m; daher ist auch das Potenzcentnim £ dieser drei
Kreise zugleich der innere Aehniichkeitspunkt der beiden conju-
girten Kreise Vl^ und TXt^, welche sie gleichartig berühren, und
die gezogenen Linien Vl^ii und VP^ fallen in eine Richtung zu-
sammen, d. h. das Potenzcentrum £ ist ein Punkt der äusseren Axe.

Auf gleiche Weise findet sich bei ungleichartiger Berührung
(Taf. VL), dass das Potenzcentrum £ auch der innere Aehniich-
keitspunkt der beiden conjugirten Kreise Vl^ und Ut^, also ein Punkt
der zu dem ungleichartig berührten Kreise m gehurigen inneren
Axe ist. Und ebenso ergiebtsich, dass das Potenzcentrum £ auch
ein Punkt derjenigen inneren Axen ist^ die den ungleichartig be-
rührten Kreisen ^ und M angehören.

Das Potenzcentrum £ ist mithin der innere Aehniichkeitspunkt
der vier Paar conjugirter Beruhrungskreise, d. h. ein Punkt der
rier Axen und daher ein gemeinschaftlicher Durchschnittspunkt
derselben.

§. 29.

Liegen daher die Mittelpunkte der drei gegebenen Kreise
nicht iu einer geraden Linie,, so kann man auch zur Bestimmung
der Axen das Potenzcentrum aufsuchen und von diesem auf die
bezuglichen Aehnlichkeitsaxen Senkrechte fällen.

Für solche Fälle kann dieses Verfahren, namentlich wenn es
sieb um Bestimmung sämmtlicher acht Berührungskreise handelt,
als Abkürzung gelten^ unbeschadet der Allgemeinheit der gege-
benen Auflösung für jede Lage der Mittelpunkte.

§. 30.

Das in den §§. 25. und '26. in Bezug auf die Berührung dreier
Kreise gegebene Verfahren ist nicht allein allgemein in Bezug
auf die Lage der Mittelpunkte» sondern auc*h in Bezug auf die
GruMe der Halbmesser der gegebenen drei Kreise, nämlich auch
noch dann anwendbar, wenn die Halbmesser derselben unendlich
gross oder unendlich klein werden, d. h. die gegebenen Kreise
in ferade Ldnieo oder in Punkte übergehen.

ms Sturm: Veber die eUmenUare ßereekmtng

Da indessen die allgemeine AuflOsang sich aof Bestimmang
der Achnlichkeitsazen« der Aehnlichkeitskreise , der Linien gleicher
Potenzen etc. grUndet, sosoll nunmehr untersacht n^erden , welche
Lage diese verschiedenen Linien einnehmen, wann die Halbmes-
ser der drei gegebenen Kreise zum Theil oder alle unendlich
gross oder unendlich klein werden.

(Die iweite Abtheilang dieser Abhandl. folgt in eioeni der nächiten Hefte.)

XVI.

lieber die elementare Berechnung der briggischen

Logarithmen.

Von

Herrn Joh. Bapt, Sturm,

gepröftem Lehramts -Candidaten zu Rottenburg in Nieder-Baiern.

Bekanntlich stützt sich die elementare Berechnung der briggi-
schen Logarithmen auf den Satz: „Wenn C die mittlere geome-
trische Proportionale von A und B ist, so ist Log.C die mittlere
arithmetische Proportionalzahl zu den Logarithmen von A und B/^
Das geometrische Mittel aus zwei Zahlen ist nämlich immer klei-
ner als wie diese, und dadurch ist es möglich, jede beliebige
Zahl als die Gränze anzusehen, der.man sich immer mehr nähert,
je mehr man die Operation des geometrischen Mittels fortsetzt.
In dem Lehrbuche der Zahlenlehre und Algebra von J. B. Weigl,
das ich vor mir habe, ist auf diesem Wege der briggische Loga*
rithmus von 3 berechnet, wobei 27 Mal düs geometrische Mittel
gesucht und am Schlüsse mit Recht die Bemerkung hinzugefügt
wird: „Aus dieser Berechnung mag man sich einen Begriff von
der unendlichen Mühe machen, welche die Er6nder der Logarith-

der Mpgiseken Lopariihmen. 229

men hatten» am die Logarithmen ßlr alle Zahlen zu finden."
Diese fast ungeheure Schwierigkeit in der Ausrechnung der Lo-
garithmen auf besagtem Wege verschwindet jedoch zum grossen
Theile, wenn man die äussere Form des Verfahrens modifizirt
dadurch y dass man systematischer zu Werke geht. Analysirt
man nämlich dieses Verfahren, so läuft ^es dem Wesen nach auf
nichts anderes hinaus, cols den briggischen Logarithmus einer
Zahl in der Form eines systematischen Bruches darzustellen, des-
sen Basis die Zahl 2 ist. In mathematischer Zeichensprache aus-
gedruckt, lautet dieses so:

Log.a: = a + 25 + 2^+2^ + ....

und

a: = 10«.10*".10*^l(P^....

wo durch X eine beliebige Zahl, durch a die Kennziffer und durch
die Bruchreihe, in welcher selbstredend er, /?, j^.... der Grösse
nach zunehmende ganze Zahlen bedeuten, und jedes Glied grös-
ser als die Summe aller nachfolgenden ist, die Mantisse des Lo-
garithmus vorgestellt wird. Hieraus ersieht man aber auf der
Stelle, dass es bei der Berechnung der briggischen Logarithmen
im Grunde blos darauf ankömmt, für die Potenzen :

1 -L 1. i-
10^, 10^", 10*', 10*',....

die Werthe zu finden, was sehr leicht durch fortgesetztes Qua-
dratwurzelausziehen geschehen kann, ich habe nun vor Kurzem

diese Werthe bis auf den von 10*' einschliesslich berechnet und
zwar In 10 Dezimalen, und theile sie hier in einer Tafel *) mit,
wobei ich jedoch nicht gut stehen kann, ob nicht hie und da die
letzte Ziffer fehlerhaft ist. Das Prinzip der Rechnung war näm-
lich folgendes. Bezeichnet a irgend einen durch Quadraiwurzel-
ausziehen erhaltenen Werth in 10 Dezimalen, so kann der wahre

Werth durch (a + j5) ausgedruckt werden, wo ß^T^ Ist« Zieht

man nun auf's Neue aus (a-f |3) die Quadratwurzel aus, so kann
diessj da ß unbekannt ist, nur dadurch geschehen, dass man aus
a die Quadratwurzel zieht; man begeht dabei wohl einen Fehler,
allein es ist leicht zu bestimmen, auf die wievielte Dezimalstelle

*) Sielie am Ende.

.•1

230 Sturm: üeber die eiementare Berechnung

von Va er einen Einfluss habe. Bezeichnet man nämlich diesen
Fehler durch ^^ so ist

und

oder

V(«+/3) = V« + ^

^=V(a + jS)~V«

^= ^

Da nun /5<]mö und immer V(« + /3) + Va>2 ist, so hat man

offenbar auch:

l

^<

10 lö

Der Werth von d hat also einen Einfluss nur auf die Ute Dezi-
malstelle des Werthes von Vcc, wenn dieser in 10 Dezimalen be-
rechnet wird, wobei es sich nun ereignen kann, dass durch eben
diesen Einfluss auch die lOte Dezimale von Vf^ verändert wird.

Ueber die Anwendung der Tafel selbst habe ich nur Folgen-
des zu bemerken. Wollte man z. B. den briggischen Logarithmus
von 5 berechnen, so ist das Verfahren, das sich in allen Fällen
gleich bleibt, einfach dieses.

Da

i i. ii

I) 5=:10«.10^".102^.102^...

sein soll, so ist vor Allem klar, dass a=rO ist; nun suche man
in der Tafel in der Reihe B. jenen Werth, welcher kleiner als
die Zahl 5 ist, aber dieser am nächsten kommt; er ist 3,162'2776604,
und ihm entspricht iu der Keihe A. der Werth a = l; mit jenem
in der Reihe B. gefundenen Werthe dividire man hierauf in 5 (der
Quotus sei =^). wodurch die Gleichung I) übergebt in diese:

II) ^ = 10<10^^...

Auf diese Gleichung kann man das so eben gebrauchte Ver-
fahren neuerdings anwenden, und dadurch ß finden. Auf diese
Weise fährt man fort, bis man endlich auf einen Qu^ieriten kommt,
der kleiner als der kleinste in den Tafeln ist; die Rechnung wird
jetzt abgebrochen, da der Logarithmus von 5 bereits in 10 Dezi-
malen bestimmt ist. Dieser ist, wie von selbst einleuchtet, durch
die Gleichung:

aer Mp§ii€kem log^triikmm. 231

gegeben« da a, ß^ y,... durch die im Vorigen angegebene Ope-
ration bestimmt ivorden sind.

Für die wiricliche Ausführung der Divisionen ist aber noch
folgendes Raisonnement nothwendig. Werden zwei beliebige Zahl-
werthe , von denen der eine durch den andern dividirt werden soll,
and die in 10 Dezimalen gegeben sind, durch a und </ bezeich-
net, so sind die wahren Werthe beziehlich (cc-t-ß) und (a'-f /?')>

wo dann ß und ß' kleiner als tqiö sind. Der Fehler, den man

bei der Division dadurch begeht, dass statt der wahren Werthe
(a+ß) and (ctf ■{■ ß') die nur bis auf 10 Dezimalen berechneten a
ond a' genommen werden, ist nun durch die Gleichung:

ct + ß a

?7 = r/ + ^

gegeben, wo J den eben erwähnten Fehler bezeichnet. Hieraus
ergibt sich:

a'ß - aß'

d =

«'(«'+^0

Da o und a' weder gleich noch grosser als 10 sind, so wird
jedes der Produkte a*ß und aß' , also auch der absolute Werth

der Differenz (a'ß — aß*), den Werth von ^r^ niemals überschrei-
ten, woräns folgt, dass der Fehler d immer kleiner ist als tttiö'
indem nämlich das Produkt a'{a! -{-ß') immer grosser als 1 ist.

Aus Vorstehendem ist klar, dass die Herechnung der briggi-
schen Logarithmen für alle Zahlen in 10 Dezimalen sich zurück-
fuhren lässt auf 33 in der Form von -q^ sich darstellende Loga-
rithmen. Die Anzahl der Divisionen ist im allcrungünstigsten Falle
höchstens 33. Ein geübter Rechner dürfte auf diesem Wege nun
nicht viel langsamer das Ziel erreichen, als auf dem, welchen die
Analysis gibt, wo man von langen Rechnnngen gerade auch nicht
frei ist, und die briggischen Logarithmen nur mittelbar findet in-
soferne, als sie nur die natürlichen direkt gibt, aus denen erst
durch eine Multiplikation mit dem Modulus die briggischen gewon-
nen werden. Unstreitig ist aber der Berechnung durch Reihen,
welche die Analysis gibt, vorzuzielien jene Art, die der vorigen
Umlich ist und darin besteht, dass zuerst die Potenzen:

Igt Sturm: rtifrd/eHtmnt.ttr«tM.ätr»rtttltettmUfmrtt»mti

ja-'.

10* 10!

JOV^.

lO'^. 10'

lOüT^

, loräs, 10"

n. •. r.

barechDet werdvii, dereo Annhl 81 Ist, wenn zehndesiini
Loguldimeii gerordart lind.

A

B

A

B

1

1

3,mirtpmi

lO«"

l,0Q00O67836

10.'=

1,778-2794140

„.f

1,0000043917

loi^

1,3333214336

lO."*^

1,0000021958

J

UU78ig853

10.7

1,0000010978

J

1,0746078386

10.7

1,0000005488

10>"

1

1,0366329285

10.7

1,0000002743

10»"

1,0181517217

107

1,0000001271

10.^

1,0090350448

10«"

1,0000000085

10«'

1,0015073642

107

1,0000000342

10.7

1,00^2511482

10«^

1,0000000170

10."^

1,0011249413

lO»""

1

1.0000000084

io.y

1,0005623125

10""

1,0000000041

10.7

1,0002811167

10.7

1.0000000020

10."

1,0001403484

10.-^

1,0000000009

10.^

1,0000702717

lof

1,0000000004

10."^
1

1,0000351332

10«^

1,0000000001

,10."

1,0000175674

MiMceUen. 3SS

Miscellen.

Von dem Heraotgeber.

Aufgabe.

Die Lage eines gegebenen Dreiecks ABC, dessen
den Winkeln A» B, C gegenüberstehende Seiten, wie
gewuhnlichy durch a, b, c bezeichnet werden sollen^
gegen eine gegebene Ebene so zu bestimmen, dass
seine Projeetion auf dieser Ebene ein gleichseitiges
Dreieck ist.

Auflösung.

Man lege die Spitze C des Dreiecks ABC in die Projections-
ebene und bezeichne die Neigungswinkel der Seiten a=zBC und
b=zCA gegen die Projectionsebene, indem man diese Winkel
absolut nicht grosser als 90^, aber positiv oder negativ nimmt,
jenachdem die entsprechenden Seiten über oder unter der Projec-
tionsebene liegen, respective durch q) und i/;; so hat man nach
den fiedingungen der Aufgabe zunächst offenbar die Gleichung

1) a cos gp = 6 cos tji*

Femer aber hat man nach den Lehren der sphärischen Tri-
gonometrie die Gleichung

cosC^cos(90o^(p)cos(900--.f;)

sin (900— g)) sin (900-1/;) -«^sw ^srndlT— „

also

cosC — sing? sin gf; ,

cos (p cos il) ' *

oder

2) cos C=: sin gp sin tf; -f i cos q> cos 'iff.

Ans der Gleichung 1) erhält man:

Thell XXIV. 16

3) C08^=:rC089>9

also^ wenn man dies in die Gleichung 2) einfttlirt and dann i
bestimmt :

26co« C—a cos 0)*
^ ^ 26 sin 9

Folglich hat man nach 3) and 4) aar Bestimmung von q> die Gleich

(26cosC7— gcosy^^ ^ g^cosy* «

oder

6) (26 cos C — a cosy)^ + 4a*sin qflcos q>^= 46*sin 9*,
die man nach leichter Entwickelung. auf die Form

. 4(aa + 6a— fl6co8C) ' 46«.^

7) C0S9*— -^ 3^5 ^co89«=-3^ainC»

bringt L5st man diese Gleichung wie eine quadratische Gleicl
auf» so erhält man zuvörderst sehr leicht:

^^ 2(a^H-6»^a6cosC)
Icosip« 5-= P

3o«

_ 4{g^ + 6^— a«6«--2fl6(a«+6a)cos C+4a^6acos C«>
" 9a*

oder, weil

2abcosC=a^+b^ — c^

ist, wie man leicht findet:

. ^ a*+6^ + c2 4(a* + 64+c*— a26*— 6«c«— c«a2)

also:

« a«+6«+cadb2 V aH^Hf*- a262-62c2-c«tt«
8) cos 9-«= g^ä

Weil aber

(a« - 6«)«+(6«— ca)«+(ca— a«)«=2(a*'+64+c*— a«6«--62c«-c

ist^ so kann man vorstehende Formel auch schreiben:

ttx o a^+6^+cgJ: V 21(ag-6g)g+(6^-cgrH(c^-«^)^)
y; cosfp — Q~2 ~ 1

woraus zugleich erhellet, dass die Wurzeigrusse immer reell
Weil das Product

MUeeiiem.

S36

und

X{ a« + 6« + c«— 2 V a* + 6* + c*— a262— Ä^c^'— c«a«|
= («^ + Ä^ + c«)2— 4(rt4 + 6* + 6-4 - a2^2— 6*0*— c2a«)
= 3 (2a«62 + 26*62 + 2c«o2— a* — 6* — c*)

^ AaH^ - (gg + 6* - c*)* 2a«6*+26gc«+2c*ag— a^~6^— c*
^ "" 4a262 "^ 4o«6« '

also obiges Product = 12a^62sin C^, folglich stets positiv ist, so
haben die beiden Werthe, welche die Formel 8) für cosg)* lie-
fert« immer gleiche Vorzeichen ; und da nun das obere Vorzeichen
üffenbar immer einen positiven Werth liefert, so liefert auch das
p ntere Zeichen stets einen solchen Werth, und die Formel 8)
oder 9) liefert daher für cos^* immer zwei positive Werthe.

Weil nach dem Vorhergehenden

«*+ 6*+ c* — a«62 - b^c^-- d^a^ = 0*6« + 6*0« + c^a^ ~ 4a«^«sin C«

Ist, so kann man auch setzen :

10) cos 9« =

aHbHc^±^VaHHb^cHc^a^-^aHH\nC^

3o2

Weil der absolute Werth von 9 nicht grosser als 90^ ist, so
ist cos 9> stets positiv, und daher nach 9):

U) C08(p=

aV3

iD welcher Formel man aber 97 positiv und negativ nehmen kann.
Hat man q) mittelst dieser Formel bestimmt, so ergiebt sich 1/;,
das ebenfalls seinem absoluten Werthe nach nicht grösser als 90^
ist, aber auch positiv und negativ sein kann, mittelst der For-
mel 4), nämlich mittelst der Formel

12)

sin t/; =

26 cos C — a cos <p*

26 sin q)
ohne alle Zweideutigkeit, indem imGegentheil die Formel 3), nämlich

13)

a

C0S^ = tC0S9,

esimentschieden lässt, ob man 1^ positiv oder negativ zunehmen hat.

Zu bemerken ist hierbei nun aber noch ganz besonders, dass,
^ean die Berechnung der Winkel q> und 1/; mittelst der Formeln

236 Miscellen.

11) und 12) wirklich möglich sein soll, die Werthe, welche diese
Formein für cos 9 und sinof; liefern , absolut genommen , die Ein-
heit nicht übersteigen dürfen.

Wäre nun

«2+62+0«— 2 V^a4+6*+c*--a262— 62c2_c2a2> 80«,
Ko wäre

6« + c2— 2o2 > 2 Va* + 6* + c* — a%^ — bH^-- c^cfl,

also 6* + c2 — 2a2 positiv, und folglich

(6« + d^^2a^)^ > 4 (a* + 6* + c* — a«^«- 6%«— c^a«),

woraus sich, wenn man die Grössen auf beiden Seiten des Zei«
chens gehörig entwickelt und dann aufhebt, was sich aufheben
lässt, leicht ergiebt:

0>364 + 3c*— 662c2, also 0>3(6«— c«)«,

fi^as offenbar ungereimt ist. Daher ist immer

a« + 6« + c« - 2 V"^*T6H- c* ~ a262— Ä^c«— c^a« < 3a^
also

a2 + 62^c2_2VQ4.f 64-t-c4~a262— 62c2— 6*2^

od^r

g^ + 62 + c2 ^ V2{ (gg-- 62j2 + (62- c^)^ -f- (c^ _ ^2^21

3a2 ~<^

Wäre ferner

g2 + 62 + 6*2 + 2 V^g* + 6* + c* — g2^2 _ ^2^2 _ ^2^^ 3^2^
so wäre

62 + c2 ~ 2g2 <; — 2 V"g* + 6* + d^^a^b^^bH^ - c2g2,
also 62 + c2 — 2a2 negativ, und

2a2_ 62_c2> 2 yfa!^ + 6^ + c*— g262 - b'^c^—c^a^,
folglich

(2g2 - 62 - c2)2 > 4 (g4 + 6* + c* — «2^2 _ ^2^2 c2a2)
oder

(62 + c2 -2a2)2> 4(g4 + 64 + c*— g262— 62c2— c2a2),

woraus ganz wie vorher

MUceUen. fiS7

0>36* + 3c*— 66«c«, al«o 0>3(6«— c«)a
folgt, was wieder ungereimt ist. Daher ist immer

abo

oder

Folglich darf man nar setzen:

14) C08(p= ^;^;;3 f

[ nad mittelst dieser Formel lassen sich auch immer zwei Werthe
f foa 9 finden, die, absolut gleich, dem Zeichen nach aber entge-
gengesetzt sind.

Aos dieser Formel ergiebt sich:

cos t =^cos 9 = ^^3 »

welcher Ausdruck natürlich ganz eben so, wie vorher der Ausdruck

aV3 '

immer kleiner als die Einheit ist. Also ist!

pcos^^^;!,
und weil nun nach 5)

(26 008 C — a cos y^)^ a*cos<p*_ .

also

(26 cos C—a cos 9*)« - «* „
W^T^ =l-pcos<)p«

Wt, so ist der absolute Werth Ton

26 cos C— acQsy*
26sio9

stete kleinefr. tis idieBiaheit, und' Bin ^' daher <iiiiittU0t der For
mel 12) immer ohne olle Zweideutigkeit bestimmbar,

Dasa ich bei der vorhergebenden Isleinen Dnterauebang die
Fälle, wo eine oder die andere Grtoaei welche! kleiner oder grös-
ser als die Einheit ist oder sein soll, der Einheit auch gleieh
sein könnte, der Kürze wegen nicht besonders betrachtet odiei
hervorgehoben habe, wird man mir nicht antik Vorwurfe macheo,
da diese^ Fälle als Gränxf&Ue zu. betrachten sind, deren Beurtbei-
luDg nach den obigen allgemeinen Formeln einer Schwierigkeit
nie unterliegen kann.

Weitere Folgerungen ans den obigen Formeln zu ziehen,
können wir fSglich dem Leser überlassen, und wollen in dieaer
Beziehung daher nur noch bemerken, dass nach 14)

26cosC— acosgj*

^ j

— ^-^ 2ab "■'*• - &a

• . . - .■.■■■.

^B«-H»«— «* a«+6«+c«— V 2t(a»-6»)a+(6*~c«)*-Kri»-.<»)»t
— o 3a

2(a« + 6» - 2c«) + Vi l (o» -, 4»)« + <6« — c»)« + (d«— tf»)»}
=— 3^ ■

also nach 12):

15)

2(a«+6»— 2c«)+ V2{(a2-62)«+(6«— c«)a+(c«— a«)«|

Sinti; ^ rt L * ■ : ~~

^ oaosio(p

ist. Auch erhält man aus 14) leicht:

16)

. . 2aa - 6« - c« + V 2 1 (a* - 6«)« + (6* - c«)* + (c« - a«)«|
810 9)«= 3^

Von dem Herausgeber.
Aufgabe.

Zwischen den Schenkeln AC und BC des Winkels

C eines Dreiecks ABC die kleinste Linie zu ziehen,

TU
welche, von der Spitze C an gerechnet, — des gegebe-
nen Dreiecks ABC absciinäidet

Miscelien. SSft

Auflösung.
Die gesuchte Linie sei A'B^ , so dass

äiA'B'C^-^ABC

l Setzen wir A'C=a:, B'C — yy A'B' = %, so ist

/S^A'B'C—lxysmC-,
io« weil

IS^ABC=labBmC

t, nach dem Obigen:

m , mab

«7 n

n « *

(tner ist

2« = a** + y«— 2a:^ cos C,
10, weil

.V =

nx

, wenn man diesen Werth von y in die vorstehende Gleichung
ifuhrt :

. - . m!^aH^ 2m nb ^
r* = a:^-J ^-= cosC»

Serentiirt man nun nach x, so erhält man.

^ 82 ^ 2w%26*
dx ' n^x^

er

dz m^a%^

1 weil nun

E-»

o muss, so ergicbt sich die Gleichung:

X ö-ö-=ü oder ar*= 5 — ,

raus a: = Y folgt. Nach dem Obigen ist

80 dass folglich J? = y» das Dreieck ./l'B'C also ein» sdne £
in C habendes gleichschenkliges Dreieck ist :

Es fragt sich bloss noch» ob wirklich ein Minimum
findet Dm dies zu entscheiden , mflssen wir bekanntlich
zweiten Differeptialquotienten von z in Bezog auf a entwi<
Differentiiren wir aber die aus dem Obigen bekannte Gleicbi

dz nfia'^ffl

dx n^x^

von Neuem, so erhalten wir

und für « = Y ist also^ weil für diesen Werth von i

erste Differentialquotient bekanntlieh verschwindet :

der zweite Differentialquotient also offenbar positiv, welche
bekannte Bedingung des Minimums Ist '

Für z^ erhält man leicht nach dem Obigen:
«« =t 2ar« (1 — cos C) = 4ar« sin l C«,

also

=2arsinJC = 2y ^siniC.

Druckfehler.

Thi. XX. S. 102. hinter y in der ersten Zeile, also am Anfang
■weiten Zeile, schalte man die Worte ein :

„oder nach den entgegengesetzten Richtungen."

Thl. XX. S. 105. Z. 3. T. u. muss im Nenner des Bruchs ein W
seichen gesetzt werdeo, nämlich:

\

/

r

1

4

ih.

j*:

- . - ' A

,''' ' ' ■ -t '

• -. •V'

Baehr: Sur le moutement d'un corps soüde itutaur etc. 341

f .

XTIII.

Sar le moavement d'un corps solide antonr de son
centre de gravite, Forsqu'on suppose que ce point est
fiise par rapport k la terre, et entraine avec eile dans

son mouvement diurne.

Par

Monsieur G. F. fV. Baehr ^

DocCeur ^s- Sciences ä Groningue.

Soit l'origine de trois axes fixes au centre O (Planche IX. Fig.l.)

de la terre^ que nous consid^rerons conime une sph^re

parfaite et homogene; et Taxe Oxi, dirige du centre vers

te pÄle du nord , coincidant avec Taxe de la rotation diurne. Pre-

Bons pour le plan XiZi le meridien initial du point P, autour du-

qiiel le Corps doit tourner, et Taxe Ozi tellenieut que le rayoo

terrestre» ou la verticale OP tombe dans Tändle droit entre les

AXes Oxi et Oz| , alors la direction du troisieine axe Oyi , situö

^^ns le plan de l'equateur, sera aiissi deterniin^e en convenant

qoe d'un Systeme rectangulaire quelconque les axes positifs serout

toojnurs pris tellement qu'en les rangeant par ordre aipbabetique,

^avoir Oa:, Oy, Oz, uoe rotation positive, ou de gauche ä droite«

Pour un spectateur placä darts un de ces axes, les pieds appuy^s

Sur le plan des deux autres, amene le premier sur le second, le

*ccood sur le troisi^me, ou le troisi^me sur le premier, lorsque

■angle parcouru est un ängle droit. Par la rotation de la terre

'axe Ozi seräit amen^ sur Oyi, aicsi cette rotation est negative

P^r irappott ä Taxe Oxi.

.1 ■

Apr^s cela, menons par le point P trois axes Pa:\ Py' , Pz',
paralleles aux pr^edents; ceux-si formeront un systdrae fixe par

TktUXXlV. IT

■■X * • f

rapport ä la terre, mais mobile avec eile dana Fespace, etdMgBiot
par n la vitesse angulaire du mouvemeDt diurne« par R le rayon
terreatre OP, par ß la latitude du point P, ou Tangle Xg OP, dom i
anrona apr^s le tenips t:

a^i^RSwß + :r',

' yi=BCo8ßSiBnt+y'Cosnt+z' Sinnt,

Xi z:zRCo8ßCo8Ht—y' Sinnt + x'CoBnt,

• r

ce qui donnera pour

i..' •

:■. > .:.... ■:•. • . ■..:....;■. 'j > v:':i-'1i

Ol) 1# can^ <le 1& vitease du point, dont Xi^ yi, Zi spot M cMjlH
donn^es absolueei» et x' , ^\ z' lea cöördohn^es relaliVeay'

a)

On peut ^crire cette expressioo sous la forme de la somme de
trois carr^s, savoir:

I

mfiis la premi^re forme sera plus CQmmode pour f^ire lea sabiti*
tutioDia auivaates.

Pour plus de gän^ralit^ nous prendrons un nouveau Systeme
d'axes rectangulaires Px, Py, Pz, fixe par rapport ä la terre et
qui a encore le point P pour origine. Si {l, l,\ l") sont las Cosi-
nus des angles que l'axe des x fait avec ceux des x* , y, J, et
(fi, jLt', ft*^ et (v, v', v") ces cosinus pour les axes des y et des
7, on aura:

yz=:ra: + (f'3(+v'z, \ (2)

9' =k"x+(i"y+v''z, ) i

oü Ton peut donner k X, ^i, v', k' etc. des valeurs arbitraires« poQrvQ
qu'elles satisfassent aux six relations entre les neuf cosinois.

Subfstitiiant cea valettrs daoa (1) eile devient

toUäe «utfUe de son emtre äe graHU, «te. 94(

^' -dfl + dfi '^df

. , , . dz dy^ ^ , dx dz^ , du da;, ,

(3)

f 2««ip Cos/J { k''x + ik"y + v"2 ) + n«/22 Cos «/J. ^

Cinsidörons maintenant le Systeme des axes principaux d'inertie
lu cofps^ ^assant par le poiot P; soient ^, rj, i \es coordonn^es
ar rapport ^ c^s axes> on aura, en d^signant par (a, a', a"),
i, b' , b"), (e, & y c") les cosinus des angles que ces axes fönt
vec ceux des x, y, z,

^=a| +bfi +ct,

^ ^9 V» i ^<^^ ^^^ constantes par rapport au tenips, tandis qu»
OD a entre ces neuf quantitäs variables a, a', a", b, etc. les rela-
ons connues:

6« + 6'2 + 6"»=I, flc + «V + iiV'=0, ^ . . (4)

»Q

a« +62 +c« =1, aa' +66' +cc' =0, \

o'2 + 6'a + e'a=:l, ao^ +66^ +<^^=0, ! . . (5)

a''^+b"^ + c"^=l, aV + 6'6'' + cV=0; )
^t eocore

a=:^6'c" — c'6", a' = 6"c-c''6, a''=;6c' — c6', \
6=cV'— aV, 6'=c''a~fl''c, 6"=:ca' — ac', ( ..(6)

c = a!b" —b'a", c'=za!%-^b"a, c"=:a6'-^6a\ 1 ..

Ponr reduire les variables ä leur plus petit. nombre, soit if;
l'angle qae la trace du plan fi^ sur le plan xy X^\\. avec Faxe des
sr; Q r^nclioaison de ces deux plans, c'est-ä-dlre Tangle eiitre les
axes des z et dei^r ^; ip Tangte que laxe des ^ fatt avec la itrace
du plan I17. Les angles 9 et if; accroissent, chacun dans son plan,
par une rofation de gauche ä droite^ en se placdnt du cqte posi-
tlf de Taxe perpendiculaire ä ce plan ; et Tangle ^ est compte jus-

IT*

mk

Smekr: 8wr la.mmnemmU «ttm-Ufftt),

*l I \

m

M

qa'a cette partic de la trace antoor de ia quelle ob ameeenttfit
une rotatioD positive Taxe dea z aar le nooTeaa aze dea C, ei
faiaant parcourir l'angle B, Ainai on aura

a=Cos9>Coaif; — Sin9>Sin^Ce8(9,

6=— (8iD9Co8^+Cos9>SiD^Coa^>»

c = Sin^SiD<9;

a' = Co8 9 Sin if; •(- Sin q> Cos ^ Coa B, a'^= Sita 9 Sin (9,

V =— (SiD^Sirnfz-Coa^Coa^Coad), ö'^^Coa^Siod,

e'rs— €o8^8in<9; «^esCoa6^

de ploä 00 aäit qu'en posant

edb + €^db' + tfdVrsipdU

ade + o'iic' + ttV^ = ^**

6i2ii + 6'rfa' + b^da" = rdt,
d*o% reanlte« en yerta dea trola dernidrea relätiona (4) 2

bäc4b'dc'+b''d&'=-pdt,'i . ,

'€da+e'da'+e''da^.:='^qdt, } . ^ . . . (>)
on trouvera

•''- '.i**;!

• • • •

91,

!)»

■•■■4

j[j = i>in q> Sin 6-^ + Cos 9^7 >
9=Cos98in6-^— Sing)^»

. . (10)

Ces qaantiteg p,g,r sont les composantes, autonr des axes dw
l> ^> S^> de la rotation du cörps, qui alieu quand les angles ^,f
et 6 varient d'une mani^re continue qnelconque. De ces formo-
les se d^duisent encore les soirantes:

db , , db' „ „ db"

*^~'*=3i' '^^-'"•=-Ä"' «>-'"'=-3r'

. da ., , da' .„ „ da*

(11)

söHde antour de son eenire de graeia, ete, 3|S

Mainteolkut il sera facile de substiiaer les nouvelles variables
ms rexpFession de la demi-sorome des Forces vtves de tous les
[»ints du Corps; dm ^tant la diffäreotielle de la masse« cette
»Dction sera 9 en vertu de (1),

T^fTdm, ........ (12)

integrale s'ätendant au corps entier.

Parce que les axes des l, ri, i sont des axes principauz d'iner-
By OD a

SlTidm^Q, /|frfm=0, /i2tdm=:0.

t parce qulls passent par le centre de gravit^ qui est en P, on
de m^me

/grfm=:0, fridm:=:0, /fdf7il=0,

^ Sorte que dans la valeur de T' on devra seulement avoir ögard
IX termes qui contiendrout la deuxi^me puissance des quantit^s
, 1^9 ^, et au terme constant; les autres disparaitront dans (12),
land les ioiögrales sont etendues au corps entier.

Soient donc les moments principaux d'inertie

fiv'^+S^dm-A, /(r» + |«)rfm = Ä, /(|a+i,«)rf«i=C, (13)

9US aurons , en laissant de c6t6 les termes qui ne contienneut que
s premi^res puissances de $, 17, ^y

^\d1^^ dt^ ^ dt^J^ '

e qui se r^duit, en vertu des relations (11), ayant egard aux trois
eroi^res de (4), ä

^ + ^ + ^= (r»+ 9«) I» + (pH r*) ^« + (y« + P^ S»

= (v^ + S»)p» + (f + 1«) 9* + (l*+ n')»-».

■ 'i

t par coDS^quent» ayant ^gard ä (13):
^n a partillemetit

. .-v

ßm^kr: 8mr U wmmmmi thm^^^mm

V*.

«•»:

" I

OQ, par <11) et (6),

IM ; ■ : ' i "TTl; I ■ "r ■ ■ • . ... ■■■■■■.-■/. ■,;■*.: ■ » ■

et par consöqntot on troovera lä premi^re des ' etpreasioiui (IS)^
fandif g^'one aiiibitititption «emblable. doiinera les den.,aati:fp> ..

(yjl— «^)rfi»=^fja +^^6 -^rCrc»

ij;.'j ." -t. ..

/

« ■

' «

. t . »

Enfin, l'oTi a encore

Ä« + y« + 2«— (iUr + fiy + vx)*

v-^*(a'*^+6'V+c'^5*)-2;iv(aa''^+66V + cc''5^

==(|2+9?2+f8)-|»(Aa+fia:+vä'0M*(il6+|^6'+v6'02-?^(Ac+fAc'+vc^^
et remarquant Tidentite

■-■ (Xa + K + va")^ + (A6 + (nb' + vb")^ + (Ac + iic' + vO«= 1,
le second membre se räduira ä

(^ +:f ») (^a + fw' + va'O* + «* + n ^6 + (ib' + vö")«

et par cons^quent:

f{a:^+y^ + z^'-(Xa: + iiy + V2)^]dm

(16)

M =3a«4V+v«'')*-4+(^6+ft6'+v6'')*J5+ac+j*c'+w'0*C.!
Substitaant les valeurs (14), (15), (16) dans (3) et ^12}» eo aar#

- 2r=il{;?— n(;ia + lMi'+W)P+Ä{y-M^+^6'+y6''))*
+ C{r— n(ic + i[*c' + vc") !* + .... + n«Ä2Cosai5>< masse du corps,

QU bieo

2r=^p,«+ß^i2^0j2^ qnantite constante, . . (17)
en posant

^i=:^-«(;i6 + ^6'+v6"), [ (18)

La foDction des forcesi ätendue au corps entier» ser^ nulle,
}arce que le centre de gravitö, qui est le centre de la rotation,
$st fixe par rapport ä la terre; dVilleurs les forroules /£€/m=0,
''ridm^^Qi fidm:=^Q supposent que le cor|i6 soit as6%% ^loigne
In centre de la terre pour que la direction de la gravitä dans tous
es points de la masse reste parallele ä eile m^me.

Ainsi les ^quations du mouveraent, en faisant

^^-«/ i^—,u> ^-«^

rfi-^' Ift-'^* dt-^'

seront

dt • \dq>0 ^dcp"^^' dt' \dn,') ^ d^^^'

dt\de') le"^'

andis que Ton a

dTdT dpi dT^ iai^il. in
d(p dpi ' d(p dqi ' dtp ' dti* dip

Des formules (18) on deduira facilement

^&=rCoS9, ^^'=SiD<p(ri^§);

^^=.SIn^. ^=.Co.,(.,-g);

1)

•1 >^

(lÖ)

348

Baehr: Sur le momememt tttm eot<p9

> = 1. 5^ = 0; % = c". *i=„(lc'-p«);

dq>

dvi
dtp

I

Les äquatioDS (19) du mouvement deviendront donc:

[1

1 ^
dt* dvi

d/r

dpi

T*':^'^^! xr+Pi;/:r=0»

dT

dqi

-«|(i«'-^a)^+(;6'-^6)5^ + (ic'-,t.)^^»=0.
d ,_ rfT ... dT\ , d<p..^. dT,„ dT.

czr

d dT

(m

I

en portant la valear de ~Tf'Zf~9 donnee par la premi^re« dans la

deuxidme ^quation, eile deviendra divisible par sind, et rt^daisairt
de meme la troisi^me, on obtiendra

. \d dT dT ^ dTI , ^ id dT dT ^ dT\ ..

^'"^ idtdir'^ ^ + ^^ SiTi + ^""^ ^dt'd^, -^' än+^^S^j ="'

{ d dT dT , dT} ^. \d dT dT dT).

qui s« reduisent aux deux suivaiites:

d dT

dT

dT

dtdfi~'''dqi+'''dn-^'

d dT

dT

dT

. . (21)

dtdqi~f''di^'^''^dpi—^''

de Sorte que les eqnations (20) et (21) donneront, en y portant
la valeur de T donnee par (17), pour les öquations da mouve-
ment, redaites ä leur forme la plus simple.

^^-i-((^-^)9iri=0, ß^+(^-C);,iri=0.

C^ + (B-A)p,q,=0

(22)

icMe muour de wan eenire de gropitä, eU, 3|9

Ces dqaatiobs sont de la m^me forme que les ^uations da
ooveineRt Ibrsqae le point autour du quel le corps tourue est
I point absolumeot fixe dans Tespace; elles donneront done de
§me les deux integrales

ms les quelles A et A^ äont les coiistantes arbitraires, et des
laufitäs positives.

Au moyeti de ces dernieres öquations on peut expriiner de^ix
^8 quantit^s pi^ ^|» r| en fonctions de la troisi^me ; substituant
\B valeurs dans ane des equations, cette troisienie quantite sera
qprimöe en fonction du temps et d*une nooFelle constante arbi-
aire, et par suite aussi les deux autres. Alors on aurait les
)uations (18) pour d^terminer les variables g>, i/; et d cn fonctions
u temps, et leurs expressions renfermeraient trois autres constanr
)B arbitraires.

Mais on peut trouver d'autres integrales des Equations (22),
oi donneront le moyen de simplifier la Solution. 8i Ton ajoute
es Equations, apr^s les avoir multipli^es par a, b, c; ensuite par
:', 6', & et a", 6", c", on trouvera

A{n~^^ + (br,^cq,)p,] + B{b^ + (cp,^ar,)q,] \

1

+ C(c^ + («9,-Ä;»,)r,l=0,

(24)

+Ctc'^ + («'9,-6';»,)r,|=0,

^ta"^ + (*'V,-c"yi)j»i 1 +JS|6"§+(c"/>, -Wr^Vi)
+ C|c"^ + (a"y,-6>>,|=0;

■afs ot tobti^ndra des formules (18), en ayant tfgard' anx reta»
BoDg (11) et (7):

de de*

0^1 — 6/>i=^— «(fic"— VC')» dqi -b'pi =-^— n(vc— Ac'O,

d&' "■■ ^"'

<^i~6>,= -^-ii(ic'— fic); ,.

9B0 ßaeJkr: Sur U moupem^nt itun cir^

cpi -ari=^— «(fi6"— v6'), c>i— aVi= -^— n(vi — li"),

, da , ,. yv \ä i ^^* ä , ^

btx — c^i = ^ — n (jLio" — va*) , b^i — &qi ^zz-^^niva — Xa"),

da"
6'Vx — c"^i = --^ — n (Xo' — fia) 5

de Sorte qu'en substituant ces valears dans les äquatioos (24),
lBt posant:

Ap^a + ßgib +CriC —ü,
Apiof + ßgib* + Cri& - M, } • ... (25)
Apia'' + ßqib''+Cri&'=N;
elles deviennent:

^+nlN-nvL^O, } (26)

-jT- + nfiL — nkM=0.

On a dejä une integrale de ces equations; car en prenant la somme
des carres des equations (25), on trouve, en vertu de la derniere (23):

k^= L^+m+m, (27)

que Ton trouverait aussi en multipliant les dernieres par L, i8f, A',
et en prenant fintegraie de la soninie des produits; multipliant les
memes equations par k, ^i, v, Tintegrale de la somnie des pro-
duits donne

l ätant une nouvelle constante arbitraire.

Au moyen de ces deux integrales il serait aisö de deterrainer
entierement les quantites L, M et iV; niais ici nous disposeron«
des valeurs de A, ft, v, pour obtenir les expressions les plus simples^
en prenant

ce qui revient d'aprds les formales (2) ä prendre I'axe des % eo
sens contraire de Faxe ie& Xi ; cet axe est done parallele ä Taxß

99iiäe muiaur äe son venire groütü, eie. SBA

de it^tion 4se la terre, et difigö vers le p6le da snd, tandis qua
leoiiaxes de» x ei y restent encore indetermin^s. Une retatiob
peeitive autour de Taxe des z est de m^me sens qäe la rbtätioTi
de la terre. . .

Ain^i les öquations (26) deviennent

dL „ dia ,. dN ^

et par cons^quent, ayant ägard ä (27)^

l et t etant deux nouvelles coustantes.

Ces valeurs^ portees dans (25), donnent

Apitt -\r Bqib ^ CviC =/Sin(w^ + t), \

2lpia' + ^yi6' + Cric'=/Cos(n< + i). > . . (28)

et dans ces ^quations, ainsi que dans (23), on aura maintenant:

**•...- • •

Pi =Sing)Sinö.^ + Cos9>.-^+nSln()t)Slnö,
flfi=CoS(]pSinÖ.^ — Sin^.-yT + wCoscpSinÖ, \ . . (29)

ri=Cosö.-^ + -^ + nCosÖ-

Au lieu des c^quations (28) on peut en obtenir trois autres de fet^
roes plus simples. Si Ton decrit autour de laxe des z une sut»
face conique circulaire droite, dont le demi -angle e au somm^l
seit determine par

Sinc = --r-» Coss=-l: — ^^-r -»

les seconds membres des equations (28), divis^s par k, savoir

-^Sin(«f+i), ^Cos(w< + i), db ^ '*

seront |es cosinus des angles que fait avec les ^es des x, y, z
ttpe ligiie't|u! se ineut sur cette surface, tellement que la projection
de cfette iigne sur fe plan xy se meut de Taxe des y vers celui
des X, avec une vitesse angulaire n; l'angle eiitre cette projection
et Taxe des y ätant (n^-f^i).

252 Baehr: Sur ie mawemeni itun eürpe

Les sommes des produits de ces qootients niultfpKäs respeö-
tivement par er, a\ a'*; ensuite par 6, 6% f et c, &, e"; donne-
Tont les Cosinus des angles qne cette ligne fait ävec les axes des
£9 Vy t* *^i donc on designe cette ligne par Z, on aura en dti^
sant les ^quations (28) par k, et en les multipliant par a, a\ a*\ etc.,
ayant egard ä (4):

^ = Co8(Z.|). ^ = Co»(Z.i,). ~i = Co8(Z.£).

Soit donc cette ligne Taxe des Z d*un Systeme rectangiifaire
PXy PYy PZ, et soient t/;', $', 9', par rapport ä cc Systeme et
celui des $, tj, S, ce que tf;, 6, (p sont par rapport au Systeme
X, y, 1 et celui des ^, rj, ^, par consäquent:

Cos(Z.Ö = Sinö'Sing)', Cos(Z.i?) = SinÖ'Cos9', Cos(Z.£)=:Co86';

alors on aura au Heu des äqiiations (28):

^=Sinö'Sing?', ^^zrSinÖ'Cosg)', ^=zCos6', (30)

qui n*äauivalent qu*a deux ^quations distinctes par ce que la sommo
de leurs carres rentre dans l'^quation (23).

Pour determiner enti^rement la position du Systeme mobile
X, Y, Z, il sera le plus simple de prendre Taxe des X dans
Ie plan qui passe par Taxe fixe des z et Taxe mobile des Z, tel-
lement que Taxe des z, on sou prolongement, tombe dans l'angle
entre les deux axes des A' et des Z. Ainsi le plan XZ tournera \
autour de la ligne fixe qui est parallele a Taxe de la terre, et
Faxe des V se meut dans le plan a:y; ees deux mouvements ont
Heu en sens contraire de la rotation de la terre, et avec la m^me
vitesse angulaire n,

Connaissant la position initiale de ce Systeme, on connaitra
sa position apres un temps quelconque, et celle du Systeme des
axes ^5 '>7> S ou la position du corps s'en suivra par les equatioDS
(30) si Ton a encore une equation qui determine Tangle i/;'.

Soient dansla figure (Planche IX. Fig. 2.) Pa:, Py, Pz les
directions des axes fixes; PX, PY, PZ les directions des axes
mobiles, et soit alors P^ la direction du troisieme axe principal
d'inertie, qui est fixe dans le corps. Decrivons le triangle spb(i-
rique i^Z sur la Sphäre dont le centre est en P\ les trois cötäs
de ce triangle seront

2?=ö, tz=e\ zZ=B,

BOlidB mtUmr de 90h cenlre de praviü, eU, 263

A et PB sont les projections de PZ et de I^ sur te plan
la perpendiculaire PC ä PB sera la trace du plan $17 sur le
xy ; car en parcourant Tangle 6» par une rotation positive au-
tle PC 9 Faxe des z coVncidera avec Faxe des ^; et od aura

:arPC=if;, jCyPA — nt-k^i, ^J5P^ = (if;+ii<+i)— «,

sigoant la demi-circouf^rence) done^ en posant

i/; + ii<+i = (» (31)

B sphörique 2» qui est ^gal a BPA, sera

2= CO — TC.

E est la projection de Pi sur le plan XY^ la perpendicu*
PjD ä PE dans le plan ^F sera la trace du plan \yi sur
de Sorte que XPDz=.'^\ et fangle sphärique Z, qui est
i EPKf sera

l'angle sph^riquej; sera egal h l'angle des traces PC et PD,
)nt perpendiculaires aux plans adjacents de cet angle , et,
e les angles (p et tp' doivent etre compt^s ä partir des lignes
t PD dans la direction de PC yers PD, on aura pour la
• analytique de Tangle CPD, g> — 9' ou 27C + g) — 9'; od aura
toojours

enant ii sera facile d'exprimer les quantit^s pi, qi, r^, don-
par (29), en fonctions de 1/;', <p' et 6*; dans le triangle sphe-
z^Z on a:

Cos Ö = Cos 6 Cos ^ + Sin 6 Sin Ö' Sin 1//,

CotG) = SinfCotö'Seci;;' — CosaTangif;',

Cot? =Cot6Sinö'Seci;;'-Cosö'Tangi/;';

I donnera par la differentiation, et apr^s les reductions par
rmules de la trigonometrie spherique^

de ^ ,de' ^. ^,^. ,di^'

rfo_SinS r«' Sinö^sf d^'
d<""SinÖ dt + Sin 6 dt'

d{; Cos öSin i dB' Cos coSin ^^Sinf dijf*
€&"" Sind dt^ SiDcoSiDd dt^

25(4 Baekr: Sur ie mouvemeni d'un corpg

Substituant cea valeurs dan« (29) et remarquant qua Teo a (31)

rfi/; den

on obtient:

I

Pi=:öinö'SiD<3P -^ ^^^^^ ~di*
^i=:Sinö'Cos9'^'— Siny'^', V . . . (3i)

Les ^quaf lons (32) et (30) donneront enfin pour la troisienie equa-
tion cherchäe,

dt ~ A« — CV*

Si donc les valeurs initiales de q>i 6, i/;» etc.» qui se rapporteilt
aux axes des or, y, z, sont donnäes> on pourra eo deduire la position
initiale du systdme Jl, Y, Z\ et lä position initiale da corps pai^,|
rapport ä ce Systeme^ ce qui donnera aussi les valeurr ioitiaktf^j
de 9', i\>*t 6', etc. j

Apres Ie temps t on connaitra la nouvelle position do Systeme
mobile X, Y, Z, et par les equations precedentes aussi la nou-
velle position du corps par rapport ä ce Systeme, de sorte que
maintenant la position du corps est completement deterniiuäe pour
chaque instant du mouvement.

Mais les equations (30) et (33) montrent que Ie mouvement
par rapport aux axes mobiles X, Y, Z ^ lieu comme si ce Systeme
fut fixe.

On peut en conclure que Ie mouvement relatif du corps (Ie
mouvement qui est observe ä la surface de la terre) est conipose
de deux autres, savoir: du mouvement de rotation du corps par
rapport aux axes mobiles Xy F, Z, et du mouvement qu'il a de
commun avec ce Systeme d'axes.

La composition de ces deux derniers fera connaitre Ie pre-
mier, qui sera toujours une rotation autour du point auquel Ie corps
est fixement attach^; et les form u les (10), que Ton obtient par des
considerations geom^triques, exprimeront les composantes de cette
rotation autour des axes principaux du corps.

8oient douc m ia vitesse angulaire de cette rotation relative

iottäe auUmr ä€ san centre d€ grsHi^, e$c, 365

; it, f», vles aiigle« que cioq aze fait avec lea azes de^ |, i/> £»
s Sorte que fiiCosA, mCosfi, fiiCosv sont ses composantes» les
irmules (2V) donneront, ayant ögard ä (10) let (7):

Pj =:m Cos X + na",

9i=mCosft + n6", ) (34)

ri = m Cos V + wc";

Miis en d^signant par a, er', er" les cosinus des angles que Taxe
l^li I fait avec cevx des X, T^.Z, et de m^me par ß, ß', ß".ei
f^y, y ces cosinus pour les axes des rj et {;, on aura

Cos(|.2) =a" = aSine + «"Coa6,

Cos (t? . 2!) = 6" = /J Sin e + /S" Cos f ,

Cos(f.z)=:c"=ySinf+y"Cosc;

rB remarquant que les angles de Taxe des z avec les axes X, F, Z

f«Dt {Tt-^B, In, 6^ de Sorte que
• • . .

Cos(z.J10=Sin€, Cos(2. F) = 0, Cos(z.Z) = Cos6,
it eo appliquant les formules

3o8(5.2)=Cos(S. Z)Cos(2.^)+Cos(|. r)Cos(2. F)+Cos(5.Z)Cos(z. Z),
Cos (^ . z) = . . . . Cos (f . i) = . . ..

IIbsi les öquations (34) se cbangent en

*t .

Pi — TtaSine — 7ia"Cosf = «Cosil,

' qi — nßSine — w/3"Cos«==i»iCos|Lt, V . . . (35)

r^ — nySine — wy" Cos 6 =;mCosv,

Ydh, en prenant la somme des carres,

+n»--2»(«;ii+i5yi+yr,)SinE-^2»(«>,+|3>i+/Vi)Cos£;

nis pi, qi, Ti etant en vertu des formules (32) les composantes
fc la rotatlon qui a lieu autour des axes mobiles X, V, Z; et ce
Mouvement se faisant comme si ces axes fussent fixes, de sorte
q|tie toutes les propriet^s connues du mouvement d'un corps autour
tfm poiot fixe subsistent ägalement dans ce cas-ci, on aura, en
teigoant la vitesse aognlaire et Faxe de cette rotation par q:

256 Baehr: sur ie mouvemeni itum eorpi

et les Cosinus des angles que Taxe 9 fait avec lern axes prindptiar
5, 1;, t seront

Cos(^.|) = ^, Cos(Q.fi) = ^. Cos(9.C)=5,
" " "

de Sorte que

(37)

ce qui change l'^quation (36) eii

OT^ = (>* + n2-2^w{Sin«Co8(p.jr) + Cos«Co8(9.Z)l;

mais OD a de plus

Sin s Cos (q,X)-\- Co» B C 09 (q.Z) 1

= Cos (2. AO Cos (p. 2:) + Cos (2. F)Co8(^. F) + Co»(2. Z)Co8(p.Z)

= Cos (2.9),

doiic

m«= ^« + w« - 2^n Cos (^ . Z),

ce qui montre en eff^t que la rotation relative m est la resultant»
d'une rotation negative, — n, autour de Taxe des 2, et d'une roti«
tion Q, par rapport aux axes mobiles des X, V, Z, Si doDC Tod.
prend 8ur Ie prolongement de Taxe des 2, du cöte negatif, une
longueur 71; sur Taxe de la rotation q une longueur q, et que Tod
construit Ie parallelogranime dont ces deux longueurs sont les
cotes, la diagonale D de ce parallelogramnie sera la grandeur de
la rotation relative: car on aura D = m. Pour montrer que cette
diagonale coincidera en nieme temps avec Taxe de la rotation m»
nous remarquons que les projections de cette diagonale sur les
trois axes des X, F, Z sont

qCos(q. X)'^nSin6, ^Co8(^. F) — 0, ^Cos((».Z)— nCosc;

ce sont les sonmies des projections correspondantes des cotes dn
Parallelogramme; par consequent les cosinus des angles que la
diagonale fait avec ces axes, seront

'•I
I

1
I

solide autour de son centre de gratiU^ ete. S57

lis en multipliant les equations (35) par a, |3, y, puis par a\ ß'y /,
fin par a''. ß'\ y'* y et en prenaot la «omme des produits, on
ra, ayant egard aux reiations des cosinus»

^P\ "i" ß9i +yi — nSins = in (a Cos >l+j5 Cos ft + yCosv),

^Pi 4 ß'9i +/»•! =m(a'Cos;i+jS'Cosfi+/Co8v), } (9S)

«"/?! +ß**gi + Ai— »»Cos£=m(a"Cos;i+/3"Cos|*+/'Cosv),

ii les seconds facteurs des derniers membres sont les cosinus
ilß EDgles que Taxe de la rotation m fait avec les axes X, Y, Z.
hl aura done en vertu de (37)

Q Co8.(q, X)-'n Sin s:zzm Co» (m,X),
Q Cos (Q'Y) =m Cos (m . F),

^Cos(^.Z) — n Cos c=:m Cos (m.Z);

t aiDsi, ä cause de m=^D,

Co»(D.X)=zCo8(m.X)y Cos(Z). F) = Cos(m.F),

Cos(D.Z) = Cos (m.Z).

II suit encore de ce qui pr^c^de que la vitesse relative m donne
pe composante constante par rapport ä l*axe des Z, qui fait un
Igle constante tv — e, avec Taxe de la rotation m.

En effet on aura par ce que la projection de la diagonale d'nn
arall^logramme est egal ä la somme des projections de ses denx

jn Cos(m . Z) = ^ Cos (^ . Z) + w Cos (n . Z),

Hais d'apres une propriet^ connue du mouvement autour d'un point

h

ixe Q Cos (q.Z) doit etre constant et egal ä -r, donc

k

mCos(m.Z)=-T — nCoss»

le qu'on trouvera aussi en mettant dans le premier membre de la
Itinl^re ^quation (38) pour a", ß" ^ /' leurs valeurs en pi, yi, r^
4onnöes par (30), savoir

€e qni donne

^£l!±^!±^'^„Cos.=mCos(«..Z).

ThfU XXIV. 18

\

i'

S58 Baehr: Sur le mouvement itun carps

Ainsi noas avons trouvä que Taxe de la rotation relative m,
Taxe de la rotation 9 et Taxe des 2 (ou la ligne qui^est parallele
h Taxe de la terre) t^ont toujours dans un m^ine plan, et depl«
que m est la resultante de q et de la rotation — n autour de cet
axe des z; ce qui sufGra avec les considerations pr^cädentes k
d^terrainer coropleteinent le mouvement relatif du corps> tel qu'l!
doit etre observ^ ä la surface de la terre ^ ä cause du mouvement
diurne^ et en faisant abstraction des causes ^trangeres> comme
la rdsistance de lair, le frottemeot etc.

Supposons premi^rement que le centre de la rotation seit in
point absolument fixe dans Tespace. Le mouvement initial, eoB-l
munique d'une maniere quelconque^ sera une rotation autour d'oi
axe passant par le point fixe. Lorsque ce point est le centre dt
gravite, ou qu'il n'y a pas de forces exterieures qui agissent stf
le Corps, comme c'est ici le cas, le mouvement que prendrab
Corps dans la suite du temps pourra etre defini de la maoiMtl
suivante, d'apres la theorie de la rotation de M. Po in so t:

Autour du point fixe placez TeHipsoYde central du corps diu
sa Position initiale; par Texträmit^ du rayon vecteur, autour du
quel la rotation initiale-ä lieu, menez un plan tangentä rellipsnidei
et supposez que ce plan reste invariablement fix^ dans Tespacft
Alors Tellipsoide, en quittant sa position initiale, roulera,
glisser, sur ee plan Invariable, avec une vitesse angulaire, aatoör
du rayon vecteur du point de contact, proportionnelle ä la lon-
gueur meme de ce rayon.

Si la vitesse de rotation est representee par certaine Ion-
gueur variable, le rapport de cette longueur au rayon vecteur du
point de contact sera constant, et egal a la valeur initiale de ce
rapport.

Supposons maintenant que le centre de la rotation soit senle-
ment un point fixe par rapport a la surface de le^ terre, de sorte
que la rotation autour de ce point est un mouvement relatif, et
soit le mouvement relatif initial une rotation dont la vitesse angu-
laire et la direction de i'axe sont connues, ce qui pourra dtre le
cas lorsque le mouvement n'est pas produit par le choc d'une masse
ötrangere.

Alors d'apres ce qui precede le mouvement du corps peut se
definir de la maniere suivante:

Autour du centre de rotation placez Tellipsoide central dans
sa position initiale, et par ce centre menez une ligne parallele ^
Taxe de la terre. Ayant pris deux longueurs dans le rapport de
la vitesse angulaire de la terre a celle de la rotation initiale, portez-

solide auUmr de eou cenlre de gratiH, etc. 950

s, h partir da centre de rotation, la preroiere sur cette Ugne,
i^ns UD sens tel qu'elle soit Taxe d'une rotation de meme sena
de Celle de la terre, la seconde sur laxe de la rotation relative
litlale; ensuite achevez le parallelogramme dont ces deux lignes
»Dt les c6t^8.

Par le point de rencontre de la diagonale de ce parallelogramme
t 4e la surface de TeHipsoide, menez un plan tangent ä rellip-
oTde, et du centre de la rotation abai^sez une perpendiculaire
nx ce plan*

Supposez que le plan tangent soit invariablement fix^ au plan
jjdi passe par cette perpendiculaire et la ligne qui est parallele ä
lixe de Ja terre'; alors rellipsolfde roulera, sans glisser, sur le
ihn tangent, avec une vitesse angulaire autour du rayon vecteur
|ii point de contact, proportionnelle m^me ä la longueur de ce
^yon« tandis qu'en m^me temps le second plan, qui entraine le
ilan tangent, tourne autour de la ligne parallele ä Taxe de la terre,
9i| sens contraire de la rotation diurne, et avec la vitesse angu*
(tire m^me de cette rotation.

Le rapport de la longueur, qui repr^sentera la vitesse angu-
bSre de Tellipsoide, autour du rayon vecteur du point de contaet,
I la longueur ni^me de ce rayon est constant, et sa valeur est
Utermin^e au commencement du mouveraent par le rapport de la
diagonale du parallelogramme au rayon vecteur avec la quelle eile
coYneide.

Ce resultat pourra servir ä expliquer tous les phenomenes varies
one le mouvement du gyroscope presenterait dans differents cas.
pooT en faire Tapplication il faudra avoir ^gard ä la construction
des appareils particuliers ; il donne lieu aux remarques suivantes.

D'abord on voit que le mouvement absolu e»i indäpendant de
kl latitude du lieu de Texperience, c'est-a-dire,- le deplacement
de Taxe de rotation est independant de la position de Thorizon et
de la direction de la verticale des lieux differents d'observation,
atolement le mouvement relatif, rapporte ä Tfaorizon, dopend de
Pangle que la ligne parallele ä Taxe terrestre fait avec ce plan.
Aossi Tangle de la latitude ß est disparu des equations du mou-
Tement: et, rapporte ä un plan parallele ä Tequateur, ce mouve-
ment sera le meme dans tous les lieux de la terre, comme le mouve-
Meot de Tombre sur un cadran solaire equatoriai. On en voit ais^nient
k raison dans ce que les Forces exterieures sont detruites lor^que
fe centre de rotation est le centre de gravite, de sorte que le corps
Mt partout dans les memes circonstances par rapport au centre
4t ces foTces ; il en est autrement dans Vexp^rience du pendule,

18 •

: poinU des poles, i
disparait avec la f

260 Baehr: Sur ie moutfement (tnn corps

oü la force qui agit sar Ie mobile change de direction a?ec le lieo
du point de 8U8pen8ion.

On penserait qu'il y eüt iine exception auz
oü la vitesse angulaire du mouvement diurne
rayon du parallele, et que la le mouvement fut simplement g^ome*
trique; mais c'est seulement dans le prolongement de Taxe ter-.
restre que la vitesse angulaire est nulle, tandis que le corps ayaot
une certaine ^tendue chacun de ses points aura aassi ia miw
vitesse angulaire que sous les autres points de la terra.

Si done Ton connoit le mouvement du corps sous i'^quateo^
OD poura en deduire par des seules consid^rations gäomätriqiN9|£
son mouvement relatif pour toute autre latitude.

I

Ensuite on voit que pour expliquer completement les ph^o*^
m^nes dans le gyroscope, abstraetion faite du milieu ambiant,
faudrait avoir egard ä la grandeur et au sens de la rotatiou reU^
ttve initiale, qui doit ^tre composee avec celle de la terre poa^
avoir la rotation initiale de Tellipsoide central, d'apr^s le rösoKil
trouv^. La direction de Taxe de cette derniere rotation et «a^
grandeur chaogera avec le sens de la rotation que Ton impriroe
Corps ; elles seront la diagonale qui Joint les somm^ts des angleij
obtus ou ceux des angles aigus du parallälogramme, suivant quell
rotation a ete imprimee dans un sens, ou dans le sens oppos^
Mais dans le gyroscope la vitesse angulaire de la terre disparait
en comparaison de celle que 1*011 doit iniprinier au corps pour que
Ie mouvement continue pendant quelque tenips. Alors le resultat
trouve doniie immediatement le deplacement de Taxe du tore tou^
nant, tel que M. Foucault l'a fait connaitre. En effet un solide
de revolution ayant re^u un mouvement de rotation autour de son
axe de figure, cet axe, qui contient le centre de gravite, ne cban-
gera pas de position dans rellipsoide, qui eile nieme ne se däpla-
cera pas par rapport au plan tangent; et, en faisant tourner le
plan, qui passe par cet axe et la ligne parallele a Taxe terrestre,
autour de cette derniere ligne, avec la vitesse angulaire meme de
la terre et en sens oppose de son mouvement diurne, Taxe du tore
doit se mouvoir comme une lunette parallactique, qui serait con*
stamment dirigee sur la meme Steile fixe. Cet axe decrira un c6n6
circulaire droit autour de la ligne parallele ä Taxe de la terre,
et dont la moitie de i'angle au sommet est egal ä Tangle que Taxe
fait initialement avec cette ligne. Si alors Taxe est horizontal et \
dirige vers le nord, il decrit le cöne droit semblable au cone tan- /
gent au parallele terrestre; ce cone devientun plan, si initialemeot
Taxe horizontal est dirige vers Test ou Tonest, parce qu'alors ie ts

soiiäe autour de son centre de gratite, etc, Ml

ml -angle au sororoei est ud aagle droit. (Comptes rendus etc.
>m. XXXV, p. 421.)

11 sait eocore da resiiltat trouv^ que si Ton n*inprirae aucune
tesse ä an corps dont le centre de gravit^ est le seul point qui
ate ^Q par rapport a la terre, ce corps ne resterait en repos
latif que lorsque Tun de ses axes principaux d'inertie cofncide
rec la ligne parallele ä Taxe terrestre« Car alors cet axe» autour
1 qael il faut donner ä IVIlipsoide une rotation de in^me sens
10 Celle de la terre ^ et avec la mdme vitesse angulaire, conti-
■era a coincider avec cette ligne paratll^le; et ainsi la rotation
t l'ellipsoTde sera dätruite par le mouvement angulaire ^gal qae
Ni doit conirouniquer eo sens opposä au Systeme entier, autour
» la ligne qui est ici en m^me temps axe de rotation.

Mais si aucan des axes principaux ne coincide a?ec cette
pie parallele, le plan tangent ne lui estpas perpendiculaire ; Taxe
t rotation changera de position dans l'ellipsoide et s'äcartera de
itle ligne, de sorte que le mouTement angulaire en sens oppos^
ilour d'elle ne pourra pas dätruire la rotation de TellipsoTde.

Note. Les ^quations (22) avaient ^te obtenues d'abord d'une
itre mani^re en suivant la marche de La G ränge.

T <$tant fonction de 9>, d et i(; nous pouvons y substituer d'aur
es variables P, Q, R^ liees aux precedentes par les ^quatlons

6P= Sing) Sin Ö^t/;^ Co8g>^Ö,

dQ = Co8<]pSin<9dt(; — Sing)dd, \ ... (a)

dÄ=: Cosopt/; + dg) ;
e qoi donnera

Sin eöi\> - Sin g)dP+ Cos g)^©,
W = Cos g)dP- Sin g)^© ,
Sin ddg) = Sin dd/2 — Sin g) Cos ddP— Cos g> Cos dd Q ;

it varlations dg>, dd, dt/; ^tant ind^pendantes entre elles, il en
era de mdme de dP, öQ, 8R, et pour avoir les diff^rentielles de
^ Qs R» pai* rapport au temps, ii ne faudra que changer dg), iß
t d^ dans les differentielles

dtp dB dijf
. dt* di^^ lü'

tnsi OD aara:

MI Ba§hr: sut ie mawHfmeni ^tn taiipi

dp «, o. ^ dip . ^ d6
-TT = Sin 9 Sin ö -TT + Cos 9 gr =sp,

^=:Co»9»Sin«-2j,-Sln92^:^}, > . . . «

.•*!

•I par «ttite

■ . ■ ■ ■

r! . '■ M

■ ,ir

•f Sh^Sind.d'^ -f Co89^^»

+ SlÄ9Sind-^+C«s^-2Jp; : , i
mds ^ et 6 ^tant des variables finies et ind^pendantes» oo n

«»•Ii;«jji'*H'"- ..•

. d^ ' iilf , de d.M,

*-rf< dF =Cos,>Sine(Ä9,.-g^-at.-^^)

+ SinvCosö(iög-Ät5f)-Sing,(a9>g-M^f).

ce qai se r^duit, par les ^quations (a) et (b), ä

.dP d.dP de._ rfÄ--

de Sorte qne Ton a

et pareillemeDt

.dÖ d.SQdR.j. dP.„

^di=-df^-dt^^—di^^'

.dR d.SR dP ^^ ^QxD.

d« plw en posant

a

. MoUMe üui9ur de son centre de gra»M, eie, 98S(

TT = w (Xa + fui' + va") ,

Qz=zn(kc + fic* + v&') ,

an +6% +c^ =nX,
a'jr + b'% + c'p =nf*,
a"7r i^b*'% + c"Q=znv,

adn +bd% +cöq -\-nda +xSb +qSc =0,
a'ÖTt +b'dx +c'dQ -i-nda' +x8b* +q8& =0,
a''Sn + b"8i + c"^^ + nSa" + ^W" + qSc'* = 0 ;

cons^queot, eo multipliant les deroi^res öqnatioos par a, a'^ a*\ piiU
hy b'i b" et par c, c^ c'S et en prenant la somnie des produits:

Stc^I (a8b + a'öb' + a'W) + q (ade + a'd& + a"^c'0 =0,
^X + MP^a + 6'da' + b'^öa") + ^(6dc + ^'3c' + b'^dc") =0,
Ä^ + n(cSa-\-&da' + c'^öa'") + ;c(cM + &öb' + c^'dft") =0;

remarquant les relations (8) , (0) et (b) :

Ö7t — xdR - q8Q, 8%= p^P— 7c8R, 8q—7cSQ^x8P;

comme on a (18)

dP

öpi —8{p'-7t)=z8-^-S?^

8qi=8(q—x)=z8'^--8x,

Sri =8(r — Q)=:8-jj-8Q,
troavera pour la Variation de T^ (savoir

y substituant les valeurs pröc^deiites:

, dT id.SR, ._ .„I .

qui conduira aux equations (22). Voyez Lagrange, M^ca-
ue analytique. 2. edit. 1811. See. Part SectIX. nO.22.

S64 Schoenemann: üeber den Gebrauch empfindlicher

Ueber den Gebrauch empfindlicher kleiner Bracken-
waagen für physikalische Zwecke.

«

Von

Herrn Professor Theodor Schoenemann

am Gymnasinm zu Brandenburg a. d. H*

§. 1.

Den Entwickelungen der Dynamik schwerer Körper liegt be-
kanntlich die Hypothese zu Grunde: dass eine Druckkraft, die
auf einen freien materiellen Punkt wirkt, eine BeschleuniguDg im ,-
Sinne der Druckkraft hervorruft, die sich zu der durch die Schwer-
kraft hervorgerufenen Beschleunigung verhält, wie die Druckkraft
zu der Schwere des materiellen Punktes. Da nun aber der Drack
gleich dem Gegendruck ist, so kann man auch sagen: Wird eineio
Körper eine gewisse Beschleunigung eingeprägt, so entwickelter
eine Druckkraft, welche sich zu seiner Schwere verhält, wie die 'm
ihm eingeprägte Beschleunigung zu der Beschleunigung, die ihm l
die Schwere, wenn er in freiem Zustande wäre, einprägen wurde.

Es giebt bis jetzt noch kein Mittel, momentan wirkende Druck-
kräfte zu messen, und es ist schon sehr schwierig, für veräoder*
liehe Druckkräfte die Grenzen anzugeben, innerhalb welcher sie
sich bewegen. Nur constante Druckkräfte, die längere Zeit wir«
ken, lassen sich mit Schärfe durch die Waage messen. Hierin
liegt wahrscheinlich der Grund, dass man die Richtigkeit jener
Hypothese nicht direct durch das Experiment bewies, sondern sich
damit begnügte, auf die üebereinstimmung einer Anzahl von Fol-
gerungen aus derselben auf dem Gebiete der Mechanik und Astro-

■

0.

kleiner Brüchemtaageti für phytihaütcht Zweeite. 206

mie mit der Wirklichkeit hinzuweisen. (Vergl. Euler, Theo*
e der Bewegung fester oder starrer Körper, Kap. III.
id IV., herausgegeben von Wolfers.)

Obgleich nun unbezweifelt in wissenschaftlicher Beziehung in
der einzelnen Erscheinung^ welche mit Hilfe der Mathematik aus
Der Hypothese abgeleitet und durch die Erfahrung bestätigt wird,
ne wesentliche Stütze derselben liegt, so machen dennoch die
iFecke des ersten Unterrichts in der Physik möglichst directe
xperimente höchst wünschenswerth.

Als ich damit beschäftigt war, zu einer Reihe von Erschei-
DDgen, welche sich auf jenen Grundsatz beziehen , kleine empfind-
ehe Brückenwaagen meiner Construction in Anwendung zu brin-
en, veröffentlichte bereits Herr Professor Poggendorff einige
bnüche E^erimente, die er mit Waagebalken elgentfaümKcher
lonstruction erzielt hatte. (Vergl. Monatsberichte der Ber-
iner Academie, November 1853.)

Da ich indessen der Auffassung des Herrn Professor Pog-
;eBdorff, welche mit den Principien der Mechanik nicht im' Ein-
Jange steht, keineswegs beipflichten kann, auch meine Betrach-
tngen über blos pädagogische Zwecke hinausgehen, so will ich
I Folgendem die vorzüglichsten derselben mittheilen, insoferne
ie sich auf feste Körper beziehen. Vielleicht werde ich durch
ieselben darauf hinwirken, dass kleine empfindliche Brücken-
aagen zu den unentbehrlichen Instrumenten eines physikalischen
abinets gerechnet werden, und dass Dunkelheiten anfgehellet
erden, deren sich noch viele beim Widerstände fester und flüs-
iger Körper gegen Körper in Bewegung finden.

Die erste Anregung zu den vorliegenden Betrachtungen erhielt
;h durch das Lesen des schönen Kapitels in Poncelet's „In-
roduction ä la mecanique industrielle, physique et
xperimentale, de la communication du mouvement pär
B cboc direct des corps libres et limit^s en toussen^s^^
nd ich gehe von den Betrachtungen aus, welche dieser grosse
Selehrte auf eine so lichtvolle Weise auseinander gesetzt hat.

§. 2.

Da sich die Punkte eines Brücken körpers (der Brücke einer
Brückenwaage) auf vorgeschriebenen Bahnen bewegen, welche
inter sich parallele Richtung haben, so folgt, dass eine Kraft,
lie auf einen Punkt eines Brückenkörpers senkrecht zu dessen

266 Schoenemann: üeber den Gebrauch empftndUcker

Bahn wirkt, auf das Resultat der Wägang keinen Einflnss haben
kann, wenn sie nicht auf die Verbindung von Hebeln, Ketten u. s.w.,
durch welche die Brückenwaage Parallelbewegung erhält^ sturend
einwirkt. Da bei den Brückenwaagen meiner Construction jene
Verbindungen selbst durch bedeutende seitliche Kräfte nicht gestört
werden können, so kann man sagen, dass von jeder Druckkraft
die auf den BrückenkOrper wirkt, nur die Projection derselben aof
eine Linie, die durch den Brückenkorper selbst bestimmt ist, zur
Wirksamkeit komme. Diese Linie wird bei regelmässiger Auf-
stellung der Vi^aage entweder physisch senkrecht sein oder sehr
nahe mit dieser Richtung zusammen fallen.

S. 3.

Versuche über die Kraft der Trägheit und über den Fall

der Korper.

(Siehe Taf. X. Fig. 1.)

Auf zwei mit Fussgestellen versehenen Säulen bringe nai
cylindrische, von oben nach unten gehende LOcher von etwa 4'
Tiefe an; in diese Löcher passen die Schafte zweier gabelförmig
ausspringenden Holzstücke, welche innerhalb ihrer Gabeln zwei |c:
leicht bewegliche Rollen 'tragen. Die eine dieser Säulen nebst
Rolle befestige man durch eine Schraubzwinge auf dem Brücken-
körper, die andere auf der horizontalen Tischplatte, auf der die
Waage steht, in einer Entfernung von etwa 3'. Beide Säulen sind
ungleich hoch und werden so aufgestellt, dass die höchsten Punkte »
der beiden von ihnen getragenen Rollen in einer Uorizontalebene
liegen und der mittlere Durchschnitt der Rinne, die sich auf ihrem
Umfange beflndet, für beide in dieselbe Vertikalebene falle. Nun
lege man über beide Rollen eine recht biegsame seidene Schnur,
an deren Enden man zwei gleiche Gewichte befestigt. Jetzt tarire
man die Waage, welche unter der Einwirkung der Schnur ganz
frei spielt. Nennt man nun die Rolle, welche auf der Waage
steht, A^ das daran hängende Gewicht et, die Rolle auf dem Tische
B, und das daran hängende Gewicht ß, so ist ci = ß. Hierbei
ist die Brücke ausser der Säule und der Rolle A belastet mit dem
Gewichte a, wenn das Gewicht der Schnur ausser Acht gelassen
wird. Die Spannung der horizontalen Schnurstrecke wirkt nicht
auf die Waage, weil die Projection dieser Kraft auf eine physisch
senkrechte Linie verschwindet. Befestigt man nun das Schnu^
ende, an dem a hängt, am Brückenkörper, so kann man ß belie-
big vergrössern, ohne dass sich eine Einwirkung auf die Zunge

kielner Brüchemeaagen für physikalische Zwecke^ 367

3er Waage zeigt. Befestigt man a nicht, vermehrt aber ß um ein
kleines Gewicht ^, so dass ß-y-^ sinict und a steigt, &o steigt
BQgleich die Zunge der Waage, als wenn a selbst yergrossert
worden wäre, und osciliirt bei längerem Falle um einen gewissen
Gleicbgewichtspunkt. Legt man zu jedem Gewichte a und ß das
Gewicht ^ hinzu, tarirt die Waage und nimmt dann das Gewicht
^ Yon ß-y-J fort, so fallt das Gewicht a-|-^» und zu gleicher
Zeit sinkt die Zunge der Waage.

Nennt man t das auf die Peripherie des Schnurlaufs redncirte
trSge Gewicht der Rolle Ay. und gleicher Weise ^i das auf seine
Peripherie reducirte träge Gewicht der Rolle By ferner die auf
dieselben Peripherien reducirten Axenreibungen f und fi , so ist

die Beschleunigung im ersten Falle ißiyf^fif ^f4.f ^^^^

—9 wenn a+/3+^ + f+fi+/^+^=n gesetzt wird. Der Druck,
der von a vermöge seiner Trägheit auf die Schnur ausgeübt wird,
ist — • Der Druck, welcher von ß vermöge der Trägheit auf
das Schnurende ausgeübt wird, weiches von ß zu 5 geht, ist

ttegativ und = • Die beiden äussersten Schnurenden

sind also während der Bewegung nicht gleich stark gespannt. Das zu-
erst genannte ist gespannt mit a-f — » das letztere mit ß-i-^ •

Der mittlere Theil der Schnur ist gespannt mit a-| 1-^^ — -—»

da die Trägheit der Rolle A und die Axenreibung die Spannung
des erstgenannten Schnurendes noch um das letzte Glied des Aus-
druckes vermehrt, oder mit ß-l-A — , da die

' n n

Spannung des anderen Schnurendes durch die Trägheit der Rolle
B und die betreffende Axenreibung um das letzte Glied des an-
gefahrten Ausdruckes verkleinert wird. Setzt man a=zßy so sind
in der That die beiden angegebenen Ausdrücke für das /nittlere
Schnurende gleich. Dass diese drei Schnurstrecken ungleich ge-
spannt sind, ist natürlich, da sie einer Reibung auf den Rollen
ausgesetzt sind, ohne welche sie auf denselben gleiten würden.

Sobald die Schnur sich in Bewegung setzt, muss zu dem Druck,
der von der Belastung der Brücke ausgeht, noch der Druck — ,
der von der Trägheit von a entspringt, hinzukommen. Merkt man

r

268 Sehoenemann: Ueöer den Gebrauch empfliuUicker

sich den Ponkt der zur Zun^ gehörigen Scala, um den dieselbe
beim Fall oscillirt, und mittelt man das Gewicht y ans, das man
ohne Einwirkung von ^ auf die Brücke legen muss, um densel-

ben Ausschlag zu erhalten ^ so ist — = y. Der von ß in der Zeit

T beschriebene Weg ist g — .^ =^.— .-5-. Nennt man diesen

a 2
Weg f 9 so erhält man (7=f*- •-2* Mit Hilfe eines Secnndea-

Pendels lässt sich g auf diese W^eise vermöge der Waage ziem-
lich genau bestimmen.

Zusatz. Es ist bei der Rechnung nicht berücksichtigt wo^
den, dass der mittlere Theil des Fadens seine horizontale Lage
ändert. Nennt man die Spannung des mittleren Theiles des Fa»
dens Tf die Senkung der Brücke d, die Länge der mittlereo
Schnurstrecke L, so ist die Einwirkung von T auf die Waape

= — '^'Y' Setzt man r=:J Pfund, d=0,l", welches ein hin»
reichend grosser Werth für eine Decimalwaage ist, und L = 3',
so ist + r.— = ^ Loth circa. Dennoch beträgt der in Ermitte-

lung von y begangene Fehler bedeutend weniger. Stellt nämficb
y den Widerstand der Trägheit vor, den a bei seiner Bewegang

entwickelt, so hat man y= — und l,Y'=^y\ — «r^» wovi

das Gewicht bedeutet, welches man, indem sich a und ß an den
Rollen das Gleichgewicht halten, auf die Brücke legen muss, um
einen gleichen Ausschlag zu erhalten, wie durch den Widerstand dei

Trägheit von a. Man erhält mithin die Gleichung — = yi+Cl'— a)y
Die Spannung der mittleren Schnurstrecke oder T ist oben ermit-
telt und =a+ — + gefunden worden. Hieraus folgt,

dass T — a eine kleine Grösse, die bei gleicher Beschaffenheit
beider Rollen sehr nahe \/i liegt, sein müsse. Man kann also

bei gleicher Beschaffenheit beider Rollen den Werth von — , der

n

oben gleich yi gesetzt wurde, dadurch corrigiren, dass man noch

d
zu yi den Werth s^.y addirt. Beträgt, wie oben angenommen

wurde, d den zehnten Theil eines Zolles und L drei Fuss, so ist

Meiner Brückenwaagen für pkysikaitseAe Zwecke. 369

Anmerkung 1. Die in Anwendung gebrachten Gewichte
dOrfen nicht die Form haben , welche bei Falimaschinen öfters ge-
bräuchlich sind^ weil bei den dünnen und breiten Platten der
Widerstand der Luft zu wirksam ist, welches man sehr gut da-
raus erkennt, dass die Oscillationen der Waage grosser, anstatt
kleiner werden. Mit gutem Erfolge habe ich lange cylinderförmige
eiserne Gewichte von der Schwere eines halben Pfundes in An-
wendung gebracht. Die Zulage ^ muss so klein sein, dass man
mindestens eine vollständige Oscillation der Waage beobachten
, lann. Dies hängt zum Theil von dem Fallraum, zum Theil von
\ der Schwingungszeit der Waage ab. Die Ermittelung des Ge-
i wwbtes Yi geschieht leicht, wenn die Waage mit einer Scala
K ivrsehen ist, durch Beobachtung der ersten Excursion bei vor«
r dbbtiger Zulage eines kleinen entsprechenden "Gewichtes auf die
^cke. Sollte hierbei nicht der Theilstrich der Scala erreicht
irerden, der sich bei Zulage von J einfand, so kann man die
Aosmittelung von yi bedeutend abkürzen, indem man von dem
Satze Gebrauch macht, dass sich die Ausschlagswinkel wie die
Gewichte verhalten. (Vergl. Anmerkung III. zu §. 7.)

Anmerkung II. Es bleibt noch experimentell zu zeigen,
dass ein Gewicht, welches sich geradlinig mit constanter Geschwin-
digkeit bewegt, keine neue Druckkraft entwickelt. Zu dem Ende
befestige man an dem Fuss des Gestelles die Axe eines mehr-
fach gekrümmten Hebels, der sich vermüge seines Gewichtes mit
biDreicheodem Drucke an die Brückenwand anlehnt, um dAch die
entstehende Keibung die Waage zu verhindern zu schwingen.
Darch einen Druck auf den anderen Arm des Hebels kann man
die Waage plötzlich frei machen. Man tarire nun die Waage mit
der Rolle A und dem Gewichte a wie oben, indem der erwähnte
flebel nicht anliegt. Dann lege man. ein so kleines Uebergewicht
zu ß hinzu, dass wo möglich gerade die Widerstände der Rei-
bung überwunden werden, dass also bei einer sehr kleinen Ver-
grusserung dieses Gewichtes sich schon Bewegung des Gewichtes
a einstellt. Nun gebe man der Waage durch den erwähnten Hebel
Dnbeweglichkeit, und lege zu ß noch ein Uebergewicht, welches
zu beiden Seiten hinreichend hervorsteht. Nachdem dies Ueber-
gewicht mit ß eine kurze Strecke gefallen ist, lasse man es durch
einen Ring oder durch eine sonstige, von der Fallmaschine be-
kannte Vorrichtung' abheben, und mache durchweinen Druck auf
den andern Arm des Hebels die Waage frei, so wird man finden,
dass sie, bei der jetzt eintretenden constanten Geschwindigkeit
von a ihre Norraalstellung nicht ändert, sondern dieselbe erst bei
dem darauf erfolgenden unvermeidlichen Stosse aufgiebt.

270 Scho^nemann: (Jeber den Gebrauch empflndUcker

§. 4.

Lehrsatz.

Erleidet ein körperliches System, welches sieh auf der Brfid^e
der Waage befindet, durch innere Kräfte irgend eine Veränderong;
60 ist der Druck, den es in jedem Augenblick airf die Waage

ausübt« ^+~*ai7» ^^ ^ ^*® Schwere des Systems und ät die

Beschleunigung des Schwerpunktes desselben in senkrechter and
der Wirkung der Schwerkraft entgegengesetzter Richtung angieU;

i

:

li

1.

Beweis. Man kann sich die inneren Kräfte auf jeden mate-
riellen Punkt durch elastische Federn wirkend denken. Denkt
man die Elasticität fort, so ist die Schwere P, Durch die Bevp«'
gungen der Federn kommt hierzu noch folgende Summe von Trig'

heitskräften : • ö7 + • "o^ + ®tc., wo p^, p2 etc. die Schwere fe

der einzelnen materiellen Punkte und -A- , -k^ etc. ihre Beschleu-
nigungen im Sinne einer physisch senkrechten Linie angeben. Ei

ist aber bekanntlich — • -öt" i — • -qT + etc. = — • ^r*

ff vi ff et g Ol

Befindet sich ein Mensch auf der Brücke der W^aage und er-
hebt sIRi, so kann dies zunächst nicht ohne eine Beschleunigang
seines Schwerpunktes geschehen, deshalb hebt sich die ZuDge
und er scheint momentan schwerer zu werden. Senkt er sich, so
findet zunächst das Umgekehrte statt. Die Oscillationen , in die
eine Waage geräth, wenn ein Mensch in scheinbarer Ruhe auf
der Brücke steht, rühren von den Veränderungen seines Schwer-
punktes her, die mit dem Athmen verbunden sind.

§• 5.
Vom Stoss unelastischer Körper.

An einer auf der Brücke befestigten Säule bringe man in einer
Entfernung von etwa einem Fusse von der Brücke einen hervor-
tretenden Haken an, an dem ein Gewicht durch einen Faden auf-
gehängt wird. Man tarire die Waage und brenne den Faden ab.
Ist nun der erfolgende Stoss mit der Brücke ein unelastischer, so
geschieht Folgendes: Während der Zeit, dass der Körper fallt,

lÜHner BiUckeimaagm fUr physikalische Zwecke. 271

sinkt die Zunge. Darauf tritt ein sehr kurzer Stillstand ein und
die Brücke schwingt mit gewissen Excursionen^ deren Grosse man
Torzüglich im Anfange zu beobachten hat. *

Gesetzt, das Gewicht des losgebrannten Körpers ist p und
das auf einen. Punkt der Brücke reducirte träge Gewicht des
Vl^aagebalkens, der Schale, der Brficke und der leitenden Theile,
nachdem p abgebrannt .ist, sei P, so werden die trägen Gewichte
P und p mit derselben Kraft p, nachdem der Faden abgebrannt
l9t, nach entgegengesetzten Richtungen getrieben. Die Beschleu-

1 1
BiguBgen von P und p werden sich also verhalten wie p'~~9 und

nian wird auch die erstere constant setzen können, wenn die in
Betracht gezogene Zeit sehr klein und die Waage sehr empfind-
ßch ist. Nach vollzogener Einwirkung des Stosses muss nach
den bekannten Gesetzen des unelastischen Stosses augenblickliche
Rahe eintreten, und die Waage darauf mit den Excursionen schwan-
ken, die ihrer Stellung im Augenblicke des vollendeten Stosses
entsprechen.

Nimmt man p wie natürlich gegen P sehr klein an, so folgt,
dass die Excursionen der Zunge bei verschiedenen Gewichten p
and pi sich selbst wie p und pi verhalten müssen. Ebenso kann
man über die verschiedenen Fallhöhen experimentiren, auch das
Gewicht P aus dem Ergebniss eines Versuches leicht berechnen.

Anmerkung. Von besonderem Interesse ist es, dass man
bei diesem Versuche sehr wohl die kurze Zeit des Zusamnien-
stosses beobachten kann. Die Zunge bleibt eine merkliche Zeit
stehen, oder macht vielmehr eine sehr kleine Bewegung, die sich
sehr wesentlich von dem üebergange einer Oscillation in die an-
dere bei regelmässigem Gange unterscheidet. Besonders merklich
kann man diese Zeit machen, wenn man den Körper auf weiche
Gegenstände, etwa Wolle, fallen lässt; doch ist wohl zu beachten,
dass diese Zeit auch merklich wird, wenn etwa ein Stück Eisen
auf die eiserne Brücke einer Waage fallt. Um den Einfluss der
Elasticität ganz zu beseitigen, muss man zuvor ein Brett auf die
Brücke schrauben und ein pfeilförniig zugespitztes Eisen auf das-
selbe falten lassen, welches sich in das Holz einbohrt und haften
bleibt. Es ist wahrscheinlich, dass man von hier aus durch An-
wendung geeigneter Hilfsmittel über die zum Stoss verwendete
Zeit and die allmälige Abnahme der Geschwindigkeit beim Stosse
später Doch mehr in's Klare kommen wird.

272 SekoenemaHu: Ceöer den etbraueh ettflbtiUsUr

§. «.
« Vom Stoss elastischer Körper.

(Siehe Taf. X. Fifr. ll.)

1) Kiromt man an, der Körper p im vorigen Versuche sei
vollkommen elastisch, so wird im Momente der grössten Zusam-
meudrückung dasselbe wie beim unelastischen Stosse eintretea.
Darauf wird p abspringen, uiid zwar bi« zu der absoluten Bube»
von der es herunter gefallen. In diesem Augenblicke muss aacb
die Waage in Ruhe sein, denn offenbar ist in diesem Angenbttcb
die von p vollzogene Arbeit =0, mithin die lebendige Kraft^ welche
döm ganzen System inne wohnt, auch =0. Dies kann aber nickt
anders sein, als wenn die Waage ebenfalls zur Ruhe gekoromea,
oder als wenn die Geschwindigkeit aller einzelnen Theile des System
gleich 0 ist Von nun an müsste sich derselbe Act wiederholeSi
wenn die Widerstände der Reibung und der Luft nicht vorhat*
den wären.

2) Man befestige eine elastische Feder auf einem Gestell, 80
dass man dieselbe vermöge eines Fadens, den man am Gestell
anbringen kann, aus ihrer Lage bringen kann. Darauf schraube
man das Gestell auf die Brücke fest, tarire die Waage, brenne
den Faden vorsichtig ab, so wird man, wenn die Feder sehr rasche
Vibrationen macht, keine merkliche Einwirkung auf die Zunge
wahrnehmen. Bei langsamen Vibrationen der Feder, die natür-
lich wesentlich in verticaler Richtunii^ angenommen werden, wird
sich die Zunge auch in Bewegung setzen, aber ihre Oscillationeii
mehr in Zeiten beschreiben, welche den Oiscillationen der Feder,
als denen der Waage entsprechen, bis dieselben allmählig in die
Oscillationen der Waage tibergehen.

Nennt man das auf die Brücke reducirte träge Gewicht der
sämmtlichen schwingenden Theile mit Einschiuss der Feder. P,
das Gewicht der Feder p und die Beschleunigung ihres Schwer-

h

P'g
punktes 6, und ß die Beschleunigung der Brücke, so ist ß=zg,-p-

oder gleich der Beschleunigung beim freien Fall mal dem Drucke

p.-, der von der sich ausdehnenden Feder auf die Waage aus«

geübt wird, dividirt durch das träge Gewicht P, Es ist mithin

j3 = -p oder /=p' Die Beschleunigungen der Feder und des

trägen Gewichtes /^verhalten sich also umgekehrt wie ihre Gewichte.

kieHi0r -Brückenwaagen für physikaUsche Zttecke, 273

evregt sich die Brücke innerhalb sehr enger Grenzen, so kann
an P constant setzen, zumal wenn die Waage sehr einpGndlich
t, und es folgt ahidann, dass die Bewegungen der Briicke ent-
sgengesetzt von denen der Feder seien, sich ganz ähnlich wie
ne verhalten müssen, und durch eine Abschwäcbuug, deren

aass K^ ist, aus jenen hervorgehen. Dieser Fall wird im All-

imeinen eintreten, wenn das Product von pmal dem Maass der

cearsionen der Feder eine sehr kleine Grösse ist. Collen daher
ti|e besondere Vorrichtung die Excursionen der Waage dem
age sichtbar werden, so kann man das Gewicht der Feder da«
irch vergrussern, dass man an dem Theile der Feder, der
» gr^ssten Excursionen macht, noch ein besonderes Gewicht
lestigi

Anmerkung. Mit vollständiger Klarheit würden die Erschei-
ingen hervortreten, wenn der Zustand des Gleichgewichtes der
'itage ein vollkommen indifferenter wäre (d. h. ein solcher, der
ch bei einer andern Stellung als der Nprmalstellung der Zunge
different wäre). In der That leiten die kurzen Schwingungen,

welche die Waage durch die Vibrationen der Feder versetzt
Yd» zugleich langsame Schwingungen ein, welche der Waage
genthCmlich sind, indem sieh beide modificiren, und gehen ganz

die gewöhnlichen Schwingungen der Waage über, sobald die
sbwingungen der Feder erloschen sind.

3) Brennt man die Feder wie bei No. 2. ab, lässt sie aber in
tm Moment, in welchem sie ihre grösste Geschwindigkeit erreicht,
{gen einen festen, mit dem Brückenkurper verbundenen Theil
Q0sen, 60 dass die Bewegung plötzlich aufhört, so zeigen sich,
enn das Gewicht der Feder ein sehr geringes ist, nach vollen-
slem Stoss bei Waagen von grosser Empfindlichkeit fast keine
jxursionen der Zunge. Bei geringer Empfindlichkeit kann man
nter sonst gleichen Umständen bemerkliche Excursionen wahr-
ehmeo.

Nach Nb. 2. ist die Beschleunigung des Brückenkörpers b . jy

k> lange mau P als constant ansehen kann, ist mithin die Bewe-
:Dng des Brückenkörpers eine ähnliche, wie die der Feder. Da
laeh erfolgtem Stosse im Moment der grössten Zusammendrückung
lie .Geschwi>idigkeit der Feder =0 ist, so muss in demselben
Höment die Geschwindigkeit des Brückenkörpers auch = 0 sein,
and die Zunge kann offenbar nur Excursionen machen, welche
Ihrer Entfernung von der Normallage zur Zeit der grössten Zusam-

Thea XXIV. 19

974 Sckoenemann: Veber den Gebrauek empßmäUeher

roeDdröckuDg entsprecben. Diese Entfernung ist mitbiD ^e, wo
e das Maass der Zusammen drOckung der Feder angiebt.

Ist die Waage unempGndlich, so wächst P mit zanebitfender
Excursion, und die negative Summe der Beschleinnigungen des
Bruckenkürpers ist insbesondere während der Zeit des Stossei
wesentlich kleiner als die Summe der positiven Bescbleanigungen»
welche dem Stoss voranging. Deshalb ist in diesem Falle dia
Clescbwindigkeit des Bruckenkürpers noch nicht auf 0 redodifc
wenn der Stoss vollendet ist, und der Bruckenkurper bebält nad^
vollendetem Stosse noch eine merkliche Geschwindigkeit, wekh^,
der Bewegung der Feder entgegengesetzt ist.

4) Wenn beim zweiten Versuche nach dem Abbrennen 'den
Fadens sich fast keine Bewegung der Waage zeigte, so kam ditlj
daher, dass der Brücke in sehr kurz auf einander folgenden Zci-j
ten entgegengesetzte Geschwindigkeiten eingeprägt wurden. jDii
die Sinne hiervon aber nichts wahrnehmen, so ist der Weg itt\
zeigen, wie man die erste dieser Geschwindigkeiten gewisaa«*!
messen frei machen und beobachten kann. ' f'

Lässt man die Feder im Momente ihrer grOssten Gescliirii^
digkeit gegen einen festen Körper stossen, der nicht mit dm}»
Bruckenkurper in Verbindung steht, so beobachtet man jedeml
an der Brücke eine der Feder enti^egengesetzte Gesch windigkeil
und es ist zu zeigen, dass dieselbe jene eben besprochene frd
gewordene Geschwindigkeit ist, wenn der angestossene Kurper
verbältnissmässig recht gross ist. Um dies Ziel zu erreichen,
nehme man an, die Feder schlüge im Momente ihrer grüsstos
Geschwindigkeit gegen ein frei schwebendes Gewicht von der C
Grösse Q, Dies Gewicht soll von der Schwerkraft nicht afGcirt f
werden, sondern nur von der Trägheit. (Ein gleicharmiger Waa-
gebalken, der sich im Zustande indifferenten Gleichgewichts be-
findet und an seinen beiden Endpunkten zwei Gewichte von der
Grösse \Q trägt, sonst aber nicht schwer ist, würde, wem er
mit dem einen Gewichte \Q den Stoss aufnähme, jenes Gewicht
Q ersetzen können, wenn sein Hypomocblium nicht von der Brücke
getragen würde.) Im Augenblicke der grösstcn Zusammendrückuog

bat p die Geschwindigkeit "^"q » wenn v die grösste Geschwin-
digkeit ist, die es durch die Elasticität erreicht. Indem nun f
die Geschwindigkeit v ^^z=: — —7\ verliert, verliert P di«

^ p+Q p+Q

Geschwindigkeit p'„tQ' Indem aber Q die Gescbwindigiei^

)e

kifimw Brüekemtaofftn f^r pk^sikaUseke Zwecke* fTS

^^ gewinnt» gefriont P die GescbwiBdigkeit p-^^g* I*» Ao"
»nblick der grOssten Zueamrnendrfickang gewinnt aldo die Brücke im

aoxen durch denStoss die Geschwindigkeit ö""^^— p'~r5=0-

Btst maft nnn Q unendlich gross, so kommt man «nf den Fall
t8«res Experiments. Es verliert p seine ganz« Gesefiwindigkeit
Mb den Anstos«, und die Brficke behält die Geschwindigkeit

p die sie im Momente des Anstosses hatte» und die man durch

ie Zange iieobaehten kann.

Ware an den Berfihmngsflfichen vollstfindige ElasticitKt wirk-
■i^ •• irirde nach erfolgtem Stosse p noch einmal die €»eiiehivin-

gkeit - ^ verlieren, und Q noch einmal die Geschwindigkeit
p + "

V;g gewinnen, wodurch für P so weaig wie im ersten Falle

ne Zu- oder Abnahme an Geschwindigkeit entstehen würde,
le Feder würde sich dann bis auf das ursprüngliche Maass zu-

jmneoziefaei» und hierbei P die erlangte Geschwindigkeit ^ wie-

IT f erlief en« und fifir den Fall, dass Q onendlich wäre, würde
ib'lHin d«r Vorgang wiederholen. Es ist natürlich vorausgesetzt
Bffdenj das« die Ausdehnung und der Stoss der Fe<ler in einer
»it vor sich gehen, die gegen die Schwiugungszett der Waage
»hr klein ist.

Da die Erfahrung zeigt, dass nach erfolgtem Stoss keine we-
ifitliefte Zusamnienziehung der Feder statt findet, wenn man die
Britinrüngsfläche zweckmässig wählt, so wird der Brücken kurper

sine Excursionen mit der Geschwindigkeit ij- beginnen. Wie

M -dieselbe durch die Excursionen der Zunge der Waage mes-
SD kann, wird im folgenden Paragraphen gezeigt werden. Wie
la bofe ist hierdarch ein beachtenswertbes Mittel gewonnen» den
ITerth von v selbst bei sehr grossen Geschwindigkeiten der Feder
Kperimentell zu bestimmen.

5. T.

Aufgabe. Die Sebwingungszeit einer Brückenwaage zu ent-
wickeln, wenn man nur die Schwere der Brücke, der Last, der

8dkale und des Gewichtes in Rechnung zieht.
..I
Gesetzt, doit Maass des Gewichtes nebst der Schale sei p,

19^

376 ' ScJ^otnenlann: üeber den Gebrauch emp/indiicMer

und das Maass der Last nebst der Brücke sei P,^ nod der Schwin-
gungsradius der Brücke R (d. h. jeder Punkt der Brücke beschreibo
einen Bogen mit dem Radius R, wo dann alle diese Radien gleich
gross und gleich gerichtet vorausgesetzt werden}» der Schwin-
gungsradius des Gewichtes sei q, die Schwingungsebenen von B
und Q seien verticaU und die Winkel, die q und R mit dem Ho«:
rizonte bilden, seien <p und t/;. Nimmt man nun an, 8q> sei eii
kleiner Winkel, um den g aus seiner Lage entfernt wird, Indev'
R zugleich sich um den Winkel dif; aus seiner Lage entfernt, so wird
das System, welches in stabilem Gleichgewicht vorausgeseW
wird, in seine ursprüngliche Lage zurückzukehren suchen.

Indem nun bei erfolgender Schwingung g und R von ihrir
Normallage nur noch um die Winkel Jq) und ^tf; entfernt sioi
haben die Gewichte P und p eine mechanische Arbeit A ausge-
führt, deren Maass durch folgende Formel angegeben wird:

iA = Qplsin(q>-i-Jq>) — 8in(q)+iq>)'] . ^

+ /2P[sin(tf; + J'tl}) — sin(tf; + *^)].

Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, welche in diesem Ange^ j
blicke die einzelnen Theile des Systems haben, ist der Ausdruck
von A weiter zu entwickeln, unter der Voraussetzung, iassPvtii
p in ihrer Normallage das Gleichgewicht halten. . Diese letzte Bn'
dingung wird nach dem Princip der virtuellen Geschwindigkeit''
angegeben durch die Gleichung:

II) Qpcosq>d(p + RPcosiljdtl) = 0.

Berücksichtigt man nur iK)ch die zweiten Potenzen Ton dcp, ^(p$
dl/; und //i/;, so ist sin (q> -}■ öq>) = sing) (l'-i6q>^) + cos q>ö(p, und
mithin

2 ) +cos<p(Aq)-'S(p)f

(ö%U^ — A'üf^\

Sieht man ip als Function von 9 an, so ist:

Btp 8V

und mithin:

sin (1/; + Jtp) — sin (ip + di/;)

^ AMifr Brgckenwaa§en /»r pktfsikaliicke Zwecke. 277

Mit Berücksichtigung der Gleichang II) erhält man nun aus
ietehnng I) folgende Gleichang:

i" , d^ ffhb 1

i^ man den tactor tangy — g^.tang-^+g — ^^£» ^^ erhält

IUI — = n^ [Äy*— ^g)*] cos 9». Nach dem Priucip der leben-
den Kräfte ist nun

It Berücksichtigung der Gleichang II) und der vorigen Formeln
hält man hieraus:

i4 mithin durch Division der Gleichung III) durch IV), mit Be-
dbsichtfgang der Gleichung 11):

orans sich die Geschwindigkeiten der verschiedenen Theile
18 Systems ergeben. Aus der Gleichung V) folgt die Gleichung

VI) Bt= ^''^ ^ ' ^^^'^p-^^>^

p cos^m

VT^«— ^9« W gco8(p

ad hieraus durch Integration die ganze Schwingungsaseit der
Vaage» die mit T bezeichnet werden soll:

' g cos (p

27B sekeemmann: Veber den Gebrauch empfindiieker ^

Da bei den gebräachlichen Waagen and gewöhnlicher Anf-
stellung <p und t/; entweder 0 sind oder sich doch «ehr wenig von
0 unterscheiden, so kann man cosg> und cosTf; beide gleich J
setzen. Ferner ist bei den verschiedenen Arten der gebrliqclili-

eben Decimalwaagen ^(I-l-^ die Strecke des Waagebalkens^ die :

sich zwischen den Schneiden befindet, welche die Last und du
Gewicht tragen. Bezeichnet man diese Strecke durch £, so e^
hält man schliesslich:

VIII) T

= 7t^i^.E.

i,
ll

Es bleibt noch übrig, zti zeigen, wie £ durch Versuche n tj
ermitteln ist. Differentiirt man die obige Formel II) oder ^pcos^ ^

+ ßPcos t^8i/; = 0 nach p und q>, so erhält man ~ .g— =;ytWf J

E genau denselben Wertb hat wie in den vorigen Formeln. Der i^
Differentialquotient auf der linken Seite H-ird offenbar am pi i(
grösser, je kleiner die Empfindlichkeit der Waage wird» und o» (
gekehrt. Ich habe ihn deshalb in meiner Abhandlung fiber die L
Empfindlichkeit der Brückenwaagen (V. Band der Denk seif rtf^T
ten der mathematisch naturwissenschaftlichen Klassi I
der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in rl

Wien) mit j, bezeichnet und £ die Empfindlichkeit der Brucken-

P
waage genannt. Da nun E=-rr-»d(p ist, so kann man aöch

£=r-/^.^^ — — setzen. Bezeichnet nun p, die Entfernung des aof
dp pi .

dem Waauebalkeo befestigten Zeigers vom Hypomocblium» M ^
wird Qidtp den Ausschlag des Zeigers bei der Alehrbelastung dp

der Schale angeben. Der Quotient q~*~ — ^'»rd noch mit gros« -

ser Genauigkeit erbalten werden, wenn man statt der unendlich
kleinen Grösse dp nur eine Grösse setzt, die in Verhältniss zo
p sehr klein ist, und statt Qi^cp den kleinen Ausschlag, den diese
Grösse hervorbringt« Bezeichnet man daher diese kleine Grösiflb
durch die dp ersetzt wird, mit Jp, and den erfolgenden AWh

D e

schlag mit c, so ist jE = -t- • -- und
° ^p. Qi

T=%\ -

V",

p. e

9 ^P Pi

\

tU^mr MUkenwaagen für phpiikaüsche Zweek€. 379

La n

Dm ein Beispiel zu geben > wollen wir ~=:1« ^=3500 (circa

m' Qvotienten von einem Centner durch 1 Loth) und €=zl" an-

3500
8~1T~T2^^*^ Secunden.

Soll mithin eine Brückenwaage bei einer so grossen Belastung,
188 man das Gewicht der leitenden Theile Obersehen kann, bei
'Centoern Belastung bei einer Zulage von n Lothen mit einem
unkte des Balkens, der so weit vom Hypomochlium entfernt ist,
e die Last- und Gewichtsschneide des Waagebalkens von ein-
der, einen Ausschlag von l" geben, so muss ihre Schwingungs-
it 3,4 Secunden sein.

Es braucht kaum bemerkt zu werden, mit welcher Bequem-
hkeit man den Werth von E aus einer Beobachtung der Schwin*
ngszeit einer Waage ableitet. Hier kommt es. darauf an, zu
tersuchen, wie weit die Waage als Pendel zu benutzen ist, um
rch sie zu einer Bestimmung von g zu gelangen. Um E expe>
nentell zq ermitteln, ist zunächst zu bestimmen, wie stark das
»wicht des Waagebalkens selbst auf die Schneide wirkt, an der
8 Gewicht hängt. Nennt man dasselbe x, das Gewicht des Waage-
lk<His q, den Abstand seines Schwerpunktes vom Hypomoch-
MMk, den man durch einen einfachen Versuch findet, d, so ist

so«—» Bezeichnet man nun das Gewicht der Schale plus dem

»fricbte in derselben plus x mit p, so ist £ = -j~« — » wo Jp

1 kleines Uebergewicht bedeutet, das man in die Schale legt,
den erfolgenden Ausschlag und ^i die Entfernung der Zunge
m Hypomochlium. Man erhält nun aus Gleichung VIll) di^ GrCsse

nß Zj E

SS — »^ — * welche Bestimmungsweise von g nach einigen vor-

vfigen Versuchen schon bei sehr massigen Belastungen zu ziem-
li genauem Resultate führt.

^ Welchen Einfluss die grossen Flächen, welche eine Brucken-
lage dem Widerstände der Luft bietet, auf die Schwingungszeit
iben» müssen spätere Versuche lehren. Im Allgemeinen ist nicht
mnszusetzen, dass derselbe bei grosser Belastung von bedeu-
todem Einfluss sein wird, da einestheils das Anhaften von Luft-
asse an den beweglichen Theilen des Systems gegen die Massen
er festen Theile, die in Bewegung sind, sehr zurücktreten muss,
ndererseits sich aus Gleichung V) ergiebt, dass die grosste Ge-

diwindigkeit der Schale e\ -£^ sein wird, wo e die grOsste

a

280 Sckoenemann: Veber den Gebratich empfindticker

Entfernung der Zunge hei der Schwingung von ihrer Normaliage
hedeutet^ und dass mithin diese Geschwindigkeit und mit ihr der
Widerstand der Luft bei kleinen Schwingungen sehr gering sen
müsse.

Anmerkung I. Es ist ohen vorausgesetzt worden, da«
alle Punkte des Briickenkürpers Kreishogen beschreiben , deren
Radien gleich gerichtet und gleich sind. Die erste dieser Bedin-
gungen ist unerlässlich, wenn die Brücke richtig sein soll, d. k.
wenn das Resultat der Wägung unahh<nngig von dem Ort der fio*
lastung der Brücke sein soll. Da nämlich die virtuellen Geschnrlj^
digkeiten sämmtÜcher Punkte der Brücke gleich sein niOssen, da
je zwei Punkte der Brücke durch starre Linien verbunden sini
ferner bei den angewandten Constructionen keine Drehung des
Brückenkörpers um eine feste Axe desselben vorkommt, und mit*
hin die Bahnen sämmtlicher Punkte in parallelen Ebenen liegen
müssen, so folgt, dass die Krümmungshalbmesser dieser Bahnen
für die Normalstellung parallel sein müssen, welche Construction
auch angewandt sei; dass aber diese Krümmungsradien gleich
gross sind, ist nicht durchaus noth wendig, und findet insbeson-
dere sehr häufig beiden Strassburger Waagen nicht statt, welches
daraus erkannt wird, dass solche Waagen, auf verschiedenen
Stellen belastet, verschiedene Empfindlichkeit zeigen. (V'ergl. meine
Abhandlung über die Empfindlichkeit etc. §. 7.) Dessenungeachtet
gelten die gewonnenen Resultate, insbesondere die Gleichungen VII)
und VIII), auch für dieise Art von Waagen. Sieht man nämlich
R als den Krüniniungsradius der Bahn des Schwerpunktes der
ganzen Last inclusive d^ Brücke an, so gelten zunächst die
Gleichungen I), II), III). Aber auch die aus dem Principe der
lebendiiyin Krjifte gewonnene Gleichung gilt hier, weil die virtuel-
len Geschwindigkeiten sfimmtlicher Punkte des Brückenkurpers
gleich sind, mithin die Trägheitskrafte sämmtlicher Punkte des
Brückenkörpers nur von ihrer Schwere und nicht von ihrer Lage
abhangen können. Man kitnn mitbin auch bei dieser Gleichung
sämnitücbe materielle Punkte in» Schwerpunkte der Last vereinigt
annehmen. Für die Anwendung der Formeln V'II) und V^Iil) ist
al^o bei diesen Waagen nur zu merken, dass E eine Zahl ist,
die für dieselbe W^aage nicht constant ist, sondern von der Lage
des Schwerpunktes der La^it abbärigt. — Dass übrigens alle diese
Betrachtungen nur für sehr kleine Oscillationen der Waage gelten,
wird klar sein, eben so aber, dass dies der praktischen Anwen-
dunsr keinen Kint'ai? tbut, weil bei Docimalwaasen und noch mehr
bei Centesimalwaagen die Excursionswinkel dey Krümmungsradien
der Bahnen, die von den einzelnen Punkten des Brückenkurpers
beschrieben werden, in der That sehr klein sind.

Ueäier Brückenwaagen für phffsikaiiseke Zwecka, 281;

. ; Anmerkung IL Bei den angegebenen Ableitangeo sind die

TrSgheitsmomente des Waagebalkens und der leitenden T heile

masser Rechnung gelassen worden. Es soll die Rechnung für

Waagen meiner Construetion nun noch so geführt werden, dass

. man den Einfluss dieser Theile auf die Schwingungszeit übersehen

kann. Zu dem Ende setze man aber voraus, der Schwerpunkt des

Waagebaikens liege auf der geraden Linie zwischen der Schneide

des Hypomochliums und der Gewichtsscbneide, welches in der

Tliat bei den angewendeten Constructionen beioahe erfüllt wird,

«nd femer der Schwerpunkt jeder Leitungskette liege auf der

Linie zwischen den beiden Schneiden, von denen sich die eine

am Gestelle, die .andere am Brückenkurper befindet, welches eben-

ialls der Wahrheit sehr nahe kommt. Wenn man nun das auf

die Gewichtsschneide reducirte Gewicht 4ßs Waagebalkens x, das

wirkende Gewicht nebst der Schale p, die Last P, das auf die

Schneiden der Brücke reducirte Gewicht der Leitungsketten plus

dem Geitichte der Hubkette y nennt, so erhält man zunächst

die beiden Gleichungen:

i^ = ^ (p -(- a:) [sin (g>+^g>) — sin (9)+dg>)]
+ Ä(P+2^)[8in(t+^i/;) -sin(tf; + cJi/;)],

II) ^(/) + a:)cos(;p8g> + 72(P + y)cosi/;8i/;=0,
ans welchen wie oben folgt:

III) ^ = i^(p+a')(V-^9*)co89>-£-

Nennt man nun das Trägheitsmoment des Waagebalkens in Bezug
mf die Aze des Hypomochliums u^xq^ und die Summe der Träg-
heitsmomente der Leitungsketten in Bezug auf die Axen, welche
durch die zugehörigen Schneiden des Gestelles bestimnit sind,
plus dem Quadrate von R mal dem Gewichte der Hubkette ß^R^y,
■D erbält man nach dem Princip der lebendigen Kräflte die Gleichung:

oder

Setzt man nun g) = i/; = 0, wie es bei richtiger Aufstellung der
Waage sehr nahe erfüllt wird, so erhält man:

383 Sekoenemmnn: üeber den Gekrmieh empßmMtkrr

und mithin durch Combiimtlon dieser Gleichong nit dar Gleidbrng
III), wenn man anch in dieser 9=0 setzt:

Es wt nan

(/*+y)*(p+«) '

'^ P (1+^) . (1 + J)«

Dieser Ausdruck muss offenbar in l-f- p Übergehen, wcoii P

und p unendlich vrerden. In diesem Falle werden wir daher uf
die obigen Gleichungen zurückgefOhrt. — Nach den zu dem Waa»-
gebalken und den Ketten angewendeten Formen wird q*— 1 zwi-

sehen — \ und 0 liegen. Setzt man nun —=0,1» welches bereite
bei einer sehr geringen Belastung eintritt , so fibersieht man McH
dass der Ausdruck wenig kleiner als I ~l~ p sein werde. Ist närn-

lieh — = 0,1, so wird p<0,01 und ^ höchstens 0,02 sein, uod
da ffi-^\ ebenfalls zwischen — \ und 0 liegen muss, so wird,
wenn ^=0,1 ist, der obige Ausdruck kleiner sein als l-f p ^^^
zwar um weniger als ^9.

Um die Schu'ingungszeit eines einfachen Waagebalkens, der
mit den Gewichten P und p belastet ist, zu bestimmen , wenn
der Schwerpunkt desselben in das Hypomochlium fällt, nenne man
sein Trägheitsmoment d^piQ^» wo pi das Gewicht des Waagebai-
kens ist. Alsdann ist

SJ^ V £.|

MMer BtÜ€kenmaa§en /flfr phpsikattsche Zwecke. 983^

k 4er WMgebalkHi gleichsohenklig, so ist p+oF^ P md mm
hittt;

dt= ^-1 gV 2+

«Vi

Will tDaii ncHsb die Neigung beider Arme des Waageballceos mit
em Horizonte io Rechnung zielien, so hat man^ wenn diese fär
eide q) beträgt ^ unter der Wurzel noch durch cosg> zu dividiren.
killte der Waagebalken nicht so ajustirt sein, dass sein Schwer-
Qokt im Hypomecbliifm liegt, so kann man d)e in seinem Schwer-
onkte Tereinigtd- Schwere desselbefn , wenn seirie drei Schneiden
icht in gerader Linie liegen, in drei Schwerkräfte zerlegen , die
nrch diese Schneiden hindurchgehen, wodurch die wirkefiden
lasten eine gewisse Aeuderung erleiden, die leicht zu bestimmen
(t, sonst aber die Rechnungsausdrucke uligeändert bleiben. Auf
hnliGhe Weise kano man das Ajustement der Waagebalken bei
Irflckeuwaagen in Rechnung bringen,

Anmerkung III. Es ist noch zu ermitteln, wie gross die
izcorsion der Zunge sein wird, wenn man ein kleines Gewicht
OD einer geringen HObe auf die Brücke fallen lässt

Legt man das Gewicht ohne Stoi^s auf die Waage, so erfolgt

JP
er ^tstebendo Ausschlags winkel ^9 =^£--77-, und der gans» fix-

. JP

nrsionswinkel 2Jq>==2E,-pr'

Bedeutet nun Pi das auf die Brücke reducirte träge Gewicht
er beweglichen Theile der Waage und hat AP beim Stoss auf
le Brficke die Geschwindigkeit v erlangt, so ^ird nach erfolgen-

if^AP

em unelastischen Stosse die Geschwindigkeit der Brücke p \ ..^

eio. Da aber JP in Vergleich zu /\ sehr klein ist, so kann

vAP
tan aneb für diesen Quotienten — „^ setzen. Nimmt man noD an,

ie Zunge fiele mit der Gewichtsschneide zui^ammen, und die
l^aage aei deeimaliach , so erhält man durch die ofaige Gtoiehu^ V)
od die darauf folgenden Reductionen :

10

.t> AP tr«»«-^««

284 Sekoenemann: lieber den Gebrauch empfimSUcker

Liegt jdP auf der BrOcke^ so geht die Waage in eine neM Gleich-
gewichtslage Ober. Der Winicel, den der Waageballcen der ersten

Lage mit dem in der zweiten Lage bildet^ ist p -, da £=-p---7-

ist , wenn /iq> den lileinen Ausschlagswinkel bei dem Uebergewicbf
JP bedeutet. Sehen wir jetzt diese neue Lage als Normallage
an und suchen^ wie weit sich die Zunge durch die Einwirkung de8
Stosses von dieser neuen Lage entfernen wird, so kann man

^9)=: ■ p- in der obigen Gleichung setzen und erhält: 1

C-?^)"(40'=0^-(^)")£' .

and hieraus:

Setzt man i?^ == ^sg^ wo $ die Fallhöhe von ^P bedeutet, so er-
hält man:

. ejpai , .M05L /» r

Um diesen Winkel öq) wurde sich also die Zunge aus ihrer neuen
Normallage entfernt haben müssen, um in die erste mit der glei-
chen Geschwindigkeit wie bei dem vorausgesetzten Stosse anzu-
kommen.

Wird das Gewicht JP ganz ohne Stoss auf die Brücke ge-
legt, so beschreibt die Zunge bei ihren ersten Excursionen einen

Winkel 2Jq)=z — p — , beim Stoss hingegen beschreibt sie einen

Winkel 28cp. Es lässt sich nun leicht übersehen, dass diese bei-
den Werthe nur sehr wenig von einander abweichen künnen, wenn
s eine sehr kleine Grösse ist. Berücksichtigt man nämlich das
träge Gewicht der leitenden Theile und des Waagebalkens nicht,

ist ^ + (^P) - 102=^1 oder f = n* '" Wirklichkeit ist
-fT- noch kleiner als vf. Der Werth von — ist Tf\ und den

Pl 11 Q 10

Werth von E kann man mindestens = 20 setzen. Setzt man nun
szzii" und ^ = 10'', so ist d(p noch um ein wenig kleiner als

so

kleiner BrückenwaMgen für pkjfeikaUtche Zwecke. 285

Setzt man Qjq>z=e und ^£9> = ßi> so wird:

oder kleiner als — p — • j^ • ojö- Betragt nun ^—p — weniger als

1', so ist diese Differenz so klein, dass sie in das Bereich der
unvermeidlichen Beobachtungsfehler föllt, kann also bei den Ver-
suchen des §. 3. Obersehen werden.

Erklärung der Figuren.

Taf. X. Fig. 1. Eine Brückenwaage auf einem Tische. A und
ß sind zwei Rollen, a und ß zwei Gewichte, die durch einen
seidenen Faden, der über beide Rollen geht, zusammenhängen;
cd ist ein Winkelhebel, der sich an die Brückenwand anlegt und
dorch einen Druck auf c von ihr entfernt werden kann.

Taf. X. Fig. II. Eine Feder auf einem Gestelle, die durch einen
Faden aus ihrer Lage gebracht ist.

286 Frisch: Vtber KepUr'M lagartiämem

Ueber Kepler 's Logarithmen nnd einige Briefe Ton

Kepler.

Von

Herrn Professor Frisch

zu Stuttgart.

Unter der grossen Anzahl handschriftlicher Schätze, welche ,
ich bei meinen Vorarbeiten für die von mir beabsichtigte Ausgabe
der sSmnittichen Schriften des Astronomen Kepler sammefte» be-
findet sich Manches, dessen Inhalt nicht blos ftir den Prenkid der
Literaturgeschichte, sondern auch für den Mathematiker titi
Astronomen vom Fach interessant sein uird/ Indem icl^ ans mei-
ner Sammlung einige Briefe, welche von der Entdeckung Neper*«,
den Logarithmen, handeln, auswähle, um sie einem grösseren
Leserkreise bekannt zu machen, glaube ich nicht, dem Plane
dieser Zeitschrift entgegenzuhandeln, welche auch früher schon
ähnlichen Gegenständen ihre Spalten öffnete und in ihrem Inhalts-
verzeichniss eine stehende Rubrik hat unter dem Titel: „Geschiebte
der Mathematik und Physik.^'

Zum besseren Verständniss des Inhalts dieser Briefe schicke
ich folgende Bemerkungen voraus.

Unter den wenigen Gelehrten Deutschlands, welche Neper'e
Schrift (Mirifici Logarithniorum Canonis Deseriptio,
ejusque usus in utraque Trigonometria, ut etiamin
omni Logistica Mathematica, amplissimi, facillimi et
expeditissimi explicatio. Edinb. 1614.) gleich Anfangs mit
Beifall aufnahmen, steht Kepler in erster Linie da. Bei seinen
vielen, weitläufigen und langweiligen Rechnungen hatte er schon
lange daABedürfniss einer Erleichterung gefühlt. Seine geringe
Besoldung, die noch dazu bei den damaligen politischen Wirren
und Verlegenheiten des Kaiserlichen Schatzmeisteramts häufig sehr
unregelmässig ausbezahlt wurde, reichte nicht hin, einen für seine

und einige Briefe rmi Kepler. Sl^

recke tauglichen Rechner za bezahlen, und nur temporir gelang
ihm, .fär einen solchen aus der Kaiserlichen Kasse (In Prag)
er aus ständischen Mitteln (in Linz) einen Beitrag zu erhaUen.
»ben Tieliachem hluslichen Unglück, manchen Anfallen von
«nkheiten, die ihn in den Zeiten seines Aufenthalts in Prag
>ro Jahre 1600 bis 1612) trafen» lag ihm somit grossentheils allein
die Ausfuhrung des Hauptgeschäfts, an welches seine Anstel-
ig daselbst gekniipllt war, die Herausgabe der Tychonischen
»obachtungen , eines Geschäftes, welches er bekanntlich nich^
Hendete, auch nicht in der Weise Tollenden konnte und vfoWi^
b man es von ihm verlangte, und wie es später von dem Jesui-
1 Albert Kurz geschah (Historie Goelestis, 1656), nämlich
rch einfachen Abdruck des „Protokolls'' jener Beobachtungen,
ine Absicht war, unter Zugrundelegung dieser Beobachtungen
I ganz neues astronomisches System zu gründen und astrouo-
Bche Tafeki zu liefern , welche die bis dahin einzig dastehenden
Utenischen Tafeln ersetzen sollten. Den ersten Zweck fOhrte
thellweise aus in seinen „Commentariis de motibus stel-

0 Martis'' (1609), den letzteren in den Rudolphinischen Tafeln
127). Dieses Vorhaben verstanden aber Diejenigen nicht, wel-
so hauptsächlich des pecuniären Nutzens wegen die Tycfao-
dien Beobachtungen am Herzen lagen, nemlich Tycho's
beo, darunter. Franz Tengnagel, Schwiegersohn Tychp*s,
' am Kaiserlichen Hofe einigen Einfluss hatte. Auf dessen Drän-

1 wurde Kepler'n eine Art von Mentor gesetzt in der Person
I Jesuiten Johann Pistorius, der aber glücklicher Weise
0 sonderbares Amt in einer Weise aulTasste, dass die Winsen-
laft keinen Schaden dabei litt, und, sich auf freundschaftlichen
BS mit Kepler'n stellend, denselben in seinem Streben nach
hereni möglichst förderte, unterstutzt hiebei von hohen Staat^tbe-
ten, wie MatthaeusWackkhervon Wackenfels, Barwitz,
'rwart_von Hohe n bürg u. A. Ausser seinen theoretischen
beiten nahmen unsern Kepler noch inanche andere Geschäfte
Anspruch, vor Allem die Beobachtungen am Himmel, welchen
iser Rudolphs II. Astronom fleissigst obzuliegen verbunden
r« Eine bei seiner Lage nicht zu verachtende Erwerbs«
die bildeten seine „Nati vi täten" und andere astrologischen
»phezeihungen , die in grosser Zahl von Kaiser und Edlen des
iehs von ihm verlangt wurden; andere verlangten von Kepler
rathangen über Maass und Gewicht (Ernst, Erzbischof von
m), vrieder Andere über hydraulische Maschinen (Herzog von
balt- Dessau), über verschiedene physikalische Gegenstände \x^ä
karische Untersuchnngen (Herwart u. A.); sein Briefwechsel

eia»ff der ausgedehntesten, die man sich denken kann, — - Isura»

288 Friich: üeber Kepltr*$ Logarithmen

Alles weist darauf hin, dass Kepler'»* ganze Zeit in Ansproch
genommen war, wie nicht leicht die eines anderen Gelehrten unter
seinen Zeitgenossen, und dass er somit darauf bedacht sein rousate»
dieselbe so viel möglich zu sparen. Dazu kommt noch folgender^
wohl zu beachtender Grund: Kepler w*ar nicht der gewandteste
Rechner. Bei meinen Arbeiten kamen mir viele hundert Seiten,
mit Rechnungen aller möglichen Art von Kepler 's Hand vollge-
schrieben, vor Augen. Darunter sind nur wenige, wo gar keine
Correctur vorkommt, dagegen finden sich auf den meisten mehr
als eine, oft viele Correcturen von einfachen Multiplications - oder
Divisionsfehlern. Er half sich zwar so gut er konnte, bedienta
sich immer der abgekürzten Muitiplication und Division , wandte
bei seinen trigonometrischen Rechnungen die sogenannte pre-
sthaphäretische Methode an, und suchte sich durch alle m3g-
liehen Arten von Proben des Resultats zu vergewissem. Troti
alle dem entschlüpfte ihm doch hie und da ein Rechnung»* '
fehler, der ihm nachher viel zu schaffen machte. Hören wir
iSfoer das bisher Angeführte K^pler'n selbst: ,,Die Gründe,—
schreibt er (1619), — warum die von mir erwarteten Werke
80 langsam vorrücken, sind vielfacher Art. Die mir vofli
Kaiser ausgesezte Besoldung wäre zwar ansehnlich genug (saut
quam honestum; sie betrug 500 ÜL.), allein ich erhalte sie nickt;:
ohne den massigen Zuschuss, den ich von den Ständen erhalti^-
wäre es mir nicht möglich, mein Hauswesen fortzuführen, und ich
hätte ohne denselben schon langst nach auswärtiger Unterstützupf^
mich umsehen müssen. Die Folge hievon ist, dass ich nur sel-
ten einen Gehülfen unterhalten kann, und der, welchen ich gegen-
wärtig habe, ein fleissiger Rechner und verständiger Mathematiker,
wird, da ich ihn nicht bezahlen kann, wohl nicht lange bei mir
ausharren. Alsdann fallt wieder alle Arbeit auf mich zurück,
während ich sogar jezt nicht immer im Stande bin, meinen Brief-
wechsel, noch viel weniger meine Berechnungen fortzusetzen. Meine
Natur selbst hat übrigens auch Theil an der Verzögerung. „Non
oninia possumus omnes.'* Ich bin nicht im Stande, eine feste
Ordnung einzuhalten, oft unklar, und wenn ich ja einmal etwas
Geordnetes schaffe, so musste diess zehnmal umgearbeitet werden,
ehe es die rechte Form erhielt. Gar oft wirft mich ein in der
Eile begangener Rechnungsfehler weit zurück und hält mich lange
Zeit auf. Gewiss, ich könnte sehr viel schreiben, indem den Man-
gel an Belesenheit die Phantasie ersetzen würde; allein deriey
unzusammenhängende Arbeiten sind mir zuwider, ja eckein mich
an, so dass ich sie entweder ganz vernichte oder beiseite lege,
um sie später wieder durchzugehen , das heisst, um sie von Neuem
zu bearbeiten, was meistens der Fall ist. Meine Freunde bitte

und einige Briefe ran Kepler, 289

ch onr um das» dlass sie mich nicht ganz in das Tretrad mathe-
matiacher Rechnungen verurtheilen möchten; sie sollen mir Zeit
bssea zu philosophischen Speculationen, meiner einzigen Freude.
Manche sind ärgerlich auf mich, weil ich die Vollendung der
Badolphinischen Tafeln nicht mehr beschleunige. Allein Jeder
kat «eine Liebhabereien. Andere haben ihre Freude an Tabellen
■od Aatrologischen Gegenständen, mir gefällt das Mark und der
Karo der Astronomie, die Schönheit und Vollendung der Bewe-
piag6n. Jedoch auch die Tafeln selbst sind Schuld an der Ver-
iVgerang. Ich will nicht von der durch sie verursachten Mähe
feMeD; die schon vollendete Berechnungsweise muss völlig umge-
ithaitet und den Logarithmen angepasst werden, so dass nach
■Minen Prinzipien neue Tafeln nach dieser bequemeren Methode
iMiechnet werden können. '^

Nacn AlleAi diesem scheint die Ansicht keiner weiteren Begrün-
rfang KO bedürfen, dass Kepler mit Eifer die Gelegenheit werde
iqprifen haben» seine mannigfaltigen mühsamen Arbeiten sich zu
MÄelehlem. Die erste Ursache, dass er ein selbständiges Werk
ipflbär die Logarithmen schrieb, mag sein alter Lehrer Mästlin

Eresen sein, der sich in einem Briefe an Kepler (v.J. 1620)
lendermassen aber die neue Erfindung ausspricht: „Ich konnte
Jezt nicht ausfindig machen, welche Zahl der Verfasser (Neper)
Ürinen Logarithmen zu Grunde legte. Er scheint absichtlich eine
■MJche gewählt zu haben, die, wo nicht gar nicht, so doch aus-
it schwer zu finden ist. Deshalb mache ich von dieser Rech«
igsweise keinen Gebrauch, indem es mir eines Mathematikers
äMfvürdig dünkt, durch Anderer Augen sehen zu wollen und sich
Utof Behauptungen zu stutzen oder als bewiesen vorauszusetzen,
Nras er nicht zu beweisen weiss. Es bleibt noch immer zweifel-
~^ft, ob eine Rechnungs weise, welche zehn-, ja hundertmal sich
^^ewfihrte, nicht doch einmal zum Irrthum führen könnte.'^

r^ Darauf antwortet Kepler Folgendes: „Das Wesen der Lo-
fgiaritbineD will ich dir erklären. Der Name weist darauf hin , dass
'\-^m Zahlen sind, die ein Verhältniss bezeichnen (o^t^fiot rot; Xoyov).
-Xs.sei z. B. ein sehr kleines Verhältniss gegeben, etwa 10000000
^$009999. Dieses Verhältniss bezeichnen wir durch die Einheit
ist nämlich der Unterschied der Glieder. Noch genauer ist
Bezeichnung, wenn das Verhältniss noch viel kleiner ist).
Im ist bekannt, dass das Verhältniss 9999999:9999998 grosser
ab jenes, ebenso das folgende 9999998:9999997 noch grosser,
La*e.f.* so dass das Verhältniss 5000001:5000000 grösser ist als
des vorhergehende, zwischen zwei auf einander folgenden Zah-
der naturlichen Zahlenreihe. Weil nun die Grösse des ersten

TheU XXIV. 20

290 Frisch: Veber Kepler* $ Logarithmen

Verhältnisses ausgedrückt ist durch die Zahl 1, so wird die i
zweiten nicht durch 1 ausgedrückt werden y sondern dureh e
etwas grossere Zahl u. s. f., und endlich das von 50U0001 : 50001
nahezu durch 2.' Fragt man nun, wie gross das Verhältn
10000000:5000000, d.h. 2:1, sei, ausgedrückt in derselben Fa
in welcher oben das kleinste Verhäitniss durch 1 bezeichnet wm
so wird die Antwort folgende sein; würden alle Zwischengli^i
der natürlichen Zahlenreihe, die paarweise immer um 1 vers*«
den sind, gleich grosse Verhältnisse bilden, so wäre, weil zwi^
10000000 und 5000000 4999099 Zahlen liegen, die Verbkltnii^
von 10000000:5000000 die Zahl 5000000! Weil aber jedes
gende Verhäitniss grösser ist als 1 , . so wird die VerhäitDianiS
von 2:1 nach der angenommenen Bezeicbnungsweise wettüii
6931472, denn so oft kommt das Verhäitniss 10000000:999991
bei dem Verhäitniss 10000000:5000000 oder 2:1 vor""). .Diessil

das Verfahren bei der Berechnung der Logarithmen/*

■I

„Nun gehe ich zur Erklärung des Wegfallens der IHaltiplii
tion mit Hülfe der Logarithmen über. Es ist 10000000:90000
= 8000000:7200000 (aib =z cid). Hier ist das Verhältol
10000000:7200000 (a:d) aus drei Verhältnissen zusammengessl
nämlich aus 10000000:9000000 (a:b), 9000000:8000000 (b:e) t
8000000:7200000 (cid). Somit wird auch die Bezeichnnog (
Verhältnisses aid zusammengesetzt sein aus den Logaritbroenl
aiö, bic und cid. Nun ist c:d = a:b, also der Logaritk
von aid zusammengesetzt aus den zwei Logarithmen von aib n
bic. Aber der Logarithme von aib und der von bic sind zasi
men gleich dem Logarithmen von a:c, weil die Verhältnisse a
und bic selbst Elemente des Verhältnisses a:c sind. Folglich
die Summe der Lojjarithnien von aib (1053005 — ) und von ü
(2231436—) gleich dem Logarithmen von aid (3285040+)."

„Hast du diesen Beweis verstanden, so darfst du auch nie
mehr an den^Logarithmen zweifeln. Denn du hast die Wal
entweder n:it Benutzung derselhen zu addiren oder dafür die g
gcbencn Grössen selbst zu multipliciren."

Vergleicht man mit den beiden angeführten Schreiben die Vs
rede Kepler's zu seiner Schrift: Supp lernen tum Chi|iaiU
Logarithmorura (Marburg 1625), so wird die oben ausgesprocbeij
Vermuthung zur Gewissheit. Er sagt darin, als er auf einer Rei«
nach Söddcutschland (im Jahre 1621) mit verschiedenen gelehrte!

*) D. h. dieäs ist die Summe der 5000000 VerhältniMzahlen, dafi
kleinste 1 ist.

und Huige Briefe von Kepler. 991

'XBttikem über die Nep er 'sehen Logaritbmen gesprocheo»
!T bemerkt, dass dieselben sieb bedenken , diese Art von
an die Stelle der Sinustafeln aufzunehmen, indem sie,
tens die älteren, es für einen Professor der Mathematik un*
gehalten haben, ohne genügenden Beweis eine Rech-
romi anzunehmen, durch welche man möglicherweise später
^^geahnten Irrthumern vejfuhrt werden könnte. Aus diesem
ie, fahrt er fort, habe er sogleich (noch in Tubingen) einen
'^« versucht and denselben nach seiner Heimkehr (in Linz)
^det Das Manuscript seiner Schrift schickte er nach Tübin-
U Yen wo es nach längerer Verzögerung an den Landgrafen
lipp von Hessen kam, der den Druck besorgen zu lassen sich
erklärt hatte *), Dieser längere Aufenthalt des Manuscripts
Tfibingen und die Entfernung Kepfer's vom Druckorte ver-
iten jedoch einen Uebelstand, dem durch eine besondere
iUbrift abgeholfen werden musste. Das nach Tübingen geschickte
isnscript enthielt neben den Tafeln blos die Theorie der Loga-
m, nicht aber die Gebrauchs- Anweisung, welche Kepler
nnmittelbar vor dem Drucke zu verfertigen gedachte. Wäh-
Ibd der drei Jahre, welche das Manuscript in Tübingen liegen
^b» kam die Sache ihm aus dem Gedächtoiss, der Druck wurde
larburg ohne sein Wissen begonnen, somit blieb auch die
hprilnglicb beabsichtigte Anweisung weg, und um diesen Man*
zu ergänzen, schrieb Kepler das Jahr darauf (1625) das oben
^eßihrte „Supplementum Chiliadis Logarithmorum, con«
bens praecepta de eorura usu.'^

^ ■ I^hilipp von Hessen hatte durch folgendes Schreiben an Kep-
br diesem die Gelegenheit dargeboten, seine Logarithmen zur
Mhntlichkeit zn bringen:

Philips von Gottes Gnaden Landgrave zu Hessen, Grave
zu Catzenelenbogen , Dietz, Ziegenhain und Nidda etc.

Insern gnädigen Gruss zuvor, wolgelehrter Lieber Besonderer.

l'' Demnach Wir die Continuation Unserer Astronomischen exer-

dahin gern dirigirt sehen wölten, dass Wir wo nicht ipsam

stionem erreichen, doch derselben so viel müglich nahe bey-

imeo möchten, so haben Wir, in Erwägung solche Astronomia

"^ *) Da« Werk erachien za Marburg im Jahre 1624 unter denf Titel:
iOhilia* Logarithmorum ad totidem numeros rotundos,
Ift^eaiiflaa demonstratione legitima ortns Logarithmorum
^ramqDe usus etc."

20*

292 Friich: lieber Kepler's LagaHthmeH

auf zweyen Punkten vornehmlich beruhet, nehmlich auf den obMr
▼ationibus, darauss die hypotheses zu formiren, und aufdemctt j
cuio, weicher die geonietricas affectiones und triangulomni res»
lutiones imitirt, vor das erste zwar zimiiche grosse instrümeili
verfertigen lassen und in solchen luehrerntheils des Tychonii
descriptiones gefolget, aber >Vir haben bey solcher Fabrica a«ek
zimiiche obstacula befunden. Denn^die grosse Instrumenta seindt
zum adplicirn unbequem, so können auff den kleinen Instrunentei
die darauff getbeilte partes leichtlich (um eine?) partem
(quia lineae physicae jsunt) abnehmen. Ferners so können iMh
die Transversales Tychoois inter aestimandum leichtlieh in di
subtilen Werck Hinderung bringen , weil die intersectiones pro{
angulum acutum sich sehr schleiffen ; und liber das alles so ifW
len uns die pinnacidia Tychonis zu gewisser Erkandtnuss der Stett
auch nicht genügen thun. Denn weil derselbe per rimam za ob*
serviren, dardurch viel radii opertirt und sein Schein etwas don
1er wirdt, bevorab (insbesondere) wenn der Stern an sich sei
nicht gar klar ist, so verpleibt alsdann das Centruni Siellae
felhafftig« Wieviel weniger aber andere pinnacidia beytreffen.
Wir aus Euerer Optica zum Theil ersehen.

Gleichergestalt verhält es sich mit der Structur selbsten.
obschon der Mechanicus noch so fleissig arbeitet, kan es docl
leichtlich geschehen, dass etwa ein Fehler, welcher sich so bal
nicht ad sensum eräugnet (bemerkt wird), begangen wiirdte, da^
durch die Gewissheit, welche Tycho auf 3, 4 oder 5 Secündea
haben will, ettlichermassen in Zweiffei mag gesetzt werden, ande-
rer incommoditeten, so uns vorkommen, anitzo zu geschweigen.
Also dass Wir vvol wündschen möchten, ein solch Instrument^
welches vom Tycho selbsten für gutt gehalten worden , nrit allei
seinen mensuren, pinnis, regulis, divisionibus, und die Sterck, dit
Riss oder Abtheilung etc. entweders zur Handt zu bringen und
zu seiner Gedächtnuss verwahriich auffzuhalten (aufzubewahreD)i
oder zum wenigsten doch zu erlernen, ob und wie der Tycho rich-
tig und ohne Zweiffei 3, 4 oder 5 minuta secunda zählen köDn«L

Zum andern beGnden wir, dass in resolutione triangulorum pnMh
sertim sphaericorum die numeri zimlichermassen variiren, wie aiMV
beiliegendem calculo zu vernehmen *), So wollen auch die log»

1^4

*) Die Aufgabe ist : aus der gegebenen Länge und Breite des Po-
larsterns seine Declination und Rcctascension zu berechnen. Die Auflö-
sung derselben niinnit 4 Folioseiten ein, dabei sind zwei MuUiplicatiV
n«n mit je 2 Zalilen von 15 Ziffern und zwei Divisionen, wovon jfl^
beioabe eine Seite füllt.

tHMf tifUge Briefe von Kepler. 293

dimi nicht allerdings beytreffen, weil sie uff den numeruni cano-
» ladicirt» welche radication mit Abwerfung der hindern - Zahlen
Michicht; darnehen Wir uns auch Eueres caiculi erinnern, da
ir Selbsten die logarithmos für insufficient haltet. Solte den in
lo opere Astronomico alzeit der grosse Canon oder das opus
riatinum gebraucht werden, so were zwar solches fast dienlich,
MHT zu sehr muhesam und arbeitseJig.

^ Gesinnen derowegen in gnaden an Euch, uns den Willen zu
w^en und sowol diesses, ob nicht compendiosibri via die re*
ilatioDes beschehen kundten? als auch anderer angeregter Punk-
p 'halber, gewiss und beständigem Bericht zu communiciren«
ficbes seindt Wir in Gnaden, darmit Wir Euch gewogen, hin-
Uer zu erkennen geneigt.

Datum Butzbach den (fehlt) Junii anno 1623.

Philips.

He Addresse lautet: Dem woi&relehrten Vnserem lieben Beson-
Mreo Jobanni Keppiero, Rom. Kay. May. besteltem Mathematico.

Lintz.)

Hierauf antwortet Kepler im Decerober 1623 in folgendem
iehreiben:

I

'• Durcbleuchtiger, Hocbgeporener, Gnädiger Ffirst und Herr.

oer Fürstlichen Gnaden seind meine vnderthänige arme Dienste

bestes Vermiigens bevor.

E. F. Gnaden Gnädiges Sendschreiben de dato Butzbach im
lonat Junio diess ahlauffenden 1623. Jahrs ist mir durch Gotfriden
Apachen, Buchföhrern in Frankfort*), neben etlichen begehr-
Hi Büchern allererst im Monat Novembri zukommen, auss wol-
kem Ich mit sonderlichen Freuden vernommen, das E. F. G. bey
iwer eüssersten Zerruttlichkeit fast aller Provincieii des Teüt-
phen Landes nichts weniger Dero gewohnliche lobwurdige Er-
Hikungen bey den Astronomicis exercitiis und Werckhen Gottes
I suchen fortfahren. Der Almächtige woll E. F. Gnaden und Dero
igehorige sampt den Nachpaurn (Nachbarn) für fernerem Vnheil
id Verhinderung bewahren, und den seligen Friden wider bringen.

*) Derselbe, bei welchem der dritte Theil von Kepler's „Epi-
^me Astr. Copernicanae^% die ,, Harmonie", die zweite Aufl.
Ml ,,Prodromus" etc. berauskauien.

294 Frisch: JJeöer Kepler' s LoparitiUnen

. Dieweil nan E. F. Gnaden mir etliche dlss Orts ffirfalleiide
diffieulteten Gnädig insinuiren, meines wenigen Gatachtens hisfr
über begehrend : als ist anlangend erstlich die observationefl oiil
Instrumenta, nit weniger , dass Ich, damahlen (als) E. F. Gn. mir
deren etliche fürgezeigt, mir die leichte Rechnung machen kbdB*
nen, was grosser verwunderlicher VIeiss, Mühe und Arbeitt daraaf
verwendet werden müesse, .biss solche Instrumenta zu Irer Mfig*
liehen perfection kommen ; und wann diss mit ausserster Menscb-
licher ÄlOgligkliaitt verrichtet, das doch hernach kha'me Mflglich-
khait sein werde, das Werckh Selbsten Observationum auf eii6
solliche 8cherffe zu richten. Ich erinnere mich, das E. F..GI1'
Ich die Ursachen und Verhinderungen fast alle nach einander 6^
zählet, so viel fiir das selbige mahl ohne Dero Abschreckbnig
von solchen so wol beliebenden exercitiis geschehen mögen.

Es haben aber E. F. Gn. auf einen recht eigentlichen Trort
über diesen Verdriessiichkeiten gedacht, indem sie sich nach einea
Tychonischen- Instrument verlangen lassen; dan sie gewisslich bey
denselben nit so grossen Behelf zu verspüren haben würden, wM
etwa des Herrn Tychonis Worte nach dem ersten Anblick eincM
die Hoffnung machen möchten. Es hat Tycho unserm Herrn Gott
in Stellung und Scherffung seiner Gebotte den process abgelehK
net, die Norma soll und muss richtig sein, man thut Irer daunocb
verfahlen; es würde aber des Verfahlens noch mehr sein, wan M
an der Norma fählete. Man macht ein Schwartzes in die Scheibe, 3
auf dass man zum wenigsten die Scheibe treffe. IMit dem Schwuih 1
gen zwar hat Tycho so viel nit zu thuen gehabt, weil er nit jj
lautter Metallene Instrumenta gemacht, sondern hat sie (was man |
hat müessen auff alle Seilten bewegen, also das sie sich nach '
dem Gewicht oder Schwäre geschwungen hatten) inwendig mit •
dickhen hölzenen Stollen versehen, die schwingen sich weniger,
hernach hat er solche Stollen gesperret, wie in seinen Mechani-
eis zu sehen: letztlich hat er das Holz mit Mess (Messing) über-
zogen, unter wolchem das Holz liber Hirn Luft gehabt, das 68
dem Mess khainen Mangel gebracht, wan schon das Holz nach
dem Wetter eingegangen ist. (Vergl. Tychonis Astr. instauratae
Mechanica. Norib. 1(302. Seite C. 5*, D. 5*. Hier sagt Tycho, nach-
dem er die Methode beschrieben, wie das Holz zu behandeln seyp
damit es sich nicht krümme oder schwinde, das beste Holz 1«
diesem Zwecke sey gutes und wohlgetrocknetes Fichtenholz, „es
parte appUcata, qnae cacumen et radicem respicit", was Kep-
ler „über Hirn" übersetzt.)

Die Pinnacidia aber haben disen Vortl gehabt, wan der Ster»
gross und bell gewest, als der Jupiter, so hat man sie eng macheo

i.

tauf eMge Briefe wm Kepler^ 996

iftnniev, hernach hat der Observator in Acht nemen mfissen»
IM er den Stern auf einer Seite des cyJindri so hell habe, als
iCder andern« Ist aber der Stern so klaln und vusichtig gewest,
|! bat man die Spalte oder rimas aufgeschraufet , oder mit einem
iesser aafgewogen» das man also mehr Lnfft und Liecht gehabt.
Ii aber bab bessere Befürderung befunden, wan ich ein Liecht
ler Kohlen riickling bab halten lassen, das der Cylinder erleücb-
k^ und sichtig worden und das Liecht mir doch nit .under das
tameht geschinen. Dan von disser Erleuchtung des Cylinders
Bken die pupillae oculi zusamen, und alsdan siehet man den Stern
lahr rain, als wären Ime die übrige Streimen abgewischt; dan
adarf Ich auch der engen rimarura nit sonderlich, sondern kan
•icrscheiden » wie weit der Stern vom Cyündro stehe, wan ich
Iso sie beide zumahl ins Gesicht nemeu khan.

Mit den Transversalibus ist es uns sehr oft geschehen, das«
vil die regula nit alwegen gar gedrh'ng (überall ganz vollkommen)
(ifKgt, nachdem einer gerad oder schlims (von der Seite) auf die
Ibeilvng gesehen, nachdem hat er einen grossen oder kleinen The!l
M einer Minuten gesehen. Wir haben auf den Sextanten nur tertias
ler quartas minuti partes geschätzet, sie seind mit besonderen Pünct-
iIb nit unterscheiden gewest. Allein (nur) auf einem grossen Qua«
ranten seind sextae partes minutorum gettipffelt gewest *)•

Mir wSr zwar nichts liebers , dan das Ire Kay. Mt. derenmab-
m einest zu dem erwünschten Frieden gelangen, Ire residentz in
em Königreich Bubeim nemen, und ich mich bei dero Hofhaltung
ida praesentiren möchte. Alsdan könte ich sehen, ob nach so
ragwüriger Zerrfitlichkeit in ßoheim auch noch etwas nutzes von
en instrumentis Tychonis überig; und zweifelt mir nit, wan alsdan
rerKay.Maj. ich gehorsamist fürbrächte, das £. F. Gnaden umb deren
istramentorum eines oder das Ander Nachfrag haben, würden Ire
laj« E. F. Gnaden etwas darvon gnädigist zukommen lassen '^*).

Was anlanget die andere, nemlich Calculi difficultatem, da ist

*) Es Ist dies wahrscheinlich der Quadrant, welcher in dem ohen ange-
ftrten Werice ^ag. B. 4. beschrieben ist oder ein nach diesem Master
i Prag Terfertigter. Dass Kepler in Prag ungefähr ein und ein halbes
Ihr lang (vom Februar bis Ende Mai 1600 und vom October 1600 bis
lue October 1601) bei Tycho zubrachte, ist bekannt.

**) Per Zweifel Kepler's, ob die Tychonischen Instrumente,
Islehe er bei seiner Uebersicdclung nach Linz in Prag zurücklassen
OMte, noch brauchbar sein werden, war wohl begründet. Schreibt er
»ch «chon 20 Jahre vorher (an Fabricius): ,,obserTationes nostrae
Igeot* Instrumenta in horto Caesaris sab Dio patrescunt. Utor sex-
■te et qnadrante parTo ex Hofmanni liberal i täte. *^

>

396

Frisch: üeöer iCepier'i Logariikmen

vtoX etwas weniges in re, das meiste aber in persona, die b nit
abbrechen kan, wa sie siebet , das sie sich Tergebrich bemfihet*
Gott wolle mich behüetten, das ich nit vll Triangohi mit solcber
Muhe solvire^ wie derjenige gehabt, der die beygelegte exemiili
gerechnet. Nit ohne ist es^ die sinus mit 5 figuris seind cu karti»
wan es an soliiche kleine triangula und grosse angulos gehet
Man bedarf aber darumb des grossen Canonis nit Es ist genog»
waa man auff 7 oder zum höchsten auff S figuras khompt Se
bedarf es sich auch nit, das «man di^ multiplicationes und diTiiie-
nes gantz aussmacht, sondern des Praetorii Weise*), ist sicher
und gut, das ich anfahe mit dem ersten digito Multipli<»ntis ad
sinistram, qui ducatur in multiplicandunr totum. Darnach seeon-
dus iliius ad sinistram ducatur in hunc non totum, seddemtiejot
ultima figura ad dextram, et factum subscribatnr, nt in margiie
apparet Also auch mit dem dividiren. Dan was also abgeschDit-
ten wurt, das gibt im quotienten nit über 2 oder 3 Gnitates Ve^
fahlung in digito ultimo ad dextram. Kan sich also der Caknla
tor verlassen, das alle vorhergehende digiti gerecht ^

4062051
1163818

4062051

406205

243723

12186

3250

40

^

4727487

4727487
4755763
42801866

9

4473004
4280187

9

192817
190230

4

2587
2378

05

209
190

4

19
19

4

*) Johannes Prätorins, Prof. in Altdorf, mehr belcannt dorcb
seine Anwendungen der Geometrie, als in der Theorie, obgleich er eine
Menge Manuscripte in Beziehung auf letztere hinterliess, gab bei Gele*
genheit einer trigonometrischen Rechnung die abgckürzfe Rechnungaart |[
an Herwart von Hohenburg, welcher sie Keplern schickte, der«
sehr erfreut darüber, in einem Briefe an letzteren sich folgendermasseB
ausspricht: Calculum Praetorii in ma^^ni bcneiicii loco habeo, qui duasobU-
quangulorum sphaericorum formas singulis operationibus solvere exemplo
docet. Quidam in dolabra occupati paranda, ad aedificationem nunqoaai
Teniunt. Ego, contrario vitio , dolabra destitutus ridicule aedifico. Magnat
itaque gratias ago pro tam commoda dolabra. Opto mihi familiarita-
tem hominis, ut exempla per alias etiam formas ab ipso habere possim*

und eMffß Briefe mm Kepler. S97

"Zum andern, so ist nitohn, das die sinns nit anff das aller*

•eherfTeste gerechnet seiiid^ obvrol Pitiscus bey der Correctione

Operfs PalatiDi etwas gethan *). Hie iiaben aber E. F. Gnaden das

mnediam zn Haoden, den E. Gnaden Underthan Jost Byrgius hatt

dHe sinns auff ein Neues biss auff acht Figuren gerechnet, und so

fek niich recht besinne, auff alle gerade secunda. Er hatt gleich-

woi das geschriebene Werckh nie von Händen gegeben, noch

irockhen lassen. Nit weniger auch ein Engeilender Heinricus

Briggins gethan, dessen sinus aufs ehist in Truckh kommen

•ollen. Was dan die Logarithmos anlanget, ist auch nit

•bn, wie E. F. Gnaden schreiben, das sie von der beröhrten

Trsaeh wegen noch nit gerecht, auch nit können gerecht

>rerden anff die sinus, man habe dan zuvor dieselbe correct. Aber

tmb dieser geringen Vrsach wegen, die sie mit den sinibus ge-

• Biain haben, seind sie darumb nit gleich zu verwerffen. Dan die

demonstratio ist gntt, sicher und edel. Allein kan man die pro-

WBB% mit denselben nit alwegen nach Pitisco anstellen, sondern

•8 ist besser in sphäricis obiiquangulis, das man durch perpendi*

eolares rechne, wa man kan.

Item so seind alhereit im Druckh (zu London gedruckt anno 1620)
sinns Edmnodi Gnntheri Angli, die seind scherffer dan des Ursini
oder auch des ersten Erfinders Baronis Merchistonii. Darumb ich
«1 Abschneidung viler vergeblichen Muhe meniglichen räthlich sein
wolte, Kich mit Ernst an dieselbe zu gewehnen. Auss sollichen
Edm. Guntheri Logarithmis rechne Ich das furgelegte Triangulum
(Tat IX. Tig. 3.) also:

24Cdatur230 31' 30^.

BC „ 23.58.0. Quaeritur^^ÄletÄiiC?
ACB „ 6 . 41 . 0.
Dacatur ex A perpendicularis in CB, quae sit AP

Log.JC =9601.1352
Log. JCP=: 9065.8852

. Ergo T^ffilP Log. =8667. 0204. HujusMesolog.**) 9999.5308

Mesolog. AC 9962.3703

37.1605
Uujus CompL 9962.8395.

*) Thesaurus Mathematicus , .... a Rhetico olim suppntatus, nunc

Mioinm in Incem edit a Barth. Pitisco Grünbergensi Silesio. Frankf.ieiS.

^ Das Wort Mesologarithmus bedeutet hier Cosinus, wähfeni ia

298 Frisch: üeber Keplers lagariikmen

Ergo Arcus CP ex Mesolog. »962 .8395 23o 21' 66''

Hie ablatus a BC 23.58. 0.
dat ßP 0.36. 4.

Hujus Mefiologar. 9999.9760

Adde Mesologarithmiiin AP 9999.5308
Ergo AB 2« 43' 48^^ ex Mesolog. 9999.5068.

Declinatio igitur 87.16.12.

Jain ex AC» CP ( . j PAC per coDtrapositionem latemm

AB, BP i ^"*®"*"^ l PAß et aogulorum.

Log.JC 9601.1352 (Sub.) Ijo^.AB 8677.8744 «ab.

Log. CP 1.0598. 3481 Log.ÄPi.8020.8133

Log.9997!2129 ~9342.U389

PAC est 830 30' 57'' PAB est 12« 43' 28"

12.43.28

Totus BAC.%.U.2\J, Igitur Ascensio recta ö^ 14' 25". .

Allhie seind zwo Additiones und drey Subtractiones^ das Ut
es alles mit einander.

So viel hab Ich für dissniabi auf E. F. Gnaden Befehl von
baiden Puncten zu antworten gehabt. Wölchem Ich ferners dies«
beysetze, das Ich mich eben zu dem End (weil man die Loga-
rithmos den sinibus nit änderst geben und dieselbe corrigiren kan,
man habe dan die Logarifbnios numerorum abi»olutorum) vor zwaieo
Jahren, nemlich sobald Ich nach glücklicher Schlichtung meiner
Mutter Rechtssach, wieder nacher Liiitz kommen, hinter die De-
monstrationen! Logarithmorum gemacht, dicselbige sampt der Chi-
liade Logarithmorum ad septem digitos absolut! numeri maximi,
seu 100000.00 continuatorum nacher Tübingen zu Händen Herrn
IM. Michaelis Maestlini geschicket, ob etwa solliche unter seiner
corrcction alda gedruckt werden möchten. Weil aber disser gutte
alte Man nunmehr zu khainer Resolution weitters nit zu brinseo
ist, uoangesehen er stettigs fürhabens ist, sich selber auch hinter

Ncpcr's Tafeln durch diesen Ausdruck die l'angcntc bezeiclinet \iird.
Günther «oll übrigens zuerst die Bezeichnung Cosinus gebraucht haben.
In Beziehung auf obige Rechnung ist zu bemerken: dass es anstatt
hog.AC, hog.ACP heissen sollte Log. Sin. iC etc.

^md einige Briefe von Kepler. S90

BS "W^rekb LogarithmoruiD su machen : also hab Ich endlich mit
iner ziiniDlichen importuuitet in Ine stehen, und das Wercklin
jräckh abfordern lassen , wulches anjetzo bey Schickharden pro*
ssore linguarum Orientalium behaltsweis hinterlegt ist. Weil
in E* F. Gnaden diss Werklin dedicirt ist, also stelle E. F. Gn.
:h es haim. Ob sie solches za Tübingen unter Schickards Cor-
fctur irollen za druckben befehlen, oder ob sie zu Franckfort
sroand Tauglichen haben, der vieissig corrigire, weil alda schOne
ypi seiud, auff wollichen Fall F. F. Gn. solches Wercklin bey
chickarden zu erheben haben werden.

Hiermit E. F. Gnaden Ich mich zu beharlichen F. Gnaden be*
ihlen, auch denselben sanipt Dero Fürstlichen GeroaheÜn, auch
nutzer Freündtsehafft ein freudenreich Neu Jahr von dem Almecb«
gen gewünschet haben will.

E. F. Gnaden

VnderthSniger und
gehorsamer

Johan Keppler
* Mathematicus.

Die von Kepler erwähnte „Rechtssache seiner Mutter ist
er vielbesprochene Hexenprocess derselben, welcher im Ganzen
eben Jahre dauerte und blos darch die persönliche Anwesenheit
ires berührtiten Sohues zu einem für sie glücklichen Ende ge-
rächt werden konnte.

Deber die Unterschrift des vorstehenden, von Kepler eigen«
tndig geschriebenen Briefes ist Folgendes zu bemerken: Kep-
>r schrieb, wie damals viele Andere, seinen Namen nicht immer
if die gleiche Weise, liess wohl auch den Setzern hierin freie
land. 80 finden wir auf den Titeln der in Grätz gedruckten Ka-
^nder: „Schreib Calender, gestelt durch M. J: Kheplerum",
I seinen späteren Schriften schrieb er abwechselungsweise seinen
faitien bald mit einem, bald mit zwei p, meist jedoch mit einem;
I den vielen eigenhändigen Briefen, die ich benutzte, beinahe
oroer auf die erste Art. Dieser Grund bestimmte mich, letztere
cbreib weise beizubehalten « wie ich dieses auch schon an anderen
^rten auseinandergesetzt habe.

Ueber Mästlin's Saumseligkeit klagt Schickard in einem
lebreiben an Kepler (20. Sept. 1623) und sag{: „Ich muss kurz
eyn> denn Mästlin hielt mich bis diesen Augenblick hin, obgleich

300 Frisch: üeber KepUr's Logaritimeik

ich in der ganzen lezten Woche täglich in ihn drang, mir deine
Logarithmen herauszugeben. Den Grund seines Zögern« icann ich
nicht erklären.'* In einer Nachschrift setzt Schickard jedoch
hinzu: ,,Der Bote hatte seine Abreise auf gestern Mittag feslge-
sezt, weshalb ich eilig einige Linien an dich schrieb. Endlich
erhielt ich nach mancherley Ausfluchten von Mästlin die Loga-
rithmen. Ich werde dieselben bei mir aufbewahren, bis dn mir
einen Brief an den Landgrafen schickst, welchen ich denselbm .
beilegen kann.*' Dieser Brief scheint bald darauf angelangt n
sein, denn Schickard schreibt (den 6. Juni 1624): ^^ deine Lo-
garithmen habe ich im vorigen Herbste richtig und sorgfältig be-
stellt. Ich zweifle auch nicht, dass sie der Landgraf erhalten bat
obgleich ich keine Antwort bekommen habe.'' Dass das Mana-
script an Ort und Stelle gekommen, erhellt aus folgendem Schreiben:

Philips von Gottes Gnaden Landgrave zu Hessen etc.

Vnsern gnädigen Gruss zuvor, Wolgelehrter, lieber besonderer.

Wir haben Euer Antwortschreiben empfangen, darauss euer
Gutachten auch mit mehreren vernommen. Mögen darauf intSaa-
den Euch vnverhalten, dass Vns in nechst verschiener Fastenmess
die Logarithmi gleichfalss zugeschickt worden, welche Wir zwar
dem bono publico nicht verhalten, sondern gern zu Franckfurtt
getruckt sehen mögen. Weil aber daselbsten Niemandt sich des-
sen vnterfangen wollen, haben Wir das Werck einem Buchtrucker
zu Giessen, Caspar Chenilin genandt, zu trucken vntcrgeben, wel-
cher es auch also aussgefertiget, wie Ihr selbsten auss beygefug*
ten exemplarien (deren Wir Euch hiermit zehen überschicken) zu
sehen.

Sintemahl auch Vns die dedication zugeschrieben, so haben
wir Euch hinwider 50 Reichsthaler loco remunerationis dediciren
und gnädig verehren wollen, beneben fernerm gnädigen gesinoeo,
Ihr den Usum gedachter Logarithmorum Uns zu communiciren,
und da es Gelegenheit geben wolte, von den Tychonischen Instru-
menten etwas zu erlangen, an solcher Befiirderung nichts unter-
lassen wollet, daran beschehe Vns zu sondern Gefallen, so jvir
danckbarlich zu verschulden, auch jeder Zeit Euch gnädigen Wil-
len zu erweisen geneigt.

Datum Butzbach den 7. Sept. anno 1624.

Philips LzH.

.nnd einige Briete van Kepler, 901

Dem in diesem Briefe geSusserten Verlangen Philipps, ,,den
«mmn gedachter Logarithmorum'* zu erhalten, scheint Kepler
eilig nach-, wo -nicht zuvorgekommen zu sein. In der schon er-
wihnteii Vorrede zu dem „Supplemen^um Log.'' schreibt er
nemlichf er habe aus dem Frankfurter Messkataloge zuerst erfah-
ren, dass sein Buch gedruckt werde, sowie ganz neuerdings ge-
bort, dass ein Schreiben des Landgrafen an ihn unterwegs sei,
und er vermuthe, in diesem Schreiben werde das Verlangen an
ihn gestellt werden, dass er über den Gebrauch der Logarithmen
nachträglich Etwas bekannt mache.

Die Antwort Philipps auf Kepler's Sendung ist vom
IS. April 1625, und lautet folgendermassen :

Philips von Gottes Gnaden Landgrave zu Hessen etc.

Vnsern gnädigen Gruss bevor. Hochgelehrter, lieber besonderer.

Wir haben Euer Schreiben beneben dem geschriebenen Trac-
tat de usu Logarithmorum zu recht eingeliefert empfangen , daraus
auch Eure Intention mit mehrerem vernommen, insonderheit, dass
onoere in verschienener Frankf. Herbstmess an Euch ausgefertigte
Schreiben, darbey 10 exemplaria chiliadis Logarithmorum, bene-
ben 50 Reichsthaler eingepackt. Euch noch nicht zukommen,
welches zwar G. Tampacbs Beriebt nach allein aus Mangel siche-
rer Gelegenheit geschehen, weil aber derselbe sich vernehmen
lassen, solches jeziger Fastmess Euch zuzuschicken, zweifeln wir
nicht daran, er solches seiner Erklärung nach also verrichten werde.
Sonsten mochten wir wünschen, dass die Druckfertigung Chiliadis
Logarithmorum nach Eurem Begehren effectuirt worden, haben
des Endes selbige auch ermeltem Tampacher zumuthen lassen,
weil er aber sich sehr difficultirt, ists hernacher an ein andern
kommen, welcher in dergleichen typis vielleicht nicht sehr wohl
Tersiert gewesen und dannenbero formam compendiosiorem nicht
in acht genommen; weil auch damals die Mess herbey gerucket,
hat die Eilfertigkeit etliche errata darinn ersitzen lassen, welche
doch kfinftig noch wohl zu corrigireu. Ebenderselbige Buchtrucker,
welcher nunmehr zu Marpurg seine haussliche Wohnung helt, der
will auch itzige überschickte praecepta zu trucken sich unterfan-
gen und uff künftige Herbstmess aussfertigen, auch die typos
nomericos apicatos sonderlich darzu giessen lassen, wofern er nur
in Zeiten den titulum, dedicationem, appendicem und indicem,
weiche zweifelsohne Kulsnerus der Buchtrucker zu Marburg noch
nnfer Händen hat, bekommen kann, und wenn dieser solche auch

302 Frlich: üeber Xepler's Logar. u. einige Briefe r. Kepler.

geliefert und alles semmentlich uns zageschickt, bette es vielleicht
in catalogum noch können gebracht werden, wiewohl hieran noch
znr Zeit nichts verweillet, sondern was itznnd verplieben in pro-
mittende, kan kCInftig resarciret und ersetzt werden in exhibendo«

Schliesslich achten wir ohne Noth, voriges Vnsers Schreibeos,
so (zweiffels ohn) Euch nunmehr zukommen, contenta anher za
erholen, sondern 'erwarten darauf Eure Erklärung und verpieiben
Euch in Gnaden gewogen.

Dat. Butzbach etc.

Philips.

(Addr.: Dem Hochgelerten Vnserem lieben' besondern, Johann
Kepplero, der Rom. Kays. Maytt vornehmen Mathematico,

Anjzo zue Lintz.)

Ein vierter Brief Philipps an Kepler (15. Januar 1627) be«
triflft die Rudolphinischen Tafeln. In demselben benachrichtigt
Philipp den in Ulm befindlichen Kepler, dass er seinetwegen
an „Vnsers lieben Vettern und Sohns Herrn Georgen Landgraven
zu Hessen etc., Agenten zu \Cien'* geschrieben habe.

Ich bemerke noch zum Schlüsse, dass dieser Landgraf Phi-
lipp der zweite Sohn des Landijrafen Georg von Hessen-
Darmstadt war, der nach dem Regierungs- Antritt seines älteren
Bruders Ludwig V. gegen Abtretung eines Theils seiner Apa-
nage Stadt und Amt Butgbach erblich erhielt. Er verunglückte im
Bade, 62 Jahre alt, im Jahre 1643. (Vgl. Rommel, Gesch. von
Hessen, VL Bd. S. 239.)

.• »mnUikmff d9r Poten%en d$$ €4^Hnu9 vnäMmneu.^HH

tarstellöng der Potenzen des Cosinus und Sinus eines
Finkeis durch Cosinusse und Sinusse der vielfachen

Winkel.

Von

Herrn Professor Dr. J. Ph. fVolfers

zu Berlin«

In den Terschiedenen Lehrbüchern der Analysis findet man
e Ausdrucke der Potenzen vom Cosinus und Sinus eines Win-
}\s durch Cosinusse und Sinusse der vielfachen Winkel; zum
heil ersieht man aber nicht das Gesetz > wonach diese letztern
usdrQcke fortgehen, zum Theil ist die Art ihrer Herleitung etwas
eltläufig, endlich fehlt der Beweis ihrer Allgemeingültigkeit. Bei
sr häufigen Anwendung, welche von dieser Umformung gemacht
1 werden pflegt, schien es nicht unangemessen, hier eine ein-
che Herleitung dieser Ausdrücke und zugleich einen Beweis
irch Induction für ihre Allgemeingültigkeit mitzutheilen. Zu-
chst folgen hier einige Sätze der ßinoroial-Coefficienten, welche
erbei in Anwendung kommen und wobei wir uns der vielfach
ibräuchlichen Bezeichnung rim bedienen wollen.

«

$. 1. Sind nun n und m positive ganze Zahlen ^ so hat man:
1) nfii=Wfi— «,

2) rim + nm+l = (W + l)m+l ,

>ie beiden ersten Gleichungen sind bekannt genug, so dass sie
eder« einer Erlluterung, Boch eines Beweises bedürfen; die we*

904 Woif9r9: DarMieUunff der Poten%en 4UiC&9Hmi mtkl Shm

niger verbreitete dritte» in welcher iL jede beliebige positive ganie
Zahl bezeichnet 9 möge hier als richtig dargethan werden* Es ist
aber :

A.
ferner

(2H-l)(2^)(2A-l)....a-f2)(;H-l)

(2A+2)(2H-l)2^....a+3)a+2)
(2A + 2)Hi = 1.2. 3.,.. A.(i+i)

(2A+l).21....(A-t-3)(l+2) 2i+2
~ 1.2 ....(i-l) i 'A+1

odei

R m-1.9^, -9 (2Ul)2A....(il + 2)(H-l)
B. (2i + 2)A+, = 2 1 . 2 .... i . (i+T) '

mithin nach A. und B.:

Ausserdem mag noch >

4) 9t|i = (n -f l)n+l = 1

angefährt werden.

§. 2. Wir entnehmen nun der Trigonometrie die belcannte Formel:

6) 2 cos a cos 6 = cos (a — 6) + cos(a + 6), :

von welcher wir hier wiederholten Gebrauch machen wollen. Setzen
wir in derselben 6 = a, so erhalten wir die bekannte Formel

6) 2^cosa2 = l+cos2a,
und wenn wir diese mit 2cosa multipliciren :

2^.cosa' = 2cosa + 2cosacos2a,
d. h. nach 5):

7) 2^. cos a^ = 3 cos a + cos 3a = 32 cos a + S^ cos 3a.

Multipliciren wir auch diese Gleichung wieder durch 2cosa, so
erhalten wir, indem wir den le'tzten Werth benutzen:

2'.cosa*=32.2cosa* + 33 .2cosacos3a

= 32 ( 1 + cos 2a) + 33 (cos 2a + cos 4a)

=32+(32-f 33)cos2a-f 33Cos4a, ''

IIWMf ämrck Cosinusse und Sinusse der Heifackm WMUL 9Q5
L h, weil nach 3):

nach 2):

3a + 3B=^43

ind nach 4):

33 = 44:

8) 2'co8a*= 2 .42 -f 43 cos 2a + 44 cos 4a.

^r wollen auch diese Gleichung noch durch 2cosa multipliciren»
ind erhalten alsdann:

2^008 a^ = 42 cos a -f 43 . 2 cos a cos 2a -f 44 . 2 cos a cos 4a

= (42 + 43) cos fl + (43 + 44) cos 3a + 44 cos 5a
»der

9) 2* cos a* =53 cos a+ 54 cos 3a + 65 cos 5a.
Besetzt, es sei nun

i 2«^ cos tt^Hi = (2^ + l);i4.i . cos a + (Sil + 1)a+« . cos3a
\ +(2^ + l)A+3.cos5a + etc.,

alsdann wird, indem wir auf beiden Seiten durch 2cosa multipli-
dreo:

V^^coB a«M^* = (2;i + 1)a+i . 2 cos a* + (2il + 1)a+2 . 2 cos a cos 3a

+ (2A.-f l)A-f3.2cosacos5a-f etc.

= (2il + l)A+i + [(2^ + l)A+i + (2i + l)A+2] cos 2a

+ [(2i + 1)H2 + (2^ + l)A+3] cos4a

+ [(2^ + 1)H3 + (2A + l)A+4] cos6a

etc.,

ofenhar also, indem beim ersten Güede Formel 3) und bei den
beenden Formel 2) in Anwendung gebracht wird:

{ 22Hicosa*H2 — i(2;i + 2)A+i + (2X+2)A+2Cos2a
( +(2A, + 2)A+3Cos4a+(2^ + 2)A+4Cos6a+etc.

Diese Gleichung multiplicire man auf beiden Seiten wieder durch
^cosa, alsdann wird:

Thcil XXIV. 21

906 - W9lf»ra: DtrtteUtmt der Potenten de$ OmAwi mmiUmt

2«+«co* o«+« = (2A + 2)A+i CO» o + (2X + 2)^fi . 2co»aüo«a«

+(2X-f 3)^4« .2cMa cos4a -f etc.
= [(2A + 2)x4.i + (2i + 2)i+a] cos a
+ [(2A+2)A+» + (2i + 2)u»]co«3o
+ [(2i + 2)A n + (2i + 2)A+4] cosSa

«

+ etc.
oder Dach 2):

. 2»Ha cos a«^^ » = (2il + 3)^« coa a -f (2X -f 3)^f , cos 3a
12) }

( + (2;i + 3);i+4 cos 5a + etc.

Wenn wir auch diese Gleichung noch durch 2cosa moltipiidren»
80 wird, eben so wie 11) aus 10) > jetzt hervorgehen:

J 22^+8cosa^»H4 = J(2il+4)A+2 + (2X+4)A+»cos2a

( + (2il + 4)a+4 cos 4a + etc.

Findet also das in 7) und 9) für bestimmte ungerade Expooet*
ten dargestellte Gesets nach 10) för einen unbestimmten nngen-
den Exponenten statt, so gilt es nach 12) auch filr den näcM*
folgenden ungeraden Exponenten. Eben so wird das in 6) und 8)
för bestimmte gerade Exponenten dargestellte Gesetz nach 13)
för 2A,-f 4 gelten, wenn es nach 11) für 2^-f 2 als gültig ange*
nommen wird. Beide Gesetze sind demnach allgemein gültig.

§. 3. Setzt man daher allgemein

cosg)^^-^ = ^cosg) + jBcos3g)+ Ccos S^? -f etc. ,

so wird nach 10):

. 1 .n, IX, L- (2^-i)(2^-2)....(;i + i);i

^=553ra-(^^-*M-22A-2- 1.2....a-l);i

1 (2^~l)(2^~2)....a + l); ■a-l)(;i^2)....2.1
-2A-2.2^* 1.2....(X-l)i •(i-l)(X-2)_2.1

_ (2;~1)(2^— 2)....^.(;i-l)a-2)....2.1
"-^' 2.4....(2A-2)2A(2X-2)(2X-4)....4.2 '

oder, wenn man Zähler und Nenner durch alle in dem ersterD
▼orkomnienden geraden Factoren dividirt:

1.3.5....(2X— K)

14) ^ = 2.

2.4.6....2X

WkOmlB ätirek Cosinusse und Sinusse der Heifaeken WinkeL^m

DieMisteiner der Ausdrücke» K'elcher in Enldr'« ,,In8tita-
tionum calculi integralis volumen primuru §» 272«'^ vor-
kommt. Statt desselben erhält man auch leicht d^n a% &. O. vor-
kommenden zweiten Ausdruck:

,^. ._ 2 6 10 U 4; — 2

Da ferner nach 10):

etc.,

so wird, wenn man sich die verschiedenen Binomial-Coef&cienten
entwickelt denkt:

16) B=i^^. C=i^Ä, />=j=|c. etc.

Diese Formeln, welche ebenfalls a» a. O. vorkommen, dienen da-
to, um aus einem bekannten CoefGcienten den nächstfolgenden
auf einfache Weise herzuleiten«

§. 4. Setzt man

cos g)^^ = Ü + )5 cos 2g? + € cos 4g) + ID cos 6g> + etc. ,

so wird nach 11): '

22^-icos 9)2A =: 1(2^);^ -|. {^k)j^^ . cos2(p + (2k)i^ . cos49

+ (2^);Uf8 cos 69) + etc. ,

also

_ 1 _ 1 2il(2;i-~l)....(;i + l) A(; — 1)....2.1

Ä— 2aÄ-(2^)A — 2^2^' 1.2.... ;i *;i(X— 1)....2.1

^ 2;i(2;i— i)....(;n-i);ia— i)....2.i

— 2.4....2X.2X.(2;i-2)....4.2

•lio wie vorhin:

^ ].3.5....(2;i~l)
^^ ^— 2.4.6....2;i

und

2 6 10 (4X— 2)
18) ^ = 2*>^^**2 "3 " * r~

21*

308 Wolt^n: Barsteilunff der Potenzen des Coitmus umi8Hm$

Diese beiden AusdrOcke kommen elienfalls a. a. O. vor, so wie
die den obigen Formeln 16)~ analogen , um aus einem Coefificienten
einfach den nächst folgenden herzuleiten; nämlich:

von deren Richtigkeit man sich durch Entwickelung der betreffen-
den ßinomial-Coefficientcn leicht überzeugt.

§. 5. Wollte man auf ahnliche Weise die den Potenzen eines
Sinus entsprechenden Reihen , welche tbeils nach Sinussen, tbeils
nach Cosinussen der vielfachen Winkel fortschreiten, direct her-
leiten, so wurde diess keine Schwierigkeit haben; statt der der
Trigonometrie entnommenen Gleichung 5) würde man hier abwech-
selnd die zwei:

2 sin a si n 6 = cos (a — 6) — cos (a + 6),
2cosasin6=sin(a + b) — sin(a — b)

in Anwendung zu bringen haben» Man kann sich aber diese Mube
ersparen und vielmehr die den Gleichungen 10) und 11) für den
Sinus entsprechenden unmittelbar hinschreiben, wenn roanstatta'
setzt 90^ — a und erwägt, dass alsdann

cos«r in -f ^ina,
cos 2a „ — cos 2a,

cos 3a „ —sin 3a,

cos 4a „ + cos 4a

etc.

übergeht. Hiemach wird man sogleich erhalten :

i2^sina2A+i=:(2A+l)A+i.sina-(2;i+l)A+2.sin3a
10«) J

( + (2A, + ))A-f3 . sinSrt — etc.,

j22Hi sin a2H2 = J(9a + 2)a+i — (2;L + 2)a+2- cos2a

. ( + Cn + 2)A+3 . cos 4a— etc.,

woraus man ersieht, dass eine ungerade Potenz von sina durch
lauter Sinusse, eine gerade Potenz durch lauter Cosinusse der
Vielfiuhen von a ausgedrückt wird.

§. 6. Um ein Beispiel zur An>vendiing dieser Umformung
hinzuzufügen, müge hier die in Band XXI. dieses Archivs bereits

behandelte Aufgabe folgen, den Bruch i in eine Reibe

° J — ficos 9»

von der Form:

eAM» WtiUf§i$ 4ur€k Cosinusse und Sinusse der pieifltcken

30»

a i-beosq>-\-cco92q>'i-dcosS(P't'eco8ifp-^etc.
femabdeln*
Es wird unmittelbar

= 1 + ficosy + fi^cos gfl + fi* cosy' + f4*cos y*+ etc.»

1 — fftcosg)

md wenn wir statt der Potenzen von cos 9 die Werthe nach IQ)
md 11) sobstitoiren :

■ - 1 +4*

cosg)+2f**

cos29 + Tfi'

l— flC089 * ' '^

^ +2V +!f*'

+8'**

+B<"

+ gf** +16**'

'32'*

+64'''

+ 32** +64»*'

•

. +128'*' i

etc.

• •

fimmt man nun

•

i tr\ -1- #• /»Act Ow\ -J_ W

n AO 5l«M_l- A Atf

%C^A1

cos 39 etc.

D, so wird nach vorstehender Entwickelung :

H>

a=

1 'i in 1^

1 + 2<** + 8«** + 32 **' + 128 '*' + ***=•

, . 1 » 1-3 , . l 3.5 . . 1.3.5.7 . . ^

-i+ä** +2:4 '**+2X6'*'+o:6:8 '*+**''•

ix also ohne nothwendige Umfornciung:

1

a=

VT^^'

' Man würde auf dieselbe Weise geschlossene Ausdrücke för die
oigenden Coefficienten 6, Cy fl^, e, etc. erhalten können, indessen
vird sich dasselbe einfacher auf folgende Weise ergeben. Man
Biittiplicire die Gleichung 20) durch den Nenner 1 — ficos^^, ordne

310 Golfern: Darstellung der Potenzen den Cotinni und 8imu tu.

auf der rechten Seite, unter Benutzung der Formel 5), nach den
Cosinussen der vielfachen Winkel ; alsdann erhält man die Gleichung:

22) 1 = « +6

cos 9 + c

cos 29 4-^

C083gi + « .

COS 49

— a/x

-i6fi

f

-IdfL

+etc

— 46fA— ic^

-Jrff*

— J«f*

-W

und da diese Gleichung für jeden beliebigen Wertb von tp statt*
finden muss:

6=^(0-^1),

23)

c?=— 6 — 2a,

ez=i—d — c,
etc.

Aus diesen Formeln erhält man, unter Benutzung des Wertbes
von a aus 21):

1 — VT^fi«

2^_ r2-2\^l— ^^ ^-1 2 /l-,V^i-^2Y

^^

cZ=

\^l-^2

i-VT::Vr2— 2 v^i -fi^

^

r

fi'

1

]

1 1

24)

ß =

VT

2__ /i -^ v^i — ^n

1-^ V^lir^\^p2-2VI — ^g -1

_ /l- VI

Vi -ft« V

1— Vl-/t«V

)

\ etc.

Mittelst der so gefundenen Werthe erhält man für

StecMJtowfki: Veber die Beschreibung der regulären Vielecke, 311

1 — ficosy

dieselbe Reihe,, welche im Archiv Bd. XÜ^I. Pag. 104. unter
Ro. 14. aufgeführt ist.

Bei dieset Gelegenheit inuge noch bemerkt werden, dass in
4«r Ueherschrift meines früheren Aufsatzes die Coeffieienten der
Ji^inkel falsch angesetzt sirid, was öbrigens aus dem Resultate
dbr dortigen Untersuchung sogleich hervorgeht.

Ueber die Beschreibung der regulären Vielecke.

Von

Herrn Professor J. K, Steczkowski

an der Universität zu Cracau.

Vor einiger Zeit kam zuföllig eine praktische Geometrie in
meine Hände, welche folgenden Titel fuhrt: ,, An Weisung zum
Zirckel und Lineal Gebrauch so wohl vor die Jugend
als Professionisten und Handwerker. Verlegt in Augs-
Inrg von Johann Hertel^S ohne Jahreszahl. Das Werk ist
aaf Knpferplatten gestochen. Es besteht aus 244 Seiten in klein 4^
und ist so eingerichtet, dass auf der einen Seite der zur Auflö-
ling einer Aufgabe nöthige Handgriff beschrieben wird und da-
neben aiif der anderen Seite die Auflösung selbst, worunter als
Verzierung ein Kupferstich, der irgend eine Stadt, ein Scbloss
^er eine Gegend u. dergl. vorstellt, sich befindet. Der Verfasser
dieser Creometrie ist mir unbekannt, weil er seinen Namen nicht

312 Stec%howthi: lieber die Beschreibung

beip;es^tzt hat; allein aus den Gegenständen, deren Abbildongeo
jede Aufgabe schmücken , kann man sicher schlieäsen, dass er
ein Ungar \Tar, denn alle Städte, die hier vorkommen» sind un-
garische Städte. Das ganze Werk ist in sechs Bucher eingetheilt
Darunter enthalt das dritte Buch Aufgaben von EinschreibungeD
regelmässiger Figuren in einen gegebenen Kreis oder in andere
Vielecke. Die siebente von diesen Aufgaben lautet fol gen dermasses:
„In einen jeden vorgegebenen Circkel ein solches Regulär Tiel-
Ecke einzuschreiben als man verlanget, oder den Circkel -Creys«
in so viel gleiche Theile abzutheilen, als man begehrt.*' Ich gebe
^ie Auflösung dieser Aufgabe wortgetreu wie sie in dem Werke
vorkommt. (Taf. X. Fig. 1.)

Der gegebene Circkel seye AKB

Man verlanget z. E. darein ein Regular-Dreyzehen-Eckeinzas(ihreibeD.

H a n d . G r i f f .

Ziehe den Diameter AB

■ Aus dem Punct . '. . A

Ziehe nach gebührlicher Länge eine gerade Linie . AC

trage darauf (: angefangen von dem Punct:) . . A

gleiche dreyzehen Theile

Ziehe zusammen den letzten Theil mit einer Linie aus B

Durch den Theil oder Zahl 2

Ziehe die gerade Linie EFD

welche Parallel lauffe mit der Linie .... 13Ä

und den Diameter durchschneide in dem Punct . F

Fasse unterdessen die Weite des Diameters . . AB

und schreibe aus denen zwey Puncten . . . AB

Zwey gleiche Bügen, welche sich durchcreutzen in . G

Aus dem Punct G

und durch den Durchschnitts -Punct . . . . F

Ziehe eine gerade Linie GFH

Der Theil AH

wird ein dreyzehender Theil seyn nach dem Verlangen.

Alle in diesem Werke vorkommende Aufgaben sind auf ähnliche
Art aufgelöst.

Ich gestehe, dass ich diese allgemeine Construction nirgends
angetroffen habe, und wiewohl sie bloss für die Praxis bestimmt

' der regulären Vielecke. 313

M^ so schien es mir doch von Interesse, zu antersuchen, in wie
ireit sich diese Constructiou der Wahrheit nähert. Zu diesem
Zwecfce bähe ich allgemein dre Einschreibung eines necks vorge-
■ommen. Nehmen wir nämlich den Mittelpunkt des gegebenen
Kreises zum Anfangspunkte der rechtwinkligen Coordinaten, den
flalbmesser*des Kreises =1, so können wir den Punkt H leicht
beMtiromen. Es sind nämlich die Coordinaten der Punkte F und
G bekannt« also auch die Lage der Geraden HG 9 deren Gleichung

ist. Verbindet man diese Gleichung mit der des Kreises or^-f ^^=1,
so findet man die Coordinaten der Durchschnittspunkte dieser Ge-
raden mit der Peripherie des Kreises, also den Punkt H^ für
welchen wir

_(n~4)(3n-f Vn^+16w--32)
^~ 4(n« — 2» + 4)

erbalten. Und weil die Abscisse x nichts anders ist, als der

360^
Cosinus des ßogens AH, welcher nach der Constructiou =

sein soll, so haben wir auf diese Art:

360 (n — 4) (3n -f Vn^ + 16w— 32)
^^® n — 4(»2— 2n + 4)

Berechnet man sofort die Cosinus Terschiedener Winkel nach die-
ser Formel und nach den trigonometrischen Tafeln, so wird man
aus den Resultaten sehen, in wie weit diese Formel, also auch
die obige Construction, richtig ist.

Ich habe für Vielecke sowohl ypn gerader, als auch von un-
gerader Anzahl Seiten etliche Cosinus berechnet, und zwar nur
bis zur fünften Decimalstelle; ich erhielt dadurch:

314

Steczkowtki: Oeöer die Be$chreibun§

n 5? rt <r5 rt

o o o o o

OD OB OD OD OD

^ •-= S N- w ^1 w ^1

^k^ I ^dw B^vN \m^m ^JW .1 ww ft il WW

S| g o g o g S| g ^1 S S

o

0)

oc

CO o 00 ce

1^ Hirf ^ O)

~ CO w »-<

CO

SS

CO

^ s

^

s c !

» 3 <1

S- Oq 2-

o

d

n

O

r^

o

n

n

n

(Ti

^ « 2.

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

CR-

CR

00

Oi

GC

«

an

CD

00

GR

^

CO
Ci
O

{|

i

^ CO
CO g

^

1

&3

o

i;

o

-. ^
S

O

CO

o

ÜX

s

CO

1

CD 3 S
a. 1

+

1

& PO

O

•

o

•

O

•

O

o

•

o

•

O

•

©

©

©

•^ Ol

CO

CO

CO

CO

oc

9^

^

äi

CO

3

eil

M =

CO

•^

i(^

ts

OD

CO

g:

I>S

8

S

^ ^

K

5

00

t>9

i

IS

i3

3 9

2. *=

^" OB

+

a. ?ö

O

o

o

©

o

o

O

©

©

©

« 2

c6

•

•
CO

CO

ob

•

d»

•

Ül

s g

cC

05

4^

CO

4^

1—»

CS

1>Ö

CO

§

Itat
Tai

^^

Oi

9k

4s^

•ü^

K?

<^

•ü^

o

"*"

M;

hü

^

o

üt

*"

CO

i>y

^

00

•

©

•

e

•

0

i

o

l>S

CO

CO

4i^

4^

CO

^^

^^

©

1

b

j

s

g

^

ci

C

9

c

s

to

9

»«
^

5

f

5

s

der reguiären Vielecke. 315

Diese Resultate zeigen, dass die grusste Differenz über
(KKM betrage, d. h. nach der angegebenen Conatructioii fallt die •
Seite eines necks etwas 'zti klein aus, was aber für die Praxis
losreicbend sein dürfte.

Das zweite Buch dieses Werks ist der Aufgabe, auf einer
gegebenen Geraden ein verlangtes regelmässiges Po-
ygon zu errichten, gewidmet. Weil diese Aufgabe in unse-
«o LehrbQchem der Geometrie sehr spärlich behandelt wird, und
la sie mir wenigstens für die Praxis ziemlich wichtig vorkommt,
(o wurde sie auch Veranlassung gegenwärtiger Mittheilung. Ich
wehte nämlich dort, wo es möglich war, die Begründung der in
lern besagten Werke vorkommenden Constructioncn zu findeu und
luletzt allgemein die Aufgabe (es versteht sich nur näherungs-
vreise) aufzulösen. Was den, in dem in Rede stehenden Werke
Rosgeführten Constructionen meines Erachtens Vorzug gibt, ist
dies, dass sie bloss mit Zirkel und Lineal ausgeführt sind, ohne
die hölzernen oder messingenen Dreiecke oder Winkelhaken zu
gebrauchen; deVin dadurch werden alle Senkrechte, Parallele und
Berührende schärfer gezogen, eben so die Durchschnittspunkte
besser bestimmt.

1. Ich fange mit der Errichtung des Quadrats auf einer ge-
gebenen Geraden an. Die dazu nöthige Construction wird mit
einer und derselben Oeffnung des Zirkels folgendermassen zu Stande
gebracht. Es sei die gegebene Gerade AB (Taf.X. Fig. 2.); aus
ihren beiden Enden A und B beschreibe man mit dem Ualbmes-
8^r AB zwei Bogen, welche sich im Punkte D durchschneiden.
Aas diesem Durchschnittspunkte schneide man mit dem nämlichen
Halbmesser den Bogen DC ab; aus den Punkten D und C be-
schreibe man wieder zwei Bogen, welche sich in E schneiden, und
verbinde die Punkte A und E durch die Gerade AE, welche den
Bogen DC in F schneidet; zuletzt durchschneide man aus dem
Punkte F immer mit demselben Halbmesser AB den aus dem
Punkte B beschriebenen Bogen im Punkte G und verbinde die
Punkte A, B, G, F durch gerade Linien, so wird man das ver-
langte Quadrat erhalten. Diese Construction braucht keinen Beweis.

2. Auf einer gegebenen Geraden ein regelmässiges Fünfeck
SU construiren.

Die gegebene Gerade sei AB (Taf. X. Fig. 3.). In einem
ihrer Enden, z. B. in B, errichte man eine Senkrechte auf AB
und schneide darauf BDzzzAB ab, halbire die gegebene Ge-
rade AB im Punkte C, beschreibe aus diesem Punkte mit dem
EUdbinesser CD einen Bogen , welcher die verlängerte Gerade AB
im Punkte E schneide, so ist die Gerade AE die Diagonale dea

316 Stec%kow8hi: Ueöer die Beschreibung

verlangten Fünfecks. Man errichte also im Punkte C eine Senk-
.rechte auf AB und beschreibe aus dem Punkte A mit dem Halb-
messer AE einen Bogen, so wird er die letzte Senkrechte im
Punkte F schneiden. Zuletzt beschreibe man aus den Punkten
A und Ff B und F mit dem Halbmesser AB Bugen, welche
sich in den Punkten G und H durchschneiden werden; und wenn
man die Punkte A, G; G, F; F, H und H^ B durch Gerade ver-
bindet, so wird man das verlangte Fünfeck erhalten. — Dm die
Richtigkeit dieser Construction sicher zu stellen» muss nur be-
wiesen werden, dass die Gerade AF wirklich die Diagonale des
so construirenden Fünfecks ist. Zu diesem Behufe ziehe man die

Gerade CD, so ist CÜ^ = CE^ = BD^ + CB^ oder, wenn man
AB = a setzt, CE^^V^* folglich

Die Senkrechte CF ist gleich der Summe der Halbmesser des
in und um das Fünfeck beschriebenen Kreises, wovon der erste
bekanntlich

_a4r3 +
""2 T 5 —

V5

V5

ist, und der zweite

a\/2

folglich

V5 — VS'

2 V V^5-V5 /

Da aber im rechtwinkligen Dreiecke A€F, AF^=zCF^-[^ AC*
ist, so wird

AF^^-^ (, 5^V5 ;=«H 5-v5~/

Aber V6 + 2v'5 = l + V5, desswegen wird

^f a= a^[j^-^) = — 2Ö — = 4 y—r-)

und zuletzt

._, a 6 + V5 o „ ^v

wie oben. Die vorhergehende Construction löst also die Aufgabe
ganz genau auf.

der regulären Vielecke, 317

3. Um aaf einer gegebenen Geraden ein regelmässiges Sechseck
B erriebten, beschreibt mau aus den beiden Endpunkten dersel-
en swei Bogen, deren Durcbschnittspunkt den Mittelpunkt des
Ireütes geben wird, in welchen sich das verlangte Sechseck ein-
direiben Ifisst; welche Construction keines Beweises bedarf.

4. Auf einer gegebenen Geraden ein regelmässiges Sieben-
ck ZD errichten.

In dem am Anfange erwähnten Werke wird folgende. Con*
tmction angegeben. Die gegebene Gerade sei AB, (Taf. X. Fig. 4.)
lan verlängere sie bis C so, dass BC=AB sei; aus den Punk-
m A und C beschreibe man mit dem Halbmesser AC «wei sieb
n Punkte D durchschneidende «Bogen, mit dem nämlichen Halb-
lesser beschreibe man aus den Punkten D und C zwei andere,
ich in E durchschneidende Bogen, verbinde di«^ Punkte j? und Z>,
I und E durch die Geraden BD und AE, welche sich in /^schnei-
en. Aus A und B beschreibe man mit dem Halbmesser AF
leder zwei Bogen, welche sich im Mittelpunkte S des Kreises,
I welchen das verlangte Siebeneck sich einschreiben lässt, durch-
chneiden.

Um sieb zu überzeugen, in wie weit sich diese Construction
lef Wahrheit nähert, berechnen wir den Halbmesser des um das
irhaltene Siebeneck beschriebenen Kreises aus der bekannten

i*ormel r = isnö» '" welcher a die Seite des dem Kreise ein-

'^Sin— = —

7 »

^schriebenen Siebenecks ist, und denselben Halbmesser, wie er
106 der vorhergehenden Construction folgt. Aus der angeführten
^orroel ist der Halbmesser = l'1524....a; um ihn aber aus der
}oDstruction zu berechnen , ziehe man die Geraden AD, CD, DE
lud CE, so ist, das Viereck ACED eine Raute,- und ihre zwei
)iagonalen halbiren sich im Punkte G. Das Dreieck ADC ist
;leichseitig, also auch gleichschenklig, desswegen ist BD senk-
echt auf AC, und AG senkrecht auf DC; ausserdem ist noch
IC = BD. Aber diese zwei Senkrechten schneiden sich be-
anntlich im Punkte F so, dass DF=lBD und AF=lAG.
S%\\ aber AG = BD, so ist AF=lBD. Aus dem rechtwinkli-
en Dreiecke ABD hat man, wenn man AB=a setzt, BD=a\/^,
esswegen ist auch ^F=laV3 = ri547....a. Die zwei für den
albmesser erhaltenen Werthe unterscheiden sich erst in der dritten

■

ecimale, desswegen scheint diese Construction für die Praxis
iszareichen.

5. Auf einer gegebenen Geraden ein regelmässiges Achteck
I errichten, lehrt das mehrmals erwähnte Werk folgendermassen.

'

318 Stec%howthi: (Jeder die Betchreibung

Sei die gegebene Gerade AB (Taf. X. Fig. 5.); in ihrer Mitte C
errichte man eine auf AB senkrechte Gerade CN und schneide
darauf CD = \AB ab, aus dem Punkte D schneide man wieder
mit dem Halbmesser BA gegen N auf der nämlichen Senkreclh
ten das Stuck DE ab, so ist der Punkt E der Mittelpunkt dei
Kreises, in welchem das verlangte Achteck beschrieben werden
kann. Dass diese Construction ganz genau ist, kann sehr leicht
bewiesen werden. Im Dreiecke ADC ist nämlich der Winkel
ADC=zi5»=zDAE + AED = 2AED = AEB. Wir wissen aber,
dass in einem regelmässigen Achtecke der Winkel an seinem Mit-

telpunkte ==— 7r-=45^ sei, desswegen ist die obige Constructioi.
ganz genau.

6. Auf einer gegebenen Geraden ein regelmässiges Neuneek
zu beschreiben, gibt das erwähnte Werk folgende Construction«

Die gegebene Gerade sei AB (Tvif. X. Fig. 6.), in ihrer Mitte C
errichte man eine auf AB senkrechte Gerade CN, aus dem Punkte
A schneide man mit dem Halbmesser AB darauf ein Stuck CD
ab, von dem Punkte D schneide man gegen N noch ein Stuck
DE =.' \AB ab, so ist der auf diese Art bestimmte Punkt £ der
Mittelpunkt des Kreises, in welchem das verlangte Neuneck be-
schrieben werden kann. — Um zu zeigen, in wie weit diese Con-
struction der Wahrheit sich nähert, muss ^lan AE aus den tri*
gonometrischen Tafeln und aus der obigen Construction berechnen.
Aus den Tafeln haben wir «

^E = —-Y^=2SÜiW^^ 1-462 . .. . a.
2jSin-^ —

Weil nach der Construction AD = AB = a ist, so ist auch

a „ , _„ a

CD=i^VS und CE = ^(1 + V5),

also

AE=2^ ^(5 + 2\/3) = |V^5 + 2v3=:l-454....a;

die Differenz ist also =0*008 .... a, was auch ein für die Praxis,
hinreichendes Resultat gibt.

7. Für ein auf der gegebenen Geraden zu errichtendes regel-
mässiges Zehneck sucht man den Mittelpunkt des Kreises, in

^ , der regulären Vielecke. 319

welchem das verlangte Zeh neck beschrieben werden konnte, ganz
M wie man beim Fünfecke den Punkt ¥ (Taf. X. Fig. 3.) gesucht
hat. Berechnet man dann den Halbmesser dieses Kreises aus
den trigonometrischen Tafeln und nach der vorhergehenden Con-
stmction, so wird man ihn aus beiden ganz übereinstimmend finden.

8. Losen wir nun die Aufgabe von der Errichtung eines necks
aof einer gegebenen Geraden allgemein auf.

Es sei die gegebene Gerade AB (Taf. X. Fig. 7.), man verlSngere
de bis zvL D so, dass BD=. AB wird. Auf der Geraden AD als auf
einem Durchmesser beschreibe man einen Halbkreis und ziehe au8 dem
Pnnkte D nnter einem beliebigen Winkel die Gerade />P; schneide
darauf, Toni Punkte Z> angefangen, n beliebige, aber unter einander
gleiche Theile ab; es sei z. ß. ro = ll; verbinde den letzten Theil-
ponkt 11 mit A durch die Gerade ^11 und ziehe durch den Theil-
pankt 2 eine Parallele, welche den Durchmesser in m schneiden
wird. Mit dem Halbmesser AB bestimme man aus den Punkten
A anS D den Punkt H, ziehe die Gerade HiUy bis sie den Halb*
fcreis in E schneidet, so wird der Bogen DE der rote Tbeil, in
^anserem Falle der Ute Theil, des ganzen Umkreises, und also
.4sr Winkel DBE der Centriwinkel des roecks, und sein Neben-
winkel ABE der innere Winkel dieses Polygons sein. Errichtet
üan -jetzt im Halbirungspunkte C eine Senkrechte auf AB und
lialbirt den Winkel ABE, so schneidet die Halbirende das in
Cerrichtete Perpendikel in einem Punkte iS, welcher der Mittelpunkt
des Kreises, in welchen das neck eingeschrieben werden kann,
sein wird. *- Diese Construction ist insofern richtig, als die bei
den Einschreibungen angegebene, dess wegen bedarf sie hier kei-
■es neuen Beweises, weil ich Anfangs gezeigt habe, wie sie mit
der Wahrheit zusammenstimmt und dass sie bloss für die Praxis
towendbar sei.

Der Verfasser des so oft besprochenen Werks gibt noch an-
dere Constructionen für die V'ielecke vom Sechs- bis zum Zwölfecke
ind nachher eine besondere Construction für alle regelmässige
Vielecke vom Zwolfecke'an bis zum Vierundzwanzigecke einschliess*
Beb, welche ich*aber, um nicht zu weitläufig zu werden, für jetzt
übergehe.

320

D robisch: Darstellung der elUpüscken Punethmen

Darstellung der elliptischen Functionen der dritten Art

durch Curvenbogen.

Von

Herrn Professor Dr. ilf. fV, Drohiseh^

an der Universität zu Leipzig.

In dem literarischen Berichte Nr. XCIII. des Archivs \9i anf
die Darstellung der elliptischen Functionen der dritten Art dordl
Curvenbogen aufmerksam gemacht viorden, aufweiche ich in* mei-
ner zweiten Ahhandlurig liber das Florentiner Problem gekommen
bin. Da dieselbe neu und der allgemeineren Kenntnissnahme nicht
unwerth zu sein scheint, so erlaube ich mir, sie den Lesern des
Archivs hiermit vorzulegen.

J.

Sei der geometrische Ort eines Punktes zu bestimmen, der
auf dem Halbmesser q einer Ellipse liegt und dessen Abstand
vom Mittelpunkt derselben bei beliebiger Lage des Halbmessers
jederzeit die vierte Proportionale zu q ynd den beiden halben

Axen a und 6 der Ellipse sein soll, so dass also r= — •

Q

Da, wenn cp der Winkel, den q mit a macht.

^ «2 c 1 n 2

so folgt unmittelbar

«2 sin ^cp + 6^ cos ^q> *

r^ = a^ s\i\^cp -{-b^cos^cpt

:t

V

der äriUen Art durch Curver^ogen, 331

iw, wenn rco89=:ar, r&\ii(p=zy gesetzt wird, in rechtwinkligen
oordinaten

Setzt man statt der Ellipse eine mit ihr eoncentrische Hyperbel»

»ren erste und zweite Axe resp. 26 und 2a, von denen aber jene

die y-Axe, die^e in die x-Axe fällt, sq ergiebt sich, wenn

ich hier q der Halbmesser, der mit der x-Axe den Winkel <p

acht, and ebenfalls r=: — sein soll, auf gleiche Weise

r« = a« sin 2«p — 6* cos 2g) ,
ler filr rechtwinklige Coordinaten

(y^ + ^*)* = «V - ^*^*-

Beide Paare von Gleichungen können wir in eins zusamroenfas-
m. wenn wir s — =m* setzen, wo das obere Zeichen auf die El-

pse, das untere auf die Hyperbel zu beziehen ist und fiir jene
^ 6 vorausgesetzt wird. Hierdurch werden die Gleichungen
es geometrischen Orts, der sich auf beide Kegelschnitte zugleich
teieht,

r« = a2(l — m^cos«^) (1)

Ld

(y^+x^)^z=:a^y^ + (l^m^)x% (2)

ro, jenachdem der zu Grunde liegende Kegelschnitt die Ellipse
der Hyperbel, m<l oder m>l ist.

Es mag beiläufig bemerkt werden, dass die hierdurch darge-
teilte Curve zugleich der geon^trische Ort der Fusspuiikte aller
(•nkrechten ist, die aus dem Mittelpunkte eines Kegelschnitts
■f sämmtiiche Tangenten desselben gelallt werden können.

2.

Hinsichtlich der Gestalt, welche diese Curve annehmen kann,
Aid folgende Fälle zu unterscheiden:

1) Ist m=0, also 6 = ö, folglich der Kegelschnitt ein Kreis,
H> fallt die Curve offenbar mit diesem Kreise zasaminen.

2) Ist m*<5, also 6V^2>a, so bildet die Curve ein gegen
ie angenommenen Coordinatenaxen symmetrisches Oval, dessen

'Vh9kl XXIV. 22

322 DrobiiCh: Darstellung der elUpttseken Funeitanen

grSsster Darchmesser =2a in die ^-Axe und dessen kleinster
Durchmesser =26 in die a:-Axe föllt

3) Ist m*=i, also 6V2=«, so bleibt die Gestalt der Curve
im Wesentlichen dieselbe, nur ist sie an den Endpunkten ihres
kleinsten Durchmessers abgeplattet.

4) Ist ]>7?i^> 9> also 6 V^2<a, so geht die eben erwähnte
Abplattung in Einbiegungen über.

5) Ist m^ = ly folglich b unendlich klein , so nähert sich die
zum Grunde liegende Ellipse einer in die or-Axe fallen-den, vom
Coordinatenanfang halbirten Geraden von der Länge 2a. Die Cur?e
geht dann über in zwei zu beiden Seiten der or-Axe liegende, so-
wohl jene Gerade, als einander im Coordinatenanfang berührende
Kreise vom Durchmesser a.

6) Ist l<m^<2, wo nun an die Stelle ^er Ellipse die Hype^
bei tritt, in welcher 6 < «, so wird die .Curve eine SchieifenliDi%j
deren Zweige sich im Mittelpunkte der Hyperbel schneiden und
von deren Asymptoten berührt werden. Sie schneiden sich daher
unter einem stumpfen Winkel.

7) Ist m^ = 2, folglich 6=a, die Hyperbel also eine gleich'
seitige, so stellt die Curve die Lemniscata dar; ihre Zweige schnei*
den sich also hier im Mittelpunkte unter einem rechten Winkel.

8) Ist m2>2, also 6>a, so ist die Curve eine Schleifenlinie,
deren Zweige sich im Mittelpunkte der Hyperbel unter einem
spitzen Winkel schneiden.

3.

Aus der Gleichung (1) erhält man unmittelbar, wenn s den
von 9>=:0 bis zu einem unbestimmten Werthe von 9, der <^ä*
genommenen Bogen der Curve bedeutet:

Sei nun

i) m<l, so folgt, wenn man tgg)=:(l— m*)tga setzt:

-H

der äitittm Art durch Curvenbogen. 328

'■^ [1 - (2 — m2)i«« sin 5*0)] yfl-^m^s\^
^aher ist, da für 9=0 auch 5=0,

f = a(l-m2)l JI(— (2— ifi«)m«, m, ©). (3)

fC 'JC

la fiir 9) = ^ auch <o = ö'' ^^ ^''^^ durch diesen Werth von o die
Ange des Quadranten der Curve bestimmt.

2) Ist m=l, so folgt unmittelbar aus der ersten Formel für 9ii

s=z aq>. (4)

3) Ist m>l, so werde in der ersten Formel fiir 85 zunächst
r=-^d^ gesetzt, wo nun s' den von 9?=^» bis 9> = 9> zu neh-

lenden Bogen der Curve bezeichnet. Setzt man nun m cos 9) = sin ;(,
» wird

8,>-a8,\/"i±l'»'-')'s'at

ietit man ferner V^m*— l.tg3t=tg(a, so wird

81' =

„i[^a_i^(2-.;,i2)sinaa)] Y ^"-(^^^) «'"*«*

Ist daher l<m*<2, so wird

»0 der Parameter positiv ist. Ist aber m^>2, so wird

Hit negativem Parameter.

TT 1

Der Bogen s' kann hier nur von 9= «r bis ^ = arccos— ge-
ommen werden, welchen Werthen aber die Grenzwerthe o = 0
lid ö) = 5- entsprechen. Daher stellen die vorstehenden Ausdrucke,

'enn o> = 9 > ^^n vierten Theil des Umfangs der Curve dar.

22*

321 Drobitch: Dantellnng der eiifpiiseken Puneiümen

4) Ist m*=2» so reduciren sich die Formeln ^) and (5*) auf

also auf den bekannten Ausdruck fiir den Bogen der Lemniscata.

6) Auch (ur noch einen zweiten Werth von m lässt sich die
Function 17 auf F^ unter Hinzufögung einer logarithniischen Fnn&

tion, zurückfuhren. Es ist nämlich bekannt» dass, wenn ft=Vl— ^

und ^=V^1 — c^siu^co,

^ • ^ * / 26 "^ ' ^ 40 ^\^ — (1—6) sin cü> cos CO/

Nun ist in (5) c=^^-^^/ folglich 6= -, -1 + 6 = —(^n-l)]
Setzt man daher den Parameter von U in (5) :

so erhält man

m = i(V5 + l). 1^

Hieraus folgt :

c=Vi(v5-J), 6=UV5-1);
daher ist fiir diesen Werth von 771:

«'==4aVTiV5TT)/^(VUv5-l), o)

, ^/ 3 — i-, /'2^ + (3 — v5)sinG)cosG}\ } C?)

-i«^^(^^-l>*<2^-(3~v5)sin«cosco> )

wo

^ = V 1 ~ 4( V5 - 1) siü^o).

Die Gleichungen dieser Schleifenlinie sind zufolge des gefundenen
Werthes von m:

Der Sinus des halben Winkels, unter dem sich die Zweige
dieser Curve im Mittelpunkte schneiden, ist =2sin|7v-

d

a

i

der dritten Art durch Curvenbogen. 325

Die Rectiflcation dieser Schleifenlinie hat auf etwas aadere
Vfeise schon CI aasen ausgeführt*).

4.

1 Ans ^dem Vorstehenden ergiebt sich nun hinsichtlich der Dar-
äellbarkeit der Function ir(n, c, o) durch Curvenbogen Folgen*
Ani. Findet zwischen dem Modulus c und dem 'Parameter it ein
solcher Zusammenhang statt, dass

1) n=— (2 — c*)c*=(l— c^)*— 1, also der Parameter zwischen
Jea Grenzen 0 und '— 1 enthalten ist, die den Grenzwerthen 0 und
1 von € entsprechen» so sind die Bogen der Curve, deren Gleichung

r» = a*(l — c«cosV)>
wenn man tg9 = (1 — c*)tgo> setzt, die Form

**— 1 + (1— c2)*tg2a)

yASXi, von w = Obis «0=5- den Werthen von JT(«, c, oo) pro-

fertionaL Die Bogen haben hier ihren Anfang in der ^-Axe und
Äe Curve hat die in Art. 2. unter 2) bis 4) angegebene Gestalt.

Vin^ — 1 2— m'

2) Setzt man in Formel (5) c = > so folgt ^jaHJ

-1 1

5:-^^2 = «. Ist daher w=-2— 2 und positiv, folglich czwischenO

md -^r-^ enthalten, indess n alle Werthe von 00 bis 0 durchläuft»

Kl sind die Bogen derselben Curve, deren Gleichung, wenn man

Vi —e^
• cos 9= sin % und tgx= tgm setzt, die Form

r'^ =

a^c^

C« + (l — C«)tg«ö}

7C

vhält» von w=0 bis w=o den Werthen von JT(n, c, w) proper*

lonal. Die Bogen haben hier ihren Anfang in der ^-Axe und
lie Curve ist die im Art. 2. unter 6) bemerkte Schleifenlinie.

*) Atteoo. Nachrichten Bd. 19. S. 181.

329 Drobiich: Darsleil der elllpt. Functionen der dritten Art etc,

1 1

3) Ist n = -2 — 2, aber negatiF, folglich c zwischen -^ und i

1 enthalten^ indess n die Werthe von 0 bis — 1 durchläuft, so
sind die Bogen der auf dieselbe Weise wie unter 2) ausgedruckten

TB

Curve von (ö = 0 bis (o = ^ den Werthen von Jlin, c, co) propor-
tional. Die Bogen fangen in der ^-Axe an und die Carve ist die
in Art. 2. unter 8) angegebene Schleifenlinie.

5.

Denkt man sich die hier betrachtete Curve in der Ebene des
Aeqnntnrs einer Kugel vom Halbmesser a beschrieben, so dass
ihr IVlittelpnnkt mit dem des Aequators zusammenfällt, und errich-
tet über ihr eine gerade CyÜnderflärhe, so durchbricht diese die
Kug('lfläehe in einer sphärischen Curve. Zieht man den von die«
ser eingeschlossenen Fiächenraum von dem der Halbkugel ab, so
bleibt ein qiiadrirbarer Rest. Um nämlich die Gleichung dieser
sphärischen Curve zu finden, hat man nur nothig, in der obigen
Gleichung (2)

:ir = acos'if;sin9>, // = acost/;cos9)

zu setzen, wo (p die Länge, i/; die Breite des Punktes der Kogeb
fläche ist, der, auf die Aequatorebene projicirt, den Punkt (^, jf)
giebt. Hierdurch erhält man sofort

sint/; = msing?.

Von der durch diese Gleichung dargestellten sphärischen Curve
hat aber schon Johann Bernoulii erwiesen, dass sie das Flo-
rentiner Problem löst und daher die angegebene Eigenschaft hat.
Zugleich erhellt, da für ?/i = V2 die ebene Curve in die Lemnis*
cata übergeht, dass diese letztere nicht blos insofern, als sie, wie
d' Arrest*) gezeigt hat, die stereographisclie Projection der durch
die Gleichung i/; = g? ausgedrückten sphärischen Curve auf eine
Meridianehene, sondern auch, insofern als sie nach dem Vorstehen-
den offenbar zugleich die orthographische Projection der sphä-
rischen Curve sin i/; = V2. sing? auf die Aequatorebene ist, dem
Florentiner Problem Genüge leistet.

!>.*

•) Astron. Nachrichfen 1853. Nr. 8T5. vergl. Archiv. XXII. S. 225.

Heiiermann: üeöer di$ Normaien einer MUtßee. 387

Ueber die Normalen einer Ellipse.

Von

Herrn Doctor Heilermann
zu Trier.

t Eine Gerade ^ welche in dem Punkte (acy) auf der Berflhmngs-
^linie der Ellipse

! V ^2 + ^2 — *

leokrecbt steht, wird bekanntlich dargestellt durch die Gleichung

oder durch

b welcher | und rj die laufenden Coordinaten sind. Betrachten
irir aber diese als die Coordinaten eines festen Punktes, so be«
atiminen die Gleichungen 1) und 2) die Coordinaten der Punkte,
!d welchen die Ellipse 1) von den Normalen des festen Punktes
(iv) getroffen wird. Nun ist aber durch 2) eine Hyperbel darge-
itellt, wenn die Coordinaten a:- und y als veränderlich genommen
irerden ; also sind die Durchschnitte der Kegelschnitte 1) und 2)
die Fusspunkte der Normalen des Punktes (£17). Setzen wir noch
mr Abkürzung

a^ b^

3) ll=^2„^2'^ ""^ ^i=pZI^-'^*

00 lummt die Gleichung 2) noch folgende Formen an:

338 H€ii$rmmnn: üeber die Normalen eftur EiUpü.

und

X ' y

welche zeigen ^ dass der Punkt (I1171) der Mittelpunkt der Hyper* .
bei, dass die Asymptoten derselben den Axen der Ellipse 1) pa- ']
rallel sind, also die Hyperbel gleichseitig ist, dass die Hyperbel durch
den Mittelpunkt der Ellipse geht, und endlich dass alle Geraden,
Kelche durch den Punkt ($|i7i) geben, auf den Coordinatenaxeo
die Coordinaten ejnes Punktes der Hyperbel abschneiden. Folg-
lich haben die Fusspunkte der vom Punkte (£ij) an die Ellipse
gexogenen Normalen die Eigenschaft, dass die Geraden, welche
durch die Endpunkte ihrer Coordinaten gehen, sich in dem Punkte
(li^i) schneiden.

Weil der eine Zweig der Hyperbel durch den Mittelpunkt der
Ellipse geht, so schneidet derselbe diese Curve in zwei Punkten,
also lassen sich auch von dem Punkte (§?;) Immer wenigstens znei
Normalen an die Ellipse ziehen. Der andere Zweig der Hype^
bei hat mit der Ellipse zwei oder einen oder keinen Punkt ge-

x^ «2
meinsam, jcnachdem das Minimum von —^-{•f^ (^o x und y die

.laufenden Coordinaten der Hyperbel sind) kleiner oder so gross
oder grösser als 1 ist. Die Werthe von x und y, welche zu die- i
seni Minimum geboren, genügen bekanntlich folgenden Gleichungen:

a^ ^ b^ X * y ^ ^^k^a

dx -^^^'a^ a:2--"'

an •'*'*4-i -V* j. ^» 4- ''i \\

aus welchen durch Elimination des CoellQzienten X sich ergibt:

'

5) • ^-'-t

Wird hiemit die Gleichung 4) verbunden, so erhält man:

6)

H$iiermnnn: üeber die Normalen einer EiUpse. 3S9

ab Coordinaten des Punktes (a:y), för welchen -^i-^ ein Mini-
niDm ist. Der Werch des Minimums selbst ist also

(V'S+V^^)'.

wd die oben ausgesprochenen Bedingungen sind ausgedrückt durch

lVl+V^¥

"%..

6"
I" I

S 3

^>'.

i b. von dem Punkte (^rj) lassen sich vier oder drei oder nur
I mei Normalen an die Ellipse 1) ziehen, jenachdem der ersten
: «der zweiten oder dritten der Bedingungen 7) Genüge geschieht.

Die Bedeutung dieser Bedingungen wird deutlicher, wenn wir wieder

in dieselben einsetzen; dadurch gehen sie über in

8) (.V^+V"6V=Vc*»

Vt^enn man nun noch beachtet, dass die mittler« dieser Bedin-
gungen die Gleichung der Evolute der Ellipse 1) ist, so erhält
man für den oben ausgesprochenen Satz folgenden Ausdruck:

Von einem Punkte lassen sich an eine Ellipse vier
oder drei oder nur zwei Normalen ziehen, jenachdem
der Punkt innerhalb der Evolute, oder in dieser Curve,
oder ausserhalb derselben liegt.

Fnr die Hyperbel findet man dieselben Resultate in derseN
beo Weise.

330 Grüner t: Ueber die Beschreibuim

Ueber die Beschreibung eines Regelschnitts durch

fünf gegebene Punkte.

Von

dem Herausgeber.

In einem Briefe Leibnizens an Oldenburg, der in Leib-
nizens matbematischen Schriften^ herausgegeben yon
C. J. Gerhardt. Erste Abtheilung. Band I. Berlin. 1849.
S. 60 — S. 69. unter Nr. XXV. abgedruckt ist, findet sieh folgende
Stelle, in welcher Leibniz eine von Newton herrührende Be-
schreibung eines Kegelschnitts durch fünf gegebene Punkte mit-
theilt :

„ Descriptio Sectionis Conicae, per 5 puncta transeuntis."

„In sequenti scheniate (Tab. IX. Fig. 4.) puncta sint A, B,C,
D,E: Junge horuni tria quaelibet, e. ^. A, B, C, ad Triangu-
luni rectiÜneare ABC constituendum, cujus duobus quibuslibet an-
guiis, puta A et B , duos sectores vel angulos mobiles applica,
Polis ipsorum ad puncta angularia, eorundemque cruribus ad latera
Triangulornm positis ; dictosque angulos sie dispone, ut libere
circumagantur circa poios suos A et B , citra angulorum, quibus
opponuntur, Variationen). Quo facto, reliquis duobus punctis D
et E successive applica duo ipsorum crura PQ et RSy quae prius
appiicata fuerant ad C (quae crura distinctionis ergo, vocari pos*
sunt crur;A describentia, uti reliqua duo inn et TV, quae applica-
bantur ad A, B, crura eorum dirigentia appellari queunt), quas
Intersectiones supponas esse F, facta ad D applicatione, et 6r,
ea facta ad E, Duc lineam rectam FG, eamque prodac, suffi-
cienter utrimque: Et tunc si ita moveris Angulos, ut crura ipso-
rum dirigentia continuo se invicem intersecent ad lineam GF,

eines Kepeischnitti durch fünf gegebene Punkte. 331

reliqaorum crurum intersectio describet Sectionem illam Conicam,
qaae per omiiia, quae dixi, data puncta transibit.

8i tria ex datis punctis in eadem sint recta linea, impossibile
est, ullain Sectionem Conicani transire ea omnia posse; eoque
easu habebis illius loco duas lineas rectas.

Jaxta eandem fere iiiodum describi potest Sectio Gonica , qaae
per 4 data puncta transeat, tangatque lineam datam; vel qoae
transeat per 3 data puncta tangatque duas lineas datas, sive rectae
iilae fuerint sive curvae etc.

Existimat author, non injucundum fore speculationem Mathe-
matum studiosis, hujus Theorematis demonstrationem in venire,
nee non determinare Centra, Diametros, Axes, Vertices et Asynito-
to8 Sectionnm Conicarum ita descriptarum, vel describere para-
bolam per 4 data puncta transeuntem. '^

Ueber diese Stelle könnte man ein Buch schreiben. Ich be-
gnOge mich jedoch hier mit der Beschreibung eines Kegelschnitts
durch nSnf gegebene Punkte, und werde mich freuen, wenn das
Folgende geeignet sein sollte, andere Mathematiker zu weiteren
Untersuchungen über diesen Gegenstand zu veranlassen. Die aus
dem Obigen sich ergebende Methode, durch fünf gegebene Punkte
einen Kegelschnitt zu beschreiben, ist aber, auf ihren deutlich-
sten Ausdruck gebracht, folgende:

Die fünf gegebenen Punkte, durch welche ein Kegelschnitt
beschrieben werden soll, wollen wir durch

bezeichnen. Man w^ihle drei dieser Punkte aus, etwa A^, A^, A^,
und denke sich das durch dieselben bestimmte Dreieck AqAiA.^,
dessen an der Seite AqAi liegende Winkel AiA^^Aq, und AqAiA^
wir durch Uq und or| bezeichnen wollen. Diese beiden Winkel
wollen wir uns nun als zwei feste unveränderliche Winkel vor-
stellen, welche sich um ihre gleichfalls als fest oder unveränder-
lich zu denkenden Spitzen Aq und Ai herumdrehen lassen, und
wollen die Schenkel A^Ai und AiAq dieser Winkel die crura diri-
gentia, dagegen die Schenkel ^0^2 ^^^ ^1^2 ^^^ crura describentia
nennen. Die Drehung der beiden in Rede stehenden Winkel um
die Punkte Aq und Ai wollen wir grösserer Bestimmtheit wegen
immer in solcher Weise vor sich gehen lassen, dass sich ihre
crura dirigentia von der Seite AqAi oder AiAq des festen Drei-
ecks A0A1A2 an nach den Seiten AqA^ und AiA^ dieses Dreiecks
hin bewegen. Bringt man nun die beiden festen oder unverän-

332 Cruneri: Debet die BeieMreihm§

derlichen Winkel Oq und cti durch Drehung um Aq aod A^ zoerst
in eine solche Lage ^ dass ihre crura describentia beide durch den
Punkt A^ geben, dann in eine solche Lage» dasa ihre crura de-
scribentia beide durch den Punkt A^ geben , und bestimmt im ersten
Falle den Durcbschnittspunkt A^' , im zweiten Falle den Durcb-
schnittspunkt A^' ihrer crqra dirigentia, legt durch die Punkte A^!
und A4,' eine gerade Lipie, und Ifisat dann die beiden Winkel a^
und Ol um die festen Punkte Aq und il| sich so drehen , dass
der Durchschnittspunkt ihrer crura dirigentia fortvr&farend auf der
in Rede stehenden geraden Linie hin* gleitet, so beschreibt bei
dieser Bewegung der beiden Winkel der Durchschnittspunkt ihrer
crura describentia den gesuchten, durch die Rinf gegebenen Punkte
Aq, Ai, A2» A^y A^ gehenden Kegelschnitt.

Dass sich aus dieser organischen Beschreibung des gesuch-
ten Kegelschnitts auch sogleich eine im Ganzen sehr leichte Be-
schreibung desselben durch Punkte ergiebt, versteht sich von selbst
und bedarf einer weiteren ErlSuterung hier nicht Auch wfirde
sich auf die obige organische Beschreibung die Einrichtung . eines
Instruments zur Beschreibung der Kegelschnitte durch gegebene
Punkte gründen lassen. Die Angabe einer^ zweckmässigen Ein-
richtung eines /Solchen Instruments wfirde ich flir recht ve^
dienstlich halten.

Vorstehende Construction eines durch ffinf gegebene Punlrfe
gehenden Kegelschnitts wollen wir nun beweisen, und' daran ooch
verschiedene andere, wie es uns scheint, beacbtenswerthe Bemer-
kungen knüpfen.

Den Punkt Aq wollen wir als Anfang eines rechtwinkligen
Coordinatensystems der xy annehmen, die Linfe A^A^ sei der
positive Theil der Axe der Wj und die positiven y wollen wir auf
der Seite der Linie A^Ai nehmen, auf welcher der Punkt A^
liegt. Die Coordinaten der Punkte

Aqj Ai , A^} A^i A^,

in diesem Systeme seien respective:

0, 0; «1, 0; «2» *2; «8> *8; 04» **;
wo aber, wie sogleich erhellet,

a^ = AqA2 • cos Oq, 62 ^^ AqAz • sin Oq
und folglich, weil

AqAi : AqA^ == Ol : iÜo^=6in (o^-f cr|) : sin «i ,

eimes MCeieUehnitis durch fünf gegebene Funkte. 333

alsö

A A «isinai

siu(ao + ai)

Ist,

• |. Oicosct^sinofi O] sin (x^ sin cti

/'*"" sin(ofo+ßi) * *"" sin(ao+ai)
irt.

Wir wollen nan eine beliebige Lage des Winkels Oq betrach-
ten» die durch {Al)A^Ji^A^ bezeichnet werden mag. Der von dem
Schenkel ^o(^i) ^'t dem positiven Theile der Aze der x einge-
idilossene Winkel, indem wir diesen Winkel von dem positiven
Theile der Axe der x an nach der Seite der positiven y hin von
0 bis 360^ zählen » sei g)^, so ist

2) y=:artangg)o

die Gleichung des Schenkels Aq{Ai) in dem Systeme der onf.
Legen wir nun durch den Punkt ^q ein neues rechtwinkliges Coor-
dbatenctystem der x'y' , nehmen AJ,Ai) als den positiven Theil
der Axe der x' , und den positiven Theil der Axe der ?/ so an,
dass man sich, um von dem positiven Theile der Axe der x' an
dorch den rechten Winkel {x'y') hindurch zu dem positiven Theile
der Axe der y' zu gelangen, nach derselben Seite hin bewegen
niass, nach welcher man sich bewegen muss, um von dem posi-
tiven Theile der Axe der x an durch den rechten Winkel (acy)
hindurch zu dem positiven Theile der Axe der y zu gelangen, so ist

3) y' z=z x' tang a^

die Gleichung des Schenkels A^^{A^ in dem Systeme der x'y'.
Weil nun nach der Lehre von der Verwandlung der Coordinaten
zwischen den Coordinaten xy und x'y' die Gleichungen

x=^x' cosfpo — y'6\iiq>Q, y =zx' An tpQ-{-y' cos tp^
Statt finden, aus denen umgekehrt

x' '=^x cos g>o +y s*D 9^0 » ^' =— a: sin g>o +y cos tp^
iblgt^ so Ist

— .Tsln9>o+^cos9>o = (^coS9o-f 96in9>o)^^g^>

(cosooCOS^Q — sincrosin9o)^ = (^>Q<^<^O'S9'o + <!Osor0sln9o)^>
oder

334 Grunert: üeber die Bes€hrHh9m§

y cos (ofo + g>o) = ^ sin («0 + g>o) .
oder

4) y = ^tang(ofo + 9>o)

die Gleichung des Schenkels ^0(^2) >" ^^^ Systeme der xy.

Durch den Punkt Ai wollen wir uns ferner ein dem primitiven
Systeme der xy paralleles Coordinatensytem der Xiyi gelegt den-
ken, in welchem der positive Theil der Axe der Xx -nach der
Richtung des negativen Theils der Axe der x hin liegt, der po-
sitive Theil der Axe der y^ aber mit dem positiven Theile der
Axe der y eine übereinstimmende Lage hat. Dann ist, vrenn tpi
In Bezug auf den Schenkel Ai{Aq) des in einer beliebigen Lage
{AQ)Ai{At^ gedachten Winkels or, eine ganz ähnliche Bedeutung
hat, wie q>Q in Bezug auf den Schenkel Aq{A{) des in einer be-
liebigen Lage {Ai)Aq{A^ gedachten Winkels a^y ganz eben so
wie vorher

5) yi=^itang9i

die Gleichung des Schenkels Ai{Aq) in dem Systeme der^iy^, und

6) yi=^itang(ai + 9i)

die Gleichung des Schenkels ^1(^2) in demselben Systeme^ Nan
finden aber zwischen den Coordinaten xy und Xiyi offenbar die
folgenden ganz allgemeinen Gleichungen:

Statt, so dass also

xi — ai'-x, yi=y
ist; daher ist

7) 2^ = («i— ^)tang9i
die Gleichung des Schenkels Ai(Aq), und

8) y = («1 — x) tang (a^ + (pi)

die Gleichung des Schenkels ^1(^2)» heide Gleichungen in Bezug
auf das System der xy genommen.

Hiernach sind folglich für irgend eine beliebige Lage der
Winkel ciq und Ui die Gleichungen ihrer crura dirigentia in dem
Systeme der xy:

9) yzzzxtangcpo, y = (ai—x)i3Lng(pi;]

Hi^t Ke^eisehniiii durch fünf gegebene Putikie. 336

and die Gleichungen ihrer cmra describentia in demselben Sy-
steme sind:

10) y = a:tang(ao + g)o)» y=:(«i— «a?)tang(ai+9i).

Legen wir jetzt die ernra describentia durch den Punkt A^
oder (0363), so ist

6g = 03 tang (ofo + g)o) , 63 = («i — «3) *»"? («1 + 9>i) >
voraus man mittelst leichter Rechnung

63 — gatanfirgp . ^^ ^3 — K— <y3)tangg|

tangyo = «^+^^tani^' *^"g9>i = (a,^a3)+63tang«,

erhält j so dass also nach dem Obigen

^63 — fiatangcfp^ 63 ~ K -- (ig) tangg| _

^ «3 + 63 tang Oo * ^ (Ol — «3) + ^3 tang «1^ * '

d&e Gleichungen der crura dirigentia sind; und bezeichnen wir
folglich die Coordinaten des Durchschnitfspunkts A^' der crura
dirigentia durch 03', 63' , so haben wir zu deren Bestimmung die
Gleichungen:

I ._^» — «3taiiggo^ ; , /_ft3— («i-g3)tanggi

^-«3 + 63tang^^»' ^»~(ai-fl3)+63tang«/^^--"»^'

aus denen man mittelst leichter Rechnung:

336

P

3

1^

s
09

1^

a
^

P

D

'O»-

^

&
t^

09

Grüner t: üeber die Beschreitung

o
-1
p

s

5
p

D

s

3^

1^

II 5-

- II

2.

<»

-«

ir ?3

P

=3

09

f6

9

C

3

09

+ 2

pt

09

A

3

-5'

CD

-1
S
n
P

-1

CD

-1

Od

II

II

f

n

P

C

CO

o

+

I

5'

o

p"

s

09

B
C

tk

«•

o

O

o

CO P

«?

c«

09

CR

Cd

2.
5*

Cd

0»

o»

Cd

+

CO

2.
3'

Cd

9
Cd

2.

5'

o

<D

K)

•?-

c?

II

II

a

>-

i?

a

^

1

.c*

Cd

1

Cd

rt

Q

«

o

Cd

O

«

^

QR

P

/O-V

7

S

09

<?

4-

^

+

R

Q

M

kl^

1

^

1

«9

1

T

/^«N

&

a

1

Cd

t

Cd

1

1

1

^

Cd

a

*w

Cd

Sä

Cd

&9

a

Cd

1

3
J9

1

.?*

^

^

.^

■m-m^

Ok

Cd

Q

Cd

«.

M«

OS

■M«

o

■■«•

S

o ,

3

/»"~V

'/)

,,«^

o^

c=»

C«

+
3

^"^

a

Cd

Cd
*^
P
3

09

Cd

a

Cd

P

3

09

o

3

erhält, so dass also nach dem Obigen

II

CO

,?

M
g^

t
+

§

09

««

Cd
P

09

Cd

a

Cd

P

Cd

a

Cd

«■^
P
3
'i9

Cd

I

a

Cd

-^

P

3

09

^4 — a^i'dn^af^

«4 + 64 tang ofo

(0

II

a*

CS

a

Cd

3
09-

a

Cd

C0

3
09

Cd

a-

Cd

S

+ ■

a<

w

»
3
IQ

et

I

9

cfla
l

a

09

OQ

y=

die Gleichungen der crura dirigentia sind ; und bezeichnen wir«
folglich die Coordinaten des Durchschnittspunkts ^4' der crura
dirigentia durch 04', 64', so haben wir zu deren ßesiromung die
Gleichungen:

__ 64~^;4tang og ^ , /, /_^4— K — «4)tangofi^
^^ -04 + ^4 tang «o''* • ^* ~(«i-«4) + 64tang«7^''*'"''*^'

aus denen man mittelst leichter Rechnung:

ttne* KtgtUelrnttt» , durch fünf gegeben» Punku.

337

1^

l

^

1

H

^•^

^^v

o?"

1

1

Q

Q

#»

4k

«^

«■«>

fi3

P

B

S

OQ

09

s

i^

^m^

.„«^

^

'S

a

^

a

1

•ik

1

1^

1

1

1

+

79

**•

p

B
79

P

9

^

P

3

^

OQ

OQ

Si^

S

3

^

•f

1

+

1

*^^

/»-N

/-^

e

;q

Q

a

N«

1^

^

-f

1

+

1

ö*

1

^

#^

^

a

1^

a

»♦•

M

«-f>

1^

p

P

^^~f

o1

p

B
09

p

B

^

:iQ

c«

39

*B

3

^•

.•v*<

^

"-"^

Q

«»

a

1

^

1

1

a

Q

4ü«

►-

1

1

a

a

^

1^

">^^

>— X

«■*»

r*".

p

p

3

cw

OTQ

«

i^

)

, (^4 + ^4 tang or^») 1 64 — {a^ — 04) fang u^ \ a^ cog o^ ^^ ^\
^* ~" fli 64 cos (ofo + «1 ) — («1 «4 — 04^4 — *4^4) sin (uo + «i) '
. , (64— g4tangr cfp) I ^4 •— (ff| — cr^) fang ofi } a^ cos cfp cos u^ .

)

, (q4C0S ofQ 4-64810 cfp) I ft4Cos cf| — (ffi — 114) sin a, | /ii

* Ol 64 COS («0 + a{) — (flriflr4 — 04^4 — 6464) sin (otq + a^) *

, - (64 COS «0 — 04 sin cfp) 1 64 cos Oj — (o, — n^) sin er, | n.

* "" «1^4 cos («o + «i) — («104 — «4«4 — ^4^4) sin («0 + «1)

rKeU XXIV.

23

838 Grunefi: üeber die BeseAreiihmi

Sei nun

17) f/ = Aj: + B

die Gleichung einer beliebigen geraden Linie. Sind dann n, 9 im
Allgemeinen die Coordinaten des Durchschniftfspunkts der crora
dirigentia« so hat man, wenn dieser Punkt auf der durch die vo^
stehende Gleichung charakterisirten geraden Linie liegen soll»
nach 9) und 17) die folgenden Gleichungen:

18) vzz,uisLX\g(po, v=:(ai — u)t&ngg>i, v=^Au-i-B;

und sind x, y die Coordinaten des entsprechenden Durchschnitts*
punkts der crura describentia, so ist nach 10):

19) 3^ = a:tang(cro + g)o)» 3^ = («i— <a^)tang(ai +g>,).-
Aus diesen Gleichungen folgt:

y — .rtangorp ^ ycoscfg — orsin Uq

o ^ö ^ _|. y ^^jjg u^"^ X cos «0 + y sin clq *

y — (ßi — x) tang g| _ y cos^i -- (fl| — x) sinofj ,

g 9i j^^^ — ^^ + y tang aj (fli — a:) cos cif| + y sin a^ '

also

ycosofo — ••'^sincifo yCosöri-^(cri — x)»\i\c[i

arcosofo +ysniofQ (o^ — »T)cosai +ysina| ^

folglich :

^ ^ — - — ^ u = 7 \ ' ^ , . — -(a. —u) z=Au + B.

xcos aQ -f-y sin «(, {ai — o;) cos «i + y sin «^ ^ ' ^

Eliminirt man aus diesen zwei Gleichungen die Grosse u, 80
erhält man die Gleichung zwischen x und y für die Curve, welch«
der Durchschnittspunkt (xy) der crura describentia beschreibt,
wenn der Durchschnittspunkt {uv) der crura dirigentia sich auf
der durch die Gleichung

y=Ax+B

charakterisirten geraden Linie bewegt. Aus der Gleichung

ycoscvo — X» i n (Yq y cos ai ^" (Oi — x) sin a^

X cos Uq + y sin a^ "~ («i — ar)cosai +ysinaji^ * *

erhSit man sehr leicht:

eines i^egetschnUts durch fünf gegebene Punkte, 399

^_ jx cos Oq f y gJn gp) { y cob «i — («i — ac) sin cv| ) Hi
(jrcosoo-l-ysinoo) tycosoTi — («i — a:)sinail

+ (ycosoo — ^sinao)'{(ai — x)coBai -{-ysiTiai )'
er nach gehöriger Cntwickelung des Nenners :

(jrcosa^+ysinofo)|ycosgi — (ii| — jr)8ina^itt,

"" a,y cos («0 + «i) — (oia:— ora?— yy)8in(ofo + «i)*

Iso nach dem Obigen:

(y cos cfp — .y sin otq) { y cos üf| — (ai — o:) sin cf| | ff|
fliy cos («0 + ffi) — (fi^—^^—y?/) sin («0 + ofi)

— y(^<^os'yo + ysintto)iyeosttt — (q, — ar)sinof, )<y|

oratis sich die Gleichung

(y cos ccq — /r sin ofo) { y cos «i — (a^ — a:) sin aj | «i
M) < =-4(a:cosao + ysinap) {ycosofi — (e7| — a:)sinO|}a|
+ Ä( «ly cos («0 + «i) — (^^i^t: - a::r - yy.) sin(cfo + «1 ) I

ir die Curve ergiebt, welche der Durchschnittspankt der crura
escribentia beschreibt, wenn der Durcbscbnittspunkt der crura
irigentia sich auf der durch die Gleichung

y = Ax + B

larakterisirten geraden Linie bewegt.

Da die Gleichung 20) eine Gleichung des zweiten Grades
riflchen den beiden veränderlichen Griiften or, y i^t» so ist die
Rede stehende Curve jederzeit ein Kegelschnitt.

•

Weil die Gleichung 20) durch a:=0, y=0 offenbar befriedigt
rd, so liegt der Punkt Aq, dessen Coordinaten 0,0 sind, jeder-
it in dem durch die Gleichung 20) charakterisirten Kegelschnitte.

Offenbar wird aber die Gleichung 20) auch durch a:=ai, y=0
friedigt, und es liegt daher auch der Punkt Ai, dessen Coor-
Daten a|,0 sind, immer auf dem durch diese Gleichung* cha-
kterisirten Kegelschnitte.

Die Coordinaten des Punktes A2 sind nach 1):

23'

340 Grunert: Veöer die Beschrdöung

aiCOso^Qsinai /7| sino^sinoTi
sin(ao + ai) ' sin(ofo + ai)

Führt man diese Coordinaten in' die Gleichung 20) ein, so wird
der Zühler des Factors

y cos dl — (<?! — a) sin Ui ,

wie man sogleich übersieht:

Ol sin Uq sin c^i cos ai ~ Oi { sin (c^o -{-ai)-^ cos oto sin ai ] sin Ui
=ax(sinorosincir|Cosori — sincvosinori cosa|)=09

uod der Zähler des Factors

«i^cos(ao + «i) — Ka?— a:a:--yy)sin(«o + Ofi)

wird

a^^i sin ofQ sin cfj cos (cfo+^i) ~ cos ccq sin ai sin (ofo+«i ) + cos a^^^sin «i' )

+ sinofo^sinai* j
f sinofocosc^o sincfi cosotx — sinufo^sinai* + sioofo^siuofi* i
L — sin «Q cos Uq sin ofi cos ofi — cos of^^sin a^^ + cos cfj^^sin ofi* j

=:0; daher wird die Gleichung 20) auch durch die Coordinaten
des Punktes ^2 ei*^n"t, und der Punkt ,^2 ^'^S^ daher immer in
dem durch diese Gleichung charakterit^irten Kegelschnitte.

Hieraus sieht man also zuvörderst, dass der Kegelschnitt,
welchen der Üurchschnittspunkt der crura descrihentia beschreibt,
wenn der Durchschnittspunkt der crura dirigentia sich auf der
beliebigen, durch die Gleichung

y = Ax + B

charakterisirten geraden* Linie bewegt, immer durch die drei ge-
gebenen Punkte Aq, Ai, A^ geht.

Specialisireu wir jetzt die durch die Gleichung

y = Aa: + B

im Allgemeinen charakterisirte gerade Linie dadurch, dass wir
dieselbe durch den Punkt A^^ oder {a^'b^') legen, so haben wir
die Gleichung

also nach ]3):

eine$ Keffeischnilts durcä fünf gegebene Punkte, 341

(63 cos ttp — 03 «in cfp) { ^ cos «i — (oi — 03) sin a^ | a^
a,63C08(ao+«i) — («iö3 — «3«s--M8)sin(ao+«i)

__(a3C08go + ^3sinci{o){63Costti'— (c/i— ff8)sing^|gi ^
0163 cos (cfg + «1 ) — (ci 03 — 03^3 — Ä363) sin (oo+ofi)

der:

(63 cos Oo — 03 sin «0) { 63 cos «i — («i — a^) sin «i ) «i
= 2l(a3CoscK()4'63sino^) {öscosorx. — (ox — 113) sin «i } Ci
+ Ä{^i63COs(ofo + «i)--(«iff3-03fl^3-"M3)»'o(ao+«i)};

nd Yergleicben wir nun diese Gleichang mit der Gleicbang 20)»
Imlich mit der Gleichung

{y cos cfo — ar sin «o) ( y ^^s «i — («i — .r) sin «j ) ai
=: A(a: cos «(, + ^ sin ofo) ( y cos oti — («i — a:) sin «i } a^
f Bloiy cos(ao + «1) — («lar— aror — 2^^)sin(cfo + ofi)l,

0 sehen wir« dass diese letztere Gleichung unter der geroachten
/Voraussetzung durch a: = n^, ^ = ^3 erfüllt wird» und dass also
ler durch die Gleichung 20) charakterisirte Kegelschnitt unter der
D Rede stehenden Voraussetzung jederzeit durch den Punkt A^,
Jessen Coordinaten (I3, 63 sind, geht.

Specialisirt man die durch die Gleichung

y = Aa: + B

m Allgemeinen charakterisirte gerade Linie dadurch, dass man
lie durch den Punkt A^' oder (a^'b^^') legt, so lässt sich ganz
iofdieselhe Art wie vorher zeigen, dass der durch die Gleichung 20)
haraktcrisirte Kegelschnitt durch den Punkt A^^ dessen Coordi-
taten 04, 64 sind, geht.

Wenn man also die im Allgemeinen durch die Gleichung

yz=iAx\B

barakterisirte gerade Linie durch den Punkt A^' legt, so geht
er Kegelschnitt 9 den der Durchschnittspunkt der crura descri-
entia beschfeibt, indem der Durchschnittspunkt der crura diri-
entia sich auf der in Rede stehenden geraden Linie hewegt,
arch die vier Punkte A^^ Ai, A.^, A^. Legt man dagegen die
lorcb die Gleichung

343 Gruneri: Vtöer die Beickreiäung

im Allgemeinen cbarakterUirte gerade Linie durch den Punkt il«',
so geht der Kegelschnitt » den der Darchscbnittspunkt der crora
describentia beschreibt, indem der Durchschnittspunkt der crura
dirigentia sich auf der in Rede stehenden geraden Linie bewegt, :
durch die vier Punkte Aq^ An A^, A^. Wenn man also die durch
die Gleichnng

y:=:^Ax^B '

im Allgemeinen charakterisirte gerade Linie mit der durch die
beiden Punkte A^' und A^' der Lage nach bestimmten gerades
Linie zusammenfallen lässt^ so geht der Kegelschnittv den der
Durchschnittspnnkt der crura describentia beschreibt» indem der
Durcbschnittspunkt der crura dirigentia sich auf der in Redt !
stehenden geraden Linie» vrelche also durch die Punkte A^' ntii \
Ai^ der Lage nach bestimmt wird» bewegt» sowohl durch die vier
Punkte ^09 -^i* -^2» -^s* &'^ ^xn^h durch die vier Punkte A^^ Ai,
A^, A^, folglich durch die fuiif F^unjcte Aq^ Ai, A^, A^, A^, wo-
durch die Richtigkeit der obigen Construction des durch diese
ffinf Punkte gehenden Kegelschnitts vollständig bewiesen ist
Ueberbaupt aber enthält das Vorhergebende . offenbar eine Anlei*
tung zur Beschreibung der Kegelschnitte durch drei» vier» fönf
gegebene Punkte.

Wenn man die Gleichung 20) gehurig entwickelt^ so erbitt
sie die Form:

0 = {üi sin ofo sin «i + Aai cos aQ sin «i + ^sin (otq + «i) ) afl
— I Ol cos Kq cos ofi — Aoi sin ofo cos ai — Ä sin (uq + «i) | ^'

21) ^ +flitsin((Yo — ai) + 24cos(ofo — ai))a:y

• — C7| t AisinofQsinai + ^4«! cosor^sinai +B»\n(aQ-{-cci)]:c
+ ^1 { ^1 cos cxq si D cf, — Aai sin oro^in cci-\-ß cos (uq + a^) )y,

und setzen wir nun der Kürze wehren

iSl = rti^{sin(ao — tti) + ^cos(ao--ai)12
+4{flisinaosinai + ^criCoscyosin^i+Äsin((^o-|-ai)|
Xiejicos^ocosfiri— ^^aisincfocosof] — Äsin(«o+«j)lf
so ist bekanntlich, jenaehdem

Ä<0» Ä=0, Ä>0

ist» der durch die Gleichung 20) oder 21) charakterisirte Kegel-
schnitt respective eine

Hne$ M^9€i9cMt(i durch fünf §0aeb^9 Pmhit. 343

Ellipse» Parabel» Hyperbel.

Di« GrOMa Sl bringet nan nach gehöriger Entwickehmg and
■igao leichten Vern^andlungen auf die folgende Form:

J Ä^V{sin(aö + ai) + ilcos(«ö+«i)P

C+4Ä|aiCOs(ofQ+ai)— 24cri«in(ofQ+ofi)— Ä8in(ofo+«i)lsin(flfo+ai).
Teil nnn aber

iS(rin(a^-fa|)4«^co8(ffo+ai))^+Ai^tcos(oiö-fai)-*^«in(«^-fai)l*

•d

B|criC08 (oo + «i) — Aa^^ sin(ao + «j) — -ßsin (cfo + «i) t sinCa^ + «i)

— ai*{cos(oro + ai)— ^8iD(ao+ai)l*

=— <ii*{cos(cfo + «i) — -4sin(ao + ai)P

|-4a|Jfftco8(oö-f <^i) — -4sin(ao + «i)lsin(ofo + of,) — 4Ä2siD(aö+«i)*

= — l*'i [cos(or0 + ofi) — ^^sin («o + «i)] "" 2i5sin(ofo + of|) 1*

= — { Ol cos («0 + ofi) — ^Itti sin (cfo + «i) — 2Äsin (cfo +«i) )*

it, 80 ist auch:

t — {aiCOs(aö + ai) — -4aisiu(«o + ai)— 2i?sin(oro + ai)P,

welches der einfachste Ausdruck sein dürfte, auf welchen man
lie Grosse Sl bringen kann.

Wenn man durch die vier Punkte Aq^ Ai, A^^ A^ eine Para-
bel beschreiben wili^ so wird man die Grössen A und B aus den
leiden Gleichungen

i*(l + .4«)-^jaiC08K+ai)-/4ai8in(ao+Ci)-^2Ä8in(tfo+«i)}*=0
der

ai»a + ^*) cosecK + «i)*- 1«! cot(ao + <^i)— ^«i -2j5}a=0,

ro fÜr.cTa' und 63' ihre aus 13) bekannten Werthe zu setzen sind,
«stimmen. Denn dann geht wegen der ersten dieser beiden
SleichoDgen die durch die Gleichung

344 Eiien: Die Lehre vom SchwerpwMe

charakterisirte gerade Linie durch den Punkt (ß^'b^') öder Ä^,
also nacK dem Obigen der Kegelschnitt » welchen der Durch-
Schnittspunkt der crura describentia beschreibt, indem sich der
Durchschnittspunkt der crura dirigentia auf der durch die Gleichung '

y-Ax-{^B

charakterisirten geraden Linie bewegt, durch die vier Punkte A^j
Ali A^t A^j und da ausserdem die Gleichung 52=0 erfüllt isl^
so ist dieser Kegelschnitt eine Parabel.

Die Lehre vom Schwerpunkte in der elementaren

Stereometrie.

Von

Herrn JE. Essen^

Lehrer der Mathematik und Physik am Gymnasium zu Stargard.

1) Aufgabe. Die Summe beliebig vieler Seiten-
flächen eines schief abgeschnittenen geraden Prismas
zu finden.

Auflösung. Es seien Aß, BC, CD drei Grundkanten des
gegebenen Prismas; ab, bc, cd die entsprochenden Seiten der
Schnittfläche; t\ G, H, sowie /*, g, h, die Mitten der genannten
Linien. Alsdann ist die Summe der drei Paralleltrapeze ABab
BCbc, CDcd gleich der Summe

ABxFf+BCxGg + CDxIJL

' im der elementaren Stereometrie, 346

Dieser Ansdnick lässt sich umfonneD. Zu dem Ende setzen wir
fest 5 dass wir unter den zu den Punkten F^ G, H gehörigen Län-
gen diejenigen Seiten verstehen wollen, deren Mitten diese Punkte
sind. Dies Torausgesetzt» bestimmen wir auf der Linie FG einen
PoDkt M dergestalt, dass seine Abstände von F und G sich um-
gekehrt verhalten wie die dazu gehörigen Längen. Errichtet man
dbn in M ein Loth auf der Grundfläche und verlängert es, bis es
die Gegenfläche in m trifft, so hat man:

(1) (Ff'-Mm)i{Mm'-Gg)=^FM:GM,

(2) FM:GM=BC:AB,
woraus man ableitet:

ABx Ff+ BCx Gg = {Aß + BC) X Mm.

Jetzt möge- die Summe AB+BC die zum Punkte M gehö-
rige Länge heissen. Bestimmt man nun wiederum zwischen M
und H einen Punkt N nach dem schon oben befolgten Gesetz,
Dämlich so, dass man habe

MN:HN=CD:(AB + BC),

uod errichtet sodann in N das Loth Nn, so zeigt sich ähnlich
wie zuvor, dass man habe:

ABxFf+BexGg^CDxHh = (AB+BC+CD)xNn.

Um also die Summen beliebig vieler Seitenflächen eines Prismas
der vorausgesetzten Art zu finden, hat man die Summe der Grund-
kanten mit einer gewissen Linie zu niuitipliciren, die senkrecht
auf der Grundfläche steht und bis zur Schnittfläche geht. Die
Lage dieser Geraden hangt offenbar von der Länge und Lage
der betreffenden Gruodkanten ab.

2) Erklärung. Um den erhaltenen Ausdruck bequemer in
Worte fassen zu können, machen wir folgende Festsetzungen:
Die Mitte einer geraden Linie soll auch ihr Centralpunkt heissen.
Hehrere Linien zusammen heissen ein System von Linien. Der
Ceutralpunkt eines Systems von zwei Linien soll derjenige Punkt
auf der Verbindungslinie ihrer Centralpunkte heissen, dessen Ab-
stände von diesen Punkten sich umgekehrt verhalten, wie die zu-
gehörigen Längen. Centralpunkt eines Systems von beliebig vie-
len Linien soll ein nach folgender Reget aufzusuchender Punkt

346 Essen: Die Lehre vom Sekwerpunkie

genannt werden: Man verbindet nach und nach swei, drei, Titr
der gegebenen Linien zu einem System and geht jedesmal ron
dem Centralpunkt des vorhergehenden Systems zu demjenigen de«
folgenden (iber, als hatte man den Centralpunkt eines Systems
Ton zwei Linien zu suchen.

Fa8st man nun mehrere Grundkanten eines geraden Prismas
zu einem Systeme zusammen, so mag das im Centralpunkt dieses
Systems errichtete Loth die Centralaxe jener Grundkanten heissen.

Hiernach hat man nun folgende Regel : Man findet die Summe
von beliebigen Seitenflächen eines schief abgeschnittenen geraden -
Prismas, wenn man die Summe ihrer Grundkanten mit der zuge-
hörigen, bis zur Gegenfläohe verlängerten Centralaxe multiplicirt.

Hierdurch ist man in den Stand gesetzt, die Summe der Sei*
tenflächen eines beliebigen schief abgeschnittenen Prismas zu be-'
rechnen, da sich ein solches immer in zwei gerade schief abge-
schnittene Prismen zerlegen lässt.

3) Aus den beiden vorstehenden Sätzen ergeben sich' sogleich
nachstehende Folgerungen:

a) Jedes System von Grundkanten hat einen bestimmten
Centralpunkt, und es ist bei der Aufsuchung desselben
gleichgültig, welche Ordnung man befolgt, weil man sonst
verschiedene Ausdrücke für dieselbe Oberfläche erhalten
würde.

b) Der Centralpunkt eines aus zwei gleichen Linien gebil-
deten Systems liegt in der Mitte zwischen den Central-
punkten der einzelnen Linien.

c) Fallen die Centralpunkte zweier Systeme zusammen, so
ist derselbe Punkt auch der Centralpunkt des aus beiden
zusammengesetzten Systems.

d) Der Centralpunkt des ümfangs einer Figur von symme-
trischer Gestalt liegt auf der Axe der Symmetrie, und
der Centralpunkt des ümfangs einer regulären Figur ist
der Mittelpunkt dieser Figur.

4) Erklärung, Centralpunkt der Fläche eines Dreiecks heisst
derjenige Punkt, in welchem sich seine drei Mittellinien durch-
schneiden.

5) Lehrsatz, Man findet das Volumen eines schief
abgeschnittenen geraden dreiseitigen Prismas, wenn

I

in der elemeniaren Stereometrie. 347

m%% (leiDe Grundfläche mit dem in ihrem Centralpunkte
M# sor* Gegenfläcbe errichteten Lotb, il. h. mit der
U^ntralaxe «eioer Grundfläche, multiplicirt.

Beweis. Man bat bekanntlich

^==—3 '

in trelchem Ausdrucke G die Grundfläche, l,m,n die Seitenkan-
ten Aa, Bb, Cc vorstellen. Halbirt man nun AB und ab bezOg-

lieh io D und d, so ist Dd=: —^' Schneidet man vom Fus«

der Hittellinien CD und cd den dritten Theil ab und sind F und
f die Endpunkte der abgeschnittenen Drittel, so steht F/* senk-
recht auf der Grundfläche, und dabei hat man:

Cc'-Ff = 2iFf-'Dd)i

vdthin Ut Ff=^^1^'' und V^ GxFf^

6) Zerlegt man die Grundfläche eines beliebigen geraden schief
ibgeschnittenen Prismas in die Dreiecke 6r|, G^, 63...., und sind
k» ^tf 4 ^'^ Ceutralaxen dieser Flächen bis zur Gegenfläche ge-
nebnet, so'^bat man:

Vzz: Gi/i + G^i^ + Gj/s + . . . .

Dieser Ausdruck gestattet dieselbe Umformung wie der frühere
filr die Oberfläche und giebt zugleich Anlass zur Einführung des
Centralpunkts eines Systems von Dreiecken, wobei ich mich jedoch
nicht aufzuhalten gedenke.

7) Aufgabe. Es ist in einer Ebene ^iV eine Gerade
PQ gegeben und ausserdem eine Figur ABCD..,,, die
aber nur auf einer Seite der Geraden PQ liegt; es soll
das Volumen und die Oberfläche desjenigen Körpers
gefunden werden,, welch er durch AßCD,,,. beschrie-
ben wird, wenn die Ebene flIN um die Gerade PQ ge»
dreht wird.

Auflösung. Man suche den Centralpunkt des Cmfangs und
den Centralpunkt der Fläche der gegebenen Figur, der erstere
nOge. durch C7, der letztere durch V bezeichnet werden. Alsdann
theile man einen der Kreise, welche von den Punkten A, B, C,

348 Essen: Die Lehre vom Schwerpunkte

D, .... Ut F beschrieben wurde», in 2n Theile, lege darcb sänimt-
liehe Tbeilpankte Ebenen, die jedesmal auch durch PQ gehen;
dann werden offenbar alle genannten Kreise in 2n Tbeile getheilt
Zieht man nun an alle diese Kreise im ersten, dritten, fünften,
überhaupt in jedem ungeraden Theilpunkte Tangenten, so scluiei-
den sich je zwei benachbarte Tangenten desselben Kreises in
derjenigen Ebene, die durch PQ und ' den zwiscbenliegenden
Theilpunkt geht. Säramtliche Tangenten bestimmen« vrenn man
von denjenigen absieht, welche durch die Centralpunkte der e^
zeugenden Figur gehen, einen aus lauter schief abgeschnittene!
iPrismen bestehenden ringfürmigen Körper, und der senkrechte
Durchschnitt sämmtlicher Prismen ist der erzeugenden Figur con*
gruent. Folglich erhält man die Oberfläche jenes ringförmigeB
Körpers, wenn man den Umfang der Figur mit dem Umfange des-
jenigen regulären Vielecks multiplicirt, dessen Seiten den Krel«,
der vom Centralpunkte des Umfangs der erzeugenden Figur be-
schrieben wurde, tangiren. Denkt man sich die Anzahl der 2»
Tbeile in's Unendliche wachsend, so nähert sich die Oberfläche
des betrachteten Körpers ohne Ende der Oberfläche des gegebe-
nen Cmdrehung8körp||s, während sich jenes reguläre Polygon
dem umschlossenen Kreise nähert; mithin erhält man die Ober*
fläche des Umdrehungskörpers, wenn man den Umfang der e^
zeugenden Figur mit dem Umfange desjenigen Kreises multiplicirt,
der vom Centralpunkte des ersteren Unifanges beschrieben wurde.

Ganz Analoges ergiebt sich für das Volumen desselben Körpers.

8) Erklärungen. Man versteht unter dem Centralpunkte
eines Kreisbogens denjenigen Punkt, welchem sich der Ceiitral-
punkt einer gebrochenen Linie mit gleichen Seiten ohne Ende
nähert, wenn man die Anzahl dieser »Seiten in's Unendliche wach-
sen lässt.

Man versteht unter dem Centralpunkte eines Kreissegments
denjenigen Punkt, dem sich der Centralpunkt einer über der
Sehne des Sei^ments stehenden Figur, die dem Bogen dieses Seg-
ments einbeschrieben ist, ohne Ende nähert, wenn man die Zahl
der Seiten dieser Figur ohne Ende wachsen lässt.

Man denke sich den Bogen Aß in n Tbeile getheilt und die
Theilpunkte durch Sehnen verbunden; a:n sei der Abstand des
Centralpunkts der entstandenen gebrochenen Linie von einer be-
liebigen Geraden PQ, Fn die Oberfläche des Körpers, welcher
erzeugt wird , wenn jene gebrochene Linie um PQ gedreht wird,
F die vom Bogen AB mittelst derselben Umdrehung erzeugte
Oberfläche. Alsdann hat man

in der elemeniaren Stereometrie. 349

ofem man noch durch In die Länge der gebrochenen Linie be*
^ichnet Denkt man sich nun n in's Unendliche viachsend, so
Ihert sich Fn ohne Ende der Grösse Fy In der Lange / des
ogeos AB\ mithin nähert sich auch Xn ohne Ende der Grüsse

;-• Nimmt man noch eine zweite Linie I^Q' an und bezeichnet

n

txt durch yn, was vorhin durch Xn vorgestellt fvurde^ so nähert

F'

ch yn ohne Ende der Grüsse -;;j— > > indem man durch F' dieje-

ge Oberflache bezeichnet, welche durch Umdrehung de/s Bogen«

B um P'Q* entsteht. I\lithin ist der Schwerpunkt des Bogens

B ein Punkte dessen Abstände von PQ und P'Q' bezüglich gleich

? F* .

-i and gleich ^—7 sind» d. h. es ist ein vollkommen bestimmter

Ulkt.

0) Aufgabe. Den Schwerpunkt eines Bogens AB
1 finden.

Auflösung. Augenscheinlich liegt der Cenfralpunkt eines
ogens auf demjenigen Durchmesser, welcher durch seine j\1itte
cht; man hat daher nur seinen Abstand vom Mittelpunkte zu
ewtimmen. Denkt man sich den Bogen AB um einen mit der
ehne AB parallelen Durchmesser gedreht, so ist die vom Bogen
\B beschriebene Zone bekanntlich gleich 2r7rX Sehne AB\ mit-
in ist der Abstand des gesuchten Centralpunkts

r. TT X Sehne AB

Bogen AB

M i 8 c e 1 1 e

Annng not eisern Briefe des Herra Doetor G. F. W* Baelir t« 6rl-

flinken an den Hernoi^eber.

Permettez moi encore de vous communiquer ane reroarqne qoe
j'al faite en liaant dana un des archives (que je n'ai paa-prte de
moi k l'inatant) une dömonstration de la proposition „que le carr4
de l'hypotenuse d*un triangle rectaiigle est egal ä la somine des
earreM des deiix aiitres c6i48," Peut etre on l'ä faite avant moi.
Cette proposition ne §erait qu*un cas particulier de la suivante: \

Si sur les deiix c6t^s AB et BC (Planehe IX. Fig. 5.) d*an
triangle quelconqiie on construit des parallölogrammes quelcoiiqoes
AB DE et BCFG, et qu*on prolonge les cötäs ED et FC, qai
se coupent cn //; on aura, en tirant HB, qui coupe le cot^ op-
poH«^ cn J, et en prenant Jfi=rz/IB, apres avoir acheve le paral-
ielogramine ACLM, quc co dernicr paralleiogramme est egal a
lu Nonnne de» deux preniiers.

La denionstration est assez simple; car en prolongeant L/4 jus-
qu'a la roncontre A' avec £//, on aura ABCD=: ABNfJ=BHNA
r=:JKAL, et de nienie on aura BCFG = JKC3J, etc., etc.

IMaintonant si B est un angle droit, et qu'au lieu des paral-
lölograinnies on construit los carres des cotes, on aura par cette
constrnotion olle meme, B// = AC^= JK; car le triangle BDU
est alors t'gal et seinlilablc au triangle ABC et BH sera perpen-
diculaire a A(\ Ainsi le theoremc du carre de Thypotennse serait
un corollairc de cette derniere proposition que je viens d'enoncer.

Voici encore une construction de gäometrie, qne je n'ai
encore renconträe dans aucun 11 vre älementaire, et pour moi assez
curiouso par la circonstance qu'elle me Tut proposee dans un exa-
nien il y a deja 18 ans:

Si dans un paral. ABCD (Planche IX. Fig. 6.) on tire les dia-
gonales AC et BD* et par leur point de rencontre EF parallele
au c6H BC; puis FB et par le point de rencontre G, GH paral-

MUeeUen. 351

tele k BC\ puis HB et par le point de rencontre J, JK paral-
Me ä ÄC, etc.; od aura EF=:\BC. GH-\BC, JK-IBC, etc.;

h «'*»« ligne parallele ä BC sera ^gale ^ — t-jXÄC. Lademon-

stration est trös simple, et peut etre eile vous semble bonne poar
les exercices des commencaiits.

U s'en suit, si GH est la n«'*"»« et JK la (n + l)«*"»« ligne paral-

2 2

Meäi?C et posant DC=2, CH—^^^$ CAr=^^X2* ?»"■*»"*

(n + l)(it + 2) -"(>!+ l)(n + 2)'

2

Ainsi les segments tels que DF, FH, HK, etc. seraient l'inverse
' des Dombres Iriagonaux, et comme leur somme est ^gal aa t6t4
1>C=2 oo aora. par la gäometrle:

Von dem Hetansg^bdlr.
I.

Wenn in Taf. IX. Fig. 7. O der Mittelpunkt des um das Drei-
eck il^C beschriebenen Kreises» dej^sen Halbmesser wir durch
.f bezeichnen wollen, ist, und auf die Halbmesser OA, OB, OC
nt A, B, C Perpendikel errichtet werden, so entsteht ein neues
Dreieck A'B'O, dessen Seiten, indem die Seiten des Dreiecks
ABC wie gewohnlich durch a, b, e bezeichnet werden, wir auf
^e in der Figur angedeutete Weise durch cc + ß, ß-i-yt y+a be-
Kicbnen wollen. Die Flächenräume der beiden Dreiecke ABC
nd A'B'C seien respective A und A'.

Dann ist bekanntlich

1«J'«= {(« + /?) + (/3+y) + (y+tt)!X{-(«+/?) + (iS+y)+(y+«)|

X{(a + /3)-(^+y) + (y+«)IXi («+/?) + (iS+y)-(y+«)U
also

*) Ich habe 4{eMn Brief des verehrten Hem Verfassers wegen »el-
MS interessanten Inhalts gans abdrucken lassen; man vergl. aber auch
Um Noten des Herrn Prof.'Steczkowski in Krakau in ThLXXII. S.954^
TU. WW. S. 859. O,

303 maetUen.

1) ^'« = «|5y(a + |J + y).

Nun ist aber auch

2/' = i(« + /3)r + 4(|3 + y)r + 4(y + «)r.
also

2) ^' = (« + /5 + y)r.
Vergleicht man 2) mit 1), so erhält man:

Auf der Stelle erhellet die Richtigkeit der folgenden Gleichonj

4) ^ + U'=90o, J? + iÄ' = 90o,. C+lC'=90o.

Nun ist offenbar

z/' — ^ = 4«« sin A' + 4/3«sin B' + iy« sin C ,

also nach 4):

^'-z/ = 4a«sin2il + J/52sin2i? + 4y«sin2C.
Aber

ia=:asin Jil' = tteos^, «=ö 5*

•^ ^ ^ zcosz»

k = ysin4C'=ycosC, y=2cosC''
also nach dem Vorhergehenden, wie man leicht findet:

5) J' -J — Ka^tang^ + 62tang^ + c^tang C).

Weil offenbar

a = rtang^, j3 = rtang5, y=rtangC

ist, SO ist nach 3)

r^ tang ^ fang /? tang C
r(tang^ f tangjß+ tangC)

also

6) tang A + tangÄ + fang C= tang ^ tangjB tang C,

eine bekannte Relation zwischen drei der Bedingung

^ + /? + C=:180o
genugenden Winkeln.

it:

MUcelien, gB3

Nach 3) and den vorher gefundenen Ausdrücken

a_- Ä & c

"""2cosil' ^"^"IcobB' ^""20080

abc

« Scosilcos^cosC

2 Vcos J ^ cos J? ^ cos Cy
rnnrn sich leicht die folj»ende Relation ergiebt:

cos^ cos^ . cosi? cosC . cosC cosJ

» ©■=

a b ^ b

Aach Ist nach 1):

^ l6 ' cos A ' cos Ä ' cos C Vcos A ^ cos B "*" cos C/*

Nach 2), und weil nach dem Obigen

ar=:rtang2l, j?=rtaug^, y=rtangC
tt, Ist auch:

9) A' = r«(tang4 + tang/? + tang C),
so nach 6):

10) ^' = r*tang^tanffÄtangC

; Im Vorhergehenden ist^ was wohl zu beachten ist» überall
igenommen worden , dass der Mittelpunkt O des um das Drei*
2k ABC beschriebenen Kreises innerhalb dieses Dreiecks
3ge. Wie man sich zu verhalten hat, wenn O ausserhalb des
reiecks ABC fällt^ bedarf einer weiteren Erläuterung hier nicht.
Vit theilen das Obige nur mit, weil es vielleicht eine zweck-
Sssige Uebung für Schüler abgeben kann, ohne uns auf eine
•itere Ausführung dieses Gegenstandes einzulassen.

II.

Geometrischer Ort der Mittelpunkte aller Kreise,
eiche zwei gegebene Kreise berühren.

Wir wollen annehmen, dass die beiden gegebenen Kreise
im den gesuchten Kreisen von Aussen berührt werden sollen«

TJwU XXIV. 24

]

SS4 Misceilen.

Berfihrungen ron Innen gestatten natiirlich eine ganz fthnliehe Be-
handlung^ was wir hier nicht weiter berühren, weil das Folgende
nur den Zweck hat, zur Uebung hei dem Unterrichte benutzt zi
werden.

Die Halbmesser der beiden gegebenen Kreise seien r und f|.
Den Mittelpunkt des mit dem Halbmesser r beschriebenen Krei-
ses nehme man als Anfang eines rechtwinkligen Coordiuatensysteins
der xy an, und lege den positiven Theil der Axe der x durch deo
Mittelpunkt des mit dem Halbmesser rx beschriebenen Kreises.
Die Entfernung der Mittelpunkte der beiden gegebenen Kreise vob
einander sei a. Sind dann q der Halbmesser und u, v die Coo^
dinaten des Mittelpunkts irgend eines der gesuchten Kreise, so
hat man offenbar die beiden folgenden Gleichungen:

u« + t)a = (r + (»)a,

und findet nun die Gleichung des zu bestimmenden geometrischen
Orts, wenn man aus den beiden vorstehenden Gleichungen ^ eli-
minirt. Zieht man die erste Gleichung von der zweiten ab, sa
erhält man:

also

^- 2(r,-r) "•

und folglich

"■*"^= 2(i7=T)

Daher ist die Gleichung des Orts:

Aus dieser Gleichung folgt:

»2 =

4(r— r,)2

also, wenn man den Zähler in Factoren zerlegt:

^_ la^— 2flM~(r— Ti)^ +2(r— r|)Ml{ag— 2flt£--(r— ri)g— 2(r-ri)tfJ
^ - : 4(r-ri)2 "'

oder, wenn man in jedem der beiden Factoren des Zählers u*
addirt und subtrahirt: ^

MUceUen.

^^__{(q-tt)^-(r-ri-ti)«}{(a-ti)«--(r-r,^+ti)>)

4(r-ri)«

Serlegt man nun jeden der beiden Factoren des Zählers von Nenem
in swei Factoren, so erhält man:

^_(g— r + ri)(g+r~ri)(g-r+rt— 2tt)(o+r— r^— 2tt)

4(r— rj)«

liao:

. V(o— r+ri)(a + r-r,)(a-r+ri-2u)(o+r-r,-2iö
•"* 2(r-r,)

Mittelst dieser nicht ganz uninteressanten Formel lassen sich
Mr jedes ti die entsprechenden v, wenn dieselben überhaupt roSg-
Vch sind, bercichnen. Das Weitere bleibe dem Leser überlassen.

111.

Wenn ÄBCDEF in Taf. IX. Fig. 8. ein sogenanntes vollstän-
%es Viereck ist und AB—a, ßEz^b, AD=c, DF=id, BC=^e,
CF=^f, CD=g, CE=:h gesetzt wird, so findet zwischen den
ieht GrSsscfn a, b, c, d, e, f, g, h immer eine Gleichung oder
Relation Statt, die auf Ibigende Art leicht gefunden werden kann.

Offenbar bat man die Gleichung:

^ADE+ ^CDFz=:^ABF+^BCE,

ibo nach einem bekannten Satze von dem Inhalte des Dreiecks:

(a -i- b) c sin X + dg sin w:=i{c-t-d)a sin a:+bea\nv.

ii den Dreiecken ADE und ABF ist aber:

sina?:sinw=^ + A;a + 6,
sinorisini? =e + f:c + d;

ilso

a+b . . e+d .

smtfy= — 7-7 sma?, sinv= — r— rS»nj;
ff+n e+f

lad folglich, wenn man diese Werthe von sinio und sin 9 in die
riiige Gleichung einführt und dann durch sino; dividirt:

Miscellen.
oder

Hebt man ac auf beiden Seiten dieser Gleichung auf, so w
dieselbe :

oder

also, wie man sogleich übersieht:

oder

oder

.cf—de joh — bg
e+f g+h

ä(g + h)(cf'-de)==d(e + f)(ah^bg).

— i7^^^ cf—*de __ I
d' e-\- f ah — bg

Man kann auch auf folgende Art zu dieser Relation geh
gen. Offenbar bat man die Gleichung: •

also

{e^f)as\nv — /J7siny = (^ + Ä)csint«? — eAsin^;

aber in den Dreiecken BCE und CDF:

sin^isini^ = 6:A,

6in^:sinti7=£^:/*;

also

h , . f ,

sint? = rsiny, sinti> = ^siny;

folglich nach dem Obigen:

oder

ie-{-f)^-fg={g-\-hf{--eh.

Mitcelien. 387

oder

Pf ^a(e+n-^^^ __e(a + b) + af
dh^c(g + h) + dg'^ g(c + d) + ch'

Diese Relation auf die obige Form zn bringen hat keine Schwie-
rigkeit« und wir verweilen daher dabei nicht länger.

Med kann sich der obigen Gleichungen in vielen Fällen mit
Vortheil bei dem Beweisen anderer Sätze bedienen. Um hierzu
ein Beispiel zu geben, wählen wir den interessanten Satz von
Monge*}, dass der Schwerpunkt einer dreiseitigen
Pyramide In der Mitte der geraden Linie liegt, welche
die Mittelpunkte zweier gegenüberstehenden Kanten
der Pyramide mit einander verbindet.

Wenn AFGH in Taf. IX. Fig. 9. eine dreiseitige Pyramide ist,
80 findet man deren Schwerpunkt bekanntlich auf folgende Art,
wie in jedem Lehrbuche der Statik bewiesen wird. ' Man halbire
GHm E, ziehe AE, und nehme BE=IAE, so ist B der Schwer-
pnnkt des Dreiecks AGH, und der Schwerpunkt der Pyramide
wird ferner erhalten, wenn man FE zieht und BC-^iFB nimmt,
wo dann C der Schwerpunkt der Pyramide sein wird.

Soll nun der Satz von Monge richtig sein, so müssen in dem
Fdlständigen Vierecke ABCDEFiTaf. IX. Fig. 8.) die Verhältnisse

BE_, BC_, AD £R^x

oder

* — 1 ?-i. £-1. 2 — 1
a"*' /•-" d-^' A-*

"oder

a=26, /*=3e, d:=::c, h=ig

der Gleichung

6 g'{-h cf — de ^^
d' e-i-f'ah — ög

Genüge leisten. Führt man aber die obigen Werthe von a, /,
d, h in diese Gleichung ein, so erhält man wirklich

*) Monge hat diesen Satz zuerst in der Correspondance sur
l'^cole imperiale poly technique« II« Volume. No. I^. Jan-
vier 1809« p. J. init^etheilt und auf zwei verschiedene Arten bewiesen.

358 Miscetlen,

b 2(7 3ce — ce b g 2ce

c te'2bg-'bg'^i'2'e"b^'^^'

so dass also die in Rede stehenden Verhältnisse der Gleichung'

ö g + h cf — de _
d ' e-\- f* ah^bg'^

in der That genflgen, und der Satz von Monge also richtig ist
Wählt man zum Beweise die Gleichung

so mnss sein

bf _ a(e^f)^be
dh'^cig + h) + dg'

3be _ 6be+be _%e Zbe
cg ■" 'Icg^cg'^Zcg'^'eg*

was also wirklich der Fall ist.

IV.

A u f g a b e.

Wie gross ist der Korper, welcher durch Umdreh-
ung eines mit der Drehungsaxe DF fest verbundenen
Dreiecks ABC entsteht, wenn die Verlängerungen
zweier Seiten Aß und AC die Axe unter den Winkeln
a und ß in einem Abstände DF=za schneiden» und wenn
die verlängerte dritte Seite BC in der Mitte E von DF
auf DF senkrecht steht? (Taf. IX. Fig. 10.)

Auflösung.

Bezeichnen wir den Inhalt des bei der Umdrehung des Drei*
ecks ABC entstandenen KOrpers durch V, so ist offenbar, wenn
AG auf DF senkrecht steht:

Aber

V=:l7i,BE^.D£+\7t.CE^.EF^l7t,AG^,DF

= inailBE^ + iCE^—AG%

BE=zlataiigcc, CE = 4atanff/3, AG:=z—: — ; — rs»
° ^^ cota-|-cotp

also

Miseeilen, SSH

Es ist aber

tangcx«+tangjP __ / 1 V

8 Vcota + cot/3/

tangff' + tanerj3* tanfira*tang|g^
~ 8 (tanga+tang|3)«

^^ taug «* + tang^ tangct^tangj3^

"" 8 tanga« + tangj32+2tangataiigjS

_ (tapgtt^+tangp^)^ + 2 tangtttang)3(tanga^ + tangjS^)— 8 tangtt«tang/3»
"" 8(taiJg« f tang/3)a

tangg^— 2tangttgtang/y^-|-tang/3^+2tgatg/?(tgtt*— 2tgtttglg+tgig^
■" 8(tanga + taDgj3)2

_^ (tapgg^ — tangP^)^+2tangtttang^(tanga~ taiig/3)^
"^ 8(taiiga + tang/3)2

_ (tangg — taDgj3)^{(tang« + tangj3)^ + 2tangcgtangP)
"~ 8(taoga-|-tang/3)^

also

r^^na^ j J|^-|jl '(tanga«+4tangatangi5 + tang/3«).

Auch ist

tangg^ + tangjgg _ / l V

8 Vcoto + cotjS/

■"* I sin (« + j3) i ■ Icosttcos^» ' + sin(«+|S)» |

_, (Bin(«-(?)j' I sin2«sin2i3 i
~*}cos«cos/ji r'*"28iii(o + iS)«l'

«Ibo

r 1 „„.\sin(a-ß)l ' { sin2«sin2/?|
'^=21"° jcos«cos/}( '*+2siii(«+|J)«r

Setzt man

900 Miscellen

so wird

4 rsin2asin2|3

p^l^.^,{ sin(tt-lS) p
24 'cosacosjScosg)'

V.

Poissons Wahlspruch war folgender: ,,La vie o'est bonne
qu'ä deux choses: a faire des mathömatiques et k les professer."
(Institut. 1855. Nr. 1103. p. 168.)

Aaszug aas einem Briefe des Herrn Lehramts «Praktikanten Leopold
Stizenberger za Heidelberg- an den Heraasgeber.

Erlauben Sie, dass ich Ihnen einen auf alte Geometrie ge-
stützten Beweis des Lehrsatzes, dass sich die drei Blittellinien
des Dreiecks in einem Punkte durchschneiden, niittheile« Ich
glaube, dass der erwähnte Lehrsatz durch alte Geometrie Dicht
einfacher und eleganter bewiesen werden kann.

Lehrsatz.

Wenn man die drei Seiten eines Dreieckes ABC
(Taf.IX.Fig.il.) in den Punkten />, JE, F halbirt und
diese Punkte mit den gegenüberliegenden Spitzen C,
A, B des Dreieckes durch gerade Linien verbindet, so
schneiden sich letztere in einem Punkte O innerhalb
des Dreieckes.

Beweis. Zuerst ziehe man die Geraden AE und CD; diese
müssen sich nothwendig in irgend einem Punkte O innerhalb des
Dreieckes ABC durchschneiden. Verbindet man nun den Punkt
O einmal mit der Spitze B, dann mit dem Mittelpunkte /'von AC,
so läuft der Beweis darauf hinaus, darzuthun, dass BOF eine
gerade Linie ist. Zieht man durch die Mittelpunkte D, E, F die
Geraden DE und EF, so läuft jede derselben mit der gegen-
überliegenden Seite des Dreieckes ABC parallel und ist jeweils
die Hälfte davon; daraus folgt: ^DEA=:EAC und ^EDC
^DCA, also ^DOEcoAOC Es findet daher die Proportion
statt : OE:OA = DE:AC=l:2; da zudem FE = iAB und
Z OEF=BAO, so müssen auch die Dreiecke EOF und BOA
ähnlich sein; demnach ist ^EOF=z BOA, was nur stattfinden
kann, wenn BOF eine gerade Linie ist.

Arnsi^- --frr/ik

%•

r

»-. ,'

^wteri

? 7

M. Brtpnmnn: Otienttr. des MetsUtches nach %wetgegei. Punkt.2ßl

JLJLTm.

INe Orientiraog des Messtisches nach zwei gegebenen

Punkten.

Von

Herrn Professor K. Breymann

an der k. k. Forstlehranstalt zu Mariabrnnn.

Die Aufgabe des Ruekwärtseinsehneidens nach zwei oder drei
ihrer Lage nach gegebenen Punkten gehört unstreitig unter die
wichtigsten Aufgaben der ganzen Geodäsie, da man durch Lösung
derselben im Stande ist, aus de/ bekannten Lage dieser, wenn
auch ganz unzugänglichen Punkte die Lage beliebig vieler ande-
rer Punkte zu bestimmen, und so die Vermessung einer ganzen
Landesstrecke auf die bekannte Lage von zwei oder drei gege-
bMien Punkten zu gründen.

Es haben sich daher auch die berühmtesten Geometer, wie
Lambert, Delambre, Bessel, Bohnenberger u. a. m. mit
dieser Aufgabe beschäftigt und zu ihrer Lösung die scharfsinnig-
sten Methoden angegeben, von denen sich aber gleichwohl viele,
der auszuführenden komplizirten Konstruktionen wegen, für die
Praajs nur wenig eignen.

Namentlich hat diQ Aufgabe des Rückwartseinschneidens nach
drei ihrer Lage nach bekannten Punkten — ^ die sogenannte Vo-
th OD o tische Aufgabe — eine vielfache Bearbeitung gefunden, und
wir besitzen zu ihrer direkten Lösung mittelst des Messtisches
mehrere Methoden , unter denen sich vorzüglich die von Bohnen-
berger und Bessel angegebene durch Scharfsinn und Eleganz
auszeichnet.

Tktll XXIV. 26

363 ir. ßrepmaun: Die OrierUirung de$' Me$$ii9tä99

Trotzdem wenden aber die meisten Praktiker zur LOsung die-
ser Aufgabe mittelst des Messtisch«« fast ausschliefislich nur du
von dem sächsischen Major Lehmann zuerst angegebene NSh«-
rungsverfahren an , da sie durch dieses unter allen Umständen ai';
wendbare Verfahren eben so sicher und in der Regel ächneUei
zum Ziele gelangen.

Viel seltener als die Pothenotische Aufgabe kam bis jetit
bei Messtischaufnahmen die Orientirung des Tisches nach zwd
gegebenen Punkten in Anwendung, und es durfte der Grund bie^
von darin zu suchen sein, dass alle bekannten Auflösungen die-
ser Aufgabe ziemlich komplizirt sind und eine zweimalige Auf-
stellung des Messtisches nothwendig machen. Das nachsteheDde
Verfahren der Orientirung des Messtisches nach zwei gegebeoü
Punkten erheischt nur eine einmalige Aufstellung des Tisches
(iber dem zu bestimmenden Punkte, und scheint sieb, obgleick
es die richtige Lage des gesuchten dritten Punktes nur nähernogs-
weise liefert, durch leichte^ und sichere Ausführbarkeit fiir di«
Messtischpraxis besonders zu empfehlen.

Zur Begründung dieses Verfahrens muss ich jedoch ein paar
geometrische Sätze vorausschicken.

Erster Satz,

Halbirt man in dem Dreiecke ^^C (Taf. XL Fig.L) die
zwischen den Schenkein des Winkels ACB gezogene
Gerade EF im Punkte gi, und schneiden sich die durch
die Punkte C und ffi gezogene Linie CDi und die bei-
den Transversalen EB, FA nicht in einem Punkte, so
ist auch die Linie EF nicht parallel zur Seite AB.

Beweis.

Man denke sich durch den Punkt C und den nicht auf der
Linie CD^ liegenden Purchschnittspunkt O der beiden Traosver-
salen die Linie CD gezogen, so besteht nach einem bek90Pt9D
geometrischen Satze die Gleichung:

CE.AD.BFz^ CF.BJ>,AE.

Wäre nun die Linie EF, trotzdem, dass sich die drei Transver-
salen C/>i, EB, FA nicht in einem Punkte schneiden« doch zur
Seite AB parallel, so bestünde die Proportion

CE:EA=CF:FB,

tMck %wei gegebenen Punkten, 363

Ift «F^ber folgt:

CE.BF=CF.EA.
ftO hätte daher auch mit Rücksicht auf die obige Gleichung:

AD=BD = IAB.

ater der Voraussetzung der parallelen Lage der Linien AB und
F bestunden aber auch die Proportionen:

m welchen folgt:

CE:CA = EgiiADi,
CE:CA=zEF:AB;

Eg^iADi — EFiAB,
An ^ESliAä.

ler, da> dar Konstruktion gemäss, Eg^^iEF:

'^flre demnach, trotsdem, dass sich die drei Transversalen des
reieckes ABC nicht in einem' Punkte schneiden, die Linie EF
ich parallel zur Seite AB, so musste die Gleichung

AD=zADi=iiAB

Mitefaen; welche eine Absurdität ausspricht; folglich kann auch
e Linie DE nicht parallel zur Seite AB sein:

Zweiter Satz.

Halbirt man in dem Dreiecke ^iBC (Taf. XL Fig. 2.)
[e Ltipie j£/^ in-^ und schneiden sich die durch den
ulbirnngspunkt g gezogene Linie CD und die Trans-
afigfaljßn EB und FA in einem Punkte O, so ist auch
ie Linie EF parallel zur Seite AB.

Beweis.

~Wäre unter dieser Voraussetzung die Linie EF nicht paral-
I zu AB, 80 Hesse sich durch den Punkt E eine andere Linie
]Fi parallel zur Seite AB ziehen. Denkt man sich nun wieder
\/t TranaYersalen EB und FiA gezogen , so kann die Transver-

85«

364 K. Breymann: Die Orientirung des MesstiscAes

\

i

sale FiA nicht durch den Durchschnittspunkt O der Hälbinnigs-
linie CD mit der Transversale EB gehen ^ wenn nicht auch EFi
mit EF zusammenfällt. Schneiden sich aber die drei Transver-
salen CD, EB und FiÄ nicht in einem Punkte» so ist nach dem
ersten Satze auch EFi nicht parallel zur Seite AB, Da sich
nun dasselbe von jeder anderen, durch den Punkt E gezogenen,
nicht mit EF zusammenfallenden Linie beweisen l^st, so muM
auch EF parallel zur Seite AB sein.

A u f g a b e.

Es sei die Entfernung zweier Punkte A und J9(Taf.XL
Fig. 3.) auf dem Felde auf dem Messtischblatte in der
Verjüngung ab gegeben; man soll die Lage c eines
dritten Punktes C in der Natur auf dem Tischblatte .,
bestimmen, wenn man sich weder auf den Punkten A [^
und B, noch auch in der Linie AB oder ihrer Verlän-
gerung mit dem Messtische aufstellen kann.

Auflösung.

Man halbire die auf dem Tischblatte gegebene VeijflngtBg L
der Linie AB auf dem Felde in dem Punkte g, stelle den MesS'
tisch über dem Punkte C so auf, dass die Verjüngung ab auf dem
Tischblatte, dem Augenmaasse nach, eine zur Linie ^jB auf dem
Felde parallele Lage hat, und befestige sodann das Ti^chblatt.
Hierauf lege man das Visirlineal an die Punkte a, 6, visire nach
den gleichnamigen Punkten A, B auf dem Felde und ziehe diese
Visirrichtungen nach rückwärts aus, bis sich dieselben auf dem
Tischblatte in einem Punkte c schneiden, welcher eine vorläufige
Verzeichnung des gleichnamigen Punktes C auf dem Felde lie-
fert. Hätte man bei der Aufstellung des Messtisches in C die
parallele Lage der Linien ab auf dem Tischblatte und AB auf
dem Felde, dem Augenmaasse nach zufällig getroffen, so wäre
nach dem beschriebenen Vorgange auch c die richtige Verzeich,
nung des in vertikaler Richtung unter ihm liegenden Punktes C
auf dem Felde.

Um nun die parallele Lage der Linien ab und AB und so-
mit auch die Richtigkeit der Verzeichnung des Punktes c zu prü-
fen, ziehe man durch den Punkt c auf dem Tischblatte und den
Halbirungspunkt g der verjüngten Linie ab eine Linie cD voo
unbestimmter Länge gegen die Gerade AB auf dem Felde ans,
lege das Visirlineal an den Punkt a auf dem Tischblatte, visire

nach zwei gegebenen Punkten, 365

nach dem Punkte B auf dem Felde and bezeichne den Durch-
seboittspankt o dieser Visirrichtung mit der gezogenen Linie cD
darch einen ganz feinen Punkt. Nun lege man das Visiriineai an '
den Punkt 6 auf dem Tischblatte, visire nach dem Punkte A auf
dem Felde und sehe zu, ob diese Visirrichtung durch den Punkt
o auf dem Tischbiatte hindurchgeht. Ist diess wie in Taf. XI. Fig. 3.
der Fall^ so schneiden sich die beiden Transversalen bA, aB
and die Halbirungslinie cD in einem Punkte, und es ist nach dem
zweiten Satze ab parallel zur Linie AB auf dem Felde > folglich
auch der Punkt c auf dem Tischblatte die richtige Verzeichnung
des vertikal unter ihm liegenden Punktes C auf dem Felde, den
man durch Einlojhung jederzeit leicht finden kann. Trifft aber
die Visirrichtung durch die Punkte 6 und o, w[e in Taf. XL Fig. 4.,
nicht nach dem Punkte A^ sondern etwa nach D, so ist nach
dem ersten Satze ab nicht parallel zu AB y folglich auch die Lage
des Punktes c auf dem Tischblatte nicht richtig bestimmt. Die
Lage der Visirrichtung boD gegen die Transversale bA gibt uns
aber ein Mittel an die Hand, zur richtigen Bestimmung dieses
Punktes zu gelangen.

Man wird nämlich, um die noch nicht parallele Lage der ver-
jüngten Linie ab auf dem Tischblatte gegen die Linie AB auf
dem Felde zu verbessern, das Tischblatt so drehen müssen, dass
•ich dabei die Visirrichtung boD der Lage der Transversale bA
nHhert. Stellt man sodann das Tischblatt fest, legt das Visir-
iineai abermals an die Endpunkte a^, b^ der verjüngten Linie ayb^
in ihrer jetzigen, durch die vorgenommene Drehung des Tisch-
blattes veränderten Lage, visirt nach den gleichnamigen Punkten
A3 B auf dem Felde und zieht diese Visirrichtungen nach rück-
wSrts aus, so ergibt sich in ihrem Durchschnitfspunkte c^ eine
.nene Verzeichnung des vertikal unter ihm gelegenen Punktes C
wa( dem Felde.

Um die Richtigkeit dieser neuen Verzeichnung des Punktes
C zu prüfen, ziehe man wieder durch den Punkt c^ auf dem
Tischblatte und den Halbirungspunkt ^1 der verjüngten Linie aibi
in seiner jetzigen Lage eine feine Bleilinie Ciff^J von unbestimm-
ter Länge gegen die Gerade AB auf dem Felde, lege das Visir-
iineai an den Punkt aj , visire nach dem Punkte B auf dem Felde
und bezeichne den Durchschnittspunkt o^ dieser Visur mit der
Halbirungslinie CigiJ durch einen feinen Punkt. Hierauf lege man
das Visiriineai an die Punkte bi und 0| und sehe, ob die durch *
Aese Punkte angegebene Visirrichtung genau auf den Punkt A
snf dem Felde trifft, oder man lege das Visiriineai an den Punkt
6i auf dem Tischblatte , visire nach dem Punkte A auf dem Felde

366 ^* Breymann: Die Oriemirung des Messtisches

und sehe^ ob diese Vislrricbtung durch den bereits auf dem Tisdi-
blatte festliegenden Punkt 0| hindurchgeht. Ist diess der Fall,
so ist nunmehr Oibi parallel zur Linie AB auf dem Felde und
der Punkt Cj auf dem Tiscbblatte die richtige Verzeichnung de«
in vertikaler Richtung unter ihm liegenden Punktes (7 auf dem Felde,
welcher durch Einlothung jederzeit leicht gefunden werden kann.

Sollte aber die Visirrichtung biOi noch nicht genau nach dem
Punkte A auf dem Felde hinweisen, so drehe man das Tiscbblatt
abermals in der Richtung, dass sich dabei die Visirrichtung bxOi
der Richtung der Transversale biA nähert, und wiederhole das
oben beschriebene, sehr schnell zu bewerkstelligende Verfahren
so lange, bis die beiden Transversalen und die .Halbiningslinie
sich in einem Punkte schneiden, in welchem Falle dann die Ver-
jüngung ab parallel zur Linie AB auf dem Felde und der durch
Rückwärtseinschneiden erhaltene Punkt c auf dem Tischblatte die
richtige Verzeichnung des vertikal unter ihm liegenden Punktes
C auf dem Felde ist. Einige Wiederholungen dieses in sehr kar- <
zer Zeit auszuführenden Verfahrens werden bei nur einiger DebuBf L
genügen, um den beabsichtigten Zweck zu erreichen.

Dieses leicht und mit grosser Schärfe ausführbare Verfahreo ^*
zur Orientirung des Messtisches nach zwei gegebenen Punkten ^
erheischt nur eine einmalige Aufstellung des Messtisches über dem
zu bestimmenden Punkte, und liefert daher die Verzeichnung eines
dritten Punktes, besonders nenn die gegebenen und der zu be-
stimmende Punkt weit von einander entfernt sind, in der kürze-
sten Zeit. Dasselbe scheint daher zu graphischen TrianguliruD-
gen vorzüglich anwendbar zu sein und dürfte die jedenfalls
komplizirtere Pothe notische Aufgabe in den meisten Fällen
entbehrlich machen.

Ein minder scharfes Resultat liefert diese Methode des Rück-
wärtseinschneidens nur in dem Falle, wenn der zu bestimmende
Punkt C zu nahe an deri beiden gegebenen Punkten A und B
liegt, weil dann die Lage der Linie cD (Taf. XI. Fig. 3.) durch
die zwei sehr nahe an einander liegenden Punkte c und g auf
dem Tischblatte nicht mit der notbwendigen Schärfe bestimmbar ist.

In dem erwähnten Falle liefern aber auch alle librigen Me-
thoden zur Festlegung des Punktes C gegen die gegebene Linie
AB keine scharfen Resultate, weil sodann die Winkel an A nwi
B zu spitz, der Winkel bei C aber zu stumpf wird, welcher Fall
bei Triangulirungen jederzeit vermieden werden soll und auch
vermieden werden kann, da die Wahl der Netzpunkte dem Geo-
ineter in der Regel frei steht.

nacM zwei ffeftöenen Punkten. 9Bf

Zweite AuflSsaog

mit Hilfe eines Winkelmessers, welcher die gemessenen Winkel

in Gradmaass angibt.

Mao begebe sich nach dem Punkte C (Taf. XI. Fig. 5.)» nehme
eine Scbonr EF Ton beliebiger, jedoch nicht tu geringer Länge,
Aeren Mittelpunkt G kennbar bezeichnet ist, und lasse dieselbe
Aafdi 2W61 C^ehilfen zwischen den Schenkeln CA, CB des Win-
keb ACB so ausspannen, dass deren Endpunkte E, F auf die
Sdmkel CA, CB zn liegen kommen nnd die Lage der durch
fie vusgirspannte^chnur dargestellten Linie £F dem Augenroaasse
Bach parallel zur Linie AB auf dem Felde isl. Nun lasse man
im Halbirungspunkte G der Schnur einen Visirstab vertikal ein-
stecken und markire die Visirrichtung CG durch einen in der
Verlängerung dieser Linie vertikal eingesteckten Visirstab. Hier-
auf bestimmt der im Endpunkte E der ausgespannten Schnur
stehende Beobachter gemeinschaftlich mit dem Beobachter in C
den DurchsChnittspunkt O der Visirrichtungen CD, EB, welcher
durch einen im Punkte O vertikal eingesteckten Visirstab bezeich-
net wird. Cm nun die parallele Lage der Linien EF und AB
BU prfifen, visirt der am andern Endpunkte F der ausgespannten
Schnur stehende Beobachter nach A und sieht zu, ob diese Visir-
richtung durch den bereits bezeichneten Dnrchschnittspunkt O der
Transversalen CD und EB hindurch geht. Ist diess, wie in
Taf. XI. Fig. 5., noch nicht der Fall, so ist nach dem ersten Satze
die Linie EF auch nicht parallel zur Linie AB , folglich auch
Ale Linie AB, welche von der verlängerten Halbirnngsilnie CO
in D geschnitten wird, in diesem Punkte nicht halbirt, imd es
zeigt dem in F stehenden Beobachter die durch die Punkte O
mid A gelegte Visirrichtung, welche im Punkte F| in die Seite
BC des Dreieckes ABC einschneidet, dass er den Endpunkt F
der Schnur in der Visirrichtung CB dem Winkelpunkte C näher
rflcken müsse. In demselben Verhältnisse wird aber auch der in
£ befindliche Beobachter das Ende E der ausgespannten Schnur
In der Visirrichtung CA dem Punkte A nähern müssen, um die
noch nicht parallele Lage der Linien AB und EF zu verbessern.
Wiederholt man nun bei der jetzigen verbesserten Lage der Schnur
das oben angegebene Verfahren, so wird man nach einigen Ver-
rachen leicht dahin gelangen, dass cnch, wie In Taf. XI. Fig. 6. die
drei Transversalen CD, EBnn^AFm einem Punkte O schneiden,
welcher durch einen vertikal eingesteckten Visirstab bezeichnet wird.

Mit Rücksicht auf den zweiten Satz ist sodann die ausge-

368 ^* Brepmann: Die Orientirung des Messtiscäes

spannte Schnur EF parallel zur Linie AB und auch diese Linie
in dem in der Verlängerung von CO liegendem Punkte D balbirt

Bei dieser Konstruktion darf jedoch die Schnur EF nicht zu
kurz sein, weil ausserdem die Lage der Linie CO durch die zu
nahe an einander liegenden Punkte C und G nicht mit der noth-
wendigen Schärfe bestimmt werden konnte. Ist der gemeinschaft-
liche Durchschnittspunkt O der drei Transversalen CD, J?£» Ah
auf dem Felde bereits durch einen vertikal eingesteckten Visirstab
bezeichnet, so stelle man den Winkelmesser mit dem Mittelpunkte
seines Horizontalkreises vertikal über dem Punkte C auf dem Felde
auf und messe die Winkel ACO=zo und ACß==C» welche nebst
der bekannten Länge der Linie AB zur Bestiftimung der Lage
des Punktes C gegen die gegebene Gerade AB ausreichen.

Man hat sodann in dem Dreiecke ABC:

Aß. sin B

AC=^

sin C

AB.B\n(B+C),
^^= ^h^C '

und in den beiden Dreiecken ACD und BCD;

AB.sinm AB .6m(B+ C'^o)

AC=^

BC=

2sino 2sino

AB, sin n AB, sin (Ä+ C— ö)

2sin(C— o)""" 2sin(C-o)

Durch Gleichsetzung dieser Ausdrücke für die Seiten AC und
BC ergibt sich:

6in^_sin(g+C— o)
sinC 2sino

sin (^4- C) _ sin {B ^C-^o)^
sinC ■" 2sin(C~o) '

und durch Division der letzteren Gleichung durch die erstere:

sin(B + C) _ sin o

sin B "~ sin (C— o) *

sin^cosC-f cosSsinC sino

sin^ ""sin(C-o)*

, .sino

cos C + cot ^sm C = . ,^ r >

sm(C — o)

' •

nacM vwei gegebenen Punkten. 9Q9

sino

cotBsinC=-;— 77> : — cosC,

sii)(C — o) '

. -^ sino ^

cot ii = -; — ^ , ^ r — cot C

sinCsin(C — o)

Um diesen Ausdruck für die Kotangente des Winkels B zur
garithmischeo Berechnung bequemer einzurichten > setze man

sino

^~^ sinCsin(C — o)*
orans endlich iolgt:

*» X A^ sin(C— g))

cotJ9 = cotg> — cotC= . Vr « *
^ smCsmg).

Die Seiten A Cund jBCergebensich nunmehr aus den Ausdrücken •

^ , AB, sm B __ AB. siniB-^- C—o)
smC zsino

P^__^Jg.sin(^+C) _ iJ^.sin(g + C-o)
"" sinC 2sin(C— o)

SoU die Lage des Punktes C durch rechtwinklige Koordinaten
estimmt werden^ und sieht man dabei die gegebene Gerade AB
Is.Abscissenaxe und den Punkt B als Anfangspunkt der Koor-
inaten an, so ergeben sich für die Koordinaten des zu bestim-
lenden Punktes C die Ausdrücke:

^ w*^ » ^^.sin(^+C)cosJ5
Absc. C= ßC. cosB=: ^hTÜ^ *

^ , ^ «^ . MB AB. 6iu(B + C) Bin B
Ord. C=fiC.sinÄ= ■ .^ T> ^

smC

-:!

370 Grunert: Die TheQtie der ElUpu und Hyperbel,

Die Theorie der Ellipse und Hyperb^, ans einem
neuen Gesichtspunkte dargestellt.

Von

dem Herausgeber.

Jedem Astronomen ist es bekannt « welche grosse Vereinfachung
alier die elliptische Bewegung der Planeten um die den einen Brenn-
punkt der elliptischen Bahn einnehmende Sonne betreffenden Formeln
durch die Einführung der sogenannten excentrischen Anomalie« über-
haupt des excentrischen Kreises,, bewirkt wird. In der Theorie der
Ellipse an sich in der Geometrie hat man Von diesem vortrefflichen
Hülfsmittel bis jetzt noch gar keinen Gebrauch gemacht. Zufäl-
lig habe ich die Bemerkung gemacht, dass viele diesen Kegel-
schnitt betreffende Sätze, insbesondere die bekannten Sätze von
den conjugirten Durchmessern, auf überraschend einfache Weise
durch das in Rede stehende Hülfsmittel bewiesen werden können;
dass ferner dasselbe noch in vielen anderen Fällen vortreffliche
Dienste leistet und selbst zu verschiedenen neuen Eigenschaften
der Ellipse führen kann. Ferner ist mir die Bemerkung nicht ent-
gangen, dass ähnliche Dienste, wie die Einführung des in Rede
stehenden Kreises in der Theorie der Ellipse, die Einführung einer
gleichseitigen Hyperbel in der Theorie der Hyperbel zu leisten
im Stande ist, wenn auch freilich auf nicht ganz so einfache und
elegante Weise wie im ersten Falle, wovon der übrigens ziemlich
leicht ersichtliche Grund im Folgenden besonders hervorgehoben
werden soll. Meine Untersuchungen über diesen, wie es 'mir
scheint, sehr interessanten Gegenstand will ich mir in der vor*
liegenden Abhandlung den Lesern des Archivs mitzutheilen er-
lauben, und gebe mich der Hoffnung hin, dass die Einführung der
in Rede stehenden Hülfsmittel, durch welche viele Rechnungen

< aus einem neuen GesicMspunkte darge^HU 371

eine überraschend einfache und elegante Gestalt annehmen, \%
die analytische Theorie der Ellipse nnd Hyperbel späterhin noch
manche erfreuliche Früchte tragen wird. Ich werde mich freuen,
wenn diese Abhandlung zu weiteren Untersuchungen über diesen
nach meiner Meinung sehr interessanten Gegenstand Veranlassung
giebt, da ich hier eine vollständige Erschöpfung desselben nicht
zur Absicht gehabt habe.

1.

Die Ellipse.

5. 1.

Von den beiden in dem Mittelpunkte C (Taf. XII. Fig. 1.) einer
Ellipse sich schneidenden Axen AAi=:2a und BBi<=22b dieser
Ellipse sei AAi die Axe der a und BBg die Axe der^:, und CA
Bod €B seien die positiven Theile dieser Axen, so is4 beksmntlich

(:-)' +(!)■=

die Gleichung der Ellipse. Ueber der Axe AAi=:2a als Durch-
messer/ also aus dem Mittelpunkte C und mit dem Halbmesser
CAssa, beschreibe man einen Kreis; und wenn noi P ein belie-
biger« durch die Coordinaten or, y bestimmter Ponkt der Ellipse
ist 9 so sei P' der Durchschnittspunkt der, der Coordinate ff eprt-
sprechenden Linie PQ, wenn man dieselbe nöthigenfalls gehörig
verlängert, mit d*tn üb6r AA^ al^ Durchmesser beschriebenen
Kreise. Zieht man dann CP', so soll der von dieser Linie mit
dem positiven Theile CA der Axe der a: eingeschlossene Winkel,
iiidem man diesen Winkel Von dem po^itit-eh Theile CA der Axe
der J? an nach ^äeitA positiven Theile CB der Ax^ der y hin von
0 bis 360^ zählt, durch u bezeichnet werden. Die erste Coordi-
nate des Punktes P' ist offenbar x, und die zweite Coordinate
dieses Punktes wollen wir durch ^ bezeichnen. Dann ist offen-
bar in völliger Allgemeinheit:

^ = acosu, y = asin2i.

Nim ist aber

872 Grüner t: Die Theorie der Ellipse und ffjfperöei,

also

und folglich^ weil ^ und y' offenbar immer gleiche Vorzelcben
haben 9 y^=z-y'\ also nach dem Obigen^ weil ^ = a8inu Ist:

^ == 6 sin t£.

Daher können wir durch Einführung des Winkels u die Coordi-
naten x^ y eines jeden Punktes der Ellipse immer in völliger
Allgemeinheit unter der Form

a: = acostt, ^=:6sinu
darstellen.

In Ermangelung eines besseren Namens, der auch späterbin
in der Lehre von der Hyperbel zweckmässig Anwendung findeo
konnte, wollen wir den über der Axe AAi als Durchmesser be-
schriebenen Kreis Oberhaupt den Hülfskreis nennen, und der
dem Punkte (xy) dei^ Ellipse entsprechende Winkel u soll die
Anomalie dieses Punktes genannt werden*).

§.3.

Wir wollen zuerst die allgemeine Gleichung einer durch zwei
Punkte der Ellipse, deren Anomalien u und Ui sind, gehenden
Geraden entwickeln.

Bezeichnen wir die gesuchte Gleichung durch

y = Ax-\rB,

60 Ist, weil nach dem vorhergehenden Paragraphen acost^, 6sinti und
acost^i, 6sintt| die Coordinaten der beiden gegebenen Punkte sind: *

*) In der Astronomie heisst dek* Winkel u die excentrische Anoma-
lie, im Gegensatz zu den beiden anderen Anomalien, der wahren und
der mittleren Anomalie. Die Einführung neuer Benennungen hat in der
Mathematik immer Schwierigkeiten und Bedenklichkeiten, und ich bin
im Allgemeinen kein Freund von denselben. Im vorliegenden Falle war
aber die Einführung einer besonderen Benennung für den Winkel u nicht
wohl zu umgehen, und ich habe deshalb den Namen Anomalie gewählt,
um zugleich an den astronomischen Ursprang der hier zu entwickelnden
Theorie zu erinnern.

awt einem neuen GeeichUpunkie dargetteUt 373

I

6 sin u =02! cos t£ 4-^»
& sin »1 = 0^4 cos «1 + B\

od die gesuchte Gleichung hat also eine der beiden folgenden
brmen :

y — 6sintf ^=A{x — er cos t^)»

^ — 6sintti =^A{x — dcosui).

eraer ist aber nach dem Vorhergehenden:

b (sin u — sin u^) = aA (cos u — cos t« 1 ) ,
Iso

- b sin u — sin t«| b , , , .

-4=:—. -z=z cotUtf + %)»

a cos M — cos Ml a «v • */

nid die gesuchte Gleichung der durch die beiden gegebenen Punkte
er Ellipse gehenden Geraden ist folglich:

y — osintf=: coi^{u -{-Ui) (x -- acosu)

ier

y — 6sintii = cotJ(ii+Wi)(ar — acostfi)«

Leicht bringt man die erste dieser beiden Gleichungen aber
Dch auf die folgende Form :

bx cos J(m + Ml) + ay sin i(M + u^)

= 116 i cos i(u -|- t^i) cos M -|~ sin l(tt -|- 1<] ) sin II ) ,

Iso auf die Form:

, 6:r cos 4(m + Ui) + ay sin \{u + Ui) = ab cos J(m— «1).

Die Gleichung des Durchmessers der Ellipse, welcher der durch
lese Gleichung charakterisirten. Geraden parallel ist, ist:

y=— -arcot4(ii+Mi).

Bezeichnen wir die Länge der Sehne der Ellipse, deren End-
ittkten die Anomalien u und Ui entsprechen, durch 1, so ist

«3=:a^(cosM — cos Ml)* + 6* (sin ti — sinti|)*
3er

» r= 4aSsin i(M— tii)« sin \{u + Ui)^ + 46«sin i(u -i«i)« cos i(M + Ui)\

374 Grun$ri: Die Theorie der Eiiip$e und Bvp^bel,

also:

j« = 4sin 4(m - Vi)« t d!^9\n i(K + ttj )» + 6»cos i(M + «i)* |.

5. 3.

Die Gleichung des durch den durch die Anomalie u bestimm-
ten Punkt der Ellipse gehenden Durchmessers derselben sei

y=Ax,

so ist« weil acosu und 6sinti die Coordinaten des in Rede stehen-
den Punktes der Ellipse sind:

b B\n u:=:ßA cos Uf

woraus sich 2!= — tangti ersieht. Daher ist die Gleichung des
in Rede stehenden Durchmessers der Ellipse s

y=:^a?tangti.

f. 4.

Wir wollen nun auch die Gleichung der Berührenden d^r Ellipse
in dem durch die Anomalie u bestimmten Punkte derselben suchen.

Lassen vixr die Anomalie t« sich um ^2^ verändern « so ist nach
§. 2. die Gleichung der Geraden« welche durch die beiden Punkte
der Ellipse« deren Anomalien u und u-\-^u sind« geht:

y — 6 sin M = cot {u + 2 ^u) {x — a cos u)

oder

h cosmcos|z/m — sin7/sin|z/2i
y — 6smti=-' - •— j— # — \ ' — TT' (-2? — a cosu)

b cosM — smui2LH^\Ju ,

= • — ; 7 — ^—7- {x — a cos U) .

a sm M + cos M tang iz7M

LSsst man nun Au sich der Null nähern und geht dann zu der
Gränzgleichung über« so ist diese Gränzgleichung die gesuchte
Gleichung der jBerührenden der Ellipse in dem durch die Ano-
malie u bestimmten Punkte derselben. x\uf diese Weise ergiebt
sich aus dem Vorhergehenden für diese Berührende sogleich die
GlqichuDg :

«trt eit90m neuen eeeickfepunkte darpeeieUi. STS

r

y — 6sinu=: cotu(:r— acosu),

ie man auch sehr leicht auf die elegante Form

der

cosu . Bmu .
-T-a; + -T-y=l

X y

— CO» ti + f- sin ti = 1

a '6

ringt.

Ui« CiUichuDg der Normale der Ellip9e io dem dnreh die Ano-
lalte u bestimmt«!» Puokte derselben ist

y--6sin«^T'taDg«(a:^acostr)

ier, wie man leicht findet:

aat amu'^by co&u= (a^ — 6*)sinttcostt,

1er:

ax

— r-JL — a« — ft«.

cost« ßU\U

Die erste Coordinate des Durchschnittspunkts der Beröhrenden
lit der Axe der a: ist nach dem Obigen asecu. Bezeichnen wir
sn die von diesem Durcbschnittspunkte an gerechnete Subtan-
snte der £Hipse für den durch die Anomalie u bestimmten Punkt
srselben durch S, so ist nach der Lehre von der Verwandlung
sr Coordinaten:

acosttq=asect£-f S,

oraus sogleich

S= — nsintitangti
Igt.

Die erste Coordinate des Durchschnittspunkts der Normale
it der Axe der x ist nach dem Obigen cos u. Bezeich-

m wir nun die von dem Fusspunkte der Ordinate des durch die
nomalie u bestimmten Punktes der Ellipse an gerechnete Sub-
»rmale in diesem Punkte durch Si , so ist nach der Lehre von
ir Verwandlung der Coordinaten:

COSf£=:aCOStl-|-'Sl>

37V Grunert: Die Theorie der FJUpse und HpperM,

woraus sogleich

Ol = ^ cos u

* a

folgt.

Es ist also 5 wie aus den beiden ffir S und 5| gefundenen
Ausdrücken sich sogleich ergiebt:

ÄSi=6«sintt«.

Die Aufgabe: durch einen beliebig gegebenen Punkt (fg) eine
Berührende an die Ellipse zu ziehen^ gestattet jetzt eine ungemein
leichte Auflösung. Denn aus dem Obigen erhellet, dass man den
Berührungspunkt der gesuchten Berührenden mit der Ellipse e^
hält, wenn man dessen Anomalie u mittelst der aus dem Vorher-
gehenden sich unmittelbar ergebenden Gleichung

f a

— cos ti + x^sinters 1
a o

bestimmt. Um diese Gleichung aufzulösen « bringe man sie aof
die Form ^ -

— (cosi£+ T>sinw) = l,

und bestimme den Hülfswinkel g> mittelst der Formel

an
tangG) = ^,

wo dann

f cos(m— w) - , a

— . ^ = lj also cos (M — a)) = -7:cosc)

a cos CO t

ist.

Aus der Gleichung

cos(2i — od) a

folgt auch

also

cos© /

cos OD — cos (m — cd) f — g

cos OD + cos(m — (ö) ~" f-\rO,^

tang iw tang (iw — w) = 7^7^

oder

'•r

'r

\

fti» einem neuen Gesichtspunkte dargesteUt* 377

tang^tt tang^4tt— tango) _/'— «
®' 1 -|- tang (o tang i» f-i-a*

oraus sich

tang iu^ ~ 74r^*^"S « tang it< = ^rr^ *
id durch Auflösung dieser quadratischen Gleichung

/'sina)+ V/* — oleosa)«
tang 4m =: ' ' Tft \

giebt, wo ich mich bei der keiner Schwierigkeit unterliegenden
»iteren Discussion dieser Gleichung nicht aufhalten will.

Leicht leitet man aus der Gleichung

/ ö , _

- COSM + T sin «1=1
a 0

ich die beiden Formeln

cosM _bY±gSfa^g^^b^f^-'a^6^

sin u _a^g±f Va V + b^P - a^^
b "" a V + b^P

)5. in denen die oberen und unteren Zeichen sich auf einander
eziehen. Also ist 'auch:

taneii=*- «^.^T/'V'giFFW^--««^^
^ a bY±g\raigii^^2p^a%^

Wollte man durch den Punkt (fg) eine Normale an die Ellipse
ehen^ so müsste man u aus der Gleichung

afsmu — 6(7Coste = (a^ — 6^)sinMC0Su,

ler aus der Gleichung

f . 9 a^-b^ .

7-sini« — — cosw= r— smwcosw»

0 a ab

ler aus der Gleichung

--^tangii+~^g-smti = 0
»stimmen.

Theil XXIV. 26

978 Gruntri: Die Theorie der Ellipse und äuperbel.

Weil

2tangitf 1— tangju*

1 + tang \u^ 1 + lang Jw"

ist^ so kann man die Gleichung

f . g o^^a .

7-SIDM — -COSM= 7 — Sint/COSM

o a ab

auch auf den folgenden Ausdruck bringen:

■^tangiu(l+tangit*2)— ^(l^tangitt4)=-^^-^^tang4M(l^
welche Cüeichuog^ gehörig entwickelt, die Form

annimmt.

Nach §. 3. und §. 4; sJnd die Gleichungen zweier conjugirteo
Durchmesser überhaupt:

y= — xidLiiS'u und ?/= a:cotw.

Bezeichnen wir die Coordinaten der Durchschnittspunkte des
ersten dieser beiden Durchmesser mit der Ellipse durch A", F, so
haben wir zu deren Bestimmung die Gleichungen

Also ist

-J (1 + tangw«) = (j) secM» = 1 ,

und folglich mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen auf
einander:

Ä'ac + acos2«, Fr=4:6sinM.

Bezeichnen eben so Aj , Fi die Coordinateu der Durchschnitt^-
punkte des zweiten der beiden obigen conjugirten Durchmesser
mit der Ellipse, so haben wir zu deren Bestimmung die Gleichungen:

aus einem neuen Gesicätspunhle dargeUeUL S9

Jso ist

(X \^ /X \*

-^\ (l + cottt«)=f-^J eo)»ecn«3sl,

od folglich mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen auf
inander:

Bezeichnen vrir nun die beiden conjugirten Durchmesser durch
Ä xraä 2B, so ist

A^=zX^+ F«=a2cost«2^.62sinu^
B^=Xi^+ l\^ = a^s\nu^+b^cosu^;

voraus sich, wenn man diese beiden Gleichungen zu einander
ddirt, unmittelbar die bekannte merkwürdige Gleichung

rgiebt. ,

Auch ist, wie sogleich erhellet:

§. 6.
Wir wollen jetzt den vor den beiden durch die Gleichungen

y = — a;tangw, y= — — arcottt

larakterisirten conjugirten Diaraetern eingeschlossenen Winkel
irch 6 bezeichnen, so ist nach einer bekannten Formel der ana-
tischen Geometrie:

6 ^*

— (tangtf+cotw)

tangö2= ' "

1 2!^&nQUCotu

to» wie ^ao leicht findet:

.^^.^ ^^_ 4a«62

rang ö - ^^^ ^(,2^ s^ »» cos u^ " («« — 6^)« sin 2u^ *

eil nun

tangö^

sinö*=

1 + tang e^

m 26*

380 Grunert: Die Theorie der Ellipse vnd Hyferbei^

ist, so ist, wie man leicht findet:

sin ö« =

a«62 + (4* - 6*)« sin t? cos m«
oder

sin ö - 4^2^« _j. (^2 _ ^2)2 ein 2«« '

also» da sind immer positiv ist, wobei natürlich vorausgesetzt
wird, dass man den Winkel d nicht grasser als 180^ nimmt:

ab
sind=

yfa^b^ + (d^ - 6«)« sin m« cos t««
oder

■~ V"4a26a + (o*— 6a)2sin2u2
Nach dem vorhergehenden Paragraphen ist nun:

J^B'^ = (a^cos M« + Ä^sin m«) (o«sin m« + ft^cos te«)

= (a* + 6*) sin w« cos w* + a^ö« (sin tc* + cos m*)

=(0*+ 6^) sin M^cos w^+ a*62(sin w* + cos t? — 2sin li^cosu*),

also

A^B^ = 0^6^ + (a2 — 62)2 g jn 2^2 cos M« ,

folglich nach dem Obigen:

sin ö* = -^p^-2 .

woraus sich unmittelbar die bekannte merkwürdige Gleichung

a6=/4ßsinö
ergiebt.

Bezeichnen wir die beiden, von den auf der positiven Seite
der Axe der x liegenden Theilen der durch die obigen^ Gleichun-
gen charakterisirten conjugirten Durchmesser mit dem positiven
Theile der Axe der x eingeschlossenen, 180*^ nicht übersteigen-
den Winkel durch ö und öi, so ist nach den Lehren der analy-
tischen Geometrie bekanntlich:

- 6 b

tangd) = — tangw, tangc5i= cot?/.

aui einem neuen GesicMipunhte^dargesieiii. 381

Also ist

tang CD tang Oi = ^ tangticotw = ^ *

woraus sich unmittelbar die bekannte merkwürdige Gleichung

6* + a* tang c5 tang c5| =: 0
ergiebt.

5. 7.

Wir wollen nun auch die Gleichung der Ellipse in Bezug auf
das System der beiden durch die Gleichungen

y= — a*tangtt und y = xcoXu

charakterisirten conjugirten Durchmesser als Axen der X und Y
suchen. Zu dem Ende betrachte man eine beliebige , der Axe der
Y, d. h. dem durch die Gleichung

V = orcotM

^ a

charakterisirten Durchmesser parallele Sehne der Ellipse; so ist,
wenn acos C7, 6 sin ü die Coordinaten eines beliebigen der beiden
Durchschnittspunkte dieser Sehne mit der Ellipse sind, deren
Gleichung offenbar:

y ~ 6 sin 17= cott£(:r — «cos U).

Bezeichnen wir nun die Coordinaten des Durchschnittspunkts die-
ser Sehne mit der Axe der X, d. h. mit dem durch die Gleichung

y=-artangM

charakterisirten Durchmesser, durch Xi, yi; so haben wir zu
deren Bestimmung die Gleichungen:

6 ,

V

yi — -ftsin U= cotu(a:i —acos U) >

aas denen sich mittelst einer sehr einfachen und leichten Rech-
nung die beiden Formeln

38S Grüner t: Die Theorie der Ellipse und Huperbely .

a?j =acosucos(u — ü), yi z=:bs\nucos(u — U)
ergeben. Nun Ist offenbar

also nach dem Vorhergehenden :

X^ = («2 cos u^ + bHm u^) cos (u — ü)^.
Ferner ist offenbar

F» = (ari -acos 17)2 + (3^1 — 6sin (7)«,
lJ«o nach dem Vorhergehenden:

F« == a2{costicos(M— ü) ~cosC7F + 62}sinMcos(M— CT) — sinÜl*
Nun ist aber

cos u cos (u — ü) — cos ü= — sin u (sin u cos ü — cos tesin ü) ,
sin u cos (m — ü) — sin V = cosci(sin tecos C7— codtisin ü);
also

cos u cos (m — 17) -* cos t7 = — sin u sin (u — ü),
sin t» cos {u — V) — sin t7 = cos u sin (« — XJ) ;

und folglich nach dem Obigen :

F2 = («2 sin m2 ^ 62 cos ?^2) sin (m ^ €7)2.

Daher haben wir jetzt die beiden Gleichungen :

Jf 2 -- (q2 cos ^2 + 62 sin 1^2) cos {u — C7)2,
F2 = (a2sin u"^ + 62 cos 2^2) sin (u-'ü)^.

Nach §. 5. ist aber

A^ = «2 008^2 -|- 62sin u^,

J52 — - ß2si,^ j^2 _|_ ^2 cos m2 j

folglich

J¥2=^2cos(||^t7)2, F2 = ^2sin(2«— j[7)2

oder

(jj = cos(M- t7)2, (^y=sin(M- £7)2;
woraus sich unmittelbar die Gleichung

m» einem neuen Gesichispunkte dargtHeliu 383^

(S)'*(i)'=

'giebt, welche ^ie gesuchte Gleichung der Ellipse in Beiug buf
e beiden durch 2/4, 2B bezeichneten conjugirten Dtarcbineseef
s Axen der Jl, F ist.

§.8.

Im Vorhergehenden sind die wichtigsten , bis jetzt bekannten
igenschaften der Ellipse bewiesen worden. Wir wollen jetzt zu
Digen anderen Eigenschaften derselben übergehen, weiche weni-
)r bekannt «ein dürften.

Die Anomalien zweier Punkte der Ellipse seien wieder u und
i so ist nach §. 2. die Gleichung der durch diese beiden Punkte
sstimroten Sehne der Ellipse, deren Länge wir durch s bezeich-
»n wolle»:

y — 6sinte= coti(M + ii|)(ar— «cos ti),

id für $^ haben wir nach demselben Paragraphen den Ausdruck:

«« = 4sin4(M~Wi)2{a2sin4(i« + M|)2+6*cos4(M + Miy-«).

Die Gleichung des der Sehne i parallelen Durchmessers der
llipse, den wir durch D bezeichnen wollen, ist

3^ = — -:rcoti(ii + Mi)*

Bezeichnen wir die Coordinaten der Durchschnittspunkte die-
\s Durchmessers mit der Ellipse durch X, Y, so haben wir zu
»Ten Bestimmung die Gleichungen:

F=-*xcot !(«+«.). (|y+(|y=i;

18 denen mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen auf
oander leicht folgt:

-X=±osini(M+Mi), F:=i=6cosJ(ti + Mi).

Die Gleichung der durch den Punkt (XT) gehende» BetÜh«-
)n der Ellipse ist, wie aus §. 4. sogleich folgt:

^ • i^ — 1
ler

384 Grunertt Die Theorie der Ellipse und Mfßperbel,

und die Gleichung des dem Durchmesser D cmijugirten Durch-
messers, den wir durch Di bezeichnen ivollen, ist folglich nach
der vorstehenden Gleichung:

6« X

also nach dem Obigen:

yz=-a;tangi(M + ai).

Bezeichnen wir die Coordinaten der Durchschnittspunkte diese«
Durchmessers mit der Ellipse durch JK^, Fi, so haben wir zu
deren Bestimmung die Gleichungen.:

F,=^Äitang4(«+«,), (^y+^^y=i; .

aus denen mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen auf
einander leicht folgt:

-Xi=: + acos4(M + Wi), Fi= + 6sini(M + t«|).
Weil

ist, so ist nach dem Vorhergehenden :

D = 2 Sfa^sm \{u + u^y^ ■fb^'cösl{u + Wi)* ,
A = '^ Va2cosi(M+Wi)2 + 62sin \{u + ?/,)2.

Durch den durch die Coordinaten oco$^^, 6sinu bestimmten
Punkt der Ellipse wollen wir jetzt eine dem Durchmesser Z>j pa-
rallele Sehne Si ziehen, so ist deren Gleichung nach dem Vor-
hergehenden :

y — 6sint£ = — tang5(M + iii) {x — acoBu),

und wenn wir die Coordinaten der Durchschnittspunkte dieser
Sehne mit der Ellipse durch x, t} bezeichnen, so haben wir zu
deren Bestimmung die Gleichungen

e)*<o"--

X) — 6sinw= — tang^(M-f ?/i)(jr — acost/);

a

^ 09$ eHmm neuen Gesickfspunkie dargßsteiit. 98B

er, wie man leicht findet:

^ —sin J(ti + Wx) — t-cos4(m + Mi)=— sin i(M— Uj).
irch Auflösang dieser beiden Gleichungen erhält man leicht:

X

-■ = — aini(ti — t£|)sin4(u + Wi)dbcos|(u — tii)cosi(M+«i),

M

^= sini(tf—- tti)co8 2(u-f tii) J:Cosi(M — tii)sini(te-f t<i);

90:

>r=±«cosj^J. t, = ±6slnj^J.

)Iglich ist

$1^ = tt*(cos u + cos «i)* + 6* (sin ?i + sin Mj)*

ler

»= 4a«cos4(ti— fii)*cos i(tt + u{f + 46*cosi(M— tti)2sin J(t* + Mi)*,
so:

«l« = 4cOSi(M — tli)«{o«C08KM + t«i)a+6asiDi(tt + tli)«).

Aus

«a=4sinJ(M— Mi)*{«*sinKii+Mi)«+62co84(M+M,)a|,

Z>«=4ta2sinKM+M,)2 + 62cosi(w + Wi)*)
id

*i«=:4cos Km- Mi)2 ja«cos \{u + Mi)2+ ö^sin Km+Wi)«!,
l>i2 = 4{a«cosJ(ii + w,)2 + 62sinJ(M+Mi)«l

Igt:

«« = l>2sin4(M— «,)«, »i« = Z>i«cosi(u— Ml)«;

so immer

as eigentlich wieder die Gleichung der Ellipse in Bezug auf das
ystem zweier conjugirter Durchmesser ist.

386 Gruneri: Die Theorie der Ellipse und üpperM,

Fällt man von dem Mittelpunkte der Ellipse auf die Sehne i
ein Perpendikel, so ist dessen Gleichung nach dem Ohigen:

und wenn wir die Coordinaten des Durchschnittspunktes dieses
Perpendikels mit der Sehne s durch 3^, p bezeichnen j. so haben

wir zu deren Bestimmung die beiden folgenden Gleichungen:

«

?>-|^«tangi(tt+tti),

P — 6sinM= — — cota(ti + t«i)(JC— acosii)
oder:

|>=i:jia^tang4(M + tti),

bUt cos i(u-i- Ui) + aP sin l(u + Ui) = ab cos i(n — Ui).
Aus diesen beiden Gleichungen ergiebt^sich leicht:

ab^co8\(u — Ui)cosl(u + Ui)

X =

V =

a^sin i(tt+ iii)*+ 6acos4(w+ M,)« '

a% cos l(u — «i) sin l(u + t/i)

«2 sin 5(m + Wi )^ + 6^ cos ^(m + Ml )^

Bezeichnen wir nun die Entfernung der Sehne $ von dem Mittel-
punkte der Ellipse durch g, so ist

g^ = 3P + l^^,
also

2 a%^cos\(U'-Ui)^

^ ~ a^ sin l(u^uO^+b'^ cos Uu + uJ^'

und folglich nach dem Obigen:

oder

9 = -gä" c^^ Kw — Mir

C0Si(M-Mi)2=j^^.

Mach dem Obigen ist aber

««

sin J(ti — Ui)^ = rä '

aus einem neuen Geetcktejmnkte dargeeteilL 387

tiso

welche Gleichung sich auf verschiedene Arten umgestalten lassen
rurde.

Bezeichnen wir die Entfernung der Sehne Si von dem Mittel-
uokte der Ellipse durch ^i, so i^t natürlich ganz eben so:

Addirt man die beiden vorhergehenden Gleichungen zusammen
ind verbindet damit die aus dem Obigen bekannte Gleichung

30 erhält man die Gleichung

Ferner ist

ilso:

PToraus sich

qDDi ■= ^2absi > 9i ^ A = 2a6« ;

^ = — oder 5ö'=5i0'i

ergiebt. Auch ist

folglich ^

Sind «5 s' 9 s" drei dem Durchmesser D parallele Sehnen» deren
Entfernungen von dem Mittelpunkte der Ellipse respective g, g', q"
sind« so ist nach dem Obigen:

/>» 1

388 Grunert: Die Theorie der Ellipse und Bpperbel,

Z>2 1

V + n2* — *»

Z>« 1

Multiplicirt luan diese Gleidiungen nach der Reibe mit

und addirt sie dann zu einander, so erbSlt man die Relation:

oder

oder

9« (*'2 - /'«) + 9'« (5"* — s^) + 9^a (»« - 5'«) = 0 ,

«2(y'2— ^"2) + ä'«(9"* — y2) + /'«(y*— 9'«) =0.

Wer Vergnügen an der Ableitung solcher allerdings bemer-
Icenswerthen Relationen findet, dem wird das Obige vielfache Ge-
legenheit zur Uebung seines Scharfsinns darbieten. Aber die
Mathematik ist an dergleichen Dingen so unendlich reich, dass
auf dieselben in der That nur ein geringer Werth zu legen ist,
was hier im Vorbeigehen einmal nicht unbemerkt bleiben mag,
weil jetzt Mancher, der einmal eine einigermassen bemerkenswerthe
Relation j etwa nur bei'm ebenen Dreieck, gefunden hat, immer
gleich meint, eine grosse mathematische Entdeckung gemacht zu
haben, und darüber staunt, was das an sich so einfache ebene
Dreieck für eine merkwürdige Figur sei. Wer fleissig arbeitet
und nur ein Fünkchen mathematischen Scharfsinns besitzt, findet
solche Dinge alle Tage. Wie wenig Werth in wissenschaftlicher
Rücksicht ich selbst in Bezug auf meine Person auf dergleichen
Dinge lege, mag man aus dieser gelegentlichen Bemerkung ent-
nehmen. Man freu't sich darüber, wenn man sie gefunden, einen
Augenblick, macht dann aber nicht^gleich, wie jetzt hin und wie-
der geschieht, viel Aufliebens davon, als hätte man eine grosse ^
mathematische Entdeckung gemacht.

Durch zwei Punkte der Ellipse, deren Anomalien Uq und Ui
sind, wollen wir uns Berührende an die Ellipse gezogen denken,
so sind nach §. 4. deren Gleichungen:

aus Hnem neuen Gesichtspunkte dargestellt. 389

6^ cos tio -f- ff^ sin fiQ = a6 ,

hx cos tf I -f ^y sin «i = ab.

Bezeichnen nun Xy y die Coordinaten des Durcbschnittspunkts
dieser BerQhrenden, so ist, wie man aus diesen Gleichungen
leicht findet:

a:8in(Mo--M|)= a (sin tiQ — sini£|),

y sin («0 — «i ) = — 6 (cos Uq — cos Ui) ;

also

_ cosi(tto + Mi) _ sinUg/o + "i)

"" cos HUq — Ml ) * ^ cos i(Wo — «*i ) *

Bezeichnen wir nun die Entfernungen des in Rede stehenden
Durchschnittspunkts von den durch die Anomalien t/o und ?i| be-
stimmten Berührungspunkten respective durch £o>i und £],o> seist

r « a, ^<^«if''o + Mi)m . ,«. . sini(Mo+J^)»«

£;oa^=a«|cosMo-^^(-— -^lH6^is»ni/o-^^^^.(^^^^^^ji^

^^ * CüSl(t/o — M|) • 'COsKWo-Wl)

aLsOy weil

cos «0 coS5(tio — Wi ) — «"OS \{uq + Ml) = — sin ?/o sin i(t£o — Mi) ,
sin Mo cos t(Mo + Ml ) — sin i(Mo + Mi) = cos Mo sin i(Mo — M| )

DDd

cosMi cos [(mq—M]) — cos1(mo + Mi)= sinM|Sini(Mo — Mi),

siniCi cos 4(mo — Mi) — sin J(mo + Mi) = — cosmi sin 4(mo — Mi)

Ut, offenbar :

£Jo»i*=^"8 a(wo — Wi)^(a^ sinMo*+ 6*cos Mo*) ,

J5;,,o*=tang4(Mo-Mi)2(a2sinMi2+6«cosMi2);

folglich :

IJo,!* _ fl^sinMo* + 6* cos Mo*
i;i,o* "" a* sin Ml« + 6*cosm,**

Auch ist

n*(sinMo — sinMi)(sinMo4'SinMi)

ii„*-.£i,o*=tangi(Mo-tii)« ^/ ^ ,

( + 6* (cos Mo — cos Ml ) (cos Mo +COS Ml)

==4tangl(Mo--^)*(ö*s"n(wo— Wi)sin(«o+Wi)--**8in(«o--<«i)s'"("o+«i))»

390 Grunert: Die Tkeorie der Ellipse und Upperbel,

also :

Wir wollen uns jetzt in drei Punkten der Ellipse, deren Ano-
malien f/o> t/i> ti<2 ftind. Berührende an die Ellipse gesogen dea«
ken. Die Entfernungen des Durchschnittspunkts der ersten nad
zweiten Berührenden von den durch die Anomalien Uq und Ui be-
stimmten Berührungspunkten seien Eq,i und £1,0; die Entfernun-
gen des Durchschnittspunkts der zweiten und dritten Berührenden
Ton den durch die Anomalien ti| und u^ bestimmten Berührungs-
punkten seien £x>a "''^ ^a»i > ^'® Entfernungen des Durchschnitts-
punkts der dritten und ersten Berührenden von den durch die
Anomalien % und Vq bestimmten Berührungspunkten seien E^
und £o>ft' ^^^^ i^t nach dejn Obigen:

jEon* a^ sin Wo* + ^*co8t^

jEi,o* a^sintii* + 6*co8iii* '

Ey ,a^_ g^sin uj^ + U^cobuj^

E^_ a^sint<a^ + 6«cosV,
£o5i2* "~ a^sintfo^ + 6«cos «0^ '

also offenbar

oder

^OJl^ ^lj2^ ^^'l'O^ I

^l'O ^-'2-l ''^0»2

■^0»! • ^1>2' ■^2>0 — •^ü"2' '^2>1 ••^1>Ü»

•welche Relation, in dem am Ende des vorigen Paragraphen an-
gedeuteten Sinne, vielleicht auch einige Beachtung verdienen dürfte.
Bei'm Kreise versteht sich diese Relation natürlich von selbst, da
in diesem Falle

ist.

§. 10.

Um die Anwendung der Anomalien auch bei einem schwie-
rigem Lehrsatze und einer schwierigem Aufgabe zu zeigen » wol-
len wir mittelst derselben in diesem Paragraphen zuvSrderst das
folgende berühmte Theorem für die Ellipse beweisen, welches
für dei» Kreis bi^kanntlieh von Pascal gefunden und mit dem

einem neuen GesicfUspnnhte dargeHeitt. 391

[amen des Hexagrammum mystieum belef^t, späterhin auf alle
Kegelschnitte erweitert worden ist:

Wenn man je zwei gegenüberstehende Seiten eines
eliebigen» in eine Ellipse beschriebenen Sechsecks
is zu ihrem Durchschnittspunkte verlängert, so lie-
en die drei Durchschnittspunkte, welche man auf
lese Weise erhält, jederzeit in einer geraden Linie.

Das in die Ellipse beschriebene Sechseck sei

Aq Ai A2 A^ A^ A^

nd die Anomalien der Punkte

■"Of -"!> -^2» -"3» -"4» ^5

eien respective

Uq, Ui9 «2, M3 , M4, t/5.

»ann sind nach §. 2. die Gleichungen der Seiten

■"O"!» -^X-^Q,) -«2^3» -^3^4» -^4*^0 > ^b^O

ach der Reih^ :

ba:co&\(uQ + M|) + rty8ini(My + tii) = o6cos4(wo — «i),
6a: cos i(Mi + i/a) + «^sin \{ui + M2) = c/6 cos \{ui — %) >

bx cos J(w2 + M3) + ^y «'»n 2(^2 + %) = «6 cosKm2 — Ma) f
64: cos 5(1/3 + M4) + a^ sin 4(1/3 + u^ = a6 cos l{u^ — W4) ,
bx cos 5(^4 + Mö) -|- (^y sin ^(«4 + M5) == ab cos .2(^4 — 2/5) ,
6;:r Gos Kmj + Wq) + «y sin4(t/5 + «o) = «6 cos ^("5— «o) •
U^ gegenOberstehenden Seiten des Sechsecks sind:

AqAi, A^A^', A1A29 ■«4'^5 5 -^2^3» -"5-^0 5

nd bezeichnen wir nun die Coorclinaten der Durchschnittspunkte
ieser drei Paare gegenüberstehender Seiten nach der Reibe durch

o bähen wir zu deren Bestimmung die drei folgenden Systeme
weier Gleichungen:

6jroCOsi(Mo + Ui) + o%sinl(uo + Ui)=: ab cos Kuq—Ui),

bXo cos i(Ui + u^ + at}o sin i(us + u^=:ab cos l(us -— M4) ;

3^ Grunert: Die Theorie der Ellipse und Hyperbel,

bXi C084(tei -i-u^) + atfiS\nl(ui'^u^z=:abco6i(Ui — Hj),
bXi cos 4(m4 + Wft) + atfi sin l(u^ + u^) = ab cos \(u^ — ttj) ;

6)raCosi(tcs-f ttg) + 0t^2Sin9(<^ +i's)=a6cos3(ti2— tia).

6)raCos Ktift-f «o) + Gt;asin J(w6 + Mo)=«6cosi(tt5— «o).

Hieraus erhalten wir sehr leicht:

^ si» i(Mo -f Kl) cos ^«3 — «4) — sin ^(«3 + u^) cos 1(Uq — Ui)
'<>"" sini(tio+Wi — W3— ««4) '

_ cos i(Mo -f t£| ) cos i(tl3 — 114) — cos i(tl3 -f «4) COS jC^Q— "i) 1 .

*^®"" sini(«o + «*i— W8-«'4) ' *

_ sin l(ui -f Mg) cos .1(^4 — «5) — sin .^^4 -f- u^) cos i(tfi — u^)
* "" sin 4(mi + 1/2 — W4 — «ö) '

cos Ulli -f ^)cosi

sin l(ui + «2 — «4—^5) '

_ sini(«2+^3)cosi(M5 — Mo) — sin Iju^ + Uq)cos i(^2 — «3)
*"" sini(Ma + M3— «ft'-^'o) . '-^

— «. cos i (iia + «3) cos 1 (M5 — ?f 0) — cos i (fi5 -t^ Mq) cos l (Ma — «3) .

Wir wollen nun die Gleichung der durch die beiden Durcb-
schnittspunkte (Xo%) und (tit^i) gehenden Geraden, welche bekanntlich

ist, entwickeln, wobei es also, weil wir die Coordinaten To» Vo

schon kennen, hauptsächlich auf die ßestiniraung des Bruchs -^ — -^

Xo — »1
ankommt.

Die beiden Gleichungen

btQ cos a(% + Wi) + at)Q sin J'(wo + Mj) = a6 cos ^(«^0 *~ ^i) »
6X0 cos 4(^3 + M4) + at}o sin ^(«3 + ««4) = ab cos 4(^3 — W4)
kann man auf die folgende Form bringen :

6(^0— ^i) cos J(wo + Mi) + a(i?o — »?i)sin4(Mo + Mi)

=a6 ( cos 4(tio — M,) — —• cos 2(^0 +«i) — ^ s«» 5(^0 + Mj) ),

s

au$ einem neuen GesichUpnnkte dargestelU. 398

*(^o— )fi)co8j(t^ + ti4) + a(i;o-t;i)8"nl(w8 + ««4)
= ab \ cos 4(t«s -- M4) — ^ cos J(t«3 + M4) — -^ sin J(w3 + «4) )•

Durch Einführung der aus dem Obigen bekannten Werthe Ton
— und -T- erhält man mitteist ganz leichter Reductionen sogleich :

cosi("tio — tii)~-~cosJ(t/o fWi)---^sini(?/o+Wj)==cosi(t/o--tti)

sin \{tio — «2) cos U^4*-M5) — co^ K^i — ^^2) sin U^) + «i — «4 — ti^)
■*" sin J (?«i + «2 — M4 — Mö)

Addirt man nun auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens»
80 ist der Zähler des dadurch hervorgehenden Bruchs:

cos4(mo — Mi)sin \{ui + u^—u^—u^)
-f siniCtfo — Ua)cosi(t£4 — u^ — cosi(Mi —'u^sml{iHQ-{-Ui — W4— «5)

= isini(««o+«2 — ««4— W5)— isin4(t/o— -2wi — Ma + M^+Mj)
+ isin 4(tto — «2 + «4 - ^b) + isin J(mo — «'a — «4 + «*ö)
— 4sini(tfo'+ »^ — «4— Wft)— J sini(iio + 2mi — t«a — 114— «5)

= 4sin Utto— Wa + «4— "0)— isin4(t/o— 2t/i — 1/2 + M4 + «5)
+ 4 sin i(tto — «^2 — «^4 + ^ö) ~ 4 «>" 2 (uq + 2«! — % — W4— 115)

= sip \{ui — M5) cos \{uq — Wi — 02 + ^4)
— sin \(ui — tift) cos 5(wo + % — % — W4)

= 28in i(tio — «2) sin i(«i — W4) sin \{ui — 115).

Auf ähnliche Art ist, wie man leicht findet:

^ AA

C0S4(l(8 — M4) — ~C0S4(W3 + «I4)— ysin4(2£3+ll4)==COS4(tl3— M4)
S\n\{u^—U^COBi{Ui — t/2)-t-C0S j(t/4 — ?/5)sin^(Mt + «2 — «3— «4)

"" sin 4(U] -|- 1/2 — M4 — Wo) '

und subtrahirt man nun auf der rechten Seite des Gleichheits-
seiefaens, so ist der Zähler des dadurch hervorgehenden Bruchs:

Theil XXIV. 27

304 Grüner t: Die Theorie der Ellipse und ffpperöei,

cosi(tt3—M4)«iDi(Mi +«2—114—115)

— sin J(ti8-— M5)co8i(Mi — W2)-"C^^sJ(ii4-— Mö)sin4(wi+tta--»^-tt4)
= Isin J(Mi+Wa— W3— 115) + isini(Mj +U2i-Us — 2u^ — Uq)

— i«inl(«ii — Ma + ^'s — «*ö) + 2S*Di(Mi— «,— t% + ti5)

— JßinKwi +«4 - «3 - Wj) — l8iii4(Mi,+ w«— Wg —21*4 + u^)
= ^sin 5(^1— Wa— M3 + "ö) - «siw i("i + m^— M3 — 21*4 + u^)

-Jsin l(Ui — «a + "3— «ö) + 4sini(Mi + u^ + «3 — 2t«4 — M5)

= — sin ^(«2 — «4) cos i(Mi — W3 — «4 + M5)

+ sini(Ma— «*4)cos4(«^i +«^3— «*4— -Wft)
= — 2sin4(Mi — M4)sini(M2— ?<4)8ini(2^ — M5).

Also ist nach dem Obigen:

6(^0— )fi) cos 4(«o + «i) + ff(%— t;i)sin4(tio + Wi)

2a6 sin K^q— «2) sin j(M| — M4) sin l(Ui —Uj^)

■^ sin JK + «a— «*4 — ^ö) '

«

_ 2a6sin -2(Ui — u^)su\ i(^2~"^^4)sin|(w3— m^) ^
"" "~ sin l(Ui + 2^2 — W4 — M5)

woraus man nun ferner leicht:

6 (^0 — :»^i) sin i(Uo + Wj - W3 -- u^)
2a6sin ^^1—^4) I s"4K-W4)sJni(M3-ii5)sinJ(Mo+Wi)]

sin4(Mi +W2— ?/4~W5) f+sin.Kwo-W2)«inUwi-^W5)sin4(t/3+M4)| '

o (^0 — ^1) sin 5(^0 + ^1 — W3 — M4)
2a6sinK««i— W4) I sinK^a— W4)s»nJ(M3— M5)eos4(Mo+«i)

sinJ(Wi+M2— W4~W5) ( +sinKMü— 2^a)sinJK— W6)cosi(ii3+«4)

erhält.

Die erste eingeklammerte Grösse ist:

aui einem neuen GesicAiepunkie dargeeielii.

4 cos i(Ma - Ms ^ U4 + W5) 8in \(Uq + kJ

— \ cos J(Ma + «3 — M4— W4) sin 1{Uq + U|)

+ \ cos J(Mo — «1 — «^2 + Wft) sin i('«3 + ««J

— 4 cos J(tio + «1 — M^ — tift) sin J(ii3 + M4)

= 1 sin i(tto + ««i +%—•%-««* + «5)

+isin i("o + ««I - wj + Wa + H'-^f^)
-isin i(Mo + «1 + "» + «^— W4— 1x5)

-JsinJ(Mo + Mi — Ma-«3+«4 + «*ö)
+ J sin K^o— Wji — Wa + «'s + ««4 + «0)
— Jsin Kwo—Wi — «^ — «3— «^4 + «'s)

-isini(tto + Mi-tla + W3 + M4~M5)

+ Jsini(Mo + "i'-«^— ««s — W* — W5)

= isinJ(Wo—Wi--Wa +^113 + 1*4 + ^5)

+ Jsin l(iio + «1 + tia— tt3^«4 + Mö)

+ Jsin4(- Mo + Wi + «2 + «3 + «^4 -«ö)
-Jsin4(-t/o— Mj+Ma + tta + M^ + Mg)

— Js5nJ(«0 + «*l— ^2— M3+M4 + Wß)

-isin4(Mo + Wi +«a + M3 — ««4— «'s)-
zweite eingeklammerte Grösse ist:

\ cos 4(Ma -- «3 — «4 + "ö) cos 4(Mo + ^)
— 4 cos 4(Wa + «3 — **4 — «'s) cos 4(Mo + Ml)

+ 4 cos 4(Mo — Ml — . M^ + «5) cos J(ll3 + M4)

— 4 cos 4(Mo + Ml -- tta — Mg) cos 4(M8 + M4)
= icosi(Mo + M|+Ma — M3 — «4 + 115)

+ icos J(Mo + Mx — Ma + M3 + «4— Mg)

— J cos \{uq + Ml + t/a + M3 - M4 — tfg)

— \ cos 4(Mo + Ml — U^ -— «I3 + M4 + Mg)
+ J cos4(Mo — Ml ^«a + M3 + M4 + Mg)
+ JCOSi(Mo — Ml -Ma — M3--?/4+mJ
-^iC08i(Mo + Mi—Ma + M3 + M4 -. Mg)

— 1 cos 4(Mo + Ml -^ Ma — M3 -^ M4.^Mg)
= Jcos 4(Mo— Ml — Ma + M3 + M4 + t/g)

+ J cos |(Mo + Ml + Ma - M3 — M4 + Mg)
+ JC0S4(— Mo+Mi+Ma + M3+M4— Mg)

— iC0S4(— Mo-Mi+Ma+M3+M4 + Mg)

— ico»4K + «1 -Ma — M3 + M4 + Mg)

— icOS4(Mo + Ml + Ma + M3 — M4 — Mg).

2T*

396 G runer t: Die Theorie der Ellipse und Hyperbel,

Setzen wir also der Kürze wegen:

Jf = sin i(Wo - ^1 — ^2 + Ws + 1/4 + M5)
+ sin \{Uq + «1 + Ma — "s — «^4 + «'s)

+ sini(— «'o + ««l+W2+«^8+«'4— W4)

-sinK— t/o— ti, +Ma + tt3 + t/44M5)

— sin J(Mo + «1 — Wa— "3 + «4 + «ö)

und

iV == cos i(Mo — «'l — ^2 + «3 + ^4+ ^5)
+ COS J(Mo + M| + Ma — 1«3 — "4 + "ö)
+ COSi(— Wo + tli+t«a + M3+«4-«6)
-COSi(— Wo~Wi+Wa+««3+«^4+Wö)

- cos4(Mo + m, — Ma - W3 f M4 + ttj)

- COS i(Mo + W, + Ma + Ms — ««4— «*6) >

60 ist nach dem Obigen offenbar:

und die Gleichung der durch die beiden Durchschnittspuni
(^o^^o) "^<^ (^1^1) gehenden Geraden ist folglich:

oder^ wie sogleich erhellet, auch:

ö N

Um nun die Gleichung der durch die beiden Durchschnittspunk
fri^i) ""^ (^2^2) gehenden Geraden zu finden, müssen wir, u
aus dem Obigen auf der Stelle erhellet« in der Gleichung

b N
für
respective

OHM einem neuef^ Gesichtspunkte dargesielii.

397

«1» W2> «8» «4» «6» «0

m. Dadurch gehen fo' ^o '^^ h* 9i ober, und wenn nun M, N
V j N' übergehen, so ist die Gleichung der durch die Durch-
ittspunkte (Xit^i) und {X^t}^ gehenden Geraden:

b JS'

it man nun aber die in Rede stehende Substitution in der
36 M TOT, so erhält man:

JU* = sini(Wo + «1 — «2 -«8 + **4 + ^^ö)
+ sin4(Wo + Mi + Ma + tt8-W4-«'6)
+ sini(-«io— "i + ««a+«8 + «'4+««6)
—sin 4(Mo - «1 - ««2 + «8 + «4 + «ö)
— sini(««o + «*i + «'«— «3— «^4 + «*)

-sin J(— Mo + Wi +t<2 + M3 + »^4-«6)

2=-^ sin 4(Wo — Ml — Ma + «s + ««4 + «'ft)
—sin K^o + «1 -t «2 — «^3 — ««4 + «^ö)
— sin4(— Uo+tfj +M2+% + «4— «ö)

+ sini(— Mo — Wi +«3+^3+114 + ^5)

+ Si n i (Mo + Mj — Mjj — t/3 + M4 + M5)
+ sin 4(Mo + Mj + Mj + Mg — M4 — Mß).

it man die in R^de stehende Substitution in N vor, so
t man:

N' = COSJ(Mo+Mi— Mg — M3+M4+Mß)

+ cosiO'o +"1 +«^a + «'s — "4— ««5)

+ COSi(— Wo— Mi+M2 + M3 + M4 + Mß)

— cos J(Mo— Ml — Ma+ M3 + «4 + Mß)

— COsJ(Mo+Mi+?^— ?*3— M4 + M6)

— COSK-M0 + M1+M2+M3 + M4— Mß)
= — cos J (Mo - M, - Mg + M3 + M4 + Mg)

— COS |(Mo + Ml +M2 — M3 — M4 + Mß)

— C0S4(— Mo + M| +M2 + M3 + M4-M5)

+ COS K— «*ü — «^ +"2 + «'3 +"4 + *'ö)
+ COS o(Mo + Ml — M2~M3 + M4 + M^)

+ COS4(Mo + Mi+Mg+M8 — M4— M5).

308 Grünen : Die Theorie der Ellipse und Hyperbel,

Vergleicht man diese AUsdnieke Von JUS ZV' mit den obigen
Ausdrücken von M^ N^ so ergiebt sich auf der Stelle:

N* N
M'cü — M, N'ojz^N; also ig/=»T&»

und die Gleichung der durch die Durch«chnittspnnkte (Xil^i) und
(^2^2) gehenden Geraden ist also nach dem Vorhergehenden:

Ganz durch dieselbe Gleichung wurde aber nach dem Obigen auch
die durch die Üuröhschhittspunktö (Mo) ""^ (Ji^i^i) gehende Ge-
rade cbaraktefif)lrt. Also liegen die drei Dufchschnittspankte Orot^)i
fri^i)j (Jf2%) in ö*»ner und derselben geraden Linie, welches der
zu beweisende Satz war.

Der aus dem Vorhergehenden sich ergebende Ausdruck der
Gleichung der Geraden, in w^lötier die drei Durchschnittspunkte
jedes der drei Paare Von Gegenseiten des lli die Ellipse beschrie-
benen Sechsecks liegen, durch die beiden Halbaxen der Eklipse
und die Anomalien der sechs £cken des Sechsecks scheint mir
an sich sehr behiefkeniwerth zU sein und bt als das Hauptresaf^
tat der vorhergehenden Utitersuchung zu betrachten. Die Grosse

b N
«^ ist bekanntlich die tflgöntitnetriscbe Tangente des auf die

aus der analytischen Geometrie bekannte Weise genommenen
Neigungswinkel der in Rede stehenden Geraden gegen die Axe
2a der Ellipse.

§. 11.

Wir wollen nun die folgendö Aufgabe auflösen :

In eine Ellipse ein Dreieck zu beschreiben, des-
sen Seiten, iiöthigen fällig gehörig verlängert, durch
drei gegebene Punkte gehen.

Die Geschichte dieser für den Kreis zuerst Castillon von
Cramer vorgelegten Aufgabe ist bekannt, und man weiss, wie
ungemein weitläufig die von Lagrange, Euler, Lexell gege-
benen analytisch- trigonometrischem Auflösungen derselben sind,
namentlich den so sehr einfachen Constructionen von Giordano
di Ottajano, Malfatti u. A. gegenüber. Die neuere analy-
tische Geometrie hat allerdings auch bei dieser Aufgabe sehr
Vieles geleistet, und hat dieselbe bekanntlich auf alle Kegel-

iinem neuen Gesichtspnnhie dargestellt. 389

«ehoitte, ja auf beliebige in dieselben zu beschreibende Vielecke»
deren Seiten sämmtlich durch gegebene Punkte gehen sollen«
erweitert, worüber ich hier nichts weiter sagen will, weil diese
neueren Untersuchungen bekannt genug sind. Neben den bekann-
ten analytischen Auflösungen dürfte jedoch auch die folgende, an
sieb ziemlich einfache Auflösung der auf die Ellipse erweiterten
Aufgabe einen Platz verdienen und den zweckmässigen Gebrauch
der Anomalien bei der Auflösung von die Ellipse betreffenden
Angaben va zeigen geeignet sein.

Die Coordinaten der drei gegebenen Punkte, durch welche
die Seiten des in die Ellipse zu beschreibenden Dreiecks gehen
Mlfen, seien f^g^ fn gi\ A» g^» Die Anomalien der drei
Spitzen oder Ecken des gesuchten Dreiecks seien u, u^, %; so
sind nach J{. 2. die Gleichungen der Seiten desselben:

6a;cos \(u -f u^) -f- ai^ sin4(ii + u{) = a6 cos 5(1« — t/j),
bxcGB\{Ui-\ii^ \ ay$\n\{Ui^v^:==iabcoH\{Ui^u^),
6a: cos \{u^ + «) + ayAn i{u^ + «^) = ab cos \{u^ — u) ;

und sollen nun diese Seiten nach der Reihe durch die Punkte {fg)t
\ if\9\)y (Affe) gehen, so haben wir zur Bestimmung der drei Ano-
malien u, Ui, ti2 die drei folgenden Gleichungen:

bf cos i(« + Ui) -\- ag sin4(tt + Mj) r= üb cos J(m — u{) ,
bfi cos i(Mi + Wa) + agi sin \{Ui + Ui^ = ab cos 5 (Wi — m^) ,
6/2 cos i(w^ + «*) + ag^^sxn \{ii^ + u) = ab cos 5(^2 — «*)•

Die zweite und dritte dieser Gleichungen bringt man sehr leicht
auf die Form :

^ 1 6/i cos \u^ + agi sin \h^ — ab cos ^Wj ) cos a«/^
== [ bfi sin \Ui — agi cos^u^ + «6 sin i*^| { sin i w^ ,

1 6/3 cos ku + ag^sm \u — ab cos \u j cos \u^
= 1 6/2 sin \h — «^2 cos \u -\- ab sin 5«* ! sin \u^ ;

\

woraus

bfx cos \Ui -f ff^j sin 4^| ->" aft cos 4^1

ng4W2 ^^ gjn ^1^^ — fj^g^ cos Jmj + ab sin Jmj '

, 6/2 cos \u + ff^2 sin \u — ab cos ^gf ^

* *"*"6/2sinjM — a(9r2COSaW + aÄsinJu'

400 • Grüner t: Die Theorie der Ellipse und Hpperbel,

also die Gleichung

bfi cos JM| -J- oQi sin ^i^i — ab cos \u-^
bfi sin iwi — agi cos \Ui -{- ab sin \u^

^/jacosjgf + ag^s\x\\u — abcos\u

bf^sm\u — atj^ cos i« + ab sin \ü

folgt Multiplicirt man diese Gleichung nun mit dem Prodacte
der beiden Nenner der Torstehenden Brüche» so bringt man die-
selbe nach einigen einfachen Reductionen und Verwandlungen
sehr leicht auf die folgende Form :

0 = (a^^Tj^a + ^Vi/i - a*6*) s«» J(w— «i) — «^(/l^a— jSI'i/a) cos 4(if-tti)

+ a62(/i-^a)sini(tt + i/i)— a^ftto'i -5'2)co8i(u+t«,)
oder.

0=:(l--^.--J.j)sm5(W-Mi) + ^^ --ft--- J^^C08,(M~U,)

Fflhrt man nun in diese Gleichung den aus' der ersten der drei
Fundamental -Gleichungen sich ergebenden Werth

f n

cos^Cm — Wi) = — co.s4(m f «/i) +?sin J(w-|-M|)
ein, so erhält man;

oder :

^^ a a^ b a a^ b 2\ii/

einem neuen Gesic/Uspunkie dargesielii, 401

f
md setien wir der Kürze wegen:

F _^ a a' b ^ a a' ö

M. ^ • — -7- • -jr-

a a o 0

,1 9 9i.U ,1 9 92. fi

^~ i f\ U 9\ 9^

a a ob

so haben wir die beiden folgenden Gleichungen:

F G

eini(«— Wi)= -co8j(M + tti) +-T-sin.l(f«+Mj) ,

f n

cosa(«* — Wi)= - cosJ(w + tij) + 2.sini(M + Wi). '

Aas diesen beiden Gleichungen ergiebt sich, wenn rnan quadrirt
and dann addirt, die Gleichung:

1 =— ^ cosi(M + Mi)«+— p^sin J(ti + w,)«

also:

+ 2^^^8inU« + «i)cosiO* + Mi),

FM-/[« l+co8(u + Ui) G^+g^ 1 — co8(tt-f ttt)
^— «a • 2 + 6^ 2

+ ^^8in (. + «,),
oder:

F2 + /^ G2^.^«

1 —

2a« 2&«

Wie man mittelst dieser Gleichung u + üi bestimmen kann,
ist bekannt genug and bedarf einer weiteren Erläuterung hier nicht.
Hat man aber ti-f «1 gefunden, so sind im Obigen, wie eb^tafalis
auf der Steile erheilet, Formeln genug enthalten, mittelst weicher
sieb alle drei Anomalien der Ecken des gesachten Dreiecks bo-

40S Grunert: Die Theorie der Eliipse und Bpptrbei,

stimmen lassen , wodurch dann dieses Dreieck selbst gcftinden ist
Den tbeilweise sehr weitläufigen, oben erwähnten analytischen
Auflösungen für den Fall des Kreises gegenfiber, scheint rair die
vorstehende Auflösung ffir den allgemeineren Fall der Ellipse wohl
hinreichende Einfachheit ea besitzen, und dürfte wohl geeignet
sein, den Gebrauch der Anomalien auch bei der Auflösung ande-
rer Aufgaben zu empfehlen, was der hauptsächlichste Zweck des
Obigen ist.

Nachträglich will ich noch bemerken, dass ich aus der obi-
gen Gleichung zwischen cosiu-^-u^) und sin(te-|-tti) den folgenden
Ausdruck für tang2(t£-ft<i) abgeleitet habe:

.4b^>«^haM«

^^±V(^S)'-<'-'-^)<'--i^>

tangj(" + tti) = 6r«T^

a'

6«

§. 12.

Diese leicht weiter ausaddehnenden Untersuchungen über die
Ellipse wollen wir mit den folgenden Betrachtungen über deren
Quadratur beschliessen.

Wenn wir annehmen, dass der Halbmesser r der Ellipse von
dem positiven Theile der Axe der x an nach dem positiven Theile
der Axe der y hin den Winkel cp und den entsprechenden ellip-
tischen Sector iS beschrieben habe, so ist bekanntlich

^iC'^r^dq),

Die dem Endpunkte des Halbmessers r in der in Rede stehen-
den Lage desselben entsprechenden Coordinaten und dessen Ano-
malie seien jo, y und u, so ist

a: = reosg), y = rsing) und a: = acosii, y=6sinti;

also

rcosg) = acosw, rsing) = 6sinu;

wotaus «ich auf der Stelle

r^ = a*cosM'+ 6^sinM*

ergiebt. Ferner ist:

1

einem netten Geeichtspnnkle dnrgesteiit. 403

sin 4>8»*-ffeo0 96^2^ 6oo«udu;
ilM, weiiji mall 6r «limlnlrt:

r99)=(asinttsingp -|'6cos^c<>S9)d^»

w«raiMi

t<9^==faisiiili.r$in9-f 6cöätl.rC089)8u
= (asinu.6sinu -f 6co8U.acosu)dM
Äc «6 (sin I** + cos »•) 3» ,

also

folgt. Daher ist

/ r^dcp^rzab 1 duz=:abu,

o o

folglich nach dem Obigen:

S=z iabu,

welche Formel jed^nfklls sehr Jbemerkenswerth ist.

Für eine andere Anomalie Ui, welcher der elliptische Sector
Si entspricht 5 ist

Si = imbui ,
also

Das den Anomalien u und ti| entsprechende elliptische Segment
«ei Sf so ist offenbar^ wobei Taf. XU. Fig. 2. zur Erläuterung
dient, in völliger Allgemeinheit:

S=Si — jS — ^rri8in(g>i — y).
Aber

fVi sin (g>i — ip)=:ri sin (pi . r cos 9? — Vj cos q>i . rsin gp

sst/^sime^ .«t3ö«ii^aeo6ti|.ifts(ntt

=: a6 (sitt 2^ €os «« — cos t<4 sin u)

.= f/6sin(2<| — m)^
also

404 Grunerl: Die*Theorie der Ellipse und appfirbei,

S= Si^S'-lab sin (Mj — t*) = 4a6 { u^ — w — sin (t^ — u)\ ,

wobei immer M| > u vorausgesetzt norden ist.

Ist £ der elliptische Seetor , weichen der von dem in dem
positiven Theile der Axe der as, insofern 2a die Hauptaxe und
als Axe der äs angenommen worden ist» liegenden Brennpunkte
der Ellipse ausgehende Vector von dem positiven Theile der Axe
der X an bis zu dem Endpunkte des Halbmessers r beschrieben
hat 9 so ist 9 wie sogleich in die Augen fallen wird. In völliger
Allgemeinheit:

£=iS — ker8inq>^ S—^iebeinu,

wo e die Excentricität der Ellipse, d. h. die Entfernung des io
Rede stehenden Brennpunkts von dem Mittelpunkte bezeichnet.
Also ist nach dem Obigen:

£= labu — lebsinu = lb (au — esinü),
oder :

2=zlab(u sin tt) ,

f
und folglich, weil

ist:

2;=:ia6(M~sinwY l-^^V).

11. Die Hyperbel.

§. 13.

Von den beiden in dem Mittelpunkte C (Taf. XII. Fig. 3.) der
in der Figur durch vollständig ausgezogene Linien dargestellten
Hyperbel sich schneidenden Axen ^^i = 2a und BB^=z^b dieser
Hyperbel sei AAy^ die Axe der x und BBi die Axe der y, und CA
und Cß seien die positiven Theile dieser Axen, so ist bekanntlich

©'-(!)*=

_ V

fftrt etfiem neuen GesicMspnnkte darge1$eHt. 406

Gleichang der Hyperbel. Ueber der Axe AA^^=2a be8chrei|[)e
n die in der Figur durch punktirte Linien dargestellte gleicb-
ige Hyperbel als eine Hiilfsbyperbel, so wie wir früher bei

Ellipse den Hüifskreis beschrieben; und wenn nun P ein
iebiger, durch die Coordinaten a:, y bestimmter Punkt der ersten
perbel ist, so sei I^ der Durchschnittspunkt der, der Coordi- ^
e y entspreche» den Linie PQ^ wenn man dieselbe nutbigen-
• gehurig verlängert, mit der über AAx als Axe beschriebenen
ichseitigen Hyperbel. Zieht man dann CP* , so soll der von
$er Linie mit dem positiven T heile CA der Axe der x einge-
lossene Winkel, indem man diesen Winkel von dem positiven
»ile CA der Axe der ac an nach dem positiven Theile CB der
) der y hin von 0 bis 360^ zählt, durch u bezeichnet werden.

erste Coordinate des Punktes P ist offenbar x, und die zweite
»rdinate dieses Punktes wollen wir durch y' bezeichnen. Dann
offenbar in völliger Allgemeinheit, wenn CP'=r' gesetzt wird':

x=:r'cosu, y = r'sintt.
I ist aber

©'-(f)'='- (f)'-(9'="'

r'*(cosu*'— sintt2^=r'*cos2M=a*,

lieh

, a_

V^cos2m*

r" nur dann reell ist, wenn cos2u positiv ist. Folglich ist

acost^

X^ —===Z. 9

V cos 2u
weil wegen der obigen Gleichungen

ar =©■ «-.' ^=>-

, ^SL y und y' offenbar immer gleiche Vorzeichen haben,
^y' ist, so ist nach dem Obigen:

br' . 6 Sinti

« Vcos2te

eh den Winkel u, den wir auch hier die Anomalie des

PnnktM ißiß) nennen woll#o, laMfn »iok fd«> dl« CfforAoattn
m, g diecM Poiiktes naf folg^pd« Art muidrQcfcoii:

aeosu bAnH

" Der Grand , dass diese Avedrflcke bd Wettern nleU ee leiRlkah
äbid wie die e^tepredieiidea Auedrileke bei def JSiWpm^i liegt Im

WeseDtüchen in der geringeren 'Einfig^hMt der GlekÄmag

•* ■ <

ooei^'^-eintf'.;;:; cmi2ai

Im Verbfiltniee so dar Gleichung

ceei^-f «inM^cg;!.

Öle Anomalien gewShren daher bei d^ Hjrperb^l weniger Vortliei|0
p|e bei der Ellipse, wesbalb Ich kniob ancb hier mit der ergterea
dorve in geringerer AasfBbrIlcbkelt als nllt der letsteren besebSF
figen werde.

Man kann ancb noch die folgenden, 'ans dem Obigeo aidb
onmlttelbar ergebenden AusdrGcke von ^r« 3K. merken :

gcosy ftshi^

*~V"cös2t«' *^'"V^sa5'

Sollen die gefundenen Ausdrücke der Coerdinaten reell sein» so
muss cos2ic positiv sein. Theilen wir nun das Intervall 0 bia 2it
in die sechs folgenden einzelnen Intervalle:

0 bis 2 ^»

1^ *» I^

4"

99

4»'

4

1«

99

6
4«.

6

4»

99

7
4"'

7
4«

»»

8
4«.

I

so liegt, wenn u in diesen Intervallen liegt, 2t« beziehungsweise
in den folgandep Intervallen :

gm» e09im mum G09ichf9puHHte dargetteUi. . 407

0 bis ^TT, cosu positiv,.

1

2"

99

3

negativ,

3
2«

f»

4

5»,

positiv.

4

2«

»»

5

2»,

positiv,

e

2*

99

7
2«.

,, -

negativ,

7
2"

»»

8
2».

positiv.

o sind die obigen Ausdrücke der Coordinaten nur dann reell,
in u in den folgenden Intervallen:

I. in den Intervallen:

0

bis

1

4«'

3

4«

j>

4

4«.

4

9»

5

4«.

7
1«

»»

8

0

bis

1

1«,

3

4»

99

5
4«'

7
4«

»

8

4«

t. In allen übrigen Fällen sind die obigen Ausdrücke det
rdinaten imaginär.

§. 14.

Zu der bisher betrachteten Hyperbel, deren Scheitel Ay A^
deren Axen AA^ = 2a und BB^ =26 waren, wollen wir jetzt,
Taf. XII. Fig. 4. zeigt, eine zweite Hyperbel beschreiben, deren
attel Bt Bx und deren Axen BBx = 26 und AAi «;:: 2a aind.
n ist offenbar

MB (Srmmwi} m* ntorH 4kr Batp$$ m^^M$ißtr§ii,

(f)'-(9*=

■ t

*iRe Gleichung dieser iweiten Hyperbel» und aie Gleichongen od-
•erer beiden Hyperbeln «ind daher

(f)-(f)*=+> "'■.(f)'-(r)*=-

weshalb wir Im Folgenden diese beiden Hyperbeln rvspeetive die
positive Hyperbel und die negatiVe Hyperbel nennen
wollen *).

5. 6.

.'-• ■ ' ■ > . . .:l.

I / ^ . » r

Wir wollen jetzt die Gleichung der Geraden. : snöfaen, weicht^
durch die beiden Punkte der Hyperbel **) geht», deren Anomalien
m und tti sind.

Beceichneo wir die gesachte Gleicfantfg durch

1

SQ ist, weil nach {[. 13. die Coordinaten der beiden g^ebeoen
Punkte

acosu 6 sin« . acosui ^sinu,
und

V cos 2t* V cos 2m V cos 2mi V cos 2u^

sind :

6sinu ^ acoste ^

V^cos2i« . V^cos2«

6siiit£| acostix -,

Vcos2wi Vcos2mi

und die gesuchte Gleichung hat also eine der beiden folgenden
Formen :

6sinu . acosu

V cos 2m V cos 2m

6sinuj ., costti ^

^ V^cos2t«i ^. V^cos2tti'

I

*) Wollte man eine ähnliche Cqnstraction auch bei der Ellipse roachefl,
■o irürde offenbar die zweite Ellipse mit der ersten ganz coineidiren.
**) Ohne Beisatz rerstehen wir immer die positive Hyperbel.

mts einem neuen Geeichispunkie dargeeielU, 409

Leicht findet mao aber aus den vorhergehenden Gleichungeo:

> . •

b sin M V^cos 2mi — sin Wj \^cos2u ^

^ ö cos u V cos 2wi — cos t«i V cos 2m

also Ist die gesuchte /Gieichang:

•♦

bsinu b sinttV^cos^Wi—sintti V^cos2m . acosti .

y — ^ =— ^ * — ^ (3? ^ — )

V cos 2tt o cos I« V cos 2mi — cos u^ V cos2i« V cos2m

oder:

6sintf| ~ b sinMV^cos2wi— Sinti, V^cos 2m ^ acostii ^

y =— . jz^=±z — jr (x 7^ — =) ;

Vcos2mi '' cosmV cos2?/i— co8«iVcos2m V cos2mj

öder aiichy wie man mittelst einiger leichten Transformationen findet:

6{sinM V^cos2m, — sinM| V^cos2M)a: i

? =fl6sin(M — Ml).

-=- a (cos M V cos2M| — cos üi V^cös 2m) y )
Auch ist:
(sinM Vcos2M| — sinMj V cös2M)(8inM V cos2mi +sinM, Vcos2m)

= sinM*cos2Mi — sin Mj^ cos 2m

==sinte^cosMi2 — cosM^sintii*

= si n (m — M, ) sin (m + t/j )
und

(cos M V^cos2m7 — cos M, V^cos 2m) (sin u V'^cos 2mi + sin m, V^cos 2m)
= sinMC06MC052M|— sinM, cosm, cos2m— sin(M--Mi)V^cos2Mcos2Mi
= sin M cos Ml (cos M cos Ml -J si n M si n Mj )

— cosMsinMi(cosMcosMi-l-sinMsinMi) — sin(M — Mi)V^cos2mcos2mi

= sin (m — M|) ! cos (m — Ml) — V^cos 2m cos 2m, ) ;
folglich nach dem Obigen:

6 sin (m -f Ml) ^

~" ^ cos (m — Ml) — V^cos 2m cos2mi

and daher die gesuchte Gleichung auch

6sinM b sin(M+i«i) acosM

^ - » — — — • ■ ■ — — — ■-. f ^ — — ' I ' — 'j

^ V"cos2m « cos(m— Ml) — Vcos2mcos2mi V cos 2m

Theil XXIV. 28

410 Gruneri: Die TkeoHe der EUipse und Upperbel,

oder

Äsinui b sin(u+i<|) ocosmi

V^cos2mi ö cos(m— Wi)— Vcos2i*cos2mi Vcos2t<i

Bezeichnet man die Entfernung der beiden durcb die Anomalien
u und tLi bestimmten Punkte der Hyperbel von Ränder durch t,
so ist

\Vcos2m V^cos2m,/ \Vcos2t« V^cos2mi

oder

a* (cos u \^cos 2^1 — cos u^ V^cos 2m)*

' "" cos2tfcos2t<i

6* (sin i< V^cos 2i/i «-> sin u^ VcosJm)*
cos 2u cos 2^1

was sich noch auf verschiedene Arten umgestalten lassen wurde.

$. 16.

Wir wollen nun die Gleichung der Berührenden der Hyperbel
in dem durch die Anomalie u bestimmten Punkte derselben suchen.

Lassen wir die Anomalie u sich um /lu verändern, so ist
nach dem vorhergehenden Paragraphen die Gleichung der Gera-
den, welche durch die beiden durch die Anomalien u und u-{-Ju
bestimmten Punkte der Hyperbel geht:

bainu b s\x\Ciu-\^/lu) , anosu

V^cos2m « cos^u --V^cos2mcos2(m + Juj V^cos2w '

Diese Gleichung geht in die Gleichung der Berührenden in dem
durch die Anomalie u bestimmten Punkte der Hyperbel über,
wenn man ,du = 0 setzt, oder vielmehr Ju sich der Null nähern
lässt, und zu der Gränzgleichung übergeht. Dadurch erhält man
für die Gleichung der Berührenden die folgende Gleichung:

^sinM b sin 2m acosM

^ Vcos2m~« 1 — VcÖsIm^ V^cosIm^*

Bekanntlich muss cos 2m positiv sein, weshalb V^cÖs2m^ = cos2tt
zu setzen ist, und daher vorstehende Gleichung in die, folgende

übergebt :

am9 efnem neuen Gesichtspunkte tlargesteiii, 411

. bsmu b firin2tf /icosu

oder, wie man leicht findet, in die folgende Gleiclmng:

bnmu b ^ , aeos» ,
^ V cos 2m a ' V^cos2m

•/

Diese Gleichung bringt man nber auch leicht auf die folgende Form :

6j:cosm— a^sinu = «6 V^cos2m,
oder auf die Form:

arcosu ^sinu

a V^cos 2m b V^cos 2m

• §. 17.

Durch den Mittelpunkt der Hyperbel und den durch die Ano-
malie u bestimmten Punkt derselben wollen wir jetzt eine Gerade,
einen Durchmesser der Hyperbel, ziehen. Die Gleichung dieser
Geraden sei

so ist, weil

a cos u b sin u

V^cos 2m V^cos 2m

die Coordinaten des Punktes der Hyperbel sind, durch den die
in Rede stehende Gerade gezogen worden ist:

b sin M gcosM

V cos 2m V cos 2m

also y4='-tangM, und folglich

b ^
^ = — artangM

die geeacbte GIßichung.

Sind nun überhaupt X^ Y die Coordinaten der Durchschnitts-
pnnkte dieser Geraden mit der Hyperbel, so haben wir zu deren
Bestimmung die Gleichungen :

\

(7)'-©=»' F=*-A:ta„g«;

28«

412 Grunert: Die Theorie der Eiiipse und Upper bei,

au9 denen

'A:\* cos 2m

(fj(l-.ta„g««) = (f)

= 1.

cosu*
also mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen auf einander:

^ = i T7^^— ------ ' « ■ — db A / r~

Vcos2u V cos2tt

folgt.

Die Gleichung der Geraden, welche die Hyperbel in dem
durch die Anomalie u bestimmten Punkte beröhrt » ist nach dem
vorhergehenden Paragraphen:

bs\i\u b , acosu ^

y "' T7=7T== ~" C0ttf(a?— ^y -^),

V cos 2m ö Vco8 2i«

und die Gleichung einer durch den Mittelpunkt der Hyperbel die
ser Berührenden parallel gezogenen Geraden ist folglich:

ii=—a? cot«.
^ a -

Bezeichnen wir die Coordinaten der Durchschnittspunkte dieser
Geraden mit der Hyperbel durch X^ , Y\, so haben wir zu deren
Bestimmung die Gleichungen :

aus denen

(^)-a-.o.„.,=(^.)'— --

sin u^

also mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen auf einander:

, nsmu öcosu

Ai — + ^ — ^— ' ^1 ^^ db

V^— cos2?/ V^ — cos 2m

folgt. Weil nun bekanntlich cos 2m positiv sein muss, so ist
— cos2m negativ, Äi und Vi sind folglich imaginär, und die positive
Hyperbel wird also von der durch die Gleichung

b
y =z — a: coizi
a

charakterisirten Geraden nicht geschnitten. Wir wollen daher jetzt
untersuchen, ob von dieser Geraden die negative Hyperbel ge-

ÜM9 einem neuen Gesicäispunkie dargesieiit. 418

0chnitteD wird. Bezeichnen irir zu dem Ende die Coordinaten
der Durchschnittspunlcte dieser Geradeu mit der ' negativen Hyper-
bel durch X' , F', so bähen wir zu deren Bestimmung nach §. J4.
die Gleichungen:

auN denen

\ « / ^ ^ \a J sin «• *

also mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen auf einander:

y, ösiiiM bcosu

-^ — — db > r /T~ ' ' — - db

V^cos2« V^cos2i«

folgt. Da diese Coordinaten reell sind» so wird von der durch
die Gleichung

V= — arcoti«

charakterisirten geraden Linie die negative Hyperbel wirklich zwei
Mal geschnitten.

§. 18.
Die beiden im vorhergehenden Paragraphen durch die Gleichungen

y= -artangM, ;/==-a:cotM

m Allgemeinen charakterisirten Geraden, deren Durchschnitts-
)unkte mit der positiven und negativen Hyperbel respective {XT)
ind {X'Y) sind, heissen conjn^irte Durchmesser der H3rper-
lel. Die bestimmten linearen Werthe dieser conjugirten Durch-
nesser sind die Entfernungen der beiden Punkte von einander«
n denen von dem ersten Durchmesser die positive, von dem
;weiten Durchmesser die negative Hyperbel geschnitten wird, and
lollen respective durch ^A und 21? bezeichnet werden *)»

*) Ich glaube , dass man bis jetzt bei der Theorie der Hyperbel
lie Betrachtang der iie<;ativen Hyperbel mit Unrecht unterlassen hat;
lar durch deren Einführung erhalten die conjugirten Durchmesser der
lyperbel ihre wirkliche gpeometrisclie Bestimmung. Bei der Ellipse
rfirde die negative Ellipse mit der positiven zusammenfallen , wie schon
B iTer Note zu g. 14. bemerkt wojrden ist.

414 Gruneri: Die Theatie der EUipse und Hyperbel,

Off«obar Ut

also, weil nach dem vorhergehenden Paragraphen

^ , acosM ftsintii

V^cos2m Vcos2u
ist:

.« a2cosit2 + 6«sinwa ^ Va*cosM«+Ä«»igtt«

cos2w V^coslSi

Auf ähnliche Art ist

also, weil nach dem vorhergehenden Paragraphen

V/— I «»!»« 17, , Äcostt

~ V cos 2m "~ V cos 2m

ist:

_ g^ sin M» -f 6^ cos m^ V g^sin u^ + 6^ cosm»

^ cos 2m ' ■" ^^0082«

Aus den beiden vorhergehenden Ausdrfickeq von Ä^ und B^
ergiebt sich auf der Stelle:

An^ o« g^CcosM^— sinM^) — 62(cosm2 — sinM«) {a^ - b^) Qo^la

A^ — /i^= ^ = rt '

cos lu cos 2m

also

welches der bekannte wichtige und merkwürdige Satz von den
conjugirten Durchmessern der Hyperbel ist, zu dem uns also die
vorhergehenden Rechnungen auf sehr einfache Weise geführt haben.

Auch kann man noch die Relation

g* + 6*

' cos 2m

merken.

§. 19.

Wir wollen jetzt den, von den durch die Gleichungen

b b

iy = — artangM, ^ = — arcotti

aus eiftem neuen GeHchttpunkte dargeiieiii. 415

charakterisirten conjugirten Durehmesftern eingeschlossenen Winkel
durch B bezeichnen » so ist nach einer bekannten Formel der ana-
lytischen Geometrie:

b \«

— (cott* — tangtt)

tang6«=^^i— P

1 -f- ~2^ottttangti

also, wie man leicht findet:

___a^6*cos2M2 4o«Ä2cos2Ma_

tangö - („2 4. ^2)2 si „ 1^2 cos tt« •*"(«« + 6«)« sin 2m«'
oder:

Nun ist aber

tang(9«
1 + tang 6*

also, wie man leicht findet:

4a26«cot2tta

sinö« = 7-i

(a« f 6^« + 40*62 cot 2m2 '
oder

. ^ 4/i»ä*cos2m* 4a26«cos2t^

sm ö* = T-i

4a26a cos 21/2 + («« + A*)« sin ^m« "" 4a«62 + (a* - 6*)* sin 2u«

folglich :

. ^ 2a6 cos 2m

sin ö = r ~ — •

V^4a2^+ (a*— 6«)«sin2M*

Nach dem vorhergehenden Paragraphen ist aber:

^« m^ (a^cos M* + A^sin m*) (a^sin m* + 6* cos M*)

^«iB* =:^^ -^^r-K =

cos2M*

_ (g^ + h^) sin m* cos m* + a*6« (sin m^ -f cos m^)

cos 2m2

(a* + 6*) si n m* cos m*+ a*6* (sin m*+cos m« — 2 sin m« cos m*)

cos 2m*

__ gy^ + (gg — 6«)*sip M« cos M»

cosSm*

_ 4aa6g + (q«>-6*)« sin 2m«
^ 4cos2m«

0

416 ßruneri: Die Theorie der Ellipse und Hyperbel,

und daher nach dem Obigen:

A^B^sm 6« = a^Ä^, also ab = ^Äsin Ö.

Bezeichnen wir die beiden, von den auf der positiven Seite
der Axe der x liegenden Theilen der durch die obigen Gleichun-
gen charakterisirten conjugirten Durchmesser mit dem positiven
Theile der Axe der x eingeschlossenen , 180^ nicht übersteigen-
den Winkel durch c5 und ö|^ so ist nach den Lehren der analy-
tischen Geometrie bekanntlich:

tangö =-tangw, tangög =-cotu;

also

tang d) tang Ol = -2tangMCottt = -2i

woraus sich unmittelbar die Gleichung

62 _ ^a tang 5 tang Oj = 0
ergiebt.

§. 20.

Wir wollen^ nun auch die Gleichung der Hyperbel in Bezug auf
das System der beiden durch die Gleichungen

i/zrr-Ä-tanffM, y=^—xcoiu
if a ^ ^ a

charakterisirten conjugirten Durchmesser als Axen der X und Y
suchen. Zu dem Ende betrachte iflR eine beliebige der Axe der
Y, d. h. dem durch die Gleichung

b

^ a

charakterisirten Durchmesser parallele Sehne der Hyperbel, so
ist, wenn

gcos V bs'mü

Vc^ilc/' Vi^W

die Coordinaten eines beliebigen der beiden Durchschnittspunkte
dieser Sehne mit der Hyperbel sind, deren Gleichung offenbar:

bsinü b , , a cos ü ^

y— \^r — = — cot u(x—--jr ).

^ V^cos2C7 a ^ V^cos2l7^

aus einem neuen Gesichtspunkte dargestellt, 417

eichnen wir nun die Coordinaten des Durchschnittspankts die-
Sebne mit der Axe der X, d. h. mit dem durch die Gleichung

y = — artaiigti

'akterisirten Durchmesser , durch Xn yi\ so haben wir zu
lo Bestimmung die Gfeichungen:

b ^

Äsin ü b , acos t/ ,

y* "" TrT=^i = fl c o t M (ar, - ) ;

Vcos2t/ " Vcos2c7

denen sich mittelst einer sehr einfachen und leichten Rech-
g die Formeln

cosMcos(tt+ t7) sin ti cos (tf 4-

X\ = a i , y^z=zO j ~

cos 2m V cos 2 C7 cos 2m V cos

cos2m Vcos2t7

ßben. Nun ist aber offenbar

» nach dem Vorhergehenden :

(q^cosM^ + 6^8inM^)cos(M+ C7)g
~" cos2m2cos2C7

ner ist offenbar

»7« , acosCZ ^_ . , 6sinC7 ^^

V cos 2 t/ V cos 2 C7

r nach dem Vorhergehenden :

acos (7 costico8(M+ t7) — cos2Mcost7

^^'""VcSifü""^ cos 2m V^^ '

bsmU _ sin M cos (m 4- U) — cos 2m sin XJ ^
^*""Vcos2l7"" cos2mV^^2I;

;lich , weil

cosmcos(m+ V) — cos 2m cos ü = sin M sin (m — P),
sinM cos(m + V) — cos2m sin t7=cosMsin(M— V)

■ \

418 Grunerl: Die Theorie der Eilipse und ffttperäel,

aco9Ü 0intf8in(ti— U)
* Vcöi^tZ cos 2m Vco82t7*

6sin (^ - costisin(M-- t7)
^^ V^cos2t7 cos2MV^cos2r7

also:

"" cos 2«« cos 2 C7

Nach §. 18. ist aber

fl^ cos ti* + 6* si n M*

A^=^

cos2f<

also ist:

„ a^sinw^ + Ä^cosM«

»"= ;

cos2t<

cos 2m cos 2 1/' cos2mcos2I7'

folulicb :

■r>

/^\ -^ /- FN ^ _ cos(t£+ 17)»— sin (m— CT)«

U/ "^V/V "" C082l€C082C7

Nun ist aber

cos(Mf C7)2~8in(M— (7)2
= cosM2cosC72-f- sini/^sin C/^ — 2sin neos «sin (7 cos (7
— sinw^cosl/* — cosM^sin [7*'^ + 2sinMCosMsinC7cosL7
= (cosm2— sin tC^) cos C/^ — (cos ?/* — sin M2)sin C/^
= (cos u*^ — sin ?^2) (cos V^ — sin C7*) = cos 2m cos 2 TJ,
also nach dem Vorhergehenden : -

0)'-«)'=''

welches die bekannte Gleichung der Hyperbel iu Bezug auf zwei
ihrer conjugirten Durchmesser ist.

§. 21.

Durch den gemeinschaftlichen Mittelpunkt der positiven und
der negativen Hyperbel wollen wir jetzt eine beliebige Gerad«

awM Hnem neuen Gesichispunkle öargesteiif. 419

l^^n, und wollen den 180^ nicht übersteigenden Winkel , unter
welchem der auf der positiven Seite, der Axe der x liegende Theil
dieser Geraden gegen den positiven Theil der Axe der x geneigt
ist, durch q> bezeichnen ; dann ist

dfe Gleichung dieser Geraden.

Bezeichnen , wir nun die Coordinaten der Durchschiiittspunkte
dieser Geraden mit der positiven Hyperbel durch jr, y selbst, so
haben wir zur Bestimmung dieser Coordinaten die folgenden Glei-
chungen :

y = artangg), (J) ""(f) "= ^ '

aus denei) man leicht mit Beziehung der oberen und unteren
Zeichen auf einander

o6cosQE>

y= +

V b^ cos qy^ — a* sin q)^

a6sin<p

V^Ä^coscp^ — a^sxuqy^

erhält. Diese Coordinaten sind nur so lange endlich und reell,
%o lange

6'cos qy^ — a^sin g)^ > 0, tang 9* < -2

ist. Für

b^
6*cos^* — a*sing)* = 0, tangg)*=-2

werden die obigen Coordinaten unendlich; für

b'^
6*cos<3p* — a*sing)^<0, tangg>*> -^

werden dieselben imaginär, und in keinem der beiden letzten Fälle
wird also die positive Hyperbel von unserer geraden Linie geschnitten.

Bezeichnen wir durch Xi , yi die Coordinaten der Durchschnitts-
punkte unserer Geraden mit der negativen Hyperbel, so haben wir
zu deren Bestimmung die Gleichungen:

yi

= a?itangip, (^*y-(^y=^l;

420 G runer t: Die Theorie der Ellipse und HpperM,

aus denen man leicht mit Beziehung der oberen und unteren
Zeichen auf einander

ab cos cp

yi=±

Va^sing)»-^« cos 9« '

absmq>
Va^sin qp" — 6® cos 9*

erhält. Diese Coordinaten «ind nur bm lange endlich und reell,
so lange

ist. Für

6^
Ä^cos 9)2-02 .sin 9* <0, tang9« > -5

6*
Ä^cosqp^ — a2t5iin(pa-_o^ tangg)* = ;;^

a
werden die obigen Coordinaten unendlich; für

62cos<p2 -a^sin^)^ \^ 0, tangg?« < -j

werden dieselben iniagiuar, und in keinem der beiden letzten Fälle
wird also die negative Hyperbei von unserer geraden Linie geschnitten.

Nehmen wir das Vorhergehende zusammen, so ergiebt sich
Folgendes :

Für

b^
b*^cQscp^~a^smq>^^0, tangqp^^ —

wird von Her durch die Gleichung

y=.x tang tp

charakterisirten Geraden die positive Hyperbel geschnitten, die
negative Hyperbel nicht ge«5chnitten.

Für

62cQgg)2 — «2 sin 9^ — 0, tan<»:g)2 = -^

wird von der durch die Gleichung

y = a;tangg)

charakterisirten Geraden weder die positive, noch die negative
Hyperbel geschnitten.

Für

6*
62cos<)p2 — a2sing)2^0, tangg)2^-^

wird von der durch die Gleichung

mts einem neuen Gestchttpunkie äargeeteUL 421

y = .rtaiig9

charakterisirteD Geraden die positive Hyperbel nicht geschnitten,
jie negative Hyperbel geschnitten.

Weil nun aus der Gleichung

tangg)* = ^ sich tang9=: + -

»rgiebt, >o siebt m&n aus dem \^orhergehendeD, dass durch die
SleicboDg

Bwei durch den gemeinschaftlichen Mittelpunkt der beiden Hyper-
beln gehende gerade Linien charakterisirt werden, von denen weder
3ie positive, noch die negative Hyperbel geschnitten wird; von
jeder anderen durch den gemeinschafrüchen Mittelpunkt der bei-
den Hyperbeln gehenden geraden Linie wird dagegen entweder
die positive oder die negative Hyperbel geschnitten.

Um die Natur der beiden durch die Gleichung

eharakterisirten Geraden etwas näher kennen zu lernen, wollen
vrir zuerst die beiden Hyperbeln etwas genauer untersuchen. Dass
diese beiden Hyperbeln sich nicht schneiden können, ist klar,
vreil es sonst zwei den beiden Gleichungen

sugleich genGgende Werthe von Xy y geben roiisste, was oflfen
bar nicht möglich ist. Nun wollen wir uns aber einmal eine be-
liebige positive"^) Abscisse x denken, und die derselben entspre-
chenden positiven**) Ordinaten der positiven und negativen Hyperbel
durch y und y' bezeichnen. Dann ist

also durcb Subtraction :

\bj ~\bj - 6« - 6« ■ --*'

*) Was hier hinreicht.
'^) Was hier gleichfalli genagt.

422 Grunert: Die Theorie der Ellipse und Utp^rbel,

folglich

Weil nun wegen der Gleichungen

die Ordinalen ^ und y' offenbar in's Unendliche wachsen, wenn
X in's Unendliche wächst, so nimmt der absolute Werth von
y' ^y offenbar in's Unendliche ab, wenn x in*s Unendliche wächst,
und man sieht also hieraus, dass die Schenkel der positiven und^
negativen Hyperbel, wenn man sie verlängert 9 sich offenbar immer
mehr und mehr nähern, und einander auch betiebig nahe kommen
können, wenn man sie nur weit genug verlängert, ohne sich je<>
doch jemals zu schneiden.

Wegen der oben bewiesenen Eigenschaft der beiden durch
die Gleichung

charakterisirten Geraden, dass dieselben nämlich weder die posi-
tive, noch die negative Hyperbel schneiden, müssen nun diese
beiden Geraden offenbar zwischen den beiden Hyperbeln liegen,
und werden denselben daher auch, wenn man sie verlängert, im-
mer näher und näher kommen, und beliebig nahe kommen kön-
nen, wenn man sie nur weit genug verlängert, ohne jedoch die
eine oder die andere Hyperbel jemals zu schneiden Wegen die-
ser Eigenschaft werden die beiden durch den gemeinschaftlichen
Mittelpunkt der beiden Hyperbeln gehenden, durch die Gleichung

,6
•^ ~ a

charakterisirten Geraden die Asymptoten der beiden Hyperbeln
genannt.

§. 22.

Wir wollen nun die positive Hyperbel noch quadriren. Be-
zeichnen wir für AQ = x, PQ = y (Taf. XII. Fig. 3.) den Flächen-
inhalt des hyperbolischen Stücks APQ durch F, so ist

==y ydx.

F

• a

Weil nun

muM einem neven Geeicktspunkie darffeaelli. 423

acosM 6 sin II

Vcos2fi V cos 2m

ist, so isty wie man leicht findet:

da: si n 2m cos u — cos 2m sin u

o cos2m Vcos2m

also ,

. sin« ^

cos2mVcos2?«
imd folgncb:

also Dach dem Obigen offenbar:

du.

Weil

^='^f'(m''-

/ sin m \* l — cos 2m

Vcos2m/ 2cos2m2

ist, so ist, wenn 2u=v gesetzt wird:

Vcs8 2m/ 4 cos©* *\cost>2 cost>/

also

/^/sinM Y , I /Vßü /^J?-|

y \C0s2m/ ' ly COSr* J COBV) '

Bekanntlich ist aber

i «bs:

J\^§i) 8«*=ittang»— lcot(J;r--4»)) = Jttang2M-.|cot(Jnr— m)|,
\. xnA folgltck anch:

y*" (^Ä)' 3«=ittang2«-Icota«-«)),

O

lüso.nach dem Obigen:

F= Ja6{tang2M— l(jot(Jjr— ti)}.

424 Lemoch: ütUersuchvng der Fehler, welche aus einer nicht

Untersuchung der Fehler, welche aus einer nicht
centrischen Aufstellung des Messtisches oder eines

Winkelmessers entstehen.

Von

Herrn Professor Dr. J. Lemoch

an der UniTersität zu Lemberg.

Dass 'viele Praktiker auf die genaue Aufstellung des Mess
tisches nicht viel halten, von der Lothgabel entweder gar keinen *
oder höchstens in dem Falle einen Gebrauch machen, i^^enn sie
auf grosse Distanzen zu visiren haben, dürfte als eine bekannte
Thatsacbe vorausgesetzt werden, ^

Diese unrichtige Ansicht ist selbst in einigen Lehrbüchern
über praktische Geometrie ausgesprochen, und ihr Ursprung dürfte
in det Annahme zu suchen sein, dass die 10 bis 12 Zoll, um
welche die unrichtige Aufstellung ohne Beihülfe einer Lothgabel
von der wahren diflferirt, nur in dem Aufnahmsmassstabe auf das
Tischblatt übergehe, somit gar nicht raerklich sei. Diese Worte
bekommt man sehr häufig zur Antwort, wenn man einen solchen
Praktiker auf die unrichtige Aufstellung aufmerksam macht.

Ich habe nun diesen an sich ganz unscheinbaren, aber für
die Praxis höchst wichtigen Gegenstand (die Aufstellung des Mesa*
tisches nämlich) einer allseitigen Untersuchung unterworfen und
manche Resultate erhalten, welche die ausübenden Geometer in-
teressiren dürften.

§. 1.

Wenn der Mittelpunkt eines Limbus genau vertikal über den

eemiri$ek, äufkieiL des Messtisches od. eines Winkelmess, enMehen. 425

Scheitel des zn messenden Winkels gestellt ist, so ist das In*
Btrament centrischy findet das Gegentbeil statt» so ist dasselbe
flxceotrisch aufgestellt.

Ist (Taf. XIII. Fig. 1.) C der Scheitel des zu messenden Win-
kels ACB, das Instrument dagegen in O aufgestellt, daher statt
ACB der Winkel AOB gemessen worden; und werden beide für
gleich gehalten, so begeht man einen Fehler, dessen Grösse und
Einfluss der Inhalt nachfolgender Untersuchung ist, wobei wir
▼orerst den in der Figur angenommenen Standpunkt im Auge be-
halleo und CO mit wenigen Ausnahmen klein annehmen.

Setzen wir AC=a, BC=b, AOB=ß, CO=E, AOC=y
als gegeben voraus, den gesuchten Winkel ACB = a, den Feh-
ler = j:, so ist offenbar

a — j5 = a: 1)

Die Grösse E nennt man die Excentricität der Aufstellung, y den
Direktionswinkel und x die Reduktion auf das Centrum; y wird
stets von der Excentricität nach der rechten Seite (von O gegen
C gesehen) bis zu dem linken Schenkel des gemessenen Winkels
gerechnet.

sin y
Aas dem Dreiecke AOC findet man smAzzzE — -; da aber

dieser Winkel in den meisten Fällen sehr klein ist, so kann man

mit hinreichender Schärfe A:=i E — • setzen.

a

In dem Dreiecke BOC ist aus dem eben angeführten Grunde
lj_jg8in(|+20 Wegen der Gleichheit der Winkel AMC und

JBMO ist a+^ = /S+l?, daher a—jS=Ä — A, somit der gesuchte
Unterschied

ar = a— /5 = Ä— ^ 2)

Werden für A und B die oben gefundenen Werthe substituirt
'md X in Sekunden ausgedrückt, so ist

sinl'W b

-•-T^i »)

Ans dieser Gleichung folgt unmittelbar:

1) dass der Fehler Null werden kann, wenn entweder £ oder

iin(P4-y)_giny^ ^^^.^ ^_^ p,^„ ^.^j^ ^^^ j.^^^^ letztere Fall
o a

TheU XXIV. 29

. i «ol>\ uns"" Call« ^
Ott ™* °. Dist»»^ »"',." Fehl« »«' '

428 Lemoch: Untersuchung der Fehler, welche aus einer mkhi

also

cos {ß + y) cosy_^
o a

und weil nach dem Vorhergehenden cos(/?4-y) = 0 ist, so folgt
auch co8y = 0 und y=:90** oder y = 270**.

Aus der Kombination der Werthe y und ß ergebeD sich nu
swei unterschiedliche Falle , bei welchen ar ein Grosstes wii4t
nSmlich y = 90<> und ß=Q oder y—W^ und /?=i80o, also bei der
Messung sehr spitzer oder sehr stumpfer Winkel.

Die Formel 3) geht über in

x" = ■ . . ,„ oder x" = . . ,// f . . . 5)

ab 6iui' aoQWxV '

jenachdem j3=0 oder j3=180^ angenommen worden ist«

Lassen wir hier £ = 6 Zoll, a = 4009 A = 50 Klafter bedeu*
ten, so folgt aus der ersten Gleichung x:=z& \", aus der zweites

a?= — 6'26"8.

Wird aber in 3) /?=:170^5 y:=:^(fi angenommen» die Obrigei
Angaben beibehalten, so findet man ar= — ^^V'^, also nur un
5''3 weniger. Wenn nun die beiden Signale gleich weit entfernt
sind, so wird bei einer Entfernung von 1368*6 Klaftern eine exceo-
trische Aufstellung von 6 Zoll nur einen Fehler von 10" verur-
sachen, und da diess der ungünstigste Fall ist, so wird in jedem
andern der Fehler weniger betragen.

Dass aber in der Praxis Fälle vorkommen, wo das eine oder
das andere Maximum streng genommen eintreten kann, ist aus
den Figuren 2. und 3. (Taf. XUI.) ersichtlich. Ist nämlich CD (Fig. 2.)
die gemeinschaftliche Basis der Dreiecke CAD und CBD, bat
man das Instrument dagegen in O gestellt, so kann es leicht ge-
schehen, dass die Signale A und B mit O in einer geraden Linie
liegen, daher AOB = 0 wird; wäre aber das Instrument in C cen«
trisch gestellt, so hätte man ACB gemessen.

Bei den obigen Angaben begeht man wegen der excentrisebeo
Aufstellung voi» 6 Zoll einen Fehler von 5'.

Beim Messtische kommt dieser Fall, dass mehrere Visuren
nahe zusammenfallen, sehr häufig vor; da kann also das Maxi-
mum des Fehlers, wenn nämlich noch y = 90^ wird, leicht ein-
treten. Wichtig für den Praktiker ist noch, auf den Winkel CDO
aufmerksam zu machen. Nehmen wir CZ)=80 Klafter, 0C=6 Zoll,
COZ> = 900, so ist CDO = 3' 31" 8. Hat man also bei einer

i

cemMmtLAufitM. des Messüsckes ad. eines WMeimess.enistiAen.4S9

iDg mit dem Mesatiscbe dieseo, statt scharf fiber C, fiber O
Mrtellf, und von O nach D orientirt, so ist die Orientirang bei
Umständen um 3' 36" feblerbaft.

Daraus wird die sogenannte Schwenkung erklärlich; und
IS8 dieser Fehler die nachtheiligsten Folgen nach sich zieht,
t jedem Praktiker bekannt. Man muss also bei der Aufstellung
id -Orientirung des Messtisches nicht allein auf die Arbeit auf
ipuielben, sondern auch unter demselben genau nachsehen, und
\m itieaes Beispiel zeigt, kann eine Excentricität von 6 Zoll viel
Ugross sein. Diess ist der schlagendste Beweis, wie nothwen-
fg eine Lothgabel ist.

Das zweite Maximum kann ganz streng eintreten, wenn in-
arlialb eines Polygons ein Punkt angenommen und von diesem
.e Winkel gemessen werden, welche die Ecken desselben in dem
igenommenen Punkte als Scheitel betrachtet bilden.

bl C (Taf.Xin. Fig. 3) der gewählte Punkt, wurde aber das
istrament Gber O centrisch gestellt, so kann der Fall leicht ein-
eten^ dass AOB eine gerade Linie, somit ß=:lSO^ ist; fällt
>Gh die Excentricität senkrecht auf diese Linie, so ist unter
eseo Umständen der Unterschied zwischen dem wahren und
smessenen Winkel schon bedeutend und beträgt, wenn a = 400,
= 50, £=6" angenommen wird, —6' 26" 8.

Wenn man nun C und B auf irgend eine Art auf dem Mess-
iche gut bestimmt, diesen sodann statt in C über O centrisch
^ellt and nach B orientirt hätte, so ist die Orientirung um
43"^ 8 fehlerhaft, so viel beträgt nämlich der Winkel CBO.

Wird der Standpunkt des Instrumentes in der Mitte der obi-
m- 450 Klafter langen Linie, somit a=:6=225 angenommen«
=6 Zoll, y=:90o, j3 = 180<> beibehalten, seist d:=2'32''8, also
kl^atend kleiner. Da nun bei jeder Messung der Winkel aus
Mm Punkte innerhalb des Polygons das Maximum des Fehlers
ntreten kann, so sehen wir an diesem Beispiele, dass der Feh-
r verkleinert wirf, so bald das Instrument von den Ecken gleich
Bit absteht« und da die Grüsse y in der Regel unbekannt ist,
K iat es räthlich, das Winkelinstrument wo möglich von allen
sken des Polygons gleich weit zu stellen.

Auch in dem Falle, als

sin(ß+y) siny_^
ö "" a -"'

>

■o «r Null wird, kann y = 90^ werden, je nachdem der Mittel-

<

430 Lemoeh: Untersuchung der Fekier, weiche mit einer niehi

pankt des am das Dreieck beschriebenen Kreises auf der rechte»
Seite des linken Schenkels , in diesem selbst oder auf der Bnkei
Seite desselben liegt; der Winkel / wird ein rechter, wena
b^zzacoaß ist

5. 3.

Untersachen wir nun den Einflass, welchen eine Äendenrat
des y allein auf die Grosse a: ausübt. •

Der Winkel y kann alle zwischen 0 and 360^ liegenden Wertbl
haben und ist

1) Null^ wenn der Standpunkt in der VerlSngernng des Scheo-
kels AC, also in CA' liegt (Taf. XIII Tig. 1.).

2) Liegt er innerhalb des Winkels A'Cß, so ist ß+y<,l9(fi.

3) Kommt der Punkt O in den Schenkel BC selbst« so ist

4) Zwischen ACB ist ß^y>lS09.

5) Ist der Standpunkt in der AC, so ist y=I80^.

6) Innerhalb des Winkels BCA ist y+ß>lS(P aber <360<>.

7) Fällt der Standpunkt in die Verlängerung des Schenkels
BCy SO ist /5 + y = 360o.

8) Innerhalb des Winkels B'CA' ist y + /3>360o.

Im ersten und fünften Falle ist y an sich, im dritten und sie-
benten durch die Messung des Winkels ß bestimmt, also nur in
vier Fällen noch unbestimmt. In jedem dieser Standpunkte kaon
man, lyenn E, y, ß, a und 6 bekannt sind, die Reduktion auf das
Centrum aus 3) berechnen, sobald y von der Excentricität naeh
der rechten Seite bis zu dem linken Schenkel jenes Winkels ge-
rechnet wird, der eben zu messen ist.

Im vierten Standpunkte z. ß. liegt der Winkel B auf der lin-
ken Seite des Schenkels BC, ist somit negativ, A bleibt positiv,
daher aus I) :r = — (B-^Ä)\ aber in diesem Falle ist ß + y>180^
y kleiner als 180^ (diesen Werth erhält es erst beim ferneren
Wachsen), in der erwähnten Gleichung sind somit beide Glieder
negativ zu nehmen, und sie giebt ein richtiges Resultat.

Wir wollen nun an einem Beispiele die Wirkung ersichtlich
machen, welche eine Aenderung des y allein hervorbringt. Man nehme
den zu messenden Winkel a=60o, E=j\, y=80, 6=300 Klaftei
an; im zweiten Falle y=:85^, im sechsten 7=275^, im vierten halbirt

cmiiri$€k. ämfiieU. )aeBMe9$Hs€he$ od. eines Winkeimea. mM8!toi.431

4He BücmitridtSt, im achten ihre VerlSogeraog den Winkel a; mit
dlMtii Daten findet man die Reduktion anf das Gentrnm:

beim ersten Standpunkte •{■A^"^,

5» zweiten

»f

—3'

l"2.

9, dritten

99

—3'

Ö"!,

,, vierten

»

-2'

'wi.

u fünften

»•

%

-49''6,

y, sechsten

9»

+ 3'

IG*,

,, siebenten

»9

+ 3'

6"1,

M achten

9J

+2'

16"1.

Diese bedeotenden Unterschiede in den Resultaten veranlassen
uns zu der Untersuchung, welcher Werth y bei einem und dem-
selben Winkel ß die Reduktion zu einem Maximum macht.

•

Zu diesem Zwecke suchen wir aus 4) den Werth y, und finden

•fr

acos/3 — b
*^"Sy= asin/3 ' «)

ein Ausdfuck« der sehr leicht zu konstruiren Ist.

Ist tangy=0, so tritt das Maximum im ersten und fünften
der oben angeführten Standpunkte ein; ist tangy positiv, so wird
X sowohl für y, als auch 180^+7 sammt im zweiten und sechsten
Standpunkte ein Grösstes; ist endlich tangy negativ, so kann
^^90 und auch y>270^ sein; die Maxima hängen hier noch von
den Werthen ß ab uad können nach Umständen beim zweiten, drit-
ten» yierten, sechsten, siebenten und achten Standpunkte eintreten.

Lassen wir /3=60^, a=80» 6 = 300 Klafter bedeuten, so
ist 7=104055' 15", und die Reduktion auf das Centrum bei 6 Zoll
Excentricität — 5' 56'' 7. Sind also die Schenkel eines auf dem
Messtjsche gegebenen Winkeis bedeutend ungleich, und sieht
mBMkf dass die Excentricität des im Scheitel dieses Winkels auf«
«■•teilenden Tisches in die Richtung des längeren Schenkels
fUlt, so machen uns die vorhergehenden Beispiele aufmerksam,
die Aufstellung ja zu ändern, denn dann nähert sich die Reduk-
tton ihrem Maximum; fallt jedoch die Excentricität in die Richtung
des IcOffaeren Schenkels, und ist sie nicht über 6 Zoll, so kann
die Stellung beibehalten werden.

433 Lemoeh: ünterauchung der FeMer, welche auM einer.mfeäi

Die Aufsuchung des Werthes ß, welcher bei einem gegebenen
y die Reduktion zu eioeni Maximum macht, hat für die Praxi«
kein Interesse.

Bisher haben wir die Untersuchung bloss auf einen Winkel
beschränkt, es bleibt noch der Einfluss nachzuweisen, welchen
eine excentrische Aufstellung auf alle aus einem Standpunkte ge-
messenen Winkel a^isübt. "^

Wir nehmen an , dass aus einem Standpunkte die in den nach-
stehenden Rubriken enthaltenen Winkel gemessen worden sind,
dass die Excentricität 6 Zoll, der Direktions winkel mit dem ersten
rechts liegenden Schenkel 30^22^35'' betragen haben. Für die
folgenden Winkel ist y durch den eben gemessenen und den ersten
Direktionswinkel bestimmt.

Läng!
linken

e de«
rechten

Direktions-
winkel y

Der gemes-
sene Winkel /?

Redaktion
auf das

Der richtige
Winkel a

Schenkels

in KIftrn.

Centriim

80

120

30<> 22' 35"

590 37' 25"

+34"6

590 37' 59"6

120

158

9 0 0

72 19 15

-1' 50"2

72 17 248

158

112

162 19 15

47 41 55

-r 49''8

47 40 5"2

ll'i

148

210 1 1

63 47 25

- 39"1

63 46 45-9

148

90

273 48 35

58 37 40

+ 27"5

58 38 7-5

90

80

332 26 15

57 56 20

+3' 17"0

57 59 37-0

•'

INimrat man nun statt a den gemessenen Winkel in die Rech-
nung, so ist jeder mehr oder weniger fehlerharft, und weil die
Summe a als ß 360^ beträgt, so ist man gar nicht veranlasst, einen
Fehler in der Messung zu vermuthen und geht mit dem Instru-
mente ganz beruhigt vom Standpunkte. Die auffallende Grösse
der letzten Reduktion erklärt sich durch den Umstand, dass beide
Schenkel ziemlich kurz und in der Gleichung 3) die Summe bei-
der Glieder zu nehmen ist.

Auch dürfte zum Theil hier der Grund liegen, warum nicht
immer alle Punkte , die unter denselben Umständen bestimmt wor-
den sind, gleich gut stimmen.

cewtriick, Äu fiteil, des Messtisches od. eines Winketmess, entstehen. 433

S 4.

E» bleibt noch die Frage zu beantworten» welchen Einfluss
der« wegen der ezcentrischen Aufstellung begangene Fehler auf
die diesem Winkel gegenüberliegende Seite oder überhaupt auf
das Resultat der Messung hat. Dass der EInfluss zwar bedeu-
tend, doch nicht so bedeutend ausfallen kann, als man nach der
GrCsse der Reduktionswinkel erwarten dürfte, folgt aus dem Vor-
hergehenden von selbst; denn sind die Schenkel des zu messen-
den Winkels lang, so ist der Fehler bei einer halbwegs aufmerk-
samen Aufstellung unbedeutend, und in dem Falle, wo eine kleine
EiZcentricität schon einen bedeutenden Unterschied verursacht, ist
wieder der eine Schenkel kurz; berechnet man also mit den zwei
Seiten und dem unrichtigen Winkel die gegenüberliegende Seite,
so wird das Resultat mit wenigen Ausnahmen von der Wahrheit
wenig abweichen.

Diese Behauptung nachzuweisen sei in einem Dreiecke AC=^a,
BC=b; der richtige Winkel ACB=:a, daher

AB = V a^ + b^^2ab cosa;

wegen der nicht scharfen Aufstellung habe man durch die Mes-
sung a — X erhalten, so ist die berechnete Länge

Va^ + 6^ — 2ab cos (a — ^,
und wenn der Unterschied beider mit z bezeichnet wird:

« = V a2+62— 2a6cosa— Va^ + 6^ — 2^ 6 cos (a — ar).

Da wir nur eine kleine Excentricitat voraussetzen, so ist op und
als Folge dessen auch z klein; wir können somit mit hinrei-
chender Schärfe cos;r = l, sina:=a; setzen; nach der Substitu-
tion qnd einer einfachen Reduktion, bei welcher die zweite Potenz
von z vernachlässiget wurde, findet man

ab »in ccx

z =

Vo2 + 62 — 2a6cosa'

md wenn x in Sekunden ausgedrückt wird:

ab sin ax^^nl"^
""V^Ö2 + 62_2a6cosa*

7)

Man siebt aus diesem Ausdrucke, dass z nicht bedeutend
werden kann, den Fall ausgenommen, wenn das Instrument bei

4S4 l^m0€M: auermcktm^OerMUer^mteä^

' konen Distanzen «ehr excentrisch gestellt wäre; doch diese Vsf*
aossetzang scliliessen wir bei der gansen Unteisacliang anis.

Erstes Beispiel. Es sei «ssHOft, y=0, 0 = 230, £=180^
£srA Klafter, so findet man xssVSn, ssO«066; die wahre
Länge der dem Winkel « gq;enilberllegendett Sdte Ist 293"06 KlAr.

Zweites Beispiel. Blit den Daten «tsSOO, AslQL
JEts A KIftr., ß^no 29^ und )p=30<> lO' haben wir fi. ]. «s27' 8»
gefimden, daher ist assldf^Wdar und s=(HI80p di« Linge dir
AB=4in'3i Klafter.

Die Gleichung 7) wird in den FfiUen, ab die Redaktion auf
das Centram wegen ß iind y ein Mazimnm erreicht, noch einfiMsher;
denn ist /) s= 0 und / = 90^, so ist a = a:, and wenn ß s 180^
]f=90^wird, ista=:180^ — a:; also in beiden Fillen.sina=-fsins^
dagegen cosa^sJbcosx, jenachdem ßssO oder ßssKUP \bU ^uai^ \
weil sina Idein ist, so kann ainazzor^sinl*, cosasri gesetsf
werden ; bei dieser Annahme geht die Gleichung 7) Qber in

a6(ar^sinl^»

Ans der Gleichung 5) folgt

ab E

?t3=±P^s1ET*'

wird dieser Werth in die Torhergehende Gleichung substituirt,
so ist:

t^Eaf'smV, 8)

wobei bloss das Zeichen -f zu bebalten ist, weil Air /) = 180^ x
an sich negativ ist.

Mach dieser Formel findet man fär ß = l^, a=400, 6=230
Klafter, £=A Klafter, x=—V^Tl, z hat erst in der fänften
Dezimalstelle eine bedeutende Ziffer.

Wenn aber ein Punkt oder eioe Linie aus einer Basis und
den anliegenden Winkeln bestimmt wird, so kann sowohl in dem
einen, als auch in dem andern Standpunicte wegen der excentri*
sehen Aufstellung ein Fehler begangen werden und in diesem
Falle ein bedeutender Unterschied in den Resultaten entstehen.

Nehmen wir in dem Vierecke (Taf. XIII. Fig. 4.) AB = m
KIftr., die richtigen Winkel sind CJZ>=r90», DAB=i^W,
ABC:=zW20f, CBD=:^oK'. „it diesen Angaben findet

M» ilCss90M3. ^£>sllO*S40, ^Cär99-486, i^DsSSlSST.
C/> tt 114*094 Kiftr.

•

Dagegen habe sowohl in il als In i? die excentrischj^ Auf-
«tell«ng V betrageo» in ^ sei der Winkel y=:106O68' 26"^ in B
^VSSf^iVm", so sind die dureh die MessoDg erhaltenes Win-

CBD=8a^ W 43^ Die Resultate der Rechnung mit diesen Win-
keln sind ilD= 110-769, ^C=31158, £C=99796, i?Z>=5871»,
CD ^115 '142. Wir sehen somit, dass hier durch eine kleine
ExcentrIcitSt die Länge der Linien bedeutend verfehlt wird.

Aber ausser der Länge kommt besonders beim Messtische die
Lage einer Linie zu berücksichtigen; welchen Einfluss kann also
eine ezcentrische Aufstellung von 6 Zoll auf die Lage der diesem
Winkel gegenüber gelegenen Seite äussern? Zu dieser Unter-
sttchang nehmen wir in Taf. Xill. Fig. 5. CB =s SO», CJ^ 400<^
Ci>=80o, CO =tV Klafter, y=940 52', AOD = W^W, BOD
= 28^^ 15', CD als die Abscissenlinie, C als Anfangspunkt der-
selben an. Reducirt man die gemessenen Winkel auf das Cen-
trum und berechnet die Coordinaten von A und B einmal mit den
gemessenen, das andere Mal mit den richtigen Winkeln, so fin-
det man:

im ersten Falle: im zweiten Falle:

Ordinate von ^ . . . 23666 Ordinate von ^ . . . 23*718

Abseisse 44044 Abscisse 44010

Ordinate von ^ . . . 138*450 Ordinate yon A , . . 138130

Abscisse 375*280 Abscisse 375*400

Die Lage der Linie ist daher merklich unrichtig bestimmt«
und awar differirt der Winkel, welchen die Linie AB nach beiden
Bestimmungen mit der Abscissenlinie macht, um 4 Minuten. Die
ezcentrische Aufstellung hat daher auf die Bestimmung der Lage
einer Linie einen eben so nachtheiligen Elinfluss, als auf ihre
Länge; diese ist im ersten Falle 350^95, im zweiten 350^^556,
somit auch merklich unrichtig.

§. 5.

Wird die Ezcentricität bedeutend gross, so bestimmt man
aosser ß noch y und E und bringt die Reduktion in die Rech-
eiiiig; es ist nun die Frage, welchen Einfluss hat eine fehler-
tefte Bestimmung des Direkttonswinkels auf das Resultat.

436 lerne €k: ihUenuchun§ der Fehler , welche mm eü$etmUäi-

Es. sei io einem gegebeDen Standpunkte y das wahre Maass
des Winkels^ man habe aber durch die Messung y+^y erhalten,
somit um Jy gefehlt

Wird nun y + /^y in die Gleichung 3) substituirt und das Ro*
sultat mit Xi' bezeichnet« so ist

^„ E ]8m(ß + y + Jy) mn(y + Jy)(

somit

„ E \sln(j3-fy)cos/^y , cos(j3'fy)sin^y sinycos^y eosy»in^y(
"^1 -sinl" ) 6 + 6 ü «r ' •

Die Grösse Jy dürfte doch in jedem Falle so klein sein, das«
wh 810 jdys^Jy, coady^zl-^lJy^ setzen können; bei dieser An-
nahme wird:

,/_ E \s\n(ß + y) sinyj
^» -sinFj 6 *" a i

EJy )cos(j3 + y) cosyj EJy^ {sin(ff-fy) sin yi
^sinPl 6 ' iri"'2^inrM 6 a\'

In dieser Gleichung ist das erste Glied und der Faktor von -^>

im dritten Gliede die richtige Reduktion auf das Centrum, somit
x", wenn daher das erste Glied auf did' andere Seite übertragen
wird, so ist:

^// ^//^ EJy \ cos (ß + y) cosy) Jy^x"
^1 ^ — sin 1" I b '^ a J 2

Hier bedeutet Jy einen Bogen, wird dieser in Sekunden ausge-
drückt mit Jy", der Fehler des Resultates x^^' — x" mit y be-
zeichnet, so ist

j,.= £.//'j^2i^-^-^.j-^'i^V. 9)

Da in dieser Gleichung der wahre Werth des y, deshalb aber
auch x" unbekannt ist, so dient sie nur, den Fehler y unter be-
stimmten Annahmen zu schätzen, dabei kann in den meisten Fäl-
len das letzte Glied vernachlässiget werden.

Die Gleichung 9) hat aber die merkwürdige Eigenschaft, dass
bei den Werthen, welche x zu einem Maximum machen, gleichviel
ob ß und y oder bloss y allein veränderlich ist, das erste. Glied

emiM9ek.imf^Mi. desMesstiscJket od, einet Winkehneet. eni$teken.4Sf

Null, somit ^ nur durch das zweite ganz unbedeutende Glied
aosgedrfickt, somit zu einem Maximum wird.

Als erstes Beispiel lassen wir ß=zGO^, a = 800 > '6=40009
£=4 Klafter bedeuten, der richtige Werth des /=20^, so ist
dr= — 12' 46''. Wird aber angenommen, dass Jy um 2^, also um
7200 Sekunden zu gross gemessen worden ist, so ist y=32^6,
somit im ^erbältniss zu ^y unbedeutend.

Zweites Beispiel. Ist wieder j3 = 60, a = 800, 6 = 4000,
£ = 4 Klafter, y= 100« 53' 36", so ist a: = — 15' 45" und y=057,
80 viel betrfigt das zweite Glied der Gleichung 9), denn mit die-
sem Werthe y wird x ein Maximum, y dagegen ein Minimum.

Der Umstand, dass ein Fehler in y auf die Reduktion so ge-
ringen Einfluss 'hat, ist für die Praxis von Wichtigkeit, denn eine
genaue Messung des y ist in vielen Fällen schwierig, während E
ziemlich leicht bestimmt werden kann.

Nach dieser Darstellung also hat selbst eine kleine Excen-
tricität in jeder Hinsicht einen nachtheiligen Einfluss auf das Re-
sultat der Messung, die fehlerhafte Orientirung des Messtisches
jedoch, welche eine unausbleibliche Folge der exceutrischen Auf-
stellung ist, halte ich für den grussten dieser Fehler.

Endlich wollen wir noch beifügen, dass die Reduktion auf
das Ceutrum noch auf eine zweite Art bestimmt werden kann.
ist Taf. XIII. Fig. 6. ACB der zu messende Winkel, das Instru-
ment dagegen in O gestellt, so ist wie bekannt a:==B--A die
Reduktion. Fällt man von O auf die Schenkel AC und BC die
Senkrechten Op und Oq, so ist

^—OB' ^-^OB'

nnn kann offenbar OB = CB, OA^ CA gesetzt werden; wird
Og = c, Op=d, CA=za, CB:=b gesetzt, und die Reduktion
in Sekunden ausgedruckt mit x" bezeichnet, so ist:

-"=^.1^-?! >»)

In diesem Ausdrucke ist c, so auch d als positiv oder nega-
tiv zu betrachten, je nachdem die Senkrechte auf der rechten oder
Unken Seite des entsprechenden Schenkels liegt. Sind aber die
Grössen c und d um Je und Ad fehlerhaft bestimmt, ^o ist der
Fehler in der Reduktion :

// L^\^c Ad)

488 H9li9rmmnn: BHtrap %ur Tkeorie der umMUtfem Cunm.

Beitrag zur Theorie der amhüllteii Görreii.

Von

Herrn Doctor Heilermann
zu Trier.

§. 1.

Eines der wichtigsten Unterscheidungsmerkmale der alten und
der neuern Geometrie besteht darin, dass jene nur den Punkt als
Element benutzt» um alle räumlichen Gestalten zu erzeugen, dass
aber diese sich der Geraden oder Ebene^ jenachdem die geome-
trischen Gebilde in einer Ebene oder allgemein im Räume gedacht
werden, in gleicher Weise bedient, wie des Punktes. Hiernach
ist dann insbesondere eine Curve nicht bloss ein Ort für einen
Punkt, sondern sie ist zugleich ein Ort für eine Gerade, welche
die Curve in all ihren Lagen berührt, oder: eine Curve wird nicht
bloss als von einem Punkte beschrieben betrachtet, sondern auch
als von einer beweglichen Geraden umhüllt.

Für die gewöhnliche analytische Behandlung ist die Entwicke-
lung der von Punkten beschriebenen Curven ungleich einfacher,
als die der umhüllten; und ich glaube deshalb, dass die nachfol-
genden Untersuchungen, in welchen ich auf elementar -analytischem
Wege viele umhüllte Curven herleiten werde, theils wegen des
Gegenstandes, theils wegen der Methode der Behandlung, von
einigem Interesse sein werden.

Eine Gerade, welche eine Curve umhüllt, genügt in all ihren
Lagen einer gewissen Bedingungsgleichung, welche eigentlich
nichts als die Gleichung der umhüllten Curve in andern Zeichen ist;

H^iUrmmnn: BeUtug %ur Theorie der umMiUem turpem. 488

wir wollen hier nun zunächst die Fälle betrachten» in wichen
diese Bedingung sich bezieht auf die Abschnitte, welche durch
die umhüllende Gerade auf zwei festen , sich schneidenden Geraden
entstehen. Zwei solche Abschnitte bestimmen aber nicht bloss
eine Gerade, sondern auch, wenn man sie als Coordinaten an«
sieht, einen Punkt, und jene Bedingungsgleichung stellt also zu-
gleich eine Curve dar^ fSr welche die festen Geraden die Coordi-
natenaxen und die von der umhüllenden Geraden auf denselben
abgeschnittene« StOcke die laufenden Coordinaten sind. Diesel
Cnrve wollen wir im Folgenden die leitende Linie, und den
Punlct, welcher durch eine Lage der beweglichen Geraden be-
stimmt wird, den zagehurigen leitenden Punkt nennen. Wenn
also Jlf ein Punkt einer leitenden Linie und MP=^x und MQ=:y
seine Coordinaten sind, so suchen wir die Curve, welche von der
Geraden PQ umhüllt wird.

§. 2.
Es sei (Taf. XIIL Fig. 7.) die leitende Linie eine Gerade

welche auf den Azen die Stücke OA^^a und OB=.b abscheidet.

Die zu den Punkten M=(a;,y) und iX/i = (^i,yi) gehurigen
Geraden PQ und PiQi sind

wenn iHr mit | und 17 die laufenden Coordinaten der umhüllenden
Geraden bezeichnen. Durch Auflösung dieser Gleichungen nach
I Itnii 1} «rhält man :

1) |=— *^ — ^^.arjpi und «= ^.Wi

ab Coordinaten des Schnittpunktes der Geraden PQ und PiQi.
Weil die Coordinaten von M und Mi der Gleichung der Leitenden
genügen, so ist «neb

a^ b ^'

fa .Si_i.

440 Meiiermann: Bellrag %nr TAeoHe der umhüUim% Cmmm.
folglich

- = -^ — ^ — und r = ^ 5

und wenn die Werthe in 1) gesetzt werden ^ so entsteht

Lassen wir nun die Geraden PQ und PiQi zusammenfallen, d. b.
setzen wir Xi^=^x und yi =^> so fällt auch ihr Schnittpunkt mit
ihren Berührungspunkten zusammen, und es sind folglich die Coor-
dinaten des Berührungspunktes, den wir mit p bezeichnen:

S = -undi?=:^.
Hieraus folgt nun weiter:

und schliesslich:

(I)' + ©'

als Gleichung der umhüllten Curve. Diese ist bekanntlich eine
Parabel, welche von den Axen OA und OB in den Punkten A
und B berührt wird.

pP

Für das Verhältniss —^ gibt es eine Reihe von andern Dar-
stellungen, denn es ist, wie leicht zu sehen:

gv pPx-'^_ rj _^«— ^__ y =^ i^ —'^ \^=^^ ,

pQ I y'~^v ^ ^'~y ^'^ y'^ MB'

und die letzte Darstellung insbesondere zeigt, dass die umhüllende
PQ durch den Berührungspunkt p, und die Leitende AB durch
den leitenden Punkt M nach demselben Verhältnisse getheilt werden.

Bezeichnen wir noch den Schnittpunkt dieser Linien mit q^
60 ist

qP OB PA y ^x MA _pP^
^^ pQ-^ OA' Qß-'ö ' a — MB-^pQ'

d. h. die umhüllende PQ wird durch ihren Berührungspunkt p
und durch die Leitende AB harmonisch getheilt. Es sind also auch
iHQ, MP, Mp und Mq harmonische Strahlen, und weil Mq fest-

Wefi§rmann: Beitrag %ur Theorie der umMiUen Cnrven. 441

liegt, MQ und MP immer zu OA und OB parallel bleiben, so
.bleibt auch Mp immer zu sich selbst parallel. Wenn dann MÄ
= 4f ^ wird, also x^=\at y^lb, i=lJ^ und fi=:{y, so ist lUp
der Durchmesser der Parabel^ welcher alle zu Aß parallelen Seh-
nen halbirt, und geht zugleich durch O; da aber alle Durchmes-
ser der Parabel parallel sind, so ist auch die Gerade Mp in jeder
Lage ein Durchmesser und die von ihr halbirten Sehnen sind jedes-
mal der Geraden PQ parallel.

Die leitende Linie AB wird durch den Punkt q so getheilt, das«
^. Ag_OQ AP /JUAy a m ^ a tt

Wird die unAüllende Gerade PQ durch den Punkt j9| = (|i, t^i)
nach dem constanten Verhältnisse -^ getheilt, so ist

also die von pi beschriebene Gerade
welche auf den Axen die Stücke

cc ß

* cc+p a-t-p

abschneidet, so dass

d. h. die vom Theilungspunkte pi beschriebene Gerade ist eine
Lage der beweglichen Geraden PQ und deshalb auch eine Be-
rührende der Parabel. Es wird folglich die Umhüllende PQ von
einer festen Berührungslinie in allen ihren Lagen nach demselben
Verhältnisse getheilt. Denken wir uns nun das Stück PQ inner-
Jich und äusserlich nach allen muglichen Verhältnissen getheilt,
6o beschreiben die Theilpunkte eine Schaar Gerader, welche die-
selbe Parabel umhüllen.

Es sei die leitende Linie die Parabel

0)* +©'=>■

TkellXXIV. 30

4i9 Meiiermann: Beitrag %ur Theorie der-umhüHien Curtem,

bezogen aaf zwei feste Beröhrungslinieo , aU GoordiiiatenaxeD.

Werden wieder ^ wie oben, die laufenden Coordinaten der Um-
hüllenden mit I und ri bezeichnet, so erhalten wir für die Coor-
dinaten des Schnittpunktes zweier Urohüllenden dieselben Aus-
drücke wie unter 1). Dazu ergibt sich jetzt aus den Gleichungen

(St=

y^-yx ^ y—yi (^iy)'+(a^yi)*

und

i

und wenn diese Gleichungen mit denen unter 1) verbunden wer-
den, so entsteht:

>_ y^^y^ 22l n«H ,,- ^^+^1* yyx

Wenn wir auch hier die Umhüllenden, welche sieh im Punkte
l> = (|i;) schneiden, zusammenfallen lassen, so erhallen wir den
Berührungspunkt. Es sind also die Coordinaten des letztern

3 3

V ^^ ^ y'^

l = — und ^=nr
und

die Gleichung der umhüllten Curve.

Wird durch den leitenden Punkt M eine Berührende IJV
(Taf. Xin. Fig. 8.) an die Parabel gelegt, so können wir fifr diese
Lage des Punktes M die Gerade C7F als Leitende ansehen, und
folglich ist nach 3), 4) und 5)

Es werde auch hier die umhüllende PQ durch den Punkt Pi=(|ii7i)
nach dem constanten Verhältnisse j getheilt, so wird folglich

Mttitrmmn»: Beitrag mtr ThtMl» Otr umkiUttm Cunt». 44S

irad der Paokt pi beschreibt die Parabel

Zwei solche Parabeln

schneideo sich in Punkten, deren Coordinaten sind:

(«1*«)* - Ml)' («A)' - («i*a)'

nnn ist aber

folglich

^ + ^ = 1 und ^ + 1=1.
a ' 0 ab

and ans diesen in Verbindung mit den obigen Gleicbangen er*
gibt sich :

Lassen wir nun die beiden Parabeln zusammenfallen , so erhal*
ten wir den Punkte in welchem sie von einer Curve, welche alle
einhüllt^ berührt werden. Die Coordinaten , dieses Punktes sind
also

und weil

80 ist

ihy * (I)

80*

444 ffeilermann: Beitrag %ur Theorie der umküUten Curtm.

die Curve, welche alle jene Parabeln einhfiUt« zugleich die von
PQ umhüllte Curve 7).

§. 4.
Es sei die leitende Curve dargestellt durch die Gleichung

m tn

(f)"+(fT='-

Die beiden Geraden PQ und PiQif weiche auf den Azen die
Stücke X, y und Xi, yi abschneiden^ schneiden sich auch hier
in dem Punkte (§^), dessen Goordinaten sind:

1=— ^^ — - — • xxt und « = — = • yyi •

xiy—xyi * ' ^yi—^iy ^^*

Weil X, y und Xi, yi Punkte der leitenden Curve darstellen» so
ist auch:

tn tn n m fs "i

Durch einige Umformungen erhält man hieraus:

m

n—l n— 2 1 ji— 3 2

^ 71-1 n— 2 1 M— 3 2

Wird der Werth von —^ — - — hieraus entnommen und in dem

/^ly—^yi

Ausdruck für ^ substituirt, und danach x=^Xi und y^=^yi gesetzt,
so entsteht:

fti fi— in tn

als Werth der Abscisse des Berührungspunktes der Umhüllenden
PQ, Eben so erhält man:

M^ii^rmmnn: Beitrag zur Theorie der umMUien Curten^ 445

als Wefth der zugehörigen Ordinate. Aus beiden folgt dann zu-
nächst:

und weiter

als GJeichung der umhüllten Curre.

Wird die umhfillende Gerade PQ nach einem constanten Ver^
hältnisse ^ durch den Punkt pi getheiit, so beschreibt dieser
Punkt die Gurre

m m

durch Schlüsse» die den Torigen ähnlich sind, findet sich« dass
die Schaar Curven, welche entsteht, wenn man dem Verhältnisse

•g alle möglichen Werthe beilegt» auch die Curve 8) umhüllen«

Wird durch den Punkt M={xy) an die leitende Curve eine
Berührungslinie gelegt, welche die Axen in U und V und die
Umhüllende PQ in g schneidet, so gelten auch hier, und zwar
ans denselben Gründen, wie bei der Parabel, die Gleichungen:

Pp_Pq^VM_/Uq\\^
Qp'' Qq~ VM'^KVq) '

femer ist die Gleichung der Berührenden C7F, was wir hier als
bekannt annehmen.

Hl— fi HI— Ä

und wenn wir diese als leitende Linie ansehen, so wird eine Pa-
rabel umhüllt, welche die Axen in den Punkten V und V be-
rührt. Auch Ton diesen Parabeln lässt sich in ähnlicher Weise
wie vorhin zeigen , dass sie die Curve 8) umhüllen.

446 ffMiiermaun: Beiirag %ur Theorie der umhüUUn CwruiL

§< 5«

Aus dem vorhin gewonnenen allgemeinen Resultate lassen
sich nun auch die leitenden Curven erkennen, für welche die um-
hüllten eine einfache Form annehmen.

u) Wenn m=:;:'— ti, also die Leitende

X y

eine Hyperbel ist, bezogen auf zwej Coordinalenaxen , die zu den
Asymptoten parallel sind und sich in einenfi Punkte der Hyperbel
schneiden, so sind die Coordinaten des Berührung$pnnkte& der
umhüllenden Geraden PQ nach der Entwickelung des §• 4.3

d. h. die Gerade PQ geht durch den festen Punkt (a6), und die-
ser ist, wie leicht zu sehen, der Mittelpunkt der leitenden Hyperbel.

Durch denselben Punkt gehen nun auch a^le Hyperbeln von
der Form

a a . ß b .

und alle Parabeln, welche eine Tansjente der ursprünglichen Hy-
perbel als Berührungssehne oder leitende Linie enthalten.

ß) Für m:=.n und m=J?i erhalten wir die unter a) und b)
betrachteten Curven als leitende Linien.

y) Damit die umhüllte Curve 8) ein Kegelschnitt sei von der
Form:

©■ +©■=>■

. , m

ist

zu setzen — r— = 2, also ;/i=: — 2w, d.h. die zusehürise lei-

s

tende Curve ist

©•-©■=■•

§. 6.
Besondere Beachtung verdient der Fall, in welehem die iei-

M0ii€rm4iHn: Beitrag %ur Theorie der umMttUen Cmrven. 447

tende Linie eine Ellipse oder Hyperbel ist, belogen auf eocju*
girte Darchmesser als Coordinateoazen. Es sei alUo

die Leitende, dann ist dach 8) die Umhüllte

Ans dieser Gleichung folgt , dass die Umhüllte mit der Leiten-
den die vier Scheitel gemeiDsam hat, und im Uebrigen ganz in-
nerhalb der Ellipse liegt. Bezeichnen wir die' vier l^cheitel, so
wie sie' auf einander folgen, mit A, B, Ai, B^, und lassen den
leitenden Punkt M den Bogen AB durchlaufen, so beschreibt die
Gerade PQ durch ihre beiden Verlängerungen die Ebenen der
Winkel AOBi und ßOAi; und das Stiick Pp Von veränderlicher
Länge, Wo wieder p den Berührungspunkt bezeichnet, beschreibt
die gan^e t^töche, welche von dem Bogen AB der Umhülltefi und
deti Linien OA und OB begränzt wird ; dieselbe Fläche wird aber
auch ganz von dem Linienstücke Qp beschrieben. Wenil also der
leitende Punkt M den ganzen Umfang der Ellipse durchläuft, so
wird von der umhüllenden Gefaden P0 die ^anzö Ebene der
Ellipse zweimal und der von der Umhüllten begränzte Theil der
Ebene viermal beschrieben. Hieraus geht hervor, dass durch einen
Punkt vier oder drei oder zwei Berührungslinien an die Umhüllte
gezogen werden können, jenachdem der Punkt innerhalb der Um-
hüllten oder in derselben oder ausserhalb liegt.

Wenn der Punkt pi die Umhüllende PQ nach dem constao-

Verhältnisse jr theilt, so beschreibt er die Curve

>.«) (H^iy^Q^ ■})'-'■

und die Schaar dieser Ellipsen umhüllt diei^elbe Curte, v^l^ P0.
Ward^n die laufenden Coordlnaten der Geraden Mpi mit ai» y\
bexelobnet» so vHi Ihre Gleichung:

•der, weil

•o ist dieselbe

448 äeilermann: Beitrag zur Theorie der umMilien CurveiL
« .?i+^.yi^l oder -^.^ + ^,.?L=1.

Die Stöcke OS=zv und OR = U, welche durch diese Gerade
auf den Axen ahgeschnitten werden , sind

und können als Coordinaten eines Punktes aufgefasst werden,
der dann der Gleichung

genügt. Folglich umhüllt diese Gerade Stpi die Curvo

Die Abschnitte, welche durch die Beruhrungslinie des Punktes
j9|=:(^7;) auf den Axen abgeschnitten werden« seien mit t£| und
Vi bezeichnet; dann ist

also Ist

/ ci y a^ , r ß y b^

« — i3 « , ß — « f«

und wird nun die Constante a\ — r-^ auf der a;-Axe vom An-

fangspunkte O aus nach beiden Seiten als OF und OF^ abge-
tragen, so sind piF, PiF^, p^M und die Beruhrungslinie des
Punktes pi vier harmonische Geraden. Eben so ist es auf der

anderen Axe; doch sind die Linienstücke auf dieser iL^V ö^j-
imaginär, wenn sie auf jener real sind, und umgekehrt.

Diese Eigenschaft der Punkte F und F^ auf den Coordinaten-
Axen, mit den Diirchschnittspunkten der Geraden Mpi und der
Beruhrungslinie der Ellipse 11) ein System von vier Harmonischen
zu bilden, erinnert an den bekannten Satz, wonach die Brenn-
strahlen eines Punktes mit der Berührungslinie und Normale vier
harmonische Geraden sind. Die Üebereinstimmung wird noch
grösser, wenn wir annehmen, dass die conjugirten Durchmesser
*la und 26 des ursprünglichen Kegelschnitts einander gleich sind,
und die conjugirten Durchmesser der Ellipse 11)

MßH^rmmnn: Beitrag zur Theorie der umMUUm Cmrun, 448

a ß

a=:aj und ^.6=61

«ttaen; denn nun ist die Ellipse dargestellt durch

tt)"+(Ö"='' •

die Gerade Mpx durch

und die Entfernung der Punkte Fund F| vom Mittelpunkte« welche
mit dem Schnittpunkte dieser Geraden und dem der Berührungs«
Knie des Punktes pi = (I17) ein System von Harmonischen bilden,
durch

Wenn endlich der leitende Kegelschnitt ein Kreis (TaC XUI. Fig. 9.)
•o beschreibt der Punkt ;9x = (|^) die Ellipse

und es ist

Also

«1 = QPi «n«l ^1 = ^ »

flj -|- ^1 = a.
Die Gerade PQ umhüllt die Curve

2 2

14) x^^^y'zzia^,

welche auch als Hypocycloide bekannt ist. Die Stücke u und v,
weiche die Gerade Mpi abschneidet , sind jetzt

u=—^j—.^ und t? = — g-^.17,
■iiid also laufende Coordinaten für die Curve

welcb« eine Ellipse ist mit den Haibaxeo

und

also

^Pi''^iy-v)^+(^-^)^=^v^+^S'

0/7i2 = ^2_,.ja,

16) Mpi^+ Opi^ = ai^ + 61*.

Da nun 2.0pi ein Durchmesser der Ellipse ist, und 4(cri*+6i*)
gleich der Summe der Quadrate van je zwei conjugirten, nach
einem bekannten Satze, so ist 2.il[//>| die Länge des zu 2.0/>|
conjugirten Durchmessers.

Es lässt steh dieser Satz auch ausdehnen auf die Ellipsen,
welche entstehen, wenn statt des Kreises eine Ellipse, welche
auf »die gleichen conjugirten Durchmesser bezogen ist, als leitende
Curve gewählt wird, doch ist dann der Durchmesser 2.0/?i mit
demjenigen zu vertauschen, welcher mit der Umhüllenden PQ des
leitenden Punktes M parallel ist.

Wird durch den Punkt M eine BerdhrimgsHnie an den Kreis

4B0 H9U$rmann: Beitrag zur Theorie der umMüim Cmrtim.

— |]qQ ' . '■ — — .

«l Ol

Die zu dieser Curve gehörige umbOllende Gerade Mpi^ behält die
▼orige Form und ist auf rechtwinklige Coordinaten bezogen; ihre
Gleichung zeigt unmittelbar, dass sie die Normale der Ellipse 13)
Ist, und folglich die von ihr Umhüllte die EvolutQ dieser Curve,
nämlich

Aus den zu Anfang dieses Paragraphen mitgetheilten Betrach-
tungen folgt nun unmittelbar, dass von einem Punkte vier, drei
oder zwei Normalen an eine Ellipse möglich sind, jenachdem der |
Punkt innerhalb der Evolute oder in derselben oder ausserhalb liegt

Da die Gerade Mpi eine Normale und die Tangente, ihre zu-
geordnete Harmonische, auf derselben senkrecht steht, so halbiren
sie die Winkel der Linien piF und piF^ d. b. F und JP| sind die
Brennpunkte der Ellipse 13).

Auch die Länge des Linienstückes Mpi hat für die Ellipse 13)
eine Bedeutung, denn ed ist

MHi€fmmnn: BHiras %ur Theoriß der umhüUun Cmven. 451

mn O gelegt, welche die Axen in ü und V schneidet, so gehurt
zu dieser Linie nach §. 2. eine Parabel, welche die Axen in ü
und V berührt, die zum leitenden Punkte M gehurige Umhüllende
PQ ist eine Berührende jener Parabel, und zwar liegt nach §. 2.
der Berührungspunkt p so, dass 31p die der Berührenden MÜ
Bogeordnete Harmonische ist, oder dass Mp auf PQ senkrecht
steht; da nun^üfp, wie wir früher gesehen haben, immer ein
Durchmesser ist und auf der Unihüllenden senkrecht steht, so ist
Mp die-Aze und PQ Scheiteltangente der Parabel. Es ist also
die Curve 14) zugleich der Ort des Scheitels der Parabel, welche
onibfillt wird, weno eine Berührende des Kreises die leitende
Linie ist.

Ferner ist M der Brennpunkt dieser Parabel, wie leicht ge-
zeigt werden kann, also die leitende Kreislinie selbst der Ort des
Brennpunktes.

Dieselbe Entwickelung lässt sich auf die Hyperbel anwenden
ond fiihrt zu ähnlichen Resultaten, die hier nicht mitgetbeilt wer-
' den, um Wiederholungen zu vermeiden.

§. 7.

Die Aufgabe, welche im §. 4. gelöst wurde, lässt sich noch
allgemeiner dadurch machen, dass man zu der leitenden Curve

©"+(!)"=

als umhüllende Linie, wie es im Vorangehenden schon mehrmals
geschehen ist, eine Curve nimmt von der Form:

Wenn auch Xi und yi zwei Werthe sind, welche der ersten Glei-
^tmng genügen, so entstehen zwei Systeme von Gleichungen:

©"+(i)"='"»-(i)"+e)"='-

. (?)"+(f)'=' "' (!)"+©"=■•

Ans den letztem fofgt:

BHi^rmmnn: Beitrag %ur Theorie der umäiUlten Curpen.^ 453
. b. die Curven

(i)"+e)"='-

welchen | und rj die laufenden Coordinaten ffir jede Curve dar-
eileo und x, y der Gleichung

(i)"+a)"=

mügen.» gehen alle durch einen Punkt {ah) oder durch vier Punkte
b^^db^)» jenachdem m eine ungerade oder gerade Zahl ist.

Wenn iii=l und also n^z — l^ so geht hier der besondere
all hervor, welcher oben unter 9) angegeben ist. Wenn umge-
)hrt iR=— '1, also 71= -fl« so geben alle Hyperbeln

ircb den Punkt {ab), dessen Coordinaten a und b durch die Gerade

a

if den Axen abgeschnitten werden, d. 1. durch den leitenden 1
dnkt dieser Geraden. Ausserdem geht aus diesen Gleichungen
»rvor, dass alle Hyperbeln noch durch den Anfangspunkt der

oordinaten gehen, ihre Asymptoten alle den Coordinatenaxen

oc - 1/
urallel sind und ihr Mittelpunkt (fie feste Gerade — -}- t-=1 he-

:hreibt.

Setzen wir in 19) m = ], so stellt sie die in den frühe-
D Paragraphen untersuchten Curven dar; setzen wir umgekehrt
=1, so zeigt sie, dass die Schaar der Curven, welche entsteht,
ena die leitende Gerade nach constanten Verhältnissen getheilt
ird, nämlich

ie Corve

nhüllt, wie wir es oben ini §. 4 unter der Voraussetzung, dass
eine ganze oder gebrochene Zahl sei, besonders hergeleitet haben.

__- 7ll-|-llll - - , .. «

Wenn -^^ =::: + r=^> ^^ berühren alle Curven
mn fit n

4S4 /fetiermmnn: Beftraff %ur Theorie der itmkäUiWB e»f#ai.

(l)"+C-)'='

die Gerade

und statt dieser Geraden treten vier auf» wenn tn+n eine gerade
Zahl ist. Ist z. B. m=n=2« so besteht die umhüllte Linie au
den vier Geraden

welche ein Parallelogramm bilden, dessen Diagonalen die Durch-
messer der Kegelschnitte sind.

§.8.

Die allgemeine Aufgabe des vorigen Paragraphen werde la
abgeändert, dass statt der Coordinaten x und y der leitenden Linie

(f )■ + (f )■-

die Abschnitte, welche durch die BerühruHgslinie desselben Punktet
(a:tf) auf den Axen entstehen, in die umhöllende .Curve gesetxt
werden, so dass sie die Form

(^ir+5?')"=

1

annimmt, da bekanntlich -~:u und —^^ die erwähnten Ab-

X y

schnitte sind.

Wenn oc^ und yi ein zweites Paar zusammengehöriger Coor-
dinaten der leitenden Curve sind, so ist

(^-0"+(^'')"=

1

die zugehörige Umhüllende, und zu den Schnittpunkten beider ge*
hören die Coordinaten ^ und ?;, weiche bestimmt werden durch
die Gleichungen:

^.min-l) — y m{n-t)
fem — ^ ^JLt gmn

und

^m(n-l) >_ ^jm(n-l)

^mr=

(a:yi)m(n-l)_(a;j2^)m(n-l)- «^^^

. ^

MHUrmmmn: Bdiraff %ur Tkearie der nnMiUem Curwem. 456
Ans deo Bugehorigen Gleichungen der leitenden Cuire folgt:

und mit Hfilfe dieser ^Verthe iSsst sich aus den ersteren der Factor

—2 — 2l — und 1— eliminiren. Wird, nachdem dies ce-

scbehen, x^Xi und y=y\ gesetzt, so gehen die Coordinaten des
Schnittpunktes beider Curven in die eines Punictes der umhüllten
Corvo üher, und z^ar findet man :

19) |ni = |iw»-f«.;p-»w>+n»+« und ^m::=^mii-fi^^m«+m4-«.

Folglicb ist:

mn mn

yso

mn ffin

I) +(0 =1

4le umhüllte Cor?e.

Im Allgemeinen ist über diese Curve dasselbe zu sagen, wie
Aber die unter 18), sie steht aber ausserdem mit jener in einem
innigen Zusammenhange. Wenn jene einen Punkt darstellt, durch
welchen alle Curven gehen, d. h. wenn m-|-7t = 0, so ist diese
eine Hyperbel, deren ^Mittelpunkt jener Punkt ist. Wenn m+n=mn,
d. b. wenn jene eine oder ein System von festen Geraden aus-
- drflckt, so reducirt sich diese auf einen oder ein System von
festen Punkten. Wenn z. B. ?n=7i = 2, so ist nach 19)

t d. b. alle Ellipsen von der Form

I eo" +(&■')■=■•

hl welchen die Grossen x und y der Gleichung

I: genfigen, gehen durch die Ecken des Parallelogramms, dessen
Seitem die letztere Ellipse in den Endpunkten der conjugirten Durch-
berubren.

466 Heiiermann: Beitrag zur Theorie der umhüUien Curten.

In einigen Fällen, z. B. für m = i oder n = if ßUlt diese
Gleichung mit der früheren zusammen, wie es oben im §.4. ange-
deutet ist; im Allgemeinen tritt dieser Fall "ein, wenn unter den
früheren Exponenten m, n und denen der Curve 20), tni und ni,
der Zusammenhang statt findet, dass

-t- — — JL—» — T — •

fWi «1 m n

§.9.

Wenn die leitende Curve eine Hyperbel, Welche durch den
Schnittpunkt der Coordinaten^xen geht, und diese den Asympto-
ten parallel sind, so geht, wie wir §. 5. fanden, die umhüllende
Gerade in allen Lagen durch den Mittelpunkt der Hyperbel; wir
wollen jetzt den Anfangspunkt der Coordinaten beliebig annehmen,
ohne jedoch ihre Richtung zu ändern und die unihullte Curv^
aufsuchen.

Es sei

(a; — a)(y— 6) = 6«

die leitende Linie. Die Gleichungen 1) bestimmen wieder den
Schnittpunkt von PQ und PiQi, und es ist nur nothig, mit Hülfe

der leitenden Linie die Factoren und — ^ — - — zu eü-

miniren. Aus den Gleichungen

xy--ay — bx:= e^—ab,
^lyi — ^yi — ^^1 = ß^ — ob
geht zunächst hervor:

yyi i^--^i) - b(^yi—^iy) = — (e^—ab)(y—yi) .
^^1 (y—yi) + a(a:yi — 0:13^)=— («« — a6)(a:— oti) ;

und daraus :

x — Xi b.rxi + a (e* — ab) y — yi ayy^ + 6 (e^ — ab)

,ryi —Xiy'^'xxiyy^ —(e^~ub)^ " 3:iy—xyi'~xxiyyi-(e^-ab)^

__ ay^ (xi —a) + bx^ (x—a) _bxi (y^ -b)+ayi (y-b)^

xxiyyi — (e^ — ab)^ ^^lyyi — («^ — ab)^ *

folglich ist:

60?! {yi-b) + ay^ (y—b) 0^1(^1— «)-f^^i(^—g)

^"" xxiyyi-ie^-ab)^ '^^"^ """* ''"- xx^yy^^ie^^ab)* '^^'

Beiiermunn: Beitrag %ur Theorie der umkämen Curven. 457

Wird nnn noch x=Xi und y==yi gesetzt, so erhält man die
Coordinaten des' Berührungspunktes:

\ ijf''b)(bx + ay)x^ jx - a) (hx -\- ay) y^

Hieraus folgt

Ferner ist

^*'"" {xy - ab -i- c^)^'

(a:~fl)(6»~(i6) . . (y-b)(e^^ab)

xy — ab-\-e^ ' xy — ab-\-e*

abo

ohd durch Verbindung der Werthe von ^7] und (^ — a)(iy — 6) folgt

21) [|ij]' + [(!-«)('?- 6)]' = e.

als Gleichung der unihCillten Curve.

Durch die Entnickelung dieser Gleichung entsteht

22) *«|«-2(2e«-«6)|i?H a27;H2a(e2-a6)i?+26(e2-a6)H-(e«-a6)2=:0;

setzt man in dieser Gleichung rj=^0, so erhält man eine quadratische
Gleichung für |, welche zwei gleiche Wurzeln hat, also ist die x-Axe
eine Beruhrungslinie des Kegelschnittes und eben so die y-Axe.

Aus den Coeflficienten lässt sich leicht erkennen, dass der
Kegelschnitt eine Ellipse, oder eine Hyperbel, oder nur einen Punkt
darstellt, jenachdem die Differenz e^ — ab negativ, oder positiv
oder Null ist; nun ist aber e^ — ab negativ, positiv oder Null,
jenachdem der Anfangspunkt der Coordinaten innerhalb, oder aus-
serhalb oder in der Hyperbel (x — a)(y— Ä) = e* liegt.

§. 10.
Es sei die leitende Linie dargestellt durch

wo fit und n jede positive und negative ganze Zahl bedeuten kann;
. gebrochene Exponenten sollen ausgeschlossen sein, weil sie so-
gleich durch Potenzirung entfernt werden können.

TKeil XXIV. 31

4B8 Beiiermann: Beitrag zur Theorie der umMlllien Curven.
Die umhüllende Gerade

X y

berührt die gesuchte Curve in dem Punkte, dessen Coordinaten
nach 1) die Grenzwerthe sind von

Nun ist aber

X Xi

X — Xi

X

y

3.

.Vi

m-\-n

y 1 ".z-i^ y^

^ = €-m.y "• und '^rsc-m.yi

m^n

m

also

Xi

II

■II

I

4-

3

+

I

Kl

3

+

a

I

3

I

3

f

s

4-

3

a

Cd

^

fcO

1+

II

31

^|3

I

|3
3 +

I

!. '^

«1

3 +

s

2 c^

a

3

3

a

11

31^^

a
I

Hl

3

a

3

+

a

a
I

CO

19

4-

HHiermmnm: Beitrag %ur Theorie der umMiiten Curvem. 488
Winl hierin nah y^yi ge«etzt, so entsteht:

— m ji m / c\^ m

und durch dieselben Schlüsse findet sich:

n

als« ist die umhüllte Curve

Sie unterscheidet sich vod der Leitenden nur durch die Constante,

und ist zugleich diejenige, welche von dem Punkte beschrieben

im
wird, der die umhüllende Gerade PQ nach dem Verhältnisse — theilt.

n

Wenn nun iosbesondere m=n oder die leitende Curve eine
Hyperbel« bezogen auf die Asymptoten als Axen^ so ist die Um-
hüllte eine Hyperbel mit denselben Asymptoten und mit einer
Ezcentricität, welche die Hälfte der vorigen ist.

Wenn die leitende Curve die gewöhnliche Parabel, also ?n= — 1
und 71 = 2, so ist die Umhüllte

1?*=: — 4ca;,

eine Parabel, welche den vierfachen Parameter der Leitenden
hat und an der entgegengesetzten Seite der Scheiteltangente liegt.

Wir haben im §. 1. gesehen, dass die umhüllende Gerade
durch ihren Berührungspunkt und durch die Tangente des leiten-
den Punktes harmonisch getheilt wird; nun wird aber die Umhül-

in
lende der Curve 23) getheilt nach dem Verbältnisse — , also wird

sie durch die Tangente der leitenden Cnrve nach demselben con-
stanten Verhältnisse getheilt. Hierdurch ist ein einfaches Ajfittel
•gegeben, um durch einen Punkt einer Curve a:^y^z=c eine be-
rührende Gerade zu legen. Wenn insbesoudere im=»::;=1, so
wird das zwischen den Axen (Asymptoten) liegende Stück durch
den Beführungspunkt halbirt« und m=?«-l und n?=:29 so theilt
der Berührungspunkt das Stück, welches zwischen der Abscissen-
aze (Durchmesser) und der Axe der Ordinaten (Scheiteltangente)
liegt, üuaserlidi nach dem Verhältnisse {.

Die Entwickelung und das Resultat dieses Paragraphen, näm-

31«

M9ii€rmmnn: Bettrag %ur Täeorte der umküiUen Cmrpen. 461

49sm ahio

ß + y « + /?

wo / die EntferDUDg der festen Punkte P und P| ist. Hiedurch
wird ausserdem

ap'-^ßpq + Yq*=- ^^^ -P .

ttnd wenn nun nocb zur AbkOrzung gesetzt ivird a-h^i^'f/^^'
nnd |P— o/=d« so ist die BediDguugsgleichung

oder

Sie ist sugleich die Gleichung der leitenden Curve ffir die um-
hOileude Gerade QQi und kann leicht unter die Form

m m

©"+(!)"='•

welche in'$. 4. zu Grunde gelegt wurde« gebracht werden. Es
ist nur su setzen m=z — 2, n = l,

es ist dann nach 8) die unihüllte Curve

25) ^.|a + ff.^« = l,

ein Kegelschnitt, von welchem OX und OT zwei conjugirte
Darchmesser sind. Bezeichnen wir diese Durchmesser mit 2a und
Hb» so ist

a^^yfS und 6 = V ^

Es sind also beide Durchmesser imaginär, d. h. der Kegelschnitt
selbst ist imaginär, wenn

j3*— ay<0 und a + 2i3 + y<;0,

es sind beide real oder der Kegelschnitt ist eine Ellipse, wenn

4Bf ffiiiermann: Beilrag niir Theorie der umMiiien Ctir^en.

j3«-ay>ü und a + 2/3 + y>0, t

es ist einer real und der andere imaginär^ oder die Umhüllte ist
eine Hypefbel, wenn

|8*-Äy^0 und u+2ß + y<,0
oder

ß«— tty<0 und ft+2/3 + y>0*

Die Coefficienten der homogenen Function lassen sich durch die
Darchme^er de» Kegelschnittes und die Stücke p und ^ ausdrücken.
Es ist nämlich zunächst

ß + y^^' « + I3=p7 und /5«-ay=r~,
und daraus folgt:

so dass die Function zweiteo Grades übergeht in:

26) (q^—a^) z^ + 2(pg + a«) zzi + (p^—a^)zi^ = 6«/«.

Werden also durch zvrei Punkte P und P^, welche in demselben
Durchmesser 2a eines Kegelschnittes auf Verschiedenen Seiten des
Mittelpunktes in den Entfernungen p und q liegen. Gerade parallel
zum conjugirten Durchmesser 26 gezogen, so schneidet jede Tan-
gente des Kegelschnittes auf den Geraden Stücke z und z^ ab,
die der Gleichung 26) geniigen.

Diese lässt sich auch noch unter die folgenden Formen bringen:

(qz + pzi )2— o2 (z - 2i)2 = 6^/2,

[(q + a)z + (p^a)z,][{q-^a)z + (p + a)z,] = b'^l^.

Es ist bei diesen Darstellungen festzuhalten « dass p und q glei-
ches Vorzeichen haben ^ wenn P und P^ auf verschiedenen Seiten
des Mittelpunktes O, und verschiedenes, wenn sie auf derselben
Seite liegen.

Die allgemeine Gleichung 26) nimmt in einigen Fällen eine
besonders einfache Gestalt an.

cc) Wenn p=:q = a, so geht 26) über in:

27) zzt=ö^,

d. h. jede Tangente schneidet auf swei festen Tangenten, welche

B^iUrmann: BeUrag %ur. Theorie der umkßdUen Cwrwen. 483

durch die Endpunkte des realen Durchmessers 2a einer Ellipse
oder Hyperbel gezogen sind^ Stöcke ab, deren Product gleich ist-
dem Quadrate des halben conjugirten Durchmessers.

j3) Wenn a imaginär und p^=iq^=zV --a^, so ist nach 26):

28) z« +2,2 = 26»,

d. h. von den Geraden, welche durch die Endpunkte eines ima-
ginären Durchmessers parallel zum conjugirten gezogen sind, schnei«
det'jede Tangente Stücke ab, deren Quadratsumme gleich ist dem
halben Quadrate des conjugirten Durchmessers.

§. 12.

Die bisherige Entwickelung ist nicht zulässig, wenn

a + 2|S + y = 0,

und es ist deshalb dieser Fall besonders zu untersuchen.

Unter der vorstehenden Voraussetzung ist die Bediogungs«
gleichang:

«a

2[(a + |S)p-(|S + y)9]a: + a;^2-2i3/?9 + y^« = p
und geht durch Anwendung derselben Gleichung über in

Wird nun der Anfangspunkt O, d. h. /? und q so bestimmt, dass
so ist die Gleichung der leitenden Curve

tad nach §• 10. ist die zugehörige Umhüllte

30) ^»=^-5

eine Parabel, von welcher PPi ein Durchmesser nod OY die sa-
gehörige Scbeiteltangente ist. Wird der Parameter dieser Parabel

yP *

HHiermann: Beitrag zur Theorie der umhüllten Curwen* 466

Gerade geßUlten Senkrechten PR und PiR^ bilden eine homo-
gene Function zweiten Grades von constanter Grösse; es soll die
Ton der Geraden umhüllte Curve bestimmt werden.

Die Senkrechten PR und PiRi seien mit r und r| bezeichnet»
und die Gleichung» welcher sie genügen, sei

ara + 2/5rri+yri«=l.

Werden in den Punkten P und Pi Senkrechte auf PPi errichtet»
Dfimlicb PQ und PiQi, welche die Gerade RRi in Q und Qi
schneiden» und PQ = z, PiQ = Zi gesetzt, so ist

Iz . Izt

r = ^- und ri =

WO I wieder die Entfernung der festen Punkte P und /\ bezeich«
net. Durch die Einsetzung dieser Werthe in die obige Gleichung
entsteht

32) ^^.z^ + '2^^.zz,+^-^

welche mit der Bedingungsgleichung des §. 11. der Form nach
übereinstimmt. Hieraus folgt schon, dass die umhüllte Curve ein
Kegelschnitt, von welchem die Gerade PPi die eine Aze'ist, da
sie auf dem conjugirten Durchmesser, welcher zu PQ parallel ist»
senkrecht steht.

Die Gleichung dieses Kegelschnittes ist nach 25):
wo dann

and die Entfernungen des Mittelpunktes von P und /\» nämlich
OP=p und OPi = g bestimmt sind durch die Gleichungen

^ a^2ß+y ^ a + 2/3 + y

Durch Einführung der Summe a und der Determinante d der ge-
gebenen Function geht die Gleichung des Kegelschnittes über in:

BtOermmmn: BeUraff %tir Theorie der umMUUen Curven, 467

Wenn dagegen ^ = VoJT^ 6i* imaginär ist, nnd p^g=:=i ^f—e^^
so geht die Gleichung 34) über in

36) r« + ri« = 2^,»

d. h. die Sanrnie der Quadrate der von den imaginären Brenn-
punkten anf eine Tangente gefällten Senkrechten ist gleich dem
halben Quadrate der Axe» in welcher die realen Brennpunkte liegen.

In allen diesen Gleichungen zeigt sich ^ dass die Senkrechten r
ond Tx denselben Bedingungen genügen, wie die Abschnitte z und
Zi , welche in der vorigen Aufgabe untersucht wurden, nur mit dem
Oafiersehiede , dass statt der Halbaxe a hier die Excentricität ei
vorkommt. Im Zusammenhange mit dieser Uebereinstimmung ist
die Excentricität des Kegelschnittes 33), welche in dem Durch-
messer 2ax ..liegt, real oder imaginär oder null, jenachdem die ge-
gebene Function zweiten Grades aus zwei realen oder imaginären
mkr gleichen Factoren besteht, oder jenachdem d=/9^ — oy posi«
thr oder n^ativ oder null ist.

§. 14.

Die erwähnte Uebereinstimmung bleibt auch dann noch be-
stehen 9 wenn die Coefficientensumme ff^a-f^^-h/^O und in
Folge dessen die Entwickelung des vorigen Paragraphen nicht an«
weodbar ist. Die umhüllte Curve ist nach §.12.:

' ' y — a l

m

ein« Parabel, deren Parameter

4

Ä =

(y-a)/'

Dazu Ist aber.

folglich

«P-1 . yP-1 rt

^ _1

Nimmt man hinzu

4

M lidel iMui

HeiiTBrmmnn: Beürag %ur Theorie der umhüllten Curven. 469

so daao« die Scheitel der umbiillten Ellipse in der Geraden PPi
I finden.

Ist aber a imaginär, also d^ negativ, »o setze man — ä* statt
^; dadurch geht die Gleichung 26) über in

id iSsst si^h umformen in

» dass nach dem Obigen durch jedes dieser Quadrate einer der
ndpunkte des imaginären Durchmessers AAi bestimmt wird»
id die Summe der Quadrate der Stücke AD und AiDi gleich
ird 26l^P, wie wir es oben als besonderen Fall gefunden haben.

Wenn zugleich durch A und Ai Gerade parallel zu Bßi und
irch B und Bi Gerade parallel zu AAi gezogen werden, und
e Stücke AD:=d, AiDi=di, welche auf jenen durch eine Ge-
.de DDi abgeschnitten werden, der Bedingung

mögen 9 welche eine Eigenschaft der imaginären Scheitel A und
I ist, so lässtsicb zeigen, dass die Stücke BC=c und BiCiz=Ci,
elcBe auf verschiedenen Seiten des Durchmessers BBi liegen,
)r Gleichung

enüge leisten^ welche ein Merkmal der realen Scheitelt und ßi ist.

Für die realen und imaginären Brennpunkte eines Kegelscbnit-
B haben die Zerlegungen der Function 34) dieselbe Bedeutung,
eiche wir von der Function 26) für Scheitel nachgewiesen haben.

Schliesslich füge ich noch die Bemerkung hinzu, dass ich die
vrstehenden Untersuchungen weniger wegen der Resultate mit-
»theilt habe, da sie zum Theil schon von Andern durch Anwen-
mg der Differenzialrecbnung gefunden wurden, sondern vielmehr
egen der elementaren Entwickelung, weil Beispiele, wie die
erstehenden s mir besonders geeignet zu sein scheinen, den An-
Dger mit der Methode der Gränzwerthe, auf welcher ihrer Ent-
ehang und ihrem Wesen nach die Differenzialrecbnung beruht,
rrtraat zu hachen.

Mondäiseanzen, für nautische LehranstaUefu • 471

bode Ton Bor da noch der Methode von Mendoza und der bei
eren Anwendung erforderlichen Tafeln kurz Erwähnung gethan
at» sehr richtig: „On reud un mauvais Service auz marins, en
ugmentant le bagage de tables dont ils doivent etre munis : Teile
st la raison qui nous fait accorder la präfärence ä ia m^thode de
orrection de Borda, puisqu'eile nezige que Temploi des tabies
öcesBaires a tous les caiculs, et dont par suite Tusage est tou-
9ur8 tr^s-familier au navigateur. '^ In deutschen Lehrbiichem der
Icbifffahrtsknnde findet man jetzt häufig die Methoden von Bre-
liker und WItcheli; aber diese Methoden, denen ich übrigens
«irebaus nicht allen Werth absprechen will, sind blosse Nähe*
■nf smetfaoden , ohne dabei nach meiner Meinung eine so grosse
Abkürzung der Rechnung zu gestatten, dass man nicht lieber den
rebrauch ganz strenger Formein vorziehen sollte; und überdies
oUie man nach meiner Ueberzeugung sich überhaupt bei einer
Formel, auf der, wie man mit voller Wahrheit sagen kaun, das
ieben und die Wohlfahrt, und die Sicherheit des Vermögens von
^•OBenden beruhet, nicht mit blossen Annäherungen, die, wie ein
trenger Mathematiker nicht leugnen wird, oameiitlich in der Art»
^ie sie gewöhnlich gegeben werden, doch nie von einer gewissen
Jnsicherheit frei sind, begnügen, am allerwenigsten aber beiden,
1 ihrer in den Lehrbüchern meistens noch gewöhnlichen Weise,

0 unsichern Entwickelungen durch den Taylor'schen Lehrsatz,
-eiche überhaupt die neuere Mathematik ohne strenge Restbe-
'achtungen gar nicht mehr, oder nur mit grossem Widerstreben,
tatnirt, beruhigen. Dies sind die Gründe, welche mich, wie ich glaube,

1 völliger Ueberetnstimmung mit der französischen Marine, bestim-
len, unter den bekannten Methoden und Formeln immer noch der
(orda'schenden Vorzug einzuräumen und dieselbe zum Gebrauche
uf der See vorzugsweise zu empfehlen. Indess hat die schon
rvrähnte Revision der bekannten Methoden — so weit die mir zu
■ebote stehende, allerdings reichhaltige nautische Literatur reichte —
lieh zu einigen Betrachtungen über diesen, wegen seiner grossen
raktlschen Wichtigkeit schon so vielfach discutirten Gegenstand
efBhrt, welche ich der Mittheilung an diesem Orte nicht ganz
Dwertfa hatte, indem ich eines Theils der Meinung bin, dass die
(orda'sche Methode einiger zweckmässigen Abänderungen fähig
it, andern Theils aber auch ein Paar neue Methoden dem Ur-
heil Derer^ welche sich für die Fortschritte der Nautik interes-
iren, unterwerfen möchte. Zu diesen Entwickelungen will ich
Btzt Übergehen.

Wenn wir die scheinbaren Höhen und die scheinbare Distanz
er beiden Gestirne durch A, A| und ^, ihre wahren, wegen Re-
ractioD, Parallaxe, Kimmung u. s. w. gehörig corrigirten Höhen

Mondäisianzen, für nautische Lehranstaiten, 473

al8o :

und

2cos4.i'*=l +sinÄ'ßinÄi' + cosÄ'co8Äi'(l-2sinM*)
= 1 +sinÄ'sinÄi'+cosA'cosÄ/(2cosM*-l)
=l + cos(A'-.Ai')— 2cosÄ'cosÄi'sin4J«
= 1 — cos(A' + Ai')+2cosA'cosAi'cos|^2
= 2tcosi(A'— A/)*-cosA'co8A/6in4^«l

=2|8ini(Ä'+A,')* + cosA'cosAi'cos4^2|,
•also:

5) C08 iz/'a = cos KA' — Ai')* - cos A' cos A^' sin \A^

= sin i(A' + Ai ')* + cos h' cos Aj' cos i^«

Die Tier Formeln 4) und 5) lassen sich nun auf folgende Art
darsteilen :

. w,# w ,v«.^ cosA'cosAi'siniJ*.

wjL/ I n /\aii cos A' cos A,' cos i^*,
=cos4(A'+A,')«tl cos4(A' +A,')« ''

I >/« i/K 1. /x«,! cosÄ'cosA,'sinM*,
co84^'«= cos \{h! - Ä,')»l l cosKA'-A,')» '

. w#f . * #v«., . eosA'cosAi'cosJ^*,
= s.n4(A' + A.')'lH— üirW+ÄTF-'^

and durch Einführung von Hülfswinkeln kann man jetzt aus die-
sen Formeln eben so viele zur logarithmischen Berechnung von
^' bequeme Formeln ableiten.

Die Rorda'sche Formel erhält man aus der zweiten der
vier vorstehenden Gleichungen, wenn man

4 /cos h' cos kl ' cos \Ä^
^""9^= V ~ cos4(Ä'+Ai')* '

also nach 3)

Ajcos s COS (s — J) cos A' cos kl '

^^^"P^^M cosAcosA|C08UA'+AiO^

TlMil XXIV. 32

MimädtMlmmen, f&r nautische Lekrmuialten. 475

1er

( 1 41 cos 5 cos {$ — A) cos h' cos ^x '

1 "©^""ainiCA'+Ai') 1 cosAcosAi

cos i^' = sin J(A' -|- Ai ') sec <j(7

Dass man aus den obigen Fundamental -Gleichungen noch an«
ire solche zur logarithmischen Rechnung bequeme Formeln ab-
iten k5nneii wjirde, ist klar, was aber einer weiteren Erläuterung
I diesem Orte nicht bedarf.

Bei dem Gebrauch aller dieser Formeln wird die wahre Distanz
lialten« indem man zuerst die halbe wahre Distanz berechnet,
id dieselbe dann mit Zwei multiplicirt. Ist nun aber die berech-
3te halbe wahre Distanz mit einer kleinen Ungenauigkeit behaf-
i, die sich bei dem Gebrauche der Tafeln sehr selten ganz wird
»rmeiden lassen, so wird naturlich die daraus durch Verdoppe«
ng abgeleitete ganze wahre Distanz mit einem doppelt so gros-
ID Fehler behaftet sein. Aus diesem Grunde bin ich geneigt,
onneln, welche unmittelbar die ganze wahre Distanz ohne alle
weidentigkeit liefern, den Vorzug einzuräumen, insofern dieselben
ine eben so leichte numerische Rechnung wie die vorhergehen-
en^ Formeln für die halbe wahre Distanz gestatten. Solche For-
elo kann man aus den obigen Fundamental -Gleichungen auf fol-
sade Art ableiten.

Wenn man die beiden aus dem Obigen bekannten Gleichungen :

cos 1.^'«= cos 4(A' — Ai')*— cos*' eosAi' sin i^«,
sin4.i'«=s1n4(Ä' — ÄiO* + cosA'cosAi'sini^«;

nd eben so die beiden aus dem Obigen bekannten Gleichungen:

cosi^'«=sinJ(A'+AiO* + cosA'cosAi'cosiJ*,
sin4-^'*=cosi(A' + Ai')* — cosÄ' cosA/cosJ^«;

urch Sabtraction mit einander verbindet, so erhält man nach he-
uinten göniometrischen Formeln:

cos^'s cos(A'— Äi') — 2cosA'cosAi'sin42l*,
cos-^/'=— cos(A' + AiO + 2cosA'cosAi'cosii4^;

ier:.

32*

Manddisianten , für nauUsche Lekranstaiten. 477

Man berechne den Winkel <p mittelst der Formel:

, _ , 4/ 2cosA'cos^/sin(« — A)sin(s — Ai)
logco«9 = ±log\ co8Aco8A,co8(A'-A.') '

indem mau in dieser Formel das Zeichen immer so nimmt, dass
[ log cos 9> negativ wird; dann ist

coBd'=zcos^h''-hi)8\ng>^ oder cos^'= — cos(A' — hi')iiknQ(p^,

jenachdem man in der Formel für logcos^ das obere oder das
untere Zeichen hat nehmen müssen.

Es erhellet übrigens sogleich, dass man, wenn man will, diese
Kegel auch auf folgenden Ausdruck bringen kann:

Man berechne den Winkel tp mittelst der Formel

. . . 4^2 cos A^ cos At^ sin (s — A)sin {s-^hi)

ogsm^) ± ogy cos A cos A^ cos (A' — Aj ') *

indem man in dieser Formel das Zeichen immer so nimmt, dass
log sin 9 negativ wird; dann ist

cos J' = cos (Ä' — A] ') cos g>^ oder cos J' = — cos (A' — Aj') cot 9*,

jenachdem man in der Formel für log sin 9 das obere oder untere
Zeichen hat nehmen müssen.

Da J' nie 180^ übersteigt, so kann bei der Anwendung die-
ser leichten Regeln offeirbar nie eine Zweideutigkeit bleiben, wie
man J' zu nehmen hat, ob nämlich diese Distanz kleiner oder
grosser als 90^ ist, und ich halte daher diese bis jetzt noch nicht
bekannte Kegel in der That für besonders bequem und genau,
bin auch aus den oben angegebenen Gründen allerdings geneigt,
sie der Borda'schen Formel vorzuziehen.

Die bekannte, von Mendoza gegebene Formel hat wohl
hauptsächlich den Zweck, die Rechnung mit Logarithmen zu um-
gehen, und mit den sogenannten natürlichen Linien oder Functio-
nen auszukommen, wobei man sieh aber besonderer, ziemlich
ausgedehnter Tafeln bedienen muss. Zu einer ähnlichen Formel
kann man auf folgende Art gelangen.

Die Gleichung J) bringt man sogleich auf die folgende Form:
cos A cos hl cos J' — cos A cos A| sin h' sin A] '
SS cos A' cos hl ' cos J — sin A sin Ai cos h' cos Ax^
Nun ist aber nach einer bekannten goniometrischen Formel:

J/ondäüUmzen , für nauHzche Uhramtaiten. 479

+ cos{(Ä+Ai)— (A'-A,'))
-cosKA-Ai) + (A' + Ai')}
— cost(A— A,)— (A' + Ai'))

=4cosA'cosAi'cos^+ cost(A-|-A') + (Ai — Ai')|

+ cos|(A-A') + (Ai+Ai')l

— co8t(A + A')— (Ai— ÄiOl

— cost(Ä— ÄO-(Ai+*i')l.
Ferner ist

2 cos A cos Ai cos /l' = | cos (A — Ai) -f cos (A + Ai) t cos ^ä'

and

4co8A'cosAi'cos^=2cos(A' — Ai')cosz/+2cos(Ä'+Ai')cos^

= (;ps(A'— Ai'— zO + cos(A'-Ai'+^)
+ cos(A'+Ai'— z/) + cos(Ä'+A/+^f),
folglich nach dem Obigen:

2tcos(A-A|) + cos (A+Äi) )co8 J' s= cos(A'— Aj' — -^)

+ cos(A'-A|'+^)
+ cos(A' + Ai'-^
+ cos(A'+A/+^

+ cos{(A + Ax) + (A'-Ai')l
+ cos|(A + Ai)-(A'-A/))

-cos((A-Ai)+(A' + Ai')}

- cos t (A— A,) - (A' + AiO I.

Berechnet man also die Grössen:

if=5 cos(A'— Ai'-^)
+ cos(Ä'-Aj' + z/)
+ cos(A' + Ä,'— ^
+ cos(A' + Äi'+^)

+ cosl(A+Ai) + (A'-ÄiOI

+ cos{(A + Ai)-(A'-ÄiOt

• --oosKA-Ai) + (A'+Ai')>

-cos{(A-Ai)-(A' + Ai')»
and

iV^2{cos(A-Ai) + cos(A + Ai)K

Momküifanzen, fär nautische Lehransiaiien. 481

setit:

15) cos^' = P-e— Ä.

Diese Formel, wenn dieselbe auch nicht ganz zur Behandlung
mit Logarithmen eingerichtet bt, halte ich dessenungeachtet für
Torzüglich bequem und mochte sie zum Gebrauche besonders em-
pfehlen. Einige Mähe und Aufmerksamkeit erfordert bei dieser
ganz genauen Formel eigentlich nui die Berechnung des ersten
Gliedes ^

cosA'cosAi' . 2cosA'cosAi'

7 7— cos^ = Tj 7 i— cos ^ \

cosAcosAi 2 cos A cos %

denn weil die beiden andern Glieder

^ sin(A — AOsin(A| +AiO ^ sin (At — h/) sin (A + h*)

2co8AcosA| * 2cosAcosAi

ihren absoluten Werthen nach immer sehr klein sind, und des-
halb gewissermassen als blosse Correctionsglieder in Bezug auf
das erste Glied zu betrachten sind, so ist ihre Berechnung unge-
mein leicht und eigentlich gar nicht in Anschlag zu bringen, wo-
bei immer festzuhalten ist, dass die Formel durchaus keine blosse
Näherungsformel, sondern eine ganz genaue Formel ist. Beson-
ders bequem wird die Rechnung, wenn man neben der Tafel der
trigonometrischen Logarithmen auch eine Tafel der natürlichen
Linien oder Functionen besitzt*), die sich bekanntlich jetzt schon
in vielen Sammlungen nautischer Tafeln vorfindet, so dass al^o
diese Sammlung durch Hinzufugung der in Rede stehenden Tafel
nU^ht mit einer ganz neuen Tafel vermehrt wird. Wollte man sich
eine solche Vermehrung nicht gestatten, so könnten bei der Rech-
nung nach obiger Formel die sogenannten Additions- und Sub-
tractions «Logarithmen gute Dienste leisten; aber auch ohne die-
selben ist die Rechnung nach obiger Formel sehr leicht, und
zagleich bt man bei deren Gebrauch Irrungen nicht leicht ausge-
setzt. Das folgende, absichtlich mit siebenstelligen Logarithmen
nach dieser Formel berechnete Beispiel wird hoffentlich die
Leichtigkeit und Kürze der Rechnung zeigen.

A=20o.36'.22" Äi=25«. 7'. 5" z/=I03ö.19'.49

A'=20 .34. 2 V=25 .56. 6

A-A'= 2.20 Äi-Ai'=— 49. 1

A+A'=41 .10.24 Äi+A,'=51 .3.11

*) Wa« über natärlich durchaus nicht unbedingt ndthig i#l.

Mondätstame», für nautUche UhransUUten. 483

wirklMie tg^nna berechnete fiinfstellige Tafeln gebraucht, nicht
bloss bei den siebenstelligen die Abkürxungen in üblicher Weise
bis anf fönf Stellen vorgenommen , so wurde wahrscheinlich noch
eine TSllige Cebereinstimmung in den ganzen Secunden Statt ge-
funden haben. Ich glaube mich daher wohl zu der Ansicht be*
rechtigt halten zu dürfen, dass die obige ganz genaue Methode
zQ^jrieiii praktischen Gebrauche auf der See vorzüglich geeignet
ist, und mochte sie deshalb dazu empfehlen. Auch das scheint
mir fiir sie zu sprechen, dass man die betreffende Formel sehr
leicht im Kopfe behalten kann, wovon man sich bei näherer An-
sicht derselben sogleich überzeugen wird *). Die gewöhnlichen vor-
bereitenden Rechnungen, um aus den beobachteten Höhen die
wahren abzuleiten, sind natürlich bei allen Methoden ganz die-
selben und werden in jedem nautischen Lehrbuche ausführlich
gelehrt» weshalb hier nichts weiter über dieselben zu sagen ist.

Dieses Exeippel will ich nun auch noch nach der folgenden
von mir oben gegebenen Regel berechnen:

Man berechne den Winkel (p mittelst der Formel

' 4 r^ cos Ä' cos Ai'sin (* — h) sin (* — hi)
'^dtlogY

legq9Sg?:;=:±log\ " cosAcosÄiCos(Ä'-ÄiO

indem man in dieser Formel das Zeichen iiniper so nimmt» d^s
log cos 9 negativ wird; dann ist

^os^';:;:cofi|(A' — hi)9inq>^ oder qos^'== — cos(Ä'^-'AiOtangV^

jenachdem man in der Formel für log cos go hat das obere oder das
untere Zeichen nehmen müssen.

Weshalb ich diese Regel, die ungefähr gerade eben so viel
Rechnung erfordert wie die Borda'sche Regel, dieser letzteren
vorziehe, habe ich oben angegeben.

Ä= 200.36'. 22"

Aj sc 25 • 7 . 5

zf=103.19,49

25=149 .3.16

$^ 74 ,31.38

4<-ieA9B 53 .55 «16

s^\^ 49 .24,33

Ä'= aO .34. 2

V=^'25 ,56. 6

A'--V^-5 .23. 4

*) Ein« praküfphe Rfphqungfregel «. n. am flsd«.

Mondäistan%en, für nautische Lekranstöiien. 485

Winkel A, A| ; hf, hi mittelst des Transporteurs erfordert» welches
hekanntlich immer nur mit einer sehr beschränkten Genauigkeit
möglich ist, selbst* dann, wenn man sich eines Transporteurs be-
dient, der mit Hülfe eines Nonius etwa Minuten angiebt.

Auch ohne Figur wird nun sogleich die Richtigkeit der fol-
genden Construction erhellen. Aus der Linie SSi , die man ent-
weder mittelst der Formel jS^i =2 sin 1^/ berechnet und von dem
tausendtheiligen Maassstabe abträgt oder durch Construction eines
gleichschenkligen Dreiecks erhält, dessen gleiche Schenkel der
angenommenen Längeneinheit gleich sind und dessen Winkel an
der Spitze die gegebene wahre Distanz /i ist, als Hypotenuse,
und dem absoluten Werthe der Differenz S$ — Si$i=i8\nh — sinAj
als der einen Kathete, construire man ein rechtwinkliges Drei-
eck, so ist die andere Kathete dieses rechtwinkligen Dreiecks
die Linie 551. Nun construire man das Dreieck SC$i aus den
drei gegebenen Seiten C5 = cos A, C5]= cos A^ und $$xy trage
auf dessen den Winkel C einschlie8sei|de Seiten CS und C$i
die gegebenen Linien CS''=cosA' und C5i' = cosAi' auf und ver-
binde die dadurch erhaltenen Punkte 5' und $i durch die Linie
S'Sx' mit einander. Hierauf construire man aus der bekannten
Linie 5'5i' und dem gleichfalls bekannten absoluten Werthe der
Differenz S'5'-Si'5,' = sinA' -sinAi' als den beiden Katheten
ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse die Linie S^Si
ist Mit dieser Linie als Grundlinie und zwei der angenommenen
Längeneinheit gleichen Schenkeln construire man nun ein gleich-
schenkliges Dreieck, so ist der Winkel^ an der Spitze dieses gleich-
schenkligen Dreiecks die gesuchte wahre Distanz ^' , die man
aber auch besser mittelst der Formel sinsz/'= ^S'Si aus der vor-
her gefundenen Linie S^Si berechnen kann.

Macht man den V^ersuch, diese Construction für das oben be*
rechnete Beispiel wirklich auszuführen, so .wird man sich auf der
Stelle überzeugen, dass dadurch eine auch nur einigermassen er-
trägliche Genauigkeit gar nicht zu erreichen ist, hauptsächlich
wegen der Kleinheit der verschiedenen zu construirenden GrOssen.
Icti will daher jetzt zeigen , wie diese bloss mit Hülfe der ebenen'
Trigonometrie gefundene Construction sich berechnen lässt, und
wie man mittelst derselben, also ganz ohne sphärische Trigono-
metrie, auch zu der obigen Grundformel 1), aus welcher alle.
Auflösungen unseres Problems abgeleitet werden müssen, gelan-
gen kann, was in der That auch der eigentliche Grund Ist,
welcher mich veranlasst hat, die obige Construction hier zu ent-
wickeln. Der Kürze wegen werde ich im Folgenden die Sinus
der scheinbaren und wahren H5hen durch $, s^ und s*y Si , die

CMidM dittMr Bdheo d«rok e» et dnd &, et' hkuMnMkg iü Obl-
gen aibo

Mtieii; auch werde ich die beides eiie dem Obigen beieuinfee
Linien SSi und S'Si* reepective dorch a und o' bexeichtteo.

Diee Yoruwgeitotst» heben «rif neeb deoi OMgea anvdrderet
mr.Beieehmmg fon a die folgende Formeit .

a=V4einl^--(f~#^)«

Die beiden l>reiedce SCSi und S'GSJf', deiM ScMen C9:se,
CSTi =^1 , 55i ==:tf ond CT^^, CS^'^^e^ V V'Si'siiar eind» bAbee
den Winkel bei C, welchen wir dnrch ß «elhlf KeneielHfett wel«
len, gemein; daher int nacfc einer bekamrtett' Formel dei* ■ebeneii
iVigoftometrie:

woraus sich die Gleichung

CCi c'Ci' • •

ergiebt« welche sogleich zu der Formel

oder zu der Formel

«^-7^^ + ^t "^ — *

oder^ wie man leicht fiodet, zu der Formel

_ C'C, ' (gC^-CiCiO(CCi^— C|CO

CCj CC?|

führt. Setzen wir nun

WQ ^c end Jci der Null «ehr nahe homeieade GtSssen rihHl» ao int

also

MatuUUsUunm, fibr mauäscAe LeMransimiien. 487

oder

o-«

folglich

••=V ^■"'+<««-«.'.')(f -f')-

mittelst welcher Formel sich af berechnen lässt« wobei man zu
bemerken hat, dass der absolute Werth der Grosse

immer sehr klein ist.

Endlich hat man nun die Formel

a'«=4siniz/'«— (*'-*, 0*,
woraus

sin i^f' = iVa'«+(«'— *iÖ^
folgt

Daher sind die Formeln zur Berechnung von J' die folgenden:

a •=V48ini^— (*-*i)«.

,6, I «-V $"H(cc--«.c.l(f-f').

l sin 4z/' = 4 V"«'a+(«' — *iT ;

und diese Formeln sind bloss durch Anwendung der ebenen Tri-
gonometrie gewonnen worden.

Durch Einftihrung von ein Paar Hülfswinkeln u und v kann
man diese Formeln zur logarithmischen Rechnung bequemer ei»«
richten; sie erhalten dann die folgende nicht unelegante Form«
wobei es übrigens naturlich nicht meine Absicht sein kann, diese
Formeln zum wirklichen praktischen Gebrauche zu empfehlen , in-
dem die hier von mir angestellten Betrachtungen eigentlich nuf
den Zweck haben, als lehnreiche mathematische Uebungen bei*m
Unterrichte zu dienen :

ita-f^

Grünere l'eber öle Reductlmt dfr
= 2»»ä\j' " — ^sini^cosM =-{*-»,) cot»;

.„ . ..=.fS^^*^_5)c^.Ä).

1 lai>f.=i-ja-. .I.M'=»«*~«=)t)f-»i')'
NlfaarangmlM Uop mn Mab MtM«!

Biso:

Ans den vorhergehen den Fomidn wnllen viir nun tiocli <li«
Grundrnrniel I) ahleiteit. Weil

= 4sini^-(j-«,)'

2cc,

also, weil f^ + c'^l, »,» + c,*=:l ist

-2sink^— ,

cos C= —

B^

CC|

und folglich, weil bekanntlich co8^=l — ^sin^^ ist:

COK C= -

Ganz anf ähnliche Art ist v

n'*=48iDM'»— (»'—»,')■, cosC=
also gans wi« vorher :

cos^ — t'si'

<:oflC =

c'c,'

Daher iat

coB^ — M| __ coaJ'-^t'ii

MonddiMtanzen, für nautische Lehrmuiaiiin. 48B

folglich, wenn man für s, e; s^^ Cj und s* , c'; Si', e^ ibre be-
kannten Werthe aus dem Obigen einführt:

cos/i — sinAsinAi cos-^' — sinA'sinAi'
cos A cos ^1 cosÄ'cosAi'

welches die zu beweisende Fundamental -Gleichung 1) ist.

Scblussbemerkung.

Die Formel

cosA'cosAi' , sin(Ä — Ä')sin(Äi +ÄiO

cos ^f ' = 1 T- cos A — — - — 3 7 z --

cosAcosAx icosAcosAi

sin(Ai— V)sin(A+AO
2cosAcosA|

kann man auch in die folgende leicht zu behaltende Regel fassen:

1. Mit dem Producte derCosinus der scheinbaren
Hoben dividire man in das Product der Cosinus der
wahren Höben und niultiplicire den Quotienten mit dem
Cosinus der scheinbaren Distanz.

n. Das Product des Sinus der Differenz jeder
scheinbaren und der entsprechenden wahren Höhe» in-
dem man die letztere von der ersteren abzieht» und des
Sinus der Summe der anderen scheinbaren und ent-
sprechenden wahren Höhe dividire m'an durch das dop-
pelte Product der Cosinus der scheinbaren Höhen.

UI. Die beiden durch H. erhaltenen Grössen sub-
trahire*) man von der durch I. erhaltenen Grösse» so
ist die Differenz der Cosinus der wahren Distanz.

*) Natnrlich mit dem gehörigen Zeichen oder Migebraisch.

Thell XXIV. 33

4tO SeärMm am M&rm Prof. Jmme9 F. B$pw «• Vütftlsf «m

%. %.\\%

Schreiben des Herrn Professor JamesF« Bspj in
Washing^ton an. Herrn Doctoc J* G. FlAgel, ame-
rikanisGhen Gonsnl in lieipsig*). .

WashiDgtoo, Gity« April aO., I8B5.

■ • ■ ■ '
Dear Sir!

The many Und expressions in yonr letters tq jue, i hope:, iii
M|do|[ yoa to confer an otber favor on me, and tbofi a^d one more
to the many which J have already recd^ed aft yosr banda^^ ivill
be my snfBcient apology.

Tou are probably aware, that Redfield, Reid, Piddington and
Thom have all advocated the doctrine, that the great burricanes
of the East and West Indies are wbiriwinds — and tbat J bave
ezamlned many of tbß sam^ storms whiyb they say are wbirlvFinds,
and find^ as annouaced in my Pbilosophy of Storms, tbat they
are all like the great storms of the United States, in this respect,
tbat the wind in the borders of the storm blows in towards the centre.

Now J wish that the same storms, which have been exami-
ned botb by these gentlemen and me, be ezamined again by as
many of the savans of Europe as can be induced to undertake the
task, either as a favor to you or tö me, or for the sake of pro-
moting the true interests of science.

J feel very gratefui for the good opinion of my labors, which
your numerous correspondents have so kindly expressed; and as

*) Ich erlaube mir alle Meteorologen und Nantiker auf den obigen
hochct interessanten Brief des Herrn Professor James P. £spy in Was-
hington besonders aufmerksam zu machen, und wünsche sehr, dasa der-
selbe in einem recht weiten Kreise bekannt werden möge. G.

4m Herrn Dr. J, G. Flug ei, amerikan, Consui in Leipzig, 491

it is.highly important, that the truth shonld be established and
acknowledged on this sabject, J respectfully ask you to solicit
the attention of the most distinguished nieteorologists among your
correspondents to the subject. The storms, which J wish them
to examine, and report upon^ are: those of Redfield« Reid and
Piddington ^ which are contained in my ^,Philosophy of Storms'^
froni page 188 to page 277. The data for the examination of these
storms, are there copied from the authors themsel^es; and if the
gentlemefi« of whom you may ask this favor for me, can do no
more than examine the charts in my work with the data there
given« and testify as to the correctness of my deductions, in a
review of the work, it will do much good to the cause of science,
and in a practica! point of view, it will be the means of saving
roany lives and many ships at sea.

Dr. Thom says , that the storms of the Indian Ocean , which
he. bas examined, take place between the N. W. roonsoon and the
S. E. trade wind, baving their northern side in the Monsoon and
their southern side in the Trade; and if so, it is highly probable,
that the inward motion of the wind will not be direct, but Spiral,
as he says it is. He acknowledges there is an upward motion
in the central regions.

J find by caiculation, that it would require 2.600000 tuns of
coal to evaporate the water which feil on each Square mile, on
which 4 inch deep of rain feil, and Thom says from 8 to 10 inches
fall on Mauritius in one of these hurricanes. Now the same quan-
tity of latent caloric was received by the air in the region of the
clood as it would receive by burning all this amount of coal at
the surface of the earth in the same time that the vapor was con-
densing: and the same velocity of up-moving öurrent would be
prodoced in the one case as in the other, nearly.

It is impossible to conceive of any means to produce th'is great
condensation of vapor in so short a time, but the cooling process
of expansion from the diminishing pressure of an upward motion,
equai to about 130^ Fabr., at the height of the top of the cloud,
where, J find by my experiments, detaiied in my Tbird Report
on Meteorology to the Secretary of the Navy, the barometer would
have fallen about 24 inches.

I remain

Hon. My Dear Sir

J. G. Flügel Your obliged friend

Leipzig. James P. Espy.

p«r whr gritndlichs AnbsU'Nr. XXXI. in diesem Hefte vixi
Btfrn ProfeMOr Dr, Lenacb in Lemberg illier die aus der
axeentrischen Aufstellung des MesetUches enistebenden Fehler,
^elfbm der venhrte Herr Verfasser 8. 437. mit den folgenden
wehr *n btibenlgenito Wortan, dl« ich in ihrem ;;anzeii Cmraage
Mrtersclireibfl , schliesat:

HNach divBvr pars teil u Dg also hat selbst eine kleine
Bxcaotricitftt in jeder Hinsicht einen nachtfaeiligen Ein-
ria«« auf da« Resultat der Messung, die fefalerharie
OrientiriMiK des Messtis'bbes jetlnch, welche eine un-
««•bleiblicne Folge der excentrischen Aofstellung ist,
kftite ich für den grSssten dieser Fehler"
Temnlasst mich, den Praktikern von Neuem die Methode lu
«mpfehlen. nelche icfa Im Archiv ThI. XVI. Nr. Ili. S. 30. zur
richtigen centriacfaen Aufstellung des Messtiscbes angegeben habe,
weil ich diese Methode, welche nur eine centrUche Drehung iles
Tisch b lattes , kfine besondere künstlicbe Einrichtung desselben
xar seitlichen Verschiebung u. dergl. voraust^etzt, für so einlach,
elegant und genau halte, dass sie, wenigstens fti r mich,
nichts zu wünschen fibrig liisst, wobei ich ausdrilcklich noch her-
vorhebe, dass diese Methode immer die genaue Auf-
stellung des auf dem Tische bezeichn-eteD Punktes
tiber dem gegebenen Punkte, auf dem Erdhodsn und
die genaue Orientirung dea Tisches Knifleteb giebt.

Der Herausgeber.

TheilXXir. Heftl.S. 114. Z. II. nmia et »UtU !i'+aaji'+3a'p = P

*>,

1

. I

/

meil.

J

m

ßpuJieri:.

/ '

V t

■■ V

*

i

Ulerarischer Bericht XCIfL

Literarischer Bericht

XCIII.

Allgemeine Grössenlehre.

Ueber den Begriff des Stetigen und seine Bezie*
bungen zum Caicul. Eine Rede, am 14. Novbr. 1853 in
der öffentlichen Sitzung der Kün. Sächsischen Gesell-
schaft der Wissenschaften zu Leipzig gehalten von
W. Drobisch.

Wir empfehlen die in dieser Rede in sehr würdiger Sprache •
angestellten allgemeinen Betrachtungen über einen sowohl für die
Geometrie, als auch für die neuere strenge Darstellung der mathe-
matischen x\nalysis so wichtigen Gegenstand der Beachtung uo-
serer Leser recht sehr.

Arithmetik.

Anleitung zum Gebrauch des Rechenschiebers (Sli-
ding-rule — R^gleä Caicul). Bearbeitet von G. Ho ff mann.
Zweite Auflage. Berlin. Gärtner. 1854. 8.

,Die Schrift des trefflichen, der Wissenschaft leider zu früh
entrissenen Schulz von Strasznicki zu Wien über den eng-
lischen Rechenschieber ist in einer früheren Nummer des Literar.
Ber. angezeigt worden. Neben derselben verdient die vorliegende
Schrift wegen ihrer praktischen Deutlichkeit genannt zu werden.

Die Differential- und Integralrechnung und deren
Adw^d^^ui^.&i ^uf die Geometrie in der Ebene^ yon Dr.
Tbl. XXIV. Hft. 1. j

EdmuDd Külp» Professor der Physik und Mathematik
an der höheren Gewerbschule zu Darmstadt. Abth. 1.
and II. Darmstadt Leske. 1854. 8.

Dieses ziemlich auslährliche Lehrbuch der Differential- und
Integralrechnung schliesst in sehr lobenswerther und rObmIicher
Weise sich ganz den neueren strengen Ansichten Ober die alleiii
richtige Darstellung der genannten Wissenschaften an, nad
liefert den sehr erfreulichen Beweis , dass diese Ansichten auch
in Deutschland Immer mehr und mehr Boden gewinn^. FreiBeh
ist leider ii neoferet imd ineu«iit#r telt die deiMBftj^|i|a|hematbcbe
Literatur noch mit einigen Werken Ober die Differential- und h-
tegralrechnung yerunziert worcte^ tvielcbe diese herrliebe» in ihrar
ganzen inneren Gliederung an sich so einfache, und, bei wahrer
Kenntniss ihres Wesens, eine so reiche und so ungemein leichte
Anwendung auf alle möglichen GegenstSnde des Gebiets der SSabl
und des Raums, vnd der Naiar aiiweadl»ai«ii Wiasenscbaften nodi
in ein Gewand kleiden, das, wohin man nur den Blick wendet,
lileMi als Unkfailieit, Utfribbtl|^eit, ja kht uttd ^iedcrr MgM Wiik-
Heheti üJnäAnn, erkennen läsat, «md rlleksiditIM - ihre¥' VMhlMr
Jib bedaoeHlehe Gvbeneugvmg enMrfinift, ^ dtss 'dleiMMi»ii, %^aft
%0at gtnsser AnmattSMng^ dMh nodi tAdht itu' #ili6fr aMh niir ilsi*
germaassen klaren Idee von dem Wesen und der -iMMtüMg der
sogenannten höheren Aqalysis gelangt sind. LSsst man nun aud
solche Leute, geleitet von dem alten Sprächworte, daSs man einen
Mohren niemals weiss waschen kann, gern laufen: so kann und darf dies
doch nicht hindern, in einer Zeitschrift, wie die vorliegende. Bucher von
der vorher bezeichneten Art für im höchsten Grade verwerflich, schäd-
lich und der mathematischen Literatur unwürdig zu erklären, und
zwar namentlich desh alb , w«il sie den Kopf des Anfangers, der un-
glücklicherweise in ihre Hände fallt, mit Dingen verwirren und ver-
düstern, die er doch einmal als miserabein Plunder wieder in einen
mit Spinnweben überzogenen Winkel werfen inuss, um dann von
Neuem anfangen zu lernen. AulTallend ist es nur, wie in Deutsch-
land solche eJende Machwerke immer noch Verleger finden könneiw
Das ist in Frankreich ganz anders. Da sieht man jetzt durchgän-
gig solche Darstellungsweisen als etwas Abgethanes, irgend eine
Berechtignag auf Berücksichtigung nicht im Entferntesten noch
beansprochen Dürfendes an, und alle jetzt dort ersebeinenien
Werke sind mit der »Strenge, Deutlichkeit und Durchsichtigkeit
der neuen Darstelinngsweise verfasst. Wir kennen hier An-
fänger nur vor solchen Büchern, wie die Torher IM
Allgemeinen bezeichneten, dringend warnen; die Rene
wird bei Jedem, wer Sinn für wahre Mathematik besitzt,
aiMr das UngJück hatte, in ihren Abgrnnd a« fallen.

Uier atischer Berieht XCIU. a

kommen, wenn auch zuweilen vielleicht erst spät; sie
wird aber dann um so bitterer sein! Je widerwärtiger ans
gerade in neuester Zeit manche Erscheinungen auf dem Gebiete
der höheren AnaJygsis in der angedeuteten Weise ei»tgegengetreten
^iüd: desto mehr haben wir uns, wie schon gesagt, über das vor-
liegende ßnch gefreu't Glücklich sind die Schüler der höheren
Gewerbschule in Darmstadt, wenn ihnen gleich vom Anfange an
ein solcher Unterricht in der höheren Analysis zu Theil wird;
und dass der Unterricht in dieser Weise erf heilt wird und er-
tbeilt werden kann, liefert einen neuen Beweis von der Vortreff-
liehkeit dieser Lehranstalt, besonders mit Rücksicht auf die von
derselben zunächst verfolgte praktisehe Tendenz.

Wir ghiuben hiermit im Allgemeinen genug über den Geist
gesagt zu haben, in welchem das vorliegende empfehlenswertbe
Baeb verfasst ist, müs.sen nun aber auch notch die VoUstäsdigkeit
hervorheben, welche es in mehreren Partieen auszeichnet Dass
der Taylor 'sehen und Maclaur in' sehen Reihe mit gehöriger Be«
riSeksichtigung der Reste eine strenge Entwickelui^ au Theil ge*
worden ist, und dasis diese- Reste bei der Entwiekelung der Funo*
tieiien In Reihen, in der Lehre von den Maximis vnd Minirois,
«. 8. w. fortwährend Anweiklung gefunden haben, versteht sich nach
den obigen einleitenden Bemerkungen von selbst. Ausserdem ha«
ben aber auch die bekannten allgemeinen Sätze Cauchy's über
die Relhenentwickelung gebührende Berücksichtigung gefunden»
so wie in der Integralrechnung der Integral-Logarithmus, die Feu«.
rrer'scben Reihen, die Gamma-Functionen, die EuLer'soheB Iq*.
tegrale, die elliptischen Functionen, und manches Andere, yf%tk
man in Werken von gleichem Umfange nicht findet. Dass auch
die Anwendung auf die Geometrie, wenn auch in beschränkterem
Umfange, Beachtung gefunden hat, sagt schon der Titel.

Unter allen in neuester Zeit in nicht geringer Anzahl er-
schienenen Lehrbüchern der Differentialrechnung oder auch der
Differential- und Integralrechnung können wir nur das vorliegende
Werk zu weiterer Beachtung empfehlen, natürlich bei freudigster.
Anerkennung des Werthes mancher früher erschienener verdienst-
licher Werke, die auch das Archiv nie mit Stillschweigen vat über-
gehen sich erlaubt hat, wie es bei jSkhriften von der oben näher
bezeichneten Gattung — unter gelegentlicher allgemeiner HinweW
snng auf dieselben , wie z. B. oben geschehen — zu thiia für das
Beste hält.

Uterarhcner BeiUhl XCIIJ.

Geometrie.

^'Lehrbuch der elementaren Stereometrie um! dai-
«teltenden Geometrie, 2um Gebrauche beim Cnlerrichl
In Geiverbsschulen, Gymnasien ii. s. w. von Or. Adura
Welse, Professor der höheren Mathematik und Physik
an der kgl. po lytcch nlschen Schule zuNurnberg. Ans-
bach. (Gummi). 1831. 8.

Dieses Lehrbui'h der .Stereometrie gehurt za den ausfiibrüche-
reo Lehrbuchern dieser Wissenschaft und verdient deshalb zur
Geachluiig empl'ohlen zu »erden. Besondere Sorgfalt hat der Herr
Verfasser zunächst auf die Darstellung der Lehre von der Lage
der Linien und Ebenen im Itaume, welche ausrührliclier aU ia
vielen anderen Lehrbüchern und tbeilneise in eigen thümlicber
Weise behandelt norden ist, verwandt. Eben so sorgl^ltig ist
anch dieLefare von der Berechnung der Kürpcr dargestellt, welche
zugleich eine ziemliche Anzahl von Ault;aben enthält, und daher
den Lehrern zweckmässigen und reichhaltigen Sloff zu Cebungs-
aufgabeo durbieten wird. Der Obelisk ist dabei nicht unberück-
sichtigt geblieben, und auch über die Berechnung der Kürperräume
durch Näherung ist Einiges beigebracht, so wie auch die Berech-
nnng des, z. B. in der Forstwissenschaft, jiraktiscb mehrfach wich-
tigen Holalians-P.iraboloides gelehrt worden ist. Aufgefallen ist
«g-vnsj dass ^as Buler'scbe Theorem von den Polyedern und
die daraus zu ziehenden schünen Folgerungen ganx fehlen. Das«
derUerr Verfasser endlich auch die bauptsäcMichsten Urkodlebreo
der descriptiven Geometrie in sein Bach aufgeHominen hat, ver-
dient noch besondere Anerkennung.

Wir wiederholen, dass wir dieses Buch hauptsächlich wegeo
der vielen darin vurkoramenden zweckmässigen stereometrischen
Uebuogsaufgafaen und numerischen Beispiele, aficlt mancher sehr
nfltzlichjer praktischer Notizen wegen, Lehrern an höheren Lehr-
anstalten, namentlich an Realschulen, zur Beachtung empfehlen.

- Neue Zusfitse cum Florentiner Problem. Von W.
Diohiseh, Professor an der Universität zu Leipzig.
Ana den BerichteB der Kön. Sachs. Gesellschaft der
Wissenschaften. Malhematisch-pbysiscbe: Clause. 18.
März 1894 besonders abgedruckt.

Die frühere .Abhandlung des Herrn Verfassers über das FId-
renliner Problem ist mit gebflbrendem Lobe im Literar. Ber. Nro.

fjierariicher BeridU XCm.

5

LXXII. S. 915. angezeigt. Ueber den Inhalt dieser neuen, jeden-
falls in ganz gleicher Weise der Beachtung der lieser des Archivs
zu empfehlenden Abhandlung, spricht sich der Herr Verf. S« 14.
auf folgende Art aus: „Unser geehrter College, Herr d'Al'rest,
hat vor einiger Zeit die interessante Bemierknng veroffentliciht*),
dass auch die gemeine oder Bernoulli'sche Lemnisöata zu den
ebenen Curven gehört, welche das Florentiner Problem lösen, und
zwar insofern, als diese Linien eiiie stereographische Projection
der sphärischen Sehleifenlinie ist, welche, nach Viviani's Auf-
lösung seines Problems, die ovalen Oeffnungen in der Kugelfläche,,
um die es sieb handelt, begrenzt. ^Später hat Herr d' Arrest,
was ich seiner Privatmittheilnng verdanke, gefunden, dass auch
die Cassini' sehe Curve, von der bekanntlich die Lemniscata ein
specieller Fall ist, sich als stereographische Projection einer sphä-
rischen CurvB, nämlich der durch die Gleichung cos'if;=mcos9
gegebenen, wo q> und if; rechtwinklige sphärische Coordinaten be^;
deuten, darstellen lässt. Diese Sätze haben mich veranlasst, nicht
nur weiter zu untersuchen, auf welche ebene Curven die stereo-
graphischen Projectionen der sphärischen Curven sin tf;=mcos^
und ijf; = 77197, durch welche, nach Jacob Bernoulli, das Fioren-
tiner Problem gelöst wird, führen, sondern auch ihre orthographi- ,
scben Projectionen allgemeiner zu erörtern als es in meiner frö-'
heren Abbandhing geschehen ist, und endlich noch die centralen
Projectionen dieser Curven in Betrachtung zu ziehen. Dieselbe
Untersuchung kann ohne Schwierigkeiten auch auf die Leibniz'-
sche Auflösung durch die sphärische Curve sin 1/; =: 1 — m sin 9
ausgedehnt werden; sie fuhrt aber grösstentheils zu verwickelten
Ergebnissen, die, da hier das Interesse hauptsächlich von der Ein-
fachheit der Resultate abhängt, wohl übergangen werden durften.'^

Wir können den Lesern versichern, dass ihnen diese neuen
Zusätze zum Florentiner Problem eine nicht weniger interessante
und lehrreiche Leetüre gewähren werden wie die früheren, und
erlauben uns, noch besonders auf die wegen der Beziehung zu
den elliptischen Functionen der dritten Art besonders interessante
Nummer 7 hinzuweisen, weil uns nicht bekannt ist, dass diese
Functionen bis jetzt in ähnlicher Weise wie die der ersten und
zweiten Art durch Curvenbög^ dargestellt worden wären.

*) Mitgetheilt an« den astronomischen Nachrichten Nr, 875. Im Ax^^
chiv ThI.XXIl. S. 225.

' t

uterarticher BerIcJU Sein.

».II Theoretische Mechiinik.

Theorie der Nt&tik gegründet auT die Priocipie
dsT Dynamik von Zerniko», Lehrer an der KuDigl. Pri
viDztal - GetrerbeBchule zu CrTurL Erfurt. Villare
1854. 8.

Was diese kleine Schrifit beEweckl, spricht ihr Titel mit hii
reichetider Deutlichkeit ans. Wir sind \nn je her der Meinur
geivesen, dasa die Lehren der Statik auch anf rein atatischenl
Wege hegrütidet iverden müssen, namenllich ttei dem erste;
lerrichte. Jede andere Darstpllnn^sweise, n-enn nir sie auci
neswc^s für unmüglirh, ja bei einer ajlijemeineii Darstellung dei
gesainmten Mechanik im weitesten (Jmrange, — im Grossen
(ianzen — für recht (urderlich halten, nimmt der Statik an i
aU eine selbstsländlge Wissenschart belraehfcf, ibreo nchSfiett
synlhetiäch- oder aiialyliscb-^eomelrisL'hen Charakter, und b<
eiflir&chtigt die ungemeine "Eleganz, die sich namentlich in diesi
Wissenscliaft, haD|>tHÜchlich auch in Bezug aiif strenge und vu.
lig erschöpfende systematische Darstellung, Cur tvelche kein»
andere mathematische Disciplin ein gleich lehrreiches Beispiel dari*'
bietet, erreichen ISsst, sehr, «eahalh wir die in dieser Schrift
folgte Methode am wenigsten zu dem Gebiauche bei'm erste»
Unterrickte in der Statik empfehlen künneB.

Lehret'

Erfart'

Praktische Mechanik.

Theorie des Windatosses liebst Anwe
Windl'lfigel und Schiffssegel. Von Zerniko
an der Künigl. Provinzial - Gewerbeschule
Erfurt. Villaret. 185.1.

Es genügt uns, die Existenz dieser Schrift anzuzeigen. Wich*
tig genug ist ihr Gegenstand für die praktische Mechanik im All-
gNDcinen, und in Vcrbindnng mit der Theorie des WasserstossM
insbesondere für die Nautik, .^edeiifallst Weit aber neiss, wie ri«la
dergleichen Theorieen schon aufgestellt und n-ie grosse Mühe
Kosten namentlich in England, selbst von Privaten, schon au
wandt worden sind, um diesen wichli:ien Gegenstand eintgerniaassen
zum Abschluss 7m bringen, wird mit uns gewiss darin einverstait-
den sein, dass bei der jetzigen Lage der Sache über den grösse-
ren oder geringeren Werth einer solchen Theorie nur die zahl-

JieilJi/F

rafM.

^tim/^'.^&icAi,

UUrarf scher Berfekt XCfV,

■' ' ■> •■ .-il ..■••

■ / . .1 •

I .

Literarischer Bericht

xciv.

ii

it

Mathematische Bibliographie.

BibUothteca matbematica. Verzeichniss der Bücher
über die gesaramten Zweige der Mathematik, alsi
Arithmetik^ höhere Analysis, coastruirende und aiialy^
tisqhe,,Geainetrie, Mechanik, x\strononiie und Geodä-
sie, wel.che in Deutschland und. dem AusJande: vom
(fahre 1830 bis Mitte des Jahres 1854 erschienen sind.
Herausgegeben von L. A. Sohncke, weil. Professor der
JMathemaitik zu Uafle. Leipzig. Engelmann. 1824* Preis
2 Thir. 10 Ngr.

Diese Bibliotheca mathematica schliesst sich an J. Ro^g's
Handbuch der mathematischen Literatur. TübiVigen'.
1830. an, und scheint mit Vollständigkeit zweckmässige Einrich-
tung £u vereinigen.

Geschichte der Mathematik.

. ■ : ' , • .<■.■••■

Die Geschichte der buhereti Analysis. Von Dr. C»

J;. Getrh|ir4t. Erste Abtheilung. ' Die Entdeckung der

hüberen.Analysis. Halle. Schmidt. 1855. 8. IThln lOSgir.

Herr Dr. Gerhardt erwirbt sich durch diese Schrift eih
neues Verdienst um die Geschichte der Mathematik, indem er !h
derselben die erste, wirklich aus den irgend zugänglichen Quellen
geschöpfte Geschichte der höheren Analysis liefert. Diese ;erste
Abtheilung besteht aus den drei folgenden Haupttheilen: Der
Grundbegriff der höheren Analysis bis auf Leibniz und Nev^*
ton. — Die Entwickelung des Algorithmus der höhern Analysis
durch Leibniz. — Die Entwickelung der Fluxionsrechnung durch
Newton. — Hierzu kommen noch die folgenden Beilagen : 1. Ueber
die Entstehung und Ausbreitung des decadischen Zahlensystems.
U. 25. October 1675. Analysis Tetragonistica ex Centroburycis.
HL 11. Novbr. 1673. Methodi taDgeniinm inversae ezempla. —

Thl. XXIV. Hft. 2. 2

ttrernrlMltfr üfTlrtil XC/V.

IV. Nov. 1076. Caiculus langonliiim diffcrentialis. — V. II. Juliil677.
Methode generale pnur ineoer lee tnuchantes den Itgiies Cuurbu
sans calcut, et «ans roductinn des quaiitit^s irralionelles et roin-
pnes. — VI. Kleinentu calcitli novi pro differentiis et summiH, lan-
genlilms et qnadraturis, niaximis et niiiiimis, dnnenciionibue linea-
ritm, siiperßcieruni, Bolidomm, Btiiefjue commuiieiD calculnm tno-
sceiidentrliua. — Die Heilaijeti II. Iiis VI. , »ämnitlkb liandschrifl liebe
AHf»M7.e viin Leibniz, üirul 80 ahgedruckt, duss sie ein niügliihst
genaues Bild der Originale gelieii. — Den Verl'assern gewisser
ueuer Lelirliiicher der Differcntialreihnung mTichten »vir fDlgende,
uns ganz aus der Seele geiichriebene Stelle der Vorrede zu die-
nern sehr verdienstlichen Üuche zur Beht^rzigung entgegenhalleri:
„ Dies Alles" — ngmlioh viele olierlljichlicbe, auf unsicherem Grunde
ruhende, von dem wahren Geiste der grosuen EfOnder eich ganz
und gar entrernende, nam«tillich den Anlänger vollständig ver-
ivirrende Darstellungen der Difiereiilialreehnuiig, wie sie leidet
selbst in neuester Zeit Kieb in einigen Lehrbüchern wieder breit
KU machen gesucht haben — „wäre vermieden worden, wenn nun
die historische Rnlwjckelung der hüheren Analysis verfolgt bitte;
ninn würde alsdann in den Untersuchungen der grief^hischen Ueo-
meter aus dem Bereich der hüheren GeiimelHe den Gruodbegrif
gefunden und durch Zusanmienfassen der einzelnen Fälle, in wel-
chen derselbe erscheint, ihn so verallgemeinert haben, wie ea die
Begründung der höheren Analysis verlangt. Erst in neuerer Zeit
haben theoretische Oiilersucbungen zu der Uelierzeugiing geführt
das» eben dieser Begriff der Granze das atleiuige
sichere Fundament für die gesainmte höhere Analysis
bildet; die Stimmen indess sind noch nicht zum Schweigen
gebracht "), welche meinen, dieser Begriff sei zu dunkel und für
diejenigen, welche das Studium der höheren IVIalhemulik beginnen,
EU schwierig**). Cm auch diesen Vorwurf, den einzig haltbaren,
der noch von den Gegnern iler Gränzmetbode erhoben wird, grünif-
licb üu beseitigen, dürfte die geschichtliche Darstellung am rech-
ten Orto sein, in der gezeigt wird, wie die höhere Analysis eot-

') Winl aber arhnn Rparhelicn, denn in der ItlatTicmatil, wit über-
all, giEbl e» nur eine Wabrheii, <tic «ii-h ilorh nm ü'nde TolUtändig
Bahn bricht; riai Afrbit wird ftewii« das S«inij|'e wie biaber Bu«h fef-
■erhia redlich Ihlin , den Zci(|iiinlit, wn jene Sltminen ganz luni Schwei-
gen gebracht leiD werden, niriji^lirhat bald herbe iiii führen.

") Wir meinen; nur tu rinnltcl onit xu Bchnlerig fär die aiathe-
Dnti<chenKi>|ife der Verfasser der im Ohigen nnher beieieb-
nelen Lahrhücher der büheren AnulviiiB, keiiicawe{;a für bei'm Unter-
richlo richtig nnd vw^läMlig- ^deitele Anfänger ron gfeHuadem Venluidt

j%eiiiny.

i.

TbfM,

^

Fv^.

//

Gruneri:

^

j^sm

If4 Uttrarheher Bericht ACIV.

r, Mchkeit verrMste? seht deullichee Lehrbocli der ebenen Geometrie,
|k«elL-hea (iberall bekundet, wie genau iler Herr Verfasser das Be-
IpidttTrniss und dfls Wesen des ersten ei ■rentlichen ^omelrischcn
K'XlnIcrrii-hls kennt, iiikI deshtilli aticb eine grnsse Anzahl sehr
■SWockniHnsißfr, oii die Knaben zu richtender Fracieii enthält. Dass
r,)» ein«m xtt >^r>k-hein Ktve.ke verranoteri Buche namentlich in den
R'IPraiE'in auf den {iruklisclipn (iebrauth der Gennietrie Rilcksicht
I piüiftiiinipn wiii'iten idt, klrnnen tvir nur in jeder Beziehung billigen,
r ^id i>ni]irelileH <liiher dieses Büchlein zu weiterer Beachtun:;. Es
r lumtmun darin uuih »elbst manche interesnante Uini^e vnr, die Atta
P'Berrn Verlaseer eigontbfimlich zu sein scheinen, z. B. die Ver-
I wuridliing ein»-« Rechtecks in ein Quadrat auTS, 76-, wo der Herr
[ VerfaHtter eine von der geuribnlichen ahiieichende Anflüsung die-
I ■or AuTgiibe gielit, die sich l'iir den Unterricht sehr eignet. Uns
K wenigstens ist diese AuTliisung bis jetzt unbekannt getresen.

I . A xonometrische Projectioncn der wichtigsten geo> i
BKetrischen Flüchen. V orlegeblittter für die beschiel-
^bende Geometrie, zugleich als Cntaloi; einer Modell-

rimmlung von liorpern, die nach den vorsenannten
rojectionon ausnelührt norden sind. Von Ferdinand
r Bugel- Mit IX. Fisurentafeln. Vorwort von Dr. .loa-
L.«himsthal, Professor der Universilüt Halle. Berlin.
' Müller. 4. 2 Thlr. 20 Nffr.

Diese sehr sauber ausgeführten Projectioncn der n-ichtigs^ett
Flächen ^iikd allerdiogs ein geeignetes Mittel^ utp d^m Vnterfichle
ii(, der |I^heorie der Flächen eine griissere Anschaulichkeit, zu geben,

Jnd v.efdJenQQ (leshajb empfohlen zu werden- i[Die dargestellten
lieben sind folgende: Fresnel's WellenQSche för zneiaxige
B^rystalle. Das dreiaxige EtlipSQid mit zwei KreisschniUen. Das
Ellipsoid mit i<einen Krtimmungscurven. Das zweie^haligf Hypef'
boloid. Dieselbe Fläche mit ihren Krümniungscurven. Das ein-
schalige Hyperboloid mit zivei Kreisschnilt&n. Dieselbe Fläche
mit ihren Krümmungscurven. Das elliptische Paralioloid mit zw«
KreU schnitten. Dieselbe Flache mit ihren Krümmungscurven. Hy-
perbolisches Parabninid- Dieselbe Fläche mit ihren Krümmungs-
curven. Geratier elliptischer Kegel mit zivei Kr<eissc,hnitten. Die-
selbe Fläche mit ihren Krümmungslinien- Gerader, ^reiskegcl mit
seinem Scheilelkegel und drei Durchschnitlen.j Schiefer KCreis-
kegel mit vier Durchschnitten, Verbindung einer Kugel und eine«
geraden elliptischen Kegel. Ein Körper, begränzt von zwei Qua-
dratsn and vier windschiefen Ebenen. Ein KDrper, begrSnzt vod
einem Quadrate und einer windscbiefen Ebene; ParallelepipedoBi
durah eine windschiefe Eb«ne in zvret «ngleichS'Xbetl» gelboill.

fJierarfscAfr Bericht XÜlt *

Gerade SchraubenflScfie. Schiefe SchraubenflSche. Allgemeine
SchTanbenfläche. Abwic bei bare Schraubeniliiche. Dieselbe Fläcbe
mit ihren Krilmniunzsliiiien. ViergSngige Schraube nebst Mutter-;
Fünfgängig« Schraube nebst Mutter. Windschiele Fläche. Wind.,
schiefe Fläche; elMptUcher Keil. WindschiePe Fläche; . balliert
kreisrürmi;!er Keil. Xwe.\ abnickelbAre Flächen. SchlangeiiHir^
miger Körper. RingfürmiRer Kürper. Sphärische Curve mit Ihrqr
Pnlurcurve. Kugel mit vier griissten Kreisen. Kiigeldreieck mit
seinem Hymnietrigcbeii und Polardreieck. Verbindung von TüDr
Würfeln.

Vermischte Schriften,

Wi.

Sit^ungsbe,
chaftei

I Wi<

(S. Llten

Akademie deü
ler. Nr. XCI.S.6.>

JahrgaiiR 18S4. XII. Band. S.Heft. S. 727. Rochlfln
der:' Ueber dieCon.ititutiuii der urgunischeii Verbintluiigen. II. AM
theilung. — S. 7.^. Haidiugerr Eiuige neuere Ansichten übm
die INatur der Polarisati<)nsbüscheI. — S. 771. Lieben: Uebec
die Ursache de>i pllil/.lichen Erütarrens übersüttigter SalzIr>s<ingeA
unter gewissen lJm''tÜMden. ~ S. 783. Cirailich: BeitraK hue
Theorie der jreiuischten Farben. (Sehr beacbtensiverlh.) - S^ RiTj
Kreil: ßesnilate der magnetischen Beobachluugeu /u Praj«. — ;
S. DU. Oeltzen: Ergänzuiisen zur Histoire ccileäle frangaioe
und einliien anderen Sterncataloijen. — S. U35. Lichtenfels:

üeber die Theorie der linearen algebraischen (ileichungen.

S. lOU: Spitzer: üeher die Kriterien des Urßssten und KIein4
stell bei deu Problemen der Variatinnsrechnong.' (Zu snrsfaltigfti'
Beachtun- sehr zu empfehlen.) - S. 1071. Santiiii: Osserva/iorf
della II. ('nnieta dell' Anno 1854, apparsa verso la fine di MnrKi^
visibile ad occhjn nndo, falle neli' I. R. Osserratorio di Padova.
— S. 1074. Haidinger: Pleochroisnius einijjer Augile und Äm-
phibnle. -^ 8. 1085. Liehen: Zusatz zu dem Aufsätze: ücl.er
die Ursache des plützlicheu Erslarrens übersättigter Salzlösungen
unter gewissen Umstünden.

Jahrgang 18.54. Band XIII. I.Heft. S. 3. Haidin-
ger: Pleochrnisiuus an mehreren einasigen Kryslallen in neUer^ '
Zeit henbachlet. — S. 18. F'ritsch: Ergänzung der Belege für
eine seculäre -A^nJerung der Lufttemperatur, uachgeiriesen aus
vieli'ihrigen, an mehreren Orten angestellten Beobachtungen. —
S. 37. V. Littrow. Bemerkungen zu dert» folgenden , AnfsafM
über die Proximitäten der Bahnen der Planeten und Kometen. —
S. 38. Grunerl: Ueber die Proximitäten der Bahnen der Pta-
netpn und Kqmeton. — S. 201. ürailich: Beitrag, zur Theori« |
der gemi«(chten Farben. Fortsetzung;. (Sehr beachtenstverth.) -*•
S. 3()6. Haidinger: Pleocbroismus an einigen zweiaxigen Kry-
Bfotlen. in neuerer Zeit beobachtet. — S. 332. Petrina: Bei-
trage zur Physik. Fortsetzung.

ß Uterarttcher Bertc/it XCIV.

Jahrgang 1854. Band XIII. 2. H«rt. S. 357. Carlini}
Sülle nroprietä detle funzinni iLlgebricbo.conjucate (con una tavolai«
— S. 40U. Petzval: üeber Sie Fortsehritle der Pholof-rapfaia
in Wien. — S. 410. GraiÜch und Peltürek: Das Skierometer
ein AjJ]iarüt zur geniiueren IVIeoRime der HSrIe der Kryslalle. —
S. 5'i7. Pierre: BeilrSt>e zur Tlieorie der Gaugain'schen TanJ
gentenltniiiisole. — S. 617. Uellzen: Nachtveis de« VorknnUDent
von Sternen aus den Argelander'schen nürdlichen Zonen '
anderen Quellen.

I

Preisaufgabe der Kaiserlichen Akademie der Wissen-
schaften zu Wien.

Eine der fiihlbar§teii Lücken unserer ^egennürtigeii astrono-
mischen Kenntnisse \nl der Mun^fel irüeiid umrasnender Hellig'
keiteniessungen von Fixsternen. So sehr verdienstlich die bishe-
rigen Leistungen dieser Art, besonders von Argelander, danii'
von Heis ». A. sind, so klinnen dieselben doch, da sie lediglicb'
auf Schätzuti^ren mit freiem Auge henihcn, nur als Vorarheite^i
betrachtet werden. Sn lan^ aber el»enllicb pLotonielrisehe Be-^
stimmanE^en in ttriisaerer Anzahl fehlen, ist z. B. iveder an Trdlig
gendgende Sternkarlen, nnch an fienauere Be'>hachtun!> der Licht-
verhültiiisse von eopenannten Veränderlichen zu denken. Da ntin-
andererseits durch die Arbeiten von StcinhetI, J. Herschel,
Dawes etc. der Weg zu solchen UntersuphunRen völlig ange^
bahnt ist, so findet sich die Kaiserliche Akademie veranlasitt;
folgende Preisfrage anszuschreihen:

photomel
eher Aiio
heutigen
schritt ei

sehe

irlichst I

ihln

.■igl

Xst

I lief.

teri

■in bedeutender Fort-

Preis: Dreihundert Strick k. k. Üsterreichische Münzdiicaten.
Termin der Einsendung: 31. December IBSä. Die Ertbeilung
des Preises erfolgt am 30. Alai 1)^7.

Preisaufgaben der physikalischen Gesellschallt zu Berlin.

Ein Freund der Naturivissenschaft bat der physikalischen Ge-
sellschaft die Mittel verliehen, hei Gelegenheit der Feier ihres
zehnjährigen Bestehens, folgende Preise auszuschreiben:

I. Z>vei kleinere Preise von je Einhundert Thaler Gold
sollen durch einen vom Vorstande der Gesellschaft gewählten
Ausschuiss

o) Der besten Arbeil auH dem Gebiete der mathematischen
Physik, und

UierarUcher Betichi XCIV. 7

b) Der bestien Arbeit ans dem Gebiete der Eixperimental-
Phyaik

zuerkannt werden, welche im Jahr 1855 entweder als selbstHh*
dige Schrift oder in dem entsprechenden Jahrgang einer Zeit- oder
Gesellschaftsschrirt gedruckt, bU zum 1. April des Jahres, 1856
zur Bewerbung eingesandt sind.

Zu dieser Bewerbung werden, der Absicht des Gebers gemäss,
vorzugsweise solche jfingere deutsche Physiker eingeladen»
deren Arbeiten durch die Gewinnung eines di|<E?ser Preise in wütn^
lieber Weise gefördert werden können.

Die rootivirte Zuerkennung der Preise erfolgt öffentlich in der
ersten Sitzung der Gesellschaft im Juli 1856.

II. Ein grösserer Preis von Zweihundert und Fünfzig
Thaler Gold soll von einem wie oben gewählten Ausschusse
derjenigen ungedruckten und ohne Angabe des Verfassers einger
sandten Arbeit zuerkannt werden, welche am befriedigendsten
nachstehende Aufgabe löst.

,fDie schon früher von einxelnen Natarforschern ausgeAprocIiene Aft->
tidichty dnss die Wärme nicht ein hesonderer Stoff, sondern nur eine Be*
9»wegung; der kleinsten Theilchen der sonst Torhnndenen Stoffe sei, ist^
1» nachdem sie lange ivegen mancher ihr entgegenstehender Schwierigkeiten
}) nicht halte durchdringen können, in neuerer Zeit theils durch theore-
» tische y theils dnrch experimentelle Untersuchungen soweit begründet,
ndass an ihrer Ricliligkeit kaum noch, zu zweifeln ist. Nach dieser Theo-
nrie lässt sich Wärme in mechanische Arbeit und umgekehrt Arbeil in
«»Wärme verwandeln, und die Arbeitserösse, welche dabei einer WHrme»
^einheit entspricht, and welche man das mechanische Aeqüivalent
i)der Wärme genannt hat, ist jedenfalls eine der wichtigsten Conatanten
„der ganzen Pliysik, indem sie nicht nur bei der Bestimmung der Arbeits-
„fähigkeit der durck Wärme getriebenen Maschinen eine unmltlelbare
„praktische Anwendung findet, sondern auch in vielen anderen' Unter»
„suchnngen eine bedeutende Rolle spielt. Der Werth- dieser Grösse l^asC
„sich durch theoretische Schlüsse auf» dem Verhalten verschiedeBer Kör*
„per, besonders der Gase nnd Dämpfe, ableiten^ indessen müssen bc|
„jeder solchen Rechnung mehrere Beobachlnngsdata zu Grunde gelegt, wer-
„den, weiche selbst zum Theil noch nicht mit der nöthlgen Genauigkeit
. „bekannt sind. Ausserdem ist von Herrn James Prescott Joule eine
„Reihe von experimentellen Untersuchungen zur unmitlelliareh BestiÜi-
„mung jener Grösse angestellt; aber so werihvoll diese Arbeiten auch
„unzweifelhaft sind, so liegt es doch in der Natur der Sache, dass bei
„so schwierigen Versuchen das Resultat immer noch mit einiger Unsicher-
„heit behaftet bleibt, und nur durch vielfach wiederholte Bestimmung
„derselben Zahl unter möglichst veränderten Umständen kann alLmälig
„der Grad von Genauigkeit und Sicherheit erreicht werden , welcher für
„diese Constante dringend zu wünschen ist. Demnach würde es für die
„Wissenschaft sehr nützlich sein, wenn mehrere Physiker sich diesem
„ Gegenstände zuwendeten , nnd die iphyukalisciie'OQseilsokaftt stellt daher,
„nm auch ihrerseits eine Anregung hierzu zu geben, die Aufgabe:

,>„da8 mQchanlBche AeqniTalent d«T Wärm« esperi-
„^menlvll zn bestimmen."*^ . i ■.,

Die DarateTInn^ der Versuche mu^i^ eine klarie EJinsltht^ tiiifeht
nur in die eiü^elnen Ergehnisse» ^sondern -auch In die an^ip^aridteti
Versuchsweisen und Vorsichtsmassregeln gewähren, und daher
von Abbildungen etwaiger neuai Vorrichtungen begleitet sein.

r {! TJlefarlscker Bertchf XCIV.

I ' Ule BeH'vrbuni'sschrifleii dürfen in deutscher, fraozüsi scher,
LeD^Iischcroderluteiiiischer^ljrarheabi^erusst sein. Bei den Zahlen-

Kgahen Ut der teichlerea Verpicithuns halber das neiifranzüsifiche
18S- und Gen ichttssyetem und iiir Temperaturen die Cenlesinialsrale
I Unzii^'B"''^"- SL-hnilen, »eiche auf störende VVeuse unleserlich
I geschrieben sind, Itüntieii vorider Beirerbuni; ausgeschlossen werden.
Die äussersle Fri^l liir die Eiriseiidung der Betveibunfreschriflen
Ut der l-L .lauuiir ISS7. Jede der^ellien ist mit einem Wahltiprucb
k KU versehen. ued dieser auf der Aussenseite des versiegelte)) Zet-
I tels, »elcher den Nanieu des Verfusüers enihält, zu wiederholen.
i'''' Die motivirti^ Znerkeunun^ des Preises erfolgt üffentlich in der
[■«Tsten Sitzung der Gesellschaft im Juli I8S7. Die zu den nicht
ekrünleii Abhaiidlmifjun gehörigen versiegelten Zettel n-erden bei
^rseUien (>elegei]heit otierüffnet verbrannt. Eine Theilutiij des
'eises Ilndet riiehl statt. Die eing6i:anf;eiieM HanHschriflen sämnit-
!^er Abhatidtungen werden zurucliliehalten.

er Veifasser der gekriinten Abhandlung ist verpflichtet, die-
«Ibe binnen Jahresfrist unveriindert. wenn uueh nach seinem Be-
U«ben mit Znsatzen, in den Druck zu geben. (ieldschwieri$>kGiten,
4ie sich dai)ei einstellen sulllen, »ird die Gesellschaft nach Mass-
■nbe ihrer Millel zu heben suchen.

Snuohl die BqwerbungsscIiriRen um den griisseren Preis, als
die zur Bewerbung um die beiden kleineren Preise bestimmten
gedruckten Alihandlnneen sind entiveder dem Vorsitzenden der
Gesellschaft, Prof. Du Bois-Reymond, Neuen liurgerstr. 5.. oder
ihrem SrhriftlHihrer, Dr. Krünig, Hernburgerstr. '24., »oweit es
thurdich ist, [lostfrei einzusenden.

.Sollte unler den Benerbunassibriften um einen der drei Preise
keine des betreffenden Preises nfinlig erachtet werden, so behfilt
flieh der A' erstand vor, fiber die Verwendung des ausgesetzten
Preises ini Einverständnlss mit dem Geber das Weitere au rer-
fllgefi, nach Befinden densellten ntochmals ausznschreibeo.
',.\ Berlin, H Januar 18S5.

Der scitige Vorstand der phvsikalisGhen Gcsellscbaft
£ DU ßois Rfvhond \ Kbormp \\ Bris

W BfcFTZ R ClALSIIS F \|:TTI'( D SellTGRKBItK

Preisaufgabe der Pariser Akademie.

TrouTer po- vn eX|.nsaiit ent.^r q»eko>.^u« n l» Bulutiui»
en nombres entiers et in^ganx de r^f|ii^ti«n ;s"-f;y"3i:i', ou proa-
y«r qu'elle n'en a pas (|uap4 n eat ßluu grapd, C|ue % Vaj^r da
priz:,3O00 Francs. Limite d^ coqcoars I'^iAitt^ 18^.

fJlerariicher Bericht XCY,

Literarischer Bericht

xcv.

Am 'iSsten Februar 1855, Morgens bald nach 1 Uhr,

starb

Carl Friedricli Oanss.

Er war am SOsten April 1777 zu Braunschweig geboren,

seit 1807 Professor inGuttingen.

Sibi gratulentur Mortale« tale tantumque ezttititse
IIa man! Generis Deco«.

Geometrie.

Lehrbuch der Geometrie zum Gebrauche an höhe-
ren Lehranstalten. Von Dr. Cduard Heis, Prof. an der
Kunigl. Akademie zu Munster, und Thomas Eschwei*
1er, Director der höheren Bürgerschule zu Köln. Erster
Theih Planimetrie. Köjn. (Du Mont-Schauberg.) 1855.

Dieses neue Lehrbuch der Geometrie für Schulen zeichnet
sich durch die Einfachheit und Deutlichkeit seiner Darstellung
sehr Tortheilhaft aus. Ausser den Lehren der gewöhnlichen Ele-
mentar-Geometrie enthält es, in sehr verständiger Auswahl, von
der sogenannten neuereo Geometrie alles Dasjenige, wä& dem
Zwecke der Schule entsprechen möchte, und scheint eben so wio

Thl. XXIV. Hft. 3. 3 I

2 LUerariscker Bericht XCV.

wir dem Grundsatze zu huldigen, dass man mit diesen Dingen auf
der Schule ja nicht zu weit gehen dürfe« weil ja die Schule, na-
türlich neben geometrischen Uebungen mancherlei Art, doch jeden-
falls nur hauptsächlich Das lehren und zu dem vollkommensten
geistigen Eigenthum der Schüler zu machen suchen muss, was
zu dem Verständniss der folgenden Theile der Mathematik unbe-
dingt erforderlich ist, und dabei vorausgesetzt wird. Wie sehr
manche Schulen den letzteren Gesichtspunkt in neuerer Zeit aus
den^ Augen gesetzt haben, indem sie — worin nach unserer
Ansicht mit ein Hauptgrund der nachher namhaft gemachten Uebel-
stände liegt — ihre Schüler immer und immer wieder bloss mit
Gott weiss was für buchst kunstreichen geometrischen Sätzen und
Sätzchen bis zum vollkommensten Ueberdruss und der Erschlaf«
fiing ihrer geistigen Kraft quälten *) , haben neuerlich sehr unange-
nehme, auf höheren praktischen Lehranstalten gemachte Erfahrun-
gen bewiesen, wo den auf Gymnasien und Realschulen vorgebildeten
Schülern die zum Verständniss der Vorträge über sphärische Tri»
gonometrie, analytische Geometrie und Curvenlehre nuthigen Vor-
kenntnisse in hohem Grade mangelten. Noch weit eher, als wir
von diesen Uebelständen Kenntniss erhielten, haben wir in dem
Archiv auf dieselben schon so od dringend hingewiesen und auf-
merksam gemacht"^*), dass es ganz unnütz sein würde, darüber
jetzt noch ein Wort zu verlieren. Aber verhehlen können wir bei
dieser Gelegenheit nicht, wie sehr wir durch die auch bis auf
den kleinsten Punkt unserer eigenen Ansicht vollkommen entspre-
chende neueste Verfugung***) des Hohen Künigl. Preus-
sischen Unterrichts- Ministeriums erfreut worden sind,
welche in der weisesten und viiteriichsten Fürsorge für das künf-
tige Wohl und das künftige Fortkommen der jungen Staatsburger,
befiehlt, dass dergleichen Uebelständen bei Ertheilung des mathe-
matischen Unterrichts unverweilt auf alle mögliche Weise abgeholfen
werden solle und müsse.

*) Verständigen und rucksichtlich ih rer päd agogischen
Zweckmässigkeit wohl überlegten geometrischen Uebungen, die,
ohne die übrigen eben so nuthigen und für die höhere und praktische
Mathematik theilweise noch nöthigern Theile der Klementar-Mathematik
zu vefnachiässigen , unausgesetzt anzustellen sind, ihren wohlbegrün-
deten, ausser aller Frage stehenden, grossen Werth absprechen zu wollen,
wäre natürlich die grösste Thorheit.

•*) Man sehe, um nur ein Beispiel aus neuerer Zeit anzuführen,
Tbl. XXIII. S. 208. oder auch Thl. XX. Literar. Ber. Nr. LXXVIII. S. 9T0.

•••) So weit unsere Kenntniss reicht vom 20. December 1854. M. s.
das Programm des Gymnasiums zu Anclam Ton Ostern 1855 S. 13. und
das des Gymnasiums zu St^rgard Ton Ostern 1855 S. 19.

UUrarischer Bericht XCV. 3

üass manche eigeDthümliche Beiveise und Darstellungsarten,
auf die wir hier nicht einzeln hinweisen können« in diesem Buche
Dicht fehlen 5 versteht sich bei so kenntnissreichen und gewandten
Verfassern ton selbst; und da nun das Buch ausserdem auch
noch eine zieiQÜche Anzahl zweckmässiger Uebungsaufgaben ent-
hält» so darf dasselbe unseren Lesern gewiss recht sehr zur Be-
achtung empfohlen werden. Dem zweiten« die Stereometrie ent-
haltenden Theile sehen wir mii Verlangen entgegen.

Die Grundlehren der niederen Messkunde, leicht
fasslich dargestellt von Dr. Leopold Kunl'ger. Frank-
furt a. M. (Sauerländer.) 1855. 8.

Dieses Schriftchen enthält auf 80 Seiten die ganze ebene
Geometrie, di^ Stereometrie und ebene Trigonometrie, ja selbst
auch die Polygonometrie. Der Versuch, die nuthigsten und wich-
tigsten Lehren der Mathematik in möglichster Kürze und Einfach«
heit darzustellen, ist nicht neu. Jeder derartige Versuch erregt
ein gewisses Interesse. Aber innere Wahrheit und Strenge wird
immer auch die Hauptbedingung bleiben müssen, welcher ein sol-
cher Versuch zu geniigen hat. Die Hauptgrundlage, kann man
sagen, bildet der auf S. 6. und 7. vorgetragene Satz: Parallele
Linien zwischen parallelen Linien sind gleich. Liest
man nun aber die Begründung dieses Satzes a.a.O., welche auf
einer Art von Gränzenbetrachtung beruhet, so trauet man in der
That seinen Augen kaum und fragt sich, wie der Herr Verfasser
solche Dinge dem mathematischen Publikum auftischen kann. Diese
Begründung ist in der That unter aller Kritik, und wir befin-
den uns wirklich in Verlegenheit, wenn wir, ohne hier nicht
zulässige Weitläufigkeit, dem Herrn Verfasser alle in den betref-
fenden wenigen Zeilen enthaltenen Fehler naciiweisen sollen.
Weil wir aber doch als Kritiker etwas zur Widerlegung sagen müssen,
so wollen wir nur Folgendes bemerken. Der Herr Verfasser will
zeigen, dass ÄBzi^AxB^ ist*). Dies beweist er so. „Nimmt

man den Abstand PA^ unendlich gross an, so ist pA \ —

eine unendlich kleine Grosse, die =0 zur Grenze hat. Da in
diesem Falle die Linien CD und (\Dx offenbar einander parallel

sind und aus p-r-^ — ^ = 0 AB:=.A{By erhalten wird, so folgt

der zu beweisende Satz.'' Wie in aller Welt aber kann der Herr
Verfasser daraus, dass PA^ unendlich gross ist, oder, wie er

*) M. ■• seine Figur.

p — — ^0 ist. Dieser Scbluss würde doch nur dann gerecht-

fertigt sein, wenn man §ich bestimmt versichert halten LüoDts, '
dass der Zähler Jß— ^,£, , aaf dessen Bestimmung es
hier ja eben ankommt, der ja hier eben erst bestimiDl
werden soll und an sich vOÜig unbekannt ist, eine end-
liche bestimmte Grilsse wäre oder- wenigstens eine solche niemals
übersteigen künnte. Ueberhaupt daraus, däss der Nenner eines
BruL'hs sich dem Unendlichen nähert, schliessen wollen, dass
der Bruch seifist, dessen Zähler man gar nicht kennt,
nuT dessen Bestimmung es eben erst ankommt. Null
sein oder sich der Null näheren, und dnss also nun der Zähler Null .
sein müsse, ist eine Schlussneise, welcher ein Epitheton urnans
gebflfart, das wir hier nicht aussprechen wollen. Es kijnnle ja auch

' der Bruch hei in's Unendliche wachsendem Nenner sehr wohl sich
der Null nähern, ohne dasa der Zähler sich der Null näherte oder
Null wäre, wenn derselbe nämlich überhaupt nur eine endliche be-
stimmte Grüsse wäre oder eine solche nie überstiege. Da der ganz«

- Beweis nur ein Fehler ist, so ist dagegen, und eben so auch
Obe? den (ibrigeD Inhalt des BQchleins, nichts weiter ta sagetL

DieEntrernungsürter geradliniger Dreiecke. II. Die
Susseren Entrernungsörter. Eine geometrische Ab-
handlung von C. F. A. Jacob!, Professor in PTorta. Mit
i\eei Fignrsntafeln. Jena. Frommann. 1854. 4. I Tbir.

Diese Schrift ist eine Fortsetzung der in dem Aufsätze Archiv
TheilXVlI. Nr. XIV. S.36I. ausführlicher besprochenen Schrift,
und ganz in derselben Weise wie jener erste Theil verfassl, 80
dasa wir über die vorliegende zweite Abtheilung hier nichts wei-
ter zu «agen brauchen.

FQnf merkwArdige nnendliche Reiben.ffir die Sinas
und Cosinus vielfacher Bogen und fär die Zahlen n
nnd n", auf elementar-geometrischem Wege entwickelt.
Nach den hinterlassenen Papieren des am 10. Noveni-
b«r 1853 KU Potsdam verstorbeneo Oberetlleutenants
Tzabn bearbeitet und zum Besten der binterbliebenen
hfilfshedürfttgen Familie desselben berausgegeheo
und verlegt von Dr. J. W. H. Lehmann. Berlin. (In Com-
nisaion bei F. Schneider.) 1853. 4.

Herr Doctor Lehmann in Potsdam hat durch. die Herans-
gabe und Verlegung dieser Schrift sieb ein dreifaches Verdienst

i^ter arischer Bericht XCV. 6

erworben« Erstens dadurch, dass er die auf dem Titel erwähn-
teo fünf merkwürdigen Reihen aus den Papieren des verstorbenen
würdigen Oberstlieutenants T&ahn in Potsdam» welcher 20 Jahre
lang 5 natiirlich nicht im Sinne der gewöhnlichen Cirkel-Quadrirer,
Forschungen über die Quadratur des Kreises anstellte, zum From-
men der Wissenschaft überhaupt veruffentüchte. Zweitens da-
durch, dass er mehrere dieser Reihen mit elementar gehaltenen
Beweisen, als Producte seines eigenen mathematischen Scharf-
sinns, versah, oder deren Beweise vervollständigte und ergänzte.
Drittens dadurch, dass er diese Schrift in Selbstverlag über*
nahm, ihren Druck aus eigenen Mitteln bestritt und den ganzen
Erlös aus ihrem Verkauf zur Unterstützung der von dem Oberst-
lieutenant Tzahn nachgelassenen würdigen Familie bestimmte, deren
grosse Hülfsbedürftigkeit vorzüglich dadurch veranlasst worden ist,
dass der Erblasser der von Herrn Dr. Lehmann herausgegebe-
nen Papiere, beim Antritt seiner zweiten Ehe schon pensionirt
and daher, zur Einkaufung seiner Gattin In die Wittwenkasse nicht
anbedingt verpflichtet, diesen für die Subsistenz seiner Hinter-
bliebenen so nothwendigen Schritt nnterliess, weil einestheils der-
selbe bei dem enormen Unterschiede zwischen seinem Alter und
dem seiner Gattin mit ausserordentlichen Kosten verbunden war,
and er anderntheils eine zuversichtliche Hoffnung sowohl auf kör-
perliche Rüstigkeit, als auf das Gelingen seiner grossen Bemühung
um die Quadratur des Kreises und auf eine allgemeine Anerken-
nung'seines Verdienstes setzte. Wir wünschen sehr, dass die
Leser des Archivs durch Aiikaufung dieser Schrift den in jeder
Beziehung höchst edlen Zweck, welchen Herr Doctor Lehmann
durch deren Herausgabe zu erreichen wünscht und hofft, befördera
helfen mögen, und geben denselben die Versicherung, dass ihnen
die Schrift eine lehrreiche Leetüre geworren wird. Herr Doototf
Lehmann hat sich schon vielfache Verdienste, namentlich auch
um. die Methoden der annähernden Berechnung gewisser numeri-
scher Werthe erworben, wie am Besten aus seiner ausgezeichnet
ten Abhandlung über die Berechnung der Zahl n im'21sten
T heile des Archivs Nr. XHl. S. 121. erhellet, die ihrer Vor-
trefflichkeit wegen auch neuerlich in den von den Herren Terquem
und Gerono herausgegebenen Nouvelles Annales de Mathä-
matiques in einem ausführlichen Auszuge übersetzt worden ist.
Gleiche lehrreiche Bemerkungen über dergleiehen Berechnungen wer-
den die Leser auch in der vorliegenden Schrift in reichem Maasse finden,
wodurcli natürlich Ihr Interesse und ihr Werth sehr erhöhet wer-
den muss* Und da In derselben absichtlich Alles möglichst eleme»«
tar gehalten, ja am Endie der Schrift in §. 32< der Wunsch ausg^ü
sprechen worden ist, dass eiii Theil ihres Inhalts in den mathematt»

6 Uteraritcher Bericht XCY,

sehen Elementar- Unterricht aafgeDommeD werden mdge» so .werden
gewiss auch die Bibliotheken der Gymnasien und Realschulen nicht
säamen, den edlen Zweck des Herrn Herausgebers durch Ankauf
der Schrift befördern zu helfen. Dass dies in reichstem Maasse
geschehen mOge» ist wenigstens der innigste Wunsch des Her-
ansgebers des Archivs und der Hauptzweck der obigen Zellen.

Mechanik,

Die Experimental-Hydraulik. Eine Anleitung zur
Ausführung hydraulischer Versuche im Kleinen, nebst
Beschreibung der hierzu nuthigen Apparate und Ent-
Wickelung der wichtigsten Grundform ein der Hydrau-
lik, so wie Vergleichung der durch diese Apparate ge-
fundenen Versuchsresultate mit der Theorie und mit
den Erfahrungen im Grossen. Bearbeitet Fon Julius
Weisbach« Professor zu Freiberg^ Mit 149 Holzschnit-
ten. Freiberg. Engelhardt. 1855. 2^ Thir. 10 Ngr.

Obiger Titel dieses Buchs, das wir Praktikern zur Beachtung
empfehlen, ist so ausführlich, dass wir über dessen Zweck und
Inhalt hier nichts weiter zu sagen brauchen. Nur wollen wir uns
zu bemerken erlauben, dass Herr Julius Weisbach jedenfalls
sehr wohl daran gethan hat, sich in diesem neuesten Producte
seines mathematischen Genie's lediglich auf dem Gebiete des Ex-
periments zu halten, wobei wir ihm zugleich wohlmeinend zu ratheo
nicht unterlassen können, dies fernerhin immer zu thun, und sich
besonders ja niemals wieder in das Bereich der Differential- und
Integralrechnung und dar höheren Mathematik überhaupt zu wa-
gen, da die mathematische Analysis durch seine berühmten
Grundlehren der höheren Analysis. Braunschweig. 1849.
doch in der That schon zu sehr an ihrer Ehre gekränkt worden ist.

Astronomie.

Der Jahrgang 1855 des

Kalenders für alle Stände,

durch dessen Herausgabe Herr Professor v. Littrowin Wien
sich ein anerkennungswerthes Verdienst erwirbt» enthält auch
diesmal so werthvolle wissenschaftliche Zugaben^ dass wir unsere

uterarischer Bericht XCV, 7

Leser ganz besonders auf denselben aufmerksam zu machen fiSr
unsere Pflicht halten, weil sie darin Zusamroenstelluogen finden
werden, deren Kenntniss sie sich sonst nur aus grossen, ihnen
gewiss theilweise wenig zugänglichen Werken würden verschaffen
können, und die ausserdem noch das Verdienst besitzen, das«
die betreffenden Gegenstände darin bis auf die neueste Zeit fort-
geführt worden sind. Je weniger Dieser oder Jener dergleichen
werthvolle und allgemein nützliche Dinge in einem solchen, mit
einem so ausserordentlich geringen Kostenaufwande zu erwerben-
den schätzbaren Buche suchen dürfte, desto mehr halten wir uns
für verpflichtet, hier darauf besonders aufmerksam zu machen.

Zuerst giebt Herr v. Littrow eiA Verzeich niss aller
bisher berechneten Kometen, natürlich mit genauer Angabe
der ihre Jahnen bestimmenden Elemente, ihrer Entdecker und
Berechner. Zu Grunde liegt dabei, wie sich von selbst versteht,
das'Olbers'-Galle'sche, bis zum zweiten Kometen von J847
reichende Verzeichniss, welches 179*) Nummern enthält; das
Verzeichniss des Herrn v. Littrow reicht dagegen bis zu dem
zweiten Kometen vom Jahre 1854 und enthält 199 Nummern. In
einer Reihe von Bemerkungen sind alle besonderen Merkwürdig-
keiten, welche die in dem Verzeichnisse enthaltenen Kometen
dargeboten haben, mitgetheilt. Die Kometen, deren Rückkehr
als genau constatirt betrachtet werden kann, sind durch zweck-
mässige Zeichen hervorgehoben.

Ferner theilt Herr v. Littrow aus der Connaissance des
temps 1856 einen sehr interessanten Aufsatz: Ueber die Va-
riationen des Ganges der Chronometer mit, der für alle
Besitzer genauer Uhren sehr lehrreich ist. Herr Lieussou in
Paris hat nämlich in neuester Zeit an einer grossen Anzahl von
Chronometern Untersuchungen über die Unregelmässigkeiten ihres
Ganges angestellt, sowohl bezüglich des Temperaturwechsels, als
der Verdichtung des Oels. Aus diesen Untersuchungen ergab sich,
dass der Gang eines Chronometers bei einer constan-
ien Temperatur so variirt, wie die Ordinaten einer Ge-
raden, und folglich jeden Tag durch a -f 6a: vorgestellt
werden kann. Was den Einfluss der Variationen der Tempe-
ratur auf die täglichen Gänge betrifft, so stellte er sich in der
eben betrachteten Curve durch die Distanzen heraus, welche die
einzelneux parallelen Geraden trennten. Nach einigen Versuchen
erkannte Lieussou, dass diese Distanzen variiren im Verhält-

*) Ich entnehme diese Nommer aqs dem v. Lfttrow'tchen Verseieh-
nlsae selbst.

8 Uter arischer BericAi XCV.

«tose des Quadrats der wirklicheD Temperatur des Chronometers
und einer bestimmten anderen , welcher das MaJLimum des tag«
liehen Gangs entspricht , und zwar zeigte sich diese zweite Tem-
peratur gleich dem Mittel aus den beiden , für welche die Uhr
regulirt wurde *). Wir bedauern , dass uns der Raum verbietet,
hier mehr aus diesem sehr interessanten Aufsätze mitzutheilen,
%'erweisen aber die Leser, die sich für dergleichen Gegenstände
interessiren, dringend auf denselben.

Ferner enthält der Kalender Interessante Mittheilungen über
W. Struve's neueste Untersuchungen über Fixsterne,
und zuletzt giebt Herr v. Littrow ein buchst verdienstliches und
sehr vollständiges Verzeiehniss der Bahnnfihen zwischen den
periodischen Gestirnen des Sonnensystems, ganz nach
seinen eigenen Bestimmungen, durch welche er sich bekanntlich
ein besonderes Verdienst erworben hat, und welche hauptsächlich
deshalb so verdienstlich sind, weil sie zuerst mit Hälfe 'der
Lehre von den Maximis und Minimis auf ein ganz bestimmtes
geometrisches Princip gegründet worden sind , wogegen alle frühe-
ren Bestimmungen nur auf ganz vagen Vorstellungswelsen beruhe-
ten und vor dem Richterstuhle der strengen Geometrie keines-
wegs bestehen konnten.

Annalen der k. k. Sternwarte in Wien Nach dem
Befehle Seiner k. k. apost. Majestät auf öffentliche
Kosten herausgegeben von Carl von Littrow. Dritte
Folge, Vierter Band. Jahrgang 1854. Wien. 1855. 8. (S.
Literar. Ber. Nr. LXXXIX. S. 9.)

Die Wiener Sternwarte ist gegenwärtig das astronomische In-
stitut in Deutschland, welches seine Beobachtungen am regelmäs-
sigsten veroflfentlicht, und der Herr Herausgeber erwirbt sich durch
diese regelniässigen Publicationen jedenfalls ein grosses Verdienst
um die Wissenschaft. Der vorliegende neueste Band enthält:
1. Beobachtungen von Cometen am Refractor in den
Jahren 1847 bis 1854, redigirt von Hörnst ein, Adjunc-
ten der Sternwarte. II. Nachträge zu den Planeten-
und Cometenbeobachtungen am Refractor in den Jahr-

1 1 »I I

*) Besseren Verständnisses wegen bemerken wir, dass man bei Re-
gulirung der ConipensationsTorrichtung die Uhr zwei bedeutend von ein-
ander verschiedenen Temperaturen auszusetzen pflegt und es dahin xn
bringen sucht, dass sie hei beiden denselben Gang zeigt.

Literarischer Bericht KCV, ^ 9

g&ngen 1853 and 1854 der Annalen. III. Beobachtungen
am Meridiankreise vom S.September 1838 bis Ende 1840.

Herr Karl Mosta» welcher jetzt der Sternwarte zu San-
tiago de Chile als Director vorsteht, hat uns kürzlich seine
in der Schrift:

Informe sobre las observaciones hechas durante
el eclipse solar de 30 de Noviembre de 1853, presen-
tado al Sennor Ministro^de instruccion publica por
Carlos Moesta. Santiago de Chile. 1854.

niedergelegten Beobachtungen der Sonnenflnsterniss vom 30. No-
vember 1853 y zu deren Anstellung er sich nach Pisco in Peru
begab y mitzutheilen die Güte gehabt. Wir empfehlen diese in
astronomischer und physikalischer Rücksicht wichtige und inter-
essante Schrift unsern Lesern sehr zur Beachtung. Nach einer
Einleitung enthält dieselbe: ,,I. Fenömenosde luz referen-
tes a la atm6sfera de sol i a la diafanitad de la atmös-
fera terrestre. II. Fen6menos meteorolojicos i algunas
otras observaciones. III. Determinacion de la posicion
jegräfica de varios lugares de Peru.*' Eine sehr schone
iiluminirte Zeichnung der Finsterniss bei ihrer Totalität mit der
Corona und den bekannten Protuberanzen ist eine sehr werthvolle
Zugabel

Physik..

Der Foucault'sche Pendelversuch als directer Be-
weis von der Achsendrehung der Erde von Professor
Delabar. Eine Abhandlung, die in der allgemeinen
Versammlung der schweizerischen naturforschenden
Gesellschaft zu St. Gallen am 24. Juli lß54 vorgetragen
wurde. Mit 4 Tafeln Abbildungen. St. Gallen. (Scheit-
lin & Zollikofer.) 1855. 8.

Unter den Schriften, welche den berühmten Foucault'schen
Versuch zum Gegenstande haben und nicht gerade bis in die
grossten Tiefen der Analysis und höheren Mechanik hinabzustei-
gen beabsichtigen, ist die vorliegende unbedingt eine der besten,
ja sie hat unter allen derartigen Schriften uns eigentlich am 'Mei-
sten angesprochen. Nach einer kurzen Einleitung handelt dieselbe
mit ungemeiner Deutlichkeit I. vom Prinzip und Beweis des
Foucault'schen Pendelversuchs. Zuerst erläutert der ge«
ehrte Herr Verfasser die Sache in eigenthümlicher , sehr sinnreicher

3«

Weise bloss mit Hfilfe der Elemenlar-Geometrie und der einfacfasteo
Grundlehren der ebenen Trigonometrie, mit RScIteicht ftuf die be-
treffende Lileralur, und gielit dann nncb den die siibarische Tri-
gonomelria und einige Kenntntstic der ÜiffererHialrechnung voraus-
•stzetiden Escbireiler'Bchen Beweis, den Herr Director Escb-
iweiler in Köln auch den Lebern des Archivs irk Tbl. XIX. S. 51.
u^teser Zeitschrin mitzii (heilen die Güte gehabt hat. Ferner han-
4elt der Herr Verfasser in eben so deutlicher Weise II. von der
SiinTicbtung der zum Foucault'echen Pendel versuch
' .lenüthißten Apparate und der Methode des hierbei be-
folgten VerTabrens. Die nülHigen Apparate sind mit ^rosset
'Sorgfalt beHchrieben und alle Vorsichtiimaesregeln, welche das
Gelingen des Versuchs vnratissetzt, sind sorgialti^ namhaft ge-
. hiBcht worden. Endlich irird III. die wirkliche A u s fübrung
des Foucanit'schen Pende) versxchs in der Domkirche
im St. Gallen beschrieben, noraus heryorgebl, dass der vor
,der versammellen schneizerlschen naliirforschenden (Gesell schalti
.itwa vor ISO Personen, atigeslellle Versuch jedenfalls den ge-
hngensten beigezählt werden darf.

Je mehr vrir Gelegenheit gehabt haben, zu bemerken, t^ie
wenig eine vütlig deutliche thenrelitiche Einsicht in die wahre
Natur des Gegenstandes, um den es sich hier handelt, bi.i jetzt
' noch verbreitet ist, ja ivas ffir falsche Beuriffe man über densellien
sogar hin and wieder noch bei Leuten änlrtlt', die aich rfas Afmeke*
von Physikern geben möchten; desto mehr halten yrir uns für ver-
pfiichtet, die vorliegende, sehr deutlich und mit feinem mathema-
tischen Takte, — det hierbei freilich unerlässl icher wie
bei irgend einem anderen physikalischen Gegenstände
ist, und wo er sich nicht findet, auch kein wahres Verstündniss
der Sache erwarten ISsst, — übrigens, etwa mit Ansnahme des
Gachweiler'schen Beweises, in ganz elementarer Weise ver-
fasste Schrift zur allgemeinsten und snrgßltigsteD Beachtung drin-
gend zu empfehlen. Ohne ein gewisses Maass mathematischer
Kenntnisse kann die Sache Treilich nnmOgllcfa zum VerstXndnbs
gebracht werden, und dergleichen Versuche vor einMn gani nn-
natheinatischen Publikum anstellen bu wollen, halten wir für pure
Ta8chefW[>ie)erei, für eine eines wisse nscbsftlicben Uatheisatikers
nnd Physikers völlig unwürdige Escamotage, worüber des Weite-
ren wegen des Heraasgebers des Arcliivs eigene element&r-aAft-
l^tMclie Darstellung dieoes wichtigen Csg^nstandsa im Atchit
¥fcl. XX. Nr. V. S. 97. nsehgeaehen werden kann. Nur vor solcbe
hochachtbare Versammlungen, wie die, welche Herr Professoi
Delabar zu seinem AuditoriaiR wSblta, ugd ]UiiUi«be, geböien
dei^leidieD Versuche.

UteraHscher Berichi XCV. 11

V6o d«n Scbriftee, wakhe die SmUb^onUn Inati-tuti^«
zu Washington unter dem allgemeinen Titel Smith90fiian
Contributions to Knowledge berausgiebt» und sich dadurch
ein sehr grosses Verdienst um die Wissenschaften erwirbt, sind
uns neuerlich die folgenden wichtigen» in Quart prachtvoll gedruck-
ten Werke zugekommen, die wir der Aufmerksamkeit unserer
Leser dringend empfehlen, ohne uns, wegen der Beschränktheit
des Raumes, darauf einlassen zu können, deren Inhalt näher an-
zugeben, was auch unnOthig ist, da der Kundige denselben au9
den blossen Titeln schon hinreichend erkennt, und schon daraus
ersehen wird, ob dieselben fiSr seine eigenen Arbeiten und Be-
strebungen von Wichtigkeit sind und bei der Weiterftihrung der-
selben nicht entbehrt werden kOnnen:

Researches on electrical Rheometry. By A« Secchi,
Professor of Astronomy and Director ofthe observa«^
tory in the Roman College (Rome), and late Professor
of Physics and Astronomy in Georgetown College. (D,C,)

Observations on terrestrial Magnetism. ßy John
Locke, M. D., M. A. P. S. Professor of Chemistry and
Pharmacy in the medical College of Ohio.

Winds ofthe northern Hemisphere. By James H.
Coffin, A. M., Professor of Mathematics and natural
Philosophy in Lafayette College, Easton, Pensylva*
nia« Mit sehr vielen trefflich ausgeführten Karten, nattirlidi,
ausser fQr die Physik, auch sehr wichtig fiir die Nautik.

Vermischte Schriften. :>

Mittheilungen der naturforschenden Gesellschaff
zu Bern. Nr. 324-330. (Vergl. Liter. Ber. Nr. XCIII. S. T.)

R. Wolf: Nachrichten von der Sternwarte zu Bern. Ulh
Beobachtungen der Sternschnuppen im Sonimerhalbjahrel854 Nr. 324
und 325. — LI V. Meteorologische Beobachtungen im Sommer 1854.
— Herr R. W o|f theüt auch mehrere interessante Briefe von Christ.
Wolf an Bernh. Bilfinger mit, von denen der eine aus H^tlle^
die andern aus Marburg, wo Christ. Wolf nach seiner Vertrei-
bung aus Halle bekz^nntlich einige Zeit Professor war, bis er ^ut
Friedrich des Grossen Ruf wieder nach Halle znTücMaehtie,
geschrieben sind.

* B. Studer: Zur geologischen Karte der Schweiz. Nr. 326
und 327. — Auch in diesen Nummern tbeüt Herr K. Wolf einige

HAMM fefitsM ▼•Itair« »iHM «aftei «*^ «it

R. Wolf: Nathrichrefi Ton der Sternnarte in Bern. Nr. 328
Dod ^1'. LV. Slrtrofo logische BeobachlnDsen im Herbste I8S1.

R. WolT: Notizen «ir Geschichte dei Slalbematik nod Pby-
■ik in def Schnetz. Nt. 338 uod 3^. SXXOL Verecbiedene NÖ-
" tuen und Antrüge. Hierunter ist Torzi^neb die Mgende Notii
übet den »Toeeen Leunbard Enler interes&ant:

„Sadi einer mir" — eagt Her» R. Wolf — „durcb die Gfile
des Hena Rathsberrn Peter Merian in Basel zogekommenen
Notiz, war Peter Euler, Valer de« berfibmten MathematiLerä
Leonhard Enler, von 1703— ITOH Pfarrer in St. Jakob bei Ba-
sel, und erfcielt erst 1708 die Pfarre in Riehen, anf welcher er am
13. März 1745 starb. Es ist also die hSufig TorkAiameflde Angabe,
es sei Leonhard Enler in Rieben geboren*), dahin zn be-
richtigen, dasa er in Basel geboren vrorde, aber seine Jugend-
JdhM'ia Si*h*»««ridHk.r^:r :-'<-- ■-

'^ - Ikihär 4m ErfiadOT d«» «■I4fft'*ch*>.ll«gel, dn iiiiiliii
P«al 6mUi» TS« 8t OkIIm, KfaM «MT-S^ W*ir «m* Kic.
«#«U Ufewle bMgn|*iMl)».qdl>f -.,, .

I ^P«alM e«Üla SooM. J«M. 8Mcte^«rikvhf MiwrJUM
U77Aen JnH. riHabMB^raeHM^ FtM^ «i Me» ctfMI-
otm sdductns, et Monachii Anno 1597 admissDs pro Coadjotore
temporal!, Panli nomen assnmpsit, sed detecta in eo indole es-
mia ad Hathesin, Romam rocatns Philosoph. acHattbem. stndni^
docait Graecii et Viennae Mathesim. Scripsit pro Kalendario'Gre-
goriano contra Setbom Calvisinm, nbi contra Scaligeri diatribam
de Aeqninoctiomm praecessione. Problema geograpbicnm de di»-
crepantia in numerandis diebns ioter eos, qni narigant ad orbem
■OTiim,et qni ibi consistnnt, Centrobaryca et alia; obiit Aano 1643."
— Am bekanntesten ist Galdiu's Werk; De centro gravl-
tatis libri 4. Viennae 1635. Fol.

R. Wolf; Notizen znr Geschiebte der Mathematik und Phy-
sik in der Schweiz. XXXIV. Verschiedene Notizen und AnbSge.

GGtigst mitgetheilt bat uns Herr R. Wolf noch eine von ihn
gehaltene: GedSchlnissrede anf Jacob Bernoalli aar
zweiten SScularfeier seiner Geburt. Bern 1855., auf die
wir ihres sehr interessanten Inhalts wegen unsere Leser ganz he-
conders aufmerksam machen und auf die wir spSterhin zarOckza-
kommen hoffen.

*) Allerdinp Ut dici die gewöhnliche Angabe.

LiUrarUcker Bericht XCYL

Literarischer Berieht

xcvi.

Trigonometrie.

Theoretisch-praktisches Handbuch der ebenen und
sphärischen Trigonometrie mit zahlreichen Anwendun-
gen derselben auf reine un^ praktische Geometrie»
physische Astronomie, geographische Ortsbestimmung
und höhere Geodäsie, so wie Untersuchungen über
den Einfluss der Beobachtungsfehler und die Mittel,
denselben zu vermindern. Von Dr. J. Dienger, Pro-
fessor der Mathematik an der polytechnischen Schule
zu Karlsruhe. Mit 81 in den Text eingedruckten Holz-
schnitten. Stuttgart. Metzler. 1855. 8.

Dieses Handbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie
leistet vollkommen, was sein Titel verspricht, und verdient na-
mentlich allen denen, welche praktische Anwendungen von der
Trigonometrie , insbesondere in der niederen und höheren Geodäsie
zu machen beabsichtigen, recht sehr empfohlen zu werden. Da-
bei ist noch besonders hervorzuheben, dass der Herr \erfasser
bei den Beweisen, namentlich auch der goniometrischen Formeln,
vollständige Allgemeinheit zu erreichen gestrebt hat, was leider
in der Trigonometrie so häufig vernachlässigt wird, und doch ge-
rade in dieser Wissenschaft von so grosser Bedeutung ist, weil
ja eben die Grundformeln derselben, ebeji so wie die Formeln
der analytischen Geometrie, hauptsächlich mit die Bestimmung
haben, den analytisch- geometrischen Untersuchungen uud Ent-
wickelungen vollkommene Allgemeinheit zu verleihen, und die Un-
terscheidung specieller Fälle unnöthig zu machen, welche letztere
man der synthetischen Geometrie liberlässt. Wird also der Nach-

Thl. XXIV. Hfl. 4. 4

il gtflclil XCVt.

WSi« der vvlUtliidlgaii AH)t«bell>hrit .ler Ffirmeln t\e
6fe TOraübliMdgt, m «eTlIflrt diene Hit^senschart i
TImO Ihre« ^«aMeheD Wmah md ^enü^'t tjicht

V«
iteh^ geOAIt md ai«h deaUb vlt ErMg bMfrriü^ b«. solcb«

VernachläBsi)!un|ren xkh nicht schuldig eh machen. Die Berech-
Anng der Tafeln ist iit sehr zii ei'LiuässigCF ^^'ei6e nach Lionnet
am. 8. .\rchiv. Thl. VI. S. '20;>.) gelehrt, wodurch der Herr Ver-
tufSRT der wirklichen volbtändigen Entwiclfeliin^ der verschiede-
'firn goninraetrbcheii und cyclometrischen Reihen {iberhohcn wurde,
die in diesem augenscheinlich ziinüchst eine vorzugsweise prak-
tische liichtung verl'nlgenden Buche nicht in seinem Plane lag.
Fast säinmtliche Aufgaben sind durch vollständig ausgerechaefe
nunierische Beispiele erläutert, die Praktikern gewiss eine sehr
dankenswertbe Zugabe sein werden, und auf alle bei praktischen
Anwendungen vurkomniende Cnrrectionen ; Refraction, Depression
des Meerhorizonta, u. s. w., ist Rdckeicht genommen, so wie auch
die Bestimmung des Einflusses der Beühaclilungsfehler auf die
Rcsullnle fi'ir ebene und sphärische Dreiecke in zwei gesonderten
Abschnitten, — diese Bestimmungen namentlich in einer dem Herrn
Verfasser oigenthümlichen Enmickelun^jsweise, — die Interpnln-
tion, die Benutzung zebnstelliger Logarithmen, u. s. w., ausfubr-
licbe Berücksichtigung gefunden haben. Boss der Legendre'sche
Satz, die Berechnung der Dreiecknetze, -- auch durch rechtwinklige
und Polar-Coordinaten, — und Aebnliclies gleichfalls rorkomrot, Ter-
Kteht sich bei einem von einem so kenntnissreichen Verfasser be-
arbeiteten Handbuche nie das vorliegende Von selbst. Selbst die
Conatruction der Sonnenuhren, die Bestimmung der Tageslänge
oiid der Dauer des Ifingsten Tages, der Dfimnierung n. s. w. feh-
len nicht. Mit ganz besonderer Vorliebe, und zwar mit vollkom-
menem Rechte, hat der Herr Verfasser endlich auf S. 295. — S. 322.
£e verschiedenen MethodeD zur Bestimmung der geographischen
Breite entwickelt. Die Leser werden sieb von zehn verschiede-
nen 'Hetjioden geofigende Kennlniss aus diesem Buche verschaffen
kSnnen, wobei dei Unterzeichnete sich nicht versagen kann, dem
Herrn Verfasser besonders zu danken, dass er seine eigne Ue-
thode zur Breitenbewtimmnng bei geodätischen Operationen, die
in der Schrift: „Versucli einer neuen Methode zur Be-
stimmung der Polhühe oder geographiscben Breite bei
geodätischen Messungen von Johann August Granert.
Leipzig. 1844." von ihm zuerst bekannt gemacht, und nanoit-
lieh auch mit sorgföHiger Berücksichtigung allec Fehlerqnallen und
der daraus sich ergebenden besten Methode der Anwendung, voll«
ständig entwickelt wurde, zur Anwendung bei growen geodStkehe» -

Uter arischer Bericht XCVl, 3

Operationen vorzugsweise enipfohlen hat, iudera er 8. 321. sagt:
„für Geodäten, die in der Regel gute Theodoliten . besitzen und
ein Sternverzeicbniss sieb leicht verschaffen können, empfiehlt
sich vorzugsweise VII. '* Die Methode Nr. VII. ist aber die von
dem Unterzeichneten a.a.O. zuerst angegebene Methode: „Aus
drei beobachteten gleichen Sternhöhen, die aber selbst
ihrer Grösse nach gar nicht bekannt zu sein brauchen,
und' den gemessenen entsprechenden Azimuthaldif*
ferenzen Polhöhe und Zeit zu bestimmen 'S welche sich
für den Geodäten hauptsächlich deshalb so sehr empfiehlt, weil
er bei Anwendung derselben nur eines Azirauthal- Theodoliten be-
darf"^), die Refraction gar nicht in Betrachtung kommt, ein Baro-
meter und Thermometer also nicht erforderlich ist, und weil endlich,
was von besonderer Bedeutung ist, der Gebrauch einer Uhr gar
nicht in Anspruch genommen wird, insofern es sich nämlich, wie
dies bei geodätisdhen Operationen immer der Fall ist, zunächst
nur- um die Bestimmung der Breite, nicht auch der Zelt, handelt.
Eine neue kurze Darstellung dieser Methode hat der Unterzeich-
nete auch im Archiv. Tbl. XIX. Nr. XXXII. S. 457. gegeben,
und hat, da ihm sehr viel daran liegt, dass dieselbe bei geodä-
tischen Operationen praktisch wirklich häufig angewandt werde,
diese Gelegenheit nicht unbenutzt lassen wollen i sie den Geodäten
von Neuem in's Gedächtniss zurückzurufen , dankt auch dem Herrn
Verfasser nochmals recht sehr, dass er dieselbe a.a.O. als die
geeignetste zur ^Anwendung bei geodätischen Messungen in die-
sem gewiss eine weite Verbreitung unter Praktikern findenden
Buche empfohlen hat, was ihrer von dem Unterzeichneten sehr
gewünschten häufigen Anwendung gewiss sehr fiirderlich sein wird.
Dass sie von einem eine Auswanderungsgesellschaft nach Chile
begleitenden Geodäten, der sich von dem Unterzeichneten noch beson-
dere Erläuterungen über die beste Art ihrer Anwendung erbat, bei
den dort vorzunehmenden geodätischen Messungen durchgängig
angewandt werden sollte und wahrscheinlich auch angewandt wird,
ist schon im Archiv, a. a. O. bemerkt worden.

Der Herausgeber.

*) Am besten eignen sich freilich die jetzt sehr gewöhnlichen Theo-
doliten mit gebrochenem Fernrohr, weil diese sehr hequeme Beobach-
tungen bis zum Zenith gestatten, wobei, der Hohenkreis nur von ganz
untergeordneter Bedeutung oder eigentlich gar nicht' vorhanden zu sein
braucht, wenn man das Fernrohr nur in allen Höhen bis znra Zenith.
mittelst irgend einer VorrichtiiBg feststellen kann.

4 Uterariucher Bericht XCVI.

AuffordenmiP«

AU im Jahre 1851 die deutseben Naturforscher sieh in Gotha
versammelten, hatte sich dort auch eine mathematisch -astrono-
mische Section gebildet, die durch 19 Mitglieder vertreten war,
über deren Verhandlungen Herr Prof. Bretsehneider in Gotha
im Archiv. ThI. XIX. Literar. Ber. Nr. LXXDI. S. 930. -S. 936.
einen interessanten Bericht zu liefern die Güte gehabt bat. Von
den späteren Versammlungen sind, ungeachtet meiner Aufforde-
rung a. a. O. S. 929. , dergleichen Berichte mir nicht zugegangen,
und es mögen daher bei denselben wohl nicht genug Vertreter
der Astronomie und Mathematik gegenwärtig gewesen sein, um
eigentliche mathematisch -astronomische Sectionen bilden zu kön-
nen. In diesem Jahre versammeln sich die deutschen Natur-
forscher in Wien, und gewiss ist es sehr zu wünschen, dass
sich gerade bei dieser Versammlung, die, woran gar nicht zu zwei-
feln ist, eine grosse Anzahl der bedeutendsten Männer aus allen
Ländern auf einem Punkte zu einem gemeinschaftlichen. Zwecke
vereinigen wird, sich auch recht viele Mathematiker, Astronomen,
und mathematische Physiker einfinden mochten. Wenn nun der
Unterzeichnete im Interesse der Sache seine weit verbreitete Zeit-
schrift benutzt, hier eine Aufforderung an alle seine vorher genann-
ten geehrten Herren Collegen ergehen zu lassen, die diesjährige,
in Wien stattfindende, gewiss sehr grnssartige Naturforscher-
Versammlung mit ihrer sehr wünschenswerthen Gegenwart zu be-
ehren, so darf man ihm dies nicht als Zu- oder Aufdringlichkeit,
oder gar als ein Bestreben, sich hervorzudrängen, auslegen, da
er sich, indem er hier diese Aufforderung ergehen lässt, durch-
aus bewusst ist, nur im reinsten Dienste der Sache zu stehen,
wenn er auch auf der anderen Seite keineswegs verhehlen kann
und will, dass er mit dieser Aufforderung allerdings auch einem
gewissen Eisjennutze dient, indem er, lebhaft angezogen von der
ungemeinen Grossartigkeit und Manniglaltis^keit der Anstalten, welche
die herrliche deutsche Kaiserstadt zur Förderung der mathemati-
schen und Naturwissenschaften, — natürlich mit Einschluss der
Astronomie, Meteorologie und Optik, — zunächst und vorzüglich
in wissenschaftlicher, dann aber auch in ihren mechanischen und opti-
schen Werkstätten in technischer Rücksicht besitzt, — angezosjeii
ferner hauptsächlich durch die vielen dort lebenden treffTichen Ma-
thematiker, Astronomen und Naturforscher aller Richtungen, die
mit der grössten Humanität die grösste Wissenschaftlichkeit zu
verbinden gewohnt sind, den ziemlich festen Entschluss gefasst
hat, die diesjährige Naturforscher- Versammlung in Wien selbst
zu besuchen, insofern ihm Gott Leben und Gesundheit schenkt
und andere Umstände es gestatten. Ja, nochmals sei es gesagt,
Eigennutz, recht grosser Eigennutz ist es also, wenn
der Unterzeichnete alle seine verehrten Herren Collegen nochmals
dringend aufzufordern sich erlaubt, die Versammlung der deutschen
Naturforscher in Wien in diesem Jahre recht zahlreich mit ihrer
ßiegenwart zu beehren. Dass dann vielfache und mannigfaltige An-
reguitff und Kräftigung, freudig, munter und rüstig auf dem Wege
der Wissenschaft fortzuschreiten, nicht ausbleiben werden: davon
ist der Unterzeichnete wenigstens in Bezug auf sich selbst
in freudigster Erwartung vollkommen überzeugt.

Greifswald, den 22. Juni 1855. Der Herausgeber.

■'1

♦V

*■■

I ■

?■=

k

I«'

f-

ii

L

f

THB NEW VORi: PUBLIC LIBRARY

BBPBRBNCB DBPAKTMENT

TbbbaokU
t>k

DD from th» BuItdinjE

'■**"■-

1